Текст
HBBBBBB
MBBBBB
IIIKUII
ПВНВВВ
Н1Ш1В
11111Ш
^kW
ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ
у=кх+Ь
I
КВАДРАТЫ И КУБЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
от1 доЮ
П 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
п2 Щ 4 9 16 25 36 49 64 81 100
п3 Ц 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
СТЁПЕНИ ЧИСЕЛ 2 и 3
П 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2П 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
з" 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
ФОРМУЛЫ
СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
(о-b) (a+b) = a2-b2
(а+b)2 = а'2 + 2аЬ + Ь2
(а-Ь)2 = а2 -2аЬ + Ь2
(а+b) (а2-аЬ + Ь2) = а3+ Ь3
(а-b) (а2+ аЬ + Ь2) = а3-Ь3
ЛЛГЕБРЛ
УЧЕБНИК
ДЛЯ 6 КЛАССА
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Под редакцией
С. А. ТЕЛЯКОВСКОГО
Утвержден
Министерством
просвещения
СССР
ИЗДАНИЕ ВОСЬМОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Бесммвскм
ереданя асколе
«КБЛМОТЕКА
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1985
ББК 22.14я72
А45
Ю. Н. МАКАРЫЧЕВ, Н. Г. МИНДЮК, К. С. МУРАВИН,
К. И. ПЕШКОВ, С. Б. СУВОРОВА
Настоящий учебник является переработанным вариантом
учебника авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк,
К. С. Муравина.
Переработку осуществили Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк,
К. И. Нешков, С. Б. Суворова.
4306020400—227
А------------------ инф. письмо
103 (03) — 85
© Издательство «Просвещение», 1985 г.
ГЛАВА
ВЫРАЖЕНИЯ
И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. ВЫРАЖЕНИЯ
1. ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Решим задачу: «Туристы в течение двух часов еха-
ли на велосипедах по шоссе со скоростью 16 км/ч, а затем шли
лесом еще 7 км. Какова длина всего маршрута?»
По шоссе туристы проехали 16-2 км, а лесом прошли 7 км.
Поэтому длина всего маршрута равна (16-2 4-7) км, т. е. 39 км.
Решая задачу, мы получили числовое выражение 16-24-7.
Числовые выражения составляются из чисел с помощью знаков
действий и скобок. Приведем еще примеры числовых выра-
жений:
43:5; 9,6 - 3 -1,2; 5 • (7,4 - 6,1).
Если в числовом выражении выполнить указанные дейст-
вия, соблюдая принятый порядок действий, то получится
число, которое называют значением выражения.
Найдем, например, значение выражения 96 — 2 • 62. Для
этого сначала выполним возведение в степень, затем умноже-
ние и, наконец, вычитание:
1) 62 = 36; 2) 2-36 = 72; 3) 96-72 = 24.
Число 24 — значение выражения 96 — 2 • 62.
Сложение, вычитание и умножение можно производить
над любыми числами. Делить можно на всякое число,
которое не равно нулю. Если в выражении встречается деление
на нуль, то говорят, что это выражение не имеет смысла. На-
пример, не имеет смысла выражение 35:(4-2 — 8), так как
4-2 — 8 = 0, а на нуль делить нельзя.
з
1. Найдите значение выражения:
а) 6,965 + 23,3; д) 6,5-1,22; и) 53,4:15;
б) 76,73 + 3,27; е) 0,48-2,5; к) 16,94:2,8;
в) 50,4-6,98; ж) 3,725-3,2; л) 75:1,25;
г) 88-9,804; з) 0,016-0,25; м) 123,12:30,4.
2. Выполните действия:
а) 481,92:12-20,16; в) 1,08-30,5-9,72:2,4;
б) 6,05.(53,8 + 50,2); г) 44,69 + 0,5-25,5:3,75.
3. Найдите значение выражения:
а) 155,5-5,5-20,7; в) 3,6:0,08 + 5,2-2,5;
б) 85,68:(4,138+ 2,162); г) (9,885-0,365): 1,7+ 4,4.
4. Выполните действия:
, 3 । 6 а)т+т; д) 1—; з “ 6 ’ и) 1^-lJ-; 9 2 ’
б) —+—; 1 6 ~ 4 ’ е) 5 —3-|-; К) 2А;1Л; 7 7’
. 7 5 . В) 8 6 ’ ж) 4 2^. 9*8’ л) 6 4-Ю; о
. 3 4 . Г) 10 15 ’ з) А-А. 8 *10 ’ м) о 2 . 1 3 3 6
5. Вычислите:
ж) f •(-«»;
б) + ,) -1в:(-±
> +-«+ е> 3+3: и ~3т (-1
6. Выполните действия:
а) 8т+6т-3т-’
б) 12-1-52_+7_L ; г) 1А:2А.26.
7. Найдите значение выражения:
•>3+т+в+2: »2т-+-++1т:1т;
6>4ЧНт+ + ); -) 3+(3-1++)+т •
4
8. Выполните действия:
. о 2 । - 2 1 о 1 . \ л 5 5 о
а) 3Т?+1Т”:Т 2Т'; в) 4-7Г“^—2—*—;
1& О «э О О о 4 v
*’(if-4X»4+4= «(<-Ч-4):34-4-
9. Найдите значение выражения:
а) 252; в) 3,52; д) (-1 )5; ж) (1-1- )2;
б) 123; г) 0,23; е) (-1 )*; з) (2-1 )’
10. Имеет ли смысл выражение:
а) 6,3: (2,5-9 —22,5); б) (15-2,5-6):4,2?
11. Составьте какое-нибудь выражение, содержащее два
знака действия, значение которого равно: а) 12; б) 0.
12. Используя три раза цифру 2, составьте выражение»
значение которого равно: а) 6; б) 8; в) 3; г) 1.
13. Составьте числовое выражение для решения задачи:
«Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми
40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пеше-
хода. Какое расстояние будет между ними через 3 ч после
выхода, если известно, что скорость одного пешехода 4 км/ч,
а другого 5 км/ч?»
14. Решите задачу, составив выражение: «Один рабочий
изготовляет за час 7 деталей, а другой 9 деталей. Сколько
деталей они изготовят за 4 ч?»
15. Используя термины «сумма», «разность», «произве-
дение» и «частное», прочитайте выражение:
а) 8,5-7,3; г) 5,64-0,9; ж) 2,5-(3,24-1,8);
б) 4,7*12,3; д) 2-9,54-14; з) 6,1-(8,4:4).
в) 65:1,3; е) (10-2,7):5;
16. Запишите в виде выражения:
а) сумму чисел 28 и 15; в) разность чисел 3 и 8,7;
б) произведение чисел 6 и 3; г) частное чисел 0,8 и 0,4.
Упражнения для повторения
17. Найдите 1% числа 240. Найдите 5%, 85%, 150% того
же числа.
18. Найдите: а) 3% числа 500; б) 40% числа 15.
5
19. За несколько книг уплатили 5,2 р. Стоимость одной
из книг составила 30%, а другой 45% израсходованных де-
нег. На сколько копеек первая книга дешевле второй?
20. Площадь участка поля 80 га. Первый тракторист вспа-
хал 40% этого участка, а второй 60% оставшейся части. Кто
из них вспахал больше и на сколько гектаров?
21. На весь рейс шоферу отпустили 150 л бензина. Сколько
литров бензина шофер израсходовал за рейс, если 12% его
он сэкономил в пути?
2. ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ
Двигаясь со скоростью 60 км/ч, автомобиль за 2 ч пройдет
60 • 2 км, за 3 ч — 60-3 км, за 5 ч — 60-5 км. Вообще, за t ч он
пройдет 60t км. Выражение 60t позволяет находить путь,
пройденный автомобилем за разные промежутки времени t.
Букву t в выражении 60t называют переменной, а само выра-
жение 60t — выражением с переменной.
Приведем еще пример. Пусть длины сторон прямоугольника
равны а см и Ь см. Тогда его площадь равна ab см2. Выраже-
ние ab содержит две переменные а и Ъ. Оно показывает, как
находить площадь прямоугольника при различных значениях
а и Ь. Например,
если а = 8 и Ь = 11, то аЬ = 8-11 = 88;
если а = 25 и Ь = 4, то аЬ = 25-4 = 100.
Если в выражение с переменными подставить вместо каж-
дой переменной ее значение, то получится числовое выраже-
ние. Выполнив указанные в нем действия, получим число.
Это число называют значением выражения с переменными
при выбранных значениях переменных. Так, число 88 есть
значение выражения аЪ при а = 8 и Ь = 11, число 100 есть зна-
чение этого выражения при а = 25 и Ь = 4.
Рассмотрим выражение х(х + 1). Для любого х можно
вычислить соответствующее ему значение этого выражения.
В таких случаях говорят, что выражение имеет смысл при
всех значениях переменной.
Некоторые выражения имеют смысл не при всех значениях
переменных. Так, дробь ~Ь-- при Ь = 3 не имеет смысла.
о — о
В этом случае Ъ — 3 = 0, а на нуль делить нельзя. При всех
остальных значениях Ь это выражение имеет смысл.
6
22. Найдите значение выражения:
а) 9х(х — 8)+13 при х = 3; в) Л + -|-^6—прий = 2:
б) (р + 0,6) (р — 0,6) при р=1,4; г) 5,5 —(4т + 1) при т=-|-.
23. Заполните таблицу, вычислив значения выражений
Зх —1 и —Зх + 1 для указанных значений х:
X — 2 — 1 0 1 2 4 б
Зх - 1
— Зх + 1
24. Найдите значения выражений 10 — 2у и 10 + 2у и за-
пишите их в соответствующие клетки таблицы:
У — 3 -1 0 2 3 4 6
10 - 2у
Ю + 2у
25. Значения переменной х равны 5, 3, 0, —3 и 10. Найдите
соответствующие значения выражений (2х — 5) х и 2х —(х + 5).
26. Какие значения принимают сумма х + у и произве-
дение ху при следующих значениях переменных:
а) х = 1,2, р=—2,5; в) х = 0,1, у = 0,2;
б) х—— 0,8, р = 3; г) х=—1,4, у =—1,6?
27. Найдите значение выражения 5m— Зп, если:
а) т=—|-, п = -|-; б) т —0,2, л =—1,4.
о 3
28. Вычислите значение выражения -~х —у, если:
а) х = 2,4, р = 0,8; в)х = 4,8, р=—2,1;
б) х=—3,6, у = 5; г) х=—4,4, у=—3.
29. Заполните таблицу значений выражения а — 26:
а 5 — 2 4 1 б
b -3 3 0 — 1 4
а — 2Ь
7
30. При некоторых значениях х и у значение выражения
х — у равно 0,7. Какое значение принимает при тех же х и у
выражение:
а у— х; б) —— ?
х—у
31. Вычислите значение выражения:
а) (2/и4-6)п при т =— л~
б) х — 2ху при х = 5, у=-^1;
в) ах — Зу при а = 10, х= —5, у —-;
з
г) ax-f-bx-f-c при а=-^-, х = 2, Ь=—3, с = 5,8.
32. В классе 35 учеников. Каждый из них получил бесплат-
но учебники по математике стоимостью 0,55 р. и остальные
учебники общей стоимостью п р. Сколько денег было израс-
ходовано, чтобы обеспечить этот класс учебниками?
33. Опытное поле разбили на два участка. Площадь перво-
го участка а га, а второго b га. С каждого гектара первого участ-
ка собрали 32 ц пшеницы, а с каждого гектара второго участка
40 ц. Сколько пшеницы собрали с обоих участков? Вычислите
при a = 120 га и Ь = 80 га.
34. На стройке работало 5 бригад, по а человек в каждой,
и 3 бригады, по Ъ человек в каждой. Сколько человек работа- ,
ло на стройке? Вычислите при a = 25 и Ь = 32.
35. Составьте выражения для вычисления площади каждой
фигуры, изображенной на рисунке 1.
36. Ребро куба равно а м. От этого куба отрезали прямо-
угольный параллелепипед, высота которого равна h м (рис. 2).
Найдите объем оставшейся части.
8
37. Прочитайте, пользуясь терминами «сумма» «разность»,
«произведение» и «частное», выражения:
а) тх; г) (а + 5)х; к о 1 Ж)—+с; з) ab-\-bc\
б) п—а; д) т — 8а;
в) 10 + аЬ; е) 2x-f-l; и) (а — Ь} (аЬ). 38. Запишите в виде выражения:
а) б) сумму чисел Ь и с; разность чисел а и т; е) разность числа т и ного чисел х и у; част-
в) Г) квадрат числа х; куб числа у; ж) произведение суммы а и Ь и числа с; чисел
Д) сумму числа х и произве- дения чисел а и Ь; з) произведение числа суммы чисел х и у. а и
39. При каких значениях переменной имеет смысл вы-
ражение:
а)5у + 2; б)-; в)—; г)—; д) ; е)
Упражнения для повторения
40. Найдите число, если известно, что 3% этого числа
равны 1,8.
41. После снижения цен на 30% стоимость часов стала
равной 21 р. Сколько стоили часы до снижения цен?
42. Перевыполнив план на 15%, завод выпустил за месяц
230 станков. Сколько станков должен был выпустить за ме-
сяц завод по плану?
3. ФОРМУЛЫ
Для решения многих задач в общем виде составляют фор-
мулы, выражающие зависимости между переменными. При-
ведем примеры.
Пример 1. Пусть сторона квадрата равна а см. Тогда
его площадь равна а2 см2. Обозначив площадь квадрата
(в квадратных сантиметрах) буквой S, получим формулу
S = a?.
Пример 2. Всякое четное число т равно некоторому
целому числу п, умноженнзму на 2:
ттг = 2п.
9
При этом для каждого целдго числа п число т, получен-
ное по формуле m = 2n, является четным. Эту формулу назы-
вают формулой четного числа.
Пример 3. Если тело движется с одной и той же ско-
ростью v м/с, то за t с оно пройдет vt м. Обозначив пройден-
ный телом путь (в метрах) буквой $, получим формулу, выра-
жающую зависимость между путем, скоростью и временем
движения:
s = vt.
Обычно по смыслу задачи бывает ясно, какие значения
могут принимать переменные в формулах. Например, в фор-
муле площади квадрата S = a2 переменная а может прини-
мать любое положительное значение, но не может равняться
нулю или принимать отрицательные значения. В формуле
четного числа т = 2п переменная п может принимать любые
целые значения и не может принимать дробные значения.
43. Составьте формулу для вычисления периметра прямо-
угольника. Найдите по этой формуле периметр прямоуголь-
ника, стороны которого равны: а) 4,2 м и 3,5 м; б) 60 дм и 8 дм;
в) 8,6 см и 1,2 см; г) 0,5 дм и 66 см.
44. Сформулируйте правило для нахождения периметра
квадрата и запишите его в виде формулы. Найдите с помощью
этой формулы периметр квадрата, если его сторона равна:
а) 7,5 см; б) 2,1 дм; в) 0,7 м; г) 3,2 км.
i 45. Число а составляет р % числа Ъ. Выразите а через р
и Ь. Составьте задачу, которую можно решить с помощью
полученной формулы, и решите ее.
46. Длину в дюймах можно выразить в сантиметрах по
формуле у = 2,54х, где х — число дюймов, а у — соответст-
вующее число сантиметров. Сколько сантиметров в одном
дюйме? Составьте таблицу значений у для х = 5; 10; 15; 20;
25; 30; 35; 40.
47. Масса 1 см3 вещества равна р г. Составьте формулу для
вычисления массы т вещества в граммах, если его объем ра-
вен V см3. Найдите по формуле массу: а) 240 см3 пробки,
для которой р = 0,18; б) 120 см3 серебра, для которого р = 10,5.
48. Двигаясь со скоростью v км/ч, автомобиль пройдет
$ км за t ч. Составьте формулу для вычисления скорости авто-
мобиля. Пользуясь этой формулой, найдите v9 если:
a) s = 270, t = 2; б) $ = 240, t = 3; в) $ = 315, t = 3,5.
10
49. Составьте формулу числа:
а) кратного 3; б) кратного 5; в) кратного 10.
50. Напишите формулу числа, кратного 7. Найдите по этой
формуле два трехзначных числа, кратных 7.
51. Составьте формулу нечетного числа.
Упражнения для повторения
52. Сколько процентов составляет число 8 от числа 200?
53. В цехе работало 90 рабочих. В результате механизации
ручного труда в цехе ту же работу стали выполнять 54 чело-
века. На сколько процентов сократилось число рабочих в цехе?
54. Найдите значение выражения:
а) 37,6-5,844-3,95-8,9; в) 17,1 -3,8:4,5 0,5;
б) 81-45,344-19,64-21,75; г) 81,9:4,5:0,28-1,2.
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИИ
4. свойства действии над числами
Напомним основные свойства сложения и умножения чисел.
1. Переместительное свойство: для любых чи-
сел а и Ь верны равенства
а-\-Ъ=Ь-[-а, ab — ba.
2. Сочетательное свойство: для любых чисел
а, Ь и с верны равенства
(а+Ь)4-с=а4-(Ь4-с), (аЬ)с = а (&с).
3. Распределительное свойство: для любых
чисел а, Ь и с верно равенство
а(Ъ+с)=аЬ+ас.
Из переместительного и сочетательного свойств сложения
следует, что в любой сумме можно как угодно переставлять
слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.
Например, в сумме a + b-{-c-{-d, где а, 6, с и d — произволь-
ные числа, можно объединить первое слагаемое с четвертым,
а второе с третьим:
a + b4-c4-d=(a+d)4"(b4-c).
Из переместительного и сочетательного свойств умноже-
ния следует, что в любом произведении молено как угодно
11
переставлять множители и произвольным образом объединять
их в группы.
Например, в произведении abed, где а, Ь, с и d — произволь-
ные числа, можно объединить первый множитель с третьим,
а второй с четвертым:
abcd = (ac)-(bd).
Распределительное свойство распространяется на случай,
когда число умножается на сумму трех и более слагаемых.
Например, ,
а (Ь + с + d) = ab ас ad
для любых чисел а, Ь, с и d.
Мы знаем, что вычитание можно заменить прибавлением
числа, противоположного вычитаемому: а — b — a^( — b). Это
позволяет числовое выражение вида а — Ь считать суммой
чисел а и —Ь, числовое выражение вида a-f-b— c — d считать
суммой чисел а, Ь, —си —d и т. п.
Для таких сумм также справедливы рассмотренные свой-
ства действий. Например, применив к выражению a(b — c-f-d)
распределительное свойство умножения с учетом правила
знаков, получим:
a (b — c + d)=ab — ac-{-ad.
Использование свойств действий иногда позволяет упро-
щать вычисления. Приведем примеры.
Пример 1. Найдем значение выражения 3,27 — 6,5 —
-2,5 4-1,73.
Это выражение является суммой чисел 3,27, —6,5, —2,5
и 1,73. Имеем: 3,27 - 6,5 - 2,5 4-1,73 = (3,27 4-1,73) 4-
4~( —6,5 —2,5) = 5 —9=—4.
Пример 2. Найдем значение произведения 1,25-4,3-8.
1,25 - 4,3 - 8 = (1,25 • 8) • 4,3 = 10 • 4,3 = 43.
2
Пример 3. Найдем значение выражения 5— • 17.
5^.17 = (5+^г).17 = 5.17 + ^-17 = 85 4-2 = 87.
55. Какие свойства действий позволяют, не выполняя вы-
числений, утверждать, что верно равенство:
а) 247 4-35 = 35 4-247; в) 144-(164-97) = (144-16)4-97;
б) 84-19=19 84; г) 25-(4 4-7) = 25-4 4-25-7?
12
56. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 3,17 4-10,2 4-0,834-9,8; в) 15,21-3,9-4,7 4-6,79;
б) 4,114-15,5 4-0,894-4,4; г) -4,174-3,8-5,83-3,3.
57. Найдите значение выражения:
а) 8,914-25,7 4-1,09; в) 7,15-9,424-12,85-0,58;
б) 6,64 4-7,12 4-2,88; г) 18,9-6,8-5,2-4,1.
58. Выполните действие и объясните, какие свойства сло-
жения были при этом использованы:
а) 5-|--|-13-|-; б) 194 + 10-1-.
59. Найдите значение выражения:
а) 5т-2т+1т-4т; б> H'-H'-H-'*1-!--
60. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 50-1,34-0,2; в) 25-(—15,8)-4;
б) —75,7-0,5-20; г) 0,47-0,4-25.
61. Используя распределительное свойство умножения,
выполните действие:
а) 3-1-5; б)7-2-|-; в) 2-|-10; г) 6-4Д-.
О • О А Л
62. Найдите значение выражения:
а 3,5-6,84-3,5-3,2; б) 12,4-14,3-12,4-4,3.
63. Вычислите:
а) 15,7 • 3,09 4-15,7 • 2,91; б) 4,03 - 27,9 —17,9 • 4,03.
64. Докажите, что:
а) сумма 24-174-17-6 делится на 5;
б) сумма 34-85 4-34-36 делится на 11.
Упражнения для повторения
65. Для детского сада купили а наборов карандашей и
b альбомов для рисования. Набор карандашей стоит 25 к.,
а альбом на 10 к. дешевле. Какова стоимость покупки?
66. Автомобиль двигался t ч со скоростью 60 км/ч и р ч
со скоростью 50 км/ч. Какова средняя скорость автомобиля?
13
5. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИИ
Рассмотрим выражения х(у + 7) и ху + 7х. Вычислим их
значения при х = 9 и у = —2:
x(i/ + 7) = 9.( — 2 + 7) = 45,
ху4-7х = 9*( — 2)4-7.9 = 45.
Мы видим, что при х — 9 и у = — 2 соответственные зна-
чения выражений х(у-{-7) и ху + 7х равны. Из распредели-
тельного и переместительного свойств умножения следует, что
соответственные значения этих выражений равны при любых
значениях переменных. О таких выражениях говорят, что они
тождественно равны.
Определение. Два выражения называются тождест-
венно равными, если при любых значениях переменных со-
ответственные значения этих выражений равны.
При решении уравнений, вычислении значений выражений
и в ряде других случаев одни выражения заменяют другими,
тождественно равными им. Замену одного выражения другим,
тождественно равным ему выражением, называют тождествен-
ным преобразованием или просто преобразованием выраже-
ния. Тождественные преобразования выражений с перемен-
ными выполняются на основе свойств действий над числами.
Мы уже встречались с тождественными преобразованиями
выражений. К ним относятся, например, приведение подобных
слагаемых, раскрытие скобок.
Пример 1. Приведем подобные слагаемые в сумме
5х 4- 2х — Зх.
Чтобы привести подобные слагаемые,, надо, как известно,
сложить их коэффициенты и результат умножить на общую
буквенную часть.
Имеем:
5х4-2х — Зх=(5 4-2 — 3)х = 4х.
Выполненное преобразование основано на распределитель-
ном свойстве умножения.
Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а 4-(Ь — Зс).
Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которы-
ми стоит знак «плюс»: если перед скобками стоит знак
«плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого
слагаемого, заключенного в скобки. Получим:
2а4-(Ь —Зс)=2а4-Ь —Зс.
14
Проведенное преобразование основано на сочетательном
свойстве сложения.
Пример 3. Раскроем скобки в выражении а —(46 —с).
Применим правило раскрытия скобок, перед которыми
стоит знак «минус»: если перед скобками стоит знак «минус»,
то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого,
заключенного в скобки. Получим:
а — (46 — с) = а —46 +с.
Выполненное преобразование также основано на свой-
ствах действий над числами. Действительно, представим дан-
ное выражение в виде суммы:
а —(46 —с)=а + ( —1).(46 —с).
Применим распределительное и сочетательное свойства умно-
жения:
а + ( —1).(46 —с)=а + ( —46 + с) = а —46 + с.
67. Являются ли выражения тождественно равными:
а) 2с-3 и 6с; г) (х — х)а и 0;
б) 7+(а + Ь) и (7 + а)+6; д) х — у и у — х;
в) — 2а + 2а и 0; е) (х —у)2 и (у —х)2?
68. Являются ли выражения тождественно равными:
а; 2х + 3у и Зу + 2х; в) (а+6)-0 и а + 6;
б) 2х + 14 и 2(х + 7); г) (а + 6)-1 и а + 6?
69. Упростите выражение, используя переместительное
и сочетательное свойства умножения:
а; — 6,2а-5; в) 0,Зх-( — 12у);
б) 4с.(-1,25); г) -0,16-(-2,3с).
70. Упростите выражение:
а) 1,6-( — 0,2п); б) — 6,4а-( — 5с).
71. Преобразуйте выражение в тождественно равное,
используя распределительное7свойство умножения:
а) 7 (х — у); в) — 23 (2а — 36 + 1);
б) (а — 46;.3; г) 1,5-( —Зх + 4у —5z).
15
72. Замените выражение тождественно равным, исполь-
зуя распределительное свойство умножения:
а) 1,2-(б-а); в) 2,5-(4х-6у-2);
б) (т —4х)-( —6); г) -0,1-(100а 4-105-с).
73. Среди выражений 2(5 —а), — 2 (а — 5), —2а — 2Ь,
— 2а 4-25 найдите те, которые тождественно равны выраже-
нию 2Ь — 2а.
а)
б)
а)
б)
-74. Приведите подобные слагаемые:
5a-f-27a — а; в) 6х —14 — 13x4-26;
125 — 175 — 5; г) — 8 —у4-17 —10у.
75. Выполните приведение подобных слагаемых:
13а4*25 — 2а — Ь; в) — 5,1а —45— 4,9а4-5;
41х —58х-|-6у —у; г) 7,5х4-у — 8,5х — 3,5у.
76. Приведите подобные слагаемые:
8х—бу 4- 7х — 2у;
в) 3,56 —2,4с — 0,6с —0,75;
г) 1,6а 4-4х — 2,8а — 7,5х.
а)
б) 27p-f-14g —16р—3g;
в) х + у — (&4-С — ту,
г) х + (а — Ь)—(c + d).
77. Раскройте скобки:
а) x+(b + c-{-d—т)',
б) а — (Ь — с — d);
78. Запишите без скобок выражение:
а) m+(a-k — 5); в) х+а-\-(т — 2у,
б) т—(a — k — 5); г) а — (Ь — с)+(т + п).
79. Раскройте скобки:
а) (х —у)—ш; в) —(/и — «4-5);
б) (а4-5) —(с—d); г) — (2а — 5)4-(«i — 1).
80. Запишите без скобок выражение:
а) a + (b — (c — d)y, б) х —(у —(p-f-ft)).
81. Упростите выражение:
а) 5 —(а —3); в) 64 —(14-|-7х);
б) 74-(12-2Ь); г) 384-(12р-8).
82. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
а) х 4-(2x4-0,5); в) 4a — (a 4-6);
б) Зх —(х-2); г) 654-(Ю-4,55).
16
83. Упростите выражение:
а) (х—1)4-(12 —7,5х);
б) (2р4-1,9)-(7-р);
в) (3 —0,4а)—(10 —0,8а);
г) Ь—(4-26)4-(36 —1);
д) у—(у+*)+(у—4);
е) 4х—(1 —2х)-|-(2х —7).
84. Упростите выражение и найдите его значение:
а) (5х—1)—(2—8х) при х=0,75;
б) (6-2х)+(15-Зх) при х=—0,2;
в) 124~7х—(1 — Зх) при х= —1,7;
г) 37 —(х—16)4-(Их-53) при х=—0,03.
85. Докажите, что при любом а значение выражение
3(а+2)—За равно 6.
88. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
а) 3 (6-5х)4-17х-10; г) 2 (7,3-1,6а)4-3,2а-9,6;
б) 8(3y4-4)-29i/4-14; д) -5(0,364-1.7)4-12,5—8,55;
в) 7 (2г—3)4- 6г -12; е) —4 (3,3-8с) 4-4,8с 4-5,2.
87. Упростите выражение и найдите его значение:
а) 0,6 (р—3)4-Р 4-2 при р=0,5;
б) 4 (0,5g —6)-14g 4-21 при g=^-;
3
в) —0,5 (За 4-4) 4-1,9а—1 при а=—
г) 10(0,7-36)4-1464-13 при 6 =—16.
88. Упростите выражение:
а) 3 (2m 4-1)4-4m — 7;
б) - 6 (Зп4-1)4-12п-|-9;
в) 5 (0,6 —1,5р)4-8 —3,5р;
г) 0,2 (За—1)4-0,3-0,6а;
д) 0,9(26—1)-0,564-1;
е) —2,6(5—с)-с-|-8.
Упражнения для повторения
89. Вычислите:
а) • 2,44-|-0,15; б) 2,08:-|—0,15-|-.
90. Найдите значение выражения:
а) 5ху—х2 при х=—2, р = 1,6;
б) а2—Заб при а =—-к 6=-^-.
А О
17
6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ
Если в выражении 5(Ь —с) —Зе раскрыть скобки, а затем
привести подобные слагаемые, то получится тождественно рав-
ное ему выражение 5Ь— 8с.
Равенство
5 (& — с)—Зс = 5Ь — 8с
верно при любых значениях переменных. Такие равенства
называют тождествами.
Тождеством называют равенство, верное при любых значе-
ниях переменных.
Тождествами считают и верные числовые равенства.
Приведем примеры тождеств:
а+Ъ = Ь+а9 a(bc)=(ab)c9 а*1=а, а+(—а)=0,
а ( — Ь)= —ab9 (—-а) (-— b)=ab.
Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождест-
вом, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, ис-
пользуют тождественные преобразования выражений.
Докажем, например, тождество
7(2 + &)-(14-&) = 8Ь. (1)
Преобразуем левую часть равенства (1):
7(2 + Ь) —(14-&)=14 + 7Ь-14 + Ь = 8Ь.
В результате тождественных преобразований мы получили
правую часть равенства (1). Значит, это равенство есть тож-
дество.
Для доказательства тождества иногда преобразуют каждую
его часть.
Докажем, например, тождество
d (с — а) + ab = a(b — d) + cd. (2)
Выполним преобразования:
d (с — a) -f- ab = cd — ad-\- ab9
a (b-d)-]-cd=ab — ad-\-cd = cd — ad-[-ab.
Левая и правая части равенства (2) тождественно равны
одному и тому же выражению. Поэтому они тождественно
равны между собой. Значит,, равенство (2) — тождество.
18
F
He - всякое равенство есть тождество. Так, равенство
х+2 = 2х не является тождеством. Действительно, если бы это
равенство было тождеством, то оно было бы верным при всех
значениях х. Однако, например, при х = 1 это равенство не
является верным. Значит, оно не является тождеством.
91. Является ли тождеством равенство:
а) 6(х—у)=6х—бу; в) За—4=(2а — 4)4-а;
б) ?5(а—а)=25; г) а5Ь = 5аЬ?
92. Докажите, что равенство а2=2а не является тождеством.
98. Является ли тождеством равенство:
а) х+4=(3+х)+1; б) 5у-35 = 5(у-7)?
94. Докажите тождество:
а) 7х—42 = 7(х-б); г) 7 (26-3)+18=14Ь-3;
б) 8 (2m —1)=2 (3m —1,5); д) 12х —1 = 4 (15 + Зх)-61;
в) 2 (2,5а+105)= 5 (45 + а); е) 3а=б&+3 (а—25).
95. Докажите, что равенство является тождеством:
а) 5р—45=5 (р-9); в) 11 (2 — За)+6а = 22 — 27а;
б) v8(3—х)=8х—24; г) 8 (2х + 5)+7 = 47 + 16х.
96. Докажите тождество:
а) х(у—2)—Зу = у (х —3)—2х;
б) 2а (6—5)+Ь=Ь(2а + 1)—10а.
97. Составьте два выражения для вычисления площади фи-
гуры, изображенной на рисунке 3. Докажите, что полученные
выражения тождественно равны.
98. Докажите, что выражения 4р(1 —у) + бу и у(5—4р)+4р
тождественно равны.
Упражнения для повторения ° ! —1-<-------
99. Вычислите: '1
а) 4.9,6-3; б) 5,36-4*0.16.
100. Верно ли равенство:
•> 6^_^(1Л+Л)=4; ||
в) 4+1248:(11-|-+0,2)= 108? ,
19
§ 3. УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
7. УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ
Решим задачу: «На двух полках~40 книг, причем на верхней
полке в 8 раза больше книг, чем на нижней. Сколько книг
на нижней полке?»
Обозначим буквой х число книг на нижней полке. Тогда
число книг на верхней полке равно Зх. По условию задачи на
обеих полках находится 40 книг. Это условие можно записать в
виде равенства:
Зх4-х=40.
Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равен-
ство, содержащее переменную. Такие равенства называют.^рав-
нениями. Переменную в уравнении называют также неизвест-
ным числом или просто неизвестным.
Нам надо найти число, при подстановке которого вместо
х в уравнение Зх-|-х=40 получается верное равенство. Такое
число называют решением уравнения или корнем уравнения.
Равенство Зх-|-х=40 верно при х=10. Число 10 — корень
уравнения Зх+х=40.
Определение. Корнем уравнения называется значение
переменной, при котором уравнение обращается в верное ра-
венство.
Уравнение Зх-|-х=40 имеет один корень. Можно привести
примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней
или вообще не имеют корней.
Так, уравнение (х—4)(х — б)(х—6)=0 имеет три корня:
4, б и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль
один из множителей произведения (х—4)(х—б)(х—в), а зна-
чит, и само произведение. При любом другом значении х ни
один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обра-
щается в нуль и произведение. Уравнение x-f-2 = x не имеет
корней, так как при любом значении х левая часть урЗОщения
на 2 больше правой части.
Решить уравнение — значит найти все его корни или дока-
зать, что их нет.
Уравнение х2 = 4 имеет два корня — числа 2 и — 2. Урав-
нение (х—2) (х 4-2) = 0 также имеет корни 2 и —2. Уравнения,
имеющие одни и те же корни, называют равносильными
уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают
равносильными.
20
Уравнения обладают следующими свойствами:
1) если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же
число, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на
одно и то же отличное от нуля число, то получится уравне-
ние, равносильное данному.
Рассмотрим уравнение х2 — 2 = 7. Прибавив к левой и правой
частям этого уравнения число 2, получим уравнение
х2 = 9. Докажем, что уравнения х2 — 2 = 7 их2=9 равносильны.
Пусть некоторое значение х является корнем первого урав-
нения, т. е. при этом значении» х уравнение х2—2 = 7
обращается в верное равенство. Прибавив к обеим частям этого
равенства число 2, мы снова получим верное равенство. Значит,
при этом значении х второе уравнение также обращается в
верное равенство. Мы доказали, что каждый корень первого
уравнения является корнем второго уравнения.
Допустим теперь, что некоторое значение х является кор-
нем второго уравнения х2=9, т. е. обращает его в верное
равенство. После вычитания из обеих частей этого равенства
числа 2 мы получим верное равенство. Значит, при этом значе-
нии х первое уравнение также обращается в верное равенст-
во. Поэтому каждый корень второго уравнения является кор-
нем первого.
Таким образом, уравнения х2 — 2 = 7 их2 = 9 имеют одни и
те же корни, т. е. являются равносильными.
Подобными рассуждениями устанавливается справедли-
вость обоих свойств уравнений в общем случае.
3) Можно также доказать, что(если в уравнении перенести
слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то по-
лучится уравнение, равносильное данному. Например, перенеся
в уравнении 5х = 2х-{-9 слагаемое 2х с противоположным
знаком из правой части уравнения в левую, получим уравнение
5х—2х=9, ему равносильное.
Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую
часто применяется при решении уравнений.
101. Является ли число —2 корнем уравнения:
а) 3(х4-3)=2х4-7;
б) -4y4-8 = 16-(i/4-2);
в) (3-Х)(34-Х)=1;
г) а-2(а + 4)=-6?
21
102. Является ли корнем уравнения х2—5х=6 число:
а) 1; б) —1; в) 6; г) —6?
103. Докажите, что каждое из чисел 1,2 и —1,2 является
корнем уравнения х2=1,44.
104. Какие из чисел — 3; 0; 2 и 6 являются корнями урав-
нения х2—Зх—18=0?
105. Докажите, что любое число является корнем уравнения:
а) 7х +1,5=х 4-1,5+ 6х; б) 1,2 (у4-5)=бЦ-1,2у.
106. Имеет ли корни уравнение:
а) 2х4-3 = 2х4-8; б) 2у=у1
107. Имеет ли уравнение корни и сколько:
а) |х| = 1; б) 1x1=0; в)|х| = -5; г)|х|=1,3?
108. Равносильны ли уравнения:
а) 7 (х — 3)=49 и х—3 = 7; в) 2х—7 = 0 и 2х=7;
б) ^=9 и 2х=27; г) х2=5х-6 и х2-5х+6=0?
о
Упражнения для повторения
109. Упростите выражение:
а) 0,4 (7х —2) —1,6 + 1,7х; в) 2,5 (4 -Зу)- у + 2,3;
б) (1,2а — 4) + (40-4,8а); - г) (14-3,66)-(12 +10,46).
110. Найдите значение выражения:
8(3 — 3,5тп)—20+23тп при тп=—2,5; 1,2; 40.
/
8. линейное уравнение с одной переменной
Каждое из уравнений 5х= — 4, — 0,2х = 0, — х = — 6,5 име-
ет вид ах = 6, где а и Ь — числа. В первом уравнении а = 5»
Ь= —4, во втором а= —0,2, 6 = 0, в третьем а = —1, 6= —6,5.
Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной
переменной.
Определение. Уравнение вида ах = 6, где х — перемен-
ная, а и 6 — числа, называется линейным уравнением с од-
ной переменной.
Число а называется коэффициентом при переменной, а
число 6 — свободным членом.
22
Рассмотрим линейное уравнение ах=Ъ, в котором коэф-
фициент а не равен нулю. Разделив обе части уравнения
на а, получим х=—. Значит, линейное уравнение ах=Ъ, в
а
котором а=/=0, имеет единственный корень
Рассмотрим теперь линейное уравнение ах = 6, у которого
коэффициент а равен нулю. Если а = 0 и Ь=/=0, то урав-
нение ах = Ь не имеет корней, так как равенство 0х = Ь9 где
Ьт^О, не является верным ни при каком х. Если а = 0 и 6 = 0,
то любое значение х является корнем уравнения, так как
равенство 0х = 0 верно при любом х.
Решение многих уравнений сводится к решению линейных
уравнений.
Пример. Решим уравнение 4 (х -f- 7) = 3 — х.
Раскроем скобки:
4x4-28 = 3 — х.
Перенесем слагаемое — х в левую часть уравнения, а сла-
гаемое 28 в правую, изменив при этом их знаки:
4х4-х = 3-28.
Приведем подобные слагаемые:
5х=—25.
Заменяя последовательно одно уравнение другим, равно-
сильным ему, мы получили линейное уравнение, в котором
коэффициент при х отличен от нуля. Разделим обе части
уравнения на этот коэффициент:
х = — 5.
Число —5 является корнем уравнения 4(х4“7) = 3 —х.
Может случиться, 'что при решении уравнения мы придем к
линейному уравнению вида Ох=Ь. В этом случае исходное
уравнение либо не имеет корней, либо его корнем является
любое число. Например, уравнение 2x4- 5 = 2 (х 4- 6) сводится
к уравнению Ох = 7, и, значит, оно не имеет корней. Уравнение
3 (х4-2)4-# = 64“4х сводится к уравнению 0х = 0, и, значит,
любое число является его корнем.
111. Найдите корень уравнения:
а) 5х=—60; в) 7х = 9; д) — 9х=— 3; ж)0,7х=0;
б) — 10х = 8; г)6х=— 50; е) 0,5х = 1,2; з) — 1,5х = 6.
23
112. Решите линейное уравнение:
а)-|-х = 12; в) -4х=-Ь д)Л!/=^;
б) fy = 9; г) 5у--А; е) f х=А.
113. Найдите корень уравнения:
а) 12х —1 = 35; в) 1,3х = 544-х; д) 0,15x4-6 = 51;
б) — х-|-4 = 47; г) 7 = 6 —0,2х; е) -0,7x4-2 = 65.
114. Решите уравнение:
а) 2x4-9 = 13 х; е) 0,8x4-14 = 2 — 1,6х; и) z—-z=0
6)14 у = 19 —lly; i 2
в) 1,7— 0,3m = 24-1,7m; ж)15 p з-р-1; к) x-4x = 0;
г) 0,5a 4"11 = 4 — За;
д) 1,2п 4-1 = 1 — п;
115. Решите уравнение:
а) Зх —8 = х + 6;
б) 7а —10 = 2 —4а;
г) 2,6 — 0,25 = 4,1—0,55;
^-т=т+>5
1 j Л) х= —х;
—х4-4=—х4-1; м) 5t/ = 6z/.
е) 0,8 —у = 3,2-|-у;
ж)-|-х=4:
з) 2х —0,7х = 0;
и) 9у = 7у.
116. Найдите корень уравнения:
а) (У4-4) — (у — 1) = 6у;
б) Зр-1-(р-|-3) = 1;
117. Решите уравнение:
а) 2х4-5 = 2 (х4-1)4-11;
б) 5 (2у —4)=2 (5у —10);
118. Решите уравнение:
а) 15 (х + 2)—30 = 12х;
б) 6 (1 4-5х) = 5 (14-6х);
в) 6(и-|-2) — 7u = 101;
г) 20u = 19 —(3 4-12u).
в) Зу —(у — 19) = 2у;
г) 6х = 1—(4 —6х).
в) Зу-|-(у —2) = 2 (2у —1);
г) бу — (у — 1)=44-5у.
119. Найдите корень уравнения:
а) (13х —15)—(9 4-6х) = — Зх;
б) 12 — (4х — 18) = (364-4х)4-(18 — 6х);
в) 1,6х — (х — 2,8) = (0,2x4-1,5) — 0,7;
г) (0,5х 4-1,2)-.(3,6 — 4,5х) = (4,8 — 0,Зх)4-(Ю,5х 4- 0,6).
24
120. Решите уравнение:
а) 5х + (3х — 3) = 6х4-11;
б) За —(10 4-5а) = 54;
в) (х —7) —(2x4-9)=—13;
г) 0,6 4~ (0,5г/ —1) = 1/4-0,5.
121. При каком значении переменной:
а) значение выражения 6а —3 равно —39;
б) значения выражений 2т—13 и т^З равны;
в) значение выражения 3— 5с на 1 меньше значения выра-
жения 1— с;
г значение выражения 2х 4-1 на 20 больше значения выра-
жения 8x4-5;
д) значение х в 3 раза меньше значения выражения 45 —10х;
е) значение выражения 9—-у в 2 раза больше значения у?
122. Найдите корень уравнения:
а) 5 (3x4-1,2)4-х = 6,8; в) 13 —4,5г/= 2 (3,7—0,5г/);
б) 4(х4-3,6) = 3х —1,4; г) 5,6 —7г/ = —4 (2г/ —0,9)4-2,4.
123. Решите уравнение:
а) 0,4х 4- 3 = 0,2 (Зх 4-1) — х; в) 0,8х — (0,7х 4- 0,36) = 7,1;
б) 3,4 — 0,6х = 2х — (0,4x4-1); г) х-0,5 = 2 (0,Зх —0,2).
124. Найдите корень уравнения:
а) 6(х —1) = 9,4 —1,7х; г) -3 (у 4- 2,5) = 6,9 — 4,2г/;
б) 3,5— 9а = 2 (0,5а — 4); д) 3,5х -7 = 4(84-*);
в) 3 (6— 1,1m) = 1,7m— 2; е) 4 (х —0,8) = 3,8х —5,8.
125. Решите уравнение: z
а 7 х —8,2) = Зх4-19; г) 3(2,5 —2х)= 13,5 —14х;
б) 0,2 5х — 6)4-4х = 3,8; д) 0,6г/-1,5 = 0,3 (л/-4);
в) —(7г/4-0,6) = 3,6 —г/; е) 0,5(4 —2а) = а—1,8.
Упражнения для повторения
126. Приведите подобные слагаемые:
а) 12,5г/^114-18,1г/-6,9г/4-27;
б) 14 — 0,8г/— 1,4г/ — г/;
в) 7,4а —9,6а—3,2а4-0,За;
г) 15,1m—34,3m 4-4,2m 4-7,8m.
25
127. Упростите выражение и найдите его значение:
а) 6,8с—(3,6с4-2,1) при с = 2,5;
б) 4,4—(9,6 —1,2m) при т= — 3,5.
128. Вычислите:
а) 19,6 • 2-|-+(5,25-1-|--4,5
9. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИИ
При решении задач с помощью уравнении поступают сле-
дующим образом. Обозначают некоторое неизвестное число
буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение.
Затем решают это уравнение и найденное значение неиз-
вестного истолковывают в соответствии с условием задачи.
Задача 1. В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в
ящике. После того как из корзины переложили в ящик 10 яб-
лок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько
яблок было в корзине и сколько в ящике?
Решение. Пусть в корзине было х яблок, тогда в ящике
было 2х яблок. После того как из корзины переложили в
ящик 10 яблок, в корзине стало (х—10) яблок, а в ящике
(2х +10) яблок. По условию задачи в ящике стало в 5 раз больше
яблок, чем в корзине. Значит,
5 (х—10) = 2x4-10.
Решим составленное уравнение:
5х —50 = 2x4-10,
5х-2х=104-50,
Зх = 60,
х = 20.
Следовательно, в корзине было 20 яблок. Так как 2х =
= 2-20 = 40, то в ящике было 40 яблок.
Задача 2. Предназначенные Для обработки 67 деталей
решили распределить между тремя рабочими так, чтобы первый
получил на 5 деталей больше второго и на 7 деталей меньше
третьего. Сколько деталей ^адо выделить первому рабочему?
26
Пусть первому рабочему следует выделить х деталей, тог-
да второму рабочему надо выделить х — 5 Деталей, а третьему
х + 7 деталей. По условию задачи рабочие должны обработать
всего 67 деталей, т. е.
х + (х-5) + (х + 7) = 67.
Отсюда
Х-Ьх—54-х + 7 = 67,
3x4-2 = 67,
Зх = 65,
*=21т-
По смыслу задачи неизвестное значение х не может быть
дробным числом. Значит, распределить детали указанным
способом нельзя.
129. Периметр треугольника равен 16 см. Две его стороны
равны между собой и каждая из них на 2,9 см больше третьей.
Каковы стороны треугольника?
130. В трех цехах завода работают 1274 человека. Во вто-
ром цехе на 70 человек больше, чем в первом, а в третьем на
84 человека больше, чем во втором. Сколько человек работают
в каждом цехе?
131. На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерс-
ти, причем на шапку ушло на &20г шерсти меньше, чем на сви-
тер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходо-
вали на каждое изделие?
132. Можно ли расположить 158 книг на трех полках
так, чтобы на первой полке было на 8 книг меньше, чем на вто-
рой, и на 5 книг больше, чем на третьей?
133. Можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика
так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом, а
во втором на 4 банки меньше, чем в третьем?
134. На одном садовом участке в 5. раз больше кустов
малины, чем на другом. После того как с первого участка
пересадили на второй 22 куста, на обоих участках кустов ма-
лины стало поровну. Сколько кустов малины было на каждом
участке?
135. В одном резервуаре 380 м3 воды, а в другом 1500 м3.
В первый резервуар каждый час поступает 80 м3 воды, а из
27
второго каждый час выкачивают 60 м3. Через сколько часов
воды ?в резервуарах станет поровну?
136, Перчатки на 6 р. дешевле портфеля и на 2 р. дороже
берета. Сколько стоят перчатки, если 2 портфеля стоят столько
же, сколько стоят 7 беретов?
137. По шоссе идут две автомашины с одной и той же ско-
ростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая
уменьшит на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдет столько же,
сколько пройдет вторая за 3 ч. С какой скоростью идут авто-
машины?
138. В первой бригаде было в 4 раза меньше людей, чем во
второй. После того как из второй бригады 6 человек ушло, а
12 перевели в первую, людей в бригадах стало поровну. Скодь-
ко человек было в первой бригаде?
139. На доске записано некоторое число. Одинz ученик
увеличил это число на 23, а другой уменьшил на 1. Результат
первого оказался в 7 раз больше, чем результат второго.
Какое число записано на доске?
140. В корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в
ящике. После того как в корзину добавили 2 кг, в ней стало
винограда на 0,5 кг больше, чем в ящике. Сколько винограда
было в корзине?
141. Один арбуз на 2 кг легче, чем другой, и в 5 раз лег-
че, чем третий. Первый и третий арбузы вместе в 3 раза
тяжелее, чем второй. Найдите массу каждого арбуза.
142, Два прямоугольника имеют одну и ту же длину.
Найдите эту длину, если ширина одного из них 12 м, другого
15 м, а площадь первого прямоугольника на 60 м2 меньше
площади второго.
143. В двух мешках было по 50 кг сахару. После того как
из одного мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из другого,
в нем осталось в 2 раза меньше сахара, чем в другом. Сколько
сахара осталось в каждом мешке?
144. За 9 ч по течению реки теплоход проходйт тот же
путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную
скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.
Упражнения для повторения
145. На координатной плоскости (рис. 4) отмечены точки
А, В, С, D, Е и F. Найдите их координаты.
28
146. Отметьте в координатной пло-
скости точки А ( — 3; 4), В (6; 5), С (5; 0)
и £)( —3; 0).
Проведите отрезки АС и BD.
Найдите координаты точки пересе-
чения отрезков АС и BD.
147. Постройте отрезок MN, зная
координаты его концов: Af( —1; 4) и
N (2; — 2). Найдите координаты точек
пересечения этого отрезка с осью х и
с осью у.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
К параграфу 1
ычислите:
» д> <-0.15)4;
6 .)-!»:(—1).
149. Найдите значение выражения:
а) 42,5-10 + 25,5:17; в) 20,6-8 -244,8:6;
б) 16,8:10 + 7,4-0,8; г) 240,8:301 + 32-0,06.
150. Вычислите:
а) 12,6 + 5(3,251—1,171); б) 7,6-8,4:(0,27 + 0,15).
151. Вычислите:
а> 3 * * б)T-1V“7T:1T;
б 14:4^- + ^-8;
152. Найдите значение выражения:
а)
153. Найдите число, обратное:
а) сумме чисел и в) произведению чисел и
' и з до до
б) разности чисел 6,2 и 5,8; г) частному чисел 4,9 и 3,5.
29
154. Найдите число, противоположное:
а) сумме чисел 2,86 и —4,3;
б) разности чисел —и
•J о
в) произведению чисел —5,75 и 1,6;
г) частному чисел 46 и —7-|-.
155. Сравните:
а) 3,48-4,52 и —8,93+9,16; б) 6,48-1- и 6,48:—.
о 8
156. Имеет ли смысл выражение:
* gx 10,7 о
' 4,18—2,09-2’ ' 1,08:4,2 — 2,5-0,16
157. Найдите значение выражения:
при -Ь
158. Найдите значение
а) х=4, у=1,5;
6) х= — 1, у=-1-;
О
6) *±1 При „_3,5. Q
выражения , если:
в) х=1,4, у = 0;
г) ж = 1,3, //=—2,6.
159. Запишите в виде выражения:
а) сумму произведения чисел а я Ъ и числа с;
б) разность числа с и частного чисел а и Ь;
в) произведение разности чисел х и у и их суммы;
г) частное суммы чисел а и Ь а их разности.
160. При каких значениях переменной имеет смысл вы*
ражение:
_\ а-|-8 3 ч а . v в-|-9 л
а)“Г; б)2Г^; в)Т+4’ Г> ~9Г ?
161. Составьте выражение для решения задачи:
а) Периметр прямоугольника 16 см, одна из его сторон
т сы.. Какова площадь прямоугольника?
б) Площадь прямоугольника 28 мг, а одна из его сторон
равна а м. Чему равен периметр прямоугольника?
в) Из двух городов, расстояние между которыми s км, на-
встречу друг другу одновременно выехали два автомобиля.
Скорость одного из них км/ч, а скорость другого р2 км/ч.
Через сколько часов они встретятся?
30
г) Мотоциклист догоняет ве-
лосипедиста. Через какое время
мотоциклист догонит велосипе-
диста, если сейчас между ними
з км, скорость велосипедиста
V] км/ч, а скорость мотоциклиста
v2 км/ч?
162. От прямоугольного ли-
ста картона со сторонами а см
и & см отрезали по углам квад-
раты со сторонами х см (рис. б).
Из оставшейся части сделали
открытую коробку. Запишите
формулу для вычисления объе-
ма V коробки. Вычислите по формуле объем коробки, если
а=35, 5 = 25, х = 5. Какие значения может принимать пере-
менная х при указанных значениях а и Ь?
163. Скорость лодки в стоячей воде равна v км/ч. Ско-
рость течения реки у км/ч. Составьте формулу для вычисления
времени в часах, за которое лодка пройдет 8 км по течению
и такое же расстояние против течения.
164. Для того чтобы расстояние, измеренное в морских
милях, выразить в километрах, пользуются формулой
у = 1,852л, где х — расстояние в милях, а у — то же расстояние
в километрах. Пользуясь этой формулой, выразите в километ-
рах следующие расстояния: 10 миль, 50 миль, 250 миль.
165. Составьте формулу числа:
а) кратного 4; в) кратного 12;
б) кратного 9; г) кратного 60.
166. Запишите формулу натурального числа, которое:
а) при делении на 3 дает в остатке 1;
б) при делении на 3 дает в остатке 2;
в) при делении на 5 дает в остатке 3;
г) при делении на 5 дает в остатке 4.
К параграфу 2
167. Запишите в виде равенства следующее свойство чисел:
а) при прибавлении нуля к любому числу получается то же
число;
б) при умножении на нуль любого числа получается нуль;
31
в) при умножении на 1 любого числа получается то же число;
г) при умножении на — 1 любого числа получается проти*
воположное число.
168. Найдите значение выражения:
а) 8,7-9,6+ 3,5-8,7—8,7-3,1; в) 5,92,6+5,9-3,2 + 5,8-4,1;
б) 7,6-6,8-1,5-6,8+6,8-13,9; г) 6,8-8,4-1,6-8,4+ 5*2-1,6.
169. Вычислите:
а) (1,25.1,7.0,8—1,7)-3,45; б) 3,947:(3,6-2,6.4-0,25).
I
170. Являются ли тождественно равными выражения:
а) — 3(а—Ъ) и 36 —За; б) — 5 (у — х) и 5у— 5х?
171. Объясните, почему равенство является тождеством:
а) | ж |=|— х|; в) | ab | = | а |-| 6
б) I х—у | = | у—х |; г)|2с|=2|с|. 1
172. Преобразуйте выражение в тождественно равное, ис-
пользуя распределительное свойство умножения:
а) 0,8.(11х+10у-2); в) — 7-(0,5m—l,2n +1);
б) (20- 12а+4Ь).1,5; г) (-2,2-m + l,5n).(-6).
173. Докажите, что выражение тождественно равно нулю:
а) (а+Ь)х+(а—6)х— 2ах; б) 8(х—у)+8(у—х).
174. Приведите подобные слагаемые:
а) — 3,6х—5,2 — 2,4х—9; г) 1,2х+3,4х-5 —5,3х;
б) 4,6а+1,56 — 3,26—1,8а; д) 2,4а—0,8m — 0,4m —1,5m;
в) —6,7а+56—0,8а—2,56; е) — 3,8у+2х+8у—4,3у.
175. Докажите, что:
а) выражение х(—1)+х(—2)+х(—3)+6х тождественно
равно нулю;
б) выражение а (—5)+а-4 + а (—3)+а-2 тождественно
равно —2а.
176. Раскройте скобки:
а) -(-х)+(-у); в) х+(-(-у));
б) —(—х)—(—у); г) *—(—(—У))-
32
177. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
а) 6,9 — 5,1m + (6m — 1,2); в) 7,5р+ (6 — 7,3р)—5,8;
б) 8,4х — 4,4 — (1,6 + 10х); г) -(3,7g-5,5) + 9g — 3,9.
178. Найдите значение выражения 8а — (45 +За)— (4а —35)
при: а) а = 6,8, b = 7,3; б) а =—8,9, Ь= — 9,9.
179. Докажите, что значение выражения не зависит от а:
а) а + (2а — (За — 5)); б) а —(6а —(5а —8)).
180. Составьте разность выражений 17х —13у + 8 и
20х + 6г/ и упростите ее.
181. Докажите тождество:
а) Зх(7у —4) —6хр + 12х=15хр; б) тп-р = п (т — 1) — (р — п).
К параграфу 3
182. Является ли корнем уравнения (2х —3,8) (4,2 + Зх) = 0
число: а) 1,9; б) 2; в) —1,4; г) —3?
183. Какие из чисел —4, —3, —1, 3, 4 являются корня-
ми уравнения: а) х2 + 4х + 3 = 0; б) х2 + х = 12?
184. Имеет ли корни уравнение:
а) Зх + 7 = (9 + х) + 2х; в) х2 = х;
б) 5х-1 = 4(х + 2)-(9-х); г) х + 1=х-1?
185. Решите уравнение: х
а) | х |=5; б) | у 1=3,7; в) | а |-17 = 0; г) 1,4 | b | =0.
186. Составьте какое-нибудь уравнение, корнем которого
является число: а) 8; б) —10; в) 0.
187. При каких значениях коэффициента т уравнение
тх = 5 имеет единственный корень? Существует ли такое
значение т, при котором это уравнение не имеет корней;
имеет сколько угодно корней?
188. При каких значениях коэффициента р уравнение
рх = 10 имеет корень, равный —5; 1; 20?
189. Найдите корень уравнения:
а) 3,8х — (1,6- 1,2х) = 9,6 + (3,7-5х);
б) (4,5y + 9)-(6,2^-3,li/) = 7,2p + 2,8;
в) 0,6m - 1,4 = (3,5m +1,7)-(2,7m — 3,4);
г) (5,3а — 0,8) — (1,6 — 4,7а) = 2а — (а — 0,3).
2 Заказ 890
33
190. Решите уравнение:
а) 0,15 (х—4)=9,9-0,3 (х—1);
б) 1,6 (а — 4)-0,6 = 3 (0,4а-7);
з) (0,7х - 2,1) - (0,5 - 2х)=0,9 (Зх -1) + 0,1;
г) — 3 (2 —0,4у)4~5,6 = 0,4 (Зу4~1)-
191. При каком значении переменной:
а) сумма выражений 2x4-7 и — х4-12 равна 14;
б) разность выражений — 5z/4~l и Зг/4~2 равна —9;
в) значение выражения 5 — а на 20 больше значения выра-
жения 6а —1;
г) значение выражения 7 т — 3 в 2 раза меньше значения
выражения 12m 4-1?
192. Найдите все целые значения а, при которых корень
уравнения ах = 6 является целым числом.
193. Не решая уравнения 7 (2x4-1)= 13, докажите, что его
корень не является целым числом.
194. На ферме 1000 кроликов и кур; у них 3150 ног.
Сколько кроликов и сколько кур на ферме?
195. Двое рабочих изготовили за смену 86 деталей, причем
первый изготовил на 15% больше, чем второй. Сколько деталей
изготовил каждый рабочий?
196. На первом участке на 9 кустов смородины больше,
чем на втором. Если со второго участка пересадить на первый
3 куста, то на первом участке станет в 1,5 раза больше кустов
смородины, чем на втором. Сколько кустов смородины на
первом участке?
197. У Миши в четыре раза больше марок, чем у Андрея.
Если Миша отдаст Андрею 8 марок, то у него станет марок вдвое
больше. Сколько марок у каждого мальчика?
198. Чтобы сдать в срок книгу в библиотеку, ученик должен
был читать ежедневно по 40 страниц, но он читал в день на
15 страниц меньше и сдал книгу на 6 дней позже срока.
За сколько дней ученик должен был прочитать книгу?
199. Чтобы сделать вовремя заказ, артель стеклодувов дол-
жна была изготовлять в день по 40 изделий. Однако она из-
готовляла ежедневно на 20 изделий больше и выполнила заказ
на 3 дня раньше срока. Каков был срок выполнения заказа?
200. Если к задуманному числу прибавить 7, полученную
сумму умножить на 3 и из произведения вычесть 47, то
получится задуманное число. Какое число задумано?
34
ГЛАВА
II
ФУНКЦИИ
§ 4. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ И ОБРАТНО
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
10. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Рассмотрим примеры зависимости одной перемен-
ной от другой.
Длина стороны квадрата равна а см, его периметр равен
р см, а площадь — S см2.
Периметр квадрата зависит от длины его стороны:
если а = 3, то р — 4-3 = 12;
если а = 6, то р = 4-6 = 24;
если о = 9, то р = 4-9 = 36 и т. д.
При увеличении стороны квадрата в несколько раз его
периметр увеличивается во столько же раз. В самом деле,
периметр квадрата со стороной а равен 4а. При увеличении
положительного множителя а в несколько раз произведение
4а увеличивается во столько же раз.
Зависимость площади квадрата от длины его стороны иная:
если а = 3, то S = 32 = 9; если а = 6, то S = 62 = 36.
Мы видим, что при увеличении стороны квадрата в 2 раза его
площадь увеличилась не в 2, а в 4 раза.
Пусть переменные х и у принимают только положительные
значения. ^Переменная у пропорциональна переменной х, если
при увеличении значений х в несколько раз соответствующие
значения у увеличиваются во столько же раз.1
Это означает, что если Xi и Хг — значения переменной х,
а у\ и у2 — соответствующие им значения переменной у, то
Х2— У 2
Х1~~ yi
В рассмотренном примере переменная р пропорциональна
переменной а, а переменная S не пропорциональна перемен-
2*
35
ной а. Иначе говоря, периметр квадрата пропорционален его
стороне, а площадь квадрата не пропорциональна стороне
квадрата.
Приведем другие примеры пропорциональных переменных.
Путь, пройденный телом, движущимся с постоянной
скоростью, пропорционален времени движения. Стоимость това-
ра, продаваемого по одной и той же цене, пропорциональна
его массе. Масса тела одной и той же плотности пропорциональ-
на его объему.
Мы показали, что периметр квадрата р пропорционален
его стороне а. В этом случае для каждой пары соответственных
W Р
значении переменных аир отношение -у равно одному и
тому же числу 4:
А = = 24 = 36 _ _4
а ~ 3 “ 6 ~ 9 ------ •
Вообще, если переменная у пропорциональна переменной х,
то отношения соответственных значений х и у равны.
Пусть Х\ и X2 — произвольные значения переменной х,
а у\ и у2 — соответствующие им значения переменной у. По
определению пропорциональных переменных
Х-2 _ У>
Х| yi *
Переставив крайние члены пропорции, получим:,
у±_
Х\ х2 ’
Из доказанного свойства следует, что отношения любых
соответственных значений пропорциональных переменных у их
равны одному и тому же числу. Это числЪ называют коэф-
фициентом пропорциональности. Обозначим коэффициент про-
порциональности буквой k. Тогда
X
При равномерном движении путь пропорционален времени
движения. Коэффициент пропорциональности выражает ско-
рость движения. Стоимость товара пропорциональна его мас-
се, коэффициент пропорциональности выражает цену товара.
Задача. Для покраски пола площадью 15 м2 израс-
ходовали 1,2 кг краски. Сколько краски потребуется, чтобы
покрасить пол площадью 25 м2?
36
Решение. Пусть для покраски 25 м2 пола потребуется
х кг краски. Так как при увеличении площади пола в несколько
раз расход краски увеличивается во столько же раз, то масса
краски пропорциональна площади пола. Значит,
25 =_х_
15 1,2 ’
Отсюда:
15х = 1,2-25,
1,2*25
Х~ 15
АЧ О Х=2.
Ответ: 2 кг.
Для решения задачи можно составить другую пропорцию:
15 1,2
25 ~ х *
Можно также воспользоваться свойством пропорциональ-
ных переменных и записать пропорцию:
L?=_l
15 25 *
201. Пропорциональны ли:
а) стоимость крупы и ее масса; в) масса рельса и его длина;
б) площадь круга и его радиус; г) объем куба и его ребро?
202. На путь от турбазы до города турист затратил
1 ч 20 мин. За какое время он пройдет путь в 1,5 раза больший,
если будет двигаться с той же скоростью?
203. Резервуар наполняется при помощи насоса за 2 ч
30 мин. За какое время тем же насосом можно заполнить
резервуар, объем которого в 5 раз меньше?
204. Пропорционален ли периметр равностороннего тре-
угольника длине его стороны? Чему равен коэффициент
п ропорциона л ьности ?
205. Пропорциональна ли стоимость карандашей данного
вида их числу? Чему равен коэффициент пропорциональ-
ности, если известно, что 5 карандашей стоят 10 к.?
206. За 8 ч токарь изготовил 17 деталей. Сколько часов
потребуется, токарю на изготовление 85 деталей, если он будет
работать с той же производительностью?
207. За 4,5 м ткани заплатили 18 р. Сколько стоят 27 м такой
же ткани?
37
208. Из 2,5 кг свежих слив получается 750 г чернослива.
Сколько чернослива получится из 12,5 кг слив?
209. Масса 12 см3 бронзы равна 103,2 г. Какова масса
бронзовой детали, объем которой равен 25 см3?
210. Тонна морской воды содержит 25 кг соли. Сколько соли
содержится в стакане морской воды (считайте, что в стакане
250 г морской воды)?
211. Чтобы наполнить бензином 5 цистерн, потребовалось
1 ч 15 мин. Успеют ли за 2 ч наполнить бензином 7 таких
цистерн?
212. Известно, что масса 17 л керосина равна 13,6 кг.
Уместится ли 12 кг керосина в бидоне, если в него входит
16 л?
Упражнения для повторения
213. В координатной плоскости постройте точку, у которой:
а) абсцисса равна 3, а ордината противоположна абсциссе;
б) абсцисса равна —2, а ордината на единицу больше;
в) абсцисса равна 0, а ордината на единицу меньше;
г) абсцисса равна 1,5, а ордината в 2 раза больше абсциссы.
214. Три пионерских звена собрали для школьной библио-
теки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем
второе, третье 30% того числа книг, которое собрали первое и
второе звенья вместе. Сколько книг собрало каждое звено?
215. Решите уравнение:
а) 1 —1,7х —(0,8х + 2) = 3,4; б) 5 —0,2г/ = 0,Зу —39.
11. ДЕЛЕНИЕ НА ЧАСТИ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ДАННЫМ ЧИСЛАМ
П ри мер. От мотка проволоки отрезали кусок длиной I см.
Масса отрезанного куска равна т г. Переменная т пропор-
циональна переменной Z, так как с увеличением длины куска
в несколько раз его масса увеличивается во столько же раз.
В таблице указаны некоторые соответственные значения I и пг.
1 15 20 25 30
т 39 52 65 78
Отсюда:
39 _ 52 _ 65 _ 78
15 “ 20 “ 25 ~ 30 *
Говорят, что числа 39, 52, 65 и 78 пропорциональны числам
15, 20, 25 и 30.
38
Числа yi, у 2, уз, ... пропорциональны числам xi9 х2, «з* ...»
если
У1 У2 уз
XI Х2 Хз
Коэффициент пропорциональности равен любому из отноше-
нии z
У1 У2 уз
Xi* х2* Хз9
Решим задачи.
Задача 1. Отрезок АВ длиной 70 см разбили на четыре
части, пропорциональные числам 2, 3, 4 и 5. Найдите длины
этих частей.
Решение. Пусть длины частей равны а, 6, с и d см.
Так как числа а, Ь, с и d пропорциональны числам 2, 3, 4, 5,
то
а _ Ъ _ с _ d
Обозначив коэффициент пропорциональности буквой fe,
найдем, что а = 2Л, Ь = ЗЛ, с = 4Л, d = 5&.
По условию задачи сумма длин частей равна 70 см. Поэтому:
2fe + 3ft + 4ft + 5* = 70.
Решим получившееся уравнение:
14fe = 70,
— 5
Значит: а = 2* = 10, Ь = 3й = 15, c = 4ft = 20, d = 5ft = 25.
Ответ: 10, 15, 20 и 25 см.
Обычно решения подобных задач записывают короче.
Задача 2. Стороны треугольника, периметр которого
30 см, пропорциональны числам 5, 7 и 8. Найдите стороны
треугольника.
Решение. Пусть коэффициент -. пропорциональности
равен fe. Тогда меньшая сторона треугольника равна 5fe см,
средняя 1k см, большая — 8k см. По условию задачи:
5ft + 7ft + 8ft = 30.
Отсюда:
20* = 30,
fe = l,5.
Значит, 5k = 7,5; 7Л = 10,5 и 8й = 12.
Ответ: 7,5; 10»5 и 12 см.
39
216. Стороны одного четырехугольника равны 1,2; 1,4; 2,6
и 2,8 дм. Стороны другого четырехугольника равны 3; 3,5; 6,5
и 7 дм. Пропорциональны ли стороны этих четырехугольников?
217. Пропорциональны ли числа 0,6; 1; 1,4 числам 1,5;
2,5; 3,5?
218. Докажите, что числа 1,4; 1,8; 2,2 и 2J5 пропор-
циональны числам 3,5; 4,5; 5,5 и 6,5. Каков коэффициент
пропорциональности?
219. Пусть даны отрезки длиной 8,5; 15 и 25 см. Найдите
длины пропорциональных им отрезков, если больший из
них равен 20 см.
220. Стороны одного треугольника равны 7, 8 и 10 см.
Стороны второго треугольника пропорциональны сторонам
первого, причем его средняя сторона равна 16,8 см. Найдите
периметр второго треугольника.
221. Площади полей, засеянных рожью, пшеницей и ячме-
нем, пропорциональны числам 9, 5 и 3. Сколько гектаров
засеяно рожью и сколько ячменем, если известно, что пшеницей
засеяно 410 га?
222. Найдите длины сторон треугольника, если известно,
что они пропорциональны числам 2, 4 и 5, а периметр треу-
гольника равен 16,5 см.
223. Найдите каждый из смежных углов, если известно,
что эти углы пропорциональны числам: а) 5 и 4; б) 14 и 1.
224. Пионерский отряд должен посадить 60 деревьев.
Их распределили между тремя звеньями пропорционально
числам 3, 4 и 3. Сколько деревьев должно посадить каждое
звено?
225. Поле, площадь которого 600 га, разбито на четыре
части, пропорциональные числам 2, 3, 7 и 8. Найдите площадь
каждой части.
226. Сплав состоит из меди, цинка и никеля, массы которых
пропорциональны числам 13, 4 и 3. Какова масса сплава,
если в него входит меди на 2,4 кг больше, чем никеля?
227. Число спортсменов, занимающихся в волейбольной,
баскетбольной и гимнастической секциях, пропорционально
числам 5, 2 и 4. Сколько спортсменов занимается в этих трех
секциях, если в гимнастической секции занимается на 17 чело-
век меньше, чем в волейбольной?
4©
Упражнения для повторения
228. Отметьте точки А (4; — 3) и В( — 2; 6). Проведите
прямую АВ и найдите координаты точек пересечения этой
прямой с осью х и с осью у.
229. Отметьте в координатной плоскости точки М(0; —4)
и N (6; 2) и соедините их отрезком. Найдите координаты
точки пересечения этого отрезка с осью х.
12. ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Пример. Пусть автомобиль проходит 120 км со скоростью
v км/ч за t ч. Время t зависит от скорости v:
если у = 20, то 1 = 120:20 = 6;
если у = 40, то 1 = 120:40 = 3;
если у = 60, то 1=120:60 = 2 и т. д.
При увеличении скорости в несколько раз время умень-
шается во столько же раз. В самом деле, время, за которое
автомобиль пройдет 120 км со скоростью v км/ч, равно
120 т-г - 120
— ч. При увеличении знаменателя дроби — в несколько
раз эта дробь уменьшается во столько же раз.
Пусть переменные х и у принимают только положитель-
ные значения. Переменная у обратно пропорциональна пере-
менной х, если при увеличении значении х в несколько раз
соответственные значения у уменьшаются во столько же раз.
Это означает, что если Xi и Хг — значения переменной
х, а у\ и у2 — соответствующие им значения переменной у, то
х2__________________________
XI У2 •
В рассмотренном примере переменная 1 обратно пропор-
циональна переменной v. Иначе говоря, время прохождения
определенного расстояния обратно пропорционально скорости
движения.
Приведем другие примеры обратно пропорциональных
переменных. При постоянной площади прямоугольника его
длина обратно пропорциональна ширине. Объем тела опреде-
ленной массы обратно пропорционален плотности.
В примере с движением автомобиля время 1 обратно
цропорционально скорости и. В этом случае для каждой пары
41
соответственных значений v^t произведение vt равно одному
и тому же числу 120:
vt =5 20-6 = 40-3 = 60 -2 = .. . = 120.
Вообще, если переменная у обратно пропорциональна
переменной х, то произведения соответственных значений х и
у равны.
Пусть х\ и Х2 — произвольные значения переменной х,
a yi и у2 — соответствующие им значения переменной у.
По определению обратно пропорциональных переменных
*2 _ У\
Xi У2 '
Применив основное свойство пропорции, получим:
Х\У\=Х2у<1.
Задача. Некоторый заказ при одновременной работе 5
автоматов выполняется за 12 часов. За сколько часов будет
выполнен тот же заказ при одновременной работе 8 автоматов?
Решение. Пусть 8 автоматов выполнят заказ за х ч.
Так как при увеличении числа автоматов в несколько раз'
время выполнения заказа уменьшается во столько же раз,
то время выполнения заказа обратно пропорционально числу
автоматов. По определению обратно пропорциональных пере-
менных отношение х к 12 равно обратному отношению 8 к 5:
х 5
L2 “Т*
Отсюда:
8х = 12-5,
х = 7,5.
Ответ: 7,5 ч.
Заметим, что при решении задачи можно было восполь-
зоваться свойством обратно пропорциональных переменных.
230. Путь от А до В турист прошел за 4,5 ч. За сколько
времени турист прошел бы тот же путь, если бы шел в 1,5 раза
быстрее?
231. Бассейн наполняется водой за 1 ч 10 мин. За какое вре-
мя может наполниться тот же бассейн, если скорость подачи
воды уменьшится в 2 раза?
42
232. Поезд должен был пройти перегон между станциями
А и В со скоростью 60 км/ч. Однако он двигался со скоростью
90 км/ч. Во сколько раз быстрее он прошел перегон АВ1
233. Имеются железный и алюминиевый бруски, массы
которых одинаковы. Какой из брусков занимает больший
объем и во сколько раз больший, если известно, что плотность
алюминия 2,6 г/см3, а плотность железа 7,8 г/см3?
234. Совхозное поле три трактора могут вспахать за 60 ч.
За какое время вспашут это поле 12 таких тракторов?
235. Для перевозки песка предполагалось выделить 15 само-
свалов, грузоподъемностью 4 т каждый. Сколько самосвалов
грузоподъемностью 5 т следует выделить для выполнения той
же работы?
236. Усовершенствовав резец, рабочий стал затрачивать на
изготовление детали 8 мин вместо 10 мин. Сколько деталей
стал изготовлять рабочий за смену, если известно, что раньше за
смену он изготовлял 48 деталей?
237. На одной из сцепляющихся шестерен 54 зуба, а на
другой 45. Сколько оборотов сделает вторая шестерня за то
время, за которое первая сделает 270 оборотов?
238. Для 120 коров запаса сена хватит на 60 дней. На
сколько дней, хватит того же запаса сена для 180 коров?
Упражнения для повторения
239. Отметьте в координатной плоскости точки А (— 2; —3)
и В (4; 5). Найдите координаты середины отрезка АВ.
240. Из 85 т сахарной свеклы получается 18^7 т сахару.
Сколько сахара получится из 115 т свеклы?
§ 5. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
13. ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ
Рассмотрим задачу: «Расстояние между станцией и турба-
зой 60 км. С турбазы на станцию отправился велосипедист
со скоростью 12 км/ч (рис. 6). На каком расстоянии от станции
он будет находиться через х ч?»
За х ч велосипедист проедет 12х км. Значит, через х ч
он будет находиться отЗ^танции на расстоянии 60 — 12х км.
Обозначим это расстояние (в километрах) буквой у. Тогда
= 60 — 12х.
43
T j 60 км Станция Мы получили формулу,
- выражающую зависимость
расстояния у от времени дви-
12х км жения х. По смыслу задачи пе-
нс* ременная х может принимать
неотрицательные значения, не
большие 5 (через 5 ч велосипедист приедет на станцию).
По формуле г/= 60 — 12х для каждого значения х можно
найти соответствующее ему значение у. Например, если
х = 2, то г/= 36; если х = 3,5, то у =18; если х = 4, то у = 12,
т. е. через 2 ч велосипедист будет находиться на расстоянии
36 км от станции, через 3,5 ч — на расстоянии 18 км, через
4 ч — на расстоянии 12 км.
Мы видим, что значения у зависят от значений х, причем
каждому значению х соответствует единственное значение у.
Такие зависимости одной переменной от другой называют
функциональными зависимостями или функциями.
Зависимость переменной у от переменной х называете^.
функцией, если каждому значению х соответствует единст-
венное значение у.
Переменную х называют независимой переменной или
аргументом, а переменную у зависимой переменной. Говорят
также, что у является функцией от х. Значение г/, соответству-
ющее заданному значению х, называют значением функции.
Все значения, которые принимает независимая переменная,
образуют область определения функции. В рассмотренной
задаче область определения функции состоит из всех чисел от
О до 5, включая числа 0 и 5. Иными словами, область опре-
деления состоит из всех значений х, которые больше или равны
0 и меньше или равны 5. Пишут 0 х 5.
С функциональными зависимостями мы уже встречались,
когда рассматривали пропорциональные и обратно пропор-
циональные переменные. Так, функциями являются зависи-
мость периметра квадрата от его стороны, зависимость времени
прохождения некоторого пути от скорости.
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью
которого для каждого значения аргумента можно найти соот-
ветствующее значение функции. Приведем примеры.
Пример 1. Пусть длина стороны квадрата равна а см,
а его площадь S см2. Функцию S от а можно задать формулой
44
S = a\ Область определения этой функции состоит из всех
положительных чисел.
Пример 2. Пусть п — число мячей, купленных по цене
0,8 р. за штуку, с — стоимость покупки в рублях. Функция
с от п может быть задана формулой с = 0,8п. Область определе-
ния этой функции состоит из всех натуральных чисел.
Если функция задана формулой и область определения
функции не указана, то считают, что область определения
состоит из всех значений независимой переменной, при которых
эта формула имеет смысл. Например, область определения
функции, заданной формулой у = 2.2 , состоит из всех чисел,
кроме числа 2.
241. Площадь прямоугольника со сторонами 9 и х см
равна S см2. Выразите формулой функцию S от х. Какое
значение S соответствует х = 4; 6,5; 15?
242. Поезд, двигаясь со скоростью 70 км/ч, за t ч проходит
s км. Задайте формулой функцию s от t. Назовите независимую
переменную (аргумент) и зависимую переменную. Найдите
значение s, соответствующее f = 2,4; 3,8. Какому значению t
соответствует з = 105; 420?
243. Ширина прямоугольника х см, а длина на 5 см
больше ширины. Площадь прямоугольника S см2. Задайте
формулой функцию S от х. Найдите две пары соответственных
значений аргумента и функции.
244. Купили портфель за 5,5 р. и т книг, по 0,75 р. за
каждую. За всю покупку заплатили с р. Задайте формулой
функцию с от иг. Найдите три пары соответственных значе-
ний аргумента и функции.
245. Функция задана формулой г/ = 2х + 7. Найдите значе-
ние функции, соответствующее значению аргумента, равному
12; -50; 43.
246. Функция задана формулой г/ = 0,1х-|-5. Для значения
аргумента, равного 10, 50, 120, найдите соответствующее
значение функции.
12
247. Функция задана формулой //=—. В таблице указаны
значения аргумента. Заполните таблицу, вычислив соответствую- щие значения функции. X —6 — 4 -3 2 5 6 12
У
45
248. Функция задана формулой
У = х2 — 9. Заполните таблицу:
249. Формула у = 5х + 6 задает некоторую функцию.
Найдите значение функции, соответствующее значению аргу-
мента, равному —1,2; 2,8. При каком значении аргумента
значение функции равно 6; 8; 100?
250. Найдите область определения функции, заданной
формулой:
а; !/ = х2Н-8; в) у = —^—;
о -f- X
б) У==Т~Т' г) У=^-
251. У мальчика было 20 к. Он купил х карандашей,
по 3 к. за штуку. Обозначив число копеек, оставшихся у
мальчика, буквой г/, задайте формулой функцию у от х. Какова
область определения этой функции?
252. Один из смежных углов равен х°, а другой у°. Какова
область определения функции у от х? Составьте таблицу
соответственных значений х и у для значений х от 10 до
170 через 20 единиц.
253. Функция задана описанием: «Каждому натуральному
числу, меньшему 13, поставили в соответствие остаток от
деления этого числа на 5». Какова область определения этой
функции? Задайте эту функцию таблицей.
254. Каждому натуральному числу п ставится в соответ-
ствие остаток г от деления этого числа на 4. Какое число
соответствует 13, 120, 162, 999? Какова область определения
функции г от п? Какие числа служат значениями функции?
Упражнения для повторения
255. Двигаясь со скоростью 75 км/ч, автомобиль за не-
которое время проходит 180 км. Сколько километров может
пройти автомобиль за то же время, если уменьшит скорость
на 15 км/ч?
256. Велосипедист ехал со скоростью 15 км/ч в течение
4 ч. За какое время велосипедист проедет то же расстояние,
если увеличит скорость на 10 км/ч?
46
14. ГРАФИК ФУНКЦИИ
На метеостанции в течение суток вели наблюдения за
температурой воздуха. В таблице указаны некоторые резуль-
таты наблюдений:
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
р — 4 — 7 — 5 0 2 4 2 1 -3
Буквой t обозначено время суток (в часах), а буквой р —
температура “(в градусах Цельсия).
Эта таблица не дает полного представления о температуре
в течение суток. Например, остается неясным, какая темпера-
тура была в 7 ч, в 12 ч 30 мин и т. д. Для непрерывной регистра-
ции температуры в течение этих суток можно было бы исполь-
зовать самопишущий прибор. Этот прибор в каждый момент
времени t отмечал бы в координатной плоскости точку, у ко-
торой абсцисса равна значению t, а ордината — соответству-
ющему значению температуры р (рис. 7). В результате полу-
чилась бы некоторая линия — график температуры (рис. 8).
По графику температуры легко получить многие сведения
об изменении температуры в течение суток. Например, в 7 ч
температура воздуха была —3,5 °C, с 3 ч до 15 ч она повыша-
лась, а с 0 ч до 3 ч и с 15 ч до 24 ч понижалась, самая высокая
температура была в 15 ч и т. д.
р,°с
р in hn см *
/
1—1—1—1—1 1 1 1 1 .1 1 1 1 1 1 CTi Ln М ** 1 0 2 4 6 8/ 10 12 74 76 18 20 22 24 t,4
—
Рис. 7
47
Зависимость температуры р от времени t является функцией.
Изображенную на рисунке 8 линию называют графиком
функции р от t.
Графиком функции называется множество всех точек,
абсциссы которых равны значениям 'аргумента, а ординаты —
соответствующим значениям функции.
Покажем, как можно построить график функции, заданной
формулой.
Пусть функция задана формулой
z/ —х(6 —х), где — 1^х^5.
Составим таблицу некоторых соот-
ветственных значений аргумента и
функции:
X — 1 0 1 2 3 4 5
У — 7 0 5 8 9 8 5
Отметим в координатной плоскости
точки, координаты которых указаны в
таблице. Соединим их плавной линией
(рис. 9). Получим график функции, за-
данной формулой у = х (6 — х), где — 1
^х^5. Чем больше отметим точек,
принадлежащих графику, и чем плотнее
48
они будут расположены, тем точнее будет построен график.
На рисунке 10 изображен график некоторой функции.
Пользуясь графиком, для каждого значения аргумента можно
найти соответствующее ему значение функции. Найдем, на-
пример, значение функции при х = 3. Для этого через точку на
оси х с абсциссой 3 проведем перпендикуляр к оси х. Точка
пересечения этого перпендикуляра с графиком функции имеет
координаты (3; 5). Значит, при х = 3 значение функции
равно 5.
С помощью графика можно по данному значению функции
найти значения аргумента, которым оно соответствует. Найдем,
например, по графику, изображенному на рисунке 10, значе-
ния х, для которых у = 7. Для этого через точку на оси у с
ординатой 7 проведем прямую, параллельную оси х. Эта
прямая пересекает график в двух точках с координатами
(5; 7) и (9; 7). Значит, функция принимает значение, равное 7,
при х = 5 и при х = 9.
257. Используя график температуры воздуха (см. рис. 8),
ответьте на вопрос: а) какая температура воздуха была в 8,
в 12, в 20 ч; б) в какое время температура была 5 °C, —4 °C,
1 °C; в) когда температура была 0 °C, когда она была выше
0 °C и когда была ниже 0 °C; г) в какое время температура
была наименьшей и в какое наибольшей?
49
258. По озеру плавает яхта. Ее расстояние от базы меняется
с течением времени. Зависимость расстояния s от времени t
показана на графике (рис. 11). На каком расстоянии от базы
находилась яхта через 20 мин, через 40 мин, через 1 ч 20 мин,
через 2 ч 30 мин после отправления? Через сколько минут
после отправления яхта находилась на расстоянии 10 км,
8 км, 2 км от базы?
Рис. 12
50
13
12
11
10
9
а
7
6
5
Ч
3
2
1
с1,см
0 f 2 3 4
J L 1 г J L
Рис. 13
259. На рисунке 12 изображен график зависимости высоты
сосны от ее возраста. Найдите, пользуясь графиком: а) высоту
сосны в возрасте 10, 40, 90, 120 лет; б) в каком возрасте
сосна достигла высоты 20, 25, 30 м; в) на сколько метров вырос-
ла сосна за промежуток времени от 20 до 60 лет, от 60 до 100 лет.
260. Зависимость площади круга от его диаметра изображе-
на графиком на рисунке 13. Найдите по графику: а) площадь
круга, диаметр которого равен 1,2; 2,5; 3; 3,2 см; б) диаметр
круга, площадь которого равна 5; 7; 8,5 см2.
261. С помощью графика зависимости длины окружности от
ее диаметра (рис. 14) найдите:
а) длину окружности, диаметр которой равен 1,2; 2,5; 4 см;
б) диаметр окружности, длина которой равна 5; 8; 10 см.
262. Измеряя через каждую минуту температуру воды в
баке, составили таблицу:
х, мин 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
о 0 14 28 41 54 66 76 85 93 98 100 100 100 100
51
Постройте график зависимости у от х (масштаб: 1 см на
оси х соответствует 1 мин, 1 см на оси у соответствует 10 °C).
Используя график, ответьте на вопросы:
а) какую температуру имела вода через 4, через 5,5, через 9,
через 10,7 мин после начала нагревания;
б) через сколько минут после начала нагревания темпе-
ратура воды стала равной 41 °C; 60 °C; 93 °C; 100 °C?
263. Кривая MN — график некоторой функции (рис. 15).
Найдите по графику значение функции, соответствующее зна-
чению аргумента — 2; — 1; 0; 1; 5.
264. Используя график функ-
ции, изображенной на рисунке 16,
заполните таблицу:
X -3 --1,5 -0,5 0 0,5 3,2
У
Укажите пять значении аргумента, которым соответствуют
положительные значения функции, и пять значений аргумента,
которым соответствуют отрицательные значения функции.
265. На рисунке 17 изобра-
жен график некоторой функции.
Пользуясь им, заполните таб-
лицу:
X -4 — 3 -2,5 0 1 3,5
У
Укажите три значения х, при которых у>»0, и три значения
х, при которых i/ <0.
266. Кривая CD — график некоторой функции (рис. 18).
Используя график, найдите: а) значение у при х=— 3; —2;
0; 2; 4; б) значения х, которым соответствует г/= —2; 0; 2; 3.
267. Графиком функции служит отрезок, координаты кон-
цов которого ( — 6; —2) и (3; 5). Начертите график и найдите
по графику: а) значение у при х= —5; —3; — 1; 1; 2; б) зна-
чения х, которым соответствует */ ——1; 1; 3; 4.
52
268. Ломаная ABC — график некоторой функции, причем
А( —3; 1); В( —1; — 1) и С (3; 3). Начертите график и с его
помощью найдите: а) значения функции, соответствующие
х=—2,5; —1,5; 0; 1,5; 2; б) значения аргумента, которым
соответствует у =—0,5; 1; 2,5.
269. Графиком некоторой функции является ломаная
MNP, причем М( — 2; —1), N (3; 6), Р (6; —3). Начертите
график и, пользуясь им, найдите: а) значение функции у при
х= —1,5; 0; 4; 5,5; б) значения аргумента, которым соответ-
ствует у =—2,5; 0; 4,5.
270. Принадлежат ли точки А (4; 2), В (1; —4) и С(1; 4)
графику функции, заданной формулой у = 2х— 6? Назови-
те координаты еще каких-либо двух точек, одна из которых
принадлежит графику этой функции, а другая не принадлежит.
271. Постройте график
функции, заданной форму-
лой у = х (х — 3), заполнив
предварительно таблицу:
272. Постройте график функции, заданной формулой:
а) г/ = х-|-3, где 1^х^5; в) г/ = 5 —х, где — 4^х^6;
б) z/ = 4 —х2, где — 3<Сх<^3; г) у — х~-\-2х, где — 3^х^2.
12
273. Функция задана формулой у = —, где 1 х 12.
Составьте таблицу значений функции для целых значений х.
Постройте график функции. Отметьте на графике точку с
абсциссой 2,5. Найдите ее ординату и проверьте результат по
формуле.
X — 2 -1,5 — 1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
У
53
Упражнения для повторения
274. Периметр прямоугольника со сторонами х и у см
равен 20 см. Задайте формулой функцию у от х. Укажите
область определения этой функции. Какие значения может
принимать функция?
Найдите значение функции, соответствующее значению ар-
гумента х, равному 3; 2,5 и 7.
При каком значении аргумента соответствующее значение
функции равно 3; 2,5 и 7?
275. Стороны прямоугольника а и b дм, а его площадь
равна 10 дм2. Задайте формулой функцию b от а. Укажите
область определения этой функции. Какие значения может
принимать функция?
276. Длины сторон треугольника пропорциональны числам
4, 6 и 9. Найдите длину каждой стороны треугольника, если
средняя сторона больше меньшей на 5 см.
15. ГРАФИК ПРЯМОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
Рассмотрим пропорциональные переменные т и V, где
т — масса железного бруска в граммах, V — его объем в куби-
ческих сантиметрах. Выразим зависимость т от V формулой.
Масса одного кубического сантиметра железа равна 7,8 г,
поэтому: т = 7,8У.
Формулой вида у = kx можно выразить зависимость между
любыми пропорциональными переменными. В самом деле,
пусть переменная у пропорциональна переменной х и число
k — коэффициент пропорциональности. Тогда
X
Отсюда:
y = kx.
В полученной формуле переменная х принимает лишь поло-
жительные значения. Следовательно, область определения
функции состоит из положительных чисел.
В дальнейшем будем рассматривать функцию у = kx с любой
областью определения. Такую функцию при называют
прямой пропорциональностью или -просто пропорциональ-
ностью.
54
Определение. Прямой пропорциональностью называ-
ется функция, которую можно задать формулой вида у=кх,
где х — независимая переменная и к — не равное нулю число.
Пусть прямая пропорциональность задана формулой 1/ =
= 0,5х. Построим ее график. Для этого составим таблицу
некоторых значений функции:
X -4 — 3 -2 -1 0 1 2 3 4
У — 2 — 1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
Отметим в координатной плоскости точки, координаты
которых указаны в таблице (рис. 19). Нетрудно заметить,
что все отмеченные точки лежат на одной прямой. Проведем
эту прямую (рис. 20). Построенная прямая — график функции
у = 0,5х. Эта прямая проходит через начало координат, так как
если х = 0, то и у = 0.
Вообще, график прямой пропорциональности есть прямая,
проходящая через начало координат.
Прямая определяется двумя своими точками. Поэтому для
построения графика прямой пропорциональности достаточно
найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в
координатной плоскости и провести через них прямую. В
качестве одной из таких точек целесообразно брать начало
координат.
Построим график функции, заданной формулой у = — 2х.
Найдем по этой формуле координаты какой-нибудь точки
графика, отличной от начала координат, например точки с
абсциссой —3: если х= —3, то у = 6. Отметим в координатной
плоскости точку (— 3; 6). Через эту точку и начало координат
55
проведем прямую. Эта прямая — график функции у = — 2х
(рис. 21).
На рисунке 22 построены графики прямых пропорциональ-
ностей y = kx с различными коэффициентами Л. От коэф-
фициента k зависит расположение графика в координатной
плоскости.
Если х = 19 то из формулы y = kx находим, что y = k.
Значит, график прямой пропорциональности проходит через
точку (1; ft).
Если k > 0, то точка (1; k) лежит в первой координатной
четверти. В этом случае график прямой пропорциональ-
ности расположен в первой и третьей координатных четвертях.
Начало координат делит график на две полупрямые. Полу-
прямая, лежащая в первой координатной четверти, образует с
осью х некоторый угол. Этот угол зависит от коэффициента
k: чем больше fe, тем больше угол (рис. 22).
Если k < 0, то точка (1; k) лежит в четвертой координатной
четверти. Значит, график прямой пропорциональности распо-
ложен во второй и четвертой координатных четвертях. Рассмот-
рим угол между осью х и полупрямой, лежащей в четвертой
координатной четверти (рис. 23). Этот угол тоже зависит
от коэффициента fe: чем больше модуль fe, тем больше угол.
В рассмотренных примерах мы считали, что область опре-
деления функции состоит из всех чисел. Если область опре-
деления прямой пропорциональности состоит не из всех
чисел, то в этом случае график прямой пропорциональности
представляет собой соответствующую часть прямой. Например,
это может быть полупрямая или отрезок.
56
277. Велосипедист движется равномерно со скоростью
12 км/ч; Запишите формулу, выражающую зависимость
пройденного пути а (в километрах) от времени движения
t (в часах).* Является ли эта зависимость прямой пропор-
циональностью?
278. Напишите формулу, выражающую зависимость длины
окружности от радиуса. Докажите, что эта зависимость яв-
ляется прямой пропорциональностью. Чему равен коэффициент
пропорциональности?
279. Прямая пропорциональность задана формулой у =
1 тт «
=——х. Найдите:
® 12
а) значение у, соответствующее х, равному —9; 1-у; 2—;
282. Какие из точек А (6; —2), В ( — 2; —10), С(1; 1),
Е(0; 0) принадлежат графику прямой пропор-
циональности: а) у =—|-х; б) у = 5х?
283. Постройте график функции, заданной формулой у = Зх.
Найдите по графику:
а) значение у, соответствующее х, равному 1; 1,5; 2,5; 3;
б) при каком х значение у равно —3; 0; 3;
в) при каких х переменная у принимает положительные
значения и при каких отрицательные.
284. Постройте график функции, заданной формулой у==
= —0,5х. С помощью графика найдите:
а) значение у, соответствующее х, равному —2; 4; 1;
б) при каком х значение у равно —1; 0; 2,5;
в) при каких х переменная у принимает положительные
значения и при каких отрицательные значения.
Существует ли такое х, при котором у =—150? Если
существует, то вычислите его. •
57
285. Постройте график прямой пропорциональности у = 2х.
Найдите с помощью графика:
а) какое значение Цринимает функция при х, равном 2; 2,5;
3; 4;
б) при каком х значение функции равно 7;
в) при каких х значения функции положительны и при ка-
ких отрицательны.
286. Постройте в одной координатной плоскости графики
прямых пропорциональностей y = kx при fe = 6; 0,3; — 1; —2,4.
287. Основание прямоугольника 2,5 м, высота х м. Выразите
площадь у прямоугольника (в квадратных метрах) через х.
Постройте график зависимости у от х.
Найдите по графику:
а) площадь прямоугольника, высота которого 3,5 м;
4 м;
б) высоту прямоугольника, площадь которого 6 м2; 8 м2.
288. Сторона равностороннего треугольника равна х см.
Выразите периметр у этого треугольника (в сантиметрах) через
х. Постройте график зависимости у от х. Найдите по графику
сторону треугольника, если его периметр равен 7,5 см. От-
вет проверьте вычислением.
289. Масса одной детали 0,75 кг. Обозначив массу х деталей
(в килограммах) через у, выразите у через х. Постройте график
зависимости у от х.
290. Турист вышел из города и через х ч)находился на рас-
стоянии у км от него.
Зависимость у от х показана в таблице:
X 0 0,5 1 2 2,5 3 3,5 4
У 0 2,1 4,0 7,9 10,1 12,1 14 16,1
В координатной плоскости отметьте соответствующие точки
и покажите с помощью линейки, что они расположены почти
на прямой. Составьте формулу, которая приближенно выражает
зависимость у от х.
291. На рисунке 24 построены графики движения пешехода
(отрезок ОВ) и велосипедиста (отрезок ОА). С помощью графи-
ков ответьте на вопросы:
а) Какое время был в пути пешеход? велосипедист?
б) Какой путь проделал пешеход? велосипедист?
58
в) С какой скоростью двигался пешеход? велосипедист?
г) Во сколько раз путь, который проехал за 2 ч велосипе-
дист, больше пути, пройденного за то же время пешеходом?
292. В каких координатных четвертях расположен график
прямой пропорциональности:
а) у = 1,7х; в) у = 0,9х; д) у = х;
б) у= — 3,1х; г) у= — 2,3х; е) у=—х?
293. В каких координатных четвертях расположен график
функции:
а) г/ = 2,3х; б) у=— 4,5х; в) у=—0,1х; г) у = 0,7х?
294. На рисунке 25 построены графики прямых пропор-
циональностей. Для каждого
графика напишите соответст-
вующую формулу.
295. На рисунке 26 изо-
бражен график зависимости
удлинения у стальной прово-
локи от силы F, под действием
которой проволока растяги-
вается. Укажите границы из-
менения силы F, при которых
зависимость удлинения про-
волоки от силы F являет-
ся прямой пропорционально-
стью.
59
Упражнения для повторения
296. Найдите неизвестный член пропорции:
а> 3Т:15 = х:Т; б) У'2Т=ТЛТ'
297. Упростите выражение:
а) —21(4 — 10а)—54а; б) 28 — 10т+ 4 (т + 18).
298. Для сельской библиотеки ученики шестых и седьмых
классов собрали 315 книг. Сколько книг собрали семиклассни-
ки, если известно, что они собрали на 10% книг больше,
чем шестиклассники?
§ в. ЛИНЕЙНАЯ функция
16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕИНОИ ФУНКЦИИ
Рассмотрим примеры функций.
Пример 1. На шоссе расположены пункты А и В, уда-
ленные друг от друга на 20 км (рис. 27). Мотоциклист выехал
из пункта В в направлении, противоположном А, со скоростью
50 км/ч. За t ч мотоциклист проедет 50f км и будет находиться
от A hsl расстоянии 50£-|- 20 км. Если обозначить буквой s рас-
стояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависи-
мость этого расстояния от времени движения можно выразить
формулой
s = 50t + 20, где t 0.
В
Пример 2. Ученик купил тетради по 3 к. за штуку и руч-
ку за 35 к. Стоимость покупки зависит от числа тетрадей.
Обозначим число купленных тетрадей буквой х, а стоимость
покупки буквой у (в копейках). Получим:
y = 3x-j-35, где х — натуральное число.
В обоих примерах мы встретились с функциями, заданными
формулами вида у = kx + Ь, где х — независимая переменная,
k и Ь — некоторые числа. Такие функции называют линейными.
60
Определение. Линейной функцией называется функ-
ция, которую можно задать формулой вида y=kx-\-b, где х —
независимая переменная, hub — числа.
Если b = 0, то формула у = kx -f- Ъ принимает вид у = kx.
Этой формулой при k =Н= 0 задается прямая пропорциональность.
Таким образом, прямая пропорциональность является частным
случаем линейной функции.
Заметим, что если в формулу у = kx + b вместо k подставить
О, то получится у = Ох + Ь. Значит, при k = 0 формула у — kx b
принимает вид у = Ъ. Функция, задаваемая формулой у = Ь,
является линейной. Она принимает одно и то же значение при
любых значениях х.
299. Каждую секунду в бассейн поступает 0,5 м3 воды.
Сколько кубометров воды станет в бассейне через х с, если сей-
час в нем 120 м3 воды? Задайте формулой зависимость объема
воды в бассейне от времени его наполнения. Является ли эта
зависимость линейной функцией?
300. Длина прямоугольника х см, а ширина на 3 см меньше.
Задайте формулой зависимость периметра прямоугольника от
длины. Является ли эта зависимость линейной функцией?
301. Ученик имел 50 к. На эти деньги он купил х марок по
5 к. После покупки у него осталось у к. Задайте формулой
зависимость у от х. Является ли эта зависимость линейной
функцией?
302. Плата за телеграмму может быть подсчитана по фор-
муле у = 5х + 20, где х — число слов в телеграмме, аг/ —
плата за телеграмму (в копейках). Является ли функция у от
х линейной? Какое значение функции соответствует значе-
нию аргумента, равному 15; 26; 40? Существует ли значение
аргумента, которому соответствует значение функции, рав-
ное 70; 82?
303. Является ли линейной функция, заданная формулой:
а) у = 2х — 3; г) г/ = 8х; ж) у = х2 — 3;
б)у=—х + 5; д) г/ = -|- + 1; з) у = 10х~7;
в) у = 7 — 9х; е) = 1; и) у = 5?
304. Функция задана формулой: а) г/ = (5х — !)-(-( — вх-^.Э);
б) г/ = 4 (х — 3) + (х4-2). Является ли эта функция линейной?
305. Упростив правую часть формулы у — 7 (8 — х) + (х —10),
выясните, является ли заданная этой формулой функция
линейной.
306. Линейная функция
задана формулой у = 0,5х + 6.
Заполните таблицу:
307. Функция задана фор-
мулой у = — Зх 4-1,5. Запол-
ните таблицу:
X —4 — 2 0 2 4 6 8 10 12
у
X — 2 -0,5 1 2,5 4
У ••
308. Некоторая линейная функция задана формулой вида
y = kx—1. Найдите число k и заполните таблицу:
X 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
У 0,8
Упражнения для повторения
309. Решите уравнение:
а) 3 Ю,9х — 1; — (х4-0,6)=—0,2; б) 7-(3,1 -0,1г/) = 3-0,2г/.
310. При каких натуральных значениях п:
а) — правильная дробь; б) -~-?2 — неправильная дробь?
311. Проходит ли график функции, заданной формулой
у = — 2х2 4- Зх, через точку:
а) А(-1; -5); б) В (2; 2); в) С(3; -9)?
/
17. ГРАФИК ЛИНЕИНОИ ФУНКЦИИ
Линейная функция у = kx 4- Ь при Ь = 0 и k =Н= 0 есть прямая
пропорциональность. В этом случае, как известно, графиком
функции служит прямая. Построим график линейной функции,
которая не является прямой пропорциональностью, например
график функции у = 0,5х —2. Для этого составим таблицу:
X — 6 — 4 -2 0 2 4 6 8
У — 5 — 4 — 3 — 2 -1 0 1 2
62
Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых
указаны в таблице (рис. 28). Все эти точки лежат на одной
прямой. Эта прямая (рис. 29) является графиком линейной
функции у = 0,5х —2.
Вообще, графиком линейной функции является прямая.
Для построения графика линейной функции достаточно
найти координаты двух точек графика, отметить эти точки
в координатной плоскости и провести через них прямую.
Пример 1. Построим график функции г/ = 2х + 3.
Функция у = 2х + 3 линейная, и поэтому ее графиком явля-
ется прямая. Используя формулу у = 2x4-3, найдем координа-
ты двух точек:
х= — 2, г/ = 2-( — 2)4-3= —1;
х = 1, г/ = 2-1 + 3 = 5.
Отметим точки А ( — 2; —1) и В(1; 5). Проведем через
эти точки прямую (рис. 30). Прямая АВ есть график функции
г/ = 2х4-3.
Пример 2. Построим график линейной функции у =
= - 0,8x4-1.
При построении графика линейной функции в качестве од-
ной из точек удобно брать точку его пересечения с осью у,
т. е, точку с абсциссой 0.
Найдем координаты точек графика, соответствующих х = 0
и х = 5:
х = 0, у= — 0,8-0 + 1 = 1;
х = 5, i/= —0,8 • 5 + 1 = — 3.
63
Отметим точки М (0; 1) и К (5; —3) и проведем через них
прямую (рис. 31). Прямая МК есть график линейной функции
у = — 0,8x4-1.
Пример 3. Построим график функции у = — 4.
Эта функция линейная, так как формулу у = — 4 можно
представить в виде у = Ох — 4. Любому значению х соответствует
одно и то же значение #, равное —4. Отметим две какие-
нибудь точки с ординатой —4, например (0; —4) и (2; —4),
и проведем через них прямую (рис. 32). Получим график линей-
ной функции у = — 4.
312. Постройте график функции:
а) у=— 2х + 1; в) # = 3х —4;
б) у = 0,2х + 5; г) у = - 0,6х —1,5.
В какой точке этот график пересекает ось ординат?
313. Постройте график функции:
а) # = 3x4-2; в) # = 0,Зх —5;
б) у=— Зх + 2; Г) У—~ 0,Зх — 5.
314. Постройте в одной и той же системе координат графи-
ки функций:
а) # = 1,2х и # = 1,2х —3; б) у=—х и у=— х4-3,5.
315. Постройте график линейной функции у=— 1,5x4-3.
Выясните с помощью графика: а) какое значение у соответ-
ствует х =—2,5; 3,5; б) какому значению х соответствует
#=—4,5; 0,5; в) при каких значениях х значения у положи-
тельны и при каких отрицательны.
64
316. Начертите график линейной функции у = 1,5х + 4. Най-
дите с помощью графика: а) значение у, соответствующее
х= —3,5; 1,5; б) значение х, которому соответствует у — —0,5;
4,5. При каких значениях х значения у положительны и при
каких отрицательны?
317. Постройте график функции у — — 10х + 40, выбрав мас-
штаб: по оси х — в 1 см одна единица, по оси у — в 1 см 10 еди-
ниц. Найдите по графику: а) значение у, соответствующее
X—— 2,5; 0,8; 3,5; б) значение х, которому соответствует
у = 70; — 10; —30; в) при каких значениях х значение у равно
нулю, больше нуля, меньше нуля.
318. Построив график функции у = —Зх + 6, выясните, при
каких значениях х: a) i/ = 0; б) у>$\ в) г/<0.
319. Начертите график функции у = 2х — 4 и найдите, при
каких значениях х: а) б) y>Q*, в) у<0.
320. Постройте график функции у = 2х — 5. Выясните с по-
мощью графика, как изменяется у, когда х возрастает: а) от
— 4 до 0; б) от 0 до 6.
321. Функция задана формулой у = — 1,2х 4~ 4. Как изменя-
ется у при изменении аргумента: а) от —5 до 1; б) от 2 до
5? Ответ найдите по графику.
322. В одной и той же координатной плоскости постройте
графики функций: f/ = 6; t/ = 3,2; у=— 1; у= — 5; г/= 0.
323. Постройте графики функций: у= — 2; у =—1,9;
i/ = l,6; у = 7.
324. В бак налили воды, температура которой 10°С, и на-
грели ее до 100 °C, причем через каждую минуту температура
повышалась на 1,5 °C. Задайте формулой зависимость темпе-
ратуры воды у от времени нагревания х. Постройте график
этой зависимости. Узнайте по графику: а) какую температуру
имела вода через 5 мин, через 10 мин после начала нагревания;
б) через какое время вода нагрелась до 85 °C.
325. Не выполняя построения графика функции г/ = 1,2х — 7,
выясните, проходит ли этот график через точку:
а) А (100; 113); б) В(-15; -25); в) С(-10; 5); г) D(300; 353).
Упражнения для повторения
326. Решите уравнение:
а) 3,7х —2= -2x4-3,13; в) -27х = 5-54х;
б) 4,2х4-8 = 8-7х; г) х-1 =0,4х-2,5.
3 Заказ 890
65
327. Вычислите:
а) б4--Т’14 + ^—6’ б> 7 + 2424:(11,8 + 0,2) + 2,3.
о о 4 4
328. В автопарке было в 1,5 раза больше грузовых машин,
чем легковых. После того как автопарк получил еще 45 легко-
вых автомашин, а 12 грузовых машин передал подшефному
колхозу, в нем стало легковых машин на 17 больше, чем
грузовых. Сколько всего автомашин было в автопарке?
18. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИИ
Графики двух линейных функций представляют собой пря-
мые, которые либо пересекаются, либо параллельны. Любую
линейную функцию можно задать формулой вида у = kx 4" b.
Взаимное расположение графиков линейных функций зависит
от значений k и Ь.
Рассмотрим графики линейных функций, заданных форму-
лами у = 0,Эх — 1 и у = 0,8х + 1 с различными коэффициентами
k (рис. 33). Выясним, пересекаются ли эти графики. Пересе-
чение графиков функций означает, что они имеют общую
точку. В этом случае найдется такое значение х, которому со-
ответствует одно и то же значение у для обеих функций.
Чтобы найти это значение х, приравняем правые части формул
г/ = 0,9х—1 и г/ = 0,8х + 1 и решим получившееся уравнение:
0,9х —1 = 0,8x4-1,
0,9х — 0,8х = 14-1,
0,1х = 2,
х = 20.
При х = 20 обе формулы дают одно и то же значение у:
0,9х — 1 = 17 и 0,8x4-1 = 17.
Это означает, что точка (20; 17) принадлежит как одному, так
и другому графику. Такая точка только одна. Значит, прямые,
являющиеся графиками линейных функций г/ = 0,9х—1 и
у = 0,8х 4~ 1 > пересекаются.
Рассмотрим теперь линейные функции, заданные фор-
мулами у = 0,5x4- 4 и г/ = 0,5х —2, с одинаковыми коэффи-
циентами k. Графики этих функций изображены на рисунке 34.
66
Чтобы найти координаты точки пересечения графиков,
приравняем правые части формул и решим полученное урав-
нение:
0,5х + 4 = 0,5х-2,
0,5х —0,5х= — 2 —4,
0х= — 6.
t Уравнение 0,5х + 4 = 0,5х — 2 не имеет корней. Значит, пря-
мые, являющиеся графиками линейных функций г/ = 0,5х + 4
и г/ = О,5х —2, не имеют общих точек, т. е. они параллельны.
Вообще, графики двух линейных функций, заданных форму-
лами вида y — kx^b, пересекаются, если коэффициенты k
различны, и параллельны, если коэффициенты k одинаковы.
Докажем это. Пусть y = k\X-\-b\ и t/==fe2x>b2— две раз-
личные линейные функции. Чтобы выяснить взаимное располо-
жение их графиков, составим уравнение
k\X-\-b\ = k2x + b2.
Преобразуем это уравнение:
k\X — k2x = b2 — b\,
(k\—k2)x=b2—b\.
Мы получили линейное уравнение. Если k\=/=k2, то уравне-
ние имеет единственный корень. В этом случае графики функ-
ций пересекаются.
Если k\=k2 и Ь| =/=Ь2, то уравнение не имеет корней. В этом
случае графики функций параллельны.
Из доказанного следует, что график любой линейной функ-
ции у = kx + b при b 0 параллелен графику прямой пропор-
3*
67
Рис. 35
циональности с тем же коэффициентом k (рис. 35). Отсюда
ясно, что угол, который образует график линейной функции
у = kx + b с осью х, также зависит от коэффициента k. Поэтому
число k в формуле у = kx + b называют угловым коэффициен-
том прямой.
На рисунке 36 изображены прямые, которые являются
графиками линейных функций, заданных формулами вида
у = kx + b с одним и тем же значением k и различными
значениями Ъ. Все эти прямые параллельны.
На рисунке 37 изображены прямые, которые являются гра-
фиками линейных функций, заданных формулами вида
y — kx-\-b с одним и тем же значением b и различными зна-
чениями k. Все эти прямые пересекаются в одной точке, лежа-
щей на оси у.
68
329. Каково взаимное расположение графиков функций:
а) у = 7х — 4 и у = 7x4-8; г) у=—4х и у=— 4х — 5;
б) у — 10х4-8 и у=— 10x4-6; д) г/ = Зх 4~ 1 и у=— 4х 4~ 1;
в) у = 3х — 5 и у = — 6x4-1; е) # = 12х и # = — 8х?
330. Линейные функции заданы формулами: у== — 10x4-13,
# = 3,7х —13, #=—8 —10х, #=—3,6х —8, у = 3,6x4-8,
у — — 3,6х. Выделите те функции, графики которых параллель-
ны друг другу. Назовите две из заданных функций, графики
которых пересекаются.
331. Функции заданы формулами: У=— 1,5x4-6,
# = 1,5х —6, # = 0,5x4-4, # = 0,5х, г/ = 3 4-1,5х. Выделите те из
них, графики которых:
а) параллельны графику функции у = 0,5x4-10;
б) пересекают график функции у= — 1,5х.
332. Дана лицейная функция у = 2,5x4- 4. Задайте форму-
лой какую-нибудь линейную функцию, график которой:
а) параллелен графику данной функции;
б) пересекает график данной функции.
333. Задайте формулой две линейные функции, графики
которых: а) параллельны; б) пересекаются.
334. Функция задана формулой у = kx 4- 6. При каком зна-
чении k график этой функции параллелен графику функции:
а) #=-3x4-7; в) # = х4-3,7; д) # = 8х;
б) # = 100х — 1; г) #=—х4-9; е) #=—5?
335. Выясните, при каких значениях k график функции
j/ = fex —12 пересекает график функции:
а) # = 4х —7; б) #=—6x4-29.
336. Линейная функция задана формулой y = kx -9. При
каком значении k график этой функции параллелен графику
функции # = 8,8х — 7 и при каких значениях k пересекает его?
337. Функция задана формулой # = Лх4-3. При каких зна-
чениях k график этой функции: а) параллелен оси х; б) пере-
секает ось х?
338. Постройте в одной и той же системе координат гра-
фики функций:
а) #=—х4-6, #=—х—1,5, #=—х, #=—х —3;
б) # = х4-2,5, #=—х4-2,5, # = 2,5, # = 0,5x4-2,5.
69
339. Постройте в одной и той же системе координат графики
функций, заданных формулами вида:
а) у = Зх+Ь при 6 = 1,2; —4; 0;
б) y — kx — 2 при й = 1; —1; 0,4.
340. Найдите координаты точки пересечения графиков
функций:
а) у — 10х — 8 и у=— Зх + 5; г) у = 37х —8 и i/ = 25x-{-4;
б) г/ = 14 — 2,5х и у = 1,5х—18; д) у = 14х и у = х4-26;
в) у = 20х— 70 и у = 70х + 30; е) у=—5x4-16 и у=—6.
341. Пересекаются ли графики функций:
а) у=— 6х + 9 и у — 2х — 7; в) у = 0,2х — 9 и у =-|-х4-1;
б) у=—0,5х-|-2 и z/ = 2,5x —10; г) у = х и у = -3x4-3,67
Для пересекающихся графиков найдите координаты точки'
пересечения.
Упражнения для повторения
342. Верна ли пропорция:
а) 16,8:4,8 = 19,6:5,6; б) 3,4:8,5 = 9,5:22,8?
343. Решите уравнение:
х 1,2 х . -х 2,8 0,7
а) 3^=4^’ б)
344. На элеватор за два дня завезли 1440 т зерна, причем
во второй день завезли 80% того количества, что завезли в пер-
вый. Сколько тонн зерна завезли на элеватор в первый день?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
К параграфу 4
345. Как изменится площадь прямоугольника, если длину
увеличить в 3 раза, а ширину увеличить в 4 раза?
346. Площадь, отводимую колхозом иод пшеницу, уве-
личили с 200 до 320 га. Как изменится урожай пшеницы,
собранный колхозом, если урожайность увеличится в 1,1 раза?
347. Для покраски пола в комнате израсходовали 1 кг крас-
ки., Хватит ли 700 г краски, чтобы покрасить пол в комнате,
длина которой в полтора раза меньше, а ширина в 1,2 раза
меньше?
70
348. Масса алюминиевого бруска, объем которого 35 см3,
равна 94,5 г. Каков объем алюминиевого бруска массой 756 г?
349. Из 3 кг свежих яблок получается 390 г сушеных.
Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 1 кг суше-
ных? Результат округлите до десятых.
350. Из 1200 т сахарной свеклы получили 180 т сахара.
Сколько надо переработать свеклы, чтобы получить 250 т
сахара? Сколько получится сахара из 150 000 ц сахарной
свеклы?
351. Докажите, что если числа а, b и с пропорциональны
числам х, у и z, то числа х, у и z также пропорциональны
числам а, & и с.
352. Расстояние между двумя городами 750 км. Найдите
соответствующее ему расстояние на карте, масштаб которой
1 : 1 000 000.
353. Расстояние между двумя городами на карте равно 6 см.
Каково это расстояние в действительности, если масштаб кар-
ты 1 : 500 000?
354. В таблице найдите строки, пропорциональные первой
строке; найдите столбцы, пропорциональные первому столбцу:
2 3 5 7 11
4 6 10 11 12
6 9 15 21 33
8 12 20 28 30
10 15 25 29 55
12 18 30 42 66
355. Длина прямоугольника относится к его ширине как
7 : 2, периметр равен 3,6 дм. На сколько длина прямоугольника
больше его ширины?
356. За перепечатывание рукописи три машинистки, рабо-
тавшие одновременно, получили 57 р. Как должны распреде-
лить они между собой эти деньги, если известно, что первая
перепечатывала в час 8 страниц, вторая 6 страниц, а третья
5 страниц?
357. При изготовлении варенья из крыжовника на 1 кг ягод
з
расходуется 1,5 кг сахарного песку и — стакана воды. Хо-
зяйка затратила на приготовление варенья 6 кг песку. Сколько
было взято крыжовника и сколько воды?
71
358. В одну бутыль налит керосин, а в другую бензин,
причем масса керосина равна массе бензина. Какая из жидкос-
тей занимает больший объем и во сколько раз больший, если
масса 1 л керосина равна 800 г, а масса 1 л бензина равна 710 г?
359. Отправляясь в поход по намеченному маршруту, пионе-
ры рассчитывали проходить по 12 км в день, но из-за не-
настной погоды проходили ежедневно на 4 км меньше. Во
сколько раз увеличилось время, затраченное ими на весь мар-
шрут?
360. Длину прямоугольного параллелепипеда увеличили в
два раза, а ширину в три раза. Как надо изменить его высоту,
чтобы объем параллелепипеда остался прежним?
361. Расстояние, которое пассажирский поезд проходит за
3 ч, товарный проходит за 5 ч. Поезда отправились одновре-
менно навстречу друг другу из двух городов. К моменту встречи
путь, пройденный пассажирским поездом, оказался равным
180 км. Какой путь прошел товарный поезд? Каково расстоя-
ние между городами?
362. Бригада изготовляет 180 изделий за то время, за кото-
рое по плану она должна изготовить 150 изделий. На выполне-
ние некоторого задания бригада затратила 30 ч. Сколько часов
отводилось на это задание по плану?
363. Применив новый вид резца, токарь стал затрачивать
на изготовление детали в 1,2 раза меньше времени, чем за-
трачивал ранее, и потому изготовил за смену на 16 деталей
больше. Сколько деталей изготовлял он за смену первона-
чально?
К параграфу 5
364. Масса одного кубического сантиметра ртути равна
13,6 г. Масса V см3 ртути равна т г. Задайте формулой
зависимость: а) т от V; б) V от т.
365. При делении натурального числа п на 5 в частном
получается число бив остатке 3. Задайте формулой зависи-
мость п от б.
366. Чтобы найти значение некоторой функции, надо значе-
ние аргумента уменьшить на 3,7 и полученный результат
умножить на 1,2. Задайте эту функцию формулой. Найдите по
формуле значение функции, если значение аргумента равно
0,7; 1,2; 4,4; 5.
72
367. Функция задана формулой у = — 0,5 (8 — х). Заполните
таблицу соответственных значений х и у.
X -1,4 2,6 8,8
У -3,4 -1,8 2,4
368. При делении числа у на число х в частном полу-
чается 5, а в остатке 10. Задайте формулой функцию у от х.
Какова область определения этой функции? Найдите две пары
соответственных значений х и у.
369. Между сторонами угла (тр) проходит луч п так, что
Z. (тпп) = 60°. Задайте формулой функцию у от х, если
Z. (пр) = х° и Z. (пгр) = у°. Какова область определения этой
функции?
370. Какова область определения функции, заданной фор-
мулой:
а) 6)
371. Турист вышел с турбазы А в направлении железнодо-
рожной станции В. На рисунке 38 дан график зависимости
пути, пройденного туристом, от времени движения. Выясните:
а) какое время затратил турист на путь из А в В; б) с какой
средней скоростью двигался турист; в) сколько минут он затра-
тил на первый привал и сколько затратил на второй привал;
г) сколько километров турист прошел за первый час движения
и сколько за последний; д) какое время было затрачено турис-
том на первые 8 км и какое на следующие 8 км.
Рис. 38
73
Рис. 39
372. На рисунке 39 изображены графики изменения темпе-
ратуры воздуха в Архангельске и Ярославле за одни и те же сут-
ки. В какое время температура воздуха: а) была одинаковой
в Архангельске и Ярославле; б) повышалась и в Ярославле, и в
Архангельске; в) понижалась и в Ярославле, и в Архангель-
ске; г) в Ярославле повышалась, а в Архангельске понижа-
лась?
373. Рыболов вышел из дома и пошел на озеро, где ловил
рыбу. Затем он возвратился обратно. График движения рыболо-
ва показан на рисунке 40. Узнайте по графику: а) каково рас-
стояние от дома до озера; б) сколько часов шел рыболов до
озера и сколько часов он затратил на обратный путь; в) сколько
часов был рыболов на озере; г) на каком расстоянии от дома был
рыболов через 1 ч после выхода из дома; д) через сколько часов
после выхода рыболов был на расстоянии 6 км от дома; е) ка-
кова средняя скорость рыболова на пути к озеру и какова
на обратном пути.
374. Изучая зависимость объема V жидкости в сосуде от
высоты h ее уровня, получи-
ли таблицу:
h, см 3 6 9 12 15 18
V, л 1,2 3,1 5,6 9,7 14,7 21
Постройте график функции V
от h. Узнайте по графику:
а) сколько литров жидкости
налили в сосуд, если высота
уровня стала равной 5 см,
74
10 см; б) какой будет высота уровня в сосуде, если в него на-
лить 4 л, 10 л.
375. Постройте график функции, заданной формулой:
а) у=-|-(10 —х), где — 2<х<12;
б) У=— (5 + х), где — 10^х<4;
в) у = (х—1)(х + 1), где -3<х<3;
г) г/ = Зх-{-х2, где — 3<Zx<^2.
376. В одной и той же системе координат постройте графи-
ки функций у — 2 — 0,5х и у = — 1 + 0,5х. Назовите какое-ни-
будь значение аргумента, при котором: а) значение первой .
функции больше значения второй функции; б) значение первой
функции меньше значения второй функции. Есть ли такое зна-
чение аргумента, при котором значения функций равны?
377. На рисунке 41 тонкой линией изображен график пер-
вой функции, а толстой — график второй функции. При каких
значениях аргумента значение первой функции: а) равно зна-
чению второй; б) больше значения второй; в) меньше значения
второй?
378. Прямая пропорциональность задана формулой
у= — 7,5х. Найдите значение у при х=—12; 20; 44. При
каком х значение у равно —1500; 1200?
379. Какое расстояние у (в километрах) проедет велосипе-
дист за х ч, если будет двигаться равномерно со скоростью
15 км/ч? Постройте график зависимости у от х (масштаб
по оси х: в 1 см — 15 км; по оси у. в 1 см — 1 ч). С помощью
графика ответьте на вопросы: а) Какой путь проедет велоси-
педист за 3 ч; за 3 ч 40 мин? 6) Сколько времени затратит
велосипедист на путь в 50 км?
380. Постройте график
функции, выбрав соответству-
ющий масштаб: а) у = 100х;
б) у = 0,02х.
381. Покажите схематиче-
ски в одной координатной пло-
скости, как расположены гра-
фики функций у — ах и у — Ьх,
если:
а) а>0, Ь>0 и а>Ь;
б) а<0, Ь<0 и |а| < |Ъ\. Рис. 41
75
382. При каком значении а точка А (а; —1,4) принадлежит
графику прямой пропорциональности у = 3,5х?
К параграфу 6
383. Является ли линейной функция, заданная формулой:
\ 4*~7 .
а) y = ~2~i
б) </ = 3(х + 8):
в) у = х(6 —х):
г) у = 2(1-3х) + 7(х-3);
д) у = х(9 — Х)4-Х2;
е) у = 5(34-4х)-4(5х-1)?
384. Функция задана формулой у = 0,2х — 4. Найдите зна-
чение функции, соответствующее значению аргумента, равному
— 25; —12; 45; 60. При каком значении аргумента значение
функции равно 0; равно 1? Существует ли такое значение х,
при котором: а) значение функции равно значению аргумента;
б) значение функции противоположно значению аргумента?
385. Зная, что зависимость у от х является линейной
функцией, заполните таблицу:
X — 2 0 2 4 6
У -8 12
X — 10 0 10 30
У -15 5 6 15
386. В таблице указаны некоторые значения аргумента и
соответствующие им значения линейной функции.
X 1 2 3 4 5 6 7
У 11 21 31 41 51 61 71
Подберите формулу, которой можно задать эту функцию.
387. Масса одного гвоздя равна 5 г, а масса пустого ящика
равна 400 г. Какова масса т (в граммах) ящика, в котором
лежит х гвоздей? Составьте формулу, выражающую зависи-
мость т от х. Является ли функция, заданная этой формулой,
линейной?
388. Постройте график функции, заданной формулой
у = 0,5x4-3. С помощью графика найдите:
а) значение у, если х=—4; —1; 4;
б) значение х, которому соответствует у, равное —2;
— 0,5; 6;
в) координаты точек пересечения графика с осями коорди-
нат;
г) корень уравнения 0,5х4-3 = 0.
76
389. Не выполняя построения, выясните, проходит ли гра-
фик функции, заданной формулой у = 1,25х —5, через точку:
а) М (12; 10); б) #(-20; -30); в)Р(3; 5); r)Q(20; -20).
390. Функция задана формулой у=-^- х + 3, где — 4 х 8.
Постройте график этой функции и укажите все целые значения,
которые может принимать эта функция.
391. В баллоне содержится 1,8 кг жидкого пропана. Газовая
плитка расходует каждый час 0,2 кг пропана. Обозначив
буквой т массу (в килограммах) пропана, который останется
в баллоне через t часов работы плитки, напишите формулу
зависимости т от t и постройте график. Найдите по графику:
а) сколько килограммов пропана останется в баллоне через 3 ч;
через 5 ч; через 6,5 ч работы плитки; б) через сколько часов в
баллбне останется 1,5 кг пропана; 1 кг пропана; 0,6 кг пропана.
392. Скорость v распространения звука в воздухе в зависи-
мости от температуры t может быть найдена приближенно
по формуле v = 331-f-0,6t, где v — скорость (в метрах в се-
кунду), t — температура (в градусах Цельсия). Найдите, с какой
скоростью распространяется звук в зимний день с температурой
— 35 °C и в летний день с температурой 4" 30 °C.
393. График некоторой линейной функции вида y — kx-\-l
параллелен графику функции у = — 0,4х. Найдите значение ко-
эффициента k и выясните, принадлежит ли этому графику точ-
ка М (50; -19).
394. Задайте формулой линейную функцию, графиком кото-
рой служит прямая, проходящая через точку А (2; 3) и парал-
лельная графику функции у = 1,5х — 3. Постройте ее график.
395. График линейной функции — прямая, параллельная
оси абсцисс и проходящая через точку М (5; 8). Задайте эту
функцию формулой.
396. Не выполняя построения, найдите координаты точки
пересечения графиков линейных функций:
а) у = 4х + 9 и у = 6х —5; в) у = 10х —7 и у = 5;
б) у = 16х — 7 и у = 21х + 8; г) у = 0,1х и у = 14.
77
ГЛАВА
ш
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
§ 7. СТЕПЕНЬ И ЕЕ СВОЙСТВА
19. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Произведение нескольких одинаковых множителей
можно записать в виде степени. Например,
5-5-5-5-5-5-5 = 57.
Выражение 57 читают по-разному: «Пять в седьмой степе-
ни», «Седьмая степень числа пять», «Степень числа пять с
показателем семь».
Определение. Степенью числа а с натуральным показа-
телем п, большим 1, называется произведение п множителей,
каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем
1 называется само число а.
Степень числа а с показателем п обозначают так: ап.
Выражение ап называют степенью, число а — основанием сте-
пени, число п — показателем степени.
По определению степени:
а'=а, а2 = аа9 а3 = ааа, а4 = аааа.
Вообще,
ап = аа ,,. а .
п раз
Нахождение значения степени называют возведением в сте-
пень. Приведем примеры возведения в степень:
34 = 3-3 3-3 = 81; 02 = 0-0 = 0;
(_6)3 = ( —6).(-6).(-6)=-216; 9* =9.
Ясно, что при возведении в степень положительного числа
получается положительное число; при возведении в степень
нуля получается нуль.
78
Цри возведении в степень отрицательного числа может
полупиться как положительное число, так и отрицательное.
Например,
(-2)' =-2;
( —2)2 = ( —2)-( —2) = 4;
( —2)3=( —2)-( —2)-( —2)= —8;
(-2)4 = ( — 2)-(-2).(-2)-(-2) = 16.
Степень отрицательного числа с четным показателем есть
число положительное, так как произведение четного числа
отрицательных множителей положительно. Степень отрица-
тельного числа с нечетным показателем есть число отрица-
тельное, так как произведение нечетного числа отрицатель-
ных множителей отрицательно.
Квадрат любого числа есть число положительное или нуль,
т. е. а2^(Ьпри любом*а.
Вычислим здачения нескольких выражений, содержащих
степени.
Пример 1. Найдем значение выражения 4-103:
1) 103 = 10-10-10 = 100'0; 2) 4-1000^4000.
Значит, 4-103 = 4000.
Пример 2. Найдем значение выражения —26 + ( — З)4:
1) 26 = 64; 3) ( —3)4 = 81;
2) — 26=—64; ' 4) -64 + 81 = 17.
Значит, - 26 + (- 3)4 = 17.
397. Запишите произведение в виде степени:
а) 0,9 *0,9 *0,9; е) ссссссс;
б) (-6).(-6).(-6).(-6); ж) VV_-yj
\ 1111, 12 раз
2'2 '~2'~2' з) ( —х) ( —х) ( —х) ( —х) ( —х);
г) (-!)•(-Н-(-I-)’ -> «-‘>0-^
д) 5 • 5 •• 5; к) (ху) (ху) (ху) (ху) (ху).
25 раз
398. Назовите основание и показатель степени:
а) 3,54; б) ( —0,1)3; в) 8042; г) (—100)4; д) (-а)6; е) (ух).
Используя определение степени, представьте степень в ви-
де произведения.
79
399. Выполните возведение в степень:
а) 24; в) 53; д) (-7,8)2; ж) (^)\
б) 42; г) З5; е) (-1.5)3; з) (-f /.
400. Найдите значение степени:
а) 252; в) 73; д) (-0,9)3; ж)(-|.)5;
б) 84; г) 75; е) (-2,4)2; з) (--1- )'.
401. Заполните таблицу:
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2п
3"
402. Представьте:
а) в виде квадрата число: 0,81; 0,16; 144; 1-Ц; 0,0004;
169
б) в виде куба число: 64; —216; 0,008; —4-|~.
403. Представьте в виде квадрата или куба число:
а) 8; б) 81; в) 125; г) 64; д) 0,25; е) 0,001; ж) 3-|-; з) 1||.
о 20
404. Сравните:
а) 712 и 0; в) (-5,9)3 и (-5,9)2;
б) (-25)3 и 0; г) ( —2,3)12 и (-8,6)19.
405. Выполните действия:
а) 7-52; в) (—0,4)3; д) - 3 25;
б) (7-5)2; г) — 0,43; е) -62-(-12).
406. Найдите значение выражения:
а) 63:2; в) (-0Д)4; д) 0,6-(-2)4;
б) (6:2)3; г) —0,14;~ е) -10-(-0,2)3.
407. Вычислите:
а) 9-(-|-)2; в) (-10)6; д) 4-53; ж)-24-15;
б) (9--|-)2; г) —106; е) -5-25; з) 2700-(-0,1)3.
80
408. Выполните действия:
а) 72 + 33; г) 10-5-24; »)5тШ)‘ + 9:
б) 624-82; д) 2 34 — 3 24; з) 15-|-.0,43 + ( —I)6; о
в) (6 + 8)2; е) 2-534-5-23; 409. Вычислите: S со г сл | to to
а) 102 —З2; В) _62_(_1)4; д) 0,2-З3 — 0,3-24;
б) (10-З)2; г) -83 + (-З)3; е) 8-0,534-25.0,22.
410. Найдите значение выражения:
а) 8х3прих=—2; —1; 0; 3; б) 70—а2приа = —25; 1; 10.
411. Найдите значение выражения:
а) 0,01у4 при у= — 2; 3; 10; б) 2с2 + 3 при с=-11; 0; 15.
412. Чему равны значения выражений:
а) х2; — х2; ( — х)2 при х = 9; —6;
б) х3; —х3; ( —х)3 при х = 4; —3?
413. Вычислите значение выражения x5 + x44-*3-F*2 + *
при х= — 1; 0; 10.
414. Найдите значение выражения 2х4 — 5х3 Ц-х2Ц-Зх +2
при х —5; —5.
415. Представьте произведение в виде степени с основа-
нием а: а) а3а; б) а4а2; в) а3а6; г) а20а12.
416. Объясните, почему при любых значениях перемен-
ной х значения выражений 4х2 и (х —8)2 являются неотри-
цательными числами.
417. Докажите, что выражения а2-{-1 и 3-f-(5 — a)2 при-
нимают только положительные значения.
418. Прочитайте выражение:
а) (х + у)2; в) (х-у)2-, д) (х—у)3;
б) х2+у2‘, г) х2 — у2; е) х3 + у3.
419. Запишите в виде выражения:
а) квадрат суммы чисел х и 1;
б) сумму квадратов чисел а и Ь;
в) разность куба числа т и квадрата числа п;
г) произведение четвертых степеней чисел а и Ь.
81
Упражнения для повторения
420. За три дня художественную выставку посетило 8400
человек. Число посетителей в первый, второй и третий дни
пропорционально числам 2, 2, 3. Сколько человек посетило
выставку в каждый из трех дней?
421. Найдите стороны четырехугольника, если известно,
что они пропорциональны числам 2, 3, 3 и 4, а периметр че-
тырехугольника равен 72 см.
422. Не выполняя построения, найдите координаты точек
пересечения графика функции y = l,2x —30 с осью х и осью у.
423. Принадлежит ли графику функции у= — х2 + 7,25
точка: а) М (3,5; -5); б) Р(-1,5; 5)?
20. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ
Выражение а2а3 представляет собой произведение двух
степеней с одинаковыми основаниями. Это произведение можно
записать в виде степени с тем же основанием:
а2а3 = (аа) • (ааа) = ааааа = а5.
Значит,
а2а3 = а2+3 = а5.
Мы видим, что произведение а2а3 равно степени с тем же
основанием и показателем, равным сумме показателей пе-
ремножаемых степеней.
Докажем, что для любого числа а и произвольных нату-
ральных чисел тип
а а — а .
Для этого, используя определение степени и свойства ум-
ножения, представим выражение атап сначала в виде произ-
ведения множителей, каждый из которых равен а, а затем
в виде степени:
атап = (аа ... а)*(аа ... а) = аа ... а = ат + п.
т раз п раз т-\- и раз
Таким образом,
атап = ат+п.
Доказанное равенство выражает свойство произведения
степеней. Его называют основным свойством степени. Оно
распространяется на произведение трех и более степеней.
82
Например,
amanak = ат+nak = а(т+n)+k=am+n+k.
Отсюда следует правило умножения степеней: (рри умно-
жении степеней с одинаковыми основаниями основание остав-
ляют прежним, а показатели степеней складывают.
Приведем примеры:
хвх7 = х8 + 7 = хи уу5 = у1у5 = у1+5 = !/6> 62ь463==62 + 4 + 3=69в
Выражение а7:а3 является частным двух степеней с одина-
ковыми основаниями. Это частное при а#=0 можно предста-
вить в виде степени с тем же основанием. Действительно, так
как а3-а4 = а7, то по определению частного
а7:а3=а4.
Мы видим, что частное а7:а3 равно степени с тем же осно-
ванием и показателем, равным разности показателей делимого
и делителя.
Докажем, что для любого числа а#=0 и произвольных
натуральных чисел тип, таких, что т>п,
_т. —п__т — п
а .а =а
Покажем, что ат~пап=ат.
Действительно, по основному свойству степени
ат ~ пап = a(jn ~ ")+"=ат ~ п+я = ат.
Значит, по определению частного
агн:ап=ат~п.
Итак, при делении степеней с одинаковыми основаниями
основание оставляют прежним, а из показателя степени де-
лимого вычитают показатель степени делителя.
Приведем примеры:
с10:с2=с|0-2=с8, р7:р=р7:р'=р7-‘=р6.
Мы вывели правило деления ат на а" для случая,/когда
т>п. Если это правило применить к частномуСх^Та", то
получится
ап:ап=ап~п=а°.
Степень с нулевым показателем не была определена. Так
как при всяком а#=0 и любом натуральном п
1,
то считают, что при а#=0
а°=1.
88
Определение. Всякое число (кроме нуля) в нулевой
степени равно единице.
Например, 2° —1, (— 3,5)° =1. Выражение 0° не имеет
смысла.
Теперь, после введения нулевой степени, мы можем при-
менять формулу атап = ат+п и в том случае, когда т = 0 или
п = 0 (при а=Н=О). Точно так же формула ат:ап==ат~п спра-
ведлива и тогда, когда т = 0 или п = 0 (при а#=0).
424. Представьте произведение в виде степени:
а) х5х8; в) у4уд-> д) х9х; ж) 26-24;
б) а6а3; г) Ь8Ь15; е) уу12; з) 75-7.
425. Запишите в виде степени произведение:
а) тп3тп8; в) с7с12; д) аа3; ж) 59-58;
б) х4х4; г) р3рн; е) Ь2Ь; з)~33-33.
426. Представьте степень в виде произведения двух сте-
пеней с тем же основанием каким-нибудь способом:
а) х10; б) г/15; в) 212; г) 517.
427. Представьте выражение х6 в виде произведения двух
степеней с основанием х всеми возможными способами.
428. Представьте в виде степени произведение:
а) х2х5х4; в) тт3т2т3; д) 102-103-105;
б) У*У2У, Г) р4р3рр; е) 34-32-3Э-3.
429. Запишите л виде степени выражение:
a) m3/n2m8; в) хх4х4х; д) 78-7-74; ,
б) а4а3а2; . г) n5nn3n6; е) 5-52-53-55,
430. Представьте в виде степени:
а) 58-25; в) 615-36; д) 0,45-0,16;
б) 312-27; г) 29-32; е) 0,001-0,14.
431. Представив в виде степени выражение, найдите его
значения по таблице степеней числа 2, помещенной на форза-
це учебника:
а) 24-2; б) 26-4; в) 8-27; г) 16-32.
84
“_L, ’-*<
432. По таблице степеней числа; 3, помещенной на фор
заце учебника, найдите значение выражения, представив его
в виде степени с основанием 3:
^ 32-35; б) 81-З6; в) 9 2187; г) 27-243.
433. Представьте выражение в виде степени с основа-
нием с: а) (с4)2; б) (с2)4.
434. Представьте в виде степени частное:
а) х5:х3; в) а21:а; д) с12:с3; ж) 38:35;
б) у10:/; г) Ь,9:Ь18; е) р20:р10; з) 0,79:0,74.
435. Выполните деление:
а) р10:р6; в) х15:х4; д) 1016:1012;
б) а8:а4; г) у*:у; ' е) 2,316:2,37.
436. Представьте степень в виде частного степеней с тем
же основанием каким-нибудь способом:
а) е2; б) х6; в) 24; г) 0,55.
437. Найдите значение выражения:
а) 56:54; в) О,510:О,57; д) 2,7313:2,7312;
«М0-10- .) (Ч)'=(-4)‘
438. Вычислите:
х 79-75 . З15 . > 5'6-54 . ч 0,612
7‘г ’ 35-36 ’ 518 ’ 0,64-0Л5’
439. Упростите выражение:
а) х"х3; б) а2ат; ' в) хх"; г) у":у4; д) с9:ст; е) kn:k.
440. Вычислите:
а) 7°4-3-25; б) (4.210)0; в) (8°-2-3)3; г) -42-12-6°.
441. Найдите значение выражения:
а) Зх0 при х = 2,6; ^в^10а2Ь° при а=—3, Ь=—8;
б) — 2,5у° при у——1-|-; г) 27а°с3 при а=-|-, с=—
3 3 3
442. Выполните действия:
а) Ь4Ь°;. б) с5:с°; в) а4а°; г) х3:х°.
85
Упражнения для повторения
443. Постройте график функции, заданной формулой
у = х — 3. Найдите по графику значения функции при х = 4
и х = 6. Как изменяется значение функции при возрастании
х от 4 до 6?
444. Принадлежит ли графику функции, заданной форму-
лой у = х3 — Зх2, точка А (7; 196); точка В ( — 5; —200)?
445. Кусок гранита объемом 40 ем3 имеет массу 108 г.
Какова масса куска гранита, объем которого на 35 см3 больше?
21. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СТЕПЕНИ
Выражение (а&)4 является степенью произведения множи-
телей а и Ь. Это выражение можно представить в виде произ-
ведения степеней а и Ь:
(аЬ)4 = (аЬ) • (а&) • (ab) • (ab)=ab • ab • ab • ab = (аааа) -(bbbb)=a4b4.
Значит,
(ab)4 = a4b4.
Мы видим, что четвертая степень произведения ab равна
произведению четвертых степеней множителей а и &.
Докажем, что для любых а и Ь и произвольного натураль-
ного числа п
(аЬ)п = а Ь .
По определению степени
(аЬ)п = (а6).(аЬ). ... -(ab).
п раз
Сгруппировав отдельно множители а и множители Ь, по-
лучим :
(а&)-(а&)’ ... -(аЬ) = (аа ... а)-(&& ... Ь).
п раз п раз п раз
Воспользовавшись определением степени, находим:
(аа ... a)-(bb ... b) = anbn.
Следовательно, п раз п раз
(ab)n=anbn.
Свойство степени произведения, выраженное равенством
(ab)n = anbn, распространяется на степень произведения трех
и более множителей. Например,
(2yz)5 = 25i/5z5 = 32y5z5.
86
Отсюда следует правило: (jipu возведении в степень про-
изведения возводят в эту степень каждый множитель и резуль-
таты перемножают.
Выражение (а5)3 есть степень, основание которой само яв-
ляется степенью. Это выражение можно представить в виде
степени с основанием а:
(а5)3 = а5а5а5 = а5+5+5 = а15.
В результате возведения степени а5 в третью степень мы
получили степень с тем же основанием и показателем, равным
произведению показателей 5 и 3.
Докажем, что для любого числа а и произвольных нату-
ральных чисел тип
1„т\п -тп
(а ) —а .
По определению степени
(ат)п = атат...ат.
п раз
Согласно основному свойству степени
п раз
атат...ат = ат+т+ '+т.
раз
Заменим сумму т -f- т -|-... + т произведением тп.
п раз
Тогда получим:
п раз
ат + т + + гп _ атп^
Следовательно,
(ат)п = атп.
Из равенства (am)n = amn следует правило: fnpu возведении
степени в степень основание оставляют тем же, а показатели
перемножают.
Свойства степеней, выраженные формулами (ab)n = anbn
и (aw)n = amrt, имеют место и для степеней с нулевым показа-
телем (если основания отличны от нуля).
446. Выполните возведение в степень:
а) (хг/)4; в) (2х)3; д) ( — 5ху)3; ж) ( —0,2ху)4;
б) (обе)5; г) (ЗаЬ)2; е) (-10а&с)2; з) (-0,5М)3.
87
447. Возведите в степень:
a) (mn)5; в) ( — Зу)4; д) (Юху)2;
б) (xyz)2; г) (—2ах)3; е) ( —2а&х)4.
448. Найдите значение выражения:
а) (2«10)3; б) (3.100)4.
449. Докажите, что: а) квадраты противоположных чисел
равны; б) кубы противоположных чисел противоположны.
450. Как изменится площадь квадрата, если его сторону
увеличить в 2 раза; в 3 раза; в 10 раз; в п раз?
451. Как изменится объем куба, если его ребро увеличить
в 2 раза; в 3 раза; в 10 раз; в п раз?
452. Представьте в виде степени произведение:
а) Ь3х3; в) x2y2z2; д) 32а5;
б) а7у7; г) ( —а)3Ь3; е) 0,027ти3.
453. Найдите значение выражения:
а) 24-54; в) 0,2515.415; д) (^.у°.1,49;
б) 43-253; г) f-f-Y-1,57; е) 0,26-507.
454. Выполните возведение в степень:
а) (х3)2; в) (а5)4; д) (у2)5; ж) (&3)3;
б) (х2)3; г) (а6)3; е) (у7)2; з) (Ь5)2.
455. Запишите в виде степени с основанием х выражение:
а) (х6)4; б) х6х4; в) х2х2; г) (х2)2; д) х2х3х4; е) ((х2)3)4.
456. Представьте в виде степени с основанием а выражение:
а) (а5)2; б) а5а2; в) (а4)3; г) а3а4; д) а5а5; е) (а5)5.
457. Представьте в виде степени с основанием а:
а) апа3; б) аат; в) а2ат; г) (а2)т; д) (ап)3; е) (а3)".
458. Представьте в виде степени с основанием 5 число:
а) 254; б) 1253; в) 6252.
459. Представьте 220 в виде степени с основанием:
а) 22; б) 24; в) 25; г) 210.
460. Запишите 260 в виде степени с основанием:
а) 4; б) -8; в) 16; г) 32.
88
461. Выражение а12 представьте в
виде степени несколькими способами.
462. Упростите выражение:
а) х3-(х2)5; в) (а2)3-(а4)2; д) {т2т3)^
б) (а3)2-а5; г) (х2)5-(х5)2; е) (Ух)2.
463. Запишите в виде степени с ос-
нованием а выражение:
а) (а2)4; в) (а5)2-(а2)2; д) (а3а3)2;
б) а3-(а3)2; г) (а3)3-(а3)3; е) (аа6)3.
464. Упростите выражение:
а) х5-(х2)3; б) (х3)4-х8; в) (х4)2-(х5)3; г) (х2)3-(х3)5.
465. Найдите значение выражения:
Упражнения для повторения
466. Докажите, что при любом натуральном п значение
10п I 2
дроби —есть натуральное число,
з
467. Какой цифрой может оканчиваться квадрат натураль-t
ного числа? четвертая степень натурального числа?
468. Известно, что график функции y = fex-f-5,4 проходит
через точку А (Зл7; —2). Найдите коэффициент k.
469. На рисунке 42 построен график некоторой функции.
Используя график, найдите:
а) значение у при х, равном —2; —1; 2;
б) значение х, при котором у равно —0,5; 2.
§ 8. ОДНОЧЛЕНЫ
22. ОДНОЧЛЕН И ЕГО СТАНДАРТНЫЙ ВИД
Выражения 5а2х, 2Ь3( — 3) Ьс2, —За7, ху2 являются произ-
ведениями чисел, переменных и их степеней. Такие выражения,
а также числа, переменные и их^степени, называют одно-
членами. —--—
Рассмотрим одночлен 263( —3) Ьс2. Переставим множители
и заменим произведение чисел 2 и — 3 числом — 6, а произве-
дение степеней Ъ3 и Ъ степенью Ь4. Тогда получим:
2b3 (- 3) Ьс2 = 2 (- 3) Ь3Ьс2 = - 6Ь4с2.
89
Мы представили одночлен 2Ь3( — 3) Ьс2 в виде произведе-
ния числового множителя, стоящего на первом месте, и сте-
пеней различных переменных. Такой вид одночлена назы-
вают стандартным видом. К одночленам стандартного вида
относятся и такие одночлены, как —5, а, —а, а3.
Любой одночлен можно привести к стандартному виду,
группируя множители и используя основное свойство степени.
Числовой множитель одночлена, записанного в стандарт-
ном виде, называют коэффициентом одночлена. Например,
коэффициент одночлена — 6Ь4с2 равен —6. Коэффициенты
одночленов а2 и —аЪ считают равными соответственно 1 и — 1,
так как а2 = 1 • а2 и — ab= — 1-аЬ.
В одночлене 7ах2у3 сумма показателей степеней всех пе-
ременных равна 6. Эту сумму называют степенью одночлена
7ах2у3. Степень одночлена — 9Ь4с3 равна 7, степень одночлена
х5 равна 5.
о
Вообще, степенью одночлена называют сумму показателей
степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен
не содержит переменных (т. е. является числом), то его степень
считают равной нулю.' ч
470. Является ли одночленом выражение:
а) 3,4х2у; г) x2-f-x; ж) а — Ь; к) с10;
б) — 0,7xi/2; д) х2х; з) 2(x-|-i/)2; л) — т;
в) а ( — 8); е) —|-7л3плг2; и) — О,3ху2; м) 0,6?
471. Записан ли в стандартном виде одночлен:
а) бху; в) 0,5тп2п; д) —х2у3;
б) — 2aba', г) — Ьса; е) 5р3р2?
472. Представьте одночлен в стандартном виде и назови-
те его коэффициент:
а) 8х2х;
б) l,2abc-5a;
в) Зху( —1,7) у;
г) 6с2 (-0,8) с;
д) -|-m2n-4,5n3;
О -•
е) 2-|-а2х(—|-)а3х2.
О \ < /
473. Приведите одночлен к стандартному виду:
а) буу2у; в) —Sab ( — 2,5) Ь2; д) 2т3п-0,4тп;
б) 0,15рд-4рд2; г) 10а2&2 ( —1,2а3); е) —2х3«0,5ху2.
90
474. Найдите значение одночлена:
а) 5х3 при х = 0,5; в) 12х2г/ при х = —0,3, У=^~\
б) — 0,125г/4 при у = — 2; г) — 9х5г/2 при х = — 1, у =4“ .
О
475. Вычислите значение выражения:
а) 3,7г2 при 2 = 0,4; в) — Зп35 при а — — 0,1, 5 = 4;
б) — 0,5m3 при т = 0,6; г) ^-х2г/2 при х =----у = 4-4--
Л1 о Л
476. Ширина прямоугольника равна т см, а длина в 5
раз больше ширины. Найдите площадь прямоугольника.
477. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда,
ширина которого а см, длина в 2 раза больше ширины, а вы-
сота в 2 раза больше длины?
478. Какова степень одночлена:
а) — 7х5г/6; в) 0,8тпп3/?2; д) — 6/и7;
б) -^-abc; г) аЬ2с3; е) 23?
О
Упражнения для повторения
2
479. Функция задана формулой г/ =------— х. Найдите зна-
з
2
чение функции при х=—3; —; 2,4. При каком х значение
О
у равно 1; —6; —10,2?
480. Найдите значение выражения:/
V 43• 3'° . -ч 26-618
а) 6Ю ’ ) 225.99 *
23. УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ. ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА В СТЕПЕНЬ
Составим произведение одночленов 2а2Ьс и —За254 и
упростим его. Для этого, воспользовавшись переместитель-
ным и сочетательным свойствами умножения, сгруппируем
числовые множители и степени с одинаковыми основаниями:
2а2Ьс • (- За254) = (2 • ( - 3))• (а2а2)• (5 54) с.
Перемножим числовое множители и степени с одинако-
выми основаниями:
(2•( — 3))-(a2a2)-(55f) с= —6а'Ь5с.
91
Мы преобразовали произведение одночленов 2а2Ьс и
— За2Ь4 в одночлен стандартного вида:
2a2bc-( — 3a2b4) — -6а4Ь5с.
Аналогично можно преобразовать в одночлен стандарт-
ного вида произведение трех и более одночленов. Например,
— х2у • 4х3г/2 • (— 5ху) = — 1 • 4 • (— 5) х2х3хуу*у = 2Ох6г/4.
Таким образом, при умножении одночленов стандартно-
го вида перемножают их коэффициенты, а показатели степе-
ней одинаковых переменных складывают.
Рассмотрим вопрос о возведении в степень одночлена.
Выражение (— 2а2 Ь)3 представляет собой третью степень
одночлена — 2а2 Ь. Упростим это выражение, воспользовавшись
правилами возведения в степень произведения и степени:
(— 2а*&)3 = (— 2)3 • (а2)3 • Ъ3 = — 8а6Ь3.
Мы преобразовали степень одночлена —2а2Ь в/одночлен
стандартного вида:
( — 2a2b)3 = — 8а6Ь3.
Приведем еще один пример возведения в степень одночлена:
(— xV)5 = (— i)5 • (*3)5 • (!/2)5 = — Х15г/10.
При возведении в степень одночлена стандартного вида
возводят в эту степень его коэффициент, а показатель степени
каждой переменной умножают на показатель степени, в кото-
рую нужно возвести одночлен.
481. Выполните умножение:
а) 4х-7у; в) Л.ab3•ab; д) -0,6а25-(-10аЬ2);
б) — 8х-5х3; г) х2у5 • (— бху2); е) —m3n4-5m2n3.
482. Перемножьте одночлены:
а) — Их2 у и 0,3x2i/2; в) 4xt/, — х2 и —у3;
б) а5Ь и —аЬ3с-, г) а2х5Ь, — 0,6ахЬ2 и 0,6а2Ь3.
483. Выполните умножение:
а) 3,5-2т; г) ab-( — 7ab2)'4a2b;
б) — 6ах3-95х2; д) 10х2у>( —xi/2)-0,6x3;
в) — 8а2Ь2-(-8а365); е) -9аЬ2-За3.( —46).
92
484. Упростите выражение:
а) —0,87П2п-( —О,5тп5п7); г) ab-( — ab2y)-ab3;
б) 0,3z/2-(—Д) х-у( — ху)-( — ху2);
в) ----------|-<?9d7); е) mn ( —m5n3)-( —m3n8).
485. Представьте несколькими способами одночлен 6а2Ь3
в виде произведения двух одночленов стандартного вида.
486. Представьте одночлен —12х4г/3 двумя способами
в виде произведения:
а) двух одночленов стандартного вида;
б) трех одночленов стандартного вида.
487. Выполните возведение в степень:
а) (Зх2)3; в) ( —2а4Ь2)3; д) ( —а2Ьс3)5;
б) (4тп)2; г) (—Зх2у)4; е) ( — a3b2cf.
488. Представьте в виде одночлена стандартного вида:
а) (2тп3)4; в) ( —0,6тп3п2)3; д) ( — хг/4Ь2)4;
б) (За)2; г) (—2ху3)2; е) ( — х2у3т)5.
489. Возведите одночлен:
а) 5х2у3 в квадрат; в) —2т3п2 в четвертую степень;
б) — 4ах3 в куб; г) — а2Ъс3 в пятую степень.
490. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:
а) 81х4; б) 121а6; в) 0,09г/'2; г) -^Ь6.
491. Представьте выражение в виде куба одночлена:
а) 64х9; б) 0,001у12; в) -4,008b6; г) -^а15.
492. Представьте каждый из одночленов:
а) 9Ь2с2; 100тп2п6 в виде квадрата одночлена;
б) — а3Ь6; — 27х6Ь9 в виде куба одночлена.
493. Запишите каждый из одночленов:
а) 16х6; 49тп2п4 и то8 в виде квадрата одночлена;
б) а9; — 8т3 и 1000х3г/6 в виде куба одночлена.
494. Какой одночлен надо возвести в квадрат (в куб), что-
бы получить одночлен:
а) х6у12; б) lOOOOOOzn18?
93
495. Представьте выражение в виде одночлена стандарт-
ного вида:
а) 25а4.(За3)2; д) (-Юс2)4.0,0001с11;
б) ( —ЗЬ6)4-Ь; е) (ЗЬ5)2--|-Ь3;
в) 8р15-(—р)4; ж) (— 2х3)2-(—jf*4)’
г) ( —с2)3-0,15с4; з) (-±у*)\-16у2).
496. Упростите выражение:
а) (ху)3-(-Зх4у2); д) (-х2у)3< -х*у2)'.
б) 0,5а2Ь3.(-2&)6; е) 0,2а2&3-(- - 5а3&)2;
в) (0,2т2п)3.1000тп4п7; ж) (тт!п)’' (— 32/п2п);
г) -7с8. (-0,4с3)2; з) )2-( —27p5Q).
497. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного
вида:
а) (- 0,2Ь6)35Ь;
<б) -0,01а4.(-10а5)3;
г) (з-1-а2)3-81а5;
д) (2аЬ)4-( —7а7Ь);
е) — 0,6х7г/7-(0,5ху2)2;
ж) 10p4g4-(0,lpg)3;
з) (-За7Ь2)4.^аЬ.
А <
Упражнения для повторения
498. На одном складе было 185 т угля, а на другом 237 т.
Первый склад стал отпускать ежедневно по 15 т угля, а второй
по 18 т. Через сколько дней на втором складе будет угля в
полтора раза больше, чем на первом?
499. В одном овощехранилище 210 т картофеля, а в другом
180 т. В первое овощехранилище подвозили ежедневно по
90 т, а во второе по 120 т картофеля. Через сколько дней в
первом овощехранилище картофеля будет в 1,2 раза меньше,
чем во втором?
500. Прямая, являющаяся графиком функции, заданной
формулой y = fex + b, пересекает оси координат в точках
А (0; 6) и В ( — 4; 0). Найдите k и Ь.
501. Найдите координаты точки пересечения графиков
функций у = — 0,Зх-{-5,4 и у = 0,7х —8,4.
94
§ 9. ФУНКЦИЯ у — х2 И ЕЕ СВОЙСТВА
24. ФУНКЦИИ у = х2 И у = х3 И ИХ ГРАФИКИ
На практике часто встречаются функции, которые зада-
ются формулами г/ = х2 и у = х3. Примерами таких функций
служат зависимость площади квадрата от его стороны и зави-
симость объема куба от его ребра.
Построим график функции у = х2. Чтобы получить пред-
ставление о графике и его расположении в координатной
плоскости, выясним некоторые свойства этой функции.
Если х = 0, то у = 0. Значит, график проходит через на-
чало координат.
Если х =Н= 0, то у > 0, так как квадрат любого числа, отлич-
ного от нуля, есть число положительное. Поэтому все точки
графика функции, кроме точки (0; 0), расположены выше оси х.
Противоположным значениям х соответствует одно и то
же значение у. Это следует из того, что ( — х)2 = х2 при любом х.
Например, если х——15, то у = ( —15)2 = 225; если х—15, то
у=152 = 225. Значит, точки графика, имеющие противополож-
ные абсциссы, расположены симметрично относительно оси у.
Вычислим координаты точек графика функции у = х2.
При этом воспользуемся тем, что противоположным значе-
ниям х соответствуют равные значения у. Результаты вычис-
лений запишем в таблицу:
X -3 — 2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
У 9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9
Построим точки, координаты которых ука-
заны в таблице (рис. 43). Чтобы точнее по-
строить график вблизи начала координат,
вычислим еще несколько значений функции:
X о,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
У 0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 0,36 0,49 0,64 Д81
Из таблицы видно, что график функции
вблизи начала координат почти сливается
с осью х.
95
У,
J •7 6 5 4
-Ч •
j 2 7
2 3' X
Но
_| г5
• 1
1
_| 56 -7 ‘8
_ 1
1
J
Рис. 45
Соединим отмеченные точки плавной
линией. Получим график функции у = х2
(рис. 44). Кривую такого вида называют
параболой.
Построим график функции ^ = х3. Сна-
чала выясним некоторые свойства этой
функции.
Если х = 0, то г/ = 0. Значит, график про-
ходит через начало координат.
Если х>>0, то у>0; если х<:0, то у<0.
Это следует из того, что куб положитель-
ного числа есть число положительное, а куб
отрицательного числа есть число отрица-
тельное. Значит, график функции располо-
жен в первой и третьей координатных
четвертях.
Противоположным значениям х соответ-
ствуют противоположные значения у. Это
вытекает из того, что при любом зна-
чении х верно равенство (— х)3 = — х3. Напри-
мер, если х— — 5, то у — —125; если х —5, то
у =125. Значит, точки графика, имеющие
противоположные абсциссы, расположены
симметрично относительно начала коорди-
нат.
Составим таблицу, вычислив для неко-
торых значений аргумента соответствую-
щие значения функции, округлив их до
сотых (при этом воспользуемся тем, что про-
тивоположным значениям х соответствуют
противоположные значения у)х
X — 2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
У -8 -3,38 -1 -0,13 0 0,13 1 3,38 8
Построим точки, координаты которых
указаны в таблице (рис. 45).
Соединим отмеченные точки плавной ли-
нией. Получим график функции у — х3
(рис. 46).
Заметим, что вблизи начала координат
96
график функции почти сливается с осью х (если х = 0,1, то
у — 0,001; если х = 0,2, то у = 0,008; если х = 0,3, то у = 0,027).
502. Используя график функции у = х2, изображенный на
рисунке 44, найдите:
а) значения г/, соответствующие х = 0,75; —1,25; 1,25;
— 2,3; 2,3;
б) значения х, которым соответствует z/ = 3; 5.
503. Пользуясь графиком функции z/ = x2 (см. рис. 44),
найдите:
а) значение функции, соответствующее значению аргумента,
равному 1,4; —2,6; 3,1;
б) значения аргумента, при которых значение функции
равно 4; равно 6;
в) несколько значений х, при которых значения функции
меньше 4; больше 4.
504. Воспользовавшись графиком функции z/ = x2, изобра-
женным на рисунке 44, найдите:
а) значение z/, соответствующее х=—2,4; —0,7; 0,7; 2,4;
б) значения х, которым соответствует у = 2*т 0,9;
в) несколько значений х, при которых значение функции
больше 2; меньше 2.
505. Как изменится площадь квадрата, если его сторону
увеличить в 3 раза; уменьшить в 10 раз?
506. Как надо изменить сторону квадрата, чтобы его пло-
щадь увеличилась в 4 раза; в 16 раз?
507. Постройте график функции z/ = 0,5x2. Пользуясь по-
строенным графиком, найдите:
. а) значение у, соответствующее х = 1,6; —3,4; 3,4;
б) значения х, которым соответствует у = 3; 5.
508. Постройте график функции у—— х2. Найдите по
графику:
а) значения у, соответствующие х= —1,25; 1,25; —2,3; 2,3;
б) значения х, которым соответствует у=—3; —6.
509. Постройте график функции у= — 0,5х2. Найдите по
графику:
а) значение у, соответствующее х = 2,6; —2,4;
б) значения х, которым соответствует у = — 4.
510. Принадлежит ли графику функции у = х2 точка:
а) Р(—18; 324); б) Q (102; 10 404); в) Я ( — 99; -9801)?
4 Заказ 890
97
511. Используя график функции у = х3, изображенный
на рисунке 46, найдите:
а) значение у, соответствующее х = 1,4; —1,4; —1,8; 1,8;
б) значение х, которому соответствует у ——4; 4.
512. Пользуясь графиком функции у = х3 (см. рис. 46),
найдите:
а) значение функции, соответствующее значению аргумен-
та, равному —0,7; 1,3;
б) значение аргумента, которому соответствует значение
функции, равное 3; равное —3;
в) несколько значений аргумента, при которых значение
функции больше —3, но меньше 3.
513. Как изменится объем куба, если его ребро увеличить
в 2 раза; уменьшить в 3 раза?
514. Как надо изменить ребро куба, чтобы его объем
увеличился в 64 раза?
515. Постройте график функции у—— х3. Найдите по
графику:
а) значение у, соответствующее х = 0,7; —1,3;
б) значение х, которому соответствует у = 4.
516. Принадлежит ли графику у = х3 точка:
а) А (-0,2; -0,008); б) в(1^-; 3-|- ); С(-±;
517. Принадлежит ли точка М (2; 16) графику функции:
а) у = 4х2; б) г/ = 2х3; в) у = х4; г) у=—8х2?
518. В одной и той же системе координат постройте
графики функций у = х2 и г/ = х3, где х^0. Пользуясь по-
строенными графиками, сравните:
а) 0,492 и 0,493; б) 1,52 и 1,53; в) 2,72 и 2,73.
Упражнения для повторения
519. На покраску квадратной плитки израсходовали 20 г
краски. Сколько краски потребуется, чтобы покрасить плит-
ку, имеющую форму квадрата, сторона которого в 3 раза
больше (обе плитки окрашиваются с одной стороны)?
520. Резервуар, имеющий форму куба, наполняется при
помощи насоса за 45 мин. За какое время наполнится тем
же насосом резервуар, имеющий форму куба, ребро которого
вдвое больше?
98
521. Сравните значения выражений:
а) 0,316 и ( —0,3)16; в) -5,64 и (—5,6)4;
б) ( —1,9)21 и 1,921; г) -0,8" и -0,8)".
522. Найдите координаты точки пересечения графиков
функций у = 8,5х и у = 0,5х — 19,2.
25. ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ
В практике вычислений часто используются математиче-
ские таблицы, которые являются таблицами значений раз-
личных функций. Рассмотрим таблицу значений функции
у = х2, взятую из «Четырехзначных математических таблиц»
В. М. Брадиса без столбцов поправок (см. с. 208, 209).
Покажем, как находить по этой таблице квадраты чисел
от 1 до 10, записанных не более чем тремя цифрами.
Найдем по таблице квадрат числа 1,84. Для этого возьмем
строку, которая начинается с числа 1,8 (первые две цифры
числа 1,84), и столбец под номером 4 (третья цифра числа
1,84). В их пересечении записан искомый квадрат. Получаем,
что 1,842« 3,386.
Найдем теперь квадрат числа 2,3. Так как 2,3 = 2,30, то
искомый квадрат помещен на пересечении строки, начинаю-
щейся с 2,3 и столбца под номером 0. Получаем 2,32« 5,290.
Если число, большее 1 и меньшее 10, записано более чем
тремя цифрами, то для нахождения по таблице квадрата
этого числа его предварительно округляют.
Например: 7,6872«7,692«59,14.
С помощью той же таблицы можно находить квадраты и
других чисел.
Если число больше 10, то его представляют в виде произ-
ведения числа из промежутка от 1 до 10 и некоторой сте-
пени числа 10.
Найдем, например, значение степени 34,62.
Имеем:
34,62=(3,46 • 10)2 = 3,462 • 102.
По таблице находим, что 3,462« 11,97. Значит,
34,62«11,97 100 = 1197.
Если положительное число меньше 1, то его представляют
в виде произведения числа из промежутка от 1 до 10 и дроби
вида 0,1; 0,01; 0,001 и т. п.
4*
99
Найдем, например, значение степени 0,3572.
Так как 0,3572=(3,57 0,1)2 = 3,572-0,12 и 3,572« 12,74,
то 0,3572« 12,74-0,01 = 0,1274.
Рассмотрим более сложный пример возведения числа
в квадрат с помощью таблицы.
Найдем значение степени 567,62.
Округлив число 567,6 так, чтобы в нем осталось три цифры,
получим 568. Имеем:
567,62« 5682 = (5,68 • 100)2 = 5,682 - 10 ООО «
« 32,26 -10 000 = 322 600.
523. Найдите с помощью таблицы квадраты чисел:
а) 2,34; 5,12; 8,37; 9,56; 3,04; 6,19;
б) 1,3; 4,7; 2,8; 5,7; 8,3; 7,2; 9,6.
524. Найдите по таблице квадраты чисел:
а) 5,24; 52,4; 524; 0,524; б) 1,31; 0,131; 131; 1310.
525. Найдите по таблице:
а) 0,3892; в) 9342; д) 0,5822; ж) 0,06782;
б) 0,7162; г) 61,72; е) 23,42; з) 98 7002.
526. Найдите по таблице квадратов:
а) 1,372; 3,842; 7,082; 9,42; 5,52;
б) 39,92; 4652; 0,7662 ; 0,0392; 10802.
527. Найдите с помощью таблицы квадрат числа:
а) 3,1238; . б) 5,6073; в) 26,96; г) 0,01234.
528. Возведите в квадрат с помощью таблицы число:
а) 8,2357; б) 4,1023; в) 78,19; г) 0,6137.
529. Найдите с помощью таблицы площадь квадрата,
сторона которого равна: а) 6,34 м; б) 25,7 дм; в) 0,685 км.
530. Радиус круга равен 2,81 м. Воспользовавшись форму-
лой в = лг2, найдите площадь круга, взяв л «3,14. Результат
округлите до десятых.
531. Найдите площадь поверхности куба, ребро которого
равно 3,3 дм. Результат округлите до десятых.
532. Найдите с помощью таблицы значения функции
у = 2х2 для значений х от 6 до 6,1, взятых через 0,01. Резуль-
таты округляйте до десятых.
100
Упражнения для повторения
533. Какие из графиков линейных функций у = 3,7 — 1,2х,
у = 1,2х, у =—— х + 4 и у= — 1,2х параллельны графику
О
функции у= — 1,2x4- 2?
534. Найдите координаты точки пересечения графиков
функций:
а) г/ = 0,8х—10 и у = 3-|—i-x; б) у = 4,7х —1,1 и у = 4,4х4-1,3.
О
535. В одном мешке 55 кг крупы, а в другом 63 кг. Из
второго мешка взяли вдвое больше крупы, чем из первого,
после чего в нем осталось на 5 кг крупы меньше, чем в первом.
Сколько килограммов крупы взяли из каждого мешка?
26. АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Измеряя те или иные величины, мы получаем их прибли-
женные значения. Так, используя линейку с миллиметровой
шкалой, найдем, что длина отрезка АВ (рис. 47) приближен-
но равна 4,3 см:
АВ «4,3 см,
Число 4,3 является приближенным значением неизвест-
ного нам числа, выражающего длину этого отрезка.
Приближенные значения получаются также при округлении
чисел. Например, округляя дроби 5,617; 41,862; 0,45; 2,033
до десятых, получаем:
5,617 «5,6; 41,862/«41,9; 0,45 «0,5; 2,033 «2,0.
Мы уже встречались с приближенными значениями чи-
сел* когда пользовались таблицей квадратов. Найдем по этой
таблице значение выражения 7,352:
7,352« 54,02.
Выполнив умножение, получим точное значение этого
выражения:
7,352 = 7,35 • 7,35 = 54,0225.
Приближенное значение
выражения 7,352, найденное
по таблице, отличается от его
точного значения на 0,0025:
54,0225 — 54,02 = 0,0025.
|И111'1ГГТ[ТГП 111Т Г|ТТ111111! 11 и I j и г । р гтгр-1 п
0 1 2 3 4 5
Рис. 47
Таким же образом найдем приближенное и точное зна-
чения выражения 7,342. Таблица квадратов дает прибли-
женное значение:
7,342^ 53,88.
С помощью умножения получаем точное значение:
7,342 = 7,34 • 7,34 = 53,8756.
В этом случае приближенное значение отличается от точ-
ного на 0,0044, так как
53,88 - 53,8756 = 0,0044.
Чтобы узнать, на сколько приближенное значение числа
отличается от самого числа, надо из большего числа вычесть
меньшее. Иначе говоря, надо найти модуль разности числа
и его приближенного значения. Этот модуль разности назы-
вают абсолютной погрешностью.
Определение. Абсолютной погрешностью прибли-
женного значения числа называется модуль разности числа и
его приближенного значения.
Так, в рассмотренном примере абсолютная погрешность
приближенного значения 54,02 равна 0,0025, а абсолютная
погрешность приближенного значения 53,88 равна 0,0044,
так как
| 54,0225-54,02 | = | 0,0025 | =0,0025; *
| 53,8756-53,88 | =± | —0,0044 | =0,0044.
Найти абсолютную погрешность не всегда возможно.
Мы не можем, например, найти абсолютную погрешность
приближенного значения 4,3, полученного при измерении дли-
ны отрезка АВ на рисунке 47, так как не знаем точного значе-
ния. В таких случаях важно указать такое число, больше
которого абсолютная погрешность не может быть. В примере с
измерением длины отрезка можно сказать, что абсолютная
погрешность меньше 1 см. Однако это грубая оценка. Можно
дать более точную оценку: 0,1 см. Это означает, что абсолютная
погрешность приближенного значения 4,3 меньше 0,1.
Еще пример. Пусть при округлении некоторой десятичной
дроби х до сотых получили 8,62:
х«8,62.
102
Промежуток координатной пря- 6,62
мой на рисунке 48 содержит все —I—1I I 1 ..L—1 „I | ,
числа, при округлении которых 0,625
получается 8,62. При округлении Рас. 48
десятичной дроби она могла как
увеличиться, так и уменьшиться, но не более чем на 0,005.
Следовательно, абсолютная погрешность приближенного зна-
чения 8,62 не больше чем 0,005. Говорят, что 8,62 есть при-
ближенное значение числа х с точностью до 0,005.
Вообще, если абсолютная погрешность приближенного
значения не превосходит некоторого числа Л, то это значение
называют приближенным значением с точностью до Л.
Точность приближенного значения зависит от многих при-
чин. В частности, если приближенное значение получено в
процессе измерения, то его точность зависит от прибора, с
помощью которого выполнялось измерение. Например, на
медицинском термометре деления нанесены через 0,1°. Он
дает возможность измерять температуру с точностью до 0,1°.
Комнатный термометр, на котором деления нанесены через
1°, позволяет измерять температуру с точностью до 1°. С
помощью торговых весов, у которых цена деления шкалы
5 г, можно взвешивать с точностью до 5 г.
При округлении десятичных дробей до десятых, сотых,
тысячных и т. д. получаются приближенные значения с
точностью до 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Например, округлив
число 2,513 до десятых, получим 2,5. Число 2,5 является
приближенным значением числа 2,513 с точностью до 0,1.
Действительно,
I 2,513-2,5 1=0,013 <0,1.
536. Найдите по таблице квадратов приближенное значе-
ние площади квадрата со стороной: 4,24 см, 5,87 дм и 6,11 см.
Вычислите абсолютную погрешность каждого приближения.
537. Округлите числа 17,26; 12,034; 8,654 до десятых и
найдите абсолютную погрешность каждого из приближенных
значений.
538. Найдите абсолютную погрешность приближенного
значения, полученного в результате округления:
а) числа 9,87 до единиц; в) числа 0,453 до десятых;
б) числа 124 до десятков; г) числа 0,198 до сотых.
юз
539. Найдите абсолютную погрешность приближенного
значения, используя приближенное равенство:
а) 2,8413 «2,84; в) 0,0569 «0,057;
б) 31,192 «31,2; г) 487,81 «488.
540. Представьте число в виде десятичной дроби и
з
округлите эту дробь до десятых, до сотых, до тысячных.
В каждом случае найдите абсолютную погрешность прибли-
женного значения.
541. При вычислении дробь заменили десятичной
дробью 0,14. Какова абсолютная погрешность этого прибли-
жения?
542. В сумме •y+’jj каждое слагаемое представили в
виде десятичной дроби с одним знаком после запятой и
выполнили сложение. Найдите абсолютные погрешности при-
ближенных значений слагаемых и суммы.
543. Найдите по графику функции у = х2 (см. рис. 44)
приближенные значения у при х = 0,7; 1,8; 3,4. Вычислите
абсолютную погрешность каждого из приближенных значений.
544. Найдите с помощью графика функции у = х2 прибли-
женные значения у при х = 0,9; 1,5; 2,3. Вычислите абсолютную
погрешность каждого из приближенных значений.
545. Измерьте с помощью транспортира каждый из углов,
изображенных на рисунке 49. Какова точность полученных
результатов?
546. Начертите острый угол и измерьте его с помощью
транспортира. Какова точность полученного результата?
547. При измерении длины стержня пользовались линейкой
с миллиметровыми делениями, штангенциркулем (цена деления
0,1 мм) и микрометром (це-
М/ на деления 0,01 мм). При этом
. / были получены результаты:
/ 17,9 мм, 18 мм, 17,86 мм. Ка-
\ / ким инструментом выполнено
\ .—...— каждое из указанных изме-
\ рений и какую точность дает
\_________________ каждый инструмент?
В с 548. С помощью весов и
Рис. 49 гирь установили, что масса
104
арбуза больше 5 кг и меньше 6 кг. В качестве приближен-
ного значения массы взяли среднее арифметическое 5 кг и 6 кг.
С какой точностью выбрано это приближение?
549. Покажите, что каждое из чисел 0,16 и 0,17 является
приближенным значением числа с точностью до 0,01. Какое
из них является приближенным значением числа с точностью
до 0,005?
550. Найдите приближенные значения с точностью до 0,1
числа 1"у, выраженные десятичными дробями с одним знаком
после запятой.
Упражнения для повторения
551. Чтобы попасть на турбазу, туристы должны преодолеть
расстояние в 252 км. Часть пути они проехали на автобусе,
а остальное расстояние прошли пешком, причем на автобусе
они ехали на 2 ч больше, чем шли пешком. Сколько времени
шли туристы пешком, если известно, что скорость автобуса
60 км/ч, а шли туристы со скоростью 6 км/ч?
552. Постройте график функции:
а) у =-6,5; б) у = 7,2.
553. Вычислите:
427 * 7 II3.210 ’
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
К параграфу 7
554. Верно ли равенство:
а) 32+424-52 = 62; б) (14-24-3 + 4)2 = 13 + 23 + 33 + 43?
555. Разложив число на простые множители, представьте
его в виде произведения степеней простых чисел:
а) 54; б) 144; в) 225; г) 500.
556. Представьте число в виде степени с основанием 2 или 3:
а) 64; б) 81; в) 512; г) 729; д) 1024.
105
557. Представьте число в виде суммы степеней числа 2:
а) 6; б) 18; в) 42.
558. Представьте число в виде степени с показателем,
отличным от 1:
а) 121; б) —32; в) 0,125; г) 625; д) -0,216; е) 0,343.
559. Найдите значение выражения:
а) 0,001х5 при х=—2; в) х2у4 при х = 5, у = 2;
б) ЮООу3 при у = 0,1; г) Зх3у3 при х=—2, у=— 5.
560. Найдите значение выражения ( —1)" при и, равном:
а) 6; б) 11; в) 23; г) 70.
561. Вычислите:
а) сумму кубов чисел 5 и —3;
б) куб суммы чисел 9 и —11;
в) разность квадратов чисел 12 и 8;
г) квадрат разности чисел 96 и —4.
562. Не выполняя вычислений, сравните значения выра-
жений:
а) (-0,03)8 и 0; в) (-1,75)3 и (-0.29)2;
б) 0 и (-1.25)7; г) 0,986 и 1,026.
563. Что больше и на сколько:
а) 23 или З2; в) 2>32 или 3-23;
б) 52 или 25; г) (11 + 19)2 или 1124-192?
564. Сравните значения выражений а2 и а3 при а, равном:
а) —12; б) 0; в) 5.
565. Найдите при х = 1,5 и х=— 2 значения выражений:
а) х2; —х2; ( —х)2; б) х3; — х3; ( — х)3.
566. . Какие из чисел — 3, — 2, — 1,1, 2, 3 являются корнями
уравнения:
а) х4 = 81; в) х2 —х=2; д) х3—Зх2 — 4x4-12 = 0;
б) х6=64; г) х4-|-«3 = 6х2; е) х34-3х2 —х—3 = 0?
567. Докажите, что не имеет корней уравнение:
а) х2 4-1 = 0; б) 2х64-Зх44-х24-1 = 0.
106
568. Докажите, что уравнение х4 4-Зх3 -{-2х2 4- х + 6 = 0 не
имеет положительных корней.
569. Может ли уравнение х6--х54-х4—-х34-х2—-х-|-1 = 0
иметь отрицательные корни?
570. Упростите выражение:
а) а10а12( — а5); б) х( —х)( —х6); в) yky*y2\ г) ЬпЪпЪ3.
571. Представьте выражение в виде степени:
а) 25-8; б) 16-64; в) 7Л-343; г) 81-3*.
572. Представьте выражение в виде произведения двух
множителей, один из которых равен а5:
а) а10; б) а6; в) —а40.
573. Замените х степенью с основанием с так, чтобы полу-
ченное равенство было тождеством:
а) с2х = с5; б) хс5 = с9; в) с6х = си; г) с4х = с15.
574. Замените частное степенью:
а) Ь,5:Ь12; б) 739:713; в) аи:а; г) 12,00:12".
575. Найдите значение выражения:
а) 13,00:1398; в) 214:84; д) 5,0:254;
З8-27 . г\ 95-59 . \ 38»58
' 36«25 ’ ' 39-510 ’ j 3’°.57 ’
576. Упростите выражение:
а) 6л+3:6л; б) 10л+1:10л“1.
577. Вычислите:
а) (217-43,07.4)° +б—; б) 17,83°-6,4 2,8.
578. Упростите:
а) (-1)4-1)”; б) ( —1)2л:( —I)3.
579. Площадь круга вычисляется по формуле S = nr2, где
г — радиус круга. Как изменится площадь круга, если его
радиус увеличить в 3 раза; в 7 раз?
580. Объем шара вычисляется по формуле У=-|-лг3, где
з
г — радиус шара. Как изменится объем шара, если радиус
увеличить в 2; в 4 раза?
107
581. Найдите значение выражения:
а) 45-2,55; в) 0,29.57; д) 0,26-253;
б) (т)'3’3'3; г) О,41о.2,512; е) (-1)6.814.
582. Сравните значения выражений:
а) 107 и 28-57; в) 252S и 250-350;
б) 612 и 2|3.3"; г) 6330 и 360-530.
583. Представьте выражение в виде Зп или —3":
а) ( —З3)2; б) (—З2)3; в) -(З4)2; г) -(-З2)3.
584. Упростите выражение:
а) (х3)2-( —х3)4; в) (х7)5-( —х2)6;
б) (—у3)7-(—/)5; г) (-с9)4.(с5)2.
585. Замените букву р выражением так, чтобы полученное
равенство было тождеством:
а) р5=х20; в) р3с8=с20;
б) р7 = х21; г) у7 -(у2)*=р5.
586. Представьте в виде степени:
а) 45«221; б) 513-25н; в) 85-163; г) 2710-915.
587. Представьте выражение в виде хп или — хп:
а) ( — х3)7; б) ( — х2)5; в) ( —х)4х8; г) (—х5)7-(х2)3.
588. Сколькими способами можно представить в виде
степени с показателем, отличным от 1, число: а) 215; б) 26?
К параграфу 8
589. Вычислите значение одночлена:
а) 7а3 при а = 0; 1; —1; —0,1; 0,2;
б) — 4х3 при х=2; -3; 20; —0,2; 0,5.
590. Найдите значение выражения:
а) -4,5аЬ при а=-6, 6 = 3-|-; а=-|-, 5 =—|-; а=—
б) 0,001х3г/ при х=—4, у = 8; х = 6, у=—х= —1, у =
= 125; х = 18, у = 0;
108
в) 225тп2п2 при т= —1-|-, п = 1-1-; т=— 0,2, п—— 0,5;
zn = 0, п=—6; /п=4-» п = 3-^-.
6 5
591. Какова степень одночлена:
а) 8х3у7; в) а9&9; д) — 8х°;
б) — 10а62с3; г) — хуг', е) 2,4?
592. Представьте выражение в виде одночлена стандарт*
ного вида и укажите его степень:
a) 5ab- 0,7 Ьс -40ас; г) — а3Ь-За2Ь4;
б) -0,456d-(-l-yad)-9eb; д) 0,6x3z/• (- 0,5хг/3);
в) -1,9а&.(-16а6с)-(—0,5с); е) -0,32m7n4.( —3-|-m3n6).
593. Составьте все возможные одночлены стандартного вида
с коэффициентом 5, содержащие две переменные х и у, так, что-
бы степень каждого одночлена равнялась: а) трем; б) четырем.
594. Выполните умножение одночленов:
а) — 8х2у3 и 0,2ху3; г) 1,25ху2, — OAyz2 и — 0,3x2z;
б) m2n2 и 0,5m3n; д) — 2,5abc, —abc и 3,4a2b;
в) — 2,4х3а и — 0,5ху3; е) 0,8a5bx, — 0,4ab2x3 и — 0,5ab4x2.
595. Представьте выражение в виде произведения двух
одночленов стандартного вида, один из которых равен 20х4у:
а) 100х5у3; б) — 30х4у5; в) — 4х16у; г) х10г/2.
596. Представьте данный одночлен в виде произведения
двух каких-нибудь одночленов стандартного вида:
а) — 8а5с3; б) — Ь6у9; в) 60х10у15.
597. Преобразуйте выражение в тождественно равный ему
одночлен стандартного вида:
а) (•—10ab12)2; в) ( —Зху2а3)3;
б) ( —0,2х4у)4; г) (-0,5ab2c3)4.
598. Представьте произведение одночленов в виде степени
некоторого одночлена:
a) 27a2b5-3aI0b3; в) 0,01 Ь5с3. (-0,1 Ьс2);
б) - 64а8х’ 1 • (- 0,25а2х9); г) __ н.
109
599. Упростите выражение:
а) (—0,2 у)3-5 Оу2; г) (-За4Ь)2.-£-а,гЬ8;
У
б) -60с®.(-0,5с2)3; д) —|-Ьс2-(-|-Ь3с6)3;
в) ( —0,6х3)2«( —5х4); е) (-0,4х5у6)3-( — 1ОООх5у10).
600. Представьте в виде одночлена стандартного вида:
а) (2аЬ)2-( — ЗаЬ)3; д) ( —3mn2)4-( —m2n)3;
б) ( —0,2ху)3-( —5ху)2; е) (^-х2у)3-(2х3у2)2;
в) — (Зху)2*( —Зх)3; ж) (-|-а2Ь2)2.(-ЗаЬ)4;
г) -(—0,5ас2)2-(—2а2с)3; з) (—f-x2y)3-(—Тху^'
601. Упростите выражение:
а) (—х2у2)4-(-ху)2; г) (-|-a2b)3.(9a&2)2;
б) "(тжН2’(-Зж)3; д) (-5а3Ь)2-(-|-аЬ3)3;
в) ( —2х3у)3-(—2у2)3; е) (—%-ab4)2.(-З±а3&)2.
К параграфу 9
602. Известно, что точка
Р(—4; Ь) принадлежит гра-
фику функции, заданной фор-
мулой у = х2. Найдите значе-
ние Ь. Принадлежит ли гра-
фику этой функции точка
Q(4; 6)?
603. Известно, что точка
С (т; 9) принадлежит графи-
ку функции, заданной фор-
мулой у = х2. Принадлежит ли
графику этой функции точка
D(-m; 9)?
604. На рисунке 50 по-
строены графики функций
У = х, у = х2, у=*х\ Пользуясь
графиками, сравните:
110
a) 0,23 и 0,232; в) 0,232 и 0,233; д) 1,47 и 1Л73;
б) 0,23 и 0,233; г) 1,47 и 1,472; е) 1,472 и 1,473.
605. С помощью таблицы квадратов найдите значение выра-
жения:
а) Зх2 при х = 7,13;
б) а2 —Ь2 при а = 17,3, 6 = 12,5;
в) а2-|-д2 при а = 2,17, 6 = 1,16.
606. Вычислите с помощью таблицы квадратов:
а) 3,264; б) 5,174; в) 1,394; г) 2,II4.
607. Найдите по таблице квадратов значения функции
у=х2 при указанных значениях х (результат округлите до
сотых):
X 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26
У
На сколько увеличивается значение функции с изменением
х от 1,21 до 1,22?
608. Представьте число у в виде десятичной дроби и ок-
руглите эту дробь до десятых, до сотых, до тысячных. В
каждом случае найдите абсолютную погрешность приближен-
ного значения, если:
а) !/=V; б)
2
609. Какое из двух приближенных значений числа —
точнее: 0,18 или 0,19?
610. Какое из двух приближенных значений числа
точнее: 0,55 или 0,56?
611. Какое из четырех приближенных значений числа
л = 3,14159... лучше: 3,141; 3,142; 3-у-; 3-|£?
612. Докажите, что число 1,4 является приближенным
значением числа 1,361 с точностью до 0,1.
•7
613. Запишите число — в виде десятичной дроби и округ-
16
лите эту дробь: а) до десятых; б) до сотых; в) до тысячных.
Укажите точность полученного при округлении приближен-
ного значения.
111
ГЛАВА
IV
МНОГОЧЛЕНЫ
§ 10. СУММА И РАЗНОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ
27. МНОГОЧЛЕН И ЕГО СТАНДАРТНЫЙ ВИД
Выражение 4х2у — 5ху + 3х — 1 представляет собой
сумму одночленов 4х2у, —5хг/, Зх и —1. Такие выражения
называют многочленами.
Определение. Многочленом называется сумма одно-
членов.
Одночлены, из которых составлен многочлен, называют
членами многочлена. Так, многочлен 4х2у — 5ху + Зх — 1
состоит из членов 4х2у, — 5хг/, Зх и —1.
Если многочлен состоит из двух членов, его называют
двучленом, если из трех членов — трехчленом. Одночлены
считают многочленами, состоящими из одного члена.
В многочлене 5а2Ь4-2-{-4аЬ2 — За2Ь — 7 члены 5а2 b и — За2Ь
являются подобными слагаемыми, так как они имеют одну и
ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми являются и
члены 2 и — 7, не имеющие буквенной части. Подобные
слагаемые в многочлене называют подобными членами много-
члена.
Сумму подобных членов можно заменить одним членом,
сложив их коэффициенты и оставив ту же буквенную часть.
Такое тождественное преобразование многочленов называют
приведением подобных членов.
Выполнив приведение подобных членов в многочлене
5а2Ь4-2Н-4аЬ2 —За2Ь —7, получим:
5а2 b + 2 + 4аЬ2 - За2Ь - 7 = 2а2 b + 4аЬ2 - 5.
Многочлен 2а?Ъ -\-ЛаЪ2— 5 не содержит подобных членов,
и каждый его член является одночленом стандартного вида.
Такой многочлен называют многочленом стандартного вида.
112
Любой многочлен можно привести к стандартному виду.
Для этого нужно каждый его член представить в стандартном
виде и привести подобные члены.
Членами многочлена стандартного вида 8ху + 6х2у3 — 9
служат одночлены второй, пятой и нулевой степени. Наиболь-
шую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким
образом, многочлен стандартного вида 8ху 4~ 6х2у3 — 9 является
многочленом пятой степени.
Степенью многочлена стандартного вида называют наиболь-
шую из степеней входящих в него одночленов. Степенью
многочлена, не записанного в стандартном виде, называют
степень тождественно равного ему многочлена стандартного
вида.
Например, чтобы выяснить, какова степень многочлена
За4 4-8аЬ —2а4 — а4 4-56, приведем его к стандартному виду:
3a44-8ab —2а4 —a44-5b = 8ab4-5b.
Степень многочлена 8аЬ4~5Ь равна двум, поэтому и степень
многочлена За44-8аЬ —2а4 —а44-5Ь равна двум.
614. Назовите каждый член многочлена:
а) __бх4 + у3-5у + 11; б) 25ab4-ab2-a2b4-8a-7b.
615. Выполните приведение подобных членов многочлена:
а) Зх4 —5х4-7х2 —8х44-5х;
б) 2a3 + a2-17-3a2 + a3-a-80;
в) 12ab2-b3-6ab24~3a2b-5ab24-2b3;
г) 2a2 — ax3 — a4 — a2x3 + ax3 4- 2a4.
616. Приведите подобные члены многочлена:
а) — a4 + 2a3 —4a42a2 —За2;
б) 14-2/-4/-6/+ 4/-/-9;
в) 10х2у — 5ху2 — 2х2у + х2у — 3ху2;
г) 3ab34-6a2b2 —ab3 —2а2Ь2 —4а2Ь24-7.
617. Представьте в стандартном виде многочлен:
а) - 8р44-12р34-4р4-8р24-3р2;
б) 2a-a24-a2 — За24-я3 — я;
в) Зх‘Х44-Зх-х2 — 5х2х3 — 5х2х;
г) 3a-4b2 —0,8b-4b2 —2ab-3b4~ b-3b2—1.
113
618. Запишите в стандартном виде многочлен:
а) 2а2х3 — ах3 — а4 + Зх4 — а2х3 + ах3 + 2а4;
б) 5х-2у2 — 5х-3ху — х2у + 6ху2.
619. Найдите значение многочлена:
а) 5х6-Зх2 + 7-2х6-Зх64-4х2 при х=-10;
б) 4а2Ь — ab2 — За2Ь + аЬ2—аЬ + 6 при а=—3, Ь = 2.
620. Найдите значение многочлена:
а) 6а3—а10 + 4а34-«10 — 8а34-а при а= — 3;
б) 4х6у3 — Зх6у3 + 2х2у2 — х6у3 — х2у2 + у при х=—2, у=— 1.
621. Запишите в виде многочлена число, состоящее из:
а) х десятков и у единиц;
б) а десятков и b единиц;
в) а сотен, Ь десятков и с единиц;
г) х сотен, у десятков и х единиц.
622. Расположите по убывающим степеням переменной
многочлен:
а) 17а4-8а5 + За-а3-1; б) 35-с6 + 5с2-с4.
623. Расположите по возрастающим степеням перемен-
ной:
а) х4 —5 —х2 + 12х; б) 2у + у3 — у2 +1.
624. Какова степень многочлена:
а) 4а6 — 2а74-а— 1; г) 4ху-{-ху2 —5x2+i/;
б) 5р3 — р — 2; д) 8x4y-f-5x2j/3—ll;
в) 1 —Зх; е) xy + yz + xz—Vl
Упражнения для повторения
625. Решите уравнение:
\ х ___0,75. 0,56_х-}-2
' 2,4 ~ 32 ’ ' 35 “ 5 ‘
626. Вычислите:
627. При каком значении аргумента функция у = 0,01х
принимает значение, равное: а) 240; б) —100?
114
28. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
Составим сумму многочленов 5х24-7х —9 и — Зх2 — 6x4-8:
(5х24-7х-9) + (-Зх2-6x4-8).
Раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим:
(5х24-7х-9)4-(-Зх2-6х4-8) = 5х24-7х-9-Зх2-6х4-8 =
= 2х24-х —1.
Сумму многочленов 5х24~7х — 9 и —Зх2 —6x4-8 мы пред-
ставили в виде многочлена 2х24-х —1. Вообще, сумму любых
многочленов можно представить в виде многочлена.
Составим разность многочленов х34-5х2 — x-f-8 и х3 —7х—1:
(х34-5х2-х4-8)-(х3 —7х—1).
После раскрытия скобок и приведения подобных членов
получим: (х34-5х2 — х4“8)—(х3 — 7х — 1) = х34-5х2 — х4-8 —
- х3 4- 7х 4-1 = 5х2 4- 6х 4- 9.
Разность многочленов х3 4“ 5х2 — х4-8 и х3- 7х — 1 мы пред-
ставили в виде многочлена 5х24-6х4-9. Вообще, разность
любых многочленов можно представить в виде многочлена.
Таким образом, при сложении и вычитании многочленов
снова получается многочлен.
Иногда требуется несколько членов многочлена заключить
в скобки. Тогда:
если перед скобками ставят знак «плюс», то члены, которые
заключают в скобки, пишут с теми же знаками;
если перед скобками ставят знак «минус», то члены, заклю-
чаемые в скобки, пишут с противоположными знаками.
Например,
Зх —2у4-Ь = Зх4-( —2у4-&),
Зх — 2у 4- Ъ = Зх — (2у — Ь).
Полученные равенства являются тождествами. Убедиться
в этом можно, раскрыв скобки в правой части каждого
равенства.
628. а) Составьте сумму многочленов 4х3 —5х —7 и х3 —8х
и преобразуйте ее в многочлен стандартного вида.
б) Составьте разность многочленов 5у2— 9 и 7 у2— у 4-5 и
преобразуйте ее $ многочлен стандартного ййДа.
115
629. Даны два многочлена: 2а3 — 4а2—5а+ 5 и а3-{-4а2
— 4а— 2. Составьте и упростите:
а) сумму этих многочленов;
б) разность первого и второго многочленов;
в) разность второго и первого многочленов.
630. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
а) (14-За) 4-(а2-2а); г) (52-54-7)-(524-54-8);
б) (2х2 + Зх)4-( — х + 4); д) (8п3 —Зп2)—(7 + 8п3 —2п2);
в) (у2 — 5у)+(5у—2у*)‘, е) (а2 4-5а 4-4)—(а2 4-5а — 4).
631. Упростите выражение:
а) 5,2а- (4,5а + 4,8а2);
б) - 0,8Ь2 4-7,45 4-(5,65- 0,252);
в) 8х24-(4,5-х2)—(5,4х2 —1);
г) (7,3у - у2 4- 4) 4- 0,5у2 - (8,7у - 2,4у2).
632. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
а) 18х2 — (10х — 54-18х2); в) (524-5-1)—(52-54-1);
б) - 12с24-5с4-(с4-11с2); г) (1Ь-1у^-(у2-у2-1$).
633. Найдите сумму и разность выражений:
а) а-{-Ь и а —Ь; в) — а— Ь и а—Ь;
б) а— b и а-{-Ь; г) а —Ь и Ь —а.
634. Упростите выражение:
а) (а2 - 0,45а 4-1,2) 4- (0,8а2 — 1,2а)—(1,6а2—2а);
б) (у2 -1,75у - 3,2) - (О,3у2 4- 4) - (2у - 7,2);
в) вху — 2х2—(Зху 4- 4х2 4-1)—(—ху — 2х2—1);
г) - (2а52 - а5 4- 5) 4- За52 - 45 - (5а5 - а52).
Ci&RB Упростите выражение:
а) 8а254-(—5а254-452) + (а25-5524-2);
б) (ху4-х24-«/2)—(х24-г/2 — 2ху) — ху.
636. Найдите значение выражения
(5,7а25 — 3,1а5 4- 853) - (6,9а5 - 2,3а25 4- 853),
если: а) а = 2 и 5 = 5; б) а=—2 и 5 = 3.
637. Вычислите значение выражения
5х2—(Зху — 7Х2) 4- (5ху — 12х2),
если: а) х=—0,25 и у —4; б) х=—5 и у = 0,1.
116
638. Учащимся была предложена задача: «Найти значение
выражения
(7а3 - 6а2Ь + 5аЬ2) 4- (5а3 + 7а2Ь + ЗаЬ2) - (10а3+а2Ь + 8аЬ2)
при а =—0,25, Ь=—0,347». Один из ученйков сказал, что
в задаче есть лишнее данное. Прав ли он?
639. Докажите, что значение выражения не зависит от зна-
чений переменной:
а) 1,7-10Ь2-(1-ЗЬ2) + (2,3 + 7Ь2);
б) 1-Ь2-(ЗЬ-2Ь2) + (1 + ЗЬ-Ь2).
640. Пусть х=5а2-{-6аЬ — Ь2, у = — 4a24-2ab-{-3b2, z =
= 9а2 + 4аЬ. Подставьте эти многочлены вместо х, у и z в дан-
ное выражение и упростите его:
a) x-f-y-f-z; б) х —у —z.
641. Решите уравнение:
а) (17 —5х) —(Зх—11) = 4;
'бр19 + 2х) —(5х —11)=25;
в) (3,2г/-1,8)-(5,2у + 3,4)= -5,8;
г) 1—(0,5х—15,8)=12,8 —0,7х;
д) 3,8- 1,5у+(4,5у- 0,8)=2,4у + 3;
е) 4,2у + 0,8 = 6,2у —(1,1у + 0,8)4-1,2.
642. Решите уравнение:
а) 8у —3 —(5 —2у) = 4,3; в) -8х + (4 + Зх)=10-х;
б) 0,5у -1 - (2у + 4) = у; г) 1,3х - 2 - (3,3х + 5) = 2х +1.
643. Представьте выражение в виде суммы каких-нибудь
двучленов:
а) Зх3 — 2х2 — х-{-4; б) — 5у4 + 4у3 + Зу2 — 2у.
644. Представьте выражение каким-либо способом в виде
разности одночлена и трехчлена:
а) х3 + 2х2 —Зх—5;^ V б) За4 + 2а3 + 5а2-4.
645. Докажите, что сумма:
а) трех последовательных натуральных чисел кратна 3;
б) четырех последовательных натуральных чисел не кратна 4.
117
Упражнения для повторения
646. Мастер и ученик изготовили за смену 24 детали,
причем число деталей, изготовленных мастером, относится к
числу деталей, изготовленных учеником, как 5:3. Сколько
деталей изготовил мастер?
647. На двух участках высадили 260 кустов смородины,
распределив их между участками в отношении 8:5. На сколько
кустов высадили на первом участке больше, чем на втором?
648. Докажите/что данное равенство является тождеством:
a) ( —2х)4 = 8х-2х3; б) ( —6а2)2а3 = (2а2)3-4,5а.
§ 11. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА И МНОГОЧЛЕНА
29. УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
Составим произведение одночлена 9п3 и многочлена
7п2 —Зп + 4:
9п3 (7п2- Зп + 4).
Преобразуем это произведение, используя распределитель-
ное свойство умножения:
9п3 (7п2-Зп + 4) = 9п3.7п2 + 9п3(-Зп)+9л3.4 =
4 =63п5-27п4 + 36п3.
Произведение одночлена 9п3 и многочлена 7п2 —Зп-|-4
мы преобразовали в многочлен 63п5 — 27п4-{-36п3, умножив
одночлен на каждый член многочлена и сложив полученные
результаты.
Вообще, произведение одночлена и многочлена можно
представить в виде многочлена.
При умножении одночлена на многочлен пользуются
правилом:
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить
этот одночлен на каждый член многочлена и полученные
произведения сложить.
При умножении одночлена на многочлен запись можно
вести короче. Например,
- За2 (4а3 — а +1) = — 12а5 4- За3 — За2.
118
Умножение одночлена на многочлен применяется при
решении уравнений. Приведем примеры.
Пример 1. Решим уравнение 8 — 5х (х — 7)=1 — 5х2.
Преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись
правилом умножения одночлена на многочлен. Получим
уравнение
8 — 5х2 4* Збх = 1 — 5х2.
Отсюда
- 5х2 + 35х 4-5х2 = 1 - 8,
35х= — 7,
х=—0,2.
Пример 2. Решим уравнение 2х~г—*^~5 —2.
Умножив обе части уравнения на наименьшее общее
кратное знаменателей дробей, т. е. на число 18, получим:
(-2^=1—. 18 = 2 • 18.
Отсюда
2*~1-18—18 = 36,
9 6
2(2х —1)—3(х4-5)=36,
4х —2 —Зх —15 = 36,
х = 53.
649. Выполните умножение:
а) 2х(х2 —7х —3); г) (у2-2,4у-|-6)-1,5у;
б) — 4&2(5&2-ЗЬ-2); д) — 0,5х2 (—2х2-Зх4-4);
в) (За3 - а2 4- а) (- ба3); е) (- Зу2 4- 0,бу) (- 1,5у3).
650. Преобразуйте произведение в многочлен:
а) За&(а2-2аЬ4-&2); г) 2,5а2& (4а2-2аЬ-|-0,262);
б) — х2у (х2у2 —х2 —у2); д) (6,Зх3у-Зу2-0,7х).10х2у2;
в) (— 2ах2 4- Зах—а2) (—а2х2); е) —|ч»2у5(бау2 — -|а2у — -|а3).
651. Представьте в виде многочлена:
а) — Зх2 (—х34-х — 5); в) — 3a4xJ#2 2ах + х3 — 1);
б) (14-2а — а2)-5а; г) (х2у'-гху4-ху2 + У3) • Зху2.
119
652. Упростите выражение и найдите его значение:
а) 3 (2х — 1) + 5 (3 — х) при х=—1,5;
б) 25а —4 (За —1)4*7 (5 —2а) при а = 11;
в) 4у —2 (10i/ —1)4*(8{/ —2) при у =—0,1;
г) 12 (2 —Зр)4* 35р—9 (р4* 1) при р = 2.
653. Представьте в виде многочлена:
а) 14&4* 1 — 6 (2 —11b); в) 14 (7х-1)-7 (14х + 1);
б) 25 (2-Зс)4-16 (5с-1); г) 36 (2-у) — 6 (5-2у).
654. Упростите выражение:
а) 14у4-2у(6 — у);
б) 3^-217(5 + 2^;
в) 4х(х—1)—2 (2х2 —1);
г) 5а (а2 —За) —За (а2—5а);
д) 7Ь(4с-Ь)+4с(с-7Ь);
е) — 2у(х3 — 2у) — (x3J7 + 4i/2);
ж) 3/п2 (m + 5n)— 2п (8тп2 — а);
з) 6/п2п3 —а2 (6тп2п + п —1).
в) ах (2х — За)—х (ах + 5а2);
г) — 4m2 (л2 —ш2) + 3л2 (т2 —а2).
655. Представьте в виде многочлена:
а) 6х (х—3) —х (2 —х);
б) — а2 (За —5) + 4а (а2 —а);
656. Найдите значение выражения:
а) —2х(х2—х + 3) + х(2х2 + х —5) при х = 3; —3;
б) х(х—у) — у (у2 — х) при х = 4 и у = 2.
657. Вычислите значение выражения:
а) 5х(2х — 6) — 2,5х(4х — 2) при х=—8; 10;
б) 5а (а — 4Ь)—4Ь (Ь — 5а) при а =—0,6 и Ь=—0,5.
658. Упростите выражение:
а) (За2)2 — а3 (1 — 5а);
«) (-+)’-0(1-26—
в) х (16х — 2х3) —(2х2)2;
г) (0,2с3)2 - 0,01с4 (4с2 -100).
659. С помощью рисунка 51 разъ-
ясните геометрический смысл формулы
а (Ь + с) = ab + ас для положительных
значений а, b и с.
660. Докажите, что выражение
х (2х+1) —х2 (х + 2)-{-(х3 —х-{-3)
при любом значении х принимает одно
и то же значение.
120
661. Докажите, что выражение тождественно равно нулю:
а) а(Ь —с)4-Ь(с—а)4-с(а—&);
б) a (&-J-C —&с)—6 (c-J-a —ac)-f-c (Ь —а).
662. Докажите тождество:
а) х(у — г} — y(x-f-z) + z(x — j/)= — 2yz;
б) а {а — Ь)—Ь(Ъ — d) = a2—b2.
663. Решите уравнение:
а) 5х4-3(х-1)=6х4-11; д) 6 + (2-4х) + 5 = 3 (1 — Зх);
б) Зх - 5 (2 - х) = 54; е) 0,5(2# -1) - (0,5 - 0,2#) +1 = 0;
в) 8(у-7)~3(2у + 9)=15; ж) 0,15 (х-4) = 9,9-0,3 (х-1);
г) 0,6-0,5 (у-1) = у4-0,5; з) 3 (Зх-1)+2 = 5 (1-2х)-1.
664. Найдите корень уравнения:
а) Зх(2х —1) — 6х(7 + х) = 90;
б) 1,5х(3 + 2х) = Зх(х + 1)-30;
в) 5х(12х— 7)-4х(15х-11) = 30 + 29х;
г) 24х —6х(13х—9)= —13—13х(6х—1).
665. Решите уравнение:
а) 3(-2х+1)-2(х+13)==7х-4(1-х);
б) — 4 (5 —2а)4-3 (а —4) = 6 (2 —а) — 5а;
в) Зу (4у —1)—2г/ (бу —5) = 9y —8 (З + у);
г) 15х + 6х(2 —Зх) = 9х(5 —2х) —36.
666. При каком значении переменной:
а) значение выражения 2 (3 — 5с) на 1 меньше значения
выражения 4(1 — с);
б) значение выражения —3 (2x4-1) на 20 больше значения
выражения 8x4-5;
в) значение выражения 5x4-7 в 3 раза меньше значения
выражения 61 —10х;
г) значение выражения 8 — у в 2 раза больше значения
выражения 74-#?
667. Решите уравнение:
a)-f+-f- = 14; г)2г + 3=^; ж) ^ + 1=^;
а а \ 2с 4с - т 1
б)т~Т=б; д)Т“-Т=7; 3)l2—¥=Т-
в) -^ = у — 1; е) -g+-|-+4 = 0;
121
668. Найдите корень уравнения:
а) 6х —5 ==_2x£L1_|_2; г) 4£^11+1з
7 3 1 ’ 7 15 1 20 ’
б) —4 2 1 Зх-1_1; 5 д) = 0;
в) 5х —7 12 н 00 | СП 5? X у 3 —2у_ в) 4 5 = 0.
669. Решите уравнение:
а) 3x4-5 х4~ 1 -I. X бу—1
5 3 15 5 3 *
б) 2р —1 _р±2_р. г\ 12-х 2-х X
6 з р' Г) 4 3 6 ‘
670. Найдите корень уравнения:
а) 1- х-3_ 1-4; в) ^±2-f-3 = т 6 — тп.
2 3 7 4 1 " 6 12 *
а 4-13 2а 3 — а . а . \ г4-1 х — 1 « *4~3
10 5 “ 15 ’ 2 * 9 6 “ 2 ’
671. Решите уравнение:
а) б2±1+5; г)
с __с 4-3.
4 6 *
5а— 1 2а — 3 -«
б) -~Г-=—---
В) 21?~2_ ^9 = 5;
7 7 2
) Зр-1_ 2р + 6_1=0
7 24 36
el 5 1~2х— Зх+20 I х
1 4 6 “Г 3
672. Комплект, составленный из 15 открыток, 10 конвертов
и блокнота, стоит 1 р. 68 к. Конверт в 8 раз дешевле блокнота
и на 2 к. дороже открытки. Сколько стоят открытка, конверт,
блокнот?
673. Периметр треугольника 44 см. Одна из его сторон
на 4 см меньше другой и в два раза больше третьей стороны.
Найдите стороны треугольника.
674. Турист прошел 110 км за три дня. Во второй день он
прошел на 5 км меньше, чем в первый; в третий день он прошел
расстояния, пройденного за два первых дня. Сколько кило-
метров проходил турист каждый день?
675. Три бригады рабочих изготовили за смену 104 детали.
Первая бригада изготовила на 12 деталей меньше, чем вторая,
122
а третья — того числа деталей, которое изготовили первая р
о
вторая бригады вместе. Сколько деталей изготовила каждая
бригада?
676. Применив новый резец, токарь стал обтачивать за один
час на 4 детали больше, чем полагалось по норме, и потому
выполнил дневную норму не за 8 ч, а за 6 ч. Сколько
деталей в 'день должен был обтачивать токарь по норме?
677. Скашивая ежедневно по 60 га вместо 50 га, бригада
сумела скосить луг на один день быстрее, чем планировалось.
Какова площадь луга?
678. Увеличив среднюю скорость прохождения дистанции с
250 м/мин до 300 м/мин, спортсменка стала пробегать > ;
дистанцию на одну минуту быстрее. Какова длина дистанции?
679. От лагеря до привала пионеры шли со скоростью
4,5 км/ч, а возвращались в лагерь со скоростью 4 км/ч,
затратив на обратный путь на 15 мин больше. На каком рас-
стоянии от лагеря был сделан привал?
680. Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед
за ним из пункта В, отстоящего от А на расстоянии 20 км,
выехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч,
а мотоциклист ехал со скоростью 16 км/ч. На каком рас-
стоянии от пункта А мотоциклист догонит велосипедиста?
681. Из пункта А вышла грузовая машина со скоростью
60 км/ч. Через 2 ч вслед за ней из А вышла легковая машина
со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от А легковая
машина догонит грузовую?
Упражнения для повторения
682. Докажите, что равенство является тождеством:
а) (2а3Ь)2 • За2 = За6 (2а&)2; б) (— Ях2#)3 • (— у2)2 = — х3у (2ху2)3.
683. Постройте график функции, заданной формулой
у=-|-х —3. Найдите, при каких значениях х значение у:
а) равно 0; б) меньше 0; в) больше 0.
684. Найдите координаты точек пересечения графиков
линейных функций:
а) у = 5х-{-29 и у=—Зх—11; б) у = 1,2х и у = 1,8х-|-9,3.
123
685. В каких координатных четвертях расположен график
функции:
a) z/=—28х; в) у = 0,05х;
б) у = - 28х + 4; г) у = 0,05х - 2,5?
686. Докажите, что функции, заданные формулами z/ =
= 4(3 —2х)— 5 и z/ = x —9(х —8), являются линейными, а их
графики — параллельными прямыми.
687. Постройте в одной и той же координатной плоскости
графики функций: а) у = х2 и у = 4; б) у = х2 и z/ = 2x. Найдите
координаты точек их пересечения.
30. ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
Каждый член многочлена 6а2Ь4-15Ь2 можно заменить
произведением двух множителей, один из которых равен 35:
6a2b + 15b2 = 3b.2a2 + 3b-56.
Полученное выражение на основе распределительного
свойства можно представить в виде произведения двух
множителей. Один из них — общий множитель ЗЬ, а второй —
сумма 2a2 и 5b:
ЗЬ-2a2 + 3b• 5b = 3b (2a2 + 5b).
Итак,
6a2b 4- 15b2 = 3b (2a2 4- 5b).
Представление многочлена в виде произведения двух или
нескольких многочленов (среди которых могут быть и одно-
члены) называют разложением многочлена на множители.
Такде преобразование используется при решении уравнений,
в вычислениях и в других случаях.
Примененный нами способ разложения многочлена на
множители называют вынесением общего множителя за скобки.
Пусть требуется разложить на множители многочлен
— 15х2у3 — ЗОх3у2 4-45х4у. Члены этого многочлена имеют раз-
личные общие множители: х, у, Зху, — 5х2 и другие. Целе-
сообразно вынести за скобки 15х2у или — 15х2у. Вынесем за
скобки, например, — 15х2у:
— 15х2у3—ЗОх3у24-45х4у= — 15х2у (у24-2ху — Зх2).
Обычно при вынесении общего множителя за скобки
каждую переменную, входящую во все члены многочлена,
124
выносят с наименьшим показателем, который она имеет в
данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена —
целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя
берут наибольший по модулю общий делитель всех коэф-
фициентов многочлена.
Покажем, как вынесение множителя за скобки применяется
при решении уравнений.
Решим, например, уравнение
2х24~Зх = 0.
В выражении 2х24~3х вынесем за скобки множитель х.
Получим:
х(2х + 3) = 0.
Произведение х (2х 4- 3) равно нулю тогда и только тогда,
когда хотя бы один из множителей равен нулю, т. е. когда
х = 0 или 2х4-3 = 0.
Решая уравнение 2x4-3 = 0, находим:
2х=-3,
х= —1,5.
Следовательно, произведение х (2х 4- 3) обращается в нуль
при х = 0 и при х = —1,5, т. е. уравнение 2х24~Зх = 0 имеет два
корня: 0 и —1,5.
688. Разложите на множители и сделайте проверку:
а) тх-\-ту, б) fex —рх; в) — аЪ-{-ас\ г) — та —па.
689. Вынесите за скобки общий множитель:
а) 4 а —4Ь;
б) 12x4-48р;
в) -15а 4-20b;
г) — 6т — 9п;
д) 6х-18;
е) 94-121/;
ж) 12а 4-12;
з) -10-Юс;
и) 7ах + 7Ьх;
к) ЗЬу — 6Ь;
л) —5тп-{-5п;
м) За 4-9а Ь.
690. Разложите на множители:
а) 5у2—15у;
б) Зх4-6х2;
в) а2 4-а; /
г) с—с2- \
д) х3 —х2;
е) а 4-я4;
ж) а3 —а7;
з) с5 4-с2;
и) Зтп24-9тп3;
к) 9р3 —6р;
л) 4с2 — 12с4;
м) 5х5 —15х3<
125
I
691. Представьте в виде произведения:
a) a2 —ab; г) — 6аЬ-{-9Ь2; ж) бтп? -{-8m2n2; J
б) —ху — у2; д) х2у — ху2; з) — 4x2z/2 + 16x3z/3.
в) Smn — 4т2; е) ab — а2Ь2;
692. Вынесите за скобки общий множитель:
fl4x —21у; д) баб-За; и) 7х-14х3;
15а4-1ОЬ; е) 4х—12х2; к) 16у3-|-12у2;
в) ЗаЬ — вас; ж) т4 — т2; 18аЬ3 —9Ь4; i
г) Эха 4-9x5; з) с3 + с4; 4х3у2 — 6х2^3.
693. Найдите значение выражения:
а) 3,28х —х2 при х = 2,28; б) а2у — а3 при а= —1,5 и у = — 8,5.
694. Докажите, что значение выражения:
а) 487 — 486 кратно 47; в) 523 — 521 кратно 24;
б) 248-f-247 кратно 25; г) 2574-513 кратно 30. i
695. Разложите на множители многочлен:
a) х3 — Зх24-х;
б) т2 — 2m3— т4
в) 4а5 —2а3 + а;
г) 6х2—4х34-10х4;
д) 15а3 — 9а24-6а;
е) — 3 m2 — 6 m3 4- 12т3.
696. Представьте в виде произведения:
а) с3 —с4-|-2с5; в) 4х4 4-8х3 — 2х2;
б) 5m4 —т3 4-2m2; г) 5а —5а2 —10а4.
697. Вынесите за скобки общий множитель:
а) За3 —15а2Ь4-5аЬ2;
б) 20х4 — 25xV- 10х3;
в) — 6ат24-9т3 — 12т4;
г) 12а2Ь —18аЬ2—ЗОаЬ3;
д) 4ах34-8а2х2 —12а3х;
е) — Зх4у2 — 6х2у24-9х2у4.
698. Разложите на множители многочлен:
а) 4с4 —6х2с24-8с; в) Зах — бах2 — 9а2х;
б) 10а2х-15а3-20а4х; г) 8а453- 12а2Ь4 + 16а3Ь2.
699. Докажите тождество:
а) а (Ъ — х) 4- х (а 4- 5)=Ь {а 4- х);
б) с (у — 2)4-2 (у+с)=у (с4-2);
в) а(а— 6)4-2аЬ=а(а-|-Ь);
г) х(1 —х)4-х(х2 —1)=х2(х —1).
12.6
700. Решите уравнение:
а) х2 + 8х = 0; в) Зх2—1,2х = 0; д) х—10х2 = 0;
б) 5х2 —х = 0; г) 6х2 — 0,5х = 0; е) 6х— 0,2х2=0.
701. Найдите корни уравнения:
а) 5х24-Зх = 0; в) 6х2 —3,6х = 0; д) 5х2 —0,8х = 0;
б) х2—11х = 0; г) 0,Зх2-Зх = 0; е) 7х2-0,28х=0.
Упражнения для повторения
702. Велосипедист проехал путь АВ со скоростью 12 км/ч.
Возвращаясь из В в А, он развил скорость 18 км/ч и затратил
на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из А в В.
Сколько километров между А и В?
703. Решите уравнение:
а) 9 • 21 — 4х 8х 15 2
704. Известно, что значение выражения а — b при некоторых
значениях а и Ь равно 0,5. Чему равно при тех же а и 6 значение
выражения:
а) Ъ — а; в) (а —Ь)2; д) (а—Ь)3;
б) -1-; г) (Ь —а)2; е) (Ь-а)3?
о — а
§ 12. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
31. УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
Составим произведение многочленов а+& и c-^-di
(a + b) (c + d).
Представим это произведение в виде многочлена. С этой целью
обозначим многочлен а-\-Ь буквой х и воспользуемся правилом
умножения одночлена на многочлен:
(а + Ь) (c + d) = x (e + d) = xc + xd.
В выражение xc-]-xd подставим вместо х многочлен а-{-Ь и
снова воспользуемся правилом умножения одночлена на много-
член:
хс + xd=(а 4- 6) с + (а 4- b) d — ас + be + ad + bd.
127
Итак, (a + b)(c + d) = ac+bc+rad+bd.
Произведение многочленов а-±Ь и c + d мы представили
в виде многочлена ac-}-bc-{-ad-\-bd. Этот многочлен является
суммой всех одночленов, получающихся при умножении
каждого члена многочлена a 4~ Ъ на каждый член многочлена
c + d.
Вообще, произведение любых двух многочленов можно пред-
ставить в виде многочлена.
При умножении многочлена на многочлен пользуются пра-
вилом:
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый _
член одного многочлена умножить на каждый член другого
многочлена и полученные произведения сложить.
Умножим многочлен 4х24~2ху — у2 на многочлен 2x — yz
(4х2 2ху — у2) (2х — у) = 8х3 4- 4х2у — 2ху2 — 4х2у — 2ху2 + у3 =
= 8х3 — 4ху2 + у3.
705. Выполните умножение:
а) (х + тп) (у + п); в) (а — х) (Ь — у);.
б) (а-Ь)(х + у); г) (х + 8)(у-1);
706. Упростите выражение:
а) (х 4-6) (х 4-5); в) (2-у)(у-8);
б) (а - 4) (а 4-1); г) (а - 4) (2а +1);
д) (Ь —3)(а—2);
е) (-а + у)(-1-у).
д) (2у —1)(Зу-|-2);
е) (5х —3)(4—Зх).
707. Представьте в виде многочлена выражение:
а) (тп —п)(х4-с); в) (а4~3)(а — 2); д) (1 — 2а) (За 4-1);
б) (fe-p)(fe-n); г) (5 —х)(4 —х); е) (6тп-3) (2-5тп).
708. С помощью рисунка 52 разъясните геометрический
смысл формулы (а 4- Ь) (с 4~ d) = ас 4~ be -f- ad 4- bd для положи-
тельных а, b, с и d.
709. Запишите в виде многочлена выражение:
\
Т] а) (х2 + у)(х + №);
4 б) (т2 — п) (т2 4- 2п2);
----------------в) (4а24-Ь2) (За2 —Ь2);
*--------------- г) (5х2-4х)(х4-1);
-—-—>1- ° Ч д) (а - 2) (4а3 - За2);
Рис. 52 е) (7р2 — 2р) (8р — 5).
128
710. Выполните умножение:
а) (2х2 — у)(х2 + у); в) (11р2 —9) (Зу —2);
6) (7х2 4- а2) (х2 — За2); г) (5а — За3) (4а — 1).
711. Замените степень произведением, а затем произведение
преобразуйте в многочлен:
а) (хЧ-10)2; б) (1-у)2; в) (За-1)2; г) (5-66)2.
712. Представьте в виде многочлена выражение:
a) (х24-ху-у2)(х4-у);
б) (п2 — пр 4- р2) (п—р);
в) (а 4-х) (а2—ах—х2);
г) (6 —с)(62 — Ъс—с2);
д) (а2-2а4-3)(а-4);
е) (5х—2)(х2 —х—1);
ж) (2 —2x4-х2) (х 4-5):
з) (Зр-4)(у2-у+1).
713. Запишите в виде многочлена:
а) (с2 — cd—d2) (c4-d); в) (4а24-а4-3) (а— 1);
б) (х — у)(х2—ху — у2'); г) (3 —х)(3х24-х —4).
714. Раскройте скобки:
а) (4п2—6пр 4- 9р2) (2п 4- Зр);
г) (7-2а) (4а2 4-4а 4-3);
б) (25х2 4- Юху 4- 4z/2) (5х — 2у); д) (х2—х 4- 2) (Зх2 4- х—2);
в) (-2а2 4-За 4-1) (За-2); е) (5 - 2а 4-а2) (4а2 — За — 1).
715. Запишите в виде многочлена выражение:
а) (х4-1)(х4-2)(х4-3); б) (а-1) (а-4) (а4-5).
716. Упростите выражение:
а) (36 —2) (5 —26)4-662; г) 5634-(а24-56)(а6-62);
б) (7у-4)(2У4-3)-13р; д) (а-б)(а4-2)-(с4-6)(а-2);
в) х3 —(х2 —Зх)(х4-3); е) (х + у)(х—у)4-2 (х4-1)(х4-2).
717, Представьте в виде многочлена выражение:
а) (4х4-1)(1 — 2х)—7х2; в)(х4-3р)(х —у)4-(2р —х)(х4-у);
б) — 6m2 — (m4-4)(3 — m); г) (а — х) (х 4- 4а)—(а 4-х) (х—4а).
718. Найдите значение выражения:
а) (х4-5)(х—2)— (х — 3)(х4-4) при х=2,5;
б) (У — 6)(у — 1) — (у4-3){у4-2) при у— — 0,5;
в) (а—7)(а4-5)4-(в4-8)(а — 6) при а=—7;
г) (64-9)(64-4)4-(6-12)(6—1) при 6=-5.
5 Заказ 890
129
719. Докажите, что при любом значении переменной х:
а) значение выражения (х — 3) (х+7)—(х+5) (х — 1) рав-
но —16;
б) значение выражения х4—(х2—7) (х2+7) равно 49.
720. Решите уравнение:
а) 6х2-(2х-3)(Зх + 2)=2;
б) (10х + 9)х=8-(1-5х) (2х + 3);
в) 12-х(х-3)=(6-х)(хЧ-2);
г) (х+4)(х+1)=х—(х — 2) (2 — х).
721. Найдите корень уравнения:
а) б + х2=(х+1) (х+6);
б) 2х(х—8)=(х+1)(2х-3);
в) (Зх-2)(х+4)-3(х+5)(х-1)=0;
г) х2+х (6 —2х)=(х —1) (2 —х)—2.
722. Докажите, что:
а) при любом натуральном значении п значение выражения
п (га-|-5)—(га—3) (га-|-2) кратно 6;
б) при любом натуральном значении га, большем 2, значение
выражения (га —1) (га+ 1)—(га —7) (га—5) кратно 12.
723. Найдите три последовательных натуральных числа,
если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше
произведения двух остальных.
724. Найдите четыре последовательных натуральных
числа, такие, что разность между произведением двух больших
чисел и произведением двух меньших равна 58.
725. Периметр прямоугольника равен 60 см. Если длину
прямоугольника увеличить на 10 см, а ширину уменьшить
на 6 см, то его площадь уменьшится на 32 см2. Найдите
площадь прямоугольника.
726. Сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон пря-
моугольника и на 2 см больше другой его стороны. Найдите
сторону квадрата, если известно, что площадь квадрата на
30 ем2 меньше площади прямоугольника.
. Уиражнеинндля невтореикя
- 727. Для выволвммн.мвпщовоге задания к определенному
- сроку бригада рабочих дрлжнабыла. изготовлять ежедневно
54'детали. Веревашолвяя план па б.даталей в день, бригада
fise
уже за один день до срока не только м
выполнила плановое задание, но и _I—.
- Л « ° - п
изготовила 18 деталей сверх плана. г*---►
Сколько дней работала бригада? JL-—
728. Тракторная бригада должна р*-------------►
была по плану вспахивать ежедневно phC> 53
112 га целины. Перевыполняя план на
8 га в день, бригада уже за день до срока закончила пахоту.
Сколько гектаров целины нужно было вспахать бригаде?
729. Решите уравнение:
\ х —2__ 2 Зх—2 . gx 2х—5_ x-fr-l
'53 6 * ' 4 3 ’
730. Составьте выражения для вычисления площади фигу-
ры, изображенной на рисунке 53, сначала достроив фигуру до
прямоугольника, а затем разбив ее на два прямоугольника.
Докажите, что полученные выражения тождественно равны.
731. Докажите тождество а (Ь — с) + Ь (с — а)=с (Ь — а).
32. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
СПОСОБОМ ГРУППИРОВКИ
Иногда удается разложить многочлен на множители, ис-
пользуя группировку его членов.
Пусть требуется разложить на множители многочлен
ab — 2Ь4~За—-6. Для этого попытаемся сгруппировать его
члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий
множитель:
ab— 2Ь + За — Ь = (аЪ — 2Ь) + (За — 6).
В первой группе вынесем за скобки множитель Ь, а во вто-
рой — множитель 3:
(аЪ - 2 Ь) + (За - 6) = Ь (а - 2) + 3 (а - 2).
Мы представили многочлен аЪ — 2&-|-За — 6 в виде суммы
Ъ (а — 2) + 3 (а — 2), в которой оба слагаемых имеют общий
множитель а — 2. Вынесем этот множитель за скобки:
& (а-—2)-|-3 (а —2) = (а —2) (Ь + 3).
Итак,
а&-2Ь + За-6==(а-~2)(Ь4-8).
Способ, с помощью которого мы разложили многочлен на
множители, называют способом группировки.
131
Разложение многочлена ab — 26 + За — 6 на множители мож-
но выполнить, группируя его члены иначе:
аб —26 + За—6=(а6 + За)+(—26—6)=
= а (6 + 3)-2 (6 + 3)=
= (Ь + 3)(а-2).
Приведем еще один пример.
Разложим на множители многочлен ac-\-bd—be —ad.
Сгруппируем первый член многочлена с третьим и второй с
четвертым.
В первой группе вынесем за скобки множитель с, а во
второй — множитель — d. Получим:
ac + bd— bc — ad = (ac—bc)+(bd—ad)=
=с (a— b}—d(a—b)=
=(a — b)(c—d).
Заметим, что при группировке слагаемых можно сразу перед
второй скобкой поставить знак «минус» и вынести за скобки
во второй группе множитель d. Получим:
ас + bd — be — ad=(ac — bc)—(ad—bd)—
= с (a— b)—d (а—Ъ)=
=(a-b)(c-d).
732. Представьте в виде произведения выражение:
а) с(х+с)+6(х+с); д) (а+у)—с(а + у);
•б) х(у— 1) — 3(у — 1); е) х2 (х—р)+(х—р);
в) у(а+6)—(а+6); ж) (ш + 3)2— т (т + 3);
г) (Р—«)+6(р—9); з) х(1 — х)—(1 — х)2.
733. Разложите на множители:
а) а(с — 6) + d(6—с); д) (х—у)—а {у—х);
б) x(y-5)-y(5-i/); е) (2а-36)+с(36-2а);
в) За(2х — 7)+56(7 — 2х); ж) 3 (а-2)2—(2—а);
г) 17p(3p-g)-2q(g-3p); з) 2 (3-6)+5 (6-3)2.
734. Решите уравнение, разложив на множители левую
часть:
а) х(2х-1)+(2х-1)=0; в) х (х-2) + 5 (2-х)=0;
б) (6у + 5)-2у(6у + 5)=0; г) у (5у-2)-(2-5у)=0.
132
735. Решите уравнение:
а) 3 (Зх —4) —5х (Зх —4) = 0
б) (6y-7)j/-8(6y-7)=0;
736. Представьте в виде произведения многочленов выра-
жение:
а) х(64-с)4-364-3с; в) р(с—d) + c — d;
б) у (а — с)4-5а—5с; г) а(р — q)+q—р.
737. Разложите на множители многочлен:
a) mx4-my4-6x4-6y;
б) 9x4- ау 4-91/4- ох;
в) 7a — 76 4- an — bn;
г) ac4-6c —2a—26;
738. Разложите на множители:
д) а2—ab — 8а4-86;
е) а6 - 36 4-62 —За;
ж) Их—ху4-Иу —х2;
з) kn — mn-n2-\-mk.
виде произведения многочлен:
г) х24-7х—ах —7а;
д) 3/п — mk-\-2k — k2;
( е) xk — xy — x2 + yk.
в) 4(3-2i/)-3z/(2y-3)=0;
г) 6х(1 + 5х)-(5х+1)=0.
д) ах + ау — х — у,
е) 1 — Ьх — х4-6;
ж) ху-$-2у — 2х — 4;
з) ab — 4а 4-36 —12.
б) у5-у3-у24-1;
в) а4-|-2а3—а — 2;
г) 66-364 —2624-6;
739. Представьте в
a) kp—ky + mp—my;
б) 4а 4- хЬ-\-£Ь-\-ха;
в) тп — mk + xk — хп;
740. Разложите на множители многочлен:
а) х24~ах—а2у— аху; в) 5a3c-f-10a2— 66с—Забс2;
(б) a2n-f-x2 — апх — ах; г) 21а4-8ху3 — 24у2 — 7аху.
741. Найдите значение выражения:
a) p2q2+pq — q3—Р3 при р=0,5 и q— — 0,5;
б) Зх3 — 2у3 — 6х2у2 + ху при х=-|- и у=-|-.
О А
742. Чему равно значение выражения:
a) 2a-f-ac2—а2с—2с при а = 1-|- и с= —1-|-;
О о
б) х2у — у + ху2 — х при х=4 и у = 0,25?
743. Найдите значение выражения:
а) 13,5 • 5,8 - 8,3.4,2 — 5,8 • 8,3 4- 4,2 -13,5;
б) 3,1 • 8,2 4-12,5 • 4,8 4- 3,1.4,3 —12,5 • 6,7.
133
744. Представьте в виде произведения:
а) ас2-ad-]-c3—cd—bc2-]-bd\
б) ах2-\-ау2— Ъх2—by2 + b — a;
в) ап2-]-сп2 —ар + ар2 — ср-^-ср2;
г) ху2 — by2 — ax + ab + y2 — а.
745. Разложите на множители многочлен:
a) x2i/ + x + xi/2 + y + 2xi/4-2; б) х2 — ху + х—ху2 + у3 — у2.
Упражнения для повторения
746. Представьте число з4- в виде десятичной дроби
б
и округлите эту дробь до десятых. Найдите абсолютную
погрешность полученного приближенного значения.
747. Число коров в колхозном стаде возросло на 60 голов,
а в связи с улучшением кормовой базы удой молока от одной
коровы возрос в среднем с 12,8 л в день до 15 л. Сколько
коров стало в стаде, если колхоз стал ежедневно получать на
1340 л молока больше, чем раньше?
748. Применение для перевозки зерна автопоезда (автома-
шины с прицепом) позволило за один рейс перевозить на 4,3 т
зерна больше, чем на одной автомашине. Сколько тонн зерна
перевозит автопоезд за один рейс, если он за 3 рейса перево-
зит на 10,4 т зерна больше, чем одна автомашина за 4 рейса?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
К параграфу 10
749. Найдите значение многочлена х2 — Зху+-~ у2, если
а) х=3, у=—2; б) х=±
А О
750. Приведите подобные члены многочлена:
a) 6mn—5»i2n2-г9тп2—limn4- Ютп24- 5т2п2;
б) 2a3b-db3-l-Z-ab3-a3b-4±-a2b—^-а2Ь.
*3 2 2
751. Приведите к стандартному виду многочлен:
а) Юабс2+23а2Ьв—abc2 — 1Ьа2Ъс 4- аЪс2—2а2Ьс;
б) — 3,6x2yz 4-1,2ху2я — 0,5 хуг2 4- 3 х 2уя—4ху2я 4- хуг2.
752. Найдите значение выражения -|-а2Ь—|-аЬ2—®*Ь4*
+ 2аЬ2—|-а&2, если:
Л
а) а = 8, Ь=— 0,5; б) а =—0,5, & = 4.
753. Расположите многочлен Зах2— 6а3х4-8а2— х3:
а) по возрастающим степеням переменной х;
б) по убывающим степеням переменной а.
754. Какова степень многочлена:
а) 7х3у2 —2х5 + Зху3 —4х2у24-6;
б) — тп2 + 2тп — 8-f-/n6 — Зт3п34-л5;
в) 0,4а3 Ь + ЗаЬ2 —10 4- 0,6а3& - 2аЬ2 - а3Ь;
г) — 3,1ах4 2,бах 4- 2ах4 4- 1,1ах4 — 0,5ах — 2ах?
755. Сложите многочлены:
а) 2х3 — 4х24-7х4-1 и — х34-2х24~3х —5;
б) -10а2 4-ба3 4-За и -6а3-4а4-8а2;
в) 2а4- Ъ — c — d и 4а— 3& —2c4-6d;
г) х2 — у2 -\-х—6 и — х24-2у2 — у — 4.
756. Найдите разность многочленов:
а) 6а34*2а2 — 8а — 9 и 8а3 — а2 — 6а4-1;
б) — 3x4-я3 — 2Х2 и 4х3 —2х2 —4х;
в) 4а —ЗЬ 4-2с и — 6а4-4Ь —2с —2;
г) a2 + b2 — 2аЬ + 1 и 2а24-Ь24-2Ь4-1.
757. Представьте в виде многочлена:
а) (-2х24-«4-1)-(х2-«4-7)-(4х24-2х4-8);
б) (За2 - а 4- 2) 4- (—За2 4- За -1) - (а2 -1);
в) 2а —364-с—(4а4-7&4-с4-3);
г) 2ху — у2+(у2 — ху) — (х2 + ху).
758. Упростите выражение:
а) (1 — х + 4х2 — 8х3)+(2х*4- х2 — 6х — 3) — (5х3 — вх2);
б) (0,5а - 0,6& + 5,5) - (- 0,5а + 0,4&) + (1,3Ь - 4,5).
759. Докажите, что выражение А-}-В —С тождественно
равно выражению С—В —А, если А = 2х —1, В = 3x4-1
и С = 5х.
136
760. Докажите, что:
а) если сложить сумму двух чисел с их разностью, то
получится удвоенное первое число;
б) если из суммы двух чисел вычесть разность тех же
чисел, то получится удвоенное второе число.
761. Решите уравнение:
а) (4-2х) + (5х-3)=(х-2)-(х + 3);
6) 5 — Зу —(4 — 2z/)= г/ — 8 —(г/ — 1);
в) 7-1-1-а+(А.а-б-|-)=2а+-|—(fа);
г) - 3,6 - (1,5х +1) = - 4х - 0,8 - (0,4х - 2).
762. Найдите четыре числа, пропорциональные числам
2, 4, 5 и 6, если разность между суммой двух последних
и суммой двух первых чисел равна 4,8.
763. Если к задуманному числу приписать справа нуль и
результат вычесть из числа 143, то получится утроенное заду-
манное число. Какое число было задумано?
764. Если к данному числу приписать справа цифру 9
и к полученному числу прибавить удвоенное данное число, то
сумма будет равна 633. Найдите данное число.
765. Если к данному трехзначному числу слева приписать
Цифру 8 и к полученному четырехзначному числу прибавить
619, то сумма будет в 40 раз больше данного трехзначного
числа. Найдите это число.
К параграфу 11
766. Преобразуйте произведение в многочлен:
а) За5Ь4(а10—а7Ь3 + Ь10);
б) — 2х8у5 (Зх2—5xz/ + z/2);
в) (х4+7xV — 5у4) • (—0,2xz/2);
Г) 1 6sc+2 &зсз_ 2Л(_з0Ьсзх
767. Решите уравнение:
а)5(„+1.)-3_4(3г_А); д)
6) 7 (2у—2) —2 (Зу —3,5)=9; еч 2х-14 Зх-1 х-2 п
в) 11,2 (5х-1)=36-3(13,4-7х); ' 3 6 2
г) 19,4 (2-5х)=40 + 5 (9х-11,6);
136
768. В одном сосуде было в 1,5 раза больше жидкости,
чем в другом. Из первого сосуда вытекало за секунду 125 см3
жидкости, а из второго 48 см3. Сколько жидкости было в каж-
дом сосуде, если известно, что через 1 мин 20 с во втором со-
суде осталось на 0,56 л жидкости больше, чем в первом?
769. В одном сосуде было на 9 л меньше жидкости, чем
во втором. В первый сосуд вливалось за секунду 240 см3 жид-
кости, а во второй 108 см3. Сколько жидкости было в каждом
сосуде, если известно, что через 1 мин 40 с в первом сосуде
стало в 1,2 раза больше жидкости, чем во втором?
770. Из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью
72 км/ч. Через 45 мин вышел поезд из В в А со скоростью
75 км/ч. Расстояние между А и В равно 348 км. На каком
расстоянии от В поезда встретятся?
771. Из пункта М в пункт N вышел пассажирский поезд,
проходящий в час 70 км. Через 30 мин навстречу ему из N вы-
шел скорый поезд со скоростью 90 км/ч. Расстояние MN равно
515 км. Через сколько часов после выхода из N скорый поезд
встретится с пассажирским?
772. Из города М в город 2V, находящийся на расстоянии
64 км от М9 одновременно выехали^ две грузовые автомашины
со скоростями 56 км/ч и 60 км/ч. Через сколько часов после
отправления вторая машина окажется вдвое ближе к N, чем
первая?
773. Мотоциклист выехал из пункта А в пункт В. Если
он будет ехать со скоростью 35 км/ч, то приедет в В на 2 ч
позже намеченного срока; если же будет ехать со скоростью
50 км/ч, то приедет в В на 1 ч раньше срока. За сколько вре-
мени наметил мотоциклист проехать расстояние от А до В?
774. Катер, идя по течению реки 5 ч, проходит столько
же километров, сколько он проходит за 6 ч 15 мин против
течения реки. Найдите скорость катера в стоячей воде, если
скорость течения реки равна 2,4 км/ч.
775. Бакенщик, гребя по течению, успевает проплыть за
3 ч такое же расстояние, какое он может проплыть за 3 ч 40 мин
против течения. Найдите скорость течения, если скорость лод-
ки в стоячей воде равна 5 км/ч.
776. Колхоз должен был провести сев за 14 дней. Перевы-
полняя план, колхозники засевали в день на 30 га больше, чем
предполагалось по плану, и уже за 4 дня до срока им
137
к
L
оставалось засеять только 20 га. Сколько гектаров должен был
засеять колхоз?
777. На строительстве ГЭС укладчики бетона не только вы-
полнили 10-дневное задание, но и, перевыполняя норму на
450 м3 в день, уже за 1 день до срока уложили на 800 м3 бетона
больше, чем предполагалось по плану. Сколько кубометров
бетона уложат строители за 10 дней?
778. Чтобы закончить сев в срок, колхоз должен был засе-
вать в день 73 га. Перевыполняя план, колхозники засевали
в день на 14 га больше, чем предполагалось по плану, и
уже за 2 дня до срока им оставалось засеять только 6 га.
Сколько гектаров должен был засеять колхоз?
779. Найдите значение выражения:
а) 5сх-|-с2 при х = 0,17, с = 1,15;
б) 4а2 — ab при а = 1,47, 5 = 5,78.
780. Решите уравнение:
а) 1,2х24-х = 0; в) 0,5х2 —х = 0; д) 1,6х2 = Зх;
б) 1,6х + х2 = 0; г) 5х2 = х; е) х = х2.
781. Представьте в виде произведения:
а) ат + ат + '; в) 4хя+24-20хя; д) ап62я + апЬп;
б) 5хя'+3 + 10х3; г) ут + 2 — у; е) 15х2я + ‘ — 25хп + >.
782. Вынесите за скобки множитель:
а) (За + 6)2; в) (ах + ау)2; д) (5g — ЗО)3;
б) (126 —4)2; г) (- Зр + 6)3; е) (2а -8)4.
783. Докажите, что:
а) 710 —79 —78 делится на 41;
б) 109 +108 +107 делится на 222;
в) 257 —512 делится на 120;
г) 817 —279 —913 делится на 45.
784. Докажите, что значение выражения а2 — а кратно 2
при любом целом а.
785. Если к целому числу прибавить его квадрат, то полу-
ченная сумма будет четным числом. Докажите.
786. Докажите, что если к двузначному числу прибавит^
число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то по-
лученная сумма будет кратна 11.
138
787. Сумма двух последовательных натуральных степеней
числа 3 кратна 12. Докажите это.
К параграфу 12
788. Представьте в виде трехчлена выражение:
а) (х-2) (5 + х); в) (10-г) (г-4); д) (5с + 2) (2с-1);
б) (У + 7) (у -11); г) (За + 4) (8 - а); е) (Зп - 2) (1 - 4п).
789. Упростите выражение:
а) (х-2)(х + 3) + (х4-2)(х-3);
б) (!/-1)(у + 2) + (1/ + 1)(у-2);
в) (а +1) (а + 2)+(а+ 3) (а 4-4);
г) (с-1)(с-2)4-(с-3)(с-4).
790. Докажите, что:
а) (х4-а)(х4-5)=х24-(а4-6)х4-оЬ;
б) (y — a)(y — b')=y2 — (a + b)y + ab.
791. Представьте в виде многочлена выражение:
а) (х2 — х4-4)(х — 5); д) (х24-х —l)(2x®—х4-4);
б) (2у—1) (у24-5у —2); е) (-5а24-2а4-3)(4а2-2а4-1);
в) (2 —За) (—а24-4а—8); ж) у (у — 3) (у4-2);
г) (3 —4с) (2с2—с—1); з) (с-4) (с 4-2) (с 4-3).
792. Докажите, что выражение тождественно равно
двучлену:
а) (х4-у)(х2 — ху + у2); в) (а 4-5) (а3—a2b-\-ab2 — Ь3);
б) (х—y)(x24-xi/4-y2); г) (а —Ь)(а34-а2Ь + аЬ2-|-&3).
793. Упростите:
а) (а2-7)(а-Ь2)-(2а-1)(а-14);
б) (2- &)(14-2Ь)4-(1 + Ь)(63- 35);
в) 2х2—(х —2у)(2х4-у);
г) {т — Зп) (т 4- 2п) — т (т — п).
794. Решите уравнение:
а) (х4-1)(х-|-2)-(л-3)(х4-4)=б;
б) (Зх- 1)(2х+7)-(х+1)^х-Ъ)=1б;
в) 24-(Зу4-1)НУ-5)=(И-6у)(2р-7);
г) <6У7Р2>(5-у)=47-<2у-3)^-1).
f 139
795. Представьте в виде многочлена:
а) сумму многочлена х34-7х24“8 и произведения много-
членов х2 — 6x4-4 и х —1;
б) разность произведения многочленов а2 -{-7а — 4 и а —3
и многочлена a3-f-4a2—-29a-f-ll.
796. Упростите выражение и найдите его значение при
указанных значениях переменных:
а) 126г/34-(х“5у)(х24-25у24-5ху) при х=—3, г/=— 2;
б) + (т2 — 2тп — л2)(т — п) при 3, п = 4.
797. Докажите, что значение выражения не зависит от зна-
чения переменной:
a) (a-3)(a2-8a + 5)-(a-8)(a2-3a + 5);
б) (х2 -3x4-2) (2х + 5) - (2х2 4- 7х 4-17) (х - 4).
798. Докажите, что:
а) сумма пяти последовательных натуральных чисел
кратна 5;
б) сумма четырех последовательных нечетных чисел
кратна 8.
799. Найдите четыре последовательных натуральных числа,
если известно, что произведение первых двух из этих чисел на
38 меньше произведения двух следующих.
800. Докажите, что:
а; произведение двух средних из четырех последовательных
целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел;
б) произведение двух крайних из четырех последователь-
ных нечетных чисел на 8 меньше произведения двух средних
чисел.
801. Сторона квадрата на 2 см больше одной из сторон
прямоугольника и на 5 см меньше другой. Найдите площадь
квадрата, если известно, что она на 50 см2 меньше площади
прямоугольника.
802. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ши-
рину увеличить на 5 см, то получится квадрат, площадь
которого будет больше площади прямоугольника на 40 см2.
Найдите площадь прямоугольника.
803. Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину
увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то его площадь
увеличится на 30 м2. Определите площадь первоначального
прямоугольника.
140
804. Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его дли-
ну уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь
прямоугольника уменьшится на 8 см2. Найдите площадь
первоначального прямоугольника.
805. Найдите значение выражения:
а) а2+аЬ — 7а — 7Ъ при а = 6,6, 6 = 0,4;
б) х2 — ху — 4х + 4у при х = 0,5, у = 2,5;
в) 5а2 — бах —7а 4-7х при а = 4, х=—3;
г) xb — хс + Зс — 36 при х = 2, 6 = 12,5, с = 8,3;
д) ау — ах — 2х + 2у при а = — 2, х = 9,1, у = —6,4;
е) Зах —46у —4ау4*36х при а = 3, 6 =—13, х= —1, у =—2.
806. Разложите на множители многочлен:
а) а3—2а24-2а—4; д) а26 —62<?+а2с—6с2;
б) х3—124-бх2—2х; е) 2х3+ху2—2х2у —у3',
в) с4—2с2+с3 —2с; ж) 16а62—10с3-|-32ас2—562с;
г) — у6—у8+у4+у3; з) ба3 —21а26 + 2а62—763.
807. Докажите тождество
(а2 -f- 62) (ab + cd)—ab (а2 4- 62 — с2 — d2)=(ас + bd) (ad 4- 6с).
808. При каком значении а многочлен стандартного вида,
тождественно равный произведению (х24-х — 1) (х—а), не
содержит: а) х2; б) х?
809. При каком значении 6 многочлен стандартного вида,
тождественно равный произведению (х2 — 10x4-6) (2x4- Ь)г
а) не содержит х2;
б) имеет равные коэффициенты при х3 и при х?
810. Представьте в виде произведения:
a) ma — mb + na — nb+pa—pb;
б) ах— bx—сх+ау — by — су;
в) х24-ах2 — у—а#4-сх2 — су;
г) ах2 — 2у — 6х24-ау4-2х2 — by.
-j
ГЛАВА
V
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
§ 13. РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ
33. УМНОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ
НА ИХ СУММУ ~
Умножим разность а —& на сумму а + &:
(а — Ь) (а + Ь)=а2 4- ab — ab — b2 = a2 — Ь2.
Значит,
(а—&)(а + &) = а2-Ь2.
(1)
Произведение разности двух выражений и их суммы равно
разности квадратов этих выражений.
Тождество (1) является одной йз формул сокращенного
умножения. Эта формула позволяет сокращенно выполнять
умножение разности выражений на их сумму. Например:
(5х3 - Зу2) (5х3 + Зу2) = (5х3)2 - (Зг/2)2 = 25х6 - 9/.
811. Представьте в виде многочлена произведение:
а) {х — у) (х 4- у); д) (х4-3)(х —3);
6) (р 4" «)(₽—«); е) (1 — с) (14-с);
в) (& — а) (Ь4*в); ж) (2х — 1)(2х4-1):
г) (р - 7) (р 4- 7); з) (4 + 5р) (5р - 4);
и) (п — 3m) (3m 4-н);
к) (2а-ЗЬ)(ЗЬ4-2а);
л) (8c4-9d)(9d-8c);
м) (10х-7р)(10х4-7р).
812. Выполните умножение:
а) (х2 - 5) (х2 4- 5);
б) (а2 4-3) (а2-3);
в) (4 4" J/2) (f/2 — 4);
г) (9-&2)(Ь24-9);
д) (- т2 4- 8) (т2 4- 8);
е) (п24-1)( —п24-1);
ж) (а3 — Ь2) (а3 4-&2);
з) (с4 4-d2) (d2 — с4);
,и) (5х2 — 2у2) (5х2 4- 2у2);
к) (10p3-35)(3Q + 10p3);
л) (12а4 — 7х)( — 12а4 — 7хц‘
м) ( —р —15&5) (у —15&5).
142
813. Представьте
а) (у—4) (у+4);
б) (й+1)(1-а);
в) (7х-2) (7x4-2);
г) (8Ь-|-5)(5-8&);
в виде многочлена:
д) (Зх2—1)(Зх24-1);
е) (4у34-5)(4/-5);
ж) (12с2-7а2)(7а24-12с2);
з) (-Ир44-9)(Ир44-9).
814. Выполните умножение:
а) (0,7х4-у2)(0,7х-у2);
б) (1,3а2-0,1) (1,3а2 4-0,1);
В)(1-Ас1)(1+Ас.);
-) (1“,+1)(4->^
д) (0,8Ь2 —1) (14-0,8b2);
е) (1,4с 4-1,7«/3) (1,7у3-1,4с)
д) (Ь-2)(Ь4-2)(Ь24-4);
е) (3-/(3+ /(9 + /);
ж) (а2 4-1) (а 4-1) (о—1);
з) (с4+1)(с24-1)(с2- 1).
815. Выполните вычисления:
а) (100-1) (100 4-1); в) 74-66; д) 1002-998;
б) (804-3) (80 — 3); г) 201-199; е) 1,05-0,95.
816. Найдите значение произведения:
а) 52-48; в) 6,01-5,99; д) 17,3-16,7;
б) 37-43; г) 2,03-1,97; е) 29,8-30,2.
817. Представьте в виде многочлена:
а) 2(х-3)(х4-3);
б) У (*/4" 4) (у — 4);
в) 5х(х-|-2)(х-2);
г) -За(а4-5)(5-а);
818. Упростите выражение:
а) 2Х2- (х4-1)(х — 1); в) (3ab-1) (За&4-1)-8а2Ь2;
б) 5b24-(3 — 2b) (34-26); г) (0,8х 4- у) (0,8х — у) 4- 0,36х2.
819. Докажите, что квадрат любого целого числа на еди-
ницу больше произведения предыдущего и последующего
целых чисел.
820. Упростите:
а) (л-у) (х4-У)(л24: /-); в) (3m-2) (3m 4-2) 4-4;
б) (2а 4- Ъ) (4а2 -|- Ь2) (2а - Ь); г) 25»4 - (7 4- 5п2) (7 - 5п2).
821.Упроетнте выражение:
а) (л—2)(х4-2)—х(х4-5); в) (4х—а)(4х4-а)4-2х(х—а);
б) m(m-4)4-(3-m)(34-m); . г) 2в(в-|-Ь)-(2а4-Ь)(2а-Ь).
143
822. Представьте в виде многочлена:
а) (Зтп — а)(3тп + а)— (2а4-т) (За — тп);
б) (х — 4у)(х + 2у) + (х — 3у)(3у + х);
в) (5а —Зс)(5а-|-Зс) —(7с—а)(7с-}-а);
г) (45 + 10с) (10с- 45)4- (- 5с + 25) (5с 4-25).
823. Упростите выражение:
а) 5а(а —8) —3(а4-2)(а —2);
б) (1 — 45) (45 4-1)4-65 (5-2);
в) (8р —?)(q4-8p) —(p4-g)(p —д);
г) (36с —1) (с 4~7) —(6с —1)( 14-6с).
824. Решите уравнение:
а) 8т (1 4-2m) — (4m4-3) (4m — 3) = 2m;
6) x-3x(l-12x) = ll-(5 —6x)(6x-|-5).
825. Найдите корень уравнения:
а) (6х-5)(6х4-5)-4х(9х4-2)= -1;
б) (8 — 9р) р = — 40 4-(6 — Зр) (6 4-Зр).
Упражнения для повторения
826. Запишите в виде выражения:
а) произведение разности чисел 19 и 9 и их суммы;
б) сумму квадратов чисел 15 и 25;
в) квадрат суммы 5 и с;
г) куб разности а и 5.
827. Прочитайте выражение:
а) 2(х + у); в) (Ь + у)2; д) х2 —а2;
б) 2ху\ г) (а —Ь)2; е) а3 + Ь3.
828. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:
а) 4х4; в) Збтп6; д) 9а4Ь2;
б) 0,25а4; г) а2Ь4; е) 0,1бх6у4.
829. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 1020 км,
отправились одновременно навстречу друг другу два поезда,
причем скорость одного была на 10 км/ч больше скорости
другого. Через 5 ч поезда, еще не встретившись, находились
на расстоянии 170 км друг от друга. Найдите скорости поездов.
144
34. РАЗЛОЖЕНИЕ РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ НА МНОЖИТЕЛИ
Поменяем местами в тождестве (а—Ь) (а + 6) = а2 — Ь2 правую
и левую части. Получим:
а2 — Ь2=(а—Ь) (а-|-Ь).
Это тождество называют формулой разности квадратов.
Разность квадратов двух выражений равна произведению
разности этих выражений и их суммы.
Формула разности квадратов применяется для разложения
на множители разности квадратов любых двух выражений.
Разложим, например, на множители двучлен 49л2—16у®.
Представив этот двучлен в виде разности квадратов и применив
формулу а2 — Ь2=(а — Ь) (а + й), получим:
49х2 — 161/6 = (7х)2—(4 г/3)2 = (7х — 4 г/3) (7х 4- 4 г/3).
830. Представьте многочлен в виде произведения разности
И суммы:
а) х2—у2; г) т2 — 1; ж) р2 — 400; к) ь2- О *
б) с2—z2; Д) 16 —Ь2; з) у2-0,09; ' л) 9 16 п2;
в) а2-25; е) 100 — х2; и) 1,44 — а2; м) 25 49 Р2
831. Разложите на множители:
а) 25х2 — у2-,
б) — /п24-16п2;
в) 36а2 —49;
г) 64 —25х2;
д) 9/п2 — 16га2; и) 9 — 62с2;
е) 64р2—81g2; к) 4а2й2—1;
ж) —49а2+16Ь2; л) р2—а2Ь2;
з) 0,01п2—4/п2; м) 16c2d2—9а2.
832. Представьте в виде произведения:
а) х2—64; г) — 81-f-25y2; ж) х2у2—0,25;
б) 0,16 —с2; д) 144й2 —с2; з) c2d2 — а2;
в) 121 — т2; е) 16х2—49 г/2; и) а2х2 —4у2.
833. Вычислите:
a) 472 —372; в) 1262 — 74V
б) 532 —632; г) 21,32 —21,22;
834. Найдите значение дроби:
36 . gs 792 —652 .
132—И2’ ’ 420 ’
д) 0,8492—0,1512;
532—27г .
792—512 ’
53г —32*
612—44* ’
146
835. Найдите значение выражения:
а) 412—312; в) 2562—1562; ч 262—122. \ 632— 272
б) 762—242; г) 0,7832— 0,2172; Д' 542-1б2 : eJ 832 - 792 '
836. Разложите на множители:
а) х4—9;
б) 25 —п6;
в) т8—а2;
г) у2—р4;
д) с6—d6;
е) х6 —а4;
ж) Ь4—у10;
з) т8—п6;
и) а4— Ь4;
к) с8 — d8;
л) а4—16;
м) 81 — Ь4.
837. Решите уравнение:
а) х2—16 = 0; б) г?—81 = 0;
в) х2—|-=0; г) а2—0,25 = 0.
838. Представьте в виде произведения:
а) с6 —9х4;
б) 100z/2—а8;
в) 4х4 —25&2;
г) а*Ь2— 1;
д) 0,36-х4/;
е) 4а2—Ь6с2;
ж) 16т6у2—9п4;
з) 9х8у4— 100z2;
и) 0,81p6g4—0,01х2.
839. Разложите на множители:
а) 64 —р4; г) 25/п6 —п2;
б) х2—с6; д) 1- 49р’°;
в) а4—Ь8; е) 4у6—9а4;
ж) 64—а4Ь4;
з) 16Ь2с’2- 0,25;
и) 81xV-0,36а2.
840. Решите уравнение:
а) 4х2-^9 = 0; б) 25х2-16=0.
841. Решите уравнение:
а) т2—25 = 0; б) х2-36=0; в) 9х2-4 = 0; г) 16х2-49=0.
842. Представьте выражение в виде произведения:
а) (х+3)2-1; в) (4а—З)2—16; д) (5р-6)2-81;
б) 64-(5Ч-1)2; г) 25—(а + 7)2; е) 1-(2х-1)2.
843. Разложите на множители:
а) 9у2-(1 + 2р)2; в) 49х2-(у+8х)2; д) (-2а2 +Зй)2-4а4;
б) (Зе-б)2-^; г) (5<-3»2-25а2; е) Ьв-(х-4&3)2.
844. Предвтавьте в виде вровзведения:
а) (24—5)2—36; в) (4-11т)2-1; д) (5e-3d)2-9d2;
б) 9-(7 + За)2; г) >»-|2р4-1)2; . е) а4-^**2)2-
14В
845. Докажите, что при любом натуральном п значение
выражения: а) (п-{-7)2 — п2 делится на 7; б) (4n-f-5)2 — 9
делится на 4.
Упражнения для повторения
846. Запишите в виде выражения:
а) квадрат суммы 5х и 3; в) квадрат разности т и 2л;
б) сумму квадратов 1 и 4а; г) разность квадратов Зх и Ту.
847. Со станций М и N, расстояние между которыми
380 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда.
Скорость поезда, отправившегося со станции N, была больше
скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч после отправления
расстояние между поездами составляло 30 км. Найдите ско-
рости поездов.
§ 14. КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ
35. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ
СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ВЫРАЖЕНИИ
Рассмотрим еще две формулы сокращенного умножения.
Возведем в квадрат сумму а-{-Ь. Для этого представим вы-
ражение (а Ь)2 в виде произведения (а -f- Ь) (а + 6) и выполним
умножение:
(а+ Ь)2 = (а-|-Ь) (а + Ь) = а24-аЬ4-аЬ-{- Ь2 = а24-2аЬ + Ь2-
Значит,
(а + Ь)2 = а2 + 2аЬ4-Ь2. (1)
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого
выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго
выражений, плюс квадрат второго выражения.
Тождество (1) называют формулой квадрата суммы. Эта
формула позволяет упрощать возведение в квадрат суммы двух
выражений. Например,
(8х + Зу)2 = (8х)2 + 2 • 8х • Зу + (Зу)2 = 64х2 + 48ху + 9у2. >
Рассмотрим теперь квадрат разности а — Ъ. Так как
разность а — Ъ можно представить в виде суммы а-{-( — Ь),
тс по формуле квадрата суммы имеем:
(а-Ь)2 = (а4-(-^2=ха2-|-2а(-д) + (“-Ь)2 = а2-2аЬ + &2.
1^7
Значит,
(а-Ь)2=а2—2а& + &2. (2)
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого
выражения, минус удвоенное произведение первого и второго
выражений, плюс квадрат второго выражения.
Тождество (2) называют формулой квадрата разности. Эта
формула позволяет упрощать возведение в квадрат любой
разности. Например, (10а —7д2)2 = (1Оа)2 —2-1Оа-7д2 + (7д2)2 =
= 100а2 - 140ад2 + 49Ь4.
Заметим, что тождество (2) можно получить и умножением
а — Ъ на а — Ь по правилу умножения многочлена на
многочлен.
848. Представьте в виде многочлена:
а)(* + у)2; в)(Ь4-3)2; д) (у —9)2; ж)(а + 12)2; и) (д-11)2.
6) (р-д)2; г) (10 —с)2; е) (9-у)2; з) (15-х)2;
849. Преобразуйте в многочлен:
a) (m-f-n)2; в) (а —25)2; д) (0,2 —х)2;
б) (c-d)2; г) (40 4-Ь)2; е) (* + 0,5)2.
850. С помощью рисунка 54 разъясните геометрический
смысл формулы (а+д)2 = а2+2ад + д2 для положительных
значений а и д.
851. Докажите тождество:
а) (х—у)2 = (у—х)2; б) (-а-&)2=(а +&)2.
852. Преобразуйте в многочлен:
а) (-х + 5)2; б) ( —z —2)2; в) (-п + 4)2; г) (-т-10)2.
853. Представьте в
виде многочлена квадрат двучлена:
а) (2х+3)2; д) (-15-2с)2;
б) (5х—2у)2; е) (8* + 10)2;
в) (7у—б)2; ж) (5у—За)2;
г) (-9а + 46)2; з) (11х-7у)2;
и) (0,1а—20)2;
к) (- 1-|гР4-6д) ;
л) (- 0,8х — 0,5b)2;
м) (0,08а — 50)2.
148
854. Преобразуйте в многочлен квадрат двучлена:
а) (Их—у)2; г) (8х — Зу)*; ж)(0,2р —10g)2;
б) (За + 10&)2; Д)(-Ь»4-4«)2; з) (За + 2,5Ь)2;
в) (6m 4-п)2; е) (баЧ-у&р и) (0,8х —0,1у)2.
855. Используя формулу квадрата суммы или формулу
квадрата разности, вычислите:
а) (100 +1)2; в) 612; д) 9992; ж) 9,92;
б) (100-I)2; г) 1992; е) 7022; з) 10,22.
856. Заполните таблицу, округлив значения выражения
(14-х)2 до сотых:
X 0,02 0,05 -0,06 0,08
(1+х)2
14- 2х
857. При вычислении квадратов чисел, близких к единице,
вместо формулы (14“ а)2 = 14“ 2а 4- а2 используется прибли-
женная формула (14-а)2«14“ 2а. Какова абсолютная по-
грешность приближения, найденного по этой формуле? Для
каких значений а эта формула дает приближение с точностью
до 0,01?
858. Пользуясь формулой (l-J-a)2 «14~2а, найдите при-
ближенное значение выражения:
а) (14-0,01)2; в) 1,052; д) 0,972;
б) (1 —0,02)2; г) 1,0052; е) 0,9992.
Вычислите абсолютную погрешность приближения.
859. Преобразуйте в многочлен:
а) (х2 —5)2; г) (а2 —За)2; ж) (4у3—0,5у2)2;
б) (Зр—д3)2; д)(-|-х34-6х) ; з) (1-|-а5 + 8а2) ;
в) (5у3-2х2)2; е) (с2-0,7с3)2; и) (0,66-60Ь2)2.
860. Представьте в виде многочлена:
а) (а2—26)2; в) (7а6+12а)2; д) (Зу+8у5)2;
б) (х3 + Зу4)2; г) (15х—х3)2; е) (4а3—11а2)2.
149
861. Упростите выражение:
а) (12а —I)2 —1; в) 121-(11 9х)2;
б) 24а6 —(2а4-6&)2; г) а2Ь2—(а&4-7)2.
862. Представьте в виде многочлена:
а) 18а + (а —9)2; в) 4х2 — (2х—З)2;
б) (5х—I)2—25х2; г) (а-2Ь)2—462.
863. Упростите выражение:
а) (х—3)2 + х(х + 9); г) а4+81-(а2-9)2;
б) (2а+ 5)2-5(4а+5); д) (х + 2)(х-2)+(х+4)2;
в) ь2 + 49 - (6-7)2; е) (у — Ю) (у — 6)—(у — 8)2.
864. Упростите выражение:
а) (а+З)2 + (а - З)2; в) (4х + 5)2- 2х (8х +1);
б) (2х 4-5)24-(5 — 2х)2; г) 96 (6-1)-(364-2)2.
865. Наедите значение выражения:
а) (а4-8)2 — (а — 4)(а4-4) при а=0,6; —5;
б) (у 4-12)2- (у 4-16) (у 4- 4) при у =-17,5; 3,5.
866. Упростите выражение и найдите его значение:
а) (х—10)2—х(х4-80) при х=0,97;
б) (2х4~9)2—х (4x4-31) при х=—16,2.
867. Решите уравнение:
а) (х—6)2 —х(х4-8)=2; в) у (у — 1)—(у — 5)2 = 2;
б) 9х(х4-6)-(Зх4-1)2 = 1; г) 16у (2-у)+(4у-5)2 = 0.
868. Найдите корень уравнения:
а) (х—5)2—х2=3; в) 9х2 — 1 — (Зх—2)2 = 0;
б) (2у4-1)2—4у2=5; г) х4-(5х4-2)2 = 25(14-х2).
869. Представьте в виде многочлена выражение:
а) 7 (4а -1)2; г) а (а+9ft)2; ж) (а4- 2) (а-1)2;
б) —3(5р—х)2; д)—6(6—6с)2; з) (х — 4)(х-Н?)2;
в) —10 (-у 6 4-2) ; е) х(х24-5х)2; и) {у— 1)2(у—3).
870. Преобразуйте в мюточлен выражение:
а)5(Зо4-7)2; в) у(х4-2у)2; д) (х4-1)2(х-4);
б) —6(4-6)2; г) -р(р-5,4)2; е) (ft-f-a)(6-с)2.
871. Преобразуйте в многочлен выражение:
а) (р-3)2(р + З)2; в) (а - 5)2(5+а)2;
б) (У + 4)2(у — 4)2; , г) (х+4)2(4-х)2.
872. Докажите тождество:
а) а2Ь2 = (а b)2 — 2аЬ; в) (av|-b)2 + (a — b)2 = 2 (а2+ Ь2);
б) (а-|-Ь)2—4аЬ=(а —Ь)2; г) (а-|-b)2 — 2Ь (а + Ь)=а2—Ь2.
873. Используя тождество (а 4- Ь)2 = а24-2аЬ4*Ь2 и прави-
ло умножения многочленов, выведите формулу куба суммы
(a + b)3=а3 + 3a2b -|- ЗаЬ2 -|- Ь3.
_ Z
Пользуясь доказанным тождеством, преобразуйте в многочлен
выражение:
a) (2x4-у)3; б) (а4-ЗЬ)3.
874. Выведите формулу куба разности:
(a=r b)3=a3 — 3a2b 4- ЗаЬ2 — Ь3.
875. При каком значении х:
а) квадрат двучлена х4~1 на 120 больше квадрата дву-
члена х —3;
б) удвоенное произведение двучленов x-j-2 и х—2 меньше
суммы их квадратов на 16?
Упражнения для повторения
876. Принадлежат ли графику функции, заданной форму-
лой у = 0,02х2, точки А (15; 4,5), В (-2,05; -0,12), С (50; 50)?
877. Не выполняя построения, найдите координаты точек
пересечения графика функции у = 0,24х-{-6 с осями координат.
878. Постройте в одной и той же координатной плоскости
графики функций у = х2 и у= — х 4- 6 и найдите координаты
точек пересечения этих графиков.
879. Решите уравнение:
а) 2x-^=-f-6; б) 14-*±1=х-^±А.
880о Найдите корень уравнения:
а) 6=i*zzl.2,4; б) 0,69 13,8.
2 8
161
36. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ
КВАДРАТА СУММЫ И КВАДРАТА РАЗНОСТИ
Формулы квадрата суммы и квадрата разности дают воз-
можность не только упрощать возведение в квадрат суммы
и разности, но и раскладывать на множители выражения
вида а2 + 2аЬ-|-Ь2 и а2 —2аЬ-|-62.
Действительно, поменяв местами в этих формулах левую
и правую части, получим:
a2 -f- 2ab 4- Ь2 = (а + Ь)2,
а2 — 2аЬ 4- Ь2 = (я — Ь)2.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Разложим на множители трехчлен 9х2-|-
4-30x4-25.
Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения
Зх, третье — квадрат числа 5. Так как второе слагаемое равно
удвоенному произведению Зх и 5, то этот трехчлен можно
представить в виде квадрата суммы Зх и 5:
9x24-30x4-25 = (3x)24-2.3x-54-52 = (3x4-5)2.
Пример 2. Разложим на множители многочлен
а2-20аЬ24-Ю0Ь4:
а2 —20аЬ24“Ю0Ь4 = а2 —2-а-10Ь24-(10Ь2)2 = (а — 10Ь2)2.
881. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:
а) х24-2ху4-у2; в) а24-12а4-36; д) 1 — 2z4-z2;
б) Р2—2pg4-g2; г) 644-16Ь4-Ь2; е) п24-4п4-4.
882. Разложите на множители:
а) 9х2 —24ху + 16у2; д) 49 + 9а2 — 42а;
б) 25Ь2 + 10Ь + 1; е) 0,25х2 + 10ху + 100у2;
в) 121а2 — 44ах + 4х2; ж)4с^ + 25с2 + д,16</2;
г) -^-т2 + 2тп + 4п2; з) 9р2 —pq-±~q2.
4 оО
883. Замените звездочку таким одночленом, чтобы полу-
ченное выражение можно было представить в виде квадрата
двучлена:
а) Ь24- 2064-*; в) 16х2-|-24ху-|-*;
б) *4-14у4~49; г) *--42pg-|-49g2.
162
884. Преобразуйте трехчлен в квадрат двучлена:
а) 81а2— 18а& + Ь2; г) 100х24*у2 + 20ху;
б) 1 + у2— 2у; д) &24-4а2 —4аЬ;
в) 8аЬ-|- 62+ 16а2; е) 28ху4-49х24-4у2.
885. Найдите значение выражения:
а) у2—2^4-1 при 1/ = 101;
б) 4х2—20x4*25 при х=12,5;
в) 25а2 4* 49 4* 70а при а=4,4;
г) 60&4- 1ОО&24-9 при Ь=1,7.
886. Представьте выражение в виде квадрата двучлена,
если это возможно:
а) 4х2 4-12x4-9; г) 100Ь24-9с2-60Ьс;
б) 25а2-30аЬ4-9Ь2; д) 49х24-12ху-64у2;
в) р2 — 2р-|-4; е) 81у2—16z2 — 72yz.
887. Преобразуйте выражение в квадрат двучлена:
а) х4 — 8х2г/ + 16г/2; г) /4—1-/4~;
О 57
б) *^-а24-2аЬ2-|-4&4; д) а2х2—2аЬх4*62;
в) b6-f-b3-j—е) 9y24-c2d24“6cdy.
888. Представьте в виде квадрата двучлена выражение:
а) 4а6—4а3Ь2+Ь4; в) 0,01х4 + у2—0,2х2у;
б) Ь8 — a2b4-f~a4; г) 9х8-{-4у2 — 12х4у.
Упражнения для повторения
889. Докажите, что функции, заданные формулами
у = 4 (3 —2х) — 5 и у = х—8 (х — 8), являются линейными, а их
графики — пересекающимися прямыми. Каковы координаты
точки пересечения этих прямых?
890. Представьте в виде куба одночлена выражение:
а) 27а3; в) 8Ь6; д) -27а3х6;
б) —8m3; г) — 64р6; е) 64а6х9.
891. Запишите в виде выражения:
а) куб суммы х и 5; в) сумму кубов 2а и 1;
б) куб разности 7 и т; г) разность кубов Зх и 2у.
153
$ 15. СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ
37. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ,
ПРИВОДЯЩИЕ К СУММЕ И РАЗНОСТИ КУБОВ
Умножим сумму а-}-Ь на выражение а2 — ab-f-b2:
(а+ Ь) (а2 — ab + b2) = а3 — a2b + ab2 a2 b — ab2 + Ь3 = а3-\- Ь3.
Мы получили тождество
(а + Ь) (а2 - аЬ + Ь2) = а3 + Ъ3.
Выражение a2-ab-]-b2 напоминает трехчлен a2-2ab-[-b2,
который равен квадрату разности а и Ь. Однако в этом выра-
жении вместо удвоенного произведения а и Ъ стоит просто их
произведение. Выражение вида а2 —ab-f-b2 называют непол-
ным квадратом разности.
Полученное тождество представляет собой формулу сокра-
щенного умножения суммы двух выражений на неполный
квадрат их разности.
Произведение суммы двух выражений и неполного квад^
рата их разности равно сумме кубов этих выражений.
Пример 1. Представим в виде многочлена произведение
(ти + Зл) (тл2 —Зтпл + Эл2).
Так как первый множитель есть сумма выражений m и Зл,
а второй — неполный квадрат их разности, то данное произ-
ведение равно сумме кубов этих выражений:
(тл + Зл) (тп2 “-Зтпл-{-9п2) = т3 -{-27л3.
Преобразуем теперь в многочлен произведение разности
а—Ъ и выражения а2-\-аЪ-\-Ь\ которое называют неполным
квадратом суммы а и Ь:
(a—b) (a2H~ab + b2) = a34-a2b-{-ab2 — a2b — ab2— Ъ3~а6 — Ь3.
Мы получили тождество
(а—Ъ) (а2 + аЪ-г-Ъ2)~а3-~Ъ3.
Это тождество представляет собой формулу сокращенного
умножения разности двух выражений на неполный квадрат
их суммы.
Произведение разности двух выражений и неполного
рата их су&мы равно разности ъубов этих выражений.
154
Пример 2. Представим в виде многочлена выражение
(х — 5у) (х2 + 5ху + 25у2).
Это выражение является произведением разности двух
одночленов и неполного квадрата их суммы. Поэтому
(х — 5у) (x2-j- 5xj/4-25z/2)=x3— 125у3.
892. Преобразуйте произведение (х +10) (х2 — 10х +100)
в многочлен: а) по правилу умножения многочлена на много-
член; б) по формуле сокращенного умножения.
893. Запишите в виде многочлена произведение:
а) (zn-j-n) (тп2— mn^n2);
б) (c-d)(c2 + cd+d2);
в) (р+5)(р2-5р+25);
г) (У -2) (у2 + 2J/ + 4);
д) (х — 1)(х2 + «+1);
е) (а+1)(а2—а 4-1);
ж) (4 + с) (с2 — 4с +16)
з) (3-Ь) (Ь2 4-364-9).
894, Представьте в виде многочлена:
a) (1 + z) (1 —з + г2); в) (3 — т) (9 4-3m 4-иг2);
б) (*-7\(49 + 7fe + fe2); г) (44-6) (й2- 4k 4-16).
895i Упростите выражение:
а) (а4-56)(а2-5а&4-2562); г) (26—1) (4624-264-1);
б) (2у — х}(4у2 + 2ху + х2); д) (34-2х) (9 —6х4-4х2);
в) (m2-4/nn + 16n2)(m + 4n); е) (25 + 15а + 9а2)(5-За).
896. Представьте в виде многочлена:
а) (х — Зу)(х24-3ху4-9у2); в) (4у4-1) (16у2—4у4-1);
б) (2Ь4-а)(462-2аЬ + а2); г) (3 —2с) (9 4-6с 4-4с2).
897. Упростите выражение:
а) 4- у) (х2—ху 4- у2)+(х—у) (х2 4- ху 4- у2);
б) (m—n) (m*4- 4- n2)—(m 4- я) (я*2—лгп 4- п2).
898. Найдите значение выражения:
а) (х4-4)(х2—4x4-16)—64 при х= — 0,5;
б) 13—(х — 3) (х2 4" Зх 4” 9) при »= — 1;
в) (х4~2)(х2—2x4-4)—(х24-8) при х=0,1;
г) х3—(х—1)(х24-*4- 1)4-5* при х=0,6.
899. Найдите зиачешм выражения:
а) 10—(у 4-2) (у2—2у4-4) ириу=—2;
б) (т2 4--4»» 4-16)4”» — 4) ~ t”*3+Зт) ири_/п—0,8.
>55
Упражнения для повторения
900. Турист рассчитал, что если он будет идти к железно-
дорожной станции со скоростью 4 км/ч, то опоздает к поезду
на полчаса, а если он будет идти со скоростью 5 км/ч, то при-
дет на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстоя-
ние должен пройти турист?
901. Проходит ли график функции у = x4-f-x3 — x2-{-x--1
через точку:
а) А (-2; 2); б) В(-1; -3); в) С(3; 101); г) D (-3; 41)?
38. РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ СУММЫ И РАЗНОСТИ КУБОВ
Поменяем в тождестве (а4~ Ь) (а2 — ab 4- Ь2) = а3 4- Ь3 места-
ми левую и правую части. Получим:
а3±Ь3 = (а + Ь) (а2-аЪ + Ъ2).
Это тождество называют формулой суммы кубов.
Сужлса кубов двух выражений равна произведению суммы
этих выражений и неполного квадрата их разности.
Формула суммы кубов применяется для разложения на
множители суммы кубов любых двух выражений.
Пример 1. Разложим на множители многочлен 27х34-у3.
Данный многочлен можно представить в виде суммы кубов
двух выражений:
27 х3 + у3 = (Зх)3 + у3.
Применив формулу суммы кубов, получим:
(Зх)3 4- у3 = (Зх 4- у) (9х2 — Зху 4- у2).
Итак,
27х3 4- у3=(Зх 4- у) (9х2—Зху 4- у2).
Аналогично может быть получена формула разности кубов.
Поменяв местами в формуле (а — Ь) (а2 4- я Ь 4- Ь2) = и3 — Ъ3 ле-
вую и правую части, будем иметь:
а3-Ь3 = (а-Ь) (а2 + аЬ + Ь2).
Разность кубов двух выражений равна произведению раз-
ности этих выражений и неполного квадрата их суммы.
Пример 2. Разложим на множители многочлен тп6—п3.
Представим данный многочлен в виде разности кубов двух
выражений и, применив формулу, получим:
тп6 — п3 = (тп2)3 — п3=(тп2— п) (тп4 4- т2п 4- п2).
156
902. Разложите на множители многочлен:
а) х3 + у3; в) 84-а3; д) *3+1;
б) т3—п3; г) 27 —у3; е) 1 —с3.
903. Примените формулу суммы кубов или формулу раз-
ности кубов:
a) c3—d3; в) х3 —64; д) у3—1;
б) Р34-д3; г) 125+а3; е) 1 + 63.
904. Представьте выражение в виде суммы или разности
кубов и разложите его на множители:
а) 8х3—1; в) 8—|-а3; д) 125а3 — 6463;
б) 1 + 27у3; г) 64т3+1000; е) 27х3 + 125у3.
905. Разложите на множители:
а) 8—ш3; в) 64х3-|-1; д) т3 — 27п3;
б) с34-27; г) 1 —8р3; е) ±а3+Ъ3.
О
906. Запишите в виде произведения выражение:
a) x3 — y6i в) т9 — п3; д) а6+&9;
б) ав+Ь3; г) р3-|-Л9; е) х9—у9.
907. Разложите на множители:
а) с3 + &в; б) а9-6е; в) х6-8; г) 27 +у9.
908. Запишите в виде произведения:
а) — х3 + у3; в) -в6+-|-; д) с6+1;
б) — 8—р3; г) —-~&6; е) х6 + рв.
909. Представьте в виде произведения:
а) а3Ь3— 1; в) 8 —а3с3; д) х6у3 + с3;
б) l + x3z/3; г) /п3п3 + 27; е) а3 — т3п9.
910. Докажите, что значение выражения:
а) 327э+1733 делится на 500;
б) 7313—6313 делится на 100.
911. Делится ли значение выражения:
а) З83 + 873 на 75; б) 993 - 743 на 25?
167
Упражнения для повторения
912. От деревни до станции велосипедист ехал со скоростью
15 км/ч, а обратно он возвращался со скоростью 10 км/ч.
Найдите расстояние от деревни до станции, если известно, что
на обратный путь велосипедист затратил на 1 ч больше, чем
на путь от деревни до станции.
913. Из пункта А связной доставил донесение в пункт
В за 30 мин. На обратном пути он уменьшил скорость на
1 км/ч и затратил на дорогу 36 мин. Определите, с какой ско-
ростью шел связной из А в В.
39. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СПОСОБОВ РАЗЛОЖЕНИЯ
НА МНОЖИТЕЛИ
Для разложения многочлена на множители иногда при-
ходится применять несколько способов.
Пример 1. Разложим на множители многочлен
18х3+ 12x2-f-2x.
Все члены многочлена имеют общий множитель 2х. Вы-
несем этот множитель за скобки:
18х3 +12х2 + 2х = 2х (9х2 + 6х +1).
Трехчлен 9х24-6х-{-1 можно представить в виде квадрата
суммы Зх и 1. Поэтому
2х (9х2 + 6х +1) = 2х (Зх +1)2.
Итак,
18х3 + 12х2 4- 2х = 2х (Зх +1)2.
Пример 2. Разложим на множители многочлен
ab3 — ЗЬ3 + аЬ2у — ЗЬ21/.
Сначала вынесем за скобки общий множитель Ь2:
ab3 — ЗЬ3 + ab2y — 3b2y = b2 (ab-3b-\-ay — 3y\
Попытаемся теперь разложить на множители многочлен
ab — ЗЬ + ау — Зу.
Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвертым,
будем иметь:
ab — 3b + ay — 3y — b (а — 3) + у (а —3) = (а — 3) (Ь + у).
Окончательно получим:
ab3 — 3b3 + ab2y — ЗЬ2у = Ь2 (а —3) (Ь-\-у\
158
Пример 3. Разложим на множители многочлен
а2 — 4ах—9+4х2.
Сгруппировав первый, второй и четвертый члены много-
члена, получим трехчлен, который можно представить в виде
квадрата разности:
а2—4ах —9-|-4х2 = (а2 —4ax-f-4x2)—9=(а —2х)2—9.
Полученное выражение можно разложить на множители
по формуле разности квадратов:
(а - 2х)2 - 9=(а - 2х)2 - З2=(а - 2х - 3) (а - 2х 4- 3).
Следовательно,
а2—4ах —9-f-4x2=(a —2х—3) (а — 2x4-3).
914. Разложите на множители многочлен:
а) 5х2 —бу2; в) 7Ь2—63; д) а3—а;
б) ат2—ап2; г) —9-|-9р2; е) 2х—2х3.
915. Представьте в виде произведения многочлен:
а) х2 —х4; в) 81х —х3; д) р4 —16;
б) у3 —у5; г) — г/5 + 4г/3; е) а4 —64.
916. Выполните разложение на множители:
а) тих2 —ту2; в) 4&3— Ь; д) х4—1;
б) 6а2-24; г) а4 —62; е) 81-а4.
917. Разложите на множители:
а) Зх24-6ху4-3у2; г) 6p2-|-24g24-24pg;
б) -m2+2m-l; д) 46 4-30а 4-5а2;
в) -4х+4+х2; е) — 24х+18х2+8.
918. Представьте в виде произведения многочлен:
а) 4х3—4у3; г) х®—1; ж)х5 —х2;
б) 7а3+7Ь3; д) 14-а*; з) у3 + у6;
в) am3—an3; е) у*—х*; и) 27m2—m5.
919. Выполните разложение на множители:
а) 2m2-4m4-2; б) 364-24*4-4х2; в) 8»3-8Ь3; г) 9x®4-9y3.
920. Разлежите на мнежители:
а) 4ху4-12у—4я—12; в) — аЬв—бое—4a Ь—20а;
б) 60 4-баб-39>-12а; г)
921. представьте в виде произведения:
а) 45&4-6а—ЗаЬ — 90; в) ас4—с4 4- ас3—с3;
б) — 5ху—40у — 15х —120; г) х3—х2у + х2—ху.
922. Разложите на множители:
а) х2 — у2 — х — у; г) k2—k—p2—p;
б) а2 —Ь2—а4-6; д) с — d2+c2—d;
в) т-|-п-|-т2 — п2; е) 4m2 — 2т-}-п — п2.
923. Представьте в виде произведения:
а) х2—у24-х+у; в) р4-р2-«—92;
б) а— Ь+а2— Ь2; г) c2 + d — d2 + c.
924. Выполните разложение на множители:
а) х2— 2хс+с2—d2; г) с2+2с-{-1—а2;
б) ш24-2ху — х2 — у2; д) р2 — х24-6х—9;
в) а24-Ь2 —с24-2лЬ; е) х2—а2—10а — 25.
925. Разложите на множители:
а) х2 + 2ху+у2 — т2\ в) Ь2—с2 — 864-16;
б) р2—а2—2аЬ— Ь2; г) 9—с24-а2 — 6а.
926. Представьте в виде произведения:
а) аЬ2 — а —Ь34-6; в) х34-х2у —4у — 4х; 1
б) 6х24-262—63 —2х2; г) х3— 3у24-3х2 — ху2. |
927, Выполните разложение на множители:
а) а3-|-а2—аЬ2— Ъ2; б) 9n-$-m3 — т2п — 9т.
928. Решите уравнение:
а) х34-3х2—4х—12 = 0; в) у3 — 6у2 = 6 — у;
б) 2т3 — т2— 18/п4-9 = 0; г) 2а34-За2 = 2а + 3.
929. Решите уравнение: \
а) х3 — 2х2-х4-2 = 0; в) 2у3- у2-32у4-16=0;
б) у3—у2=16у —16; г) 4х3—Зх2 = 4х —3.
930. Докажите, что значения многочлена х3 —х при целых .
значениях х кратны числу 6.
931. Докажите тождество
а3- 1 = (а- 1)(а4-1)(а24-1)(а4 + 1).
160
Упражнения для повторения
932. Упростите выражение и найдите его значение при
указанном значении переменной:
а) (6х—1) (6x4-1) —(12х —5) (Зх+1) при х = 0,2;
б) (5 + 2х)2-(5 + Зх) (5-Зх) при х=—3.
933. Является ли корнем уравнения х4 4~ 5х2 — 6 = 5х (х2 — 1)
число: 0; —1; 1; 2; 3; —2?
934. Покажите, как примерно расположен в координатной
плоскости график функции:
а) у=— 0,9х+4; б) у = 2,3х; в) у=-^; г)у=—9.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
К параграфу 13
935. Представьте в виде многочлена:
а) (х2-И)(114-х2); г) (Ь7 + 3)(-Ь7 + 3);
б) (у2+10) (-10 + у2)-, д) (-с6-8)(с6-8);
в) (а5-1) (а5 + 1); е) (d9-5) (-5-d9).
936. .Вычислите:
a) 1005-995; в) 0,94-1,06; д) 10^-9-у-; е) 99-|-100-|-.
б) 108-92; г) 1,09-0,91;
937. Представьте в виде многочлена:
а) 5у (у2 - 3) (у2 + 3); в) (а4 - 3) (а4 + 3) (а8 + 9);
б) — 8х (4х — х3) (4х*+ х3); г) (1 — Ь3) (1 + 53) (1 + 56).
938. Упростите выражение:
а) (а + 2)(а —2) —а (а —5); в) (5-4)(& + 4)-(5-3)(5 + 5);
б) (а—3)(а + 3)+а(7 —а); г) (& + 8) (5-6)-(5-7) (Ь + 7);
д) (с-1)(с + 1) + (с-9)(с + 9);
е) (с + 5) (с —5)—(с —10) (с + 10).
939. Докажите, что значение выражения не зависит от
значения переменной:
' а) (х-8)(х + 8)-(х —12)(х + 12);
в) 4а2 + (2а2 — 5а) (5а + 2а2) + (а2 — 5) (1 — 4а2).
6 Заказ 890
161
940. Разложите на множители.:
а) 1 — а2Ь2; г) 0,09х6 —0,49у2; ж) 1-|-х2—-j^y2;
б) 4х2у4 —9; д) 1,21а2 —0,36b6; з) 0,01а2&4 —1;
в) —0,64 4-х4; е) 2-1-Ь2—|-с2; и) — 9m24-l,44n6.
941. Найдите значение дроби:
ч 382 —172 . -х 39,52 — 3,52 . , 17,52 —9,52
’ 722—162 ’ ’ 57,52 —14,52’ 131,52 — 3,52"
942. Представьте в виде произведения:
а) х10—1; г) 36 —Ь4у6; ж)0,01х16 —0,16;
б) у12-16; д) 25p4g4-1; з) 1,69j/14 — 1,21.
в) а2х8 —81; е) — 9-|-121m8n8;
943. Разложите на множители:
а) (х —5)2 —16;
б) (Ь4-7)2-9;
в) 25-(3-х)2;
г) 81- (а + 7)2;
д) (5х—12)2 —х2;
е) Збр2 —(5р—З)2;
944. Докажите, что
ж) (7х-4)2-(2х4-1)2;
з) (п —2)2 —(Зп4-1)2;
и) 9(а4-1)2-1;
к) 4-25 (х-3)2;
л) 9(х+5)2-(х-7)2;
м) 49 (у — 4)2 — 9 (у 4-2)2.
при любом натуральном п значение
выражения:
a) (n-{-1)2 —(n —I)2 делится на 4;
б) (2п4-3)2—(2п — I)2 делится на 8;
в) (Зп-{-1)2 — (Зп — 1)2 делится на 12;
г) (5п-{-1)2 —(2п —I)2 делится на 7.
К параграфу 14
945. Представьте в виде многочлена
а) (Ах + 9)!;
б)
в) ( — 2а 4—;
Г) (-Зх—|-у) ;
д) (5ху —0,8у2)2;
е) (0,4а 4- 10аЬ)2;
ж)(3а2-5а5)2;
з) (8ху4-3у2)2;
и) (а3Ь3 —I)2;
к) (24-х4у2)2;
л) (х6—Зху2)2;
м) (у8 —2х4у)2.
946. Преобразуйте в многочлен выражение:
а) (0,7х3у —2ху3)2; в) (0,2р3у 4- О.Зрд3)2;
б) (4Л--1-r)(4»c’+4»V)!.
162
947. Представьте в виде многочлена выражение:
a) (2m3n4*0,3/nn4)2; в) (0,1а6&4-0,2аЬ6)2;
б) (-|-а462—|-аб) ; г) (-|-х5у2—|-х/)2-
948. Преобразуйте в многочлен:
а) (х— 5)24-2х (х — 3);
б) (y+8)2-4i/(y-2);
в) (а - 4) (а+ 4) 4-(2а-I)2;
г) (5 —3)(Ы-3)-(Ь + 2)2;
д) (2а —5)2—(5а—2)2;
е) (3&-1)®+(1 — 36)2;
ж) (2х 4-1)2 - (х 4- 7) (х - 3);
з) (3y-2)2-(i/-9)(y-3).
949. Представьте в виде многочлена:
a) (x4-y4-l)(x4-F —1);
б) (тга4-и —3)(т4-и4-3);
в) (а-Ь-5)(а-64-б);
г) (c-d4-8)(c-d-8);
д)(р+2д-3)(р-2д-3);
е) (а —3x4-6) (а 4-3x4-6).
950. Докажите тождество
(а 4- & 4- с)2 = а2 4- Ь2 4- с2 4- 2а Ь 4- 2ас 4- 2Ьс.
951. Представьте в виде многочлена:
а) ((а+Ь)2)2; б) (а-5)4.
952. Докажите, что значение выражения не зависит от х:
а) (х 4- 7)2 - (х - 5) (х 4-19); б) (х - 9)2 4- (8 - х) (х4- 26).
953. Найдите значение выражения:
а) (2у—с)2 4- (у 4- 2с)2 при с =1,2 и у = — 1,4;
б) (За —2&)2—(2а —Ь)2 при а = 1,35 и Ь=-0,65.
954. Решите уравнение:
а) (х-7)24-3 = (х-2)(х4-2);
б) (х4-6)2-(х — 5)(х4-б)=79;
в) (2х —З)2 —(7 —2х)2 = 2;
г) (5х —I)2 —(1 —Зх)2=16х (х —3).
955. Докажите, что функция, заданная формулой
у=(2х —5)(34-8х)—(1 — 4х)2, линейная. Принадлежит ли гра-
фику этой функции точка А (—1; 10); точка В(0; 16)?
956. Разложите на множители:
а) Ь2 4-105 4“ 25; в) 16х2 —8x4*1; д) х44- 2х2у-\-у2\
б) с2-8с4-16; г) 4с24*12с4*9; е) а®-6а3624-9&4.
6*
163
957. Представьте в виде квадрата двучлена или в виде
выражения, противоположного квадрату двучлена:
а) а4 —8а216; г) c4d2 +1— 2c2d; ж) z/ —z/2 —0,25;
б) — 4 — 4b — b2; д) а6Ь24-12а3Ь4-36; з) 9 —m+^m2;
в) 10х —х2 —25; е) х4-1-|-^-х2; и) -25-2п-0,04п2.
4
958. Представьте многочлен в виде суммы квадратов двух
выражений:
а) х2 — 2ху + у2 + а2;
б) 4x2-J-z2 — 4х-|-1;
в) а2 + b2 +14- 2а;
г) 9Ь2-6Ь + 4с2+1;
д) х2 4-2х + 2;
е) а24-2аЬ4-2Ь24-2Ь4-1;
ж) х2 —4xi/4-/4-х2/4-1;
з) х2 4-/4-2x4- бу 4-10.
К параграфу 15
959. Представьте в виде многочлена:
а) (Зр+5) (9р2- 15р-{-25>1: в) (10x + 3z/V100x2-30xz/-H9z/2);
б) (4Ь2-|-2Ь4-1)(2Ь-1); г) (16а24-20аЬ4-25Ь2)(4а-5Ь).
960. Преобразуйте в многочлен выражение:
а) (За3— 1)(9а64-За34-1); г) (2Ь — с2).(4Ъ24-2Ъс24-с4у,
б) (7х24-2)(49х4 — 14х24-4); д) (а5 —ЗЬ6')(а,04-За5Ь64-9Ь12);
в) (Ь24-5) (254- Ь4-5Ь2); е) (Ь34-с10) (Ь64-с20-Ь3с10).
961. Упростите выражение:
а) (х 4- 4) (х2 -4x4-16) + (х — 4) (х2 + 4х +16);
б) (а — 1) (а2 + а +1) —1) (а2 — я4-1);
в) (у 4- 2) (у2 - 2у 4- 4) - (у - 5) (у2 + 5у 4- 25);
г) (2р - 3) (4р2 + 6р 4- 9) 4- (р 4- 3) (р2 - Зр 4- 9).
962. Докажите тождество:
а) (а2 4- Ь2) (а4 -а2Ь2± Ь4) - (а3 - Ь3) (а3 4- Ь3)=2 Ь6;
б) (а — Ь) (а 4- Ь) (а2 —аЬ4-Ь2) (а2-|-аЬ4-Ь2)=а6 — Ь6.
963. Упростите выражение:
а) (2х — у) (4х2 4- 2ху 4- у2) — (х 4- 5/ (х2 — 5ху -|- 25/);
б) (За - Ь) (9а2 4- ЗаЬ 4- Ь2) - (а -|- 2Ь) (а2 - 2ab -|- 4Ь2).
964. Найдите значение выражения:
а) (р4-5)(/ —5у4-25) —у(/4-3) при у=—2;
б) а2 (а 4-4)—(а 4-2) (а2—2а 4-4) при а = 3;
164
в) х(*4~3)2 — (х—l)(x2 + « + l) при х= — 4;
г) (2р —1)(4р24-2р4-1) —р(р—1)(р+1) при р=1,5.
965. Разложите на множители:
а) 0,027х3+1; в) d3 4-0,008с3;
б) у&—0,001х3; г) 125 —0,064р3.
966. Представьте в виде произведения:
а)-§-У12; б) -х'5+^’ в) 3-|-а154-Ь12; r)l-gxI8+i/3.
967. Докажите, что значение выражения:
а) 4134-193 делится на 60; в) 663-{-343 делится на 400;
б) 793 —293 делится на 50; г) 543 — 243 делится на 1080.
968. Выведите формулу разности кубов из формулы
суммы кубов.
969. Представьте в виде произведения:
а) (х4-1)34-х3; в) (а —b)3-|-b3; д) 27а3 — (а — Ь)3;
б) (у-2)3 — 27; г) 8х34-(х—у)3; е) 1000 + (6-8)3.
970. Разложите на множители выражение а6 — Ьъ, пред-
ставив его в виде разности:
а) кубов двух выражений;
б) квадратов двух выражений.
971. Разложите на множители:
а) 2,1а2 —2,1b2; г) 7а34-7Ь3; ж) 2,5а6-2,5b6;
б) 1,7а24-1,7b2; д) 2а4 —2b4; з) 1,2а6 4-1,2b6;
в) 1,1а3-1,1b3; е) 5а44-5b4; и) За8-3b8.
972. Преобразуйте в произведение выражение:
а) 9с15—с13; б) х22—-^х20; в) а5 —0,64а2; г) у7 — 1-|-у5.
973. Представьте в виде произведения:
а) 2х8— 12х44-18; в) а4Ь4-6а2Ь34-9Ь5;
б) — 2а6 —8а3Ь —8Ь2; г) 4х-|-4ху64-ху12.
974. Разложите на множители:
a) 70a-84b4-20ab-24b2; в)12г/~9х24-36 —Зх2г/;
б) 21Ьс2 — 6с — Зс34-42Ь; г) ЗОа3—18а2Ь —72Ь-|-120а.
165
975. Преобразуйте в произведение:
а) За3 — ЗаЬ2 4- а2Ь — Ь3; в) Зр—2с3—Зс3р-|-2;
б) 2х — а2у — 2а2х + у; г) а4 — 24 + 8а — За3.
976. Разложите на множители:
а) х2 — у2 —1,5 (х—у); г) р2 — 16с2 — р—4с;
б) х2 —а24-0,5 (х4-а); д) а24-6а4-66— Ь2;
в) 4а2—62—2а4-6; е) х2 — 7х^-7у — у2.
977. Представьте в виде произведения:
а) х2 (х 4* 2 г/) — х — 2г/; в) а3 — 5а2 — 4а 4- 20;
б) р2(2у-5)-8г/ + 20; г) х3 - 4х2 - 9х 4-36.
978. Разложите на множители:
а) а2—624-2 (а4-Ь)2; в) 2 (х — г/)2-|-Зх2 — Зг/2;
б) 62— с2 —10(6 — с)2; г) 5а2— 5 — 4(а-|-1)2.
979. Преобразуйте в произведение выражение:
а) х24-<г24-2ху —1; д) 1 — 25х2 + 10ху — у2;
б) а2-|-62 —2а6 —25; е) 62-а2-12а-36;
в) 36—62 —с24~26с; ж) 81а24-66с—962 —с2;
г) 49 —2ах —а2 — х2; з) 62с2 —46с—62—с24-1-
980. Разложите на множители:
а) х3 + у3 + 2ху (х + у); г) р3 —2р24-2р—1;
б) х3 — у3 — 5х(х2-|-ху4-у2); ' д) 8634-6624-364-1;
в) а3— 634-5а26 — 5а62; е) а3 —4а2 4-20а —1^5.
981. Представьте в виде произведения:
а) х34-у34-2х2 —2XJ/4-21/2; в) а44-а63 — <а36 — 64;
б) а3— 634-За24-За64-З62; г) х44-х3? — ху3—у4.
ГЛАВА
VI
СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ уравнении
§ 16. УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
И ИХ СИСТЕМЫ
40. УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ЕГО ГРАФИК
Пусть требуется найти два числа, разность которых
равна 5. Если первое число обозначить буквой х, а второе бук-
вой у, то соотношение между ними можно записать в виде ра-
венства х — у = 5.
Равенство х — у — 5 содержит две переменные. Такие ра-
венства называют уравнениями с двумя переменными или
уравнениями с двумя неизвестными.
При х = 8, у = 3 уравнение х — у —5 обращается в верное
равенство 8 — 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных
х = 8, у = 3 является решением этого уравнения. Пара х=3,
у = 8 не обращает уравнение х — у = 5 в верное равенство,
значит, не является его решением.
Определени е.^ Решением уравнения с двумя пере-
менными называется пара значений,переменных, обращающая
это уравнение в верное равенство.
Пару х = 8, у = 3, являющуюся решением уравнения
х —-у = 5, можно записать так: (8; 3). При такой записи необ-
ходимо знать, значение какой из переменных стоит на первом
месте, а какой — на втором. В записи решений уравнений
с переменными х и у на первое место ставят значения х, а на
второе место — значения у. Например, решениями уравнения
х — у = 5 служат также пары: (12; 7), (5,2; 0,2), ( — 2; —7),
(3,8; -1,2).'
^Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же
решения, называются равносильными.
Уравнения с двумя переменными обладают такими же
свойствами, как и уравнения с одной переменной.^ уравне-
167
нии слагаемые можно переносить из одной его части в другую,
изменив знаки этих слагаемых; ^обе части уравнения можно
умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.
При этом получаются уравнения, равносильные исходному.
Чтобы найти решения уравнения
Зх + 2у = 8, (1)
можно подставить в него вместо х произвольное число,
например 3. Получим уравнение с одной переменной у:
3 • 3 + 2z/ = 8. Решив его, найдем, что у= —0,5. Пара (3; —0,5) —
решение уравнения Зх-{-2у = 8.
Для отыскания решений уравнения (1) удобно выразить
одну переменную через другую. Выразим, например, пере-
менную у через х. Для этого перенесем слагаемое Зх в правую
часть уравнения, изменив его знак:
2у=—Зх-Ь8. (2)
Разделив обе части этого уравнения на 2, получим:
!/=-1,5х + 4. (3)
Уравнение (3) равносильно уравнению (2), а уравнение
(2) — уравнению (1). Поэтому уравнение (3) равносильно урав-
нению^!).
По формуле 1/=—1,5х + 4 можно найти сколько угодно
решений уравнения Зх-|-2у = 8. Например, если х = 2, то
у= —1,5-2 + 4 = 1; еслих= —0,4, то у— —1,5-(—0,4)4~4 = 4,6.
Значит, уравнение (1) имеет бесконечно много решений.
Каждое решение видаДх; у) уравнения с двумя перемен-
ными можно изобразить в координатной плоскости точкой
с координатами х и у. Все такие точки образуют график урав-
нения. На рисунке 55 показан график уравнения х2 —у = 0.
Этот график — парабола. Действитель-
но, уравнение х2 — у = 0 равносильно
уравнению у —х2, а формулой у = х2 за-
дается функция, графиком которой яв-
ляется парабола.
Графики уравнений весьма разнооб-
разны. На рисунках 56 и 57 изображе-
ны графики уравнений Х2 + у2=1,
х2 + У2)2 = 2(х2 — у2), у = х3 + х2, х3 + у3 —
Зху = 0.
168
982. Является ли пара чисел х=1-|- и у = 4-|- решением
уравнения х-{-у = 6? Укажите еще два решения этого
уравнения.
983. Пары значений пере-
менных х и у указаны в таб-
лице:
X -5 -4 -3 -1 0 3 4 5
У 0 3 4 1 -5 4 -3 0
Какие из них являются решениями уравнения:
а) х2 + у2 = 25; б) х2 —z/2 = 7?
984. Какие из пар (-2; -10), (0; 10), (2; 4) и (3; 2,5)
являются решениями уравнения ху + у = 10?
985. Составьте какое-нибудь уравнение с двумя перемен-
ными, решением которого служит пара чисел:
а) х = 2, у = 4,5; б) х= — 1, у = 2.
169
986. Найдите три каких-нибудь решения уравнения:
a) uv = 6; б) 2р— 3g = 5.
987. Из уравнения 2и 4-^ = 4 выразите: а) переменную v
через и; б) переменную и через v.
988. Выразите из уравнения переменную у через х.
Используя полученную формулу, найдите три каких-либо
решения уравнения:
^а) х + у = 27; б), 2х —г/ = 4,5; в) Зх4-2у = 12; г) 5г/ —2х=1.
989. Выразив переменную у через переменную х, найдите
три каких-нибудь решения уравнения:
а) ху—12 = 0; gj)3x—г/ = 10.
990. Среди решений уравнения х4~2г/ = 18 найдите такую
пару, которая составлена из двух одинаковых чисел.
991. Найдите значение коэффициента а в уравнении
ах 4-2 г/= 8, если известно, что пара х = 2, у — 1 является ре-
шением этого уравнения.
992. Докажите, что уравнение:
а) х24~!/2=““1 не имеет решений;
б) х24-*/2 = 0 имеет только одно решение.
993. Принадлежат ли графику уравнения х2 — 2ху + у2 = 9
точки А (-2; -5), В(4; 1), С(1; -4), D (2; 2)?
994. Какие из точек А ( — 3; 12), В (2; —7) и С (0; 3) при-
надлежат графику уравнения х2 — у 4- 3 = 0?
995. Проходит ли через начало координат график урав-
нения: а) х2 —х—г/ = 1; б) г/ = х4 —Зх24~х?
996. Постройте график уравнения:
а) у — х2 = 0; б) х3—г/ = 0.
997. На рисунке 58 по-
строены графики уравнений
Зх—г/=10 и 8у — х=12. Для
каждого уравнения найдите
по его графику несколько ре-
шений. Используя рисунок,
укажите такую пару чисел, ко-
торая является решением как
первого, так и второго уравне-
ния, и проверьте ответ вычис-
лением.
170
Упражнения для повторения
998. Найдите значение выражения:
а) 2с (с — 4)2 — с2 (2с —10) при с = 0,2;
б) (а-4Ь)(4Ь + а) при а =1,2, Ь= -0,6.
999. Разложите на множители:
а) 1+а-а2-а3; б) 8-Ь3 + 4Ь-2Ь2.
41. ЛИНЕЙНЫЕ уравнения с двумя переменными
/ Каждое из уравнений с двумя переменными 5х4-2у = 10,
— 3x-f-7y = 5, 4х — у = 1 имеет вид ах-{-Ьу = с, где а, b и с —
некоторые числа. Такие уравнения называют линейными
уравнениями с двумя переменными.
Определение. Линейным уравнением с двумя пере-
менными называется уравнение вида ах + Ьу = с, где х и у —
переменные, а, Ь и с — числа.
Числа а и Ь называют коэффициентами при переменных,
число с — свободным членом.
Выясним, что представляет собой график линейного урав-
нения.
Если в линейном уравнении коэффициент при у не равен
нулю, то из этого уравнения можно выразить у через х. Возь-
мем, например, уравнение' Зх-{-2у = 6. Имеем:
2у = — Зх-{-6, у= — 1,5х-{-3.
Формулой у= — 1,5х-{-3 задается линейная функция,
графиком которой служит прямая. Та же самая прямая
является и графиком уравнения Зх-{-2у=6, так как это
уравнение равносильно уравнению у= — 1,5х-{-3.
Если в линейном уравнении коэффициент при у равен
нулю, а коэффициент при х отличен от нуля, то графиком
такого уравнения также является прямая. Рассмотрим, на-
пример, уравнение х-{-0у = 6. Его решениями служат все
пары чисел (х; у), в которых х = 6, а у — любое число. Изо-
бразив эти пары точками, получим прямую, параллельную
оси ординат (рис. 59).
Итак, графиком линейного уравнения с двумя перемен-
ными, в. котором хотя бы один из коэффициентов при пере-
менных не равен нулю, является прямая.
171
Уравнение ax-{-by = c, в котором а = 0 и Ь = 0, имеет вид
0х + 0у = с. При с = 0 любая пара чисел является решением
этого уравнения, а его графиком — вся координатная плос-
кость. При с=Н=О уравнение не имеет решений, и его график
не содержит ни одной точки.
Приведем примеры построения графиков линейных урав-
нений.
Пример 1. Построим график уравнения Зх — 4у= 12.
В линейном уравнении Зх — 4у=12 коэффициенты при
переменных отличны от нуля. Поэтому его графиком является
прямая. Прямая определяется двумя точками. Найдем коорди-
наты двух каких-либо точек прямой:
если х = 0, то у—— 3; если х = 2, то у = — 1,5.
Отметим точки (0; —3) и (2; —1,5) и проведем через них
прямую (рис. 60). Эта прямая — график уравнения Зх — 4у = 12.
Пример 2. Построим график уравнения х= —3.
Это уравнение можно записать в виде x-\-Qy=— 3. Его
графиком служит прямая, параллельная оси у (рис. 61).
1000. Является ли уравнение с двумя переменными ли-
нейным:
а) Зх —у=17; б) х2 —2у = 5; в) 13х-{-6у = 0; г) ху-|-2х = 9?
1001. Из линейного уравнения 4х —Зу = 12 выразите:
а) у через х; б) х через у.
1002. Выразите: а) у через х из уравнения 6х — у =12;
б) х через у из уравнения 10х+7уь=0.
1003. Найдите пять каких-либо решений линейного уравне-
ния: a) s — 3f = 18; б) и-{-и = 0,6.
172
1 х
1004. Известно, что решением уравнения 21х—-45^ = 100
является некоторая пара чисел, в которой х=5. Найдите со-
ответствующее значение у.
1005. Известно, что решением уравнения 12u — 15v = 132
является пара чисел, в которой и = 0. Найдите соответствую-
щее значение и.
1006. Постройте график уравнения:
a) 2x-z/ = 6; б) 1,5х + 2у = 3; в) 2х = 7; г) -5у = 21.
1007. Постройте график уравнения:
а) х-{-у = 5; б) у — 4х = 0; в) 1,2х=— 4,8; г) l,5i/ = 6.
1008. Постройте график уравнения:
а) х — у—1 = 0; в) 2 (х — у)-{-Зу = 4;
б) Зх = у + 4; г) (х + у) —(х—у) = 4.
Упражнения для повторения
б)
1009. Вычислите:
11 J..2 А
3 7 .
12А.зА-4±.4± ’
5 4 11 8
28-1 : 134+ б|:4
1— : 2 —
16 4
1г»-4~9:4
4(>4-4)4
6 4 1
8т:2т+12т
2 2
8-~- • 7 + 36^ : 15
О о
6)
1010. Найдите значение выражения:
(т — 5)1 2 — т (т — 20) 1
—*----------*-------— при т = 1 —;
(тп — 5) (тп4-5) — 7П (m-j-5) 4
а (а — 4)—(аЧ-4)2 i 1
----- -----——--------при а = — 1 —.
а (аЧ-4) — (а — 2) (а4-2) 4
42. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Задача. В двух корзинах 12 кг яблок, причем в первой
корзине на 2 кг яблок больше, чем во второй. Сколько яблок
в каждой корзине?
Пусть в первой корзине х кг яблок, а во второй у кг. По
условию задачи в двух корзинах 12 кг яблок, т. е.
х-{-у=12.
173
Так как в первой корзине яблок на 2 кг больше, чем во второй,
Мы составили два уравнения с двумя переменными. Что-
бы ответить на вопрос задачи, надо найти такие пары значе-
ний переменных, которые обращают в верное равенство каждое
из уравнений, т. е. являются решениями как первого, так и
второго уравнений. В таких случаях говорят, что надо решить
систему уравнений. Систему уравнений принято записывать
с помощью фигурной скобки. (Доставленную систему уравнений
можно записать так:
Г x-j-i/ = 12,
I х — у = 2.
Пара значений переменных х = 7, у = 5 служит решением
каждого из уравнений системы, так как оба равенства
7-|-5 = 12и7 — 5 = 2 являются верными. Такую пару называют
решением системы. Других решений эта система не имеет.
Теперь мы можем ответить на вопрос задачи: в первой
корзине 7 кг яблок, а во второй 5 кг.
Определение. Решением системы уравнений с двумя
переменными называется пара значений переменных, обра-
щающая каждое уравнение системы в верное равенство.
Решить систему уравнений — значит найти все ее решения
или доказать, что решений нет.
Пусть требуется решить систему уравнений
Рис. 62
( у — х2 = 0,
1 у — 2х — 3 = 0.
Для этого в одной координатной пло-
скости построим графики уравнений си-
стемы. Графиком первого уравнения
служит парабола, а графиком второ-
го — прямая (рис. 62).
Координаты любой точки параболы
являются решением уравнения у —
_ х2 = 0, а координаты любой точки
прямой — решением уравнения у — 2х—
— 3 = 0. Координаты каждой из точек
пересечения графиков удовлетворяют
как первому, так и второму уравне-
нию, т. е. являются решением системы.
174
Графики уравнений пересекаются
в двух точках А (— 1; 1) и В (3; 9). Сле-
довательно, система имеет два решения:
(-1; 1) и (3; 9).
Примененный нами способ решения
системы называется графическим.
Заметим, что графический способ
обычно позволяет находить решения
приближенно.
Решим графически систему линей-
ных уравнений:
f 2х + 3у = 5,
I Зх — у — — 9.
Графиком каждого из уравнений служит прямая. Построив
эти прямые в одной координатной плоскости (рис. 63), найдем,
что они пересекаются в точке С ( — 2; 3). Значит, система
имеет единственное решение (—2; 3).
В рассмотренном примере прямые, являющиеся графиками
линейных уравнений, пересекаются, и система имеет единст-
венное решение. Если графики двух линейных уравнений —
параллельные прямые, то система не имеет решений. Если
прямые совпадают, то система имеет бесконечно много
решений.
{хи = 1,
2х — 1 паРа
чисел:
а) х = 1, г/ = 1; в) х =—— 2;
б) х=3, у=^-; г) х = 0, у= — 1?
1012. Является ли пара (3; —1), в которой на первом
месте значение переменной и, а на втором — значение пере-
менной v, решением системы:
Г 3u + v = 8, . ( 2u-f-u = 5,
a'(7u —2п = 23; &)| u24-u2 = 10?
1013. Какие из пар ( — 3; 4), ( — 2; —6), ( — 4; 3) являются
решениями системы:
ЯЛ х24-У2 = 25, Г Зх-у = 0,
а’\ху=-12; Ц 5х-у=-4?
175
1014. Составьте систему уравнений,
решением которой служит пара значе-
ний переменных:
а) х = 2, z/ = 5; б) х = 0, у = 3.
1018. Решите
1015. На рисунке 64 построены гра-
фики уравнений х2-{-у2 = 25 и
Зх —4^ = 0. С помощью этих графиков
решите систему
Г х2 + у2 = 25,
I Зх —4у = 0.
1016. Решите графически систему
уравнений
( х2 + у2=9,
I (х — З)2 4-(у — З)2 = 9,
используя рисунок 65.
1017. Решите графически систему:
аЛ У-х = 0, Г 2х—у = 3,
( у = х3; ( х+у = 3.
графическим способом систему уравнений
{9
У = х\
у = 2х + 4.
графически систему линейных уравнений:
Л х+у=0,
Л — 8х+4у = 14;
Зх — 2у = 6, ‘
Зх4-10у= —12.
1019. Решите
_Л Х-у=1,
ал х + 3«/ = 9;
( х + 2У = 4,
Ц - 2х + 5у = 10;
1020. Решите графически систему:
( х — 2у = 6, ( х—у = 0,
I Зх + 2у=-6; Ц 2х + 3у= —5.
1021. Выясните, имеет ли система решения и сколько:
. f 4и — х = 12,
Л 3у + х=-3;
f у-Зх=0,
’ I 3^-х = 6;
1,5х — у=1,
— Зх-{-2у— —2;
х4-2у = 3,
у — — 0,5х;
Г 2х = 11- Зу,
I 6у = 22 —4х;
( —х4-2у = 8,
I x-f-4i/ = 10.
176
Упражнения для повторения
1022. Представьте в виде многочлена:
а) (5с2 —с4-8)(2с—3) —16; б) 18лг3-(Злг-4)(6т24-т-2).
1023. Разложите на множители:
а) а3 + а2 —х2а —х2; б) b3-{-b2c —9Ь —9с.
1024. Является ли решением уравнения х2 — ху + у2 = 19
пара чисел: а) (2; 5); б) ( — 2; —5)?
§ 17. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
43. СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ
Решим систему уравнений:
( Зх 4- у — 7,
I — 5х-|-2г/ —3.
Выразим из первого уравнения у через х:
у = 7 —Зх.
(1)
Подставив во второе уравнение вместо у выражение 7 — Зх,
получим систему:
( Зх + у = 7, ,2)
I -5x4-2 (7 —Зх) —3. 7
Докажем, что системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.
Пусть некоторая пара значений х и у является решением
системы (1). При этих значениях х и у уравнение —5х-{-2у = 3
обращается в верное равенство. Заменив в нем значение у
равным ему значением выражения 7 — Зх, мы снова получим
верное равенство. Значит, каждое решение системы (1) является
решением системы (2).
Аналогично доказывается, что каждое решение системы (2)
является решением системы (1).
Таким образом, системы (1) и (2) имеют одни и те же
решения. Такие системы называются равносильными.
В системе (2) второе уравнение содержит только одну пере-
менную. Решим это уравнение:
-5x4-2 (7~3х)=3,
-5х4-14-6х = 3,
-11х=-11,
х —1.
177
Соответствующее значение у можно найти, подставив вместо
х число 1 в первое уравнение системы (1). Удобнее, однако,
воспользоваться формулой у = 7— Зх:
у = 7 —3-1,
У = 4.
Пара (1; 4) — решение системы (1).
Способ, с помощью которого мы решили систему (1), называ-
ют способом подстановки. При решении этим способом сначала
из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную
через другую. Полученное выражение подставляют в другое
уравнение, в результате чего приходят к уравнению с одной
переменной. Решают это уравнение. Затем находят соответ-
ствующее значение второй переменной.
На рисунке 66 построены графики уравнений Зх + у = 7 и
— 5х-{-2у = 3. Они пересекаются в точке (1; 4). Через эту точку
проходит и график уравнения —• 5х-{- 2 (7 —- Зх) = 3, т. е. прямая
х = 1. Мы видим, что системы (1) и (2) имеют одно и то же
решение.
Покажем применение способа подстановки еще на одном
примере. Решим систему:
7х + 6у = 6,
3x-f-4y = 9.
Выразим из второго уравнения х через у:
Зх=^9 — 4у,
3
Подставим в первое уравнение вместо х
9 — 4у
выражение —:.
Q
7.9^_|_6i/ = 6.
&
Решим полученное уравнение с одной
переменной у.
7(«-4у) + 3-6у=3.6,
63 — 28^4-18^ = 18,
— 10г/=—45,
У = 4,5.
17.8
Подставим в уравнение х=^—4у вместо у число 4,5:
3
^—9 —4-4,5
3
х = —3.
Ответ: х=—3, у = 4,5.
1025. Решите систему уравнений:
Л 0 —2х = 1, _Л *+ У = 6,
а) ( 7х — у —9; Ц Зх—50 = 2;
Л 7х —3г/=13, Л 4х — 0 = 11,
Л х-2у = 5; Ц 6х —20 = 13;
у— х= 20,
2х—150=—1;
I 25 —х= —40,
е) I Зх —20 = 30.
1026. Найдите решение системы уравнений:
Г 2x4- У =12,
| 7х —20 = 31;
у — 2х = 4,
7х — у = 1;
Г Sy — х=4,
I 2х—210 = 2;
Г 2х = 04-0,5,
I Зх —50 = 13.
1027. Решите систему уравнений:
Л 2u-|- 5v = 0,
аЦ -8u4-15v = 7
. f 5р—3q = 0,
' ( Зр4-4д = 29;
Г 4u-|-3v = 14,
в) t 5и —3v = 25;
Л 10p+7g=- 2,
ГЦ 2р—22= 5q.
1028. Решите систему:
| 3x4-40 = 0,
I 2x4-30 = 1;
Г 7x4-20= О,
I 404-9х = 1О;
I 5x4-60=-20,
В) I 904-2х= 25;
f 3x4-1 = 80,
I 110 —Зх= —11.
1029. Не выполняя построений, найдите координаты точки
пересечения графиков уравнений:
a) 7x + 4i/ = 23 и 8х— 10у = 19;
б) 11х —6у = 2 и — 8х+5у = 3.
1030. Найдите координаты точки пересечения графиков
уравнений, не выполняя построения:
а) 5х —4у=16 и х —2у = 6; б) 20х— 15у = 100 и Зх —у = 6.
179
1031. Найдите решение системы:
. ( 3(х —5)—1 =6-2х, ( 6(х-|-у)-у=-1,
а) I 3 (х-у)-7у= -4; I 7 (у + 4)-(у4*2) = 0.
1032. Решите систему уравнений:
{ 2(3х-2у)4* 1 = 7х,
аЧ 12 ( Х+ у)-15 = 7x4-12у;
5(х-|-2у)— 3 = Зх-|-5,
4 (х —Зу) —50= — ЗЗу;
I 3 (х 4-у)—7 = 12x4-у,
О) I 6 (у —2х) —1= —45х;
( 4x4- 1 = 5 (х-Зу)-6,
I 3 (х4-бу)4-4 = 9у-|-19.
1033. Решите систему:
[ 5у4*8(х —Зу)= 7х—12,
[ 9x4-3 (х-9у)=11у4-46;
{ — 2 (а—5)4-16 = 3 (b-J-7),
Ц 6а-(а-5)=-8-(5 4-1).
1034. Найдите решение системы:
2т । п 1
5 3
т 7п__
10 6 ’
7х-4= -4.
О
3 2 ’
-+-^=-2;
2 ~ 4
5
{4-25 = 6,
6 ь
— За 4--^-=—37;
1035. Решите систему уравнений:
{-У-—- = 6, ( —4—— = 2,3,
45 б){ 5 *5
-^4—^ = 0: I —-^=1,2.
15 12 ’ Л 10 3 ’
Упражнения для повторения
1036. Упростите выражение:
а) (2х - Зу)2 4- (2х 4* Зу)2; б) (2х 4* Зу)2 - (2х - Зу)2.
1037. Разложите на множители:
а) х54- 4а2х3 — 4ах4; б) 4а6— 12 а5 5-|- 9а452.
1038. Решите графически систему уравнений:
аЛ У=х<2' У=х3,
аЦ Зх4-У = 4; б)1у=5.
б)
180
44. СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим еще один способ решения систем уравнений —
способ сложения. При решении систем этим способом, как и
при решении способом подстановки, мы переходим от данной
системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из
уравнений содержит только одну переменную.
Пример 1. Решим систему:
2х + Зу=-5, (1)
х — Зу === 38.
. В уравнениях системы коэффициенты при у — противопо-
ложные числа. Сложив почленно левые и правые части
уравнения, получим уравнение с одной переменной:
3х = 33.
Заменим одно из уравнений системы (1), например первое,
уравнением 3х = 33. Получим систему:
3х = 33, (2)
х —3у = 38.
Решим систему (2). Из уравнения 3х = 33 находим, что
х = 11. Подставив это значение х в уравнение х—-3у = 38,
получим уравнение с переменной ух
11 —3у = 38.
Решим это уравнение:
— Зу = 27,
У--9.
Пара (11; —9) — решение
системы (2). Она является так-
же решением системы (1), так
как системы (1) и (2) равно-
сильны. В этом можно убедить-
ся с помощью рассуждений,
аналогичных тем, которые бы-
ли проведены в предыдущем
пункте при решении систем
способом подстановки.
На рисунке 67 изображены
графики уравнений 2х + 3у =
= —5 и х — Зу—38. График
181
уравнения 3х = 33, т. е. прямая х = 11, проходит через точку
их пересечения. Из рисунка видно, что система (2) имеет то же
решение, что и система (1).
Пример 2. Решим систему:
Г 5х + 11у= 8,
I 10х — 7# = 74.
Почленное сложение уравнений системы не приводит к
исключению одной из переменных. Однако если умножить все
члены первого уравнения на — 2, а второе уравнение оставить
без изменений, то коэффициенты при х в полученных уравне-
ниях будут противоположными числами:
Г _ Юх —22#= —16,
I 10х — 7# = 74.
Теперь почленное сложение приведет к уравнению с одной
переменной —29# = 58. Из этого уравнения находим, что
у ——2. Подставив во второе уравнение вместо у число —2,
найдем значение х:
10х —7 ( —2) = 74,
10х = 60,
х = 6.
Ответ: х = 6, #=—2.
Пример 3. Решим систему:
( 9х-{-7# = 7,
( 2х — 3# = —85.
Подберем множители к уравнениям так, чтобы коэффи-
циенты при у стали противоположными числами. С этой целью
умножим каждый член первого уравнения на 3, а второго
на 7. Получим систему:
( 27х + 21#= 21,
( 14х —21#= — 595.
Сложив уравнения почленно, получим:
41х=—574.
Отсюда
х= —14.
Подставив это значение х в уравнение 2х —3#=—85,
найдем, что # = 19.
Ответ: х =—14, # = 19.
182
1039. Решите систему:
а) Г 2x4-11^ = 15,
( 10х —11у = 9;
б) Г 9х—17у=—4,
I -9х + 15у= 12;
в) (4х — 7у = 30,
I 4х —5у = 90;
г) ( 13х —8^ = 28,
I Их —8i/ = 24.
1040. Найдите решение системы:
а) Г х — 6у = 17, в) Г 3x-f-2y= 5,
I 5х+6у = 13; I - 5х + 2у = 45;
б)( 4х —7у=-12, г) Г 9х —4z/ = -13,
t —4x-|-3i/= 12; I 9х — 2у= — 20.
1041. Решите систему:
а) Г 40x-f-3t/= 10, г) ( 13х —12{/ = 14,
t 20х — 7i/= 5; | Их — 18у = 4;
б) ( 5х — 2у = 1, д) f Юх— 9у = 8,
I 15х — Зг/=— 3; I 15х4-21у = 0,5;
в) ( 33a-f-426 = 10, е) ( 9j/4-8z=—2,
I 9а-Ь14&= 4; I 4j/-|-5z= —И.
1042. Решите систему уравнений:
а) ( 12х — 7 у —2, в) Г 6х — 25у= 1,
( 4х^5г/ = 6; ( 5х — 16у=— 4;
б) Г 7u4-2u= 1, г) Г 7а + 46 = 90,
( 17u4"6v=—9; { 5а — 66 = 20.
1043. Найдите решение системы:
а) I 0,75x4-20^ = 95,
( 0,32х — 25у— 7;
б) Г 0,5и — 0,6и = 0,
I 0,4и +1.7” = Ю,9;
в) I 10х = 4,64-Зу,
{ 4j/4-3,2= 6х;
г) Г -36 4-10а-0,1= 0,
I 15а4- 46-2,7 = 0.
1044. Составьте уравнение вида у = kx 4- 6, график которого
проходит через точки:
а) М(5; 5) и N(-10; -19); в) А (8;. -1) и В(-4; 17);
б) Р(4; 1) и Q (3; -5); г) С (-19; 31) и D (1; -9).
183
1045. Прямая у — kx + Ь проходит через точки А (— 1; 3) и
В (2; —1). Напишите уравнение этой прямой.
1046. График линейной функции пересекает ось х в точке
с абсциссой 4, а ось у в точке с ординатой 11. Задайте эту
функцию формулой.
1047. Задайте формулой линейную функцию, график
которой изображен на рисунке 68.
1048. Решите систему:
а) Г 5(x + 2j/)-3 = x + 5, б) Г 2,5 (х — Зу) — 3= — Зх + 0,5,
I у + 4(х-Зу)=50; ( 3 (х + 6у) + 4 = 9у + 19.
1049. Найдите решение
f -|х + 4-//-2 = °,
I 5х —у = 11;
системы:
{1 1 Л
-^т—-п = 0,
5 6
5т— 4п = 2;
1050. Решите систему:
аИ т+т-5=0’
I 2х — у = 10;
б)[ 2х —7у = 4,
0,5х4-0,2у = 7,
—х — ~У = ^>
з 1(г
1 1 о
—и-----ttV = — О,
6 3
0,2u + 0,lv = 3,9.
____У- = 0
6 6
2х--= Q
3 2
3(х — 1) —9 = 1 —у;
^-у=-----
6 у 6 ’
з ‘ у з
1051. Найдите решение системы:
I 6x + 5i/ = 150; 2х+3i/= —12;
б) ( 4”—s-u=3, Г) [ 4а —55 —10 = 0,
Joo J
I 7u + 9v=-2; I 4 t + 4 = °-
ООО
1052. Имеет ли решения система и
сколько:
а) Г 2х— у = 1, б) ( — 5х + 2у = 7,
( -6х + 3у = 2; I 15х —6у=—21?
184
Упражнения для повторения
1053. Принадлежит ли графику уравнения (х — у2}2 —
= (х + у)2 точка: -4(4; -1); В(1; -1); 0(2; 2)?
1054. Разложите на множители:
а) 15а2—15b2; в) 10а3 + 10Ь3; д) 47а6-47Ь6;
б) 29а2 + 29Ь2; г) 18а3-18Ь3; е) 51а6 + 51Ь6.
1055. Упростите выражение:
а) 2х (8х—1)—(4x-f-1)2; б) 4 (Зу-1)2- 18г/
1056. Для вычисления кубов чисел, близких к единице,
используют приближенную формулу (1-{-а)3 «1-{-За. Вычис-
лите по этой формуле приближенные значения выражений:
а) 1,13; б) 0,93. Какова абсолютная погрешность приближения?
45. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ
При решении задачи с помощью системы уравнений
сначала обозначают буквами неизвестные числа. Затем состав-
ляют систему уравнений, решают ее и, наконец, истолковывают
полученный результат в соответствии с условием задачи.
Задача 1. Для клуба приобрели 5 комплектов шахмат
и 8 комплектов шашек на сумму 55р. Сколько стоит один
комплект шахмат и сколько один комплект шашек, если
известно, что 3 комплекта шахмат на 2 р. 20 к. дороже, чем
4 комплекта шашек?
Решение. Пусть один комплект шахмат стоит х рублей,
а один комплект шашек у рублей. Тогда 5 комплектов шахмат
и 8 комплектов шашек стоят 5х-{-8у рублей. Так как за всю
покупку заплатили 55 р., то
5х + 8у = 55.
По условию задачи 3 комплекта шахмат дороже 4 комп-
лектов шашек на 2 р. 20 к. Отсюда получаем второе уравнение:
Зх — 4у = 2,2.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значе-
ния х и у, которые удовлетворяют как первому, так и второму
уравнениям, т. е. удовлетворяют системе:
Г 5x + 8i/ = 55,
I Зх — 4у = 2,2.
185
Решим полученную систему. Умножим обе части второго
уравнения на 2:
Г 5х + 8у=55,
I 6х —8у = 4,4.
Сложим уравнения почленно:
Их = 59,4,
х = 5,4.
Подставим в уравнение 5х-|-8у = 55 вместо х число 5,4:
5-5,4 +8г/= 55,
8г/ = 28,
У = 3,5.
Пара х = 5,4, у = 3,5 — решение системы.
Ответ: комплект шахмат стоит 5 р. 40 к., а комплект
шашек — 3 р. 50 к.
Задача 2. Требуется разложить 163 шара в два ящика
так, чтобы в одном из них шаров оказалось в 2 раза больше,
чем в другом. Сколько шаров надо положить в каждый ящик?
Решение. Пусть в один ящик положили х шаров, а в
другой у шаров. Тогда в соответствии с условием задачи
хУ = 163 и х = 2у. Мы получили систему:
Г х + у = 163,
I х = 2у.
2 1
Решив ее, найдем, что х = 108 —, у = 54 — .
По смыслу задачи значения х и у быть натураль-
ными числами, а мьг получили дробные числа.
Ответ: разложить шары таким образом нельзя.
1057. Сумма двух чисел равна 13, а их разность равна 2.
Найдите эти числа.
1058. Периметр прямоугольника равен 30 м, его длина
больше ширины на 1 м. Найдите длины сторон прямоугольника.
1059. Колхоз отвел под гречиху и овес 700 га, причем
площадь, отведенная под овес, была на 60 га больше площади,
отведенной под гречиху. Сколько гектаров было отведено под
овес и сколько под гречиху?
1060. В РАПО было направлено 187 тракторов и комбайнов,
причем комбайнов на 23 меньше, чем тракторов. Сколько трак-
торов и сколько комбайнов было послано в РАПО?
.186
1061. Периметр равнобедренного треугольника равен 117 м.
Боковая сторона на 13,2 м больше основания. Найдите осно-
вание.
1062. За 600 г конфет и 1,5 кг печенья заплатили 4 р. 62 к.
Сколько стоит 1 кг печенья, если он дешевле 1 кг конфет на
1 р. 40 к.?
1063. Для детского дома купили 15 комплектов постельного
белья, в каждый из которых входит пододеяльник и простыня,
и еще 20 простыней, уплатив за всю покупку 310 р.
Сколько стоит комплект, если известно, что пододеяльник на
4 р. дороже, чем простыня?
1064. В первой овощной палатке на 120 кг больше яблок,
чем во второй. Когда в первой продали 200 кг, а во второй
130 кг, то во второй палатке осталось в 2 раза меньше яблок,
чем в первой. Сколько яблок было в обеих палатках первона-
чально?
1065. За 4 ч езды на автомашине и 7 ч езды на поезде
туристы проехали 640 км. Какова скорость поезда, если она
на 5 км/ч больше скорости автомашины?
1066. За три пары лыж и четыре пары коньков уплатили
47 р. -Сколько .стоит пара лыж и сколько стоит пара коньков,
если две пары коньков дороже одной пары лыж на 1 р.?
1067. Пять шариковых ручек дороже двух коробок цветных
карандашей на 2 р. 55 к., а две шариковые ручки дешевле
пяти коробок цветных карандашей на 1 р. 50 к. Сколько стоит
шариковая ручка и сколько стоит коробка цветных каранда-
шей?
1068. ’Из пунктов А и В, расстояние между которыми
равно 280 км, выходят одновременно два автомобиля. Если
автомобили будут двигаться навстречу друг другу, то встреча
произойдет через 2 ч. Если же они будут двигаться в одном
направлении, то автомобиль, вышедший из А, догонит авто-
мобиль, вышедший из В, через 14 ч. Какова скорость каждого
автомобиля?
1069. Два туриста вышли одновременно из двух городов,
расстояние между которыми 38 км, и встретились через 4 ч.
С какой скоростью шел каждый турист, если известно, что
первый прошел до встречи на 2 км больше второго?
1070. Моторная лодка путь по течению от одной пристани
до другой проходит за 4 ч, а обратный путь за 5 ч. Какова
137
скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она
проходит за 3,5 ч?
1071. За 3 ч по течению и 4 ч против течения теплоход
проходит 380 км. За 1 ч по течению и 30 мин против течения
теплоход проходит 85 км. Найдите собственную скорость тепло-
хода и скорость течения.
1072. Бак наполняется водой с помощью двух труб. Если
вода будет поступать из первой трубы в течение 20 мин, а из
второй в течение 10 мин, то в баке окажется 120 м3 воды.
Если же первая труба будет открыта 15 мин, а вторая 7 мин,
то в бак нальется 88,5 м3 воды. Сколько кубических метров во-
ды в минуту вливается в бак через каждую трубу?
1073. Я задумал два числа. Если к первому прибавить
половину второго, то получится 65. Если из второго числа
вычесть третью часть первого числа, то получится первое число.
Какие числа я задумал?
1074. У двух мальчиков 16 орехов. Если один отдаст дру-
гому 6 орехов, то у него окажется в три раза меньше орехов,
чем станет у другого. Сколько орехов у каждого мальчика?
1075. Из двух сортов сухофруктов ценой 1 р. 20 к. и
1 р. 50 к. за килограмм требуется составить 36 кг смеси це-
ной по 1 р. 30 к. за килограмм. Сколько килограммов сухо-
фруктов каждого сорта надо взять?
1076. Из двух сортов муки ценой 31 к. и 46 к. за кило-
грамм составили 50 кг смеси ценой по 40 к. за килограмм.
Сколько килограммов муки каждого сорта входит в смесь?
1077. В колхозе под озимыми культурами было занято на
480 га больше, чем под яровыми. После того как убрали 80%
озимых и 25% яровых культур, площадь, оставшаяся под
озимыми, оказалась на 300 га меньше, чем площадь под яро-
выми. Какая площадь была отведена колхозом под яровые и
какая под озимые культуры?
1078. Две бригады рабочих должны были по плану изго-
товить за месяц 680 деталей. Первая бригада перевыполнила
месячное задание на 20%, а вторая на 15%, и поэтому обеими
бригадами было изготовлено сверх плана 118 деталей. Сколько
деталей должна была изготовить по плану каждая бригада за
месяц?
188
Упражнения для повторения
1079. Упростите выражение:
а) (а — 2) (а24-а— 1) — а2 (а — 1);
б) (3-р) (9 + Зр+р2)-(1 -Р3).
1080. Разложите на множители:
a) 0,064m3+ 1; б) 0,027х3—у3; в) р6+8; г) 27 —т6.
1081. В каких координатных четвертях расположен график
уравнения:
а) 2х + 5у=12; б) Зх-4у = 10?
1082. Докажите тождество
(х3 — у3)2 + 2хV = (х2 + у2) (х4 + / — X2!/2).
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
К параграфу 16
1083. Является ли решением уравнения х2 —2у = 7 пара
значений переменных х и у.
а) (5; 8); б) (-4; -11,5); в) (-1; -3); г) (1,2; -2,78)?
1084. Составьте уравнение с двумя переменными и и и,
решением которого служит пара чисел вида (и; и):
а) (10; 3); б) (0; -7); в) (0,6; -0,8); г) (-1,4; -3,6).
1085. Найдите несколько решений уравнения:
а) 5у—1 = 3х; б) ху — 4 = 0; в) у4~2х2 = 0; г) х3—10z/ = 0.
1086. Имеет ли уравнение решения, и если имеет, то
сколько:
a) P2 + q2= —4; в) | р 1 + | q | =0;
б) р«4-2 = рд; г) р2+(д + 1)2=0?
1087. Известно, что:
а) пара значений переменных х = 5, у = 7 является реше-
нием уравнения ах—2у = 1. Найдите коэффициент а;
б) пара значений переменных х=—3, у = 8 является
решением уравнения 5х-{-Ьу = 17. Найдите коэффициент Ь.
1088. Найдите все пары натуральных чисел, которые
являются решениями уравнения:
а) х4-у = И; б) ху = 18.
189
1089. Найдите все пары простых чисел, которые являются
решениями уравнения а+Ь = 42.
1090. Для школы-интерната приобрели несколько пар конь-
ков по 3 р. и несколько пар лыж по 2 р. 40 к. Стоимость
всей покупки 30 р. Сколько пар коньков было куплено?
1091. Хозяйка купила глубокие и мелкие тарелки. Глубокая
тарелка стоит 80 к., а мелкая 60 к. За всю покупку она запла-
тила 7 р. Сколько мелких тарелок купила хозяйка?
1092. Группа учащихся отправилась в музей, причем часть
учеников поехала на троллейбусе, а остальные на автобусе.
Проезд на троллейбусе стоит 4 к., а на автобусе 5 к. За проезд
учащихся всего заплатили 1 р. 69 к. Сколько учащихся поехало
на автобусе?
1093. Принадлежит ли графику уравнения х3-—у —2 = 0
точка:
a) Af(— 1; -3); б) Х(-1; 1); в) В(1; -1)?
1094. Графику уравнения х— ху = 46 принадлежит точка
с ординатой —1,3. Найдите абсциссу этой точки.
1095. График уравнения 8х— 5у = 14 проходит через точку
с абсциссой 1,2. Найдите ординату этой точки.
1096. В уравнении у = ах2— 4 подберите коэффициент
а так, чтобы график уравнения проходил через точку Р (1; — 3).
Пересекает ли этот график ось у?
1097. Не выполняя построения, докажите, что графики
трех уравнений xi/.=12, 2x + j/ = 10 и 4х24-у2 = 52 проходят
как через точку А (3; 4), так и через точку В (2; 6).
1098. В каких точках пересекает оси координат график
уравнения:
а) 2х + 3у = 4; б) ху + у — х = 7?
1099. Постройте график уравнения:
а) х + у = 0; б) х —у = 0; в) у — Зх2 = 0; г) у + х2 = 0.
1100. Постройте график уравнения:
а) 3 (х — 2у)—2 (х —4у) = 4;
б) 2(О,5х-1,2у)-(О,6у + х) = 6;
в) 3 (0,4у - 0,2х) - 4 (О,3у - 0,6х) = 0,6.
1101. В линейном уравнении ах — у = 4 подберите коэф-
фициент а так, чтобы график этого уравнения проходил через
точку 2И(3; 5). Постройте график этого уравнения.
190
1102. Постройте прямую, которая является графиком
уравнения у — 2,5х = с, если известно, что она проходит через
точку К (2; —3).
1103. Является ли решением системы уравнений
Г а2 + Ь2 = 16,
I а2 + 8а+ Ь2-8Ь + 16 = 0
пара чисел: а) а = 0, Ь = 4; б) а = 0, Ь=—4; в) а =—4, Ь = 0?
1104. Решите графически систему уравнений:
а) Г 2х + у = 0, б) Г у = х\ в) Г i/ = x3, r)h = x2,
I х + у=— 3; I у — 6 — х = 0; I у4-1 = 0; \ у = х\
1105. Покажите, что прямые х-{-у = 5, 2л —у = 16 и
x-f-2i/ = 3 пересекаются в одной точке. Каковы координаты
этой точки?
1106. Постройте в одной координатной плоскости графики
линейных уравнений у — 2л = 0 и х-]-у = 6 и найдите коор-
динаты точки их пересечения. Проходит ли через эту точку
график уравнения 2л3 —лу = 8?
1107. При каком значении а прямые 5 л— 2у = 3 и х-[-у = а
пересекаются в точке, принадлежащей оси у?
1108. При каком значении b прямые Ьх 4- Зу = 10 их — 2у =
= 4 пересекаются в точке, принадлежащей оси л?
1109. При каком значении k прямая у = йл —4 проходит
через точку пересечения прямых у = 2л— 5 и >j/=—х4~1?
1110. Решите графически систему уравнений:
а)| у + Зх = 0, б)| x-f-i/ = l,
I х + </=— 2; л 2х + у=0.
1111. Имеет ли система решения, и если имеетЛ то сколько:
а) Г 2х + 5у = 17, в)( 0,2х-5у = 11,
{ 4х — l(ty = 45; I — х + 25у = -55;
б)( Т“Ъ = 1’ г)( 3*+т!/=10,
I бх — 2у —35; I 9х —2у = 1?
1112. Укажите какое-либо значение k, при котором система
Г 2х4-у = 7,
( y — kx — 3
имеет единственное решение. Проверьте свой ответ, построив
графики.
з
1113. При каком значении с система
( Зх— у = 10,
( 9х — Зу = с
имеет бесконечно много решений?
1114. При каком значении с система
( “o'* + “Г# = 2,
( 5х + 2у = с
не имеет решений?
К параграфу 17
1115. Решите систему:
а) ( 25х — 18у = 75, в) Г 8y-5z = 23, д) f 7х4-4у = 74,
I 35х —28у = 35; I Зу-2з = 6; I 3х4-2у = 32;
б) Г 35х = Зу4-5, г) Г 13х — 15у= —48, е) Г 11и4-15и = 1,9,
| 49x=4i0-9; I 2x+ y = 29; I —3u-f-5v = l,3.
1116. Найдите решения системы:
a) f 6(x4-y) = 84-2x — Sy,
I 5(y — x) = 54-3x + 2y;
6)( -2 (2x-f-1)4-1,5 = 3 (y-2) — 6x,
t 11,5 —4 (3 —x)=2y—(5 —x);
B)f 4(2x-^4-3)-3(x-2j/4-3) = 48,
| 3 (3x—4i/4-3)4-4 (4x —2y —9)=48;
r) ( 844-3 (x-3i/)=36x—4(y+17),
I 10 (x-y) = 3y + 4: (1-x).
1117. Решите систему:
a) f -^- = 1—L,
' J 5 15’
I 2x — 5y = 0;
6) j 3/n-|-5n = l
I jn I 3n___ - e
4 4 5 ~ ±;
4x —3y = l,
2x4-1 9 — 5y e
6 — 8 ’
3q = 4p-7,
1 — 3g 4 —2p
4 ““ 3 ’
192
1118. Найдите решение системы:
а) Г (х—I)2—(х-|-2)2 = 9у, б) Г (7 + и)2-(5 + и)2 = 6v,
I {у-З)2 — (г/ + 2)2 = 5х; ( (2-v)2-(6-v)2 = 4u.
1119. Решите систему:
a) f 8х-|-5у = 20,
I 1,6х+2у = 0;
113х-7у = 5;
в) ( — 1,8х4-2,4у=1,
I Зх—4у=5;
г)( тж—
I — 16x4-3^ = 12.
1120. Имеет ди решения система уравнений:
5х—4у = 1,
3x4-1 =13,
7х—5у = 1;
11х4-Зг/=-1,
2х-|“У = 3,
5х4-2у = 4?
1121. Проходят ли прямые 2x4-3i/ = 20, Зх — 5у = 11 и
х4-у = 9 через одну и ту же точку?
1122. Существует ли на прямой 7x-|“8i/ = 135 точка:
а) абсцисса которой равна ее ординате; б) абсцисса которой
противоположна ее ординате; в) ордината которой равна уд-
военной абсциссе?
1123. Задайте формулой линейную функцию, график ко-
торой проходит через точки: а) А (1; 2) и В ( — 2; 3); б) М (— 5; 0)
и К (2; -1).
1124. Напишите уравнение вида у = kx 4- Ь, график которого
проходит через точки: а) М( — 1; 1) и Р(4; 4); б) А( —3; 3)
иВ(3;-3).
1125. Комплект из десяти конвертов и пяти открыток
стоит 85 к. Сколько стоит один конверт, если два конверта
дешевле трех открыток на 3 к.?
1126. За три общие тетради, пять блокнотов заплатили
2 р. 45 к. Сколько стоит одна общая тетрадь и сколько стоит
один блокнот, если две тетради дороже трех блокнотов на 5 к.?
1127. В овощную палатку завезли картофель и капусту. В
первый день продали половину картофеля и капусты общей
о
массой 15 т. Во второй день продали оставшегося картофеля
и оставшейся капусты общей массой Ют. Сколько картофеля
А
и сколько капусты завезли в палатку?
7 Заказ ,890 193
1128. Совхоз выделил для отправки в город яблоки и груши.
В первый день отправили всех яблок и всех груш — всего
2т. Во второй день отправили оставшихся яблок и остав-
шихся груш, всего 1 т 250 кг. Сколько яблок и сколько груш
выделил совхоз для отправки в город?
1129. Два пионерских звена работали на уборке картофеля.
В первый день одно звено работало 2 ч, а второе 3 ч, причем
всего было собрано 23 ц картофеля. Во второй день первое звено
за 3 ч работы собрало на 2 ц больше картофеля, чем другое
звено за 2 ч работы. Сколько центнеров картофеля собирало
каждое звено за 1 ч работы?
ИЗО. Известно, что 30% числа а на 10 больше, чем 20%
числа Ь, а 30% числа Ь на 35 больше, чем 20% числа а.
Найдите числа а и Ь.
1131. Токарь и его ученик должны были изготовить за
смену 65 деталей. Благодаря тому, что токарь перевыполнил
план на 10%, а ученик на 20%, они изготовили 74 детали.
Сколько деталей по плану должен был изготовить за смену
токарь и сколько его ученик?
1132. За четыре транзисторных и шесть ламповых радио-
приемников уплатили 520 р. После снижения цен на транзис-
торные приемники на 15%, а на ламповые на 20% за один
транзисторный и два ламповых приемника уплатили 130 р.
Сколько стоил транзисторный приемник до снижения цен?
1133. Два фрезеровщика, один из которых работал 5 дней,
а другой 8 дней, изготовили 280 деталей. После повышения
производительности труда первым на 62,5%, а вторым на 50%
за 4 дня совместной работы они смогли изготовить 276 деталей.
Сколько деталей стал изготовлять каждый фрезеровщик за
один день?
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
7 1134. Ё школьной математической олимпиаде при-
нимали учаетйе 9 учеников шестого класса. За каждую ре-
шенную задачу ученик получал 2 очка, а за каждую нерешен-
ную задачу с него списывалось 1 очко. Всего было предло-
жено 10 задач. Докажите, что среди участников олимпиады
из шестого класса было по крайней мере два ученика, на-
бравших одинаковое число очков. (Считается, что ученик,
набравший больше штрафных очков, чем зачетных, набрал
но^егИ^Ков.)
\1135Л/Два туриста, имея один велосипед, должны за полтора
часа проделать путь в 12 км. На велосипеде каждый из них
может развить скорость 20 км/ч, а пешком 5 км/ч. Смогут
ли туристы проделать весь путь без опоздания, если на вело-
^ипйде^о^новременно два человека ехать не могут?
( \113в.Иеред соревнованиями по плаванию каждого из
четырех участников А, Б, В и Г спросили, на какое место он
рассчитывает. А сказал: «Я буду первым», Б сказал: «Я не буду
последним», В сказал: «Я не буду ни первым, ни последним»
и Г сказал: «Я буду последним». После заплыва оказалось, что
только один из них ошибочно предсказал результат. Кто из
пл овдев^ ошибся?
/037/ Докажите, что любую сумму, большую семи копеек,
можйо уплатить трехкопеечными и пятикопеечными монетами,
не шдасчая сдачи.
/4138у В ящике лежат разноцветные шарики: 5 белых,
ПГ'хрЗсных и 20 черных. Какое наименьшее число шариков
надо вынуть из ящика, не заглядывая внутрь, чтобы среди
7* 195
них оказалось обязательно: а) хотя бы по одному шарику
всех указанных цветов; б) 10 шариков одного цвета?
1139. Я задумал число, не превышающее 1000. Как, задав
не более 10 вопросов, на которые я буду отвечать только
«да» или «нет», можно узнать, какое число я задумал?
1140. Через 5 лет возраст брата будет относиться к возрасту
сестры как 7 : 5. Сколько лет каждому из них в настоящее вре-
мя, если год назад брат был вдвое старше сестры?
1141. Три ящика были наполнены орехами. Во втором было
на 10% больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем.
Сколько орехов было в каждом ящике, если в первом было на
80 орехов больше, чём в третьем?
1142. Число а составляет 80% числа Ь, а число с состав-
ляет 140% числа Ь. Найдите числа а, b и с, если известно,
что с больше а на 72.
1143. Число а составляет 75% числа b и 40% числа с.
Число с на 42 больше, чем Ь. Найдите числа а и Ь.
1144. При делении натурального числа а на натуральное
число b в частном получили сив остатке d. Выясните, могут
ли все числа а, Ь, с и d оказаться нечетными.
1145. Найдите двузначное число, которое в четыре раза
бол£Щ£_суммы его цифр.
/Д146. Делится ли число 111 ... 1 на 81?
81 раз
1147. Докажите, что остаток от деления простого числа на
30 есть простое число или единица.
1148. К некоторому двузначному числу слева и справа при-
писали по единице. В результате получили число, в 23 раза
большее первоначального. Найдите это двузначное число.
1149. В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получи-
лось число в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру
и в каком числе зачеркнули?
1150. Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если
эту цифру переставить на последнее место, то получится число
меньше первоначального на 864. Найдите первоначальное
число.
1151. Первая слева цифра шестизначного числа 1. Если
эту цифру переставить на последнее место, то получится чис-
ло в 3 раза больше первоначального. Найдите первоначальное
число.
196
0 7 в) ——2—1—1—।—।— М(а)
7 М(а) 0 1 г) —।——।—।—।—।— 7 м(а)
Рис. 69
1152. Если между цифрами двузначного числа вписать это
же двузначное число, то полученное четырехзначное число
будет больше первоначального в 77 раз. Найдите это число.
1153. Найдите трехзначное число, которое равно Квадрату
двузначного и кубу однозначного числа.
1154. Докажите, что значение выражения 116+146—133
кратно 10.
1155. Постройте график функции:
а) у= I х |—3; б) у = 4— | х |.
1156. На рисунке 69 показано положение на координатной
прямой точки М (а). Покажите на той же координатной пря-
мой примерное положение точек А (а2\ С (a3),
1157. Найдите наименьшее натуральное число, которое
после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на
3 — кубом натурального числа.
1158. Может ли разность двух трехзначных чисел, из ко-
торых второе записано теми же цифрами, что и первое, но в
обратном порядке, быть квадратом натурального числа?
1159. Докажите, что значение выражения Зп+2 —2п+2 +
+ 3П — 2п при любом натуральном значении п кратно 10.
1160. Что больше: 1О'°+1 или 1О'' + -?
10н + 1 Ю,г+1
1161. При умножении многочлена 2х3 — 5х2— 7х—8 на
многочлен ах2+ Ьх + 11 в произведении получился многочлен,
не содержащий ни х4, ни х3. Найдите коэффициенты а и Ь и
узнайте, какой многочлен получился в результате умножения.
1162. Ученик сообщил своему товарищу, что задумал дву-
значное число, вычел из него число, написанное теми же
цифрами, но в обратном порядке, и получил квадрат четного
числа. Товарищ после некоторого размышления заявил, что
полученная разность равна 36. Прав ли он? Найдите все
двузначные числа, обладающие свойством, которое подметил
ученик.
197
1163. Найдите два натуральных числа, сумма которых
равна 168, а их общий наибольший делитель равен 24.
1164. Разложите на множители многочлен:
а) х8+х4—2; в) п4-|-4;
б) а5 —а2—а —1; г) n4-f-n2+l.
1165. Докажите, что р2— 1, где р — простое число, большее
3, кратно 24.
1166. Сколько делителей у числа 10*°?
1167. Найдите все простые числа р и q, для которых
p*-2q2=l.
1168. Может ли: а) сумма пяти последовательных нату-
ральных чисел быть простым числом; б) сумма квадратов
пяти последовательных натуральных чисел быть простым
числом?
1169. Упростите выражение
(2 4-1) (22 +1) (24 +1) (28 +1) (216 +1) (232 +1).
1170. Докажите, что уравнение х2—у2=30 не имеет ре-
шений в целых числах (т. е. когда х и у оба целые).
1171. Докажите, что не существует целых коэффициентов
а, Ь, с и d, таких, что значение многочлена ах3+ bx2+cx+d
равно 1 при х = 19 и равно 2 при х = 62.
1172. Докажите, что если у есть среднее арифметическое
х и г, то x4+2x3z — 2xz3—г4—4x2y2+4y2z2 равно нулю.
1173. Докажите, что разность между квадратом натураль-
ного числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
1174. Постройте график уравнения:
а) (х-2)(р+3)=0; б) х2 + ху = 0.
1175. Постройте график уравнения:
a)y+lyl=«; 6)у=Х'\у\.
1176. Решите ( Х—У=~1>
1 И — 2 = — 1»
систему: I 9 Л 9
\ z + x = 8.
1177. Решите ( х + у= —39
систему: 1 !/ + ^ = 6,
V z + x=l.
198
1178. При каких натуральных значениях х и у верно
равенство 3х + 7у = 23?
1179. Путь от А до В идет 3 км в гору, 6 км под
гору и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист
проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь за 1 ч 16 мин. Найдите
скорость мотоциклиста в гору и скорость под гору, если на
ровном месте его скорость была 18 км/ч.
1180. У школьника была некоторая сумма денег монетами
достоинством в 15 к. и 20 к., причем двадцатикопеечных монет
было больше, чем пятнадцатикопеечных. Пятую часть всех
денег школьник истратил, отдав две монеты за билет в кино.
Половину оставшихся у него денег он отдал за обед, оплатив
его тремя монетами. Сколько монет каждого достоинства было
у школьника вначале?
1181. Если задуманное двузначное число разделить на сум-
му его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 3. Если же
из задуманного числа вычесть удвоенную сумму его цифр, то
получится 25. Какое число задумано?
1182. В двух сосудах емкостью 144 л и 100 л содержится
некоторое количество воды. Если больший сосуд долить доверху
водой из меньшего, то в последнем останется первоначаль-
ного количества воды. Если же долить меньший сосуд доверху
из большего, то в большем останется первоначального
количества воды. Сколько литров воды содержится в каждом
сосуде?
1183. В одном сосуде 49 л воды, а в другом 56 л. Если до-
лить первый сосуд доверху водой из второго сосуда, то второй
сосуд окажется наполненным только наполовину. Если же
долить второй сосуд доверху водой из первого, то первый
окажется наполненным только на одну треть. Какова вмести-
мость каждого сосуда?
1184. Автобус и маршрутное такси, выходящие навстречу
ДРУГ другу по расписанию в 8 ч 40 мин из М и К, обычно встре-
чаются в 8 ч 52 мин. Однажды маршрутное такси отправи-
лось в рейс с опозданием на 8 мин и встретилось с автобусом в
8 ч 57 мин. Найдите скорость автобуса и такси, если известно,
что расстояние от М до К равно 24 км.
199
1185. Из А в В, расстояние между которыми 37 км, в
7 ч 18 мин и в 7 ч 48 мин вышли два автобуса с одной и той
же скоростью. Велосипедист, выехавший из В в А в 7ч 28 мин,
встретил первый автобус в 7 ч 58 мин, а второй в 8 ч 19 мин.
Найдите скорости велосипедиста и автобусов.
1186. Из пунктов М и 2Г, расстояние между которыми
70 км, одновременно выехали навстречу друг другу автобус
и велосипедист. Они встретились через 1 ч 24 мин. Продол-
жая движение с той же скоростью, автобус прибыл в К и
после 20-минутной стоянки отправился обратно. Найдите ско-
рости автобуса и велосипедиста, если известно, что автобус
обогнал велосипедиста через 2 ч 41 мин после первой встречи.
1187. Из АвВ вышел турист. Через 1 ч 20 мин из А в том же
направлении выехал велосипедист, который обогнал туриста
через 30 мин. Прибыв в В, велосипедист, не останавливаясь,
повернул назад и встретил туриста через полтора часа после
первой встречи. Найдите скорости туриста и велосипедиста, если
известно, что расстояние АВ равно 24 км.
1188. Только что добытый каменный уголь содержит 2% во-
ды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он со-
держит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась
масса добытой тонны угля, после того как уголь две недели
пролежал на воздухе?
1189. Два брата ходят вместе из школы домой с одинако-
вой скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы
первый побежал в школу и, добежав до нее, немедленно
бросился догонять второго. В это время второй, уменьшив
скорость ходьбы в два раза, продолжал идти домой. Когда
первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной ско-
ростью и пришли домой на 6 мин позже, чем обычно. Во
сколько раз скорость бега первого брата больше обычной
скорости ходьбы братьев?
1190. В двух бочках было воды поровну. Количество воды
в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличи-
лось на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увели-
чилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке
стало больше воды?
1191. На сколько процентов увеличится площадь прямо-
угольника, если его длину увеличить на 20%, а ширину на
Ю%?
200
1192. Поезд из А в В шел со скоростью 60 км/ч, а возвра*
щался из В в А со скоростью на 20 км/ч меньшей. Какова сред-
няя скорость поезда?
1193. Наименьшее общее кратное двух чисел, не делящихся
друг на друга, равно 90; а их наибольший общий делитель
равен 6. Найдите эти числа.
1194. Представьте выражение 2х2-{-2у2 в виде суммы квад-
ратов двух многочленов.
1195. Представьте выражение 24ху в виде разности квад-
ратов двух многочленов.
1196. Представьте выражение 2а(а2-^-ЗЬ2) в виде суммы
кубов двух многочленов.
1197. Представьте выражение 2b(3a-j-b2) в виде разности
кубов двух многочленов.
1198. Найдите коэффициенты а, Ъ и с многочлена
ax2-f-bx + c, зная, что равенство
2х44-х3 — 41x2-f-83x — 45 = (ax2 + bx-f-c) (x2-f-4x —9)
является тождеством.
• 1199. Составьте многочлен шестой степени с переменной х,
зная, что при любых значениях х его значение
а) положительно; б) отрицательно.
1200. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворя-
ющих уравнению 11х-{-8у = 104.
СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА МАТЕМАТИКИ
IV—V КЛАССОВ
Делимость чисел
1. Пусть а и b — натуральные числа и при делении
а на b в частном получается див остатке г. Тогда a=bq-[-r,
где q и г — натуральные числа или нуль, причем г<Ь.
Например:
127 35
105 |3~ 127 = 35.34-22.
22
2. Если натуральное число а делится на натуральное число
Ъ9 то а называют кратным Ь, а b — делителем а. Это означает,
что a=bq, где q — натуральное число. Например, 62 кратно
31, 31 — делитель 62, так как 62 = 31-2.
3. Простым числом называется такое натуральное чис-
ло, которое имеет только два делителя — единицу и само это
число.
Составным числом называется такое натуральное число,
которое имеет более двух делителей.
Например, числа 2, 3, 5, 7, 43, 109 — простые, а числа
4, 12, 35 — составные.
Всякое составное число можно разложить на простые
множители и притом единственным способом. Например,
630 = 2-32-5-7.
4. Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких
чисел, надо разложить эти числа на простые множители и
найти произведение всех получившихся простых множителей,
202
взяв каждый из них с наибольшим показателем. Например,
72 = 23-32; 180 = 22-32-5 и 600 = 23-3.52. Наименьшее общее
кратное чисел 72, 180 и 600 равно 23-32-52 = 1800.
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чи-
сел, надо разложить эти числа на простые множители и
найти произведение общих простых множителей, взяв каж-
дый из них с наименьшим показателем. Например, наиболь-
ший общий делитель чисел 72, 180 и 600 равен 22-3, т. е.
числу 12.
5. Если число оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, то оно
делится на 5. Если число оканчивается любой другой цифрой,
то оно не делится на 5.
Если число оканчивается четной цифрой, то оно делится
на 2. Если число оканчивается нечетной цифрой, то оно не
делится на 2.
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится
на 3. Если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не
делится на 3.
Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.
Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не
делится на 9.
Обыкновенные дроби
6. Правильной дробью называется дробь, у которой числи-
тель меньше знаменателя.
Неправильной дробью называется дробь, у которой числи-
тель больше знаменателя или равен ему.
7. Основное свойство дроби: если числитель и знамена-
тель дроби умножить или разделить на одно и то же натураль-
ное число, то получится равная ей дробь.
8. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знамена-
телю, надо найти наименьшее общее кратное знаменателей
дробей; вычислить дополнительные множители, разделив
наименьшее общее кратное на каждый знаменатель; умножить
числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий
дополнительный множитель. Например, приведем к наимень-
203
шему общему знаменателю дроби
6 12
общий знаменатель равен 36:
к
—. Наименьший
1 = 1*6 6 . 7 7*3 __ 21. 5 __ 5*2 __ 10
6 6*6 36* 12 12*3 36* 18 18*2 36*
9. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями к
числителю первой дроби прибавляют числитель' второй дроби
и оставляют тот же знаменатель. При вычитании дробей с
одинаковыми знаменателями из числителя первой дроби
вычитают числитель второй дроби и оставляют тот же знаме-
натель. Например:
з . _2_=А А L=JL
7'77* 5 5 5 е
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателя-
ми их предварительно приводят к общему знаменателю.
10. Чтобы перемножить две дроби, надо перемножить от-
дельно их числители и знаменатели и первое произведение
сделать числителем, а второе — знаменателем. Например,
2 _4_=JL
3*5 15’
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое
умножить на дробь, обратную делителю. Например,
7 5
_JL.JL—15
7*4 28*
Десятичные дроби
11. При округлении десятичной дроби до какого-нибудь
разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют
нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.
Если первая следующая за этим разрядом цифра 5, 6, 7, 8 или 9,
то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если
первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1, 2, 3 или 4,
то последнюю оставшуюся цифру не изменяют. Например,
2,8195 «2,8; 4,356 «4,4.
204
12. Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют
поразрядно. При этом дроби записывают одну под другой
так, чтобы запятая оказалась под запятой. Например:
3,4691 _68,3
+ 48,63 5,275
52,0991 63,025
13. Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую,
надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятую,
а затем в полученном произведении отделить запятой справа
столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множите-
лях вместе. Например:
3,°б
Х 2,4
1224
+ 612
7,344
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, надо
в делимом и делителе перенести запятые вправо на столько
цифр, сколько их после запятой в делителе, а затем выполнить
деление на натуральное число. Например:
12,096:2,24 = 1209,6:224,
1209,6 1120 224 5,4
896 896
0
14. Чтобы умножить десятичную дробь на 10", надо в этой
дроби перенести запятую на п цифр вправо. Чтобы разделить
десятичную дробь на 10", надо в этой дроби перенести запятую
на п цифр влево. Например:
8,372-100 = 837,2;
3,4:1000 = 0,0034.
205
Положительные и отрицательные числа
15. Модулем положительного числа и нуля называется само
это число. Модулем отрицательного числа называется противо-
положное ему положительное число. Модуль числа а обознача-
ют | а!. Например, 13,61 = 3,6, 101 =0, | — 2,81 = 2,8. Модуль
числа также называют абсолютной величиной числа.
16. Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить
их модули и перед полученным результатом поставить знак
«минус».
Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо из
большего модуля вычесть меньший и перед полученным
результатом поставить знак того слагаемого, модуль которого
больше.
Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
Например, 3,4 4- (—1,8) = - 5,2; 2,5 4- (- 4,1) = -1,6;
— 3,64-3,6 = 0.
17. Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к умень-
шаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Например, —5 —1,9= —5 4- (—1,9)= —6,9.
18. Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо
перемножить их модули.
Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо
перемножить их модули и перед полученным результатом
поставить знак «минус».
Например, —1,2-( — 8) = 9,6; —3*1,2=—3,6.
19. Чтобы разделить отрицательное число на отрицатель-
ное, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.
Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо
модуль делимого разделить на модуль делителя и перед
полученным результатом поставить знак «минус».
Например, -4,8:(-2,4) = 2; 5,5:(-5)=-1,1.
20. Средним арифметическим нескольких чисел называется
частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
206
Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел,
надо сумму этих чисел разделить на число слагаемых.
21. Равенство двух отношений называют пропорцией.
Например, равенство 2,5:5 = 3,5:7 — пропорция. Числа 2,5 и
7 — крайние члены пропорции. Числа 5 и 3,5 — средние
члены пропорции. Если пропорция верна, то произведение
ее крайних членов равно произведению средних членов.
В пропорции можно менять местами крайние члены или сред-
ние члены.
Свойства действий
22. Переместительное свойство сложения. От перестановки
слагаемых значение суммы не изменяется.
Сочетательное свойство сложения. Чтобы к сумме двух
чисел прибавить третье число, можно к первому числу
прибавить сумму второго и третьего.
Переместительное свойство умножения. От перестановки
множителей значение произведения не изменяется.
Сочетательное свойство умножения. Чтобы произведение
двух чисел умножить на третье число, можно первое число
умножить на произведение второго и третьего.
Распределительное свойство умножения. Чтобы умножить
число на сумму, можно умножить это число на каждое
слагаемое и сложить полученные результаты.
23. В выражении, не содержащем скобок, сначала выполня-
ют возведение в степень, затем умножение и деление и далее
сложение и вычитание. Сложение и вычитание, так же как
умножение и деление, производятся в той последователь-
ности, в которой они записаны.
Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют
действия в скобках.
Таблица квадратов
N а 1 2 3 4 5 в 7 8 9
1,0 1,000 1,020 1,040 1,061 1,082 1,103 1,124 1,145 1,166 1,188
1,1 1,210 1,232 1,254 1,277 1,300 1,323 1,346 1,369 1,392 1,416
1Д 1,440 ' 1,464 -1,488 1,513 1,538 1,563 1,588 1,613 1,638 1,664
1,3 1,690 1,716 1,742 1,769 1,796 1,823 1,850 1,877 1,904 1,932
1,4 1,960 1,988 2,016 2,045 2,074 2,103 2,132 2,161 2,190 2,220
1,5 2,250 2,280 2,310 2,341 2,372 2,403 2,454 2,465 2,496 2,528
1,6 2,560 2,592 2,624 2,657 2,690 2,723 2,756 2,789 2,822 2,856
1,7 2,890 2,924 2,958 2,993 3,028 3,063 3,098 3,133 3,168 3,204
1,8 3,240 3,276 3,312 3,349 3,386 3,423 3,460 3,497 3,534 3,572
1,9 Д610 3,648 3,686 3,725 3,764 3,803 3,842 3,881 3,920 3,960
2,0 4,000 4,040 4,080 4,121 4,162 4,203 4,244 4,285 4,326 4,368
2,1 4,410 4,452 4,494 4,537 4,580 4,623 4,666 4,709 4,752 4,796
2,2 4,840 4,884 4,928 4,973 5,018 5,063 5,108 5,153 5,198 5,244
2,3 5,290 5,336 6,382 5,429 5,476 .5,523 5,570 5,617 5,664 5,712
2,4 ;5,760 5,808 5,856 5,905 5,954 6,003 6,052 6,101 6,150 6,200
2,5 6,250 6,300 6,350s 6,401 *6,452 6,503 6,554 6,605 6,656 6,708
2,6Z 6,760 6,812 6,864 6,917 6,970 7,023 7,076 7,129 7,182 7,236
2,7 7,290 7,344 7,398 7,453 7,508 7,563 7,618 7,673 ^28 7,784
2,8 7,840 7,896 7,952 8,009 8,066 8Д23 8,180 8,237 8,294 8,352
2,9 8,410 8,468 8,526 8,585 8,644 8,703 8,762 8,821 8,880 8,940
3,0 9,000 9,060 9,120 9,181 9,242 9,303 9,364 9,425 9,486 9,548
3,1 9,610 9,672 9,734 9,797 9,860 9,923 9,986 10,05 10,11 10,18
3,2 10,24 10,30 10,37 10,43 10,50 10,56 10,63 10,69 10,76 10,82
3,3 10,89 10,96 11,02 11,09 11,16 11,22 11,29 11,36 11,42 11,49
3,4 11,56 11,63 11,70 11,76 11,83 11,90 11,97 12,04 12,11 12,18
3,5 12,25 12,32 12,39 12,46 12,53 12,60 12,67 12,74 12,82 12,89
3,6 12,96 13,03 13,10 13,18 13,25 13,32 13,40 13,47 13,54 13,62
3,7 13,69 13,76 13,84 13,91 13,99 14,06 14,14 14,21 14,29 14,36
3,8 14,44 14,52 14,59 14,67 14,75. 14,82 14,90 14,98 15,05 15,13
3,9 15,21 15,29 15,37 15,44 15,52 15,60 15,68 15,76 15,84 15,92.
4,0 16,00 16,08 16,16 16,24 16,32 16,40 16,48 16,56 16,65 16,73
4,1 16,81 16,89 16,97 17,06 17,14 17,22 17,31 17,39 17,47 17,56
4,2 17,64 17,72 17,81 17,89 17,98 18,06 18,15 18,23 18,32 18,40
4,3 18,49 18,58 18,66 18,75 18,84 18,92 19,01 19,10 19,18 19,27
4,4 19,36 19,45 19,54 19,62 19,71 19,80 19,89 19,98 20,07 20,16
4,5 20,25 20,34 20,43 20,52 20,61 20,70 20,79 20,88 20>8 21,07
4,6 21,16 21,25 21,34 21,44 21,53 21,62 21,72 21,81 21,90 22,00
4,7 22,09 22,18 22,28 22,37 22,47 22,56 22,66 22,75 22,85 22,94
4,8 23,04 23,14 , 23,23 23,33 23,43 23,52 23,62 23,72 23,81 23,91
4,9 24,01 24,11 24,21 24,30 24,40 24,50 24,60 24,70 24,80 24,90
5,0 25,00 25,10 25,20 25,30 25,40 25,50 25,60 25,70 25,81 25,91
5,1 26,01 26,11 26,21 26,32 26,42 26,52 26,63 26,73 26,83 26,94
5,2 27,04 27,14 27,25 27,35 27,46 27,56 27,67 27,77 27,88 27,98
5,3 28,09 28,20 28,30 28,41 28,52 28,62 28,73 28,84 28,94 29,05
5,4 29,16 29,27 29,38 29,48 29,59 29,70 29,81 29,92 30,03 30,14
0 1 2 3 4 5 в 7 8 9
208
Таблица квадратов (продолжение)
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5,5 30,25 30,36 30,47 30,58 30,69 30,80 30,91 31,02 31,14 31,25
5,6 31,36 31,47 31,58 31,70 31,81 31,92 32,04 32,15 32,26 32,38
5,7 32,49 32,60 32,72 32,83 32,95 33,06 33,18 33,29 33,41 33,52
5,8 33,64 33,76 33,874 33,99 34,11 34,22 34,34 34,46 34,57 34,69
5,9 34,81 34,93 35,05 35,16 35,28 35,40 35,52 35,64 35,76 35,88
6,0 36,00 36,12 36,24 36,36 36,48 36,60 36,72 36,84 36,97 37,оя
6,1 37,21 37,33 37,45 37,58 37,70 37,82 37,95 38,-07 38,19 38Д2
6,2 38,44 38,56 38,69 38,81 38,94 39,06 39,19 39,31 39,44 39,56
6,3 39,69 39,82 39,94 40,07 40,20 40,32 40,45 40,58 40,70 40,83
6,4 40,96 41,09 41,22 41,34 41,47 41,60 41,73 41,86 41,99 42,12
6,5 42,25 42,38 42,51 42,64 42,77 42,90 43,03 43,16 43,30 43,43
6,6 43,56 43,69 43,82 43,96 44,09 44,22 44,36 44,49 44,62 44,76
6,7 44,89 45,02 45,16 45,29 45,43 45,56 45,70 45,83 45,97. 46,10
6,8 46,24 46,38 46,51 46,65 46,79 46,92 47,06 47,20 47,33 47,47
6,9 47,61 47,75 47,89 48,02 48,16 48,30 48,44 48,58 48,72 48,86
7,0 49,00 49,14 49,28 49,42 49,56 49,70 49,84 49,98 50,13. 50,27
7,1 50,41 50,55 50,69 50,84 50,98 51,12 51,27 51,41 51,55 51,70
7,2 51,84 51,98 52,13 52,27 52,42 52,56 52,71 52,85 53,00 53,14
7,3 53,29 53,44 53,58 53,73 53,88 54,02 54,17 54,32 54,46 54,61
7,4 54,76 54,91 55,06 55,20 55,35 55,50 55,65 55,80 55,95 56,10
7,5 56,25 56,40 56,55 56,70 56,85 57,00 57,15 57,30 57,46 57,61
7,6 57,76 57,91 58,06 58,22 58,37 58,52 58,68, 58,83 58,98 59,14
7,7 59,29 59,44 5$60 59,75 59,91 60,06 60,22 60,37 60,53 60,68
73 60,84 61,00 61,15 61,31 61,47 61,62 61,78 61,94 62,09 62,25
7,9 62,41 62,57 62,73 62,88 63,04 63,20 63,36 63,52 63,68 63,84
8,0 64,00 64,16 64,32 64,48 64,64 64,80 64,96 65,12 65,29 65,45
8,1 65,61 65,77 65,93 66,10 66,26 66,42 66,59 66,75 66,91 67,08
8,2 67,24 67,40 67,57 67,73 67,90 68,06 68,23 68,39 68,56 68,72
8,3 68,89 69,06 69,22 69,39 69,56 69,72 69,89 70,06 70,22 70,39
8,4 70,56 70,73 70,90 71,06 71,23 71,40 71,57 71,74 71,91 72,08
8,5 72,25 72,42 72,59 72,76 72,93 73,10 73,27 73,44 73,62 73,79
8,6 73,96 74,13 74,30 74,48 74,65 74,82 75,00 75,17 75,34 75,52
8,7 75,69 75,86 76,04 76,21 76,39 76,56 76,74 76,91 77,09 77,26
8,8 77,44 77,62 77,79 77,97 78,15 78,32 78,50 78,68 78,85 79,03
8,9 79,2| 79,39 79,57 79,74 79,92 80,10 80,28 80,46 80,64 80,82
9,0 81,00' 81,18 81,36 81,54 81,72 81,90 82,08 82,26 82,45 82,63
9,1 3?,8Г 82,99 83,17 83,36 83,54 83,72 83,91 84,09 84,27 84,46
9,2 84.64 84,82 85,01 85,19 85,38 85,56 85,75 85,93 86,12 86,30
9,3 86,49 86,68 86,86 87,05 87,24^ 87,42 87,61 87,80 87,98 88,17
9,4 88,36 88,55 88,74 88,92 89,11 89,30 89,49 89,68 89,87 90,06
9,5 90,25 90,44 90,63 90,82 91,01 91,20 91,39 91,58 91,78 91,97
9,6 92,16 92,35 92,54 92,74 92,93 93,12 93,32 93,51 93,70 93,90
9,7 94,09 94,28 94,48 94,67 94,87 95,06 95,26 95,45, 95,65 95,84
9,8 96,04 96,24 96,43 96,63 96,83 97,02 97,22 97,42 97,61 97,81
9,9 98,01 98,21 98,41 98,60 98,80 99,00 99,20 99,40 99,60 99,80
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
209
ЕДИНИЦЫ ВЕЛИЧИН
Единицы длины
1 километр (км) = 1000 метров (м)
1 метр (м)=10 дециметрам (дм)=100 сантиметрам (см)
1 дециметр (дм) = 10 сантиметрам (см)
1 сантиметр (см) =10 миллиметрам (мм)
Единицы площади
1 квадратный километр (км2)=1 000 000 квадратных метров (м2)
1 квадратный метр (м2)=100 квадратным дециметрам (дм2)=10 000 квад-
ратных сантиметров (см2)
1 гектар (га)=100 арам (а)=10 000 квадратных метров (м2)
1 ар (а) =100 квадратным метрам (м2)
Единицы массы
1 тонна (т)=1000 килограммов (кг)
1 центнер (ц) = 100 килограммам (кг)
1 килограмм (кг) =1000 граммов (г)
1 грамм (г)=1000 миллиграммов (мг)
Единицы объема
1 кубический метр (м3)=1000 кубических дециметров (дм3)=1 000 000 ку-
бических сантиметров (см3)
1 кубический дециметр (дм3)=1000 кубических сантиметров (см3)
1 литр (л)=1 кубическому дециметру (дм3)
1 гектолитр (гл)=100 литрам (л)
Единицы времени
1 год «365 суткам
1 сутки = 24 часам (ч)
1 час (ч)=60 минутам (мин)
1 минута (мин) = 60 секундам (с)
210
предметный указатель
Абсолютная погрешность 102
Возведение в степень 78
-------одночлена 92
-------произведения 86
-------степени 87
Вынесение общего множителя за
скобки 124
Выражение с переменными 6
Вычитание многочленов 115
График линейной функции 63
— линейного уравнения с двумя пе-
ременными 171
— прямой пропорциональности 55
— уравнения с двумя переменны-
ми 168
— функции 48
Графический способ решения систем
175
Деление степеней 83
Зависимая переменная 44
Заключение в скобки 115
Значение выражения* 3, 6
Корень уравнения 20
Коэффициент одночлена 90
— пропорциональности 36
Линейная функция 61
Линейное уравнение с двумя пере-
менными 171
-------одной переменной 22
Многочлен 112
— стандартного вида 112
Независимая переменная (аргумент)
44
Область определения функции 44
Обратно пропорциональные перемен-
ные 41
Одночлен 89
— стандартного вида 90
Основание степени 78
Основное свойство степени 82
Парабола 96
Переменная 6
Переместительное свойство сложе-
ния 11
---умножения 11
Подобные члены многочлена 112
Показатель степени 78
Приведение подобных членов 112
Пропорциональные переменные 35
Прямая пропорциональность 54
211
Равносильные системы уравнений 177
— уравнения 20
Разложение на множители многочле-
на 124
-------разности квадратов 145
---------кубов 156
-------суммы кубов 156
Распределительное свойство умно-
жения 11
Решение системы уравнений 174
— уравнения с двумя переменными
167
Свойства действий над числами 11
— обратно пропорциональных пере-
менных 42
— пропорциональных переменных 36
— уравнений 21
Система уравнений 174
Сложение многочленов 115
Сочетательное свойство сложения 11
----умножения 11
Способ группировки 131
— подстановки 178
— сложения 181
Степень многочлена 113
— одночлена 90
— с натуральным показателем 78
— с нулевым показателем 84
Тождественно равные выражения 14
Тождественные преобразования 14
Тождество 18
Точность приближенного значения
103
Угловой коэффициент прямой 68
'Умножение многочлена на много-
член 128
— одночленов 92
— одночлена на многочлен 118
— степеней 83
У равнение 20
— с двумя переменными 167
Формула квадрата разности 148
---суммы 147
— разности квадратов 145
--- кубов 156
— суммы кубов 156
Формулы сокращенного умножения
142
Функция 44
Числовое выражение 3
Член многочлена 112
ОТВЕТЫ
(
Глава I
2. а) 20; б) 629,2; в) 28,89; г) 48,09. 3. а) 41,65; б) 13,6; в) 58;
г) 10. в. а) 11; б) 14^; в) i; г) 14. 7. а) 4^|; б) 0; в) 3; г) 1бХ 8. а) 5^;
о 4 40 1О 1О
б) 1; в) 3-|-; г) —. 19. 78 к. 20. Первый на 3,2 га. 21. 132 л. 22. а) —122;
о 1а
б) 1,6; в) З-i-; г) 2,5. 27. а) -4; б) 5,2. 28. а) 0,4; б) -6,8; в) 4,5; г) 0,8. 31. а) 3;
б) 15; в) —49; г) 0,8. 40. 60. 41. 30 р. 42. 200 станков. 52. 4%. 58. 40%.
54. а) 26,81; б) 77,01; в) 7,22; г) 78. 56. а) 24; б) 24,9; в) 13,4; г) -9,5. 57.
4
а) 35,7; б) 16,64; в) 10; г) 2,8. 59. а) 0; б) 1у. 60. а) 13,4; б) -757; в) -1580;
г) 4,7. 63. а) 94,2; б) 40,3. 82. а) Зх+0,5; б) 2x4-2; в) За-6; г) 1,554-10.
83. а) 11-6,5х; б) Зр-5,1; в) 0,4а-7; г) 65-5; д) у—8; е) 8х-8. 84. а) 6,75;
б) 22; в) —6; г) —0,3. 86. а) 84-2х; б) 46—51/; в) 20z—33; г) 5; д) 4—105;
е) 36,8с—8. 87. а) 1; б) -7; в) -3,1; г) 276. 88. а) 10л»-4; б) -6п4-3;
в) 11 — Ир; г) 0,1; д) 1,35+0,1; е) 1,6с—5. 89. a) 1; б) 3. 90. а) —20; б)
99. а) 3,4; б) 5,24. 109. а) 4,5х—2,4; б) 36 —3,6а; в) 12,3—8,5р; г) 2 — 145.
110. 16,5; - 2; -196. ИЗ. а) 3; б) - 43; в) 180; г) - 5; д) 300; е) - 90.114. а) 1
б) 0,5; в) -0,15; г) -2; д) 0; е) -5; ж) 12; з) -3; и) 0; к) 0; л) 0; м) 0.115. а) 7;
6) 1А: в) г) 5; д) l-^-j е) -1,2; ж) l-^-. 116. а) 4; б) 2,5; в) -89; г) 0,5.
117. а), в), г) Корней нет; б) любое число является корнем уравнения.
118. а) 0; б), г) Корней нет; в) любое число является корнем уравнения.
119. а) 2,4; б) -12; в) -5; г) -1,5. 120. а) 7; б) -32; в) -3; г) -1,8.
121. а) —6; б) 16; в) А; г) -4; д) 3^; е) 3. 122. а) 0,05; б) -15,8; в) 1,6;
г) 0,4.123. а) -3,5; б) 2; в) 74,6; г) 0,25.124. а) 2; б) 1,15; в) 4; г) 12; д) —78;
е) -13. 125. а) 19,1; б) 1; в) -0,7; г) 0,75; д) 1; е) 1,9. 126. а) 23,7у+16;
213
б) 14—3,2jr, в) —5,1а; г) —7,2m. 127. а) 5,9; б) —9,4. 128. а) 45,82; б) —2,5.
129. 6,8; 6,3 и 3,4 см. 130. 350; 420 и 504 чел. 131. 400; 80 и 75 г. 134. 55 и
11 кустов. 135. Через 8 ч. 136.5,2 р. 137.50 км/ч. 138.10 чел. 139. 5.140.1,5 кг.
141. 2; 4 и 10 кг. 142. 20 м. 143. 20 и 40 кг. 144. 20 км/ч. 149. а) 426,5;
б) 7,6; в) 12,4; г) 2,72. 150. а) 23; б) -12,4. 151. а) -2; б) 4; в) 1-i-; г) 6^.
152. а) 4-; б) 16. 153. а) 4; б) 2,5; в) 240; г) 4- 154. а) 1,44; б) 1^; в) 9,2;
О О 7 1о
г) 6.157. а) -!•; б) —16. 158. а) -19; б) в) 2; г) 0. 168. а) 87; б) 136; в) 58;
г) 52. 169. а) 0; б) 3,947. 177. а) 5,7+0,9m; б) - 1,6х—6; в) 0,21/+0,2;
г) 5,3?+ 1,6. 178. а) -0,5; б) 1. 189. а) 1,49; б) 0; в) -32,5; г) 0,3. 190. а) 24;
б) —35; в), г) корней нет. 191. а) —5; б) 1; в) —2; г) 3,5. 194. 575 кроликов,
425 кур. 195. 46 и 40 деталей. 197. 48 и 12 марок. 198. 10 дней. 199. 9 дней.
200. 13.
Глава II
206. 40 ч. 207. 108 р. 208. 3,75 кг. 209. 215 г. 210. 6,25 г. 211. Да. 212. Да.
214. 20, 30, 15 книг. 215. а) —1,76; б) 88. 216. Да. 217. Да. 219. 6,8; 12; 20 см.
220. 52,5 см. 221. 738 и 24б'га. 222. 3; 6 и 7,5 см. 223. а) 100 и 80°; б) 168 и 12°.
224. 18, 24,18 деревьев. 225. 60, 90, 210 и 240 га. 226. 4,8 кг. 227.187 человек.
230. 3 ч. 231. 2 ч 20 мин. 232. В 1,5 раза. 233. Алюминиевый в 3 раза.
234. За 15 ч. 235. 12. 236. 60. 237. 324. 238. На 40 дней. 240. 25,3 т. 245. 31;
— 93; 9?. 246. 6; 10; 17. 249. 12; —8; 0; —0,4; —18,8. 250. а), г) Все числа;
б) все числа, кроме числа 7; в) все числа, кроме числа —3. 251. Все целые
числа от 1 до 6 включительно. 252. Все числа от 0 до 180, исключая 0 и 180.
253. Все натуральные числа от 1 до 12. 254. 1, 0, 2, 3; все натуральные
числа; 0, 1, 2, 3. 255. 144 км. 256. 2,4 ч. 270. Принадлежат А та В. 276. 10;
15 и 22,5 см. 277. Да. 278. 2л. 279. а) 3; б) 0; 1-1; -30.
а У л
282. а) Принадлежат А и К; б) принадлежат В и Е. 287. а) 8,8 м2; 10 м2;
б) 2,4 м; 3,2 м. 292. а) В I и III; б) во II и IV; в) в I и III; г) во II и IV; д) в I и
III; е) во II и IV. 296. а>2-|-; б) 297. а) 156а-84; б) -6m+100. 298. 165
книг. 300. Да. 301. Да. 304. а), б) Да. 305. Да. 308. Л = 1,5. 309. а) 2; б) — 3.
310. а) п ^10; б) п<5. 311. Проходит через А та С, 325. Проходит через
А, В и D. 326. а) 0,9; б) 0; в) г) —2,5. 327. a) -|s б) 211,3. 328. 200.
335. а) 5=^4; б) 5=^-6. 337. а) При 5=0; б) при 5^0. 340. а) (1; 2); б) (8; —6);
в) (-2; -110); г) (1; 29); д) (2; 28); е) (4,4; -6). 341. а) (2; -3); б) (4; 0);
г) (0,9; 0,9). 842. а) Да; б) нет. 343. а) 1,4; б) 0,125. 344. 800 т. 345. Увеличится
в 12 раз. 346. Увеличится в 1,76 раза. 347. Хватит. 348. 280 см3. 349. Около
7,7 кг. 350. Около 1667 т; 2250 т. 352. 75 см. 353. 30 км. 355. На 1 дм.
356. 24; 18 и 15 р. 357. 4 кг и 3 стакана. 358. Бензин примерно в 1,1 раза.
359. В 1,5 раза. 360. Уменьшить в 6 раз. 361. 108 и 288 км. 362. 36 ч. 363. 80.
214
Звв. —3,6; —3; 0,84; 1,56. 368. Все натуральные числа, большие 10.
382. а=— 0,4. 389. а), б) Да; в), г) нет. 390. 2, 3, 4 и 5. 393. к=— 0,4; при-
надлежит. 394. у = 1,5х. 395. у=8. 396. а) (7; 37); б) (-3; -55); в) (1,2; 5);
г) (140; 14).
Глава III
400. б) 4096; г) 16807. 403. г) 82, 43; ж) 1,53; з) 1,2s. 405. д) -96; е) 432.
406. д) 9,6; е) 0,08. 408. д) 114; е) 290; ж) 10; з) 2; и) 78,5. 409. в) —37;
г) —539; д) 0,6; е) 2. 411. а) 0,16; 0,81; 100; б) 245; 3; 453. 414. 667; 1887.
420. 2400, 2400 и 3600. 423. а), б) Принадлежит. 428. в) тТ|; г) р9; д) 10'°;
е) З10. 429. в) х”; г) п15; д) 713; е) 5". 430. в) ft17; г) 214; д) 0,47. 434. в) а20; з) 0,7s.
435. в) х"; г) у8. 437. б) 1000; г) 1у! е) 438. а) 49; б) 81; в) 25; г) 0,216.
439. а) х"+3; в) х"+1; г) у"~*. 440. а) 97; б) 1; в) -125; г) -28. 441. а) 3;
б) —2,5; в) 90; г) —1. 445. 202,5 г. 452. г) (—aft)3; д) (2а)5; е) (0,3т)3. 453. в) 1;
г) 1; д) 4? е) 50 000 000. 455. д) х9; е) х24. 457. в) ат+2; г) а2т. 460. б) 820; г) 3212.
462. в) а14; г) х20; д) т20. 463. в) а14; г) а18; д) а12; е) а21. 464. в) х23; г) х21.
465. а) 16; б) 5; в) 4; г) 466. Указание. Докажите, что сумма цифр
У
любого из чисел вида 10”+2 делится на 3. 468. &= — 2. 473. б) 0,6р2д3;
в) 20ад3; г) -12абд2; д) 0,8т4п2; е) -х4у2. 474. б) -2; в) 0,18; г) 1. 475. а) 0,592;
б) —0,108; в) 0,012; г) 476. 5m2 см2. 477. 8а3 см3. 478. а) Одиннадцатая;
28
б) третья; е) нулевая. 480. а) б) 0,5. 482. а) — 3,3х4у*; б) — авЬ*с; в) 4х3у4;
г) —0,36a5ft’x°. 483. в) 64а567; г) — 28а4Ь4; д) - 6х°р3; e)108a4ft3. 484. a) 0,4m7n8;
б) -0,1х4у"; в) -c,od’; г) -а3Ь5; д) х4/; е) m9n12. 487. в) -8а12Ь6;
г) 81xV; д) —а,0Ь5с15; е) а°Ь4с2. 488. в) -0,216m’ne; г) 4х2у°; д) x4yleft3;
е) -х,0р|5т5. 490. а) (Эх2)2. 491. в) (-0,2ft2)3. 494. б) 1000 т9; 100 т’.
495. а) 225а10; б) 81ft25; в) 8р19; г) -0,15с'°; д) с19; е) 2Ь13; ж) -х10; з) 2^14.
496. а) — Зх7у5; б) 32а2Ь9; в) 8т,0л19; г) - 1,12с'4; д) х10/; е) 5e°fts; ж) -0,5m8л4;
в) -12р7д9. 497. а) —0,04Ь'9; б) 10а19; в) р'5; г) 3000а"; д) -112а"Ь5;
е) — 0,15х9у"; ж) 0,01р7?7; з) За29Ь9. 498. Через 9 дней. 499. Через 6 дней.
500. k= 1,5, 5 = 6. 501. х = 13,8, у = 1,26. 505. Увеличится в 9 раз; умень-
шится в 100 раз. 510. а), б) Принадлежит; в) не принадлежит. 513. Увеличится
в 8 раз; уменьшится в 27 раз. 516. а), б) Принадлежит; в) не принадлежит.
519. 180 г. 520. За 6 ч. 522. х= -2,4, у = -20,4. 530. 24,8 м2. 531. 65,3 дм2.
534. а) Прямые параллельны; б) х=8, у = 36,5. 535. 13 кг и 26 кг. 538. а) 0,13;
б) 4; в) 0,047; г) 0,002. 539. а) 0,0013; б) 0,008; в) 0,0001; г) 0,19. 542. i;
А; 548. 0,5 кг. 550.1,4 и 1,5.551.2 ч. 553. а) 7; б) 121. 555. г) 22 - 53.556. г) 3’;
д) 2'°. 557. в) 25 + 23+х2. 561. а) 98; б) -8. 571. в) 7"+3; г) 3‘+4. 572. в) а5.(-а35).
574. б) 725. 575. б) 36; г) 0,6; е) 577. а) 2-|-; б) 6,8. 581. в) 0,04; г) 6,25;
д) 1; е) 81. 582. в) Указание: 2526 = 550; 250.350=650; г) 6330>Зв0.530.
215
583. г) 3е. 594. г) 0,15x3y3z3; д) 8,5а4 Ь3с2; е) 0,16аб) 7 *67х’. 599. г) 7a20&'°; |
д) -^b10 *c17; е) 64хму28. 600. е) 0,5х12 * * * *у7; ж) Зба’б3; з) --j-x’y7. 601. г) За’Ь2; |
д) 0,2а9Ь"; е) а’Ь10. 609. 0,18. 610. 0,56. I
Глава IV i
619. а) 107; б) 30. 620. а) —57; б) 3. 625. а) 0,05625; б) —1,92. 626. а)
2
б) 1; в) 627. а) 24 000; б) -10 000. 630. г) -26-1; д) -п2-7; е) 8. J
631. а) 0,7а—4,8а2; б) -62+136; в) 1,6х2+5,5; г) 1,9у2-1,4у + 4. 632. а) 5-
— 10х; б) 6с—с2; в) 26—2; г) ЗО-у3-6у2. 634. а) 0,2а2+0,35а +1,2;
б) ОД^-ЗДбу; в) — 4х2+4ху; г) 2а62-4а6-56. 635. а) 4а26 - 62 + 2; ,
б) 2ху. 636. а) 60; б) 156. 637. а) - 2; б) -1. 640. а) 10а2 + 12а6+262; б) - 462. ’
641. а) 3; б) 1-|-; в) 0,3; г) -20; д) 0; е) -i. 642. а) 1,23; б) -2; в) -1,5; г) -2. "5
646.15 деталей. 647. На 60 кустов. 652. а) 10,5; б) 28; в) 0,8; г) - 5.653. а) 806 -
-11; б) 5с+34; в) -21; г) 42-24у. 654. а) 26у-2у2; б) -y’-lOy; в) 2—4х; ' ’
г) 2а3; д) 4с2—762; е) — Зх3у; ж) Зт3—ш2п + 2п2; з) п2—п3. 655. а) 7х2—20х;
6) а3+а2; в) ах2-8а2х; г) 4m4-m2n2-3n4. 656. a) -6; 60; б) 8. 657. a) 200; \
-250; б) 0,8. 658. а) 14а4-а3; б) 262-6; в) 16х2-6х4; г) с4. 663. а) 7; .6) 8;
в) 49; г) 0,4; д) -2; е) 0; ж) 24; з) 664. а) -2; б) -20; в) -1,5; г) -0,2.
665. а) —1; б) 2; в) —4; г) 2. 666. а) 0,5; б) —2; в) 1,6; г) —2. 667. а) 24;'
б) 13-?-; в) 1-1; г) —1-3-; Д) -52,5; е) -4,5; ж) -36; з) 1-1. 668. а) 12,5;
ООО I
б) 17; в) 17; г) -25; д) -I; е) 669. a) 1-1; б) -0,5; в) г) 28. 670. а) -13; ,
У 1о 4 < ? $
б) 1,5; в) -15; г) 0,5.671. а) -3,5; б) -1; в) 1; г) 2; д) 17,4; е) 4^-. 672. 4^6 и 48 к. \
4
673. 16; 20 и 8 см. 674. 41, 36 и 33 км. 675. 26,38 и 40 деталей. 676. 96 деталей. ' •
677. 300 га. 678. 1500 м. 67Q. 9 км. 680. 60 км. 681. 360 км. 693. а) 2,28;
б) —15,75. 700. а) 0; —8; б) 0; 0,2; в) 0; 0,4; г) 0; i; д) 0; 0,1; е) 0; 30. 701. а) 0;
—0,6; б) 0; 11; в) 0; 0,6; г) 0; 10; д) 0; 0,16; е) 0; 0,04. 702. 9 км. 703. а) 5; I
б) —1,5. 712. а) х3+2х2у—у3; б) п3 — 2пгр+2пр2—р3; в) а3 — 2ах2—х3; <
г) t?-2b3c+c3-, д) а3—6а2+11а—12; е) 5х3—7х2—Зх + 2; ж) х3 + Зх2—8х+ 1
+ 10; з) Зу3—7у2 + 7у—4. 713. а) с3—2cd2—d3; 6) х3 —2х2у + у3; в) 4а3 —
— За2 + 2а—3; г) —Зх3 + 8х2+7х—12. 714. а) 8п3+27р3; б) 125х3—8у3; :
в) — 6а3+13а2— За — 2; г) —8а3 + 20а2+22а + 21; д) Зх4 —2х3 + Зх2+4х—4; J
е) 4а4 —11а3+25а2—13а—5. 715. а) х3 + 6х2 + 11х+6; б) а3-21а + 20. >
716. а) 196 — 10; б) 14у2 —12; в) 9х; г) а36 + 5а62—а262; д) 4а —2а6; |
е) Зх2+6х+4-у2. 717. а) -15х2+2х+1; б) -5m2+m-12; в) -у2 + 3ху; j
г) 8а2—2х2. 718. а) 7; б) 6; в) 15; г) 98. 720. а) —0,8; б) -1,25; в) 0; г) 0.
721. а) —1; б) 0,2; в) 3,5; г) —1-1. 723. 21, 22, 23. 724. 13, 14, 15, 16.
725. 221 см2. 726. 36 см. 727.12 дней. 728.1680 га. 729. а) 2; б) 15,5. 734. а) 0,5;
216
-1; б)-4; 4; в) 2; 5; г) 0,4; -1. 735. а) 1-1; 4’ «) ‘т*’ 8; в> 14; “14:
О Л О t> U О
г) —1; -1- 741. а) -^; б) ||. 742. а) 12-1; б) 0.743. а) 52; б) 15. 747. 260 коров.
748. 6,3 т. 752. а) 18; б) -8,5. 757. а) — 7х2—14; б) -а2+2а + 2; в) — 2а—
-105-3; г) — х2. 761. а) —2; б) 8; в) -1; г) 2. 762. 1,92; 3,84; 4,8; 5,76.
763. 11. 764. 52. 765. 221. 768. 16,8; 11,2 л. 769. 1,2; 10,2 л. 770. 150 км.
771. Через 3 ч. 772. Через 1 ч. 773. 8 ч. 774. 21,6 км/ч. 775. 0,5 км/ч.
776. 1120 га. 777. 37 000 м3. 778. 876 га. 779. а) 2,3; б) 0,147. 780. а) 0; —1;
б) 0; -1,6; в) 0; 2; г) 0; 0,2; д) 0; 1-1; е) 0; 1. 794. а) -4; б) 1; в) 2; г) 2.
795. а) 2х3 4-10х-|-4; б) 4a-f-l. 796. а) —35; б) 156. 799. 8, 9, 10, 11.
801. 400 см2. 802. 360 см2. 803. 80 м2. 804. 55,25 см2. 805. а) —2,8; б) 7;
в)91; г) —4,2; д) 0; е) -50. 808. а) 1; б) —1. 809. а) 20; б) 1.
Глава V
818. а) х2+1; б) Ь2 + 9; в) a2b2— 1; г) х2—у2. 820. а) х4—у*-, б) 16а4— 54;
в) 9m2; г) 50л4-49. 821. а) —4-5х; б) -4m4-9; в) 18Х2 — 2ах—а2; г) 2аЬ +
4- Ь2—2а2. 823. а) 2а2 — 40а-|-12; б) 1-125-1052; в) 63р2; г) 251с—6. 824. а) —1,5;
3 4 4
б) 7. 825. а) —3; б) —0,5. 829. 80 и 90 км/ч. 834. а) у; б) 4у; в) у; г) 1.
835. д) 4; е) 5. 837. а) 4 и -4; б) 9 и -9; в) 4 и —1; г) 0,5 и -0,5.
О о о
4 4 2 2 3
840. а) 1,5; -1,5; б) 4; --4 841. а) 5; -5; б) 6; -6; в) -^; —г) 1-^-;
О О О О тс
-1-1. 843. а) (у-1)(5у + 1); б) (с4-5) (5-7с); в) -(х+у)(15х + у);
г) —35 (10а—35); д) 35 (35-4а2); е) (553-х) (х-353). 844. а) (25-11) (254-1);
б) -(44-За)(104-За); в) (3-llm)(5-11т); г) -(р-Ь1)(Зр4-1); д) 5с(5с-
— 6d); е) —95 (2а2-|-95). 847. 85 и 90 км/ч; 100 и 105 км/ч. 861. а) 144а2—
— 24а; б) —4а2—3652; в) 198х—81х2; г) —14а5—49. 862. а) а24-81;
6) -10x4-1; в) 12х—9; г) а2—4а5. 863. а) 2х2-|-Зх-|-9; б) 4а2; в) 145;
г) 18а2; д) 2Х24-8x4-12; е) -4. 864. а) 2а24-18; б) 8х24-50; в) 38x4-25;
г) —215 — 4. 865. а) 89,6; 0; б) 10; 94. 866. а) 3; б) 0. 867. а) 1,7; б) в) 3;
г) 3,125. 868. а) 2,2; б) 1; в) г) 1. 870. а) 45а24-210а4-245; б) —964-
4-485 —6Ь2; в) х2у4-4ху24-4у3; г) — p34-10p2g — 25рд2; д) х3 — 2х2 — Т*—4.
871. а) р4-18р24-81; б) у4-32у2 4-256; в) а4-50а24-625; г) х4-32х24-256.
875. а) 16; б) при всех х. 876. Принадлежат А и С, не принадлежит В.
877. (0; 6); (-25; 0). 879. а) -6; б) 5. 880. а) 2; б) 2,3. 885. а) 10 000; б) 400;
в) 841; г) 400. 898. а) -0,125; б) £1; в) —0,009; г) 4. 899. а) 10; б) —66,4.
900.12 км. 901. Через В, С и D проходит, через А нет. 911. а), б) Да. 912. 30 км.
217
913. 6 км/ч. 917. а) 3(х+у)2; б) -(т-1)2; в) (х-2)2; г) 6(р+2д)2;
д) 5 (а+3)2; е) 2 (Зх-2)2. 919. а) 2 (т-1)2; б) 4 (3 + х)2; в) '8 (а - б) (a2+ab + b2);
г) 9 (х+у) (х2—ху+у2). 920. а) 4 (х +-3) (у-1); б) 6 (2-6) (5-е); в) -а (с+4)Х
Х(Ь+5); г) а(а + 1)(а + б). 921. а) 3 (б-2)(15-а); б) -5 (у+3) (х+8);
в) с3 (а— 1)(с+1); г) х(х—у)(х+1). 922. а) (х+у)(х—у—1); б) (а—5)Х
Х(а+5 —1); в) (т + п)(14-т—п); г) (fe+p) (fe—р—1); д) (с—d) (1+c+d);
е) (2т —n)(2m + n —1). 923. а) (х+у)(х— у + 1); б) (а—б) (1 +а-|- б); в) (р—д)Х
Х(1+р+«); г) (c+d)(c-d+l). 925. a) (х+у-т) (х+у + т); б) (р+а+5)Х
Х(р-а-б); в) (6—с —4)(б+с—4); г) (3-а-с) (3-а+с). 927. а) (а+1)Х
Х(а— Ь)(а + Ъ); б) (т —п)(т —3)(т + 3). 928. а) —3; 2; —2; б) 0,5; 3; —3;
в) 6; г) —1,5; 1; —1. 929. а) 2; 1; —1; б) 1; 4; —4; в) 0,5; 4; —4;
г) 0,75; 1; -1. 932. а) 4,6; б) 57. 938. а) 5а-4; б) 7а-9; в) -25-1; г) 25 + 1;
д) 2с2—82; е) 75. 941. а) Ц; б) в) 943. ж) 15 (х-1) (Зх-1); з) (2«+3)Х
Х(1 —4п); и) (За+2)(За+4); к) (-5х+17)(5х-13); л) 8(х+2)(х+11);
м) 4(5у—11)(2у—17). 948. а) Зх2-16х+25; б) -Зу2+24у + 64; в) 5а2-
—4а—15; г) —45 — 13; д) — 21а2+21; е) 18б2—126 + 2; ж) Зх2+22;
з) 8у2 —23. 953. а) 17; б) 17,4. 954. а) 4; б) 1,5; в) 2,625; г) 0. 961. а) 2х3;
б) —2; в) 133; г) 9р3. 963. а) 7х3-126у3; б) 26а3-953. 964. а) 131; б) 28;
в) 61; г) 24,125. 969. а) (2х+1)(х2 + х+1); б) (у-5) (у2-у+7); в) a (a2-3ab +
+ 352); г)(3х-у)(3х2+у2); д)(2а + 5)(13а2-5а5+52); е) (5+2) (52-265+ 244).
974. а) 2 (7 +25) (5а-65); б) 3 (75-с) (с2+2); в) 3 (у+3) (2-х) (2+х);
г) 6 (5а-35) (а2+4). 975. а) (а-5) (а+5) (За+5); б) (1-а)(1+а)(2х+у);
в) (1-с)(1 + с+с2)(Зр+2); г) (а+2)(а2-2а+4)(а-3). 976. а) (х-у)Х
Х(х+у —1,5); б)(х+а) (х—а+0,5); в) (2а—5) (2а+5—1); г)(р+4с) (р—4с—1);
д) (а + 5)(а-5 + 6); е) (х-у)(х+у-7). 977. а) (х+2у) (х-1) (х+1);
б) (2у-5)(у-2)(у+2); в) (а-2)(а+2)(а-5); г) (х-4) (х-3) (х+3).
978. а) (а+5)(За+5); б) (b-с)(Ис-95); в) (х-у)(5х+у); г) (а+1)(а-9).
979. a) (х+у-1)(х+у+1); б) (а-5-5)(а-5 + 5); в) (6-5+с)(6 + 5—с);
д) (1 —5х+у)(1 + 5х—у); е) (5—а — 6)(5+а+6); ж) (9а—35+с) (9а+35—с);
з) (5с—5 —с—1)(5с+5+с—1). 980. а) (х+у)(х2+ху+у2); б) —(4х+у)Х
Х(х2 + ху + у2); в) (а—5)(а2+6а5 + 52); г) (р— 1)(р2—р+1); д) (25 + 1)Х
Х(452 + 5+1); е) (а-5)(а2+а+25). 981. а) (х2-ху+у2)(х+у + 2); б) (а2+
+а5+52)(а—5+3); в) (а —5) (а+5) (а2—а5+б2); г) (х+у) (х—у) (х2+ху+у2).
Глава VI
990. (6; 6). 991. а=3. 998. а) 6,16; б) -4,32. 999. а) (1-а)(1 + а)2; б) (2-б)Х
Х(2+б)2. 1009. a) 1; б) 16; в) г) 1010. а) -1,2; б) 1. 1022. а) 10с3- j
— 17с2+19с—40; б) 21т2+10т-8. 1023. а) (а+1)(а+х)(а-х); б) (б+с)Х i
Х(5+3)(б-3). 1025. а) (2; 5); б) (1; -2); в) (4; 2); г) (4,5; 7); д) (-23; -3);
218
J
е) (7; -4,5). 1026. а) (5; 2); б) (1; 6); в) (-20; -2); г) (-1,5; -3,5).
1027. а) в=—0,5, v=0,2; б) р=3, д = 5; в) в=4-д-, V——1-1-; г) р—2,25,
« = - 3,5.1028. а) (- 4; 3); б) (- 2; 7); в) (-10; 5); г) (-11; - 4). 1029. а) (3; 0,5);
б) (4; 7). 1030. а) (1^-; -2.^-); <9 (-0,4; -7,2). 1031. а) (4,4; 1,72);
б)(з4; -*4)- 1032- а) (3: ~4); (“4 5 2); в) (-1вв;
г) (б-|-; ~4)- 1033> “) ж=7' б) «=-3. Ь=1- Ю34. а) х=—6; £/=4;
б) а=12, Ь=— 2; в) ш = 5, п=— 3; г) х=— 1, у=— 5. 1035. а) (—15; 12);
б) (2; -1,5). 1036. а) 8х2+18у2; б) 24ху. 1037. а) х3(х-2а)2; б) а’(2а-ЗЬ)2.
1039. а) (2; 1); б) (-8; -4); в) (60; 30); г) ^2; -^-). 1040. а) (5; -2);
б) (-3; 0); в) (-5; 10); г) (-3; -3,5). 1041. а) (-|-; °): б) (“М? ~2)5
в) «=--4 6=4; г) (2; 1); »)(Г ~4); е) У=в; 2=“7- 1042’ “) *=-1.
у = — 2; б) u = 3; V — —10; в) х— — 4; у = —1; г) а = 10, 5 = 5.1043. а) х = 100,
у=1; б) и=6, и = 5; в) х=0,4, У= —0,2; г) а=0,1’, 5=0,3. 1044. а) р=1,6х — 3;
1 2
б) р=6х—23; в) у=—1,5x4-11; г) у= — 2х — 7. 1045. у= — 1— х4-1—.
1048. а) (7; —2); б) (2; 1). 1049. а) х=3, р = 4; б) т = 10, п = 12; в) х=6, у=20;
г) u=12, v = 15. 1050. а) (9; 8); б) (-0,8; -0,8); в) (3; 4); г) (-1; 0).
1051. а) х=15, у = 12; б) и=—8, 17=6; в) х=12, у = — 12; г) а=15, 5=10.
1052. а) Система не имеет решении; б) система имеет бесконечно много
решений. 1054. д) 47 (а —Ь)(а+ Ъ) (а2 4- аЬ 4- b2) (а2— ab + 52); е) 51 (а24~ Ь2) X
Х(а4-а2Ъ2+Ъ4). 1055. а) -10х-1; б) -6р4-4.1057. 7,5 и 5,5. 1058. 8 и 7 м.
1059.380 и 320 га. 1060.105 тракторов и 82 комбайна. 1061. 30,2 м. 1062.1,8 р.
1063. 14 р. 1064. 300 и 180 кг. 1065. 60 км/ч. 1066. 9 и 5 р. 1067. 75 и 60 к.
1068. 80 и 60 км/ч. 1069. 5 и 4,5 км/ч. 1070. 18 км/ч. 1071. 55 и 5 км/ч.
1072. 4,5 и 3 м3.1073. 39 и 52.1074. 10 и 6 оредов. 1075. 24 и 12 кг. 1076. 20 кг
по 31 к. и 30 кг по 46 к. 1077. 720 и 1200 га. 1078. 320 и 360 деталей.
1079. а) -За4-2; б) 26. 1080. в) (р2 4-2) (р4 - 2р2 4-4); г) (3-т2) (94-Зтп24- т4).
1087. а) 3; б) 4. 1088. б) (1; 18); (2; 9); (3; 6); (6; 3); (9; 2); (18; 1).
1089. (5; 37); (11; 31); (13; 29); (19; 23); (23; 19); (29; 13);
(31; 11); (37; 5). 1090. 6 или 2 пары коньков. 1091. 1, 5 или 9 тарелок.
1096. а = 1. 1107. а = — 1,5. 1108. 5 = 2,5. 1109. 5 = 1,5. 1111. а), г) Одно;
б) не имеет; в) бесконечно много. 1115. а) х = 21, у = 25; б) х=1, р = 10;
в) р=16, 2=21; г) х = 9, у = 11; д) х = 10, у=1; е) U= — 0,1, п = 0,2.
1116. а)( -А; 1); б) (-0,5; 1,5); в) (7; 5); г) (4; 4). 1117. а) х=4^,
б) т= — 8, л=5; в) х = 1, у = 1; г) р=2, д=-|-. 1118. а) х=—5, у=3;
б) u=0, v = 4. 1119. а) (5; —4); б), в), г) решений нет. 1120. а) Не имеет;
б) имеет. 1125. 6 к. 1126. 40 и 25 к. 1127. 20 и 15 т. 1128. 3 и 2 т. 1129. 4 и 5 ц.
ИЗО. а=200, 5 = 250.1131. 40 и 25 деталей. 1132. 40 р. 1133. 39 и 30 деталей.
219
Задачи повышенной трудности
1134. Решивший 10 задач получает 20 очков, решивший 9 задач — 17 очков
и т. д. Решивший 3 задачи или меньше получает 0 очков. Число возможных
вариантов набранных очков (20; 17; 14; 11; 8; 5; 2; 0) равно 8. Следова-
тельно, из 9 учащихся по крайней мере 2 получили одинаковое число очков.
1135. Смогут, если половину расстояния каждый из них проедет на вело-
сипеде, а другую пройдет пешком. 1136. Ошибся А. Первым был Б.
1138. а) 33 шарика; б) 24 шарика. 1139. Число, не превышающее 1000,
заключено между числами 2° и 210, т. е. между 1 и 1024. Вопросы следует
задавать так, чтобы после каждого ответа промежуток между числами
уменьшался вдвое. Например, первый вопрос: «Больше ли задуманное число,
чем 512?» (так как 512 = 2s). 1140. Брату 9 лет, сестре 5 лет. 1141. 520, 572
и 440 орехов. 1142. 96, 120 и 168.1143. 36 и 48.1145. 12; 24; 36; 48. 1146. Де-
лится. 1148. 77. 1150. 7681. 1151. 142 857. 1152. 15. 1153. 729. 1157. 72.
1158. Не может. 1160. Первая из дробей больше, чем вторая. 1161. а = 4,
5 = 10. 1162. 51; 62; 73; 84; 95. 1163. 24 и 144, или 48 и 120, или 72 и 96.
1166. 121.1167. р = 3, q = 2. 1168. а), б) Не может. 1169. 264-1. 1177. х= — 4,
г/ —1, г = 5. 1178. х=3, у = 2. 1179. 12 и 30 км/ч. 1180. 6 монет 20-копеечных
и 2 монеты 15-копеечные. 1181. 47. 1182. 96 и 60 л. 1183. 63 и 84 л. 1184. 45 и
75 км/ч. 1185. 18 и 42 км/ч. 1186. 35 и 15 км/ч. 1187. 4,5 и 16,5 км/ч.
1188. Примерно на 114 кг. 1189. В 3 раза. 1191. На 32%. 1192. 48 км/ч.
1193. 30 и 18. 1200. (8;2).
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА Ц ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Выражения......................................... 8
1. Числовые выражения............................. —
2. Выражения с переменными......................... 6
3. Формулы ........................................ 9
§ 2. Преобразование выражении......................... 11
4. Свойства действий над числами.................. —
5. Тождественные преобразования выражений ... 14
6. Доказательство тождеств........................ 18
§ 3. Уравнения с одной переменной..................... 20
7. Уравнение и его корни...........................*—
8. Линейное уравнение с одной переменной .... 22
9. Решение задач с помощью уравнений.............. 26
Дополнительные упражнения к главе I • 29
ГЛАВА ФУНКЦИИ
§ 4. Пропорциональные и обратно пропорциональные пере-
менные .............................................. 35
10. Пропорциональные переменные............ —
11. Деление на части, пропорциональные данным числам 38
12. Обратно пропорциональные переменные ... 41
§ 5. Функции и их графики............................... 43
13. Что такое функция...................... —
14. График функции........................ 47
15. График прямой пропорциональности.......54
221
I
§ в. Линейная функция.................................60
16. Определение линейной функции.................. —
17. График линейной функции.......................62
18. Взаимное расположение графиков линейных функ-
ций ............................................. 66
Дополнительные упражнения к главе II ... . 70
ГЛАВА ЦО СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
$ 7. Степень н ее свойства .......................... 78
19. Определение степени с натуральным показателем —
20. Умножение и деление степеней..................82
21. Возведение в степень произведения и степени • • 86
§ 8. Одночлены....................................... 8S
22. Одночлен и его стандартный вид............... —
23. Умножение одночленов. Возведение одночлена в сте-
пень ............................................ 91
§ 9. Функция у = х2 и ее свойства.................... 91
24. Функции у = х2 и у — х3 и их графики .... -
25. Таблица квадратов............................ 9'
26. Абсолютная погрешность........................10
Дополнительные упражнения к главе III ... 10
Й
§ 10. Сумма и разность многочленов.....................11:
27. Многочлен и его стандартный вид............... -
28. Сложение и вычитание многочленов . . ,. • • 11
§ 11. Произведение одночлена и многочлена..............11
29. Умножение одночлена на многочлен............
30. Вынесение общего множителя за скобки ... 12
§ 12. Произведение многочленов..........................1|
31. Умножение многочлена на многочлен .....
32. Разложение многочлена на множители способом
группировки.........................................U
Дополнительные упражнения к главе /V . . . 1<
ГЛАВА ВЛ ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
$ 13. Разность квадратов.................................1
33. Умножение разности двух выражений на их сумму
34. Разложение разности квадратов на множители • • 1
222
§ 14. Квадрат суммы и квадрат разности • . • * • 147
35. Возведение в квадрат суммы и разности двух выра-
жений .............................................. —
36. Разложение на множители с помощью формул квад-
рата суммы и квадрата разности...............152
$ 15. Сумма и разность кубов...........................154
37. Формулы сокращенного умножения, приводящие
к сумме и разности кубов............................ —
38. Разложение на множители суммы и разности кубов 156
39. Применение различных способов разложения на
множители..........................................158
Дополнительные упражнения к главе V 161
ГЛАВА
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 16. Уравнения с двумя переменными и их системы • • . 167
40. Уравнение с двумя переменными и его график . • —
41. Линейные уравнения с двумя переменными • • 171
42. Системы уравнений с двумя переменными . • • 173
$ 17. Решение систем линейных уравнении................177
43. Способ подстановки............................ —
44. Способ сложения..............................181
45. Решение задач с помощью систем уравнений • • • 185
Дополнительные упражнения к главе VI..........189
Задачи повышенной трудности................................ 195
Сведения из курса математики IV—V классов....................202
Таблица квадратов ...........................................208
Единицы величин...............................................210 ч
Предметный указатель.........................................211
Ответы.......................................................213
Сведения о пользования учебником
№ Фамилия и. имя ученика Учебный год Состояние учебника
В начале года В конце года
1
2
3
4
б
Юрий Николаевич Макарычев,
Нора Григорьевна Миндюк,
Константин Соломонович Муравин,
Константин Иванович Мешков,
Светлана Борисовна Суворова
АЛГЕБРА
Учебник для 6-го класса средней школы
Зав. редакцией Р, А. Хабиб
Редактор Н. И. Никитина *
Мл. редакторы Л. И, Заседателева, Н. Т. Протасова
Художник Л. Л. Николаев
Художественный редактор Е, Н. Карасик
Технические редакторы И. В. Квасницкая, Е. В, Богданова
Корректоры О. С. Захарова, Т. С. Дарикова
ИБ № 8414
Сдано в набор 01.08.84. Подписано к печати 04.12.84. Бумага кн.-журнальная. Гарнитура
школьная. Печать высокая. Усл. печ. л. 144-форз. 0,25. Усл. кр-отт. 14,69. Уч.*изд. л. 10,814-0,45
фора. Тираж 3570 000 эка. Заказ 890. .Цена 25 коп. Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, поли-
графии и книжной торговли. 129846, Москва, 8-й проезд Марьиной рощи, 41. Саратовский
ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома
Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Саратов, ул. Чернышевского, 59.
ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ
НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ отЮ ДО 99
ЕДИНИЦЫ
ДЕСЯТКИ ЕЯ
0 1 2345*678 9
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
. 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 8724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ
25 к.