Автор: Литвинская Г.П. Егоров-Тисменко Ю.К.
Теги: кристаллография геологические науки геология кристаллохимия
ISBN: 5-89118-145-2
Год: 2000
Текст
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА
ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Ю.К. Егоров-Тисменко, Г.П. Литвинская
ТЕОРИЯ
СИММЕТРИИ
КРИСТАЛЛОВ
Под редакцией В.С. Урусова
Допущено Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности “Геохимия ”
Москва
ГЕОС
2000
УДК 548.0
ББК 26.301
Е30
Теория симметрии кристаллов. Ю.К.Егоров-Тисменко, |Г.П.Литвинская|
Научный редактор - чл.-корр. РАН, профессор В.С.Урусов. Учебник для
высшей школы - М. ГЕОС, 2000, 410 с.
ISBN 5-89118-145-2
Аннотация. Учебник подготовлен на основе одноименного курса лекций для студентов
Геологического факультета Московского государственного университета им М.ВЛомоносова
специализации кристаллография и кристаллохимия. В учебнике изложены основы
фундаментального учения о внутреннем строении кристаллического вещества: теория
симметрии кристаллов, теория пространственных групп симметрии и их математические
аспекты. Первые разделы посвящены основным кристалло-графическим понял ням -
симметрии, операциям и элементам симметрии конечных и бесконечных построек, их
взаимодействиям. Последовательно рассматриваются точечные, одномерные, двухмерные и
федоровские группы симметрии, их вывод, графическое представление, характеристики
правильных систем точек. Вторая часть учебника посвящена учению об антисимметрии и
многоцветной симметрии, вопросам преобразования координатных систем. В заключительной
главе учебника авторы рассматривают способы описания и графического представления
известных структурных типов. Учебник предназначен не только для студентов и аспирантов
геологических, химических, физических и других смежных специальностей, связанных с
изучением внутреннего строения вещества, но и специалистов-исследователей, работающих в
данных областях. Публикация книги выполнена при финансовой поддержке Федеральной
Целевой Программы "Интеграция” (проект N 683) и Управления науки Министерства
Природных ресурсов Российской Федерации
Annotation The text-book “Theory of summetry of crystals” is based on the authors’ course of
lectures for the students of Geological Faculty of Moscow State University, who specialize in
Crystallography and Crystal Chemistry. General problems related to the theory of symmetry, theory
of internal structure of crystals and its mathematical aspects (spherical trigonometry, theory of
abstract groups, matrix algebra) are discussed. The fundamental notions of Crystallography
symmetry, symmetry elements and symmetry operations, infinite and finite structures, their
relationships are presented in the first part of the book. The characterization of symmetrically
equivalent points, the deduction and graphical representations of point groups, rod, plane and space
groups are given in this part too The concepts of antisymmetry and color symmetry and their
applications to description of twinning crystals and crystal structures are presented in the second
part. The transformations of the coordinate systems (unit-cell transformations), symbols of faces and
atomic coordinates compose the special chapter. The models of classical structure types, their
descriptions and graphical images are given in the finishing chapter. The text-book can be
recommended not only for the students and post-graduates specializing in Mineralogy.
Crystallography, Chemistry and Physics, but for research- scientists working in these fields.
© Авторы, 2000
© ГЕОС, 2000
Предисловие редактора
Появление нового учебника по симметрии кристаллов оправдано уже
тем фактом, что он написан двумя заслуженными преподавателями
кафедры кристаллографии и кристаллохимии Геологического факультета
МГУ, где этот курс читается непрерывно в течение всех 50 лет, прошедших
со дня ее основания. Однако не следует забывать и то, что кафедра
является преемницей традиций таких выдающихся ученых и педагогов
Московского университета как В.И.Вернадский, Ю.В.Вульф, А.В.Шубни-
ков. Можно напомнить, в частности, что первый из них, вероятно впервые в
мире стал читать в Московском университете курс кристаллографии
отдельно от минералогии еще более ста лет тому назад.
Учеником А.В.Шубникова, продолжателя дела Ю.В.Вульфа, был
основатель кафедры кристаллографии Г.Б.Бокий, учебники кристаллохи-
мии которого неоднократно переиздавались и переводились на многие
языки. Новые краски и глубину приобрело преподавание теории симметрии
и кристаллохимии с приходом на кафедру выдающегося ученого
Н.В.Белова, который руководил ею более 20 лет, начиная с 1961 г.. Его
труды по структурной кристаллографии и пространственным группам
симметрии легли в основу целого ряда учебников и учебных пособий,
изданных преподавателями и сотрудниками кафедры после 1976 г. Приемы
преподавания постоянно вырабатывались и совершенствовались в течение
многих лет под прямым влиянием и с участием корифеев нашей науки.
Достаточно вспомнить о "классном методе" изложения теории пространст-
венных групп симметрии, созданном Н.В.Беловым специально для целей
обучения и неоднократно цитируемом в настоящем издании.
Глубокие корни, которые питают российскую кристаллографию,
выделили ее в самостоятельную ветвь мировой науки. С этим связано и
своеобразие кристаллографической терминологии, которая используется до
сих пор только в нашей стране. И в новом учебнике пространственные
группы симметрии часто называются федоровскими, группы антисим-
метрии - шубниковскими, группы цветной симметрии - беловскими, по
славным именам их создателей.
Влияние тех же традиций российской науки объясняет и тот факт, что
изложение теории симметрии в настоящем учебнике продолжает и
углубляет геометрический подход, ведущий начало от великого Е.С.Федо-
рова (в отличие от теоретико-группового, восходящего к А.Шенфлису). Он
отличается гораздо большей наглядностью и математической простотой и
ориентирован преимущественно на образование в области теории симмет-
рии будущих геологов, химиков и биологов, не обладающих достаточной
математической подготовкой. По этой причине изложение теории сопро-
вождается в учебнике большим количеством иллюстративного материала -
в нем более 200 рисунков.
ГА
1
Наконец, минимум сложного математического аппарата и индук-
тивный метод изложения создают очень благоприятные условия для
использования этого учебника в целях самообразования. Это особенно
важно для тех специалистов в самых различных областях науки и техноло-
гии, кто сталкивается с проблемами строения кристаллов, но не получил
систематического образования в этой области на студенческой скамье.
Лучшему усвоению теории должно способствовать и описание на языке
пространственных групп симметрии моделей кристаллических структур
основных ("классных") структурных типов минералов и неорганических
веществ. Таким образом, этот учебник является прямым продолжением и
дополнением курсов кристаллографии и кристаллохимии, которые
студенты слушают параллельно с курсом теории симметрии.
Создатели учебника надеются на то, что он выполнит свою основную
задачу - обеспечить глубокую подготовку новых пополнений
кристаллографов и кристаллохимиков, и будет служить тому делу,
которому отдала всю свою жизнь замечательный педагог и воспитатель
Галина Петровна Литвинская. Пусть эта книга будет и своеобразным
памятником этой беззаветной труженице.
В.С.У русов
От авторов
Настоящий учебник написан на основе одноименного курса лекций и
вобрал в себя материалы изданных ранее работ академика Николая
Васильевича Белова, посвященных пространственным группам симметрии
и обобщенных в изданных посмертно “Очерках по структурной
кристаллографии и федоровским группам симметрии” [18], а также первого
в нашей стране учебника Ю.Г.Загальской и Г.ПЛитвинской
“Геометрическая микрокристаллография” [29]. Задача курса “Теория
симметрии кристаллов” - с одной стороны, дать глубо-кое, развернутое,
теоретически обоснованное представление о принципах и законах
симметрии и, с другой - сделать это методически наиболее доступными и
наглядными средствами.
Настоящий учебник будет полезен студентам не только
геологических, но и химических, физических и других вузов, а также может
служить справочным пособием для специалистов в области физики и химии
твердого тела.
Авторы глубоко признательны редактору чл.-корр. РАН профессору
В.С.Урусову за обсуждение и ценные замечания, а также своим ученикам и
сотрудникам кафедры кристаллографии и кристаллохимии геологического
факультета МГУ Н.Н.Еремину, И.П.Орлову, Н.А.Ямновой и Т.Г.Петровой
за неоценимую помощь при оформлении данной работы.
Публикация книги выполнена при финансовой поддержке
Федеральной Целевой Программы "Интеграция" (проект № 683) и
Управления науки Министерства Природных ресурсов РФ.
Глава!. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
СИММЕТРИИ
1.1. Определение симметрии
Понятие “симметрия” (греч. symmetric - соразмерность), по словам
одного из крупнейших математиков XX в. Германа Вейля (1885 - 1955),
“является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков
пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”[23]. Обычно
под словом “симметрия” понимается гармония пропорций - нечто
уравновешенное, не ограниченное пространственными объектами
(например, в музыке, поэзии и т.п.). С другой стороны, это понятие имеет и
чисто геометрический смысл, заключающийся в закономерной
повторяемости в пространстве равных фигур или их частей. Как писал
Е.С.Федоров (1901), “симметрия есть свойство геометрических фигур
повторять свои части, или, выражаясь точнее, свойство их в различных
положениях приходить в совмещение с первоначальным положением”[49].
Однако, говоря о симметричных фигурах, следует различать два вида
равенства: конгруэнтное (греч. congruens - совмещающийся) и
энантиоморфное — зеркально равное (греч. enantios - противоположный,
morphe — форма). В первом случае подразумеваются фигуры или их части,
равенство которых можно выявить простым совмещением - наложением
друг на друга, т.е. “собственным” движением, переводящим левую (Л)
фигуру (например, левый винт, руку) в левую, правую (/7) - в правую, при
котором все точки одной фигуры совпадают с соответствующими точками
другой. Во втором случае - равенство выявляется с помощью отражения -
движения, переводящего объект в его зеркальное изображение (левое - в
правое и наоборот). При этом все точки пространственной фигуры
становятся попарно симметричными относительно плоскости. В результате
таких преобразований (движений) объект совмещается сам с собой, т.е.
преобразуется в себя. Иными словами, он инвариантен по отношению к
этому преобразованию, а следовательно, симметричен. Само
преобразование, выявляющее симметричность объекта, называемое
преобразованием симметрии, сохраняет неизменными метрические
свойства частей объекта, а значит, и расстояния между любой парой их
точек. Таким образом, объекты можно считать симметрично равными, если
все точки одного из них переводятся в соответствующие точки другого по
единому правилу.
3
1.2. Операции симметрии
В зависимости от характера (типа) равенства симметричных фигур
различают два рода симметрических преобразований - операций
симметрии: операции 1-го рода, связывающие конгруэнтно равные
фигуры, и 2-города - связывающие энантиоморфные фигуры.
Наиболее простыми видами симметрических операций являются
переносы - трансляции, используемые при описании бесконечных
закономерных построек - кристаллических структур (или узоров). При
подобных операциях ни одна точка пространства не остается на месте.
Если при заданных симметрических операциях возникают
совокупности точек, инвариантных относительно этих преобразований, т.е.
точек, остающихся неподвижными, то геометрические образы,
составленные из этих точек (плоскости, прямые линии или точки),
называются элементами симметрии конечных фигур - точечными
элементами симметрии. С помощью элементов симметрии задаются и
осуществляются различные операции симметрии.
Конечные фигуры - это объекты, симметрия которых может быть
описана с помощью только макроэлементов симметрии, то есть точечных
элементов симметрии, не содержащих трансляции.
1.2.1. Операции и элементы симметрии
конечных фигур 1-го рода
Поворотная ось симметрии - это прямая, при повороте вокруг
которой на определенный угол фигуры или равные части одной фигуры
занимают в пространстве положения, эквивалентные исходному.
Наименьший угол поворота а, приводящего фигуру к самосовмещению,
называется элементарным углом поворота оси симметрии, величина
которого определяет порядок оси п, т.е. число самосовмещений фигуры
при полном ее повороте ° на 360° ( п = 360°/а) (рис. I, а). Сама же
операция поворота некоторой фигуры есть одинаковое угловое смещение
ее точек относительно оси поворота - прямой, точки которой остаются
неподвижными при данном симметрическом преобразовании.
Оси симметрии в символике Браве обозначаются буквой L с нижним
цифровым индексом п, соответствующим порядку оси (Z,,,), либо, в
международной символике (символике Германа - Могена, см. с. 366),
арабскими цифрами, указывающими на порядок оси (например, L, = 1,
L? = 2, L} = 3 и т.д.). Графически поворотные оси симметрии изображаются
многоугольниками:
4
Li- сферическим двуугольником (фюзо) L^-Ч, L6-d .
Иногда при обозначении операций симметрии к символу оси
добавляют показатель степени, соответствующий числу повторенных
операций. При этом знак “минус” указывает на обратное действие
(например, поворот в противоположном направлении). Так, если 41 —
поворот вокруг оси 4-го порядка против часовой стрелки на 90°, то 4 '
(= 43)- поворот на этот же угол по часовой стрелке.
В геометрических фигурах возможны поворотные оси симметрии
любых порядков. В кристаллах же порядок оси ограничен: п = 1, 2, 3, 4, 6,
что является следствием их “решетчатого” строения (доказательство см. на
с. 78 - 79).
Рис. I. Иллюстрация действий элементов симметрии 1-го (а) и 2-го (б, в) родов; а -
конгруэнтные фигуры связаны поворотами на элементарный угол поворота а = 90°
вокруг поворотной оси 4-го порядка; б - энантиоморфные фигуры получены
отражением в зеркальной плоскости симметрии т. перпендикулярной плоскости
чертежа; в - энантиоморфные фигуры связаны операцией инверсии в точке (в
центре инверсии) - 1
1.2.2. Операции и элементы симметрии конечных
фигур 2-го рода
Отражение в плоскости, оставляющее неподвижными только точки
пространства, лежащие в этой плоскости, называемой зеркальной плос-
костью симметрии, связывает зеркально равные - энантиоморфные - фи-
гуры или их части (рис. 1, б). Обозначают эти элементы симметрии в сим-
волике Браве буквой Р, в международной символике - т, графически -
жирной или двойной линией.
Центр инверсии - это “зеркальная точка”, инвертируясь
(“отражаясь”) в которой правая фигура превращается в левую, как в фокусе
оптической линзы. При этом “отражении” остается неподвижной только
одна точка пространства. Обозначается центр инверсии буквой С (по
Браве), 1 (в международной символике) или буквой i, графически -
кружком (°) (рис. 1,в).
5
Рис. 2. Иллюстрация действий “сложных” элементов симметрии:’а — фигуры 1 и 2
связаны зеркально-поворотной осью ('£„) — поворот на угол а сопровождается
отражением в зеркальной плоскости симметрии, перпендикулярной этой оси; б —
фигуры 1 и 2 связаны инверсионной осью — поворот исходной фигуры на угол
р с последующей инверсией в точке О; в — взаимосвязь зеркальной оси (^„) с
элементарным углом поворота а и инверсионной оси с элементарным углом
поворота р = 180° — а. Здесь и далее белый и черный цвет указывает па лицевую и
изнаночную стороны фигуры
Если поворот вокруг оси и-го порядка на угол - а (рис. 2, а)
сопроводить операцией симметрии 2-го рода - отражением в плоскости
симметрии, перпендикулярной оси вращения, то возникнет “сложный”
элемент симметрии — зеркально-поворотная ось, включающая эти две
операции симметрии. Однако, несмотря на то, что каждая из совместных
операций «работает», реальных элементов симметрии, задающих эти
операции, в общем случае нет, т.е. они мнимые. Эти операции симметрии
коммутируют, иными словами, последовательность их действий
безразлична. Обозначаются зеркальные оси по Браве символом и в
Рис. 3. Фигуры, связанные
операциями симметрии зеркальной
оси 4-го порядка - 4
международной символике - П.
Например, из рис. 3, на котором
изображено действие зеркально-
О
поворотной оси 4-го порядка - 4 ,
видно, что расположение фигур не
подчинено ни вертикальной поворотной
оси 4-го порядка (4), ни
перпендикулярной ей горизонтальной
плоскости симметрии (Pj.), ни вообще
каким бы то ни было реальным
элементам симметрии или их
сочетаниям. И в какой бы
последовательности ни проводить эти
операции: сначала поворот, потом
6
отражение или наоборот - результат будет одинаков. Поскольку ось 4
оригинальна (незаменима), она имеет специальное графическое
обозначение: и.
На рис. 4, а показан результат действия зеркальной оси 6-го порядка
(6), где также обе операции, характеризующие эту сложную ось, - поворот
на 60° и отражение в плоскости, перпендикулярной этой оси, - мнимые.
Однако в данном случае можно увидеть иные реальные элементы
симметрии: поворотную ось, но уже 3-го (а не 6-го) порядка и центр
инверсии. Сочетание этих операций можно рассматривать и как действие
сложной оси иного характера. В самом деле, поворот вокруг оси и-го
порядка на угол р (см. рис. 2, б), сопровождающийся операцией инверсии -
“отражением в точке”, расположенной на этой оси, — характеризует
сложный элемент симметрии, называемый инверсионной осью,
включающей также две в общем случае мнимые операции симметрии.
Обозначаются инверсионные оси или П .
Рис. 4. Иллюстрация действий сложных осей симметрии 3-го и 6-го порядков:
а - действие зеркальной оси 6-го порядка (б ) - поворот исходной фигуры 1 против
часовой стрелки на угол 60° с последующим отражением в зеркальной плоскости,
перпендикулярной этой оси, - переводит ее в положение 2, затем в положение 3 и т.д.;
окончательное расположение фигур подчиняется реальной поворотной оси 3-го
порядка и центру инверсии, расположенному на ней, т.е. действию инверсионной оси
3-го порядка: 6 - 3 (^е = LjC); б - действие инверсионной оси 6-го порядка (6 ) -
поворот исходной фигуры 1 против часовой стрелки на угол 60° - переводит ее в
положение 1последующей инверсией в точке получаем фигуру 2, затем 2 -> 2' -> 3 и
т.д.; окончательное расположение фигур подчиняется реальной поворотной оси 3-го
порядка и перпендикулярной к ней плоскости симметрии (Pi), т.е. зеркальной оси 3-го
порядка: 6=3 (£>6 = L3P1)
На рис. 4, б показаны фигуры, расположение которых подчинено
действию инверсионной оси 6-го порядка (б). Очевидно, что здесь
отсутствуют и реальная поворотная ось 6-го порядка, и центр инверсии.
Однако, как и в случае зеркальной оси 6-го порядка, можно увидеть
реальные (другие!) элементы симметрии: поворотную ось 3-го порядка и
зеркальную плоскость, перпендикулярную этой оси. Таким образом, и
зеркальная (б ) и инверсионная (б ) оси 6-го порядка в отличие от оси 4 не
являются оригинальными, т.е. могут быть заменены простыми элементами
7
симметрии, и поэтому специальных графических обозначений они не
требуют.
Обобщив рассмотренные примеры и обратившись к рис. 2, в, можно
сделать вывод о том, что каждой зеркальной осн с элементарным углом
поворота а соответствует инверсионная ось с элементарным углом
поворота р = 180° - а. При этом вращения вокруг обеих осей направлены в
противоположные стороны:
360" 360"
п = и =-----
а 180"-а
Подставив в приведенную формулу значения элементарных углов
поворота оставшихся не рассмотренными кристаллографических осей 1-го,
2-го и 4-го порядков, обнаружим, что 1 = 2, 2 = 1, 4 = 4 Нетрудно также
убедиться, что действия сложных осей 1-го порядка и соответствующих
им сложных осей 2-го порядка эквивалентны действию простых элементов
симметрии (1 = 2 =Р1. и / =2 =С), ибо поворотная компонента сложной
оси 1-го порядка (а = 360°) равна нулю, и, следовательно, вторая операция
- зеркальное отражение или инверсия в точке — оказывается
действительной, а не мнимой.
Из вышеизложенного ясно, что внешняя симметрия любого
многогранника может быть описана с помощью только осей симметрии -
простых (поворотных) и (или) сложных (зеркальных или инверсионных),
взаимодействие которых составляет суть "осевой ” теоремы Эйлера.
Рис. 5. К доказательству
«осевой» теоремы Эйлера.
Стрелками показано
перемещение точки по
экваторам а — а, Ь — Ь, с—с
при последовательном
вращении ее вокруг
пересекающихся в центре
сферы поворотных осей
симметрии А, В и С
соответственно
1.3. Взаимодействия
элементов симметрии
1.3.1. Теорема Эйлера
Результат сочетания двух вращений
вокруг пересекающихся поворотных осей
легко увидеть, рассмотрев движение точки
на поверхности сферы (рис. 5). Пусть А и В
- точки выхода двух пересекающихся в
центре О сферы поворотных осей с
элементарными углами поворота аир
соответственно. Направления вращений
указаны стрелками. Для доказательства на
поверхности сферы проведем дуги больших
кругов (экваторы) а - а и в - в, полюсами
которых служат выходы исходных осей А и
В соответственно. Рассмотрим
8
последовательные вращения вокруг указанных осей некоторой точки 1,
выбрав ее на поверхности сферы так, чтобы после поворота вокруг оси А на
угол а (движение по экватору а - а) она оказалась на экваторе в - в в
положении 2. После поворота точки 2 на угол р вокруг оси В (движение по
экватору в-в) она попадет в положение 3. Дуга большого круга,
проведенная через точки 1 и 3, является экватором с - с по отношению к
полюсу в точке С. При этом движение точки 1 по экватору с - с в точку 3
можно считать поворотом на угол у вокруг оси, выходящей в полюсе С.
Таким образом, два поворота против часовой стрелки вокруг
пересекающихся осей А и В можно заменить поворотом в том же
направлении вокруг третьей оси С: Аа • Вр = Сг В этом суть известной
“осевой” теоремы Эйлера, лежащей в основе теории симметрии
кристаллов. Нетрудно понять, что комбинация вращений вокруг трех
пересекающихся осей соответствует операции идентичности, оставляющей
точку на месте: Аа • Вр • С_у= 1.
Для получения конкретных значений угловых величин следует
прибегнуть к построению Эйлера (см. [58]), использующему половинные
элементарные углы поворотов осей, что особенно удобно при рассмотрении
Рис. 6. Построение Эйлера к
доказательству «осевой» теоремы. АВС —
сферический треугольник, углы при
вершинах которого соответствуют
половинам элементарных углов
поворотов осей, выходящих в его
вершинах. Стороны такого сферического
треугольника соответствуют углам между
пересекающимися осями
взаимодействия осей 2-го порядка
(а= 180°).
При доказательстве теоремы
все построения, как и в
рассмотренном выше случае,
проводятся на поверхности сферы
(рис.6). Точки А и В - выходы
пересекающихся в центре сферы О
двух поворотных осей: ОА (с
элементарным углом поворота а) и
ОВ (с углом Р). Угол между этими
осями соответствует отрезку АВ
дуги большого круга, проходящей
через их выходы.
Проведем на сфере дуги AM и
AM', BN и BN', образующие с
дугой АВ углы а/2 и р/2
соответственно: ZMAB = ZM'AB =
а/2, ZNBA = ZN'BA = р/2.
Обозначим точки пересечения
дуг AM с BN и AM' с BN' буквами С и С' соответственно. Рассмотрим
движение точки С на сфере. В результате поворота вокруг оси Аа на угол а
против часовой стрелки точка С перейдет в положение С'. Последующий
поворот точки С' вокруг оси Вр на угол Р в том же направлении вернет ее в
исходное положение С. Таким образом, комбинация вращений вокруг осей,
Аа и Вр оставит точку С на месте. Это значит, что третье .-
9
результирующее - вращение может происходить исключительно вокруг
оси, выход которой совпадает с точкой С, ибо только в этом случае будет
выполняться условие Аа • Вр • С_у= 1, и точка С при повороте вокруг
третьей оси останется на месте. Величину угла у легко измерить,
рассмотрев полное перемещение точки А: поворот вокруг оси Аа оставит
точку на месте, поворот вокруг оси Вр переведет точку А в положение А'. В
результате образуются два равных треугольника: ААВС = АА'ВС, ибо
ZABC = ZA'BC = р/2 и иАВ = оА'В по построению. Следовательно,
ZACB = ZA'CB. Обозначив каждый из них у/2, получим элементарный
угол поворота у для оси Су, выходящей в точке С.
В результате проведенных построений получен сферический
треугольник АВС, углы А, В и С при вершинах которого равны половинам
элементарных углов поворота осей, выходящих в его вершинах, т.е. А =
= а/2, В = р/2 и С = у/2. Стороны такого сферического треугольника а —
= оВС, в = ljAC, с = оАВ соответствуют углам между этими осями.
Расчеты порядков осей и углов между ними можно производить по
формулам сферической тригонометрии [24] - раздела математики,
рассматривающего только фигуры, образованные дугами больших кругов, -
сферические треугольники, каждый из которых может быть
охарактеризован шестью элементами: тремя сторонами - дугами (а. в, с) - и
углами между ними (А, В, С). Основные формулы сферической
тригонометрии связывают четыре или пять элементов сферического
треугольника, т.е. дают возможность по трем или четырем данным его
элементам определить остальные.
Рис. 7 К доказательству теоремы косинусов.
Жирными дугами выделен сферический
треугольник ABC. AM и AN — касательные,
проведенные к дугам АВ и АС соответственно
(AM X ОА, AN 1 ОА)
1.3.2. Основные
формулы сферической
тригонометрии
Теорема косинусов.
Теорема косинусов, впервые
доказанная Альбатегнием в X
в., устанавливает зависимость
между тремя сторонами (а, в,
с) и одним из углов (А, В или
С) сферического треугольника.
Косинус стороны
сферического треугольника
равняется произведению
косинусов двух других его
сторон, сложенному с произведением синусов тех же сторон на косинус
угла между ними:
cos а = cos в cos с + sin в sin с • cos А.
10
Докажем эту теорему.
Пусть АВС - сферический треугольник (рис. 7), стороны в и с
которого меньше 90°. Соединив его вершины с центром сферы О, получим
центральные углы а, вис, пропорциональные величинам дуг, на которые
они опираются, и численно равные сторонам сферического треугольника:
иСВ = а, о АС = в, иАВ = с.
Сферический угол, например между дугами СА и АВ (угол САВ),
измеряется углом между касательными к этим дугам (AM и AN) в точке их
пересечения (А). Пересечения этих касательных с продолжениями
радиусов ОВ и ОС дадут точки М и N. Из возникших плоских
треугольников AMN и OMN по формуле косинусов находим
MN2 = AM2 + AN2 -2 AM • AN • cos A,
MN2 = OM2 + ON2 -2 OM ON • cos a,
откуда
AM2 + AN2 - 2 AM • AN • cos A =
= OM2 + ON2 -2 OM • ON • cos a,
2 OM • ON cos a = OM2 + ON2 - AM2 - AN2 + 2AM • AN • cos A. (1)
Из плоских прямоугольных треугольников АОМ и AON следует
ОМ2 = ОА2 + АМ2 и ON2 = ОА2 + AN2.
Подставив эти значения в правую часть равенства (1), получим
2 ОМ • ON • cos а = ОА2 + AM2 + ОА2+ AN2 - AM2 - AN2 +
+ 2 AM AN • cos A,
OM • ON • cos a = OA2+ AM • AN • cos A. (2)
Из полученного равенства (2) найдем выражение для cos а:
ОА ОА AM AN
cos а =--------+ ---- • ---- • cosA.
ОМ ON ОМ ON
Из рис. 7 видно, что
ОА ОА AM . AN
= cos с, = cos в, = sin с, - sin в.
ОМ-----------------------------------ON-ОМ-ON
(3)
Подставив эти значения в формулу (3), получим
cos а = cos с cos в + sin с • sin в cos А,
что и требовалось доказать.
Аналогично выводятся формулы для сторон вис сферического
треугольника АВС:
cos b = cos а cos с + sin а • sin с • cos В,
cos с = cos а cos в + sin а • sin в • cos С.
Следует оговорить, что выведенные формулы для сферических
треугольников со сторонами вис, меньшими 90°, могут быть использованы
и для треугольников со сторонами любой длины.
Из формул косинусов сторон сферического треугольника (с, в, с)
выводятся все необходимые в дальнейшем формулы сферической
тригонометрии. Например, формулы косинусов j
треугольника (А, В или С) получаются при помощи
глов сферического
введения полярного
11
Рис. 8. К выводу теоремы косинусов углов
сферического треугольника. Взаимно
полярные треугольники АВС и А'В'С'
треугольника, т.е. треугольника А'В'С' (рис. 8), вершины которого служат
полюсами сторон (дуг) исходного сферического треугольника АВС. Угол А
данного сферического треугольника АВС и соответствующая ему сторона
а' полярного с ним треугольника А'В'С' в сумме составляют 180°, т.е.
А + о'= 180°.
Для доказательства этого
положения обратимся к рис. 8.
Продолжим стороны АВ и АС
сферического треугольника АВС
до пересечения со стороной В'С'
полярного с ним треугольника
А'В'С' в точках М и N. Так как
вершина А есть полюс дуги В'С',
то дуга MN служит мерой угла
А: А - MN!). Дуга В'С',
соответствующая стороне а'
полярного треугольника,
разбита точками М и N на три
части, т.е. а' = В'М + MN +
NC'. Следовательно, А + д' =
В’М + MN + MN + + ПС' = B'N
+ МС'. А так как точки В' и С' служат полюсами дуг АС и АВ
соответственно, то oB'N = 90°, оМС' = 90°. Следовательно, А + а'= 90°
+ 90° = 180°, что и требовалось доказать. Таким образом,
А + а'= 180°,
В + в'=180°, (4)
С + с'= 180°.
Аналогично доказывается и положение о том , что сторона (я) данного
сферического треугольника и соответствующий ей угол полярного с ним
треугольника (А') в сумме составляют 180°, т.е.
Рис. 9. К определению
сферического угла
а + А’ = 180°,
в + В'=180°, (5)
с + С'= 180°.
Выведенные особенности взаимно
полярных сферических треугольников позволяют
распространить формулы для сторон
сферического треугольника с соответствующими
изменениями на его углы, и наоборот. Например,
взяв за основу формулу косинуса стороны
сферического треугольника
cos а' = cos в'- cos с'+ sin в'- sin с'- cos А'
’) Сферический угол ВАС (рис. 9) измеряется дугой ВС, заключенной между его
сторонами, для которой вершина угла А является полюсом, т.е. сферический ZBAC = иВС.
12
и учтя только что выведенные закономерности (4) и (5), можем записать
cos(180° - A) = cos(180° - B)-cos(180° - С) +
+ sin(l 80° - В) sin(180°- С) • cos(l80° - а).
После приведения тригонометрических функций получаем
- cos А = cos В cos С - sin В • sin С cos а,
или
cos А = - cos В • cos С + sin В sin С • cos а. (6)
Следовательно, косинус угла сферического треугольника равен
произведению косинусов двух других его углов, взятому с обратным
знаком, сложенному с произведением синусов тех же углов на косинус
стороны между ними.
Отсюда соответственно
cosA + cosBcosC
cos а = .
sin В sin С
cos В + cos А cos С
cos в =
sin A - sin С
cos С + cos А cos В
cos с =
sin А sin В
(7)
Таким образом, по трем известным углам А, В и С сферического
треугольника АВС могут быть вычислены все три его стороны а, в и с.
Подставив в полученные формулы (7) значения элементарных углов
поворота пересекающихся поворотных осей симметрии, получим их (углов)
кристаллографическую запись:
а р у
cos + cos - cos
2 2 2
cos a = 4 4 ,
. p . у
sm -sin
2 2
P a у
COS - + COS— cos —
2 2 2
(8)
cos b =
. a . у
sin —-sm-
2 2
у a P
cos -+• cos — -cos
2 2 2
cos c =--6-----“V——,
. a . P
sm — • sin
2 2
где а. в, с - стороны сферического треугольника - служат мерами
углов между пересекающимися осями симметрии.
Теорема синусов. Для решения наиболее реальной
кристаллографической задачи, когда известны порядки двух
пересекающихся под определенным углом осей симметрии и требуется
определить положение и порядок третьей - результирующей - оси.
13
необходимо знание еще одной теоремы сферической тригонометрии -
теоремы синусов для сферического треугольника.
Синусы сторон сфери-
ческого треугольника АВС
пропорциональны синусам его
углов:
sin a sine sine
Рис. 10. К доказательству теоремы синусов
углов сферического треугольника
sin A sin В sin С '
Для доказательства этой
теоремы соединим вершины
сферического треугольника АВС
(рис. 10) с центром сферы О, в
результате чего возникнет
трехгранный угол ОАВС. Из
вершины С опустим
перпендикуляр CD на
противоположную грань ОАВ
трехгранного угла. Из полученной точки D опустим перпендикуляры DN и
DM на радиусы ОА и ОВ и соединим прямыми точку С с точками М и N.
Из элементарной геометрии следует, что CN1OA (так как DN±OA) и
СМ ±ОВ (так как DMXOB). Таким образом, угол CND - это линейный угол
двугранного угла СОАВ , соответствующий углу А рассматриваемого
сферического треугольника. Точно так же угол CMD - сферический
угол В.
Из рассмотрения прямоугольных треугольников NDC и MDC с общим
катетом CD получим
СМ • sin В = CN • sin А. (9)
Отрезки СМ и CN можно выразить, рассмотрев прямоугольные
треугольники ОМС и ONC. Углы МОС и NOC при общей вершине О этих
треугольников соответствуют сторонам а и в сферического треугольника
АВС. На основании этого можно записать
СМ - ОС sin a, CN = ОС • sin в.
Подставив эти выражения в равенство (9), получим
ОС • sin а • sin В = ОС sin в sin А.
Л . . ^ . . . sin о sin в
Откуда sin о • sin В = sin А • sin в, т.е. ---=------.
sin A sin В
sin a sin с
получить-------=------.
sin A sin С
Следовательно,
sing sine sine
sin A sin В sin С
что и требовалось доказать.
Аналогично можно
(Ю)
14
Пример. Пусть даны два угла сферического треугольника и сторона
между ними: А, В и с. Необходимо найти третий угол С и две стороны
а и в.
Угол С находим по формуле косинусов (6):
cos С = - cos А cos В + sin А - sin В • cos с
И далее а и в - по формуле синусов (10):
sin a sin с sin в _ sin с
sin A sin С ’ sin В sin С
_ sin с-sin A sin с-sin В
Откуда sin а =---------, sine =-----------.
sin С sin С
1.3.3. Использование теоремы Эйлера для решения конкретных
кристаллографических задач
При решении конкретных кристаллографических задач, помимо
известных из сферической тригонометрии условий существования любого
сферического треугольника:
1) а + Ь + с > а _ П0Лупериметр сферического
2
треугольника всегда больше любой из его сторон,
2) 0°<а + в + с< 360° - сумма сторон сферического
треугольника больше нуля и меньше 360°,
3) 180° < А + В + С < 540° - сумма углов
сферического треугольника больше 180° и меньше 540°,
необходимо учитывать и ограничения, касающиеся порядков осей в
кристаллическом пространстве ( п = 1, 2, 3, 4, 6), а следовательно, углов
сферического треугольника. Поскольку углы между сторонами
сферических треугольников, равные половинам элементарных углов
поворота осей симметрии, могут принимать лишь значения 90, 60, 45 и 30°,
это существенно уменьшает количество вариантов возможных сочетаний
кристаллографических осей симметрии.
Так, на основе анализа суммы углов кристаллографического
сферического треугольника нетрудно установить тот факт, что в кристаллах
возможны лишь следующие сочетания осей симметрии:
с суммой углов
с суммой углов
с суммой углов
с суммой углов
с суммой углов
с суммой углов
Все остальные сочетания осей
невозможны, так как суммы углов
2, 2, 2
3,2,2
4, 2, 2
6, 2, 2
3, 3, 2
4, 3.2
90° + 90° + 90° = 270°,
60° + 90° + 90° = 240°,
45° + 90° + 90° = 225°,
30°+ 90°+ 90° = 210°,
60°+ 60°+ 90° = 210°,
45°+ 60°+ 90°= 195°.
кристаллографических порядков
соответствующих сферических
15
их существования.
Рис. 11. Сферический
треугольник с двумя прямыми
углами (А и В). Угол при
вершине С зависит от порядка
выходящей в ней оси
симметрии
треугольников либо равны, либо меньше 180°, что противоречит условию
Первые четыре варианта сочетания осей
симметрии (2, 2, 2; 3, 2, 2; 4, 2, 2; 6, 2, 2)
образуют сферические треугольники по
крайней мере с двумя прямыми углами (А и
В) (рис. 11). А так как вершина С служит
полюсом дуги АВ, то С = с. Иными словами,
зная угол между двумя пересекающимися
осями 2-го порядка (угол С), легко
установить и порядок третьей -
результирующей - оси (с элементарным
углом поворота у = 2С) и ее положение.
Решение указанных сферических
треугольников по иным их элементам не
вызывает затруднений, так как третья ось
кристаллографического порядка может
возникнуть лишь в случае, если углы между
заданными осями симметрии - 3 и 2, 4 и 2, 6
и 2 - равны 90°. Кристаллографические сферические треугольники, в
которых сочетаются две оси высшего порядка - 3, 3, 2 и 4, 3, 2 - решаются
с использованием формулы косинусов сторон сферического треуголь-
ника (8):
у а Р
COS — + COS— COS —
sin — sin —
2 2
Все рассмотренные выше взаимодействия касались лишь поворотных
осей симметрии и-го порядка: Ln • L'n —> L”n, т.е. сочетаний операций
симметрии 1-го рода (1 р. • 1 р. -» 1 р.). Естественно рассмотреть и
результат взаимодействия операций 2-го рода, а также разнородных
операций симметрии.
Если исходными являются две инверсионные оси, каждая из которых
помимо операций поворота содержит в общем случае и мнимую операцию
инверсии, результирующей следует ожидать также простую поворотную
ось, ибо дважды повторенная операция инверсии даст операцию
тождественности, оставляющую фигуру на месте. Останутся лишь
повороты - операции 1-го рода, сочетание которых обусловит появление
также операции 1-го рода, т.е. поворотной оси:
(2 р. -2 р.-» 1р.).
И наконец, взаимодействие разнородных операций симметрии
приведет к операции 2-го рода (1 р. • 2 р. -> 2 р.), т.е.
16
Таким образом, окончательная формулировка теоремы Эйлера будет
следующей.
Взаимодействие двух осей п-го порядка, поворотных или
инверсионных, приводит к возникновению проходящей через точку их
пересечения третьей оси симметрии с элементарным углом поворота,
вдвое превышающим угол между исходными осями. При этом
результирующая ось окажется поворотной, если исходными являются две
одинаковые оси (обе поворотные или обе инверсионные), и инверсионной
(зеркальной), если порождающие оси разные.
1.3.4. Частные случаи теоремы Эйлера
Для решения большинства кристаллографических задач достаточно
ограничиться рассмотрением частного случая теоремы Эйлера, т.е.
взаимодействия осей 2-го порядка - простых (Z?) и (или) инверсионных (i?
" Р). В результате получим три варианта их сочетаний - три теоремы
взаимодействия осей:
т' .Т” = Т
Ъ2 Ъ2 Ъп‘
^'2{Р'1)-^"2(.Р"х}=Ьп,
L2-L2U\)= L„(=L'n),
для доказательства которых инверсионную ось 2-го порядка удобно
заменить на перпендикулярную к ней зеркальную плоскость симметрии
(Р±). В данном случае нет смысла обращаться к теоремам сферической
тригонометрии, а следует использовать модельное доказательство,
поскольку все построения осуществляются на плоскости.
Теорема 1. Взаимодействие двух пересекающихся под углом X
поворотных осей симметрии 2-го порядка эквивалентно повороту вокруг
результирующей, также поворотной оси симметрии, проходящей через
точку их пересечения перпендикулярно плоскости взаимодействующих
осей; при этом элементарный угол поворота а результирующей оси вдвое
превышает угол X между исходными осями:
л
L2 L'2 = Ln (а = 2Х).
Для определения положения и порядка порожденной оси
воспользуемся модельным доказательством (рис. 12, а). Так как обе
исходные оси - элементы симметрии 1-го рода, то асимметричная фигура 1
дважды преобразуется в конгруэнтную ей. Поэтому результирующей
операцией может быть лишь операция симметрии 1-го рода - простой
поворот:
17
Рис. 12. К доказательству теорем взаимодействия элементов симметрии: двух
поворотных осей 2-го порядка (а), двух плоскостей симметрии (б), оси 2-го порядка и
плоскости симметрии (в), пересекающихся под углом Л. Черный и белый цвет фигур
показывает их лицевую и изнаночную стороны
77 ___’Р.. > 77 __'Р > 77
11 (П ти12) ?11 (_() •
1р
Действительно, конгруэнтные фигуры 1 и 3 могут быть совмещены
друг с другом поворотом вокруг вертикальной оси L„ на угол а = 2Х.
Возникшая ось перпендикулярна к плоскости исходных осей 2-го порядка.
При этом поворот будет направлен в сторону от оси 1-го поворота ко 2-й
оси, т.е. в данном случае против часовой стрелки.
Теорема 2. Взаимодействие двух пересекающихся под углом X
зеркальных плоскостей симметрии эквивалентно простому повороту
вокруг результирующей оси симметрии, совпадающей с линией их
пересечения; при этом элементарный угол поворота а. этой оси вдвое
превышает угол X между исходными осями:
Л
=Д,(а = 2Х).
Так как порождающие плоскости - элементы симметрии 2-го рода, то
исходная фигура 1 при отражении в первой из них (Р) преобразуется в
энантиоморфную фигуру 2, а затем, при последующем отражении в
плоскости Р', снова окажется в положении 3, конгруэнтном начальному
(рис. 12, б). Отсюда результирующей операцией может быть лишь операция
1 -го рода - поворот:
П{П-Л^Лт^^Пт.
---------7----------
Из рис. 12, б видно, что “правая” фигура 1 и конечная 3, тоже
“правая”, совмещаются друг с другом простым поворотом на угол а = 2Х
вокруг оси L„, являющейся линией пересечения зеркальных плоскостей
18
симметрии, в направлении от плоскости 1-го отражения ко 2-й плоскости.
Поскольку нормали к зеркальным плоскостям симметрии Р и Р' совпадают
с инверсионными осями и их взаимодействие даст тот же
результат.
Теорема 3. Взаимодействие поворотной оси 2-го порядка и
1сркальной плоскости симметрии, пересекающихся под углом X,
эквивалентно действию зеркальной оси симметрии с элементарным углом
поворота а = 2Л или соответствующей ей инверсионной оси с
элементарным углом поворота 180° - а:
х
L2 Р = £„(=£„-) (а = 2Х).
Если взаимодействуют операции симметрии 1-го и 2-го рода, то
результирующей оказывается операция 2-го рода (рис. 12, в). “Правая”
фигура 1 осью Ь2 переводится в конгруэнтное положение 2, которое после
отражения в плоскости Р займет положение 3, энантиоморфное исходному.
“Правая” (1) и “левая” (3) фигуры могут быть совмещены друг с другом
уже двумя симметрическими операциями - поворотом на угол а = 22, и
отражением в зеркальной плоскости, перпендикулярной оси поворота, -
составляющими операциями зеркальной оси симметрии {L„ ) либо
поворотом на угол 180° - а в противоположную сторону и “отражением” в
точке (инверсией), совпадающей с точкой пересечения исходных плоскости
и оси. А это уже составляющие операции инверсионной оси симметрии
77 _____(f /у ...2р______> п
2 р.
Все три симметрические операции в рассмотренных теоремах
взаимосвязаны, т.е. для каждой из теорем справедливы перестановки: за
порождающую можно принять любую пару симметрических операций.
Например, L2 Р = 1вп , &„ Р = L2, Ln L2 - Р и т.д. Однако обратные
теоремы невозможны, т.е. каждый порождающий элемент симметрии
может существовать самостоятельно, без породивших его элементов
симметрии.
В заключение необходимо отметить, что все взаимодействия
симметрических операций (а следовательно, и сочетания элементов
симметрии) есть следствия и частные случаи приведенных выше теорем, а
точнее, одной фундаментальной осевой теоремы Эйлера.
19
1.4. Различные способы представления
операций симметрии
Модельный способ иллюстрации операций симметрии наиболее
прост и нагляден (см. рис. 1, 3, 4), но позволяет решать лишь конкретные
задачи, не выявляя законов взаимодействий симметрических операций в
обобщенном виде. Для решения подобной задачи можно прибегнуть к
иным способам представления симметрических операций, например к
методу координат, основанному на том, что любое симметрическое
преобразование может быть представлено с помощью координат исходной
и преобразованной точек. Покажем это на конкретных примерах.
Рассмотрим операцию поворота
X
Рис. 13. Изменение координат точки
при повороте вокруг оси 2-го порядка,
совмещенной с координатной осью Z
вокруг оси 2-го порядка, совмещенной
с осью Z прямоугольной координатной
системы (рис. 13). Любая исходная
точка с координатами xyz поворотом
на 180° вокруг указанной оси 2. будет
переведена в положение xyz, т.е.
неизменной останется координата,
соответствующая оси вращения Z, две
другие изменят знаки на
противоположные. Подмеченная
закономерность (для оси 2- - xyz —>
xyz) будет выполняться для любой
точки трехмерного пространства в
данной системе координат. При
изменении ориентации оси вращения
эта закономерность сохранится: так, ось 2Х, совпадающая с координатной
осью X, переведет исходную точку с координатами xyz в положение xyz ;
ось 2У - xyz -» xyz
Отражение в плоскости симметрии (тД перпендикулярной оси Y и
проходящей через начало координат, преобразует координату исходной
точки xyz в xyz. При этой операции симметрии изменяется лишь знак
одной координаты, соответствующей координатной оси, перпендикулярной
данной плоскости: для ту - xyz -» xyz.
По указанному закону будут изменяться координаты точек,
отраженных в плоскостях симметрии разных позиций: тх - xyz -> xyz
и т.д.
Анализ изменения координат точек позволяет решать и обратные
задачи: устанавливать связывающие их операции симметрии. Так, нетрудно
20
увидеть, что точки с координатами xyz и xyz связаны отражением в
плоскости, перпендикулярной оси Z (т.), а точки xyz и xyz — поворотом
вокруг оси 2У.
Методом координат можно решать и конкретные задачи
взаимодействия симметрических операций. Так, последовательно
проведенные операции отражения в плоскостях тх и ту переведут
исходную точку с координатами xyz сначала в позицию xyz и затем в
положение xyz. Координаты точек, исходной и полученной после
проведенных преобразований, однозначно указывают на результирующую
операцию симметрии - поворот вокруг оси 2.: xyz -> ->xyz. Операции
поворота вокруг оси 2. с последующим отражением в плоскости симметрии
т. переведут точку xyz сначала в положение xyz, а затем в xyz . Анализ
координат исходной и результирующей точек указывает на то, что они
связаны операцией инверсии: xyz -> -» xyz .
Таким образом, с помощью метода координат мы видим, что
взаимодействие оси 2-го порядка с перпендикулярной к ней зеркальной
плоскостью симметрии приводит к появлению центра инверсии. Поэтому
часто всречающаяся в учебниках запись 4 • т± = J (или 4 • 1 = по
меньшей мере неверна, ибо противоречит полученному результату.
Поворот же на 90° с последующим отражением в т± соответствует
0 — —
операциям зеркально-поворотной оси 4г (xyz -> yxz —> yxz ). Правильной
нужно считать запись 42 ту = 1 , так же как б3 • = 1 , поскольку 42 -
б3 = 2.
В приведенных примерах операция симметрии рассматривалась как
перемещение точек объекта относительно фиксированной координатной
системы. Однако тот же результат можно получить путем преобразования
(движения) координатной системы относительно неподвижной исходной
точки. В этом случае операция симметрии будет представлена
преобразованием координатной системы. Нетрудно понять, что
операция преобразования координатной системы обратна операции
преобразования точек объекта, и наоборот.
Поэтому при описании преобразований симметрии объекта следует
различать два аспекта: с одной стороны, симметрия объекта может быть
выявлена, если он неподвижен и исследователь меняет систему координат,
с другой - объект может быть совмещен сам с собой путем симметрических
преобразований при неподвижной координатной системе. Второй подход к
операциям симметрии более нагляден, но все же не позволяет, несмотря на
тот же конечный результат, сделать обобщения.
Проиллюстрируем сказанное на примере оси 4-го порядка,
совмещенной с координатной осью Z, - 4. (рис. 14). Вместо поворота
исходной точки 1 с координатами xyz на 90° против часовой стрелки в
21
у=х-
Рис. 14. Изменение координат точки
при повороте против часовой стрелки
вокруг оси 4г иа угол 90° эквивалентно
изменению координат этой же точки
при повороте самой координатной
системы в противоположную сторону
(по часовой стрелке) иа тот же угол
вокруг этой же оси 4-го порядка
положение 2 с координатами yxz
можно преобразовать координатную
систему, повернув ее в обратном
направлении (по часовой стрелке) на
тот же угол вокруг этой же оси 4-го
порядка. При таком повороте ось Z
останется без изменения, местами и
знаками поменяются две другие
координатные оси: положение старой
оси X займет новая ось Y', новая же
ось X' окажется в положении -Y, т.е.
X' = -Y, Y' = X, Z' = Z. При этом
масштабные отрезки вдоль
координатных осей исходного и
преобразованного репера, а также углы
между соответствующими осями не
изменятся.
Выразив координаты исходной
точки 1 (xyz) в новых преобразованных
координатных осях (yxz), легко
увидеть, что они не отличаются от координат точки 2, полученной ранее
поворотом вокруг оси 4-го порядка. Это же правило будет работать и в том
случае, если ось 4-го порядка направить вдоль другой оси, например, вдоль
оси Y. Поворот координатной системы вокруг оси 4У оставит без изменения
координату у, тогда как координаты х и z поменяются местами и
соответственно знаками, т.е. получим точку со следующими координатами:
zyx.
Обобщая все сказанное, представим данное преобразование
координатного репера в виде системы уравнений, выразив единичные
векторы А, В,С вдоль новых координатных осей как векторные суммы
параметров а,Ь,С исходной (“старой”) координатной системы ( рис. 14):
A =O-a-lh+O-c,
В =\-а+О Ь+О-с, >
С =0-а+0-Ь+\-с.
И поскольку характер такого преобразования определяется лишь
коэффициентами при единичных векторах а,Ь,С , то систему данных
уравнений можно записать сокращенно в виде таблицы, составленной из
этих коэффициентов, - матрицы преобразования осей:
22
1
о
о
(Л/)ст->НОВ
0 = 010/100/001.
1° ° и
Обратим внимание на то, что при кристаллографических
преобразованиях координатных систем - отражениях в зеркальных
плоскостях симметрии, поворотах на углы 60, 90, 120 или 180° и инверсии
- координатный репер преобразуется сам в себя. Отсюда матрицы
соответствующих симметрических преобразований будут иметь своими
членами (коэффициентами при единичных векторах) нули и единицы. Это
так называемые “ноль, один”-матрицы. И хотя каждая из матриц может
быть получена на основании преобразования координатной системы, она
отражает соответствующее симметрическое преобразование точек
пространства. Составляя такую матрицу, мы фактически отвлекаемся от
конкретного геометрического смысла ее членов. Однако следует иметь в
виду, что члены матриц преобразования ортогональной координатной
системы есть не что иное, как косинусы углов между соответствующими
осями новой (преобразованной) и старой (исходной) координатных систем.
Поэтому такую матрицу называют матрицей направляющих косинусов.
В общем случае преобразования ортогональных координатных
систем, обычно используемых в кристаллофизике, можно выразить
системой линейных уравнений:
А = а} j а+ а12 • Ь+ я13 с,
В =a2i- а+ а22 Ь+ а23 с, >
С = <73) • а+ а32-Ь+ а33 • с
(Н)
или соответствующей матрицей:
<7И <712 47)3
(.М)ст
а21 а22 а23
V<73l а32 a33J
где fl2l,tz22>a23 _ направляющие косинусы углов между новой осью Y' и
старыми осями X, Y, Z; ai3,a23,a33 - направляющие косинусы углов
между старой осью Z и новыми осями X', Y', Z' и т.д. Первый индекс (/)
при символе a,j относится к новым осям, второй (/) - к старым. Девять
коэффициентов а,у ( где i,j = 1, 2, 3) зависимы друг от друга, и в общем
случае а,у а,.
Учитывая вышесказанное, систему уравнений (11) можно представить
в следующем виде:
23
A = acosX'X + fecosX'Y + ccosX'Z,
В = acosY'X + 6cosY'Y + ccosY'Z,
C = acosZ'X + AcosZ'Y + ccosZ'Z.
Вернувшись к рассматриваемому примеру с поворотной осью 4-го
порядка (см. рис. 14), вычислим единичные векторы преобразованной
координатной системы:
А = a-cos90° + b- cos 180° + с-cos90°,
В = a- cos 0° + cos 90° + с- cos 90°,
С = a-cos 90° + b- cos 90° + c-cos0°.
Матрица поворота исходной координатной системы на 90° вокруг оси
4, по часовой стрелке будет иметь тот же вид, что и матрица, составленная
на основании векторных сумм (см. с. 22):
cos 90°
(Л/) = cos О'
4cos90°
cos!80° cos90°"
cos90° cos90°
cos90° cos0° ,
'o 1 o'
1 0 0
<0 0 1,
Представление кристаллографических операций симметрии
подобными таблицами направляющих косинусов во всех сингониях, как это
делается в кристаллофизической практике, удобно лишь в том случае, если
и кристаллографическая координатная система ортогональна или она
преобразуется в себя при всех операциях группы (моноклинной или
триклинной сингоний). Искусственное же введение ортогонального
координатного репера в гексагональную сингонию (в присутствии осей 3-го
и 6-го порядков) значительно усложняет матрицу направляющих
косинусов, тогда как матрица преобразования кристаллографической
координатной системы ( а = b * с, a = р = 90°, у = 120°, см. с. 41),
составленная на основе векторных сумм, будет иметь по сравнению с
матрицей ортогонального репера более простой вид.
Например, матрица поворота ортогональной координатной системы
вокруг оси З,1 на угол 120° против часовой стрелки имеет следующий вид:
Уз
2
£
2
0
0
о
I
24
Рис. 15. К определению матрицы
поворота вокруг оси 3Z на угол 120°
против часовой стрелки
(поворот вокруг оси 3~),
выразится системой уравнений
Такую матрицу нельзя
использовать непосредственно для
расчета символов граней и ребер
кристаллов, вычисленных в обычной
непрямоугольной кристаллографи-
ческой координатной системе. Удобнее
пользоваться матрицей, составленной
на гексагональном кристаллографи-
ческом базисе (у = 120°) (см. с. 41),
выразив, как и в предыдущем случае,
единичные векторы новой
координатной системы как векторные
суммы единичных векторов старой
системы (рис. 15). Действительно,
симметрическое преобразование
представленное как преобразование
кристаллографической координатной системы в векторной форме,
А = 0 • а+1 • Ь+ 0 • с,
В = -1а-\-Ь+0 с,
С = 0а+0-Ь+1 с.
Матрица такого преобразования
матрицей:
'0
(м)= Т
.0
окажется
1 О'
Т 0 .
о
также “ноль-один”-
Таким образом, любое симметрическое кристаллографическое
преобразование может быть выражено “ноль-один”-матрицей при
сохранении во всех случаях кристаллографической координатной системы.
И наоборот, любая “0-1’’-матрица выражает одну из симметрических
операций. При этом, если в триклинной, моноклинной или ортогональных
координатных системах “0-1’’-матрицы, характеризующие симметрические
операции, содержат по одной единице в каждом столбце или строке
матрицы, то в гексагональной системе повороты вокруг осей 3-го и 6-го
порядков представлены “0-1’’-матрицами, содержащими в одной из первых
двух строк по две “±1”. В результате к 48 различным ортогональным “0-1”-
матрицам, описывающим операции симметрии кубической голоэдрии,
добавляется 16 (из 24) новых матриц гексагональной голоэдрии [40] (см. с.
42) с двумя “±1” в строке. Остальные же 8 преобразований гексагональной
25
голоэдрии записываются ортогональными “0-1”-матрицами (из 48)
(табл. 1 ).
Таблица 1
Матрицы операций симметрии кубической голоэдрии
'о -I o' -1 о о 'а — o' 'о —• о '—1 о o' oo—i 'о о —' '"о о —' — о оо О — |- О О —1'\ о о —Л, о — о Л. — 1 о о «ы, о — | оЛ о — о- О О —J 0—10 О О^ ч— О О, 0 0—1 0—10 ч— О О, ч— о о 'о —1 о' | о o' 'о — о' 'о — o' Г— 1 О o' о о —| 'о о — 'о о — — 1 О О*“ О О — о О — ”. о о — 1Л' О —1 О-*"' — О О ”. о — о,г о —| о ^О О —, 'О — О 1 О О ^— | О О, О —, — О, ^—| О О 1 о о
2Г 7 о о^ 0 1 0 <° ° Т> мл '1 0 О' 0 0 1 .0 ' 0, '1 б О' 0 0 1 о Т 0, 'о о Г о Т о J о 0, 4.-' '0 1 О' Too <° 0 1 '0 1 О' 0 0 1 J 0 0, 'о Т о' 0 0 1 J 0 0, 3 • 'о 0 Р Too ' °, 'о -I о' г— о o' '— о о' '"о —1 o' '—i о o' '<z> о — 'о о —' 'о о —i — О О “ о о — J" О О —к" о О — |Л . О — О "Л. — С> О Л — 1 О О л о — 1 о “ /О О — ^О — | О, — 1 О^ о о 'О О — ^О — 1 О, ^О -| о^ — о о
'1 О О'
О Т О
0 I
4Я
'1 О О'
о о Т
<° *. °>
mv
'о о Р
О 1 о
J о о,
2>
'о о 1'
о Т о
J о о,
"о Т о'
Too
<° 0 L
'О 1 О'
о о I
J о о,
"о о Г
1 о о
<0 1 О,
3/'
'о о г
1 о о
чо Т о,
7 о о'
О 1 о
.0 0 1?
'1 о о'
О 0 1
.° ' °,
«/
'о 0 1'
о Т о
J о о,
4,
'0 0 1'
О 1 о
J О 0>
'О I О'
Too
0
'о t o'
О 0 1
J 0 о,
'о о Т'
Too
Т о,
'о о Т'
1 о о
1 °,
26
Матрицы операций симметрии гексагональной голоэдрии
У 1 X 1 0 0 0 1 0 0 0 1 г > 0 1 0 Too о о Т > f А 0 1 0 1 0 0 0 0 1 к > (- ' 1 0 0 о Т о о о Т ( ь X I I 0 Too 0 0 1 , j у 2; X I 1 0 о Т о о о Т Г т'г Т Т о 0 1 0 0 0 1 < j (- ± 1 1 0 1 0 0 о о Т < > У 3 X 0 I 0 Т Т о 0 0 1 у_ 2\ X 1 0 0 1 1 0 о о Т < > 1 0 0 Т Т о 0 0 1 \ > 1 0 1 0 1 1 0 о о Т 1 > 2 X 1 0 0 о Т о 0 0 1 к > у 2. к 0 1 0 1 0 0 о о Т 0 1 0 Too 0 0 1 < > f т. ' 1 6 0 0 1 0 о о Т < > 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 > ( 2, ) 1 0 0 Т Т о о о Т к > f т, 1 0 0 1 1 0 0 0 1 к J у з-1 > 1 1 0 Too о о Т < > У \ 0 1 0 1 1 0 0 0 1 к > <_ \ X 1 1 0 0 1 0 о о Т к > т 1 1 1 0 о Т о 0 0 1 у г- \ 0 1 0 Т Т о о о Т 1 j
I 2 3
t 2 3
Рис 16.1 рафическое представление
правил перемножения матриц
Пример. Рассмотрим на матричном
языке последовательные действия двух
симметрических операций: 2- пи '.
Операция поворота вокруг оси 2-го
порядка (2.) переводит точку
пространства из исходного положения
xyz в положение xyz. Отразив вторую
точку в горизонтальной плоскости пи ,
перпендикулярной оси 2, получим точку
с координатами xyz. Зная, что
взаимодействие двух операций
симметрии приводит к появлению
третьей, результирующей, можно ожидать, что и на матричном языке
“взаимодействие” двух матриц приведет к новой “0-1 ’’-матрице ”.
') Перемножение матриц удобно проиллюстрировать графически (рис. 16).
представив каждую матрицу квадратом, ячейки которого символизируют соответствующие
его члены. Для того чтобы получить искомый член (7) результирующей матрицы,
находящийся на пересечении i-ii строки одной матрицы с у-м столбцом другой, следует
просуммировать результаты умножения каждого члена /-й строки на соответствующий члену-
го столбца 7 = (1 -4) + (2-5) + (3-6) (каждая цифра в такой записи обозначает соответствующий
член матрицы).
27
Действительно, каждая из рассматриваемых операций симметрии
может быть представлена соответствующей матрицей:
1
О
о
о о
Т
о 1
ъ -
и
w, -
О
о
.0
О'
о
Т
О
I
О
матрицей
, которую можно получить перемножением исходных
Переход от первой точки к третьей характеризуется результирующей
операцией симметрии - инверсией в точке, выраженной соответствующей
Т О О
О Т О
О О Т
матриц. В рассмотренном случае будем иметь
7 0 0^ fl О О'!
О Т О
О 0 1
о"
о
Т
I
о
о
о
т
о
О 1 о
о о Т
X
1.5. Основные положения теории групп
С помощью матриц, как было показано выше, можно представлять
любые симметрические операции (преобразования) и, находя их
произведения, получать множества матриц, образующих системы с одной
операцией (операцией умножения), называемые группами. Таким образом,
главная особенность симметрических операций состоит в том, что полная
их совокупность для любого объекта всегда образует группу. Это позволяет
теорию симметрии кристаллов рассматривать как раздел математической
теории множеств и использовать математический аппарат теории
абстрактных групп при изучении законов симметрии кристаллов, придавая
им конкретное геометрическое или физическое содержание.
Группой называется множество объектов (G) любой природы с
заданной бинарной операцией (*), если для любой пары элементов gj и gj
этого множества G определен третий результирующий элемент gk = g, * gj
того же множества (группы). В общем случае & * gj * gj * gj. Это значит, что
результат зависит от того, в какой последовательности производится
умножение элементов группы. Применительно к операциям симметрии это
означает, что результирующие операции могут оказаться различными, если
переменить порядок выполнения исходных операций. Однако группой
может называться лишь такое множество с заданной бинарной операцией,
для которого выполняются следующие условия:
- ассоциативности - (& * gj) ♦ & = & * (gj * &);
- существования единицы - такого единичного элемента (е), что для
любого элемента &, принадлежащего группе, будет выполняться равенство
e*gi = gj*e = g1;
28
- обратимости - для любого элемента g, существует единственный
элемент gf1 из того же множества, называемый обратным элементу g,, такой
, что & * gj'1 = gi'1 * & = e.
Можно привести следующие примеры групп.
1. Ряд целых чисел с операцией сложения.
2. { । ! | с операцией умножения.
3. Множество векторов в пространстве с операцией векторного
произведения.
4. Множество матриц с операцией умножения.
Ч о о' Ч о о' '1 0 о' "1 0 о\
« 0 1 0 о Т о 0 10 0 10-
0 Ч <0 0 1, 0 <0 0 1J
5. Совокупность операций симметрии некоторого объекта с операцией
умножения (= взаимодействия): {1,7, 2У, ту}.
Таким образом, теория абстрактных групп применительно к теории
симметрии кристаллов, по существу, является теорией групп симметрии,
широко использующей математический аппарат, ибо с математической
точки зрения совокупность операций симметрии удовлетворяет понятию
групп, в которых групповому умножению соответствует взаимодействие
элементов симметрии2'.
Группа может содержать один, несколько или бесконечное число
отличных друг от друга элементов. Порядок группы п - это число ее
элементов. Группа называется конечной, если п конечно.
Если произведение любой пары элементов группы не зависит от
порядка сомножителей, то группа называется коммутативной или
абелевой. Если между элементами двух групп можно установить взаимно
однозначное соответствие, при котором произведению любых двух членов
одной группы отвечает произведение соответствующих членов другой
группы, то такие группы называются изоморфными. Например, группы G =
{gi, g2, gs, и H = {hb h2, h3 ..., h,,} изоморфны, т.е. G <-> H, если g <->
hj, gj <-> hj, .... gigj <-> hjhj. Порядок изоморфных групп одинаков.
Изоморфные друг другу конкретные группы симметрии с точки зрения
теории групп не различаются, хотя их элементы могут быть различны
геометрически. Отсюда все закономерности, установленные для одной из
абстрактных групп, справедливы и для всех изоморфных с ней конкретных
групп симметрии, и в этом заключается обобщающее значение теории
групп.
2) В математическом смысле “элементом группы” является операция симметрии, а не
элемент симметрии, задающий эту операцию.
29
Поскольку все закономерности сводятся к закону “умножения”
элементов, структура конечной группы - ее порядок - выявляется
произведением любых пар ее членов, собранных в своеобразную “таблицу
умножения”, называемую квадратом Кейли (Cayley). В такой квадратной
таблице все операции симметрии, составляющие группу, начиная с
единичного члена, записываются по горизонтали и вертикали,
произведения же их - на пересечении вертикального столбца и
горизонтальной строки.
Например,
1 1 Т-1 -v-l
1 1 -1 л|-1 -Т-1
-1 -1 1 -Т-1 Т-1
А/-1 Т-1 1 -1
-Тл -7-1 -Г-\ -1 1
1 тх mv 2.
/ Г Шх ту 2.
тх 1 2. tny
ту тГ 2г / тх
2Z 2Z тУ 1
Изоморфные группы имеют одинаковые таблицы умножения (с
точностью до перестановок). Если в группе G имеется такой член gb
совокупность степеней которого образует все элементы группы, т.е.
G = {g1, g2,..., g" = е}, то такая группа называется циклической и ее порядок
равен п. При этом элемент g>, степенями которого являются все другие
члены группы, называется порождающим элементом или генератором
группы. Если же группа не циклическая, то в ней можно выделить
несколько порождающих элементов, степени и произведения которых дают
все элементы группы G. Такая минимальная совокуп-ность элементов
называется совокупностью образующих элементов группы. Однако для
полного задания группы помимо образующих элементов нужно знать
некоторые соотношения между ними (т.е. их взаимное расположение),
которые называются определяющими соотношениями (см. табл. 2).
Если часть членов группы G образует относительно той же операции
группу Н, то такое подмножество Н называется подгруппой данной группы.
Например, в группе 6-го порядка 32 {1, З1, З2, 2Х, 2У, 2,,} можно выделить
подгруппу 3-го порядка 3 {1, З', З2} или подгруппы второго порядка 2
{1,2Х} и т.д.
Порядок подгруппы (нн) является делителем порядка конечной
группы (па): hq/пц = р (теорема Лагранжа); р называют индексом
подгруппы (или, в теории групп симметрии, кратностью правильных
систем точек, см. с. 233). С другой стороны, можно сказать, что группа G
является надгруппой группы Н или что группа G является расширением
группы Н.
30
Глава II. Точечные группы симметрии
Группы симметрии, операции которых оставляют хотя бы одну точку
пространства на месте, называются точечными группами симметрии.
Вывод ограничим кристаллографическими точечными группами,
предопределенными симметрией трехмерных периодических построек -
решеток (см. с. 74).
32 кристаллографические точечные группы были впервые выведены
И.Гесселем в 1830 г. и независимо от него А.В.Гадолиным в 1867 г.
Большинство способов вывода основано на переборе допустимых
сочетаний порождающих операций симметрии - генераторов групп.
Наиболее удобен и нагляден метод перебора на основе анализа
геометрического расположения элементов симметрии.
Вывод точечных групп симметрии
Поскольку любая симметрическая операция может быть представлена
простым либо инверсионным поворотом (см. с. 7), начать вывод точечных
групп симметрии можно с групп, характеризующихся одним из этих
элементов симметрии. Процесс вывода состоит в том, чтобы, задавая
различные и по-разному ориентированные элементы симметрии
относительно исходного, найти конечную кристаллографическую
совокупность операций симметрии. При этом возникнут семейства групп,
характеризующиеся определенными генераторами и видом связи между
ними, т.е. их взаимной ориентацией, а также своей предельной группой
симметрии^. Все кристаллографические группы одного семейства
являются подгруппой определенной предельной группы.
1. Группы поворотов С„ - циклические группы l-го рода , где п -
индекс, указывающий на количество операций симметрии группы,
приводящих к операции тождества, т.е. п - это порядок самой оси
совпадающий с порядком группы.
В случае совмещения осей четного и нечетного порядков появляется
результирующая поворотная ось, на порядок которой указывает
произведение порядков исходных осей. Например, 3-2 = 6. Количество
циклических групп соответствует числу возможных кристаллографических
3) Предельными гриппами или группами Кюри называются точечные группы
симметрии, в которые входят оси симметрии бесконечного порядка. Таких групп 7, и каждая
из 32 точечных групп симметрии является подгруппой по меньшей мере одной из предельных
точечных групп ( рис. 17).
4) Здесь и далее для обозначения групп симметрии используются символы Шснфлиса
(см. Приложение, с. 368) и международные символы Германа — Могена (см_. Приложение,
с. 366).
31
Рис. 17. Геометрические фигуры, иллюстрирующие предельные группы симметрии
Кюри: 1 — вращающийся конус (правый и левый) символизирует группу ос, являющуюся
предельной для классов с единственной поворотной осью — С„, 2 — неподвижный конус
- группа ос пип, предельная для классов С,,,., 3 — вращающийся цилиндр (правый и
левый) — группа <с , предельная для классов С,,/,, 4 — цилиндр, торцы которого
т
закручены в разные стороны , — группа <п22 , предельная для классов D„ , 5 -
неподвижный цилиндр — группа ™ . предельная для классов D„h, 6 — своеобразный
т
шар, все радиусы которого закручены в одну или другую сторону (если смотреть с его
поверхности) — группа ю , предельная для кристаллографических осевых групп, 7 —
СО
обычный шар - группа « с бесконечным числом осей <»-го порядка, плоскостей
— оо
т
симметрии и центром инверсии, предельная для класса Oh
осей различного порядка, т.е. п — 1, 2, 3, 4, 6. Предельной для групп
поворотов будет группа вращающегося конуса - со (рис. 17, 1).
2. Группы инверсионных (зеркальных) поворотов Cnl (S,,) -
циклические группы 2-го рода - можно разбить на основе порядков осей (и)
на 3 семейства: с п - 4k + 4, п = 2k + 1, п = 4k + 2.
Сложные оси симметрии с порядком, кратным четырем (и = 4k + 4),
включают в себя мнимые симметрические операции и поэтому не могут
быть представлены (заменены) простыми реальными элементами
симметрии. При этом порядки инверсионных осей и их зеркальных
эквивалентов совпадают. Кристаллографическими оказываются лишь оси
_______________________ о
4-го порядка, и так как 4 = 4 , то один и тот же класс симметрии можно
обозначить либо С4, (4 ), либо S4 (4 ).
32
Второе семейство сложных осей - осей нечетных порядков (и =
2к + 1) - характеризуется тем, что, казалось бы, мнимые операции, их
составляющие, реальны. Например, инверсионная ось 3-го порядка (3 ) -
гго не что иное, как комбинация двух реальных элементов симметрии -
поворотной оси 3-го порядка и центра инверсии; зеркальная ось 3-го
О
порядка (3 ) — это поворотная ось 3-го порядка и перпендикулярная к ней
зеркальная плоскость симметрии, т.е. С„, = С„- С,.
Третье семейство сложных осей - осей четных порядков (п = 4А+2) -
характеризуется тем, что они также могут быть заменены реальными
(простыми) элементами симметрии. Однако эти элементы симметрии не
входят в определение данных осей. Например, инверсионная ось 6-го
порядка не содержит ни реального поворота вокруг оси этого же порядка
(6), ни центра инверсии. Однако она может быть представлена комбинацией
реальных элементов симметрии: оси 3-го порядка и перпендикулярной к
ней зеркальной плоскости симметрии, характеризующих ее зеркальный
эквивалент. Таким образом,
„ о 2 о __ о 7
<5=3 = -(сД б = 3(СЛ), 2 = 7 = —(Cv).
т т
В результате, кроме групп с единственным элементом симметрии
(групп С„ и S7), получили группы симметрии, представленные
комбинациями элементов симметрии: поворотной оси и расположенного на
ней центра инверсии, поворотной оси и перпендикулярной к ней
зеркальной плоскости симметрии. Однако если такие комбинации с
нечетными осями симметрии являются заменителями соответствующих
сложных осей, то добавление центра инверсии или перпендикулярной
зеркальной плоскости к четным осям приведет к новым
центросимметричным классам С„;,:
•» 4h > *—611 -
т----------------т-т
Задание осей 2-го порядка, поворотных или инверсионных,
совпадающих с главной осью, поворотной или инверсионной, к новым, еще
не выведенным группам симметрии не приведет. Например,
3.-2. = б_, 3,2,=—, 3,-2.=—, 3,2. =—,
т ш /я
4,-2, =4., 4,-2. = 4„ 4.-2.=—, 4.-2.=—.
т /и
Предельной для всех групп, содержащих зеркальные или
инверсионные оси любых порядков в качестве единственного элемента
симметрии, а также групп С,,/, будет группа вращающегося цилиндра - <х>/т
(рис. 17,3).
3. Группы с осями 2-го порядка, перпендикулярными главной
поворотной оси, делятся на два семейства: одно - с побочными
1 ‘
33
поворотными осями 2 (группы D„), другое - с побочными инверсионными
осями 2 (группы C„v).
Согласно осевой теореме Эйлера ( см. с. 9) два поворота вокруг двух
пересекающихся осей могут быть заменены результирующим поворотом
вокруг третьей оси. Если исходные оси взаимно перпендикулярны и одна из
них - ось 2-го порядка, то результирующей будет еще одна ось 2-го
порядка, пересекающаяся с первой под углом а/2, где а - элементарный
угол поворота главной оси. Количество осей 2-го порядка соответствует
порядку главной оси. При этом, если главная ось нечетная, то все п
побочных осей эквивалентны между собой, т.е. совмещаются друг с другом
поворотами на угол а вокруг исходной главной оси и располагаются под
углом а/2. Если главная ось четная, то побочные оси разбиваются на два
неэквивалентных семейства. Ибо, расположенные относительно друг друга
также под углом а/2, они не связаны поворотом на этот угол (а) вокруг
главной оси. Если побочные оси поворотные (2), то получим классы D„.
Например, D3 = 32, но D4 = 422, Dfl = 622. В случае же инверсионных осей
2-го порядка (2 = т± ) получаем классы Ст со всеми перечисленными
выше особенностями классов Dn ( Cjv = Зт. но C4v = 4тт, С(п, = бтт).
Предельной группой для класса Dn будет группа симметрии
скрученного цилиндра, два донышка которого вращаются в
противоположные стороны, <х>22 (рис. 17, 4), для классов С,„. - группа
симметрии неподвижного конуса, жтт (рис. 17,2).
4. В группах с главной инверсионной осью добавление побочных
осей 2-го порядка приводит (на основании теоремы 3, см. с. 19) к
появлению побочных инверсионных осей 2 . При этом комбинации с
инверсионными осями низших порядков новых классов симметрии не
образуют. Например,
2-2х—/-2хи 2 2 х —> mm2 <— 2 -2 j_.
т
Взаимодействие осей высшего порядка 3 и 4 с побочными
поворотными осями 2-го порядка приводит к появлению 2 , т.е. побочных
плоскостей симметрии, расположенных между побочными осями 2, а
следовательно, к классам Dllc/. Например,
3 • 2±-> 3 т <- 3 • 2 ±, 4 2 42т <- 4 • 2 х.
- 3
Добавленные к классу 6 = —, как и ко всем классам С„/„ побочные оси 2 и
2 в результате их взаимодействия с горизонтальной плоскостью т:
оказываются на пересечении вертикальных и горизонтальной плоскостей
симметрии:
2 2 2
т т т
34
— m2 (б m2)
т
£2.2.
т т т
±2.2.
т т т
2
т
4
— +
т
6
— +
т
т
4
т
6
т
В результате получаем семейство групп предельной для которых,
так же как и для групп семейства Dml, будет группа симметрии
неподвижного цилиндра —тт (рис. 17, 5).
т
В итоге получено 27 групп симметрии с одним или несколькими
единичными направлениями, т.е. направлениями, не повторяющимися
какими-либо операциями симметрии данной группы. В таких группах либо
нет осей высшего порядка, либо есть только одна.
Группы без единичных направлений - группы с несколькими осями
высшего порядка - легко вывести, вновь прибегнув к осевой теореме
Эйлера (см. с. 8) и проанализировав величины углов
кристаллографического сферического треугольника (см. с. 15)
Действительно, учитывая условия существования сферических
треугольников, сумма углов которых не должна превышать 540° и не
должна быть меньше 180° (180° < А+В+С < 540°, где А, В и С - углы
сферического треугольника), приходим лишь к двум комбинациям осей
Рис 18. Сферические треугольники, в
вершинах которых располагаются: а — две
оси 3-го и одна ось 2-го порядков (3. 3, 2), б
— оси 4, 3 и 2-го порядков (4. 3, 2)
высшего порядка: 3, 3, 2
(60°+60о+90о=210°) и 4, 3. 2
(45о+60°+90о=195°).
Зная углы сферических
треугольников, по формулам
сферической тригонометрии (см.
с. 11), можно вычислить и их
стороны, т.е. углы между
указанными осями симметрии.
Для треугольника, образованного
выходами двух осей 3-го и одной
оси 2-го порядка (3, 3, 2) (рис. 18),
сторона 3-3 равна 70°ЗГ44",
сторона 2-3 равна 54°44'8". Для
треугольника 4, 3, 2 сторона 4-3
равна 54°44'8", сторона 4-2
равна 45° и сторона 3 — 2 равна
35° 15'52" (т.е. половине стороны
в70°31'44").
Построив на поверхности
ГАУ’ i-o'jji
35
сферы рассчитанные сферические треугольники и размножив заданные
элементы симметрии (оси) имеющимися симметрическими операциями,
получим группы симметрии 1-го рода 23 (Т) и 432 (О'), в которых три оси
2-го порядка и три оси 4-го порядка соответственно взаимно
перпендикулярны, т. е. могут служить координатными направлениями
(рис. 18).
Остальные группы с несколькими осями высшего порядка можно
получить, добавляя к уже выведенным исходным осевым группам (23 и
432) операции симметрии 2-го рода: 1 или 2 (= пг). Добавление инверсии
приведет к группам 23 1 = m3 (Т^ и 432 1 = - m3 m (OiJ. При этом,
если группа m3 характеризуется лишь координатными плоскостями
симметрии, возникшими за счет взаимодействия центров инверсии с
координатными осями 2-го порядка, то в группе m3m кроме указанных
плоскостей появятся и плоскости, перпендикулярные диагональным осям 2-
го порядка, - 6 диагональных плоскостей симметрии. Единственно
возможным вариантом, не размножающим исходные осевые комплексы и
не приводящим к уже выведенным группам, является добавление оси 2 в
диагональную позицию группы 23, в результате чего координатные оси 2
повысятся до 4 , т.е. возникнет группа 43т (TJ).
Предельной для групп 23 и 432 будет группа симметрии шара, каждый
радиус которого закручен в одну сторону, jS (см. рис. 17, 6), для групп
СО
m3, m3 т, 43т - группа симметрии неподвижного шара - — оо(см. рис.
т
17, 7).
В итоге выведены 32 точечные кристаллографические группы
симметрии с соответствующими им предельными группами. В каждой
точечной группе можно выделить минимальную совокупность
симметрических операций, порождающих все элементы группы, -
генераторы группы, которые могут быть представлены в матричной форме
(табл. 2).
Таблица 2
Матрицы генераторов точечных групп симметрии [57]
Сингония, метрики ячейки элементарной Точечная группа симметрии Матрицы генераторов в кристаллографической координатной системе
Триклинная а *Ь *с а.* Р *у / Т 0 О' 0 1 0 <о 0 1,
36
•1, Б 1 Сингония, метрики ячейки элементарной Точечная группа симметрии Матрицы генераторов в кристаллографической координатной системе
Триклинная afbtc а * Р * у 7 7 0 о' о У о о о У \ 7
Моноклинная а *Ь *с у * а = Р = 90° 2 т 2 т 7 о о" о Т о 0 0 1 '1 о о" 0 1 0 <° 0 L 7 о о' о У о 0 0 1 \ / '1 0 О' 0 1 0 <° 0 L
Ромбическая а *с а = Р = у = 90° 222 mm2 ттт '1 о о' о У о <° 0 Ь 7 о о' 0 1 0 0 •> 7 о о' 0 1 0 <° 0 У о о' о У о 0 0 1 \ / '1 0 О' о У о 7 о 1, Г1 0 О' о У о <° 0 1 1 0 О' 0 1 0 о о У
Тетрагональная а = b * с а = Р = у = 90° 4 4 422 4_ т 7 1 о' У о о 0 0 1, 'о У о' 1 0 0 о о У, 7 1 о' У о о 7 о 1, 7 1 о' У о о <° 0 L '10 0 о У о [о 0 1 '10 0 0 1 0 J) о У \
37
Сингония, метрики ячейки элементарной Точечная группа симметрии Матрицы генераторов в кристаллографической координатной системе
4тт 42т 4 — тт т г0 1 О'! Too <° 0 1J г0 1 о' 1 0 0 <0 0 L 'о 1 о' 1 0 0 0 0 1, 7 о о' 0 1 0 ° 0 1 <1 0 О' о Т о <0 0 Т '1 0 о' 0 1 0 .° 0 L '1 0 о' 0 1 0 <° 0 1
Тригональная подсингония а = b *с а = Р = 90°, у = 120° 3 3 32 Зт 3 т '0 1 О' Т Т о .° 0 L 'о 1 о' 1 1 0 0 L '0 1 О' Т Т о 0 1 '0 1 О' Т Т о о 1, "о 1 о' 1 1 0 <° 0 L О О 1— © о —' 'о о —4 О 1— О о 1— о 0 1-0 — 1 — — 1— О 1 ~
Гексагональная подсингония а = b *с а = Р = 90°, у= 120° 6 6 6 m2 '1 1 О' Too <0 0 1, 1 o' 1 0 0 о о Т "1 1 о' 1 0 0 о о Т Р 0 0 Т Т 0 0 0 1 К \ /
38
Сингония, метрики ячейки элементарной Точечная группа симметрии | Матрицы генераторов в кристаллографической координатной системе
£ т 622 бтт 6 —тт т '1 1 О' Too <° 0 L '1 1 О' Too <° ° •, '1 1 О' Too <° 0 L '1 1 О' Too о 0 L '1 о о' 0 1 0 <° ° L '10 0' Т Т о о о Т '10 0 Т Т о 0 0 1 р 0 О' Т Т о 1° 0 L р 0 О' 0 1 0 1° 0 L
Кубическая а = b = с а = Р = у = 90° 23 432 m3 43т тЗт 'о 1 О' 0 0 1 J 0 °, 'О 1 О'] 0 0 1 J 0 °J '0 I О' 0 0 1 J 0 0, "о 1 О' 0 0 1 J 0 °, "о Т о' о о Т J 0 0, 7 о о' о Т о ° 0 1 'о 1 О' Too 0 0 1, fl 0 o' 0 1 0 <° 0 Т, Ъ 1 о' 1 0 0 о о Т '0 1 О' Too о 1,
39
Глава III. Координатные системы, категории,
сингонии
32 кристаллографические группы симметрии разбиваются на
семейства - категории, каждая из которых характеризуется определенными
соотношениями между координатными осями - степенью их
эквивалентности. Координатные оси в кристаллах выбираются, как
правило, по особым направлениям, т.е. осям симметрии (и), нормалям к
плоскостям симметрии (2), а при их отсутствии - по возможным или
действительным ребрам кристаллических многогранников, совпадающим с
трансляционными векторами пространственной решетки а,Ь, с (с. 88). Три
возможности соотношений этих параметров - a*b#c, а = Ь *с и а = Ь =
с - позволяют распределить кристаллографические координатные системы
по трем категориям: низшей, средней и высшей соответственно.
Полная неэквивалентность координатных направлений (cz # b х с)
предполагает отсутствие осей симметрии высшего порядка. Таким образом,
к низшей категории относятся следующие группы симметрии:
без особых направлений - 1 и 1 ,
— о
с одним особым направлением - 2, т (= 2 ), —,
т
с тремя особыми направлениями - 222, mm2, ттт.
В первом случае отсутствие особых направлений приводит к
косоугольной системе самого общего вида: а*Ь*с, а Р * у ( где а, Р, у -
углы между координатными осями YZ, XZ и XY соответственно).
Группы симметрии с единой координатной системой объединяются
в одно семейство, называемое сингонией ° (греч. ovv (син) - вместе; у со via
(гониа) - угол). В данном случае косоугольная координатная система
определила и ее название: триклинная (греч. kXivco (клинос) - косой угол).
Группа симметрии, содержащая лишь одно особое направление,
характеризуется координатной системой с одним непрямым углом (углом
между координатными осями, выбранными параллельно ребрам кристалла
в плоскости, перпендикулярной единственному особому направлению).
Отсюда название сингонии с такой координатной системой {a * Ь * с, а = Р
= 90°, у Ф 90° 120°) - моноклинная * 2\
’) Деление классов симметрии на сингонии (системы) было разработано в 1818 г.
Х.С.Вейсом (1780 — 1856) и в 1822 г. Ф.Моосом (1773 — 1839).
2) По традиции минералогической кристаллографии единственное особое направ-
ление располагается горизонтально, совмещаясь с кристаллографической координатной осью
Y. В этом случае угол моноклинности обозначается буквой Р (Р * 90° * 120°).
40
При наличии в группе симметрии трех особых направлений - а ими в
низшей категории могут быть лишь поворотные или (и) инверсионные оси
2-го порядка - углы между координатными осями оказываются прямыми. В
противном случае возникнут оси высшего порядка, характерные для иных
категорий. Такая прямоугольная координатная система с параметрами а
хс, а = Р = у = 90° обслуживает группы ромбической3^ сингонии.
Условие эквивалентности двух координатных направлений (а = Ь *с)
в средней категории может быть выполнено лишь при наличии в группе
симметрии единственной оси высшего порядка - главной оси группы,
которую принято совмещать с вертикальной координатной осью Z. Две
другие координатные оси - X и Y - выбирают по осям 2-го порядка,
поворотным или инверсионным, а при их отсутствии - параллельно
действительным или возможным ребрам кристаллов в плоскости,
перпендикулярной главной оси. Таким образом, два угла координатной
системы (а и Р) оказываются прямыми, третий же угол (у) между
горизонтальными осями X и Y соответствует элементарному углу поворота
главной оси: для оси 4-го порядка у = 90°, для осей 3-го и 6-го порядков у
= 120°. Различие углов у приводит к двум координатным системам, а
следовательно, и к двум сингониям в средней категории: тетрагональной
( а = b ? с, а = Р = у = 90°) и гексагональной 3 4) { а = b с, а = р = 90°,
у = 120°).
При таком выделении двух сингоний в основу заложена единая
координатная система; группы с осями 3-го и 6-го порядков попадают в
одну - гексагональную - сингонию, которую, в свою очередь, можно
подразделить на две подсингонии: тригональную, с главной осью 3-го (3
или 3 ) и собственно гексагональную, с главной осью 6-го порядка (6 или
6 ). Если же в основу выделения сингоний заложен такой формальный
признак, как порядок главной оси, то в этом случае можно выделить как две
самостоятельные гексагональную и тригональную сингонии, каждая из
которых характеризуется определенным порядком главной оси (б или 3
соответственно).
В литературе можно встретить описание кристаллов с единственной
осью 3-го порядка в устаревшей установке Миллера: а = b = с, а = Р = у
90°. Однако в этом случае координатные оси оказываются выбранными
не по особым направлениям (как в общепринятой установке), а по ребрам
кристаллов, равнонаклонным к оси 3.
3) Название подчеркивает ромбовидное сечение четырехгранных простых форм,
характерных для кристаллов этой сингонии.
4) По традиции в группах средней категории, где побочные оси 2 не совпадают с
2 (нормалями к плоскостям симметрии), горизонтальные координатные направления
выбирают по осям 2 в тетрагональной и по осям 2 в гексагональной сингониях.
41
Если точечная симметрия групп характеризуется наличием четырех
осей 3-го порядка, то все три координатные оси, выбранные по особым
направлениям, эквивалентны. При этом оси 3-го порядка оказываются
равнонаклонны к выбранным координатным направлениям, что возможно
лишь в прямоугольной координатной системе высшей категории с
параметрами а - b - с, ос = 0 = у = 90° кубической сингонии.
В классической кристаллографии в пределах каждой сингонии
принято следующее деление групп симметрии в зависимости от их порядка
(см. с. 28): голоэдрические - группы высшего порядка данной сингонии
(название связано с числом граней общей простой формы кристаллов,
максимальным для данного класса (от греч. 8Хо<^ (голо) - полный, весь;
вброс (эдра) - грань, отсюда и название групп высшего порядка данной
сингонии: голоэдрия)', остальные группы данной сингонии являются
подгруппами голоэдрической группы; мероэдрические - группы
пониженного порядка (греч. цврод (мерос) - часть), которые
подразделяются, в свою очередь, на гемиэдрические (греч. qpi (геми) -
половина) - группы с порядком вдвое меньшим, чем голоэдрические
группы (гемиэдрия); тетартоэдрические - порядок понижен вчетверо
(тЕтосртод (тетартос) - четвертый, четверть, тетартоэдрия)',
огдоэдрические группы с восьмикратно пониженным порядком (огдоэдрия).
Среди гемиэдрических групп выделяют: осевую гемиэдрию, т.е.
подгруппу, содержащую только оси - элементы симметрии 1-го рода,
гемиморфию, гемиморфную гемиэдрию — группы с единственной полярной
осью, параморфию (параморфную гемиэдрию) — группы без элементов
симметрии 2-й и 3-й позиций международного символа. Например, в
- 1 /- 4
тетрагональной сингонии группа 16-го порядка —тт - голоэдрическая.
т
Среди остальных мероэдрических (4тт, 42т, 422, —, 4 , 4) можно
т
выделить гемиморфную гемиэдрию - 4тт, осевую гемиэдрию - 422,
4 ~
параморфную гемиэдрию - — и тетартоэдрические группы - 4 и 4.
т
42
Глава IV. Операции и элементы симметрии
бесконечных закономерных построек и их
взаимодействия
IV. 1. Трансляция как основной элемент симметрии
бесконечных построек
Трансляция - симметрическая операция 1-го рода бесконечных
объектов, сохраняющая неизменной метрику исходной фигуры, - является
параллельным переносом в одном
Рис. 19. Иллюстрация симметрической
операции бесконечных объектов 1-го
рола — трансляции (переноса) Т
направлении и на одинаковое рас-
стояние, при котором каждой точке ис-
ходной фигуры соответствует анало-
гичная точка другой фигуры (рис. 19).
Трансляцией помимо операции
симметрии часто называют и тот
элемент симметрии бесконечных
закономерно построенных объектов,
который задает операцию переноса.
Взаимодействия
трансляционных векторов
Многократное повторение
—>
трансляции ±Т вдоль одной прямой
создает одномерную бесконечную
постройку (узор) из трансляционно
идентичных исходных фигур. Такое
повторение приводит к появлению
новых, увеличенных в кратное число
раз трансляционных векторов Тх, Т2 и
т.д. в этом же направлении (рис. 20, а).
Сочетание трансляций - некол-
линеарных векторов (в общем случае
Т} Ф Т2 ) - также приводит к появлению
нового, легко вычисляемого по правилу
параллелограмма суммарного вектора
т,
Рис. 20. Бесконечные в одном (а) и
двух (б) направлениях постройки
(узоры) из трансляционно идентичных
(конгруэнтных) фигур. Стрелками
показаны трансляционные векторы
43
(Тг ) и, таким образом, к бесконечному двухмерному узору (рис. 20, б).
IV.2. Взаимодействие оси симметрии и параллельной
ей трансляции. Винтовые оси симметрии
Рассмотрим сочетание двух операций симметрии 1-го рода -
поворота вокруг оси 4-го порядка и одновременного переноса в
параллельном оси направлении, т.е. взаимодействие поворота с
трансляцией вдоль оси Z [18]. Размножив произвольно взятую точку
Рис 21 Иллюстрация взаимодействия поворотной оси 4-го порядка с параллельным ей
трансляционным вектором Т. : четверная поворотная ось (о), энантиоморфные винтовые
оси — правая 4i (б) и левая 4.; = 4> (в), нейтральная винтовая ось 42 (г)
(фигуру) вокруг вертикальной оси 4-го порядка - 4. (рис. 21, о), получим
четыре эквивалентные точки 1 - 4. Трансляция Т„ размножит эти точки в
направлении координатной оси Z: из точки 1 получим точки 1', 1", Г", 1""
и т.д., из точки 2 - 2', 2", 2"' и т.д. В результате возникнут четверки точек
на одном уровне по оси Z: Г, 2', 3 ', 4' и т.д., связанные поворотом на 90
вокруг исходной оси 4; точки же, расположенные друг над другом - 1, 1',
—>
1", ..., - связаны вертикальным трансляционным вектором Т. . Для того
чтобы от точки 1 перейти к точке 2', понадобятся две последовательные
операции: поворот вокруг оси 4-го порядка на 90° против часовой стрелки с
одновременной трансляцией вдоль оси Z. Поскольку кристаллографические
группы - это частный случай математических абстрактных групп, в
которых произведение симметрических операций группы рассматривается
как самостоятельная операция, принадлежащая этой же группе, в данном
44
случае будет иметь место новая симметрическая операция 1-го рода -
винтовой поворот — и соответственно новый элемент симметрии,
задающий такое сочетание симметрических операций, - винтовая ось
симметрии. Таким образом, в данном случае поворотная ось 4-го порядка
одновременно является и винтовой осью этого же порядка. Если
—>
порождающие элементы симметрии - поворотную ось 4 и трансляцию 71 -
убрать, то их произведение - винтовая ось симметрии - сохранится в
чистом виде (рис. 21,6). При этом винтовое движение можно разложить на
две в общем случае “мнимые” симметрические операции: поворот вокруг
не существующей поворотной оси 4-го порядка и перенос, не являющийся
трансляцией в этом направлении, т.е. элементом симметрии. Истинная же
трансляция 71 в кратное число раз ( в данном случае в 4 раза) превысит
величину исходного (мнимого!) переноса . Из рис. 21, б видно, что
поворот на 90° вокруг “мнимой” поворотной оси 4-го порядка
сопровождается переносом вдоль нее на вектор, называемый ходом
винтовой оси. Четырехкратное винтовое движение приведет к точке 1"",
связанной с точкой 1 истинной трансляцией в этом направлении 71 = 4 .
Порядок винтовой оси определяется, как и в случае поворотных осей,
элементарным углом поворота а. В данном случае имеет место винтовая
ось 4-го порядка -4/.
Разнообразие винтовых осей одного и того же порядка, связанное с
—>
величинами векторов t , отражено в их международных обозначениях:
винтовые оси обозначаются арабскими цифрами, соответствующими
порядку оси, с нижним цифровым индексом, указывающим, какой части
истинной трансляции 71 соответствует трансляционный вектор
** 1
/. винтовой оси. Например, если t, = — Т , а вращение происходит против
* 4 2
часовой стрелки на 90°, то винтовая ось обозначается 4, (рис. 21, б) и
называется “правой". Энантиоморфная ей ось с вращением в
противоположную сторону (по часовой стрелке) называется “левой" и
обозначается или 4} , так как правое вращение в данном случае
3
сопровождается переносом t, = —Т (рис. 21, в).
‘ 4 2
45
Если же t =—Т , то винтовая ось 42 оказывается нейтральной, ибо
2 *’
направление вращения не играет в данном случае существенной роли (рис.
21, г).
Графически вертикальные винтовые оси изображаются
соответствующими их порядку многоугольниками с “лопастями”,
указывающими на направление вращения:
Т
Рис. 22. Взаимодействие двух операций
симметрии: отражения в плоскости симметрии с
параллельной ей трансляцией. В первом случае
(а) 1' является реальной трансляцией
(элементом симметрии) бесконечной постройки.
Во втором случае (б) th является лишь
составной частью операций плоскости
скользящего отражения и в качестве
самостоятельного элемента симметрии не
существует
IV.3.
Взаимодействие
плоскости симметрии и
параллельной ей
трансляции.
Плоскости
скользящего отражения
Рассмотрим сочетание
двух операций симметрии:
отражения в плоскости
симметрии (операция 2-го
рода) с параллельной ей
трансляцией - элементом
симметрии бесконечных
построек 1-го рода [18]. Если
произвольную фигуру 1 (рис.
22) отразить в зеркальной
плоскости симметрии,
перпендикулярной оси X (тх),
то получим энантиоморфную
ей фигуру 2. Трансляция
Ту размножит эти фигуры в
направлении оси Y: из фигуры
1 получим фигуру 3, затем 5, 7 и т.д., из фигуры 2 - фигуры 4, 6, 8 и т.д.
Для того чтобы перейти от фигуры 1 к фигуре 4, необходимо произвести
46
две последовательные симметрические операции: отражение в зеркальной
плоскости тх и перенос на величину вектора Т В итоге результирующим
движением окажется скользящее отражение, а следовательно, появится
новый элемент симметрии 2-го рода - плоскость скользящего отражения,
задающая две простые симметрические операции: отражение в плоскости
симметрии и перенос в параллельном заданной плоскости направлении на
определенное расстояние. Отсюда расположение фигур в данном узоре
(рис. 22, а) может быть описано не только с помощью зеркальной
плоскости и вектора Ту, но и с помощью сложного элемента симметрии
бесконечных построек - плоскости скользящего отражения, которая
совпадает с плоскостью тх, т.е. “работает” одновременно и как зеркальная
плоскость, и как плоскость скользящего отражения.
Однако если порождающие элементы симметрии (и зеркальную
плоскость тх, и трансляцию Т) убрать, то их произведение - плоскость
скользящего отражения - может сохраниться в качестве самостоятельного
элемента симметрии (рис. 22, б). В этом случае оба элемента симметрии,
задающие симметрические операции плоскости скользящего отражения,
окажутся “мнимыми” и не существующими раздельно (т.е. операция
отражения задается мнимой зеркальной плоскостью), так же как и вектор
переноса является не реальной трансляцией, а лишь трансляционной
компонентой этой плоскости. Однако реальная трансляция, как основная
симметрическая операция кристаллического вещества, совсем исчезнуть не
может. В данном случае она сохранится, трансформируясь в вектор, равный
удвоенному поступанию, т.е. Т = 2 t , тогда как двукратно повторенные
операции отражения в плоскости скользящего отражения взаимно
уничтожатся, т.е. дадут операцию идентичности (т • т = 1). Отсюда ясно,
что величина трансляционной компоненты плоскости скользящего
отражения всегда равна половине реальной трансляции в этом
направлении.
Различают плоскости скользящего отражения двух типов. К первому
типу относятся плоскости со скольжением вдоль одного из координатных
направлений. При этом буквами а, Ь и с обозначаются плоскости со
скольжением вдоль координатных осей X, Y и Z соответственно. С
изменением ориентации трансляционной компоненты меняются и
обозначения этих плоскостей. Графически вертикальные плоскости с
горизонтальным скольжением изображаются штриховой линией (штрихи
горизонтальны и параллельны плоскости чертежа) (рис. 23, а и 24, а),
плоскости с вертикальным скольжением (обычно вдоль оси Z) - точечной
линией (штрихи перпендикулярны плоскости чертежа) (рис. 23, б и 24, а).
Горизонтальные плоскости обозначаются значками 'Г Г* г стрелки ла
47
а б в
Рис. 23. Действия различных типов плоскостей скользящего отражения: плоскости а
(а), плоскости с (б) и клиноплоскостей п (в) nd (г). Знаком “+” показаны высоты
фигурок (+z) относительно нулевого уровня по оси Z
Рис. 24. Реализация плоскостей скользящего отражения в конкретных кристаллических
структурах: а — плоскостей а, Ь. с в структуре СОг, б — клиноплоскостей п в структуре
PdCh, в — клиноплоскостей d в структуре алмаза (дробью показаны высоты атомов в
долях вертикальной трансляции элементарной ячейки)
которых указывают направления трансляционных составляющих (рис.
24, а).
Плоскости 2-го типа характеризуются трансляционными векторами,
ориентированными одновременно вдоль двух координатных направлений
(т.е. вдоль двух ребер элементарной ячейки, см. с. 76), и, следовательно,
результирующее скольжение совпадает с диагональю грани (узловой сетки)
элементарной ячейки и образует косой угол с координатными осями.
Отсюда название таких плоскостей скользящего отражения -
клиноплоскости (греч. kZ.iv® (клинос) — косой).
Различают клиноплоскости двух видов. Клиноплоскости п содержат
трансляционные компоненты, равные половинам координатных
трансляций Тг, Ту и Тг элементарной ячейки. Сам же вектор скольжения
соответствует половине диагоналей “пустых” (нецентрированных) граней
—>
-> т
Элементарной ячейки: / =——(где г - диагональ грани элементарной
" 2
ячейки). Если же клиноплоскость расположена параллельно
центрированной грани (сетке), то ее вектор скольжения оказывается вдвое
короче истинной трансляции, центрирующей грань (сетку) ячейки, т.е.
-> Т
td = , и соответствует половине более короткой, центрирующей данную
грань трансляции. Такая клиноплоскость обозначается буквой d6\
В отличие от плоскостей а, Ь и с клиноплоскости п и d не меняют
своего обозначения при изменении наименований координатных осей.
Графически клиноплоскости п обозначаются штрихпунктиром (рис. 23, в и
24, б), в обозначении же плоскостей d каждый штрих заменяется стрелкой,
направление которой указывает на увеличение вертикальной
трансляционной составляющей этой клиноплоскости (рис. 23, г и 24, в).
Горизонтальные клиноплоскости d и п обозначаются значком Z , где
4
стрелка указывает направление скольжения, а дробь - высоту плоскости в
долях вертикальной трансляции ячейки.
IV.4. Взаимодействие зеркальной плоскости
симметрии и перпендикулярной к ней трансляции
Результат взаимодействия зеркальной плоскости симметрии с
перпендикулярной к ней трансляцией наглядно иллюстрируется модельным
способом (рис. 25). Последовательно проведенные операции симметрии -
отражение в плоскости пгу и последующий перенос на величину вектора Ту
- переведут исходную фигуру 1 в положение 2 и затем 3. Поскольку
фигуры 1 и 3 оказываются энантиоморфными, то результирующая операция
6) Иногда клиноплоскости d называют “алмазными”, так как они присутствуют в
структуре алмаза (англ, diamond — алмаз).
49
симметрии, их связывающая, будет операцией 2-го рода, задаваемой
плоскостью симметрии т'у, проходящей между этими фигурами
параллельно исходной плоскости ту и отстоящей от нее на половину
заданного трансляционного
вектора- 2_.
2
Другое, аналитическое
доказательство [18] рассматривает
перемещение произвольной точки
с координатами тпр
относительно начала координат,
взятого на зеркальной плоскости
ту, перпендикулярной вектору Ту
= а (рис. 25). Отражение в
плоскости ту приведет к точке с
координатами тпр, а
Рис. 25. Взаимодействие зеркальной
плоскости симметрии ту с
перпендикулярным к ней трансляционным
вектором 7^ [19]
дальнейший ее перенос на
трансляционный вектор переведет ее в
положение с координатами т,а-п,р
(где а - абсолютное значение вектора
Т ). Координаты исходной и конечной
точек связаны отражением в зеркальной
плоскости, расположенной на середине
вектора а Из анализа рассмотренного
взаимодействия можно сделать
следующий вывод: любая трансляция
может быть заменена двумя
последовательными отражениями в
двух зеркальных плоскостях,
перпендикулярных к ней. При этом
расстояние между этими плоскостями
равно половине трансляции;
расположение же первой из этих
плоскостей произвольно.
Таким образом, трансляция не
только размножает (транслирует)
элементы симметрии (в данном случае
зеркальную плоскость), но и
Рис. 26. На рисунке Эшера [69]
хорошо видна неэквивалентность
зеркальных плоскостей симметрии:
например, плоскости, проходящие
через летучих мышей, отличаются от
плоскостей, проходящих через
бабочек. При этом плоскости одного
сорта располагаются иа середине
перпендикулярного к иим трансля-
ционного вектора (Т ), связывающего
плоскости другого сорта
взаимодействует с ними. В результате появляется новый неэквивалентный
50
исходному элемент симметрии на ее середине, что хорошо видно на
рисунке Эшера (рис. 26).
IV.5. Взаимодействие плоскости симметрии
и косо расположенной к ней трансляции
Если трансляционный вектор Т не перпендикулярен к плоскости
Рис. 27. Взаимодействие зеркальной плоскости симметрии ту (а) и плоскости скользящего
отражения с„ (б) с косо расположенным к ним трансляционным вектором Т
симметрии (рис. 27), то две его компоненты - параллельная ( t ц) и
—>
перпендикулярная (t ± ) плоскости, на которые он может быть разложен,
взаимодействуют с плоскостью по-разному. Трансляционная компонента,
параллельная плоскости (t и), вольется в нее и этим изменит характер ее
скольжения (см. с. 47), а следовательно, и ее наименование,
->
перпендикулярная же составляющая (t j.) перенесет получившуюся
производную плоскость на свою середину (см. с. 50).
Так, на рис. 27, а косо расположенную по отношению к зеркальной
плоскости ту трансляцию Т можно разложить на два составляющих
вектора: Т = tx + t где tx параллелен плоскости m и ty
перпендикулярен к ней. Первый, вливаясь в зеркальную плоскость,
превращает ее в плоскость скользящего отражения а, второй переносит
возникшую плоскость на свою середину (рис. 28). То же справедливо и для
плоскостей иного наименования. Например, при взаимодействии плоскости
—>
скользящего отражения с (имеющей трансляционную компоненту tz ) с
51
Рис. 28. На рисунке Эшера [69] плоскости
скользящего отражения, расположенные
между зеркальными плоскостями т.
являются результатом взаимодействия
зеркальных плоскостей симметрии с косо
расположенным к ним трансляционным
вектором Т
косо расположенным к ней
вектором Т его составляющая,
параллельная плоскости с
превратит ее в клиноплоскость п, а
перпендикулярная перенесет
возникшую плоскость п на свою
середину. В результате этого
взаимодействия плоскость с будет
чередоваться с клиноплоскостью п
(рис. 27, б).
IV.6. Взаимодействие
поворотной оси симметрии
и перпендикулярной к ней
трансляции
Результат взаимодействия
поворотной оси л-го порядка с
перпендикулярной к ней
трансляцией Т х удобно получить, прибегнув к кристаллографическому
доказательству [18]. Для этого каждую из взаимодействующих операций
симметрии (поворот вокруг оси п и перенос в определенном
перпендикулярном к ней направлении) следует заменить отражениями в
двух плоскостях. Действительно, последовательные отражения в двух
пересекающихся под углом X плоскостях симметрии равносильны повороту
вокруг линии их пересечения на угол а = 2Х в направлении от плоскости 1-
го отражения к плоскости 2-го [20] (см. с. 18). Отсюда поворот вокруг
некоторой оси (с элементарным углом поворота а) можно рассматривать
как последовательные отражения в двух плоскостях, пересекающихся вдоль
этой оси и расположенных под углом а/2 одна к другой (см. с. 18).
Поступание (трансляцию), определяемое некоторым вектором Т, можно
заменить последовательными отражениями в двух параллельных друг
другу плоскостях симметрии, перпендикулярных данному вектору и
отстоящих одна от другой на половину его длины [ f При этом выбор
I2 )
положения первой плоскости произволен (см. с. 50).
Согласно сказанному поворот вокруг оси и, перпендикулярной
плоскости чертежа и расположенной в точке О (рис. 29), на угол а
(например, против часовой стрелки) заменим последовательными
отражениями в перпендикулярных чертежу плоскостях симметрии ОО| и
52
Рис. 29. К' кристаллографическому
доказательству взаимодействия поворотной
оси симметрии (L„) с перпендикулярным к
ней трансляционным вектором Т
ОА, образующих угол О(ОА = а/2.
При этом плоскость второго
отражения ОА расположим
перпендикулярно вектору Т.
В свою очередь, перенос вдоль
вектора Т заменим последователь-
ными отражениями в двух
параллельных плоскостях,
перпендикулярных этому вектору:
ОА и СОЬ при этом ОС = —.
2
Таким образом, действие оси
симметрии и перпендикулярной к
ней трансляции мы заменили
ОО, [ОА • ОА]
последовательными отражениями в следующих плоскостях:
СО! = OOi • СО|. Вследствие ассоциативности группового умножения
элементов группы ( (g, • gj) * g, = g * (gj gi) ) (cm. c. 28) можно сначала
дважды провести операции отражения в плоскости ОА, взаимно
уничтожающие друг друга. Тогда последовательно проведенные две
оставшиеся операции отражения в плоскостях OOt и COi можно заменить
поворотом вокруг оси О| (линии пересечения этих плоскостей). При этом
вращение вокруг возникшей оси О| будет иметь то же направление, что и
вокруг исходной оси О. Обратим внимание на то, что при перемножении
операций симметрии результат оказывается зависящим от их порядка и
потому, когда мы вычеркиваем два отражения в совпадающих плоскостях,
необходимо, чтобы эти два отражения стояли рядом в четверке проводимых
симметрических операций.
Для того чтобы зафиксировать положение возникшей оси О|
относительно исходной оси О, необходимо определить направление и
величину ее сдвига (ОО|), т.е. определить угол СОО| и расстояние <ОО,>
между осями. Из рис. 29 видно, что ZOtOA = ZCO|O = а/2. Из
треугольника ОСО| получаем
—/
ОС = sin ZOOjC, т.е. —— = sin —, откуда ОО, =—2Z—. (12)
ОО, ОО, 2 „ . а
1 1 2-sin—
2
Если рассматривать поворот вокруг исходной оси по часовой стрелке
на ют же угол а, то путем подобных рассуждений придем к оси О2 по
"ругую сторону от вектора Т: ОО2 • [ОВ • ОВ] СО2 = ОО2 СО2. Если же
сначала произвести перенос, а затем поворот, то получим оси О3 и О4.
53
Подставив в выражение (12) конкретные значения элементарных
углов поворота осей различных порядков, получим:
т т
- для оси 2-го порядка (а = 180°) <00 > =--------------= —, т.е.
1 2 sin 90° 2
возникшая ось 2 переместится на середину трансляционного вектора Т; .
Т Т
- для оси 3-го порядка (а = 120°) <ОО > =------—----_ - , т.е.
1 2-sin 60° 3
возникшая ось 3 переместится в центр равностороннего треугольника,
построенного на трансляционном векторе Т в сторону направления
вращения вокруг исходной оси;
- для оси 4-го порядка (а = 90°) <оо > = - - _Т -Jl , те
1 2-sin45° 2
возникшая ось 4 окажется в центре квадрата, построенного на векторе Т в
сторону вращения вокруг исходной оси;
- для оси 6-го порядка (а = 60°) <QO > =__________—____= Г> те-
1 2-sin 30°
возникшая ось 6 будет находиться в центре правильного шестиугольника,
пост роенного также в направлении вращения оси на векторе Т.
Следует отметить, что если
ось высшего порядка содержит в
качестве подгруппы оси более
низких порядков, то каждая из них
взаимодействует с перпендику-
лярной трансляцией по своему
закону, т.е. попадает в центр
правильного многоуголь-ника,
Рис. 30. График пространственной группы
Рб. Оси 6-го порядка располагаются в
вершинах и центре правильного
шестиугольника, построенного на
координатных трансляциях (7^, Т , Г,),
оси 3-го порядка — в вершинах и центре
правильных треугольников, построенных на
этих же трансляциях; оси 2-го порядка — на
серединах координатных трансляций
хорошо видно на рисунке Эшера с ящерицами (рис. 31).
соответствующего ее порядку.
Например, ось 6-го порядка
содержит в качестве состав-
ляющих оси 3-го и 2-го порядков.
При взаимодействии с координат-
ными трансляциями все они
“разбегаются” в разные позиции,
соответствующие центрам пра-
вильных шести-, трех- и
двухугольников (рис. 30), что
54
Рис. 31. Иллюстрация взаимодействия оси
6-го порядка с перпендикулярным к ней
трансляционным вектором. Оси 6-го
порядка расположены в вершинах и
центре правильного шестиугольника,
построенного иа этой трансляции.
Входящие в состав оси 6 ее
составляющие — оси 3 — оказываются в
центрах правильных треугольников и оси
2 — на серединах координатных
трансляций [69]
Рис. 32. К аналитическому доказа-
тельству взаимодействия поворотной оси
симметрии 4-го порядка с перпендику-
лярным к ней трансляционным вектором
Т.
Кроме кристаллографического
доказательства взаимодействия
поворотной оси н-го порядка с
перпендикулярной к ней трансляцией
Т, можно привести и аналитическое
[18], которое удобно рассмотреть на
примере оси 4-го порядка: 4, Тх (рис. 32). Для этого в заданной
прямоугольной системе координат XYZ, где с осью Z совмещена ось 4(00г),
выбираем исходную точку 1 с координатами тпр. Поворот точки 1 по
часовой стрелке вокруг вертикальной оси 4: на угол 90° приведет к точке 2
с координатами птр. Последующая симметрическая операция -
трансляция Т - перенесет точку 2 в положение 3 с координатами
(п + а)тр, где а - величина трансляционного вектора Тх .
В качестве результата взаимодействия двух операций симметрии 1 -го
рода (операций поворота и переноса) можно ожидать появление также
операции 1-го рода, включающей поворот вокруг другой оси (4') с
координатами MNZ, значения которых и предстоит определить.
Для нахождения положения оси 4'выразим координаты точки 1 (тпр)
в новой координатной системе, выбранной относительно полученной оси
4'-. (m-M)(n-N)p. Поворот вокруг оси 4'(Mnz) изменит координаты точки 1 по
тому же закону, что и поворот вокруг исходной оси 4(00z), т.е. получим
следующую координату точки 3 в новых осях: (n-N)(M-m)p. Далее,
55
пересчитаем координаты точки 3 к исходной координатной системе -
(n-N+M)(M-m+N)p. Сравнив последние с ранее полученными (п + а\тр,
составим систему уравнений относительно координат М и N:
п~т +М = п + а,
>
М - т + N = —т,
решение которой позволит определить координаты результирующей
производной оси 4': М= а/2 иУ -а/2.
Рис. 33. На рисунке Эшера [69] легко
увидеть неэквивалентность осей 4-го
порядка, расположенных в вершинах и
центре выделенной квадратной ячейки
кулярной к ним
трансляцией возникают затруднения,
Итак, поворот на 90 ° по
часовой стрелке вокруг исходной оси
4-го порядка (4^-t) и последующая
трансляция в перпендикулярном к
оси направлении эквивалентны
повороту на этот же угол и в том
же направлении вокруг производной,
неэквивалентной исходной оси 4'
расположенной в центре квадрата,
построенного на этой трансляции
(Т = а) по ту ее сторону, в
которую ведет поворот. На рис. 33
Эшера хорошо видна неэквивалент-
ность исходной и производной осей
4-го порядка: в одной оси 4 сходятся
плавники, в другой, порожденной -
хвосты рыб.
При рассмотрении взаимодей-
ствия осей 3 или 6 с перпенди-
связанныс с
существованием третьего горизонтального координатного направления -
оси U, а следовательно, и третьей соответствующей этой оси координаты,
изъятие которой возможно лишь при условии обращения ее в нуль путем
добавления определенной величины ко всем трем значениям координат по
горизонтальным осям.
На рис. 34 показано взаимодействие оси 3 с перпендикулярной к ней
трансляцией Тх Рассмотрим перемещение точки 1 с координатами тпОр
относительно заданной кристаллографической системы координат (при
этом исходная ось 3, совмещенная с координатной осью Z, имеет
координаты OOOz). Поворот по часовой стрелке на 120° вокруг оси 3
приведет точку I к точке 2 с координатами пдтр (круговая перестановка!,
см. с. 243). Убрав координату по оси U, т.е. обратив ее в нуль добавлением
(-/«) ко всем трем координатам по горизонтальным осям, получим
56
и х
х
Рис. 34. К аналитическому доказательству
взаимодействия поворотной оси 3-го
порядка с перпендикулярным к ней
трансляционным вектором Тх
координатной системе даст точку
(п-т) тОр- Трансляция Тх
перенесет точку 2 в положение 3 с
координатами (п-т + а) тОр, где а
— величина вектора Т. Далее,
выразив положение исходной точки
1 в новых координатных осях
(ni-M)(n-N)0p (где MNOZ -
координаты результирующей оси 3',
связывающей точки 1 и 3) и
повернув ее вокруг новой оси 3',
получим точку (n—N)0(m-M)p. После
изъятия координаты по третьей
горизонтальной оси U имеем
координаты (n-N-m+htyM-m^Op,
пересчет которых к исходной
(n-N-m+M+M){M-m+N)Qp. Решив
систему уравнений
n-N - т + М + М = п — т + а,
М -m+N = -w,
получим значения координат искомой результирующей оси 3': М = а/3 и
W = -а/3, т.е. значения координат центра треугольника, построенного на
векторе Тх и расположенного от него в сторону рассматриваемого
вращения.
Обобщая два рассмотренных выше примера (4 7\ и 3 • Г±), можно
сделать вывод о том, что взаимодействие оси п-го порядка и
перпендикулярной к ней трансляции приводит к появлению
результирующей оси того же порядка и типа в центре п-угольника,
построенного на трансляционном векторе по ту его сторону, в которую
было направлено вращение вокруг исходной оси [19].
Таким образом, согласно вышесказанному в качестве результата
взаимодействия оси 2-го порядка и Т х можно ожидать появление еще
одной оси 2' на середине трансляционного вектора (в центре
“двухугольника”); взаимодействие же оси б с Т х к принципиально новым
положениям оси, кроме как размноженным этим вектором, не приведет
Предоставим читателю возможность доказать это самостоятельно.
Схема доказательства во всех случаях одинакова:
1) вначале осуществляется поворот исходной точки вокруг оси,
проходящей через начало координат;
57
2) далее полученная после вращения точка переносится в направлении
трансляционного вектора на его величину;
3) координаты исходной точки выражаются в новом координатном
репере, выбранном относительно возникшей результирующей оси;
4) точка с полученными координатами размножается по тому же
закону, что и точка, повернутая вокруг исходной оси;
5) после этого полученные координаты точки пересчитываются к
исходной координатной системе;
6) составляется уравнение относительно координат результирующей
оси;
7) решается система уравнений с определением координат
результирующей оси.
Все рассуждения относительно взаимодействия поворотной оси и
перпендикулярной к ней трансляции справедливы и для осей иного типа:
зеркальных, инверсионных или винтовых.
Если трансляционный вектор располагается под углом к исходной
вертикальной оси симметрии, отличающимся от 90°, то две составляющие
его компоненты - вертикальная и горизонтальная - будут
взаимодействовать с осью по разным законам: вертикальный
(параллельный оси) вектор вольется в исходную ось, изменив ее характер,
второй - перпендикулярный - перенесет возникшую производную ось в
центр «-угольника, построенного на этом векторе. В случае взаимодействия
вертикальной инверсионной оси с неперпендикулярной к ней трансляцией
параллельная этой оси трансляционная компонента изменит высоту особой
точки инверсионной оси, переместив ее на свою середину, горизонтальная
составляющая по-прежнему перенесет производную инверсионную ось
(с иной высотой особой точки!) в центр построенного на ней «-угольника.
IV.7. Взаимодействие центра инверсии и
трансляционного вектора
Так как инверсия является частным случаем зеркально-поворотной
оси 2-го порядка (1 = 2), то при
--- ——взаимодействии центра инверсии
о г о _о о о с трансляцией «работают» те же
W W” закономерности, что и при
взаимодействии оси симметрии с
перпендикулярной к ней
Рис. 35. К взаимодействию центра инверсии с трансляцией (см. выше)> т е.
трансляцией т возникает другой центр инверсии,
отстоящий от исходного в
направлении переноса на половину его длины (рис. 35). Отсюда следствие:
58
существование двух различных центров инверсии влечет за собой
появление трансляции, направленной от первого центра ко второму; при
этом ее величина соответствует удвоенному расстоянию между
исходными центрами инверсии.
IV.8. Взаимодействие
двух взаимно
перпендикулярных
пересекающихся плоскостей
симметрии
В качестве примера рассмотрим
результат взаимодействия двух
перпендикулярных друг другу
зеркальных плоскостей симметрии,
уже доказанный ранее для точечных
групп симметрии (см. с. 18), не
вызывающий сомнений и наглядно
иллюстрируемый модельным спосо-
бом (рис. 36, а). Действительно,
фигура 1, отраженная в плоскости тх,
перейдет в положение 2, а затем
плоскостью ту будет переведена в
положение 3. Смена последователь-
ности симметрических операций -
сначала отражение в ту, а затем в тх
(фигура 1 перейдет в положение 4, а
Рис. 36. К взаимодействию двух взаимно
перпендикулярных зеркальных плоскос-
тей симметрии тх и ту (а), плоскостей
скользящего отражения Ьх и ау (б, в, г).
Тонкими линиями выделена элемен-
тарная ячейка
далее в 3) — приведет к одному и тому
же результату: появлению поворотной
оси 2-го порядка, расположенной по
линии пересечения рассматриваемых
плоскостей симметрии, т.е. операции
в этом случае коммутируют.
Положение результирующей оси 2г
четко фиксировано, так как ни одна из заданных зеркальных плоскостей не
содержит трансляционной компоненты, уводящей ось 2 ’с линии
пересечения плоскостей.
Определенные трудности локализации результирующих осей 2-го
порядка возникают при взаимодействии плоскостей скользящего отражения
[27]. Так, в качестве примера рассмотрим результат взаимодействия
взаимно перпендикулярных плоскостей скользящего отражения Ьх и ау.
59
Каждая из них может быть представлена двумя “мнимыми” операциями-
отражением в зеркальной плоскости (которая в данном случае не является
самостоятельным элементом симметрии) с одновременным скольжением
вдоль соответствующей символу плоскости координатной оси на вектор,
также не являющийся истинной трансляцией в этом направлении:
- - Т.
bx=mx-th (где /Л=у)’
—*
«г =my -tu (где = у )
Обратившись к традиционному способу выявления положения
результирующей оси 2-го порядка путем группировки мнимых операций
симметрии заданных элементов симметрии - плоскостей Ьх и а(, получим
mx -Взаимодействие двух операций отражения в плоскостях тх и
ту приведет к появлению поворотной оси 2-го порядка, положение которой
определит ее взаимодействие с суммарным вектором /г = tb + Z„ . Таким
образом, ось 2-го порядка, казалось бы, возникшая на первом этапе на
пересечении исходных плоскостей в позиции _М (рис, 36,6),
22*
—>
взаимодействуя с перпендикулярным к ней вектором
окажется на его середине и займет положение 22 7. Но это противоречит
4 4"
результату, полученному модельным способом (рис. 36, в). Действительно,
фигура 1, будучи размноженной сначала плоскостью Ъх, перейдет в
положение 2, а затем будет переведена в положение 3 отражением в
плоскости ау. В результате ось 2-го порядка, связывающая 1-ю и 3-ю
фигуры, окажется в позиции 21,, а не 22-, как было выявлено на основе
44‘ 44'
традиционных рассуждений. Если же вначале на фигуру 1 (рис. 36, г)
подействовать операциями плоскости ау (фигура окажется в положении 2),
а затем Ъх (положение 3), то 1-я и 3-я фигуры будут связаны поворотной
осью 2 в позиции 12z, что тоже противоречит традиционным
44
рассуждениям. Поменяв направления скольжения плоскостей на
противоположные, получим оси в позициях 22, и 11,. Таким образом, из
44" 44"
модельного доказательства убеждаемся, что при рассмотрении
взаимодействия симметрических операций порядок их проведения не
безразличен, т.е. операции не коммутируют. Следовательно, традиционный
60
формальный метод приводит к ошибочному результату, если не
учитывается последовательность проводимых симметрических операций.
Особенностью
плоскостей скользящего
отражения является
наличие в них в качестве
одной из мнимых
операций трансляцион-
ного векто-ра, который
может быть направлен
как в одну сторону
(положитель-ную), так и
в другую - противопо-
ложную ей (отрицатель-
ную).
В нашем случае
скольжение у плоскос-
тей симметрии hx и ау
возможно как в поло-
Рис. 37. К построению графика пр. гр. РЬа2
жительном (рис. 37), так и в отрицательном направлении:
Поэтому, рассматривая взаимодействие указанных плоскостей
скользящего отражения, следует учитывать направление перечисленных
трансляционных векторов, а также последовательность операций
симметрии, заданных этими плоскостями. Обозначив через +а(. и +ЬХ
плоскости скользящего отражения с положительными трансляционными
векторами + и + [ соответственно и через -ау и -Ь - плоскости с
отрицательными компонентами -fa и придем к восьми возможным
комбинациям порождающих плоскостей скользящего отражения, а точнее,
их трансляционных компонент: +ЬХ • +а/1), +ау-+Ьх(2), -Ьх +ау(3),
+ау -Ьх(4), +Ьх--ау{5), -ау +Л/6), -Ьх -ay(J), -ау -6/8).
—► -►
Исследуем 1-й вариант взаимодействий: +ЬХ +ау = тх(+ th ) • ту(+ [ ).
Получив на первой, промежуточной стадии ось 2-го порядка как результат
взаимодействия симметрических операций отражения в плоскостях тх и ту,
рассмотрим в указанной последовательности действие элементов
->
симметрии друг на друга. Вектор + tb , отраженный в плоскости ту, займет
энантиоморфное положение (~tb}, а вектор + ta передвинет плоскость
61
b^= mx • ~th ) на свою величину. Суммарный вектор t j = ta~th , не
имеющий вертикальной составляющей, будет взаимодействовать с
полученной ранее осью 2-го порядка 2 , в результате чего реальная ось
3 1
окажется в позиции-----z (см. рис. 37), что подтверждается и модельным
4 4
способом.
Изменение последовательности проведения симметрических
операций на обратную (+ау +ЬХ) (2) обусловит возникновение также
поворотной оси 2,, но уже в положении -—7. Дальнейшее рассмотрение
44-
остальных шести комбинаций симметрических операций (3 - 8) покажет
еще два возможных положения осей 2 в позициях 117 и — — z.
44" 4 4
В итоге на графике пространственной группы (рис. 38, а) окажутся
лишь поворотные оси,
через полтрансляции,
повторяющиеся вдоль координатных направлений
что укажет на примитивность пространственной
решетки, т.е. на
пространственную
группу РЬа2. В
конечном счете в
данном случае будет
безразлично, в каком
порядке и за счет
каких взаимодей-
ствий или действий
исходных операций
получены оси 2.
а
Рис. 38. Графики пр. гр. РЬа2(с*)(а) и Рпа2/
Таким образом, рассмотрение взаимодействия друг с другом любых
взаимно перпендикулярных плоскостей скользящего отражения,
содержащих трансляционные компоненты, равные половинам
-» т
координатных трансляций ячейки (/=—), не вызовет затруднений, хотя
2
бы потому, что при этом в примитивной решетке (см. с. 88) возникают оси
одного наименования, повторяющиеся вдоль координатных направлений
через половины координатных трансляций (рис. 38, а, б). И так как в этих
случаях все четыре возможные позиции заняты одинаковыми по характеру
осями - 2 или 2/, последовательность проводимых симметрических
операций не сказывается на конечном результате, т.е. некоммутативность
операций симметрии при вычерчивании графика соответствующей
пространственной группы фактически не играет существенной роли.
62
Следует отметить, однако, что трансляционная компонента tn
клиноплоскости п (см. с. 49), определяемая половинами координатных
Т* т Т
трансляций (/ = —2-, где у _ <s- + _a) (рис. 39, а), делает безразличным,
" 2 D 2 2
Рис. 39. Расположение трансляционных компонент tn и td клиноплоскостей п (а) и d
(б) соответственно в обозначенной элементарной ячейке
вдоль какой из диагоналей граней (узловых сеток) элементарной ячейки
-♦
направлен вектор tn , так как скольжение вдоль одной диагонали грани
автоматически сопровождается скольжением и вдоль другой ее диагонали:
(022-011) = (°22~°01) ’ поэтому трансляционная компонента tn
—'> —♦ —> —>
плоскости п имеет не два, а четыре значения: +tn , -tn , + t'n , -t'„
«Алмазные» клиноплоскости d (см. с. 49)в отличие от
клиноплоскостей п характеризуются некоторыми лишь им присущими
особенностями. В частности, их трансляционная компонента - вектор
—-> ГГ'
= —е. - не допускает одновременного скольжения по обеим диагоналям
—> —>
(D) грани (сетки) элементарной ячейки, т.е. t # t оо Q (рис.
39, б), а следовательно, трансляционная компонента такой клиноплоскости
имеет лишь два противоположных значения: + td и -td .
Наличие нескольких вариантов расположения трансляционных
векторов указанных клиноплоскостей (J и и) следует учитывать при выводе
соответствующих пространственных групп и построении их графиков, ибо
63
Рис 40. График пр. гр Fdd2 (Сф
на примере построения графика
игнорирование возможной некоммутативное™ действий элементов
симметрии с входящими в них мнимыми операциями часто приводит к
неверному результату. Особенно это касается тех случаев, когда
трансляционные компоненты взаимодействующих плоскостей равны 1/4
координатных трансляций решетки (7 = —). Например, при взаимодействии
4
двух взаимно перпендикулярных
плоскостей d, каждая из которых
может быть представлена
совокупностью “мнимых”
операций: dx = тх t ф) и
dy=my-td^, в одной и той же
пространственной группе в
зависимости от последовательности
выполнения операций возникают
как поворотные, так и винтовые оси
2-го порядка (рис. 40), позиции
которых, не прибегая к модельному
способу, определить непросто.
Продемонстрируем сказанное
пространственной группы Fdd2,
получающейся в результате взаимодействия взятых в качестве
порождающих двух взаимно перпендикулярных клиноплоскостей:
dx - тх • /ф) = тх -ty-t. и dx =mr-1ф) = ту txt. ,
-> Тх -Г. > Т
где t = -л- /= -ф /. = —
4 ' 4 * 4
- -♦ -»
Учет направлений трансляционных векторов ± t ф) и ± t ф) (рис.
41) и последовательности операций симметрии приведет к восьми
вариантам взаимодействия компонент исходных плоскостей:
I) [тх- /ф)]*[ф- t </(>,)],
2) [my • /</(>,)] * [/и,- /ф)],
3) К - Гф)] * [/»з td(y) ],
4) [/иг/ф)]*[ш,--/ф)],
5) [и, - t ф)] * [/и, - t./( , )],
64
6) [my — td(y)] *[wM-1 ф)],
7) [/их--Гф)]*[ф-/ф)],
8) [ту • - t d(,) ] * [/и, • - t <i(x) ].
Рис. 41. Расположение трансляционных векторов td двух взаимно
перпендикулярных клнноплоскостей d, и </,.
При всех дальнейших рассуждениях важно помнить, что элементы
симметрии не только взаимодействуют один с другим, порождая новые
элементы симметрии (как было показано выше), но и действуют друг на
друга, как на некоторые материализованные объекты, что обычно не
учитывается в традиционных рассуждениях, но, как будет показано ниже,
для плоскостей d имеет решающее значение.
Рассмотрим результаты перечисленных вариантов.
1 dx • dy = [тх • t ф) ] * [ту t d(y) ] (рис. 42, а).
Обращение к формальному традиционному методу вновь приведет к
ошибочному результату* 1’ - к оси 2t в позиции 3 3^. Предложенный выше
88
1 С/руппировав мнимые операции заданных элементов симметрии, получим т, • т, -1 v , где
Z X = /i+/i + Z.+ /. . Взаимодействие /п, • ту даст ось 2-го порядка, характер и позиция
когорой определяются результатом ее взаимодействия с суммарным вектором
I = / +t , где th — t +t ,at=2l- Вертикальная составляющая суммарного-»
1 ' х х у . : ч
65
Рис. 42. К построению графика пр. гр. Fdd2
определяться суммарным вектором
прием получения результата
взаимодействия клиноплос-
костей d лишен этих
недостатков.
В данном случае, не
изменяя последовательности
операций, записанных в ряду
1, рассмотрим, как будут
действовать на исходную
мнимую плоскость тх с
параллельным ей вектором
t </(х) расположенные вслед
за ними симметрические
операции плоскости dy - ту
и t </(.v):
- операция ту не
изменит ни положения, ни
характера исходной плос-
кости тх,
- взаимодействие тх и
ту обусловит появление оси
2-го порядка, характер (2 или
2;) и позиция которой будут
> -»
11 = t ф)+ t у). Однако вместо
вектора t dlх)(-1 о----| в суммировании будет участвовать отраженный в
' ?\44 424/
плоскости ту его энантиоморфный “двойник”, идущий по другой
диагонали этой же сетки ячейки: ;
вектора / J, влившись в полученную ранее ось 2, превратит ее в винтовую 2i, а
<44 442J
горизонтальная составляющая суммарного вектора / d (рис. 42, о), взаимодействуя с
^44 22 )
осью 2i, зафиксирует ее в позиции 33 , что противоречит реальному графику
88
пространственной группы рис. 40).
66
- затем на полученную плоскость d/ с энантиоморфным вектором
t’d(x), будет действовать вектор I а(у), который перенесет ее в
соответствующем направлении на свою величину.
—►
В итоге окажется, что исходная плоскость dx (= тх • t ф)) будет
неизбежно сопровождаться чередующейся с ней параллельной и отстоящей
—♦ —♦
от нее на — плоскостью dx'тх Г ф)) со скольжением по другой (!)
4
диагонали грани ячейки. При этом начало вектора t' d(x) совпадает с
концом вектора t ф.), что как раз необходимо для нахождения суммарного
вектора t • с которым и должна взаимодействовать полученная
ранее на промежуточной стадии ось 2-го порядка. Вертикальная составляю-
щая tv вектора t е, равная половине трансляции решетки 7 _ ZL ,
’ 2
обусловит винтовой характер возникшей оси (2/fc)), а перпендикулярная к
этой оси горизонтальная составляющая суммарного вектора th ( 110_100)
\44 2 )
локализует ось 2/ на своей середине.
Таким образом, результатом взаимодействия двух клиноплоскостей dx
и dy с учетом рассмотренной последовательности составляющих их мнимых
3 1
операций будет винтовая ось в позиции — 7 (рис. 42, а).
88”
2. Изменение последовательности мнимых операций симметрии
взаимодействующих клиноплоскостей на обратную dy • dx = [ту t </(у) ] *
[тх- t <j(x} ] (2) приведет к появлению энантиоморфной составляющей t'<i(y)
->
(= t d(y), отраженной в тх) и затем к возникновению также винтовой оси
но в иной позиции: -~z (рис. 42, а).
88
3. Взаимодействие клиноплоскостей dx и dy с иным направлением
-> ->
трансляционных векторов [тх • -Гф)] * [ту t d(y) ] (3) обусловит не
винтовую, а поворотную ось 2. в позиции 3 3 z (рИс. 42, б).
88
67
4. Изменение последовательности симметрических операций (3) на (4)
- [яг,. t <j(>j ] * [/и, - t j(x) ] - приведет к возникновению также
поворотной оси 2-, но уже в иной позиции: Ц_ (рис. 42, б).
8 8~
Другие указанные выше комбинации (5 - 8) симметрических операций
клиноплоскостей dx и dy к иным положениям осей 2 и 2; не приведут. В
итоге найдены четыре позиции осей 2 и 2/, чередующихся одна с другой
через 1/4 координатных трансляций элементарной ячейки (см. с. 88 ).
IV.9. Взаимодействие двух плоскостей симметрии,
расположенных под углом 45° друг к другу
При рассмотрении частного случае теоремы Эйлера, а именно:
взаимодействия зеркальных плоскостей симметрии (см. с. 18) - было
доказано, что последовательно проведенные операции отражения в
плоскостях т и т', расположенных под углом X, равносильны повороту
вокруг результирующей оси, порядок которой зависит от угла X (а = 2Х).
Однако при доказательстве этой теоремы не учитывалась очередность
выстроенных симметрических операций. А ведь именно от этого зависят
характер поворота вокруг результирующей оси и ее положение.
В случае отсутствия у порождающих плоскостей симметрии
трансляционных компонент, перпендикулярных возникшей оси 4-го
порядка, ее положение четко фиксируется линией пересечения исходных
плоскостей. Однако направление поворота вокруг результирующей оси
будет зависеть от того, в каком порядке
является
в плоскости
Рис. 43. К взаимодействию двух зеркальных плоскостей
симметрии, расположенных под углом 45° друг к другу
осуществляются операции
симметрии. Если первой
операцией
отражение
ту (точка 1 перейдет в
точку 2) (рис. 43, а), а
второй - отражение в md
(точка 2 перейдет в точку
3), то исходная и
конечная фигуры
совместятся поворотом
вокруг возникшей оси 4:
на угол 90° против
часовой стрелки. Если же
сначала осуществить отражение в плоскости md, а затем в /»,.(рис. 43, б), то
результирующий поворот будет направлен в противоположную сторону (по
часовой стрелке): от плоскости первого отражения к плоскости второго
68
отражения [19], т.е. получим различные результирующие повороты: т - md
= 41, md ту = 4~‘.
Если одна (или обе) из исходных плоскостей симметрии имеет
горизонтальную трансляционную составляющую, то образовавшаяся ось
4-го порядка за счет взаимодействия с этим вектором будет перенесена в
центр построенного на нем квадрата, при этом квадрат будет расположен от
этого вектора в сторону направления вращения вокруг возникшей оси (см.
с. 56). Однако при выявлении положения результирующей оси следует
также учитывать последовательность проводимых симметрических
Рис. 44. Зависимость положения результирующей оси 4-
го порядка от последовательности проведения
симметрических операций: а — результатом отражения
исходной фигуры 1 сначала в плоскости ау, а затем в
плоскости та, расположенных под углом 45° друг к
другу, будет ось 4-го порядка в позиции Ц : б —
44Z
изменение очередности отражений - сначала в плоскости
тл а затем в плоскости ау приведет к появлению оси 4Z в
позиции 21-- Тонкой линией обозначены контуры
44'
тетрагональной элементарной ячейки
операций, в противном
случае могут быть
получены ошибочные
результаты. Например,
ошибочно предположив,
что возникшая поворот-
ная ось 4Z (у взаимодей-
ствующих плоскостей
отсутствуют вертикаль-
ные трансляционные
компоненты!) попадет в
квадрат, центр которого
располагается на диаго-
нальной плоскости md
(рис. 44, а), увидим, что
результатом взаимодей-
ствия оси 4 и md будет
появление координатной
плоскости тч, чередую-
щейся с исходной ау, что
невозможно в Р-решетке
(см. с. 88).
В действительности
же результатом двух
последовательных отражений в плоскостях ау и md будет ось 4:,
расположенная в центре квадрата, построенного не на векторе tu (рис. 44,
а), а на векторе ему энантиоморфном t'a , так как операция отражения в
—>
плоскости md изменит направление вектора /а . Смена последовательности
отражений на обратную - вначале в плоскости md, а затем в ау - поменяет и
положение результирующей оси (рис. 44, б): она окажется в центре
квадрата, построенного на исходном векторе tu , ибо последовательность
69
операций симметрии (rnd ar = md my ta ) такова, что этот вектор не
подвержен действию других симметрических операций. В итоге видим, что
ось 4-го порядка располагается по ту сторону от трансляционного вектора,
куда направлен результирующий поворот, т.е. от плоскости первого
отражения ко второй. Изменение направления трансляционного вектора
—> -♦
+ 1а на обратный - ta к новым положениям оси 4: не приведет.
IV.10. Взаимодействие оси 4-го порядка
и перпендикулярной к ней плоскости симметрии
Результатом взаимодействия простых операций симметрии - поворота
вокруг оси 4-го порядка (42) с последующим отражением в
перпендикулярной к ней плоскости (да.) - будет зеркально-поворотная или
соответствующая ей инверсионная ось 4., особая точка которой совпадает
с истинным центром инверсии - результатом взаимодействия оси 2 = 42 и
перпендикулярной ей плоскости. И хотя особое направление в группе
представлено совпадающими поворотной и инверсионной осями 4-го
порядка, его характеризуют в символе группы простой осью, оставляя ось
4 в скрытом виде. Если исходные элементы симметрии (4 • mJ имеют
трансляционные составляющие, т.е. ось 4-го порядка винтовая, а плоскость,
ей перпендикулярная, является плоскостью скользящего отражения, то
каждая из их трансляционных компонент будет взаимодействовать с
возникшей осью 4 по-разному. Горизонтальная трансляционная
компонента плоскости скользящего отражения перенесет результирующую
ось 4 в центр построенного на ней квадрата (см. с. 56). Особая же точка
инверсионной оси окажется смещенной на середину вертикальной
составляющей винтовой оси 4-го порядка.
Например, представив действие оси 4^ и перпендикулярной к ней
плоскости симметрии и. составляющими их симметрическими операциями:
->
-> -> т
4j п, = (4 • tz) (да. tn ) (где t, = ) (рис. 45), увидим, что
взаимодействие операций 4 - да± даст инверсионную ось 4 , которая под
действием горизонтального вектора tn будет перенесена в центр
построенного на нем квадрата; особая же точка этой оси окажется
70
перенесенной вектором ± tz на его
Рис. 45. К взаимодействию оси 4-го
порядка (4уг>) с перпендикулярной к ней
клиноплоскостью пг. Стрелками
показаны направления и величины
трансляционных компонент (1и ) плос-
кости пг. Тонкими линиями выделена
тетрагональная элементарная ячейка.
Пунктирной линией показаны квадраты,
построенные на трансляционных
компонентах клиноплоскостей пг
середину, т.е. на ±_к от уровня
4
заданной плоскости п.. Поскольку
трансляционные векторы клиноплос-
кости п направлены одновременно
вдоль каждой из диагоналей
горизонтальной грани элементарной
ячейки в противоположные стороны,
ось 42 окажется окруженной
четырьмя осями 4 в центрах всех
четырех квадратов, построенных на
±/и (см. с. 56). При этом верти-
кальные компоненты оси 42
направленные в противоположные
—>
стороны (±/. ), обусловят появление
особых точек инверсионной оси на
высоте как , , так и что
4 4
вполне объясняется периодичностью этих точек через Л . В этом случае
2
последовательность проводимых симметрических операций не скажется на
конечном результате.
Каждая из поворотных осей 2-го порядка: 2 = и 2 = 42,
взаимодействуя с перпендикулярной к ней плоскостью л, обусловит
появление на уровне этой плоскости центров инверсии, смещенных из
->
точек пересечения оси с плоскостью на середину вектора tn .
Однако в случае взаимодействия более сложных элементов
симметрии, например 4/ а± , с трансляционными векторами в 1/4
координатных трансляций при определении позиции особой точки оси 4
необходимо учитывать не только взаимодействие, но и действие самих
операций симметрии друг на друга [27] (см. с. 154).
Глава V. Одномерные группы симметрии -
группы симметрии бордюров
В однородном дискретном кристаллическом пространстве
эквивалентные точки расположены бесконечными параллельными рядами.
Поэтому изучение симметрии кристаллов логично начать с рассмотрения
симметрии бесконечных одномерных регулярных построек - атомных
рядов, бордюров и т.п.
Обязательной операцией в бесконечной одномерной регулярной
постройке служит перенос - трансляция. Каждая точка узора при этом
преобразовании повторяется в эквивалентных позициях бесчисленное
количество раз.
Ряд эквивалентных точек - узлов,
Рис. 46. Одномерная постройка - бордюр (а) и
соответствующая ему одномерная ’‘решетка’’ —
узловой ряд (б)
связанных операцией переноса,
называется узловым рядом,
который в этом случае играет
роль своеобразного трансля-
ционного элемента симметрии
- одномерной “решетки” (рис.
46). Характеристикой узлово-
го ряда служат величина и
направление вектора ± Т,
называемого элементарным
переносом или периодом
идентичности и связывающего соседние трансляционно идентичные узлы,
расположенные на минимальном конечном расстоянии друг от друга (<711НП).
Перемещение фигур при этом может происходить в прямом и обратном
направлении.
Очевидно, что в одномерной “решетке” не может быть
промежуточных (дополнительных) узлов. Такая “решетка” называется
примитивной и обозначается буквой “р”. Ибо. если бы дополнительный
узел нашелся, то расстояние между ним и какой-либо точкой оказалось бы
меньше расстояния а, принятого за кратчайшее между идентичными
точками.
Решетка, как и всякий трансляционный элемент симметрии, с одной
стороны, может создавать бесконечный узор переносом конечной фигуры в
каком-либо направлении и, с другой - передавать этому узору симметрию
исходной фигуры. Основываясь на симметрийном принципе Кюри,
заключающемся в том, что при взаимодействии объекта (конечной
фигуры) и окружающей среды (решетки) в бесконечный узор перейдут
лишь общие для них элементы симметрии, можно вывести все одномерные
группы симметрии. Для этого необходимо установить симметрию
одномерной решетки (узлового ряда) и симметрию конечных фигур.
72
Симметрия одномерной решетки - узлового ряда - характеризуется
предельной группой —тт (группой симметрии неподвижного цилиндра,
т
см. с. 32). Ограничившись созданием плоского одномерного
одностороннего узора - бордюра, следует сначала из объектов,
описываемых 32 точечными группами симметрии, в качестве
размножаемых одномерной решеткой выбрать такие, которые лишены
“переворачивающих” элементов симметрии, т.е. 10 односторонних розеток
(рис. 47) с симметрией /, 2, 3,
4, 6, т, mm2, Зт, 4тт, бтт.
Условие одномерности и
односторонности бесконеч-
ного узора заставляет
отобрать из этих групп лишь
четыре (/, 2, т, mm2),
лишенные осей высшего
Рис. 47. 10 односторонних розеток, иллюстри-
рующих “крючочечные” и “лепестковые” труппы
симметрии (по Н.В.Белову) без “переворачива-
ющих” элементов симметрии
рии: /, 2, т, ту или их комбинации,
порядка, перпендикулярных
плоскости узора. Таким
образом, согласно принципу
Кюри с одномерной решеткой
могут сочетаться . лишь
следующие элементы симмет-
ибо только они присутствуют в
качестве элементов симметрии решетки и поэтому могут быть переданы ею
всему одномерному плоскому одностороннему узору (бордюру).
В качестве примера можно рассмотреть два бордюра, полученные
переносом (трансляцией) фигуры, обладающей зеркальной плоскостью т.
т т
a
б
Рис. 48. Иллюстрация принципа Кюри на примере симметрии одномерной постройки
(узора): а — группа симметрии узора наследует зеркальную плоскость т.
содержащуюся как в конечной фигуре (треугольнике), так и в одномерной решетке; б —
в группе симметрии узора зеркальная плоскость т отсутствует, так как плоскость такой
ориентации не совпадает с плоскостью группы симметрии узлового ряда.
В группу симметрии первого бордюра (рис. 48, а) плоскость т перешла,
так как она совпала с одной из плоскостей симметрии предельной группы
00
— тт, характеризующей симметрию узлового ряда. Группа симметрии
т
73
2-го бордюра (рис. 48, б) этой плоскости не содержит, так как плоскость
такой ориентации в группе симметрии узлового ряда отсутствует.
Таким образом, легко выводятся симморфные 2) одномерные
односторонние группы симметрии: pill, pl 12, pmll, plml, pmm2. Из рис.
49 хорошо видно, что кроме обозначенных в символе группы и присущих
pill рт11 р1т1 р112 ртт2
р1а1 рта2
Рис. 49. 7 типов одномерных построек - бордюров, описываемых семью одномер-
ными группами симметрии
конечным фигурам “подрешеточных” элементов симметрии в результате их
взаимодействия с трансляцией решетки Т (трансляцией как элементом
симметрии) возникают результирующие дополнительные элементы
симметрии, чередующиеся с исходными либо совпадающие с ними (см. с.
46 - 50).
Действительно, добавление трансляции Тх, перпендикулярной
плоскости тх, создает при взаимодействии с ней новую чередующуюся с
, Т
исходной плоскость симметрии тх, расположенную на расстоянии -л..
2
->
Кроме того, при взаимодействии Тх с ту возникает совпадающая с ту
плоскость скользящего отражения ау с трансляционной компонентой
tu = ТХ Эти “дополнительные” элементы симметрии, естественно, как и
каждый член кристаллографической группы симметрии, имеют право на
2) Симморфньши называются группы бесконечных построек, в которые перешли без
изменений все элементы симметрии соответствующих точечных групп, т.е. сохранился как
осевой, так и плоскостной комплекс.
Гемисимморфные группы — это группы, в которых полностью сохранился лишь
осевой комплекс их точечных групп.
Асимморфными называются группы, в которых ни осевой, ни плоскостной комплекс
точечных групп полностью не сохранился.
74
самостоятельное существование. Замена в симморфных группах
макроэлементов симметрии на возможный в одномерном одностороннем
узоре трансляционный элемент симметрии, в данном случае ау, приведет
еще к двум группам: plal и рта2 (рис. 49).
Рис. 50. Примеры бордюров различной симметрии [1, 50, 55]
Итак, получено 7 одномерных групп симметрии — трупп симметрии
бордюров, варианты конкретной реализации которых представлены на рис.
50.
Бордюры можно считать частным случаем лент - двухсторонних,
бесконечных в одном направлении периодических построек, обладающих
“переворачивающими” элементами' симметрии, т.е. такими, которые
совмещают обе стороны ленты и располагаются в плоскости самой ленты
1
75
Это плоскости симметрии, совпадающие с плоскостью ленты, и винтовая
ось 2-го порядка, совпадающая с узловым рядом.
Рис. 51. Примеры одномерных построек —
стержней тригональной (а, г), гексагональной
(6) и предельной (в, д) симметрии [55]: а —
треугольники, нанизанные на ось 3, связаны
вдоль нее трансляцией; б — поворот
треугольника на 60° сопровождается
трансляционным вектором, т.е.
расположение треугольников подчинено
винтовой оси 6з; в — при произвольном
(иррациональном) угле поворота возникают
стержни (правый или левый) предельной
симметрии с осью бесконечных переносов; г
— три плоскости скользящего отражения
пересекаются между собой вдоль оси 3-го
порядка ; д — закрученная вправо призма -
многозаходный винт
Увеличение списка операций симметрии добавляет к перечисленным
выше семи группам симметрии бордюров еще 24 группы симметрии лент
[55].
Постройки, бесконечные в одном направлении, содержащие кроме
трансляции совпадающие с ней поворотные, зеркально-поворотные и
винтовые оси симметрии любого порядка, называют стержнями, примером
которых служат трубы, винты, цепи и т.п. Естественно, что добавление
новых элементов симметрии приведет к большему количеству групп
симметрии стержней по сравнению с количеством групп симметрии
бордюров и лент (рис. 51).
76
Глава VI. Двухмерные (плоские) группы
симметрии
Под бесконечной двухмерной постройкой понимают объект
двумерного пространства, обязательными операциями которого служат два
непараллельных вектора переноса - две трансляции. Группы,
характеризующие симметрию таких построек, играют в кристаллографии
большую роль, являясь двухмерными аналогами пространственных групп
симметрии. Их используют при описании проекций кристаллических
структур, их сечений, двухмерных сечений распределений электронной
плотности, а также в прикладном искусстве при описании симметрии
рисунков - разнообразных сетчатых орнаментов.
Вывод двухмерных групп симметрии удобно осуществить по той
же схеме, что и вывод одномерных групп, исследуя в соответствии с
принципом Кюри сочетания симметрий конечных фигур и двухмерных
решеток - узловых сеток.
Двухмерный бесконечный узор может быть совмещен с самим собой
переносом вдоль трансляционных пересекающихся векторов Та и ть,
лежащих в одной плоскости. Периодичность плоского узора выражается
двухмерной параллелограмматической узловой сеткой - двухмерной
решеткой, его элементом симметрии. Таким образом, если геометрически
одномерную «решетку» - узловой ряд - достаточно полно и однозначно
характеризуют величина и направление одного трансляционного вектора
Т, то минимальным представителем
двухмерной решетки оказывается
параллелограмм, построенный на двух
неколлинеарных векторах, называемый
ячейкой двухмерной решетки. Очевидно, что
подобные ячейки выполняют все двухмерное
пространство без промежутков.
Поскольку любой узел можно считать
начальной точкой бесконечного множества
трансляционных векторов, выбор ячейки
неоднозначен. А следовательно, в одной и
той же решетке можно выделить
бесконечное множество ячеек,
различающихся как своей формой, так и
величиной (рис. 52). При этом ячейки могут
оказаться либо пустыми {примитивными) с
узлами лишь в вершинах параллелограммов,
либо с дополнительными узлами, не
Рис. 52. Примеры выбора раз-
личных ячеек — параллело-
граммов повторяемости — одной
и той же двухмерной решетки
(плоской сетки). Все прими-
тивные (пустые) ячейки равно-
велики; любая единожды
центрированная в два раза
больше примитивной
77
охваченными контуром ячейки (непримитивными). Все примитивные
ячейки одной и той же решетки равновелики. На одну такую ячейку
приходится один узел решетки. Отсюда общее число узлов, приходящихся
на непримитивную ячейку, показывает, во сколько раз она больше
примитивной ячейки этой же решетки.
Ячейка, наиболее полно отражающая все особенности двухмерной
решетки, - это параллелограмм, построенный на двух кратчайших
неколлинеарных трансляционных векторах, совпадающих с особыми
направлениями максимальной симметрии, а при их отсутствии - с
узловыми рядами. Выбранный таким образом параллелограмм подчинен
кристаллографической координатной системе, имеет минимальную
площадь и называется элементарной ячейкой. При этом, если векторы Та и
Ть не окажутся минимальными, то ячейка и соответствующая ей решетка
будут непримитивными.
Анализ возможных точечных преобразований симметрии двухмерной
решетки в себя в определенной кристаллографической координатной
системе, т.е. точечных групп решетки, выявляет различные соотношения
основных минимальных трансляционных векторов Тв и Th и определенных
значений углов между ними. Возможные сочетания этих величин: Та * Ть,
Та - Ть и у * 90°, у = 90° - приведут к следующим типам решеток.
Та * Ть, у * 90° (рис. 53, а). Элементарной ячейкой такой узловой
сетки будет примитивный параллелограмм. При этом единственным
элементом симметрии указанной решетки (сетки) будет перпендикулярная
к ней ось 2-го порядка, ее группа симметрии - pl 12.
Та* Ть, у = 90° (рис. 53, б). Элементарная ячейка в данном случае
будет иметь форму прямоугольного примитивного параллелограмма.
Группа симметрии такой решетки - pmm2.
]г = ]г , у * 90°. Равенство двух неколлинеарных векторов с углом
между ними, отличающимся от 90°, указывает на возможность присутствия
оси симметрии, перпендикулярной двухмерной решетке (узловой сетке);
порядок оси определяется минимальным углом у между исходными
векторами.
Н.В.Беловым предложено выгодно отличающееся от других
доказательство, касающееся возможных порядков осей, перпендикулярных
узловой сетке [18]. Сначала устанавливается минимально возможная
величина угла между эквивалентными узловыми рядами, а следовательно, и
максимальный порядок оси симметрии, перпендикулярной узловой сетке
(рис. 54). Предположив, что узел А является точкой пересечения двух
узловых рядов, характеризующихся одним и тем же минимальным для
78
Рис. 53. Пять типов плоских сеток (двухмерных решеток): а — моноклинная;
б.в — ромбические; г — тетрагональная; д — гексагональная
данной решетки межузловым расстоянием а, увидим, что в треугольнике
АА|А2 сторона AjA2 должна быть либо равна а, либо больше а, а
следовательно, у > 60°. Таким образом, если узел А взят на оси L„,
перпендикулярной к узловой сетке, то ее порядок не может быть больше
шести.
Для решения вопроса о
возможных порядках осей ниже
шести надо вспомнить то, что
любая параллелограмматическая
сетка всегда обладает осью
симметрии 2-го порядка,
перпендикулярной слою. И если
перпендикулярно двухмерной
сетке предположить ось нечетного
порядка, то в результате их
взаимодействия возникнет ось с
удвоенным порядком: Т2и1/ • L2 =
L2)2„ i), т.е. оси Li и L3 повысятся
до L2 и L6 соответственно, что
Рис. 54. К доказательству возможных
порядков осей симметрии,
перпендикулярных плоской узловой сетке
79
вполне допустимо в параллелограмматической сетке, тогда как ось 5-го
порядка в сочетании с параллельной ей осью L? даст ось 10-го порядка, а
это противоречит доказанному выше.
Таким образом, угол у между эквивалентными трансляционными
векторами может быть равен 60, 90 или 120°, т.е. в
параллелограмматической сетке отсутствуют некристаллографические
оси 5-го и выше 6-го порядков. Это приводит к сеткам следующей
симметрии.
Та ~ Ть , у ф 90° ф 120° ф 60° (рис. 53, в). Косоугольный
параллелограмм, построенный на векторах Т„ = Th, с углом у ф 90°, хотя и
является параллелограммом повторяемости, но не может служить
элементарной ячейкой, так как симметрия полученной решетки заставляет
выбрать в качестве координатных направлений векторы более высокой
симметрии, совпадающие с особыми направлениями такой решетки -
нормалями к плоскостям симметрии. Из рис. 53, в видно, что элементарная
ячейка в этом случае будет не примитивной, а центрированной - с, т.е. ее
группа симметрии -cmm2.
Т„ ~ Ть, У = 90° (рис. 53,г)- p4mm.
Та = Ть, у = 120° (=60°) (рис. 53, д) - рбтт.
Задание угла у = 60° между исходными векторами не изменит ни
форму ячейки, ни симметрию характеризуемой ею решетки - рбтт, так как
угол 60° является дополнительным к углу 120°.
На основании вышесказанного и из рис. 53 видно, что всякая
параллелограмматическая решетка (сетка) обладает некоторыми
обязательными элементами симметрии: перпендикулярно к плоскости
сетки располагаются оси 2-го порядка (в проекции на плоскость -
"точки" 2-го порядка) либо как самостоятельные элементы симметрии,
либо как составляющие осей высшего порядка; в решетках с
прямоугольными ячейками, а также в решетках с осями высшего порядка
обязательно имеются зеркальные плоскости симметрии, линии
пересечения которых всегда совпадают с осями.
Плоскими аналогами точечных групп симметрии, как и при выводе
групп симметрии одномерных узоров, могут служить группы симметрии
розеток (С„ и Ст), причем в данном случае, учитывая только что
выведенные группы симметрии плоских решеток, сразу же отбираем 10
кристаллографических групп - 1, 2, 3, 4, 6, т, mm2, Зт, 4тт, бтт (см. рис.
47, с. 73) - и рассматриваем взаимодействие их элементов симметрии с
элементами симметрии двухмерных решеток. Так же как в
вышерассмотренных одномерных группах, при таком взаимодействии
возникают новые - трансляционные - элементы симметрии. В результате
легко приходим к 13 симморфным группам: pill, pl 12, pmll(= plml),
cmll(= clml), pmm2, cmm2, p4, p4mm, p3, p3ml, p31m, рб, рбтт и
80
четырем несимморфным, содержащим в качестве самостоятельных
трансляционные элементы симметрии: pbl 1(= plal). рта2(= pbm2), рЬа2,
p-lbm (рис. 55 и 56).
ст 11
pba2
Рис. 55. Графики 17 двухмерных групп симметрии — 17 федоровских групп,
описывающих симметрию плоских уторов — орнаментов
81
Рис. 56. Реализация плоских групп симметрии на рисунках Эшера и в различных
орнаментах [I, 50, 55, 69]
82 С помощью выведенных 17 двухмерных плоских групп симметрии
С помощью выведенных 17 двухмерных плоских групп симметрии
удобно описывать отдельные сечения или проекции кристаллических
структур на координатные или другие плоскости, которые обычно
представляют собой сетки (мозаики), построенные из многоугольников
(проекций полиэдров), в вершинах которых расположены атомы или их
группировки. С другой стороны, если задать произвольную точку на
построенном графике одной из 17 плоских групп симметрии и размножить
ее всеми симметрическими операциями группы, то получим систему
эквивалентных точек. Соединив ближайшие точки прямыми линиями, не
допуская при этом их пересечения, получим разбиение плоскости на
многоугольники (плоские изогоны), заполняющие всю плоскость без
промежутков. В каждой вершине плоского изогона сходятся геометрически
равные пучки ребер - сторон многоугольников. Такие изогоны называются
типическими.
Из всего многообразия полученных таким образом мозаик [55] можно
выделить 11 сеток - сеток Кеплера [67], образованных правильными
многоугольниками (треугольниками, квадратами, 6-, 8-. 12-угольниками)
или их комбинациями (рис. 57).
4612
Рис. 57. 11 плоских сеток Кеплера — мозаик, образованных правильными
многоугольниками [ 67 |
83
Рис. 58. Использование сеток Кеплера при
описании кристаллической структуры
перовскита CaTiOj: сетки 44,
перпендикулярные оси 4-го порядка, выделены
по атомам кислорода (а) и титана (б); сетки
3636, перпендикулярные оси 3-го порядка
структуры, выделены по атомам О (в)
Существующие обозначе-
ния плоских сеток символами
Шлефли указывают на число и
тип правильных многоуголь-
ников, сходящихся в каждом
узле рассматриваемой сетки. При
этом арабская цифра 3
обозначает треугольник, 4 -
квадрат и т.д. Показатель
степени указывает на количество
одинаковых, сходящихся в одной
точке многоугольников, сопри-
касающихся друг с другом
своими сторонами. Например,
сетка из правильных шестиуголь-
ников (графитовая сетка, рис. 57)
обозначается как 63, сетка 3636
образована чередованием тре-
угольников с шестиуголь-
никами, сетка 34324 - последова-
тельным чередованием в каждой
вершине треугольника, четырех-
угольника, двух треугольников и
одного четырехугольника. Одна
и та же кристаллическая струк-
тура может быть составлена
различными по конфигурации
сетками, расположенными парал-
лельно друг другу. Например,
структуру перовскита CaTiO3
можно представить либо
перпендикулярными к коорди-
натным направлениям кубичес-
кой структуры кислородными сетками 44 двух типов (рис. 58, а, б), либо
чередующимися сетками 3636 и 3 , перпендикулярными осям 3-го порядка
структуры (рис. 58, в).
Описанный выше прием - метод плоских атомных сеток
(структурных мозаик), часто используемый при описании кристаллических
структур, позволяет выявлять те или иные симметрийные особенности, а
также сравнивать фрагменты (атомные слои) различных структурных
типов.
84
Глава VII. Пространственные (федоровские)
группы симметрии
Современные представления о симметрии пространственных
кристаллических структур были заложены работами французского
кристаллографа О.Браве, установившего в 1848 г. 14 типов решеток - 14
законов трехмерной периодичности расположения материальных частиц
(атомов, ионов, молекул) в кристаллическом пространстве. Последующие
работы К.Жордана (1869) и Л.Зонке (1879) были посвящены
пространственным группам, содержащим лишь симметрические операции
1-го рода. Полный вывод пространственных групп симметрии -
совокупностей всех операций симметрии кристаллических структур - был
осуществлен русским кристаллографом Е.С.Федоровым и немецким
математиком А.Шенфлисом, независимо несколько позже, в 1890-1891 гг.
[47, 48, 70]. Выведенные ими пространственные группы, впоследствии
получившие название “федоровских групп", стали основой теории строения
кристаллов.
“Подход двух ученых, - отмечал Н.В.Белов [13, 18], - к созданным
ими основам современной кристаллографии был весьма неодинаков: для
математика Шенфлиса это были новые страницы в математической теории
групп, и как раз тогда усилился интерес к бесконечным группам, поскольку
с конечными группами все казалась поставленным на место; интересы же
Федорова были более кристаллографические и минералогические. Подобно
тому как 32 класса, 32 точечные группы, в “каменных” науках не являются
“вещами в себе”, но служат для наблюдателя и экспериментатора лишь
рамками, хорошо расчерченными сценами, полями, на которых
разыгрываются кристаллографические и минералогические макрособытия,
так и весьма интересные сами по себе 230 групп должны быть, прежде
всего для естествоиспытателя, детально разграфленными аренами, на
которых фиксируются во всяком случае начальные и заключительные
этапы микрокристаллографических и микроминералогических действий”.
Е.С.Федоров основной упор в своей работе [63] сделал на графическое
представление всех 230 пространственных групп и соответствующие
каждой группе “формулы размножения”, позволяющие из одной исходной
точки (атома или группы атомов) вывести все остальные путем их
размножения конечными и бесконечными симметрическими операциями
данной группы. В результате геометрический аспект, лежащий в основе
теории федоровских групп, оказался сутью универсального подхода для
описания трехмерных кристаллических построек, т.е. таких построек,
обязательными операциями которых служат три некомпланарных переноса
(трансляции). Трехмерная сетка (или система ее узлов), построенная на
таких трансляциях, называется пространственной решеткой.
85
VIL1. Пространственные решетки.
Типы решеток Браве
Если в трехмерном пространстве выбрать какую-либо точку (не
обязательно материальную) и посчитать ее одним из узлов решетки, то в
остальных ее узлах окажутся все точки этого пространства, идентичные
(физически и геометрически) исходной. Прикладывая решетку к другой
заинтересовавшей нас точке при сохранении параллельности решетки
самой себе, в ее узлах вновь получим все эквивалентные точки. В
результате убеждаемся, что решетка не нечто материальное (не конкретная
укладка атомов в неподвижных узлах решетчатого каркаса), а
математический образ - схема, с помощью которой мы описываем
периодичность кристаллического вещества, не зависящая от того, какая
точка трехмерного пространства (узора) принята за исходный узел. Иными
словами, решетку удобно считать своеобразным элементом симметрии,
размножающим точки пространства совершенно аналогично тому, как их
размножают другие элементы симметрии - плоскости, оси и т.д. В этом
смысле решетка — это выразитель кристаллического состояния
вещества, ибо любое кристаллическое вещество, даже лишенное каких-
либо иных элементов симметрии, всегда обладает этим основным
элементом симметрии - решеткой, или решетчатым строением.
Как каждый единственный в своем роде элемент симметрии допускает
только те элементы симметрии, которые переводят его в самого себя, так и
решетка допускает присутствие только тех элементов симметрии исходной
фигуры, которыми обладает она сама как геометрический образ. Поэтому,
помимо размножения исходной фигуры присущими решетке трансляциями,
она может передавать созданному бесконечному узору в соответствии с
принципом Кюри (см. с. 65) симметрию исходной фигуры. Таким образом,
для того чтобы весь узор приобрел симметрию исходной фигуры, в группу
симметрии решетки должны входить в качестве подгруппы все элементы
симметрии этой фигуры.
С другой стороны, как и всякая параллелепипедальная система,
трехмерная решетка обладает рядом собственных симметрийных
особенностей. Она всегда центросимметрична, при этом центры инверсии
находятся как в узлах решетки - в вершинах параллелепипедов, так и на
серединах расстояний между ними. Оси высших порядков неизбежно
сопровождаются пересекающимися вдоль них плоскостями симметрии.
Сами же оси симметрии ограничены только кристаллографическими
порядками, т.е. п = 1, 2, 3, 4, 6 (см. с. 78). Последнее условие однозначно
выбирает из бесконечного числа точечных групп, описывающих
симметрию конечных исходных фигур, лишь 32 кристаллографические
точечные группы.
86
Рассмотрим, какие по симметрии решетки способны передать
бесконечной постройке симметрию любой из 32 точечных групп.
Поскольку самая асимметричная фигура (с осью симметрии /) не
предъявляет каких-либо требований к симметрии решетки, может быть
задействована решетка любой симметрии. Поэтому минимально возможной
точечной группой симметрии рассматриваемой триклинной решетки будет
1 . Такая же решетка годится и для фигуры с собственной симметрией 1 .
Фигуры с единственной осью симметрии 2-го порядка потребуют
„ 2
решетку с моноклинной симметрией _ как результат взаимодействия
т
данной оси с обязательным для пространственной решетки центром
_ 2
инверсии (2- / =—). Естественно, что эта же решетка будет годна и для
т
, 2
фигур с симметрией т и —.
т
Любая фигура, описываемая точечной группой ромбической сингонии
- 222, mm2, ттт, передает свою симметрию бесконечной постройке с
помощью решетки ттт (222 1 = mm2 1 = — — _ ).
т т т
Нетрудно убедиться, что любая из точечных групп тетрагональной
сингонии (4, 4 , — , 4тт, 422, 42т, — тт ) может быть передана
т т
бесконечному узору единственной решеткой, описываемой тетрагональной
голоэдрической группой — тт, ибо взаимодействие даже одной исходной
т
оси 4 с обязательными для трехмерной решетки центром инверсии и
плоскостями, пересекающимися вдоль этой оси, однозначно приведет к
указанной группе.
Симметрия всех 12 групп гексагональной сингонии (3, 3,32, Зт, 3 т,
б, 6 , —, 622, бтт, 6 m2, — тт) может быть передана бесконечному
т т
узору решеткой гексагональной голоэдрии — тт. Однако принцип
т
минимума возможной симметрии позволяет для пяти групп с осями 3-го
порядка - групп тригональной подсингонии (см. с. 41) - использовать
решетку пониженной симметрии - гексагональной гемиэдрии: 3 т (=
тригональной голоэдрии).
Группы кубической сингонии (23, m3, 432, 43т, тЗт)
обслуживает решетка с симметрией m3 т.
В результате убеждаемся, что во всех случаях точечные группы
симметрии решетки как геометрического образа отвечают старшему —
87
голоэдрическому - классу каждой сингонии. Это накладывает
соответствующие ограничения на выбор минимального по объему
параллелепипеда повторяемости, с помощью которого можно
охарактеризовать данную трехмерную постройку.
Трехмерная решетка может быть представлена тремя
некомпланарными трансляционными векторами, а значит построенный на
этих векторах параллелепипед - параллелепипед повторяемости - будет
ячейкой решетки. Для того чтобы параллелепипед мог служить
характеристической ячейкой какой-либо решетки, т.е. отражал бы ее
главные симметрийные особенности, необходимо, чтобы его ребра
(трансляционные векторы) совпали с особыми направлениями
максимальной симметрии, т.е. с направлениями кристаллографических
координатных осей (см. с. 41). Ячейку, выбранную таким образом,
называют ячейкой Браве или элементарной ячейкой. Тип и симметрия
ячейки отражаются в ее названии, которое она передает и соответствующей
ей пространственной решетке. Поскольку форму ячейки Браве определяет
координатный репер, семь разных по симметрии решеток (1 , ттт,
т
3 т, —тт, —тт, m3 т) могут быть представлены шестью типами
т т
параллелепипедов (ибо гексагональные решетки обслуживаются одним и
тем же координатным репером, а значит, и одинаковыми по форме
ячейками Браве - параллелепипедами со 120-градусным ромбом в
основании).
Каждая ячейка Браве - параллелепипед повторяемости -
характеризуется своими параметрами — константами решетки', тремя
координатными векторами Тх,Ту,Тг^а,Ь,либо соответствующими им
шестью скалярными величинами | а |, IЬ |, | с | и углами а = /?Лс, р = аЛс, у
= ал*.
Иногда в качестве параллелепипеда повторяемости используют так
называемую основную ячейку, построенную на трех последовательных
минимальных трансляциях решетки: я|п;п < < c1IU„. Однако собственная
симметрия такого параллелепипеда не всегда полностью отражает главную
особенность решетки - ее симметрию. Поэтому основная ячейка не всегда
является ячейкой Браве.
Если ребра ячейки соответствуют трем последовательным
минимальным трансляциям, т.е. узлы решетки располагаются только в
вершинах параллелепипеда, то такая “пустая” ячейка ( и решетка) Браве
называется примитивной и обозначается буквой Р.
Если же координатные трансляции ячейки Браве не соответствуют
трем последовательным минимальным трансляциям, т.е. в ячейке есть
88
более короткие (не координатные!) векторы1*, то в ней кроме вершинных
окажутся дополнительные узлы. Указанная ячейка (а следовательно, и
решетка) будет непримитивной.
Обратим внимание на то, что в вершинных узлах ячеек Браве как
точках пересечения векторов максимальной симметрии будут
сосредоточены все элементы симметрии соответствующей
голоэдрической точечной группы. А так как дополнительные узлы связаны
трансляциями с вершинными узлами и, следовательно, идентичны им, они
могут располагаться лишь в таких позициях, в которых голоэдрический
комплекс решетки представлен либо полностью, либо своей максимальной
подгруппой, содержащей главную (или одну из главных) ось симметрии.
Такие позиции находятся лишь в центрах граней или объема ячейки.
Поэтому ячейки с дополнительными узлами принято называть
центрированными. При этом наличие дополнительных узлов не нарушает
симметрию решетки и не уменьшает ее объем.
Если в ячейке центрирована только одна пара противоположных
граней (например, ее базис), то ячейку (и соответственно решетку)
называют базоцентрированной и обозначают либо буквой С (центрированы
грани (001) и (00 1) либо А (узлы на гранях (100) и ( 1 00)), либо В (узлы на
гранях (010) и (0 1 0). А- и В-ячейки можно назвать бокоцентрированными.
Одновременная центрировка двух пар граней (например, А и В)
АВ, которая автоматически
обеспечивает центрировку и
грани С (рис. 59, а). Такие
ячейки, в которых
центрированы все грани,
называются гранецентриро-
ванными и обозначаются
буквой F. Ячейку с
дополнительным узлом в
приводит к возникновению трансляции
« б
Рис. 59. Одновременная центрировка двух пар
противоположных граней А и В (а) приводит к
возникновению трансляционного вектора А В, т.е.
к центрировке и грани С. Центрировка объема
ячейки (/) и ее базиса (С) сокращает вдвое
трансляцию вдоль оси Z и этим вдвое укорачивает
вертикальное ребро элементарной ячейки (б)
центре ее объема называют
объемноцентрированной и
обозначают буквой /.
Одновременная центрировка
базиса ячейки и объема (рис.
59, б) или всех граней ячейки и
объема приведет к появлению
укороченных векторов (напри-
мер, вектор /0, по которым
можно выбрать примитивный параллелепипед меньшего объема.
1) Такие дополнительные векторы не могут быть получены как векторные суммы
исходных координатных векторов.
89
ограничений на выбор ячейки
Рис. 60. Различные способы выбора
примитивной ячейки Браве в решетке
триклинной сингонии
Остановимся подробнее на некоторых моментах вывода реше-ток
Браве, рассмотрев все возможные позиции для дополнительных узлов в
элементарных ячейках всех сингоний (систем).
В решетке триклинной сингонии (а Ф Ь * с, а ф 0 * у) (точечная
группа симметрии 7 ) отсутствие особых направлений никаких
Браве не накладывает, поэтому выбор
характеристического параллелепипеда
произволен. И любая триклинная
ячейка может быть представлена одним
из косоугольных параллелепипедов
минимального объема без дополни-
тельных узлов 2). Отсюда в списке
возможных типов решеток триклинной
сингонии будет лишь примитивная - Р
(рис. 60).
В решетке моноклинной
сингонии (а*Ь*с,а = Р~ 90°,
у 90° ф 120°) (точечная группа
э
симметрии _) присутствие единст-
т
венного особого направления, однозначно используемого в качестве одного
из ребер элементарной ячейки, заставляет два других ребра выбирать по
узловым рядам, хотя и не являющимся особыми направлениями, но
лежащим в перпендикулярной особому направлению плоскости. Это
определяет косоугольность лишь одной пары граней ячейки Браве. Поэтому
для дополнительных узлов пригодны лишь позиции в центрах
прямоугольных граней и в центре ячейки. Центрировка косоугольной грани
не приведет к новой решетке (рис. 61, а), ибо в этой плоскости особые
направления отсутствуют и ребра ячейки поэтому могут быть выбраны по
любым узловым рядам. Центрировка одной из прямоугольных граней, т.е.
появление дополнительного трансляционного вектора, приведет к
оригинальной В- или /1-решетке. К этим же решеткам приведет и
центрировка объема ячейки. Отметим, что равенство объемов
бокоцентрированной и объемноцентрированной ячеек Браве ни одной из
них преимущества не дает, тогда как F-центрировка приводит к
предпочтительности выбора ячейки меньшего размера - / или В(А)
(рис. 61, а).
Напомним, что помимо рассмотренной выше рациональной установки
моноклинной ячейки, при которой по единственному особому направлению
выбирается ось Z (угол моноклинности у - XAY), нередко используется и
классическая (минералогическая) установка с особым направлением вдоль
2) Обычно предпочитают ячейку с наиболее короткими ребрами и минимально
приближенными к 90° углами.
90
о-----9
i
0'2
О-----6
Рис. 61. Выбор ячеек Браве в решетках различной симметрии: а — моноклинной, б —
ромбической (С-решетка не сводима к Р-решсткс). в — тетрагональной, г — кубической.
Жирными линиями выделены контуры элементарных ячеек в проекции на плоскость ху
оси Y и углом моноклинности р (XAZ), что меняет обозначение
моноклинной ячейки: В(Л)Рац ~ С(Л)МИН (см. с. 40).
В решетке ромбической сингонии (а*Л*с,а = р= у = 90°)
(точечная группа симметрии ттт) обязательное присутствие трех взаимно
перпендикулярных неэквивалентных особых направлений диктует
ортогональную координатную систему и, следовательно, обусловливает
прямоугольную форму параллелепипеда Браве. Введение любого
дополнительного узла в позицию с симметрией ттт (симметрия
вершинного узла), т.е. в центры граней или объема, приведет к появлению
дополнительных трансляций, не совпадающих с особыми направлениями, а
91
следовательно, к непримитивным ячейкам Браве: С(А,В) -
базо(боко)центрированной, F - гранецентрированной или / -
объемноцентрированной (рис. 61, б).
В решетке тетрагональной сингонии (а =6*с,а=Р=у= 90°)
4
(точечная гр. сим. —тт) присутствие единственной оси 4-го порядка,
т
вдоль которой выбирают координатную ось Z, делает эквивалентными два
других перпендикулярных к ней особых направления X и Y, что и
обусловливает форму ячейки в виде тетрагональной призмы. Выбор ребер а
и b элементарной ячейки в первую очередь лимитируется минимальными
трансляциями в плоскости, перпендикулярной оси 4-го порядка (оси Z). Это
делает некорректным выбор базе- и гранецентрированных тетрагональных
ячеек, которые являются лишь иными аспектами соответственно Р- и /-
ячеек меньшего размера, т.е. С = Р, F = I. В итоге оригинальными окажутся
лишь два типа тетрагональных решеток Браве: Р и / (рис. 61, в).
Рис. 62. Различные типы элементарных ячеек в гексагональной решетке: и — примитивная
ячейка Браве (Р), б — гексагональная базоцентрированная призма (С), в — базоцентри-
рованная ортогональная ячейка (0, г — дважды базоцешрированная ячейка (Н)
В гексагональной сингонии (а = 6*с,а = Р = 90°, у = 120°) одна и та
же координатная система обслуживает две разные по симметрии решетки:
— тт и 3 т - с одинаковой формой ячеек Браве. Ячейка собственно
т
гексагональной подсингонии — тт не допускает никакой центрировки,
т
так как в ней отсутствуют позиции с симметрией вершинного узла. И
указанная решетка может быть представлена лишь примитивным
параллелепипедом Браве: Р (рис. 62, а).
Следует иметь в виду, что в старых изданиях учебников и
Интернациональных таблиц [71] можно встретить иные обозначения типов
92
гексагональных решеток. Поскольку гексагональной элементарной ячейкой
считался не параллелепипед, построенный на трех координатных
трансляциях, а гексагональная призма, в центре базисной грани которой
оказывался узел решетки (рис. 62, б), то такая “базоцентрированная” ячейка
обозначалась буквой С. Иногда в гексагональной решетке в качестве
параллелепипеда повторяемости выбиралась также базоцентрированная, но
ортогональная ячейка (а ^А*с,а = р= у =90°, где Ь = а4з) (рис. 62,
в), которая обозначалась также буквой С. Однако все указанные решетки
характеризуются одним и тем же примитивным параллелепипедом -
ячейкой Браве - с параметрами a = fc*c,a = ₽ = 90°, у =120° (рис. 62, а).
Современное обозначение такой ячейки (и соответственно решетки) - Р.
Кроме рассмотренных установок (и обозначений - Q нередко
употреблялась дважды базоцентрированная ячейка Н (рис. 62, г), ребра
а б
в
Рис. 63. Примитивная
гексагональные ячейки Браве; ромбоэдр (в)
повторяемости (но не ячейка Браве!) ромбоэдрической решетки. Их проекции на
плоскость ху. Дробными числами указаны высоты узлов решеток
(а), дважды центрированная (ромбоэдрическая) (б)
примитивный параллелепипед
которой расположены под углом 30° к координатным осям стандартной Р-
ячейки, т.е. направлены по ее длинным диагоналям. Обращение к //-ячейке
снимает противоречие между классической кристаллографией,
опирающейся на минералогию, требующую, чтобы в гексагональной
93
сингонии за оси X и Y принимались направления, перпендикулярные к
плоскости симметрии, и современным подходом к написанию символов
гексагональных групп, при котором координатные оси выбираются по
кратчайшим трансляциям и могут не совпадать с нормалями к плоскостям
симметрии. В этом случае координатная позиция в символе группы
оказывается пустой и заполняется единицей - символом оси 1-го порядка.
Выбор укрупненной /7-ячейки формально удовлетворяет требованиям
минералогов, переводя особое направление (нормаль к плоскости
симметрии) на нужную - 2-ю - позицию символа. Например, Р31т = Н3т1,
P62m = Нб m2.
Ячейка Браве тригональной подсингонии (3 т) не может быть
примитивной, так как в ней обязательно должны присутствовать
б Т
дополнительные узлы, снижающие симметрию решетки от —тт до j m
т
Такие узлы могут находиться лишь в позициях на осях 3-го порядка,
проходящих через центры тригональных призм ячейки, т.е. в позициях с
симметрией Зт (рис. 63, б). Это приводит к появлению новых векторов, не
сокращающих координатные трансляции ячейки Браве. Таким образом,
дополнительные узлы могут иметь лишь координаты 111 и 111 или
333 333
212121 - „
и т.е. располагаться на одной из длинных диагоналей ячейки в
333 333
точках ее пересечения с осями 3-го порядка, делящих эту диагональ на три
равные части. Появление в указанных позициях центров инверсии (их
симметрия повысится до 3 т ) не нарушит симметрию решетки и не
сократит ее координатные трансляции. Такую элементарную ячейку -
ячейку Браве - и представляемую ею решетку называют дважды
объемноцентрированной или, в соответствии с формой примитивного
параллелепипеда повторяемости (но не ячейки Браве!) - ромбоэдра,
ромбоэдрической - R (рис. 63, в).
В ячейке кубической сингонии {a = b= c,a = f>=y =90°) (точечная
группа симметрии m3 т) для дополнительных узлов кроме позиции с
симметрией m3 т в центре объема ячейки Браве, порождающей
объемноцентрированную /-ячейку, легко выделяются позиции в центрах
4
всех граней с симметрией максимальной подгруппы —тт - Эти позиции
т
связаны между собой четверкой осей 3-го порядка, что делает невозможной
центрировку лишь одной пары граней. Предположив в этих позициях
дополнительные узлы, мы тем самым повышаем их симметрию до
симметрии вершинных узлов {m3 т) и при этом убеждаемся, что они не
нарушают ни координатные трансляции, ни симметрию всей решетки.
94
Таким образом, имеем 3 типа решеток кубической сингонии: Р, 1 и F (см.
рис. 61, г).
VIL2. Вывод и графическое представление
трехмерных (пространственных) групп симметрии
Принцип вывода пространственных групп симметрии аналогичен
тому, который использовался при выводе одномерных и двухмерных групп
симметрии: приняв за исходные 32 точечные группы симметрии в рамках
той или иной решетки Браве, выписываем для каждой из них все
возможные сочетания порождающих макро- и микроэлементов симметрии.
Этот принцип предложен Н.В. Беловым и в отечественной
кристаллографической литературе получил название “классного”, так как
имелось в виду преподавание курса, посвященного пространственным
группам, в высшей школе (в классе) для студентов, не имеющих
фундаментальной математической подготовки [5, 18, 29].
VII.2.1. Вывод пространственных групп триклинной
сингонии
Наиболее просто выписываются пространственные группы
триклинной сингонии с единственно возможной примитивной решеткой
Браве и единственным помимо осей 1-го порядка элементом
макросимметрии, не имеющим пространственных разновидностей, -
центром инверсии: Р1 (С,)3) и Р1 (С/ ) (обозначение центра инверсии см.
на с. 5).
VII.2.2. Вывод пространственных групп моноклинной
сингонии
Взяв за основу точечные группы моноклинной сингонии:
голоэдрическую ? и гемиэдрические 2 и те, а также возможные
те
моноклинные решетки Браве - Р и С (имеется в виду минералогическая
ориентация моноклинных групп, где единственное особое направление
совмещено с горизонтальной координатной осью Y), можно вывести все
пространственные группы данной сингонии, при этом фактически
ограничившись выводом лишь голоэдрических, получив остальные в
качестве их подгрупп.
3) Данную группу нельзя назвать асимметричной, так как она, подобно всем
кристаллографическим группам, обладает основным элементом симметрии — решеткой.
95
При выводе групп моноклинной голоэдрии C2i, = — из трех
т
присутствующих элементов симметрии: 1 , ти 2 - порождающими удобно
считать ось 2-го порядка и перпендикулярную к ней плоскость симметрии.
И тогда, учитывая, что для каждого из трех знаков символа группы
имеются две возможности: решетки Р и С, оси 2 и 2/, плоскости
зеркальные (те) и скользящего отражения, легко получить четыре
примитивные и две базоцентрированные голоэдрические группы.
Действительно, в присутствии лишь одного особого направления
исчезает возможность принудительного фиксирования двух координатных
направлений, а следовательно, и необходимость рассмотрения центрировки
косоугольной грани элементарной ячейки, ибо любая ее центрировка
приведет к появлению более короткого трансляционного вектора и
соответственно к возможности выбора P-ячейки меньшего размера. Оси 2 и
2/, так же как и перпендикулярные к ним плоскости, в P-ячейке из-за
отсутствия косо расположенных к оси Y трансляционных векторов
становятся независимыми. Поскольку выбор двух координатных осей в
моноклинной ячейке в плоскости, перпендикулярной единственному
особому направлению, произволен, то трансляционная компонента
плоскости скользящего отражения может оказаться по-разному
ориентированной относительно выбранного координатного репера.
Поэтому плоскость скользящего отражения может получить в зависимости
от ориентации ее вектора разные наименования: а, Ь, с, п или d (см. рис. 66,
67). В Интернациональных таблицах [71 - 73] по традиции предпочтение
отдано плоскости скользящего отражения с с трансляционным вектором,
часто совпадающим с удлинением кристалла.
Пространственные группы с Р-решеткой
С учетом вышесказанного получим четыре пространственные группы
с Р-решеткой: симморфную р 2 , гемисимморфные р А и /> 2 и
те тес
асимморфную р 2j_. Однако такая краткая запись не указывает на
с
установку данной пространственной группы - классическую
(минералогическую) или новую (рациональную) (см. с. 90), т.е. на то, с
какой координатной осью совмещено единственное особое направление.
Этого недостатка лишена развернутая запись пространственной группы с
использованием на соответствующих позициях символа единиц - осей 1-го
порядка (рис. 64, а). Часто международный символ (символ Германа -
Могена) пространственной группы сопровождается ее обозначением по
Шенфлису, играющим роль своеобразного “ключа”. Например, р Z _ р" ,
с
где верхний индекс, указывая на определенную пространственную группу,
96
Рис. 64. Различные установки — классическая (слева) и рациональная
никакой другой смысловой нагрузки, кроме ее порядкового номера, не
несет.
Итак, символы перечисленных пространственных групп запишутся
следующим образом:
Обозначения Класси- Рациональная
Шенфлиса ческая установка
установка
2 2
с; = pi-1 = ph—,
т т
. 2 2
с-„ = Р1-Ч = pii-j-,
т т
2 2
С\ = Pl-I = Р11-;
с b
2 2
С’ = Р1^Ч = PHL.
с b
41
Пространственные группы с С-решеткой
В базоцентрированных группах вектор Тс лежит в плоскости грани С
и расположен косо к единственному особому направлению, выбранному в
качестве координатной оси Y элементарной С-ячейки (минералогическая
установка). Каждая из координатных компонент вектора Тс — tu + th
(рис. 64, б), на которые можно его разложить по правилу паллелограмма,
будет взаимодействовать с “подрешеточными” элементами симметрии -
плоскостью и перпендикулярной ей осью 2-го порядка - по-разному.
—>
Компонента ta , параллельная плоскости симметрии, вольется в нее как
дополнительное скольжение, изменив тем самым ее характер, вторая же
компонента th , перпендикулярная производной плоскости, перенесет ее на
свою середину (см. с. 50), т.е. на ly- обусловив тем самым чередование в
4
этом направлении плоскостей разного наименования:
ту' ta =аУ’ ау' ту(ауУ>
су' ta =ту' = пу- пу- h -> с/^) (рис. 64, 6).
—> —>
Те же самые компоненты (ta и th) заставят поворотные оси 2 чередоваться
с винтовыми 21 в плоскости центрированной грани:
2у th~2цУ), 2i(y) • ta —>2^(2/до).
Указанные чередования могут быть отмечены в развернутых символах
групп: с — = С и с — = С
т т (о) с с(н)
В итоге, с одной стороны, все четыре примитивные группы сольются в
одну базоцентрированную С^, , с другой - две из них дадут группу С^,:
Р1~1
т
=В1А'\
т(а)
з
2h'
2
т
98
Pl—1= pI21
п с
/
Р12'1= PJ-'l
п с
->сЛ21)1
ф)
С
=вн
b(”)
=С2 -с6
L -с 2Л
С
Вывод моноклинных гемиэдрических групп легко осуществить,
либо задавая на единственной позиции символа возможные в моноклинной
ячейке разновидности осей 2-го порядка или плоскостей симметрии, либо
путем отбрасывания из голоэдрических групп “лишних” элементов
симметрии. При этом надо иметь в виду, что в символах всех групп
моноклинной голоэдрии в скрытом виде находится центр инверсии,
являющийся произведением оси 2-го порядка и перпендикулярной к ней
плоскости симметрии. Поэтому, отбрасывая центр инверсии, мы
одновременно должны убрать либо плоскость симметрии, либо ось 2-го
порядка. В первом случае придем к трем пространственным группам,
подчиненным точечной Сг, во втором - к четырем группам Cs:
С\ = С2 = С2 (2/)
С—- —> Ст = Ст (о) =
т
С- -> Сс = Сс (л) = C4S.
с
Следует также подчеркнуть, что в группах Ст и Сс плоскости тис
независимы. Присутствие же вектора , косо расположенного к заданной
плоскости, задает чередование плоскостей т(а) и с(п). Этому же вектору в
группе С2 обязано чередование осей 2(2/).
Поскольку в моноклинных кристаллах отсутствие особых
направлений в плоскости симметрии допускает произвольный выбор
координатных осей - ребер а и Ь - элементарной ячейки, исследователь
часто сталкивается с неоднозначностью описания той или иной
моноклинной структуры. Действительно, различный выбор координатных,
направлений, часто с нарушением принципа минимальности объема
99
Рис. 65. Различные представления
моноклинной пр. гр. g 2L: а — центрировка
т
косоугольной грани В элементарной ячейки в
классической установке приводит к выбору
примитивной ячейки меньшего размера —
В1 — 1 Р1 — I (с I ) • б ~ центрировка
т т ' ‘ '
боковой (прямоугольной) грани
элементарной ячейки в рациональной
установке соответствует базоцентрированной
ячейке в классической установке —
bii—=ci—i (с3,}
т т ' '
элементарной ячейки, приводит к тому, что трансляционные компоненты
плоскостей скользящего отражения оказываются по-разному
ориентированными относительно координатного репера, что приводит к
изменению их наименования. Трудность в установлении ориентации
элементарной ячейки появляется еще и в том случае, если исследователем
не указано наименование угла моноклинности (у или Р), т.е. тип установки
кристалла (классический или рациональный). В этом случае по символу,
если отсутствуют единицы на его
свободных позициях, часто нельзя
судить об установке моноклин-
ного кристалла. Например, символ
В — , с одной стороны, представ-
т
ляет пространственную группу
С^л в минералогической
установке, сводимую к
2 2
В1 — 1^>Р1 — 1 (рис. 65, а), и,
т т
с другой - пространственную
группу C[h - наиболее
распространенную ее установку
С1 — 1 [=ВП — "I (рис. 65, б).
т ( /л J
Как видно, при таком
2 R
написании группы в — без
т
дополнительных указаний (сим-
вола Шенфлиса, наименования угла моноклинности, присутствия единиц на
2 2
“пустых” позициях международного символа) группы В1 — 1 и В11 —
т т
неразличимы.
Рассмотрим некоторые часто встречающиеся аспекты
пространственных групп моноклинной сингонии (в скобках указаны
обозначения групп в рациональной установке):
2 2 ( 2\
1- С,\ =Р- = Р1-1 =Р11- \ (рис. 66, а).
2h с с V Ъ)
Трансляционная компонента плоскости с направлена вдоль оси Z.
Изменение наименования осей X и Z приведет к тому, что трансляционная
компонента плоскости скользящего отражения окажется ориентированной
параллельно оси X и пространственная группа в этом случае запишется как
т / п \
Р1 — 1 =/>//£ (рис. 66, б). При ином выборе координатных направлений
а \ a J
100
(рис. 66,в) трансляционная компонента плоскости симметрии окажется
Рис. 66. Различные аспекты моноклинной пр. гр. - Жирными
С 2h ~ ‘
С
стрелками показаны трансляционные компоненты плоскостей скользящего
отражения
направленной в центр грани (010) (или (001) для иной установки), т.е.
станет компонентой клиноплоскости и, а следовательно, пространственная
2 ( 2\
группа запишется как р] — 1\=РЦ — , либо компонентой
п п)
клиноплоскости d (рис. 66, г), пр. гр. р ] — / | _ (j / / — |. Центрированные
d < d)
же ячейки (рис. 66, д, ё) будут характеризоваться пространственными
7 ( 7 ( 7 А
группами р ] — 1 \ =С 11 —\ и в 1 —1 \ =С 11 —\ соответственно,
с ( b J а \ а)
Таким образом, некоторая свобода в выборе координатных
направлений привела к нескольким аспектам пр. гр. C^h-
2 2 2 2 2 2
р — - Р—-р — - р — - В — - р— в классической установке и
с а п а с d
2 2 2 2 2 2
соответственно к р — = р — = р — = С — -С ~ = С — ~ в новой.
b а п a b d
C62h =С- = С1-1 |=В/7-1 (рис. 6?,а).
с с \ b)
101
Рис. 67. Различные аспекты моноклинной пространственной группы
г<, Жирными стрелками показаны трансляционные компоненты
С
плоскостей скользящего отражения
Трансляционная компонента плоскости с направлена вдоль оси Z.
Перемена наименований осей X и Z приведет к изменению обозначений
—> —>
трансляционной компоненты tc на /й, и следовательно, к
2 ( э')
пространственной группе А1 — 1 = All — I (рис. 67, б),
а у, а)
При ином выборе координатных направлений трансляционная
компонента плоскости скользящего отражения направлена в центр грани
(010), т.е. становится компонентой либо клиноплоскости п (рис. 67, в) -
2 ( 2\
пространственная группа в этом случае запишется как с 1 — 1 \ = Bl 1 — >
"к п)
либо клиноплоскости d (рис. 67, г) - пр. гр. р / — / I _ р / / — ].
d { d)
Представление заданной решетки в /-аспекте приведет к пространственным
группам Л — ] | - [ ] ] — | (рис. 67, д) и (рис. 67, е).
с I b) «I с J
102
Таким образом, пространственная группа может быть
2
представлена кроме наиболее распространенного аспекта С— аспектами
с
2 2 2 2 2
А — = С — = 1— = 1— = F — в классической и соответственно
а п а с d
2 2 2 2 .2 2 „ 4)
В — = А — = B — -I — -1 — = F — в новой установке .
Ь а п с b d
4) Различные наиболее распространенные аспекты групп моноклинной голоэдрии:
C‘lh=P — = в— [р — = С — I
т тут т)
? 2 ( 7 7 \
т тут т)
cs3h=p^-=p^=p^=B^-=B^-=B^-
с а п а с d
(pL=p1l=p1l=c^-=c^-=c^-\
\ b а п a b d)
VII.2.3. Графическое представление пространственных
групп моноклинной сингонии
Графики пространственных групп существенно облегчают
понимание пространственного расположения элементов симметрии и
расположение правильных систем точек (см. с. 232), а также определение
их характеристик. Особенно это касается графиков моноклинной сингонии,
где два сечения элементарной ячейки прямоугольны, а одно,
перпендикулярное единственному особому направлению, оказывается
косоугольным.
Прежде всего следует остановиться на новых условных
обозначениях элементов симметрии, используемых в графиках
пространственных групп низшей категории. Помимо вертикальных
элементов симметрии - осей 2-го порядка и плоскостей, с обозначениями
которых мы уже знакомы (см. с. 5, 47, 49), а также центров инверсии,
обозначаемых на графиках пространственных групп маленьким кружочком
(°), в графиках моноклинных групп появляются горизонтальные элементы
симметрии, обозначения которых выносятся за пределы контура
элементарной ячейки: поворотные оси 2-го порядка изображаются обычно
стрелкой ( *), винтовые оси 2| - также стрелкой, но лишь с одним
"крылом"( —). Обозначения горизонтальных плоскостей симметрии
гггг<
(т, а, Ь, п, d соответственно) выносятся в верхний левый угол графика.
Дробное число, стоящее рядом со знаком элемента симметрии, указывает
на его высоту относительно нулевого уровня (z = 0) элементарной ячейки.
Для того чтобы представить графики пространственных групп
моноклинной сингонии в стандартном для данной группы аспекте - в
классической установке, строится проекция на плоскость,
перпендикулярную оси Z ячейки, т.е. проекция на плоскость ху (рис. 68, а).
Такую прямоугольную проекцию полезно сопроводить графиком группы,
спроектированной на плоскость косоугольной грани xz, т.е. в новой
установке, где угол моноклинности оказывается не искаженным
(рис. 68, б).
При построении графиков голоэдрических моноклинных групп
вначале на них наносятся «подрешеточные» элементы симметрии,
принятые за порождающие: оси 2-го порядка и перпендикулярные к ним
плоскости симметрии. Результатом взаимодействия данных плоскостей
симметрии и осей 2-го порядка с перпендикулярными к ним трансляциями
решетки (Т являются плоскости (или соответственно оси) симметрии
того же наименования, параллельные исходным и отстоящие от них на
104
Рис 68. График пр. гр. _рА в проекциях на плоскости ху (a), xz( б). yz (в)
v 2h ~~ г
С
в минералогической установке
Рис. 69. График пр. гр. -С — в проекциях на плоскости ху (a), xz (б), yz (в)
с
в минералогической установке
х( см рис. 25 и 69), т.е. появляется периодичность в расположении
одноименных элементов симметрии (плоскостей или осей 2-го порядка)
через (см. с- 49 и 52). Чередование разноименных плоскостей
симметрии (например, с(и) или осей 2-го порядка (2(2;)) через ^7\(рис.
69) объясняется присутствием в рассматриваемой группе С
дополнительного, центрирующего грань С элементарной ячейки
105
трансляционного вектора Тс, расположенного косо и к исходной
плоскости с, и к оси 2. Одна из координатных компонент, на которые
раскладывается вектор Тс, — параллельная исходному элементу
симметрии - изменит его наименование (в данном случае плоскость с,
получив дополнительное скольжение, превратится в клиноплоскость п, а
ось 2 — в 21), вторая компонента, перпендикулярная производному
элементу симметрии (и или 2;), перенесет их на свою середину, обусловив
этим чередование плоскостей с(и) вдоль координатного направления Z и
2(2/) вдоль оси X (рис. 69).
В результате взаимодействия плоскости симметрии и
перпендикулярной к ней оси 2-го порядка возникает обязательный для
голоэдрических групп центр инверсии. Однако если в пр. гр. Р (см.
рис. 68) центр инверсии оказывается сдвинутым трансляционной
компонентой винтовой оси 2/ (f = ) из точки пересечения оси и
плоскости на ее (компоненты) середину, т.е. на ^-7^, и как бы существует
самостоятельно, то в пр. гр. С за счет присутствия дополнительного
вектора Тс , а следовательно, появления как бы «вложенных» плоскостей
симметрии (и) все центры (исходные и производные) на графике
оказываются локализованными на плоскостях скользящего отражения,
сохраняя при этом симметрию позиции 1 .
Заключительным этапом вычерчивания графика пространственной
группы является выбор начала координат элементарной ячейки. По
принятому в Интернациональных Таблицах [73, 74] стандарту в качестве
начала координат самую симметричную ( с максимальной точечной
симметрией) и самую неподвижную (жестко фиксированную элементами
симметрии) точку (т.е.точку с минимальным числом степеней свободы -
минимальным количеством направлений, в которых она может
смещаться, не нарушая своей симметрии). Выбор начала координат в
моноклинных голоэдрических группах не вызывает затруднений, так как
центры инверсии четко фиксируют позиции без степеней свободы (см. рис.
68). Причем если в примитивных группах и группе такой выбор
бесспорен - в позиции с максимальной величиной симметрии (равной
4), то в группе из двух систем топологически одинаковых центров
инверсии в Интернациональных таблицах традиционно предпочтен центр
инверсии, расположенный в исходной плоскости с (см. рис. 69), с такой же
величиной симметрии (равной 2), как и в плоскости п.
106
VII.2.4. Вывод пространственных групп ромбической
сингонии
При выводе пространственных групп ромбической сингонии
удобно использовать основной принцип Вульфа о фундаментальной роли
плоскостей симметрии, рассматривая их как порождающие элементы
симметрии, т.е. в качестве генераторов пространственных групп.
Суть метода, предложенного Н.В.Беловым [5, 18], наиболее ярко
выступает при выводе групп ромбической голоэдрии, так как
ортогональный координатный репер, максимальное число решеток Браве и
присутствие порождающих неэквивалентных плоскостей симметрии,
перпендикулярных всем трем координатным направлениям, делает такой
вывод наиболее наглядным. Все это позволяет распространить его и на
вывод пространственных групп остальных сингоний.
Вывод пространственных групп ромбической голоэдрии
В качестве исходной при выводе пространственных групп
ромбической голоэдрии возьмем точечную группу £)2/, , международный
символ которой ттпт — подчеркивает топологическое сходство
всех трех неэквивалентных особых направлений, что позволяет перенести
акцент на направления скольжения в плоскостях трех позиций
международного символа. Начнем вывод с пространственных групп с
примитивной решеткой.
Пространственные группы с Р-решеткой
Сначала решим, какие трансляционные разновидности плоскостей
симметрии воз-
Рис. 70. Различные аспекты пространственной группы
ромбической голоэдрии р". Стрелками показаны направления
трансляционных компонент плоскостей скользящего отражения
можны на каж-
дой из трех
позиций между-
народного симво-
ла ромбической
голоэдрии. При
этом обратим
внимание на то,
что плоскости
скользящего от-
ражения а, Ь и с с
трансляционной компонентой, ориентированной вдоль одной из
координатных осей, изменяют свои наименования в зависимости от той
или иной ориентации их компонент(/ ). Обозначения же клиноплоскостей
п не меняются в зависимости от. их ориентации относительно
* anI
107
координатных направлений вследствие того, что их трансляционные
компоненты направлены по диагоналям граней элементарной ячейки, т.е.
не привязаны к какой-либо определенной координатной оси. Таким
образом, перпендикулярно оси X, т.е. на 1-й позиции международного
символа, могут раполагаться плоскости tn, п, с или Ь; на 2-й позиции -
перпендикулярно оси Y - плоскости т, п, с или а и на 3-й -
перпендикулярно оси Z - плоскости т, п, а и Ь. И вывод групп
ромбической голоэдрии сведется к определению сочетаний всех
возможных перечисленных выше плоскостей. Однако формальная
перестановка букв приведет к большому количеству групп, значительно
превышающему их реальное число из-за того, что одна и та же группа в
разных аспектах будет обозначаться разными символами (рис. 70).
Избежать указанных трудностей можно, воспользовавшись
рекомендациями Н.В.Белова, предложившего следующую схему их
вывода.
Рис. 71 Трансляционная компонента плоскости скользящего отражения третьей
позиции символа, параллельная одной из вертикальных зеркальных плоскостей и
перпендикулярная другой (а), делает две установки пространственной группы D5,h
топологически одинаковыми: Ртта = РттЬ', компонента, параллельная плоскости пу
(или /и,) и перпендикулярная т, (или п„), в пр. гр. Ртна =D'2h и РтпЬ - D2h
соответственно (б) делает эти группы топологически различными, т.е. Ртпа * РтпЬ
Первое семейство пространственных групп составляют
комбинации "удобных" - не меняющих свое наименование - плоскостей
симметрии:
Рттт (p‘2h), Рппп (p2h\ Рттп (.Е^л) и Рппп {p‘2h\
Обратим внимание на то, что при записи символов групп в стандартном
аспекте единственную в своем роде плоскость принято располагать
горизонтально, т.е. помещать на 3-ю позицию символа.
Следующее семейство составят пространственные группы с двумя
"удобными" плоскостями т и п и одной "неудобной" на третьей позиции
символа. При этом "удобной" окажется плоскость с горизонтельным
скольжением (поскольку вертикальное скольжение у горизонтальной
плоскости невозможно!):
108
Рттт = Pmmb[p2h ) (рис. 71, а),
Рппа = Pnnb(p62h ),
Ртпа = Pnmb(p72h )
Рпта = Pmnb(p'2h ) (рис 71,6).
Как видим, каждая из двух первых групп имеет своего
топологического напарника. Однако стандартный аспект в
Интернациональных таблицах соответствует установке с плоскостью а на
последнем месте символа. Во второй паре групп (D72h и D‘2h) вектор
скольжения плоскости а, расположенный в пр. гр. Ртпа перпендикулярно к
плоскости т и в пр. гр. Рпта — перпендикулярно клиноплоскости п (рис.
71,6), делает эти группы топологически разными.
Иногда описание той или иной кристаллической структуры дается
в нестандартной установке. В этом случае на помощь приходит символ
Шенфлиса, где надстрочный порядковый номер группы в пределах одного
кристаллографического класса указывает на определенную
пространственную группу, выполняя роль своеобразного ключа. Например,
структура PdCl2 часто описывается в аспекте РЬпт (= Рпта - D26h).
В третьем семействе пространственных групп, с одной “удобной”
плоскостью (т или п) на последнем месте символа, две другие плоскости
могут быть либо однотипными, т.е. обе с вертикальным или обе
сгоризонтальным скольжением:
Реет (о2Л) Peen Pbam (pv2h\ Pban (£>^)(рис. 72, a, 6),
либо разного типа - одна с горизонтальным, другая с вертикальным
скольжением: Pbcm РЬсп
В последнем, четвертом семействе пространственных групп нет ни
одной «удобной» плос-
Рис. 72. Группы с однотипными вертикальными
плоскостями (только с вертикальным (а, в) или только с
горизонтальным (б) скольжением). Трансляционные
векторы всех трех плоскостей скользящего отражения в
пр. гр. РЬса направлены вдоль разных координатных
осей (г)
кости, т.е. ни т, ни п. При
этом в одном варианте
векторы скольжения двух
плоскостей параллельны
друг другу и перпенди-
кулярны вектору 3-й
плоскости:
Рсса (= Pbaa - Pbab =
Pccb = Pbcb =Рсаа) = =
D*h (рис. 72, в), в дру-
гом - векторы сколь-
жения плоскостей сим-
метрии всех трех позиций
символа взаимно перпендикулярны ( со скольжением вдоль осей X, Y и Z):
109
Pbca (= Pcab) = Dl25h (рис. 72, г).
В итоге получено 16 пространственных групп ромбической голоэдрии с Р-
решеткой.
Каждая пара плоскостей в символе ромбической голоэдрии задает
характер и положение результирующей оси 2-го порядка, расположэенной
параллельно линии пересечения плоскостей и фиксированной на не занятой
плоскостями позиции символа. Причем, если обе порождающие плоскости
зеркальные или обе содержат параллельные трансляционные векторы, то
возникшая ось окажется поворотной. Если же вектор, параллельный оси,
содержится лишь в одной из плоскостей, он меняет характер оси на
винтовой. Таким образом, каждый символ ромбической группы может
быть записан в развернутом виде:
Рттт = Ртпа = Р Pbca = Р
Не следует также забывать, что любая пара элементов симметрии любой
позиции развернутого символа (ось 2-го порядка и перпендикулярная к ней
плоскость симметрии) обусловит появление и центра инверсии.
Пространственные группы с С-решеткой
Топологическая эквивалентность всех трех направлений ромбо-
бипирамидального класса ттт делает центрировки А, В и С
неразличимыми. Однако центрировка одной пары граней элементарной
ячейки (в стандартной установке - центрировка С) делает горизонтальную
Рис. 73. Положения дополнительных трансляционных
векторов Г4, 7'е, Тс, Т, и их проекций ( t ) на
координатные оси в базоцентрированной (а),
объемноцентрированной (б) и гранецентрированной (в)
ячейках Браве
плоскость топологи-
чески отличной от
двух других, в данном
случае от вертикаль-
ных плоскостей (1-й и
2-й позиций символа),
так как вектор У(. по-
разному ориентирован
относительно горизон-
тальной и вертикаль-
ных плоскостей (ле-
жит в горизонтальной
плоскости и распо-
ложен под косыми углами к вертикальным) и поэтому по-разному с ними
взаимодействует (рис. 73, а).
Для того чтобы найти результат взаимодействия вектора Тс с
вертикальными плоскостями, удобно разложить его на две компоненты ta
и th (рис. 73, ), каждая из которых параллельна одной и перпендикулярна
другой плоскости. Плоскость симметрии, получив горизонтальное
ПО
скольжение от 1-й параллельной ей компоненты (f ц) и изменив тем
самым свое наименование, будет перенесена в направлении 2-й,
перпендикулярной к ней компоненты (Z±) на ее середину. Таким образом,
в базоцентрированной решетке (С) появятся как бы «вложенные»
плоскости симметрии, т.е. будет наблюдаться чередование плоскостей на
1-й и 2-й позициях: w(g)'’ и с(л).
Совсем иначе ведут себя горизонтальные плоскости (3-й позиции
символа) т, п, а, Ь, взаимодействие которых с лежащим в них вектором
Тс обусловит тождественное равенство плоскостей т = п и а = Ь, т.е . одна
и та же плоскость будет одновременно «работать» в качестве плоскости как
одного, так и другого наименования.
Итак, в базоцентрированных группах ромбической голоэдрии
дополнительная трансляция Тс обусловит следующие чередования:
на 1-й позиции символа т(Ь) и с(«),
на 2-й позиции символа т(а) и с(н),
на 3-й позиции символа тождественное равенство т = п и а = Ь.
Отсюда получим 6 базоцентрированных групп ромбической
голоэдрии:
Сттт - D29h, Стта = D2lh, Стет (Сстт) = D27h,
Стеа (=Сста) = D28h, Cccm = D2°h, Ссса = D22h.
В стандартной записи этих групп предпочтение отдается не
клиноплоскостям п, а плоскостям с с однозначным скольжением вдоль
вертикальной оси Z, так же как плоскостям а, а не Ь, на 3-й позиции
символа. Например, Сс(п)с(п)а=Ь = Ссса.
Не следует забывать и о присутствии осей 2-го порядка,
порожденных каждой парой пересекающихся плоскостей симметрии и
затемс взаимодействующих с вектором Тс, что удваивает их количество.
При этом, если горизонтальные оси 1-й и 2-й позиций меняют свой
характер за счет косо расположенного к ним центрирующего вектора Тс ,
то количество вертикальных осей (осей 3-й позиции) удваивается без
изменения их наименования. Например, развернутый символ пр. гр. Ссса
г 2(2,) 2(2,) 2(2)
запишется следующим образом: •
1 ) Обозначение плоскости скользящего отражения буквой g не указывает
направление ее горизонтальной трансляционной составляющей (см.
примечание на с. 137).
111
Пространственные группы с 1-решеткой
В объемноцентрированных группах ромбической голоэдрии
присутствие дополнительного вектора Т, , одинаково расположенного ко
всем порождающим плоскостям, не только сделает их топологически
эквивалентными, но и обусловит обязательное чередование разноименных
плоскостей симметрии: т(п) и плоскостей со скольжением вдоль одного
ребра ячейки с плоскостями со скольжением вдоль перпендикулярного
ребра. Действительно, разложив вектор, центрирующий объем
элементарной ячейки на три координатных составляющих 7^ = +
(рис. 73, б), увидим, что заданная плоскость любой позиции символа,
например тх, за счет взаимодействия с двумя параллельными ей векторами
превращается в плоскость пх: тх- tb tc = пх, которая, в свою очередь, за
—>
счет взаимодействия с перпендикулярным к ней вектором ta окажется на
его середине. В результате плоскость тх будет чередоваться с плоскостью
->
пх: т/п*). Плоскость 2-й позиции, например ау (= ту- ta ), взаимодействуя
-> —>
с составляющими ta и tc , превратится в плоскость су, которая под
->
действием tb перенесется на его середину, обусловив этим чередование
вдоль оси Y плоскостей а/Су), плоскость 3-й позиции а: ta • tb = bz и
далее Ь. tc —> a2(b^.
Таким образом, имея на 1-й позиции символа - т(п) и Ь(с),
на 2-й позиции символа - т(п) и а(Ь),
на 3-й позиции символа - т(п) и а(Ь),
можно составить 6 комбинаций элементов симметрии - 6
пространственных групп: Immm, Imma, Imam, Imaa, Ibam, Ibaa. Однако не
все они оказываются оригинальными. К примеру, символы Imma и Imam
(рис. 74, a), Ibam и 1таа (рис. 74, б) представляют одну и ту же группу в
разных аспектах.
В результате получим 4 пространственные группы ромбической
голоэдрии с /-решеткой:
I 7^25
Immm = U2h,
Ibam (=Imaa) = D^h ,
Ibca (= Ibaa) = D^h ,
112
г Г>28
Imma = L)-,h .
Стандартная запись группы Ibca = lb(c)a(c)a(b) фиксирует такой ее
аспект, при котором векторы записанных в символе трех плоскостей
Imma(b) =Jma(c)m
Ib(c)a(c)m=Ima(c)a(b)
Рис. 74. К выводу ромбических пространственных групп с /-решеткой
симметрии располагаются параллельно всем трем координатным осям.
Развернутая же запись всех перечисленных выше /-групп будет включать в
себя и оси 2-го порядка. При этом помимо осей, порожденных исходными
плоскостями, появятся и оси иного характера как результат взаимодействия
—»
исходных осей с вектором Т, . Например, развернутый символ группы
Ibam будет иметь следующий вид: у .
b (с) а (с) т (и)
Пространственные группы с F-решеткой
Гранецентрированная ромбическая решетка характеризуется тремя
дополнительными трансляциями, каждая из которых лежит в плоскости
одной из граней элементарной ячейки и косо расположена по отношению к
двум другим. Это делает все три координатные плоскости топологически
эквивалентными. Однако все три вектора ТА , Тв и Т(. (см. рис. 73, в)
взаимосвязаны, так как центрировка двух граней элементарной ячейки
приводит к центрировке третьей ее грани: тл + Т в = Тс • Поэтому
достаточно рассмотреть взаимодействие плоскости симметрии, зад'анной на
одной из позиций символа, лишь с двумя векторами Г-решетки.
Плоскость 1-й позиции тх при взаимодействии с лежащим в ней
вектором Та станет одновременно и клиноплоскостью пх (тх s nJ.
с А'
113
Взаимодействие же этих (т и и) плоскостей с вектором TR - tc + ta
—>
поменяет за счет присутствия в нем вертикальной составляющей tc их
наименования: т на с, п на Ь, т.е. плоскость с станет тождественно равной b
(с = Ь), и за счет взаимодействия с перпендикулярной к ней компонентой
—>
ta окажется на ее середине. Взаимодействие заданной плоскости с
вектором тс ничего нового не даст. Таким образом, задание на любой
позиции символа плоскости т влечет за собой весь спектр плоскостей: т в
= n(c=b). В результате получим одну пространственную группу
D^h = Fmmm — Fm s п(с = b)m = п(с = a) ms л(« = Ь).
Однако следует помнить, что параллельно центрированной грани
элементарной ячейки может располагаться “алмазная” клиноплоскость d. А
так как результатом взаимодействия двух взаимно перпендикулярных
плоскостей симметрии будет ось 2-го порядка - поворотная или винтовая,
нетрудно прийти к выводу, что перпендикулярно к плоскости d может
располагаться исключительно плоскость d, ибо только в этом случае
возникнут оси 2 или 2/. Поворотная ось 2-го порядка появится в том случае,
если параллельные трансляционные составляющие двух пересекающихся
плоскостей d направлены в противоположные стороны, т.е. “погасят” друг
друга /L = о), и винтовая 2; - если составляющие трансляционные
4 4
компоненты взаимодействующих плоскостей d направлены в одну сторону
г— + Т- - —). Во всех других вариантах взаимодействий плоскости d с
4 4 2
перпендикулярными к ней плоскостями иных наименований (например,
d т, d • с, d • п) возникли бы оси 2-го порядка с недопустимой для них
трансляционной компонентой, равной 1/4 координатной трансляции. Все
это заставляет сделать вывод о единственности голоэдрической группы с
«алмазными» плоскостями: Fddd- D^.
Вывод пространственных групп ромбической гемиэдрии
Гемиморфные группы (см. с. 42), подчиненные точечной группе mm2,
отличаются от голоэдрических тем, что из трех особых направлений одно,
как правило, совмещаемое с координатной осью Z, представлено осью
симметрии, а два других - нормалями к плоскостям симметрии. Это делает
топологически различными вертикальное и горизонтальные особые
направления. Поэтому приходится отличать центрировку грани А(В) от С,
так как центрирующий вектор оказывается по-разному ориентированным
114
относительно единственной оси 2-го порядка. Таким образом, вместо
одного типа С(Л,Я)-решетки Браве в голоэдрических группах в
гемиморфных появятся две: Л(Р)-решетка и С-решетка.
Пространственные группы с Р-решеткой
Для вывода всех групп ромбической гемиморфии с /’-решеткой за
основу логично было бы взять уже выведенные ранее пространственные
группы ромбической голоэдрии и отбросить одну из порождающих
плоскостей симметрии. Однако в этом случае придется из 48 (16 • 3)
вариантов сочетания букв выбрать 10 неповторяющихся, которые и
составят нужное семейство пространственных групп симметрии. Это
связано с тем, что из каждой голоэдрической группы можно получить три
подгруппы, подчиненные точечной mm2.
Значительно проще осуществить вывод гемиморфных пространст-
венных групп аналогично выводу голоэдрических, комбинируя плоскости с
разными типами скольжения первых двух позиций символа (см. с. 46-49).
Зная порождающие плоскости, нетрудно определить и характер
порожденных ими осей 2-го порядка. В результате получим:
1) группу только с зеркальными плоскостями симметрии -
симморфную пр. гр. Ртт2 ( C2v);
2) группы с одной зеркальной и одной плоскостью скользящего
отражения - Pmn2t ( C2v), Ртс2! (C2v), Рта2 {C2v);
3) группы с двумя плоскостями скользящего отражения:
а) обе плоскости с одинаковым скольжением (обе с горизонтальным,
обе с вертикальным скольжением либо обе клиноплоскости п) - РЬа2
(С28,,), Рсс2{С^),Рпп2(С™},
б) обе плоскости с разным скольжением — Рпа2/ (Cj„)> Рпс2 (С2„),
Pca2,(C52v).
В результате без лишних повторений получили 10 гемиморфных
групп ромбической сингонии с Р-решеткой, каждая из которых может быть
представлена в двух аспектах (ось 2 всегда направлена вдоль оси Z!),
например Рта2 = РтЬ2. Однако стандартная установка соответствует
плоскостям а на 2-й позиции символа и т или п - на 1-й позиции.
Пространственные группы с С-решеткой
Если в группах ромбической голоэдрии с Р-решеткой плоскости всех
трех позиций символа топологически неразличимы, что затрудняет переход
от них к гемиморфным группам, то в группах с базоцентрированной
решеткой (С) вектор Тс жестко фиксирует горизонтальную плоскость
115
симметрии - плоскость 3-й позиции, перпендикулярную к единственной
оси 2-го порядка, делая ее топологически отличной от вертикальных
плоскостей. Это позволяет вывести гемиморфные группы с С-решеткой
простым отбрасыванием плоскостей 3-й позиции из символов
базоцентрированных голоэдрических групп симметрии, выведенных ранее:
Cmm m
Cmm а
С me пг
Cmc а
Ссс ГП
Ссс а
->С/ши2(С"),
->Слие2,(с£), (см. с. НО).
1->Ссс2(С").
К этому же результату можно прийти, рассмотрев взаимодействия
возможных плоскостей симметрии 1-й и 2-й позиций символа с вектором
Те, как это было сделано выше при выводе всех голоэдрических групп.
Пространственные группы с А-решеткой
Для того чтобы вывести гемиморфные группы ромбической сингонии
с фигурирующей в справочниках бокоцентрированной /1-решеткой (В-
решетка с центрированной гранью В топологически ей идентична), можно
также воспользоваться выведенными ранее С-группами ромбической
голоэдрии, предварительно переведя их в /1-аспект (каждый в двух
установках) (рис. 75).Отбросив горизонтальные плоскости (3-й позиции) из
голоэдрических групп обеих установок, приходим в каждой из них к
одному и тому же результату: к четырем группам ромбической гемиморфии
с /1-решеткой. В отличие от пространственных групп с С-решеткой, где
вертикальные плоскости (1-й и 2-й позиций) топологически одинаковы по
отношению к вектору Те, в Л-группах вектор Т. , располагаясь в плоскости
1 -й позиции, оказывается наклонным к другой вертикальной плоскости (2-й
позиции), что делает их топологически различными. Это объясняет
тождественность (двойственность) плоскостей симметрии, параллельных
центрированной грани - m = п, с = Ь,н чередование плоскостей 2-й позиции
- ли(с) и а(п):
Amm 2 <— Amm Amm m <-Cmmm —tAmm m Amm 2^(2
Ama2 <— Ama a a <—Cmcm —> Ama <r-Cccm-> Ama m a ^Ama2(c'^
Abm m <r-Cmma—> Acm m -^Abm2(c'^
Abm2<— Abm a <—Cmca-> Аса m
Aba2 <— Aba a <—Ccca^> Аса a ->Aba2(c”)
116
Стет = Атат — Атта
Сеет = Атаа = Атаа
Cmrna = Астт = АЬтт
Стеа = Асат = АЬта
Ceca = Асаа = АЬаа
Топологическая неэквивалентность вертикальных плоскостей
симметрии в Л-решетках делает недопустимой их перестановку на первых
двух позициях символа без соответствующего изменения наименования
решетки Браве, как это возможно в С-группах. Например, Ата2 = ВЬт2 *
* Abm2 = Вта2. И если в С-группах вектор Тс, перпендикулярный
вертикальным осям 2-го порядка, просто удваивает их количество, то в А-
группах дополнительная трансляция ТА, расположенная косо по
117
отношению к этим осям, обусловливает не только их чередование, но и
разноименность, т.е. 2(2 j). Отсюда развернутые символы /1-групп:
Ата2 = Ат =п а(п) 2(2/ ),
Атт2 = Ат = п т(с) 2(2/ ),
Abm2 = АЬ =с т(с) 2(2, ),
АЬа2 = АЬ = с а(п) 2(2/ ).
Пространственные группы с 1-решеткой
Топологическая эквивалентность всех трех плоскостей
голоэдрических /-групп относительно вектора 7}, центрирующего объем
элементарной ячейки, затрудняет переход от них к
объемноцентрированным группам ромбической гемиморфии, так как
наличие “вложенных” плоскостей симметрии, т.е. чередования различных
по наименованию плоскостей всех трех позиций символа, приводит при
отбрасывании плоскостей одной из позиций к большому числу вариантов,
что усложняет их анализ и установление различных аспектов одной и той
же пространственной группы. Например, из группы Ibam можно вывести
следующие гемиморфные группы:
Iba..., 1сс..., Ibc..., 1са...,
Ib(c) а (с) т(п) —> 1с...п, 1Ъ...п,
I ...ат, 1...СП, 1...ап.
Поэтому при выводе /-групп ромбической гемиморфии удобнее
воспользоваться прямым перебором возможных на первых двух позициях
символа порождающих плоскостей симметрии: на 1-й позиции - т(п), Ь(с);
на 2-й позиции - т(п), а(с). В результате получим сразу 3 группы, каждая
из которых является надгруппой нескольких групп с Р-решеткой:
Ртт2
С2" = 1тm2 - Im(n)ni(n)2(2,) —> « Pmn2
Pnn2
Pba2
С2', - Iba2 - —> Рса2,
Рсс2
Рта2
С22 = 1та2
1т{п)а{е)2(2^ —>
Pnic2t
Рпс2
Pna2t
118
Пространственные группы с F-решеткой
Переход от гранецентрированных групп ромбической голоэдрии с
топологически эквивалентными плоскостями одинакового наименования
всех трех позиций символа к гемиморфным /’-группам не вызывает
затруднений, так как удаление горизонтальной плоскости с сохранением
всех возможных сочетаний вертикальных плоскостей даст то же самое
количество /'-групп с зеркальными и алмазными плоскостями:
~ Fmm2 = Fm - n(b = с) m = n(b s c) 2(21 ),
C” = Fdd2 = Fd(d') dW 2(2,).
Вывод пространственных групп ромбической осевой
гемиэдрии
Топологическая эквивалентность трех особых направлений ромбо-
тетраэдрического класса (222) делает центрировки А, В и С, так же как и в
ромбо-бипирамидальном классе (ттт), неразличимыми. Поэтому, как и
голоэдрические, группы осевой гемиэдрии ромбической сингонии
обслуживаются четырьмя типами решеток Браве: Р, С {А, В), I и F.
Пространственные группы с Р-решеткой
Все пространственные группы, подчиненные точечной группе 222,
2 2 2
легко получить, выписав в развернутом виде (-) выведенные ранее
ттт
P-группы ромбической голоэдрии и изъяв из них операции 2-го рода. В
результате кроме симморфной пр. гр. Р222 (D\ ) получим три
асимморфные пространственные группы - Р222,( D* ), Р2,2,2 ( D* ), Р2,
2,2,(0*):
P^Z
ттт
pill
n n n
с c m
рш
b a n
plLl
m m a
plkl
•P222,
n n a
pLLL
m n a
pkll
с c a
P222,,
P 2,2,2,
•P2,2,2,.
Из каждой тройки выписанных в символе пространственной группы
осей 2-го порядка любые две, расположенные под углом 90° одна к другой.
119
могут служить порождающими, третья же, перпендикулярная к ним,
окажется порожденной. Обратим внимание, однако, на то, что одинаковые
порождающие пары осей приводят к появлению осей разного характера:
Р222 и P222i ^2^)2 и P2t2i2i). Это объясняется тем, что в одном случае
порождающие оси пересекаются, в другом - скрещиваются. В результате 6
вариантов взаимодействия пересекающихся и скрещивающихся
поворотных и винтовых осей 2-го порядка реализуются в выведенных выше
четырех пространственных группах. При этом, если порожденная ось пово-
ротная, то порождающие оси пересекаются, если же порожденная —
винтовая, то порождающие оси скрещиваются независимо от их
характера.
Пространственные группы с С-решеткой
Для того чтобы получить пространственные группы с
непримитивными решетками Браве, необходимо ко всем операциям каждой
P-группы приложить трансляцию соответствующей решетки. При этом,
если решетка имеет косые трансляции по отношению к осям симметрии, то
всегда будет наблюдаться чередование осей поворотных и винтовых -
2(2/), если же дополнительный вектор решетки перпендикулярен к оси
симметрии, то он, перенося ось на свою середину, не изменит ее характер.
В результате получим
Р 222-Тс^ - С 2(2/)2(2,)2(2) с 222^
Р 2,2,2-Тс -> С 2,(2)2,(2)2(2)
Как видим, принципиального различия между этими двумя группами
нет, так как оси 2. в сокращенной записи этих групп указывают на то, что
одноименные оси 1-й и 2-й позиций символа пересекаются:
Р222,Т^С2^2(2^\С.
Р2,2,2,Тс^С2,(2)2,(2)2,(2,)
Сокращенная запись этой пространственной группы указывает на то,
что одноименные оси скрещиваются, а разноименные - пересекаются.
Пространственные группы с 1-решеткой
Поскольку оси 2-го порядка всех трех позиций символа относительно
дополнительного вектора Т, топологически эквивалентны, то вдоль
диагоналей каждой грани элементарной ячейки в /-группах будет
наблюдаться чередование перпендикулярных к ней поворотных и винтовых
осей 2-го порядка - 2(21). Взяв за основу пространственные группы с Р-
решеткой и добавив к ним вектор Т,, получим
120
P222-T,^I2{2}2{2^2(2}
P2I2,2TI^I2{2)2{2)2(2\
P222l.f,^I2(2l)2(2,)2l(2)
P2,2,2l.fl^12l(2)2l(2)2l(2\
I222(d§,
^12,2,2^.
Несмотря на то что в каждой из полученных двух /-групп на всех
позициях символа наблюдается чередование осей 2(2;), эти группы
различны: в пространственной группе 1222 одноименные оси пересекаются,
в группе 12! 2, 2/ - скрещиваются. Это отражено в их краткой условной
записи. На эту же особенность перечисленных групп указывает и их
происхождение.
Пространственные группы с F-решеткой
В F-решетке совокупность трех векторов, центрирующих все грани
элементарной ячейки, приводит к тому, что в одной и той же
пространственной группе оказываются реализованными все возможные
сочетания осей 2-го порядка: и поворотные, и винтовые оси и
пересекаются, и скрещиваются. Таким образом, комбинации всех четырех
P-групп слились в одну F-группу - F222 ( £>’).
Переход от голоэдрических пространственных групп к
гемиэдрическим (ттт —> mm2, 222) подразумевает освобождение от
операций симметрии 2-го рода - плоскостей и (или) центров инверсии.
Естественно, воспользовавшись обратным приемом, можно восстановить
голоэдрические группы, взяв за основу гемиэдрические.
Легко увидеть, что результатом последовательных отражений в трех
плоскостях симметрии любой пространственной группы класса ттт будет
инверсия. Положение центра инверсии зависит от его взаимодействия с
трансляционными векторами исходных плоскостей скользящего отражения,
каждый из которых сдвигает точку инверсии на свою середину. В
результате этого центр инверсии может оказаться в общем случае в одной
из восьми неэквивалентных позиций с координатами
ООО, 00-, 0^0, -00, О——, --0, -0-, ---• Таким образом,
4 4 4 4444 44444
приняв за исходную одну из гемиэдрических пространственных групп и
выделив в ней независимые позиции для центров инверсии, можно
получить все голоэдрические группы, для которых исходная группа служит
подгруппой. Если инверсия добавляется к операциям непримитивных
пространственных групп, то число возможных независимых позиций для
точки инверсии сокращается. Например, в гемиморфных группах с Р-
решеткой возможны лишь 4 позиции: 00z — zO 0—z ——z, так как
’4 ’ 4’44
отсутствие фиксированного начала координат вдоль оси Z делает
тождественными позиции ООО и oqI, — 00 и —О— и т-д- Расположив
4 4 4 4
центры инверсии в этих позициях и рассмотрев их взаимодействия с
исходными элементами симметрии группы Pmn2h получим 4
голоэдрические группы:
Pmn2t ifpoz) = Ртпа,
Ртп2, /(0 1/4.) = Ртпп = Рппт,
Ртп2) 41/4 02) = Ртпт = Рттп,
Ртп2) i(l/4 i/42) = Pmnb = Рпта;
из группы Cmc2i получим только две группы:
Cmc2t • i(oo:) = Стет,
Cmc2j- i(o\/4Z) = Стеа.
В пространственной группе Р222 различными для возможных центров
инверсии окажутся четыре позиции: ООО, 00—> ——0 и ———, располагая в
4 44 444
которых центры инверсии, получим следующие пространственные группы
ромбической голоэдрии:
Р222 /(ооо) ~ Рттт,
Р222 /фо 1/4) = Реет,
Р222 /(1/4 |/4 0) ~ РЬап,
Р222 i(\/41/41/4) = Рппп.
Для пространственной группы 1222 таких позиций для центров
инверсии две - ООО и 00— •’
4
1222 ((ом» = 1ттт,
1222 i(Do 1 о/ = Imaa = Iccm.
Указанным способом может быть осуществлен переход от
гемиэдрических групп к их надгруппам ромбической голоэдрии. Конечно,
в качестве вводимой операции симметрии 2-го рода можно использовать и
отражение в плоскости симметрии: горизонтальной, если исходной
является гемиморфная группа, и любой плоскости - при выводе из групп
осевой гемиэдрии.
VII.2.5. Графическое представление
пространственных групп ромбической сингонии
Прежде чем начать строить график пространственной группы,
следует, задав значения трансляционных координатных векторов, лежащих
в плоскости чертежа, изобразить в масштабе проекцию элементарной
ячейки в соответствующей установке и далее при вычерчивании
122
гемиморфных пространственных групп, посчитав в качестве порождающих
элементов симметрии записанные в символе плоскости, изобразить их на
соответствующих позициях. Если решетка примитивная, то заданные
плоскости симметрии будут взаимодействовать лишь с перпендикулярными
к ним координатными трансляционными векторами ТХ,Т и Т, и между
собой. В результате взаимодействия плоскости с вектором,
перпендикулярным к ней, возникнет плоскость того же наименования на
его середине (см. с. 49). Это обусловит периодичность в расположении
одноименных плоскостей, равную половине координатных трансляций
(— Т± ). В качестве порожденных элементов симметрии возникнут центры
2
инверсии и оси 2-го порядка, характер и положение которых будут зависеть
от типа пересекающихся порождающих плоскостей симметрии (см. с. 59).
Задав вначале лишь плоскости первых двух позиций символа и
получив результирующую ось 2-го порядка, мы, таким образом, вычертим
график одной из гемиморфных групп. Последующее взаимодействие
элементов симметрии гемиморфной группы с заданной горизонтальной
плоскостью обусловит возникновение целой серии дополнительных
элементов симметрии, характерных для голоэдрических пространственных
групп.
В качестве примера построим график пространственной группы
РЬсп в ее нестандартном аспекте Рпса (D“).
1. Вычертив в масштабе элементарную ячейку («х Ь, у = 90°), нанесем
на график (рис. 76, 1) записанные в символе вертикальные плоскости и, и
су
2. Размножим заданные плоскости перпендикулярными к ним
координатными трансляционными векторами Тх и Ту . Таким образом,
элементарная ячейка окажется оконтуренной заданными плоскостями (рис.
76, 2).
-> ->
3. За счет взаимодействий исходных плоскостей с векторами Тх и Ту
появятся плоскости такого же наименования на их серединах (рис. 76, 3):
пх • Тх —> пх на расстоянии i,
су • Т -> су на расстоянии .
2
4. Взаимодействие двух взаимно перпендикулярных плоскостей пх • су
приведет в появлению результирующей оси 2-го порядка, характер которой
будет определяться вертикальными трансляционными составляющими
123
Рис. 76. Этапы построения (1 — 9) и окончательный график (10) одного из аспектов
пр. гр. D‘24h =Рпса
взаимодействующих плоскостей симметрии. Представив каждую из
124
плоскостей скользящего отражения составляющими их симметрическими
операциями: пх = тх • tc- th , су — ту- tc, увидим, что векторы tc обеих
плоскостей “погасят” друг друга и поэтому не изменят поворотный
характер оси 2-го порядка, параллельной линии пересечения исходных
плоскостей. Однако за счет взаимодействия этой оси с перпендикулярным к
->
ней вектором tb (трансляционной компонентой плоскости пх) она будет
перенесена на середину этого вектора и окажется в положении о—z (рис.
4
76, 4).
5. Дальнейшее взаимодействие полученной оси 2. с координатными
трансляциями элементарной ячейки обусловит периодичность этих осей
вдоль координатных направлений Т и Т через —Г и —7 (рис. 76, 5).
у 2 * 2 г
Поскольку все возможные позиции в этой пространственной группе
оказываются занятыми одинаковыми по характеру осями, в данном случае
нет смысла учитывать последовательность проводимых симметрических
операций (пх су или су пх ), от которой зависит положение
результирующей оси, так как некоммутативность симметрических
операций не сказывается на конечном результате (см. с. 59).
Таким образом, на этой промежуточной стадии оказывается
построенным график гемиморфной группы Рпс2 (С|„) °.
6. Далее, нанеся на график плоскость 3-й позиции - плоскость а:,
получим в качестве результата ее взаимодействия с вертикальными
плоскостями пх и су горизонтальные оси симметрии 2-го порядка (рис. 76,
6) .
а) пх -а,=( tc- th mx) (m. ta) -> 2l(y).
Операции отражения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях
симметрии тх и т, дадут ось 2У. Вектор th , параллельный возникшей оси,
превратит ее в винтовую 2цг} , каждый же из векторов tc и ta,
взаимодействуя с полученной осью 2/W, перенесет ее на свою середину, т.е.
на — соответствующей координатной трансляции: вектор t поднимет ось
4
'Г ~~* 7’
2цу) на , а вектор t перенесет ее в направлении оси X на величину Л.. В
4 4
1) Начало координат в пр. гр. Рпс2 выбирается на оси Л - в частной позиции с одной
степенью свободы.
125
результате будет получена винтовая ось 2/^ в положении — у—
4 4
(рис. 76, 6).
б) су • ту) {т. • ta)-> 21М.
И вновь операции отражения в двух плоскостях ту и т. дадут ось 2-го
—>
порядка, взаимодействие которой с трансляционной составляющей ta
превратит ее в винтовую 2цху которая, в свою очередь, взаимодействуя с
Т
вектором tc, окажется передвинутой на Ь. и, таким образом, будет
4
локализована в положении х0— (рис. 76, 6).
4
7. Взаимодействие полученных осей 2^ и 2/м с координатными
трансляциями элементарной ячейки Тх, Ту и Т, вновь обусловит
Т
периодичность этих осей через — вдоль координатных направлений (рис.
2
76, 7). В результате развернутый символ данной пространственной группы
2 2 2
будет p=J--L~ .
пса
8. Взаимодействие каждой пары симметрических операций любой
позиции символа (оси 2-го порядка и перпендикулярной к ней плоскости
симметрии) приведет к появлению инверсии в качестве результирующей
симметрической операции. Если ни плоскость, ни перпендикулярная к ней
ось симметрии не имеют трансляционных составляющих, то положение
центра инверсии четко фиксируется точкой пересечения плоскости и оси. В
том случае, если какой-либо из названных элементов симметрии содержит
трансляционную компоненту, то возникший центр инверсии переместится
за счет взаимодействия с этим вектором на его середину (см. с. 58).
Так, _ = 2, • tn.- t . Центр инверсии, возникший при взаимодействии
а
2. tn., переместится вектором ta на его середину в позицию ——о (рис.
4 4
76, 8).
9. Последующее взаимодействие полученного центра инверсии с
координатными трансляциями обусловит периодичность центров во всех
Т
координатных направлениях через — (рис. 76, 9). Возможность получения
2
одного и того же семейства центров инверсии в результате взаимодействия
126
J
любой пары симметрических операций (_) на каждой из трех позиций
т
символа является хорошей проверкой правильности их (центров инверсии)
локализации:
А = ^ = А = 7
«Ж СУ а: (77"У
10. Важным компонентом вычерчивания графиков пространственных
групп симметрии является правильный выбор начала координат. В
соответствии со стандартом, принятым в Интернациональных таблицах,
начало координат выбирают в самой высокосимметричной и максимально
фиксированной (т.е. самой неподвижной - с .минимальным числом
степеней свободы) точке. При этом число степеней свободы указывает на
количество координатных направлений, передвигаясь вдоль которых, точка
не меняет своей симметрии.
Качественной оценкой симметричности той или иной позиции в
данной пространственной группе является ее симметрия - наличие
пересекающихся в этой точке конечных (макро) элементов симметрии, т.е.
ее точечная группа симметрии. Количественной же мерой служит так
называемая величина симметрии, характеризующая симметрию данной
пози1{ии, т. е. порядок — размножающая способность — точечной группы.
Например, порядок точечной группы ттт - 8, w - 2 и т.д.
Если позиции имеют одинаковую величину симметрии, то
предпочтение при выборе начала координат отдается наиболее
неподвижной из них. Например, центр инверсии I (величина симметрии
2, нет степеней свободы) предпочтительнее точки с симметрией 2
(величина симметрии 2, одна степень свободы), далее идет точка на
зеркальной плоскости симметрии т (величина симметрии 2, две степени
свободы) и т.д.
В рассматриваемом примере из двух точек частного положения с
симметрией 1 и 2 в качестве начала координат выбирается четко
фиксированная центром инверсии позиция (без степеней свободы), после
чего график искомой пространственной группы перерисовывается с новым
началом координат (рис. 76, 10).
Выбор начала координат в гемиморфных группах не всегда
однозначен, так как отсутствие центров инверсии заставляет выбрать для
него условную точку на поворотной оси (если она присутствует), т.е. в
позиции с одной степенью свободы (точку с одной нефиксированной
координатой). При отсутствии поворотных осей 2-го порядка начало
координат выбирается на плоскости симметрии т (как, например, в пр. гр.
Ртс2/ (рис. 77, а)): при этом, если возможно, такую точку обычно
выбирают на винтовой оси 2l(z), расположенной в плоскости тх, или на
линии пересечения плоскостей тх и пу (как в пр. гр. Pmn2t (рис. 77, б)) для
облегчения сопоставления с соответствующей голоэдрической надгруппой.,
127
Рис. 77. К выбору нефиксированного начала координат на графиках пр. гр. Ртс2/ (а),
Pmn2i (б) и Рса2/ (в)
Однако такое положение выбранной в качестве начала координат точки не
повышает ее величину симметрии и не уменьшает число степеней свободы,
т.е. она остается эквивалентной любой другой точке, расположенной на
плоскости т (точка 1 на рис. 78). Если точка расположена на
)м элементе симметрии (плоскости скользящего отражения
Рис. 78. Различное поведение
точек, локализованных на макро-
(плоскости т) (а) и микро-
(плоскости а) (б) элементах
симметрии. Точка 1, располо-
женная на зеркальной плоскости
т, ею фиксируется и не
размножается. Аналогичная точка
2 на плоскости скользящего
отражения а ничем не отличима от
точки общего положения 3
или на винтовой оси) (точка 2 на рис.
78), то она ведет себя так же, как
точка общего положения (точка 3), т.е.
размножается этим элементом
симметрии и не фиксируется им, тогда
как точка (1), расположенная на
макроэлементе симметрии, - точка
частного положения - зафиксирована и
им не размножается (рис. 78).
При отсутствии в какой-либо
пространственной группе точек частного
положения (точек с величиной симмет-
рии большей 1) начало координат
выбирают на винтовых осях 2/ , напри-
мер как в пр. гр. Рса2, (см. рис. 77, в) и
Pna2t.
Следуя выше сформулированным
правилам выбора начала координат,
нетрудно понять, почему в голоэд-
рической группе Рттп предпочтение
отдано не центру инверсии (с величиной
симметрии, равной 2), а моно-
вариантному (см. с. 234) комплексу mm2
(с большей величиной симметрии,
равной 4) в точке на уровне центров
инверсии. Во всех остальных случаях
128
2
центросимметричный комплекс — (с величиной симметрии, равной 4)
т
предпочтен ацентричному комплексу 222 с той же величиной симметрии.
Определенные затруднения вызывает построение графиков
пространственных групп, элементы симметрии которых содержат
трансляционные компоненты, равные 1/4 координатных трансляций
пространственной решетки, т.е. графиков пространственных групп с
клиноплоскостями d - гемиморфной (Fdd2) и голоэдрической (Fddd) (см.
с. 63 - 68). Некоммутативность взаимодействий составляющих эти
плоскости симметрических операций заставляет учитывать
последовательность их выполнения, так как от этого зависит возникновение
либо осей 2, либо осей 2h чередующихся вдоль координатных направлений
элементарной ячейки в одной и той же пространственной группе.
Таким образом, присутствие только двух взаимно перпендикулярных
клиноплоскостей d обусловливает чередование осей 2 (2/) через 1/4
координатных трансляций элементарной ячейки. А это однозначно
указывает на гранецентрированный тип решетки Браве и на единственно
возможную группу ромбической гемиэдрии с такими плоскостями - Fdd2.
Действительно, дважды повторенное отражение в одной из плоскостей d
—>
сведется к сумме ее трансляционных компонент: (Jx)2 = (wx)2. (t 4») )2, так
как дважды проведенная операция отражения в плоскости тх равносильна
операции идентичности, а сумма трансляционных компонент t «/(*)
обусловит возникновение истинной трансляции, центрирующей грань А
элементарной ячейки. Таким же путем устанавливают и центрировку грани
-> -> ->
В, а следовательно, и третью - производную трансляцию (ТА+ТВ = Тс),
центрирующую грань С.
Аналогичные рассуждения приведут и к единственно возможной
группе ромбической голоэдрии с d плоскостями - Fddd, построение
графика которой по описанному на с. 109-112 плану не должно вызывать
затруднений.
Позиции осей 2 и 2, в пр. гр. Fdd2 и Fddd {см. рис. 40) можно выявить
и из геометрического анализа проекций пространственных групп, где
указанные оси локализованы в центрах разных прямоугольников,
оконтуренных плоскостями d'. стрелки клиноплоскостей вокруг поворотной
оси 2 направлены навстречу друг другу (или в противоположные стороны),
вокруг же винтовой оси 2t - по часовой стрелке (или против), т.е. в одну
Обратим еще раз внимание на тот факт, что при вычерчивании
графиков пространственных групп с плоскостями d необходимо учитывать
129
не только взаимодействие симметрических операций, входящих в состав
клиноплоскостей, но и их непосредственное действие друг на друга, а также
последовательность выполняемых операций симметрии. В итоге окажется,
->
что исходная плоскость d любой позиции символа (d = т -tj) с
трансляционным вектором, направленным вдоль одной диагонали грани
элементарной ячейки, будет неизбежно сопровождаться параллельной и
отстоящей от исходной на — другой клиноплоскостью d' = т • td со
4
скольжением вдоль другой диагонали грани ячейки (см. с. 63). Таким
образом, развернутая запись голоэдрической группы Fddd будет
2(2,) 2(2,) 2(2,)
d(d') d(d') d(d') ‘
Выбор начала координат в гемиморфной пространственной группе
Fdd2 очевиден - на поворотной оси 2-го порядка (в точке с одной степенью
свободы) (см. рис. 40), в голоэдрической пр. гр. Fddd - в точке
максимальной симметрии 222.
При вычерчивании графиков пространственных групп ромбической
осевой гемиэдрии, т.е. групп класса 222, наибольшие затруднения
возникают при локализации осей 2-го порядка. Однако, воспользовавшись
основным положением Ю.В.Вульфа о том, что каждая ось является
произведением двух плоскостей симметрии, присутствующих в
голоэдрических группах, но исчезающих в младших, подчиненных
точечному классу 222, легко установить характер и позицию
результирующих осей. Для этого поворот вокруг каждой оси 2-го порядка
следует представить отражениями в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях симметрии и рассмотреть их взаимодействие.
Возможны 6 вариантов взаимодействий пересекающихся или
скрещивающихся исходных осей: 2 2, 2/ 2/ и 2 2, . Рассмотрим
результат взаимодействия двух пересекающихся под углом 90° поворотных
осей 2-го порядка (2Л и 2,.): ни характер, ни положение результирующей
поворотной оси 2Г не вызывает сомнений даже без дополнительных
построений (рис. 79, 1). Действительно, заменив поворот вокруг оси 2Х
отражениями в плоскостях тх. и т:, а поворот вокруг оси 2У — отражениями
в плоскостях тх и ту , увидим, что два последовательных отражения в
одной и той же плоскости дадут операцию идентичности, взаимодействие
же оставшихся операций mv и тх обусловит появление поворотной оси 2-го
порядка, совпадающей с линией пересечения плоскостей:
2(х00) • 2(0)0) - ту • [тг • w;] ' тх = 2(()Uz).
В результате получим график пространственной группы Р222, в
которой каждая из поворотных осей указывает на то, что две другие
пересекаются.
130
Рис. 79. К вопросу локализации осей 2-го порядка при вычерчивании графиков
пространственных групп ромбической осевой гемиэдрии
Если порождающими являются две пересекающиеся винтовые оси 2-
го порядка, то взаимодействие плоскостей симметрии, их заменяющих: 2/w
->
= ау- т:, 2цуу= тг- Ьх, из-за отсутствия в плоскостях ау = ту- ta и Ьх =
тх • th трансляционных векторов, параллельных координатной оси Z,
приведет к возникновению поворотной оси 2, которая при взаимодействии
—» —>
с перпендикулярными к ней векторами ta и th окажется в положении
11г (рис. 79,2):
44
7/(хоо)' •? /(ОуО) = Оу • [м, • mz] bx = 2ци 1/4
В результате получим график пространственной группы P2t2i2, где
поворотная ось 3-й позиции указывает на то, что исходные оси 2цху и 21(уу
пересекаются, а каждая из осей 2; свидетельствует о том, что две другие
оси скрещиваются.
В случае пересечения разнородных осей 2-го порядка
2(хоо) -?/(0>о) = ту [т, т:] _• Ьу = 2(0 |/4г)(рис. 79, 3)
131
опять получим поворотную ось 2., но уже в позиции 0—z (Л • th ). В
4”
стандартной записи полученной таким образом пространственной группы
P22t2 = P222t на 3-й позиции расположена ось, отличающаяся по характеру
от первых двух.
Далее, проанализировав оставшиеся три варианта взаимодействия
скрещивающихся осей 2-го порядка, увидим (рис. 79, 4-6), что
результатом всех перечисленных вариантов взаимодействий будет винтовая
ось 2/ , положение которой зависит от горизонтальных трансляционных
составляющих плоскостей симметрии:
2(хоо) • 2(оу 1/4) = ту • [w. • тг] сх = 2 цоог/,
2цхоо) • 2/(оу 1/4/ = ау • [mz- mz] • пх = 2щ/4 1/4
2(х00) ’ 21(ру 1/4) = ту ‘ [mz ' mz] ' пх = 2iff) }/4zy
Из трех полученных сочетаний осей 2-го порядка - 222/, 212,2^ 22t2t
= 2/ 2/ 2 - лишь одно будет составлять новую пространственную группу
Р2/2/2], являющуюся подгруппой двух голоэдрических: РЬса и Рпта.
Обратим еще раз внимание на полезное правило, облегчающее
представление осевых пространственных групп: если порожденная ось
поворотная, то порождающие оси независимо от их характера
пересекаются, если же порожденная ось винтовая, то порождающие оси
скрещ ивают ся.
Построение графиков пространственных групп осевой гемиэдрии с Р-
решеткой завершается нанесением остальных осей 2-го порядка,
повторяющихся с периодичностью в половину координатных трансляций
(см. с. 54). Начало координат во всех четырех вычерченных графиках
пространственных групп ромбической осевой гемиэдрии выбирается в
соответствии с общепринятым стандартом: на поворотных осях 2-го
порядка. И лишь в пространственной группе Р2,2121 , не имеющей
зафиксированных элементами симметрии точек частного положения,
условно начало координат выбирают в точке, равноудаленной от всех трех
скрещивающихся осей 2Z , т.е. так же, как в голоэдрических надгруппах
этой группы - Рпта и РЬса, где, однако, эта позиция совпадает с центром
инверсии (рис. 80).
Графическое представление непримитивных пространственных групп
осевой гемиэдрии не вызывает затруднений, ибо каждый раз вычерчивание
начинается с нанесения элементов симметрии, обозначенных в
“подрешеточном” символе группы и лишь затем вводятся дополнительные
трансляционные векторы той или иной решетки, обусловливающие
соответствующие чередования осей. Например, исходный комплекс
подрешеточных элементов симметрии в пространственных группах 1222 и
12)2/2] (рис. 81, а, б) указывает на то, что в первой группе однородные оси
симметрии пересекаются, во второй - скрещиваются. Введение
центрирующего объем вектора г обусловливает чередование осей 2(2/) на
132
Рис. 80. Графики пространственных групп ромбической голоэдрии £)'* = Рпта (а) и
D'25h = РЬса (б)
Рис. 81. Графики пространственных групп ромбической осевой гемиэдрии
£)* =/222=/2f2J2f2J22 J (а) и D92 = 12,2,2, = 12,(2)2,(2)2,(2) (6)
всех позициях символа обеих групп. Однако при этом сформулированные
выше особенности расположения осей сохраняются, что и отражено в
стандартной (условной) записи этих пространственных групп симметрии.
133
VII.2.6. Вывод пространственных групп
тетрагональной сингонии
Если в пространственных группах ромбо-бипирамидального класса
ттт плоскости всех трех позиций символа топологически одинаковы, хотя
4
и независимы, то в группах тетрагональной голоэдрии —тт наличие
т
одной оси 4-го порядка, всегда ориентированной вдоль вертикальной
координатной оси Z, делает горизонтальную плоскость (теперь уже 1-й
позиции символа) топологически отличной от вертикальных плоскостей.
Кроме того, топологически различными оказываются вертикальные
координатные и диагональные плоскости ввиду их различной
ориентировки по отношению к координатным трансляциям элементарной
ячейки - Т и Т .
Эквивалентность горизонтальных координатных особых направлений
в тетрагональных группах обусловлена не только поворотом на 90° вокруг
всегда присутствующей оси 4-го порядка, но и существованием
диагональных особых направлений, расположенных к координатным под
углом 45°. При этом ось 4-го порядка можно считать порожденной
взаимодействием координатных и диагональных элементов симметрии.
Таким образом, естественен переход от групп ромбической сингонии
к их тетрагональным надгруппам с диагональными особыми
направлениями. Введение равнонаклонных к координатным особым
направлениям исходных ромбических групп либо диагональных
плоскостей симметрии (2 = mJ), либо поворотных осей симметрии 2-го
порядка (2,/) не только автоматически делает координатные направления X
и Y эквивалентными, но и повышает порядок вертикальной оси от 2 до 4,
т.е. тетрагонализирует ромбические группы по схеме (рис. 82)
4 mm z m m 2 +~J у 4 m2
z ,fflJ
S ' " x, &
4 „ +/W,. +Ь к 4
пин iiiiiiiii
m m
Остальные геми- и тетартоэдрические тетрагональные
4 —
пространственные группы, подчиненные точечным —,4 и 4, легко
m
выводятся в качестве подгрупп более высокосимметричных
тетрагональных ipynn.
134
4mm
4m2
Рис. 82. Схема перехода от точечных групп ромбической сингонии к тетрагональным
точечным группам пугем тетрагонализаци. т.е. введением горизонтального
диагонального особого направления, равнонаклонного к координатным
Вывод пространственных групп тетрагональной
голоэдрии на основе пространственных групп
ромбической сингонии
В голоэдрических пространственных группах тетрагональной
сингонии порождающими удобно считать плоскости симметрии всех трех
позиций символа (двух координатных и одной диагональной) и при выводе
в качестве исходных подгрупп использовать полученные ранее
пространственные группы ромбической голоэдрии, расширение -
тетрагонализацию - которых можно осуществить введением диагонального
особого направления, представленного либо нормалью к плоскости
симметрии (т.е. осью 2 ), либо поворотной осью 2-го порядка, на третью -
диагональную - позицию символа. Однако для получения тетрагональных
пространственных групп класса —тт основой могут послужить лишь те
т
пространственные группы класса ттт, в которых плоскости симметрии на
1-й и 2-й позициях ромбического символа однотипны:
135
Рттт, Реет, Рппт, Pbam, Рттп, Рссп,
Рппп, РЬап, Ртта, Рсса, Рппа,
Сттт, Стта, Сеет, Ссса,
Immm, Ibam, Imma,
Fmmm, Fddd.
Очевидно, что тетрагонализация ромбических групп с С- и F-
решеткой Браве приведет к Р- и /-тетрагональным группам соответственно
(см. с. 92).
Прежде чем начать вывод голоэдрических групп тетрагональной
сингонии, следует выяснить, какие типы плоскостей возможны в качестве
диагональных, т.е. на 3-й позиции тетрагонального символа.
Взаимодействия координатных трансляционных векторов решетки (Тх и
-»
Ту) с косо расположенными к ним диагональными плоскостями
симметрии обусловят появление новых плоскостей - плоскостей с иным
типом трансляционных компонент. Разложив каждый из координатных
Рис. 83. Взаимодействие координатного трансляционного вектора у с диагональной
плоскостью m,i (а) приводит к появлению чередующейся с ней плоскости скользящего
отражения bj ; взаимодействие с диагональной плоскостью c,i (6) — к поялению
векторов на две составляющие (Г=/ц + t ±) (рис. 83, а, б), одна из
которых (t и) параллельна диагональной плоскости, а другая (t х)
перпендикулярна ей, увидим, что первая, влившись в исходный элемент
симметрии, создаст производную плоскость скользящего отражения с иной
трансляционной компонентой, вторая - перпендикулярная составляющая -
перенесет эту плоскость параллельно на половину своей длины (см. с. 50).
В результате возникнет чередование диагональных плоскостей т(Ь) и с(п):
~ (рис. S3, а),
т d ' Ту = т d • • tL = bd tL т (b )
136
Cd -Тг=т, c(n) (P,1C- 83’
Wj
что естественно сократит количество выводимых классов вдвое1 *’.
Пространственные группы с Р-решеткой
Введение одной (из двух возможных на диагональном направлении)
независимой плоскости - т(Ь) или с(п) - в каждую из восьми
приведенных выше ромбических пространственных групп с Р-решеткой
(групп с горизонтальной плоскостью т или п) удвоит их количество. При
этом результирующая ось 4-го порядка будет поворотной, если каждая из
исходных вертикальных плоскостей (координатная и диагональная) имеет
вертикальную трансляционную компоненту t = или обе плоскости
2 2
—>
будут без них. Если же вектор tz содержится лишь в одной из
взаимодействующих плоскостей, то возникнет винтовая ось 42:
Тетрагональная пр. группа Ромбическая пр. группа Тетрагональная пр. группа
4 D‘h=P — mm - Рттт — 4 P — mc = D4h,
т т
D“=p^-nm < . Рппп — 4 . —‘J > Р — пс — D4h,
п п
D4‘h=p—cm Реет — P—cc = D4h,
т т
D3h=P—bm < РЬап — P—bc=D4h,
п п
D4h=P — mm Рттп — P^-mc = D'45h,
п п
D'44h=P — nm Рппт — -*‘J > P—nc = D4h,
т т
D'^=p^-cm Рссп — P-cc = D^,
п п
D4h=P—bm - РЬат — P^-bc = D‘43h.
т т
1) В международных символах пространственных групп средней категории плоскости с
горизонтальным скольжением принято обозначать одной и той же буквой Ь, хотя в литературе
можно встретить обозначение такой плоскости нейтральной буквой g (нем. gladen —
скольжение), не указывающей иа направление скольжения.
137
Рис. 84. Задание перпендикулярной к оси 4-
го порядка плоскости скользящего отражения
а ( с трансляционным вектором ta )
приводит к появлению истинной трансляции
Тс в центр базиса элементарной ячейки, а
следовательно, к возможности выбора новой
примитивной ячейки (Р) меньшего объема
(показана пунктиром), в которой ориентация
исходного вектора t а соответствует
диагональной трансляционной составляющей
Тетрагонализация
оставшихся трех ромбических
групп с горизонтальной
плоскостью а - Pmma, Рппа,
Рсса — приведет, как и в
предыдущем случае, к
появлению осей 4 или 4,. При
этом горизонтальная плоскость
а, будучи повернутой любой из
возникших осей 4-го порядка (4
или 42) на 90°, превратится в
плоскость b на этом же уровне
вдоль оси Z (рис. 84). Наличие
двух взаимно перпендикуляр-
—> >
ных векторов ta и tb -
трансляционных составляющих
плоскостей а и b - создаст
дополнительный суммарный
реальный вектор Тс = ta + tb,
направленный в центр
( ) КЛИНОПЛОСКОСТИ п.1
горизонтальной грани элемен-
тарной ячейки, т.е. приведет к
базоцентрированной тетраго-
нальной решетке Браве, а следовательно, к возможности выбора Р-ячейки
вдвое меньшего объема. В такой новой тетрагональной P-ячейке исходные
трансляционные составляющие t и th окажутся ориентированными по
диагоналям ее базиса, т.е. станут трансляционными компонентами
клиноплоскости и, перпендикулярной главной оси (рис. 84), а
координатные плоскости исходных ромбических групп станут
диагональными с соответствующими (за счет взаимодействия с
координатными трансляциями новой ячейки) чередованиями: m(b) и с(п).
Это объединит две ромбические группы Рсса и Рппа в одну
4 . .
тетрагональную - Р—Заданные же тетрагонализирующие
п
диагональные плоскости и и св новой ячейке станут координатными. При
этом горизонтальные трансляционные составляющие чередующихся с
ними плоскостей b и п окажутся равными координатным трансляциям
новой P-ячейки, т.е. указанные плоскости превратятся в плоскости m и с
соответственно. В результате тетрагонализация указанных групп
ромбической голоэдрии с плоскостями а на 3-й позиции символа к новым
тетрагональным группам не приведет:
138
Тетрагональные
пр. группы
в P-аспекте в С-аспекте
Ромбические
пр. группы
Тетрагональные
пр. группы
в С-аспекте в Р-аспекте
P-mm(b)
п
Р—тп(с)
п
Р^-тс(п)
п
<— С-т (b)m (л)
а
<— С—п (с)т (/>)
а
<— C—c(n)m(b)
Ртта —С^-т (/>> (и) -» P^-cm(b),
а п
— Рппа —> С-л(с)с(и) —> Р-си(с),
а п
ч—— Рсса —С-с (и)с (и) —> Р-с с (и).
а п
Не получим новых пространственных групп и в результате
тетрагонализации указанных выше групп ромбической голоэдрии с С-
решеткой, ибо возможность выбора в каждой из них тетрагональной Р-
ячейки даст одну из 16 уже выведенных пространственных групп:
Тетрагональные пр. группы Ромбические Тетрагональные пр. группы
в P-аспекте в С-аспекте пр. группы в С-аспекте в Р-аспекте
Р^-ет Ч— С^*-т (й)с (и) ч—— Сттт —т,> > C—m(b)m(b) —> Р-тт,
т т т т
Р—ес ч— С—с (п)с (п) — Ссспг —‘'”*1 > C—c(n)m(b) —> Р—тс,
т т т т
Р-2-ст ч— С—т (й)с (и) ч—— Стта —> С-т (b)m (/>) —> Р—тт,
па ап
Р—сс ч— С—с (и)с (и) — Ссса —'т“ > С—с (л)т (/>) —> Р—тс.
па ап
Все голоэдрические группы с Р-решеткой можно получить и простым
перебором плоскостей на трех позициях тетрагонального символа:
формальное задание плоскостей четырех типов (а, Ь, с, п) на 2-й
(координатной) позиции символа даст 4 варианта пространственных групп,
двух типов плоскостей (w(Z>) или с(я)) - на 3-й (диагональной) позиции
удвоит их количество (4 • 2 = 8) и, наконец, задание двух типов плоскостей
(т или п) на 1-й (горизонтальной) позиции символа приведет к 16 искомым
пространственным группам (8 • 2 = 16). Однако при таком “прямом”,
достаточно механическом выводе теряется порой столь полезная связь
между пространственными группами ромбической и тетрагональной
сингоний.
Пространственные группы с 1-решеткой
В тетрагональных пространственных группах с /-решеткой наличие
дополнительного вектора Т, , центрирующего объем ячейки и лежащего в
диагональном ее сечении, приводит к тому, что, во-первых, диагональные
плоскости не только чередуются - т(Ь), с(п), но и каждая из них при этом
139
одновременно выполняет две функции: плоскость т оказывается
тождественно равной клиноплоскости п, а плоскость b - плоскости с; т = п
(Ь = с); во-вторых, появляется возможность существования диагональной
“алмазной” клиноплоскости d, ибо сечение (ПО) в /-ячейке центриро-
вано (!).
Из трех групп ромбической голоэдрии с /-решеткой введением в
диагональную позицию символа зеркальной плоскости т, “тянущей” за
собой весь спектр плоскостей скользящего отражения - т = п (Ь = с), или
клиноплоскости d получим 3 тетрагональные /-группы2):
1т тт —> 4 4(4 1 / тт - / , / т(п) т = n(b=c\ - D4h т т\п)
Ibam —> 1 bm - I )b(c) m-n(b-c)-I ст - D'Jh т т\п) т
Imma —> • I — md - / - D4h а с\Ь) „4 л _ С-т/и -> Р-тт = D4h а п
Введение зеркальной плоскости т на третью позицию символа
целесообразно лишь в группах, производных от ромбических 1ттт и Ibam,
ибо только в этом случае возникнут поворотные оси 4-го порядка,
—>
взаимодействие которых с вектором 7} решетки обусловит их чередование
с осями 42. Появление результирующей оси 4-го порядка,
перпендикулярной к плоскости а при введении диагональной плоскости т
в пространственную группу Imma, как было показано выше (см. с. 137),
сделает возможным выбор примитивной элементарной ячейки и,
следовательно, приведет к уже полученной пространственной группе
4
Р — тт •
п
Введение "алмазной" клиноплоскости d на диагональную позицию
символа ко всем трем исходным /-группам ромбической голоэдрии лишь в
одном случае (Imma) приведет к оригинальной тетрагональной группе
4
I —md Ибо только в ней горизонтальная компонента скольжения (td )
а
диагональной клиноплоскости d , равная — диагонали базисной грани I-
4
ячейки, будет соответствовать одной из компонент, на которые
—>
раскладывается вектор t плоскости я. (рис. 85). В результате
2) В стандартной записи группы в™ из двух чередующихся плоскостей симметрии на второй
позиции символа — Ь(с) — используется плоскость с со скольжением вдоль координатной
оси Z.
140
взаимодействия этих плоскостей (а, • d) возникнут горизонтальные
диагональные оси 2-го порядка - поворотные или винтовые, что
невозможно в двух других группах (Immm, Ibam), ибо тогда возникли бы
оси 2-го порядка с несвойственными им компонентами скольжения в 1/4 и
3/4 диагональной трансляции элементарной ячейки. Кроме того, в
Рис. 85. Соизмеримость диагональной
компоненты трансляционного вектора ta
координатной плоскости скользящего
отражения а, с трансляционной состав-
ляющей диагональной клиноплоскости d
обусловливает появление диагональных
поворотных (если трансляционные
компоненты суммируются) нли винтовых
(если они гасят друг друга) осей 2-го порядка
результате введения в пр. гр.
Immm и Ibam диагональной
плоскости d возникли бы
винтовые энантиоморфные оси
4/ (4j), несовместимые с
перпендикулярной к ним зер-
кальной плоскостью т, так как,
будучи в ней отраженными, они
станут нейтральными: 4 или 42.
Тетрагонализация двух
голоэдрических групп с F-
решеткой приведет к четырем
группам в стандартном для
тетрагональной симметрии I-
аспекте (см. с. 92). При этом из
пр. гр. Fmmm получим уже
выведенные ранее объемно-
центрированные пр. гр.
4 4
I тт и I ст, а из остав-
т т
шейся пр. гр. Fddd кроме уже
„ 4, ,
выведенной I ' та получим
а
оригинальную новую пр. гр. I^' cd
а
F—m т (b) -> п.тт'
Fmmm —> • т т
F^-m с (и) ->
т т
F — d с (и) —>
Fddd -> d а
F^-dm(b) -> jlLmd. 1 ° а
И вновь обращаем внимание на характер производных осей 4-го
порядка - 4 (42) или 4/(43), который будет зависеть от типа порождающих
вертикальных плоскостей симметрии (плоскостей 2-й и 3-й позиций
141
I: m • m = 4, m - c= 42. m • d = 4t , c-d = 43 . Кроме того,
полученной оси 4-го порядка укажет и на возможный тип
окулярной к ней плоскости симметрии (плоскости 1-й позиции
); ибо нейтральные оси 4 и 42 сочетаются лишь с плоскостями т
сантиоморфные оси 4/ и 43 сочетаются с перпендикулярными к ним
ющимися между собой плоскостями а (Ь).
итоге, использовав в качестве тетрагонализаторов диагональные
ги различного типа и добавив их к 20 группам ромбической
ш, получили также 20 тетрагональных голоэдрических групп.
обратившись к схеме вывода точечных групп -
4 2 2
• -------(см. рис. 82), увидим, что этот же результат может
ттт
лучен и в том случае, если в роли тетрагонализаторов использовать
вязанные с диагональными плоскостями оси 2-го порядка - 2 или
одически же в качестве порождающих удобно воспользоваться
гями симметрии.
Вывод пространственных групп тетрагональной
idpuu на основе ромбических пространственных групп
и переходе к гемиэдрическим пространственным группам
лальной сингонии диагональные плоскости md и оси 2-го порядка 2d
нализаторы) становятся независимыми друг от друга и, будучи
ыми в пространственные группы ромбической гемиэдрии классов
222, породят пространственные группы, подчиненные разным
тетрагональной гемиэдрии (см. рис. 82).
Пространственные группы с Р-решеткой
шисав в качестве исходных подгрупп ромбические гемиморфные
нственные группы с Р-решеткой 3), пригодные для
«ализации, т.е. группы с однотипными плоскостями симметрии на
двух позициях ромбического символа:
Ртт2, Рсс2, РЬа2, Рпп2,
Стт2, Ссс2,
Imm2, Iba2,
Fmm2, Fdd2,
онализация бокоцентрированных Л-групп ромбической гемиморфии (Атт2 и АЬа2)
сна из-за топологического различия вертикальных плоскостей симметрии
who центрирующего боковые грани вектора f
и введя сначала в качестве тетрагонализаторов диагональные плоскости
(а таковыми будут т (Ь) или с (л)), получим 8 тетрагональных групп с Р-
решеткой класса 4тт. Задание же на диагональную позицию осей 2-го
порядка (на диагональной позиции оси 2 и 2/ взаимосвязаны!) приведет
еще к четырем пространственным группам класса 42т4 * *\
Ромбические
Ромбические
исходные
пр. группы
пр. группы
в тетрагональном аспекте
Пространственные группы
тетрагональной гемиэдрии
У Z z x=y ... P 2 m ... -> P2c... P2b... -+ P2n... -» P 4 mm n) P4'c2(2l\D^ P4b2(2,^D72d P4n2(2,^D^
Г ГН ГН P 42mc P 4 2 cm
Pba Pnn 2 2 P 4 cc\ P 4 bm (c;,)
P 4 2 be P 4, nm P 4 nc (C.) (cJ
Тетрагонализация двух базоцентрированных ромбических групп
Стт2 и Ссс2 с последующим переходом к стандартному P-аспекту (см. с.
136) приведет либо к уже выведенным P-группам, подчиненным точечной
4тт (при задании на диагональную позицию возможных на ней плоскостей
симметрии), либо к двум группам (Р42т, Р42с ), подчиненным точечной
4 2т (при задании диагональных осей 2(2,)):
4) Данные пространственные группы тетрагональной гемиэдрии оказываются подчиненными
не стандартному классу 42т, а иному ее аспекту: 4m2. Это объясняется тем, что с
кратчайшими трансляционными векторами, по которым обычно выбираются координатные
трансляции у и у , совпали не осн 2-го порядка, а нормали к плоскостям симметрии.
Поэтому в угоду издавна сложившейся традиции классической кристаллографии такие группы
часто записываются в С- или F-аспектах в сопровождении символа Шенфлиса, указывающего
на стандартный аспект группы. Например, Р4С2 = С42с = D'/,. I4c2 = F42c= D1,".
143
Исходные Тетрагональные пр. группы
ромбические в С-аспекте в /'-аспекте
пр. группы С4тт -> Р4тт,
Стт2 —> • С4 m2 -> P42m(D'„)
С 4, тс —» Р42 ст,
С4,ст —> Р4,тс,
Ссс2 —> • С4с2 P42c{D^\
С4сс -> Р4сс.
Следует еще раз отметить, что, поскольку при переходе от
тетрагонального С- к стандартному P-аспекту координатные и
диагональные особые направления меняются местами, плоскости
скользящего отражения Ь и п теряют свои горизонтальные составляющие (в
новой P-ячейке они становятся реальными координатными трансляциями)
и приобретают наименования тех плоскостей, с которыми они
чередовались в С-ячейке -тис соответственно. Это приводит к
требуемому в Р-решетке чередованию однотипных координатных
плоскостей через полтрансляции.
Введение диагональных плоскостей m(fe) или с(и) в группы
ромбической осевой гемиэдрии:
Р222, P222h P2i2t2, P2l2l2b
С222, C222t -
приведет либо к еще не выведенным тетрагональным пространственным
группам, подчиненным точечным 42т или 4 m2 (в случае добавления
диагональных плоскостей симметрии), либо к пространственным группам
класса 422 (при добавлении диагональных осей 2 (2/)):
Тетрагональные пр. группы Исходные ромбические пр. группы Тетрагональные пр. группы
(°i) Р42с <- • Z х=у Р2 2 ... *- Р222 Р2 2 ... Р42т
Р2,2... Р222, Р2,2...
(оу Р22,... <- Р 2,2,2 -) Р22,...
Р42,с <- -> Р42,т [D32iI),
Р2,2,... Р2.2.2, Р2,2,...
(о;.,) — С 4 2с <- С 222 С 42т -> Р4т2 (О’,).
Р4с2 <- < _
С42,с <- €2,2,2, -) С42,т
144
Следует отметить, что введение диагональной плоскости т или с в
ромбические группы с вертикальной винтовой осью 2/ приведет к
чередованию горизонтальных координатных осей (2 или 2/) через 1/4
трансляции вдоль оси Z, что сократит параметр с элементарной ячейки
вдвое и, следовательно, изменит характер вертикальной оси: 2ц:) —^2(:).
При введении в группы ромбической осевой гемиэдрии диагональных
осей 2-го порядка следует помнить, что горизонтальные оси могут либо
пересекаться, либо скрещиваться. Поэтому необходимо учитывать, с одной
стороны, высоту этих осей вдоль оси Z, с другой - их периодичность через
полтрансляции вдоль горизонтальных координатных направлений.
Вводимая ось при этом не должна размножать исходный осевой комплекс
ромбической группы. В результате будем иметь 4 возможных уровня осей
2 (или 2;), задаваемых на диагональной позиции: 0, 1/8, 1/4, 3/8 (рис. 86), и
соответственно 8 групп тетрагональной осевой гемиэдрии, в которые все 4
ромбические примитивные группы класса 222 будут входить в качестве
подгрупп.
Рис 86. Возможное расположение и высоты (в долях Т ) координатных и диагональных
горизонтальных осей 2-го порядка в пространственных группах теграгональной осевой
гемиэдрии
Если в исходной ромбической группе вертикальные оси 2-го порядка
поворотные, т.е. являются подгруппой осей 4 либо 42, то диагональные оси
Т
следует задавать на высотах 0 или . Если же вертикальная ось винтовая
4
(2/), т.е. служит подгруппой осей 4i либо 4}, то высоты диагональных осей
/ -» з -»
будут равны — т или-/’
8 ! 8 1
5) В квадратных скобках указаны высоты диагональных осей 2-го порядка вдоль оси Z
(рис 86).
145
Исходные Ромбические П ространствен ные
ромбические пр группы группы тетрагональной
пр. группы г У z в тетрагональ- ном аспекте Г *=* ... гемиэдрии Р422.в} = D'
Р222 -) Р 2 2 ... -> 1°| J
Р2.2.2 -4 Р22,... -> > P4222\i 7] = D, Р*2,2Н = о;
11 Р422'2\' = D,
Р222, -э Р2.2... -> P4i22[/k] = г»;
Р4}22[з *] = ^4
Р2.2.2. -) Р2.2.... -> 'P4,2,2[llt} = о;
1 1 1 / / Р4}2,2{)11} = D*4
Тетрагонализация базоцентрированных ромбических групп С222 и
C222t к новым тетрагональным пространственным группам не приведет:
С222 -> С42(2Р» - С<.2(2,)21,,, - -> Р42[о]2, -> Р422{,л2,
С 222, -> • C4,2(2,)2t,.) - С<2(2,)2р - -> Р412[111}2, -> P4j2\} ^2.
Пространственные группы с 1-решеткой
Из двух ромбических гемиморфных пространственных групп с I-
решеткой нетрудно получить 6 объемноцентрированных групп
тетрагональной гемиэдрии, добавляя плоскости т = п (Ь = с) или d либо оси
симметрии 2(2/) на третью позицию символа:
Исходные
ромбические
пр. группы
Ромбические Пространственные группы
пр. группы тетрагональной гемиэдрии
в тетрагональном аспекте
I mm2
14тт — CJ,.,
-> Z4w/2(2,) =
I4ymd = С”,,
D^,
146
I4cm
.10
4v’
Iba2 -» /2(2, > (с).-
-> /4c2(2,) =
J4tcd = C'2.
d'°
^24’
6)
Из двух ромбических групп с F-решеткой (Fmm2 и Fdd2) по этой же
схеме могут быть получены две новые тетрагональные группы с /-
решеткой {I42mr I42d) помимо четырех уже выведенных на основе
ромбических /-групп:
Исходные Тетрагональные гемиэдрическне группы
ромбические пр. группы в F-аспекте F4m т (b) - в /-аспекте » 14тт,
Fmm2 —> • F4m2 (2t) F 4 2т с (и) - F4,d т (b) - -> 142т = D2'd, » 14ст, > I4,md,
Fdd2 -> F4d2 (2Z) F43d с (п) - -> I42d-D2d, » I4,cd.
Тетрагонализация оставшихся пространственных групп ромбической
осевой гемиэдрии с /- и F-решетками приведет лишь к двум новым
тетрагональным /-группам - 1422 и I4t22:
Пространственные группы
тетрагональной гемиэдрии
Исходные ромбические пр. группы
в F- и /-аспекте в тетрагональном
F- и /-аспекте
X У ж 1222 -> g X^v .. 12 2... -» • 142т,
14 2d, 142m, !422w
12,2,2, /2,2,(2)... I42d, I4i22y„,\
14 m2,
F222 - -> F22(2,)...- -»/2...2(2,) -» -» 1422{
14c2.
6) В стандартной записи данных пространственных групп (в международной символике)
предпочтение отдано плоскости с со скольжением вдоль вертикальной коорди..ат1 ой оси Z
147
Пространственные группы тетрагональной гемиэдрии, подчиненные
точечной —, - группы без горизонтальных особых направлений - удобно
т
вывести непосредственно из голоэдрических групп, как их подгруппы,
оставив в символе тетрагональной группы лишь элементы симметрии 1-й
позиции. В результате будут получены 4 пространственные группы с Р-
решеткой:
и две пр. гр. с /-решеткой:
Пространственные группы тетрагональной
тетартоэдрии
Вывод пространственных групп тетрагональной тетартоэдрии, по
существу, сводится к простому перечислению возможных разновидностей
осей 4-го порядка при соответствующих решетках:
/>4(с;), Р4,(С2,), Р42(С2), Р4,(С2), P4^S4),
14 = 14(4^), 14, =/4,(4,)(с;), /7(5/).
148
VII.2.7. Принцип “классного” вывода тетрагональных
пространственных групп симметрии
Прием, аналогичный выводу пространственных групп тетрагональной
тетартоэдрии путем их механического перечисления, приведен в
“классном” методе [5, 18], где выводу голоэдрических групп предшествует
анализ возможности замены зеркальных плоскостей симметрии
симморфных групп (pLmm и /±wnj) теми или иными трансляционными
т т
плоскостями.
Из трех типов горизонтальных плоскостей 1-й позиции символа - т,п
и а - с осями 4 и совместимы лишь первые две, плоскость же а,
заданная перпендикулярно оси 4 или 4?, будучи ею повернута на 90°,
создаст дополнительную горизонтальную трансляцию в центр базиса
ячейки, что сократит ее горизонтальные параметры (см. рис. 84). С
энантиоморфными осями 4t и 43 , напротив, совместимой будет лишь
плоскость а, которая под их действием, превратившись в плоскость Ь,
—>
окажется отстоящей от исходной на 1/4 вертикальной трансляции Tz, т.е.
—>
возникнет дополнительный вектор 7) , а значит, и возможное лишь в /-
решетке чередование а(Ь) (как и чередование
На второй координатной позиции символа в Р-решетке могут
располагаться плоскости любого типа: т, с, Ь, п; в /-решетке
независимыми окажутся ти(н) и с(/>). На диагональной позиции за счет косо
расположенных к ней координатных трансляций в Р-решетке будет
наблюдаться чередование т(Ь) и с(п); в /-решетке каждая из
чередующихся плоскостей будет отождествлена с плоскостью иного
—>
наименования: т = п и Ь = с. Наличие вектора 7} , центрирующего
диагональную (ПО) плоскость ячейки, делает возможным присутствие на
этой (третьей) позиции символа клиноплоскости d. Плоскость же а 1-й
позиции объемноцентрированной решетки превратится в "алмазную" (d) в
F-аспекте. Вышесказанное позволяет легко перечислить все 16
примитивных голоэдрических групп симметрии:
При переходе к /-решетке количество голоэдрических групп
сокращается вдвое за счет чередования плоскостей симметрии на 1-й
позиции т(п) (16:2 = 8), еще вдвое - за счет чередования на 2-й позиции
плоскостей т(п) и с{Ь) (8:2 = 4), и взаимозависимость плоскостей 3-й
позиции т = п(с = Ь) уменьшит количество пространственных групп еще в
4 4
два раза (4:2 = 2), т.е. получим две пр. гр.: /— тт и /—ст . Однако
т т
возможность существования в группах с /-решеткой на 1-й позиции
плоскости а, которая обязательно должна сопровождаться диагональной
клиноплоскостью d 3-й позиции, количество пространственных /-групп
4 4
удвоит, т.е. будем иметь еще две пр. гр.: I — md и I-2-cd-
а а
Пространственные группы тетрагональной гемиэдрии, подчиненные
4 - -
точечным классам —, 4тт, 4 и 42т, легко получаются из
т
голоэдрических, как их подгруппы.
Р4, Р4,
4 2 2
Р422 <- Р——-
ттт
4 - -
Р—. Р4тт, Р42т. Р4т2
т
4, 2 2
Р42, Р4, Р4222 <- Р^--—
т ст
- 4 2 2
Р4, Р4, Р42,2 <- Р-------L—
т b т
- 4.2 2
Р42, Р4, Р422,2 <- Р^—±~
т п т
- 4. 2 2
Р42, Р4, Р4222 <- Р^~—~
тт с
Р4, Р4, Р422 <- Р—--
тсс
_ 4 2 7
P42t Р4, Р422,2 <- Р^-~L-
т b с
Р4, Р4, Р42,2 <- Р—Ъ--
т п с
-» р\ Р42ст. Р42т, Р4с2
т
4 - -
-» Р—. Р4Ьт, Р42,т, Р4Ь2
т
4, - -
—> Р —, Р42пт, Р42,т, Р4п2
т
4, - -
—> Р-2-, Р42тс, Р42с, Р4т2
т
4 - -
—> Р—, Р4сс, Р42с, Р4с2
т
-» р\ Р42Ьс, Р42/С, Р4Ь2
т
4 - -
-> Р—, Р4пс, Р42/С, Р4п2
т
- 422 4 - -
Р4, Р4. P42t2 <- />--*-— -» Р-. Р4тт, Р42,т, Р4т2
п т т п
Р42, Р4, Р422,2 «- -> Р^-, Р42ст, Р42,т, Р4с2
пет п
422 4 - -
Р4, Р4, Р422 <— Р------> Р—, Р4Ьт, Р42т, Р4Ь2
п b т п
Р42,
- 4 2 2
Р4, Р4222 <- р-2--—
п пт
4, - -
-> Р-L, Р42пт. Р42т. Р4п2
п
150
Р42, Р4, Р422,2 < t- р2+^ _> P-2-, P42mc, P42,c. P4m2
п m с n
4 2,2 4
Р4, Р4, Р42,2 < P-, P4cc, P42,c, P4c2
п с с n
4,2 2 4,
Р42, Р4. Р4222 <- р2±-- -э P-2-, P42bc, P42c, P4b2
п Ь с n
4 22 4
Р4, Р4, Р422 < н Р -> P~, P4nc, P42c, P4n2
ппс n
4 2 2 4
14, 14, 1422 <- 1——— -> I—, 14 mm, I42m, I4m2
m m m m
4 2 2 4
14, 14, 1422 <?- I— -> I —, I4cm, I42m, I4c2
m c m m
4,2 2 4,
14,, 14, 14,22 < a cd I—, 14,cd, I42d, a I4c2
4,2 2 4,
14,, 14, 14,22 <• ~ л 1^-, 14,md, I42d, I4m2
Следует отметить, однако, что при таком выводе - отбрасывании
элементов симметрии 2-го рода из голоэдрических Р-групп - не могут
быть получены в качестве их подгрупп осевые группы классов 4 и 422 с
энантиоморфными осями 4; и 43 . Поэтому эти недостающие группы
приходится выводить иным путем: добавлением к операциям групп класса
С, = Р4, Р4/, Р42, Р43 поворота вокруг оси 2-го порядка (2 или 2у),
перпендикулярной главной оси:
Р422, P4t22, Р4222, Р4322, Р42,2, P4t2i2, P422i2, P432t2.
VII.2.8. Графическое представление некоторых
пространственных групп тетрагональной сингонии
Пространственная группа Р42 (С] )
Наиболее просто вычерчиваются графики пространственных групп
тетрагональной тетартоэдрии с единственной осью 4-го порядка. Задав
перпендикулярно фиксированной оси 42(2) трансляционный координатный
вектор (например, Тх ), оконтуриваем элементарную ячейку, перенеся оси
42 в ее вершины (рис. 87, а). Взаимодействие оси 42 с заданным вектором
->
Тх обусловит появление оси того же наименования (42) в центре одного из
квадратов, построенных на этой трансляции (см. с. 56). При этом в данном
151
случае в силу существования равноправных трансляционных векторов
—>
вдоль всех четырех горизонтальных координатных направлений (±ТХ ,
—»
+ Ту ) становится безразлично, в каком из построенных на них квадратов
(элементарных ячеек) появится результирующая ось 42 (рис. 87, б).
а б в
Рис. 87. Этапы построения (а, б) и окончательный график (в) пр. гр с3~ Р43
Поскольку в группу 42 входит операция поворота на 180° (42, = 2), то
взаимодействие оси 2Z с координатными горизонтальными трансляциями
—> —>
Тх и Т приведет к появлению результирующих осей 2 на их серединах
(рис. 87, в) (см. с. 54). Таким образом, каждая из осей симметрии (2 и 42),
входящих в состав пространственной группы Р42 , взаимодействует с
трансляциями решетки по своему закону. Заметим, однако, что
результирующие оси оказываются неэквивалентными исходным, т.е. не
связанными с ними трансляционными векторами решетки.
Во всех пространственных группах, подчиненных точечной группе 4,
нет позиции без степеней свободы, поэтому при выборе начала координат
(выборе точки с максимальной симметрией) предпочтение отдается
позициям на осях 4-го порядка даже в том случае, когда эти осн винтовые -
41, 42 или 43.
4 , ,
Пространственная группа Р—(С;А)
Приняв за основу построенный график пространственной группы Р42
(рис. 88, а), добавим к нему горизонтальную плоскость п. В результате
взаимодействия исходной оси 42 с перпендикулярной к ней
клиноплоскостью п возникнет инверсионная ось 4-го порядка 4, в позиции
ol- (см. с. 70 - 71) с особой точкой на высоте Zk (рис. 88, б).
2 4
Поворотные оси 2-го порядка, содержащиеся в осях 42 и 4 ,
взаимодействуя с перпендикулярной к ним плоскостью п, дадут центры
152
инверсии, смещенные с точки пересечения оси и плоскости на середины
векторов t , т.е. в позицию 1—0 и
44
т.д. (рис. 88, в).
а б
Рис. 88. Этапы построения (а, б, в) и окончательный график (г) пр. гр. _ р
4,
п
Рис. 89. Этапы построения (а — d) и окончательные графики пр. гр. Cj~?4i (&)11
а
л
В качестве начала координат в пр. гр. р-2- предпочтен, однако, не
и
центр инверсии (с величиной симметрии 2), а более высокосимметричная
153
позиция также без степеней свободы в особой точке инверсионной оси 4
(величина симметрии 4) (рис. 88, г), при этом высоты (координаты z) всех
элементов симметрии группы приводятся к выбранному началу координат.
Пространственные группы Р4,{С2^ и
4
Построение графика пространственной группы I-1- удобно начать с
а
вычерчивания графика ее подгруппы P4h Для этого, размножив исходную
ось координатными трансляциями Тх и Т тетрагональной
элементарной ячейки, получим еще одну ось 4t в ее центре как результат
взаимодействия 4t • Tr (Tv ) (рис. 89, а). Ось 2/ = 4,2, взаимодействуя с
координатными трансляциями, переместится на их середины (рис. 89, б).
_ -» 'Г
После введения горизонтальной плоскости а. = mz ta (где = ) ее
взаимодействие с винтовой осью
->
* -» т
4/ = 4 t, (где /.= — ),
* 4
обусловит появление инверси-
онной оси 4,. Для определения
положения оси 4, и высоты ее
особой точки необходимо
учитывать не только
взаимодействие, но и действие
операций симметрии, состав-
ляющих перечисленные транс-
ляционные элементы симмет-
рии, друг на друга [27]. Так,
—>
вектор t zfooo-oo^j - трансля-
ционная компонента винтовой
оси 4, (рис. 90), будучи
отраженным в плоскости пг. 4.
мнимой составляющей плос-
особая точка -
инверсионной оси 4.1и,
-{.Ц8*
Рис. 90. К построению графика пр. гр. у ft
а
кости скользящего отражения а,,
перпендикулярной оси 4/,
займет энантиоморфное
154
положение (— t J ооо-оо^ j)
и именно этот вектор (а не исходный + /,)
будет взаимодействовать с инверсионной осью 4 , возникшей в результате
поворота на 90° и отражения в горизонтальной плоскости. Особая точка
указанной инверсионной оси окажется на высоте z = -Tf !).
2 8 8 г
Дальнейшая судьба инверсионной оси 4
3 ->
с особой точкой на высоте —т
8 z
будет определяться ее взаимодействием с горизонтальной трансляционной
компонентой 1а плоскости а:; окончательная ее позиция (см. рис. 89, <з) - в
центре квадрата, построенного на векторе ta в сторону вращения оси 4)
(см. с. 56). С другой стороны, на плоскость о. будет действовать
->
перпендикулярная к ней ось 4h которая, развернув вектор ta на 90° и
подняв его вдоль оси Z на L., превратит ее в плоскость Ь. (см. рис. 89, г).
4
Таким образом, плоскость а, будет чередоваться с плоскостью Ь:, что
обусловит появление дополнительного трансляционного вектора в центр
объема элементарной ячейки - т В итоге задание лишь двух элементов
симметрии - 4i и - приводит к объемноцентрированной решетке Браве и
4,
в конечном счете к единственно возможной пространственной группе I-1 * *-
а
В результате взаимодействия центрирующего объем вектора
Т,
-» Т4 * -» Т
= t, + t (где / = ±5.) и исходной оси 4t = 4 • t, (где t = -J-) произойдет
z 2 1 4
Т Т 3 *
сложение их вертикальных составляющих + -^ = —г[ . Это изменит
2 4 4 г
характер винтовой оси 4/ на 43. Последняя будет перенесена в центр
квадрата, построенного на горизонтальной составляющей th вектора т в
направлении вращения оси 4/(см. с. 56), в результате чего ось 43 окажется в
позиции о1г (см. рис. 89, г). При этом ось 2/ вольется в качестве
2"
1) Учитывая периодичность особых точек инверсионных осей через полтрансляции (в данном
7 з -»
случае на высотах — f и —Т ), на графиках пространственных групп регистрируют их,
8 7 8 г
меньшую координату.
155
составляющей в полученную ось 43. Взаимодействие инверсионной оси
4 ! ч с особой точкой на высоте
[44 j
-Тг
8 *
— 1 °
появление еще одной оси 4 в позиции ——z
44
с вектором т, обусловит
с особой точкой на высоте
- + — = - = -Т (см.рис. 89, г). Центры инверсии, возникшие как результат
8 4 8 8 *
взаимодействия осей 2-го порядка
симметрии, окажутся в позициях
= 42 j • bz = 1 j (см. рис. 89, d).
Начало координат выбираем
например в точке с координатами
с перпендикулярными плоскостями
-О— ((2j = 42\а, = 7) и о-О
4 4'' > - / 4
в особой точке инверсионной оси,
1 3 1
----, после чего меняем на графике
44 8
высоты всех центров инверсии и особых точек, понижая их на -т (см.
8 2
рис. 89, е).
Пространственная группа Р42,с (рД
В качестве порождающих возьмем пересекающиеся под углом 45°
координатную винтовую ось и диагональную плоскость скользящего
отражения cd (рис. 91, а). Рассмотрим взаимодействие и действие друг на
друга симметрических операций, составляющих заданные элементы
Рис. 91. Этапы построения (а, б, в) и окончательный график (г) пр. гр. = Р42;с
Пунктиром выделены квадраты, построенные на трансляционных составляющих (х и
/ v координатных винтовых осей 2-го порядка
156
"* “* —> т -* т
симметрии: 2;(л) • cd = 2Х • tx • md • t, (где t = 1*_ , t = -?-).
x 2 : 2
Взаимодействие 2X md приведет к появлению инверсионной оси 4z,
особая точка которой вектором /г сместится с точки пересечения оси и
плоскости на его середину, т.е. на высоту Однако положение оси
4
будет зависеть не от исходного вектора t х(ооо-|оо), а от его
—>
энантиоморфного аналога t ^ооо-о|о), полученного отражением исходного
вектора + f, в плоскости md. В результате ось 42 переместится в центр
->
квадрата, построенного на векторе t в направлении, соответствующем
очередности проведенных симметрических операций, т.е. от первого
элемента симметрии 21(х) ко второму, cd, и займет позицию (——z) (рис. 91,
4 4
а). Изменение очередности проводимых симметрических операций на
—> —►
обратную (cj-2^1 = md t,-2x tx ) приведет к возникновению другой оси
~4х в центре квадрата, построенного на исходном векторе tx. Однако особая
— т
точка инверсионной оси 4Х в этом случае будет смещена на уже не
4
—> —> _
вектором t z^ooo-oo|), а его аналогом — t z^ooo-oo-^, полученным
поворотом на 180° исходного вектора вокруг поворотной составляющей
оси 2/(х) (рис. 91, я). Внеся координатными трансляциями полученные оси
4х в исходную элементарную ячейку (рис. 91, б) и размножив ими
заданные плоскости с и ось 2;М, получим весь комплекс горизонтальных
осей 2-го порядка, взаимодействие которых с координатными векторами
Тх, Г и Тх обусловит их периодичность через половины указанных
трансляций.
Оси 2. = 42, также взаимодействуя с векторами Тх и Ту , сместятся
на их середины, т.е. в позиции ——z и ——z (рис. 91, в), что наглядно
44 44
подтверждается результатом взаимодействия взаимно перпендикулярных
плоскостей с.
157
Выбор начала координат в пространственной группе Р42,с в
единственной позиции без степеней свободы - особой точке инверсионной
оси 4 - не вызывает сомнений. Соответствующее приведение высот (по
оси Z) всех элементов симметрии к выбранному началу координат, а также
нанесение клиноплоскостей п, чередующихся с диагональными
—> —>
плоскостями с (за счет взаимодействия с Тх = Т), приведет к
окончательному графику данной пространственной группы (рис. 91, г).
Пространственные группы /4,md(c") и I—md(D”)
Посчитав в качестве порождающих координатную (ту) и
диагональную (J) плоскости и нанеся их на график, рассмотрим результат
их взаимодействия. Для этого выпишем в определенной
последовательности все симметрические операции, составляющие
заданные элементы симметрии: myd = (где td—th+tz, th=-C-,
D - диагональ грани (001) элементарной ячейки, /_И). Проведенные
2 4
последовательно две операции отражения в плоскостях тх и md,
расположенных под углом 45° друг к другу, дадут ось 4-го порядка,
характер которой задает вертикальная составляющая плоскости d (t,), т.е.
Т
возникнет ось 4t с величиной скольжения _х. На положение
4
результирующей оси 4/ повлияет ее взаимодействие с перпендикулярной к
—»
ней горизонтальной трансляционной составляющей (th ) клиноплоскости d:
она будет перенесена с линии пересечения исходных плоскостей в центр
квадрата, построенного на th в направлении очередности проводимых
операций - от плоскости ту к плоскости d, и займет в итоге положениерХ^
(рис. 92, а).
Последовательность проведения операций симметрии, обратная
—►
исходной (d-ту = md-td-ту), скажется на ориентации вектора
—>
t jfooo----1, который, будучи отраженным в записанной вслед за ним
К 44 4/
плоскости ту, займет положение, энантиоморфное исходному
158
). Этот отраженный вектор обусловит винтовой характер и
положение порожденной оси 4} в позиции q1, (рис. 92, а), что
4"
Рис. 92. Этапы построения (а — г) и окончательные графики (в, d соответственно) пр.
гр. С"~ 14/md и _ jh-md- Пунктиром (а) показаны квадраты, построенные на
Jl' а
—»
горизонтальной компоненте трансляционной составляющей (td ) диагональной
клиноплоскости d
подтверждается наличием плоскости ту, связывающей две
энантиоморфные оси 4t и 43.
159
Результат не изменится и в том случае, если вместо вектора +t
плоскости d использовать вектор -t, направленный в противоположную
сторону (см. с. 63). Полученное сочетание энантиоморфных осей 43 и 43,
так же как и присутствие диагональной клиноплоскости <7, подтверждает
объемно-центрированный тип решетки Браве.
Размножение осей 4/ и 43 координатными трансляциями Тх и Т и их
взаимодействие с ними приведут к появлению в центрах квадратов,
построенных на этих трансляциях, осей 4-го порядка такого же типа (рис.
92, б).
Следующим шагом в построении графика заданной пространственной
группы может быть размножение исходных плоскостей симметрии m и d
осями 4) и 43 (рис. 92, в), в результате чего получим обязательную
периодичность плоскостей одного типа через половины трансляций,
перпендикулярных к ним. Взаимодействие координатных плоскостей m с
—>
косо расположенным к ним вектором т,, обусловит чередование ш(п). По
линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей тх и ту
возникнут поворотные оси 2-го порядка, что хорошо согласуется с
расположением стрелок клиноплоскостей d, направленных навстречу друг
другу в квадратах, центрированных поворотными осями 2, и в одну
сторону по периметрам квадратов, центрированных осями 2, = 43 = 4* (см.
с. 129).
Таким образом, на промежуточной стадии построения графика пр. гр.
ih-md оказался построенным график ее гемиморфной подгруппы 14/md
а
(рис. 92, в), начало координат в которой выбирается в моновариантной
позиции mm2.
Завершаем построение вводом в полученный график пр. гр. I4,md
горизонтальной плоскости а., взаимодействие которой с осями 4, и 43, как
было показано выше (см. с. 154), обусловит появление в позициях, занятых
полученными ранее осями 2. (l()z и —-z)> инверсионных осей 4 с
4 42
*
особыми точками на высотах 1/ и —j’ соответственно, а также центров
8 8 г
инверсии (в позициях ООО и Ш) (рис. 92, г).
444
Взаимодействие горизонтальных плоскостей а(Ь) с вертикальными
плоскостями обеих позиций (т и d) даст недостающий комплекс
горизонтальных осей 2-го порядка. Характер и положение диагональных
осей 2-го порядка легко определить как результат взаимодействий
координатных плоскостей т с инверсионными осями 4 , высоты особых
точек которых укажут на высоты диагональных поворотных осей 2-го
160
порядка. Возникновение диагональных винтовых осей 2/ обязано как
взаимодействию диагональных осей 2 с координатными трансляциями
решетки, так и присутствию вектора Т,, взаимодействующему с
полученными ранее диагональными осями.
Начало координат, естественно, выбирается в самой
высокосимметричной и “неподвижной” точке (без степеней свободы): в
комплексе 42m, к уровню которого затем и приводят высоты остальных
4,
элементов симметрии вычерченной пространственной группы
(рис. 92, д).
Особо следует обратить внимание на получение винтовых осей 4t и 43
на графиках родственных пространственных групп I4icd и cd, гДе обе
а
порождающие плоскости симметрии с и d содержат вертикальные
-> т - Т
трансляционные компоненты и /'г=-г- соответственно.
Скользящие компоненты результирующих винтовых осей 4-го порядка
будут определяться знаком (направлением) этих трансляционных
компонент: ±/, и ±/'z. При этом в пространственных группах I43cd и
l^-Lcd позиции осей 4j и 43 меняются местами по сравнению с их
расположением на графиках пр. гр. I43md и i^-Lmd (Рис- 92, г, д'), т.е.
направление “лопастей” винтовых осей оказывается противоположным
направлению стрелок в обозначениях клиноплоскостей d, указывающих на
увеличение их вертикальной трансляционной составляющей (см. с. 129).
VII.2.9. Вывод пространственных групп
кубической сингонии
Вывод пространственных групп кубической сингонии можно
провести непосредственно перебором всех возможных элементов
симметрии на разных (координатных и диагональных) позициях
кубического символа. Однако такой путь достаточно трудоемок и, кроме
того, не позволяет проследить симметрийную связь и логическую самих
кубических групп как между собой, так и с уже выведенными
родственными ромбическими и тетрагональными пространственными
группами. Наличие трех взаимно перпендикулярных особых направлений,
задающих ортогональную координатную систему во всех трёх
перечисленных сингониях, делает логичным прямой переход от
ромбических (с тремя неэквивалентными особыми направлениями) и
тетрагональных (с двумя эквивалентными направлениями) групп к
кубическим с тремя координатными направлениями, не только
топологически идентичными, но и непосредственно связанными четверкой
осей 3-го порядка. Эта особенность отражена и в построении
международных символов кубических групп симметрии, где все три
эквивалентные особые координатные направления собраны на 1-й позиции
символа.
Уже на уровне точечных групп симметрии можно выделить два
семейства, на которые распадаются 5 классов кубической сингонии: с
диагональными особыми направлениями, а следовательно, и с
координатными осями 4-го порядка (тЗт, 432, 43т) и без них
{m3, 23). Добавление оси 3-го порядка, равнонаклонной к координатным
особым направлениям как ромбических, так и тетрагональных классов,
делает оси X, Y и Z эквивалентными и, таким образом, кубизирует эти
классы по схеме (рис. 93):
ттт = 2_А2. т т т -> —3 т = m3,
222— -> 23,
4 —тт т = 4_2_2_ ттт -> т т = m3 т,
422- —> 432,
42т -> 43т.
162
Рис. 93. Схема перехода от точечных групп
ромбической и тетрагональной сингоний к
кубическим точечным группам путем
кубизации. т.е. введением равнонаклониой ко
всем трем координатным особым
направлениям оси 3-го порядка (Зцщ)
В ромбических группах без
диагональных направлений
кубизация делает эквивалент-
ными координатные особые
направления, не изменяя их
характер, в то время как
добавление осей 3-го порядка к
комплексу элементов симметрии
тетрагональных классов еще и
повышает горизонтальные
координатные оси 2-го порядка до
4-го, диагональные оси и
плоскости при этом размно-
жаются, утраиваясь любой из
четырех осей 3-го порядка.
Вывод
пространственных групп
кубической сингонии
на основе
ромбических
пространственных групп
Нетрудно увидеть, что
для кубизации пригодны лишь
пространственные группы, подчи-
ненные точечным ттт и 222 с
Р-, I- и F-решеткой, т.е. группы с
тремя однотипными и тополо-
гически тождественными особы-
ми направлениями. Введение осей
3-го порядка сделает эти
направления еще и экви-
валентными. Базо- и бокоцентрированные решетки для этого, безусловно,
не годятся.
Вывод пространственных групп кубической гемиэдрии
класса m3 на основе групп ромбической голоэдрии ттт
Из 16 примитивных пространственных групп ромбической голоэдрии
лишь три с однотипными координатными плоскостями симметрии
пригодны для получения кубических пространственных групп класса т 3 :
163
Рттт
Рппп
РЬса
-> РтЗ(т:\
-> РпЗ_(т;\
-> Раз(т;).
Использование в стандартной записи пространственной группы РаЗ
буквы а условно обозначает одну из трех взаимосвязанных осью 3-го
порядка координатных плоскостей скользящего отражения,
трансляционные составляющие которых направлены вдоль осей X, Y и Z
соответственно. В группах с /-решеткой присутствие центрирующего
объем элементарной ячейки вектора Т, обусловливает чередование
плоскостей симметрии т(п), а(с), Ь(с), а(Ь). Это позволяет выделить лишь
две пригодные для кубизации ромбические /-группы:
1т тт
Ibca
-> 1аЗ(Т^.
Для кубизации ромбических /-’-групп с чередованием т = и (Ь = с) (за
счет /-"-векторов) пригодны обе группы:
Fmmm
Fddd
РтЗ_(т;\
Fd3{r;\
Вывод пространственных групп кубической тетартоэдрии
класса 23 на основе групп ромбической осевой гемиэдрии 222
Пространственные группы класса 23 могут быть получены либо
непосредственной кубизацией ромбических групп класса 222, т.е.
переводом на одну позицию символа кубической пространственной группы
неэквивалентных, но однотипных осей симметрии 2-го порядка всех трех
позиций ромбического символа путем введения оси 3-го порядка, либо из
предварительно выведенных пространственных групп класса m3 как их
подгруппы:
164
Р222 -> Р23(Т')
РтЗ,
РпЗ,
Р2,2,2, -> Р2,3(г3)
РаЗ,
1222 = /2(2,)2(2,)2(2,) -> 123(Т3)
/2,2,2, = /2,(2)2,(2)2,(2) -> 12,3(Т!)
/m3,
1аЗ,
F222
Fm3,
Fd3.
Для вывода пространственных групп кубической системы,
подчиненных точечным группам m3m, 43т и 432 с диагональными
особыми направлениями и координатными осями 4-го порядка, следует
обратиться к тетрагональным пространственным группам классов
4 —
— тт, 42т и 422.
т
Вывод пространственных групп кубической
сингонии на основе тетрагональных
пространственных групп
Кубизация тетрагональных пространственных групп, как и
ромбических, достигается введением равнонаклонной к координатным
особым направлениям оси 3-го порядка. При этом существующие
горизонтальные координатные особые направления должны входить в
качестве подгрупп вдвое меньшего порядка в главные особые направления
тетрагональных групп.
Вывод пространственных групп кубической голоэдрии
на основе тетрагональных пространственных групп класса
4
— тт
т
Из сказанного выше ясно, что из 16 тетрагональных голоэдрических
пространственных групп с /’-решеткой кубизации подлежат лишь 4:
165
Р—тт —> РтЗт (О/ J,
Р^-тс(п) РтЗп (<?/)
Р~пт —> РпЗт
Р—пс(п) —> РпЗп
п
Отметим, что в кубическом символе, в отличие от тетрагонального, из
двух чередующихся между собой диагональных плоскостей симметрии с
(и) на третьей соответствующей им позиции символа предпочтение
отдается не более простой плоскости с с однозначно ориентированным
трансляционным вектором вдоль оси 4-го порядка (как в тетрагональном
символе), а клиноплоскости п, не меняющей свое наименование
поворотах вокруг оси 3-го порядка.
Для непосредственной кубизации пространственных групп с
решеткой с сохранением решетки Браве пригодны лишь
тетрагональные пространственные группы:
. 4
I — тт
т( \
(^-c{a,b)d(d')
а аур)
Однако представление объёмноцентрированных пространственных
групп тетрагональной голоэдрии в F-аспекте с соответствующей
перестановкой особых направлений 2-й координатной и 3-й диагональной
позиций позволяет кубизировать все 4 тетрагональные /-группы, т.е.
получить гранецентрированные кубические группы:
, 4
1 —тт
т
Т 4
I —ст
т
I^-md
а
,4, ,
при
l-
две
4
laid (ofy
F — tnm Fm3m (<?/),
in
F—mc -> FndcM.
m
F^-dm -> Fd3m (oj,
d
F^
d
Fd3c (О«)
a
Обратим внимание на то, что в отличие от пр. гр. РтЗп(с) и
РпЗп{е], где в стандартной записи фигурирует плоскость п , в пр. гр.
Fm3c и Fd3c на 3-й позиции остается плоскость с, ибо в исходных
4 4
тетрагональных пр. гр. /—ст и l-J-cd эта координатная плоскость с
т а
клиноплоскостями п не чередуется.
166
Вывод пространственных групп кубической гемиморфной
гемиэдрии на основе пространственных групп тетрагональной
гемиэдрии класса 42т
Гемиэдрические группы класса Td, с одной стороны, можно получить
как подгруппы соответствующих голоэдрических групп, с другой -
непосредственно кубизацией пространственных групп тетрагональной
гемиэдрии, для которой пригодны лишь две из них, подчиненные точечной
4 2т (но не 4 m2), т.е. группы с осевыми координатными комплексами.
При этом горизонтальные координатные оси 2 повысятся до 4 , что
невозможно для групп с осями 2;, ибо оси 2/ не являются подгруппой 4 ,
диагональные же особые направления - плоскости симметрии — утроятся:
Р42т
Р42п
-> P43m(Tj)
-> Р43п(Т')
РтЗ т,
РпЗт,
РтЗп,
РпЗ п.
Кубизация /-групп тетрагональной гемиэдрии, так же как и в случае
вывода голоэдрических групп, с одной стороны, непосредственно даст две
/-группы:
142т —> 143т (г/) <— 1т Зт,
142d -> I43d <- Ia3d
и с другой - две F-группы с предварительным переводом соответствующих
тетрагональных /-групп в F-аспект. При этом координатные и
диагональные направления поменяются местами:
14 m2 F42m ->
I4c2 -> F42c ->
F43m (г/)
F43c (rj)
Fm3m,
Fd3 m,
Fm3c,
' Fd3c.
167
Вывод пространственных групп кубической
энантиоморфной
гемиэдрии на основе групп тетрагональной гемиэдрии 422
Из всего многообразия групп осевой тетрагональной гемиэдрии для
кубизации пригодны лишь те, в которых горизонтальные координатные оси
2-го порядка являются подгруппами координатных осей 4-го порядка:
Р422 -> Р432(о‘\
Р4г22 -э Р4232(О}),
Р4,2,2 -> -> P4,32(O7),
Р432,2 -> -> Р4,32(О6),
(O3)F432 <- F422 = 1422 = /4(4,)2(2,)2(2,) -> 1432(о3),
(OJ)F4,32 <- F4,22 = /4,22 = /4,(4,)2(2,)2(2,) -> I4,32(os).
Получение пространственных групп кубической осевой гемиэдрии в
качестве подгрупп соответствующих голоэдрических групп не приведет ко
всем выведенным выше группам, ибо в голоэдрических
центросимметричных группах не содержатся энантиоморфные оси 4/ и 43
(см. с. 127).
VII.2.10. Графическое представление пространственных групп
кубической сингонии
Условные обозначения элементов симметрии
Приступая к построению графиков пространственных групп
кубической сингонии, необходимо прежде всего дополнить “инвентарь”
условных обозначений элементов симметрии, используемых в графиках
пространственных групп низшей и средней категорий.
Действительно, хотя в кубических пространственных группах
встречаются все те же оси симметрии кристаллографических порядков
(поворотные, винтовые, инверсионные = зеркальные), плоскости
симметрии (зеркальные и скользящего отражения), однако ориентация
многих из них в группах высшей категории специфична, что и отражено в
их обозначениях на графиках пространственных групп. Для того чтобы по
возможности исключить формальное заучивание или “рабскую”
прикованность к таблицам, остановимся подробнее на таких, главным
образом нетривиальных, обозначениях [16, 17].
Из уже рассмотренных графиков пространственных групп низшей и
средней категорий в кубическую сингонию без изменений переходят
обозначения вертикальных (т.е. перпендикулярных плоскости чертежа)
поворотных и винтовых осей симметрии любых кристаллографических
порядков. Обозначения горизонтальных осей 2-го порядка не претерпевают
168
изменений: “стрелки” вынесены на поля графика за пределы обозначенной
элементарной ячейки с указанием их высоты (уровня) над плоскостью
чертежа в долях параметра с (рис. 94).
Принципиальная “новость” - горизонтальные оси 4-го порядка
(отсутствующие в низшей и средней категориях). Их обозначения так же,
Рис. 94. Условные обозначения элементов симметрии на графиках пространственных
групп кубической сингонии: а — вертикальные и горизонтальные поворотные и
винтовые оси 4-го порядка, б — вертикальные и горизонтальные инверсионные оси 4-
го порядка (дробью указана высота их особых точек), в — наклонные поворотные и
винтовые оси 3-го порядка, г — поворотные и винтовые оси 2-го порядка, д — генезис
условного обозначения наклонных плоскостей симметрии, е — вертикальные,
горизонтальные и наклонные плоскости симметрии (т, b, с, п, d). Стрелками указаны
направления трансляционных компонент плоскостей скользящего отражения
169
как и обозначения осей 2-го порядка, выносятся на поля графика за
пределы ячейки и имеют вид деформированных квадратов -
параллелограммов, “нанизанных” на оси. При этом длинная сторона
каждого параллелограмма перпендикулярна направлению оси (рис. 94, а).
Инверсионные оси 4-го порядка фиксируются на графиках лишь
своими особыми точками, но вместо маловыразительной “точки”
_______________________ о
изображают “зеркало” {4 =4! ) - пустой незачерненный квадрат (О) -
для вертикальных осей или параллелограмм, нанизанный на
горизонтальную ось 4 ( ~$~), с указанием высоты ее особых точек (а
следовательно, высоты самой оси, если она горизонтальна) в долях
параметра с элементарной ячейки (рис. 94, б).
Для обозначения характерных лишь для кубических групп наклонных
элементов симметрии - осей 2-го и 3-го порядков (параллельных
соответственно гранным и телесным диагоналям кубической ячейки) -
используются незачерненные фюзо и треугольники, пронзенные векторами
(осями, порядок которых они символизируют). Нижние концы таких
наклонных осей, отмеченные точками, указывают место их выхода с
нулевого уровня вверх (рис. 94, в, г).Координатные плоскости симметрии -
вертикальные и горизонтальная - обозначаются так же, как и на графиках
пространственных групп низшей и средней категорий. Однако
диагональные вертикальные плоскости неизменно сопровождаются
связанными с ними наклонными диагональными плоскостями, попарно
образующими как бы двускатную крышу. На графиках показывают “конек”
такой крыши, находящийся на нулевом вдоль оси Z уровне, и ее скаты.
Стрелки на скатах указывают направление трансляционных компонент
пересекающихся наклонных плоскостей скользящего отражения
(рис. 94, О).
В кристаллографической литературе можно встретить некоторые
устаревшие либо современные, но малоудачные, на наш взгляд,
обозначения элементов симметрии пространственных групп кубической
сингонии [17, 73]. Поэтому считаем полезным вкратце остановиться
на них.
1. Наклонные оси 2-го порядка изображались в виде по-разному
ориентированных тригональных (!) призм, из граней которых выходят
стрелки (оси), направленные с нулевого уровня вверх:
iX IJh
2.. Пересечение с осью 3-го порядка всех трех координатных
инверсионных осей 4-го порядка, а следовательно, всех элементов
симметрии комплекса 43т, обозначались квадратом, перечеркнутым
0
одной диагональю: .
3. Для изображения наклонных плоскостей симметрии в последнем
издании Интернациональных таблиц [73] используется стереограмма всех
170
(и трансляционных тоже) элементов симметрии, пересекающихся в
определенных точках (рис. 95).
Все только что перечисленные обозначения элементов симметрии и
их комплексов, на наш взгляд, неудачны, так как выпадают из общей идеи,
заложенной в условные обозначения элементов симметрии
Рис. 95. График пр. гр. Fc/3 т — O7h в последнем издании Интернациональных
таблиц [73J
пространственных групп различных категорий, и излишне загромождают
их графики. Поэтому авторы “Атласа пространственных групп кубической
системы” [16], отказавшись от подобных условных знаков, постарались
использовать обозначения, во многом повторяющие первоначальную
символику первого автора графиков пространственных групп
Е.С.Федорова (см. [17]).
171
Пространственная группа РаЗ (т‘)
Построение графика пространственной группы РаЗ удобно начать с
вычерчивания ее исходной ромбической подгруппы РЬса с одинаковыми
параметрами элементарной ячейки, кубизация которой введением оси 3-го
порядка делает все координатные особые направления эквивалентными.
Посчитав плоскости Ь, с, а всех трех позиций ромбического символа
Рис. 96. Этапы построения (а, б, в) и окончательный график (г) пр. гр. у6 = рат,
порождающими элементами симметрии, в качестве результата их
взаимодействий получим винтовые оси 2-го порядка и центр инверсии
(рис. 96., а). Для ввода оси 3-го порядка наиболее приемлемой является
нонвариантная позиция (см. с. 184) в центре инверсии, равноудаленная в
пр. гр. РЬса от всех трех скрещивающихся координатных осей 2; и трех
плоскостей симметрии (рис. 96, б). Действительно, задание оси Зрщ в
указанную позицию, принятую за начало координат (с соответствующим
изменением высот элементов симметрии), не размножает (а переводит в
себя) ни осевой, ни плоскостной комплекс исходной ромбической группы.
172
Поэтому процесс вычерчивания графика искомой пр. гр. РаЗ сводится к
размножению заданной материализованной оси 3-го порядка либо всеми
плоскостями симметрии, либо осями симметрии 2-го порядка
пространственной группы с последующей фиксацией найденных осей 3 на
нулевом (относительно оси Z) уровне. Поскольку и плоскости симметрии Ь,
с, а, и винтовые оси 2/ содержат трансляционные компоненты,
направленные вдоль всех трех координатных осей X, Y и Z, то оси 3-го
порядка, размноженные ими, как бы “разбегутся” вдоль указанных
векторов.
Рассмотрим последовательные действия на исходную ось Зцп/
каждой из указанных трансляционных плоскостей симметрии (рис. 97), при
этом дробью (1/2) отметим оси 3-го порядка, точки входа которых
расположены на полтрансляции вдоль оси Z. Отраженная в плоскости
Рис. 97 Размножение исходной оси Зрщ плоскостями скользящего отражения: Ь, (а),
а, (в) — и винтовыми осями 2-го порядка: 21м(г), 2цу)(д') и 2,(я(е) Знаки “+” и
" указывают на положительное или отрицательное значение индекса / в символе
оси 3|«|
bx = mx-ty ось 3(| |ц , получив символ 3- , сначала займет положение 2 и
затем будет перенесена трансляционной'компонентой этой плоскости в
положение 3 без изменения своей высоты по оси Z (рис. 97, а). Та же ось
3[|! и под действием плоскости су = ту I, (рис. 97, б), отразившись в ней,
ГалА’ 1 , А-
173
получит символ 3. _, и, перемещенная вдоль оси Z на Аг., будет
111 2
зарегистрирована на нулевом уровне в позиции 3, а затем трансляцией
->
решетки Т внесена в элементарную ячейку в положение 4.
~* т
Горизонтальной плоскостью а, = т: tx , расположенной на высоте Ас,
4
ось 3[ц|] будет переведена с нулевого уровня в положение 2 (-?[t, ,]) и затем
т
в положение 3 на высоте Аг.; на нулевом уровне она окажется в положении
2
4 (рис. 97, в).
В случае отсутствия плоскостей симметрии, например в
пространственной группе герсдорфита NiAsS - А2;3 (подгруппа группы
РаЗ ), размножающим будет комплекс скрещивающихся осей 2/. А так
как этот комплекс осей является производным от взаимодействия
плоскостей симметрии Ь, с, а, то в итоге получим то же самое
расположение осей 3-го порядка:
- ось 2цх) (рис. 97, г) повернет исходную ось 3(lli] на 180° в положение
2 C^piT]) и сместит на полтрансляции вдоль оси X в положение 3; выход
этой оси с нулевого уровня вверх будет иметь символ [ Т11 ] (положение 4);
- ось 2цу) (рис. 97, д), расположенная на высоте Ах., повернет
4
исходную ось 3[ц|| в положение 2 (3pnj) на высоте 1/2 по оси Z и далее
перенесет в положение 3, окончательная позиция этой оси (3 - ) на
и 11]
нулевом уровне будет в положении 4;
- поворот и скольжение вокруг оси 2ц:) (рис. 97, в) переведут
исходную ось 3[|ц] в положение 2 (3^ ((|) на высоту Zx_, и нулевой ее выход
(положение 3) окажется за рамками выделенной элементарной ячейки;
внесенная в ячейку ось будет локализована в положении 4.
Таким образом, в результате проведенных операций симметрии
получим 4 выхода поворотных осей 3-го порядка (см. рис. 96, в).
График пространственной группы РаЗ будет завершен (см. рис. 96,
г), если на него нанести винтовые оси 3, и 32, всегда сопровождающие в
кубических пространственных группах поворотные оси 3-го порядка и
возникающие как результат их взаимодействия с группами трансляций
каждой из трех кубических решеток Браве.
174
Для определения взаимного расположения осей 3-го порядка (3, 3h 3?)
удобно, сориентировав кубическую элементарную ячейку вдоль одной из
Рис. 98. Основные ячейки (ромбоэдры) в кубических решетках различного типа: а —
элементарная ячейка /’-решетки, угол а = 90°; б — основная ячейка /-решетки, угол а
- 109°28'16"; в — основная ячейка /'-решетки, угол а = 60°
осей 3-го порядка, представить
ее в гексагональном аспекте
как частный случай Л-решетки.
И поскольку в каждой из
кубических решеток (Р, / или
F) можно выделить основную
ячейку в виде примитивного
ромбоэдра (рис. 98), а
следовательно, дважды центри-
Рис. 99. Результат взаимодействия исходной
поворотной оси 3-го порядка (Зрю,)) с
дополнительными дважды центрирующими
объем гексагональной Я-ячейки векторами г'
и - винтовые оси 3-го порядка : 3(вд Т*
рованную гексагональную
ячейку Браве, то, рассмотрев
взаимодействие главной оси
такой ячейки (оси 3) с ее
дополнительными трансляци-
онными векторами T'R(
(°00 333J
и (рис- 99)’ можно
= 3, ( в позиции Цг ), 3«и,> • Г/' = 32
33
( в позиции | )
3Z
определить характер и
положение результирующих осей 31 и 32.
->
Вертикальные составляющие t'_
векторов
fooo- fooo- OoQ
I 33 J I 3)
И ^R ~h^000- [ooo- ’
добавленные к
175
операции поворота на 120° вокруг оси 3, превратят ее в винтовые 3t и 32
соответственно. Горизонтальные же составляющие /' и /" этих векторов
перенесут возникшие винтовые оси в центры построенных на них
треугольников (см. с. 54) в сторону вращения результирующих осей,
характер и положение которых подтверждаются и высотами узлов дважды
центрированной /(-ячейки (рис. 99).
Рис. 100. Взаимное расположение осей 3/ и 3, в кубических пространственных решетках
различного типа в проекции, перпендикулярной одной из осей 3-го порядка (1): а — в Р-
решетке, б — в 7-решетке, в — в F-решетке; общий вид кубических ячеек с выделенной
основной ячейкой (ромбоэдром) (2) и положение осей 3-го порядка иа графиках
кубических пространственных групп (3)
Далее, рассмотрев положения полученных винтовых осей 3/ и 32 на
гранях исходного ромбоэдра (Р-куба) (рис. 100, а), увидим, что эти оси
параллельны главной исходной оси 3 ромбоэдра и пересекают его грани
(например, грань ABCD) в точках, делящих их горизонтальные диагонали
176
(BD) на три равные части. Размножив полученные таким образом оси 3/ и
З2, определим их положения и на соседних гранях основного ромбоэдра
(куба).
В кубической /-ячейке за счет присутствия центрирующего объем
->
вектора , равного половине телесной диагонали исходного куба, вдвое
сокращается трансляция вдоль оси 3-го порядка выделенной основной
ячейки (ромбоэдра), а следовательно, и вертикальный параметр с
соответствующей гексагональной дважды центрированной /?-ячейки Браве.
Соответственно сокращаются вдвое и вертикальные составляющие t'2 и /"
Рис. 101. Получение осей 3/и 3> в пр. гр. РаЗ ' о — расположение скрещивающихся
поворотных осей 3,6 — д — положения осей 3/ и 3j, сопровождающих каждую из
четырех поворотных осей 3, е — позиции всех — поворотных и винтовых — осей 3-го
порядка на графике пр. гр. РаЗ
177
векторов T'Rf000 _ 211) а T" ( 1224 (Рис- ЮО» Ф- Это приводит к тому, что
I 333J R v>0° “ 333J
ось 3i оказывается в позиции 32 кубической P-ячейки (и соответственно ось
32 совпадает с осью ЗД т.е. на грани (001) исходного /-куба положение
энантиоморфных осей 31 и 32 по сравнению с их положением на этой же
грани в P-ячейке меняются местами (рис. 100, б).
В кубической P-ячейке центрировка всех граней заставляет по-иному
выбрать примитивный основной ромбоэдр и соответственно дважды
центрированную гексагональную ячейку Браве (рис. 100, в). В результате
винтовые оси 3t и 32 оказываются спроектированными на диагональ
малого квадрата - ее 1/4 части. При этом с тройными винтовыми осями,
перешедшими от P-ячейки, совпадет лишь четвертая часть из восьми осей
3t и 32 F-решетки, характер которых сохранится.
Таким образом, чтобы нанести на график кубической
пространственной группы оси 3, и 32, следует для каждого выхода
поворотной оси 3 начертить (обозначить) квадрат со сторонами, равными
- Т Т
Т и Т в Р- и /-решетках и и —L - в F-решетке, по отношению к
у 2 2
которому исходная ось 3-го порядка занимала бы положение 3[цц. Затем,
разделив не проходящую через ось 3 диагональ квадрата на три равные
части, найти в соответствии с вышеизложенным правилом позиции осей 3/
и 32. На рис. 101 изображено поэтапное получение винтовых осей 3/ и 32,
сопровождающих каждую из четырех исходных скрещивающихся
поворотных осей 3-го порядка в пр. гр. РаЗ . Окончательный вариант
графика пр. гр. РаЗ изображен на рис. 96, г.
Пространственная группа Р2г3 (Т4)
Построение графика пространственной группы P2i3, являющейся
подгруппой пр. гр. РаЗ , не должно вызывать затруднений, ибо здесь
могут быть использованы рекомендации, сформулированные при
построении графика пр. гр. РаЗ (см. с. 174). А так как исходной в данном
случае служит ромбическая осевая пр. гр. Р2/2/2/, то вычерчивание
искомой группы удобно начать с построения графика именно этой
пространственной группы (см. с. 131) с учетом параметров кубической
элементарной ячейки (а = b = с). Начало координат, условно выбранное
для этой группы в точке, равноудаленной от всех трех скрещивающихся
осей 2/ (в позиции центра инверсии в пр. гр. РаЗ ), служит при ее
кубизации местом ввода оси 3-го порядка, ибо только в этом случае осевой
комплекс не будет ею размножен (рис. 102, а). Далее поступаем так же, как
при выводе пр. гр. РаЗ : размножаем введенную ось 3[ш] координатными
осями 2/ (см. с. 175) и наносим на график соответствующие им оси 37 и 32
178
(рис. 102, б, в). Убеждаемся в том, что полученный осевой комплекс
является подгруппой пр. гр. РаЗ .
Рис. 102. Этапы построения (а, б) и окончательный график (в) пр. гр. Р2/3 = Г1
Рис. 103. Этапы построения (а, б) и окончательный график (в) пр. гр. 1тЗ = Г/
179
Пространственная группа 1тЗ(т’)
Исходной при построении графика пространственной группы 1т 3
удобно считать группу ромбической голоэдрии Immm, построение которой
естественно начать с графика пр. гр. Рттт, предположив одинаковые
параметры элементарной ячейки а, b и с (рис. 103, а). Затем, введя
дополнительный трансляционный вектор Г, и получив при этом весь
комплекс элементов симметрии, чередующихся с исходными Р-группы,
можно перейти к пр. гр. Immm (рис. 103, б). После этого следует ввести
кубизирующую ось 3-го порядка в точку с максимальной симметрией ттт
(точку в начале координат), предварительно убедившись в том, что при
этом и осевой и плоскостной комплексы исходной группы останутся
неизменными.
Под действием элементов симметрии исходной группы (например,
зеркальных плоскостей симметрии) введенная ось Зри] будет размножена,
т.е. получим три пересекающиеся в одной точке (с координатами ООО) оси:
•3(171], ^[Тн] и 5[7Т1]- Дал66 останется только нанести, воспользовавшись
приведенным на с. 175 приемом, оси 3/ и Л, всегда сопровождающие в
кубической элементарной ячейке поворотные оси 3 (рис. 103, в).
Пространственные группы Р43т(т^ и 143т(Т*}
Исходной для построения графика пространственной группы Р43т
будет тетрагональная группа Р42т, поэтому и построение графика
следует начинать именно с нее. Задание в качестве порождающих
элементов симметрии координатной поворотной оси 2-го порядка (2Х) и
расположенной к ней под углом 45° диагональной зеркальной плоскости
(wj) обусловит появление инверсионной оси 4-го порядка (4.) (рис. 104,
а), взаимодействие которой с трансляциями решетки приведет к появлению
еще одной неэквивалентной исходной оси 4 , в центре ячейки (см. с.
54). Поворотные оси 2-го порядка, являющиеся подгруппой группы 4 , а
также размноженные осью 4 горизонтальные оси 2, взаимодействуя с
этими же трансляциями по одинаковому закону, оказываются в позициях
на серединах ребер элементарной ячейки. При этом все горизонтальные
координатные оси 2 расположатся на двух уровнях (0 и 1/2) по оси Z
элементарной ячейки. На графике эта естественная периодичность высот
осей, как правило, не отмечается. Из иных высот элементов симметрии
указываются только меньшие Л (например, “1/4” подразумевает
2
присутствие оси на высоте не только “1/4”, но и “3/4”). Взаимодействие
180
исходной плоскости mj с Тх и Т обусловит чередование m (b) (рис.
104, б).
В результате всех описанных выше операций симметрии получим
Рис. 104. Этапы построения (а — е) н окончательные графики пр. гр. Р43т = н
143т = Г/ (ас)
181
график исходной тетрагональной пр. гр. Р42т, кубизацию которой можно
осуществить вводом оси 3-го порядка, однако при этом следует решить,
какой из двух, казалось бы, конкурирующих позиций отдать предпочтение:
Рис. 105. К построению графика пр. гр. Р43т- Введение кубизируюшей оси Эцш в
позицию 1(a) повысит все координатные осн 2-го порядка до 4 (б, в), что сократит вдвое
параметры первоначальной элементарной ячейки
осевому комплексу 222 в позиции qIq или особой точке инверсионной оси
2
4 комплекса 42т (в начале координат). Введя ось 3(1||] в позицию I
(о-о) (Рис- увидим, что оси 2-го порядка, пересекающиеся в этой
2
точке, окажутся взаимосвязанными введенной осью 3 (рис. 105, а). При
этом единственная ось 4. тетрагональной группы размножится поворотом
на 120° (рис. 105, б), заняв позиции 0 * х0£. Размножение каждых
2 ’ 2 _ 2
двух осей 4 (например, 4, и 4 ) третьей - 4 - приведет к тому, что все
ух Z
оси 2-го порядка повысятся до осей 4 . Действительно, инверсионный
поворот оси 4 (в позиции -уО) вокруг оси 4 (в позиции О—z) даст ось
2 2
4 (в позиции хОО), которая перекроет существующую в этой позиции ось
2(хоо), и т.д. (Рис. 105, в). В результате расположения инверсионных осей
через 1/2 координатных трансляций вдвое сократятся параметры заданной
первоначально элементарной ячейки.
Ввод кубизирующей оси Зрщ в позицию II с симметрией 42т (000)
(рис. 105, в) обеспечит круговую перестановку (О) всех осей исходной
пространственной группы Р42т'.
182
4 (ooz) -> 4 (ooz), 4 (xoo) - в позиции 2(x00), 4 (ои» - в позиции 2(оу)),
4 г- 4 а у4 f п"в позиции 2ai г4 а 1
(z2*J k22ZJ C22J lz2ZJ Г 2
-в позиции 2, ..
Остальные оси 2-го порядка окажутся связанными кубизирующей
осью 3:
2Г\ 3 О -» 2( 1 v 2( пП, 2(\ Л;
Ы m rd М
2(Я ° -* 2Н 2ж- 2НУ
В результате половина исходных осей 2-го порядка войдет в качестве
подгрупп в инверсионные оси 4 , не сократив при этом размеров исходной
элементарной ячейки (см. рис. 104, в).
Рнс. 106. К построению графика пр. гр. Р43т- Введение кубизируюшей осн 3|ш| в
позицию II (см. рнс. 104) с симметрией 42т, т.е. в особую точку инверсионной оси 4 ,
повысит половину исходных координатных осей 2 до 4 , не сократив при этом
параметры элементарной ячейки (а). Расположение осей 4 (<ю.->, 4 (<м», 4 «и» (а), осей
4 ,4 ,4 (б), связанных осью Зцн|. и нх обозначение (в, г) на графике
пр1йр}нств^Внь11 гр^пйй] сводный график, на котором обозначены все особые точки
перечисленных инверсионных осей 4 и их высоты (с))
183
Следует отметить, что при кубизаиии инверсионные оси
размножаются вместе со своими особыми точками (рис. 106, а) и на
графиках кубических пространственных групп изображаются не сами
инверсионные оси, а их особые точки (
см. с. 170), в отличие от
тетрагональных групп, где инверсионные оси всегда вертикальны и имеют
специальное обозначение: и.
На рис. 106, а видно, что из инверсионной оси 4 (оог) с особыми
точками в позициях ООО и оо 1 при повороте (О) вокруг оси Зц н]
2
получим оси 4 (хоо) и 4 (ои>) с особыми точками, позиции которых легко
находят также с помощью круговой перестановки:
ООО О -> ООО, ООО, ООО;
о _> 001. -00 ’ 2 olo 2
и ось 4 fi i > (2 2") О -> ’ 4 Гл--' V 2 2, <1 /• S NJ |- NJ 1 — S /
с особыми точками ——о 2 2 О -> Но. 2 2 о!*-. 2 2 101. 2 2
111 2 2 2 О > 1 1 1 2 2 2 1L1, 222’ 1JLL (рис. 106, б). 2 2 2
На графиках (рис. 104, в и 106, д) нанесены найденные позиции
особых точек всех инверсионных осей 4 .
Прием круговой перестановки удобен и для получения всех
диагональных плоскостей, связанных осью 3-го порядка. Так, плоскость
W(no) W(on), W(ioi)» каждая из которых отдельно и все вместе
показаны на соответствующем рисунке и графике (рис. 107). При
размножении диагональных плоскостей скользящего отражения (в данном
случае плоскостей, чередующихся с зеркальными плоскостями) изменение
направлений трансляционных компонент меняет соответственно и их
наименования. Однако нередко обозначение таких плоскостей буквами,
соответствующими скольжению, затруднено. Поэтому в таких случаях
удобно воспользоваться нейтральным обозначением: буквой g (нем. gladen
- скольжение). В рассматриваемом случае g(|10) О -> g(iio)> g(on>, g(ioi>
(рис. 108, а-в).
Последний этап построения графика пространственной группы
Р43т связан с размножением исходной оси 3-го порядка -?[inj
комплексом полученных элементов симметрии, а также с локализацией
184
Рис. 107 Положения диагональных
зеркальных плоскостей симметрии,
связанных кубизируюшей осью 3|нц,
каждой отдельно (я, б, в) и всех вместе
(г) и их обозначение на графиках
кубических пространственных групп
Рнс. 108. Положения диагональных
плоскостей скользящего отражения,
связанных кубизируюшей осью 3|in|, и
нх обозначения на графиках кубических
пространственных групп. Стрелками
показаны направления трансляционных
векторов
сопровождающих поворотную ось 3 осей 3/ и 32. Сведение воедино всех
поэтапно полученных элементов симметрии даст окончательный график
пространственной группы (см. рис. 104, г).
Далее естественно получить и график пространственной группы
143т, для чего следует ввести вектор Г, в построенный график пр. гр.
Р4 Зт и рассмотреть взаимодействия этого вектора со всеми элементами
185
симметрии группы. Вектор Tt можно ввести уже на этапе вычерчивания
графика исходной тетрагональной группы (что легче), т.е. получить
сначала группу 142т (см. рис. 104, О), а затем ее кубизировать. В обоих
случаях построение графика будет включать рассмотрение взаимодействия
осей 4 (со своими особыми точками в позициях ООО и 00—) и
2
центрирующего объем ячейки вектора, в результате чего возникнут оси
того же наименования в центрах квадратов, построенных на
горизонтальной составляющей вектора т. (в позициях 1_q- и о — г ).
2 2 '
При этом изменятся высоты особых точек полученных осей за счет
присутствия вертикальной составляющей вектора Т, , переносящей особые
точки на уровни 1/4 и 3/4 относительно Т2 (см. рис. 104,0).
Не следует забывать и о том, что центрирующий объем ячейки вектор
Г,, располагаясь в диагональных плоскостях симметрии m(b), обусловит
их тождественность с плоскостями п и с соответственно, т.е. будем иметь
m = п (b s с). Однако на окончательном графике тетрагональной
пространственной группы изображается лишь одна из каждой пары
чередующихся плоскостей: m и с соответственно. Кроме того, вектор Г,
обусловит чередование вертикальных осей 2Z = 4 2 и горизонтальных
осей 2Х и 2у с винтовыми осями 2-го порядка (см. рис. 104, д').
Дальнейшее построение графика сводится к размножению новых осей
4 осью 5[ш], введенной, как и в рассмотренной выше пр. гр. Р42т, в
позицию (ООО) с симметрией 4 2т, способом круговой перестановки и
нанесению полученных результатов на график:
инверсионная ось
с особыми точками
инверсионная ось
с особыми точками
4 f > О - >4 ,4 . , , ,4 ( .
fi°.- fx-0 1 Го»'—!
(2 J (2 J 1 I 2 > 1 1 2)
। л 1 о . 1Л1 1 1Л Л1 1
-0- > -0-’ —0’ 0 — ’
2 4 2 4 42 42
ln3 о > 1Л3 з 1„ J 1 •
—0— * — 0— ’ —0’ 0—>
2 4 2 4 42 42
4 О - > 4 , 4 , 4
( Т \ 1
0 s (о z х° ; ! jo
I 2 J 1 2 , 1 1 2J 1 (х )
о’’ О - > oil. lol. Но.
2 4 24 4 2 24
186
„11 о О13, з01, 13О
24 24 4 2 24
(см. рис. 104, е).
Полный график пространственной группы 143т изображен на рис.
104, ж.
Пространственная группа F43m(r*}
Для того чтобы получить график пространственной группы F43т ,
логично обратиться к тетрагональной группе с /•’-решеткой -F42m, в
стандартной установке соответствующей пр. гр. 14т2{р^, график
которой легко получить на основе пр. гр. Р4т2- Таким образом,
выстраивается цепочка последовательно вычерчиваемых графиков
пространственных групп:
Р 4 т 2 14 m2 -> F42m -*F43m .
Получение графика тетрагональной пр. гр. Р4т2 не вызывает
затруднений, ибо взятые в качестве порождающих элементов симметрии
зеркальная координатная плоскость т и расположенная к ней под углом 45°
диагональная ось 2 зафиксируют положение зеркально-поворотной оси
О _____
4 = 4 г (рис. 109, а) и ее особой точки (в позиции ООО). Введение в график
—>
этой пространственной группы центрирующего объем ячейки вектора Т, ,
обеспечит не только чередование исходных зеркальных плоскостей
симметрии т с клиноплоскостями п (так же, как и чередование 2(2,)), но и
появление новых осей 4 с соответствующими им особыми точками на
—»
высоте £г.(рис. 109, б).
4
Для кубизации - перехода к гранецентрированной кубической ячейке
- необходимо пр. гр. 14 m2 представить в нестандартном для нее F-
аспекте: F4 2m (рис 109, б). При этом координатные и диагональные
особые направления поменяются местами. Затем следует ввести
кубизирующую ось 3-го порядка в позицию с симметрией 4 2 т , т.е. в
начало координат новой F-ячейки. В результате этого все горизонтальные
поворотные оси 2-го порядка повысятся до 4 , а также появятся наклонные
диагональные плоскости т и п (рис. 109, в):
187
Рис. 109. Этапы построения (а, б) и окончательный график (в) пр. гр. F43m = Tj
Волнистой линией выделена элементарная ячейка тетрагональной группы 14 m2 в
/'-аспекте- F42m
ОСЬ 4
(°0z)
с особыми точками ООО
О -> 4 ,4
(OOz)
, 4
(OvO) (хОО)
О -> ООО, 000, 000,
188
00 - 2 o _ > 00 1, olo. loo ’
2 2 2
ось 7 (ОН O- * 4 (Ofz). 4 (iy0). 4 (x0‘)
с особыми точками 0-0 O- * olo, loo, 00 1’
ось 2 oil 2 2 7 Ы O - Oh 2 2 2 * oil. Ho. lol; 2 2 2 2 2 2 ’ 4(±oz),4 (Oyi), 7(xi0)
с особыми точками loo O- ► loo, 00 1, 0 lo ’
2 lol Оч 2 2 2 L0L. oll, LL0 ;
ось с особыми точками z s C ы 1 ГЧ —1 СЧ 1 > cLz -| O-> Он 2 2 2 2 2 2 Lio. L0L. 0LL,
2 2 ILL Он 2 2 2 2 2 2 LLL LLL LLL
ось 2 2 2 7ril Oh 222’ 222’ 222 4 i A. 4 i'i lA, 4 ( 1 iA
с особыми точками ? и 4 ) ILL О - - t? 1“ Cl 1- Z7 1- , -b 1 1“ 4— i- i- ci i-
ось 4 4 4 111 4 4 4 4 3 ) Он О - 444 444 444 ► LLL LLL LLL 444’ 444’ 444 * 4 fi з a, 4 (з iA, 4 ( i зЛ
с особыми точками 14 4 J LIL Он —z — y— 1 ЛГ 1.4 4 J 4 4J I 4 4j ► LLL LLL LLL
4 4 4 LLL 4 4 4 О H 444’ 444’ 444 > LLL LLL LLL 444 444 444
189
ось 4 (з 1 1 —z <4 4 ) О-» 4 (-‘1 <4 4 ) 'ь 1- | W ( 3 В x— < 44)
с особыми точками ILL О-> LLL 111 111,
4 4 4 4 4 4’ 4 4 4’ 4 4 4’
3 1 3 о > 3 1 3 1 3 3 3 3 1.
1 ~~ 1 1 — — — — «
4 4 4 4 4 4’ 4 4 4’ 4 4 4
ось Г33 1 О ч ► 4 (3 3 > 1’ 7 Г3 3У 7 ( 3 3)
—Z
<4 4 ) <4 4 J 1 <4y4j < 44J
с особыми точками LLL О-) 111 111 111,
4 4 4 4 4 4 4 4 4’ 444’
3 3 3 Оч • 111 3 3 3 333.
—* — — «
4 4 4 4 4 4 4 4 4’ 4 4 4
плоскости W(no) ^-2 —> m(iio), т(101), т(оп),
w(no) w(uo)’m(oiT)’
«(ПО) > И(110), «(101), «(ОН),
м(ио) и(по)’ n(ioi)’ и(о|Г)'
Пространственная группа Р4,32 (О7)
Вычерчивание графика пространственной группы P4t32 начинают с
построения графика ее тетрагональной подгруппы P4t2i2. Посчитав
порождающими координатную винтовую ось 21М и поворотную
—>
диагональную ось 2Л отстоящие одна от другой на Zk, получим в качестве
8
результирующей ось 41(1) в центре одного из квадратов, построенных на
трансляционном векторе оси 2/fSt). При этом ось 4/ окажется в “левом”
квадрате, ибо в центре “правого” квадрата она пересечется с исходной ось
2Л что приведет к появлению поворотной координатной оси 2Х под углом
45° к 2Л т.е. к невозможному в Р-решетке чередованию координатных осей
2/2) (рис. 110, а).
Далее получаем весь комплекс осей тетрагональной группы:
190
Рнс. 110. Этапы построения графика пр. гр. Р4/32 = О7
- за счет взаимодействия 41(:/ Tv (или Тх ) получим 4t в центре
квадрата, построенного на этой трансляции;
191
- взаимодействие 2l(z) (= 4/) • т (Тх ) приведет к появлению оси 2,
на серединах векторов т и Тх;
- ось 2цх), размноженная осью 4 ц,), после поворота на 90° окажется
—* —>
на высоте Zk, так же как ось 2(/(ее исходная высота Zk) - на высоте и
4 8 8 2
т.д. (рис. НО, а).
Рис. III. К построению графика пр. гр. Р4/32-. а - введение
кубизирующей оси Зци] в позицию I (см. рис. ПО, а) часть координатных осей 2/
повысит до 4г. 4/ (з ) 4/ ( з), 4/ ( 3 V Поворот оси 4i ( 3 ) вокруг
вертикальной 4/ (3 ) приведет к осям 4/ ( 3), 4/( у ух, 4//у ух , что не
И ['nJ (FTJ
сократит параметры исходной элементарной ячейки; б - введение оси Зщц в позицию
II приведет к сокращению вдвое параметров исходной элементарной ячейки:
Затем переходим к кубизации полученной тетрагональной группы
P4i2t2 . Из двух конкурирующих, казалось бы, позиций (I и II),
равноудаленных от всех трех скрещивающихся координатных осей 2t (как в
пр. гр. Р2/3) и всех диагональных осей 2-го порядка, для ввода
кубизирующей оси 3-го порядка оказывается пригодной лишь первая, так
как только в этом случае при вращении исходных осей 2, и 4t вокруг
введенной оси Зцщ не появится новых особых направлений: при этом лишь
192
часть координатных горизонтальных осей 2/ будет повышена до 4t (рис.
111, а). При введении же оси 3 в позицию II (см. рис. 110, а) все винтовые
горизонтальные координатные оси 2-го порядка повысятся до 4-го
порядка, что сократит вдвое параметры исходной элементарной ячейки
(рис. 111, б) °.
Далее, перерисовав график с новым началом координат на оси 3,
размножаем сначала ось 3 винтовыми координатными осями 2/ (см. с. 173),
а затем диагональные оси 2 и 2, способом круговой перестановки и в
заключение (рис. 110, б) наносим на график оси 3, и 32(см. с. 176).
Пространственная группа РтЗп (О')
Основой для вычерчивания графика голоэдрической
пространственной группы РтЗп служит ее тетрагональная подгруппа
4
р12.тп, в стандартном символе которой, приведенном в
т
л
Интернациональных таблицах, Р-^тс-, предпочтение отдано не
т
диагональной клиноплоскости п, а чередующейся с ней плоскости с (с
вертикально расположенным трансляционным вектором). Возникновение
винтовых осей 42 при взаимодействии вертикальных плоскостей -
координатной тх и диагональной cd (с углом 45° между ними) -
подтверждается и наличием горизонтальных поворотных осей 2Х и 2d, также
расположенных под углом 45°, но на высотах, различающихся на 1/4
вертикальной трансляции Тг и полученных при взаимодействии
вертикальных и горизонтальной плоскостей симметрии: тх • тг = 2Х, cj - т.
—ъ
= 2d на Zk. Взаимодействие диагональных элементов симметрии (cd и 2,/) с
4
координатными трансляциями решетки приводит к чередованию Cd(nd) и 2</
4
(2i(J)). Полный график пр. гр. Р-^-тс включает и центры инверсии (рис.
т
112, п).
Из трех позиций с максимальной величиной симметрии (равной 8) :
ттт (ООО), 42т (цО-) и ттт (о-ц) _ для введения оси 3-го порядка,
4 2
1) Начало координат, выбранное в тетрагональной группе Р4/2/2 на оси 2 (одна степень
свободы!), в позиции III ) (см. рис. 110, а) также не годится для ввода оси 3 вследствие
448
тех же причин.
193
Рис. 112. Этапы построения (а, б) и окончательный график (в) пр. гр РтЗ п = OjJ
повышающей исходную группу Р^-гпс ДО РтЗп, пригодной
т
оказывается последняя (рис. 112, а), ибо только в этом случае комплекс
вертикальных осей останется без изменения, а половина горизонтальных
194
осей 2 повысится до 4у
- *(!,.) "е с0,<ра™в
при этом параметров исходной элементарной ячейки. При введении оси 3 в
другие две указанные позиции все оси 2 повысятся до осей 4-го порядка,
что вдвое сократит параметры заданной элементарной ячейки.
Далее начало координат переносим в выбранную позицию ттт
(qIq) и наносим винтовые оси 42, размноженные осью 3-го порядка:
2
ось 4/1 О 42( п, 4/1 у
0“ г лО- ~уО
t 2 ) I 2J U )
осьЧМ ° П (рис. п2,б).
V2 ) V 2 J ( 2J
л
Совпадающая с осью 42 “невидимая” в исходной пр. гр. p_Lmc ось
т
4 со своими особыми точками, отстоящими от уровня горизонтальной
Т
плоскости т (с расположенным в ней центром инверсии) на -г. также
4
размножается осью 3. При этом убеждаемся, что оси 42 и 4 ив кубической
группе по-прежнему совпадают:
ось 4 fo-zl ( 2 ) О 4 ( IV хО— 1 2; 4 (i '
с особыми точками о’’ 24 о -О-’ 4 2 Ио, 24
о’' 24 о V, 4 2 Ио; 2 4
ось ЯМ ° 4 (*М ЯМ’
<2 ) V 2 J < 2)
с особыми точками
lo- --0> 0-- (рис. 112,6).
24 42 42
Особое внимание следует уделить размножению осями 3
диагональных осей 2-го порядка способом круговой перестановки и их
обозначению (см. условные обозначения на с. 169). При этом процесс
размножения затрагивает как сами оси 2, так и точки их входа (на границах
элементарной ячейки).
195
Например, из диагональной оси 2,^ щ (рис. 113, а), выходящей в
точке с координатами oq-1, вращением вокруг оси 3[ш] с помощью
4
круговой перестановки получим еще две:
ось 2/[ТТо] 2;[1оТ]> 2/[01 1]
с точкой входа 00-
4
0-0. -00-
4 4
Рис. 113. К построению графика пр. гр. РтЗп.
Размножение кубизируюшей осью 3[ш| диагональных
осей 2-го порядка: 2;(а) и 2/ (б)
,1 1 <>i rl 101
При этом на график
(рис. 113, а) наносятся
подобно другим наклонным
элементам симметрии (см.
с. 143) лишь оси 2 или 2; с
положительным индексом
по оси Z (оси, выходящие с
нулевого уровня вверх), т.е.
ось 2/[011], а не 2/[о??] и ось
а не 2'[ТоЦ- Если в
результате круговой пере-
становки точка входа
диагональной оси оказыва-
ется не на нулевом уровне,
то, прежде чем изобразить
эту ось на графике, следует
найти ее выход на нулевом
Например, при размножении оси
уровне.
2 г- । 2\ -1, 2 г - 1,
[но] |ю|]’ [он]’
с точкой входа pH О lip, 1q!
24 24 4 2
на график (рис. 113, б) ось 2[0f|] с точкой входа IqI наносится в
положении Ио (точка входа на нулевом уровне), ось2Г|0]1 регистрируется
4 2 1 J
своим выходом вверх, т.е. 2f]0|. в точке 110. По предложенной схеме
24
наносим и остальные оси:
ось 2;-
196
с точкой входа qqJ. О ^00’ о—€>;
4 4 4
ось 2[По “О 2кт, 2[ТоТ],
с точкой входа pH О —о—, --0 (см. рис. 112, в).
24 4 2 24
Плоскостной комплекс пространственной группы РтЗп получаем
также способом круговой перестановки индексов в символах как
координатных, так и диагональных плоскостей. При этом координатные
плоскости, перешедшие из тетрагональной группы, здесь оказываются
эквивалентными (за счет присутствия равнонаклонной к ним оси 3):
^х(100) W><010). W.(OOI).
Диагональные же плоскости скользящего отражения меняют направления
своих трансляционных компонент, а следовательно, и свои наименования и
условные обозначения:
и(но) w(oiij* я(Го|)’
с(ио) 5(oii). g(ioi) (см. рис. 112, в).
Полный график пространственной группы РтЗп изображен на
рис. 112, в.
Пространственная группа 1а 3 d (О'“ )
За основу при вычерчивании графика пространственной группы
Ia3d следует взять соответствующую тетрагональную подгруппу I^-cd,
а
на второй позиции символа которой координатные плоскости с чередуются
за счет присутствия центрирующего объем элементарной ячейки вектора Т,
с плоскостями скользящего отражения b и а. Трансляционные компоненты
этих плоскостей (/ ) направлены вдоль всех трех координатных осей,
что позволяет их объединить введенной осью Зрщ на одной (1-й) позиции
кубического символа. Таким образом, вычерчивание графика искомой
пространственной группы следует начинать с построения графика пр. гр.
j4-LccI, приняв ее подрешеточный плоскостной комплекс, т.е. плоскости с,
а
Ь, а, в качестве порождающих элементов симметрии.
197
198
Взаимодействие плоскости су( = ту • tz) и клиноплоскости d (= m,i • td),
расположенных под углом 45° одна к другой (рис. 114, а), обусловит
появление винтовой трехзаходной оси 4} в центре квадрата, построенного
> —> 'Г
на горизонтальной составляющей вектора td ~ th + tz ( где th - и , /.
4
Т
= i , Т - диагональ грани кубической ячейки). Величину
4
трансляционной компоненты этой оси составят два вертикальных вектора
Т Т 3 —*
плоскостей с и d: * + 1 = Г (ср. с взаимодействием ту d, см. с. 158).
2 4 4 2
Проведение симметрических операций в обратном порядке - сначала d, а
затем с - обусловит появление также винтовой оси, но уже 4/, в центре,
199
квадрата, построенного на горизонтальной составляющей, но не исходного
td, а ему энантиоморфного вектора (см. с. 68), т.е. отраженного в
плоскости ту. Таким образом, достаточно задать только две плоскости с и
с/, чтобы получить чередование осей 4i(43), т.е. /-решетку! К этому же типу
решетки, как было показано на с. 154, приведет и взаимодействие винтовых
осей 4/ и 43 с перпендикулярной к ним плоскостью а. Причем помимо
вектора Т, появятся также чередующиеся между собой инверсионные оси
4 с особыми точками на высотах 1/8 и 3/8 (см. с. 154).
Далее не составит труда размножить полученные элементы
симметрии, рассмотрев их взаимодействие с трансляциями решетки и друг
с другом (и действие друг на друга). При этом следует обратить внимание
на то, что винтовые оси 4t и 43 оказываются в квадратах, оконтуренных
стрелками клиноплоскостей d, направление которых (стрелок) не совпадает
с направлением вращения самих осей (ср. с графиком пр. гр. I4tmd, где
направления вращения осей и стрелок совпадают, см. рис. 92, в), а также на
то, что наличие инверсионных осей 4 и высота их особых точек
подтверждается взаимодействием координатных плоскостей симметрии и
диагональных осей 2-го порядка (рис. 114, а).
Из четырех позиций без степеней свободы: двух позиций2* с
симметрией / , 222 и 4 приемлемой для ввода кубизирующей оси 3-го
порядка будет позиция в центре инверсии, равноудаленном от
координатных плоскостей симметрии (так же как в пр. гр. РаЗ , см. с. 172),
ибо только в этом случае они переходят друг в друга, не размножаясь.
Вторая система центров инверсии, являющаяся результирующей при
взаимодействии с 7), автоматически окажется расположенной на
введенной оси Зцц], так как она совпадает по направлению с вектором Т,
Приведя высоты всех элементов симметрии к выбранному в центре
инверсии началу координат, можно приступить к размножению всех
элементов симметрии, руководствуясь приведенными выше
рекомендациями (рис. 114, б). Полный график искомой пр. гр. Ia3 d
приведен на рис. 114, в.
Пространственная группа Fd)
Схема вычерчивания графика данной пространственной группы -
4 4 —
I — cd F — de —> Fd3 с - та же, что и при построении графика пр.
a d
1) В позиции с симметрией 4 в тетрагональной группе [h-cc[ выбирают начало координат.
а
200
Рис. 115. Построение графика пр. гр. Fell С = О*' а - график исходной
тетрагональной пр. гр. /-> cd в /•’-аспекте - /т , б - полный график пр. гр
a d
Fd3c, начало координат выбрано в позиции с симметрией 23, отстоящей на
222 от Центра инверсии (3 ); в - полный график пр. гр. Fd3c, начало коор-
8 8 8
динат выбрано в позиции с симметрией 3 , отстоящей на 2^2 - егг позиции 23
8 88
гр. Fd3 т (см. с. 161). Исходной, как и при построении графика пр’
Рис 115, в
- 4
гр. Ia3d, будет та же пр. гр. I—^cd- И отличие заключается лишь в том,
а
что исходная тетрагональная группа должна быть представлена в /•'-аспекте:
F~dc (рис. 115, а). При этом годными к введению кубизирующей оси 3-
d
го порядка оказываются две позиции с симметрией 222 (000) и //333
888
Действительно, введя ось 3(щ] в первую позицию (222), увидим, что на
этой оси окажется и вторая позиция с симметрией 7. Поэтому, поскольку
оба начала координат в данной кубической группе будут равноценны, в
справочной литературе часто приводят два графика этой пространственной
группы (рис. 115, б, в).
202
Пространственная группа Fd3m(o’„)
Исходной для вычерчивания графика кубической пространственной
группы Fd3 т могла бы послужить тетрагональная F—dm с тремя
d
координатными клиноплоскостями d. Но поскольку ее стандартный аспект
4
соответствует пр. гр. I — md, график удобно начать с построения пр. гр.
а
14/md. Таким образом, последовательность вычерчивания графика искомой
пространственной группы будет следующая:
4 4 —
14tmd -> I -Lmd -> F—dm -> Fd3 m .
a d
Рис. 116. Построение графика пр. гр. Fd3 т = О, а - график исходной пр. гр.
/41_тс[ в F-аспекте - б - полный график пр. гр. Fd3m; начало
a d
координат выбрано в позиции с симметрией 43т , отстоящей на Т JL JL от центра
8 8 8
инверсии (3 Ш ); в - полный график пр. гр. Fd3 т; начало координат выбрано в
позиции 3 т, отстоящей на Щот позиции с симметрией 43т
888
203
204
4
Обратившись к готовому графику пр. гр. I 1 md, построение которого
а
приведено на с. 158, и перерисовав его в F-аспекте (рис. 116, а), выбираем
позицию для ввода кубизируюшей оси 3-го порядка. Для этого пригодными
оказываются две взаимосвязанные позиции: точки с симметрией 42т
(ООО) и — ибо, введя ось Зрщ в одну из них (например, в особую
т 888
точку инверсионной оси 4 ), автоматически вводим ее и в центр инверсии
(—). Отсюда и два варианта равноправных графиков пр. гр. Fd3 т : с
т
началом координат в точке с симметрией 43т и отстоящей от нее на 111
888
точке с симметрией 3 т, хотя по традиции предпочтение отдается первой
из них. После выбора одного из указанных исходных положений в качестве
начала координат построение графика искомой группы не должно вызывать
затруднений. Набравшись терпения, следует планомерно размножить все
элементы симметрии исходной тетрагональной группы предварительно
полученными осями 3-го порядка, используя рекомендации,
сформулированные выше. Авторы предлагают читателю проделать это
самостоятельно. Окончательные графики пр. гр. Fd3 т с началом
координат в точках с симметрией 43т и 3 т приведены на рис. 116, б и в
соответственно.
VIL2.11. Вывод пространственных групп
гексагональной сингонии
Классный метод вывода пространственных групп гексагональной
сингонии, предложенный Н.В.Беловым [5, 18] (см. с. 217), предполагает
рассмотрение возможности задания на различных позициях
гексагонального символа плоскостей или осей симметрии в качестве
порождающих элементов симметрии. Однако такой вывод не показывает
связи гексагональных групп с группами других, выше выведенных
сингоний, т.е. неоправданно обособляет их. С этой точки зрения интересно
проследить взаимосвязь групп гексагональной сингонии с одной главной
осью 3-го порядка, самостоятельной или являющейся составной частью оси
более высокого порядка - 6, с кубическими пространственными группами,
содержащими несколько осей 3-го порядка [26]. Такую связь нетрудно
увидеть уже на уровне элементарных ячеек, сориентировав куб вдоль одной
из осей 3-го порядка. Очевидно, что незначительная деформация гексаэдра
- частного случая ромбоэдра с углами а = Р = у = 90° - вдоль этой оси
ликвидирует все наклонные к оси 3 элементы симметрии, не свойствен-
ные ромбоэдру. Сам же ромбоэдр в этом случае, хотя его и можно
205
рассматривать в качестве примитивного параллелепипеда (о = b = с, а = Р
= у * 90°), не будет ячейкой Браве, ибо его ребра не связаны с особыми
направлениями. Это делает необходимым выбор новой гексагональной
элементарной ячейки.
Трансформацию симметрии кубической ячейки в гексагональную
легко проиллюстрировать на уровне точечных групп симметрии (рис. 117,
б, в), в результате которой каждая из пяти групп кубической сингонии
переходит в соответствующую ей тригональную группу. При этом в
тригональных группах останется лишь половина диагональных,
перпендикулярных оси 3-го порядка особых направлений кубических
групп.
Рис. 117. Схема перехода от точечных групп ромбической и тетрагональной сингоний (а)
через кубические (б) к точечным группам тригональной подсингонин (в) путем ориентации
исходной кубической элементарной ячейки вдоль одной из осей 3-го порядка
42т
Остальные - собственно гексагональные - точечные группы легко
вывести, воспользовавшись удачно предложенным Н.В.Беловым
механизмом [5, 18]: добавлением к оси 3 (главному особому направлению
тригональных групп) совпадающей с ней оси 2-го порядка - простой (2)
или инверсионной (2 = т)\
206
m3 -> 3
23 3
43т -> Зт
432 -> 32 •
тЗт —> Зт >
—6
_ --9
——> т
——> 6,
——> 6.
——> бтт,
— 3—> 6 m2,
622,
— —> 6 m2,
6
- > — тт.
— —> w
Сначала следует рассмотреть вопрос о направлении координатных
трансляционных векторов стандартных дважды центрированных Р-ячеек
Браве, выбранных в кубических решетках каждого типа (Р, I или F).
В качестве координатных векторов и bhex новой гексагональ-
ной ячейки выбираются бывшие диагонали граней исходного Р-куба, став-
шие в новой ячейке горизонтальными трансляциями с углом между ними,
равным 120° (рис. 118, а). Расположение же всех узлов кубической Р-
ячейки, ориентированной вдоль одной из осей 3-го порядка, на трех
уровнях (0, 1/3, 2/3) относительно телесной диагонали куба - ее нового
гексагонального параметра Сл-г - указывает на дважды
объемноцентрированный тип (Р) решетки Браве (рис. 118, а). В векторном
выражении
Cihex — Qcub ЬсчЬ,
Ь hex — bcuh C cub,
C hex — deubF ЬсчЬ~\~ Ccuh,
207
Если исходной является кубическая объемноцентрированная ячейка,
то дополнительный вектор Т,, ставший в гексагональной установке
вертикальным, сокращает вдвое параметр Сл» по сравнению с таковым
производной от кубической P-ячейки (рис. 118, б). Горизонтальные же
параметры и bha по абсолютной величине остаются прежними.
Однако для сохранения единообразия центрировки гексагональной ячейки
можно выбрать следующие координатные направления :
Рис. 118. Переход от кубических ячеек различного типа (а - примитивной, б -
объемноцентрированной, в - гранецентрированной) к гексагональной дважды
центрированной ячейке Браве: I - проекциии сходных Р-, I- и /'-ячеек на плоскость,
параллельную одной из осей 3-го порядка; 2 - проекции исходных ячеек иа плоскость
(0001), перпендикулярную одной из осей 3-го порядка. Жирными линиями выделены
дважды центрированные (ромбоэдрические) /{-ячейки Браве. Дробями показаны высоты
узлов ячеек вдоль телесной диагонали исходной кубической ячейки
208
a hex —Cl cub Ccub,
Ь hex — Ь cub Cl cub ,
- 1- 1 > 1“
C hex — Cl cub + Ь cub 4" C cub •
2 2 2
В /’-решетке из множества дополнительных трансляций,
центрирующих грани куба, можно выбрать две горизонтальные,
расположенные под углом 120° одна к другой, каждая из которых равна
половине диагонали грани кубической ячейки. При этом вертикальный
параметр ячейки Сьех остается равным телесной диагонали исходного куба
(ромбоэдра) (рис. 118, в). Для такой новой R-ячейки Браве
-> !-»
a hex — Cicub С cub,
2 2
t 17 1 -
Ь hex — b cub Cl cub,
2 2
C hex — Cl cub + Ь cub 4" C cub .
В итоге убеждаемся, что каждому типу кубических решеток Браве
соответствует определенная гексагональная дважды центрированная
ячейка с определенной ориентацией и размерами координатных векторов
a hex, Ъ hex, С hex. Далее, зная взаимосвязь кубических ячеек разного
типа (Д I, F) с соответствующими им гексагональными /^-ячейками, можно
вывести пространственные группы гексагональной сингонии на основе
кубических пространственных групп.
Вывод пространственных групп тригональной подсингонии
с R-решеткой на основе кубических пространственных
групп
Прежде чем приступить к выводу гексагональных пространственных
групп симметрии, полезно вспомнить прослеженную ранее связь (см. с.
162) кубических групп с группами ромбической и тетрагональной
сингоний, которую легко представить на уровне точечных групп (см. рис.
117). Кубизация двух ромбических групп (222 и ттт) и трех
тетрагональных {422, 42т, —тт ) путем введения равнонаклонной к
т
координатным направлениям оси Зр и] приводит к пяти точечным группам
кубической сингонии (см. рис. 117, а, б), последующая гексагонализация
которых вышеуказанным способом приведет также к пяти точечным
группам тригональной подсингонии (см. рис. 117, в). Подмеченную связь
попытаемся проследить и на уровне пространственных групп. г
209
Для кубизации годятся лишь те пространственные группы, в которых
на всех трех позициях символа расположены одинаковые (однотипные)
элементы симметрии, ибо только в этом случае введение кубизирующей
оси 3-го порядка сделает их эквивалентными. Из всех пяти подлежащих
кубизации групп кубической осевой гемиэдрии, выведенных на основе
пространственных групп, подчиненных точечным 222 и ттт (см. с. 107,
119), получим единственную пространственную группу с ромбоэдрической
решеткой - R3, в которую перейдет лишь одна ось 3-го порядка каждой из
них, координатные же оси 2 и 2/ окажутся несовместимы с /^-решеткой:
Лр. группы
ромбической
осевой
гемиэдрии
Пр. группы
кубической
осевой
тетартоэдрин
Р 222
Р 2,2,2,
1222
12,2,2,
F222
4.
лэ(с/)
Каждая из семи групп кубической гемиэдрии трансформируется при
гексагонализации в одну и ту же ромбоэдрическую - R3 :
Пр. группы
ромбической
голоэдрии
Пр. группы
кубической
гемиэдрии
Рттт
Рппп
Pbca
Im тт
Ibca
Fmmm
Fddd
Рт 3
Рп 3
Ра 3
1т 3
1а
Fm
Fd
г
рЦс2,)
210
Гексагонализация пространственных групп кубической осевой
гемиэдрии, выведенных на основе тетрагональных групп класса 422,
приведет также к одной ромбоэдрической группе: R32. При этом для
получения кубических пространственных групп с F-решеткой следует
соответствующие /-группы представить в F-аспекте:
Пр. группы
тетрагональ-
ной осевой
гемиэдрии
Пр. группы
кубической
осевой
гемиэдрии
Р422 - » Р4 32
Р4,2,2 - > Р4, 32
Р4,22 - > Р4, 32
Р4,2,2 - » Р43 32
1422 - > 14 32
14,22 - * 14. 32
F422 - > F4 32
F4,22 - » F4, 32
В списке кубических пространственных групп, подчиненных
точечной 43т, можно выделить те из них, на 3-й позиции символов
которых располагаются зеркальные плоскости симметрии.
Гексагонализация этих групп даст одну группу - R3m °:
Пр. группы Пр. группы
тетрагональ- кубической
ной гемиэдрии гемиэдрии
Р42т —> Р4 Зт
142т -> 14 Зт
F42m -> F4 Зт
/?з/«(с;)
Гексагонализация перечисленных выше кубических групп не
вызывает затруднений, так как зеркальные плоскости при таком переходе
1) Напомним, что пр. гр. F42m является нестандартным аспектом соответствующей пр. гр.
14 m2
211
не меняют свое наименование. Во втором семействе кубических групп:
Р43п(с), F43c(b), I43d, Fm3c и Fd3c - на третьей позиции их
символов оказываются плоскости, меняющие в новой ориентировке свои
обозначения. В группах Р43п(с) и 143d косые векторы скольжения
диагональных клиноплоскостей п и d кубической ячейки в ячейке
ромбоэдрической оказываются вертикальными, т.е. параллельными Cha.
При этом в гексагональных группах, производных от Р- и F-кубических
ячеек (рис. 119, а, б), клиноплоскость п просто меняет свое наименование
в
Рис. 119. Изменение характера трансляционных компонент клиноплоскостей при
гексагонализации кубических пространственных групп различных типов решеток Браве
на с, т.е. превращается в tc . При переходе к гексагональной ячейке от /-
кубической трансляционный вектор td клиноплоскости d, равный 1/4
телесной диагонали исходного куба (рис. 119, в), в новой ромбоэдрической
ячейке с вдвое сокращенным параметром Cha по сравнению с
аналогичными параметрами производных от Р- и F-кубических ячеек также
превращается в трансляционную компоненту плоскости с (f.. ), т.е. и в этом
случае клиноплоскость d превращается в плоскость с.
Особого внимания заслуживает трансформация кубических
пространственных F-групп с плоскостями с на третьей позиции символа -
гемиэдрической F43c и голоэдрических Fm3c и Fd3c. Указанные
пространственные группы получены в качестве надгрупп тетрагональных:
— 4 А
I4c2, I—cm w i-Lcd соответственно, представленных в пригодном для
т а
212
о
Рис. 120. Изменение ориентации трансляционного вектора Т, /-ячейки при переходе к
F-ячейке: Т = Т ctFi
4 4
кубизации F-аспекте: F42c, F — тс и p'dc (см. с. 166), в котором
т d
координатная трансляция Тж (Ту) /-решетки, становясь дополнительным
центрирующим грань ячейки вектором, совпадает с теперь уже
диагональной плоскостью с (рис. 120). Взаимодействие плоскости q с
лежашим в ней вектором Тх (cd Tt = md • t, Тж ) превратит ее в
клиноплоскость п, т.е. будет наблюдаться тождественность плоскостей с и
п (с = и). В развернутом виде группа запишется F4 2с = п. Клиноплоскость
и, как было показано выше, в ромбоэдрической установке “работает” как
плоскость с. Таким образом, гексагонализация трех из перечисленных
выше кубических пространственных групп приведет к одной
ромбоэдрической - R3c:
14 с2
Р42с(п)
142d
F42c = п
-> Р4 Зп(с)
14 3d
—> F4 Зп = с
1
язе (c;v)
Указанную особенность диагональных плоскостей с (с = п) следует
учитывать и при гексагонализации голоэдрических групп кубической
сингонии, каждая из которых имеет своей подгруппой соответствующую
тетрагональную группу:
213
I — mm
m
I—md
a
р 4 — тт - т » Pm 3 m
р 42 пт п 4 •> Рп 3 m
I тт т -> Im 3 m
F 4 - тт - т 4, -> Fm 3 m
F dm d > Fd 3 m
P —m c(n\ m P —nc(n) n v 7 —> Pm Pn 3 n 3 n
4 4
I —cm - m > F —me m — Fm 3 n s c
I—cd - a > F ^-dc d —> Fd 3 n = c
I^-cd a —> la 3d
г
В символах пространственных групп R3c и R3c сохраняется
обозначение плоскости скользящего отражения с. Исходная же плоскость с
кубической группы преобразуется в своеобразную клиноплоскость г [29,
30] с необычными для клиноплоскости трансляционными компонентами
(см. с. 226 - 229).
В итоге, воспользовавшись приемом гексагонализации кубических
пространственных групп получили все ромбоэдрические группы
гексагональной сингонии (табл. 3).
214
Таблица 3
Схема перехода от пространственных групп кубической
сингонии через ромбоэдрические к тригональным с Р-решеткой
Браве
Р2 Гз1 Рт T Р4 32 Р4 Зт Р4 Зп ‘ Рт Зт Рт 3 п
Р2, 3 Рп 3 Р4, 32 F4 Зт F4 Зп = с Рп Зт Рп Зп
F2 3 Ра 3 Р4, 32 14 Зт 14 3d Fm 3 т Fm 3ns с
12 3 Fm 3 Р43 32 J, г Fd Зт Fd 3ns с
12, 3 Fd 3 F4 32 г г Im Зт !а 3d
1 Im 3 F4, 32 1 1 г г
1 la 14 32 г 1 г г
1 14, [32j г г 1 г
г 1 1 г 1 1 г
R3 R3 R 32 R3m R3c R3m R3c
1 1 г г J г
рз(с ;) рз(с'}1) P 32I\ P3ml{ci 1 Р3с1 (С-) P3mi Р3с1[ DL)
РЗ ’/) Р 312\ P3lm\c3v РЗ!с\С^) P31tn Р31с\ DL,)
РЗ ’') РЗ,21[р43)
Р3,12 л5)
Р. 3,21 И
Р3,12
Вывод пространственных групп тригональной подсингонии
с Р-решеткой
Приведенная выше табл. 3 помимо перехода от кубических групп к
ромбоэдрическим демонстрирует и переход от семи групп с
ромбоэдрической решеткой к остальным пространственным группам
тригональной подсингонии с Р-решеткой Браве, который легко
осуществляется снятием ^-трансляций. При этом следует помнить, что в R-
решетке все три сорта осей 3-го порядка (3, 3, и 32) взаимосвязаны, ибо
взаимодействие одной из них (например, оси 3, расположенной в начале
координат) с двумя дополнительными трансляционными векторами R-
ячейки
215
К ^000 - ^Л^ООО - “oj^^v^ooo - OOj) И
?R fooo - 1--1 “Wood - A?o) + ,v[ooo - oo|'|
приведет к появлению порожденных осей 3-го порядка иного
характера - 3t и 32 - в позициях 1—z и o-z соответственно (см. рис. 99).
33 3
При переходе к P-ячейке эти оси становятся независимыми, что
увеличивает количество соответствующих P-групп. Кроме того, особые
направления 2, 2 = т и 2t , запрещенные в P-ячейке на третьей -
апофемальной - позиции символа, примитивной ячейке не противоречат.
Это удваивает количество соответствующих Р-групп.
Центросимметричные P-группы не могут содержать винтовые оси 3t и 32,
ибо взаимодействие их с центром инверсии привело бы к абсурдному
расположению узлов элементарной ячейки. В итоге получим 18
пространственных групп тригональной подсингонии с примитивной
решеткой Браве (см. таблицу 3).
Вывод собственно гексагональных пространственных групп
Переход от групп тригональной подсингонии (с главной осью 3-го
порядка) к пространственным группам собственно гексагональной
сингонии (с главной осью 6-го порядка) может быть осуществлен путем
совмещения оси 3 - главного особого направления - с осями 2, 2 или 2;,
что повысит ее порядок до шести. Такой переход уже был
продемонстрирован на примере точечных групп симметрии (см. с. 207). В
результате из пяти тригональных точечных групп были получены 7
собственно гексагональных.
Однако вывод собственно гексагональных пространственных групп на
основе ромбоэдрических указанным способом невозможен, ибо
возникающие в этом случае оси 6-го порядка несовместимы с Р-решеткой.
Таким образом, гексагонализации подлежат лишь 18 пространственных
групп тригональной подсингонии с /’-решеткой (таблица 4). При выводе
следует учесть целесообразность добавления различных осей 2-го порядка
(2, 2 или 2,) к тем или иным примитивным группам тригональной
подсингонии [18].
Действительно, если оси 2 и 2, могут взаимодействовать со всеми
осями 3-го порядка (3, 3/, 32) , то ось 2 = т. можно добавлять к группам,
содержащим лишь поворотные оси 3, в результате чего возникнет ось
? о _____
— = 3 = 6 • Следует также иметь в виду, что в центросимметричных
т
группах оси 2 и 2 неизбежно сопровождают одна другую, так как введение
одной из них приводит к автоматическому появлению другой.
216
Из таблицы 4 видно, что исходные пространственные группы
тригональной подсингонии, содержащие боковые (горизонтальные) особые
направления на разных позициях символа, объединяются в пары, ибо
повышение порядка главной оси до шести делает особые направления
обеих (2-й и 3-й) позиций взаимосвязанными.
Предложенный вывод пространственных групп гексагональной
сингонии на основе кубических демонстрирует их тесную связь, продолжая
намеченную ранее цепочку вывода: от ромбических -> через
тетрагональные -> к кубическим и далее к гексагональным, ликвидируя
таким образом обособленность последних, особенно остро ощущаемую при
“классном” их выводе, когда простой перебор порождающих элементов
симметрии на соответствующих позициях символа оказывается хотя и
полезным, но недостаточно продуктивным при выявлении симметрийной
связи пространственных групп разных сингоний.
VII.2.12. Классный метод вывода пространственных
групп гексагональной сингонии
Для сравнения приводим схему классного метода вывода
пространственных групп гексагональной сингонии, предложенного
Н.В.Беловым [5, 18], уже разобранную при выводе пространственных
групп тетрагональной сингонии, также относящихся к средней категории.
Посчитав порождающими в голоэдрических группах гексагональной
подсингонии три плоскости симметрии на различных позициях символа и
учтя возможность их задания на каждой из позиций, следует рассмотреть
их взаимодействия в единственно возможной для этой подсингонии
примитивной решетке.
Количество вертикальных плоскостей 2-й и 3-й позиций символа
вследствие косоугольности самой элементарной ячейки сократится за счет
чередования т(Ь) и с(и). Взаимодействие указанных вертикальных
плоскостей обеих позиций обусловит появление также вертикальной оси
6-го порядка, характер которой будет зависеть от наличия трансляционных
компонент в этих плоскостях симметрии. Перпендикулярно осям 6-го
порядка может располагаться лишь зеркальная плоскость mz, ибо
горизонтальный трансляционный вектор заданной на первой позиции
плоскости скользящего отражения неизбежно повторится поворотом
вокруг главной оси через 60 и 120°, что приведет к появлению новых
трансляционных векторов элементарной ячейки Ти и Ть, а также вектора,
направленного в центр ее базисной грани (Тс), т.е. к сокращению
координатных трансляций исходной ячейки, в которой заданная плоскость
будет “работать” уже как зеркальная. Таким образом, количество групп
гексагональной подсингонии с /’-решеткой сократится до четырех по
217
Таблица 4
Схема вывода пространственных групп собственно
гексагональной сингонии на основе тригональных групп
с Р-решеткой
Исходные пр. группы тригональной поденнгонин Пространственные группы, полученные добавлением к осн 3 осн2 осн2, оси 2 =т
рз —* рб(с;) —» рб,(с.*) —> Мс;>)
рз, —♦ > рб,(с/)
Итого 27 пр. групп
218
сравнению с 16 пространственными P-группами тетрагональной
голоэдрии:
Р — тт . Р ~сс , Р ~~ тс , Р ^-ст.
т ттт
Пространственные группы, подчиненные гемиэдрическим классам
6 , бтт, 6 и 6 m2, легко получаются как подгруппы указанных
т
голоэдрических групп:
Р тт -> Р —, Рбтт, Рб, Р6т2, Р62т,
т т
Р 6 сс -> Р-, Рбсс, Рб, Р6с2, Р62с,
т т
рб’ тс —> Р~, Р6,тс, Рб, Р6т2, Р62с,
т т
рб- ст —> Р~, Р6,ст, Рб, Р6с2, Р62т.
т т
Однако для получения осевых подгрупп класса 622 такой подход с
изъятием из голоэдрических групп “лишних” элементов симметрии —
элементов симметрии 2-го рода - не годится, поскольку приведет лишь к
нейтральным осевым группам Р622 и Рб322, так как энантиоморфные
группы не входят в голоэдрические (центросимметричные!) в качестве
подгрупп. Поэтому пространственные группы класса D6 получают
добавлением к операциям каждой циклической группы класса С6 поворота
вокруг оси 2 или 2/, перпендикулярной к главному направлению, что
приводит ко всем осевым пространственным группам:
Р622, Рб/22, Р6222, Р6322, Р6422 и Р6522.
Циклические группы класса С6 легко записать, перечислив все
разновидности осей 6-го порядка:
Рб, P6i, Р62, Р63, Р64, Р65.
Переходя от собственно гексагональных к пространственным группам
тригональной подсингонии, следует иметь в виду, что, во-первых, кроме Р-
решетки здесь появляется еще и ромбоэдрическая (7?) и, во-вторых, если в
гексагональных пространственных группах координатные особые
направления неизбежно сопровождаются апофемальными, то в
тригональных особые направления могут занимать либо одну, либо другую
позицию символа - координатную или апофемальную. При этом если
симметрия Р-решетки допускает как одну, так и другую ориентацию
особого направления, то расположение узлов Р-решетки отвергает
элементы симметрии апофемальной позиции. Кроме того, чередование в Р-
решетке плоскостей т(Ь) и с(п) (рис. 121) также сокращает количество
голоэдрических групп тригональной подсингонии до трех симморфных:
Р3 ml , РЗ 1т , R3 т - и трех несимморфных: Р3с1, РЗ 1с, R3c.
219
Рис. 121. Чередование координатных (а) и апофемальных (б)
плоскостей симметрии в гексагональных пространственных
группах
Все остальные группы тригональной подсингонии выводятся из
голоэдрических как их подгруппы 1 2):
с
R3(3.,3,)— -----> R3m
1) В первом издании Интернациональных таблиц (1935) [71], для того чтобы удовлетворить
требованиям классической минералогии, т.е. не иметь “единицы” (осн 1-го порядка) на 2-й
позиции символа, группы с особыми апофемальными направлениями представлены в Н-
аспекте (см. с.92 ): Р312 = Н32, Р31с = НЗс, ~ = НЗт и т.д.
ЭЭП Р31т
VII.2.13. Графическое представление
пространственных групп гексагональной сингонии
Пространственная группа Р63тс(с'г)
Посчитав порождающими в пространственной группе Рб3тс
координатные и апофемальные плоскости симметрии, наносим на график
предварительно оконтуренной гексагональной P-ячейки плоскости тх и
сапоф , пересекающиеся под углом 30°. Результирующая ось 63, фиксируемая
линией пересечения исходных плоскостей, наследует трансляционный
->
вектор плоскости с п _ Ij_\. Далее, рассмотрев взаимодействие возникшей
‘ 2
оси 63 и осей ее составляющих (т.е. входящих в нее в качестве подгрупп -
осей 3 и 2/) с координатными трансляциями ячейки - Тж, Т , Т,, получим
весь осевой комплекс данной группы: оси 63 окажутся в центрах
правильных шестиугольников, построенных на этих векторах, оси 3 - в
центрах треугольников и оси 2; - на серединах векторов (см. с. 54 и рис.
122, а). После этого, размножив заданные вертикальные плоскости
симметрии тис поворотными осями 3-го порядка, найдем как результат
их взаимодействия с координатными трансляциями чередующиеся с ними
плоскости - b и и соответственно. В результате получим график искомой
пр. гр. Р63тс ( рис. 122, б).
Из двух конкурирующих позиций с точечной симметрией Зт (00z и
-Lz) в качестве начала координат гексагональной пространственной
33
группы естественно предпочесть первую - на оси 6-го порядка. В данной
группе (Р63тс), как и во всех гемиморфных, отсутствуют позиции без
степеней свободы вдоль оси Z, что определяет начало координат в точке,
не фиксированной элементами симметрии вдоль указанного направления.
Пространственная группа Р—mc(D'h)
т ' '
Построение графика голоэдрической пространственной группы
р^-тс удобно начать с вычерчивания ее гемиморфной подгруппы Р63тс
т
(см. выше). И затем, введя горизонтальную плоскость т, , рассмотреть
результат взаимодействия с ней всех симметрических операций исходной
группы. Взаимодействие вертикальных плоскостей симметрии с заданной
горизонтальной плоскостью т. даст координатные и апофемальные оси 2 и
221
Рис. 122. Этапы построения (а, б, в) и полные графики пр. гр. Р63тс (C^v )(б) и
р^тс
2,, которые, в свою очередь, прореагировав с координатными
трансляциями Т,, Ту и Т„ (расположенными к ним под разными углами:
222
30, 60 и 90°), дадут весь спектр поворотных и винтовых осей 2-го порядка
данной пространственной группы.
Взаимодействие вертикальных осей 2h как “самостоятельных”, так и
входящих в качестве подгруппы в оси 63, с перпендикулярной к ним
плоскостью тг приведет к возникновению центров инверсии на середине
трансляционных компонент tz этих осей (2Д т. е. центров инверсии,
поднятых на 1/4 вертикальной трансляции решетки (рис. 122, в) над
уровнем заданной горизонтальной плоскости (ль).
В качестве начала координат из трех конкурирующих между собой
позиций без степеней свободы и с одинаковой величиной симметрии
(равной 12) с координатами ООО (симметрия позиции 6т2), qq!
4
(симметрия позиции 3 т ) и -Lq (симметрия позиции 6 m2) 3)
33
предпочтение отдается второй - реальному центру инверсии. После чего
высоты всех полученных элементов симметрии приводятся к выбранному
началу координат (рис. 122,, г).
Пространственная группа РЗ 121 (d' )
б
Рис. 123. Этапы вычерчивания графика пр. гр. P3i2l
Задание в начало элементарной ячейки вертикальной винтовой оси 3/
и перпендикулярной к ней координатной оси 2„ на нулевом уровне
обусловит появление всего осевого комплекса искомой группы Р3,21.
Действительно, ось 2„ будет повернута осью 3t на 120° и поднята на 1/3
трансляции Тг (рис. 123, а). Взаимодействие полученных осей с
2) В кристаллографической литературе для инверсионной оси 6-го порядка часто
употреблялся знак Ф. Однако, поскольку $ _ 3 , т.е. ось б можно заменить реальными (а
т
не мнимыми) элементами симметрии - осью 3 и перпендикулярной к ней зеркальной
плоскостью, присутствующими иа графиках соответствующих пространственных групп, это
обозначение, как правило, не используется, так как фактически их дублирует.
223
координатными трансляциями обусловит появление осей 3/ в центрах
построенных на них треугольников и чередование осей 2(2вдоль каждой
из этих трансляций на высоте исходной координатной оси 2. В
вертикальном направлении наблюдается также чередование осей 2-го
порядка, но одного типа, через полтрансляции (на высотах 0 и 1/2, 1/6 и 2/3,
1/3 и 5/6). Однако на графике, как всегда, приводятся лишь минимальные
значения высот: 0, 1/6 и 1/3 соответственно (рис. 123, 6). Начало координат
выбирается в единственной частной позиции с одной степенью свободы -
на поворотной оси 2-го порядка условно в точке пересечения ее с винтовой
осью 3/.
Пространственная группа Р6222(D,)
Рис. 124. Этапы построения (а, б, в) и полный график пр. гр. Р6?22 (///) (г)
Расположив в вершинах гексагональной P-ячейки оси б2, найдем
результат взаимодействия входящих в нее в качестве подгрупп осей 32
(=622) и 2 (=б2) с координатными трансляциями Тх, Ту и т„- оси 32
окажутся в позициях и -~z, оси 2-го порядка - на серединах
33 33
224
координатных трансляций (рис. 124, а). Далее введенная на нулевой
уровень координатная ось 2-го порядка (например, 2Д) повторится винтовой
осью б? через 60°. При этом ось 2„ окажется на высоте , а ось 2У - на
3 1
высоте £ (рис. 124, 6). Взаимодействие этих осей с исходной осью 62 даст
3 1
тройку апофемальных осей также 2-го порядка, расположенных под углом
30° к координатным в направлении вращения оси 62 и отстоящих от
координатных на (рис. 124, в). При этом каждая из полученных осей за
6 1
счет взаимодействия с координатными трансляциями решетки будет
чередоваться в направлении этих трансляций с осями, себе подобными
(если эти трансляции им перпендикулярны), и с осями иного типа (если они
расположены по отношению к трансляциям косо).
Обратим внимание на то, что все вертикальные оси 2. будут
проходить через точку пересечения двух взаимно перпендикулярных осей
2, оси 32 пересекут все три апофемальные оси 2, скрещивающиеся на трех
уровнях вдоль оси Z.
Начало координат в данной группе выбирают на оси 62 в точке с
симметрией 222, где вертикальная ось 2 входит в качестве подгруппы
главной оси 62 (рис. 124, г).
Пространственные группы Р3т1 (с, P3ml и
R3m {D53d}
График пространственной группы R3m удобно вычерчивать по
следующей схеме: начать с построения графика ее примитивной
гемиморфной подгруппы Р3т1, далее перейти к пр. гр. Р3т1 и затем,
введя дополнительные векторы /?-решетки, завершить построение.
Поместив в вершину предварительно вычерченной гексагональной ячейки
ось 3-го порядка, получим аналогичные оси и в ее вершинах, и в центрах
треугольников, построенных на координатных трансляциях (см. с. 54).
Задание лишь одной координатной зеркальной плоскости т ввиду
взаимодействия ее с координатными трансляционными векторами приведет
к появлению всего комплекса координатных плоскостей, при этом будет
наблюдаться чередование т(Ь) (см. с. 220).В результате получим график
пр. гр. Р3т1 (рис. 125, а).
Введение центра инверсии в начало координат, выбранное на оси 3-го
порядка, приведет, с одной стороны, к появлению комплекса
горизонтальных координатных осей 2-го порядка, чередование которых -
2(2/) - обусловлено взаимодействием с координатными трансляциями, и, с
другой стороны, - к дополнительным центрам инверсии на серединах этих
трансляций (рис. 125, 6). В результате будут вычерчен график пр. гр. РЗт/
с началом координат в не вызывающей сомнения позиции Зт .
225
Рис. 125. Этапы построения графика пр. гр. J j: а ~ график пр. гр. Wm/ (fj j <
б - график пр. гр. pj >е ~ график пр. гр. R3 т
Для построения графика пр. гр. R3m следует ввести в график пр. гр.
Р3т1 два дополнительных вектора, центрирующих объем ячейки:
Т'„( 2'П и 7’"/ Взаимодействия указанных векторов со всеми
V 333> I. ззз)
исходными симметрическими операциями пр. гр. Р3т1 приведут к
появлению новых, результирующих операций, а следовательно, и
элементов симметрии, их задающих. Рассмотрим каждое из
взаимодействий.
а) 3 • Tjt и 3 • Гя". Взаимодействие исходной оси 3-го порядка с
трансляционными векторами и Т”, рассмотренное ранее при
вычерчивании графиков пространственных групп кубической сингонии
226
(см. с. 175 и рис. 99), обусловит появление винтовых: 5, в позиции 1 1 z
33
и
32в позиции о'2(рис. 125, в).
3
б) 1 • Tj, и 1 • Г/'. Результат указанных взаимодействий приведет к
появлению дополнительных центров инверсии на серединах
центрирующих объем ячейки векторов (рис. 125, в).
в) Локализация всех центров инверсии на координатных зеркальных
плоскостях симметрии позволит легко получить результат их
взаимодействий: поворотные оси 2-го порядка, перпендикулярные
плоскостям симметрии (т-1 = 2П„) на уровнях центров инверсии.
Взаимодействие полученных осей 2 с координатными трансляциями
обусловит их чередование с осями 2/ в соответствующих направлениях.
Аналогичный результат (оси 2 и 2/) можно получить, рассмотрев
взаимодействия исходных координатных осей 2 пространственной группы
Р 3 т 1 с дополнительными векторами гексагональной Я-решетки.
Например: I
2х-Т'( 21 п = 2/ на высоте If ,
* 1 Н loot, - ~ jl '
^х'Т'к'(пт ,221
К ООО -----I
I ззз;
= 2 на высоте
If (рис. 126 ) и т.д.
3 2
г) Координатные зеркальные плоскости т, чередующиеся в Р-
ячейке с плоскостями h (см. с. 220), будут взаимодействовать и с
дополнительными векторами /?-решетки. С одной стороны, вектор
Рис. 126. Иллюстрация взаимодействия
координатной оси 2, с дополнительными
трансляционными векторами Г/ и Т”
гексагональной! Д-ячейки
т;{''( (рис- 127> я)
окажется лежащим в
зеркальной плоскости
что заставит эту плоскость
одновременно “работать” и
как клиноплоскость (обоз-
начим ее г'" [29, 30]) со
специфическими компонен-
тами скольжения, равными
If и If , т.е. направ-
3 3 2
ление скольжения этой
клиноплоскости совпадет с
узловым рядом вдоль
телесной диагонали элемен-
тарной ячейки:
227
100 -> Zll -> Ц2 -> Oil (рис. 127, а). С другой стороны, наличие в
333 333
данной плоскости узловых рядов иной направленности сделает ее
тождественной клиноплоскостям иного характера. Например, указанная
зеркальная плоскость будет “работать” и как клиноплоскость г ""и г""' за
счет присутствия в ней косых трансляционных векторов 7”"' .и
R 010 - —1
I 3331
т""г 2I,\, направленных вдоль узловых рядов: 010 -> Ш -> ->
"(0|0-ы] 3 3 3 3 3 3
102 и 010—> 2Ц —> 112 2Т1(рис. 127,а) и т.д. соответственно.
333 333
Рис. 127. К построению графика пр. гр. R3m
Взаимодействия все той же зеркальной плоскости m
(1.20)
, но уже с
трансляционными векторами, не лежащими в ней, а расположенными по
228
отношению к ней косо: т',,( 2111 и Т',,' г обусловят ее
«[ООО---] "(ооо-Н?)
чередование с клиноплоскостями иного характера - г' и г". Разложив
каждый из этих векторов на составляющие: Т,'( -1'+ tj'+t3 (где 1’ = ^-,
_> р —> р —>
tп' =-—, t[ = —, TD - короткая диагональ горизонтального сечения
—*—*—*—* —* 2 —* 2*m °Ф
элементарной ячейки) и Ti('=t"+t”+t” (где t'v'= — Тг, ~
-» т -»
t'^= —&•), увидим, что первые две (/„и ), дополняя операцию отражения
в плоскости m скольжением вдоль двух - горизонтального и вертикального
- направлений, превращают \ее в клиноплоскость г'и г "соответственно, а
третья - перпендикулярная - переносит возникшие клиноплоскости на
свою середину. Таким образом, плоскость Ь, чередующаяся с зеркальной,
оказывается тождественно равной сразу двум типам клиноплоскостей,
трансляционные векторы которых направлены вдоль узловых рядов:
010 ->122 2£4 102 и юо -> 2£4 £2 8 014 (рис 127, б).
333 333 333 333
Следует отметить, что в повседневной кристаллографической
практике для получения правильных систем точек конкретных
пространственных групп эти плоскости не используются и представляют
лишь теоретический интерес, ибо их действия всегда можно заменить
действием привычных плоскостей симметрии и соответствующих
трансляций. Самостоятельно, отдельно от породивших их элементов
симметрии, эти клиноплоскости не существуют. Все это в какой-то степени
объясняет отсутствие плоскостей г в перечнях элементов симметрии
пространственных групп.
Пространственные группы P3c/(C3v), P3cl \p3 43dj и R3c \D3cl
Схема построения графика пространственной группы R3c та же, что
и симморфной группы R3 т : P3cl -> P3cl -> R3c. Добавив к введенной
в начало ячейки поворотной оси 3-го порядка координатную плоскость с,
3) Обратим внимание на то, что вектор у-' является координатной трансляцией в исходной
кубической ячейке (см. рис. 118), так же как вектор у" — трансляция вдоль диагонали грани
исходного куба (ромбоэдра).
229
получим график пр. гр. Р3с1, где плоскости с будут чередоваться (см. с.
220) с клиноплоскостями и (рис. 128, а). Введение в начало координат этой
группы (а следовательно, и на середины координатных векторов) центра
инверсии обусловит появление горизонтальных осей 2-го порядка на
высоте 17 за счет присутствия вертикальной составляющей плоскостей с
4 2
(=ш • В результате получим график пр. гр. Р3с1 (рис. 128, б).
Рис. 128. Этапы вычерчивания графика пр. гр. рзс : i-рафики пр. гр. РЗс/
P3cl и R3c^
Взаимодействие симметрических операций этой пространственной
группы с дополнительными трансляционными векторами Л-решетки - Г/
и Т~ — обусловит появление дополнительных винтовых осей 3/ и 32,
центров инверсии и горизонтальных осей 2-го порядка. Особое внимание
при постройке графика пространственной группы следует обратить на
230
высоты осей 2-го порядка. По сравнению с пр. гр. R3m, где оси 2
располагаются на уровнях центров инверсии, в группе RЗс каждая из них
приподнята на половину вертикальной трансляционной компоненты
плоскости с, т.е. на 1т . В результате, если центр инверсии расположен на
4 2
нулевом уровне, то соответствующая ему ось 2 (cl=mt,D окажется на
высоте 1т (0+1/4 = 1/4); если центр инверсии будет на высоте 1т , то ось
4 2 6 2
2 окажется на высоте А у- (1/6+1/4=5/12); если центр инверсии имеет
12 2
высоту 1т , то ось 2 будет на высоте (1/3 + 1/4 = 7/12), а
3 2 12 2
следовательно, и на высоте 1_т (рис. 128, в). Кроме того, если в пр. гр.
12 2
R3m начало координат выбирается однозначно в самой
высокосимметричной позиции 3 т , то в пр. гр. R3c есть две
инвариантные позиции с одинаковой величиной симметрии (равной 6): 3
и 32. Это делает возможным выбор начала координат в любой из них. И
хотя предпочтение в Интернациональных таблицах отдано реальному
центру инверсии, т.е. позиции 3 , часто при описании той или иной
кристаллической структуры (например, структуры кальцита СаСОз, см. с.
332) начало координат выбирают на пересечении осей - в позиции 32.
231
Глава VIII. Правильные системы точек
Правильной системой точек — системой эквивалентных позиций —
называется совокупность точек, полученная размножением исходной
точки всеми операциями симметрии данной пространственной группы.
При этом любая операция, переводящая одну точку в другую,
принадлежащую этой же правильной системе, приведет к совмещению
всех остальных точек данной системы, т. е. преобразует данную систему в
самоё себяЧ
Поскольку аналогами 32 точечных групп симметрии являются 230
пространственных, аналогом правильной системы точек на макроуровне
можно считать простую форму - семейство граней, связанных всеми
симметрическими операциями какой-либо точечной группы. И так же как
грани каждой простой формы в кристаллическом многограннике
подчиняются законам простых форм, в кристаллической структуре
материальные частицы - атомы, ионы, молекулы - располагаются по
законам, диктуемым правильными системами точек. Построение
правильных систем точек и вывод компактных формул для расчета
координат всех точек каждой пространственной группы было одним из
самых больших достижений Е.С.Федорова.
Как число граней простой формы определяется их расположением
относительно элементов симметрии точечной группы, так и количество
позиций, характеризующих одну правильную систему точек, будет
зависеть от положения исходной точки относительно элементов
симметрии пространственной группы. Поэтому основной
характеристикой правильной системы точек служит симметрия их
позиций — комплекс макроэлементов симметрии, фиксирующих эти
позиции, т.е. не размножающих их. Таким комплексом симметрии служит
одна из 32 точечных групп, являющаяся подгруппой данной
пространственной группы. Следует | отметить, что элементы
микросимметрии - трансляционные элементы симметрии - не фиксируют
точки правильной системы в силу обязательного присутствия в них
трансляционных компонент, одинаково размножающих как точки,
лежащие на этих элементах, так и оказавшиеся вне их - точки общего
положения (см. рис. 78). Поэтому точки, лежащие на трансляционных
элементах симметрии, ничем не отличаются от точек общего положения,
не фиксированных ни одним элементом симметрии. Точки общего
положения — образуют общую правильную систему, все иные точки -
точки на элементах макросимметрии - ими фиксируются и образуют
частные правильные системы.
1) Симметрическое преобразование правильной системы является таковым и для
совокупности составляющих ее элементов симметрии.
232
Элементы макросимметрии диктуют и симметрию тех частиц (атомов
или их группировок), которые на них располагаются. В отличие от них
трансляционные элементы симметрии не накладывают ограничений на
симметрию расположенных на них частиц.
Точки общего положения, т.е. общей правильной системы,
подвержены всем операциям как макро-, так и микросимметрии данной
пространственной группы, и поэтому их количество, приходящееся на
одну элементарную ячейку (кратность) максимально и численно равно
порядку данной пространственной группы, т.е. количеству независимых
операций симметрии, ее составляющих. Обратим внимание на то, что в
число операций симметрии входит и ее трансляционный комплекс,
задающийся определенным типом решетки Браве. Так, /‘-решетка, в
которой отсутствуют дополнительные трансляции, не увеличивает порядок
“подрешеточного” комплекса данной группы, т.е. порядок
соответствующей ей точечной группы (например, порядок группы Ртпа,
равный 8, соответствует порядку точечной группы ттт). Дополнительный
—> -»
трансляционный вектор Г, /000 _ нН или Тс ц ) центрированной
( " 222J I000 ' 22°)
решетки удваивает порядок пространственной группы по сравнению с
порядком соответствующей /'-группы, тогда как F-решетка с тремя
дополнительными векторами ТГ000 _ 11 000 _ 101 000 _ 011) его
( 22 2 2 22)
учетверяет.
Если качественным показателем правильной системы точек является
симметрия позиций, то количественно степенью ее симметричности
служит величина симметрии — порядок точечной подгруппы, описывающей
симметрию частной позиции, т.е. ее размножающая способность. А так
как величина симметрии характеризует количество точек общего
положения, слившихся в одной частной позиции, она показывает и во
сколько раз количество точек общей правильной системы превышает
количество точек данного частного положения. Например, если симметрия
позиции характеризуется точечной группой mm2, то величина симметрии
данного комплекса равна 4. И по сравнению с количеством точек общего
положения какой-либо пространственной группы, приходящихся на одну
элементарную ячейку, точек в позиции mm2 окажется в 4 раза меньше.
Как видим, кратность любой правильной системы зависит от
величины симметрии позиций ее точек - порядка точечной группы
симметрии. И чем более симметрична позиция (т.е. чем больше ее
величина симметрии), тем меньше ее кратность, определяемая как
частное от деления порядка данной пространственной группы на ее
(позиции) величину симметрии. Очевидна и обратная зависимость:
произведение кратности правильной системы точек (п) на ее величину
симметрии (s) постоянно и равно кратности общей правильной системы
(п), т.е. порядку пространственной группы. Данная формулировка есть
233
суть закона А.В.Шубникова, который выражается формулой: п = л, -s, [56].
Этот закон помогает получить недостающие сведения о той или иной
кристаллической структуре - о расположении в ней атомов или молекул.
Например, зная пространственную группу какого-либо соединения и
симметрию позиций, занимаемых атомами, несложно рассчитать кратность
этих позиций, а следовательно, и установить тип химической формулы и
т. д.
Симметрия позиций правильной системы точек определяет еще одну
ее характеристику: число степеней свободы, т.е. число направлений,
перемещаясь вдоль которых, точка не размножается элементами
симметрии данной позиции и продолжает ими фиксироваться (а
следовательно, не меняет своей точечной симметрии).
В инвариантной (нонвариантной) системе - системе без степеней
свободы - положение каждой точки строго закреплено элементами
характеризующей ее симметрию точечной группы: центром инверсии (/ ),
пересечением осей (например, 222, 32 и т.д.), пересечением оси и
перпендикулярной к ней плоскости (А_^) или только особой точкой
т
инверсионной оси {4 ).
Моновариантная система эквивалентных точек - система точек с
одной степенью свободы вдоль какого-либо направления — расположена
на поворотной оси симметрии любого порядка.
Система с двумя степенями свободы — дивариантная система —
образована точками, расположенными на зеркальной плоскости.
Общая правильная система точек тривариантна, т.е. имеет три
степени свободы. Фиксированные координаты точек инвариантной,
моновариантной и дивариантной систем выражены в рациональных долях
соответствующих им параметров элементарной ячейки. Не фиксированные
вдоль какого-либо координатного направления (X, Y или Z) точки имеют
переменные значения координат в этих направлениях. Таким образом,
координаты точек, выраженные в долях параметров элементарной
ячейки, являются еще одной характеристикой правильной системы. При
этом если в P-ячейке приходится приводить координаты всех точек
каждой правильной системы, то в\ непримитивных решетках обычно
прибегают к сокращенной их записи: сначала выписывают координаты
узлов решетки, т.е. координаты начала и конца каждого дополнительного
—>
трансляционного вектора (например, для /-решетки - Т, [0()() _ Щ']), и
I 222/
затем приводят координаты лишь тех точек, которые не связаны
дополнительными векторами рассматриваемой решетки. Для получения
полного списка координат всех точек данной системы достаточно к
приведенным координатам каждой точки добавить указанные в начале
координаты узлов векторов центрированной решетки. Например, если
234
точка имела координаты xyz, то, размноженная вектором 7) , она получит
следующие координаты: |1, | (1 | [ 1 |. Это позволяет сократить
Ь Дг <1\2 J
количество координат точек в соответствующее количеству
дополнительных векторов раз.
Рассмотрим различные правильные системы точек на примере
пространственных группРтпа, Р—сс и Ia3d.
т
Пространственная группа Ртпа (D’!h)
На графике пространственной группы Ртпа (рис. 129) хорошо видно,
что кроме общей - тривариантной - правильной системы (А) есть все
типы частных: дивариантная (В) - на зеркальной плоскости тх, две
моновариантные (С) - на осях 2-го порядка 2Х и 2у и нонвариантная (D) - в
точке пересечения 2Х и тх, т.е. в центре инверсии.
Рис 129. Общая (А) и частные (B.C.D) правильные системы точек пр гр.Ртпа
Тонкими стрелками показаны координаты х и у точки А,
Общая правильная система точек
Поскольку точки общей правильной системы не фиксированы
относительно элементов симметрии данной пространственной группы и,
следовательно, имеют три степени свободы вдоль трех координатных
направлений, то любое изменение их координат не приводит к изменению
кратности системы. Каждая координата, выраженная в долях элементарной
ячейки, откладывается (измеряется) от начала координат вдоль
соответствующей координатной оси. Координата ± z показывает высоту
точки над (под) нулевым уровнем (плоскостью чертежа). Однако на
графике рядом с точкой оставляется лишь знак этой координаты (+ или -),
235
ибо абсолютного значения вертикальной координаты в проекции
пространственной группы на плоскость чертежа не видно.
Для получения всех точек общей правильной системы можно группу
симметрии разложить на независимые подгруппы - сомножители. При
этом естественно сначала на исходную точку подействовать элементами
симметрии 1-го рода, получив таким образом все конгруэнтно равные
точки, т.е. половину всего количества общих точек, затем, использовав
простейшую и коммутирующую с другими операцию “отражения” в точке
- инверсию, получить оставшуюся половину энантиоморфных точек этой
системы. Однако на практике часто проще действовать подрешеточными -
порождающими - элементами симметрии группы. На заключительном
этапе получения всех точек системы необходимо включить в действие
трансляционный комплекс данной группы симметрии. При этом в
непримитивных решетках число точек правильной системы увеличится в
соответствии с числом дополнительных трансляционных векторов.
На графике данной голоэдрической группы Ртпа для получения всех
точек общего положения (а их количество - кратность - в /’-решетке
соответствует порядку точечной группы ттт, равному 8), достаточно
подействовать на исходную точку (xyz) последовательно всеми
независимыми плоскостями симметрии (тх, пу и а,), обозначенными в
символе данной пространственной группы, посчитав их порождающими
элементами симметрии. Порожденные же этими плоскостями оси 2-го
порядка и центры инверсии можно использовать для проверки
правильности полученного результата.
Итак, исходная точка А| (см. рис. 129) с координатами xyz после
отражения в зеркальной плоскости тх займет энантиоморфное положение
А2 с координатами xyz (на чертеже такую энантиоморфную точку
отмечают запятой):
xyz (А|) • ту -х xyz (А2).
Дальнейшее отражение полученных двух точек в плоскости пу
переведет каждую из них в энантиоморфное положение:
xyz (At) пу -х - + х.У. - + z (А3),
2 2
xyz (А2) nv -х — - х, у , - + z (А4) (точка А4 при этом
2 2
потеряет запятую).
Последовательные отражения исходной точки в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях симметрии тх и пу равносильны повороту
вокруг результирующей оси 2//у. Действительно, каждая пара
конгруэнтных точек - А1 и А4, А2 и А3 - связаны поворотами вокруг
113 1
осей 2/, расположенных в позициях —z и —z соответственно.
42 42
Отражение полученных четырех точек в плоскости а2, расположенной на
236
высоте
4Т-
относительно выбранного начала координат, удвоит их
количество:
XyZ (А,)-67. -> - + --z (А5),
2 2
xyz (А2) • а, 1-х,у, --Z (Аб),
2 2
- + х . У . - + z (А3) • а. -> xyz (А7),
2 2
--х. У. - + z (AJaz -> xyz (А8).
2 2
Для того чтобы облегчись получение координат точек при отражении
в горизонтальной плоскости аа удобно воспользоваться схемой, где
вертикальный параметр с без сокращения располагается в плоскости
чертежа (в проекции на плоскость yz) (рис. 130, в).
Рис. 130. К определению координаты z при операциях, заданных горизонтальными
элементами симметрии - плоскостью az(a) и осью 2,(6), расположенными на высоте
Ly ; в - схема, помогающая определить высоту точек - координаты вдоль
4 1
параметра с элементарной ячейки. Жирной линией отмечен уровень z =
4
относительно нулевого, заданного началом координат группы
Из рис. 130 видно, что как плоскость а,, так и ось 2У,
от нулевого уровня, соответствующего началу
отстоящие на
координат,
237
~ « 2) I 1
переведут исходную точку с третьей координатой ’ +z на уровень
2
и соответственно точку с координатой — + z - на высоту —z. Если же
2
элемент симметрии (например, центр инверсии) находится на нулевом
уровне (z = 0), то координата +z переведется в -z и точка с координатой
— + z окажется на высоте — — z, так как она будет отражена в центре
2 2
инверсии, расположенном на середине вертикальной трансляции, т.е. на
высоте Ц (см. с. 58).
2
Обратим внимание на то, что результатом отражения в трех взаимно
перпендикулярных плоскостях будет операция “отражения” в центре
инверсии (операция инверсии в точке). Поэтому из четырех точек (А^д),
полученных отражением в плоскостях тх и пу, просто получить оставшиеся
четыре (А5_8), подействовав на них центром инверсии, т.е. поменяв знаки
их координат на обратные (при условии, что центр инверсии находится в
начале координат). Таким образом, знание закономерностей изменения
координат при той или иной операции симметрии (см. с. 20) поможет
правильно записать координаты точек и проверить результат действия
этого элемента симметрии, даже не обращаясь к рисунку.
Частные правильные системы точек
Наиболее симметричными в пространственной группе Ртпа являются
2
нонвариантные правильные системы точек с симметрией — (одна из них
т
обозначена на рис. 129 буквой D). Величина симметрии данной позиции
(равная 4) позволяет легко вычислить ее кратность как частное от деления
порядка пространственной группы на эту величину симметрии (8:4 = 2).
2
Восемь позиций D с симметрией — в данной пространственной группе
т
разбиваются на 4 независимые друг от друга пары, позиции в каждой из
которых связаны соответствующими операциями симметрии. Поэтому
задание атома в одну из позиций не приведет к появлению такого атома в
остальных трех. Отметим, что любая из указанных позиций с симметрией
2) На графике вместо координаты +z оставляется только знак +, так же как записывается
вместо координаты i-z
238
— может быть использована в качестве начала координат данной
т
пространственной группы.
2
Комплекс элементов симметрии данной подгруппы (—),
т
характеризующий симметрию рассматриваемой позиции, четко ее
фиксирует, лишая степеней свободы. Это отражается на координатах
точек, выраженных постоянными величинами, в данном случае ООО. Так
как исходная точка (ООО) элементами симметрии 2Х и тх не размножается,
то переход ко второй точке этой системы может быть осуществлен
добавлением какого-либо удваивающего элемента симметрии, не
содержащегося в рассматриваемом комплексе. Ибо добавление любого из
2
них к точечной подгруппе — приведет к исходной пространственной
т
группе Рита. Например, подействовав на исходную точку (D|) с
координатами ООО плоскостью пу, получим точку (D2) с координатами
-О- К тому же результату приведет действие и винтовой оси 2Z в
2 2
позиции —Qz и т.д.
4
В списке правильных систем точек, характеризующих пр. гр. Рита,
2
приводятся все 4 неэквивалентные между собой позиции с симметрией —,
т
отличающиеся лишь своими координатами (см. рис. 129).
Моновариантные позиции в данной группе расположены на
поворотных осях симметрии 2Х и 2У. Каждая из них имеет одну степень
свободы вдоль координатной оси X или Y, и поэтому, соответствующая
каждой из этих осей координата будет переменной величиной.
Исходная точка (С|), принадлежащая одной из моновариантных
систем, расположенная на оси 2У, приподнятой над нулевым уровнем на
—Г , будет характеризоваться следующими координатами: — v—.
4 1 4Л4
Подействовав на нее независимыми плоскостями, например пу и az,
получим количество точек (4), отвечающее кратности данной системы:
-у- (С|) пу -» —у—(С2),
4 4 4 4
-у- (С,) • а: -» —(Сз),
4 4 4 4
-у- (С2) • а: -» (С4).
4 4 4 4
Если в качестве одного из удваивающих элементов симметрии
использовать удобный для записи координат центр инверсии в позиции
239
ООО, то вторым удваивающим элементом симметрии не может быть
плоскость nv, ибо она порождена взаимодействием этого центра с
подгруппой 2у, характеризующей данную моновариантную позицию.
Поэтому, задавая новые элемент симметрии, необходимо следить за тем,
чтобы он не оказался порожденным уже заданными операциями
симметрии. В данном случае помимо центра инверсии можно использовать
плоскости тх, а„ ось 2Х и т.д. Другие моновариантные позиции (например,
1 3
с координатами хОО и —у—) отличаются от только что рассмотренной
4 4
моновариантной позиции — у— лишь координатами (см. рис. 129, 131, б).
4 4
Величина симметрии единственной в пр. гр. Рпта дивариантной
позиции (В) - позиции на зеркальной плоскости тх с двумя степенями
свободы - равна 2, что уменьшает ее кратность вдвое по сравнению с
кратностью общей правильной системы (8:2 = 4). Поскольку плоскость т
перпендикулярна оси X , то расположенная на ней исходная точка имеет
две переменные координаты вдоль двух координатных осей - в данном
случае Y и Z: Oyz. Точка с такими координатами плоскостью т не
размножается - на неё действуют лишь независимые плоскости пу и ау.
0у2(В1)-пЛ. -» + J (В2),
2 12 )
Оуг(В,)ог -» ' fl_?(B3),
2 <2 ~)
- yf- + zl (В2) ' а' Oyz (В4).
2 <2 )
К аналогичному результату придем, если на исходную точку
подействуем осями 2-го порядка, при этом “работать” будут лишь две из
них (например, 2Х и 2У), так как третья - результирующая 21(х) = тх • пу-к
новым позициям точек не приведет.
Вариант использования центра инверсии в позиции ООО с
последующим поворотом вокруг оси 2-го порядка отвергает
результирующую в этом случае ось 2Х = тх • 1 .
Координаты точек легко получить, используя график
соответствующей пространственной группы. Однако, зная закономерности
изменения координат точек под действием того или иного элемента
симметрии (см. с. 20), можно их рассчитать и аналитически. Это не
вызывает затруднений, если данный размножающий элемент симметрии
проходит через начало координат. Например, ось 2Х переведет точку xyz в
положение xyz и т.д. Если же размножающий элемент симметрии не
проходит через начало координат, то прежде, чем действовать на какую-
либо точку этим элементом симметрии, надо временно изменить начало
координат, перенеся его на этот элемент, записать координаты точки
относительно выбранного нового начала, затем произвести заданную
240
элементом симметрическую операцию и уже после этого координаты
полученной точки пересчитать к старому началу координат. Например, ось
2V в пр. гр. Ртпа занимает позицию -у-(см. рис. 129). Перенеся начало
4 4
координат на эту ось, т.е. в точку с координатами - 0 ’ , пересчитываем
4 4
координаты (xyz) исходной точки: xyz -> тем самым
4 4
определяя ее положение в новой координатной системе. Далее, поворот
точки с новыми координатами вокруг оси 2У, которая в новой
координатной системе заняла положение (ОуО), приведет к позиции
(1-х М-—z)- Возвратившись к исходному положению оси 2У ( — у-), а
4 4 4 4
следовательно, к старой координатной системе, получим точку с
координатами (l_x)X--z) = (--%+-) У (~-z+-)> чт0 можно
2 2 4 4 4 4
подтвердить и графически (см. рис. 129) .
В Интернациональных таблицах [71-73] в характеристику каждой
правильной системы точек пространственной группы помимо кратности
(количества позиций в элементарной ячейке) и ее симметрии входит
обозначение Уайкоффа (Wyckoff) - буквенное обозначение
(последовательность латинского алфавита отвечает увеличению кратности
позиции). Самая симметричная позиция - позиция с минимальной
кратностью - обозначается буквой “а" (рис. 131). Кроме этого,
обязательно указывается символ данной пространственной группы в
обозначении Шенфлиса, ее порядковый номер и соответствующая
точечная группа симметрии. Таким образом, в символе Уайкоффа
независимые позиции даже с одинаковыми характеристиками,
различающиеся лишь координатами, обозначаются разными буквами.
Пространственная группа Р—сс (d’J
Гексагональную голоэдрическую пространственную группу р — сс
т
определяют три независимые плоскости симметрии, две из которых -
координатная и апофемальная - вертикальны и располагаются одна
относительно другой под углом 30°, третья плоскость т: им
перпендикулярна. Порядок пространственной группы, равный 24,
соответствует в Р-решетке кратности общей правильной системы (А), т.е.
порядку точечной группы гексагональной голоэдрии (рис. 132). При
описании характеристик правильных систем в пространственных группах
гексагональной сингонии определенные трудности возникают при
получении координат точек.
Для получения точек общего положения число, соответствующее
Ртпа Dih ттт
Orthorhombic
No. 53
Р 2/т 2/п 2,/а Patterson symmetry Pm m m
Origin at centre () at 2/m n I
Positions
Muiiiptkity.
Wyckort Htcx,
Site lyamwtty
Coordinates
8 г 1 (О *.УЛ (5) XJ.S (2)XH.j>.Z+l (6) x+l.y.l+l (3) X*i.y,Z+l (7)x-4.f.z + l (4) X.J.J (8) X.y.z
4 h т.. О,у,г l.J.z-1 i.y.S- M o.f.!
4 К 2. i.yA i.J.i l.v.l
4 f 2.. t.ifi x+l.i.i x.J.O x+l.l.l
4 е 2.. х.0.0 X+J.O.J X.0,0 хЧ.0,1
2 d 2/т .. i.i.o 1.1.1
2 с 2/т Г. 1.0 0.1,1
2 b 2/т 1.0.0 0.0,1
2 а 2/т 0.0,0 1.0.1
Рис. 131. Образец описания пр. гр. Ртпа в Интернациональных таблицах |73|
242
порядку данной группы, удобно разложить на сомножители, каждый из
которых будет порядком соответствующей подгруппы: 24 = 1 3 • 2 • 2 • 2,
и подействовать на исходную точку симметрическими операциями,
порядок которых соответствует этим числам: в рассматриваемом случае -
осью 6 = 3-2, т.е. сначала осью 3-го, а затем 2-го порядка. В результате
этого получим 6 конгруэнтных точек. Последующий поворот вокруг
горизонтальной координатной оси 2 удвоит количество точек (6 • 2 = 12), в
результате будут получены все 12 конгруэнтных точек. Последующая
операция инверсии в точке приведет к такому же количеству (12) точек
энантиоморфных. В итоге будем иметь все 24 (12 2) точки общего
положения (рис. 132).
Рис. 132. Общая правильная система точек в пр. гр.
6
---сс
т
(Р Л )
Для размножения исходной точки осью 3-го порядка и записи
координат полученных точек удобно воспользоваться третьей
горизонтальной координатной осью U. А так как при вращении вокруг оси
3, расположенной в начале координат, меняются лишь положения точек
относительно трех горизонтальных осей X, Y и U при неизменной
координате вдоль оси Z (рис. 133, а), соответствующие им координаты
легко получить круговой перестановкой (О - знак круговой
перестановки), записав предварительно координаты исходной точки xyz в
четырехосной системе - xyuz (где х, у, и показывают, на какую долю
соответствующего горизонтального параметра элементарной ячейки
следует продвинуться, чтобы оказаться в заданной точке):
xj'z(l)—> xyOz О yOxz (2), Oxyz(3).
Для возвращения от четырехосной к трехосной системе координат
следует избавиться от лишней координаты по третьей горизонтальной
оси U, предварительно обратив ее в нуль [3, 18]. Для этого следует вычесть
соответственно из всех трех координат по горизонтальным осям значение
координаты по оси U, что оставит, как это видно из рис. 133, а, точку на
месте. В результате получим точки со следующими координатами (рис.
133,6):
(у-х)х0=(2) -> (y-x)xz и y(x-y)0z (3)-*y(x-y)z.
Рис. 133. К расчету координат точек, связанных вертикальной осью 3-го
порядка: а - введение дополнительной горизонтальной координатной оси U
облегчает расчет (запись) координат точек 1, 2 и 3; б - точки 2 и 3 внесены в
исходную элементарную ячейку. Показаны координаты х и у каждой точки
Дальнейший поворот вокруг оси 2(Оог), входящей в качестве
подгруппы в группу 6, изменит знаки первых двух координат точек на
противоположные, оставив неизменной третью координату. В результате
получим еще 3 точки, конгруэнтные исходной:
xyz (1) —> xyz (4),
(y-x)xz (2) 2г > (x-y)xz (5),
у(х - y)z (3) -V.> y(y-x)z (6).
У каждой из перечисленных выше шести точек после поворота вокруг
горизонтальной координатной оси 2„ (см. рис. 132) поменяются местами
первые две координаты и изменится на противоположный знак третьей.
244
1
Однако, поскольку ось 2„ расположена на высоте —7 , все размноженные
4 г
ею конгруэнтные точки окажутся на высоте 1 _ г :
2
xyz (1)
(y-x)xz (2)
у(х -y)z (3)
xyz (4)
(x-y)xz (5)
y(y-x)z (6)
Далее, “отразив” 12 точек в центре инверсии и изменив этим
знаки их координат на противоположные, получим еше 12 точек,
энантиоморфных исходным, т.е. все 24 искомые точки общего положения
(см. рис. 132):
xyz (1) ——» xyz (13),
(у -x)xz (2) ——» (х -y)xz (14), и т.д.
К такому же результату можно было прийти, использовав вместо
инверсии в точке операцию симметрии также 2-го порядка - отражение в
горизонтальной координатной плоскости, что тем более удобно, так как
плоскость расположена на нулевом уровне.
На графике пр. гр. р—сс все 12 полученных вначале точек окажутся
т
расположенными над (или под) энантиоморфными им точками. Такие
попадающие в проекции ху в одну позицию точки обозначаются
перечеркнутым кружком, одна половина которого символизирует точку на
высоте +z, другая - ей энантиоморфную на высоте -z. Фактически верхние
(+z) и нижние (-z) точки связаны между собой отражением в
горизонтальной плоскости т~. Зная закономерности изменения координат
точек под действием той или иной симметрической операции, можно легко
245
охарактеризовать и координаты точек десяти принципиально различных
по симметрии частных правильных систем рассматриваемой
пространственной группы: 6, 622, — , 32, 3, 222, 2, т, учитывая,
ттт
что точки каждой из перечисленных систем связаны операциями
симметрии, не входящими в группу симметрии позиции. Например, если
точка занимает позицию, характеризующуюся точечной группой 6-го
порядка (32), то на точку будут действовать все оставшиеся
симметрические операции группы р—сс, т.е. два элемента симметрии 2-
т
го порядка 1-го (одна из апофемальных осей 2-го порядка) и 2-го (центр
инверсии или горизонтальная плоскость) рода. В результате исходная
2 1 1
точка с координатами —± под действием координатной оси 2-го порядка
334
2Г на высоте —т займет положение Затем обе точки, будучи
11 4 г 334
111
отраженными в центре инверсии с координатами ±±±, займут положения
222
123 213
2_ ± _ и ±2.2 соответственно.
334 334
Пространственная группа laid (о'ь“)
Для получения всех точек общего положения в пространственной
группе Ia3d (см. рис. 114) следует порядок группы (96) разложить на
сомножители (старшие независимые подгруппы) таким образом (96 = 4-3
• 2-2-2), чтобы, воспользовавшись соответствующими этим
сомножителям симметрическими операциями - подгруппами данной
группы, было удобно получить координаты размноженных точек. При
этом необходимо следить за тем, чтобы порядок сомножителей
соответствовал реальному элементу симметрии, присутствующему в
данной группе.
Например, порядок группы РтЗ раскладывается на сомножители
следующим образом: 24 = 4 • 3 • 2. Приписывая каждому из сомножителей
определенную операцию симметрии, убеждаемся в том, что в данной
группе нет реального элемента симметрии (подгруппы) 4-го порядка.
Следовательно, сомножитель 4 необходимо представить двумя
операциями 2-го порядка. В итоге получаем: 24 = = 3 2 2 • 2. Учитывая
некоммутативность операции 3 (для точек частного положения) и
коммутативность операции инверсии в точке с остальными операциями
пространственной группы, выстраиваем их в следующем порядке: 2., 2Х,
3[П1] , 1 . Далее используем приведенные выше рекомендации для
получения точек общего положения пр. гр. Ia3 d . Вначале, подействовав
246
операциями симметрии 1-го рода: осью 4/(г), диагональной осью 2j и осью
3-го порядка, получим 24 конгруэнтные точки. Затем, добавив инверсию в
точке, - еще 24 энантиоморфные им точки, и в заключение, введя
дополнительный вектор объемноцентрированной решетки Tt, запишем
координаты всех 96 точек общего положения (рис. 134).
Рис. 134. Общая правильная система точек в пр. гр. Ia3d (pl,") За рамками
элементарной ячейки обозначены отрезки, соответствующие значениям координата, у
и z
1. Если бы ось 4-го порядка была поворотной и проходила через
начало координат, то исходная точка размножилась бы ею по следующему
закону: xyz —> yxz, xyz, yxz. Но поскольку в данной
пространственной группе винтовая ось 4ц.} смещена на —Т , то, прежде
4 "
чем ею действовать, надо привести координаты исходной точки к новому
началу координат, взятому на этой оси в позиции 1qq, вычтя из
4
координаты х точки значение этой же координаты для оси, фиксирующей
новое начало координат. В результате получим новые координаты точки
(1) - (х ~ — )yz - и только после этого повернем ее вокруг оси 4h имея при
4
247
этом в виду, что к координате z при каждом повороте будет добавляться
трансляционная составляющая этой оси t: = -1/’ ;
4 2
fl Y 3)(4)
И — х : + - v 7
И Л 4 J
Приведя полученные координаты к исходному началу, т.е. прибавив
1/4 к координате х, получим
(ЬИН<ЗК НИН(4>
При этом точку (2), оказавшуюся за пределами исходной
элементарной ячейки, трансляцией т вносим в пределы ячейки. В
результате ее координаты запишутся следующим образом:
if 1
— + Z
\4
2. Далее каждую из четырех точек (1-4) повернем вокруг
диагональной оси 2^ц0], сдвинутой относительно начала координат на
-у и -у . И вновь, прежде чем подействовать этой осью, следует,
4 х 8 1
1 з
предварительно перенеся начало координат в позицию -О—> сообщить
4 8
точкам новые координаты и затем, подействовав на них осью 2j ,
вернуться к прежней системе координат:
Координаты
исходной точки
в старой
координатной
системе
Координаты
точки в новой
координатной
системе
Координаты
точки,
размноженной
осью 2Л в новой
координатной
системе
Координаты
точки,
размноженной
осью 2,i, в старой
координатной
системе
248
3. Для размножения осью 3-го порядка (3[ш]) используем круговую
перестановку координат каждой из восьми полученных ранее точек:
xyz (1)0 yzx(9), zxy(\Q\,
(2)0
(12),
4. Подействовав на полученные таким образом 8 • 3 = 24
конгруэнтные точки центром инверсии 1 (000), будем иметь такое же
количество им энантиоморфных:
xyz(\)—-—> xyz (25),
В результате придем к 48 точкам, не связанным между собой
трансляцией /-решетки.
5. Заключительный перенос вектором у, un даст недостаю-щую
\ 'Х,~222/
половину точек:
xyzM (L+XYl+yY 1+/| (49),
U Д2 Д2 J
Как видим, даже не прибегая к проекции, можно получить
координаты всех 96 точек общего положения.
На практике удобно, использовав в качестве первой симметрической
операции поворот вокруг оси 3-го порядка, получить 3 связанные ею
точки. И, соединив их прямыми, начертить треугольник, который затем
легко, как один материальный объект, размножить всеми порождающими
249
элементами симметрии, в данном случае плоскостями симметрии. В
результате получим график с нанесенными на него точками общего
положения (см. рис. 134)3).
Если при получении точек общего положения в конечном итоге
безразлично, в каком порядке производить симметрические операции (так
как они коммутируют), то, задав точку частного положения, необходимо
следить за тем, чтобы вводимая симметрическая операция не оказалась
уже задействованной в качестве результирующей предыдущих операций.
Например, в пр. гр. РтЗ все 12 точек частной правильной системы
с симметрией т можно получить, подействовав на исходную точку с
координатами xOz сначала осью 2:, затем осью Зцп, и в заключение
центром инверсии:
xOz xOz x"0z (>)- (1) (2) 6 О -> xOz zxO zxO (2); (3),0zx(4); (5), Ozx (6);
xOz (D- / -> xOz (7);
xOz (2)- / -> xOz (8);
zxO (3)- 1 -> zxO (9);
Ozx (4)- 1 -> Ozx (10);
zxO (5) 1 -> zxO (11);
Ozx (6) 1 -> Ozx (12).
Из операций 2-го рода предпочтительна инверсия, особенно если
центр инверсии совпадает с началом координат (при этом меняются знаки
координат точек на противоположные). Однако на точки частного
положения нельзя действовать элементами симметрии, сопряженными с
теми, на которых расположена точка. Например, в рассматриваемом
случае (пр. гр. РтЗ) на точку с координатами xOz, расположенную на
плоскости ту, нельзя действовать осью 2У совместно с 1 (так как
ту -2у = 7). Кроме того, в данном случае операции оси 3-го порядка не
коммутируют с операциями осей 2-го порядка, так как точка xOz, будучи
размноженной осью Зрщ , окажется в позициях на плоскостях тх и т-.
Поэтому дальнейшее одновременное введение оси 2-го порядка и центра
инверсии (например, 2. и 1 ) приведет к одной и той же позиции:
xOz(l) О zxO (2), Ozx (3);
zxO (2) ----— —> дхО (4);
zxo(2) -----> zxO (4) и т.д.
3) Поскольку в кубических пространственных группах “выссггы” точек, связанных осями 3-го
порядка, меняются (xyz О yzx, zxy), то ставить около них знак «+» или «-» без указания
значения соответствующей координаты (как на графиках пространственных групп низшей и
средней категорий) некорректно.
250
Глава IX. Группы антисимметрии (шубниковские
группы)
Общее определение классической симметрии включает понятие
геометрического равенства, т.е. равенства объекта самому себе при
симметрических преобразованиях: поворотах, отражениях, инверсии,
обеспечивающих неизменность расстояний между точками объекта и
соответственно углов между преобразованными прямыми и плоскостями.
При этом симметрические преобразования могут быть либо без трансляций
(переносов), либо трансляционными - содержать параллельные переносы.
Однако, поскольку для описания ряда симметрических свойств физических
объектов в трехмерном пространстве только одного геометрического
равенства может оказаться недостаточно, удобно ввести четвертую
переменную, имеющую определенный физический смысл: время, знак
заряда, цвет, спин и т.д. Если такая переменная имеет лишь два
противоположных значения, то описание может быть проведено с
использованием понятия “антисимметрия” - “черно-белая” симметрия,
если же значений больше двух, то с помощью понятия “многоцветная
симметрия" [55, 57].
IX. 1. Общие сведения
Идея антисимметрии, выдвинутая в 1929 г. немецким
исследователем Г.Хеешем [ 64 ], была воплощена им в выводе классов
антисимметрии. Независимо от него вывод последних был осуществлен
российским кристаллографом А.В.Шубниковым в 1945 г. [51, 53]. Автором
идеи “цветной” симметрии является академик Н.В.Белов [7]. Следует
отметить, что уже в таком понятии классической симметрии, как
“энантиоморфизм”, т.е. зеркальное равенство, заложена некая
противоположность свойств: правизна и левизна, т.е. идея
противоположного равенства, или антиравенства. От антиравенства к
антисимметрии нетрудно перейти, вспомнив, что симметрично равные
фигуры могут быть либо конгруэнтными (только правыми или только
левыми), либо энантиоморфными. Антисимметричные фигуры, несмотря
на их геометрическое равенство, различаются какими-либо
противоположными свойствами или признаками.
В качестве примеров можно привести такие дополняющие друг
друга предметы с противоположными свойствами, как выпуклая медаль и
вогнутый слепок с нее, капелька воды в воздухе и пузырек воздуха в воде,
негатив и позитив либо пара зеркально равных фигур (см. цветную вставку,
рис. 135), одна из которых окрашена в белый, а другая — в черный цвет.
251
Для того чтобы связать между собой подобные объекты с прямо
противоположными свойствами, представлений классической симметрии
явно недостаточно, и поэтому удобно использовать понятие
“антисимметрия”, связывающее противоположные объекты, снабдив эти
объекты знаками «+» и «—». Если положительные объекты считать
“белыми”, а отрицательные - “черными” (или наоборот), то вместо
термина антисимметрия можно употребить термин черно-белая, или
двухцветная, симметрия.
На рис. 135 нетрудно увидеть, что преобразование белой правой
фигуры в черную левую может быть осуществлено последовательными
операциями: отражением в вертикальной зеркальной плоскости симметрии
(w) и “перекрашиванием” - новой операцией, называемой
антиотождествлением (антитождеством) и обозначаемой Г. Как и в
случае сложных осей симметрии - зеркальных и инверсионных,
включающих два симметрических преобразования, - операции
коммутируют, т.е. последовательность их проведения безразлична. Такая
новая комбинированная операция названа антиотражением, а
соответствующий этой операции элемент симметрии - плоскостью
антисимметрии, обозначаемой т'(к обозначению классической операции
симметрии добавляется “штрих”). Таким образом, можно ожидать для
каждой классической операции симметрии (элемента симметрии)
соответствующую операцию антисимметрии (элемент симметрии): для
зеркального отражения т - антиотражение т для поворота вокруг оси п
- антиповорот вокруг оси п', для инверсии в точке 1 - антиинверсию 1 '
и для операции отождествления 1 - операция антиотождествления —
антитождества Г (операция перекрашивания - изменения какого-либо
свойства на противоположное - с сохранением фигуры на месте).
Рассмотрим действие элементов антисимметрии на примере осей
разных порядков. В случае четных осей антисимметрии (см. цветную
вставку, рис. 136) наблюдается равное количество положительных (белых)
и отрицательных (черных) фигур, т.е. изображенные группы
антисимметрии 2', 4' и 6' содержат классические подгруппы вдвое
меньшего порядка - 1, 2 и 3 соответственно. Очевидно, что дважды
повторенная операция антисимметрии отвечает классической операции
симметрии: (2r)2 = 1. (4')2 = 2, (6)2 = 3. Показатель степени указывает на
количество проведенных операций симметрии. Соответственно и группы
антисимметрии - шубниковские группы (G) - имеют подгруппами
классической симметрии (G) группы вдвое меньшего порядка: группа 2' в
качестве классической подгруппы содержит операцию тождественности
(/), группа 4’- подгруппу 2, группа 6'- подгруппу 3.
Из сказанного явствует, что вводом антитождества (переменой
цвета), сопровождающего операции группы классической симметрии,
получаем группу антисимметрии с классической подгруппой вдвое
меньшего порядка. Снимая цвет, повышаем порядок получившейся
252
классической группы соответственно в 2 раза по сравнению с порядком
исходной классической подгруппы. Следовательно, свойствами
антисимметрии могут обладать только элементы антисимметрии
четных порядков, ибо в противном случае (для осей нечетных порядков)
невозможны подгруппы с порядком вдвое ниже.
Например, если каждый поворот на 120°
Рис. 137. Иллюстрация
действия нейтральной
(“серой”) оси 3-го порядка
(31’)
вокруг классической оси 3-го порядка
сопроводить операцией перекрашивания
(антитождества) Г (рис. 137), то ось 3
одновременно окажется и простой поворотной
(классической) и осью антисимметрии, т.е. в
результате наложения черных и белых фигур
друг на друга получим фигуры нейтрального
серого цвета - фигуры физически нейтральные.
Отсюда такую ось (так же, как и операцию
симметрии) называют серой, или нейтральной, и
обозначают 31', где операция антитождества (/')
присутствует как самостоятельная (!) операция.
Обратим внимание на то, что введение цвета в
данном случае не понизило вдвое порядок
классической группы. Например, в серой группе Г = (1, I) каждая
операция тождественности (7) сопровождается перекрашиванием -
самостоятельной операцией антитождества (/')-
Расширенный набор операций (элементов) симметрии -
классических и антисимметрии - подчиняется общим законам
взаимодействия элементов симметрии. Причем очевидно, что при
однородных порождающих элементах (симметрии или антисимметрии)
возникнет классический элемент (см. цветную вставку, рис. 138, а, б)1*, а
при разнородных - элемент антисимметрии (рис. 138, в). Таким образом,
сочетания классических операций дадут 32 классические точечные группы
симметрии, подразумевающие какое-то одно - определенное - из двух
возможных, но физически противоположных, свойство : “+” или В
таких “одноцветных” группах отсутствует операция перемены знака
(цвета), поэтому в “черно-белой” терминологии они называются
полярными.
Группы, в которых все операции нейтральные (серые), т.е. каждая
классическая операция симметрии совпадает с аналогичной операцией
антисимметрии, составляют второе семейство нейтральных, или серых,
групп. Такие нейтральные группы можно получить из полярных
добавлением самостоятельной операции антитождества Г (операции
перемены знака) или, что то же самое, “умножением” полярной группы G
на группу второго порядка Г = (1, 1), при этом “умножение” на операцию
1 Здесь и далее черным цветом показаны классические элементы симметрии , красным -
элементы антисимметрии.
253
1 сохранит все операции исходной классической группы, “умножение” же
на операцию Г приведет к появлению комбинированных операций -
операций антисимметрии. Отсюда порядок расширенной (серой) группы
G-Г будет вдвое больше порядка исходной полярной
кристаллографической группы G. Естественно, каждой из 32 полярных
групп G будет соответствовать нейтральная (серая): (G-/')- В символе это
отражается добавлением знака антитождества : 4 Г, 4ттГ
При взаимодействии двух операций антисимметрии дважды
повторенная операция антитождества, входящая в качестве составной части
в операции антисимметрии, “погасит” перемену знака (цвета); при этом
оставшиеся классические составляющие обусловят возникновение
классического элемента симметрии (рис. 138, б). Поэтому цветные
операции симметрии - операции антисимметрии — по аналогии с
операциями классической симметрии 2-го рода не могут самостоятельно
составить группу симметрии. Взаимодействие разнородных операций -
классической и антисимметрии (рис. 138, в) - породит операцию
антисимметрии. В результате указанных взаимодействий возникнут группы
смешанной полярности - группы, в состав которых входят как
классические операции, так и операции антисимметрии, за исключением
антиотождествления. Следует отметить, что антитождество,
отсутствующее в таких группах как самостоятельная операция, входит в
операции антисимметрии, но уже в качестве их составной части.
Например, на рис. 136, б изображена фигура смешанной
полярности, иллюстрирующая группу 4-го порядка - 4'. Эта группа
включает 4 следующие операции:
анти поворот на 90° - (4/,
простой поворот на 180° - (4 / = 2,
антиповорот на 270° - (4)3 = (4')
отождествление - (4)4 - 1.
При этом операция антитождества входит в состав сложных
антиповоротов на 90 и 270° в качестве составляющей симметрических
операций. На рис. 136 хорошо видно, что порядок классической подгруппы
2. вдвое меньше порядка исходной группы антисимметрии 4'; то же
справедливо и для черно-белых групп 4-го порядка т'т' 2 и тт'2'(рис.
138, б, в), имеющих своими классическими подгруппами второго порядка
2. и тх соответственно, и для группы 2-го порядка /' содержащей в
качестве подгруппы классическую операцию тождества (/) 1-го порядка.
Таким образом, для того чтобы получить группу антисимметрии
G', нужно к классической подгруппе G добавить одну из удваивающих
операций антисимметрии: Г, т' 2' 1 И обратно, любую группу
антисимметрии с известным порядком (числом ее членов) можно
разложить на два равноправных независимых множителя так, чтобы один
из них был вдвое меньшего / порядка, чем исходная группа, т.е. мог бы
254
3
Рис. 171. Мозаики, иллюстрирующие группы
Рис. 172. Цветные мозаики с симметрией Р4, и Р4,
Рис. 173. Мозаики (а) с симметрией РЗ
и график (б) этой пространственной группы
Рис. 174. Мозаика (а) с симметрией Рб,
и график (б) этой пространственной группы
Рис. 175. Мозаики с симметрией 14md (а) и Fdd2 (6)
С П Г 5 W
3®=3' 6f3}=3'2 3%-3'/m 6(^3(%'=3‘/m' 6®=3-1 6®=~3®=3'l
fПГ9С
6(e)=3'2' 6®/m~3'2/m 6%^2/m 6%'^-2/m'
6(e)=3'2'
4^=4' 4^^4' 4^-4/d 3^23' б^тЗ1 6%=т'3'
Рис. 176. Фигуры, иллюстрирующие точечные многоцветные группы симметрии [37]
О
Д
S
о
GO
служить классической подгруппой, а второй - удваивающий множитель -
возможной операцией антисимметрии.
Например, циклическая группа 6-го порядка - б', б2, б3, б4, б4, б6
(рис. 136, а)- разлагается в прямое произведение двух множителей (3 • 2)
- двух подгрупп: 3(1 = б6, З1 = б2, З'1 — б4) и 2(1 - бг‘, 2 = б3). Первая (3-го
порядка) может служить классической подгруппой, а вторая (2-го порядка)
-удваивающей группой антисимметрии: 32' = б'.
Группы 4-го порядка - 4 и 4 - также разлагаются на два
множителя (4 = 2-2), один из которых является самостоятельной
классической подгруппой 2-го порядка, оставшийся же множитель
подгруппой не является, вне осей 4 и 4 не существует и поэтому
обозначается 4(mod2) и 4 (mod2) соответственно. И именно этот
множитель группы может служить удваивающей операцией (но не
элементом симметрии!) групп антисимметрии: 4' = 2 • 4'(mod2), 4 ' = 2 •
4 '(mod2)[55].
IX.2. Вывод точечных групп антисимметрии - групп
смешанной полярности
Вывод всех точечных групп антисимметрии, как было показано
выше, можно осуществить двумя путями: либо к точечным группам
симметрии, принятым за классические подгруппы, добавить удваивающие
элементы антисимметрии, либо в каждой из 32 точечных групп
рассмотреть все возможные комбинации простых элементов и элементов
антисимметрии.
В качестве примера рассмотрим вывод всех групп антисимметрии,
подчиненных (изоморфных, см. с. 29) точечным группам ттт, 222, —,
т
4 4— —
— , —тт, 3 т, б т 2 , 23 и m3 т .
т т
2 2 2
ттт =------------ группа 8-го порядка с тремя независимыми
ттт
плоскостями симметрии (тх ту = 2:,т: независима) создает возможность
вывода групп антисимметрии двумя различными путями.
1. Выписав подгруппы 4-го порядка (в два раза меньшего, чем
ч ,,, , 2
порядок рассматриваемой группы): 222, mm2 и —, добавляем к каждой
т
из них какой-либо удваивающий элемент антисимметрии: Г, т' или 2
При этом количество групп антисимметрии будет соответствовать
количеству выделенных классических подгрупп (см. цветную вставку,
рис. 139):
\
255
mm2 Г = mm2 m', = mm2 2'x = mm2-2’ =-----mmm';
m m m'
2X , \ \ ,, 2X 2 2' 2'
- -*-mz = -^--2 - -^--2z--------~mmm\
mx mx mx mx * mm'tn'
222-Г = 222 m'x = 222 m' = 222 m'z =—— = m'm'tn'.
m'm'm'
2. К тому же результату можно прийти, “зацветив” по-разному
порождающие элементы симметрии исходной точечной группы, приняв за
таковые три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии. При этом
элементом антисимметрии может быть одна, две или все три исходные
плоскости. И поскольку все три плоскости равноправны, получим три
варианта групп антисимметрии (рис. 139):
2 2' 2'
т'тт =----------(группа с цветным центром инверсии и
т' т т
классической подгруппой тт2{= 2тт))',
2' 2' 2
т т т =----------(центр инверсии простой, классическая
т' т' т
2 х
подгруппа —);
т
2 2 2
т'т т =-----------(центр инверсии цветной, классическая
т' т' т'
подгруппа 222).
Развернутые символы выведенных групп антисимметрии 8-го
порядка демонстрируют равное число в них операций антисимметрии и
2 2 2
классической симметрии. Так, для группы---------четырем операциям
т’ т' т'
антисимметрии - т/, ту', т/, Г - соответствуют четыре классические
операции - 2Х, 2У, 2:, 7, образующие классическую подгруппу в два раза
меньшего порядка по сравнению с исходной группой антисимметрии.
222 - группа 4-го порядка с классической подгруппой вдвое
меньшего порядка (2). Поскольку все оси 2-го порядка в этой группе
взаимосвязаны (любые две порождают третью) и топологически
неразличимы, то единственный вариант группы антисимметрии - 22'2'
{=2'2'2 = 2'22').
2
— - группа 4-го порядка, каждая из подгрупп 2-го порядка
т
которой (2, т, 1 ) может быть “зацвечена” или стать классической
подгруппой. Отсюда имеем три варианта групп антисимметрии:
256
т 2' = m 1' = , 2 • m' = 2 • I' = —,
tn m'
I m' = I 2' = 2L. Однако поскольку все
т'
члены этой группы представлены разными
элементами симметрии, то, несмотря на их
взаимосвязь, следует рассмотреть все три
варианта “зацвечивания” элементов
симметрии.
— - подгруппа 8-го порядка (41,
т
42 = 2. 43 = 4~', 44 = 1,4', 4~', т. 7) (рис.
140). Выписав подгруппы 4-го порядка:
4(7, 4', 42 = 2, 43), 4 (7, 4', 4~‘, 2), — (7,
т
1 , т, 2) - и добавив к ним удваивающие
антиоперации (т' 1', 4 '(mod2) или
4'(/nod2y), получим 3 группы
Рис. 140. К определению
порядка точечной группы 4
гп
Фигуры 1 - 2 связаны операцией
4', 1 - 3 - операцией 2, 1 - 4 -
операцией 43 = 4 1, 1 - 5 -
операцией m-, 1 - 6 - операцией
4 ‘ ,1 - 7 - операцией 7,1-8
- операцией 43 = 4~'
антисимметрии:
4.-т'.=4.-Г -4. -4'(mod2) = ~;
т'
4. • т'_ = 4. • Г - 4. • 4'(mod
т'
2 2 — 4'
— 4' (mod 2) = — 4'(mod 2) = —.
ттт
Путем поочередного “зацвечивания” порождающих элементов
4 4' 4'
симметрии получим те же три группы антисимметрии: —, —, —.
т' т т'
4 4 2 2 .. D
— тт =------------ группа 16-го порядка. Взаимодействие
т ттт
подгрупп 8-го порядка - 422, 4тт, —, 42т , ттт(\) - с удваивающими
т
операциями антисимметрии приведет к следующим пяти группам
симметрии (см. цветную вставку, рис. 141):
422 т'.(т'х,т'2)= 422 1' = 422-4 '(mod2} = —— —
т' т' т'
(взаимодействие осевого комплекса 422 с антиплоскостью т' любой
позиции символа приведет к появлению цветного центра симметрии 7', а
следовательно, и остальных элементов антисимметрии тетрагональной
голоэдрии; если удваивающей операцией считать антиинверсию 7', то
257
придем к тому же результату); не следует забывать и удваивающие
операции антисимметрии 4'(mod2] и 4'(mod2)\
4тт m'z = 4тт • Г = 4тт 2’(2'Л = 4тт -4 '(mod2} = ———;
' т' т т
4 ,4*4 , 4 4 - , х 4 2' 2'
— т[ = — 2' = — md = — 2d =—4(mod2) =---------;
т т т ‘ т т ' ' т т' т'
42т m'z = 42т Г = 42т • т'х = 42т 2j = 42m-4'(mod2) = ——
' ' т' т' т
2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 -,, ... 4' 2 2'
-------md -------2’ -----------------4 (mod2) ------- 4 (mod2} =-.
т т т т т т т т т-------------------------------------------т т т-' т т т'
Приняв за порождающие элементы плоскости симметрии трех
разных позиций символа, рассмотрим все различные варианты их
“зацвечивания” (рис. 141). “Зацветив” только плоскость 1-й позиции -
горизонтальную плоскость, получим координатные и диагональные оси
тг 4 2' 2' с
антисимметрии 2 :------. Если же элементом антисимметрии считать
т' т т
одну из плоскостей 2-й или 3-й позиции символа, то возникнут одинаковые
группы антисимметрии, различающиеся лишь установкой (поменяются
координатные и диагональные направления): — 1——=
т т' т т т т'
«Зацвечивание» двух исходных плоскостей симметрии
(горизонтальной и одной из вертикальных или только плоскостей 2-й и 3-й
позиций одновременно) приведет к двум группам антисимметрии:
————= — — — и — ——И наконец, “цветные” плоскости всех
т' т' т т' т т' т т' т'
4 2 2
трех позиции дадут группу ——-——.
т' т' т’
- -2 ,
3т = 3 — 1 - группа 12-го порядка. Подгруппы 6-го порядка: 3 ,
т
32, Зт, взаимодействуя с элементами антисимметрии 2-го порядка (7 ', т',
2'), дадут три группы антисимметрии:
Зт- l'^3m-2'= =
т
(обратим внимание на то, что поскольку ось 3 не может быть элементом
антисимметрии (см. рис. 137), штрих относится лишь к центру инверсии);
32-Г = 32-т'= = ;
tn'
~ —
3-т' =3-2'= з—1 = 3т’
т'
258
6 m2 = —m2 - группа 12-го порядка. Подгруппы 6-го порядка:
32, Зт, б = —• Удваивающие антиоперации: т', 2'. Изоморфные группы
т
антисимметрии (см. цветную вставку, рис. 142)2):
3
32-m'z = 32 -т' —> —т'2 - б 'т'2,
т'
Зт-т'г = Зт-2' -> —m2' - б 'm2',
т'
-(- 3
6 —\ т' = б 2' -> —т'2' = бт'2'.
\mJ т
23 - группа 12-го порядка. Не имеет подгрупп порядка 6, поэтому
изоморфных ей групп антисимметрии нет. Кажущееся возможным
“зацвечивание” осей 2-го порядка приведет лишь к серой группе 23-1
4-2
тЗт = —3— - группа 48-го порядка. Подгруппы 24-го
т т
порядка: 432, 43т, m3 . Удваивающие антиоперации: / ' 2', т', 4'(mod2),
4' (mod2). Группы антисимметрии (см. цветную вставку, рис. 143):
- —1x4—2 —
432-Г = 432-т' = 432-m'd =432-4 '(mod 2)->—-3'—- = т'3’т';
т т
- - - - - ( х 4' -, 2'
43т Г = 43т т' = 43m-2'd =43т -4'\mod2)—> —-3'— = т'З'т;
т т
—3 4'(mod2) = —3 -4'(mod2) =—3 -2d = —3 -т^ ->—3 —^тЗт'.
т т т т т т
Итак, используя рассмотренные пути вывода шубниковских
точечных групп симметрии, можно на основе 32 классических полярных
групп (введением операции антитождества 1') получить 32 нейтральные
(серые) группы и 58 групп смешанной полярности - собственно групп
антисимметрии, т.е. всего 122 группы (табл. 5), с помощью которых можно
описать симметрию конечных фигур и объектов, обладающих какими-либо
прямо противоположными негеометрическими свойствами (рис. 144). В
частности, группы антисимметрии используются в кристаллографической
практике при выводе законов двойникования, описания симметрии
двойников, электрических, магнитных (см. с. 20) и других свойств
кристаллов.
2 Штрих около оси б ’ относится к плоскости тг'.
259
6'm2' 6m 2 6'm‘2 6'mm' 6m in
6/m'mm 6/mmm‘ б'/т'тт' 6/mm‘m’ 6/mm'm'
т'З'т тЗт' т'З'т' m'3' 432'
Рис. 144. Иллюстрация некоторых точечных групп антисимметрии [34]
260
Таблица 5
Точечные группы антисимметрии
Сингония Классические (полярные) группы G Нейтральные (серые) группы CI' Группы антисимметрии смешанной полярности С'= С- В(В = Г,2',т' 4'(mod2), 4‘ (mod2))
Триклин- ная 1 1 1 1' 1 г 1 '
Моно- клинная 2 т 2_ т 2 Г т • 1' 1 1' т 2' т' 2^, L, Z. т' т т'
Ромбичес- кая 222 mm2 22Z ттт 222 1' mm2 1' LLL- г ттт 2’2'2 тт'2', т'т'2 2_2_2_, Z_Z_2_, т’ т' т' т т т' т' т' 2_ т
Гексаго- нальная 3 3 32 Зт Зт 6 6 6 m2 622 6 т бтт ттт 3 Г 3 г 32 Г Зт • 1' Зт • 1' 6 • Г 6 1' 6 m2 1' 3 ' 32' Зт' З'т', З’т, Зт' 6' 6' 6 'т'2, бт'2', б ' m2'
622 Г L 1' т бтт • 1' 6 2 2 . у/ ттт 6'22', 62'2' — т' т' т б'тт' 6т'т' 6 2 2 6 2' 2' т' т' т' т’ т т т' т т' т т' т' т т 2 тг
Тетраго- нальная 4 4 422 4 т 4 Г 4 1' 422 1' ± • /' т 4 ’ 42'2', 4'22' 4 4’ 4' ? , — т' т' т
4тт 42т LLL ттт 4тт 1' 42т • Г 4_2_2_ . у/ ттт 4т' т', 4'тт' 42'т', 4'2т', 4'2'т 4 2 2 4 2' 2' т' т’ т' т' т т т' т1 ! т
23 23 Г 4’ 2 2' ттт' 4_z_z_ т т' т'
Кубичес- кая 432 432 1' 4'32'
|к> **»1 ±з 1' —3’
т т т’
43т 43т • 1' 4’3т'
£-31 • 1' ±3^, ^З'2-, 4-з^
т т т т /я' tn' т' т т т'
IX.3. Использование теории антисимметрии для описания
двойников кристаллов
В 1957 г. В.А.Мокиевским [41, 42] была выдвинута идея
использования двухцветной (черно-белой) симметрии для описания
двойников кристаллов, получившая впоследствии развитие в работах
Х.Кюрьена, Ле Корра [59, 60, 68] и др. Была предпринята попытка
классификации двойников и вывода возможных двойниковых групп
симметрии для 32 кристаллографических классов, а следовательно, и
законов двойникования кристаллов, представляющих определенный
интерес для установления генезиса минералов.
Вывод точечных групп симметрии двойников основан на
выделении всех подгрупп каждого класса симметрии индивида и
нахождении для каждой из них надгруппы антисимметрии. В двойниковых
группах используются обозначения, принятые для элементов
антисимметрии. При этом “штрих” следует рассматривать как условную
маркировку двойникующих классических элементов симметрии (элементов
связи между индивидами):
2Л=2', 2л(та.)=2'(т'\ 2л(7л)=2'(г)
Взаимодействие двойникующих элементов симметрии с
классическими элементами группы симметрии индивида порождает
двойниковую группу симметрии - одну из рассмотренных выше 58
кристаллографических групп антисимметрии (групп смешанной
полярности). Однако в образующуюся двойниковую группу входят лишь те
элементы симметрии монокристалла, взаимодействие которых с
двойникующими элементами симметрии приводит к
кристаллографическому классу.
262
Например, если в классическую группу симметрии
тетрагонального кристалла 422 (порядок группы 8) ввести двойникующую
ось 2', занимающую позицию с координатами <р = 90° и р = 45°
(см.цветную вставку, рис. 145, а), то кристаллографически совместимыми с
ней окажутся все элементы симметрии группы: 4.(угол между < и 2'равен
45°), 2Х ( угол между 2Х и 2' равен 45°), 2У (угол между 2у и 2' равен 90°) и
диагональная ось 2а (угол между 2d и 2'равен 60°). Взаимодействие этих
элементов симметрии, образующих так называемую сохранившуюся
подгруппу двойника, с двойникующей осью 2' казалось бы, приведет к
возникновению осей 3-го (2d л 2' = 3) и 4-го (2Х л 2' =4'у)
порядков, размножение которых друг другом даст полную осевую
кубическую группу 432. Однако порядок этой группы втрое (!) превысит
(8 • 3 = 24) порядок исходной тетрагональной группы 422 (рис. 145, г).
Таким образом, один лишь анализ порядков исходной и возникшей групп
симметрии отвергает возможность подобного двойникования, ибо введение
двойникующего элемента симметрии должно удваивать порядок исходной
кристаллографически совместимой с ним (сохранившейся) подгруппы.
Кроме того, возникшие оси 3-го порядка являются результатом
взаимодействия как однородных (2' л 2'), так и разнородных (2 л 2') осей
2-го порядка, что приводит к возникновению нейтральных элементов
симметрии, т.е. к серой группе (48-го порядка!), а не к группе смешанной
полярности. В результате в сохранившуюся подгруппу войдут лишь те
элементы симметрии исходной группы 422, взаимодействие которых с
двойникующими элементами симметрии не приведет к кубической группе
симметрии, а именно 2Х, 2у и 2. (входящая в ось 4г) (рис. 145, б).
Взаимодействие элементов симметрии сохранившейся подгруппы
222 с двойниковой осью 2' (2Х • 2' = 2. 2' = 4у') приведет к двойниковой
группе 4' 22' = 4 'у2х=у2 '(рис. 145, в). Заметим, что порядок (8)
получившейся двойниковой группы 4'22'в два раза превышает порядок (4)
сохранившейся классической подгруппы 222 вследствие введения в
последнюю двойникующего элемента симметрии (2).
Если в качестве исходного взять класс симметрии С4 и при том же
положении двойникующей оси 2' сохранить в качестве классической
подгруппы ось 2г в составе оси 4. , то снова возникнет двойникующая
группа 4'22' = 4'у2:2'. Однако порядок (8) этой двойниковой группы
окажется не в два, а в четыре раза выше порядка (2) сохранившейся
подгруппы. Следовательно, в этом случае ось 2: не входит в двойниковую
группу, т.е. сохраняется лишь подгруппа / (двойниковая - 2').
Исследуя в каждой группе симметрии различные позиции
двойникующих элементов симметрии, можно вывести все законы
двойникования. При этом целесообразно
фическими проекциями.
стереогра-
IX.4. Вывод одномерных групп антисимметрии — одномерных
шубниковских групп
Свойствами антисимметрии могут обладать не только конечные
фигуры, но и бесконечные постройки - одномерные [8], двухмерные [34] и
трехмерные.
Взяв за основу 7 классических (полярных) одномерных групп
симметрии: pill, р!12, ptnll, pltnl, ртт2, plal, рта2 (см. с. 71) - и
добавив к ним антитождество 1' как самостоятельную операцию
симметрии, получим нейтральные (серые) группы: pH! /' pl 12 1', pml 1
Г, plml 1' ртт2 1' plal /' рта2 1'. Заметим, что трансляция как
элемент симметрии будет одновременно и классической и “цветной”, т.е. в
результате серой.
Для получения одномерных групп антисимметрии смешанной
полярности необходимо учесть возможность “зацвечивания” как
подрешеточных элементов симметрии (плоскостей и осей симметрии), так
и самой решетки. В результате получим два семейства одномерных групп
антисимметрии: 1 - с простой классической решеткой, но с
«зацвеченными» подрешеточными элементами симметрии, 2 - с цветной
решеткой.
рт‘11 plm'l р112' pla'l рт’т2' ртт'2'рт'т'2 рт'а2‘ рта'2‘рт'а'2
Рис. 146. Односторонние плоские бордюры, описываемые одномерными группами
антисимметрии с простой (примитивной) р-решеткой
•
Возможность в первом семействе по-разному «зацвечивать»
порождающие элементы симметрии в исходных полярных группах ртт2 3)
и рта2 приведет к десяти черно-белым группам (рис. 146): pm'll, plm'l,
’) Если в точечной группе mm2 или в подчиненных ей симморфных пространственных
группах Ртт2, 1тт2, Стт2. Fmm2 плоскости обеих позиций символа гомологически
одинаковы, то в одномерных они по-разному ориентированы относительно единственного
трансляционного вектора, что при их «зацвечивании» приводит к двум различным группам
антисимметрии: ртт'2' и рт'т2'.
264
pl 12', pla'l, pm' m2', pmm' 2', pm'm' 2, pm' a2', pma' 2' pm'a' 2, не
содержащим операций антитождества I 'и антипереносов.
Второе семейство черно-белых одномерных групп симметрии
отличается от первого наличием цветной трансляции - антипереноса.
Поскольку дважды повторенная операция антисимметрии, в данном случае
антитрансляция Г, приводит к классической трансляции удвоенной длины
(2/' = Г ) (см. цветную вставку, рис. 147), то получение различных по
симметрии черно-белых бордюров сводится к вводу цветной трансляции
т.е. к «зацвечиванию» классических одноцветных орнаментов.
Действительно, добавляя цветную трансляцию к семи полярным группам
(«зацвечивая» решетку р' ), получим такое же количество одномерных
черно-белых групп - групп с антипереносами (см. цветную вставку, рис.
148): р' 111, р'mH, р' 1ml, р' 112, р'mm2, р'lai, р'та2.
При этом следует помнить, что черно-белая трансляция будет
взаимодействовать с элементами симметрии исходной группы. В
результате возникнет чередование классических и цветных элементов
симметрии, что делает бессмысленным одновременное «зацвечивание» как
решетки, так и подрешеточных элементов симметрии.
Например, взаимодействие черно-белой трансляции 1’ и
перпендикулярной к ней плоскости или оси симметрии приведет в группах
р'тт2 ир'та2 к чередованию - т(т) и 2(2) (см. рис. 148). Добавление же
/' к совпадающим с ней плоскостям 2-й позиции символа - т или а -
превратит их в а'и т'соответственно, т.е. т = а', а = т'(где « s » - знак
тождественного равенства). Таким образом, развернутая запись указанных
групп следующая:
р'тт2 = р'т(т) т = а'2(2), р'та2 = р'т(т') а = т'2(2').
В результате придем к 31 одномерной группе антисимметрии -
шубниковской группе из семи полярных (классических) групп, семи
нейтральных (серых) групп, семи групп смешанной полярности с
“цветной” решеткой и десяти групп смешанной полярности с классической
решеткой.
С помощью этих групп можно описать односторонние,
бесконечные в одном направлении узоры (постройки) - бордюры. Все
перечисленные группы не содержат “переворачивающих” симметрических
операций, т.е. все элементы бордюра обращены к наблюдателю одной
(лицевой) стороной. Если ввести в группы бордюров “переворачивающие”
элементы симметрии - горизонтальные плоскости, оси симметрии или
центр инверсии, то получим 31 группу симметрии двухсторонних лент.
При этом черный и белый цвет фигур символизирует их лицевую и
изнаночную стороны. Серые фигуры принято обозначать (отмечать) точкой
(например ;pa'll =p2t 11, см. рис. 156).
265
IX.5. Вывод двухмерных групп антисимметрии
К 17 классическим двухмерным группам симметрии4' - 17
полярным плоским группам для одноцветных слоев, обладающим одним из
каких-либо двух противоположных качеств (или свойств) (рис. 149),
добавим в качестве самостоятельной операции антитождество /' что
приведет к 17 нейтральным (серым) группам. Например, ртт2 —> ртт2
1', p4bm -> р4Ьт • 1 'и т.д. (табл. 6)
Двухмерные группы антисимметрии смешанной полярности, так
же как и одномерные, можно разделить на два семейства: с простой
(классической) решеткой, но с черно-белыми подрешеточными элементами
симметрии и с цветной решеткой. По-разному “зацветав” порождающие
элементы симметрии в 15 исходных полярных группах (за исключением
групп pl и рЗ), получим первое семейство: 26 двухмерных черно-белых
(шубниковских) групп (табл. 6, рис. 150). Например, ртт2 -> рт' m2' (=
ртт'2') и рт'т'2, p4bm —>p4'b'm, р4'Ьт'пр4Ь'т'.
Прежде чем перейти к выводу групп второго семейства - групп с
антипереносами, необходимо вывести двухмерные цветные решетки. Для
этого, взяв за основу 5 разных по симметрии плоских решеток (см. рис.
53), следует выяснить возможные позиции в них для цветных узлов и этим
определить типы цветных центрировок. Поскольку дважды повторенный
антиперенос t' приводит к классической трансляции 2t' = Т, то цветные
узлы можно ожидать на середине последней, т.е. на серединах ребер
плоской ячейки (параллелограмма) и в ее центре. Так как дополнительный
узел должен быть трансляционно идентичным вершинному, т.е. может
располагаться только в позициях с симметрией вершинного узла, то за
отсутствием таковых в плоской решетке с симметрией рбтт она цветной
быть не может.
В решетке с симметрией р!12 нет принципиальной разницы в
центрировке разных ребер ячейки (см. цветную вставку, рис. 151,1), как нет
смысла и в центрировке самой ячейки (ее базиса), ибо возможность
произвольного выбора координатных направлений (из-за отсутствия
горизонтальных особых направлений) не сделает ее оригинальной (рис.
151,2). Таким образом, р'а - р'ь = р'с 4 5)- Одновременная центрировка двух
ребер ячейки (рис. 151,3) или одного ребра и ее базиса (рис. 151,4)
приведет к возникновению классической трансляции t, т.е. к возможности
выбора ячейки р'ь (или р'а) вдвое меньшего размера. Одновременная
4 Вывод классических двухмерных групп симметрии, предваряющий вывод двухмерных групп
антисимметрии, приведен на с. 80 (рис. 55).
5 Нижний индекс при символе решетки указывает на антиперенос вдоль соответствующего
ребра элементарной ячейки.
266
Таблица 6
Группы антисимметрии односторонних слоев -
двухмерные шубниковские группы
Двухцветные плоские группы антисимметрии
Классичес- кие (поляр- ные) гр. G Нейтраль- ные(серые) гр. G • Г без антипереносов с антипереносами
pill pill - Г — p'hlll(=p'elll)
pl 12 pmll pbll cmll ртт2 cmtn2 рта2 pba2 р112 Г pmll • 1' pbll Г cmll 1 ’ ртт2 •1' стт2 • 1' рта2 Г pba2 1' р112' рт'П pb'll ст'11 рт'т2', рт'т'2 ст'm2', ст’т'2 рт'а2' рт’а'2, рта’ 2’ pb'a2', pb'a'2 р'ь 112 p'amll, p'hmll, р'с mH p'abll, р'ьЬН, p'cbll c'mil p 'a mm2, p ( mm2 c'mm2 p 'a ma2, p 'ь ma2, p c ma2 p 'a ba2, p 'c ba2
р4 р4тт p4bm р4 Г р4тт 1’ р4Ьт 1' р4' р4'тт', р4т'т', р4' т'т р4 'b 'т, р4'Ьт' р4Ь' т' p'c4 p c 4mm p 'c 4bm
рз рЗт! р31т рб рбтт рЗ 1' рЗт! • 1' р31т Г рб 1' рбтт - 1' рЗт'1 р31т' рб' рб'т'т, рб'тт', рбт' т'
17 17 26 20 E = 80
центрировка и ребер и базиса ячейки (рис. 151,5) приведет к вдвое
меньшим “серым” трансляциям, т.е. к нейтральной (серой) группе.
В ячейке с симметрией ртт2 ограниченный набор особых
направлений, не позволяющий выбрать ячейку по-иному, приводит к двум
типам центрировок (см. цветную вставку, рис. 152, 1, 2): р 'а = р /, и р <.
Одновременная цветная центрировка обоих ребер ячейки (рис. 152,3)
приведет к возникновению классической трансляции, центрирующей базис
ячейки, т.е. к другому типу решетки - с'а ь- Центрировка же центра ячейки
267
1 v V ▼ Дк
Ъ WV А
VVV А Д
W^^IkT
^l^l^igr
W
Рис. 149. Правильные системы асимметричных фигур (треугольников), соответствующие 17 группам классической симметрии
плоских орнаментов (по Бюргеру)
268
и ее ребер (рис. 152,4), как и в предыдущем случае, приведет к “серым”
трансляциям и, соответственно к выбору ячейки меньшего размера.
Центрировка одного ребра (а) ячейки с симметрией стт2 (рис. 153,а)
5 6 7
Й«
Рис. 150. Примеры мозаик, иллюстрирующих плоские (шубниковские) группы
антисимметрии [10]
получим лишь один вариант цветной решетки - с'аЛ = с'. Центрировка
диагонального вектора Тс бессмысленна, ибо на нем отсутствуют
позиции, равные по симметрии вершинному узлу.
В решетке с симметрией р4тт центрировка одного ребра (а)
ячейки (рис. 153, б) приведет к центрировке и другого ее ребра (Ь) (ось 41),
т.е. к появлению новой, более короткой классической трансляции,
центрирующей ячейку, а следовательно, и к возможности выбора
примитивной ячейки меньшего размера -р 'с.
В итоге к 5 классическим двухмерным решеткам добавилось 5
типов черно-белых (цветных) решеток: Г1*’
моноклинной сингонии
ромбической сингонии
- Р-Ра = P'b=P'c,
- р.р'а=р’ь,р'с,
С С а h ~ С ,
тетрагональной сингонии - р, р'с,
гексагональной сингонии -р.
В результате количество плоских групп антисимметрии с антипереносами
увеличилось до 20 (см табл. 6 и рис. 150). Следует иметь в виду, что
введенный антиперенос, взаимодействуя со всеми классическими
элементами симметрии группы, обусловит чередование (или
тождественное равенство) классических элементов и элементов
антисимметрии. Например, p'ab(b) а = т' 2(2'). Примеры проекций
двухмерных групп, изоморфных группам pba2 и стт2, приведены на рис.
154 и 155 (см. цветную вставку).
80 шубниковских двухмерных групп, включающих 17 полярных
(классических), 17 нейтральных (серых) и 46 собственно групп
антисимметрии, проиллюстрированы черно-белыми мозаиками в “Атласе
кристаллографических групп симметрии” А.В.Шубникова [52](рис. 156).
Группы симметрии изображены в нем конгруэнтными или
энантиоморфными асимметричными фигурками (белыми и черными -
заштрихванными - треугольниками ) (рис. 157, а, б).
При наложении
друг на друга белого и
черного треугольников
возникает нейтральная
фигура “серого” цвета,
обозначенная в “Атла-
а б в
Рис. 157 Условные обозначения в “Атласе...’’
шубниковских двухмерных групп симметрии [52]
се...” черной точкой (рис.
157, в). Крапом показано
свободное, не занятое
фигурами пространство.
Каждая группа симметрии представлена одной элементарной ячейкой.
В качестве примера опишем симметрию некоторых мозаик. На рис.
158, а (см. цветную вставку) (см. также рис. 156, 16) легко обнаруживаются
центрирующая базис ячейки трансляция Тс, две взаимно
перпендикулярные плоскости симметрии - т'х и ту, одна из которых
цветная, и как результат их взаимодействия - цветные оси 2-го порядка 2
Взаимодействие т 'х • Тс приведет к чередованию ту • Тс —> ту(ау),
2'г • Тс -> 2 >(2 у. В результате имеем шубниковскую группу (группу
смешанной полярности с простой с-решеткой): ст'm2' - ст'(Ь) т(а) 2'
(2) (рис. 158, б). Следует обратить внимание на то, что количество
треугольников обоих сортов (заштрихованных и пустых) в элементарной
ячейке соответствует порядку данной группы антисимметрии.
270
Рис. 156. Мозаики, иллюстрирующие двухмерные шубииковские группы симметрии
[52]. Выделена одна элементарная ячейка
271
Рис. 159, а (см. цветную вставку) (см. также рис. 156, 41)
иллюстрирует ромбическую группу с цветной решеткой р'ь и классическим
набором элементов симметрии: Ьх , и 2.. При этом за счет
взаимодействия с цветной трансляцией th' возникает тождественность
Ь„ = т'х и чередование ту(т'^ и 2.(2 у, т.е. получим группу антисимметрии
272
p'b bm2 = p'bb = m 'т(т9 2(2). Обратим внимание на то, что “зацвечивание”
удваивает порядок группы симметрии (например, порядок группы pbm2,
равный четырем, повышается до восьми в группе р'ьЬт2).
Треугольники, снабженные черными точками на рис. 159, б (см.
также рис. 156, 24), указывают на нейтральную (серую) группу
антисимметрии — pbll- Г. Присутствие самостоятельной операции
антитождества 1' также удваивает порядок группы (например, порядок
группыpbll равен 2, pbll-Г- 4).
Тетрагональная примитивная ячейка изображена на рис. 159, в (см.
также рис. 156, 60). Результатом взаимодействия координатных плоскостей
симметрии с диагональными (m'(g')) будет ось антисимметрии 4-го порядка
(7'). Шубниковская группа — р4' Ьт'. Порядок классической подгруппы
подтверждается количеством треугольников - одноцветных (4) и
разноцветных (8).
IX.6. Вывод пространственных групп антисимметрии -
шубниковских пространственных групп
Рассмотренные выше двухмерные группы можно считать
плоскими аналогами 230 федоровских (пространственных) групп
симметрии. Список пространственных групп антисимметрии впервые
предложен в 1953 г. А.М.Заморзаевым [35, 36], а в 1955 г. исправлен и
дополнен Н.В.Беловым с соавторами [6, 11]. В итоге была выведена 1651
шубниковская группа симметрии, из них 230 полярных (классических), 230
нейтральных (серых) и 1191 черно-белая - собственно группы
антисимметрии.
Вывод пространственных групп антисимметрии можно построить
аналогично выводу одномерных и двухмерных групп, используя прием
Н.В.Белова [6, 11]: взяв за основу 230 федоровских групп симметрии и
добавив к каждой из них самостоятельную операцию антитождества
получим 230 нейтральных групп; остальные черно-белые группы (1191)
получаются «зацвечиванием» как решеток Браве (517), так и
подрешеточных элементов симметрии (674).
IX.6.1. Вывод цветных решеток Браве
Рассмотрим возможности «зацвечивания» 14 решеток Браве,
—> —>
учитывая основное свойство цветной трансляции - 2 t' = Т (см. с. 266)
и целесообразность введения дополнительных цветных узлов лишь в
позиции, отвечающие симметрии вершинных узлов ячеек.
273
Ромбическая система
Р-решетка. Цветная центрировка ребер ячейки какого-либо одного
направления не имеет преимущества перед двумя другими и поэтому
обозначена P's, = Р 'а = Р 'b = Р'с («s» - от англ, sceles - ребро) (рис. 160,1).
Аналогично и центрировка одной пары противоположных граней может
быть рассмотрена в любом аспекте: Р'с - Р'а - Р'в (рис. 160,2). Цветная
центрировка объема приведет к оригинальной цветной ячейке - P'i (рис.
160,3).
Рис. 160. Типы цветных решеток Браве ромбической
сингонии
С-решетка.
Цветная центрировка
одного горизонтального
ребра С-ячейки приведет к
центрировке и другого ее
ребра (вектор Г,.. !). Такая
цветная решетка в
различных аспектах будет
иметь следующие символы:
С* аВ А Вс В (рис.
160,4). Центрировка
вертикальных ребер ячейки
(с) приведет к центрировке
и ее объема (рис. 160,5):
С'с,1 = A'aJ = B'bj. Цветная
центрировка одной из
вертикальных граней
ячейки приведет за счет
вектора Тс к центрировке
другой оставшейся пары
граней (рис. 160,6): С'А.В -
4 в.с= = В 'а.с-
1-решетка. Центрировка ребер одного направления (6) приведет к
центрировке грани (В), перпендикулярной этому ребру (рис. 160,7): Гвв =
1'а.А ~ 1'с.С-
F-решетка. Центрировка лишь одного ребра приведет к
центрировке всех ребер и объема ячейки, т.е. к расположению цветных
узлов во всех допустимых симметрией решетки позициях (рис. 160,8): F'„ =
F a.b.c.1 •
Итак, помимо 4-х типов классических решеток Браве ромбической
сингонии для федоровских групп получили 8 центрированных цветных
решеток для шубниковских групп - групп антисимметрии. Одновременная
комбинированная центрировка ребер и объема, объема и граней и т.п. во
274
всех типах ячеек приведет либо к уже выведенным цветным, либо к серым
решеткам.
Моноклинная система
Р-решетка. «Зацвечивание» исходной /’-решетки (в рациональной
установке у * 90°) приведет к трем примитивным цветным решеткам (рис.
161): Р'с , Р'ь- Р'а , Р'в= Р'а- (В классической - минералогической -
установке (Р 90°) обозначение указанных решеток соответственно: Р'ь,
Р'с = Р'а. Р'С = Р'а)-
Рис. 161. Типы цветных решеток Браве моноклинной сннгонни
В-решетка. «Зацвечивание» В-решетки даст две
бокоцентрированные: центрировка горизонтального ребра (/>) приведет и к
центрировке ее объема, т.е. к B'bj = А'о/ (рис. 161). Центрировка
вертикального ребра (с) обусловит центрировку и ребра а ячейки, т.е.
получим В'ОЛ. = А'Ьс (рис. 161). В итоге в моноклинной системе к двум
классическим решеткам Браве добавилось 5 цветных.
Триклинная система
В решетках триклинной системы из-за произвольного выбора
ребер ячейки все типы центрировок (Р'с, P'i и т.д.) могут быть сведены к
одному- В'(рис. 162).
Тетрагональная система
Р-решетка. Цветная центрировка тетрагональной /’-решетки
приводит к трем цветным: Р'с, Р'с и Р'/.
275
1-решетка. Центрировка в /-ячейке ее вертикальных ребер (с)
приведет к одновременной цветной центрировке и ее базиса (С), т.е. к ГсЛ-
(рис. 163, а).
Рис. 162. К выводу цветной триклинной решетки Браве - Р
Гексагональная система
Р-решетка. В гексагональной Р-решетке целесообразно вводить
цветные узлы лишь в позиции на серединах вертикальных ребер ячейки
(с) - единственные позиции с симметрией —тт. В результате получим
т
Р'с (рис. 163, б).
R-решетка. В дважды объемноцентрированной Р-решетке для
введения цветных узлов пригодны лишь позиции на осях 3-го порядка с
симметрией Зт — R'c. В ромбоэдрическом - Миллеровском - аспекте
------С»'2 О---------О
О
(F--------0>2 О----------О
Р' Р',
1 с 1С
б
Рис. 163. Типы цветных решеток Браве тетрагональной (а), гексагональной (6) и
кубической(в)сингоний
О------о
•’г
о------о
Л'
о------Q
О------6
276
цветной вектор окажется центрирующим объем основной ячейки - объем
примитивного ромбоэдра. В этом случае цветная решетка (но не ячейка
Браве!) получит обозначение R'j (= R't}.
Кубическая система
Цветная центрировка трех исходных классических кубических
ячеек Браве - Р, I и F - приведет лишь к двум цветным: P'i и F', (рис. 163,
в). Действительно, центрировка ребер P-ячейки приведет к F'o,b.c.i :
центрировка граней P-ячейки, так же как ребер или граней /-ячейки,
приведет к серой P-ячейке меньшего размера.
Таким образом, помимо 14 классических решеток Браве
существуют 22 цветные пространственные решетки:
триклинной сингонии - Р,
моноклинной сингонии - Р,
в,
ромбической сингонии - Р,
С.
I,
F,
тетрагональной сингонии - Р,
I,
гексагональной сингонии - Р,
R.
кубической сингонии - Р,
1,
F,
Р'г,
Р'с. Р'ь~ Р'а. Р'в = Р'а,
В Ь,! А а.1. В а с Л btc>
P's =P'a = P'b= Р'е. Р'а = Р'В = Р'С. Р'1.
С a.b, b.c Р а.е > Р с.1 A aj В ь,1,
С'а.в ~ 'в.с~ В'а.с-
I'b.B = 1'а.А = 1'с.с,
P's - Р'а.Ь.с.Ь
Р'а Р'С, Р/,
1’е.С.
Р'е.
R'c.
Pi',
p's - P'a.b.c.l-
IX.6.2. Вывод шубниковских групп симметрии класса СЪс
Проиллюстрируем принцип вывода шубниковских групп
симметрии на примере групп, подчиненных точечной группе mm2
1. Выпишем 10 примитивных классических (полярных)
федоровских групп симметрии: Ртт2, Рпп2, Рсс2, Pba2, Pmn2i, Ртс2,,
Рта2, Рпс2, Рпа2/, Рса2/ (табл. 7).
2. Добавив к каждой из них операцию антитождества (Г ),
получим 10 нейтральных (серых) групп антисимметрии: Ртт21' Ртп2/-Г,
.... и т.д.
3. Рассмотрим группы ромбической сингонии с цветными Р-
решетками: Р'я = Р'а = Р'ь = Р'с, Р'А = Р'в = Р'е, Р'/- Поскольку в группах
класса C2v горизонтальные и вертикальные направления топологически
различны, то цветная центрировка вертикальных ребер или граней
элементарной ячейки отличается от центрировки горизонтальных:
277
Р'а= Р'ь * Р'с, Р'а = Р'в * Р'с • Легко выписать по 10 соответствующих
шубниковских групп антисимметрии с решетками Р', Р <• и Рв которых
цветные трансляции одинаково расположены по отношению к исходным
плоскостям 1-й и 2-й позиций символа ( табл. 7).
Не следует забывать, однако, что присутствие дополнительных
цветных векторов (в данном случае t[, t[. , tj ) автоматически приводит к
возникновению новых цветных элементов симметрии. В группах с
решеткой Р’с возникшие цветные элементы симметрии совпадают
(оказываются тождественно равными) с исходными классическими: тх- t[
с'х, т.е. т = с' так же как п = b'(a'), с = т' b = п' а= п'. В группах с
решетками Р'с и P't цветная трансляция Гс, косо расположенная к
исходным элементам симметрии, обусловливает их чередование с
элементами антисимметрии, что видно из развернутых записей групп:
Р'с пс2 = Р'с п(с)с(п)2(2') и Р', та2 = Р', т(п)а(с')2(2) (см. цветную
вставку, рис. 164).
При выводе P-групп с цветной центрировкой горизонтальных
ребер (а или Ь) или вертикальных граней (А или В) следует рассмотреть два
варианта.
1-й вариант. Если плоскости 1-й и 2-й позиций символа
одинаковы, т.е. без скольжения или с одинаковым скольжением (Р'итт2,
Р’асс2, Р'апп2, Р'аЬа2), то безразлично в какой из них лежит центрирующий
цветной вектор f, т.е. Р'а = Р'ь (рис. 165, а). Однако при этом сами
Рис. 165. К выводу групп антисимметрии, изоморфных федоровской Ртт2\ с
однотипными (а) плоскостями симметрии 1-й и 2-й позиций символа и плоскостями
разного типа (б). Стрелками показана трансляционная составляющая плоскости с 2-й
позиции символа
278
плоскости становятся топологически различными по отношению к вектору
Г (вектор t' лежит в одной плоскости, но перпендикулярен другой).
Цветная трансляция, параллельная исходным плоскостям классической
симметрии, обусловливает их тождественность с возникающими
плоскостями антисимметрии: т = Ь', п = с', Ь(а) = т', с = п' тогда как
перпендикулярная - их чередование: п(п), с(с), b(b). В
развернутом виде символы данных групп будут следующими:
Р'„тт2 {- Р)тт2~) = Р'ит(т) т = а'2(2),
Р'апп2 (= Р'ьпп2) = Р'ап(п) п = с'2(2),
Р'асс2 (= Р'ьсс2) = Р'ас(с) с = п’2(2),
Р'аЬа2 (= P'hba2) = P'ab(b) а = т'2(2) (см. рис. 164).
2-й вариант. Если плоскости 1-й и 2-й позиций символа разные, то
небезразлично, вдоль какого из ребер элементарной ячейки направлена
цветная трансляция /', т.е. в данном случае Р'а * Р) (см. рис. 165, б), ибо
f параллельна одной плоскости и перпендикулярна другой. В результате
двух вариантов «зацвечивания» решеток появятся два типа групп
антисимметрии. Например, Р'итс2! (= P'hcm2t) * P'bmc2i (= Р'аст2/) (см.
рис. 164). Всего групп антисимметрии с центрированным ребром (групп
Р\) окажется 26: 10 с цветной решеткой Рс'и 16 с решеткой Р'а (Р)).
Аналогичные рассуждения приведут к 10 группам с цветной
базоцентрированной ячейкой Р'с и к 16 (4+6-2) бокоцентрированным
группам с решеткой Р'А , для которых небезразлично, какой из граней
ячейки параллельна центрирующая трансляция ТА ;
4 - Р'Аттп2, Р'Апп2, Р'Асс2, Р'АЬа2,
12 - P'Amn2i(=P'nnm2i), P'Amc2l(=P'Iicm2l),.... ит.д.,
Р'Апт2! (=Р'втп21), P'Acm2l(= P'Bmc2i) (см. табл. 7).
Не следует забывать и о результатах взаимодействий цветной
трансляции ТА с порождающими элементами симметрии, т.е. о
существовании в этих группах тождественно равных исходным или
чередующихся с ними элементах антисимметрии (см. цветную вставку,
рис. 166).
Для того чтобы вывести группы антисимметрии ромбической
гемиэдрии с классической Р-решеткой, необходимо рассмотреть
возможности «зацвечивания» подрешеточных элементов симметрии. При
этом каждой из четырех групп с одинаковыми порождающими
плоскостями симметрии (см. табл. 7) будут соответствовать 2 группы: с
одной или двумя плоскостями антисимметрии, например Pb’a2'(-Pba'2) и
РЬ'а' 2 (рис. 166), а каждой из оставшихся шести групп с различными
порождающими элементами симметрии (см. табл. 7) - по 3 группы
279
rt
Я
s
ч
ю
rt
280.
антисимметрии, например Рпа2, -> Рп'а2/' Рпа'2/' Рп'а'2/ (см. цветную
вставку, рис. 167).
В результате проведенного «зацвечивания» получили 26 групп
антисимметрии с Р-решеткой, изоморфных точечной группе Ртт2, т.е.
всего 108 шубниковских групп: 10 классических (полярных), 10
нейтральных (серых), 62 группы с цветной решеткой, 26 с простой
решеткой, но с цветными элементами симметрии.
Переходя к семейству групп с решетками С, А и S, следует иметь
в виду, что если для групп классов D2 и D2/, безразлично, какая пара граней
зацентрирована, то для групп класса С2„ различают базо- (С) и
бокоцентрированные (А,В) решетки, обслуживающие 7 федоровских групп:
Стт2, Cmc2i . Ссс2 и Атт2, Ата2, Abm2, АЬа2 (табл. 8). Добавив
операцию антитождества (1), соответственно получим 7 нейтральных
(серых) групп антисимметрии: Стт2 /' Стс2/ • Г,... и т.д.(табл. 8).
Таблица 8
Шубниковские группы ромбической гемнэдрии
с С-, А-, 1- и F-решетками
Класси- ческие (поляр- ные)^. G Нейтраль- иые(серые) гр. антисим- метрии G • Г Пространственные шубниковские группы с цветными решетками Пространственные группы с простыми решетками, ио с цветными элементами симметрии
С 'c i, А 'с.ь 1'с.е. F' C* a.h • a.1 1\a С A.B. A CJi
Стт2 Стт2 - /' С'с1тт2 C 'ai, mm2 C\Bmm2 Ст'm2' Ст'm2
Стс2/ Стс2/ 1 ’ С'^тсг, С'а^тсг, С'АВтс2/ Ст'с2'/, Стс'2'i, Ст'с'2/
Ссс2 Ссс2 1' С'с /сс2 C'a,l,Cc2 C'a,bcc2 Сс'с2', Сс'с2
Атт2 Атт2 1' A ’с/,тт2 A a/mm2 A'cB mm2 Ат'т2' Атт'2', Ат'т’2
Ата2 Ата2 1' A'chma2 A 'ojma2 A'C/1ma2 Ат'а2', Ата'2', Ат'а'2
АЬт2 АЬт2 1' А ’с /, Ьт2 A a / bm2 A 'CB bm2 АЬ'т2'. АЬт'2', АЬ'т'2
АЬа2 АЬа2 Г A'c,hba2 A 'u iba2 А с.вЬа2 Ab'a2', Aba'2'. Ab'а'2
1тт2 1тт2 Г I'c C mm2 l'aAmm2 1т'm2', 1т'т'2
1та2 1та2 1' Гс е та2 l'a.Ama2 Im'а2', 1та'2', 1т' а' 2
l'a.A bm
Iba2 Iba2 Г l'ccba2 l’a.Aba2 1Ь’а2’. 1Ъ'а'2
Fmm2 Fmm2 1' F'smm2 Fm'm2' Fm'm'2
Fdd2 Fdd2 I' F'sdd2 Fd'd2’, Fd'd'2
12 12 12 11 7 30 1 = 84
281
Перечислив все решетки с цветной центрировкой для
базоцентрированной ячейки - С'оЛ, C'cj, С'АВ, следует обратить внимание
на то, что цветная центрировка одного типа приводит за счет
взаимодействия с классическим вектором Тс к автоматической
центрировке другого типа. Отсюда для групп класса C2v каждая из
перечисленных цветных решеток будет обслуживать лишь по 3 группы
антисимметрии (табл. 8):
C'cjmm2, C'cjmc2i(= C'c/cm2i), Cclcc2;
C'aj,mm2, C'aj)mc21(= C'aj>mc2i'), C'aBcc2;
C'ABmm2, C'A,Bmc2l(= C'A,Bcm2i\ C'AiBcc2.
В каждой из перечисленных групп с цветной решеткой С' в
результате взаимодействия цветной трансляции с классическими
элементами симметрии возникнут элементы антисимметрии. Например:
С'аь mc2i = C'aj, m = b' (b = т')с = п'(п = с') 2t (2t') (см. цветную
вставку, рис. 168).
Каждая из бокоцентрированных решеток - А 'Вс, А'а1 и А 'вс -
даст по 4 группы антисимметрии (табл. 8). Например (рис. 168):
А'а f = mm2 = A’alm = п(т' = п')т' = а'(с = п}2(2\),
А'д / = та2 = А'а1т = п(т' = п')а = т'(п - с’)2(2',),
А'а1 = Ьт2 = A'alb = c(b'- с')т = а'(с = п')2(2'/),
А'а/ = Ьа2 = A'alb = c(b' = с')а -- т'(п = с’)2(2’).
Трем федоровским группам с /-решеткой - 1тт2,1та2 и Iba2 -
соответствуют 3 нейтральные группы.
Поскольку цветная центрировка какого-либо ребра влечет за собой
центрировку перпендикулярной этому ребру грани (вектор Tt ), то нет
необходимости отдельно рассматривать центрировку граней ячейки. Три
возможных варианта - I'hB , ГаА и Гс_с - реализуются лишь в двух
семействах гемиморфных групп антисимметрии, подчиненных классу С2„:
1 семейство - I'Ctcmm2, ГС1Ста2(=ГсА Ьт2), ГсА-Ьа2',
II семейство - ГаА mm2, ГаАта2, I'аА Ьт2, ГаА Ьа2.
Разное количество групп в этих семействах связано с различным
расположением порождающих разнородных плоскостей симметрии по
отношению к цветным векторам: Га и t'A .
Наиболее прост вывод групп антисимметрии с /•’-решеткой,
поскольку двум федоровским группам - Fmm2 и Fdd2 - соответствуют
две серые и такое же количество групп с единственной цветной решеткой -
F'smm2 и F'sdd2. Действительно, взаимодействие чередующихся и
тождественных между собой элементов симметрии (т = п(с = />)) с
282
цветными трансляциями F-группы приведет на обеих позициях символа к
т = п = с'= b'(c = b = п'= т') (см. цветную вставку, рис. 169). В результате
для класса C2v получены 12 полярных непримитивных групп, 12
нейтральных и 30 групп антисимметрии с цветными решетками. Остальные
30 групп, не содержащих антипереносов (цветных трансляций), легко
вывести, «зацвечивая» порождающие элементы симметрии (см. табл. 8).
IX.6.3. Вывод шубниковских групп симметрии
класса D2
Шубниковские группы симметрии, подчиненные группе 222,
можно вывести, воспользовавшись рассмотренным выше путем,
предложенным Н.В.Беловым [6, 11]: комбинацией всех ромбических
решеток Браве (простых и цветных) со всеми возможными сочетаниями
цветных и нецветных элементов симметрии.
Девять классических (федоровских) пространственных групп
симметрии - Р222, Р2,2t 2, .Р222, С222, C222t, 1222, 12^2) , F222
- обслуживаются семью различными цветными решетками: P's(=P'a, Р'ь,
Р'<), Р'а(=Р'в . Р'с). P'i - C'cj, С'АВ , ГсС , F's Не перечисляя тривиально
получающиеся 9 серых групп и 13 групп антисимметрии с классическими
нецветными решетками, обратимся к выводу групп антисимметрии с
перечисленными выше цветными решетками. Из четырех примитивных
групп этого класса только в двух их них - Р222 и P2t2t2t - все
координатные направления топологически идентичны и ввод цветной
трансляции вдоль любого ребра ячейки или в центр одной пары граней для
каждой из них приведет к одной соответствующей группе антисимметрии.
Цветной вектор, центрирующий объем, обслужит все 4 классические
группы (табл. 9). Для групп Р222, и P2t2i2 центрировка ребер или одной
пары граней возможна двумя различными способами. Поскольку два
горизонтальных направления равноправны, но отличаются от третьего, для
каждой классической группы получим по две цветных с соответствующей
цветной решеткой:
Р222/ -> P'a222i и P'c222t(= Р’^22),
P'a222i (= P'c2t22) и P'c222i,
P212# -> P'a2i2!2 и P'Ml (= P'^^i),
P 'a2}2/2 (= P 'c22t2i) и P 'q2/2/2.
To же самое произойдет и для каждой из двух возможных
базоцентрированных групп С222 и С222,, где цветная трансляция вдоль
ребер ячейки занимает два принципиально различных положения
относительно вектора Тс :
С222 -+ C'cJ222 и С'а_ь222,
С222,^ C'cj222i и С'о./222;.
283
Цветная центрировка грани А влечет за собой за счет вектора Т(.
и центрировку грани В, что даст еще две группы антисимметрии: С'А В222 и
С'АВ 2221. Два еще не рассмотренных типа решеток - /'t.c и F's -
реализуются в трех группах антисимметрии: ГсС 222, ГсС 2]2,2 и F'„ 222.
Таблица 9
Шубниковские группы ромбической осевой гемиэдрии
для всех типов решеток Браве
Класси- ческие (поляр- ные) группы G Нейтральные (серые) груп- пы анти- симметрии G • 1' Пространственные шубииковкие группы с цветными решетками Пр. шубников- ские группы с простыми решетками, но с цветными эл. симметрии
Р'а, Р'с, C'aj>, C'c.f, l'c.C, P's P А. Р'с» Ca.b P',
Р222 Р2221 P2i2)2 Р212,21 Р222 1' P222t Г P2t2]2 Г Р2!212! Г Р'а 222 P'a222i Р'с2221 Р'М2 Р'^2,2 Р'а 2,2,21 Р'с 222 P'a222, P'c222i P'a2i2i2 P'c2i2i2 P'c2i2l2l P',222 P'222! P'i2i2t2 P'i2i2i2i Р2'2'2 P2'2'2t P22'2'i P2'l2'l2 P2I2'I2' P2'l2'i2l
С222 C222t С222 1' С222, •1’ С'cj 222 С'О,Ь222 С 222/ С 'ah 222f С'A,в 222 C'a,b222i C2'2'2 C22'2' C2’2'2l C22'2't
1222 12^,2! 1222 1' /2,2/2, • Г I'c.c222 I'c.e2i2i2i 12'2’2 I2’l2'l2l
F222 F222 1' F's222 F2'2'2
9 9 13 8 4 13 L = 56
В итоге получим 56 шубниковских групп класса D2, включающих:
9 полярных федоровских, 9 нейтральных (серых), 25 групп с цветной
решеткой, 13 - с простой решеткой, но с цветными подрешеточными
элементами симметрии.
Прием вывода групп антисимметрии, подчиненных остальным
федоровским группам, не отличается от рассмотренного выше, и,
используя сформулированные некоторые общие положения вывода,
нетрудно перечислить все (1651) шубниковские группы.
284
Глава X. Группы многоцветной симметрии
Анализ 230 федоровских групп симметрии позволяет выбрать те из
них, операции симметрии которых не содержат скольжения вдоль оси Z
(Zz ). С помощью этих групп можно описать плоские узоры (постройки),
составленные из фигур, лежащих в одной плоскости. При этом часть групп
(17 полярных групп симметрии) будет описывать односторонние узоры, все
фигуры которых обращены к наблюдателю одной лицевой (белой)
стороной; другая часть (46 групп) - двусторонние узоры, где фигуры
обращены к наблюдателю как лицевой, так и изнаночной (черной)
стороной. Поэтому каждой из них можно поставить в соответствие одну из
46 плоских двухцветных (шубниковских) групп (табл. 10, рис. 170, см.
цветную вставку).
Таблица 10
Федоровские группы симметрии,соответствующие 46
плоским шубниковским группам
№ п/п Шубниковские двухмерные группы симметрии Федоровские группы с переворачивающи- ми элементами симметрии Федоровские группы с элементами симметрии, задающими два уровня объектов
1 р112' Р1 Р112!
2 р'1 РПЪ А111
3 р'2 Р11- ь А112
4 р'т Р121 Pell
5 Ph' Р12,1 Pnll
6 Ст' С121 Cell
7 р'ьт Pm2jb Amll
8 р'ьЪ РЬ2Ь Abll
9 р'ь 1т Р2тЬ A 1ml
10 Р'ь 1а P2,ah Alai
11 Р'ст Рт2т Imll
12 РсЬ Pb2n Ibll
13 с'т Ст2а Fmll
14 Ртт '2' N £ а. Pmc2/
15 рт 'т '2 Р222 Pcc2
285
16 рт'а2' Р1-1 а Pca2t
17 рта '2' р^- Pmn2i
т
18 pba'2' р*. РЬп2!
ь
19 pb'a' 2 P2,2i2 Рпп2
20 рт'а'2 Р2)22 Рпс2
21 стт '2' С— Cmc2t
tn
22 ст 'т '2 С222 Ссс2
23 р'ь mm2 Pmmb Атт2
24 р'ьта2 РтаЬ Ата2
25 р'ьЬт2 Pbmb АЬт2
26 р'ьЬа2 Pbab АЬа2
27 р'с mm2 Рттп 1тт2
28 р'ста2 Ртап 1та2
29 Pcba2 РЬап Iba2
30 с'mm2 Стта Fmm2
31 р4' Р4 Р42
32 Рс4 Р4- 14
33 р4 'тт' Р4т2 Р42тс
34 р4'т'т Р42т Р42ст
35 р4т'т' Р422 Р4сс
36 р4'Ьт' Р4Ь2 Р42Ьс
37 р4'Ь'т Р42,т Р42пт
38 р4Ь'т' Р42,2 Р4пс
39 р'с4тт 4 Р—тт 14тт
п
40 р'с4Ьт 4 Р-Ьт 14Ьт
п
41 рЗт'1 Р312 РЗс
42 р31т' Р321 Р31с
43 рб' РЗ Р62
44 рб'т'т Р31- Рбзст
т
45 рб'тт' P3—I Рбзтпс
т
46 рбт'т' Р622 Рбсс
286
2
Рис.135 Фигуры, связанные плоскостью
антисимметрии (т'). Операция
отражения в плоскости сопровождается
изменением какого-либо их качества
(цвета, заряда и т.п.) на противоположное
Рис. 136. Иллюстрация действий поворотных
классических осей симметрии (а) и осей
антисимметрии (б) 2, 4 и 6-го порядков
а б в
Рис. 138. Иллюстрация взаимодействия элементов симметрии. Взаимодействие двух однородных
элементов симметрии классических (а) или элементов антисимметрии (б) - приводит к появлению
классического элемента симметрии: т, mf = 2,(а), т’, m'f = 2г(б). Взаимодйствие разнородных
операций классической и антисимметрии порождает операцию антисимметрии: т, т’у = 2’,(в)
а б в
Рис. 139. Стереографические проекции точечных групп антисимметрии (двухцветных
групп) ромбической голоэдрии: т’тт (а), т‘т‘т (б) и т’т'т' (в)
JL 2. 2 4_T 2' 4_ 2' 2'
m' m' tn' m’ m m m m' m'
4' 2 2'
m m m'
4' 2 Z
m‘ m‘ m
Рис. 141. Стереографические проекции точечных групп
антисимметрии (двухцветных групп) тетрагональной голоэдрии
Рис. 142. Стереографические проекции точечных групп
антисимметрии, изоморфных классической группе 6т2
6т 2’
Рис. 143. Стереографические проекции точечных групп антисимметрии,
изоморфных классической группе тЗт
Рис. 145. К определению точечной группы симметрии двойника [33]:
а - группа симметрии монокристалла 422 и позиция двойникующей оси 2
6 - сохранившаяся подгруппа 222 и двойникующая ось 2
в - группа симметрии двойника 4’ 22\
г - иллюстрация невозможности сохранения исходной группы 422 в качестве
подгруппы группы симметрии двойника
Г = 2Г
Рис. 147. Классическая трансляция - результат
дважды повторенной антитрансляции V
p'lll p'mll p'lml p'lal р'П2 p'mm2 p'ma2
Рис. 148. Односторонние плоские бордюры, описываемые одномерными
группами антисимметрии с цветной (черно-белой) рещеткой \р')
Рис. 151. Типы цветных (черно-белых) центрировок плоской решетки с
симметрией р112
Рис. 152. Типы цветных центрировок плоской решетки с симметрией ртт2
Рис. 153. К выводу цветных решеток с симметрией стт2 (а) и р4тт (б)
рЪ(Ь)а=т '2(2)=рЪа2 рЪ(т)а(т)2(2)=рЪа2
Рис. 154. Графики двухмерной группы симметрии pba2 и изоморфных ей
групп антисимметрии с размноженной элементами симметрии фигуркой
(треугольником) общего положения [38]
стт2
ст ’m2'
ст 'т 2 с 'тт2=с 'т=Ь '(Ь=т )т=а '(а=т )2(2)
Рис. 155. Графики двухмерной группы симметрии стт2 и изоморфных ей
групп антисимметрии с размноженной элементами симметрии фигуркой
(треугольником) общего положения
Рис. 158. Мозаика с симметрией, описываемой шубииковской группой
ст’т2’ (а) и график этой группы (б)
Рис. 159. Мозаики с симметрией, описываемой шубниковскими плоскими
группами р’ьЬт2 (а),рЬ11»Г (б) ир4’Ьт’(в)
С'^тс?,
Рис. 168. Графики некоторых шубниковских групп с цветными решетками [38]
P',inc2I
Рис. 164. Графики некоторых шубниковских групп симметрии
Рис. 166. Графики некоторых шубниковских групп симметрии;
1 - Р'лпа2,(- P’Bbn2,) = P'Ansm’a(n')2(2’),
2- Р’лтс21(= Р’вст2,)= Р’лт=пс(т’)2(2’),
3 - Р’,та2, 4 - Р’1пс2,
5- Pfc’a?’, 6- Pb’a’2
Рис. 167. Графики шубниковских
групп симметрии, изоморфных
федоровской группе Рпа2,
Рис. 170. Один и тот же узор,
иллюстрирующий разные группы
симметрии: шубниковскую рт’а2’ (а)
и федоровские Pl 2/a I (б) и Рса21 (в)
Рис. 169. График шубниковской группы симметрии F',ir,m2
Рис. 184. Кристаллическая структура вюрцита ZnS: о - проекция структуры на плоскость ху;
показано расположение элементов симметрии пространственной группы, описывающей эту структуру;
б - график пр. гр. Р6,тс (Сб) с нанесенными на него атомами Zn и S;
в - общий вид структуры в полиэдрах; пунктиром обозначены не заселенные атомами Zn октаэдры;
г - график шубниковской группы Р 6/т'тс; красным цветом показаны цветные элементы симметрии
Рис. 186,6.
Кристаллическая структура
галита NaCl.
Расположение цветных
элементов симметрии
(выделены красным цветом)
в описывающей эту
структуру шубниковской
группе F’sm3m
m~ri
Рис. 189. Кристаллическая структура сфалерита ZnS: а - план структуры в проекции
на плоскость ху; красным цветом показано положение алмазных плоскостей
антисимметрии; б - общий вид структуры, выделены координационные полиэдры _
тетраэдры вокруг атомов Zn; в - общий вид структуры в полиэдрическом изображении;
г - проекция полиэдрической модели структуры на плоскость ху; цветом отмечены
цветные элементы симметрии шубниковской группы Fm’3’m = F47m’ 3'27т
Рис. 191,6. Кристаллическая структура халькопирита CuFeS2. Проекция структуры
на плоскость лу; красным цветом показаны цветные элементы симметрии
Рис. 204, 6. Кристаллическая структура T1I: график шубниковской группы С’„тпап.
Например, симметрию узора, изображенного на рис. 170, можно
описать с нескольких позиций, придавая цвету различный смысл. С одной
стороны, этот узор (рис. 170, а) иллюстрирует группу антисимметрии
рт'а2', с другой, если считать черный и белый цвет фигур их лицевой и
изнаночной сторонами, полученный узор может быть описан федоровской
2
группой Р1—1 (рис. 170, б). При этом классическим эквивалентом
а
зеркальной плоскости антисимметрии («') станет поворотная ось 2-го
порядка (2Д расположенная на уровне исходных фигур; эквивалентом оси
2J- классический центр инверсии (/ ). Придав разноокрашенным фигурам
два уровня, отличающиеся на полтрансляции вдоль оси Z (например, белые
1
- на высоте +z, а четные - на высоте —+ z, где величина z может
2
принимать любые значения), тот же самый узор можно описать
федоровской группой Рса2, (рис. 170, в). В этом случае зеркальная
плоскость антисимметрии т' группы рт'а2' станет классической
плоскостью скользящего отражения с, ось 2 ’ превратится в классическую
2/. Классическая плоскость а (плоскость с горизонтальным скольжением)
перейдет в новую федоровскую группу Рса2/ без изменения.
Очевидно, что элементами симметрии, задающими фигуры на двух
уровнях, отличающихся на полтрансляции вдоль оси с элементарной
ячейки, будут оси 2/, 42 , 63 , плоскости симметрии с, п и трансляции
решеток Tt , Тв , Т, и Т„ . При этом такая абстрактная характеристика, как
цвет (черно-белая раскраска фигур), в данном случае символизирует два
уровня их расположения.
Однако среди 230 федоровских групп симметрии существуют
такие, с помощью которых можно описать трехмерные постройки, где
симметрически связанные фигуры располагаются на нескольких (более
двух!) уровнях - трех, четырех или шести, обеспечиваемых следующими
трансляционными элементами симметрии: осями 3/, 32, 4t, 4}, 6Ь 62, 64, 65,
клиноплоскостью d и трансляциями ромбоэдрической ячейки Браве Тк .
Вновь, придав в проекции на плоскость чертежа каждому из уровней
определенный цвет, получим группы многоцветной симметрии: трех-,
четырех- или шестицветной. При этом обозначения цветных групп (G)
иногда сопровождаются верхним индексом р (G<p>), указывающим на
количество цветов, кратное порядкам кристаллографических групп - G<3),
G<4>, Gf6) и т.д. Цвет в данном случае условно выступает в качестве
дискретной негеометрической переменной в трехмерном пространстве.
На этой основе Н.В.Беловым и Т.Н.Тарховой в 1956 г. [7, 12, 54]
была выдвинута идея многоцветной симметрии. Впервые они вывели 15
287
двухмерных цветных циклических и кратных от них групп
проектированием на плоскость соответствующих федоровских групп,
содержащих перечисленные выше трансляционные элементы симметрии:
Р4,. Р43. 14,. Рб,. Р63. Р62, Р64. РЗ,. Р32, R3, R3m, R3c, 14,md. 14,cd и
Fdd2 (см, цветную вставку, рис. 171). Работы Н.В.Белова послужили
основой вывода остальных пространственных и точечных групп цветной
симметрии [37, 43, 45, 46]. Рассмотрим некоторые из мозаик,
предложенных Н.В.Беловым.
Мозаики с симметрией Р4, и Р43 Обозначив разным цветом
фигуры на 4 уровнях вдоль оси с элементарной ячейки, связанные
операциями симметрии винтовых осей 4, и 43 и спроектированные на
плоскость чертежа, получим цветные мозаики, иллюстрирующие
соответствующие федоровские группы симметрии - Р4, и Р43 (см. цветную
вставку, рис. 172). Условно принятая последовательность цветов - прямая
(желтый (1) - синий (2) - красный (3) - зеленый (4)) и обратная (зеленый -
красный - синий - желтый) - укажет направление вращения вокруг осей
4, или 4} соответственно.
Приведенные мозаики позволяют проследить все особенности
пространственных групп симметрии Р4, и Р43 : два типа одноименных
трансляционно неидентичных винтовых осей (в вершинах и в центре
элементарной ячейки) и расположенные на серединах ребер ячейки
винтовые оси 2,.
Мозиика с симметрией R3. Для иллюстрации группы
симметрии R3 необходима трехцветная мозаика (см. цветную вставку, рис.
173, а) с ясно видимыми энантиоморфными осями 3( и 32, неизбежно
сопровождающими в R-решетках поворотные оси 3-го порядка
(рис. 173, б).
Мозаика с симметрией Рб,. Мозаика с симметрией Рб,
предполагает 6 цветов (6 уровней): красный - белый - синий - желтый -
черный - зеленый (см. цветную вставку, рис. 174, а). В центрах
шестиугольников расположены оси б, , включающие в себя оси 3, и 2,,
взаимодействие которых с горизонтальными трансляциями решетки
(каждая по своему закону), вызывает появление указанных осей в
различных позициях элементарной ячейки (рис. 174, б).
Мозаики с симметрией 14,md и Fdd2. В пространственной
группе I4,md ось 4, является результатом взаимодействия плоскостей
симметрии т и d, при этом алмазная плоскость d обусловливает 4 уровня
расположения фигур, т.е. четырехцветную мозаику (см. цветную вставку,
рис. 175, а). Хорошо видно чередование энантиоморфных осей 4, и 43
вдоль горизонтальных ребер элементарной ячейки и осей 2-го порядка в
центрах одноцветных квадратов.
288
Интересен переход от тетрагональной группы I4imd = F4tdm к
ромбической Fdd2 путем деформации исходной тетрагональной ячейки
вдоль алмазной плоскости d, при которой исчезают зеркальные плоскости
w, а следовательно, и оси и 43 (рис. 175, б). Таким образом, цветные
мозаики могут иллюстрировать как определенные федоровские группы, так
и цветные плоские группы.
Цветную симметрию можно показать на 18 точечных группах
многоцветной симметрии [37] - 18 беловских группах (классах), проиллю-
стрировав их трех-, четырех- или шестицветными фигурами (см. цветную
вставку, рис. 176).
Выбрав из 32 точечных групп симметрии 10 групп, пригодных для
«зацвечивания», т.е. групп с осями высшего порядка, без
перпендикулярных к ним осей 2, а также без параллельных им зеркальных
плоскостей симметрии, делающих «зацвечивание» бессмысленным, -
_ _ ° ° 3 _ 6 — 4 -
3, 3 = 3-1 = 6, 3 = — = 6, б, 4, 4, —, 23, m3, . рассмотрим
ттт
возможности их «зацвечивания». Обязательным цветным элементом
симметрии во всех перечисленных группах будет ось высшего порядка: 3<}>,
4(4>, 4^) Либо 6<п> = 3-2. Для последней следует рассмотреть два
варианта: с простой и цветной осью 2. Поэтому каждая из осей 6-го
о
порядка - поворотная (6), зеркальная (6) и инверсионная (6) - может
оказаться либо шестерной цветной - 6(б), 6<б\ б(6> , либо тройной цветной
осью-6^, 6(3), 6(3); где б(6) = 3'-2', б(6> = — ,6<б) = 3'Г и б,3) = 3'
т'
2, , 6<3) = 3' • 1 . (Штрихи, заимствованные из обозначений эле-
т
ментов антисимметрии, в данном случае указывают на цветные элементы
симметрии, показатели степени в скобках - на количество цветов)
тт „6,2
Для цветных групп, подчиненных полярной — = 3 —, возможны
т т
4 варианта «зацвечивания» входящих в них элементов симметрии 2-го
порядка:
3, 2 6Р) 2' б(6} ,, 2 6И 2' б[6} ,
3'. —=----, з — =-----, 3----=-----, 3----------(см. рис. 176).
т т т т т' т' т' т'
4
Раскраска групп тетрагональной сингонии, подчиненных точечной —,
П1
4' 4[4} 4' 4[4] v
даст две цветные группы: — =--- и — =-------. Учитывая приведенные
т т т' т'
выше ограничения, касающиеся элементов симметрии 2-го порядка, из
289
пяти кубических точечных групп симметрии следует исключить классы
m3 т, 43т и 432. Для оставшихся двух классов - 23 и m3 - возможны
лишь три варианта цветных групп: 23', m3', т'З'. Однако если в первой
из них три координатные оси 2-го порядка (зависимые одна от другой - 2Х
2у = = 2Z - и связанные между собой осями 3) не могут быть «зацвечены»,
то в двух последних координатные плоскости т не зависят одна от другой
и поэтому могут быть цветными.
Существуют и некристаллографические точечные цветные группы,
где число цветов может быть кратно пяти.
Беловская цветная симметрия послужила основой для разработки
различного рода расширений цветных групп симметрии. В частности,
помимо выведенных выше 18 цветных точечных групп - беловских классов
- были получены пространственные беловские группы, а синтез идей
цветной симметрии и кратной антисимметрии привел к понятию цветной
антисимметрии, которое, в свою очередь, в дальнейшем получило
соответствующее развитие [43, 45, 46]. Таким образом, все новые идеи в
учении о симметрии тесно переплетаются, содействуя развитию друг друга,
и находят применение при описании свойств и симметрии кристаллов.
Примеры использования шубниковских и цветных групп
в кристаллофизике
Группы антисимметрии и цветной симметрии используют при
описании некоторых физических свойств кристаллов, например
электрических (расположение электрических моментов) или магнитных
(упорядоченные структуры, в которых магнитные моменты атомов могут
принимать две или несколько ориентаций) [14, 31]. Так, схематично
показанные на рис. 177 различные конфигурации магнитных векторов в
кристаллических структурах, условно изображенные полярными
стрелками, невозможно описать с использованием лишь классической
симметрии или антисимметрии. Если за исходную взять точку 1 с
вертикально ориентированным магнитным моментом во всех типах
изображенных магнитных структур, то на рис. 177, а расположения
векторов естественно описываются с помощью операций классической
симметрии, т.е. поворотами вокруг оси 6-го порядка. На рис. 177, б каждый
правый поворот (против часовой стрелки) на 60° сопровождается
изменением направления магнитного вектора на противоположный
поворотом на 180°, что делает возможным описание данной конфигурации
с позиций антисимметрии - с помощью оси бПереход от точки 1 в точку
2 (рис. 177, в) можно осуществить простым поворотом вокруг оси 6. При
этом, казалось бы, жестко связанный с точкой магнитный момент (вектор)
должен быть ориентированным в точке 2 по внешнему радиусу. Однако его
истинное положение по образующей правильного шестиугольника отвечает
290
вектору, подвергшемуся дополнительному преобразованию - повороту на
60° против часовой стрелки. Многократно повторенные операции -
основная и дополнительная (60° + 60°) - приведут к типичной
неколлинеарной антиферромагнитной конфигурации. Осуществляя в
качестве дополнительного преобразования поворот вектора на 60° по
часовой стрелке (левый поворот), получим коллинеарную ферромагнитную
структуру (рис. 177, г). Введя в качестве дополнительного преобразования
к классическому повороту на 60° правый или левый поворот на 120°,
получим антиферромагнитные структуры с другими ориентациями
магнитных векторов (рис. 177, д, е).
Рис. 177. Магнитная интерпретация точечных цветных ipynn симметрии: полярной
группы б (а), группы антисимметрии 6'(б), групп цветной симметрии: б'6'1 (в), (У'‘
(г),б°’'(д),ба'(е)[55]
Вместо магнитного момента материальным точкам пространства
можно придавать иные физические характеристики, соответственно
сопроводив их другими дополнительными преобразованиями, также
несущими определенную физическую нагрузку. Возникающие при этом
группы симметрии окажутся изоморфными соответствующим группам,
которые можно назвать “цветными”, приписав предварительно
дополнительным преобразованиям такую абстрактную характеристику, как
цвет. Таким образом, группа 6^ (рис. 177, в) будет шестицветной, а
группа 6® - трехцветной (ср. с 6'- двухцветной и б - одноцветной).
291
Глава XL Кристаллоструктурные
иллюстрации пространственных и шубниковских
групп симметрии
XI.1. Симметрия плотнейших упаковок
Кристаллические структуры многих веществ построены по
принципу плотнейших шаровых упаковок, так как минимум потенциальной
энергии кристаллической структуры отвечает геометрическому условию
как можно более плотной укладки образующих ее частиц (структурных
единиц - атомов, ионов и т.п.). Тенденция к образованию плотнейших и
плотных упаковок свойственна всем типам кристаллических структур, но
наиболее выражена в соединениях с металлической и ионной связью.
Симметрия плотнейшей упаковки влияет на симметрию всей
кристаллической постройки. При этом, если кристаллические структуры
простых веществ просто наследуют симметрию той или иной плотнейшей
упаковки, то в более сложных соединениях наиболее объемные
компоненты образуют одну из плотнейших упаковок и, как писал
Н.В.Белов [4], “все разнообразие минерального кристаллического мира
сводится к различным способам заселения пустот в ней”, что естественно
отражается и на симметрии всей постройки. Таким образом, теория
плотнейших упаковок шаров одинакового размера оказалась очень
продуктивной и удобной при описании построенных по ее законам
кристаллических структур и определении их симметрии. Симметрия
плотнейших упаковок подробнейшим образом разобрана в книге
Н.В.Белова “Структура ионных кристаллов и металлических фаз” [4].
В объемном плотноупакованном слое, где каждый шар окружен
шестью себе подобными (рис. 178), можно выделить две различные по
симметрии позиции: 1) в центре каждого шара А (атома), описываемую
точечной группой —тт, и 2) в центрах треугольников В и С - центрах
т
лунок, образованных тройками шаров - 6m2.
Симметрия пространственных плотнейших упаковок зависит от
характера расположения плотноупакованных слоев относительно друг
друга. При этом плотнейшая упаковка будет реализовываться лишь в том
случае, если шары следующего слоя расположатся в лунках предыдущего.
Однако из шести лунок, окружающих каждый шар исходного слоя,
занятыми могут быть лишь половина, поскольку число лунок в
плотнейшем слое, как видно из рис. 178, вдвое превышает число шаров в
этом слое. И поскольку шары верхнего слоя могут попасть либо в лунки В,
либо в лунки С, один слой относительно другого может быть ориентирован
двояко. Следовательно, оригинальными окажутся лишь три положения
плотноупакованных слоев: А, В и С. В результате любое сочетание этих
292
Рис. 178. Схема расположения шаров
одинакового размера в плотнейшей упаковке.
Буквами А, В, С показаны позиции центров
тяжести шаров разных слоев плотнейшей
упаковки
трех букв (слоев) при условии,
что две одинаковые не будут
стоять рядом, дадут все
разнообразие плотнейших упа-
ковок с одинаковой степенью
заполнения пространства шара-
ми одного размера - 74,05%.
Очевидно, что при
любом вышеописанном сочета-
нии слоев будет сохраняться
минимальная симметрия Р3т1.
Действительно, при наложении
шара (с симметрией —тт ) в
т
лунку предыдущего слоя (с
симметрией 6m2) сохранится
лишь общая подгруппа с
вертикальными элементами
симметрии - Р3т1. Именно
такой симметрией будет
обладать произвольная укладка
слоев, ибо горизонтальная плоскость симметрии групп — тт и
т
6 m2 = —m2 сохранится лишь при зеркальном расположении выше и
т
ниже лежащих относительно исходного слоев. Соответственно и порядок
групп симметрии различных упаковок будет кратен порядку группы Р3т1.
Если ограничиться определенным периодом повторяемости слоев
А, В, С, то возникнут л-слойные упаковки, симметрия которых может быть
более высокой, чем Р3т1. Однако во всех случаях она будет кратна
порядку этой пространственной группы. Таким образом, легко перечислить
8 пространственных групп симметрии, с помощью которых можно описать
все разнообразие плотнейших упаковок: РЗт, РЗт , R3m, R3m , Р63тс,
Р6т2, Р^-тс, Fm3m, среди которых лишь одна подчинена классу
т
тЗт и описывает симметрию трехслойной - единственной кубической -
плотнейшей упаковки. В то же время остальные пространственные группы
гексагональной сингонии описывают большое количество упаковок с
различными периодами.
Для определения симметрии плотнейших упаковок с заданным
числом слоев (л) удобно прибегнуть к символике, предложенной
293
Н.В.Беловым [2, 4 ]*\ где каждая из букв «А», «В», «С» заменена буквами
«г» или «к». При этом буква «г» обозначает слой, расположенный между
двумя одинаковыми слоями (буквами), как любой слой в гексагональной
упаковке; буква «к» обозначает слой между разными соседними слоями,
как любой слой в кубической упаковке. В результате двухслойная
гексагональная плотнейшая упаковка ...[АВ]АВАВ... запишется как
...[гг]гг..., трехслойная кубическая упаковка ,..[АВС]АВС... - как
...[ккк]ккк..., четырехслойная (топазовая) ,..[АВАС]АВАС... - как
...[кгкг]кгкг..., шестислойная (рамзаитовая) ,..[АВСАСВ]АВСАСВ... - как
,..[гккгкк]гккгкк... и т.д.
С одной стороны, такой способ обозначения позволяет установить
тождественность плотнейших упаковок, имеющих разные обозначения
буквами «А», «В», «С». Например, кажущиеся на первый взгляд разными
упаковки ...[АВАВАВС]... и ...[ВСВСАВС]... представляют одну и ту же
упаковку ...[гггкккг]... и т.д. С другой стороны, анализ последовательности
слоев (букв) “к” и “г” позволяет легко установить симметрию любой
упаковки. Для этого определяются характерные для каждого сочетания
букв (слоев) элементы симметрии, которые, будучи добавленными к всегда
присутствующему в плотнейших упаковках комплексу Р3т1, укажут на
пространственную группу данной упаковки.
Так, если слой “г” разбивает буквенную последовательность
(формулу плотнейшей упаковки) на две зеркально равные части, то через
шары этого слоя проходит горизонтальная зеркальная плоскость
симметрии тг, перпендикулярная главной оси. Центры инверсии лежат
либо в слоях “к”, либо между одинаковыми слоями (“кк” или “гг”), если
соответствующая буква “к” или пара одинаковых букв рассекает формулу
упаковки на две зеркально равные части.
Отсюда, обозначив зеркальные плоскости симметрии двойными
линиями ( || ), а центры инверсии звездочками (*) и нанеся их рядом с
буквенной последовательностью определенной плотнейшей упаковки,
получим для двухслойной упаковки
... [А В] А В А В ...
... г г г г г г ...
II * II * II * II * II * II
Легко увидеть, что добавление к обязательному комплексу
элементов симметрии любой упаковки Р3т1 горизонтальной плоскости т:,
проходящей через шары каждого плотноупакованного слоя и
расположенного между слоями центра инверсии, приведет к
гексагональной голоэдрической группе D46h: P3ml + т, + 1 -> Р^-тс-
т
1 )Несколько раньше двухбуквеииое обозначение было введено Эвальдом и Германом [62] ,
использовавшими буквы «а» и «р» (антипараллельиость и параллельность), а Полингом «с»
и «Ь».
294
Расположение центров инверсии между плоскостями симметрии т.
указывает на присутствие перпендикулярной им винтовой оси 2/(У,
уводящей 1 с плоскости симметрии. О примитивности элементарной
ячейки свидетельствуют два уровня расположения шаров плотнейшей
упаковки вдоль оси с ячейки.
Для трехслойной упаковки
... [А В С ] А В С ...
... к к к к к к ...
* * * * * ******
добавление центров инверсии, расположенных как между слоями “к”, так и
в самом слое “к”, привело бы к центросимметричной пространственной
группе Р3т1. Однако наличие трех уровней расположения шаров
плотнейшей упаковки относительно параметра с элементарной ячейки
указывает на присутствие трансляции Т„ ромбоэдрической ячейки, т.е. на
пр. гр. R3ml (Djj)- Выделив в трехслойной плотнейшей упаковке
ячейку, построенную на трех минимальных трансляционных векторах,
убеждаемся в том, что это ромбоэдр с углом 60° - основная ячейка
гранецентрированного куба. К этому же выводу приходим и определив
симметрию координационного полиэдра вокруг любого шара
рассматриваемой трехслойной упаковки, представленного 12-вершинником
- архимедовым кубооктаэдром, фигурой не с одной, а с четырьмя осями 3-
го порядка и тремя осями 4-го, т.е. многогранником, указывающим на
более высокую - кубическую - симметрию данной упаковки. В результате
приходим к новой координатной системе, обслуживающей указанное
расположение шаров, т.е. к симметрии не ромбоэдрической (£)^), а
кубической (О% -Fm3m) с гранецентрированной решеткой Браве, где
шары расположены по кубическому гранецентрированному закону.
В четырехслойной - топазовой - плотнейшей упаковке
... [А В А С ] А В А С ...
... к г к г к г к г ...
* II * II * II * II
появляются горизонтальные плоскости тг, проходящие через слои “г”, и
центры инверсии - между плоскостями симметрии - в слоях “к”,
взаимодействие которых с комплексом Р3т1 приведет к гексагональной
голоэдрии: РЗт 1 + mz +1 -> Р~тс
т ' ’’
295
В одной из двух возможных шестислойных упаковок -
рамзаитовой -
... С В [А В С А С В] А В ..
... ККГ ККГ К К ГК..
* II * II * II
при том же расположении плоскостей симметрии (в слоях “г”) центры
инверсии оказываются не в слоях “к”, а между ними. Однако в результате
взаимодействий между элементами симметрии приходим к той же
голоэдрической группе D4fh.
Симметрия шестислойной плотнейшей упаковки второго типа
...А С [А В А В А С ] А В ...
... кгкгггк г кг
II II II
характеризуется только плоскостями та что приводит лишь к
гемиэдрической ацентричной группе D3h:
P3ml + т: = Р 3 т1 = Р6т2
т
Рассмотрим симметрию одной из семи возможных девятислойных
плотнейших упаковок:
Г г * А С К * [А Г * В г А К * В г * С Г В к * С г г * А С] к * А г В
А , > . . в с
4
А в . . с
А . . . в . с
Добавление центров инверсии, расположенных в слое “к” и между
слоями “гг” к обязательному комплексу РЗт! даст пр. гр. РЗт!. Однако
количество слоев (9), приходящихся на одну элементарную ячейку, кратное
трем, а также их закономерное чередование (А...В...С) через 1/3
вертикальной трансляции указывает на присутствие дополнительного
вектора ? ( ш 122') дважды центрированной Л-решетки Браве, т.е. на
[ 333 333 J
пр. гр. R3ml\D53A- На присутствие вектора Тк указывает и то, что
296
формула плотнейшей шестислойной упаковки разбивается на три
одинаковых по набору букв пакета : ...[кгг - кгг - кгг]...
Аналогичным образом определяется и симметрия одной из 21-
слойной плотнейшей упаковки, также описываемая пр. гр. D53d:
- г Г к К К К К - г г к к к к к - г гккккк-г г .
* * * * * * *
-А ВА СВАС -в С В А С В А 4* 4 -с АСВАСВ-А 4 4 4- В А С В 1
А . в. 4 J, 4- . с 4 1
А 4 в . . с 4, 4,
А . в . . . с
А . . В . . С
Таким образом, убеждаемся в достоинствах
каждого из
дополняющих друг друга способов обозначения плотнейших упаковок.
Если трехбуквенный способ (АВС) позволяет быстро установить слойность
упаковки и определить тип решетки Браве, то с помощью двухбуквенного
(кг) можно выявить идентичность или различие одинаковых по слойности
упаковок, а также выделить независимый пакет слоев каждой упаковки.
XI.2. Описание моделей некоторых кристаллических структур
Рассмотрим симметрийное описание моделей некоторых
кристалли-ческих структур веществ, построенных по принципу
плотнейшей упаковки и без нее.
Кристаллическая структура Mg
Обнаружив в структуре Mg расположение атомов по закону
двухслойной плотнейшей упаковки, легко из анализа только буквенной
формулы ...ггг... (см. с. 294) этой упаковки определить и тип решетки
Браве (Р), и симметрию самой структуры: Р^-тс (D/). Таким образом,
задача сводится лишь к нахождению элементов симметрии данной
пространственной группы на самой модели структуры. Это удобно начать с
поиска порождающих элементов - плоскостей симметрии каждой позиции
символа.
Рис. 179. Кристаллическая структура Mg: а - проекция структуры на плоскость ху и
расположение элементов симметрии описывающей эту структуру пр. гр. ; б -
т
общий вид структуры в аксонометрии. Выделен координационный полиэдр -
гексагональный аналог кубооктаэдра - вокруг атома Mg
Если взять в качестве исходного один из атомов Mg и,
подействовав на него координатными трансляциями решетки, выделить
элементарную ячейку, тем самым обозначив и апофемальные направления,
легко найти координатные зеркальные плоскости, как вертикальные, так и
горизонтальную (рис. 179, а). Локализация атомов Mg на двух уровнях
вдоль оси с элементарной ячейки (0 и 1/2) подсказывает присутствие и
расположение плоскостей скользящего отражения - с, перпендикулярных
апофемальным направлениям. Все остальные элементы симметрии можно
рассматривать как порожденные: оси 3 - результат взаимодействия
вертикальных координатных плоскостей т, расположенных под углом 60°
одна к другой, - проходят через центры всех атомов Mg; ось 63 - результат
взаимодействия координатных плоскостей т с апофемальными с,
расположенными под углом 30° одна к другой, - в центрах
шестиугольников, в трех вершинах которых атомы Mg локализованы на
Т
одном уровне, а в трех других отстоят от указанных на — : ось 2/(у -
результат взаимодействия этих же плоскостей (т с), но расположенных
под углом 90° одна к другой; горизонтальные оси 2-го порядка - результат
взаимодействия вертикальных и горизонтальных плоскостей симметрии,
298
центры инверсии возникнут на высоте -х. при взаимодействии винтовых
4
осей 2-го порядка и перпендикулярных к ним плоскостей симметрии.
Начало координат естественно выбирается на оси 63 в позиции
3 т , расположенной между двумя плотноупакованными слоями.
Интересно отметить форму координационного полиэдра вокруг
каждого шара гексагональной плотнейшей упаковки. Как и для любой
плотнейшей упаковки, координация каждого атома, ее образующего, равна
12. Однако если в трехслойной - кубической - упаковке координационным
полиэдром является истинный архимедов кубооктаэдр (см. рис. 180, б), то в
двухслойной - гексагональной - гексагональный аналог кубооктаэдра с
одной осью 3-го .порядка (см. рис. 179, б). Истинные кубооктаэдры
отвечают шарам с симметрией “к”, т.е. точечной группе m3 т,
гексагональные же кубооктаэдры - с симметрией “г”- описываются
точечной группой 6 m2.
Инвариантная правильная система точек, занятая атомами Mg,
характеризуется точечной группой симметрии б m2 и двумя позициями
(кратность 2), приходящимися на одну элементарную ячейку:
Mg - 2 (</) 6т2 : -- — 111-
3 3 4, 3 3 4’
а = 3,20 А ,с = 5,20А .
Охарактеризовав таким образом данную двухпараметрическую
кристаллическую постройку, мы получили описание структурного типа, в
котором кристаллизуются многие простые вещества: Be, Zn, Cd, P-Се, Tl,
Ti, Zr, Hf, P-Cr, P-Со, Ru, Os и др. Но, лишь приведя значения параметров
элементарных ячеек структур, мы получим полную характеристику
конкретного кристаллического вещества.
Идеальная гексагональная плотнейшая упаковка характеризуется
с
отношением параметров элементарной ячейки — = 1,633, нарушение в
а
большей или меньшей степени которого свидетельствует об ее искажении.
Так, если для структуры Mg это отношение почти идеально (1,62), то для
структуры Zn оно составляет 1,85. При этом искажается плотнейшая
упаковка, меняется координационное число атомов Zn, а значит, и
координационный полиэдр и, как результат, меняется структурный тип.
Поэтому структуры Mg и Zn можно считать гетеротопными. Хотя часто
структуру Zn считают изотопной структуре Mg, поскольку деформация
координационного полиэдра вокруг атома Zn по сравнению с
координационным полиэдром вокруг атома Mg невелика. Во всяком
случае, поскольку они характеризуются одной и той же пространственной
299
группой (Р-З-тс) и их атомы занимают одинаковые правильные системы
пг
точек, эти структуры относят к одному структурному классу.
Кристаллическая структура Си
а - проекция структуры на плоскость ху и расположение элементов симметрии описывающей
эту структуру пр. гр. Fni3 т , б - общий вид структуры в аксонометрии. Выделен
координационный полиэдр - кубооктаэдр - вокруг атома Си Буквами А, В и С обозначены
плотноупакованные слои, перпендикулярные одной из осей 3-го порядка
Возможность выбора в трехслойной плотнейшей упаковке из
атомов Си кубической гранецентрированной элементарной ячейки
подтверждает ее высокую симметрию, описываемую пр. гр. Fm3m (о*)-
Действительно, в проекции данной структуры на плоскость ху (рис. 180, а)
легко увидеть все координатные и диагональные плоскости симметрии, а
следовательно, и все производные элементы симметрии: оси 4, 3 и 2-го
порядков, весь комплекс чередующихся в /•'-ячейке плоскостей симметрии
и т.п. Поскольку начало координат однозначно выбирается в позиции с
симметрией m3 т, не составляет труда увидеть, что именно одна из этих
инвариантных позиций занята атомами Си (ООО), вторая же (111)
222
остается вакантной (рис. 180, а):
Си - 4 (а) тЗт : ООО
[ооо, О-—, -о-, ——о!+
I 22 2 2 22 J
а = 3,615 А .
300
В структурном типе меди кристаллизуется наибольшее число
металлов: Ag, Au, Са, Al, Th, Pb, Nb, y-Fe, a-Co, Ni, Rh, Pd, Ir, Pt. При этом
кубическая модификация для многих из них является
высокотемпературной.
По принципу плотнейших упаковок построены не только многие
простые вещества, но и соединения с более сложным составом. И
особенность таких соединений заключается в том, что наиболее крупные
компоненты, обычно анионы, располагаются по закону одной из
плотнейших упаковок, меньшего же размера катионы локализованы в
пустотах этой упаковки. При этом катионы часто занимают не все пустоты,
но их часть по определенному симметрическому узору. Да и сами пустоты
различаются по размеру: одни, более мелкие - тетраэдрические —
образованы четырьмя шарами, создающими упаковку, другие, крупные -
октаэдрические - образованы шестью шарами. Относительные количества
тетраэдрических и октаэдрических пустот в разных плотнейших упаковках
одинаковы: на каждый шар любой плотнейшей упаковки приходятся одна
октаэдрическая и две тетраэдрические пустоты. Однако расположение
этих пустот относительно друг друга различаются. Если в гексагональной
плотнейшей упаковке под (над) тетраэдрической пустотой располагается
тетраэдрическая, над (под) октаэдрической - октаэдрическая, что
естественно, так как плотноупакованные слои совпадают с плоскостью т:,
то в трехслойной кубической плотнейшей упаковке над (под)
тетраэдрической оказывается октаэдрическая пустота, и наоборот.
В результате многообразие структурных типов соединений зависит
не только от реализованных в них плотнейших упаковок, но и от характера
“заселения” катионами тетраэдрических и (или) октаэдрических пустот, а в
случае их неполного заселения - от геометрии заселения.
Наиболее просто описываются кристаллические структуры в том
случае, когда заселены все пустоты того или иного сорта. Например, в
кристаллической структуре галита NaCl анионы СГ образуют кубическую
плотнейшую упаковку, в которой катионы Na+ заселяют все
октаэдрические пустоты (см. рис. 186); в структуре никелина NiAs (или
пирротина FeS) (см. рис. 181) более крупные атомы As (или S)
располагаются по закону гексагональной плотнейшей упаковки, “катионы”
же Ni (или Fe) и здесь заполняют все октаэдрические пустоты; в структуре
Li2O (см. рис. 187) трехслойная плотнейшая упаковка из ионов О2', в
которой заселены катионами Li+ все тетраэдрические пустоты.
При частичном заселении катионами пустот одного сорта
возникает необходимость указать геометрию заполнения этих пустот, что
часто бывает не так просто сделать. Л.Полинг предложил оригинальный -
полиэдрический - метод изображения моделей структур, в котором
акцент смещен в сторону заполненных катионами пустот - полиэдров, в то
время как анионы отходят как бы на второй план. В этом методе все
301
кристаллическое плотноупакованное пространство разбивается без остатка
на октаэдры и тетраэдры, в вершинах которых располагаются центры
тяжести более объемных частиц - анионов. И модель кристаллической
структуры составляется лишь из тех полиэдров, которые зацентрированы
катионами. Если же полиэдр не заселен, его обычно либо вообще не
изображают, либо окрашивают в иной цвет. В результате полинговский
метод изображения структур оказался наиболее наглядным и
продуктивным, особенно для кристаллохимиков, привыкших
характеризовать окружение атомов в виде того или иного многогранника -
полиэдра. Кроме того, полиэдрический метод изображения структур
полезен при описании структур с позиций черно-белой, цветной симметрии
[14,31].
Рис. 181. Кристаллическая структура никелина NiAs: а - проекция структуры на
плоскость ху; б - общий вид структуры. Выделены координационные полиэдры -
октаэдры - вокруг атомов Ni
Кристаллическая структура никелина NiAs
Расположение атомов As по закону двухслойной плотнейшей
упаковки в структуре никелина отсылает нас сразу к гексагональной
голоэдрической пр. гр. Р — тс При этом заполнение всех
т ' ''
октаэдрических пустот атомами Ni симметрию упаковки не снижает.
Зафиксировав положение винтовой оси 63 по линии пересечения
координатных т и апофемальных с плоскостей симметрии ( рис. 181, а) и
302
найдя на ней позицию с симметрией 3 т, принятую в данной
пространственной группе за начало координат, обнаруживаем, что она
занята атомами Ni. Кратность этой позиции (2) указывает на то, что и
другой тип атомов (As) должен занимать также инвариантную позицию с
такой же величиной симметрии (2). Поскольку через плотноупакованные
слои проходят горизонтальные плоскости т, , то симметрия позиций,
занимаемых атомами As, будет описываться точечной группой
- , 3 ,
6 m2 = — m2.
т
В итоге структурный тип NiAs будет характеризоваться
следующими правильными системами точек:
Ni -2 (а) Зт : ООО, 001;
2
As - 2 (d) 6 m2: I?.2 .
3 34’ 3 34
а =3,619 А ,с=5,034А .
Полиэдрическая модель структуры NiAs (рис. 181,6) выполнена из
октаэдров одного сорта (координационных полиэдров вокруг атомов Ni),
которые в вертикальном направлении вдоль гексагональной оси
сочленяются друг с другом через общие грани. Симметрия октаэдров, две
противоположные грани которых перпендикулярны оси 3-го порядка,
указывает и на симметрию позиций в их центрах, занятых атомами Ni :
3 т . Легко отыскивается и гексагональная упаковка из атомов As, центры
тяжести которых совпадают с вершинами изображенных полиэдров и
лежат в горизонтальной плоскости симметрии т.. На простые поворотные
оси 3-го порядка как бы нанизаны незанятые тетраэдрические пустоты этой
упаковки, расположенные одна над (под) другой. Все остальные элементы
симметрии, характеризующие симметрию октаэдра, отчетливо видны.
Однако из всего набора элементов симметрии октаэдра, описываемого
классом m3 т, в данной группе симметрии сохраняются лишь не
противоречащие гексагональной структуре минерала (3 т ).
Кристаллическая структура двухслойной модификации
Cdl2 ( брусита Mg(OH)2)
В основе кристаллической структуры одной из модификаций Cdl2
лежит двухслойная плотнейшая упаковка из ионов Г, где катионы Cd2+
заполняют послойно половину октаэдрических пустот (рис. 182, а). Это
снижает симметрию всей структуры от голоэдрической группы р ^-тс до
т
гемиэдрической подгруппы P3ml (р33с1), так как исчезает горизонтальная
303
плоскость mz, а следовательно, и вертикальная составляющая оси 63 -
Рис. 182. План (о) и общий вид (б) кристаллической структуры двухслойной
модификации Cdl2 Выделены координационные полиэдры - октаэдры - вокруг
атомов Cd. Пунктиром показаны незаполненные октаэдрические пустоты
винтовая ось 2-го порядка - при сохранении центров инверсии. В связи с
этим отсутствует одна из двух систем вертикальных плоскостей симметрии
- плоскости с - и соответственно одна из двух систем горизонтальных осей
2-го порядка. И несмотря на то что симметрия инвариантных позиций 3 т
катионов Cd по сравнению с позициями Ni в структуре NiAs (см. с. 303) не
изменилась, кратность их уменьшилась вдвое. Симметрия же позиций
анионов понизилась от инвариантной группы 6 m2 по моновариантной Зт
за счет отсутствия в структуре горизонтальной плоскости симметрии, а
следовательно, и фиксирующей эту позицию особой точки А.
т
В результате, выбрав начало координат в октаэдрической позиции,
заселенной атомами Cd, получим следующие характеристики правильных
систем точек, занятых атомами структуры:
Cd - 1 (а) Зт : ООО;
I - 2 (J) Зт: —lz 1—f , гдегл-J-;
33 ’ 33 4
а = 4,24 А , с - 6,84 А .
В полиэдрическом исполнении модель двухслойной модификации
Cdl2 (рис. 182, 6) будет представлена слоями из двух типов октаэдров,
различный “цвет” которых укажет на чередование вдоль тройной оси
304
структуры заселенных октаэдрических слоев с пустыми. Наличие в такой
модели равного количества двух сортов октаэдров - с катионной
“начинкой” и без нее - делает возможным описание полиэдрической
модели структуры с позиций антисимметрии - черно-белой симметрии.
Добавление к классической подгруппе Р3т1 горизонтальной плоскости
антисимметрии - “цветной” плоскости т', связывающей заполненные
(черные) и пустые (белые) октаэдры двух слоев кристаллической
структуры Cdl2, - приводит к появлению не только вертикальной цветной
составляющей оси 63 = 3 • 2/(/ • т'г = 2',), но и остальных цветных
_ - п^3 2' 2
элементов симметрии шубниковскои группы Р—-----------, так как
т' т с'
взаимодействия mv т/ и 2Z' • mv дадут цветные элементы симметрии 2'коорд
и с'апоф соответственно.
Слоистых структур с общей формулой АХ2, построенных на
основе двухслойной плотнейшей упаковки, довольно много. Среди них
Mg(OH)2, Mn(OH)2, SrS2, PtS2 и др.
Кристаллическая структура рутила TiO2
Кристаллическая структура рутила TiO2 продолжает список
структурных типов, построенных на основе двухслойной гексагональной
плотнейшей упаковки из ионов О2' с половиной заполненных
октаэдрических пустот катионами Ti4+, только не послойно, как в Cdl2, а
колонками (полосами) толщиной в один октаэдр (рис. 183, а). Чередование
таких колонок в горизонтальном (параллельном плотноупакованным
слоям) и вертикальном (перпендикулярном им) направлениях вполне
реально именно для гексагональной плотнейшей упаковки, характерной
чертой которой является укладка октаэдров верхнего слоя на октаэдры
нижележащего. Однако указанное заполнение октаэдрических пустот
атомами Ti с образованием горизонтальных колонок понижает
гексагональную симметрию “чистой” двухслойной упаковки в структуре
рутила до ромбической (в проекции на плоскость, перпендикулярную оси
3-го порядка плотнейшей упаковки) (рис. 183, а) и повышает до
тетрагональной за счет искажения (незначительной гофрировки) самого
плотноупакованного слоя. Тетрагональность структуры подтверждается и
формой выбранной элементарной ячейки (а = b * с, а = Р = у = 90°), и
наличием винтовых осей 4? , расположенных в центрах горизонтальных
ребер ячейки (в проекции на плоскость ху) параллельно октаэдрическим
колонкам. При этом торцы Ti-O-колонок в этой проекции оказываются
расположенными по шахматному закону: заполненные колонки
чередуются с пустыми (рис. 183, 6,в).
305
Рис. 183. Кристаллическая структура рутила TiOj: а - проекция структуры на
плоскость xz; выделены колонки из Ti-O-октаэдров; б - проекция структуры на
плоскость ху выделены координационные полиэдры - октаэдры - вокруг атомов Ti;
в - общий вид структуры в полиэдрах; г - график пр. гр. ^^2Ит(о14) с
т
нанесенными на него атомами Ti и О
Казалось бы, найденная по катионам Ti центрирующая объем
ячейки дополнительная трансляция Т, не подтверждается расположением
ионов кислорода. Однако, предположив голоэдрическую тетрагональную
пространственную группу, легко найдем зеркальные плоскости симметрии
- горизонтальную (1-я позиция тетрагонального символа), проходящую
через атомы Ti, и вертикальную (3-я - диагональная позиция).
Предполагаемая по расположению также атомов Ti координатная
клиноплоскость п подтверждается как расположением ионов О, так и
взаимодействием найденной оси 4?^ с параллельной ей диагональной
306
зеркальной плоскостью md. В итоге получаем пространственную группу
D“=P^nm[=P^^ 183,в,г).
т V т п m\b)J
Из трех инвариантных позиций данной пространственной группы:
2 —
ттт, — и 4 (особая точка этой оси, совпадающей с осью 42, отстоит на
т
Lt- от центра инверсии) - в качестве начала координат выбирается первый
4
комплекс с максимальной величиной симметрии (8), комплекс, в котором
локализованы атомы Ti. Ионы О занимают моновариантную позицию с
симметрией mm2. При этом единственная степень свободы направлена
вдоль диагональной оси 2-го порядка, т.е. вдоль линии пересечения
горизонтальной и вертикальной зеркальных плоскостей симметрии.
Правильные системы точек, занятые атомами Ti и О, имеют
следующие характеристики:
Ti - 2 (а) ттт: ООО, 111;
222
О — 4 ( /*) mm2 ' Л « (1 Y1 'll (1 Y1 11,
’ хх 0, ххО, —+ х —х —, —х Л — + х — ’
(2 Д2 )2 (2 Д2 )2
где х = 0,31;
а = 4,59 А , с - 2,96 А .
В структурном типе рутила кристаллизуется большое количество
соединений. Однако следует помнить, что принадлежность к одному
структурному типу подразумевает помимо одинакового геометрического
характера рассматриваемых изотипных структур сохранение одинакового
координационного числа, а следовательно, и типа координационного
полиэдра. Действительно, в идеализированной модели структурного типа
рутила координационный полиэдр вокруг атомов Ti - октаэдр. Но наличие
одной степени свободы в координатах атомов кислорода (ххО) может не
только исказить октаэдр, но и привести к иным координационным числам и
соответственно к другим координационным полиэдрам, т.е. к другому
структурному типу.
Кристаллическая структура вюрцита ZnS
Симметрия двухслойной плотнейшей упаковки из атомов S в
структуре вюрцита - Р-^-тс — нарушается заполнением атомами Zn
т
половины тетраэдрических пустот - пустот одной ориентации. Все
заполненные тетраэдры ориентированы в одну, все незаполненные - в
противоположную сторону (см. цветную вставку, рис. 184, а). Такое
307
заполнение тетраэдрических пустот ликвидирует плоскости симметрии 1-й
позиции символа, вертикальные же плоскости симметрии - тк00рд и сапоф
при этом сохраняются. Отсутствие горизонтальной плоскости симметрии
т, указывает на то, что результирующая ось 63 ( ткоорд сапоф = 63)
оказывается полярной. В результате имеем гемиморфную федоровскую
группу Р63тс(с46^ (рис. 184, 6).
Лишившись фиксирующих элементов симметрии, атомы S, так же
как и атомы Zn, оказываются в эквивалентных моновариантных
двухкратных позициях (рис. 184, б):
S - 2 (Ь) Зт : 2 И \_+z \
3 3 ” 3 3U ' J
Zn - 2(b) Зт : 12 2JY1 \
3 3 z"’ 3 3^2 Z" J
о = 3,81 А,с = 6,23А.
Для того чтобы определить координату z одного из атомов, следует
“заморозить” аналогичную координату другого атома, искусственно
приписав ей нулевое значение. В результате параметром, определяющим
структуру минерала, будет значение Az. Для вюрцита Az = z, - zz„ = 0,375
обеспечивает позицию атома Zn в центре тетраэдрической пустоты
плотнейшей упаковки.
Кристаллическую структуру вюрцита ZnS как в шариковом, так и в
полиэдрическом изображении (рис. 184, в) можно описать с позиций
антисимметрии, поскольку каждая из них состоит либо из равного
количества “разноокрашенных” атомов, занимающих одинаковые
правильные системы точек, либо из одинакового числа заполненных
атомами Zn и пустых S-тетраэдров. Обе позиции, занятые атомами Zn и S
(Зт) классической группы Р63тс в шубниковской группе p^J-mc (рис.
т'
184, г), благодаря горизонтальной антиплоскости т'объединяются в одну с
удвоенной кратностью. Однако при полиэдрическом изображении этой
структуры атомы S, расположенные в вершинах тетраэдров, оказываются
на цветных элементах симметрии, т.е. становятся нейтральными - серыми.
Кристаллическая структура оливина (Mg,Fe)2[SiO4|
В кристаллической структуре оливина (Mg,Fe)2[SiO4] ионы О2
образуют несколько искаженную гексагональную плотнейшую упаковку, в
которой заполнена половина октаэдрических пустот катионами Mg2+, Fe2+ и
1/8 тетраэдрических пустот - атомами Si. При этом наблюдается
чередование пустых и заселенных октаэдрических зубчатых лент
(толщиной в один октаэдр), вытянутых вдоль оси b ячейки (рис. 185, а).
Отдельные ленты переложены 5Ю4-ортотетраэдрами, для каждого из
308
которых имеется “посадочная площадка” из трех ребер (Mg,Fe)-OKTa3flpoe
ленты.
Рис. 185. Кристаллическая структура оливина (Mg,Fe)2[SiO4]: а - план структуры в
проекции на плоскость _yz; выделены координационные полиэдры - октаэдры -
вокруг атомов Mg и Fe (Mi и М2) и тетраэдры - вокруг атомов Si, б - общий вид
идеализированной структуры в полиэдрах
Параметр с элементарной ячейки, перпендикулярный плотно-
упакованным слоям, отвечает высоте двух слоев гексагональной плот-
нейшей упаковки; параметр b соответствует удвоенному ребру октаэдра.
Симметрия идеальной двухслойной плотнейшей упаковки р^-тс
т
понижается в оливине до ромбической вследствие искажения самих
плотноупакованных слоев, а также характера заполнения октаэдрических и
тетраэдрических пустот. Перпендикулярно оливиновым октаэдрическим
лентам легко обнаруживается зеркальная плоскость т. (рис. 185 .а).
309
Соседние колонки, расположенные на двух уровнях вдоль оси с, связаны,
с одной стороны, клиноплоскостью п, проходящей перпендикулярно оси а
ячейки, с другой - плоскостью а, перпендикулярной оси с. В результате
имеем голоэдрическую ромбическую группу Рпта^р'^.
Катионы Mg (Fe) занимают в пр. гр. Рпта, описывающей
симметрию данной кристаллической структуры, две кристаллографически
неэквивалентные, разные по симметрии правильные системы точек - Ml и
М2:
М, - 4 (а) 1 : 000 010 101 111
2 22 222
М2 - 4 (с) т : 1 -3 (1_Л1(
4 4 12 Ml
— Z L
где х ~ 0,25; z « 0.
При этом Ml-октаэдры образуют прямолинейные колонки, которые с двух
сторон инкрустированы октаэдрами М2. Атомы Si занимают дивариантную
позицию: Si - 4 (с) т: x—z , гдех »0,l;z «0,42.
4
Атомы О локализованы в двух дивариантных и одной общей
позиции: О1 - 4 (с) т: x«0,l;z «0,75;
02 - 4 (с) т : х « 0,45; z « 0,2;
ОЗ - 8 w 1 : «=• (r’lHlr-') ’Ir'l (r’MM
где х «0,16;у «0,05,z «0,25;
а= 10,21 А , 6 = 5,99 А , с = 4,76 А .
Кристаллическая структура галита NaCI
Кубическая плотнейшая упаковка с заполнением всех
октаэдрических пустот соответствует наиболее распространенному
структурному типу NaCI. Таковы же и структуры большинства галогенидов
металлов - LiCl, КС1, AgCl, RbCl, окислов двухвалентных металлов - MgO
(периклаз), РеО(вюстит), CaO, SrO, ВаО и т.п. В этом же структурном типе
кристаллизуются и сульфиды, содержащие достаточно крупные катионы,
например галенит PbS.
Кубическая симметрия трехслойной плотнейшей упаковки из
ионов СГ - Fm3m[p^ - не нарушается вхождением ионов Na+ во все
октаэдрические пустоты, т.е. в позиции, аналогичные позициям атомов С1
(рис. 186, а):
Cl - 4(a) тЗт : 000;
Na - 4(6) тЗт : 111
222
310
000, О——, -0-, --
22 2 2 22
a = 5,64 A .
Шариковую модель кристал-
лической структуры галита NaCI с
симметрией Fm3m из равного
количества атомов Na и С1 можно
рассматривать как черно-белую
постройку с позиций антисим-
метрии, зафиксировав цветные тра-
нсляции решетки F* вдоль ребер
элементарной ячейки. В этом случае
ей будет соответствовать шубни-
ковская группа F' m3 т .В подре-
шеточном наборе элементов сим-
Рис. 186, а. Кристаллическая структура
галита NaCI - План структуры в проекции
на плоскость ху; расположение
координатных и диагональных
плоскостей симметрии пр. гр.
метрии как результат их взаимо-действия с цветными трансляциями
решетки F* появятся элементы антисимметрии (рис. 186, б).
Кристаллическая структура Li2O
Кристаллическая структура Li2O’ совершенно
тождественна по симметрии структуре NaCI -
Fm3m(p5h^, но с тем лишь различием, что в трех-
слойной плотнейшей упаковке из атомов
кислорода заселенными оказываются не
октаэдрические, а все тетраэдрические пустоты
(рис. 187, а). Это меняет тип формулы АХ на А2Х.
Соответственно этому меняется и правильная
система точек, занятая атомами Li:
О - 4(a) m3 т : ООО;
Li - 8(c) 43т : Щ 3 3 3
444’ 444
ООО, О
11 101 11
22' 2 2' 22
О +
а = 5,64 А .
Рис. 187. Кристаллическая структура LijO: а - проекция
структуры на плоскость ху; б - общий вид структуры; выделены
координационные полиэдры - тетраэдры - вокру! атомов Li
Структуру LijO можно рассматривать как антифлюоритовую, поскольку позиции атомов -
катионов и анионов - обратны по отношению к структуре флюорита CaF2, где атомы F
занимают позиции Li, а Са - О.
311
Полиэдрическая модель структуры Li2O выполнена из одних
тетраэдров, симметрия которых (43 т) и подсказывает симметрию
правильной системы точек, занимаемой атомами Li (рис. 187, б).
Кристаллическая структура LiOH
Рис. 188. Кристаллическая структура LiOH: а - план структуры в проекции на
плоскость ху, жирными линиями выделена тетрагональная элементарная
ячейка; б - общий вид структуры, выделены координационные полиэдры -
тетраэдры - вокруг атомов Li;
Для слоистой структуры LiOH характерно на фоне трехслойной
плотнейшей упаковки из атомов кислорода чередование перпендикулярных
одной из осей 4-го порядка слоев из заполненных атомами Li тетраэдров со
слоями из пустых тетраэдров. Такое заполнение пустот снижает
симметрию всей кристаллической постройки от кубической - Fm3m,
характерной для идеальной кубической плотнейшей упаковки, до
тетрагональной - Р — тт (D'J, что выделяет эту структуру среди других
слоистых структур гидроокисей, обычно характеризующихся
присутствием тройной оси симметрии. Из всего набора элементов
симметрии голоэдрической пр. гр. Fm3m новая тетрагональная ячейка
вдвое меньшего объема наследует лишь вертикальные элементы
312
симметрии: координатные и диагональные плоскости, оси 4 и 4
Горизонтальная зеркальная плоскость т, исчезает. Однако чередующаяся с
ней горизонтальная плоскость скользящего отражения а(= Ь) сохраняется,
оказываясь в новой тетрагональной ячейке клиноплоскостью и (рис. 188,а).
Начало координат выбирается в особой точке инверсионной оси 4, т.е. в
позиции 42т'\ занятой атомами Li. Группы (ОН) локализуются на осях
4-го порядка в моновариантной позиции 4тт.
Характеристика правильных систем точек, заполненных атомами
Li и ОН-группами:
Li -2(a) 42т : ООО, --01
2 2
ОН - 2(c) 4тт : q1- 1о~ • где zOH = 0>20 ,
2“’ 2
я = 3,55 А, с = 4,ЗЗА.
Полиэдрическая модель кристаллической структуры LiOH (см.
цветную вставку, рис. 188,6, в), построенная из равного количества
заполненных (черных) и незаполненных (белых) тетраэдров, может быть
описана с позиций антисимметрии. При этом федоровская группа р — тт
п
подчинена шубниковской р<—_—m(n'}msn' (рис. 188, в), т.е. группе, в
которую возвращена часть элементов симметрии исходной Fm3m, но уже
в качестве цветных, а не классических.
Кристаллическая структура сфалерита ZnS
Кубическая модификация минерала сфалерита ZnS (цинковой
обманки) имеет в своей основе не двухслойную, как в гексагональном
вюрците - ZnS (см. с. 307), а трехслойную плотнейшую упаковку атомов S
(см. цветную вставку, рис. 189, а, б, г). В обеих модификациях катионы Zn
заполняют половину тетраэдрических пустот - пустот одной ориентации,
что объясняет полярность одного направления (оси 3-го порядка) в
структуре вюрцита и наличие четырех полярных направлений - осей 3-го
порядка (вдоль телесных диагоналей куба) - в кубической цинковой
обманке (рис. 189, в). Такое заполнение тетраэдрических пустот с
симметрией 43т снижает и симметрию всей структуры сфалерита от
1 В Интернациональных таблицах приведен также график этой пространственной группы с
началом координат, выбранным в точке с симметрией 2 с координатами относительно
т 44
позиции 42т
313
голоэдрической пр. гр. Fm3m, характерной для чистой трехслойной
плотнейшей упаковки, до ее гемиэдрической подгруппы F43m{rfj-
Действительно, обращаясь к шариковой модели структуры
минерала (рис. 189, а), не обнаруживаем характерных для группы Fm3m
координатных плоскостей симметрии, проходящих через атомы
кубической плотнейшей упаковки. Естественно, исчезают и координатные
поворотные оси 4-го порядка. Вместо них в пр. гр. F43m остаются
инверсионные оси 4 , скрытые в исходной голоэдрической группе.
Атомы Zn и S занимают в структуре сфалерита одинаковые по
симметрии инвариантные правильные системы точек:
S -4(d) 43т: ООО;
Zn - 4(c) 43т: 111
444
„11 11 11'
ООО, 0—, —0—, —О
I 22 2 2 22 ,
а = 5,43 А .
Одинаковое количество атомов Zn и S позволяет рассматривать
шариковую модель структуры сфалерита с позиций антисимметрии.
Переход от федоровской группы F43m к шубниковской
- 4' - 2'
Fd'3 m=F — 3 — сводится к введению координатной плоскости
d' т
антисимметрии (/'(рис. 189, а).
Если структуру сфалерита рассматривать в полиэдрическом
исполнении (рис. 189, б, в), то присутствие в ней одинакового числа
заполненных атомами Zn и пустых S-тетраэдров позволяет описать ее
также в терминах антисимметрии, но при этом классическая
гемиэдрическая пр. гр. F43m перейдет в голоэдрическую, изоморфную
исходной классической Fm3m, но уже шубниковскую группу
Fm'1'm-F — l'— (Рис- 189, г), в которую координатные плоскости т
т' т
возвращаются в качестве “цветных” элементов симметрии.
Кристаллическая структура трехслойной модификации
CdCI2
Поскольку в основе кристаллической структуры трехслойной
модификации CdCl2 (рис. 190,а) лежит трехслойная плотнейшая упаковка
из атомов хлора, то можно было бы ожидать кубическую симметрию, т.е.
характерную для этой упаковки пр. гр. Fm3m. Однако послойное
заполнение половины октаэдрических пустот катионами Cd (слои
перпендикулярны одной из систем осей 3-го порядка кубической
плотнейшей упаковки) оставляет лишь одну систему осей 3-го порядка, что
314
снижает симметрию всей структуры до гексагональной. При этом исчезают
все координатные и половина диагональных плоскостей симметрии
исходной кубической пространственной группы. Наличие трех уровней
расположения катионов Cd позволяет предположить и затем легко найти
в
1 /К в ><• Ч
А с в с А" в А Х/- "''АЛ' а > to > О > оз ОлХйИк КА о '^7 X / vsii'.v \ MX-i N V /, > ш О > О to > * - k~:-Y'-yC.
полиэдрических моделей кристаллических структур: а -
Рис. 190 Общий вид
трехслойной (-АВС-) модификации CdCl2, б - четырехслойной (-ABAC-) модификации
Cdlj, в - шестислойной (-АВСАСВ-) модификации Cdl2. Пунктиром обозначены
незанятые атомами Cd октаэдрические пустоты
элементарной ячейки
и
их
косые трансляционные векторы гексагональной ромбоэдрической
ооо - — -1 .подтвердив
333 J
присутствие расположением ионов О. В результате приходим к пр.
гр.
Определив симметрию занимаемых атомами Cd позиций - Зт и
выбрав в одной из этих инвариантных позиций начало координат (центр
заполненного октаэдра), легко установить и симметрию шестикратной
инвариантной позиции атомов С1 - Зт:
Cd - 3 (а) Зт : ООО;
CI - 6 (с) Зт : 00z, 00z
( ООО,
v 333
, гдег® 1/4
2 11ч
----)+
3 3 3 '
а = 3,85А ,с=17,46А .
Пространственную группу R3m можно определить и иным путем,
записав в строку формулу трехслойной плотнейшей упаковки (см. с. 295):
315
Т чистой упаковки
С [А В С] АВ С
***** * * * * * *
А ВС
к к к к к к к к
т т т т
Cd Cd Cd Cd
* * * * * 1
T заполненной атомами Cd упаковки
где между буквами и на самих буквах ”к” (между слоями и в слоях)
располагаются центры инверсии (*). Заполнив через слой октаэдрические
пустоты атомами Cd, увидим и удвоение параметра с гексагональной
ячейки, и ромбоэдрический тип решетки Браве. При этом в получившейся
последовательности слоев останутся лишь центры инверсии,
расположенные между буквами “к” (между слоями).
В шубниковской группе /V3m. описывающей симметрию
полиэдрической модели трехслойной модификации CdCl2 (рис. 190, а) с
позиций антисимметрии, появляется недостающая половина центров
инверсии (на буквах “к”), но уже в качестве цветных элементов симметрии.
Описанное чередование вдоль тройной оси классических и. цветных
элементов симметрии указывает на присутствие в структуре цветной
трансляции направленной в середину вертикального ребра
гексагональной дважды центрированной ячейки Браве (см. с. 276). При
этом классические центры инверсии находятся в центре каждого
заселенного и пустого октаэдра, центры же инверсии антисимметрии - на
стыках двух троек октаэдров: заселенных сверху и пустых снизу. Цветная
вертикальная трансляция Г обусловливает и чередование в этом
направлении горизонтальных цветных и обычных осей 2-го порядка - 2(2').
Аналогичное “возвращение” потерянных элементов симметрии
можно наблюдать и при описании структуры четырехслойной
модификации Cdl2 (рис. 190, б), где “топазовая” матрица из ионов йода
также послойно заполнена катионами Cd:
Т______
с [а в а с] а ВАСА
* II * II * II * II .
кгкг к г к г
II I
Cd Cd Cd
316
При этом симметрия чистой четырехслойной плотнейшей упаковки - пр.
гр. p6j_mc (см. с. 295) - понижается за счет послойного внедрения атомов
т
Cd до своей гемиморфной подгруппы Р6}тс (параметр с при этом остается
прежним) и возвращается в полиэдрическую модель этой структуры вновь,
но уже в качестве шубниковской группы симметрии - .
т' т с
Тот же процесс возвращения утерянных элементов симметрии
прослеживается и в структуре шестислойной - “рамзаитовой" -
модификации Cdl2, в полиэдрическом изображении которой (рис. 190, в)
появление цветной горизонтальной плоскости симметрии вновь приводит к
голоэдрической, но уже шубниковской группе симметрии:
С В] А ВС
* II *
К К г к
т т
Cd Cd
В [а вс а
II * II
Г ККГ
т т
Cd Cd
Пр. группа Пр. группа
6-слойной 6-слойной
плотнейшей модификации
упаковки Cdl2
Шубниковская группа
симметрии полиэдрической
модели 6-слойной
модификации Cdl2
Р—тс
т
Р3т1
Р^-~
т' тт!
Кристаллическая структура халькопирита CuFeS2
Основу кристаллической структуры минерала халькопирита
CuFeS2 (рис. 191) составляет трехслойная плотнейшая упаковка атомов S,
т.е. “анионная” матрица, такая же, как в структуре сфалерита ZnS (см. с.
313). Однако хотя характер заполнения тетраэдрических пустот и
повторяет таковой сфалерита (катионами заполнена половина
тетраэдрических пустот одной ориентации), их “начинка” в халькопирите
представлена не одним, как в сфалерите (Zn), а двумя сортами атомов - Си
и Fe. При этом две тетраэдрические пустоты на одном уровне вдоль оси с
элементарной ячейки каждый раз заполняются разными “катионами” (Си и
Fe) , что приводит в структуре халькопирита к удвоению параметра с
исходной гранецентрированной кубической ячейки сфалерита (рис. 191, а).
В результате возникает объемноцентрированная тетрагональная ячейка с
единственно возможным для этой сингонии в качестве дополнительно!" >
\ жеJ ’
317
Рис. 191, а. Кристаллическая
структура халькопирита CuFeS2:.
Общий вид структуры; выделены
координационные полиэдры -
тетраэдры - вокруг атомов Си и
Fe
вектором Т, . Тетрагональность
обусловлена осью 4 - единственно
сохранившимся от группы Fm3m
вертикальным элементом симметрии (см.
цветную вставку, рис. 191, б). Таким
образом, из всего набора элементов
симметрии кубической группы Fm3m,
описывающей симметрию “чистой”
трехслойной кубической плотнейшей
упаковки, тетрагональной структурой
халькопирита наследуются: одна система
инверсионных осей 4-го порядка, в особых
точках которых локализованы атомы Fe и
Си, и координатные горизонтальные оси 2-
го порядка, являющиеся в пр. гр. Fm3m
составными частями поворотных осей 4.
На этих осях располагается
моновариантная правильная система
точек, занятая атомами S.
Расположение атомов каждого
сорта в направлении телесной диагонали
элементарной ячейки на 4 уровнях
относительно оси с указывает на
присутствие в данной структуре
диагональной клиноплоскости d
(параллельно центрированной сетке I-
решетки) (рис. 191, б). В результате
возможная принадлежность прост-
ранственной группы, описывающей
симметрию структуры халькопирита, к
классам 4 или 42m ввиду отсутствия
горизонтальной плоскости подтвержда-
ется федоровской группой / 4 2 d(D )
Атомы Си и Fe занимают инвариантные позиции с кратностью 4, а
атомы S - восьмикратные моновариантные позиции пространственной
группы, где начало координат выбрано в особой точке инверсионной оси
4 (т.е. в атоме Си):
Си - 4 (а) 4 : ООО, о—;
24
Fe - 4 (б) 4 : 00-, 0--J
2 24
S - 8 (d) 2; Х11,7--, -х-, -х-, гдех» А,
48 88 4 8 4 8 4
318
а = 5,24 А , с= 10,30 А .
В полиэдрической модели структуры халькопирита CuFeS2 (рис.
191, а), производной от структуры сфалерита, половина тетраэдров в силу
их заполнения двумя сортами атомов (Си и Fe) будет окрашена в два цвета
(пустые тетраэдры при этом в счет не берутся). Очевидна вертикальная
- Т
цветная трансляция = взаим°Действие которой с Т, решетки
приведет к цветной центрировке и базиса ячейки. Взаимодействие векторов
цветной решетки Гсс с классическими элементами симметрии пр. гр. 142d
приведет к тому, что каждая классическая диагональная клиноплоскость d
окажется одновременно и цветной d' (см. рис. 191, б). Однако ее
трансляционная составляющая будет направлена по другой диагонали
центрированной сетки решетки. Появятся и цветные особые точки
инверсионной оси, перенесенные вертикальными цветными векторами на
свою середину, и т.д. В результате будем иметь шубниковскую группу
симметрии I'c(,42d-
Кристаллическая структура станнина Cu2FeSnS4
Кристаллическую структуру станнина (stannite) Cu2FeSnS4
удобно представить также как структуру халькопирита (см. с. 317) в
качестве производной от структуры кубического сфалерита с тем
лишь отличием, что если в трехслойной упаковке атомов S в
сфалерите заполнена половина тетраэдрических пустот одной
ориентации атомами Zn, в халькопирите - двумя сортами атомов: Fe
и Си, то в станнине кроме атомов Fe и Си участвуют еще и атомы
Sn. При этом перпендикулярно единственной оси 4 , сохранившейся
от исходной пространственной группы сфалерита F43m, слои из
чисто медных тетраэдров чередуются с Fe-Sn-тетраэдрическими
слоями таким образом, что параметр с тетрагональной ячейки
станнина оказывается удвоенным по сравнению с параметром
сфалерита (рис. 192, а). Чередование в вертикальном направлении
через полтрансляции (Ll) Fe- и Sn-тетраэдров приводит к
2
появлению центрирующего объем ячейки вектора,
выдерживающегося и для Cu-тетраэдров. Легко увидеть
диагональные вертикальные зеркальные плоскости md,
пересекающиеся под углом 45° с координатными горизонт ал ьны\ ч
319
Рис. 192. Кристаллическая структура
станнина Cu2FeSnS4: а - общий вид
структуры; выделены координационные
полиэдры - тетраэдры - вокруг атомов
Си, Fe и Sn; б - проекция структуры на
плоскость ху. сплошной тонкой линией
выделена стандартная элементарная
ячейка с началом координат в позиции
42т
осями 2. Таким образом,
симметрия кристаллической
структуры станнина описыва-
ется пр. гр. I42m Начало
координат выбирается в особой
точке инверсионной оси 4 в
позиции с симметрией 42т.
Атомы Fe и Sn занимают
эквивалентные инвариантные
позиции с симметрией 42т,
атомы Си - также инвариантную
позицию в особой точке
инверсионной оси 4 и атомы S -
дивариантную позицию на
диагональной плоскости сим-
метрии (рис. 192, 6):
Fe - 2 (д) 42т: ООО;
Sn - 2 (Z>) 42т: 00— '>
2
Си - 4(</) 4 о-- -о-;
24 2 4
S — 8 (z) т‘. xxz, xxz,
XXZ, XXZ,
где xs= 0,245, zs = 0,132
а - 5,46 А , с = 10,72 А .
Кристаллическая
структура тетрадимита
Bi2Te2S
Кристаллическая структура
тетрадимита Bi2Te2S (рис. 193) в
своей основе имеет единственную
ромбоэдрическую из семи воз-
можных девятислойную плотней-
320
шую упаковку, построенную совместно атомами Те и S. При этом слои,
соответствующие буквам “к”, сложены атомами S, а буквам “г” - атомами
Те, что соответствует их относительному количеству:
Рис. 193. Общий вид полиэдрической
модели кристаллической структуры
тетрадимита BijTejS. Пунктиром
выделены незанятые атомами Bi
октаэдрические пустоты
Те Те S Те Те S
С В С А С] А
* * * *
г г к г г к
т т т
Bi Bi Bi
Атомы Bi заполняют 2/3
октаэдрических пустот слоями
таким образом, что плотно-
упакованный слой из атомов S
оказывается общим для двух
заполненных Bi октаэдрических
слоев.
Симметрия рассматрива-
емой девятислойной плотнейшей
упаковки из одинаковых шаров -
R 3 с. 296) - не
изменяется ни “раскраской” их в
разные цвета (S и Те), ни
указанным заселением ее окта-
эдрических пустот атомами Bi. И,
как видно из приведенной выше
схемы, атомы S оказываются в
центрах инверсии (*), т.е. в
инвариантной позиции 3 т , атомы
же Те и Bi - в моновариантных
позициях Зт:
S - 3 (а) Тт : ООО;
Те - 6 (с) Зт: 00г, 00F,
где zTe « 1/9;
Bi - 6 (с) Зт: 00 z, 00 z ,
где zBi » 1/18,
(ООО, ---
v 333
2_И
333
а = 4,32 А, с = 30,01 А.
\ v\c0>***
321
Кристаллическая структура пирита FeS2
Кубическая симметрия выделенной по атомам Fe элементарной
ячейки, координатным трансляциям которой удовлетворяет и
расположение гантелей S-S, подтверждается четырьмя системами
г
в
скрещивающихся осей 3-го порядка. Направления этих осей совпадают с
ориентацией такого же количества гантелей S-S, параллельных всем
телесным диагоналям куба. Заподозренные по расположению атомов Fe
дополнительные трансляции, центрирующие грани куба, не
подтверждаются взаимным расположением разориентированных гантелей
S-S. В результате фиксируем примитивную решетку Браве (рис. 194, а, б).
Наличие на гранях многих кристаллов пирита характерной
штриховки, параллельной координатным осям ячейки, позволяет
предположить отсутствие в пространственной группе пирита диагональных
плоскостей симметрии, т.е. гемиэдрическую группу. Плоскости
322
скользящего отражения а , Ь и с, связанные поворотами вокруг осей 3-го
порядка, легко находятся также по расположению гантелей S-S. Таким
образом, пр. гр. пирита - РаЗСг*}, с началом координат, выбранным в
центре инверсии, - точке, равноудаленной от трех скрещивающихся
координатных осей 2t (как и в исходной ромбической подгруппе РЬса (см.
рис. 96)).
Атомы Fe и S занимают обе из двух возможных в данной
пространственной группе принципиально разных частных правильных
систем точек: атомы Fe - в инвариантных позициях 3, атомы S - в
нефиксированных моновариантных позициях, также на оси 3:
Fe - 4 (а) 3 : 000 011 101 110;
22 2 2 22
S - 8 (с) 3: (1 Y1 V ¥1 Y1 W1 W1 )
(2 Л2 ) I2 Л2 ) I2 J к2 /
1 V1 (l Y1 1 Р W1
2 Л2 ) I2 Л2 J I2 J I2
гдех = 0,386;
а = 5,405 А .
Расположение атомов S на осях 3-го порядка в нефиксированных
позициях (с одной степенью свободы вдоль оси) делает возможным их
перемещение именно в этом направлении без изменения симметрии. И
поскольку координата “х” в этом случае может принимать разные значения,
то и координационное окружение атомов (Fe), фиксированных на этой оси
(симметрия позиции 3 ), будет изменяться. Это, естественно, повлечет за
собой и изменение структурного типа.
Так, структурный тип пирита FeS2 сохраняется при изменении
координаты “х” в пределах 0,25<х<0,5 с соответственным сохранением и
октаэдрического окружения атомов Fe (K4Fe/0 = 6)(рис. 194, а). При
0<х<0,25 координационное число катиона окажется равным 2, т.е. получим
другой структурный тип - СО2 (рис. 194, в). При четко фиксированной
координате х = 0,25 симметрия всей кристаллической постройки
повышается до Fm3 т, т.е. имеем структурный тип флюорита CaF2 с КЧса/ г
= 8 (рис. 194, г). Прих = 0,5 две позиции на оси 3 (ххх и ххх ) сливаются в
одну (111), что приводит к структурному типу NaCl также с симметрией
222
Fm3m. Поэтому часто кристаллическую структуру пирита описывают на
основе более простого структурного типа NaCl, в котором позиции атомов
Na в вершинах и центрах граней элементарной ячейки соответствуют
положениям атомов Fe, позиции же ионов О - на серединах ребер и в
центре объема ячейки - центрам тяжести гантелей [S - S]2”, ориентация
которых обеспечивает понижение симметрии кристаллической структуры
минерала до пр. гр. РаЗ .
323
Кристаллическая структура марказита FeS2
Кристаллическая структура ромбической модификации FeS2 -
марказита (рис. 195, а) - относится к структурному типу тетрагонального
рутила TiO2 (см. с. 305), где анионы образуют гексагональную плотнейшую
упаковку, а катионы занимают половину чередующихся между собой
октаэдрических колонок. В структуре рутила разворот октаэдров на угол
19°30' приводит к значительному искажению плотнейшей упаковки -
тетрагонализации всей структуры и появлению инверсионных осей 4 ,
параллельных Ti-O-колонкам (рис. 195, б, в). В структуре марказита
аналогичное заполнение октаэдрических пустот катионами Fe практически
не деформированной двухслойной плотнейшей упаковки из атомов S
приводит к ромбической симметрии, на что указывает не только форма
элементарной ячейки минерала (а*Ь?с, а = ₽ = у = 90°), но и наличие
трех координатных взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии.
Примитивный тип решетки Браве подтверждается различной
ориентацией гантелей S-S, отвергающей объемноцентрирующую
трансляцию, предположенную по атомам Fe. Расположение последних
указывает и на возможный тип плоскостей симметрии разных позиций.
Однако из трех заподозренных зеркальных плоскостей симметрии
расположение гантелей S-S подтверждает лишь одну (мг),
перпендикулярную самому короткому ребру (с) элементарной ячейки. Из
трех же клиноплоскостей п реализованными в структуре минерала
оказываются лишь две, перпендикулярные найденной т:.
Таким образом, получаем голоэдрическую пр. гр. Рппт (о2^),
э
начало координат которой выбирается в позиции _. Именно эту
т
двухкратную инвариантную позицию и занимают атомы Fe. Атомы S
располагаются в четырехкратной дивариантной позиции на плоскости т2
(рис. 195, г):
Fe - 2 (а) 2:000, 111;
т 2 2 2
S - 4 (g) т :хуО, fl+xYl-j)l,
<2 д2 J2 U Д2 )2
где x = 0,200, у = 0,378;
а = 4,436А ,/> = 5,414 А, с= 3,381 А .
324
Рис. 195. К определению симметрии кристаллической структуры марказита
FeS2: а - общий вид структуры; выделен координационный полиэдр - октаэдр
- вокруг атома Fe; б - проекция идеализированной полиэдрической модели
структуры марказита на плоскость лу, в - проекция идеализированной
структуры рутила ТЮ2 на плоскость ху, г - график федоровской группы Рппт
( D'2l ) с нанесенными на него атомами Fe и S; д - проекция структуры
марказита на плоскость xz; выделена ячейка с параметрами, соизмеримыми с
таковыми пирита; е - проекция структуры пирита на плоскость ху. На обеих
проекциях структур пирита и марказита выделены октаэдры вокруг агомов Fe,
центрирующих боковые грани '‘пиритовых” ячеек
Преобразование кристаллических структур при попиморфном
325
переходе между марказитом и пиритом - ромбической и кубической
модификациями FeS2 - удобно проследить, рассмотрев структуру
марказита в проекции xz вдоль одинакового для структур обеих
о о
модификаций параметра (6марк = 5,414 А , апир = 5,405 А ) (рис. 195, д, е).
Выбрав в качестве горизонтальных параметров диагонали грани ас (010),
О
равные 5,58А, и построив на них новую ячейку удвоенного объема,
увидим, что ее ребра соизмеримы с таковыми пирита, т.е. новая ячейка
марказита оказывается как бы деформированной ячейкой пирита вдоль
одного из диагональных направлений грани куба. Атомы Fe в обеих
ячейках расположены одинаково - по гранецентрированному закону.
Гантели S-S центрируют объем и все ребра ячеек. Различие заключается
лишь в том, что в структуре марказита все гантели ориентированы
параллельно диагональной плоскости новой удвоенной ячейки, в то время
как в структуре пирита их ориентация параллельна четырем
скрещивающимся осям 3-го порядка.
Как видим, полиморфный переход от марказита к пириту
заключается в искажении двухслойной плотнейшей упаковки за счет
разворота на 90° половины гантелей S-S с одновременной деформацией
(растягиванием) ромбической элементарной ячейки марказита до
кубической пирита с сохранением практически всех параметров исходной
решетки.
Кристаллическая структура арсенопирита FeAsS
Рис. 196. Кристаллическая структура арсенопирита FeAsS: проекция xz
структуры в установке д у Л у: жирными линиями выделена примитивная
d
элементарная ячейка
326
Кристаллическая структура минерала арсенопирита FeAsS, так же
как и структура марказита FeS2, построена на основе двухслойной
плотнейшей упаковки с тем лишь отличием, что ее образуют не один (S),
как в марказите (см. с. 324), а два сорта атомов - As и S.
Взяв в качестве исходной ячейку, составленную из четырех
элементарных ячеек марказита, и заменив в ней половину атомов S на
атомы As, как показано на рис. 196, увидим, что из всего голоэдрического
набора элементов симметрии ромбической пространственной группы
глп . „ 2,2 2,
марказита L>2h (в нестандартной установке Р —-------) в структуре
п т п
2
арсенопирита сохранится лишь ее моноклинная подгруппа PlI-1-. Однако
п
в такой учетверенной ячейке появляется базоцентрирующая трансляция
—>
Тс , и соответственно трансляционные составляющие клиноплоскости п
оказываются равными 1/4 диагонали базиса горизонтальной Грани ячейки,
т.е. клиноплоскость п трансформируется в алмазную, также
клиноплоскость d. В результате получаем моноклинную пр. гр.
2 2
СП-1- (= В1—1). Отсутствие горизонтальных особых направлений в
d d
моноклинной С-решетке позволяет выбрать примитивную элементарную
ячейку вдвое меньшего размера, где вектор /, становится компонентой
плоскости Ь. В итоге структура арсенопирита описывается пр. гр.
2 2
РП-L = Pl^llC’A- И хотя все атомы (Fe, As и S) оказываются в общих
b с ' '
положениях, их координаты сопоставимы с координатами атомов более
высокосимметричной структуры марказита1'.
где xFe» 0 , yFe» 0, zFe» 0,275 , xAs = 0,147,
yAs = 0,128 ,zAs» 0«xs = 0,167,^ = 0,132,
zs * 0,5;
| 000, -0-| +
l 2 2)
a = 9,51 A , b = 5,65 A , c = 6,42 A , P = 90°.
11 Параметры и координаты атомов структуры арсенопирита приведены для установки
327
Кристаллическая структура СгО3
Основу кристал-
лической структуры СгО3
составляет двухслойная
(гексагональная) плот-
нейшая упаковка атомов
кислорода, треть окта-
эдрических пустот кото-
рой по карбонатному
(антикорундовому) моти-
ву заполнена атомами Сг
(рис. 197, а, б). При этом
из трех октаэдрических
колонок, расположенных
вокруг оси 3 плотнейшей
упаковки, одна пустая,
октаэдры же остальных
двух оказываются запол-
ненными наполовину
атомами Сг на разных
уровнях - 0 и 1/2. В
результате указанного
заполнения выделяется
Рис. 197. К определению
симметрии кристаллической
структуры СгО3: а - связь
элементарных ячеек структуры
Mg, выделенной по шарам
идеальной плотнейшей двух-
слойной упаковки (—),
гексагональной идеализирован-
ной структуры СгО3, выде-
ленной с учетом заполнения 1/3
октаэдрических пустот атомами
Сг (-—) и реальной ромби-
ческой структуры СгО5 (.);
б - антикорундовый (карбонат-
ный) мотив заполнения окта-
эдрических пустот плотио-
упакованного слоя; в - про-
екция структуры на плоскость
ху. Выделены полиэдры -
октаэдры - вокруг атомов Сг.
Нанесены элементы симметрии
пр. гр. С222,
328
новая, утроенная по объему гексагональная элементарная ячейка с
параметрами, равными длинной диагонали ячейки, выбранной по шарам
гексагональной плотнейшей упаковки (рис. 197, а). Исчезновение всех
координатных и диагональных плоскостей симметрии исходной
пространственной группы Р-*-тс, описывающей симметрию идеальной
т
двухслойной плотнейшей упаковки, приводит к гемисимморфной пр. гр.
Рб322. Однако и она в реальной структуре СгО3 понижается до своей
ромбической подгруппы С222/ (Dj ). В итоге приходим к ортогональной
С-ячейке с параметрами а = 8,477А, Ь = 4,78А, с = 5,711 А, где
отношение а:Ь = 1,773 отличается от идеального (1,732) для всех
гексагональных структур (при выборе в них ортогексагональной -
ромбической - ячейки). Это приводит к исчезновению поворотной
составляющей оси 63 - оси 3-го порядка, т.е. структура СгО3 становится
ромбической, сохраняя псевдогексагональность (рис. 197, а, в).
Атомы Сг в ромбической С-ячейке занимают четырехкратные
позиции на осях 2Х, атомы О - две позиции: одну четырехкратную - на осях
2V и одну общего положения:
Сг - 4 (а) 2 : хОО, jfo— ;
2
01 - 4 (б) 2 : оД Оу-;
4 4
ОН - 8 (с) 1 : xyz, xyQ-+zJ xyQ--z^
| ООО, --o|+
l 22 )
гдехс® 1/3, jq » 1/3, xOn® l/6,yO i » 1/6, zOn»3/4.
Кристаллическая структура арагонита СаСОз
Симметрия кристаллической структуры арагонита СаСО3
описывается пространственной группой Рпта ® шариковой модели
структуры (рис. 198, а, б) по расположению атомов Са нетрудно выбрать
прямоугольную элементарную ячейку, увидеть зеркальную плоскость т,
проходящую через атомы Са, С и О, и, предположив ромбическую
голоэдрию, найти по ориентации треугольников [С03] перпендикулярные к
ней плоскости пн а. Таким образом, три дивариантные позиции атомов Са,
С и 01 оказываются одинаковыми, т.е. расположенными на зеркальной
плоскости ту, одна же позиция, занятая атомами Оц, - общая (рис. 198, а,
б):
329
Рис. 198 Кристаллическая структура
330
где лса «0,25, z^ «01, хс «0,08 , zc «0,75 ,
хо «0.08, z„ «0,6, хо «0,92, у0 «0,98, zo «0,15;
a = 5,73 A , Z> = 4,95 A , c = 7,95 A.
Во некоторых литературных источниках (например, [4]) структура
арагонита представлена на основе двухслойной плотнейшей упаковки.
Действительно, придав координатам х атомов О, С и Са одинаковые
значения (х - 1/4) и, таким образом, идеализировав структуру минерала,
обнаружим практически неискаженную гексагональную плотнейшую
упаковку, образованную совместно атомами О и Са (рис. 198, в) с
плотноупакованными слоями, перпендикулярными параметру а структуры.
При этом СО3-треугольники будут как бы нанизаны на оси 63 плотнейшей
упаковки, т.е. будут являться общей горизонтальной гранью каждой пары
пустых октаэдров. Положение атомов Са, участвующих в образовании
плотноупакованных слоев, естественно, окажется на поворотных осях 3-го
порядка. При таком расположении атомов Са горизонтальные параметры
элементарной ячейки удвоятся (рис. 198, в). Однако симметрия, заданная
двухслойной плотнейшей упаковкой (пр. гр. Р-З-тс), нарушена не будет.
т
Атомы Са в позициях шаров плотнейшей упаковки окажутся в центрах
гексагональных кубооктаэдров (рис. 198, г), что объясняет возможность их
изоморфного замещения более крупными атомами Sr. Треугольники СО3
располагаются в тех колонках из октаэдров, которые образованы только
атомами кислорода. Другая половина октаэдрических колонок, в
образовании которых участвуют и атомы Са, пуста.
В реальной структуре арагонита искажение плотнейшей упаковки
связано главным образом с тем, что СО3-треугольники выходят из
плоскости плотноупакованного слоя, как бы гофрируя его. Это уменьшает
координацию атомов Са с 12 до 9: 6 атомов О, принадлежащих
плотноупакованному слою, остаются в координационной сфере Са, из
верхней и нижней троек атомов базиса гексагонального кубооктаэдра - два
и один соответственно - оказываются удаленными во вторую
координационную сферу. В целом структура арагонита становится
псевдогексагональной с сохранением лишь одной системы зеркальных
331
плоскостей симметрии и осей 2h входящих в состав винтовых осей 6j
3-2, (рис. 198, б).
Кристаллическая структура кальцита СаСОз
Основа крис-
таллической струк-
туры кальцита СаСО3
- двухслойная гекса-
гональная плотней-
шая упаковка анио-
нов кислорода, 1/3
октаэдрических пус-
тот которой запол-
нена атомами Са по
карбонатному (анти-
корундовому) мотиву
(рис. 199, а и 197, б).
При этом каждый
атом О оказывается
принадлежащим
двум Са-октаэдрам и
одному СО3-треу-
б
Рис. 199. Кристаллическая структура кальцита СаСОт а - идеализированная
полиэдрическая модель структуры в аксонометрии; отдельно показана колонка
из заполненных и пустых (выделены пунктиром) октаэдров; общие грани пустых
октаэдров - С03-треугольникн; б - график пр. гр. R3c с нанесенными на него
атомами Са, С и О; выделен октаэдр вокруг атома Са
332
гольнику. В возникших колонках из октаэдров, вытянутых вдоль главной
оси упаковки, чередуются две незаселенные октаэдрические пустоты с
одной заполненной. Общей горизонтальной гранью каждой пары пустых
октаэдров являются треугольники СО3.
В выделенной по атомам Са дважды центрированной
гексагональной ячейке легко обнаружить координатные плоскости с,
пересечения которых фиксируют поворотные оси 3-го порядка, а также
винтовые оси 3/ и 32, завиваясь вокруг которых спаренные незаполненные
октаэдры различаются по высоте, равной 1/3 параметра с элементарной
ячейки минерала.
Выбрав начало координат пространственной группы R3c
описывающей симметрию структуры кальцита, в инвариантной позиции
3 , занятой атомами Са, получим следующие характеристики правильных
систем точек, занимаемых и остальными атомами структуры (рис. 199, в):
Са - 6 (6) 3 : ООО, 00—;
2
С - 6 (а) 32 : оо-, 00- 5
4 4
О - 18 (е) 2 : хо—, Ох—, хх—, х0—, Ох—, хх — >
4 4 4 4 4 4
где х = 0,26,
а = 4,99А ,с= 17,06А .
Часто в справочниках приводятся параметры кристаллической
структуры кальцита в ромбоэдрической (Миллеровской) установке:
Са - 2 (6) 3 : 111 111;
444’ 444
С - 2 (а) 32 : 000, 111;
222
О - 6 (е) 2 : ххО О Г1_Х¥1+Х^1О, где х = 0,26,
U Д2 J2
а = 6,37 А , а = 46°05'.
Приведенному описанию соответствует нестандартный выбор
начала координат: позиция с симметрией 32, о чем свидетельствуют
координаты атомов С - в середине ацентричного треугольного иона (СО3)2"
Кристаллическая структура шпинели MgAI2O4
В основе структуры нормальной шпинели MgAl2C>4 - трехслойная
плотнейшая упаковка атомов О, на которую указывают слагающие всю
333
ттт
Рис. 200. Кристаллическая структура шпинели MgAI2O4: а - проекция ху структуры минерала;
выделены Mg-тетраэдры; б - общий вид структуры; в - график пр. гр. Fd3m(o,^ с
нанесенными на него атомами Mg, Al и О; г - шпинелевый октаэдрический слой; д -
фрагмент структуры в проекции на плоскость (111); способ сочленения шпинелевого и
антишпинелевого слоев; е - идеализированная постройка из Al-октаэдров в структурном типе
шпинели
334
335
с структуру гранецентри-
рованные кубы. Характер
заполнения 1/2 октаэдри-
ческих и 1/8 тетраэдри-
ческих пустот этой упаков-
ки атомами А1 и Mg
соответственно приводит к
тому, что элементарная
ячейка структуры минерала
оказывается составленной
I из восьми малых F-кубов.
В такой увосьмиренной
элементарной ячейке ато-
мы Mg располагаются по
“алмазному” закону. Это
легко увидеть, если первый
Рис 200, е атом Mg поместить в
ближайшую к началу
координат тетраэдрическую пустоту (рис. 200, а). Подобное расположение
[MgO4]-TeTpa3flpoB задает структуре шпинели пространственную группу
Fd3 т с координатными клиноплоскостями d, отвергая при этом
координатные зеркальные плоскости пространственной группы Fm 3 т ,
описывающей симметрию чистой кубической плотнейшей упаковки, и
сохраняя общие для обеих групп: тип решетки Браве, диагональные
зеркальные плоскости и оси 3-го порядка, т.е. кубическую симметрию всей
структуры.
Переместив начало координат в первый (исходный) атом Mg (000)
(рис. 200, а) и приведя к нему высоты (координаты z) остальных атомов
(Mg и О), увидим, что атомы А1 располагаются в такой новой большой
ячейке в незанятых атомами Mg октантах. Причем четверки из атомов А1
дополняют свободные от атомов Mg кислородные тетраэдры до кубов (рис.
200, а, б). Положения атомов А1 подчиняются задаваемым атомами Mg
клиноплоскостям d. Таким образом, пространственной группой,
описывающей симметрию структуры шпинели, будет группа Fd3 т , в
которой позиции атомов Mg, находящиеся в тетраэдрическом окружении
атомов О, наследуют симметрию тетраэдра, т.е. точечную группу 4 3т,
атомы А1 оказываются в центросимметричных позициях 3 т , атомы О-в
моновариантных позициях на осях 3-го порядка - Зт:
Mg - 8 (а) 4 3 т : 000, JLJL1-
4 4 4'
0-32 (е) Зт :
А1 - 16 (d) Зт : 5 5 5 5 7 7 75 7 7 75.
8 8 8’ 8 8 8’ 8 8 8’ 8 8 8’
fl Y1 V1 1 f1
U А 4 / (4 А 4
336
— _f3 Y3 If3 W3 (3 Y3 V
xxx, x -+x I —+x L —+x lx —+x I —+x I —+x lx,
и Л4 ; и /и } u д4 г
где x a 7/8,
a = 8,11 A , (рис. 200, a, в).
Акцентируя внимание при описании структурного типа шпинели
(АВ2О4) на мотиве заполнения октаэдрических и тетраэдрических пустот
кубической плотнейшей упаковки из атомов кислорода, т.е. рассматривая
ее полиэдрическую модель, легко обнаружить перпендикулярные осям 3-го
порядка октаэдрические слои (111), заполненные атомами А1 по
“шпинелевому” закону (рис. 200, г) (заполнены 3/4 октаэдрических пустот)
и чередующиеся с антишпинелевыи слоями (заполнена 1/4 октаэдрических
пустот), что подтверждает отношение А1: О = 1 : 2 в химической формуле
соединения. При этом одиночные Al-октаэдры “антишпинелевого” слоя
садятся на треугольные “посадочные площадки”, образованные ребрами
трех Al-октаэдров предыдущего шпинелевого слоя (рис. 200, д'). Тройки же
ребер верхней грани одиночных октаэдров являются также общими с
ребрами троек Al-октаэдров, но уже следующего шпинелевого слоя. Таким
образом, два ближайших шпинелевых слоя оказываются связанными
точками инверсии, совпадающими с центрами одиночных октаэдров
антишпинелевого слоя (рис. 200, е).
Основаниями Mg-ортотетраэдров, расположенных в
антишпинелевых слоях, служат треугольные грани пустых октаэдров из
шпинелевого слоя (рис. 200, д). Вершины тетраэдров, противоположные их
основаниям, являются общими для трех Al-октаэдров выше- и
нижележащих шпинелевых слоев. Таким образом, пустой октаэдр
шпинелевого слоя оказывается между антипараллельными гранями двух
Mg-тетраэдров, связанных один с другим второй системой центров
инверсии, расположенных в этих пустых октаэдрах.
Ближайшие друг к другу шпинелевые слои смещены косо
расположенной к ним трансляцией, являющейся ребром примитивного
ромбоэдра - ребром основной ячейки гранецентрированного куба (рис.
200,е). В проекции полиэдрической модели структуры шпинели на
плоскость (111) (рис. 200, д), перпендикулярную оси 3-го порядка, хорошо
видны зеркальные плоскости симметрии, пересекающиеся вдоль этой оси.
В итоге обнаруживается пр. гр. RЗт, являющаяся в данном случае
подгруппой кубической пр. гр. Fd3 т (см. с. 214).
Кристаллическая структура P-W
В кубической структуре P-W из восьми атомов, приходящихся на
одну элементарную ячейку, два находятся в ее вершинах и центре объема,
остальные же 6 располагаются парами на каждой ее грани (рис. 201, а). При
337
этом каждая пара атомов W ориентирована параллельно одной из
координатных осей ячейки и подчиняется четырем осям 3-го порядка,
пересекающимся в ее центре. Поскольку найденная по части атомов
дополнительная трансляция в центр объема ячейки не подтверждается
расположением остальных атомов, имеем кубическую примитивную
решетку.
Рис. 201. Кристаллическая
структура p-W:
а - общий вид структуры в
аксонометрии;
б - график пр. гр.
РтЗт (о/) с нанесенными
на него атомами W
338
Предположив принадлежность структуры Р-W к голоэдрическому
классу, легко находим координатные зеркальные плоскости симметрии.
Возможные диагональные клиноплоскости п, найденные по расположению
части атомов W в вершинах и центре объема ячейки, подтверждаются
положением остальных. Таким образом, симметрию кристаллической
структуры Р-W описывает пр. гр. Рт 3
Положение атомов Wi в точках пересечения трех координатных
плоскостей указывает на симметрию занимаемых ими позиций m3 .
Другие атомы (Wn) располагаются в особых точках инверсионных осей 4
(рис. 201, б):
W, - 2 (а) m3 : ООО, 111;
222
W„ - 6 (с) 4 2т: 1q1, Hq, 0-- -0-, --0, 0--;
4 2 24 2 4 4 2 24 24
п = 5,05 А.
Кристаллическая структура граната СазА12[81О4]з
Кубическую элементарную ячейку структуры граната (гроссуляра)
СазА12[8Ю4]з легко найти, предварительно выделив по атомам А1
объемноцентрированный куб и обнаружив при этом, что его ребра не
являются трансляциями для остальных атомов структуры, и после этого
оконтурить ячейку на основе удвоенных ребер малого куба. В результате
элементарная ячейка структуры граната будет составлена восемью малыми
/-кубами, выделенными по атомам А1. Из двух возможных центрированных
решеток (/ и F) при вышеуказанной укладке малых кубов в большой ячейке
реализуется также /-центрировка.
Обратим внимание на то, что в плоскости каждой грани малых
кубов располагаются два атома: Са и Si. Соединив мысленно каждую пару
этих атомов векторами (например, от Са к Si или наоборот), увидим, что
они ориентированы вдоль трех координатных направлений кубической
ячейки2) и подчиняются осям 3-го порядка, каждая из которых совпадает с
одной из телесных диагоналей каждого малого куба (рис. 202, а). Таким
образом, оси 3 большой элементарной ячейки граната не пересекаются, а
скрещиваются, как в пр. гр. P2t3 или ее надгруппе Р аЗ (см. с. 172 и рис.
202, б). Воспользовавшись аналогией с указанной пространственной
группой (РаЗ ) и в структуре граната находим все три системы
плоскостей скользящего отражения (Ь, с, а), подчиненных, как и в группе
Р аЗ , осям 3-го порядка.
2 Интересно сопоставить расположение катионов в исходном малом кубе структуры граната «
расположением атомов W в элементарной ячейке структры p-W: атомы А1 занимают позиции
Wi(a), катионы же Са и Si распределены по позициям W„(c) (см. с. 337 и рис. ''.01).
339
Рис. 202. Кристаллическая структура граната Ca3Al2[SiC>4h: а - расположение пар Ca-»Si на
гранях малого объемноцентрированного Al-куба (октанта элементарной ячейки структуры
граната); б - схема расположения пересекающихся осей 3-го порядка в пр. гр. Ia3d,
описывающей структуру граната; в - проекция структуры на плоскость ху, выделены [SiOJ-
ортотетраэдры
340
Фиксация атомов Al на 4 уровнях вдоль каждой телесной
диагонали элементарной ячейки минерала позволяет предположить
присутствие задающей эти уровни диагональной клиноплоскости d,
параллельной центрированной сетке ячейки, что и подтверждается
расположением атомов Са и 8Ю4-тетраэдров. При этом, как и следовало
ожидать, в структуре граната реализуется лишь один из двух возможных
векторов вдоль телесных диагоналей куба одной и той же сетки.
Сориентировав структуру граната таким образом, чтобы одна из
осей 3-го порядка приобрела символ [111] и прошла через начало
координат, обнаружим, что оси 3 лежат в клиноплоскостях d и направление
каждой из них совпадает с направлением скольжения соответствующей
клиноплоскости d. В итоге придем к пр. гр. Ia3 d(o”‘)
Далее, выделив вокруг атомов Si кислородные тетраэдры, можно
увидеть и винтовые оси 4t и 4}, также диктующие 4 уровня расположения
атомов структуры (рис. 246, в).
Начертив график пр. гр. Ia3 d (см. с. 159, рис. 114, в) и определив
соответствие модели структуры стандартному ее аспекту (зафиксировав,
таким образом, на модели начало координат), обнаруживаем, что атомы А1,
Са и Si располагаются в инвариантных позициях: 3 , 222 и 4
соответственно, атомы О занимают общую правильную систему точек:
А1
oil, -*0-*, -Lio,
2222 22
111 111 ill.
444’ 443’ 444’
l’o, oil, lol, ll0, 0H,
48 4884 48 48
... 1 5 157337 37
-0-, --0, 0--, -0-, --0, 0——;
8 4 48 48 8 4 48 48
-24 (J) 7: lol, Uo, oll, lol, ll0, 0U,
“ ' 488448 48
1 \ lol, 3 *0, 03-5-,
48 8 4 48 48
- 16 (а) 3 : qoo,
Са
4 4 4
- 24 (c) 222 : 1O1
8 4’
5„l
Si
zxy
yzx,
8'4’ 48 ’
V, ,30.
8 4 4 8
V, Ho, o’Z lol, 3%, o—~;
8448 48 84 48 4C
- 96 (Л) / :
xyz
О
а= 11,84 А .
Интересно отметить, что в выделенном по атомам А1 маленьком
кубе (Z = 8) реализуется вся химическая формула этого соединения:
Саз AI2[SiO4]3.
Кристаллическая структура тенардита Na2SO4
В ромбической структуре тенардита Na2SO4 легко по располо-
жению 8О4-тетраэдров выбирается ортогональная элементарная ячейка и
определяется ее тип - F-решетка (рис. 203). Четыре уровня 8О4-тетраэдров
вдоль каждого координатного направления ячейки объясняется
присутствием в пространственной группе, описывающей симметрию
структуры, клиноплоскостей d на всех трех позициях символа -
Fddd (р24). Начало координат этой пространственной группы
соответствует позиции с симметрией 222, характеризующей правильную
систему точек, занятую атомами S. Атомы Na оказываются в
моновариантных позициях на координатных осях 2-го порядка, атомы О -
в общих положениях:
S - 8 (а) 222 : 000 LLL;
’ 4 4 4
Na - 16 (/)
2 ОуО. ОуО,
0-32 (А) /
1(1 1(1 )1
- ~-у — — + у
4(4 -J4 4(4
xyz, xyz,
342
где _VNa = 0,315, хо = -0,145, jo = 0,085, z0 = 0,065,
„„„„11 1 „
ООО, 0—, -0-
22 2 2
Рис. 203. График пр. гр. Fddd с нанесенными
структуры тенардита, NaSOj. Выделены [SOJ-тетраэдры
на него атомами Na, S и О
Кристаллическая структура T1I
В кристаллической структуре ТП легко выделяется прямоугольная
ячейка, по форме которой (а *Ь *с, а = р = у = 90°) можно предположить
ромбическую сингонию. Дополнительная трансляция в центр одной из
граней ячейки указывает на базоцентрированный тип решетки Браве.
Голоэдрическая пространственная группа С man подтверждается
тремя системами координатных плоскостей: двумя зеркальными и
перпендикулярной к ним плоскостью скользящего отражения. В
развернутом виде формула пространственной группы за счет
343
взаимодействия подрешеточных элементов симметрии с вектором Т'.
запишется как С 2(2/) 2(2') 2'(2').
с\п) тп = п
Атомы Т1 и I занимают одну моновариантную правильную систему
точек с симметрией mm2 (рис. 204, а):
Рис. 204. а. Кристаллическая структура TII. График пр. гр. Cmcm (р”} с
нанесенными на него атомами TI и I
1-4 (с) mm2: 0 ’ Оу-, гдеуТ|®3/8, у,® 1/8
1 J 4’ 4
| ООО, --0| +
I 22 )
а = 4,57 А , Ь = 12,29 А , с = 5,24 А .
Поскольку оба сорта атомов занимают позиции одинаковой
симметрии с единственной степенью свободы вдоль одного координатного
направления (вдоль оси Y) и с определенным соотношением указанных
координат: у?у = --у1, то кристаллическую структуру ТП можно описать
с использованием терминов антисимметрии.
Хорошо видна цветная центрировка боковых А- и В-граней
->
элементарной ячейки - С'А К . Взаимодействие цветных трансляций Г/ и
с подрешеточными классическими элементами симметрии
обусловливает чередование этих элементов. В результате получим
шубниковскую группу Сдвmcm = С'А.цm = п'(Ь = с) с = а’(п = т) т =
п(а'= Ь) (см. цветную вставку, рис. 204, б).
344
Кристаллические структуры куприта Си2О,
и кристобалита SiO2
Кубичность структуры куприта Си2О не вызывает сомнений в том
случае, если выбрать ячейку по атомам кислорода, содержащую
пересекающиеся в ее центре все 4 оси 3-го порядка (рис. 205, а).
Положение атома О в центре такой ячейки указывает на возможность
—>
объемноцентрированного типа решетки Браве. Однако вектор T't не
подтверждается расположением атомов Си. Положение атомов Си в
выбранной по ним ячейке указывает на возможность иной - F-
центрировки, которой, в свою очередь, не подчиняется расположение
атомов О. В итоге, поскольку ни одна из предположенных центрировок не
реализуется для всей структуры, имеем примитивную решетку Браве. Саму
же структуру Си2О можно представить как комбинацию двух кубов: /-куба
(выбранного по атомам О) и F-куба (по атомам Си), сдвинутых один
относительно другого на 1/4 телесной диагонали элементарной ячейки
вектором 000-111.
4 44
Пространственную группу структуры куприта можно вывести,
рассмотрев “взаимодействие” (сочетание) двух пространственных групп,
описывающих симметрию расположения отдельно взятых подрешеток,
выделенных по атомам О и Си: 1т 3 т = 1т(п)3 т и Fm3 т = Fm = пЗт
соответственно. Указанный выше сдвиг кислородной (7) и медной (F)
подъячеек оставляет при их сочетании лишь совпадающие элементы
симметрии: диагональные зеркальные плоскости, оси 3-го порядка, вдоль
которых и осуществляется сдвиг, а также координатные плоскости п,
оказавшиеся общими для обеих пространственных групп в результате
сдвига (рис. 205, а):
1т (п)з т
Fm = пЗт
1 г
Р пЗт
В итоге получаем голоэдрическую пр. гр. РпЗ в которой
атомы О и Си занимают инвариантные позиции 43т (в начале
координат)3’ и 3 т соответственно (рис. 205, б):
' В ipynne РпЗт начало координат можно выбрать и в другой инвариантной позиции с
симметрией 3 т.
345
Рис. 205, а. б
346
Рис. 205. Кристаллическая структура куприта СиО2: а - к определению симметрии
структуры минерала; б - график пр. гр. рпзт (о/)с нанесенными на него атомами
Си и О; в - общий вид полиэдрической модели структуры. Цветом показаны два
независимых [ОСи4]-тетраэдрических каркаса
0-2 (а) 43т : ООО, Ш-
222’
Си - 4 (Ь) Зт : 111 111 111 111 ;
44 4’ 444’ 444’ 444
а = 4,26 А.
Рассмотрев полиэдрическую модель структуры куприта при
условии, что в вершинах центрированных атомами кислорода тетраэдров
располагаются более мелкие атомы Си, обнаружим два независимых
тетраэдрических каркаса, в которых ни одна из вершин тетраэдров одного
каркаса не является вершиной тетраэдров другого.
Выбрав по атомам Си в качестве исходной увосьмиренную
элементарную ячейку и материализовав в каждом из ее октантов один из
двух возможных O-Cu-тетраэдров в шахматном порядке, получим ажурный
кристобалитовый каркас с унаследованной от него пространственной
группой симметрии Fd3m[o7h^- И, поскольку позиции анионов и
катионов в рассматриваемых каркасах структур поменялись местами,
каркасы куприта можно рассматривать как антикристобалитовые
(рис. 205, в).
Материализовав в каждом октанте большой ячейки куприта
оставшуюся половину [ОСи4]-тетраэдров, увидим и второй
кристобалитовый каркас, связанный с первым центром инверсии,
расположенным между двумя соседними тетраэдрами (рис. 205, в).
В полученной полиэдрической модели структуры кристобалита -
высокотемпературной модификации SiO2 - клиноплоскости d наследуют
347
трансляционный вектор клиноплоскости п исходной маленькой ячейки
куприта, который в большой увосьмиренной ячейке кристобалита
оказывается равным 1/4
Рис. 206. Кристаллическая структура кристо-
балита SiO2_. Общий вид структуры; выделены
[S Ю4]-тетраэдры
диагонали ее грани.
Естественно, при таком
переходе меняется и
симметрия правильных
систем точек, занятых
атомами Si и О:
Si - 8 (а) 43т :
ООО, 111
444’
О - 16 (с) Зт :
111 111 111 111
8 8 8’ 88 8’ 8 8 8’ 8 8 8
( ООО, 0——, 10-, 1-0 )+
22 2 2 22 7
а = 7,13 А (рис. 206).
Кристаллические структуры а.-кварца (a-SiO2)
и ^-кварца (P-SiO2)
В каркасной кристаллической структуре a-кварца легко
выделяется гексагональная элементарная ячейка. Ориентация
кремнекислородных тетраэдров, расположенных на трех уровнях вдоль
параметра с ячейки, указывает на присутствие винтовых осей 3-го порядка.
При этом наличие у кристаллов кварца оптической активности, т.е.
способности вращать плоскость поляризации светового луча в одном или
противоположном направлении, указывает на существование двух
энантиоморфных модификаций: правого и левого кварца, а следовательно,
на присутствие в его структуре энантиоморфных осей 3, (левый кварц) и 32
(правый). Ориентация тетраэдров [SiO4] подсказывает и присутствие
горизонтальных координатных осей 2-го порядка. Таким образом,
кристаллическая структура a-кварца описывается одной из
энантиоморфных пространственных групп: D34 = P3t21 либо D3 =
Р3221.
В кристаллической структуре правостороннего a-кварца атомы Si
и О занимают следующие правильные системы точек (рис. 207, а):
Si - 3 (6) 2 : хо-, Ох—, Гх1; гдехЛ, ~//2;
6 6 2
348
где хо » 0,4, >о ~ 0,15 , zo ~ 0,4 ;
а = 4,91 А , с = 5,39 А .
Рис. 207. Кристаллические структуры а-кварца, a-SiOz (а) и p-кварца, Р- SiOz (б)
Незначительный разворот Si-O-тетраэдров один относительно
другого без существенного изменения способа их сочленения
обусловливает полиморфный переход к более высокотемпературной
модификации кремнезема (Тперехода = 573°С) - Р-кварцу, характе-
ризующейся соответственно и более высокой симметрией - пр. гр. £>/ =
Р6222 либо D65 = Р6422. При этом кристалл правовращающего а-кварца
остается таковым и в Р-модификации.
Характеристики правильных систем точек, занимаемых атомами Si
и О в кристаллической структуре Р-кварца:
Si - 3(c) 222'. 1оО, ОН, 111.
2 23 223
О - 6 (/) 2: x,2x,l; 2x,x,l; x,x,—; x,2x,l, 2x,x,l, x.x.l,
2 6 6 2 6 6
гдехо = 0,212;
a= 5,00 A , c = 5,46 А (рис. 207, 6).
349
Глава XII. Преобразования
кристаллографических координатных систем
Решение многих кристаллографических задач связано с переходом
от одной установки кристаллического многогранника или кристаллической
структуры к другой, т.е. с преобразованием их координатных систем. С
одной стороны, полное отсутствие или недостаточное количество особых
направлений в группах триклинной и моноклинной сингоний и некоторых
группах сингоний средней категории допускает неоднозначность выбора
ячейки Браве, с другой - многие исследователи , отдавая дань традициям,
либо из кристаллохимических соображений иногда приводят описания
кристаллических структур в нестандартном аспекте, пренебрегая, таким
образом, требованиями минимального объема ячейки. Например, описание
кристаллов или их структур гексагональной сингонии часто приводится в
Миллеровском, а не в гексагональном - /^-аспекте и т.п. А так как каждая
координатная система определяется направлением и величиной
координатных трансляций (параметров ячейки), выбранных в соответствии
с симметрией решетки, переход от одного координатного репера к другому
подразумевает вычисление как параметров новой ячейки, а следовательно,
и новых координат атомов, так и символов атомных плоскостей и
направлений [28,29, 32].
XIL1. Преобразование параметров решетки
Рассмотрим общий случай перехода от “старого” - исходного -
координатного репера, характеризующегося единичными трансляционными
векторами а , Ь и С вдоль соответствующих координатных
—►
направлений X, Y и Z, к “новому” реперу с единичными векторами А ,
В и С вдоль новых координатах осей X', Y' и Z' (при условии их
общего начала) (рис. 208).
Выразив параметры А , В и С вдоль новых координатных
осей как векторные суммы старых а , Ь и с , получим систему
уравнений, общая форма которых всегда одинакова для любого
преобразования осей:
350
A = и. a+ v. b+ w. c,
A A A r
В = uK a+ vft b+ w„ c, •
D D D '
C = uc a+ vf b+ wc c.
Рис. 208. Схема перехода от координатного репера XYZ с единичными векторами
a, b, С к новому координатному реперу X'Y'Z’ с единичными векторами
А, В, С
Поскольку индивидуальный характер каждого частного
преобразования определяется только коэффициентами (и, v, w) при
векторах ( а , b , с ) “старого” координатного репера, то систему
рассматриваемых уравнений можно записать сокращенно в виде
составленной из этих коэффициентов таблицы, называемой матрицей
преобразования:
(UA VA
(Л/)Ст -> нов Й
vb = uA vA wA / Un vb wb / uc Vc wc.
(2)
\ис
Vc WCJ
351
Переход от нового координатного репера (X’, Y’, Z') к старому (X,
Y, Z) также можно выразить системой уравнений, связывающей единичные
векторы новой ( A , В , С ) и старой ( а , b , с ) систем:
a~ uaA + va B + waC,
b = u.A + v. B+w.C,
О О O'
(3)
c = kJ+vB+w,C
и соответствующей матрицей:
( и
)нов-+ст
v«
Vb
wa
Wb
= Ua Va W a / Ub Vh / Uc Vc Wc .
«6
4
Обратим внимание на то, что каждая строка полученных матриц
прямого и обратного переходов выражает Миллеровский символ
соответствующей координатной оси: в первом случае [ uAvAwA ] - символ
новой оси X', [ ив vB wB ] - оси Y', [ и(- v(- wr ] - оси Z' в старой
координатной системе, и во втором случае - [ иа va w„ ] - символ старой оси
X, [иь vB wB ] - оси Y и [ис vc wc ] - оси Z в новой координатной системе, так
как коэффициенты и, v и w не что иное, как координаты точки,
расположенной на соответствующей координатной оси, выраженные в
долях параметров исходной ячейки. Отметим,
матрицы (ЛД и (ЛГ1) при перемножении (см. с. 27)
матрицу - матрицу идентичного преобразования:
что
взаимнообратные
дают единичную
{M)- (ЛГ') =
иА
иВ
«г
VA
VB
vr
WA
WB
WC,
“Ь
V.
Vb
V,
w.
wb
0
0
0
1
0
0
1
В общем случае (ЛД) • (ЛД) (ЛД) • (Л//).
Для того чтобы получить единичные векторы новой координатной
системы (А , В , С ), т.е. параметры новой ячейки, следует на
матрицу соответствующего преобразования (ЛДСМН0В умножить
одностолбцовую матрицу, составленную из параметров старой ячейки -
векторных единиц старой координатной системы:
a
—>
b
UA
VA
™A
ив
VB
WB
\UC
V,.
wc)
ил a+vAb+wA с = А,
ин а+ v„ b+W). с = В,
uc а+ vt. b+wc с = С.
(4)
c
352
Таким же образом можно рассчитать параметры а , Ь и с по
матрице обратного преобразования (ЛГ1):
Ч ч, A —> —► —> и„А+уаВ+^аС ^a.
Щ vh Vc Wc> В C = u.A+v.B+w.C = b, о n h u^A + vcB+wtC =c. (5)
Закон, по которому преобразуются параметры элементарной
ячейки, носит название ковариантного.
Абсолютное значение параметров А , В , С или а , Ь ,
С получают извлечением квадратного корня из скалярного произведения
каждого вектора на самого себя:
А -у А-А =./ и. a+v. b+w. с и. a+v, b+w, с
I A A А А .1 .1
а' и\ + b2 v2 + с2 w2 + 2abu,v, cosy + 2acutw, cosp + 2bcv,w, cosa,
где cl = b с, Р = й с, у — a b - углы между осями X, Y, Z старой
координатной системы. Аналогично вычисляются значения параметров | В |
и|С|.
а
аа = у А2 и2 + В2 V2 +С2 w2 + 2А Buv, cosy' + 2 А С uw cosP' + 2 ВС vw cosa',
<i <j a a a • <i w • и a
где a' = B C, fi' = A С, y' = A В - углы между осями X', Y', Z' новой
координатной системы.
Воспользовавшись зависимостью
_> Л с*
cos a' = cos В С =
cosp' = cos А С =
353
cosy'= cos/1 B =
AB
A в\
be
cos a = cos b c =---
и т.д„ можно вычислить и углы между осями:
1
с““~ ВС
cosa' = uB a+ vB b+wB ell wc a+ vt. b+wc c
= a2 u„ur +b2vKvr +c2w„wr +abiirvH +acurw„ +
» C В v if t Co ( /»
+ abuKvr +bcvrwB +acu,wr +bcv,wr ) =
Bl. LB Bl В t f
1
BC
=----la2uBue +b2vBvc + c2wBw(. + ab{ucvB + wBvr)cosy+
+ ac(ucwB + wBw()cosp + bc(y(.wB +v„w( Jeosa )
и т.д.
Если (Л/;) - матрица преобразования параметров от первой
координатной системы ко второй, а (Л/г) - от второй к третьей, то матрица
преобразования от первой системы к третьей (М3) выразится
произведением исходных матриц: (Л//)-(Л/г) = (Л/,).
В качестве примера (рис. 209) рассмотрим преобразование старой
координатной системы (X,Y,Z) в новую (X', Y', Z') с единичными
векторами а , Ь , с и А , В , С соответственно при условии
единого их начала и совпадения векторных единиц вдоль координатных
направлений Z и Z', т.е. с = С . Выразив единичные векторы как
векторные суммы старых параметров, получим систему уравнений
А = За+ 2 Ь+0 с,
В = 1 а+ 4 Ь+ 0с, ►
С = 0 а+ 0 b+1 с
и запишем ее в матричной форме:
(3 2
(М )= 1 4
0Л
0 = 320 /140 /001 .
^0 0
354
Рис. 209. К расчету матрицы преобразования координатных систем
Нетрудно убедиться в том, что каждая строка полученной матрицы
представляет собой координаты первого узла (1-й точки) на
соответствующей новой оси в единицах исходной (старой) координатной
системы, отношения которых (координат) дают Миллеровские символы
новых координатных осей X', Y', Z' в старой системе: [320], [140] и [001]
соответственно.
Матрицу обратного преобразования (ЛГ1) от новой координатной
системы к старой в данном случае удобно получить графически0 (см. рис.
209). Для этого из построенных треугольников OPR и OST, стороны
которых выражены целочисленными значениями как старых, так и новых
параметров, получим:
_> 2 -» 1 -»
для AOPR - 2Л-5а-1£=0, откуда а = — А - — В ,
5 5
для AOST - 1Л + 10 6- 3/? = 0, откуда b -----А + — В »
10 10
при этом с = С .
Таким образом, матрица обратного преобразования
(Л^^нов^ст будет иметь вид:
1 Матрицу обратного преобразования можно также получить не векторным способом, а решив
систему уравнений в матричной форме [29, 66], обратившись к определенным разделам
матричной алгебры.
355
О О 1
к 7
Перемножение полученных взаимно обратных матриц (Л/) и (ЛГ1),
как и следовало ожидать, приведет к единичной матрице
(Л/)(Л/ ‘) =
I
<0
2 О'
4 0
0 1,
2
5
1
10
0
Г1 О О'
О I о
<0 О I,
0 1
Далее, подставив значения исходных единичных векторов в
выражения (4) и (5), получим единичные векторы той или иной искомой
координатной системы.
XII.2. Преобразование индексов плоскостей -
индексов узловых сеток - и граней кристаллов
При переходе от одной координатной системы к другой,
естественно, меняются отрезки, отсекаемые какой-либо системой атомных
плоскостей на координатных осях, а следовательно, и символы этих
плоскостей. Для выявления характера изменения индексов некоторой
узловой сетки (hkl), рассчитанных в исходном координатном репере
(X,Y,Z) ограничимся двухмерным случаем (рис. 210). В качестве примера
возьмем систему плоских узловых сеток (hkff), разбивающих сторону а
элементарного параллелограмма на 4 части и сторону b - на три части.
Абсолютные величины отрезков (параметров), отсекаемых ближайшей к
началу координат сеткой (hkO) на осях X и Y, будут соответственно равны
р = — а и g = — h . Отсюда индексы h и к такой ближайшей к началу
4 3
координат сетки будут соответственно равны 4 и 3: (430), где h = — = 4 и
Р
к = — = 3. Обратим внимание на то, что речь идет не о символе грани, где
Q
индексы могут быть сокращены на общий множитель, а о символе
конкретной узловой сетки, где такое сокращение невозможно.
Для вычисления новых индексов (HKL) этой плоскости в новой
системе координат (X', Y', Z') следует определить, на сколько частей
356
Рис. 210. К преобразованию индексов символов узловых сеток и граней кристаллов
разбивает система узловых плоскостей единичные отрезки А , В и С
вдоль новых координатных осей. Из рис. 210 видно, что единичные
векторы А , В вдоль новых осей X', Y' есть векторные суммы единичных
векторов вдоль старых осей:
А - 2 а+1Ь,
В = 2а+ЗЬ.
—*
Оказывается, что число отрезков, на которые рассечен вектор А
рассматриваемой системой плоскостей со старым символом (430), равно
-> ->
сумме числа разбиений векторов 2а и 1Ь, т.е. равно 2-4+1-3 = = 11, так
же как число разбиений вектора В равно 2-4+3-3 = 17. Таким образом,
числа 11 и 17 не что иное, как новые индексы Н и К рассматриваемой
системы плоскостей, соответствующие новым осям X' и Y':
/7=2 - 4+ 1 - 3 = 11, Х=2-4 + 3 -3 = 17.
Как видим, каждая из новых векторных единиц разбита на
количество отрезков, равное сумме разбиений его проекций по осям X и Y
исходного координатного репера.
357
В общем случае в новой системе координат единичный вектор
А = ил а+ у, Л, следовательно, индекс Н = uAh + vAk, а так как
В = ив а+ ив b ,тоК= uBh + vBk.
Таким образом, для трехмерного случая
А = ил а+ vB b+ wA с,
В = ива+ vB b+ wB с,
С = ис а+ vc b+ wc с.
Отсюда преобразование индексов плоскостей запишется системой
уравнений с коэффициентами, полученными для преобразования
параметров решетки:
Н = uAh + vAk + wAl,
К = uBh + vBk+ wBl,
L = Uch + v(k + w(l
(6)
«4
и соответствующей матрицей: (Л/) =
VA
VB
vc
WA
WB
Обратим внимание на то, что матрица преобразования индексов
плоскости (узловой сетки, грани) совпадает с матрицей (1) преобразования
координатных осей, т.е. преобразование символов граней тоже отвечает
ковариантному закону:
/Л (h>
К =(Л/)- к
LJ It
'М fH'
к = (л/ ')• К
JJ
Таким образом, при переходе к новому координатному реперу
можно легко вычислить и новые индексы любой плоскости (hkl), придав
конкретные цифровые значения коэффициентам и, v, w матрицы
преобразования осей (2).
Иногда вследствие неоднозначного выбора координатной системы
одним и тем же граням какого-либо кристалла разными авторами
приписываются различные символы. В этом случае задачу преобразования
символа любой узловой плоскости (грани) в одной координатной системе к
символу этой же плоскости (грани) в другой системе легко решить, найдя
матрицу преобразования (М) от одной координатной системы к другой. Для
этого следует подставить частные значения индексов (H,K,L в одной
координатной системе и h,k,l — в другой) ограниченного числа плоскостей
в систему уравнений (6) и решить их относительно коэффициентов u,v,w.
358
Например, пусть символы (АА/) трех плоскостей (граней I, II и 111) в
старом координатном репере: (110), (210) и (001) приобрели в новой
системе координат значения (HKL) соответственно (230), (340) и (001) [22].
Значения коэффициентов и, v, w легко вычислить, решив систему
уравнений (6). Подставив значения индексов (h,k,[) в уравнение Н = иА- h +
vA- к + wA-1 для всех трех исходных граней (I, II, III), получим:
для плоскости 1 Hi = иА1 + vA- 1 + wA-0 = 2 ; иА + vA = 2,
для плоскости II Нц - ua-2 + vA l + wA-0 = 3 ; 2uA + vA=3,
для плоскости III Нщ = uA-0 + vA-0 + wA-l = 0 ; wA=0.
Откуда найдем значения uA = l,vA = 1, wA = 0.
Для того чтобы найти коэффициенты ив ,vB ,wB, подставим зна-
чения индексов (И, к,Г) во второе уравнение (6): К = ив • h + vB • к + wB /:
для плоскости I Ki = ив-1 + vBl + wB-0 = 3 ; ив + vH = 3,
для плоскости II Кц = ив-2 + vBl + wB 0 = 4 ; 2ив + vB = 4,
для плоскости III Кш = ив-0 + vB-0 + wB- 1 = 0 ; wB = 0.
откуда ив - 1, vB = 2, wB = 0.
Решение 3-й системы уравнений (6): L = щ- • А + v(к + wc-I:
для плоскости 1 Li = и(1 + vc l + w(-0 = 0
для плоскости II Ln = ис-2 + vc-l + wc-0 = 0
для плоскости III L,n = и(-0 + vr0 + w(-l = I
даст значения uc = 0,vc = 0. wc = /•
Записав найденные значения и. v, w в виде
искомую матрицу преобразования символов граней.
р I О'
(Л/)= 12 0.
<0 0 1,
uc + = 0,
2u( + vc = 0,
w(- = /,
таблицы, получим
Элементы такой матрицы, будучи подставлены в качестве
коэффициентов в уравнения (6), дадут общий закон, определяющий
преобразование индексов любых плоскостей, атомных сеток или граней
какого-либо кристалла при заданном преобразовании координатных осей:
'н} Р'
К = (Л/)- к
Э 1 o'! fA'
1 2 0 • к
<0 0 VIC
' Н =h+ky
K = h + 2k
< £=/ .
359
XII.3. Преобразование координат точек (атомов),
индексов ребер кристалла - узловых рядов
Переход от координат точек в старой исходной координатной
системе к координатам этих же точек в новой системе удобно рассмотреть
графически, обратившись к рис. 209. Если некоторая точка (узел) К с
координатами тпр в старой координатной системе имеет в новой
координаты MNP, то вектор ОК, идущий из начала координат в точку К,
можно выразить как векторную сумму старых или новых единичных
векторов:
ОК = tna+ nb+ pc = MA+.NB+ PC. (7)
Обратившись к системе уравнений, где векторы старой
координатной системы представлены как векторные суммы новой:
а = м,Л + у,В+уу„С,
Ъ = иь А+ vh В+ whC,
c = ui.A+vt.B+wl.C.
(8)
и подставив значения векторов а , b , с в уравнение (7), получим
ЛЛ7+ BN+CP = /и! м, А+ v, B+waC I + л/ ц, А+ vt B+whC I + и ц А+v В+ w С
= A (ujn + uhn+и р) + B(vm + vhn + v р) + C^vjn + +и;р).
Отсюда следует, что
М = иат + иьп + иср,
N = vm + v.n + v р,
(1 П С Л f
Р = w т + w.n + w р.
а Л сл
Оказалось, что матрица, отражающая прямое преобразование
координат точек в старой координатной
точек в
новой системе
V4
иь Ч
Ч Ч
системе к координатам этих же
не что иное, как
транспонированная обратная матрица
4 wcJ
v w
а а
v w , т.е. матрица,
Л
Ч 47
360
в которой строки и столбцы поменялись местами. Такой закон
преобразования называется контравариантным.
Таким образом, для получения координат точки в новом репере
следует одностолбцовую матрицу из ее старых координат умножить на
обратную транспонированную матрицу (ЛГ )':
т
2)
п
и; \р)
Обратившись к рис. 209, увидим, что координаты точки К в старой
координатной системе т — 4, п = 6, р = 0. Для вычисления координат MNP
этой точки в новой системе следует матрицу
преобразования
от новой координатной
не прямого,
системы
а обратного
к
старой
2
5
1
10
£
5
3
10
О
О
транспонировать: _
2
5
J_
5
1
10
3
10
О
О
и,
умножив
О
О
1
О
О
1
матрицу из старых координат
одностолбцовую
транспонированную матрицу, рассчитать их значения:
на
обратную
Очевидно, что для обратного преобразования координат точек (от
новых к старым) следует пользоваться транспонированной прямой
матрицей (Л/)':
т
п
, {М>
= (М) N ‘
\PJ
2> Преобразования символов граней, ребер и
установке Браве (а = b * с, а = р = 90°,
переведя их в трехиндексовые: (hkil) —> (hk*l), [rswt] -> [(r—w)(s—w) ♦ I]. Аналогично и часто
приводимую в литературе матрицу преобразования осей для гексагональных кристаллов вида
а, а, а, а,
Р, Р., Р.. Р,
Y, У, У, У<
,8, 6, 8, 8„
координат точек гексагональных кристаллов в
у = 120°) удобно проводить, предварительно
удобно перевести в матрицу обычного вида:
а,-а, а,-а
Р, -₽, Р,~Р,
,6,-8, 8,-8,
а
₽.
6.
[28].
361
Контравариантный закон справедлив и для преобразования
символов ребер кристаллов, ибо их индексы г, s, t не что иное, как
относительные координаты т, п, р точки расположенной на ребре. Таким
образом, для перехода от символа некоторого ребра [т], рассчитанного в
старой координатной системе, к символу этого же ребра [Л$7] в новой
системе следует, как и при определении координат точек, выразить вектор
от начала координат до точки, взятой на этом ребре, как векторные суммы
старых и новых единичных векторов:
AR+ BS+CT = ar+bs+ct,
и, воспользовавшись системой уравнений (8), по вышеприведенной схеме
составить матрицу преобразования индексов ребер:
AR+ Bs+CT = и ttuA+ vaB+wJJ I +я uhA+ vhB+ wbC
+ /I и A+v B+wC
= A (up + ubs + utt) + B^vj- + vbs + v/) + C(w r + )r,.s + ir/);
R = uur + uhs+uct
S = Vur +VA54-V ./ -,
7 = war-+whs+wcl
'Ua Ub Uc'
Va Vb К
Л Wb We>
И далее получить искомый результат:
'R'
S
= (м).
'R'
S
В итоге, используя ковариантный или контравариантный закон
преобразования координатных осей, плоскостей, ребер, координат точек и
т.п., можно решить многие практические кристаллографические задачи.
Однако при их решении следует помнить, что символы каких-либо
направлений - ребер, координатных осей, а также плоскостей - граней или
атомных сеток - представляют собой отношения целых взаимно простых
чисел. Поэтому, когда мы говорим, что строки матриц прямого (Л/) и
обратного (ЛГ1) преобразований выражают символы новых координатных
осей в старой системе координат либо, наоборот, старых - в новой, следует
иметь в виду, что в качестве индексов могут оказаться и дробные числа. И
для того, чтобы получить Миллеровские стандартные символы указанных
осей (символы из целочисленных индексов), следует исключить из них
общий множитель (и). Так, обратная матрица (ЛГ1),™.., стар в приведенном
на с. 356 примере в качестве своих членов содержит дроби:
362
Г 2
5
1
10
1
5
3
10
0
В первой строке этой матрицы записаны координаты ближайшего к началу
координат узла (точки), расположенного на старой координатной оси X,
отношения которых соответствуют символу старой оси X в новой
координатной системе:
2:1:0
5 5
После изъятия общего
О
О
1
множителя и;=1/5 стандартная запись этого символа будет [ш]* =[210
Вторая строка матрицы соответствует
символу старой оси Y:
±Л:0
10 10
[«4 = [] 3°]
«2
1 1 -г
— Третья строка матрицы
10 J
указывает в данном случае на неизменность оси Z: [ml = [0011. Однако
умножение матрицы прямого преобразования - для нашего случая
О'
о
1.
на
обратную
матрицу, составленную из
приглаженных
индексов
с. 356), единичную матрицу:
(2
О'
о
1.
'2
Т
о
не даст, как ожидалось (см.
1 О'
3 0
°
'4 3 О'
2 110
<0 0 1,
0
2
4
0
0
2
4
0
0
1
3
о
0
0
b
получении символов
даст ожидаемый результат:
И лишь введение в обратную матрицу изъятых при
осей общих множителей и, и п2
0 0
0 1
10
Поэтому,
решая конкретные задачи, например составляя матрицу
преобразования осей:
иА
(м)= ив
чЦг’
»А
VB
V'
WA
по известным “приглаженным” символам [r3 st t3 ], [r2 s2t2]u [п s3t3 ] новых
координатных осей X', Y' и Z' соответственно, следует для каждого из них
ввести общий множитель (и), в общем случае п -* 1:
на vA : wA = г,: s,: t2 = = [r/S/O],
uB : vB : wB = r2: s2 : t2 - n2r2 : n2s2: n2t2 = [r2s2l2],
uc : vc: wc = r3:s3:t3 = n3r3: n3s3: n3t3 = [ш].
В результате матрица, составленная по старым символам новых
координатных осей с учетом общих множителей, будет иметь следующий
вид:
'«Л nts,
(Л/) = n2r2 n2s2 n2t2 .
<n3r3 n3s3 n3t3>
Для определения общих множителей (л) следует воспользоваться
соотношениями символов некоторой грани (плоскости), рассчитанных в
старой (hkl) и новой (НКЕ) координатных системах.
Воспользовавшись уравнением (6), запишем:
Н = uAh+vAk+wAl = nir,h + n/S/k + ntt2l = ni(r2h + S/k + ttl).
Отсюда И/ =------------ (9)
rth + stk + t,l
Аналогично могут быть получены значения и остальных общих
К I
множителей: „2 =------------ и П} --------------- [28 ].
2 r2h + s2k +t2l 3 r3h + s3k+t3l
Однако и в этом случае при определении значений общих
множителей («/,«?,л5) следует пользоваться не приглаженными символами
(НКЕ) исходной грани, а символами, содержащими общий множитель (р):
(Ер Fp Gp), где Н - Е р, К = F р, L = G р. В противном случае будет
каждая строка матрицы прямого
системы к новой (см. с. 354)
символ соответствующей новой
получен неверный результат. Так,
перехода от старой координатной
'3 2 О'
(м )= 1 4 0 представляет
<0 0 1,
координатной оси в старой системе: X' = [320], Y’ = [140], Z' = [001]. В
данном случае общие множители в символах всех осей равны 1. Если же
общие множители неизвестны, то они могут быть найдены из соотношения
старого (hkl) и нового (НКЕ) символов некоторой грани. Пусть старый
символ (hkl) некоторой грани будет (212). Найдем ее новый символ,
воспользовавшись матрицей прямого преобразования (см. (2)):
364
(м)-
'h'
к
J,
'H'
К
>
3 2 O'
1 4 О
О О 1
'2'
1
2.
8'
6 = (862 )
2.
Полученный символ содержит общий множитель р = 2, на который
обычно и сокращают индексы символа грани. Таким образом,
окончательный символ исходной грани будет (431). Далее, пользуясь
формулами (9), можно рассчитать значения общих множителей п . Однако,
для того чтобы получить верный результат, в указанную формулу следует
подставлять не сокращенные индексы (431), а индексы, содержащие общий
множитель р, т.е. (862). Поэтому, оперируя символами граней, нужно быть
уверенным, что индексы их символов содержат этот общий множитель (р):
Н = 8 8
hr\ + kst + ltt 2-3 +I-2 + 2-0 8
К 6 6
+ к + /^2 2-1 + 1- 4+ 2-1 6
L 2 2
hr3 + ks3 + It у 2-0 + 1-0 + 21 2
365
Приложение
Международные обозначения групп симметрии -
символика Германа -Могена
Международный символ групп симметрии - символ Германа-
Могена - состоит как минимум из трех позиций, на которых фиксированы
обозначения неэквивалентных особых направлений: осей симметрии
(поворотных и инверсионных) и нормалей к плоскостям симметрии.
Поворотные оси симметрии регистирируют соответствующи-ми их
порядку арабскими цифрами (Ь4 = 4, Lt = /). При обозначении
инверсионной оси над цифрой ставится черточка ( 23 = 3 читается “три
_ о
с чертой”, 24= 4 ); в случае зеркальной оси - кружок ( 23 = 3 - читается
О
“три зеркальная”, 22 = 2). Однако в стандартных символах
используются только инверсионные оси. Вместо инверсионной оси 2 в
символе записывается совпадающая с ней нормаль к плоскости симметрии
— т (англ, mirror - зеркало).
Если ось симметрии (п) совпадает с нормалью к плоскости (/и), то
они фиксируются на одной позиции символа в виде дроби I 2L I , где в
\mJ
числителе - обозначение оси симметрии, а в знаменателе - нормали к
плоскости (например, £3Р± =2_Л_}|, Ь2РС = —) Однако, если ось
т V ) т
является порожденной другими элементами симметрии, записанными в
символе, ее, как правило, опускают, оставляя лишь букву т. Нельзя
опустить лишь обозначение главной оси в группах средней категории,
указывающей на принадлежность группы к той или иной сингонии
(3£2ЗРС = 222 = ттт, L44L25PC =±Ll = ±mm, L2PC = 2).
т т т т т т т т
Символы групп низшей категории
Поскольку в группах ромбической системы все три особые
направления неэквивалентны и служат координатными осями X, Y и Z,
каждое из них регистрируется на определенной позиции символа:
на 1 -й позиции - особое направление вдоль оси X,
366
на 2-й позиции - особое направление вдоль оси У,
на 3-й позиции - особое направление вдоль оси Z. Например,
символ mm2 (= L22P) указывает на то, что вертикальная ось Z выбрана
вдоль поворотной оси 2-го порядка. Очевидно, что символы т2т и 2тт
указывают на нестандартную установку ромбической группы симметрии: в
первом случае поворотная ось направлена вдоль оси Y, во втором - вдоль
оси X.
Группы моноклинной системы характеризуются единственным
особым направлением, которое и фиксируется на одной из позиций
символа. Чтобы показать, с какой из координатных осей связано
единственное особое направление, можно на не занятые особыми
направлениями позиции символа поставить единицы - оси 1-го порядка (£2
= 2 = 211 = 112 = 121).
В группах триклинной системы особые направления отсутствуют.
Поэтому в символе записывают лишь ось 1-го порядка - поворотную или
инверсионную ( £/= 1,1>3 = С = 1 ).
Символы групп симметрии средней категории
Обязательной принадлежностью групп симметрии средней
категории тетрагональной и гексагональной сингоний является
единственная ось высшего порядка, вдоль которой обычно выбирают
координатную ось Z. Именно это главное особое направление и
записывается на 1-й позиции международного символа. На 2-й позиции
фиксируются эквивалентные особые направления вдоль горизонтальных
координатных осей X = Y (= U); на 3-й позиции - особое направление,
расположенное под углом а/2 к побочным координатным особым
направлениям (где а - элементарный угол поворота, заданный главной
осью, фиксированной на 1-й позиции символа). Элементы симметрии,
представленные этим особым направлением, - результат взаимодействия
элементов симметрии 1-й и 2-й позиций символа. Если а/2 = 45° (главная
ось 4 или 4 ), то направление 3-й позиции называют диагональным, при
а/2 = 30° (ось 6 или 6 ) - апофемальным.
Для осей 3 и 3 апофемальное направление (а/2 = 60°) совпадает с
координатным U. Таким образом, охарактеризовав в символе одно из
координатных (X, Y или U), автоматически характеризуем и
апофемальное направление. В этом случае 3-я позиция символа не
заполняется (например, L33P = Зт, но L44L2 = 422, в последней группе
координатные и диагональные особые направления - оси 2-го порядка -
неэквивалентны, поэтому каждая из них регистрируется на
соответствующей позиции символа).
Напомним, что, поскольку координатные оси X и Y в точечных
группах средней категории предпочитают выбирать вдоль поворотных осей
367
2-го порядка, стандартным символом класса 1>Л2Ь22Р будет 42т, при этом
нормали к плоскостям симметрии окажутся на 3-й, диагональной позиции
символа. Однако в группах гексагональной сингонии при выборе
координатных направлений предпочтение оказывают нормалям к
плоскостям симметрии (т). Поэтому “официальным” символом точечной
группы L33L23P„Ph - = f-6 3L23P будет 6т2,анеб2т .
Символы групп симметрии высшей категории
В группах кубической сингонии все три координатные особые
направления эквивалентны (X = Y = Z). Поэтому они в международном
символе фиксируются на одной - первой - позиции. Диагональные особые
направления, проходящие по биссектрисам углов между координатными
осями, регистрируют на 3-й позиции. На 2-й позиции символа записывают
цифру “3”, символизирующую обязательную для всех групп кубической
сингонии четверку осей 3-го порядка (3L44L36L2 = 432, 3L44L36L23PK6P/J
= m3 т ).
Итак, в международных символах фиксируют в основном
порождающие элементы симметрии, предпочитая в качестве таковых
плоскости симметрии. Если инверсионная ось имеет бо'льшую величину
симметрии (т.е. обладает большей размножающей способностью), чем
совпадающая с ней ее поворотная составляющая, то в символе
регистрируется именно инверсионная ось (например, вместо _
т
записывают 6 , вместо j — - 3 т и вместо тЗт - m3 т). При
т
одинаковой размножающей способности совпадающих поворотной и
инверсионной осей в символе фиксируется поворотная ось ( — , а не —
т т
Международные символы пространственных групп симметрии в
отличие от символов точечных групп сопровождаются буквой,
указывающей на тип решетки Браве (Р — примитивный, С (А, В) - базо - или
бокоцентрированный, 1 - объемноцентрированный, F
гранецентрированный). Кроме того, в качестве подрешеточных элементов
симметрии на позициях символа могут появиться кроме макроэлементов
симметрии - зеркальных плоскостей, поворотных осей и центра инверсии -
и трансляционные элементы симметрии: плоскости скользящего отражения
и винтовые оси - элементы микросимметрии.
Обозначения групп симметрии Шенфлиса
Символика точечных групп симметрии, предложенная немецким
математиком А. Шенфлисом, позволяет одной буквой с соответствующим
368
нижним индексом не только охарактеризовать весь набор элементов
симметрии конкретной точечной группы, но и объединить родственные
группы в отдельные семейства.
Циклические группы - группы с единственным особым
направлением, представленным поворотной осью симметрии, . -
обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом л,
соответствующим порядку этой оси (например, С4 = L4, Ct = Lt)l\
Группы с единственной инверсионной осью симметрии
сопровождаются нижним индексом i, например С3, = L3, Ci = Ь/. Если же
инверсионной оси предпочитают ее зеркальный эквивалент, то группа с
такими осями обозначается S„ (от нем. spiegelaxe - зеркальная ось),
например S6 = C3i, S4 = C4i; при этом цифровой индекс п всегда отвечает
порядку сложной оси.
Группы симметрии с побочными - перпендикулярными главному
направлению - осями 2-го порядка обозначаются D„, где нижний индекс п
соответствует не только порядку главной поворотной оси, но и количеству
побочных осей 2-го порядка (например, D3 = L33L2, D2 = 3L2, в последней
группе любая из осей L2 может играть роль главной, две другие,
перпендикулярные ей, при этом окажутся побочными).
Для обозначения зеркальных плоскостей симметрии Шенфлис
ввел дополнительные подстрочные буквенные индексы:
v (от нем. vertical - вертикальный) - для плоскостей,
расположенных вдоль единственной или главной оси симметрии, которая
всегда мыслится вертикальной1 2) (L33P - C3v)',
h (от нем. horizontal - горизонтальный) - для плоскости,
перпендикулярной к главной оси симметрии (L2PC = C2hy
s (от нем. spiegel - зеркало) - для плоскости неопределенной
ориентации, т.е. не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных
элементов симметрии (Р = С, (= Pv = РА));
d - для вертикальных плоскостей симметрии, делящих пополам
угол между побочными осями 2-го порядка (D3j = L33L23PC, D3J = =
L4(L4)2L22Pj, в последней группе нижний цифровой индекс п = 2
соответствует поворотной составляющей сложных осей L4 = 1^4).
Если же вертикальные плоскости симметрии проходят через
побочные (горизонтальные) оси 2-го порядка, неизбежно возникает четко
фиксированная по отношению к главной оси горизонтальная плоскость Л,
которой и отдается предпочтение в символе Шенфлиса (D3h = L33L23PvPtd-
Индекс v в группах D„ оказывается неоднозначным.
1 Следует иметь в виду, что буквой С обозначается группа, а не элемент симметрии.
Например, С2- это класс с единственной осью 2-го порядка. Поэтому можно записать 3L2. но
нельзя ЗС21
2 Поскольку символ Шенфлиса не привязан к координатной системе, то он не изменится и в
том случае, если единственная или главная ось окажется в иной ориентации.
369
Группы симметрии с несколькими осями высшего порядка -
группы кубической сингонии - обозначаются буквой О в случае, если они
содержат полный набор осей симметрии (3L44L36L2 - осевой комплекс
октаэдра или куба), или буквой Т - если в группе отсутствуют
диагональные оси симметрии (3Li4L3 - поворотные составляющие осевого
комплекса тетраэдра).
Наличие в группе координатных или диагональных плоскостей
симметрии фиксируется в символе Шенфлиса соответственно буквами h
(среди координатных плоскостей всегда присутствует горизонтальная Л)
или d. Если в группе имеются оба типа плоскостей, то в символе
фиксируются лишь координатные h (3L24L33PKC = Th, 3 h4 4L36Pd = Td,
3L44L36L23PK6PjC = Oh).
В обозначениях пространственных групп симметрии появляются
вверхние цифровые индексы, отражающие ту последовательность, в
которой А.Шенфлис выводил пространственные группы. И поскольку иной
смысловой нагрузки эти индексы не несут, в этом качестве они
оказываются недостаточно информа-тивны (например, D'2h = Pbam,
D2°h = Рссп, D" - Pbcm). Однако, поскольку международные символы
пространственных групп могут видоизменяться с преобразованием
координатной системы (например, Cmc2i = А2,та), необходимо их
сопровождать символом Шенфлиса, не учитывающим ориентацию
пространственной группы относительно выбранной координатной системы
(А2/та = С22) и однозначно указывающим на определенную
пространственную группу.
370
Список 230 пространственных
(федоровских) групп симметрии
№ группы в Интернаци- ональных таблицах Символ группы по Шенфлису Стандартный междунароный символ группы — символ Германа- Могена Развернутый международный символ График пространст- венной группы (страница)
/ / Триклинная система
1 ' с; Р1 P11I
2 с/ р!
Моноклинная система3)
3 с‘ ^2 Р2(Р2) Р112(Р121)
4 С2 ^2 P2i(P2i) Р112
5 С3 ^2 В2(С2) В112(С121)
6 С' Рт(Рт) Pllm(Plml)
7 с. РЬ(Рс) Pllb(Plcl)
8 с3, Вт(Ст) Bl lm(Clml)
9 с2 ВЬ(Сс) Bllb(Clcl)
10 с‘и Р—[р—] т \ mJ Pll—{pi—l\ m\ mJ
11 с2 ^2h 2, ( 2 Л p^L p±L\ т\ mJ Pll^-(pl^-l\ m\ mJ
12 cL to S | '"FT S |>О Bll—(ci—l\ m\ mJ
13 с4 о 1 '’V' 1 м 2( 2 A Pll=-\ Pl-1\ b\ c )
14 С5 ^2h Ь \ с) Pll^-[pi^-l\ b\ c ) 105, 321
15 с6 ^2h p-fc-1 /Л с) 2( 2 У B11-\C1-1\ b\ c ) 105
3 D ,
В скобках указам международным с имел моноклинном группы в классическом -
минералогической - установке.
. I
371
Ромбическая система 4)
16 P222
17 P222,
18 о32 P2i2i2
19 Р2Л2, 178
20 D’ C222, 329
21 d62 C222
22 F222
23 Ds2 1222 133
24 12,2,2, 133
25 c‘2v Pmm2
26 C22v Pmc2,
27 C32v Pcc2
28 c4 V2v Pma2
29 cs Pca2,
30 c6 C2v Pnc2
31 c7 ^2v Pmn2,
32 c8 V2v Pba2 62
33 a и Pna2, 62
34 10 C2v Pnn2
35 Cu C2v Cmm2
36 c12 C2v Cmc2,
37 c13 V2v Ccc2
38 c14 C2v A mm2
39 c15 V2v Abm2
40 z"» 16 V'2v Ama2
41 c17 e2v Aba2
42 C2v Fmm2
43 cly V2v Fdd2
44 Г 20 C2v I mm2
45 c2/ V2v Iba2
4 Вместо символа D2 в литературе можно встретить обозначение V (нем. viergruppe - группа
4-го порядка), например D2 = V 3 ,D26h = V™ = Vj2.
372
46 Ima2
47 D‘2h Pnimrn Pin ттт 180
48 D22h Pnnn pill n n n
49 D32h Pccm pin с c m
50 D42h Pban pill ban
51 ds2„ Pmma pill m m a
52 d2Ii Pnna pill n n a
53 d72„ Pmna pill m n a 235,242
54 d2„ Pcca pin с c a
55 D92h Pbam pill bam
56 D,() Pccn pin c c n
57 Dn U2h Pbcm pin bcm
58 D12 Pnnm pin n n m 324, 326
59 D13 U2h Pmmn pin m m n
60 dn U2h Pbcn pin ben 123
61 D,s LJ2h Pbca pin b c a 133, 172
62 D16 U2h Pnma pin n m a 133,310,330
63 D17 U2h Cmcm mem 343
64 D18 ^2Ь Cmca c~-^~ m c a
65 D19 : u2h Cmmm c-~- m m m
66 \ D20 ^2h Ccctn c c m
67 D21 U2h Cmma c-—- mma
68 D22 U2h Ccca c2-2-2- c c a
69 D23 U2h Fmmm r2 2 2 tn m m
70 D24 U2h Fddd c2 2 2 F ddd 342
71 D25 Immm }2_2_2_ m m m 180
72 D26 Ibam ll^2_ bam
73 D27 u2h Ibca b c a
74 D28 U2h hnma b2-2-2- m m a
Тетрагональная система
75 Ci P4 153, 154
76 ci P4,
77 ci P42 152
78 ci P43
79 ci 14
80 ci 14,
81 si P4
82 si 14
83 cih p— tn
84 cih ph tn
85 cih s !*.
86 ci„ n 152, 153
87 c} I— m
88 cih p^- a 154
89 Di P422
374
90 О' P42,2
91 D’ P4,22
92 Di P4t2,2 191
93 Di P4222
94 Di P422,2
95 Di P4322
96 Di PW
97 Di 1422
98 Di° 14,22
99 c‘ P4mm
100 c2 P4bm
101 c3 ^4v P42cm
102 c4 ^4v P42nm
103 c5 P4cc
104 c6 ^4v P4nc
105 c7 ^4v P42mc
106 c8 ^4V P42bc
107 c,J ^4v 14mm
108 fit) ^4v I4cm
109 c" I4,md 158-160
НО cz I4,cd 161
111 D'„ P42m 182- 184, 187-320
112 Oh P42c
113 D3U P42,m
114 Di„ P42,c 156-158
115 Di„ P4 m2
116 Di„ P4 c2
117 D7„ P4b2
118 Di, P4n2
119 Dia 14 m2 187-188
120 D'° 14 c2
375
121 Dn 142m
122 DA 14 2d 318
123 D‘h 4 P —mm m pLLL m m m 312
124 D24h 4 P—cc m pLLL m c c
125 D’h 4 P-bm n n b m
126 D2h 4 P-nc n рШ nnc
127 D34h 4 P —bm m P^L m b m
128 D*h 4 P—nc m PL^L m n c
129 D7,. 4 P —mm n ptkl. n m m
130 DL P~cc n p±kl nee
131 D^„ „4. P me m phi2-, m m c 193-194
132 D10 ^411 4, P —cm m ph.ll. mem
133 Dn ^4h 4, P be n ph.ll n be
134 D12 U4h 4, P —nm n ph.ll. n n m
135 D13 Ы4Ь P^-bc m PKhl m b c
136 D14 P-^-nm m ph.1.1 m n m 306
137 D15 ^4h 4, P —‘-me n phl.1 n m c
138 D'A 4, P —cm n ph-1-1- n c m
139 D'A t 4 1 —mm m 1^-^ m m m
140 D/fl ^411 r 4 I —cm m jhll mem
141 D19 U4h l^-md a pill a m d 158- 160, 203
376
142 D20 u4h и a a c d 161, 197- 198, 201
Гексагональная система
Тригональная подсистема
143 С' V 3 P3
144 С2 V 3 P3j
145 С] P32
146 С43 R3
147 CL P3
148 С2}. R3
149 D‘3 P312
150 D23 P321
151 D, P3J2
152 D43 P3,21 348
153 D53 P3212
154 D63 P3221 348
155 D73 R32
156 c‘3v P3ml 226
157 c23v P3lm
158 c3 V 3v P3cl 229 - 230
159 C43v P31c
160 C53v R3m
161 C63v R3c
162 D'3d P31m P31 — m
163 D23d P31c P3l- c
164 D33d P3tnl P3—1 m 225 - 226, 303
165 D43d P3cl P3-1 c 229 - 230, 333
166 D53d R3m R3 — m 226 - 228. 315
167 D3d R3c R3- c 229 - 230
377
Гексагональная подсистема
168 с‘ P6
169 с2 P6,
170 с3 P65
171 ci P62 224
172 ci P63
173 ci P63
174 С'зь P6
175 Ci„ P*- m
176 с2 ptl- m
177 Di P622
178 Di P6t22
179 Di P6522
180 Di P6222 224
181 Di P6422
182 Di P6322
183 Ci, P6inm
184 C2 V6v P6cc
185 ci. P63cm
186 ci. P63mc 221 -222, 308,317
187 Dih P6m2
188 Di. P6c2
189 D33h P62m
190 d23„ P62c
191 Dih P —mm m PL^l. m m m
192 DL P—cc m pLLL m c c 243
193 Dib P ^-cm m P^LL m c m
194 D^ P^-mc m p^LL m m c 222, 302, 307
Кубическая система
378
195 I4 P23
196 T2 F23
197 T3 123
198 T> P2,3 178
199 7s 12,3
200 Pm3 P—3 m
201 P nT P-3 n
202 Fm3 F—3 m
203 t; Fd3 F-3 d
204 Im3 1—3 m 179- 180
205 Pa3 P^-3 a 172- 178, 323, 339
206 к Ia3 1^-3 a
207 o' P432
208 d2 P4?32
209 d F432
210 o4 F4,32
211 d 1432
212 o6 P4332
213 o7 P4,32 191 - 192
214 cP 14,32
215 Tj P43m 181, 183, 184
216 Td2 F43m 187- 188, 314
217 Td I43m 181 - 185
218 Td P43n
219 Td F43c
220 Td I43d
221 OL Pm3m p—3 — m m
222 O2h РпЗп P4-32- n n
223 O}„ РтЗп p^32 m n 193-194,339
379
224 о; РпЗт Р^З2- л tn 345
225 о5„ Fm3m F—3 — tn tn 310-311, 323
226 о6„ Fm3c F-3- tn c
227 o7h Fd3m a. ’-I s N 203,204, 336, 347
228 o“h Fd3c a. pS r> 1 Kj 201-202
229 о: Im Зт 1—3 — m m
230 о? Ia3d l4--32- a a 194 - 199, 246,341
380
Литература
1. Беккер Г. Геометрическое черчение. Берлин; Рига: Наука и
жизнь (б.г.).
2. Белов Н. В. Систематика плотнейших и плотных упаковок //
Докл. АН СССР. 1939. XXXIII. С. 171-175.
3. Белов Н. В. Четвертый индекс в гексагональной системе И Докл.
АН СССР. 1947. Т. 58, №3. С. 465-467.
4. Белов Н. В. Структура ионных кристаллов и металли-ческих фаз.
М.;Л.: Изд-во АН СССР, 1947.
5. Белов Н. В. Классный метод вывода пространственных групп
симметрии И Труды Ин-та кристаллографии АН СССР. 1951. №6. С. 25-62.
6. Белов Н. В., Неронова Н. Н., Смирнова Т.С. 1651
шубниковская группа // Труды Ин-та кристаллографии АН СССР. 1955.
Вып. 11. С. 33-67.
7. Б е л о в Н. В., Т а р х о в а Т. Н. Группы цветной симметрии И
Кристаллография. 1956. Т. 1, вып. 1. С. 4-17.
8. Белов Н. В. Об одномерных бесконечных кристалло-
графических группах // Кристаллография. 1956. Т. 1, вып. 4. С. 474-476.
9. Б е л о в Н. В. Средневековая мавританская орнаментика в рамках
групп симметрии И Кристаллография. 1956. Т. 1, вып. 4. С. 610-613.
10. Белов Н. В., Б е л о в а Е. Н. Мозаики для 46 плоских
(шубниковских) групп антисимметрии и для 15 (федоровских) цветных
групп // Кристаллография. 1957. Т. 2, вып. 1. С. 21-23.
11. Белов Н. В., Неронова Н. Н., Смирнова Т. С.
Шубниковские группы // Кристаллография. 1957. Т. 2. вып. 3. С. 315-325.
12. Белов Н. В., Б е л о в а Е. Н., Т а р х о в а Т. Н. Еще о группах
цветной симметрии//Кристаллография. 1958. Т. 3, вып. 5. С. 618-620.
13. Б е л о в Н. В. Семьдесят пять лет учения о пространст-венных
группах симметрии // Зап. Всесоюз. минерал, о-ва. 1962. Т. 91, № 1. С.
3-13.
14. Белов Н. В., Неронова Н. Н., Кунцевич Т. С.
Кристаллоструктурные иллюстрации к шубниковским группам
антисимметрии// Кристаллография. 1964. Т. 9, вып. 2. С. 147-154.
15. Б е л о в Н. В. Очерки по структурной минералогии. М.: Недра,
1976.
16. БеловН. В., Загальская Ю.Г., ЛитвинскаяГ. П. Егор
ов-ТисменкоЮ. К. Атлас пространственных групп кубической
системы. М.: Наука, 1980.
17. Белов Н. В., Загальская Ю. Г., Литвинская Г. П., Е г
оров-Тисменко Ю. К. Из истории представления пространственных
381
(федоровских) групп симметрии // Кристаллохимия и структурный
типоморфизм минералов. Л.: Наука, 1985. С. 12-20.
18. Б е л о в Н. В. Очерки по структурной кристаллографии и
федоровским группам симметрии. М.: Наука, 1986.
19. Богомолов С. А. Вывод правильных систем по методу
Федорова. Ч. 1. Л.: Изд-во КУБУЧ, 1932.
20. Б о г о м о л о в С. А. Вывод правильных систем по методу
Федорова. Ч. 2. Л.;М.: ОНТИ, 1934.
21. Б о к и й Г. Б. Введение в кристаллохимию. М.: Изд-во Моск, ун-
та, 1954.
22. Б у р г е р М. Д. Рентгеновская кристаллография. М.: Изд-во
иностр, лит., 1948.
23. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968.
24. В е н т ц е л ь М. К. Сферическая тригонометрия. М.:
Геодезиздат, 1948.
25. Г а д о л и н А. В. Вывод всех кристаллографических систем и их
подразделений из одного общего начала. М.: Изд-во АН СССР, 1954.
26. Егоров-Тисменко Ю. К., Литвинская Г. П. К
вопросу о выводе гексагональных федоровских групп симметрии //
Минерал, журн. 1991. Т. 13, № 6. С. 8-14.
27. Егоров-Т исменко Ю. К., Литвинская Г. П. Методика
графического представления некоторых пространственных групп
симметрии// Вестн. Моск, ун-та. Сер. 4. Геология. 1995. № 1. С. 81-90.
28. Загальская Ю. Г., Литвинская Г. П. Геометрическая
кристаллография. М.: Изд-во Моск, ун-та, 1973.
29. Загальская Ю. Г., Литвинская Г. П. Геометрическая
микрокристаллография. М.: Изд-во Моск, ун-та, 1973.
30. 3 а г а л ь с к а я Ю. Г., Л и т в и н с к а я Г. П., Б е л о в Н. В.
Дополнение к инвентарю элементов симметрии в дисконтинууме //
Проблемы кристаллологии. М.: Изд-во Моск, ун-та, 1976. С. 57-62.
31. Загальская Ю. Г.,Литвинская Г. П., Белов Н.В.
Кристаллоструктурные иллюстрации к шубниковским группам
антисимметрии // Кристаллография. 1976. Т. 21, вып. 4. С. 716-721.
32. Загальская Ю. Г., Литвинская Г. П., Егоров-Тисм
е н к о Ю. К. Руководство к практическим занятиям по кристаллохимии.
М.: Изд-во Моск, ун-та, 1983.
33. Загальская Ю. Г., Литвинская Г. П., Егоров-Тисм
е н к о Ю. К. Геометрическая кристаллография. М.: Изд-во Моск, ун-та,
1986.
34. 3 а м о р з а е в А. М., Палистрант А. Ф. Двухмерные
шубниковские группы // Кристаллография. 1960. Т. 5, вып. 4. С. 517-524.
35. 3 а м о р з а е в А. М. О 1651 шубниковской группе //
Кристаллография. 1962. 7. С. 813-821.
382
36. 3 а м о р з а е в А. М. Вывод новых шубниковских групп //
Кристаллография. 1958. 3. С. 399-404; 1963. 8. С. 307-312.
37. Инденбом В. Л., Б е л о в Н. В. , Н е р о н о в а Н. Н.
Точечные группы цветной симметрии (цветные классы) //
Кристаллография. 1960. Т. 5, вып. 4. С. 496-500.
38. К о п ц и к В. А. Шубниковские группы. М.: Изд-во Моск, ун-та,
1966.
39. К у р о ш А. Г. Курс высшей алгебры. Изд. 11-е. М.: Наука, 1975.
40. Литвинская Г. П., Загальская Ю. Г., Галиу-лин Р.
В., К о в а л е н к о В. С. О матричной записи кристаллических классов в
репере Браве // Проблемы кристаллологии. Изд-воМоск. ун-та, 1971. С.
284-288.
41. М о к и е в с к и й В. А. Группы симметрии двойников //
Проблемы кристаллохимии и эндогенного минералообразования. Л.: Наука,
1967.
42. М о к и е в с к и й В. А. Морфология кристаллов. Л.: Недра, 1983.
43. Неронова Н. Н., Б е л о в Н. В. Цветные анти-симметрические
мозаики // Кристаллография. 1961. Т. 6, вып. 6. С. 831-839.
44. Неронова Н. Н., Б е л о в Н. В. Ферромагнитные и
сегнетоэлектрические пространственные группы // Кристаллография. 1956.
Т. 4, вып. 6. С. 807-812.
45. П а л и с т р а н т А. Ф. Двухмерные группы цветной симметрии и
различного рода антисимметрии // Кристаллография. 1966. Т. 11, вып. 5. С.
707-713.
46. Поли Г. С. Мозаики для групп цветной симметрии //
Кристаллография. 1961. Т. 6, вып. 1. С. 109-111.
47. Федоров Е. С. Симметрия правильных систем фигур И Зап.
Минерал, о-ва. Сер. 2, 1891. Т. 28. С. 1-146.
48. Федоров Е. С. Симметрия и структура кристаллов. М.;Л.: Изд-
во АН СССР, 1949.
49. Ф е д о р о в Е. С. Начала учения о фигурах. М.: Изд-во АН
СССР, 1953.
50. Шубников А. В. Симметрия. М.; Л.: 1940.
51. Шубников А. В. Новое учение о симметрии и его при-
менение // Общее собрание АН СССР 14-17 ноября 1944 г. М.;Л.: Изд-во
АН СССР, 1945. С. 212-227.
52. Шубников А. В. Атлас кристаллографических групп
симметрии. М.;Л/. Изд-во АН СССР, 1946.
53. Шубников А. В. Симметрия и антисимметрия конеч-ных
фигур. М.: Изд-во АН СССР, 1951.
54. Шубников А. В. Кристаллы в науке и технике. М.: Изд-во АН
СССР, 1958.
55. Ш у б н и к о в А. В. К о п ц и к В. А. Симметрия в науке и
искусстве. Изд. 2-е. М.: Наука, 1972.
383
56. Шувалов Л. А. Антисимметрия и ее конкретные моди-фикации
// Кристаллография. 1962. Т. 7, вып. 4. С. 520-525.
57. Современная кристаллография. Т. I. М.: Наука, 1979.
58. Buerger М. J. Elementary Crystallography. N.Y.;L.: J. Wiley, 1956.
59. C u r r i e n H., L e С о r r e Y. Notations des macles a 1’aide du
symbolisme des groupes de couleures de Choubnikov // Bull. Soc. franc. Miner.
Crist. 1958. Vol. 81. P. 126-132.
60. C u r r i e n H., D о n n e у J. D. H. The symmetry of the Complete
twin // Amer. Mineralogist. 1959. Vol. 44, № 9-10. P. 1067-1070.
61. Escher M. C. The graphic work. L.: Oldbourne press, 1961.
62. Ewald P.P., Hermann C. Strukturbericht. 1. 1913-1928. P. 84.
63. F e d о г о f f E. S. Theorie der Kristallstruktur. Einleitung.-Ztschr.
Kristallogr. 1895. Bd 24. S. 210-252.
64. H e e s c h H. Ueber die vierdimensionalen Gruppen des dreidi-
mensionalen Raumes // Z. Krist. 193O.Bd 73. S. 325-345.
65. H e s s e 1 1. F. Ch. Krystallometrie, Oder Krystallonomie und
Krystallographie. // Kristallogr. Gehler’s physikalisches Worterbuch. Bd. 5.
1830.
66. J о n g W. F. General Transformation Formulae in Geometric
Crystallography II Acta Cryst. 1949. Vol. 2. H. 5. P. 322-325.
67. Keppler J. Weltharmonic. II. Buch, der Weltharmonic. Munchen -
Berlin, 1939.
68. L e С о r r e Y. Les groupes de symmetries bicolores et leurs
applications// Bull. Soc. Franc . miner. Crist. 1958. Vol. 81. P. 120-125.
69. M a c G i 11 a v г у С. H. Symmetry Aspects of M.C.Escher’s Periodic
Drawings. Utrecht: Oosthoek, 1965.
70. S c h о e n f 1 i e s A. Kristallsysteme und Kristallstruktur. Leipzig:
Tuebner, verb. 1. 1891. 638 S; verb. 2. 1923.
71. International Tabellen zur Bestimmung von Kristall-strykturen, B,
Gebruder Borntraeger. 1935. Bd 1.
72. International tables for X-ray crystallography. Birmingham: 1952.
Vol. 1.
73. International tables for Crystallography. 2 d rew.ed. Boston, 1989.
74. В r i s s e F. La symetrie bidimensionnelle et le Canada // Canad.
Miner. 1981. Vol. 19. P. 217-224.
384
Предметный указатель
«Алмазная» плоскость симметрии 49,
114, 140
Альбатегний 10
Аналог кубооктаэдра гексагональный
299,331
Антиотражение 252
Антитрансляция (= антиперенос = черно-
белая трансляция)265,266
Антиповорот 252
Антиравенство 251
Антисимметрия (= двухцветная
симметрия = черно-белая) 251, 252
- цветная 290
Антитождество (=антиотождествление)
252,254, 264 - 266,277
Ассоциативность группового умножения
53
Базис элементарной ячейки 138
Белов Н.В. 78, 85, 95, 108, 205, 206, 217,
251,273, 283,288,287,292
Бордюр 72, 73
Браве О. 85
Вейль Г. 3
Вейс Х.С. 40
Вектор трансляционный 43
- единичный 350,352
Величина симметрии 127, 128
- правильной системы точек = порядок
точечной подгруппы 233
Вульф Ю.В. 130
Выбор начала координат 106, 125, 127,
132, 152, 153, 158, 159, 193, 200, 202. 203,
205, 223, 225, 231, 239,299, 304
Выбор элементарной ячейки 140,208
Гадолин А. В. 31
Гексагоиализация 206,209,211,
214
Гексаэдр 205
Гемиморфия 115, 118, 142
Гемиэдрия 42
- гемиморфная 42, 167
- параморфиая 42
- осевая 42, 119, 130, 1454, 148,
168,211
- энантиоморфная 168
Генератор группы 31, 36, 107
Герсдорфит 174
Гессель И. 31
Голоэдрия 42, 165
- триклинная 95
-моноклинная 103
- ромбическая 107
-тетрагональная 134, 135
- гексагональная 27,42
- кубическая 26
Группа 28
- антисимметриии (= черно-белая = шуб-
никовская группа) 251,252, 254,260,
263-266, 270, 273, 277, 279- 281,290
— без антипереносов 267
— с антипереносами 265 - 267
— нейтральная (= серая) 253, 254,
259-264, 266, 267,273, 280, 284
— полярная ^классическая)
253,254,259,261,262,265, 267, 268,
270,273,280, 281-285,287
— смешанной полярное™ 254. 255.259,
261,262,264,
— точечные (=шубниковские) 259. 261
— одномерные 264
— двухмерные 266
— пространственные 273
- симметрии
— асимморфная 74. 96
— базоцентрированная 115
— беловская 290
— без единичных направлений
35
— голоэдрическая 42. 96. 129. 142. 149.
299
---гемиморфная 114—116, 118. 129.
142,
146, 147
— гемисимморфная 74.Ю 96
— гемиэдрическая 42, 99, 121, 134. 163
— гранецентрированная 119
— двухмерная
— изоморфная 30, 255, 259, 270, 279
— инверсионных поворотов 32
— коммутативные (=абелева) 29
— конечная 29
— мероэдрическая 42
— многоцветная 285, 287
---точечная (=беловские классы) 289.
290
— несимморфная 81
— бъемноцентрированная 118
— огдоэдрическая 42
— одномерная 72
385
— предельные (= группы Кюри)
31,32
— пространственная ^федо-
ровская) 854,289
--иллюстрации 292
— симморфная 74. 80. 96. 115,
119,264
- - точечная 31, 127, 163,206,
253,289
— центросимметричная 33
--циклическая 30, 31, 219, 255, 288,
369
Двойники кристаллов 262
Двухугольник (=фюзо) 5, 57
Единичный вектор 22
Жордан К. 85
Закон
- двойникования 263
- ковариантный 353, 358, 362
- контравариантный 361, 362
- Шубникова А.В. 234
Заморзаев А.М. 273
Знак круговой перестановки 243
ЗонкеЛ. 85
Изогон типический 83
Инверсия в точке 7
Индекс
- подгруппы 30
- символов граней 356
- цветных групп 287
Категория 40-42
Квадрат Кейли 30
Класс симмезрни (см. группа симметрии)
29
- структурный 299
«Классный» метод вывода простран-
ственных групп 95, 149
Клиноплоскость 114,129, 150, 160, 161,
212,214, 227-229
Компонента трансляционная 47, 126, 138
Константы (=параметры) решетки 88
Конфигурация магнитных векторов 290
- антиферромагнитная 291
- ферромагнитная 291
Координатная система 40
- трехосная 40
- четырехосная 244
386
Координаты правильных систем точек
234. 235, 240, 250
Кратность 30
- правильной системы точек 233, 241
— обшей 233
Круговоя перестановка 184, 196
Кубизация пространственных групп 163.
165,167, 184,192,209,210
Кубооктаэдр архимедов 295,299
Ле Корра 262
Ленты
- симметрия 75, 76
Макроэлементы симметрии 368
Матрицы
- взаимообратные 352
- генераторов точечных групп 36-39
- единичная (=единичного пре-
образования) 352
- «ноль-один» 23, 25
- направляющих косинусов 23
- преобразования индексо
плоскости (узловой сетки) 358
- преобразования осей 22
- обратного преобразования 351
- прямого преобразования 351
- транспонированная 360,361
Мероэдрия 42
Метод
- изображения кристаллических
структур полиэдрический 301
- «классного» вывода групп симметрии
95, 150,217, 205
- координат 20
- плоских атомных сеток 84
Мозаики
- структурные 84
- цветные 288
- черно-белые 270
Мокиевский В.А. 262
Моос Ф. 40
Надгруппа 30, 127,262
I Управление особое 40,41
Некоммутативность операций симметрии
62, 129
Обозначения
- Уайкоффа 241
-Шенфлиса96, 109, 143, 241, 368-370
- международные (=Германа- Могена)
4-7,45,47,96, 108, 136, 147, 164,
366-368
Огдоэдрия 42
Операции
- антисимметрии 254
— антитождество 253,273
— нейтральные (=серые) 253
— тождественности (= идентич ности)
16, 129, 130, 152, 253
— симметрии 4
— конечных фигур 4
----1-го рода 4
----поворот 4
----П-го рода 4
----отражение в плоскости 6
----инверсия в точке 6,7
— бесконечных построек 43
----винтовой поворот 45
----скользящее отражение 47
----трансляция 43
Особая точка инверсионной оси 155—
156,
160
Особое направление
- апофемальное 219,220, 225, 367
- диагональное 367, 368
- координатное 219, 366-368
Ось
- антисимметрии 263
- симметрии
- винтовая 44,45, 127, 174, 178-180
— двойникуюгцая 262
— зеркально-поворотная 6
— инверсионная 7, 154, 156, 157, 160,
178, !60. 170, 182, 366
— левая 45
— нейтральные 44,46, 141, 142, 143
—обозначения 104
— поворотная 4
--пересекающиеся 120, 130, 132, 145
— правая 45
— размножение 184
--скрещивающиеся 121, 132, 145, 176,
180
— условные обозначения 184,223
- энантиоморфные 44, 141, 142, 149, 1 55,
159-161, 178, 200, 288
Параллелепипед повторяемости 88
Параметры пространственной решетки
(=констан гы решетки) 40, 88
Параморфия 42
Перемножение матриц 27
Перенос (= трансляция = период
идентичности 4,43, 52, 72
Перестановка круговая 116, 182, 186-190,
195,243,249
Период идентичности (=элементарный
перенос)72
Период повторяемости слоев плотнейшей
упаковки 293
Плоскость
- антисимметрии 252
— обозначения 252
симметрии 6
— «алмазная» 49, 63
— апофемальные 221
- - вложенная 118
— координатные 221
— зеркальная 5, 127, 140,294
- скользящего отражения 46-49,107, 128,
144
— обозначения 104,137
Поворот винтовой 45
Подгруппа 30, 148, 151, 152, 219, 220,
252, 254
- двойника 263
Подсингония 41
Подрешеточные элементы симметрии 104
Позиция
-международного символа 366
— апофемальная 367
- - диагональная 367
— координатная 367
- шаров в плотнейшей упаковке 292
Полинг Л. 301
Полиэдрический метод изображения
структур 301
Положение Вульфа 130
Порядок
- оси симметрии 4, 5, 31, 78, 79, 86
- группы 29, 31 127,252-254,263,273
- точечной группы 233
- пространственной группы 233, 241
Постройки бесконечные закономерные 4,
43
- одномерные
- двухмерные 77
- трехмерные (=пространственные)
Построение Эйлера
Правильная система точек (= ситема
эквивалентных точек) 232
- иллюстрации 291
- получение 236,242-243, 245-247
- общая 232, 235
- частная 232, 238
- нонвариантная (= инвариантная) 234,
335, 238
- моновариантная 235, 239
387
- дивариантпая 235, 240,254
- тривариантная 235
Представление пространственных групп
151
Преобразования симметрии 3. 251
- индексов
— плоскостей (= узловых сеток
= граней кристалла) 356
— ребер кристалла 360, 362
- координатных систем 21,350
- координат точек (атомов) 360
- параметров решетки 350
- трансляционные 251
Простая форма кристаллов 232
Пространственная решетка 85, 86
Пространственные (= федоровские)
группы симметрии 85, 273
- асимморфные 119
- несимморфные 219
- развернутая запись 113
- симморфные 219
Пустоты плотнейших упаковок
- тетраэдрические 301
- окытаэдрические 301
Равенство
- конгруэнтное 3
- противорположное 251
- тождественное 111, 113, 186, 213
- энантиоморфное (= зеркальное) 3, 251
Размножающая способность точечной
группы (= порядок группы) 127
Расширение группы 30, 135
Решетка
- базоцентрированная
- бокоцентрированная
- Браве
- вывод 273
- гранецентрированная 113
- двухмерная (= узловая сетка) 77
- непримитивная 89
— объемноцентрированная 89
- одномерная 72, 77
- плоская 266
- примитивная 72, 77, 88, 123
- пространственная 85, 86, 87, 277
- «цветная» (= черно-белая) 264, 265,
269,283
- двухмерная 269
Розетки односторонние 73
Ромбоэдр 207, 277
-основной 175, 176, 178
Ряда эквивалентных точек (= атомный =
узловой ряд) 72, 73
Сетка
- графитовая 83, 84
- Кеплера 83
- узловая (= двухмерная решетка =
параллелограмматическая) 77, 79, 80
Символ
- «подрешеточный» группы 132
- оси симметрии Миллеровский 352, 355
- грани кристалла 364, 365
— трехиндексовый 361
- Шлефли 84
Символика
- Браве 4, 7
- международная (=Германа-Могена)
4-7,45,47,96. 108, 136, 147, 164
— пространственных групп 368, 370
— точечных групп 366
- плотнейших упаковок
— Н.В.Белова 294
— Эвальда - Германа 294
-Шенфлиса96, 109, 143,368-370
Сингония 40-42
Систама
- координатная 40
- - четырехосная 244
- эквивалентных точек (= правильная
система точек) 232
Симметрия 3
- двухцветная (= черно-белая) 252. 262.
265
- классическая 251
- многослойных упаковок 293
---двухслойных 294.302.303. 305, 307,
308, 324, 327, 328, 330-332
— трехслойных 293, 295, 313,314, 317,
319, 333
---четырехслойной (= топазовой) 295,
316
---шестислойной (= рамзаитовой) 296.
317
— девятислойной 320
— 21 -слойной 297
- многоцветная 252, 262
- плотноупакованного пространства 293
- позиции правильной системы точек
232, 234
— частной 233
- «цветная» (= беловская ) 289, 290
Симметрия кристаллических структур
- р-Се 299
388
- р-Со 299
- а-Со 301
- Р-Сг 299
-y-Fe30l
- P-W 337 - 339
- а-кварц 348
- p-кварц 349
- Ag 301
- Al 301
- Au 301
- Be 299
- Ca 301
- Cd 299
- CdClj (3-слойная модификация) 314
- Cdl2 (2-слойиая модификация)
- Cdl2 (4-слойная модификация) 316
- Cdh (6-слойная модификация) 317
- СО2 48
- СгОз 328
-Си 300-303
- Станиин Cu2FeSnS4 319
-Hf299
- 1гЗО1
- Li2O 311
-LiOH 312
- Mg 297 -299
- Mg(OH)2 305
- Mn(OH)2 305
-NaCl 310-311
-Ni301
- Os 299
- Pb 301
- Pd 301
- PdCI2 48, 109
-Pt 301
- PtS2 305
- Rh 301
- Ru 299
- SrS2 305
- Th 301
- Ti 299
- TI 299
- TH 343 - 344
-Zn299
- Zr 299
- Алмаз C 48
- Арагонит СаСОз 329 - 332
- Арсенопирит FeAsS 326 - 327
- Брусит Mg(OH)2 303
- Вюрцит ZnS 307 - 308
- Гранат CasAhfSiO^h 339 - 342
- Кальцит СаСОз 332
- Кристобалит SiO2 347
- Куприт Си2О 345 - 347
- Марказит FeS2 324 - 326
- Никелин NiAs 302 - 303
- Оливин (Mg,Fe)2[SiO<i] 308 - 310
- Перовскит СаТЮз 84
- Пирит FeS2 322 - 323
- Рутил ТЮ2 305 -307
- Сфалерит ZnS 313
- Тенардит Na2SO4 342
- Тетрадимит Bi2Te2S 320 - 321
- Халькопирит CuFeS2 317
- Шпинель MgAl2O4 333 - 337
Слой
- атомный 84
- октаэдрический
— антикорундовый (= карбонатный) 328
— шпинелевый 334,337
— антишпинелевый 337
- плотноупакованный 292
Совокупность образующих элементов
симметрии 30
Способ представления симметрических
операций
- модельный 20,49
- метод координат 20
- преобразованием координатных систем
21
- таблицей направляющ™ косинусов 24
Стороны сферического треугольника 10,
13
Строение решетчатое 5
Сферическая тригонометрия 10
Сферический треугольник 10
- угол 10, 12
Тархова Т.Н. 287, 288
Таблица направляющих косинусов 24
Теорема
- косинусов 10
- Лагранжа 30
- синусов 13, 14
- Эйлера осевая 8,9, 17, 34,35
— частные случаи 17-19, 68
Теория групп 28, 29
Тетрагонализация 134-138, 142-143, 146
-147
Тетартоэдрия 42,164
Тип решетки Браве 85, 160, 368
Тождественное равенство плоскостей
симметрии 116, 140, 149, 150, 272, 273,
279, 283
Точка
389
- дивариантная 235, 240, 254
- инвариантная(= нонвариантная)234,
235, 238
- инверсии 5, 7
- моновариантная 235, 239
- общего положения 128, 232,233
-особая инверсионной оси 155-157, 160,
186, 200
- тривариантная 235
- частного положения 128, 128
Треугольник сферический 10, 15
- полярные 11,12
Тригонометрия сферическая 10
Угол
- линейный двугранного угла 14
-моноклинности 40, 100, 104
- элементарный поворота оси 4, 34
Узловой ряд 72,73
Укладки плотнейшие 292
Упаковки плотнейшие шаровые 292, 301
- гексагональная (=двухслойная) 294,301
- кубическая (= трехслойная) 295, 300,
301
- симметрия 292
Условие ассоциативности 28
Условные графические обозначения
обозначения 103,104, 168, 169
- винтовых осей 46
- зеркальной плоскости симметрии 5
- инверсионных осей 7, 184,223
- клиноплоскотей 49
- плоскостей скользящего отражения 47
- плоскости антисимметрии 252
- поворотных осей симметрии 5
- цекнтра инверсии 5, 103
- цветных групп 287
Установка
- Миллеровская гексагональных
кристаллов 333
- моноклиннывх кристаллов 41
— классическая (= минералогическая)
90,95, 96, 98, 100, 103,104, 275
— рациональная 90, 96,100, 103, 104
- нестандартная ромбических кристаллов
367
Федоров ЕС. 3, 85, 171, 232
Фигуры
- антисимметричные 251,270
- конечные 4
- конгруэнтные 5, 251
- нейтральные 253, 270
390
- энантиоморфные 5,251,270
Фюзо (= двухугольник ) 5, 57, 170
Характер геометрический структкуры 307
Характеристика правильных систем
точек 232
- симметрия позиции 232
- величина симметрии (= порядок
точечной подгруппы) 233
- число степеней свободы
- кратность 233, 241
- координалты
Хееш X. 251
Ход винтовой оси 45
Центр (= точка) ин версии 5, 104, 121,
122, 126, 127, 152, 156,250,294
Центрировка цветная 267
Число граней простой формы 232
Число степеней свободы 127,234
Член группы единичный 28
Шенфлис Ф. 85, 368
Штриховка граней кристалла 322
Шубников А.В. 251
Элемент группы 29
- порождающий (= генератор) 31, 36
- обратный 29
Элементарная ячейка 78
Элементы
- антисимметрии 253
- макросимметрии (= точечные) 4
- симметрии
— мнимые 6,47
— 1-го рода
поворотные оси 4
— П-го рода 6
--- зеркальные плоскости
---центр инверсии
— бесконечных построек 43
---плоскости скользящего отражения
47,48,49, 63
сложные оси 6
зеркально-поворотные 7
инверсионные 7
— двойникуюшие 262
— конечных фигур (= точечные) 4. 6
- - нейтральные 253, 263
— подрешет очные 236,264
— порождающие 258
— трансляционные (= макросимметрии)
232, 368
— удваивающие 255,257
- сферического треугольника 10
Энантиоморфизм 251
Эшер 3, 50
Ячейка
- дважды базоцентрированная 93
- дважды объемноцентрированная
(= ромбоэдрическая ) 93, 94
- двухмерной решетки 77
- непримитивная 77, 89
- ортог ексагональная 329
- основная 88, 175,277
- примитивная 77
- решетки 88
- характеристическая 887
- центрированная 80, 89,92, 93
- элементарная (= Браве) 78, 88
391
д оглавление
Предисловие ................................................ 1
Глава I. Введение в теорию симметрии........................ 3
1.1. Определение симметрии......................... 3
1.2. Операции симметрии........................ 3
1.2.1. Операции и элементы симметрии конечных
фигур 1-го рода ................................ 4
1.2.2. Операции и элементы симметрии конечных
фигур 2-го рода................................... 5
1.3. Взаимодействия элементов симметрии............ 8
1.3.1. Теорема Эйлера.......................... 8
1.3.2. Основные формулы сферической тригонометрии 10
1.3.3. Использование теоремы Эйлера для решения
конкретных кристаллографических задач............. 15
1.3.4. Частные случаи теоремы Эйлера.......... 17
1.4. Различные способы представления
операций симметрии................................. 20
1.5. Основные положения теории групп.............. 28
Глава И. Точечные группы симметрии......................... 31
Глава III. Координатные системы, категории, сингонии....... 40
Глава IV. Операции и элементы симметрии бесконечных
закономерных построек н их взаимодействия.................. 43
IV . 1. Трансляция как основной элемент симметрии
бесконечных построек.................................. 43
1 V.2. Взаимодействие оси симметрии и параллельной ей
трансляции. Винтовые оси симметрии.................... 44
IV .3. Взаимодействие плоскости симметрии и параллельной
ей трансляции. Плоскости скользящего отражения ... 46
IV. 4. Взаимодействие зеркальной плоскости симметрии и
перпендикулярной к ней трансляции..................... 49
IV.5 . Взаимодействие плоскости симметрии и косо
расположенной к ней трансляции........................ 51
IV .6. Взаимодействие поворотной оси симметрии и
перпендикулярной к ней трансляции..................... 52
1 V.7. Взаимодействие центра инверсии и трансляционного
вектора............................................... 58
IV .8. Взаимодействие двух взаимно перпендикулярных
пересекающихся плоскостей симметрии.................. 59
1V. 9. Взаимодействие двух плоскостей симметрии,
расположенных под углом 45° друг к другу............. 68
IV. 10. Взаимодействие оси 4-го порядка и
392
перпендикулярной к ней плоскости симметрии..... 70
Глава V. Одномерные группы симметрии - группы симметрии
бордюров..................................................... 72
Глава VI. Двухмерные (плоские) группы симметрии....... 77
Глава VII. Пространственные (федоровские) группы симметрии.. 85
VII. 1. Пространственные решетки. Типы решеток Браве .. 86
VII.2. Вывод и графическое представление трехмерных
(пространственных) групп симметрии..................... 95
V II.2.1. Вывод пространственных групп
триклинной сингонии .............................. 95
V II.2.2. Вывод пространственных групп
моноклинной сингонии............................. 95
V IL2.3. Графическое представление пространствен-
ных групп моноклинной сингонии.................. 104
V I 1.2.4. Вывод пространственных групп
ромбической сингонии............................ 107
V II.2.5. Графическое представление пространствен-
ных групп ромбической сингонии.................. 122
V II.2.6. Вывод пространственных групп
тетрагональной сингонии......................... 134
V II.2.7. Принцип “классного” вывода тетрагональ-
ных пространственных групп симметрии . 149
V II.2.8. Графическое представление некоторых
пространственных групп тетрагональной
сингонии........................................ 151
V II.2.9. Вывод пространственных групп кубической
сингонии........................................ 162
V II.2.10. Графическое представление пространствен-
ных групп кубической сингонии................... 168
V II.2.11. Вывод пространственных групп
гексагональной сингонии......................... 205
V II.2.12. Классный метод вывода пространственных
групп гексагональной сингонии................. 217
V 1I.2.13. Графическое представление пространствен-
ных групп гексагональной сингонии .... 221
Глава VIII. Правильные системы точек..................... 232
Глава IX. Группы антисимметрии - шубниковские группы..........251
IX. 1. Общие сведения...............................251
IX.2. Вывод точечных групп антисимметрии - групп
смешанной полярности..................................255
IX.3. Использование теории антисимметрии для описания
двойников кристаллов..................................262
IX.4. Вывод одномерных групп антисимметрии -
одномерных шубниковских групп.........................264
1Х.5. Вывод двухмерных групп антисимметрии..........266
IX.6. Вывод пространственных групп антисимметрии -
шубниковских пространственных групп.......273
IX.6.1. Вывод цветных решеток Браве............273
IX.6.2. Вывод шубниковских групп симметрии
класса C2v.............................. 277
IX.6.3. Вывод шубниковских групп симметрии
класса D2..................................... 283
Глава X. Группы многоцветной симметрии.....................285
Глава XI. Кристаллоструктурные иллюстрации
пространственных и шубниковских групп симметрии . 292
XI. 1. Симметрия плотнейших упаковок.................292
XI.2. Описание моделей некоторых кристаллических структур . 297
Глава XII. Преобразования кристаллографических
координатных систем........................................350
XII. 1. Преобразование параметров решетки............350
XII.2. Преобразование индексов плоскостей -
индексов узловых сеток - и граней кристаллов...356
ХП.З. Преобразование координат точек (атомов),
индексов ребер граней кристалла - узловых рядов .360
Приложение
Международные обозначения групп симметрии -
символика Германа - Могена...........................366
Обозначения групп симметрии Шенфлиса................ 368
Список пространственных (федоровских ) групп симметрии.... 371
Литература................................................ 381
Предметный указатель.................................... 385
Учебное издание
Ю.К. Егоров-Тисменко, Г.П.Литвинская
ТЕОРИЯ
СИММЕТРИИ
КРИСТАЛЛОВ
Допущено Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности “Геохимия ”
Подписано к печати 26.06.2000
Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная № 1, 80 г/м2
Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 29,0
Тираж 500 экз.
Тип. зак. №531с , Москва
Издательство ГЕОС
Изд. лицензия ИД № 01613 от 19.04.2000
109017, Пыжевский пер., 7.
125315, 1-й Амбулаторный пр., 7/3-114.
Тел.: (095) 230-80-92
Факс: (095) 951-04-43