Е. Б. ВОЛКОВ, Р. С. СУДАКОВ, Т. А. СЫРИЦЫН
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ
РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1974

В67
УДК [629.7 036.5 : 629.7.017.1].0О1
Волков Е. Б., Судаков Р. С, Сырицын Т. А. Основы теории
надежности ракетных двигателей. М., «Машиностроение»,
1974, с. 400.
В книге освещаются некоторые задачи теории надежности
невосстанавливаемых систем и на основе этого ряд вопросов
надежности ракетных двигателей на жидком и твердом топ-
ливах. Излагаются методы расчета показателей надежности
основных элементов ЖРД и РДТТ на этапах проектирования
и отработки. Рассматриваются аварийные состояния ракетных
двигателей, способы их прогнозирования и контроля и дается
анализ возможности повышения надежности двигателей путем
резервирования их элементов.
Книга предназначена для специалистов, работающих в об-
области ракетной техники и в смежных областях, а также может
быть полезна студентам и аспирантам высших учебных заве-
заведений соответствующего профиля.
Табл. 13, ил. 59, список лит. 107 назв.
Рецензент д-р техн. наук В. Р. Серов
Научный редактор инж М. Л. Колосов
В 31Ш-173
038@1)—74
Издательство «Машиностроение» 1974 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Все основные успехи ракетостроения, которые были дости-
достигнуты за последние десятилетия, связаны со значительным
улучшением характеристик двигателей и повышением надеж-
надежности их работы.
Надежность двигателя как его свойство сохранять свои па-
параметры в допускаемых пределах при заданных условиях экс-
эксплуатации закладывается на этапе проектирования и отра-
отработки, обеспечивается при производстве и поддерживается на
необходимом уровне в процессе эксплуатации в составе ра-
ракеты. На всех этих этапах «жизненного цикла» ракетных дви-
двигателей может быть осуществлен ряд мер, повышающих и обес-
обеспечивающих их надежность. Большинство этих мер опреде-
определяются и обосновываются теорией надежности ракетных дви-
двигателей.
В последние годы опубликован ряд материалов по надеж-
надежности ракетных систем, однако достаточно полного и система-
систематического изложения основ теории надежности ракетных дви-
двигателей пока нет.
В настоящей книге делается попытка изложить вопросы тео-
теории надежности ракетных двигателей на жидком и твердом топ-
топливе. Рассматриваются только те вопросы, которые представ-
представляют интерес для лиц, занимающихся проектированием и отра-
отработкой ракетных двигателей.
Так как ракетные двигатели являются невосстанавливае-
мыми системами с ограниченными возможными выборками, то
большое внимание в книге уделено общим вопросам теории на-
надежности невосстанавливаемых систем в статистической поста-
постановке. Этот материал помещен в первом разделе книги, напи-
написанном Р. С. Судаковым.
Во втором разделе, изложенном Е. Б. Волковым и Р. С. Су-
Судаковым, рассматриваются вопросы расчета и оценки показа-
показателей надежности ряда основных агрегатов жидкостных и твер-
твердотопливных ракетных двигателей (камер сгорания, баков, тур-
бонасосных агрегатов, элементов автоматики — для ЖРД; кор-
корпуса, заряда, теплозащитного покрытия —для РДТТ).
312 о

В третьем разделе книги, написанном Т. А. Сырицыным, рас-
рассматриваются структурные методы повышения надежности ра-
ракетных двигателей. Проводится анализ аварийных состояний
двигателей, методов и систем контроля их работоспособности,
излагаются способы выявления и распознавания аварийных си-
ситуаций для мощных ракетных двигателей, возможности предот-
предотвращения некоторых неисправностей при работе с помощью си-
систем аварийной защиты. В этом же разделе книги рассматрива-
рассматриваются также методы резервирования агрегатов и элементов дви-
двигателей как способа повышения их надежности.
Формулы и числовые величины, характеризующие двигатели,
приведены в системе СИ. Параметры и схемы двигателей
даются на основе иностранных публикаций.
Авторы приносят искреннюю благодарность д-ру техн. наук,
проф. В. Р. Серову за ценные замечания, сделанные им при ре-
рецензировании книги, и заранее признательны читателям за кри-
критические замечания, которые следует присылать по адресу:
Москва, Б-78, 107885, 1-й Басманный, 3, издательство «Маши-
«Машиностроение»

Раздел I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ
Глава I
ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
1.1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. 1. 1. События
Одним из первичных является понятие случайного события
(или просто события). Дадим два определения этого понятия
Первое определение [19]. Событием А называется всякий
факт, который в результате опыта, проводимого в одних и тех же
условиях, может произойти или не произойти.
Это определение легко понимается на ряде примеров. Так,
отказ системы при ее испытании — случайное событие — может
произойти или не произойти. Однако оно не является формали-
формализованным, что затрудняет рассмотрение операций над различ-
различными событиями. Более полным является приведенное ниже вто-
второе определение [23], использующее понятия «выборочная точка»,
«выборочное пространство» и «множество».
Пусть R — множество некоторых элементов е. Факт принад-
принадлежности е к R обозначается так: e^R. Элементы e^R могут
рассматриваться как возможные исходы эксперимента или
какой-нибудь другой операции и называются выборочными
точками. Число этих точек может быть конечным или беско-
бесконечным. Множество всех возможных исходов эксперимента, про-
проводимого при данной совокупности условий, назовем выбороч-
выборочным пространством и обозначим через R. По крайней ме-
мере один из этих исходов обязательно (во всяком случае) проис-
происходит.
Второе определение. Событием А называется множество вы-
выборочных точек, являющихся некоторым подмножеством
(частью) в R.
Символически это обозначается так: AczR.
Ценность второго определения состоит в подчеркивании того
факта, что А есть множество выборочных точек. Это позволяет

поставить теорию вероятностей на прочную основу теории мно-
множеств и теории меры [23, 34]. Некоторые обозначения теории
множеств и математической логики, используемые далее, приве-
приведены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Используемые в тексте обозначения из теории множеств
и математической логики
Обозначение
€F
с:
N
1=1
Al(]A2
N
U Л1
Ai\}A2
A=Ai—A2
V
—
Смысл обозначения
Принадлежит (не принадлежит)
Является подмножеством
Пересечение множеств, т. е. множество точек, содержащихся
в Ai и в Л2, и в А3,..., и в AN (общая часть множеств
Аи..., AN)
Пересечение двух множеств At и А2
Объединение множеств Aiy А2,..., AN, т. е. множество то-
точек, содержащихся по крайней мере в одном из множеств Аи
или Л2, или Л3,..., или в AN
Объединение двух множеств Ai и А2
Пустое множество, т. е. множество, не содержащее никаких
точек. Является подмножеством всякого А
Разность множеств Л4 и А2, т. е. множество А, состоящее
из всех точек А у, не содержащихся в А2
Логический символ: для каждого, для всякого (квантор все-
всеобщности)
Существует такой, что (квантор существования)
Следует
Эквивалентно
Изучив табл. 1.1 можно убедиться в справедливости сле-
следующих соотношений из теории множеств:
U Л2=л2 и
=^2 П
A.1)
); A.2)
А1(]Аг=А1-А1Г\А2; Л1иЛ
причем Аг П [А, - (А1П Л)] = 05
А2)\,
A-3)

и л=
A.4)
Лх cz Л2 =ф Л"а cz ~AV A.5)
Множества Ль [Л2— {А2(]АхI..., [Ллг —Л^П ( U Л/)] в пра-
правой части выражения A.4) не пересекаются. Здесь A = R—А —
общее обозначение, называемое дополнением к А в R. Далее
N \ / М \ М ( N \ N N __
П At П U АА=[} Л,П П А, ; ПД- = /?~иЛ, A.6)
/-1 / 4 = 1 / / = 1 W-1 / / = 1 /-1
Обозначения теории множеств в соответствии со вторым опре-
определением «на языке» событий используются так:
A\czA2 — означает, что наступление события А\ влечет на-
наступление события А2 (так как в этом случае
Ax{\A2 = Ai)\
А= ф — означает, что событие А произойти не может (не-
(невозможное событие);
A = R — означает, что событие А обязательно должно
произойти (достоверное событие);
А =А\ U А2 — событие, состоящее в наступлении по крайней
мере одного из событий: Ах или Л2, или А\ и Л2
одновременно;
А=А\—Л2 — событие, обозначающее одновременно наступле-
наступление Ах и ненаступление Л2;
A = R—Л—событие, противоположное Л (пусть Л—успех
при испытании системы, тогда А — отказ);
А=А\ ПЛ2 —событие, состоящее в наступлении А\ и Л2 в од-
одном и том же испытании (другими словами Л со-
состоит из таких исходов испытаний, которые вхо-
входят как в событие Ль так и в событие Л2).
Если U -А/ = /?, A.7)
/=i
то совокупность событий Ль Л2,... Ах_ называется полной
группой (например, если Л—успех, Л—отказ, то A\JA = R,
и события А и А образуют полную группу).
Если все попарные пересечения множеств Aiy Aj пусты, т. е
АПЛ=0; АПЛ=0,...ЛПЛ~0 A.8)
(/=1,2,...,ЛГ; у=1,2,...,ЛГ, 1ф]\
то события А\, Л2,..., AN называются несовместными. Да-

лее вместо перечисления *=1, 2,..., N, /=1,2, —, N будем
также писать кратко:
[fW]; Vye [1,#] или i=l,N; j=\9N.
Несколько событий называются равновозможными,
если по условиям некоторой симметрии или по другим сообра-
соображениям нет оснований считать какое-либо из них более возмож-
возможным, чем любое другое.
Если несколько событий: а) образуют полную группу; б) не-
несовместны; в) равновозможны, то они называются случаями.
Описанная ситуация будет ниже именоваться схемой слу-
случаев [19].
Поскольку событие AcuR есть множество выборочных точек
(в частном случае А может состоять из одной точки и тогда
A^R), то далее будут рассматриваться совокупности (классы)
множеств А в R. Класс множеств, удовлетворяющих некоторым
условиям, называется полем множеств.
Наиболее часто в теории вероятностей рассматриваются два
поля множеств.
1. Булево поле F (булева алгебра). В данном поле на класс
множеств накладываются условия:
если ЛеЛ toIg/7; (l9)
если AX^F и ЛаеЛ то Аг U A2^F. A. 10)
2. Борелево поле В (сг-алгебра). Данное поле есть класс В
множеств, для которого наряду с условиями A.9), A.10) вы-
выполняется дополнительное условие, а именно: если Аи А2,. ..—
счетная последовательность множеств, принадлежащих В (т. е.
последовательность, каждому элементу которой может быть по-
поставлен в однозначное соответствие член натурального ряда чи-
чисел), то объединение этих множеств
U ^/ЕВ. A.11)
Условие A.10) является частным случаем выражения A.11).
Если R содержит конечное число выборочных точек, то класс
всех возможных событий и есть булево поле. Очевидно, что бо-
борелево поле порождается (формируется) булевым полем.
1.1.2. Вероятность
Понятие вероятности Р(Л) события А интуитивно связы-
связывается с понятием относительной частоты т/п, где п — число
испытаний или общее число возможных случаев; т — число слу-
случаев, когда получающаяся при испытаниях выборочная точка е

принадлежит Л, или число случаев, благоприятствующих собы-
событию Л.
В данной схеме
р(А) = —. A.12)
п
В этой же схеме при бесконечном числе возможных случаев
используется «геометрическая» вероятность
Р(А)=&- , A. 13)
G
где G — мера множества R (длина, площадь, объем и т. д.)
возможных исходов эксперимента;
go — мера части R, попадание в которую благоприятствует
событию Л.
В общем случае вероятность Р(Л) постулируется как функ-
функция множества Л, заданная на всех множествах поля В, и назы-
называется вероятностной мерой на поле В, если выполняются
условия:
1) Р(Л)>Р@)=О; 2) Р(Л)< Р(/?)=1.
Третьим условием является следующее: если Ль Л2...— счетная
последовательность попарно непересекающихся множеств из В,
то ,
«1
При этом Р(Л) есть вероятностная мера на борелевом поле
В = В(/7), порождаемом булевым полем F. Тройка чисел (/?, В, Р)
называется вероятностным пространством.
Из определения события Л и вероятности Р(Л), а также соот-
соотношений A.2) — A.6) следуют соотношения, описывающие опе-
операции сложения и умножения вероятностей.
1.1.3. Сложение вероятностей
По определению вероятности
если события Лг- несовместны.
В общем случае из соотношения A.4) следует, что
N-l

**
2
С учетом равенств A.6) соотношение для Р ( U Ai) представ-
представляется в виде
Р(и Д.)=1-Р П Л(. . A.15)
Х/ = 1 ' 4 = 1 /
Кроме того,
р(Й Л/)=Р(Л1)
4 = 1 '
Из уравнения A.3) получаем также следующее полезное
соотношение:
ПА,). A.17)
В выражениях A.14) — A.17) множества (события) Ai
Пример 1.1. Вероятность отказа конструкции хотя бы в одном из N се-
сечений.
Рассматриваются N расчетных сечений в конструкции. В каждом сечении
она может разрушиться с вероятностью qi = P(Ai), где Л{ — событие, состоя-
состоящее в разрушении конструкции в i'-м сечении за время т воздействия нагрузки.
На конструкцию во _всех ее сечениях действует одна и та же нагрузка, вслед-
вследствие чего события Аг могут присходить в течение одного и того же времени
воздействия т и, следовательно, являются совместными. Требуется выразить
вероятность q=P(A) разрушения конструкции (А — событие, состоящее в ее
разрушении) в функции Ах.
Решение. Событие А= \J A-ti так как для выхода конструкции из строя
/=1
достаточно ее разрушения хотя бы в одном из N сечений. Следовательно,
— fN — \
q = Р(А) = Р ( у j. I и решение задачи дается одним (любым) из выраже-
4 = 1 /
ний A.14) — A.16).
1.1.4. Условная вероятность, умножение вероятностей
Пусть (/?, В, Р)—вероятностное пространство и
Л2еВ, аР(Л0>0.
Тогда выражение
^ (..is»
называется условной вероятностью события Л2, вычис-
вычисляемой при условии, что событие Ах наступило. Факт наступле-
10

ния события А\ при рассмотрении левой части A.18) считается
достоверным, что подчеркивается введением специального обо-
обозначения: Л2|Л1.
Из введенного определения и соотношений A.1), A.18) сле-
следует, что при Л = Л i П Л2
А1); A. 19)
2), A.20)
откуда
Условные вероятности обладают всеми свойствами, прису-
присущими безусловным вероятностям [23]. Так, при V (Д В) с В
справедливы соотношения
0<Р(Д|Я)<1, A.22)
еслиЛП5=0, тоР(Л|В)=0. A.23)
Если событие В обязательно приводит к осуществлению со-
события Л (символически: ВаА), то Р(Л \В) =1. Кроме того, если
N
А=[) Ah то
N N-l N
P((A,\B№{Aj\B)) + ...
A.24)
Соотношение A.19) легко распространить на случай рассмот-
рассмотрения нескольких множеств (событий) Л^В, где г=1, N, и тогда
N
при Л= П Л/
А'~%/)- A.25)
Здесь Р(Л3|Л1ПЛ2)—вероятность события Л3, вычисленная
при условии, что произошло (достоверно) событие Л1ПЛ2. Ана-
Аналогичный смысл имеют вероятности
Р(л4|л1пл2пл3),...,Р(л^Гп11л/).
События Аи Л 2,..., AN называются независимыми, если
,N ч N
pi п ЛИ = П Р(Л,.). A.26)
и

Из выражений A.14) и A.21) следует ряд важных частных
результатов:
а) из условия Р(В\А) =Р(В\А) следует независимость А и В;
б) справедливо соотношение
/=1 i<j
A.27)
которое особенно удобно использовать в задачах, где проще
определить вероятности объединения событий, чем вероятности
их пересечений;
в) если AiczA2, AxaAz,..., AiCiAN, то
A.28)
где Pm=min P(At) = P(-A1)min — минимальное из значений Р(А1);
г) справедлива формула
N
N
если "V Р (//;)== I, а Н{ — некоторые попарно непересекающие-
ся события (гипотезы): U Ht = R\ H^Н~0\ Vi; j€[l,N],
Последнее из соотношений представляется также в виде
Nm
2
Nm { т \ т
i
/.-1 tm-i
а //г — некоторые попарно непересекающиеся события (гипо-
тезы) при 1=1, т. Условная вероятность Р(А\ П Нц) вычис-
вычисляется для всех векторов Тт= (i\9 к, - -., im), компоненты которых
принимают целочисленные значения h=l, Ni; /=1, т.
В справедливости соотношения A.30) легко убедиться, обо-
обозначив в выражении A.29) событие A\Hi через А и вводя новые
гипотезы Hir
12

\ Пусть в выражении A.29) гипотезы Ht совместны:
|а/ Ф JH, П Н, ф 0. Тогда Л=Л П R=A fl (U //,)= U А\,
\ ^ /—1 /=1
Л^'—-ЛП^Л, и из соотношения A. 14) находим
N
Здесь А=-
Величина А = 0, если гипотезы Hi несовместны. В некоторых слу-
случаях оказывается, что число гипотез в выражении A.29) беско-
бесконечно и тогда вместо соотношений A.29) и A.30) получаем
A.32)
где ф(/)—некоторая неотрицательная непрерывная функция,
удовлетворяющая условиям
f п
и Р (Л | ^) —вероятность события А при фиксированном
t и фиксированном наборе ^= (^, /2> • •., tm):
q>(t)dt — вероятность элементарной гипотезы.
В соответствии с упомянутыми условиями выбираются и пре-
пределы интегрирования в выражениях A.32) и A.33).
Рассмотрим, наконец, еще одно важное следствие соотноше-
соотношений A.20) и A.29).
13

Запишем выражение A.21) в виде
Здесь Hi(/=1, N)—некоторые несовместные события, состав-
составляющие полную группу. В левой части соотношения A.34), на-
называемого формулой Байеса, по определению условной вероят-
вероятности событие А считается достоверно совершившимся после не-
некоторой операции (эксперимента). В правую часть входят без-
безусловные вероятности Р(#г) гипотез. Учитывая такое
построение, обычно вероятности Р(#г) находятся по априорным
(доопытным) данным, а Р(Яг|/1) истолковывается как апосте-
апостериорная вероятность гипотезы, уточненная по отношению к апри-
априорной по результатам опыта. Очевидно, что здесь
Используя соотношение A.32), запишем выражение A.34)
так:
]<t(t)P(Aft)dt
-l , A.35)
]
а ]«t(t)?(A\t)dt
а
где х?[а,Ь].
В случае совместных гипотез с помощью равенства A.31)
находим
2
/1
л
причем P(U Ht\A)=\.
1.1. 5. Случайная величина
Первое определение [19]. Случайной величиной называется
такая величина, которая в результате опыта может принимать
то или иное значение, неизвестное заранее.
Обозначим через RV) множество точек числовой оси. Тогда
случайная величина t — дискретна, если она определена в счет-
счетном числе дискретных точек в RW, и непрерывна, если она опре-
определена для любого teBc^1), где В — подмножество RW. Слу-
Случайная величина, определенная в /?(*), называется одно-
одномерной.
14

Законом распределения случайной величины назы-
называется всякое соотношение, устанавливающее связь между воз-
возможными значениями случайной величины и соответствующими
! им вероятностями, т. е. соотношение вида P(t).
-¦
Упорядоченный набор N случайных величин tN= (t\912,..., tN)
называется случайным вектором. Напомним основную
интуитивную идею формирования iV-мерного пространства RW
[22]. Пусть вначале рассматривается трехмерное пространство.
Каждая точка этого пространства определяется тремя коорди-
координатами и обратно — каждая тройка чисел (tu t2y h) определяет
некоторую точку пространства, для которой эта тройка чисел
является координатами. В связи с этим точки трехмерного прост-
пространства можно отождествить с тройками (векторами) h= (tu t2:
tz) вещественных чисел. Таким образом, трехмерное простран-
пространство можно рассматривать как множество RW всех векторов
h=(t\t U> U). Этот подход по аналогии распространяется и на
случай Л/>3. Следовательно, RW есть множество всех векторов
7N=(tu ^2,..., tN). Точками RW являются векторы tN, компо-
компоненты которых ti^.R(lK Понятно, что множества /?A) и RW — ча-
частные случаи R.
Первое определение случайной величины, будучи интуитивно
понятным, не позволяет установить ее связи с событием и веро-
вероятностным пространством (R, В, Р).
Второе определение. Случайной величиной t называется ве-
вещественная функция t = y?(e) выборочной точки е, определенная
в вероятностном пространстве (R, В, Р), если она отображает
R в RM. Обозначим это так:
Случайный вектор отображает R в
Множество значений, которое принимает функция t = t(e),
когда е пробегает все пространство R, называется выбороч-
выборочным пространством случайной величины. Так, при числе
испытаний п с двумя исходами в каждом испытании (успех, от-
отказ) возможны всего 2п исходов (все п успешные, в п испыта-
испытаниях один отказ при первом испытании и т. д.), образующих вы-
выборочное пространство исходов R. Точками e^R являются серии
из п исходов с фиксированными числом отказов и номерами в
серии испытаний с отказами.
Пример.
Пусть /г=2, а « + » и «—» означают успех и отказ. Тогда имеем 22=4 се-
серии е{ = (+ +), е2= ( р))<?3=(Н ), еА=( ). Каждая из этих серий
15

является выборочной точкой пространства /?, образованного четырьмя точками )
(?ь е2, ез, е*) =е- Другими словами, здесь R — множество векторов е.
Случайная величина t^Wie)—возможное число отказов
в п испытаниях — отображает множество R исходов во множе-,
ство /?W значений ^[0, п]. При этом множество /?0> значений
t^[0, n] есть выборочное пространство случайной величины t.
В предыдущем примере t^[0, 2], а значения ^=0, 1, 2.
Для случайного вектора выборочное пространство есть RWt
в котором можно выделить, как ив/?, определенный класс мно-
множеств, удовлетворяющих некоторым условиям, в том числе и
а-алгебру BN. Совокупность (R(N\ BNy P) назовем вероятностным
пространством случайного вектора. Говорят, что случайная ве-
величина t(tN) индуцирует вероятностное пространство (
Р) или (/?W, BNi P) из основного выборочного пространства
(/?,В, Р).
1.1.6. Функция распределения
Пусть tN^R(N\a ti^R(l\ причем одномерное пространство
содержит все точки числовой оси (от —оо до ос). Функцией
распределения случайного вектора tN называется вероят-
N
ность осуществления события Л=П Л/, где А{ — событие, со-
;1
стоящее в выполнении условия —oo<ti^Xi\ Xi — некоторое фик-
фиксируемое значение U.
Функция распределения случайного вектора tN обозна-
обозначается как
, причем Р(Л)=/7(xN)=P(C\ At)
и F{xN) = P{-oo<tt<?xh vi=l,N). A.37)
Здесь величина U может принимать любые значения из /?<!>,
а фиксируемыми являются х\. Этим объясняется обозначение
F(xN)9 из которого следует, что F(xN) является функцией мно-
^сеетва RocuRW интервалов [—оо, x{]czR(l\ Следовательно,
Множество Ао будем обозначать как
Изменение случайной величины ti в ограниченном интервале
{например, a<t{<bf т. е. tt е[а, Ь\ вместо ti<= [—оо, со]} при
использовании соотношения A.37) будет означать, что вероят-
вероятность ее попадания вне указанного интервала равна нулю.
16

В частном случае, когда N=1 (т. е. когда рассматривается
одномерная случайная величина), ^(л:) =Р(—оо<^л;).
Свойства функции распределения вытекают из общих свойств
функций от множеств [45] и состоят в следующем.
1. Вероятность F(xN) является неубывающей функцией веще-
вещественных переменных х\.
2. Функция F(xN) непрерывна по каждой переменной, по
крайней мере справа, т. е. для /= 1, 2,..., N:
i+li...9 xN)=F(xux2,...9xN). A.38)
3. Функция F(xN) принимает значения между нулем и еди-
ницей [0<77(а:лг)<1], причем
lt A.39)
если Хг+оо при всех /=1, N,
и UmF(xN)=P@)=O, A.40)
если *г->—°° хотя бы для одного значения /.
Пределы A.39) и A.40) описывают вероятность достовер-
достоверного события (или функцию множества R всех возможных исхо-
исходов) и невозможного события (или функцию пустого множе-
множества 0). Любая функция, удовлетворяющая упомянутым свой-
свойствам, есть функция распределения.
Существуют три типа векторов tN^RW:
1) непрерывный (имеющий в качестве компонентов непрерыв-
непрерывные случайные величины);
2) дискретный (имеющий в качестве компонентов дискретные
случайные величины);
3) смешанный (имеющий часть компонентов в виде непрерыв-
непрерывных и часть компонентов в виде дискретных случайных величин).
Каждый из указанных векторов имеет характерную для него
функцию распределения.
Функция распределения непрерывного случайного вектора tN
имеет вид
^ хх х* xN N N
A.41)
где iji — переменные интегрирования (/= 1, N).
Производная N-ro порядка
A.42)
17

называется функцией плотности вероятности не-
непрерывного случайного вектора tN или совместной плот-
ностью распределения его компонентов U (i=l, N).
Функция распределения дискретного случайного вектора tN
при ti^ai представляется как
2
2 p(vi'vi--'v")= 2 Р(^ (L43)
где Xi — целые числа;
P(v1,va,...,v^) = P(<i = v1, t2 = v2,...jN=vN) = P(vN);
Vi — переменные суммирования, принимающие в выражении
A.43) значения
при i=l,N.
Функция распределения смешанного случайного вектора с Л/")
дискретными и N2 непрерывными компонентами может быть
представлена в виде
xNt + l xNt+2 XN N
X j J ..-J Ауъ+u #jv1+2,...,#;v) П ^» A-44)
/TV + 1
где f (•) —плотность /(•) совместного распределения N2 компо-
компонент при данном наборе значений (vlf v2,...,vAr1).
Случайные величины tu t2i..., ?zv называются независимыми,
если
где ^(л:г)=Р(—оо<^-^л:г-) —одномерная функция распределе-
распределения случайной величины t{.
Для независимых случайных величин, как следует из выра-
выражения A.45), справедливы соотношения
/Ы=П /U/); РЫ=П P(v/), A.46)
где P(v/) = P(^ = v/), a f (X:) = — F (х^ —функция плотности
dxi
вероятности непрерывной случайной величины U.
18

\ Соотношение A.45) может быть распространено и на слу-
случай рассмотрения k независимых векторов xN , для которых
Ni = N. Эти векторы независимы, если
*-i
Из соотношения A.25) и определения функции распределения
следует, что
' 1A-48)
где At — события, состоящие в выполнении условий
{и}
В выражении A.48) вероятность P(^i) =-F(jci), а остальные
вероятности — условные и представляют собой условные функ-
функции распределения.
Так, Р(Л2|Л1) = Р(-оо</2<х2|-оо</1<х1) =
^^. A.49)
Выражения вида A.49) называются условными функ-
функциями распределения Xj9 определяемыми при условии,
что
*/е(—со,*,); /= 1.у — 1-
В случаях независимых U
Наряду с условными функциями распределения вида A.49)
в ряде случаев находятся условные функции распределения Xj
при фиксированных значениях U = Xi. С этой целью вводится
понятие условной функции плотности вероятно-
вероятности, a f(xN) представляется как
где f(^1) f(\t) ^^
19

По аналогии записывают выражение для
где
При независимости U соотношение A.50) совпадает с выраже-
выражением A.46).
Условные функции распределения какой-либо случайной ве-
величины при фиксированных значениях других случайных вели-
величин выражаются с помощью условных функций плотности веро-
вероятности.
Для непрерывных случайных величин
xs
I
(L51)
Для дискретных случайных величин
A.52;
F (xN\t1=x1,...,tN-1=xN-1) —
20

Знание совместных функций распределения позволяет вычис-
вычислить функции распределения для различного рода функций от
случайных величин. Так, если рассмотреть непрерывный двумер-
ный случайный вектор t2=(tu t2), то функция плотности вероят-
вероятности случайных величин r\ = t\/t2 (при t2>0) и u = t\—12 есть [23]
= J Уг/(У^г\у2)с1у2 A.53)
A-54)
где /(•) —совместная функция плотности вероятности случай-
случайных величин t\ и t2.
Легко выписать по аналогии соответствующие выражения
для дискретной случайной величины, заменяя плотность /(•)
вероятностью Р(-)> а интегрирование — суммированием.
Зная функцию распределения F(xN), можно решить задачу
об определении вероятности попадания случайного вектора в за-
заданную область. Найдем, например
р (х[ < tx < х[; х2 < /2 < xj;...; x'N< tN< x"N) =
где х\ их] — некоторые фиксируемые значения.
Очевидно, что если вектор tN непрерывный, то
It Я И
Xl X2 XN N
1 2 N
A.55)
Если tN — дискретный случайный вектор, то
A.56)
В некоторых случаях вычисление /вероятностей вида A.55),
A.56) упрощается, если их удается выразить с помощью функ-
функции распределения. Здесь оказывается полезным следующее вы-
выражение [81]:
Р (x'i <tL <х]\ у i=\,N) = F (xu x2,...,x"N) —
21

— [F {xl, xl,...yN)-{-F (x"u
-]- [F(x[, Х2, xl,...,x
A.57)
1.1.7. Математическое ожидание
и моменты случайных величин
Если F(xN) функция распределения для tN^R(N\ то много-
многомерным моментом относительно некоторых констант Сь Сг,...
..., CN называется выражение
П(#/ — Ci)Tidyh О-58)
/-1
где М[-] — обозначение момента;
Г{ — некоторые числа, характеризующие порядок момента
Смысл констант С* и г< для некоторых частных случаев разъяс-
разъяснен ниже. Для дискретного случайного вектора при ^е[а*, ЬЦ
соответственно имеем
[N П bt b2 bN _ N
П и —Cl)T'A='S Ч1 ... У Р (vat) П (V; — С,)'*. A. 59)
При Сг = 0 момент М[-] называется начальным. Начальный
момент первого порядка (т. е. при Гг=1) называется матема-
математическим ожиданием или средним значением произведе-
произведения компонентов случайного вектора tN. В этом случае выраже-
выражения A.58) и A.59) принимают вид
I bx bN _ N
n\ 2 2 п
IN 1 bx bN
n*i\= 2--- 2
При Л^=1 из соотношений A.60) и A.61) находим, что сред-
среднее значение \ii одномерной случайной величины U в непрерыв-
непрерывном и дискретном случаях выражается с помощью соотношений
уГи1
22

Многомерные моменты A.58) и A.59) называются цент-
центральными, если Сг = |Яг. Широкое использование находит дву-
двумерный центральный момент первого порядка
-Ъ^'ф A - 63)
где оц — обозначение, называемое ковар нацией ti и tj.
При /=/ из соотношения A.63) следует выражение для цент-
центрального момента второго порядка (дисперсии) случайной вели-
величины ti(tj):
М [(ti — Р7J] = з// = а* A. 64)
о?
где о/ — обозначение дисперсии аи. Значение
специальное
клонение
няковского [22] можно
тельно, отношение
название — среднее
случайной величины t
Gi=:Va2i имеет
квадратическое от-
отИз неравенства Коши-Бу-
2^2о2
заключить, что о2и<^<з2.о2 и, следова
A.65)
называемое коэффициентом корреляции ti и tj, изме-
изменяется в пределах —l^Qtj^l. Для независимых случайных
величин ti и tj величины
Рассмотрим случайный вектор tN=(tu t2,..., tN). Среднее
значение [ii его компонентов образуют вектор средних \in=(\iu
М-2, •.., |xjv). Каждая из величин ti имеет ковариации аг j (/ = 1, N)
с остальными из N—1 величин, причем ац = в{*. Набор ац и на-
набор qu при i=l, N, /=1, N образуют ковариационную и корреля-
корреляционную матрицы (таблицы) ||а/;.|| и l|Q/7-||:
1 QwQie-C
Здесь
\\Qij\\ =
Q21
Qni
A.66)
A.67)
1.1.8. Среднее значение и дисперсия
функции случайных аргументов
Пусть z = q>(t\, t2,..., tN) =(p(tN)—некоторая функция, не-
непрерывная по ti, i=l, N, где ti — непрерывные случайные вели-
величины; TN=(tut29...,tN).

Для случайной величины ;г = ф(-) требуется найти среднее
значение \Xz = M[q>(-)] и дисперсию аД Тогда из общих соотно-
соотношений A.62) и A.64) можно получить
) П d\)t\ A.68)
N
— оо — оо / = 1
Если ti — дискретные случайные величины, то
где суммирование по vi, л?2, •.., vjv распространяется на все воз-
возможные значения величин tu t2,..., ^v.
При рассмотрении среднего значения функции ф(^) удобно
использовать важное неравенство Иенсена [14]:
если ^>,
^ A.71)
если ^<0.
Приведенные соотношения показывают, что среднее значение
функции может не совпадать со значением функции от среднего
значения аргумента. Это видно также из следующих формул [19]:
,1х2,...,^)+д1 + д2; A.72)
^?+а; + А2. A.73)
Здесь [ii и of среднее значение и дисперсия случайной вели-
величины U\ z = q>(*i, *2,..., tN)\
bi = ^l\ ; A.74)
dtt \tr»i
Ai, Aj и д2, Ag —поправки на нелинейность функции ср(-) и за-
зависимость случайных величин U.
Это название величин Ai, Aj и Аг, А^ оправдывается тем, что
N
в случае, когда функция ф(^) линейна по ^-,т. е. cp(/^) =
24

где ui — некоторые константы, и когда, кроме того, U независи-
независимы [см. соотношение A.45)], то справедливо равенство Ai = Ai =
= Д2=А2=0. В общем случае приближенно
N
ф}; A.76)
Вместо обозначения ^ в выражениях A.75) — A.77) можно
7V-1 1<N
использовать также "V "V .
Функция ф(-) случайных аргументов является, как отмеча-
отмечалось, случайной величиной и может быть зависимой от другой
такой величины.
Пусть даны
Si^?i('i,V».^i,5i,S2v.., W A.78)
и
22=<fe('n'2»-.uv,, Zi. Z2»-m Zc). A-79)
где N\^N2 (так, что N\ аргументов — общие), k и с — число
аргументов вида |* и Хъ а |< и Хг — независимы. Тогда можно
показать, что коэффициент корреляции между Z\ и z2
^ 2fi), A.80)
где зг1 и аг2 — средние квадратические отклонения случайных
величин cpi(-) и ф2(')» определяемые из соотношения A.73).
При этом
dtt
при /=п\Гг A.81)
1.1.9. Среднее значение и дисперсия
условных случайных величин
Условные случайные величины вида U\t\=xu...\ U-\=Xi-u
их функции плотности вероятности и функции распределения
рассмотрены выше. Используя соотношения A.51), A.62) и
25

A.64), можно найти, что среднее значение случайной величины
tN\tl = x{;...; tN-i = xN-i для непрерывного .вектора tN есть
1%I*i,• • • Лу-i = М Vn\k = *i>• • • Jn-i = xn-i] =
= — — , A.82)
а ее дисперсия
Для дискретного случайного вектора tN
bN
а выражение для дисперсии дается также соотношением A.83).
Условное среднее VttN\xu...9xN_1 называется также функ-
функцией регрессии величины tN на tu t2i..., tN-\. В случае
когда V-N\xu...yxN_x выражается в виде
П-85)
о, Рь • • •, Piv-i — некоторые коэффициенты, функция регрес-
регрессии называется линейной. Для отыскания коэффициентов
в выражении A.85) используют следующий подход: величины
Ро, Рь-.., Piv-i выбираются такими, чтобы дисперсия условной
случайной величины tN/ti = x\;...; tN-\ = xN-i была минимальной.
С этой целью находится
-1 \ 12 ^
A.86)
Обозначим через р*, pj,...,$*N_X коэффициенты, доставляющие
минимум выражению A.86). Легко убедиться, что они могут
быть вычислены, если известны вектор средних \xN и ковариаци-
ковариационная матрица ||аг\/|| случайного вектора tN^RW. Соответствую-
Соответствующие выражения имеют вид [81]:
щ <V-1 TV—1 # ш
/==1 l /=1 ;
26

где
\\аш)\\
и ajN — элементы матрицы
и матрицы \\ац\\,
) ||()|
матрица, обратная к ковариационной матрице \\ац\\,
в которой /=1, N—1; /=1, N—1 (N-я строка и N-й столбец вы-
вычеркнуты).
Для вычисления элементов aij матрицы \\о*Ц\, обратной
к \\оц\\9 используется соотношение
Здесь
Ы
A.88)
а21 <*2 ...
— определитель матрицы ||a/;.||; A.89)
ji — алгебраическое дополнение элемента Oij матрицы \\aij\\.
Для вычисления элементов ol(JN) матрицы
также
() |()
используется соотношение A.88), где Л^-я строка и N-и столбец
в \\оц\\ вычеркиваются.
Из соотношений A.85) и A.86) следует, что
N-1
Здесь
1N\xu...,xN_l:=
J2 =G2 (\ — O2
n2 _ 1 _ 1 aU 1
A.90)
A.91)
A.92)
где | cTijGV) | —определитель |G;j| с вычеркнутой N-й строкой и
/V-м столбцом.
Выражения A.90) — A.92) называются соответственно сред-
средней квадратической регрессией tN на /ь t2,..., tN-U минимальной
дисперсией случайной величины tN/t\ = x\\...; ^jv-i = ^iv-i (или
средней квадратической остаточной дисперсией tN на хи х2,...,
*м-\) и квадратом множественного коэффициента корреляции
между tN и случайным вектором (?i,..., ^n-i). В частном случае,
при N = 2
\l2\xl = ^2JrQl2— (Х1~^ а2|1 = СУ2A ~?2)- A-93)
Множественный коэффициент корреляции является максималь-
максимальным значением корреляции между ^ и (tu t2,..., ^jv-i), причем
^^Qiv|i,2,...,n-i^1. Из соотношения A.92) следует [81], что
если tN — случайный вектор, а коэффициент корреляции q^
27

между любыми ее компонентами равен одному и тому же
числу q, то
Существенным обстоятельством здесь является то, что в случае
линейной регрессии A.85) соотношения A.90) — A.92) строятся
с помощью ^jl и Нет»,-!! так, что знания вида закона распределения
не требуется.
Наряду с множественным коэффициентом корреляции важ-
важное значение имеет частный коэффициент корреляции
Qn, jv—I/1,2, ...,n-2 между tN и *2\r-i при фиксированных t\ =
= Х\\...; tN-2 = xN-2' Выражение для него имеет вид [1]
|1,2,...,ЛГ—2 /t лг
= . A.95)
Олг>лг-1|1>2>...,лг-2 —L
V [} —
Соотношение A.95) является рекуррентным и позволяет, вычис-
вычислив частный коэффициент корреляции
QN,N-i ~ ^N,^N-1,1 /I QR4
НаЙТИ Qiv, JV-1|1,2, QiV, N-\ 11,2, 3 И Т. Д.
Интересно отметить, что если при рассмотрении двух случай-
случайных величин U и tj коэффициент корреляции qh^[—1,1], то в со-
совокупности tN=(t\, t2,..., tN) это свойство может не выпол-
выполняться. Пусть, например, при N>2 коэффициенты корреляции
между любыми двумя компонентами равны одному и тому же
значению q, а матрица Цог^Ц положительно определена. Тогда
согласно работе [1] q<=[—1 \(N— 1), 1].
Множественный коэффициент корреляции может быть вычис-
вычислен с помощью частных коэффициентов корреляции по формуле
Рассмотрим теперь некоторые типовые распределения слу-
случайных векторов.
1.1.10. Непрерывные распределения
А. Многомерное нормальное распределение
Пусть непрерывный случайный вектор tN имеет вектор сред-
средних \iN= (|хь..., \xN) и ковариационную матрицу ||а^-||. Тогда
распределение tN называется АЛмерным нормальным, если
его функция распределения имеет вид
28

Г
=тШ~1 - Гехр
п ^ с-98)
/ =1
где \oij\ —определитель матрицы \\а{Ц\, обратной к \\ац\\;
/-1 y-i
a*J'— элементы матрицы Ца^'Ц, определяемые из соотноше-
соотношения A.88).
Запишем выражение A.98) в виде
a/
где а^ полагается большим нуля, а Zi=(ti—р,*)/сг*; Лг =
Случайные величины 2г имеют средние значения, равные
нулю, и дисперсии, равные единице.
Найдем ковариацию оц между гг- и Zj. По определению
= J j У/Уу/ (У/. У;) ^У/^у
— оо — эо
где /(//г, i/j) —совместная плотность распределения yi и у^.
Из соотношения A.98) следует, что
f(yhyj)=
2я У 1 — Q?y
exp
2A-
¦]¦
A.99)
где Qfj — коэффициент корреляции между U и ^-, и, следова-
следовательно,
= -4- j S/, exp ( - 4) < VT^Jx + bly) exp ( - i
( 4)
=ir 1 \y? exp (- TVexp (- t
29

СО 00
Здесь использованы замена \ = (yl — *//Q,7)/")/l — Q2U и соотно-
соотношение
у] - 2Qijyiyj + у) = A - qJ .) у? + (у, - Q/;^J.
Последний из двух двойных интегралов, входящих в выражение
для оц, равен нулю, так как
Вследствие равенства
ПОЛуЧИМ Oij = Qij.
Таким образом, вместо выражения A.98) может быть исполь-
использовано соотношение
hi Ад
"fjfl^/, A. 100)
/=i
где Iq^'I —определитель матрицы ||q2'j'||, обратной к корреля-
корреляционной матрице \\qij\\\
Вычисление вероятности попадания случайного вектора tN
в выпуклый многоугольник Щл:/, X/J, т. е. определение величины
/i
осуществляется с помощью соотношений A.98) или A.100)
и A.57).
Представляют интерес некоторые частные случаи функции
распределения F(hN). Пусть все значения hi=(Xi—\ц)/в{ в вы-
выражении A.100) равны между собой (hi = h), коэффициенты
корреляции также одинаковы (Qij = Q). Тогда согласно работе
[63] выражение A.100) существенно упрощается:
30

Здесь
/I —Q
e J
A. 101
AЛ03)
Функция плотности вероятности и функция одномерного нор-
нормального распределения табулированы в работе [63]. Соотноше-
Соотношения A.101) и A.102), как и A.100), определяют функцию рас-
распределения наибольшей из компонентов вектора zN=(z\,
22,..., z,v). В двумерном случае (N—1) можно показать, что
справедливы соотношения [46, 63]:
^\ A.104)
u)-b; A. 105)
A.106)
Здесь
2A-- -¦ AЛ07)
Г(*.«)=— ( ехр[-ДЧ1 + ^)/2] </х_функция Оуэна
2я ,] 1 + л:2
о
(табулирована в работе [63]);
F^){h) —производная v-ro порядка от функции Лапласа
A.103). В выражении A.105) принимается 6 = 0, если h\h2>0y
или если h\h2 = 0, но ^i + /z2^0. В противном случае прини-
принимается 6 = 0,5.
31

-2
Рассмотрим случай, когда каждая из величин t{9 входящих
в выражение A.100), представляет собой разность иг=Пг—Н*
двух случайных величин Пг- и Нг- со средними Пг-, Нг-, дисперсиями
п.' ан. и коэффициентом корреляции Пт.п;..
Очевидно, что если Пг* и Нг- распределены нормально, то соот-
соотношение A.100) для функции распределения случайного вектора
tN=(t\> *2,..., tN) не изменится при подстановке значений
где ^^П^.-Н^; ^ = "
и величин
A. 109)
где ау =
гпглр rn.tHj, rn.,Hj и гН/п;. — коэффициенты корреляции случай-
случайных ВеЛИЧИН Пг И IIj, Hi И Hj, Пг И Hj, Нг- И П^- ПрИ 1=1, N,
Из соотношений A.26) и A.28) следует, что при всех qu = 09
и всех Qij=l соответственно
о~П /="(*/) и ^Mo^^^CAJ, (I- 110)
где /,,. =
Am = minA/ минимальное из ht.
\<i<N
Б. Многомерное экспоненциальное распределение
Пусть случайный вектор tN^RW имеет компоненты tu каж-
каждая из которых распределена экспоненциально:
F (X{) =P (O^ti^Xi) =1— ехр(— ЯгАГг),
причем
F(xi)^P(ti>xi)=exp(—XiXi)9 A.111)
где Яг — параметр экспоненциального распределения, равный
a ^ M[i]
32

Тогда функция F (xN) определяется как [100]
f
>Xi; V/= !,ЛП —expj —
где {S} — множество векторов s= (su s2,..., sN), а каждое Si = Q
или 1, но Ei, s2,..., sN) ф @, 0,..., 0). Для любого s<= {S} вели-
величина max (Xf, s2) — максимальное значение #г-, для которого
Наиболее изучено к настоящему времени двумерное экспо-
экспоненциальное распределение. В работе [101] показано, что его
функция плотности вероятности имеет вид
J (х1,х<ъ) — 7\ Г~ТехР j " J yoi -, — У К1'ъх1
A —Ql2> \ 1— Ql2 / \ 1— 012
где qi 2 — коэффициент корреляции t\ и t2;
/о(-)—модифицированная функция Бесселя (табулирована
в работе [93]).
В. Распределение порядковых статистик
Пусть из совокупности с функцией распределения F(x) =
= P@^t^x) и функцией плотности вероятности f(x)=F'(x)
извлечена выборка п наблюдений t\, f2,. • •, tn случайной вели-
величины t. Расположим значения и в порядке возрастания (в вариа-
вариационный ряд):
Гц)<П2)<...<?(п). A.112)
Величина иУ где /= 1, п, называется /-й порядковой стати-
статистикой. Величины t{ рассматриваются как взаимонезависимые
случайные величины. Однако в ряду A.112) вследствие упоря-
упорядочения величины ti оказываются зависимыми. Коэффициент
корреляции t(m) и t(k) при больших п равен [74]
— m/n
Функция распределения m-го члена ряда согласно работе [74]
определяется как
(
6
=JF(x)(m,d+\). A.1131
312 33

] ут~х (\ - yf dy
Здесь ye(m,rf+l) = -^ A.114)
о
— неполная бета-функция;
j In \ л!
= n—m\ ) =
\mj m\(n —
m)\
Используем известные тождества:
0 A.115)
первое из которых записывается также в виде
где Bi(/i,e,rf)
значения.
Тогда F(xm)=Bl[n, F(х), п-т\ A.116)
и ^Ш=^ГУ [1—^W]'. A.117)
?oV v '
Соотношение A.116) может быть использовано во многих
случаях. Пусть, например, случайный вектор tN^RW имеет
N компонентов, каждый из которых распределен равномерно на
отрезке [Г, Т], т. е. имеет функцию распределения
Без ограничения общности можно рассматривать отрезок
[Л7Ы0,1].
Тогда F(x)=x. Пусть теперь t\, t2,...tN — независимые слу-
случайные величины, каждая из которых равномерно распределена
на отрезке [0, 1]. Пусть далее выражение A.112) представляет
упорядоченные значения случайных величин tit Эти порядковые
статистики разбивают отрезок [0, 1] на N+1 непересекающихся
интервалов, имеющих длины U{ = t(iy, f/2=?B)—?(ij;...; ?Av+i =
= 1—tN. Тогда для случайного вектора Un+\ на основе выраже-
выражения A. 116) можно получить [82] соотношение
34

7V+1 \7V
В случае, когда рассматривается отрезок [О, Г],
Основным в теории порядковых статистик является Л/'-мерное
распределение Дирихле, подробно исследованное в работе [99].
1.1.11. Дискретные распределения
А. Многомерное биномиальное распределение
Пусть рассматривается случайный вектор tN^R(N\ каждая из
компонент ti которого представляет возможное число отказов
в п{ испытаниях (О^/г^п7), проводимых по схеме Бернулли
[23]. Случайные величины tx независимы, причем
P/,vI-), A. 119)
а функция распределения /г- имеет рид
^i)=B\(nhPhxi\ A. 120)
где Рг-—(вероятность успешного исхода (события А{) в одном
(любом) из пг испытаний, одинаковая в каждом испытании
с номером 1, 2,..., П\. При этом исходы испытаний считаются
независимыми.
Функция распределения tN согласно выражению A.43) опре-
определяется как
хл r2 xjv N
В некоторых случаях х{ по условиям задачи оказываются связан-
связанными между собой. Так, например, может потребоваться, чтобы
некоторая функция <p(xN) =0. Тогда
35

где vzci?2; x\ —значение хг удовлетворяющее условию y(xN) =
= 0, а п — множество значений viy определяемое условием
) =0.
Наиболее естественно распределение A.121) возникает при
исследовании последовательных систем, элементы которых испы-
тываются отдельно от системы.
Б. Многомерное отрицательное биномиальное
распределение
Пусть в условиях предыдущего раздела рассматривается слу-
случайная величина U — число испытаний до наступления d{ отка-
отказов, имеющая отрицательное биномиальное распределение:
Тогда случайный вектор tN имеет функцию Л^-мерного отрица-
отрицательного биномиального распределения вида
/=•?*)= 2 - 2 n
если t{ независимы.
В. Многомерное гипергеометрическое
распределение
Из совокупности jV неразличимых предметов, в числе которых
d\ относится к первой категории, d2 — ко второй и т. д., dM
к М-и категории, a jV—(rfi + d2+ ... +dN)—к нулевой катего-
категории, извлекается выборка объема п. Вероятность Р(^ = у,-, / =
= 1, М) того, что в выборке окажется vi предметов из первой
категории, v2 — из второй и т. д., vM из М-и выражается как
, = \h vi=\,M) = -
2
1=1
Функция М-мерного гипергеометрического распределения
дается выражением
й2 2 пй
36

Здесь ti — случайная величина, равная числу предметов /-и кате-
категории в выборке п.
На основе метода производящих функций можно показать,
что справедливо тождество
Используя его, находим
м
2--2-^
м
где D=
Г. Многомерное отрицательное
гипергеометрическое распределение
Пусть теперь ti — число предметов, извлекаемых по одному
из совокупности N до тех пор, пока не будет извлечено d{ пред-
предметов /-й категории (/=1, М) (число предметов нулевой катего-
рии mo=N—ydi). Тогда распределение tM дается выраже-
выражением [38]
^
м
где vf.>^; k =
Выражение дает возможность вычислить вероятность того,
что для извлечения d\ предметов первой категории, d2 — второй
и т. д. потребуется vb V2,... извлечений. Это эквивалентно собы-
событию, состоящему в извлечении k предметов нулевой категории.
Поэтому P(t=k) =P(ti=vuV i=lf M), где t — случайная вели-
величина, представляющая собой число извлечений до появления
k предметов нулевой категории. Функция распределения tM
.имеет вид
37

= 2-2 p^=
M
где 6 = 2 (¦*/-<//).
1.1.12. Полиномиальное распределение
Пусть проводятся п испытаний по схеме Бернулли, т. е. в каж-
каждом из п независимых испытаний возможен один из двух исхо-
исходов: успех (событие Ло) или отказ (событие Ло); вероятность
Р = Р(Л0) = 1—q, где <7 = РС4о) в каждом испытании одинаково.
Но дополнительно к этому событие Ао= [j Аи т. е. отказ подраз-
подразделяется на k видов отказа (событие А\ при /=1, &), причем
Ai — несовместны.
k
Тогда P-\-g = P-\-\gi=\. Рассмотрим случайный вектор
tk=(t\> h, •••> tk), где ti — возможное число отказов /-го вида
в п испытаниях. Компоненты вектора tk линейно зависимы, так
как t\-\- ... +tk + to = n, где t0 — возможное число успехов в п
испытаниях. Тогда согласно работе [23]
k
где vo=/z —
Функция распределения tk имеет вид
где л:0=/г —
Отсюда видно, что справедливо следующее интересное тож-
тождество:
38

v^ / = 1 / /=0
i<D=n-x0
= 2 (^ )Pvd-P)rt-v=Bi(/z,P,D). A.123)
При вычислении функции полиномиального распределения
часто оказывается удобным известное соотношение
k k
1.1.13. Отрицательное полиномиальное распределение
Пусть теперь /о — случайная величина, равная числу испыта-
испытаний до получения гщ успехов, a U — число появляющихся при
этом отказов — событий Л*. Тогда отрицательным полиномиаль-
полиномиальным распределением называется выражение [38]
k k
где ^* = ^oH~5j V/' P=l — У] ЯГ>Г(п%)—гамма-функция. Это
выражение позволяет найти вероятность того, что успешное
испытание будет иметь место в /по-й раз при { т0 + 2 v< I "ом
испытании.
Соответствующая функция распределения имеет вид
где хо-=
1.1.14. Некоторые сведения
из теории случайных функций
Пусть (/?, В, Р) — вероятностное пространство. Случайной
функцией /(?) называется конечная вещественная функция, кото-
39

рая при geQ (где Q — множество значений параметра |) яв-
является функцией выборочной точки e^R. Таким образом, по
определению при данном значении параметра 1 = Ь случайная
функция ti = t(iu e) есть просто случайная величина с функцией
распределения F(Xi). Совокупность tN= (t\,..., tN) величин ti
имеет совместную функцию распределения F(xn)- Совокупно-
Совокупности случайных векторов tN соответствуют семейству конечномер-
конечномерных распределений F(xN) для разных N и всех возможных зна-
значений l^Q. Каждой точке e^R или каждому исходу испытания
соответствует функция t(%y ?j)=^E), называемая реализа-
реализацией или выборочной функцией [46]. В случае, если
параметр g имеет смысл времени, случайная функция t(l, е) =
= t(l) называется случайным процессом. В случае,
когда ? — вектор, t(%) называется случайным полем. Со-
Совокупность случайных функций *г-(|) при /=1, N называется
векторной случайной функцией.
Случайная функция t(Q называется строго стацио-
стационарной, если совместные распределения случайных величин
одинаковы Vh>0 и v&^Q. Случайная функция называется
стационарной в широком смысле, если существуют кова-
риации оц величин *(!¦*) и tfo) и если они зависят только от
Л = ?г—lj. Для стационарной функции /(g) V S^Q величины
] = Г = const, yHj[/a.)-|x]2}=a2 = const, au/a*=Q(h)
и называются соответственно средним значением, дисперсией и-
нормированной корреляционной функцией.
В работе [34] показано, что при выполнении некоторых усло-
условий регулярности случайная функция /(?), где ?е/?A) — непре-
непрерывный аргумент, может быть аппроксимирована случайным
вектором tN=(tu t2y..., tN), где ti = t(li) при /=1, Л^ — дискрет-
дискретные значения g. При этом свойства tN^R(N\ описываемые функ-
функцией распределения F(xN), те же, что и у случайной функции
Этот существенный для последующего изложения результат
условно представим в виде
[/F), l<=Q]^?N = (tl4...,tN)s=RW , A.124).
где С — правило выбора дискретных точек ?г-; U = t{l>i).
В некоторых случаях правило С, входящее в преобразова-
преобразование A. 124), может быть сформулировано на основе анализа со-
составляющей дисперсии случайной функции /, обусловленной
точностью прибора, с помощью которого фиксируются реализа-
реализации [36].
40

1.2. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Математическая статистика все более формируется как отно-
относительно самостоятельная область исследования и приложений.
Основываясь на теории вероятностей, она учитывает тот практи-
практически существенный факт, что в реальной ситуации всегда прихо-
приходится иметь дело с опытными (экспериментальными) данными,
объем которых ограничен. Вместе с тем, используя их, не-
необходимо составить заключение относительно вида функции рас-
распределения, значений параметров распределений (средних, дис-
дисперсий и др.); требуется также принимать решение в пользу
одной из нескольких гипотез относительно показателей качества
и надежности систем, планировать объем испытаний и т. д. По-
Подобные задачи вызывают необходимость использования специ-
специфических методов математической статистики. В ряде случаев
эти методы представляются в виде, более сбщем, чем методы
теории вероятностей, так как при неограниченном увеличении
числа испытаний соответствующие результаты асимптотически
(или в пределе по вероятности) совпадают.
Основным объектом исследования в области статистики яв-
является случайная выборка объема п из совокупности с функцией
распределения F(x).
Случайной выборкой называется п зафиксированных при
испытаниях (или измерениях) значений случайной величины t: t\y
/2,..., tn или вектор tn=(t\, t2,..., tn). Указанные значения
(t\, t2,..., tn) рассматриваются как независимые случайные ве-
величины с одинаковыми (и имеющими одни и те же параметры)
функциями распределения P(ti<x)=F(x) [81]. Точнее, основным
объектом исследования статистики является совокупность п не-
независимых и одинаково распределенных случайных величин,
число которых равно числу наблюдений. В данном (конкретном)
эксперименте выборочные значения есть неслучайная реализа-
реализация вектора tn. Рассмотрение зафиксированных наблюдениями
значений как случайных величин оправдано тем, что в соотноше-
соотношениях математической статистики оказывается возможной под-
подстановка вместо компонентов вектора tn их зафиксированных
значений [23].
Рассмотрим некоторые из используемых далее задач матема-
математической статистики.
1. 2.1. Точечное оценивание
Пусть из совокупности с функцией распределения F(x, 0),
где G — параметр распределения [6 — может быть вектором, на-
например, 0= ((а, а)], извлечена выборка tn и требуется по tn найти
наиболее подходящее значение (оценку) 0 для 0. Критерием того,
насколько «хороша» оценка, служат несмещенность, состоятель-
41

ность и эффективность. Оценка 9 называется несмещенной
в среднем, если М[0] = 0. Оценка 0 состоятельна, если она
асимптотически сходится к 0 по вероятности, т. е. если
Уе, е1>0Ял' У Л>Л/=>Р{|в— 0|<е} — 1<ег
Оценка 0 называется эффективной, если ее среднее квадра-
тическое отклонение относительно 0 не больше, чем среднее ква-
дратическое отклонение относительно 0 для любой другой
оценки.
Оценка 0 = 0(tn) называется также статистикой, так как
зависит от выборки (статистики) tn и является случайной вели-
величиной. Оценка (Г называется достаточной статистикой,
если функция плотности вероятности tn, равная f(tn, 0), выра-
выражается в виде
где /i(^i|0) — функция плотности вероятности, независящая от 0;
v(-) — некоторая функция аргументов 0 и 0.
Достаточная статистика использует всю необходимую инфор-
мацию, содержащуюся в наблюдениях. Пусть выборка tn извле-
извлечена из равномерного на [О, Т] распределения с функцией распре-
распределения F(x) = х/Т. Тогда максимальная из величин t\, t2,..., tn
в выборке оказывается достаточной статистикой [49], а операция
осреднения n~1^dti = ^ и отыскания оценки типа \х в данном
/=i
случае привела бы к потере информации.
Наряду с определением точечной оценки для параметра 0
в прикладных задачах возникает необходимость отыскания
оценки F(x, 0) для функции распределения F(x9 0). Из соотно-
соотношения A.71) следует, что в общем случае при М[0] = 0 оценка
F(x, Q)=?F(x,~Q). Это затрудняет отыскание величины F(x, 0)
и требует применения специальных приемов.
Существует ряд методов отыскания оценок 0. Метод макси-
максимального правдоподобия для непрерывного случайного вектора
tn в качестве исходного соотношения рассматривает функцию
плотности вероятности выборки tn:
/?, 6) = П/№, 8), 0-125)
/ = 1
если ti — непрерывные случайные величины. Искомая оценка
для 0 находится из соотношения
42

A.126)
В случае, когда Э — вектор, число уравнений вида A.126) равно
числу компонентов вектора. Получаемые таким методом оценки
являются состоятельными, асимптотически (при я-мх>) эффек-
эффективными и достаточными, если достаточная статистика сущест-
существует. Однако не во всех случаях они оказываются несмещен-
несмещенными.
Пример 1.2. Оценка параметров нормального распределения.
Выборка tn извлечена из совокупности с функцией нормального распре-
распределения
1
) = Р(-оо </<*) = Bя)" f exp(-JY)tt!r =
00
8 = (ц, а).
Найдем оценки для |Л и о\
Решение. 1. Запишем соотношение A. 125) в виде
2 Решая два уравнения вида A. 126)
^o и
находим искомые оценки
п п
~__ _L_ ^^ ^ ~2 i ^^ / ~\2 ([ 127)
Если первая из них (средняя арифметическая) является несмещенной
(разумеется, одновременно состоятельной и асимптотически эффективной),
то вторая смещена; несмещенной оценкой для а2, как легко убедиться, яв-
является величина
п
о2 = \ (*. —1хJ. A. 128)
п — 1 ^
а несмещенная оценка для а имеет вид [45]
(*-~»' (к 129)
Здесь
П~~- V 2 ' . A.130)
П^
43

Состоятельность оценки jx следует также из закона больших чисел [23]
Заметим, что случайные величины [i и а2, определяемые из A. 127) и
A. 128), являются несмещенными оценками независимо от вида закона рас-
распределения и^^следовательно, во всех случаях М[ц] = |л и М[о2] = а2, а диспер-
дисперсии оценок \i и а вычисляются с помощью следующих соотношений [45]:
J_
i ~~ М
если М ->¦ оо,
где М — объем совокупности, из которой извлечена выборка. Приближенно
при М<.оо
* У п М ' ° У 2 У 2 V п М ] v
Пример 1.3. Оценка параметров распределения Вейбулла.
Выборка tn извлечена из совокупности с функцией распределения Вей-
Вейбулла
-(-У
/7(х,0) = Р(О < t < x) = l — e b =1— е~х* , A.132)
где X = b~c'.
В данном случае из соотношения A. 126) следуют два уравнения [106]:
п ^
2'?1п *.
-f-"-^ + >>;, = о и 6 = 1 >; — у о.ш)
"V In ^- =
для отыскания оценок с и & параметров «формы и места» с и Ь. Эти оценки
оказываются, так же как и а' в предыдущем примере, несколько смещенными.
Заметим, что из соотношения A 132) следует: при с= 1 — экспоненциаль-
экспоненциальный закон распределения; при с = 2 — закон распределения Релея, а при с = 3,2">
асимметрии и эксцесс функции плотности вероятности исчезают и выражение
A. 132) описывает приближенно нормальное (слабоусеченное) распределение.
Среднее и дисперсия / в выражении A. 132) определяются из соотноше
ний [24]
1 \ -- 2 \ /1 \] - —
— 4- 1 А с ; а2= Г! — -4- 1 1 — Г2f—4-ljU c, A.134)
из которых следует, что оценки параметров X и с могут быть найдены также
из приближенных формул
Mr(f+ 1)-Г8(т+1)Гг
)Г AЛ35>
где \х и а2 определяются из соотношений A. 127) и A 128).
Путем аналогичных рассуждений может быть получена
оценка для коэффициента корреляции двух случайных величии.
В работе [95] показано, что
44

—
-?д A.136)
Здесь я — число наблюдений с двумя компонентами t{ и tyy п{
и tij — число наблюдений над t{ и tj соответственно;
nJ V/2
v=i J
со
Наряду с рассмотренным методом для получения оценок
в ряде случаев используют метод минимакса, состоящий в оты-
отыскании такой статистики Q = g(tn), при которой достигается
minmaxM[@ — 0J],
где G — совокупность функций, в классе которых ищется опти-
оптимальная статистика;
Q — множество допустимых значений параметра Э.
Рассматриваются также и другие функции потерь, для кото-
которых находят минимакс. Кроме того, используют метод наимень-
наименьших квадратов и методов моментов [69].
Пример 1.4. Состоятельная и минимаксная оценки параметра биномиаль-
биномиального распределения
На основе метода максимального правдоподобия можно показать, что
состоятельной оценкой для параметра Р A 120) служит величина
Р=1- —,-—, A.138)
п п
где т = п—х.
Легко устанавливается и несмещенность оценки A. 138). Минимаксная
оценка для Р получена в работе [69] и имеет вид
т -h \/"п/2
Р = _ . A.139)
тЛ-Vn
Оценка A. 138) имеет дисперсию
зависящую от неизвестного параметра Р, в то время как дисперсия оценки
A.139)
Р 4A + Vnf
не зависит от Р
A.141)

Метод наименьших квадратов по существу уже использо-
использовался выше при определении коэффициентов f^,..., $*N_X линей-
линейной функции регрессии A.90). По формулам A.87) могут быть
найдены оценки этих коэффициентов, если вместо вектора \in
и матрицы ||cr;jll использовать вектор выборочных средних
\x>n= (jai, Ц2,. •., \xN) и выборочную матрицу \\ац\\, где Oij = OiOjQij,
а ои Oj и Qij находятся из формул A. 136) и A. 137).
Если процедуры и методы точечного оценивания параметров
распределения в настоящее время исследованы достаточно
полно, то методы такого оценивания для функций распределения
находятся еще в стадии разработки. Основываясь на данных
работ [41, 72], приведем некоторые известные здесь результаты.
Наибольший интерес представляет несмещенная оценка F(-),
для которой
? 9)] = F{xN, 0),
где F(xNi 6) —функция распределения случайного вектора tN\
6 — вектор параметров функции распределения.
N
Учитывая, что для аддитивных функций вида 8 =
где bi — постоянные коэффициенты, несмещенная оценка
bflt (вг — несмещенные оценки 0г), и принимая во вни-
внимание аддитивный характер операции интегрирования, заклю-
заключаем, что
?>л', 8)= ? ... \П/Ш П dyn A. 142)
где /(•) —несмещенная оценка совместной плотности распреде-
распределения компонентов вектора tN.
В работе [72] показано, что несмещенной оценкой для плот-
плотности yV-мерного нормального распределения с функцией распре-
распределения, определяемой по формуле A.98), при rii = n^>N яв-
является выражение
Г
г
2
Х11--ЧУ У*ПУ,-ЪНУ,-Ъ)\ г . A-143
I/V /V
i ^y у?
46

где \oij\ —определитель матрицы \\оц\\\
oij — элементы матрицы ||a2j||, обратной к а/;. ||; а.;. =
\ц и |Lij — величины, определяемые из соотношений A.136) и
A. 137) при ni = rtj = n;
п — число наблюдений за N компонентами /lV.
Плотность вероятности A. 143) полагается равной нулю, если
квадратичная форма
В соответствии с изложенным выше несмещенная оценка для
функций iV-мерного нормального распределения A.100) есть
П. 144)
Здесь Е = ——y~— ; h~ X[ ^ ; A.145)
Q{i — элементы матрицы ||q?-7||, обратной к корреляционной ма-
матрице \\Qij\\.
В одномерном случае (Af=l) из соотношения A.144) можно
получить [104]
С x)^--F{h) — /p (а,а]
ох
] - 146)
VA*<0
Здесь
( Ш) а=--п-^-; Н = ±ф; A==?zJi ;(i. 147)
2
У^(а, a) —неполная бета-функция, определяемая из уравнения
A. 114), где следует положить вместо G, т и d+\ величины /Г^, а
и а; У7(/г) —интеграл Лапласа A.103). Отметим, что оценка
A.146) отличается от обычно используемой
F(fi)zzf(fi). A. 148)
47

Пусть, например, л=4, ft=l,50. Тогда f(/i) =0,933 в то время как
/~ (а,а) =/,A,1)™1.
Для закона распределения Вейбулла с функцией распределе-
распределения A.132) из работы [72] с учетом соотношения A.142) сле-
следует, что
ус~1({-^)П *dy> AЛ49)
о
где Г = ^//, если с —известно.
При с=\ (однопараметрический экспоненциальный закон)
из выражения A.149) получаем
\=\-(\-АХ-\ A.150)
О
Для гамма-распределения с функцией плотности вероятности
= \aT~l(a)ya~1e~Xy(y^>0) при неизвестном X
A.151)
где дсе[0, nji];
А, и а — параметры гамма-распределения.
Наконец, для закона Пуассона
^e-xr, A.152)
где IТ — параметр закона, в работе [35] при Т<Т0 получена
оценка
ру = х) = Ь(п„ Р#, v),
где
р*= 1 -:
U—время до наступления отказа в /-м испытании.
48

Следовательно, оценка F(x) функции распределения Пуас-
Пуассона имеет вид
F(x)=B\(n*,P*,x).
Характерно, что если функцию распределения Пуассона по-
получают предельным переходом из биномиального распределения,
то ее оценка как бы вновь возвращается к биномиальной форме.
1.2.2. Интервальное оценивание
и проверка статистических гипотез
В ряде случаев точечное оценивание является необходимым,
но недостаточным для целей проверки тех или иных предполо-
предположений (гипотез) относительно неизвестного параметра 6 или
неизвестной функции распределения F(xN, 0). Действительно,
оценки 8 и F = F(-) являются функциями от выборки tn и по-
поэтому сами представляют собой случайные величины или слу-
случайные векторы. Функцию распределения 0 обозначим как
Р(—оо<0^ё) =/7@, 6) и назовем выборочным распределением
оценки. Выборочная функция распределения F(Q, 0) позволяет
установить, что с определенной вероятностью может выпол-
выполняться соотношение 0^0 или 0>0. Для получения содержатель-
содержательных заключений относительно 0 или F(xNy 0) на основании вы-
выборки tn вначале формулируется интересующий конкретное при-
приложение вопрос (гипотеза) относительно 0. Например, этот
вопрос (подлежащий проверке) может состоять в том, что среднее
значение ji в совокупности с функцией распределения F(x, 0)
(или в генеральной совокупности) равно некоторой фиксирован-
фиксированной величине |ыо. Будем это записывать так: Яо = {|ы = |Ыо}, где Яо—
исходная («нулевая») гипотеза. Для того чтобы добиться еще
большей определенности при формулировании Яо, указывают
также противоположную (альтернативную) гипотезу Я, которая
в условиях примера может выражаться в виде Н={\лФ\х0} или
Я= {jx<(lio}, а также в виде Я={A>|ь1о}. В первом случае Я яв-
является двусторонней альтернативной гипотезой (неравенство
\1ф\хо может осуществляться «сверху», когда (х>^о> и «снизу»,
когда (uL<juo), во втором и третьем случаях — односторонней.
При рассмотрении гипотезы говорят, что она содержит один
элемент, если множество Н0(Н) = {•} состоит из одного элемента
(например, Н = {\х = [Хо}). Гипотеза, содержащая один элемент,
называется простой. В противоположном случае она назы-
называется сложной (например Яо= {|li<jlio}).
Важно подчеркнуть, что нулевая гипотеза выражает заранее
выбранную точку зрения. Поэтому, например, система гипотез
относительно показателя надежности Р вида
49

tfe={P>PT* и //={Р<РД A. 153)
где Рт — некоторое фиксируемое (требуемое) значение показа-
показателя Р, и система гипотез
//0={Р<Рт} и Я={Р>РГ A.154)
резко отличаются друг от друга. В первом случае исходной
является гипотеза «доверия»: показатель надежности не меньше
требуемого значения Рт. Во втором случае исходной является
более жесткая гипотеза «недоверия»: показатель надежности не
больше требуемого значения Рт. Вполне естественным поэтому
является отмечаемое в последующем различие в методах и объ-
объемах испытаний для подтверждения Яо в выражении A.153) и
отклонения Яо (принятая Я) в выражении A. 154).
Следующим шагом после формулирования нулевой гипотезы
Яо и альтернативной гипотезы Я является задание уровня зна-
значимости а=1—у> равного вероятности ошибочно отклонить ЯОг
когда она верна. Величина 1—а есть вероятность принятия Яо
(и отклонения Я), когда гипотеза Яо верна. Поскольку проверка
начинается с предположения, что эта гипотеза верна, стремятся
дсбиться такой процедуры проверки, чтобы величина а была
малой (обычно применяют a = 0,01-f-0,10) настолько, чтобы прак-
практически событие, происходящее с вероятностью а, можно было
считать недостоверным. Тогда, если выполняется соотношение
g(l e)>gKP A.155)
(здесь g@, 6) —некоторая мера расхождения, увеличение кото-
которой при Я={0<0О} свидетельствует об уменьшении доверия
к Яо; g"Kp — некоторое критическое значение g@, 6), зависящее
от а=1—у и> иногда, от п), то гипотеза Яо отклоняется. В этом
случае расхождение g@, 0) оказывается настолько большим, что
гипотеза Яо практически или значимо (при данном а) может
считаться недостоверной. Гипотеза Яо принимается в противопо-
противоположном случае. Таким образом осуществляется отмеченное выше
стремление придерживаться нулевой гипотезы до тех пор, пока
это разумно. Выбор величины а определяется особенностью за-
задачи и некоторыми дополнительными соображениями (напри-
(например, рассмотрением стоимости последствий отклонения Яо, когда
она верна, и т. д.). Множество векторов tlu удовлетворяющих
соотношению вида A.155) называется критической об-
областью отклонения гипотезы и записывается также в виде:
если g(Q, 0) >?т, то Яо отклоняется.
Здесь gT — квантиль распределения статистики g(Q, 0), соот-
соответствующая вероятности у.
Условие отклонения Яо является одновременно условием
принятия Я.
50

Следовательно, если g(d, 0) монотонно возрастает по б, то
условие A. 155) запишется в таком виде: гипотеза Но прини-
принимается при g @, 6)<g-T (если Но= ,0 = 0О}, Я=0<ео}) и при
gfi, 8)<gH (если Но= б = 60s // = {8>60})э и когда одно-
одновременно g(d, 0)<g-Ta и g@, 0)<^_Т1 (если ЯО={0=-0О},
Н = {Ъф%\\ причем y1 + Y2-1=Y.
Запись критической области в виде g(-) >gT основывается на
знании функции распределения Fg(x) статистики g@, 6), кото-
которая в этом случае не должна зависеть от 0 и 0. Действительно,
пусть Fg(x) известна. Тогда, обозначая через 5 множество зна-
значений tn, удовлетворяющих условию A.155), представим усло-
условие отклонения гипотезы Яо так:
или Fg(gKp)= I — a = Y,
откуда ёф=?т- Следовательно, если Fg(x) не зависит от 0 и 0.
то с помощью F(x) можно найти квантиль gT, соответствующую
вероятности у и так же независящую от 8 и б. Выполнение усло-
условия {§@, 0)>?т1^о} по определению gT означает следующее:
мера расхождения g@, 0) оказывается настолько большой, что
событие, являющееся практически недостоверным, произошло.
Это служит основанием для отклонения Яо при уровне значи-
значимости а.
Величину а называют также ошибкой первого рода, опреде-
определяя ошибку второго рода как $ = P{tn^ S\H}.
Из выражения A.155) следует, что в целях наиболее удоб-
удобного представления критической области целесообразно предъ-
предъявить следующие требования к функции g@, 0).
1. Эта функция должна быть непрерывна и монотонна по 0
(тогда можно будет проследить увеличение или уменьшение
меры расхождения при проверке гипотез).
2. Функция распределения для g@, 0) не должна зависеть от
0 (тогда gT можно будет выразить явно вне связи с неизвестным
параметром 0).
3. Функция g@, 0) должна быть определена V0^Q.
Но, как можно заметить из сравнения этих требований
с условиями теоремы о доверительных интервалах [81], получае-
получаемых по выборкам из совокупностей с непрерывной функцией
распределения, функцияjf@, 0), удовлетворяющая им, обладает
следующим свойством: если gF, 0) возрастает по 0, то из
соотношения
? (в, 9)<?т (Ы56)
51

находится верхняя доверительная граница 9 для 9, а из соотно-
соотношения
g-F, 0)<g-i_T A. 157)
— нижняя граница 9 для 9 при значении доверительной вероят-
вероятности у. Наконец из соотношений
g"(9, 9) ^ё"т2 и ?(9, 9) ^??i-Ti 9 A- '58)
где g(-) возрастает по 9, a Yi-rY2—1=Y» можно найти двусто-
двусторонний доверительный интервал [9', 9']^9 при данном у. Срав-
Сравнивая соотношения A.156), A.157) с приведенными выше, обна-
обнаруживаем полное сходство в построении критических областей
и доверительных интервалов для 9 и приходим к следую-
следующей процедуре принятия гипотез: после выбора Яо, Я и y в слу-
случае, когда Яо={9 = 9о}, #={0<0о}, находится односторонний
доверительный интервал [9Ь 9] при односторонней доверительной
вероятности Y- Если оказывается, что 9О^[9Ь 9] или 9О^9, т. е. 90
«попадает» в интервал [9ь 9], то Я0={9 = 90} принимается. В слу-
случае, кегда Н= {9>90} или Н= {0 =^8о}, для заданного y находят
односторонний или двусторонний доверительный интервал, (т. е.
[9, 9г] или [9', в']). Гипотеза Яо принимается, если 90^[9, 92], или
если 9о^[9', 9х]. Здесь [9ь 9г] = Й — отрезок, на котором опреде-
определено 9.
Если 9i = —оо, а 92 = оо, то вместо отрезков [8i, 9], [9г, 9] сле-
следует писать (—оо, 0] и [0, оо) соответственно.
Пример 1.5. Проверка статистической гипотезы
Проверим гипотезу Я0 = {,и = ц0} при двусторонней альтернативной гипо-
гипотезе Н={11ф\х0} для следующих исходных данных. Из совокупности с нор
мальной функцией распределения (fl.103) извлечена выборка tl0 объема п=10.
По формулам A 127) и A 129) найдены оценки ц и а среднего значения ft
и среднего квадратического отклонения а(|ы=10; 0 = 3). Требуется проверить
предположение о том, что fx = jio = 12 при альтернативе jbi^l2.
Решение. 1. Задаемся уровнем значимости а=1—у=^ЛО Поскольку гипо-
гипотеза Н двусторонняя, необходимо в соответствии с изложенным выбрать зча-
чения односторонних доверительных вероятностей Yi и Y2 Принимаем Yi = Y2>
1 — V
тогда Yi ==¦ Y2 = 1 — =0,95.
2. Находим двусторонний доверительный интервал [щ \i], для \х при
Yi==Y2 = 0,95 Выбираем функцию^F,6) = (}х— [a)j n — I/о, удовлетворяющую
упомянутым трем условиям и имеющую, как известно, функцию распределе-
распределения Стьюдента Тогда из соотношения A 158) находим
тЛ/2 — 1 < h-\' т/7г — 1 > /г1 Y
а а
52

где /zTj и /^—квантили распределения Стьюдента, соответствующие вероят-
вероятностям Yi и Y2 и числу «степеней свободы» п—1 (см. таблицы [63]). Подстав-
Подставляя числовые значения, данные в примере, с помощью таблиц [63] находим
2,26
р. = 10 -Ь -т=-3 = 10 + 2,26 = 12,26; р = 10 — 2,26 = 7,74.
у 9 -
3. Так_как \хо=\2^ [12,26; 7,74] (т. е. |!0 «попадает» в доверительный
интервал [ц, \х], то согласно изложенному правилу гипотеза Яо принимается.
Аналогично проверяются гипотезы и относительно среднего квадратиче-
ского отклонения а, такие как Н0={в = о0} при Н={о<о0}; Я0={а = о*о} при
Н={о>о} и Я0={а = (У0} при Я={а^о*о}.
Пример 1.6. Проверка односторонней биномиальной гипотезы.
На основе результатов работы [49] покажем, что при проверке гипотез
Яо = {?>?,} при Я=1Р<РГ}
где Рт и Рт — некоторые фиксируемые значения вероятности успеха Р,
являющейся параметром биномиального распределения, критическими обла-
областями для принятия Яо в первом случае и отклонения Яо во втором являются
Р > Рг и Р > Р.
т
соответственно. При этом Р и Р — границы доверительного интервала для Р,
каждая из которых находится с доверительной вероятностью у, а уровень
значимости Яо равен а=1—у.
В работе [49] при определении границ Р^ и Р предложено использовать
соотношения
/(Р) = /(Р)р=р = /2
и J^)=-- — 't^v P>F-
Здесь /(Р) —статистика минимума различающей информации;
X^j — квантиль х2 распределения уровня у с одной степенью свободы;
Р = т/л; q — \ — Р; q — 1 — Р;
т — число успехов в п биномиальных испытаниях.
Каждая из границ Р и Р в приведенных соотношениях вычисляется при
доверительной вероятности у'=(\—уI%. Дл_я вычисления односторонних до-
доверительных границ—только Р^ или только Р—при той же доверительной ве-
вероятности следует использовать соотношение
/ (Р) =--- 2 J (?) = У2{1_2*), v Р < Р
или
53

В работе [49] для отклонения гипотезы Яо --= {Р < Р^} при альтернативе
Н = {Р > Р'т] и для принятия #0={Р^Рт} против Я={Р<РТ} используются
критические области соответственно:
1 /р'\ ^ J_ v2 Р' <- P
•^ V 1/ 9 Ml—2а),1» т ^
где функция /(Р) и величина а определены выше. Сравнивая два последних
соотношения с двумя предыдущими,
и учитывая, что функция /(Р) выпук-
выпукла книзу по Р, причем /(Р)=0
(рис 1. 1), находим, что
J(P),
ХA 2а), 1
1
\ А
\
Рт
< ?
О
р 1 р
> р;;
Р > Рг.
Рис 1.1. Функция Кульбака
При этом уровень значимости гипо-
гипотезы #0 согласно работе [49] равен а.
Таким образом, для #0={Р^Рт} и #={Р<РТ} гипотеза «доверия» Яо
принимается при
"Р>РТ A.159)
и отклоняется при Р^РТ.
Для Яо = {Р < Р^.} иЯ=(Р>Р^| „жесткая" гипотеза „недоверия"
#0 = jp < p'\ отклоняется при
Р>Р'Г
A.160)
и принимается при Р < Рт.
В соотношениях A. 159) и A. 160) величины Р и ^определяются при фик-
фиксированном значении односторонней доверительной вероятности, равном у.
Отклонение гипотезы HQ = (Р < PTj в соответствии с условием Р > Р1
или принятие гипотезы ЯО={Р^РТ} в соответствии с условием Р>РТ осу-
осуществляется, если последующие испытания проводить не предполагается. Если
такие испытания допускаются, то при невыполнении условий A. 159) и A. 160)
решение принять невозможно, так как неясно, действительно ли Р^РТ'
(Р<РТ) или объем испытаний еще недостаточен и с увеличением п упомяну-
упомянутые условия будут удовлетворены.
Вполне понятно, что если исходить из нулевой гипотезы «недоверия»
#0 = {Р < Рт)» то контроль оказывается существенно более жестким, чем
в случае, когда исходной гипотезой является гипотеза «доверия» #0={Р^Рт}.
Это объясняется тем, что при проверке Яо первоначально исходят из справед-
справедливости Но.
54

Таким образом, задача проверки гипотезы Яо={6 =6о} в значительной сте-
степени сводится к вычислению доверительного интервала [9', 6'] для 6 при зна-
значении доверительной вероятности у с последующим использованием проце
дуры: гипотеза Но принимается, если 6е[Э', 6'] в двустороннем случае или
если 6е[0ь 6] и 8е[9, 92] в односторонних случаях.
Приведем в виде примеров некоторые соотношения для опре-
определения границ двусторонних доверительных интервалов пара-
параметров распределений и функций параметров, используемых
в последующем. Односторонних границ не рассматриваем, так
как они вычисляются на основе выражений для границ двусто-
двусторонних интервалов.
Пример 1.7. Доверительный интервал для отношения параметров \i и а
нормального распределения.
Рассмотрим следующую задачу: найти доверительный интервал J0=[h, h]
для отношения h = \ilo двух параметров нормального распределения [i и а,
если по выборке tn найдены их оценки \i и в.
Решение. 1. Найдем вначале возможные приближенные соотношения.
а) Грубое приближение. Очевидно, что
Л < Л* =]1/о и h> h* = fx/Г, /* = [Л*, h*] Z) /0»
где /г* и /г* — приближенные значения /г и /г.
б) Уточненное приближение. Используем соотношения A.72),
A.73), A. 131) и тот факт, что случайные величины \х и а независимы [45].
Тогда M = [h] =
1 Г Л2 / 1 Не-
Неоткуда о^ ^ —у=- 1 -Ь —— [ 1 -Ь — при
Л /л L 2 \ п ] \
М
«<-
Следовательно, если принять, что /г распределено приближенно нормально
:ред
в виде
со средним h и дисперсией а-, то функция распределения h представляется
Р(-оо<Л<6)=Р- оо<
где F(-) интеграл Лапласа, H=(Q—h
Учитывая, что функция g(h, h)=g(§, 6) удовлетворяет перечисленным
выше требованиям, из формулы A. 158) с учетом соотношений
1 Л й2\о-
ПрИ М -> оо
55

находим: при
и при М<оо
A.162)
где /iy: и h-\2 — квантили нормального распределения, соответствующие веро-
вероятностям Yi и Y2; Y1+Y2—1—Y
В работе [92] дано уточнение формул A 161), которые предлагается запи-
записать в вмде
h
1
A.163)
Здесь Со =
в) Точное решение задачи [41] может быть получено следующим обра-
образом. Пусть случайная величина t со средним значением \i и дисперсией а2 рас-
распределена нормально с функцией распределения Р(—oo<t^.x) P@?/)
где U = x—/, \iu = x—ja и О"г2 = сг2. Тогда величина
t =
х —
у п = h //2,
где h=(x—\i)/G=\iul(y> имеет нецентральное распределение Стьюдента с пара-
параметром нецентральности (смещения) 5 = (ji^/a) |/*л = Л ]/"л. Функция этого
распределения имеет вид
Р(— ОО<*< 6):
1
\ ( *и \ г' - А
= р _ оо < -^- — h Yn < 6 — h /n U=
I. ^ P I
ll— Л/л
n—2
~2~
22 -fn(n—l)T
irrj" e4
1
(л—1M2
X
I-
Л— 1
о •
)-hVn
X
где
/л
yt w — переменные интегрирования.
56

На основе соотношения A. 158) показано [23], что отсюда можно получить
выражения
у/~П
A.164)
где 6 (я, Yi» Л) и б (я, Y2, Л) —границы доверительного интервала для пара-
параметра б нецентрального распределения Стьюдента (табулированы в ра-
работе [103]).
В заключение раздела остановимся на некоторых понятиях
теории статистических решений, связанных с методами контроля
качества продукции.
Уровень значимости а, определенный выше, называется также
ошибкой первого рода. Вероятность р того, что по ошибке
будет принято #о, когда верна альтернативная гипотеза //, назы-
называется ошибкой второго рода, а разность 1—C@) —
функцией мощности. Одной из задач теории статистиче-
статистических гипотез является построение критической области такого
вида, чтобы функция мощности принимала возможно большие
значения [86]. Область, состоящая из всех выборок tu t2,.. ., tn>
для которых удовлетворяется неравенство
является наиболее мощной критической областью для проверки
#о относительно Н [86].
Здесь Ы#) и Ы')—плотности распределения случайной
величины t при гипотезе Н = Н{ и при гипотезе #={0 = 0О} соот-
соответственно; Н\ — фиксированная гипотеза из множества возмож-
возможных гипотез Я, причем #i={6 = 9i}; К(а)—некоторое число,
выбираемое из условия, чтобы ошибка первого рода была не
большей, чем а.
Случай, когда
Н0={д = д0}; Я = Я1={6 = 01}, A.166)
широко используется в задачах контроля. Пусть качество неко-
некоторой продукции характеризуется параметром 6, a 6i и 02—брако-
02—браковочный и приемлемый уровни, так что при 0 = 0i продукция счи-
считается непригодной для использования (брак), а при 0 = 0О —
годной. Тогда ошибкой второго рода будет вероятность принять
гипотезу #o=={0 = 0o} (° том> чт0 продукция годная), в то время
как в действительности справедлива гипотеза #i = {0 = 0i} (про-
(продукция негодна). Вероятность р при рассмотрении гипотез
A.166) будем называть риском заказчика. Вероятность
ошибки первого рода а есть вероятность ошибочного отклонения
годной продукции. Величину а называют риском поста в-
57

щ и к а. В задачах с гипотезами A.166) обычно считаются за-
заданными значения
6о, 61э а, р. A.167)
В работе [16] предложена следующая процедура оценки каче-
качества продукции при проведении испытаний. Считая значения
A.167) заданными, проводят псоледовательно испытания. После
нескольких или после каждого испытания находят величину X
из соотношения A.165). Возможны три ситуации:
—5_<a<izJ; X<-L и^>Ь1, A.168)
1 — a a 1 — a a
где A—p)/a и C/A—a) —некоторые граничные значения X, вы-
выражаемые через а и р. В первом случае испытания следует про-
продолжить, так как решение не может быть принято ни в пользу
#о, ни в пользу Н\. Во втором случае принимается Яо (и про-
продукция принимается), в третьем — Нх (продукция бракуется).
Такая процедура называется последовательной.
Пример 1.8. Последовательная процедура контроля в нормальном случае.
Пусть контролируется некоторая характеристика t качества продукции
Величина t распределена нормально с неизвестными параметрами \i и а. Про-
Продукция считается годной, если t^.T и негодной, если t>T, где Т — некоторая
константа. Заданы требования к вероятности Р(—оо</^Г) =F(h), где h —
~{Т—\х)/о, в виде значений Рт и_Рт. При Р = РТ уровень качества продукции
считается приемлемым, при Р^РТ — неприемлемым; Рт — браковочное зна^
чение Р. Проверяется гипотеза ЯО={Р = РТ} при альтернативе #i = {P = PT}.
Наряду с Рт и Рт заданы значения аир.
Вследствие монотонности функции F(h) по h гипотезы Яо и Н записы-
записываются также в виде
Я0={Л = Л-} и Я = {Л = Лр},
где h- и hp — квантили нормального распределения, соответствующие ве-
Рт *__ —z
роятности Рт и Рт. Таким образом, задача сведена к предыдущей, где в вы-
выражении A. 167) следует вместо Эо и 6i положить h- и hp .
*т -т
Требуется построить процедуру преимочного контроля последовательного
типа по данным выборки.
Решение. Пусть осуществлена выборка tn объема я, по данным которой
с помощью соотношений A. 127) и A. 129) найдены оценки jx и а параметров
ji и от. Учитывая, что случайная величина^ = hyfn = (Т — [х)-|Лг/<* следует не-
нецентральному распределению Стьюдента (см. пример 1.7) с функцией плот-
плотности вероятности f(n—1, d = h if n, у), и в соответствии с соотношениями
A 165) и A. 168) испытания следует продолжить, если
где t = (T — jx) y/~n/a2 — значение, найденное по выборке tn\
h- и hp—квантили нормального распределения, соответствующие вероятно-
вероятноp
стям Рт ИРТ.
58

Продукция принимается, если А^р/A—а), и бракуется, если_^^A—C)/а.
Расчетами установлено*, что функция k(t) монотонна по t — hyfn и, следова-
следовательно, вместо правила A. 169) можно сформулировать более простое: испы-
испытания продолжаются, если
h6p<l= TZ* <frnp, A.170)
где /гпр = Л(Аг,"РГ, Рт, а, р) и h6p = h (л, Рт, Рт,а, Р) — корни уравнений Х=
= р/A — а) и Х = A —Р)/а.
При h^hnp продукция принимается; при /г^Ябр — бракуется. Значения
чисел /inp и Лбр табулированы и помещены в Приложении (табл. П. 2). Пара-
Параметры менее удобной процедуры контроля с вычислением Я табулированы
в работе [103].
Недостатком последовательных процедур является то, что
они не позволяют планировать объем испытаний. Это возможно
сделать при использовании процедуры контроля типа «однократ-
«однократная выборка». Она основана на рассмотрении оперативной ха-
характеристики контроля, которая имеет вид
n(B) = P{t<?xnp} = F(xu?9,n), A.171)
где я@)—вероятность приемки, или оперативная характе-
характеристика;
^(*прВ, п) —некоторая выборочная функция распределения;
/ — контролируемая величина;
*пр — приемочное число такое, что при f^xnp продук-
продукция принимается.
Величина я (в) есть вероятность того, что испытания (измере-
(измерения) закончатся принятием гипотезы Яо, когда истинное значе-
значение параметра 6 равно 0.
1.2.3. Оперативная характеристика
в биномиальном случае
Проводятся испытания по схеме Бернулли, описываемой соот-
соотношениями A.119) и A.120). Продукция принимается, если
случайная величина t — возможное число дефектных изделий
в выборке п—не превышает некоторое число хПр. Найдем выра-
выражение для оперативной характеристики. По определению я(Р) =
= Е\(п, Р, *пр). Если величины A. 167) заданы, то очевидно, что
должны выполняться соотношения
n(%) = F(xnp, в0, л)=1-о; яF1)=.Р(хпр) в1э п) = % A. 172)
откуда могут быть найдены две величины: необходимый объем
испытаний п = п(а, р, 6о, 0i) и приемочное число лгПр = А:пр(а, р,
6,90.
k Расчеты производили Ю. К. Малюгин и В. М. Буров.
59

В условиях испытаний Бернулли соотношения A. 172) имеют
вид
ВКл,Рт. *„р)=1-а; В1(л, Рг, *пр) = ?.
Пусть 0i<0o. Тогда в случае монотонности по 8 выборочной
функции распределения F(xnv, 8) вместо выражения A.172)
можно записать с учетом соотношения A.158)
в = /2(лД l-p) = el5 9 = /х(п9 6, 1—а) = б0, A.173)
где вив — нижняя и верхняя границы доверительного интер-
интервала для в, найденные при односторонних доверительных вероят-
вероятностях Yi = 1—а и 72= 1—Р-
В биномиальном случае отсюда следуют соотношения
Р = /з(л. *п?> Y2) = PT; Р = Л(л, *пР, Yi) = ^x. A- 174)
где Р и Р — границы доверительного интервала [Р, Р] для пара-
параметра Р (табулированы в работе [63]).
1. 2.4. Объем испытания в нормальном случае
Пусть требуется построить процедуру контроля типа одно-
однократной выборки, т. е. найти необходимый объем испытаний пп
и приемочное число /гпр такие, что если после проведения пп испы-
испытаний окажется й^/гПр, то гипотеза ЯО={Р = РТ} принимается
при альтернативе #i = {P=_PT}.
Используя соотношение A.161), запишем соотношения
A.173) в виде
\1/2 h I uo\Xl2
A.175)
откуда получаем известные [86] соотношения
п1—а "ГЛ1—р
В случае, когда объем партии (совокупности) М является
конечным, из выражений A.162) и A.174) находим п=A/по +
+ 1/М)-\ где п0 определяется из равенства A.176).
Наряду с процедурой однократной выборки, обладающей тем
недостатком, что она не предполагает анализа результатов испы-
испытаний до проведения всех п запланированных испытаний, исполь-
используется смешанная процедура: усеченный последовательный ана-
анализ. В этом случае из соотношений метода однократной выборки
60

заранее (до проведения испытаний) находят планируемый
объем п. Результаты же испытаний анализируются в процессе
их проведения в соответствии с методом последовательного ана-
анализа, и еще до исчерпания объема п может быть принято реше-
решение о приемке или браковке продукции. В случае исчерпания
объема п испытаний решение принимается на основе сопоставле-
сопоставления контролируемой величины и приемочного числа [92].
Глава II
НАДЕЖНОСТЬ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ
НА ЭТАПЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
2. 1. ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ
Одной из основных задач этапа проектирования является по-
построение такой конструктивной схемы элементов системы, что-
чтобы обеспечивалось нахождение основных характеристик элемен-
элементов и системы в целом в некоторых пределах (допусках), гаран-
гарантирующих выполнение возложенных на систему функций.
В связи с этим условия успешного функционирования часто
формулируются в виде соотношений, отражающих требование
непревышения некоторой функцией ее допустимого значения.
Так, общий вид условия неразрушения таков:
?/=/(>,>, 7Л, "П)>0, B.1)
где 3* = /e(jc, у, г, t), e* = /,(jc, у, г, х) и о*, г.* — поленапря-
жений, поле деформаций и поля допустимых значений для а* ие*;
т^[то, тр] — отрезок времени от начала to функционирования до
момента тр его окончания; х> у, z—координаты точки конструк-
конструкции. Соотношение B. 1) иногда распадается на несколько усло-
условий вида Ui>0, (i=l, N), при этом часто полагают
2.1.1. Одномерная модель
Пусть для обеспечения успешного функционирования систе-
системы необходимо, чтобы выполнялось условие непревышения
B.2)
61

где t\ и t2 — случайные величины произвольного физического со-
содержания с функциями распределения F(x\) и F(x2). При t2>Q
вместо выражения B. 2) можно также использовать следующее
условие:
Л = ^>1. B.3)
В случае такого описания процесса функционирования системы
будем говорить об использовании одномерной модели, так как
U является одномерной случайной величиной по определению.
Иногда относительно U можно сделать ряд несовместных пред-
предположений (гипотез) #ь Я2,..., Hky причем У|Р(///) = 1.Тогда,
согласно соотношению A.29), вероятность успешного функцио-
функционирования есть
k
[1-Л@)Ь
где Fi(-)—функция распределения случайной величины U пр-т
выполнении предположения Яг-.
В «физических» терминах в этом случае успешное функцио-
функционирование (событие А) системы обеспечивается, если в ситуа-
ситуации, когда верна гипотеза Н\ или Я2,..., или Hky условие ?/г->0,
соответствующее каждой из гипотез, выполняется, т. е.
А =|у //. Г) (?У>0) I. Такое условие непревышения назовем
смешанным, а модель, используемую с привлечением этого ус-
условия, — смешанной моделью функционирования.
N
В случае, когда гипотезы совместны и у //, = /?, из соотно-
соотношения A.34) находим
N
где
62

Пример 2. 1. Смешанная одномерная модель.
В цех поступают стальные заготовки с двух заводов № 1 и № 2, причем
первый завод участвует в поставке 90%, второй—20% материала, так что
10% продукции изготавливается силами обоих заводов на общей производ-
производственной базе № 3. В цехе изготавливают некоторые образцы, качество кото-
которых полностью описывает случайная величина t\ — предел прочности при рас-
растяжении. В случае когда образцы изготовлены из заготовок первого завод!
(гипотеза Hi), среднее и дисперсия величины t\ равны jj,h и а^; при изготов-
изготовлении образцов из заготовок второго завода (гипотеза Н2) среднее и диспер-
дисперсия величины U— ц,12 и<*2 2» ПРИ изготовлении образцов на общей базе за-
заводов (гипотеза Н1Г),Н2) среднее и дисперсия величины t\—M-i"naj3. После
изготовления образцы смешиваются. Найти вероятность того, что наугад из-
извлеченный образец выдержит нагрузку t2 со средним ц,1з и дисперсией о\,
если t\ и t2 имеют коэффициент корреляции ги г2 и гд для образцов из заго-
заготовок заводов № 1, 2 и базы № 3; t\ и t2 распределены нормально.
Решение. Из соотношений B.4), A.103) и A.108) находим
= V, Р (//,) 1 - -т= f ехр (-гг2/2) dz
/ = 1 L _оо J
k
или Р = 2
Здесь
= R/ —1*2/; *i = V °u + °2/ — 2°i/a2^/ при i = 1, k; B. 6)
h
F (h) = /—- \ exp (——-]^_ интеграл Лапласа.
В условиях примера
V an ~f~ а2 — 2©11°2'*1 / \ \ а12 ~1~ а2 — 2о12с2^ /
— 0,1/"
Одномерная модель может быть использована также в следу-
следующей ситуации. Пусть в выражении B.2) t\ и t2 являются в
свою очередь функциями случайных аргументов (хи Х2,...,хк1)
и (х\, Х2,.. ., Хи,)- Тогда вместо соотношения B.2) имеем сле-
следующее условие:
[/Ц^,^,...,^)-^^^..., **,)>0- B.7)
63

В ряде случаев используется также условие непревышения в
виде двустороннего ограничения
a<t<b, B.8)
где аи b — постоянные или случайные величины.
2.1.2. Многомерные модели
Пусть для обеспечения успешного функционирования систе-
системы необходимо, чтобы выполнялись несколько условий вида
B.2). В случае, когда возникновение отказа связано с наруше-
нарушением хотя бы одного из условий Ui>0 при /=1, N, будем гово-
говорить о многомерной модели функционирования. Наряду с упо-
упомянутой моделью
^/ = 'i/-'«>0, Vi=hN B.9)
возможно также рассмотрение совокупности условий
<*„ V,= l, N, B.10)
где аи bi — постоянные или случайные величины, или
т|/ = (И->1; /1?ф0, У/=1ТЛГ. B.11)
hi
Дополнительно к изложенным условиям непревышения приве-
приведем следующие:
?/(*)>0, U{x)=t1{x)—t2{x\ B. 12)
где ti(x) и t2(x) —случайные функции аргумента х\
a<t(x)<b, B.13)
где а и b — постоянные или случайные величины,
Ut(x)>0 (i=~ulV); B.14)
U(x,y)>09 B.15)
где
U(x, y)=tx[x, y) — tt(x9 у); tx(x9 у) и t2(x9 у) —
двумерные случайные поля;
a<t(xy y)<b; B.16)
U{x%y% г)>0; B.17)
U{x% г/, г, т)>0, B.18)
где U(x, у, г) и U(x, у, z, т) —трех- и четырехмерное случайное
поле.
64

Пример 2. 2. Модель, описываемая случайными функциями и полями.
Уплотнение обеспечивает герметизацию среды с давлением р (рис 2. 1).
Одно из уплотняющих колец неподвижно, другое напрессовано на вращаю-
вращающийся вал. Разгерметизация (отказ уплотнения) происходит в случае износа
колец. Последнее не всегда приводит к выходу уплотнения из строя и в
случае, если произойдет событие
V/e[0,
B.19)
где хA) — ширина поверхности контакта колец при данном / (рис. 2. 1), раз-
разгерметизация не происходит. Реализация случайной функции хA) может
определяться методом интерференции после
функционирования системы уплотнения в
течение времени т0. В различных опытах
реализации Xi(l) могут не совпадать, обра-
образуя выборочное пространство для случайной
функции x(l), /€=[0, L], L=TiD, где D —
диаметр подвижного кольца. Таким обра-
образом, при условии безотказной работы пру-
пружины модель успешного функционирования
уплотнения описывается соотношением
B.19).
Пусть имеется возможность в процессе
эксплуатации в течение времени те[0, то]
наблюдать за функцией хA) и таким обра-
образом получать реализнацию двумерного слу-
случайного поля хA, т) при te[0, L], те[0, То].
Тогда вместо выражения B. 19) запишем
условия непревышения
V/e[0, L]\
Рис. 2. 1. К примеру 2.2:
/—неподвижное кольцо, 2—подвиж-
2—подвижное кольцо, 3—развертка одного из
колец: 4—поверхность контакта ко-
лец; 5—график реализации случай-
случайной функции хA)
= [0,т0].
B. 20)
Пример 2.3. Модель, описываемая че-
четырехмерным случайным полем.
Рассматривается изотропное однородное тело. При отсутствии внутрен-
внутренних источников тепла уравнение распространения тепла имеет вид
дТ
дТ ( дП д^Т д$Т \
dv \ дх* ду* дг*) '
где T — f(x, у, z, т) —температура тела;
а — коэффициент теплопроводности;
х, у, z — координаты;
т— время.
Пусть заданы краевые условия и условия однозначности в виде геомет-
геометрических размеров тела и значения коэффициента а. С помощью метода элек-
электрических ванн и сеток сопротивлений [30] могут быть найдены реализации
Ti=fi(x, у, z, т) четырехмерного случайного поля Т(х, у% z, т), соответству-
соответствующие различным значениям случайных величин: коэффициента а, времени тр
распространения тепла, геометрических размеров и т. д. Условием неразру-
неразрушения тела в некоторых случаях может служить следующее: ' :
Т =* f (х,у,г,х)<Тк?(х,у,г,т),
,г0]; те[0,тр];
где
^кр(-) —некоторое допустимое (критическое) значение температуры.
Пример 2. 4. Модель с накоплением повреждения [79].
Некоторая система в дискретные моменты времени t = ti, . ., t=tv под-
подвержена воздействию внешней нагрузки Нт. в виде мгновенного удара. Не-
312
65

сущая способноть П(т) системы под воздействием ударов снижается во вре-
времени, «запоминая» повреждение, полученное на предыдущих циклах нагру-
жения. Пусть в опыте могут быть найдены реализации случайной функции
П(т) и значения Н(тг) действующих нагрузок. Тогда модель успешного функ-
функционирования системы с накоплением повреждения описывается условиями
если между приложениями нагрузки, т. е. в интервалах (т2—Ti), (т3—т2),...,
..., (tiv—TN_i), система не может разрушайся, и условием
в общем случае.
Пример 2. 5. Модель функционирования тепловой защиты.
Тело, имеющее внешнее тепловое защитное покрытие (ТЗП), входит в
плотные слои атмосферы. Материал ТЗП — мягкая резина. Слой ТЗП, в кото-
котором температура достигает значения температуры разложения, уносится набе-
набегающим потоком. Тело разрушается вследствие прогара, если ТЗП хотя бы
в одной точке поверхности будет унесено полностью. Успешное прохождение
тела сквозь слои атмосферы (событие Л) происходит в противоположном слу-
случае, когда
/(*. у,тО>о; v*e[of*o]; </е[о,*/о]; te[o,tp], B.21)
где 1(х, у, т) —толщина остающегося слоя ТЗП в точке поверхности (х, у)
в момент времени т.
Пусть теперь дополнительно следует учесть, что тело подвержено также
механическим нагрузкам (внутреннее давление, изгибающие моменты, осевые
перегрузки и т. д). Тогда условием неразрушения является соотношение
B. 1), где поля напряжений и деформаций ( а* и ?*/, а также поля допусти*
мых значений <s% и ei должны рассчитываться с учетом возможного на-
нагрева тела. Нагрев условно назовем расчетным, если ТЗП не прогорает, т. е.
условие B.2,1) выполняется. Введение этого понятия позволяет разделить
задачу на «тепловую» и «прочностную». Действительно, при выполнении ус-
условий B.21) нагрев может оказаться незначительным и тогда введением по-
поправок и других упрощающих приемов легко учесть «расчетный» нагрев с
достаточной для практики точностью в ситуации, близкой к условиям «холод-
«холодной» (без учета нагрева) прочностной задачи. Это важно для проведения
расчетов, так как точного решения задачи по построению соотношения типа
B. 1) с учетом нагрева добиться пока еще не удается. Рассмотрение двух
условий
Л=ЛПЛ=(/(^//,т)>0}П(/Р(а*>Я>д)>0), B.22)
где /р(-)—обозначает функцию /(•) из выражения B.1) при расчетном
нагреве;
А\ и Л2 — события, состоящие в том, что условия B.21) и B. 1) будут
выполнены (коротко Ai = {l(x, у, т)>0}, Л2={/р( • )>0}, су-
существенно упрощает задачу и в ряде случаев позволяет в до-
достаточно полной степени описать механизм функционирования
ТЗП.
Иногда условие B.22) оказывается ужесточающим, так как для прогара
недостаточно, чтобы произошло событие Ли состоящее, как отмечалось, в том,
что фронт уноса, находящийся на расстоянии 1(х, у, т) от поверхности тела,
вплотную приблизится к ней хотя бы в одной точке. Дополнительно может
оказаться необходимым, чтобы произошло событие Лз, заключающееся в том,
что площадь выброса («пятно») Fn случайного поля 1(х, у, т) за поверхность
тела было больше, чем допустимое значение FK по условиям прочности, т. е.
Л3={/гп>/7д}. И тогда вместо условия А=А\[\А2 следует использовать
А = А± П As П А2. B. 23)
66

Многомерные модели, с рассмотрением случайных функций и
случайных полей могут быть смешанными, аналогично тому как
это имеет место в одномерном случае.
Рассмотренные модели не являются исчерпывающими, но
охватывают ряд важных сторон механизма функционирования
невосстанавливаемых систем. В этих моделях предполагается,
что входящие в них случайные величины, случайные функции и
поля могут быть найдены непосредственно расчетным путем или
из опыта. Однако это предположение не всегда выполняется и
тогда приходится прибегать к гипотезам о характере напряжен-
напряженного состояния [25]. Рассмотрим некоторые из этих гипотез.
1. Критерий наибольших нормальных напряжений
Пластическая деформация или разрушение хрупких материа-
материалов происходит тогда, когда наибольшее по абсолютной величи-
величине главное напряжение достигает некоторого предельного зна-
значения, т. е. при
где атах и ад максимальное из тргх (аь а2, а3) главных напря-
напряжений и его допустимое значение.
2. Критерий наибольших касательных напряжений
Пластические деформации металлов и сплавов наступают
тогда, когда наибольшее касательное ттах напряжение достига-
достигает некоторого предельного допустимого значения тд*, т. е. при
^ = Сх-<>°- B-25)
3. Критерий энергии формоизменения
Пластическое состояние (или разрушение) наступает тогда,
когда удельная энергия формоизменения достигает некоторого
предельного значения ауу т с. при
-*~>0, B.26)
где а^, о^, Og, xXlJ xxz и xZy —компоненты тензора напряжений
в декартовых координатах х, у, г.
Число таких критериев достаточно велико, поскольку каждый
из них отражает условие разрушения лишь для определенного
типа нагружения и справедлив для определенной группы конст-
конструкционных материалов. Попытка построить обобщенный крите-
3* 67

рий дана в работе [25], где показано, что достаточно общим ус-
условием разрушения является следующее:
Ф(П1Э П2)<0, B.27)
___ * . * , * __ *2 *2 *2 *2 *2 #2
ГДе П1 = ох-\-ау + аг И П2 = ^ -{-ау + з2 + 2(Xxy-\-Xyz-\-Xzx) —
инварианты тензора напряжений;
Ф(-) —некоторая функция.
Существенным результатом исследований условий разруше-
разрушения явились работы [37] по длительной прочности. Временная за-
зависимость прочности отражает зависимость прочности материа-
материала от длительности его пребывания в напряженном состоянии
при данной температуре. Время т' до разрушения материала и
зависимости от температуры Т и напряжения а* вычисляется с
помощью соотношения
t' = tHe кт , B.28)
где Тн, Ьо и со — величины, определяющие прочностные свойст-
свойства материала; ko — постоянная Больцмана.
Условие разрушения с использованием равенства B. 28) име-
имеет вид
и = г'-тр<0 или л = -^7>1, B.29)
где тр — время работы системы. Пусть теперь рассматриваются
N циклов нагружения, на каждом из которых действуют темпе-
температура Ti и напряжение а** (/=1, N). Тогда условие разруше-
разрушения приближенно выражается в виде [25]
>!. B-30)
где тРг — время нагружения при
/-м цикле;
х\ = хн, ехр [ — (bQi — cOi3*)/\f>ol T^] — время до разрушения, опре-
определяемое из соотношения
B.28) по параметрам /-го
ЦИКЛа (бог, Сои Тнг, CJi,
Используется также соотношение [25]
х'
dt >1
B.31)
68

позволяющее вычислить время %' до разрушения, если известны
зависимости а* (т) и Г(т). Условие B.31) получается из выра-
выражения B. 30) предельным переходом.
Значительное количество гипотез накопления повреждений
свидетельствует о том, что исследования в данной области еще
находятся в стадии становления и экспериментальных поисков.
2.2. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТА СИСТЕМЫ
Современный этап развития технических систем характери-
характеризуется увеличением функциональной и структурной избыточно-
избыточности с целью уменьшения влияния на работоспособность системы
выхода из строя отдельных ее элементов. Это, в свою очередь,
создает определенные трудности при формировании понятия
отказа элемента системы и получении количественного показа-
показателя его надежности. Вместе с тем такой показатель необходим
в условиях раздельного изготовления и контроля надежности
элементов. Он необходим также при решении задачи о распре-
распределении по элементам заданного числового значения показателей
надежности системы в целом, для определения показателя на-
надежности системы по данным испытаний элементов и т. д.
В связи с изложенным рассмотрим одно из возможных прибли-
приближенных решений задачи по формированию показателя надеж-
надежности элемента системы.
Пусть система состоит из N элементов, каждый (/-й) из ко-
которых имеет вектор (набор) Xj= [хц, at2j, ..., Xkj) выходных ха-
характеристик (/=1, N). Вектор у=)(уи у2,..., уи) выходных ха-
характеристик системы в целом определяется N векторами Xj.
На каждую характеристику хц (/=1, kj) /-го элемента из
условий неразрушения, сохранения устойчивости, точности и т. д.
в технической документации оговариваются допуски
*и<*и<Ьф B.32)
выход из которых в течение времени работы tpj элемента явля-
является нежелательным. Нарушение условия B. 32) может приве-
привести к выходу из строя системы в целом или к изменению ее вы-
выходных характеристик у. Значения хц и границы aih Ъц могут
быть постоянными или случайными величинами, случайными
функциями или полями.
Обозначим через Ац событие, состоящее в выполнении усло-
k.
вия B.32), а через Aj= [\Ац— пересечение kj таких событий,
относящихся к /-му элементу системы. Обозначим далее через
Р/ значение Р/=Р(Л^). Тогда показатель надежности системы
может быть представлен в виде функции
Ф(Р)), у=П~ЛГ. B.33)
69

Выражение B. 33) является вероятностью события В, состоя-
состоящего в успешном выполнении системой в целом возложенных
на нее задач, рассматриваемых в рамках теории надежности.
В ряде случаев такие задачи формулируются в виде требова-
требований к нахождению выходных характеристик системы (уи \)ч,. • •*
..., tji) в заданных допусках:
,4v<yv<?v, v = ~L B.34)
Изложенное позволяет сформулировать рассматриваемую зада-
задачу следующим образом. Общее выражение B. 33) для показате-
показателя надежности системы требуется представить в виде некото-
некоторой композиции вероятностей вида Ру = <р(Ру), зависящих от
Р/, каждая из которых относится к /-му элементу (например,
N
Р=х П Ру, где х^1). Пусть такая композиция найдена. Тогда
7-1
функция вида
представляет собой вероятностную долю в показателе B.33)
надежности системы в целом, обусловленную влиянием на него
характеристик /-го элемента и в связи с этим может быть при-
принята в качестве показателя надежности /-го элемента.
Принципиальное решение задачи о декомпозиции функций
многих переменных дано в работе [42] в виде теоремы: для каж-
каждого N^M существует NBN+ 1) таких функций
<М*А (/=1,2,..., N; 2=1,2,..., 27V, 2ЛГ+1),
в которых:
а) все функции ф^-, непрерывны на интервале [0, 1];
б) для любой функции f(xt, х2,. . ., xN), непрерывной на
0<хи х2..., xN<l, существуют 2jV+1 функций г|)г- (i=l, 2N+l)y
каждая из которых непрерывна на /?(*), причем /(х,, х2>..., xN)=
27V+1 / .V \
?ij \xi) » т- е- каждую функцию yv действительных
v7=i /
переменных можно представить в виде суммы 2N+1 суперпози-
зий непрерывных функций одного переменного и суммы jV не-
непрерывных функций одного переменного. При этом функции ф*
не зависят от /, а функции tyiy напротив, однозначно определя-
определяются функцией /. Частный случай задачи рассмотрен также &
работе [98], где показано, что функция вида B. 33) представ-
представляется как
N
Р=Р(г1, z2f..., zN)=l\Pjy B.35)
7=1
70

где
если удовлетворяется соотношение
d? dP __ р дФ
dzi dzj dz-tdzj
являющееся для представления B.35) необходимым и доста-
достаточным.
Ниже дается приближенный метод представления функции
Р = Р(.) в виде, удобном для решения рассматриваемых здесь
прикладных задач.
С целью получения выражения для показателей Pj надеж-
надежности элемента рассмотрим вначале вероятность Р(В).
Обозначая через Ао= n i4v,
где No = ki + k2+ ... +kN — число всех выходных характеристик
N элементов системы, и учитывая, что согласно соотношению
A. 6) Ло= U Л*, получаем
l
v=l
= Р(В\А0) {Р (Ло) + [1 -
или
где Х = ~А, П
откуда
-2 р № n a'j)+. ..+(- if»-1 p (п° л
2 M/y*-"- + (-1)Are~W ЛГА2.....
ЛГ.)
J
71

или
v=l
+ 2 ^^-... + (-1)^-^1,2....,^1,2.....JVo). B.36)
i
2
'<</
Здесь Pi,2,...,Wo = P(-Ao)—вероятность нахождения в допусках
всех Na=ki + k2+ ... +kN выходных характеристик элементов
системы;
А*—событие, состоящее в выходе одной (v-й) характери-
характеристики из допуска;
qv = p(Av)—вероятность выхода одной (v-й) характеристики
из установленного допуска (v= 1, No);
qij=P(Ai П Aj)—вероятность выхода двух A-й и у-й) ха-
характеристик из установленного допуска;
qiJk=P('Ai П ~Aj П Л),---, ?1,2....,лгв=Р( П ^/
лг0 _ ч
/1 '
Pi
1=1 -; B.37)
у* i о . /р 1 0 * • Т1 1 б B 48 Ь
РE|ЛУ), Р(?|Д.П^/)—вероятность события 5 при выхода
одной (v-й) характеристики за пределы допуска, двух A-й, у-й)
характеристик и т. д.
Представим соотношение B. 36) в виде
B.39)
у=1 У
Здесь
B.40)
— вероятностная доля в общей вероятности отказа системы-,
обусловленная влиянием только у-го элемента;
B.41)
72

— вероятностная доля в общей вероятности отказа системы,
обусловленная возможным «взаимодействием» элементов (ин-
(индексы i, k, % и т. д. относятся к характеристикам различных
элементов).
Соотношения B. 36) и B. 39) справедливы для любой струк-
структуры элементов системы. Так, в частном случае при lHv = Tl/y =
... = 11! 2,...,/vo=l нарушение любого из условий B.32) приводит
к невыполнению задач, возложенных на систему («последова-
(«последовательное соединение»). Тогда только выполнение всех условий
B.32) влечет за собой выполнение задачи системы. Следова-
Следовательно,
Р(В\А0)=1 и
При независимых А\ из последнего соотношения следует,
что
/=-1
В ДруГОМ Случае, При Г],=Г]./ = ...^Г]1 2# >Aro_t=OH 'П1>2,...Л'о= U
выход за пределы допуска одного, двух и т. д. характеристик
не приводит к отказу системы и только совместный выход всех
характеристик за пределы допусков означает отказ системы
(«параллельное соединение»). Тогда по-прежнему Р(В|Ло) = 1
и Р(В)= 1 —#1,2,...,лго= 1 — Р I П А*)- При независимых Лг- име-
\/=i /
Дальнейшее решение задачи о декомпозиции функции РE)
должно связываться со структурной схемой и особенностями
функционирования системы. Здесь для определенности рассмот-
рассмотрения примем следующие допущения, отражающие специфику
исследуемых далее задач.
1. Система допусков выбрана таким образом, что при выпол-
выполнении условия B.32) вероятность Р(?|Ло) превышает требуе-
требуемое значение РE)т величины Р(В). Пусть Р(?)т = 0,90, тогда
согласно допущению вероятность Р(?|Ло) выполнения системой
возложенных на нее задач при нахождении всех ее характери-
характеристик в установленных допусках, должна превышать значение
0,9, т.е. должно выполняться Р(В|Ло)>О,9 [например, Р(В|Ло) =
= 0,98—0,99]. Практически это допущение является вполне ра-
разумным. Вместе с тем при решении задачи о распределении тре-
73

буемого значения по элементам системы оно позволяет «норми-
«нормировать» значение
Из такого распределения требований вытекает практическое
следствие: данный (конкретный) элемент системы может счи-
считаться приемлемым, если все его выходные характеристики ле-
лежат в допусках. Если же одна или несколько характеристик
вышли из допуска, то для выработки суждения необходимо вы-
вычислить значение Qv из соотношения B.38) , а возможно и
Р(В), с последующим сравнением их с требуемыми величина-
величинами. При этом в зависимости от результатов сравнения могут
возникнуть две ситуации: 1) данный элемент следует признать
непригодным для использования в системе; 2) данный элемент,
несмотря на выход за пределы допуска отдельных его характе-
характеристик, может быть использован в системе.
2. Структурные и функциональные особенности системы та-
таковы, что на основе выражения B. 39) возможно представле-
представление
ПРт] B.42)
или
т. е. система близка в некотором смысле к последовательной или
к параллельной (структура элемента системы произвольного ви-
вида) . Конкретный вид зависимости
y, 7=1, ЛГ B.43)
вытекает из результатов расчета коэффициентов т]г-, т|^,... на
основе статистического моделирования уравнений движения си-
системы.
Второе допущение, как и первое, не является слишком стес-
стесняющим. Действительно, пусть, например, система состоит из
NT последовательных блоков, каждый из которых включает к?
параллельных элементов, т. е. достаточно сложна. Тогда
РE|Ло) = 1 и соотношения B.42) оказываются точными.
Изложенное позволяет в качестве искомого выражения для
показателя надежности /-го элемента принять значение Pj =
= 1 — Qj и осуществить распределение величины Рт по элемен-
элементам системы, т. е. найти такие величины PT|j, что при Pj>PT, $
справедливо соотношение Р(В)>РТ.
74

При рассмотрении конкретного элемента его номер / в систе-
системе не имеет значения, а соотношение для показателя Pj = 1—Qj
надежности элемента может быть записано в виде
P=l~^4iqi + %r\ijqij-...+(-l)k-4iX...,Mh2,...,k' B.44)
Здесь qu qiJ9 . . ., qi,2,...,k — вероятность выхода /-го, &-го и
/-го и наконец всех характеристик системы за установленные до-
допуски в течение времени тр работы элемента. Допуски могут
быть односторонними и двусторонними. В первом случае наибо-
наиболее общим выражением для qi является
qi = P{Ui(*> У> *> *)-*/(*. У, *> t)<0), B.45)
где Ui(-) и щ(-)—некоторое четырехмерное случайное поле
{см. пример 2.3) и ограничивающее (допустимое) поле;
*е[0, л-0]; J/G[O, у0]; z(^[0, z0]; tG[0,tp].
В частных случаях
q. = P{U.(x, y)-ai(xi */)<0}; )
^ = P(t/.(r)_a.(t)<0); ?,-Р {*/,-*, <0}.j
Во втором случае, как будет показано ниже, удается исполь-
зовать следующее достаточно общее выражение:
qi = P{bi(x)^Ui(x, y,z,x)^ai(x)}i B.47)
где ui(x) и bi(x) —неслучайные функции времени.
Из выражений B.47) легко получить частные случаи, когда
B.48)
¦Ui-
Важно подчеркнуть, что если допуски на характеристики элемен-
элемента известны, то вычисление величин qu q%h Яи%•••,k можно осу-
осуществить по данным проектирования и испытаний этого эле-
элемента, не обращаясь к системе в целом (методы расчета вели-
величин qi, qij,. . ., qi,2,...,k см. 2.3). Для расчета по формуле
B.44) показателя надежности элемента системы необходимо
дополнительно знать значения коэффициентов r\iy rj^j,. . .,
• • ., t)i, 2,..., /г, которые целесообразно «выдавать» разработчику
элемента наряду с допусками на характеристики.
Таким образом, задача по определению показателя надежно-
надежности элемента решается, если известны допуски на выходные ха-
характеристики и коэффициенты влияния т]г-, г)г:/-,..., y]i, 2-.., к- Рас-
Рассмотрим возможный метод определения этих коэффициентов.
75

Коэффициенты щ, v\ij,..., как видно из выражений B. 38), изме-
изменяются в пределах от нуля до единицы и учитывают, что выход
за допуск данной характеристики лсг- или совокупности характе-
характеристик элемента может еще не привести к невыполнению задач
системой в целом, вследствие возможной взаимной компенсации
отклонений, взаимного «дополнения» характеристик и т. д.
Пусть задана система уравнений движения (функционировав
ния) рассматриваемой системы и решения y,= ^(xiy l=\, No)
уравнений (Л^о — число выходных характеристик всех элементов
системы) должны удовлетворять требованиям B.34). Наруше-
Нарушение этих требований расценивается как отказ системы. Рассмот-
Рассмотрим ©начале метод определения вероятности Р(В\Ао) по резуль-
результатам статистического моделирования процесса функционирова-
функционирования системы в целом.
Для осуществления такого моделирования необходимо знать-
функции плотности вероятности величин Х\. Здесь имеется ряд
особенностей, на которых целесообразно остановиться. Пусть х±
случайная величина с функцией плотности вероятности Ы*гК
когда нет неисправности в системе, влияющей на параметры ил»
вид f(Xi). Это состояние встречается с вероятностью Рн= 1 —
— \ fAu)dy, где /Н'(#) —функция плотности вероятности вре-
о
мени до возникновения неисправности.
Из формулы полной вероятности следует, что с учетом неис-
неисправности f(Xi) будет выражено так:
P B.49)
где f(Xi\y)—функция плотности вероятности случайной величи-
величины при возникновении неисправности в момент #е[0, тр], а тр —
время работы элемента в системе.
Пусть, например,
и известны функции \ii(x), (Тг2(т), где т — момент возникновения
неисправности. Тогда
/2я
о
76

В наиболее простом виде выражение B. 49) удается предста-
представить в том случае, если неисправность независимо от времени ее
возникновения известным образом изменяет f(Xi). Пусть уста-
установлено, что при возникновении неисправности f(X{)=f*(Xi) =
= !(Хг\Аи), где Ан — событие, состоящее в возникновении не-
неисправности. Тогда
+ Р(Ая)/(х1\Аи). B.50)
Если таких неисправностей несколько, то с помощью соотно-
соотношения A.31) легко показать, что
П ^hv
где с — число неисправностей;
Аи? —событие, состоящее в возникновении v-й неисправ-
неисправности;
f(Xi\A) — функция f(Xi) при возникновении А.
Если неисправности влияют на Х\ в различные моменты вре-
времени различно, то
v<;
о(-**) ]¦¦¦ ]/ЛУх, У.,..-, yc)[\dy., B.51)
т т v = l
где /H(*/v, у,),..., /н(Уь У% • • ., Ус) — совместные функции плот-
плотности вероятности времени до возникновения неисправностей
(v-й и /-й) и т. д.; /о(*г) —функция f(Xi) при отсутствии неис-
неисправностей.
При вычислении коэффициентов г\и y]zj, ... следует использо-
использовать функции плотности вероятности f (лгг-), найденные с учетом
77

неисправностей. Дополнительно потребуется f(X{) множить на
коэффициенты усечения ?V Будем говорить о наличии усече-
усечения первого типа, если этот коэффициент имеет вид
Если коэффициент определяется как
1Ь. -1-1 Гоо
f/(*/)**/ или ?/ = К/
то будем говорить об усечении второго типа. Если Е{ =
= 1, то функцию f(Xi)Ei будем называть неусеченной. Пусть
функции f(Xi)Ei для всех аргументов Хи влияющих на выходные
характеристики системы, известны. Тогда в соответствии с мето-
методом статистических испытаний можно, используя неусеченные
функции fi, найти вероятность Р(В) выполнения системой в це-
целом поставленной задачи:
( Г(^П^
11
где f(yc)—совместная функция плотности вероятности (уу,
У2, • • ., yi);
пит — общее число реализаций при расчете функции
#v=^<p(*Ar0), xNo-=(x1. . ,xNo), /=1, [x и число слу-
случаев, когда условия B. 34) при моделировании вы-
выполнялись.
Число реализаций п выбирается из условия, чтобы довери-
доверительный интервал [Р, Р] для вероятности Р = РE) был не шире
некоторого допустимого или чтобы выполнялось условие
—-еа<Р(Я)<—+ *i, B.53)
п п
где г1 = Р; е2 = Р—-—заданные значения;
п п
Р и Р — верхняя и нижняя границы доверительного интервала
для Р(В), определяемые из соотношения A. 174), где следует
положить xul) — n — т.
Для вычислений искомой вероятности Р(В/Л0), входящей в
выражения для коэффициентов т]г-, r];j, . . ., т|1,2,...,л, очевидно,
достаточно, повторяя изложенную процедуру при моделирова-
моделировании, воспользоваться функциями плотности вероятности f(Xi)Ei
с усечением первого типа.
78

Для нахождения вероятности Р(В\А v) по смыслу ее опреде-
определения необходимо для моделировании случайной величины х *
использовать усечение второго типа. Коэффициент усечения при
этом берется из условия «выведения» з<* пределы допуска, т.е. за
ту его границу av или 6V> выход за кот') \ю наиболее неблаго-
неблагоприятен для выполнения задачи системой в целом. В случае,
когда заранее неясно, выход за какую границу допуска явл^тся
более опасным, можно приближенно принять ту, при которой ко-
коэффициент г\ v оказывается большим. При моделировании осталь-
остальных величин Х{ Aфч) в случае вычисления ^ слелует восполь-
воспользоваться неусеченными плотностями.
Аналогично изложенному находятся вероятности
p(B\Atn Aj),...,pIb n л)
Таким образом, показатель надежности элемента системы
вида B. 44) позволяет приближенно учесть степень влияния воз-
возможного выхода той или иной характеристики за пределы уста-
установленного допуска.
Следует подчеркнуть также такие три «привлекательных»
стороны показателя B.44).
1. Известно, что допуски на характеристики в ряде случаев
приходится задавать приближенно, то излишне расширяя, то не-
несколько сжимая поле допуска. Это происходит вследствие
сложности разработки рациональной системы допусков. Пред-
Предположим, что такая система в принципе существует, а фактиче-
фактические поля допусков заужены. Тогда значения вероятности
#г, qij,. . . выхода характеристик из допусков оказываются завы-
завышенными, но уменьшаются коэффициенты т]г-, г]^,. .., так как ве-
вероятности Р(В\А{), P(B\Aij) увеличиваются. Если допуски рас-
расширены по сравнению с рациональными, то величины qiy q^,...
уменьшаются, но возрастают r]2-, r\ij,.. . Следовательно, в некото-
некоторой области отклонения совокупности границ допусков от их ра-
рациональных значений произведения д^г, Чицц, - •., входящие в
соотношение B.44), могут сохранить неизменные значения по
сравнению со случаем, когда имелась бы рациональная система
допусков. Это позволяет построить систему контроля по совокуп-
совокупности параметров в сочетании с принятой системой контроля по
допускам для отдельных характеристик с приемлемым значени-
значением риска поставщика.
2. Использование смешанных плотностей распределения вида
B. 49) — B. 51) при определении qiy q^ и г]г-, г^- позволяет учесть
влияние неисправностей элементов на выходные характеристики
системы. Заметим, что деление всех нежелательных явлений на
неисправность (любое отступление от технической документа-
документации [60]) и отказ — «сильная форма неисправности», при кото-
которой элемент выходит из строя, является удобной, но упрощен-
79

ной моделью, поскольку имеется еще и бесчисленное количество
переходных явлений и ситуаций между теми, которые описыва-
описываются понятиями «неисправность» и «отказ». В показателе
B.44) для элемента системы достаточно ограничиться лишь
одним более широким понятием — «неисправность», а сила воз-
воздействия неисправности автоматически учитывается коэффици-
коэффициентами г]г, y]ijf.. .. В случае необходимости отказ элемента си-
системы можно определить как такую неисправность, для которой
коэффициент г)* (а следовательно, и тц;-, к\т, • • ., Л^с) равен
единице.
3. Важной стороной задач определения и контроля надежно-
надежности является приспособленность методов расчета к реальной
структуре системы, а также к организационной схеме изготов-
изготовления и контроля качества ее элементов. Пусть элементы систе-
системы изготавливаются несколькими отдельными предприятиями,
а систему в целом собирает и рассматривает одно специализи-
специализированное предприятие. Тогда предприятие — соразработчик для
определения, контроля и анализа надежности находит лишь зна-
значения величин ^г, Qijy • • •, непосредственно относящихся к изго-
изготавливаемому элементу. Необходимые для расчета показателей
надежности коэффициенты у\и т|г-;-,.. . выдаются соразработчику
специализированным предприятием, имеющим модель системы
в целом. Такие коэффициенты целесообразно задавать наряду
с допусками на контролируемые характеристики.
Таким образом, показатель надежности B.44) может ока-
оказаться удобным и с организационной точки зрения.
2.3. МЕТОД НЕПРЕВЫШЕНИЙ
В предыдущих разделах отмечалось, что вычисление показа-
показателей надежности систем, являющихся элементами более круп-
крупных систем, в значительной степени основано на определении ве-
вероятностей выполнения условий успешного функционирования.
Метод непревышений позволяет установить численное значение
вероятности того, что не произойдет одного или нескольких из
событий, описываемых соотношениями вида B.2), B.7) — B. 18).
2.3.1. Одномерные вероятностные модели
Случай, когда рассматривается условие 'B.2), в котором t^ и
/2 — случайные величины, представляет собой одномерный вари-
вариант задачи о непревышении, так как при этом искомой является
вероятность
p^P(?/>0)= J f(U)dU B.54)
U>0
оо
или P=tf(U)dU, при U (ЕЕ( — со, со),
о
80

где f(U) —одномерная функция плотности вероятности распре-
распределения ?/, вычисляемая по совместной функции плотности веро-
вероятности f(yu у2) случайных величин ^ и t2 с помощью соотноше-
соотношения A. 54).
Пример 2. 6. Простейшая вероятностная модель непревышения
Система, прочность которой U, работает под нагрузкой t2. Успешное
функционирование системы обеспечивается, если tt>t2. Найти вероятность
успешного функционирования системы
1) если U и t2 случайные величины, имеющие нормальное распределение;
2) если t\_ и t2 — распределены экспоненциально с параметрами A,i и Х2\
3) если tx и t2 имеют однопараметрическую функцию распределения об-
общего вида F(xi, 6i), F(x2y 92), где 04 и 02—некоторые параметры.
—>
Решение. 1. Пусть ?2=(*i, W имеет функцию распределения A.99). Тог-
Тогда с помощью соотношения A.54) можно найти приводившийся уже выше
результат:
P(U>0) = F(h). B.55)
_I_ h -у*
Здесь F(h) = Bn) 2 J e 2 dy;
— 00
P-i — Р-2 ± *—1 5б
—средний „запас прочности";
i/j = о 1 /^х 1; v2 = а2/р-2 — коэффициенты вариации.
В примере 2.1 дано более полное соотношение B.5), учитывающее воз-
возможное изменение параметров \i и а при наличии неисправностей в системе.
2. Пусть ti и t2 независимы и имеют функции распределения F (х\) =
— l—e-M-i; р (Х2) _ ! _ e-x2jr2> Гогда с помощью соотношения A.54)
легко убедиться, что
- Х2 fJ-i 1 1
где % = — = —; m = — ; н-2 = —.
М Р-2 Aj Л2
3. Если /i и /2 независимы и имеют однопараметрические функции рас-
распределения F{Xi, 0i) и F(x2, 62) соответственно, где 9i и 02 — параметры
(например 0i=^i; 62—^2), тогда согласно работе [96] имеет место достаточ-
достаточно общее соотношение, включающее предыдущий результат
Р(?/>0):=Р(<1><2)= „ "'я ¦
"I -г о2
если выполняются некоторые условия, оговоренные в лемме работы [96].
Рассмотрим случай, когда одномерная модель приводит к
отысканию вероятности
Р = Р{—оо</<ф(т)}, B.57)
гдеа|)(т) — неслучайная функция; те[а, Ь].
Покажем, что справедлива следующая лемма.
81

Лемма I. Вероятность вида B.57) вычисляется по формуле
где 6= inf ф(т) — нижняя грань ф (г);
te[a,b]
f(y) — функция плотности вероятности случайной величины t.
Доказательство-. Рассмотрим множества В={—
^ар(т) }Vte[a, b] и Bi={—oo</^6}. Из определения нижней
грани и соотношения 6 = infгр(т) находим, что BiCzB, Bif)B = Bu
В,()В=ф. Отсюда Р(Д1)РE|51)=РE1), Р(В|В0 = 1,
РE|В1)=0. Далее Р(В) =Р(В1)РE|В1) +P(^i)P(B|fii) =
= P(Bi), что и доказывает лемму I.
При рассмотрении одномерной задачи естественно возникает
вопрос о том, что наряду с условием непревышения вида ?/=
= ti — 4>0 может при ^2=7^=0 рассматриваться эквивалентное
условие K=ti/t2> 1.
Найдем функцию плотности вероятности распределения слу-
случайной величины K=tjt2, где ti и t2 — распределены нормально
со средними (ii и ^2, дисперсиями а}2, а22 и коэффициентом кор-
корреляции ri2. Следуя работе [40], где рассмотрена эта задача при
г 12 = 0, будем предполагать \i2 столь большим по сравнению с Ог>
что область значений t2 можно считать расположенной вправо от
нуля. Тогда, используя соотношение A.53),
zr12
°2
ИЛИ
/00 = *о
о
1)
JJ
о
где
. __ 1 xqS + Qi — 2г12ха1а2
82

Интегрируя с учетом принятого допущения относительно t2, на-
находим
ехр Г , 2(fXl7^J Г1 . B. 58)
Частный случай зависимости B.58), когда ri2=0, приведен в
работе [40] и следует из этой формулы. Запишем выражение
для элемента вероятности
где
у=тц
Отсюда следует, что для принятых условий
f/v — _*L\ Л — d^ \/ \—F(u\ B.59)
гле F(h) — функция Лапласа.
Если величина U в выражении B. 54) находится, как ока-
оказывается известным из каких-либо источников, в интервале от
а до 6, т .е. f/e[a, 6], в то время как для вычисления Р({/>0)
удобно использовать функцию плотности вероятности распреде-
распределения f(U) при ?/е(—оо, оо), то используют очевидное соотно-
соотношение
ь
\f{U)dU
|B.60)
]f(U)dU
а
оо
где \f(U)dU^\.
Пример 2. 7. Вероятность сохранения устойчивости стержня.
Система представляет собой математический стержень-стойку, защемлен-
защемленную одним концом и нагруженную эксцентрично на другом. Нагрузка Ро по-
постоянна Материал стойки и условия нагружения таковы, что для расчета
критической нагрузки допустимо использовать формулу Эйлера
П
83

где k — постоянный коэффициент;
а — коэффициент жесткости;
/0 — длина стержня.
Величина Рр является случайной, так как значения а и /0 имеют опре-
определенное рассеивание относительно средних значений M[a] = jj,i и М[/о] = М'2-
Длина /0 ПРИ изготовлении стойки колеблется в пределах допуска; к этому
присовокупляются и колебания вследствие воздействия температуры среды.
В результате /о имеет дисперсию о*22. Пусть дисперсия случайной величины
а также известна и равна o~i2.
Система считается выполняющей свои функции при сохранении ею устой-
устойчивости, т. е. при РР>РО. Требуется найти вероятность сохранения устойчи-
устойчивости рассматриваемой системы в следующих случаях.
А. Соотношение Эйлера полностью описывает величину Рр, а значения
Ць \i2, di, o~2 известны.
Б. Есть факторы tif /2,..., tN, влияющие на Рр, которые соотношением
Эйлера не учитываются (например, факторы технологические: режим изго-
изготовления материала стержня, характеристики сырья и т. д), и дополнитель-
дополнительно к этому значения jxi, \i2, cri и сгг неизвестны.
Решение. Л. Будем считать, что Рр следует усеченному нормальному за-
закону распределения: Рр>0. Тогда согласно соотношению B. 60)
где F(h) —функция Лапласа;
А=({х—Я0)/а; Ло = ^/°;
(и и а — среднее значение и среднее квадратическое отклонение для Рр.
Для вычисления \i и а воспользуемся соотношениями A.72) — A.73),
из которых следует, что
[х « ?я2 — + Д! + Д2; о = fi Vv\ + v\ + А[ + Д^ ,
где ^ = а2/^; t| = o|/{i|;
Ai, A2, А^ и Ag—поправки, вычисляемые с помощью соотношений A.75) —
A.77).
Если соображение о нормальности распределения Рр представляется со-
сомнительным или требует проверки, а функции плотности вероятности а и /о
известны, можно найти вероятность Р(РР>Р) методом статистических ис-
испытаний, рассмотренным выше и подробно изложенным в работе [35].
Б. В данном случае основываемся на экспериментальных значениях а и
данных по измерениям 10.
Пусть по опытным данным в соответствии с выражениями A.127) и
A. 128) определены оценки
/ = 1 /=1 Т /--1
Кроме того, на основании опытных данных по формулам A.87) — A.92)
найдена функция регрессии величины у = Рр—^л<2~ на tu t2,..., /jv.
Тогда оценками условного математического ожидания и дисперсии являются
84

4-
B.62)
где р4- — оценки коэффициентов регрессии, учитывающих при ?=
=1, N степень влияния факторов U, t2,. . ., tN на величину у\
|/1,/2,...,/yv — оценка множественного коэффициента корреляции между
Яр и вектором (tu h,• •., ^n);
Ai, A2, Aj, A2 —оценки поправок Aj, A2, Aj, Ag. Пренебрегая усеченностью
функции распределения, т. е. считая, что F(ho)^\, из уравнений A. 146)
имеем несмещенную оценку для Р:
1 ?Л*>1;
р=/ (a,a) VA«6[0fl];
О Vh*<Ot
где Л,=
Нижняя и верхняя границы доверительного интервала [Р^, Р] для Р с учетом
монотонности функции F(h) no h находятся при этом на основе соотноше-
соотношений A. 164):
р = ,<*>«ЛJ^viLl. p = F(-A) = 4^Af^l B.63)
L / I L / л I
где n (i, 2);
б (-я)—параметр нецентрального распределения Стьюдента (см. таб-
таблицы [103]);
Yi и Y2 — односторонние доверительные вероятности, удовлетворяющие
условию Yi + Y2 — 1 = Y»
Y — заданная доверительная вероятность.
Столь подробно разобранный частный пример позволяет те-
теперь с большей ясностью изложить некоторые общие моменты
оценки и контроля надежности на этапе проектирования. Разу-
Разумеется, они сохраняются и в условиях приведенных ниже более
усложненных вероятностных моделей и состоят в следующем.
1. На этапе проектирования исходными данными являются
принципиальная и конструктивная схемы системы и физические
условия ее успешного функционирования, выражаемые в виде
соотношений непревышения. Эти соотношения формируются на
основании рассмотрения условий работы системы, физической
теории прочности, условий устойчивости, тепловой стойкости и
т. д. Величины, входящие в условия непревышения, находятся
теоретическим путем или экспериментально.

2. Для определения и контроля надежности системы на эта-
этапе проектирования сначала формируется показатель ее надеж-
надежности. Наиболее сложным является случай, когда система вхо-
входит в более крупную систему, так как при этом нарушение от-
отдельных условий непревышения в некоторых случаях может
быть компенсировано благоприятным сочетанием характеристик
системы в целом.
Одним из общих выражений для показателя надежности не-
восстанавливаемой системы как элемента более крупной систе-
системы является выражение B.44), в котором коэффициенты ци
rjij,..., наряду с системой допусков, выдаются разработчику
системы разработчиком более крупной системы. Предваритель-
Предварительно при рассмотрении характеристик, входящих в условия непре-
непревышения, путем статистического моделирования или эксперимен-
экспериментально должны быть установлены функции плотности вероятно-
вероятности этих характеристик. Эти функции используются разработ-
разработчиком системы для расчета вероятностей непревышения q\. Эти
же функции используются разработчиком более крупной систе-
системы для определения упомянутых коэффициентов т]г, r\ij
3. Параметры функций плотности вероятности, такие как
средние значения, дисперсии и коэффициенты корреляции, нахо-
находятся из соотношений A.72) — A.81), если соответствующая
характеристика получена расчетным путем. Если характеристика
•системы определяется экспериментально, то используются оцен-
оценки этих параметров.
4. В некоторых случаях условия непревышения не полностью
описывают механизм разрушения, прогара и т. д., а предвари-
предварительные данные позволяют найти условные средние значения и
условные дисперсии, учитывающие влияния дополнительных
факторов. Тогда в значениях q^ q^ . . . вместо безусловных мате-
математических ожиданий и дисперсий следует подставить соответ-
соответствующие условные величины.
Иногда вместо введения условных параметров распределения
в расчетные соотношения вводятся опытные коэффициенты согла-
согласования, имеющие определенные выборочные распределения.
Тогда расчетные средние, дисперсии и корреляции умножаются
на выборочные средние значения коэффициентов согласования.
5. Таким образом, уже на этапе проектирования имеют дело,
как правило, не с точными значениями параметров ju,, a, q, а с их
•оценками вида
N
&(•*'"•?')или ^=^>
где ji — расчетное значение какой-либо характеристики;
\хи Рг — выборочные средние и коэффициенты регрессии,

найденные путем обработки имеющихся статисти-
статистических данных;
X — среднее значение коэффициента согласования.
Подставляя вместо (х, a, q, ... их оценки в выражения для q-ly
qij, находят приближенные оценки qu q^. Более точным при этом
было бы использование несмещенных оценок для qu Чц [см. фор-
формулы A.142) — A. 152)].
Несмещенные оценки функций плотности вероятности (или
их приближенные оценки) используются и для нахождения оце-
оценок г]г, r\ij коэффициентов т]г, r\ij,.... Имея оценки q\, q^ .. .>
• • •> Ль Цц> - • •» из формулы, аналогичной B.44), находят оцен-
оценку Р для показателя надежности Р
.^ — ...^( — l)*-1^^_ k\2 tk, B.64)
6. Для контроля за выполнением требований к системе ис-
используются методы проверки статистических гипотез (см. 1.2).
Для применения этих методов необходимо вычисление границ Р
и Р доверительного интервала [Р, Р], который с заданной дове-
доверительной вероятностью у «накрывает» истинное значение по-
показателя Р.
С целью приближенного установления границ Р и Р может
быть использован метод статистических испытаний [35], основан-
основанный на том, что моделируются выборочные распределения оце-
оценок [a, a, Q,..., входящих в выражение B.64). В результате на-
находят выборочную функцию распределения <F(P, P) оценки R
Полагая приближенно, что условия для цитируемой в § 1.2
теоремы о доверительных интервалах [81] выполнены, из уравне-
уравнений A. 158) находят искомые значения Р и Р. Общий метод по-
построения границ Р и Р разработан в трудах [6, 13].
В некоторых случаях для показателя надежности Р доста-
достаточно найти только нижнюю границу. Тогда используют прибли-
приближение [53]
P^P-/zTa?. B.65)
Здесь /zT — квантиль нормального распределения, соответствую-
соответствующая доверительной вероятности у;
Д1 и Д2 —оценки поправок A.76) и A.77);
Xi — общее обозначение для qiy qih r\iy r\ij,... — аргументов
функции P = y(Xi, /=1, 2...,).
87

В случае, когда для отдельных аргументов ** функции
р = ср(х/), /=1, 2,... известны точные выражения границ Х{ и
Xi доверительных интервалов [хи Хг\ каждый из которых с дове-
доверительной вероятностью у «накрывает» истинное значение
Xi (Xi = qi или Xi = qij,... ), величины Ох . на основе выражения
B. 65) удобно представить как
^^^LpL. B.67)
N
Если известны значения Рг- и Р*, а Р=ПР/, из соотно-
соотношений B. 66) и B. 67) следует, что
B. 68)
7. Требования к показателю надежности системы на этапе
лроектирования удобно задавать в виде значений:
— требуемой величины Рт показателя;
— уровня значимости величины V = 1 — Y» равной вероятно-
вероятности отвергнуть нулевую гипотезу Яо, когда она верна.
Проверку требований можно представить как проверку гипо-
гипотезы #о={Р^Рт} ПРИ альтернативной гипотезе Н={Р<СРТ}.
Тогда (см. 2. 2) необходимо вычислить верхнюю доверительную
границу Р для Р при значении доверительной вероятности у. Если
р>р;, B.69)
то требования по надежности к системе считаются выполненны-
выполненными, в противном случае — невыполненными. При этом согласно
теории статистических гипотез первоначально исходят из «дове-
«доверия» к гипотезе #0= {Р^РТ|. Поскольку она благоприятна для
принятия положительного решения, то процедура получается
«мягкой». Если исходить из более жесткой нулевой гипотезы
#о={Р^Рт} при Я={Р>Рт}, то согласно соотношению
A. 160) гипотеза Но отклоняется и принимается гипотеза Я,
если
Р>РТ, B.70)
где Р — нижняя граница доверительного интервала для Р, вы-
вычисляемая при значении доверительной вероятности Y-
При выполнении условия B.70) требование Р>РТ считает-
считается выполненным, при невыполнении — невыполненным, если
дальнейшие испытания проводить не предполагается (см. 1.2).
Такой метод контроля существенно жестче, чем только что рас-

смотренный. Выбор исходной точки зрения (гипотезы Яо) опре-
определяется конкретной ситуацией. Так, при разработке новой си-
системы целесообразно «застраховаться» и выбрать #0=
= {Р^РТ}, что приведет к жесткой процедуре контроля. При
разработке модернизированной системы возможен выбор гипо-
гипотезы Я0={Р^Рт}, если система-аналог обладает высокой на-
надежностью, а модернизация является улучшающей с точки зре-
зрения надежности.
Изложенные односторонние процедуры контроля удобны в
том отношении, что основываются на минимальном составе ис-
исходных данных -(для задания требований нужны лишь две циф-
цифры у и Рт).
В ряде случаев используется также и двусторонняя процеду-
процедура контроля, предусматривающая задание четырех величин-
[см. A. 167)]. При этом используется один из упомянутых в
п. 1.2 методов контроля.
8. При невыполнении требований к системе она дорабаты-
дорабатывается так, чтобы «уложиться» в предъявляемые требования.
Изложенные основные моменты оценивания на этапе проек-
проектирования отражают одну из возможных стратагем в области
определения, контроля и обеспечения надежности.
Другой путь состоит в решении обратной задачи: заранее
проектировать систему под заданные требования \(РТ, у) или
(Рт, Рт, ос, р) с учетом планируемого при последующей отработ-
отработке числа испытаний. Для того, чтобы показать возможность ре-
решения задачи о выборе характеристик конструкции в функции
от (Рт, у), рассмотрим частный случай [80].
2.3. 2. Определение запаса прочности
уникальных конструкций при ограниченном числе
планируемых испытаний
Под уникальной конструкцией при дальнейшем анализе будем
понимать такую механическую систему, которая после ее проек-
проектирования и изготовления может отрабатываться путем прове-
проведения лишь очень малого числа п специальных испытаний на
прочность (например, до разрушения). Для указанных систем
характерно то, что объем испытаний (п=2-±-5)у как правило,
предопределен возможностями технологической базы, стоимо-
стоимостью или сроками отработки изделия до сдачи в серийное про-
производство. В связи с этим возникает задача выбора такого за-
запаса прочности т), при котором, с учетом неопределенности ис-
исходных данных, требования к надежности конструкции удовле-
удовлетворяются. Обычно рассматриваемая вероятностная постановка
задачи [70], предполагающая, что все исходные данные опреде-
определены при числе испытаний п—^оо, не позволяет учитывать огра-
89

ниченность информации, обусловленную малым числом испы-
испытаний.
Дадим решение рассматриваемой задачи при следующих до-
допущениях.
1. Для безотказной работы конструкции необходимо и доста-
достаточно, чтобы выполнялось условие U = t\—/2>0, где t% и t\ —
действующая нагрузка и несущая способность по отношению к
этой нагрузке, рассматриваемые в некоторой характерной точке
(или сечении) конструкции.
2. Характеристики ti и t2 являются нормально распределен-
распределенными случайными величинами с математическими ожиданиями
jxi, \i2 и средними квадратическими отклонениями ai и в2.
Как отмечалось, при таких допущениях вероятность безотказ-
безотказной работы конструкции определяется выражениями B.55) и
B.56). Предварительно рассмотрим вспомогательную задачу.
Предположим, что по данным п испытаний конструкции на проч-
прочность и такому же числу результатов определения действующих
нагрузок по формулам A. 136), A.127), A. 129) найдены вели-
величины
v= ; v=; r
где *elf р^, а2, ?2, г12 —оценки параметров аи \*.19 оа, {а2э. г12. Тре-
Требования к вероятности безотказной работы Р с учетом выбороч-
выборочного характера исходных данных заданы в виде величин (Рт,
у), а контроль за их выполнением осуществляется в соответствии
с соотношением B.70). С учетом ограниченного числа испыта-
испытаний п необходимо найти такое значение %=|W|Li2, чтобы условие
B.70) удовлетворялось. Для решения вспомогательной задачи
примем во внимание первое из соотношений B.63), из которого
следует, что условие B.70) может быть записано в виде
F(h)=PT или Л^/С(РТ, у, п), причем
jl== v-i — H х —1
У ?1%2
1 а
или х>Л + ?, B.71)
где А =
1
в=л/ л«--
У 1 — /<2 («, у,
90

К(п, у, Рт)—толерантный множитель (табулирован в работе
[63]; см. также табл. П. 3).
Соотношение B.71) позволяет при известных vu V2 и ri2
найти приближенную оценку среднего запаса прочности х в за-
зависимости от требований по надежности (Рт, y) и планируемого
числа испытаний п. Для фиксируемых значений vu v2i Г12, Рт, у
запас х возрастает при убывании п. Это означает, что даже весь-
весьма высокие требования по надежности могут быть подтвержде-
подтверждены при отработке путем проведения малого числа испытаний,
если в конструкции заранее предусмотрен достаточный запас
прочности.
Возвращаемся теперь к исходной задаче, в соответствии с ко-
которой необходимо установить соотношение для запаса прочно-
прочности вида B.71) на этапе проектирования, когда данных V\> v2
и г 12 по испытаниям еще не имеется. При этом возможны две
ситуации.
1. По испытаниям аналогичной системы найдены согласую-
согласующие коэффициенты
где vu v2, ri2 и Uip, t>2p, /*i2p — опытные и расчетные значения, упо-
упоминавшихся выше величин, найденные для «аналога». При этом
расчетные значения находятся из соотношений A.72) — A.80)
на основе уравнений теории проектирования.
2. Никаких данных, кроме расчетных значений величин vu V2
и П2, не имеется.
В первом случае в соотношении B.71) могут быть использо-
использованы «исправленные» величины vu v2 и ri2, равные расчетным
значениям, умноженным соответственно на gi, g2 и ?з- Во втором
случае приходится ограничиваться только расчетными величи-
величинами, подставляя их вместо V\, v2 и гХ2 в выражение B.71). Лег-
Легко убедиться, что
К(п, Y, Рг)«А
если можно считать величины г^и v2 известными. При этом Лрт
и Лт — квантили нормального распределения, соответствующие
вероятностям Рт и y — соответственно.
После получения результатов испытаний значение х может
быть скорректировано.
Изложенными задачами не исчерпываются все возможности-
одномерной модели, но эти задачи показывают некоторые основ-
основные направления ее использования.
91

2.3.3. Вероятностные модели,
приводящиеся к одномерной
В ряде случаев удается достаточно сложную задачу свести к
одномерной и на основе этого облегчить получение численных
результатов. Рассмотрим некоторые из этих случаев. Пусть тре-
требуется найти вероятность
Р(Тр) = Р{*(т)-у(г) = и(т)>0}, 0<t<tp, B.72)
если известно, что случайная функция и (г) может быть пред-
представлена в виде
u{x)=~z{x)-b, B.73)
где г(т)—неслучайная (возможно, разрывная) функция аргу-
аргумента т;
Ъ — случайная величина со средним значением 5, сред-
средним квадратическим отклонением оь и функцией рас-
распределения FB(x).
Реализации и(т) при задании ее в виде B.73) являются не-
непересекающимися (эквидистантными) линиями на плоскости с
декартовыми координатами и, т.
Решение рассматриваемой задачи, являющейся интересным
частным случаем достаточно сложной общей задачи по опре-
определению вероятности Р{а(т)>0}, основывается на использова-
использовании леммы 1, приведенной выше. Согласно этой лемме, полу-
получаем
Р(хр) = Р [z(x)-b>0}=P $
— оо
B.74)
где zm= inf z(x).
т~
i6
Соотношение B. 74) допускает такую интерпретацию: пусть
u(t)=z(t) +b9 где b — случайная величина, a z(x) —неслучай-
—неслучайная функция т. Тогда вероятность Р того, что за время тр будет
выполняться условие и(т)>0, равна вероятности выполнения
этого условия в момент т=т*, когда вероятность Р{и(т)>0}
как функция фиксируемого момента % достигает наименьшего
значения.
Аналогично можно показать, что если zi(t)>0 и гг(т) —не-
—неслучайные функции, то
P{z1(x)b<z2(x)}=Fb(zm), B.75)
где
92

Чтобы свести сложные вероятностные задачи к более простым,
часто используются также различного рода неравенства. Так,
если закон распределения некоторой функции t=y(zu z2,...,
..., Zk) неизвестен, а метод статистических испытаний исполь-
использовать не удается (вследствие больших затрат машинного вре-
времени, отсутствия исходных данных и т. д.), то для вычисления
вероятности Р{<р(-) Г^л;} может быть использовано следующее
выражение [102]:
Р{ср(г1,г2,...,г.)>х}>у^"(Х2---'^)-", B.76)
где <?т— sup <?{zk) -верхняя грань функции ф(-)- При этом
ф(-) —ограниченная вещественная, выпуклая, однородная
функция, определенная в R^h\ кроме того <р^0, Ф^О.
Пример 2. 8 На выходе системы вырабатывается сигнал в виде функции
?(*ь *2)= *i*2» где ^i G [0; 0,90], zx 2 6 [0; 0,95] — случайные величины
з г t
со средними pi =у 0,7 и fX2 = yO,8. Найти вероятность того, что сигнал
будет превышать значение я=0,1-
Решение. Поскольку закон распределения и дисперсия не известны,
а фт = 0,903-0,952 = 0,66, воспользуемся оценкой «снизу» B.76):
Использование неравенства B. 76) на этапе проектирования
иногда оказывается удобным, так как оно требует минимально-
минимального состава исходных данных.
2.3.4. Многомерные модели и случайные функции
Многие задачи надежности вызывают необходимость рас-
рассмотрения многомерных условий безотказности и вычисления
вероятности
того, что совместно произойдут jV событий AidR, при /=1, N.
В ряде работ предпринята попытка вычисления этой вероятно-
вероятности через «одномерные» и «двумерные» величины
Р(Л,.)=Р,- и Р(Л,- П А}) = Ри.
Так, в труде [97] показано, что
2cl + {2-al)bl
где
N N /-1
B.77)
i-i /-1 ;=i
93

с Г 2ci 1 2с i
Е\—-\ — целая часть числа —L;
L *i J *i
^ = Р(А,); ^7 = P
Следовательно,
/N \
)=PM-
= 1-
N
N 1 — 1 N Г ^v /—1
B.78)
Соотношение B.78) дает возможность вычислять оценку Рп'
I N \
для Р~Р( П Д-) «сверху».
В ряде случаев желательно иметь также оценку «снизу» для
вероятности Р П -А/Ктак как завышенные оценки не находят
широкого применения. Однако приемлемых оценок «снизу» еще
/ N \
не найдено. Одним из возможных методов вычисления Р i fl -
\/-1 /
доставляющих в ряде случаев такие оценки, является следую-
следующий. Определим некоторую функцию у= у (Од^лу, /= 1, Л^;
/=1, N) коэффициентов QalAj корреляции между событиями А\
и А}
такую, что при всех рд.лу^Оона обращается в нуль, а при всех
QAtAj = l —в единицу.
N
/ N \
Вероятность Р П АЛ является функцией от вектора (Аи
Л2,..., Л^) и матрицы ||Сд.л;-||. Предполагая, что вследствие
этого Р I П А) может быть выражена как функция от
y=y(\\QAiAj\\), имеем
у / N
V дР[П А
N ч N [
) J X Ч B-79)
94

если
N
дР '
а —
/ N
n At
Из соотношения B. 79) следует, что
/=i
N
дР I П At
ду J ду
Г dpln л А
° J ди
где Рт= min Р(Л^) —минимальное из значений Р(Лг) при
\<1<N
1 / N
A't I
B. 80)
1 / N \
Г дР П Л-
Во J ^V ^
Из сравнения выражений B. 80) и A.104) следует, что в дву-
двумерном случае при нормальном законе распределения случай-
случайного вектора (tu t2) в выражении B.80) y=Qi2, а производная
Г) А2) дР(Аг П А2) ( . ,
д^1 =*(Al> 2' Ql2)>
где
/ Л? -Ь Л1 —A,A2Q12
и, следовательно,
Ql 2
B.81)
При hi = h2 = 0 находим известный [40] частный результат:
95

= 1
2я
arcsin z
2 2
=— arcsm q12;
я
Ql2
l . l
Из выражений B. 79) и B. 80) следует, что
/=i
причем
KN=0, если все Qij = O (и значит у=0);
/Cjv= 1> если все дг;=1 (и значит у=\).
Дадим ещ,е одно представление для Р
)
( П
Здесь
^J
)=p( П
1
B.82)
B.83)
B'84)
; Pj=P(Aj);
П A,)\
ф1,1ф j)dy\
Л/
P(r/, qmh тф1, I ф у) = Р( П АЛ —вероятность пересечения
\/-i /
событий, рассматриваемая как функция от коэффициента корре-
корреляции Qij = QAiAj = y\
v — номер комбинации индексов / и / при /</;
с — число комбинаций индексов / и / при / < у [с= I J =
()]
Соотношение B.84) тождественно выполняется. Действи-
Действительно, Vve[l, с]
N 1
96

=р(пл?)-ПР|
и, следовательно,
N
с1 У ВЖ, = ]
Легко заметить, что ?v<Pm — JJP/ и ^v>P(/y)P^y есЛИ
Qij^O. Следовательно, при qj^O, и может /выполняться соотно-
соотношение
К,>К,= 1 - J- f ^-dy, Р/у=Р(Д- П Aj),
в/У
и тогда представление B.84), где В^^^Рт — ПР/> V vee[1, ^] и
удовлетворяет соотношению Pi,2,...,jv> P I П &A
Pi,2,...,iv <^ P( П -A/1» T- e. приближение
( )^, B.86)
где .ffjv находится из равенства B.85), оказывается в зависимо-
I N \
сти от значений Рг-, q{j оценкой снизу или сверху для Р П At L.
\
/
Область таких значений Р?, q2j предстоит еще изучить. В резуль-
результате может быть найдена поправка ejv в выражении
) B.87)
Для нормального распределения в качестве приближенного
значения для Kv из соотношений B.81) и B.82) имеем /Cv «
4 312 97

« Kv = 2n~1arcsin Qij и, как следует из выражения B. 85), также
приближенно
^v«^arcsinQ/;.. B.88)
Это позволяет, используя равенство B.88), предположить, что
и в общем случае в выражениях B.86) и B.87) для определе-
определения KN может быть использовано соотношение B.88), где
Qu= ЯА;АГ
В том случае, когда оценка вида P~Pn = Pi,2,. • •, n + en, где
en — приближенное значение en удовлетворяет условию
точность приближения Р^РП может быть оценена так:
^^< "~ " , если Рн> 0,5,
^ 1Р ^
0<
У min[P, (l-P)] ^ 1-Р
где Р„ находится из формулы B. 78)
Соотношения вида B.78), B.87) удобны на этапе проекти-
проектирования потому, что они не связаны с допущениями о виде зако-
закона распределения рассматриваемых случайных величин или век-
векторов.
Как отмечалось, в ряде случаев вместо вероятностей Рг =
= Р(Лг) уже при проектировании приходится иметь дело с их
оценками Рг и доверительными интервалами [Рг-, PJ для Рг-.
Тогда
Р12 „«Р(п Л/) = ПР/+(р«-ПР/1^лг + ^ B.89)
и согласно соотношениям B.65) — B.66) нижняя граница
i N \
Pi,2,-.., n доверительного интервала для Pi,2,..., n= Р[Г\ АЛ
приближенно находится из соотношения
/=2
Х^Рт-ПР/У^1-^ ' B-90)
где все _Рг- находятся при одной и той же односторонней довери-
доверительной вероятности у. При написании выражения B. 90) учиты-
98

валось, что о- « A — Q2)/Yn, где п — минимальное из чисел ис-
испытаний, по которым найдены оценки по формуле B.89).
Исследуем важный частный случай, когда рассматри-
рассматривается случайный вектор uN=(uu #2, • • •¦ uN) с нормальной
функцией распределения A.100), имеющий вектор средних \iN,
Еектор средних квадратических oN и корреляционную матрицу
\\Qij\l
Пусть вначале требуется вычислить вероятность Р1>2,...,#=
= P(tii>0, v i=l9 N), выражаемую с помощью многомерного
нормального интеграла A. 100), где hi = [n/ai. Решение даже та-
такой задачи вызывает определенные трудности и получено лишь
для двумерного и трехмерного случаев, причем для вычисления
Pi, 2 и Pi, 2,з требуется применение достаточно сложных специ-
специальных таблиц [631. Задача упрощается, если все Qij одинаковы
по величине и отношения hi = \ii/oi равны [см. соотношения
A. 101) и A.102)]. Однако и в этом частном случае для расчета
Pi,2,-.., n требуется применить соответствующие таблицы, а при
Qij>0,5 — их разработать. Попытки определить Pi, 2, - - ., jv с по-
помощью разложения плотности многомерного нормального рас-
распределения [40] или использования других методов, например,
метода приведения матрицы \\дц\\ к диагональному виду, еще не
привели при jV>2 к получению аналитических соотношений, до-
достаточно простых для применения на практике. Из выражений
B. 86) и B.87) следует, что для вычисления многомерных нор-
нормальных интегралов вида A.100) может быть использовано со-
соотношение
где А/=й//а/;
Qij — коэффициент корреляции иг и иуч
щ, в{ — среднее значение и среднее квадратическое откло-
отклонение щ\ F(h) — интеграл Лапласа A. 103).
Фунция YV-мерного нормального распределения с учетом вы-
выражения B. 87) имеет вид B. 91), где
Кроме того, из выражения B. 87) может быть найдена и веро-
вероятность РFг<^г<^?, V /= 1, N), если положить
l )-\9 B.92)
4* 99

где
В табл. 2. 1 помещены некоторые из результатов расчетов
численных значений многомерных нормальных интегралов [73]
при Л/^8.
В графе 1 приведены точные значения Pi,2, ••-, jv = P(^i>0,
Vi=l, N), заимствованные из работы [63], в графах 2 и 3—при-
3—приближенные значения Pi,2,..., jv и Рп=Рь2> . • •» jv + ejv» гДе
ejv — приближенное значение &N. При этом принималось, что
8лг = О,1 A—Pi,2, •••, n)j причем поправка для всех hi бралась со
знаком минус при N=2, 3, 4, 5 и с различным знаком при N=6,
7 и 8. Из таблицы видно, что уже первое приближение
Pi, 2,..., a~~Pi,2, .. .,n для ряда практических задач можно счи-
считать удовлетворительным. Погрешность формулы B.91) не име-
имеет тенденции к возрастанию при увеличении кратности многомер-
многомерного интеграла. К тому же выводу приводит сравнение приблп
женных и точных расчетных данных при различных hi и q*.
Введение поправок и использование оценки Pi,2, ••-, n — Рп по-
позволяет при необходимости улучшить результат.
Приведенные соотношения намечают некоторые границы воз-
возможного применения приближенных аналитических соотно-
соотношений.
Таблица 2. 1
Сравнение данных расчета Af-мерных нормальных интегралов,
полученных с помощью ЭВМ [63] и по приближенным аналитическим
соотношениям N = 2, /i1 = /i2 = ft
Q
0,50
€,75
0,95
h
1,0
0,74487
0,75236
0,73760
0,77273
0,77996
0,75992
0,81084
0,81439
0,79583
2,0
0,95851
0,96244
0,95868
0,96294
0,96703
0,96374
0,97053
0,97723
0,97495
2,5
0,98824
0,98968
0,98865
0,98936
0,99095
0,99004
0,99163
0,99379
0,99317
3,0
0,99738
0,99775
0,99753
0,99759
0,99803
0,99783
0,99811
0,99865
0,99852
3,5
0,99954
0,99961
0,99957
0,99957
0,99966
0,99963
0 99966
0,99977
0,99975
Номер
графы
1
2
3
1
2
3
1
2
3
100

h
1,8
1,9
2,0
2,5
3,0
n:
o = 0,5; hi
= h
N
3
1
0,912
0,918
0,910
0,929
0,934
0,927
0,943
0,948
0,943
0,983
0,985
0,983
0,996
0,997
0,997
4
0,895
0,897
0,887
0,912
0,917
0,909
0,928
0,934
0,927
0,979
0,981
0,979
0,995
0,996
0,996
5
0,874
0,876
0,864
0,897
0,899
0,898
0,916
0,919
0,911
0,976
0,977
0,975
0,994
0,995
0,995
6
0,859
0,856
0,860
0,883
0,884
0,872
0,904
0,906
0,897
0,970
0,973
0,970
0,993
0,994
0,993
7
0,8444
0,837
0,853
0,871
0,866
0,879
0,894
0,893
0,904
0,966
0,969
0,966
0,992
0,993
0,992
8
0,831
0,819
0,837
0,860
0,851
0,866
0,884
0,880
0,892
0,963
0,965
0,962
0,991
0,992
0,991
Номер
графы
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Однако вопросы оценки точности в определении Pi, 2,..., n с
помощью предлагаемых соотношений остаются недостаточно ис-
исследованными и затруднены тем, что с увеличением N вычисле-
вычисление Pi,2,..., jv даже с привлечением самых быстродействующих
ЭВМ представляет (особенно при qij—>-1) задачу значительной
сложности. Вместе с тем сам факт вычисления с помощью этих
соотношений многомерных нормальных интегралов с приемле-
приемлемой для ряда практических задач точностью вызывает необхо-
необходимость не только первоначального рассмотрения, но и дальней-
дальнейших более углубленных исследований в данном направлении.
Пример 2.9. Определение показателя надежности конструкции по не-
нескольким зависимым условиям функционирования.
Конструкция рассчитывается на прочность по N=8 критериям, согласно
которым для ее успешной работы должны выполняться условия:
Х[<.уи х2<уг\ ...; xN<yN или «i>0; и2>Ъ\...; uN>0,
где
Ui=yi — Xi; i=l,8; N==8;
и уi—действующее и допустимое значение осевой перегрузки;
101

х2 и у2 — действующее значение изгибающего момента и его допустимое
значение и т. д.
При этом случайные величины х% и yi не зависят от времени работы рас-
рассматриваемой системы и распределены нормально со средними значениями Xi
и у( и средними квадратическими отклонениями а^., су.. Коэффициенты
корреляции величин Х\ и у г равны гх.у.. По данным прочностных расчетов
с использованием формул A.72) — A 80) найдены:
Здесь Qij — коэффициент корреляции величин
A. 109), определяемый как
согласно выражению
Qij =- •
Требуется вычислить показатель надежности конструкции, представляемый в
виде вероятности Pi,2... 8=P(*i<!/,i; *2<#2; • ..; Xs<ys), если hi=h2=2'>
Лз=Л4=3; /г5 = 1,5; h6=h7=\\,8; /г8= 1,9, а корреляционная матрица llQijII, со-
сой
ставленная из расчетных
IIQ/УН =
1
значении
0,9
1
0,
0
1
Qi
8
7
0
0
0
1
имеет
,5
6
,5
0
0
0
0
1
вид
,0
,5
,6
,7
0,6
0,0
0,7
0,8
0,7
1
0,7
0 8
0,8
0,8
0,7
0,5
1
0,8
0 9
0,9
0,8
0,6
0,6
0,8
1
I
Решение. Находим величины
р,- = F (hi); ?i = ?2 = F B) = 0,977; Р3 = Р4 = F C) = 0,999;
1 = 0,933; Р6 = Р7 = ,Р A,8) = 0,964; Р8 = F A,9) = 0,974;
2-2
рт = 0,933; П Р/ = 0,851; К =
3,14.7-8
= 0,472.
(arcsin 0,9 + arcsin 0,8 -f ...) =
Следовательно,
Pi, 2 8^0,851 + @,933 —0,851) -0,472 = 0,890.
Пусть в условиях г/г>0 все Xi равны (х\ = Хъ= .. . =xN=x)y
т. е. нагрузка одна и та же, а величины уи несущие способности
по отношению к нагрузке х, различны и независимы. Тогда ко-
коэффициент корреляции между щ и щ, как видно из соотноше-
соотношения A.109), равен
ir V 1 + -T-
102

где 4- и ? —дисперсии несущей способности уг и нагрузки х.
Если дисперсия <з2у. одинакона V ^[1, N\ то
Следовательно в соотношении B.91) для вычисления искомой
вероятности Р (щХ), V /= 1, N) величина
или /Сдг = —arcsinfl+^/aJ2]-1, если V /, J^yl = ayj=ay
Интересно отметить, что при <з*^> ау. (дисперсия нагрузки су-
существенно больше дисперсии несущей способности) имеем
qh—>1 и Р (и{>0, V /=1, N)—ИРт, т. е. вероятность одновре-
одновременного выполнения условий иг->0 оказывается близкой к ми-
минимальной из вероятностей Рг-.
В рассмотренных выше примерах для успешного функцио-
функционирования системы было необходимо, чтобы все компоненты век-
вектора uN= (щ ... uN) были больше нуля. Но во всех этих слу-
случаях предполагается, что стоит одному из условий щХ) (или
ui^Ui<bi) нарушиться (т. е. реализуется событие Лг), как си-
система выйдет из строя. Однако это не всегда выполняется и осо-
особенно, если система входит в более сложную систему. Наиболее
общее из рассматриваемых нами выражений для показателя на-
надежности является выражение ,B. 44):
N
22 2
( = 1 l<j 1<)<Ь
Используя приведенные соотношения, выпишем для общего слу-
случая выражения для величин qit q{j,..., qit 2 к'-
—arcsin QAt
103

Здесь
^arcsine^
nN(N-\)
-1) . _
V arcsin Q/y,
или
если
где Qij — коэффициенты корреляции между щ и щ\
qm— минимальное из значений qiy входящих в выражения
для qijy qijk,. . ., <7i, 2,..., n-
Вычисление величин qu q^,.. ., входящих в выражение
B.44), в ряде случаев сводится к определению вероятности не-
непревышения случайной функцией или случайным полем некото-
некоторого уровня [см. соотношения B. 12) — B. 18)].
В настоящее время выполнен ряд фундаментальных исследо-
исследований [5, 46] задачи по определению вероятности
P(tp) = P[a(t)>0]f где tG[0,tp]. B.93)
Исходными допущениями для задачи в работе [5, 46] являются
непрерывность реализации щ{х) случайной функции и(х) к
дважды дифференцируемость корреляционной функции q(At)
при Дт—Я) (в стационарном случае). Основное внимание уде-
уделяется при этом случаю, когда и(х) —нормальная стационарная
случайная функция. Типовые допущения и метод решения зада-
задачи в принятой постановке рассмотрим, распространяя на неста-
нестационарный случай решение задачи, данное в работе [94].
Пусть А — весьма малый интервал времени. Вероятность
Р(т, А) выброса за время А функции и(т) за линию и(х)=О
представим в виде
Р(т, д) = Р(Л П 5) = Р(Л)-Р(Л П В),
где А — событие, состоящее в невозникновении выброса в мо-
момент времени х\ В — событие, состоящее в возникновении вы-
выброса 1в весьма малом интервале А, следующем за моментом т.
Последнее соотношение перепишем в виде
Р(т, A)=
«(*), U(X+A)]d[u(X)]d[u(X+b)}.
6 6
104

Здесь ф[^(т)] — плотность распределения и(х) в данный момент
т; <р[и(т), и(х + А)]— плотность совместного распределения и(х)
в моменты т и т+А.
Допустим, что выбросы образуют нестационарный пуассонов-
ский поток, а и(х) —непрерывна. Тогда согласно теореме рабо-
работы i[87] параметр потока выбросов определяется как
ИЛИ
ср [и (т), u(x + b)]d[u(x)]d [и (х + д)] [ B.94)
о
и, следовательно,
р(х \ руп ) Г \ (г\ Нг\ (B 95^
I о I
где Я(т) находится из соотношения B. 94).
Для случая, когда и(х) — нормальная случайная функция,
из соотношения B. 94) получаем
4)
Здесь h (х) = п(х)/а (г);
п(х) и а(х)—среднее значение и среднее квадратическое от-
отклонение и(х) в данный момент т;
°f A,, z)dz [см. 1. 104)],
где h1 = h{x); h2 = + )
pz=g(t, A)—коэффициент корреляции между значениями
и(х) в данный момент времени х и в момент времени т + А.
С учетом известного правила дифференцирования интеграла
из соотношения B. 95) можно получить выражение для расчета
Я(т), которое, к сожалению, оказывается достаточно сложным.
Частный случай B.94) рассмотрен в труде (94] и относит-
относится к задаче, исследованной ранее [46]. В этой задаче предпола-
предполагается, что и(х)—непрерывная стационарная нормальная слу-
случайная функция, а корреляционная функция дважды дифферен-
105

цируема в нуле. Кроме того, считается, что поток выбросов яв-
является пуассоновским и стационарным. При этих предположе-
предположениях из соотношения B. 95) получено
B.96)
р B.97)
где Со — среднее число пересечений реализациями щ(х) сред-
среднего значения п функции и(х)\ h = u/o, а п и а — среднее зна-
значение и среднее квадратическое отклонение и(%)\
<р(*) = Bя)
В практических приложениях соотношения типа B.97) и
B.95) (помимо сложности последнего) вследствие большого
числа принятых допущений оказываются не всегда применимы-
применимыми. Так, выборочные реализации щ{%) могут иметь разрывы,,
различную длительность, а корреляционная функция q(At) мо-
может оказаться недифференцируемой при Дт = 0.
В связи с этим рассмотрим другую возможную постановку
задачи, позволяющую в ряде случаев получать приближенное
аналитическое решение с меньшим числом ограничивающих до-
допущений.
Пусть и(х) нестационарная случайная функция с возможны-
возможными разрывами (первого рода) в отдельные моменты времени.
Выберем сечения T* = const (/=1, N) таким образом, чтобы и-
интервалах [ть tz-+i] случайная функция и(х) могла быть аппрок-
аппроксимирована функцией, заданной на монотонных реализациях
[это и есть правило С^из соотношения A. 124) в данном случае].
Тогда, принимая основное допущение о том, что вид функции
и(х) позволяет осуществить такой выбор сечений, обозначим че-
через А{ событие, состоящее в непересечении и(х) границы а(т) =
= 0 в 1-м сечении. Представим Р(тр) в виде
n
р(*р)=р(п Л/
N
П '
N
где А= П А-—событие, состоящее в выполнении условия
и(т{)=щ>0 во всех Af выбранных сечениях (/=1, N)\ В — со-
событие, состоящее в том, что условие и(х)>0 будет выполнена
внутри выбранных интервалов, т. е.
vte(t,, т/Ь1), /=1, N.
10*5

Очевидно, что при использовании рассмотренного способа
выбора сечений
и, следовательно, искомая вероятность Р(тр) может быть най-
найдена из соотношения B. 87).
Пусть теперь требуется вычислить
P = P{/i,(t)<0(t)v</2*(t), v=lTT; tG[0, Tpv]}f
т. е. вероятность того, что векторная случайная функция
и(х)= {u(x)v .. .u\x)i} попадает в область, ограниченную неслу-
неслучайными границами/iv(t), /2*(t), v=l, L Выбирая в соответст-
соответствии с изложенным 7VV сечений для каждой из / функций #(t)v,
i
получаем всего N = ^ N? зависимых случайных величин
{ии . . ., uN) и ограничения [аи bi] при /=1, N являющиеся зна-
значениями /b(t) и /2v(t) в выбранных сечениях. Тогда искомая
N \
вероятность равна Р. П АЛ, тле А{= {а{^.щ^.Ьг}, и находится
\/-i /
из соотношения B. 87).
Пусть, наконец, по условиям успешного функционирования
системы требуется найти вероятность Р = Р {а^.и(хи х2,...,
b
,)\
где и(-) —случайное поле k переменных хи х2,..., Xk\
а и b — некоторые постоянные величины Хг^[0, Хм].
Для решения такой задачи по каждой переменной выберем
(если это возможно) N* сечений, расстояния между которыми
находятся аналогично изложенному выше. В результате получа-
k
ем iV = ^ 7VV точек и N соответствующих им случайных ве-
l
личин (mi,..., uN). Тогда искомая вероятность равна Р =
= Р{a^Ui^bi, v /==1, N} и вычисляется с помощью соотноше-
соотношения B.87), в котором Pi = F(bi) —F(a,i), где F(-) —функция
распределения щ.
Пример 2. 10 Расчет показателя надежности оболочки.
Многослойная оболочка сложной формы находится под воздействием рас-
распределенной нагрузки, образующей поле напряжений, которое описывается
трехмерной нестационарной нормальной случайной функцией X(Xi, X2, А,3) ко-
координат Хи Хо и Яз. Поле допустимых значений напряжений описывается ана-
аналогичной функцией Y(Xi, Яг, Яз). Требуется вычислить вероятность безотказ-
безотказной работы^ = Р[Х (•) < Y(•)].
Решение. Выберем на поверхности и в «теле» оболочки N дискретных то-
точек, обозначив u(kiy Яг, Яз) = У(*)—Х(') в i-й точке через U{. Случайная
величина щ имеет среднее значение uiy дисперсию а? и коэффициенты кор-
107

реляции Qn с величинами Uj(j=\, N). Очевидно, что вероятность Р может
быть найдена по формуле B.87), принимающей вид B.91) в нормальном
случае.
В ряде случаев выбор правила С$ является естественным
следствием физических предпосылок и ограничений. Так, изуче-
изучение поля напряжений с помощью тензодатчиков не может (по
техническим соображениям) быть реализовано в каждой точке
тела. Дискретизация случайных полей и выбор правила С$ мо-
может также диктоваться соображениями точности измерения,,
принятой дискретностью при расчетах тепловых полей, полей
деформаций и т. д.
Современная теория информации также доставляет новые
подтверждения и методы реализации отмечаемого уже выше фун-
фундаментального свойства непрерывного случайного процесса, со-
состоящего в том, что при некоторых условиях регулярности воз-
возможна замена его дискретным процессом с теми же свойства-
свойствами A07].
Таким образом, на этапе проектирования прикладные методы
теории вероятностей и математической статистики позволяют,,
основываясь на расчетных соотношениях теории конструирова-
конструирования, построить достаточно последовательную концепцию форми-
формирования и оценивания количественных показателей надежности,,
контроля и требуемого уровня надежности системы. Совместное
рассмотрение задач «традиционного» проектирования и задач
надежности позволяет обогатить арсенал научного исследования^
вскрыть новые стороны процесса проектирования и эффективна
использовать имеющиеся опытные данные.
Глава III
НАДЕЖНОСТЬ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ
НА ЭТАПЕ ОТРАБОТКИ И СЕРИЙНОГО ПРОИЗВОДСТВА
На этапе проектирования, как правило, не удается учесть
все факторы технологического характера, некоторые особенно-
особенности работы элементов в системе (совместимость режимов их
функционирования, взаимное влияние), а также свойства новых
материалов и комплектующих элементов и т. д. Поэтому основ-
основные конструктивные решения и принципы технологии изготовле-
изготовления систем требуют экспериментальной проверки и уточнения,
что и составляет основное содержание этапа отработки.
108

В процессе отработки формируются методы заводского кон-
контроля качества и надежности системы к соответствующая серий-
серийная документация. К моменту окончания отработки выбирается
окончательное конструктивное построение системы, устанавлива-
устанавливаются ее основные выходные характеристики (в том числе и на-
надежность), завершаются работы над серийной документацией.
В результате отработки принимается решение о степени готовно-
готовности системы к серийному выпуску или испытаниям в составе бо-
более крупной системы («решение о переходе»). Поэтому в настоя-
настоящей главе этапы отработки и серийного производства рассмат-
рассматриваются во взаимной связи.
Для упрощения изложения материала примем следующую
схему процесса отработки:
— проверка основных конструктивных решений и уточнение
конструктивной схемы системы;
— подтверждение надежности системы в целях принятия ре-
решения о переходе.
Все многообразие возможных видов испытаний подразделим
на два класса.
А. Испытания, проводимые с целью проверки фактических
значений несущей способности системы по отношению к воздей-
воздействию нагрузок (таких, как избыточное давление, интенсивный
нагрев в течение фиксированного времени, напряжение «на про-
пробой», циклические испытания и т. д.). Эти значения на этапе
проектирования находятся расчетным путем, и они входят в ус-
условия непревышения (см. 2. 1). Такие испытания будем назы-
называть ресурсными (выявляющими запасы). Основной особен-
особенностью ресурсных испытаний является то, что они продолжают
экспериментальное исследование теоретических моделей отказа
(расчетных случаев) и проводятся, как правило, до разрушения,
до пробоя, до прогара и т. д., т. е. при нагрузках, повышенных
по отношению к рабочим.
Б. Испытания системы в условиях, максимально имитирую-
имитирующих реальные условия применения, которые назовем натур-
натурными испытаниями. При проведении таких испытаний нагрузки
выбираются (создаются) в соответствии с рабочими. Так как за-
запасы прочности выбираются, естественно, большими единицы, то
при натурных испытаниях установить численные значения несу-
несущей способности системы, как правило (в отличие от ресурсных
испытаний), не удается.
Ресурсные и натурные испытания используются как при от-
отработке, так и при приемочном контроле в условиях серийного
(партионного) изготовления. Системы определенного класса
могут проходить только ресурсные или только натурные испы-
испытания. Возможен и «смешанный» случай, когда элементы систе-
системы подвергаются ресурсным испытаниям, а система в целом —
натурным испытаниям. Рассмотрим некоторые модели упомяну-
упомянутых видов испытаний,
109

3. 1. РЕСУРСНЫЕ ИСПЫТАНИЯ И ЗАДАЧИ ПОДТВЕРЖДЕНИЯ
ТРЕБОВАНИЙ К НАДЕЖНОСТИ
Пусть в соответствии с изложенным анализ физических ус-
условий безотказной работы позволяет установить, что для успеш-
успешного функционирования системы необходимо, чтобы выполня-
выполнялось условие u = tt — 4>0, где U — прочность (несущая способ-
способность) системы по отношению к воздействию нагрузки. Термины
«прочность» и «нагрузка» условны: значения t\ и h в условии
а>0 — случайные величины (случайные векторы, функции или
поля) произвольного физического содержания. Величина t2 яв-
является рабочей нагрузкой, которой подвергается система в ус-
условиях применения. Будем считать, что /2 — случайная величина
с известной функцией распределения или известная случайная
функция. Задача ресурсных испытаний состоит в определении
прочности ti путем проведения специального эксперимента.
3.1.1. Простейшая модель
Пусть нагрузка t2 — случайная величина с нормальной функ-
функцией распределения. Среднее значение случайной величины t2 и
ее дисперсия равны р,2 и о|. По данным щ натурных испытаний
по формулам A. 127) и A. 128) найдены оценки [*2 и <з\. На спе-
специальной установке проводится испытание системы до разруше-
разрушения путем повышения нагрузки. Значение нагрузки, при которой
происходит разрушение системы, называется прочностью U
системы. Все п2 испытаний проводятся с разрушением, вследст-
вследствие чего можно по формулам A. 127), A. 128) найти оценки
[*! и з? среднего и дисперсии. Известно, кроме того, что слу-
случайная величина ti имеет функцию нормального распределения
и не зависит от /2. Рассмотрим решение двух задач.
1. Задачи определения показателя надежности по данным
проведенных ресурсных испытаний:
2. Задачи планирования испытаний и подтверждения требо-
требований к показателю надежности.
Решение этих задач по существу уже рассмотрено для слу-
случая, когда необходимым и достаточным условием безотказности
является следующее: u=t\ — t2>0. При этом согласно изложен-
изложенному оценка Р и границы (верхняя Р и нижняя Р) доверитель-
доверительного интервала [Р, Р] при заданном значении доверительной ве-
вероятности у даются выражениями A.146), A.164), A.175),
B. 63), в которых
Пусть требования к системе заданы в виде (Рт, у) и в слу-
случае Р^РТ эти требования считаются выполненными, если ниж-
110

няя граница Р доверительного интерв^ца для Р находится с до-
доверительной вероятностью Y-
При задании требований в виде (Рт, Р^ а, Р) они, как сле-
следует из соотношения A. 173), считаются выполненными, если
число испытаний п не меньше планируемого, т. е. п^пПу и если
PttF(h) ^Рпр^^^йпр, где пп и /гпр — корни уравнений.
Р = РТ, Р = РТ, C.1)
в которых следует находить границы Р и Р доверительного ин-
интервала для Р при доверительных вероятностях 1 — р и 1 — а
соответственно.
Величины пи и Pnp=jF(ftnp) могут быть найдены до проведе-
проведения испытаний и тогда дп — планируемое число ресурсных испы-
испытаний (при Пх^Пъ), определяемое из соотношения A. 176), если
Gi и (jii неизвестны.
При известном сг1э как легко убедиться,
/?/тт
*-т-*рг
Пусть теперь щ^пп, а выборка пи для ресурсных испытаний
извлекается из конечной совокупности (например, из партии
объема М систем). Тогда значение Рпр останется тем же, что и
выше (где М—>«>), а необходимое число испытаний изменится
и будет вычисляться по формуле
Наряду с выписанными соотношениями, относящимися к про-
процедуре однократной выборки, для целей контроля используется
также последовательный анализ получаемых результатов испы-
испытаний. При этом согласно изложенному в п. 1.2 испытания пре-
прекращаются с положительным решением о выполнении требований
к показателю надежности, если /г^/гпр. Испытания продолжают-
продолжаются, если Лбр<^<^пр, и прекращаются с отрицательным решени-
решением— о невыполнении требований—, если /г^/гбр, где /гпр =
= h(n, Рт, Рт, а, Р) и h^ = h(n, Рт, _РТ, а, Р)—величины, опре-
определяемые из табл. П. 2.
Очевидно, что последовательная процедура также может
быть доработана для целей учета возможной ограниченности
объема генеральной совокупности.
Различные отклонения от изложенной упрощенной схемы
(случаи, когда /2 — случайная функция или случайное поле, ког-
когда часть испытаний проводится до разрушения, а часть не до раз-
разрушения, но на повышенную нагрузку и т. д.) рассмотрены в
ill

разд. 2, поскольку эти отклонения характерны для рассматри-
рассматриваемых в нем систем.
Отметим, что приведенные соотношения удобно использовать
для установления количественных показателей надежности си-
систем с «постепенными» отказами или в других случаях, когда
случайные величины ti и t2 можно считать имеющими нормаль-
нормальные функции расределения.
Заметим также, что описанная выше процедура контроля с
проверкой условия Р^РТ соответствует проверке жесткой ги-
лотезы «недоверия» #0={Р^Рт} при альтернативе #—•
= {Р>РТ}. Это оправдано, если рассматривается этап отработ-
отработки. Пусть отработка завершена и решение о соответствии требо-
требованиям к показателю надежности принято. Тогда на этапе серий-
серийного производства в некоторых случаях можно исходить из ну-
нулевой гипотезы доверия #0={Р>Рт} ПРИ Н= {Р<РТ}, и усло-
условием контроля будет Р>Рт, где Р — верхняя граница довери-
доверительного интервала для Р при доверительной вероятности у (см.
подробнее гл. II).
3.1.2. Циклические испытания
Для ряда систем по физическим особенностям их работы при-
приложениями повышенной нагрузки не удается выявить запас
(ресурс) по несущей способности tu а более приемлемым спо-
способом выявления ti оказывается проведение испытаний по схеме
усталостного или циклического нагружения рабочей нагрузкой.
При этом каждая из испытываемых систем подвергается после-
последовательному воздействию нескольких импульсов (циклов) ра-
рабочей (а не повышенной) нагрузки. В результате испытаний п
образцов находят значения Nu N2, . . ., Nn, где Ni — число цик-
циклов до разрушения /-го образца системы.
Пусть длительность одного цикла равна тц. Тогда время до
разрушения /-го образца равно тг-=ТцЛ^. Вероятность неразру-
неразрушения системы при k рабочих циклах общей длительностью тр=
= &тц, предусмотренных в условиях применения, определяется
как Р(т>тр). Под воздействием циклических нагрузок происхо-
происходит накопление повреждения, что способствует разрушению си-
системы через некоторое число циклов. Процесс накопления по-
повреждения происходит у различного рода систем по-разному и
может быть описан, например, законом распределения Мейкхе-
ма с функцией распределения:
Р(т< х)= 1 — ехр — Г (\л-ьец)си \= 1 — е ^
L о1 J
C.2)
где К, 6, |ы — параметры, определяемые методом максимального
правдоподобия по данным испытаний, либо законом распреде-
П2

ления Вейбулла (см. 1.2), либо нормальным законом распреде-
распределения и др.
В последнем случае по данным испытаний находим оценку Р
и границы Р и Р, доверительного интервала для Р по формулам
A. 146) и B.63). При этом задачи определения и планирования
испытаний решаются также аналогично изложенному.
Легко выписать соответствующие соотношения в случае ис-
использования распределения Мейкхема и Вейбулла, если k—не-
k—неслучайная величина. В противном случае задача несколько ус-
усложняется.
Рассмотрим теперь следующую модель поведения системы
при циклических нагружениях. Пусть последовательные нагру-
жения (в отличие от описанной выше модели) приводят к тако-
такому накоплению повреждения, когда для /-го образца в циклах с
номерами 1,2,..., Niy вероятность Pi неразрушения в одном цик-
цикле вследствие «пписпосабливаемости» системы остается посто-
постоянной. Факт разрушения или неразрушения системы в каждом
цикле случаен и зависит от сочетания внутренних характери-
характеристик системы, особенностей реакции системы в данном цикле на
нагрузку и т. д. В отличие от предыдущей, эта модель более
условна. Вместе с тем она позволяет приближенно, но в явном
виде, сформулировать требования к числу п испытываемых об-
образцов и числу N необходимых циклов в них. Кроме того, мо-
может быть снято требование об обязательном доведении испыта-
испытаний до разрушения. Действительно, в этом случае общее число
испытаний пъ ^nN, где N— число циклов, минимальное из Ni,
a Ni — число циклов, на которое испытывался /-й образец (до
первого отказа или без отказов). Следовательно, границы до-
доверительного интервала [Рь Pi] для Pi при заданном значении у
доверительной вероятности находятся из уравнений A.174),
причем Р1--- /1(пъ, rfE, Yi); _F\ =/а(ли, rfs, Y2)> гдеу1 + Уг —
— 1=Y' ^s —суммарное число отказов в числе Пъ испытаний
Следовательно, для вероятности Р = Р? успешного функциони-
функционирования в k циклах (k^l) границы доверительного интервала
[Р, Р] могут быть найдены из теории доверительных интервалов
для функций от биномиальных параметров [6, 13].
N
Ниже показано, что при рассмотрении функции вида Р = П Р/
/=i
могут быть использованы соотношения C.30) — C.33).
Определив значения Р и Р при данном у согласно выраже-
выражениям A. 159) — A. 160), можно проверять гипотезу Яо =
= {Р>Рт} при #={Р<Рт} или гипотезу #0={Р^Рт} при
#={Р>РТ}. Пусть dz = 0 (испытания безотказны). Тогда из
1
соотношения C. 33) следует, что Р = РХ > A — y)nN y откуда вид-
113

но, что для отклонения «жесткой» гипотезы #0={P^Pi} тре-
требуется провести испытания
п>± logo-У> C.3)
N log Рг
образцов при числе N безотказных циклов каждого из образцов.
Из соотношения C. 3) следует интересный вывод: число ис-
испытываемых образцов п может быть небольшим B-1-5) даже при
достаточно жестких требованиях (Рт, у) к вероятности Р = РД
если избыточность каждого образца по циклам велика, т. е. ес-
если возможно получение при испытании образца достаточно боль-
большого числа TV безотказных циклов. Пусть, например, Рт = 0,99,
Y = 0,95. Тогда может быть испытано п=3 образца с числом
N^100 безотказных циклов каждый. Разумеется здесь сама
принятая схема накладывает дополнительное ограничение: веро-
вероятность Pi неразрушения в каждом цикле одинакова (износ не
настолько велик, чтобы это сказалось на ограничении Pli = Pi =
= const, V Je[l, N], где Рн— вероятность неразрушения в
/-м цикле).
Возможность компенсации объема испытываемых систем за
счет избыточности по прочности следует также из выраже-
выражения B.71).
Идея компенсации объема испытания (или сокращения дли-
длины доверительного интервала для Pi) за счет избыточности по
циклам иллюстрируется также на следующем примере. Пусть
испытания ведутся до первого разрушения. Тогда случайная ве-
величина— число циклов до разрушения имеет (при Pn = const)
отрицательное биномиальное распределение с функцией распре-
распределения A. 122). Границы Рн- и Ри доверительного интервала
[Рн, Рн] Для вероятности Ри по данным циклических испытаний
одного /-го образца находятся с помощью известных соотноше-
соотношений
Pi/ = /i(W/- 1,^-1, Yi); Р/ = /а(^/-1. d,-l, Y»),
где /i(«) и /2(-) —функции, используемые при отыскании гра-
границ доверительного интервала для параметра биномиального
распределения (см. таблицы [63]).
Учитывая, что в данной схеме di=l, в соответствии с этими
соотношениями, находим
Р,= 1; Р^П-уЛ1 при ЛЛ>1,
причем Р^ = Рг = 0 при#г=1.
Таким образом, при испытаниях п образцов может быть най-
найдено п величин _Рц, где г=1, п. Образуем из них вариационный
ряд
114

)< • • • Pl(n). C. 4)
Используя известный результат из теории порядковых стати-
статистик [81] находим, что квантиль х? (х — обозначение для Pi) г
доверительной вероятностью
п—fei + 1)— Jj>(ki + k2, n—kx—k2+\), C.5)
где /р(-)—неполная бета-функция, находится в интервале
\х(Ьг), ¦*(*,+*¦)]• Здесь л:(*,)И X(kl+ka) —представляют собой &гю
и (&1 + &2)-ю порядковые статистики в соотношении C.4). Дру-
Другими словами P[*(^<.*p<^*1+*2] = Y*- До настоящего времени
еще не рассматривался вопрос о распределении случайных ве-
величин, таких как нижняя или верхняя доверительная граница.
Поэтому используем приближенный подход. Примем (для уп-
упрощения задачи) в качестве оцениваемого параметра для рас-
распределения х медиану Р^. Тогда выражение C.5) принима-
принимает вид
В частном случае, когда рассматриваются первый и последний
члены вариационного ряда (/^=1, ki + k2=n), они являются
верхней и нижней границами доверительного интервала для ме-
медианы Р^е случайной величины Pi при значении доверительной
вероятности
г)П—\
Так, для ai=5, у = 0,95, ^i = l'15, Л^?г=231 величина Р{хе «Рь лежит в
интервале, имеющем границы _Рнп= 0,05"/х11 =0,98; Pi(n)=O,O51/230 =0,99 при
Таким образом, доверительный интервал для Р^ может ока-
оказаться достаточно узким, если избыточность системы велика.
В некоторых случаях ресурсные испытания проводятся по
следующей схеме.
1. Все изделия в партии, содержащей jV образцов, подвер-
подвергаются испытательному нагружению нагрузкой tfi\ не приводя-
приводящей к разрушению системы или ухудшению ее технических
свойств.
2. Выборочно п изделий из партии подвергаются ресурсным
испытаниям, проводимым до разрушения. Пусть q=P(A) —
вероятность разрушения изделия. Тогда Р(А)=Р(А\ [} А2)*
Но

где
так как
= Р(Л,)Р(Л2), Р=1-Р(Л,)Р(Л2).
Пусть AХ)= а=const. Тогда в условиях рассмотренной выше мо-
модели
где
Уо? + а*
С помощью соотношения B.65) находим нижнюю границу Р
доверительного интервала для Р:
где
А 1 1 ' V '»1У . А 1
Ai=l R(h\ ' A2=l—-
~rt 1
/zT — квантиль нормального распределения, соответствующая од-
односторонней доверительной вероятности у.
Теперь из условия Р^РТ легко установить интересную зави-
зависимость n=f(N, у, Рт, а). При этом можно убедиться, что функ-
функция n=f(-) убывает с ростом величины а.
3.1.3. Испытания с искусственным снижением
несущей способности системы
Предыдущие схемы ресурсных испытаний основывались на
увеличении нагрузки t2 (по отношению к рабочей нагрузке) при
фиксируемой (штатной) конструктивной схеме системы. Однако
в некоторых случаях технически повышение нагрузки недопусти-
недопустимо (например, по технике безопасности) или невозможно. Тогда
значения прочности могут быть найдены лишь при снижении
116

несущей способности системы. Последнее достигается изменени-
изменением некоторой конструктивной характеристики у (толщина стен-
стенки, запас прочности и т. д.), значение которой в «натурной»
(исходной) системе равно #н. Испытания с искусственным пони-
понижением несущей способности проводятся по следующей схеме.
1. При значениях у = уи #2, • •., Ун, отличающихся от уп (на-
(например, при толщинах, меньших, чем ун), проводятся по п{ ис-
испытаний (/=1, к) при рабочей (или несколько повышенной)
нагрузке.
По данным этих испытаний (однократных или циклических) у
проводимых до выхода из строя системы, находятся значения U
и оценки соответствующих параметров (средних, дисперсий
и т. д.).
2. По приведенным выше соотношениям находятся оценки
Рг, верхние Рг- и нижние Рг- границы доверительного интервала
для вероятности неразрушения Р, соответствующие уи Уг,. .., У к.
3. Искомые значения Р, Р и Р, позволяющие осуществить
оценку и контроль за выполнением требований по надежности,
определяются путем прогнозирования для у=ун по предысто-
предыстории PUPUPi (*=Т"?).
Естественно при этом найти ошибку прогноза и_при ее исполь-
использовании дать гарантированные оценки величин Р, Р и Р.
3.2. НАТУРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ И ЗАДАЧИ УЧЕТА ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ
ИНФОРМАЦИИ
Выше отмечалось, что натурные испытания, как правило, не
позволяют установить несущую способность t\ системы по отно-
отношению к воздействующим нагрузкам t2. В связи с этим прихо-
приходится ограничиваться преимущественно качественной информа-
информацией в виде числа проведенных испытаний п и числа зафиксиро-
зафиксированных при этом отказов d. Получаемая из этих испытаний «ко-
«количественная» информация о значениях действующих нагрузок
может быть учтена лишь в рамках описанных моделей, если име-
имеются соответствующие сведения относительно величины t\. Воз-
Возникает задача определения и контроля уровня надежности по
результатам натурных испытаний и задача учета всей получае-
получаемой информации (расчетные оценки, данные ресурсных испыта-
испытаний, данные по значениям /2 из натурных испытаний и др.)-
3.2.1. Схема испытаний Бернулли
Одной из наиболее общих схем, основанных на использовании
качественной информации (я, d), является схема испытаний
Бернулли, описанная в п. 1.1.
Схема Бернулли и вытекающие из нее соотношения не свя-
связаны допущениями о виде закона распределения какой-либо слу-
117

чайной величины. Для вывода выписанных выражений доста-
достаточно использовать лишь формулы сложения A. 14) и умноже-
умножения A.26) вероятностей. Общий характер биномиальной модели
испытаний, ее простота и наглядность давно уже привлекали к
себе внимание при решении прикладных задач. И даже в тех
случаях, когда реальная ситуация не позволяла непосредствен-
непосредственно воспользоваться приведенными соотношениями, оказывалось
целесообразным формулировать окончательное решение в «бино-
«биномиальных» терминах. Так, в работе E3] при рассмотрении схемы
с переменной вероятностью в испытаниях использовалось поня-
понятие «эквивалентное число отказов», и задача сводилась к бино-
биномиальной.
В связи с изложенным в настоящем параграфе остановимся
на исследовании схемы Бернулли под углом зрения рассматри-
рассматриваемых задач. Остановимся также на случае, когда вследствие
проводимых доработок системы величина Р не является посто-
постоянной.
Задача об учете предварительной информации
в схеме биномиальных испытаний
Задачи подобного рода рассматривались в ряде работ [56, 82]
Наиболее традиционной постановкой задачи является следую-
следующая [56].
Дано, что п0 испытаний закончились т0 успехами. Какова
вероятность Р (t=v) того, что следующие п испытаний закончат-
закончатся v отказами? Для решения задачи обычно используется
специальный прием — рандомизация параметра Р, т. е. приписы-
приписывание некоторого распределения /(Р) в действительности неиз-
неизменному значению Р. При этом испытания с постоянной вероят-
вероятностью Р заменяются испытанием с постоянной функцией распре-
распределения ^(Р), а Р рассматривается как случайная величина,
принимающая в п испытаниях различные значения. Тогда
( П \ f р^о + л-v A _py+no-mof {p)d?
P(/=v) = ^-A . C.6)
f Р77оA_р)«о-^оу(р^р
о
Такие же рассуждения положены в основу задачи по оты-
отысканию уточненных параметров распределения (средних, диспер-
дисперсий) при известных априорных данных, рассмотренной в рабо-
работе [92].
Однако полученные таким образом результаты не позволяют
непосредственно записать выражение для уточнения значений
функции распределения и границ доверительного интервала для
Р. В то же время функция распределения В\(п, Р, х) и значения
Р, Р достаточно широко используются в прикладных задачах.
118

С этой целью наряду с имеющимися решениями может быть ис-
использован излагаемый ниже подход.
Усеченное биномиальное распределение и его приложения
Пусть в отличие от схемы Бернулли, в которой /е{0, п], ста-
становится известным, что /е[0, п — /], где /е[0, п], т. е. выбороч-
выборочное пространство случайной величины t — «сжато» (усечено)
Пусть далее «сжатием» управляет некоторая случайная вели-
величина t такая, что событие {z=j} имеет место с вероятностью
P(z=j). Тогда в соответствии со свойством усеченной функции
распределения при данном у
, P, х); v*e[0,*-y], C.7)
эффициент усечения.
Из формул A. 18) и A.29) находим, что в общем случае
где k = коэффициент усечения.
Bi(n,P,n-J)
j-0
%*%":?„• (з-8>
где
1(/г,Р, х) У/Е[л»^1,4
Здесь рассматриваются невосстанавливаемые системы, но
C.8) удобно истолковывать на следующем примере. В схеме
Бернулли в процессе каждого испытания с вероятностью Pi воз-
возможно осуществление технического обслуживания системы. При:
обслуживании системы в случае возникновения отказа он устра-
устраняется и система заканчивает испытание успешным исходом.
Пусть z— число обслуживаемых систем. Тогда
Р1Г"У=*(л,^У); ^i=l-Pi,
а число возможных отказов в п испытаниях fe[0, n—у]. В ча-
частном случае, когда Р4 = 0 (устранения отказов нет),
РBГ = 0)=1; P(* = y) = O; v/<=[l, л],
приходим к классической схеме Бернулли. При Pi = l (все си-
системы обслуживаются и, следовательно, согласно допущению все
возникающие отказы устраняются) получаем P(z=/i) = l;

Р(г=/)=О; V/e[O, n—1]. Тогда, как видно из выраже-
выражения C.8),
P(/<jc)=1; Vjcg[O, л]; Р(/ = 0)=1.
На основе выражения C. 8) могут быть построены также не-
некоторые модели испытаний с доработками.
С помощью выражения C. 8) возможно решение задач двух
основных типов.
1. Величина Pi известна, требуется найти усеченную функ-
функцию распределения.
2. Величины п, х, Pi, уь Y2 известны, требуется найти уточ-
уточненные значения корней уравнений Клоппера — Пирсона:
Bl(/i, P, d-l) = Yi5 Bi(/i, Р, rf)=l-Y,- C.9)
Решение задач первого типа иллюстрируется примерами
3. 1 и 3. 2.
Пример 3. 1. Вычисление показателя надежности системы со структурной
избыточностью
Система состоит из п = 5 одинаковых элементов и выходит из строя при
отказе числа х^З из них. Вероятность успешного функционирования одного
элемента Р = 0,57. Требуется найти показатель надежности системы (вероят-
(вероятность Рс ее успешного функционирования): а) если никакой информации от-
относительно возможного числа дефектных элементов нет (и, следовательно, в
¦соответствии со схемой Бернулли принимается, что tEz[0, /г]); б) если извест-
известно, что в системе предусмотрена такая встроенная контролирующая аппара-
аппаратура, что за время работы каждый из элементов системы контролируется (об-
(обслуживается) с вероятностью Pi = 0,80, причем отказы контролируемого эле-
элемента устраняются.
Решение. Случай «а». Очевидно, что при /ЕЕ[О, п]величина Pc=Bi E; 0,5G;
2). Из таблиц [105] по значениям /г = 5, Р = 0,57 и х—2 находим Рс = 0,6295.
В случае «б» из выражения C. 8) с помощью таблиц [105] находим
= 0,980.
Таким образом, учет информации о системе контроля в виде значения Pi
может существенно изменять числовые величины получаемых результатов.
Пример 3 2. Построение оперативной характеристики контроля системы с
учетом информации.
Пусть качество системы контролируется по качественному признаку в со-
соответствии со следующей процедурой. Испытывается выборка объемом п\
при испытаниях изделия разрушаются. Качество продукции считается прием-
приемлемым, если число дефектных изделий в выборке не превышает некоторое
установленное «приемочное число» л:пр. Требуется найти вероятность я(Р)
приемки продукции, т. е оперативную характеристику контроля (см. ?. 1), если
вероятность отсутствия дефекта у одного изделия Р, а при наличии дефекта
изделие считается недоброкачественным, негодным для потребителя.
Решение. В случае, когда информация относительно t отсутствует, т. е.
t&0, п], оперативная характеристика, равная вероятности того, что в выбор-
выборке п = 8 возможное число дефектных изделий *<*Пр, вычисляется с помощью
уравнения jt(P)=Bi(n, P, *пр).
120

Если информация относительно t имеется и задана в виде ^(Е[0, D], где
D<n, оперативная характеристика в соответствии с выражением C.7) имеет
вид
я(Р) = Bi (л, Р, xnv) [Bi (л, Р, D)]-i > Bi (л, Р, *пр).
В этом случае из-за хорошей «наследственности» (D<n) вероятность
приемки (т. е. вероятность того, что в выборке число дефектных изделий бу-
будет не более, чем Хщ>) повышается.
3.2.2. Учет предварительной информации, заданной в виде
fe[0, z] при определении корней уравнений
Клоппера— Пирсона
Пусть известно, что число возможных отказов t в п испыта-
испытаниях удовлетворяет соотношению tfe[0, z], где z^n. Тогда со-
согласно выражению C. 7)
* } Bi (л, Р, z) '
Функция Bi(/2, P, x)=Jp(n — х, х+,1) непрерывна и возра-
возрастает по Р. Следовательно,
;с) Ш(У|> Р> х)Ы{п Р'х\
;с) Ы{пу Р,х\
Bi(/i, Р, z)
причем Р^=Р при z=n и Pr>P V z<n. Таким образом, схему
испытаний на «сжатом» выборочном пространстве [0, z] можно
заменить на обычную схему испытаний на [0, п], но с большей
вероятностью Рг успешного исхода в одном испытании. Отсюда
вытекает, что для отыскания нижней границы может быть ис-
использовано уравнение 1 — Y2= В; (/г, Р, d), корень которого Р' =
—/гСя»dy y'2), Здесь, ввиду того что z<n, P'^P, выполняется со-
соотношение У^Угэ где \'2 — односторонняя доверительная вероят-
вероятность, при значении которой из уравнения 1—y2=Bi(ny P, d)
находится «обычная» нижняя граница P=f2(/i, d, Y2) для Р.
С целью отыскания yz' воспользуемся тождеством
В! (/г, Р = Р, rf)=l-Ya.
Тогда получаем
Таким образом,
P' = ft(n,d, Y2); Р' = /Лп,A,у1).
Здесь
у' - 1 1 - V2 . „._ VI
1
Bi(n,P,z) ' Vi Bi(n, P, г) '
--=/,(л, rf, v«); Р=Л(п,а, у,\
121

а соотношения для Р' и у/ получаются аналогично изложенно-
изложенному. При z = n, величины Р', Р' и Р, Р совпадают.
Пусть имеются следующие числовые данные. Проведено /г = 10 испытаний,
в которых зарегистрирован один отказ (d=l). Заданы Yi = Y2 = 0,90. Тре-
Требуется найти значения Р' и Р': а) если /е[0, 10] и б) если teJO, 3^
Для случая «а» из "таблиц [31] находим Р' = р-= 0,6631; РТ=Р~= 0,9895.
^Для случая «б» при /е[0, 3] получаем
0,90
Yi = ¦ « 0 90*
Yl Bi(l0; 0,9895; 3) ' '
jP' = f2(l0, I, 0,81) =0,7292.
Таким образом, имеющаяся информация в виде te[0, z] может заметно
изменить числовое значение корней уравнений Клоппера — Пирсона, если
z<n.
3. 2.3. Учет предварительной информации,
заданной в виде Ре[Рн, Рв]
В ряде задач вероятность Р успеха в одном испытании, вхо-
входящую в функцию распределения P(t^.x) =Bi(fi, P, х), пред-
представляют в виде
где ^—некоторая случайная величина; А= {?><у} — событие,
состоящее в успешном испытании, Так, если g — «нагрузка»,
а у — постоянная величина, равная прочности системы, то
Bi(Ai, P, x)=Bi[n, F(y), x] является вероятностью события:
не более чем в х из п испытываемых образцов произойдет раз-
разрушение, т. е. величина g превысит у.
Покажем, что в последнем выражении вместо F(y) может
быть использована функция распределения /r(P')=P(g<P/)
случайной величины ?, представляющей собой рандомизирован-
рандомизированный (в соответствии с работой [82]) параметр биномиального
распределения. Для этого остановимся вначале на частном при-
примере.
Пусть в каждом испытании системы в случае ее отказа с по-
помощью восстанавливаемого органа отказ устраняется. После это-
этого с вероятностью Рн система заканчивает испытание успешно.
В случае, когда сама система не отказывает, с вероятностью
Рв возможен отказ восстанавливающего органа (а вследствие
этого и системы в целом). Тогда вероятность успешного исхода
испытания системы
Р'=РРв+A-Р)Рн; Р'е=[Р.,Рв],
где Р^[0, 1] — упомянутая вероятность без учета восстанов-
восстановления.
122

Отсюда
0 vP'<PH;
P^F(P )=-^=^JL v P'eE[PH) PB];
* В * H
1 VP'>PB,
где F(P')—функция равномерного распределения на [Рн, Рв].
Подставляя значение Р из последней формулы в стандарт-
стандартное выражение Bi(n, P, х)у находим «обобщенную» функцию
биномиального распределения
), x],
C.11)
где n — число испытаний системы (при отключении восстанав-
восстанавливающего органа);
/ — возможное число отказов в п испытаниях.
В частном случае, когда Рн=0 и Рв=1, находим P=F(P/) =
= Р', а соотношение C. 11) и функция Bi(n, P, х) совпадают.
Таким образом, с точки зрения метода рандомизации биноми-
биномиальное распределение с функцией Bi(n, P, х) соответствует част-
частному случаю, когда параметр Р, рассматриваемый как случай-
случайная величина, распределен равномерно на [0, 1].
Рассмотренная выше схема испытаний с восстановлением су-
существенна лишь в том отношении, что она иллюстрирует воз-
возможный механизм сжатия интервала [0, 1] значений вероятности
успешного исхода испытания в интервал [Рн, Рв]. Вполне оче-
очевидно, что этот механизм может быть и другим, важен только
сам факт отображения множества [0, 1] на [Рн, Рв] и наличия
информации Р'^[Р„, Рв]. Последнее, в свою очередь, может ис-
истолковываться как мысленное оснащение системы восстанавли-
восстанавливающим органом.
Пусть опыт отработки до проведения п контрольных испы-
испытаний позволяет заключить, что в отличие от случая, когда ин-
информация относительно Р отсутствует (и можно лишь констати-
констатировать тривиальный факт: Ре[0, 1]), имеется информация:
Ре[0, 5, 1]. Тогда это означает, что в результате проведения рас-
расчетных работ, доработок конструкции системы и технологии ее
изготовления удалось добиться такого уровня «восстановления*,
которое заложено в саму систему, когда значения вероятности
Р<0,5 исключены. При этом восстановление рассматривается по
отношению к случаю Ре[0, 1].
Рассмотрим теперь упоминавшиеся уже уравнения Клоппе-
ра — Пирсона
l-Ya = Bi(/i, P, d)\ Yi=Bi(/i, P, d-\\
где d— наблюденное число отказов в п испытаниях.
123

С учетом соотношений C. 10) и C. И) запишем эти уравнения
в виде
1 _у2= BI [/г, F (F), d], Yi= Bi [л, Z7 (F), d - 1]. C. 12)
Корни этих уравнений P\=f2(n, d, y2) и P=fi(n, d, yi) образуют
доверительный интервал [Р, Р] для Р при доверительной вероят-
вероятности не меньшей, чем y=Yi + Y2— 1- При этом вследствие мо-
монотонности по Р' функции F(P') получаем
¦=/2(^. d, v2);
C. 13)
I, flf,
откуда
где Pr, P7 и P, P — границы доверительного интервала для веро-
вероятности успешного исхода в одном испытании соответственно с
учетом и без учета информации Ре[Рн, Рв]. Так, для исходных
данных п = 20, d=l, yi = Y2=0>S5 при отсутствии предваритель-
предварительной информации (Р^[0, 1]) из таблиц [63] находим: ^Р = 0,7839;
Р = 0,9974. Пусть теперь известно, что Р&[0,5; 1]. Тогда из вы-
выражения C.14) получаем
Р/=0,8920 и F = 0,9987.
Есть основания считать, что в формуле C. 11) в общем слу-
случае может использоваться не только равномерная, но и произ-
произвольная функция распределения F(P).
3.3. КОМПЛЕКТАЦИЯ ПАРТИИ ИЗДЕЛИЙ ПРИ ВЫБОРОЧНОМ
КОНТРОЛЕ В УСЛОВИЯХ СЕРИЙНОГО ПРОИЗВОДСТВА
Вопрос о комплектации партии при серийном изготовлении
продукции имеет большое практическое значение, так как во
многом предопределяет процедуру контроля, представительность
выборки при контрольных испытаниях и качество принимаемой
продукции. В связи с этим целесообразно построение некоторых
приближенных моделей комплектации партии и на их основе
изучение этой малоисследованной задачи.
Принципы комплектации партии могут быть различными. Так,
«сырьевой» принцип исходит из необходимости обеспечения мак-
максимальной однородности изделий в партии. В этом случае
предъявляются такие требования: каждое изделие партии М дол-
должно быть изготовлено из одной и той же партии сырья, по одной
и той же документации, на одном и том же оборудовании и
124

т. д. Пусть в результате реализации таких требований обеспе-
обеспечена такая «идеальная» однородность свойств изделий в пар-
партии, что если рассмотреть события Аи состоящие в бездефект-
бездефектности /-го изделия B=1, Л4), то условные вероятности
Р(Л2|Л)= ...=Р(АМ\А1) = \, при P(Al)=mm P (А{) (это
эквивалентно следующему: А\аА2, A{cz.A3,.. ., АхаАм). Тогда
вероятность того, что в партии М не будет ни одного дефектно-
/ М V
го изделия, выражается равенством Р П А ] = Р(^1)э т- е-
совпадает с вероятностью отсутствия дефектов в «слабейшем»
элементе партии.
Пусть партия изделий комплектуется таким образом, что
Л1сиЛ2; АхаАъ\...; А\(иАм. Это при А\ = А2 = .. . =АМ озна-
означает однозначную (достоверную) бездефектность всех изделий
партии, если хотя бы одно из них бездефектно (партия с макси-
максимально возможной однородностью свойств входящих в нее из
делий). При AxczA2', Л1С1Л3;...; АхаАм и выполнении хотя бы
одного из соотношений А^ФА2\ . . .; А\фАм такой способ комп-
комплектации означает достоверную бездефектность всех изделий
партии, если бездефектно слабейшее, условно первое изделие
Тогда из изложенного вытекает следующая весьма нетрадицион-
нетрадиционная процедура контроля.
1. После комплектации партии объема М по упомянутому
принципу из нее извлекается выборка в одну единицу. Такая
выборка является вполне достаточной, так как в рассматривае-
случае Р П -А/ 1 = Р(Л1). В качестве извлекаемого изде-
\/-1 /
лия выбирается слабейший элемент партии, если выполняется хо-
хотя бы одно из соотношений АхфА2\.. .\ А\ФАМ, и любой эле-
элемент партии, если Ai=A2— ... =АМ.
2. Выбранное изделие проверяется. Если оно окажется безде-
бездефектным, партия принимается, поскольку, как отмечалось,
/ М V
А, Лг] = 1.Если Ai=A2= . . . =ЛМ, а выбранное изде-
мом
М
лие дефектно (неприемлемо для применения), то данное изделие
и все оставшиеся изделия в партии бракуются, так как при
Ai=A2= . .. =АМ имеем Ai=A2= .. . =АМ и P(Ai\Ii) = l
при / = 2, М.
3. Если AiCzA2czA3c=: .. . с=Лм; А{фА2; А2фАъ\...\
.. .; АМ-\ФАМ, то в случае, когда выбранное (первое) изделие
оказалось дефектным, партия не бракуется, а на контроль по-
поставляется «слабейшее» из оставшихся (второе) изделие. Если
и оно оказалось дефектным, извлекается следующее (третье —
«слабейшее» из М—2 оставшихся) изделие и т. д. Товарная (или
принимаемая) партия объема М — /— 1, где /—число забрако-
125

ванных изделий, принимается, как только очередное (/+1) из
выбираемых изделий оказывается бездефектным (приемлемым),
/ м
поскольку Р/ П А-
Очевидно, что в традиционной схеме с независимыми элемен-
элементами в партии процедура резко отличается от изложенной. В со-
соответствии с традиционной схемой выборочного контроля (см.
п. 1.2) объем выборки от партии оказывается достаточно боль-
большим, а в ряде случаев (особенно при малых партиях) можех
достигать неприемлемых значений. При комплектации партии
по указанному принципу достаточно ограничиться (как отмеча-
отмечалось) минимальным размером выборки: в размере одного эле-
элемента от партии. В традиционной схеме при наличии дефектных
изделий в выборке остаток партии (товарная партия) бракует-
бракуется, а в число бракованных возможно попадание годных изделий.
Здесь же, как следует из изложенной процедуры, все годные эле-
элементы принимаются и не могут быть забракованы. Наконец,,
в рассмотренной процедуре, в отличие от традиционной, явно
просматривается связь между свойствами однородности продук-
продукции и объемом комплектуемой партии. С уменьшением однород-
однородности число изделий, удовлетворяющих условию AiCzA2y
AiCzAs; . . .; AiCzAM, а следовательно, и объем партии М должны
уменьшаться.
Однако предлагаемая модель носит весьма частный характер
и требует перед ее применением исследования свойств изготав-
изготавливаемых изделий, а также изучения однородности характери-
характеристик, описывающих эти свойства. Модель эффективна только при
высокой однородности свойств выпускаемой продукции.
Пример 3. 3. Комплектация партии и контроль качества тонких стержней.
Пусть, например, изделие представляет собой тонкий стержень длиной 1&.
Изготавливаемая продукция принимается партиями: после изготовления пар-
партии М стержней из нее извлекается выборка п, по данным испытания кото-
которой судят о возможности приемки оставшихся ЛТТ = М— п стержней (Мт —
объем товарной партии). Стержни изготовляются путем отделения частей
(изделий) длиной /0 каждая от длинного стержня (его длина L^M/0). Испы-
Испытание выборки состоит в том, что на разрывной машине путем растяжения п
стержней до их разрушения находится предел прочности у материала стержнл
при растяжении. Качество стержней в генеральной их совокупности считается
приемлемым при у>а (где а — некоторое постоянное значение, оговоренное
в технической документации), если условие у>а выполняется с вероятностью
Р=Р (у>а), не (меньшей Рт = 0,999.
При Р<РТ = 0,994 качество стержней считается неприемлемым. В доку*
ментации заданы также значения риска поставщика а и риска заказчика (S
(а = 0,05; C = 0,10).
Спланируем испытания и процедуру приемки: а) традиционным методам;
б) методом, изложенным выше.
А Традиционная процедура предполагает, что объем М партии уже вы-
выбран (задай) и не содержит рекомендации по способу выбора М
Пусть, например, М = 20, а у следует нормальному закону распределения.
Тогда, используя метод однократной выборки, согласно соотношениям A. 176)
с помощью табл. П. 1 находим необходимый объем испытаний
126

где
= Л0.95 =
hp = ло,999 = 3,090; Лр = ло,9Э4 = 2,512;
h ч „ h-n -\- Нл о h—
1~a gr ^P PT 1,645-2,512 + 1,282^3,090
пр
-р 1,645+1,282
или
2,0752\ / 1,645 + 1,282 \2
+J( )
/г = ж 16.
20-1 + 79-1
Таким образом, согласно процедуре однократной выборки для требований
а = (НM; Р=О,Ю; Р"т = 0,999; Рт=0,994 из партии М=20 необходимо извлечь
выборку я=16 изделий, и с помощью разрывной машины найти значения у
в выборке У\, Уъ • • м У п. Считая ул, Уг,. . ., уп независимыми, по формулам
A. 127) и A. 129) находят оценки |ы и а среднего значения \i и^среднего^кв^д-
ратического отклонения о случайной величины у. Если величина h=(a — \i)/o>
>/inp = 2,075, товарная партия NT=Q0—16 = 4 принимается; при Л<
<2,075 — бракуется. Разумеется, другие рассмотренные выше также тради-
традиционные методы контроля (последовательный анализ, односторонние проце-
процедуры и т. п ) могут оказаться значительно более эффективными и потребо-
потребовать меньшего числа испытаний, если величина h уже при малых объемах п
в процессе проведения испытаний будет существенно превышать значение
ftnp =12,075.
Б. Рассмотрим теперь изложенную в настоящем параграфе
процедуру контроля. Она требует дополнительной информации
относительно свойств стержня L. Пусть из анализа особенностей
материала стержня, технологии его изготовления и проведенных
исследований установлено, что реализации у%{1) при /е[0, L]
случайной функции уA) (прочность стержня в функции длины)
представляют собой множество эквидистантных (непересекаю-
(непересекающихся) кривых так, что выполняется соотношение уA)=А +
+ Вг|)(/), где А и В — случайные величины с произвольным за-
законом распределения; я|?(/) —неслучайная функция.
Тогда согласно лемме 1 вероятность того, что все М стержней
в партии будут годными, равна Рм=Р(Л + ?г|)т>а) = 1 —Fv(a),
где г|эт — наименьшее значение функции г|)(/) v/e[0, L]\
Fu(a)—функция распределения случайной величины
иА В
Объем партии М в условиях примера целесообразно выби-
выбирать из условия M = E[L/lo], где Е(-) —целая часть выражения
в скобках. При этом вероятность Рм того, что все стержни в
партии М будут удовлетворять условию у>а, равна вероятности
127

1—Fu(a) того, что это условие выполняется в «слабейшем»
стержне, на длине 10 которого функция -ф(/) V te[0, L] достигает
наименьшего значения.
Пусть функция -ф(/) монотонно убывает по /; кроме того, известно, что
L=15, /0=1 см, а погрешностью прибора для измерения у можно прене-
пренебречь Тогда из партии M = L/lo= 15 стержней выбирается один, последний
по порядку изготовления (т. е. здесь выборка п=\). Если при испытании
стержня окажется, что его предел прочности при растяжении у\ь>а, то то-
товарная партия ЛЛг = 15—1 = 14 стержней принимается. Если #15<я, то испы-
тывается следующий A4-й) стержень. При уи>а партия NT = \3 принимает-
принимается; при f/u<а испытывается 13-й стержень и т. д. Таким образом, объем ис-
испытаний здесь (при условии, что имеется упомянутая выше информация)
может оказаться минимальным: одно изделие от партии.
Комплектация партии по принципу максимальной однород-
однородности свойств изделий и, следовательно, по принципу обеспече-
обеспечения максимальной корреляции между г/15, #14, • • • (в условиях
примера Q/l4//i5 = Q//i3i/M = .. .= 1) дает значительные преимуще-
преимущества по сравнению со случаем, рассматриваемым в традицион-
традиционных методах контроля, когда величины уи у%,..., у\$ полагаются
независимыми.
Рассмотрим теперь другую возможную модель комплекта-
комплектации партии изделий, каждое из которых состоит из N последова-
последовательно соединенных независимых элементов. Изделие оказывает-
оказывается дефектным, если хотя бы один из N элементов дефектный.
Элементы поставляются партиями объема пг-, в числе которых
с1{ дефектны. Элементы в партиях щ независимы и неотличимы
друг от друга. Комплектация изделия осуществляется путем из-
извлечения элементов по одному из каждой партии щ и сборки
изделия. Операция комплектации завершается после сборки
#< mm tii изделий.
\<i<N
Найдем функцию распределения случайной величины z —
числа дефектных изделий, попадающих при данных пи d{ в уком-
укомплектованную партию.
Теорема 1. Функция распределения случайной величины z ла-
лается выражением
C. 15)
где « + » — символ, означающий, что при tii—v+l>cf* и k>n
величина
n—k+j N
П П('~ Я/_^+1 )=0; Gj=n-k+j-
Доказательство. Покажем вначале, что
128

;=о L
v=O/=l
Очевидно, что этого необходимо и достаточно для доказатель-
х
ства теоремы, так как Р (<г<;л;) = 2 Р (z = k).
Обозначим через А событие, состоящее в выполнении условия
z=k, и через Aj событие, состоящее в том, что /-ое изделие в по-
последовательности комплектации партии объема п окажется без-
бездефектным. Тогда в соответствии с правилами сложения и умно-
умножения вероятностей получаем
P(z=k) = P{A) = P(A1)P(A2\A1)...
n—k—l
An_k
i.
/n—k
n—k
n
/n-k \ t п-\
(П АЛ П П
где 0 — сумма ( п )— 1 членов, учитывающих возможные осталь-
остальные способы размещения в произведениях из п сомножителей
п — k вероятностей типа Р(Лг*| •) и k вероятностей типа
| )
Безусловные вероятности событий
равны между собой:
N
Вследствие этого условные вероятности удовлетворяют соот-
соотношению
где /, jue[l, n]\ i
Кроме того,
N
i =1
= P(i4/|^fl Аг)=
где
5 312
i, I*, x^lh л]; 1
129

Наконец
при
и
где
Обозначим
тогда
Р А
N
П: — V
v=0
/ =1
n—k
i =1
n—k—I N
v=0
v=0 /=1
' Y.
П[ — V/
где дополнительное обозначение P(fii) =P(n-fe) подчеркивает тот
факт, что P(Bi), как видно из приведенных соотношений, не за-
зависит от индексов при буквах Л, но зависит от их числа в пересе-
пересечении событий. Последнее обстоятельство позволяет представить
выражение для P(z=k) в виде
ИЛИ
где
= П
и записать общее выражение
Р(П АЛ=
Используя известные соотношения
Р E,| Д1) = Р (В,) [1 - Р (В", | В,)}
k _ ~F
п Л/= U Л/?
130

k
получаем B2= U At
и
или
к
U (А, П
I У—1
л-Л+1
где Л/=Д- П 5i-"= П
Отсюда находим
(л)
или
k
k
J
где
что и доказывает теорему.
Выражение C. 15) для функции распределения случайной
величины z может быть использовано при построении плана кон-
контроля надежности последовательных систем.
Действительно, рассматривая изделие как один обобщенный
элемент, можно задать такое приемочное (допустимое) число
*пр, что число дефектных изделий d в партии объема п не дол-
должно превышать xuv. Тогда вероятность Р(г>л:Пр) =
= 1 — РB:^хпр) = Р есть ошибка контроля, вследствие которой
5* 131

в принятую партию попадает число дефектных изделий, большее
чем допустимое. Следовательно, из соотношения
*ир ( ** n-k+j N
C. 16)
при известных п^ и d{ можно, задаваясь р и значением Хдр, найти
такой объем партии изделий п^.тт nh при котором значе-
ние ошибки контроля р и число дефектных изделий в партии не
превышают заданных значений. Знак неравенства в выражении
C. 16) обусловлен тем, что xuv и п выбираются целыми и в свя-
связи с этим используются гарантированные (уточненные) значения
п. Очевидно, что п не может превысить минимальное из чисел
яг, так как при n = minni партия элементов с минимальным
l<i<N
объемом полностью исчерпывается (все ее элементы извлечены
и использованы для комплектации п изделий), а «собрать» по-
последующие изделия в полном элементном составе оказывается
невозможным. В связи с этим решение задачи по определению
п по заданным щ, di, p, существует не всегда и ограничивается
значениями п <] min (nt).
Соотношение C. 16) позволяет также при известных щ, d\ \\
заданных п и хпр найти, какова ошибка контроля р. В этом слу-
случае в выражении C. 16) используется только знак равенства.
Наконец, при заданных п, р и известных niy di можно найти
приемочное число лгпр.
С целью облегчения расчетов удобно использовать прибли-
приближение
fe=0 I У=0
х N
с помощью которого вместо выражения C. 16) можно записать
Р== 1 —Bi (л,Р, *пр). C.17)
Это приближение выполняется с достаточной для практиче-
практических целей точностью при больших п и Р.
Пусть, например, комплектуется партия п=\2 изделий, каждое из кото-
которых состоит из W независимых элементов, поставляемых партиями объемом
п{ единиц. В каждой партии пг имеется d\ дефектных элементов. Известно,
132

N
•что величина Р= П [I— №/л/)] = 0,85. Число дефектных изделий в пар-
/-1
тии по условиям контроля не должно превышать число лгПр = 2. Требуется най-
найти, какова вероятность того, что в скомплектованной партии число дефектных
изделий окажется большим, чем лгпр (т. е. z>2). Используя соотношение
C. 17), имеем
Ь n-k+j N
X
up
{3 = 1-
1—¦
nL — v + 1
;=0 v=l /=l
«1 —Bi(/if P, xnp),
откуда с помощью таблиц [105] находим Bi A2; 0,85; 2) =0,73; следовательно,
р027
Пусть теперь заданы р = 0,27, Р = О,85 и приемочное число #пр = 0. Из
соотношения C. 17) найдем соответствующий объем партии
п « 1пA —p)/lnP = ln
Общая закономерность в данном случае состоит в том, что с уменьшени-
уменьшением допустимого числа дефектных изделий объем п партии при данных Р и
Р уменьшается.
Пусть, наконец, заданы: допустимая ошибка контроля C = 0,10, приемоч-
приемочное число л:Пр=0 и объем партии изделий я=9. Определим, какому требова-
требованию должна удовлетворять продукция, поступающая для комплектации пар-
партии. С этой целью, используя выражение C. 17), находим, что должно вы-
выполняться условие Bi(9; P; 0)>0,90 или Р>0,988.
Легко убедиться, что доказанная теорема имеет своим след-
следствием такое утверждение: функция распределения случайной
величины t в схеме Бернулли (t — возможное число отказов в
п испытаниях) при снятии допущения о независимости испыта-
испытаний имеет вид
где Аг — событие, заключающее в успешном исходное одного ис-
испытания. Согласно уравнению B. 86)
где
KN^ — arcsinQ; e = (Pu-
Pi2 — вероятность успешного исхода в двух испытаниях;
<7=1 — Р.
При этом события Аг (как и обычно в схеме Бернулли) не-
('П—k + j \
П АЛ — вероят-
вероятность успешного исхода в двух любых и в любых п—k+j испы-
133

таниях. В случае q = 0 (испытания независимы) получим клас-
классическое выражение P(t^x)=Bi(ny P, х). При q=1 получаем
P(f=O)=P; P{t=n)=q\ P(^x)=PVxg[0, л—1].
3.4. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ
НАДЕЖНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим систему, состоящую из N последовательно сое-
соединенных элементов. Исходы их испытаний независимы, а сами
элементы могут испытываться отдельно от системы. Пусть
i-и элемент был испытан щ раз и в числе d\ случаев зарегистри-
зарегистрированы его отказы. Совокупность N пар (пи di) чисел образуют
вектор испытаний п= (пи п2у..., nN) и вектор отказов d=
= {du d2,.. .> dN). Задача состоит в том, чтобы по исходным-
данным п, d и известным односторонним^доверительным вероят-
вероятностям yi и у2 определить границы Р и Р доверительного интер-
__ N~~
вала [Р, Р] для показателя Р = П^/ надежности системы. По-
/=i
следний представляет собой функцию от биномиальных пара-
параметров Р{, так как Р; — вероятность успешного исхода в одном^
испытании /-го элемента предполагается постоянной в каждом из
П{ независимых испытаний.
Согласно выводам работы [3] искомые значения Р и Р могут
быть найдены как корни уравнений
P'N=y2. C.18).
sup Рм=--1 —у
N
П p,-p
l и
Pn=
inf
N
П Р/-Р
Здесь обозначено
N
134
"\ _¦ Щ1 . j _р .

N
Р= П ( 1 1 — состоятельная оценка для Р, полученная по
\ nil
/=1
данным nwd.
Решение задачи при N>5 с помощью равенств C. 18) —
C. 19) трудоемко даже с помощью самых быстродействующих
ЭВМ. Поэтому остановимся на возможном приближенном ана-
аналитическом решении, дающем оценку снизу для нижней грани-
границы Р доверительного интервала [Р, Р].
Будем использовать следующее приводимое уже выше соот-
соотношение
= ^b(n, P, *) = Bi(/i, P, х) =
= Jp(n-x, х+1)=У_ 1 P"-V. C.20)
ЧA 1)
Здесь Jp(n—x, х-\-1)=^//! —неполная бета-функция с пара-
параметрами п — х, х-\-1 и Р;
В соотношении C.20) функция В\(пу Р, х) определена лишь
для целых л: в то время как функция /р(-) может быть вычис-
вычислена для любых х^О.
Покажем, что функция /р(/г — х, x+l)=J-p(np, nq+l), где
q= I — Р = — , возрастает по q и убывает по п. Для этой цели
п
докажем, что справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть i|)(#) —строго убывающая функция уу не-
непрерывная на @, 1) и даны две функции cpi(y) и <р2(у) непрерыв-
непрерывные на [0, Р] и [0, 1] соответственно и не имеющие нулей внутри
этих интервалов, причем
<Pi@)>ft(jf), VJ/G(O, P) и
о
Тогда
р 1
135

Доказательство. Переписывая последнее соотношение в виде
р 1 1
6 р р
легко убедиться в его справедливости, так как левая часть
р г р и 1
Щ \
г р
L о
о
где согласно теореме о среднем Ре (О, Р), Pie(P, 1), @, Pi) Q1
(Р, 1) = 0, а следовательно, P<Pi и i|)(P)>i|)(Pi), что и дока-
доказывает теорему.
Если при тех же исходных условиях г|)(у) является возраста-
возрастающей функцией у, то аналогично доказывается, что
р 1
\ъШШу< \ЫуШу)*у-
о о
Используя теорему 1, покажем, что произвольная по q от
функции /р(дР, nq+\) положительна V?^@, 1) и, следова-
следовательно, /р(-) возрастает по q на [0, 1]. Убедимся в справедливо-
справедливости соотношения
?
дд 7?
ИЛИ -^г— > -
/р ^ J
Действительно,
7р ? 1[
7Р J ?1 У У У' 7Х
где
Легко убедиться, что произведения cpi(#)i|)(#) и 92(y)it)(y) инте-
интегрируемы на [0, 1].
При этом
136

о
О, V!/G(O, 1),
a г|)(*/) —непрерывна и убывает по у на @, 1). Следовательно,
согласно теореме 1 справедливо доказываемое соотношение, ко-
которое будем записывать так: /р (•) \д.
Поскольку функция /р(-) определена для целых и нецелых
п, то аналогично устанавливается, что Jp{-)\n. Кроме того,
О
Таким образом, можно записать
УР(лР, /iH-l)t?tPfx|rt, V?e[0, 1[;
Ре [0, 1]; х>0, /г>0. C.21)
Примечание. Заметим, что обычно используется следующий вариант тео-
теоремы о среднем: пусть функции f(x) и g(x) ограничены на [а, Ь] и непре-
непрерывны на (a, b), a g(x) не имеет нулей в интервале (а, Ь). Тогда
ь ь
где Ее (а, 6).
Покажем, что это соотношение сохраняется при следующих (используе-
(используемых выше) условиях:
1) функция g(X) ограничена на [а, Ь\ непрерывна на (а, Ь) и не имеет
яулей в этом интервале [это условие то же, что и выше для g(x)];
2) функция f(x) непрерывна на (а, Ь) {требование к ограниченности f(x)
•на [а, Ь] снимается};
3) произведение ф(л:) =g(x)f(x) — интегрируемо на [а, Ь].
Доказательство. Обозначим
$ =] g(t) f (t)dt; F(x) = ]g(t)dt; x&[a, b].
a a a
Тогда согласно известной теореме из интегрального исчисления Ф(х) и F(x) —
непрерывные функции на [а, Ь]. При этом F'(x) =g(x)^=Of V x^(a, b) (no
условию 1) Изложенное позволяет использовать теорему Коши, с помощью
/¦которой находим
ь
\ f (О <! (О dt
i Ф(Ь)-Ф(а) /F) у F)
где Es(a^ ^)» что и доказывает утверждение.
137

Теорема 3. Пусть PiP2=P^[0, 1]. Тогда
JP(n-x, x+\)>^b(n, Pl9 k)Jp2(n-x, x-k+\\ C.22)
где [х] — целая часть х, а знак равенства достигается при целых
х, а также в следующих случаях:
Р1=1; Р2=Р;
C.23}
Доказательство. Равенство левой и правой частей выражения
C.22) в трех случаях C.23) является очевидным. При Р4 = Р,
Р2=1 C. 22) записывается в виде
, Р, А)=
k-0
и согласно соотношениям C. 21) удовлетворяется.
В связи с изложенным проведем доказательство теоремы
для случая Ре @, Pi<l). Перепишем выражение C.22) в виде
р
1
7\(п — х, х 4-
У
п—х—1 /
k) ^ц—
J\ (П— X, X— k + 1)
dy
или в виде
1
J\ (П— X, X
Здесь
л/ (и\
Х\У)
р
+1) J
0
(I-V)*F
(дс-*+1.
= [0,Р].
1-У)*
Х\У)\а<
(п — х,
* + 1)
JC — ^ + 1)
?л Px-k
(x-k + l9 k + 1)
C.24)
138

Ч\
1, так ка<к y<P<Pi, 1—
где q=-
отношениям C.20) и C.21) получаем
. Согласно со-
со], Р, *} = !,
что и доказывает теорему.
Следствие. Для целых значений х и PiP2=P^[0, 1] имеет
место тождество
(п-х, х + 1) =
(я, Р1Э
*(л-*i, Р.,
C.25)
которое вытекает из того, что для целых х в выражении C. 24)
величина % (у) = 1.
Докажем теперь основные теоремы.
Теорема 4.
C. 26)
где
= minn q=\— P;
1/ЛГ
— целая часть произведения nq.
Доказательство. Положим
. Из условия
определяющего область суммирования по ki в выражении для
PN следует, что
Р
1-
—1
где
Отсюда
Используя последнее соотношение, а также C.19), C.21) и
C. 22), находим
139

k j= 0
, py, kj)^jPj(nj-Qjy e/ + i)<
02
0ДГ
0i 0дг_2
2й (л1' рь *!)••• 2
X 2
*.-0 kJV-2=°
8,
ftl-1
<...<УР(/г-е1, в1+1)=Ур(лРэ /^+0- C.27)
Следовательно,
П Р/-Р
/-1
что и доказывает теорему.
Следствие 1. Нижняя граница Р доверительного интервала
для Р при заданных п, d и у удовлетворяет соотношению
P>_P(D, C.28>
где P(i)=fi(n, nq, yi)—корень уравнения /р(яР, nq+\) =
= 1 — Yi- Доказательство непосредственно следует из теоремы 1
и соотношения C. 21). Действительно, УрA)(яР, nq-\- \)= 1 — Yi<I
<Ур(лР,/г^+1), откуда Р>Р0).
140

Оценка C. 28) без доказательства и указания на то, что при-
приближает точное значение Р снизу, приведена в работе [53].
Следствие 2. Для оценивания значения Р имеем такую после-
последовательность оценок, сходящуюся к точному значению
_P(D <_РB) < ... <jV-n < ?. C. 29)
Здесь Р(г) — корень уравнения
п
где
=2
ftj=0
'/-1
2
2 Ъ fa-» P,-lf ?,-i) Jfg (Л/ -1 I + 1);
1 —
„,
Доказательство. Поскольку согласно работе [3] функция Яд-
монотонно возрастает по вектору (Рь Рг,..., Pjv), то для того,
чтобы установить соотношение C.29), следует убедиться в спра-
справедливости соотношения
Случай /= 1 уже рассмотрен выше [см. C. 26)].
Пусть />1. Тогда
бдг
где
N-i = ^ b^h Ph ki)~' 2
Л.-0
Из выражения (З. 26) находим
где +^
Следовательно,
141

J' /-!, P/-i, Am) X
что и доказывает справедливость соотношения C.29).
Получим теперь оценку для Р сверху.
Теорема 5.
/2Кчл)<р</2(^И1л), (З.зо)
где /2(я> х, у)—корень уравнения Jp(n — х9 х+\) = 1—у»
[nq] — целая часть произведения nq\
N
Ki<N
Оценка снизу для Р, входящая в выражение C.30)
(п, nq, у), уже доказана выше (теорема 4 и следствие 1).
Для доказательства оценки сверху заметим, что
N 9 г / п д . т\ N
Ур G2 — о,о-|-1)
r» _ D/z—
/=2
где nf = maxtii; х = л/—(/г —8); n = n1 = m'1nnl; 0 =
iN 1<1<N
—в,—8,л —
/о ч -^(л М + 1) 1
ср (F-i) = =
ря-в л-6 /1(л_в,в+1)
) — гипергеометрическая функция [93];
При этом функция <p(Pi) убывает по Pi^[0, 1]. Действительно,
используя правила дифференцирования гипергеометрической
функции, получаем
dP\ (Л__ в) /!(/!— 0, 0+ 1)(/2 — 0+ 1)
Pi
1'
/!(/!-. 0,0+1)
142

если Рх е @, Рх). Следовательно, <р (Рх) Р~х j Рх е [0, 1] и
(N V'
PN>sup9(P1)— Ц Р, =РЛ'та
лг Р? I / p<Pi<i
п р..р 1 \/=i /
р/г—9 р/Г'—л+9
Таким образом, 1—у=Рм^1р(п—9, в+1), откуда вследст-
вследствие соотношения C.21) получаем, что корень Р'=/2(п, 6, у)
уравнения 1—y=Jp, (п—6, Э+1) удовлетворяет соотношению
что и требовалось доказать.
Теорема 5 позволяет найти достаточно узкий интервал, в ко-
котором находится точное значение нижней границы Р для показа-
показала ~~
теля надежности Р = ПРг\ Она позволяет также свести много-
мерную задачу к простому одномерному случаю и вычислить Р
с погрешностью
Р—Pm P' —Рт
min_P(l — P) 1 — P'
если P'^0,5. Если P'<0,5, то
Р' — Р/1Ч
Заметим, что хорошее приближение дает также оценка
P^f2(n,nq,y). C.31)
Здесь п — число испытаний из той пары значений {пи ^г), кото-
которая доставляет минимальное значение нижней границы
w / /a(/&/, dh у).
— l<t<N liN
Остановимся на важных частных случаях. Пусть произведе-
произведение nq — целое число. Тогда левые и правые границы интервала
C. 30) совпадают и получаем точное решение
P = f*(n,nq,y). C.32)
Оно соответствует, например, следующим случаям.
143

1. Нулевой вектор отказов d,= (О, 0,..., 0) при п=
= (п\, П2, •.., Un)—случай безотказных испытаний элементов.
Тогда из выражения C. 30) находим
P = Pw = (l-Y)^, C.33)
где n = min/ii. При этом нижние границы доверительного интер-
1</<7V
вала для показателей надежности системы и ее элемента, испы-
тывавшегося минимальное число раз, совпадают. Результат
C. 33) ранее получен в работе [24].
2. Пусть при испытаниях отказывал только один элемент, ко-
который испытывался минимальное число раз, т. е. п= (пи щ.,. . .,
..., nN), d= (db 0, 0,..., 0), п\ = п. Тогда nq=[nq] = S=d\—
целое число. Согласно выражению C. 32) в этом случае
Р = /а(л11?/1.у) = Рт. C.34)
Теорема 6. Пусть контроль за выполнением требований к по-
N
казателю Р = П ^ надежности системы в целом осуществляет-
ся в соответствии со следующей процедурой (см. п. 1.2): относи-
относительно подтверждаемого уровня Р принимается положительное
решение, если выполняется соотношение
Р^РТ, C.35)
где Р — нижняя граница доверительного интервала для Р при
значении односторонней доверительной вероятности у\
Рт — некоторый фиксируемый уровень.
Тогда планируемый для подтверждения требований по на-
надежности объем щ безотказных испытаний каждого элемента
определяется значениями Рт и у в соответствии с соотношением
и не зависит ст числа Af элементов в системе.
Доказательство. Необходимость. Пусть соотношение C.35)
удовлетворяется при d= @, 0,. . ., 0). Тогда необходимо выпол-
выполнение равенства C.36). Действительно, согласно соотношению
!
!
C.33) при d= @, 0,..., 0) имеем Р--={\ — у)п и из условия
находим соотношение C. 36).
Достаточность. Покажем, что при выполнении соотношения
C.36) условие C.35) удовлетворяется. Пусть проведены п{^п^
испытаний каждого элемента, в процессе которых отказов не за-
144

регистрировано. Тогда согласно выражениям C.33) и C.36)
Р = A —у)п°^>Рп что и требовалось.
Пусть проведены автономные испытания N=100 элементов,
по результатам которых найдены оценки
100
р=П (i -t)=0'87
TV
для показателя надежности Р = П Р* последовательной системы
Задано значение односторонней доверительной вероятности у=
= 0,90. Требуется найти приближенное значение нижней грани-
границы для Р и оценить погрешность приближения, если минималь-
минимальное число испытаний прошел первый элемент: п\ = п=20 и, сле-
следовательно, nq = 20 A — 0,87) =2,6; [nq]=2.
Для решения задачи из теоремы 5 с помощью таблиц [63] на-
находим РA)=/2B0; 2,6; 0,90) <Р</2 B0; 2; 0,90) = Р' или
0,7192 Р-<0,7552. Таким образом, оценка P(d=0,7192<P име-
имеет абсолютную погрешность не более, чем 0,036, и относительную
погрешность
*_ Р—f(i) _?-?(!) ^-E'-f(i)_ 0,035
minP,(l—Р) 1 —Р 1 —Р' 0,2448
15%,
что вполне приемлемо для ряда практических задач.
Точность оценки можно повысить, если воспользоваться соот-
соотношением C. 29).
Пусть теперь к надежности системы, состоящей из N=100
элементов, предъявлены требования в виде значений величин
Рт = 0,85, у=0,90. Контроль ведется путем проверки условия
C.35).
Необходимо спланировать объем безотказных испытаний каж-
каждого из N= 100 элементов.
Решение задачи дается соотношением C. 36), из которого на-
находим
\ log0fi0 1K
п > по = —^—-—= 15.
' ° log 0,85
3.5. УЧЕТ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ
ПРИ ОТЛИЧАЮЩИХСЯ УСЛОВИЯХ ПРОВЕДЕНИЯ ИСПЫТАНИЙ.
МОДЕЛИ ИСПЫТАНИЙ С ДОРАБОТКАМИ
Учет предварительной информации с помощью рассмотрен-
рассмотренных выше методов содержит основную посылку: априорные н
апостериорные данные получены в одних и тех же условиях. На
практике может оказаться, что предварительная информация по-
145

лучена в условиях, отличных от тех, в которых проводятся после-
последующие испытания. При этом приведенные выше соотношения
могут рассматриваться как относящиеся к частному случаю,
когда указанные условия совпадают. Как правило, система ис-
испытаний строится таким образом, чтобы на каждом этапе в мак-
максимальной степени воспроизводились «натурные» условия приме-
применения системы. Это позволяет считать, что при получении пред-
предварительной информации натурные условия воспроизводятся с
определенной вероятностью. Пусть вектор &= (|i, 2g, • • ., ?ь)
значений некоторых характеристик ^ описывает всю совокупность
натурных условий, а вектор ^ = E1, fe,-.-, 5/) описывает условия,
в которых получена предварительная информация. Обозначим
через Я12 гипотезу, состоящую в том, что условия gi и условия
?2 идентичны.
Пусть в условиях ^ проведено щ испытаний системы, d\ из
которых закончились отказами. Условия gi с вероятностью Pi2=
= Р(#12) воспроизводят действительные («натурные») условия
fe, в которых проводятся последующие п2 испытаний. В числе d2
из этих испытаний зарегистрированы отказы. Найдем выражения
для границ^2 и Р2 доверительного интервала [Р2, Р2] для вероят-
вероятности Р2 успешного исхода испытаний во второй серии с учетом
информации (пи di) и Rl2.
Рассмотрим событие B={t^x} и вероятность Р(?) =
= В\(п2, Р2, х), равную функции распределения случайной вели-
величины t — возможного числа отказов в п2 испытаниях. Используя
формулу полной вероятности, находим
12) + R12[P(B\H12)-P(B\J712)].
Условные вероятности в последнем выражении равны
)=В1(л2,Р18>^); Р(В|7712)=В1(/г2,Р20, х\
где Pi2 и Р2о — значения Р2 при выполнении гипотез Н12 и Н\2.
При выполнении гипотезы Hi2 выборки (пи d±) и (п2у d2) ока-
оказываются извлеченными из одной совокупности и образуют одну
выборку объема ti\2=tii-\-rh с di2=di+d2 отказавшими система-
системами. Следовательно, нижняя граница Р2 вероятности Р2 при ги-
гипотезе Я12, обозначаемая через Pi2, определяется как
В случае выполнения гипотезы Н12 будем исходить из край-
ней ситуации, когда степень неидентичности ^и^ является мак-
146

симальной (полное несоответствие условий испытаний). При
этом, учитывая, что рассматривается второй этап, проведенный
в натурных условиях, целесообразно вообще отказаться от учета
информации (пи d\). В этом случае нижняя граница
Вероятность P(B)=P(t^.x) является функцией распределе-
распределения для оценки x/n2=q:
подобно тому как выражение Bi(/г, Р,л:)= V b(n,P,k) является
функцией распределения для q = x/n [81]. Следовательно, если в
выражение для Р(В) подставить значения нижней границы для
?2у то согласно теореме о доверительных интервалах [81] будет
выполняться соотношение
Р (/ < ^)|р,-р, = 1 — Ya2 = Bi (Ля.^Рао, _
- Bi (ла, Р2Э, d2)] = Bi (ла, Pa,rfa)f
или l-Y22=l~Y2 + ^i2[Bi(^2,P12,rf2)-(l-Y2)],
откуда Y22 = Y2 —^12[В1(/г2,_Р12,^2) —A—Ya)]- C.37)
Здесь Y22 — доверительная вероятность, с которой находится с
учетом величин i?i2, яь di искомая нижняя граница Р2 довери-
доверительного интервала для Р2 на втором этапе.
При /?i2=0 получаем y22=Y2- Таким образом,
Аналогично находим
где Yi2 =
Приведенные соотношения справедливы при рассмотрении
двух серий испытаний (&=2), проведенных в различных услови-
условиях. Обобщая эти соотношения на случай &>2, находим, что на
k-м этапе границы доверительного интервала для вероятности Р^
147

успешного исхода в одном испытании определяются по фор-
формулам
где величины yik и уъь, вычисляются с учетом всей имеющейся ин-
информации п== (пи n2i. .., nk-i), d= (du d2y. .., dk-i) по заданным
значениям yi и у2.
Легко убедиться, что при независимости Hjh соотношения для
\\k и y2k принимают вид
ft-l г *—1
^V,]; C.4„
ft—I p k—I
ft—I p
П ^ Bi
^7
„ P,,....,,. *.) + ... +
C.42)
Здесь Rjk=P(Hjk) = 1 — Qjfe — вероятность того, что условия ис-
испытаний на /-м и k-м этапах идентичны;
...-ftiy==/a(/^i,2,... k\j> di,2,...*k\j> Y2)»
,...,ftly==:/l(/il,2»....ftl;» ^1,2,... ftly> Y2)'
..,*lytvr=y 2 1^1.2»...,ftly»v» ^l,2,...ifel;,vi Y2)»
2 2
/=1 /=1 /=1
ft ft ft
Определение величины Rjk=P(Hjk), входящей в приведенные
выше соотношения, представляет собой самостоятельную зада-
задачу. Упрощая решение, будем считать, что событие Hjk эквива-
эквивалентно следующему: выборки (tij, dj) и (п&, dk) получены в оди-
148

паковых условиях и вследствие этого образуют одну совокуп-
совокупность (njk = nj + nk9 djk=dj + dk), или Hjh=Aj[}Ak,
где Aj — событие, состоящее в извлечении (tij, dj) из (njk,
Ak — событие, состоящее в извлечении (nk, du) из (п$и>
Тогда /?ул=1—р2л, C.43)
где
/ djk \ fnjk — dji
п 1 \ dK ! \ rik — dk
При Rjk= 1 и Rjk=0f V /e[l, & — 1] из выражения (З. 40^ по-
получаем Pfc=Pi,2,...,fe, Pfc = Pl,2,...,ft И Pk = f2(nh, dk, Y2), Pfe =
=А(лл, <4, Yi) соответственно.
В случае, когда d\ = di= ... =^=0 из соотношений C. 43}
и C.40) находим/?#=!, V /е[1, Л— 1]; Pft=l и
Пример 3. Учет информации, полученной в условиях, отличных от на-
натурных.
Проведено ni = 10 наземных испытаний аппаратуры самолета, в кото-
которых отказы не зарегистрированы (di = 0). После этого аппаратура испыты
валась в л2=15 летных испытаниях, условия которых на земле полностью
воспроизвести не удается. Одно из летных испытаний было неуспешным-
(я?2=1). Требуется найти границы Р2 и Р2 доверительного интервала длт
вероятности Р успешного функционирования аппаратуры в одном испытании»
в летных условиях, если заданы односторонние доверительные вероятности
Yl=Y2==0,95.
Решение. 1. С помощью таблиц [63] вычисляем значения границ довери-
доверительного' интервала для Р, соответствующие данным летных испытаний и
определяемые без учета информации (пи d,\) = A0,0): P2o=fiA5; 1; 0,95) =
= 0,9966; Р20 = /2A5; 1; 0,95) =0,7206.
2. Находим вероятности Pi2, P12, Y12, Y22 и Ri2, входящие в соотношения
C. 37) — C. 39):
Pi2=/iB5; 1; 0,95) =0.9980; Pi2 = f2B5; 1; 0,95) =0,8239;
Yi2==0.84-BiA5; 0,9980; 1) +0,16 • 0,95=0,98;
Y22==l_[O,84-BiA5; 0,8239; -1) +0,16 • 0,05]=0,77. _
3 Интерполируя, определяем значения _Р2=/2( 15; 1; 0; О,77)=0,762; Р2 =
=fi('16; 1; 0; 0,98) =0,9980.
В данном случае учет информации (/ii,__di) привел к некоторому суже-
сужению доверительного интервала для Р: [Р2, P2]d[P2o, P20].
149

3. 5.1. Модели испытаний с доработками
В ряде работ [4, 15, 53] исследовался следующий вопрос. Про-
Проводятся п испытаний, в процессе которых осуществляются дора-
'ботки. Требуется найти оценки (точечные, интервальные) для
вероятности Рп успешного исхода при п-и испытании системы с
учетом того, что величины Рь Р2,..., Pn-i (Pi — вероятность ус-
успеха в i-м испытании, при /=1, п— 1) могут отличаться от Р„
и между собой. Для этой цели в работе [15] предлагается интуи-
интуитивное рекуррентное соотношение Pn = a + 6Pn-i, в котором а и
b — коэффициенты, подлежащие оцениванию. В работе [53] пред-
предложены модели, основанные на иных представлениях:
N
В работе [2] предложена триномиальная модель, согласно ко-
которой
pk=i-q0-qk-
Здесь Р/; — оценка вероятности успешного исхода
при одном испытании системы на
k-и стадии отработки;
пи а,2, А\ с\ ам-i —коэффициенты, определяемые по ста-
статистическим данным методом макси-
максимального правдоподобия;
k
<70 = ^ dojn — оценка вероятности наступления отка-
зов, причины возникновения которых
не выяснены;
doi — число таких отказов на /-й стадии от-
отработки;
п — общее число испытаний;
qh — оценка вероятностей отказов с выяс-
выясненной причиной.
Наиболее приемлемой из приведенных является триномиаль-
триномиальная модель, поскольку предположение о том, что доработки вы-
вызывают изменение надежности согласно заведомо определенно-
определенному функциональному соотношению, является несколько искусст-
искусственным. Однако метод, данный в работе [5], основан на операции
перегруппирования данных по этапам и достаточно условном
разделении всех отказов на две группы: с выясненной и невыяс-
невыясненной причинами. Это нарушает «этапность» исходной модели
и содержит элементы произвола в формировании исходных дан-
данных.
В связи с изложенным, рассмотрим следующую модель из-
изменения границ доверительного интервала для показателя на-
Л50

дежности. Пусть проведены испытания, в процессе которых осу-
осуществлялись доработки. Эти испытания подразделяются на
k серий. Внутри каждой из серий (пг испытаний при 1=1, к) до-
доработки не проводились и вследствие этого вероятность Р успеш-
успешного исхода была постоянной, одинаковой в каждом испытании.
Серия заканчивается либо после проведения заранее назначен-
назначенного числа испытаний, либо после обнаружения отказа (отка-
(отказов), и следующая серия продолжается в общем случае уже с
измененным значением Р. Положим вначале k = 2. Первая серия
(aii испытаний) закончилась d\ отказами. После ее окончания
принято решение о проведении доработки. Доработанная систе-
система прошла вторую серию (щ. испытаний), в которой были заре-
зарегистрированы d2 отказов. Однозначного заключения о том, что
доработка изменила показатель надежности системы (гипоте-
(гипотеза Я12) во всех случаях составить, очевидно, нельзя. В общем
случае это можво утверждать лишь с некоторой вероятностью
1 —^?i2^1. В частном случае, когда /?i2=0, изменение происхо-
происходит однозначно.
Нетрудно заметить здесь аналогию с рассмотренной выше за-
задачей. Действительно, выше и здесь речь идет об испытаниях с
переменной (в различных сериях) вероятностью Р успешного-
исхода в одном испытании системы. Источники изменения Р
различны (выше — это изменение условий испытаний «нагру-
«нагрузок», здесь — изменение свойств системы «прочности»), но длят
рассматриваемой модели важен лишь сам факт изменения. По-
Поэтому приведенные выше соотношения C. 37) — C. 43) могут
быть применены и здесь без каких-либо изменений.
Другая модель — следующая. Проводятся п испытаний систе-
системы по биномиальной схеме. Вероятность успешного исхода в-
одном испытании равна Р. Каждая из систем снабжена восста-
восстанавливающим органом (ВО), который при возникновении отказа
в процессе испытания осуществляет доработку системы. Дора-
Доработка производится в том случае, когда возникший отказ (собы-
(событие А) попадает в перечень Q отказов, устраняемых с помощью
ВО. Величину Р(АаЯ)=Рв назовем вероятностью проведения
доработки или вероятностью включения ВО при возникновении
отказа. После доработки система заканчивает испытание успеш-
успешно с вероятностью Р*. Тогда согласно выражению C. 10)
где Р' — вероятность успешного исхода при одном испытании^
определяемая с учетом доработки в процессе испытаний; Рп =
= РВР*. Границы доверительного интервала для Р' найдем из
соотношения C.14), считая известным РП = РВР*,
151

где P=/2(az, d, Y2); P = fi(n, d, Yi) —значения границ для Р без
учета доработок q = I — Р; q= I — P.
В такой схеме испытаний (в отличие от предыдущей) дора-
доработки могут только повысить значения границ Р' и Р' довери-
доверительного интервала для Р, что вполне оправдано самим построе-
построением схемы.
3.6. ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ТРЕБОВАНИЙ К ПОКАЗАТЕЛЮ НАДЕЖНОСТИ
ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ИСПЫТАНИЙ
Одной из наиболее важных задач, возникающих в теории и
практике надежности, является создание рациональных методов
подтверждения требований по надежности. Такие задачи возни-
возникают при отработке системы, когда требуется принять решение о
возможности перехода к ее испытанию в составе более крупной
системы или о возможности окончания отработки и начала серий-
серийного изготовления. Не менее часто они возникают и при серий-
серийном производстве, когда требуется установить степень готовности
предприятия к выпуску серийной продукции на основании дан-
данных испытаний установочной партии или когда через определен-
определенные интервалы времени производства требуется оценить степень
•соответствия выпускаемой продукции требованиям технической
документации с учетом имеющихся данных по эксплуатации и
т. д. Во всех этих случаях задача подтверждения требований к
показателю надежности неразрывно связана с задачей учета
имеющейся информации. Рассмотрим некоторые модели под-
подтверждения требований к показателю надежности системы в по-
последовательности их усложнения и приближения к реальной си-
ситуации.
3.6.1. Вероятностная модель подтверждения
требований к показателю надежности
Пусть система представляет собой последовательное или па-
параллельное соединение N элементов, условия 'возникновения от-
отказов которых независимы. Показатель надежности системы
N N
Р =П р/ или Р= 1 — П Я1 [здесь Рг- = Р(Лг-) — вероятность
/=1 /=i
безотказной работы /-го элемента; ^г= 1—Р*; Л* —событие,
состоящее в успешном функционировании /-го элемента. Зада-
Задано такое значение Рт, что при Р>РТ система считается прием-
приемлемой, а при Р<РТ — неприемлемой.
Пусть методы определения показателей надежности позволя-
позволяют найти вероятности Р* (а не их оценки). Например, если Рг==
= P(/i>4), где /i и 4 — прочность i-ro элемента и действующая
на него нагрузка (tt и t2 — случайные величины), то при нор-
нормальном законе распределения /i и t2 с известными математи-
152

ческими ожиданиями и дисперсиями (а не их оценками) соглас-
согласно выражению B. 55) получаем значение вероятности Pi = F(hi).
Тогда при ограничении Р>РТ можно оптимизировать некоторую»
целевую функцию (например, функцию затрат, временную функ-
функцию или функцию риска) и, основываясь на этом, найти такие
коэффициенты тц (/= 1, N), что
N 1_
Т1--= 1 И ПРИ Р/ > Рт /= РХ/ C* 44>
соотношение Р>РТ выполняется.
В этом случае контроль за выполнением требований состоит
в проверке условия C.44). Если оно выполняется, то данный
(/-й) элемент считается приемлемым, если не выполняется —
неприемлемым. Такой способ проверки выполнения требований
назовем вероятностным. В настоящее время этот способ
относится к числу наиболее изученных [48].
Если события Ах зависимы, то согласно соотношению B. 83)
в рассматриваемой схеме должны выполняться условия
(-П P/W>PT C 45)
(для последовательных систем) и
(для параллельных систем). Используя эти условия, можно по-
получить на основе упомянутых методов уточненные требования к
показателям Рг-. Так, при AicnA2,. . ., AiCiAN в выражении C. 45)
коэффициент /Gv=l и Р=РШ, где Pm=minPf.. Тогда вместо ус-
l<i<N
ловия C. 44) для последовательной системы получаем
Р,>РГ. = РГ, C.46)
т. е. требования к показателю надежности системы и к показа-
показателю надежности ее любого /-го элемента совпадают. Понятно,
что физически это в данном случае вполне оправдано. Пусть
теперь Рт достаточно близко к единице, а требования по надеж-
надежности к каждому элементу могут быть одинаковыми. Тогда из
условия C. 45) находим, что приближенно должно выполняться
соотношение
При Kn=1 из соотношения C.47) следует C.46); при KN = 0,
что соответствует независимости Л?- при /=1, N, из соотноше-
15а

ния C.47) получаем Pr.~ 1 — A — PrO7 ~pf • Последний ре-
результат совпадает с условием C.44) при xi = X2 = ••• = х#.
При достаточно высоких требованиях к показателю надежно-
надежности системы, больших N и /Gv<l, величины Рт. могут оказать-
оказаться весьма близкими к единице. Однако в связи со значитель-
значительными запасами прочности, характерными, как правило, для ме-
механических систем, и высоким порядком малости характеристик
электронных систем X необходимость выполнения условий
Рг>РТ/ при определении показателя надежности Рг по расчет-
расчетным и справочным данным в ряде случаев не вызывает серьез-
серьезных затруднений. Проверкой выполнения этих условий завер-
завершается процедура контроля надежности при определении ее по-
показателей по указанным данным.
Попытки использовать вероятностную модель подтверждения
надежности в условиях, отличающихся от изложенных, могут
привести к существенным погрешностям. Пусть Kn = 0 (элемен-
(элементы независимы); Л^= 100; Рт = 0,90 и xi='x2= . . . =kn. Тогда
1
согласно выражению C.44) величина РТ/=0,90100 ^0,999 явля-
является требуемым значением показателя Рг надежности i-ro эле-
элемента. Пусть далее в отличие от изложенного показатель Рг- не-
неизвестен, но оценивается по опытным данным, на основании кото-
которых могут быть найдены оценка Рг=1 —diftii и нижняя граница
Pi = f2((ni, di, у2) доверительного интервала для вероятности Р?-
(Здесь rti — число испытаний /-го элемента; di — число отказов
в них). В качестве условия выполнения требований Рг>Рт. к
показателю надежности i-ro элемента системы принято соотно-
соотношение A.160): Рг^0,999 при заданном значении у = 0,95. Со-
Согласно выражению A. 174) необходимый для проверки выпол-
выполнения такого условия объем безотказных испытаний элемента
может быть определен как ni"^log(l—у)/'°&Рт. ~3000. Рас-
Рассмотрим теперь систему в целом. Пусть она испытывается в пол-
полном элементном составе, а в качестве условия выполнения тре-
требования к ней по надежности Р>РТ принято выражение
A. 160): Р^РТ, где Р — нижняя граница доверительного интер-
интервала для Р. При этом сохранены те же значения Рт и у. Тогда
необходимый объем безотказных испытаний системы (и, следо-
следовательно, ее любого элемента) равен /z=ttz- = log0,05/log0,10=
= 29. Таким образом, налицо расхождение чисел испытаний
примерно в 100 раз при одних и тех же исходных требованиях
к системе. Рассмотренный пример показывает, что если исполь-
использовать принцип «дробления», выражающийся в виде C.44), то
должен быть предусмотрен «смягчающий» принцип «дробления»
односторонней доверительной вероятности у, задаваемой для
системы. Возможен и другой путь: сохранение значения одно-
154

сторонней доверительной вероятности, одинаковой для системы
и для 1-го ее элемента, но видоизменение принципа «дробле-
«дробления» Рт.
3.6.2. Модели подтверждения надежности
по результатам испытаний
Для целей настоящего рассмотрения представим показатель
надежности системы в виде Pj^^PtP^ где Pi= 1 — P(Ci); P2=
= 1—P(l)=P(C2|Ci); Cid/?; С2с:У?; R — выборочное прост-
пространство исходов испытаний; С\ — множество состояний, приво-
приводящих к отказу, охватываемое расчетными схемами (моделями)
при определении показателей надежности на этапе проектиро-
проектирования по расчетным, экспериментальным и справочным данным;
С2— множество состояний, приводящих к отказу, неучитывае-
неучитываемое при определении показателей надежности на этапе проекти-
проектирования; Pi и Р2 — (вероятности невозникновения событий С\
и С2. Ограничимся исследованием последовательных систем, со-
состоящих из N элементов, условия наступления отказов которых
N
независимы. Для таких систем Р = ПР;, где Р* — вероятность
успешного функционирования /-го элемента.
При определении показателей Рг- надежности на этапе про-
проектирования учитываются отказы из множества С±. После изго-
изготовления опытных образцов систем в процессе их^ отработки на-
начинают выявляться отказы, принадлежащие к С2, обусловлен-
обусловленные влиянием неучитываемых при проведении расчетных работ
дополнительных нагрузок, технологических факторов и т. д.
Вследствие ограниченного объема испытаний при отработке и
при высоких значениях Pi отказы, принадлежащие к Си могут
не проявляться (например, среднее число испытаний до наступ-
наступления одного отказа при Pi = 0,999 составляет величину пж
^ 1000), а все зарегистрированные отказы — принадлежать к
С2. В этом случае легко убедиться, что получаемые по результа-
результатам испытаний оценки вероятности Р2 совпадают с оценками для
Р. В отличие от методов определения Pi расчет оценки вероят-
вероятности Р2 производится на основе качественной информации
(«успех», «отказ»), а метод задания требований к показателям
надежности элементов системы, рассматриваемой совместно с
задачей подтверждения надежности, может отличаться от веро-
вероятностного. Изложенное позволяет на этапе испытаний для реше-
решения задач подтверждения надежности использовать описанные
выше одномерные и многомерные биномиальные модели.
N
Пусть требования к показателю Р = ПРг надежности систе-
мы заданы в виде совокупности величин (Рт, у). В качестве
155

условия контроля за выполнением этих требований в соответст-
соответствии с п. 2. 3 системы выбрано соотношение
где Р — нижняя граница доверительного интервала для Р при
односторонней доверительной вероятности у. Тогда, как непо-
непосредственно следует из теоремы 6, условием контроля за выпол-
выполнением требований к показателю Р* надежности любого /-го эле-
элемента, входящего в систему, при безотказных его испытаниях
{для любого N) является
rj •> рт или ni > по— —:—~ >
где Рг- — нижняя граница доверительного интервала для Рг- при
значении доверительной вероятности у (той же, что и задана на
систему в целом); rti — планируемое число безотказных испыта-
испытаний 1-го элемента.
В этом случае необходимость в «дроблении» Рт с помощью
соотношений вида C. 44) не возникает. Характерно также, что
планируемое число испытаний П{ не зависит от числа N элемен-
элементов в системе и определяется требованиями (Рт, у) к системе в
целом.
Остановимся теперь на случае, когда отказы элементов при
планировании испытаний допускаются. Пусть вначале допуска-
допускаются отказы только одного (условно первого) элемента. Тогда
из выражения C.31) находим условие, при котором соотноше-
соотношение Р^РТ выполняется:
при i=%N, C.48)
где по — корень уравнения V^i=hinu du у)
di — допустимое число отказов /-го элемента.
Поскольку доказательство соотношения C.31) выше не при-
приведено, соотношения C.48) можно рассматривать как предпо-
предположительные. Из выражения C.30) следует более «осторожная >
процедура испытаний:
tii >#o при /= 1,7V,
согласно которой при наличии отказа одной системы число ис-
испытаний ее увеличивается (как и в соотношении C.48)], но,
кроме того, в отличие от последнего увеличивается и число без-
безотказных испытаний всех остальных элементов.
Для планирования объема испытаний элементов системы мо-
может быть использовано также следующее обстоятельство. При
одном и том же числе п испытаний каждого элемента, п =
156

= (д, /?,..., п), tii = n при /=1, Af, существует определенный
набор векторов отказов dj = (d\y d2, • . •, dN)j, где /=1, &, при ко-
которых достигается одно и то же значение нижней границы Р для
показателя Р надежности системы. Так при N=39 П1 = п2=пз =
= 29, у = 0,90 наборы d{= E, 0, 0) и d2= B, 2, 2) соответствуют
одному и тому же значению ^ = 0,70. Такие серии испытаний на-
назовем эквивалентными. В общем случае эквивалентные серии —
это совокупность D пар векторов п= (пи п-2, • -., Kn) и d=
= (d\y do,.. ., dN), определяющих значение Р^РТ. Из теоремы 5
-*¦
следует, что для фиксированного Р компоненты вектора п при-
принимают наименьшие значения при нулевом векторе отказов [d =
= @, 0,..., 0)—случай безотказных испытаний]. Поэтому, если
критерием эффективности отработки является
inlС(n,d) = ini 2 С,./*,,
(n,7)?D i-1
где C( •) — затраты на отработку системы;
* Ci — затраты на испытание /-го элемента,
то наилучшей является стратегия подтверждения требований
{Рт, у) при безотказных испытаниях элементов.
В случае если отказы допускаются, из множества D нужно
выбрать ту пару (п, d) векторов, которая доставляет inf С. Вме-
Вместо С(-) может быть использована и другая целевая функция
(время отработки, количество получаемой информации и др.)-
Методика построения множества D эквивалентных серий еще не
существует. Однако теорема 5 позволяет построить «гарантиро-
«гарантированное» множество D'czD такое, что V (/г, d)^D' условие
РР заведомо выполняется. Действительно, из условия
N
П/ /4
1
. — - ^ ... \ п •
C.49)
легко можно найти различные пары (д, 5), удовлетворяющие
условию C. 49) и образующие при данных Рт и у множество D'.
Согласно теореме 4 P^P(i) и значит, если выбрать ту или иную
пару (/2, d)^D\ то условие _Р>РТ будет заведомо выполнено.
Остановимся дополнительно на задаче планирования безот-
безотказных испытаний каждого из N элементов системы. Пусть каж-
157

дый (i-и) элемент системы к моменту планирования испытаний
прошел ki этапов испытаний с доработками после каждого этапа
(в дальнейшем вместо &* будем писать k). Перед последней
(планируемой) серией пк безотказных испытаний также проведе-
проведена доработка. Тогда из выражения C. 40) находим
Следовательно, в выражении C. 48) величина у может быть
уточнена по формуле C.42), где следует положить Y = Y2fe dk=-
= 0. При этом
1^^ , C.50)
a tik находится методом итераций, так как у2к в соотношении
C. 50) зависит от щ. В случае, когда на всех этапах отработки
отказов не наблюдалось, из выражений C.42) и C. 50) нахо-
находим
где символ « + » означает, что принимается во внимание только
неотрицательное значение разности чисел в скобках. Последний
результат вполне соответствует и интуитивным представле-
представлениям.
Пусть, наконец, вследствие проводимых доработок или по
другим причинам (см. 3. 2) оказалось, что показатель надежно-
надежности системы удовлетворяет соотношению Рн^Р'<1, в связи с
чем выполняются соотношения C. 13) и C. 14). Тогда функция
распределения случайной величины t—возможного числа отка-
отказов в п биномиальных испытаниях системы, будет иметь вид
P(t^.x) =В\(п, Р', х), где Р'— вероятность успешного исхода
системы с учетом «восстановления», т. е. P'eJPn, 1]. Отсюда для
отклонения «жесткой» нулевой гипотезы Яо= {Р'^РТ} при аль-
альтернативной гипотезе #={Р'>РТ} согласно выражению»
A. 160) имеем условие Р^РТ, где Р/ — нижняя граница дове-
доверительного интервала для Р/ при заданном значении доверитель-
доверительной вероятности у. Величина Рх может быть найдена как корень
уравнения Клоппера— Пирсона C.9): 1— ^=Bi(n, P', х), где
х — число отказов, отмеченное в п испытаниях системы, прово-
проводимых вместе с источником восстановления. Из соотношения
C. 14) следует, что условие Р'^РТ приводит к следующему:
Р'=рн+ A — Рн)Р^рт или ""
158

где Р — значение нижней границы доверительного интервала
для показателя надежности системы при данном уу определяе-
определяемое по результатам испытаний без источника восстановления.
Отсюда следует, что если испытания проводятся без источника
восстановления, но известно, что при работе системы в натурных
условиях он будет подключен к системе, в результате чего обес-
обеспечивается выполнение условия Р'е[Рн, 1], то граничное значе-
значение Рт для J? заменяется на Р^.<РТ. В результате выражение
C. 51) запишется в виде
а планируемый объем безотказных испытаний каждого из N эле-
элементов системы будет определяться по формуле
Л>й = logA~Y) C.52)
log[(PT-PH)/(l-PH)]
С ростом Р„ величина fi0 убывает и становится равной нулю при
Р„ = Рт.
Пример 3.4. Подтверждение требований к надежности элемента, входя-
входящего в систему.
n
Требования к показателю Р = ПРг системы заданы в виде совокупности
величин Рт=0,90; у=0>95. Число N элементов, входящих в систему, равно
100. Известно, что 0,7<Р<1. Требуется найти необходимый объем безотказ-
безотказных испытаний каждого из 7V = 100 элементов.
Решение. Из формулы C. 52) находим
log 0,05 _7
1 ^ /0,90 — 0,70\
1о2 ( 1-0,70 J
Ввиду простоты соотношения C. 52) было бы удобным выра-
выразить более сложное уравнение C.50) в форме C.52), где число
Рн — некоторая функция Р^.
Рассмотрим теперь ситуацию, описанную в начале гл. III,
когда весь процесс отработки делится на два периода: поиско-
поисковый период и период подтверждения требований по надежности
в целях принятия решения о переходе. В первом периоде, когда
могут проводиться доработки, целесообразно использовать мо-
модели с переменной вероятностью Р успешного исхода испытания
системы. Во втором периоде рассматривается уже установивший-
установившийся вариант конструкции системы и технологического процесса.
Это позволяет использовать здесь только что рассмотренные
модели биномиального типа с постоянной вероятностью Р. Пусть
первый период отработки системы, состоящей из независимых
элементов, закончен и ставится вопрос о переходе (к серийному
159

изготовлению или испытанию в составе более сложной системы
и т. д.).
Остановимся на такой стратагеме подтверждения надежности,
когда оно осуществляется только в случае безотказного прове-
проведения последней серии испытаний каждого из jV элементов. По-
Помимо чисто разумного содержания, такая стратагема удобна тем,
что она основана, как отмечалось, на минимально возможном
числе испытаний.
Планируемое число необходимых безотказных испытаний
каждого из N элементов системы согласно уравнениям C. 50) и
C. 52) зависит при задании требований к системе в виде (Рт, у)
от величин Рт, y и Рн или имеющихся результатов отработки.
При этом этап проектирования, на котором находятся довери-
доверительные интервалы [Рг-, Рг] для Рг-, может рассматриваться в со-
соотношении C. 50) как один из ki этапов отработки с числом ис-
испытаний Пц и числом отказов du определяемых из приближенных
соотношений _Р*=/2(ян, diU у2); Р»=Л (/г«, du, Yi)-
В результате получают искомое значение щ — необходимый
объем безотказных испытаний каждого из N элементов, входя-
входящих в систему. После проведения испытаний применяется поло-
положительное решение о соответствии элементов и системы требо-
требованиям по надежности, если все запланированные последние
серии испытаний оказались успешными. В противном случае
производится соответствующий пересчет величин y2h, и по фор-
формуле C. 52) назначаются последующие серии испытаний (после
проведения соответствующей доработки).
Выше рассмотрены методы подтверждения требований к на-
надежности на этапе отработки систем. Вполне очевидно, что эти
методы должны быть видоизменены%для случая, когда рассмат-
рассматривается задача контроля надежности на этапе серийного про-
производства. Действительно, на данном этапе нельзя рассчитывать
на тот же объем испытаний, который был использован при отра-
отработке. С другой стороны, не может идти речь о снижении тре-
требований (Рт, у), задаваемых на систему в целом. Наконец, если
воспользоваться информацией, полученной на этапе отработки,
то она может сделать критерии принятия решений нечувстви-
нечувствительными к наличию дефектных изделий в партиях элементов
системы. На первый взгляд не видно выхода из этого положе-
положения, однако может быть использована следующая процедура,
которую можно назвать процедурой со сменой нулевой гипо-
гипотезы Яо*
1. Пусть по данным отработки система допускается в серий-
серийное изготовление после отклонения жесткой «гипотезы недове-
недоверия» //0={P^;p^j и принятия альтернативной гипотезы
Н= {Р^>Р'т} на основе рассмотрения условия ужесточенного
контроля _Р>РТ'.
160

Тогда на этапе серийного производства точка зрения на изго-
изготавливаемую продукцию может быть изменена и в качестве ну-
нулевой (исходной) гипотезы принята гипотеза «доверия» Но=
= {Р^РТ} при Н= {Р<РТ}.
Согласно п. 1.2 условием принятия Яо является
Р>Р„ C.53)
где Р — верхняя граница доверительного интервала для пока-
показателя надежности системы в целом, при заданном значении
доверительной вероятности у.
Вполне очевидно, что
где Pi — верхняя граница для показателя Р надежности i-то эле-
элемента при значении односторонней доверительной вероятности у.
Следовательно, условие C.53) будет выполнено, если
i_
Р, > Pf. C. 54)
Последнее соотношение может служить ужесточенным пра-
правилом контроля надежности /-го элемента системы при Яо=
= {Р>РТ}, #={Р<РТ}.
В случае безотказных испытаний выборки п от партии, как
отмечалось, Р*=1. Следовательно, при Яю={Р^Рт} и безотказ-
безотказных испытаниях условие C. 54) выполняется при любом объеме п
выборки от партии. Этим часто пользуются на практике, выби-
выбирая для разрушающего контроля дорогостоящих систем не бо-
более одного изделия от партии.
2. При разладке производственного процесса или обнаруже-
обнаружении брака в процессе выпуска данной партии вполне логично
сменить нулевую гипотезу доверия на гипотезу недоверия. Тог-
Тогда правило контроля изменится и для системы в целом примет
вид р > р;.
При этом по формулам C. 50) или C. 52) следует рассчитать
объем выборки п\ 1-го элемента с учетом всей имеющейся ин-
информации. Ограниченность партии М приближенно можно
учесть по приведенной выше формуле п] = (М-1-\-пТ1)~1, где
tit —значение п{ с учетом того, что М<оо.
Заметим, что смысл величин P.J. и Рт различен: если Р^, —
браковочное значение, такое что при Р<Р^ система считается
негодной, то Рт — приемлемое значение, т. е. такое, что при
Р>Р система считается годной, поэтому в общем случае
312 161

Раздел 2
НАДЕЖНОСТЬ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Глава IV
ЗАДАЧИ ОЦЕНКИ И ПОКАЗАТЕЛИ
НАДЕЖНОСТИ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
4. 1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ НАДЕЖНОСТИ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Особенности ракетных двигателей как объектов оценивания
надежности определяются задачами и условиями применения,
особенностями их конструкции и характером протекающих в них
рабочих процессов. В настоящее время ракетные двигатели ши-
широко используются на ракетах различного назначения, а также
на космических аппаратах и других летательных аппаратах
Следствием этого является то, что в большинстве случаев ракет-
ракетные двигатели представляют собой невосстанавливаемые систе-
системы однократного применения. Так как отказ двигателя, как прави-
правило, означает невыполнение задачи полета ракеты или космиче-
космического аппарата, то требования к надежности двигателей могут
быть достаточно высокими. Особенностью ракетных двигателей
является и то, что эти двигатели в зависимости от их назначе-
назначения и условий применения могут значительно различаться как по
характеристикам рабочего процесса, так и по конструкции. Это
резко ограничивает объем представительных данных для опре-
определения и контроля надежности. В ряде случаев оказывается
вообще новозможным иметь представительную выборку, харак-
характеризуемую необходимым количеством испытаний одинаковых
двигателей в идентичных условиях. Это обстоятельство прояв-
проявляется особенно ярко на примере наиболее сложных двигателей
(например, ЖРД космических ракет-носителей), представляю-
представляющих собой уникальные системы индивидуального изготовления
и использования.
Как и ко всем элементам ракет и космических аппаратов,
к двигателям предъявляются высокие требования по массовым
характеристикам. Это заставляет конструкторов предельно сни-
снижать массу всех агрегатов, входящих в двигатели, и соответствен-
162

но с этим уменьшать запасы прочности их деталей, что вызывает
необходимость повышенного внимания к вопросам надежности.
Ракетные двигатели состоят из большого количества разно-
разнородных агрегатов и элементов, в которых протекают разнооб-
разнообразные физико-химические процессы. Из рассматриваемых типов
двигателей более сложным является жидкостный ракетный дви-
двигатель (рис. 4. 1). К его основным элементам относятся камера
двигателя, насосы, турбина, газогенератор, емкости с компонен-
компонентами топлива и сжатыми газами, трубопро-
трубопроводы, элементы автоматики и др. Обязатель-
Обязательным элементом любого ЖРД служит камера.
При сгорании топлива в камере и в процессе
истечения продуктов сгорания через сопло воз-
возникает сила тяги, оказывающая необходимое
воздействие на летательный аппарат, на кото-
котором установлен двигатель.
При работе двигателя его камера испыты-
испытывает сложное нагружение, вызываемое сов-
совместным действием давления газов и охлаж-
охлаждающей жидкости и неравномерным прогре-
прогревом конструкции. Поверхность стенки камеры,
соприкасающаяся с продуктами сгорания, мо-
может, кроме того, подвергаться эрозии под дей-
действием газового потока. В аналогичных усло-
условиях работают и генераторы газа для турбины
турбонасосного агрегата (ТНА).
Режимы работы насосов и турбины ТНА
являются так же очень напряженными. Многие
элементы ТНА находятся под высоким давле-
давлением. Так, давление компонентов топлива на
выходе из насосов даже превосходит давление
в камере и газогенераторе. К нагрузкам, вызы-
вызываемым давлением, добавляются нагрузки,
возникающие вследствие действия центробежных сил, которые
могут достигать большой величины, так как частота вращения
ротора ТНА современных ЖРД может быть очень высокой — до
60 000 об/мин и более. На лопатки турбины воздействуют газы,
температура которых достигает предельных по прочности мате-
материала лопаток величин. В качестве компонентов топлива могут
использоваться либо сильно агрессивные жидкости типа кислот,
либо сжиженные газы, что осложняет создание надежно дейст-
действующих уплотнений и т. п. Под большим давлением и в условиях
воздействия указанных неблагоприятных для конструкции ком-
компонентов топлива работают трубопроводы и элементы автома-
автоматики двигателя.
Таким образом, основные агрегаты ЖРД в процессе его ра-
работы испытывают воздействие больших давлений, высоких тем-
температур, значительных центробежных сил, эрозии, вызываемой
Рис. 4 1. Схема
ЖРД:
КД—камера двигате-
двигателя, Н—насос, К—
клапан, ГГ—газоге-
ГГ—газогенератор, НД—устрой-
НД—устройство для наддува ба-
баков, Т—турбина
163

газовым потоком, перемещающимся с большой скоростью, кор-
коррозии от агрессивных компонентов топлива. При этом ряд из
перечисленных воздействий оказывает влияние на многие эле-
элементы ЖРД одновременно, а в периоды запуска или выключения
двигателя и при изменении режима его работы, они являются
типично нестационарными.
Основными элементами ракетных двигателей твердого топли-
топлива (РДТТ) являются: корпус, включающий цилиндрическую
7 /
Рис. 4.2. Схема РДТТ:
/—корпус, 2—ТЗП, 3—сопловой блок; 4—заряд, 5—скреп-
5—скрепляющий слой; 6—воспламенительное устройство, 7—бро
нировка
часть с днищами и теплозащитным покрытием (ТЗП), заряд с
элементами теплозащиты и крепления в корпусе, сопловой блок
и воспламенительное устройство (рис. 4. 2).
Многие из твердых современных топлив, используемых и
РДТТ [26], содержат значительный процент металлических до-
добавок (алюминий и др.), в результате чего в процессе функцио-
функционирования двигателя образуется двухфазный поток продуктоз
сгорания, обладающий повышенным эрозионным воздействием
на теплозащитное покрытие корпуса и элементы соплового бло-
блока. В период эксплуатации двигателя в составе ракеты (хране-
(хранение, транспортировка) твердотопливный заряд может накапли-
накапливать повреждения [57]. В результате этого возможно возникнове-
возникновение трещин, раковин в блоке топлива и отслоение его от
поверхности корпуса.
Основными нагрузками, действующими на РДТТ, являются:
внутреннее давление, эрозионное воздействие и нагрев, осевые
перегрузки, транспортировочные и технологические нагрузки
Упомянутые нагрузки являются одним из главных источников
возникновения отказа.
Под отказом двигателя понимается такое его состояние, при
котором вследствие разрушения конструкции или отклонения ха-
характеристик рабочего процесса двигатель не выполнит возложен-
возложенных на него задач в составе системы (ракеты, космического ап-
аппарата).
164-

Для решения некоторых задач и, ib частности, для системати-
систематизации и упорядочивания информации о работе двигателя может
быть введена классификация отказов. Такая классификация воз-
возможна по следующим наиболее типовым признакам.
1. По источнику возникновения:
конструктивные отказы, технологические, эксплуатационные.
Эти группы отказов обуславливаются причинами соответст-
соответственно конструктивного, технологического и эксплуатационного
характера. Например, отказы ракет «Тор», «Атлас» и «Ти-
«Титан» распределены по этим группам так {21]: из-за ошибок про-
проектирования 30%, из-за ошибок производства 30% и нарушения
правил эксплуатации 40%.
Отказы конструктивного характера вызываются тем, что в
применяемых при проектировании современных методах расчета
элементов ракетных двигателей часто не учитываются все слу-
случаи нагружения, особенно на переходных режимах, возможная
несовместимость режимов работы элементов и т. д.
Технологические отказы часто являются следствием недоста-
недостаточной технологичности конструкции (и здесь их трудно отличить
от конструктивных), недостаточно эффективного производствен-
производственного контроля, незамеченных дефектов исходных материалов и
конструкции.
Эксплуатационные отказы вызываются воздействием эксплу-
эксплуатационных нагрузок (вибраций, ударов), коррозионного дейст-
действия компонентов топлива и др.
2. По степени влияния на выполнение задачи:
отказы; неисправности.
Отказы двигателя сопровождаются выходом ракеты из строя;
так, к отказам РДТТ можно отнести взрыв двигателя на траек-
траектории вследствие растрескивания заряда, разрушение корпуса
и т. д. Неисправности могут не выводить ракету из строя: напри-
например, возникновение трещин во вставках сопла в конце работы
двигателя, отклонение секундного расхода и других его харак-
характеристик снижают лишь вероятность выполнения ракетной зада-
задачи, поставленной перед пуском.
Такое деление множества всех нежелательных событий на от-
отказы (сильная форма проявления неисправностей) и неисправ-
неисправности в ряде случаев облегчает рассмотрение задачи, но все же
является достаточно условным.
Например, такая неисправность как растрескивание или вы-
выброс вставки сопла в зависимости от времени возникновения
может классифицироваться как отказ и как неисправность.
3. По внешнему виду проявления:
— внезапные (являющиеся следствием быстропротекаюших
процессов, таких как, например, кратковременный выброс дав-
давления) ;
165

— постепенные (являющиеся следствием изнашивающего
воздействия: эрозионный унос материалов, накопление повреж-
повреждений и т. д.).
4. По способу учета при определении надежности:
— отказы (множество состояний С\), учитываемые расчет-
расчетными схемами типа моделей непревышения (см. 2.3);
— отказы (множество состояний Сг), неучитываемые упомя-
упомянутыми моделями.
4.1.1. Задачи, решаемые при оценке
и обеспечении надежности ракетных двигателей
Как отмечалось выше, невосстанавливаемые системы, к кото-
которым относятся ЖРД и РДТТ, в процессе своего «жизненного»
цикла проходят несколько этапов: проектирование, отработка,,
серийное производство и эксплуатация. На разных этапах этого-
цикла возникают специфические задачи надежности. Приведем
некоторые из этих задач.
На этапе проектирования
Формирование показателей надежности двигателя и его
элементов, а также требований к этим показателям, осуществляе-
осуществляемое в процессе выбора принципиальной конструктивной схемы;
— конструирование элементов двигателя и выбор их основ-
основных проектных характеристик (запасов прочности, запасов по
толщинам теплозащитных покрытий, запасов по ресурсу и т. д.)„
обеспечивающих выполнение требований по надежности;
— определение и контроль надежности двигателя по проект-
проектным материалам;
— разработка документации на изготовление опытных натур-
натурных образцов двигателей и программы испытаний с учетом тре-
требуемой надежности.
На этапе отработки
Уточнение на основе экспериментальных данных проект-
проектных характеристик и характеристик технологического процесса*
обеспечивающих выполнение требований к показателю надеж-
надежности;
— выявление факторов, неучитываемых при проектировании^
определение и контроль надежности двигателя с учетом их воз-
воздействия;
— уточнение принципиальной и конструктивной схемы двига-
двигателя по результатам испытаний и оценка его надежности;
— корректировка программ поэлементных испытаний и испы-
испытаний двигателя в целом. Составление программ завершающих
демонстрационных наземных испытаний для подтверждения за-
заданных требований к показателю надежности и проведения лет-
летных испытаний в составе ракеты.
166

На этапе серийного производства и эксплуатации
Завершение разработки системы допусков на контролируе-
контролируемые характеристики и критериев соответствия характеристик на-
надежности партии двигателей заданным;
— определение объема установочной партии с целью под-
подтверждения возможности выпуска предприятием двигателей с
заданными характеристиками надежности;
— определение объема и правил комплектации серийной пар-
партии, а также выборки из нее, обеспечивающих наряду с другими
техническими мероприятиями и методами контроля выполнение
требований по надежности;
— определение фактического проявления эксплуатационных
факторов (транспортировочные нагрузки, интенсивность корро-
коррозии материалов, расслоения, отслоения, растрескивание твердых
топлив и т. д.) с целью уточнения характеристик надежности в
различные моменты времени эксплуатации, методов контроля
технического состояния и накопления материалов для последу-
последующего проектирования.
Рассмотрим некоторые из перечисленных задач.
4.2. ПОКАЗАТЕЛЬ НАДЕЖНОСТИ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Выше уже отмечалось, что большинство современных ракет-
ракетных двигателей относится к невосстанавливаемым системам.
Отсюда следует, что в качестве показателя надежности для этих
двигателей должна быть принята вероятность P{tki тр) безотказ-
безотказной работы за время тр от начала запуска до момента выключе-
выключения, вычисляемая с учетом отрезка времени [0, 4] от момента
изготовления двигателя до момента его включения.
Отказ двигателя (событие А) осуществляется в результате
появления одного или нескольких из составляющих его событий
(неисправностей) Аи таких как механическое разрушение, про-
прогар конструкции, выход за пределы допуска характеристик ра-
рабочего процесса двигателя и свойств (конструкционных материа-
материалов и т. д. Под неисправностью здесь понимается любое наруше-
нарушение условий, оговоренных в технической документации [60].
В соответствии с п. 2.2 в качестве показателя надежности дви-
двигателя может быть принято выражение
1)"-Ч1,2,...Л,2,...„ D.1)
где k — число событий Л* (число рассматриваемых неисправ-
неисправностей); qi = P(Ai);
r\u r\ij,... — коэффициенты влияния;
Аг — событие, состоящее в возникновении i-й неисправно-
167

сти, которая в зависимости от места и времени появ-
появления может привести или не привести к отказу.
Если под событием В понимать выполнение системой (раке-
(ракетой) возложенных на нее задач (см. 2. 2), то
Ло
Здесь Ао = П А( — событие, состоящее в том, что ни одна из.
i = \
No неисправностей ракеты не возникает.
В некоторых случаях неисправность влияет только на разру-
разрушение или неразрушение конструкции двигателя, т. е. на собы-
событие Ап (например, возникновение дефектов в материале корпу-
корпуса) и тогда
__{ PjB^PjA^Ai) _{ P(Bi)P(An\At)
Р(В1\АО)Р(АП\АО) Р(В1\А0)Р(Аи\А0) '
если BiO АП=В, а события Si и Ап предполагаются независи-
независимыми.
Отсюда следует приближенное соотношение
D.3)
(л
При этом член q^i в выражении D. 1) записывается в виде
Если все неисправности таковы, что каждая из них приводит
к срыву задачи, то г\{=\, V /е[1, k] и, следовательно, согласна
соотношению D. 1)
и Р^
когда события А{ независимы. В общем случае О^г]г, r\ij,. .., ^1.
Таким образом, для рассмотрения задачи по оценке надеж-
надежности двигателя как элемента ракеты на основе использования
показателя D. 1) необходимо следующее:
— из условий функционирования двигателя выявить основ-
основные неисправности (события Л"*), влияющие на выполнение за-
задачи ракетой;
— получить соотношения для расчета величин
168

— найти коэффициенты ци у\ц, . • . путем рассмотрения и мо-
моделирования уравнений движения центра массы ракеты [9], а
также анализа соотношений расчета элементов двигателя на
прочность, устойчивость и т. д. [см. 2. 2 и соотношение D.3)].
Показатель надежности двигателя, определяемый соотноше-
соотношением D. 1), может быть рассчитан на основе поэлементного ана-
анализа путем применения расчетных схем типа моделей непревы-
непревышения (см. 2.3), а также по данным ресурсных и натурных ис-
испытаний. Применение условий моделей непревышения для рас-
расчета показателя надежности вначале покажем на частном при-
примере.
4. 2.1. Определение вероятности неразрушения оболочки
Оболочка находится под действием внутреннего давления р и
сжимающей силы N, действующей вдоль продольной оси х. Тре-
Требуется определить вероятность неразрушения оболочки.
В общем случае р и N являются функциями координат х, у, z
и времени т, т. е.
ря= рк(х, у, z, т); Nt[ = NK (х, у, z, х) D. 4)
— четырехмерные случайные поля.
Несущая способность оболочки /?р и N$ по отношению к дей-
действию /?д и Л^д также является функцией х, у, z и т, т. е. рр=
= рр(х, у, z, т; Nv=?Nv(x, у, z, х)> поскольку оболочка по
длине х состоит из отдельных элементов (днища, обечайки и
др.), скрепленных между собой. Кроме того, она может быть
многослойной и обладать различными свойствами по слоям. Все
указанные свойства могут изменяться во времени.
Несущая способность оболочки /?р и Nv по отношению к воз-
воздействию /7Д и Л^д зависит от производственных дефектов, про-
проявляющихся в виде трещин, царапин и других нарушений сплош-
сплошности материала. Обозначим
Р? = P*v(*> У» г>t)' N?=zNl(*> У>z*х)
•если дефекты имеют место и если дефекты отсутствуют соот-
соответственно. Значения величин /?р и iVp определяются за время
те[0, тр], где тр — время воздействия нагрузки.
Кроме того, хе[0, х0], #о[0, уо], 2<=![0, z0].
Таким образом, условиями неразрушения оболочки являются
»1 = РР-Рд>0', u2 = N?-N}l>0. D.5)
Количественной мерой надежности конструкции является ве-
вероятность Р выполнения условий непревышения D. 5) с учетом
«х взаимного влияния. Последнее проявляется в том, что с ро-
ростом избыточного давления рл выполнение условия ^i>0 стано-
169

вится затруднительным, в то же время увеличение рд приводит
к возрастанию несущей способности по устойчивости jVp, что об-
облегчает выполнение условия и2>0. В этом выражаются связь и
взаимное влияние предельных состояний через нагрузку. Кроме
того, первое и второе предельные состояния являются зависимы-
зависимыми и потому еще, что они связаны через механические свойства
материалов и геометрические размеры конструкции.
Указанная вероятность определяется в виде
Р = Р{И1>0,иа>0, V*<=[0,*0], y^[O,yo],z(E[O,zol te[0,tp]}.
Вычислить величину Р можно (см. 2.3), используя следующий
подход. На каждой координате (х, у, г, т) функций щ и и2 выби-
выбирается ряд дискретных точек, общее число которых равно N.
Значения и{ и и2 в 1-й точке являются случайными величинами
(далее будем применять общее обозначение этих величин щ при
f=l,W).
Правилом выбора количества точек на каждой координате
является следующее. Расстояния между точками выбираются
таким образом, чтобы с учетом точности исходных данных внут-
внутри выбранных интервалов случайные функции, соответствующие
рассматриваемой координате
и(х) = и(х, у0, г0, т0), а(у) = и(хОу у, г0, т0),
u(z) = u(xQ, y0J z, т0) и и(х)=и(х0, у0, г0, х)
могли быть аппроксимированы монотонными функциями. Точнее,
достаточно потребовать монотонности лишь на участках убыва-
убывания Ui и и2. При таком выборе точек, согласно выражению
B.87) получаем
П (П ) D.6)
где Р/ (/) (/>) „^?
c=N(N— 1)/2 — число членов в сумме ^ (•);
Qij—коэффициент корреляции между случай-
случайными величинами щ и и у,
Pm=minP/ — минимальное из значений Рг-;
1
8л- — поправка.
В первом приближении величиной sN можно пренебречь (см.
2. 2). При нормальном законе распределения щ
\(*/2)t F(hi); А,= -^, D.7)
170

где ui и Oi — среднее значение и среднее квадратическое откло-
отклонение случайной величины щ.
В выражение для Kn входят только те значения, в которых
К], например, Qi2, Q23, Q34. • • (но нельзя брать Q32, Q4 3,. •. ).
Величины hi и Qij находятся как для uu так и для и2. В пер-
первом случае
Рп1
D.8)
где гРр/Рл/, rp?jPjkprPplP?r rP{iPd, гРр/РдУ, гРруРд/ -коэффициенты
коррэляции между случайными величинами /7р; и /?д/; />Р;- и /?ду;
/'р/ и /V ^д« и ^д/; ^pf и ^д/' J°P/_H ^u-
Во втором случае «,- = 7VP,- — NAi;
D.9)
Где Г*Р1"*Г Г»р1»кГ Г^р^Р;; Г^д/^д;;
гдг .л^д;-; Гдг улгд/ — коэффициенты корреляции между случайными
величинами Nvl и
N
N
pi
и
У; NVJ и
; Nvj и NnJ; Npi и
и N
rJ;
__ Входящие в приведенные соотношения величины /7р/, /?д/, Л^Р/э
ЛГд/» аррР a/7.uo awp/, олгд/ и т. п. определяются с помощью выра-
выражений A.72)—A.80) на основе уравнений теории проектирова-
проектирования или по данным гидравлических, стендовых и летных испы-
испытаний.
Выражение D.6) приведено без учета производственных де-
дефектов.
171

Влияние производственных дефектов, как правило, сказы-
сказывается в том, что резко снижается несущая способность оболоч-
оболочки. При этом, обычно, с помощью критериев резко выделяющих-
выделяющихся наблюдений i[33] легко выделить два распределения, одно из
которых соответствует случаю, когда дефекты отсутствуют (или
их влияние на несущую способность не проявляется), а другое —
случаю, когда дефекты приводят к существенному с точки зрения
указанных критериев снижению несущей способности. В первом
случае условимся говорить «дефекты отсутствуют», во-втором, —
«дефекты имеют место». Таким образом, выражение для пока-
показателя надежности оболочки с учетом влияния производствен-
производственных дефектов может быть представлено в виде
-Р#)Р', D.10)
где Р* — вероятность невозникновения де-
дефектов при изготовлении оболочки;
,-» . N
р __ С f {uN) т\ dtti — вероятность выполнения условий
uN>0
и{>0 при /=1, N или uN =
= (щ9. . ., uN) >0 при отсутствии
дефектов (рассмотрена выше);
)ГИ«;=п р;+(р;-п p,W+-;
uN>0
— вероятность выполнения условий #!>0 в случае, когда
дефекты имеют место.
Несмотря на различие в конструктивном оформлении ЖРД и
РДТТ многие задачи надежности для этих двигателей являются
общими. Так, общее выражение для показателя надежности
двигателя D. 1) и методы определения его составляющих оди-
одинаковы.
Методы интервального оценивания и контроля за выполнени-
выполнением требований к показателю надежности D. 1) также одинако-
одинаковы. Они изложены в разд. 1.
В следующей главе рассматриваются некоторые частные за-
задачи расчета надежности элементов двигателя.
172

Глава V
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ПОКАЗАТЕЛЕЙ
НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
5.1. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ЖРД *
Остановимся на некоторых методах определения показателей
дадежности элементов ЖРД*. топливных баков, камеры двига-
двигателя (газогенератора), турбонасосного агрегата, элементов авто-
автоматики.
5. 1.1. Вероятность неразрушения баков
В соответствии с теорией расчета и проектирования оболочек
[2, 7, 17, 27] могут быть рассмотрены два предельных состояния
бака:
— разрушение под действием внутреннего избыточного дав-
давления вследствие недостаточной прочности стенки;
— потеря устойчивости от действия совокупности нагрузок,
создаваемых продольной силой, изгибающим моментом и внут-
внутренним давлением.
Предельные состояния по прочности и устойчивости записы-
записываются в следующем виде:
РЛ<Р9; АГД<ЛГР, E.1)
где рд, /?р — соответственно действующее и разрушающее дав-
давления;
Л^д, jVp — действующая продольная сила и продольная сила,
при которой бак теряет устойчивость или получает
недопустимые деформации.
Перепишем систему неравенств E. 1) в виде
^^0, E.2)
где рп — давление наддува;
М — изгибающий момент;
R — радиус цилиндрической части бака.
Величины, входящие в формулу E.2), являются функциями
времени полета ракеты и координат совокупности рассматривае-
рассматриваемых точек бака. Значения /?р и Np определяются с учетом дей-
действия внутреннего давления, геометрических размеров и возмож-
возможного нарушения герметичности. В случае разгерметизации или
при недостаточном наддуве несущая способность бака по устой-
устойчивости снижается. Однако возможна ситуация, когда скорость
падения давления в баке будет такой, что все же сохранится
В написании данного параграфа участвовал Чернев Ю. Н.
173

условие и2>0. Следовательно, функция распределения iVp в за-
заданный момент времени и в заданной точке конструкции может
быть выражена в виде соотношения, аналогичного выражению
D.10).
На этапе проектирования по уравнениям теории оболочек
вида E.2) с использованием приведенных выше соотношений
в ряде выбранных точек (сечений) конструкции для фиксиро-
фиксированных моментов времени полета ракеты рассчитываются:
несущая способность по прочности рр и устойчивости Nv, сред-
средние значения рр, 7VP, дисперсии aj , a^ и коэффициент корреля-
корреляции гррЛГр;
действующие нагрузки рд и УУД, а также рд, УУД, ор , o2N и гр N^
вспомогательные величины
Р ЛГ Л , _2 о..
р Л УУр Л УУр ;1
коэффициенты корреляции Qa = Qji между всеми парами раз-
разностей /?р—/?д, всеми парами разностей Nv—jVtt, а также между
всеми «смешанными» парами pv—рд и jVp—NK [см. например,
соотношение D.8)].
Пусть общее количество точек по времени и координатам, вы-
выбранных с помощью изложенного выше правила, равно N. В каж-
каждой из этих точек вычисляются величины hv и hN. Введем общее
обозначение для hv и hN — величину hu где /=1, N. Тогда иско-
искомая вероятность, определяемая без учета возможного падения
давления в баке (из-за нарушения герметичности или неудовле-
неудовлетворительной работы системы наддува), вычисляется по уравне-
уравнению D.6).
В некоторых случаях уже на этапе проектирования представ-
представляет интерес оценка влияния на вероятность неразрушения бака
снижения давления внутри его. Такая оценка может быть осу-
осуществлена на основе соотношения D.10), в котором в данном
случае обозначено: Р* — вероятность того, что давление в баке
не снизится, Р' — вероятность неразрушения бака даже в случае,
если давление в баке понизится.
На этапе отработки по результатам испытаний могут быть
построены эмпирические функции распределения случайных
величин /?р и Л/'р, которые в отличие от значений pv и Afp, опреде-
определяемых на этапе проектирования в нескольких точках (сечениях)
конструкции, в данном случае характеризуют минимальное зна-
значение несущей способности для всей конструкции. При нормаль-
174

ном законе распределения указанные величины характери-
характеризуются средними значениями /?р и 7VP и дисперсиями <з2 и o2N .
— —— п ел
Оценки величин /?р, Wp, ор и адг равны
i = \
} E.3)
Здесь /гр и лр' — число испытаний по определению /?р и jVp;
pVi и NRi — значения разрушающего внутреннего давления
и осевой сжимающей силы, полученных в /-ом
испытании.
Среднее значение разрушающего внутреннего давления
определяется при расчетном значении осевой сжимающей силы.
Среднее значение разрушающей осевой сжимающей силы опре-
определяется при постоянном значении внутреннего давления, равном
расчетному.
Внутреннее давление /?д в топливном баке складывается из
двух составляющих: давления наддува рн и гидростатического
давления столба жидкости рт = Пъу'Н, т. е.
/, E.4)
где п0 — продольная перегрузка;
у' — удельный вес компонента топлива;
Я — высота столба жидкости.
Величины Л^д и /?д могут находиться ра-
расчетным путем и по данным летных испы-
испытаний [17]. Реализация рд по длине бака,
как видно из формулы E.4), имеют ли-
линейный характер в каждый фиксированный
момент времени.
Кривизной поверхности жидкости в баке
для простоты расчетных выражений прене-
пренебрегаем и считаем плоскость поверхности
жидкости перпендикулярной к продольной
оси бака.
Внутри интервалов от верхней точки
бака до поверхности жидкости (рис. 5.1)
Рн
1
Щ
{
лРг„
Рд »
Рис. 5 1. Измене-
Изменение внутреннего
давления в топлив-
топливном баке для фик-
фиксированного мо-
момента времени
175

и от поверхности жидкости до нижней точки бака реализации
/7Д являются линейными и, следовательно, случайная функция
и(х)=р$—Рд,(х), где /?р — случайная величина, монотонна по х.
В связи с этим, как было отмечено выше, по координате х доста-
достаточно рассматривать лишь три точки: верхнюю точку бака, точку
на уровне поверхности жидкости и нижнюю точку бака. По коор-
координатам у и z дополнительные точки рассматривать нет необхо-
необходимости, так как давление в каждом сечении бака x = const
можно (пренебрегая действием поперечной перегрузки) считать
постоянным. В каждой из трех упомянутых точек давление изме-
изменяется во времени вследствие того, что изменяется перегрузка п0
и высота Н столба жидкости. Выберем (для i-н точки) на оси
времени т ряд (Л^) сечений т? = const таким образом, чтобы
между ними функция /?д(т) была монотонна. Общее число точек,
характеризующих работу конструкции по первому предельному
состоянию, обозначим т^Л^ + Л^ + А^.
Проводя аналогичный анализ для действующей продольной
силы Мл(х, уу z, т), выбираем т2 точек по второму предельному
состоянию. Общее их число N = ml-\-m2. В каждой из mi и т2 то-
точек находятся величины:
- Рр — Ли . 1 ^
h=— = i==], т^ |
лГ1л/^2
У QN . N N N N )
Здесь pnh o2p . — оценки среднего значения и дисперсии давле-
давления, соответствующие фиксируемой 1-й паре
значений (х, т) и определяемые из формулы
E.3) при использовании данных /гд испыта-
испытаний двигателя с измерением кривых рд(т).
Будем использовать общее для h р и hN . обозначение hu
где /=1, N. Пусть кроме величин E.5), с помощью выражения
D.8) найдены оценки Qij коэффициентов корреляции q^-. С по-
помощью этих данных по формулам D.6), A. 136) и A.146) полу-
получаем значение оценки вероятности неразрушения (без учета воз-
возможности снижения давления в баке):
N Г N 1
Роб- П ¦/? («. *)+ J? (<*, а)- П У7 Л*' а) ^ +
/-1 ' [ т /-1 7 J
176

где j^7 (а> а)~ — — I [гA ~~z)]0^— неполная бета-функция;
/ Г2(я) J
я* — минимальное из рассматриваемых чисел испытаний.
Как отмечалось выше, для учета возможности снижения дав-
давления можно использовать соотношение D.10), на основе кото-
которого методами разд. 1 определяются точечная и интервальная
оценки для Роб-
5.1.2. Показатель надежности камеры двигателя
(газогенератора)
Основная часть камеры двигателя представляет собой две
концентричных оболочки. Между внутренней и внешней оболоч-
оболочками движется компонент топлива, который воспринимает тепло
от внутренней оболочки, нагретой продуктами сгорания. Для
увеличения несущей способности внутренней оболочки и органи-
организации потока жидкости служат специальные скрепляющие эле-
элементы в различном конструктивном исполнении (гофры, ребра
и др.).
Отказ камеры двигателя в общем случае может произойти
из-за двух причин:
•—прогар камеры (событие А\) вследствие неудовлетвори-
неудовлетворительного охлаждения с последующим ее разрушением;
— разрушение камеры (событие Аъ) вследствие недостаточ-
недостаточной несущей способности по прочности и устойчивости при воз-
воздействии нагрузок (включая нагрузки, вызванные высокочастот-
высокочастотными и низкочастотными колебаниями давления).
Условия неразрушения камеры двигателя можно записать
в виде
E.7)
где п{ и и2 — условия неразрушения по прочности и устойчи-
устойчивости соответственно;
П и У — несущая способность по прочности и устойчи-
устойчивости;
Нп и Ну — нагрузки, определяемые с учетом работы систе-
системы охлаждения.
177

Следовательно, вероятность Рпр неразрушения камеры (веро-
(вероятность события А2) определяется соотношением
Рпр = Р(А2) = Р(и1у0, и2>0). E.8)
Обозначим через А событие, состоящее в успешном функциони-
функционировании камеры двигателя. Тогда А=А\[)А2> Р(А) =РКС =
= P(Ai)P(A2\Ai), где P(y42|j4i)—вероятность события А2 при
условии, что А\ произошло. Таким образом, при расчете условной
вероятности Р(Л21^4i) в зависимости E.8) учитывается работа
системы охлаждения. Рассмотрим более подробно каждое из со-
событий А^ и А2. Событие А\ состоит в том, что удовлетворяется
условие надежного охлаждения внутренней стенки
Q3-=Qu~Q0,<QA
или
uQ=u(x, у, z, x)>0, VtG[O, tpj;
где Q3 — количество тепла, аккумулируемое (задерживае-
(задерживаемое) в материале внутренней оболочки за все время
тр работы двигателя;
х> У\ z — координаты;
Qn— количество тепла, подводимого к внутренней обо-
оболочке камеры двигателя за все время его работы;
Qot — количество тепла, отводимого от внутренней обо-
оболочки за все время работы двигателя;
<2д — допустимое (критическое) количество тепла, акку-
аккумулированного в материале внутренней оболочки.
Величины Qn, Qot и 0д в общем случае являются случайными
функциями четырех аргументов: х, у, г и т, причем последний кз
аргументов является также случайной величиной, так как время
работы двигателя может изменяться в некоторых пределах, осо-
особенно для двигателей верхних ступеней ракет. Кроме того, Qn,
Qot и Qfl зависят и от других случайных аргументов. Так, напри-
например, Qn зависит от секундного расхода топлива, условий распыла
и «горения компонентов топлива, их соотношения и ряда других
величин. Величина Q0T зависит от секундного расхода и тепло-
физических свойств охлаждающей жидкости, теплопроводности
материала внутренней оболочки, характеристик пристеночного
слоя и вида течения жидкости в пространстве между внешней
и внутренней оболочками. Величина QA зависит от механических
свойств материала внутренней оболочки, изменения этих свойств
при нагреве, а также от действующих нагрузок (перепада дав-
давлений, температурных напряжений, вибрационных и динамиче-
динамических воздействий), характеристик условий крепления внутренней
оболочки в камере и др.
Общие соотношения для определения Qn и Q0T имеют вид
178

где Q — область интегрирования, опреде-
определяемая геометрией камеры сго-
сгорания;
qn(x, уу 2, т) и qOT{x> yf z, т) —удельный тепловой поток, подво-
подводимый к внутренней оболочке и
отводимый от нее соответственно.
Можно показать, что условие, описывающее событие Аи экви-
эквивалентно следующему:
Г<ГД или и, = Тя{х, у, z, х)-Т(х, у, s, т)>0, E.9)
где Т = ц\(х9 у, г, х) —температура нагрева оболочки, опреде-
определяемая как функция координат и вре-
времени;
7\ = ф2(*, У, z, т) —допустимая (критическая) температура
нагрева оболочки.
Процесс теплообмена в камере весьма сложен. От продуктов
сгорания тепло в результате конвективного теплообмена и радиа-
радиации передается стенкам, распространяется в них благодаря тепло-
теплопроводности и далее передается охлаждающей жидкости. Схема
и характеристики охлаждения показаны на рис. 5.2.
Температура Т газовой стенки является основной характери-
характеристикой, по которой в первую очередь судят о надежности работы
системы охлаждения. Рассмотрим некоторые приближенные со-
соотношения, полученные в работе [21].
Суммарный удельный тепловой поток,
передаваемый на установившемся ре-
режиме работы двигателя и воспринимае-
воспринимаемый охлаждающей жидкостью
П П I П ^г ^ж п ( ~\
Здесь QK и Bл — конвективный
стый тепловые потоки;
и лучи-
лучиТЖ=
=ТВХ+ \
— температура жидкости (возрастает по
мере движения от входного коллектора
к форсуночной головке);
Рис. 5. 2. Изменение тем-
температуры в поперечном
сечении стенки охлаж-
охлаждаемой камеры ЖРД-
/—внутренняя стенка каме-
камеры; 2—охлаждающая жид-
жидкость; 3—внешняя стенка
камеры
179

— коэффициент теплоотдачи от газов к стенке;
(еАH.8 pr 3 =ам
— коэффициент теплоотдачи к охлаждающей жидкости;
б и К — толщина стенки и коэффициент теплопроводности ее
материала;
Оэ = —-= DR(x) — эквивалентный диаметр;
^ ж
fT = T0-{- в*2гс0Гг/аг — приведенная температура, которая позво-
позволяет учесть передачу тепла излучением.
При этом Гвх и mm — температура жидкости на входе
в охлаждающий тракт и массовый расход жидкости; х— коор-
координата, совпадающая с образующей оболочки камеры и отсчи-
отсчитываемая от начала входного коллектора;
D = D(x) —диаметр оболочки;
ср и m — удельная теплоемкость газов и их массовый расход;
Cm, у\ж, Qm, wm — удельная теплоемкость охлаждающей
жидкости, коэффициент вязкости, плотность и скорость движе-
движения жидкости в охлаждающем тракте;
Sm и Пж — площадь и периметр зазора, по которому дви-
движется охлаждающая жидкость;
Ргж — число Прандтля при температуре охлаждающей жид-
жидкости;
Qs(x), Тж(х), ат(х), аж(х)—обозначения, подчеркивающие
изменение Qr, ТЖу аг и аж по координате х\
То — температура адиабатического торможения газов;
ег* и ?г — эффективная степень черноты системы «газ — обо-
оболочка» и степень черноты газа;
с0 и Тг — коэффициент лучеиспускания абсолютно черного
тела и термодинамическая температура газа.
Для заданного режима работы и геометрии камеры темпера-
температура торможения газов То приближенно постоянна во всех сече-
сечениях камеры, а температура стенки изменяется по длине в до-
довольно узких пределах. Поэтому изменение конвективного теп-
теплового потока по длине камеры определяется главным образом
изменением локальных значений коэффициента теплоотдачи аг>
величина которого в указанных условиях изменяется пропор-
пропорционально D-1'82, достигая наибольшего значения в критическом
сечении сопла. Температура стенки изменяется по толщине
стенки. Введем координату z^[0, б]. Тогда согласно работе [21J
температура является линейной функцией z:
ТТ = ТГЛ-(ТГЛ-ТХЛ) f = T(x, z\ E. 10)
180

где
т —Т А-—-• Г =7" 4-
* X.II л Ж I ' Z Г.П * Х.П Г -ч
аж л
— температура стенки со стороны жидкости (холодная поверх-
поверхность) и газа (горячая поверхность) соответственно.
Таким образом, упрощенная постановка приводит к рассмот-
рассмотрению двумерного случайного поля Т(х, г). Общая постановка
в терминах нестационарной теплопроводности приводит к необ-
необходимости рассмотрения четырехмерного поля Т(х, у, г, г), что
и предусматривается условием E.9).
Допустимое значение температуры также в общем случае
есть случайное поле Тд(х, у, г, т). В первом приближении поло-
положим
-ТХ.Л\ E.11)
где Гх.диГг.д — допустимое значение температуры стенки со сто-
стороны жидкости и газа соответственно;
X — дельта-функция, равная нулю для значений
zo[0, 6] и единице при z = 8.
Величина Гх.д равна температуре термического разложения
компонента в каналах охлаждения, если охлаждающая жидкость
термически нестойка. При разложении компонента происходит
образование и отложение нагара на огневых стенках, что приво-
приводит к выходу двигателя из строя. К этому же приводит закипа-
закипание охлаждающей жидкости. Поэтому под Гхд будем понимать
меньшую из двух температур Тр и Тк (температуры разложения
и кипения соответственно), предполагая, что по физическим со-
соображениям можно указать, какое явление при нагреве раньше
произойдет — разложение или кипение, т. е. найти
Гх.д = т1п(Гр, Тк).
Остановимся вначале на частном случае условия E.9), когда
Т = Т(х, г) и Гд = Г(г) есть соответственно случайное поле и слу-
случайная функция z, определяемые соотношениями E. 10) и E. 11).
В этом случае показатель надежности системы охлаждения
ЖРД определяется как
= Р{и(х, z) = T,(z)-T(x, 2)>0}. E. 12)
Вычисление Р = Р(Л!) производится следующим образом. На
поверхности камеры двигателя в соответствии с работой [21] вы-
выбираются несколько расчетных точек, в каждой из которых
определяется вероятность Р{ = Р(Ац) =P(uTi>0). Для каждых
двух случайных величин щ и Uj из уравнения A.109) опреде-
определяется коэффициент корреляции qij. Общее число этих коэффи-
коэффициентов равно c = N(N—1)/2, так как рассматривается случай
/</ при /=1, N. Имея значения Р* и p^j, определяем Рг как
181

I N \
Pr = p| f| Au с помощью формулы B.87). При этом по оси z
\/=i /
следует взять две точки z=0 и <г = 6, так как случайная
функция u(z) = TJX(z)—Т(z, х) монотонна на интервале [0, б],
а при 2 = 6 имеет разрыв первого рода. Следовательно, N\=2.
По оси х можно взять одну точку х = хкр, соответствующую кри-
критическому сечению сопла, если считать, что величина Гд по х
является одинаковой во всех сечениях и что Т(ху z) монотонно
возрастает в интервале [0, хкр], а затем монотонно убывает. Сле-
Следовательно, в первом приближении N\ = 2, N2=1 и N = NiN2 = 2,
а задача определения Рг состоит в вычислении вероятностей
Pi=P{7\@)-r(*KP,0)>0}==P(Bn>0);
Р2=Р{Тж(Ь)-Т(хкр, 8)>0}=Р(мГ2>0),
где
ип=ТА@)-Т(хкР, 0); иг2=Т,(Ь)-Т(хкр, 8),
и коэффициента корреляции qu u . Таким образом, искомое
значение Рт определится по формуле
Pr = P1P2+(Pm-P1P2) A arcsin qUti11t2. E. 13)
Пусть случайная величина ит% имеет нормальное распределение.
Тогда вероятность надежного охлаждения в /-м сечении
E.14)
Здесь F(hi) — функция Лапласа;
где Тi и Ог2 — среднее значение и дисперсия ве-
величины Т{\
Цтг = ТЖг1Тг — среднее значение запаса по тем-
_ _ пературе;
^ит . = аГ >Т и vt. = gt.ITi~коэффициенты вариации случай-
_ ных величин Tni и Т{.
Для определения Гд; и Т\ воспользуемся выражениями
E.10), E.11), A.72) и A.73). Тогда
Т ¦—Т
1 д| —J г.Д
2 2
д / г.д
1 д i — J х.
х.д
при 2G [0, 8], 2 2 | при г = 8,
2 2
д / у х.д
— о л
где 7"г.д, Гх#д и аГрвдЭ оГхл— средние значения и дисперсии вели-
величин Гг.д и Гх.д — определяются из соотношений, используемых
182

в прочностных расчетах, а также из справочных или экспери-
экспериментальных данных. Найдем величины f* и о^.,соответствующие
фиксированным значениям х и z (обозначим их через хи z{). Точ-
Точнее, i — здесь номер пары значений х и z\ так, если ЛЛ2 = 1, то
такими парами будут {хи z\) и (хи z2). Из приведенных соотно-
шений получаем
где
1 5 1
/ 1 5 1 \
\ас/ X аж/ /
аг / X аж i
/2 i 2 \ .
Гт . + °тж1) +
\ 1 г i ж Ч
Гж f = fв
/ ~ \0'2
^; аж, = 27сх (^-) (о. Я ,Г
0,04г,2Оэ.
v = x/oXl—коэффициент вариации х{ (общее обозначение).
Величины, входящие в приведенные соотношения, содержат
средние значения f0, ar;,... и дисперсии а^о, о^.... соответст-
соответствующих аргументов. Некоторые из них (б, Пшг-, Smi) являются

«первичными», т. е. аналитически не выражаются с помощью
других аргументов, а находятся непосредственно по справочным,
экспериментальным данным и данным по технологическим допу-
допускам. Другие же, в свою очередь, представляют функции слу-
случайных аргументов (То, т, wi).
Приведенные соотношения E. 14) и E. 15) позволяют решить
задачу определения вероятности Р*.
Для вычисления коэффициента корреляции q^ между ит% и
uTj используем соотношение D.9), из которого следует, что
J QiQj l J QiGj Л I A J Q.Qj l Л J
От. равно otj при замене индекса / на /:
Упрощая задачу, в первом приближении можно считать, что
случайные величины 7\- и Тди Г?- и Гд:/-; Т{ и Гд^-; 7j и Гдг- незави-
независимы. Тогда
Cll7. er =Q// = Tl*> TlTj T*J T*J T**T*>. E. 16)
.Для определения величин Qr.Tj и qt t . используем соотноше-
соотношение A.80) и выражения для Т и Гд. Из соотношения A.80)
видно, что коэффициенты корреляции QtiTj и Qt /Гл j находятся
в функциональной зависимости от производных по аргументам,
общим для Т{ и Ту, Тл и ТАу
Кроме того,
где
ал = i
(ILLS =
Wo A
o A i
т. е. каждый коэффициент есть произведение производных от Т\
и Tj по соответствующему общему аргументу. Производные
берутся в точке, где все аргументы равны своим средним значе-
значениям (это подчеркивается введением индекса «0»). Таким обра-
образом,
184

= [аi °r0_+_^Z • •'} ~" '^'' ^ = ^Jli =^=^, E.171.
*"ГгиТ. у^\х At 4 1/4 +4 У 1 + 6* V 1 + 62
где
Подставляя выражения E. 15) и E. 17) в зависимости E. 14)
и E. 13), находим искомое значение Pr = P(^i)-
Остановимся на рассмотрении события Л2, входящего в вы-
выражение E. 8) и состоящего в выполнении условий по прочности
и устойчивости для случая, когда событие А\ выполняется. В ра-
работах [2, 83, 27] детально исследованы методы расчета камеры
сгорания ЖРД на прочность, устойчивость и колебания и уста-
установлена необходимость при проведении таких расчетов рассмот-
рассмотрения нескольких расчетных сечений камеры, а в общем слу-
случае — всей конструкции камеры, времени работы и эксплуатации
двигателя. Следовательно, в выражении E.8) п\ и и2 представ-
представляют собой случайные поля четырех переменных ui = Ui(xyy,z,x);
и2 = и2(х, у, zy т), где х, у, z — координаты, т — время. Введение
трех координат обусловлено тем, что оболочка камеры как пра-
правило является двуслойной.
В труде {83] показано, что при расчете на прочность в качестве-
условия успешного функционирования камеры целесообразно?
принять следующее:
Рл
ИЛИ
Pv = p{LR) = pv{x, У, z, х)>рж(х, т), E. 18)
где pz = p(AR) =/?р(*, у, z, т) —допустимое значение давления,,
вычисляемое в функции от допустимого увеличения радиуса ка-
камеры (от допускаемой деформации) или в функции от коорди-
координат и времени; Рд(х, т) —давление в камере двигателя в функ-
функции от длины камеры и времени работы двигателя.
Используя полученные в работах [2, 7, 83 и др.] соотношения*
для определения /?г, можно найти значения рр для любых ху у, z
и т. Тогда аналогично изложенному выше находим вероятность
события Л2ь состоящего в выполнении условия ^i>0 по проч-
прочности:
пг А2Л, E.19)
где А2ц= {ti\i>Q} — событие, состоящее в выполнении условия
по прочности для фиксированной «чет-
«четверки» дискретных значений (х{> у\, zu Xi);
185»

v — номер комбинации (хи уи zit n);
N1 = NiN2NsN4 — общее число комбинаций (общее число то-
точек);
TVi, N2, N3, N4 — числа точек на осях х, у, z и т соответст-
соответственно.
Далее для определения Рп используется изложенный уже ме-
метод [см. соотношения E.6), B.86) —B.90)].
Расчет на устойчивость камеры сгорания обычно сводится
к рассмотрению устойчивости неохлаждаемого насадка, нагру-
нагруженного на нерасчетном режиме работы внешним перепадом
давления. Порядок приближенного расчета вероятности Ру =
= P(w2>0) аналогичен приведенному выше и приводит к соот-
соотношению
E.20)
где событие A22i={u2i^>0} i= 1, N2 и N2 —число точек, рас-
рассматриваемых при вычислении вероятности Р(а2>0). Следова-
Следовательно, соотношение E.8) может быть записано в виде
E.21)
Таким образом, из соотношений E.19), E.20) и равенства
A=A\f]A2 получаем следующее выражение для показателя на-
надежности камеры сгорания:
или
K.c = PHi П A2) =
N
N2
Р П
A%2i
N
Л А,-
E. 22)
Поскольку события А2ц и Л22г уже определены выше как соот-
соответствующие условию успешного охлаждения (пример 2.5), то
выражение E. 22) может быть переписано в виде
Рк.с = Р (п А,) Р ( п' Atlt "л
E- 23)
где Рт — величина, определяемая из формулы E.13).
Согласно выражению B.86)
N Г N 1
186

Р(>0) 1 \ E.24)
где ui>0 и i/ij>0, ^2?>0—условия, записанные для одной (г-й)
точки при рассмотрении системы охлаждения и одной (/-й) точки
при рассмотрении работы конструкции камеры сгорания на проч-
прочность и устойчивость; Pw* — минимальная из вероятностей, вхо-
входящих в произведение
ПнП(-).
У-1 У-1
Величина K*N в выражении E.24) приближенно находится из
соотношения B.88), где учитываются (Nx -j- 7V2) (Л^ -)- 7V2 — 1 )/2
коэффициентов корреляции между каждой парой компонентов
случайного вектора (щ i,w12,..., ы^, «21,и22,..., и2#2)-
Несмотря на кажущуюся громоздкость выражения E.24) для
вычисления показателя надежности Рк.с, практически дело
обстоит проще, так как в расчетах могут выбираться 2—3 мо-
момента времени из всего периода работы двигателя, а также не-
небольшое число сечений камеры сгорания по координатам х, у, г^
Так, в выражении E.19) при расчете Рт полагалось N = 2. Для
иллюстрации изложенного рассмотрим следующий пример.
В наиболее простом случае соотношение E.18) можно запи-
записать так [2]:
гкр
. 25)
где <зв и ав — пределы прочности материалов стенок оболочек при
«расчетной» температуре, соответствующей успеш-
успешному функционированию системы тепловой защиты;
бг, 6" и R — толщины стенок и средний радиус двухслойного?
кольца;
1Р — удельный импульс давления;
^кр — площадь критического сечения сопла;
Gou и GT — секундные расходы окислителя и горючего соот-
соответственно.
Считая, что случайные величины /?р и /?д, следуют нормаль-
нормальному закону распределения и независимы и не рассматривая
условия устойчивости, найдем вероятность неразрушения камеры
сгорания
187

где F(h) —функция Лапласа (см. табл. П. 1);
h = —zr=====.; t] — — средний запас прочности;
• р л
/?р, рд и Ур, Vji — средние значения и коэффициенты
вариации величин pv и /?д.
Для отыскания величин /?р, рл, т>р, v\, входящих в приве-
приведенное выражение, используем формулы для pv и pR E.25) и со-
соотношения A.72) — A.77), из которых получаем, что прибли-
приближенно
А Гкр
2
2 _t2 | ^2 | ок г
^д УР гкР [G0K + Grj
где х, з2х и vx = 3x/x — среднее значение, дисперсия и коэффи-
коэффициент вариации случайной величины х (здесь х — общее обозна-
обозначение).
Средние значения и дисперсии величин FKV>, б и R находятся
по допускам технологической документации на изготовление
камеры сгорания. Средние значения и дисперсии величин а'в и а"н
оцениваются на основании прочностных испытаний образцов.
При вычислении /р, з$ , С70К, GГ, а^ок, а^г используются из-
известные соотношения для /р, G0K, GT.
5.1.3. Показатель надежности ТНА
Турбонасосный агрегат, состоящий из турбины и насосов, мо-
может отказать и вызвать отказ двигателя в целом из-за ряда при-
причин конструктивного и технологического характера.
Основными причинами, вызывающими отказы ТНА, яв-
являются:
— разрушение элементов ТНА (лопаток турбины и насосов,
подшипников, корпусов, вала и др.);
— разгерметизация уплотнений насосов и турбины;
— выход за пределы установленных допусков выходных ха-
характеристик ТНА.
Последнее событие определяется режимом работы, техноло-
технологией изготовления, сборкой и настройкой двигателя и может
быть установлено из рассмотрения условий успешного функцио-
188

нирования. Выход характеристик ТНА за установленные пределы
произойдет, когда наступит хотя бы одно из следующих событий:
AA=[Nr<Nn}; Аь=[п>пк\, E.26)
где Я, G, NH и Яд, Gfl, Л^д — напор, производительность, мощ-
мощность насоса и их допустимые значения;
iVT, п и пк — мощность турбины, число оборотов вала в ми-
минуту и допустимое значение для /г, которое может определяться
условиями возникновения кавитации в насосах.
Показателем надежности ТНА согласно соотношению B.44)
является следующее выражение:
ртн а = 1 - ЯЛ - Я?\г - 4з\ ~ ЯЛ
2А7----?1>2....,5Л1,2,...15, E.27)
где
Массовые коэффициенты г]4 и г\$, а следовательно, и все коэф-
коэффициенты, содержащие индексы 4, 5, в уравнении E.27) равны
единице, так как при возникновении событий Л4 и As наступает
отказ двигателя. Остальные весовые коэффициенты по величине
меньше единицы, поскольку при возникновении событий Аи А.2 и
Az задача ракетой может быть выполнена с вероятностью, отлич-
отличной от нуля. Следовательно, уравнение E.27) можно записать
в виде
И\-\)я*-
— A — ^i 2) Я\ 2 — A — \ a)<7i 3 ~ A — ^2 в) #а з ~~ A ~~ ^i 2 з) Я\ 2 з- E. 28)
Остановимся на определении составляющих уравнений E.28).
Все вероятности q\ определяются одинаково из соотношения
вида
0/ = Р(й/<О)= \ f{uL)duh
ui<0
где 1(щ) —плотность распределения величины щ\ /=1,5. Вели-
Величины Ui в соответствии с условиями E.26) имеют следующие
выражения:
E.29)
189

(общее обозначение: Ui = tu—t2i). При нормальном законе рас*
пределения характеристик ТНА (Я, G, N, п) вероятности q\
определяются, как qi = l—F(hi), где F(hi) —функция Лапласа;
hi = ui/ei, a ui = t\i—Т21 и a<j = Gu-{-Gli — среднее значение и дис-
дисперсия щ.
Допустимые значения характеристик ТНА (Яд, #д, GA, л„)
задаются из условия получения заданных параметров двигателя.
Дисперсии допустимых значений в{ д также задаются при проек-
проектировании (ъ некоторых случаях они могут быть равны нулю).
Действительные значения характеристик ТНА и их дисперсии
определяются в результате расчета вероятностных характери-
характеристик двигателя. В качестве примера рассмотрим определение
среднего значения и дисперсии мощности турбины.
Для одноступенчатой активной турбины мощность выра-
выражается зависимостью [21]
7VT = GTU (c1 cos ax -\~ c2 cos a2), E. 30}
где GT — секундный массовый расход газа через турбину;
U — окружная скорость вращения ротора;
С\, с2 — скорость газа на входе и выходе из лопаток соответ-
соответственно;
си, ct2 — углы установки лопаток.
Среднее значение мощности согласно уравнению A.72) при-
приближенно равно
NT = GT = U (cxcos ax -f-c2cosa2).
Дисперсия мощности турбины определяется из уравнений
E.30) и A.73)
^2
cosai + c2cosa2j
[Ci cos си + c2 cos a2) J r aT и
где о2 — дисперсия х, если х — общее обозначение для GT, uy
Си С2, ... .
Вероятности, определяемые взаимосвязанными условиями не-
непревышения и входящие в соотношение E.28), находятся по за-
зависимости B. 87)
^ = P(«/<0>«y<0)«^y + km-^y]-^arcsIne/iy> E.32>
где qm ( )
Величины Qij представляют собой коэффициенты корреляции
между случайными величинами щ, Uj. Так, Q\ 2 есть коэффициент
корреляции между величинами ii\ и и2, входящими в выражение
190

E.29) и зависящими от общих аргументов [см. формулу A.80)].
Действительно, величины Н и G можно определить по зависимо-
зависимостям [21]
Рвых — Рнх
Y ' 2
и G — 2jirb2c2y>
где /?вх, Рвых — давления на входе и выходе из насоса;
?вх, Свых — скорость жидкости на входе и выходе из насоса;
г, 62 — радиус колеса насоса и ширина лопатки на вы-
выходе;
у — плотность компонента топлива.
Так как общим аргументом для и\ и и2 является у, то
/диЛ idu2\ ат
\ dy /owY /о
/ - - \ '2
РвыхГРм I - 7 - . E.33)
Аналогично определяются и другие коэффициенты корреляции
и выражения вида E.32) для (/2зит. д.
Из выражений E.29) для щ видно, что все они содержат
общие аргументы и что, следовательно, компоненты вектора (ии
^2, ^з, ^4, м5) зависимы. Коэффициенты корреляций между всеми
парами компонентов образуют матрицу A.66). Таким образом,
показатель надежности ТНА можно оценить по зависимостям
вида E.28) — E.33), имея допустимые и действительные значе-
значения выходных характеристик.
5.1.4. Показатель надежности элементов автоматики
К элементам автоматики ЖРД относятся клапаны различ-
различного вида (пневмо- и пироклапаны, электроклапаны, пружинные
клапаны) редукторы давления, пиромембраны, дроссели и др.
Все они предназначены для перекрытия или открытия в опреде-
определенное время топливных и газовых магистралей двигателя и
обеспечивают функционирование агрегатов ЖРД в строго уста-
установленной последовательности. Основными неисправностями
элементов автоматики, приводящими к отказу двигателя, яв-
являются следующие:
— нарушение герметичности (событие Zi);
— несрабатывание элементов (событие^).
В качестве условия сохранения герметичности может быть
выбрано следующее: Ах= {руд>Руп}, где /?уд и /?уп — удельное
контактное давление и давление уплотняемой среды. В случае,
191

когда /?Уд и /?уп можно считать независимыми величинами, рас-
распределенными по нормальному закону, вероятность сохранения
герметичности определяется зависимостью P(Ai)=F(h\),
где F(h\) — функция Лапласа,
где „,_,„—„_,,., w,, -т-w
При наличии соответствующих исходных данных может быть
использовано также следующее условие успешного функциони-
функционирования системы уплотнений в клапанах:
[0,тэ], E.34)
где Gyn — секундный расход вещества уплотняемой среды;
тэ — суммарное время функционирования системы уплот-
уплотнения в клапанах;
?д — допустимое значение количества утечки вещества.
Событие А2 (несрабатывание клапана) в свою очередь вклю-
включает в себя полное несрабатывание_(Л1), преждевременное или
непредусмотренное срабатывание (Л22), неполное срабатывание
Л2з. Очевидно, что А2=А2 \ U М 211.42 3. Все элементы автоматики
можно разделить на две группы: элементы с заданным временем
срабатывания тср (отсечные клапаны); элементы, срабатывание
которых обеспечивается давлением рр, а время срабатывания —
произвольная величина. Для элементов первой группы при за-
заданном требовании тсре[то, т3] событие
Aji={#i(t)Op' vtE[t0, t8]).
где Рд(т) —управляющее давление; рр— давление, при котором
открывается или закрывается клапан; то — момент начала сра-
срабатывания; [то, т3] — заданный отрезок времени срабатывания.
Событие А22ъ данном случае состоит в следующем:
4 2 2 = {tn.c<To},
гдеТпс — время до начала произвольного срабатывания. При
этом событие Л2з={/ф</п}, где /ф и /3 — фактическая и требуе-
требуемая (заданная) площадь проходного сечения клапана.
Из приведенных соотношений следует, что
>р> VtE[T0, ^з]} U {tII#c<T0} U
Пусть при этом Рд, /ф и /3 распределены по нормальному за-
закону со средними рд, /ф, /з и дисперсиями эр^ of af^ а вели-
величина тп.с — по экспоненциальному закону со средним тп с- Тогда
192

Для элементов, срабатывание которых обеспечивается давле-
давлением /?р, а время срабатывания не ограничено, событие А2\ =
= {/?д</?р}, где рд — максимальное значение управляющего дав-
давления.
Для таких элементов А22 = {Ph<Pv<Pb} и Л2з={/ф</з}.
Вероятность нормального срабатывания клапана
где рн и рв — нижняя и верхняя допустимые границы для /?р.
При нормальном законе распределения всех величин, входя-
входящих в последнюю зависимость, вероятность срабатывания кла-
клапана определится как
. P*—P? , Рв—Рр
где пл=\ п
-.
Последующая методология получения оценок показателей на-
надежности при использовании статистических данных, определе-
определения и контроля надежности на этапах отработки и серийного
производства изложена в разд. 1.
5.2. ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ РДТТ
Основными элементами ракетного двигателя твердого топ-
топлива (см. рис. 4.2) являются корпус, топливный заряд, сопло-
сопловой блок с устройствами управления вектором тяги и воспламе-
нительное устройство.
5.2.1. Вероятность неразрушения корпуса
Корпус РДТТ обычно включает обечайку, днища и теплоза-
теплозащитное покрытие (ТЗП). В процессе работы двигателя могут
возникнуть следующие неисправности корпуса: нарушение теп-
тепловой защиты (событие А\), нарушение условий по несущей спо-
способности (по прочности — условие Лг, по устойчивости — усло-
условие А з).
Кроме того, может рассматриваться отклонение массы кор-
корпуса от заданного—событие A&={Q^[ciK, 6К]}, где Q—масел ак,
&к—границы допуска на массу корпуса. Найдем показатель на-
7 312 193

дежности корпуса РДТТ с учетом того, что в материале конст-
конструкции возможны дефекты. Обозначим через 1—Р*<Р(Л*) ве-
вероятность того, что из-за наличия дефектов несущая способность
корпуса попадает (в зону пониженных значений. Эта зона опре-
определяется с помощью критериев резко выделяющихся наблюдений
[33]. Тогда
где Pi^=P(А\ Г\ А2)—вероятность непопадания несущей спо-
способности в зону пониженных значений
из-за наличия дефектов в исходном ма-
материале и дефектов производства;
Р2 = Р(Л3)— вероятность непопадания несущей спо-
способности в зону пониженных значений
из-за наличия дефектов, возникающих
при контроле. Кратко события А\, A<i,
Лз, Л* будем называть также возникновением дефектов
Пусть каждый корпус при его изготовлении опрессовывается
давлением рОц. Тогда нарушение условия по прочности может
произойти лишь в том случае, когда давление /?д в камере двига-
двигателя превысит давление опрессовки, если событие Л3 не проис-
происходит.
Используя принятые обозначения, на основании соотношения
B.44) получаем общее выражение для показателя РК = РDК)
надежности корпуса
где при / = ТД,
q=Y> (AJ; яч = Р (Л, П Лу); qijk = P(AL {] Aj П Лк);
Тк); д[2^=Р I П Л Л .
>/i
Здесь Ai —событие Лг- при наличии дефектов в материале кор-
корпуса. Все коэффициенты т]г-, за исключением г]4, равны единице,
так как при наступлении событий А\у А2 и Л3 происходит разру-
194

шение ракеты и, как следствие, невыполнение возложенных на
нее задач. Поэтому
у,... при /=173; у=Т73.
Таким образом, из выражения E. 35) следует, что
') E.36)
а=1
В соответствии с изложенным находим
ibh
П
-РтзпРпРуРв, E.37)
где Ртзп =*—Ч\ — показатель надежности ТЗП;
Рп=1—qr, Ру=1—cfz — вероятности выполнения условий по
прочности и устойчивости при расчетном
режиме нагрева и при отсутствии де-
дефектов;
Рв=1—#4 — вероятность нахождения массы в задан-
заданном допуске.
На рассмотрении составляющей Ртзп остановимся ниже.
Вероятность Рв при известной функции распределения FQ(x)
веса Q определяется как PB = pQ(bK)—Fq(cLk). Так, если FQ(x) —
равномерная на [а0, Ьо] функция распределения, то Рв =
= (ЬК—ак)/(а0—60), где [а0, Ьо] — интервал возможных значе-
значений Q.
Для вычисления РпРу = Р(^2П ^зИО, как и раньше, выберем
N дискретных точек (часть в пространстве — на поверхности
корпуса и по толщине стенки и часть во времени — в ряде мо-
моментов «времени работы двигателя). Число N\ из них соответст-
соответствует рассмотрению условия по прочности, число N2 = N—N\ —
условия по устойчивости. Тогда из выражения B.87) находим
E. 38)
Здесь Pyi — вероятность выполнения условия по устойчивости
в i-й точке;
РПг — вероятность выполнения условия по прочности
в 1-й точке, причем очевидно (см. 3.1), что
Pw — минимальное из значений Рв, РПг и Ру?-;
7* 195

— (как и выше) среднее арифметическое значение
(N+l)/2 арксинусов коэффициентов корреляции (умноженное
на я/2) между каждой парой (N+1) компонентов рассматрива-
рассматриваемого случайного вектора;
Рдъ Ррг — давление в камере двигателя и разрушающее дав-
давление, соответствующие /-й точке;
N^i и Nvi — соответствуют /-й точке и представляют собой
действующую продольную силу и продольную силу, при которой
корпус теряет устойчивость или получает недопустимые дефор-
деформации.
Переходим теперь к рассмотрению второго слагаемого в вы-
выражении E.36). Оно учитывает возможность успешного функ-
функционирования двигателя и при наличии дефектов в его корпусе.
Для упрощения задачи можно считать, что при наличии дефек-
дефектов несущая способность конструкции попадает в зону понижен-
пониженных значений во всех рассматриваемых точках. Это предполо-
предположение является ужесточающим и приводит к получению гаран-
гарантированной оценки. Наличие дефектов, вызванных процессом
опрессовки, при последующем нагружении рабочим давлением
может привести к тому, что корпус разрушится при давлении,
меньшем чем роп. Следовательно,
)(/)(п л;)=р
)=р{иЦж п (п л)|=
=р Ь\*г п (Iп а\\+р {аI п ( n^ а!\\ -р {аГ п X ni a,
i=l /I \/=1 /и V-1 /ш
*A*
где ~A*i=A*nAl\
?;=1_Р1; q*2=l-Pl; q*=p
/ 4 \ Г Nt N>
Р П А\ =РТЗП РвПРп^ПРу
196

р'у р" п р".— разрушающее давление соответственно при на-
наличии дефектов в материале корпуса, при наличии дефектов, вы-
вызываемых опрессовкой, и при наличии одновременно обоих упо-
упомянутых дефектов; N' —значение NVi при наличии дефектов.
Очевидно, что не все дефекты влияют одновременно и на Ру*
и на РПг. Действительно, если в корпусе двигателя имеются де-
дефекты в виде царапин, расслоений, загрязнений, то они влияют
на РПг, а если корпус двигателя имеет дефекты в виде искривле-
искривлений продольной оси, эллипсности поперечного сечения, местных
выпучиваний оболочки, то они влияют на Руг-. Имеются также
дефекты, которые оказывают влияние на РПг и Ру* одновре-
одновременно, например, уменьшение толщины оболочки и др.
Таким образом, показатель надежности корпуса РДТТ имеет
вид
( Г Ni N2 j N, N2 \ -1
X P* Р.П Рп/ПРу1+(Ря.-Р.П Рд/ПРу/Uim + ^+i
Р.Пр-'ПРу'+ Р«-Р.ПР-'ПРу/ Kn+i + *n+i\ +
+qi РвПр;.ПрУ/+ р;-РвПр;.пруИ^+1+^+1 -
E.39)
где Pm (P^, P^, Pm) — минимальная из вероятностей, входящих
в произведения в скобках при Р*, q* и q\-q*2', Р', Р", Р"'—
(Р —общее обозначение) значение условных вероятностей при
выполнении гипотез А* П а1, -Лз и Л^П^гП^з-
Рассмотрим некоторые особенности показателя E.39).
197

1. При Р* = 1 (дефекты отсутствуют) получаем выражение
без учета влияния дефектов.
2. При N = 1 (рассматривается одна точка по времени и в про-
пространстве) имеем одномерную модель. Пусть в этой точке учи-
учитывается условие по прочности Рв=1, P* = l (jV=1), а рр1 = рр;
рД1 = /7д и роп — независимые случайные величины с функцией
нормального распределения. Тогда
Рк = Р„1 = Ртзп|1-П-^о„)][1-^(М1 = РтзпРк; E.40)
Рои — Ря , Pp—J>n.
Лш» Ря> Р? и аоп, <4Л> 4Р — средние значения и дисперсии слу-
случайных величин роп, Рд и рр; ^(-)—функция Лапласа (см.
табл. П1).
Из выражения E.40) видно, что с увеличением давления
опрессовки при отсутствии дефектов (т. е. при Р* = 1) показа-
показатель надежности конструкции корпуса Рк (корпус без ТЗП) воз-
возрастает. Причем Рк'-^1, если рОп—^°о. Однако, если учесть воз-
возможность накопления повреждений в материале при опрес-
совке, то
где
-1 1/в2. +а2 '
V р'р^ ря
и, следовательно, с ростом роп величина F(hou) возрастает, а ве-
вероятность Р2* невозникновения дефекта (в виде местных пласти-
пластических деформаций) убывает. Отсюда вытекает возможность
нахождения из равенства E.41) некоторого оптимального зна-
значения давления опрессовки роп, обеспечивающего максимум
вероятности Рк.
3. С ростом массы корпуса при данном давлении рд в камере
двигателя можно увеличивать рр, Np и, следовательно, состав-
составляющие в выражении E.39) по прочности и устойчивости (РПг>
РУг)« Однако при этом вероятность Рв выполнения требований
к массе по допуску уменьшается. Это позволяет из выражения
E.39) получить оптимальную массу корпуса двигателя, достав-
доставляющую максимум показателя Рк.
В РДТТ может использоваться корпус, изготовленный из
стеклопластика [7]. В этом случае в зависимости от материала
корпуса и особенностей процесса эксплуатации двигателя в со-
составе ракеты условия по прочности и устойчивости могут видо-
видоизменяться. Так, вместо первого из них (по прочности) более
198

подходящим иногда оказывается условие по долговечности
<см. 2. 1)
t'>tp или 2|^<1 или j ,* <U E-42)
/=1 ; 6
где т' — время до разрушения корпуса (долговечность) при
воздействии внутреннего давления;
тр — время работы двигателя;
тр j — время нагружения на /-м цикле эксплуатации;
т/— время до разрушения корпуса (долговечность), опре-
определяемое из соотношения B.28) по параметрам /-го
цикла нагружения.
В случае, когда рассматривается условие т/>тр (вместо
Рр>Рд), т. е. когда принимается во внимание один цикл нагру-
нагружения давлением /?д в течение времени тр, соотношение E.39),
очевидно, не изменяется при использовании в нем вместо
Рп/, Рп\-, Рп/ и Рп/ величин
Рп / = 1 - Р (tp > топ) Р (tp > xi); Р; / = 1 - Р(тр>гоп)• Р(тр> x[x)i);
Рп/ = Р(тр<т('2)/); Рп"/ = Р(тр<г;8)/), E.43)
где топ — время (продолжительность) опрессовки;
^A)/» тB)/> т(з)/ —долговечности, определяемые соответственно
с учетом дефектов в материале конструкции,
с учетом дефектов, вызванных опрессовкой,
и с учетом совместного воздействия отмечен-
отмеченных дефектов в 1-й точке случайного поля
и (х, у, г, т).
При этом в выражении E.39) величина N\ — число точек
случайного поля и(х, у, z, т) =%'—тр по времени и пространству,
выбираемых по изложенному выше правилу.
Аналогично тому, как из выражений E.41) может быть вы-
выбрано оптимальное давление опрессовки, на основе соотношений
E.43) находится оптимальное значение продолжительности
опрессовки Топ-
Оценки E.43) для Рпг- и Ри/ являются несколько ужесточен-
ужесточенными, так как давление опрессовки рои, как правило, превышает
рд и, следовательно, вместо топ могла быть подставлена боль-
большая долговечность to,i >топ, найденная с учетом события рр>рОп-
Пусть теперь на корпус воздействуют несколько (k) циклов
нагружения (производственные нагрузки, транспортировка, ра-
рабочее давление), а материал корпуса имеет свойство накапли-
накапливать повреждения. Тогда второе из условий E.42) удовлетво-
удовлетворяет соотношению
199

I
т. е. вместо условия 2Tp;/ty-<Cl (событие В) можно рас-
/
/ /
сматривать одновременно k условий (событие Aj) вида
[Х]>Х?А ИЛИ J«y- = t} — tP у > 0}, где TPj — время нагруже-
ния на /-ом этапе эксплуатации; т* — долговечность корпуса на
/-ом этапе, определяемая с учетом влияния предыдущих /—1 эта-
этапов. В общем случае xpj и Ту внутри данного (/-го)
этапа изменяются во времени, являясь случайными функциями,
Выбрав (в соответствии с изложенным выше правилом) на каж-
каждом этапе Nj моментов времени, имеем общее число N = N\ +
+ N2 + .. . + jVk точек и N случайных величин Uj=x'j — тр;.. Тогда
искомая вероятность выполнения требований по долговечности
находится из соотношений, аналогичных B.83) и B.87). Исполь-
Использование такого подхода возможно в случае, когда могут быть
вычислены значения %". Если этого достичь не удается, возни-
возникает сложная задача отыскания функции плотности вероятности
распределения суммы отношений пар случайных величин. Выше
[см. соотношение B.58)] получена функция плотности вероят-
вероятности для отношения % = ti/t2 двух случайных величин. Исполь-
Используя этот результат, можно найти вероятность
или
Р„=Р(Т'>Тр)=Р ^__^__< ,J, E.44)
где *j=Xpj/xj.
Вероятности E.44) находятся также методом статистических
испытаний.
В ряде случаев применение находят приближенные оценки.
Учитывая, что при 2У;^>^ условие 2*-/^' эквивалентна
__ / j
соотношению [27Д >1,и используя соотношение B.76), нахо-
дим следующую оценку «снизу»:
200

— 1
E.45)
где tpy, Ту— средние значения случайных величин тр/и х)\
Ik -j-i г * -1-1
V (тр;/т'.) —наибольшее значение функции V (Гр//Ту)
Hi J* L^i J
Оценка «снизу» E.45), как отмечалось, справедлива при лю-
любых законах распределения тр , и xj и удобна для использо-
' к \— 1
вания, если известно
Vy^i /*
Основными исходными данными для расчета показателя на-
надежности корпуса служат: на этапе проектирования — соотно-
соотношения теории проектирования для расчета давления /?д в камере
двигателя и величины /?р — несущей способности корпуса или его
долговечности [2, 17, 61, 90], а также формулы A.72) — A.80);
на этапе испытаний — осциллограммы давления рд(т) и данные
давления разрушения рр, получаемые в испытаниях корпуса
до разрушения [43, 53].
5.2.2. Показатель надежности теплозащитного покрытия
Теплозащитное покрытие (ТЗП) наносится на внутреннюю
поверхность конструкции, подверженной интенсивному нагреву
продуктами сгорания. В п. 5.2.1 приведены соотношения для пока-
показателя надежности корпуса РДТТ, в которые входит сомножите-
сомножителем показатель надежности ТЗП — Ртзп- Последний опреде-
определяется соотношением (см. пример 2. 5)
Здесь А\ = {1(х, у, т) >0}—событие, состоящее в том, что за
время работы двигателя нигде по всей теплоизолируемой по-
поверхности корпуса не произойдет «оголения» конструкции
(остающаяся толщина покрытия будет больше нуля). При этом
под остающейся толщиной /(•) покрытия понимается расстоя-
расстояние от изотермы, распространяющейся в глубь ТЗП, с темпера-
температурой Т = ТР (где Гр — температура разложения покрытия) до
внутренней поверхности корпуса (см. рис. 5.3). Как показано
в работе [90], для практических целей может быть принято пред-
предположение о том, что разложение покрытия происходит целиком
иа поверхности раздела неразложившегося покрытия и обуглен-
обугленного слоя кокса. Поскольку температура разложения может до-
201

стигать 875 К [90], а прочность кокса низка, то выход изотермы
с T=TV (т. е. реализация события А\) на поверхность корпуса
при достаточно большой площади выброса (пятна) — событие
Аъ приводит к прогару и, как следствие, к разрушению корпуса.
Из-за тепловых потоков от элементов соплового блока ТЗП до-
дополнительно нагревается, поэтому от значения 1\(х, у, т), указан-
указанного на рис. 5. 3, следует вычесть минимально допустимую остаю-
остающуюся толщину б(х, г/, т) покрытия. Таким образом, в выраже-
выражении А{={1(х, у, т)>0}
/(*, у, х) = 11(х, у, т) —8(лг, у, т). E.47)
В соотношении E.46) А2 — событие, состоящее в том, что
не произойдет растрескивания, отслоения или расстыковывания
элементов ТЗП вследствие недостаточной прочности и эластич-
эластичности покрытия, а также из-за недостаточно высоких адгезион-
адгезионных характеристик клеевых композиций. Учет вероятности этого
события в выражении E.46) с помощью коэффициента г]2, за-
затруднителен, так как при возникновении Аъ прогара может
не произойти, если расположение дефекта в виде трещин или
отслоения является благоприятным, а момент его возникновения
близок к концу работы двигателя [следовательно, т]2 = ф(х, у, т)].
Кроме того, еще нет физической теории прочности клееных
многослойных оболочек с возгоняющимся в процессе работы
компонентами материала.
Рассмотрим составляющие выражения E.46). Как отмеча-
отмечалось, вероятность Р(А2) может быть определена лишь прибли-
приближенно:
е*<8д). E.48)
Здесь а*, е* и ад, ед—поле напряжений и поле дефорхМаций
в ТЗП и их допустимые значения. Поля а* и е* определяются
с помощью соотношений теории оболочек и должны соответство-
соответствовать концу назначенного срока эксплуатации двигателя в составе
ракеты. Допустимые значения находятся на основе соответст-
соответствующей физической прочности. Для вычисления вероятности
E.48) используется общий подход, изложенный выше. На каж-
каждой из координат полей а* и е* выбираются дискретные точки.
Если имеются соответствующие данные, то в каждой из этих то-
точек рассматриваются дискретные моменты времени эксплуата-
эксплуатации.
В результате получают N\ случайных величин гг,. = а* — од/,
где /=1, N, и N2 величин #v = et — 8л„ где v=l, N2. Общее
число случайных величин щ (щ — общее обозначение для щ и
ин) равно N. Определив значения вероятностей Рг = Р(^г>0)
и коэффициенты корреляций gtv между щ и uVf из выражения
B.87) находят величину Р(а*<сгд, е*<ед).
202

Для мягких покрытий, изготовленных на основе каучуковой
изоляции, величина Р(А2), по-видимому, близка к единице.
Для вычисления вероятности Р(Аз) того, что площадь F вы-
выброса изотермы Г = ГР будет превышать критическое значение
/"д, можно использовать следующий приближенный подход. Оче-
Очевидно, что
если форма пятна не имеет значения.
Величину FR можно найти, зная величину /?д давления в ка-
камере двигателя, значение Гр и характеристики материала кор-
корпуса. Будем считать, что эта задача решена в виде /^ = (p(jci,
*2,..., *с), где хи при i=l, с — некоторые характеристики (на-
(например, х\ = рд, x2 = Tv и т. д.). Тогда из соотношений A.72) —
A.80) можно найти среднее значение Рд и дисперсию gf для Fa.
Задача по определению функции распределения площади вы-
выброса случайного поля Tv(x, у, т) за ограничивающую поверх-
поверхность относится к числу нерешенных, а имеющиеся исследова-
исследования в этой области приводят к весьма громоздким вычислениям
даже при достаточно больших допущениях [46]. Вместе с тем
можно считать, что пятно образуется в силу выхода на поверх-
поверхность коррелированных точек изотермы Tv(x, у, т), поскольку
в противном случае было бы маловероятным скопление множе-
множества точек в районе небольшой (по отношению к внешней по-
поверхности корпуса) локальной площади пятна. Поэтому поло-
положим F = kR2, где JR — радиус корреляции, т. е. такое расстояние,
на котором коэффициент Qij корреляции между случайными ве-
величинами U и lj поля E.47), взятыми в некоторых двух точках,
изменяется от 1 (при h = h) Д° Qzj —0,05 [71]. В различных точках
поля E.47) величина R может оказаться различной, если поле
неизотропно. Пусть R найдено и является константой, тогда при-
приближенно Р(Лз) =F(h3), где А3= (яЯ2—Рд)/ар^ если F^ распре-
распределено нормально.
События Л2 и Аз будем считать независимыми. При этом,
как видно из выражения E.46),
A-1и E-49)
где Р(А2) находится из соотношения E.48);
?г = 1-Рт=1-Р{/(.к, у, т)>0, тее[0, тр]}.
рстановимся в заключение на рассмотрении вероятности
)=l—Р[1(х, у, т) >0, т^@, тр)]. Здесь в зависимости от
материала ТЗП возможны два случая: скорость w продвижения
изотермы Tv(x, у, х) —монотонная функция; скорость w немоно-
немонотонна. В первом случае в каждой точке ТЗП (х0, Уо) функция
Нхо> Уо, т) монотонна и не возрастает по т. Это обстоятельство
203

согласно п. 2.3 позволяет рассматривать в соотношении E,46)
случайное поле l(-) только при т=т0. Действительно, в данном
случае, если в момент окончания работы двигателя выхода изо-
изотермы Гр(-) на поверхность теплоизолируемой конструкции
не произойдет, то его не будет и в интервале [0, тр]. Тогда
Рт = Р{1(х, у, т)>0), т€=[0, tp] = P{/(*, у, tp)>0}.
В случае когда w — немонотонная функция времени, следует
учесть значения /(•) в ряде дискретных моментов времени.
На этапе проектирования с помощью методов теории абля-
абляции материалов [90] находится положение фронта изотермы
Гр(-) в момент окончания работы двигателя. На внутренней по-
поверхности ТЗП выбираются ряд N дискретных точек, позволяю-
позволяющих представить вероятность Рт в виде
РТ = Р{'(*. У> тр)>0}=Р(//>0, v i=
где Ai = {1{>0}—случайное событие, состоящее в успешном
функционировании ТЗП в /-й точке.
Тогда согласно выражению B.83) находим
где Kn — величина, зависящая от коэффициентов Qij корреля-
корреляции между U и lj при /е[1, N], /</, а также от Р,^
и определяемая из выражения B.80) или прибли-
приближенно из выражения B.88);
Рда-= mInP/e
1<1<N
Величина Рг = Р(/г>0) находится из выражения
где f(U) —функция плотности вероятности случайной величины
U. В частности, при нормальном законе распределения U с пара-
параметрами li, Gii
где F(•) — интеграл Лапласа.
Величина Рг- может быть найдена также следующим обра-
образом. Вместо поля толщин 1(х, у, тр) можно рассматривать поле
«жизни» ТЗП t*(x, у, тр), где в каждой i-ik точке т*=тр-"
201

/ог и до* — начальная толщина и средняя скорость продви-
продвижения изотермы Гр( •) в 1-й точке;
бг — минимально допустимое значение остающейся
толщины ТЗП в /-й точке.
В этом случае в выражении E.40) P/ = P(t*>tp) = PF/>0).
Пусть т* распределяется по закону Вейбулла с параметрами А,,-
и аи а тр=const. Тогда
При нормальном распределении т* и тр
E.51)
где согласно выражениям A.72) и A.73)
1 E.52)
Для расчета Ртзп может быть использована следующая ме-
методика. Пусть с помощью уравнений теории теплопроводности и
абляции материалов выбран профиль ТЗП. Требуется оценить
показатель надежности ТЗП, если предполагается изготавливать
его из мягкого покрытия, а для расчета скорости W\ продвиже-
продвижения изотермы Гр(-) в i-ik точке покрытия использовать фор-
формулу [90]
М^)» E.53)
где ki — некоторый коэффициент, определяемый из
опытных данных;
Рдь Vu To — давление, скорость и температура торможения
потока продуктов сгорания в /-й точке ТЗП.
Поскольку выбранное покрытие является мягким, а величи-
величины F и FR в задаче неизвестны, то из выражения E. 49) нахо-
находим оценку величины Ртзп^Рт, считая, что 0г распределены
нормально со средним 9г- и дисперсией а^, определяемыми из
выражения E.52), в котором Той Wi и & , о2м —средние значе-
значено/ /
ния и дисперсии начальной толщины и скорости продвижения
205

изотермы Гр(-) в /-й точке ТЗП; tp и а^ —среднее значение и
дисперсия времени работы двигателя. Вероятность Рг успешно-
успешного функционирования ТЗП в i-и точке вычисляется с помоШью
соотношения E.51). При этом значения /0/ и aj находятся из
условий проектируемого допуска на изготовление ТЗ_П
(Qi^loi^bi). Приближенно loi = (bi — ai)/2; о/с/ = (*/—#/)/2 |/3 .
Значения w% и о2, находятся с помощью соотношений E. 53) и
A.72) — A.73). Величины bh а2 , тр, a^ в выражении E.52)
определяются с помощью соотношения A.72) — A.80) и с ис-
использованием соотношений теплопередачи и внутренней балли-
баллистики РДТТ [90, 61]. Пусть найдены значения величин hi =
= li/Oi во всех N точках и определены Pi=/7(Ai). После этого
n
рассчитывается произведение [} Рг, минимальное из Р,, и окон-
/=i
чательно определяется значение Р^РТ по формуле E. 50), в ко-
которой для вычисления Kn согласно равенству B. 88) необходи-
необходимо найти c = N(N—1)/2 коэффициентов корреляции q2-j для
каждой пары величин /г- и /j. Из выражений /г = /о г—^гТр—бг-;
h = ^oi—^jTp—6j следует, что выражение
приводится к виду
где зк,..—ковариация случайных величин w{ и Wj\ для упроще-
упрощения задачи принято, что пары случайных величин /Ог- и /oj; /о г и
(шг-Тр); /Oj и (t^jtp); (^^j) и (тртр) независимы.
На основе формул A.73) — A.80) и из выражений для w\
и Wj (последнее получается из выражения E. 53) при замене
индекса / на /) легко может быть получено соотношение для
Gwij = 3wi3wjQiaiwJ. Максимально упрощая решение, положим, что
величины ки рДг, f; и, кроме того, ah ь\ в каждой точке од-
одни и те же. Тогда
Qij = ——-2 2 - 2 —=0.
206

где
согласно формуле A. 73)
4 + 0,64 Ы
? • \Р
> То, Гр и
а2 , о|,
соответст-
соответстaj. —средние и дисперсии
вующих величин, определяемые на основе соотношений
A.72) — A.73) из уравнений внутренней баллистики и термо-
термодинамических соотношений. Вычисление величин р^ и аР { мож-
Рис. 5.3. Схема сублима-
сублимации теплозащитного покры-
покрытия:
У—стенка корпуса; 2—началь-
2—начальное состояние ТЗП; 3—толщина
слоя ТЗП, унесенная потоком;
4—толщина обуглившегося слоя;
5—поверхность изотермы с Т=
= Гр в рассматриваемый момент
времени; б—толщина зоны со
спадом температуры от Гр до
Тп (Тн — начальная темпера-
температура ТЗП); 7—остающаяся тол-
толщина ТЗП — 1(х, у, х)
но в первом приближении осуществить с использованием соот-
соотношения Бори [61], а более точно—методом Монте-Карло с при-
привлечением развернутых соотношений термогазодинамики РДТТ.
Аналогично находятся и остальные величины, входящие в выра-
выражения для w и aw. Пусть величина
Тогда искомое значение показателя надежности равно
п р/ + (р- - п А \ V
На этапе отработки величины U в N точках возможно опре-
определять непосредственно после окончания работы двигателя пу-
путем измерения оставшихся толщин ТЗП (рис. 5.3). Значения Ц
при этом могут оказаться ужесточенными (заниженными)
вследствие возможного эффекта дополнительного теплового
воздействия на ТЗП из-за догорания остатков топлива, горения
материала ТЗП, теплообмена с нагретыми частями соплового
блока и т. д. Это приведет к получению гарантированных оценок
вероятности Рт, выражаемых в виде E.49) и E.50), где (при
нормальном законе распределения)
207

п )
E.54)
"' (л-1)о/ву
V=l
я — число испытаний двигателя.
Ввиду ужесточенности оценок для Рт в выражении E. 54)
величина з2 положена равной нулю. Учитывая, что
где /mm — минимум случайного поля в соотношении E.47), ве-
вероятность Рт можно оценить также с помощью длительных ис-
испытаний, проводимых на время, большее, чем штатное время
работы двигателя (см. 3. 1). Возможно также установление за-
закона распределения /mm методами математической статистики
по данным испытаний. Пусть функция распределения /тщ яв-
является нормальной. Тогда
¦-V
i=\
где Г. —минимальное значение / в /-ом испытании. На основе
соотношений п. 2. 2 может быть найден и доверительный интер-
интервал для Ртзп.
Остановимся теперь на случае, когда скорость w является
немонотонной функцией времени. Такой случай наиболее харак-
характерен для ТЗП тех участков двигателя, где интенсивно уносит-
уносится обуглившееся покрытие (например, внутреннее ТЗП сопел
РДТТ). При больших тепловых потоках, вызывающих сильный
неравномерный по толщине нагрев материала покрытия, возни-
возникают термические напряжения, приводящие к растрескиванию
поверхностных слоев материала [90]. Одновременно происходит
разложение связки ТЗП с выделением газообразных продуктов,
под воздействием давления которых поверхностный слой вздува-
вздувается и подвергается дальнейшему разрушению скоростным
напором потока газов и силами трения. В результате возника-
возникают локальные вздутия и вырывы на поверхности покрытия.
С точки зрения построения математической модели процесса
продвижения изотермы Тр(-) в глубь покрытия для данногс
случая характерно, что на механизм монотонного продвижения
208

изотермы Гр(-) накладывается воздействие явления «вырыва»
материала и, как следствие, осуществляется скачкообразно
уменьшение остающейся толщины покрытия в отдельных участ-
участках случайного поля 1(х, у, т). В связи с изложенным вместо вы-
выражения для Рт в виде Рт={1(х, у, т=тр)>0}, использован-
использованного выше, приходится рассматривать весь процесс продвижения
изотермы Тр(-) и находить Рт из более общего соотношения
Pr = P{/(x,y,t)>0, T<=[O,tp]}. E.55)
Для решения задачи по определению вероятности E. 55) примем
следующие допущения:
— скорость продвижения w изотермы Гр(-) является моно-
монотонной функцией с одной и той же дисперсией до и после воз-
возникновения вырыва (средние значения w и wr скорости до воз-
возникновения вырыва и после него могут быть различными);
— возникновение вырыва в различных точках покрытия яв-
является равновозможным;
— среднее значение А глубины вырыва А и дисперсия А, рав-
равная <3д, одинаковы в любой точке покрытия.
Можно показать, что эти допущения имеют разумное обо-
обоснование, а приведенные выше соотношения в рассматриваемом
случае сохраняются при подстановке в них величин Рг, имею-
имеющие вид
где /(тв) и /(тр) —функция плотности вероятности времени до
возникновения вырыва и времени работы
двигателя;
U~lo—^гТр — оставшаяся толщина ТЗП в его 1-й точке
без учета вырыва.
Пусть тв распределено по закону Вейбулла с параметрами
Я и а, а /*, I'. имеют нормальное распределение. Тогда
о
о/ — w/tB - wj (тр — тв) - Д
если тр неслучайно. В общем случае
p,.=j/(tp)p;.(tp)rfTp.
О
209

Дальнейшее уточнение метода определения величины Ртзп
связано с усовершенствованием методов проектирования ТЗП
и более полным учетом совокупности действующих нагрузок, та-
таких как вибрационные, транспортировочные, а также с учетом
возможного изменения характеристик материалов при хранении.
Изложенные методы определения показателя надежности
ТЗП в одинаковой мере могут быть использованы как для ТЗП
корпуса, так и для покрытий других элементов двигателя: со-
соплового блока, сопел отсечек тяги и т. д.
5. 2.3. Показатель надежности твердотопливного заряда
Твердотопливный заряд РДТТ представляет собой блок топ-
топлива определенной формы, размещаемый внутри корпуса дви-
двигателя. Изготавливается заряд прессованием или заливкой з
корпус. Поверхность заряда, непредназначенная для горения,
бронируется. Заряд либо вкладывается в корпус, будучи отдель-
отдельно изготовленным, либо скрепляется с корпусом.
Условия успешного функционирования заряда подробно ис-
исследованы в работах [7, 57], где показано, что исходными рас-
расчетными случаями нагружения для построения этих условий
являются:
— изменение температурных условий в процессе изготовле-
изготовления двигателя (при полимеризации, термостатировании и т. д.);
— длительное хранение ракет в горизонтальном или верти-
вертикальном положении;
— транспортировка ракет;
— работа двигателя на траектории.
Для каждого этапа созданы методы расчета напряженно-де-
напряженно-деформированного состояния заряда [7, 57]. Так, например, в ра-
работе [7] рассмотрен телескопический заряд и показано, что на
этапе изготовления максимальная относительная деформация
на внутренней поверхности заряда в функции перепада темпе-
температур AT после завершения охлаждения и достижения тепло-
теплового равновесия в первом приближении определяется как
Здесь
Л № Е„
[ УИ2-1 + ?к
— (aK/aH)] aH
Л V* \[, 1 (Ж2-1) Еп A-
V l-tJl" М2 (ЛГ2-1) Ек (l-(
210

где ?п и Ек — модули упругости твердого топлива и материала
корпуса;
fiin и jLiK — соответствующие коэффициенты Пуассона;
а, Ь, с — внутренний, наружный радиусы заряда и радиус
корпуса;
AT — перепад температур полимеризации и хранения;
(хп и ак — коэффициенты линейного расширения топлива и
материала корпуса.
Напряжения отрыва в данном случае находятся по формуле
1__ ЕПАТА Ml— 1
В работе G] дано уточнение приведенных формул для ei и в\
ш получены соотношения для всех случаев нагружения заряда.
В результате могут быть сформулированы два условия успеш-
успешного функционирования заряда в составе двигателя.
1. Условие достаточной прочности собственно заряда
, E.56)
где Heijll и Henijll — матрицы размера N\XN2\ /=1, Ni\ j=
=UV2;
?ц и Euij — элементы матриц Не^Н и ||enijll;
?ij и En ц — расчетная обобщенная деформация в
/-й точке канала заряда, определяемая для
i-ro этапа нагружения заряда и предель-
предельно допустимая деформация, соответствую-
соответствующая /-й точке и /-му этапу эксплуатации;
N\ — число этапов нагружения заряда (измене-
(изменение температурных условий в процессе
изготовления и в различные периоды приме-
применения, длительное хранение в горизонталь-
горизонтальном или вертикальном положении, транс-
транспортировка, работа двигателя на траекто-
траектории и т. д.);
N2 — число точек заряда, для которых рассчиты-
рассчитывается функция <pi (•);
cpi(-) —некоторая функция.
В общем случае (см. 2. 3) целесообразно выбрать N2 дискрет-
дискретных точек заряда таким образом, чтобы совокупность этих точек
однозначно характеризовала поле деформации блока топлива,
что и учитывается в условии E. 56).
2. Условие достаточно прочного скрепления заряда с кор-
корпусом
МЫ, ||а*Л \\ЫМ ll(^y)JI]>0, E.57)
Ы, |Ь;у||, ||C/Д|| и ||(г/7)д||-матрицы размера N[X^r
211

xip °*п и (Gij);o (т/;)д —элементы матриц — касательные и нор-
мальные напряжения, действующие в
/-й точке поверхности скрепления заряда
с корпусом (на /-ом этапе), и их допу-
допустимые значения;
ф2(-) — некоторая функция.
Функции cpi(-) и ф2(-) находятся на основе соответствующей
физической теории прочности.
Наряду с условиями E. 56) и E.57) должны выполняться
требования на характеристики: скорость горения и, удельную
тягу / и массу <о3 заряда
и>и0; />/0; w3Oo, E.58)
где и0, /0 и со 0—требуемые значения и, I и соз, оговариваемые
в условиях на изготовление.
В соотношениях E. 58) учитываются характеристики, «обес-
«обеспечиваемые» преимущественно зарядом (величина / зависит так-
также и от характеристик других элементов двигателя) и влияю-
влияющие на баллистические характеристики ракеты (дальность
стрельбы, кучность).
Будем считать, что нарушение условий E. 56) и E. 57) со-
сопровождается резким увеличением поверхности горения с по-
последующим забросом давления и разрушением двигателя. Тог-
Тогда показатель надежности заряда согласно выражению B. 44)
выражается в виде
-^со A - Л„с») + ЯиЯД» A - ^/«0, E. 59)
где Ря=1-?в =
Л/со, Лсои, Лм, Л/, Лш, Ли/, Ли/со — коэффициенты, определяемые со-
согласно п. 2.2 с привлечением уравнений движения центра мас-
массы ракеты [31].
В действительности нарушение условия E. 57) не всегда вы-
вызывает резкое увеличение поверхности горения и может привести
к созданию направленного теплового и эрозионного воздействия
на ТЗП и, как следствие, к локальному прогару покрытия в
районе отслоения топлива. Этот вид выхода двигателя из строя
также может быть рассмотрен в рамках приведенных соотно-
соотношений.
Определение величин Рш Pj, Po, в выражении E.59) не вы-
вызывает каких-либо трудностей, если известны функции плотно-
плотности вероятности случайных величин и, /, со3. Пусть эти величи*
212

ны распределены нормально со средними значениями и, /, со?
и дисперсиями о?, oj, о^ . Тогда
^
где F(•) — функция Лапласа.
Из двух входящих в выражение E.59) функций cpi(-) и
фг(-) остановимся на одной: cpi(-)- В работе [7] показана воз-
возможность использования линейной модели накопления дефор-
деформаций в заряде и использования условия
Nx
если рассматривать одну /-ю точку в заряде. Следовательно,
можно считать, что
~ E.60)
где Ni и N2 — число этапов и число точек, выбранных в блоке
топлива. Тогда согласно выражению B. 83)
ры-)>о}=П P/+(p«
[ l )
гдеР7- = Р|\ -^-<^1> —вероятность выполнения условия
E. 60) в /-й точке;
Pm=min Р,; Kn2 — коэффициент, определяемый из вы-
Kj<N2
ражения B.80) или приближенна
из выражения B.88).
Для определения Pj воспользуемся оценкой снизу B.76), со-
согласно которой
где s/y, еп/;. —средние значения s/y., enij;
213

/ Nt ч-1 , Nt ч-1
.s^ ==sup ( Лг -^- ] —наибольшее значение функции I \ -^- I .
В тех случаях когда оценка Pj оказывается слишком зани-
заниженной, вероятность Pj может быть найдена методом статисти-
статистического моделирования по известным функциям плотности ве-
вероятности случайных величин ец9 г^ц.
Удобным для использования является также следующее
-очевидное соотношение:
/ Nl
где е' ==minen//; s и а2 —среднее и дисперсия s (общее обозначе-
1 Ki<Nt
«ние);
F(-) —функция Лапласа.
В этом случае вместо выражения E.61) можно использо-
использовать соотношение
[1
где Лт — минимальное значение из hy,
2~ V arcsinp/y при j=l,N2; /<y,
Введем обозначения: при /= 1, N2, k= 1,
где
Тогда
E.62)
если случайные величины г'пк и s^, а также е'1 и e'k независимы.
В выражении E. 62)
214

2, , 2 2 2.
Q6' ' и о '' —коэффициенты корреляции случайных величин
life uj j k
где
ae.^ — средние квадратические отклонения, опреде-
определяемые с помощью выражения A.73) на ос-
основе приведенных выше расчетных соотно-
соотношений;
y., Qe2ftf1y»--- — коэффициенты корреляции, определяемые па
формуле A.80) на основе расчетных соотно-
соотношений для вычисления деформации
Оценка для Qe' e» имеет вид
ПК HJ
П\По
ni и п2 — число физико-механических испытаний по определе-
определению в', и е' ;
Величины еп/, of/ (l = k,j) также оцениваются по данным
физико-механических испытаний образцов топлива, из которых
находят несмещенные оценки
21 ?

en/,; a2n/ = (^- I)-1
v=l v=l
Аналогично может быть определена вероятность Р{ф2(-)>0}
Подставляя в выражение для показателя Р3 надежности заряда
оценки епг, опи ... величин епг и апь ..., находят приближенное
значение оценки Р3. Из формулы B. 65) может быть определена
также нижняя граница Р3 доверительного предела для Р3.
Следует отметить, что методы прочностных расчетов [7] пред-
лолагают заряд изотропным. В действительности, несмотря на
контроль в производстве, возможно «просачивание» дефектов
в виде раковин, разноплотности в блоке топлива, влияние кото-
которых оценить с помощью методов теории проектирования заряда
.[7, 57] еще не удается. Поэтому полученные оценки показателя
Р3 важно в последующем сопоставлять и объединять в обоб-
обобщенную оценку с данными натурных испытаний.
5.2.4. Показатель надежности соплового блока
Сопловой блок РДТТ представляет собой элемент двигате-
двигателя, включающий в себя входную часть, вставку критического се-
сечения сопла, переходные вставки и расширяющуюся часть (рас-
(раструб). В ряде случаев с целью регулирования направления тяги
сопловой блок или его часть (например, расширяющаяся
часть) изготавливаются в подвижном исполнении с соответству-
соответствующей системой уплотнения. Конструктивно сопловой блок
лредставляет собой многослойную составную оболочку, элемен-
элементы которой — короткие толстостенные и тонкостенные оболочки
различной формы. Часть из этих элементов выполнена из гра-
графита или других термостойких материалов, часть оболочек вы-
выполняет роль ТЗП. Методы проектирования сопловых блоков
изложены в работе [7] и позволяют заключить, что целесообраз-
целесообразно рассматривать следующие условия успешного функциони-
функционирования.
1. Условие достаточной тепловой и эрозионной стойкости теп-
теплозащитных элементов
ит = 1(х, у, т)>0,
где /(•) — поверхность изотермы внутри теплозащитных элемен-
элементов соплового блока (подложки, ТЗП расширяющейся части и
т. д.) с температурой Т, равной температуре разложения Гр ма-
материала ТЗП;
2. Условия достаточной прочности и устойчивости элементов
соплового блока
216

где а* и а* — поле напряжений, вызываемое воздействием дав*
ления и температуры, и его допустимое значение;
р и /?кр — давление на внешнюю поверхность раструба я
критическое давление, при котором происходит
потеря устойчивости оболочки раструба.
3. Условие герметичности уплотнительного устройства
Руп > Ар ИЛИ Uyn = Руп ~ Рс? > 0, E. 63)
где /?уП и /?Ср — контактное давление на уплотняемой поверхно-
поверхности и давление продуктов сгорания (давление уплотняемой сре-
среды) в районе уплотнения.
4. Условия приемлемости выходных характеристик
РУпр>(Руи?\; Мъ<МъЛ Д/<Д'Д, E.64)
где /7упр, М1% д' и (яупр)д, AfSl, А/д — управляющее усилие,
суммарный момент на валу рулевой машины, потери удельного
импульса при регулировании и их допустимые значения, огово-
оговоренные в документации.
Нарушение условия иа >0 для некоторых элементов может
еще не привести к выходу соплового блока из строя. Например,
растрескивание входной вставки в конце работы двигателя не во
всех случаях приведет к разрушению соплового блока.
Запишем выражение для показателя надежности соплового
блока в виде, соответствующем B. 44):
=р(п
1
Число k\ включает: k\\ условий вида E.64) на входные ха-
характеристики соплового блока; ki2 условий по прочности ио. > О
при /=1, ^12 в kiz точках поля uQ (координаты которых рас-
расположены на осях х} у, z, т); кхъ условий иТ{ >0 при i= I, k\z no
тепловой и эрозионной стойкости в ki3 точках поля ит\ k^ ус-
условий по герметичности уплотнительного устройства и условие
по устойчивости. В числе k — /г± случаев учитываемые в пересе-
k _
ЧеНИИ П Аг СОбыТИЯ Ai ОДНОЗНаЧНО (При ЭТОМ TJi= 1, V / =
/ 1
= 1, k — ki) приводят к невыполнению задач, возложенных на
ракету, вследствие разрушения соплового блока, заклинивания
поворотной части, потери управления и т. д.
217

В ряде случаев условием по прочности может учитываться
не поле напряжений, как это сделано выше, а поле деформа-
деформаций или другой критерий физической теории прочности. Это не
изменяет общего подхода, изложенного выше, и отражается
лишь на исходных соотношениях, используемых в прочностных
расчетах.
Методы прочностных расчетов сопловых блоков РДТТ край-
крайне скупо представлены в имеющейся литературе, что затрудня-
затрудняет дальнейшую детализацию приведенного способа оценки пока-
показателя Рс. б надежности соплового блока на этапе проектирова-
проектирования. Вычисление же тех из вероятностей qu которые учитывают
условия E.64) и входят в условие E.65), а именно:
?3=Р(д/>дд; ?4=
напротив, не вызывает затруднений. Действительно, /?уПр, Ms,
АЛ /?ср> Рун являются случайными функциями времени т работы
двигателя в составе ракеты, определяемыми для каждой кон-
конкретной схемы соплового блока аналитическим путем. Так, для
поворотного сопла используются приближенные соотношения
/»уир=/?д5то(х); M^Mr + Mn = Bsign^-+Mn[a(x)]; E.67)
А/^А/0+ **[l-cosa(T)] t E68)
G
Здесь RR = ewaG-{-Fa(pa — рн) — тяга двигателя;
q __—x —секундный массовый расход про-
у RT
дуктов сгорания;
Ра и Рн — статическое давление на срезе
сопла (площадь среза Fa) и дав-
давление окружающей среды;
a=\ —^—RT0 1 — (-^-) % — скорость истечения продуктов
сгорания в сечении сопла с пло-
площадью Fa;
g, R, Го и рд — ускорение силы тяжести, газовая
постоянная, температура и дав-
давление торможения в камере дви-
двигателя;
к и Ах —показатель адиабаты и завися-
зависящий от нее коэффициент;
2
218

Ф — коэффициент потерь;
FKV—критическое сечение сопла;
Д/о — потери удельной тяги при совпа-
совпадении оси соплового блока с
осью двигателя (т. е. при отсут-
отсутствии регулирования направле-
направления тяги);
а(т) —угол отклонения сопла в функ-
функции времени т работы двигателя
в составе ракеты;
Мтр — момент трения в подвеске по-
подвижного сопла;
Мц — «возвращающий» момент, обу-
обусловленный реакцией потока на*
принудительное изменение на-
направления течения.
Угол а(т) является случайной функцией возмущений, дейст-
действующих на ракету. На этапе проектирования и наземной отра-
отработки реализации аг(т) случайной функции а(т) могут быть
найдены путем моделирования процесса движения ракеты на
активном участке траектории. По формулам вида E. 67) рассчи-
рассчитываются реализации случайных функций Рупр(т), Мъ (т) и
Д/(т) с целью определения вероятностей qt из соотношений:
E.66). Выбирая N моментов времени на отрезке [0, тр], опреде
ляют вероятности Рг- того, что случайная величина /?Упр(тг) не
превысит значения (/?упр)дили
Далее находится коэффициент корреляции qzj для каждой пары
величин
где [(ауПр)д]2 — дисперсия случайной величины (руПр)д;
аупР^) и Glup(xj) -Дисперсия /7ynp(t) при x=xi и т=ту;
QPr (х.)р (тл = Q;/ — коэффициент корреляции случайных вели-
чин pyTl,(xL) и /?упр(г;.).
При этом согласно соотношениям E. 67) — E. 68)
°упр (Xi) ~ ^Д°з1п а(т.) + Sin2 а (*/) *а/?
З
219

, _ {[/упр (/) /упр (/)] [рупр (ту) — /?упр (-су)]}
°упр
(Ту)
°sin a(x.)asin a(xy)Qjy - ^ц Sin О/' Sin
где q"u—коэффициент корреляции слу-
случайных величин sina(ti) и
sina(Tj), оцениваемый с по-
помощью выражения A. 136) по
значениям sina(t) в реализа-
реализациях случайной функции
__ _ sina(x) при x=Xi и х=ху,
Лд и аг = а(тг), aj = a(Xj) —среднее значение тяги (вычис-
(вычисляется как функция от сред-
средних значений аргументов) и
среднее значение а(т) при
X = Xi И T = Tj#,
asin«(x.)' asina(x;) и о^ —дисперсия sina(x) при т=т4
и x=Xj и дисперсия тяги, вы-
вычисляемая с помощью выра-
выражения A.73) и выражения
для тяги (выражение длл
о\ ввиду громоздкости не при-
приводим, но его легко получить,
вычислив соответствующие
производные).
Пусть случайные величины рущ>(х{) и (рупр)д распределены
нормально. Тогда вероятность выполнения условия /?упР> (/?Упр)д
При Х = Х{
)
__р Г(/?упр)ч— />у-цр(Т/
L *i
где F (•) — интеграл Лапласа (см. табл. П. 1);
^ynp^O — ^sina^-);
)д — среднее значение (/?уПр)д.
220

Таким образом, имея значения Р* и q2j, при /=1, N, V j>t из
выражения B.87) находим искомое значение
n
N
Рт - П
Аналогично вычисляются и вероятности #2, 9з, входящие в соот-
соотношение E.66). Ход рассуждения при расчете других состав-
составляющих q\ показателя Рс. б в основном сохраняется при исполь-
использовании аналитических соотношений, описывающих величины,
входящие в соотношения E.66). Пусть например, условие
ир>0 по устойчивости может быть представлено в виде [7]
где рн — давление окружающей среды;
б и / — толщина стенки и длина расширяющейся части
сопла;
7?2 —второй радиус кривизны у среза сопла;
Е — модуль Юнга для материала сопла.
Величины б и рн являются случайными функциями времени
т работы двигателя в составе ракеты, поскольку толщина б из-
изменяется вследствие уноса материала (бя^бо — w, где бо —
начальная толщина расширяющейся части), а давление рн изме-
изменяется с высотой полета.
Выбираем N значений т* и для каждого т* с помощью фор-
формул A.72), A.73) находим величины
\ R2 I I
где Е, Лг, б(тг) и I—средние значения случайных величин
Е, R2i6(Xi) и/;
Рн(тг-) — среднее значение
а2 а2 а6
где v% =; v% ?*; v2 L
E
; v% ; v ; v Jj_
I2 «> R\ * Pfr) l Ь
°l> °/?2» ai» al и Зн(г/)~"дисгтеРсии случайных величин Е, /?2,
^(.Т/)э / и pn{%i). Пусть Ui имеет функцию нормального распреде-
распределения. Тогда
221

— вероятность сохранения устойчивости раструба в момент
х=ХгУ где F(•) — функция Лапласа.
С помощью выражения A. 109) находим коэффициент корре-
ляции величин щ и щ Qij = \<syjayjQyiyj~\~apR(^i)apH^j)Q*\9
си.аи:
I J
где gUj — рассчитывается по формуле для gU[ при замене индек-
индекса / на у; yt = и,У^? —^^- -^- ; yt = у, при г = j;
q#—коэффициент корреляции между рн(ъ) и pn(xj), опре^
деляемый из выражения A.136) на основе обработки реализа-
реализации /?н(т) случайной функции рн(т) при т=Тг и t:=tj;
А
7
=а2 при / = у;
3 3
I-1; y* = 0,9
8/ = 8*(ti)=[8(t/)f; 8*(ty) = [8(t
5_ 5_
8* (T(.)«G0 - ^t,f ; 8* (t;.) ж D - wtjf ;
— G0_ St;)""
2 I
т2 1=--
^w /о \ dw /о
^ «»]=-
222

Имея значения Pi9\/i^[l, N] и qv.!;. V i</e[l, N], по форму-
формуле B.87) можно определить искомое значение вероятности
P(i/>0) сохранения устойчивости расширяющейся части соп-
сопла. Аналогично, привлекая соотношения для расчета руп и /?Ср,
легко найти q^ из соотношений E. 66).
Таким образом, на этапе проектирования и расчета конст-
конструкции соплового блока на прочность и на устойчивость с уче-
учетом температуры нагрева его элементов определение показате-
показателей надежности с помощью методов, изложенных в разд. i,
принципиальных затруднений не вызывает.
На этапе испытаний возможно представление показателя
Рс. б в виде Рс. б = РвнРп, где Рвн и Рп — вероятности невозник-
невозникновения неисправностей «внезапного» и «постепенного» типа.
Составляющие РВц и Рп могут быть найдены по данным цикли-
циклических и ресурсных испытаний соплового блока в сборе или его
элементов на соответствующих установках (см. 3. 1).
5.3. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
При проектировании двигателей обычно предполагается, что
характеристики рабочего процесса и возмущения заданы и по-
постоянны. Однако в реальных условиях работы двигателя на ха-
характеристики рабочего процесса влияют возмущения, которые
являются случайными величинами или функциями. Вследствие
этого могут нарушиться условия успешного функционирования,
рассмотренные выше.
Всю совокупность возмущений, влияющих на характеристики
рабочего процесса, можно разделить на две группы: внешние и
внутренние. К внешним возмущениям относятся те, которые не
связаны с конструкцией двигателя, а определяются условиями
эксплуатации и характеристиками внешней среды. Внутренние
возмущающие факторы — это те, которые определяются конст-
конструкцией двигателя, условиями и технологией производства и ис-
испытаний.
Статистические оценки возмущающих факторов (точечные и
интервальные) определяются путем обработки данных реализа-
реализаций или моделированием в соответствии с разд. 1.
Статистические характеристики двигателя могут рассчиты-
рассчитываться при следующих упрощающих предпосылках: характери-
характеристики рабочего процесса являются случайными функциями с
нормальным законом распределения в каждый момент времени
и зависят от :возмущающих факторов линейно.
Допущение о линейной зависимости характеристик рабочего
процесса от возмущающих факторов в общем случае несправед-
несправедливо. Как правило, эти зависимости нелинейны. Однако это до-
допущение может быть принято, так как при работе двигателя
область изменения значений возмущающих факторов и харак-
223

теристик рабочего процесса ограничена, и зависимость выход-
выходных характеристик двигателя от возмушающих факторов может
быть линеаризована в окрестности их средних значений.
Пусть характеристика у\ двигателя определена функциональ-
функциональной зависимостью вида yj=fj(yu у2,..., yN ; хи х2,..., хк )>
где у\ — характеристики рабочего процесса, t=l, N, 1ф\\
Хг — возмущающие факторы при i=l, k. Тогда с помощью со-
соотношений A. 72) — A.80), имея средние значения ту. и тХ[
и дисперсии <4., о^. величин у\ и хи можно найти среднее зна-
значение и дисперсию yj. В силу принятого допущения получаем
2
где z=yiy хи а производные берутся в точке у{ =
= mXi, что обозначается индексом «О».
Согласно выражениям A.72), A.73)
В общем виде методика расчета статистических характери-
характеристик двигателя заключается в следующем [21]. Для стационар-
стационарного (установившегося) режима работы записывается система
нелинейных алгебраических уравнений, описывающих рабочие
процессы в агрегатах двигателя.
Система уравнений имеет вид
У] — /^У^У2у-уУм,х1,х2У...,хк) = 0 при j=\,N.
Линеаризуя уравнения системы и записывая зависимость в стан-
стандартном виде, из соотношения E. 69) получим
E-70)
где Lyi = yi — mi\ ^xl=xl — mxr
Для сравнения отклонений параметров для разных условий и
двигателей удобно использовать систему уравнений в относи-
относительных отклонениях [21]
N
Тогда
где atJ=
3
// /о myj \ дх. /0 ту.
224

что позволяет использовать матричную запись E.70)
где
А =
В =
ап а12 а13 ... а1М
п21 #22 #23 • • • п
ш
aNl ^N2 aN3
bo* b,
*13 • • • Ь1М
^21 ^22
b
ki uk2 bm
А\\Ъу\\ = В\\Щ\,
— матрица коэффициентов уравнения
в его левой части;
— матрица коэффициентов уравнения
в его правой части;
INI=
8*,
Ьхь
— матрица отклонения характеристик
двигателя и матрица отклонений
возмущений.
^Ух
V
Последнее уравнение разрешается относительно любой характе-
характеристики рабочего процесса:
Щ\\ = А-хВ^Ьх\у
Из этого уравнения и формулы A. 73) следует, что
Л|К|| = ?||^|| и \\vy\\ = A
где \Ш\ =
— вектор-столбцы коэффициентов вариаций vy. =оУIщ. и vX[ =
= oXl/mxr
Приведенное соотношение позволяет при известных коэффи-
коэффициентах вариации возмущающих факторов определить коэффи-
коэффициенты вариации характеристик рабочего процесса.
5.3.1. Определение коэффициентов запасов
Одной из задач проектирования двигателя является обеспе-
обеспечение гарантии того, что за время его эксплуатации не насту-
наступит ни одно из предельных состояний его агрегатов, т. е. не на-
нарушатся условия их успешного функционирования. Решение этой
задачи заключается в определении рациональных характеристик
двигателя при заданных показателях надежности. Эта задача яв-
является по сути дела оптимизационной, и решение ее зависит от
8 312
225

выбранных критериев оптимизации. Ниже рассматриваются не-
некоторые частные задачи выбора рациональных характеристик
(потребных запасов прочности) элементов двигателя.
Запас прочности конструкции
Рассмотрим оболочку, под которой можно понимать корпус
РДТТ или стенку камеры двигателя ЖРД. Пусть при этом за-
заданы следующие характеристики: требуемое значение показате-
показателя надежности Рт, значение доверительной вероятности у и рас-
расчетные значения коэффициентов вариации характеристик проч-
прочности vPp и нагрузки vPjl. Требуется найти величину оценки
среднего запаса прочности:
обеспечивающего выполнение требований (Рт, у). Решение та-
такой задачи дается соотношением B. 71), из которого следует, что
где А=
/С* = /С(я, у, Рт)—толерантный множитель, определяемый из
табл. П. 3.
Однако одномерная задача не всегда соответствует уровню
проектирования двигателей. В действительности оболочка может
состоять из нескольких секций и узлов, выполненных из различ-
различных материалов. В этом случае в различных сечениях оболочки
запасы прочности могут не совпадать. Если, например, оболочка
состоит из N различных секций, каждая из которых характери-
характеризуется своим коэффициентом запаса прочности г\и
где /=1, N, то тогда задача может быть поставлена так: найти
минимальное значение массы оболочки min Q('X)i) при условии,
что Р>РТ, если
где ^=D1, %.)
В ряде случаев массу оболочки можно представить в виде
N
^ п{9 сц — некоторые величины, зависящие от ха-
рактеристик конструкции и свойств материала.
Применив методы оптимизации и использовав зависимость
B. 90) для P=<p(rijv), можно определить г]г, при которых выпол-
выполняется условие требуемой надежности и минимальной массы кон-
конструкции.
226

Если планируемый объем испытаний не учитывается и при-
принимается допущение о равнонадежности оболочки по сечениям,
то задача решается проще. В этом случае г\г может выбираться
таким образом, чтобы в каждом сечении вероятность неразру-
неразрушения Рг была одинаковой. Тогда из условия
(
или
N-(N-\)Kn ЛГ-1
p>p _! LJ
Находим r\i=
где л,-= -^-—; 5,-1/ Л?--
Ap .— квантиль нормального распределения, соответству-
соответствующая вероятности Рт/ (находится из табл. П. 1);
vp и vp [ — коэффициенты вариации /?р и рд в /-ом сечении.
Запас толщины теплозащитного покрытия
Как отмечалось выше, в качестве показателя надежности
теплозащитного покрытия в первом приближении может быть
выбрана вероятность
(
т= 1
X
где Ui=loi—t wi(x)dx — bi.
о
Здесь /ог и Wi(x)—начальная толщина и скорость уноса
покрытия в i-й точке; бг- — минимальная допустимая остающая-
остающаяся толщина покрытия.
Вероятность Ртзп может быть вычислена с помощью соот-
соотношений вида B.83). Следовательно, задача может быть по-
поставлена аналогично предыдущей.
1. Одномерный случай (концепция «одной точки»).
8* 227

По аналогии с предыдущим находим
где Гун= f w{t)dt и ОуН оценки среднего значения и дисперсии
f {t)dt x \ {
«унесенной» толщины ТЗП приближенно f w{t)dt = wcvx^\ \ {') =
L о 6
/J>, 8 и о?0, а§ —оценки средних значений и дисперсий случай-
случайных величин /о и 6.
Вводя понятие запаса по толщине
находим
Лтзп > 1 + К (/г, Рт, у) Кчтзп^/о + а2унЦн
В последнем выражении
/ ^-ч О/
К (/г, Рт, y) —толерантный множитель.
Таким образом, т}тзп > Ат-\-Вт,
где Ат= 1 —-;
д _ 1 / л2 1 ~ /<2 (/2, Рт> Y) (^ун^ун + <У%)
Т Г Т 1-/<2(AZ,PT,Y)^O
2. Многомерный случай (концепция W представительных
точек)
где выражения для Ат. и 5Т/ совпадают с выражением для Лт
и 5Т при
228

. — запас по толщине в /-й точке ТЗП;
А*— толерантный множитель в многомерной задаче, оп-
определяемый с помощью соотношения B. 90) из ус-
условия РТЗп> Рт.
Кроме задач выбора различного рода запасов (по прочно-
прочности, по устойчивости, по толщине и т. д.), с помощью методов
надежности может быть решен ряд задач выбора рациональ-
рациональных значений характеристик двигателя. Такие задачи весьма
многообразны, а их систематическое рассмотрение, по-видимо-
по-видимому, представляет предмет специального исследования.

Раздел 3
МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ
ДВИГАТЕЛЕЙ
Глава VI
АВАРИЙНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДВИГАТЕЛЕЙ
И МЕТОДЫ ИХ КОНТРОЛЯ
6.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ АВАРИЙНЫХ СОСТОЯНИЙ
6.1.1. Состояния двигателя
Ракетные двигатели являются сложными динамическими си-
системами, состоящими из большого количества взаимосвязанных
агрегатов и элементов, в которых происходят неоднородные про-
процессы. Параметры рабочего процесса в двигателях непрерывно
возрастают. Так, если параметры двигателя ракеты
V — 2 (А — 4) имели значения: /?к=1,5МПа, ша=2020 м/с*
Гк=2800К, я = 3800 об/мин, то в современных двигателях /?к =
= 15МПа, Гк = 4000 К, п=60000 об/мин [21]. Кроме того, со-
современные двигатели эксплуатируются в сложных условиях:
в широком диапазоне температур, в вакууме, в условиях неве-
невесомости, под воздействием агрессивных сред и вибраций с боль-
большой амплитудой и широким спектром частот и др.
Все это привело к тому, что на конструкцию двигателя воз-
воздействуют большие статические и динамические нагрузки и эле-
элементы двигателя эксплуатируются на пределе работоспособно-
работоспособности. Так как двигатели выполняют ответственные функции, то
отказ в их работе приводит к большим экономическим, техниче-
техническим и моральным потерям. Например, отказ элемента двига-
двигателя стоимостью в 5 дол. в США вызвал неудачу в запуске
спутника стоимостью 8-Ю6 дол. [9]. Поэтому чрезвычайно важно
уметь определять состояние двигателя и принимать своевремен-
своевременные меры по недопущению отказа или по локализации его дей-
действия.
Совокупность внутренних свойств двигателя, определяемых
взаимосвязью процессов, происходящих в агрегатах в некото-
230

AC
Упр
g A
Рис. 6. 1. Схема состояний
двигателя
рый момент времени т, называется состоянием. В общем
случае двигатель может находиться в одном из трех состояний:
исправном,аварийном и отказа.
Исправное состояние двигателя характеризуется совокупно-
совокупностью свойств, определяющих его пригодность к эксплуатации,
т. е. когда он удовлетворяет всем требованиям, установленным
на основные и второстепенные параметры.
Состояние отказа — это состояние двигателя, когда он не
удовлетворяет требованиям, установленным на его основные и
второстепенные параметры, или он
становится опасным в эксплуата-
эксплуатации. Состояние отказа определяет
ненадежность двигателя.
Указанные состояния являются
крайними, они рассматриваются при
расчете надежности двигателей.
Аварийное состояние является про-
промежуточным и характеризуется тем,
что в двигателе произошли некото-
некоторые изменения, появились первич-
первичные неисправности, возмущения,
в результате которых изменяются
его характеристики рабочего процесса, но двигатель еще обла-
обладает требуемой работоспособностью. Однако, если не принять
специальных мер, то аварийное состояние неизбежно перейдет
в состояние отказа. Последовательность перехода двигателя из
одного состояния в другое показана на рис. 6. 1,
где у— параметры рабочего процесса;
И — период исправного состояния;
АС — период аварийного состояния;
А — состояние отказа (аварии);
1/пр — предельные значения параметров рабочего процесса,
при которых наступает отказ.
В некоторый момент времени to из-за каких-то причин кон-
конструктивного, технологического или эксплуатационного харак-
характера возникла первичная неисправность (неисправность маги-
магистралей, дефект конструкции и др.), в результате чего начали
изменяться параметры рабочего процесса. Если не принять спе-
специальных мер, то параметры достигнут своих предельных зна-
значений r/пр, определяемых условиями работоспособности, и дви-
двигатель перейдет в состояние отказа. Отказ может проявляться
в различных видах. Основные из них следующие: разрушение
агрегатов, самопроизвольное выключение, выход параметров
рабочего процесса за допустимые пределы, разрушение самого
двигателя.
Аварийные состояния можно классифицировать по следую-
следующим признакам: время экспозиции, коэффициент охвата, вид пер-
первичной неисправности или отказа.
231

Время экспозиции
Промежуток времени тэ=та — to, в течение которого двига-
двигатель находится в аварийном состоянии, называется временем
экспозиции. Длительность экспозиции играет определяющую
роль при выборе мероприятий, обеспечивающих предупреждение
отказа или его локализацию.
Для контроля состояний двигателя может применяться спе-
специальная система, которая с помощью датчиков получает ин-
информацию об изменении параметров рабочего процесса и в слу-
случае приближения их значений к предельным осуществляет с
помощью автоматики перевод двигателя на безопасный режим
работы или выключает его до момента наступления отказа. Оче-
Очевидно, процесс контроля и реализации решения является инер-
инерционным и для осуществления его с помощью некоторой систе-
системы необходимо время тс.
Соотношение между тс и тэ определяет эффективность кон-
контроля аварийных состояний. В зависимости от соотношения ве-
величин тс и тэ все аварийные состояния можно разделить на две
группы: контролируемые и неконтролируемые и соответственна
отказы — на прогнозируемые и непрогнозируемые.
Если тс<тэ, то аварийное состояние является контролируе-
контролируемым. В этом случае специальной системой можно установить
факт наступления аварийного состояния и предсказать отказ.
Если тс>Тэ, то аварийное состояние неконтролируемое, а отказ
не прогнозируется. В данном случае двигатель находится также
в аварийном состоянии, но первичная неисправность переходит
в отказ за очень малое время, и техническая система с конеч-
конечным временем быстродействия не успевает зафиксировать изме-
изменение параметров. В этом случае нет оснований применять спе-
специальные системы предотвращения отказов.
Рассмотренные две группы аварийных состояний и соответ-
соответствующие им отказы подобны принятой классификации отказов
в теории надежности: постепенные и внезапные.
Коэффициент охвата аварийных состояний
Для практических целей создания систем контроля состоя-
состояний двигателя необходимо знать соотношение между контроли-
контролируемыми и неконтролируемыми аварийными состояниями, что
характеризуется коэффициентом охвата аварийных со-
состояний.
Пусть Р, — 'вероятность того, что /-ое аварийное состояние кон-
контролируется системой, тогда
P; = P(^;-tcy)>0. F.1)
Вероятность того, что все аварийные состояния контролиру-
контролируются в предположении их статистической независимости опреде-
определится так:
232

7 = 1
где т — количество аварийных состояний.
Так как контролируемые и неконтролируемые аварийные со-
состояния при заданном тс являются событиями независимыми, то
где РНк — вероятность неконтролируемых аварийных состояний
Коэффициент охвата аварийных состояний численно равен веро-
вероятности прогнозируемых отказов, т, е.
а = Рк. F.3)
Теоретически с достаточной степенью точности а определить
сложно; его можно лишь приближенно оценить по результатам
обработки данных испытаний двигателей, при которых имели
место аварийные состояния. Исходными данными для получения
коэффициента а должны быть тэ, тс и % — количество прогно-
прогнозируемых и п — общее количество аварийных состояний. Тогда
•частость контролируемых аварийных состояний а=пк/п.
Например, в двигателях ракеты-носителя «Сатурн» могут иметь место
229 аварийных состояний. Если предположить, что быстродействие системы
контроля составляет тс=0,05 с, то оказывается, что в I98 случаях аварийные
состояния можно контролировать и эффективно воздействовать на двига-
двигатель [9].
Тогда коэффициент охвата аварийных состояний
~ "к I98 n efi
086
6.1.2. Некоторые типовые аварийные
состояния двигателей
При эксплуатации двигателей принципиально может иметь
место бесконечное множество аварийных состояний. Однако из
всей совокупности аварийных состояний можно выбрать основ-
основные, наиболее вероятные. Характер проявления аварийных со-
состояний и отказов при одних и тех же первичных неисправно-
неисправностях определяется прежде всего схемой двигательной установки
и величиной параметров рабочего процесса. В качестве примера
рассмотрим аварийные состояния двигателей с дожиганием окис-
окислительного генераторного газа.
233

/. Нарушение герметичности жидкостных магистралей
Причины нарушения герметичности жидкостных магистралей
могут быть разнообразные. В основном герметичность наруша-
нарушается из-за дефектов конструкции и производства, вибраций и
высокочастотных колебаний. В трубопроводах вначале возника-
возникают макроскопические отверстия, площадь которых в результате
механического и эрозионно-коррозионного воздействия жидко-
жидкости растет во времени. При возникновении негерметичности
компонент топлива из-за перепада давлений с большой скоро-
скоростью выбрасывается в двигательный отсек. Величину утечки
компонента приближенно можно оценить по зависимости
где F — площадь отверстия;
\х— коэффициент расхода;
Ар=рм — /7ОТ — перепад давлений;
рш—давление в трубопроводе (магистрали);
рот —давление в отсеке.
В зависимости от перепада давлений Ар, который может со-
составлять в трубопроводах двигателя 10—40МПа, утечка компо-
компонента даже при отверстии диаметром 1 мм может достигать
250—800 г/с. В виду того, что двигательный отсек ракеты может
быть загазован парами одного компонента, то при утечке дру-
другого компонента, даже небольшая негерметичность может при-
привести к взрыву или пожару. При нарушении герметичности
вследствие утечки изменяются соотношения компонентов топли-
топлива и все параметры рабочего процесса. Если нарушится герме-
герметичность магистрали окислителя газогенератора ЖРД, то из-за
уменьшения коэффициента соотношения компонентов топлива
увеличится температура газа, что может привести к разрушению
газогенератора, оплавлению лопаток турбины ТНА и прогару
газоводов. При нарушении герметичности магистрали горючего
из-за увеличения коэффициента соотношения компонентов топли-
топлива происходит дросселирование газогенератора и двигателя.
2. Нарушение герметичности газовых емкостей
Нарушение герметичности газовых емкостей (камера, газоге-
газогенератор, газовод) может произойти из-за термического и эрози-
эрозионного воздействия продуктов сгорания, неравномерности поля
температур, конструктивно-технологических дефектов системы,
вибраций и пульсаций.
При нарушении герметичности газовых полостей происходит
выброс продуктов сгорания в двигательный отсек, а это уже
опасно для элементов конструкции двигателя и ракеты. Кроме
того, при выбросе продуктов сгорания нарушается энергетическое
равновесие рабочего процесса, режим работы двигателя форси-
234

руется или дросселируется в зависимости от места утечки газа.
При нарушении герметичности газогенератора происходит утеч-
утечка генераторного газа и уменьшается перепад давления на тур-
турбине. Но вследствие стабилизирующего воздействия обратной
связи, между ТНА и газогенератором произойдет форсирование
параметров и разрушение турбонасосного агрегата.
При нарушении герметичности камеры двигателя уменьшает-
уменьшается противодавление, что приводит к форсированию режима ра-
работы турбонасосного агрегата и его разрушению.
3. Неисправности элементов автоматики
Первичными неисправностями элементов автоматики могут
явиться: неполное открытие или самопроизвольное срабатывание
клапанов, поломки и заедание подвижных частей и др.
Неисправности элементов автоматики в зависимости от их
назначения и места установки приводят к двум видам аварий-
аварийных состояний:
— к разрушению агрегатов двигателя из-за форсирования
режима работы;
— к дросселированию режима работы и самопроизвольно-
самопроизвольному выключению двигателя.
4. Кавитация насосов
Кавитация в насосах вызывается следующими первичными
причинами: нарушение герметичности подводящих магистра-
магистралей, неполное срабатывание клапанов пуска, неисправности си-
системы наддува, загазованность компонентов топлива и др.
Кавитация в насосах приводит к неустойчивым режимам ра-
работы. Кроме того, при возникновении кавитации уменьшается
производительность и напор насоса и вследствие этого нару-
нарушается равновесие мощностей турбины и насосов, в результате
чего увеличивается их частота вращения. Это приводит к росту
температуры газогенераторного газа и разрушению газогенера-
газогенератора и турбины. Все рассмотренные аварийные состояния име-
имеют достаточно большое время экспозиции.
Длительность экспозиции зависит от вида первичной неис-
неисправности, места ее возникновения и размерности двигателя.
Это объясняется тем, что при указанных первичных неисправ-
неисправностях происходит форсирование или дросселирование режима
работы из-за изменения гидравлических характеристик магист-
магистралей. Так как агрегаты двигателя являются инерционными си-
системами, то изменение режима работы происходит за сравни-
сравнительно большое время. Поэтому можно считать, что все рас-
рассмотренные аварийные состояния являются контролируемыми,
а отказы — прогнозируемыми.
235

5. Неисправности насосов и турбин
Неисправности насосов и турбин являются следствием кон-
структорско-технологических недоработок и дефектов материа-
материалов. К неисправностям насосов и турбин можно отнести:
— нарушение герметичности уплотнений;
— поломка рессор;
— заедание подшипников;
— обрывы отдельных крепежных деталей и др.
Все указанные первичные неисправности приводят, как пра-
правило, к быстрому разрушению турбонасосного агрегата и носят
характер разрушений от нагрузок. Время экспозиции таких
аварийных состояний очень мало, поэтому их можно считать
неконтролируемыми, а отказы — непрогнозируемыми.
6. Высокочастотные колебания
Возникновение высокочастотных колебаний давления в ка-
камере или газогенераторе двигателя вызывает вибрации элемен-
элементов конструкции.
Если в двигателе происходят колебания с регулярной часто-
частотой и малой амплитудой, не превышающей предельного значе-
значения, то разрушений конструкции не
наблюдается.
Разрушение происходит из-за
превышения амплитудой колебаний
предельного значения. Характерным
случаем развития высокочастотных
колебаний можно считать такой»
когда вначале имеет место мягкое
возбуждение колебаний с регулярной
частотой и небольшой амплитудой,
а в последующем амплитуда коле-
колебаний резко растет (рис. 6.2) [47].
Рис. 6 2. Изменение амплитуды Определение количественных па-
высокочастотных колебаний вс раметров аварийных состоянии-
времени (Tgj aj является необходимым для
создания систем контроля. Теорети-
Теоретически с достаточной точностью найти значения тэ и а не пред-
представляется возможным. Поэтому единственным путем их опре-
определения является статистическая обработка результатов испы-
испытаний. Так как первичные неисправности и соответствующие им
аварийные состояния мало зависят от условий испытаний и раз-
размерности двигателя, а в основном зависят от его схемы и отра-
отработанности, то для получения статистических данных можно
использовать все испытания двигателей как в стендовых, так
и в летных условиях.
236

6.2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЙ
Zn+K t
Рис. 6.3. Изменение контроль-
контрольного параметра во времени
6.2.1. Методы прогнозирования
Создание методов и средств контроля состояний двигателя
является частью общетехнической проблемы повышения надеж-
надежности.
Двигатель состоит из большого количества взаимосвязанных
агрегатов и элементов. Непосредственно контролировать состоя-
состояния агрегатов и двигателя в целом не представляется возмож-
возможным. В то же время для каждого состояния характерны опреде-
определенные признаки, выражающиеся в соответствующем изменении
параметров рабочего процесса. Регистрация их и априорные
знания зависимости параметров ра-
рабочего процесса от состояния дви-
двигателя позволяют установить при-
причины их изменения и, следователь-
следовательно, прогнозировать работоспособ-
работоспособность двигателя.
Следует отметить, что пара-
параметры рабочего процесса коррели-
рованы, поэтому однозначное опре-
определение состояния двигателя яв-
является чрезвычайно сложной зада-
задачей. Для увеличения достоверности
прогноза необходимо в характере
изменения параметров выявить такие признаки, по которым
можно было бы отличить одно аварийное состояние двигателя от
другого. Следовательно, каждому классу состояний должен быть
поставлен в соответствие определенный сигнал в виде изменения
некоторой совокупности параметров рабочего процесса, отлич-
отличный от сигналов других состояний. Определение такой совокуп-
совокупности параметров, характеризующей аварийное состояние, яв-
является исходным моментом прогнозирования.
Пусть каждое аварийное состояние контролируется некото-
некоторой совокупностью параметров рабочего процесса. Тогда, рас-
рассматривая контролируемые параметры как функции времени,
можно, привлекая тот или иной математический аппарат, ре-
решить задачу прогнозирования состояний и предсказать момент
наступления отказа.
Математический аппарат прогнозирования включает элемен-
элементы численного анализа и теории случайных функций. Пусть кон-
контролируемый параметр уг(т) в области 0 — тп* принимает зна-
значения y(to), r/(xi),..., у(Тп), которые зафиксированы контроли-
контролирующей аппаратурой (рис. 6.3). Необходимо по известным зна-
значениям tji{x) контролируемой функции в прошлом (-Гг^т*) пред-
предсказать значения величин #(тп+ь..., Уп+m), где тп+г^т>т*.
Сформулированный таким образом принцип прогнозирования
237

называется аналитическим прогнозированием.
Применяется и другое решение задачи прогнозирования.
Необходимо по известным значениям у(Х{), причем т^т*, где
г=0, 1,..., п, определить вероятность того, что значения функ-
функции у(х) не выйдут за допустимые пределы, т. е. что
где y(rn+i)—значение контролируемой функции в моменты вре-
времени тп+г^т>т*;
*/п (т)—требуемое изменение функции при исправном со-
состоянии.
Такое решение задачи прогнозирования называется вероят-
вероятностным.
Аналитическое прогнозирование
Если контролируемая функция изменяется монотонно и про-
производная не изменяет знака, то можно применять аналитиче-
аналитическое прогнозирование, когда определяется аналитическое выра-
выражение, которое наилучшим образом описывает контролируемую
функцию, на участке прогнозирования, т. е. при т>т*.
Пусть имеется функция у(х)> заданная дискретными значе-
значениями #(то),..., у(х). Необходимо подобрать такое аналитиче-
аналитическое выражение У(т), чтобы в моменты времени т^т* соблю-
соблюдались условия
у К)=у
F.4)
а в моменты времени
)=# (*„+*)-ЬЫ-
F.5)
При этом е*=(е<)тш- Из последней системы уравнений опреде-
определяются
F.6)
Величины 8г- могут быть определены экспериментальным путем
для конкретных реализаций у(х).
238

Пусть в качестве прогнозирующей функции выбран много-
многочлен Y(x) вида
V(x)=A1F1(x) + A2F2(x)+... + AkFk(x\ F.7)
где Fi(x) —составляющие функции;
А{ — весовые коэффициенты составляющих функций.
т
Принимается условие [5], ^V A-L= 1, которое упрощает вы-
/i
числительные операции. Так как значения у(х) известны в об-
области 0—т*, то F{(x) и Аг могут тоже определяться только в
этой области
Область 0 — тп* разбивается на несколько участков. Для
монотонных функций достаточно иметь два участка:
На первом участке Т[1) определяется составляющая функция, ко-
которая в общем случае может иметь вид
, F.8)
где фг(т) — функции простейшего вида;
а{ — неизвестные коэффициенты.
Когда фо(т) = 1, ф1(т)=т,..., щ(х)=хк и уравнение F.8) при-
принимает вид
F (х)=а-0~\-ау1х-{-...-{¦ akxk. F.9)
В результате задача сводится к определению коэффициентов
полинома F.9) щ=Цу(х{)]. На участке Г<2> определяются весо-
весовые коэффициенты Л*. Ввиду того, что составляющие функции
Fi(x) найдены как функции от текущего времени, значения А\
могут быть вычислены на участке Т[2К Тогда значения весовых
коэффициентов А{ определяются из следующей системы урав-
уравнений:
F. 10)
)
где to,t1,...,tr€7'A); xr+1,
Таким образом, прогнозирующий многочлен F. 7) определяется
решением системы F. 10).
239

Достоинством прогнозирующего многочлена F.7) является
то, что в нем можно подставлять некоторые стандартные базо-
базовые полиномы, а весовыми коэффициентами корректировать их
и повышать точность прогнозирования.
В качестве базовых полиномов используется ряд математи-
математических многочленов [10]. Рассмотрим некоторые из них.
/. Полином Лагранжа
В целях прогнозирования многочленом F. 7) можно исполь-
использовать интерполяционную формулу Лагранжа:
+... + Lny{xn)% F. И)
где Li — коэффициент Лагранжа.
Коэффициенты Лагранжа определяются зависимостями
т
П ("* + J)
т ¦¦ , F. 12)
пс-л
где т — число шагов прогнозирования.
В развернутом виде формула F. 12) перепишется так:
I
(т—•
(т,-
г,)(и-
ti)(to-
to)(t,-
t2)..
-т2).
-to).
-т2).
.(Т-Т,
••(to —
..(Т-1
о'
о*
— t]) . . . (Tm — t*)
При равнозначном шаге т — тг==Л формула F.11) с учетом
выражения F. 12) принимает вид
т
Коэффициенты при ^(Тг) не зависят от у(т).
Последнее уравнение можно записать следующим образом:
/7Z + /Z —
240

где т — количество шагов прогнозирования;
п — степень полинома.
Тогда коэффициенты Лагранжа принимают вид
I (\\n-iQi т(т + 1)...ря + п)
В табл. 6. 1 представлены значения коэффициентов Лагран-
Лагранжа в зависимости от числа шагов прогнозирования и степени
полинома.
Таблица 6.1
Степень поли-
полинома
Количество
шагов, т
1
2
3
4
5
ц
—1
—2
—3
4
—5
ц
2
3
4
5
6
*>
1
3
6
10
15
—3
—8
—15
—24
-35
12
3
6
10
15
21
/г-3
Lo
— 1
—4
—10
—20
—35
1*1
4
15
36
70
120
12
—6
—20
—45
—84
—140
4
10
20
36
56
2. Полиномы Ньютона
В результате дискретного измерения контролируемой функ-
функции у(х) можно составить разности от первого до /г-го порядка,
соответствующие значениям параметров.
Разности первого порядка:
Разности второго порядка:
Разности &-го порядка:
Прогнозируемый полином записывается в виде
241

+ ... + ая(х-хп)(х-хя-1)...(х-х1). F. 13)
Коэффициенты а* определяются из формулы F. 4) [7].
При х=хп ао=У(хп)=Уп; полагая х=хп-и имеем Уп-1=
= yn + ai(xn-i — Xn), а так как tn-i — tn = A=l, то aY=
—уп _уп_1_дУп_1< Полагая в выражении F. 13) х=хп-2 и за-
заменяя коэффициенты а0 и аА их значениями, получим
21
21
Продолжая подобные преобразования можно получить общую
формулу для коэффициента а* следующего вида:
aL
л!
l , (/=1,2 л).
Подставляя полученные коэффициенты в уравнение F. 13)
окончательно получим формулу Ньютона для прогнозируемого
полинома:
п\
(t —10) (t — trt_x).. .(x — 1
F. 14)
Так как т — хп = т (т — количество шагов прогнозирования),
то уравнение F. 14) можно переписать в виде
где N>=~
Коэффициенты
табл. 6. 2.
не зависят от т и для них составлена
Таблица 6. 2
т
I
2
3
4
5
#1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
15
1
4
10
20
35
т
6
7
8
9
10
7
8
9
10
N2
21
28
36
45
56
56
84
120
165
22a
242

3. Метод наименьших квадратов
В тех случаях, когда контролируемая функция изменяется по
сложному закону и информация о контролируемом параметре ог-
ограничена, наименьшую ошибку в определении прогнозирующего
полинома обеспечивает метод наименьших квадратов.
Пусть имеются данные о y(Xi). Необходимо построить поли-
полином Fm(x), который отличается от действительной функции на
величину, не большую е, т. е.
Подходящей функцией Fm(x) будет та, для которой алгебраиче-»
екая сумма квадратов ошибки — наименьшая, т. е.
2 [yl—Fl]* = mln. F. 15)
Прогнозируемый полином задается в виде
F т{х)=а0-\- ахх + а2х2 + ...-{- атхт. F. 16)
Дифференцируя уравнение F. 15) с учетом выражения F. 16) и
приравнивая производные нулю, получим систему уравнений для
определения ас
п
о ^ /I" :
i = \
п
F. 17)
/ = 1 с = \ / = 1 /=1
Система F. 17) разрешается относительно а* и при этом оконча-
окончательно определяется искомый прогнозирующий полином /^(т).
Кроме рассмотренных полиномов, могут применяться поли-
полиномы Чебышева, а также различные эмпирические выражения.
В тех случаях когда прогнозирование ведется не по одному,
а по нескольким контролируемым параметрам, решение задачи
прогнозирования принципиально не отличается от изложенного
Для каждого прогнозируемого параметра определяется прогно-
прогнозируемый полином по одному из методов, изложенных выше, и
определяется изменение каждого параметра.
При контроле нескольких параметров для целей прогнози-
прогнозирования также может быть применен метод Бокса—Вильсона
{52], который заключается в следующем.
243

По результатам контроля определяется уравнение гиперпо-
гиперповерхности, которое приближенно описывает нижнюю границу
области изменения контролируемых параметров.
Общий вид прогнозирующего уравнения имеет вид
п л—1 п п
:,г/2 F. 18)
где аи сц, к — постоянные коэффициенты, которые определяют-
определяются по результатам измерений контролируемого параметра.
Вероятностное прогнозирование :
Рассмотренные аналитические методы прогнозирования при-
применять не всегда возможно из-за того, что контролируемые
функции являются сложными функциями и для них не удается
достаточно полно подобрать прогнозируемый полином. Кроме
того, все контролируемые функции являются случайными, а их
значения при каждом аргументе также случайные величины
В этих случаях не определяется закон изменения контролируе-
контролируемого параметра в будущем, а оценивается вероятность того, что
контролируемая функция в моменты х\ выйдет за допустимые
пределы, т. е. наступит состояние отказа.
В силу предельной теоремы теории вероятностей можно пред-
предположить, что значения контролируемой функции в каждый фик-
фиксированный момент времени подчиняется нормальному закону
распределения и характеризуется двумя статистическими вели-
п
чинами: математическим ожиданием ту = \у(х1)/п и средне-
1
квадратическим отклонением ay=l/ —[у(т,.) — ту.]2, где п —
количество измерений значений у в моменты тг\
Практически величина математического ожидания совпадает
с номинальным значением контролируемой функции в каждый
момент времени. Следовательно, для фиксированного момента
времени т плотность распределения контролируемой функции
имеет вид
f(y) = [-=-е Н . F.19)
Если априори известно, что m^const, т. е. номинальное зна-
значение контролируемого параметра не изменяется, а изменяется
с течением времени его разброс оуу то задача прогнозирования
решается так.
244

Пусть даны предельные значения контролируемого парамет-
параметра у и #2, тогда вероятность выхода у(х) за допустимые пределы
определится зависимостью (рис. 6. 4)
- F-20)
Учитывая, что yi = my — гд; у2=ту + гл, а Ф(^)—нечетная
функция, т. е. — <b(Z)=d)(—Z), уравнение F.20) перепишется
в виде
'±). F.21)
<* у 1
Рис. 6.4. Статистические ха-
характеристики функции
()
Рис. 6.6. Статистические ха
рактеристики функции
у(х) = const
Вероятность Р^ определяется для последнего измерения в мо-
момент хп. Практически как математическое ожидание, так и сред-
неквадратическое отклонение являются функциями времени
ту=ту(%); oy=Gy(%), и тенденция изменения контролируемой
функции определяется характером изменения ее моментов ту и
оу (рис. 6. 5).
Для выяснения характера изменения моментов во времени
необходимо разделить известную область Гь на k подобластей,
как это делалось при аналитическом прогнозировании.
Среднеквадратическое отклонение во всей области Т\ опреде-
определяется так:
где
&— значения среднеквадратического отклонения в разные
моменты времени в области Т\.
Нормальный закон распределения для контролируемой функ-
функции с параметрами гпу(х) и оу(т) области Тх имеет вид
245

f(y)=-
ft *e
:X
c<)-^.]2
F. 22)
и по формуле F.21) (вычисляется вероятность и направление ее
изменения. Для вероятностного прогнозирования можно исполь-
использовать полиномы, применяемые в аналитическом прогнозирова-
прогнозировании. Для определения тенденции изменения ту(х) и ву(х) в об-
области Т2 для времени %n+j (/= 1, 2,..., m) используются Fmy (m)
.и Fa (m). В общем случае эти полиномы имеют вид
Fmy(m)=
Х=1
где ai = f{my)\ an = F(ay).
Вероятность в области прогнозирования Т2 определится зави-
зависимостью
F. 23)
При вероятностном прогнозировании особое влияние на точность
оказывает выборка, т. е. число измерений п. Для малых выборок
(п<20) наилучшие результаты получаются, если вместо нор-
246

мального распределения использовать распределение Стьюдента
[33], которое имеет вид
п
(^^ z, F.24)
где
Оу
1 • Т(и)= [ Zy~1e~z dZ — гамма-функция.
л-1\' У> J
Вероятность прогнозирования определяется зависимостью
l, F.25)
/
где S(Z)=Cn f (l-]——) z dZ
J v n + 1 /
подобно
Описанные методы прогнозирования можно применять для
медленно меняющихся процессов, т. е. для контролируемых ава-
аварийных состояний. Для реализации этих методов необходимы
специальные быстродействующие вычислительные машины.
6. 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ АВАРИЙНЫХ СОСТОЯНИЙ
6.3.1. Задачи моделирования
При аварийном состоянии двигателя параметры рабочего
процесса изменяются по характерным законам, которые зависят
от типа первичной неисправности. Следовательно, если иметь
два образа изменения параметров рабочего процесса — для
исправного состояния и аварийного, то, сравнивая их, можно
установить не только факт наступления отказа, но и его причину.
Таким образом, для диагноза и прогнозирования состояний дви-
двигателя необходимо знать характер изменения параметров при
различных первичных неисправностях и выбрать из них опреде-
определяющие, по которым можно осуществлять контроль.
Номенклатуру контрольных параметров можно определить
по результатам испытаний двигателей, в которых имели место
аварийные состояния, закончившиеся отказом. Однако ввиду
того, что количество аварийных испытаний может быть неболь-
247

шим и, как правило, не охватывает всех возможных состояний
и первичных неисправностей двигателя, экспериментально опре-
определить контролируемые параметры не представляется возмож-
возможным. Реакцию двигателя, т. е. изменение параметров рабочего
процесса при различных аварийных состояниях, можно опреде-
определить путем решения дифференциальных уравнений, описываю-
описывающих рабочие процессы при наличии первичных неисправностей,
на электронновычислительных машинах, т. е. математическим
моделированием. В основу метода моделирования принимается
предположение о том, что двигатель является детерминирован-
детерминированной системой, т. е. каждому состоянию двигателя соответствует
вполне конкретное внешнее проявление в виде определенного
характера изменения параметров рабочего процесса.
В реальных условиях двигатель не является детерминирован-
детерминированной системой, так как первичные неисправности, приводящие
к аварийным состояниям, могут быть зависимыми и случай-
случайными. Однако можно сделать не сильное допущение, что появ-
появление нескольких первичных неисправностей одновременно
является событием маловероятным.
В указанной постановке задача моделирования может быть
решена следующим образом. Составляется математическая
функциональная модель двигателя, которая представляет си-
систему детерминированных уравнений, описывающих процессы,
происходящие в агрегатах, и их взаимные связи, а также зави-
зависимости, связывающие параметры рабочего процесса с первич-
первичными неисправностями.
В общем виде система уравнений, представляющая матема-
математическую модель двигателя, имеет вид
У1 1 (/, *, -^- А ) у = Ft (t, x, z, x), F. 26)
где у(х\, *2,..., хп) —вектор функций времени, характеризую-
характеризующий параметры рабочего процесса дви-
двигателя;
z(z\, Z2,..., zn)—вектор функций времени, характеризую-
характеризующий внешние и внутренние возмущения
и первичные неисправности;
Fi — нелинейная функция, связывающая пара-
параметры рабочего процесса с первичными
неисправностями;
Ун—многочлен относительно операторов диф-
дифференцирования векторов коэффициен-
коэффициентов параметров:
/ — моменты времени, для которого опреде-
определяется состояние двигателя;
т — текущее время.
248

Задавшись типовыми функциями первичных неисправностей
z(zu z2,...) и решая систему уравнений, определяют реализации
параметров рабочего процесса yi{x)y соответствующих каждому
аварийному состоянию. Каждой группе номинальных условий
т = то, zoi и начальных значений уои у02,..., Уоп соответствует свое
решение системы уравнений F.26)
Hi O = (?io(toi У019 У 02» • • •> Уою ZQL> Z№> ' * •» Z0m)-
Каждой группе реальных условий (в моменты времени хиу'О1, Уо2>"->
zQV z02,... соответствует реальное решение системы уравнений
F.26):
Ввиду того что математическая функциональная модель дви-
двигателя содержит большое количество нелинейных дифференци-
дифференциальных уравнений, моделирование аварийных состояний целесо-
целесообразно производить с помощью быстродействующих вычисли-
вычислительных машин.
Исходными данными для моделирования являются:
— схема двигательной установки;
— значения параметров рабочего процесса при исправном
состоянии;
— первичные неисправности, приводящие двигатель в ава-
аварийное состояние.
6.3.2. Математическая модель исправного двигателя
Ввиду того что параметры рабочего процесса при аварий-
аварийном состоянии двигателя изменяются в широких диапазонах, не-
необходимо иметь нелинейные дифференциальные уравнения агре-
агрегатов. В настоящее время динамические уравнения рабочего
процесса двигателя разработаны достаточно полно, поэтому
приводим их без выводов, но с необходимыми пояснениями.
В качестве базового двигателя рассматривается двигатель
с насосной системой подачи.
1. Уравнение камеры двигателя
dRTK п (~> ~> \ п (~> v \ I
RTK dv RTK dv икч 1Ч" rv IIF/ l
-f Оф(г — tlip) + <3n#c(i;)=.O, F. 27)
где рк — давление в камере двигателя;
VK — объем камеры двигателя;
RTK — работоспособность продуктов сгорания;
Сок, Gr — секундные приходы окислителя и горючего в ка-
камеру;
249

Сф — секундный расход газов через форсунки;
Gn.c — секундный расход продуктов сгорания из камеры
двигателя;
Тщ> — время преобразования топлива в продукты сгора-
сгорания.
Уравнение камеры двигателя F.27) является общим для
разных схем двигательных установок.
Для двигательной установки без дожигания генераторного
газа в уравнении F. 27) следует принять расход из турбины че-
через форсуночную головку
Для двигателя с дожиганием восстановительного газа соот-
соответственно Gr(x—тПр)=0 и с дожиганием окислительного газа
vjokvt ^npj —u.
Работоспособность газов в камере двигателя зависит от дав-
давления и соотношения компонентов топлива. Пренебрегая влия-
влиянием давления на работоспособность, можно записать
= RTK[K(x— тпр)]; F.28)
dRTK = dRTK dK /g 29)
d% dK dx
Зависимость F.28) аппроксимируется полиномом второй
степени [10]
RTK = А К2 + В К + С, F. 30)
где коэффициенты Л, В, С определяются по данным термодина-
термодинамического расчета продуктов сгорания.
Расход продуктов сгорания через сопло двигателя опреде-
определяется зависимостью
x + l
п.с=К х —7 -:==¦• F-31)
Приход газа в камеру двигателя через форсуночную головку
в двигательной установке с дожиганием генераторного газа
определяется зависимостью
(\ F.32)
Ргм
где
( Рк \ у _^_ [/ Ac \Г / Рк \Т
ч
— коэффициент расхода форсунки;
250

^Ф — площадь проходных сечений форсунок;
Рг.м — давление газа в газовой магистрали перед форсунками.
Используя уравнения F.27) — F.32), окончательно запишем
уравнение камеры двигателя с дожиганием генераторного газа
в виде
Рг.ы
где b(k) —термодинамическая функция газа.
2. Уравнение газовой магистрали
(между турбиной и камерой двигателя)
Рт м /~* /~*
"ГГ~=С/т~игф»
F.33)
RTr.M и»
где Уг.м — объем газовой магистрали.
Работоспособность газа в газовой магистрали может быть опре-
определена следующим образом:
Л2
¦Чт, F.35)
где RTT — работоспособность газа в турбине;
^ад — адиабатическая скорость газа;
т|т — коэффициент полезного действия турбины.
Приход газа зависит от вида истечения. При надкритическом
истечении
F. 36)
/RTr
где
где к" — показатель адиабаты газов в газогенераторе;
ртт — давление в газогенераторе.
При докритическом истечении
*?=.A\ F.37)
/RTT
А'=у %"( 2 i У-1. F.38)
где у i (
251

3. У равнения насосов
Рк1~Рвуц = ^iPtn? — BinGi — Ср], F. 39)
где рн и Рвх i — давление на выходе и входе насоса;
Л, В, С — коэффициенты, определяемые конструктивными
характеристиками;
п — частота вращения насоса.
Моменты насосов [21]
M^^B'nG^C'.Gl F.40)
где B' = ^{rl-rl); C: = a2-ax;
1
bj — ширина лопатки насоса;
Yj — плотность компонента топлива;
р; — угол установки лопатки.
4. Уравнение турбонасосного агрегата
Движение ротора турбонасосного агрегата описывается зави-
зависимостью [21]
где Mr=^; Nr = Nyfi7;
Nyjl=ауАиСх — 6уДи2; а = ndn/60;
\Ргг) \ Рг
/?2т — давление газа за турбиной;
Ям, Ьм — коэффициенты, определяемые размерами рабочего
колеса и профилем проточной части ТНА, не зави-
зависят от режима работы.
5. Уравнение магистралей
Уравнение магистралей без учета сжимаемости жидкости за-
запишется в виде
252

где /?2 и /?i — давления на концах магистрали;
R — коэффициент гидравлического сопротивления;
/?' — коэффициент инерционного сопротивления;
R(h)—изменение гидравлического сопротивления магист-
магистрали в зависимости от перемещения регулирую-
регулирующего органа системы регулирования.
6. Уравнение регулятора [21] (регулирующего органа)
^ ^ p^F^ F.43)
где m — масса подвижных частей регулятора;
¦Fper, ^упр— рабочие площади регулирующего органа и управ-
управляющего элемента регулятора;
Cf — коэффициент трения;
Pij — давления в регуляторе;
с — жесткость упругих элементов;
Qo — сила начальной затяжки упругого элемента.
Для заданной схемы двигательной установки составляется
замкнутая система уравнений. Для этого к уравнениям F.27) —
F.43) добавляются уравнения баланса давлений, мощностей
и расходов.
6.3.3. Математическая модель первичных неисправностей
Для моделирования аварийных состояний необходимо иметь
аналитические образы первичных неисправностей, вызывающих
в двигателе аварийные состояния.
Рассмотрим описание основных первичных неисправностей,
приведенных в п. 6.1.
/. Неисправности жидкостных магистралей
На рис. 6.6 представлена схема типовой магистрали, содер-
содержащей трубопровод и клапан. В такой магистрали в общем слу-
случае могут возникнуть следующие первичные неисправности: не-
серметичность на отдельных участках и неисправности клапана,
приводящие к неполному открытию или закрытию его.
При возникновении указанных первичных неисправностей
произойдет утечка компонентов топлива из магистрали и изме-
изменится гидравлическое сопротивление.
Для магистрали, показанной на рис. 6.6, составим систему
уравнений, учитывающую неисправности.
Уравнения балансов расходов:
iy; z2tt или G{—G3 = GiyT 2yT
Уравнение движения жидкости в магистрали:
253

41-6
dv
dGo
dG
1ут
d%
F.45)
Уравнения утечек:
<Ю
1ут
Мут
dGi
dv
F. 46)
Коэффициенты гидравлических сопротивлений #;* определяются
возмущениями, вносимыми в гидравлические магистрали негер-
негерметичностью и неисправностями клапана, т. е.
1
где q — плотность;
(li — коэффициент расхода;
F* — площадь негерметичности и проходных сечений клапана.
Таким образом, неисправность магистрали в виде изменения
коэффициента гидравлического сопротивления, описывается
двумя уравнениями: уравнением основной магистрали и уравне-
уравнением магистрали утечки компонента топлива.
8 7
Рг Рз
1 в, г ег з
/у &г
j'
Ps
Рис. 6. 6. Схема магистрали с утеч-
утечками
Рис 6 7. Схема газо-
газовой полости с утеч-
утечкой
2. Нарушение герметичности газовых полостей
Нарушение герметичности газовых полостей вследствие про-
прогаров или других причин, приводит к увеличению объема и утеч-
утечкам газов (рис. 6.7).
254

Ввиду того, что утечка газа происходит из полостей с высо-
высоким давлением в окружающую среду, где давление близко
к атмосферному, реализуется сверхкритическое истечение.
Секундная утечка газа определяется зависимостью
-, F.47)
где b(k) — функция показателя адиабаты;
Р*ут — площадь негерметичности;
ph RTj — давление и работоспособность газа в полости.
3. Неисправности насосов
1. Кавитацию можно учесть введением в напорную характе-
характеристику насоса коэффициента кавитации ек:
(рп—Рвх)к= (рн—рвх)ек. F. 48)
При развитой кавитации (срыв работы насоса) ек = 0; при отсут-
отсутствии кавитации ек=1. Коэффициент кавитации зависит от ча-
частоты вращения, давления на входе в насос, расхода и давления
насыщения компонентов топлива.
2. Дефекты конструкции насосов (поломка подшипников, про-
прорыв газов в уплотнениях, поломки крыльчаток и др.) приводят
к изменению давления за насосом. Поэтому перечисленные пер-
первичные неисправности учитываются введением в уравнение на-
насоса дополнительного члена р\
С учетом перечисленных первичных неисправностей уравне-
уравнение насоса F. 39) перепишется в виде
Put = (Лш + Л? о,п* - Bfl.n - Cfi]) ги + /Л + /С г F. 49)
4. Неисправности турбины
Все неисправности в турбине по виду влияния их на работо-
работоспособность ее можно разбить на две группы.
1. Неисправности, нарушающие течение газа в проточной ча-
части, к которым можно отнести прогар ротора, оплавление лопа-
лопаток, засорение проточной части и др. Указанные неисправности
приводят к снижению коэффициента полезного действия или
удельной мощности турбины и их можно учесть коэффициентом
К* при удельной мощности в уравнении F.41).
2. Неисправности, приводящие к снижению крутящего мо-
момента турбины: заедание подшипников, ротора, разрушение бан-
бандажа и др. Указанные неисправности можно учесть введением
в уравнение турбины дополнительного момента трения М*
255

С учетом введенных коэффициентов уравнение F.41) турбо-
насосного агрегата запишется в виде
2 я1 - ж;р. F.50)
5. Неисправности регуляторов
К неисправностям регуляторов относятся: заклинивание регу-
регулирующего органа, обрыв пружин, отказ привода и др. Их
можно учесть введением дополнительных членов в уравнение
движения регулятора, которое имеет вид
где c*Q* —повышение жесткости и упругой силы пружины;
с* —коэффициент увеличения трения подвижной си-
системы.
Таким образом, практически все первичные неисправности
можно описать уравнениями. Величины, характеризующие пер-
первичные неисправности, в процессе развития аварийного состоя-
состояния являются функциями времени. Так же очевидно, что от ха-
характера изменения величины первичной неисправности зависит
реакция двигателя. В общем случае без специальных экспери-
экспериментальных данных зависимость величины первичной неисправ-
неисправности от времени определить не представляется возможным.
Для выбора контрольных параметров аварийных состояний при-
принимается ступенчатый закон изменения величин первичной неис-
неисправности, так как ступенчатое возмущение является наиболее
неблагоприятным воздействием на систему. Величина первичной
неисправности выбирается исходя из данных эксперимента и па-
параметров рабочего процесса.
6.3.4. Математическая модель
аварийного состояния двигателя
Для составления математической модели необходимо иметь
схему конкретной двигательной установки и номинальные значе-
значения параметров рабочего процесса. Для конкретной схемы запи-
записываются уравнения агрегатов с учетом моделей первичных не-
неисправностей для всех участков магистралей, агрегатов и эле-
элементов автоматики. При составлении системы уравнений
необходимо соблюдать условие сопряжения переменных и ба-
баланса давлений, расходов и мощностей. В качестве переменных
выбираются параметры рабочего процесса. Система уравнений
должна быть замкнутой.
В качестве примера приведем систему уравнений, описываю-
описывающих аварийное состояние двигателя с дожиганием генераторного
газа.
256

1. Уравнения камеры двигателя:
i + a^); F.52)
F.53)
dRTK dRTK dKr) . /fi сл\
dv д/((') dx
K{ ) = —, F.55)
где Fl — относительная площадь засорения форсунок;
F* — площадь негерметичности камеры двигателя.
При исправном состоянии камеры двигателя /^=1, /7*т=0;
при полностью перекрытых газовых форсунок /^ = 0.
2. Уравнение газовода:
|г I Grr — a18l
-^трм. F'56)
где 7-2Г = Ггг-а31-^-. F.57)
Кг
3. Уравнения турбонасосного агрегата:
-%=at ,МГ - а, гМн.ок - а4 3ЖН.,. - М*р; F. 58)
J; F. 59)
F.60)
F.61)
MK.OK=a^n2-a12nQilK; F.62)
М„г=ав1п* — а82п0т. F.63)
При исправном состоянии турбонасосного агрегата
ж;=о, /c;=i.
9 312 257

4. Уравнение насосов:
А, / = (ацп* + aitn0t -f aiuG] + р„,) 6; + /?, + /4,-• F.64)
При исправном состоянии насосов величины, определяющие пер-
первичные неисправности,
5. Уравнения газогенератора:
F.65)
dRTr = dRTr dK" . /
dx dK" dv '
K"=-^. F.67)
6. Уравнения участков магистрали:
dGj s^c,
-^- = an pBX j - aj2 ^вых j - aj3u2.
, IIIL1 ИЛ III Ilia
dx
где / — участки магистрали;
m — место утечки.
7. Уравнение регулирующих органов:
F. 68)
F. 69)
F. 70)
аи
8. Уравнения баланса расходов:
Коэффициенты пц в уравнениях F.52) — F.70)—постоянные
величины для конкретной двигательной установки; они опреде-
определяются номинальными параметрами рабочего процесса, характе-
характеристиками топлива и конструктивными размерами и не зависят
от режима работы и состояния двигателя.
258

Переменными в уравнениях F.52) — F.70) являются /?гг, рк,
G{, T, п, ргм> Тт и их производные, которые определяются при ре-
решении системы.
Величины, определяющие первичные неисправности, заданы.
Для исправного состояния двигателя они имеют следующие зна-
значения:
6.3. 5. Реакция двигателя на первичные неисправности
Систему F.52) — F.70) можно разрешить относительно
основных параметров рабочего процесса и получить уравнения
вида
= %k(rk,Ghn,Tj,...,F;r,K:,...,Q*y
FЛ)
Однако ввиду того, что система F.52) — F.70) нелинейна
и имеет большое количество уравнений, для решения их необхо-
необходимо применять электронные вычислительные машины (ЭВМ).
Как известно, вычислительные машины по принципу решения
делятся на два класса: дискретного и непрерывного действий.
Для решений, когда не требуется высокая точность, но обяза-
обязательна наглядность, применяются машины непрерывного дейст-
действия, которые называются электронными моделями.
Для решения системы F.52) — F.70) целесообразно приме-
применять нелинейные аналоговые вычислительные машины типа
«Электрон», МН-14 и др.
Для работы на ЭВМ необходимо в уравнениях, выраженных
в физических величинах, перейти к электрическим величинам,
вводя при этом масштабы времени и величин
где t/j — физическая переменная;
Uj — напряжение, моделирующее физическую переменную;
bj — масштабный коэффициент.
Для выбора числовых значений масштабных коэффициентов не-
необходимо знать пределы изменения физических величин. Коэф-
9* 259

фициент bj выбирается таким образом, чтобы напряжение, моде-
моделирующее физическую величину, не превышало 100 В, т. е.
/физ. единиц \
V Вольт /
^ =*//max /физ. единиц
j 100
Связь между временем реализации процесса в аналоговой
машине и в физической системе осуществляется коэффициентом
масштаба времени
В результате преобразования физических уравнений в машин-
машинные получим систему уравнений вида
dx ___
n-oitt,, F.72)
где / — номер уравнения системы F. 52) — F.72);
/ — индекс переменной (i = Px, Pw, G0K и т. д.);
Vi — напряжение, характеризующее i-ую первичную неис-
неисправность.
В соответствии с системой F.72) строился блок-схема [58], реа-
реализуются первичные неисправности на электронной машине,
в результате чего получаются переходные характеристики ава-
аварийных состояний двигателя.
Переходные характеристики представляют собой изменения
параметров рабочего процесса в масштабе машинных перемен-
переменных в зависимости от типа первичной неисправности. Производя
обратный переход от машинных к физическим переменным, полу-
получим зависимости yi{x) =/(*;), где х\ — заданная первичная неис-
неисправность. Следовательно, в результате моделирования для каж-
каждого аварийного состояния (первичной неисправности) опреде-
определяется образ изменения параметров рабочего процесса (рис. 6.8).
Моделируя при разных величинах, характеризующих первич-
первичную неисправность, можно определить статические зависимости
изменения параметров рабочего процесса от степени первичной
неисправности F* (рис. 6.9).
Таким образом, моделируя аварийные состояния двигателя,
можно создать картотеку образов изменения параметров рабо-
рабочего процесса для разных первичных неисправностей. Такую кар-
картотеку можно использовать для диагностики отказов, имевших
место при работе двигателя.
При работе двигателя измеряют параметры рабочего про-
процесса, откуда получают изменение их во времени как при нор-
нормальной работе, так и при аварийном состоянии. Таким образом,
может быть так, что известен физический образ изменения пара*
260

метров при некотором аварийном состоянии, но причина аварий-
аварийного состояния двигателя не определена.
Установить причину аварийного состояния двигателя можно
путем сравнения физического образа изменения параметров при
Рис 6.8. Переходные ха-
характеристики двигателя при
k — аварийном состоянии
Рис. 6. 9. Зависимость пара-
параметров рабочего процесса от
степени неисправности
аварийном состоянии, имевшем место в процессе работы двига-
двигателя, с образами, полученными при моделировании.
Если указанные образы совпадают, то можно с некоторой
степенью достоверности утверждать, что имеет место аварийное
состояние, указанное в картотеке.
6.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
6.4.1. Статистический метод выбора
контролируемых параметров
Состояние системы, в том числе и двигателя, характеризуется
большим количеством параметров рабочего процесса. При этом
не все параметры рабочего процесса в одинаковой степени чув-
чувствительны к состояниям двигателя. Чем большее число парамет-
параметров контролируется, тем полнее получается характеристика со-
состояний двигателя. Однако, если в числе выбранных параметров
имеются зависимые, то, измерив один параметр, можно предска-
предсказать поведение другого, и его измерение даст мало новых сведе-
сведений об объекте, т. е. зависимые параметры малоинформативны.
Таким образом, для построения надежных систем контроля со-
состояний двигателя необходимо иметь такую номенклатуру пара-
параметров рабочего процесса, которые бы с максимальной достовер-
достоверностью характеризовали состояние двигателя.
Пусть в результате обработки аварийных испытаний двигате-
двигателей известны законы изменения параметров рабочего процесса
и их статистические характеристики. Наиболее общий подход
к выбору контролируемых параметров состоит в анализе потерь
информации, связанных с неполнотой контроля некоторых пара-
261

метров. Номенклатура контролируемых параметров составляется
1аким образом, чтобы потери информации после контроля не
превосходили заданного уровня.
Если значимость потерь по каждому параметру одинакова,
го можно определить минимальный набор контрольных парамет-
параметров, обеспечивающих заданную вероятность нормального функ-
функционирования объекта.
Пусть нормальное функционирование объекта характери-
характеризуется параметрами у\, уч,..., уп. Событие, заключающееся
в нормальном функционировании объекта по параметру у^ обо-
обозначим через Hi. Тогда вероятность нормального функциониро-
функционирования объекта по всем параметрам при идеальной системе конт-
контроля, определится по теореме умножения вероятностей
H,,...,He) = P(H1)P(FVH1)P[H3/(H1H9)]...
где Pi/(i-i) — условная вероятность безотказной работы по пара-
параметру ух при условии, что объект работоспособен по всем пара-
параметрам от / до i—1.
Чтобы уменьшить количество контрольных параметров, целе-
целесообразно выбирать первым для контроля тот параметр, вероят-
вероятность нормального функционирования по которому наимень-
наименьшая [65].
Рассчитывается вероятность безотказной работы по каждому
параметру независимо от других и выбирается наименее надеж-
надежный. Последовательность вычислений выполняется до тех пор^
пока не достигается соотношение
Р<П(Рк)//(/-1) П (P-W-i)>
где (PH)j/(j_i)—условные вероятности безотказной работы по
/-му неконтролируемому параметру за интервал
времени т;
(Рк) »/(?—1) — условная вероятность безотказной работы по
/-му контролируемому параметру;
П\ —число контролируемых параметров.
Данный метод выбора контролируемых параметров не рацио-
рационален, когда параметры имеют разные статистические характе-
характеристики mv и оу. В таких случаях в качестве контрольных пара-
параметров выбираются те, которые имеют минимальную дисперсию.
При контроле вследствие ошибок измерения и разброса харак-
характеристик объекта при аварийных состояниях каждый параметр
принимает случайные значения. Поэтому при контроле состоя-
состояний необходимо принимать во внимание не только величину
262

того или иного параметра, но и величину N-мерного вектора,
являющегося совокупностью всех параметров.
На практике чаще всего встречается нормальный закон рас-
распределения параметров, который записывается в виде функции
В многомерном случае для вектора параметров Y(y\, у2у..., уп)
закон плотности распределения имеет аналогичную форму, только
вместо ту и у записываются соответствующие векторы mY и У,
а а заменяется ковариационной матрицей
*•» F.73)
Ь
Ъ Ъ
Knl кпг
' • ' кп
где kij — элементы матрицы, которые связаны с коэффициен-
коэффициентами корреляции зависимостью
При i = j ku = o2. и 0//=1.
Выражение для плотности вероятностей Л^-мерного нормаль-
нормального распределения принимает вид
1
где ту = —
F.74)
it— среднее значение результатов измерения
каждой составляющей;
п — число измерений каждого параметра.
Диагональные члены ковариационной матрицы есть диспер-
дисперсии контролируемых параметров.
Параметры, имеющие большие дисперсии, мало влияют на
вероятность правильного определения состояния и могут быть
исключены. Сокращение числа параметров упрощает аппаратуру
контроля. В том случае, когда параметры рабочего процесса кор-
релированы между собой, т. е. когда их корреляционная матрица
не диагональна, судить о степени важности того или иного пара-
параметра по диагональным членам матрицы нельзя.
Однако путем перехода к новым переменным можно для них
построить новую матрицу и привести ее к диагональному виду
[65]. После этого можно судить о значимости параметров по ве-
величине диагональных членов матрицы.
263

Для этой цели производится линейное преобразование вида
X = CY.
Величины вектора Y можно рассматривать как уровни некото-
некоторого процесса в дискретные моменты времени yTl, Ух2- Если не-
непрерывный процесс Кт пропустить через фильтр, то на выходе
его будем иметь другой процесс
c= J h{t-x)Vxdx.
Если Ух рассматривать как дискретную величину, то вместо
интеграла получим
Х =
где Н — матрица, характеризуемая
свойствами фильтра (рис.
6.10).
Сигнал, представляющий резуль-
результат измерения каждого параметра
Рис. 6.10. Блок-схема фильтра у и после усиления >в блоках hij скла-
складывается в сумматоре, образуя на
выходе составляющие нового век-
вектора
Определение матрицы преобразования С, а следовательно, и вы-
выбор контрольных параметров можно производить по-разному.
Можно, например, потребовать, чтобы дисперсии при фиксиро-
фиксированной энергетической характеристике параметров
?7^ = 6 = const.
Дисперсия новых параметров, являясь комбинацией старых,
определяется так:
где C\ = cil% ci2, .. .,cin— вектор-строка матрицы преобразова-
преобразования. Наименьшая дисперсия находится методом Лагранжа как
минимум функции F = Cf.Kcl — X^Cf.ci-\-e>j путем приравнива-
приравнивания ее частных производных нулю:
dF jr * irr у г | г\ /^744
где / — единичная матрица;
X — множитель Лагранжа.
264

После развертывания уравнения F. 75) получают характеристи-
характеристическое уравнение относительно X:
где к — собственные числа матрицы /С,
Сг — собственные векторы этой матрицы, определяемые си-
системой F. 75).
Так как собственных чисел п, то и собственных векторов С\
так же я, и они образуют матрицу преобразования С. Следова-
Следовательно, нахождение новых переменных с наименьшими диспер-
дисперсиями сводится к определению собственных чисел и собствен-
собственных векторов матрицы К. Как показано в работе [52], матрица С,
состоящая из собственных векторов матрицы /С, приводит пос-
последнюю к диагональной матрице вида
1 =
\ 0 0 0.
о \ о о .
.0
. о
0 0 0 0. . .\
Тогда квадратичная формула в законе распределения F.74)
(У -myf К~г = {У-mY)K-1{Y-mY) = YК^У= a
принимает вид XL~lX = a.
Как показано в работе [84], можно произвести следующее
преобразование переменных:
h
где
fx(O
составляющие векторов \ц = emu
jLifc = cmk — соответственно.
Наименьшую дисперсию имеют те параметры, которые опре-
определяют наибольшие слагаемые суммы K\v
6.4.2. Выбор контрольных параметров по результатам
моделирования аварийных состояний
Судить о состоянии двигателя можно по характеристикам
переходных процессов, полученным в результате моделирования
аварийных состояний.
В этом случае выбор контрольных параметров производится
путем сравнения величин коэффициентов чувствительности к пер-
первичным неисправностям. Пусть между параметрами рабочего
265

процесса и величиной первичной неисправности существует
функциональная связь вида
Тогда коэффициент чувствительности определяется зависи-
зависимостью
F.76)
Рис.
6 И Характеристики
реходного процесса
J dFi У]
Очевидно, чем больше величина Kju тем при меньших значе-
значениях Л*, характеризующих первичную неисправность, и тем на
большую величину изменяется контролируемый параметр. Пара-
Параметры, для которых Kji = Oy не со-
содержат информации о состоянии
двигателя, и их в качестве конт-
контрольных выбирать нецелесооб-
нецелесообразно. Однако аналитическую за-
зависимость F.76) для двигателя
практически получить не пред-
представляется возможным, поэтому
контрольные параметры надо вы-
выбирать после специальной обра-
обработки кривых переходных про-
процессов (см. рис. 6. 8).
В качестве характеристик кон-
контрольных параметров прини-
принимаются такие величины, которые легко можно определить в про-
процессе моделирования аварийных состояний.
Такими величинами, определяющими возможность выбора
параметра рабочего процесса в качестве контрольного, являются
(рис. 6. 11):
ti — время запаздывания начала изменения параметра отно-
относительно момента проявления первичной неисправности:
Т2 — время достижения параметром максимальной величины
при заданном значении характеристик первичной неис-
неисправности;
fl — ffmax—¦ У градиент изменения параметра, пропорциональ-
пропорциональный коэффициенту чувствительности F.76). В ка-
качестве контрольного параметра выбирается тот,
для которого выполняется условие
* = <W F.77)
По графикам рис. 6.8 для каждого аварийного состояния по
всем параметрам рабочего процесса определяются характери-
характеристики чувствительности п, Тг, а и распределяются в ряд по зна-
значениям их величин, как показано в табл. 6.3.
266

Для иллюстрации описанной методики в табл. 6.3 представ-
представлен пример, в котором моделированы три аварийных состояния
и зафиксированы 5 параметров рабочего процесса.
Таблица 6.3
Первич-
Первичная
неисправ-
неисправность F i
F*
Характеристики чувствительности
т =0,т =0.
1 X У А.
%1„<%1><ХУг
xn<xi,<xy,<
Xi 1 Х! ъ
ч
XV,<XU<XV<
<Х1ш<Х1ш
Xl;<Xlt<Xl.<
т<.<т.,<т4ч<
<Ti,<T',
т3
аЛ > «,-, > ау> >
a!,>ai,>ay>>
> пУг > пУ<
аи>>ау<>а'.>>
Кон-
Контрольные
парамет-
параметры
#1. Уъ
У\, Уз
Уо, Уа
В результате анализа таблицы типа табл. 6.3 для каждой
первичной неисправности выбирается минимальное количество
параметров, которое удовлетворяет условие F.77).
При контроле работоспособности двигателя необходимо опре-
определять общее его состояние, которое вызывается каждой в от-
отдельности первичной неисправностью или их совокупностью.
В таком случае необходимо в качестве контрольных параметров
выбирать все те, которые контролируют отдельные первичные
неисправности, т. е. контроль общего состояния двигателя дол-
должен производиться по большому количеству параметров рабо-
рабочего процесса, как, например, в случае, представленном
в табл. 6.3, где контрольных параметров 5 (у\, у2, Уъ> У а, Уь).
В то же время увеличение числа контрольных параметров влияет
на достоверность контроля в двух противоположных направле-
направлениях.
С одной стороны, увеличение числа контрольных параметров
приводит к росту объема информации о состоянии двигателя и,
следовательно, увеличивается коэффициент охвата аварийных
состояний.
С другой, — увеличение числа контрольных параметров при-
приводит к росту числа датчиков и цепей контроля, т. е. усложняет
контролирующую аппаратуру и снижает ее надежность. Следо-
Следовательно, должно существовать оптимальное количество конт-
контрольных параметров, при котором имеет место максимальная
достоверность контроля.
267

Для выбора контрольных параметров можно применить
энтропию как меру неопределенности контроля.
6.4.3. Информационная эффективность контроля
Состояние двигателя характеризуется неопределенностью,
в качестве меры которой можно использовать энтропию. Про-
Процесс контроля состояний двигателя можно рассматривать как
процесс выполнения опытов по заданному алгоритму, в резуль-
результате чего часть неопределенности состояния замещается инфор-
информацией, т. е. изменяется энтропия состояния.
Если известны априорные состояния двигателя Рг- (при этом
/=1), то мерой неопределенности определения состояний
может служить энтропия Я:
Энтропия достаточно удобна, так как ее поведение правильна
отражает интуитивно принятые решения [19]. При Рг = 1 (все
другие вероятности равны нулю) # = 0, т. е. никакой неопреде-
неопределенности в состоянии двигателя нет. Когда все априорные веро-
вероятности равны, т. е. Pi = P2= ... =Рп= 1/я, энтропия H = logn
соответствует максимальному ее значению и наибольшей неопре-
неопределенности. При определении состояний двигателя выясняют,
насколько полней становятся знания о состояниях в результате
измерения каждого из всех параметров, т. е. какое количества
информации получили в результате измерений.
За меру количества информации о состоянии, содержащейся
в величине уи принимается разность начальной и остаточной
неопределенности после измерения у\
F.78)
где Ho(yi) —энтропия состояния по /-му параметру до конт-
контроля;
Н(У%) —энтропия состояния по /-му параметру после конт-
контроля.
Пусть априори известно, что в двигателе может быть п ава-
аварийных состояний, которые характеризуются вероятностями q^
Энтропия как мера неопределенности /-го аварийного состояния
до момента контроля определяется зависимостью
Яоу= -(Р,- logPy + <7,. log?,.), F. 79)
гдеР,-=1— qj.
268

Эцтропия всех состояний
п
~~ V F.80)
Аварийные состояния двигателя контролируются уг парамет-
параметрами, где / = 0, 1, 2,..., т. Энтропия состояния двигателя при
контроле tji-то параметра определяется так:
-Р,)]) F.81)
где Рг — априорная вероятность обнаружения аварийного со-
состояния при контроле по i-му параметру.
Соответственно при контроле т параметров
т
М = УН,. F.82)
Априорные вероятности можно определить по теореме о пол-
полной вероятности:
р
р *л
т
где Рд=П Р/ —вероятность исправной работы двигателя:
qi — вероятность необнаружения аварийного со-
состояния при контроле по i-му параметру.
Эффективность контроля состояний двигателя можно оценить по
критерию
Э= я°~я, F.83)
который зависит от объема контроля и изменяется в пределах
0Э1
Если контроль идеальный, т. е. если в результате измерения
какой-то совокупности параметров достоверно определены все
аварийные состояния, то Я = 0 и Э = 1. Если в результате конт-
контроля информация о состоянии двигателя не увеличивается, т. е.
//=#о, тоЭ = 0.
Критерий F.83) позволяет выбрать номенклатуру парамет-
параметров, при которой получается максимальная эффективность.
6.4.4. Оптимальное количество контрольных параметров
В предыдущем пункте рассматривалась информативность
контроля для идеальной системы. В реальных условиях система
контроля, состоящая из датчиков и цепей передачи информации,
269

обладает ошибками, что приводит к потере информации. С уве-
увеличением числа контрольных параметров растет количество
информации, теряющейся в самой системе контроля.
Рассмотрим систему контроля, которая контролирует т ава-
аварийных состояний (рис. 6. 12).
Для упрощения анализа предположим, что все аварийные
состояния равновероятны и каждое аварийное состояние конт-
контролируется одним параметром. Значение контрольного пара-
параметра измеряется датчиком, и информация о величине пара-
параметра передается цепью контроля. Обозначим вероятность
исправной работы датчика и цепи контроля — Рц, а вероятность
исправной работы объекта контроля — Рд. Количество информа-
информации, получаемое при контроле одного параметра при условии, что
система контроля идеальна, т. е. Рц=1, определяется по зависи-
зависимости
Jj= - Pj log Pj-A -Pj) logA - РД F. 84)
где P, — вероятность отсутствия аварийного состояния по /-му
параметру.
Так как аварийные состояния равновероятны, то
Pj = P](m. F.85)
Среднее количество информации на выходе идеальной си-
системы по всем т параметрам в предположении, что цепи конт-
контроля идентичны, можно определить так:
Jn=Jjtn. F.86)
Потерю информации из-за ошибок работы собственно системы
контроля можно определить по зависимости, аналогичной F.84):
/u = m[-PulogPu-(l-Pu)log(l-PJ]. F.87)
Тогда количество информации о состоянии двигателя, полу-
полученное реальней системой контроля, определится по зависимости
F.78):
- [?)[т log Р]/т - A - РдI^ log A - РдI/")] |. F. 88)
Из уравнения F.88) следует, что если Р; = РЦ, то из-за ошибок
контроля теряется вся информация. Количество информации за-
зависит от числа контролируемых параметров и вероятности ис-
исправной работы дтигателя и системы контроля. При некотором
значении числа контролируемых параметров получается макси-
максимальное количество информации.
На рис. 6.13 представлена зависимость
Рц, Рд)
270

/л состоянии.
С увеличением надежности системы контроля растет оптималь-
оптимальное количество контрольных параметров.
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Рис. 6. 12. Схема це-
цепей контроля
О
//
ЦТ
—^
Рд=0,9
%
/ \
ч
Рд=0,8 '
V
т
Рис. 6. 13. Зависимость количе-
количества информации от характе-
характеристик систем контроля и объ-
объекта:
Р =0,98, Рц = 0,03
6.5. РАСПОЗНАВАНИЕ АВАРИЙНЫХ СОСТОЯНИЙ
6. 5.1. Задача распознавания и предварительные понятия
В последнее время интенсивно разрабатывается теория авто-
автоматического распознавания образов [3, 62, 65, 85].
Задача распознавания образов формулируется так. По ре-
результатам ограниченного числа измерений па-
параметров предъявленного объекта необходимо
принять оптимальное решение о принадлежно-
принадлежности его к тому или иному классу общей сово-
совокупности объектов.
Под термином «образ» понимается совокупность восприни-
воспринимаемых признаков (параметров) объектов или явлений, принад-
принадлежащих к одному классу.
Признаки (параметры) образа могут изменяться в некоторых
пределах, в то время как сам образ принадлежит к одному
и тому же классу, поэтому необходимо знать статистические ха-
характеристики признаков.
Примеров задач распознавания образов можно привести
много. В частности, известная задача классификации объектов
есть задача распознавания образов. Для ее решения должны
быть известны признаки (параметры): длина, ширина, масса и
другие и границы их изменения, которые определяют принад-
принадлежность объекта к тому или другому классу. Автоматы, сорти-
сортирующие монеты, так же относятся к системам распознавания
образов и др.
271

При проведении летных испытаний ракет, несмотря на зна-
значительное количество телеметрических измерений, не всегда
представляется возможным определить вид отказа и причину его
породившую, а следовательно, обосновать программу доработок.
Поэтому для установления причин и видов отказов двигателей
без проведения дефектации материальной части можно приме-
применить статистическую теорию распознавания образов, т. е. по ре-
результатам измерений параметров рабочего процесса принять ре-
Г
IIе"
pi
tr
Устройство
сравнения
П
Блок сра-
сравнения
1-го и 1-го
образов
L
БС
2-го а 1-го
образов
L
БС
1-го и Н-го
образов
L
Устройство
памяти
Блок
памяти
1-го этало-
эталона
БП
1-го эта-
эталона
БП
N-го эта
лона
Блок
пран я тая
решения
Блок управления
Рис. 6. 14. Принципиальная схема системы распознавания образов
шение о принадлежности отказа, имевшего место в процессе
испытаний, к тому или иному классу.
Общая схема решения задачи распознавания образов сле-
следующая. Контролируются параметры рабочего процесса в объ-
объекте. Измеренные параметры обрабатываются по некоторому
алгоритму, для того чтобы принять решение, к какому образу
(вид отказа) принадлежат значения данных параметров. Для
этой цели разрабатывается решающее правило, которое зависит
от способа представления характеристик параметров.
Устройство распознавания каждого конкретного класса обра-
образов имеет свои особенности, однако у них всегда будут общие
функции и блоки.
На рис. 6.14 представлена принципиальная схема системы
распознавания образов. Роль каждого функционального блока
состоит в следующем.
272

\
(Устройство измерения параметров и кодирования образов
измеряет параметры рабочего процесса и группирует их по при-
признакам образов (типов отказов), в результате чего получаются
функционалы вида Yj(yu у2,..., уп), где /=1, 2,..., N. В устрой-
устройстве памяти, в блоках памяти (БП), хранятся описания всех
образов (эталоны) для каждого типа отказов, полученные в ре-
результате «обучения» системы. Описание образов представлено
количественными характеристиками параметров. В устройстве
сравнения все признаки образов, полученные устройством изме-
измерения, попарно сравниваются в блоках сравнения (БС) с этало-
эталонами, хранящимися в БП, т. е. решается задача распознавания,
которая является частным случаем статистической задачи про-
проверки гипотез, в результате чего определяется апостериорная
вероятность отказов.
В решающем устройстве в соответствии с критериями распо-
распознавания принимается решение о типе и месте отказа и опреде-
определяется вероятность правильности решения.
Реализованная по указанной схеме система распознавания,
встроенная в двигатель, позволяет в процессе эксплуатации без
проведения дефектации материальной части оперативно опреде-
определять место и причины отказа.
Точность работы такой системы в основном определяется точ-
точностью списания признаков и классификации образов, т. е. выбо-
выбором контролируемых параметров и критериев распознавания.
Разработке системы распознавания должно предшествовать
решение следующих задач:
— классификация возможных аварийных состояний и типов
отказов;
— обучение системы распознавания, т. е. выбор признаков
и определения их вероятностных характеристик и априорных
вероятностей классов аварийных состояний;
— вычисление апостериорных вероятностей классов;
— выбор критериев распознавания и принятия решений
6.5.2. Классификация аварийных состояний
Для осуществления процесса распознавания необходимо все
аварийные состояния соответствующим образом классифициро-
классифицировать и списать их признаки. К определенному классу относятся
аварийные состояния одного наименования и вида. Разделение
на классы производится по следующим признакам:
— вид аварии (отказа),
— место аварии (отказа) в двигателе,
— степень аварии.
Аварийные состояния классифицируются в результате обра-
обработки данных по отказам, имевшим место при эксплуатации, или
по результатам логического анализа конструкции. Количество
классов зависит от того, насколько достоверно и полно описаны
273

все аварийные состояния, имеющие явно выраженные признаки
в виде характерного изменения параметров рабочего процесса.
Рассмотрим такой пример. Пусть в гидравлической магист-
магистрали в каком-то месте возможна негерметичность и утечка через
нее жидкости. Место возникновения негерметичности априори
определить нельзя — если бы это можно было сделать, то отпала
бы необходимость в постановке задачи распознавания. Поэтому
Ро Р Pi
Рис. 6. 15. Схема магистрали с негерме-
негерметичностью
всю совокупность мест возникновения негерметичности объеди-
объединим в два класса, для которых существует один признак (конт-
(контрольный параметр), например — расход жидкости через негер-
негерметичность G (рис. 6.15). Появление негерметичнссти на участки
р—ро отнесем к первому классу, признаком его является G\\ на
участке р—р\ — второй класс с признаком G2. Из-за влияния
различных случайных факторов значения расходов G; являются
случайными величинами; предположим, что G* распределяются
по нормальному закону. Пусть зависимость признаков классов
от суммарного расхода и их распределения будут такими, как
Рис 6.16. Распределение признаков
показано на рис. 6.16, причем Gimax — значение расхода утечки,
при котором наступает авария. Для распознавания представлен
эталон Gn. В этом случае, как следует из рис. 6.16, участки
дG1 = 6^1 и дG2 = 6зО2не накрывают реализацию Gn, следо-
следовательно, распознавание аварии не произойдет. Согласно работе
[3], классы необходимо устанавливать такими, чтобы распреде-
распределение признаков пересекалось и выполнялось соотношение
274

Гг
\
Однако при указанном соотношении признаков распознавания
возможна ошибка в отнесении аварии к тому или иному классу.
Продолжим рассмотрение примера, приведенного на рис. 6.16,
Признаки классов К\ и К2 отличаются средними значениями
rnQ и mG . Признаки могут иметь различные значения, которые
распределяются по нормальному закону (рис. 6.17). Система,
произведя измерения расхода G, должна принять решение о при-
принадлежности аварии к классу К\ (гипотеза Н\) или К2 (гипо-
(гипотеза Я2).
Если бы во всех случаях наличия первого класса (справед-
(справедлива гипотеза Нх) выполнялось равенство G = niGli а при нали-
наличии второго класса — равенство G=~mfJ*9 то никакой неясности
в выборе решения не возни-
возникало бы. Однако из-за дей-
действия случайных причин G
принимает различные значе-
значения, хотя вероятнее всего
в случае гипотезы Яь при-
признак Gj распределяется по
закону /i(G), а в случае ги-
гипотезы Я2 — по закону f2(G).
Система дслжна иметь пра-
правило выбора решения, по
которому выбирается одна
из гипстез. Таким правилом
может быть выбор порога Gn, т. е. разбиение всего интервала
измерений на две области (два класса).
Гипотеза Яь принимается в том случае, когда G>GU, а гипо-
гипотеза Я2 — когда G<GU. При этом возможны два вида ошибок:
1) несмотря на наличие класса К\9 принимается гипотеза Я2,
т. е. класс /С2,
2) несмотря на наличие класса /С2, принимается гипотеза Ни
т. е. класс К\.
Вероятность того, что будет выбрана гипотеза Я2, когда имеет
место гипотеза Яь определяется площадью под кривой /i(G)
правее Gn.
Вероятность такой ошибки Fn определяется соотношением
Рис. 6. 17. Распределение признаков
^L)=\/1 (O)dO=l -
F.88)
а вероятность ошибочного принятия гипотезы Яь вместо Я2
определяется так:
275

а вероятность правильного распознавания —
С учетом вышесказанного все аварийные состояния можно раз-
разбить на классы К\, /G,.. •, Kn-
Например:
класс К\ — негерметичность магистрали 1-го участка;
класс /Сг — негерметичность газовой магистрали;
класс /Сз — негерметичность газогенератора;
класс Ка — кавитация в насосе;
класс Kn — дефект турбины.
6.5.3. Выбор признаков классов
Информацией об аварийных состояниях является реализация
некоторых параметров рабочего процесса, которые принимаются
в качестве признаков. Реализация признаков и вероятности ава-
аварийных состояний определяют априорные сведения о состоянии
двигателя. В общем случае количество аварийных состояний и их
классов бесконечно велико. Для формулирования и решения за-
задачи распознавания принимается допущение о том, что все ава-
аварийные состояния можно объединить в конечное число классов»
каждый из которых характеризуется конечным числом призна-
признаков. Признаки классов, т. е. контрольные параметры, опреде-
определяются двумя методами.
1. Методом статистической обработки данных тех испытаний
двигателей, при которых имели место отказы. В результате опре-
определяются контрольные параметры и их статистические характе-
характеристики для каждого класса аварийных испытаний. Однако,
ввиду ограниченности данных по аварийным испытаниям, этот
метод не всегда рационален.
2. Методом моделирования аварийных состояний, в резуль-
результате чего (см. 6.2; 6.3) выбираются контрольные параметры,
являющиеся признаками. Для каждого класса аварийных состоя-
состояний определяются признаки, которые зависят от степени первич-
первичной неисправности (величина площади негерметичности, вели-
величина коэффициента кавитации и др.). Следовательно, можно
получить образ в виде совокупности признаков каждого класса:
D,Z,FKj), F.89)
где 1= 1, 2,... — номера признаков Kj — класса;
ут — параметры рабочего процесса двигателя;
D — конструктивные характеристики двигателя;
Z — внешние факторы;
Fkj — степень первичной неисправности /-го класса.
276

Для решения задачи распознавания недостаточно иметь
только номенклатуру признаков, но необходимо иметь также ста-
статистические характеристики признаков, для того чтобы сформи-
сформировать устройство памяти параметров эталонов (см. рис. 6. 14) „
т. е. обучить систему. Необходимо иметь распределение вероят-
вероятностей значений признаков и знать априорные вероятности каж-
каждого класса.
Признаки и контрольные параметры yK.j являются случай-
случайными и непрерывными функциями. При статистической связи
между признаками необходимо иметь совместную плотность рас-
распределения значений признаков.
В общем виде совместная плотность распределения призна-
признаков для класса Kj записывается в виде
Р(У» У2, • • •, yjKj) = P( U Ук/кХ F.90)
Совместную плотность распределения можно определить по ме-
методике, предложенной ранее (см. 6.3). Однако вычисление плот-
плотности распределения и принятие решений о гипотезе связано
с большими трудностями, которые приводят к значительному
усложнению системы распознавания. В связи с этим можно до-
допустить, что в пределах любого класса признаки статистически
независимы.
Для оценки статистической связи между признаками необ-
необходимо определить парные коэффициенты корреляции
где
— эмпирические моменты связи.
Полученные таким образом эмпирические коэффициенты кор-
корреляции могут не отражать действительных статистических свя-
связей между признаками t/i и yj.
Для проверки статистической связи используется критерий
[82]
t=—M=-Vv, F.92)
где v = /i—2 — число степеней свободы.
Для величин t при известных v и заданной вероятности досто-
достоверности суждения о статистической связи составлена табл. 6.4.
Если значение t, полученное по формуле F.92), окажется
меньше величины, указанной в табл. 6.4, то предположение
277

о статистической независимости признаков достоверно с вероят-
вероятностью, не меньшей 0,95.
Таблица 6. 4
п
t
5
2,57
8
2,3
10
2,23
15
2,13
20
2,08
25
2,06
30
2,04
40
2,02
Если величины, входящие в уравнение признаков F.89), рас-
распределены по нормальному закону, то на основании предельной
теоремы вероятностей можно утверждать, что и признаки yi i
также распределяются по нормальному закону.
Нормальный закон распределения, как известно, полностью
характеризуется двумя статистическими параметрами: т и а.
Математическое ожидание признака определяется по функцио-
функциональной связи F.89):
ту. = f(mym, mD, mz, mFK ). F. 93)
Среднеквадратическое отклонение также определяется из выра-
выражения F.89) по зависимости
где
dxK I \ dxz
: = ym, D, Z, FK§.
лклг
О х О х
F.94)
По статистическим характеристикам признаков можно опре-
определить плотность распределения признаков для каждого класса
по следующей зависимости:
Кроме статистических характеристик признаков тУ[ и а/у., для
.построения системы распознавания необходимо иметь априор-
априорные вероятности классов Р (/Cj), которые могут быть получены
путем обработки результатов испытаний двигателей. Однако
практически при испытаниях невозможно получить представи-
представительные данные по отказам, принадлежащим к разным классам,
чтобы сделать достоверный вывод об их априорных вероятно-
вероятностях.
В этом случае в первом приближении можно считать, что
априорные вероятности классов одинаковы, т. е. проявление всех
классов аварийных состояний равновероятно:
Р(К1)=Р(К2)=.. . = Р(К„)=Р(К).
F.95)
278

Так как вероятности безаварийного и аварийного состояний дви-
двигателя связаны зависимостью
то
Совокупность распределений признаков, характеризуемых
ту. и ау„ и априорные вероятности классов P(Kj) называют
описанием или эталоном классов. Для формирова-
формирования устройства памяти эталонов (см. рис. 6.14) составляется
таблица описаний классов по образцу табл. 6.5.
Таблица 6.5
Признаки
У-1
Уз
Классы
У\
1/2
Ут
у\
у\
у\
у\
Къ Р№)
/ {у IK)
ту
К2\ Р (К2)
f {У/К)
ту
/ 0 /к)
6. 5.4. Апостериорные вероятности гипотез
Пусть' состояние двигателя может находиться в одном из
К классов, образующих множество
К= [Къ /С, ..., Kn].
Априорные вероятности нахождения состояния двигателя в каж-
каждом классе соответственно равны
), .... Р(/Слг).
279

После контроля должна увеличиться вероятность того класса
состояний, в котором действительно находится двигатель. Если
используется идеальная по достоверности система распознава-
распознавания, то после контроля вероятность действительного класса со-
состояния двигателя, будет равна единице. Однако из-за ошибок
системы распознавания некоторая неопределенность состояния
двигателя останется. Она может быть выражена через апосте-
апостериорные вероятности классов состояний Рар(К\), Рар(^2),...
..., Pclp(Kn), характеризующие нахождение состояний объекта
в соответствующем классе, если получены определенные резуль-
результаты измерений. Эти вероятности можно определить, используя
¦формулу Байеса [82]. Пусть в результате контроля получена
реализация параметров Bj(yu у2,..., ут)- Апостериорные веро-
вероятности принадлежности полученной реализации к каждому
классу определяется по формуле Байеса
где P(Ki) — априорная вероятность Кг класса;
P(Ki/Bj)—апостериорная вероятность гипотезы о принад-
принадлежности Bj реализации к Кг классу;
P(Bj/Ki)—условная вероятность принадлежности состоя-
состояния к /-му классу, если в действительности имеет
место i-и класс.
Если система идеальна, то она укажет на принадлежность со-
состояния двигателя к /-му классу только в том случае, когда со-
состояние двигателя в действительности находится в этом классе.
Тогда
Ki) = \ при / = /; Р(Я;-//СО=О при \фи
Следовательно, знаменатель формулы F. 96) примет вид
2 Р (Kt) Р (В,1К()=Р (К,)
и поэтому P(Kt/Bf)=
P(Ki)P(Bj/Ki)
Таким образом, при использовании идеальной системы распо-
распознавания достоверность наших предположений о принадлежно-
принадлежности состояния двигателя к Кг классу увеличивается по сравне-
сравнению с априорными данными на величину
P(Ki) P(Ki)
280

Реальная система распознавания обладает ошибками, поэтому
РВД<1 при J = l;
P{BjlKt)>0 при уф/.
Следовательно, P(Ki/Bj)<\.
Пусть имеется N классов, представляющих полную группу
состояний двигателя. В результате контроля получена реализа-
реализация параметров для какого-то, пока неизвестного, класса ава-
аварийных состояний BAy^\ y^j\ •••» У$Л- Требуется опреде-
определить последовательно апостериорные вероятности гипотез:
#i — принадлежности реализации Bj к классу К\\
#2 — соответственно к классу /Сг и т. д. до Kn-u
HN — принадлежность реализации Bj к классу Kn-
Тогда апостериорная вероятность гипотез Hi определяется по
зависимости F.96)
!^U, F.97)
где Р(^г) — априорная вероятность гипотез;
/ iBj /\y\Ki\ y[K'l\ . .., ^L^^ll — многомерная функция правдо-
правдоподобия;
у[*1\ У^1\ • • •> Фт^—образ (эталон) класса Ки вы-
выраженный совокупностью при-
признаков.
Зависимость F.97) можно значительно упростить, если вос-
воспользоваться следующими принятыми допущениями.
1. Априорные вероятности классов одинаковы, т. е.
N
Тогда Р(Я1)
2. Статистическая независимость признаков. В этом случае
многомерную функцию f {вАу^1\ у[К[\ . . ., */if^|l можно
представить в виде [44]
=f[y\bJ)Iy\Ki)]f[y{2})/yiKi)]¦¦¦/[€'>/^>]. (в-98)
/ \\/k^ I у?^\ ~" одномерные функции [распределения.
281

Для нормального закона распределения признаков функция
распределения определяется так:
т .,...'' '¦ F-99)
где my{Kj)^ а^к.)— математическое ожидание и среднеквадра-
тическое отклонение признаков Ki класса, или статистические
характеристики образа Ki класса, полученные до контроля;
Уk^ — значение признака Bj реализации, измеренное систе-
системой распознавания.
С учетом изложенных допущений зависимость F.97) для
определения апостериорных вероятностей, можно переписать
в виде
До74
Р (HJBj) =—^ . F. 100)
/-1,7-1
Апостериорные вероятности гипотез вычисляются для всех
классов в блоке сравнения (см. рис. 6. 14). По полученному рас-
распределению апостериорных вероятностей определяется, к какому
классу Ki из N принадлежит Bj реализация.
6.5. 5. Критерии принятия решения
Выбор критерия принятия решения о принадлежности реали-
реализации к соответствующему классу относится к типу задач про-
проверки статистических гипотез. Существует несколько правил при-
принятия решений, которые обеспечивают минимальную ошибку
распознавания. Вероятность ошибки распознавания, под которой
понимается вероятность ошибочного отождествления реализации
с классом, можно определить в общем виде по зависимости [52].
7-1
Рассмотрим в общем виде некоторые критерии, которые позво-
позволяют принять решение с минимальной ошибкой.
/. Критерий Байеса
Пусть имеются два класса объекта К\ и /G, характеризую-
характеризующиеся одним признаком у, который распределяется по нормаль-
нормальному закону:
282

Априорные вероятности классов известны и соответственна
равны
Задается условная стоимость (риск или другая величина) пра-
правильных и неправильных решений. Пусть «стоимость» решения,,
когда класс К\ принимается за класс К2, будет С\2, и когда наобо-
наоборот— с2\. Стоимости правильных решений обозначены Сц, с%2.
Можно определить среднюю стоимость распознавания классов
К\ И К2.
Для этого обозначим вероятность ошибки в принятии К2 за К\
через /\ч, К\ за К2 — через ^п и правильного решения — через D.
Средняя стоимость с учетом априорных данных определится па
зависимости
F.101)
Подставив выражения для соответствующих вероятностей, по-
получим
где уо — граничные значения признака, разделяющего классы
(рис. 6.18).
Для определения минимальной средней стоимости в зависи-
зависимости от уо вычислим dccijdyo и приравняем нулю:
дс
+ Р[Г21/2(Уо)С22%(Уо)] = О,
откуда, приняв, что стоимость правильных решений С\\ = с22 = 0у
получим
Ао= h{yo) =}—Z-JnL-9 F.102)
/ (i/) Р С2\
где Ло — отношение правдоподобия.
283

Для нормального распределения и при одинаковых а отно-
отношение правдоподобия F. 102) перепишется в виде
V Ух Ьг) \ ух у2)
Л0=е
Разрешив последнее равенство относительно у0, получим
2
ту,~тУг
•1пЛ0.
F.103)
Таким образом, наименьшая стоимость распознавания будет
в том случае, когда принимается решение в пользу класса К\9
если у<уо, и в пользу класса 7B, если у>у0.
cp(Y)
Рис. 6. 18. Распределение признаков
Рис. 6 19. Зависимость среднего
риска от априорной вероятности
2. Минимаксный критерий [84]
В том случае когда неизвестны априорные вероятности Р(К\)
и Р(/С2), минимаксный критерий позволяет выбрать решение
с минимальной стоимостью. Если изменять априорную вероят-
вероятность Р(К\) или Р(К2), то так как Р(/С2) = 1— P(/Ci), средняя
стоимость сср будет меняться по некоторому закону, достигая
максимального значения при некотором значении Ро(^Сг)
(рис. 6.19). Следовательно, если выбрать такое значение г/о, при
котором средняя стоимость окажется минимальной, то она при
любой вероятности Р(/Сг) не превзойдет этой величины.
3. Критерий Неймана — Пирсона
В том случае когда нет данных по априорным вероятностям
и стоимостям, но можно указать уровни вероятностей ошибок,
то применяется критерий Неймана — Пирсона. Пусть задано
^л = ^п, при этом находится вероятность правильного решения D
и соответствующее уо. Так, в случае нормального распределения,
как было показано раньше, F^ определяется следующим
образом:
284

1-Ф(]?1=Л!У.\ откуда ^ = Ф-Ц\-FA)
/)= 1 _ ф fф-1 A _ /? )+ тУ
[
J
4. Критерий Котельникова (критерий идеального наблюдателя)
[85]
В том случае когда при заданном значении у0 ошибки /^л и
FU9 определяемые уравнениями (см. рис. 6.18)
fx{y)y, /=•„=
имеют равную значимость, суммарная ошибка вычисляется по
зависимости
Р(/)^Р(/С1)гл + Р(Л'2)^11. F. 104)
Решение о принятии того или иного класса будет оптимальным,
когда Р(/) имеет минимальное значение. Минимум Р(/) обеспе-
обеспечивает критерий Котельникова, требующий выбора такого у0,
при котором выполняется равенство
f*{y). F.105)
Применяется другая форма записи с помощью отношений прав-
правдоподобия:
Для критерия «идеального наблюдателя
А р_ш_^ F 106)
0 P(/C) V ^
Гипотеза Нх о принадлежности состояния к классу К\ прини-
принимается при Л (у) <Л0, а гипотеза Я2 о принадлежности состояния
к классу /С2 — при А(у) >Л0.
Условные вероятности гипотез определяются в соответствии
с уравнением F.97):
где f(y)=P{K1)f(yfK1)+P(Kt)f(ylKt).
Из зависимостей F.105) и F. 107) получаем
F.108;
28 5

Таким образом, критерий Котельникова требует чтобы при-
принималось решение в пользу той гипотезы, вероятность которой
в данном акте распознавания максимальная.
Так, например, принимается гипотеза Яь если
В общем случае, когда имеется TV классов и TV гипотез, решение
принимается в пользу гипотезы Hh, для которой
P(Hk/Bj) F.109)
где P(HilBj)—апостериорная вероятность, вычисленная па
уравнению F.100);
Hi — любая гипотеза из совокупности N, кроме гипотезы #&.
6. 5.6. Принятие решения для нормальных
Af-мерных распределений
Выше рассмотрены критерии принятия решения, когда при-
признаки классов статистически независимы. При статистической за-
зависимости признаков функция правдоподобия определяется вы-
выражением [24],
где В = В [у[В), У{2В\". У{м]1\ —вектор измеренных параметров-
в процессе контроля;
nth — математическое ожидание при-
признаков &-го класса [см. F. 74)];
/( — ковариационная матрица эмпи-
эмпирических моментов связи между
признаками [см. F.73)].
Предположим, что признаки классов имеют статистические
свойства, характеризуемые одинаковыми корреляционными мат-
рицами К и одинаковыми априорными вероятностями классов.
Используем отношение правдоподобий:
А= P(Kk)f(B/Kk) > 1
Р (Ki)f (B/Ki) ^
Перейдя в последнем выражении к логарифмам, получим
0. F.111)
ln>0.
f(B/Ki)
Подставим функцию F.110) в уравнение F.111), получим не-
неравенство
286

После несложных преобразований последнее неравенство мож-
можно привести к виду
BK-\mKl~mKk)K-^[mKlK-1mKl-mKkK-1mKk\ F. 112)
при всех 1фк.
Неравенство F.112) означает, что решение о наличии Kh
класса принимается в том случае, когда неравенство выполняет-
выполняется при всех 1фк. Таким образом, неравенство 6. 112 дает пра-
правило, по которому принимается решение о принадлежности ава-
аварии к К классу, измерив все составляющие М-мерного вектора
признаков В \у[ь\ У^)'--*'^т)], подставив их в левую часть и срав-
сравнив ее с известной правой, т. е. характеристиками образа.
Левую часть неравенства F. 112) представим в виде
F. 113)
aki = \ [тыК-1ты - mKkK-lmKk) = — Щ) (ти + mKk).
Решение принимается на основе последовательной проверки
всех гипотез нутем сравнения каждой из них со всеми осталь-
остальными. Так, например, для того чтобы проверить с наименьшей
ошибкой гипотезы наличия класса Ки необходимо неравенство
F.112) проверить со следующими коэффициентами:
№&•+у
Если все неравенства удовлетворены, то принимается гипо-
гипотеза о наличии первого класса. Если неравенства не соблюдены,
то составляются неравенства с коэффициентами аи и bki, имею-
имеющими индексы 21,2 3, 24... 2 N (индекс 2 2 исключается из-за
условия 1фк). Если и в этом случае неравенства не соблюдены,
то гипотеза о принадлежности ко второму классу не принимает-
принимается, а проверка продолжается для других гипотез. Для формиро-
формирования неравенств F.113) и их решений может применяться
фильтр, аналогичный показанному на рис. 6. 10.
287

6. 5. 7. Последовательность и блок-схема распознавания
Распознавать аварийные состояния двигателей возможно с
помощью встроенных быстродействующих специализированных
машин или с помощью ЭВМ с использованием телеметрической
информации по специально разработанным алгоритмам. Прин-
Принципиальная блок-схема расчета распознавания показана на
рис. 6. 20. Последовательность действий и расчета распознавания
аварийных состояний может быть следующая.
Описание
классов
6yi ^эталон)
Характерис-
Характеристика реали-
реализации
Вычисление
функции правдо-
правдоподобия
Вычисление апосте-
апостериорных вероятно-
вероятностей
Принятие
решения
Рис 6 20. Принципиальная блок-схема распо-
распознавания
1. Аварийные состояния двигателя разбиваются на клас-
классы Кг.
2. Производится описание классов признаками. В качестве
признаков классов выбираются параметры рабочего процесса,
полученные в результате моделирования аварийных состояний
или путем обработки данных аварийных испытаний. Каждый
класс должен иметь свои признаки. Расчет распознавания упро-
упрощается, если количество признаков в каждом классе одинаковое.
Признаки классов описываются статистическими характеристи-
характеристиками
где /=1, 2, 3,..., N — номер класса;
/ — номер признака в классе.
3. В процессе работы двигателя контролируются все призна-
288

ки yitj, в результате чего при некотором аварийном состоянии
определяется реализация признаков
4. Последовательно вычисляются функции правдоподобия
всех гипотез о принадлежности полученной реализации призна-
признаков к каждому классу:
/WVtfJ;
J-i
f [y[b})lKN]; / [yW/Кн];...; / [y"j/KN];
7-1
5. Вычисляются апостериорные вероятности всех гипотез:
PiHjBj); P(H2/Bj);...; P(ffN/Bj).
6. Принимается решение о принадлежности аварийного со-
состояния к тому или иному классу, путем применения критерия
принятия решения.
10 312 289

Глава VII
АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ
РАБОТОСПОСОБНОСТИ
7. 1. МЕТОДЫ КОНТРОЛЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ
Бурное развитие техники, повышение степени автоматизации
процессов управления, повышение роли и стоимости решаемых
задач привели к созданию сложных многофункциональных авто-
автоматических систем. Современная двигательная установка вклю-
включает большое количество агрегатов, системы запуска и выключе-
выключения, системы регулирования параметров, в которых происходят
разнообразные процессы (тепловые, механические, электриче-
электрические и др.), и является по существу сложной многофункциональ-
многофункциональной автоматической системой.
Сложные системы требуют нового подхода к их эксплуата-
эксплуатации и, в частности, к решению задач эксплуатационно-техниче-
эксплуатационно-технического контроля.
Необходимость нового подхода диктуется значительным уве-
увеличением объема информации, характеризующей состояние си-
системы, скорости протекания рабочих процессов, которые превос-
превосходят человеческие возможности контроля работоспособности
системы. Новый подход к решению задач эксплуатационно-тех-
эксплуатационно-технического контроля в первую очередь сказывается на методах
выполнения контроля, требует разработки новых систем, которые
обеспечивают объективный контроль состояний объектов без
вмешательства человека, т. е. автоматический контроль.
Условимся называть систему, которая подвергается автомати-
автоматическому контролю, объектом контроля или просто объектом.
Автоматический контроль — это выполнение без участия че-
человека операций по определению работоспособности, обнаруже-
обнаружению неисправностей, распознаванию отказов и прогнозированию
изменения состояния контролируемого объекта.
Для решения задач автоматического контроля создаются
специальные автоматические системы контроля.
Автоматические системы контроля основаны на предположе-
предположении, что объекты являются детерминированными, т. е. каждому
состоянию объекта соответствуют вполне определенные его
внешние проявления и, наоборот, каждому диагностическому
сигналу соответствует вполне определенное техническое состоя-
состояние объекта.
В зависимости от решаемых задач автоматические системы
контроля можно классифицировать по их назначению.
1. Системы контроля работоспособности
Работоспособность — это такое состояние объекта, при кото-
котором он соответствует всем требованиям, установленным в отно-
290

шении основных параметров. Система контроля работоспособ-
работоспособности устанавливает факт работоспособности или потери ее объ-
объектом. Контроль работоспособности объекта принципиально
можно осуществить разными методами.
1. По состоянию элементов. Состояние отдельных элементов
определяют в результате комплекта измерений параметров, ха-
характеризующих работу элементов, и анализа результатов этих
измерений.
2. По реакции объекта на рабочие или специальные сигна-
сигналы. На вход объекта подаются сигналы, и состояние его опре-
определяется по степени отклонения статических и динамических ха-
характеристик в период контроля от номиналов.
Статические характеристики объекта могут быть получены
при введении на вход его специальных контрольных сигналов.
Динамические характеристики (временные и частотные) оп-
определяются в контрольном режиме по реакции объекта на сти-
стимулирующие сигналы или в рабочем режиме статистическими
методами. В качестве стимулирующих сигналов могут быть вы-
выбраны ступенчатые или импульсные входные воздействия, по
которым определяются временные характеристики, и гармониче-
гармонические сигналы, по которым определяют частотные характери-
характеристики.
2. Системы обнаружения неисправностей.
При обнаружении неисправностей решается задача выявле-
выявления причин потери работоспособности системы. Все методы об-
обнаружения неисправностей можно разделить на три группы:
методы индикации, методы поиска неисправностей и методы аку-
акустической диагностики.
При применении методов индикации в контролируе-
контролируемом объекте размещается определенное количество датчиков,
которые обеспечивают индикацию неисправности в случае ее
возникновения. Датчики могут конструктивно включаться в кон-
контролируемый объект или в систему контроля. В первом случае
датчики являются встроенными, во втором — невстроенными.
Иногда применяются датчики, которые выполняют рабочие
функции в контролируемом объекте, такие датчики называются
модулями индикации неисправностей.
В методе поиска неисправности обнаруживаются в
процессе выполнения ряда контрольных операций, осуществляе-
осуществляемых по разработанной стратагеме. Стратегия поиска основывает-
основывается на известных статистических характеристиках элементов или
на данных анализа структуры контролируемого объекта. Стати-
Статистические данные позволяют составить стратагему поиска по сте-
степени надежности контролируемых элементов объектов, по мак-
максимуму получения информации. Анализ структуры объекта мо-
может быть выполнен на основе исследования методами матема-
математической статистики или методами инженерно-логического
10* 291

анализа с учетом особенностей конструкции и условий эксплуа-
эксплуатации.
При акустическом методе о состоянии объекта мож-
можно судить по характеристикам шума, создаваемого работающей
системой. Для этого производится спектральный анализ шума
и определяются автокорреляционные функции. По характеристи-
характеристикам корреляционной функции можно определить состояние систе-
системы [1].
3. Система распознавания отказов
(системы распознавания образов)
Перечисленные выше системы фиксируют только определен-
определенное явление (работоспособность, неисправность), но не опре-
определяют количественные их характеристики.
В некоторых, особенно сложных и ответственных объектах,
работающих в специфических условиях при отсутствии опера-
оператора, установить факт работоспособности или отказа не явля-
является решением задачи. Например, в ходе отработки объектов
первостепенной важности задачей является установление при-
причин потери работоспособности и отказов. Это необходимо для
определения мероприятий организационного или конструктивно-
конструктивного характера по устранению причин потери работоспособности
и повышению надежности объектов.
Для решения указанной задачи применяются системы распо-
распознавания образов, которые должны обладать следующими воз-
возможностями:
— большим числом воспринимаемых параметров внешнего
воздействия;
— широким диапазоном изменения параметров;
— способностью системы адаптироваться к условиям приме-
применения и самонастраиваться.
Автоматическая система распознавания отказов должна
включать: входное устройство, воспринимающее всю совокуп-
совокупность параметров рабочего процесса; устройство принятия реше-
решения, которое сравнивает текущую ситуацию с ранее фиксиро-
фиксированной и принимает решение о наличии того или иного явления;
обучающее устройство, управляющее перенастройкой распозна-
распознающей системы.
Система распознавания образов решает следующую задачу:
по результатам ограниченного числа измерений параметров объ-
объекта необходимо принять оптимальное решение о принад-
принадлежности его состояния к тому или иному классу общей сово-
совокупности состояний.
4. Системы прогнозирования состояний объектов
С целью предупреждения потери работоспособности объекта
можно по результатам контроля прогнозировать изменения его
292

состояния, т. е. предсказать характер изменения работоспособно-
работоспособности в будущем. Методы прогнозирования рассмотрены в п. 6.2.
5. Системы аварийной защиты
В том случае когда, кроме прогнозирования состояния объ-
объекта, необходимо воздействовать на него при возникновении
аварийного состояния с целью прекращения работы или пере-
перевода на безопасный режим, применяются специальные системы,
называемые системами аварийной защиты. Таким образом, си-
системы аварийной защиты представляют собой совокупность
систем прогнозирования с исполнительными устройствами, воз-
воздействующими на объект при возникновении в нем аварийных
состояний.
В качестве примера подобной системы может быть рассмот-
рассмотрена система «оперативного управления полетом» (ОУП), пред-
предложенная для повышения надежности работы ракеты-носителя
«Сатурн-VI» [9].
Система ОУП в течение всего периода активного полета, т. е.
полета с работающими двигателями, непрерывно измеряет пара-
параметры, определяющие правильность функционирования систем,
сравнивает их с запрограммированными значениями этих пара-
параметров. Когда разница между запрограммированными и фак-
фактическими значениями параметров может привести к невыпол-
невыполнению задачи, ОУП вмешивается в работу систем.
Система ОУП имеет датчики и преобразователи для опреде-
определения текущих значений параметров и запоминающее устройст-
устройство, в котором заложены данные о том, какие значения должны
иметь параметры для нормального функционирования системы.
В результате сравнения программы с текущим состоянием
вырабатывается корректирующее воздействие на систему с це-
целью предупреждения возможных катастрофических последствий
отказов.
Программа работы ОУП составлена на базе подробного ана-
анализа возможных неисправностей системы. В результате анали-
анализов отказов составлены перечни признаков, которыми сопровож-
сопровождается отказ или по которым можно установить предстоящее
наступление отказа, т. е. симптомы его наступления.
Перечни признаков имеют вид матриц. Матрицы составля-
составляются в два этапа: матрицы отказов — симптомов и матрицы сим-
симптомов — показаний чувствительных элементов, которыми эти
симптомы могут быть замечены. В заключение составляется ито-
итоговая матрица отказов-показаний чувствительных элементов.
Каждой строке итоговой матрицы соответствует определенное
корректирующее воздействие. Это воздействие планируется зара-
заранее, и команда на его выполнение подается вычислительным
устройством.
2 93

Таблица 7.1
№
по
пор.
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Неисправный узел
Трубопровод
Гидропомпа
Клапан
Отсечной клапан
Аккумулятор
Резервуар
Клапан высоко-
высокого давления
Вид неисправности
Нарушение герметичности
Отказ до начала полета
Отказ во время полета
Поломка, нарушение герметичности
Поломка, негерметичность
Поломка, негерметичность
Поломка, негерметичность
Срабатывания при низком р
Отказ до начала полета
Неполное закрытие
Нарушение герметичности
Показания чувствительного элемента
давление
в аккуму-
аккумуляторе
0
—1
—1
—1
0
J
0
—1
+1
1
—1
уровень
смеси
в баке
—1
+ 1
+ 1
— 1
— 1
—1
—1
0
0
0
0
в рулевой
машине ?
—1
—1
— 1
—1
0
—1
0
—1
+1
1
-1
в рулевой
машине и
— 1
— I
— 1
—1
0
—1
0
— 1
+ 1
j
—1
положение
поршня
в машине у
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
положение
поршня
в машине G
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12
Редуктор
Нарушение герметичности
—I
Программа действия ОУП:
1,2,3,4,5,6,7 —переместить поршень рулевой машины в нейтральное положение;
2, 3 —заблокировать исполнительный механизм;
8, 9, 10, 11, 12 —воздержаться от воздействия до давления 12,5 МПа:
9 — воздержаться от воздействия до давления 37,5 МШ.

Такие матрицы составлены для всех систем ракеты «Са-
турн-V».
В качестве примера приведем итоговую матрицу для системы
гидравлического привода поворотом камер двигателя.
Система гидравлического привода состоит из главного гидро-
гидронасоса, связанного с турбонасосным агрегатом двигателя, акку-
аккумулятора-резервуара, двух рулевых машин, клапанов, фильтров,
дросселей и других элементов.
Итоговая матрица отказов-показаний чувствительных элемен-
элементов приведена в табл. 7. 1.
Испольни тель-
тельная система
Ч
05ъ ент
Система обработки,
информации
—
1
"Н
1
1
- J
Hi
Ут
Рис. 7. I. Схема системы контроля
Показания чувствительных элементов даны в относительных
величинах: х=0 соответствует нейтральному положению;
х= + \ и х= — I соответствуют обоим крайним положениям.
На матрице показаны также корректирующие воздействия,
которые заключаются либо в блокировке рулевых машин в ней-
нейтральном положении, или в том положении, в котором они бы-
были в момент отказа, либо в режиме ожидания, когда давление
в гидросистеме уменьшится до определенной величины.
Аналогичные матрицы и программы корректирующих воздей-
воздействий разработаны и для других систем ракеты «Сатурн-V».
Все рассмотренные системы автоматического контроля, не-
несмотря на различие в назначении, имеют много общего.
Обобщенная структурная схема системы контроля показана
на рис. 7. 1.
Информация о состоянии объекта в виде сигналов г/j (/=1,
2, . .., т) передается в систему контроля. Система получения и
обработки информации, структура которой зависит от назначе-
назначения системы контроля, обрабатывает полученную информацию и
вырабатывает решение в виде сигналов управления Хг.
Сигналы управления преобразуются исполнительной систе-
системой в управляющие воздействия, которые воздействуют на объ-
объект в случае применения систем защиты или поступают опера-
оператору для принятия решения о состоянии объекта.
Все системы контроля являются информационными система-
системами, работе которых присущи ошибки. Так как системы контроля
в своем составе имеют датчики параметров, усилительно-преоб-
295

разовательные и решающие устройства, цепи управления, то
источниками ошибок работы являются: точность алгоритма кон-
контроля, структурная надежность, точность настройки и быстро-
быстродействие системы.
Как известно, всем системам контроля присущи два вида
ошибок.
1. Ошибки 1рода. Система контроля не определяет ава-
аварийного состояния объекта. В теории надежности такие ошибки
называются риском заказчика, когда объект, у которого потеря-
потеряна работоспособность, принимается как работоспособный.
2. Ошибки II рода. Система контроля формирует лож-
ложный управляющий сигнал и работоспособный объект признается
неработоспособным (риск поставщика).
Указанные ошибки контроля являются следствием следую-
следующих причин:
— ограниченная точность контроля параметров рабочего
процесса из-за ошибок работы датчиков системы;
— ненадежность системы контроля как технического
устройства;
— конечное быстродействие системы контроля;
— ошибки в выборе параметров контроля.
В последующем рассмотрим перечисленные ошибки контро-
контроля и методы их уменьшения.
7.2. СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Для анализа точности работы системы контроля очень часто
приходится определять вероятность сочетаний нескольких зави-
зависимых величин. В этом случае многие вероятностные задачи
сводятся к определению вероятности вида
Р = Вер(... Vi<Ui<Wi)9 G. 1)
где /=1,2,..., п;
V{, iii, Wi — случайные величины.
Введем новые соотношения между случайными величинами:
Zi = Vi — UU Zi+t = Ui — Wh
Тогда уравнение G. 1) перепишется так:
P = Bep(Zi<0, 22<0,..., zn<0). G.2)
При нормальном законе распределения случайных величин,,
они полностью определяются следующими статистическими ха-
характеристиками:
математическими ожиданиями mV/, mu^ mw.;
среднеквадратическими отклонениями а„., аДо ада.;
коэффициентами корреляции Qv.ur QuLuy...
296

Перечисленные характеристики позволяют определить:
о2 = о2 — а2 ; а2 = а2 —а2 ;
zi zi+\ zi zl+\
Вероятность, выраженная в форме G.2), определяется сле-
следующим образом:
о
Р = J ... /г J срО?!, г2,... zn)dzlf dz2,..., dzn, G.3)
— оо —оо
где Ц)(ги 22,..., «гп)—Af-мерная функция распределения случай-
случайных величин Z{.
Решение интеграла G. 3) в явном виде неизвестно, поэтому
применяются различные приближенные методы.
Решение двухмерных интегралов существует в явном виде.
Пусть известны плотности распределений Zi и г2. Тогда вероят-
вероятность выполнения условия 2i>0 и 22>0 определяется зависи-
зависимостью
h2,QziZ2), G.4)
где Fih^h^Q^^O^^ih^ + Oih^-Tih^a^Tih^
если /*!<0 и /z2<0 или /*i>0 и Л2>>0,
и
если Лх>0 и /г2<0 или ^х<СО и А2>0;
-~ ^ • я-
Ф(Н1)=[ ехр ( —-W/ —функция Лапласа;
О
— функция Оуэна.
297

Функции Ф(кг) и T(hu di) представлены в таблицах [33].
Приближенно интеграл G.4) можно определить, если вос-
воспользоваться следующими свойствами функции Р {hv /z2, QZlZ§):
а) F (h^ h2, QZlz2) — монотонна относительно qZxZ%\
б) если QZl2t = 0, то F (/1г, /г2) = Р1-Р2,
где
где
и р2 = О,5+
в) если 02^=1, то F(hlth29 l) = Pmln,
PmJn = min(P1,P2);
г) если Q2iZt= — \y то Z7(А1э Л2, —1) = 0
>0.
при
при
Используя отмеченные свойства, функцию F (hl9 h2, Qzxz2) мож-
можно аппроксимировать степенной зависимостью и получить при-
приближенные выражения для интеграла вероятности G. 4) Р* как
функции коэффициента корреляции.
Результаты аппроксимации вероятностей G. 4) представлены
в табл. 7. 2.
Таблица 7.7
Условия
аппроксимации
Pi > 0,5; Р2 > 0,5
РРР2>0,8
Pi<0,5, P2<0,5
Pi < 0,5; Р2>0,5
Р2 + Pi < 1
Приближенная формула
A _ р2) [(Pj—0,5)qJ z +
-j-0,5qz z |+PiP2
—- [(l—2P2)A—Qz z L+
+A6P2— 1)A — QZlZ2)]
1,35A-P2)[A-2P1KX
X 1/l-0ZlZi+(l,26P1-0f26)X
1,35P! [BP2—1) j/ 1 — qz^2 +
Пределы
0<Q<l
0<Q<l
0<Q<l
0<Q<l
— 1 < Q < 0
0 < Q < 1
— 1 < Q < 0
Ошибка
P—P*
" ~ P
0,005
—0,005
—0,005
0,005-
—0,00S
0,005<
—0,03
0,03-
0,03-
298

7.3. ОШИБКИ СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ
7.3.1. Ошибки контроля по одному параметру
Система контроля проверяет работоспособность объекта по
одному параметру. Условие работоспособности объекта по од-
одному параметру можно записать в виде
параметра из
У-У<О,
где у — контролируемый параметр,
У — допустимое значение контролируемого
условия работоспособности.
Условие G. 5) можно в общем случае трактовать следующим
образом: Y — несущая способность (прочность) конструкции,
у—нагрузка; когда нагрузка
меньше несущей способности,
то объект работоспособен.
Если нагрузка, действующая
на конструкцию, превысит не-
несущую способность, то прои-
произойдет потеря работоспособно-
работоспособности.
Ввиду того что как на на-
9(У).
ГПп
/77у
Рис. 7.2. Законы распределения
грузку, так и на несущую спо-
способность в процессе работы
воздействует много случайных
факторов, они в общем случае являются случайными функциями,
имеющими свои законы распределения ф(у) и ф(У).
Работоспособность объекта контролируется путем измерения
параметра рабочего процесса у датчиком контроля. Показания
датчиков также являются случайными величинами и имеют
функцию распределения ф(?)).
В общем случае законы распределения ф(*/), ф(У) и cp(D)
могут располагаться так, как показано на рис. 7. 2.
Датчик системы контроля настраивается на величину mD та-
таким образом, чтобы при выполнении условия mD — mY>0 си-
система фиксировала потерю работоспособности объекта.
В результате разных сочетаний законов распределения ф(#),
<р(У) и ф(Д) система контроля может сформировать либо лож-
ложный сигнал, либо не обнаружит потери работоспособности.
Рассмотрим события, которые могут наступить в процессе
контроля.
А событие, когда y<Y— объект работоспособен;
А событие, когда y>Y—объект потерял работоспособность;
JJD событие, когда y>D\
JlD событие, когда y<C.D\
HD событие, когда 7<D и
Нд — событие, когда Y>D.
299

Система контроля сформирует ложный сигнал о потере ра-
работоспособности, если реализуется соотношение между собы-
событиями Л = АПЛя, и не обнаружит потери работоспособности
при условии Н = А П Ня.
Переходя от соотношений событий к их вероятностям, полу-
получим вероятности ложного сигнала
дЛо=Р(л)=р(л п лд
и вероятность необнаруженного отказа (потери работоспособ-
работоспособности)
Условие вероятности указанных событий соответственно опреде-
определяются зависимостями
« G.6)
2> G.7)
Перейдем от событий к случайным величинам:
zx = y—Y; z2=D-y; zz=Y—y; zA=Y—D.
Вероятности ложных и необнаруженных отказов в общем слу-
случае определяются следующим образом:
— °°Ly
°° J
G.8)
QHD=Bep(z3<0, z4<0)=J П <?y(x)dx f <?D(x)dx\<?(V)dy.
-L, у J G9)
Уравнения G. 8) и G. 9) позволяют определить вероятности
ошибок при любых законах распределения величин у, Y% D. Для
нормальных законов распределения у, У, D указанные вероят-
вероятности определяются по зависимости G. 4):
-Г(Аг1, a,t)-T(hZt, аг%\ G. 10)
^-ПЛз, agz)-T(hgA, аг<\ G. 11)
где
h ту — ту # , тр— ту #
300

, Ttly — Шу m , Ttly — tflQ
l/^a2 4- a2 V a2 4- a2
***= u'\,. ****** ' ^4 =
A, l/l -
Вероятности ошибок <2л и Qhd могут рассчитываться и по
приближенным зависимостям (см. табл. 7. 2):
nD= 1,35 A - P,t) [A - 2Р„) ^Т^^Г+
-1, G. 12)
Qhd=^-[(I-2P,JA -Q,8*4L+ A6P,4- 1)A -&.О] , G. 13)
где
Условные вероятности соответственно:
qnD= 1,35 A~Pzt) [A -2Р
-1; G. 14)
^Ho=0,07l5[(l-2P,4)(l-Q*,«4)t+A6P,4-l)(l-c»,*4)]. G. 15)
Вероятности ошибок зависят от статистических характеристик
законов распределения т^ и а,.
На рис. 7. 3 показана зависимость вероятностей ошибок от
величины параметров настройки датчика mD.
Как следует из анализа зависимостей ддо и <7hd, изменением
настройки датчика невозможно одновременно уменьшить вероят-
вероятности ошибок. С уменьшением вероятности ложных сигналов
301

увеличивается вероятность необнаруженных отказов, и наобо-
наоборот. Однако можно ввести суммарную характеристику точности
системы yD = qj\D-\-quD, которая имеет минимальную величину
при определенных значениях параметров настройки датчика mD.
Например, для условий рис. 7. 4 ymin при mD=2,5.
0,8
0,6
0,4
0,1
/7
/77л
Рис. 7. 3. Зависимость ошибок контроля от
величины параметров настройки:
(TD=1, crD=O;
my=0,
В каждом конкретном случае применения системы контроля
настройка датчика должна определяться из требований к точно-
точности контроля. Если ошибки контроля равнозначны, то настрой-
настройка должна производиться из условия получения ymin. Если лож-
ложные отказы не допустимы, то mD определяется из условия полу-
получения q.iDm\n-
Частные случаи точности контроля
.0л 0.
В ряде конкретных случаев может отсутствовать взаимосвязь
между контролируемыми параметрами, показаниями датчиков и
несущей способностью. Тогда QZlzt = 0\ q^4 = 0,h согласно свой-
свойствам функции F(hu A2, аи а2) получим
2. ту—ту^Зу у
Объект по параметрам рабочего процесса обладает значи-
значительным запасом работоспособности, т. е. плотности распреде-
распределения <р(у) и ф(У) не пересекаются (рис. 7. 4, а). В этом случае
справедливы следующие соотношения:
302

Следовательно, вероятности ложных и необнаруженных отказов
определяются зависимостями
QHz) = Bep(z3<0, 2:4<0) = 0.
Условные вероятности соответствующих величин —
<0)+ВерB:1н<0, z2H<0); 5) mvH mn ™y m*
3. На контролируемые параметры заданы границы работо-
работоспособности с двух сторон
(рис. 7.4,6).
В случае двухстороннего
ограничения справедливы
уравнения G.8) и G.9), и
вероятности ложных и не-
необнаруженных отказов опре-
определяются зависимостями
чув
/Tin /TJjj Шу
Рис. 7.4. Распределения ф(#), ф(К),
4. ау = 0.
Несущая способность некоторых параметров детерминирова-
детерминирована Y* = mY (рис. 7. 4, б). В этом случае характеристики случай-
случайных величин Zi имеют вид
. ту — ту # . гпр— тпу %
<0)+Вер(г3н<0,
где
az=
h~ — hy Q~ 7
1 K.VI-A
' ^17'
303

Вероятности ложных и необнаруженных отказов вычисляются по
зависимостям G. 13) и G. 11).
7.3.2. Точность контроля,
когда контролируется т параметров
При контроле состояний объектов, как правило, контролиру-
контролируется несколько параметров рабочего процесса уи #2,..., Ут-
Обозначим событие JlDj ложного сигнала по /-му параметру,
когда выполняется условие
Формирование ложного сигнала системой контроля произойдет
в том случае, когда произойдет хотя бы одно событие Лр.. Тог-
Тогда событие ложного сигнала по всем параметрам Лт определит-
определится так:
Вероятность появления ложного сигнала
Поскольку в общем случае контролируемые параметры являют-
являются величинами зависимыми, то и события JlD. тоже зависимы,
и (в этом случае удобно рассматривать противоположные собы-
события, т. е.
). G.16)
/=1 '
Тогда вероятность ложного срабатывания определится сле-
следующим образом:
где Uj=tjj — Dj;
Вероятность ложного сигнала, образованного системой по т па-
параметрам, определится так [44]:
1т / т \
ПР;+(Рт1„-П Р/) +
+ — VarcsinQu.a/l , G. 18)
304

где
Если взаимосвязь между параметрами контроля отсутствует
(б^/ = 0), то вероятность ложного сигнала определяется следу-
следующим образом:
И, наконец, если соблюдается условие Qyjy.= 1, то
G. 19)
G. 20)
где
qnD =тах{...Gло....}.
max ^y
7.3.3. Ошибки, обусловленные быстродействием
системы контроля
Рассмотрим стационарный процесс, когда области распреде-
распределения параметров контроля и настройки датчиков не изменяют-
изменяются во времени.
Рис. 7.5. Зависимость характеристик контроля
от у(т)
Конкретная реализация контролируемого параметра при не-
некотором состоянии объекта, возникшем в момент т0, определя-
определяется зависимостью, показанной на рис. 7. 5.
Пересечение реализации параметра у(х) с областью воз-
возможных значений настройки датчика (область А) определяет
плотность распределения момента срабатывания датчика <p(tD),
а пересечение с областью несущей способности (область В) со-
305

ответственно определяет плотность распределения моментов на-
наступления потери работоспособности ф(ту).
Если ф(У), ф(#)> ф(^) распределены по нормальному зако-
закону, то при несильном допущении о постоянной скорости измене-
изменения контролируемого параметра [у (т) = const] моменты сраба-
срабатывания датчика %в и разрушения Ху также распределяются по-
нормальному закону. Статистические характеристики плотно-
плотностей распределения ф(ту) и y(xD) определяются следующим об-
образом:
xd о у -у v у у
о . Л . „. / 1 \2
я* — i
а2 =/а2 I а2\/М2. 02
Система контроля обнаружит аварийное состояние объекта, если
выполняется условие
где Хс — время быстродействия систем контроля.
Вероятность того, что система контроля не обнаружит ава-
аварийного состояния из-за недостаточного быстродействия опре-
определяется зависимостью
у~ тл)<гс] = 0,5+Ф(Аб\ G.21)
ту — тр—ухс
где /гб= —
При высоких скоростях изменения параметров рабочего про-
процесса система контроля, обладающая значительной инерционно-
инерционностью, будет иметь большие вероятности необнаруженных ава-
аварийных состояний или отказов объекта.
7.3.4. Структурная надежность системы контроля
Система контроля как техническая система, состоящая из*
нескольких элементов, связанных электрическими цепями, может
иметь два вида отказов: обрыв и короткое замыкание.
Отказ типа «обрыв цепи» приводит к появлению необнару-
необнаруженных отказов, а «короткое замыкание» — к формированию
ложного сигнала.
Пусть система контроля имеет / последовательно соединен-
соединенных элементов; тогда вероятность ложного отказа по /-му кана-
каналу контроля определяется из соотношения
z
П ПA~?Нв/у), G.22)
306

вероятность необнаруженных отказов — из соотношения
G.23)
где qnuij, Qwaij — вероятности ложного и необнаруженного от-
отказов соответственно /-го элемента системы.
При высоких надежностях системы, когда qj\ai и qnai малы
,(qn*ai = qUai ^ 0,001), с ошибкой, не превышающей 5%, можно
вероятности ложных и необнаруженных отказов определить по
зависимостям
<7нш~2 qwai)\ G.24)
G.25)
При контроле т параметров, когда все каналы контроля авто-
автономны, вероятности отказов, обусловленные структурной надеж-
надежностью системы, определяются следующим образом:
qj\a= 1—
G.26)
G.27)
7.4. МЕТОДЫ УМЕНЬШЕНИЯ ОШИБОК КЮНТРОЛЯ
7.4.1. Суммарные ошибки контроля системы
Было показано, что точность контроля определяется точно-
точностью измерения контрольных параметров, быстродействием и
надежностью системы контроля.
а) 5)
Рис. 7.6. Структурная схема контроля:
УП—усилительно-преобразовательная аппаратура, ИО—исполнительный орган
В результате взаимодействия указанных факторов на выхо-
выходе системы контроля может быть три сигнала: сигнал, харак-
характеризующий нормальное функционирование объекта; ложный
307

сигнал, когда система ошибочно признает аварийное состояние
объекта при действительном исправном состоянии, и нулевой
сигнал при аварийном состоянии объекта, когда система не об-
обнаруживает аварийного состояния.
Вероятность появления перечисленных сигналов при прочих
равных условиях определяется структурной схемой системы кон-
контроля. Рассмотрим две принципиальных структурных схемы си-
системы /контроля (рис. 7.6).
1. Усилительно преобразовательная аппаратура, общая для
всех каналов контроля (рис. 7. 6, а).
Вероятность ложных и необнаруженных отказов системы
контроля определяются следующими зависимостями:
G.28)
а + <7ни, G.29)
где <7ни и <7ли — вероятности необнаруженных и ложных отка-
отказов исполнительного органа.
2. Каналы контроля системы автономные (рис. 7.6, б). Обо-
Обозначим:
Л#/, Яа( — события ложного срабатывания r-го канала
из-за ошибок контроля и недостаточной струк-
структурной надежностью;
Нб " На/— события необнаруженных отказов по /-му ка-
каналу контроля из-за ограниченности быстро-
быстродействия и структурной надежности системы.
Событие ложного отказа по /-му каналу равно сумме собы-
событий До. и Лд., т. е.
а для т каналов
Лт=и Л,. G.30)
Переходя в уравнения G. 30) к противоположным событиям
и применяя принцип двойственности множеств, получим
1ЛЙ/). G.31)
Согласно коммутативному закону множеств уравнение
G. 31) перепишется в виде
Лт=Г\ Л п. п Ла G.32)
308

Так как события Ля и Ла. независимые, то вероятность отсут-
отсутствия ложного сигнала определяется так:
п Лв/) • G.33)
События Ла. независимы, следовательно, можно записать
События ложного сигнала из-за ошибок работы датчиков в
общем случае зависимые; тогда по уравнению G. 16) имеем
-\-Яяп. G-35)
т
Подставив уравнения G.34) и G.35) в исходную зависи-
зависимость G.33), окончательно получим выражение для определе-
определения вероятности ложных сигналов систем контроля:
Событие необнаруженного отказа i-ым каналом контроля Н^ оп-
определяется аналогично:
б.иНд., и для т каналов
т
Нт=Д{Нб'иНа'1- G>37)
Используя свойства множеств, уравнение G.37) приводим к
виду
а переходя к вероятности, получим
qHm = P {Ит} = П [1—A—^нв/)A—№6^]. G.33)
7.4.2. Методы уменьшения ошибок контроля
1. Резервирование датчиков
Работоспособность контролируется по t/j параметру не одним,
а N однотипными датчиками, каждый из которых формирует
сигнал тогда, когда выполняется условие:
309

Общий сигнал система контроля формирует только в том слу-
случае, если срабатывает одновременно п датчиков из N. Такая си-
система датчиков (п из N) называется эквивалентным дат-
датчиком.
Обозначим через Jlj событие, заключающееся в том, что
&з — #j>0, а через Jlj — событие Dj — */j<0. Вероятность того,
что сработает п датчиков из N (срабатывает эквивалентный дат-
датчик), определяется по уравнению
} = уЪ„Рил; G.39)
/Го
. G.40)
У
Обозначим Py=^<fD{x)dx; тогда уравнение G.40) перепишет-
— оо
ся в виде
2Я ] G.41)
/=0 —о
При фиксированных значениях у вероятность того, что не ме-
менее п из N датчиков сформируют сигнал, определится по урав-
уравнению
N-n
^"'(l-Pv)'- G-42)
Для определения плотности распределения ошибок настрой-
настройки эквивалентного датчика фэ(#) при известной плотности рас-
распределения измерений единичного датчика фя(^) необходимо
уравнение G. 42) продифференцировать по параметру у:
N-n
? G-43)
Например, для N=3, п=\ функция распределения эквивалент-
эквивалентного датчика имеет вид
для Л/=3, п=2
310

Статистические характеристики распределения измерений эк-
эквивалентного датчика определяются зависимостями
то9 = ЪпРо±то> J [7ЛА)
На рис. 7. 7 показаны зависимости 6т, ба от N. Вероятность
ложйого срабатывания эквивалентного датчика определяется
о о при интегрировании уравне-
°т>дб • ния G.41).
Приближенно вероят-
вероятность ложного срабатыва-
срабатывания можно определить по
зависимости
Чл
Рис. 7.8. Схема системы конт-
контроля с резервированием кана-
каналов
N
Объект
/канал
2 ^
ЛУ
Рис. 7.7. Зависимость 6 = 6(N, m)
где
)— ту
°у
G.45,
2. Резервирование каналов контроля
На рис. 7. 8 представлена принципиальная схема резервиро-
резервирования каналов контроля.
Все га каналов контроля замкнуты на одно логическое
устройство (ЛУ), которое формирует сигнал только тогда, ког-
когда срабатывает не менее чем / из га каналов.
Могут быть различные программы работы логического
устройства в зависимости от значений гаи/ — ЛУ { f\.
Вероятность появления ложного сигнала определяется со-
сочетанием га и / и взаимосвязью каналов QuLup т. е.
QuLup
G.46)

Зависимость G.46) приближенно аппроксимируется квадратич-
квадратичной параболой [54] вида
c, G.47)
где
(_!)„_ 4-
п+, п- — число положительных и отрицательных коэффициентов
корреляции;
В + 2С , В— А
; 0
а =
2
В табл. 7. 3 представлены значения постоянных Л, В и С в
зависимости от программы работы логического устройства
ЛУ j 1 и знаков коэффициентов корреляции Qupy При со-
составлении таблицы предполагалось, что
Таблица 7. 3
Программа
логического
устройства
©
1?!
SI
ш
(?)
Знак qu.Uj
±
±
Любые
±
±
±
±
±
±
II + Н-
II 1 н-
А
0
Я1 + Я2
0
0
Я2
Я\
0
?2+?з
В
Яг
Яг
\\
Яг
Яг
Яг
С
0
Я\Я2
Я\Я2Яг
~^~Я\Я2 A—Яз)^г
Л~Я2Яг 0-—#i)
—Я\) A—Я2)
Таблица позволяет определить вероятность ложных команд
системы контроля в зависимости от программы работы логиче-
логического устройства.
Из анализа данных таблицы следует, что минимальное зна-
значение qn э получается в том случае, когда логическое устрой-
устройство работает по программе /^ (т+1) /2.
312

При слабой корреляции между параметрами (qu.Uj = O) веро-
вероятность ложных сигналов системы можно определить по зави-
зависимости
7.5. НАСТРОЙКА ДАТЧИКОВ СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ
Для получения с наименьшими потерями информации о со-
состоянии объекта1 необходимо соответствующим образом произ-
произвести настройку датчиков системы контроля.
В зависимости от задач, выполняемых системой контроля,,
требования к настройке могут быть разные, в то же время су-
существует общее требование для всех систем — достоверность
контроля. Во всех случаях система контроля должна быть на-
настроена так, чтобы вероятности ложных сигналов и необнару-
необнаруженных отказов были минимальными.
В качестве примера рассмотрим настройку датчиков конт-
контроля для систем аварийной защиты.
Пусть система аварийной защиты применяется для прогно-
прогнозирования аварийных состояний двигателей и выключает их до
момента проявления отказа или аварии.
Система аварийной защиты может применяться в двух слу-
случаях: при стендовой отработке двигателей и в полете.
В том случае когда система аварийной защиты применяет-
применяется в стендовых условиях, основным требованием является ми-
минимум вероятности необнаруженных отказов, так как необна-
необнаруженные отказы неизбежно приведут к отказу двигателя, что,
в свою очередь, может вызвать разрушение его и стендового
оборудования.
Ложные отказы системы аварийной защиты в данном слу-
случае являются неопасными, так как они не вызывают разруше-
разрушений материальной части и стендового оборудования.
Если система аварийной защиты применяется в полете, то
проявление ложных и необнаруженных отказов приводит к не-
невыполнению задач. Поэтому здесь основным требованием явля-
является получение минимальных вероятностей ложных и необна-
необнаруженных отказов.
Настройка датчиков системы аварийной защиты заключает-
заключается в определении такого значения контролируемого параметра,
при фиксировании которого датчиком системы обеспечивалось
бы выключение двигателя, находящегося в аварийном состоя-
состоянии, с минимальными вероятностями ложных и необнаружен-
необнаруженных отказов.
Область контролируемого параметра, в которой настраивает-
настраивается датчик, показана на рис. 7. 5.
313

В общем случае в зависимости от величины mD можно по-
получить разные значения qn и #н.
На величину настройки датчиков mD влияют различные фак-
факторы, основные из которых перечислены ниже.
/. Запас работоспособности
Запас работоспособности характеризуют два коэффициента:
статический коэффициент запаса r\CT = mY/tny и динамический
коэффициент запаса \ИН = mXy/mXy.Чем больше значения г)ст и
т)Дин, тем шиРе область настройки датчика и возможность обеспе-
обеспечения минимальных значений qn и qn. В пределе, когда г]Ст—^°°
при конечных значениях г]ДИн, можно так настроить датчики, что
система защиты не будет иметь ошибок из-за ложных и необна-
необнаруженных отказов.
Когда т]ст—^1, то нельзя обеспечить высокую точность рабо-
работы систем зашиты, и всегда будут иметь место qn и ^н- При
Лдин—^0 (для отказов, носящих взрывной характер) даже при
Лет—^°° вероятность необнаруженных отказов будет стремить-
стремиться к единице.
2. Статистические характеристики контролируемого
параметра ву, oY и датчика aD
При больших значениях среднеквадратичного отклонения
<jy, oY и во могут иметь место ошибки контроля, т. е. qn >0,
<7н>0.
3. Инерционность системы
Время срабатывания системы, под которым понимается ин-
интервал времени между моментом фиксирования датчиком пара-
параметра и моментом выключения двигателя, определяется инер-
инерционностью элементов, входящих в систему аварийной защиты
Время срабатывания системы аварийной защиты может быть
определено так:
где тд — время прохождения сигнала по цепям датчиков;
та — время прохождения сигнала в усилительно-преобра-
усилительно-преобразующей аппаратуре системы контроля;
ти о — время срабатывания исполнительных органов (отсеч-
(отсечных топливных клапанов в двигателе и др.);
тп п — длительность переходных процессов в двигателе пос-
после момента закрытия отсечных клапанов.
Эффективность работы системы аварийной защиты опреде-
определяется соотношением между величинами тс и ту=ху — Td, ко-
которые являются случайными.
314

Система аварийной защиты может обеспечить контроль со-
состояния двигателя и выключить его до аварии при условии,,
когда хс<ху при прочих равных условиях.
При хс>ху независимо от значений Oj> т]ст и цДШ1 система ава-
аварийной защиты будет иметь вероятность необнаруженных отка-
отказов, близкую к единице.
4. Скорость изменения контролируемого параметра
Определяющее влияние на эффективность контроля также
оказывает скорость изменения контролируемого параметра у(х).
Если г/(т)—^оо,*это равносильно тому, что xy = xY—ху—>0, т. е.
при любых значениях ст,, т]Ст, Лдин система аварийной защиты
не обеспечивает выключения двигателя до аварии.
В общем случае системы проектируют так, что они при лю-
любых условиях эксплуатации имеют большой запас работоспо-
работоспособности, т. е. для них тг]ст= 1,2-1-3. Следовательно, если систе-
системы не имеют большого разброса контролируемых параметров
и характеристик несущей способности, то практически можно
обеспечить выполнимость условия
ту — Ззк ^> mD ± 3sD ]> rriy -f- Ззу,
и ошибки функционирования системы защиты будут опреде-
определяться лишь соотношением между тс и ху.
Исходными данными для настройки конкретной системы кон-
контроля являются:
— статистические характеристики контролируемого парамет-
параметра ту, оу, у (т);
— статистические характеристики несущей способности дви-
двигателя по параметру у: mY, oy\
— точность работы датчика системы контроля оъ;
— быстродействие систем контроля тс.
Рассмотрим настройку для стендовых условий и условий по-
полета.
Стендовые условия
Как уже указывалось, для стендовых условий при примене-
применении системы аварийной защиты необходимо обеспечить мини-
минимальное значение вероятности необнаруженных отказов; в иде-
идеальном случае ^н=0.
Условно величина настройки датчика mD показана на
рис. 7. 5. Как следует из рис. 7. 5, для обеспечения минимально-
минимального значения ^н, необходимо следующее условие настройки дат-
датчика:
mD = mY — ухс < гпу — 3aF — 3?D G- 48)
315

Условия полета
В случае использования системы аварийной защиты двигате-
двигателей в полете необходимо обеспечить условие получения мини-
минимальных ОШИбОК КОНТРОЛЯ <7л = <7Лт1п, *7Н = <7Нт!п.
Значение настройки датчика для данного случая определяет-
определяется зависимостью
Щ-\ &y + 3sD<mD<imY-3^-3^. G.49)
7.6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ И ОБЪЕКТА
7.6.1. Структура и функционирование систем
аварийной защиты
Для нормального функционирования большинства современ-
современных объектов требуются системы управления и защиты.
В задачу системы управления входит поддержание парамет-
параметров объекта с заданной точностью в установленных пределах.
Если отказы системы управления или объекта вызывают по-
Объект
Уп
zl min\
г, 1 1
УС
max
г,
Гп
Вз
ИУ
ВЦ
Рис. 7. 9 Схема системы защиты
явление такого неуправляемого процесса, развитие которого мо-
может привести к возникновению опасных состояний, то этот про-
процесс должен быть прекращен срабатыванием системы контроля
работоспособности, называемой системой аварийной за-
защиты. Следовательно, управляемый объект, система управле-
управления и система защиты функционально связаны между собой.
Пусть в общем случае контролируется несколько параметров
объекта уи у2,..., уп\ тогда структурная схема функционирова-
функционирования системы защиты изображается в виде, представленном на
рис. 7. 9.
Все параметры yi регистрируются своими датчиками /)г-. Сиг-
Сигналы датчиков Xi (/=1, 2,..., п) поступают в преобразующее
устройство (ПУ), которое преобразует их в отклонения от задан-
заданных величин Zi (/=1, 2,..., п). Устройство сравнения (УС) ре-
регистрирует отклонения величин Z\ и сравнивает их с заданными
316

значениями zlu zi2\...; 2щ; 22n, которые устанавливаются в со-
соответствии с требованиями работы.
Если величины Zi^.zu или z{^z2u то устройство сравнения
релейного типа вырабатывает сигнал у* ('=!> 2,..., т), посту-
поступающий на вход исполнительного устройства (ИУ). Если вели-
величины Z{ находятся в пределах zu<Zi<Z2u то устройство сравне-
сравнения не вырабатывает сигнала уг-
Тип воздействия системы защиты на объект характеризуется
переменной 0.
Так как система защиты имеет два вида отказов — ложные и
необнаруженные, то в схему системы могут вводиться блоки об-
обнаружения неисправностей (ОН) и блокирующие цепи (БЦ),
которые прекращают воздействие неисправной системы на
объект.
Для определения характеристик применения системы защиты
необходимо найти взаимосвязь свойств объекта со свойствами
систем управления и защиты с точки зрения их надежности.
Рассмотрим взаимодействие систем в общей постановке.
В этом случае наиболее важными характеристиками, определяю-
определяющими надежность систем управления и защиты, являются вре-
время простоя объекта из-за ложных срабатываний или вероят-
вероятность ложного выключения и вероятность необнаруженных отка-
отказов в объекте.
Для определения вероятностных характеристик принимаются
следующие допущения:
— вероятность возникновения аварийных состояний зависит
только от времени работы объекта;
— отказы элементов системы управления и защиты являются
мгновенными и подчиняются экспоненциальному закону распре-
распределения.
7. 6.2. Вероятностные характеристики системы
защиты и объекта
Процесс взаимодействия системы защиты и объекта опреде-
определяется взаимосвязью их состояний. Возможные состояния обь-
екта: рабочее Ор, нерабочее (отключен) Он и аварийное Оа, ког-
когда один из контролируемых параметров вышел за установлен-
установленные пределы.
Система аварийной защиты также может находится в не-
нескольких состояниях: в исправном Ср, в неисправном (необна-
(необнаруженные отказы) Сн и неисправном при наличии ложных отка-
отказов Сл. При возникновении в любой случайный момент времени
аварийного режима работы объекта он перейдет из состояния
Ор в состояние Оа.
Если в момент перехода объекта из состояния Ор в состояние
Оа система защиты находится в исправном состоянии Ср, то объ-
объект перейдет в нерабочее состояние Он. По истечении некоторого
317

промежутка времени объект возвращается в рабочее состояние,
и процесс функционирования начинается сначала.
Объект переходит из рабочего состояния в нерабочее тогда,,
когда система защиты оказывается в состоянии ложного отка-
отказа Сл.
При возникновении в любой случайный момент аварийного
режима объект переходит из рабочего состояния Ор в со-
состояние аварии Оа. Если при этом система защиты находится в
неисправном состоянии (необнаруженный отказ) Сн, то наступа-
наступает так называемый катастрофический отказ и объект остается в
состоянии аварии Оа. Состояние объекта и системы защиты Ор„
Оа и Сл являются взаимно исключающими.
Эти переходы определяются физическими процессами, проис-
происходящими в объекте и в системе управления.
Обозначим вероятности состояний:
ро(т)=Р(Ср) —вероятность застать систему защиты в мо-
момент т в исправном состоянии Ср;
—вероятность застать систему защиты в не-
неисправном состоянии Сн (необнаруженные
отказы);
qn (т)=<7(Сл) —вероятность застать систему защиты в со-
стоянии ложных отказов;
F(%)—функция распределения времени безава-
безаварийной работы объекта в отсутствии си-
системы защиты.
Определим вероятность того, что управляемый объект про-
проработает время т и прекратит работу в интервале ть т + Дт
для различных случаев взаимодействия объекта и системы за-
защиты.
Вероятность того, что объект проработает время т и в интер-
интервале т, т + Ат перейдет из рабочего состояния в состояние ава-
аварии, а система защиты в момент перехода будет находиться в
исправном состоянии, запишется в виде
откуда ?а(т) = /7(т)Р0(т), G.50)
где F(%) = dF{t)ldx.
Вероятность того, что объект в интервале т, т + Дт перей-
перейдет из рабочего состояния в нерабочее из-за ложного срабаты-
срабатывания системы защиты, запишется так:
откуда %(т)=[1-/7(т)]^л(т), G.51)
где
В/ведем обозначения интервалов времени: та— от момента
пуска объекта до момента остановки системой защиты из-за воз-
318

иикновения аварийного режима, Тб—от момента пуска объекта до
момента остановки из ложного срабатывания, тв — от момента
пуска объекта до момента аварии (катастрофический отказ) и
соответственно обозначим их плотности распределения фа(т),
<Рб(т),фв(т).
Вероятность того, что объект в интервале времени ti т + Ат
перейдет из рабочего в состояние аварии из-за необнаруженно-
необнаруженного отказа системы защиты, определится
откуда ?в(т)=/(т)?н(т). G.52)
Плотность распределения времени между моментами пуска
tf остановки объекта запишется в виде
[1 -^(*)] д*№. G- 53)
Ввиду того, что
+ [l-^(t)]^W~ {1 —.[1 —/^ (г)] [1 _^(г)]}. G.54)
Вероятность выключения объекта за время т по любой при-
причине определится выражением
G.55)
Следовательно, по известным характеристикам можно опре-
определить все вероятностные характеристики взаимодействия оръ-
екта и системы защиты. I
В тех случаях когда объект восстанавливается, необходимо
учитывать распределение времени восстановления.
Обозначим через таь ^6i и rBi времена восстановления, сле-
следующие за интервалами та, Тб и тв. Считаем, что случайные ве-
величины времени тг- независимые. Плотность распределения
«pOti+Tfj) является сверткой плотностей распределения фг(т) и
?/4(т),т. е. [67]
?(*/ + *О = ?/(*)*?/Дт). G.56)
Определим плотность распределения f(x) времени т эквива-
эквивалентного процесса восстановления, где т=тт{Тг + тг-1}, т. с.
плотность распределения времени между двумя следующими
друг за другом пусками объекта после обнаружения и устране-
устранения причин выключения.
319

Так как события, характеризующие ta+tai, Тб+Тб, и тв+тв,,
несовместимые, то
где /=а, б, в.
Процесс восстановления характеризуется интенсивностью
восстановления
^l>, G.57)
dx
где N(r) —математическое ожидание числа восстановлений за
время т.
Интенсивность восстановления связана с плотностью распре-
распределения /(т) интегральным уравнением Вольтера вида [75]
n(x) = f(x)+U(x*)f(x-x*)dx\ G.58)
о
гдат* — переменная восстановления.
Уравнение G. 58) можно решить с помощью преобразования
Лапласа
n(p)=f(p)+n(p)f(p)9
откуда п(р)=1^р). G.59)
Стационарное значение интенсивности восстановления опре-
определяется соотношением [75]
где тх — математическое ожидание длительности интервалов
времени между соседними пусками объекта, равное
ri У \\df (Р)
р-+о dp
о
Если интервал наблюдения велик по сравнению с тт, то при-
приближенно можно считать, что
п(х)=1/тх и N(x)=x/mx.
Суммарное время простоя объекта Гп за время т определяется
как
320

где k — число остановок объекта;
тп % — их длительность.
Так как xni и k независимые случайные величины, то мате-
математическое ожидание времени простоя за интервал т опреде-
определяется так:
где»тТп —математическое ожидание длительности интервалов
времени простоя, которое определяется следующим образом:
mXji=mz —M[x = mm {xai, t6l, tBl)J.
Математическое ожидание времени работы объекта между
двумя соседними остановками определяется так:
т
т^ = М[х= min {ta, тб, тв}] =
Вероятность застать объект в момент т в рабочем состоянии оп-
определяется зависимостью
Рр = 2 = — Г т<р(т)Л; G. 60)
Р п 0
суммарное время рабочего состояния объекта —
ЛГ[Гр(т)] = РрТ, G.61)
а время простоя —
ЛГ[7\,(т)] = A-Рр)т. G.62)
При работе объект может выключаться по различным причи-
причинам и в случайные моменты времени. Весь процесс функциони-
функционирования объекта во времени разложим на составляющие
(рис. 7. 10):
ti — время между моментами пуска объекта и его выключе-
выключения системой аварийной защиты из-за возникновения аварий-
аварийного режима;
т2 — время между моментами пуска объекта и выключения
из-за ложного срабатывания системы аварийной защиты;
Тз — время между моментами пуска объекта и его остановки
из-за катастрофического отказа (необнаруженных отказов си-
системы аварийной защиты).
Определим плотность распределения случайных величин ть
Т2 и Тз. Указанные плотности распределения определяются ана-
аналогично, поэтому рассмотрим нахождение только /з(т).
Могут быть два случая катастрофических отказов.
11 312 321

1. До момента т не было ни одной остановки, и в интервале
т, т + Ат произошел отказ, необнаруженный системой защиты
Вероятность этого события определяется по зависимости G.52):
PBl(t,
G.63)
2. До момента т были остановки объекта по другим причи-
причинам (из-за ложного срабатывания системы защиты или выклю-
выключения аварийного объекта системой защиты). Определим веро-
ятность того, что в интервале т, т+Лт произойдет остановка объ-
объекта из-за катастрофического отказа:
Рв2(г, х-{-&х/х*) = ув(х — х*)цх, G.64)
где т* — момент последнего пуска объекта перед остановкой.
On
Op
Рис. 7. 10. Составляющие процесса функ-
функционирования
Вероятность того; что последний пуск объекта произошел в
интервале т, т* + Дт* определяется так:
Рв2(т*,
фвь(т*) —плотность распределения случайной величины т*,
соответствующей &-му пуску объекта после остановки из-за лож-
ложного срабатывания систем защиты или в результате выключе-
выключения системой защиты объекта, находящегося в аварийном режи-
режиме. Плотность распределения фвь(т*) находится как свертка
функций
TaW^?alM + T6^)*?BlW = *B(t). G.65)
Для определения фвь(т*) может быть использована рекуррент-
рекуррентная формула
322

Для определения суммы V ТвлОО воспользуемся преобразо-
Л = 1
ванием Лапласа
Подставив в последнее уравнение зависимость G.65), получим
L*-l
Так как
то
Переходя от изображения в уравнении G. 66) к оригиналу, мож-
можно определить
Тогда вероятность того, что катастрофический отказ объекта
произойдет в интервале т, т + Дт определится по формуле пол-
полной вероятности
f
Искомая плотность распределения /з(т) при условии незави-
независимости РВ1 и РВ2 найдется по зависимости
/3(t)At=PBl(t,
После подстановки уравнений G. 67) и G. 63) в последнюю
зависимость окончательно получим
j
О
11* 323

Вероятность катастрофического отказа объекта в течение вре-
времени т определится так:
B,k{t*)dT*de. G.69)
Аналогично изложенному определяется плотность распреде-
распределения времени от момента пуска объекта до его выключения си-
системой аварийной защиты из-за развития в нем аварийного ре-
режима
f2 G.70)
0
и вероятность выключения объекта системой аварийной защиты
0
плотность распределения /г(т) времени от момента пуска объек-
объекта до его выключения систем аварийной защиты из-за ложного
срабатывания
/.(t)=Te(f) + J?e(*-t*J%*(t*)rft* G.72)
0 й = 1
и вероятность ложного выключения объекта
*)dx*ds. G.73)
Интенсивности восстановлений объекта после рассмотренных
остановок его определяются следующим образом.
Интенсивность восстановления объекта после катастрофиче-
катастрофического отказа определяется по уравнению G. 58):
6
324

где
Стационарное значение интенсивности восстановления опреде-
определяется выражением
Ншлв(т) = —=/гв,
т->оо JTL,
где nu=\xfA(x)dx=llm(-l)^*l?L G.75)
в J ' р+о dp
о
— математическое ожидание длительности интервалов времени
между двумя очередными пусками объекта после катастрофиче-
катастрофических отказов, Среднее число восстановления после катастрофи-
катастрофических отказов в течение времени т определяется выражением
G.76)
и среднее время простоя объекта из-за катастрофических отка-
отказов за время т — выражением
G.77)
где
оо
t =ftcpBl(t)rft — математическое ожидание длитель-
п.в J
ности простоя после катастрофического отказа.
Аналогично определяются интенсивности, число восстановле-
восстановлений и среднее время простоя после аварийного и ложного вы-
выключения системой защиты объекта.
Находим характеристики восстановления объекта после вы-
выключения его системой аварийной защиты, когда он находился
в аварийном состоянии:
интенсивность восстановления
«a(t) = /al(t)+ f *.(t*)/al(t-T*)rfT*, G.78)
6
где
математическое ожидание длительности времени восстанов-
восстановления
]fal(x)dx; G.79)
325

среднее число восстановления
^ G.80)
6
среднее время простоя объекта
^[74n..(t)] = ^a(t)mw G.81)
где
Находим характеристики восстановления объекта после
выключения его из-за ложного срабатывания системы защиты:
интенсивность восстановления
[n6(x*)f62(x-x*)dx*, G.82)
6
где /*М=/зС0
математическое ожидание времени восстановления
о
среднее число восстановлений
N6(x) = ^n6(x)dx; G.83)
среднее время простоя объекта
М [Гп>б(х)]-.= N6{x) mXuб, G.84)
где
n.6 J
6
Для вычисления характеристик взаимодействия объекта с
системой аварийной защиты удобно использовать преобразова-
преобразование Лапласа.
Покажем на примере определение характеристик взаимодей-
взаимодействия системы защиты и объекта.
Пример. Имеется некая система, состоящая из объекта и системы ава-
аварийной защиты и имеющая следующие характеристики [67]:
— функция распределения времени безаварийной работы объекта
F (т) = I — e~XlT;
326

— плотности распределения величин времени восстановления
ц2 G.85)
«Pel (t) = -"»т
Характеристики системы защиты следующие:
Яг — интенсивность необнаруженных отказов системы защиты;
Яз — интенсивность ложных срабатываний системы защиты;
Я4 — интенсивность вторичного отказа системы защиты;
(Х4 — интенсивность восстановления системы защиты;
тр — время работы объекта и защиты.
Найдем следующие характеристики взаимодействия.
1. Вероятности Р0(т), <7н(т), <7л(т).
Ввиду того, что процесс функционирования системы является марковским,
то он описывается системой уравнений
d Ро (%)
dt
Начальные условия: Р0@) = 1; qa@)=0\ qJl(®)=0.
Преобразуя по Лапласу приведенную систему уравнений, получим
(р + х2 -+- х3) р0 (р) - няп (р) +1; '
(р + (ч -ь х4) ?н (/0 = ^ Ро (р); G- 86>
Решая систему уравнений G. 86)относительно Ро(р), Цн(р) и q^Cp), по-
получим
Ро(/О =
(Р
Х4)
(Р + ХзХ/?-
Х4)'
дя W ~ р[(р +
2. Плотности распределения
Х4)
Х4)]#
?в (*) = A (t) qH (т) =
Перейдя к изображениям, получим
^H (т).
327

<pq ( p) = Л1 Hn ( p 4" A11 =
0 (P + h + h)(P + h+H + h)-
^•з (Р ~Ь Xi 4~ fA4 -Ь X4) 4~ X2X4
" (p 4- Xi 4- X3) (/? + Xi 4- p.4 4- X4) 4- X2 (/? 4- Xj + X4)
3. Плотность распределения интервалов времени между двумя пусками
объекта
Tal (Р) + Тв (/?) Тв1 (/>) +
С учетом соотношений G.85) и G.87), получим
где
ХзМз ()Р + X] 4- щ + Х4) + 2Х4р2
+
D(p) = /?2 + BXi 4- Х2 + Х3 + Х4 4- н) Р +
4- (X! + Х3 4- Х4 4- м) h + Hh (h + h) U-
4. Математическое ожидание тх длительности интервалов времени меж-
ду двумя пусками объекта
dp * •'
X] 4- Х2 4- Х4 4-
= (Xi 4- Х3) (X! 4- Х4 4- r) 4- Х2 (X! + Х4) +
+ (Xi 4- Х4 4- fi4) — + — + + .
\ М-I Р-2 / Р-2 Р-2
5. Функция распределения ф(т)
М\ (р)
9 (Р) = Та (Р) 4- Тб (Р) + Тв(/>) = ^7~)'
где Af! (р) = (/? 4- Xi 4- Х4 4- ji4) (Xi 4- Х3) 4- Х2 (Xi 4- Х4).
6. Математическое ожидание длительности интервала времени рабочей?
состояния объекта
p /7-s-o ^//7 (Xi + X3) (Xj 4- X4 -f- (л4) 4- X2 (Xi 4- X4)
7. Среднее время простоя управляемого объекта за время тр
328

8. Плотность распределения интервала времени от момента пуска до ка-
катастрофического отказа
/вЗ (/О = /3 (/>) <Рв1 (/>) =
Xi
9. Математическое ожидание длительности интервалов времени между
двумя пусками после катастрофического отказа
тх =lim (—1)-
в о
(Xi + Х4 + {ч) И + +
L V М-1 Н-2 ,
Х2 f 1 + —
10 Стационарное число восстановлений
11. Среднее число восстановлений
#„(*) = VmT *
в
12. Суммарное время простоя из-за катастрофических отказов
M[Tn.B(x)] = NB(x)—.
Аналогично можно в явном виде получить все характеристики систем
7.6.3. Влияние свойств системы управления
на характеристики объекта защиты
В общем случае объект защиты имеет систему регулирова-
регулирования некоторых параметров рабочего процесса, которая поддер-
поддерживает значение их в заданных пределах. Система регулирова-
регулирования взаимосвязана с системой защиты.
Регулируемый параметр yi может выйти за допустимые пре-
пределы по следующим причинам:
— отказ объекта по каким-либо причинам, когда система
регулирования не справляется со своими функциями, состоя-
состоящими в поддержании регулируемого параметра в заданных пре-
пределах;
329

— отказ системы регулирования, который приводит к изме-
изменению регулируемого параметра;
— отказ системы регулирования, который не изменяет со-
состояние регулятора, но оставляет объект неуправляемым, так
что регулируемый параметр в силу воздействия возмущений мо-
может выйти за допустимые пределы;
— воздействие внешних и внутренних возмущающих фак-
факторов.
7.11. Взаимодействие
САР и САЗ
Рис. 7. 12. Структурная схема САР
В случае отказа системы регулирования для того чтобы
объект не оказался неуправляемым, а изменение состояния ре-
регулятора при отказе не привело к развитию аварийного состоя-
состояния, осуществляется функциональная связь между системой ав-
автоматического регулирования (САР) и системой аварийной
защиты (САЗ), которая обеспечивает срабатывание системы
защиты при отказе системы регулирования (рис. 7. 11).
Определим функцию распределения ^(т) безаварийной ра-
работы объекта совместно с системой регулирования:
F(x)= i -[i -Л СО] [1 -Л СО] П -
G.88)
где Л(т) —функция распределения интервалов времени между
отказами объекта при условии, что система регули-
регулирования исправна;
^(т) —функция распределения времени исправной работы
системы регулирования;
^з(т)—функция распределения времени между моментами
появления выбросов у%{х) за допустимые пределы
из-за различных воздействий, вызывающих останов-
остановку объекта.
Функция F3(t) определяется структурной схемой и точно-
точностью работы системы регулирования.
Для определения F3(r) рассмотрим свернутую структурную
схему системы регулирования объекта (рис. 7. 12),
где Wi(to)W2(i(u) = Wo(i(d)—частотная передаточная функция
объекта;
№р(/со)—частотная передаточная функция
регулятора;
330

у0 — управляющее воздействие;
/(т)—возмущающее воздействие, кото-
которое принимается стационарной
случайной величиной
Для определения характеристик функции распределения
/з(т) необходимо знать две передаточные функции:
частотную передаточную функцию системы относительно уп-
управляющего воздействия у0
Оч J
частотную передаточную функцию системы относительно возму-
возмущающего воздействия
Ф,(/ш)=
Характеристиками возмущающего воздействия на входе ли-
линейной системы являются математическое ожидание trif и кор-
корреляционная функция q/. Характеристиками стационарного про-
процесса у(х) на выходе системы будут так же математическое ожи-
ожидание ту и корреляционная функция qv.
Указанные характеристики связаны между собой соотноше-
соотношениями
Qy=
где 5/ — стационарная плотность возмущающего воздействия
/(т), определяемая так:
Среднеквадратическое отклонение случайной величины у(х)
на выходе системы определяется следующим выражением:
G.89)
Для стационарного случайного процесса среднее число вы-
выбросов регулируемого параметра у(х) за пределы ут]п и ym8LX за
время т определяется по зависимости [71]
о
av)dv, G.90)
331

где v — скорость изменения регулируемого параметра у;
ф(#» v)—двухмерная плотность распределения регулируе-
регулируемого параметра и его скорости изменения в один
и тот же момент времени.
Для нормального случайного процесса скорость изменения
ординаты случайной функции и ордината случайной функции
для одного и того же момента времени являются независимы-
независимыми случайными величинами.
Поэтому двухмерная плотность распределения вероятности
ф(#> v) распадается на произведение нормальных плотностей
распределения ф(#) и ф(у), т. е.
Gy у 2Л I 2
X 7=-exp[-— (— Л • G-91)
где
dx^ т=о
После подстановки уравнения G.91) в выражение G.90) и
интегрирования получим
^у +е 2оу J. G.92)
Если среднее число выбросов мало и они независимы, то чис-
число выбросов подчиняется закону распределения Пуассона. Тог-
Тогда вероятность того, что за время т не произойдет ни одного вы-
выброса регулируемого параметра за допустимые пределы, выразит-
выразится равенством Р(т)=ехр[—N(x)]9 а искомая функция распреде-
распределения запишется в виде
Fs(x)=l-exp[-N(x)]. G.93)
Следовательно, для учета влияния взаимодействия систем
регулирования и защиты при расчете характеристик объекта по
зависимостям G.69), G.71) и G.73) необходимо учитывать
зависимость G. 88).
7.7. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ СИСТЕМЫ АВАРИЙНОЙ
ЗАЩИТЫ В СОСТАВЕ АВТОНОМНОГО ДВИГАТЕЛЯ
Рассмотрим случай, когда система контроля (в частном слу-
случае — система аварийной защиты) применяется для определе-
определения состояний двигателя в условиях стендовых испытаний.
При отработке вновь создаваемых двигателей в стендовых
условиях возможны частые отказы, сопровождаемые взрывом и
332

разрушением материальной части, в том числе и стендового обо-
оборудования. Отказы двигателя, сопровождаемые разрушениями,
приводят к увеличению длительности и стоимости отработки и
усложняют дефектацию, определение причин отказов и назначе-
назначение мероприятий по совершенствованию двигателя.
Применение системы аварийной защиты, являющейся состав-
составной частью двигателя в условиях стендовых испытаний, позволя-
позволяет решить следующие задачи:
— сохранить двигатель, несмотря на его аварийное состоя-
состояние, для дефектации и анализа причин отказов;
— сохранить стендовое оборудование и аппаратуру конт-
контроля;
— обеспечить возможность повторного использования двига-
двигателя.
Определим эффективность применения системы аварийной
защиты для стендовых условий испытаний двигателя, понимая
под эффективностью увеличение какого-либо характерного пока-
зате т. Таких показателей может быть несколько: основные из
них — вероятность безаварийных испытаний и стоимость испыта-
испытаний двигателя.
Вероятностный коэффициент эффективности
Эр = -^^, G.94)
Я
где q — вероятность отказа двигателя без применения системы
защиты;
Ра — вероятность аварий при испытании в случае примене-
применения системы защиты.
Стоимостный коэффициент эффективности
Эс = -^г^, G.95)
где С — стоимость испытаний без применения системы аварий-
аварийной защиты;
С3—стоимость испытаний в случае применения системы за-
защиты.
Для определения показателей эффективности необходимо
рассмотреть взаимодействие системы аварийной защиты и двига-
двигателя. Схема такого .взаимодействия показана на рис. 7. 13. В об-
общем случае двигатель может находиться в двух состояниях: А —
исправном и А — неисправном, когда двигатель находится в ава-
аварийном состоянии, которое может перейти в отказ.
В зависимости от состояния системы аварийной защиты дви-
двигатель может находиться в рабочем состоянии, выключен или
в состоянии отказа. Из аварийного состояния А двигатель может
перейти в одно из двух состояний: если система аварийной за-
защиты неисправна и не в состоянии обнаружить отказ (состоя-
ззз

ние N), то двигатель самопроизвольно переходит в состояние
отказа (авария); если система аварийной защиты исправна (со-
(состояние JV), то двигатель будет выключен до того, как наступит
отказ — состояние В. Из исправного состояния А двигатель мо-
может перейти в состояние Б, если система защиты находится ъ
состоянии ложных отказов (L), или продолжать работать, если,
система защиты в исправном состоянии.
Двигатель
САЗ
Прогнозири-
емое
состояние
Непрогнозиру
емое
Нормаль -
ная работа
Рр
Ложное
срабатыва
мае САЗ
Необнаружен-
Необнаруженное аварийное
состояние
Ложное
отлючение
двигателя
Аварийное
отключение
Рис. 7. 13. Схема взаимодействия САЗ и двигателя
Вероятности состояний двигателя Совместно с системой ава-
аварийной защиты определяются следующим образом:
а) вероятность нормального функционирования
РР = Р(Д, L) = P(A)P(LIA); G.96)
б) вероятность безаварийного выключения
РВ=Р(Л, L) + P(A, N) = P(A)P(L/A)+P{N/~A); G.97)
в) вероятность аварии
Ра = р(Л, N)=P(A)P(N/A). G.98)
Так как вероятности указанных событий составляют полную
группу, то
334

Вероятности отдельных событий Р(/) являются вероятност-
вероятностными характеристиками двигателя и системы аварийной защиты
и определяются следующим образом:
Р(Л) = РД; ^ ^
РA/А)=1-дл; P(N/A)=l-qH; P(N/A)=qH.
В двигателе встречаются два вида аварийных состояний:
прогнозируемые и непрогнозируемые.
Вероятность прогнозируемых аварийных состояний — qHr
а непрогнозируемых — qHU\ соотношение между ними определяет-
определяется коэффициентом охвата аварийных состояний
G. 100)
1-Рд
Подставив соотношения G.99) — G.100) в уравнения состоя-
состояний G. 96) — G. 98), получим:
вероятность работоспособного состояния
вероятность безаварийного выключения
Рв=Рд?л + A-Рд)A-<7
вероятность аварии
На рис. 7. 14 показана зависимость вероятности состояний от
величины коэффициента охвата аварийных состояний.
При а—И вероятность аварий сводится к минимуму и опре-
определяется только вероятностью необнаруженных отказов систе-
системы аварийной защиты. Так как для стендовых условий можно
путем настройки САЗ обеспечить ^н=0, то применение систе-
системы аварийной защиты позволяет принципиально исключить ис-
испытания двигателей, заканчивающихся аварийным исходом.
Подставив зависимость G. 103) в равенство G.94), получим
Эр = аA-?н)- G.104)
Следовательно, эффективность применения системы аварий-
аварийной защиты в стендовых условиях не зависит от надежности
двигателя, а определяется вероятностью необнаруженных отка-
отказов и коэффициентом охвата аварийных состояний двигателя.
Получим уравнение для стоимостного коэффициента эффек-
эффективности. Введем обозначения:
Ссаз — стоимость системы аварийной защиты;
С — стоимость испытания двигателя, закон-
закончившегося аварией;
Сд — стоимость двигателя;
335

Си — стоимость испытаний;
Ср — стоимость ремонта и восстановления стен-
стендового оборудования;
Сб. и — стоимость безаварийных испытаний;
Сл.и — стоимость испытаний, когда произошло
ложное выключение двигателя системой
аварийной защиты.
р
1,0
Рр
Авария ^^^~—
^—ьыклю чей и е
РдЧл
*с
0,6
0,4
0,2
п
1,0 <х
0,2 0,? 0,6 0,8 %0Рд
Рис 7 14 Эффективность при- Рис. 7 15. Зависимость ЭС = Э(РД, у, Ян):
менения САЗ q =0>
5„=ол
Без применения системы аварийной защиты стоимость одно-
одного испытания двигателя определяется зависимостью
С=Св.„Ря+СаA-Рд).
В случае применения системы аварийной защиты соответствен-
соответственно стоимость одного испытания определяется следующим об-
образом:
Разделив два последних уравнения на Сб. и, получим
G.105)
> G.106)
где
также принято
Сб.и
336

Подставив последние зависимости в уравнение G.95), по-
получим
Эс= Л^-В Gл07)
где
На рис. 7. 15 показана зависимость Эс = Э(Рд, у, qH), откуда
следует, что эффективность применения системы защиты увели-
увеличивается с уменьшением надежности двигателей и увеличением
стоимости оборудования и двигателей. Это значит, что на началь-
начальных этапах отработки двигателей, когда вероятность отказов
велика, систему аварийной защиты применять рационально.
Глава VIII
РЕЗЕРВИРОВАНИЕ КАК МЕТОД ПОВЫШЕНИЯ
НАДЕЖНОСТИ ДВИГАТЕЛЕЙ
8. 1. МЕТОДЫ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ
8.1.1. Общие положения
Одним из эффективных способов повышения надежности,
позволяющим создавать системы, надежность которых может
быть выше надежности входящих в них элементов, является
резервирование.
Резервированием называется метод повышения надежности
путем включения резервных элементов при разработке систем
или в процессе их эксплуатации.
Любой метод резервирования основан на принципе избыточ-
избыточности. Это означает, что наряду с основными элементами или
системами в целом, выполняющими заданную для них функцию,
предусматриваются избыточные (резервные) элементы или си-
системы, которые не являются функционально необходимыми,
а предназначены для замены соответствующих единиц в случае
их отказа.
Основным параметром, характеризующим структуру резерви-
резервирования, является кратность.
Под кратностью резервирования понимается отношение чис-
числа резервных (избыточных) элементов к числу резервируемых.
Если обозначить
п — общее число элементов;
12 312 337

/ — число элементов, необходимых для нормально-
нормального функционирования;
т = п — / — число резервных элементов,
то кратность резервирования определится зависимостью
п — 1
В зависимости от соотношения между величинами п и /
кратность может быть целая и дробная.
Резервированием с целой кратностью называется такое
резервирование, при котором для нормального функционирования
резервированного соединения достаточно, чтобы исправным был
хотя бы один элемент.
В этом случае кратность резервирования всегда равна числу
резервных элементов.
Так, например, если для выполнения функций достаточно
иметь один элемент, а в целях повышения надежности применя-
применяют 4 одинаковых элемента, тогда кратность резервирования а =
= D—1)/1 = 3, т. е. кратность резервирования численно равна
количеству резервных элементов. При резервировании с дроб-
дробной кратностью нормальная работа резервированного сое-
соединения возможна только при условии, что число исправных эле-
элементов не меньше необходимого для нормальной работы.
Так, например, если двигательная установка имеет 10 одина-
одинаковых двигателей, а для выполнения задачи достаточно иметь
8 двигателей, то 2 двигателя являются резервными.
В этом случае применено резервирование с дробной крат-
кратностью:
10-8 2
а
В общем случае а является числом дробным. Может случить-
случиться так, что при делении величины п — / на / кратность резерви-
резервирования получится целым числом. Ввиду того, что одно и то же
а может получиться при различных значениях п и /, то крат-
кратность резервирования следует записывать в виде простой дроби,
не производя сокращения.
Например, запись а=6/3, означает резервирование с дроб-
дробной кратностью, причем для нормальной работы соединения не-
необходимо иметь не менее 3 исправных элементов, из общего чис-
числа 9, из которых 6 резервных. Если в приведенном примере про-
произвести сокращение и записать а=2, то получим ошибочное
толкование кратности, так как а=2 означает, что резервирова-
резервирование с целой кратностью при числе резервных элементов равно 2
Каждый из рассмотренных видов резервирования можно осу-
осуществить либо резервируя всю систему в целом, либо ее отдель-
отдельные элементы.
338

Исходя из сказанного, различают два метода резервирования:
общее и раздельное (поэлементное).
При общем резервировании резервируется вся си-
система подобными ей системами. Например, для выполнения про-
программы достаточно иметь двигательную установку, состоящую из
/ одинаковых двигателей. Для повышения надежности в двига-
двигательную установку включают дополнительно т резервных дви-
двигателей.
При раздельном резервировании резервируются
отдельные, как правило, обладающие недостаточной надежно-
надежностью элементы. В двигателях раздельное резервирование может
применяться для обеспечения заданной надежности элементов
автоматики (клапанов, пиропатронов, датчиков и реле давления,
электроцепей и др.)- Очевидно, что раздельное резервирование
можно применять только тогда, когда включение резервных эле-
элементов не изменяет режима работы и выходных параметров и не
нарушает работоспособности всей системы.
По способу включения резерва как общее, так и раздельное
резервирование может быть с постоянно включенным резервом
и с замещением.
При постоянно включенном резерве как основные
элементы, так и резервные функционируют одновременно, начи-
начиная с момента включения системы в работу.
Система с постоянно включенным резервом должна проекти-
проектироваться таким образом, чтобы отказ элементов не влиял на ее
работу. В данном случае все элементы как основные, так и ре-
резервные включены в схему постоянно и функционально взаимо-
взаимосвязаны. Для обеспечения надежного функционирования таких
систем иногда применяются специальные системы контроля ра-
работоспособности и защиты, которые прогнозируют момент на-
наступления отказа и выключают элементы, находящиеся в ава-
аварийном состоянии, до момента завершения отказа в целях
защиты остальных элементов от воздействия отказавших.
При резервировании замещением резервные
элементы включаются в работу только после отказа основных.
В зависимости от состояния резервных элементов резервирова-
резервирование замещением может быть «холодным» или «горячим». Если
до отказа основных элементов резервные элементы находятся в
нерабочем состоянии, то резервирование считается «холодным».
Если до отказа основных резервные элементы находятся в ра-
рабочем состоянии, то резервирование считается «горячим».
Для осуществления данного метода резервирования необхо-
необходимо иметь специальные переключающие системы, которые в
необходимый момент должны включать в работу резервные эле-
элементы.
В зависимости от того, в каком соответствии функциональ-
функционально взаимосвязаны основные и резервные элементы, резервиро-
резервирование может быть закрепленное и скользящее (плавающее).
12* 339

Если основным элементам однозначно сопоставлены резервные
элементы, то такое резервирование является закреплен-
ны м.
В том случае когда любой основной элемент из / может за-
заменить любой резервный элемент из совокупности т, то такое
резервирование является скользящим или плавающим
Рассмотрим количественные характеристики методов резер-
резервирования, которые могут применяться для повышения надеж-
надежности двигателей.
8.1.2. Раздельное резервирование
с постоянно включенным резервом
Пусть система имеет основное соединение элементов, неко-
некоторые из которых имеют постоянно включенный резерв
(рис. 8. 1). Для получения количественных характеристик резер-
резервирования принимаем следующие допущения:
— основные и резерные элементы одинаковы
и обладают равной надежностью;
— цепи соединения элементов и переключаю-
переключающие устройства идеальны;
— отказы элементов являются простейшим
потоком случайных событий.
Т . П Последнее допущение означает, что интенсив-
*-| Р У*т ность отказов элементов является величиной по-
постоянной и для них справедлив экспоненциаль-
Рис. 8.1. Схе- ный закон надежности. Указанное допущение не
ма раздельного всегда справедливо. При постоянно включенном
резервирования резерве все т + 1 элементов работают на одну
/% тт/*\r\nnr\ OilХЛГ\
включенным ре- нагрузку (давление, расход, сила тока и др.).
зервом При отказе какого-либо элемента нагрузка на
оставшиеся т элементов увеличится. Это может
снизить надежность системы.
Исходя из указанных допущений, надежность резервирован-
резервированной системы, состоящей из т+\ элемента, определяется следу-
следующим образом.
Вероятность того, что произойдет отказ системы из-за отка-
отказа /-го из т+\ элементов, равна произведению вероятностей
отказов этих элементов:
m-fl
Так как вероятность отказа и исправной работы /-го элемен-
элемента связаны зависимостью Рг(т) = 1 — ?г(т), то уравнение (8. 1)
примет вид
m + l
340

Тогда вероятность исправной работы системы определится
зависимостью
m + l
В силу первого допущения последняя зависимость перепи-
перепишется в виде
Рр(г)=1-[1-Рлт)]те+1. (8.2)
В силу последнего допущения можно произвести замену
и переписать уравнение (8. 2) так:
(8.3)
Эффективность резервирования характеризуется коэффици-
коэффициентом повышения надежности /Ср, который представляет собой
отношение вероятностей исправной работы резервированной к
нерезервированной системе
-A- Р/)
/п+1
Р/
(8.4)
Из анализа зависимости (8.4) следует, что при P*=l вели-
величина /(р=1 при P; = 0, /Ср=оо. Это означает, что резервирова-
резервирование целесообразно применять для элементов, имеющих малую
надежность. С увеличением числа резервных элементов эффек-
эффективность резервирования растет.
В некоторых элементах, например: пироклапаны с электро-
электрозапалом, электропневмоклапаны, реле давления и другие, мо-
могут иметь место два вида отказов: обрыв и короткое замыкание.
В таких элементах эффективность резервирования будет ниже,
чем следует из вышеприведенного анализа.
Пусть два элемента А и Б совершенно одинаковых, соедине-
соединены параллельно (рис. 8. 2, а). В этом случае отказ всего соеди-
соединения наступает при обрыве цепей в обоих элементах, т. е. по
отношению к обрыву применено резервирование с кратностью,
равной единице. Если в эле-
элементах возможны короткие
замыкания, то вероятность
отказа всего соединения
из-за коротких замыка-
замыканий будет выше, чем
ОДНОГО отдельно ВЗЯТОГО
элемента.
a) S)
Рис 8 2. Схема электрического соедине-
ния двух элементов
341

Определим вероятность соединения (см. рис. 8. 2, а), в кото-
котором один элемент резервный.
Соединение функционирует нормально при следующих состоя-
ниях элементов:
а) нет обрывов и коротких замыканий в элементах А и Б —
гипотеза Н\\
б) нет коротких замыканий и возможен обрыв цепи только в
одном из элементов А или Б — гипотеза Я2.
Вероятность исправной работы соединения определяется сум-
суммой вероятностей гипотез
РС = Р(Я1)+Р(Я2). (8.5)
Обозначим: Ро — вероятность отсутствия обрыва в цепи элемен-
элемента, <7о=1 — Ро;
Р3 — вероятность отсутствия замыкания.
Вероятности гипотез подчиняются биномиальному распреде-
распределению [66].
События обрыва и короткого замыкания независимы, в силу
чего
= 2PlPoqo. (8.6)
Подставив зависимость (8.6) в уравнение (8.5), получим
Рс = 2Р^[1-A-Р0J]. (8.7)
Из уравнения (8. 7) следует, что структурная схема надеж-
надежности такого соединения может быть представлена так, как по-
показано на рис. 8. 2, б, а именно: совокупностью двух последова-
последовательно соединенных звеньев, имеющих короткие замыкания,
и резервным соединением, имеющим обрыв цепи.
Зависимость (8.7) можно распространить на систему, имею-
имеющую, кроме основного, еще т резервных элементов, в котором
могут происходить отказы типа обрыв или короткое замыкание.
В работе [20] показано, что для такого соединения вероятность
исправной работы определяется зависимостью
Pc=P3"+1[l-(l-P0)m+1]. (8.8)
Определив эффективность резервирования для двух элемен-
элементов, полученные выводы можно качественно распространить в
для т+\ элемента.
Вероятность исправной работы нерезервированного элемен-
элемента и коэффициент повышения надежности определяются так:
Следовательно, эффективность резервирования зависит от соот-
соотношения вероятностей коротких замыканий и обрывов цепей.
342

Резервирование эффективно, если /Ср>1, а именно, когда вы-
выполняется условие Р3> ; так как 0<Ро<1, данное усло-
2 — Ро
вие означает, что резервирование целесообразно при Р3>Р0.
8.1.3. Общее резервирование
при постоянно включенном резерве
Пусть система состоит из п одинаковых блоков, имеющих
одни и те же режимы работы. Причем, для выполнения задачи
достаточно иметь в исправном состоянии / блоков, а п — 1=т
находятся в «горячем» резерве. При отказе любого числа бло-
блоков от одного до т система выполняет задачу. Кратность резер-
резервирования а= (п — /)//.
Определим вероятность безотказной работы для такого вида
резервирования. Принимаем следующие допущения:
— отказы всех блоков представляют простейший поток собы-
событий;
— все блоки равнонадежны;
— устройства отключения отказавших блоков идеальны;
— при отказе от одного до т блоков включительно режимы
работы в других блоках не изменяются.
Резервированная система при указанных допущениях будет
выполнять поставленную задачу при следующих гипотезах:
— ни один из блоков не отказал;
— отказал один блок;
— отказали два или более блоков до т включительно.
Вероятность безотказной работы всей системы можно запи-
записать в виде
(8.9)
где Hi — гипотезы, заключающиеся в том, что система работает
исправно при отказе ровно i блоков.
Считая, что отказы блоков являются независимыми события-
событиями, можно к указанным гипотезам применить частную теорему о
повторении опытов. Вероятности гипотез подчиняются биноми-
биномиальному закону распределения:
где Рб, Qe — соответственно вероятности исправной работы и от-
отказов одного блока.
Подставив зависимость (8. 10) ъ уравнение (8.9), окончатель-
окончательно получим
p^^C^Pg-'^. (8.11)
343

(Влияние переключающих устройств и эффективность резерви-
резервирования рассмотрены в п. 8.4).
При больших значениях тип рассчитывать их по уравне-
уравнению (8.10) трудно, поэтому преобразуем его в табличные функ-
функции [20]:
6 б ^
/=о
откуда Рс определится так:
РбГ,
Рс= Г(* + 1) \zn-\\-zTdZ=^n'm+l) , (8.12)
с Г (л) Г (m+1) J V ; Р(л, т + 1) '
о
где T(i) —гамма-функция;
В (/г, т+1) —бета-функция;
Вр(я, т+1) —неполная бета-функция.
Следовательно, определить величину Рс при заданных Рб, т
и п можно с помощью таблиц бета-функций.
Из уравнений (8. 11) и (8. 12) следует, что эффективность ре-
резервирования повышается с увеличением п и т и уменьшением
надежности отдельных блоков.
8.1.4. Резервирование замещением со скользящим
«холодным» резервом
В некоторых системах может применяться резервирование
блоками, которые при исправном состоянии основных блоков на-
находятся !в нерабочем состоянии. Резервные блоки могут заме-
замещать любые основные блоки.
Пусть система имеет п основных блоков и т резервных, на-
находящихся в холодном резерве.
Сделаем следующие допущения:
— все блоки, как основные так и резервные, одинаковые и
равнонадежные;
— система переключения идеальна;
— резервные блоки начинают расходовать надежность толь-
только после включения их вместо отказавших основных;
— отказы блоков подчиняются закону распределения Пуас-
Пуассона;
— для всех агрегатов справедлив экспоненциальный закон
надежности.
На основании указанных допущений вероятность появления"
п отказов в интервале времени от 0 до т, определяется так:
— . (8. 13)
П 1
344

Система исправно работает, если нет отказов блоков; веро-
вероятность этого события, согласно уравнению (8. 13)
6
если откажет один блок,
P6=e-V ;
если откажут два блока — РB)=*
и т. д., до т включительно
Р(т) = -
Вероятность того, что резервированная система исправно
работает, будет равно сумме указанных вероятностей, т. е.
(8. 14)
В силу последнего допущения можно записать
где /=1, 2,.. ., п.
Тогда вероятность исправной работы системы, состоящей из
п элементов, определится следующим образом:
Р0=П e-V =е-Л°\
Уравнение (8. 14) можно переписать в виде
т
— 1П РпУ
(8. 15)
Эффективность «холодного» резервирования определяется
зависимостью
П e-
8.1. 5. Понятие об оптимальном резервировании
При создании систем, в которых применяется тот или иной
метод резервирования, возникает задача не только обеспечения
345

высокой надежности, но и достижения заданной надежности с
минимальными затратами.
Единица измерения затрат определяется конкретной зада-
задачей — это может быть стоимость, масса или габариты. Так, для
систем типа летательные аппараты, выполняющих ответствен-
ответственные функции, обычно не возникают ограничения по стоимости,
а определяющее значение имеют ограничения по массе или га-
габаритам. В некоторых случаях необходимо учитывать несколь-
несколько ограничений, например, по стоимости и массе.
Однако в большинстве случаев ограничивающие факторы,
например, масса и стоимость, связаны между собой линейной
зависимостью, поэтому выполнение условия по самому жестко-
жесткому ограничению приводит одновременно к удовлетворению
остальных ограничений.
Рассмотрим только один ограничивающий фактор, не кон-
конкретизируя его, и назовем его стоимостью.
При рассмотрении оптимального резервирования возможна
постановка двух задач [20].
1. Требуется обеспечить вероятность исправной работы си-
системы не менее заданной при минимальных затратах на резерв-
резервные элементы.
Математическая формулировка задачи: найти минимум
функции
при условии
где С — стоимость системы;
п — число расчетных участков системы, где применена
резервирование;
Сг- — стоимость одного элемента /-го участка системы;
С/0) — начальная стоимость /-го участка;
Pi(ffii)—вероятность исправной работы /-го участка при
наличии т{ резервных элементов.
2. Требуется обеспечить максимально возможную вероятность
безотказной работы при заданных затратах на резервные эле-
элементы.
Математическая формулировка задачи: найти максимум
функции
З'-б

при условии
/1
Указанные задачи относятся к области нелинейного или мар-
маргинального программирования, теория которого в настоящее вре-
время достаточно хорошо разработана [50].
Для решения поставленных задач наименьших вычислений
требует метод наискорейшего спуска. Решение методом наиско-
наискорейшего спуска заключается в следующем.
Отыскивается значение экстремума некоторой функции путем
последовательных шагов из начальной точки по направлению
градиента или по направлению, имеющему максимальное зна-
значение частной производной. Для каждого шага необходимо оп-
определить значение функций и ее первых частных производных в
процессе движения к экстремуму.
Практически задача решается так. Рассматривается исходная
система, у которой нет резервных элементов. На первом шаге
отыскивается такой участок системы, прибавление к которому
одного резервного элемента дает наибольший «удельный» выиг-
выигрыш в приросте вероятности исправной работы системы в перс-
счете на одну единицу стоимости.
На втором шаге отыскивается следующий участок системы,
включая и пройденный, прибавление к которому резервного эле-
элемента дает наибольший прирост вероятности исправной работы
Далее поступают аналогично.
Пусть каждый i участок системы резервирован т* раз, т. е.
сделано iW = Vm/шагов- Значение вероятности исправной рабо-
ты на М-ом шаге равно
На следующем шаге (М+1) следует добавить еще один резерв-
резервный элемент к тому участку, для которого будет максимальная
величина
Yi('H/+l) = -^7[P('H1, m2,..., m/+1,..., тп)-
-Р{т19 m2,..., mn)]. (8.17)
Определяя вероятности Р(М) и Р(М+1) через вероятности
исправной работы отдельных участков, получим
1
с,
п
_/>,(»!,+ 1)-
-р
/)
п
(fYl \ щЩ р (YYl \
(8.
18)
347

Величина Р(М) является сомножителем всех выражений
Уг(^г+1) для /=1, 2,..., п. Так как нас интересует относитель-
относительная величина y(nii+l) по сравнению с другими такими же вели-
величинами, результат не изменится, если на каждом шаге выбирать
тот участок для которого
v,(«i+i)=Pf(wv+p1)r?><(m') (8Л9>
СР (пц)
имеет максимальное значение.
Следовательно, определив для каждого участка системы зна-
значения уь можно определить число и место резервных элементов,
обеспечивающих оптимальное резервирование. Метод также по-
позволяет выбрать вид резервирования (постоянно включенный,,
скользящий, и др.), обеспечивающий получение заданной надеж-
надежности с минимальными затратами.
Применение метода покажем на примере [20].
Дано. Система состоит из 5 участков, соединенных последовательно.
Первый участок имеет один элемент с вероятностью исправной работа
Pi = 0,9 и со стоимостью Ci = 3. Участок допускает использовать только по-
постоянно включенный резерв. Первому участку подобен третий, но отличается
характеристиками Р3 = 0,2, С3=1. Второй и четвертый участки допускают ис-
использование «холодного» резерва. Для второго участка Р2 = 0,2, С2 = 3, для
четвертого Р4=0,9, С4=1. Пятый участок имеет три идентичных элемента
с С5 = 5 и Р5 = 0,5 для каждого.
На данном участке возможно общее резервирование со скользящим па
стоянно включенным резервом, при этом />3.
Решение.
Для первого и третьего участков
для второго и четвертого
Р/(mf) = Р, \^ ( - In P,)*;
?=3
для пятого участка
Решение находится в следующем порядке.
1. Определяется для каждого участка Pi(trii) и составляется табл. 8 1.
2. На основании табл. 8 1 и известных значений стоимостей элементов
Сг- составляется табл. 8 2 значений yi(rrii + \), рассчитанных по формуле-
(8. 19) для всех i и различных значений /л*.
В табл. 8.-2 индексы № 1, 2 и т. д. обозначают номер шага расчета.
3. Выбирается из табл. 8.2 шаг № 1 [максимальная из величин YiU)l-
Y2 = 0,538;
— по табл. 8.1 отыскивается соответствующая величина Рг(\):
Р2A) =0,5249;
348

Таблица 8.1
TYti
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Номер участка
1
0,200
0,3600
0,4880
0,5904
0,6723
0,7378
0,7902
0,8322
0,8658
0,8936
0,9149
2
0,200
0,5249
0,7833
0,9212
0,9763
0,9940
0,9987
0,9998
1
1
—
3
0,9000
0,9900
0,9990
0,9999
1
—
—
—
—
—
—
4
0,9000
0,9959
0,9998
1
—
—
—
—
—
—
—
5
0,1250
0,3125
0,5000
0,6563
0,7734
0,9565
0,9110
0,9453
0,9673
0,9807
0,9886
Таблица 8.2
mi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
№
№
№
№
№
№
№
1
3 0,265
6 0,118
9 0,07
12 0,046
14 0,032
15 0,026
18 0,018
20 0,013
21 0,011
24 0,008
№
№
№
№
2
Номер участка
1 0,538
5 0,1
11 0
17 0
25 0
26 0
27 0
—
—
—
64
058
020
006
001
001
№
3
8 0,1
22 0
28 0
—
—
—
—
—
—
—
100
009
001
4
№ 7 0,105
№ 29 0,005
—
—
—
—
—
—
—
—
№
№
№
№
№
№
№
i
2 (
5 (
10
13
16
19
23
30
31
32
3,300
3,120
0,062
0,030
0,021
0,013
0,008
0,005
0,003
0,002
— вычисляется значение
где Pq = П Р/с @)—начальные значения вероятности исправной работы си-
системы, т. е.
349

P@) =Pi • Р2 • Рз • Р4 • Рб = 0,2 • 0,2 • 0,9 . 0,9 ,0,125=0,004,
откуда
— вычисляется значение
СA)=С@)+Сь
где
= 23; С;=С2 =
откуда СA) =23 + 3=26
4. Выбирается у по шагу № 2 [максимальная среди оставшихся
для кФ1 или y<B)];
по табл. 8 1 отыскивается соответствующая величина РаA) или РгB),
если шаг № 2 имеет \гB);
— вычисляется значение
Pft(l)
'Pft(O)
рA) [или
, если шаг № 2 имеет у B)
1;
вычисляется значение
СB)=СA)+СЛ [или СB)=СA)+С<.
если шаг № 2 имеет yiB)]
Аналогичные вычисления производятся на последующих шагах. По ре-
результатам расчета для рассматриваемого примера составлена табл. 8. 3, ко-
которая позволяет решить обе поставленные задачи оптимального резервиро-
резервирования.
Если решается 1-я задача (минимум стоимости), то процесс прекращает-
прекращается на таком шаге М, 'когда выполняется условие Р(М—1)<СРтр<Р(М).
Пусть требуемая надежность системы рассматриваемой в примере Ртр>0,47.
Из табл. 8 3 определяем, что оптимальная система следующая: mi =4; гпг —
=3; /п3=1; An4=|l; пг5—3 и стоимость ее — 69 единиц.
Таблица 8. S
м
0
1 ,
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
/721
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
о
ГП<1
0
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
/Я4
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
т5
0
0
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
4
P(Af)
0,004
0,011
0,026
0,048
0,072
0,115
0,156
0,171
0,187
0,226
0,300
0,356
0,400
0,472
0,518
С (М)
23
26
31
34
37
43
45
46
47
50
55
58
61
69
72
350

Если решается 2-я задача (максимум надежности при ограничении по
стоимости), то процесс необходимо закончить на таком шаге М, когда вы-
выполняется условие
Стр<С(М+1).
Если, например, стоимость системы не должна превышать С1р = 60 еди-
единиц, то процесс надо) закончить на шаге № 11. Характеристики оптимальной
системы будут: Р = 0,356, т4 = 3, т2 = 3, т3=1, /и4=1, т5 = 3.
8. 2. РЕЗЕРВИРОВАНИЕ МОЩНЫХ ДВИГАТЕЛЬНЫХ УСТАНОВОК
8. 2.1. Методы резервирования
Существуют различные сложные системы, которые состоят из
большого количества идентичных как по устройству, так и по вы-
выполняемым функциям подсистем. К подобным системам можно
отнести двигательные установки мощных ракет-носителей, напри-
например, «Сатурн-V» [52].
Такая двигательная установка состоит из п одинаковых бло-
блоков, причем блоком является автономный двигатель, имеющий
свою систему подачи и регулирования и работающий независи-
независимо от других двигателей.
Тяга двигательной установки ракеты-носителя, особенно пер-
первой ступени, в зависимости от решаемых задач может находить-
находиться в пределах 10 000—80 000 кН и даже более. Так, тяга первой
ступени ракеты-носителя «Сатурн-V» составляет примерно
34000 кН. Поскольку, двигательную установку, состоящую из од-
одного блока, с такой тягой по причинам экономического и техни-
технического характера создать крайне трудно, то тяга одного блока
в настоящее время ограничена по величине. Например, двигатель
F-1 имеет тягу 6800 кН.
Рассмотрим двигательную установку с тягой /?д. у, скомпоно-
скомпонованную из п отдельных блоков с меньшими тягами /?б, где
Если все блоки (двигатели) работают независимо и облада-
обладают одинаковой надежностью, то вероятность исправной работы
такой двигательной установки определяется зависимостью
Р..у = ПРв|. (8-20)
/ = 1
где Pq1 — вероятность исправной работы отдельного двигателя.
Нетрудно убедиться в том, что даже при высокой надежности
отдельных блоков и при большом их количестве надежность дви-
двигательной установки будет чрезвычайно низкая.
Пример. Пусть необходимо создать двигательную установку носителя с
тягой /?д.у = 10ООСЮ кН из двигателей с тягой Ro=5000 кН, обладающих
очень высокой надежностью (Рб=О,99О).
351

В этом случае количество блоков определится из соотношения
#д .у 100 000
п = = = 20 и согласно формуле (8.20) Р,-.у=0,99020 =.-0,815.
/vg Оиии
Обеспечить требуемую надежность многоблочной двигатель-
двигательной установки позволяет метод общего резервирования с дробной
кратностью, с постоянно включенным или с «холодным» резер-
резервом.
При постоянно включенном резерве все блоки, как основные
так и резервные, работают с момента старта ракеты. При хо-
холодном резервировании резервные блоки находятся в нерабочем
состоянии до тех пор, пока не откажут основные. Когда отказы-
отказывает один из основных блоков, он выключается и в работу вклю-
включается один из резервных. Холодное резервирование обладает
недостатками:
— увеличивается пассивная масса носителя за счет массы ре-
резервных блоков, которые в полете могут не использоваться;
— ухудшаются динамические характеристики ракеты из-за
резкого изменения перегрузок в моменты выключения отказав-
отказавших блоков и включения резервных;
— усложняется система выключения и запуска двигателей в
условиях полета.
Так как из-за указанных недостатков применение холодного
резервирования для повышения надежности мощных ракет-носи-
ракет-носителей следует считать нецелесообразным, то в дальнейшем рас-
рассматривается только лишь общее резервирование с постоянно
включенным резервом и дробной кратностью.
Общее резервирование с постоянно включенным резервом мо-
может быть двух видов: с постоянным и с переменным коэффици-
коэффициентами форсирования тяги
где Лб — тяга на номинальном режиме работы.
Рассмотрим два случая.
1. Резервирование с Кф= 1 = const
Все как основные, так и резервные двигатели работают на
номинальном режиме, и тяга их в процессе выключения отказав-
отказавших блоков не изменяется. При отказе от одного до т включи-
включительно блоков в остальных блоках тяга не изменяется, а суммар-
суммарная тяга двигательной установки будет уменьшаться по ступен
чатому закону:
RRY(i) = (n — i)R6i (8.21)
где /=0, 1, 2,..., т — количество отказавших блоков.
Недостатком данного метода резервирования является зна-
значительное уменьшение тяги двигательной установки при отказе
352

блоков и, как следствие, снижение коэффициента тягавооружен-
ности ракеты.
Очевидно, что в этом случае для обеспечения выполнения за-
задачи, если даже уменьшение коэффициента тяговооруженности
находится в допустимых пределах, необходимо увеличивать вре-
время работы двигательной установки.
Разновидностью метода резервирования при /Сф= 1 является
использование естественного резерва блоков в установленные
моменты времени [68].
В процессе полета из-за израсходования компонентов топли-
топлива и уменьшения массы носителя увеличивается коэффициент
тяговооруженности, в результате че-
чего в некоторый момент времени об-
образуется естественный резерв тяги,
который равен тяге одного блока.
Следовательно, с этого момента вре-
времени двигательная установка будет
бло-
располагать одним резервным
ком.
Текущее значение коэффициента
тяговооруженности определяется за-
зависимостью
(8.22)
т
1
1
у
у
X
Рис. 8 3. Схема образования
резерва тяговооруженности
где G6— расход топлива через один
блок;
Qo — стартовая масса ракеты.
Соответственно начальное значение коэффициента тяговоору-
тяговооруженности
(8. 23)
Из-за увеличения второго члена знаменателя в уравнении
(8. 22) (тяга блока считается постоянной) с некоторого момента
ti наступает условие Ajlxi = fx(ti) —|яо, позволяющее выключить
один блок. При выключении блока коэффициент тяговооружен-
тяговооруженности уменьшится, а затем начинает расти пока не наступит сле-
следующее условие А|Я2=|ы(т2) — jwo, позволяющее выключить вто-
второй двигатель и т. д. Процесс образования резервных двигате-
двигателей в полете показан на рис. 8. 3.
Количество резервных блоков, которые могут образоваться в
процессе полета, приблизительно можно определить следующим
образом.
В предположении, что допустимое значение коэффициента
тяговооруженности при отключении последовательно от 1 до т
двигателей должно быть не меньше начального |ы0, можно запи-
записать условие
353

(8-24)
где lxm = — значение коэффициента тяговоору-
QG(n m)%
женности, создаваемое резервными
блоками;
(п — т) R6 , ,
jxz=—i L_o значение коэффициента тяговоору-
женности при отключении т бло-
блоков.
Подставив выражения для цо, [^т, \л в уравнение (8. 24) и
разрешая его относительно га, получим
т = . (8.25)
Для осуществления такого резервирования необходимо знать
моменты времени т&, в которые образуется естественный резерв
блоков.
Приближенно указанные моменты времени можно определить
следующим образом.
После отказа k — 1 двигателя в момент хк масса израсходо-
израсходованного топлива определяется по зависимости
т„ (8.26)
где
т, = тG = 0, 1, 2,..., &—1); то = О; т^О —момент отказа
1-го двигателя.
Полагая, что в момент отказа k — 1 двигателя выполняется
условие (ы(т)=Aо, после подстановки уравнения (8.26) в зави-
зависимость (8. 25), получим
(п — k)R6
Qo—[n — (k+\)] <7бТ/, — <7б 2 xi
Разрешив последнее уравнение относительно Тй, получим
к—1
где
Ьп =
1)
354

Уравнение (8. 27) позволяет определить моменты времени Т/г,
начиная с которых образуются резервные блоки.
2. Резервирование при Кф>1.
В момент запуска все двигатели имеют номинальную тягу.
При отказе одного двигателя в остальных тяга увеличивается на
величину, обеспечивающую ту же номинальную тягу двигатель-
двигательной установки. При отказе второго двигателя до т включитель-
включительно каждый раз увеличивается тяга работающих и тяга двига-
двигательной установки не изменяется.
Величина коэффициента форсирования тяги блоков опреде-
определяется из соотношения
/Гф=§>- = _*_ (/_о, 1, 2,..., т).
Величина Кф ограничивается прочностью конструкции и за-
запасами устойчивости рабочего процесса. Для конкретного двига-
двигателя Кф величина заданная.
При заданном значении Кф можно определить допустимую
кратность резервирования
YYi Аф 1
В составных двигательных установках отказавшие двигатели
воздействуют на окружающие и могут вызвать отказ последних.
В зависимости от вида отказа воздействие отказавшего двигате-
двигателя на соседние может проявляться по-разному. Основными воз-
воздействиями являются: механическое, тепловое, вибрационное, ре-
режимное и комбинированное. Отказы взрывного характера сопро-
сопровождаются разрушением конструкции и разлетом осколков и
элементов, которые, ударяя в окружающие двигатели, могут их
разрушить или вызвать недопустимые изменения режима ра-
работы.
При нарушении герметичности полостей, заполненных горя-
горячим газом (газогенераторы, камеры двигателя, газоводы и др.),
возникает истечение струи газа, обладающей значительной тепло-
тепловой и кинетической энергией. Воздействие таких струй на окру-
окружающие двигатели вызывает прогары элементов конструкции.
При нарушении герметичности жидкостных магистралей воз-
возникает истечение компонентов топлива в окружающую среду,
что может вызвать пожар в двигательном отсеке и другие по-
последствия.
Таким образом, резервирование двигателями само по себе
не может обеспечить надежное выполнение задачи при их отка-
отказах. Для обеспечения работоспособности и надежности резерви-
резервированной двигательной установки необходимо применять систе-
355

мы аварийной защиты, которые определяют состояния двигате-
двигателей и при возникновении у них аварийных ситуаций вы-
выключают их, тем самым защищая соседние двигатели от воз-
воздействия отказавших.
Поэтому в последующем рассматривается теория резервиро-
резервирования двигательных установок с учетом взаимодействия систе-
системы аварийной защиты с двигателями.
8.3. ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ РЕЗЕРВИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
8. 3. 1. Вероятности состояний системы
Совокупность блока с системой аварийной защиты будем на-
называть обобщенной системой (ОС), а совокупность обоб-
обобщенных систем — объектом зашиты @3). В соответствии
с приведенным определением вся резервированная двигательная
установка является объектом защиты, а составляющие ее двп-
[7-gL(z,z+Az)][i-rL(z,z+ Ax)]
I Аварийное
I состояние
Ложное
| срабатывание
, z+At)
j —
С A3
не ликВиди-
pyem AC
\САЗлик6иди-
p.uem AC
Рис. 8 4. Модель функционирования обобщенной системы
356

гатели совместно с системами аварийной защиты — обобщенны-
обобщенными системами.
Пусть 03 состоит из п равноправных и одинаковых по своим
характеристикам ОС, из которых т резервных. Объект защиты
выполняет возложенные на него функции только тогда, когда ра-
работоспособны п — т обобщенных систем, а отказавшие до т си-
систем включительно выключены без разрушения и воздействия
их на окружающие системы. Оставшиеся п — т обобщенных си-
систем работают на постоянном режиме или переключаются на
новый.
Состояние объекта защиты в момент времени т определяется
состояниями обобщенных систем. Процесс эволюции состояний
объекта защиты во времени представлен на рис. 8. 4 и описы-
описывается функциями ?г(т)г=о, 1,2,..., т, которые характеризуют фазо-
фазовое состояние /-й обобщенной системы в момент т. Под фазовым
состоянием понимается вероятность исправного состояния неко-
некоторого числа обобщенных систем, так что
Ео(т) —вероятность нулевого состояния, когда исправны все
п обобщенных систем;
Si(t)—вероятность первого фазового состояния, когда ис-
исправны п — 1 обобщенных систем, а неисправная обобщенная
выключена системой аварийной защиты;
|ш(т)—верятность m-го фазового состояния, когда работа-
работают п — т обобщенных систем, а т неисправных отключены си-
системой аварийной защиты (САЗ). В момент т объект защиты
выполняет заданные функции, если он находится в одном из
т фазовых состояний.
Так как перечисленные состояния являются несовместимы-
несовместимыми, то вероятность появления ровно т состояний за интервал
времени от 0 до ть т. е. вероятность исправного функциониро-
функционирования объекта защиты, определится зависимостью
/(*)• (8.28)
Рассмотрим подробнее процесс эволюции состояний объекта
защиты (см. рис. 8. 4) в течение промежутка времени Ат, к на-
началу которого он находился в одном из i-x фазовых состояний.
За промежуток времени Ат в зависимости от состояния обоб-
обобщенных систем объект защиты может находиться в /-ом состоя-
состоянии, перейти в /+1 состояние или перейти в состояние отказа.
Вероятность того, что объект защиты к моменту времени
т + Дт будет находиться в /-ом фазовом состоянии, в котором он
находился к моменту т, определяется зависимостью
(т), (8.29)
где qi(x, т + Ат) —условная вероятность того, что объект защи-
защиты за время Ат перейдет из /-го состояния в
357

аварийное при условии, что в момент т он на-
находился в исправном i-ом состоянии;
г?(т, т + Ат)—условная вероятность того, что за время Дт
произойдет ложное срабатывание системы
аварийной защиты и исправная обобщенна?
система будет выключена.
В i+l фазовое состояние объект защиты переходит в тех слу-
случаях, когда произойдет ложное срабатывание одной из систем
аварийной защиты, или когда система аварийной защиты обна-
обнаружит возникновение аварийной ситуации в одной из обобщен-
обобщенных систем и выключит двигатель.
Вероятность перехода объекта защиты из состояния / в со-
состояние /+1 определится зависимостью
5/(/+1)(т+дт)=[г/(т, т+Дт) + ?/(т, т + ат)A-^н)]^(т), (8.30)
где qu — условная вероятность того, что система аварийной за-
защиты не обнаруживает наступающего аварийного состояния.
Аналогично можно описать эволюцию всех 0, 1, 2,.. ., т фа-
фазовых состояний объекта защиты.
Из фазового состояния т объект защиты переходит в состоя-
состояние аварии тогда, когда происходит ложное срабатывание САЗ
или когда объект находится в аварийном состоянии.
В этом случае объект становится ненадежным и не выпол-
выполнит поставленную задачу.
Введем обозначения:
-г,(т, т+дт)]; J
= [г, (т, т+дт) + ^(т, т + дт)A—?„)]. J
С учетом введенных обозначений вероятности перехода объекта
защиты в разные состояния (8. 29) — (8. 30) перепишутся в виде
Вероятность /-го состояния объекта защиты определяется за-
зависимостью
6/(т+ дт) = ?(/_1)/(т + дт) + $„ (т+дт), (8.33)
где
ф(/-1)/(Т, Т+ДТ)=7/_1(Т,
Таким образом, на основании зависимости (8. 33) можно так
записать систему уравнений, выражающих эволюцию обобщен-
обобщенной системы за промежутки времени Ат:
358

! ?.
В системе (8.34), произведя предельный переход при Дт=0„
получим систему дифференциальных уравнений, подобных урав-
уравнениям А. Н. Колмогорова [24], которые определяют вероятность
исправной работы объекта защиты в момент времени т:
^о(т)
dx
Ь (т)
~1 )m
где я*^ =Нт
A-o
?o(t) —условная вероятность пребывания объекта защиты в
момент т в нулевом фазовом состоянии, т. е. когда
исправны все п обобщенных систем, при условии, что
при Дт=0 система находилась в этом же состоянии;
gi(t) —в общем случае условная вероятность пребывания
объекта защиты в момент т в состоянии / при уело-
вии, что при Дт=0 система находилась в состоя-
состоянии / — 1;
об
ф..(х)=Нт l4iyi' 1~ач-г'/v1' irut)- qi (t, t+At) г/ (т, T-f-Ат)
Дт-0
Д-с^О L
r/_i (т, х + Ат) + ?/-! (t, т + Ат) A — <
At
являются функциями перехода объекта защиты из состояния
/—1 в состояние / и характеризуют интенсивность перехода,
которая зависит от надежности двигателя и точности работы
системы аварийной защиты.
Таким образом, эволюция объекта защиты, показанная на
рис. 8. 4, состоящего из п обобщенных систем, из которых т ре-
резервных, описывается системой дифференциальных уравнений с
переменными коэффициентами и является случайным процессом.
Этот случайный процесс характеризуется следующими свой-
свойствами:
359

— он нестационарен, так как вероятность состояния систем в
-интервале Дт зависит не только от длительности этого интервала,
*но и от положения его на оси времени;
— он обладает последействием, так как вероятность состоя-
состояния ?г(т) зависит от эволюции системы в моменты, предшествую-
предшествующие рассматриваемому интервалу времени, т. е. при рассмотре-
рассмотрении /-го состояния необходимо знать историю состояний*
— он ординарен, так как переход объекта зашиты из / — 1
б 1-е состояние происходит последовательно и переход из
1-го состояния в / + 2 состояние не возможен.
8.3.2. Точное решение системы уравнений
Прежде чем решать систему (8. 35), выясним смысл функций
перехода я|^г- и выразим их через вероятностные характеристики
системы аварийной защиты двигателя.
Воспользуемся известным из теории вероятностей соотноше-
соотношением
?Д*,т + дт)^>-Р(у + ^), (8.з7)
В соотношении (8.37), произведя предельный переход и заме-
замечая, что при Дт—>-0 дробь q(x, т+,Дт)/Дт сходится равномерно
по т, получим
lim g(T'*+AT)= _ZW_ = X(t), (8. 38)
дт+о At Р(т) w ;
где Я(т)—интенсивность перехода.
Тогда с учетом зависимости (8. 37) и пренебрегая величина-
величинами малости второго порядка и выше, функцию перехода (8.36)
можно записать следующим образом:
V-i)/ = («-'+l) [WOO -tfJ + V-nW]. (8.39)
где К{ — интенсивность отказов блока (двигателя) при фазовом
состоянии объекта защиты;
КЛг — интенсивность ложных срабатываний системы ава-
аварийной защиты при /-ом фазовом состоянии.
В общем случае интенсивность отказов двигателя зависит от
длительности работы. Функция Я(т) определяется по результа-
результатам обработки статистических данных испытаний. Можно пред-
предположить, что наибольшее количество отказов проявляется в про-
процессе запуска двигателя, когда возникают переменные с боль-
большими градиентами тепловые и механические нагрузки на эле-
элементы конструкции. Поэтому интенсивность отказов в период
запуска может быть на порядок больше, чем на установившем-
установившемся режиме работы [20].
360

В общем случае функцию К(х) для двигателя можно пред-
представить в виде, показанном на рис. 8. 5.
Таким образом, значения функций перехода л^ц(х) и я|^-1)г(т>
будут зависеть от момента 1-го состояния объекта защиты во вре-
время работы двигателя.
В данном случае для интегрирования системы уравнений.
(8. 35) необходимо весь период работы объекта защиты разби-
разбивать на два участка, для которых интенсивности отказов мож-
можно принимать постоянными .во вре-
мени.
Первый участок 0 — т*,
где Xi(t) = X*
второй участок т* — тр, где
Рис. 8.5. Зависимость интен-
интенсивности отказов от времени
о * работы
Здесь тр — заданное время работы, г
т* — время переходных процессов.
Начальными условиями для интегрирования системы урав-
уравнения (8. 35) являются:
) = 51@)=.. . = ^@) =
(8.40)
Система уравнений (8.35), когда функции перехода tya9
гр(г—1)г являются постоянными величинами, может быть решена
различными классическими методами, так как эти уравнения
можно записать, используя векторно-матричные обозначения в
следующем виде:
= Ах;
dx
А-(Т) =
(8.41)
где uij — интенсивности переходов гр«.
Первым классическим методом является метод, основанный
на отыскании решения в виде линейной комбинации экспонент
В результате получаем систему линейных алгебраически*
уравнений
Хс=Ас.
361

Отсюда А, находится как корень характеристического урав-
уравнения
\A — JJ\=0,
где / — единичная матрица.
Так как число состояний системы может быть большим, то
характеристическое уравнение будет высокого порядка и корни
уравнения могут быть найдены с помощью громоздких вычис-
вычислений.
Второй классический метод основан на введении понятия
матричной функции
V^ (8.42)
В этом случае решение системы уравнений записывается в виде
Однако в том случае, когда число уравнений велико, при исполь-
использовании этого метода встречаются большие трудности.
Наконец, широко применяется метод, основанный на исполь-
использовании преобразования Лапласа
6, (p) = L (?, (т)] = 1 Ь (т) e-p-dx. (8.43)
Переходя в уравнениях (8.35) к изображениям по условию
(8.41), получим систему линейных алгебраических уравнений
относительно изображения ?>i(p). Используя правило Крамера,
можно легко найти выражение для изображения
где А(р)—главный определитель системы алгебраических
уравнений;
&i(p)—определитель, получаемый из главного заменой
элементов /-го столбца соответствующими свобод-
свободными членами.
Применяя затем обратное преобразование Лапласа, можно
так записать выражение для оригинала ^ (т):
СГ + / оо
тт4е^- (
А (р)
Этот интеграл берется по теореме о вычетах.
При большом числе уравнений необходимо, как и в первых
методах, решать приближенными способами алгебраическое урав-
уравнение высокой степени (при отыскании особых точек).
362

Применим метод преобразования Лапласа для решения рас-
рассматриваемой задачи. Переходя в системе (8. 35) от оригинала
к изображениям с учетом условий (8.40) и (8.43), получим си-
систему алгебраических уравнений
Решая систему (8. 45) изложенным выше методом относительно
gi(/?), определим вероятность /-го состояния объекта защиты,
выраженную в изображениях по Лапласу
М/>), (8.46)
7=0;/-0
где /=0, 1, 2, ..., т\ / = 0, 1, 2, ..., т;
;при/>Пф*=1- (8-47>
П (/'
Вероятность исправной работы объекта защиты, когда нор-
нормально функционирует не менее п— т из п обобщенных систем,
выраженная в изображениях по Лапласу, согласно зависимости
(8. 28) определится следующим образом:
т п т
Рпт(р) = У,^(Р) = ^Л0)^и(р). (8.48)
/=0 /=0 /==/
Используя формулу обращения Лапласа (8. 43) в уравнении
(8.48), перейдем к оригиналу:
Рпт(г)=УгЛ0)^и(х). (8.49)
Для нулевых начальных условий
т
(t). (8.50)
Если вероятность состояний определяется для произвольно-
произвольного &-го участка на оси времени т, то уравнение (8. 49) прини-
принимает вид
P»m(t)=2 M**-i) 2 bj(b-b~i)- (8- 51)
363

Вероятности фазовых состояний ^j определяются функциями
перехода г|)г>
Рассмотрим два случая.
1. яр*; Для разных I не равны друг другу, что бывает тогда,
когда изменяются интенсивности отказов двигателя и системы
аварийной защиты при переходе из одного состояния в другое:
П i(r+i). (8-52)
где
При у'=1 D)i =1; при r=/ i|)r(r+i) = ^i(i+i)=l. Тогда для нулевых
начальных условий уравнение (8.50) примет вид
п фг(г+1). (в. 53)
г=0
а для произвольных начальных условий по уравнению (8. 49)
У-0 /=/
Записанное условие имеет место тогда, когда интенсивность
отказов обобщенной системы не изменяется при переходе из од-
одного в другое фазовое состояние, т. е. когда применен метод ре-
резервирования с постоянным коэффициентом форсирования.
В этом случае функции состояний определяются по зависи-
зависимости
= [l737)TT'W ехр (" Н
Вероятность исправной работы для произвольных началь-
начальных условий
] [
y=o /=o
364

для нулевых начальных условии
г=0
Пример. Пусть интенсивность отказов для двигателей изменяется во
времени так, как показано на рис 8.5. Объект защиты имеет 2 резервных
обобщенных системы (т — 2).
Вероятность исправной работы такого объекта защиты в соответствии с
формулой (8.51) определится по зависимости
2 2
Р*2 (г) = 21 67 С*) 2 6/7 (тр ~ т*) = ^о (*•) [^оо (*Р ~ **) + 6oi (*Р + **) +
4- бог (*р + т*)] + g, (t*) [g! i (tp - т*) H- g12 (tP - г*)] + g2 (x*) e2 2 (tp - t*).
Используя зависимости (8.52), условные вероятности ?г-, %ji определяем
следующим образом:
т00
ЗП~~т-
'2 2 - W
ехр ( — Ф221
5оо (tp - т») = ехр [ - № (тр - г*)];
ТЦ J
.<P) <L<PI Г0/(р) — <1/рI U(p) il/P>l Itb(P) A(p)
ОО TllJ L™22 ТЦ J [ТОО ~"T22j [Г11 ~ Т2 2
- ехр [-](
$22 (тр - х*) = ехр [ - 44Р) (Tip - -с*)] •
365

Функции перехода в соответствии с формулой (8.39) определяются так:
+("/_!) ,- = («-!- О [х* A - ?„) + Хл /];
где во всех зависимостях параметры с индексом «*» соответствуют участку
О—т* (см. рис. 8.5), а с индексом «(р)» — участку т*—тр.
Зависимость (8.54) можно представить в другом виде:
п т
P«i»(t) = 25y(°) 2 ОДа'-^-'О -Зу-Л (8. 56)
где
1пРбA-?л)
Рб — вероятность исправной работы двигателя (блока).
При нулевых начальных условиях
т
Ряя,(т) = 2Чаф«-'A-р)/. (8-57)
Расчет вероятностей исправной работы объекта защиты по
уравнениям (8.56), (8.57) в тех случаях, когда число фазовых
состояний 'велико (много резервных двигателей), связан со зна-
значительными трудностями. Поэтому для расчетов, когда не тре-
требуется высокая точность, например—при сравнении схем, можно
использовать приближенные зависимости.
8.3.3. Приближенное решение системы уравнений
Как показано в работе [44], функцию состояния системы
^г(т) с большой точностью можно аппроксимировать зависи-
зависимостью
где / = 0, 1, 2, ..., т\ /=0, 1, 2, ..., т.
При i = j П v2(х-)= 1;
366

Рг — вероятность исправной работы блока в 1-ом фазовом со-
состоянии.
В этом случае уравнение (8. 51) примет вид
п т 1 — 1
Ряя,(*) = 2 1(т*J С»-^"~'(тр- т*) П v,(tp—c*), (8.58)
где
Когда опасность отказов постоянная в период 0 — тр, то урав-
уравнение (8. 58) запишется следующим образом:
т /-1
Рлт(т) = 2С^-МЪг. (8.59)
В том случае когда при выключении обобщенных систем от 1
до т включительно, в остальных режим работы не изменяется,
т. е. когда
и при нулевых начальных условиях надежность объекта защи-
защиты определяется зависимостью
где р = РбA—qл)—надежность обобщенной системы;
у=(\—Рб)^н — ненадежность обобщенной системы; v =
— 1—Р—Y.
В уравнении (8. 60) сгруппируем члены так, чтобы одни со-
содержали только вероятность исправной работы блока, а дру-
другие — ошибки работы системы аварийной защиты. Тогда
/=0
где
367

— коэффициент, учитывающий влияние ошибок работы системы
аварийной защиты на надежность обобщенной системы.
В том случае когда система аварийной защиты идеальная,
т. е. qn = 0 и <7н=0, /Сса3=1 и вероятность исправной работы
объекта защиты определяется зависимостью
(8. 62)
/=о
Зависимость (8.62) совпадает с уравнением (8. 11), полученным
для общего резервирования с постоянно включенным резервом.
8.4. ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ НА ВЕРОЯТНОСТЬ
ИСПРАВНОЙ РАБОТЫ ОБЪЕКТА ЗАЩИТЫ
8.4.1. Максимальная надежность объекта защиты
Анализ уравнений (8.60) и (8.61) показывает, что вероят-
вероятность исправной работы объекта защиты зависит от надежности
обобщенных систем, ошибок работы систем аварийной защиты и
кратности резервирования.
}0,001
0,85
0.97
0.98
Рис. 8 6. Зависимость вероятности
исправной работы от характеристик
резервирования:
m = l; — х— m=2, — — m = 3;
"об max
1,0
0,9
0,8
Рис. 8 7 Зависимость мак-
максимальной надежности от
числа систем и у
Л
ч
ч
ч
п
10
20
30
40
На рис. 8. 6 представлены результаты расчета по зависимо-
зависимости (8.61) надежности объекта защиты для разных значений
Рб, <7Л> <7н при четырех кратностях резервирования а=1/30, 2/30,
3/30 и^4/30. Из рис. 8.6 следует, что для идеальной системы ава-
аварийной защиты надежность объекта путем увеличения кратности
368

резервирования (увеличение количества резервных систем) мо-
может доходить до значения, не меньшего, чем надежность отдель-
отдельных обобщенных систем.
Однако в реальных условиях, когда имеют место ошибки в
работе системы аварийной защиты (<7л>0, ?н>0), надежность
объекта защиты может быть доведена до ограниченной вели-
величины.
Определим теоретическое максимальное значение вероятно-
вероятности исправной работы объекта защиты.
Максимальное значение вероятности исправной работы ре-
резервированной системы будет в том случае, когда число резерв-
резервных блоков будет равно общему числу, т. е. когда система рабо-
работоспособна при выходе всех блоков из строя.
В этом случае максимальная вероятность исправной работы
объекта защиты определится по уравнению
т
^-4l~p-Yy = (l-Yr. (8.63)
Таким образом, максимальная надежность зависит от количе-
количества обобщенных систем и вероятности их аварий.
Так как ^=0 — Рб)<7н, то для идеальной системы защиты
(qu=0) теоретически максимальная надежность резервирован-
резервированной системы может быть достигнута равной единице.
В том случае когда система аварийной защиты не обнаружи-
обнаруживает аварийных состояний двигателя (^н=1), максимальная на-
надежность при резервировании равна надежности нерезервиро-
нерезервированной системы с основным соединением блоков.
На рис. 8. 7 показана зависимость максимальной надежности
объекта защиты в зависимости от числа обобщенных систем и
параметра у.
8.4. 2. Оптимальное количество блоков
в резервированной двигательной установке
Надежность объекта защиты зависит от ряда взаимосвязан-
взаимосвязанных характеристик, таких как число обобщенных систем, крат-
кратности резервирования, надежности блоков и систем аварийной
защиты. Поэтому можно предположить такое соотношение меж-
между характеристиками объекта защиты, при котором его надеж-
надежность будет иметь максимальное значение.
Задача ставится следующим образом. Определить такое чис-
число п обобщенных систем (блоков), при котором при заданных
кратности резервирования т/п и ошибках системы аварийной
защиты будет максимальная надежность объекта защиты.
При решении поставленной задачи примем следующие огра-
ограничения:
13 312 369

— надежность обобщенной системы не зависит от ее размер-
размерности: это означает, например, что надежность двигателя не за-
зависит от его тяги;
— кратность резервирования — величина заданная и огра-
ограничивается коэффициентом форсирования режима работы и до-
допустимым количеством резервных блоков, определяемым из ус-
условия функционирования объекта защиты.
Ввиду того что при заданной кратности резервирования а<3
существует однозначная связь между количеством обобщенных
и резервных систем, то максимальную надежность объекта
защиты определяем относительно числа резервных систем.
Условие, из которого находится оптимальное значение, запи-
записывается в виде
d
¦ = 0, (8.64)
dm
Откуда Определяется т0Пт = ^(Р, П, V), При КОТОРОМ Pnmmax-
Однако решение уравнения (8. 64) связано со значительными
трудностями, так как дифференцирование необходимо проводить
по искомому параметру, которым определяется сумма ряда. По-
Поэтому поставленная задача решается прямыми вычислениями по
уравнению (8. 60) при разных значениях а, р и у.
На рис. 8.8 в качестве примера приведены результаты рас-
расчета для случая, когда а = 0,143 при двух значениях р = 0,94 и
Р = 0,98.
Как следует из анализа графиков рис. 8. 8, оптимальное ко-
количество резервных блоков существует только до определенных
значений у, которые обозначим укр-
С увеличением |3, т. е. с ростом надежности блоков и умень-
уменьшением вероятности ложных отказов, топт смещается в сторо-
сторону меньших значений. При y<Ykp ^опт не существует, а макси-
максимальная надежность объекта защиты будет в том случае, когда
На рис. 8.9 приведены результаты расчета топТ = т(а, р, у).
Зная т0ПТ, можно определить оптимальное число обобщенных си-
систем, при котором будет иметь место максимальная надежность
объекта защиты
а3
Распространяя полученный результат на оптимизацию коли-
количества двигателей в резервированной двигательной установке,
получим следующие выводы.
Если надежность двигателя не зависит от тяги, то максималь-
максимальная надежность резервированной двигательной установки будет
370

тогда, когда между тягами двигателя и двигательной установки
выполняется соотношение
топт
Так как для реальных уровней надежности двигателя и оши-
ошибок системы аварийной защиты выполняется условие y>Ykp> to
0,95
0,9
0,85
^-—
^- "
^
/
1
//
//
У-10~с
\
7 т
Рис. 8.8. Зависимость надежности от
числа резервных блоков:
0=0,94, Р = 0,98
0,9 0,91 0,94 0,96 0,98 р
Рис 8.9. Зависимость
= f(P, Y)
топт—^i и максимальная надежность двигательной установки
обеспечивается тогда, когда максимальная тяга двигателя или
минимальное количество блоков определяется только лишь воз-
возможностью резервирования, т. е. кратностью а3.
8.4.3. Влияние тяги двигателя на надежность
резервированной двигательной установки
В предыдущем пункте рассмотрена оптимальная надежность
резервированной двигательной установки при условии, что раз-
размерность двигателя не влияет на его надежность.
Как известно, надежность двигателя определяется многими
факторами, основные из которых следующие: новизна схемы,
опыт конструкторского бюро, величины нагрузок, действующих
на конструкцию агрегата, объем и располагаемое Бремя отработ-
отработки и экономические затраты.
Опыт создания двигателей [68] показывает, что двигатели с
малой тягой можно отработать до заданной надежности значи-
значительно быстрее, чем двигатели с большой тягой. При создании
двигателей с малыми тягами испытания их практически начина-
начинаются одновременно с получением заказа, в то время как при со-
создании двигателя с большой тягой между моментом получения
заказа и началом испытаний проходит несколько лет. На
рис. 8. 10 приведена зависимость надежности двигателя от его
13*
371

тяги и числа групп испытаний, после которых вносятся дора-
доработки. Из зависимости рис. 8. 10 следует, что, например, надеж-
надежность 0,98 для двигателя с тягой 900 кН практически достигается
после 16 групп испытаний, а для двигателя с тягой 6800 кН—
после 24 групп испытаний. Кроме того, с увеличением тяги дви-
двигателя уменьшается частота испытаний.
Поэтому правомерно предположить, что надежность двига-
двигателя при прочих равных условиях зависит от его тяги.
В работе [59] приведена зависимость надежности двигателя
от его тяги и времени отработки
, ( BR* \
= ехр -—J,
(8. 65)
Рис. 8 10 Зависимость надежно-
надежности двигателя от его тяги и числа
испытаний
где коэффициенты В и а опреде-
определяются степенью новизны конст-
конструкции двигателя, оснащенностью
22 п и опытом конструкторского бюро
в создании таких двигателей.
В свою очередь, время, потреб-
потребное на отработку двигателя, за-
зависит от тяги: r = cRb.
При заданном времени на отработку и учитывая, что сс=1 [21],
зависимость (8. 65) можно приближенно представить в виде
р = ехр(—0/?). (8.66)
Следовательно, если принять зависимость (8.66) как исходную,
то надежность резервированной двигательной установки будет
зависеть от тяги двигателей и можно найти оптимальное значе-
значение тяги или числа двигателей, при котором получена макси-
максимальная надежность системы.
Задача ставится следующим образом. Определить количе-
количество двигателей в двигательной установке с заданной тягой и
кратностью резервирования, при которых получается максималь-
максимальная надежность резервированной системы. Для этого необходи-
необходимо решить уравнение
dPnm
dR6
•-?-Y)'
dR6
-=0
при заданных связях и ограничениях:
= [l-exp(-e/?e)]?H;
(8.67)
(8. 68)
372

Решение уравнения (8. 67) в явном виде связано с больши-
большими трудностями, поэтому расчет ведется непосредственно по за-
зависимости
(8. 69)
/=о
с учетом условий (8. 68).
Системы (8. 68) и (8. 69) решались для гипотетических двига-
двигательных установок с /?ду =
= 45, 60 и 100 МН; при р
6= B-i-4) 10~4 и а=0,1-^0,2.
Результаты расчета пред-
представлены для #д.у=100 МН 0,35
и а = 0,1 на рис. 8. 11.
Из анализа графиков
рис. 8.11 следует, что при ''
заданной тяге двигательной
установки имеется оптимум о.85
тяги двигателей. Чем силь-
сильнее зависимость Р = Р(/?б),
тем ярче выражается опти- 0,8
мум по тяге и величина
оптимальной тяги двигате-
двигателей смещается в сторону
меньших значений. Рис 8 И. Зависимость надежности ДУ
При 9-нМЗ, когда надеж- от тяги блока при /?Ду=юо МН,
иость двигателя не зависит 9=2-Ю-4, 8=4-10~4
от тяги, оптимальная тяга
двигателя увеличивается и стремится к величине, определяемой
допустимой кратностью резервирования, т. е. получается вывод,
подобный тому, который получен в предыдущем пункте.
8.4.4. Влияние момента включения системы
аварийной защиты на надежность объекта защиты
В общем случае функционирование системы резервирования
может начинаться в разные моменты времени после старта ра-
ракеты-носителя.
Рассмотрим три метода включения системы резервирования
и системы аварийной защиты.
1. Системы резервирования и аварийной защиты включаются
в момент старта носителя (т=0).
Такой метод можно применить в том случае, когда началь-
начальная тяговооруженность ракеты позволяет выключать двигатели
без потери устойчивости.
Ввиду того, что интенсивность отказов двигателей не посто-
постоянна во время работы, а изменяется по некоторому закону, как
показано на рис. 8. 8, то в начальный момент работы надежность
373

двигательной установки будет наименьшей. В этом случае вклю-
включение систем резервирования и аварийной защиты с момента
старта значительно повышает надежность двигательной уста-
установки в начальный момент. В то же время включение системы
аварийной защиты с момента старта может привести к невыпол-
невыполнению задачи в результате выключения исправных двигателей
из-за возможного появления ложного срабатывания система
аварийной защиты.
Рассмотрим функционирование системы резервирования прв
I
Рис. 8. 12 Зависимость интенсивности
отказов от времени работы
Атг- — дополнительное время работы.
Время полета ракеты приближенно можно
формуле [17]
таком методе включении.
Если при отказе одного
двигателя тяга в остальных не
форсируется^ то для выполне-
выполнения программы необходима
увеличить время работы двига-
двигательной установки
где тр — время работы двига-
двигательной установки
при нормальном
функционировании;
тРг — время работы двига-
двигательной установка
при отказе i блоков;
•«V
определить па
(8.70)
Для конкретного носителя величины Qo, /?д. у, \ih0 и /?б являют-
являются постоянными, тогда уравнение (8. 70) примет виц
тр=Л//г, (8.71}
где А — постоянная величина.
Предположим, что один двигатель отказал в момент старта*
и (выключен системой аварийной защиты и выполнение задачи
продолжается п — 1 двигателями. Увеличение времени работы
двигательной установки в соответствии с уравнением (8.71)
определяется зависимостью
AT1=tn, — То-=
п— 1
(8.72)
Пусть в момент ti отказал один двигатель, тогда для опре-
определения вероятности исправной работы двигательной установка
необходимо решить уравнения (8.56) на участке 0 — Ть где Хц
случайная величина.
374

Для упрощения интегрирования при переменном аргументе
Ti приведем задачу для интегрирования в интервале 0—тр
{рис. 8. 12).
На участке titp увеличим интенсивность отказа на величину
АХ\ из условия
ккг (tp — тх) = лодтг (8. 73)
Из уравнений (8. 72) и (8. 73) получим
интенсивность отказов на участке Titp определится зависимо-
зависимостью
Х1==-™2_. (8.74)
В соответствии с выражением (8. 74) можно определить ин-
интенсивность отказов для / фазового состояния:
л^ (8>75)
п — i l n — i
Подставив выражения (8.75) в функции состояний (8.39), по-
получим
Ф//==я(хо+хло); j
(8.76)
Уравнение вероятности исправной работы с учетом функций
(8. 76), примет вид
2
Х«КA-9„о) + Ы'' (8-77)
или как приближенная зависимость —
/=0
где Ро = РбA
Рб — вероятность исправной работы двигателя.
2. Система аварийной защиты и функционирование резерви-
резервирования включаются с момента тт, когда располагаемая тягово-
оруженность ракеты позволяет выключить все т неисправных
двигателей (т=тт).
375

Для расчета надежности функционирования системы началь-
начальными условиями будут
Вероятность исправной работы системы определится зависимо-
зависимостью
т
PJS = Р3 2 С«р5-' 11 - Ро (*Р - *») - Yo (тр - TJ]', (8. 79)
0
2
/=0
где Ро — надежность двигателя к моменту включения системы
защиты;
_t у
3. «Гибкая» программа включения системы аварийной защи-
защиты. Система аварийной защиты включается в моменты времени,
определяемые появлением естественного резерва двигателей
из-за увеличения коэффициента тяговооруженности в процессе
работы двигательной установки.
В момент ti включается система аварийной защиты и в ин-
интервале ti — %2 она может выключить лишь один резервный блок;
если откажет еше один двигатель, то двигательная установка
становится ненадежной.
376

В интервале т2 — т3 система аварийной защиты может выклю-
выключить еще один блок и т. д.
В соответствии с функционированием системы резервирова-
резервирования вероятность исправной работы системы определится соглас-
согласно уравнению (8. 51) следующей зависимостью:
m-1
$=2?«х
(8. 80)
Фх-0
где
—l)^2|wi(^m ^m—l)»
to2 =0
co2
oK =0
я—1
I (8.81)
=о
«»m(t1)=Pg(t1jf
¦*) X
Запишем систему уравнений (8.80) — (8.81) для случая,
когда двигательная установка имеет четыре резервных двига-
двигателя (т = 4); при этом система аварийной защиты может вы-
выключить резервные двигатели по одному в заданные интервалы
времени ti — т2; т2 — Тз; Тз — т^ Т4 — тр. В этом случае расчет-
расчетные зависимости примут вид
2 *°*ы 2 ^»o(tP-t4)=
(Од, =0 €0 = 0L
- т4
(т р - т4
Ей (Тр - Т4) + 1а (Тр - Т4)
377

По зависимостям (8.76) — (8.80) определена вероятность ис-
исправной работы двигательной установки, имеющей следующие
характеристики: а=0,143; т=4. В качестве переменной приня-
принято безразмерное время Г=т/тр, в соответствии с которым отно-
относительные величины интенсивностей отказов определятся так:
А(Л =-
Для примера расчета принято:
Л*=0,1; А*0 = 0,05 Jfo
= 0,01;^а=0,2;Р0A)=0,98.
Рис 8 13. Зависимость надежности от мо-
момента включения резерва
378

На рис. 8. 13 представлены результаты расчета зависимости
Рпт(т) для трех случаев включения резерва. Кривая 1 соответ-
соответствует надежности нерезервированной системы; кривая 2 — си-
системе, когда резерв включается в момент Тт; кривая 3 —
гибкой программе и кривая 4 — методу включения системы ре-
резервирования с момента пуска.
Как следует из анализа зависимости РПт(т), наиболее эф-
эффективно резервирование в том случае, когда резервные двига-
двигатели и система аварийной защиты включаются с момента
старта.
8.5. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЕЗЕРВИРОВАНИЯ
Под эффективностью резервирования понимается увеличение
какого-либо показателя качества системы при применении резер-
резервирования. Показателями эффективности могут быть самые раз-
разные: масса, стоимость, надежность и др.
Рассмотрим изменение надежности системы при применении
резервирования. В этом смысле эффективность есть относитель-
относительное увеличение надежности резервированной двигательной уста-
установки по сравнению с нерезервированной.
Показатель эффективности определяется зависимостью
Э^ Prtm-P =Enm___i (8.82)
р р J
где Р = Р* — надежность нерезервированной двигательной уста-
установки;
Рпт — надежность резервированной двигательной уста-
установки.
В зависимости от соотношения величин Pnm и Р эффектив-
эффективность может изменяться в пределах—1<Э<о°.
Так, при РПщ>Р Э>0 и резервирование дает выигрыш на-
надежности; при Pnm = P Э = 0, т. е. резервирование не увеличивает
надежности системы; при Pnm<P Э<0, т. е. применение резер-
резервирования не эффективно.
Подставив, например, зависимость (8.61) в уравнение (8.82),
лолучим показатель эффективности в следующем виде:
l. (8.83)
Для идеальной системы аварийной защиты (qn =0; <7н=0), как
следует из зависимости (8. 61), Кса3 = 1 и
В этом случае эффективность определяется надежностью, об-
общим количеством блоков и числом резервных.
379

В пределе при Рб—^1 Эи—>О, а при Рб—>-0 Эи—^оо; следо-
следовательно, эффективность резервирования увеличивается с умень-
уменьшением надежности блоков.
К увеличению эффективности также приводит рост числа
блоков в двигательной установке. На рис. 8. 14 показана каче-
качественная зависимость показателя эффективности от надежности
и количества блоков.
В реальных условиях система аварийной защиты обладает
ошибками (qn>0 и qu>0), /Сса3<1 и эффективность резерви-
резервирования значительно меньше, чем в идеальном случае.
70
Рис. 8. 14. Зависи-
Зависимость эффективности
резервирования от
характеристик блоков
Рис. 8. 15 Зависимость эффективности резер-
резервирования от надежности блока в вероятности-
ложных отказов
Рассмотрим крайние состояния системы аварийной защиты.
1. Пусть qл =1. Это означает, что система аварийной защиты
выключает все исправные блоки. В этом случае, как следует из
уравнения (8.83), Э = — 1 при любом значении вероятности ис-
исправной работы блоков и не зависит от вероятности необнару-
необнаруженных отказов.
2. При qn =0 система аварийной защиты обнаруживает все
аварийные состояния и выключает неисправные блоки, т. е.
э= Vci
/=0
1 —р6
Эффективность зависит от надежности блоков и вероятности не-
необнаружения отказов системой аварийной защиты.
3. Пусть <7н=1, т. е. система аварийной защиты не опреде-
определяет аварийных состояний блоков.
Эффективность определяется зависимостью
380

э=
Так, при qn = l Э = — 1, а при <7Л=О Э = 0. Так как вероят-
вероятность ложных отказов изменяется в пределах 0<<7л<1, то со-
соответственно изменяется и эффективность резервирования
— 1<Э<0. Это значит, что при qH=l резервирование только
уменьшает надежность системы. Таким образом, на эффектив-
эффективность резервирования определяющее влияние оказывает точ-
точность работы системы аварийной защиты и главным образом
вероятность ложных отказов.
На рис. 8. 15 показана качественная зависимость Э =
Э(
3%
150
100
50
9л. «р^
0,08
0,06
0,04
0,01
О

п=30
0,85 0,3 0,95
О
qH=Q,3
дл=0,01 а=0,1
'/\ П=30
0,5
W Рд
Рис. 8. 16. Критические значе-
значения вероятностей ложных от-
отказов:
Рис. 8 17. Эффективность резер-
резервирования
В виду того, что при изменении qл и qu от 0 до 1 значение
показателя эффективности переходит через нуль, то можно
принципиально определить qn кр и qu, кр, при которых Э = 0. Оче-
Очевидно, что при ^л<9лкр и <7п<<7н.Кр резервирование будет эф-
эффективно, и наоборот —при 9л>^лкр и ^н>?н.кР резервирова-
резервирование уменьшает надежность системы.
Значения <7лкр и ?н.кР можно определить из уравнения (8.83),
которое для данного случая запишется в виде
(8.84)
Из уравнения (8. 84) следует, что независимо от п и Рб при
qл=0 <7н.кр=1, т. е. резервирование эффективно при любом
значении qK<l. При больших значениях пит уравнение (8. 84)
в явном виде относительно ?Лкр и Чн. кр не разрешается.
3S1

На рис. 8. 16 представлена зависимость qnKV = q(P§, ?н, я, а),
полученная численным решением уравнения (8.92), откуда сле-
следует, что критическое значение вероятности ложных отказов уве-
увеличивается с уменьшением надежности блоков и их количества.
Например, для того, чтобы резервирование было эффектив-
эффективным при п = 30, а=0,1 и Рб = 0,98, вероятность ложных отказов
должна быть дл<0,005.
Таким образом, эффективность резервирования может изме-
изменяться в широких пределах в зависимости от надежности бло-
блоков, их числа, кратности резервирования и ошибок работы
систем аварийной защиты. На рис. 8. 17 показана область эф-
эффективного резервирования для двух крайних совокупностей
характеристик систем.
В каждом конкретном случае вопрос о целесообразности ре-
резервирования должен решаться с учетом характеристик системы
аварийной зашиты и блоков.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗНАЧЕНИЯ НОРМАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Таблица П1
h
—0,00
—0,01
—0,02
—0,03
—0,04
—0,05
—0,06
—0,07
—0,08
—0,09
—0,10
—0,11
—0,12
—0,13
—0,14
—0,15
-0,16
—0,17
—0,18
—0,19
—0,20
—0,21
—0,22
—0,23
—0,24
—0,25
F(h)
0,5000
4960
4920
4880
4840
4801
4761
4721
4681
4641
0,4602
4562
4522
4483
4443
4404
4364
4325
4286
4247
0,4207
4168
4129
4090
4052
4013
h
—0,26
—0,27
—0,28
—0,29
—0,30
—0,31
—0,32
-0,33
—0,34
—0,35
—0,36
—0,37
—0,38
—0,39
—0,40
—0,41
—0,42
—0,43
—0,44
—0,45
—0,46
—0,47
—0,48
—0,49
—0,50
F(h)
0,3974
3936
3897
3859
0,3821
3783
3745
3707
3659
3632
3594
0,3557
3520
3483
0,3446
3409
3372
3335
3300
3261
3228
3192
3156
3121
0,3085
h
—0,51
—0,52
—0,53
—0,54
—0,55
—0,56
—0,57
—0,58
—0,59
—0,60
—0,61
—0,62
—0,63
—0,64
-0,65
—0,65
—0,67
—0,68
—0,69
—0,70
—0,71
—0,72
—0,73
—0,74
—0,75
—0,76
—0,77
F(h)
3050
3015
2981
2946
2912
2877
2843
2810
2776
2743
2709
2676
2643
0,2611
2578
2546
2514
2483
2451
0,2420
2389
2358
0,2327
2297
2266
2236
2206
383

Продолжение П1
/г
—0,78
—0,79
—0,80
—0,81
—0,82
—0,83
—0,84
—0,85
—0,86
—0,87
—0,88
—0,89
—0,90
—0,91
—0,92
—0,93
—0,94
—0,95
—0,96
—0,97
—0,98
—0,99
—1,00
—1,01
-1,02
—1,03
—1,04
—1,05
—1,06
—1,07
—1,08
—1,09
—1,10
—1,11
0
0
0
0
F(b)
2177
2148
,2119
2090
2061
2033
2005
1977
1949
1922
1894
1867
,1841
1814
1788
1762
1735
1711
1685
1650
1635
1611
,1587
1563
1539
1515
1492
1459
1446
1423
1401
1379
,1357
1335
h
—1,12
—1,13
-1,14
—1,15
—1,16
-1,17
—1,18
-1,19
— 1,20
—1,21
-1,22
—1,23
-1,24
— 1,25
—1,26
-1,27
— 1,28
— 1,29
—1,30
—1,31
-1,32
—1,33
— 1,31т
-1,35
—1,35
—1,37
—1,38
—1,39
—1,40
—1,41
-1,42
—1,43
—1,44
—1,45
F(h)
1314
1292
1271
1251
1230
1210
1190
1170
0,1151
1131
1112
1093
0,1075
1056
1038
1020
1003
0985
0,0968
0951
093*
0918
0901
0885
869
0853
0838
0823
0,0808
0793
0778
0761
0749
0735
h
—1,46
—1,47
—1,48
—1,49
1 50
—~ l , UKJ
1 51
1 , U 1
—1,52
—1,53
—1,54
—1,55
—1,56
—1,57
-1,58
—1,59
—1,60
1 }6i
—1,62
—1,63
—1,64
—1,65
—1,65
—1,67
—1,68
— 1,69
—1,70
—1,71
—1,72
—1,73
—1,74
—1,75
—1,76
-1,77
—1,78
-1,79
F(h)
0
0
0
0721
0708
0694
0681
,0668
0655
0643
0630
0618
0606
0594
0582
0571
0559
,0548
0537
0526
0516
0505
0495
0485
0475
0465
0455
,04Ш
0436
0427
0418
0409
0401
0392
0384
0375
0367
384

Продолжение Ш
h
—1,80
—1,81
—1,82
—1,83
—1,84
—1,85
—1,86
—1,87
—1,88
—1,89
—1,90
— 1,91
—1,92
—1,93
—1,94
—1,95
—1,96
-1,97
—1,98
—1,99
—2,00
—2,10
—2,20
—2,30
—2,40
—2,50
—2,60
—2,70
—2,80
—2,90
—3,00
—3,10
—3,20
—3,30
—3,40
F(h)
0,0359
0351
0344
0336
0329
0322
0314
0307
0301
0294
0,0288
0281
0274
0268
0262
0256
0250
0244
0239
0233
0,0228
0179
0139
0107
0082
0062
0047
0035
0026
0019
0,0014
0010
0007
0005
0003
h
—3,50
—3,60
—3,70
—3,80
-3,90
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
F(h)
0,0002
0002
0001
0001
0000
0,5000
5040
5080
5120
5160
5199
5239
5279
5319
5359
0,5398
5438
5478
5517
5557
5596
5636
5675
5714
5753
0,5793
5832
5871
5910
5948
5987
6026
6064
6103
6141
h
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
F{h)
0,6179
6217
6255
6293
6331
6368
6406
6443
6480
6517
0,6554
6591
6628
6664
6700
0,6736
6772
6808
6844
6879
0,6915
6950
6985
7019
7054
7088
7123
7157
7190
7224
0,7257
7291
7324
7357
7389
385

Продолжение Fit
h
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
F(h)
7422
7454
7486
7517
7549
0,7580
7611
7643
7673
7703
7734
7764
0,7794
7823
7852
0,7881
7910
7939
7967
7995
8023
8051
8078
8106
8133
0,8159
8186
8212
8238
8264
8289
8315
8340
8365
8389
h
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
.о
0,8413
8437
8461
8485
8508
8531
8554
8577
8599
8621
0,8643
8665
8686
8708
8729
8749
8770
8790
8810
8830
0,8849
8869
8888
8907
8925
8944
8962
0,8980
8997
9015
0,9032
9049
9066
9082
9099
9115
h
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
F(h)
9131
9147
9162
9177
0,9192
9207
9222
9236
9251
9265
9279
9292
9306
9319
0,9332
9345
9357
9370
9382
9394
9406
9418
9429
9141
0,9452
9463
9474
9484
9495
9505
9515
9525
9535
9545
0,9554
386

Продолжение П1
h
l,7i
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
F(h)
9564
9573
9582
9591
9599
9608
9616
9625
9633
0,9641
9649
0,9656
966 i
9671
9678
9686
9693
h
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
9699
9706
0,9713
9719
9726
9732
9738
9744
9750
9756
9761
9767
0,9772
9821
9861
0,9893
9918
h
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
3,10
3,20
3,30
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,81
F(h)
9938
9953
9965
9974
9981
0,9986
9990
9993
9995
9997
9998
9998
9999
9999
1.0000
Таблица П. 2
ТАБЛИЦЫ МАЛЮГИНА Ю. К. И БУРОВА В. М.
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ КОНТРОЛЯ /гбР и hnp
В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ПРОЦЕДУРЕ
а=0,05; C=0,05; Рт=0,95
п
3
4
5
6
7
8
9
10
11
лбр
^пр
Рт=°,9925
0,4890
0,7042
0,8579
0,9759
1,0706
1,1486
1,2142
1,2703
1,3190
—
—
—
—
—
—
—
16,9427
6,5532
п
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
лбр
1,3316
1,3993
1,4329
1,4630
1,4902
1,5148
1,5373
1,5579
1,5768
1,5943
Лпр
4,9995
4,2905
3,8713
3,5904
3,3874
3,2332
3,1116
3,0131
2,9316
2,8629
п
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1,6104
1,6254
1,6393
1,6524
1,6545
1,6760
1,6867
1,6968
1,7063
1,7153
/*лр
2,8042
2,7534
2,7090
2,6599
2,6351
2,6039
2,5759
2,5505
2,5274
2,5061-
387

Таблица П 2 (продолжение)
п
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
^бр
1,7238
1,7319
1,7395
1,7468
1,7537
1,7603
1,7666
1,7726
1,7783
1,7838
1,7891
1,7941
1,7989
1,8036
1,8080
1,8123
1,8164
1,8204
1,8242
1,8279
1,8315
1,8349
1,8383
2,0507
ЛПр
2,4870
2,4692
2,4527
2,4375
2,4233
2,4101
2,3978
2,3862
2,3754
2,3652
2,3556
2,3466
2,3380
2,3299
2,3222
2,3149
2,3080
2,3014
2,2951
2,289Г
2,283*
2,2779
2,2727
Рт=0,995
0,6320
0,8404
0)9911
1,1070
1 1996
1J757
1,3394
1,3937
1,4406
1,4815
1,5175
1,5496
1,5782
1,6040
1,6273
—
—
10,6971
5,8570
4,6620
4,0764
3,7200
3,4774
3,3006
3,1654
3,0585
п
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
^бр
1,6485
1,6679
1,6856
1,7020
1,7171
1,7311
1,7442
1,7563
1,7676
1,7782
1,7882
1,7975
1,8063
1,8147
1,8225
1,8299
1,8370
1,8437
1,8501
1,8561
1,8619
1,8674
1,8727
1,8777
2,1246
Pq=0,c
1,0061
1,2174
1,3681
1,4819
1,5712
1,6435
1,7032
1,7534
1,7962
1,8333
1,8656
1,8940
1,9193
1,9419
1,9622
1,9805
1,9972
^ир
2,9716
2,8995
2,8387
2,7867
2,7417
2,7023
2,6675
2,6366
2,6089
2,5840
2,5615
2,5410
2,5222
2,5050
2,4892
2,4746
2,4610
2,4484
2,4367
2,4257
2,4154
2,4058
2,3968
2,3882
1
S9
—
—
7,1790
5,0112
4,2404
3,8291
3,5695
3,3895
3,2568
3,1547
3,0736
3,0075
2,9526
2,9062
2,8666
п
20
21
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
3
4
с
0
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
Лор
2,0124
2,0264
2,3889
Рт=о,99
1,1246
1,3398
1,4917
1,6056
1,6944
1,7659
1,8247
1,8739
1,9158
1,9518
1,9832
2,0108
2,0353
2,0571
2,0766
2,5115
^пр
2,8322
2,8021
95
11,5089
5,6589
4,5303
4,0095
3,7033
3,4999
3,3542
3,2445
3,1587
3,0897
3,0330
2,9855
>
Рт-0,9999
1,3531-
1,5777
Т 7ООП
1,7330
1,8477
1,9362
2,0066
2,0641
2,1119
2,1524
2,1870
2,2171
2,7112
—
—
30,4526
6,1111
4,7397
4,1695
3,8496
3,6429
3,4977
3,3898
3,3063
Р"т=0,99995
1,4384
1,6665
—
—
388

п
5
6
7
8
9
10
лбр
1,8233
1,9385
2,0270
2,0972
2,1544
2,2019
^пр
11,2273
5,6677
4,6081
4,1249
3,8434
3,6577
п
11
3
4
5
лбр
2,2419
2,872С
PT=0,9S
1,6148
1,8511
2,0114
Таблица I
3,5256
)
7,4592
п
6
7
8
9
10
1 2 (продолжение)
^бр
2,1279
2,2168
2,2868
2,3436
2,3905
2,9808
Лпр
5,2113
4,4845
4,1125
3,8840
3,728E
а=0,05; р=0,05; Рт =0,975
Рт=0,999
0,9202
1,1440
1,3077
1,4342
1,5353
1,6185
1,6881
1,7474
1,7986
1,8432
1,8825
1,9173
1,9485
1,9765
2,0018
2,0249
2,0459
2,0652
2,0829
2,0993
2,1144
2,1285
2,1417
2,1539
2,1654
2,1761
2,1862
2,1957
8,5722
5,9856
5,0241
4,5002
4,1650
3,9301
3,7556
3,6204
3,5124
3,4240
3,3502
3,2877
3,2340
3,1874
3,1465
3,1103
3,0781
3,0492
3,0231
2,9995
2,9780
2,9583
31
32
33
34
?5
36
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
2,2047
2,2132
2,2212
2,2288
2,2360
2,2429
2,5448
2,9402
2,9235
2,9081
2,8939
2,8806
2,8682
Рт=0,9995
1,0607
1,2891
1,4546
1,5812
1,6818
1,7639
1,8322
1,8901
1,9398
1,9830
2,0209
2,0543
2,0842
2,1109
2,1351
2,1570
2,1769
2,1951
2,2119
2,2273
2,2416
—
—
—
—
—
8,6820
5,9466
4,9856
4,4731
4,1493
3,9244
3,7584
3,6304
3,5286
3,4456
3,3765
3,3181
2,2681
3,2247
3,1868
3,1532
24
25
26
27
28
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3
4
2,2549
2,2672
2,2786
2,2894
2,2994
2,6522
Рт=0,6
1,3204
1,5599
1,7297
1,8574
1,9573
2,0379
2,1043
2,1600
2,2075
2,2485
2,2841
2,3155
2,3434
2,3682
2,3906
2,4107
2,4290
2,8667
3,1234
3,0967
3,0727
3,0509
3,0311
999
—
—
—
7,2601
5,4986
4,7738
4,3671
4,1039
3,9186
3,7806
3,6738
3,5884
3,5186
3,4604
3,4111
3,368^
г
Рт=0,999?5
1,4143
1,6584
—
—
389

Таблица П 2 (продолжение)
п
5
6
7
8
9
10
il
12
13
14
15
16
г
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1,8299
1,9581
2,0580
2,1382
2,2040
2,2591
2,3060
2,3463
2,3813
2,4121
2,4394
2,4637
2,9909
Р7=0,99
I,3250
1,6130
1,8297
2,0010
2,1408
2,2576
2,3569
2,4426
2,5174
2,5833
2,64-18
2,6942
2,7414
2,7841
2,8230
2,8585
2,8912
Лир
11,6013
6,3761
5,1872
4,6235
4,2885
4,0616
3,9038
3,7823
3,6873
3,6107
3,5477
999
—
—
—
—
—
—
—
—
21,2700
10,9257
8,5846
7,4532
6,7682
6,3031
5,964-4
5,7055
5,5008
п
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
к,
Рт=0,9Э999
1,6054
1,8600
2,0354
2,1650
2,261-9
2,3145
2,4096
2,4637
2,5094
2,51-86
2,5826
3,1759
—
—
7,3329
5,5853
4,8755
4,4872
4,2384
4,0650
3,9368
3,8381
п
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Q
О
4
5
6
7
8
9
10
а=0,05; р=0,05; Рт =0,999
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
3-0
31
32
33
34
35
36
37
2,9212
2,9490
2,9748
2,9988
3,0211
3,0420
3,0615
3,0799
3,0972
3,1134
3,1288
3,1433
3,1571
3,1702
3,1825
3,1943
3,2056
3,2162
5,331-4
5,1964
5,0800
4,9803
4,8940
4,8185
4,7519
4,6927
4,6397
4,5919
4,5486
4,5093
4,4733
4,4403
4,4100
4,3819
4,3559
4,3317
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
Рт=0,999°95
1,6806
1,9379
2,1150
2,2451
2,3452
2,4247
2,4895
2,5433
2,5887
2,6276
3.2604
—
18,9158
6,8640
5,4374
4,8228
4,4733
4,2459
4,0856
3,9662
Рт=0,999999
1 ЯЯЯЯ
1,ОООО
2,1038
2,284-3
2,4159
2,5164
2,5959
2,6603
2,7136
3,4895
3,2264
3,2362
3,2455
3,2545
3,2630
3,2712
3,2791
3,2867
3,2940
3,3010
3,3077
3,3142
3,3205
3,3265
3,3324
3,3380
3,3434
_
10,0055
6,2594
5,2629
4,7790
4,4892
4,2951
\
4,3091
4,2881
4,2684
4,2499
4,2325
4,2161
4,2007
4,1861
4,1722
4,1591
4,1467
4,1349
4,1236
4,1129
4,1026
4,0929
4,0835
390

Продолж. Прилож П. 2
п
55
56
57
58
59
60
61
62
^бр
3,3487
3,3538
3,3588
3,3635
3,3682
3,3727
3,3770
3,3813
п
лбр
Лпр
п
#бр
Г|пр
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
4,0746
4,0660
4,0578
4,0499
4,0423
4,0350
4,0280
4,0213
3,6926
Рт=0,999995
1,4398
1,7362
1,9572
2,1306
2,2712
2,3880
2,4869
2,5717
2,6455
2,7103
2,7676
2,8188
2,8648
2,9063
2,9440
2,9784
3,0099
3,0389
3,0656
3,0?04
3,1134
3,1347
3,1547
3,1734
3,1909
21,3911
10,7083
8,4139
7,3185
6,6598
6,2147
5,8918
5,6457
5,4516
5,2942
5,1639
5,0542
4,9604
4,8793
4,8084
4,7459
4,6904
4,6408
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
3,2074
3,2229
3,2375
3,2513
3,2643
3,2767
3,2864
3,2996
3,3102
3,3203
3,3300
3,3392
3,3480
3,3564
3,3645
3,3722
3,3796
3,3868
3,3936
3,4002
3,4065
3,4126
3,4185
3,4242
4,5961
4,5557
4,5190
4,4854
4,4547
4,4263
4,4002
4,3760
4,3535
4,3325
4,3129
4,2946
4,2775
4,2613
4,2461
4,2318
4,2182
4,2054
4,1933
4,1817
4,1708
4,1603
4,1504
4,1409
3,7690
Р т =-0,91 S 999
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1,6683
1,9812
2,2103
2,3873
2,5292
2,6457
2,7434
2,8265
2,8983
2,9609
3,0160
3,0649
3,1086
3,1479
12,5504
8,8998
7,5169
6,7599
6,2749
5,9351
5,6827
5,4873
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3,
з,
з,
з,
,1834
,2157
,2452
,2722
,2971
,3200
,3413
,3610
,3794
,3966
,4126
4277
4419
4552
4677
4796
4908
5015
5116
5,3312
5,2036
5,0972
5,0071
4,9297
4,8626
4,8037
4,7517
4,7053
4,6638
4,6264
4,5925
4,5616
4,5334
4,5075
4,4836
4,4616
4,4412
4,4221
Рт=
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3.
3
3
з,
3,9526
=0,9999999
,9363
,2678
,5055
,6862
,8289
,9449
,0412
,1224
,1920
,2523
,3051
,3516
,3931
,4302
,4636
,4938
,5214
,5465
5696
,5908
6105
6287
34,5321
10,6629
8,2103
7,1469
6,5368.
6,1368-
5,8528-
5,64-00
5,4743-
5,3414
5,2324
5,1414
5,0641
4,9977
4,9400'
4,8893
4,8445
4,8046
4,2041
391

ТОЛЕРАНТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ /С(л, Рт> Y)
Таблица П. 3
/2
2
3
4
о
6
7
8
10
11
12
13
14
15
16
17
18
20
25
30
40
50
60
80
Y=0,90
Рт
0,900
10,25
4.258
3.188
2.744
2.494
2.333
2.219
2.133
2.066
2.012
1.966
1.928
1.895
1.866
1.842
1.819
1.800
1.765
1.702
1.657
1.598
1.560
1.532
1.495
0,950
13,90
5.311
3.957
3.401
3.093
2.893
2.754
2.650
2.568
2.503
2.448
2.403
2.363
2.329
2.299
2.272
2.249
2.208
2.132
2.080
2.010
1.965
1.933
1.890
0,975
15,59
6.244
4.637
3.983
3.621
3.389
3.227
3.106
3.011
2.936
2.872
2.820
2.774
2.735
2.700
2.670
2.643
2.597
2.510
2.450
2.371
2.320
2.284
2.235
0,990
18,50
7.310
5.438
4.668
4.243
3.972
3.783
3.641
3.532
3.444
3.371
3.310
3.257
3.212
3.172
3.137
3.106
3.052
2.952
2.884
2.793
2.735
2.694
2.638
0,999
24,58
9.651
7.129
6.113
5.556
5.201
4.955
4.771
4.628
4.515
4.420
4.341
4.274
4.215
4.164
4.118
4.078
4.009
3.882
3.794
3.679
3.604
3.552
3.482
Y=0,95
0,900
20,58
6.155
4.162
3.413
3.008
2.756
2.582
2.454
2.355
2.275
2.210
2.155
2.108
2.068
2.032
2.002
1.974
1.926
1.838
1.778
1.697
1.646
1.609
1.560
0,950
26,26
7.656
5.144
4.210
3.711
3.401
3.188
3.032
2.911
2.815
2.736
2.670
2.614
2.566
2.523
2.486
2.453
2.396
2.292
2.220
2.126
2.065
2.022
1.965
0,975
31,26
8.986
6.015
4.916
4.332
3.971
3.724
3.543
3.403
3.291
3.201
3.125
3.060
3.005
2.956
2.913
2.875
2.809
2.691
2.608
2.501
2.432
2.384
2.319
0,990
37,09
10.55
7.042
5.749
5.065
4.643
4.355
4.144
3.981
3.852
3.747
3.659
3.585
3.520
3.463
3.414
3.370
3.295
3.158
3.064
2.941
2.863
2.807
2.733
0,999
49.28
13.86
9.214
7.509
6.614
6.064
5.689
5.414
5.204
5.036
4.900
4.787
4.690
4.607
4.534
4.471
4.415
4.319
4.143
4.022
3.866
3.766
3.695
3.601
392

fl
100
300
500
у=0,9С
)
Рт
0,900
1.470
1.386
1.362
1.282
0,950
1.861
1.765
1.736
1.645
0,975
2.203
2.094
2.062
1.960
0,990
2.601
2.477
2.442
2.326
0,999
3,435
3,280
3,235
3,090
Продолж.
прилоф. П. 4
Y=0,95
Рт
0,900
1,527
1,417
1,385
1,282
0,950
1.927
1.800
1.763
1.645
0,975
2.276
2.133
2.092
1.960
0,990
2,684
2,522
2,475
2,326
0,999
3,539
3,335
3,277
3,09а

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М , Физ-
матгиз, 1963, 500 с.
2 Балабух Л И., Колесников К. С. и др. Основы строительной механи-
механики ракет М., «Высшая школа», 1969, 264 с.
3. Барабаш Ю. Л., Барский Б В. Вопросы статистической теории распо-
распознавания М., «Советское радио», 1967, 260 с.
4. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности М, «Со-
«Советское радио», 1969, 482 с
5 Беляев Ю К. Новые результаты и обобщения задач типа пересече-
пересечений — В кн . Г. Крамера и М. Литбепера. Стационарные случайные про-
процессы М, «Мир», 1969, с. 341—388.
6 Беляев Ю. К. Доверительные интервалы для функций многих неиз-
неизвестных параметров М., Изд-во АН СССР, т. 169, 1966, с. 7155—759
7 Березиков В. В., Буров М А. и др Конструкция управляемых балли-
баллистических ракет М., Воениздат, 1969, 449 с.
8. Березин И. С, Жидков Н. П Методы вычислений. М, Физматгиз,
1962, 368 с.
9 Бердичевский Б. Е. Оценка надежности аппаратуры автоматики. М.,
«Машиностроение», 1966, 276 с.
10 Блинов И. Н., Гаскаров Д. В., Мозгалевский А. В Автоматический
контроль систем управления. М., «Энергия», 1968, 152 с.
11 Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. М.,
Оройиздат, 1965, 255 с.
12 Большое Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы для вычислений функций
двухмерного нормального распределения. М., Изд-во АН СССР, 1962, 282 с.
13 Большое Л. Н., Логинов Э. А. Интервальные оценки при наличии ме-
мешающих параметров.
«Теория вероятностей и ее применение», т 1, вып. 19, 1966, с. 94—107.
14. Болотин В В. Применение методов теории вероятностей и теории
надежности в расчетах сооружений. М., Стройиздат, 1971, 254 с.
15. Буш Р., Мостеллер Ф. Стохастические модели обучаемости. М., Физ-
Физматгиз, 1962, 346 с.
16 Ван дер Ванден Б. Л. Математическая статистика. М., ИЛ, 1960,
434 с.
17. Варфоломеев В. И. и др. Проектирование и испытания баллистических
ракет. М., Воениздат, 1970, 391 с.
18 Вайнштейн Л. А., Зубков В. Д. Выделение сигнала на фоне случай-
случайных помех. М,. «Советское радио», 1966, 188 с.
19. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М., «Наука», 1962, 576 с.
20. Васильев Б. В., Козлов Б. А., Ткаченко Л. Г. Надежность и эффек-
эффективность радиоэлектронных устройств. М., «Советское радио», 1964, 368 с.
21. Волков Е. Б., Головков Л. Г., Сырицын Т. А. Жидкостные ракетные
двигатели, М., Воениздат, 1970, 590 с.
22. Вулих Б. 3. Введение в функциональный анализ. М., «Наука», 1967,
415 с.
394

23. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы
в теории надежности. М., «Наука», 1965, 524 с.
24 Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., Физматгиз, 1961, 406 с.
25. Гольденблат И. И., Копнов В. А. Критерии прочности и пластичности
конструкционных материалов. М., «Машиностроение», 1968, 191 с.
26. Григорьев А. И. Твердые ракетные топлива. М., «Химия», 1969, 114 с.
27. Гуров А. Ф. Расчеты на прочность и колебания в ракетных двигате-
двигателях М., «Машиностроение», 1966, 456 с.
28. Гутер Р. С, Овчинский Б. В. Элементы численного анализа и мате-
математической обработки результатов опыта. М., Физматгиз, 1962, 192 с.
29. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной техники. М»
Физматгиз, 1960, 368 с.
30. Денискин Ю. Д., Некрасова И. Ф. Применение метода моделирования
для решения задач теплопроводности в электронных приборах. М., «Энергия»,.
1969, 87 с
31. Дмитриевский А. А. Внешняя баллистика. М., «Машиностроение»,.
1972, 589 с.
32. Добровольский М. В. Жидкостные ракетные двигатели М, «Машино-
«Машиностроение», 1968, 396 с.
33 Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В. Теория вероятностей и мате-
математическая статистика в технике М., Гостехиздат, 1955, 511 с.
34. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М., ИЛ, 1956, 605 с.
35. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М, «Наука»,.
1971, 327 с.
36 Ефимов В. М. Квантование во времени при измерении и контроле
М, «Энергия», 1969, 198 с.
37. Журков С. Н., Нарзулаев Б. Н. Временная зависимость твердых тел —
ЖТФ, т. 23, 1953, с. 18—20'.
38. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М., «Мир», 1971„
536 с.
39 Касаткин А. С, Кузмин И. В. Оценка эффективности автоматизирован-
автоматизированных систем контроля, М, «Энергия», 1967, 80 с.
40. Кездалл М, Стьюард А. Теория распределений М, «Наука», 1966.
382 с.
41. Колмогоров А. Н. Несмещенные оценки. — Известия АН СССР. Сер>
мат. Т. 14, 1950, с. 303—326
42. Колмогоров А. Н. О представлении непрерывных функций нескольких
переменных суперпозиций непрерывных функций меньшего числа перемен-
переменных. — Известия АН СССР. Т. 108, 1965, с. 179—182.
43. Клюгер П. Предвычисление надежности конструкции очень больших
ракетных двигателей на твердом топливе — ВРТ, 1965, № 1, с 25—36.
44 Кордонский X. Б Испытания контрольных агрегатов «Стандартиза-
«Стандартизация», 1958, JNIb 2, с 30—38.
45 Крамер Г. Математические методы статистики. М, ИЛ, 1948, 631 с
46. Крамер Г., Литбеттер М. Стандартные случайные процессы М, «Мир»,.
1969. 358 с
47. Крокко Л., Чжень-Синь-И. Теория неустойчиности горения в жид-
жидкостных ракетных двигателях. М., ИЛ, 1961, 278 с.
48 Кузьмин Ф. И. Задачи и методы оптимизации показателей надежно-
надежности. М , «Советское радио», 1972, 268 с.
49. Кульбак С. Теория информации и статистика, М, «Наука», 1967V
408 с.
50. Ланге О Оптимальные решечия М, «Прогресс», 1967, 398 с.
51. Леман Э Проверка статистических гипотиз, М., «Наука», 1964, 402 с.
52 Левин Б В. Теоретические основы статистической радиотехники. Мг
«Советское радио», 1968, 324 с.
53. Ллойд М., Липов Д. Надежность. М, «Советское радио», 1964, 686 с.
54. Логинов Э. А., Челькис Ф. Ю. Расчет характеристик надежности си-
систем контроля работоспособности. — «Измерительная техника». 1969;, № 9».
с. 12—17
395

55. Махин В. А., Присняков В. Ф., Велик Н. П. Динамика жидкостных
ракетных двигателей, М., «Машиностроение», 1969, 384 с.
56. Марков А. А. Исчисление вероятностей. М., Гостехиздат, 1964, 287 с.
57. Москвитин В. В. Сопротивление вязко-упругих материалов. М., «Нау-
«Наука», 1972, 327 с.
68. Мошкин Е. К. Нестационарные режимы работы ЖРД. М., «Машино-
«Машиностроение», 1970, 336 с.
59 Надежность многодвигательной силовой ракетной установки. —
ВРТ, 1962, № 1, с. 47—58.
60. Надежность. Термины, ГОСТ 13377—67.
61. Орлов Б. В., Мазинг Г. Ю. Термодинамические и баллистические ос-
основы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе. М., «Маши-
«Машиностроение», 1964, 406 с.
62 Ордынцев В. М., Математическое описание объектов автоматизации.
М., «Машиностроение», 1965, 218 с.
63 Оуэн Д. Б. Сборник статистических таблиц. М, ВЦ, АН СССР, 1964,
566 с.
64 Павлов Б. В. Кибернетические методы технического диагноза. М.,
«Машиностроение», 1966, 150 с.
65 Пересада В. П. Автоматическое распознавание образов. М., «Энергия»,
1970, 90 с.
66 Половко А. М. Основы теории надежности, М., «Наука», 1964, 446 с.
67. Попов П. И., Терентьев В. Г. Надежность систем автоматики. М.,
«Высшая школа», 1966, 68 с.
68. Применение однокамерных и многокамерных ЖРД на первых ступе-
ступенях ракет — ВРТ, 1961, № 9, с. 61—79.
69 Рао С. Р Линейные статистические методы и их применение. М., «Нау-
«Наука», 1969, 547 с.
70 Ржаницын А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств
материалов М , Стройиздат, 1954, 212 с.
71. Романенко А. Ф., Сергеев Г. А. Вопросы прикладного анализа про-
процессов М , «Советское радио», 1968, 285 с.
72 Сапожников П. Нм Лумельский Я. П. Несмещенные оценки для плот*
яостей распределения —«Теория вероятностей и ее применение», 1968, № 2,
с 73—60
73. Свешников А. А. Прикладные методы случайных функций. М., Суд-
промгиз, 1961, 202 с.
74. Смирнов Н. В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.,
«Наука», 1970, 288 с.
75. Смолицкий X. Л., Чупреев Л. И. Ободной количественной характери-
характеристике надежности. — «Радиотехника», 1960, № 8, с. 27—48.
76 Сорокин Р. Е. Газотермодинамика ракетных двигателей на твердом
юпливе М , «Наука», 1967, 368 с.
77. Сотсков Б. С. Основы теории и расчета надежности элементов и
устройств автоматики и вычислительной техники. М., «Высшая школа», 1870,
270 с.
78. Судаков Р. С, Чеканов А. Н. К вопросу о вычислении многомерных
нормальных интегралов в задачах надежности. — «Техническая кибернетика»,
1972, № 1, с. 40-42.
79. Судаков Р. С, Чеканов А. Н. Многомерные модели типа «нагрузка —
прочность» в задачах надежности. — «Стандарты и качество», 1972, № 1,
с. 47—55.
80. Судаков Р. С, Чеканов А. Н. К вопросу о вычислении запаса проч-
прочности уникальных машиностроительных конструкций. — «Известия ВУЗов»,
Сер. «Машиностроение», 1971, № 5, с. 40—46.
/81. Уилкс С Математическая статистика. М., «Наука», 1967, 632 с.
82 Феллер В. Введение в теорию вероятностей. Т. I, II, М, «Мир», 1967,
498 с, 752 с.
83. Феодосьев В. И. Прочность теплонапряженных узлов ЖРД. М., Обо-
ронгиз, 1963, 252 с.
396

84 Харкевич А. А. Очерки общей теории связи М., Физматгиз, 1955, 278 с.
85 Хельстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. М , ИЛ.
1964, 380 с.
86. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями.
М, ИЛ, 1956, 464.
87. Хингин А. Я- Работы по математической теории массового обслужива-
обслуживания М , Физматгиз, 1963, 235 с.
88. Чернов Г., Мозес Л. Элементарная теория статистических решений.
М , «Советское радио», 1962, 292 с.
89. Шапиро Я. М. и др. Теория ракетного двигателя на твердом топливе.
М., Воениздат, 1966, 256 с.
90. Шишинок Н. А., Репкин В. Ф., Барвинский А. А. Основы теории на-
надежности радиоэлектронной техники, М., «Советское радио», 1964, 392 с.
91. Шор Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и на-
надежности М, «Советское радио», 1962, 552 с.
92. Янке Е и др. Специальные функции. М, «Наука», 1968, с 344.
93. Яглом А. М. Введение в теорию стационарных случайных функций.—
УМН 7, № 5, 1952, с. 3—168.
94. Boas J. A note on the estimation of the covariance betwen two random
variables using extrainformation on the separate variables. «Statist, neerl.»,
1967, 21, No. 3—4.
95. Davidson Roger R. On a relationship between two representations of a
model for paired comparisons. «Biometrics», 1969, 25, No. 3.
96. Dawson D. A.,Sankoff D. An inequality for piobabilities. «Proc. Amer.
Math. Soc», 1967, 18, No. 3.
97. Doston W. G., J. Decomposability of positive functions on Rn. «Amer.
Math. Monthly», 1968, 75, No. 4.
98. Kabe D. G. Some distribution problems of order statistics from expo-
exponential and power. «Canad. Math. Bull», 1968, 11, No. 2.
99. Marshall Albert W., Olkin Ingram. A multivariate exponential distribu-
distribution. «J. Amer. Statist. Assoc», 1967, 62, No. 317.
100 Marshall Albert W., Olkin Ingram. A generalised bivariate exponential
distribution «J. Appl. Probabil.», 1957, 4, No. 2.
101. Popescu Octavian. Asupra unei inegalitati de tip Kolmogorov. «Study
si cercetari mat. Acad. RSR», 1969, 21, No. 7.
102. Resnikoff G. J. and Lieberman G. J. Tables of the Non-Central t-Dis-
tribution, Stanford, California, Stanford University Press, 1967.
103. Sarkadi K. Some remarks on the estimation of fraction defective and
reliability in the case of normal distribution. «Studies Math. Statist». Budapest,
Akad. Kiado, 1968.
104. Tables of the Binomial Probability Distribution. National Bureau of
Standards. Applied Mathematies Series 6, Washington. 19501.
105. Thoman D. R., Bain L. J., Antle С. Е. Inferences on the Parameters
of the Weibull Distribution. «Technometrics», 1969, 11, No. 3.
106. Rosenblatt-Roth Millu. Approximatings in information theory.
«Proc. 5th Berkley Sympos. Math. Statist, and Probabil», 1965—1966. Vol. 1.
Berkley-- Los Angeles, 1967, p. 545—564.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Раздел I
Основы теории надежности невосстанавливаемых систем 5>
Глава I. Исходные понятия теории вероятностей и математической ста-
статистики 5
1 1. Исходные понятия теории вероятностей 5
1 2. Исходные понятия математической статистики 41
Глава II Надежность невосстанавливаемых систем на этапе проектиро-
проектирования , . 61
2. 1. Физические модели функционирования систем 61
2 2. Показатели надежности элемента системы 69*
2 3. Метод непревышенин 80
Глава III. Надежность невосстанавливаемых систем на этапе отработки и
серийного производства 108
3. 1. Ресурсные испытания и задачи подтверждения требований к
надежности # 110
3. 2. Натурные испытания и задачи учета предварительной инфор-
информации 117
3 3. Комплектация партии изделий при выборочном контроле в ус-
условиях серинного производства 124
3. 4. Доверительные интервалы для показателя надежности после-
последовательных систем 13 V
3. 5. Учет предварительной информации при отличающихся усло-
условиях проведения испмтани"! Модели испытаний с доработ-
доработками 145
3 6. Подтверждение требований к показателю надежности при
проведении испытании 152
Раздел 2
Надежность ракетных двигателей 162
Глава IV. Задачи оценки и показатели надежности ракетных двигателей 162
4 1 Общие вопросы надежности ракетных двигателей 162
4 2 Показатели надежности ракетных двигателей 167
Глава V. Некоторые задачи расчета показателей надежности элементов
ракетных двигателей 173
5 1. Показатели надежности элементов ЖРД 173
5 2 Показатели надежности элементов РДТТ 193
5 3. Некоторые задачи статистического проектирования ракетных
двигателей 223
398

Стр.
Раздел 3
Методы прогнозирования и повышения надежности двигателей .... 230
Глава VI. Аварийные состояния двигателей и методы их контроля . . . 230
б 1. Характеристики аварийных состояний 230
б 2 Прогнозирование состояний 237
б. 3. Моделирование аварийных состояний 247
6 4 Контрольные параметры 261
6. 5. Распознавание аварийных состояний . 271
Глава VII. Автоматические системы контроля работоспособности . . . 290
7. 1. Методы контроля и классификация систем B90
7.2 Соотношения для двумерных плотностей распределений . . 296
7.3. Ошибки системы контроля 299
7 4. .Методы уменьшения ошибок контроля . . 307
7 5 Настройка датчиков системы контроля 313
7. 6. Взаимодействие систем контроля и объекта 316
7 7. Эффективность применения системы аварийной защиты в со-
составе автономного двигателя 332
Глава VIII Резервирование как метод повышения надежности двига-
двигателей 337
8. 1. Методы резервирования 337
8. 2 Резервирование мощных двигательных установок 351
8 3 Вероятностная модель резервированной системы 356
8. 4 Влияние параметров резервирования на вероятность исправ-
исправной работы объекта защиты 368
8 5 Эффективность резервирования 379
Приложение 383
Список литературы 393

Евгений Борисович Волков, Ростислав Сергеевич Судаков,
Тимофей Александрович Сырицын
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Редактор издательства //. А. Педченец Художник Е. В. Бекетов
Технический редактор В. И. Орешкина Корректор Е. П. Каргаух
Сдано в набор 12/11 1974 г. Подписано в печать 11/VI 1974 г. Т-11907
Формат 60X90'/i6 Бумага V* 1
Печ. л 25,0 Уч -изд. л 23,5 Тираж 3200 экз Цена 1 р. 49 к. Изд. зак. 3^71
Издательство «Машиностроение», 107885, Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3.
Московская типография № 8 «Союзполиграфпрома»
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Хохловский пер., 7. Тип. зак. 312

Замеченные опечатки
Стра-
Страница
10
22
25
31
о9
40
40
42
47
53
53
54
54
58
59
63
73
Строка
Формула A. 16)
Формула A. 62)
Формула A. 76)
9 сверху
11 сверху
15 сверху
12 снизу
4 сверху
Формула A. 144)
12 снизу
5 снизу
13 сверху
15 сверху
Формула A. 168)
Формула A. 171)
13 сверху
16 сверху
Напечатано
(л»1
4f4 / d2<p(*) \
jbJi \ dtidt] ]
случае (TV— 1)
Т(п*)Рт
k
F(mo)U
i =1
при / = 1, N
при i = 1, N —
44P{|1— е|<е}-1<?,
ziZi\E
п \
log —* 1===
у' = A — Y)/2
р;<р4фр>р;
рт<р4ф
1 —а < а <
= /г(дгпр0', л),
Из
при if]v r= ti.j = ... =
Должно быть
MU,]-и
^^^ \ dt[dtj ;
случае (ЛГ = 2)
Г(л*)Рт
Г(то)П1
при t = 1, N
при / = 1, N, а 5; —
4=Цр{[-6_б] <e}~l| <«i
Iog-r)p=P=
Y' = l-(l-Y)/2
р;< рффр>р;
рТ>р4*
1 —а <
= Z7 (лгпр» ^» л),
И
при 7]V = PE)/PCV);^ =
= Р(В)/РA/ПЯУ); ...;
Ч2,...,лго-1 =
однозначно выход

Продолжен*
&з
н Я
U s
75
84
95
129
135
138
143
146
150
165
169
177
181
184
187
189
257
Строка
Формула B. 44)
Формула B.61)
5 снизу
11 сверху
Формула C.20)
Формула C. 24)
1 сверху
16 сверху
12 сверху
11 снизу
21 снизу
1 сверху
17 сверху
7 снизу
1 сверху
19 снизу
13 сверху
Напечатано
...+(-1)^
F(h ) '
1
2яA —q22) eXP X
9 о
/ ^ 4- hn— h\h<)Q\2\
I 1 2 /
CC+/')]
X
^ AC)
X («/.) =
Pi e @, p,)
Pl2 =
__Al-c(n-X)
ракетной
где Р7
г е [0, 8]
(...)
V*** /
П («2y > 0)
7-1
Массовые
форсунок
Должно быть
...+(-1)*
Z7 (A)
~~~ Т7 (Ао)'
1
2яA — Q2 I/2 еХРХ
1 *м "Ь ^2—2Л]/^2Q12 1
4 ' 1 1
[ 2A —Ql2) J
in л,
^^1 (/г + I)"
(а: + 1)Х(^) =
Pi е [0, 1]
/?12 =
ракетой
JVp = iVp(...)
где /7.
^ е [0, 5)
(...)
Х2( )
N2
П Р(«2у>0)
/-1
Весовые
форсунках
Зак. 312