/
Текст
Ш Ж ll4Ff Я М—Ш Ли Ш Шк
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
НОЯБРЬ
ДЕКАБРЬ
6*1976
Научно-методический журнал Министерства просвещения СССР
Издается с 1934 года Москва «Педагогика»
СОДЕРЖАНИЕ
Методическую работу — на уровень новых задач!
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Опыт работы кабинета математики института усовершенствования учителей
Совершенствовать работу школьных методических объединений Интеграл в учебном пособии для X класса Типовые экзаменационные материалы по математике за курс средней школы Об экзамене по алгебре за курс восьмилетней школы Эмоции юного математика (Письмо Н. Н. Лузина к М. Я. Выгодскому)
О полноте решений геометрических задач О самостоятельных работах по теме «Системы уравнений» в VI классе К вопросу о взаимосвязи геометрии и черчения Одна из форм работы математического кабинета
Консультация
На нуль делить нельзя! В помощь преподавателям профтехучилищ
К устным экзаменам по геометрии в средних профтехучилищах
О преемственности на уроках геометрии в средних профтехучилищах Технические средства обучения. Учебное оборудование Таблицы по алгебре и началам анализа для X класса
Эксперимент
Из опыта индивидуального подхода при обучении математике В помощь самообразованию учителей Симметрия правильных многогранников Внеклассная работа
X Всесоюзная математическая олимпиада
11
15
19
22
25
32
35
37
40
43
46
Г. Д. Глейзер,
Н. А. Филиппова В. И. Шаров
A. Н. Колмогоров
К. И. Шалимова
Г. П. Бевз Ш. Майлиев
B. Г. Мазур А. Ф. Бычков
42 В. Г. Болтянский
Н. К. Беденко, Л. М. Пашкова, Н. М. Райский А. Н. Ганжела
47 Г. Г. Левитас
52 Л. К. Тараканова
54 А. К. Окунев
59 Д. Н. Бернштейн,
Н. Б. Васильев, Ю. И. Ионин,
А. И. Плоткин
Издательство («Педагогика», «Математика s школе», 1976.
Замечательные пределы. Показательная, логарифмическая и степенная 63
функции
Задачи 67
Математимеский календарь на 1976/77 учебный год 81
Степан Александрович Богомолов 32
Поздравляем юбиляров
Залман Алтерович Скопец S3
Фаина Михайловна Барчунова 84
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Библиографический указатель по методике преподавания математики 85
Книга по истории вычислительной техники 85
Первая книга по АЛГОЛу-бО для школьников 86
Об очерке истории математического образования в Белоруссии 87
Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» 88
в 1977 г.
ЗА РУБЕЖОМ
Исследование развития вычислительных навыков у учащихся VI—VII классов 90
ХРОНИКА
О Всесоюзной научной конференции по неевклидовой геометрии 92
Республиканская научная конференция 89
Тематический указатель статей, опубликованных в журнале в 1976 г. 93
Г. А. Сорокин
А. И. Бородин Н. Д. Беспамятных
В. А. Жаров,
О. А. Котий,
В. М. Майоров П. Б. Ройтман,
Г. А. Ястребинецки
Н. П. Ирошников
A. Я. Маргулис Д. А. Поспелов
B. Л. Минковский Н. И. Шушанский
Л. Фладе
Б. Л. Лаптев
Н. Д. Беспамятных,
А. Я. Блох
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
Главный редактор Р. С. Черкасов. Зам. главного редактора С. А. Пономарев.
Члены редакционной коллегии: Н. М. Бескин, В. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Г. Д. Глейзер, Б. В. Гнеденко, Г. В. Дорофеев, Н. А. Ермолаева, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова, И. С. Петраков, А. Д. Семушин, К. П. Сикорский, В. А. Скворцов, 3. А. Скопец, П. В. Стратилатов, 3. С. Сухотина, К. И. Шалимова, С. И. Шварцбурд,
Г. А. Ястребинецкий.
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ (представители союзных республик)
А. М. Алиев (АзССР), X. А. Асадов (ТаджССР), Б. Б. Бердыев (ТуркмССР), И. С. Бро- виков (РСФСР), Б. 17. Бычков (МССР), 8. А. Гусев (РСФСР), А. С. Зибертас (ЛитССР), Д. И. Икрамов (УзССР), К. К. Кожаспаев (КазССР), Ю. М. Колягин (РСФСР), Ш. М. Май- лиев (КиргССР), В. Я. Миллере (ЛатССР), К. С. Муравин (РСФСР), 3, И. Моисеева (РСФСР), С. Ф. Рубанов (БССР), Р. В. Саркисян (АрмССР), 3. И. Слепкань (УССР), А. Э. Тельгмаа (ЭССР), И. Ф. Тесленко (УССР), А. М. Хоштария (ГССР), Р. А. Хабиб
(РСФСР)
Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор Л. С. Владимирская Корректор Э. М. Боклаженко
Сдано в набор 22.10.76 г. Подписано в печать 26.11.76 г. Формат 84 х Ю8'/ш
Бумага тип. JSfe 2. Печ. л. 6,0. Уел. печ. л. 10,08. Уч.-изд. л. 11,77. Тираж 421 330 экз.
Заказ 465 Цена 45 коп.
Адрес издательства: 107066, Москва, Б-66, Лефортовский переулок, д. 8, Телефон редакции: 283-85-83.
Издательство «Педагогика» Академии - педагогических наук СССР и Государственного комитета Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Московская типография JVe 13 Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 107005, Москва, Б-5, Денисовский пер., д. 30.
Методическую работу—-на уровень новых задач!
В современных условиях, когда объем необходимых для человека знаний резко и быстро возрастает, уже невозможно делать главную ставку на усвоение определенной суммы фактов. Важно прививать умение самостоятельно пополнять свои знания, ориентироваться в стремительном потоке научной и политической информации. Тут нас ждет большая работа. Конечно, работа осмотрительная, вдумчивая, без ненужной ломки или поспешных решений.
Из Отчетного доклада Генерального секретаря ЦК КПСС товарища Л. И. Брежнева на XXV съезде Коммунистической
партии Советского Союза
Новый учебный год — первый школьный год десятой пятилетки, первый год решения задач, поставленных XXV съездом КПСС перед системой народного образования. Для учителей математики этот год — еще и важное звено в завершении перехода на новую программу.
В 1976/77 учебном году десятки тысяч десятиклассников в школах с русским, украинским, белорусским языками обучения закончат школу уже по новой программе по математике. По усовершенствованным учебникам начали заниматься пятиклассники. На год позже завершится переход на новое содержание математического образования в остальных школах.
Таким образом, перед средней общеобразовательной школой стоит ответственная задача — обеспечение эффективности обучения и воспитания в условиях перехода на новые программы по математике.
В обеспечении эффективности обучения и воспитания в условиях завершения перехода на новое содержание образования большую роль играют кабинеты математики институтов усовершенствования учителей, районные и городские методические кабинеты, школьные методические объединения. Они выступают организаторами систематического повышения квалификации уч-ителей в широком плане. Оно включает политическую, общепедагогическую, психологическую, собственно математическую и методическую подготовку, вооружение учителя умением эффективно использовать различные организационные формы классной и внеклассной работы.
1*
Можно считать, что основная работа по овладению учителем идеями и содержанием новой программы завершена. Однако это только первый этап работы. Перед учителем стоит ответственная задача более глубокого освоения содержания и методов обучения математике.
Сейчас, когда имеется весь комплект учебников и учебных пособий по математике для средней школы, учитель имеет возможность представить всю систему обучения математике с I по X класс и прежде есего систему изучения важнейших понятий курса — теоретико-множественных понятий, уравнений и неравенств, функций и т. д. Особое значение приобретает достаточно четкое определение тех знаний, умений и навыков, которыми должен владеть выпускник школы. Содержание выпускных экзаменов за курс восьмилетней и средней школы содействует некоторой ориентации учителей в этом вопросе.
Учитель, овладевая новым содержанием курса математики, должен представлять те межпредметные связи, которые могут быть реализованы в условиях новой программы. Об этом должны хорошо знать и учителя предметов, при изучении которых используется математический аппарат. Это позволит создать необходимые условия формирования и применения соответствующих понятий, методов. Большое внимание должно быть уделено согласованному использованию математической терминологии и символики.
Выполнение решений XXV съезда КПСС требует не только овладения учителем нового содержания программы и системы изложения
3
учебного материала, но и повышения уровня воспитательной работы. Проблема реализации задач развивающего и воспитывающего обучения должна быть в центре внимания работы по повышению методического мастерства учителя.
Необходимо постоянное внимание к всестороннему развитию учащихся — их творческих способностей, умения работать с книгой, развитию памяти, пространственных представлений и т. д. Естественно, что развитие учащихся должно достигаться на основе прочных знаний и проводиться в связи с изучением программного материала, на факультативных занятиях в кружковой работе. Важным условием достижения цели развития учащихся является индивидуализация обучения в условиях классно-урочной формы как основной формы работы учителя.
Развитие творческих способностей возможно при условии хорошего владения учителем знаниями в области общей педагогики и психологии, методикой организации творческого поиска учащихся, содержанием и формами организации индивидуальной и групповой работы школьников на уроке и ка внеклассных занятиях.
Важной стороной деятельности учителя является постоянная забота о воспитании у учащихся привычки и потребности к труду. В школе ученики должны научиться работать. Учение— это серьезный труд, требующий большого напряжения, определенных затрат физических и духовных сил, и вместе с тем приносящий радость и удовлетворение. Уже в школе ученик должен приобрести интерес к трудовой деятельности, к овладению знаниями, умение преодолевать препятствия, воспитать у себя настойчивость в достижении цели и т. д.
Решение этих задач возможно при условии серьезной работы каждого учителя над своей методической квалификацией, овладение им передовым опытом. В осуществлении этой работы важную роль играют методические объединения, организация уже на уровне школы коллективного поиска путей повышения эффективности обучения и воспитания.
Задачей методических центров яйляется проведение систематической работы по повы¬
4
шению квалификации учителей, изучение, обобщение и распространение передового опыта, доведение его до каждого учителя. При этом весьма важно критическое осмысление практики работы передовых учителей, выделение сущности системы их работы, выявление возможности использования этой системы в практике работы других учителей.
Совершенствование методов обучения позволит в значительной степени нормализовать нагрузку школьников. Анализ практики обучения математике показывает, что нередко перегрузка школьников возникает искусственно — учитель не всегда еще умеет выделить материал, предназначенный для запоминания, не всегда домашние задания достаточно подготовлены и потому оказываются непосильными для определенной части школьников, не всегда последовательно проводится повторение перед введением нового материала, не учитываются должным образом особенности восприятия и памяти учащихся.
Весьма существенно в этой связи дальнейшее совершенствование содержания и организации работы в системе повышения квалификации учителей. Большее внимание должно быть уделено организации содержательных семинарских и практических занятий, анализу узловых тем программы, четкому выделению того круга знаний, которыми должны владеть все выпускники школы, поиску наиболее эффективных методов обучения, путей формирования личности и выявлению того вклада, который дает в решении этой задачи обучение математике.
Особенно тщательно следует планировать работу с учителями сельских школ. Многие из них в течение значительной части учебного года оторваны от общения со своими коллегами. Поэтому на курсах им надо дать максимально возможную подготовку по всем наиболее важным вопросам, с которыми они встретятся на практике.
Работа городских и районных кабинетов математики, школьных методических объединений должна быть спланирована так, чтобы все важнейшие вопросы жизни школы, вытекающий из решений XXV съезда КПСС, получили бы практическую реализацию*
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Г. Д. ГЛЕЙЗЕР,
Н. А. ФИЛИППОВА
(Москва)
ОПЫТ РАБОТЫ КАБИНЕТА МАТЕМАТИКИ ИНСТИТУТА УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ УЧИТЕЛЕЙ
Советский народ с огромным политическим и трудовым подъемом развертывает борьбу за претворение в жизнь исторических решений XXV съезда КПСС. Задачи, поставленные съездом перед советской школой, повысили ответственность органов и учреждений народного образования за воспитание ^ обучение молодежи, а следовательно, возросла и ответственность за работу по повышению квалификации учительских кадров и усовершенствование ее системы.
Центральное место в этой системе занимают институты усовершенствования учителей. Работа институтов усовершенствования по совершенствованию педагогических кадров строится в тесной связи с работой районных и городских методических кабинетов, с высшими учебными заведениями, особенно педвузами и университетами, системой учреждений общества «Знание».
Основным звеном в структуре института является учебно-методический кабинет.
Кабинет математики института усовершенствования учителей является центром методической мысли в области; он не только планирует и организует, но и проводит систематическую работу по повышению квалификации
учителей, изучению, обобщению и распространению передового педагогического опыта. Вместе с тем функции кабинета математики института усовершенствования учителей требуют уточнения.
В этой статье, опираясь на опыт Владимирского, Волгоградского, Красноярского, Татарского, Могилевского, Чимкентского, Киргизского и других институтов усовершенствования учителей, мы попытаемся раскрыть функции кабинета математики по руководству повышением квалификации педагогических кадров в период между курса мй.
Подавляющее большинство институтов усовершенствования учителей страны работают с учителями городов и сел, лишь небольшое число институтов, преимущественно в столицах союзных республик, работают с учителями только городских школ.
Данная статья является обобщением опыта работы кабинетов математики, главным образом областных институтов. Однако существенную помощь всем ИУУ может оказать и опыт работы городских ИУУ, в частности приведенные в статье рекомендации во многом почерпнуты из опыта работы кабинета математики Московского городского института, в котором проводится наиболее многогранная и разнообразная работа, издания которого известны учителям всей страны.
В соответствии с типовым положением об ИУУ основная масса учителей математики проходит плановое повышение квалификации на курсах один раз в пять лет! Таким образом, непосредственное, активное влияние института на учителя является крайне непродолжительным. Какие же существуют пути перманентного влияния кабинета математики института усовершенствования на учителя в период между курсами?
Таких путей много. Основными из них можно считать работу кабинета математики с лек- торами-учителями из районов, организацию выезда лекторов вузов, НИИ в районы; работу кабинета с руководителями методобъе- динений; докурсовые и послекурсовые задания; посещение уроков методистами кабинета, анализ их, изучение состояния преподавания и качества знаний, семинары с учителями различных категорий, индивидуальную работу с учителями (консультации); письменные методические рекомендации учителям, руководителям методических объединений, совещания с учителями, Педагогические чтения, научно- практические конференции; создание картотек передового опыта, организацию радио- и телепередач, организацию смотров школьных методических кабинетов и уголков; эксперимен¬
д
тальную работу под руководством министерства просвещения (народного образования) союзных республик.
Остановимся теперь на некоторых вопросах содержания работы кабинета математики в межкурсовой период. Одна из первейших обязанностей кабинета заключается в доведении до учителей нормативных документов, приказов, циркулярных и методических писем министерства просвещения (народного образования). В этих документах дается анализ состояния учебно-воспитательного процесса на данном этапе, отмечаются недостатки и причины, их порождающие, даются рекомендации к их устранению. Однако кабинеты институтов еще недостаточно ведут работу с педагогическими коллективами по реализации требований, изложенных в нормативных документах. Как показали проверки, многие учителя, участвовавшие в работе курсов и семинаров, не знаюг о существовании нормативных докумеятов по своему предмету, а если и слышали о них, то не знают их содержания.
Там, где институты усовершенствования направляют эту работу, помогают районным (городским) методическим кабинетам организовать изучение нормативных документов, внедрение рекомендаций в школьную практику стало органической частью деятельности педагогических коллективов. Требовательно к самим себе, к районным и городским методическим кабинетам, методическим объединениям относится Владимирский институт усовершенствования учителей и его кабинет математики. Он дает не только рекомендации, как лучше выполнить указания органов народного образования, но и организует систематическую проверку их исполнения при посещении уроков, ознакомлении с внеклассной работой, организацией факультативных занятий, постановкой методической работы. В Ковровском районном, Кольчугинском городском и других методических кабинетах области работники института усовершенствования учителей совместно х руководителями этих кабинетов добились такого положения, когда на методических объединениях учителя делятся своими соображениями, как они предполагают реализовать ту или иную рекомендацию или как им удалось добиться выполнения указанных требований.
Особое место в деятельности учебно-методи- ческого кабинета института усовершенствования учителей занимает работа с руководителями методических объединений школ. Еще несколько лет назад в институтах усовершенствования учителей, как правило, не проводилась постоянная систематическая работа с руково¬
дителями методических объединений. Сейчас же во многих кабинетах это направление работы стало одним из ведущих. Результаты этой работы видны прежде всего в школе: растет теоретический уровень и педагогическое мастерство у наиболее опытной части учителей математики — руководителей методобъедине- ний. Это, как правило, приводит к лучшей организации методической работы в школе и совершенствованию педагогического процесса.
В целях усиления эффективности курсов и преодоления их изолированности от других форм повышения квалификации, а также как средство борьбы с перегрузкой слушателей в практике работы институтов усовершенствования учителей получили распространение также докурсовые и послекурсовые задания. В Латвийском РИУУ система докурсовых заданий рассматривается как важный элемент единого процесса повышения квалификации учителей. Такие задания способствуют: а) психологической подготовке учителей к восприятию учебного материала на курсах; б) стимулированию учителей к самообразованию;
в) умению организовать работу по наблюдению, анализу и осмыслению педагогического опыта и его результатов; расширению учебной программы курсов; д) выявлению исходного уровня подготовки будущих слушателей; е) дифференциации программы курсов.
Успех и результативность будет в том случае, если докурсовые задания высылаются заблаговременно (примерно за полгода) и если они найдут отражение в плане работы методического объединения и по самообразованию. Послекурсовые задания представляется целесообразным давать курсантам в период их пребывания на курсах с последующей ориентацией методических объединений на планирование этой работы с учителями. На курсах, с одной стороны, подводятся итоги работы учителя в межкурсовой период, подтверждается результативность сложившейся системы работы с учителями, а с другой — сами курсы, являясь частью этой системы, утверждают ее эффективность.
Сейчас при многих кабинетах математики институтов усовершенствования учителей созданы советы кабинета, которые являются функционально-исполнительным органом. Анализ планов работы совета кабинета математики Волгоградского, Могилевского, Татарского, Чимкентского и других институтов усовершенствования показал, что определился круг деятельности совета: на заседаниях подводятся итоги работы кабинета за год, обсуждается перспективный и текущий план работы, причем при составлении плана предусматривают¬
6
ся конкретные задания каждому члену совета. Ограничимся перечислением основных направлений деятельности совета (по данным ряда институтов): разработка мероприятий и рекомендаций по повышению качества знаний учащихся, подготовке учителей к работе по новым программам, совершенствованию методической работы, обсуждение состава лекторов на курсах, семинарах, разработка и обсуждение текстов контрольных работ по математике и работ для районных (городских) и областных олимпиад, проведение консультаций для учителей, обсуждение лекций, запланированных учебными планами годичных и летних курсов, программ, учебников, рецензирование докладов, методических рекомендаций, обобщение педагогического опыта, разработка и обсуждение тематики межшкольных, районных, областных Педчтений, конференций, тематики методических объединений школ, обсуждение плана работы кабинета математики.
В работе совета кабинета, как правило, наряду с опытными учителями принимают участие преподаватели вузов. Работники вузов оказывают помощь школам в работе по новым программам, в проведении факультативных занятий, кружковой работы. Следовало, быть может, кабинетам математики институтов усовершенствования учителей и соответствующим кафедрам пединститутов (университетов) разрабатывать совместные планы работы по повышению квалификации педагогических кадров, органически вплетать ее в учебную, научно-исследовательскую, методическую работу вузов, что позволит строить педагогический процесс с гораздо большим эффектом. Кабинеты математики многих институтов усовершенствования установили тесные связи в работе с кафедрами математики пединститутов. В качестве примера важности и эффективности таких связей можно привести работу Московского городского института усовершенствования учителей и Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина, Ярославского областного института усовершенствования учителей и Ярославского государственного педагогического института им. К. Д. Ушинского. Так, в течение ряда лет кафедрами математики Ярославского педагогического института через аспирантуру на общественных началах готовится лекторский состав из числа учителей области. Благодаря связям Владимирского института усовершенствования и пединститута студенты изготовляют и рассылают в сельские школы комплекты наглядных пособий по математике.
Одним из важных направлений в работе кабинета математики института усовершенство¬
вания учителей является изучение состояния преподавания математики и качества знаний учащихся. Изучение кабинетом математики постановки преподавания и качества знаний школьников — процесс перманентный. Поэтому важно планировать эту работу как в перспективе, так и на текущий год. Совместно с отделом народного образования институт усовершенствования учителей планирует проверку всех школ области на пятилетие. Кабинет математики в перспективном плане предполагает, в каких районах, в каком году намечается проверка и где будут проведены письменные контрольные работы выборочно и с охватом всех классов.
Изучить состояние дела — только одна сторона в работе кабинета, и пожалуй, более важная задача состоит в том, чтобы на основе анализа по группе школ, районов разработать рекомендации по улучшению состояния преподавания и качества знаний учащихся во всех школах области, края, республики. И здесь большая работа предстоит кабинету по доведению результатов анализа и рекомендаций до органов народного образования, школ, до каждого учителя.
Вот как, например, строит свою работу кабинет математики Красноярского краевого ИУУ. Обработка материалов, их анализ, посещение 250 уроков математики в школах края за год позволили составить методическое письмо о состоянии преподавания математики в школах края. Этот материал был направлен в районы для анализа на августовских совещаниях, а также использован в курсовой подготовке в виде лекций «Анализ состояния преподавания математики в школах края», «О некоторых теоретических ошибках, допускаемых учителями при изложении наиболее трудных тем новой программы».
Правильно решать вопросы повышения квалификации учителей математики нельзя без четких представлений об уровне научно-теоретических знаний и педагогического мастерства учителей. Поэтому изучение уровня квалификации учителей математики должно стать одним из ведущих направлений в работе кабинета института усовершенствования учителей. Это позволит более дифференцированно строить работу с учителями как на курсах, так и в межкурсовой период, организовать работу методических объединений и самообразование учителей с учетом уровня их научной и педагогической подготовки. Эта работа позволяет также оценить эффективность деятельности кабинета математики.
Общее руководство методической работой в городах и районах кабинеты математики
7
осуществляют в соответствии с Уставом средней общеобразовательной школы, требованиями, изложенными в нормативных документах министерств просвещения (народного образования) союзных республик.
Кабинет математики должен стремиться к тому, чтобы методическая работа в школе, районе, городе стала органической частью всей системы повышения квалификации учителей математики. Так, в целях обеспечения единства требований к постановке методической работы в Татарском институте усовершенствования для методистов и учителей проводятся специальные семинары.
Направляемая кабинетами математики институтов усовершенствования учителей в районные методические кабинеты примерная тематика работы методических объединений, августовских и январских учительских совещаний позволяет ликвидировать нежелательную пестроту в методической работе в районах, помогает сосредоточить внимание учителей на более важных вопросах теории и методики, определившихся на основе анализа работы за прошлый учебный год, результатах курсовой переподготовки учителей и выявленных пробелах в знаниях и методической подготовке учителей, помогает целенаправленно готовиться к Педагогическим чтениям, научно-практичес- ким конференциям, математическим олимпиадам и др.
В межкурсовой период распространенной формой связи кабинета математики института усовершенствования с учителями являются семинары. В годы перехода на новые программы такие семинары были связаны исключительно с переподготовкой учителей. Сейчас к организации семинаров стали подходить более дифференцированно. Кабинеты математики организуют отдельные семинары для руководителей районных, межшкольных методических объединений, лекторов постоянно действующих семинаров при райгороно, руководителей районных курсов и секций математики августовских совещаний учителей, впервые приступающих к работе по новым программам, учителей вечерних (сменных) школ, учителей, ведущих факультативные занятия.
Кабинет математики проводит также целевые семинары учителей на базе заранее подготовленных школ, оказывает помощь районным и городским методическим кабинетам в организации семинаров учителей математики. На этих семинарах учителя готовятся к преподаванию очередных тем программы. Особое внимание обращается на проведение с этими учителями практикумов по решению задач, выполнению лабораторных и практических ра¬
бот, изучение ТСО и др. Учителя получают определенные задания для самостоятельной работы.
В зависимости от возникших потребностей кабинеты институтов усовершенствования учителей могут организовать и другие семинары. Например, кабинетом математики Владимирского института помимо семинаров с руководителями методических объединений были проведены семинары учителей, поступающих учиться в пединститут на заочное отделение, молодых специалистов по вопросу активизации познавательной деятельности учащихся, семинар учителей .математики вечерних школ по анализу контрольных работ учащихся.
В целях обеспечения эффективности проведения семинаров кабинеты математики институтов усовершенствования должны проконсультировать лекторов из районов, согласовав с ними темы лекций, оказать помощь в подборе необходимой литературы, согласовывать лекторский состав, учебные планы семинаров с кафедрами математики пединститута, университета, обсудить планы лекций на совете кабинета.
Кабинеты математики институтов усовершенствования повсеместно, как в самих институтах, так и при выездах на места, проводят групповые и индивидуальные консультации с учителями. Однако организация индивидуальной работы с учителями иногда недооценивается методистами как важный психологический фактор воздействия на учителя. Во время индивидуальных консультаций методист может помочь учителю выявить и устранить слабые стороны в его теоретической и методической подготовке, направить самостоятельную работу учителя, поддержать творческие начинания. Неоценимую услугу оказывают индивидуальные консультации молодым учителям. Как показывает опыт, молодые учителя, получившие солидную общетеоретическую подготовку в вузе, на первых порах практической деятельности обнаруживают известную неуверенность в проведении уроков и во внеклассных мероприятиях. Учитывая, что вызов этих учителей на курсы в институт усовершенствования состоится не ранее чем через 3—4 года после направления их из вуза в школу, кабинет математики должен наладить контакте ними посредством вызова их на консультации, в том числе лекции-консультации.
Одним из важных участков работы кабинета математики института усовершенствования является подготовка методических писем и рекомендаций учителям. Эти документы помогают спланировать методическую работу в области, крае, республике в едином направлении
8
и дают возможность учителям сосредоточить внимание на более важных вопросах теории и методики преподавания математики.
Ознакомление с письмами и рекомендациями, подготовленными в разных институтах усовершенствования, показывает, что нет единого подхода к номенклатуре, количеству, тематике и содержанию этих документов. Например, число таких документов в разных институтах за один и тот же период колеблется от 2 до 20 в год. Есть письма и рекомендации, которые подготавливаются кабинетами математики на основе общих указаний органов народного образования. Многие кабинеты готовят материалы по собственной инициативе.
Анализ материалов кабинетов математики 12 институтов (Волгоградского, Владимирского, Горьковского, Липецкого, Могилевского, Новгородского, Пензенского, Ростовского, Татарского, Томского, Чимкентского, Киргизского) за последние три года показал, что наибольшее число методических рекомендаций было разработано по следующим темам:
методическая работа в области, республике, планирование методической работы,
о подготовке к августовским совещаниям учителей,
состояние и меры по улучшению преподавания математики, об изучении директивных документов министерств просвещения (народного образования) союзных республик,
контроль и руководство в процессе обучения математике, подготовка к педагогическим чтениям, подготовка к математическим олимпиадам, роль школьных кабинетов в работе учителей.
Отдельные кабинеты математики подготовили также Материалы о самообразовании учителей, о проблемном обучении на уроках математики, об организации и проведении факультативных занятий, внеклассной работы, использовании наглядных пособий и ТСО на уроках и внеклассных занятиях, изучении, обобщении и распространении передового педагогического опыта, методические разработки по отдельным темам новой программы.
Естественно, своевременная помощь учителю со стороны кабинета математики института усовершенствования необходима. Но эта помощь должна быть высококвалифицированной. К сожалению, методические рекомендации, разработанные в ИУУ, не всегда отвечают современным требованиям к подобным документам. Думается, что важнейшие методические письма общего характера должны разрабатываться под руководством НИИ АПН
СССР, республиканских НИИ педагогики (школ) и ИУУ союзных республик.
Особое внимание работники кабинета математики должны уделить подготовке таких методических рекомендаций, в которых обобщается опыт учителей данной области, края (например, анализ состояния преподавания и качества знаний учащихся, работа школьных, районных, городских методических объединений и др.).
Кабинеты институтов усовершенствования учителей нередко испытывают затруднения такого плана: какова доля участия методистов в изучении опыта учителей, определении его педагогической ценности, на каком этапе и как методист кабинета должен включаться в работу по обобщению положительного опыта, какой период должен охватывать процесс изучения и распространения передового педагогического опыта данного учителя или педагогического коллектива и другие вопросы. В организации этой работы обычно вычленяют несколько этапов: 1) выявление передового опыта, 2) изучение его, 3) проверка и обобщение, 4) распространение опыта.
В институте усовершенствования кабинет математики и его совет определяют, какой опыт будет пропагандироваться в масштабах области (края, республики) и как эту работу надо организовать. Во Владимирской области, например, многие учителя работают над проблемой индивидуализации обучения, развития самостоятельности учащихся. И поэтому правильно поступил кабинет математики института, организовав проблемный семинар по теме «Обобщение опыта организации самостоятельной работы учащихся».
Из отчетов кабинетов математики за несколько лет видно, что, планируя изучение опыта того или иного учителя на один год, кабинет практически ведет эту работу несколько лет. Если кабинет задумал серьезное изучение опыта одного учителя или тем более педагогического коллектива, то эта работа должна включать и этап внедрения и распространения этого опыта, что, как правило, невозможно выполнить в течение одного года. Эту работу следует планировать перспективно на несколько лет.
Анализ учебных планов и отчетов кабинетов математики показал широкий круг вопросов, который явился объектом изучения в последние годы. Значительное место занимает изучение и распространение передового опыта работы учителей по новым программам. Проблемы активизации мыслительной деятельности учащихся, формирования диалектико-материалистического мировоззрения
9
в процессе преподавания математики изучает и обобщает кабинет Волгоградского института усовершенствования учителей; проблемное обучение в школах республики — кабинеты Татарского, Киргизского институтов; развитие познавательного интереса у учащихся — кабинеты математики .Владимирского, Липецкого; опыт проведения факультативных занятий по математике, внеклассной работы — кабинеты Могилевского областного, Красноярского краевого институтов. Более активно институты усовершенствования учителей стали выявлять творчески работающие методические объединения, изучать эффективность их работы и оказывать помощь руководителям методических объединений в обобщении опыта их работы. Больше внимания стало уделяться вопросам, связанным с постановкой самообразования учителей.
Изучение передового опыта учителей работниками кабинета математики проводится в основном путем выездов на места. При этом методисты знакомятся с передовым опытом, намечают пути его обобщения как в процессе изучения состояния преподавания и качества знаний в данной школе, так и планируя специальные командировки по изучению, обобщению педагогического опыта. Правильно делают те институты усовершенствования учителей, которые вычленяют этот вид командировок, не сводя их к общим бригадным выездам по проверке состояния преподавания. Ценный опыт такой работы накоплен кабинетом математики Красноярского института усовершенствования. Большую помощь кабинету этого института оказывают члены совета, активисты — учителя, преподаватели вузов.
Основными формами обобщения и распространения передового опыта являются Пед- чтения, конференции, выставки, статьи в педагогических журналах, сборники и брошюры, открытые уроки, семинары. В период летних курсов учителей математики в институтах усовершенствования в целях пропаганды лучшего опыта организуются выставки. В Красноярском институте, например, была устроена выставка по теме «Самодельные наглядные пособия и их роль в изучении математики по новым программам».
Систематически накапливая материал из опыта работы учителей математики, кабинет
использует его при проведении учебных занятий, индивидуальных консультаций, выездах в районы. Кроме того, кабинеты помогают готовить выступления учителей математики, опыт которых был изучен и обобщен.
В кабинетах создаются картотеки передового педагогического опыта. Картотека имеет несколько разделов, например описание интересного опыта учителей страны (по публикациям в периодической печати), опыт учителей данной области, края, республики (по публикациям в местной печати и материалам института усовершенствования учителей).
Вместе с тем анализ интересной и разнообразной работы институтов усовершенствования учителей показывает, что в стране слабо налажена систематическая межобластная и межреспубликанская информация о передовом педагогическом опыте. Именно поэтому в некоторых институтах усовершенствования учителей стали создаваться кабинеты передового педагогического опыта: широкая пропаганда имеющегося в стране передового опыта, умение направить работу кабинетов так, чтобы они не дублировали уже обобщенный где- то в соседней области опыт, а направили усилия на изучение тех проблем, которые не нашли или нашли неполное освещение в практике педагогической работы.
Кабинет передового опыта совместно с кабинетом математики периодически вносит на совет института, а затем коллегию отдела народного образования предложения о необходимости реализации рекомендаций по внедрению того или иного опыта.
В кабинете математики должны быть продуманы меры поощрения членов совета, помогающих изучать и распространять передовой опыт, что явится дополнительным стимулированием в организации этой работы.
Немаловажным является вопрос о степени участия методистов кабинета института усовершенствования учителей в работе районного звена: районных и городских методических кабинетов. От того, как планирует и организует свою работу институт усовершенствования учителей с райгорметодкабинетами и каждый методист лично, в значительной мере зависит работа по повышению квалификации учителей в районе и школе.
10
В. И. ШАРОВ
(г. Ярославль)
СОВЕРШЕНСТВОВАТЬ РАБОТУ
ШКОЛЬНЫХ МЕТОДИЧЕСКИХ ОБЪЕДИНЕНИЙ
Коренной пересмотр учебных программ, приведение содержания образования в соответствие с требованиями народного хозяйства и науки, с социально-политическими целями нашего общества поставили перед органами народного образования и педагогическими коллективами школ целый ряд ответственных и сложных задач. Первоочередными из них являются: переподготовка учителей для работы по новым программам в теоретическом плане; организация методической работы с учителями с целью успешной реализации новых программ в процессе работы с учащимися.
Каким же образом решаются эти задачи в Кировском районе г. Ярославля?
Центральная роль в их практической реализации отводится школьным методическим объединениям. Планирование курсовой переподготовки учителей и осуществление контроля за своевременным ее прохождением — одно из направлений работы школьных методических объединений совместно с администрацией школ и органами народного образования.
Переподготовка учителя для работы по новым учебным планам и программам осуществляется на курсах, организуемых ежегодно областным ИУУ и городским методическим кабинетом, как правило, в весенне-летний период, а также на курсовых семинарах, организуемых названными учреждениями в течение учебного года. К проведению занятий с учителями привлекаются квалифицированные кадры преподавателей математических кафедр Ярославского педагогического института им. К. Д. Ушинского.
Курсовой переподготовке уделяется большое внимание, поскольку это основа успешного перехода на новое содержание образования. Она позволила, особенно в начальный период освоения новых программ, снять психологическую перегрузку с учителей, вызванную боязнью нового, нетрадиционного материала, незнанием его содержания, последовательности и объема, отсутствием методических рекомендаций.
Однако традиционная весенне-летняя курсовая переподготовка для части учителей малоэффективна. Причин этому несколько. Во-первых, отсутствие у слушателей курсов учебных пособий, содержание и структура которых
изучается (или же запоздалое обеспечение ими непосредственно на курсах), не дает возможности учителям предварительно ознакомиться с их содержанием, структурой, уровнем изложения материала. Отсюда следуют издержки в качестве восприятия и усвоения изучаемого теоретического материала. Во-вто- рых, отсутствие практического опыта работы учителей по данному учебному пособию с ученическим коллективом снижает активность слушателей в обсуждении теоретического материала, методики его преподавания. Наконец, отрицательно сказывается большой объем материала, излагаемого в сжатые сроки, а также усталость учителей после учебного года. Таким образом, курсы переподготовки в весенне-летний период носят установочный характер. Гораздо продуктивнее работают курсовые семинары, организуемые и регулярно проводимые в течение учебного года.
Нам представля-ется целесообразным в дальнейшем сохранить обе формы подготовки учителя для работы но новым программам. При этом на весенне-летних курсах основное внимание обращать на теоретическую подготовку, а на курсовых семинарах — на методику преподавания.
Существенную помощь в подготовке учителей к работе по новым учебным программам и планам оказывает Университет педагогических знаний, работающий ряд лет по двухгодичной программе при Ярославском пединституте. Занятия на математическом отделении проводятся ежемесячно силами преподавателей математических кафедр института. Программа состоит из трех разделов:
I. Факультативные занятия по математике.
II. Избранные вопросы методики преподавания математики.
III. Внеклассная работа по математике. Практикум по решению задач.
В 1975/76 учебном году изучались такие вопросы: комбинаторика в школьном курсе математики; последовательности и их пределы; векторы в курсе стереометрии; производная и ее применение; избранные вопросы методики преподавания геометрии; внеклассная работа в восьмилетней школе; о содержании учебного пособия «Геометрия 10»; решение геометрических задач по курсу IX—X классов; решение уравнений с параметрами; технические средства обучения на уроках математики; интеграл на факультативных занятиях в X классе; элементы теории вероятностей на факультативных занятиях в IX классе; алгебраические уравнения любой степени (на факультативных занятиях в IX классе).
П
В 1976/77 учебном году намечается рассмотреть следующие вопросы: интеграл в школьном курсе математики; метод координат в задачах; избранные вопросы геометрии IX—X классов; задачи на максимум и минимум в курсе алгебры IX класса; комплексные числа и многочлены (на факультативных занятиях в X классе); производная показательной и логарифмической функций; изображение пространственных фигур на плоскости; дифференциальные уравнения и их значение в естествознании (на факультативных занятиях в X классе); системы уравнений и системы неравенства в школьном курсе алгебры X класса. И другие.
Полох<ительно зарекомендовала себя и такая форма работы с лучшими учителями по повышению их научно-теоретического уровня и методического мастерства (действующая с 1964 г.), как подготовка к сдаче кандидатского экзамена по методике преподавания математики (срок занятий — два года). В 1975 г. закончила учебу, успешно сдав кандидатский экзамен по методике преподавания математики, очередная группа учителей, среди которых М. И. Морозова—школа № 25, Э. П. Федоровская— школа № 69, В. Н. Малютина — школа № 70. Все они, как и их предшественники, оказывают квалифицированную помощь молодым учителям, руководят методической работой в школах.
В повышении теоретического уровня учителей математики средней школы № 33 с углубленным изучением математики и физики в старших классах ощутимую помощь оказывают преподаватели Ярославского государственного университета, взявшего шефство над этой школой. Но эта работа не получила должного продолжения. Хотелось бы, чтобы и другие школы получали необходимую помощь и поддержку со стороны университета. ^
Совершенствование содержания образования в школе со всей остротой поставило перед работниками народного образования и вторую очень важную задачу — организацию методической работы как в отдельных школах, так и в районе в целом.
В условиях коренной перестройки содержания образования значимость этой работы резко возрастает, поскольку внедрение нового на первом этапе всегда вызывает дополнительные трудности и осложнения. Кроме того, на каждый раздел или тему по старой программе имелось довольно большое количество методических разработок, рекомендаций, указаний, пособий, а по новой программе, особенно на начальном этапе, таких рекомендаций почти нет.
Однако в последние годы в связи с массовым переходом на новые учебные планы к программы возникли трудности в организаций методической работы в школах. Сказывалась не только малочисленность состава школьных методических объединений, но главным образом отсутствие сил внутри самого объединения, отсутствие опыта работы по новым программам. Надо было изучать новые учебные пособия, переучиваться всему составу объединения. Естественно, что все это не могло не повлечь за собой некоторого снижения активности и уровня работы школьных методических объединений. Поэтому назрела необходимость в усилении этой работы и все наше внимание было приковано к развитию творческой активности педагогических коллективов, умелому ее использованию, к обобщению и распространению опыта передовых учителей.
Несмотря на трудности переходного периода, за последние годы постановка методической работы в школах района значительно улучшилась. Сложилась определенная система, целью которой является усиление и конкретизация методической работы с учителями. Основные направления этой работы такие: организация в школах методических предметных объединений, методических кабинетов и методических советов; обучение руководителей методических объединений; оказание конкретной методической помощи учителям; организация (при необходимости) методических объединений при районном отделе народного образования и районных спецсеминаров; связь с областным ИУУ, городским методкабинетом и кафедрами математики пединститута; оборудование предметных кабинетов, организация труда учителя и ученика в этих кабинетах; внедрение технических средств обучения; самообразование учителей; проведение школьных и районных педагогических чтений; обобщение и распространение опыта передовых учителей.
Остановимся на некоторых из названных направлений. В соответствии с § 53 Устава средней общеобразовательной школы в каждой школе района созданы методические объединения учителей-предметников, возглавляемые опытными учителями. Они утверждаются в отделе народного образования. На школьные методические объединения возложена функция по координации всего комплекса методических мероприятий и форм повышения квалификации.
Планы работы объединений и их исполнение регулярно проверяются РОНО, в них вносятся необходимые дополнения и изменения. В содержании планов, как правило, раскрыва¬
12
ется основная методическая тема, над которой работает школа, район. При этом обращается внимание на опережающее рассмотрение теоретических и практических вопросов программы; на ознакомление с нормативными документами Министерства просвещения СССР и РСФСР, методических рекомендаций по изучению программного материала; на изучение и распространение передового педагогического опыта; на обзор методической литературы и т. п.
Известно, что успех перехода на новое содержание математического образования в большой степени зависит от теоретической и методической подготовки учителя. В силу личных качеств и различного уровня подготовки и стажа работы некоторые учителя довольно быстро и правильно сориентировались в материале новых учебных пособий и методике его изложения. Появилась возможность и необходимость обобщения и распространения всего ценного, что выявлялось в практике работы учителей. На это были направлены усилия школьных методических объединений. Одновременно методические объединения активно включились в работу по изучению теоретических основ отдельных вопросов нового школьного курса и поиску соответствующих форм обучения, наиболее эффективных в методическом отношении.
Приведем перечень основных тем, над которыми работали учителя математики школ района в последние годы:
Применение теории множества в курсе математики по новой программе;
Алгебра высказываний и элементы математической логики;
Элементы векторной алгебры и их применение;
Центральная и осевая симметрии в применении к решению задач и доказательству теорем;
Преобразования и векторы в курсе стереометрии;
Развитие и совершенствование вычислительных навыков учащихся;
Приближенные вычисления в курсе математики IV—VIII классов;
Графические методы решения задач;
Решение уравнений и неравенств с параметрами;
Геометрический материал в начальной школе и его связь с элементами геометрии в учебных пособиях по математике для IV—V классов;
Методика проведения самостоятельных работ в V классе при изучении нового материала и его закреплении;
Элементы историзма на уроках математики как одно из средств идейно-политического воспитания;
Работа учителя и классного руководителя по воспитанию культуры умственного труда;
Об эстетическом воспитании на уроках математики;
Развитие у учащихся интереса к поиску и исследованию математических закономерностей;
Производная в курсе математики средней школы;
Тригонометрические функции в программе VIII класса;
Взаимно обратные и противоположные теоремы. Необходимое и достаточное условия.
В настоящее время, когда курсы переподготовки пройдены в основном всеми учителями, когда первый этап адаптации к новому для большинства учителей остался позади и вышли все учебные пособия, роль членов методических объединений в передаче опыта работы по новым программам возрастает.
В работе многих школьных методических объединений учителей математики просматривается тенденция к комплексному решению задачи повышения научно-теоретического уровня и методического мастерства педагогов, стремление к наиболее полному охвату разносторонних учебно-воспитательных вопросов, решаемых школой.
Кроме анализа работы объединения за прошедший учебный год с подведением итогов работы каждого учителя и постановки задач на предстоящий учебный год план работы школьного методического объединения учителей математики включает следующие направления:
Повышение научно-теоретического и методического уровня учителей (прохождение учителями курсовой переподготовки; занятия в Университете педагогических знаний; посещение курсовых семинаров при городском метод- кабинете; занятия в группе по подготовке к сдаче кандидатского экзамена по специальности; участие в работе районного семинара руководителей школьных методических объединений и учителей математики; работа по самообразованию учителей; подготовка теоретических и методических докладов на выбранные темы и др.);
Учебно-методическая (совместно с администрацией школы) работа по изучению состояния уровня преподавания и качества знаний учащихся; организация помощи учителям начальных классов в усвоении теоретических основ школьного курса математики и установлении преемственности в преподавании
13
математики; организация индивидуальной работы с различными категориями учащихся; проведение профориентационной работы с учащимися; повторение учебного материала и систематизация знаний учащихся; вопросы культуры умственного труда и привития школьникам интереса к математике, эстетическое воспитание на уроках математики и связь уроков математики с жизнью, с деятельностью производственных коллективов, с вопросами психологии и гигиены и др.;
Организация внеклассной работы с учащимися по предмету;
Изучение и распространение передового педагогического опыта;
Оборудование и оснащение кабинетов и рациональная организация рабочего места учителя и ученика (составление планов и эскизов оформления кабинетов; пополнение их наглядными пособиями, техническими средствами обучения, аудиовизуальными пособиями; изготовление моделей, плакатов, таблиц; пополнение кабинетов справочной и учебной литературой, инструментами, дидактическими раздаточными материалами и т. д.).
Во избежание перегрузки учителя мы стремимся построить методическую работу с учителями таким образом, чтобы каждая тема, над которой работает учитель, рассматривалась одновременно и теоретически, и практически. Это позволяет учителю и повышать теоретический уровень, и совершенствовать методическое мастерство.
Например, в плане самообразования преподавателя математики зам. директора по учеб- но-воспитательной работе школы № 33 Э. И. Ивановой намечены для работы две темы:
1. «Алгебраическая и геометрическая пропедевтика в курсе математики начальной школы» (психологические возможности младших школьников в усвоении математики; использование буквенной символики как средства обобщения знаний; о возможности усвоения младшими школьниками алгебраических операций; особенности изучения геометрического материала).
2. «Геометрические преобразования в курсе математики» (геометрическая пропедевтика; понятие о геометрическом преобразовании; различные виды геометрических преобразований; использование геометрических преобразований при решении задач).
К каждой теме имеется список рекомендательной литературы. Итоги работы над темой докладываются на заседаниях школьных методических объединений учителей математики с приглашением учителей начальных классов.
В настоящее время б каждой школе района
есть методические кабинеты. Отдел народного образования ведет работу по повышению их роли в методическом совершенствовании учителей. При многих кабинетах созданы методические советы из числа руководителей методических объединений и администрации школы, которые ведут большую работу по оснащению кабинета* оборудованию предметных кабинетов, по обеспечению их дидактическими материалами, наглядными пособиями, по улучшению планирования и организации методической работы в школе.
Наша цель добиться того, чтобы каждый школьный методический кабинет стал центром живой, творческой работы, чтобы каждый учитель нашел там ответы на волнующие его вопросы.
Практика перехода школ на новые программы и учебные пособия по математике показала, что наиболее слабое звено этой работы — оказание конкретной помощи учителю. Существовавшие формы подготовки учителя к работе по новым программам не всегда и не во всем удовлетворяли его. Возникла потребность и необходимость откровенного и делового обмена мнениями с коллегами о прохождении того или иного раздела программ^, той или иной ее темы, а также получения авторитетной консультации по вопросам, требующим неотложного решения. Понятно, что ни школьное методическое объединение учителей математики (в силу его малочисленности), ни курсовые семинары в течение года (уже в силу многочисленности состава их слушателей) решить эту задачу не могли.
И вот в начале 1974 г. по предложению профессора 3. А. Скопеца отдел народного образования собрал руководителей школьных методических объединений учителей математики, пригласив на это заседание учителей математики школ района. Так зародилась нашедшая признание у учителей форма работы, которую мы называем районным семинаром руководителей методических объединений и учителей математики. Тема семинара «Современные идеи и методы преподавания математики в средней школе».
Силами слушателей семинара в присутствии преподавателей пединститута были даны для учителей открытые уроки на темы: «Теория делимости» (А. В. Корнева), «Противоположные векторы. Вычитание векторов» (М. И. Морозова), «Свойства неравенств» (Ж. А. Шилова), «Определение предела последовательности» (В. Н. Малютина).
Отдельные занятия семинара проводятся в школах подшефного сельского Даниловского района Ярославской области.
14
Разумеется, переход на новое содержание математического образования потребует еще немало сил и времени. Но мы уверены в том, что хорошая организация методической работы, анализ, обобщение и распространение опыта лучших учителей, оказание конкретной, практической помощи учителям в овладении
А. Н. КОЛМОГОРОВ
(Москва)
ИНТЕГРАЛ В УЧЕБНОМ ПОСОБИИ ДЛЯ X КЛАССА
В написанном нами и действующем сейчас в массовой школе учебном пособии термин «неопределенный интеграл» совсем не употребляется, а «определенный интеграл» ъ
\f{x)dx (1)
а
называется просто интегралом и определяется как приращение первообразной F(b)-F(a).
Лишь в необязательном п. 104 и историческом очерке (п. 107) рассказывается, что интеграл может быть получен и как предел сумм.
Такой подход к делу отличается от принятого в нашей высшей школе. Поэтому, вероятно, возражения против нашего построения этого раздела школьного курса, высказанные авторами письма !, возникают и у многих других педагогов средней и высшей школы. Мы даем здесь развернутое изложение нашей точки зрения.
1. Первообразная и неопределенный интеграл
Термин «неопределенный интеграл» возник в эпоху, когда требования к отчетливости математической терминологии были далеки
1 От редакции. Редакционная коллегия журнала «Математика в школе» получила письмо группы научных работников Донецкого государственного университета, в котором излагается точка зрения авторов на содержание одного из разделов школьного учебного пособия по алгебре и началам анализа для X класса.
Редакция журнала обратилась с просьбой к авторскому коллективу учебного пособия дать ответ на полученное письмо.
В связи с тем что написанный академиком А. Н. Колмогоровым ответ представляет интерес для широкого круга читателей журнала, особенно для учителей математики старших классов, редакция публикует полный текст этого ответа.
В приложении помещается письмо преподавателей Донецкого университета.
ими идеями и научными основами новых программ помогут достичь хороших результатов в решении задач, поставленных перед современной советской школой. Совершенствование работы школьных методических объединений — это один из резервов повышения качества учебной работы школы.
от принятых сейчас. Неясность сохраняется и в распространенных сейчас вузовских учебниках. Часто говорят, что первообразная также называется неопределенным интегралом. Иногда вместо этого (или в дополнение к этому!) говорят, что неопределенным интегралом
Jf(x)dx (2)
называется выражение
F (х) + С
(где F одна из первообразных), представляющее собою общий вид всех первообразных.
В последнем случае, по-видимому, надеются, что вместо множества первообразных получают одно-единственное выражение. Надежда напрасная, так как при таком определении два различных выражения
(*-1)2 + С
и
х2 — 2х + С
оба являются «неопределенным интегралом» одной и той же функции /
f(x)= 2(х— 1).
Обозначение (2), несомненно, полезно в выкладках как обозначение произвольной первообразной. Полезно оно в выкладках, ведущихся «с точностью до аддитивной постоянной». При надлежащих оговорках записи вида
JXnxdx = xlnx — fdx = jc (1плг — 1) + С
вполне корректны. Надо только иметь в виду, что в них равенства понимаются как «равенства с точностью до аддитивной постоянной» и лишь в конце приписывается константа С, чтобы получить общий вид всех первообразных функции /
f(x) = 1плг.
Но в школе сейчас избегают знаков «многозначных функций», каким служил раньше, например, знак квадратного корня ]/. Введение знака для' многозначного оператора «нахождения первообразной» требовало бы специальных объяснений, которые мы сочли излишними, если иметь в виду, что обязательный школьный курс совсем не имеет своей за¬
15
дачей выработку беглой техники вычисления первообразных.
Интересующимся же учащимся, в частности познакомившимся с термином «неопределенный интеграл» по вузовским учебникам, учитель должен дать все соответствующие объяснения. Мы советуем при этом держаться той точки зрения, что «неопределенный интеграл» есть просто другое название первообразной, а знак (2) есть обозначение любой первообразной, объяснив способ его употребления в выкладках,
2. О выборе определений
Уже в средней школе учащиеся должны систематически приучаться к мысли, что в математике одно и то же понятие может иметь несколько разных определений. Поэтому несостоятельно мнение, что явится каким-то вредным «переучиванием», когда учащиеся в вузе или из дополнительного материала нашего же учебника узнают, что интеграл (1), определенный как приращение первообразной, допускает и другое определение как предел сумм.
Учителю же полезно знать, что определение интеграла, не пользующееся предельным переходом от сумм и непосредственно развивающее идею интегрирования как операции, обратной дифференцированию, допускает широкие обобщения. В пространстве любого числа измерений и по любой мере \х интеграл F(A)=/a f(x)dx может быть определен как аддитивная функция множества, имеющая функцию f своей производной
Не будем, впрочем, останавливаться на технике такого подхода к понятию интеграла в самой общей обстановке. Возможно и вполне элементарное, подходящее для высшей технической школы введение кратных интегралор как аддитивных функций области с заданной производной (см., например, курс анализа А. Ф. Берманта). Интеграл как предел сумм и интеграл как аддитивная функция с заданной производной — это два равноправных аспекта понятия интеграла. В одномерном случае и при ограничении областей отрезками вторая концепция и дает принятое нами определение интеграла (1) как приращения первообразной.
Эти замечания для учителя приводятся для того, чтобы была ясна необоснованность обвинения нашего подхода в «ненаучности». На¬
ше определение является первым шагом в направлении, которое имеет столь же далекие перспективы, как и подход со стороны пределов интегральных сумм.
Основные свойства интеграла доказываются при таком подходе чрезвычайно просто. При наличии же времени мы рекомендуем знакомить учащихся и с интегралом как пределом сумм. Так как дело идет об ознакомлении с дополнительным, вторым определением, открывающим путь к новому ряду применений, не так болезненно воспринимается отсутствие доказательств и ограничение суммами специального вида (с равноотстоящими точками деления и значениями функции в левых концах интервалов деления).
В п. 105 вывод формулы для работы переменной силы дан с точки зрения интеграла как предела интегральных сумм. Легко понять, что эту формулу можно вывести и по образцу вывода формулы для площади в п. 100, опираясь на определение интеграла как приращения первообразной. Вопреки мнению наших критиков такой подход к делу возможен и для других упоминаемых ими задач из физики и механики.
3. О бюджете времени
Крупный шрифт п. 100 очень прост и в качестве наглядной интерпретации понятия первообразной кажется нам представляющим самостоятельную ценность.
Что касается § 20, посвященного понятию интеграла, то обязательный материал в нем состоит из п. 101 и 102. Утверждение, что введение в качестве обязательного материала определения интеграла как предела сумм с необходимыми к нему пояснениями не является дополнительной нагрузкой учащихся, осталось нам совершенно непонятным.
К тому же определение интеграла как предела сумм в качестве основного будет серьезно воспринято лишь в случае, если непосредственно из него (а не через принятую без доказательства формулу Ньютона — Лейбница) будут выведены основные свойства интеграла, включая и формулу дифференцирования по верхнему пределу
х
£-^f(x)dx = f(x),
а
устанавливающую связь с первообразной.
Даже изложение на наглядном уровне самого замысла этих выводов несомненным образом потребует дополнительного времени.
16
4. Об интегрировании разрывных функций
Определение интеграла (1) как приращения первообразной, как уже было сказано, равносильно определению через предел интегральных сумм в случае непрерывных функций. За этими пределами равносильности нет. С одной стороны, существуют не интегрируемые по Ри- ману точные производные. Первообразная по ним восстанавливается однозначно с точностью до аддитивной постоянной, но, вообще говоря, только при помощи интеграла Дан- жуа. С другой стороны, существуют интегрируемые по Риману функции, не являющиеся точными производными.
Отметим здесь класс разрывных функций, для которого согласие между двумя определениями восстанавливается элементарными средствами. Это класс функций с конечным числом разрывов первого рода. Такие функции появляются при решении многих элементарных задач. См., например, «задачу о ракете» в пособии для X класса Б. Е. Вейца и И. Т. Демидова.
Б. Е. Вейц и И. Т. Демидов называют обоб- щенной первообразной функции f любую непрерывную функцию F, для которой равенство
F'(x)=f(x)
соблюдается за исключением, может быть, конечного множества точек. Интеграл (1) определяется как приращение обобщенной первообразной.
Этот материал можно рекомендовать для факультативных занятий.
ПРИЛОЖЕНИЕ
В Управление школ Министерства просвещения СССР
Копия: редакционной коллегии
журнала <гМатематика в школе»
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИЗЛОЖЕНИИ ТЕМЫ «ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ»
В КУРСЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Мы внимательно изучили содержание главы VII учебного пособия «Алгебра и начала анализа» для X класса средней школы. После детального обсуждения мы пришли к следующему мнению:
I. Целью раздела «Первообразная и интеграл» в школьном курсе долоюно быть: ознакомление учащихся с операцией, обратной дифференцированию, понятиями первообразной и определенного интеграла.
Эти понятия должны быть даны как можно точнее, показаны их смысл и сущность, место
в современном естествознании, подкреплены небольшим числом вычислительных примеров. По возможности их нужно использовать в других разделах школьной программы (в физике, геометрии).
2. Понятие первообразной изложено в учебном пособии хорошо (физические примеры, приводящие к необходимости восстановления функций по их производным, определение первообразной (п. 97); неоднозначность операции интегрирования (п. 98); некоторые свойства первообразных, облегчающие их нахождение (п. 99); примеры).
Не ясно лишь, почему авторы избежали неопределенного интеграла. Это понятие общепринято, большинство учащихся о нем слышало, с помощью символа f f(x)dx проще формулировать свойства и оформлять вычисление первообразных.
Мы считаем, что с неопределенным интегралом можно знакомить учащихся в X классе.
3. К сожалению, понятие определенного интеграла, по нашему мнению, в учебном пособии дано неудовлетворительно и с точки зрения теоретической, и с методической.
Известно, что сущность определенного интеграла состоит в предельном переходе в интегральных суммах.
Именно такое определение и должно быть дано как основное.
Именно это определение
а) выражает смысл понятия интеграла;
б) показывает, как математическое понятие возникает из потребностей практики, абстрагированием общих схем большого числа конкретных примеров;
в) объясняет терминологию (integratio)
ъ
и символику ^f{x)dx\
а
г) с таким определением связано большинство содержательных задач (имеется в виду физика и другие приложения) по применению интеграла.
Определение, данное в учебном пособии, напротив:
а) не дает правильного представления о смысле определенного интеграла, искажает его сущность. Оно не позволяет учить нахождению и конструированию «интегральных моделей»;
б) не является строгим теоретически. (Часть школьников, которые станут студентами, нужно будет переучивать, предупреждая, что существуют интегрируемые функции, для которых неприменима формула Ньютона — Лейбница);
17
в) плохо приспособлено к прямому применению на практике. Каждый раз приходится проводить рассуждения, близкие к доказательству формулы Ньютона — Лейбница (как это делается для вычисления площади криво- линейной трапеции (п. 100) и объемов пирамиды, конуса и шара в геометрии). Более того, многие задачи «гинтегрального типа» очень трудно вложить в предложенную учебником схему (нахождение центра тяжести, площади поверхности вращения и др.);
г) наконец, это определение почти не поддается обобщениям на кратные и криволинейные интегралы, элементы кото-
ъ
рых с введением ^ f(x)dx можно дать
а
в кружках и на факультативах;
д) п. 100 пособия, который должен оправ-
Ь
дать логику такого определения (^f (x)dx
а
есть F (b) — F (а)^), требует тонких рас-
суждений на уровне «г — Ь», что довольно трудно отработать;
е) п. 102 (интеграл с переменным верхним пределом) становится тавтологией.
Мы предлагаем рекомендовать учителям следующую схему изложения главы VII учебного пособия:
1. Излагаются п. 97, 98, 99 (VПервообразная»).
2. Желательно в п. 98 и 99 ввести понятие неопределенного интеграла.
3. Излагаются задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Это могут быть: площадь криволинейной трапеции (п. 104), объем 'Iела с известными площадями сечений, работа переменной силы (п. 105), путь, пройденный телом за промежуток времени при неравномерном движении. (Часть задач можно изложить в классе, другие могут служить примерами для отработки составления «интегральных моделей»!)
4. Дается строгое определение интеграла как предела интегральных сумм
ь
i f (x)dx = / = lim S„.
J A-.P
о
При этом стоит расшифровать на языке «е — б» смысл
lim Sn==I.
Х-+0
5. Указываются классы интегрируемых функций (достаточно непрерывных и ограниченных с конечным числом разрывов).
6. Формулируется без доказательства теорема Ньютона — Лейбница.
7. Закрепляется примерами вычисления
ъ
\f(x)dx и его применениями. (Для этого
а
уже готово выражение интегралом пло- шади, объема, работы, пути. Можно просчитать объемы пирамиды, конуса, шара и его частей и т. д.)
8. Необязательным для всех пунктом считать объединение п. 102 и 100, которые теперь становятся доказательством теоремы Ньютона — Лейбница.
9. Хорошими примерами для отработки понимания смысла интеграла могут быть свойства п. 106 и задачи 510—520.
Предлагаемая нами схема изложения не требует большего числа часов для изучения в сравнении с изложенной в пособии.
Я. С. Бродский,
кандидат физико-математических наук, зам. декана математического факультета Донецкого государственного университета А. И. Зинченко, доцент Ю. А. Палант, доцент,
член метод, комиссии МВССО УССР А. А. Преображенский, кандидат физико-математических наук, зав. кафедрой прикладной математики и ТСУ
А. К. Слипенко, доцент,
зав. кафедрой алгебры и теории вероятностей
18
ТИПОВЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ ЗА КУРС СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ1
Билеты для устных экзаменов составлены так, чтобы проверить усвоение основного содержания курса математики за среднюю школу. Они преимущественно содержат вопросы по материалу, изучавшемуся в IX—X классах. Серьезное внимание при составлении билетов уделялось нормализации нагрузки учащихся на экзамене как при подготовке к ответу, так и при ответе.
Экзамен по геометрии, который проводился по ранее действовавшей программе, обычно продолжался слишком долго, так как все три задания билета были довольно трудоемкими. Теоретический материал включался в 40—50 вопросов, далеко не всегда равнозначных по степени важности, трудности их усвоения и изложения, по широте их практических приложений. Однако требования к проведению экзамена при этом были такими, что ответы на все вопросы оценивались экзаменатором равноценно. Так, например, считались равнозначными знания одной из важнейших (как в теоретическом плане, так и в смысле приложений) теорем курса геометрии — теоремы о трех перпендикулярах и не имеющей никаких приложений теоремы о сумме плоских углов многогранного угла. Вместе с тем доказательство второй из этих теорем вызывало у учащихся довольно большие трудности.
Анализ новых курсов математики (геометрии и алгебры и начал анализа) показывает, что для экзаменационных билетов по каждому из них можно отобрать те 20—25 заданий, которые охватывали бы все узловые теоретические моменты курса. Система вопросов должна составлять тот минимум теоретических знаний, который должен быть усвоен выпускниками школы.
Кроме перечисленных аспектов теоретической подготовки учащихся школьный курс математики призван подготовить учащихся к прочному овладению рядом других важных понятий, основных фактов, формул. Учащиеся
1 Экзаменационные материалы по алгебре и началам анализа и геометрии за курс средней общеобразовательной школы разработаны лабораторией обучения математике Научно-исследовательского института содержания и методов обучения АПН СССР, рассмотрены и одобрены предметной комиссией Ученого методического совета при Министерстве просвещения СССР и Главным управлением школ в качестве типовых. Учителя математики школ тех союзных республик, где устные экзамены по этим предметам не проводятся, могут использовать вопросы билетов для итогового повторения учебного материала ;
должны иметь четкое представление об этом материале. Эта сторона математической подготовки школьника также должна контролироваться на устных экзаменах. Однако проверка усвоения этого материала может проводиться более экономно. Характер владения материалом может быть установлен без изложения сопутствующих ему выводов и доказательств, даже если они и проводились при изучении курсз математики. К таким положениям относятся, например, следующие вопросы: формулы объемов ряда фигур, решение некоторых задач на построение, свойства графиков четных и нечетных функций, достаточные условия экстремума функции. Наконец, важной частью экзамена должна быть проверка умения применять приобретенные знания.
С учетом изложенного каждый билет по алгебре и началам анализа и по геометрии составлен так, чтобы представилась возможность на трех заданиях проверить усвоение учащи- ' мися разнообразных разделов курса, овладение основными методами рассуждений.
Первые задания образуют систему, которая охватывает основной теоретический материал, проверяет усвоение основных идей и методов курса, знание его узловых вопросов.
При ответе на первый вопрос учащийся должен показать знание основных понятий, положений теории, умение проводить логические обоснования (вывод формулы, доказательство теоремы и т. п.). При этом он дает необходимые определения, формулирует основные положения и проводит логическое обоснование одного из положений. Проведение большего числа доказательств для выводов формул нецелесообразно.
Вторые задания образуют систему, проверяющую усвоение основных фактов теории, находящих широкое применение, но не содержащих принципиально новых (по сравнению с первыми заданиями) методов рассуждений.
При ответе на второй вопрос ученик должен показать знание основных определений, формул, фактов теории, свойств основных понятий. При этом не следует проводить какие- либо доказательства или выводить какие-либо формулы 2.
Третьи задания посвящены проверке умения применять полученные знание на практике. Каждое из этих заданий аналогично одному из упражнений, данных в учебнике. Тексты их составляются учителем в соответствии с имеющимися в билетах указаниями.
2 В конце второго вопроса каждого билета в скобках дается указание «без доказательства», в статье оно опускается.
19
При решении задачи ученик должен уметь указать те теоретические положения, которые он применяет.
Билеты для устного экзамена по алгебре и началам анализа
№ 1
1. Формула суммы п первых членов арифметической
прогрессии.
2. Достаточное условие существования максимума ; (минимума) функции.
' 3. Нахождение области определения функции (упр.
типа 660—662, X кл.).
№2
1. Формула суммы п первых членов геометрической
прогрессии.
2. Формула производной функции, обратной данной.
3. Решение тригонометрического уравнения (упр. типа 320—324, X кл.).
№ 3
1. Теорема о непрерывности целой рациональной
функции.
2. Интеграл от а до b функции f (определение), геометрический смысл интеграла.
3. Решение логарифмического уравнения (упр. типа 697—700, X кл.).
№ 4
1. Теорема о производной суммы двух функций.
2. Формулы приведения.
3. Построение графика функции (упр. типа 65—67, X кл.).
№ 5
1. Производная произведения двух функций.
2. Дифференциальное уравнение гармонического колебания и его решение.
3. Доказательство тригонометрического тождества (упр. типа 328—332, X кл.).
№ 6
1. Теорема о производной степенной функции с натуральным показателем, большим единицы.
2. Соотношение между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
3. Исследование функции на монотонность и экстремумы (упр. типа 610—613, X кл.).
№ 7
1. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма).
2. Свойство графика нечетной функции.
3. Вычисление интеграла (упр. типа 425—429, X кл.).
№ 8
1. Периодичность тригонометрических функций.
2. Формула производной частного двух функций.
3. Отыскание первообразной функции (упр. типа 472—475, X кл.).
№ 9
1. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.
2. Геометрическая иллюстрация решения системы линейных уравнений с двумя переменными.
3. Решение комбинаторной задачи (упр. типа 41, 44, 55, 56, IX кл.).
№ 10
1. Производная синуса.
2. Необходимое условие сходимости последовательности.
3. Решение системы линейных неравенств (упр. типа 888—890, X кл.).
№ 11
1. Производные косинуса и тангенса.
2. Свойства графиков взаимно обратных функций
3. Решение квадратичного неравенства (упр. типа 486-490, IX кл.),
20
№ 12
1. Свойства функции синус, ее график.
2. Формула числа размещений.
3. Вычисление площади фигуры, ограниченной данными линиями (упр. типа 677, 678, X кл.).
№ 13
1. Функция арксинус, решение уравнения sin х « о.
2. Достаточное условие возрастания функции на интервале.
3. Решение иррационального уравнения (упр. типа 720—723, X кл.).
№ 14
1. Свойства функции косинус, ее график.
2. Формула Ньютона (натуральная степень бинома) и ее следствия.
3. Исследование функции на монотонность и экстремумы (упр. типа 475—477, IX кл.).
№ 15
1. Свойства функции тангенс и ее график.
2. Теорема Вейерштрасса.
3. Изображение множества на координатной плоскости (упр. типа 146, 147, IX кл.).
№ 16
1. Тригонометрические функции половинного аргумента.
2. Формула числа перестановок.
3. Составление уравнения касательной к графику функции (упр. типа 601—604, X кл.).
№ 17
1. Основное свойство первообразных.
2. Тригонометрические функции двойного аргумента.
3. Построение графика ‘функции (упр. типа 494—496,
IX кл.).
№ 18
1. Теорема о первообразной для функции f(kx + b).
2. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке.
, 3. Решение системы нелинейных уравнений (упр. типа 863—865, X кл.).
№ 19
1. Производная показательной функции.
2. Формула числа сочетаний.
3. Решение тригонометрического неравенства (упр. типа 299—303, X кл.).
№ 20
1. Производная логарифмической функции.
2. Определение функции, непрерывной в точке, примеры.
3. Отыскание первообразной функции (упр. типа 409—414, X кл.).
№ 21
1. Производная степенной функции с действительным показателем.
2. Свойство графика четной функции.
3. Решение системы уравнений (упр. типа 854—857,
X кл.).
Билеты для устного экзамена по геометрии
№ 1
1. Признак параллельности прямой и плоскости.
2. Формулы для вычисления площади сферы и объема шара.
3., Задача на сечение многогранников (типа 61—64, X кл.).
№ 2
1. Признак параллельности плоскостей.
2. Формула для вычисления длины вектора, заданного координатами.
3. Задача ка вычисление объема конуса (типа 244— 246, X кл.).
№ 3
1. Угол прямой с плоскостью.
2. Правила сложения и вычитания векторов, заданные координатами.
3. Задача на конус (типа 208-^-212, X кл.).
№ 4
1. Теорема о трех параллельных прямых. Транзитивность параллельности.
2. Свойства параллелепипеда.
3. Задача на трехгранные углы (типа 396—398,
IX кл.).
№ 5
1. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
2. Формулы для вычисления площади поверхности и объема призмы.
3. Задача на применение свойств плоскости, касательной к сфере (типа 231—233, X кл.).
№ 6
1. Теорема о двух выпуклых углах с соответственно сонаправленными сторонами.
2. Свойства осевой симметрии пространства.
3. Задача на площадь поверхности многогранника (типа 81—84, 94—96, 101, X кл.).
№ 7
1. Признак перг.ендикулярности прямой и плоскости.
2. Правильные многогранники. Примеры.
3. Задача на сечения-сферы и шара (типа 217, 223, 224, 228, X кл.).
№ 8
1. Проведение, перпендикуляра к плоскости.
. 2. Формулы для вычисления площади поверхности и объема цилиндра.
3. Задача на разложение вектора по трем некомпланарным векторам (типа 211—214, IX кл.).
№ 9
1. Теорема о параллельности двух перпендикуляров к одной плоскости.
2. Свойства гомотетии пространства.
3. Задача на вычисление объема цилиндра (типа 239-241, X кл.).
№ 10
1. Теорема о трех перпендикулярах.
2. Формула для вычисления площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость.
3. Задача на свойства цилиндра (типа 196—201,
X кл.).
№ 11
1. Признак перпендикулярности плоскостей.
2. Правило нахождения скалярного произведения векторов, заданных координатами.
3. Задача на вычисление площади поверхности фигуры вращения (типа 200, 213, 214, 262, 264, 265, X кл.).
№ 12
1. Теорема о сечении пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию.
2. Свойства параллельной проекции фигуры.
3. Задача на перпендикулярность прямой и плоскости (типа 274—277, IX кл.).
№ 13
1. Теорема о центре симметрии параллелепипеда.
2. Признак коллинеарности векторов.
3. Задача на применение теоремы о трех перпендикулярах (типа 337—339, IX кл.).
№ 14
1. Уравнение сферы.
2. Свойства трехгранного угла.
3. Задача на вычисление скалярного произведения векторов (типа 221—226, IX кл.).
№ 15
1. Теорема о пересечении сферы и плоскости.
2. Свойства центральной симметрии пространства.
3. Задача на применение координат точки и вектора (типа 8—13, 18—21, X кл.)..
№ 16
1. Свойство плоскости, касательной к сфере.
2. Признак скрещивающихся прямых.
3. Задача на вычисление объема многогранника (типа 134, 135, 137, 139, 141, X кл.).
№ 17
1. Объем прямой призмы.
2. Свойство симметрии относительно плоскости.
3.. Задача на уравнение сферы (типа 219—221, 224— 225, X кл.).
№ 1S
1. Объем наклонной призмы.
2. Свойства умножения вектора на число.
3. Задача на вычисление площади ортогональной проекции многоугольника (типа 72—75, X кл.).
№ 19
1. Объем пирамиды.
2. Переместительное и распределительное свойство скалярного умножения векторов.
3. Задача на параллельность плоскостей (типа 92—94, 96, IX кл.).
№ 20
. 1. Объем цилиндра.
2. Измерение двугранных углов.
3. Задача на действия с векторами (типа 179—185, 187—190, IX кл.).
№ 21
1. Объем конуса.
2. Определение скалярного произведения векторов и его основные свойства.
3. Задача на построение сечений (типа 53, 54, 56, IX кл.).
Письменная работа по алгебре и началам анализа
I вариант
1. Исследуйте функцию /(jr) = дг3 — 4,'5хг с помощью производной и постройте ее график.
2. Вычислите площадь.фигуры, ограниченной линиями у — j/x, у = — х 4- -3“.
3. Решите систему уравнений х 4- 6 у — z. = 7,
2х — Зу -f Ьг = —7,
—Зх Зу — 4г = 0.
4. а) Решите уравнение tg х — sin8 5л: = cos2 5*. б) На промежутке [0; п] укажите те значения пе!
ременной х, при которых tg л: >1.
II в а р и а н т
1. Исследуйте функцию /(*)' — 2х* + Зх2 с помощью производной и постройте ее график.
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= — х2 + 2, — х + 2.
3. Решите уравнение Ig(2^r — 1) = 2 — Ig (х — 9).
4. а) Решите уравнение sin х — cos2 2х — sin2 2х —
““ ~2~*
б) На промежутке ] тс; Згс f укажите те значения переменной х% при которых sin л: >-у.
К. И. ШАЛИМОВА
(Москва)
ОБ ЭКЗАМЕНЕ ПО АЛГЕБРЕ ЗА КУРС ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ
В 1977 г. учащиеся восьмых классов школ Российской Федерации будут в третий раз держать экзамены по новой црограмме школьного курса математики.
Письменный экзамен по алгебре позволяет выяснить степень усвоения основных понятий курса алгебры восьмилетней школы, а также выявить прочность сформированных навыков.
Анализ экзаменационных работ прошлых лет показал, что в основном все учащиеся справились с предложенными заданиями. Однако следует отметить, что при выполнении экзаменационной письменной работы некоторые восьмиклассники не смогли одинаково хорошо выполнить все задания. Большие затруднения вызвали у учеников упражнения на действия с алгебраическими дробями, тождественные преобразования, решение систем неравенств с одной переменной и нахождение значения числового выражения. Наблюдалась склонность восьмиклассников при решении арифметических примеров переходить к приближенным вычислениям в промежуточных действиях. Наиболее часто встречались ошибки при делении на десятичную дробь: постановка запятой и пропуск нуля в частном. При выполнении действий над степенями с рациональными показателями учащиеся часто допускали ошибки в том случае, когда показатели степеней были дробными. В различных тождественных преобразованиях наиболее часто встречались ошибки при разложении выражений на множители, при сокращении дробей, при перемене знака перед дробью. Многие восьмиклассники допускали ошибки при записи ответов к заданиям, в применении, новой символики.
Следует отметить, что анализ экзаменационных работ учащихся показывает и различный уровень требований со стороны учителей к оформлению работ. Имеет место как увлечение громоздкими словесными пояснениями, так и недооценка обоснования отдельных этапов решения задач соответствующими положениями теории. Однако выработка определенных треб9ваний к решению и оформлению письменных работ есть важный фактор повышения уровня математической грамотности учащихся.
Словесные объяснения учащихся при выполнении экзаменационных работ должны отражать принципиально важные моменты в про¬
цессе решения, показывающие умение сочетать теоретические знания с практическими навыками, и быть при этом достаточно краткими.
Приведем примеры одного из возможных оформлений решения некоторых упражнений экзаменационных работ.
1. Задача. В геометрической прогрессии, первый и шестой члены равны соответственно ~ й 4. Найдите сумму dec я- ти первых членов этой прогрессии.
Решение. Пусть (Ъп) данная геометрическая прогрессия. По условию Ъх = , Ь6 = 4.
Известно, что Ъп = bv qn~l, тогда т. е.
4 = — аъ
% 8 Ч ’
а5 = 4- — ч 8 ’
q*- 32, q = 2.
Воспользовавшись формулой суммы п первых членов геометрической прогрессии, будем иметь
g (210 1) 1 1023 7
5т==у(Ю24-1) = if-3 = 127-I-•
Ответ. Сумма десяти первых членов геометрической прогрессии равна 127-^-. ^Правильным считать и ответ, записанный в виде
S10=127-L.)
2. Задача. Моторная лодка прошла 9 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на путь по течению на 15 мин меньше, чем на путь против течения. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде.
Решение.
х км/ч скорость лодки в стоячей воде,
(х + 2) км/ч скорость лодки по течению реки, (х — 2) км/ч скорость лодки против течения реки,
9
—Го 4 затРачено лодкой на движение по
течению реки,
8
_ 2~ ч затрачено лодкой на движение против течения.
9 8
По условию задачи х '+2' меньше на
15 мин, или -5-4. Можно составить уравнение.
22
(Возможны и другие варианты объяснения составления уравнения и записи решения.)
8 9 1
х + 2 — 4 *
х — 2 8 (х f 2)-4
9 (х — 2И
4 (х-2) (х + 2) 4(х + 2)(х-2)
_ (х -2)(Л- 2) = „
4(лг-2)(лЧ-2)
32(х +- 2) — 36(х — 2) — (хг — 1)
= 0,
4) = О,
4(*-2) (jc + 2)
( 32(jc + 2)-36(x- 2)-(jc2 1 4(х-2)(х + 2)^0,
| 32х + 64 - 36л: + 72 - *2 + 4 = О,
I .г ф 2, х ф - 2,
— х2 — 4х -f 140 = О, х Ф 2, х Ф — 2, л-2 + 4л- — 140 = 0, ./•
хф2, х Ф —2, х=-2± /Щ х = — 2 + 12 или лс == — 2 — 12, х = 10 или л; = — 14.
По смыслу задачи х^>0, следовательно, х = 10. (Здесь же возможна запись, подтверждающая, что именно 10 удовлетворяет решению задачи; в ней ученик приведет осознанную запись правильности выбранного ответа.)
Ответ. Скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч.
3. Упростите выражение
ъ гь ( з ь — 9\
+ Ь — 3‘ U2 —36 9— Ь2) 9
Ь + 3
Решени е.
з
1)
ь2 — з ь
+
Ь — 9 9 — Ь2 -9
+
(b-3)(b +-3) (b — 9) b
+
1 b(b — 3)(b b* — 6b ±9
■3)
b(b — 3)
_ 3 (b 4- 3)
b (b — 3) (b -{- 3)
3b 4- 9 4- b2 — 9b b(b — 3)(b+3) ~
(b — 3)2 b — 3
2)
3)
b(b — 3) (b 3 b b b — з b
3)
-3
b(b + 3) 3
b(b— 3)(b ■+- 3)
3b {b — 3)
(b — 3)(b + 3)b 6 + 3
>(6+-3)
3
: b~ з ■
= 1.
b f 3 О т в e т. 1.
4. Решите неравенство
7х + 3
15л: — 3
0.
Решение. Значение дроби положительно, если числитель и знаменатель имеют значения одинаковых знаков:
| 7jc + 3>0,
1 15л — 3 > 0
г 7х> — 3,
1 15jc >3
или
или
или
•*>4-
+ —множество решений первой
стемы,
1 з г
J — сю; j- [ — множество решений второй си
стемы.
+ оо[.
и-
Ответ. ] — оо; —-L[u]-i.
5. Постройте график функции у = = 0,5л: + 2. Найдите по графику множество значений х, при которых: а) у<Г0- б) у>3.
Решение. Графиком линейной функции является прямая линия. Построим ее (см. рис.).
б) у>3 при Л'£]2; +оо[.
6. Найдите значение выражения 3,51,5 — 0,35
4 11 V 2 5 )
1) 3,5-1,5 = 5,25;
2) 5,25 — 0,35 = 4,90 = 4,9;
0\ Q Л Я ^ ^ _
6 2 5 10
_6_ . J_ 50 11
11 10
4) 4^-1
10
11 10
50-11
11-10
5;
5) 4,9 : 5 = 0,98.
Ответ. 0,98.
Необходимо отметить, что приведенные записи выполнения и оформления заданий не являются единственно возможными.
Приведем варианты экзаменационных работ, которые целесообразно разобрать с учениками в период подготовки к экзаменам.
23
Вариант 1
1. Задача. Два туриста одновременно выходят из одного поселка в другой, расстояние между которыми 28 км. Первый турист проходит в час на 0,5 км больше и прибывает во второй поселок на 1 час раньше. Найдите скорость первого туриста.
2. Упростите выражение
„■^(Л-ЙтЬ.
3. Покажите штриховкой на координатной плоскости множество точек, заданное системой неравенств
р2 + У2< 2,25,
[у>х* + 2х..
4. Существуют ли значения переменной 2, при kqto- . рых 1 g (5-г) меньше V3lg 27 на 1?
5. Вычислите
Вариант 2
1. Задача. Лодка прошла 15 км п6 течению реки и 12 км против течения за то же время, за которое она могла бы пройти 28 км в стбячей воде. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки в стоячей воде.
2. Упростите выражение
12 1 1
(а*
b6)2
3 +ьг
—1
3. Решите графически уравнение
6
х = 2,5 + х.
4. Найдите сумму десяти первых членов геометрической прогрессии: 1, V 2, 2, ... .
5. Найдите значение выражения
(2-§-:2-0.2.15).-§-.
Вариант 3
1. Задача. В возрастающей геометрической прогрессии произведение четвертого и пятого членов равно утроенному восьмому члену, а сумма первого и третьего членов равна 15. Найдите сумму первых семи членов прогрессии.
2. Упростите выражение
/а2 + 4 — 4 а 2 — а 6а \ а — 3
V а2 — 9 :9а + За2 + &ZaJ'
За8
■9 *9л + 3<z2 г3-
3. Решите систему уравнений
Г дг2 — у == 1,
1 дг — у = — 5.
4. Решите графически неравенство
2 — х ^ 0,5х.
5. Что больше и на сколько
(—1,2)» —0,25~ 2 или —2,4»+ 2,5-'?
Вариант 4 ~
1. Задача. В арифметической прогрессии седьмой член равен 10, а разность шестого и четвертого членов
(Н
равна 6. Найдите сумму первых 13 членов и первый член этой прогрессии.
2. Упростите выражение 2т — 1 т2 — 4 т — 3\ т* + m
3 — т ^ т2— 6т-+-9 ‘2 + т)' т — 3 е
3. Решите систему уравнений
г у — х2 1,
I 2х — у — 2.
4. Решите графически неравенство
2х < дг + 2.
5. Что больше и на сколько
_ 2_ _
27 Х — 0,35 2 или 27° —0,75-
Вариант'5
1. Задача. Пятый член геометрической прогрессии равен 16, а шестой член равен 32. Найдите сумму шести членов этой поогрессии.
2. Упростите выражение
*’(*У + У1 + хг + ху)-
Исполь-
X
=6.
Х2 __ ^ — х2 + у2 + У2
3. Решите уравнение
IS (Зле — 1) — 2 lg 2 + lg 5.
4. Постройте график функции у * •
зуя построенный график, решите уравнение
5. Найдите значение выражения
2 2 18,2*-у- — (—6,8—13,6):3-g-.
Вариант 6 1 Задача. Геометрическая прогрессия задана
( 1 V"1
формулой общего члена 6л=*4-(—) . Найдите
сумму первых шести членов прогрессии. Является ли число 0,125 членом данной прогрессии?
2. Упростите выражение
] 1 ✓ ь
1 \~ь* — й
’ Ьь — Ъ2 — ь + ь
■2Ь -f 1
. \ — Ь2
3. Решите уравнение 6
1 + *
1
)■
0.
х2 — 25 5 — х
4. Решите графически систему уравнений
( х2 + у2 = 4,
\ у = х2 — х — 2.
5. Сравните значения выражений
2 lg 11 — 1 и 2 lg 1,1 + 1.
Вариант 7
1. Задача. Сумма первых десяти членов некоторой арифметической прогрессии (ап) равна 40, ее первый член равен —5. Найдите разность этой прогрессии.
2. Упростите выражение
24
12ft 2ft* — ft f 6
2Г+Т + Т—Г‘V^2 + "i “46s
^r)-
3. Найдите целые решения системы неравенств 'у-f-l у —5.
5 4
2у —3 у — 1
>0,
>3.
5. Сравните течения выражений
_i_ _ 1
lg 25 + 2 lg 2 и 82 -16 В а р и а н т 9
1. Задача.
2 1с 3 ^32 6
4. Решите графически уравнение 2х— I = —.
5. Найдите значение выражения (36,5-5,4 -{- 0,6):0,1.
Варианте
1. Задача. В арифметической прогрессии (ап) второй член равен 7, а шестой ее член равен —5. НайДите первый член этой прогрессии и сумму ее шести первых членов.
2. Упростите выражение
/а8 — 2 2 \ а — 3
\а2 — 9 а 4“ 3 )' а— 2 *
3. Решите неравенство
х + 2
l_4jc <2-
4. Решите графически систему уравнений
I ху - 15,
\ у — х2 — 4.
Геометрическая прогрессия задана /1 \л—2
формулой общего члена: an~2\rg-j . Найдите сумму пяти первых ее членов. Является ли число -g- членом данной прогрессии?
2. Упростите выражение
1 а+ 12 / а —3 9 \
а» + —9а*\2а2Н-5а— 3~~9— а2/*
3. Решите неравенство
Ю — 8jc ~4 — х~ <
4. Решите графически уравнение
— д:2-^ —2.
5. Докажите, что значение выражения
18,2-| <6,8— 13,6):3-|-
обратно значению выражения 5
( —4") <—2)-3-
ЭМОЦИИ ЮНОГО МАТЕМАТИКА (Письмо Н. Н. Лузкна к М. Я. Выгодскому)
В бумагах покойного профессора М. Я. Выгодского (1898—1965), видного педагога высшей школы и историка математики, сохранилось несколько писем к нему академика
Н. Н. Лузина (1883—1950). Вдова и дочери М. Я. Выгодского любезно ознакомили меня с ними и согласились на публикацию одного из них, относящегося к началу 30-х годов, в журнале «Математика в школе». Мы предлагаем его вниманию читателей (с некоторыми сокращениями), как весьма своеобразный и ценный исторический и психологический документ. В нем Лузин удивительно проникновенно рассказывает о своих поисках, в бытность студентом, простого и наглядного подхода к кривой Вейерштрасса, не имеющей касательных, и об ожесточенных спорах с профессором Б. К. Млодзеевским (1858—1923), настойчиво противопоставлявшим яркому воображению юноши неопровержимые логические доводы. Мастерски очерчены несколькими штрихами на страницах письма фигуры самого Б. К. Млодзеевского, Д. Ф Егорова, Н. Е. Жу¬
ковского. Но, конечно, самое сильное впечатление производит облик молодого Лузина, убежденно отстаивающего перед признанными авторитетами духовную самостоятельность.
Поводом для письма послужила присылка Лузину Выгодским книги последнего «Основы исчисления бесконечно малых». В ней автор — убежденный сторонник создания чувственных представлений у учащихся об объектах, изучаемых в математике, в противоположность формально-логическому подходу — пытался оживить в учебнике для студентов втузов те наглядные представления о бесконечно малых как о мельчайших частицах целого, которые были свойственны Кеплеру и Кавальери и позволяли обходиться без изучения механизма предельного перехода. Об этом учебнике в те годы много и шумно спорили. Правду говорит Лузин, что «всякий, знакомящийся с ним, становится или горячим его поклонником, или столь же страстным его противником». Не заявляя себя «поклонником», Лузин в то же время не отвергает полностью попытки Выгодского, а обращается к собственным воспоминаниям на близкую тему. По сути дела, позиция Лузина в отношении преподавания начал анализа в вузе достаточно полно выражена в его переработке учебника Гренвиля, вышедшей в 1931 г. одиннадцатым изданием.
25
В историческом разрезе эта позиция отражена в его статье «Дифференциальное исчисление», помещенной в первом издании БСЭ (т. 22, 1934, с. 622—624; перепечатано в книге:
Н. И. Лузин. Собр. соч., т. III. М. Изд-во АН СССР, 1959, с. 292—318). Здесь, кстати сказать, Лузин предпринимает новые усилия «разглядеть» кривую без касательной при помощи бесконечного множества «микроскопов, из которых каждый в 100 раз сильнее предыдущего». Любопытно, что небольшой список литературы к статье открывается учебниками Выгодского и Гренвиля — Лузина. Однако нужно сказать со всей определенностью, что эти две книги, сыгравшие в свое время положительную роль в деле пробуждения интереса к методам преподавания анализа в наших вузах и в борьбе с ложно академическими традициями, отгораживавшими предмет математического анализа от условий его исторического формирования и от его применений в задачах техники и естествознания, ныне сохраняют значение главным образом документов эпохи.
Развитие идей преподавания математики в средней и высшей школе у нас, да и во всем мире, пошло по другому пути, отвечающему глубоким изменениям в самом характере математической науки, ее роли в других науках и в самых различных областях деятельности. Достаточно сослаться хотя бы на то, что в начале 30-х годов еще можно было приводить математическую логику в качестве примера математической дисциплины, наиболее далекой от практики. Теперь воспоминание об этом вызывает у нас улыбку. Как бы то ни было, публикуемое здесь письмо Лузина не должно и не может служить поводом для возрождения давно забытых споров. Его неувядающий интерес и значение состоят, с нашей точки зрения, в том, что оно самым убедительным образом свидетельствует о праве учащегося на сомнения, на споры с учителем, на поиски своего, быть может по* началу отличного от принятого в учебнике и защищаемого учителем, способа осмысления и толкования математических понятий. При этом, как свидетельствует Лузин, эти поиски своей точки зрения могут сопровождаться глубокими переживаниями молодого человека.
Конечно, математику справедливо считают бесстрастной наукой. Ну, а что сказать о юных математиках, быть может, будущих ученых такого масштаба, как Лузин? Прислушайтесь, что он говорит об «интеллектуальном страдании и боли» как об источнике творчества, о боли, почти нестерпимой, которую он испытывал при мысли о кривой Вейерштасса, не принимаемой его сознанием, о его борьбе с этой
кривой, бывшей для него родом кошмара... А как он воспринимает чисто интеллектуала ную беседу со своим профессором: «... я имел дело со страшным противником, который устал, растерялся от натиска, но который мгновенно оправился, просто выгадывая время своими словами о словесных кривых, и который, воспрянув, нанес мне страшный удар...». Как будто описывается бой гладиаторов!
Итак, в сложном и противоречивом процессе обучения, в поисках истины, в одиноких блужданиях ученика или бросках вперед вместе с учителем — не только рациональная ясность и логика суждений, но и эмоции: радость, боль и страдания, даже душевная драма, о которой говорит Лузин в конце письма. Сам Лузин прекрасно охарактеризовал свое письмо как «психологический документ о состоянии ума в его ранней ступени развития». С нашей точки зрения, это еще и пример художественного творчества ученого.
К в'оспоминаниям о Лузине как о студенте мы хотим присоединить еще несколько строк о Лузине-школьнике (см. статью Н. К- Бари и В. В. Голубева «Биография Н. Н. Лузина» в кн.: Н. Н. Лузин. Собр. соч., т. III, с. 468— 469).
«Любимым чтением Н. Н. Лузина в эти годы (обучения в Томской гимназии. — А. М.) были натуралисты и из романистов Жюль Верн, влияние которого на интересы своего ума Н. Н. Лузин считал значительным. В старших классах Н. Н. Лузин читал очень много и в самых разнообразных направлениях; книги по чистой философии увлекали его, давая воображению обильную пищу. Но математику до самых последних лет гимназии Н. Н. Лузин недолюбливал и боялся, так как царившая тогда всюду система преподавания ее была построена более на механической памяти: нужно было безукоризненно заучивать наизусть формулировки теорем и в точности памятью воспроизводить.доказательства, по возможности не отступая от текста книги («Геометрия» Давидова, «Алгебра» Киселева). Для
Н. Н. Лузина это было труднопереносимой мукой, так как механической памятью он совершенно не обладал; по этой же причине для него были закрыты история, география и языки, требовавшие запоминания времени, места и форм. Его занятия по математике шли в гимназии хуже и хуже, так что он утратил репутацию хорошего ученика и отец вынужден был взять для него «репетитора». К счастью, это был весьма талантливый студент только что открывшегося в г. Томске Политехнического института; он произвел на
26
Н. Н. Лузина сильнейшее впечатление тем, что
показал ему математику не как систему механического заучивания, а как систему рассуждений, направляемую живым воображением (курсив мой — А. М.) ...С тех пор он до некоторой степени утратил неприязнь к математике, перерешал самостоятельно все имевшиеся тогда задачники по элементарной математике и, естественно, в этом отношении стал в гимназии на первое место... Гимназию
Н. Н. Лузин окончил в 1901 г. и в том же году поступил на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета. Выбор этот был обусловлен желанием Николая Николаевича со временем сделаться инженером, для чего он хотел сначала заложить солидный математический фундамент, так как побаивался математики».
А. И. Мариушевич (Москва)
+
Глубокоуважаемый Марк Яковлевич,
позвольте искренне поблагодарить Вас за Ваш чудесный и ценный подарок: за присылку мне Вашего курса анализа. Я давно слышал о его появлении и слышал о страстных спорах, возбуждаемых им. По-вйдимому, совсем нет или есть очень мало лиц, спокойно к нему относящихся. Всякий, знакомящийся с ним, становится или горячим его поклонником, или столь же страстным его противником...
После изучения большей половины Вашей книги, мне также захотелось высказаться. С этой целью я избираю форму письма к Вам. Я более люблю это: в письме можно остановиться и подумать, что затруднительно в живой речи. И потом, это более соответствует моему темпераменту. Извините меня, если письмо выйдет длинным. В такого рода вещах лучше быть длинным, но зато понятным до конца. Вероятно, это письмо я буду писать много дней, с перерывами и под влиянием разных состояний ума.
Конечно, я мог бы избавить Вас от чтения моего письма, просто присоединившись к той или иной группировке высказывающихся лиц. Но для меня затруднительно это, так как ни одна из них не отвечает моим мыслям... Сначала лишь замечу, что идея актуально малого имеет какие-то бесконечно глубокие корни в уме. Когда ум начинает свое знакомство с анализом, словом, когда для него весна, он начинает всегда именно с актуально малых, которые можно называть «элементами» количеств. Но постепенно, шаг за шагом, по мере накопления у него знаний, теорий, пресыщения абстракциями, усталости, ум начинает за¬
бывать свои первоначальные стремления, улыбаться их «ребячеству». Короче, когда приходит осень ума, он дает себя убедить в единственности правильного обоснования при помощи пределов.
Вашу книгу иногда обвиняют в излишней страстности, едкости, желчности. Для меня это* так понятно, что, по-моему, иначе, в первых поисках, и быть не может. То, что считают желчностью, это есть просто отголосок сильного интеллектуального страдания и боли, я чем страдание сильнее, тем лучше, потому что оно есть источник творчества/
Для того чтобы Вы не думали, что я стараюсь быть приятным для Вас, я расскажу Вам кое-что из своих личных воспоминаний: Вы увидите, что я кое-что понимаю в этих вещах, раз до сих пор сохранил столь живые воспоминания, навсегда врезавшиеся мне в память. Обычно такого рода страдания всегда тщательно скрывают и очень неохотно говорят другому о них, и то лишь в виде намеков. Не знаю, почему это так, но действительно приходится делать над собою усилие. Однако его нужно сделать.
Я вспоминаю себя студентом II курса. Обстановка была такая: в стороне стоял
Л. К. Лахтин с его диктованием основ анализа. На его диктанты я не ходил: зачем, раз можно купить или занять для прочтения его литографированные записки? Тон был задан Болеславом Корнелиевичем Млодзеевским, пылким и властным геометром европейского масштаба, и точным строгим Д. Ф. Егоровым, лишь начавшим свое вхождение в жизнь Университета. Л. К. Лахтин держался от них в стороне, Б. К. Млодзеевский властвовал, но считался с точно и строго работающим умом Д. Ф. Егорова.
Я начинал свое знакомство с анализом по беспорядочно и жадно читаемому разнообразию книг. Все зависело от случая: есть или нет такой-то книги в библиотеке, и как она внешне выглядит, солидно или так себе. В голове была каша, хаос, обрывки нитей, срастающихся случайно. Руководства не было, контакта с профессурой никакого. Просто попал в воду и барахтался, должно быть, как умел, чтобы не утонуть. И кто знает, не лишило ли бы систематическое руководство того богатства и многоцветности, которое как-то сознаю в себе, и не придало ли бы оно, если бы было в действительности, однотонный колорит и скуку деятельности ума? Но не в этом дело.
Главное в том, что я не знал ни Гурса, ни Жордана, а воспитывался на старинных курсах Анализа: Лакруа и других. Самым новым для меня был 7-ми томный курс Лорана («Трак¬
27
тат анализа»). В нем автор гордился; что он — ученик Коши. Теория множеств и теория функций действительного переменного пришли ко мне лишь в момент окончания Университета, вернее, при стадии оставления при Университете. Такое старинное воспитание было обусловлено чистою случайностью, так как когда я был в Университете (1901 —1908), курс Гурса был уже в полном ходу за границею и у нас в кругах, близких к профессорским; я же его не знал и читал все «автодидактом».
Такое «старинное» воспитание, вернее самовоспитание, которое я получил, и обусловливает мое своеобразие и свободу в отношении математических взглядов. Во всяком случае, когда я проходил Университет, у меня не было дисциплинирующих курсов Д. Ф. Егорова, ни Гурса, ни логически-непреклонного Валле- Пуссена; был же хаос, может быть и творческого характера. Теория пределов вошла в меня механически, грубо, не утонченно, а скорее полицейски-принудительно, по формуле: «замолчи, я тебе говорю!» Вообще, я люблю старинные курсы, где есть все, что относится к делу, и где, еще больше, есть то, что прямо не относится к делу, но что важно для проникновения наукой. Современные же курсы напоминают мне французские канцелярии, где могут и накричать, если позабыл снять шляпу, и отправить с формальной отпиской. И в моих стараниях по Грэнвилю я невольно брал палитру с красками и раскрашивал теорию пределов, живо помня, как угнетающе действовала на меня начавшая входить теория пределов, не расцвеченная ничем.
Я живо помню состояние мо их ил ей по ана лизу бесконечно малых. Я был на II курсе. На
заявления профессоров о том, что есть предел отношения, я думал: «Какая скука! Чудно и непонятно. Нет! Не надуют: просто отношение бесконечно малых, и только». Живо помню, как с величайшей болью я воспринял кривую Вейерштрасса без касательной, не верил, пытался опровергнуть и десятки раз перечитывал доказательство Дюгамеля о том, что всякая непрерывная функция дифференцируема. Эта боль, действительно почти нестерпимая, при мысли о кривой Вейерштрасса понятна: ведь если у(х) есть функция Вейерштрасса, то она непрерывна, и раз существует dx, то должен
существовать и dy. И однако нет ~ \ Почему? Короче, глубоко естественная идея актуально малых у меня начала подтачиваться кривой Вейерштрасса, и теория пределов в ме- н» впшла как патологии функций
Борьба с кривой Вейерштрасса была для меня родом кошмара. Я ею грезил во снах. Теперь я понимаю, что она была для меня чудовищем, с которым я нелепо боролся. И не будучи в состоянии победить, я предпринял обходное движение: я вознамерился показать, что кривая Вейерштрасса не диво и что с помощью элементарных построений можно сделать то же самое и притом СОХРАНЯЯ ИДЕЮ СТАЦИОНАРНОГО БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО.
Собравшись с духом (я не любил соприкасаться с профессорами: будучи робким — просто боялся их; не боялся лишь И. И. Же- галкина), я после лекции у нас по геометрии Б. К. Млодзеевского, робко подошел к нему и попросил позволения побеседовать с ним относительно кривых без касательных.
Первая ошибка уже была сделана: я был слушателем, профессор казался высшим существом; я не думал, что он может чувствовать усталость. А между тем, я, молодой, сидел целый час и начал разговаривать с ним, когда он изнемогал от усталости. Поэтому голос Б. К. Млодзеевского, повысившийся до окрика, я принял на свой счет, а не за счет его усталости. Такие вещи нужно было обсуждать лишь с отдохнувшим человеком.
Итак, я начал: «Болеслав Корнелиевич, мне кажется, кривую без касательной можно построить совсем элементарно, и я хотел бы знать Ваше мнение». Он; «Ммм... ну давайте—у Вас есть чертеж?» Я: «Да, Болеслав Корнелиевич, вот он: разделим диагональ
.квадрата на п частей, равных между собой, и на каждом делении, как на основании, построим равнобедренный прямоугольный треугольник. Получаем нечто вроде ажурной пилочки (рис. 1). Теперь делаю п= оо. Пилочка делается непрерывной кривой, бесконечно мало отличающейся от самой диагонали. Значит, у нее касательной должна служить сама диагональ. И, однако, совершенно ясно, что у нее касательная то параллельна оси ОХ, то параллельна оси ОУ. Я думаю, что то же самое происходит и с пресловутой кривой Вейерштрасса». Он: «Ну, знаете ли, если Вы это серьезно... такой круг идей... Но ведь это же нелепость, то, что Вы говорите. Поймите, актуальной бесконечности нет. И оо не число.
Стороны Ваших треугольников не —. И треугольников нет. И вообще ничего нет... Есть только Ваше непонимание. Поймите, что п есть конечное число. И для. всякого п своя ажурная пилка, как выражаетесь Вы. И когда п безгранично возрастает, то у Вяс ка плоскости, как на экране кинематографа, — мелька-
кие: пилка сменяет пилку с все возрастающей быстротой. Вот и все. Единой пилки нет. Есть серия пилок. Ну-с, о касательной к какой пилке Вы теперь говорите?!» Я: «О той, которая получится в пределе». Он (видимо, теряя терпение): «Кажется, сказка о белом бычке... Поймите, оо не есть число. Серия пилок безгранично приближается к диагонали. Пределом же явится сама диагональ. Разумеется, касательная к диагонали есть: она сама для себя служит своей собственной касательной». Я сказал наивно: «Но ведь я же вижу, что касательные к сторонам треугольников параллельны оси ОХ и оси О У и никогда не параллельны диагонали». Он, мгновенно смягчившись и ласково... «Аааа... Вот что... запомните: касательная к пределу не есть предел касательной. Ведь сама касательная есть предел. Ну так вот: у Вас перестановка двух переходов к пределу, то, чего делать просто нельзя. Поймите (он взял мел):
lim lim ~— = 1 и lim lim —— = 0,
m -\- п m _l_ и »
ну и, значит,
Нт нт
П — оо тп — оо m "Ь п
Ф lim lim .
Ш — оо /2 = оо ТП П
вич, я к Вам с вопросом относительно непрерывных кривых без касательных...» Он болезненно сморщился и сказал удрученно: «Вы все о том же... Вы находите дело неясным... в чем же дело?» Я: «Видите ли, Болеслав Корнелиевич, неделю тому назад я строил Вам треугольники и, должно быть, неудачно. Теперь я желал бы пересмотреть вопрос. Пусть на'диагонали квадрата лежит конечное множество (тут он вздрогнул, при слове «множество») точек. Нужные мне треугольники я раньше строил постепенно, на каждом отрезке в отдельности. И в этом была моя ошибка. Теперь я это могу сделать сразу. Возьмем совокупность всех параллелей осям ОХ и О У, проходящих через наши точки. И затем я обрезываю сразу все «лишние» части прямых и получаю сразу пилку...» (рис. 2). Он оборвал меня и.сказал: «Не понимаю, к чему Вы все это. Ну, ясно, что это так. Ну, а дальше?.
Это — история старая: длина предела не равна пределу длины. Ведь если вы измерите длину Вашей ажурной пилки, то она равна 2. А ведь длина диагонали/”2 . Переворачивать пределы нельзя. Подумайте над этим. Это сразу Вам не дастся. До свиданья». И он ушел, оставив меня в недоумении, что я не был понят, как мне казалось тогда.
Не надо забывать, что я был студентом II курса. Через неделю случаю было угодно, чтобы один товарищ IV курса затащил меня на лекцию по действительному переменному того же самого Болеслава Корнелиевича для студентов IV курса. И я выслушал его, блестящую по обыкновению, лекцию о понятии мощности и счетной мощности. Это было для меня почти откровением. Боясь пошевелиться, я слушал его вдохновенную речь про мощность, про Хо, а сам думал: «Да ведь это сплошные противоречия: в анализе говорят, что всякое число конечно, и скромно умалчивают о бесконечно удаленных точках прямых. В геометрии, наоборот, твердят о бесконечно удаленных точках и выводят чудесные вещи. Неделю тому назад Болеслав Корнелиевич меня оборвал, вскрикнув, что «актуальной бесконечности нет». А теперь сам-то что он делает! Нет, чего- то я не понимаю. Должно быть, напрасно я здесь: сделаться бы мне физиком!»
Обдумав слова, я после лекции твердо подошел к нему и сказал: «Болеслав Корнелие-
X
L
/д/У
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Я: «Так вот, Болеслав Корнелиевич, вместо конечного множества я беру счетное множество, например все точки диагонали, отстоящие от начала диагонали на соизмеримое расстояние. И дальше повторяю все то, что только что Вам сказал: беру все параллели, проходящие через точки этого множества и параллельные осям ОХ и О У, и наконец уничтожаю «лишние» части прямых. Что я должен получить теперь уже без всякого перехода к пределу} То же, что и раньше: т. е. пилку, но с актуально малыми зубцами!
Значит, имеется индивидуальная неподвижная «кривая», бесконечно мало отличающаяся от диагонали. В прошлый раз, когда я пришел с ней, Вы, Болеслав Корнелиевич, сказали, что мое построение основано на ошибке, так как «нет актуальной бесконечности». И Вы запретили мне употреблять оо как число. Но теперь, на лекции, Вы же сами говорили об актуальной бесконечности, о счетной мощности. И вот я изменил построение, в согласии с Вашим изложением, не употребляю оо как число, а отправляюсь лишь от счетного множества и получаю то же самое: пилку с актуально малыми зубцами, т. е. неподвижную индивидуальную кривую, бесконечно мало отличающуюся от диагонали». Болеслав Корнелиевич внезапнно затих, потом чрезвы-
29
чайно деликатно с оттенком некоторой почтительности заговорил: «Не понимаю, как Вы попали на сию лекцию... Послушайте: не ходите больше; Вам это вредно, пока Вы не окрепнете. Что же касается до Вашей кривой, то она логическая, не настоящая, не подлежащая интуиции («хорошо! хорошо!»—прервал он сам себя). Она существует в логике, но не геометрически. Она словесная, а не реальная. О ней говорить можно, но она не настоящая». Я мгновенно понял, что Болеслав Корнелиевич попался (не учитывая, что человек просто устал после лекции в чужой области и не мог ориентироваться в моих возражениях), и безжалостно насел на него: «Болеслав Корнелиевич, а кривая Вейерштрасса настоящая или логическая? Она словесная или существует в действительности?*Она реальная, как синусоида, или только мыслимая? Если последнее, то, обрывая тригонометрический ряд на каком- нибудь члене, мы, значит, имеем реальную кривую, а беря его весь, мы уже имеем лишь словесное образование». Но я имел дело со страшным противником, который устал, растерялся от натиска, но который мгновенно оправился, просто выгадывая время своими словами о словесных кривых, и который, воспрянув, нанес мне страшный удар: «Послушайте, — сказал он с загоревшимся внезапно гневом,—что за галиматью Вы мне несете! Возьмите-ка гомофокальный эллипс с фокусами в концах Вашей диагонали (рис. 3). Отвечайте мне прямо, без увиливания: «Ваша пилка будет ведь внутри этого эллипса? Да!» Я: «Конечно, Болеслав Корнелиевич!» Он:
«Но малая ось эллипса, обозначим ее через е, может быть мала как угодно. Да?» Я: «Да, Болеслав Корнелиевич!» Он: «Значит, Вы
согласны, что Ваша кривая находится внутри всех эллипсов с фокусами в концах диагонали?» Я: «Разумеется, Болеслав Корнелиевич». Он: «Но ведь предел такого гомофокального эллипса, когда в стремится к нулю, есть лишь сама диагональ, а не Ваша пилка. Значит, ее нет, этой Вашей пилки, и все Ваше подновленное рассуждение не стоит большего, чем то. что Вы показывали мне неделей раньше!»
Я замолчал, справляясь с нанесенной мне раной. Но теперь роли переменились, и он безжалостно добивал. Он: «Поймите, ведь если какая-либо точка, М например, не лежит на диагонали, то ведь, при достаточно малом е, она окажется снаружи гомофокального эллипса. Значит, пределом гомофокального эллипса будет только диагональ, в лице всех ее точек, и никакая другая чужая точка.М, не лежащая на диагонали. Ясно?» Но я уже оправился и сказал: «Все это так, пока е конеч¬
ное, Но если е есть актуальное малое...» Но
меня прервала буря негодования: «Semper idem!1,— воскликнул он,— ведь я же толкую Вам полчаса о пределах, а не об Ваших актуально малых, которых нет в действительности. Ведь это же я доказываю в своем курсе. Походите на него, чего, впрочем, я Вам пока не советую, и Вы убедитесь в этом... Вы что-то еще хотите мне сообщить?»
Я, действительно, был сильно задет и начал говорить, насколько я вспоминаю теперь, так. Я: «Болеслав Корнелиевич, я думаю, что возможно отправляться не только от чисто математических рассуждений, но и от общенаучных тенденций... Процесс идеализации, видимо, неизбежен для всякой стадии науки. Пусть химически чистой воды нет в действительности, но Н%0 есть в науке и говорить об Н20 есть дело науки. Возьмем теперь гипс и процесс образования формы. Вы, например, имеете полый конус, математически точный. Но вы наливаете туда раствор в воде жидкого гипса, чтобы снять форму конуса. Что же такое этот процесс? Гипс застывает, и Вы вынимаете из пустого конуса его копию, кажущуюся Вам точной. Но на деле это не так. Процесс застывания гипса есть процесс КРИСТАЛЛИЗАЦИИ, и то, что вы вынимаете из конуса, это не будет конус или его точная копия, это в действительности будет кристаллическое тело, лишь приближенное к конусу, почти по принципу Кавальери. Если мы теперь идеализируем это процесс и застывание идеального гипса будем понимать как процесс идеальной кристаллизации, с актуально малыми кристалликами, то, вынув форму, мы убедимся, что мы имеем не конус, а тело, актуально мало...»
Но он плохо кончился, этот разговор. Мне стыдно сказать, но Болеслав Корнелиевич просто ушел, посоветовав мне принести к следующему разу баночку такого гипса. Больше •я уже с Болеславом Корнелиевичем не разговаривал никогда на эту тему, но через 2 года натолкнулся на взволновавшую меня картину.
Прежде чем о ней передать Вам, расскажу Вам еще одну черточку, характеризующую состояние тогда моего ума. Я помню себя студентом III курса, сидящим на первой скамейке на лекции механики Николая Егоровича Жуковского. Точнее: это была лекция по
гидродинамике. Аудитория была огромная, профессор был человек крупный, массивный и очень умный. Как сейчас помню, он стоял перед огромной во всю стену чистой черной доской и с мелом в руке говорил нам о силах, действующих на жидкость. «Возьмем, — гово¬
1 Всегда тот же.
30
рил он, — элементы к жидкости...», и с этими словами он, приняв во внимание размеры огромной аудитории, битком набитой студентами (III и IV курсов: соединяли курсы ради экономии), нарисовал большой куб величиной с метр. «Пусть, — продолжал он, — р и р + dp суть давления на противоположные стенки этого элементика...» И он принялся делать сложное геометрическое построение внутри нарисованного им куба.
Меня точно кто подтолкнул: «Вот так эле- ментик! — пронеслось у меня в голове, — да сюда можно свободно поместить живого гуся! А ведь построение-то стационарное. Вот они актуально малые, в которые из приличия никто не хочет верить, но которые то и дело употребляют, когда не думают о приличиях!» Но тут я сосредоточился на лекции и забыл о скандальной мысли.
Возвращусь теперь к Болеславу Корнелиеви- чу. Это было год спустя, когда я был на IV курсе, значит, 2 года спустя после последнего разговора с Болеславом Корнелиевичем о пилках. Помню: нас двоих, Бюшгенса и меня, пригласили на заседание математическго общества. Тогда студенты не допускались туда совсем и нужно было специальное приглашение профессуры. На заседании было немного членов, человек, должно быть, 12. Все они сидели за длинным столом, покрытым зеленым сукном, и пили чай с сухариками (мне казалось удивительным совмещение прозаического чая с наукой). Доклад делал не помню кто именно об уравнениях Пфаффа. Я сидел на стуле во втором ряду, позади Болеслава Кор- нелиевича и Д. Ф. Егорова, сидевшего за столом рядом с Млодзеевским. А тем временем докладчик покрывал доску уравнениями Пфаффа в полных дифференциалах... Формула струилась за формулой, значки полных дифференциалов d, 6 текли изобильной струей, один за другим, складывались, вычитались, умножались, подставлялись один в другой, выражались линейно через аналогичные значки d, 6 полных дифференциалов.
* Я внимательно глядел на доску, сначала старался ухватить смысл, но, не зная (как понимаю теперь) теории проблемы Пфаффа, заблудился мыслью и поймал себя на том, что просто любовался внешностью потока формул. И вдруг меня осенила мысль: «Ну вот, я не понимаю почему-то: но по крайней мере я знаю, что такое d и 6. А если бы кто другой сейчас пришел сюда, хорошо знающий алгебру, но не знакомый совсем с дифференциальным исчислением. Что бы он подумал? Подумал бы, что речь идет об алгебраических преобразованиях, о каких-то неизвестных количествах
dx, бf и т. д. И он начал бы так же точно выражать одни через другие и решать их. Ведь это же, в самом деле, настоящая алгебра количеств d, 6.
Только что я подумал про себя это, как слышу оживленный голос Болеслава Корнелиеви- ча, говорящий сидящему рядом Д. Ф. Егорову: «Я всегда думал, что символы полных дифференциалов являются особенными символами. Посмотрите, как он оперирует с ними! Ведь они в его руках просто постоянные числа: он их складывает, вычитает, множит, подставляет, преобразует. Ведь можно совсем забыть об их истиннном происхождении и оперировать с ними, как с постоянными бесконечно малыми. И Вы знаете, Димитрий Федорович, что вовсе не безнадежна попытка, в духе Гильберта, аксиоматически...» Тут докладчик, которому мешал этот оживленный голос, с упреком взглянул на Болеслава Корне- лиевича, и тот, прервав себя, сказал ему: «Я слушаю, слушаю!», а сам, поглядев на Димитрия Федоровича, спросил более тихо: «Что Вы об этом, Димитрий Федорович, думаете?» Но Димитрий Федорович Егоров тихо покачивал головою, как бы говоря: «Так-то оно так, Болеслав Корнелиевич, а все-таки...»
У меня внутри поднялась настоящая буря. «Ах, вот оно что! — пронеслось у меня, — нас, маленьких, учат одному, а сами-то, взрослые, что между собою говорят. Значит, взаправду, дело не так уж стоит тут твердо, раз у них самих такие разговоры». Я впился глазами в них и чувствовал, как они у меня горели. Не знаю, что произошло: может быть, подо мною скрипнул стул или это была одна из тех таинственных случайностей, когда люди как будто чувствуют пронизывающий их сзади взгляд. Только Болеслав Корнелиевич внезапно оглянулся и,. заметив мой горящий взгляд, наклонился и что-то тихо сказал Димитрию Федоровичу. Тот ему ответил что-то столь же тихо, и даже они не разговаривали более друг с другом.
Я это так подробно описываю Вам, просто желая дать психологический документ о состоянии ума в его ранней ступени развития. Может быть, Вам это и будет интересным. Вероятно, я смог бы, терпеливо побродив в сумраке воспоминаний, вынести из него на свет еще что-нибудь, может быть даже и ценное (в отношении математического воспитания). Но, говоря откровенно, я боюсь уходить в этот сумрак. А страшусь вынести из него, на дневной свет, какие-нибудь вещи, глубоко связанные с первыми движениями математического ума или математического сознания, которые сильно захватят сейчас меня и лишат
31
меня возможности проследовать намеченным в науке путем. То же, что я рассказал Вам,— это всегда со мною, так как сильно врезалось в память.
Дальше же со мною было следующим образом. Воспитанный на старинных трактатах анализа, я прямо перешел к теории множеств
и теории функций, минуя теорию пределов...
Большая пережитая душевная драма с кривой Вейерштасса заставила меня сосредоточить все внимание на теории функций и, вообще, ка микроматематике, как я называл изучение бесконечно малых структур функций или множеств.
Г П. Бевз
(г. Киев)
О ПОЛНОТЕ РЕШЕНИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Известно, что если задача имеет несколько решений, а ученик найдет лишь некоторые из них, такое решение неполное, и его не принято оценивать высшим баллом. Но в новых школьных учебных пособиях встречаются, и такие задачи, полные решения которых требуют сложных рассуждений, иногда (малодоступных учащимся. Учителя нередко спрашивают, как быть с такими задачами: требовать ли, чтобы ученики обязательно находили все их решения, или же ограничиваться только одним- двумя решениями? На этот вопрос однозначно ответить нельзя, все зависит от того, какую именно конкретную задачу имеют в виду и в каком классе ее решают. Для примера рассмотрим несколько задач из учебного пособия по геометрии для VI класса.
«гНа стороне треугольника постройте точку, равноудаленную от двух других его сторон» (с. 65).
К этой задаче учащиеся обычно дают такой ответ: «Задаче удовлетворяет точка пересечения данной стороны треугольника и биссектрисы противолежащего ей угла». Такой ответ правилен лишь в том случае, если ни один из двух других углов треугольника не тупой. Ведь
при С >90° точка пересечения [АС] и биссектрисы угла В равноудалена от прямых А В и ВС, а не от отрезков АВ и ВС.
«Подходом» к решению задачи при С >90°
может быть рассмотрение случая С — 90°
(рис. 1, а). Само решение при С >90° иллюстрирует рис. 1, б, где (С£>)_1_(ЛС), [DE)~~ биссектриса ADC, /?•= [£>/:)П[ЛС] — иско¬
мая точка.
Если учитель рассматривает в VI классе только первый случай, то условие задачи можно сформулировать так: «На стороне остроугольного треугольника достройте точку, рав¬
ноудаленную от двух других его сторон». В VII классе желательно еще раз решить эту задачу, но уже без ограничений.
В
В
Рис. 1
«Даны две пересекающиеся прямые а и Ъ и отрезок АВ. Постройте отрезок с концами на этих прямых, конгруэнтный и параллельный [АВ]» (с. 82).
Следуя краткому указанию, имеющемуся в методическом пособии «Геометрия в VI классе» (с. 79), учителя нередко ограничиваются только одним решением этой задачи. Шестиклассники (могут и должны найти и второе решение (рис. 2). Желательно сделать вывод о том, что задача всегда имеет два решения.
Рис. 2
32
«Постройте треугольник по основанию, углу при основании и разности боковых сторон» (с. 93 и 109).
Решая эту задачу, обычно рассматривают только случай, когда большей является та из боковых сторон треугольника, которая прилежит к данному углу. Такое решение нельзя считать полным, так как большей может быть и боковая сторона, лежащая против данного угла. В этом случае решение задачи сводится к построению треугольника ABDX по двум данным сторонам \АВ\=а, \ADx\=d и углу между ними, величина которого равна 180° — А (рис. 3). Точка пересечения серединного перпендикуляра к [BD{] с лучом АС ([AC) a [DXC)) является третьей вершиной искомого треугольника ABC,
Рис. 3
Рис. 4
ченного окружностью с большим радиусом, и всех точек плоскости, не принадлежащих открытому кругу, ограниченному окружностью с меньшим радиусом». Такой ответ неполный. Ведь кольцо является и пересечением двух колец, кольца и круга, круга и квадрата без открытого круга (рис. 5) и др. Два-три таких примера желательно рассмотреть с учащимися. Но не следует требовать от шестиклассников, чтобы они и к таким задачам приводили «полные ответы».
Ясно, что при некоторых данных серединный перпендикуляр к [BDi] может и не пересечь луч АС. Полное исследование этой задачи
сложное. Только для случая, когда А <90°, из исследования вытекает, что задача имеет:
2 решения, если cK^acosA; 1 решение, если
a cos А < d < а; 0 решений, если d > а.
Здесь а=\АВ\, d — разность длин боковых сторон треугольника.
Полное решение и исследование этой задачи недоступно большинству шестиклассников. Предлагая им эту задачу, желательно дополнительно указать, чтобы они рассмотрели только один случай.
«Биссектриса одного из углов параллелограмма делит пересекаемую ею сторону на отрезки в А см и 5 см. Вычислите периметр этого параллелограмма» (с. 98).
К этой задаче ученики почти всегда дают только одно решение: 26 см. Такой ответ соответствует случаю, изображенному на рис. 4, а. Но условию задачи соответствует и рис. 4,6, Периметр такого параллелограмма равен 28 см. Полное решение данной задачи доступно для шестиклассников.
«Кольцо можно получить, построив две окружности с общим центром. Пересечением каких фигур оно является?» (с. 102).
К этой задаче обычно дают, такой ответ: «Кольцо является пересечением круга, ограни-
Рис. 5
«Какую фигуру можно получить как пересечение двух углов}» (с. 103).
Данный в учебном пособии ответ («Точку, отрезок, луч, угол, треугольник, четырехугольник») неполный, так как пересечением двух углов может быть и часть полосы, и часть угла (рис. 6). А когда рассматривать и углы, величины которых больше 180°, то их пересечением может быть пара углов, угол и треугольник, а также много других фигур. Думается, что в VI классе достаточно рассмотреть только часть из этих случаев, включая и пустое
множество
Рис. б
1 Для задач на пересечение фигур, как правило, не стоит выдвигать требования полноты решений, так как типичных случаев может оказаться бесконечно много.
2 Математика в школе >6 6
33
«Даны ось симметрии (МК), симметричные точки А и А' и еще одна точка В, такая, что прямая АВ пересекает ось симметрии. С помощью одной линейки постройте точку В симметричную В относительно (МК)» (с. 104).
Для полного решения этой задачи, кроме других случаев, надо рассмотреть и такие, когда (А'В) || (МК) или (А'В)Л(МК). В этих случаях построение можно выполнить одной линейкой, но обоснование таких построений для шестиклассников непонятны. Поэтому в VI классе полного решения данной задачи от учеников требовать нельзя. Формулируя ее, следует сделать замечание, что отрезок А'В не параллелен и не перпендикулярен к (МК).
«Постройте прямую, проходящую через вершину А треугольника ABC, так, чтобы сумма расстояний до нее от вершин В и С была наибольшей» (с. 109).
В ответе к задаче сказано: «Искомая прямая должна проходить через вершину А перпендикулярно медиане к стороне ВС». Такой ответ правилен только для случая, когда угол
А
А острый. Если же А >90°, то искомая прямая должна быть перпендикулярной к \ВС\ (рис. 7). Действительно, сумма расстояний до прямой АР от точек В и С равна \ВС\. А сумма расстояний от В и С до прямой MN, которая проходит через А перпендикулярно
к медиане АО данного треугольника, равна
21 АО |. Если А >90°, то |/?С|>2|ЛО|, если
же А = 90°, то \ВС\ = 2\ АО\. Следовательно, полней ответ к задаче должен быть таким: если угол А острый, то искомая прямая должна проходить через вершину А перпендикулярно к медиане АО данного треугольника; если угол А тупой, то искомая прямая должна проходить через вершину А перпёндикулярно к [ВС]; если угол А прямой, то задаче удовлетворяют обе прямые. Понятно, что рассмотрение всех этих случаев делает задачу очень трудной даже для семиклассников2. Поэтому
2 См.: «Математика в школе», 1973, № 4, с. 28.
ее следует предлагать только сильным ученикам.
«Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон его постоянна. Чему она равна? А если точку взять на продолжении основания?» (с. 110).
Решая эту задачу, обычно показывают, что когда точка принадлежит основанию равнобедренного треугольника, то сумма расстояний ее от боковых сторон равна длине высоты треугольника, проведенной к боковой стороне. Но такое утверждение справедливо только в том случае, когда данный треугольник не тупоугольный. Если же угол при вершине равнобедренного треугольника тупой, то сформулированное в задаче утверждение правильно не для всех точек основания. Пусть, например, дан равнобедренный треугольник ABC с тупым углом В, и пусть на его основании АС дана точка М, достаточно близкая к А (рис. 8), так что расстояние от М до [£С) больше расстояния от М до (ВС). Тогда сумма расстояний |ЛГ/С| + |Л1В| может изменяться в пределах от h до а, где h — большая высота треугольника, а — длина его боковой стороны.
В VI классе рассматривать подобные случаи нет возможности. Поэтому здесь лучше говорить только о свойствах точек, лежащих на основании остроугольного равнобедренного треугольника. Можно иначе изменить формулировку задачи: вместо «боковых сторон» написать «прямых, которым принадлежат боковые стороны».
Замечание. Эта задача есть и в старых учебниках геометрии. Но раньше понятие «расстояние от точки до отрезка» отождествляли с понятием «расстояние от точки до прямой». Сейчас такая точка зрения устарела.
Как видим, даже в учебном пособии по геометрии для VI класса есть немало задач, которые имеют более одного решения и которые требуют некоторых исследований. Учащихся желательно приучать к таким исследованиям и требовать, чтобы они, по возможности, давали полные ответы к задачам. Но делать это
34
следует постепенно и осторожно. На первых порах после решения задачи для какого-ни- будь одного случая можно ограничиться замечанием учителя о том, для какого именно случая найдено решение. Для ряда задач (например, для рассмотренных выше задач о пересечении фигур или задач вида «Разрежьте трапецию двумя прямыми на три равновеликие части») даже в VII классе нет необходимости перечислять все возможные решения. Доста¬
точно, если ученик укажет только два-три решения. Но в старших классах целесообразно разобрать с учащимися, все ли возможные случаи рассмотрены и не имеет ли задача других решений. Хотя и здесь исследование более сложных случаев можно иногда перенести на внеклассные занятия или рекомендовать только тем ученикам, которые проявляют интерес и способности к решению нешаблонных задач.
Ш. МАЙЛИЕВ
(г. Фрунзе)
О САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТАХ ПО ТЕМЕ «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ»
В VI КЛАССЕ
Одним из путей повышения уровня знаний учащихся является правильная организация их самостоятельной работы.
Проводя самостоятельные работы, мы в каждую из них включали 3—5 разного рода упражнений так, чтобы нахождение правильного ответа на один вопрос создавало стимул и возможность для решения следующего за ним задания. Такая логическая связь осуществлялась нами не только между упражнениями одной самостоятельной работы, но иногда и между разными самостоятельными работами.
Приведем примеры заданий для самостоятельной работы по графическому способу решения систем линейных ^уравнений с двумя переменными.
I. Самостоятельные работы, позволяющие раскрывать содержание и объем изучаемого понятия. В конце каждой такой работы даются вопросы, отвечая на которые учащиеся обобщают то, что онч наблюдали. Такая самостоятельная работа сочетается с проведением заключительной беседы.
1. Постройте графики уравнений х + Зу = 5 и у + Зх = 5. Пользуясь графиками, решите систему уравнений
< х + Зу = 5,
IУ “Ь Зх = 5.
К чему сводится графическое решение системы линейных уравнений с двумя переменными?
2. Дана система уравнений У + 2дг=1,
2у + Ах = 2.
Построив графики уравнений, сделайте вы* вод о решении системы уравнений.
3. Постройте графики уравнений системы
| х + Зу = 4,
16у + 2х = 4,
Имеют ли они общую точку?
4. Как графически определяется число решений системы уравнений?
II. При выполнении самостоятельных работ, предназначенных для закрепления пройденного материала, ставятся вопросы, при ответе на которые учащиеся должны привести соответствующие примеры. Это способствуем осмысленному выполнению задания.
1. Решите графически систему уравнений:
|у + Зл=-1, (Зу— * = 1,
а> \.3у — jc —2; б) \ 6у-2х = 2;
f 4х — Зу = 1,
В) \ 6х - 6у = 2.
Укажите, сколько решений имеет каждая из них.
2. Имеет ли решение система уравнений
х + У = 2,
Здг-Ь у = 1, k 2х + у =3?
Определите графически.
3. Приведите пример системы двух уравнений с двумя переменными, которая имела бы единственное решение.
Здесь же может быть предложена и другая самостоятельная работа.
1. На рисунке построены графики уравнений Зу — 2х = 6, у + 2х = 6, у = —2х + 4. Запишите систему уравнений:
а) имеющую одно решение;
б) имеющую два решения;
в) имеющую бесконечно много решений;
г) не имеющую решений.
35
2. Дана система уравнений 7х — 0,7у = 21,
x + (b + 1) у = 4.
Найдите подбором такое число Ь, чтобы данная система имела:
а) единственное решение;
б) бесконечно много решений.
Проверьте решение графическим способом.^
3. Известно, что графики двух уравнений с двумя переменйыми совпадают с осью ординат. Запишите какую-либо систему уравнений, удовлетворяющую этому условию.
III. Контрольно-тренировочные самостоятельные работы проводятся с целью проверки знаний учащихся по определенной порции материала. Предлагаемые в них упражнения в ряде случаев составлены по системе программированного обучения с выборочной системой ответов (ответы составлены с учетом типичных ошибок учащихся).
1. Сколько решений имеет система уравнений,
Зх -f- 2 у = 1,
2х -f Зу = 1, х + у = 1 ?
Ответ: а)одно; б) три; в) бесконечно много; г) не имеет решения.
2. При каких значениях b система уравнений
Г 1,5jc — у = 6,
{ Ьх — 2у = 8 имеет единственное решение?
Ответ: а) b = 1,5; б) b = —3; в) b = 3;
г) при любых значениях Ь.
3. При каких значениях а и с система уравнений
ах — Зу = с,
2х — у = 5
имеет бесконечно много решений?
Ответ: а) а = 2, с = 5; б) а — 6, с = 10;
в) а = —6, с = —15; г) а = 6, с = 15.
IV. Самостоятельные работы, позволяющие углубить знания учащихся и научить применять полученные знания при выполнении различных заданий, развивают их творческое мышление.
1. Проходит ли график уравнения у = 1,5дс через точку (2; 3)?
2. Известно, что при х — 2 выражение у = Зх + b принимает значение, равное 9. Найдите значение Ь, удовлетворяющее этому условию, и запишите соответствующее уравнение.
3. При каком значении а график уравнения у — ах + 3 проходит через точку (3; 5)? Запишите это уравнение.
4. Прямая проходит через точки (3; 2) и (—3; —1). Запишите уравнение этой прямой.
5. Можно ли однозначно указать уравнение прямой, проходящей через точку (2; 3)? Сколько таких прямых может быть? При каком дополнительном условии можно записать уравнение только одной прямой?
Можно в данном случае предложить и другую работу.
1. Дано уравнение 2х + у = 2. Составьте еще одно уравнение, имеющее с данным единственное общее решение. Полученный ответ проверьте графическим путем.
2. Постройте график уравнения 2х — у — 5. Проведите другую прямую так, чтобы она имела с данной прямой одну общую точку. Запишите систему уравнений, графиками которых являются построенные прямые. Укажите ее решение.
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной:
а) прямыми у — 2х = — 2, у = л; + 8
и осью абсцисс;
б) прямыми у = —2х — 1, у + Зх = 2 и осью ординат.
В. Г. Мазур
(г. Киев)
К ВОПРОСУ О ВЗАИМОСВЯЗИ ГЕОМЕТРИИ И ЧЕРЧЕНИЯ
Связь геометрии и черчения обуславливается тем, что геометрия дает теоретические основы для черчения, а навыки построения, получаемые в процессе обучения черчению, используются на уроках геометрии.
Такие вопросы черчения, как деление окружности и отрезка прямой на конгруэнтные части, построение касательных к окружностям, построение плоских фигур и др., особенно близки по своим приемам и терминологии к геометрии.
На уроках черчения при изображении геометрических тел на плоскости учащиеся должны отчетливо представлять себе характерные особенности формы каждого из них, уметь различать призмы, цилиндры, конусы и др., хотя в курсе геометрии они в нужном объеме еще не рассматривались. Поэтому учителю черчения приходится сообщать учащимся те сведения» с которыми им предстоит познакомиться в курсе геометрии несколько позже.
Известно, что по новым программам по черчению в VII классе должны быть изучены теоретические основы и практика построений проекционных чертежей геометрических тел.
В курсе геометрии вопросы построения наглядных изображений геометрических тел рассматриваются позже, в конце VIII класса, в процессе пропедевтического изучения элементов стереометрии.
К сожалению, в практике работы многих школ слабо осуществляются связи и координация между учителями черчения и геометрии.
Более того, нередко учитель черчения учит одним построениям, а учитель геометрии в том же самом случае рекомендует другое построение, вследствие чего прочность чертежных умений и навыков снижается.
Учителя математики это мотивируют тем, что аккуратное и точное изображение тел требует много времени, которого нет на уроках математики. Учащиеся воспринимают это обстоятельство так, что аккуратное и точное построение геометрических тел и их элементов излишне. Такая, на наш взгляд, недопустимая «взаимосвязь» геометрии с черчением приводит к тому, что на выпускных экзаменах в X классе и на вступительных экзаменах в вузы учащиеся затрудняются правильно ил¬
люстрировать стереометрические задачи и по этому получают заниженные оценки.
Наш опыт работы в школе убеждает, что учителю необходимо владеть теорией и практикой построения наглядных изображений геометрических тел.
На уроках черчения изучаются два вида аксонометрических проекций: косоугольная
диметрическая и прямоугольная изометрическая.
Рассмотрим построение косоугольной ди- метрической проекции куба.
Представим себе, что проволочная модель куба ABCDEFKL подвешена на классную доску.
Построим пространственные оси Ох, Оу и Oz так, чтобы (Ох) и (Oz) лежали в плоскости классной доски (точки О и С совпадают). Лучи ON и ОТ противоположно направлены лучам Ох и Oz соответственно (рис. 1). Про-
Рис. 1
ведем биссектрису Оу' прямого угла NOT. На луче Оу' отложим отрезок ОМ, конгруэнтный стороне куба. На отрезке ОМ как на диагонали построим квадрат и проведем вторую диагональ квадрата. Точку пересечения диагоналей обозначим через К'.
Если из вершины К провести косой проектирующий луч ККто проекция стороны куба (отрезка С/С) есть отрезок СК'.
Из данного построения нетрудно определить коэффициент искажения размеров по оси Оу, т. е. отношение длины проекции отрезка, параллельного оси Оу, к длине самого отрезка:
К = l93'J = 05 \СК\ ’
Наглядное изображение куба получается при помощи проектирующих лучей FF\ ЕЕ' и LLпроведенных параллельно установленному направлению проектирования [КК').
Поскольку вершины грани ABCD лежат в плоскости доски, то для получения косо¬
37
угольной проекции куба достаточно их соединить с проекцией передней грани — E'F'K'L'.
В связи с тем что направление проектирования [КК') не перпендикулярно к плоёкости проекции, полученное наглядное изображение называют косоугольной проекцией.
Из данных построений можно сделать выводы:
1. Отрезки, параллельные осям Ох и Oz, изображаются без искажения, потому что оси Ох и Oz лежат в плоскости, на которой выполняются изображения. Следовательно,
is I СDI 1 is I ВС | 1
А* I CD | ’ Аг—|ВС| — *•
2. Отрезки, параллельные оси Оу, изображаются под углом 45° к лучу ON (рис. 1) с коэффициентом искажения Ку = 0,5.
Прямоугольной изометрической проекцией называется аксонометрическая проекция, у которой коэффициенты искажения по всем трем координатным осям равны, а углы между проекциями координатных осей составляют 120°.
Рассмотрим три взаимно перпендикулярные плоскости V, W, Н. Они пересекаются по прямым Ох, Оу и Oz (рис. 2). Отложим на этих прямых отрезки: [ОХ] ^ [ОУ] ^ [OZ]. Очевидно, что треугольник XYZ равносторонний.
Рис. 2
/\
треугольник XYZ равносторонний, то XO'Z —
/\ /\
= XO'Y = YO'Z = 120'. Таким образом, проекции осей Ох и О у — прямые О'Х и O'Y расположены под углами 120° к проекции оси Oz.
Коэффициенты искажения;
К \°’х\ • ^ Ю'П . г \Q'Z\
Ajf~~ \ОХ\ ’ j OK I ’ А* |OZ| *
Все эти отношения равны между собой, так как их числители есть длины катетов, а знаменатели— длины гипотенуз конгруэнтных треугольников. Отсюда ясно, что коэффициенты искажения меньше единицы: Кх — Ку = = KZ< 1.
Теоретический показатель величины искажения равен 0,82.
В практике построения аксонометрии пользуются не теоретическими, а условными коэффициентами искажения, что значительно упрощает построение изображений. Больший из показателей искажения принимается равным 1. При этом аксонометрическое изображение получается увеличенным: для изометрии— в 1:0,82 = 1,22 раза, для диметрии — в 1 : 0,94 = 1,06 раза.
Укажем кратко способы построения наглядных изображений некоторых плоских геометрических фигур в изометрической и косоугольной диметрической проекциях.
Квадрат со стороной а. Вдоль оси Ох откладывают сторону квадрата. По оси Оу.откладывают отрезок: длины а для изометрии (рис. 3,а), длины а/2 для косоугольной диметрической проекции (рис. 3,6).
При помощи луча ОО', перпендикулярного плоскости треугольника XYZ, спроектируем начало координат — точку О — на плоскость (XYZ).. Соединим проекцию О' с точками X, У и Z, получим проекции отрезков ОХ, ОУ и OZ на плоскость (XYZ), т. е. [О'Х], [О'У] и [O'Z].
Проектирующий луч ОО' вместе с отрезками OX, OY, OZ и их проекциями на плоскость (XYZ) образовал три конгруэнтных прямоугольных * треугольника: Д ОО'Х =
S Д OO’Y ^ Д OO Z (треугольники имеют общий катет ОО' и [OX]^[OY]^[OZ]). Следовательно, [O' X]^[0'Y \~[0’ Z]. Поскольку
Рис. 3
Правильный треугольник со стороной а и высотой Н. Середину основания треугольника— точку О — принимают за начало лучей Ох и Оу. По оси Ох по обе стороны от точки О откладывают отрезки длины а/2. По оси Оу откладывают отрезок длины Н для изометрии (рис. 4, а) и Н/2 для косоугольной проекции (рис. 4,6).
Правильный шестиугольник со стороной а. По оси Ох вправо и влево от точки О
38
Рис. 4
откладывают отрезки, конгруэнтные стороне шестиугольника. По оси Оу откладывают отрезки, длина которых равна: а) рас¬
стоянию S между противоположными сторонами шестиугольника для изометрии (рис. 5,а); б) половине этого расстояния для косоугольной проекции (рис. 5,6). Дальнейшее построение очевидно из рис. 5.
S)
Рис. 5
Наибольшее число ошибок в построении аксонометрических проекций цилиндра, конуса, шара следует отнести за счет неправильного изображения окружностей в аксонометрии.
Известно, что прямоугольная проекция окружности есть эллипс. Стандарт допускает заменять эллипс четырехцентровым овалом. Существуют различные способы построения овалов. Рассмотрим простейший по рис. 6. Дана окружность диаметра d. Через ее центр О
резков 02Ai и 02Л4 с прямой BD — через 03 и 04. Из точки Oi радиусом R = |OH2| проводим дугу А2МАЪ, а из точки 02 тем же радиусом — дугу AiNA*. Радиусом /?1=|04Л4| проведем дуги А\КА2 и Л3СЛ4 из центров 03 и 04. При таком построении длина большей оси эллипса (Б. О.) | /СС| = 1,22d, а малой оси эллипса (М. О.) |MN| =0,7d.
В косоугольной диметрической проекции окружности в плоскости XOZ изображаются без искажения, а на двух других координатных плоскостях — в виде эллипсов, у которых Б. О. равна 1,06d и М. О. — 0,35d.
При изображении геометрических тел, ограниченных шаровой поверхностью, учите-* лю приходится сталкиваться с построением шара в аксонометрии, что вызывает некоторые затруднения. В прямоугольных изометрических проекциях шар изображается окружностью, диаметр которой равен 1,22d. Эта окружность касается трех эллипсов, полученных в результате сечения шара одной экваториальной и двумя меридиональными плоскостями (рис. 7, а).
Чтобы не ошибиться при построении вспомогательных эллипсов, необходимо помнить следующее: в прямоугольных изометрических проекциях большая ось эллипса всегда перпендикулярна той изометрической оси, которая не лежит, в плоскости, содержащей изображаемую окружность. Например, из рис. 7,6 видно: [АВ] ± (Oz), [DC] JL (Оу)ш
Я
Рис. 6
Рис. 7
проведены две взаимно перпендикулярные прямые BD и 0\02 и оси Ох, Оу так, чтобы углы между прямыми BD и Оу, BD и Ох были равны 30°. Точки пересечения осей с окружностью обозначим через Ль Л2, Л3, Л4, а от-
[FE] _L (Ох). Малые оси эллипсов на рис. 7, б изображаются соответственно параллельно прямым Oz, Оу, Ох.
Процесс построения овалов в несколько раз ускоряется, если применять шаблоны.
39
А. Ф. Бычков
(с. Мокрый Мичкас Пензенской обл.)
ОДНА ИЗ ФОРМ РАБОТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО КАБИНЕТА
Важным средством содействия активности самостоятельной работы учащихся, развития навыков правильного и изящного оформления решения задач служит школьный математический кабинет, в котором необходимо накапливать соответствующий материал. С этой целью: 1) мы отбираем лучшие работы учащихся и оставляем их в кабинете, 2) специально для кабинета учитель составляет примеры выполнения учащимися решения некоторых задач и 3) даем несколько дополнительных интересных задач, вполне соответствующих школьному курсу.
Работы выполняются на чертежных форматках, листах из тетрадей для рисования или даже листах из обычных тетрадей «в клетку» и складываются в отдельные папки по темам.
Наличие таких материалов в кабинете в условиях сельской школы особенно ценно: ведь ученики сельских школ очень мало видят математической литературы, кроме учебников, а здесь, в «своем» кабинете, они могут познакомиться с хорошими, проверенными учителем работами товарищей.
Нередко приходилось наблюдать, как учащиеся группами в 3—5 человек рассматривали такие папки и в дальнейшем старались не только подражать предложенным образцам, но сделать еще лучше, еще интереснее. Так обогащался наш кабинет.
Приведу по одному примеру на каждый из указанных видов работ.
1) Ко времени решения задачи № 2 из С-20 (к п. 45, «Геометрия 6») с учащимися были рассмотрены теорема о средней линии треугольника, задача о точке пересечения медиан треугольника (№ 48 из «Задач на повторение к главе I»), свойства и признаки параллелограмма, в том числе задача 1 г) к п. 45.
После того в одном из заданий на дом условие задачи № 2 (С-20 к п. 45) было несколько изменено следующим образом:
Три точки Л, В, С являются вершинами разностороннего треугольника. Постройте параллелограмм, считая точки А, В, С его вершинами. Сколько решений имеет задача?
Одному из учеников было предложено выполнить чертеж к задаче на большом листе бумаги цветными карандашами, провести диа¬
гонали в каждом параллелограмме (рис. 1) и ответить на вопросы:
а) Найти периметр каждого параллелограмма, если \АВ\ — с, \ВС\ — а, \СА \ = Ь.
б) Будет ли фигура К\ВКгАК2С треугольником и почему?
в) Чему равен его периметр?
г) Почему диагонали построенных параллелограммов, проведенные из вершин Ки К2, Кз, пересекаются в одной точке?
д) Чему равны отношения \К\М\:\МА\, \К2М\ : \МВ\9 \КгМ\ : \МС\?
Ответы ученика.
а) Так как противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны, а значит, длины их равны, то периметры параллелограммов К\ВАС, К2СВА, КъАСВ равны соответственно 26 + 2с, 2с + 2а, 2а + 2Ь.
б) [ЛДз] || [СВ] и [АК2] II [СВ], значит, по аксиоме параллельных [К2АК3] —один отрезок. То же можно сказать и об отрезках [KzBKi] и [К1СК2]. Отсюда следует, что К1К2К3 — треугольник.
в) Периметр AKifcK3 равен 2с + 2а+ 26 на основании конгруэнтности противоположных сторон параллелограмма.
г) Диагонали построенных параллелограммов [К\А]У [К2В] и [/СзС] являются медианами АКг^Кг, следовательно, они пересекаются в одной точке М.
д) Используя свойство этой точки, найдем:
I KiM :\МА I = (3 + 1) :2 = 4:2 = 2: 1;
IК2М : \МВ\ =2:1; \К*М\ : \МС\ =2: 1.
В классе после рассказа ученика о своей работе учителем были поставлены вопросы: какие особые свойства построенных фигур можно указать, если ААВС будет: а) прямоугольным, б) равнобедренным, в) прямоугольным равнобедренным, г) равносторонним? Нескольким ученикам было предложено приготовить к дополнительным вопросам большие чертежи с краткими пояснениями.
Позднее, когда была выведена формула длины медианы треугольника по данным его сторонам, к изготовленным чертежам неоднократно возвращались и установили, что мож¬
40
но точно вычислить периметр любого из изображенных на них треугольников и затем найти погрешность непосредственного измерения тех же величин.
2) Функция f(x) задана графиком на множестве [—6; 9] (рис. 2). Известно, что график проходит через точки (—6; 5), (—3; 0), (4; 0), (9; 10).
Рис. 2
Ответьте на следующие вопросы.
а) При каких значениях х f(x) <0; f(x) =0;/(*) >0?
б) Подберите формулу, которой может быть задана f(x).
в) Чему равно наименьшее значение f(x)?
г) Найдите множество значений f(x).
д) При каких значениях х. f(x) убывает, возрастает?
е) Постройте график |/(л:) |. Найдите область определения |/(л;)| и множество ее значений.
ж) Постройте графики: 1) симметричный
данному относительно оси Ох и 2) симметричный данному относительно оси Оу (лучше карандашами разного цвета).
Объясните, почему каждым из них задается функция. Укажите для каждой из них область определения и множество значений.
Пользуясь найденной в 26) формулой, напишите формулы, которыми могут быть заданы каждая из двух полученных функций.
з) Если построить график, симметричный данному относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (или второго и четвертого), то полученные графики дадут соответствия, которые не являются функциями. Объясните, почему.
Решение, a) f(x) < 0 при — 3 < х < 4; f(x) = 0 при х = — 3 и х = 4;./(*) > 0 при —6 —3 и 4 < х ^ 9.
б) Предполагаем, что на рис. 2 дан график квадратного трехчлена (парабола), т. е./(jt) = = ах2 + Ьх + с при — 6 <; х < 9.
Из графика следует, что корни трехчлена
—3 и 4, следовательно, по теореме Виега: -3 + 4= и _3-4 = —, т. е. 6 = -а,
' а а ’ .
с = —■ 12а; значит, / (х) = ах2 — ах — 12а.
Также из графика имеем /( — 6) = 5, откуда а(—6)2 — а (—6)— 12а = 5, следовательно, а = 1/6.
1 1
Итак, / (л:) = х2
х — 2. Найдем
/(9) = 10; то же дано и на графике.
в) Наименьшее значение квадратного трехчлена при а^>0 —это ордината вершины его графика (параболы). Абсцисса ее равна полусумме корней трехчлена, следовательно, в дан-
—3+4 1 0
ном случае —гр— ±= —. Значит, ордината
вершины — наименьшее значение / (л) — равно
JL.fJLY L.J 2 — — 2 —
6 V 2 / 6 2 24 '
г) Множество значений / (л:) — £
Д) / С*) убывает при — 6 <.*:■< 0,5, возра стает при 0,5<л:<<9.
е) Область определения |/(х)| та же, что и f (хт. е. — 6 < х < 9; множество значений — [0; 10].
ж) График, симметричный данному относительно оси Ох, задает функцию fi(x) на промежутке [—6; 9], так как каждому значению —6 ^ х ^ 9 соответствует единственная точка графика. Значения fi {х) противоположны значениям f(x), поэтому
fi(x) - - 4“ *2 + ТГ-* + 2*
График, симметричный данному относительно оси О у, задает f2(x) на промежутке [—9; 6], так как каждому значению —9 ^ х ^ 6 соответствует единственная точка графика. График пересекает ось Ох в точках (—4; 0) и (3; 0). Множество значений f2(x) то же, что и f{x). f2(x) может быть задана формулой
/2(х) = -\-х2 + -±-х-2.
з) Перпендикуляры к оси Ох из некоторых ее точек пересекают каждый из построенных графиков не в одной точке, а в двух. Так, например, ось Оу пересекает первый из этих графиков в точках (0; 4)
и (0; —3), а второй — в точках (0; 3) и (0; —4).
Отсюда следует, что построенные графики не задают функций.
Примечание. Ответы к п. е), ж) и 3) сопровождаются графиками.
3) Задача. Дано: квадрат ABCD (рис. 3).
Рис. 3
[BD] — его диагональ, Е — середина [ВС], F — середина [CD],
а) Докажите: диагональ BD делится отрезками АЕ и AF на три конгруэнтных отрезка (воспользуйтесь задачей 48 из «Задач на повторение к главе I» в учебном пособии «Геометрия 6»).
б) Вычислите периметр треугольника АВЕ, если \АВ\ = а.
в) Докажите, что площадь пятиугольника KECFL равна одной трети площади квадрата ABCD.
г) Если в условии задачи квадрат ABCD заменить параллелограммом произвольного вида и выполнить аналогичные построения, то диагональ BD также разделится на три конгруэнтных отрезка (докажите).
Консультация
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ
(Москва)
НА НУЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!
На экзаменационной работе по алгебре и элементарным функциям было предложено задание: «Может ли выражение
cos(l,5rc + 6jc) — sin (—2х)
1 + cos (—Ах)
принимать значение 2?»
Выпускник (претендент на золотую медаль) после несложных преобразований привел выражение (1) к виду
2 sin 2х cos8 2х
cos2 2.* ' ' ^
Приравняв это выражение к числу 2, он получил уравнение
2sin 2х cos8 2х /Ч\
cosTZic 2* W
Корнями этого уравнения могут быть лишь числа, при подстановке которых знаменатель в левой части уравнения (3) не обращается в нуль. Но если при некотором х знаменатель не обращается в нуль, то дробь можно сократить, и мы приходим к более простому уравнению
2 sin 2а;=2. (4)
Корнями этого уравнения являются числа + kic (где k — произвольное целое число). Только эти числа и могли бы быть корняма уравнения (3). Однако при подстановке любого из них знаменатель в левой части уравнения (3) обращается в нуль. Таким образом, уравнение (3) не имеет корней, и потому выражение (1) ни при каком х не принимает значение 2.
Казалось бы, все ясно? Однако выпускник не удовольствовался этим. Заметив, что при
х = + —Ь къ выражение cos2 2х принимает
значение 0, он приходит к выводу, что при этих х числитель и знаменатель дроби (2), а потому и дроби (1), обращаются в нуль,
т. е. дробь принимает вид Вспомнив
далее, что где-то в справочниках выражение
0 « -Q- названо неопределенностью и, вроде бы,
указано, что эта неопределенность может принимать любое значение, ученик рассуждает следующим образом: поскольку при
JC-±-f+>*
дробь (1) представляет собой «неопределенное число» -Q-» которое может равняться
любому числу, то значит, эта дробь может быть равна и 2.
Этот вывод явно противоречит предыдущему: рассуждение, связанное с решением уравнения (3), показывает, что дробь (1) ни при каком х значение 2 не принимает, а сообра-
0
жения, связанные с «неопределенностью -q-»,
показывают, вроде бы, что эта дробь может равняться 2. Неудивительно, что оценка за работу была снижена; об этом в редакцию журнала «Математика в школе» сообщили учителя математики Алманчиковской средней школы Батыревского района Чувашской АССР.
Чтобы не было неясностей, разберемся в этом вопросе подробнее. Вопрос «Может ли выражение f(x) принимать значение а?» означает то же самое, что и вопрос «Имеет ли уравнение f(x)=a хотя бы один корень?» Согласно определению, число х0 называется корнем уравнения f(x)=a, если, во-первых, лго принадлежит области определения функции f(x) и, во-вторых, значение этой функции в точке х0 (т. е. f(x0)) равно а. В данном случае числа + + k-iz не принадлежат об¬
ласти определения функции (2), т. е. не удов¬
42
летворяют первому условию. Остальные же числа не удовлетворяют уравнению (4), а значит, и уравнению (3). Таким образом, уравнение (3) не имеет корней, а потому выражение (1) ни при каком х не принимает значение 2. Таков правильный ответ.
Что же касается вопроса о «неопределенности то он не имеет к поставленной задаче никакого отношения. Учащийся напрасно стал рассуждать о вещах, знакомых ему лишь понаслышке, это его и подвело. Неопределенностью называется выражение lim f (х)
х->х0
при условии, что х0 либо не принадлежит области определения функции / (х), либо не является точкой непрерывности этой функ-
, где
?(*)
«К*)
ции. В частности, если / (х) ■■
функции ср(х) и ф(х) определены и отличны от нуля вблизи дг0, а в самой точке х0 обе обращаются в нуль, то выражение lim / (х) =
х->х0
= lim ?представляет собой неопределен-
х->х0 т W
ность. Эту неопределенность условно выражают записью -jj-. Таким образом, -jj- не есть
какое-то мифическое «неопределенное число», а представляет собой условное обозначение того, что рассматривается предел дроби
ПРИ х> приближающемся к такой точке *о, в которой и числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль.
Когда речь идет о том, является ли х0 корнем уравнения f(x)=^a, мы должны произвести подстановку числа х=х0 под знак функции /(.*), а вовсе не рассматривать пре-
В помощь преподавателям профтехучилищ
Н. К. БЕДЕНКО. Л. М. ПАШКОВА,, Н. М. РАЙСКИЙ
(Москва)
К УСТНЫМ ЭКЗАМЕНАМ ПО ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНИХ ПРОФТЕХУЧИЛИЩАХ
В 1976/77 учебном году учащиеся вторых курсов средних профтехучилищ, изучающие геометрию по новой программе, сдают устные выпускные экзамены по этому предмету. .
дел lim/(л;) (независимо ot 15f6, Пред
Х~>х0
ставляет он собой неопределенность или нет). Таким образом, пределы и неопределенности никакого отношения к решению уравнений не имеют (так же как и к решению задач вида: «Принимает ли данная функция f(x) значение а?»).
Далее, фразу «неопределенность ~ может
быть любым числом & вовсе не следует понимать в том смысле, что при ср (х0) = ф (л:0) = 0 неопределенности
ПтШ-
х+х0 ♦<*)
можно по желанию приписать любое значение. Напротив, этот предел (если он существует) есть вполне определенное число (зависящее, конечно, от того, какие функции ф(*), ф(лг) были взяты).
Например, если через / (х) обозначить функцию (1) или (2), то lim f (х) равен 2 при
х^х0
х^ = -j- + kn и равен — 2 при лг0 = —+ + Ьъ.
Таким образом, мнение о том, что конкретную неопределенность вида -Q- (в данном
случае дробь (1)) можно считать равной любому числу, неправильно.
Еще раз подчеркнем, что разговор о неопределенностях зашел попутно (поскольку об этом упоминалось в письме из Чувашии). При решении задач, связанных с нахождением значений функций (и в частности, при решении уравнений), следует неукоснительно придерживаться хорошо известного правила: на нуль делить нельзя.
Экзамены проводятся в соответствии с «Инструкцией о переводе и выпуске учащихся средних профессионально-технических училищ». Третьи курсы всех средних профтехучилищ продолжают заниматься по ранее действовавшей программе. На третьем курсе сдают два устных экзамена (по геометрии и по алгебре и началам анализа) по текстам билетов предыдущего года.
Предстоящие выпускные экзамены на втором курсе будут проводиться по новым билетам. Тексты типовых билетов для экзамена имеют рее местные органы профтехобразования. Каждый билет состоит из трех заданий. Первое предусматривает доказательство того или иного теоретического положения, при ответе на второй вопрос по теории не требуется доказательства. Третье задание состоит в про¬
43
верке умения применять полученные знания при решении практических задач.
Ниже приведены теоретические вопросы экзаменационных билетов, сгруппированные по темам, чтобы было удобнее проводить повторение. В скобках указан номер билета, в котором стоит данный вопрос. Теоремы, доказывать которые не требуется, помечены звездочкой. Рядом с названием темы указано, сколько часов можно отвести на ее повторение.
I. Основные понятия стереометрии.
Параллельность в пространстве (3 ч)
Признак скрещивающихся прямых* (16). Признак параллельности прямой и плоскости (1). Теорема о трех параллельных прямых. Транзитивность параллельных прямых (4). Признак параллельности плоскостей (2). Свойства параллельной проекции фигуры* (12).
II. Преобразования пространства. Векторы.
Координатный метод в пространстве (4 ч)
Свойства центральной симметрии пространства* (15). Признак коллинеарности векторов* (13). Свойства умножения вектора на число* (18). Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам (5). Теорема о двух выпуклых углах с соответственно сонаправленными сторонами (6). Определение скалярного произведения векторов и его свойства * (21), Переместительное, сочетательное и распределительное свойства скалярного умножения векторов* (19).
Правила сложения и вычитания векторов, заданных координатами* (3). Правило нахождения скалярного произведения векторов, заданных координатами* (11). Формула для вычисления длины вектора, заданного координатами * (2). Свойства гомотетии пространства *(9).
III. Перпендикулярность в пространстве.
Двугранные и многогранные углы (4 ч)
Признак перпендикулярности прямой и плоскости (7). Проведение перпендикуляра к плоскости (8). Теорема о параллельности двух перпендикуляров к одной плоскости (9).Свойства осевой симметрии пространства * (6). Свойства симметрии относительно плоскости* (17). Теорема о трех перпендикулярах (10). Угол прямой с плоскостью (3). Двугранные углы. Измерение двугранных углов* (20). Признак перпендикулярности плоскостей (11). Сзойст^з плоских углов трехгранного угла * (14).
IV. Многогранники (3 ч)
Теорема о центре симметрии параллелепипеда (13). Свойства параллелепипеда * (4). Формула для вычисления площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость* (10). Формулы для вычисления площади поверхности и объема призмы * (5).Теорема о сечении пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию (12). Правильные многогранники. Примеры правильных многогранников* (7). Объем прямой призмы (17). Объем наклонной призмы (18). Объем пирамиды (19).
V. Фигуры вращения (4 ч)
Формулы для вычисления площади поверхности и объема цилиндра * (8). Уравнение сферы с центром в начале координат (14). Теорема о пересечении сферы и плоскости (15). Свойство плоскости, касательной к сфере (16). Объем цилиндра (20). Объем конуса (21). Формулы для вычисления площади сферы и объема шара * (1).
*
Задачи к билетам, как и раньше, составляют сами преподаватели в соответствии с указаниями, данными в билетах. Приводим примерные тексты задач к типовым билетам по новой программе курса геометрии. Рядом с номером билета указана тема, по которой составлена задача. В скобках даны номера упражнений из учебных пособий по геометрии для IX и X классов. Преподаватель может предложить на экзамене задачу, аналогичную этим упражнениям.
№ 1. Сечение многогранников (61—64, «Геометрия 10»)
В правильной треугольной призме провести сечение, проходящее через сторону нижнего основания и центр верхнего. Определить вид сечения.
№ 2. Вычисление объема конуса (244—246, «Геометрия 10»)
По данной модели конуса найдите его объем. Более сложная задача: по данной развертке боковой поверхности конуса найдите его объем.
№ 3. Конус (208—212, «Геометрия 10»)
По модели данного конуса найдите площадь его осевого сечения, угол наклона образующей к плоскости основания. (Для профессий, связанных с металлообработкой, вторую часть задания можно сформулировать иначе: найдите «конусность» модели, детали.)
44
№ 4. Трехгранный угол (396—398, «Геометрия 9»)
Величины двух плоских углов трехгранного угла равны 90° и 40°. Каким может быть величина третьего плоского угла? (Задание можно дополнить, попросив сделать макет трехгранного угла с плоскими углами 90°, 40° и 120°,)
№ 5. Плоскость, касательная к сфере (231—233, «Геометрия 10»)
По данной модели шара найдите его радиус и вычислите площадь сферы.
№ 6. Площадь поверхности многогранника (81—84, 94—96, 101, «Геометрия 10»)
По данной модели пирамиды найдите площадь ее полной поверхности.
№ 7. Сечения сферы и шара (217, 223, 224, 228, «Геометрия 10»)
Сфера л:2+у2+22 = 81 пересечена плоскостью х = 4. Найдите радиус сечения.
№ 8. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам (211—214, «Геометрия 9») В параллелепипеде ABCDA1B1ClDl вектор
>. > -> V ->
АХС разложите по векторам ВС = а, АВ=Ь, ВВ^с.
№ 9. Вычисление объема цилиндра (239— 241, «Геометрия 10»)
По данной развертке боковой поверхности цилиндра найдите его объем (два случая).
№ 10. Цилиндр (196—201, «Геометрия 10») Изменится- ли полная поверхность цилиндра, образованного вращением прямоугольника со сторонами а и 6, если в одном случае оси вращения принадлежит отрезок а, а в другом Ь(а>6)?
№ 11. Вычисление площади поверхности фигуры вращения (200, 213, 214, 262, 264, 265, «Геометрия 10»)
По данной развертке боковой поверхности конуса вычислите полную поверхность этого конуса.
№ 12. Перпендикулярность прямой и плоскости (274—277, «Геометрия 9»)
Найдите множество точек в пространстве, равноудаленных от вершин прямоугольника.
№ 13. Теорема о трех перпендикулярах (337, 338, «Геометрия 9»)
Точка А равноудаленная от вершин правильного треугольника со стороной 9 см, находится от плоскости этого треугольника на расстоянии 5 см. Найдите: а) расстояние от точки D до вершин этого треугольника; б) расстояние от точки D до прямых, содержащих стороны этого треугольника.
№ 14. Скалярное умножение двух векторов (221—226, «Геометрия 9»)
Если а ± Ь, то (а + b)2— (а — Ь)2 =0. Доказать.
№ 15. Координаты точки и вектора (8—13, 18—21, «Геометрия 10»)
->■
Вычислите угол между векторами а— (—2;
3; 1) и Ь=(5; 7; -4).
№ 16. Вычисление объема многогранника (134, 135, 137, 139, 141, «Геометрия 10»)
Вычислите объем детали по размерам, данным на чертеже этой детали. (Деталь имеет форму многогранника или комбинации многогранников.)
№ 17. Уравнение сферы (219—221, 224, 225, «Геометрия 10»)
Какая фигура является пересечением сферы х2-\-у2-\-г2 = 9 и плоскости = 4?
№ 18. Вычисление площади ортогональной проекции многоугольника (72—75, «Геометрия 10»)
Четырехскатная крыша перекрывает площадь в 28 м2. Все скаты крыши наклонены к потолку под углом 45°45'. Найдите площадь крыши.
№ 19. Параллельность плоскостей (92—94, 96, «Геометрия 9»)
На основании модели правильной четырехугольной пирамиды дана точка. Проведите на модели след секущей плоскости, проходящей через данную точку параллельно грани.
№ 20. Сложение и вычитание векторов (179—185, 187—190, «Геометрия 9»)
Дан параллелепипед ABCDAlB]ClDl. Найдите сумму векторов AD + А {В + DAl +
+ В\С\*
№ 21. Построение сечений (53, 54, 56, «Геометрия 9»)
Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки М (М^(АВС)), N(NeE[DB]y |DyV| = |N5|) и E(Et=[AB]).
При ьыполнении этих заданий измерения на моделях следует делать штангенциркулем, а вычисления — с помощью логарифмической линейки. Желательно, чтобы учащиеся вычисляли погрешность результата. Модели для экзамена должны быть пронумерованы. Все необходимые замеры и соответствующие вычисления преподавателю следует сделать предварительно, с тем чтобы на экзамене комиссия могла быстро проверить выполнение задания учащимся.
А. Н. ГАНЖЕЛА
(Кировоград)
О ПРЕЕМСТВЕННОСТИ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНИХ ПРОФТЕХУЧИЛИЩАХ
Для того чтобы не нарушить преемственности в обучении между восьмилетней школой и средним профессионально-техническим училищем, преподаватели ПТУ должны изучить программы и учебники восьмилетней школы. При этом не следует игнорировать тот факт, что часть учащихся, поступающих в профтехучилища, имеет серьезные пробелы в знаниях по математике. Поэтому перед педагогами стоит задача своевременно выявить и ликвидировать эти пробелы. С этой целью перед изучением каждой новой темы можно провести фронтальный опрос по материалу восьмилетней школы, математический диктант или самостоятельную работу. Хорошо было бы уделить несколько минут повторению того материала восьмилетней школы, который используется в новой теме.
С учащимися необходимо повторить математическую символику, так как без знания этой символики невозможно дальнейшее изучение математики. Для этого целесообразно изготовить таблицу «Применение теоретикомножественной символики в курсе геометрии» и постоянно пользоваться ею.
Курс геометрии для первого года обучения в средних профтехучилищах тесно связан с восьмилетней школой. Укажем, что необходимо вспомнить с учащимися при изучении первой техмы «Основные понятия стереометрии. Параллельность в пространстве».
Прежде всего нужно повторить основные понятия планиметрии (точка, прямая, плоскость, расстояние между двумя точками) и определение параллельности прямых.
Следует обратить внимание учащихся на то, что аксиомы плоскости справедливы и в пространстве. Преподавателю стоит максимально использовать аналогию при рассмотрении этих вопросов. С этой целью полезно изготовить таблицу, на которой слева были бы выписаны все аксиомы планиметрии, а справа оставлено место, куда по ходу изучения выписывались бы аксиомы стереометрии.
Все аксиомы необходимо наглядно иллюстрировать и по возможности показывать применение их в производственной практике.
При рассмотрении темы «Взаимное расположение двух прямых в пространстве» целесообразно повторить вопрос о взаимном
Таблица 1
расположении двух прямых на плоскости по табл. 1.
С взаимным расположением прямых учащиеся профессионально-технических училищ встречаются при разметке деталей из заготовок. Поэтому на эти уроки желательно принести заготовки с разметками, которые они делают на уроках производственного обучения. Рассмотрев расположение разметок, можно предложить учащимся составить самостоятельно таблицу взаимного расположения прямых в пространстве.
Взаимное расположение прямой и плоскости учащиеся изучали в VIII классе. Этот материал следует повторить по табл. 2.
Таблица 2
ПРЯМАЯ
ПАРАЛЛЕЛЬНА
ПЛОСКОСТИ
а п а=Ф
а л 'й=а
ПРЯМАЯ
пересекает
ПЛОСКОСТЬ
£7)
айй-К
Изучение свойств параллельных прямых в пространстве, желательно начать с повторения свойств параллельных прямых на плоскости.
На плоскости параллельные прямые обладают следующими свойствами: рефлексивностью (а\\а), симметричностью (если а\\Ь, то Ь\\а) и транзитивностью (если а\\Ь и Ъ\\с, то а\\с).
Целесообразно повторить эти свойства по заранее подготовленному плакату. После этого можно поставить учащихся перед проб* лемной ситуацией: «Будут ли иметь место эти
46
свойства параллельных прямых в пространстве?» Учащиеся самостоятельно убедятся в том, что в пространстве параллельные прямые обладают этими свойствами.
Параллельные прямые широко используются в теме «Параллелепипед». При рассмотрении этого материала в ПТУ желательно было бы использовать изготовленные учащимися детали, имеющие вид параллелепипеда, и на них показать взаимное расположение прямых
Технические средства обучения. Учебное оборудование
Г. Г. ЛЕВИТАС
(Москва)
ТАБЛИЦЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ X КЛАССА
Большую помощь в усвоении программного материала по алгебре и началам анализа в X классе могут оказать настенные таблицы— один из самых доступных видов учебного оборудования. Мы предлагаем учителю для самодельного изготовления (силами учеников и их родителей) несколько таблиц справочного характера.
Таблицы пронумерованы по порядку их появления в учебном процессе. Они используются при изучении следующих пунктов учебного пособия «Алгебра и начала анализа 10» (М., «Просвещение», 1976):
№ таблицы
№ пунктов учебного пособия
1
2
75, 76, 79—82, 97—102, 109—114 81, 82, 110
3
85—87, 93, 94
4
86, 87, 93, 94
5
87, 93, 94
6
85—87,90, 91, 93—95
7
97—99, 101
8
99, 101, 102, 110, 113 ,
9
100, 101
10
Ю8—111, 113
11
110
12 и 13
111—113
14
120
и плоскостей в пространстве. Тем самым будет показано непосредственное применение геометрического материала на практике.
К теме «Параллельность в пространстве» следует подобрать задачи производственного характера, обращая особенное внимание на параллельную проекцию фигур, имеющую широкое практическое применение. При этом желательно находить параллельные проекции всевозможных деталей.
Формулы дифференцирования
1. (sin х)' = cos х
2) (cos X)' = — sin л:
3> <‘8 ХУ " cosbe
1
4)(ctgx) '
5) (axY = In a-ax, (ex)' = e*
6) Если / и g взаимно обратные функции, /V=0, то
7)(loga*)'=jl^, (In x)' =
Рис. 1
Табл. 1 «Формулы дифференцирования» (рис. 1) служит для отыскания производных, а также для решения дифференциальных уравнений и нахождения первообразных. Разумеется, таблица не дает готового решения уравнений f"(t)=—kf(t) и f'(x)=kf(x) (этим вопросам посвящены табл. 2 и 11), но она служит для создания проблемных ситуаций при изложении этого вопроса. Напри- мер, решая уравнение f'(x)=kf(x), можно сначала найти по таблице функцию, производная которой равна ей самой (это ех), а затем рассмотреть другие такие функции: 2ех, 0,5е* и вообще Сех. Такая подготовка помогает в осмыслении решения данного дифференциального уравнения. Отсутствие в таблице других функций, обладающих этим свойством, приводит к догадке о всех решениях уравнения. В таблице нет готовых формул для отыскания первообразных, но их поиск в простейших случаях можно осуществить по этой таблице. Ученик должен лишь знать, что любые две первообразные одной функции отличаются друг от друга на постоянное слагае¬
мое С. Тогда, желая, например найти множество всех первообразных для косинуса, он определяет по таблице, что (sinxj^cosx, и отсюда получает ответ: sinx-f-C. Мы намеренно отказываемся от настенных таблиц с первообразными. Отыскание первообразных не по специальной таблице, а по табл. 1 помогает осознать данную операцию как обратную операции дифференцирования. Если же ученик ищет производную по одной, а первообразную— по другой таблице, то эта связь может остаться для него чисто умозрительной.
В табл. 2 «Дифференциальное уравнение гармонического колебания» (рис. 2) показаны решение уравнения, геометрический смысл каждого параметра и налагаемые на эти параметры ограничения. График, помещенный в нижней части таблицы, должен также служить опорой при решении упражнений к п. 81 и при изложении п. 82 учебногс? пособия. Эта таблица может быть использована вместе с табл. 11 для их сопоставления.
Дифференциальное уравнение гармонического колебания
(/" it) = - kf (0) <=► (/ (0 - A cos (<rf + cp)),
где k > О, <«> = ky A >. 0, <p £ [0; 2n [,
A — амплитуда, o> — частота, cp — начальная фаза колебания
Рис. 2
Табл. 3—5 посвящены обратным тригонометрическим функциям (рис. 3—5). На каждой из них дан график тригонометрической функции, вычерчена более жирно часть графика на участке монотонности (для которого строится обратная функция), проведена прямая у=х (более тонкой линией) и, наконец, дан график обратной тригонометрической функции. Этот график нужно вычертить другим, более ярким цветом. Тем же цветом наносятся все относящиеся к этому графику обозначения и само название таблицы. В таб-
Фу1
Я
2
1
Я
ч
1кция у = arcsin л:
(а = arcsi
О 1 Л. V ^ Z \^j=sinx
~2
< а = sin а П | [ те тс "I
И[-тг;—J
Рис. 3
Функция у= arccos
Рис. 4
Функция у = arctg х
Рис. 5
лицах даны также аналитические определения обратных тригонометрических функций. В них использован знак системы, обозначающий, как обычно, одновременное выполнение условий.
Табл. 6 «Формулы тригонометрии» состоит из трех групп формул, изучаемых в X классе: формулы решения тригонометрических уравнений, формулы тригонометрических функций половинного аргумента, формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента (рис. 6). При изготовлении таблицы желательно все ограничения дать менее ярким цветом.
Формулы тригонометрии
1) (sin х = а)<=> (х = (— 1)й arcsin а + nk), k£Z
2) (cos х = а) -<=>- (х = + arccos a -f 2nk), k £ Z
3) (tgx = a) <=> (x = arctg a ък), & £ Z
a i f 1 — cos a
4) sln—= ± У 2
a l/ 1 + COS a
5) cos ~2~ = + у 2
a ~i/ 1—cos a sin a
6) tg 2 “ i \ i cos a — i cos a =
1 — cos a
skTa ’ афъ -\г k£Z
X
2tg
7)sinjc = , x ф тс -f 2nk, k£Z
i + tg2^-
8) cos* = —, x ф n -(- 2nk, k£Z
1 + *g2 ~2~ x
2'gJ я
9) tgx= —, x=f=~Y + T.k,
1 — tg= -2“
x ф n -f- 2nk, & £ Z
Рис. 6
Табл. 7 «Множество первообразных функции у = 2х» (рис. 7). С помощью показанных на ней представителей семейства интегральных кривых х2-\-С учитель может продемонстрировать зависимость между первообразными одной и той же функции, указать значение С для каждого из изображенных случаев. Наличие на таблице клеточного фона позволяет проиллюстрировать независимость приращения первообразной от выбора первооб-
Множество первообразных функции у = 2х
i
~Г(х)=х*+С ТЛГП“
Рис. 7
разной. Например, при х=1, Дх=1 значение каждой первообразной возрастает на 3 единицы. (Этот факт используется при работе с формулой Ньютона — Лейбница: F(b)—F(а) одно и то же при любом выборе первообразной F.) По этой же таблице можно показать, что в каждой точке х производные всех изображенных функций совпадают. В самом деле, каждый график является образом другого при параллельном переносе на вектор (0; С), не изменяющем абсциссы точек. Следовательно, касательная к графику каждой функции в точке х сохраняет свое направление и угол с осью абсцисс. Поэтому производная в данной точке х для всех графиков одна и та же.
В табл. 8 «Правила нахождения первообразной функции» (рис. 8) приведены три правила нахождения первообразных, данные в учебнике. Если удалось установить первообразные некоторых функций /*, то табл. 8 позволяет найти первообразную от линейной комбинации таких функций, а также первообразную функции fi от линейной функции kx+l.
Правила нахождения первообразной функции
1) F — первообразная для Я
_ . } =>F + G—перво-
G — первообразная для gj
образная для f-hg
2) F — первообразная для / е=^ ^—первообраз¬
ная для kf
3) F(x)~первообразная для / (х) F (kx+ b)—
первообразная для / (kx -f b)
Рис. 8
49
Табл. 9 «Площадь криволинейной трапеции» (рис. 9) содержит определение интеграла (формулу Ньютона — Лейбница) и его геометрическую интерпретацию. Символика, применяемая в этом разделе курса, весьма своеобразна и подлежит запоминанию в короткие сроки изучения раздела. Поэтому она приведена в таблице.
Площадь криволинейной трапеции
ь
S = F(b) — F(a)=^f (х) dx а
Рис. 9
На табл. 10 «График показательной функции» (рис. 10) показаны графики expax как кривые, проходящие через точки (0; 1) и (1; а). Такое изображение делает наглядным смысл параметра а. Таблица помогает учащимся правильно классифицировать случаи, возникающие при исследовании экспоненты и построении ее графика.
На табл. 11 «Дифференциальное уравнение показательного роста» (рис. 11) показано решение дифференциального уравнения и удовлетворяющее ему семейство интегральных
Г рафик показательной функции
у = ах
: = ехрал:
У
| У\
У
1
■
1
а
/1
/'
I а I ^
“П. ■
ч а
0
7 х 0
1 X 0
7 X
Рис. ю
Дифференциальное уравнение показательного роста
(/' (X) = kf (.X)) ^ (/ {х) = Секх)
Рис. 11
кривых при & = 0,25. Наличие клетчатого фона позволяет увидеть, как влияет параметр С на значения функций при том или ином х.
Табл. 12 «Логарифмы» (рис. 12) содержит определение логарифма и его свойства. Опре-
aloga b *= b,
где b > 0, а > 0, а ф 1
lg х « logi0 х; In х = loge x, где e = 2,718. Свойства логарифмов
1) logc (ab) = log* a + log, 6, где a > 0, b > 0, с > 0, с ф 1
2) log* ba = a log* bt где b > 0, с > 0, с ф 1 1 gx
3) logax =
I ga
где д:>0, я> 0, аф\
Рис. 12
50
деление логарифма дается в краткой форме, подобно тому как это сделано в табл. 3—5. В определении не говорится о знаке логарифмируемого выражения: то, что оно положительно, вытекает из последней строки системы. Однако этот факт очень важен и часто используется при работе с логарифмами. Поэтому к определению дописана равносильная система, содержащая строку Ь>0. Кроме того, приводится тождество, являющееся, по существу, определением логарифма. Далее разъясняются записи \gx и \пх и дается грубое приближение числа е. Приводятся свойства логарифмов.
Табл. 13 «График логарифмической функции» (рис. 13) аналогична табл. 3—5.
Г рафик логарифмической функции
У = (а У 0, аф 1)
Рис. 13
В табл. 14 «Метод Гаусса» (рис. 14) взята система, легко решаемая и другими приемами. Например, вычтя из второго уравнения третье, получим 2л:+4у — 4г = 0; сопоставляя это уравнение с первым уравнением системы, получим 2 = 0 и т. д. Простота вычислений должна облегчить понимание метода Гаусса, С помощью таблицы рассказ учителя может быть построен, например, так. Первая операция при решении системы линейных уравнений методом Гаусса состоит в почленном делении первого уравнения системы на коэффициент при первой переменной (разумеется, если он отличен от нуля). В таблице против первой строки системы стоит надпись «: 2» (эту надпись нужно выполнить другим, более ярким цветом, чем запись самой системы, например оранжевым). В результате получается вторая система, равносильная первой. Второй шаг заключается в том, что первое уравнение системы почленно умножают на число, противоположное первому коэффициенту второго уравнения, и полученное уравнение почленно складывают со вторым уравнением, первое уравнение системы почленно умножают на
Метод Гаусса
'2х + 4у — 2г=*0 1:2
Ъх + 9у — 3z = 10
Зх + 5у + z = 10 J
х + 2у — z = 0
1 7 11
^ ‘
Ъх -f- 9у — 3z = 10
1
-ФФ-
k Зх + by + z = 10,
<Г
' х + 2у — z = O’
-<=>-
— у + 2z = 10
:(-1)^
— у + 4z = 10
’ x+ 2 у — гг = 0
■<=>■ <
у — 2 z = — 10
.1-1
— у + 4z = 10
^ 1
1
г х + 2 у — z = 0
fz =0
-**•
о
1
1!
N
<М
1
- -<=>
N--10
1
[ 2^=0
\х = 20
Ответ:
«20; -
Ю; 0)}
Рис. 14
число, противоположное первому коэффициенту третьего уравнения, и полученное уравнение почленно складывают с третьим уравне- нием. На таблице этот алгоритм обозначен надписями «•(—5)» и «•(—3)» и стрелками, ведущими ко второму и к третьему уравнению (надписи и стрелки оранжевого цвета). Получаем систему, равносильную второй, а значит, равносильную исходной системе; все ее уравнения, кроме первого, не содержат первой переменной. Далее проделываем те же операции по отношению ко второй переменной— исключаем ее из третьего уравнения. Нужно сказать, что эти действия чрезвычайно просты (например, умножение на 1), но нам важно неуклонно следовать методу Гаусса, поэтому в таблице и приведены записи: «:(—1)» и «-1». Учащимся, конечно, видно, что третья система решается почленным вычитанием третьего уравнения из второго, но таб- лица посвящена не решению системы, а показу на ее примере данного метода. Пятая система, равносильная исходной, решается «снизу вверх». Это подчеркнуто в шестой системе: вначале выписано значение г, затем значение у, затем значение х. Ответом же является множество упорядоченных троек (*; У\ z)> подстановка которых в данную систему обращает все ее уравнения в верные равенства. В данном случае такая тройка одназ (*20; —10; 0).
51
Эксперимент
Л. К. Тараканова
(г. Лыткарино Московской обл.)
ИЗ ОПЫТА ИНДИВИДУАЛЬНОГО ПОДХОДА ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ
Учащиеся класса имеют различный уровень подготовки по математике, неодинаковые успехи в усвоении знаний, умений и навыков, проявляют различный интерес к математике как учебному предмету. Учитывая это, учитель должен вести обучение с учетом указанных индивидуальных особенностей учащихся. Такая работа с включением приемов, характерных для проблемного обучения, осуществлялась нами на уроках математики в V—VIII классах школы № 37 г. Лыткарино. В работе мы исходили из представления о трех последовательных качественных уровнях проблемного обучения, описанных В. А. Крутецким 1.
I уровень. Учитель ставит проблему, формулирует ее, указывая на конечный результат; ученики самостоятельно ведут поиски решения этой проблемы, зная окончательный результат.
II уровень. Учитель только указывает на пробле: му, а учащиеся формулируют и решают ее, причем конечный результат заранее им неизвестен.
III уровень. Ученики самостоятельно ставят проблему, формулируют ее и исследуют возможности и способы ее решения.
Для учащихся, более подготовленных по математике, интересующихся ею, обладающих известной долей самостоятельности в работе, мы в проблемных заданиях с помощью индивидуальных карточек указывали конечную цель и прилагали информацию о том, на какие основные моменты нужно обратить внимание при решении проблемы. Пути решения задач ученики разбирали самостоятельно, а их работу контролировал учитель.
Для учеников с более слабым уровнем математического развития в индивидуальных карточках-заданиях указывалась последовательность операций, необходимых для поиска решения, давалась определенная «канва» действий, приводящих к необходимому результату.
При подготовке к проблемным урокам необходимы:
а) тщательный анализ содержания материала предстоящего урока;
б) учет уровня сложности нового материала и имеющегося у учеников запаса знаний для решения проблемного задания;
в) постановка конкретной психолого-методической цели урока;
г) поэтапная методическая разработка проблемного урока с учетом указанной цели;
д) до известной степени предвидение хода будущего урока, характера поиска учащимися решения, ожидаемых трудностей с тем, чтобы наметить пути их преодоления, оказать помощь учащимся.
Эффект подобного проблемного обучения математике мы оценивали по следующим параметрам:
а) успешности обучения (успеваемости);
б) развитию познавательной активности учащихся;
1 Крутецкий В. А. Развитие умственных способностей школьников в процессе обучения. «Советская педагогика»,
1971, № 8,
в) формированию самостоятельного мышления в условиях проблемного обучения;
г) степени развития у учеников интереса к математике.
Покажем на примере некоторых тем курса математики, как мы строили проблемный урок.
В V классе при изучении темы «Делимость чисел» мы ставили перед классом проблему: «Докажите, что если некоторое число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5». В этом случае ученикам известно, что в числе конечная цифра 0 или 5, а требуется обосновать, почему данное число кратно 5 (урок строился на I уровне проблемного обучения). Было рекомендовано рассмотреть конкретный случай: взять, например, трехзначное число. Ученики слабой группы, имея перед собой цель, приступают к анализу задачи, начинают рассматривать структуру данного числа, его разряды. Замечая, что в данном числе несколько сотен, несколько десятков, несколько (0 или 5) единиц, они приходят к заключению, что, независимо от числа сотен и десятков (и 100 и 10 кратны 5), оно кратно 5, так как число единиц (0 или 5) делится на 5 без остатка. Решение этой проблемы они самостоятельно оформляют в тетрадях.
Учащимся посильнее в это время даются карточки с различными числами, среди которых встречаются числа, кратные 5 и не кратные 5. Учитель просит объяснить, какие из чисел делятся на 5 без остатка и почему. В процессе работы с этой группой учеников учитель подводит их к детальному разбору структуры разрядных слагаемых каждого конкретного числа и сначала на этих конкретных примерах, а потом и в общем виде ученики показывают, откуда следует их кратность 5. Оказывая помощь в работе отдельным ученикам в виде дополнительных указаний, намеков, вопросов, учитель подводит их к тому, что кратность числа 5 зависит от цифры, на которую это число оканчивается. Ученики делают далее обобщение этого факта: распространяют признак делимости на 5 на любые числа, независимо от количества их разрядов.
На этом уроке ученикам предлагались для закрепления следующие задания:
1) Найти остаток от деления на 5 чисел 202, 146, 837, 531.
2) При каком значении х число 827 341 + х разделится на 5 без остатка?
3) Из цифр 3, 0, 5 составить всевозможные числа, кратные 5.
4) Какую цифру следует подставить вместо >)< в запись 42 >К ; 1 >К 5; 20; 72, чтобы полученное число
делилось нацело на 5?
В курсе геометрии VII класса уроки на тему «Вычисление площадей фигур» мы проводили на III уровне проблемного обучения; к этому времени у учеников уже был накоплен некоторый опыт решения проблем на I и II уровнях.
Так, например, подводя учащихся к самостоятельной постановке и решению проблемы отыскания формулы площади параллелограмма, учитель дал классу задачу с недостающими данными: «За сколько часов юннаты могут вскопать участок земли, имеющий форму параллелограмма, если за 1 час они могут вскопать 21 м2?»
После разбора содержания .задачи школьники отметили, что ответить на вопрос задачи нельзя, так как неизвестна площадь параллелограмма. Выяснив с учащимися, площади каких фигур они уже могут вычислить (квадрат, прямоугольник), учитель предложил им попробовать преобразовать параллелограмм в одну из таких фигур.
Ученики сильной группы заметили, что легко получить из параллелограмма прямоугольник, проведя в нем высоты. Проделав эти построения на чертеже, они увиде-
52
ли, что образовались два конгруэнтных прямоугольных треугольника и, следовательно, их площади равны. На основании этого ученики пришли к выводу, что площадь параллелограмма равна площади прямоугольника, основания и высоты которых соответственно равны, т. е. ученики пришли к «открытию» формулы 5парал = ah. Возвращаясь к исходной задаче о юннатах, они заметили, что для вычисления площади участка необходимо знать размеры основания и высоты параллелограмма. Учитель сообщает им дополнительные данные: основание равно 20 м, а высота 4,2 м. После этого учащиеся находят, что 5парал = 20 м-4,2 м = 84 м2 и весь участок будет вскопан за 84 : 21 = 4 (ч). i
В то время как учитель работает с группой сильных учеников, остальные учащиеся получают индивидуальные карточки-задания с чертежом параллелограмма и указанием последовательности действий, необходимых для определения площади параллелограмма. Ученикам предлагается провести к основанию 2 высоты, рассмотреть образовавшиеся при этом построении треугольники, установить их вид и доказать их конгруэнтность (используя свойство сторон и углов параллелограмма), сделать заключение о величинах площадей этих треугольников, объяснить, с помощью каких из получившихся фигур можно составить параллелограмм и прямоугольник, и сделать вывод о том, как вычислить площадь параллелограмма.
Учитель работает с каждой группой учащихся индивидуально. С помощью карточек-заданий, занимая на время одну группу, он оказывает в это время помощь учащимся другой группы, контролирует, как они справились с выполнением задания, делает дополнительные указания. Затем учитель переключается на работу с другой группой учеников, а первая группа в это время получает новое задание. В процессе урока обе группы включаются во фронтальную работу на этапе, выдвижения и обсуждения гипотез, на этапе проверки правильности и обоснованности решения, на заключительной стадии урока, когда делается вывод о значимости решенной проблемы.
На этом уроке в качестве дополнительного задания ученикам, которые раньше других справились с реше¬
нием основного проблемного задания, мы предлагали
такую задачу: «Установить формулу для вычисления площади параллелограмма для фигур, изображенных на рисунке».
Разбирая эти случаи, ученики пришли к выводу, что площадь параллелограмма не зависит от его вида.
Можно предложить ученикам, которые успешно решили основную проблему, разобрать задачи 1—3 из п. 52 учебного пособия для VII класса.
Давая задания на дом, мы старались и их индивидуализировать, учитывая возможности каждого ученика, более сьльным учащимся предлагались задачи, требующие творческого применения новых знаний. Слабых учеников мы прежде всего ориентировали на отработку необходимых умений и навыков, а затем уже постепенно увеличивали число заданий, носящих поисковый, творческий характер.
Проведенная нами работа bV—VIII классах показала, что при сочетании индивидуализации обучения с проблемным методом можно добиться:
а) значительного повышения успеваемости по математике;
б) высокой степени развития самостоятельности школьников в процессе приобретения знаний;
в) роста познавательной активности учащихся;
г) развития интереса к математике;
д) привития ученикам элементарных навыков исследовательской деятельности,
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
В издательстве «Педагогика» в сентябре 1976 г. вышли следующие книги:
Воспитание и обучение в детском саду. Под. ред.
А. В. Запорожца, Т. А. Марковой. 45 ООО экз., 2 р. 07 к.
Новые исследования в педагогических науках, № 2 (28). 5000 экз., 43 к.
Новые исследования по возрастной физиологии, № 2 (7). 5000 экз., 75 к.
Пискунов А. И. Проблемы трудового обучения и воспитания в немецкой педагогике XVIII — начала XX в, 2000 экз., 1р. 46 к.
Стецяк И. /7., Мансфельд Д. П. Школа социалистической Югославии. Под ред. М. Н. Кузьмина. 6000 экз., 34 к.
Учитель, комсомольская и пионерская органйзации. 20 000 экз., 4 к.
В помощь самообразованию учителей
Отметим, что если LLa, то
1C It
SaoRj ~RjoSa.
Известно, что ограниченные фигуры не могут обладать симметриями других видов, отличных от указанных выше.
А. К. Окунев
(Москва)
СИММЕТРИЯ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ
Фигура F обладает симметрией, если существует нетождественное перемещение д пространства1, переводящее эту фигуру саму в себя, т. е. d(F)=F; такое перемещение пространства будем называть преобразованием симметрии фигуры F и обозначать через о.
Если о—S0 (отражение пространства относительно точки О), то говорят, что фигура F обладает центральной симметрией, и точку О называют ее центром симметрии. Примером такой фигуры является любой параллелепипед, его центр симметрии— точка пересечения диагоналей.
Если G=Sa (отражение пространства относительно плоскости а), то говорят, что фигура F обладает зеркальной симметрией, и плоскость а называют ее плоскостью симметрии.
Если
ЧГ М
a = R{ (поворот пространства около оси I на угол — ),
где п — натуральное число, большее 1, то говорят, что фигура F обладает осевой симметрией, а прямую / называют осью симметрии п-то , порядка и обозначают через /п. Порядок оси симметрии равен числу само- совмещений фигуры при повороте ее вокруг оси на угол 2я. Очевидно, любая правильная я-угольная пирамида имеет ось симметрии /п, проходящую через вершину пирамиды и центр ее основания.
Если фигура F переходит сама в себя в результате последовательного выполнения двух преобразований
пространства — поворота около оси I на и отражения относительно плоскости a (a j. /),
угол —
С = SaoRf ,
— то, говорят, что эта фигура обладает симметрией поворотного отражения, а прямую I называют ее зеркально-поворотной осью 2/г-го порядка и обозначают через 12п.
Если в квадрат ABCD вписать другой квадрат MNPQ (рис. 1), а затем отогнуть заштрихованные треугольники поочередно «вверх и вниз» на 90°, то получится фигура (рис. 2), обладающая симметрией поворотного отражения с осью /4, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через его центр О.
Теорема 1. Если фигура F обладает симметрией, то множество GF, состоящее из всех преобразований симметрии фигуры F и тождественного преобразования, является группой. Такую группу называют группой симметрий фигуры F.
Доказательство. Будем обозначать элементы множества GF через а, <То, сп, 02, • • • > где а0 — тождественное преобразование пространства, при котором всякая фигура переходит сама в себя.
1) Для любых (Ji и а2 из множества Gf имеем: Oi(F)—F и o2(F)—Ft тогда a2° 0i (F) =F =>- о2 ° 01 = ogGf, а это значит, что в множестве GF определена алгебраическая операция.
2) Для любого о из множества GF выполняется: a ° сто — 0о° 0 = 0, следовательно, тождественное преобразование а0 играет роль нейтрального элемента (единицы).
3) Для любого а из Gp справедливо равенство с (F)=F отсюда a—1 (F) = F a—1 £ Gf и aoa-1 = a0. Teo рема доказана.
Используя эту теорему, легко доказать, что зеркально-поворотная ось 2я-го порядка фигуры F является осью симметрии п-то порядка этой фигуры.
Действительно, выполнив последовательно два поворотных отражения, получаем:
{saoRj)o(saoRj) - (SaoSa)o{RjoRj) =
2те
2тс
- «о° V Так, например, на рис. 2 /4 = /2.
Теорема 2. Каждый правильный выпуклый многогранник F обладает симметриями нескольких видов, причем число различных элементов группы симметрий GF такого многогранника равно удвоенному числу его плоских углов.
Доказательство. Пусть АБС и Л'В'С' — любые плоские углы правильного многогранника F и точка О — его центр (рис. 3). Рассмотрим тетраэдры О ABC и ОА'В'С' с общей вершиной О. Эти тетраэдры конгруэнтны, так как у них конгруэнтны основания ABC и А'В'С' и все боковые ребра (каждое из этих ребер является радиусом сферы, описанной около многогранника F). Следовательно, существуют перемещения пространства, переводящие тетраэдр ОАВС в тетраэдр
1 В научной литературе и в учебных пособиях для вузов чаще употребляется термин «движение пространства», ,
2 Запись ОАВС означает, что тетраэдр ОАВС ориентирован.
54
в
ОА'В'С' так, что угол ABC переходит в угол А'В'С\ а именно:
дг\ 0->0, А->А\ В->В', С~>С’ и
ОАВС -> ОА'В'С' 2;
д2: 0^0, А-+С', В-+В', С -> А' и
ОАВС ^OCWA'.
При каждом из этих перемещений многогранник F переводится сам в себя. Действительно, ’ грань ABC... перейдет в грань А'В'С'...; далее, в силу конгруэнтности всех двугранных углов и граней фигуры F все грани, смежные с ABC..., перейдут при этом соответственно в грани, смежные с А'В'С'..., так, что внутренняя область каждого из двугранных углов между ними перейдет во внутреннюю область соответствующего двугранного угла. Продолжая эти рассуждения, убеждаемся, что каждое из перемещений di и д2 переводит в себя всю границу многогранника F и его внутреннюю область, т. е. di(F)=F и d2(F)=F, поэтому di и д2 являются преобразованиями симметрии многогранника F и входят в его группу симметрий Gf.
Принимая во внимание, что все сказанное справедливо для всякого плоского угла многогранника F, заключаем, что число всех элементов группы GF в два раза больше числа плоских углов многогранника F.
Заметив, что тетраэдры ОА'В'С' и ОС'В'А' имеют противоположную ориентацию, заключаем, что одно из перемещений и д2 является перемещением I рода (сохраняющим ориентацию) а другое — II рода (изменяющим ориентацию на противоположную), поэтому в группе Gp половина преобразований симметрии — перемещения I рода, а другая половина — перемещения II рода.
Следствие 1. Подсчитаем число элементов группы симметрий Gf (порядок этой группы) для каждого правильного выпуклого многогранника:
1) в группе симметрий правильного тетраэдра
GT— 24,
2) в группе симметрий правильного октаэдра Go —48,
3) в группе симметрий куба GK — 48,
4) в группе симметрий правильного икосаэдра
Gi — 120,
5) в группе симметрий правильного додекаэдра
G< — 120,
Следствие 2. Во всяком преобразовании симметрии правильного многогранника F его центр О является неподвижной точкой, поэтому группа GF содержит только перемещения, имеющие неподвижные точки, следовательно, элементами этой группы могут быть только отражения, повороты и поворотные отражения, причем плоскости симметрий, оси симметрий и зеркальноповоротные оси должны проходить через центр многогранника.
Следствие 3. Группы симметрий взаимных правильных многогранников (куба и октаэдра, а также икосаэдра и додекаэдра3) состоят из одних и тех же преобразований симметрии.
Действительно, центры граней любого правильного многогранника F являются вершинами взаимного с ним правильного многогранника F', поэтому самосовмеще- ние одного из них при некотором перемещении о влечет самосовмещение и другого, короче:
-<*€GF4r±<i€Gp,9 следовательно, Gp =GF,a
Это обстоятельство позволяет ограничиться рассмотрением симметрий трех правильных многогранников: тетраэдра, куба и икосаэдра.
Для изучения симметрий указанных многогранников потребуются следующие три теоремы.
Теорема 3 (Даламбера). Всякое перемещение I рода д\ с неподвижной точкой О является поворотом пространства около некоторой ojcu I, проходящей через точку О.
Доказательство. Пусть перемещение дг задано тремя парами соответствующих точек: О -»■ О, А^*- А', В-+В' (рис. 4),
Проведем через середину отрезка АА' плоскость «, аА-[АА']; Оеа, так как [ОА] ^ [ОА']. При перемещении получаем:
0-+0, А-+А', В->Ви Bt^B'.
Пусть М — середина отрезка В\Втреугольники В\А'В' и ВуОВ' равнобедренные, следовательно, их медианы А'М и ОМ являются высотами и поэтому плоскость Р, проходящая через точки О, А' и М, перпендикулярна отрезку BiB'. При отражении относительна плоскости P(Sо) получаем:
Р 0^0, А'-+А', ВХ^В'Л
Следовательно,
di=Sp о Sa.
Но плоскости аир имеют общую точку О и поэтому пересекаются по некоторой прямой /, 0^1; следовательно, композиция отражений Sa и Sp равносильна повороту вокруг оси I. Теорема доказана.
Т е о р е м а 4. Sq *= SaoR*t где / 1 а и /П«=0.
Доказательство очевидно из рис. 5.
При отыскании преобразований симметрий, представляющих собой перемещения II рода, полезно иметь в виду еще одну теорему.
Теорема 5. Всякое перемещение II рода с неподвижной точкой является либо поворотным отражением, либо отражением относительно плоскости или точки.
Заметим, что отражение относительно плоскости (зеркальную симметрию) и отражение относительно точки
3 Тетраэдр взаимен сам себе.
55
Рйс. 5
(центральную симметрию) можно рассматривать как частные случаи поворотного отражения с углами, соответственно равными 0 и зх.
Группа симметрий правильного тетраэдра — GT.
Сначала рассмотрим преобразования симметрий правильного тетраэдра, представляющие собой перемещения I рода, их 12 (по теореме 2 и следствию 1). Поскольку центр тетраэдра О в таких преобразованиях неподвижен, то по теореме 3 все они сводятся к поворотам вокруг осей, проходящих через точку О, т. е. являются осевыми симметриями.
Рис. 7
• Через каждое ребро и середину противоположного ребра тетраэдра проходит плоскость симметрии а. Перемещение 5 а переводит тетраэдр в себя. Таких плоскостей б, следовательно, получаем 6 нетождественных самосовмещений тетраэдра.
Так как других плоскостей симметрий тетраэдр не имеет, то оставшиеся 6 преобразований симметрии могут быть только поворотными отражениями. Они легко обнаруживаются при рассмотрении тетраэдра совместно с кубом, как это показано на рис. 7.
Действительно, проведем через общий центр О куба и тетраэдра ABCD плоскость аь а, ± /2. Замечаем, что ось /2 в тетраэдре является также и зеркально-поворотной осью 74, так как тетраэдр ABCD преобразуется сам в себя поворотными отражениями
it
V*/7
Рис. 6
Через каждую вершину тетраэдра (рис. 6) и центр противоположной грани проходит ось /3, так как при полном обороте вокруг этой оси тетраэдр Т переходит сам в себя три раза, а именно при
2тс 2тс 2 2тс 3
*/з3 > Ri? ' и ' •
Первые два из этих поворотов дают нетождественные самосовмещения тетраэдра, третий поворот является тождественным преобразованием тетраэдра. Таких осей 4, и, следовательно, имеют место 4*2 нетождественных самосовмещений тетраэдра.
Через середины каждых двух противоположных ребер тетраэдра проходит ось /2, так как при полном обороте вокруг этой оси тетраэдр Т самосовмещается дважды, а именно при
JZL J-2L 2 *1? и R* ' .
Таких осей 3, и тогда получаем 3*1 нетождественных самосовмещений тетраэдра.
Всего у тетраэдра 7 осей симметрий (4/з и 3/2), поэтому имеем 11 (4*2+3* 1) нетождественных само¬
совмещений тетраэдра и одно тождественное, т. е. всего 12.
Перейдем к отысканию еще 12 преобразований симметрии тетраэдра, которые по той же теореме 2 должны быть перемещениями II рода.
которые удобно записать подстановками
(А В С D\ (А В С D\
\В D А с) и \С A D в)
Т,~ким образом, тетраэдр имеет 3 зеркально-поворотные оси (З^), которые дают 3-2 его самосовмещений.
Таким образом, мы нашли все 24 преобразования симметрий правильного тетраэдра (все элементы группы
GT) и установили, что они реализуются с помощью
шести плоскостей симметрии (6Sa ), четырех осей симметрии III порядка (4/3) и трех осей симметрии II порядка (3/2), которые являются и зеркально-поворотными осями IV порядка (3/4).
В заключение отметим, что повороты около каждой из осей /2 и /3 образуют циклическую группу соответственно II и III порядка. Понятно, что таких групп 7 и каждая из них является подгруппой группы Gт.
Группа симметрий куба — Gk
По теореме 2 и следствию 1 группа симметрий куба состоит из 48 преобразований, половина которых — перемещения I рода с неподвижной точкой О (центр куба). По теореме 3 такие перемещения являются поворотами около осей, проходящих через точку О (рис. 8). Рассмотрим их.
1) Через центры противоположных граней куба проходит ось симметрии /4, так как при полном обороте вокруг этой оси куб самосовмещается 4 раза при
121 ±И.2 —*4
*y: . < « •
Таких осей 3, и каждая дает 3 нетождественных самосовмещения куба при поворотах на углы
56
т- * и т
и одно тождественное при повороте на угол 2я.
2) Через каждые две противоположные (симметричные относительно О) вершины куба проходит ось симметрии /3, при полном обороте вокруг которой куб са- мосовмещается три раза, а именно при
2u 2it 2 з
Таких осей 4, и при поворотах вокруг каждой из них 2те 4те
на углы и.-g- получаем два нетождественных
самосовмещения куба и одно тождественное.
3) Через середины каждых двух противоположных ребер куба (симметричных относительно О) проходит ось /г, при полном обороте вокруг которой куб самосовме- щается 2 раза при
H2L 2
я/, и *1' •
Таких осей 6, и при повороте на я и 2я вокруг каждой из них получаем одно нетождественное и одно тождественное самосовмещение куба.
Всего в кубе 13 осей симметрии (3/4, 4/з и 6/2), с их помощью реализуются 23 (3*3 + 4-2 + 6-1) нетождественных и одно тождественное, а всего 24 самосовмещения куба.
Остальные 24 преобразования симметрии куба должны «быть перемещениями II рода. Одно из них — So, так как точка О является центром симметрии куба. Другие найдем композицией отражения пространства относительно точки О и поворотов около осей Ц, /з и /2*
1) Обозначив через а плоскость, перпендикулярную U и проходящую через точку О, замечаем, что по теореме 4
Sq — Sa ,
поэтому:
тс ic 3it
Oj = SqoR.2 = *Sa°/?7 oR,2 = Sa°R,2 —> 11 в /4;
*4 *4 *4 *4
c2 - SqoR^ _ o*« - S«./?£ - Sa;
3ic 3ic ic
<J3 = S0°/?;'2 = SaoP^oR^ *= SaoR* => /4=
Каждая ось /4 является и осью /4 при поворотах ка
те Зте
углы — и “2“, поэтому куб имеет три зеркальноповоротных оси IV порядка (З/Д дающие 3*2 самосов- мещений куба. Кроме того, обнаружилось существование трех плоскостей симметрии куба, перпендикулярных осям /4.
2) Пусть ах — плоскость, перпендикулярная /3 и проходящая через точку О (на рис. 8 это плоскость
По теореме 4
S0 =
Отсюда следует:
2тс 2те Бте
- so°/?,33 = s., «/г?../?,»- = V*/T=> /3 .= Г.:
4ic 4тс те
о6 - SoorJ . Sai°RloRjs _ Saio^ => /3 _
Каждая ось /, является и осью /6 при двух углах по* те 5те
ворота -у и -g-, поэтому куб имеет 4 зеркальво-
поворогных оси VI порядка (4Гв), дающие 4-2 самосов- мещений куба.
3) Обозначим через а2 плоскость, перпендикулярную /2 и проходящую через точку О (диагональная плоскость куба). По теореме 4
So=Sai •/$.
тогда
«. = So°Rl - sa,°Rl,°Rl, - •
Следовательно,куб имеет 6 плоскостей симметрии(65й(?), перпендикулярных осям /2 и дающих 6 самосовмещений куба.
Таким образом, мы нашли все 24 преобразования симметрии куба II рода, а именно: центральная симметрия, 9 зеркальных симметрий, 6 поворотных отражений относительно зеркально-поворотных осей IV порядка и 8 поворотных отражений относительно зеркально-поворотных осей VI порядка.
Установлено также, что все преобразования симметрий куба осуществляются с помощью его центра О (S0), девяти плоскостей симметрии (3Sa и 6SaJ, шести осей симметрии II порядка (6/2), четырех осей симметрии III порядка (4/з), которые являются и зеркальноповоротными осями VI порядка (476) и тремя осями симметрии IV порядка (З/4), представляющими собой зеркально-поворотные оси IV порядка (374).
В заключение отметим, что повороты около каждой из осей /2, h и /4 образуют циклические группы соответственно II, III и IV порядка. Таких групп 13, и каждая является подгруппой группы GK.
Группа симметрий правильного икосаэдра — Gr
Из построения правильного икосаэдра / следует, что его центр О является центром симметрии, поэтому в правильном икосаэдре для каждой вершины, каждой грани и каждого ребра имеются соответственно симметричная вершина, грань и ребро.
По теореме 2 и следствию 1 группа Gj состоит из 120 преобразований, 60 из которых — перемещения I рода с неподвижной точкой О. По теореме 3 такие перемещения являются поворотами около осей, проходящих через точку О (рис. 9).
1) Через каждые две противоположные (симметричные относительно О) вершины икосаэдра проходит
57
Рис. 9
ось /5, так как икосаэдр самосовмещается при поворотах вокруг оси /5 на углы
2п 2тс 2тс 2%
5 » Т"2’ !Г'3, X'4 и
5 ‘5*
Таких осей 6, и с их помощью выполняются 6-4 нетождественных самосовмещений икосаэдра и одно тождественное.
2) Через центры противоположных граней икосаэдра проходит ось /3, так как икосаэдр преобразуется в себя при поворотах вокруг оси /3 на углы
2тс 2 тс 2п
Т> Т‘2 и “Г 3-
Таких осей 10, т. е. имеем 10-2 нетождественных самосовмещений икосаэдра и одно тождественное.
3) Через середины каждых двух противоположных
(симметричных относительно О) ребер икосаэдра проходит ось /2, так как икосаэдр преобразуется в себя при поворотах вокруг оси /2 на углы
2% 2тс
— И Т’2-
Таких осей 15, тогда получим 15*1 нетождественных
самосовмещений икосаэдра и одно тождественное.
Всего в икосаэдре 31 ось симметрии (6/5, 10/3 и 15/2), с их помощью реализуются 59 (6-4+10-2+15-1) нетождественных и одно тождественное, т. е. 60 самосовмещений икосаэдра-
Преобразования симметрий II рода найдем композицией отражения пространства относительно точки О и поворотов вокруг осей /5, /3 и /2.
1) Рассмотрим плоскость а, перпендикулярную оси /5 и проходящую через точку О. Заметив, что по теореме 4
Sq “» 9
получаем:
2х 2ic 7%
Ci =
So°R?s = s«°RI°rJ = s.oR*
— > h “ liv
Ax 4% 9%
с2 «
SqorJ - s.oRZ'OrJ
=:> /б = /j0;
61c €ic ic
°3 =
S0°Rl - Sa°Rl°Rfs = S.ORJ
=> h e ^10»
81c 81c 3ic
с4 =
So-*Z - Sa°Ri°Rj = SaoRJ
=> /б = llQ.
Отсюда видно, что каждая ось /5 является осью /1о, следовательно, икосаэдр имеет 6 зеркально-поворотных
осей X порядка (6/1о), которые дают 6-4 его самосовмещений.
2) Обозначим через ai плоскость, перпендикулярную оси /3 и проходящую через точку О. По теореме 4
So - S'ORI;
следовательно:
2*
2-тс
a5 _ S0oR* - Seio/?* о/?;® = Sa_ oR* => /, = Г.;
4ic Atz '%
- SqorJ3 - 5aioRfsoRJ3 = se_оRj ==> U - Г..
Таким образом, каждая ось /3 является осью 76; следовательно, икосаэдр имеет 10 зеркально-поворотных осей VI порядка (Ю/6), которые обеспечивают 10-2 самосовмещений икосаэдра.
3) Пусть а2 — плоскость, перпендикулярная оси U и проходящая через точку О. Используя равенство
So - SatoR'
получаем:
a, = SqoRI = S'SRfsRl - SetoR* = S„,
следовательно, икосаэдр имеет 15 плоскостей симметрии, перпендикулярных осям /2 и дающих еще 15 его самосовмещений.
Таким образом, найдены все 60 преобразований симметрии правильного икосаэдра, представляющие перемещения II рода, а именно: центральная симметрия,
15 зеркальных симметрий, 24 поворотных отражения относительно зеркально-поворотных осей X порядка и 20 поворотных отражений относительно зеркально-поворотных осей VI порядка.
Установлено также, что все преобразования симметрий правильного икосаэдра осуществляются с помощью его центра (So), пятнадцати плоскостей симметрии (155аз), пятнадцати осей симметрии II порядка (15/2), десяти осей симметрии III порядка (10/3), которые являются и зеркально-поворотными осями VI порядка (Ю/б), и шести осей симметрии V порядка (6/5), совпадающих с зеркально-поворотными осями X порядка (67ю).
Отметим, что повороты около каждой из осей /2, /3 и /5 образуют циклическую группу соответственно II, III и V порядка. Таких групп 31, и каждая — подгруппа группы
Рекомендуем читателю в порядке упражнений найти все элементы групп симметрий правильного октаэдра и правильного додекаэдра.
Литература
[1] Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии.
Ч. 2. М., ГИТТЛ, 1949.
[2] Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. М., «Наука», 1972.
[3] Базылев В. ТДуничев К. М., Иваницкая В. Я. Геометрия. М., «Просвещение», 1974.
58
Внеклассная работа
Д. Н. Бернштейн, Н. Б. Васильев
(Москва),
Ю. И. Ионин, А. И. Плоткин
(Ленинград)
X ВСЕСОЮЗНАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
Заключительный тур X Всесоюзной математической олимпиады проходил в г. Душанбе.
Как и обычно, участники решали задачи в течение двух дней. Особенностью нынешней олимпиады был исследовательский характер задач, предложенных во второй день. Такой исследовательский тур уже проводился на VI олимпиаде.
Во второй день учащимся были предложены три сложные задачи, каждая из которых разбивалась на несколько пунктов. Полное решение любой из этих задач представляло собой небольшое математическое исследование. Жюри не рассчитывало, что кому-нибудь из участников удастся решить все три задачи, и предлагало участникам сосредоточить свое внимание на одной из них и продвинуться в ее решении как можно дальше. В каждой задаче были довольно простые первые пункты, и некоторые учащиеся ограничились решением этих пунктов из разных задач. Но жюри отдавало предпочтение тем участникам олимпиады, которые сумели углубиться в решение одной или двух задач.
По замыслу жюри исследовательский тур должен был моделировать реальное математическое исследование и дать участникам возможность в течение 4—5 часов подумать над одной задачей, в то время как обычная олимпиадная задача проверяет прежде всего смекалку, быстроту мышления и даже спортивный настрой участника олимпиады (качества, отнюдь не обязательные для математика).
Условия задач
VII класс Первый день
1. На столе лежат 50 правильно идущих часов. Докажите, что в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше суммы расстояний от центра стола до центров часов.
С. В. Фомин
2. В строчку подряд написано 1000 чисел. Под ней пишется 2-я строчка чисел по следующему правилу: под каждым числом а 1-й строчки выписывается натуральное число, указывающее, сколько раз а встречается в 1-й строчке. Из 2-й строчки таким же образом получается 3-я: под каждым числом b 2-й строчки выписывается натуральное число, указывающее, сколько раз b встречается во 2-й строчке. Затем из 3-й строчки так* же строится 4-я, из 4-й — 5-я и т. д.
а) Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей.
б) Более того, докажите, что 11-я строчка совпадает с 12-й.
в) Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10-я строчка не совпадает с 11-й.
М. М. Серов
3. На плоскости даны три окружности одинакового радиуса.
а) Докажите, что если все они пересекаются в одной точке, как показано на рис. 1, то сумма величин отмеченных дуг AKj СК, ЕК равна 180°.
Рис, 2
б) Докажите, что если они расположены так, кш показано на рис. 2, то сумма величин отмеченных дуг ABt CD, EF равна 180°,
А. К. Толпыго
4. Натуральные числа *ь х2 меньше 10 000. Исходя из них строится последовательность *ь х2, *з, ..*21, .. где число *з равно \х{ — лг21, число х4 равно наименьшему из чисел 1*1 — х2\у |х2 — *з|, |*i —*3|, число xs равно наименьшему из чисел 1*1 — *2|, \х{ — *3|„ I Х\ *41, | х2 *з |, | х2 *4 j, |лг3 — *4| ИТ. д. (каждое следующее число равно наименьшей из абсолютных величин разностей между предыдущими числами). Докажите, что *21 = 0.
С. В. Фомин
Второй день
5. На шахматной доске размером 99 X 99 отмечена фигура Ф (эта фигура будет разной в пунктах а), б),
в)). В каждой клетке фигуры Ф сидит жук. В какой-то момент жуки взлетели и сели снова в клетки той жэ фигуры Ф; при этом в одну клетку могло сесть несколько жуков. После перелета любые два жука, занимавшие соседние клетки, оказались снова в соседних клетках или попали на одну клетку. (Соседними называются клетки, имеющие общую сторону или общую вершину.)
а) Пусть фигура Ф — «центральный крест», т. е. объединение средней вертикали и средней горизонтали (см. рис. 3). Докажите, что в этом случае какой-то жук вернулся на место либо перелетел в соседнюю клетку.
V,
k
У/
У/
ft
}/<
}/<
я
я
у(
й
У/
УА
6
У/,
_
%
mm
К;
£
2
2
S
2
2
s
g
5
5
§
« Jhv
S
1
-
:
31
2
I
2
:
Рис. 3
Рис. 4
б) Верно ли это утверждение, если фигура Ф — «оконная рама», т. е. объединение центрального креста и всех граничных клеток доски (см. рис. 4)?
в) Верно ли это утверждение, если фигура Ф — вся доска?
В. М. Произволов
59
6. Треугольник, длины всех сторон которого больше 1 см, назовем «большим». Дан правильный треугольник ЛВС, длина стороны которого 5 см. Докажите, что а) из треугольника ЛВС можно вырезать 1000 «больших» треугольников;
б) треугольник ЛВС можно разрезать не менее чем на 1000 «больших» треугольников;
в) треугольник АБС можно разрезать не менее чем на 1000 «больших» треугольников, соблюдая следующее условие: любые два «больших» треугольника либо не пересекаются, либо имеют ровно одну общую вершину, либо сторона одного из них является стороной другого (такое разрезание называется триангуляцией);
г) решите задачи б) и в) для правильного треугольника со стороной длиной 3 см.
7. я-значное число будем называть универсальным, если вычеркиванием части его цифр можно получить любое наперед заданное девятизначное число, все цифры которого различны и не равны нулю.
а) Приведите пример универсального числа из 92 = 81 цифры.
б) Приведите пример универсального, числа из 92 — 9 + 1 = 73 цифр.
в) Докажите, что в любом универсальном числе какая-то цифра встречается не менее девяти раз.
г) Попробуйте построить универсальное число, в котором было бы как можно меньше цифр. (Жюри умеет строить такое число из 92 — 2-9 + 4 = 67 цифр.) ’
Г. А. Г у р е в и ч
IX класс
Первый день
1. Задача 3 6) для VIII класса.
2. Можно ли вершины куба занумеровать различными трехзначными числами, составленными из цифр 1 и 2,
так чтобы номера любых двух соседних вершин раз¬
личались не менее чем в двух разрядах?
3. Задача 4 для VIII класса.
—> —> —У —V
4. На плоскости даны векторы а, Ь, с и d, сумма ко-
—у •>- —>
торых равна 0. Докажите неравенство M + |^|-f|c| + + \d\^z\a + d\ + \b + d\ +\с + d\.
Ю. И. И о н и н
Второй день
5. Задача 6 из VIII класса для правильного треугольника со стороной длиной 3 см.
6. На окружности расположено п действительных чисел (п ^ 3), сумма которых равна нулю. Одно из этих чисел равно 1.
а) Докажите, что есть два соседних числа, различающихся не менее чем на 4//г.
б) Докажите, что есть число, отличающееся от среднего арифметического двух своих соседей не менее чем на^ 8/п2.
в) Оценку, предложенную в предыдущем пункте, можно улучшить. Попробуйте заменить в ней число 8 каким-нибудь большим числом так, чтобы утверждение этой задачи по-прежнему выполнялось для всех натуральных чисел.
г) Докажите, что для п — 30 на окружности есть число, отличающееся от среднего арифметического двух своих соседей не менее чем на 2/113. Приведите пример набора 30 чисел на окружности, в котором ни одно число не отличается от среднего арифметического двух своих соседей более чем на 2/113.
Ю. И. И о н и н
7. Дано натуральное число п. Последовательность натуральных чисел аи а2, ..аь(\ ^ а* ^ п) назовем универсальной для данного п, если из нее можно полу¬
чить вычеркиванием части членов любую последовательность из п чисел, в которой каждое из чисел 1, 2, .. ., п входит по одному разу. Например, последовательность 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3 является универсальной для п — 3, а последовательность 1, 2, 3, 2, 1, 3, 1 не универсальна, так как из нее никаким вычеркиванием нельзя получить последовательность 3, 1, 2. Цель этой задачи — получить оценку числа членов самой короткой универсальной последовательности (для данного п).
а) Приведите пример универсальной последовательности из п2 членов.
б) Приведите пример универсальной последовательности из п2 — п + 1 членов.
в) Докажите, что любая универсальная последовательность состоит не менее чем из /г(/г + 1) /2 членов.
г) Докажите, что при п = 4 самая короткая универсальная последовательность состоит из 12 членов.
д) Попробуйте найти для данного п как можно более короткую универсальную последовательность. (Жюри умеет строить универсальную последовательность из п2 — 2п + 4 членов.)
Г. А. Гуревич
X класс Первый день
1. Пусть Хо и Х\ — натуральные числа, меньшие 1000, *2 = |*о — ХА> *з= 1*1— *г|, *4= |*2 — *з| и т. д. Докажите, что хотя бы одно из чисел х2, *з, ..*1500 равно 0.
С. В. Фомин
2. В правильном 1976-угольнике отмечены середины всех сторон и середины всех диагоналей. Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной окружности?
B. Гейзель
3. На квадратном листе бумаги нарисовано п прямоугольников со сторонами, параллельными сторонам листа. Никакие два из этих прямоугольников не имеют общих внутренних точек. Докажите, что если вырезать все эти прямоугольники, то количество кусков, на которые распадется оставшаяся часть листа, не более я+ 1.
С. В. Фомин
4. По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.
Н. Б. Васильев
5. Задача 4 для IX класса.
Второй день
6. В вершинах правильного /г-угольника с центром в точке О расставлены числа ( + 1) и (—1). За один шаг разрешается изменить знак у всех чисел, стоящих в вершинах какого либо правильного 6-угольника с центром О (при этом мы допускаем и 2-угольники, понимая под 2-угольником отрезок с серединой в точке О). Докажите, что в случаях а), б), в) существует такое первоначальное расположение ( + 1) и (—1), что из него ни за какое число шагов нельзя получить набор из одних (+1):
а) /1=15,
б) п = 30,
в) п — любое число, большее 2.
г) Попробуйте выяснить для произвольного я, сколько существует различных расстановок ( + 1) и (—1) таких, что никакую из них нельзя получить ни из какой другой за несколько шагов. Докажите, например, что для п — 2100 существует 2480 таких расстановок.
C. В. Фомин
60
1. На сфере радиуса 1 проведена окружность большого круга, которую мы будем называть экватором. Нам будет удобно использовать и другие географические термины: полюс, меридиан, параллель.
а) Зададим на этой сфере функцию f, ставящую в соответствие каждой точке сферы квадрат расстояния от этой точки до плоскости экватора. Проверьте, что эта функция обладает следующим свойством (обозначим его>К): если М2, Мз— концы трех взаимно перпендикулярных радиусов сферы, то
+ f(Mz) = 1.
Во всех следующих пунктах f — произвольная неотрицательная функция на сфере, которая обращается в О во всех точках экватора и обладает свойством ^.
б) Пусть М и N — точки одного меридиана, расположенные между северным полюсом и экватором. Докажите, что если точка М дальше от плоскости экватора, чем точка N, то f(M) ^ f(N).
в) Пусть М и К — произвольные точки сферы. Докажите, что если точка М дальше от плоскости экватора, чем К, то f(M) ^ f(K).
г) Докажите, что если точки М и К лежат на одной параллели, то f(M) = f(K).
д) Докажите, что функция f совпадает с функцией, описанной в пункте а).
А. А. Л о д к и н
8. Задача 7 для IX класса.
В олимпиаде приняло участие 160 школьников (РСФСР была впервые представлена командами от 4 зон — по 12 человек в каждой команде, не считая, конечно, лауреатов I и II премий прошлогодней олимпиады).
В табл. 1 и 2 отражено число награжденных премиями и отзывами и число решивших отдельные задачи (или продвинувшихся в их решении).
Таблица 1
Класс
Число
участ¬
ников
Премии
Отзыв
1-й
степени
Отзыв 2-й степей и
1
п
ill
VIII
41
5
8
6
7
11
IX
49
2
8
10
8
10
X
70
5
8
16
12
16
Решения задач
Приводим решения некоторых задач или их отдельных пунктов. Решения всех задач будут опубликованы в журнале «Квант» в I полугодии 1977 г.
VIII класс
1. Пусть О— центр стола, С/— центр /х часов, Мь — положение конца минутной . стрелки /-х часов в некоторый момент времени t, Mt — положение
♦ у
конца этой стрелки через 30 мин. Тогда ОС/ =
= -у (OMi + ОМ\). Отсюда | ОС/1 < -у- (| OMt | -f
—f
-f | OMi\). Складывая 50 таких неравенств для всех часов, получим
2 | ОС, I < 4~(Х I дMl I + 21 дм[\).
Таблица 2
VIII классе
1
2
3
4
5
6
7
а
б
в
а
б
а
б
в
а
б
в
г
а
б
в
г
+
610
213
2811
3
4
6
0
2810 4
1
37
28
0
0
±
2
3
0
1
2
1
2
6
1
0
0
1 0
1
0
0
0
0
10
610
2
2
1
7
11
0
0
1
0 0
3
0
0
2
1
IX класс
1
2
3
4
5
6
7
а
б
в
а
б
в
г
а
б
в
г
+
20
41
6
1
35
14
8
9
1
1
0
36
31
10
9
±
1
0
5
8
0
1
0
2
0
0
0
0
1
0
4
3
1
5
0
0
*0
0
1
1
1
1
0
2
0
5
X класс
1#
2
3
4
5
6
7
8
а
б
в
г
а
б
в
г
д
а
б
в
г
д
+
20
40
10
24
2
11
8
2
1
20
1
1
0
1
50
40
19 11
2
±
6
7
3
3
4
0 0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
4 0
4-
8
4
2
0
0
4 0
6
2
1
0
0
0
0
1
1
1
3 0
Следовательно, либо 2 | ОС/1 < 2 | ОМ/1, либо
2 |ОС/| < 2 10Л1/1, т. е. либо в момент времени t, либо через 30 мин сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок будет не меньше сум* мы расстояний от центра стола до центров часов.
Если в обоих случаях выполняется равенство, то для каждых часов также выполняется равенство. Но это возможно только, если точки О, С< и расположены на одной прямой. В этом случае для выполнения строгого неравенства надо рассмотреть моменты времени (t -f 1) мин и (t 4- 31) мин.
3. Приведем общее решение задачи б), которое годится и для задачи а).
Пусть Olt 02, 03—центры окружностей, проходящих через точки Д F, D, С; Д В> D, Е\ С, В, F, Е„
Пусть OjC — х, 02А — у, ОгЕ — г. Тогда OxD = —> ->
— — ОгА — — у, так как 0tD02A — ромб. Аналогич-
но, 02В = — г, OtF — —х. CD — (х, (— у)), Лв —
/\ /\
—>■ ->• V- ■/
= (у, (—г)), £/>-(*,<—а:)). Отложим эти векторы
от одной точки. Заменив угол между у и —z на
конгруэнтный ему угол между — у и г, получим, что сумма величин трех выделенных дуг равна
61
у\ /\ /\ /\^
(*. (-у)) + ((-У), % + (*, (-х)) = (X, (-х)) = 180®.
4. Сначала переставим члены Х\, х2 и Хз в порядке убывания. Получившаяся последовательность также удовлетворяет условию задачи. Кроме того, она убывает, поскольку рассматриваемое множество разностей, начиная с х2, увеличивается. Заметим теперь, что для всякого целого k ^ 0
xk ^ xk+i + xk+2* (1)
В противном случае мы имели бы
•%*2> xk — xk+\*==:\xk — xk+i\* что невозможно.
Итак, предположим, что все-таки х21 > 1. Тогда, ра зумеется, *2в>1 и в силу (1) имеем: Хц>лг20-|- + X2t ^ 2, JCig лг19■-]- х20 2+1 = 3, Ли ^ jct8 +
+ х\% 3 -f- 2 = 5,..х2 + ха ^ 4181 -f* 6765 =
» 10 946 > 10 ООО, что противоречит условию.
60 г) Триангуляция треугольника со стороной 3 см. Пусть Mt и М2 делят сторону АВ на три равные части (рис. 5). [MXHX) и 1М2Н2)— перпендикуляры
>3
Рис. 5
используя равенства a + d ■■
к [АВ]. Пусть /Ci — точка пересечения [М^Н^ и [ЛС]; Ci —середина отрезка Л1,/С,. К2 — точка пересечения [М2Н2) и [ВСj]; С2 —середина отрезка М2К2 и т. д. Легко проверить, что треугольники ACClf BCCV АС\С2у ВСуС2>..ACsqqC^qi, BC^qC^qi, авсЪ01 —
«большие».
7. а) 12 ... 912 ... 9 ... 12 ... 9. Первую цифру заданного числа нужно выбирать из первой группы, вторую цифру — из второй группы и т. д.
б) Рассмотрим число
12 ... 8998 ... 2112 ... 8998 ... 2112 ... 89.
Оно состоит из девяти групп по девять различных цифр в каждой. Как и в пункте а), доказывается, что оно универсально. Ясно, что если в универсальном числе из двух рядом стоящих одинаковых цифр одну вычеркнуть, то число останется универсальным. Вычеркнув таким способом «лишние» цифры из нашего числа, получим универсальное 73-значное число:
12 ... 898 ... 212 ... 898 ... 212 ... 89,
IX к л а с с
2. Можно. Пример такой нумерации см. на рис. 6. Другая формулировка той же задачи: существует ли отображение множества вершин куба на себя такое, что соседние (по ребру) вершины отображаются в не соседние.
4. Заметим, что в доказываемое неравенство век- торы a, b, с, d входят равноправно. Действительно,
Рис. 7
- (Ь + с) и b + d =
= —(а + с), неравенство можно записать, например, в виде
I в I + I* I + |”« I + I rf I > I в +”с I + Г* +*С I + Н + "с I,
т. е. поменять местами векторы с и d.
Нетрудно показать (но жюри требовало аккуратного доказательства!), что если сумма четырех векторов, лежащих в одной плоскости, равна 0, то их можно расположить таким образом, чтобы они образовали само- пересекающийся четырехугольник.
Пусть АВ = а, ВС = b, CD = с, DA = d и Е = = [BC]r\[AD] (рис. 7). Тогда | DB | < I DE | + | ЕВ |,
| С А | < | СЕ | + | ЕА |, откуда | DB | + | ~СА | < |~ВС |+ -f | DA |. Так как DB = DA + АВ, а С А = CD + DA,
TO'|fl + d| + |c + rf|<|^[ + |rf|. Остается восполь-
зоваться неравенством |£ + */|<!|д| + |с|, вытекаю-
—>■ —>■ —>• — щим из равенства b -f d = — (а + с).
Все предложенные учениками решения были вариантами изложенного, хотя жюри было известно и другое решение, пригодное и для векторов в трехмерном пространстве.
X класс
1. Докажем индукцией по всем натуральным п, что, вообще, если в такой последовательности х0 и х\ меньше 2/г, то одно из чисел Х\, х2, ..Хзп равно 0. Случай п = 1 легко проверяется. Пусть для всех п, меньших данного, утверждение доказано. Если теперь в нашей последовательности
лг3 < 2п — 2, дг4 < 2п — 2,
то из индуктивного предположения прямо следует то, что нужно. Поскольку х0 •< 2и — 1, лг, < 2п — 1, х2 > 1, то JC3 < 2л — 2 и х4 < 2/г — 3. Если х3 ф 2п — 2, то все доказано. Если хъ = 2/г — 2, то х2=\,хг^ = 2/г— 1, xQ = 2/г — 2. Осталось доказать утверждение в этом случае. Имеем:
хг = 2п — 2, х4 = 2/г — 3, хй = 1, х6 = 2/г — 4, х7 = 2п — 5, х9 ~ 1,..., хгк «=■ 2/г — 2k,..., хзп = 0.
2. Существует по крайней мере 987 окружностей, на каждой из которых лежит по 1976 отмеченных точек (окружность, проходящая через середины всех сторон данного 1976-угольника, и окружности, проходящие через середины диагоналей фиксированной длины).
Все отмеченные точки, кроме центра О 1976-угольня- ка, принадлежат этим окружностям.
Любая другая окружность пересекается с каждой кз них не более чем в двух точках и кроме этих точек пересечения может содержать еще лишь одну отмечен-
62
ную точку О, значит, всего она содержит не более 2-987 4- 1 = 1975 точек.
4. Пусть Ai=Ai(t), t = 1, 2, 3 —точки, в которых находятся три пешехода в момент времени t. Фиксируем на плоскости точку О. Тогда
—> ->
OAi = at + vit,
—>■
где ai — вектор, задающий положение /-го пешехода
—У
в момент времени t = 0, а г// — его скорость. Заметим, что пешеходы находятся на одной прямой тогда и только тогда, когда площадь S (i) треугольника AtA2A3 обращается в 0.
Пусть
у ->■ >•
г, = А3Аи гг = А,А2.
Если в выражение для квадрата площади
<Р —(г,гж)«
S2(0 = k. I*k.l* sin2^- =
2
подставить rt = at — a3 + (г;, — i/3) t, r2 = a2 — a, +
—У ->
-f- (v2 — vx)t, то оно превратится, очевидно, в некоторый многочлен / (/), который не равен тождественно 0, ибо S (0) ф0 по условию. Заметим, что степень многочлена / не выше 4 и что / для всех t\
отсюда следует, что f(t) может обращаться в 0 не более чем для двух различных значений t. Но это и означает, что пешеходы могут оказаться на одной прямой не более двух раз.
6. Первые пункты этой задачи можно решать по-разному. В большинстве решений используются такие соображения:
(1) Достаточно использовать для перемен знака только /7-угольники, где р — простой делитель п (другие перемены можно получить комбинацией этих); коротко будем такие перемены знаков называть /?-операциями.
(2) Результат нескольких операций не зависит от порядка их выполнения; поэтому, в частности, нет смысла повторять какую-то операцию более одного раза — новых расположений (+1) и (—1) это не даст. Перейдем к отдельным пунктам.
а) Всего существует 215 расположений (+11 и (—1) в вершинах правильного 15-угольника. Оценим количество N тех из них, к которым можно прийти из расположения «все ( + 1)» (и, следовательно, обратно, из которых можно получить «все +1»). Всего можно сделать 8 различных /7-операций: три 5-операций и пять 3-операций. Число N не больше числа подмножеств множества из 8 элементов, т. е. N ^ 28 < 215. Значит, существуют расположения (и очень много), которые нельзя получить из «всех (+1)».
б) Поставим в соответствие каждой расстановке х= (*ь *2, .*зо) чисел (+1) и (—1) в вершинах правильного 30-угольника расстановку f(x) в вершинах правильного 15-угольника:
f(x) = (XiXm, X2Xl7, Xl5X30j.
При этом 2-операция над х не меняет f(x), а р-операции над х при р, равном 3 или 5, соответствует /7-операции над f(x). Остается взять х так, чтобы f(x) нельзя было /?-операциями привести к расположению «все ( + 1)» (для этого можно воспользоваться а) и тем, что f — отображение на все множество расстановок в вершинах 15-угольника).
Утверждение в) можно доказать индукцией, рассматривая n-угольник как объединение р непересекающихся /г/р-угольников.
Г. ▲. Сорокин
(г. Саратов)
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
При изучении показательной, логарифмической и степенной функций в средней школе встречаются большие трудности. Известно, что некоторые определения и ряд свойств этих функций получают недостаточное обоснование, и поэтому учащимся приходится многое запоминать механически. С введением в программу по математике темы «Предел функции и производная» к указанным выше трудностям добавились новые, связанные с выводом формул производных показательной и логарифмической функций.
В данной статье предлагается один из возможных вариантов изложения вопросов, связанных с замечательными пределами, с логарифмической, показательной и степенной функциями в X классе средней школы, позволяющий избежать отдельных трудностей.
§ 1. Некоторые применения неравенства Бернулли
1. В дальнейшем изложении нам потребуется лемма, доказательство которой содержится в учебном пособии.
Лемма. Если a > — 1 (афО) и п ** 2, 3, 4,..., то (1 + «У1 > 1 + па. (1)
Отметим два следствия, вытекающих из леммы.
Следствие 1. Если b > 0 (Ь Ф 1), то справедливо неравенство
/ 1 _}_ пь \п+1
(irrr) >ьп- (2)
Доказательство.
\rib\n + l 1 — b\n+i
тпл) -(.ь + Г+т) -
Следствие 2. Последовательности {хп) и (ул), где
возрастают.
Доказательство. Положив в неравенстве (2) 6= 1 и выполнив преобразование левой части,
получим
1 + п 0 +~п~) ^ _ /1 + n + ly-H
л+1 / = V л -И У =
• -О+ТГ+т) >(1 + 4") -
г. е. хп+1> хп.
63
Аналогично при b — 1 —получается неравенство
Упл-1> Уп- 2. Число
Теорема 1. Имеет место равенство
Аналогично из леммы и правого неравенства (б) имеем
lim
/2->оо
О+v)"-4) ’•
е л ь с т 1
-О-4-)
О)
Доказательство. Положим, 1 Л-* 1
0-4У
1
Уп
Последовательность (гп) убывает и ограничена снизу (например, нулем), следовательно, она имеет предел; обозначим его через е.
Итак, по определению
в- lim (l--7r) ".
П~> оо \ п /
Найдем предел последовательности (.хп):
/п 4- 1 / п \—п
Хп = \ИГ~) =
Л 1 V(n+1Yi 1 ^ п
-У~ n + lj У~ п + \ )-zn+\n+\’
lim хп
/7 -> оо
lim
/?-> ОО
lim
tl->OQ
= е Л = е.
Теорема доказана.
Теорема 2. При п > 2 справедливо неравенство
(4)
1—г’
(5)
в котором равенство возможно только при г = 0. Действительно, для г = 0 соотношение (5) очевидно.
р
Возьмем рациональное число г = >0, где р и q—
натуральные числа. Возведя все члены двойного не-
р
равенства (4) в степень и положив п = 2q, будем иметь:
(6)
Применяя лемму к левой части левого неравенста (6), получим
1 \2 р '2?/ ‘ т. е. это верно для г < 0.
Итак, для всякого рационального числа г
1 + г < *г. (7)
Из этого неравенства для г > — 1 следует, что 1 1
*“г<
1+г
1-(-Г) •
Доказательство. Так как последовательность (хп) строго возрастает, то хп меньше своего предела, т. е.
О
zn приближается к числу е, убывая, поэтому
•<0 -±Г-
Объединяя два последних неравенства, получим двойное неравенство (4).
3. Обобщение неравенства (4).
Покажем, что для любого рационального числа г < 1 имеет место соотношение
1
Заменив — г на г, получим неравенство, справедливое при г < 1:
Отсюда и из неравенства (7) заключаем, что при г < 1 справедливо соотношение (5).
Из неравенства (5) вытекают следствия, на базе которых выводятся формулы производных показательной логарифмической и степенной функций, кроме того, решаются многие другие задачи.
§ 2. Функция х ех и ее основные свойства
Будем считать известными правила действий над степенями с рациональными показателями. Отметим некоторые свойства функции ег на множестве рациональных чисел.
1. На множестве рациональных чисел ет > 0.
Это свойство следует из определения степени с рациональным показателем.
2. На множестве рациональных чисел функция ег возрастает.
Доказательство. Для произвольных рациональных чисел Т\ < г2 из неравенства (7) имеем:
1 < 1 + г2 — г, < е
т. е. ег<х > ег\
Далее мы считаем, что учащимся известны теоремы о предельном переходе в неравенстве.
3. Пусть (гп) — последовательность рациональных чисел, для которой lim гп = 0. Тогда
П-> оо
lim еГп = 1.
Я-> ОО
(8)
Доказательство. Достаточно рассмотреть гп < < 1. Из соотношения (5) имеем:
1 + гя<*г«<-ч —. (9)
1 г п
Но lim(l + rrt)= lim \mm^— *= 1, поэтому по тео-
П-> ОО /7-> ОО п
реме о промежуточной переменной из неравенства (9) следует равенство (8).
4. Степень с иррациональным показателем.
Любое действительное число х можно представить в виде предела
х = lim гп
п+ ОО
последовательности (гп) рациональных чисел (например, последовательности десятичных приближений числа х, взятых с недостатком), поэтому целесообразно ввести следующее определение:
ех = lim еТп.
П-+оо
64
Покажем существование указанного предела и его независимости от выбора последовательности (гп). Пусть (Гп)—произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к х, а (гп) — монотонно возрастающая последовательность, сходящаяся к тому же Рассмотрим равенство
/«
По свойству 3 \\теГп Гп = 1.
П-Уоо
Последовательность (еГп) монотонно возрастает
(свойство 2). Возьмем рациональное число г0^>х. Тогда для всех п гЛ<л:< г0, т. е. гп < г0 и, следовательно, е п < ег°. Иными словами, монотонно возрастающая последовательность (ег п) ограничена. Поэтому существует конечный предел lim е Г/*=А. Тогда
П-> оо
ИтеГп — lim е*п ?п lim еТп *= 1 • А = А,
П->оо п-+ оо п~> оо
Итак, функция ех определена на множестве всех действительных чисел.
5. Переходя в неравенстве (9) к пределу при гп -»■ х (х < 1), получим
1+х<«х<х~г* <10>
Замечание. Неравенство
1 + х ^ е* (10')
справедливо при любом х. Это следует из неравенства (7).
6. Имеет место равенство
lim ех — 1. (11)
Jf-И)
Доказательство. Равенство (11) получается из неравенства (10) предельным переходом при jc->0.
Теорема.
ех — \
Ijm — 1. (12)
х+0 л
Из этого свойства следует, что для любого действительного х справедливо равенство ехе~х = е° = 1. 1
Поэтому £ =
Б. ех > 0 для всех х.
В самом деле, при лг> —1 из неравенства 1 х < ех следует, что ех > 0. Если х < — 1, то
1 х
ех =—, где —л: > 1, и, следовательно, е >0. е х
В. Функция ех возрастает.
Действительно, для произвольных чисел хх < *2 из неравенства (10') имеем:
1 <С 1 + *2 Х1<Се 9 1 в
т. е. ех* > ех\
Следствие. Если еХ{ = ех*, тох, = х2.
Г. lim ех — оо, lim ех = 0.
Х-> + оо Х-+—СО
Первое соотношение вытекает из (10') при лг=>+оо, а второе — из правого неравенства (10) при х-*—сю. Д. Функциз* ех в интервале ]—+°°[ непрерывна. Действительно, пусть Xq — произвольное число из интервала ]—оо, +оо[. Тогда
lim ех = lim ех~х°+х° — Нт ех~х° ех° «■
Х~>Х0 X->X0 X-±Xq
*= \ .ех° = ех°.
Е. Функция ех в интервале ] — оо; -f оо [ дифференцируема, и ее производная (еху ■*» ех.
Эта формула получается на основе равенства (12).
§ 3. Функция х -> In л: и ее основные свойства
Определение. Функция, обратная функции ех, называется логарифмической и обозначается ^1п х. Остановимся на некоторых свойствах этой функции.
Доказательство. Из соотношения (10) имеем: А_ 1п _ in х + 1П у, In — - In л: — In где
К
1
X
ех — 1
1 1
— < (0 < X < 1),
х > 0 и у > 0.
>
1
Б.
1
< In .г < .г — 1, х>0.
(*<0).
X ^ 1 —X
Отсюда при х -> 0 следует равенство (12).
7. Рассмотрим еще несколько свойств функции ех. А. *= eXi eXtl для любых чисел хх и х2.
В самом деле, пусть (г^) и (г") такие последовательности рациональных чисел, что
lim r'n — xXl lim г"п — л:2
Л-> оо П-*-оо
и, следовательно,
Пш (г' + г") - х, + д:г.
П-Уоо
Тогда в силу определения функции ех
Доказательство. При х > 0
<1.
В силу неравенства (10) и определения натурального логарифма имеем:
х— 1 1
е х < з j-"= х -
1.
х —— 1
е1пх<е*-К
г +г
еХх*Хч ^ \\т е П П
П->оо
г‘ Т
■ Hm е п Пт е п
П-+со П—>оо
> lim
П->оо
(е тп е тп) ,
Отсюда в силу монотонности ех следует свойство Б. Из неравенства Б вытекает следующее свойство:
В. Если 0<*<1, то 1п*<0; если *>1, то 1п*>0; In 1=0.
Доказательство очевидно.
В неравенстве Б, заменяя х на х + I, получим соотношение:
Г.
< In (1 -f X) < X, X > — 1.
*1 рХч
е х е
1 + х
Из этого неравенства вытекает свойство: Д. lim In (1 -f х) — 0.
лг-vO
3 Математика в школе №6
№
Е. Теорема.
„ lnO+jr) .
lim - 1.
.r-vo А
(У
Доказательство. Разделив неравенство Г на х, получим:
1 In 0 + Л')
1 -}- X ^ л
<1. *>0;
1 In (1 ~f— Л
> ———; >i, — 1 < г < а
1 + х
Отсюда при .г 0 следует равенство (13),
Ж. Функция х-> \пх непрерывна при зсех х > 0. Д о к а з а т е л ь ь г * о. Пусть х0 > 0 — произвольное число:
f jr **«. .V0\
In X — ln(x — *0 + x0) = In x0 + In (j 4- у .
Применив свойствоУД, получим
lim !n х =» In + Hm In (I -f "
— In
3. В интервале] 0, + оо [ функция in х дифферен¬
цируема, причем (In х)' ■
(Утверждение вытека¬
ет из (13) и определения производной.)
§ 4. Показательная функция с произвольным основанием
Определение. При я > 0 ах = ех 1п а для любого действительного числа х.
Свойства этой функции вытекают из свойств функции ех и равенств 2х ех 1п а0 Приведем доказательство некоторых свойств.
A. (е*)У - Л
Действительно, ш определению показательной функции для а*=*еЛ имеем {ех)У — е у 1п е . Но In ех = jc, поэтому (ех)у *= ех>\
Б. (ах)У - а*У.
Доказательство. По определению ах=ехХпа* Отсюда и в силу свойства А следует равенство
(ах)У - (ех 1п У = 111 в - ахУ.
B. Теорема*
lim -
Л’-»0
•1
« In а.
(И)
Доказательство. ах = ехХпа. В силу равенства (12)
■ in 4
Hm - *->0
lim ■
х->0
1
х in а
In а — In и.
Применяя равенство (14), получим соотношение (аху *= ах In аь
§ 5. Логарифмическая функция с произвольным основанием
Определение. Функций... обратная показательной функции ах (а > 0, а ф 1), называется логарифмический и обозначается logtf л*.
Свойства этой функции вытекают из равенства
In X
•* =где я > 0, аф\, л: > 0. Отсюда, в частности, получается формула
§ 6. Степенная функция
Определение. Пусть задано некоторое действительное число [х. Функция определенная для всехх>0, называется степенной функцией с показателем р..
Степенная функция может быть записана в виде х^ = е^1пх. Отсюда вытекают свойства степенной функции,, Рассмотрим некоторые из ни ♦.*
А» Степенная функция х*' непрерывна яри всех х > 0о
Действительно, опираясь на непрерывнее?*, показательной и логарифмической функций для любого положительного числа х0, получим
pi lim In х
оР- In.г ; х->х0 х +х0
Б. Теорема. При любом действительном ^
(1 + х)* — 1
lim*»1- \\те*1пх-е х^х° = е* 1п ^ - А .
Пт *
jp->0 л
Доказательств о. Положим» х « г* — L Тогда (но свойству Д из §3) *->()» Применив равенство (12), получим
Hm * *->о
(1 + ^r-l
lim •—;
el
Л
л.
J\x
— 1
lim ■ /->о
tn
1
Ur.
Теорема доказана.
В. Степенная функция х№ в интервале ]0, 4- ©о [ дифференцируема, и ее производная (х11)' = fjuc*1”’1. Эта формула получается с помощью теоремы Б.
В заключение отметим, что из непрерывности пока-’ зательной функции и равенства (13) следует второй замечательный предел:
1 In(l+jr)
lim (1 + х) х
lim е x-+Q
Hm ЛШ±£! 0 *
= el
e.
66
Задачи
ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—V КЛАССОВ
1756. В кружка на рис. 1 вписать цифры от 1 до 9 так, чтобы суммы чисел, стоящих по линиям буквы М, были равными и наименьшими из возможных.
11. А. Терехов (Чечено-Ингушская АССР,
с. Харачой)
Ж Ж Ж 7
vl/ vi'' 'ф-' sU vL'-
-n’N ✓Tv ^=|Ч
Ж Ж Ж ЖЖ 7
допущена ошибка.
1760. Указать, сколько разных примеров на умножение можно получить по записи
Ж Ж Ж 3
* Ж
ЗАДАЧИ ДЛЯ VI—VIII КЛАССОВ
1761. Дсш шестиугольник ABCDEF. Доказать, что если MB)!UD£)||(CF), (ВС) ||(£F) || (AD), (С£) || (М). то (BE) ||(/\4).
Э. М Фалькенштейн (г. Рига)
1762. Построить шестиугольник ABCDEF, у которого
противоположные стороны попарно параллельны, если даны три его вершины А, В, С и отношения \АВ\ : \DE\ = kh \ВС\ : \EF\ = k2, \CD\ : \FA\ = kz.
М. X. Приеде (г. Даугавпилс)’
1763. Даны окружность о), точка /С 6 со м число X. Найти множество всех точек М таких, что \мт\ = = %\МК\, где (МТ) —касательная к со в точке Т.
С. Г. Губа (г. Вологда)
1764. Две окружности касаются в точке М. Прямая, проходящая через точку М, пересекает окружности соответственно в точках А и В. Найти множество всех точек X таких, что
ХА : ХВ — k,
- данное число.
Г. Б.
1757. Заполнить кружки на рис. 2 цифрами так, чтобы на обеих окружностях, на четырех радиусах большой окружности и в центре окружностей можно было прочитать квадраты натуральных чисел. (Цифры могут повторяться.)
Д. Н. Б о т н а р у (МССР, с. Погорна)
1758. Пятеро ребят с помощью считалочки выбирают водящего для игры. По правилам, тот, на кого падает последнее слово, выходит, и счет возобновляется без него. Какое наименьшее число слов может содержать считалочка, чтобы считающий, начав с себя, оказался водящим?
1759. Доказать, что в примере на умножение
Ж Ж Ж з
ж ж
где k-
Кузнецова (г. Ярославль)
1765. В треугольнике ABC проведены три медианы AAU BBi и CCi, пересекающиеся в точке G. В образовавшиеся треугольники AB{G, CBXG, CAXG, BAiG, BCXG и ACiG вписаны окружности. Доказать, что если три из них конгруэнтны, то и все шесть конгруэнтны.
Математический кружок шк. № 71 г. Киева
ЗАДАЧИ ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
1766. Найти первые 100 знаков после запятой в десятичном разложении числа (5 + Y26)101.
С. И. М а й з у с (г. Запорожье)
1767. Доказать (в области определения) тождество tga+ tg(a + 20°) + tg(a + 40°) + ...
... + tg (a + 160°) =9 tg 9a.
С. Т. Берколайко (Белгородская обл.,
с. Котово)
1768. Доказать без помощи таблиц, что tgll°<0,2.
С. И. Майзу с
1769. Найти хотя бы одну функцию вида
ах 4- b /(*>-■«+* • для которой равенство
/(/(/ (/(*))» = * является тождеством, а равенство / (/ (•*)) - X
не является тождеством (каждое в своей области определения).
1770. Решить систему неравенств
а* + а2 — 2а ;> 0,
2al -fa — 1 <0, а* — я>0.
1771. Даны, два подобных одинаково ориентированных треугольника ABC и АхВхС\. Точки А0, В0 и С0 делят отрезки AAi, BBt и СС\ соответственно в равных отношениях. Доказать, что треугольник А0В0С0 подобен данным.
Э. A. JI а у д ы н я (г. Даугавпилс)
1772. Для правильной треугольной пирамиды R и г — соответственно радиусы описанного и вписанного шаров. Доказать, что R ^ Зг.
Я. Н. Су конник (г. Киев)
1773. Даны две прямые Ахх + Вху + Сл = 0 и А2х + 4* В-f С2 *■ 0. Записать условие, при котором начало
координат принадлежит одному из острых углов, определяемых этими прямыми.
Т. А. Иванов а (г. Горький)
1774. В пространстве даны сфера и k точек А\, А2, ..., Ац. Для каоюдой точки М сферы строится точка N, такая, что
MN = A4Ai + AiAo + • • • + MAk*
Найти множество точек N.
В. А. Юдаков (Крымская обл., пос. Армянск)
1775. В трехгранном угле ОАВС биссектрисы углов АОВ и АОС взаимно перпендикулярны. Доказать, что плоскость, содержащая эти биссектрисы, перпендикулярна грани ОВС.
С. Г. Губа
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
Простейшие дроби
1776. Вычислить п
& *а + 6Л* + 11* + 6*
*=1
С. Р. Сефибеков (Дагестанская АССР,
с. Кашкент)
Константа Эйлера
1777. Вычислить
1 ( * 1 М
In п W f 1 + л* + 2 + ••• + п> )'
Л. Туческу (Румыния, Крайова) Матрицы
1778. Доказать, что для каждого п £ N существует дробно линейная функция /: х удовлетворяющая условиям
fn~I,
еде fn — f о / о... о f — суперпозиция п функций f, а I — функция х-*х с соответствующей областью определения.
Специальный пятиугольник
1779 Лан пятиугольник ABCDE, у которого (АВ)\\ || (DE), (ВС) || (£/4). Доказать, что прямые, проходящие через середины сторон АВ и DE, ВС и ЕА, пересекаются на прямой I, проходящей через вершину А и середину стороны CD, или параллельны прямой I.
3. А. Скопец (г. Ярославль)
Применение преобразований
1780. На прямых а, Ъ и с, проходящих через точку М, даны соответственно точки А, В и С. Прямые ВХ и СХ, где X £ а, пересекают cub соответственно в точках Z и Y, а прямые AY и AZ пересекают cube точках V и U. Доказать, что прямые BV и CU пересекаются в точке W, принадлежащей прямой а или параллельной а.
3. А. Скопец
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОМЕЩЕННЫХ В № i ЗА 1976 г.
1631. Число 1975 можно представить в виде суммы п составных чисел и нельзя представить в виде суммы п 4-1 составного числа. Чему равно п?
Решение. Условие задачи означает, что ни одно из п слагаемых, на которые разбито число 1975, нельзя представить в виде суммы двух составных слагаемых. Найдем множество А составных чисел, которые нельзя представить в таком виде.
Пусть m — четное число, m — 2k = 2 (k — 2) 4 4. Если k > 3, то k — 2 > 1, и из этого равенства сразу же получаем, что m (£ А; при k = I получаем, что m — число не составное, при k = 2 и 6 = 3 получаем, что m = 4 А и m = 6 £ А. Пусть теперь m — нечетное, m = 2k 4 1 = 2(k — 4)4-9. Если k > 4, то m g Л, a рассмотрев меньшие значения К получаем, что m = = 9 £ А. Отсюда следует, что А = {4, 6, 9}.
Таким образом, все п слагаемых, на которые разбито число 1975, берутся из множества {4, 6, 9}. Но два слагаемых, равных 9, мы взять не можем, так как их можно заменить на три слагаемых, равных 6, а тогда получилось бы представление числа 1975 в виде суммы п 4 1 составного слагаемого. В то же время одно слагаемое 9 обязательно должно быть — иначе все слагаемые были бы четными, а число 1975 нечетно. Аналогичные рассуждения показывают, что должно быть ровно одно слагаемое 6, и тогда имеем
1975 = 94-64 1960 = 9 + 6 + 4-490.
Теперь ясно, что п = 492.
1632. Найти наименьшее натуральное число, оканчивающееся цифрой 4 и обладающее тем свойством, что при перестановке этой цифры на первое место оно увеличивается в 4 раза.
Решение. Пусть х — искомое число, у = 4х — число, полученное из х перестановкой, указанной в условии. Первая цифра числа у равна 4, так что первая цифра числа х равна 1. Но тогда первые две цифры числа у — это 41, и при делении у на 4 мы получаем вторую цифру частного 0, т. е. вторая цифра числа * — это 0. Поэтому первые три цифры числа у — это 410, и при делении на 4 мы получаем третью цифру числа * — это 2, т. е. число у начинается с цифр 4102. Аналогично получаем, что четвертая цифра числа х и пятая цифра числа у — это 5, т. е. у начинается с 41025, а следовательно, пятая цифра х и шестая цифра у — это 6, и у начинается с 410256. Но тогда шестая цифра числа х — это 4 — та, которая указана в условии.
Таким образом, искомое натуральное число может иметь не менее 6 цифр, а шестизначное число, обладающее данным свойством, равно 102 564.
1633. Найти подмножества А и В множества С, если для любого подмножества X множества С выполняется равенство Xf]A = X U В.
Решение. Пусть А и В — подмножества С, обладающие указанным в условии свойством. Тогда при Х=С получим Cfyi = C(j£, т. е. А—С; положив X = 0, получим, что В = 0. С другой стороны, если А в С и # = 0, то для любого X с С имеем X fl А =
« X** Х[)В.
68
Таким образом, условию задачи удовлетворяют подмножества А = С и В = 0.
1634. Между цифрами двузначного числа пишут цифру 0 и полученное трехзначное число делят на взятое двузначное. Какое наибольшее и наименьшее целое число можно получить при этом?
Решение. Пусть 10х 4 у — некоторое двузначное число. Тогда после указанной операции мы получаем число ЮОх 4 у, и рассматриваемое частное равно
100а' + у (100* -f Юу) — 9у 1Л 9у 10* 4- у
\MN\
I ЕМ I
= 10.
Рис. 1
Решение. Пусть | AD | = а, | ВС | = b —- длины оснований трапеции ABCD (рис. 1). Из гомотетии треугольников АМЕ и С MB следует
| ЕМ | \АЕ |
2 Ъ
|МБ|“ | ВС , а из гомотетии треугольников END и CNB —
0)
|EN] \NC\
а : 2 b
(2)
Из (1) и (2), согласно теореме о пропорциональных отрезках, вытекает, что (MN) || (ВС)> и, следовательно, треугольники ВЕС и AiEN гомотетичны, тогда
| ВС | — I ВЁ \ " (3)
Из (3), учитывая (1) и то, что | BE | — | ЕМ | 4 I MB1, получим
ab
\MN\~rprb.
Обозначим а:Ь= *, где *>1. Тогда
а
к~ 10* 4 у ~ 10* 4 у ~ ^ 10*.4 у*
Отсюда видно, что k ^ 10, причем k — 10 при у = 0. Поэтому наибольшее значение k равно 10.
Для нахождения наименьшего целого значения k
9 у
исследуем, при каких *, у от 1 до 9 дробь у
является целым числом. Будем придавать у все возможные значения. Тогда числитель 9 у принимает значения
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, и рассматриваемая дробь будет целым числом, если числитель делится на двузначное число с последней цифрой соответственно
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Но 9 не имеет двузначных делителей, 18 не делится
на 12, 27 не делится ни на 13, ни на 23, 36 не делится
ни на 14, ни на 24, ни на 34. Число 45 делится на 15,
а при * = 1, у — 5 мы имеем k — 7.
Далее, рассуждая аналогично, получаем, что рассматриваемая дробь будет целым числом при у = 8, х — 1, а тогда k = 6. Таким образом, k принимает наименьшее значение 6, если исходное двузначное число равно 18.
1635. Разрезать шахматную доску 8X8 на прямоугольники, отличные от квадратов, так, чтобы в каждом прямоугольнике было нечетное число клеток.
Решение. Одно из решений задачи состоит в том, чтобы провести разрезы между пятой и шестой вертикалями и седьмой и восьмой горизонталями.
1636. Середина большего основания трапеции соединена с концами меныиего основания прямыми, пересекающими диагонали в точках М и N. При каком отношении длин оснований расстояние |ЛМ| будет иметь наибольшую величину?
I A2JV I =
*42'
Функция /(*)= ^г_р"2~ на интервале J1; оо[ не име ет наибольшего значения.
а
При * -> 1 имеем | MN | -g-. Это значит, что для
а
параллелограмма | MN | « -g-.
1637. Через вершину С прямого угла треугольника ЛВС проведена прямая I, перпендикулярная медиане СМ треугольника. Точки Ах и Вх— проекции вершин А и В на прямую I. Доказать:
1) площадь трапеции ААХВХВ в два раза больше площади треугольника ABC;
2) 4|ЛЛ,||ВВ1| = \АХВХ I*
Рис. 2
Решение. 1) Из рис. 2 видно, что [СМ]—средняя линия построенной прямоугольной трапеции
AAiBiB и |СЛ11 =~ \АВ |; площадь ее равна
\см\ - \а\вх\.
Далее замечаем, что
$АЗС = ^АА1В1В ( $АА>С + $ВЯ,С ^
- I МС 11 АгВг I - 4" (I АЛ* I \АгС | 4 | ВВг I I В,С I) ~ - | МС I | АгВг | - 4“ I Мс I Иi£i I -
*= 2 I МС 11 АхВг | = ~2
2) Треуiольники AAtC и СВгВ подобны, так как углы АСАг и СВВг оба острые, причем (АС] ± [СВ], [СЛ] 1 [ВВг].
Из их подобия следует:
(!ж| - frar|)<*“> (I11 вв. I - М.С 11 Btc |).
_ . я я I f пп . I А\В\ | | AjBt |
Отсюда | АА\ [ | ВВХ | = g— * —2— ’ и оконча*
тельно получаем 4 | ЛЛ,11 ВВХ | « | АХВУ |2.
69
1638. Из вершины прямого угла треугольника проведены высота, биссектриса и медиана, длины которых соответственно h, I и т. Доказать неравенство /4 ^ mh3.
Решение. Можно показать, что в прямоугольном треугольнике между длинами биссектрисы, высоты и медианы, проведенных из вершины прямого угла, существует соотношение
2 mh2
/2 _
m -+ h*
Отсюда, применяя известное неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел, получим
^ Vh 2mh ^ yr h /*2mh
у m h
V 2 у
2mh Г 2mh2 у 2 |/ mh
У
m2h4 mh
|/* mh3.
Итак, /4 ^ т/г\
1639. Дял пятиугольник. Середина каждой стороны соединена с серединой другой стороны, не имеющей с ней общей зершины. Доказать, что середины полученных пяти отрезков являются вершинами пятиугольника, гомотетичного данному.
Решение. Пусть точки М и N — середины отрезков ВС и DE, Аг — середина отрезка MN (рис. 3)
Я
Рис. 3
Рассмотрим векторы, отложенные от точки О. Будем иметь
ОАх - ±{ОМ + ON) ~ ^(ОВ + ОС + OD + ОЕ). Поскольку выбор точки О произволен, то выберем ее
так, что О А + OB -{- ОС + OD -f ОЕ — 0, т. е. О — центроид данного пятиугольника. Тогда получим
ОБ -f ОС + OD + ОЕ = — О А,
или
> 1 —>■
OAi = 4 О А,
т. е. Аг — образ точки А при гомотетии с центром в центроиде данного пятиугольника и с коэффициентом k = — —р.
Аналогично доказывается, что точки Въ Съ Dlf Е\ — образы точек В, С, D, Е соответственно при этой же гомотетии.
1640. Величины углов Аг и Л2 четырехугольников AiBiCiDi и A2B2C2D2 либо равны, либо их сумма
70
составляет 180°. Выразить отношение площадей этих четырехугольников через длины отрезков АгВъ AxD\f АХСЪ А\Ох и А2В2, A2Dо, А2С2, А202, где О, - И,С,]П [£,£>,). 02 = [АС2]П[Й2Ь2].
Решение. Заметим (рис. 4), что
| Л,й, 11 Л,£>,|
SA,B,D, = IMIMAI* (1)
Далее,
4
|О.С,|
поэтому
AlBlCiDl
S,
в,с,о, | л,О, |
I Л.О. I ~Ь I О,С, |
м,0,
М,с
— 5
II А
M.B.C.D, - | Л,0,|
Аналогично показываем, что
1ЛС»! -
°Д,Я,С,0, - | Л202 I A,B,Di • Следовательно,
| | SAiBiDi | Л02|
I A*®* 11 ^2^21 Учитывая равенство (I), окончательно получаем:
SAtB,c,D, _ I AtBt 11 A\D% 11 AjCi\ | А%0г |
SAtBiCiD* I ^2^8 I I A$Dt1 | A2C2\ I AiO\\*
П p и меча н и e. В условии задачи, опубликованной в № 1 журнала за 1976 г., были указаны ошибочно другие отрезки.
1641. Бесконечная геометрическая прогрессия с положительными членами и знаменателем q обладает тем свойством, что каждый ее член, начиная со второго, больше суммы всех предыдущих. Какие значения может принимать q?
Решение. Пусть (aqn~') — геометрический прогрессия, обладающая указанным в условии свойством. Тогда при любом п ^ 2 имеет место неравенство
ап — 1
f*>^—Г”
или поскольку, очевидно, q > 1, то
qn+\ _ 2qn + 1 > 0.
Записав полученное неравенство в виде qK(q-2) + 1 > О, замечаем, что оно выполняется при #>2 для любого числа п £ N. С другой стороны, если q < 2, то это не-
1
равенство можно переписать в виде qn < я—- от
л q
жуде ВИДНО, ЧТО При достаточно больших п ОНО не выполняется: это следует из того, что lim <7/г =» 0.
П-Уоо
Таким образом, знаменатель q может принимать значения q ^ 2.
Отметим, что во многих присланных решениях случаи q < 2 не исследовался.
1642. Доказать, что если 0 < а, а2 ап,
то
п п
2 тг< si; ("<*>+ e«>-2e0-
ь= 1
/=1
Решение. Определим знак разности между левой и правой частями доказываемого неравенства, домно- женными на й\ап:
п п ,
/=1
at
i~ 1
i= 1
n
"" S 77 (a'a* ~~ aiai + at) '
1=1
/=1
a/
(at — ai) (hn — ai) <0,
cos JC
r cos
COS *
1 + cos 3* ]/ cos 3jc
1
— 1 = 1.
COS X
что и требовалось доказать.
1643. Доказать, что если уравнение
х2 — ky2 = 1
при натуральном k имеет натуральное решение, то оно при этом k имеет бесконечно много натуральных решений.
Решение. Пусть пара натуральных чисел (х0, у0) является решением данного уравнения, тогда имеет место равенство
(■*• + /**)(*,- Vkyt) = 1, и, следовательно, при любом п £ N
(*о 4- V'kyJ1 Uo — V ЪоГ - 1.
Но число (*0 -f kуо)п имеет вид хп 4- >/"k\fn, где д:„, уя £ N, и легко видеть, что при этом (х0 — у kyQ)n=» ■= Jt„ — Поэтому
(*„ + ^ - 1,
т. е. все пары (хп, #п) удовлетворяют исходному уравнению. Ясно, кроме того, что все эти пары различны, откуда и следует, что данное уравнение имеет бесконечно много решений.
1644. Решить уравнение
ся только при z — “2~, получаем, что данное уравнение равносильно системе
_1_
2 •
1
cos3* — “2~.
Однако эта система не имеет решений: если cos х =» — ~2~, то cos 3* — 4 cos8 х — 3 cos х — — 1. Следо ва- тельно, и исходное уравнение не имеет решений.
1645. Найти корни уравнения
Xх + X1-* = X + 1
в области положительных чисел.
Решение. Переписав данное уравнение в виде
х2х _ х* хх + х — хх = 0,
после соответствующей группировки будем иметь (Xх — 1) (хх х} = 0.
Но уравнения Xх — 1 =* 0 и Xх — х = 0 оба имеют единственный положительный корень х — 1. Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень х = 1.
тс
1646. Доказать, что 0 < a <-тр, то
sin а 1 а2 а > 4 *
Решение. Рассмотрим функцию
а*
/(о) — sina — а + —
и ее первую и вторую производные:
3«2
/' (а) = cos а — 1 -J- —,
За
f" (а) = — sin а + ~2~
в интервале ] 0; -тр [ f" (a) > 0 ^так как sin а < а < За \
< —); следовательно, / (а) в этом интервале возрастает; но /' (0) — 0, /' (а) непрерывна, так что //(а)>0 на всем рассматриваемом интервале. Поэто- тс
му / (а) на ] 0; — [ возрастает, а поскольку / (а) непрерывна и / (0) = 0, то / (а) > 0 при всех а £ тс
€ Отсюда и следует доказываемое неравен¬
ство.
1647. Через точку М пересечения диагоналей вписанного в окружность четырехугольника проведена прямая, перпендикулярная к диаметру, проходящему через точку М. Доказать, что эта прямая пересекает противоположные стороны четырехугольника в точках, удаленных от точки М на одно и то же расстояние.
Решение 1. Треугольники MDA и МСВ (рис. 5) /\ /\ /\ /\ подобны, так как ADM — ВСМ и DAM = СВМ, тогда \DM\ : \МС\ = \DA \ : |С£|. Если [ON] ± [AD] и [О/С] -L [ВС], то К и N — середины отрезков ВС и DA и выполняется равенство \DM\ : |СЛ1| = |£W| : \СК\.
/\ /\
Из этого равенства и того, что ADM = ВСМ, следует подобие треугольников MDN и МСК, а из их подо- /\ /\
бавяутл®» DMM ж С КМ*
Решение. Поскольку в области определения данного уравнения выполняются неравенства cos х > 0, cos Зх > 0, то его можно переписать в виде
y^cosjt — cos2 х 4* V cos Зх — cos2 Зл: = 1. Заметив теперь, что при любом z g R имеет место неравенств© г — z2 < “4~э причем ра»енств© достигает-
71
ADS
/\ /\ /\ /\
Так как ENO f ЕМО - 180° и FKO + F МО = 180°, то точки Еу Му Оу N принадлежат окружности и точки М, F, К, О принадлежат окружности. Но тогда
МОЕ = MNE = MKF = йOF, т. е. &ОЕ - tilOF.
Треугольники ОМЕ и OMF конгруэнтны и, следовательно, | ME | = | MF |.
Решение 2. Пусть ABCD — данный четырехугольник, О — центр окружности. Если точка М делит хотя бы одну из диагоналей четырехугольника пополам, то утверждение задачи очевидно.
Предположим теперь, что \СМ\ < \АМ\ и \ВМ\ < < \DM\ (рис. 6). Построим четырехугольник AXBXCXDX, симметричный данному относительно точки М. Пусть Е = [АВ] П [CjDi] и F = [CD] f) [Л^]. Так как точки Е и F симметричны относительно точки М, то они лежат с ней на одной прямой и \ЕМ\ = \FM\.
Обозначим через К и Р точки пересечения прямой EF с окружностью, описанной вокруг четырехугольника ABCD. Задача будет решена, если докажем, что \КМ\ = \РМ\.
Так как ВАС = ВоЬ = в(о^Ьъ то треугольники АСгЕ и DXBE подобны. Из их подобия имеем:
\АЕ\\ВЕ\ ~ ID.EWC.El (1)
Но l^i^l = |£^| и |Cj£| = \CF\. Тогда на основании равенства (1) получим | АЕ\ | ВЕ\ = \DF\ | CF\. Поскольку \АЕ\ \ВЕ \ — \КЕ\ \ РЕ\ и \DF\ \ CF\ = \PF\ |/CF|, то \KE\\PE\ = \PF\\KF\. Вычитая из обеих частей последнего равенства выражение |/C£||PF|, получим \KE\\EF\ = \PF\\EF\. Отсюда |/C£| = |Pf|. Из этого равенства и ранее полученного равенства \EM\~\FM\ следует, что \КМ\ — \РМ\, тогда (ОМ) L(KP).
1648. Через вершины А и В острых углов прямоугольного треугольника ЛВС проведены лучи, пересекающие противоположные катеты в точках А\ и Ви D — точка пересечения лучей. Вычислить углы треугольника AiBiDy если
/\ 1 ~ /\ 1 -
А1АС — — A, BtBC = — В.
Решение. Из треугольника ADB (рис. 7)
180° — (Л -f- В) = 180° •
-90° = 120°
Воспользовавшись известным тригонометрическим тождеством tg 3« — tg atg (60° — a) tg (60° + а), из прямоугольных треугольников С,4,й„ САА1,СВВ1 и САВ находим:
\CA'I I АС | tg САА, tg СВуА, - j^} - =
| ВС I tg СВВ,
tgifiC1
tg (ЖВ, tg(90° — (52л,)
tg в
tg 4" (90° — (зо° - -|"))
fK3-4-)
tg
~ ‘бГб0° —4“')
В ( В \ V 3/'
tg—tg(60° + -3-J
Следовательно, tg С<ВИ, = tg (б0° — -у ) и CBJi^ = 60° — Поэтому
DB^A, - 180° — СВ^А, — BBJi .
180е
- (б0° - (э0° + -§-)- 30».
Значит, DAtBi = 180° —(120° + 30°) =. 30°.
Итак. A,DB, = 120°, DA^B, = DB^At = 30°. 1649. По параллельным проекциям трех вершин правильного пятиугольника построить параллельные проек- ции остальных его вершин.
ЛШ„:НяГпПуСТЬ ABCDE- правильный пятиуголь- ник (рис. 8). Отметим известные факты:
стороне35* ДИагональ паРаллельна противолежащей
Рис. 8
2) точка О пересечения диагоналей BD и СЕ делит каждую из них в отношении, равном -g- (у^ 5~— 1) т ^
а) Пусть даны параллельные проекции Ль Въ Ег вершин А, В, Е. Строим параллельную проекцию ромба АВОЕ, т. е. параллелограмм ААВ\ОгЕъ и получаем точку О,—параллельную проекцию точки О. На прямой ВхОу^ строим точку Z), так, чтобы | 0,D, |:| 0,£, | =
= ~ (/§—0. Через точку D, проводим прямую,
I II (ЕгВх), 1Г\(ЕхОх) = Cj. Пятиугольник Л^С,!),/;, •— искомая проекция.
б) Если даны точки Л,, Вх, Dt, то точку О, находим,
используя отношение | 0,£>, |:| 0,£, | = (/’5—1).
Строям параллелограмм АхВхОгЕх. Так же как в случае а), находим вершину С,.
1650. На прямой т даны точки А, В, С, а на прямой п, скрещивающейся с т, — точки Л„ Bif Си при- чем\АВ\-\А1В1\. | 6С | = | В,С, |, | СЛ| - | С,Л, |. Доказать, что центры трех сфер, касающихся данных прямых соответственно в точках А и Ль В и Вь С и Ci, принадлежат одной прямой.
Решение. Пусть сферы имеют центры М, N и Р соответственно (рис. 9). Рассматривая пары прямо-
Решение. Разбив отрезок [0; 1] точками хп» «= — (п = 1, 2,..., N), впишем в криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции x->sinx на отрезке ; lj, соответствующую этому разбиению ступенчатую фигуру. Полученная фигура состоит из
Г 1 1 1
прямоугольников с основаниями уп _£_■ | ; —J и высотами sin п ; поэтому ее площадь равна
1
N— 1
sin
2"»гтг(4-гтт)- S т
п -h 1
/2=1
Однако SN < \ sin xdx =1 — cos 1, и поэтому
Рис. 9
угольных треугольников МАВ и MAXBU MAC и МАХСХ нетрудно доказать, что \МВ\ = \МВ{\ и \МС\ = \МХСХ\. Тогда точка М принадлежит плоскостям а, Р и у, проходящим через середины отрезков ЛЛЬ ВВХ и CCt и перпендикулярным к ним. Аналогично этим плоскостям принадлежат точки N к Р. Поскольку точки М, N к Р принадлежав одновременно двум (даже трем) плоскостям, то они принадлежат одной прямой, по которой плоскости пересекаются.
1651. Найти сумму
п*
k-0
где \ ^k \ — целая часть числа /X Реше ние. В каждом промежутке fm =
= [т2\ (т + I)2 [ (т £ N) содержится 2т -f 1 натуральное число, и для всякого k^Im [уk \ = т. Поэтому искомая сумма равна
л—1 П~\ /2—1
5 = 2 (2/?г + 1)^ + /г=22^2+ +
т=0 т—0 т=0
Используя формулы для суммы натуральных чисел и суммы квадратов натуральных чисел от 1 до п — 1, после соответствующих преобразований получаем п (4л2— Зп 4- 5)
1652. Доказать неравенство
>:
Л=1
‘«4-1 п(п + 1)
<
sin
St
Но 1 •
/г=1 • cos 1
(Л-t- 1)
lim SN < 1
Л'н>-оо
■ COS 1.
откуда и следует доказываемое
неравенство.
1653. В пространстве дан треугольник ABC. Выяснить, какое перемещение представляет собой композиция трех симметрий с осями (АВ), (ВС), (СЛ).
Решение. При каждой из симметрий с осями (Л£), (ВС) и (СА) плоскость ABC отображается на себя, следовательно, она отображается на себя и при их композиции. Так как прямые АВ, ВС и С А не имеют общей точки, то для плоскости ABC композиция Sca°SBc°Sab есть переносная симметрия.
Пусть Sab(C) = Сь Со — середина отрезка ССХ, Sca(B) = Ви В0 — середина отрезка ВВ, (рис. 10).
Имеем: Sc а ° S вс ° S ав(Сх) = С, Sc а ° Sbc °
о SAB(B) = Ви т. е. точки С и Вх — образы точек С\ и В при этой переносной симметрии. Тогда прямая /= (В0С0) — ось переносной симметрии (Sca ° SBc °
*——^
с Sab), a MN — ее перенос, если М и N — проекции точек В и £, на прямую L
Композиция трех осевых симметрий пространства есть перемещение первого рода. Оно не имеет неподвижных
73
точек (так как точка, принадлежащая полупространству
с границей (ABC), отображается на точку, принадлежащую другому полупространству с той же границей) и индуцирует на двойной плоскости АБС переносную симметрию. Следовательно, композиция Sc а ° SBc ° ° Sab есть винтовое перемещение с осью /, углом
поворота 180° и переносом MN.
1654. Через прямую I проходят две пары плоскостей (аь Pi) и (а2, Р2). Провести плоскость, пересекающую каждую из заданных пар плоскостей по двум перпендикулярным прямым.
Решение. Так как две пары перпендикулярных прямых разделяют друг друга, то ясно, что для случая, когда пары (аь Pi) и (аг, р2) плоскостей не разделяют друг друга, задача не имеет решения.
Пусть данные пары плоскостей разделяют одна другую. Проведем произвольную плоскость у» пересекаю- щую прямую I, I п Y = О Обозначим: а, = сц Л Y.
&1 = р! П У, а2 = а2 П *2 = Рг П Y- Ясно, что а, П а2 П р ьх П Ь2 — О. На плоскости у построим эллипс, две пары сопряженных диаметров которого лежат на парах прямых (аи Ьх) и (а2, Ь2), проходящий через некоторую заданную точку у.
Такой эллипс можно построить, применив родственное преобразование плоскости, при котором прямые ах и b 1, а2 и Ь2 отображаются на взаимно перпендикулярные прямые (рис. 11). Прямые аи Ьь а2, Ь2 пересечем произвольной прямой k — осью родства. На [л^]
и [Л2В2], как на диаметрах, построим окружности coi и со2. Направление родства задается прямой ОО', где О' £ coi П о>2. Искомый эллипс является прообразом окружности с центром О', радиусом [О'АГ], где М' — образ точки М, при родстве, задаваемом осью k и парой (О, О') соответственных точек.
Строим эллиптический цилиндр, направляющей которого является полученный эллипс, а образующая параллельна прямой I. Как известно, цилиндр имеет
два семейства круговых сдоений. Чтобы построить плоскость такого сечения, необходимо чер^з большую ось эллипса провести к его плоскости плоскость под углом Ф так, чтобы cos ф = Ь : где & и b -— соответственно
длины большой и малой полуосей эллипса.
Построенная плоскость — искомая, так как сопряженные диаметры окружностей, полученных в этой плоскости, попарно перпендикулярны.
1655. Дан шестиугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Доказать, что прямые, проведенные через середины этих сторон, пересекаются в одной точке или параллельны.
Решение 1. Если противоположные стороны
шестиугольника параллельны, то вокруг него можно описать кривую второго порядка (согласно теореме Паскаля). Прямые, проходящие через середины параллельных сторон, являются диаметрами этой кривой. Если кривая центральная, то ее диаметры проходят через одну точку (центр), если кривая нецентральная, то диаметры параллельны.
Решение 2. Пусть АхА2АгА^АъА^ — данный шестиугольник, k, I, m — прямые, проходящие через середины сторон А\А2 и Л4Л5, А2А3 и А5Л6, А3А± и А6АХ (рис. 12). Рассмотрим косые симметрии S%, , 5^
Рис. 12
соответственно с осями k, I, m параллельно прямым
а - (ДА). Ь = (Ш С = (ЛЛ); Ч - Scm о sbt о S" -
эквиаффинное преобразование второго рода (меняющее ориентацию). Очевидно, <р(Л,) = Л4, ср(Л4) = Ль следовательно, преобразование <р индуцирует на прямой Л1Л4 инволюцию.
Возьмем произвольную точку X (£= (АХА^). Пусть
X' = «PCX’), <р (Д АхА^Х) = Л A^AiX'. Из того, что ср не меняет площадь, но меняет ориентацию, следует, что (XX')\\(AiAi). Значит, ср— родственное преобразование второго рода, не меняющее площади. Но этими свойствами обладает только косая симметрия.
MTaK,S5,.S*oS«-S;, откуда SbrSak - S^oS*. Из условия задачи следует, что Если &П 1 = 0, то
Sf°S% — либо эллиптический, либо гиперболический поворот с центром О. Следовательно, прямые /п и х тоже проходят через точку О. Итак, kCilC)m = 0. Если же k И /, то S^oSfr есть параболический поворот. Следовательно, k Ц / Ц m j| х.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ,
ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1976 Г.
1656. Коля, Ваня и Петя собирали грибы. Коля нашел 10 сыроежек и столько белых, сколько подберезовиков нашел Ваня. Ваня нашел лисичек в два раза меньше, чем сыроежек Коля, и 3 подберезовика. Петя нашел только лисички, которых было у него больше, чем белых у Коли, но меньше, чем лисичек у Вани. Сколько грибов собрали ребята?
Решение. Так как Коля нашел 10 сыроежек, а Ваня в два раза меньше лисичек, то Ваня нашел 5 лисичек. Ваня нашел 3 подберезовика, а Коля столько же белых. Следовательно, Коля нашел 3 белых. Но тогда число лисичек, найденных Петей, больше 3, но меньше 5, так что Петя нашел четыре лисички. Таким образом, всего собрано 13 + 8 + 4 — 25 грибов.
1657. Восстановить запись
(**#)* - 12* *** ** *<,
74
Решение. Можно убедиться, что из цифр от 0 до 9
только 7 при возведении в куб даст последнюю цифру 3. Следовательно, трехзначное число, которое возводится в куб, оканчивается на 7. Перебирая кубы чисел 100, 200, 900, можно убедиться, что девятизначны¬
ми будут кубы чисел 500, ..., 900, и только 5003 = = 125 000 000 начинается с 12.
Проверим теперь числа, близкие к 500 и оканчивающиеся на 7. Имеем: 5073 = 130 323 843, 4973 =
= 122 763 473, 4873 < 4903 = 117 649 000.
Итак, данная в условии запись есть 4973 = 122 763 473.
1658. В вершинах квадрата поставлены натуральные числа, большие 1, причем пары чисел, стоящие на концах сторон, не взаимно просты, а на концах диагоналей — взаимно просты. Найти такие четыре числа, удовлетворяющие этому условию, чтобы наибольшее из них было наименьшим из возможных.
Решение. Заметим, что каждое из поставленных чисел должно иметь по крайней мере два различных простых делителя: если одно из чисел имеет единственный простой делитель ру то соседние с ним числа, будучи не взаимно простыми с ним, должны делиться на это число р, а тогда они не взаимно просты друг с другом.
Если теперь одно из поставленных чисел имеет простые делители р и q, то противоположное с ним число имеет простые делители г и s, не совпадающие ни с р, ни с q. Но тогда на концах другой диагонали квадрата можно поставить числа, одно из которых с делителями р и г, другое с делителями q и s.
Поэтому достаточно взять четыре наименьших простых числа — это 2, 3, 5, 7 и перебрать возможные комбинации (рис. 1). В результате получим, что наибольшим из искомых чисел является 21.
Рис. 1
1659. Написали два числа — первое и второе. К первому прибавили второе и получили третье. Ко второму прибавили третье и получили четвертое и г, д. Чему равна сумма шести выписанных чисел, если пятое равно 7?
Решение. Обозначим через х первое число и через у второе. Тогда первые шесть чисел таковы:
У, х + у, х + 2ул 2х + 3у. Зх Ъу\
их сумма равна 8x-f \2у. Сравнивая ее с пятым числом, замечаем, что она больше его в 4 раза. Значит, искомая сумма равна 28.
1660. Ученики одного класса з лечение 7 месяцев собирали деньги для поездки на экскурсию. Было собрано 640 руб. 1 хon. Сколько учеников было в классе и сколько каждый вносил ежемесячно, если эти взносы были одинаковыми?
Решение. Каждый месяц вносилось 64 001 : 7 = = 9143 коп. Тогда число 9143 является произведением числа учеников па ежемесячный взнос: но 9143 раскладывается в произведение только следующими способами:
9143 9143 ■ 1 — 223 4L
Отсюда ясно, что в классе 41 ученик и каждый вносил ежемесячно 2 руб, 23 коп.
1661. Доказать, что композиция трех центральных симметрий есть центральная симметрия. Обобщить эту теорему на композицию большего числа центральных симметрий.
Решение. Нетрудно доказать, что перемещение плоскости является центральной симметрией тогда и только тогда, когда при этом перемещении каждый луч отображается на противоположно с ним направленный.
При композиции нечетного числа центральных симметрий любой луч отображается на противоположно направленный с ним луч. При композиции четного числа центральных симметрий любой луч отображается на сонаправленный с ним луч. Следовательно, композиция нечетного числа центральных симметрий есть центральная симметрия, композиция четного числа центральных симметрий — перенос или тождественное преобразование.
—>
1662. При переносе m треугольник АБС отображается на треугольник А\В\С\. Доказать, что отрезки АМи BNь СР\, где Ми N\, Р\ — середины сторон ВхСьС\Аи А\В\, пересекаются в одной точке.
Решение. Треугольник MxNxPx — образ тре-
j_
угольника А1В1С1 при гомотетии И0 2, где О — точка пересечения медиан треугольника Л1Б1С1. Тогда Л MxNxP^—образ Д ABC при композиции переноса m и гомотетии Н0 2 . Но композиция гомотетии и
переноса есть гомотетия. Следовательно, прямые АМг, BNx, CPlt каждая из которых проходит через точку и ее образ, пересекаются в одной точке (в центре ом отетии).
г 1663. Точки М и N— центры гомотетий двух окружностей, пересекающихся в точках А и В. Доказать, что
/\ /V
MAN = MBN = 90°.
Решение. Обозначим данные окружности через « и coj, их радиусы —г и rlt & = ra:r (рис. 2). Имеем:
(w) “ ^^ “ <D. Т. Со HN*o (g>) =5 <о.
Но композиция двух гомотетий с коэффициентами kx и k2 при kxkr. ф I есть гомотетия с коэффициентом kxk2.
Следовательно, НN k есть симметрия с цент¬
ром О. Пусть (МА)(\<а = {.4j, А) и (ЛМ)П<*>, = {А, А2], 1_
тогда HN k оЯ^,(Л1)=^4г> т. е. Z0(A,)=AS и [Л,уу—
диаметр окружности. Отсюда следует, что MAN = 90° В силу симметрии относительно оси ОгО заключаем:
/\ /\
MBN - MAN - 90°.
75
1664. На стороне АВ треугольника АБС построить такую точку D, чтобы \ПА\ • \DB\ = \DC\2.
Решение. Предположим, что искомая точка D построена (рис. 3), т. е. выполняется равенство
\DA\ . \DB\ = \DC\\ (1)
Рис. 3
Опишем вокруг треугольника ABC окружность 0(/?), тогда (CD) Л О (#) = {£» Q* По известной теореме имеем:
|Di4| • \DB\ = |DC| • \DE\. (2)
Сопоставляя равенства (1) и (2), заключаем, что точка D является серединой хорды СЕ. Множество середин хорд окружности 0(R), проходящих через точку С, есть окружность Oi(r), построенная на отрезке ОС как на диаметре.
Итак, D е [АВ] П О^г), где г =^2*|ОС|. В зависимости от числа общих точек окружности Oi(r) и отрезка АВ задача может иметь два решения, одно решение и ни одного.
1665. В окружность оу вписан треугольник ABC. Построить такую точку D окружности, чтобы \AC\-\AD\=*\BC\-\BD\.
Решение 1. Пусть точка D, принадлежащая окружности O(R), построена (рис. 4), т. е. выполняется равенство
\АС\ • \AD| « \ВС\ • \BD\* (1)
Рис. 4 Возможны два случая.
а) Точка D принадлежит дуге АС (или ВС). В этом
/\ /\
случае ADB—ACB и, учитывая равенство (1), заключаем, что треугольники ADB и ВСА подобны с коэффициентом подобия 1. Следовательно, \BD\ = |ЛС| и D = соП окр (В, |ЛС|).
б) Точка D0 принадлежит дуге АВ. Из равенства (1) следует равенство
1 /V 1 /V
| AC 1.1 AD0 I sin D0AC
I ВС | • | BD | sin D0BC ,
т. e. треугольники DQAC и D0BC равновелики. Легко 76
видеть, что в этом случае точка Д>«о>П(СЛ4), где [СЛ4]— медиана треугольника ABC.
Итак, задача имеет всегда два решения.
Полное решение этой задачи прислали Г олова- чез Е. А., Тимошенко Н. Р., математический кружок 173-й школы г. Киева (рук. Ушаков Р. П.). Решение 2. Искомая точка D обладает тем свой- \DB\ | С А | \СА\
ством, что — | СВ|”’ где отношение | с'В \ д
m
= — можно считать известным. Значит, точка D
принадлежит окружности Аполлония, построенной на отрезке PQ как на диаметре, где [PQ] С (АВ) и
\РА\ | QA | щ „
\pg | == | qb j = Построенная таким образом окружность пересечет данную окружность в двух точках: D и D0.
1666. Доказать, что если ах < а2 <.. .< аю то
а\ 4 #2 4 •.. 4- &k ^ а\ + а2 4- • • • 4- ап ^
k < п <
<
ak+i 4- • • • 4-йп
О)
п — k
Решение. Докажем сначала неравенство
4- #2 + «»« 4~ ak ^ а\ "4 а2 4* . •. 4- a>k 4- ak+\ k ^ k + l
Перенесем слагаемые, содержащие ах, л2,..., а& в левую часть, после чего неравенство (1) примет вид
(а, + а2+ ... + < jftii
d\ 4 a2 -f .
или
ak
< ak + l-
ax 4- a2 4- ... 4- ak ^ ^ak+1 1ак как £ < —£—, то последнее не¬
равенство справедливо.
Таким образом, мы получили, что среднее арифметическое
с « а% 4“ а2 4- ..» 4- dk ь8=8 k
первых k членов возрастающей последовательности (ап) является возрастающей функцией от k. Следовательно, при & < я S(k) < S (п), а это и есть первое из неравенств, которое требовалось доказать.
Чтобы доказать второе неравенство, рассмотрим возрастающую последовательность —ап, — ап~. х,..., —ах. По доказанному
(—ап) ~Ь (—an—i) 4-...4- ( ak+i) ^
<
п — k
(—ап) + (— ап—\) 4 4 (—fli)
п
откуда и следует второе из доказываемых неравенств
1667. Доказать, что
4
шах{лг, у, г) — ш!п{д:, у, г) < “3“ у cl2 — 3b ,
где х 4- у 4- z = а, ху 4- yz 4 хг = b.
Решение. В силу равноправия чисел х, у, ,г без ограничения общности можно считать, что эти числа связаны неравенствами х <; z. Тогда доказываемое
неравенство принимает вид
r
z — x < -3-у *2 4- у2 + г2 — xy — yz — xz ,
или, после возведения в квадрат и преобразования правой части, получим
9 (z - ху < 8 «* - у)2 + (г - уУ + (г - *)2),
т. е.
(г - л:)2 < 8 ((* - у)2 -f (У - ^)2). (1)
Но для любых ту п £ R 2 (/я2 + /г2)>(/я + л)2> и, применив это неравенство к числам т =■■ х— у, п = .у — г, получим, что 2 ((* — у)2 + (у — г)2) > (* — z)2, откуда и вытекает неравенство (1), равносильное исходному.
те
1668. Доказать, что при 0<а< —
2 . г,— ч а
— (1 — cos а) < (2 — у 2 ) sin -77- -f sin а.
Решение. Поскольку 1 — cos а = 2 sin2 — , sin а=
а а а
« 2 sin -су-cos ~2~ и sin -9- > 0, то после сокращения
а
на 2 sin -ту неравенство примет вид
■sin — <14-
COS '
У
2
Так как — sin 75 a Z
а
sin -о- /-?г
2 ^ , а „ я v 2 —< 1 и cos cos т = -j- ,
те последнее неравенство справедливо; но тогда справедливо и исходное неравенство,
1669. Доказать не равенстве cos2a-j-cos2fi 1
sin-a -f sin2 р ^ ~2~ а + с*£2 ?)•
Решение. Прибавив к обеим частям данного неравенства по 1г получим;
2 1/1.1
)•
sin2 а -|- sin2 Р ^ 2 V Sin2 а sin2 р (sin2 a + Sin2 Р)- > 4 sin2 a Sin2 0,
(sin2 a —- sin2 p)2 ^ 0C
Тем самым исходное неравенство доказано,
1670. Доказать тождество
п~ ? т
2 S
/71=0 £=:()
Решение. Обозначим сумму, стоящую в левой части данного равенства, через Тогда
Я — ?
5= ЪК +с; + ... + 0-С2 + (c2 + cj) +
/75—0
+ ( Сл + Сл + Ся) + ••• + (СИ + + ...
... + с"-1) = < + (л — 1) с\ + (л - 2) С* +... *». + 2С£ 2 + С* 1 — я (С® + С* + С£ + ...
...+СГ‘)-(^+2С* + ЗС» + ... ... + (л — 2) С%-2 +(«-!) С"”1.
Но
С° + С‘ + С* + ... +СГ1 =2»-1,
а второй член в правой части равен
С”-1 + 2С”—“ + ЗС"-3 + ... +(«-2) С'гп +
п-3
l)Cj =s
•ПС®
S — Л.
4- (/2 — v л
Поэтому
S~n(2n — \)--S±n, откуда 5= П'2п—1, что и требовалось доказать.
1671. Найти сумму п
2 /г те
гсо8г1ятт-
/г=1
Решение. Найдем сначала сумму
S — cos а 4- cos 2a 4- ... -f cos па следующим приемом:
а ( За а \ / Ба За \
2S sin тт = (sin *2" — sin — ) 4- (sin sin -уJ + • •
... 4- I sin
(s
= sin
2
2/2 4- 1
a — sin-
откуда
2
2/2 4-1
2
a — sin •
2
a
IT’
*)
a — sin —
2 sin
Теперь имеем:
n
sr, 2Ы
cos
+
2/2 4-
1 4- cos:
AkTi
2/2 -
k— 1
о
/г
2
+
sin
2/2 4- 1
2
2/2
1те \
ТТЛ
-sin
2те
2/2 4- 1
2sin
n
2те 2/2 -+- 1
1
1672. Дана трапеция ABCD (\AB] IJ [CD]). На боковых сторонах AD и ВС даны точки М и N такие, что |AM |:| MD | =* |CiV |:| NB |. Прямая MN пересекает диагональ АС в точке Р, а диагональ BD в точке Q. Доказать, что | МР | = | NQ |.
Решение. Прямая, проведенная через точку М параллельно основаниям трапеции, пересекает [СВ]
1**1 \МА\ в точке К. Из очевидных равенств = \ Т)М\ =
I CN |
= увЩ следУет’ что I С % I = I = ь (Рис-
Пусть | KN | - д, Е = [MK]f\\AC\t [MK]Ci\BD\t \КЕ | — I FM I = с. Применив теорему Менелая к тре-
77
-1.
IQAfl c—\EF\ ' b
1.
Рис. 6
| FM |
I ДМ
\FQ\
\LD\
| FB\ \LQ I
I^QI
\LN\ ’
xa yb -(- zc — 0, то векторы et —
угольнику MNK и секущей AC, затем к треугольнику MNK и секущей BD, запишем:
\NP\ c — \EF\ b \PM | с * b — a
| NQ | с b~-a
b
I ь
-, es = компланарны. Поскольку
I M
/\ /4 /\
(et,e2) = {ег, e,) = (*„ <>,) = 120°,
Перемножив последние два равенства, получим
|1ШТ = \ш>\’ откУда и следУет’ чт0 IРМ I “ ! ^1-
1673. Даны два параллелограмма ABCDw AMPN, где М £ [АВ], N £ [АО]. Доказать. что точка Q — — (DM)Ci(BN) принадлежит прямой PC.
Решение. Проведем (рис. 6) [QI] И [АВ] (L £ [^D]) и ГОЛ I \AD\ Для решения, задачи доста¬
точно доказать, что | FM |:| FB | — | LN |\[LD |.
то имеет место равенство
а b с + ег = 0, или — + -j- 4 —
Получаем бса + асб + аЬс — 0, значит, х : у : 2 = = 6с : ас : ab.
1675. Найти множество прямых в пространстве, рае- ноудаленных. от двух данных точек.
Решение. 1) Пусть прямая m равноудалена отточек А и В, т. е. \АМ\ = |£Af|, где [/Ш]Лт, Мет, [BN\A.m: N <= m (рис. 7). Через середину L
отрезка MN построим плоскость, перпендикулярную к прямой т. Так как эта плоскость параллельна прямым МА и NB, то она пересекает [АВ] в его середине О.
В силу гомотетич ности пар треугольников QFM и DLQ, QFB и NLQ имеем:
Поделив почленно первое из полученных равенств на второе, получим нужную пропорцию. Из нее следует, что Q, Р и С принадлежат одной прямой.
1674. Даны три отрезка ОД 0Bt ОС, такие, что АОВ - БОС - СОА - 120°. Какой линейной зависимостью связаны векторы О А, ОБ, ОС? (Другими слова ми, найти х\у\г, если xOA-]r уОВ-\- z ОС = - 0.)
Решение. Пусть ОЛ=*я, ОВ -•=» Ь, ОС=с, ОА \ — л, I ОВ | | ОС | = с. Так как векторы а
Ь, с линейно зависимы, т. е» выполняется равенство
Из конгруэнтности треугольников MLA и NLB следует, что \AL\ — |#L|. В равнобедренном треугольнике ALB отрезок OL — медиана и высота, а значит, прямая I — ось симметрии отрезка АВ, т_1_/.
2) Если прямая а пересекает ось симметрии I пары (А; В) под прямым углом, то при симметрии с осью I она отображается на себя, а точки А и В — на В и А. Следовательно, прямая а равноудалена от точек А и В.
Таким образом, искомое множество есть объединение всех прямых а, пересекающих какую-либо из осей симметрии I пары точек (А; В) под прямым углом.
1676. Доказать иррациональность числа cos 4°.
Решение. Поскольку cos па выражается через cos а с помощью многочлена с целыми коэффициентами, то из cos 4°eQ следовало бы, что cos 20° е Q. Но тогда с помощью циркуля и линейки можно было бы построить угол в 20° или, иначе говоря, разделить на три равные части угол в 60°, что, как известно, невозможно.
Можно рассуждать и иначе: если cos 4° е Q, то cos 36° е Q, но для cos 36° имеется явное выражение
78
через радикалы, иррациональность которого легко доказывается.
1677. Найти наибольший член последовательности с общим членом
ап = — л4 + 20/г3 — 0,5 л2 + 13л.
Решение. Рассмотрим последовательности с общими членами Ьп — —л4 + 20л3, сп — —0,5л2 + 13л и соответствующие им функции
f (х) = —*4 + 20а:3, g(x) = —0,5д:2 + 13*. Вычислив производные этих функций, легко установить, что f(x) возрастает при х < 15 и убывает при > 15, a g(x) возрастает при х < 13 и убывает при х > 13. Поэтому сумма f(x) + g(x) возрастает при х < 13 и убывает при х > 15. Следовательно, свое наибольшее значение эта сумма принимает на отрезке [13; 15]. Поскольку ап — Ъп + сп — f(л) + g(n), то наибольшее значение ап может быть только при л = 13, 14 или 15. Непосредственным вычислением можно убедиться, что наибольший член исходной последовательности есть а]5 = 16957,5.
1678. На плоскости даны два одинаково ориентированных треугольника ОАВ и ОА\Вх. Доказать, что
16S-S, = (| О А |2 + | ОД |2 — | ЛД |2) (| ОВ |2 +
+ I ОВ, Is - I ВВ, |2) - (I О A Is + I ОВ, I2 - - \'АВ, Р)(|ОВ|’+ |ОЛ,р-|ВД |*)
(S и S1 — соответственно площади треугольников ОАВ и ОА\В\).
Решение. Площади треугольников ОАВ и ОАхВх
—^ —►
равны половине косого произведения векторов ОА, ОВ и OAi, OBi соответственно, т. е.
1 —> —^ 1 —► —-*•
5 = — OAoOB, = — OAloOBl.
Воспользуемся формулой
(ОЛоОЯ)(ОАоОД,) = (ОА • ОЛ)(ОБ ОБ0 —
— (IОА ОВХ) (ОВ ОД),
связывающей косое произведение векторов со скалярным (см.: В. М. Майоров, 3. А. Скопец. Векторное решение геометрических задач. М., «Просвещение», 1968, с. 26).
Пусть io)* - a, BOAi - f, ЛОВ, = р (рис. 8). Тогда
4S-S, - (ОАоОВ)(ОА,оОВ,) ~
= | О А | | О А, | cos (а+1) \ О В | | ОВ, | cos (Р + 7) —
— \ОА \ | ОВ, | cos (а + р + к) | ОВ | |ОЛ, | cos 7.
Применяя теорему косинусов, получаем:
(1 О А |»-ЦОЛ, |2- | ААХ |2) (| О В lg 4- 4
4-1 ОВ, [2 — | BBt 1»)
4 SSt =
(IО А[2 +| ОВ, 12Ч АВХ |2) (| О В l*-f \ОАх\2—|ВД|8)
4 ’
откуда и следует справедливость доказываемого равенства.
1679. Площади граней A2A3A4j А3А4АХр А4АХА2, АХА2А3 тетраэдра А\А2А3Аа составляют арифметическую прогрессию. Доказать, что прямые АХА4, А2А3 и прямая, проходящая через центроид тетраэдра и центр вписанной в него сферы, параллельны одной плоскости.
Решение. Приведем решение, присланное Н. Р. Тимошенко.
Пусть
SA,A3Ai = SAzAtAt S + 2d, S
Sa.a.a. =S + dt
А,А,А3 e 5 4- 3d, (1)
ЛИИ
где d — разность арифметической прогрессии. Обозначим центроид тетраэдра через М, центр вписанной сферы через О.
Тогда выполняются следующие равенства:
ОМ =4" <0% + ОД 4- ОД 4- ОД), (2) SA.lAzAi ОАх 4- SA3AlAi ОА2 4- SA^AiAi • ОА3 4-
+
• 0Л4
0.
МИз Д3‘ ^)
Принимая во внимание равенства (1) и (2), преобразуем равенство (3) к следующему виду:
3
(s + 2 d
(Ov4, -j- ОА2 “Ь ОА3 -I- О .Л4) -{■*
/ 3 —> 1 —>_
4- d ^ — “2” ОД — ~2“ ОД 4*
] —► з —у
4-—ОД 4- "2~ОД) — 0, t(s + -|-d) .Ол5+^(-|-(ОЛ — OAi) +
1
+ 2
(О А, — ОА
Рис. 8
откуда получаем
—> 3 —у 1 —>
4 (S 4* 1»5б?) •ОМ 4~ 2 ^ * Л, Л4 4~ 2 ^ ’ А2А3 = 0.
Последнее равенство выражает необходимое и до-
— ■ - >
статочное условие компланарности векторов ОМ,
->• У .
ДЛ4, ДД, ЧТО и означает, что прямые ОМ, ДД, Л2А3 параллельны плоскости.
1680. При аффинном отображении четырехугольник ABCD отображается на четырехугольник Д£,С,0,. Отрезки ЛЛ,, ВВЪ ССЪ DD, точками Д, В0, Ce, D0 разделены в равных от ношениях. Доказать, что существует такое асЬфинное отоб раже- ниег при котором А -> Д, В -> Ь0. С -> С0, D /)0.
Решение. Существует аффинное отображение, при котором А -*■ Д, ВВ0, С->С0. Докажем, что при этом отображении D —> Д>.
79
Рис. 9
Пусть отношение, в котором разделены отрезки ААХ, ВВХ, СС, и DDi, равно X, (ЛС)П(££>)«* Mt (ACi)fl H(BiDi) =* Mi, М0 делит отрезок ММХ в отношении X
(рис. 9). Требуется доказать, что М^В9 — kM^D^ и
ЛМо - 1М£{в. где k - Л1/Г: MD - МА:^Д и I -
« ЛЫ:Л1С - МхАх:МхСи
Имеем равенства:
в + хв,
С + ХС,
1 + Х ' ~ 1+Х ' 1 + Х
-> D -Ь XDj 7^ М 4- XAft
A>e 1-fX » 0== 1 4-X »
/Г— М + X (Bt — ifi)
MqBq esa В© *** Mq **
л7в + хл^£
1 + *
MD + 'KMtDt
l + x
Из них получаем Л40£0 *=* kM0D0.
Аналогично доказывается, что М0Л0 = /Af0C0.
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 1 ЗА 1976 Г.
Аганисьян (г, Уральск) — 1632, 1634, 1635, 1637, 1643,
1649, 1651. Адамук Т. С. (г. Брест) — 1632, 1633,
1636—1638, 1641, 1642, 1644—1647, 1651, 1652. Анто¬
нов П. К- (Ульяновская обл.) — 1631—1635, 1637, 1638, 1641—1645, 1648, 1651, 1652. Апанасюк В. Н. (г.
Брест) — 1631—1633, 1635, 1637, 1641. Ахматов М. А. (г. Ейск) — 1631, 1632, 1634—1638, 1642, 1645, 1646,
1648, 1649, 1651. Бабаян Г. А. (АрмССР, г. Горйс) — 1633—1635, 1637, 1645. Багдасарян С. С. (АзССР, пос. Гадрут) — 1631—1635, 1637, 1638, 1641, 1642, 1645— 1647, 1649, 1651. Баламетов И. Г. (АзССР, г. Куса-
ры) — 1631, 1632, 1634—1637, 1643, 1646. Бовсуновский
Н. И. (Житомирская обл.) — 1632, 1634—1637, 1645.
Богомолов А. П. (КазССР, г. Петропавловск) — 1631— 1633, 1635—1638, 1642, 1644, 1646, 1648, 1649. Будагов М. и Будагов Р. А. (АрмССР, с. Полад) — 1632, 1634,
1635, 1637, 1645. Ветров К. В. (г. Братск) — 1632, 1634—1637, 1641—1643, 1645, 1646, 1648, 1649. ,Владимиров А. С. (Свердловская обл., г. Асбест) — 1632,
1634—1639, 1642—1644, 1646—1648, 1651—1653. Воинов И. И. (Орловская обл., г. Волхов) — 1631—1635, 1637—1639, 1642, 1645, 1646, 1649—1651. Головачев Е. А. (Белгородская обл., пос. Борпсовка) — 1631 — 1635,
1637, 1638, 1641 —1646, 1648, 1651, 1652. Гусейнов X. LLL (АзССР) — 1632—1635, 1637, 1641, 1645, 1651. Дание-
лян А. (АзССР, пос. Гадрут) — 1631 —1635, 1637. Кулиев Д. М. (АзССР) — 1632, 1636, 1637, 1644—1646,
1648. Курганов Т. К. (УзССР, г. Чирчик) — 1632, 1634, 1635, 1637, 1644, 1646, 1651, 1652. Курьязов Б.
(УзССР) — 1632, 1634, 1635, 1637, 1645, 1646. Мака¬
ров М. Ф. (Орловская обл.) — 1631—1633, 1635—1638, 1645, 1649. Мамедов Э. О. (АзССР, с. Азизбеков) —
1631, 1632, 1634, 1635, 1645, 1651. Менщиков Л. Е. (г. Южно-Уральск) — 1631, 1632, 1634, 1635, 1637. Ми- хаелян М. К. (АзССР) — 1632, 1634, 1635, 1638, 1644, 1645. Мосян М. А. (г. Краснодар) — 1632—1635, 1637,
1638, 1642—1646. Муминов Г. М. (Андижанская обл.) — 1631—1635, 1637, 1638, 1646, 1651. Нерсесян П. Н. (АзССР, пос: Гадрут) — 1631—1633, 1635—1638,
1642, 1645, 1646, 1649. Повелий В. И. (Ровенская
обл.) — 1632, 1634—1639, 1642—1646. Полховский Н. Н. (г. Фергана) — 1631, 1632, 1634, 1635, 1637, 1639, 1642, 1644—1646. Попов А. Н. (г. Уфа) — 1631—1633, 1637, 1638, 1642, 1645, 1646, 1648, 1649, 1651, 1652. Прав- дин А. Л. (Горьковская обл.) — 1632—1635, 1638,
1641—1649. Пушкарев И. П. (Новгородская обл.) — 1631—1637. Ручкин Д. Д. (Марийская АССР) — 1632, 1635, 1646, 1648, 1649, 1651. Сабитов А. М. (Целиноград) — 1631 — 1633, 1635—1638, 1641, 1642, 1645, 1648,
1649, 1651, 1655. Садыгов Г. Р. (АрмССР, с. Полад) —
1632, 1634, 1635, 1637, 1644—1646, 1651. Саргсян В. Г. (АрмССР, г. Иджеван) — 1631, 1632, 1637, 1642, 1645, 1651. Саркисян А. В. (АзССР, пос. Гадрут) —1631— 1635, 1637, 1638, 1641, 1645—1647, 1651. Симеонов А. А. (Болгария, г. Своге) — 1650, 1651, 1653—1655. Сулейманов X. И. (КиргССР) — 1631, 1634, 1635, 1637, 1638. Сысуев Г. Я. (Хабаровский край) — 1634, 1637, 1638,
1643, 1645—1648. Тимошенко Н. Р. (Черниговская обл.) — 1631—1639, 1641—1647, 1649—1651, 1653. Том- ко Н. Ф. (Винницкая обл.) — 1631—1635, 1637, 1641, 1645, 1651. Туйчиев Ш. (УзССР) — 1632—1634, 1637,
1645, 1646. Утемов В. А. (Свердловская обл., г. Крас- ноуфимск) — 1631—1636, 1639, 1640, 1642, 1644—1649, 1651, 1652. Фесенко В. Г. (г. Николаев) — 1632, 1634, 1635, 1637, 1645. Ходжназаров Т. (ТаджССР) — 1632, 1635, 1644—1646. Хребет Н. Ф. (г. Днепропетровск) — 1632, 1637, 1638, 1642—1645. 1651. Чепкасов Г. С. (г. Краснодар) — 1634—1638, 1642—1646, 1649, 1651.
Шабанов И. Н. (АзССР) — 1635, 1637, 1638, 1642,
1644—1646, 1651. Шалтаев А. Н. (Ульяновская обл.) — 1631, 1632, 1634—1639, 1642, 1645, 1649, 1651. Шамиев Р. (Самаркандская обл.) — 1631, 1632, 1634, 1637, 1645,
1646. Ясинский В. А. (г. Винница) — 1632, 1633, 1635, 1645, 1646, 1651.
Математические кружки: 54-й шк. г. Барнаула (рук. Н. С. Емелюшин) — 1631, 1632, 1634—1637, 1641, 1644; 2-й шк. с. Кузоватово Ульяновской обл. (рук. Н. К. Ермолаев)— 1631—1638, 1641, 1643—1649, 1651; 46-й шк. г. Мурманска (рук. В. Е. Андреев) — 1631 -1638, 1643, 1645; 31-й шк. с. Кенес Чимбайского р-на Каракалпакской АССР (рук. К. А. Амирбаев) — 1635, 1637, 1645, 1648, 1655; 2-й ср. шк. Мархаматского р-на Андижанской обл. (рук. А. Саттаров) — 1637, 1638, 1645, 1646; 173-й шк. г. Киева (рук. Р. П. Ушаков) — 1631—1639, 1641—1651; 71-й шк. г. Киева (рук. И. А. Кушнир) — 1633—1638, 1644, 1645; 10-й шк. г. Ангарска (рук.
В. А. Васильева) — 1632, 1634, 1635, 1637, 1642, 1645.
80
СВОДКА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО № 2 ЗА 1976 Г.
Антонов П. К. (Ульяновская обл.) — 1656—1670, 1673—1675, 1677. Аракелян А. (АрмССР) — 1656, 1657,
1659, 1660. Асланян О, (АрмССР) — 1656, 1657, 1659,
1660. Ахматов М. А. (г. Ейск) — 1656, 1657, 1659—
1662, 1664—1666, 1668, 1669, 1671, 1674, 1677. Багдаса- рян С. С. (АзССР, пос. Гадрут) — 1656, 1657, 1659, 1660, 1664, 1666—1671, 1674. Баламетов Г. (АзССР) — 1656, 1657, 1659, 1660. Баламетов И. Г. (АзССР) —
1656, 1657, 1659—1661, 1666, 1667, 1669—1671, 1674,
1676. Бовсуновский Н. И. (Житомирская обл.) — 1656—1660. Будагов М. Б. (АрмССР) — 1656, 1657,
1659, 1660, 1664. Ветров К. В. (г. Братск) — 1656,
1657, 1659—1662, 1664, 1666, 1668—1673, 1675. Владимиров А. С. (г. Асбест) — 1656—1664, 1666—1672, 1674, 1676—1678. Водяницкий А. С. (Белгородская обл.) — 1656—1662, 1665, 1668—1670, 1672, 1674, 1676, 1677. Войнов И. И. (Орловская обл., г. Волхов) — 1656—
1663, 1666—1674, 1676—1678„ Воронович Л. М. (Львовская обл.) — 1656, 1657, 1659, 1660, 1676. Голова¬
чев Е. А. (Белгородская обл.) —1656, 1657, 1659—1663,
1665—1674, 1676—1680. Гусейнов X. Ш. (АзССР) — 1656—1661, 1668—1671, 1677. Давидян А. (АзССР) — 1656—1659, 1662, 1675. Екшембеев Г. М. (Татарская АССР) — 1656, 1657, 1659—1663, 1666—1678. Зубилин Н. И. (Орловская обл.) — 1656—1660, 1662, 1664,
1666—1671. Копылова-Извекова Т. М. (г. Пятигорск) — 1656—1660, 1662. Курганов Т. К. (г. Чирчик) — 1656, 1657, 1659, 1660, 1666-1671, 1676, 1677. Макаров М. Ф. (Орловская обл.) —1656, 1657, 1659, 1660—1662, 1666. Мамедов Э. О. (АзССР) — 1656, 1657, 1659, 1660,1677. Менщиков Л. Е. (г. Южно-Уральск) — 1656, 1657, 1659,
1660, 1677. Мириев С. (АзССР) — 1656—1660, 1669. Мо-
сян М. А. (г. Краснодар) — 1656, 1657, 1659, 1660,
1666, 1668, 1669, 1671, 1676. Муминов Г. М. (Андижанская обл.) — 1656, 1657, 1659, 1660, 1666, 1668—1671, 1674, 1676. Нерсесян П. Н. (АзССР, пос. Гадрут) —
1656, 1657, 1659, 1660, 1662, 1665—1668, 1670, 1671, 1674. Панченко Я. Е. (г. Невинномысск) — 1656, 1657, 1659, 1660, 1664, 1667—1670, 1677. Повелий В. И. (Ро- венская обл.) — 1657, 1659, 1662, 1663, 1666—1674,
1676—1678. Попов А. Н. (г. Уфа) — 1656—1660, 1666, 1668—1672, 1676—1678. Пушкарев И. (Новгород) — 1656—1660. Сабитов А. М. (Целиноград) — 1656, 1657, 1659—1661, 1666, 1670, 1671, 1674, 1677. Симеонов А. А. (Болгария, г. Своге) — 1676—1680. Суховой М. Т. (г. Новосибирск) — 1656—1660, 1662—1664, 1666—1674, 1676—1680. Терехов И. А. (Чечено-Ингушская АССР) — 1656—1660, 1662, 1663, 1666, 1672, 1673, 1675—1677. Тимошенко Н. Р. (Черниговская обл.) — 1656—1680. Ткачев В. Ф. (г. Воронеж) — 1656—1662, 1665—1678, 1680. Утемов В. А. (Свердловская обл., г. Красно- уфимск) — 1656—1664, 1666—1674, 1676—1679. Шабанов И. Н. (АзССР) — 1657, 1660, 1666, 1668—1671.
Шакаралиев А. Г.,, Шакаралиев Г. А. (АрмССР, г. Ка- фан) — 1656, 1657, 1659, 1669, 1670. Яцкевич И. А.
(г. Брест) — 1656, 1657, 1659—1661, 1663—1672, 1674,
1677.
Математические кружки: 31-й шк. Чимбайского р-на Каракалпакской АССР (pvK. К. А. Амирбаев) — 1656,
1657, 1660, 1662, 1664, 1666, 1670, 1671, 1673; 46-й шк. г. Мурманска (рук. В. Е. Андреев) — 1656—1661, 1664—1670, 1677; 10-й шк. г. Ангарска (рук. В. А. Васильева) — 1656—1663, 1665, 1669; Зарнавинской шк. Исмаилинского р-на АзССР (рук. Ф. Г. Кадиров) — 1657, 1660, 1669, 1670, 1677; 173-й шк. г. Киева (рук. Р. П. Ушаков) — 1656—1678; Шувинской сельской ср. шк. (рук. Т. Агаев) — 1656, 1659, 1660, 1668—1671;
54-й шк. г. Барнаула (рук. Н. С. Емелюшин) — 1656, .1657, 1659—1662, 1664, 1667—1672, 1674.
Математический календарь на 1976 /77 учебный год
Январь
2 января — 80 лет со дня рождения советского математика Валерия Ивановича Гливенко (см.: «Математика в школе», 1966, № 6).
3 января — 200 лет со дня рождения французского инженера, механика и математика, члена Парижской АН Луи П у а н с о (см.: «Математика в школе», 1966, № 6).
3 января — 60 лет со дня рождения советского математика, академика АН УССР, лауреата Ленинской премии Юрия Алексеевича Митропольского (см.: «Математика в
школе», 1966, № 2).
11 января — 70 лет со дня рождения советского математика Степана Павловича Пулькина (см.: «Математика в школе», 1967, № 2).
Февраль
2 февраля —150 лет со дня рождения русского математика-любителя Ивана Михеевича П е р в у ш и-
н а (см.: «Математика в школе»,
1962, № 1).
3 февраля — 200 лет со дня
рождения немецкого математика Карла Бернарда Мольвейде (см.: «Математика в школе», 1965, № 1).
3 февраля — 60 лет со дня
рождения советского математика Георгия Евгеньевича Шилова (см.: «Математика в школе», 1966, № 6; «Успехи математических наук», 1976, 31, № 1).
4 февраля — 50 лет со дня
рождения советского математика, академика АН ГССР (1969) Реваза Валериановича Г амкрелидзе. Он родился в г. Кутаиси. Окончил Московский университет (1950), доктор физико-математических наук (1960), профессор (1966). С 1953 г. работает в Математическом институте АН СССР. Основные работы Р. В. Гамкрелидзе относятся к топологии, теории дифференциальных уравнений и вариационному исчислению. Им получены также важные резуль¬
таты в теории оптимальных процессов, имеющих приложение к проблемам автоматического регулирования. За совместные работы с Л. С. Понтрягиным, В. Г. Болтянским и М. Ф. Мищенко в 1962 г. ему была присуждена Ленинская премия (см.: История отечественной математики, г. 3—4. Киев, 1968—1970; «Природа», 1962, № 12; Ежегодник БСЭ, 1963).
7 февраля —100 лет со дня рождения известного английского математика, члена Лондонского королевского общества Годфри Гарольда Харди (1877—1947). Он работал в Кембриджском и Оксфордском университетах. Основные труды Харди относятся к теории чисел и теории функций. Большинство его работ выполнено совместно с Дж. Литлвудом. Их результаты в аддитивной теории чисел (проблема Варинга, проблема Гольдбаха и др.) были значительно усилены советским математиком, академиком И. М. Виноградовым. Ряд работ Харди написал совместно с
81
индийским математиком Рамануджаном, которому он помог получить математическое образование. В теории функций Харди занимался теорией расходящихся тригонометрических рядов и исследованием неравенств. Несколько работ Харди посвящены теории интегральных преобразований и теории интегральных уравнений, В 1920, 1929 и 1940 гг. он был удостоен различных медалей Лондонского королевского общества и Лондонского математического общества, а в 1933 г. ему была присуждена премия Американского математического общества. На русский язык переведены его книги «Курс чистой математики» (М., 1949) и «Ряды
Фурье» (М., 1962; совм. с В. В. Рого- зинским) (см.: БСЭ, изд. 2-ё; Дж. Литлвуд. Математическая смесь. М., 1962; Историко-математические исследования. Вып. 17. М., 1964).
14 февраля —100 лет со дня рождения немецкого математика Эдмунда Георга Германа Ландау (1877—1938). Ландау родился в Берлине. В 1909—1934 гг. был профессором Геттингенского университета, затем эмигрировал в Голландию. Его труды относятся к аналитической теории чисел (проблема Варинга, теория простых чисел и др.) и теории функций комплексного перемен- иого. В математике известны термины «полином», «теорема», «символ», носящие его имя. Пользуются известностью его книги: «Основы анализа» (пер. с нем. М., 1947), «Введение в дифференциальное и интегральное исчисление» (М., 1948).
Кроме этого, он является автором известного специалистам трехтомного трактата пс теории чисел (см.: «Математик* в школе», 1940, № 3; БСЭГ изд 3-e}v
19 февраля — 70 лет со дня рождения советского математика Николая Павловича Романова (см.: «Математика в школе», 1966, № 6).
А. И. Бородин (г. Донецк)
СТЕПАН АЛЕКСАНДРОВИЧ
БОГОМОЛОВ
11876—1965)
14 февраля Т976 г. исполнилось 100 лет со дня рождения ученого- математика и выдающегося педагога, доктора физико-математических наук профессора Степана Александровича Богомолове. Имя его хорошо известно в науке по его геометрическим исследованиям. Как педагог С. А. Богомолов оказал заметное влияние на прогрессивное развитие отечествен- «огс математического образования.
Ему принадлежит большая заслуга в подготовке учителей математики.
С. А. Богомолов родился в г. Боб- брове Воронежской губернии в семье чиновника.
Окончив в 1895 г. Воронежскую классическую гимназию с золотой медалью, С. А. Богомолов поступил в Петербургский университет на математическое отделение физико-математического факультета. Уже на
студенческой скамье о»* проявил свои творческие дарования: за сочинение «Интегрирование дифференциалов, содержащих корень квадратный из целого полинома* был удостоен высшей награды — золотой медали.
Окончив университет с дипломом первой степени, С. А. Богомолов был оставлен при кафедре математики для подготовки к профессорскому званию. В 1902/03 учебном году он успешно сдал экзамен на степень магистра чистой математики. В 1900 г. приступил к педагогической работе в средних учебных заведениях, а затем и в высших. В 1902— 1918 гг. С. А. Богомолов работал в Политехническом и Электротехническом институтах. В 1903—1911 гг. он читал лекции в Артиллерийском училище и принимал участие в работе отдела математики при Педагогическом музее военно-учебных заведений. В 1921 г. С. А. Богомолов возобновил свою работу в высшей военной школе и до выхода на пенсию (1954) работал в ней. Он преподавал в Артиллерийской академии. Последним местом его работы была Военно-транспортная академия, где он занимал должность начальника кафедры математики, имея звание генерал-майора инженерно-технической службы. Заслуг* проф, Богомолов*
в деле воспитания и образования советских офицеров отмечались неоднократно при его жизни. Он был награжден четырьмя орденами, в том числе орденом Ленина, и медалями.
Остановимся на той стороне деятельности проф. Богомолова, которая была связана со средней и высшей педагогической школой. Он участвовал в подготовке Первого всероссийского съезда преподавателей математики, выступил на нем с докладом «Обоснование геометрии в связи с постановкой ее преподавания», принимал также участие в роботе Второго съезда. Ему было поручено вести организационную работу по проведению следующего съезда, но этому последнему не суждено было состояться по причине первой мировой войны. Однако подготовленные комиссией материалы по преподаванию геометрии и тригонометрии были использованы при составлении первых советских программ. Председателем этой комиссии был С. А. Богомолов.
С. А. Богомолову принадлежит большая заслуга в деле подготовки учителей математики. Он непрерывно (за вычетом военных лет) работал в высшей педагогической школе начиная с 1905 г., когда он преподавал математику в Женском педагогическом институте, длительное время заведовал кафедрой геометрии в педагогическом институте им.
А. И. Герцена. Он работал также на Высших научно-педагогических курсах, был деканом математического факультета.
С: А. Богомолов был председателем основанного в 1924 г. Общества ревнителей математического образования (ОРМО). Общество объединяло крупных математиков, методистов и учителей Ленинграда. В его работе участвовали В. И. Смирнов, Г. М. Фихтенголъц, Б. М. Коялович, Б. Б. Пиотровский, И. Н. Кавун и др. Работа ОРМО сыграла большую роль в становлении трудовой школы в первые годы Советской власти, в деле постановки преподавания в ней математики, в подготовке учителей к работе в новых условиях и в популяризации новых математических и методических идей среди учительства.
Проф. Богомолов известен как геометр с философским направлением мышления. Его исследования относятся к основаниям геометрии и геометрии кристаллов, известны его работы по философии математики. Он глубоко знал историю математики, особенно геометрии, и пользовался историческим методом ее изложения. Известны в этом плане его работа «Эволюци* геометрической мьicjm# V* «М В Лоа/оносов и со- врсг^/.ft^^SP математика»-
3.-.;>»л-»сЛьное чис пс работ С А,
i OH Hi оставшихся в рукопис», ОТНОСИТСЯ к методике преподавания математики в средней и высшей школе. По его учебнику «Основания геометрии» (М., 1923) учились студенты 20-х и 30-х годов. В 1923 г. была выпущена его работа «Эволюция геометрической мысли», а в 1934 г. — «Вве¬
ЗАЛМАН АЛТЕРОВИЧ СКОПЕЦ |К 60-летию со дня рождения)
1 января 1977 г. исполняется 60 лет неутомимому работнику в области математического образования, активному члену редакционной коллегии журнала «Математика в школе» Залману Алтеровичу Скопецу.
Он родился в небольшом городке Краславе (Латвийская ССР) в семье служащего. Отлично окончив гимназию и поступив на математическое отделение естественно-математического факультета Рижского университета, Залман Алтерович с присущей ему страстностью отдался изучению математики.
С 1941 г. начался его путь педагога и ученого: учитель средней школы на селе и в городе, ассистент кафедры математики Ярославского педагогического института, доцент кафедры алгебры и геометрии, заведующий кафедрой элементарной математики
дение « иеевкт-.&ову геометрию Ри- мана». Зсжяти* основаниями геометрии привели его к мысли написать для студентов педагогических институтов систематический курс геометрии. Курс был опубликован в 1949 г. и сыграл известную роль в деле
и профессор этой кафедры и, начиная с 1964 г., руководитель кафедры геометрии — вот основные этапы этого славного пути.
Становление 3. А. Скопеца как математика и педагога формировалось под влиянием математиков Московского университета. Особенно тепло он вспоминает о том участии, которое принял в нем — молодом начинающем научном работнике — профессор В. В. Степанов. Большую роль сыграло его общение в период написания кандидатской диссертации с членами семинара профессора
В. Ф. Кагана, в особенности с П. К. Рашевским и Я. С. Дубновым.
В 1946 г. Залман Алтерович защитил на механико-математическом факультете МГУ кандидатскую диссертацию «Некоторые методы получения специальных кремоновых преобразований». В последующие годы он интенсивно развивает идеи этой работы и находит им широкое применение в многомерной проективной, начертательной и неевклидовой геометриях.
Определяющим этапом развитой 3. А. Скопецом ветви современной начертательной геометрии была защита докторской диссертации «Неевклидова и проективная циклография и ее применение в начертательной геометрии в евклидовом пространстве». Результаты исследований Залмана Алтеровича и последующих работ его учеников находят практическое применение в начертательной геометрии, в инженерной графике. Об этом свидетельствуют широкие научные контакты Залмана Алтеровича с кафедрами прикладной геометрии втузов Москвы, Ленинграда, Ростова-на-Дону, Тбилиси и других городов. Эти работы положили начало новому направлению в геометрии — нелинейным конструктивным методам отображения пространства. Теоретические исследования последних лет все более пронизываются идеями и методами современной алгебраической геометрии.
Большое число оригинальных гео¬
геометричеекой подготовки учителей математики.
Знакомство с работами С А. Боро-» молова дают полное основание признать его математиком и мыслителем широкого научного плана.
Н. Д. Беспамятных (г Гродно)
метрических оабот* выполненных в этом направлении и опубликованных в советских научных изданиях Залманом Алтеровичем и его многочисленными последователями и учениками, хорошо известны и в нашей стране, и за рубежом.
Значительным вкладом в методику преподавания математики являются исследования 3. А. Сколеца по совершенствованию содержания школьной геометрии и методов ее преподавания. Его творческая фантазия постоянно обогащается непосредственным участием в практике школьного преподавания математики. Он один из авторов и научный редактор новых учебных пособий по геометрии для IX и X классов и методических пособий для учителей.
Результаты научно-методических исследований 3. А. Скопеца по элементарной геометрии и вопросам ее преподавания опубликованы в методических сборниках, в журналах «Математика в школе» и «Квант», о них он докладывал на всесоюзных и всероссийских конференциях, на семинарах учителей.
3 этих работах он широко применяет наряду с конструктивными и аналитические методы: барицентрическое исчисление, алгебру отражений, комплексные числа, векторную алгебру. Эти работы отличаются оригинальностью решений и постановкой различных новых геометрических задач. Характерны в этом отношении и учебные пособия для педвузов «Векторное решение геометрических задач» и «Задачи и теоремы по геометрии» и монография «Геометрия тетраэдра и его элементов», написанные им в соавторстве с его учениками.
Особо следует подчеркнуть многолетнюю й Неустанную работу Залмана Алтеровича по руководству отделом задач журнала «Математика в школе». За 14 лет его работы опубликовано около двух тысяч задач с решениями, отвечающими новому содержанию школьного курса математики. Эти материалы, а также опубликованные им дидактические пособия и факультативные курсы успешно используются учителями и учащимися школ, преподавателями и студентами педагогических вузов. 3. А. Скопец и его ученики составили и опубликовали сотни новых, оригинальных задач; их широко ислользу-
Поздравляем юбиляров
83
ют в практике школьного и вузовского преподавания.
3. А. Скопец руководит научной работой аспирантов как в области геометрии, так и в области ее преподавания в школе. К подготовке научно-педагогических кадров он относится с большой ответственностью. Под его руководством завершено и защищено 34 кандидатских диссертации. Большинство учеников 3. А. Скопеца возглавляют кафедры и факультеты в различных вузах страны (Хабаровск, Томск, Магнитогорск, Тобольск, Ростов-на-Дону, Запорожье, Курск, Даугавпилс, Кострома и др.).
Залман Алтерович регулярно оказывает помощь в подготовке кадров
ФАИНА МИХАЙЛОВНА БАРЧУНОВА (К бО-петкю со дня рождения)
4 ноября 1976 г. исполнилось 60 лет со дня рождения замечательного учителя и методиста, члена Mo- тематической комиссии УМСа Министерства просвещения СССР заслуженного учителя школы РСФСР Фаины Михайловны Барчуновой.
Еще в младших классах школы Фаина Михайловна мечтала о профессии учителя математики- Но окон-
чиь Малаховскую школу-десятилетку • 14 лет, она не могла быть принята в педагогический институт. Временно пришлось оставить свою мечту и поступить на работу в ЦАГИ. Работая чертежницей, она одновременно
для высшей школы Народной Республики Болгарии.
3. А. Скопец ведет большую учеб- но-методическую работу. Его лекции постоянно открыты для аспирантов и стажеров, учителей и методистов, его спецкурсы и спецсеминары отличаются высоким научно-методиче- ским уровнем, оригинальностью построения, острой педагогической направленностью. Педагогическая деятельность является для 3. А. Скопеца делсм первостепенной важности, делом его жизни.
Школа юных математиков, созданная на факультете по инициативе
3. А. Скопеца, Л. М. Рыбакова, А. М. Лопшица, университет педагогических знаний, подготовка лучших учителей к сдаче кандидатского мини¬
мума, многочисленные выступления перед учителями Ярославля, Москвы, Ленинграда, Горького, Вологды, Риги, вся научно-педагогическая и общественная работа Залмана Алтеровича способствует укреплению связей педагогического института со школой, науки с вопросами просвещения.
За плодотворную и многогранную деятельность 3. А. Скопец награжден медалями и почетными грамотами, значком «Отличник народного образования».
Сердечно поздравляя Залмана Алтеровича с юбилеем, желаем ему доброго здоровья и новых творческих поисков и достижений.
В. А. Жаров, О. А Котий,
В. М. Майоров (г. Ярославль)
занималась на вечернем отделении авиационного техникума. Окончив техникум, Фаина Михайловна еще некоторое время продолжала работать в ЦАГИ, но мечту свою не забыла. В 1936 г. она поступила в МГПИ им. В. И. Ленина на физико-математический факультет.
По окончании института, начиная с 1940 вся деятельность Ф. М. Бар- чуновой неразрывно связана с преподаванием математики а средней школа С 1944 по 1947 г, она была диреятз^юм к учителем математики средне# школы при советском посольстве в Турции Затем в течение многих лет Фаине Михайловна успешно сочетала преподавательскую работу с руководством учебным процессом в школе № 346 Бауманского район» Москвы. Высокая требовательность к себе, прекрасное знание умение не только пере- аьт* другим свои знания, но и привить любовь к предмету, методическая продуманность каждого уро- к* — все это она снискала уважение я» только учителей своего шсжыюго коллектива, не и учителей математики района. На протяже- тт. всех работы в школе Ф. М. Барчунова постоянно использует е пропагандирует эффективные методы обучения* Арсенал ее приемов разнообразен: наглядность в преподавании, интересная система устных упражнений и математических диктантов, различные формы и методы проверки знанмй учащихся и многое другое. Всеми своими находками она щедро делилась с другими учителями. Успешному сочетанию преподавательской « административной реботы в зтеачителы-юй мере; способствовали ее большие организатор¬
ские способности, глубокое знание математики, физики, черчения, а также знакомство с техникой.
С 1959 г., после двухлетней командировки в КНР, где Фаина Михайловна работала завучем школы при советском посольстве, она методист Бауманского, а затем Калининского района Москвы.
До настоящего времени Ф. М. Барчунова ведет большую общественно-методическую работу. Ее участие в семинарах во многих районах Москвы, лекции в Московском городском, Областном и Центральном институтах усовершенствования учителей пользуются большим вниманием преподавателей и оказывают существенную помощь в их повседневной работе Она является популяризатором идей новой программы; ее хорошо знают учителя школ Латвийской ССР, Коми АССР, Дальнего Востока и многие других районов Советского Союза, где она часто выступает перед учителями, делясь своим богатым учительским и методическим опытом
Как рецензент Ф. М. Барчунова оказывает действенную помощь авторским коллективам в работе над новыми учебниками. Ею написаны две книги «Уроки геометрии в VIII классе* (совместно с Ю. М. Коляги- ным и П. Б. Ройтман) « несколько статей, опубликованных в журнале «Математика в школе».
Поздравляв Фаину Михайловну со славны/и юбилеем, мы горячо же- лае/л е'й доброго здоровья и многих лет успешной, плодотворной работы,
П. Б. Рсйтман, Г. А. Ястребинецкигё
(Москва)
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Н. П. Ирошников
(г. Электросталь)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Модернизация школьного математического образования вызвала изменение методов обучения. Научно-исследовательские и педагогические институты ведут большую научную работу в области методики обучения математике в средней школе. Результаты исследований публикуются в методических журналах, ученых записках, отдельных изданиях. Появилась большая научно-методическая литература по проблемам обучения математике в школе. Возникла необходимость в создании тематического указателя литературы. Такой книгой является труд Ф. М. Шустеф «Общая методика преподавания математики» 1.
Ф. М. Шустеф проделала колоссальную работу. Просмотрено сотни книг, ученых записок, журналов. Весь этот огромный информационный материал классифицирован так, что читатель сразу же найдет нужную ему книгу или статью. Автору удалось разработать такую структуру тематического библиографического указателя, которая позволяет читателю без труда получить нужную информацию об изданиях в нашей стране по данной теме обшей методики математики.
В «Общей методике преподавания математики» выделены следующие основные разделы:
I. Математика как учебный предмет.
II. Методы и формы обучения математике.
III. Организация обучения математике.
IV. Обучение математической деятельности.
V. Методика факультативных курсов по математике. Материалы для факультативных курсов.
В каждом из основных разделов дается своя классификация. Так, например, вся литература раздела «Математика как учебный предмет» классифицируется по следующим темам:
1. Общие вопросы методики математики.
2. Содержание школьного курса математики.
1 Ф. М. Шустеф. Общая методика преподавания математики. (Тематический библиографический указатель литеойту^ы,) Минск, сВышэйшдЯ ипшдя», 1975.
3. Элементы политехнизации на уроках математики,
4. Воспитание в процессе обучения математике.
Принятая автором классификация научно-методической литературы удачна. Она соответствует современному взгляду на методику математики как на науку и как на учебный предмет. В тематическом указателе отражены работы по философии математики и математической логике, статьи по общей алгебре (понятия группы, кольца, поля), учебно-методическая литература по началам математического анализа. Достаточно полно представлена литература о структуре образования в СССР.
В книге раскрывается содержание научных исследований по педагогике математики, проводимых в нашей стране. Здесь указаны работы, опубликованные в ученых записках педагогических институтов, в журналах «Математика в школе», «Начальная школа», «Высшая школа», «Квант», «Вопросы философии», «Молодой коммунист», в книгах и сборниках, изданных в издательствах «Просвещение», «Наука», «Народная асвета», «Природа», «Знание», «Мысль» и др.
В библиографическом указателе, составленном Ф. М. Шустеф, отражена география исследований по методике математики. Указаны работы, изданные не только в Москве, Ленинграде и столицах союзных республик, но и во многих других городах.
Приводя список литературы по данной тематике, Ф. М. Шустеф в ряде случаев не ограничивается сообщением выходных данных, но дает и аннотацию. Жаль только, что аннотирована незначительная часть книг и статей, указанных в библиографии.
Труд Ф. М. Шустеф «Общая методика преподавания математики» подводит итоги большой научно-исследовательской работе по методике математики, которая проходит в нашей стране. Он окажет большую помощь студентам при изучении курса методики математики, при подготовке курсовых и дипломных работ. Он необходим научным работникам, ведущим теоретические исследования по методике математики и педагогике. Рецензируемая книга является неоценимым пособием для преподавателей высших учебных заведений, ведущих курсы методики преподавания математики. Издательство «Вышэйшая школа» выпустило нужную книгу. Желательно, чтобы был издан и тематический библиографический указатель литературы по частным методикам.
А. Я. Маргулис
(Москва)
КНИГА ПО ИСТОРИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ (О книге Р. С. Гутера и Ю. Д. Полунова «От абака до компьютера»]1
Недостойно одаренному человеку тратить, подобно рабу, часы на вычисления, которые, безусловно, можно было бы доверить любому лицу, если бы при этом применить машину.
Г. В. Лейбниц
Вычислительная техника занимает все большее место в нашей жизни. Но современные быстродействующие машины не возникли «на пустом месте». Счетная техника менялась и развивалась, ее идеи возникали, нахо¬
1 М., «Знание», 1975, серия «Жизнь замечательных идей».
8 Ь
дили материальное воплощение и отживали свой век. Между тем история развития вычислительной техники до сих пор оставалась неизвестной широким читательским кругам.
Рассматриваемая небольшая, хорошо изданная и неплохо иллюстрированная книга Р. С. Гутера и Ю. JI. Полунова знакомит читателей с большим числом различных вычислительных машин и основными этапами жизни их изобретателей. Появление этой книги следует считать весьма своевременным.
Книга состоит из четырех частей. В первой части две главы, посвященные абаку, простейшим счетным приспособлениям и логарифмической линейке. Три главы второй части содержат описание механических суммирующих счетных машин и арифмометров. Третья часть описывает первые шаги в области автоматизации вычислений. В первой главе третьей части приводятся подробная биография изобретателя первой универсальной автоматической вычислительной машины с программным управлением Чарльза Бэббеджа2 и история изобретенных им разностной и аналитической машин, а также рассматриваются разностные машины других изобретателей. Во второй главе описывается деятельность изобретателя счетно-аналитических машин Г. Холлерита и известного вычислителя Л. Комри. Наконец, четвертая часть книги посвящена современным релейным и электронным вычислительным машинам.
Написана книга очень живо и увлекательно. Авторы приводят характеристику эпохи, в которую появилось то или иное изобретение, сведения из биографии изобретателя, взаимосвязь с идеями предшествующих и последующих изобретений, останавливаются на технической и на математической сторонах дела. Так, во второй части авторы дают краткие описания технических приемов реализации отдельных элементов вычислительных машин XVII—XIX столетий.
В третьей части авторы популярно объясняют математический принцип работы разностных машин. Кроме того, они очень удачно поясняют суть одного из важных для современной вычислительной техники изобретений Бэббеджа — схему сквозного переноса и ее отличие от применявшейся ранее схемы последовательного переноса разрядов.
В книге воспроизведены изображения машин соответствующего времени. Отметим, что перенос всех иллюстраций на вклейку, вызванный вполне понятными полиграфическими причинами, тем не менее, затрудняет пользование иллюстрациями при разборе описываемых деталей устройства механизмов счетных машин.
Последняя часть книги, посвященная современным вычислительным машинам, слишком мала по сравнению с остальными. Конечно, авторы правы, полагая невозможным на нескольких страницах рассказать об основных технических идеях современной вычислительной техники, но можно было бы привести более полные биографические сведения изобретателей и ученых.
Несмотря на упомянутые недостатки, книга в целом производит хорошее впечатление. Нам кажется, ^то особый интерес она представляет для учителей математики и физики, а также для учащихся старших классов средней школы. Книга, несомненно, увеличит интерес и уважение к истории и литературе со стороны учащихся, интересующихся преимущественно математикой и физикой. Использование произведений литературы и искусства — одно из важных достоинств рецензируемой книги. Да и ее собственный литературный уровень достаточно высок.
2 Укажем на более раннюю книгу тех же авторов: «Чарльз Бэббедж», («Новое в жизни, науке и технике», серия «Математика, кибернетика», 1973, Ш 2),
86
Д, А. Поспелов
(Москва)
ПЕРВАЯ КНИГА ПО АЛГОЛу-бО ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ
Проблема обучения программированию на языке высокого уровня не столь проста, как это кажется многим из тех, кто посвятил себя профессии программиста. С одной стороны, для изучения принципов и приемов записи программ не требуется никаких специальных знаний, выходящих за пределы обычного школьного курса математики. Но, с другой стороны, как показывает опыт преподавания программирования в вузах, изучающему весьма трудно сделать решительный шаг в сторону иной, чем привычная ему в математике, концепции мышления. Именно в необходимости смены концепций и заключается, по-видимому, основная трудность преподавания программирования.
Тем более нужна определенная смелость для того, чтобы написать учебник по программированию для школьников старших классов, обучение которых «программистскому стилю мышления» является сложной методической проблемой.
В 1975 г. вышла из печати книга С. А. Абрамова и И. Н. Антипова «Алгоритмический язык АЛГОЛ 60» (М., «Просвещение»). Она непосредственно адресована учащимся IX—X классов средних школ с углубленным теоретическим и практическим изучением математики. Фактически же круг ее читателей оказался значительно шире.
В работе изложены основы программирования на базе сокращенного варианта одного из самых распространенных алгоритмических языков—АЛГОЛа-бО. Это первая среди учебной литературы книга для школьников, в которой дано систематическое описание языка АЛГОЛ-бО и программирования на нем. Структура книги предусматривает изучение выбранного авторами варианта АЛГОЛа (он назван в книге «алгол») в несколько этапов. И справедливо отмечается в предисловии, что читатель, изучивший лишь первые 4 параграфа, не потратил время даром, он сможет составлять простейшие программы на алголе.
Авторы книги сделали решительный методический шаг, введя язык алгол. Программы, написанные на нем, являются правильно написанными программами для АЛГОЛа-бО, и в этом смысле учащиеся фактически овладевают почти всеми средствами АЛГОЛа-бО и могут работать на ЭВМ, снабженных трансляторами для этого языка. Однако алгол, рассматриваемый в книге, намного более «прозрачен» и ясен для школьников, что повышает эффективность его изучения и гарантирует значительно меньшее число ошибок в составляемых на нем программах.
Основная концепция авторов, воплощенная б книге, сформулирована ими во введении. Здесь обобщается задача построения математического объекта, с которой школьник имеет дело в геометрии и алгебре. Подчеркивается общая сущность задач на построение в геометрии и задач на вычисление в алгебре. Программирование рассматривается как процесс описания способа построения математического объекта на определенном языке программирования, в данном случае на алголе.
Теоретический материал изложен кратко и достаточно четко. В книге большое число примеров, упражнений и контрольных вопросов. Здесь и задачи школьного курса математики, и совсем новые для учащихся задачи по обработке массивов, игровые и на доказательство. Мгаге Шяжяшя уделено вопросам улучши
ния алгоритмов и соответственно написанию рациональных программ (наиболее яркие примеры — разложение числа на простые множители, обработка спортивных таблиц и т. д.). Во многих случаях математической стороне вопроса уделяется внимания больше, чем программистской. Интересующийся математикой школьник найдет в этой книге немало увлекательных задач и сможет в достаточной мере проявить свои творческие способности.
Первая глава книги может быть рассмотрена как законченное описание упрощенного варианта АЛГОЛа-бО. Она может служить учебным материалом для факультативных занятий. Для школьников, более углубленно изучающих программирование, большой интерес представят главы II и III.
Преподавателей программирования несомненно заинтересует в книге выбор подмножества алгола для школьников, своеобразная структура курса, оригинальные методические решения при изложении отдельных тем («Логические выражения», «Процедуры» и др.), богатый набор задач для индивидуальных заданий. Для пользы дела следовало бы увеличить число ответов (или планов решений) к задачам и упражнениям.
Книга приобрела заслуженное признание. К сожалению, из-за небольшого тиража она сразу же стала библиографической редкостью. Книга представляет несомненный интерес, и ее целесообразно переиздать.
В. Л. Минковский (г. Орел)
ОБ ОЧЕРКЕ
ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В БЕЛОРУССИИ
В рецензируемой книге представленного читателю автора 1 делается довольно удачная попытка изложить и проанализировать накопленные материалы по истории математического образования в Белоруссии в систематическом виде. При этом охватывается более чем трехсотлетний промежуток времени — с конца XVI в. до 40-х годов XX в. Внимание Н. Д. Беспамятных в основном сосредоточивается на следующих аспектах изучаемой проблемы: 1) изменения в содержании начального, среднего и высшего математического образования;
2) научная, практическая и методическая подготовка учителей математики; 3) творческие искания учителей и профессоров в области математики, ее истории и методики и их результативность.
Трактовка разнообразных проблем математического образования в Белоруссии осуществляется автором в строго временной последовательности и на достаточно обширном историческом фоне. В органической увязке с характеристикой изменений ь белорусском просвещении приводятся сведения о развитии математики и достижениях й области ее преподавания в России, Польше и странах Западной Европы. Такая система изложения материала позволяет Н. Д. Беспамятных убедительно
1 Беспамятных Н. Д. Математическое образование в Белоруссии. Исторический очерк. Минск, «Вышэйшая школа», 1975.
выявить эффективность научных контактов между русским, белорусским, польским и литовским народами, которые переросли в нерушимые связи в наши дни, но вырабатывались на протяжении веков.
На страницах книги раскрыта борьба прогрессивных и реакционных сил при решении вопросов математического образования. В частности, автор показывает, как иезуиты, проникшие в XVI в. в Белоруссию, стремились предельно ограничивать содержание естественнонаучной, в частности математической, подготовки учащейся молодежи; постепенное преодоление иезуитского тормоза в области образования и воспитания стало возможным лишь после воссоединения Белоруссии с Россией.
Особенно интересны материалы, рассказывающие о математическом образовании в Советской Белоруссии. Отчетливо выявлено огромное значение братской помощи народов Российской Федерации. Ведь нельзя забывать, что вплоть до Великой Октябрьской социалистической революции в белорусских губерниях не было ни одного вуза. Расцвет культуры, наблюдаемый здесь за годы Советской власти, сказался и на резком повышении уровня математического образования. Создание пединститутов, университетов, Академии наук — все это благоприятно сказалось на дальнейшем развитии творческих традиций белорусских учителей математики.
Много внимания уделено истории создания и развития в г. Минске первого в БССР университета — Белорусского государственного университета, с деятельностью которого связано начало организованной работы по развитию математики в Белоруссии. Университет плодотворно повлиял и на развитие методико-матема- тической мысли в республике.
Хорошо рассказано о совершенствовании подготовки учителей математики в пединститутах республики. На анализе последовательных программ соответствующих отделений педвузов убедительно показано, что их перестройка вызывается в основном требованиями современной науки и всевозрастающими запросами школьной практики.
Положительно оценивая труд Н. Д. Беспамятных в целом, ограничимся краткой характеристикой некоторых из его недостатков.
Эта монография, резонно предназначаемая в аннотации издательства широкому кругу читателей, много теряет от того, что рассмотрение вопросов математического образования в БССР обрывается на освещении его состояния в 30-х годах XX в. В книге не дано анализа послевоенного периода, который особенно богат новыми достижениями белорусского народа, в том числе и во всех областях народного образования.
Обозримость материалов книги и выборочное их использование затрудняются из-за отсутствия именного указателя. Не во всех случаях редко встречающиеся термины снабжены необходимыми пояснениями (например: с. 92 — конвикт; с. 103 — пиар; с. 153 — люстрация).
При трактовке проблемы подготовки учителей математики не раскрыто должным образом значение курса истории математики;
В книге имеются опечатки, относящиеся к датам и фамилиям, неправильно положение графика на с. 174.
Высказанные критические замечания не изменяют данную выше общую высокую оценку рецензируемой книги, представляющей большой исторический и познавательный интерес для учителей математики. Дальнейшая работа Н. Д. Беспамятных в намеченных направлениях над материалами своей монографии позволит повысить ценность ее следующего издания.
Ю
Н. И. Шушанскмй
(Москва)
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ИЗДАТЕЛЬСТВА «НАУКА» В 1977 Г.
В 1977 г. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» выпустит ряд новых книг по математике для преподавателей и студентов пединститутов, учителей средней школы и старшеклассников.
В соответствии с новой программой написано учебное пособие А. И. Кострикина «Введение в алгебру». В его основу положен курс лекций, читавшийся в течение ряда лет на механико-математическом факультете МГУ. В книге изложены, наряду с традиционными вопросами, общие свойства отображений множеств и бинарных отношений, группы преобразований, структурные свойства простейших групп, элементы теории представлений, вопросы делимости в кольцах, первичные сведения о конечных полях и о полях алгебраических чисел. Кроме большого числа примеров в тексте в книгу включено более 200 упражнений, многие из которых снабжены краткими указаниями к решению. Книга предназначена для студентов младших курсов пединститутов и университетов.
Из лекционных курсов, читавшихся в Ленинградском и Московском университетах, возникла книга В. А. Рохлина и Д. В. Фукса «Начальный курс топологии». Она охватывает следующие разделы: основы общей топологии, симплициальные и клеточные пространства, элементарную часть дифференциальной топологии, расслоение и гомотопические группы. Работа принесет большую пользу студентам-математикам и физикам пединститутов и университетов.
Одиннадцатым изданием выходит «Сборник задач по высшей алгебре» Д. К. Фаддеева и //. С. Соминского. Книга подверглась коренной переработке с целью максимального приближения ее к современные учебным планам. Добавлены новые главы: элементы теории чисел, теория групп, алгебраические «устемы. Значительно расширен раздел «Линейная алгебра». Все задачи снабжены ответами. Для наиболее трудных зад«<* имеются полные решения. Книга является учебным лособием для студентов физико-математических факультетов пединститутов и университетов.
К преподавателям вузов, учителям средних школ, студентам-математикам, а также другим читателям, знающим математику примерно в объеме курсов втуза, обращена книга А. Я. Хинчина «Восемь лекций по математическому анализу». Она посвящена изложению ряда принципиальных вопросов математического анализа, которым часто в курсах высшей математики уделяется мало внимания.
Вопросы геометрии на поверхности сферы, сферические двуугольники и треугольники, а также соотношения между основными элементами сферических треугольников рассматриваются в брошюре Б. А. Волынского «Сферическая тригонометрия». Она может служить методическим пособием для преподавателей астрономии
Студентам пединститутов, учителям средних школ и учащимся старших классов адресована книга А. В. По- горелова «Элементарная геометрия», выходящая третьим изданием. Автор дополнил ее «Аналитическими методами в геометрии», содержащими векторное исчисление и метод координат.
Учащиеся и преподаватели техникумов получат в 1977 г. учебники «Алгебра и начала анализа» (ч. 2) и «Геометрия» (ч. 2) группы московских авторов
(М, Я. Каченовский, Ю. М. Колягин, Г. J1. Л у канин,
Г. Н. Яковлев). Оба учебника написаны в соответствии с новой программой по математике для средних специальных учебных заведений.
Два пособия выпускаются для математических техникумов: в книге И. А. Вателя и Ю. П. Иванилова «Основы исследования операций и методы оптимизации» излагается методика составления оптимизационных моделей в прикладных задачах; в книге А. Н. Во- рощука «Основа ЦВМ и программирования» дается описание структуры и хода вычислительного процесса, рассматриваются языки программирования, вводится понятие об операционной системе, а также изучаются элементы вычислительной математики.
С современным состоянием теории равносоставленности знакомит читателя книга В. Г. Болтянского «Третья проблема Гильберта». Эта проблема, сформулированная великим немецким математиком на рубеже XIX— XX столетий,— единственая, связанная с методикой преподавания элементарной математики. Книга предназначена для научных работников, преподавателей университетов, педагогических институтов, школ, сту- дентов-математиков и других лиц, серьезно интересующихся математикой.
Исследованиям по теории приближения функций действительного и комплексного переменного посвящена монография В. К. Дзядыка «Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами». Наибольшее внимание в книге уделено следующим разделам: конструктивная характеристика функций вещественного и комплексного переменного, наилучшее приближение в среднем абсолютно монотонных функций, точные верхние грани наилучших приближений на разных классах функций, линейные методы суммирования рядов Фурье. Монография представляет интерес для преподавателей и студентов старших курсов математических отделений университетов и пединститутов.
В книге М. И. Каргаполова и Ю. И. Мерзлякова «Основы теории групп» излагается один из важнейших разделов современной алгебры. Помимо традиционного материала она включает в себя и некоторые новые достижения в этой области. Большое внимание уделяется в книге примерам и упражнениям, разъясняющим основные понятия и результаты. Монография рассчитана на аспирантов и студентов старших курсов университетов и пединститутов.
Результаты последних исследований содержит книга Г. С. Литвинчука «Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом». Основное внимание в ней уделяется вопросам нетеровости и индекса сингулярных интегральных уравнений со сдвигом и теории разрешимости соответствующих краевых задач. Книга адресована студентам старших курсов университетов и пединститутов.
Вторым изданием выпускается монография С. М. Никольского «Приближение функций многих переменных и теоремы вложения». Основная направленность ее — изложение современного состояния теории вложения классов дифференцируемых функций, определенных на евклидовых пространствах различных размерностей. Книга представит интерес для студентов старших курсов университетов и пединститутов.
Вновь переиздается «Справочник по математике» (Г. Корн и Т. Корн). В книге освещаются почти все вопросы как общего курса. математики, так и большинства специальных разделов, изучаемых в вузах с углубленным изучением математики.
Несколько слов о научно-популярной литературе.
Третьим изданием выходит брошюра видного американского популяризатора науки М. Гарднера «Математические чудеса и тайны». Она будет интересна и юным участникам школьных математических кружков, и взрослым любителям математики.
С основными понятиями и методами комбинаторики знакомит книга украинских математиков И. И. Ежова,
А. В. Скорохода и М. И. Ядренко «Элементы комбинаторики». Круг читателей ее чрезвычайно широк: учащиеся средних школ, преподаватели и студенты младших курсов университетов и пединститутов.
С 1977 г. начнется выпуск книги видного русского математика начала XX в. Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки». Эта книга выходила в последний раз в 1926 г. и давно уже стала библиографической редкостью. Издание состоит из трех книг. Первую планируется выпустить в 1977 г., а две остальные — в 1978— 1979 гг. Во всех этих сборниках содержится большое количество математических задач занимательного характера, имеющих различную степень трудности.
Роль математики в современном обществе, ее развитие и применение обсуждается в брошюре Л. Д. Кудрявцева «О современной математике». Она написана на основе дискуссий о преподавании математики, в которых приходилось участвовать ее автору, члену исполнительного комитета Международной комиссии по математическому образованию. Брошюра предназначается
прежде всего для преподавателей математики и студентов, изучающих эту дисциплину.
Что такое автоматизированные системы отображения, как устроены и работают автоматические чертежные машины и как ими управляет компьютер, рассказывается в брошюре С. Т. Симонина и Ю. б. Котова «Как рисует машина». Она рассчитана на учащихся старших классов, а также на всех лиц, интересующихся вычислительной математикой и кибернетикой.
О достижениях современной номографии и о ее применении к решению прикладных задач рассказывается в книге Г. С. Хованского «Номография и ее возможности». Она предназначена для широкого круга читателей, интересующихся вопросами прикладной математики.
Перечисленные выше книги можно предварительно заказать во всех магазинах Книготорга, Академкниги и Центрокоопкниги, распространяющих литературу по физико-математическим дисциплинам. Их можно выписать также по почте наложенным платежом из отделов «Книга — почтой» областных, краевых и республиканских книготоргов.
Н. Д Беспамятных (г. Гродно),
А. Я. Блох (Москва)
РЕСПУБЛИКАНСКАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
В г. Гродно 27—28 апреля 1976 г. проходила конференция «Совершенствование методической подготовки учителя в педагогическом вузе». Она была организована Министерством просвещения БССР и Гродненским государственным педагогическим институтом им. Янки Купалы при участии Ленинградского НИИ общего обучения взрослых АПН СССР.
Методическая подготовка учителя — одна из важнейших задач педвуза. В соответствии с этой задачей на конференции были рассмотрены проблемы, принадлежащие к числу наиболее актуальных как в области педагогики, так и в области частных методик. Организация конференции в момент завершения перехода на новое содержание обучения в школе еще более повысила ее актуальность. На конференции наряду с белорусскими учеными-методистами выступили с докладами работники просвещения других республик (РСФСР, УССР, ЛитССР и др.).
Работа конференции проходила в пяти предметных секциях: общих вопросов психолого-педагогической и
методической подготовки учителя в вузе, методики преподавания языка, методики преподавания литературы, методики преподавания математики, методики преподавания физики.
В секцию методики преподавания математики было представлено 82 доклада, в большинстве которых приводились конкретные предложения по дальнейшему совершенствованию подготовки учителей математики. Эти предложения можно сгруппировать следующим образом: 1) по совершенствованию организации работы со студентами; 2) по связи излагаемого в школе материала с возрастными возможностями учащихся; 3) по со¬
держанию семинарских занятий, спецкурсов и спецсеминаров. Подавляющее большинство предложений базировалось на непосредственном опыте докладчиков.
Докладчики придавали огромное значение организации самостоятельной работы студентов, их педагогической практике, обращали внимание на необходимость показывать студентам большое число приемов учительской работы, увязывать программы и подходы, принятые в школьных учебниках, с содержанием математических курсов, читаемых в педвузе.
В ряде выступлений отмечались связи математики с другими школьными дисциплинами и необходимость знакомить студентов с этими связями; было уделено внимание общеобразовательным вопросам математики (связь с историей культуры, развитие умственных способностей детей).
Докладчики предлагали расширить тематику спецкурсов и спецсеминаров, ориентированных на использование полученных на них знаний при ведении школьных факультативов.
Наконец, на конференции было указано, что необходимо и й дальнейшем повышать уровень математической подготовки студентов, вырабатывать у них умение самостоятельно анализировать материал, ориентироваться в математической литературе.
Многие выступающие говорили о больших воспитательных возможностях, заложенных в школьном курсе математики, для развития и углубления советского патриотизма, в частности при знакомстве учащихся с достижениями советской и русской математики и ее вкладом в общий научно-технический прогресс советского народа.
Обращает на себя внимание то, что многие темы факультативов, предложенные на конференции, носят прикладной характер, они посвящены теории алгоритмов, программированию, статистике и т. д.
Материалы конференции опубликованы в работе: «Республиканская научная конференция «Совершенствование методической подготовки учителя в педагогическом вузе» (тезисы докладов) Гродно, 1976.
89
ЗА РУБЕЖОМ
Л. Фладе
(г.. Галле, ГДР)
ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗВИТИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ У УЧАЩИХСЯ VI—VII КЛАССОВ 1
Проводящиеся проверки обучения математике показывают, что вычислительные навыки у целого ряда
школьников все еще недостаточны.
Слабо отработанные вычислительные навыки часто являются причиной трудностей в усвоении ряда разделов математики: «Уравнения и неравенства», «Системы уравнений», «Вычисление площадей и объемов», а также смежных предметов (физика, химия и др.) и приводят к общим недостаткам в развитии умственных способностей.
Для улучшения вычислительных навыков необходимо вскрыть и осознать затруднения, возникающие при выполнении арифметических действий в различных числовых множествах, а также источники этих затруднений и допускаемых школьниками ошибок.
Для установления типичных ошибок учащихся при выполнении арифметических действий с дробными и рациональными числами2 мы предложили следующие тесты, которые выполнили около 400 семиклассников и 350 шестиклассников 3.
VI класс
Задание I
ба) 27,82 + 45,38; 66) 31.73 + 572,4; бв) 9,782-2,691; 6г) 4,201—5,1; бд) 23,41 — 4,201; 6е) 37,4-0,29;
6ж) 1,27 0,765; 6з) 648:9; 6и) 385,23:103;
6к) 891,1:0,19.
1 Перевод с немецкого А. Я. Халамайзера.
2 В школах ГДР «дробные числа» считаются неотрицательными. (Прим. перев.)
3 Обучение в ГДР начинается с шестилетнего возраста; изучение дробей предусмотрено в VI классе, а общего понятия рационального числа (в том числе и действий с отрицательными числами) — лишь в VII классе. (Прим. перев.).
Задание II
5 7 6л) е + 8 ’
бм) ~y~
1
+ 5 :
6н) -§-
1
6 :
11 3 6°) тз-—;
8
6п) -J3
11
* 9 ;
бр) тз-
5
‘ 6 ;
9 7 6с) и : 5 ;
6т) -|-
•
|оо
VII класс
Задание I
7а) (—27,82) + (—45,38); 76) 31,73 + 572,4;
7в) (—2,691) —(—9,782); 7г) (—2,793):0;
7д) 4,201—23,41; 7е) (—37,4).(—0,29);
7ж) (—1,27).0,765; 7з) 648:9;
7и) 385,23:(—103); 7к) (—891,1):(—0,19).
Задание II
7л> (—г) + (-т): 7“>Т + “Ь *(-£)•(-£): Wt = (-T>
*> 4 ■ (-f> *> (-тХ—S')-
Для выполнения каждого задания школьникам был предоставлен один урок (45 мин).
Отбор упражнений проведен с таким расчетом, чтобы проверить выполнение всех четырех действий с дробными (для VII класса — с рациональными) числами, сравнить навыки шести- и семиклассников на одних и тех же примерах или на таких, в которых данные отличаются только знаком, например 6е и 7е. Задания содержат и примеры, не имеющие решения.
Отметим прежде всего, что семиклассники показали лучшие результаты, чем шестиклассники, лишь в заданиях б, з, м; в ©стальных же, кроме г, которые нельзя сравнивать, количество верных решений у шестиклассников выше, чем у семиклассников. Причина худших результатов у семиклассников заключается в том, что действия с длинным алгоритмом представляют большие трудности, чем действия с кратким алгоритмом. Это легко понять, так как каждый новый шаг или новый этап таит в себе новый возможный источник ошибки.
Оказалось также, что процент верных решений различен в разных классах и это различие порой превышает 50%. Этот факт еще раз наглядно показывает решающую роль учителя в осуществлении целей обучения (ибо обучение ведется по одним к тем же учебникам и методическим пособиям для учителя).
Перейдем к рассмотрению типичных ошибок в отдельных действиях.
Ученик VI класса (не знающий отрицательных чисел) должен вычислить: 4,201—5,1.
Лишь одна треть опрошенных указала, что пример не имеет решения. Другие школьники все же пытались найти разность:
4, 2 0 1 4, 2 0 1
5, 1 — 5, 1
или
9, 1 0 1 4, 1 5
Многие учащиеся иравилыю отвечал* на вопрос, аседа ж втможн® вычитание *о мшжеетш дробных
90
чисел. Однако, как показало наше исследование, они не могли применить свои знания к конкретному примеру.
Причина такой ошибки не только в том, что не усвоено формальное правило. Школьники не умеют применять свои знания об упорядоченности дробных чисел. Эти ошибки появляются еще и потому, что в упражнениях и даже в контрольных работах такие вопросы встречаются слишком редко.
В некоторых классах ни один ученик не дал верного ответа в задании 7г —2,793 : 0 (часто встречались ответы «О» или «—2,793»). Нельзя не отметить, что в этих случаях значительная доля вины за ошибку лежит на учителе. Вероятно, школьникам однажды было сказано, что на нуль делить нельзя, но, как показывает наше исследование, одного такого сообщения недостаточно.
При сложении и вычитании десятичных дробей ошибок, связанных с недостаточными навыками в действиях с натуральными числами, было больше, чем ошибок, вытекающих из неверных действий с дробями. Типичная ошибка заключается в несоблюдении принципа поразрядной аккуратной записи, т. е. одинаковые разряды не записаны один под другим; школьник подчас записывает один под другим последние разряды десятичной дроби, как это показано выше. Когда количество десятичных знаков в слагаемых (соответственно в умень¬
шаемом и вычитаемом) одинаково, число верных ответов резко возрастает. Это особенно заметно при рассмотрении результатов выполнения заданий 6а и 66. В первых содержится лишь 9% неверных ответов, а во вторых — около 40%- В упражнении 6д часто встречается такая запись:
2 3, 4 1
*“4, 2 0 1
871 4 0
Эти ошибки мы объясняем тем, что школьникам здесь предлагают выполнить сложение и вычитание десятичных дробей, содержащих неодинаковое число десятичных знаков. Избежать подобных ошибок можно с помощью рассуждений о значении каждой цифры в данной десятичной дроби и об упорядочении десятичных дробей.
При умножении и делении десятичных дробей ошибок, обусловленных неверными действиями с натуральными числами, гораздо больше, чем при сложении и вычитании. Причина этого, вероятно, заключается в том, что количество требуемых элементарных действий при умножении и особенно при делении гораздо больше, чем при сложении и вычитании. Алгоритмы умножения и деления обычно длиннее. Кроме того, ряд учащихся седьмых классов недостаточно прочно владеет таблицей умножения: для некоторых школьников умножение 7 на 8 требует напряжения. Мы не может предположить, что эти школьники не знают таблицы умножения; они могут даже «отбарабанить» всю строку умножения на 8 или на 9, но вследствие недостаточных упражнений иногда ошибаются (или вынуждены сосредоточить все свое внимание на выполнении данного действия, теряя при этом нить рассуждений). Для таких учащихся могут представить трудность ответы на такие, например, вопросы: «Как изменится произведение, если один из множителей удвоить?», «Как изменится разность, если увеличить уменьшаемое?»
При умножении десятичных дробей серьезные затруднения возникали при постановке запятой в произведении, особенно если количество десятичных знаков в обоих сомножителях вместе больше, чем количество цифр в произведении.
Анализируя выполнение упражнений на деление, например 6з, 7з, можно сделать вывод, что алгоритм деления усвоен достаточно хорошо большинством школьников. Ошибки встретились в примерах 6и, 6к, где делимое (или оба компонента) содержит десятичные знаки. Задание 6к дало столь резкое снижение количества верных решений, что уже трудно говорить об удовлетворительных навыках учащихся. Ошибки главным образом в неверной постановке запятой.
Особенно неприятным представляется некритическое отношение большинства школьников к полученным ответам и отсутствие какой-либо проверки (грубой прикидки, проверки деления умножением и т. п.).
Помимо ошибок в самих действиях с целыми и дробными числами семиклассники допускали еще и ошибки, свидетельствующие о нетвердом знании правил действий с рациональными числами, т. е. неверно указывали знак результата. Например, в упражнении 7в: {—2,691) — — (—9,782) некоторые школьники складывали данные числа; вероятно, при этом «вспоминалось» правило сложения чисел с одинаковыми знаками. Другие, наоборот, находили разность между 9,782 и 2,691, но ставили в ответе знак минус.
Задание 7д многие учащиеся выполняли так:
4, 2 0 1
2 3, 4 1
8 1, 7 9 1
Ясно, что здесь причиной неверного решения является недостаточный навык вычитания натуральных чисел.
Если указанные недостатки не устранить, то еще большие трудности появятся при раскрытии скобок, при решении уравнений и т. д.
Можно отметить, что при умножении и делении школьники делают относительно меньше ошибок, свидетельствующих о незнании правил, чем при сложении и вычитании. Здесь большинство ошибок при постановке запятой и при умножении и сложении.
В действиях с обыкновенными дробями встречались ошибки двух типов при сложении и вычитании.
Ученик складывает числитель с числителем, знаменатель со знаменателем, например:
5 7 12
6 + 8 “ 14-
Ученик находит общий знаменатель, но не использует дополнительные множители, например:
5 _L_ 5 + 7 _ 12
6 + 8 _ 24 — 24 *
Многие школьники путают правило умножения дробей с правилом деления. Встречаются ошибки при сокращении дробей и ошибки следующего типа:
7 5 5-15 75 7 5 7-6 42
ИГ 6 ^ 7-6 ^ 42 ; 15 * 6 = 15-5 = 75-
При делении нередко образуют величину, обратную делимому (а не делителю), или просто умножают числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.
О дальнейших ошибках здесь можно не упоминать, так как они в основном совпадают с указанными выше для десятичных дробей.
Приведенный анализ показывает, что в ближайшие годы необходимо уделить самое серьезное в'нимлние прочным вычислительным навыкам прежде всего в целях развития общих умственных способностей школьника, которые в процессе обучения математике неотделимы от математического содержания. Это требует большого напряжения учителя ш систематической йя- правленности в работе начиная уже с I класса»
91
Б. Л. Лаптев
(г. Казань)
О ВСЕСОЮЗНОЙ НАУЧНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ ПО НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
В 1976 г. исполнилось 150 лет выдающемуся научному математическому открытию — созданию первой неевклидовой геометрии. Профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский 7(19) февраля 1826 г. представил на факультет свое сочинение для опубликования, и через 5 дней сделал доклад о своем открытии. В 1829—1830 гг. его труд был опубликован в дополненном виде под названием «О началах геометрии». Труды Лобачевского открыли новое направление в развитии математических наук, а его геометрия и созданные позднее другими учеными различные неевклидовы геометрии оказали громадное влияние на весь ход развития математики, механики и физики.
Юбилейная дата широко отмечается научной общественностью нашей страны. Во многих вузах, исследовательских институтах и школах, а также в Домах культуры были проведены торжественные заседания и вечера, посвященные годовщине открытия неевклидовой геометрии, жизни и деятельности Лобачевского. Подготовлены и опубликованы различные издания и статьи, освещающие деятельность великого геометра, основной смысл и значение его открытия, развитие неевклидовой геометрии и ее приложения.
В ознаменование 150-летия геометрии Лобачевского в Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина была проведена с 30 июня по 2 июля Всесоюзная научная конференция по неевклидовой геометрии.
На торжественном открытии конференции в актовом зале университета присутствовало свыше 400 человек. В дальнейших заседаниях участвовало свыше 260 ученых из многих математических центров СССР, в том числе 37 профессоров, докторов и 105 доцентов, кандидатов наук.
В конференции участвовало 15 видных зарубежных ученых: из Болгарии (6), из Венгрии (1), из ГДР (1), из Польши (5), из Югославии (1), из Франции (1).
На открытии конференции после вступительного слова председателя Оргкомитета ректора М. Т. Нужина с приветствиями выступили заместитель председателя
Совмина ТАССР М. X. Хасано«... директор ВИНИТИ член ГК по науке и технике Совмина СССР А. И. Михайлов, от физиков г. Дубны Н. А. Черников, от иностранных участников конференции А. Н. Матеев (НРБ). Ученый секретарь В. В. Вишневский познакомил с приветствиями, поступившими в адрес конференции.
Далее состоялись пленарные доклады:
Б. Л. Лаптев. Лобачевский — создатель неевклидовой геометрии.
А. П. Норден. Философское значение геометрии Лобачевского.
А. П. Широков. Развитие геометрических идеи Лобачевского в Казанском университете.
A. И. Михайлов. Настоящее и будущее научной информации.
От издательства «Наука» АН СССР выступил И. Н. Бронштейн с информацией о выходящем из печати в 1976 г. томе «Научно-педагогическое наследие Лобачевского».
В последующие дни работа конференции проходила по трем секциям:
I. Дифференциальная геометрия обобщенных пространств (председатель А. П. Норден). В этой секции было выделено 5 подсекций.
II. История неевклидовой геометрии (председатель Б. Л. Лаптев).
III. Приложения неевклидовой геометрии (председатель В. Р. Кайгородов).
Отметим вызвавшие большой интерес пленарные секционные доклады:
B. И. Ведерников, А. С. Феденко. Пространства с симметриями.
Э. Г. Позняк. Некоторые новые результаты о погружении плоскости Лобачевского в Е3.
И. П. Егоров. Автоморфизмы обобщенных пространств.
В. В. Вагнер. Алгебра в основаниях геометрии.
Д. Д. Иваненко. Перспективные модификации эйнштейновской гравидинамики.
В. Р. Кайгородов. Рекуррентные многообразия и их приложения.
Я. Б. Зельдович, Д. Д. Соколов, А. А. Старобинский. Некоторые вопросы геометрии в целом в общей теории относительности.
Н. А. Черников. Геометрия Лобачевского и релятивистская механика.
Г. П. Матвиевская. История теории параллельных линий в Древней Греции и на Средневековом Востоке.
Б. А. Розенфельд. История неевклидовой геометрии в XIX и XX вв.
Доклады зарубежных ученых:
Директор Института математики Венгерской Академии наук Л. Фейеш Тот. Проблемы упаковок и покрытий в неевклидовых пространствах.
Профессор Берлинского университета Р. Зуланке. О дифференциальных инвариантах многообразий Грасс- мана.
Профессор Белградского университета М. Прванович. Четыре тензора кривизны аффинной связности с кручением.
Директор Математического исследовательского института в Париже Н. Кейпер. Измерение кривизны поверхности в п-мерном евклидовом пространстве.
Профессор Софийского университета А.. Матеев. О конгруэнциях прямых в пространстве Лобачевского.
Профессор Пловдивского университета Г. Станилов. Теория келеровых и приблизительно келеровых многообразий.
Доцент Пловдивского университета Г. Златанов. Сети пространства Вейля.
Доцент Пловдивского университета Е. Павлов. Реализация некоторого класса тензоров над алгеброй.
92
Профессор Белостокского филиала Варшавского университета Р. Кшивец. Некоторые геометрические вопросы в задачах динамики систем.
Профессор Политехнического института в Варшаве
3. Жекановский. Обобщение формул Я но и Бохнера.
Профессор университета в Люблине А. Шибяк. Фундаментальные формы второго рода на однородных пространствах.
Профессор университета во Вроцлаве В. Ротер. Рекуррентные пространства.
Обзорные доклады по тезисам также вызвали значительный интерес, например: обзоры В. В. Вишневского,
В. С. Малаховского, Б. А. Розенфельда, И. П. Егорова,
В. Т. Фоменко, Н. С. Симокова, В. Т. Базылева и
A. И. Чахтаури, А. В. Столярова и другие.
Среди секционных сообщений многие содержали ценные научные результаты, но перечислить их здесь мы не имеем возможности.
Всего было заслушано 140 докладов (в том числе 12 докладов зарубежных ученых), из них 5 общих пленарных, И пленарных секционных, 14 обзорных по тезисам и 110 секционных сообщений.
Были развернуты выставки: «Развитие идей Лобачевского в Казанском университете» (А. П. Широков и
B. М Герасимова) и изданий ВИНИТИ по научной и технической информации. Была организована продажа соответствующей научной литературы.
Не имея возможности дать здесь обзор наиболее интересных пленарных докладов, обзоров и докладов зарубежных ученых, укажем лишь, что в выступлениях советских и зарубежных ученых конференция получила высокую оценку.
Проведенная конференция показала, что геометрия Лобачевского, оказавшая еще в прошлом решающее воздействие на формирование современного аксиоматического метода и изменившая коренным образом наши знания о возможных свойствах пространства, продолжает интенсивно развиваться, получая новые дальнейшие обобщения и находя все расширяющиеся области приложений. Советскими и зарубежными учеными проводятся цЬундаментальные исследования как по самой геометрии Лобачевского, так и по геометриям обобщенных пространств. Так, получены ценные результаты в области теории структур и расслоений, по одно¬
родным пространствам, по геометриям швпебрами, в теории вложенных многообразий и сетей, ш теории движений и автоморфизмов, по вопросам геометрии пространств, изучаемых в целом. Наряду с широкоизвестными приложениями обобщенных пространств в физике (теория относительности) и механике (динамические системы и др.) сама геометрия Лобачевского тоже получает все более разнообразные приложения и в вопросах атомной физики (работы теоретиков из Объединенного института ядерных исследований в Дубне), и в построении космологических моделей, и внутри математики.
Историками науки исследуются вопросы предыстории неевклидовой геометрии в древности; выявляется роль Лобачевского и других творцов новой геометрии — Бойаи и Гаусса в формировании новых идей; освещается борьба Лобачевского за научную истину, ход распространения и развития идей Лобачевского, их воздействие на современную математику, выявление различных важных областей приложений.
Таковы некоторые вопросы, в разработку которых участниками конференции внесен определенный оригинальный вклад. В свете решений XXV съезда КПСС участники конференции поставили целью дальнейшее совершенствование и углубление фундаментальных теоретических исследований и отыскание новых эффективных приложений результатов геометрических теорий.
Конференция постановила: 1°. Считая 1976 г. юбилейным годом геометрии Лобачевского, просить участников конференции продолжать повсеместно организацию соответствующих мероприятий. 2°. Просить ВИНИТИ издать сборник материалов конференции. 3°. Поддержать инициативу Казанского университета и обратиться с просьбой об учреждении стипендий им. Н. И. Лобачевского для студентов и аспирантов университетов страны. 4°. Оргкомитету представить отчет и опубликовать статьи о конференции в периодической печати. 5°. Всем организациями и лицам, принимавшим активное участие в подготовке и проведении конференции, выразить глубокую благодарность.
Успешно проведенная конференция выявила новые научные результаты, способствовала укреплению научных контактов и подтвердила важность созданной Лобачевским первой неевклидовой геометрии для современной науки и ее приложений.
ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ. ОПУБЛИКОВАННЫХ В ЖУРНАЛЕ В 1976 Г.
Передовые
Большие задачи школы, № 2, с. 3.
Важные аспекты проблемы качества обучения,
№ 1, с. 6.
Великая победа ленинской школьной политики
КПСС, № 1, с. 3.
Донести слово партии до каждого школьника, № 3. с. 3.
Коммунистическому воспитанию будущего учителя — большую заботу, № 5, с. 3.
Методическую работу — на уровень новых задач, № 6, с. 3.
Некоторые вопросы изучения математики в свете решений XXV съезда КПСС, № 4, с. 3.
Проблемы межпредметных связей в учебно-воспитательном процессе общеобразовательной школы, № 2, с. 5.
Учителя — делегаты XXV съезда КПСС, № 3, с. 7.
Методический отдел
Айзенберг М. И. Упражнения, содержащие модуль, № 3, с. 27.
Айзенштат Я. И. Доказательство неравенств методом математической индукции, № 2, с. 89.
Александрова Т. И. Математические диктанты по алгебре в VI классе, № 3, с. 25.
Арутюнян Ж. В. К формированию понятия подобия фигур, № 3, с. 18.
Барчунова Ф. М., Дудницын Ю. П. Упражнения по темам «Принцип математической индукции» и «Элементы комбинаторики», № 4, с. 30.
93
Барчунова Ф. М., Ройтман П. Б. Некоторые рекомендации по повторению курса геометрии в X классе, № 5, с. 20.
Бевз Г. П. О полноте решений геометрических задач № 6, с. 32.
Буданцев П. А. К методике решения задач с помощью уравнений. № 3, с. 20.
Буянкина Г. Л. Из опыта создания и использования диктантов на уроках алгебры в VII классе, № 5, с. 53.
Бычков А. Ф. Одна из форм работы математического кабинета, № 6, с. 40.
Виленкин Н. Я., Пешков К. И., Шварцбурд С. И. Об учебнике математики для V класса, № 2, с. 26.
Володарский В. Е. Физические задачи на уроках математики, № 4, с. 35.
Габович И. Г. О задачах на разложение вектора по двум заданным неколлинеарным векторам, № 2, с. 36.
Гельфанд М. Б., Чучуков В. Ф. Упражнения к теме «Погрешность. Относительная погрешность», № 3,
с. 22.
Глаголева Е. Г., Денищева Л. О., Моисеева З. И., Сорокин Б. В. Об изучении последовательностей и их пределов в IX классе, № 5, с. 33,
Глейзер Г. Д., Филиппова Н. А Опыт работы кабинета математики института усовершенствования учителей, № 6, с. 5.
Гнеденко Б. В. О развитии мышления и речи на уроках математики, № 3, с. 8.
Дудницын Ю. П., Прокофьева Н. С. Из опыта проведения устного экзамена по геометрии в восьмых классах школ РСФСР в 1975 г., № 1, с. 35.
Жунусов Е. Ж. Математика и подготовка учащихся к сельскохозяйственному труду, № 5, с. 58.
Ивашев-Мусатов О. С. Об учебном пособии по алгебре и началам анализа для X класса, № 2, с. 17.
Карапетян Д. М. К уроку на тему «Признаки парал¬
лелограмма», 4, с. 38.
Клопский В. М., Ягодовский М. И., Скопец З. А. Задачи по теме «Многогранники» в курсе X класса, № 5, с. 24.
Клопский В. М., Ягодовский М. И., Скопец З. А. Координатный метод в пространстве, № 1, с. 25.
Клопский В. М., Ягодовский М. И., Скопец З. А. Решение задач на доказательство по теме «Основные понятия стереометрии. Параллельность в пространстве», № 2, с. 30.
Колмогоров А. Н. Интеграл в учебном пособии для X класса, № 6, с. 15.
Колмогоров А. Н., Шварцбурд С. И. Тригонометрические функции, их графики и производные в учебном пособии для X класса, № 1, с. 11.
К составлению задач и упражнений по материалам развития народного хозяйства СССР, № 4, с. 39.
Кудрявцев С. В. Арифметическая прогрессия и равноускоренное прямолинейное движение, № 1, с. 46.
Левитас Г. Г. О дифференциальном уравнении показательного роста, № 5, с. 44.
Лускина М. Г. Рационализация решений задач по теме «Прогрессии», № 1, с. 44.
Мазур В. Г. К вопросу о взаимосвязи геометрии и черчения, № 6, с. 37.
Майлиев Ш. О самостоятельных работах по теме «Система уравнений» в VI классе, № 6, с. 35.
Маркушевич А. И. Преподавание в школе естественноматематических наук и формирование научного мировоззрения, № 2, с. 10.
Мишин В. И. К методике изучения перемещений на координатной плоскости, № 3, с. 14.
Мостовой А. И. О построении сечений многогранников в курсе геометрии IX классов, № 3, с. 16.
Мостовой А. И., Наконечный М. Н. Решение геометрических задач различными способами, № 5, с. 44.
Об изучении математики в IX классе. № 4, с. 6,
О преподавании математики в X классе, № 4, с. 11; № 5, с. 7.
Осинская В. Н. Учить учащихся мыслить, № 1, с. 43.
Примерные контрольные работы для X класса на 1976/77 учебный год, № 3, с. 29.
Саранцев Г. И. Применение карточек при обучении доказательству, № 3, с. 19.
Сытина Т. Л. О преподавании алгебры в VI классе, № 4, с. 39.
Типовые экзаменационные материалы по математике за курс средней школы, № 6, с. 19.
Хлабыстова Л. П. К методике доказательства теорем, № 5, с. 52.
Чуракова Р. Г., Шалимова К. И. О тематическом повторении курса алгебры и начал анализа в X классе, № 5, с. 16.
Шалимова К. И. Об экзамене по алгебре за курс восьмилетней школы, № 6, с. 22.
Шарифов Дж. О видах самостоятельных работ, № 5, с. 48.
Шаров В. И. Совершенствовать работу школьных методических объединений, № 6, с. 11.
Шихалиев X. Ш. Из опыта изучения темы «Пересечение н объединение фигур» в IV классе, № 5, с. 56.
Эмоции юного математика (письмо Н. Н. Лузина к М. Я. Выгодскому), № 6, с. 25.
Ястребинецкий Г. А. Из опыта преподавания темы «Элементы комбинаторики», № 1, с. 48.
Ястребинецкий Г. А. К методике изложения темы «Производная» в IX классе, № 5, с. 39.
Консультация
Болтянский В. Г. На нуль делить нельзя! № 6, с. 42.
Заметки с уроков
Магомедов С. К. Об одном виде упражнений, № 1, с. 52.
Одинцов П. K., Пайсон Б. Д. К оформлению записи решений уравнений и неравенств, № 1, с. 52.
Сефибеков С. Р. О геометрических задачах на доказательство неравенств, № 1, с. 53.
В помощь самообразованию учителей
Окунев А. К. Симметрия правильных многогранников, № 6, с. 54.
Олоничев П. М. Логически истинные предложения, № 4, с. 55.
Педагогические институты и школа
Басова Л. А., Эпштейн Л. А. Летняя физико-математическая школа в Карелии, № 5, с. 68.
Ореханов А. Ф. В школу пришел молодой лектор, № 5, с. 69.
Педагогический институт — сельской школе, № 5, с. 65.
Саранцев Г. И. От помощи — к совместной работе, № 5, с. 67.
В помощь преподавателям вечерних (сменных) школ, профтехучилищ и педучилищ
Беденко Н. К., Пашкова Л. М., Райский Н. М. К устным экзаменам по геометрии в средних профтехучилищах № 6, с. 43.
Беденко Н. К., Райский Н. М., Шварцбурд С. И. Об изучении математики в средних профтехучилищах в 1976/77 учебном году, № 2, с. 38.
\
Глейзер Г, Д. Об учебном пособия по геометрии для
VI—VIII классов вечерней (сменной) общеобразовательной школы, № 2, с 39.
Глейзер Г. Д., Саакян С. М. О преподавании математики в X классе вечерней (сменной) школы по новой программе, № 3, с. 36.
Ганжела А. Н. О преемственности на уроках геометрии в средних профтехучилищах, № 6, с. 46.
Петраков И. С. Примерные самостоятельные и контрольные работы для первых курсов педучилищ, № 5, с. 62.
Райский Н. М., Шварцбурд С. И. Об изучении математики в средних профтехучилищах в 1976/77 учебном году, № 5, с. 60.
Технические средства обучения.
Учебное оборудование
Апанасенко Л. И. Учебное оборудование по алгебре для VI класса, № 4, с. 44.
Буянкина Г. Л. Учебное оборудование по алгебре в VII классе, № 2, с. 50.
Васершторм А. Г., Пастернак Б. И. Шкафы для хранения таблиц, № 4, обложка.
Гужвинский П. И. Приспособление для изготовления штемпелей. № 2, обложка.
Дыбов П. Т., Дьяконов И. А., Качанов А. В. Наслу- зов И. И. Телекурсы как форма учебного процесса, № 2, с. 47.
Красс Э. Ю., Зариня А. К. Учебное оборудование для IV класса, № 4, с. 41.
Кузьменко Н. Г. К методике применения диапозитивов, № 2, с. 51.
Левитас Г. Г. Таблицы по алгебре и началам анализа, № 6, с. 47.
Лукавецкий В. И., Маланюк М. П. Материалы с печатной основой под прозрачной пленкой, № 1, с. 56.
Меньшиков В. М., Голуб Е. П. Электрифицирован¬
ный тритонометрический круг, № 6, обложка.
Пархачев В. Н., Славянская Л. А., Щербак Л. А. Где купить приборы и наглядные пособия? № 3, обложка.
Факультативные курсы
Гранатов Г. Г., Ретюнский В. Н. Задачи с физическим содержанием по теме «Предел функции», № 2, с. 52.
Демидович Н. Б., Монахов В. М. Алгоритмы вычислений, № 4, с. 46.
Демидович Н. Б., Монахов В. М. Алгоритмы невычислительных процессов, № 5, с. 70.
Кашин М. П., Фирсов В. В., Шварцбурд С. И. Факультативные занятия по математике: состояние и перспективы, № 1, с. 57.
Монахов В. М., Демидович Н. Б. Алгоритмы и программирование, № 3, с. 41.
Петрушин П. К. Отношения между множествами в курсе VII класса, № 3, с. 49.
Шоластер Н. Н., Задачи на геометрические преобразования, № 3, с. 53.
Эксперимент
Бальцюк И. Б. О системе задач при изучении элементов программирования, № 3, с. 64.
Виноградова Л. В. К изучению перемещений в курсе геометрии VI класса, № 4, с. 52.
Захарова А. Е. О подготовке учащихся к восприятию понятия аксиомы, № 2, с, 57.
Кретинин О. С. Использование логических связок «и», «или» при изучении операций над множествами, № 3, с. 53.
Панкратова В. Г., Сергеева А. С. О сохранности математических знаний. № 2, с. 58.
Семенов Е. Е. Об одном приеме обучения учащихся
обобщению и конкретизации, № 2, с. 55.
Стомахин В. И., Константинова Е. К. Координатная форма записи вектора и скалярное умножение векторов, № 5, с. 75.
Тараканова Л. К. Из опыта индивидуального подхода при обучении математике, № 6, с. 52.
Ярославцева Л. Г. Об ознакомлении учащихся IV— V классов с бинарными отношениями, № 3, с. 61.
Проблемы и суждения
Башмакова М. И., Чекаева Г. Г. К проблеме развития теоретико-функциональных навыков у учащихся средних профтехучилищ, № 2, с. 60.
Черкасов Р. С. О методической подготовке учителя математики в педагогическом вузе, № 5, с. 80.
Внеклассная работа
Андрощук И. И. Вечер на тему «Математике нужны трудолюбивые», № 3, с. 68.
Бернштейн Д. Н., Васильев Н. Б., Ионин Ю. И., Плоткин А. И. X Всесоюзная математическая олимпиада, № 6, с. 59.
Гутенмахер В. Л., Раббот Ж. М. Новый прием в ВЗМШ, № 1, с. 63.
Дубравский М. Н. Из опыта внеклассных занятий, № 2, с. 65.
Зетель С. И. Свойства некоторых треугольников, № 5, с. 84.
Карташян А. А. Вывод формулы объема пирамиды, № 3, с. 76.
Колмогоров А. Н., Гальперин Г. А. XXXVIII Московская математическая олимпиада, № 4, с. 68.
Корикова Т. М. Некоторые не зависящие от размерности пространства геометрические задачи и их векторное решение, № 3, с. 69.
Круглов Г. И. Музей Н. И. Лобачевского в школе, № 2, с. 64.
Кузнецова Л. И. Симметрии пространства и их при- менение к решению задач, № 3, с. 73.
Курындина К. Н. Из опыта преподавания теории вероятностей в Брянской ЮМШ, № 2, с. 71.
Левитас Г. Г. О пифагоровых числах, № 2 с. 68.Малыгин К. А. Статьи в журнале «Математика в школе» на темы коммунистического воспитания учащихся, № 3, с. 67.
Марнянский И. А. О функции знак числа, № 4, с. 67.Нагибин Ф. Ф. Операции над множествами, № 4,
с. 63.
Скворцов В. А., Моисеева З. И. XVII Международ- ная олимпиада, № 1, с. 63.
Сорокин Г. А. Замечательные пределы. Показатель- ная, логарифмическая и степенная функции, № 6, с. 63,
Суконник Я. Н. Минимальное свойство ортоцентри- ческого треугольника, № 2, с. 67.
Ткаченко А. А. Об одном свойстве гиперболы, № 2, с. 69.
Чванов В. Г. Три задачи, связанные с игрой «морской бой», № 2, с. 65.
Шамедов М. Суммирование степеней чисел натураль- ного ряда, № 2, с. 70.
Ширяева Т. Л. Литература для внеклассной работы к знаменательным датам, № 1, с. 68; № 2, с. 63.
Занимательная страница
Абрамов А. К. Число на надгробной плите, № 1,
с. 82.
Заметки о составлении числовых курьезов, № 5, с. 88.
Разные задачи, № 1, с 82.
Рекстин Э. Потерянная тетрадь, № 3, с. 85.
Числовые ребусы, № 3, с. 84.
95
Задачи
№ 1, с. 69; № 2, с. 74; № 3, с. 77; № 4, с. 72; № 5,
с. 86, № б, с. 67.
Ученые-математики.
Педагоги-математики
Башмакова И. Г., Медведев Ф. А., Розенфельд Б. А. Адольф Павлович Юшкевич, № 3, с. 86.
Бектаев К. Б., Тилеукабылов С. Е., Рабинович В. Л. Александр Иванович Мостовой, № 2. с. 88.
Белоусов В. Д., Нягу Я. И. Иван Константинович
Парно, № 2, с. 87.
Больсен Е. М. Александр Рувимович Кулишер. № 2, с. 86.
Больсен Е. М. Лев Моисеевич Фридман, № 3, с. 89.
Беспамятных Н. Д. Степан Александрович Богомолов, № 6, с. 82.
Бродский Я. С., Галло В. Ф., Слипенко А. К., Маргу- лис А. Я. Алексей Иванович Бородин, № 2, с. 88.
Жаров В. А., Котий О. А., Майоров В. М. Залман Алтерович Скопец, № 6, с. 83.
Кондратьев А. Т., Липатов Н. С., Лаптев Б. Л., Норден А. П. Иван Петрович Егоров, № 2, с. 83.
Минковский В. Л. Владимир Николаевич Молодший, № 1, с. 83.
Минковский В. Л. Дмитрий Дмитриевич Мордухай- Болтовской, № 4, с. 80
Ройтман П. Б., Ястребинецкий Г. А. Фаина Михайловна Барчунова, № 6, с. 84.
Садыхов С. Н., Аббасов Н. Т., Креймер А. Я., Милин Н. Я. Бегляр Абдул Рагим оглы Агаев, № 2, с. 84.
Соболев С. Л. Ольга Арсеньевна Олейник, № 2, с. 81.
Терехин М. Т. Иринарх Петрович Макаров, № 3, с. 87.
Ястребинецкий Г. А., Черкасов Р. С., Пономарев С. А. Константин Петрович Сикорский, № 4, с. 84.
Математический календарь
Математический календарь на 1975/76 учебный год, март-апрель, № 1, с. 83; май-июнь, № 2, с. 85; июль- август, № 3, с. 88; на 1976/77 учебный год, сентябрь-октябрь, № 4, с. 82; ноябрь-декабрь, № 5, с. 93; январь- февраль, № 6, с. 81.
Критика и библиография
Авдеев Н. Я., Куприянов Г. Я., Фискович Т. Т. Современная книга, № 4, с. 85.
Бендукидзе А. Д., Жгенти М. И. Первые впечатления о книге для внеклассной работы в IV—V классах, № 3, с. 90.
Боцу В. М., Маргулис А. Я. Биографический словарь деятелей в области математики, № 1, с. 85.
Вентцель Е. С. Школьникам о теории вероятностей, № 5, с. 94.
Дуденко Н. А. Полезные книги, № 3, с. 90.
Ирошников Н. П. Библиографический указатель по методике преподавания математики, № 6, с. 85.
Ломакин Ю. В., Козырева С. А., Соколова Г. А. «Встречи с тремя неизвестными» в журнале «Пионер», № 4, с. 85.
Маргулис А. Я. Книга по истории вычислительной техники, № 6, с. 85.
Минковский В. Л. Об очерке истории математического образования в Белоруссии, № 6, с. 87.
Олерский Е. И. Слово учителя о книге «Математика изучает случайности», № 5, с. 96.
Поспелов Д. А. Первая книга по АЛГОЛу-60 для школьников, № 6, с. 86.
Розенфельд Б. А. О книге Б. В. Болгарского «Очерки по истории математики», № 3, с. 91.
Хабиб Р. А. Новые книги для учителей, № 1, обложка.
Шишанский Н. И. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» в 1976 г., № 1, с. 86.
Шушанский Н. И. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» в 1977 г., № 6, с. 88.
За рубежом
Ганчев Ив. Новые элементы в обучении математике в начальной школе Болгарии, № 1, с. 91.
Гнеденко Б. В., Клерико Мария. О математическом образовании в итальянской школе, № 5, с. 90.
Дьёдонне Жан А. Надо ли учить «современной» математике?, № 1, с. 88.
Маслова Г. Г., Скворцов В. А. Первые национальные олимпиады в США, № 2, с. 90.
Одинцова Л. А. Упражнения на бинарные отношения в школах Франции, № 4, с. 91.
Турлакова З. И. Обзор некоторых зарубежных материалов о преподавании математики, № 4, с. 88.
Фладе Л. Исследование развития вычислительных навыков у учащихся VI—VII классов, № 6, с. 90.
Хроника
Антипов И. Н. К вопросу обучения машинной математике учащихся средних школ, № 3, с. 95.
Басангова Р. Б. Конференция в Элисте, № 5, с. 96.
Беспамятных Н. Д., Блох А. Я. Республиканская научная конференция, № 6, с. 89.
Бровиков И. С., Черкасов Р. С., Шапкина В. Н. Научно-методический семинар «Современные идеи в преподавании математики в СССР и за рубежом», № 4, с. 93.
Викован И. Н. II научно-творческая конференция старшеклассников Молдавии, № 3, с. 95.
Гусев В. А., Столяр А. А. Всесоюзная научная конференция «Проблемы совершенствования методической подготовки учителя математики в педагогическом вузе», № 1, с. 94.
Лаптев Б. Л. О Всесоюзной научной конференции по неевклидовой геометрии, № 6, с. 92.
Маргулис А. Я. В секции средней школы Московского математического общества, № 5, обложка.
Моисеева З. И. С коллегии Министерства просвещения СССР, № 3, с. 93.
Пленум Ученого методического совета. № 2. с. 95.
Саннинский В. Я. Зональный семинар по работе в помощь школе, № 4, с. 95.
Некрологи
Канин Е. С., Килина Н. Г., Семенович А. Ф., Черкасов Р. С. Федор Федорович Нагибин, № 4, с. 95.
Окунев А. К., Пономарев С. А., Стратилатов П. В., Черкасов Р. С. Памяти Ивана Козьмича Андронова, № 1, с. 95.
ЭЛЕКТРИФИЦИРОВАННЫЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ КРУГ
Как известно, при решении тригонометрических уравнений и неравенств
Н*)> 0 (1)
полезно на доске и в тетрадях на тригонометрическом круге отмечать точки, в которых f(x) обращается в нуль или не существует. Вместо такого чертежа мы в школе № 6 г. Красногорска применяем электрифицированный тригонометрический круг (ЭТК).
Устройство ЭТК. На окрашенном листе фанеры или жести начерчен тригонометрический круг (рис. 1 а) с отмеченными на нем точками те те
°> ±"б"> ±т
В этих точках встроены лампочки (например, 3,5 V), заключенные к батареям карманного фонаря или к сети через трансформатор. Внизу по горизонтали разведены тумблеры для их включения. Под тумблерами имеется шкала соответствующих им значений дуги х, а также шкалы sin cos x, tg д: (рис. 16). Если понадобятся точки, в которых нет лампочек, их можно отмечать, например, магнитными фишками.
Применение ЭТК. Прибор может быть использован при изучении тригонометрических функций. Особенно он полезен при решении тригонометрических уравнений и неравенств вида (1) и их систем. При решении уравнений включаются лампочки в точках, соответствующих решениям уравнения f(x)= 0, а затем выключаются лампочки (если они включены) в точках, где f(x) не существует. Точки, в которых лампочки остались включенными, соответствуют решениям исходного уравнения.
Рис. 1 а
Решение: a) sinx = 0.
На шкале sin х находим 0 и включаем соответствующие лампочки (в точках 0 и я);
б) 1 -tg-^ = 0,
х
tg-o"= Ь
X
~
те
~й~ +
4\*
х = -ту- -{- 2те&.
Включаем лампочку в точке
те
9
л п х те
1 — tg ~?г не существует при — = -g- + nk, т. е*
при х = те -|- 2izk. Выключаем лампочку в точке те. Итак, остались включенными лампочки в точках О те
и 1Г*
Ответ: х = 2те&, х =
2те£, £ £ Z.
При решении тригонометрических неравенств с помощью ЭТК включаются лампочки в точках, где f(x) обращается в нуль или не существует. Из получившихся на тригонометрическом круге интервалов выбирают те, на которых исходное неравенство удовлетворяется.
Пример. Решить неравенство
sin хд 1
<(i - tg 40 > о. ;(3)
Решение. Как следует из решения уравнения (2),
те
включаем лампочки в точках 0, и те. Из трех интервалов только на одном ^0, неравенство (3.)
удовлетворяется.
Ответ: 2nk <х <С -у- + 2те£, k£Z.
Если 2л не является периодом левой части урав/Н-е- ния или неравенства (1), нужно предварительно сделать замену х — ау, найти у, а затем найти х.
COS К'
tgx-
2l
a3
?L
У1
' 6 О
2L
6
?L
4
3
УГ
z
Jy/ TJi TJl *
sinx-
-1
0
\/3
Vz
Z 2
L й Й Й H L -LA1
2 Z 2 1 2 2 2 0 2 2 2 -1222
- _v5 -/ ~
V3
V5
J
V3 -J О
й
3
Рис. 16
Пример. Решить уравнение
sin* ^1 — tg e
Вместо использования ЭТК можно спроектировать на доску-экран тригонометрический круг (со слайда \*) через диаскоп или с пленки через кодоскоп), а точк#