Федеральное агентство по образованию
Сибирский государственный аэрокосмический университет
имени академика М. Ф. Решетнева
Московский авиационный институт
(государственный технический университет)
ИСПЫТАНИЕ
И ОБЕСПЕЧЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ
РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности «Ракетные двигатели»
направления подготовки «Двигатели летательных аппаратов»
Красноярск 2006
УДК 629.7.036.620 (075.8)
ББК 34.41 +39.55
И 88
Авторы:
А. И. Коломейцев, М. В. Краев, В. П. Назаров,
В. В. Черваков, В. Г. Яцуненко
Рецензенты:
кафедра ракетных двигателей
Московского государственного технического университета
имени Н. Э. Баумана;
академик Российской академии наук Б. С. Каторгин
Испытание и обеспечение надежности : учеб. / А. И. Коломейцев,
И 88 М. В. Краев, В. П. Назаров и др. ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т ; Моск,
авиац. ин-т. - Красноярск, 2006. - 336 с.
ISBN 5-86433-253-4
Изложены основные положения методики испытания ракетных
двигателей как на основе повышения надежности в целом, так и в
процессе проектирования отдельных узлов. Вопросы испытания и на-
дежности представлены с учетом резервирования отдельных узлов,
что обеспечивает заданную степень надежности. Теоретический мате-
риал подкреплен примерами и задачами, что позволяет приобрести
практические навыки в решении прикладных задач и может быть
широко использовано при курсовом и дипломном проектировании.
Учебник предназначен для студентов вузов, обучающихся по
специальности 160302 «Ракетные двигатели» направления подготовки
«Двигатели летательных аппаратов».
УДК 629.7.036.620 (075.8)
ББК 34.41+39.55
ISBN 5-86433-253-4
© Сибирский государственный
аэрокосмический университет
имени академика М. Ф. Решетнева, 2006
© Московский авиационный институт
(государственный технический
университет), 2006
© Коллектив авторов, 2006
Оглавление
( III К ОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СОКРАЩЕНИЙ........................................5
11Г1Д1К .11ОВИЕ ..........................................................6
ВВЕДЕНИЕ................................................................8
/ 'll1НА ПЕРВАЯ
О1.1ЦИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИСПЫТАНИЯХ РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ ................... 14
1.1.	Роль и место испытаний в комплексе работ
по созданию ракетных двигателей......................................14
1.2.	Ракетный двигатель как объект испытаний.........................17
1.3.	Классификация испытаний.........................................19
Контрольные вопросы и задания........................................26
I 'ЛАНА ВТОРАЯ
Введение в теорию надежности...........................................27
2.1.	Краткие сведения по теории вероятностей.........................27
2.2.	Законы распределения случайных величин..........................38
2.3.	Системы случайных величин.......................................44
2.4.	Проверка статистических гипотез.................................53
2.5.	Термины и определения в теории надежности.......................64
2.6.	Требования к надежности изделий.................................77
Задания для самостоятельной работы...................................79
Контрольные вопросы и задания........................................90
1'ЛАНА ТРЕТЬЯ
Основы организации испытаний...........................................91
3.1.	Общие положения.................................................91
3.2.	Метрологические характеристики. Оценка погрешностей.............93
3.3.	Оценка надежности по результатам испытаний.....................106
3.4.	Методы планирования испытаний..................................109
Контрольные вопросы.................................................113
Глава четвертая
Обработка результатов испытаний.......................................115
4.1.	Методы обработки результатов испытаний.........................115
4.2.	Статистические оценки параметров...............................118
4.3.	Функция распределения по результатам испытаний.................123
4.4.	Интервальное оценивание генеральных характеристик..............132
Контрольные вопросы.................................................138
/ ’лава пятая
Определительные испытания.............................................139
5.1.	Общие положения................................................139
5.2.	Планирование определительных испытаний.........................141
5.3.	Оценка показателей безотказности на основе параметрических методов.146
5.4.	Оценка показателей безотказности непараметрическими методами...151
Контрольные вопросы и задания...........................................153
I ’ЛАВА ШЕСТАЯ
Конт рольные испытания................................................156
6.1.	Контрольные испытания методом однократной выборки..................157
6.2.	Планирование контрольных испытаний методом однократной выборки.....165
3
6.3.	Контрольные испытания методом последовательного анализа......180
6.4.	Планирование контрольных испытаний
методом последовательного анализа.................................185
6.5.	Метод усеченной последовательности...........................195
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ.....................................198
Глава седьмая
Ускоренные испытания на надежность..................................199
7.1.	Показатели и виды ускоренных испытаний.......................199
7.2.	Построение базовой зависимости и выбор режима испытаний......210
7.3.	Планирование испытаний и обработка их результатов............214
Контрольные вопросы...............................................219
Глава восьмая
Надежность невосстанавливаемых элементов............................220
8.1.	Надежность элементов в период приработки...................  221
8.2.	Надежность элементов в период нормальной эксплуатации........222
8.3.	Надежность элементов в период постепенных отказов............226
8.4.	Оценка предельного состояния.................................232
8.5.	Вероятность безотказной работы по заданному критерию.........236
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ и задания.........................................243
Глава девятая
Надежность невосстанавливаемых систем...................................244
9.1.	Понятие о системах в теории надежности...................... 244
9.2.	Расчет надежности основной системы...........................248
9.3.	Надежность систем с резервированием..........................252
Задания для самостоятельной работы................................263
Контрольные вопросы и задания.....................................267
Глава десятая
Надежность ракетных двигателей....................................  269
10.1.	Ракетный двигатель как объект оценки надежности.................269
10.2.	Обоснование количественных требований к надежности двигателя.......275
10.3.	Оценка и обеспечение надежности на различных этапах
создания ракетного двигателя......................................276
10.4.	Расчет характеристик надежности по схеме «нагрузка - прочность».290
10.5.	Расчет надежности по критериям прочности....................293
10.6.	Расчет параметрической надежности двигателя.................298
10.7.	Расчет надежности двигателя как последовательной системы....301
Контрольные вопросы и задания.....................................305
Глава одиннадцатая
Прогнозирование и методы повышения надежности.......................306
11.1.	Состояние двигателя и задачи контроля.......................306
11.2.	Неисправности и аварийные состояния двигателей..............312
11.3.	Методы прогнозирования надежности двигателя.................314
11.4.	Техническое и технологическое обеспечение надежности........319
Контрольные вопросы и задания.....................................324
Заключение..........................................................325
Библиографический список............................................328
Приложение..........................................................329
Список ИСПОЛЬЗУЕМЫХ СОКРАЩЕНИЙ
ВБР	вероятность безотказной работы
ДУ	двигательная установка
ДИ	доводочные испытания
ЖРД	жидкостный ракетный двигатель
ЗДИ	завершающие доводочные испытания
КА	космический аппарат
КВИ	контрольно-выборочные испытания
КТИ	контрольно-технологические испытания
МВИ	межведомственные испытания
НТД	научно-техническая документация
ОИ	огневые испытания
РД	ракетный двигатель
РКТ	ракетно-космическая техника
PH	ракета-носитель
СПИ	специальные периодические испытания
ТЗ	техническое задание
ТНА	турбонасосный агрегат
ТО	технический объект
ТУ	технические условия
Посвящается 75-летию Московского авиационного института
(государственного технического университета)
и 45-летию Сибирского государственного аэрокосмического
университета имени академика М. Ф. Решетнева
Предисловие
Разработка и создание современных ракетных двигателей (РД) базиру-
ется на результатах испытаний, которые должны обеспечить высокую сте-
пень надежности двигательной установки, что в значительной мере опреде-
ляет тактико-технические параметры и надежность летательного аппарата
(ЛА) в целом. На основании прогноза поведения системы с помощью мето-
дов теории надежности разрабатываются оптимальные конструктивные ре-
шения, обеспечивающие заданный уровень надежности. Испытания стано-
вятся все более важной частью работы, которую необходимо учитывать при
создании ракет-носителей и, тем более, космических аппаратов.
Более чем полувековой опыт отечественной высшей школы в подготовке
специалистов в области конструирования, производства и испытания ракет-
ных двигателей показывает рациональность построения профилирующей час-
ти учебного плана, включающего в качестве основополагающей дисциплину
«Испытание и обеспечение надежности ракетных двигателей», что закреплено
в соответствующих образовательных стандартах последнего поколения.
Целью преподавания этой дисциплины является формирование у сту-
дентов-двигателистов целостного, научно обоснованного представления о
формировании испытаний и их эффективной реализации при создании на-
дежных ракетных двигателей. Для этого они должны изучить основы орга-
низации испытаний, необходимые для достижения их высокой степени на-
дежности на основе обеспечения предельно возможных параметров и ха-
рактеристик ракетных двигателей, вне зависимости от конкретного типа ис-
точника энергии, за счет широкого использования в этом процессе матема-
тического аппарата теории надежности.
Издание данного учебника связано с необходимостью интенсификации
учебного процесса и унификации содержания базовых дисциплин, к кото-
рым можно отнести и дисциплину «Испытание и обеспечение надежности
ракетных двигателей». Книга представляет собой результат решения совре-
менной учебно-методической задачи с использованием опыта, накопленно-
го в Московском авиационном институте (государственном техническом
университете) (МАИ) и Сибирском государственном аэрокосмическом уни-
верситете имени академика М. Ф. Решетнева (СибГАУ).
Характер изложения материала в учебнике предполагает, что студенты
уже знакомы с вопросами, рассматриваемыми в курсах по основам теории
РД (термодинамики, газовой динамики, гидравлики, теплопередачи), тео-
рии лопаточных машин, конструкции и технологии производства, автома-
тики и регулирования жидкостных ракетных двигателей, изучение которых
в вузах обычно предшествует чтению курса «Испытание и обеспечение на-
дежности ракетных двигателей».
При написании учебника были использованы отечественные и зарубеж-
ные источники. Его материал представлен в комплексной форме, с примера-
ми и задачами, что позволяет, наряду с изучением основ теории надежности,
6
приобрести навыки в решении прикладных задач по теории и расчету надеж-
ности установок отдельных групп. Большинство задач и примеров расчета
составлены авторами и не связаны с какой-либо конкретной энергодвига-
 ельной установкой. В каждой главе приведены краткие сведения о понятиях
и математическом аппарате теории надежности, необходимых для решения
задач, даны примеры решения типовых задач, а также контрольные вопросы
для закрепления изученного материала. Наиболее важные главы снабжены
заданиями с решением сложных задач. Конечно, эти задачи могут отличаться
оз реальных задач, с которыми приходится сталкиваться в практической дея-
тельности ученым и инженерам. Однако если студент научится находить
правильные подходы к учебным задачам, то он сможет решать и проблемы
повседневной инженерной работы. Имеется также ряд задач и примеров из
других областей техники, что показывает универсальность методов теории
надежности при расчете элементов и систем энергодвигательных установок.
Следуя традициям преподавания дисциплины «Испытание и обеспечение
надежности ракетных двигателей» на кафедрах ракетных двигателей МАИ и
двигателей летательных аппаратов СибГАУ, отраженным в ряде выпущенных
ранее учебных пособий, авторы отдавали предпочтение таким формам пред-
ставления материала, которые дают ясную физическую интерпретацию
имеющихся данных. В связи с ограниченным объемом книги часть материала
представлена в сжатом виде, в частности это касается сведений по основам
теории вероятности. А тем студентам, кто хотел бы более подробно ознако-
мится с этими вопросами, авторы рекомендуют обратиться к изданиям, пред-
ставленным в библиографическом списке, помещенном в конце учебника.
Учебник, помимо своего прямого предназначения — изучения дисцип-
лины «Испытание и обеспечение надежности ракетных двигателей», может
быть использован и при преподавании и изучении аналогичных по целям
курсов, но меньшего объема. Книга также будет полезна и инженерно-
техническим работникам предприятий, занимающихся разработкой, произ-
водством, эксплуатацией и испытаниями ракетной техники.
Над учебником работал коллектив авторов, каждый из которых внес
свой вклад в ее написание и последующее обсуждение. Предисловие, главы
пятая и шестая написаны М. В. Краевым, главы первая и четвертая — совме-
стно В. Г. Яцуненко и В. П. Назаровым, главы вторая, седьмая и восьмая -
В. Г. Яцуненко, глава девятая - В. П. Назаровым. Над изложением глав
третьей и десятой работали А. И. Коломейцев и В. Г. Яцуненко, главы
одиннадцатой - В. В. Черваков и М. В. Краев.
В заключение авторы хотели бы выразить признательность рецензен-
там: академику Российской академии наук Б. И. Каторгину, кафедре ракет-
ных двигателей Московского государственного технического университета
имени Н. Э. Баумана и ее заведующему Д. А. Ягодникову за ценные заме-
чания по рукописи и поддержку в издании книги.
Все замечания и предложения по учебнику просим присылать по адре-
сам: 660014, г. Красноярск, проспект имени газеты «Красноярский рабо-
чий», 31, Сибирский государственный аэрокосмический университет имени
академика М. Ф. Решетнева, кафедра двигателей летательных аппаратов;
125080, ГСП, г. Москва, Волоколамское шоссе, 4, Московский авиацион-
ный институт (государственный технический университет), факультет дви-
гателей летательных аппаратов.
Введение
Проблема надежности относится к числу основных на современном
этапе развития техники. Она возникает везде, где необходимы высокая эф-
фективность работы технических систем, гарантированные сроки службы и
безопасность. К таким системам в первую очередь относятся различные
объекты космической и ракетной техники, энергетики, электронной и вы-
числительной техники и др.
По мере развития научно-технического прогресса задача повышения
технического уровня и качества продукции, ее надежности и долговечности
приобретает все большую значимость. В связи с усложнением техники,
расширением областей ее использования, повышением уровня автоматиза-
ции, увеличением нагрузок и скоростей роль вопросов надежности непре-
рывно растет, и их решение становится одним из основных факторов по-
вышения эффективности техники, экономии материальных, трудовых и
энергетических ресурсов, повышения конкурентоспособности выпускаемой
продукции. Вопросы надежности необходимо решать на всех стадиях жиз-
ненного цикла изделия: научных исследований, проектирования, изготов-
ления, эксплуатации.
Надежность конструкции в широком смысле слова должна заклады-
ваться конструкторами при проектировании, технологами - при разработке
технологии - и обеспечиваться при производстве.
Стадия научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ
является основным этапом отработки изделий. На данном этапе должно
обеспечиваться и подтверждаться соответствие достигнутого уровня на-
дежности разрабатываемого или модернизированного изделия норматив-
ным требованиям. На этом же этапе выявляются все основные слабые эле-
менты конструкции, устанавливаются отдельные причины отказов. А про-
водимые в этот период мероприятия по повышению надежности должны
быть взаимосвязанными как с технологией изготовления, так и со страте-
гией технического обслуживания и ремонта техники.
Надежность - одна из характеристик качества. Однако в инженерной
практике при проектировании и планировании производства расчеты на на-
дежность производят не во всех случаях. Такое положение объясняется
сложностью математического аппарата теории надежности, отсутствием
достаточно простых и удобных схем и методик расчета, трудностью и
большим объемом вычислений, ограниченностью статистических и экспе-
риментальных данных.
Уровень надежности изделий закладывается на стадии их проектиро-
вания за счет применения соответствующей элементной базы и совершен-
ных конструкторских решений. На этой стадии возможен расчет ожидаемой
надежности будущего изделия, основанный на статистических данных о
надежности элементов выбранной конструкции изделия. Очевидно, что
8
достоверность результатов этого расчета зависит от полноты принятых ис-
ходных данных, уровня освоенных проектировщиком изделия математиче-
ских методов расчета и других факторов, накладывающих ограничения на
полученные результаты. И, наконец, влияние человеческого фактора при
соблюдении технологических режимов при производстве изделий является
своего рода дестабилизирующим моментом, способным снизить надеж-
ность продукции по сравнению с расчетным уровнем.
Многие задачи, связанные с надежностью технических систем, такие
как выбор оптимальной конструкции, планирование объемов испытаний на
этапе экспериментальной отработки и серийного производства, моделиро-
вание процесса отработки, назначение рационального срока технического
обслуживания и др., тесно связаны с вопросами теории вероятностей и ма-
тематической статистики. Как бы мы ни стремились к сохранению условий
постоянства в составе исходных материалов и в процессе производства и к
неизменности технологии изготовления, неизбежные колебания этих со-
ставляющих приводят к существенному случайному разбросу параметров
изделия, определяющих его свойства.
Современные конструкции состоят из большого количества различных
элементов. Если выход из строя (отказ) одного элемента приводит к отказу
всей конструкции в целом, то очевидно, что возможность безотказной экс-
плуатации будет резко уменьшаться с усложнением конструкции. В связи с
этим возрастает роль прогнозирования надежности проектируемых конст-
рукций, разработки мер повышения надежности, обоснования методов ис-
пытаний на надежность и т. п.
Поэтому достоверное заключение о надежности созданных и выпус-
каемых в серийном производстве изделий возможно только на основе ис-
пытаний реальных образцов в заданных эксплуатационных условиях. Реше-
ние этой задачи и составляет сущность испытаний изделий на надежность.
Испытание - это экспериментальное определение (оценивание) и (или)
контроль количественных и (или) качественных характеристик свойств
объекта испытаний как результат воздействия на него при его функциони-
ровании, при моделировании объекта и (или) воздействий.
Проведение испытаний изделий на различных стадиях позволяет до-
биться следующих результатов:
—	на стадии исследования и проектирования — оценить степень совер-
шенства новых проектных решений, использованных разработчиком изде-
лия, и выявить ошибки, допущенные при проектировании и изготовлении
опытных образцов; уточнить значения отдельных эксплуатационных харак-
теристик и оценить уровень показателей качества изделия; сравнить вариан-
ты конструкций проектируемого изделия и принять решение о преимуществе
того либо другого варианта конструкции; отработать и довести опытные об-
разцы продукции до заданных в техническом задании требований;
-	на стадии изготовления продукции — оценить технический уровень
изготовленной продукции; проверить, насколько эффективно осуществля-
ется технологический процесс серийного производства изделий; контроли-
9
ровать показатели надежности изделий и их безопасность с учетом особен-
ностей серийного выпуска;
-	на стадии эксплуатации (потребления) — определить действительные
значения показателей надежности изделий в реальных условиях его приме-
нения; подготовить рекомендации по повышению стабильности показате-
лей качества продукции.
Исходя из целей, которые решают с помощью испытаний, их подраз-
деляют на исследовательские и отработочные, определительные, контроль-
ные (предварительные и приемочные) и сравнительные.
По результатам испытаний принимают решение о завершенности
опытно-конструкторских работ, приемке и постановке на производство соз-
данных изделий. Всесторонняя экспериментальная отработка (автономные
и комплексные испытания) является основой для достижения и поддержа-
ния требуемого уровня качества и надежности изделий.
Испытания на надежность должны рационально сочетать стендовые,
полигонные и эксплуатационные испытания.
Стендовые испытания — это испытания изделий, проводимые на испы-
тательном оборудовании, под которым понимается техническое устройство
для воспроизведения условий испытаний, близких к эксплуатационным.
Полигонные испытания проводят на специально оборудованных испы-
тательных полигонах в эксплуатационных условиях.
Эксплуатационные испытания - это испытания изделий, проводимые
при их эксплуатации. Одним из основных видов таких испытаний является
опытная эксплуатация, которая проводится квалифицированным персона-
лом при регулярном контроле специалистами, точном учете наработки из-
делия, регистрации и анализе отказов и неисправностей за время испыта-
ний.
Поскольку любые испытания изделия дают определенные сведения о
его свойствах, в том числе о его надежности, то результаты практически
всех проведенных испытаний могут быть использованы для оценки уровня
надежности.
В настоящее время существует широкий круг методов испытаний на
надежность, различающихся целями, способами реализации, сложностью,
трудоемкостью и т. д. Но рост сложности современной техники, создание
новых видов продукции с использованием последних достижений науки и
технологии, материалов с неизвестными ранее свойствами, необходимость
определения новых технических характеристик как в процессе разработки
изделия, так и на всех дальнейших стадиях его жизненного цикла, опреде-
лили необходимость расширения видов испытаний, создания и освоения
более эффективных методов их проведения, обеспечения достоверности и
единства их результатов.
Следует отметить, что существует тенденция роста трудоемкости ис-
пытаний, которая сохраняется и в настоящее время, несмотря на имеющие-
ся достижения в области их автоматизации. При производстве многих ви-
дов наукоемкой и конкурентоспособной продукции трудоемкость испыта-
10
пий стала соизмеримой с суммарной трудоемкостью всех других элементов
технологического процесса, а в некоторых случаях даже превышает ее.
Испытания и их результаты определяют взаимоотношения заказчика и
изготовителя продукции, а также изготовителя и потребителя на внутрен-
нем и международном рынках. Расширение производственной кооперации
приводит к значительному увеличению количества испытаний при входном
контроле, в связи с чем возникает проблема гарантий достоверности и вза-
имного признания результатов испытаний.
Поэтому большое значение приобретает задача установления доверия к
испытательным лабораториям путем их аттестации - удостоверения компе-
тентности и оснащенности, которые обеспечивают возможность проведения
необходимых видов испытаний. Важнейшей составной частью ограниче-
ний, предъявляемых при аттестации испытательных лабораторий, являются
требования по метрологическому обеспечению методов и средств испыта-
ний как основному фактору достижения заданной точности, воспроизводи-
мости и достоверности их результатов.
Особое место в комплексе работ по обеспечению надежности выпус-
каемой продукции занимают вопросы организации испытаний и сбора ин-
формации. Они являются общими и одинаково важными для любых видов
испытаний на надежность: определительных и контрольных, нормальных и
ускоренных, специальных и совмещенных.
При организации испытаний учитывают следующие факторы:
-	режим эксплуатации изделия (непрерывный или циклический);
-	характер внешних воздействий (механических, климатических, элек-
трических и др.);
-	правила и порядок контроля работоспособности изделия;
-	состав информации, которую необходимо фиксировать для анализа и
оценки надежности;
-	формы учетных документов для регистрации наработки и отказов;
-	правила прекращения испытаний;
—	состав, обязанности и ответственность персонала, участвующего в
испытаниях.
От степени проработки этих факторов при подготовке испытаний зави-
сит достоверность получаемых оценок показателей надежности.
Результаты испытаний подлежат статистической обработке, которая
сводится к оценке параметров функций распределения случайных величин,
определяющих искомые показатели надежности.
Как правило, испытания на надежность являются длительным, дорого-
стоящим процессом со значительными трудовыми, материальными и энер-
гетическими затратами. В связи с этим организация испытаний, включая
установление их планов, должна учитывать необходимость минимизации
затрат при заданных условиях воспроизводимости результатов.
Объем испытаний, необходимый для подтверждения показателей на-
дежности, сокращают путем форсирования режимов, оценки надежности по
малому числу или отсутствию отказов, сокращения числа образцов за счет
11
увеличения длительности испытаний, использования разносторонней ин-
формации о надежности изделий и их деталей.
Выполнение отмеченных выше требований достигается путем регла-
ментации в количественной и качественной форме соответствующих
положений нормативно-технической документации.
Решение проблемы надежности, зависящей от конкретного объекта ис-
следования, имеет специфические особенности, которые затрудняют созда-
ние какого-то общего метода ее исследования. Надежностью занимается
очень широкий круг специалистов: конструкторы, технологи, физики, хи-
мики, экономисты, так как повышение надежности конструкции определя-
ется комплексом различных исследований, к числу которых относятся соз-
дание исходных материалов, обладающих необходимыми физико-механи-
ческими свойствами при условии их высокой стабильности, совершенство-
вание методов разработки изделий и технологии их изготовления, сборки,
регулировки, проверки и эксплуатации.
Данные о длительности безотказной работы изделий, изготовленных
по одной и той же конструктивной документации, из одной партии сырья и
работающих в одинаковых условиях, имеют значительный разброс, а срок
службы каждого конкретного изделия предсказать невозможно. В то же
время по относительно большой партии этих изделий можно сделать дос та-
точно определенные выводы о среднем времени безотказной работы, сред-
нем сроке службы, доле изделий, способных проработать безотказно то или
иное время, причинах отказов и др.
В связи с вероятностным характером проявления факторов, влияющих
на сохранение работоспособного состояния (или отказ) изделия: неодно-
родности материалов, различия геометрических размеров деталей в преде-
лах допусков, влияния внешних факторов и др., задачи надежности оказы-
ваются тесно связанными с вопросами теории вероятностей и математиче-
ской статистики. Эта взаимосвязь обусловлена тем, что данные, получен-
ные при исследованиях, опытной отработке и эксплуатации изделий, долж-
ны быть правильно проанализированы, после чего необходимо сделать со-
ответствующие выводы. Важным также является и рациональный подход к
вопросам контроля и управления качеством и надежностью изделий в про-
цессе их изготовления.
Уже в процессе изготовления в свойства одинаковых изделий заклады-
ваются определенные различия. К ним относятся такие многочисленные (в
пределах технических условий) отклонения, как неоднородная структура
металла, различия в свойствах поверхностей трения, неодинаковые величи-
ны зазоров и натягов в сопряжениях деталей, усилия затяжки крепежных
соединений и т. д. Все это приводит к тому, что изменение параметров каж-
дого изделия происходит по-разному, а появление отказов и предельных со-
стояний носит случайный характер.
Исследование проблем надежности приобретает особое значение при
создании и эксплуатации особо ответственных агрегатов и изделий. Одним
из таких изделий является ракетный двигатель в составе ракетно-косми-
12
ческого комплекса, выполняющего ряд специфических задач, например вы-
вод космических объектов на орбиту, доставку к цели боевого заряда (бое-
вые ракеты), поражение летящей цели (ракеты ПВО). Нетрудно представить
возможные последствия при отказе данного двигателя.
С уровнем надежности создаваемого изделия тесно связаны затраты на
его освоение, последующее производство и эксплуатацию. Обеспечение высо-
кого уровня надежности требует значительных затрат на отработку изделия,
значительно увеличивает стоимость изделия и расходы на его эксплуатацию.
Вместе с тем большой ряд сложных машин, систем, комплексов не допускает
даже единичных отказов, так как при этом снижается экономический эффект
от применения новой техники. На практике имеют место случаи, когда отказы
приносили громадный экономический (да и не только экономический) ущерб.
Например, отказ одного из элементов ракетного двигателя способен привести
к невыполнению намеченной программы полета ракетно-космического ком-
плекса.
Ниже будут изложены современные методы испытаний ракетных дви-
гателей на надежность с их вероятностно-статистическим обоснованием,
что необходимо каждому инженеру для осмысленного использования нор-
мативной документации в практике оценки надежности изделий, разработке
программ испытаний и технических условий на изделия.
Глава первая
Общие сведения об испытаниях
РАКЕТНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Рассмотрим особенности ракетных двигателей, связанные как со спе-
цификой процессов, протекающих в этих двигателях, так и с условиями их
эксплуатации.
1.1.	Роль и место испытаний в комплексе работ
по созданию ракетных двигателей
На этапе технического проектирования в большинстве случаев невоз-
можно учесть все конструкторские решения и технологические факторы,
влияющие на работоспособность и надежность ракетных двигателей, пол-
ностью оценить все свойства новых материалов и комплектующих изделий.
Несмотря на опыт, достигнутый в исследовании и проектировании РД,
достоверное заключение о надежности созданных двигателей возможно
только на основе проведения комплекса испытаний, охватывающих все эта-
пы создания - от проверки исходного состояния материалов и комплектую-
щих до выходного контроля двигателя в целом. Современное состояние тео-
рии и практики конструирования ракетных двигателей не позволяет осуще-
ствлять разработку нового двигателя, отличающегося от предыдущего схе-
мой, конструкционными материалами и (или) топливами, более высокими
механическими и тепловыми нагрузками и другими параметрами, без экспе-
риментальных исследований (испытаний) их натурных образцов в реальных
условиях либо в условиях, в значительной степени приближенных к ним.
Испытания - важнейшая часть программ разработки, опытной отра-
ботки и создания высокоэффективных, надежных РД. Основная цель испы-
таний в широком смысле заключается в получении информации о состоя-
нии испытываемого изделия. Эта информация в дальнейшем используется
для решения самых различных задач.
К конкретным задачам, решаемым при проведении испытаний РД и его
агрегатов, относятся следующие:
—	проведение предварительных исследований, позволяющих найти оп-
тимальные конструктивные и схемные решения отдельных агрегатов и все-
го двигателя;
-	проверка правильности принятых решений и их корректировка в
процессе экспериментальной отработки;
-	изучение взаимодействий отдельных агрегатов и узлов;
—	проверка прочностных, гидравлических, энергетических характеристик;
14
-	достижение заданного уровня энергетических характеристик и оцен-
ка соответствия значений основных параметров требованиям технического
задания;
-	оценка количественных характеристик надежности;
—	проверка работоспособности двигателя во всем заданном диапазоне
изменения внешних условий и режимов работы;
—	определение функций влияния внешних факторов на основные пара-
метры РД и нахождение граничных пределов работоспособности двигателя;
-	отработка технологии изготовления и испытаний двигателя и его аг-
регатов.
Указанные задачи в той или иной мере решаются на всех этапах отра-
ботки, но очевидно, что окончательно их можно решить лишь тогда, когда
испытания проводятся в натурных условиях, т. е. при летных испытаниях
изделия. Только при этих испытаниях все агрегаты двигателя работают в
реальных условиях эксплуатации, а значения их параметров и характери-
стики надежности можно определить непосредственно, без учета каких-
либо дополнительных условий.
Однако значительные материальные затраты, связанные с подготовкой
и проведением летных испытаний, исключают возможность проведения
большого объема таких испытаний. Поэтому значительная часть работ при
экспериментальной отработке РД проводится на наземных испытательных
стендах. Перед организациями-разработчиками РД и организациями, про-
водящими наземную отработку двигателей, ставится задача максимального
приближения условий проведения огневых испытаний РД к эксплуатацион-
ным условиям. При этом предельно возможная имитация эксплуатацион-
ных условий при наземных испытаниях также требует определенных затрат
на создание испытательных стендов.
Так, по данным [6], стоимость сооружения экспериментальной базы для
отработки системы «Сатурн-Аполлон» оценивается в 3...4 млрд долларов.
Всего по этой программе на наземную отработку было затрачено 16 млрд
долларов, при общей сумме затрат 24 млрд долларов.
В настоящее время в нашей стране и за рубежом для имитации экс-
плуатационных условий широко используют барокамеры с остаточным
давлением в них до 133,3- 10“8... 133,3 • 10*9Па (1(Г*...10-’мм рт. ст.). В та-
ких барокамерах проводят испытания ракетных двигателей малой тяги (с
। ягой до 1 600 Н).
Ввиду того что основной целью имитации является не создание самой
окружающей среды, а воспроизведение ее воздействия на системы и эле-
менты летательного аппарата, в том числе двигателя, при имитации необхо-
димо исходить из инженерной целесообразности и технологической воз-
можности при условии повышения экономической эффективности средств,
вкладываемых в освоение конкретной ракетно-космической программы.
Основным рабочим документом для проведения испытаний конкретно-
|о РД является программа испытаний. Программа испытаний — это органи-
ищпонно-методический документ, в котором устанавливаются объект, це-
15
ли, задачи испытания, виды и последовательность проверяемых параметров
и показателей, сроки их проведения, методы испытаний, государственные
стандарты и другая нормативно-техническая документация на методы ис-
пытания и требования техники безопасности и охраны окружающей среды.
Разработка программы испытаний является важнейшим этапом в ком-
плексе работ по отработке и проверке работоспособности двигателя, соот-
ветствия его техническому заданию (ТЗ). При этом предусматривается дос-
тижение следующих целей:
-	максимально возможного приближения к штатным условиям работы,
т. е. к условиям эксплуатации;
—	подтверждения соответствия двигателя техническому заданию не
только при оптимальных условиях, но и во всей области его работо-
способности;
—	проверки работоспособности двигателя при всех возможных сочета-
ниях факторов, определяющих его параметры, заданные ТЗ;
-	использования минимально возможного числа двигателей (агрегатов
двигателя), направляемых на испытания, за счет оптимизации сочетаний
влияющих на работоспособность двигателя факторов.
При разработке программы испытаний учитывают, что между влияю-
щими факторами и параметрами существует не функциональная, а рег-
рессионная зависимость (вероятностная связь). Это объясняется тем, что,
во-первых, двигатели даже одного и того же типа не являются абсолютно
идентичными, так как изготавливаются с определенными конструктор-
скими и технологическими отклонениями, во-вторых, при испытаниях мож-
но воспроизвести воздействие факторов лишь с определенной степенью
точности, зависящей от ошибок системы измерения, свойств систем управ-
ления и других элементов стенда.
Программы испытаний должны быть ориентированы на автоматиза-
цию процессов испытаний, обработки и регистрации результатов испыта-
ний с применением микропроцессорной техники, высокоточных датчиков и
преобразовательных устройств, современной регистрирующей аппаратуры,
использующей цифровые и магнитные носители и т. д.
Все материалы, связанные с подготовкой и проведением испытаний, а
также все материалы наблюдений, измерений и обработки результатов ис-
пытаний, в том числе и отрицательные, зафиксированные на различных но-
сителях информации, по мере проведения испытаний должны быть систе-
матизированы в хронологическом порядке без каких-либо изъятий и сохра-
няться в течение установленного срока.
Таким образом, создание нового ракетного двигателя без проведения
экспериментальных исследований и испытаний на огневых стендах в ре-
альных либо в значительной степени приближенных к реальным условиям
на современном этапе практически невозможно.
16
1.2.	Ракетный двигатель как объект испытаний
Ракетные двигатели обладают целым рядом специфических особенно-
стей, которые определяют программу и методику испытаний, состав и ха-
рактеристику испытательных стендов, порядок и организацию процесса ис-
пытаний, включая требования к технике безопасности и промышленной са-
нитарии, особенно при проведении огневых испытаний (ОИ). Рассмотрим
их более подробно.
Высокая интенсивность основных процессов. Ракетный двигатель -
это тепловая машина, превращающая химическую энергию топлива в кине-
тическую энергию струи вытекающих продуктов сгорания, создающую тягу
двигателя как результат воздействия газодинамических сил.
Основным показателем энергетического совершенства РД как тепло-
вой машины является удельный импульс тяги, который зависит в основном
от рабочего давления и температуры в камере сгорания, состава продуктов
сгорания, степени расширения газа в сопле. Естественная тенденция к полу-
чению высоких энергетических характеристик привела к высоким значениям
указанных параметров. Так, в существующих жидкостных ракетных двига-
телях (ЖРД) температура продуктов сгорания в камере сгорания может
достигать 4 000 К, а давление - 25 МПа и более; для некоторых кислород-
по-водородных ЖРД удельный импульс в пустоте составляет 4 460 м / с, а
на земле - 3 560 м/с.
Высокая интенсивность и сложность проходящих в камере сгорания
процессов превращения химической энергии в кинетическую создают усло-
вия для нестационарности этих процессов. Следствием этого является низ-
кочастотная и высокочастотная неустойчивость параметров и конструкции
двигателя. Достижение предельных значений стационарности процессов,
обеспечивающих заданные характеристики двигателя, в том числе и пара-
метры надежности, является одной из основных задач испытаний РД при
оз работке конструкции.
Особые требования к надежности. Особенность применения РД в со-
ставе ракет-носителей космических объектов, систем противовоздушной и
стратегической обороны и т. п. обусловливает очень высокие требования к
их надежности. Эти требования и определяют программу проведения испы-
таний во всем диапазоне возможных сочетаний внутренних и внешних фак-
торов. К внешним факторам относятся давление и температура компонен-
тов топлива на входе в насосы, углы поворота исполнительных органов ре-
гуляторов тяги и соотношения компонентов, к внутренним — разброс разме-
ров конструкций и гидравлических характеристик дросселей, магистралей и
газовых трактов.
Испытания РД, как правило, являются многофакторными, т. е. учиты-
вающими влияние многих факторов. Объем испытаний должен обеспечивать
получение достоверной оценки надежности РД. Для подтверждения высокой
2 Испытание ракетных двигателей
17
надежности испытания двигателей иногда проводят на утяжеленных режи-
мах, которые определяются увеличенными расходами компонентов, пре-
дельными (или выше предельных) значениями их газонасыщения, широким
диапазоном входных давлений и другими внешними условиями.
С внедрением вероятностных методов расчета значительное место в
испытаниях стало уделяться изучению рассеивания и оценке достоверности
полученных результатов. Возникла проблема поиска оптимального плана
проведения испытаний, которую решают методом научного планирования
эксперимента, являющегося новым направлением в теории вероятностей и
математической статистике.
Высокая стоимость испытаний. Стоимость испытаний определяется
затратами на изготовление объектов испытания, производственными расхо-
дами на организацию и проведение испытаний, включая стоимость исполь-
зованных компонентов топлива и энсргоресурсов. Особое место в стоимости
испытаний занимают затраты, связанные с необходимостью создания или
имитации условий реальной эксплуатации, в первую очередь низкого давле-
ния окружающей среды на срезе сопла, и с уникальностью оборудования.
Высокая стоимость испытаний РД предопределяет необходимость мак-
симальной информативности при проведении конкретного испытания. Про-
грамма проведения испытаний при отработке двигателя должна предусмат-
ривать минимизацию времени и числа испытаний при сохранении требуе-
мой достоверности результатов.
Резкого сокращения числа испытаний при их научном планировании
достигают за счет использования известных математических зависимостей
(математических моделей) и возможности планировать испытания с учетом
уже полученных результатов.
Особые требования в этом аспекте предъявляют к испытательным
стендам. Средства измерения стендов должны иметь высокие метрологиче-
ские характеристики и надежность, не допускать потерь информации и дру-
гих отступлений от программы при проведении испытаний, которые могут
привести к необходимости повторения тех или иных испытаний и, как
следствие, к неоправданным затратам.
Токсичность, взрыво- и пожароопасность компонентов топлива.
Большинство окислителей (азотная кислота, чстырехокись азота, фтор и
др.) и горючих (несимметричный диметилгидразин, водород и др.) являют-
ся высокотоксичными, взрыво- и пожароопасными компонентами. Во время
запуска и останова двигателя при огневых испытаниях, когда особенно про-
является нестационарность происходящих процессов, а сами процессы про-
текают с избытком одного из компонентов, в огневой отсек стенда и в ок-
ружающую среду выбрасывается значительное количество вредных ве-
ществ (продуктов сгорания топлива). Их выброс происходит на всем интер-
вале работы двигателя при ОИ.
Строжайшее соблюдение всех норм и правил, определяющих безопас-
ную работу на стендах для ОИ ракетных двигателей, является самым важ-
18
ним принципом построения программ и методик испытаний, организации
(ихнологического процесса огневых испытаний.
Общие требования. Требования, распространяемые на все виды испы-
таний двигателя, следующие:
обеспечение максимальной информативности испытаний, позволяю-
щее получить более полные данные о двигателе за кратчайшее время, а зна-
чи1, п при минимальных затратах на его создание;
измерение всех необходимых параметров с достаточной достоверно-
11 ыо и точностью;
непрерывная регистрация в течение испытаний всех основных (опре-
деляющих результаты испытаний) параметров;
- дублирование измерений основных параметров.
11олучаемый при этом объем информации должен давать практически
полное представление о техническом состоянии РД и физических процессах
и нем в любой момент, включая момент отказа.
Таким образом, высокие требования к уровню надежности, сложность
проходящих процессов и значительная стоимость испытаний определяют
in обый подход к ракетному двигателю как объекту испытаний.
1.3.	Классификация испытаний
Все многообразие возможных видов испытаний РД можно подразде-
ли и. пи два класса: натурные и ресурсные.
Натурные испытания проводят в условиях, максимально имитирую-
щих реальные эксплуатационные, т. е. условия применения. При этом на-
। ру ней на двигатель, определяемые воздействующими внешними и внут-
ренними факторами, создаются в рабочих диапазонах двигателя в течение
нсего времени (0, Zj) испытания, не превышающего эксплуатационный ре-
сурс (рис. 1.1).
При натурных испытаниях измеряют все показатели работы двигателя,
определяющие его применение: тяга, давление и температура в камере сго-
рит i я, расходы компонентов, давления на входах в насосы турбонасосного
ш регата (ТНА), параметры турбины ТНА и газогенераторов, вибрационные
л„рпктсристики и др. Всего при стендовых огневых испытаниях РД регист-
рируется и обрабатывается несколько сотен параметров, включающих тем-
пературу, давление, усилия, вибрации, обороты, углы поворота регулирую-
щих органов, токи, напряжения и др.
11ри испытаниях на земле РД верхних ступеней ракет имитация высот-
ных условий, обеспечивающих возможность отработки запуска и выключет
mill двигателя, а также безотрывное течение газа в сопле, достигается за
i 'ict использования на стендах барокамер с вакуумными установками, обо-
рудованными эжекторами и выходными диффузорами.
19
Ресурсные испытания проводят с целью проверки фактических значе-
ний несущей способности изделия по отношению к воздействию нагрузок
(рис. 1.2). На этапе технического задания и проектирования ограничивают
условия внешних нагрузок на изделие, в интервалах которых оно должно
оставаться работоспособным в течение гарантийного ресурса с заданным
уровнем надежности.
Рис. 1.1. График изменения воздейст-
вующего фактора N в рабочем
диапазоне: Ц - момент выключения
двигателя по программе испытаний
о	/р 7|	* t
Рис. 1.2. График изменения воздейст-
вующего фактора N при ресурсных
испытаниях: tf-эксплуатационный
ресурс; /| - момент отказа изделия

Найденные на этапе проектирования граничные условия работоспо-
собности двигателя
p{N)=p{n^<n<n^),
где N - воздействующий фактор, уточняют и подтверждают ресурсными
испытаниями. Ресурсные испытания проводят «на отказ»: до разрушения,
до смещения режима ниже или выше критического, до самопроизвольного
останова и т. п.
Кроме подразделений на два класса, испытания ракетных двигателей
классифицируют по видам испытаний. Это связано с различным назначени-
ем самих двигателей и условиями их эксплуатации. Например, ЖРД приме-
няют как в основных силовых установках летательных аппаратов, так и в
системах управления и ориентации в качестве исполнительных органов. Ес-
тественно, что условия работы и требования к этим двигателям существен-
но отличаются, поэтому различаются и методы их испытаний. Известно,
что рабочий процесс ЖРД, работающего на химическом топливе, связан с
горением какого-либо продукта или разложением, сопровождающимся вы-
делением теплоты. Как отмечалось ранее, применение в ЖРД высокоэф-
фективных, а зачастую агрессивных и токсичных компонентов, делает про-
цесс испытаний этих двигателей опасным и дорогостоящим. В то же время
большинство их узлов и агрегатов работают в условиях, непосредственно
нс связанных с процессом горения топлива. Отработку этих элементов про-
водят в лабораторно-стендовых условиях, соответствующих условиям экс-
плуатации ракетного двигателя.
20
В связи с многогранностью задач испытаний однозначное классифици-
рование каждого вида испытаний практически невозможно. При этом каж-
дын вид испытаний определяется рядом признаков, указанных в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Классификация испытаний по признакам и видам
Признак классификации	Вид испытаний
Место проведения	Наземные, летные
( пять с частями перемещающегося аппарата	Автономные, комплексные
11пд процесса по тепловым нагрузкам	Холодные, огневые
Организация испытаний	Исследовательские, конструкторские, совместные
Возможность последующего использования	Разрушающие, неразрушающие
1 фодолжительность получения информации	Нормальные, ускоренные
Число специальных воздействий	Однофакторные, многофакторные
Таким образом, любое испытание может быть полностью определено
целым рядом признаков. Например, контрольно-выборочные испытания
(КИИ) двигателей являются наземными, автономными, огневыми, совмест-
ными, разрушающими, нормальными, многофакторными.
По технологическим признакам в практике ракетно-космического дви-
। нтелсстроения испытания подразделяют на два вида: холодные и огневые.
Холодные испытания. Холодные испытания двигателя (агрегата) —
но испытания без сжигания в нем топлива. Холодные испытания включают
следующие испытания:
гидравлические;
пневматические;
испытания на функционирование;
- испытания на динамические воздействия;
специальные испытания.
При проведении гидравлических испытаний чаще всего используют воду,
очищенную согласно установленным требованиям. Целью гидравлических
испытаний является определение качественных характеристик при неразру-
ш.нощем контроле и количественных - при выборочном разрушающем кон-
tpojie (испытания на прочность), гидравлических характеристик элементов
Диш а геля (трубопроводов, клапанов, газогенераторов, форсунок, трактов ох-
лаждения камер сгорания, регуляторов и др.), а также напорных, мощностных
и капп гационных характеристик насосов ТНА.
11ри проведении пневматических испытаний используют газообразные
исщсства, чаще других — очищенный в соответствии с установленными тре-
нонапиями воздух. Пневматические испытания осуществляют для опреде-
ления качественных и количественных характеристик герметичности (на
сплошность). Еще одну разновидность пневматических испытаний - испы-
111ННЯ для получения только качественных характеристик прочности (без
рл (рушения) — проводят в исключительных случаях, когда по конструктив-
21
ным или иным соображениям подача жидкости во внутреннюю полость ис-
пытываемого элемента не допустима.
В связи со значительной опасностью пневматических испытаний, свя-
занной с возможными негативными последствиями в случае внезапного
разрушения испытываемого элемента, эти испытания обязательно проводят
в специально оборудованных бронекабинах.
Испытания на функционирование осуществляют для проверки работо-
способности агрегатов систем управления и регулирования в пределах за-
данного ресурса или числа включений, определения и отладки регулиро-
вочных характеристик.
Для испытаний на динамические воздействия', вибрацию, ударную на-
грузку — используют специальное оборудование, позволяющее имитировать
динамические воздействия на испытываемое изделие в установленных про-
граммой испытания значениях.
Специальные испытания проводят для определения надежности узлов
и агрегатов двигателей в условиях предельных (максимальных и минималь-
ных) значений температуры компонентов топлива и окружающей среды,
длительного воздействия агрессивных сред (коррозионные испытания) и
других внешних факторов.
Огневые испытания. Огневые испытания двигателя (агрегата) — это
испытания со сжиганием в нем топлива. Они подразделяются на летные и
наземные (стендовые) испытания.
Летные испытания проводятся в составе ракеты-носителя или косми-
ческого аппарата и являются завершающим этапом отработки и проверки
работоспособности двигателя в натурных условиях эксплуатации. По ре-
зультатам летных испытаний дают окончательное заключение о соответст-
вии данной конструкции РД техническому заданию и пригодности РД к се-
рийному производству. К летным испытаниям относят также все случаи
штатного применения летательных аппаратов, при которых выполняется
телеметрический контроль параметров работы двигателя.
Из-за ограниченных возможностей по применению на борту летательно-
го аппарата измерительных средств и телеметрических каналов летные ис-
пытания содержат меньше информации по сравнению с наземными. К недос-
таткам летных испытаний относят также то, что они допускают значительно
меньше изменений факторов, влияющих на физические процессы в РД.
В то же время при наземных испытаниях не во всех случаях можно
создавать условия, подобные эксплуатационным. В первую очередь это от-
носится к двигателям верхних ступеней ракетно-космических комплексов.
Поэтому полная их проверка может быть осуществлена только при летных
испытаниях.
Наземные (стендовые) огневые испытания являются основной частью
всех видов испытаний (рис. 1.3). Они проводятся на испытательном стенде,
который позволяет воспроизвести с определенной степенью адекватности
натурные или ресурсные условия испытаний.
22
При стендовых испытаниях оценивают надежность изделия и выявля-
ют виды и характер разрушения деталей, сборочных единиц и двигателя в
целом. Программы стендовых испытаний, как правило, включают оценку
состояния (дефектацию) изделий после испытания, обработку результатов
измерения, анализ результатов и оформление протокола. Стендовые огне-
вые испытания могут быть как автономными, так и комплексными.
Рис. 1.3. Структура наземных (стендовых) огневых испытаний
Автономные испытания проводятся автономно вне двигательной ус-
тановки (ДУ) или объекта, на который устанавливается двигатель, а ком-
плексные испытания — в составе ДУ или объекта.
Исследовательские испытания. В зависимости от поставленной цели
и автономные, и комплексные испытания подразделяют на исследователь-
ские, конструкторские и совместные.
Исследовательские испытания проводят при исследовании явлений,
определяющих характеристики и параметры процессов, проходящих в РД.
В результате этих испытаний выдаются рекомендации для создания новых
и совершенствования существующих конструкций. При исследовательских
испытаниях решают следующие задачи:
-	исследование новых топлив, определение их энергетической эффектив-
ности, охлаждающих свойств, оптимальных соотношений компонентов и т. п.;
—	изучение процессов смесеобразования и выгорания топлива в каме-
рах сгорания и газогенераторах, выбор оптимальных схем форсунок и голо-
вок, оптимальных форм и размеров камер сгорания;
-	анализ процессов теплообмена, разработка схем и методов охлажде-
ния и термозащиты;
23
-	исследование процессов горения, выявление причин неустойчивости
этих процессов, выработка рекомендаций по ее исключению;
-	изучение процессов в системах топливоподачи, выявление причин
появления кавитации, доводка конструкции лопаточных машин, устойчи-
вых к кавитации;
-	определение прочностных характеристик и жаростойкости;
-	проверка и уточнение методик расчета.
Модельные исследовательские испытания проводят на физических мо-
делях или имитаторах. Моделирование позволяет значительно уменьшить
мощности, потребляемые на эксперимент; снизить затраты на строительство
стендов и экспериментальное оборудование; вести эксперимент в более
удобных условиях (при приемлемых температурах и давлениях, замене ток-
сичных или взрывоопасных рабочих тел безвредными и т. д.); приспособить
модель специально для целей эксперимента.
Полноразмерные исследовательские испытания осуществляются на на-
турных образцах с их доработкой по стыковке со стендом и по установке
датчиков для регистрации параметров.
Конструкторские испытания проводят по программе организации-
разработчика. При конструкторских испытаниях решают следующие за-
дачи:
-	проверка безотказности и временных характеристик процессов пуска
и останова;
-	определение работоспособности, устойчивости и ресурса работы на
установившемся режиме;
—	нахождение значений основных параметров и их разброса (тяги,
удельного импульса тяги, соотношений компонентов, давления и тем-
пературы в камере сгорания и др.);
-	проверка границ диапазона регулирования;
-	изучение кавитационных запасов по давлению компонентов на входе
в двигатель и газонасыщению топлива;
-	оценка работоспособности системы управления вектором тяги;
-	практическое подтверждение невозможности отказов, вызванных
конструктивными недоработками.
При конструкторских испытаниях работоспособность двигателя прове-
ряют при воздействии внешних факторов в пределах, отличающихся от
требований ТЗ. Например, для входных давлений диапазон составляет
±20 % от номинального, для давления в камере сгорания ±5 %, для коэффи-
циента соотношения компонентов ±5 % и т. д.
Конструкторские испытания включают последовательное проведение
следующих испытаний:
-	сравнительных, которые проводят с целью выбора предпочтительной
конструкции из двух и более вариантов. Это связано с тем, что на ранней
стадии опытно-конструкторских работ по созданию нового РД в эскизный
проект может быть заложено несколько его вариантов, имеющих принципи-
альные отличия в схеме или конструкции основных узлов;
24
-	уточняющих, осуществляемых с целью определения фактических
значений параметров, определяющих область работоспособности принятой
конструкции двигателя;
-	доводочных испытаний (ДИ), которые проводятся для отработки
конструкции и доведения характеристик до значений, определенных техни-
ческим заданием.
Последним этапом конструкторских испытаний являются завершаю-
щие доводочные испытания (ЗДИ) - испытания окончательного конструк-
торского варианта, при которых возможны незначительные доработки.
Объемы и продолжительность исследовательских и конструкторских
испытаний устанавливают для каждого типа изделия с учетом оснащенно-
сти испытательных баз, установленных сроков и финансовых ресурсов, вы-
деленных на отработку.
Совместные испытания проводят по совместной программе организа-
ции-разработчика, предприятия-изготовителя и потребителя (заказчика) с
целью проверки соответствия двигателя требованиям ТЗ, а в серийном про-
изводстве - требованиям конструкторской документации.
Межведомственные испытания (МВИ) - приемочные испытания, про-
водимые комиссией из представителей организации-разработчика, пред-
приятия-изготовителя и потребителя (заказчика).
При МВИ должны быть специально проверены и подтверждены сле-
дующие данные:
-	соответствие характеристик и параметров РД требованиям техниче-
ского задания;
-	завершение отработки конструкции двигателя и достижение стабиль-
ности его параметров;
—	работоспособность РД при неблагоприятных сочетаниях внешних и
внутренних воздействующих факторов во всем диапазоне их возможных
значений;
-	технологичность конструкции двигателя и его агрегатов;
-	целесообразность и возможность постановки двигателя на серийное
производство по представленной конструкторской и нормативно-техни-
ческой документации;
-	возможность использования двигателя для летных испытаний.
Межведомственные испытания проводят, как правило, на 5...7 изде-
лиях.
Установочные испытания выполняют перед началом или возобновле-
нием серийного производства РД. Целью этих испытаний является проверка
готовности предприятия-изготовителя к серийному производству РД по
принятой межведомственной комиссией документации. Установочным ис-
пытаниям подвергают изделия из специально изготовленной для этой цели
установочной партии. Чаще всего ее объем составляет 6...8 изделий.
Контрольно-технологические испытания (КТИ) проводят для контроля
технологического процесса и качества каждого изготовленного двигателя.
Время наработки двигателя при КТИ составляет не более 10... 15 % от его
25
ресурса, при этом время остаточного ресурса не должно быть меньше вре-
мени работы двигателя при штатном использовании.
Контрольно-выборочным испытаниям (КВИ) подвергают образец дви-
гателя, выбранный из серийно изготовленной партии. При испытаниях кон-
тролируют значения параметров и работоспособность двигателя. По ре-
зультатам испытаний выбранного образца принимают решение о пригодно-
сти партии двигателей к поставке для использования по назначению.
Специальные периодические испытания (СПИ) проводят со следую-
щими целями:
—	периодического контроля надежности двигателя при неблагоприят-
ных сочетаниях внешних и внутренних влияющих факторов;
-	контроля стабильности технологического процесса в период между
предшествующими и очередными испытаниями;
—	подтверждения эффективности методов контроля, применяемых при
приемочном контроле;
-	подтверждения возможности продолжения изготовления РД по дей-
ствующей документации и их приемки.
Программы СПИ разрабатываются для каждого конкретного типа
двигателя. Они являются максимально приближенными к условиям экс-
плуатации.
Таким образом, наличие ряда задач, которые решаются на различных
этапах создания ракетного двигателя, определяет необходимость проведе-
ния испытаний двигателя и его элементов в широком диапазоне внешних
воздействий с оценкой результата, соответствующей поставленной задаче.
Контрольные вопросы и задания
1.	Перечислите задачи, решаемые при проведении испытаний ракетных
двигателей.
2.	Какие цели предусматривает программа испытаний?
3.	Какими специфическими особенностями обладают РД как объекты
испытаний?
4.	Каковы общие требования, распространяемые на все виды испыта-
ний РД?
5.	В чем заключаются особенности натурных и ресурсных испытаний?
6.	Каковы преимущества и недостатки летных испытаний?
7.	Какие испытания включают холодные испытания?
8.	Какова классификация наземных (стендовых) огневых испытаний?
Глава вторая
Введение в теорию надежности
Основной задачей надежности является выбор оптимальных техниче-
ских решений при проектировании, изготовлении, транспортировке, хране-
нии и эксплуатации технических объектов и их элементов. При этом теория
надежности использует основные положения теории вероятностей. Рас-
смотрим эти положения, а также законы распределения и системы случай-
ных величин, статистические гипотезы и методы статистической оценки,
основные термины и определения теории надежности, а также сформулиру-
ем требования к надежности ракетных двигателей.
2.1.	Краткие сведения по теории вероятностей
Вероятностные методы описания и анализа случайных явлений и мето-
ды математической статистики составляют основу математических моделей
при рассмотрении надежности технических систем.
Теория вероятностей - наука, изучающая закономерности в случай-
ных явлениях. Теория вероятностей имеет прикладное значение при реше-
нии многих технических задач. Ее особенность состоит в том, что она рас-
сматривает явления, где в той или иной форме присутствует неопределен-
ность. В ряде случаев те или иные параметры системы могут быть неиз-
вестны или изменяться случайным образом. Количественная мера инфор-
мационного содержания различных сообщений: численных и графических
данных, технических измерений — носит вероятностный характер.
Все наблюдения можно условно разделить на два класса:
-	наблюдения за фактами, явлениями, событиями, которые могут про-
изойти или не произойти;
-	наблюдения за физическими величинами, значения которых в момент
наблюдения могут быть различными.
Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса
условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие.
Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие
случайного события. Случайным событием называют событие, которое при
рассматриваемом сочетании условий может произойти, а может и не про-
изойти. Случайными событиями, например, будут появления отказов и пре-
дельных состояний. Прилагательное случайное для краткости часто опус-
кают и говорят просто событие. События принято обозначать А, В, С и т. д.
События называются несовместными, если появление одного из них
исключает возможность появления других. Например, отказ и работоспо-
собность — это два события, которые не могут возникать одновременно.
27
Если появление одного события не исключает возможность появления
других, то такие события являются совместными. Например, наличие по-
вреждения объекта не исключает появления отказа.
К равновозможным .относят несколько возможных событий, появление
которых в результате испытаний одинаково возможно.
Зависимые (независимые) события — такие события, появление одного
из которых влияет (не влияет) на появление другого события.
Противоположные события - это два случайных события, из которых
одно происходит в том и только в том случае, когда не происходит другое.
События, противоположные событиям А, В, С, принято обозначать А, В, С.
Полная группа событий — такая совокупность событий, при которой в
результате опыта должно произойти хотя бы одно из событий этой сово-
купности.
Сумма, или объединение событий А\, А2, ..., Ат — такое событие А, по-
явление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте хотя бы
одного из событий А1г А2, ..., А„. Сумма обозначается как
п
A = Ai+A2+... + An = £4.
f=l
Если события Aj(i= 1,2, ..., п) составляют полную группу событий, то
их сумма есть достоверное событие.
Произведение, или пересечение событий А[,А1,...,Ап — такое событие А,
появление которого в опыте эквивалентно появлению в том же опыте всех
событий Ах,А1,...,Ап одновременно. Произведение обозначается как
л=44-4=П4-
;=|
Операции сложения и умножения событий обладают рядом свойств,
присущих обычным сложению и умножению, а именно: переместительным,
сочетательным и распределительным свойствами, которые очевидны и не
нуждаются в пояснении.
Вероятность события — численная мера объективно существующей
возможности появления изучаемого события. Вероятность события А обо-
значают как Р(А).
Понятие вероятность является фундаментальным понятием в теории
вероятностей. В качестве единицы измерения вероятности принимают ве-
роятность достоверного события, т. е. такого события, которое в результа-
те опыта (испытания) обязательно должно произойти (например, неработо-
способное состояние объекта при появлении отказа). Вероятность досто-
верного события равна единице.
Невозможное событие - это событие, которое в результате опыта (ис-
пытания) произойти не может (например, замерзание воды в системе охла-
ждения при температуре выше О °C). Вероятность невозможного события
равна нулю.
Вероятность появления события лежит в пределах от 0 до 1, т. е. веро-
ятность любого события А удовлетворяет неравенствам
0<Р(Л)<1.
28
Элементарное событие, при котором рассматриваемое событие насту-
пит, называется благоприятствующим событием. Пусть, например, событие
А — появление четного числа очков при бросании игральной кости. Очевид-
но, что событие А произойдет, если выпадет два, четыре или шесть очков.
Каждое из этих трех событий благоприятствуют событию А.
Вероятность появления события А определяют по формуле
Р (А) = п / N,
где N- общее число равновозможных событий; п — число элементарных со-
бытий, благоприятствующих событию А.
События, которые происходят чаще, называют более вероятными. Ме-
нее вероятными называют события, которые происходят реже, а маловеро-
ятными - события, которые практически почти никогда не происходят.
На практике пользуются не вероятностью события, а относительной
частотой, так как вероятность события не всегда возможно вычислить, на-
пример, из-за того, что общее число случаев может быть большим или бес-
конечно большим. Относительной частотой события А в данной серии
опытов называется отношение числа п опытов, в которых появилось собы-
тие А, к общему числу ^произведенных опытов:
P\A) = n/N’.
Можно предположить, что частота наступления случайного события
зависит не только от степени случайности самого события. Если, например,
за событием А было проведено всего пять наблюдений и в трех случаях это
событие произошло, то было бы неверным принять значение вероятности
такого события равным 0,6. Скорее всего, особенно в случаях необходимо-
сти принятия каких-то важных, дорогостоящих решений, необходимо про-
должить наблюдения. Здравый смысл подсказывает, что если в 100 наблю-
дениях событие А произошло 15 раз, то можно с большей уверенностью по-
лагать его вероятность равной 0,15.
Таким образом, можно сформулировать второе определение понятия
вероятность события как предела, к которому стремится частота наблю-
дения за событием при непрерывном увеличении числа наблюдений. Тео-
рия вероятностей доказывает существование такого предела и сходимость
частоты к вероятности при стремлении числа наблюдений к бесконечности:
Р(А) = 1ш1Р’(Л).
w‘->~
Математическим основанием этого утверждения является закон боль-
ших чисел: вероятность отклонения относительной частоты некоторого со-
бытия А от вероятности Р(А) этого события более чем на произвольно за-
данную величину £ > 0 становится сколь угодно малой, если число испыта-
ний N неограниченно возрастает.
На практике при большом числе испытаний вероятность случайного
события приближенно принимают равной относительной частоте этого со-
бытия: Р(А)~Р’(А).
Вероятности любых событий можно вычислить с помощью вероятностей
элементарных событий, которые на практике определяют либо по соображе-
29
ниям, связанным с возможными исходами опыта (например, в случае броса-
ния монеты естественно считать вероятности выпадения орла или решки оди-
наковыми), либо на основе опытных данных (частот). Последний подход ши-
роко распространен в прикладных инженерных задачах, поскольку позволяет
косвенно соотнести результаты анализа с физической реальностью.
Если события А[, А2,	А„ несовместные и равновозможные, то веро-
ятность каждого из них одинакова:
р(4)=р(л2)= ... =Р(4)=1/и.
Вероятности сложных событий можно вычислять с помощью вероят-
ностей более простых событий, пользуясь основными правилами (теорема-
ми) сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения в е р о я т н о с т е й. Если А2,
А„ - несовместные события и А - сумма этих событий, то вероятность собы-
тия А равна сумме вероятностей этих событий:
Р(Л) = Р(4)+Р(4)+...+Р(л„)=£р(4) .
Если в опыте представлена полная группа несовместных событий А\у
А2>	А„, то их сумма представляет достоверное событие. Тогда можно за-
писать следующее равенство:
р(4 + Л+-+4,)=£р(4)=1-
/=1
В частности, поскольку два противоположных события А и А несовме-
стны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей
Р(Л)+Р(Л) = 1.
Условная вероятность события А\ при наступлении события А2 есть
вероятность события А\, вычисленная в предположении, что событие А2
произошло. Условную вероятность обозначают таким образом: Р(Л, | А2).
Если события Ai и А2 совместны, то вероятность их суммы выражается
формулой
р(л1+я2)=р(4)+р(л2)-р(М)>
т. е. вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей
этих событий без вероятности их произведения (совместного появления).
Теорема умножения вероятностей. Вероятность
произведения (совместного появления) двух зависимых событий А\ и
А2 равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность
другого, в предположении, что первое событие произошло:
Р(А,А2)^Р(А1)Р(А2/А,) = Р(А2)Р(А,\ А2).
В случае если события Ai и А2 независимы, то соответствующие ус-
ловные вероятности будут
р(4|Л)=Ш),р(Л|4)=^(Л)>
зо
поэтому теорема умножения вероятностей для независимых событий А, и
А2 принимает вид
Р(44) = Р(4)Р(4),
а для конечного числа п независимых событий - вид
р(4л2-л„)=Пр(4).
Следствием обеих основных теорем: теоремы сложения вероятностей и
теоремы умножения вероятностей — является формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность события А, которое может про-
изойти вместе с одним из событий Л,, А2, Ап, образующих полную груп-
пу несовместных событий. Тогда
р(л)=£р(4)р(л|4).
;=|
Практическое использование теорем сложения и умножения вероятно-
стей покажем на примере.
Пример 2.1. Работа двигателя контролируется двумя регуляторами.
Имеется определенный период времени t, в течение которого требуется
обеспечить безотказную работу двигателя. При работе обоих регуляторов
двигатель отказывает с вероятностью q^, при работе только первого из них
- с вероятностью qh при работе только второго - с вероятностью q2, при от-
казе обоих регуляторов - с вероятностью q0. Вероятность работы первого
регулятора Р\, второго - Р2. Все элементы выходят из строя независимо
друг от друга. Найти полную вероятность безотказной работы двигателя.
Решение. Рассмотрим следующие события: А - безотказная работа
двигателя; ^41,2 — работают оба регулятора; А\ — работает только первый ре-
гулятор (второй вышел из строя); А2 — работает только второй регулятор
(первый вышел из строя); Aq — оба регулятора вышли из строя.
Вероятности событий Ах>2, At, А2, Ао имеют вид
р(а1)=р1(1-р2), ^(4) = Л(1-Л)>
р(4)=(1-р,)(1-р2).
Принимая во внимание, что работа двигателя и его отказ - группа про-
тивоположных событий, запишем условные вероятности события А при по-
явлении событий А|_2, А\, А2, Ао:
Aj = (l-9u), Р(Л| 4) = 1-9i, P(A\A2) = l-q2,
р(л|4)=1-9о.
По формуле полной вероятности получим
pp)=pIp2(i-^)+/’(i-p2)(i-91)+p2(i-/’)(i-92)+
+(1-^)(1-Р2)(1-9о).
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности явля-
ется формула Бейеса. Она применяется при решении практических задач,
31
когда событие А, появляющееся при проведении опыта совместно с каким-
либо из событий А}, А2,	А„, которые образуют полную группу несовме-
стных событий, произошло и требуется найти условную вероятность
Р(41 А) для каждого события из Аь А2,..А„:
р(4Н> .WH) (,=1Л п)>
£р(4)р(л|4)
/=1
где Р(4), Р(Л | А.) - известные до опыта вероятности событий Л;. и условные
вероятности события Л при наступлении события А1 соответственно.
В приведенном ниже примере используем формулу Бейеса для реше-
ния задачи, достаточно часто встречающейся в практике.
Пример 2.2. Изделие может собираться из высококачественных дета-
лей и из деталей обычного качества. По известным статистическим данным
40 % изделий собирается из высококачественных деталей. Если изделие со-
брано из высококачественных деталей, то вероятность его безотказной ра-
боты за время t равна 0,95; если из деталей обычного качества, то вероят-
ность его безотказной работы равна 0,8. Изделие испытывалось в течение
времени t и работало безотказно. Найти вероятность того, что оно собрано
из высококачественных деталей.
Решение. Рассмотрим события: А\ — изделие собрано из высокока-
чественных деталей, Л2 - изделие собрано из деталей обычного качества.
Вероятности этих событий до опыта Р(А1) — 0,4, В(Л2) = 0,6.
В результате опыта наблюдалось событие Л: изделие в течение време-
ни t работало безотказно. Условные вероятности этого события при собы-
тиях Ai и Л2 Р(Л| Л,) = 0,95; Р(Л| А,) = 0,8.
По формуле Бейеса находим вероятность события Л1 после опыта:
Р< А I Л) =_______	0,4-0,95	_0
’ Р(Л1)Р(Л|4) + Р(Л2)Р(Л| А,) 0,4-0,95 + 0,6-0,8	’
Рассмотрим вероятность появления хотя бы одного события. Пусть в
результате испытания могут появиться п событий, независимых в совокуп-
ности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного),
причем вероятности появления этих событий известны. Требуется найти
вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий. Например,
если в результате испытания могут появиться три события, то появление
хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо
двух, либо трех событий.
Вероятность появления хотя бы одного события Р(Л) из событий A i, Л2,
..., Ап, независимых в совокупности, с вероятностями появления р\, р2, ...,
рп соответственно, равна разности между единицей и произведением веро-
32
ятностей противоположных событий. Учитывая, что вероятность противо-
положного события q = 1 -р, запишем
Р(Л) = 1-ад2—
Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероят-
ность появления хотя бы одного из этих событий
P{A) = l-qn.
В расчетах надежности многие параметры рассматривают в качестве
случайных величин. Случайная величина — это величина, которая в резуль-
тате опыта может принимать различные значения, которые до начала опыта
неизвестны (например, время безотказной работы, число отказов к некото-
рому моменту времени и т. д.). Случайные величины обозначают X, Y, Z
и т. д., а их значения - х, у, z соответственно. Случайные величины могут
быть дискретными и непрерывными.
Величина X называется дискретной случайной величиной, если множест-
во ее возможных значений представляет собой конечную или бесконечную
последовательность чисел х1,х2,...,хл,..., и если каждое значение Х = х.
(/ = 1, 2,...) является элементарным случайным событием и имеет определен-
ную вероятность Д(Аг = х;). Дискретные случайные величины принимают
значения конечных чисел, например число отказавших технических систем
при испытаниях, число дефектных изделий в партии и т. д.
Случайные величины, возможные значения которых непрерывно за-
полняют некоторый интервал, называются непрерывными случайными вели-
чинами. Примерами таких величин могут быть время безотказной работы
изделия, расстояние от места падения снаряда до цели и т. д. Интервал мо-
жет быть конечным или бесконечным.
В общем случае появление некоторых значений случайной величины
более вероятно, в других случаях — менее вероятно. Для каждого значения
случайной величины в диапазоне ее изменения сушествует определенная
вероятность появления этого значения. Соответствие между возможными
значениями х, и их вероятностями Д устанавливается законом распределе-
ния случайной величины (более подробно это будет рассмотрено ниже,
в п. 2.2). Закон распределения (как и всякую функцию) можно задать таб-
лично, аналитически и (или) графически. Определение закона распределе-
ния случайной величины является важнейшей задачей при проведении ис-
пытаний ракетных двигателей.
Закон распределения дискретной случайной величины чаще всего за-
дают рядом и многоугольником распределения.
Ряд и многоугольник распределения. Пусть некоторая дискретная
случайная величинапринимает возможные значения хрх2,...,х„. Каждо-
му значению х,. соответствует вероятность его появления Р^Х = х/). Соот-
ветствие между возможными значениями х,. и их вероятностями Д может
быть выражено в табличной или графической форме. Табличную форму
3 Испытание ракетных двигателей
33
представления закона распределения дискретной случайной величины на-
зывают рядом распределения, и она имеет следующий вид:
Более наглядное представление о распределении дает графический ме-
тод, называемый многоугольником распределения, в котором по оси абсцисс
откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат -
вероятности этих значений (рис. 2.1). Полученные точки соединяют отрез-
ками прямых линий. Многоугольник распределения, так же как и ряд рас-
пределения, полностью характеризует случайную величину. Он является
одной из форм закона распределения.
Примем без доказательства, что
каждое отдельное значение непре-
рывной случайной величины имеет
вероятность, равную нулю. Поэтому
формы представления в виде ряда и
многоугольника (как у дискретной
величины) для непрерывной случай-
ной величины невозможны. Тогда
возникает необходимость дать общий
способ задания любых типов случай-
Рис. 2.1. Многоугольник распределения
ных величин - как дискретных, так и непрерывных. С этой целью вводят
функции распределения вероятностей случайной величины.
Функция распределения. Рассмотрим событие, состоящее в том, что
случайная величина X в диапазоне ее изменения примет какое-нибудь зна-
чение меньше произвольного числа х, т. е. X < х. Это событие имеет опре-
деленную вероятность. Обозначим ее как
F(x) = P(X<x).
Очевидно, что каждому значению х будет соответствовать вероятность
Р(Х < х) - F(x). Тогда F(x) можно рассматривать как функцию перемен-
ной величины х.
Функцией распределения случайной величины X называется функция
F(x), выражающая для каждого значения х вероятность того, что случай-
ная величина А" примет какое-нибудь значение, меньшее х.
Функция распределения является общей формой представления рас-
пределения для непрерывных и дискретных случайных величин. Функ-
цию распределения часто называют интегральной функцией распределе-
ния. Функция распределения - самая универсальная характеристика слу-
чайной величины, так как она полностью характеризует случайную вели-
чину с вероятностной точки зрения, выступая одной из форм закона рас-
пределения.
Функция распределения имеет следующие свойства:
34
Рис. 2.2. Интервал (а, Ь) и прираще-
ние AF(x) = F(b) - F(a)
-	функция F(x) является неубывающей функцией своего аргумента х,
т. е. при х2 > Х( справедливо соотношение F(x2) > F(xJ;
-	на минус бесконечности функция распределения равна нулю:
F(-oo) = 0, на плюс бесконечности - единице: F(+«>) = 1;
—	вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
(а, Ь) равна приращению функции распределения F(x) на этом интервале.
Условимся для определенности левый конец интервала а включать в уча-
сток (а, Ь), а правый - не включать. Тогда попадание случайной величины X
на участок (а, Ь) равносильно выполнению неравенства а < X < b, а вероят-
ность этого события будет
Р(а <x<h) = F(b) — F(a) = AF(x),
где F{a) и F(b) - значения функции распределения при х = а и х = b соот-
ветственно.
Для непрерывной случайной величины X вероятность Р(Х = а) = 0,
поэтому Р(а<Х <Ь) — Р(а<Х <Ь). Следовательно, для непрерывной слу-
чайной величины Р(а<Х<b) = F(b)-F(a) (рис. 2.2).
Если непрерывная случайная вели-
чина X может принимать значения только
в границах от а до b (где а и b - некото-
рые постоянные), то ее функция распре-
деления равна нулю для всех значений
X<а и единице для значений Х>Ь, так
как события X < х для любого значения
х < а являются невозможными, а для лю-
бого значения х>Ь - достоверными.
Непрерывную случайную величину
можно также задать, используя другую
функцию - плотностью распределения.
Плотность распределения. Производную от функции распределения
по текущей переменной
/(X) = ^W
ах
называют плотностью распределения. Плотность распределения — не уни-
версальная функция, она существует только для непрерывных случайных
величин.
Рассмотрим интервал (а, Ь). По условию dF(x) = f(x)dx, исходящему
из определения плотности распределения, после интегрирования в интерва-
ле от а до b получаем
}/(х)Л = pF(x) = F(6) - F(a).
35
Но так как Р(а<Х <b) = F(b)~ F(a), то вероятность попадания слу-
чайной величины X в заданный интервал есть интеграл плотности распре-
деления на этом интервале:
P{a<X<b} = |/(х)Дг.
а
По геометрическому смыслу определенного интеграла площадь, огра-
ниченная кривой на участке (а, V), равна значению интеграла. Тогда геомет-
рическая интерпретация вероятности попадания случайной величины X в
заданный интервал есть площадь кривой распределения, опирающаяся на
этот интервал (рис. 2.3).
Рассмотрев интервал (-<», х), получа-
ют выражение
/ \	F(x)-F(-«)=]f(x)dx.
/	; \ Ас учетом того, что F(~°°) = 0, находят
—= Ki IJ I Li-----------.	F(x) = f/(х)с7х.
0 а Ь х
Плотность распределения обладает
Рис. 2.3. Кривая плотности следующими свойствами:
распределения	_ плотность распределения есть неот-
рицательная функция своего аргумента /(х)> 0;
—	интеграл плотности распределения в бесконечных пределах равен
единице:
J/(x)A = 1.
Величину ,/ (х) иногда называют плотностью вероятности.
Как уже известно, закон распределения полностью определяет случай-
ную величину. Однако часто этот закон неизвестен. Тогда приходится поль-
зоваться числами, которые описывают случайную величину. Такие числа
называют числовыми характеристиками случайной величины.
Числовые характеристики случайных величин. Среди числовых ха-
рактеристик случайных величин в теории надежности особое место зани-
мают те из них, которые определяют следующие показатели:
—	положение случайной величины на числовой оси — значение, около
которого группируются все возможные значения случайной величины;
-	рассеивание случайной величины - отклонения значений случайной
величины около ее положения.
Характеристикой положения является математическое ожидание
случайной величины X, которое часто называют средним значением случай-
ной величины. Для дискретной случайной величины математическое ожи-
36
дание равно сумме произведений всех возможных значений случайной ве-
личины хь х2,..., X/v на вероятности этих значений:
/=1
Математическое ожидание для непрерывной случайной величины вы-
ражается интегралом в бесконечных пределах off произведения непрерывно
меняющихся возможных значений случайной величины на плотность рас-
пределения:
тх= \xf(x)dx.
Математическое ожидание случайной величины непосредственно свя-
зано с ее средним арифметическим значением. Среднее арифметическое
значение X - это частное от деления суммы полученных из опытов значе-
ний случайной величины х\, х2, xN на число слагаемых этой суммы, т. е.
на число опытов:
N
VX;
— _ х,+х2+... + х„ _
N	N
При неограниченном увеличении числа опытов среднее арифметиче-
ское значение X приближается к математическому ожиданию. Следует за-
метить, что важнейшая характеристика положения — математическое ожи-
дание случайной величины - не существует, если соответствующая сумма
или инты-рал расходятся.
Характеристикой рассеивания (разбросанности значений) случайной
величины около ее математического ожидания является дисперсия случай-
ной величины. Для дискретной случайной величины дисперсию определяют
по выражению
D.=^xi~m^2 Рп
i=l
а для непрерывной случайной величины - по выражению
= j(x—тф)2 f(x)dx.
Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величи-
ны. Но иногда бывают случаи, когда желательно, чтобы оценка рассеяния
имела размерность случайной величины. В этих случаях вычисляют среднее
квадратическое отклонение, которое равно положительному значению квад-
ратного корня из дисперсии: = -JzF.
Среднее квадратическое отклонение также является мерой рассеи-
вания. Поскольку среднее квадратическое отклонение имеет размерность
случайной величины, на практике пользоваться им удобнее, чем диспер-
сией.
37
Размах рассеивания Rx случайной величины X — это разность между
максимальным хтах и минимальным xmin ее значениями, полученными в ре-
зультате опытов:
В __ ____ у
inax лтип ’
Среднее квадратическое отклонение, выраженное в долях математи-
ческого ожидания, носит название коэффициента вариации:
Введение безразмерного коэффициента вариации необходимо для
сравнения уровня рассеивания величин, имеющих разную размерность. Чем
меньше значение коэффициента вариации, тем меньшее рассеивание имеет
случайная величина. Пусть, например, некоторая случайная величина X
имеет среднее квадратическое отклонение ох - 0,05 мм, а другая случайная
величина У- <\=0,5м. Несмотря на существенное различие значений ох
и а , дать заключение о том, какая из рассматриваемых случайных величин
имеет меньшую степень рассеивания, невозможно. Оценить степени их рас-
сеиваний можно только в том случае, если проведено их соразмеривание с
математическими ожиданиями случайных величин.
Например, при тх = 10 мм и ту = 1 000 м степень рассеивания величины
У будет меньше, чем X, так как vy = <5у/ту =0,5/1000 = 5-10 4, а
vx = ох / /их = 0,05 /10 = 5  10'3, т. е. имеет место неравенство vу < vx.
Таким образом, выше приведены самые важные, с точки зрения теории
надежности, сведения по теории вероятностей, которые будут использова-
ны в дальнейшем изложении.
2.2. Законы распределения случайных величин
При решении задач надежности часто приходится сталкиваться с раз-
личными распределениями дискретных и непрерывных случайных величин.
Рассмотрим законы распределения, наиболее часто встречающиеся в прак-
тике.
Закон равномерного распределения. Этот закон распределения слу-
чайной величины проявляется тогда, когда появление любого ее значения в
интервале (а, Ь), которому принадлежат все возможные значения случайной
величины, равновероятно.
Дискретную случайную величину X считают распределенной равно-
мерно, если она принимает п различных значений Х|, Хг, х„ с соответст-
вующими вероятностями р\, рг, рп и если р, - \ ! п для всех
i = 1,2, ..., п. Так, например, случайная величина - число на грани брошен-
38
ной игральной кости - распределена равномерно, так как появление каждой
1рани при бросании кости равновероятно:
Число на грани игральной кости	1	2	3	4	5	6
Вероятность появления	1/6	1 /6	1/6	1/6	1/6	1/6
Непрерывная случайная величина распределена равномерно, если из-
вестно, что в некотором интервале все значения случайной величины обла-
дают одной и той же плотностью распределения. По определению, плот-
ность равномерного распределения (рис. 2.4) будет выражена следующими
условиями:
/(х) = с при а <х<Ь,
/(х) = О при а > х > Ь.
Так как вероятность попадания случайной величины в интервал (а, Ь)
равна единице, то площадь, выражающая указанную вероятность, будет
c(b-a) = 1. Тогда при а <х < b получают с =—J— и/(х) = —-—.
b-а	Ь-а
Функцию равномерного распределения
F{x)= j/(x)<& =	=1=^,
'	„b—а	b—a
а	а
можно представить в виде графика (рис. 2.5). Отметим, что при х < а функ-
ция F(x) = 0, а при х > b F(x) = 1.
Рис. 2.4. Плотность вероятности
равномерного распределения
Рис. 2.5. График функции
равномерного распределения
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной вели-
чины X на участок (а, Р), представляющий собой часть участка (я, Ь),
Р(а<% <Р)= —
а-Ь
г. е. она равна отношению длины отрезка («, р) ко всей длине участка (а, Ь),
па котором задано равномерное распределение.
Математическое ожидание случайной величины X, распределенной
равномерно, определяют по формуле
39
тх
дисперсия — по выражению
Г>л= |(х-/их)2/(х)Л =	д) ,
J	J	2 b-a 12
a	a
а среднее квадратическое отклонение - по уравнению
Биноминальный закон распределения. Пусть производится п незави-
симых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не
появиться. Вероятность наступления события А в каждом испытании постоян-
на и равна р. Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число
появлений события А в этих испытаниях. Тогда вероятность того, что при и
испытаниях событие А наступит т раз, определяют по формуле Бернулли
где q = 1 -р - вероятность непоявления события А.
Распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли, назы-
вают биноминальным. Биноминальный закон можно выразить следующим
рядом распределения:
X	п	п — 1		т		0
р	р"	др-1?		C"p'nq"""		Ч"
Математическое ожидание для биноминального закона распределения
тх = пр,
дисперсия
£>х = npq,
среднее квадратическое отклонение
gx= <
коэффициент вариации
<5	11-р
vx= — == .—-•
у пр
Следует отметить, что применение биноминального закона ограничи-
вается сложностью расчетов при больших значениях величин т и п. Напри-
мер, величина 50! выражается числом, состоящим из 65 значащих цифр, а
значение О,1530 можно выразить числом 1,917 510 592 • 10“25.
40
Закон распределения Пуассона. Он играет особую роль в теории на-
дежности, поскольку описывает закономерность появления случайных от-
казов в сложных системах.
Если число испытаний и велико, а вероятность р появления одного и
того же события в каждом испытании мала, то вероятность того, что слу-
чайная величина X примет определенное значение Х= т при п испытаниях,
выражают формулой
т
т\
где X - параметр распределения (положительная величина); т = 0, 1,2,....
Такое распределение случайной величины X называют распределением
Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X для
этого закона равны параметру распределения: тх = Dx = Х= пр.
Экспоненциальный закон распределения. Его используют для про-
гнозирования надежности изделий в период их нормальной эксплуатации,
когда надежность характеризуется случайными отказами.
Плотность распределения экспоненциального закона определена усло-
виями
/(х) = Хе“ипри х>0,
/(х) = 0 при х<0,
где Л — постоянная положительная величина.
Экспоненциальное распределение случайной величины зависит от од-
ного параметра X. Эта особенность экспоненциального распределения ука-
зывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими
от нескольких параметров.
Функция распределения этого закона
F(x) = 1 -е-Лл при х > О,
/7(х) = 0 при х<0.
Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по
экспоненциальному закону, равно обратной величине параметра X:
дисперсия
о	Л
среднее квадратическое отклонение
г. е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны
между собой.
41
Вероятность попадания случайной величины с экспоненциальным рас-
пределением в заданный интервал (а, Ь) определяют, используя формулу Р
(а<Х< b) = F (b) —F(a):
P{a<X<b) = (\ — е~и) — (1 - Fz“) = е^- е~и.
Нормальный закон распределения. Его часто называют законом Га-
усса. Он является наиболее универсальным, удобным и широко применяе-
мым для практических расчетов. Этот закон занимает среди других законов
распределения особое положение. Его основная особенность состоит в том,
что он является предельным законом, к которому приближаются другие за-
коны распределения случайных величин. В теории надежности его исполь-
зуют для описания постепенных (неслучайных) отказов, когда распределе-
ние случайной величины - времени безотказной работы - вначале имеет
низкую плотность, затем максимальную, и далее плотность снижается.
Распределение подчиняется нормальному закону, если на изменение
значения случайной величины X оказывают влияние многие примерно рав-
нозначные факторы (рис. 2.6).
Рис. 2.6. Кривые плотности (а) и функции нормального распределения (б)
Нормальный закон распределения описывают плотностью
г, . 1
/(*) =—л=°'-Р
(х —wv)2
2о2
где тх и оЛ - параметры распределения - математическое ожидание и сред-
нее квадратическое отклонение величины X соответственно. Плотность
распределения имеет график в виде колоколообразной кривой, которую на-
зывают кривой Гаусса (рис. 2.6, а).
Функция распределения может быть представлена в виде
F(x) = —
о, л/2тг
7 (х-тХ2
|ехр -----
2(У2
dx
(2.1)
и имеет график в виде восходящей кривой (рис. 2.6, б).
На положение и форму кривых fix) и F(x) влияют значения парамет-
ров тх и ах. Изменение величины параметра тх не изменяет формы кривой,
а лишь приводит к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если тх возрастает, и
влево, если тх убывает. С возрастанием оЛ максимальная координата нор-
мальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е.
42
сжимается к оси Ох; при убывании ох нормальная кривая становится более
островершинной и растягивается в положительном направлении Оу.
Необходимо подчеркнуть, что в интервале (—°0,00) при любых значе-
ниях параметров тх и ох площадь, ограниченная нормальной кривой и осью
Ох, остается равной единице.
Заменив в интеграле функции распределения (2.1) переменную ——— = t,
ее приводят ее к виду
Х~тх
1 °Х
F*(x) = Tin J ехр
2
При тх = 0 и ох = 1 функцию называют нормированной функцией Лап-
ласа и обозначают Ф(х). Тогда
(2.2)
Вероятность попадания случайной величины X с параметрами тх и ах в
заданный интервал значений от а до b вычисляют по формуле
.ч b-rn] Ja-mr]
Р(а <Х<Ь) = Ф —------ -Ф -----.
I J I Ох )
При решении задач, связанных с нормальным распределением случай-
ных величин, используют значения функции Лапласа (табл. 1 приложения).
Поскольку для функции Лапласа (2.2) справедливо соотношение Ф(-х) =
= 1 - Ф(х), то достаточно иметь табличные значения функции Ф(х) только
для положительных значений аргумента.
Для нормального распределения случайной величины вероятность по-
падания в пределы интервала, ограниченного точками, расположенными на
расстоянии ±о от математического ожидания	/’(—сг< %<<5) =
= Ф(1)-Ф(-1) = 0,6826, на расстоянии ±2о Р(-2о< X < 2о) = — Ф(2) -
Ф(-2) = 0,954 4; на расстоянии ±3о от математического ожидания
В(-Зо < X < За) = Ф(3) - Ф(-3) = 0,997 3.
Можно утверждать, что вероятность того, что абсолютное значение от-
клонения случайной величины выйдет за пределы ±3о, очень мала и равна
0,002 7. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных
событий, можно считать практически невозможными. В этом состоит сущ-
ность «правила трех сигм»: если случайная величина распределена нормаль-
но, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не
превосходит утроенного значения среднего квадратического отклонения.
Следует отметить, что в силу симметрии функции Лапласа относи-
тельно точки тх вероятность попадания в интервал (- оо, тх) равна 0,5, т. е.
Ф(/их) = Ф(0) = 0,5. При этом необходимо иметь в виду, что указанные выше
шачения функции Лапласа справедливы только для приведенного вида
43
функции (с нижним пределом интегрирования от -оо и с числителем в дроби
перед интегралом, равном единице).
На практике имеют место и другие виды функции Лапласа. Учитывая,
что случайная величина X = т — текущее время — имеет очевидное свойство
т > 0, в теории надежности чаще всего используют функцию Лапласа вида
а
о
для которой могут быть составлены соответствующие таблицы. Для опреде-
ления Фо(л) используют зависимость
Ф0(х) = Ф(х) —0,5,
В заключение отметим, что приведенные выше законы распределения
случайных величин широко применяются при рассмотрении вопросов
надежности.
2.3. Системы случайных величин
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых ре-
зультат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя и более
величинами, образующими систему. Например, точка попадания снаряда оп-
ределяется не одной случайной величиной, а двумя: абсциссой и ординатой,
значения которых в общем случае имеют случайный характер и могут быть
рассмотрены как система случайных величин.
Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются
свойствами отдельных величин, составляющих эту систему. Требуется учи-
тывать также взаимные связи между случайными величинами. Эти связи
могут быть охарактеризованы зависимостью данных величин.
Зависимость случайных величин. При изучении процессов, на ре-
зультаты которых влияют несколько случайных величин, всегда следует
обращать внимание на степень и характер зависимости этих величин. Дан-
ная зависимость может быть более или менее ярко выраженной, более или
менее тесной. В некоторых случаях зависимость между этими величинами
может быть настолько близкой, что, зная значение одной случайной вели-
чины, можно точно указать значение другой. В противоположном случае
зависимость между случайными величинами является настолько слабой и
отдаленной, что их следует считать практически независимыми.
Случайные величины могут быть независимыми, функционально зависи-
мыми и связанными вероятностной или стохастической зависимостью.
Случайную величину Y называют независимой от случайной величины
X тогда, когда закон распределения величины У не зависит от того, какое
значение приняла величина X. В противном случае величины X и У называ-
ются зависимыми.
44
Если закон распределения случайной величины X определяется плот-
ностью /(х), а закон распределения случайной величины У-плотностью
f2(y), то при условии независимости УиХплотность распределения сово-
купности независимых случайных величин
/(x,y) = Z(x)/2(y).
Это выражение можно рассматривать как необходимое и достаточное
условие независимости случайных величин. Один из методов определения
зависимости (независимости) двух случайных величин может быть пред-
ставлен следующим примером.
Пример 2.3. Плотность распределения системы (X, У) имеет вид
/(х>е) =~ТГ~2----Г---2 2 ~ Л-
л (х + у + х у +1]
Определить, зависимы или независимы случайные величины X и У.
Решение. Разлагая знаменатель на множители, получаем
л(1 + х2) л(1 + у2)
Поскольку функция /(х, у) распалась на произведение двух функций,
из которых одна зависит только от х, а другая - только от у, то делаем заклю-
чение, что величины X и У должны быть независимыми. При этом имеем
/|(А) = Л 2\’ /г(у) = (. ГТ-
л(1 + х )	л(1 + у ]
Величины являются зависимыми функционально, если при известном
значении одной величины другая принимает точное, всегда одно и то же
значение. Такова, например, связь между давлением и объемом газа в сосу-
де при неизменной температуре. Если в задаче нужно учесть изменение
давления при одновременном изменении объема и температуры, то пользу-
ются понятием функции нескольких переменных.
Случайные величины связаны вероятностной или стохастической за-
висимостью, если известному значению одной величины соответствует не
конкретное значение, а закон распределения другой величины. Вероятност-
ные зависимости характеризуют тенденции изменения одной случайной ве-
личины от изменения другой. В технике вероятностные связи распростра-
нены очень широко, например связи между свойствами используемых в
конструкции изделия материалов и показателями его надежности.
Вероятностные зависимости имеют место тогда, когда величины зави-
сят не только от общих для них, но и от разных случайных факторов.
Если случайная величина X принимает значения х(, х2, ..., х„, а плот-
ность распределения случайной величины У - значения fly, Х]),Ду, х2), ....
/(у, л„), то имеет место вероятностная зависимость между случайными вели-
чинами У и X. Плотности распределения случайных величин ¥иХ при зада-
45
нии конкретных значений у и х соответственно называют условными плот-
ностями распределения и обозначают /(>'|х) или	Совместная
плотность и условные плотности распределения связаны следующими со-
отношениями:
f{x>y) = Л W/V| х)> ЛХ’У} = fi (y)f(x| j)•
В теории вероятностей доказано, что плотность распределения одной
из составляющих системы двух случайных величин равна несобственному
интегралу от плотности распределения системы, причем переменная ин-
тегрирования соответствует другой составляющей'.
Z(x)= ]Дх>у)&, fi(y)= ]/(х,у)Ж-
Числовые характеристики системы двух случайных величин. Для
описания системы двух случайных величин, кроме математических ожида-
ний и дисперсий случайных величин, входящих в систему, используют кор-
реляционный момент и коэффициент корреляции.
Корреляционный момент двух случайных величин X и У - это матема-
тическое ожидание произведения отклонений случайных величин, который
определяют как
^=м[(Х-тх)(У-/и,)],
где тх,ту— математические ожидания величин Хи Fсоответственно.
Для дискретных случайных величин
и т
к.-л] Я*, л)’
,=| >i
где р^,у^ — вероятность отдельных значений х,иуу.
Для непрерывных случайных величин
Кху= J $(x-mx)(y-my)f(x,y)dxdy.
Две случайные величины X и У называют коррелированными, если их
корреляционный момент отличен от нуля; X и У являются некоррелирован-
ными величинами, если их корреляционный момент равен нулю.
Корреляционный момент есть характеристика системы случайных ве-
личин, описывающая, кроме рассеивания величин X и У, еще и связь между
ними. Если случайные величины независимы, то их корреляционный мо-
мент равен нулю, а признаком наличия зависимости между ними является
отличие корреляционного момента от нуля.
Таким образом, если корреляционный момент двух случайных величин X
и У не равен нулю (КхуФ 0), то можно утверждать, что эти величины зависимы.
Но некоррелированность нельзя смешивать с независимостью. Незави-
симые случайные величины всегда являются некоррелированными. Однако
46
обратное утверждение неверно, поскольку некоррелированные величины
могут быть зависимыми и даже функционально.
Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некор-
релированными.
Пример 2.4. Плотность распределения совокупности независимых слу-
чайных величин X и У задана функцией /(х,у)= — внутри эллипса
бтг
хг у2
— +4-1 и функцией /(х,у) = 0 вне этого эллипса. Доказать, что X и
У — зависимые некоррелированные величины.
Решение. Используя зависимости
Z(x) = ]7(х>уНу> fi(y)= ]f(x,y)dx,
находим /(х) = —J9-X2, /2 (у) =—5/4-у2 внутри заданного эллипса,
9л	2л
а Л(х) = 0, /,(у) = 0 вне эллипса. Так как /(x,y)^/J(x)-^(y), то X и
Y - зависимые величины.
Рассматривая зависимости
можно утверждать, что функция / (х) симметрична относительно оси OY
и, следовательно, тх = 0, а функция f2 (у) - относительно оси ОХ и ту = 0.
Тогда корреляционный момент
оооо	оо оо	оо оо
= j ^(х-тх)(у - my)f(x,y)dxdy = = — j jxydxdy^— |у fxdx dy.
Внутренний интеграл равен нулю, так как при симметричных пределах
интегрирования подынтегральная функция нечетная, следовательно Кху = О,
г. е. зависимые случайные величины некоррелированы.
Итак, по коррелированности двух случайных величин следует их зави-
симость, но по зависимости еще не вытекает их коррелированность. По
независимости двух величин следует их некоррелированность, но по не-
коррелированности еще нельзя заключить, что эти величины независимы.
Если хотя бы одна из случайных величин имеет малое рассеивание, то
корреляционный момент мал даже при тесной взаимозависимости между
случайными величинами. Поэтому для установления близости зависимости
между случайными величинами определяют коэффициент корреляции'.
о =К 1
Уху	---- 5
где ох и су - средние квадратические отклонения величин X и У.
47
Коэффициент корреляции может изменяться в пределах —1 < рх;. < 1. При
Рху = -1 и рху = 1 имеет место функциональная зависимость, значение
pv = 0 свидетельствует о некоррелированности случайных величин. При
К1у = 0, когда случайные величины независимы, коэффициент корреляции
также равен нулю.
Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а толь-
ко линейную. Линейная вероятностная зависимость случайных величин за-
ключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая
имеет тенденцию к возрастанию или убыванию по линейному закону. В слу-
чае pv > 0 говорят о положительной корреляции величин X и Y, в случае
рл>. < 0 - об отрицательной корреляции. Положительная корреляция между
случайными величинами означает, что при возрастании одной из них другая
имеет тенденцию в среднем возрастать; отрицательная корреляция говорит о
том, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенден-
цию в среднем убывать.
Если наблюдаемые пары значений случайных величин X и Y распола-
гаются так, как показано на рис. 2.7, то это указывает на наличие явно вы-
раженной положительной корреляции между величинами, а если так, как
представлено на рис. 2.8, то это случай сравнительно слабой отрицательной
корреляции.
Рис. 2.7. Пример положительной
корреляции двух случайных величин
Рис. 2.8. Пример сравнительно
слабой отрицательной корреляции
Примером положительной корреляции может быть зависимость между
ростом и весом человека, а примером отрицательной корреляции - зависи-
мость между временем, потраченным на регулировку изделия, и количест-
вом отказов при его эксплуатации.
Важнейшей областью применения корреляционного анализа к задачам
надежности является обработка и обобщение результатов испытания.
Результаты наблюдения случайных величин X и Y при испытании
представляют парными значениями Хь у, /-го наблюдения, где i = 1, 2, ..., п;
п - число наблюдений.
Оценку коэффициента корреляции определяют по формуле
48
р’ =^Л- = —-----------~,
v <^у	(«-1)0,0,
где п - число наблюдений значений х,. и yt; т'х ит'у - оценки математиче-
ских ожиданий тх и ту случайных величин X и Y соответственно,
1 "	•	1 "
т’ = — Vx., m‘ = — Уу; о* , o’ - оценки средних квадратических откло-
ни	' п~^
нений G, и о, соответственно, прн этом
11м	Г 1	«
О> .-----, а* = /---------------Х^-^у)2 •
По результатам расчета оценки коэффициента корреляции делают за-
ключение об уровне зависимости случайных величин. Иногда оценку коэф-
фициента корреляции называют выборочным коэффициентом корреляции.
Корреляционная зависимость находит широкое применение в задачах на-
дежности. Она характеризуется теснотой и формой связи. Теснота связи ме-
жду случайными величинами, как уже отмечалось, определяется коэффици-
ентам корреляции, а форму связи можно выразить функцией регрессии.
Функция регрессии. Пусть Хи У-непрерывные случайные величины,
и при проведении п опытов над величинами X и Y получены следующие ре-
зультаты (рис. 2.9).
Рис. 2.9. Линия регрессии
случайной величины У на X
Изменение величины Y при изменении величины X можно характеризо-
вать ломаной, соединяющей средние значения величины Y. При этом значе-
ния величины Yпри определенном значении Х=х случайно распределены по
некоторому закону. Этот закон может быть представлен условной плотно-
стью f(y | х) распределения случайной величины Y при заданных значениях
случайной величины Х = х. Например, при х = 2 (см. рис. 2.9) имеем четыре
И 1 IcHM'iaiiHC ракетных двигателей
49
значения у = 2; 3; 3,5; 4, характеризующие распределение случайной величи-
ны К при х = 2. При этом среднее значение
-	2 + 3 + 3.5 + 4
у(х = 2)= -------------= 3,125.
Важной характеристикой условного распределения является условное
математическое ожидание. Условным математическим ожиданием дис-
кретной случайной величины Y при значении X = х называют сумму произ-
ведений возможных значений Y на их условные вероятности
M(Y\X = x) = '£yiP(yi\x).
1=1
Для непрерывных величин эта сумма заменяется интегралом
M(Y\X = x)= "\yf(y\x)dy,
где /(у | х) - условная плотность случайной величины Y при X = х.
Условное математическое ожидание M(Y | X = х)есть функция отх:
M(Y |А' = х)=ф(х),
которую называют функцией регрессии величины Y на величину X. Уравне-
ние у = <р(х) - это уравнение регрессии Y на X, а соответствующая функции
регрессии линия - линия регрессии Y на X.
Оценка параметров линейной регрессионной зависимости. Линей-
ная зависимость между величинами является наиболее распространенной.
Уравнение линии регрессии записывают в виде
M(Y | X = х)=<р(х)=ах + р,
где а, р - параметры, или коэффициенты регрессии.
Оценкой линии регрессии является эмпирическая линия регрессии,
уравнение которой имеет вид
Y* =ах + Ь,	(2.3)
где У*, а, b - оценки величин А+(У | X = х), а и р соответственно.
Оценки коэффициентов регрессии а и b находят методом наименьших
квадратов, в основу которого положено требование минимизации квадратов
отклонений результатов измерений случайной величины от линии регрессии:
min|w = ^(y-y*)2
I 1=1
или, после подстановки Y,,
С _п
min < и = (у - ох,. - Ь)2
I >=1
где у - измеренное значение случайной величины в i-м опыте; У, - вычис-
ленная по уравнению (2.3) ордината, соответствующая наблюдаемому зна-
чению X,- в i-м опыте; п — число измерений.
50
Известно, что минимум некоторой функции соответствует равенству
нулю частных производных по всем неизвестным:
=-2Z(^ - -b)xi=°>	=~2^У‘ -«*,-*>)=О-
Для упрощения записи знак суммы записан без указания границ суммиро-
вания i = l,2,...,п. После преобразования выражений получают систему
уравнений относительно ан Ь:
ьХх>+аХх^=ЦУ^’
nb + a'£xi = '£yi.
Решая эту систему, находят значения для определения оценок коэффи-
циентов регрессии:
"IX-Q»2 ’
ьУ£х^У>-1Х£уЛ
"£*М1Х)2
Используя полученные значения коэффициентов регрессии, можно за-
писать уравнения эмпирической линии регрессии в виде Y' = ах+ Ь.
На практике более целесообразно применять эмпирические (выбороч-
ные) уравнения прямой линии регрессии У на А'вида
.	.	. о’
ту/х = т> + Рху “И* -	(2.4)
или линии регрессии X на У
m\iy = т\ + Р*> ^г(У ~ т'у) ,	(2-5)
где т’х, гпу, о*, о* - оценки математических ожиданий и средних квадрати-
ческих отклонений случайных величин X и У соответственно; р^, — оценка
коэффициента корреляции. Уравнения (2.4) и (2.5) приведены без выводов.
Нередко при проведении расчетов приходится иметь дело с несколь-
кими независимыми случайными величинами, каждая из которых может
иметь собственный закон распределения. В этом случае под композицией
законов распределения понимают сумму независимых случайных величин.
Композиция законов распределения. Пусть имеются две независи-
мые случайные величины X и У, подчиненные, соответственно, законам
распределения Д(х) и f2(y). Требуется произвести композицию этих зако-
нов, т. е. найти плотность распределения величины
Z = X+Y.
Эти величины независимы, поэтому /(х,у)~/|(х)/2(у).
51
Наиболее часто на практике возникает задача композиции нормальных
законов распределения. При решении этой задачи учитывают свойство ус-
тойчивости: закон распределения вероятностей называют устойчивым, если
композиция законов есть тот же закон, но отличающийся параметрами.
Свойством устойчивости обладает нормальный закон: композиция
нормальных законов имеет нормальное распределение. Математическое
ожидание и дисперсия этой композиции соответственно равны суммам ма-
тематических ожиданий и дисперсий слагаемых.
Так, например, для суммы U= X + Y + Z при нормальном распределе-
нии слагаемых математическое ожидание и дисперсия композиции распре-
деления соответственно будут
ти = тх+ ту + mz,
Du ~ Dx + Dy + Dz,
где mx, my, mz — математические ожидания случайных величин X, Y, Z; Dx,
Dy, Dz - дисперсии тех же величин.
Для функции Y = <р (Xt, Х2, ..., Х„), у которой аргументы Xh Х2, ..., Х„ -
случайные величины, математическое ожидание имеет вид
ту=(р(тх1, тх2, ...,тх„),
а дисперсия - вид
" ( dY Y
£>,= У — D
у rrlaxj . J
' * к 1 Smxi
где mxi, тх2, ..., тх„ - математические ожидания; Dxi, Dx2, ..., Dx„ - диспер-
сии случайных величин Х\, Х2, .... Х„. Индекс mxi у частной производной
ЗУ
ЭХ,
функции У по фактору X/ означает, что ее числовое значение опреде-
ляют при х,= mxi.
Приведем приближенные значения математического ожидания и дис-
персии сложной функции (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Формулы определения приближенных значений
математического ожидания и дисперсии сложной функции
Вид функции у	Математическое ожидание ту	Дисперсия £>,.
ах\	итх1	cTDx\
х + а	тх\ + а	Dx\
XI ± х2	тх\ ± та	Dx\+Dx2
Х1 х2	тх\ • тХ2	in2 Dx7 +m2 Dx, xl 2	*2	1
Х| / х2	mxi / тх2	2	2*2 /Л,	DI	DI. x2 \ *1	A2 7
а X]	а mxi	fl2	Од,
Примечание: а - константа.
52
Таким образом, отметим, что при исследовании надежности ракетного
двигателя чаще всего рассматривают влияние на нее ряда случайных фак-
торов, поэтому знание приведенных выше свойств систем случайных вели-
чин необходимо для изучения последующего материала.
2.4.	Проверка статистических гипотез
В практической деятельности при кот роле стабильности производства и
оценке диапазона заданных значений параметров возникают задачи, решение
которых осуществимо только лишь статистическими методами.
К числу конкретных задач, решаемых такими методами, относятся сле-
дующие:
-	задача о принадлежности двух выборочных средних одной генераль-
ной совокупности (равенство двух центров распределения);
-	задача о принадлежности двух выборочных средних квадратических
отклонений одной генеральной совокупности;
-	задача о соответствии распределения исследуемой случайной вели-
чины предполагаемому закону распределения.
Для решения этих задач используют гипотезы, которые можно прове-
рить статистически, т. е. опираясь на результаты наблюдений в случайной
выборке.
Понятие статистической гипотезы. Статистической называют ги-
потезу о виде неизвестного распределения или о параметрах распределения
случайной величины. Так, например, статистической является гипотеза о
том, что распределение показателей качества изделий, принадлежащих од-
ной партии, имеет нормальный закон распределения. Статистической будет
также гипотеза о том, что средние размеры деталей, производимые на одно-
типных, параллельно работающих станках, не различаются между собой.
Выдвинутую гипотезу называют нулевой (основной) и обозначают ее как
Но. Наряду с выдвинутой рассматривают и противоречащую ей гипотезу.
Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая
ей гипотеза. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая
противоречит нулевой. Конкурирующую гипотезу обозначают как Ht.
Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что мате-
матическое ожидание т некоторого распределения равно 10, то конкури-
рующая гипотеза, в частности, может состоять в предположении, что
т 10. Коротко это записывается так: Но: т = 10; Нх: да 10.
Выдвинутая гипотеза Но может быть правильной, т. е. соответствовать
фактическому состоянию, или неправильной, когда фактическое состояние
не соответствует выдвинутой гипотезе.
Статистическим критерием (или просто критерием) называют вели-
чину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.
Методы статистической оценки базируются на вычислении соответст-
вующих критериев, которые сравниваются с определенными табличными
53
значениями. В случаях когда проверяемая гипотеза соответствует фактиче-
скому состоянию, вероятность отклонений весьма незначительна.
Наблюдаемым значением А"„а6л называют значение критерия, вычис-
ленное по результатам испытаний, например по оценкам математических
ожиданий т*х, т‘у и средних квадратических отклонений о*, о’..
Достаточно малую вероятность, при которой (в данной конкретной за-
даче) событие можно считать практически невозможным, называют уров-
нем значимости и обозначают а. На практике обычно принимают уровни
значимости, заключенные между 0,01 и 0,05. Учитывая, что сумма вероят-
ностей противоположных событий равна единице, уровень значимости
можно использовать при анализе событий, вероятность которых близка к
единице. Действительно, если событие А имеет вероятность, близкую к ну-
лю, то вероятность противоположного события А близка к единице. Кроме
того, отсутствие события А означает наступление события А.
После выбора определенного критерия множество всех его возможных
значений разбивают на два подмножества: одно из них содержит значения
критерия, при которых нулевая гипотеза принимается, а другое - значения,
при которых она отвергается.
Совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу при-
нимают, называют областью допустимых значений, или областью приня-
тия гипотезы, а совокупность значений критерия, при которых гипотезу
отвергают, - критической областью.
Критическими точками (границами) называют точки, отделяющие
критическую область от области принятия гипотезы (рис. 2.10). Различают
односторонние (правосторонние (рис. 2.10, а), для которых К < /скр, и лево-
сторонние (рис. 2.10, б) при К < ккр) и двусторонние критические области
(рис. 2.10, в), определяемые неравенствами К < kiKp и К> к2кр.
Итак, основной принцип проверки статистических гипотез можно
сформулировать следующим образом: если наблюдаемое значение критерия
К лежит в области допустимых значений, то принимают гипотезу Но, а
когда значение критерия К принадлежит критической области, то
принимают гипотезу Н/.
а ------------------1-4-----------------* К
б ----------------1—--------------------* к
« ----------1-------!--------1----------> к
1{-	’	Л"
Л1кр	0	Л2кр
Рис. 2.10. Критические точки ккр и критические области
54
Поскольку статистический критерий К, по значению которого прини-
мают или отвергают гипотезу Но, имеет вероятностный характер, то наблю-
даемое значение критерия К может оказаться в критической области не по-
тому, что нулевая гипотеза не верна, а по другим причинам (малый объем
выборки, недостатки методики испытаний и др.). В этом случае, отвергнув
правильную нулевую гипотезу, совершают ошибку первого рода. Ошибка
второго рода состоит в том, что гипотеза Но принимается, в то время как
верна гипотеза Ht.
Рассмотренные случаи иллюстрирует следующая таблица:
Гипотеза HQ	Гипотеза верна	Гипотеза неверна
Отвергается	Ошибка первого рода	Правильное решение
Принимается	Правильное решение	Ошибка второго рода
Подчеркнем, что последствия этих ошибок могут оказаться весьма раз-
личными. Например, если отвергнуть правильное решение «Продолжать
освоение новой конкретной конструкции ракетного двигателя», то эта
ошибка первого рода повлечет неоправданный материальный ущерб в объ-
еме уже затраченных средств. Если же будет принято неправильное реше-
ние «Продолжать освоение», несмотря на имеющиеся существенные отри-
цательные аргументы, то эта ошибка второго рода может повлечь срыв го-
сударственной программы или даже гибель людей. Можно привести еще
целый ряд примеров, когда ошибка первого рода влечет более тяжелые по-
следствия, чем ошибка второго рода. Одним из таких примеров может быть
случай, когда ошибочно прекращаются исследования какого-либо перспек-
тивного направления в науке (отвергается гипотеза Но), тогда как возмож-
ный экономический эффект от внедрения указанного направления значи-
тельно превысит совокупные затраты на его исследования.
Для решения задач о виде неизвестного распределения или о парамет-
рах известных распределений используют статистические гипотезы, кото-
рые необходимо выдвинуть, проверить и по результатам проверки принять
решение о справедливости (несправедливости) гипотез.
Проверка гипотезы о равенстве двух центров распределения.
Проверка данной гипотезы имеет важное практическое значение. Действи-
тельно, иногда оказывается, что средняя величина некоторого параметра,
наблюдаемая в одной серии испытаний, заметно отличается от средней ве-
личины аналогичного параметра в другой серии. При этом возникает во-
прос, можно ли объяснить обнаруженное расхождение средних величин
случайными ошибками испытаний или оно вызвано какими-либо законо-
мерностями.
Рассмотрим проверку гипотезы при известных значениях с. Пусть
имеются две независимые выборки объемов и, и п2 из распределенных нор-
мально генеральных совокупностей X и Y соответственно, причем их
дисперсии Dx и Dy известны (например, найдены теоретически). При задан-
ном уровне значимости а проверяют нулевую гипотезу Но, состоящую в
55
том, что математические ожидания рассматриваемых совокупностей равны
между собой:
Но: тх = ту или HQ: т‘х = т'у; Ht: тх ту или Н,: тх Ф ту,
где тх, т — математические ожидания генеральных совокупностей X и У;
тх,ту — оценки соответствующих математических ожиданий:
.	1 А .	1 Л
тх = ~’ ту=	
и, ы	п2 ,=|
Отметим, что, по определению, уровень значимости а выражает вероят-
ность, при которой (в конкретной задаче) событие можно считать практиче-
ски невозможным. Тогда вероятность противоположного события р = 1 — а.
Из этого следует, что при заданном уровне значимости а вероятность реа-
лизации гипотезы Но: тх = ту будет р = 1 — а.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы Но принимают слу-
чайную величину
rn - ту, mv - т,
7	=
^набл
£
«I
где Dx, Dy, Gx,Gy - известные значения дисперсий и средних квадратиче-
ских отклонений генеральных совокупностей X и У.
Критерий /набл - нормированная нормальная случайная величина, так
как она является линейной комбинацией нормально распределенных вели-
чин тх и гпу, а при справедливости нулевой гипотезы (когда тх = ту)
т*=тх-ту=0.
В общем случае величина |Zm6ji| может принимать значения от нуля до
бесконечности. Если определить по заданному уровню значимости а значение
аргумента функции Лапласа Ф (zKp ) = 1 - а, то те значения |ZHa6jI |, для которых
|ZHa6jJ < zKp, образуют область допустимых значений, а значения |ZHa6jl|, для ко-
торых |ZHa6a | > z^, определяют критическую область.
Для вероятности р — 1 — а критическую область выражают неравенством
Р-+^
\ П\ «2
При симметричной двусторонней критической области функция Лап-
ласа будет иметь вид
ф(2 ) = 0,5+—.
\ кр /	7	2
56
Рассмотрим на примере методику проверки гипотезы 7/0 при извест-
ных значениях о.
Пример 2.5. В результате двух серий испытаний с количеством изме-
рений некоторой величины и( = 25 и п2 = 50 получены следующие результа-
ты средних значений: т‘ = 9,79 и т2 = 9,60. Можно ли с уровнем значимо-
сти а = 0,01 объяснить эти расхождения случайными причинами, если из-
вестно, что средние квадратические отклонения в обеих сериях испытаний
о, = о2 =0,30?
Решение. Запишем нулевую гипотезу в виде Ни: т' = т2, а аль-
тернативную ей - в виде 77,: т\ Ф т2.
Вычислим наблюдаемое значение критерия:
-2.59.
о2 о	/о,ЗО2 0,302
у и,	п2	N 25	50
При а = 0,01 определим критическое значение zKp с учетом симмет-
ричности двусторонней критической области:
ф(гкр) = 0,5 + (1-00/2= 0,995.
По табл. 1 приложения найдем значение zKp = 2,576, по которому сле-
дует неравенство [Z^ | = 2,59 > zKp = 2,576.
Так как наблюдаемое значение критерия |Zla6jl| лежит в критической
области, то с вероятностью 0,99 можно считать расхождение средних зна-
чений т‘ и т2 неслучайным (значимым), поэтому гипотеза Но должна
быть отвергнута.
Проведем проверку гипотезы о равенстве двух центров распределения
при неизвестных значениях G. Пусть имеются две независимые выборки
объемов и, и п2 из распределенных нормально генеральных совокупностей
\ и У соответственно, причем их дисперсии Dx, Dy неизвестны. Так же, как и
в предыдущем случае, при заданном уровне значимости а проверяют нуле-
вую гипотезу 77О, состоящуюя в том, что математические ожидания тх,ту
рассматриваемых совокупностей равны между собой:
Но: тх = ту или 77О: тх = w’; Ht:	ту или /7,: т' Ф т"у,
где т*,т’у - оценки соответствующих математических ожиданий:
. 1Д . 1А
«п = -2Л’ ту=:-ЪУ‘-
По результатам испытаний определяют оценки дисперсий:
57
Л/j 1 1=1	«*2	1 7=1
Критерием оценки для проверки гипотезы Но является величина
_ тх — ту I Hj«2
*набл ~	г~~	.	’
•VD V «| + п2
пх + п2 - 2
В теории вероятностей доказано, что величина ;на&. имеет распределе-
ние Стьюдента с s = и, + и2 - 2 степенями свободы. Для заданного уровня
значимости а в зависимости от числа степеней свободы 5 находят критиче-
скую точку /кр(сх, s) распределения Стьюдента (табл. 2 приложения). В слу-
чае если рассчитанная величина |/11абл| > /кр(а, $), нулевую гипотезу Но
о равенстве двух центров распределения отвергают, при неравенстве
| - 4р(а->5) эту гипотезу принимают.
Рассмотрим методику принятия гипотезы Ни при неизвестных значе-
ниях о на следующем примере.
Пример 2.6. Изделие подвергают щ = 15 испытаниям с измерением не-
которого параметра, в процессе которых получены следующие результаты:
т‘ = 290, о* = 199. По окончании первого этапа испытаний выполняют до-
работку изделия, а затем проводят п2 = 12 испытаний и получают результа-
ты: т'2 = 371, о2 = 295. Сравнивая оценки математических ожиданий пара-
метра до и после доработки, оценить эффективность доработки с уровнем
значимости а = 0,05.
Р е ш е н и е. По полученным данным рассчитываем
Д’ = а;2 = 39 601, D2 = о22 = 87 025,
39 601(15-1)4-87 025(12-1)
15 + 12-2
= 60467,56.
Тогда наблюдаемое значение
290-371 /15 12
/Юбл= I - -J---------- =-0,8505
д/60 467,56 \ 15+ 12
По табл. 2 приложения для двусторонней критической области при
а = 0,05 и 5 = 15 + 12-2 = 25 находим 7^,(0,05; 25) = 2,06. Так как имеет ме-
сто неравенство |гна6л| < ?кр(а, s), или 0,850 5 < 2,06, то гипотезу Но о равен-
стве двух центров распределения принимаем. Это означает, что статистиче-
ские данные двух этапов испытаний принадлежат одной генеральной сово-
купности измеряемого параметра и доработка изделия является неэффек-
тивной.
58
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий. Гипотезы о дисперсиях
играют в технике большую роль, поскольку измеряемая дисперсией вели-
чина рассеивания характеризует такие исключительно важные конструк-
торские и технологические показатели, как точность машин и приборов, по-
грешность измерительных средств, стабильность технологического процес-
са и др.
Пусть имеются две независимые выборки объемов и, и п2 из распреде-
ленных нормально генеральных совокупностей X и Y. По независимым вы-
боркам найдены исправленные выборочные дисперсии D* и D'y. Необхо-
димо проверить нулевую гипотезу Но, состоящую в том, что при заданном
уровне значимости а генеральные дисперсии рассматриваемых совокупно-
стей равны между собой:
H0:Dx=Dy или H0:Dx = Dy,
Н}: Dx * Dy или Н}: D\ * Dy,
где Dx,Dy — дисперсии генеральных совокупностей X и У; D'x,D‘y - их не-
смещенные оценки.
Такую задачу решают потому, что обычно исправленные выборочные
дисперсии имеют различные величины, рассчитанные по полученным зна-
чениям независимых выборок. Возникает вопрос: значимо (существенно)
или незначимо различаются исправленные дисперсии?
Если окажется, что гипотеза Hq справедлива, т. е. генеральные дисперсии
одинаковы, то различие исправленных дисперсий незначимо и объясняется
случайными причинами, например случайным отбором объектов выборки.
Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий в двух генеральных со-
вокупностях по независимым выборкам из них необходимо знать такую
функцию их статистических оценок, распределение которой не имело бы
зависимости от каких-либо неизвестных параметров. Этому условию удов-
летворяет распределение отношения двух несмещенных оценок дисперсий,
полученных из независимых выборок из генеральных совокупностей
F =Dx /Dy илиF =Dy /Dx,
где условием использования одного из двух представленных выражений яв-
ляется такое, при котором F > 1.
Случайная величина F при условии справедливости гипотеза Но имеет
распределение Фишера — Снедекора со степенями свободы = и, — 1 и
к, = п2 -1, где и, - объем выборки, по которой вычислена наибольшая ис-
правленная дисперсия; п2 - объем выборки, по которой найдена меньшая
дисперсия.
Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую
гипотезу Нв:D(X) = D(Y), нужно вычислить отношение наибольшей ис-
правленной дисперсии к меньшей:
/'пабл ~ D&/ DM,
59
и сравнить его значение с критической точкой FKp(a, кх,кг). Эту точку на-
ходят но таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора
(табл. 3 приложения). Область принятия пулевой гипотезы определяют не-
равенством F < FKp(a, кх, к2), а правостороннюю критическую область - не-
равенством F > F^ (а, кх ,к2).
Рассмотрим пример.
Пример 2.7. На двух токарных станках обрабатываются втулки. Были
отобраны две пробы: из втулок, изготовленных на станке 1, и,= 10 штук, на
станке 2 — и2= 15 штук. По данным этих выборок рассчитаны выборочные
дисперсии D' =9,6 и D2 =5,7. Проверить с а = 0,05 гипотезу о том, что
станки обладают одинаковой точностью.
Решение. Находим
F=D'/D2 =9,6/5,7 = 1,68
с числом степеней свободы кх =10-1 = 9 и кг =15 — 1 = 14. По табл. 3 при-
ложения определяем значение /^ОО59.,4) = 2,65. Тогда 1,68 < 2,65, следова-
тельно предположение о равенстве дисперсий не противоречит наблюдени-
ям, т. е. нет оснований считать, что станки обладают различной точностью.
Проверка гипотез о законе распределения. Достаточно часто на
практике не известны не только значения параметров закона распределения,
по и вид этого закона.
Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требует-
ся проверить гипотезу Но о том, что эта случайная величина подчиняется
закону распределения F(x) с известными значениями тх и ол. Для провер-
ки гипотезы рассмотрим п независимых наблюдений над случайной вели-
чиной X. Результаты наблюдений будут представлены совокупностью зна-
чений величины X х,, х2,..., х„.
По результатам наблюдений можно построить эмпирическое распреде-
ление F*(x) исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического
F’(x) и теоретического F(x) распределений производят с помощью специ-
ально подобранной случайной величины - критерия согласия.
Рассмотрим применение одного из наиболее употребительных крите-
риев согласия - критерия Пирсона у (читается как «хи-квадрат») (табл. 4
приложения).
Пусть вся область измерения величины X разбита на конечное число К
интервалов Д,,Д2,...,Д,,..., Дк. Подсчитаем количество т1 наблюдений ве-
личины X попавших в интервал Д;.
Обозначим через F, вероятность того, что величина X при данном рас-
пределении F(x) примет значение, принадлежащее к г-му интервалу. При
этом должны выполняться условия
60
&=«
Если проверяемая гипотеза Но верпа, то величина т. представляет со-
бой частоту появления события, имеющего вероятность Р,. Следовательно,
можно рассматривать т. как случайную величину, подчиняющуюся бино-
минальному закону распределения с математическим ожиданием иТ’ и сред-
ним квадратическим отклонением о. = ^nPt([-P). Когда п велико, считают,
что частота распределена асимптотически нормально с теми же параметра-
ми. Тогда при и —> оо случайная величина
т, — пР.
Е. = . *	'
0 = 1, 2,..., К)
распределена нормально с математическим ожиданием, равным нулю, и
дисперсией, равной единице. Из математической статистики известно, что
при п—величины
/=1	;=|	"т,
имеют распределение %2 с s = К -1 степенями свободы.
В качестве меры расхождения чисел т{, т2, ..., тк с теоретическими
данными пР„ пР2,..., пРк рассматривают величину
Х2 = Ее2(1-7’) = Х
/=1	м
(/и - nPrf
пР,
Заметим, что возведение в квадрат разностей частот устраняет возмож-
ность взаимного погашения положительных и отрицательных разностей.
Л делением на nPt достигают уменьшения каждого из слагаемых, в против-
ном случае сумма была бы настолько велика, что оперировать такими зна-
чениями неоправданно сложно.
Необходимо подчеркнуть, что число степеней свободы s = К — 1 при-
нимают при таком условии, что закон распределения F(x) имеет известные
шачения тх и од. Однако если параметры распределения F(x) оценивают
*	*	X ' ()	2
по тхиах, то У----------— при «—><*> имеет распределение % с
пР:
ч = К-г-1 степенями свободы, где г - число параметров распределения
/(х), которые оценены по данным выборки. В частности, если предполагае-
мое распределение - нормальное, то оценивают два его параметра: матема-
шческое ожидание и среднее квадратическое отклонение, поэтому г = 2 и
число степеней свободы s = К- г - 1 = К — 2- 1 = = К-3. Если, например,
предполагают, что величина А" распределена по закону Пуассона, то оцени-
вают один параметр X, в связи с чем r = 1 HS=K-r—\=K— 1 - 1 = АГ- 2.
Рассмотрим правостороннюю критическую область, исходя из требо-
вания, что вероятность попадания критерия в эту область в предположе-
61
нии справедливости нулевой гипотезы равна принятому уровню значимо-
сти а:
^[х2 >Х^(<м)] = а-
Таким образом, правостороннюю критическую область определяют
неравенством %2 >/2р(а., .$), а область принятия нулевой гипотезы - нера-
венством X2 -Х^(а>5)-
Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений,
через /Leu > тогда правило проверки нулевой гипотезы Но будет следующим.
1.	Весь интервал наблюдаемых п значений случайной величины X де-
лят на К частичных интервалов А,. одинаковой длины, у которых на концах
наблюдаются значения (х,,х/+1). Середины частичных интервалов находят
по формуле
х‘ = (xt + xj=l)/2.
2.	Вычисляют оценки математического ожидания т’ и среднего квад-
ратического отклонения .
3.	Нормируют случайную величину X, т. е. переходят к величине
Z =(Х-mJ!о’ и вычисляют концы интервалов (z,., zw):
zi=(xi-tnx)lox, z,+1 =(xw -m’)/o’,
причем наименьшее значение Z, т. e. zi, полагают равным -oo, а наибольшее,
т. e. zK, — равным co.
4.	Теоретические вероятности P попадания Xв интервалы (х.,х;+1) вы-
числяют по равенству
7’ = Ф(г/+,)-Ф(г/),
где Ф(г) - функция Лапласа.
5.	Находят теоретические частоты пР, а затем наблюдаемое значение
критерия
(А;-и/2)2
пР
где к, - число значений X из общего числа п, попавших в интервал А,.
6.	По таблице критических точек распределения х2, заданному уровню
значимости а и числу степеней свободы s (см. табл. 4 приложения) опреде-
ляют критическую точку х^(«, -s) 
7.	Проводят сравнение величин Хнабл и Х^(а>5)- Если Хнабл -
— Х^>(а»5)’ т0 нет оснований отвергать нулевую гипотезу, если же
Хнабл > Х^,(а> 5)>то нулевую гипотезу отвергают.
Примечание. Объем наблюдений и для проверки гипотезы Но должен быть доста-
точно велик - не менее 50. Каждый интервал А; должен содержать не менее
5...8 наблюдений. Малочисленные группы следует объединять в одну, суммируя частоты.
к
Хнабл j
62
Рассмотрим методику проверки гипотезы о законе распределения на
примере.
Пример 2.8. При испытании изделия проведено и = 500 измерений па-
раметра У. При этом получены следующие отклонения от заданной техни-
ческим заданием величины:
У,	-4;-3	-3;-2	-2;-1	-1; 0	0; 1	1;2	2;3	3;4
к	6	25	72	133	120	88	46	10
Определить согласованность статистического и теоретического распре-
делений, принятых по нормальному закону с уровнем значимости а = 0,10.
к
Решение. Определим наблюдаемые частоты /’*= — . Результаты
п
расчета представим в таблице:
к.	6	25	72	133	120	88	46	10
Р*	0,012	0,050	0,144	0,266	0,240	0,176	0,092	0,020
к	Y -	+ Y
ПаИДСМ	J Ij ‘ 1- , 1ДС I j — 	—		 -	ССрСДИИа 1~lxj И11АСрВ<1- i=i	2
ла. Для удобства расчета составим таблицу:
У	-4;-3	-3;-2	-2; -1	-1;0	0; 1	1;2	2; 3	3;4
Y'	-3,5	-2,5	-1,5	-0,5	0,5	1,5	2,5	3,5
Р'	0,012	0,050	0,144	0,266	0,240	0,176	0,092	0,020
у* р;	-0,042	-0,125	-0,216	-0,133	0,120	0,264	0,230	0,070
Окончательно имеем
т'г =0,168.
Определим Оу = 1 —-----------1,448.
\	п-1
Вычислим Pt = Ф;,пах [	j - Ф,т!п I , т'
к ®У у	\
представим в таблице:
а результаты
к,	6	25	72	133	120	88	46	10
Р,	0,012 4	0,052 4	0,142 4	0,245 4	0,263 6	0,181 0	0,076 4	0,021 0
пР,	6,2	26,2	71,2	122,7	131,8	90,5	38,2	10,5
к
Учитывая, что Р* =-к, формулу для расчета можно представить в
и
виде
Хнабл ~
(Г-Д)2	НД)2
- м пР,

63
Тогда окончательно получим
Число степеней свободы 5 = 8-2-1 = 5.
По табл. 4 приложения для а = 0,10 и 5 = 5 находим = 9,2. Так как
Х^бл < Х^, > или 3,94 < 9,2, то гипотеза с распределением величины Y по нор-
мальному закону не отвергается.
В практике обработки результатов испытаний ракетных двигателей дос-
таточно часто используются методы проверки статистических гипотез, осо-
бенно в период отработки конструкции двигателя, когда зависимости пара-
метров двигателя от влияющих на них факторов однозначно не установлены.
2.5.	Термины и определения в теории надежности
Изучение вопросов надежности целесообразно начать с определения
основных понятий, что позволит исключить их неоднозначное толкование.
Одним из таких понятий является понятие объект.
Объекты в теории надежности. Объект в теории надежности - это
техническое средство определенного целевого назначения, рассматривае-
мое на различных этапах жизненного цикла с точки зрения надежности. В
теории надежности рассматриваются следующие обобщенные объекты:
—	изделие - любой предмет производства (или набор предметов), под-
лежащий изготовлению на предприятии. Использование термина изделие
для конкретного технического средства подчеркивает, что данный предмет
рассматривается как продукт производства;
—	элемент — простейшая при данном рассмотрении составная часть из-
делия, предназначенная для выполнения определенных функций и недели-
мая на составные части при данном уровне рассмотрения. В задачах надеж-
ности элемент может состоять из нескольких деталей;
-	система — упорядоченная совокупность взаимосвязанных и взаимо-
действующих элементов, образующих единое функциональное целое, пред-
назначенное для решения определенных задач (достижения определенных
целей). Эго определение подчеркивает первичность цели при объединении
каких-либо факторов (материальных, человеческих, информационных и пр.)
в систему.
При рассмотрении вопросов надежности технические средства рас-
сматривают с точки зрения их принадлежности к категории система или
элемент.
Понятия элемент и система трансформируются в зависимости от рас-
сматриваемой задачи. Например, двигатель летательного аппарата при оп-
64
ределении надежности собственно двигателя рассматривают как систему из
входящих в него элементов (узлов и агрегатов), а при оценке надежности
летательного аппарата двигатель - как элемент системы.
При дальнейшем изложении для обозначения технического средства
(элемента или системы), рассматриваемого с точки зрения его надежности
при разработке, изготовлении, испытании и эксплуатации, будет использо-
ваться обобщающее понятие объект.
В общем случае объекты классифицируются по ряду разделительных
признаков: особенностям целевого назначения, конструктивным, техноло-
гическим и структурным особенностям, объему выпуска и применения, на-
личию одного или нескольких уровней работоспособности, особенностям
ремонта, технического обслуживания и т. д.
Объекты подразделяют па невосстанавливаемые (необслуживаемые и
перемонтируемые потребителем) и восстанавливаемые (обслуживаемые и
ремонтируемые потребителем):
-	невосстанавливаемый объект — объект, работоспособность которого
в случае возникновения отказа не подлежит восстановлению в рассматри-
ваемых условиях;
-	восстанавливаемый объект - объект, работоспособность которого в
случае возникновения отказа подлежит восстановлению в рассматриваемых
условиях;
-	обслуживаемый объект — объект, для которого в нормативно-
технической и (или) конструкторской (проектной) документации преду-
смотрены операции технического обслуживания;
-	ремонтируемый объект - объект, ремонт которого возможен и пре-
дусмотрен нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной)
документацией.
Деление на невосстанавливаемые и восстанавливаемые объекты носит
условный характер, так как принадлежность объекта к тому или другому
виду может меняться в зависимости от конкретных условий.
При современном уровне состояния технологии производства и техни-
ческих возможностей можно восстановить практически любой объект. Ог-
раничением может служить лишь экономическая целесообразность восста-
новления либо замены объекта, потерявшего работоспособность. Например,
такие объекты, как прецизионные детали топливной аппаратуры и гидрав-
лических систем, в условиях эксплуатации следует считать невосстанавли-
наемыми и их необходимо заменять после отказа. Эти же объекты для ре-
монтно-механических заводов могут быть восстанавливаемыми, если име-
ется у них необходимое оборудование для их восстановления.
По отношению к понятию надежность первичным является понятие
качество.
Качество объекта — совокупность свойств и признаков, определяю-
щих его пригодность для использования по назначению, которая выражает
его специфику и отличие от других объектов.
Поскольку этап применения (эксплуатации) объекта охватывает опре-
деленный, как правило, длительный период времени, то под влиянием раз-
5 I IciiLnaiiiic ракетных двигагелем
65
личных факторов происходит изменение уровня свойств, определяющих
качество объекта и эффективность его функционирования.
А теперь уточним понятие надежности.
Надежность объекта. Надежность — свойство объекта сохранять во вре-
мени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих
способность выполнять требуемые функции при заданных режимах и условиях
применения, технического обслуживания, хранения и транспортирования.
Задачей обеспечения надежности является изучение закономерностей
изменения показателей качества объектов во времени и разработка методов,
позволяющих с минимальными затратами времени и ресурсов обеспечить
необходимую продолжительность и эффективность работы этих объектов.
Специфическими особенностями вопросов надежности являются сле-
дующие:
-	учет фактора времени. Надежность исследует количественное изме-
нение показателей качества во времени, первоначальный уровень которых
был заложен при разработке, обеспечен при изготовлении и реализуется
при эксплуатации;
—	прогнозирование результатов. Проблемы надежности связаны прежде
всего с прогнозированием поведения объекта в будущем, так как простая
констатация уровня надежности объекта, уже выработавшего свой ресурс,
i юет, вообще говоря, малую ценность. Особенно большое значение этот
прогноз имеет на ранних стадиях жизненного цикла объекта (разработки и
изготовления), когда необходимо дать оценку эффективности принятых
конструкторских решений и применяемых технологических методов для
обеспечения требуемого уровня качества и эффективности применения
объекта в предполагаемых условиях эксплуатации, в течение необходимого
времени применения.
Следует иметь в виду, что изменение показателей качества объекта во
времени может быть абсолютным и относительным.
Абсолютное изменение качества связано с различными износными
(повреждающими) процессами, воздействующими на объект при эксплуа-
тации и изменяющими свойства, состояние материалов и геометрические
размеры деталей, из которых изготовлен объект или его составные части. За
счет этого происходит прогрессивное снижение показателей качества объ-
екта и его физическое старение {физический износ).
Относительное изменение качества объекта связано с появлением но-
вых аналогичных объектов с более совершенными характеристиками, в свя-
зи с чем технико-экономические показатели (в том числе показатели на-
дежности) данного объекта становятся ниже среднего уровня в совокупно-
сти объектов аналогичного целевого назначения, хотя в абсолютных значе-
ниях они могут не изменяться. Такое изменение качества объекта называют
моральным износом.
Наука о надежности изучает только абсолютное изменение показате-
лей качества объектов, связанное с протеканием различных повреждающих
процессов.
66
Надежность характеризуется следующими основными состояниями и
событиями.
Состояния и события в теории надежности. Все объекты с точки
зрения надежности могут находиться в исправном, неисправном, работо-
способном, неработоспособном и предельном состояниях.
Исправное состояние — это такое состояние объекта, при котором он
соответствует всем требованиям, установленным нормативно-технической
документацией (НТД).
Неисправное состояние — состояние объекта, при котором он не соот-
ветствует хотя бы одному из требований, установленных НТД.
Работоспособное состояние - состояние объекта, при котором он спосо-
бен выполнять заданные функции, сохраняя значения заданных параметров в
пределах, установленных нормативно-технической документацией.
Неработоспособное состояние — состояние объекта, при котором
значение хотя бы одного заданного параметра, характеризующего
способность выполнять заданные функции, не соответствует требованиям,
установленным НТД.
Предельное состояние - состояние объекта, сохраняющего работоспо-
собность, но при достижении которого его дальнейшая эксплуатация не до-
пускается. Применение (использование) объекта по назначению прекраща-
ют в следующих случаях:
-	при неустранимом нарушении безопасности;
-	неустранимом отклонении величин заданных параме тров;
-	недопустимом увеличении эксплуатационных расходов.
Для невосстанавливаемых объектов достижение предельного состоя-
ния является последним этапом в его функционировании, после чего объект
снимают с эксплуатации, а для восстанавливаемых объектов - определен-
ным состоянием в эксплуатации, требующим проведения ремонтно-восста-
новительных работ.
Признаки предельного состояния устанавливаются НТД на данный
объект. Достижение предельного состояния может определяться вре-
менными показателями, например для двигателя - временем его работы
(моторесурсом), или показателями физического состояния, например ко-
личеством обрывов проволоки на один погонный метр троса.
Дальнейшая эксплуатация объекта после наступления предельного со-
стояния с определенной степенью вероятности приведет к его отказу.
Между понятиями исправность и работоспособность имеются суще-
ственные принципиальные различия.
Понятие исправность шире, чем понятие работоспособность. Работо-
способный объект, в отличие от исправного объекта, соответствует только
гем требованиям нормативной документации, которые определяют его
нормальное функционирование.
Работоспособный объект может быть неисправным, однако его неис-
правность не является настолько существенной, чтобы нарушить нормаль-
ную работу (небольшие вмятины на облицовке, повреждение лакокрасочно-
го покрытия и др.). Исправный же объект всегда работоспособен.
67
Исходными, фундаментальными понятиями в теории надежности яв-
ляются понятия повреждение и отказ.
Повреждение - событие, заключающееся в нарушении исправности
объекта или его составных частей вследствие влияния внешних воздействий,
превышающих уровни, установленные в НТД на объект. Повреждение может
быть существенным, являясь причиной нарушения работоспособности, или
несущественным, при котором работоспособность объекта сохраняется.
Отказ — событие, заключающееся в нарушении работоспособности
объекта. Признаки (критерии) отказов должны устанавливаться в норма-
тивно-технической документации. Отказ является более узким понятием,
чем повреждение.
Отказы по признакам возникновения и проявления классифицируют
следующим образом:
-	внезапный отказ - отказ, характеризуемый скачкообразным измене-
нием одного или нескольких заданных параметров объекта;
—	постепенный отказ - отказ, связанный с постепенным изменением
одного или нескольких заданных параметров объекта;
—	независимый отказ - отказ элемента объекта, не обусловленный по-
вреждением или отказами других элементов объекта;
-	зависимый отказ - отказ элемента объекта, обусловленный повреж-
дением или отказами другого элемента объекта;
—	сбой — самоустраняющийся отказ, приводящий к кратковременному
нарушению работоспособности;
-	перемежающийся отказ - многократно возникающий сбой одного и
того же характера;
-	конструкционный отказ - отказ, возникающий в результате наруше-
ния установленных правил и норм конструирования;
—	производственный отказ - отказ происходящий в результате нару-
шения установленного процесса изготовления или ремонта объекта;
-	эксплуатационный отказ — отказ, возникающий в результате нару-
шения установленных правил и условий эксплуатации объекта;
-	систематический отказ — многократно повторяющийся отказ, обу-
словленный дефектами конструкции объекта, нарушением процесса его
изготовления, низким качеством используемых материалов и др.;
-	частичный отказ — отказ, после возникновения которого объект мо-
жет быть использован по назначению, но с меньшей эффективностью;
-	полный отказ - отказ, после возникновения которого объект не мо-
жет быть использован по назначению.
Применительно к отказу объекта рассматривают критерий, причину,
признаки, характер и последствия.
Критерии отказа позволяют установить факт нарушения работоспо-
собности. К примеру, наиболее распространенными критериями отказов для
двигателей летательных аппаратов являются трещины, нарушения регули-
ровок, износ и др.
Причинами отказов объектов могут быть дефекты, допущенные при
конструировании, производстве и ремонте, нарушение правил и норм экс-
68
плуатации, различного рода повреждения, а также естественные процессы
изнашивания и старения.
Признаками отказов объектов называют непосредственные или кос-
венные результаты определения или измерения значений параметров, уста-
новленных НТД и характерных для неработоспособного состояния объекта
(падение давления в камере сгорания, появление вибраций, изменение тем-
пературного режима и т. д.).
Характером отказа являются конкретные изменения в объекте, свя-
занные с возникновением отказа (механические разрушения и деформации
элементов конструкции, прогары камеры сгорания, трубопроводов и т. д.).
К последствиям отказа относят явления, процессы и события, воз-
никшие после отказа и в непосредственной причинной связи с ним, напри-
мер невыполнение программы полета летательного аппарата по техниче-
ским причинам.
Сохранение изделиями и их элементами работоспособного состояния в
эксплуатации зависит не только от условий работы, но и от технологии изго-
товления, так как в процессе изготовления закладываются различия в свойст-
вах одинаковых изделий. Причины этих различий следующие:
-	разброс (в пределах технических условий) значений параметров, оп-
ределяющих однородность структуры металла;
-	свойства поверхностей трения;
—	величины зазоров и натягов в сопряжениях деталей;
-	усилия затяжки крепежных соединений и т. д.
Все это приводит к тому, что изменение параметров каждого изделия
происходит индивидуально, а появление отказов и предельных состояний
носит случайный характер. Поэтому оцепить надежность изделий и выявить
закономерности изменения их параметров можно только статистическими
методами, характерными для теории вероятностей и математической стати-
стики.
Кроме общей классификации отказов, единой для всех технических
средств, для отдельных групп изделий в зависимости от их назначения и
характера работы может применяться дополнительная классификация по
другим критериям, например по сложности устранения отказов.
Объекты с точки зрения надежности характеризуются определенными
свойствами.
Свойства объектов. Надежность является комплексным свойством,
которое в зависимости от назначения объекта и условий его эксплуатации
может включать безотказность, долговечность, ремонтопригодность и со-
храняемость в отдельности или в определенном сочетании этих свойств как
для объекта, так и для его частей.
Безотказность - свойство объекта непрерывно сохранять работоспо-
собность в течение некоторого времени или некоторой наработки.
Долговечность — это свойство объекта сохранять работоспособность до
наступления предельного состояния при установленной системе техниче-
ского обслуживания и ремонта.
Ремонтопригодность - свойство объекта, заключающееся в приспо-
собленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения его
69
отказов, повреждений и устранению их последствий путем проведения ре-
монтов и технического обслуживания.
Сохраняемость - это свойство объекта непрерывно сохранять исправ-
ное и работоспособное состояние в течение и после хранения и (или) транс-
портирования.
Перечисленные выше свойства надежности имеют различную значи-
мость в зависимости от вида объектов и условий их эксплуатации. Для всех
невосстанавливаемых объектов определяющее свойство - это безотказ-
ность. Для изделий кратковременного или периодического использования
особое значение приобретают сохраняемость и безотказность. Для восста-
навливаемых объектов длительного применения важнейшими свойствами
надежности являются долговечность и ремонтопригодность.
Для того чтобы указать, в какой мере свойство надежности присуще
конкретному объекту, вводят показатели надежности.
Показатели надежности. Количественно надежность объекта оцени-
вают с помощью показателей, которые выбирают и определяют с учетом
особенностей объекта, режимов и условий его эксплуатации.
Одни показатели надежности могут иметь размерность, другие явля-
ются безразмерными.
По результатам испытаний на надежность получают статистические
определения (оценки) показателей. Для обозначения статистических оценок
будем использовать верхний индекс *, например Т* — статистическая оцен-
ка наработки до отказа.
Наиболее часто испытаниями на надежность объектов определяют пока-
затели безотказности — вероятность безотказной работы, среднюю наработ-
ку до отказа, интенсивность отказов; показатели долговечности - ресурс,
средний ресурс, срок службы; показатели ремонтопригодности — коэффи-
циент готовности, вероятность выполнения ремонтов и технического обслу-
живания (ТО) за установленную продолжительность; показатели сохраняе-
мости — вероятность сохранения работоспособности в течение заданного
срока хранения, у-процентный (гамма-процентный) срок сохраняемости.
Вероятность безотказной работы (ВБР) - вероятность того, что в
пределах заданной наработки t отказ не возникнет. Она выражается в виде
десятичной дроби, и ее значение, как и значение всякой вероятности, может
находиться в пределах от нуля до единицы. Это основной показатель безот-
казности, обозначаемый как P(t).
Пусть элемент начинает работу в момент времени to = 0, а в момент
времени 0 = Т\ происходит его отказ. При этом предполагают, что в на-
чальный момент исчисления заданной наработки элемент был работоспосо-
бен. Работоспособность элемента в течение заданной наработки t возможна
только в тех случаях, когда случайная наработка Т окажется больше или
равной t, т. е. вероятность безотказной работы можно выразить формулой
Р(0 = Вер(Г>Г).
70
Функцию P(f) называют также функцией надежности. Графически она
представляет собой монотонно убывающую кривую от P(t = 0) = 1 до значения
Р(/ = оо) = 0(рис. 2.10).
Какой бы уровень на-
дежности не имели элемен-
ты, всегда наступает мо-
мент, когда эти элементы
станут неработоспособны-
ми. Если рассмотреть кри-
вую надежности P(f), то
можно установить, что в
каждый момент времени t
элемент имеет определен-
ное значение вероятности
безотказной работы.
Наработка до отказа
Рис. 2.10. Кривая зависимости надежности
элемента от времени его работы
является непрерывной случайной величиной. В качестве основного показа-
теля надежности элемента можно назвать функцию распределения наработ-
ки до отказа, которая выражается зависимостью вида F(f) = Вср(71 < t).
Функцию распределения называют также вероятностью отказа элемента
до момента t, которую обозначают Q(f). Исходя из того, что работоспособ-
ное состояние и состояние отказа составляют полную группу несовместных
событий, сумма их вероятностей равна единице. Тогда ВБР будет
Р(г)= !-£(/).
Как и вероятность любого события, вероятность отказа и вероятность
безотказной работы могут быть оценены статистически.
Пусть на испытания по-
ставлено «о однотипных эле-
ментов. Число работоспособ-
ных элементов п, в процессе
испытаний уменьшается в связи
с отказами некоторых элемен-
тов (рис. 2.11). Испытания про-
водят в течение заданной нара-
ботки t, за которую требуется
оценить вероятность безотказ-
ной работы. По истечении вре-
мени t подсчитывают число от-
Рис. 2.11. График изменения числа
работоспособных элементов И, во времени
казавших элементов r(i). Тогда статистические оценки вероятности отказа и
безотказной работы приобретают вид
£?’(/)=—, ^*(0= 1 - —=—•
«о	«о «о
Связь между вероятностями и их оценками устанавливает закон боль-
ших чисел, который утверждает, что если ио —> оо, то Р (/) —» P(t) и
с>*(о-»ао.
71
Рассмотрим примеры расчета вероятностей отказа и безотказной
работы.
Пример 2.9. Длительность времени безотказной работы элемента име-
ет показательное распределение F(f) -1 - е-0 01' при t > 0. Найти вероятность
того, что за время длительностью / = 50 с: а) элемент откажет; б) элемент не
откажет.
Решение. Заданная функция распределения определяет вероят-
ность отказа элемента Q(t) за время длительностью Т<t. Подставив в инте-
гральную функцию распределения t = 50 с, получим вероятность отказа:
F(50) = 2(50) = 1 - е4’01 so = 1 -	=0,393.
События «Элемент откажет» и «Элемент не откажет» - противополож-
ные, представляющие полную группу. Поэтому вероятность того, что эле-
мент не откажет, т. е. сохранит работоспособное состояние,
Р(?) = 1 - Q(t), /’(50) = 1 - 0(50) = 1 - 0,393 = 0,607.
Пример 2.10. Испытывают два независимо работающих элемента.
Длительность времени безотказной работы первого подчиняется закону
Д (/) = 1 — е-0,02', а второго -F2(t) = 1-е”0,05'. Найти вероятность того, что за
время длительностью 60 с: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не от-
кажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент не откажет.
Решение. Отказ наступает по окончании времени безотказной ра-
боты элемента, поэтому вероятность отказа первого элемента
2, (60) = F, (60) = 1 - <?~°-02 60 = 1 - е-1,2 = 0,699.
Вероятность отказа второго элемента
22(60) = F2 (60) = 1 - е-0-05 60 = 1 - е-э’° = 0,950.
Вероятность того, что оба элемента откажут, по теореме умножения
вероятностей,
2,  22 = °.699 • °>950 = °,664.
Вероятность безотказной работы первого элемента
Д (60) = 1 - 2,(60) = 1 - 0,699 = 0,301.
Вероятность безотказной работы второго элемента
Д (60) = 1 - Q2 (60) = 1 - 0,950 = 0,050.
Вероятность безотказной работы обоих элементов
Д-Д = Д(60)Д(60) = 0,301 0,050 = 0,015.
Вероятность того, что откажет только один элемент, соответствует об-
щей вероятности события, которое состоит из того, что первый элемент не
откажет, а второй откажет, а также из того, что второй элемент не откажет,
а первый откажет:
Д22 + Д2, =0,301-0,950 + 0,050 0,699 = 0,321.
72
Вероятность того, что хотя бы один элемент не откажет, соответствует
общей вероятности события, при котором: не откажет первый элемент, а
второй откажет; не откажет второй элемент, а первый откажет; не откажут
оба элемента:
Р = Р£2 + P2Q + Р,Р2 = 0,321 + 0,015 = 0,336.
Этот же результат можно получить, используя условия, что событие
«Хотя бы один элемент не откажет» и событие «Откажут оба элемента»
есть события противоположные и составляющие полную группу. Сумма ве-
роятностей этих событий равна единице. Тогда
Р = 1 -Q} Q2 = 1 -0,664 = 0,336.
Если элемент работает в течение времени t непрерывно, то существует
плотность распределения отказов
/(Г) = ^Ж
J dt
Тогда, учитывая, что статистической оценкой вероятности отказа эле-
мента в период от 0 до t есть отношение числа отказавших элементов к чис-
лу поставленных на испытания элементов, запишем Q (t) = r(t) / п0. Прира-
щение вероятности отказа составляет &Q(f) = Ar/n0, тогда статистиче-
скую оценку плотности распределения находим по формуле
Д/ н0Д/
где Дг - число отказавших элементов на участке Д/.
Расчет плотности распределения отказов при известном законе их рас-
пределения рассмотрим на примере.
Пример 2.11. При испытании серии изделий был установлен закон
распределения отказов Q(t) = l-e~(1'02'. Найти плотность распределения от-
казов в момент t = 100 с.
Решение. Плотность распределения отказов
у(/) = ^£2 = О,О2е-°’и',
<7/
/(100) = 0,02-с41'02100 =0,0027.
Необходимо обратить внимание на то, что относительно низкое значе-
ние плотности распределения в конкретной точке не выражает высокую на-
дежность, так как кривая плотности распределения до рассматриваемой
точки в общем случае может иметь максимум.
Одной из важнейших характеристик надежности невосстапавливаемо-
го элемента является интенсивность отказов Mf), которая выражает на-
дежность элемента в каждый момент времени. Интенсивность отказов рас-
сматривают как условную плотность вероятности возникновения отказа
элемента, которая для рассматриваемого момента времени определяется
73
при условии, что до этого момента отказ не возник. Таким образом, интен-
сивность отказов X(t) является локальной характеристикой надежности в
том смысле, что вероятность отказа элемента, «дожившего» до момента t,
на очередном интервале (t + А/) зависит только от значений характеристики
?.(/) на этом интервале и не зависит от уровня надежности элемента вне это-
го интервала (рис. 2.12).
Учитывая, что Q (t) = 1 - Р (t) и f(t) =	, интенсивность
v '	dt d(t)
отказов находят по формуле
= Л£) =_______1 dP(t)
P(t) P(t) d{t) ’
Рис. 2.12. График изменения числа
работоспособных элементов
в интервале (/, t + Д/)
После проведения некото-
рых	преобразований
dP(f) « .. ,
= -Mt)dt и интегрирова-
/
ния получают In P(t) = -	.
о
Тогда вероятность безотказной
работы можно выразить через
интенсивность отказов:
Р(/) = ехр -|Х(/)с7/
. о
Полученная зависимость
является общей формулой вероятности безотказной работы элемента.
Для значений P(t) > 0,9 при Х = const формулу для вероятности безот-
казной работы в результате разложения в ряд с достаточной для практики
точностью можно представить в виде
P(t) = exp(-Xt) = 1 -Х/ +	+ ... + (-!)""1
7	2!	3!	п!
Принимая во внимание уменьшение значимости членов ряда, можно
записать простые формулы расчета вероятности безотказной работы и ве-
роятности отказа:
/*(/) = ехр(-Хг) = 1-Х/, Q(t) = X/.
Если рассмотреть два интервала (z0, /,) и (t0, /2), где t2 = h + At, то ве-
роятность безотказной работы в интервале (/ь /2) может быть выражена за-
висимостью
1'2	'|+Л'
-|Х(/)<7/  = ехр<- J "k{i)dt .
tj J I 6
С учетом свойств вероятностей для независимых событий вероятность
безотказной работы в интервале (t0,/2) будет
P(t0,t2) = P(t0,t,)P(t„t2).
14
Используя общую формулу вероятности безотказной работы элемента,
получают выражение
P(f0,Z2)=exp  -|Х(Г)<Л +
о
Интенсивность отказов определяют по результатам испытаний. Пред-
положим, что на испытания установлено «о элементов. Пусть nt - число
элементов, работоспособных к моменту времени t. Тогда при значениях Д/ и
и, получают выражение для расчета статистической оценки интенсивно-
сти отказов:
где Дг - число отказов на участке Д/. Статистическая оценка интенсивности
отказов равна отношению числа отказов, произошедших в единицу време-
ни, к общему числу работоспособных элементов в момент времени t. В от-
личие от плотности распределения интенсивность отказов относится к чис-
лу элементов, оставшихся работоспособными к моменту времени, опреде-
ляющему начало рассматриваемого интервала, а не к общему числу испы-
гуемых элементов.
Используя статистические оценки вероятности безотказной работы
Р (t) и вероятности отказа Q (Z), определяют статистическую оценку интен-
сивности отказов
X’(Z) = Ar WQ = Аг "о = АО
kt-n, по -По П' Р" (/) ’
где f (/) и Р (Z) - статистические оценки плотности распределения и веро-
ятности безотказной работы.
Следует отметить, что для некоторых специальных изделий требуемые
шачения вероятности безотказной работы достаточно велики и имеют зна-
чения не менее 0,999. Тогда при P(f) ~ 1 с учетом P(t) = получают ра-
венство Цг) =fit). Таким образом, при условии k(z) = const имеет место ра-
венство fit) = const, а наработка до отказа распределена по закону равно-
мерной плотности.
Покажем на примерах, как можно определить интенсивность отказов,
если известна зависимость вероятности безотказной работы по времени.
Пример 2.12. При проведении испытаний партий элементов была уста-
новлена зависимость вероятности безотказной работы по времени Р = е~° 05'.
Определить интенсивность отказов.
Решение. Найдем значение плотности распределения отказов, с-1:
/(Г) = б'(0 = -P'(t) = -(е-®’05')' = 0,05е-°-05'.
Тогда интенсивность отказов, с-1,
75
P(t) е*№'
Отметим, что при заданных условиях интенсивность отказов - величи-
на постоянная.
Пример 2.13. Определить при /= 20 с значение интенсивности отказов,
если вероятность безотказной работы описывается зависимостью
P(t) = е^'05'2.
Решение. Плотность распределения отказов
/(/) = -P'(t') = -Се-0-05'2)' = 0,1/  е ода',
тогда
Х(г)=^£_7—=0,1/,
е
а при t = 20 с A(Z = 20) = 2,0 с-1.
Отметим, что в отличие от предыдущего примера X # const.
Интервал времени (0, Г) работы элемента до отказа является случайной
величиной, характеризующей надежность элемента, которую называют на-
работкой до отказа. Математическое ожидание наработки до отказа назы-
вают средней наработкой до отказа и обозначают ТСр. Это один из основ-
ных показателей надежности. Среднюю наработку до отказа можно опреде-
лить по результатам испытаний.
Очевидно, что с течением времени работы элемента вероятность его
отказа в общем случае возрастает, а вероятность безотказной работы
уменьшается.
Так как средняя наработка до отказа есть математическое ожидание
непрерывной случайной величины Т, то для определения математического
ожидания непрерывной случайной величины можно применить формулу
Тср=/и,= ^tf(t)dt,
где f (I) - плотность распределения случайной величины - наработки до от-
каза Т.
С учетом зависимостей Q(t) — 1 - P(t), f(t) —	и реально-
dt dt
го условия, при котором значения текущего времени всегда положительны
(Z > 0), средняя наработка до отказа будет
7ср= - jzd!P(Z).
Интегрируя по частям, получают
Тср= ]p(z)<*.
О
76
Учитывая, что для экспоненциального закона распределения случай-
ной наработки P(f) = ехр(-Х/), среднюю наработку до отказа в этом случае
определяют по следующему выражению:
7’ср =	jexp(-X/)dt = 1/X.
О	о
Так же просто, как и интенсивность отказов, рассчитывают среднюю
наработку до отказа, если известна зависимость вероятности безотказной
работы от наработки до отказа.
Пример 2.14. При испытании партии элементов была установлена за-
висимость вероятности безотказной работы Р(/) = с-0,002'от наработки до от-
каза, где t - время, ч. Определить среднюю наработку до отказа и наработку
до отказа при доверительной вероятности у = 0,95.
Решение. Отметим, что при P(t) = cz0,002' интенсивность отказов
X = 0,002 ч’1. Тогда
Тер = 1 / X = 1 / 0,002 = 500.
Для определения наработки до отказа но заданному уровню надежно-
сти подставим заданные условия в зависимость Р(/) = е-0 002' и получим
уравнение е-0’002' =0,95. Его решение будет L=0<JS = 254 ч.
Следует также отметить, что вероятность безотказной работы элемен-
тов при будет P(t = 5ОО) = е“0,002500 ~е~' =0,368. Это значит, что к мо-
мент)' t = Тср только 36,8 % элементов останутся работоспособными.
Таким образом, приведенные выше основные термины и определения
теории надежности представляют собой базу для последующего рассмотре-
ния вопросов надежности.
2.6.	Требования к надежности изделий
Требования к надежности изделий и методы контроля их выполнения
являются основными элементами процедуры управления надежностью про-
дукции. Эти требования определены в соответствующих документах (тех-
нических заданиях, стандартах, технических условиях, контрактах на по-
ставку продукции и др.).
Надежность конструкции в широком смысле этого слова должна закла-
дываться конструкторами при проектировании, технологами - при разработ-
ке технологических процессов и обеспечиваться производственниками.
Различают количественные и качественные требования к надежности
изделия.
Количественные требования устанавливают в виде соответствующих
норм на показатели надежности. Эти требования должны назначаться таки-
77
ми, чтобы обеспечивалась возможность оценки их значений путем проведе-
ния испытаний на надежность.
Показатели надежности изделий подразделяют на первичные (отказ,
наработка, время устранения отказа и др.) и расчетные (вероятность безот-
казной работы, интенсивность отказов, средняя наработка до отказа и др.).
Показатели надежности носят случайный характер проявления. Получать
устойчивые количественные характеристики свойств надежности можно,
как правило, лишь при достаточно больших объемах статистических дан-
ных, наблюдая (испытывая) изделия в течение продолжительного времени
или наблюдая (испытывая) достаточно большие совокупности изделий. В
связи с этим для оценки выполнения количественных требований к надеж-
ности изделий применяют вероятностно-статистические методы.
Различают индивидуальные и групповые показатели надежности: ин-
дивидуальные показатели характеризуют надежность каждого отдельного
изделия, групповые - надежность совокупности изделий, например партии.
Количественные требования к надежности изделий и соответствующие
показатели задают путем указания предельных значений R^p (R - значение
некоторого показателя надежности), выполнение которых является обяза-
тельным для организаций-разработчиков и изготовителей. При нормирова-
нии показателей надежности обычно применяют односторонние нормы ви-
да R<Rrp или R>Rrp. Характер неравенства определяют физическим
смыслом показателя: для вероятности безотказной работы, например, ис-
пользуют вид «не меньше», для интенсивности отказов — «не больше». Если
по результатам испытаний будет установлено несоблюдение заданных норм
хотя бы по одному показателю надежности, то изделие (партия) считается
браком.
Качественные требования связаны с конструкционными, производст-
венными и эксплуатационными способами обеспечения надежности.
Конструкционные способы зависят от следующих требований:
-	к видам и кратности резервирования;
-	расположению и связям элементов конструкции;
-	ограничению номенклатуры комплектующих и материалов;
-	аппаратуре контроля состояния изделия в процессе его эксплуатации
и т. п.
К производственным способам относят требования к организации вход-
ного и приемочного контроля качества комплектующих и сборочных единиц,
способам технологической наработки изделий после окончательной сборки.
К эксплуатационным способам обеспечения надежности предъявляют
следующие требования:
-	к системе технического обслуживания и ремонта;
-	составу запасных частей (ЗИП);
-	квалификации персонала, обслуживающего и ремонтирующего изде-
лия;
-	системе учета, сбора и представления информации о надежности из-
делия и т. п.
78
Для создания надежной конструкции необходимо на основе современ-
ных методов проводить такую оценку надежности, которая позволит при-
нимать однозначные решения об уровне надежности изделия.
Таким образом, особенности ракетного двигателя как объекта оценки
надежности определяются задачами и условиями применения, особенно-
стями их конструкции и характера протекающих в них процессов.
***
Теория надежности является комплексной дисциплиной и состоит из
таких разделов, как математическая теория надежности, надежность по от-
дельным физическим критериям отказов (физика отказов), расчет и прогно-
зирование надежности, мероприятия по повышению надежности, контроль
надежнос ти (испытания) и техническая диагностика.
Задания для самостоятельной работы
2.1.	При работе электронной вычислительной машины время от време-
ни возникают неисправности (сбои). Поток сбоев можно считать простей-
шим. Среднее число сбоев в месяц равно 1,5. Найти вероятность следую-
щих событий:
-	событие А - за два месяца не будет ни одного сбоя;
-	событие В - в течение одного месяца произойдет хотя бы один сбой;
-	событие С - за неделю работы ЭВМ произойдет не менее трех сбоев.
Примечание. Простейшим потоком считают последовательность событий, насту-
пающих одно за другим в случайные моменты времени с плотностью K(z) = const.
У Казани е. При решении необходимо использовать формулу, оп-
т
ределяющую вероятность событий при простейшем потоке Рт =—е~“, где
т\
т - число событий, вероятность появлений которых определяется; а - ма-
тематическое ожидание случайной величины (числа событий) в период т,
при простейшем потоке а = Ул, здесь к — const - плотность потока отказов
(число отказов в единицу времени).
Ответ-. Р(А) = 0,050; Р(5) = 0,777; Р(С) = 0,998.
2.2.	При испытании некоторого элемента получена зависимость функ-
ции распределения отказов Q{t) = 1 - е'0,06'. Найти вероятность отказов в ин-
тервале (20, 50).
Ответ-. £?(20 < t < 50) = 0,252. Q(a < t < b) = Q(b) - Q(a) = (1 -	-
-(1 -e^) = e^-eu.
2.3.	Построить кривые надежности, интенсивности отказов и плотно-
сти распределения отказов по данным таблицы, полученным при обработке
результатов испытаний серии газотурбинных установок:
79
Время работы установок, с	Число работоспособ- ных установок	Время работы установок, с	Число работоспо- собных установок
0	20	140	8
100	20	145	7
по	19	150	7
115	19	155	6
120	17	160	5
125	15	165	4
130	12	170	3
135	10	175	1
2.4.	По результатам расчетов предыдущей задачи определить допусти-
мый ресурс работы газотурбинных установок при заданной вероятности
безотказной работы 0,990.
2.5.	Космический летательный аппарат, движущийся по своей орбите в
течение х суток, может случайным образом сталкиваться с метеоритами.
Метеориты, пересекающие орбиту и сталкивающиеся с аппаратом, образу-
ют простейший поток с плотностью 1 = с (число метеоритов в сутки). Ме-
теорит, попадающий в аппарат, пробивает оболочку с вероятностью Р}. Ме-
теорит приводит к отказу аппарата с вероятностью Р2.
Найти вероятность следующих событий:
- событие А - за время полета аппарата его оболочка будет пробита;
— событие В — за время полета аппарата произойдет его отказ по при-
чине поражения метеоритом.
У Казани е. При решении необходимо использовать формулу, при-
веденную в задаче 2.1. Математическое ожидание числа метеоритов, про-
бивающих оболочку at=x-c-Р,, а число метеоритов, пробивающих обо-
лочку и поражающих аппарат, - а2 = х  с  РхРг.
Ответ: Р(Л) = 1-е~1сР'; Р(В) = 1-е~хсРЛ.
2.6.	Определить вероятность безотказной эксплуатации перемонтируе-
мой ДУ при постоянной интенсивности отказов X и равенстве среднего сро-
ка сохраняемости и гамма-процентного срока сохраняемости. Принять
p(t = 0) = 1, доверительную вероятность равной у, единичный рабочий ре-
сурс - tp.
Ответ: уе .
2.7.	Определить наименьшее количество необходимых испытаний (при
отсутствии отказов) для подтверждения заданной ТЗ вероятности безотказ-
ной работы ртз при доверительной вероятности у.
Ответ: In (1 — у) / In р13.
2.8.	Во сколько раз, по сравнению с безотказными испытаниями, воз-
растет количество испытаний изделия, в ходе которых произойдет один от-
каз, для подтверждения уровня ВБР р(/р) > 0,95 при у = 0,9?
Ответ: увеличится в 1,69 раза.
80
2.9.	Как и во сколько раз изменится количество безотказных испыта-
ний при изменении доверительной вероятности с 0,9 на 0,99?
Ответ: увеличится в 2,0 раза.
2.10.	Как и во сколько раз изменится количество безотказных испыта-
ний при изменении нижней доверительной границы ВБР с 0,9 на 0,95?
Ответ: увеличится в 2,05 раза.
2.11.	Средний технический ресурс двигателя равен 3 000 с. Определить
гамма-процентный ресурс (у =0,95) при нормальном законе распределения
наработки двигателя до наступления предельного состояния (среднее квад-
ратическое отклонение наработки до отказа - 304 с).
2.12.	Выбрать оптимальное значение ВБР двигателя по условию мини-
мума затрат средств на его создание и применение. Считать все испытания
IV безотказными, а материальные затраты на отработку двигателя Д)тр = aN,
где а - коэффициент, отражающий стоимость подготовки и проведения ис-
пытаний. Отказ двигателя при его применении наносит ущерб стоимостью
А. Заданная в ТЗ доверительная вероятность равна у.
Ответ: ~+^^+~(1 —У)1п(1 —у) 
2.13.	Найти постоянное значение интенсивности отказов ДУ при сле-
дующих значениях ВБР в начальный и конечный моменты ее работы:
p(t = 0) = 1 и p(tp = 513 с) = 0,95.
Ответ: 10-4 с"1.
2.14.	Определить допустимое число отказов при 500 испытаниях дви-
гателя для подтверждения уровня ВБРp(tp) > 0,99 при у= 0,95.
Ответ: 1 отказ.
2.15.	Оценить вероятность отказа при срабатывании пиропатрона, если
в 100 испытаниях получена нижняя доверительная граница вероятности ус-
пешного срабатыванияри= 0,95 при у= 0,95.
Ответ: 0,02.
2.16.	Найти необходимое число безотказных испытаний ДУ для подтвер-
ждения нахождения вероятности безотказной работы p(tp) = 0,98 внутри дове-
рительного интервала |2Д| = 0,05 при доверительной вероятности у = 0,95.
Ответ: 65 испытаний.
2.17.	Два типа двигателей имеют одинаковые средние технические ре-
сурсы и вероятности возникновения отказа. Дисперсия наработки двигате-
лей первого типа больше, чем у двигателей второго типа. У какого типа
двигателей больше единичный рабочий ресурс?
Ответ: у двигателей второго типа.
() Пепьпапнс ракетных двипнслсй
81
2.18.	Как изменится оптимальное значение ВБР ДУ по условию мини-
мума затрат средств на ее создание и применение при увеличении стоимо-
сти отказа ДУ?
Ответ: возрастет.
2.19.	Определить вероятность безотказной эксплуатации ДУ
10-кратного применения при следующих условиях:
а)	время подготовки ДУ к повторному использованию составляет 1 %
от установленного срока эксплуатации;
б)	вероятность выполнения технического обслуживания и необходимо-
го ремонта за установленную продолжительность равна вероятности сохра-
нения работоспособности в течение заданного срока хранения;
в)	средний срок сохраняемости равен гамма-процентному сроку сохра-
няемости при у = 0,95;
г)	интенсивность отказов ДУ постоянна и равна 2 • КГ6 с-1;
д)	единичный рабочий ресурс составляет 5 500 с;
е)	ВБР в начальный момент времени равна 1.
Ответ: 0,8.
2.20.	Результаты испытаний 50 двигателей на ресурс (до отказа) приве-
дены в таблице:
Номер группы деталей	Ресурс, с	Количество отказавших двигателей
1	0...250	1
2	250... 500	1
3	500... 750	3
4	750... 1 000	4
5	1 000...1 250	8
6	1 250... 1 500	13
7	1 500... 1 750	10
8	1 750...2 «10	8
9	2 000...2 250	2
10	2 250...2 500	2
Построить зависимости оценки вероятности отказа и интенсивности
отказов от времени для данного типа двигателей.
Ответ:
Время t, с	Оценка вероятности отказа q*(t)	Интенсивность отказов АД)- 104, с1
0	0	0,800
250	0,02	0,816
500	0,04	2,500
750	0,10	3,556
1 000	0,18	7,805
1 250	0,34	15,76
1 500	0,60	2бД0
1 750	0,80	24,00
2 000	0,92	20,00
2 250	0.96	40,00
2 500	1,00	
82
2.21.	При испытаниях до отказа 18 экземпляров двигательной установ-
ки получены следующие значения времени наступления предельного со-
стояния и появления износовых отказов: 320, 580, 1 000, 1 360, 2 000, 2 600,
2 800, 3 800, 4 200, 5 400, 5 600, 6 800, 8 200, 9 000, 10 400, 12 400, 16 000,
22 000 с. Определить средний технический ресурс, а также оценить долго-
вечность ДУ в случае ограничения времени испытаний 2 000 с.
Ответ: 6 359 с; 6 252с.
2.22.	Значения наработки до отказа 12 однотипных двигателей соответ-
ственно составляют 30, 45, 65, 95, 170, 260, 410, 520, 675, 920, 1 250, 1 500 с.
Оценить средний технический ресурс двигателя и его среднее квадратиче-
ское отклонение.
Ответ: Ткр = 495 с; <5^=497,76 с.
2.23.	Интенсивность отказов ДУ постоянна и равна 10 4 с"1. Найти зна-
чения среднего технического и гамма-процентного ресурсов при довери-
тельной вероятности у =0,50 и у = 0,95.
Ответ: Тср - 104 с; Д=о,5 = 6 931,5 с; Д-о.95 = 512,9 с.
2.24.	По результатам испытаний двигателя получен нормальный закон
распределения времени появления отказа со следующими параметрами: ма-
тематическое ожидание 7’ср = 5 000 с, среднее квадратическое отклонение
= 600 с. Определить ВБР двигателя в момент времени t = 4 000 с и гамма-
процентный ресурс при вероятности у= 0,99.
Ответ: 0,9 525; 3 605 с.
2.25.	Логарифм времени наступления предельного состояния ДУ подчи-
няется нормальному закону распределения: 1g т	где матема-
тическое ожидание £(lgz) = 3,1, дисперсия <5^=0,061 1. Найти:
а)	средний технический ресурс ДУ и его среднее квадратическое от-
клонение;
б)	значение ВБР в момент времени / = 800 с;
в)	гамма-процентный ресурс при доверительной вероятности у = 0,9.
Ответ: а) Др = 1 480,3 с; о/ = 915,6 с; б) pit = 800 с) = 0,79;
в) Д»о,9= 607,6 с.
2.26.	Распределение вероятности возникновения износового отказа из-
делия описывается следующей зависимостью (законом Вейбулла):
где t > 1 200 с. Определить:
а)	значения ВБР и интенсивности отказов в момент времени t = 2 500 с;
б)	средний технический ресурс изделия;
83
в)	гамма-процентный ресурс при доверительной вероятности 0,99.
Ответ: a) p(t = 2 500 с) = 0,9692,	= 2 500 с) = 9,64 • 10-5с-1;
б)	= 4 000,8 с; в) Ty=0fi9 = 2 178,4 с.
2.27.	Определить диаметр люка шлюзовой камеры космического ко-
рабля при условии, что вероятность удара плечом космонавта о край люка
не должна превышать 1 %. Принять среднестатистическую ширину плеч
1-N(500 мм, 202 мм2).
Ответ: 546,5 мм.
2.28.	Давление в камере сгорания неотработанного двигателя, вслед-
ствие неустойчивости рабочего процесса, имеет в конце единичного ра-
бочего ресурса tp рассеивание (дисперсию) о = бМПа около номинально-
го (среднего) значения (р )	= 25МПа. Силовая оболочка камеры сгора-
ния рассчитана на максимальное давление (fQ = 35МПа. Найти веро-
ятность разрушения камеры двигателя и вероятность безотказной работы,
т. е. вероятность нахождения давления в установленных ТЗ пределах:
21 МПа < р* < 29МПа. Считать закон распределения значений рк нормаль-
ным, т. е. р ~ N [25МПа, (6МПа)2].
Олгвет:р(рк>35МПа)=0,04746;р(21 МПа < р*< 29МПа) = 0,497 2.
2.29.	Для условий задачи 2.28 определить интенсивность параметриче-
ских отказов при t = 500 с.
Ответ: = 10-3 с-1.
2.30.	Определить наработку, в течение которой надежность двигателя в
отношении износовых отказов будет больше чем 0,95 при условии, что
гамма-процентный ресурс 7’т_095= 5  103 с.
Ответ: 5 • 103 с.
2.31.	Найти вид функции распределения времени появления внезапных
отказов на участке нормальной эксплуатации двигателя (А, = const) при
среднем техническом ресурсе Т .
1 -г
Ответ: —е ср.
Т
ср
2.32.	По графику изменения вероятности безотказной работы двига-
тельных установок в зависимости от их наработки при различных значени-
X
ях интенсивностей отказов А.2, А,3 (рис. 2.13) определить отношения —- и
Л2
А.
— и значение А^ при z = 1 500 мин.
А.3
Ответ: 0,737; 0,369; 3,406 • 1 О'4 мин-1.
84
2.33.	Определить вероятность безотказной работы двигателя при нара-
ботке, равной среднему техническому ресурсу, и условии постоянства ин-
тенсивности отказа.
Ответ: 0,367 9.
2.34.	Двигательная установка разгонного аппарата (от первой космиче-
ской скорости до второй) первые три часа работает на первой группе баков
с ВБР р\ = 0,97, в последующие два часа - на второй группе баков с ВБР
рг = 0,95, затем в течение часа — на третьей группе баков с ВБР рз = 0,99.
Найти среднее зна-
чение ВБР за время
работы ДУ.
Ответ: 0,966 7.
2.35.	Рассчитать
надежность ДУ для
приведенного на
рис. 2.14 интервала
временной зависимо-
сти интенсивности
отказов двигательной
установки.
Ответ: 0,930 6.
Рис. 2.14. Временная зависимость интенсивности
отказов ДУ к заданию 2.35
2.36.	Определить оптимальную периодичность выполнения регламент-
ных работ для двигателя многоразового использования, если интенсивности
появления неисправностей и отказов постоянны и соответственно равны
7,| И А-2-
Ответ: (In Х| — In Аг) / (А, - Хг).
85
2.37.	Найти время календарного срока замены пневмоклапана на линии
горючего двигателя многоразового использования, если средний техниче-
ский ресурс клапана, равный 105с, распределен по нормальному закону с
дисперсией 102 с, а наработка клапана между регламентными работами со-
ставляет 103 с.
Рис. 2.15. График изменения интенсивностей
отказов двигательных установок о и б
к заданию 2.38
2.38.	Графики изменения
интенсивностей отказов двух
двигательных установок а к б
на начальном участке работы
приведены на рис. 2.15. Какая
из двигательных установок
имеет в своем составе большее
количество однородных эле-
ментов? Какое мероприятие
целесообразно провести для
повышения надежности рабо-
ты этой ДУ?
Ответ-. Двигательная установка а, для которой следует провести при-
работку.
2.39.	Используя графики изменения интенсивностей отказов различных
двигателей, приведенные на рис. 2.16, оценить правильность установления
технического ресурса Гср.
Ответ: Тср правильно установлен для двигателя, Z(z) которого харак-
теризуется кривой, изображенной на рис. 2.16, а.
Рис. 2.16. Графики изменения интенсивности отказов двигателей к заданиям 2.39, 2.40
2.40.	Определить средний технический ресурс двигателя, интенсивность от-
казов которого характеризуется кривой, изображенной на рис. 2.16, б.
Ответ: —
2.41.	Используя временную зависимость интенсивности отказов двига-
тельной установки, приведенную на рис. 2.14, определить время, в течение ко-
торого будет обеспечена вероятность безотказной работы ДУ р = 0,95.
Ответ: 3 000 с.
86
2.42.	Определить среднее время безотказной работы испарительной
системы наддува бака окислителя ДУ, представленной на рис. 2.17, если
средний технический ресурс испарителя равен Т. Интенсивности отказов
элементов системы наддува приведены в следующей таблице:
Номер позиции на рис. 2.17	Элемент системы наддува	Интенсивность отказов, X = const
1	Испаритель	2,ОХ
2	Жиклер регулирования температуры газа	1,5Х
3	Кавитационное сопло Вентури	1,ЗХ
4,6	Разрывная мембрана	1,5Х
5	Трубопроводы, шесть участков	1,0Х
7	Г азорас i 1ределитег ,ь	1,ЗХ
Ответ: 0,132 5 Т.
2.43.	Газогенераторная система наддува топливного бака приведена на
рис. 2.18. Определить, какая из приведенных систем наддува имеет боль-
шую надежность; во сколько раз больше при наработке t = 0,1 Т, используя
данные таблицы:
Номер позиции на рис. 2.18	Элемент системы наддува	Интенсивность от- казов, X = const
1	Теплообменник	2, ОХ
2	Жиклер регулирования температуры газа	1,5Х
3	Расходомерное сопло	1,ЗХ
4	Трубопроводы, шесть участков	1,0Х
5	Разрывная мембрана	1,5Х
6	Газораспределитель	1,ЗХ
Ответ: газогенераторная система; в 1,025 раза.
Рис. 2.17. Схема испарительной системы
поддува бака окислителя ДУ
к заданию 2.42
Рис. 2.18. Схема газогенераторной
системы наддува
топливного бака к заданию 2.43
(обозначения см. в тексте)
(обозначения см в тексте)
2.44.	По результатам стендовой отработки двигателя (эквивалентное
число испытаний составило 148 при отсутствии зачетных отказов) получен
87
показатель надежности в виде нижней границы одностороннего довери-
тельного интервала вероятности безотказной работы р = 0,98 при довери-
тельной вероятности у = 0,95. Уточнить показатель надежности, если про-
ведено 30 успешных летных испытаний.
Ответ'. рк = 0,983 3.
2.45.	Вероятностная ошибка (отклонение, в котором находится поло-
вина всей совокупности) в определении точки приводнения при возвраще-
нии капсулы космического аппарата «Меркурий» составила 66 км. Капсула,
в которой находился астронавт Дж. Гленн, отклонилась от намеченной точ-
ки падения на 83 км. Допуская существование нормального распределения,
определить вероятность того, что в последующих орбитальных полетах
точка приводнения отклонится на расстояние, превышающее отклонение
капсулы с астронавтом Дж. Гленном.
Ответ'. 0,396.
2.46.	Определить необходимое количество летных испытаний ЖРД при
экономически оправданном подтверждении надежности двигателя совокуп-
ностью стендовых NCH и летных Nnfl испытаний. Условия подтверждения
надежности сформулированы в виде
Р = Ь Ри	при у>утз,
где р — вероятность безотказной работы (требование отсутствия зачетных от-
казов); рн и рТ-3 - расчетное и заданное значения нижней границы односторон-
него доверительного (с вероятностью у и утл соответственно) интервала ВБР.
Считать известными стоимости стендового испытания аси и испытаний дви-
гателя в составе ракеты али, капиталовложения на имитацию летных условий
Д,м. Доверительную вероятность, связанную с полнотой и достоверностью
имитации летных условий, принять равной уим.
Решение. Рассмотрим функцию суммарных экономических затрат
в виде
4 = «с.Ле.И + «лЛ.. + Лм 
Используя соотношение N = ftp,,, у), получим следующие зависимости
для определения требуемых объемов безотказных стендовых и летных ис-
пытаний для подтверждения рТЗ:
^1п(1-утз/у„м)	, =1п(1-ут>)
1пА.3	1г|Ал
Введя эквивалент летного и стендового испытаний
М-у,,)
Х.и ln(l-Y„/Y„j’
запишем эквивалентное, т. е. приведенное к летным условиям, число испы-
таний, если проведено NCM стендовых и 7УЛИ летных испытаний:
88
Тогда
N - InO-Yrs)
lnp„
ln(l -Ут.,/Уим)

N _‘n(l-Y,3/Y„M) N ln(l-YT.,/Y„M)
VC.H	1—	iVn.n 1 Z1	x
ln(l-YT3)
In/л
Подставив это выражение в функцию суммарных затрат и поделив по-
членно функцию затрат на стоимость отработки двигателя только в летных
условиях, получим
4 = Ден b(l-Y„/YHM)(1 _	, 4,м
«лиХл «ли ln(l-Y„) N'nM N'„M aju'
Очевидно, что подтверждение надежности совокупностью стендовых и
летных испытании экономически оправданно, если ---—< 1, что эквива-
а N
Л.И Л.И
лентно выполнению условия
ln(l~Y,,)
1пЛ-,
дг <b(l-YT3)
Л.И —	1
а Ь(1-утз/у„м)
л" 1п(1-утз) ся
ИЛИ
1П(1-У„/Уим)|7
ли ln(l-Y„) ‘
Отметим, что при 7VCJ1=0, т. е. при А^ = асм =0,
4=«лЖ.и-
и
При W„.„= 0 - NCM = N'cu и 4 = a^N'CM + Д,ы.
2.47.	Определить экономически оправданное соотношение капитало-
вложений на имитацию летных условий и стоимости испытаний РД в соста-
ве ракеты для подтверждения надежности двигателя ртз = 0,99 совокупно-
стью стендовых и летных испытаний при следующих условиях: р = 1;
Угз = 0,95; Уим = 0,99; аС1) - 0,1ал|1; Nntl = 60. (Принятые обозначения
аналогичны обозначениям в задаче 2.46.)
Ответ: А < 212,57 а .
НМ	Л.И
2.48.	Определить суммарный объем стендовых и летных испытаний
требуемый для подтверждения надежности ДУ р13 = 0,99 при утз = 0,95 при
условии отсутствия зачетных отказов и доверительной вероятности, связан-
ной с полнотой и достоверностью имитации легных условий уим = 0,99. Фак-
тический объем стендовых испытаний составляет Ncll = 255.
Ответ: 315.
2.49.	Для условий задачи 2.48 найти относительное увеличение сум-
марного объема испытаний (,N3.W + Nnv)l N3 из-за определенной неуверен-
89
ности в достоверности имитации летных условий при стендовой отработке
двигателя.
Ответ'. 1,06.
2.50.	Получить критерий достаточности имитации летных условий при
стендовой отработке ЖРД, если ВБР двигателя в зависимости от параметра
х, характеризующего условия эксплуатации, равна р(х). Плотность распре-
деления параметра х при стендовых и летных испытаниях описываются
нормальным законом Л^СЛ(х,о^и) и Л^Дх,^,,).
2.51.	Для условий задачи 2.50 определить вероятность достоверной
имитации летных условий, если при стендовых испытаниях работоспособ-
ность двигателя проверена в диапазоне значений параметра
хли >хси = х-2оли <х<хси = х + 2о >х .
л-ипип с-итш	л-и	с-итах	л-и л-итах
Ответ: 0,954 5.
Контрольные вопросы и задания
1.	Дайте определение оценки вероятности события и объясните усло-
вие сходимости оценки и вероятности события.
2.	Поясните основную аксиому теории вероятностей.
3.	Перечислите и поясните смысл основных правил (теорем) теории ве-
роятностей.
4.	Назовите следствия основных теорем теории вероятностей.
5.	В чем заключается понятие надежности как свойства объекта?
6.	Перечислите и дайте определения основных состояний и событий,
которыми характеризуется надежность.
7.	В чем состоят отличия состояний исправность и работоспособ-
ность объекта?
8.	При каких условиях наступает предельное состояние объекта?
9.	Какими могут быть объекты по способности к восстановлению рабо-
тоспособного состояния?
10.	Какими могут быть отказы по типу и природе происхождения?
11.	Перечислите основные признаки классификации отказов.
12.	Перечислите и дайте определение свойств (составляющих) надеж-
ности.
13.	Дайте определение показателя надежности.
14.	Перечислите показатели безотказности объекта.
15.	Как определяют статистическую оценку интенсивности отказов?
16.	Как находят статистические оценки плотности распределения и ве-
роятности безотказной работы?
Глава третья
ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ ИСПЫТАНИЙ
Основным способом получения информации при проведении испыта-
ний ракетных двигателей является измерение. Погрешности свойств изме-
рения и нормы на них - это важнейшие метрологические характеристики.
Результаты измерения обрабатывают статистическими методами и делают
оценку надежности испытываемого двигателя. Чтобы минимизировать за-
траты на оценку надежности и сроки ее осуществления, необходимы со-
вершенные методы планирования испытаний. Рассмотрим эти вопросы.
3.1.	Общие положения
Несмотря на большое разнообразие изделий ракетно-космической тех-
ники, организация их испытаний, сбор и обработка информации являются
одинаковыми для любых видов испытаний.
Испытания проводят по разработанной для каждого испытания и ут-
вержденной в установленном порядке программе-методике, в состав кото-
рой включают план испытаний, методы измерения параметров испытывае-
мого изделия и обработки полученных при испытании данных и правила
принятия квалификационных решений по результатам испытаний.
План испытаний является одним из основных организационно-техни-
ческих документов, который определяет число испытываемых изделий,
продолжительность и (или) критерий прекращения испытаний, характер
действий с отказавшими в процессе испытаний изделиями (замена, восста-
новление и т. п.).
При анализе надежности изделия все его элементы распределяют в
следующие группы:
—	элементы, отказы которых практически не влияют на работоспособ-
ность изделия (окраска, детали внешнего вида, маркировка и др.);
-	элементы, работоспособность которых за рассматриваемый период
практически не изменяется, т. е. показатели надежности этих элементов
имеют постоянные значения и практически не зависят от времени наработ-
ки изделия (корпусные детали, резьбовые соединения, электрические ка-
бельные сети и др.);
-	элементы, отказ которых приводит к отказу изделия. При рассмотре-
нии вопросов надежности анализу и оценке подлежат именно эти элементы.
Для определения показателей надежности используют расчетные, экс-
периментальные и расчетно-экспериментальные методы.
К расчетным относят методы, основанные на вычислении показателей
надежности по справочным данным о надежности составных частей, свой-
91
ствах материалов, физической природе механизма отказа, а также по другой
информации об изделии, имеющейся к моменту оценки надежности.
К экспериментальным методам относят методы, основанные на ис-
пользовании статистических данных, получаемых при испытаниях изделий
на надежность.
В большинстве случаев методы обработки результатов испытаний на
надежность являются расчетно-экспериментальными, т. е. учитывающими
определенные исходные данные и результаты, полученные эксперимен-
тальными методами. Обязательное условие для использования исходных
данных — их достоверность и взаимное признание всеми заинтересованны-
ми в результатах испытаний сторонами.
Принятие решений по результатам испытаний должно осуществляться
но определенным правилам, которые должны иметь простую и ясную фор-
му, не допускать неопределенности толкований и многозначности решений,
например: «Контролируемые показатели надежности изделия соответству-
ют заданным требованиям (нормам)» или «Контролируемые показатели на-
дежности изделия не соответствуют заданным требованиям (нормам)».
Эффективность методов контроля и однозначность принимаемых по ре-
зультатам испытаний решений в значительной мере зависят от четкого опре-
деления объектов контроля надежности. При проведении испытаний необхо-
димо однозначно указать объект контроля и тем самым установить, на какую
совокупность (группу, партию) изделий следует распространять результаты
испытаний. Например, на этапе испытаний опытных образцов при отработке
конструкции изделия объектом контроля будут все опытные образцы, изго-
товленные по одной и той же конструкторской документации, и результаты
испытаний следует распространить и на них, тогда как при периодических
испытаниях полученные результаты следует относить к совокупности изде-
лий, изготовленных за рассматриваемый календарный период.
Поскольку методы контроля надежности являются основой регулиро-
вания производственных и коммерческих отношений разработчиков, изго-
товителей и потребителей, необходимо обеспечивать воспроизводимость
результатов контроля надежности. Это значит, что методы контроля при
повторных испытаниях одних и тех же объектов должны давать совпадаю-
щие решения независимо от того, кто их проводит. Количественно воспро-
изводимость результатов контроля определяют заданным интервалом, в ко-
тором с установленной вероятностью могут находиться значения модуля
разности любой пары результатов повторных испытаний. На основании
этих результатов принимают решение о соответствии уровня надежности
изделия или партии изделий установленным требованиям.
Воспроизводимость результатов обеспечивают прежде всего аттеста-
цией испытательного оборудования и средств измерений в соответствии с
действующей нормативно-технической документацией. Проведение такой
аттестации для испытательной станции (организации) является обязатель-
ной процедурой.
Очень важным этапом при проведении испытаний на надежность являет-
ся выявление параметров изделий, лимитирующих их надежность, и установ-
92
лепие методик испытаний. Выбор таких методик производят по результатам
анализа причин отказов изделия и (или) достижения им предельного состоя-
ния. Методика испытаний должна гарантировать получение результатов с
нормированной точностью.
Исходя из значимости методов оценки погрешностей измерений и
уровня надежности при проведении испытаний ракетных двигателей по оп-
ределенным планам, рассмотрим их более подробно.
3.2.	Метрологические характеристики. Оценка
погрешностей
Представим основные понятия и определения, связанные с погрешно-
стями измерений и измерительных средств, и приведем примеры, пояс-
няющие методы оценки погрешностей.
Основные понятия и определения. Для изделий с отработанной кон-
струкцией определяющими факторами с точки зрения обеспечения надежно-
сти являются точность, надежность и стабильность технологических процес-
сов их производства и строгое соблюдение технологической дисциплины.
Точность технологического процесса есть степень соответствия дейст-
вительных значений параметров производимой продукции значениям, за-
данным чертежами и техническими требованиями.
Надежность технологического процесса - свойство процесса сохра-
нять в заданных пределах в течение определенного времени значения ха-
рактеристик качества и объема продукции.
Под стабильностью понимают свойство технологического процесса,
обусловливающее постоянство значений его параметров в течение некото-
рого промежутка времени без незапланированного вмешательства извне.
')то значит, что если оборудование настроено на заданный режим, то в те-
чение планового отрезка времени изготовленная продукция должна иметь
параметры, соответствующие установленным нормативам.
Анализ точности и стабильности должен проводится для достижения
следующих целей:
-	оценки возможности изготовления изделий на данной технологиче-
ской операции с заданными показателями надежности;
-	установления факторов и причин, приводящих к недопустимому
снижению точности;
-	получения данных для прогнозирования надежности технологиче-
ских операций и установления объема и периодичности проведения испы-
таний для контроля показателей качества изделий.
Оценку количественных характеристик показателей точности и ста-
бильности технологических процессов и прогнозирование на их основе на-
дежности процессов производят расчетно-статистическими методами. Для
анализа используют такие показатели точности и стабильности, как коэф-
фициенты точности и смещения.
93
Коэффициент точности КТ характеризует соотношение между нолем
допуска на исследуемый параметр (размер) изделия и величиной рассеяния
параметров изделий в партии, изготовленных по данному технологическо-
му процессу:
Кт = Д7?/со,
где AR- допуск на контролируемый параметр; со - поле рассеивания кон-
тролируемого параметра в партии изделий, (о=г/ро, здесь ир - квантиль
нормированного нормального распределения при заданной вероятности;
о - среднее квадратическое отклонение значений параметров в соответст-
вующей выборке. Очевидно, что приемлемое значение коэффициента Кт > 1,
т. е. поле рассеивания не должно превышать значения допуска на контроли-
руемый параметр.
Стабильность технологического процесса характеризуют коэффициен-
том смегцения
где До = —h-^—- - координата середины поля допуска при нижнем RH и
верхнем Rn предельных значениях параметра; R — среднее арифметическое
значение параметра, определяемое по результатам измерений. Наилучшей
оценкой стабильности технологического процесса является значение Кс = О,
при котором имеет место равенство R = Ао.
Анализ точности и стабильности технологического процесса позволяет
выявлять и исключать факторы, отрицательно влияющие на качество изделия.
Основным направлением обеспечения надежности в процессе производства
является внедрение автоматизированных систем управления (АСУ) как от-
дельными технологическими операциями или процессами, так и всем процес-
сом подготовки производства и изготовления изделий.
При проведении испытаний на надежность важной задачей становится
определение момента перехода изделия из работоспособного состояния в не-
работоспособное или предельное состояние. В связи с разнообразием выпол-
няемых функций, определяющих работоспособное состояние изделия, каж-
дое изделие характеризуют выходными параметрами, по значению которых
судят о его состоянии. Выходными параметрами могут быть параметры, оп-
ределяющие механическую прочность, точность срабатывания, энергетиче-
ские показатели и др. Основным способом получения информации о величи-
не выходных параметров при проведении испытаний является измерение.
Технические средства, используемые при измерениях и имеющие нор-
мированные метрологические свойства, называют средствами измерений. К
таким техническим средствам относят следующие:
-	мера - средство, предназначенное для воспроизведения физической
величины заданного размера. Например, мерой длины является штанген-
циркуль, а мерой массы - гиря;
94
-	измерительный прибор - устройство для выработки сигналов изме-
рительной информации, доступной для непосредственного восприятия на-
блюдателем (манометр, термометр, амперметр и т. п.);
-	измерительные системы - совокупность устройств, преобразующих
и передающих сигналы измерительной информации в информацию, удоб-
ную для автоматизации обработки результатов измерений. В состав измери-
тельных систем входят первичные и промежуточные преобразователи, ис-
точники питания, регистраторы и др.
Подбор средств измерений и согласование их метрологических харак-
теристик с требованиями, предъявляемыми к измеряемым параметрам, -
важнейший этан подготовки испытания. При выборе средств измерений
пределы и характер изменения измеряемой физической величины обычно
являются известными или заданными. Должна быть назначена необходимая
точность измерений, а также известны или оценены условия, в которых
средства измерения будут работать.
Измерение — экспериментальный процесс, при котором используются
средства измерения, сравнивается неизвестное значение измеряемой вели-
чины с принятой единицей измерения и определяется, сколько раз эта еди-
ница содержится в измеряемой величине. Основное уравнение измерения
x = aw,
где х - измеряемая величина; а - единица измерения; w - значение изме-
ряемой величины в принятых единицах измерения.
Оценка физической величины в виде некоторого числа принятых для
нее единиц называется значением физической величины.
Физическая величина может иметь истинное и действительное значения:
-	истинное значение — значение, которое идеальным образом отражало
бы в качественном и количественном отношениях соответствующее свойст-
во объекта. Это значение всегда неизвестно;
-	действительное значение - значение, найденное экспериментальным
путем и приближающееся к истинному значению настолько, что для данной
оценки может быть использовано вместо него. Действительное значение
измеряют (определяют) по образцовым мерам и приборам, погрешностями
которых по сравнению с используемыми при измерении средствами можно
пренебречь.
Под результатом измерения подразумевают значение физической ве-
личины в принятых единицах, полученное путем измерения.
В практике испытаний реализуют следующие измерения:
-	прямые, при которых искомое значение находят непосредственно по
экспериментальным данным процесса измерений;
-	косвенные, когда искомое значение находят на основании известных
зависимостей между этой величиной и величинами, измеряемыми непо-
средственно, например плотность компонентов топлива, удельный импульс
тяги и т. п.;
-	совместные, осуществляемые при одновременном измерении двух
или нескольких величин для нахождения результата с учетом зависимо-
95
стей между ними, например измерение массы, температуры и объема для
определения плотности;
-	совокупные, при которых производится измерение нескольких одно-
именных величин, и искомое значение находится в результате решения сис-
темы уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний
величин.
Приведем пример совокупных измерений.
Пример 3.1. Определить зависимость сопротивления материала от
температуры, если известны значение Ro и зависимость
R, =Я0(1+ а/ + рД),
где ос, р — постоянные (неизвестные) температурные коэффициенты.
Решение. При заданных значениях температуры z,, t2 получаем
результаты измерений сопротивления материала Rti, Rl2 и составляем сис-
тему уравнений
Rh =R0(i + at{ +pz,2),
Я,2 =Я0(1 + а<2+р^).
Решением системы находим неизвестные а и р.
Для измерения одних и тех же параметров можно использовать раз-
личные принципы и методы. Под принципом измерения понимают совокуп-
ность физических явлений, на которых основаны измерения, а под методом
измерения — совокупность приемов использования принципов и средств из-
мерений.
Совершенные средства и методы измерений не должны вносить иска-
жения в значения измеряемых величин, а если этого нельзя избежать, то
они должны допускать возможность учета или исключения этих испытаний
каким-либо приемом. Такие возможности реализуют через оценки погреш-
ностей измерений и измерительных средств.
Погрешности измерений и измерительных средств. При проведении
любого измерения всегда имеются объективные и субъективные причины,
приводящие к отклонению полученного результата измерения от истинного
значения измеряемой физической величины. Никакое измерение не может
быть выполнено абсолютно точно. Погрешности средств измерений и нор-
мы на них являются важнейшими метрологическими характеристиками.
Под точностью измерения понимают качество измерения, отражаю-
щее близость его результата к истинному значению измеряемой величины.
При назначении точности измерений следует основываться на анализе по-
следствий, которые наступят в результате допущенных погрешностей. Не-
обходимо учитывать, что назначение неоправданно жестких требований к
точности измерений приводит к удорожанию и усложнению процедуры ис-
96
пытания. Поэтому основное правило техники измерений формулируют сле-
дующим образом: измерять следует не столь точно, насколько это воз-
можно, а так точно, как это необходимо.
Погрешностью измерения называют отклонение результата измерения
от истинного значения измеряемой величины. Чем меньше погрешность
измерения, тем выше его точность, и наоборот. Различают абсолютную, от-
носительную и приведенную погрешности.
Абсолютной погрешностью измерения называют погрешность, выра-
женную в единицах измеряемой величины. Ее определяют по формуле
Дг = Км-^|>
где хюм, х — измеренное и истинное значения измеряемой величины соот-
ветственно.
Под относительной погрешностью понимают отношение абсолютной
погрешности к истинному значению измеряемой величины:
5 = Дх/х.
На практике часто относительная погрешность выражается в процентах:
5% = (Ах/х)100 %.
Рассмотрим пример.
Пример 3.2. Получены результаты измерений четырех параметров:
0,47 ± 0,05; 647,4 ± 0,6; 5 580 ± 5; 2 689,44 ± 0,27. Требуется сравнить эти
измерения по точности.
Решение. Перейдем к относительным погрешностям:
5, = 0,05 / 0,47 = 0,11, или 11 %;
32= 0,6 / 647,4 = 0,000 93, или 0,093 %;
53 = 5 / 5 580 = 0,000 9, или 0,09 %;
64= 0,27 / 2689,44 = 0,000 1, или 0,01 %.
Первое измерение весьма грубое, последнее - наиболее точное.
По характеру проявления погрешности измерения подразделяют на
систематические, случайные и грубые.
Систематическая погрешность — это составляющая погрешности из-
мерения, остающаяся постоянной или изменяющаяся по известному закону
при повторных измерениях одной и той же величины одним и тем же мето-
дом. Причинами систематических погрешностей могут быть: смещение
стрелки или шкалы прибора относительно нормального положения, непра-
вильное постоянное положение наблюдателя относительно прибора, неточ-
ность градуировки, влияние параметров окружающей среды, постоянных в
процессе проведения ряда испытаний (например, температуры воздуха) и др.
Систематическую погрешность можно исключить путем реализации
специальных методов измерения. Приведем пример такого рода.
7 I Icuuiaiuic ракш них двш агслсй
97
Пример 3.3. Измеряется масса объекта путем взвешивания на двухча-
шечных весах. Из-за неравноплечности весов (/| */2) проявляется система-
тическая ошибка. Требуется найти метод измерения, исключающий систе-
матическую ошибку.
Решение. Произведем взвешивание, при котором на одну чашку ве-
сов поместим взвешиваемый объект тх, а на другую - уравновешивающие
его гири . Затем взвешиваемый объект и гири меняем местами и добива-
емся уравновешивания добавлением (убавлением) гири до значения т2.
Составим уравнения взвешивания по этому способу:
т^—т^,	(3.1)
т2Ц = тх12.	(3.2)
По уравнению (3.1) находим тх=т^12П}, по уравнению (3.2) -
12 =т2/1/тх. Тогда получим тх = (т21{ /mx)(mt , или mx=yjmlm2.
В определении массы объекта размеры плечей весов не входят, тем са-
мым исключается систематическая ошибка, связанная с неравноплечностью
весов.
Систематические погрешности средств измерений чаще всего исклю-
чают введением поправок или соответствующей организацией регистрации
результатов измеряемых параметров. Для этой цели используют, например,
данные индивидуальных или стандартных градуировок измерительных
приборов или измерительной цепи в целом. Необходимо также учитывать,
что освободиться от постоянной систематической погрешности средства
измерения путем обработки результатов измерения нельзя, так как она со-
храняется при каждом единичном измерении и не уменьшается при осред-
нении результатов, т. е. многократные измерения не приводят к уменьше-
нию систематической погрешности.
Случайная погрешность - это составляющая погрешности измерения,
изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той
же величины. Такая погрешность возникает из-за влияния различных слу-
чайных факторов, которые могут изменяться от измерения к измерению, и
поэтому результаты повторных измерений одной и той же величины отли-
чаются друг от друга. Поскольку случайная погрешность, по определению,
носит случайный характер, то она может принимать те или иные значения с
определенной вероятностью. Чаще всего случайная погрешность распреде-
лена по нормальному закону.
Числовой характеристикой случайной погрешности измеряемой вели-
чины может служить предельная погрешность. Под предельной погрешно-
стью понимают такой интервал, который выражается максимальным по аб-
солютному значению отклонением случайной величины от ее среднего зна-
чения л’с заданной вероятностью. Такая вероятность представляет собой
степень достоверности полученного результата при измерениях, и ее назы-
вают доверительной вероятностью результата измерений.
98
Если через Р(х) обозначить заданную вероятность, то можно записать
Р(х) = Вер(х’ - А < х < х' + А),
где А - предельная погрешность.
Удвоенное значение предельной погрешности 2 А (интервал значений от
-А до + А ) называют доверительным интервалом погрешности измерений.
Случайная погрешность в силу своей природы не может быть устране-
на введением поправок, но ее возможное значение оценивают методами
теории вероятностей и математической статистики.
Уменьшение значения случайной погрешности может быть достигнуто
путем проведения многократных измерений. Действительно, в соответствии с
известными в теории вероятностей зависимостями среднее квадратическое от-
клонение о . среднего арифметического в у/п раз меньше среднего квадрати-
ческого отклонения а результата единичного измерения:
ст. = с/у/п,
где п - число измерений. Так, например, если вместо одного производят че-
тыре измерения при постоянном значении о, то точность повышается в два
раза, при девяти измерениях - в три раза и т. д.
При заданной вероятности Р(х) и известном значении среднего квад-
ратического отклонения о предельную погрешность при единичном изме-
рении находят по формуле
A = w„a,
где ир - квантиль нормированного нормального распределения при задан-
ной вероятности Р{х).
Если значение среднего квадратического отклонения неизвестно, то
предельную погрешность определяют как
*=tpS*,
где tp — квантиль распределения Стьюдента при заданной вероятности
Р(х) ; S' - статистическая оценка среднего квадратического отклонения ре-
зультата измерений, которую рассчитывают по результатам и измерений
измеряемой величины xi:
Таким образом, случайная погрешность характеризуется двумя парамет-
рами: значением самой погрешности и ее доверительной вероятностью.
Методику оценки случайной погрешности рассмотрим па примере.
Пример 3.4. При 10 измерениях некоторого параметра R получены сле-
дующие результаты: 8,59; 8,55; 8,45; 8,46; 8,52; 8,48; 8,53; 8,42; 8,49; 8,51.
Определить вероятность того, что погрешность среднего значения тр = 8,50
нс выйдет за границы интервала ±0,05.
99
Решение. Рассчитаем сумму квадратов отклонений:
10	2
- mR) = 0,092 + 0,052 + 0,052 + 0,042 + 0,022 + 0,022 + О,ОЗ2 + 0,082 +
<=|
±0,012 + 0,012 = 0,023 9.
Среднее квадратическое отклонение среднего значения
0 023 9
- = 0,016 3.
10-9
s’ =
1	10	t
«(«-!)«
Квантиль распределения Стьюдента t = 0,05 / 0,016 3 = 3,07.
По таблице распределения Стьюдента (см. табл. 2 приложения) опре-
делим вероятность того, что погрешность среднего значения mR = 8,50 не
выйдет за границы интервала ±0,05:
Р = 1-ос = 0,988.
Систематические и случайные погрешности при проведении измере-
ний в процессе испытаний проявляются, как правило, одновременно.
Грубая погрешность - это погрешность измерения, существенно пре-
вышающая ожидаемую погрешность при данных условиях. Причинами
грубых погрешностей могут быть ошибки персонала (испытателей), неис-
правность или неверная эксплуатация средств измерений и др. Результаты
измерения, значительно отличающиеся от остальных (грубые погрешно-
сти), исключают и не подвергают дальнейшему анализу.
Способ исключения грубых погрешностей при известном значении
среднего квадратического отклонения S следующий. Подозрительное изме-
рение обозначают как х, остальные - как х15 х2, ..., х„. Вычисление по ре-
зультатам п измерений выполняют по формуле
ирг
' S' \и + 1
где х* =
X, + х2
п
При обработке результатов измерений принимают уровень значимости
а < 0,05. По числу степеней свободы s = п -1 и заданному уровню а, пред-
ставленным в табл. 2 приложения, определяют критическую точку распре-
деления Стьюденте tp(s). Если получают, что tx >tp(s), то подозрительное
измерение х исключают из материалов обработки как грубую погрешность.
Все погрешности измерений также подразделяют на объективные,
возникающие из-за несовершенства методов измерений, их инерционности,
влияния дестабилизирующих факторов, и субъективные, обусловленные
индивидуальными особенностями лица, выполняющего измерения, напри-
мер погрешность из-за неправильного считывания результата измерений
или из-за запаздывания в нажатии кнопки «Стоп» при отсчете времени или
суммы импульсов и т. п.
100
Объективные погрешности делят на статические и динамические.
Статические погрешности в свою очередь подразделяют на методиче-
ские и инструментальные.
Методические погрешности происходят от несовершенства метода из-
мерения. Они оцениваются самим экспериментатором с учетом конкретных
условий эксперимента.
Инструментальные погрешности возникают из-за несовершенства
средств измерений. Они подразделяются на основную и дополнительную
погрешности. Основная погрешность зависит от конструктивных особенно-
стей средства измерения, наличия трения между его отдельными деталями
и т. п. при нормальных значениях всех величин, влияющих на результат из-
мерения (температуры, влажности, напряжения питания и др.). Дополни-
тельная погрешность связана с отклонением от нормальных условий в
процессе измерения.
Статическая погрешность указана на всех измерительных датчиках и
приборах.
Динамические погрешности возникают при измерении быстроменяю-
щихся величин и связаны с теми или иными инерционными свойствами дат-
чиков и измерительных систем. Например, при огневых испытаниях РД дат-
чики давления по различным причинам приходится устанавливать относи-
тельно далеко от места, в котором необходимо измерить давление жидкости
(места отбора). Для этого датчик давления соединяют с соответствующим
местом с помощью трубки, что приводит к появлению динамической состав-
ляющей погрешности измерения из-за смещения во времени и по величине
параметров жидкости в месте отбора и чувствительном элементе датчика.
Эта погрешность особенно проявляется на переходных режимах работы дви-
гателя: при запуске и останове, изменении тяги двигателя по программе ис-
пытаний и др.
В практической работе важно разграничивать области применения
среднего квадратического отклонения единичного измерения и среднего
квадратического отклонения среднего арифметического значения. Первое
применяют, когда требуется охарактеризовать средство или метод измере-
ний. А в случаях когда характеризуют точность результатов проведенных
испытаний, используют среднее квадратическое отклонение среднего ариф-
метического значения, так как по нему оценивают точность, полученную по
сумме результатов всех произведенных измерений.
Зная среднее квадратическое отклонение единичного измерения S,
можно выбрать число измерений, обеспечивающее необходимую погреш-
ность Slp измерения физической величины
н = (5/^)2.
Оценку среднего квадратического отклонения результата измерений
при которых проявляются несколько случайных погрешностей, каждая
из которых характеризуется своим средним квадратическим значением St,
производят путем их суммирования. При этом необходимо учитывать воз-
101
можные взаимные корреляционные связи между суммируемыми значения-
ми 5,.
Если корреляция отсутствует (коэффициент корреляции р = 0), то
суммирование п средних квадратических значений погрешностей S. нужно
проводить по формуле
При сильной корреляции погрешностей (когда р ~ 1,0) суммирование п
средних квадратических отклонений значений погрешностей выполняют по
формуле алгебраического суммирования
Некоторые параметры, характеризующие работоспособное состояние
изделия, определяют косвенными (расчетными) методами с использованием
результатов нескольких прямых измерений, т. е. в общем случае числовое
значение определяемой физической величины является функцией несколь-
ких независимых переменных:
y = f(x,,x2,...,x„).
Косвенным путем находят такие важные величины, как удельная мощ-
ность, удельный расход топлива, значения параметров, приведенных к нор-
мальным (стандартным) условиям и др.
Для определения погрешностей функции (результата косвенных изме-
рений) по погрешностям аргументов (результатам прямых измерений) при-
меняют аппарат дифференциального исчисления. Это правомерно, так как
абсолютные погрешности измеренных величин всегда достаточно малы по
сравнению с самими величинами. Абсолютные погрешности прямых изме-
рений условно рассматривают как бесконечно малые приращения аргумен-
тов, взятые со знаком плюс или минус, а абсолютные погрешности функции
- как бесконечно малые ее приращения, вызванные бесконечно малыми
приращениями аргументов.
Для функции одного независимого переменного у- f(x) связь между по-
грешностями функции Ду = dy и аргументом Дх = <7х можно представить в виде
y + dy = f(x + dx).
Используя формулу Тейлора, получают
У ± dy = f(x) ± dxf'(x) ± {~^-f\x) ±	± - •
Учитывая, что произведения малых величин являются малыми величи-
нами более высоких порядков и поэтому могут быть отброшены, а также
принимая во внимание равенство у = /(х), имеют
dy = ±f\x)dx, или Ду = ±/'(х) Дх,
где Ду - погрешность функции; Дх- погрешность аргумента.
102
Таким образом, абсолютная погрешность функции одного независимо-
го переменного равна произведению производной этой функции и абсолют-
ной погрешности аргумен та. Следует обратить внимание на то, что для это-
го необходимо знать конкретную реализацию функции от значений незави-
симого переменного. Например, при исчислении значений тяги двигателя
как функции расхода компонентов топлива при известных значениях
удельного импульса J можно использовать зависимость
Л = JWj..
Относительную погрешность определяют путем деления обеих частей
уравнения над»:
Ду / у = ± &xf'(x) / у,
или
5	=±<W = ±(
У У	/(х)
т. е. относительная погрешность функции одного независимого переменно-
го равна дифференциалу натурального логарифма этой функции.
Аналогичным путем могут быть получены зависимости для определе-
ния абсолютных и относительных погрешностей функций двух и более не-
зависимых переменных.
При решении конкретной задачи по определению значения погрешно-
сти функции необходимо знать знаки абсолютных погрешностей аргумен-
тов, которые на практике обычно не известны. Принятие предположения об
одинаковости знаков всех погрешностей аргументов при расчете погрешно-
сти функции (результата) приведет к завышению ее значения. Оценка пре-
дельной погрешности результата косвенного измерения является достаточ-
но обоснованной, если ее определять следующим образом. Пусть величину
_у = /(х„х2,..., хт) находят косвенным путем по результатам измерений ве-
личин х. ± Дх, тогда
Т ± dy = /(х, ± б/х,, х2 ± dx2,..., х,„ ± dxj.
Применяя формулу Тейлора для каждого измерения, отбрасывая бес-
конечно малые величины высших порядков, заменяя бесконечно малые
приращения отклонениями каждого результата измерения от среднего
арифметического и воспользовавшись значениями средних квадратических
отклонений результатов прямых измерений SX,S ,...,SX , получают окон-
чательную формулу для определения среднего квадратического отклонения
результата косвенных измерений:
Рассмотрим применение этой формулы на примере.
103
Пример 3.5. Найти значение и среднее квадратическое отклонение
удельного импульса тяги по результатам косвенных измерений тяги
R = 135 + 0,03кН, плотности компонента топлива р = 890+ 0,1 кг/м3 и объ-
емного расхода q = 0,042 ± 0,00015 м3/ с.
Решение. Воспользуемся зависимостью J = R/mL= R/pq. Значе-
ние удельного импульса тяги по результатам косвенных измерений
У = 135 103/890 0,042 = 3611,55 м/с.
Принимаем, что величины косвенных измерений распределены по нор-
мальному закону, при этом St = Д,/3. Тогда средние квадратические откло-
нения косвенных измерений будут
5Л= 0,03/3 = 0,01 кН, Sp =0,1/3 = 0,033 кг/м3,
^=0,00015/3 = 0,000 05 м3/с.
Найдем частные производные:
ЭУ/Э/? = 1/рд = 1/890-0,042 = 0,028 3,
А/7Эр =-Я / gp2 =-135  103/0,042  8902 = - 4,058,
dJ/dq = -R/pq2 = -135  Ю3 /890 • 0,0422 = -85 989,45.
Среднее квадратическое отклонение удельного импульса тяги по ре-
зультатам косвенных измерений
s₽2+lij ^2=0’028з2'0’012+Н’058)2'°>0зз2+
+(-85 989,45)2  0,000 052 =18,485.
Тогда Sj = >/18,485 =4,30 м/с.
Принимая Л7 =3Sj, запишем: J = 3611,55±4,30 м/с.
При подготовке к проведению испытаний могут возникнуть две задачи,
связанные с вычислением пределов погрешностей. Прямая задача заключа-
ется в определении значения погрешности известной функции
у — f(xl,x2,...,xnl) по известным погрешностям аргументов, обратная за-
дача - в вычислении погрешностей аргументов, если известна или задана
погрешность функциональной зависимости. Ее приходится решать в том
случае, когда при заданном уровне погрешности величины, измеряемой
косвенным путем, требуется установить допустимые погрешности прямых
измерений.
В двигателях, как правило, имеют место нестационарные, переменные,
быстротекущими процессы. Но при проведении динамических измерений
нс всегда можно пользоваться приборами, применяемыми при стационар-
ных измерениях. Каким же условиям, с точки зрения динамической по-
грешности, должен удовлетворять прибор, который можно применять в
этом случае?
104
Простейшая модель измерительного прибора представляет собой груз
массой т, который в среде, имеющей сопротивление h, подвешен на упру-
гой пружине с жесткостью с (рис. 3.1). В консервативной системе равно-
действующая всех сил, действующих на груз, равна нулю:
Ftnl + Fconp + Fynp = О,
здесь Fm = mz - сила инерции; Fconp = hz - сила со-
противления; Fyl;p = cz- сила упругости. Тогда урав-
нение, описывающее модель измерительного прибо-
ра, будет иметь вид
z + ni + k2z = О,
где п = —,к =у]с/т — собственная частота колеба-
т
Рис. 3.1. Простей-
ний прибора.
Рассмотрим статические и динами-
ческие измерения.
Статические измерения характери-
зуются тем, что измеряемая физиче-
ская величина изменяет свое значение
от нулевого уровня х0 до номинального
хном и в дальнейшем остается постоян-
ной (рис. 3.2). В зависимости от вели-
чины отношения демпфирующих сил к
внутренним силам колебательной сис-
темы п / к возможны два варианта по-
ведения измеренного прибором хизм
значения физической величины
(рис. 3.3): погрешность, проявляющаяся
шая модель измери-
тельного прибора
Рис. 3.2. График измерения
значения параметра во времени
в виде длительных затухаю-
щих колебаний за время туСТ| (рис. 3.3, а), и погрешность из-за отстава-
ния по времени туст2 регистрации измеряемого процесса (рис. 3.3, б).
Рис. 3.3. Варианты изменения измеренных значений физической величины:
а — погрешность, проявляющаяся в виде длительных затухающих
колебаний; б - погрешность из-за отставания по времени регистрации
измеряемого процесса
105
При динамических измерениях физическая величина изменяется по за-
кону
х(т) = хном  sin (сот + <р).
Колебания измерительной системы происходят по закону сложения
двух колебаний
х + к2х= хиом • sin(cor + <р) при и = 0.
Действительная амплитуда физической величины х1ЮМ и показания
прибора хизм связаны между собой коэффициентом динамической неравно-
мерности
Хизм
Рис. 3.4. График зависимости
коэффициента динамической
неравномерности
1/(1-92), q = e>/k.
На амплитудно-частотной харак-
теристике (рис. 3.4) можно выделить
три области:
1) q = 1, со = к, X —» со - резо-
нансная область;
2)<?> 1, X—>0, — х1ом—>0;
3)	q * 0, X ► 1, хизм > хном.
Следовательно, рабочей обла-
стью измерительного прибора являет-
ся область q < 0,1...0,2, т. е. измери-
тельный прибор будет иметь мини-
мальную динамическую погрешность
(минимальное амплитудное искаже-
ние), если его собственная частота
Л = (5...1О) со.
Таким образом, измерение статистических значений параметров, опре-
деляющих идеальные значения и дроссельные характеристики ракетных дви-
гателей (тягу, расходы компонентов топлива, давления, температуры и т. п.),
следует выполнять с высокой точностью, при этом допустимая погрешность
не должна превышать нескольких десятых долей процента. К системам из-
мерения таких параметров, как пульсация давлений, виброускорения, дефор-
мации элементов конструкции, предъявляют требования высокой динамиче-
ской точности, что связано с недопустимостью значительных амплитудных и
фазовых искажений в широкой полосе частотного спектра.
3.3.	Оценка надежности по результатам испытаний
Известно, что в силу вероятностных факторов, влияющих на надеж-
ность, достоверное заключение о надежности созданных и выпускаемых в
серийном производстве изделий возможно только на основе эксперимен-
тальных оценок, полученных при испытании реальных образцов в реальных
эксплуатационных условиях.
106
Под экспериментальной оценкой надежности понимают определение и
контроль различных показателей по результатам испытаний или наблюдений
в процессе эксплуатации. Решение этой задачи и является сущностью испы-
таний изделий на надежность. Точность и достоверность экспериментальных
оценок определяют эффективность мероприятий по обеспечению надежно-
сти на всех этапах цикла «проектирование — производство — эксплуатация».
Полученные после проведения испытаний результаты оценки показателей
надежности типовых элементов и узлов служат исходными данными при ап-
риорных оценках надежности вновь разрабатываемых изделий.
В настоящее время имеется широкий круг методов испытаний на надеж-
ность, различающихся целями, способами реализации и т. п. Также разраба-
тываются и осваиваются новые, более эффективные и экономные методы.
В зависимости от целей испытания на надежность разделяют на опре-
делительные и контрольные.
Определительные испытания проводят с целью установления числен-
ных значений показателей надежности партии изделий, т. е. результатом
испытания являются конкретные числа, выражающие значение рассматри-
ваемого показателя надежности. Как правило, определительным испытани-
ям подвергают партию образцов вновь разработанного изделия.
Контрольные испытания проводят для того, чтобы проверить соответ-
ствие фактического уровня надежности партии изделий требованиям, уста-
новленным нормативно-технической документацией, к которой относятся
стандарты различного уровня, технические условия, нормали, чертежи
и т. д. При этом результатом испытаний должно быть утверждение о соот-
ветствии или несоответствии данной партии требованиям к ее надежности.
Определения фактических значений показателей надежности не требуется.
В зависимости от результатов испытания партия изделий принимается для
использования по назначению или бракуется. Обычно контрольным испы-
таниям подвергают партию серийно выпускаемых изделий.
Методы планирования контрольных и определительных испытаний
существенно различаются между собой.
Планирование контрольных испытаний исходит из требуемого значе-
ния показателя надежности. В результате планирования определяют необ-
ходимый объем испытаний и оценочный норматив, по которому принима-
ется решение о соответствии или несоответствии изделия (партии изделий)
<аданному требованию.
При планировании определительных испытаний основным фактором
является стратегия испытаний, учитывающая следующие характеристики:
-	число изделий, подвергаемых испытаниям;
—	порядок контроля функционирования в процессе испытаний;
-	порядок поступлений изделий на испытания;
-	порядок восстановления (замены) изделий, сошедших с испытаний;
-	критерий окончания испытаний.
При экспериментальных оценках надежности независимо от того, ка-
кое свойство исследуется, все многообразие оцениваемых показателей сво-
дят к показателям двух типов:
107
-	показателям типа наработки (средней или у-процентной наработ-
ки). В процессе испытаний непосредственно наблюдаемыми величинами
являются случайные интервалы: наработки до отказа, между отказами, до
предельного состояния и т. д.;
-	показателям типа вероятности (безотказной работы, отказа, ис-
правного состояния в произвольный момент и т. п.). При этом непосредст-
венно наблюдаемыми случайными величинами являются число событий в
испытаниях: число отказов, число предельных состояний и т. д.
При испытании изделия в реальных условиях эксплуатации в элементах
его конструкции происходят необратимые разрушающие процессы (износ,
деформация, эрозия и др.), существенно снижающие либо полностью исчер-
пывающие установленный эксплуатационный ресурс. В связи с этим испыта-
ниям на надежность подвергают не все изготовленные изделия, а только их
часть, называемую выборкой. Испытания на надежность всегда являются вы-
борочными. В то же время результаты испытаний выборки должны достовер-
но характеризовать не только испытанную выборку, но и партию изготовлен-
ных изделий в целом. Исходя из этого, можно сформулировать задачу испы-
тания на надежность следующим образом.
В изготовленной партии имеется N однотипных изделий. Величину N
называют объемом партии. Все изделия в партии подлежат контролю на-
дежности. Каждый экземпляр в партии изделий обладает присущим только
ему (и, естественно, неизвестным) значением некоторого показателя надеж-
ности: вероятности безотказной работы Р(/), вероятности отказа Q(t), сред-
ней наработки до отказа Тср, интенсивности отказов Х(/) и т. п. Обозначим
этот показатель Y. В силу случайного проявления свойств материалов, тех-
нологических режимов, геометрических размеров в пределах установлен-
ных допусков и других случайных факторов, каждый из Д' экземпляров
имеет значение показателя у, Совокупность N случайных значений показа-
теля Y в партии (у,, у2, , Ун) называют генеральной совокупностью. Как
случайная величина показатель Y распределяется по некоторому закону
распределения с числовыми характеристиками: математическим ожиданием
ту, средним квадратическим отклонением о), и др.
В общем случае числовую характеристику закона распределения слу-
чайной величины Y обозначают через U. Тогда совокупность случайных
значений показателя надежности в партии (у\, у2, —,уй) можно представить
некоторой числовой характеристикой U.
Конкретное значение числовой характеристики U, удовлетворяющее ге-
неральной совокупности (уь у2, —,Ун), называют генеральным, или фактиче-
ским, значением числовой характеристики распределения показателя надеж-
ности генеральной совокупности и обозначают Ц,. Значение £7ф, как и значе-
ния показателей надежности изделий в партии, неизвестно.
Для проведения испытаний на надежность производят выборку п изде-
лий из партии, которые также характеризуют показателем Y. При этом со-
вокупность значений уь-Уг, ...,у„ называют выборочной совокупностью, ко-
торая становится известной в процессе испытаний. В силу случайной про-
108
цедуры выборки п изделий из партии значения >'Ь у2, , У„ подчиняются не-
которому закону распределения, называемому выборочным. Числовую ха-
рактеристику этого распределения U, оцененную в выборке по результатам
испытаний, называют выборочной характеристикой, или оценкой, и обо-
значают U. Оценку U вычисляют по известным значениям у,, У2, ...,у„ ме-
тодами математической статистики, и эту задачу называют оцениванием (7ф.
Необходимо обратить внимание на то, что нельзя утверждать, что най-
денное U и фактическое значение Ц, равны. Действительно, производя не-
сколько выборок из партии, получают различные значения if, тогда как не-
известное фактическое значение L/ф, естественно, однозначно. Очевидно,
что оценка U является случайной величиной с таким числовыми характери-
стиками, как математическое ожидание т"и и среднее квадратическое от-
клонением су', отличающимися от числовых характеристик показателя на-
дежности генеральной совокупности U$. Расхождение выборочных и гене-
ральных распределений и их числовых характеристик носит случайный ха-
рактер и уменьшается по мере возрастания объема выборки п:
limt/* =1Н.
Заключение о надежности партии, т. е. о соответствии или несоответ-
ствии значения L/ф установленным требованиям, принимаемое на основе
выборочного значения U, не является абсолютным, а справедливо только с
некоторой достоверностью (доверительной вероятностью).
Следовательно, выборочный характер испытаний на надежность про-
является в том, что решение о надежности партии на основе результатов
этих испытаний принимают с некоторой вероятностью, установленной
нормативно-технической документацией. Поэтому одной из важнейших за-
дач планирования испытаний на надежность является задание таких усло-
вий, выполнение которых обеспечивает достоверность заключения о на-
дежности партии изделий.
Итак, несмотря на созданную и освоенную аналитическую базу для
расчета надежности ракетных двигателей, в настоящее время основными
методами определения и контроля показателей надежности остаются испы-
тания.
3.4.	Методы планирования испытаний
Проведение испытаний на надежность изделий может быть организо-
вано различными способами. В зависимости от тою как будут проводить
испытания, реализуют разные планы их проведения. В теории и практике
контроля показателей надежности известно несколько подходов к планиро-
ванию контроля и формулированию правил принятия решений.
Планы испытаний - правила, устанавливающие объем выборки, поря-
док проведения испытаний и критерии их прекращения. Планы испытаний
109
имеют условные буквенные обозначения по типу: Xt, Х2, Х3, где Xt — при-
знак объема выборки; Х2 - признак восстанавливаемости объектов при ис-
пытании; Aj- признак окончания испытания.
В настоящее время приняты следующие условные обозначения основ-
ных признаков испытаний:
а)	признак объема выборки выражается числом выборки изделий п,
подвергаемых испытаниям (в данном случае п есть количество физических
изделий, а не объем получаемой выборочной совокупности);
б)	для признаков восстанавливаемости объекта испытаний:
-	символ U указывает на условия, при которых отказавшие в процессе
испытаний изделия не восстанавливаются, не заменяются и снимаются с
испытаний, так что число испытываемых изделий с течением времени со-
кращается. Такие испытания обычно проводят для невосстанавливаемых
объектов;
-	символ R показывает, что в случае отказа изделий при испытании они
не восстанавливаются, но заменяются новыми объектами, идентичными от-
казавшим экземплярам;
-	символ М определяет, что в случае отказа изделий при испытании
они восстанавливаются.
При испытаниях по планам, содержащих символы R и М, количество
испытываемых объектов в течение всего времени поддерживают неизмен-
ным, причем время замены или восстановления не учитывают, т. е. счита-
ют, что объекты заменяются или восстанавливаются мгновенно. На практи-
ке для реализации этих планов общую продолжительность испытания отка-
завших изделий увеличивают на время восстановления или ремонта. Такие
планы применяют для восстанавливаемых объектов;
в)	для признаков окончания испытания:
—	Т - численное значение этого символа устанавливает длительность
испытания (время или наработку) каждого испытываемого изделия;
-	символ и его численное значение указывают, что при планировании
испытания устанавливается суммарная наработка всех п изделий, поставлен-
ных на испытания. При достижении этого значения испытания прекращают;
-	символ п показывает, что испытания проводят до отказа всех испы-
тываемых изделий;
—	символ г устанавливает число отказавших изделий, при достижении
которого испытания прекращают;
-	(г, Т) означает, что испытание прекращают при числе отказавших
объектов г или по достижении наработки Т каждого работоспособного объ-
екта, независимо от того, какое условие выполнено раньше;
—	(г, Т^) показывает, что испытание прекращают при числе отказавших
объектов г или по достижении суммарной наработки всех испытываемых
объектов независимо от того, какое условие выполнено раньше;
-	символ S' указывает на то, что решение о прекращении испытаний
может быть принято в любой момент времени в зависимости от их проме-
жуточных результатов.
110
Если предполагают, что изделия подвергают испытаниям одновремен-
но и контроль осуществляют непрерывно, то сочетания трех символов за-
ключают в квадратные скобки. Например, план [и = 12, U, г = 2] означает,
что 12 изделий испытывают одновременно без восстановления при непре-
рывном контроле до тех пор, пока число отказов не достишст 2.
Если изделия поступают на испытания не одновременно или снимают-
ся с испытаний в произвольные моменты времени по каким-либо причинам,
то сочетания заключают не в квадратные, а в круглые скобки.
Если при испытаниях контроль производят периодически, через опреде-
ленные интервалы времени, то соответствующее условное обозначение за-
ключают в двойные скобки (круглые или квадратные). Например, ((и = 10, R,
Т - 10 ч)) обозначает, что испытывают 10 изделий, отказавшие изделия за-
меняют, контроль производят периодически, испытания оканчиваются по ис-
течении 10 ч, а изделия могут поступать на испытания или сниматься с ис-
пытаний по каким-то причинам в произвольные моменты времени.
Наконец, испытания по так называемой непараметрической схеме, ко-
гда каждое из п изделий испытывают в течение фиксированного времени
(наработки) Т, а контроль осуществляют только перед началом и по окон-
чании испытаний, обозначают фигурными скобками, например {п, U, 71}.
Эта схема испытаний является предельным случаем периодического кон-
троля. При таком контроле отказавшие изделия выявляют только после
окончания испытаний, следовательно вопрос о замене или восстановлении
отказавших изделий в процессе испытаний не возникает.
Перечисленные выше признаки испытаний и соответствующие им ус-
ловные обозначения представлены в табл. 3.1.
Таблица 3 I
Признаки, характеристики стратегии испытаний
и их условные обозначения
Признак	Характеристики	Условное обозначение
Число испытываемых из- делий	Одно	1
	Более одного	п
Необходимость замены или восстановления изделия при испытаниях	Не восстанавливаются и не заменяются	и
	Не восстанавливаются, но за- меняются	R
	Восстанавливаются	М
Критерий прекращения нс- пытаний	Наработка	т
	Число отказов	г
	Наработка или число отказов	Т,г
Порядок поступления из- делий на испытания	Одновременно	[-]
	Не одновременно	(...)
Режим контроля функцио- нирования изделий при испытаниях	Непрерывно	[,..]или (...)
	Периодически	[[...]] или ((...))
	Только перед началом и по окончании испытаний	{••}
111
С точки зрения характера статистического материала, полученного при
испытании на надежность, вне зависимости от характера и стратегии испы-
таний, существуют только три типа случайных величин (реализаций), со-
ставляющих выборку:
-	полные реализации - наработки до отказа (или наработки между отка-
зами, или наработки до предельного состояния и т. п.) в случаях, когда в
процессе испытания был зафиксирован отказ;
-	неполные реализации — безотказные наработки, когда в процессе за-
данного времени испытания отказа не произошло;
-	условные реализации - наработки к моменту контроля, при котором
обнаружен отказ (в случае отсутствия непрерывного контроля).
В целом экспериментальные данные подразделяют на два типа: тип 1 -
экспериментальные данные, получаемые при стратегиях с непрерывным
контролем: тип 2 — экспериментальные данные, получаемые при стратегиях
с периодическим контролем.
Результат любого испытания на надежность может быть представлен
графически соответствующим набором реализаций - диаграммой реализа-
ций. Такая диаграмма наглядно и однозначно определяет специфику полу-
чаемого статистического материала (рис. 3.1).
Условное обозначение плана испы- таний	Схема процесса испытаний			Условное обозначе- ние плана испытаний	Схема процесса испытаний			
[п, U, и]				[л, и, Г]				
								
								
								
								
								
								
						Т		
М-Ц				[л,R, г]				
								
								
								
								
								
								
	7							
[М-Ц]	111(1 	1 1 1 •			{л.С/.Т}				
	1	1	1	1							
	—;—:—s							
		I	।	। "* 1	> Л'Х1			»					ф			
		1—	1	1	1							
	III	1	*^*1							
	III	1	1	.							
	lil	1	1	1 1	1	1	1	1 т							
Рис. 3.1. Стратегии реализации некоторых планов испытаний на надежность:
-♦--отказ объекта;---•- снятие с испытаний работоспособного объекта; -> - снятие с
испытаний отказавшего объекта; Т- время испытаний (наработка); tn - время (наработка)
до последнего испытываемого объекта; г, - время (наработка) до заданного отказа; пунк-
тирными линиями обозначены моменты контроля работоспособности
112
Анализ представленных реализаций позволяет сделать некоторые вы-
воды.
В частности, при стратегии [и, U, п] результаты испытаний содержат
только полные реализации, причем момент последнего отказа является мо-
ментом окончания испытаний. Получаемые при этом выборки являются
примером экспериментальных данных классического типа - полной выбор-
ки. Неодновременное поступление изделий на испытания в данном случае не
вносит принципиальных изменений в характер получаемой информации, так
как при данной стратегии каждое изделие, поставленное на испытание, ис-
пытывают до отказа.
При стратегии [и, U, 7], если, например, г изделий отказали, то резуль-
таты испытаний содержат г полных реализаций, значения которых не пре-
вышают длительности испытаний Т, и (и - г) одинаковых неполных реали-
заций.
Если при испытаниях непрерывный контроль отсутствует, то непо-
средственно зафиксировать момент очередного отказа невозможно. Следо-
вательно, основная особенность таких испытаний состоит в том, что они
содержат только условные и неполные реализации. Значения условных реа-
лизаций определяются наработкой к моменту контроля, при котором обна-
ружен отказ, а значения неполных реализаций зависят от безотказной нара-
ботки каждого из испытываемых изделий к моменту последнего контроля.
Предельным случаем периодического контроля является стратегия
{и,U,T], при которой контроль функционирования производят только в
начале и по окончании испытаний. В данном случае испытания состоят из
одного межконтролы юго периода длительностью Т, в связи с чем результа-
ты испытаний содержат условные и неполные реализации одинаковой ве-
личины Т.
Таким образом, проведение испытаний по обеспечению надежности
ракетных двигателей может быть организовано различными способами. В
зависимости от того, как будут проводиться испытания, используют тот или
иной план их проведения.
***
Вопросы организации испытаний имеют приоритетное значение при
проведение испытаний ракетных двигателей, так как их положительное ре-
шение обеспечивает получение достоверных результатов по оценке надеж-
ности испытываемых двигателей.
Контрольные вопросы
1.	Какова сущность воспроизводимости результатов испытаний?
2.	Что понимают под точностью и стабильностью технологического
процесса?
8 Испытание ракетных дшпагслсй
113
3.	Что такое прямые и косвенные измерения?
4.	Что представляют собой погрешности измерений и по каким призна-
кам их можно классифицировать?
5.	Какие две величины необходимы для характеристики случайной по-
грешности измерения?
6.	В каких случаях для характеристики случайной погрешности изме-
рения применяют среднее квадратическое отклонение единичного результа-
та измерения, а в каких - среднее квадратическое отклонение среднего
арифметического результата измерения?
7.	Какова связь между средним квадратическим отклонением результа-
та косвенного измерения и соответствующими средними квадратическими
отклонениями результатов прямых измерений?
8.	Что называют объемом партии и выборкой?
9.	Какова сущность обработки результатов испытаний?
10.	Какие признаки содержат планы испытаний?
11.	Что выражают признаки объема выборки, восстанавливаемости и
окончания испытаний?
12.	Что означает заключение символов испытаний в квадратные, круг-
лые одинарные, двойные круглые, фигурные скобки?
13.	В чем заключается сущность полной, неполной и условной реали-
заций?
Глава четвертая
Обработка результатов испытаний
Полученные в результате испытаний данные, как уже отмечалось,
практически всегда имеют отклонение от истинных значений и в ряде слу-
чаев могут быть недостоверными. Покажем далее, что правильно выпол-
ненная обработка данных позволяет оценить и обеспечить их достовер-
ность, а также придать им наиболее удобный для последующего использо-
вания вид.
4.1.	Методы обработки результатов испытаний
Обработку результатов испытаний ракетных двигателей чаще всего
производят в несколько этапов. Соблюдение последовательности их выпол-
нения создаст условия для получения достоверных оценок надежности ис-
пытываемых двигателей.
Первичная обработка. Задачей первичной обработки является опре-
деление текущих значений, измеренных при испытаниях параметров: дав-
лений, расходов, температур, усилий и т. д.
Технология первичной обработки зависит от уровня автоматизации
процессов измерения и состава носителей информации результатов испыта-
ний, который в свою очередь обусловлен техническим совершенством испы-
тательного комплекса. Действующие в нашей стране и за рубежом испыта-
тельные комплексы имеют достаточно высокий уровень автоматизации про-
цессов измерения и обработки, который обеспечивается за счет применения
магнитных регистраторов с носителями информации в виде магнитной ленты
и расшифровкой полученной регистрации через ЭВМ, а также использования
компьютерной техники, позволяющей регистрировать и обрабатывать ин-
формацию по измеряемым параметрам в процессе испытаний.
Временной интервал между двумя смежными результатами обработки
называют скважностью. Скважность определения текущих параметров за-
висит от режима работы двигателя. При переходных режимах скважность
может достигать значений 0,01 с, т. е. текущие значения параметра фикси-
руют через каждые 0,01 с и получают 100 результатов в секунду. На ста-
ционарных режимах скважность определения параметров увеличивается и,
как правило, составляет 1 с (рис. 4.1).
В большинстве случаев для оценки результатов испытаний используют
осредненные значения параметров. При ручной обработке эти значения по-
лучают путем определения среднеарифметической величины за период, ис-
пользуя п текущих значений параметра зафиксированных на бумажном
носителе информации:
115
п
г-1
Осреднение параметров в заданном интервале при обработке инфор-
мации, полученной на магнитных носителях, производят следующим обра-
зом. Первоначально вычисляют среднее значение частоты сигнала за тре-
буемый период /ср = Лимп/Д?, где Лнып- число импульсов, зарегистрирован-
ных на магнитном носителе за период До а затем, используя известную
функциональную зависимость параметра от частоты А = (р(/), определяют
среднее значения параметра:
Рис. 4.1. График обработки параметра R с заданной скважностью Д/
Таким образом, нахождение текущих (мгновенных) значений парамет-
ра при использовании частотных сигналов невозможно, так как при обра-
ботке этих сигналов всегда учитывают некоторый интервал времени Д/, ко-
торый не может быть равен нулю.
Кроме того, сокращение интервала осреднения параметра приводит к
повышению погрешности измерения. Поясним это па примере.
Пусть при измерении некоторого параметра зарегистрирован сигнал с
частотой 1 000 Гц. При считывании числа импульсов за заданный период
будет неизбежно допущена предельная погрешность отсчета ±2 импульса.
Тогда относительная погрешность обработки при осреднении в интервале
Д/ = 1 с (число импульсов 5, -1000±2) будет 5, =2/1000 = 0,002 = 0,2%,
а при осреднении в интервале Д/ = 0,01 с, когда число импульсов
S00l = 10 + 2, 8001 =2/10 = 0,2 = 20%. Следует отметить существенное отли-
чие относительных погрешностей, допускаемых при первом и втором вари-
антах осреднения.
Для уменьшения погрешности измерения при обработке параметров в
малых интервалах целесообразно частоту сигнала, регистрируемого маг-
нитным либо аналогичным регистратором, иметь предельно высокой, но не
превышающей чувствительности этого регистратора.
116
После проведения первичной отработки переходят к проверке досто-
верности информации, полученной при испытании двигателя.
Проверка достоверности информации. Приступая к обработке экс-
периментальных данных, необходимо убедиться в их достоверности. Про-
верку достоверности можно производить различными способами.
Одним из наиболее распространенных является метод, основанный на
анализе резко отклоняющихся значений. Оценку достоверности выпадаю-
щих точек следует осуществлять с помощью специальных статистических
методик, позволяющих судить о принадлежности их ко всей совокупности
полученных результатов. Например, если принять, что значения рассматри-
ваемого параметра распределены по нормальному закону, то критерием
достоверности может быть условие, при котором все достоверные значения
лежат в интервале /?ср где рассчитанное значение среднего квад-
ратического отклонения параметра в данном испытании. Значения парамет-
ра, лежащие вие указанного интервала, исключают из материалов регистра-
ции как недостоверные.
Если в процессе анализа устанавливают, что причиной отклонений яв-
ляются некоторые факторы, нарушающие условия проведения испытаний
(ошибки испытателей, отступления от конструкторской или технологиче-
ской документации и др.), то такие результаты классифицируют как прома-
хи и также исключают из совокупности, подлежащей обработке.
В общем случае вопрос оценки достоверности информации весьма
сложен. Результаты проверки достоверности во многом зависят от квали-
фикации инженера, проводящего анализ информации. На практике исполь-
зуются следующие основные методы оценки достоверности:
-	сравнение результатов, полученных измерением и обработкой на па-
раллельных (дублирующих) каналах регистрации;
-	сравнение результатов со статистическими значениями соответст-
вующих параметров;
-	определение соответствия параметров установленным зависимостям,
например давления в камере сгорания от суммарного расхода компонентов
топлива Рк = температуры в камере сгорания от соотношения ком-
понентов топлива Тк = f2(k) и др.
Значения параметров, недостоверность которых подтверждается, ис-
ключают из общего массива информации, полученной при испытании.
Очищенная от недостоверных значений оставшаяся совокупность дан-
ных, полученная при измерениях в процессе испытаний, подлежит вторич-
ной отработке.
Вторичная обработка. Целью вторичной обработки результатов изме-
рения при испытаниях является нахождение значений параметров косвен-
ным методом. Используя материалы первичной обработки, по известным
зависимостям определяемых параметров от параметров, полученных пря-
117
мым измерением, производят вторичную обработку (вычисления). Напри-
мер, при вторичной обработке рассчитывают значения коэффициента соот-
ношения компонентов, удельного импульса тяги, энергетических показате-
лей газогенераторов и др.
В технических условиях на изделия нормированные значения парамет-
ров, определяющих его работоспособность, задаются для нормальных (но-
минальных) условий. Поэтому последним этапом вторичной обработки ре-
зультатов испытаний является расчет приведенных к нормальным условиям
значений параметров двигателя и его агрегатов. В общем случае формула
приведения параметра R имеет вид
<)/?	Э7?	<)7?
Яир = ^,зм + Y" +Г^ +“+Г4г‘’
otj	дг2	дгк
где /?1ВМ- измеренное прямым либо косвенным методом значение парамет-
ра; rvr2,...,rk — факторы, учитываемые при приведении; Az;, Дг2,..., ДгЛ -от-
клонение факторов от их номинальных значений.
Так, например, приведенное значение давления в камере сгорания дви-
гателя может определяться по формуле
= Рк + °! ('о - 15) + а2 ('г - 15) + °3 (Ро -ро.„ом ) + «4 (рг - Л.НОМ ) +
+ «5(<P-4>hom) + «6(v-Vto„),
где о6- известные для данного изделия коэффициенты приведения;
/о, /г, Рв, Рг-температура и давление окислителя и горючего на входе в дви-
гатель соответственно; <р, у - углы поворота приводов регулятора тяги и
регулятора, поддерживающего постоянным соотношение компонентов топ-
лива, соответственно.
В настоящее время измерение параметров двигателя и обработку ре-
зультатов испытаний выполняют с помощью измерительно-информа-
ционной системы (ИИС). Стендовая ИИС представляет собой совокупность
средств измерения, предназначенных для получения информации о пара-
метрах и стендовых систем, а также для ее обработки и представления в
форме, пригодной для проведения анализа результатов испытаний.
4.2.	Статистические оценки параметров
Параметры изделия, полученные в результате его испытаний, подлежат
статистической обработке. В связи с тем что имеется зависимость значений
параметров от влияния различных случайных факторов, параметры также
имеют характер случайных величин, распределенных по тому или иному за-
кону. Задачей статистического оценивания параметров является научное
обоснование выводов о числовых характеристиках распределения параметра
по результатам испытаний. Если, например, требуется найти математическое
ожидание некоторого параметра, то задача статистической оценки заключа-
118
ется в том, чтобы найти такую характеристику, которая позволила бы полу-
чить по возможности более точное и надежное представление об искомом
математическом ожидании.
Следует отметить, что любое значение искомой величины, вычислен-
ное на основе ограниченного числа результатов испытаний, всегда будет
содержать элемент случайности. Такое приближенное, случайное значение
параметра называют оценкой параметра.
Сформулируем задачу оценки параметров в общем виде. Пусть требуется
количественно изучить некоторый параметр У, подчиняющийся закону рас-
пределения F(Y,U), аналитическое выражение которого известно. Функция
распределения F(Y, U) определяется числовой характеристикой U, числен-
ное значение которой неизвестно. Отметим, что в общем случае функция рас-
пределения может задаваться не одной, а несколькими числовыми характери-
стиками, например для нормального закона - двумя: математическим ожида-
нием ту и средним квадратическим отклонением . Отсюда возникает зада-
ча оценки числовых характеристик.
Возможность и целесообразность использования того или иного метода
обработки, трудоемкость обработки и качество получаемых оценок сущест-
венно зависят от типа оцениваемого параметра, объема априорных сведений
об исследуемой случайной величине, характера полученного при испытаниях
статистического материала, который подлежит обработке.
Статистической оценкой неизвестной числовой характеристики тео-
ретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных
величин:
tr=<p(i;,y2,...,y„).
Как функция случайных аргументов статистическая оценка является
случайной величиной. И основная задача статистической обработки резуль-
татов испытаний состоит в выборе оценки, позволяющей получить хорошее
приближение оцениваемой числовой характеристики.
Статистические оценки должны обладать гремя свойствами: несме-
щенностью, эффективностью и состоятельностью.
Несмещенной называют оценку U , математическое ожидание которой
тц. равно оцениваемому параметру U, т. е. когда выполняется условие
= U. Соблюдение требования несмещенности исключает возможность
появления при оценке параметра систематических ошибок, завышающих
или занижающих значение оценки от истинного значения случайной вели-
чины.
Эффективной называют оценку, которая при заданном объеме извест-
ных значений п имеет возможную наименьшую дисперсию D[:. = min. Так
как дисперсия случайной величины характеризует ее рассеивание около ма-
тематического ожидания, то выполнение требования эффективности обес-
печивает минимальное отличие оценки от параметра, т. е. максимально
возможную точность оценивания.
119
Состоятельной называют оценку, которая при и —» «> стремится по
вероятности к оцениваемому параметру. Свойство состоятельности означа-
ет, что чем больше объем известных значений параметра по результатам
испытаний, тем точнее его оценка.
Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины
являются математическое ожидание и дисперсия.
Если по результатам п независимых испытаний известны значения па-
раметра Y (у^Уг,-.-,У») с неизвестными математическим ожиданием ту и
дисперсией Dy, то для определения этих числовых характеристик нужно
пользоваться следующими оценками:
1 п	1 п	3
ту==—?EU - т'У) 
Статистическая оценка неизвестного параметра, выраженная одним
числом, называется точечной оценкой.
Случайной величиной, характеризующей надежность невосстанавли-
ваемого объекта, часто выступает наработка до отказа t. Ее математическое
ожидание (средняя наработка до отказа Тср) является одним из основных
показателей надежности. Точечной оценкой средней наработки до отказа
Тср выступает средняя наработка Т, рассчитанная по результатам испыта-
ний. При любом плане испытаний в процессе эксперимента фиксируют но-
мера возникающих отказов i и соответствующие им наработки до отказа
Оценку математического ожидания наработки Т* находят как отноше-
ние суммы наработки всех изделий за время испытаний к количеству от-
казавших изделий к:
.	.	1 •А
Т = m, — — = — > Г.
к '
При известном законе распределения отказов по найденному значению Т
можно оценить остальные параметры надежности: X , Р (/), Q (/) и др.
Для различных планов испытаний суммарная наработка и, соответст-
венно, оценку Т определяют по-разному.
Для плана [и, U, г], при котором к = г,
.	^+(п-г)1г
j-*— *£ __ <=1____
г	г
где время возникновения (от начала испытаний) r-го отказа, после кото-
рого испытания прекращают; t, — наработки до отказа отказавших изделий в
выборке. При этом г отказавших изделий дают вклад в суммарную наработ-
ку в размере , а остальные (и - г) изделий, работоспособных на момент
м
прекращения испытаний, в размере (п - r)tr.
Символ г и его численное значение показывают номер отказа в выборке
от начала испытаний, при достижении которого испытания следует прекра-
120
тить, что при плане испытаний «Без восстановления и без замены изделий в
случае отказа при испытании» соответствует числу отказавших изделий.
Для планов испытаний [и, R, г] и [н, М, г], где к = г,
г г
Здесь независимо от числа отказов каждое из п изделий работает в течение
времени tr.
Для плана [и, U, Г], где к = и, - число отказов, возникших в выборке и
за заданное время испытаний Т,
t ^i+(n-n,)T
Т* — * Е __ Ы______
П,	nt
Для планов испытаний [и, R, Г] и [п,М,Т], когда к = и,,
П! П1
В случае экспоненциального распределения отказов, когда интенсив-
ность отказов X постоянна во времени, по найденному значению Т можно
оценить остальные параме тры надежности:
-	интенсивность отказов X* = 1 / Т;
-	вероятность безотказной работы Р*(t) = ехр(—//Г*);
-	вероятность отказа Q*= 1 - P*(f).
Если закон распределения отказов неизвестен, т. е. когда нет’ основания
утверждать о постоянстве интенсивности отказов, то для вероятности без-
отказной работы и вероятности отказа необходимо проводить непосредст-
венную оценку, используя план [п, U, Г]. При этом за длительность испы-
таний Т следует принимать время t, за которое требуется оценить показате-
ли надежности Р(/) и Q(t). Их оценки проводят по формулам
p’w=^-,c’(o=^-.
п	п
где п, - число отказов, возникших в выборке и за заданное время испыта-
ний Т.
При известном законе распределения наработок до отказа t расчет то-
чечных оценок основных показателей надежности проводят по точечным
оценкам параметров основных законов распределения (табл. 4.1).
Несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии распределения слу-
чайной величины t является величина, определяемая по выражению
тогда оценка среднего квадратического отклонения о"= -JZ/ .
121
Таким образом, результатом статистической оценки средней наработки
до отказа Тср являются оценка математического ожидания т' =Т* и оценка
среднего квадратического отклонения и,.
Точечная оценка показателен надежности
Таблица 4.1
Показатель надежности	Точечная оценка	Вид распределения			
		экспоненциальный	нормальный		
Средняя наработка до отказа Tip	Т'	Т* = т'	Т = т*		
Интенсивность отказов T(t)	Г	"Х=\ ! т’= 1! Т*	/(') 1	t-m,		
Вероятность безотказной работы P(t)	P'W	( 1 1 ехр	г/	гф-	t — mt	
Методику статистической оценки параметров рассмотрим на примерах.
Пример 4.1. Определить оценки математического ожидания и среднего
квадратического отклонения случайной величины Xпо данным таблицы:
i	I	2	3	4	5	6	7
Xi	-100	-80	-60	-30	20	30	70
к.	1	1	2	1	2	1	2
Решение. Оценка математического ожидания
7
. % ‘ -100-80-60-2-30 + 20-2 + 30 + 70-2	п
w =------=--------------------------------— — 1 z, и.
х п	10
Оценку дисперсии определим по формуле D* =—-------.
п-1
Расчет представим в таблице:
	-100	-80	-60	-30	20	30	70
Xi ~mx	-88	-68	-48	-18	32	42	82
	7 744	4 624	2 304	324	1 024	1 764	6 724
7
^к.^х-тУ =7 744 + 4 624 + 2304-2 + 324 + 1024-2 +
1=1
+1764 + 6724-2 = 34560,
тогда
~тУ
34 560
9
= 3 840.
122
Окончательно получим о* = -J/T = Д 840 = 62.
Пример 4.2. Найти точечную оценку т‘„ если при испытаниях на на-
дежность десяти образцов были получены результаты измерения параметра
Y, указанные в таблице:
i	1	2	3	4	5	6	7
k	1	2	1	1	2	2	1
Y;	0,95	0,98	0,91	0,93	0,94	0,96	0,90
Решение. Найдем точечную оценку:
V/c у
.	' ' 1-0,95 + 2-0,98 + 1-0,91 + 1-0,93 + 2-0,94 + 1-0,90 „ ,
ту = -----=----------------------------------------— = 0,945.
и	1''
10
Пример 4.3. Найти оценку дисперсии распределения и среднего квадра-
тического отклонения по условиям предыдущего примера, если /и* = 0,945.
Решение. Расчет сведем в таблицу:
i	]	2	3	4	5	6	7
к	1	2	1	1	2	2	1
Y;	0,95	0,98	0,91	0,93	0,94	0,96	0,90
Yi-my	0,005	0,035	-0,035	-0,015	-0,005	0,015	-0,045
кЩ-mrf	0,000 025	0,002 450	0,001 225	0,000 225	0,000 050	0,000 450	0,002 025
^/сДК-иг;.)2 =0,006450,
i=l
тогда
^к^-т,)2
0,006 450
10-1
= 0,00 717.
=7^ = 0,0268.
Статистические оценки параметров испытываемого ракетного двигате-
ля позволяют судить не только об их средних значениях в том или ином ин-
тервале режима испытаний, но и о принадлежности измеренных значений
ко всей совокупности полученных результатов. Точки, выходящие за диапа-
зон ±38, признают промахами (недостоверными).
4.3.	Функция распределения по результатам испытаний
Сведения о функции распределения случайной величины представлют
в двух вариантах.
В первом варианте вид функции распределения исследуемой случай-
ной величины известен априори, например по результатам ранее накоплен-
123
ных статистических данных. В этом случае задача статистической обработ-
ки состоит в получении оценок для показателей надежности с учетом из-
вестного вида функции распределения и характера имеющегося статистиче-
ского материала.
Во втором варианте вид функции распределения исследуемой случай-
ной величины неизвестен или известен предположительно. Тогда на осно-
вании анализа процессов, приводящих к отказам, и предварительного ана-
лиза имеющегося статистического материала принимают некоторую гипо-
тезу о виде функции распределения. Задача статистической обработки со-
стоит в том, чтобы проверить, не противоречат ли экспериментальные дан-
ные принятой гипотезе, и оценить числовые характеристики этой функции
распределения.
В такой постановке процесс статистической обработки более сложен и
трудоемок. Он включает следующие этапы:
-	построение статистического (вариационного) ряда;
-	построение гистограммы;
-	принятие гипотезы о виде функции распределения;
-	оценка точечных значений числовых характеристик принятой функции;
-	проверка непротиворечивости экспериментальных данных принятой
гипотезы о функции распределения;
—	оценка интервальных значений числовых характеристик функции
распределения (показателей надежности).
Пусть имеется выборочная совокупность объемом п значений случай-
ной величины (/], /2, —, 6>). Требуется выбрать из известных теоретических
распределений такое, которое в наибольшей степени соответствует выбо-
рочной совокупности tj, и определить числовые характеристики данного
распределения. При этом должна быть дана количественная оценка степени
соответствия, по которой можно сделать заключение о допустимости ап-
проксимации эмпирического выборочного распределения принятым теоре-
тическим распределениям.
Для выявления вида распределения наработки Т по результатам испы-
таний на надежность эти испытания необходимо проводить таким образом,
чтобы каждый элемент работал до наступления отказа.
Полученная при испытаниях и объектов неупорядоченная совокуп-
ность наработок (й, t2, ..., /„) является громоздкой и ненаглядной формой
записи случайной величины Т. Обработку очищенных от промахов резуль-
татов начинают с формирования статистического ряда.
Случайные значения /, ранжируют в порядке возрастания их величин.
Одинаковые значения /, не исключают, а повторяют столько раз, сколько
они присутствуют в выборочной совокупности. Сформированный упорядо-
ченный ряд обозначают в виде (Z(1),/(2>,..., Z<n)), причем /(,+1) > /(,). Разность
максимального и минимального значений такого ряда называют размахом
варьирования и определяют по формуле Д =/*"’ —/(|).
Полученный размах варьирования разбивают на К достаточно малых
равных интервалов, имеющих величину	К. Практически интерва-
124
лы Д/у. выбирают такими, чтобы в каждый интервал попадало в среднем не
менее 3...5 значений /(|>, а число интервалов было не менее 5...7. Границы
интервалов и удобно привязывать к целым значениям переменной t.
Далее производят группирование вариационного ряда по интервалам,
для чего подсчитывают количество членов вариационного ряда Ди., попа-
дающих в каждый интервал (j = 1,2, ..., К). Если некоторые значения попа-
дают точно на границу двух интервалов, то их поровну (по 0,5) засчитыва-
ют в каждый интервал.
Наиболее наглядное представление о связях рассматриваемых величин
дает графическая зависимосгь. Полученный статистический ряд может быть
представлен в виде ступенчатого графика (гистограммы), который строится
следующим образом. По оси абсцисс t откладывают интервалы Д/., на каж-
дом из которых, как на основании, строят прямоугольник, высота которого
пропорциональна (в выбранном масштабе) соответствующей частоте f'
(рис. 4.2). Величина частоты f' выступает плотностью вероятности стати-
стического распределения.
. Ди,-
Статистическую частоту находят по отношению f. = ——, после чего
J nAtj
определяют статистическую функцию распределения случайной величины
Т по верхним точкам каждого /-го интервала. Статистическую функцию
распределения вычисляют как сумму приращений Д/Г = Ди у/и функции в
j
интервале ^(/.^ ) = /,Д/7, (рис. 4.3). Для построения статистических гра-
°“	у=1
фиков f''(/) и F (/) удобно пользоваться таблицей, в которую вносят экс-
периментальные и расчетные данные (табл. 4.2). Методика расчета данных
также указана в этой таблице.
Рис. 4.2. График плотности
статистического распределния
Сравнивая вид полученных статистических графиков с видом теоретиче-
ских функций распределений случайной величины Т, выбирают наиболее
подходящий закон распределения, например закон нормального распределе-
125
ния, и проверяют правильность выбора по соответствующему критерию. Под-
бор закона распределения осуществляют на основе аппроксимации (сглажи-
вания) экспериментальных данных о наработке до отказа.
Таблица 4.2
Таблица для расчета величин f (t) и F (t)
j	t, 1mm	lJ„„	An,	II	Ал, AF =— J n	/=1
1 2 К						
Выбор той или иной аппроксимирующей функции носит характер ги-
потезы, которую выдвигают при испытаниях. Этот выбор — процедура в
значительной мере неопределенная и во многом субъективная, при прове-
дении которой многое зависит от априорных знаний об объекте и его свой-
ствах, условиях работы, а также от проведенного анализа вида полученных
статистических графиков.
Предположим, что по тем или иным соображениям выбран теоретиче-
ский закон распределения, заданный функцией F(f). На графике F'(t)
строят теоретическую кривую F(f), что позволяет визуально оценить ре-
зультаты аппроксимации.
Экспериментальные данные могут с большим или меньшим правдопо-
добием подтверждать или не подтверждать справедливость той или иной ги-
потезы. Поскольку эти расхождения неизбежны, то возникает вопрос: согла-
суются ли результаты эксперимента с гипотезой о том, что случайная вели-
чина наработки подчинена выбранному закону распределения? Ответ на этот
вопрос может быть дан в результате расчета специальных критериев.
Когда выбран теоретический закон, представляемый как наиболее под-
ходящий по виду к статистическому распределению, выполняют количест-
венную оценку справедливости такой аппроксимации. Как бы хорошо ни
была подобрана теоретическая кривая распределения, между ней и стати-
стическим распределением неизбежны некоторые расхождения. И здесь в
свою очередь возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только
случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом выбо-
рочной совокупности, или они являются существенными и связаны с тем,
что подобранная кривая плохо аппроксимирует данное статистическое рас-
пределение? Ответить на этот вопрос помогут так называемые критерии со-
гласия.
Критерий согласия - это критерий проверки гипотезы о том, что слу-
чайная величина Т, представленная своей выборкой (/,, t2,	t„), имеет рас-
пределение предполагаемого типа.
Имеется несколько критериев согласия: критерии Стьюдента, Пирсона,
Колмогорова, Смирнова и др. В данном учебнике ограничимся описанием
126
критериев Пирсона и Колмогорова, которые имеют наиболее широкое при-
менение в практике проведения испытаний на надежность.
Критерий согласия Пирсона у1 (см. также п. 2.4) определяет отклоне-
ние истинного распределения от теоретического и позволяет проверить со-
ответствие выбранной функции распределения экспериментальным дан-
ным.
Метод оценки соответствия выбранного теоретического закона стати-
стическому распределению основан на сравнении расхождения статистиче-
ского и теоретического распределений наработки до отказа F\t) и F(t).
Критерий Пирсона использует интервалы, выделенные для группирования
статистического ряда tm, t(1\..., /(и>.
Известно, что параметром всех наиболее употребительных распреде-
лений случайной величины является математическое ожидание, а парамет-
ром распределения по нормальному закону, кроме того, - и среднее квадра-
тическое отклонение. Теоретические значения параметров распределения
при оценке согласия практически всегда неизвестны. Поэтому для вычисле-
ния значений теоретической функции распределения на границах интерва-
лов используют точечные оценки Т* и о*.
Точечной оценкой математического ожидания выступает среднее
арифметическое:
Оценка среднего квадратического отклонения наработки до отказа Т
I 1 п
И-177
с =
Используя приведенные в табл. 4.2 значения /у и , по выбранному
закону распределения F(t) определяют теоретическую вероятность попада-
ния случайной наработки Т в J-й интервал с границами /у и /у :
Py=Bep(f, <Т<tj } = F{tj }-F(tj ).
Для удобства дальнейших расчетов табл. 4.2 рекомендуется дополнить
отдельным столбцом с полученными значениями величины Pj. Поскольку
случайная наработка может принимать значения от Одо <», а интервалы
группирования охватывают размах вариационного ряда /?, то следует вы-
числить теоретическую вероятность для нулевого интервала (J = 0) с грани-
цами от 0 до t} и для интервала (j = K+ 1) с границами от tK до «>.
Если Д/г есть число попаданий значений статистического ряда в
у-й интервал, то статистическая вероятность попадания случайной наработ-
ки Т ву-й интервал с границами Г и /у
Pj =	/ и.
127
При вероятности Р. теоретически ожидаемое (для выбранного распре-
деления) число попаданий в J-й интервал nPj. Разность вероятностей попада-
ния либо разность чисел попадания может быть мерой расхождения выбо-
рочного и теоретического распределений. Однако для исключения влияния
полярности значений величин (Ану - пР}), которые могут быть как положи-
тельными, так и отрицательными, для оценки меры расхождения выборочно-
го Р'(/) и теоретического F(t) распределений используют функцию
2 = у И ~ Л- )2 _ у ~ nPj )2
Z	Р.	'
Эта функция расхождения распределена по закону %2 с числом степе-
ней свободы s — K-L-X, где L - число параметров предполагаемого рас-
пределения, которые оценены по данным выборки.
В частности, если предполагаемое распределение нормальное, то оце-
нивают два параметра: математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение, поэтому £ = 2 и число степеней свободы s = K — L — \ =
= К-2-\=К-3.
А если предполагают, что случайная величина, представленная своей
выборкой, распределена по закону Пуассона, то оценивают один параметр
X, тогда L — 1 и s = K -2.
Обозначим значение критерия, вычисленное по данным испытаний,
как %нв6л2 и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.
Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую
гипотезу Но : исследуемое распределение нормальное, необходимо сначала
вычислить наблюдаемое значение критерия %вабл2 по приведенным ранее
формулам для расчета %2, используя данные табл. 4.2, а затем найти крити-
ческое значение XKp2(s, ос) при числе степеней свободы s = К - 3 и за-
данном уровне значимости а (табл. 4 приложения) и сравнить расчетное
и табличное %кр2 значение критерия /2. Если %„абл2 <Z4,2 (s,a), то
можно считать, что проверяемое распределение не противоречит эмпириче-
скому (статистическому) распределению, а имеющиеся расхождения связа-
ны со случайными факторами. Тогда выбранное распределение принимают
для оценки распределения наработки до отказа Т.
Если %на6л2 ^%Kp2(s, ос), то считают, что расхождения носят принципи-
альный характер и проверяемая аппроксимация не приемлема. В этом слу-
чае испытания, как правило, повторяют.
Практическое применение изложенного правила покажем на примере.
Пример 4.4. Проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распреде-
лении генеральной совокупности Y с результатами, полученными при испыта-
нии п = 40 энергетических агрегатов, приведенными в таблице:
128
Интервал наработ- ки до отказа, ч	81...85	86...90	91...95	96... 100	102...106	107..111	112...116	117...121
Число отказав- ших аг- регатов к.	1	3	5	9	10	6	5	1
Решение. Определим средние значения интервалов Y* = —
к
и наблюдаемые частоты Р* =—, где к, — число отказавших агрегатов в
и
7-м интервале. Составим таблицу:
Г	83	88	93	98	104	109	114	119
	1	3	5	9	10	6	5	1
Р‘	0,025	0,075	0,125	0,225	0,250	0,150	0,125	0,025
Найдем значения т* ио*:
ту=^¥*-Р‘ = \(П,93 ч,
;=|
где п = 8 - число интервалов.
Принимая закон нормального распределения с числовыми характери-
стиками т*у =101,55 и Оу =8,52, найдем вероятности попадания в интерва-
лы наработки до отказа по формуле
^=Ф*_
где У и К - границы i-го интервала,
'min	‘шах х	х
Расчеты представим в таблице:
Г *.	81...85	86...90	91...95	96...100	102... 106	107..111	112...116	117..121
К ~тг Оу	-1,94	-1.35	-0,77	-0,18	0,53	1,11	1,70	2,28
К ~mY о;	-2,41	-1,83	-1,24	-0,65	0,053	0,64	1,23	1,81
ф,	0,026 2	0,088 5	0,220 6	0,428 6	0,701 9	0,866 5	0,955 4	0,988 3
ф.	0,008 2	0,033 6	0,107 5	0,257 8	0,520 0	0,738 9	0,890 7	0,964 9
р	0,018	0,054 9	0,113 1	0,170 8	0,181 9	0,127 6	0.064 7	0,023 4
Значение %аабл определим по результатам испытаний:
9 Испытание раке тных двигателей
129
г \г(Р'~Р,)2
Хна6л=иЬ '	-
Предварительные расчеты сведем в таблицу:
. J	81. ..85	86...90	91.-95	96...100	102...106	107...111	112.-116	117—121
Р‘	0,025	0,075	0,125	0,225	0,250	0,150	0,125	0,025
р	0,018	0,055	0,113	0,171	0,182	0,128	0,065	0,023
р.	0,002 7	0,007 3	0,001 3	0,017 1	0,025 4	0,003 8	0.055 4	0,000 2
Z^=»fM=4.38.
1=1 *i
Число степеней свободы 5 = 8 - 3 = 5.
Примем уровень значимости а = 0,05, тогда по табл. 4 приложения на-
ходим ХкР = 11,1 и окончательно получим	= 4,58 <	= 11,1.
Гипотезу о том, что величина Y распределена по нормальному закону,
можно считать правдоподобной.
Критерий Колмогорова позволяет оценить допустимость принятой ги-
потезы о виде функции распределения по результатам сравнения макси-
мального отклонения теоретической функции распределения F(z) от ста-
тистической функции F (/). В качестве меры расхождения между теорети-
ческим и статистическим распределениями выступают числа D’ и D', ко-
торые вычисляют по следующим правилам:
£>* = £>	при n < 100, D‘ = y/nD	при и > 100,
где п - объем выборки; £>пих - максимальное значение модуля разности меж-
ду статистической функцией распределения и соответствующей теоретиче-
Рис. 4.4. Графическое изображение разности между
статистической и теоретической функциями распределения
130
Основанием для выбора в качестве меры расхождения величины £)
является простота ее вычисления. Однако следует подчеркнуть, что крите-
рий Колмогорова можно применять только в том случае, когда теоретиче-
ское распределение F(f) заранее полностью известно по каким-либо теоре-
тическим соображениям, т. е. когда известен не только вид функции рас-
пределения F(f), но и все входящие в нее параметры.
При и > 100 полученное значение D' сравнивают со значением уа, со-
ответствующим заданному уровню значимости а при Р(уа) = 1 - а. Уро-
вень значимости определяет максимальное значение меры расхождения, ко-
торое еще можно считать случайным. В практических расчетах принимают
а = 0,01...0,20.
Вычисленная мера расхождения £>* есть случайная величина, имеющая
распределение Колмогорова:
P(yJ = l-£(-1)‘e-2‘V,
*=—
гдеуа - квантиль функции распределения.
Если в результате сравнения оказывается, что найденное значение D*
не превышает значения квантиля уа, то делают заключение о том, что нет
оснований отвергнуть принятую гипотезу о виде функции распределения.
Если же D‘ >уа, то принятую на начальном этапе гипотезу отвергают и всю
последовательность обработки информации повторяют, начиная с уточне-
ния вида функции распределения.
Значения вероятностей Р(уа), рассчитанные по закону распределения
Колмогорова, приведены в табл. 4.3.
Таблица 4.3
Значения вероятностен P(j'a)
Уа	Р(уа)	Уа	Р(Уа)	Уа	Р(Уа)
0,0	1,000 00	0,7	0,711 2	1,4	0,039 7
0,1	1,000 00	0,8	0,544 1	1,5	0,022 2
0,2	1,000 00	0,9	0,392 7	1,6	0,012 0
0,3	0,999 99	1,0	0,270 0	1,7	0,006 2
0,4	0,997 2	1,1	0,177 7	1,8	0,003 1
0,5	0,963 9	1,2	0,112 2	1,9	0,001 5
0,6	0,864 3	1,3	0,068 1	2,0	0,000 7
При п <100 вычисленную меру -D* сравнивают с критическим значе-
нием D^n,а), которое выбирают по таблицам, исходя из объема выбо-
рочной совокупности п и уровня значимости а (табл. 5 приложения). При
£)’ >DKp(n, а) принятую гипотезу о соответствии теоретического и стати-
стического распределений отвергают, в противном случае эту гипотезу
принимают.
Критерий Колмогорова выгодно отличается от описанного ранее кри-
терия Пирсона своей простотой, поэтому его весьма широко применяют на
131
практике. Важным преимуществом этого критерия является то, что вероят-
ность Р(уа) не зависит от предполагаемого теоретического распределения.
Рассмотрим пример.
Пример 4.5. Период испытаний отрабатываемого элемента разбит на
два этапа, причем после проведения первого этапа проводят доработку.
Сведения о результатах испытаний сведены в таблицу:
Интервал	Число испытаний	Число отка- зов в /*-м ин- тервале	W	Число испытаний	Число отка- зов в /-м ин- тервале	F2{y)
I	5	1	0,05	5	1	0,05
2	5	1	0,05	5	2	0,1
3	5	1	0,05	5	П		0
4	5	2	0,10	5	1	0,05
Требуется, применяя критерий Колмогорова, подтвердить (или отверг-
нуть) принадлежность двух групп данных одной совокупности, выражаю-
щую эффективность проведенной доработки.
Решение. Используя данные таблицы, отметим значения функций
распределения двух этапов испытаний:
Ъ (у) = 0,10, К (у) = 0,05.
Максимальное отклонение эмпирических функций
D„ = |0,Ю-0,05| = 0,05.
По табл. 5 приложения для и = 20 и а = 0,1 получим значение
а) =0,265.
Так как £)* < £>кр(и, а), то гипотеза о принадлежности двух групп дан-
ных к одной совокупности подтверждается.
Таким образом, принятый по результатам анализа по критериям Пир-
сона или Колмогорова вид функции распределения случайной величины
позволяет выполнить интервальную оценку.
4.4.	Интервальное оценивание генеральных характеристик
Любая точечная оценка обладает существенным недостатком в том
смысле, что она сама представляет собой лишь частное значение случайной
величины, полученное по результатам испытания конкретной случайной вы-
борки. При испытании другой случайной выборки из этой же партии изделий
будет получено другое значение точечной оценки. Возникает вопрос о сте-
пени доверия к этой оценке и степени ее точности.
Поэтому, кроме точечной оценки, необходимо знать надежные грани-
цы для оцениваемого показателя, т. е. найти такой интервал оценок, кото-
рый с достаточно высокой (заданной) вероятностью заключает в себе неиз-
вестный показатель.
132
Исчерпывающую информацию о неизвестной генеральной характери-
стике распределения Ц, (см. п. 3.3) при значении ее точечной оценки if да-
ет интервальная оценка, устанавливающая нижнюю и верхнюю границы
доверительного интервала:
где Ц,= (if - £); и (/„ = ([/ + е) - нижняя и верхняя доверительные границы
соответственно; £ - точность выборочной оценки.
Таким образом, доверительный интервал — это случайный интервал,
длина и положение которого зависят от исходов испытаний.
В качестве меры достоверности оценки принимают доверительную ве-
роятность, показывающую, с какой вероятностью можно утверждать, что
истинное значение показателя находится в пределах нижней и верхней гра-
ниц доверительного интервала. Принимая некоторую вероятность у, кото-
рая соответствует заданной доверительной вероятности, получают
у= Bep(t/ - £ < Щ < if + £).
Если известен вид функции распределения оценки F(U"), то принцип
вычисления доверительного интервала состоит в том, что в качестве ниж-
ней и верхней доверительных границ принимают квантили этого распре-
деления по соответствующему уровню:
y=Bep(t7H <[7ф<Пв)= }/(СГ)Л/‘ = F(t/,)-F(£7B).
и.
Однако распределение случайной величины U чаще всего неизвестно.
Выявление вида распределения F(U') и (пли) J{lf) по экспериментальным
данным неприемлемо, так как оно потребовало бы совокупности выбороч-
ных средних U', для чего нужно испытать значительное количество незави-
симых выборок. В связи с этим вид распределения U* и его числовые харак-
теристики устанавливают косвенным путем, принимая, что вид распределе-
ния оценки U определяется видом распределения случайной величины U.
При испытаниях на надежность чаще всего стоит задача интервального
оценивания генеральной средней наработки до отказа 7ср.
Точечным оцениванием наработки Гср определяют оценку математиче-
ского ожидания этой наработки - Т, а при выявлении закона выборочного
распределения устанавливают вид распределения наработки F(f) (см. п. 4.3).
Отметим, что в связи со случайным характером выборочной совокуп-
ности точечная оценка математического ожидания Т является случайной и
изменяется от выборки к выборке из одной и той же партии.
При нормальном законе распределения случайной наработки Т довери-
тельный интервал определяют следующим образом.
Обозначают через п объем выборочной совокупности случайных зна-
чений наработки до отказа полученных при испытаниях. При нормаль-
ном распределении случайной величины (наработки Г) точечная оценка Т*
также распределена нормально при объеме выборочной совокупности п,
133
причем среднее квадратическое отклонение точечной оценки <тг. в ун раз
меньше среднего квадратического отклонения о случайной величины в вы-
борке: ст. =<з/у[п.
Рассмотрим односторонний доверительный интервал случайной вели-
чины ^р, ограниченный сверху (Тср <Т + е):
у= Вер(7’ср < Г +е) = Вер(Гср-Г <г) = Вер	<у- .
Величина а, дополняющая доверительный интервал до единицы и по-
казывающая вероятность непопадания генеральной характеристики в дове-
рительный интервал, называется уровнем значимости выборочной оценки:
а = 1 -у. Уровни значимости для односторонних доверительных интервалов
следующие (рис. 4.5):
а, = Вер(Гср < Тн), а2 = Вер(Гср > Тв).
Выражение
это, по
сути, функция распределения слу-
чайной величины (Др - Т ) /а^.
Действительно, по определе-
нию, функция распределения слу-
чайной величины X имеет вид
F(x) = Вер(У < х), где х - текущее
значение аргумента, тогда для ДО-
Рис. 4.5. Соотношения доверительного верительного интервала, ограни-
интервала и уровней значимости ченного сверху, значение вероят-
ности у = 1- а2 есть значение
функции распределения случайной величины (Др- Т ) / <У,..
Величину Е / ит. можно заменить на такое значение аргумента (кван-
тиль) функции распределения, при котором она равна у. Для нормально
распределенной случайной величины Тср вместо величины £ / о . записы-
вают квантиль нормального распределения Zy, соответствующий вероятно-
сти у = 1 - а2. Получают неравенство
Гср	, ИЛИ Т <Т' + z ~.
<д.	Ун
Очевидно, что правая часть неравенства - это верхняя граница рас-
сматриваемого одностороннего доверительного интервала с уровнем зна-
чимости а2:
134
Рассмотрим односторонний доверительный интервал случайной вели-
чины Т^р, ограниченный снизу (Гср > Т' - е):
у=1-а, =Вер(Гср >Т' -е), или a, = Вер(Гср < Г*-е).
Рассуждая аналогично, докажем, что с вероятностью щ будет выпол-
няться неравенство
Tcp<T'+zUi-^.
у/п
С вероятностью у = 1 - он будет справедливо противоположное нера-
венство:
7'ep>r+Zai-^.
уи
Правая часть этого неравенства есть нижняя доверительная граница с уров-
нем значимости сц. Тогда
Tcp>r„=r,+Zai-^=r-z1_Bi-^.
yjn	у/п
Рассмотренная методика определения нижней Тк и верхней Тв довери-
тельных границ при нормальном распределении наработки до отказа может
быть принята только при условии, что величина среднего квадратического
отклонения о известна заранее. Однако обычно значение о неизвестно, а по
выборочной совокупности можно определить его точечную оценку о*. При
прямой замене генерального среднего квадратического отклонения о то-
чечной оценкой о* будет допущена существенная ошибка, так как величина
о* имеет случайный разброс. В математической статистике доказано, что в
этом случае квантили нормального распределения zy достаточно заменить
квантилями распределения Стьюдента ty(s) вероятности у с числом степе-
ней свободы s = n — 1. Последний параметр учитывает точность выборочной
оценки о*. По мере возрастания п точность оценки возрастает, /T(.s ) стре-
мится к значению zy и при ty(s)> 50 различие между ними практически ис-
чезает. Используя квантиль распределения Стьюдента tp(s) при заданном
уровне значимости (см. табл. 2 приложения), записывают выражения для
определения доверительного интервала:
T^T-+ta^=r
yjn	yin
K=r'+t^s)j==r-tai(s)^.
y/n	y/n
При больших объемах статистических данных (и > 50... 100) при лю-
бом законе распределения времени наработки Т выборочное среднее Т
удовлетворительно описывается нормальным законом, что делает записан-
ные выше выражения универсальными.
135
При экспоненциальном распределении времени наработки Т выбороч-
ное среднее Т* в общем случае описывается достаточно сложно. Эта задача
упрощается при рассмотрении простейшего потока отказов, для которого
суммарное число отказов, зафиксированных при испытаниях, определяют
по формуле
r = ZJ./7’*,
где - суммарная наработка изделий при испытаниях.
В теории надежности доказано, что при простейшем потоке отказов
отношение 2t1_/Tl^ подчиняется '/} -распределению с числом степеней сво-
боды s = 2г. Очевидно, что отношение 2/Е/7'ср имеет случайный характер.
Тогда с учетом зависимости = гТ" выражение для функции распределе-
ния будет иметь вид
P = /’(X2,S) = Bep(^< Х2(2г,Р)),
1 ср
где %2 (2r, Р) — квантиль /2-распределения с числом степеней свободы
5 = 2г, соответствующий вероятности Р. При использовании табл. 4 при-
ложения следует иметь в виду, что а = 1 - Р.
Рассмотрим односторонний доверительный интервал случайной вели-
чины Tip, ограниченный сверху (Гср < Т + е). Принимая Р = а2, получают
неравенство
2г7’*	г/-, „ ч гт 2гТ*
-----< у (2г, а,), или Т > —--------.
Гср	Р %2(2г,а2)
Тогда с вероятностью у = 1-а2 будет выполняться противоположное
неравенство:
у=1-а2=Вер Гср
2гТ' А
<Х2(2г, а2)/
где Т =—-----------верхняя доверительная граница.
% (2г, а2)
Для нижней границы одностороннего доверительного интервала, когда
Тср >Т" — е, приняв Р = 1 - сх,, получают
2гТ'
Т
ср
2гТ*
< у1 (2r, 1 - а.), или Т >	------
р х(2г,1-а,)
откуда нижняя доверительная граница
Полученные выражения для верхней и нижней доверительных границ с
учетом связи уровней значимости а, +а2 + у= 1 справедливы для нахожде-
136
ния границ двухстороннего интервала. В силу асимметрии %2-распре-
деления (даже при = <х2) доверительный интервал оказывается несим-
метричным относительно выборочного среднего Т*.
На основе связи средней наработки Гср с другими показателями надеж-
ности при экспоненциальном законе распределения можно найти значения
верхних и нижних границ доверительных интервалов (табл. 4.4) с той дове-
рительной вероятностью, с которой определены Тн и Тв.
Таблица 4.4
Значения границ доверительных интервалов
при экспоненциальном законе распределения
Показатель надежности	Формула зависимости	Нижняя граница	Верхняя граница
Интенсивность отказов Х(/)	*0) = !/^	^=1/Гв	К=ит„
Вероятность безотказной работы Р„(/)	P(/)=exp(-Z/7ql)	Р„(0= ехр(-//7,)	ехр(-//т;)
Вероятность отказа Q(t)	e(z) = l-exp(-z/7q>)	e„(0 = l-exp(-Z/7;)	й(0 = 1-ехр(-//Г,)
На практике наиболее распространен случай, когда объем выборки п
меньше десятой части генеральной совокупности N. В этом случае при пла-
не испытаний [и, U, Т] испытания каждого изделия выборки п проводят в
течение времени Ги(,л и фиксируют число отказов г за время испытаний. То-
гда единственным показателем надежности, который может быть оценен по
результатам испытаний, является вероятность отказа за время испытаний,
при этом оценка вероятности отказа Q (f) = rln - это случайная величина,
имеющая биноминальное распределение.
Поэтому для оценки нижней Qr и верхней QB границ вероятности от-
каза используют биноминальное распределение. При этом нижнюю и верх-
нюю доверительные границы для уровней значимости а,,а2 определяют
решением системы уравнений
В случае безотказных испытаний при г = 0 по второму уравнению сис-
темы следует, что верхняя доверительная граница связана с уровнем значи-
мости и числом испытанных изделий выражением

МО
т/^(1-аг'й=(1-ев)"=а2
!(«-/)!
Отсюда
137
1-£?в = или fi> =i-V“T-
Например, если при испытаниях 16 изделий отказов не зафиксировано,
то верхняя доверительная граница при а2=0,3 будет QB = 1 -	=
= 0,072 5.
При любом другом распределении, когда точечные оценки вероятно-
стей безотказной работы P\f) и отказа Q‘(t) получены по формулам
P'(t) = (n — r)/n, Q\t) = r/n,
при плане испытаний [н, U,T] доверительные границы для вероятности от-
каза Q (/)за время испытаний 7 будут
у2 (2г, а,)
Vh И-ги-г + О^/^а,)’
Х2(2г + 2,1-а2)
Vb 2я-г + 0,5%2(2г + 2, 1-а2)’
где г- число отказов за время испытаний; х2(2г,а() и %2(2гч-2,1 —сх2) -
квантиль .^-распределения вероятностей а, и (1 - аг) с числом степеней 2г и
(2г + 2) соответственно.
Границы доверительного интервала для вероятности безотказной рабо-
ты Р(Т) могут быть определены по соотношению P(f) = 1 - Q(t).
Таким образом, интервальное оценивание генеральных характеристик
показателей надежности по результатам испытаний ракетных двигателей
является конечной целью обработки этих результатов.
***
В заключение отметим, что обработка результатов измерений, прове-
денных в процессе испытания ракетного двигателя, является одной из важ-
нейших практических задач, которые возникают и решаются при организа-
ции проведения испытаний.
Контрольные вопросы
1.	Какими тремя свойствами должны обладать точечные оценки?
2.	Как найти оценку математического ожидания наработки при планах
испытаний: [я, U, г], [л, R, г], [и, U, Г], [п, R, Г] ?
3.	Каким образом получают точечные оценки вероятностей безотказ-
ной работы и отказа?
4.	Как определяют статистическую частоту и статистическую функцию
распределения?
5.	Какова сущность критерия согласия?
Глава пятая
Определительные испытания
К определительным испытаниям относятся все отработочные испыта-
ния, проводимые в соответствии с конструкторской документацией в про-
цессе экспериментальной отработки опытных изделий.
Эти испытания дают наиболее полную и всестороннюю информацию
для оценки и контроля надежности ракетных двигателей. Рассмотрим мето-
ды планирования и оценки показателей безотказности.
5.1.	Общие положения
Определительные испытания проводят с целью установления числен-
ных значений показателей надежности, т. е. измерения уровня надежности
испытываемых объектов. При этих испытаниях чаще всего измеряют нара-
ботку изделий до отказа Т, по значениям которой вычисляют оценки пока-
зателей надежности изделий: вероятности безотказной работы Р (z), вероят-
ности отказа Q (t), средней наработки до отказа Т, интенсивности отказов
Х*(/) и др.
Наиболее часто характер определительных испытаний имеют исследо-
вательские испытания, которые являются неотъемлемой частью процесса
создания изделия. Эти испытания необходимы для проверки физических
процессов и принципов функционирования, правильности, полноты и эф-
фективности принятых конструкторских и технологических решений и т. п.
Возможность объективного анализа и статистической обработки ин-
формации, получаемой в результате определительных испытаний, сущест-
венно зависит от полноты сведений о каждом случае потери работоспособ-
ности (отказа), в связи с чем все случаи нарушения функционирования под-
лежат обязательной фиксации. Для оценки показателей надежности при об-
работке результатов испытаний из общей статистики выделяют нсзачстные
и зачетные отказы.
К незачетным отказам относят отказы изделий, причины которых од-
нозначно установлены и устранены, а эффективность принятых мер по уст-
ранению причин отказа подтверждена необходимыми и достаточными ис-
следованиями и испытаниями.
К незачетным относят также отказы, не влияющие на определяемый
показатель надежности, связанные с внешними воздействиями, которые не
предусмотрены технической документацией, и возникшие вследствие оши-
бок персонала испытательного стенда.
Отказы, не отнесенные к незачетным, являются зачетными. Результа-
ты испытаний, связанные с зачетными отказами, подлежат обработке для
определения оценок показателей надежности.
139
В зависимости от имеющейся информации о функции распределения
F(t) наработки до отказа, возможны следующие варианты оценки показате-
лей надежности:
-	вариант 1, когда известен вид функции распределения F(t) и неиз-
вестны значения всех или некоторых числовых характеристик известного
распределения. В этом случае вычисление показателей надежности включа-
ет оценку неизвестных числовых характеристик функции распределения по
значениям наработки Z( испытываемых изделий; оценку показателей на-
дежности по вычисленным точечным оценкам числовых характеристик за-
кона распределения. Такой метод оценки показателей надежности называ-
ется параметрическим. Применение этого метода предполагает проверку
гипотезы о согласии теоретического закона распределения с опытными
данными с помощью критерия согласия (см. п. 4.3);
-	вариант 2, когда неизвестен вид функции распределения F(t), но из-
вестен класс распределения, к которому она относится (показательный,
нормальный либо другой);
-	вариант 3, когда неизвестен вид функции распределения F(f) и пред-
полагается лишь ее непрерывность в рассматриваемом интервале.
Для двух последних вариантов оценку показателей надежности вычис-
ляют непосредственно по полученным значениям наработки tj изделий,
прошедших испытания. Такой метод вычисления показателей надежности
называют непараметри ческим.
В результате определительных испытаний, как и при других испытани-
ях на надежность, получают нс одно число, а числовой (доверительный) ин-
тервал, в который попадает определяемый неизвестный показатель надеж-
ности с заданной доверительной вероятнос тью.
Если обозначить через U в общем виде числовую характеристику (ма-
тематическое ожидание, дисперсию и др.) закона распределения показателя
надежности, то задачей определительных испытаний будет нахождение
оценки if фактической (неизвестной) числовой характеристики Ц,. Резуль-
тат определительных испытаний должен указать нижнюю UK и верхнюю t/B
границы интервала, в которые с доверительной вероятностью у попадает
неизвестное фактическое значение U$:
У = Вер(С/„ < 1/ф < UB).
Значение границ доверительного интервала вместе с доверительной ве-
роятностью образует интервальную оценку неизвестной числовой характери-
стики С/ф, а процедуру их нахождения называют интервальным оцениванием.
Методика интервального оценивания изложена выше (см. п. 4.4).
Одним из самых значимых этапов организации определительных ис-
пытаний является их планирование. Рассмотрим принципы и способы пла-
нирования определительных испытаний.
140
5.2.	Планирование определительных испытаний
Планирование испытаний предусматривает выбор типа плана испыта-
ний, числа объек тов испытаний, условий их проведения и режимов работы
изделия. Правила, устанавливающие объем выборки, порядок проведения
испытаний и критерии их прекращения, называют планами испытаний. Ра-
нее (см. п. 3.4) уже отмечалось, что планы испытаний имеют условные бук-
венные обозначения по типу Х\, Х2, Х3, где Xt - признак объема испытаний;
Х3 — признак восстанавливаемости объекта при испытании; Х3 - признак
окончания испытания.
Возможны следующие варианты планов определительных испытаний:
[п, U, 7], [п, U, г], [и, U, п], [п, U, (г, 7)], [п, R, Т\, [п, R, г], [п, R, (г, 7)],
[и, М, 7], [и, М, Ту, [п, М, г], [п, М, (г, Т’у]. При этом наиболее применяемы-
ми являются планы [и, U, 7], [п, U, г], [и, U, п], [п, R, 7], [п, R, г].
Задачу выбора типа плана испытаний решают путем сравнения эффек-
тивности того или иного плана. С этой целью вводят некоторый критерий
эффективности, в качестве которого принимают следующие параметры:
среднюю продолжительность испытаний, число испытываемых объектов,
среднюю стоимост ь испытаний и т. п.
Необходимый объем испытаний при планировании определительной
процедуры может быть получен лишь ориентировочно, исходя из предпола-
гаемого уровня надежности изделий. Ошибки в планировании, которые вы-
являют в процессе испытаний и при обработке их результатов, могут быть
скорректированы.
При планировании определительных испытаний задают доверитель-
ную вероятность у, точность оценки е, а затем находят объем информации:
и, г и (или) Т. Величины у, е, п, г, Т взаимосвязаны.
Ранее (см. п. 4.4) было установлено, что
у = Вер(С/‘- е < Ц, < U* + е) = Вер( | £7*- Ц, | < е),
где U* - значение точечной оценки; £7ф - фактическое значение искомой вели-
чины; Е-точность оценки, равная половине доверительного интервала.
Если рассмотреть известную зависимость вероятности попадания в за-
данный интервал Р(а < X < b) = F(b) — F(a), где F(x) - функция распреде-
ления случайной величины X, то очевидно, что чем выше вероятность, тем
шире рассматриваемый интервал. Отсюда следует, что при фиксированной
совокупности и повышение доверительной вероятности приведет к расшире-
нию доверительного интервала и наоборот. Увеличение объема статистиче-
ских данных п всегда способствует повышению точности и достоверности
оценки. Конечно, высокой доверительной вероятности можно достичь и при
малом объеме статистики, но при низкой точности оценки (широком довери-
тельном интервале). Поэтому для планирования определительных испытаний,
кроме задания требуемой доверительной вероятности у, должна задаваться
точность оценки е. Однако точность е как абсолютная величина не является
информативной характеристикой. Так, если сравнивать оценки 250 ± 10 и
25 000 ± 10, то при равенстве абсолютных значений интервала (2е = 20) вто-
141
рая оценка более предпочтительна. Поэтому при планировании испытаний
обычно задают относительную точность Eq = e/ U.
Событие, приводящее к прекращению испытаний объекта до наступле-
ния отказа (предельного состояния) изучаемого характера, называют цензу-
рированием. Различают три типа цензурирования:
-	тип I - при заданной наработке Т, когда испытания прекращают по
истечении времени Т, хотя в этот момент изделия могут оставаться работо-
способными;
-	тип II - при заданном числе отказов г, при этом (п — г) изделий оста-
ются работоспособными;
-	тип III - случайный, когда имеет место снятие с испытаний некото-
рых изделий по организационным причинам или в результате отказов их
элементов, надежность которых не исследуется, и др.
Цензурирование задается степенью цензурирования, которую обозна-
чают со. Например, при плане [п, U, г], когда задано значение г, степень
цензурирования <л=г/п.
При планировании определительных испытаний, кроме предельной отно-
сительной точности £ои доверительной вероятности у, задают также коэффи-
циент вариации v наработки до отказа и степень цензурирования со. При нор-
мальном распределении ориентировочное значение коэффициента вариации
v = 0,10...0,30. Кроме того, должен указываться вид доверительного интерва-
ла (односторонний или двухсторонний). Для одностороннего доверительного
интервала задают уровень значимости ос = 1 — у, для симметричного двухсто-
роннего - уровни значимости а, = а2, для двухстороннего несимметричного
интервала — уровни значимости О', и а2, для которого у = 1 — а, — ос2.
Чаще всего уровни значимости (вероятности) выбирают одинаковыми:
а,=а2=а, тогда у = 1 —2ос и, следовательно, каждую из доверительных
границ определяют с уровнем значимости а = (1 — у) / 2.
Рекомендации по выбору значений £о и у даны в табл. 5.1 [16].
Таблица 5.1
Допустимые значения £о и у
Объект испытаний	Предельная относительная погрешность 8о	Доверительная вероятность у
Деталь, обусловливающая внешний вид изделия	0,15...0,20	0,80...0,90
Базовая деталь	0,10...0,15	0,90...0,95
Детали, обеспечивающие надеж- ность и безопасность изделия	0,05	0,95...0,99
Для изделий специального назначения, в том числе для двигателей ле-
тательных аппаратов, устанавливают более жесткие нормы относительной
точности и доверительного интервала.
Задачу нахождения необходимого объема испытаний п и числа отказов
г при заданных значениях £о, сс,,а2 для планов [п, U, г], [п, R, г], [п, М, г]
можно решить только при простейших потоках отказов по выражениям:
142
1 + Е =___—____ 1-е -_________2>'
° Z1 2(2r,a2)’	° X2(2r,l-a,)’
Оба уравнения с помощью таблиц распределения %2 (см. табл. 4 прило-
жения) необходимо решить относительно г и большее из двух полученных
значений принять в качестве необходимого значения числа отказов. Величи-
ну и назначают по возможности больше величины г. Очевидно, что чем
большее число испытываемых изделий п, тем за меньшее время будет дос-
тигнуто число отказов г. Однако число п обычно ограничено экономически-
ми и (или) техническими соображениями.
При планах [и, U, 7], [п, R, 7], [и, М, 7) объем испытаний определяют
числом испытываемых изделий п и продолжительностью испытаний Т.
Время испытаний связано с числом отказов (за большее время произойдет
больше отказов), что повысит точность и достоверность оценки, но эту
связь устанавливают по ожидаемому значению средней наработки 7’ж при
испытаниях [8]:
^ = гТож1к(г,у),
где к (г, у) - коэффициент, учитывающий приближенность выражения, зна-
чения которого зависят от числа отказов г и доверительной вероятности у
(вероятности того, что объем испытаний обеспечит требуемые достовер-
ность и точность оценки). Значения этих коэффициентов приведены в
табл. 6 приложения.
Величина Твж может быть приближенно определена по предварительным
расчетам или сопоставлению с аналогами испытываемого изделия.
Таким образом, при [и, U, 7], [и, R, 7], [и, М, 7] определяют число отка-
зов г, по экономическим или техническим соображениям находят количест-
во испытываемых изделий и, а затем по найденным значениям г, 7ОЖ,
к (г, у) - время испытаний 7:
Г = гГож/иЛ(г,у).
Рассмотрим методику определения параметров планов на примере.
Пример 5.1. Требуется найти параметры плана [и, U, 7] при заданных
значениях относительной погрешности со = 0,10, уровней значимости
а]=а2=0,05. Путем сопоставления с аналогами испытываемого изделия
определено Тал = 100 ч.
Решение. Определим число отказов г по выражениям
1	2Г1	1 1А
1 + Еп — —-----г — ——-------г — 1,10,
%	X (2й,0,05)
1 -Е = 2гг------- = 	2Г2---- = 0,90.
Х2(2г2,1-а.) х2 (2^. 0,95)
143
Оба уравнения решаем относительно г с помощью таблиц распределе-
ния %2 (см. табл. 4 приложения). Получим = 2л; < 1, s2 = 2гг ~ 5. Тогда с
учетом округления до целого числа примем г = 3, п — 10.
По табл. 6 приложения находим к(г = 3, у = 0,9) = 0,57 и получим
7’ = г7’ож/пЛ(г,у) = 2- 100/ 10-0,57 = 53 ч.
Окончательно запишем искомый план: [10, U, Т- 53 ч].
Для нормального распределения параметры плана [п, U, 7] определяют
по следующей схеме:
- для заданных значений относительной погрешности Ео, доверитель-
ной вероятности у и коэффициента вариации v находят число отказов г:
*4Г ~ 0 = Ер
4г V ’
где t/r - 1) - квантиль распределения Стьюдейта уровня у с числом степе-
ней свободы (г - 1), определяемый по табл. 2 приложения;
—	значение параметра и принимают, исходя из экономических или тех-
нических соображений, и рассчитывают степень цензурирования
со = г I п;
-	вычисляют коэффициент кт = Т /Тж:
кт = 1 + гсУ>
где гш— квантиль нормального распределения уровня со (см. табл. 1 прило-
жения);
-	находят параметр для плана испытаний Т = кт1Т1Ж.
После испытаний необходимо проверить соответствие полученного
значения коэффициента вариации V* прогнозируемому коэффициенту V.
При v’ > v испытания следует перепланировать.
Приведем пример, поясняющий метод определения параметров плана
для нормального распределения.
Пример 5.2. Определить параметры плана [и, U, 7] для нормального
распределения с относительной погрешностью е„= 0,10 и уровнями значи-
мости а, = ос2 = 0,025 (доверительной вероятности у = 0,95) при ожидаемом
значении коэффициента вариации v= 0,2, если Тож = 100 ч.
Решение. Выполним расчет по формуле
М' -
л/7 V 0,20	’
Используя табл. 2 приложения (данные для двухсторонней критиче-
ской области), методом подбора находим приемлемые значения
Га =0 05 (15) = 2,13 и г = 16, при которых
ML22>=^3.0,s.
4г л/16
144
Принимаем и = 25, тогда степень цензурирования со = 16/25 = 0,64.
Вычислим коэффициент кт = 1 + zav = 1 + 0,36  0,2 = 1,072, где кван-
тиль нормального распределения (см. табл. 1 приложения) £у=и=064 =0,36
Тогда Т = ^7^ =1,072 100 = 107,2 ч. Окончательно запишем искомый
план: [16, U, Т= 108 ч].
План [п, U, и] обеспечивает минимальное количество образцов, под-
вергаемых испытаниям, однако продолжительность испытаний может ока-
заться большой. В то же время это единственный план, который обеспечи-
вает получение полной совокупности	необходимой для пра-
вильного выявления распределения и интервального оценивания.
Если целью определительных испытаний является непосредственное
оценивание вероятности безотказной работы Р(?) с доверительной вероят-
ностью у по плану [и, U, 7], то объем необходимых испытаний п ориенти-
ровочно находят по выражению
z2
"=^«1-^(0].
где е - точность оценки /'"(/'); 7^ж(г) - примерное ожидаемое значение ве-
роятности безотказной работы; z,, - квантиль нормального распределения
уровня у (см. табл. 1 приложения).
Формулы для расчета параметров планов испытаний при оценке сред-
ней наработки до отказа приведены в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Параметры планов испытаний при оценке средней наработки до отказа
План испытаний, его параметры, вид функции распределения			Формула для определения параметров плана испытаний	Примечание
[«, U, и] п F(/) = l-exp(-Xr)			2и 	г = £0+1 Х‘(2«, 1-у)	Х2(2и,1-у) (определяют по табл. 3 приложения)
[и, U, п] п	Z-zzz,)' (J, >		л/й v	(определяют по табл. 2 приложения)
[и, U, г] п, г F(p = l-exp(-lz)			2г %2(2т,1-У) £о + п — г/(й	Х2(2г,1-у) (определяют по табл. 3 приложения)
[и, U, г] п, г Е(/) = Ф	t-m,)' О, >		4г v и = г/со	//г-1) (определяют по табл. 2 приложения)
10 Исиьнавис ракетных двигателей
145
Приведем пример.
Пример 5.3. Определить объем п, необходимый для оценки средней
наработки до отказа по плану [п, U, п] с предельной относительной погреш-
ностью £0= 0,1 и доверительной вероятностью у = 0,80, в предположении,
что наработка до отказа распределена нормально с коэффициентом вариа-
ции v = 0,4.
t (tl — 1)	£
Решение. По выражению ——у=— = — (см. табл. 5.2) находим
•Jn v
£	01
= —— = 0,25. Используя табл. 2 приложения (данные для одностороннего
v 0,4
интервала), определим требуемое значение объема п = 12, при котором
>/12	3,464
Тогда искомый план можно записать в виде [12, U, 12].
По результатам испытаний 12 изделий получаем значения наработок
до отказа	по которым находим Т* ,cT,v . При условии v*<v
испытания засчитывают, в противном случае испытания необходимо пере-
планировать и повторить.
Рассмотренные выше методы нахождения параметров планов определи-
тельных испытаний широко применяют в практике проведения отработки
ракетных двигателей и при оценке их надежности на завершающем этапе.
5.3.	Оценка показателей безотказности на основе
параметрических методов
При применении параметрических методов оценивания полагают, что
вид закона распределения наработки до отказа известен до испытаний, а
выборка, по которой оценивают показатели безотказности, статистически
однородна. Проверку гипотезы о виде закона распределения осуществляют
с помощью критериев согласия (см. п. 4.3).
Точечные оценки показателей безотказности на основе параметриче-
ских методов рассчитывают, используя точечные оценки числовых харак-
теристик законов распределения: для экспоненциального - X’, для нор-
мального — да* и о, = fif' .
Рассмотрим порядок расчета показателей безотказности для этих рас-
пределений.
Экспоненциальное распределение. Плотность распределения имеет
вид /(/) = Хе~ъ, Х>0, ?>0. Оценке подлежит параметр X, формулы для
146
вычисления точечной и интервальной оценки которого приведены в
табл. 5.3, 5.4 [16]. Формулы для вычисления интервальных оценок показа-
телей безотказности представлены в табл. 5.5.
Примечание. Обозначения величин в табл. 5.3...5.5 даны в пн. 4.2 и 4.4 при рас-
смотрении вопросов точечной и интервальной оценок генеральных характеристик.
Покажем практическое применение приведенных выше формул на
примере.
Точечная оценка параметра 1
Таблица 5.3
План ис- пытаний	Оценка параметра X	Свойства оценки	Примечание
[и, U, и]	п-1	. 	, п > 1 5	Состоятельная, несмещен- ная, асимптотически эффек- тивная	
	1, и = 1 tl	Смещенная	
[и, U, г]	г-1 	, Г>1 S	Состоятельная, несмещен- ная, асимптотически эффек- тивная	s =	+{n-r)t(r}, где i=l наработка до задан- ного числа отказов г
	-Цт = 1	Смещенная	
[и, U, Т}	-, г>0 5	Состоятельная, несмещен- ная, асимптотически эффек- тивная	я =	+(л-г) Т i=i
Интервальные оценки параметра 7.
Таблица 5.4
План испы- таний	Нижняя доверительная граница уровня у	Верхняя доверительная граница Хв уровня у
[и, U, и] при И> 1 при /1 = 1	Гх2(2и, 1-у) 2(и-1) 7^— X? ( 2,1 - Y) =	In у 2z(„i)	ф=1)	Гх2(2и,у) 2(и-1) Х2(2,у) = --^-1п(1-у) (-') '(«)
[и, U, г] при Г>1 при Г = 1	Х*х2(2г, 1-у) 2(г-1) Х*х2(2,1-у)_ 1 1п1 2	Y	Гх2(2г,у) 2(г-1) ГХ2(2,У)_ 1 1п 1 2 «'(„,)
[и, и, Т] при г>0 при г = 0	Х*х2 (2г, 1-у) 2г 0	Гх2(2г,у) 2г Х2(2,У)_ 1 1п 1 1пТ пТ 1-у
147
Таблица 5.5
Интервальные оценки показателей безотказности
при экспоненциальном законе распределения
Показатель надеж- ности	Нижняя граница	Верхняя граница	Примечание
Интенсивность от- казов Х(/)	К	х.	Вычисляется согласно табл. 5.4
Средняя наработка до отказа Т	Тн = 1/Хв	т.=1/х„	
Вероятность безот- казной работы P(f)	Л(0= ехрн/т;,)	Л(0 = ехрН/Г.)	-
Вероятность отказа 2(0	a(0 = l-exp(-r/T.)	2,(0 = 1-ехр(-//7;,)	
Пример 5.4. Вычислить точечную и интервальную оценки интенсивно-
сти отказов X по результатам п = 10 испытаний, проведенных по плану
[10, U, Т= 100], при этом наработки до отказа г = 2 изделий составили 86 и
92. Доверительная вероятность у = 0,9.
Решение. Воспользуемся формулами табл. 5.3 для плана [п, U, 7] и
рассчитаем точечную оценку:
s = £r,+(w-r)7' = 86 + 92 + (10-2)100 = 978, X* =- = ^ = 0,00204.
По формулам табл. 5.4 находим:
X = XV(2f,l-T) = 0,002 04-1.06 д
2г	2-2
X =ХУ(2^.Т) = Р,00204.7,8 =
" 2г	2-2
где х2(2г,1-'у) = Х2(4>°,1) = 1>06; %2(2г,у) =%2 (6,0,9) = 7,8 (см. табл. 4
приложения).
Пример 5.5. По данным примера 5.4 (Хн = 0,000 54, Хв= 0,003 98) опре-
делить доверительные границы вероятности безотказной работы Р(?) при
/ = 20.
Решение. По формулам табл. 5.5 находим:
Тн =1/Хв =1/0,003 98 = 251,2, Тв =1/Хн =1/0,000 54= 1 852.
Тогда
Р„ (г) = ехр(-/ / Тк) = ехр (-20 / 251,2) = 0,923 5,
Рв(/) = ехр(-г/7;) = ехр(-20/1852) = 0,989 2.
Запишем результат: 0,923 5 < Р(/ = 20) < 0,989 2.
148
2о,2
Нормальное распределение. Плотность распределения имеет вид
/(г) = —Ц=ехр -
о,л/2л
'	к
Оценке подлежат параметры mt ио,.
Точечные оценки т' и о* определяют по формулам
т, =	> D’= ~[б " "’/]2 ’ °* = л!
D, >
где - наработка до отказа п изделий.
Формулы для вычисления точечных и интервальных оценок показате-
лей безотказности при нормальном законе распределения представлены в
табл. 5.6, 5.7.
Точечные оценки показателей безотказности
прн нормальном законе распределения
Таблица 5.6
Показатель надежности	Точечная оценка	Формула для расчета		
Средняя наработка до отказа 2%	т	f = т,		
Интенсивность отказов Х(/)	т'	0,5-Ф„	0 t-m’y СУ* >	
Вероятность безотказной работы Р(Г)	p\t)	Р'(/) = 0,5-Фс	t-m’ 1 <	7
Вероятность отказа Q(f)	Q\t)	/ е#(/)=1-р‘(/)=о,5+Ф0		a’ J
Примечания. 1. В формулах табл. 5.6 представлена нормированная функция Лапла-
1 7	Г z2
са вида Ф() (z) = - .— lexp —— dz. При использовании же в расчетах функции вида
У2л i	I 2 J
1 1	( z2 'I
Ф(г)=~== [exp--------\dz следует учитывать, что Ф(г) = 0,5 + Фо(г) и справедливо
равенство Фо (-z) = -Ф(г).
2. Статистическую плотность распределения /”(/) при оценке интенсивности от-
казов X определяют с использованием оценок т, и о,.
Рассмотрим пример.
Пример 5.6. По данным: п = 40, Т = 97,5 ч, о* =32,0 ч - произвести
интервальную оценку средней наработки до отказа для уровней значимости
а, = ос2 =0,05.
149
Решение. По данным табл. 2 приложения при уровне значимости
а = 0,05 находим критерий Стыодента /095(39) = 1,68. Тогда по формулам
табл. 5.7 получим:
32 0
т = Т' -1,68-7^ = 97,5 -8,5 = 89,0 ч,
н	V40
.	32 0
т =т + 1,68-^ = 97,5 + 8,5 = 106,0 ч.
в	V40
Следовательно, при заданном уровне значимости Т = 97,5 + 8,5 ч.
Интервальные оценки показателей безотказности
при нормальном законе распределения
Таблица 5.7
Показатель надежности	Нижняя граница			Верхняя граница			Примечание
Средняя наработка до отказа 7g,	• / \ °* т.=т			r.=r’+^(s)-^			Значения ta(s) приведены в табл. 2 приложения (х = и-1)
Вероятность безотказной работы Р(Т)	гф-	(t-T* l} —-	h < ° J		гф-	——+л о		
							° — I OI + т—1 1 J»»— 0 «
Вероятность отказа Q(t)	Гф-	‘|4i 1 S’ 4	У		гф"	——+ Л < ° J		
Примечание. Для плана [л, С, и] г = п ; для плана [n,U, z] т = и [1-Р* (/, )]; для
планов [и, U, г], [n,U,T] и [и, U, z] оценки являются приближенными.
Если результаты определительных испытаний предполагают использо-
вать для контроля показателей надежности, то вместо предельной относи-
тельной погрешности Ео следует применять предельную погрешность отно-
сительно верхней доверительной границы £ = 7’в - Т‘ (для показателей без-
отказности типа «Интенсивность отказов») или относительно нижней дове-
рительной границы £ — Т' — ТИ (для показателей безотказности типа «Веро-
ятность безотказной работы», «Средняя наработка до отказа и др.).
Таким образом, планы испытаний до заданного числа отказов по срав-
нению с планами испытаний по времени надежнее обеспечивают заданную
точность и достоверность интервальной оценки, однако их продолжитель-
ность заранее не ограничена и может оказаться значительной. Планы по вре-
мени, наоборот, гарантируют заданную длительность испытаний, но могут
не обеспечить требуемых точности и достоверности.
150
5.4.	Оценка показателей безотказности
непараметрическими методами
В некоторых случаях полученные результаты испытаний по тем или
иным причинам (например, при недостаточном объеме имеющихся данных)
не позволяют достаточно обоснованно выбрать какое-либо распределение
или оценить его числовые характеристики. Тогда для оценки показателей
безотказности используют непараметрические методы, которые дают воз-
можность оценить показатели безотказности при отсутствии информации о
виде закона распределении наработки до отказа.
Общим для непараметрических методов является вычисление оценки
функции распределения наработки до отказа по общему вариационному ря-
ду, в котором наработки до отказа и до цензурирования выстроены в поряд-
ке возрастания: /, < i2 <... < z) < ik+l <... < im, где т - число членов вариацион-
ного ряда. В упорядоченном (вариационном) ряду z-й по порядку член на-
зывается порядковой статистикой. Первый (наименьший) и последний
(наибольший) члены вариационного ряда называют крайними порядковыми
статистиками. Разность между крайними порядковыми статистиками со-
ставляет размах вариационного ряда. Центральная порядковая статистика
вариационного ряда, т. е. член с номером A = (zh + 1)/2, называется выбо-
рочной медианой. Если число т - четное, то выборочную медиану опреде-
ляют как среднее (полусумму) двух центральных порядковых статистик.
Показатели надежности определяют как некоторые функции, аргумен-
тами которых являются оценки функции распределения F*(t) и вероятно-
сти безотказной работы P\t).
В тех случаях когда неизвестны вид и класс распределения наработки
до отказа, вычисляют множительные оценки показателей безотказности,
приведенные в табл. 5.8 [16].
Таблица 5.8
Множительные точечные оценки показателей безотказности
Показатель на- дежности	Точечная оценка	Пояснение к формуле
Средняя нара- ботка до отказа Т ср	г=£^(о]+[1-г(о]т„ 7=1	*о=0, ^,= max(г„/„),
Вероятность безотказной работы P(t)	P'(t) = aP'(tj) + (l — a)P'(tl_l), i = l, 2,..., г	tQ =0, <t <t: t<tr, t~t. a =	—
Оценки вероятности безотказной работы Р*(?;) и функции распределе-
ния F*(t) вычисляют следующим образом [16]:
1)	наработки до отказа и до цензурирования выстраивают в общий ва-
риационный ряд в порядке неубывания наработок. Если в вариационном
ряду некоторые значения наработки до цензурирования равны значениям
151
наработки до отказа, то сначала указывают наработки до отказа, затем на-
работки до цензурирования;
2)	для каждой наработки до отказа Z, (z = 1,2,..., г) определяют оценку
вероятности безотказной работы Р’(() и оценку функции распределения
Г(г,.) = 1-Р‘(г,):
-	для планов [и, U, и] ,[и, U, г] и [и, U, Г] - по формуле
P'(t) = (1 - 0 /«;
-	для плана [п, U, z], при котором испытания прекращают при нара-
ботке Zj каждого изделия, где zi =min (Z,,T,.), здесь t,- наработка до отказа
i-ro изделия, т, - наработка до снятия с испытания работоспособного z-ro
изделия, - по формуле
Ц|=п—
“I w*+1J
где пк - число работоспособных объектов после отказа при наработке I,.
Формулы для вычисления множительных интервальных оценок пока-
зателей безотказности на основе непараметрических методов приведены
в табл. 5.9.
Таблица 5.9
Множительные интервальные оценки показателей безотказности
Показатель надежности	Нижняя доверительная граница уровня у	Верхняя доверительная граница уровня у
Средняя на- работка до отказа Tcf	где zY — квантиль функции Лапласа Ф()(?) вероятности у	7’B=r+z^;XAF(,.)U-r)2>r де z - квантиль функции Лапласа Ф0(г) вероятности у
Вероятность безотказной работы P(t)	PJt^aPM+ t-t,. а =	—, Z, , <?</,,	а=-——, /,_.</</,, Z<Z
Интервальные оценки вероятности безотказной работы и функции рас-
пределения при наработках ti3i = 1,2,..., г вычисляют по приближенным
формулам вида [16]
Р ~1	Х2(2г + 2,у)
2л - г + 0,5%2(2г + 2,у) ’
р ~1	%2 (2г, 1-у)
2п - г + 0,5%2(2г,у) ’
где %2(2г + 2,у) и %2 (2г, у) - квантили ^-распределения уровня у с (2г + 2)
и 2г степенями свободы соответственно; г — число отказов в п испытаниях.
152
При числе отказов, равном нулю, частные значения границ следующие:
Рв=1, г = 0.
При г = 1 можно использовать формулы [16]
рн=р*(1-т),'<ял /,в=уг
♦ г
где Р =1 —.
и
С подробными таблицами значений ^ (?,) = /(и, Р*(О> Y) и ^(/,) =
= f2(n, Р*(I,), у) можно ознакомиться в справочниках по надежности, на-
пример [16]. Некоторые значения Ри(1,), которые будут использованы в
представленном ниже примере, приведены в табл. 7 приложения.
Пример 5.7. Оценить с уровнем у = 0,9 среднюю наработку до отказа и
вероятность безотказной работы за наработку 250 ч по результатам испыта-
ний шести изделий, проведенных по плану [n,U,z], Наработки испытан-
ных изделий до отказа равны 246, 253, 264, 283 и 307 ч. Один объект был
снят с испытаний в работоспособном состоянии при наработке 272 ч.
Решение. План испытаний [и, U, z] определяет следующие усло-
вия испытаний: число изделий, поставленных на испытания, п = 6; отказав-
шие изделия не заменяются и не восстанавливаются (СТ); испытания пре-
кращаются при наработке z, каждого изделия, где z.t =min(/(,T,), здесь
Z, - наработка до отказа z-го изделия, т, - наработка до снятия с испытания
работоспособного z-го изделия.
Наработки до отказа и до цензурирования события, приводящего к
прекращению испытаний до наступления отказа изучаемого характера, вы-
страиваем в вариационный ряд:
246 < 253 < 264 < 272* < 283 < 307,
где звездочкой отмечена наработка до цензурирования.
Вычислим точечные оценки вероятности безотказной работы по фор-
муле
p\t ) = ГТ 1---1— , / = 1,2,3,4,5,
где пк- число работоспособных объектов после отказа при наработке tk.
Р’(Г2) = Р’(253) =
Р*(/,) = Р*(246) =
=0,833,
= 0,667,
P*(r3) = P*(264) = ^l-lJl-|Yl-^ = 0,5,
153
P\t4) = P*(283) = [1-	1 Jl - Ц1 - ij=0,25,
P*(Z5) = P’(307) = 0.
Найдем оценку средней наработки до отказа Т* по формуле, приведен-
ной в табл. 5.8:
< 1 X Лэ 1Х М 7^	(3 ЗА ( УХ
Г = 246 --0 +253 --- +264 --- +283 --- ++307 1-- =275
уб )	бу ^6 б) <4 6) V 4у
ч.
Заданная наработка 250 ч находится в интервале t{ = 246 < t =
t —t-,
= 250<r2 =253, поэтому, согласно выражению а=-------—, где /,ч <?<?,.
Ь ~ ri-i
(см. табл. 5.8), определим:
Следовательно, оценка вероятности безотказной работы за наработку
250 ч
P\t) = aP'(t2) + (1 - d)P\tx) = оР’(253) + (1 -а)Р*(246) = 0,571 • 0,667 +
+(1-0,571)0,833 = 0,738.
Интервальные оценки показателей безотказности вычислим по форму-
лам, приведенным в табл. 5.9.
Нижняя доверительная граница наработки до отказа для заданного
уровня у = 0,9, при котором zy = 1,282,
Ти = 275 -1,282^|(0,167-292 +0,167-222 +0,167-И2 + 0,25 -82 + 0,25-322) = 262 ч.
Нижние доверительные границы уровня у = 0,9 вероятности безотказ-
ной работы при наработках г, = 246 и (2 = 253 определим по табл. 7 прило-
жения:
Л. (А) = Л(246) = /2(6; 0,833; 0,9) = 0,489 7,
P„(Z2) = Л (253) = /2(6; 0,667; 0,9) = 0,333 2.
Нижняя доверительная граница уровня у = 0,9 вероятности безотказной
работы за наработку 250 ч
Р„(0 = «Р (/2) + (1 - о)Рл(/,) = 0,571 • 0,333 2 + (1 - 0,571)0,489 7 = 0,4.
Полученный в данном примере результат не пригоден для практиче-
ского применения в связи с низким уровнем надежности. Очевидно, необ-
ходимо провести доработку конструкции испытанных изделий для повы-
шения уровня надежности и повторить испытания.
Таким образом, непараметрические методы позволяют оценить показа-
тели надежности в том случае, когда отсутствует информация о виде закона
154
распределения наработки до отказа, а объем имеющихся данных не позво-
ляет достаточно обоснованно выбрать какое-либо распределение или оце-
нить его параметры.
***
Итак, особенности организации и обработки результатов определитель-
ных испытаний зависят в первую очередь от назначения, сложности, техни-
ко-экономических показателей и степени новизны ракетного двигателя.
Контрольные вопросы и задания
1.	С какой целью проводят определительные испытания?
2.	Какие методы оценки показателей надежности называют параметри-
ческими?
3.	Какие методы оценки показателей надежности называют непарамет-
рическими?
4.	Что называют доверительным интервалом, доверительной вероятно-
стью, интервалом оценивания?
5.	Регистрацию какой информации необходимо обеспечить при прове-
дении определительных испытаний?
6.	Какие отказы относят к незачетным?
7.	Из каких этапов состоит интервальное оценивание показателей на-
дежности при определительных испытаниях?
8.	Дайте определение состоятельности, несмещенности и эффективно-
сти оценок.
9.	Что предусматривает планирование испытаний?
10.	Какие планы определительных испытаний являются наиболее при-
емлемыми?
11.	Какие параметры рассчитывают при планировании определитель-
ных испытаний?
12.	Какой параметр чаще всего измеряют при проведении определи-
тельных испытаний?
13.	Приведите формулы для расчета точечных оценок показателей на-
дежности, применяемых при параметрических методах.
14.	По каким формулам рассчитывают интервальные оценки показате-
лей надежности на основе параметрических методов при экспоненциальном
и нормальном законах распределения отказов?
15.	Какова последовательность оценки вероятности безотказной рабо-
ты при непараметрическими методами?
16.	По каким формулам рассчитывают точечные оценки показателей
надежности на основе непараметрических методов?
17.	Какие решения принимают по результатам определительных испы-
таний?
Глава шестая
Контрольные испытания
Испытания, проводимые для контроля уровня надежности партии из-
делий, называют контрольными. Цель контрольных испытаний - устано-
вить, соответствует ли испытываемая партия изделий заданным требовани-
ям. По результатам этих испытаний находят соотношение между фактиче-
скими показателями надежности контролируемой партии изделий и тре-
буемыми (нормативными) показателями надежности и дают заключение о
соответствии или несоответствии данной партии требованиям к ее надеж-
ности. Определения фактических значений показателей надежности не тре-
буется.
В зависимости от результатов испытаний партию изделий либо прини-
мают для использования по назначению, если фактические показатели надеж-
ности соответствую! предъявляемым к ним требованиям, либо бракуют, если
фактические показатели надежности не соответствуют требованиям к ним.
При проведении контрольных испытаний, как правило, рассматриваю!
случаи, когда контролируемый показатель надежности является одномер-
ной величиной типа наработки или вероятности.
Контрольные испытания подразделяют на предварительные и прие-
мочные испытания.
К предварительным относятся все контрольные испытания, опреде-
ленные конструкторской документацией, которым должны подвергаться
изделия, подлежащие поставке в состав изделий более крупной структуры.
При проведении приемочных испытаний проверяют соответствие ха-
рактеристик и параметров партии изделий (в том числе показателей надеж-
ности) требованиям технического задания заказчика в условиях, макси-
мально приближенных к условиям применения по назначению (эксплуата-
ции), и устанавливают готовность этих изделий для поставки заказчику.
К контрольным испытаниям серийных изделий и изделий, выпускае-
мых в массовом производстве, относятся испытания установочной партии
изделий или головного образца, приемо-сдаточные и периодические испы-
тания, типовые испытания, инспекционные и аттестационные испытания.
Методы и планы контроля показателей надежности регламентированы
соответствующими стандартами. План контрольных испытаний задан, если
установлены следующие параметры:
-	количество испытуемых образцов (объем наблюдений);
—	стратегия проведения испытаний: без восстановления и замены отка-
завших изделий (планы типа [п, U,...]); с восстановлением (планы типа
[п, М,...] и (или) заменой отказавших изделий (планы типа [п, R,...]);
-	правила прекращения испытаний и принятия решения о соответствии
или несоответствии партии изделий заданным требованиям.
156
Контрольные испытания на надежность по виду контролируемого по-
казателя надежности разделяют на два типа:
—	с контролем показателя типа вероятности (вероятности безотказ-
ной работы, вероятности отказа и т. п.), при этом знание закона распределе-
ния наработки не обязательно;
-	с контролем показателя типа наработки (наработки до отказа, на
отказ и т. п.). При контроле показателя типа наработки знание закона рас-
пределения контролируемого показателя, включая его числовые характери-
стики, обязательно.
По методу контроля различают следующие виды испытаний:
-	испытания, основанные на методе однократной выборки, при этом
решение о соответствии или несоответствии уровня надежности партии из-
делий принимается по результатам испытаний заранее определенного числа
изделий, т. е. на основании обработки заранее запланированного объема
информации;
—	испытания, основанные на последовательном методе контроля, ко-
гда объем наблюдений, необходимый для принятия решения о соответствии
или несоответствии, заранее не устанавливается и является случайной ве-
личиной;
—	испытания, основанные на комбинированном методе контроля, кото-
рый сочетает в себе метод однократной выборки и последовательный метод.
Методом однократной выборки целесообразно пользоваться при жест-
ком ограничении времени, отводимого на испытания, а последовательным -
при ограничении количества объектов испытаний.
Рассмотрим далее вопросы планирования и организации контрольных
испытаний отмеченными выше методами.
6.1.	Контрольные испытания методом однократной выборки
Пусть имеется партия из 7V однотипных изделий, каждое из которых
характеризуется одним и тем же показателем надежности У. Таким показа-
телем может быть среднее время наработки до отказа Тс(„ вероятность без-
отказной работы P(t), вероятность отказа Q(f), интенсивность отказов Х(/) и
др. Показатель Y- величина случайная, так как каждый экземпляр в партии
изделий имеет свое, отличное от других значение показателя yt
(УоУ2>—’Ул)-Совокупность значений показателя У (yt,y2,...,yN) в партии
есть генеральная совокупность. Среднее значение показателя У в партии на-
зывают генеральным средним, или фактическим значением показателя на-
дежности У в партии, которое обозначим U$.
В силу имеющихся случайных объективных факторов, влияющих на
качество изделий при изготовлении различных партий, генеральная сово-
купность (у15у2,...,yN) каждой партии будет иметь также свои, отличные
от других партий изделий значения.
157
Точное значение Ц, всегда неизвестно, так как для его определения по-
требуется проведение испытаний всех У изделий, находящихся в партии,
что не может быть реализовано при разрушающих методах контроля. Оче-
видно, что при неизвестном значении Ц> остается неизвестной и генераль-
ная совокупность. Следовательно, контрольные испытания имеют выбо-
рочный характер.
Для оценки показателя надежности изделий в партии производят вы-
борку из партии и (п < N) изделий. В результате испытаний получают сово-
купность известных значений показателя У (у1,у2,—,у„), которую называ-
ют выборочной совокупностью. Отметим, что любое значение искомой ве-
личины, вычисленное на основе ограниченного числа результатов испыта-
ний, всегда будет содержать элемент случайности. Приближенное, случай-
ное значение этой величины называют ее оценкой. Поэтому заключение о
неизвестном значении величины делают на основе ее оценки if, вычис-
ленной по результатам испытаний выборки. Величину if называют выбо-
рочной оценкой и$. Поскольку выборочная совокупность (урУ2’—>к) ПРИ
(и < N) является случайной (так, например, из N = 100 изделий для испыта-
ния выборки объемом и = 5 могут быть случайно выбраны изделия с номе-
рами 1, 4, 10, 55, 98 или 2, 6, 12, 48, 82, или с другими сочетаниями номе-
ров), то и величина U, вычисляемая по случайным значениям
(Уи У?» —> К)> является случайной.
Задачей контрольных испытаний является исследование полученной
при испытании выборки объемом п (у1,у2,—,у„) для принятия наиболее ве-
роятного заключения: будет ли величина Ц, больше или меньше значения
величины l/тр, заданной нормативно-технической документацией.
Таким образом, контрольным испытаниям подвергают только часть
партии (выборка), а вывод делают о фактическом значении показателя
надежности всей партии изделий.
Необходимо подчеркнуть, что при оценке соответствия величин Ц, и
£7тр существенное значение имеет вид показателя надежности. Так, для по-
казателей, которые имеют предпочтительную тенденцию возрастания (на-
пример, вероятности безотказной работы, средней наработки до отказа),
приемлемым условием для принятия партии изделий нужно считать
1/ф > а для показателей с предпочтительной тенденцией убывания (ве-
роятностей отказа, интенсивность отказов) - условие (7ф < Ulp. Условимся в
дальнейшем считать приемлемым, с точки зрения надежности изделия, ус-
ловие Ц, > UTp (о рассмотрении другого условия будет сказано отдельно).
Проверку соответствия фактического уровня надежности заданным
требованиям для невосстанавливаемых изделий можно проводить способом
одноуровневого контроля.
Одноуровневый контроль. Процедуру контроля, когда партию изде-
лий требуется проверить относительно одного заданного уровня генераль-
ного показателя tZlp, называют одноуровневым статистическим контро-
лем. В процессе одноуровневого контроля по выборочной совокупности
158
(з\, У2>—>У„) необходимо проверить (или выбрать) одну из двух взаимно
исключающих гипотез:
— гипотеза Но (нулевая или прямая гипотеза), в качестве которой берет-
ся желаемое утверждение. В случае контрольных испытаний ее можно
сформулировать так: надежность партии соответствует требованиям, т. е.
(7ф > САр. Подтверждение этой гипотезы по результатам контрольных испы-
таний означает принятие партии изделий;
- гипотеза Hoi (конкурирующая или альтернативная гипотеза), в каче-
стве которой берется утверждение, противоположное желаемому. В случае
контрольных испытаний ее можно сформулировать таким образом: надеж-
ность партии не соответствует требованиям, т. е. t/ф < Ulp. Принятие этой
гипотезы по результатам контрольных испытаний означает браковку партии
изделий.
Выбор гипотезы, наиболее соответствующей генеральной совокупно-
сти (у(,у2..Zv)> производят по определенным правилам, называемым
критериями статистической проверки гипотез.
Одним из критериев выбора гипо тез при контрольных испытаниях яв-
ляется критерий Неймана — Пирсона. Его сущность заключается в том, что
из выборочной совокупности (yt, у2,—, у„) вычисляют выборочную оценку
U контролируемого показателя надежности, которую сравнивают с заранее
назначенным приемочным нормативом Unp.
Если окажется, что if > U„p, то утверждают, что в партии Ц, > UTp, вы-
бирают гипотезу Н„ и партию принимают.
Следует обратить внимание, что для оценки соответствия показателей
L/ф и Ulp, с точки зрения надежности изделия, для классификации годной
партии было принято приемлемое условие Ц, > С/тр. Такое условие справед-
ливо, например, для оценки вероятности безотказной работы и средней на-
работки до отказа, тогда как для оценки вероятности отказа и интенсивно-
сти отказов нужно считать Ц, < Ulp.
Если же окажется, что U < U„p, то утверждают, что в партии Ц, < U^,
вследствие чего принимают гипотезу Н01 и партия бракуют.
Таким образом, критерий Неймана - Пирсона выражает условия выбора
гипотез Но и HOi, т. е. условия приемки и браковки партии соответственно.
Поскольку выборочная оценка U является случайной величиной, то
соотношения U и L/lp также имеют случайный характер.
Обозначим через Рп вероятность приемки, т. е. вероятность того, что
по результатам испытания выборки выполняется условие U > UTp, тогда
P0 = Bep(t/’>t/np).
Через Ро, обозначим вероятность браковки, т. е. вероятность того, что
по результатам испытания выборки выполняется условие U < U„p, тогда
P0l=Bep(t/’<t/np).
Приемка и браковка партии изделий - это полная группа событий, по-
скольку в любом испытании выполняется одно из условий: партию прини-
159
мают при условии U* > 17пр либо партия бракуют при условии U* < Unp. Оче-
видно, что всегда справедливо равенство = 1.
В связи с тем что выбор гипотез производят на основе ограниченных
статистических данных, могут быть допущены две возможные ошибки.
Ошибка первого рода заключается в том, что по результатам испыта-
ний выборки выполняется условие if < U„p, принимается гипотеза Нм и
партия бракуется, тогда как в действительности в партии справедлива гипо-
теза Но и партия является годной для использования по назначению. Такая
ситуация возможна, если в выборку случайно попали наименее надежные
изделия, что и определило полученный результат испытания U < U„p и
принятие решения о браковки партии.
Максимальную вероятность ошибки первого рода называют риском из-
готовителя и обозначают а. Ее можно определить как условную вероят-
ность
а = тах[ Вер[([7* <С7пр)/(С7ф > t/J]} = тах{ Вер [(t/‘ < С7г1р)///0]} = Р01 (Я„).
Ошибка второго рода заключается в том, что по результатам испыта-
ний выборки выполняется условие U > {7пр, принимается гипотеза Но и пар-
тию считают годной, тогда как в действительности в партии справедлива
гипотеза Hoi, когда партия является браком и не пригодна для использова-
ния по назначению. Эта ситуация возможна, если в негодной в целом пар-
тии в выборку случайно попали наиболее надежные изделия, что и опреде-
лило полученный результат испытания U* > 67пр и принятие решения о при-
знании партии годной.
Максимальную вероятность ошибки второго рода называют риском за-
казчика и обозначают р. Ее можно определить как условную вероятность
Р = max { Вер [([Г > Ц,р) / (С7ф < UTp)] } = max{ Bep[(tT > Unf )/Я01] } = Рв (Я01).
Вероятность приемки Ро и, соот ветственно, вероятность браковки Рт
зависит от ряда факторов. Рассмотрим их подробнее. Очевидно, что значе-
ние выборочной оценки U контролируемого показателя надежности опре-
деляет условие U* > ипр или if < Unp. Поэтому исход испытаний будет зави-
сеть в первую очередь от уровня надежности в выборке, т. е. от величины
U, рассчитанной по результатам испытаний. Исходя из сущности выбороч-
ных испытаний, в основу которой заложено условие «Уровень надежности
в выборке в среднем соответствует уровню надежности партии», можно ут-
верждать, что по мере роста уровня надежности в партии Ц, следует ожи-
дать увеличения значения (/ в любой выборке из этой партии, что будет
способствовать выполнению условия приемки U > t/llp, и наоборот. Поэто-
му с увеличением Ц, вероятность приемки партии Ро будет возрастать, а
вероятность браковки Рт - убывать. Зависимость Ро и Р0| от фактического
уровня надежности Ц, в партии называют оперативной характеристикой
выборочного контроля надежности. По сути это 1рафик уравнений
Ро =Вер({7* > Ппр) и Р01 =Вер(С/< t/np), причем Р„ + Ри1 = 1 (рис. 6.1).
160
Как уже отмечалось, риск изготовителя а есть максимальная вероят-
ность браковки годной партии. Годность партии изделий определяют по ус-
ловию Ц, > Стр, которому на графике (см. рис. 6.1) отвечает область значе-
ний U$, лежащих на оси абсцисс правее Стр.
В области значений
С/ф > Стр вероятность браковки
Рт достигает максимума в точ-
ке 6/ф = UTp. Следовательно,
риск изготовителя а равен ве-
роятности браковки партии при
значении Сф = U^:
а=Р01(Сф=Стр).
Аналогично, риск заказчи-
ка р есть максимальная вероят-
ность приемки негодной пар-
тии. Негодность партии опре-
деляют условием Сф < итр, ко-
торому на графике (см. рис. 6.1)
отвечает область значений Сф,
лежащих на оси абсцисс левее
Рис. 6.1. График оперативной характеристики
выборочного контроля надежности:
а - риск изго товителя; р - риск заказчика
t/тр. В этой области вероятность приемки Ро достигает максимума в точке
Сф = С1р. Следовательно, риск заказчика р равен вероятности приемки пар-
тии при значении Сф = Стр:
Р = Р0(Сф=Стр).
По определению вероятностей приемки и браковки следует, что Ро и
Р01 зависят от величины приемочного норматива Unp. Если увеличить С7пр,
то приемка партии по условию if > Unf затруднится, а браковка по условию
U < Unp станет более вероятной. Если уменьшить СЛ,р, то приемка партии
будет более вероятной, а браковка - менее вероятной. Это наглядно демон-
стрируют два семейства кривых Ро и Ро, (рис. 6.2), которые при увеличе-
нии Спр и при неизменном значении Сф сдвигаются вправо.
Фактором, влияющим на значения Ро и Р01, является также объем вы-
борки и. Чем больше объем выборки и из партии N изделий, тем выше дос-
товерность оценки фактического значения показателя надежности партии
по результатам испытаний выборки, т. е. тем больше значение U прибли-
жается к величине Сф. В пределе при n = N выборочная оценка U принима-
ет фактическое значение показателя надежности Y в партии Сф: С = Сф.
Пусть для некоторых контрольных испытаний заданы значения и и Ulp,
определяющие условия этих испытаний (см. рис. 6.1). Отметим что риск из-
готовителя а равен вероятности браковки партии при значении Сф = Стр,
т. е. а = Р01(Сф - С1р), а риск заказчика р равен вероятности приемки партии
при значении Сф = Стр, т. е. ₽ = Р0(Сф = Стр).
11 Испытание ракетных двигателей
161
В связи с тем что а + р = 1, то при любых условиях одноуровневых
испытаний невозможно обеспечить достаточно малые риски изготовителя
и заказчика. Назначение малого уровня одного риска (например, 0,05 для
изготовителя) приводит к назначению значительного уровня другого риска
(в указанном выше случае 1,00 - 0,05 = 0,95 для заказчика), что, естест-
венно, не может считаться разумным. Вследствие этого одноуровневый
статистический контроль проверки гипотез практически никогда не при-
меняют. Решить эту проблему поможет двухуровневый статистический
контроль.
Рис. 6.2. Графики оперативных характеристик
в условиях изменения приемочного норматива:
а соответствует уровню приемки t/„p.„,
б- уровню приемки 67пр.с; Unp.a< <7пр.б
Двухуровневый
контроль. Процедуру ус-
тановления приемочного
норматива по двум уров-
ням надежности: СЛи и Г/о,
относительно которых
квалифицируется партия
изделий, называют двух-
уровневым статистиче-
ским контролем. При
этом t/oi — значение, соот-
ветствующее предельно
допустимому уровню на-
дежности, a Uo - значе-
ние, соответствующее
нормальному уровню на-
дежности.
Если принять, что для величины U ее большие значения соответствуют
более высокой надежности изделия (например, в случае оценки вероятности
безотказной работы P(t) или средней наработки до отказа 7^), то в зависи-
мости от соотношения фактического значения показателя надежности Щ и
заданных уровней C7oi < Uo партию изделий оценивают следующим образом
(рис. 6.3):
-	С/ф < Uo 1 - неудовлетворительная партия, которая должна браковаться;
-	Ц, > Uo - партия должна приниматься и использоваться по назначению;
—	C7oi < 77ф < Uo — допустимая партия, которую можно и принять, и за-
браковать.
* и01
Неудовлетворительная
партия
I ит < < <4 I
(701 Допустимая
партия
Годная
партия
С7Ф
Рис. 6.3. Графическое представление
квалификации качествапартии изделий
при заданных уровнях Gn < Uo
162
Для параметров надежности, большие значения которых соответст-
вуют меньшей надежности (например, вероятность отказа Q(t) или интен-
сивность отказов Л(/)), соотношение уровня надежности (70ь соответст-
вующего предельно допустимому значению, и значения Uo, соответст-
вующего нормальному уровню надежности, будет представлено неравен-
ством Uoi > Uo. Тогда партия изделий будет квалифицирована следующим
образом (рис. 6.4):
—	Щ < Uo - партия должна приниматься и использоваться по назначе-
нию;
-	С/ф > С70) - неудовлетворительная партия, которая должна браковаться;
-	Uo < С/ф < 6/01 - допустимая партия, которую можно как принять, так
и забраковать.
1/ф< Uo
Годная
партия
и0<Щ< UoiI l/ф S l/oi
I7o Допустимая Uoi Неудовлетворительная
партия	партия
Рис. 6.4. Графическое представление квалификации
качества партии изделий при Uo < Uoi
В дальнейшем, если не будет конкретных оговорок, для простоты из-
ложения примем значения двух уровней надежности C7oi < Uo-
Таким образом, для двухуровневого контроля условием принятия ну-
левой гипотезы Но: надежность партии соответствует требованиям — будет
t/ф > Uo. Условием же принятия конкурирующей гипотезы Нт: надежность
партии не соответствует требованиям - будет Ц, < Uot -
В случае получения результата L/Oi < Ц> < Uo никаких утверждений не
делают, так как такую партию можно и принять, и забраковать, причем ни
то, ни другое не является ошибкой. На практике в таких случаях решение
принимают по договоренности между изготовителем и заказчиком, с уче-
том последствий, которые могут возникнуть при отказе изделия в эксплуа-
тации.
Риск изготовителя а и риск заказчика р зависят от ряда факторов (рис. 6.5).
С ростом уровня надежности партии изделий Ц, возрастает вероят-
ность приемки партии Ро.
В интервале Ц, < Uoi неудовлетворительная партия может быть приня-
та с вероятностью Ро, максимальное значение которой в этом интервале
равно р. Максимальную вероятность того, что неудовлетворительная пар-
тия будет принята, т. е. допущена ошибка второго рода, можно рассчитать
по формуле
Р=Р0(С/ф=С/01).
Дальнейшее увеличение вызывает увеличение Ро, но при значениях
t/ф > UQI приемка партии не будет являться ошибкой.
163
В интервале Ц, > Uo годная партия может быть забракована с вероят-
ностью Р01, т. е. допущена ошибка первого рода. Максимальная вероятность
такой ошибки - это риск изготовителя:
Рис. 6.5. Оперативная характеристика для
двухуровневого контроля: а - риск
изготовителя; 0 - риск заказчика
характеристики, т. е. вероятности приемки
зависит от приемочного норматива Unp
а= Р01(иф=и0),
или1-а=Р0((/ф=[/0).
Дальнейшее уменьшение
t/ф вызывает увеличение Роь
но браковка партии при
С/ф < Uo не будет ошибочной.
Риск заказчика р и риск
изготовителя а соответст-
вуют фактическим значени-
ям показателя надежности
Ц, = Uol и (7ф = Uo (см.
рис. 6.5), поэтому их сумма, в
отличие от одноуровневого
контроля, не равна единице.
Поскольку вид оперативной
Ро и вероятности браковки Рт,
и объема выборки п, то за счет из-
менения значений [7 и п можно получить такую характеристику, которая
будет удовлетворять любым значениям а и Р, сколь угодно малыми бы они
ни были. При этом критерием выбора гипотез по-прежнему остаются сле-
дующие неравенства: для гипотезы Но: партия годная - U > (7пр, для гипо-
тезы Н01: партия бракуется - U* < (7пр.
Такое правило выбора гипотез //«или Нт, когда величины приемочного
норматива С/пр и объема выборки п обеспечивают заданные значения рисков
изготовителя а и заказчика р, составляет содержание критерия Неймана -
Пирсона для двухуровневого контроля, который при величине риска а
обеспечивает значение другого риска р.
При контроле надежности задают два проверяемых уровня: Uo\ и Uo.
Значение минимально допустимого уровня Uoi устанавливается техниче-
скими условиями на изделие. Значение нормального уровня надежности Uo
определяется разработчиком и изготовителем изделия, и именно на этот
уровень ориентируется изготовитель. Величины рисков а и Р назначают по
договоренности между заказчиком и изготовителем.
Таким образом, при известных значениях а, р, (70i и Uo для определения
неизвестных U и п, которые входят в функции ^,(О'ф) иР01((/ф) при их
конкретных записях, можно составить следующие системы уравнений:
« = ^(^=^o)>	[1-<х=Р0(£7ф =£/„)>
l-₽ = ^oM=M’ |Р = ^о(^ф=С7о1)-
164
Значения Unf и п, полученные в результате решения этих систем, будут
удовлетворять всем заданным условиям испытаний ot, 0, Um и Ua.
Нахождение приемочного норматива U и объема выборки п является
задачей планирования контрольных испытаний на надежность методом од-
нократной выборки по критерию Неймана - Пирсона.
Методика планирования контрольных испытаний на надежность зави-
сит от вида и закона распределения показателя надежности, исследуемого в
испытуемой партии изделий.
Таким образом, во всех случаях контрольные испытания методом од-
нократной выборки так или иначе сводятся к организации наблюдений объ-
ема п с фиксацией набора результатов испытаний (наработки до отказа,
числа отказов и др.). По окончании процесса испытаний вычисляют некото-
рую величину (показатель надежности) и оценивают соответствие значения
этой величины заданному нормативу. По результатам оценки соответствия
дают заключение о годности партии изделий: партия либо принимается к
использованию, либо бракуется.
6.2. Планирование контрольных испытаний
методом однократной выборки
Процедуре планирования предшествует задание следующих величин:
риска изготовителя а, риска заказчика 0, приемочного Uo и браковочного
1/01 уровней надежности для испытуемой партии изделий. Их значения мо-
гут определяться нормативно-технической документацией или являться
следствием договоренности между заказчиком и изготовителем продукции.
Риски аир назначают достаточно малыми (от 0,001 до 0,2).
Размещение интервала (C70I, Uo) и значения величин рисков а и 0
(см. рис. 6.5) должны выбираться с учетом возможного ущерба, наносимого
заказчику поставкой плохих изделий, а изготовителю - браковкой хороших.
Если ущерб заказчика сопоставим с ущербом изготовителя, то интервал
((701, Uo) размещают симметрично относительно точки Ра — Р = 0,5, обес-
печивая при этом равенство а = 0. Если ущерб заказчика невелик по срав-
нению с ущербом изготовителя, то интервал ((701, Uo) смещают таким обра-
зом, чтобы обеспечить условие а < 0 (для случая Um < Uo — влево). Если
ущерб изготовителя невелик по сравнению с ущербом заказчика, то интер-
вал (С701, Uo) смещают таким образом, чтобы обеспечить условие а > 0
(для случая UQl <U0~ вправо).
Аналитическая форма функций P^U^) и P^tU^) определена видом
показателя надежности и законом его распределения в генеральной сово-
купности.
165
Рассмотрим процедуру планирования контрольных испытаний на на-
дежность методом однократной выборки при различных показателях на-
дежности и законах распределения выборочной совокупности.
Планирование испытаний в случае, когда показателем надежности
является вероятность отказа. Если в партии изделий объемом N имеется
М изделий, не соответствующих требованиям надежности, а контролируе-
мым показателем надежности является вероятность отказа Q (/), то ее ста-
тистической оценкой будет Q*(J) ~ М / N. Тогда 2ф(/) - фактическое значе-
ние показателя надежности в партии. В качестве контролируемых уровней
надежности С70 и U0l (при Uo< U0l) принимают значения вероятностей от-
каза в момент времени /0: нормальное значение Q0(t0) и предельное (мак-
симально допустимое) б0|(/0) (рис. 6.6). Здесь время /0 определяет только
продолжительность испытаний, на которое заданы проверяемые уровни ве-
роятности отказа. Поэтому далее в обозначениях для простоты изложения
оно опускается.
Рис. 6.6. Оперативная характеристика
контроля надежности по вероятности отказа
Тогда проверяемые гипо-
тезы формулируют в следую-
щем виде:
—	основная гипотеза Но :
партия годная -	< Q(l;
—	конкурирующая гипотеза
Hoi : партия бракуется -
Сф — Qoi 
Необходимо обратить вни-
мание на то, что для показателя
надежности «Вероятность отка-
за» приемлемыми значениями
вероятности отказа для прием-
ки партии являются значения
меньше контролируемого уровня надежности.
При испытании выборки по плану [и, U, Т = /0] (объем выборки и, без
восстановления, в течение времени /0) подсчитывают количество отказав-
ших изделий пг, которое является случайной величиной и выступает в каче-
стве выборочной характеристики U*. Если задать в качестве приемочного
норматива U допустимое число отказов с, то условие приемки партии,
т. е. принятия гипотезы Но, можно записать в виде m < с, а условие браков-
ки, т. е. принятия гипотезы /701, - в виде m > с.
Риски изготовителя а и заказчика р с учетом их определения можно
выразить следующим образом:
« = /?и1(С<1,=0о),или 1 - а = ^(2ф=&),
₽=ЭД, =&,)•
166
Если условие приемки т < с, а условие браковки т > с, то вероятности
приемки P0(Qt) и браковки Ро|(0ф) определяют по формулам
^>(бф)=:ВеР("г5с)>
^oi(£’*) = BeP(W7>c)-
Рассмотрев формулу для функции распределения Е(х) = Вер(Х < х)
случайной величины X и сравнивая ее с полученными значениями, можно
заключить, что вероятность приемки партии есть функция распределения
дискретной случайной величины т (количество отказов в выборке объе-
мом п) за заданное время испытаний. Тогда планирование испытаний опре-
деляется видом распределения случайного числа отказов т.
Если объем выборки мал по сравнению с объемом контролируемой
партии (на практике это соотношение обычно составляет п < 0,1 AQ, то веро-
ятность отказа отбираемого в выборку изделия не зависит от уровня надеж-
ности других изделий в выборке. При этом случайное число отказов т опи-
сываю! биноминальным распределением:
Р0(бФ) = Вер(ш < с) = £те(1 - бфГт = F6„„(c, п, 2ф),
/п=0
Til
где С" =-------------число сочетаний из объема выборки п по количеству
т\(п-т)\
отказов т; F6mi (с, п, ) - функция биноминального распределения при аргу-
ментах с, и, (2ф • Отсюда следует, что вероятность приемки партии, т. е. приня-
тия гипотезы /То, определена тремя независимыми параметрами: с, и и 0ф.
Используя формулы для определения рисков изготовителя и заказчика
При УСЛОВИИ ^0 < 001
1 — а = ^о((2ф = 0о)>
₽ = /’о(0ф=0о1)
и выражение биноминального распределения 7^(0ф), составляют систему
уравнений для планирования испытаний относительно сии:
m=0
р-Хсда-а.Г"’-
wz=O
Подставив значения функции биноминального распределения
7^ин(с, и, 0ф), получают преобразованную систему:
1-а = Л)И„(с,и,еф=а),
167
В системе (6.1) величины а, Р, Q^, заданы, а неизвестными являю т-
ся только сии. Таким образом, система имеет однозначное решение, кото-
рое можно найти, например, с помощью таблиц биноминального распреде-
ления (табл. 8 приложения). Если задать допустимое число отказов с = 0, то
из каждого уравнения получают свое значение необходимого объема вы-
борки п:
i-a=(i-ar, p=(i-a,r,
откуда
In (1—ос) и 1пр
in(i-a)’ 2 in(i-e0,)'
(6.2)
При этом «1 обеспечивает риск изготовителя а, а и2 - риск заказчика
Р. Если при планировании принять большее из полученных при вычисле-
нии значений объема выборки и = тах(и],и2), то это гарантирует точное
обеспечение одного из заданных рисков, а обеспечение другого - с запасом.
Например, если получено гц > и2, то при w = щ будет обеспечен риск изгото-
вителя, а вероятность ошибки при принятии гипотезы Но будет меньше за-
данного риска заказчика.
Рассмотрим примеры, поясняющие процедуру проведения испытаний в
случае, когда показателем надежности является вероятность отказа.
Пример 6.1. Требуется разработать план контрольных испытаний,
т. е. определить с и п, партии изделий в объеме 1 000 единиц, если при
наработке до отказа t0 = 200 ч нормальный уровень вероятности отказа
изделия 20(/0 = 200 ч) = 0,03, максимально допустимый уровень -
(2()| (/0 = 200 ч) = 0,1. Риски изготовителя а = 0,1 и заказчика р = 0,2.
Решение. Испытания проводят по плану [п, U, Т = 200 ч], подсчи-
тывают количество отказавших изделий m и далее по условиям приемки
т<с или браковки т > с принимают утверждение о надежности партии.
Задача планирования испытания состоит в нахождении значений сип,
удовлетворяющих уравнениям
а=Р0((еф=р0), или 1-а = Р0(&),
₽=/?,(еФ=а,)-
При заданных вероятностях £?(|(/0 =200 ч) = 0,03, 201(/0 =200 ч) = 0,1 и
рисках изготовителя а = 0,1 и заказчика р = 0,2 составим систему уравнений
р=г6и„(с,и,еф=а,).
Подставим соответствующие значения величин в эту систему:
0,9 = Р6ш,(с,и,^=0,03),
0,2 = Р61,н(С,н,еф=0,1).
168
Для решения системы уравнений в таблицах биноминального распре-
деления F6mi(c,n,Q) (см. табл. 8 приложения) выбираем строки, соответст-
вующие элементарным вероятностям q =	= 0,1 и q = Q^= 0,03. Начиная
со значения с = 0, находим величину п, удовлетворяющую обоим уравне-
ниям системы. Таким решением будут значения п = 40, с - 2, при которых
биноминальные распределения имеют вид
Р6„н(с = 2, л = 40, q = 0,03) = 0,8822 = 0,9,
Fe„„(c = 2, и = 40, *7 = 0,1) = 0,228 ~ 0,2.
Следовательно, если при испытаниях 40 изделий в течение заданной
наработки /0 = 200 ч будут получены 0; 1 или 2 отказа, то партию прини-
мают, если 3 и более, то партию бракуют. Риски заказчика и изготовителя
при этом составя т 0,228 и 0,118, и их значения отклоняются от заданных
значений 0,2 и 0,1 на допустимую для подобных расчетов погрешность.
Найденное значение и = 40 удовлетворяет условию w<0,W = 100, и
полученное на основе биноминального распределения решение отвечает
исходным данным.
Пример 6.2. Для контроля надежности партии N = 450 невосстанавли-
ваемых изделий заданы два уровня вероятности безотказной работы, соот-
ветствующие наработке t = 20 ч: приемочный уровень P0(t) = 0,99 и брако-
вочный уровень - Рот(0 - 0,90, риски изготовителя и заказчика а= 0,05 и
Р =0,1. Определить план контроля по методу однократной выборки.
Решение. Контроль осуществляют следующим образом. Органи-
зуют п независимых наблюдений, продолжительность которых равна нара-
ботке /, для которой задана вероятность, и в каждом наблюдении фиксиру-
ют результат - положительный или отрицательный исход.
Если после и-го испытания наблюдаемое число отрицат ельных исходов
меньше допустимого числа отказов (от<с), то результаты испытаний счи-
тают положительными, т. е. принимают гипотезу Но, если т > с, то отрица-
тельными. Испытания могут быть прекращены и раньше с принятием ре-
шения о браковке партии - после того, как т превысит с.
Составим систему уравнений
’-а = ^„„(с,и,еф=0))>
Р=^б»н(с,я,еф=а,).
По заданным значениям P0(f) = 0,99 и Л>1(0 = 0,90 находим нормаль-
ный и максимально допустимый уровни вероятности отказа
QA = 20 ч) = 1 - Рп (/) = 0,01, а, (Го = 20 ч) = 1 - Р01 (/) = о, 10.
Подставив соответствующие значения в систему уравнений, получим
0,95 = Р(М)(С,и,еф=0,01),
о,ю=р6ии(с,и,еф=о,1о).
169
Для решения этой системы в таблицах биноминального распределения
F6[1H(c, л, (?) (см. табл. 8 приложения) выбираем строки, соответствующие
элементарным вероятностям q = (?ф =0,01 и q = (2ф = 0,10. Начиная со зна-
чения с = 0, находим величину л, удовлетворяющую обоим уравнениям
системы. Таким решением будут значения п = 40, с = 1, и биноминальные
распределения имеют вид
Г6ии(с = 1, п = 40, 0 = 0,01) = 0,939 0 = 0,95,
F6„„(c = l, /1 = 40, 0 = 0,1) = 0,080 = 0,1.
Таким образом, если при испытаниях 40 изделий в течение заданной
наработки /0 = 20 ч будет зафиксировано 2 и более отказов, то партию бра-
куют, в противном случае партию принимают. Риски заказчика и изготови-
теля при этом составят 0,061 и 0,08, их значения отклоняются от заданных
значений 0,05 и 0,1 на допустимую для подобных расчетов погрешность.
Найденное значение л = 40 удовлетворяет условию п <0,1 N = 45, и
полученное решение на основе биноминального распределения отвечает
исходным данным.
Количество отказов т как дискретная случайная величина при испыта-
нии выборки л может подчиняться закону распределения Пуассона
Р„,=~;ехр(-а),
ml
где а - параметр распределения Пуассона, выражающий среднее значение
случайной величины т.
Так как величина т может принимать значения т = 0, 1, 2, ..., с, п,
то вероятность того, что она примет одно из значений из совокупности (0, 1,
2,..., с), будет равна сумме вероятностей Рт при т = 0, 1,2, ..., с. Тогда за-
писывают
F„ (с>а) = Bep(w < с) = X^7exP(-«) ’
>п=0 т 
где Fn (с, а) - интегральная функция распределения Пуассона.
Распределением Пуассона аппроксимируют результаты испытаний, ес-
ли объем выборки невелик (при и <0,1 Д') и малы вероятности отказа
Qo < 0,1, g01 <0,1. При этом параметром распределения а выступает произ-
ведение (л£2ф), и вероятность приемки партии можно описать следующим
выражением:
В0((?ф) = ВеР('и с) =	-ехр[-(л(?ф)] = Fn[с, (лбф)],
т=0
где ф, (л£?ф)] - интегральная функция распределения Пуассона. Так как
распределение Пуассона имеет всего два аргумента: с и (л(Эф), то процеду-
170
ра вычисления вероятности приемки в этом случае проще, чем при решении
системы уравнений с биноминальным распределением.
Используют интегральную функцию распределения %2, которая может
быть записана в виде
“ (т2/2Г
^(Х2,-у)= X -----^-ехР(-Х2/2),
„S/2 т'-
где л - число степеней свободы распределения. Если принять s = 2(с +1) и
%2 = 2и^ф, то получают
Ftf,s) =	ехр(-л£ф).
„Sii т\
Поскольку сумма вероятностей всех возможных значений т в интерва-
ле (0,о°) равна единице, то сумма распределений Пуассона и %2, состав-
ляющая сумму вероятностей в интервалах от 0 до с и от с + 1 до со, будет
+ F(X2^)= 1-
Таким образом, при условии применения закона Пуассона удвоенное
число отказов 2nQ^ за время испытаний распределено по закону %2 с чис-
лом степеней свободы л = 2(с+1). Поскольку функция F(%2, s) дополняет
функцию распределения Е^с, выражающую вероятность приемки,
то очевидно, что функция F(y2,s)является вероятностью браковки, кото-
рую можно записать в виде
^0|(6ф) = BeP(w > С) = Вер[2и£ф < х2(5, у)],
где %2(л, у) - квантиль распределения %2 вероятности у с числом степеней
свободы s.
Принимая значения = Qo и = g01 и учитывая, что
a=-p01(e*=a), 1-р=^(еФ=а.)>
получают систему уравнений относительно лил:
2ле0=х2(л,а),
.2ла,=х2(л,1-Р).
Эта система уравнений может быть приведена к следующему виду:
п_x2(^,i-P) = х2(д,«)
2g0l 2Q0 ’
д,_Х2(л,1-Р)
. а х2о, со
171
Уравнения в этой системе имеют два неизвестных аргумента: с и п, при
этом c = (.s/2)-l по принятому условию 5 = 2(с + 1).
При планировании испытаний вычисляют левую часть второго уравне-
ния системы по известным значениям Qu и Qm, затем по таблице распреде-
ления %2 (см. табл. 4 приложения) подбирают число степеней свободы s,
при котором правая часть уравнения наиболее близка к левой. Далее по
первому уравнению системы определяют объем выборки п и приемочное
число c = (.s/2)-l.
Минимальный объем выборки при отсутствии отказов (с = 0) без пере-
хода к распределению %2, с учетом уже известных выражений
1-а = Pn(Q0), Р = Р0(2Ф =6oi)> получают, используя формулу
w=0 т 
При с = т = 0
1-а = ехр(-и1а), р = ехр(-и2е01),
откуда
1п(1-а) 1пр
п. =--------и, =-------.
1 a Qm
При этом «1 обеспечивает риск изготовителя а, а и2 - риск заказчика
Р. Если при планировании принять большее из полученных при вычисле-
нии значений объема выборки л = тах(«1(«2), то это гарантирует точное
обеспечение одного из заданных рисков, а обеспечение другого - с запасом.
Например, если получено и, > п2, то при п = П\ будет обеспечен риск изгото-
вителя, а вероятность ошибки при принятии гипотезы Но будет меньше за-
данного риска заказчика.
Методику определения параметров плана испытаний рассмотрим на
примере.
Пример 6.3. Построить план контрольных испытаний для объема пар-
тии 10 000 изделий, если заданы два уровня вероятности отказа Qo =0,002
и 0„=0,01, атакже риски а = Р = 0,1.
Решение. Испытания проводят по плану [п, U,T], Так как контро-
лируемые параметры Qo и Qol менее 0,1, то воспользуемся распределением
Пуассона, предположив, что «<0,17/=1000. Для определения объема вы-
борки п и приемочного числа с рассмотрим систему уравнений
;_Х2(-У’1~Р)_Х2(-У’ а)
2а, 2а ’
' g,I=x2(^i-P)
. а X2(s> а)
172
Подставив во второе уравнение системы значения £)0 =0,002 и
=0,01, получим
0,01 _х2(^0.9)_5
0,002 х2(5,0,1)
В табл. 4 приложения рассмотрим числа, стоящие в столбцах с уровня-
ми значимости 0,1 и 0,9 (учитывая, что уровень значимости а дополняет до-
верительную вероятность у до единицы, т. е. а = 1 - у), где доверительная ве-
роятность соответствует заданным значениям рисков. Находим для s = 6
следующие величины: /2 (6, 0,9) = 10,6, %2 (6, 0,1) = 2,2. При этих значениях
10,6 / 2,2 = 4,82 ~ 5. Решая уравнение 5 = 2(с +1) = 6, определим приемочное
число с = 2.
Подставив в первое уравнение системы Q, =0,002 и %2(6, 0,1) = 2,2,
получим
п -
Х2(6,0,1)_ 2,2 _55р
2Q,	2 0,002
Следовательно, если при испытаниях 550 изделий будут получены 0,
I или 2 отказа, то партию изделий принимают. При трех и более отказах
партия изделий должна быть забракована.
Полученный результат и = 550<0,W = 1000 соответствует требуемым
условиям.
Рассмотренная выше процедура планирования контрольных испытаний,
когда показателем надежности является вероятность отказа (Qo< goi)> спра-
ведлива и в случае, если заданы вероятности безотказной работы Ро= 1 - Qo,
Poi = 1 — Соь
Для оценки надежности ракетных двигателей чаще всего используют
показатель средней наработки до отказа.
Планирование испытаний, когда показателем надежности являет-
ся средняя наработка до отказа. Наработка до отказа Т является случай-
ной величиной, которая выражает надежность партии. Средняя наработка
до отказа Тф выступает фактическим показателем надежности в партии из-
делий. В процессе испытания контролируют ее нормальный уровень То и
предельный (минимально допустимый) уровень Т01. Проверяемые гипотезы
формулируют в следующем виде:
-	основная гипотеза Д, : надежность партии изделий соответствует
требованиям (партия годная) -	> То;
-	конкурирующая гипотеза Н1и : надежность партии изделий не соот-
ветствует требованиям (партия бракуется) - Тф < Тт.
Задачей планирования испытаний, когда показателем надежности вы-
щупает средняя наработка до отказа, является назначение объема выборки
173
и и приемочного норматива Тпр при заданных значениях уровней То, То[ и
рисков а, Р.
При оценке такого показателя надежности, как средняя наработка до
отказа, испытания проводят по плану [и, U, и], т. е. все изделия, входящие в
выборку, испытывают до отказа и для каждого из них фиксируют время на-
работки k (i = 1,2, ..., и). Выборочной оценкой Тф выступает выборочная
средняя наработка Т*, которую для рассматриваемого плана испытаний вы-
числяют по формуле
1 п
где /, - наработка до отказа z-ro испытываемого изделия в выборке.
В соответствии с условиями выбора гипотезы Но или Нм по критерию
Неймана - Пирсона этот выбор осуществляют путем сравнения выборочной
оценки Т* с приемочным нормативом Tnf: при Т’ > Тпр принимаю! гипоте-
зу Н„, при Т’< Тпр - гипотезу Н01.
Для назначения объема выборки п и приемочного норматива Гпр при
заданных значениях уровней Т„, Тт и рисков а, Р необходимо выразить
вероятность приемки партии
Р0 = Вер(Г>7пр)
как функцию от показателя надежности изделий в партии 7ф (рис. 6.7).
Рис. 6.7. Оперативная характеристика
для контроля средней наработки до отказа
Конкретная запись вероят-
ности приемки партии зависит
от вида распределения случай-
ной наработки до отказа Т.
Рассмотрим некоторые ви-
ды распределения случайной
величины Т.
При экспоненциальном рас-
пределении случайной наработ-
ки с постоянной интенсивно-
стью отказов Х = const (поток
отказов простейший) вероят-
ность отказа за время t можно
приближенно определить по
формуле
£?ф(0 =1 - ехр(-Хф/)« Хф/ =//Тф.
Тогда количество отказов m за время t испытания и изделий может
" а'"
быть описано распределением Пуассона F(m)= V—ехр(-а) с парамет-
„	. nt
ром a = nQ^=n\t = —.
7Ф
174
Ранее было доказано, что при условиях применяемости закона Пуассо-
на удвоенное число отказов 2и£2ф за время испытаний распределено по за-
кону х2 с числом степеней свободыпри этом
7?О1(0ф) = Вер[2леф<х2(5,у)],
где %2(s,y) - квантиль распределения %2 вероятности у с числом степеней
свободы 5.
При проведении испытаний по плану [п, U, и] число отказавших изде-
лий есть объем выборки п, так как все изделия, входящие в выборку, испы-
тывают до отказа.
п
Принимая во внимание равенство nQ^	, записывают
г=1
пт * т
/=1 'Ф
Произведя замену на Т' /Тф и принимая число степеней свободы,
равное удвоенному числу отказов s-2n, получают уравнение
1 Г Т
<%2(2и,у) =Вер Т'	.
2п
2пТ*
^oi (^ф)— Вер
(6.3)
Задавая Тф = Го и Тф = Т01 и учитывая, что а = Рт(Тф =Т0),
1 - Р = Р01 (Тф = Т01), составляют систему уравнений
Гт
ос = Вер Т'<—%2(2и, а) ,
L 2и J
1-Р = Вер Т*<^-х2(2и,1-₽) -
L 2,7
Так как вероятность браковки определена условием Т* <Тпр, то после
подстановки в систему (6.2) частного условия Т’ = Тпр получают выражения
для приемочного норматива:
Тп₽=^х2(2н,а)=^х2(2и,1-р),
2п	2п
Т° =Х2(2и,1-р)
То, Х2(2и,а)
Уравнения в этой системе имеют неизвестные аргументы п и Тпр.
При планировании испытаний вычисляют левую часть второго уравне-
ния системы по известным значениям То и Т01, затем по таблице распреде-
ления х2 (см. табл. 4 приложения) подбирают число степеней свободы s,
при котором правая часть уравнения наиболее близка к левой, и определяют
объем выборки п. Далее по первому уравнению системы находят приемоч-
ный норматив Т.
(6.4)
175
Планирование контрольных испытаний при экспоненциальном распре-
делении наработки до отказа рассмотрим на примере.
Пример 6.4. Заданы следующие условия контроля партии изделий:
а = р = 0,1; То= 100 ч, То,= 65 ч. Построить план контрольных испытаний,
принимая поток отказов простейшим.
Решение. Воспользуемся системой (6.4):
Т	Т
<*) = ^Х2(2«, 1 - Р),
2п	2п
' Т» =Х2(2и,1-Р)
. Го, %2(2л, а)
Подставим в него значения То= 100 ч и Т01= 65 ч:
То =Ю0_15^Х2(2и,0,9)
TOi 65 ’	Х2(2и,о,1)’
Рассмотрим числа, стоящие в столбцах табл. 4 приложения с уровнями
значимости 0,1 и 0,9 (учитывая, что уровень значимости а дополняет довери-
тельную вероятность у до единицы: а = 1 - у), где доверительная вероятность
соответствует заданным значения рисков. Находим для s = 2п = 80 следую-
щие значения: /2(80, 0,9) - 96,6, х2 (80, 0,1) = 64,3, при которых 96,6 / 64,3 =
= 1,50 ~ 1,54. Тогда объем выборки п = 40. Подставляя значения То = 100 и
Х2(80, 0,1) = 64,3, получим
т ^„-х2(80,0,1)_100 64,3=£(И[1
пр 2п	2-40
Следовательно, если при испытаниях 40 изделий средняя наработка до
отказа Г’составит не менее 80,4 ч, то в этом случае партия должна прини-
маться, если менее, то браковаться. При этом приемка и браковка соответ-
ствуют заданным условиям.
При нормальном распределении наработки Т случайные наработки в
выборке ( распределены нормально и их среднее квадратическое отклоне-
ние составляет о. Выборочная оценка Т* как случайная величина также
подчиняется нормальному закону со средним квадратическим отклонением
Ог =<5/4п . Тогда вероят ность приемки партии Ра можно записать в виде
Р0(Тф) = Вер(Г>Тпр) = Вср
В. силу симметрии нормального распределения вероятность не изме-
нится, если в числителях неравенства значения величин поменять местами,
сменив при этом знак неравенства:
т _т т ~т
1	1 Ф у1 up 1 ф
176
Т‘—Т Т — Т
1	2ф->'1пр	‘ф
Су	Су
Поскольку полученное равенство по форме соответствует интеграль-
ной функции нормального распределения
х — mr	।
------<z I,
сх--J
где z = ир - квантиль распределения вероятности Р, то справедливо будет
Р0(7ф) = Вер
Ф0(г) = Вер
= Вер
Т —Т* Т —Т
'ф 1 ^ Ф 'пр
Су	Су
принять
Т -Т
Су
где иро - кван тиль нормального распределения с вероятностью Ро.
Тогда
< т-1 т*	т т* ।
W = Bep	=Вер	
Су J I с/л/и j
Принимая Тф=7’0, 7’ф=7’01и учитывая соотношения 1 - а = Р0(Т0),
Р = Ро (Тот), получают зависимости
1- а = Ро (То) = Вер
<и
₽
ч G/y/п
= То(7о1) =Вер
Р
из которых составляют систему уравнений
Г>Т0-и,^,
yjn
Г’>Тм-и^.
у/п
Правые части в неравенствах этой системы являются приемочным
нормативом Тпр, удовлетворяющим риски изготовителя а и заказчика р.
Приравняв правые части неравенств
„	„ ,	с	о
^пр — Л) Wl-a I-^01 "р [— ’
у!п	у/п
определяют объем выборки:
Полученные уравнения позволяют вычислить величину приемочного
норматива Гпр и объем выборки п, если величина среднего квадратического
I э Испытание ракетных двигателей
177
отклонения о заранее известна. Нс на практике значение о при планирова-
нии испытаний в большинстве случаев бывает неизвестно. Тогда использо-
вать полученные уравнения возможно при замене квантилей нормального
распределения ир квантилями распределения Стьюдейта tp(s) той же веро-
ятности Р с числом степеней свободы s = п - 1, а неизвестной величины о -
ее выборочной оценкой о’.
Переход к распределению Стьюдента за счет параметра s позволяет
учесть случайные рассеяния выборочной величины о. Тогда получают сле-
дующие уравнения для планирования испытаний:
o'=J-!-£u-r),	(6.6)
- То -	-1)^ = T’o, ~	-1)4=’	(67>
yjn	\1П
„J [m-ih,H°T (6.8)
I
где ^(и-1) и Zp(n-l)- квантили Стьюдента (см. табл. 2 приложения) для
вероятностей Р = (1- а) и Р - р с числом степеней свободы (п - 1) соответ-
ственно.
Уравнения (6.6)...(6.8) образуют систему трех уравнений с тремя неиз-
вестными и, Г ,о’, причем о* оценивают только по результатам испыта-
ний. Поэтому планирование и сами испытания образуют единый процесс.
Планирование испытаний при неизвестном о рассмотрим на следую-
щем примере.
Пример 6.5. Составить план контрольных испытаний при следующих
условиях: контролируемые уровни средней наработки 7’0=150ч,
Г01 =120 ч; риски изготовителя и заказчика <х = Р = 0,1. Известно, что рас-
пределение наработки нормальное.
Решение. Решение подобных задач производят методом последо-
вательного приближения, задаваясь предварительными значениями объема
ВЫборКИ Л, .
Предварительно примем для определения о* объем выборки и, = 10 и
проведем испытания с получением выборочной совокупности
Z. (/ = 1, 2, ..., и,). По этой совокупности, используя выражения
Г=1уг;,о-= _LJ(rr_r)2,
определим T'lm и о*10). Предположим, что получены значения Т’Ю}= 125 ч,
О(Ю) = 60 ч. По таблице распределения Стьюдента (см. табл. 2 приложения)
178
находим значения tp(s) при числе степеней свободы s = nt —1 = 9, вероятно-
стях Р = Р - 0,1 и Р = 1 — а = 0,9 и выполним подстановку найденных значе-
ний Г01(9) =—1,383 и г09(9) = 1,383 в уравнение (6.8):
-1) - Г₽(и -1)] о* ]2 J[1,383 - (-1,383)]! 2_ _ д
Г0-Г01	[	150-120 J
Сравнивая полученное значение объема выборки с предварительно
принятым, делаем вывод, что принятое значение л, = 10 мало.
Зададим повторно объем выборки и2 = 28, тогда s = и2 -1 = 27. Опреде-
лим по табл. 2 приложения t0,(27) = -1,314 и /09(27) = 1,314, тогда после
подстановки п2 = 27,6 ~ 28.
Таким образом, объем выборки определен: п = 28. Подставив в урав-
нение (6.7) системы, получим
Тпр=7;-^(«-1)^ = 150-1,314-^ = 135,1.
\п	>/28
Примем Гпр = 135 ч. Следовательно, при приемочном нормативе
Т = 135 ч и о*= 60 ч требуется выборка в объеме и = 28 изделий. Так как
10 изделий уже испытано, то испытывают еще 18 изделий и вновь вычис-
ляют о* и Т‘ по выборочной совокупности из 28 изделий. Пусть, например,
получены значения 130 ч, о(*28) = 66 ч. Аналогично рассмотренному
ранее для нового результата уточняем: п = 33 и 7’гр = 133 ч. Уточненный
объем выборки отличается от испытанного на 5 изделий. Испытывают еще
5 изделий и если о’ и Т*, рассчитанные для выборки 33 изделий, сущест-
венно не изменятся, то принимаются следующие параметры плана: п = 33 и
Т = 133 ч.
пр
Приемку или браковку осуществляют по следующим условиям: если
Т'> Tnf то принимают гапотезу Но, если Т'< Т , то гипотезу Нм.
Таким образом, планирование испытаний на надежность методом од-
нократной выборки предусматривает обоснованный выбор гипотезы Но или
Hot через определение объема выборки, который не может быть изменен в
ходе испытаний. Это является существенным недостатком данного метода,
так как в некоторых случаях, испытав лишь часть запланированной выбор-
ки, уже можно понять, соответ ствует ли изделие заданным требованиям на-
дежности или нет. Этот недостаток устраняется методом последовательного
анализа.
179
6.3.	Контрольные испытания
методом последовательного анализа
Решение о соответствии или несоответствии уровня надежности пар-
тии изделий после проведения процедуры контрольных испытаний методом
однократной выборки принимают по результатам испытаний заранее опре-
деленного числа изделий (объема выборки л). Для выбора гипотезы Но или
Нм по критерию Неймана - Пирсона требуется проведение испытаний все-
го объема выборки и, определенного процедурой планирования. При этом
испытания и изделий чаще всего начинают одновременно и заканчивают
при проявлении признака окончания испытаний.
Пусть испытаниям подвергается партия, состоящая из изделий с очень
высокими или очень низкими значениями показателя надежности У (по
сравнению с требуемыми). При испытании такой партой могут быть полу-
чены достаточные для оценки уровня надежности партии результаты с чис-
лом испытанных изделий меньше объема выборки и, определенного проце-
дурой планирования по критерию Неймана - Пирсона.
Возможность такой оценки предоставляет метод последовательного
анализа по критерию Вальда. Особенность этого метода заключается в том,
что в отличие от критерия Неймана - Пирсона он не устанавливает заранее
конечное число выборки п, при котором возможно достоверно квалифициро-
вать партию: принять ее или забраковать, т. е. выбрать гипотезу Ни или Я01.
Испытания по этому методу проводят путем последовательного отбора изде-
лий из партии: второе изделие начинают контролировать тогда, когда из-
вестны результаты контроля первого изделия; в общем случае изделие (k +1)
может контролироваться лишь после контроля к изделий, если результаты
контроля к изделий удовлетворяют установленным заранее требованиям.
Как правило, контрольные испытания методом последовательного ана-
лиза проводят в тех случаях, когда испытания одного изделия требуют не-
большого времени, но связаны с большими затратами. Если же срок приня-
тия решения по результатам испытаний партии соизмерим со сроком испы-
таний одного изделия, то следует применять метод однократной выборки,
например по плану [2V, U, 7].
Считают, что при использовании метода последовательного анализа
объем испытаний в среднем в 2 раза меньше, чем при испытаниях методом
однократной выборки. Покажем это на примере.
Пример 6.6. Даны следующие исходные данные: время контроля одно-
го изделия 20 ч; контроль является дорогостоящим, поскольку испытания
разрушающие и стоимость проведения одного испытания велика; время, от-
веденное на принятие решений о результатах контроля надежности, - не
более 30 дней; по организационно-техническим причинам на испытатель-
ном комплексе, имеющем 5 аналогичных стендов, за 30 дней можно про-
вести 240 испытаний аналогичных изделий. Требуется оценить эффектов-
180
ность методов однократной выборки и последовательного анализа и при-
нять решение о приемлемом методе.
Решение. При испытаниях методом однократной выборки по пла-
ну [TV, U, 7] за 30 дней можно теоретически провести 30-24-5/20 = 180
испытаний, используя одновременно 5 аналогичных стендов.
При проведении испытаний методом последовательного анализа за
30 дней можно теоретически провести 30-24/20 = 36 испытаний (последо-
вательно на одном стенде).
Если предположительно требуется дать оценку надежности партии по
результатам испытаний не менее 50 изделий, то очевидно, что план прове-
дения испытаний методом последовательного анализа неприемлем и прово-
дить испытания нужно методом однократной выборки.
Если же предположительно требуется дать оценку надежности партии
по результатам испытаний не более 30 изделий, то план проведения испы-
таний методом последовательного анализа приемлем и эффективен, так как
при высоконадежных либо низконадежных изделиях в партии решение о
надежности партии в целом будет принято достаточно быстро и при мень-
шем числе испытанных изделий. В этом и заключается преимущество кри-
терия Вальда по сравнению с критерием Неймана - Пирсона.
Проверка гипотез Но и Ны по критерию Вальда может быть начата
при любом числе испытываемых изделий, даже при = 1. При этом утвер-
ждение будет принято как обоснованное тогда, когда результаты испытаний
и,- (/ = 1,2,...) выбранных из партии изделий покажут преобладание одной
из гипотез (Но или Нс1) достаточно достоверно по сравнению с заданными
вероятностями ошибок - рисками изготовителя и заказчика а и р. Значения
аир назначают из ряда чисел 0,05; 0,1; 0,2. В частности, целесообразно
принимать а = р.
Отметим, что при соотношении UM < Uo, где U0l - значение, соответ-
ствующее предельно допустимому уровню надежности; Uo - значение, со-
ответствующее нормальному уровню надежности, проверяемые при двух-
уровневом контроле гипотезы Но и Я0| имеют следующие условия выбора:
-	для гипотезы //„: партия годная — £7ф > С70, где (7ф - фактическое зна-
чение показателя надежности партии изделий;
-	для гипотезы Н01: партия бракуется - £/ф < t/CI.
Очевидно, что £7ф = UD и [/ф = t/0I - это частные случаи условий выбо-
ра 1ипотез Но и Не1. Если предположить, что условие С/ф >U0 более веро-
ятно, чем 17ф < (70|, то в этом случае равенство £/ф = Uo более вероятно, чем
С/ф = UDi, и наоборот.
Таким образом, условия выбора проверяемых по критерию Вальда ги-
потез можно сформулировать следующим образом:
-	для гипотезы Но: партия годная — С7ф = С70;
-	для гипотезы Н01: партия бракуется - С/ф = U0l.
181
Рассмотрим теоретическую основу метода последовательного анализа.
Для использования критерия Вальда при выборе гипотез Но и Н01 бу-
дем считать, что при последовательном испытании некоторого объема п по-
лучена выборочная совокупность (y,y2,...,y„) показателя надежности К
Выборка п взята случайным образом из генеральной совокупности N (пар-
тии изделий), которая характеризуется неизвестными значениями показате-
ля надежности Y (у, у2,..., УЛ.)- Генеральная совокупность подчиняется не-
которому закону распределению с плотностью fky/U^), называемой гене-
ральной плотностью распределения. Плотность f(y/Utlf) является услов-
ной, так как зависит не только от аргумента у, но и от величины С7ф - неиз-
вестного фактического значения показателя надежности. Поскольку слу-
чайная выборка п взята из генеральной совокупности N, то в выборке имеет
место та же плотность	что и в генеральной совокупности.
Рис. 6.8. Графики плотности распределения
случайной величины Y при значениях
Ц, = Ut и Ц, = U2-. f, = /[у / (t/ф = U,)],
Л=/[л/(^=Ц)]
фиксированных значениях y=yt и U^=U^
При некотором фикси-
рованном значении аргумен-
та уо изменения величины (7ф
будут смещать кривую
функции f{ylU^) вдоль оси
t/ф: при увеличении (7ф -
вправо, при уменьшении С7ф
- влево (рис. 6.8) (например,
так смещается кривая плот-
ности распределения случай-
ной величины по нормаль-
ному закону при изменении
величины математического
ожидания).
Функция fiy/U^) как
функция двух аргументов при
будет иметь одно конкретное
значение /(у /С7ф1). Тогда для любого значения у (г = 1,2,..., и) из выбороч-
ной совокупности в предположении, что для партии изделий справедливо ра-
венство (7ф = UQ, можно указать конкретную величину условной плотности
распределения /[у,/(С/ф	характеризующую вероятность появления
при испытаниях у, и /£у /(С7ф = Uol)] - в предположении, что С7ф = U0l.
Условные плотности вероятностей /^у.	и /^у
вычисляют для всех значений у.(г = 1, 2, ..., и), образующих выборочную
совокупность. Они будут показывать, насколько для каждого у вероятны
оба предположения: С7ф = UD и (7ф = U0l.
182
Поскольку значения выборочной совокупности независимы, то по
теореме умножения вероятностей независимых событий для всей
выборочной совокупности (у1,у2,...,уп) в предположении, что иф=ио и
С7ф = Um, можно определить совместные условные плотности вероятностей
/(У1,У2’-,У„/С/ф):
ф> Уг>	УЛЩ = ^о)] = Пф /(^ = С/о)]>
i=l
/[ у,, у2,к / (t/ф=uui)]=ПфЖ=и»)] •
1=1
Произведение в правой части учитывает не отдельное значение слу-
чайной величины У, а всю совокупность^.(/= 1, 2, ..., и), полученную в вы-
борке. Функция /(УрУ2>—>У„^ф) показывает вероятность правдоподобия
предположения о величине параметра (7ф в генеральной совокупности и на-
зывается функцией правдоподобия.
Графики (см. рис. 6.8) показывают, что плотность f при значении
Ц, = (7, больше, чем f2 при значении Ц, = U2 (конкретные вычисления пока-
зали бы, во сколько раз больше). Значит, более вероятно, что значение
У1 принадлежит к совокупности, в которой = Ut, а не к совокупности, в
которой иф = U2.
Предположим, что для партии изделий справедлива гипотеза
//0(Оф =О’0), тогда произведение условных плотностей f^y.
будет пропорционально вероятности того, что справедлива гипотеза Нв.
Обозначим эту вероятность Р(НВ):
Р(Я0) = Л-Пф,./(С/ф=С/0)],
1=1
где К - нормирующий коэффициент пропорциональности, который зависит
от вида распределения f {у).
Аналогично, если имеет место гипотеза Нш(иф = Ь’М) и известны ус-
ловные плотности ф/(С/ф=С/01)], то, обозначив через Р(Н01) вероят-
ность того, что справедлива гипотеза Hot, можно записать:
ля01)=4фф(нф=н0,)].
f=l
Отношение П=------которое называют отношением правдоподо-
Р(НВ)
бия, показывает, во сколько раз в выборке (и, соответственно, в партии) ги-
потеза Нт более или менее вероятна, чем гипотеза Нв.
Рассмотрим отношение правдоподобия с учетом записанных выраже-
ний для вероятностей Р(НВ) и Р(Н01):
183
р(я0|)==
р(Яо) ^Пф.	=М /=I f^y‘ =и°^-
/=1
Величина отношения правдоподобия П может быть определена для
любого числа и (объема выборки).
Анализ отношения правдоподобия показывает, что если это отношение
мало (меньше единицы), т. е. числитель меньше знаменателя, то
Р(Н0) > Р(Н01) и должна приниматься гипотеза Нй. Условие принятия дан-
ной гипотезы записывают в виде
п=w=
Р(Я0) V/[Z/(t/t=t70)‘
(6.9)
где А — критическое приемочное значение отношения правдоподобия, обес-
печивающее назначенные уровни рисков изготовителя а и заказчика р.
Как мы уже неоднократно отмечали, риск изготовителя есть макси-
мальная вероятность браковки годной партии (ошибка первого рода):
а= Р01([7ф= С70)=Р01(Н0),или 1-<х = Р0(С/ф = L/o) = Р0(Я0).
Риск заказчика - максимальная вероятность приемки негодной партии
(ошибка второго рода):
Р =Р0 (С7ф =	) = Р0(Я01), или 1 - р =Р0, (1/ф= t/01) = Р01(Я01).
Тогда предельное значение отношения правдоподобия для приемки партии
Р
Р0(Я0) 1-а’
Если же отношение правдоподобия, наоборот, велико, то это значит,
что числитель больше знаменателя, т. е. Р(РГО1) > Р(Н0), и должна прини-
маться гипотеза Нт. Условие приемки этой гипотезы будет иметь вид
Р(Н0) и/к/(С7ф=£/0)
(6.10)
где В - критическое браковочное значение отношения правдоподобия, пре-
дельное значение которого
Д РО,(ЯО|) !-Р
Ppi(^o) а
Когда реализуется одно из неравенств: П < А или П > В, то испытания
прекращают и принимают решение о надежности партии, соответствующее
одному из неравенств.
Если в результате расчета получают результат А < П < В, то тогда
184
е=~•
1-а	У/[у,/(с/ф=1/0)]	«
и испытания продолжают
Выражения (6.9) и (6.10) являются критериями Вальда выбора гипотез
Но и Н01 в ходе испытаний. Поскольку они содержат плотности распреде-
ления, то знание закона распределения f(y) при проверке гипотез по кри-
терию Вальда обязательно.
Таким образом, теоретической основой метода последовательного ана-
лиза является критерий Вальда - критерий статистической проверки inno-
тез, согласно которому для выбора одной из гипотез (Но или Н01) на основе
выборочной совокупности, сформированной последовательным отбором в
выборку, вычисляют отношение правдоподобия для сравнения с заданным
уровнем.
6.4.	Планирование контрольных испытаний
методом последовательного анализа
Планирование испытаний методом последовательного анализа сводит-
ся к построению областей приемки и браковки в координатах, наиболее
удобных для практики. Границы областей приемки и браковки представля-
ют собой две бесконечные параллельные прямые линии вида R = kn + b, где
R - некоторый параметр (суммарная наработка число отказавших изде-
лий т и др.); п - число испытанных изделий. Задачей планирования являет-
ся определение величин к и b при заданных а, р, UO,UOI. Отметим, что ве-
личина b может быть как положительной, так и отрицательной, а величина к
всегда положительна.
Для конкретных видов контролируемого показателя надежности: сред-
ней наработки до отказа или вероятности отказа - и законов его распреде-
ления процедуру принятия решения о надежности партии при использова-
нии метода последовательного анализа можно упростить, исключив вычис-
ление значения отношения правдоподобия П для каждого нового объема
испытаний. В этом проявляется особенность планирования контрольных
испытаний методом последовательного анализа по критерию Вальда.
Рассмотрим процедуры планирования для некоторых показателей на-
дежности.
Планирование испытаний в случае, когда показателем надежности
является средняя наработка до отказа. В этом случае средняя наработка
до отказа выступает фактическим показателем надежности в партии изде-
лий Гф. Для выбора гипотезы Но или Hw необходимо располагать выбо-
185
рочной совокупностью случайных наработок до отказа ?,.(/ = 1,2,..., и) объ-
ема изделий, испытанных в период от начала испытаний до процедуры вы-
бора. По полученной за этот период совокупности вычисляют суммарную
наработку:
Приемку и браковку производят на основании полученной при испы-
тании суммарной наработки. Планирование состоит в построении двух гра-
ниц областей приемки и браковки в системе координат «число испытанных
изделий - суммарная наработка» (рис. 6.9). В момент каждого очередного
Область
приемки
Область
неопределенности
Область браковки
отказа принимают одно из
трех решений:
- приемка партии, если
значение tz находится в облас-
ти приемки;
- браковка партии, если
значение находится в облас-
ти браковки;
- продолжение испыта-
ний, если значение находит-
ся в области неопределенности.
Рис. 6.9. Графики границ приемки А(п) и бра- Построение графиков па~
ковки В(п) партии изделий: - суммарная раллельных прямых линий
наработка до отказа испытанных и изделий ^(п) и &(п) в координатах
(и, rs), разделяющих области
приемки, браковки и неопределенности, делает процедуру выбора гипотезы
Но или Нм при любом объеме испытаний п элементарной. Условия приня-
тия гипотез зависят от вида распределения наработки до отказа.
Для планирования испытаний задают нормальный То и минимально
допустимый уровни Г01, причем То> Т01. Поверяемые по критерию Вальда
гипотезы формулируют в следующем виде:
— Но : надежность партии соответствует требованиям - Тф = То,
- Нм : надежность партии не соответствует требованиям - Гф = Тт.
В случае нормального распределения наработки до отказа плотность
вероятности появления значения наработки t с параметрами Тср = 7ф и о
описывают функцией
где Т\ - неизвестное фактическое значение средней наработки до отказа, в
отношении которого по результатам испытаний необходимо принять реше-
186
ние о выборе гипотезы Но или Н01. Принимают, что величина о - среднее
квадратическое отклонение случайных наработок до испытания - известна
(например, по результатам испытаний аналогичных изделий).
Пусть заданы нормальный То и минимально допустимый Тм уровни,
соответствующие гипотезам Нй и Hoi, причем То > TQi.
Составляют отношение правдоподобия для произвольного количества
наблюдений случайной наработки tt (i = 1,2,и) при уровнях Го и Г01:
Д-ГТ	"^Ol)
ЦЛ',/гф=г0)
(1/Ол/2я)ехр -^rU-^oi)2
(1/о>/2я)ехр --Ц-(?,-То)2
'	7	/С*
п
=Пех₽
/=1
а(-г01)2-а,.-г0)2'
= ПехР	+ %+ 2t,T0-T2)
=Пехр{-^г[2<	- ft - T2 )]}=
rp _'Г n	y2 rr<2
= exp -±L_fotV/ exp	.
L ° m J L 2o
Условие продолжения испытаний (условие неопределенности) имеет вид
Л = -£-<П<	£=в,
1-а а
или
0
у 2 _у2
2а
Полученное неравенство логарифмируют, а затем проводят преобразо-
вание:
1-а
ГГ _'Т' и
ехр ——exp
1-0
а
0
?0	^01 f
О2 1
1-а
о2 . ₽
------In-—+
7^—7J,! 1 —а
То + Tqi п
2
у2 _у 2
2о2
ьЬ₽
а
h
а2 , 1-р 71 + Г01
-------In —- + -2---и
Тв-Т01 а 2
Знак неравенства изменился из-за деления его членов на отрицатель-
ную величину [-(Го -ToJ/a2]. Отметим, что это неравенство выражает
условие неопределенности, т. е. продолжения испытаний. Тогда условие
определенности можно записать как противоположное условию неопреде-
ленности: A(n)<tL, 1г<В^п). Следует обратить внимание, что Л(и) и
В(и) являются функцией аргумента - объема выборочной совокупности и,
187
в отличие от критического приемочного А и критического браковочного В
значений отношений правдоподобия.
Для суммарной наработки до отказа tL получают условие принятия
гипотезы Но:
о2 , Р Т0 + Т01
-----In—— + —---^п,
Т0-Т01 1-а	2
и условие принятия гипотезы Ни1:
tL<B(n)=—^1пЬ₽+^и.
V Го-То1 а 2
Уравнения линий приемки А(п) и браковки В(п) записывают в коорди-
натах п и (см. рис. 6.9):
о2 . 1-Р Г0 + Г01
=------In——+ —--—и
а
Анализ этих уравнений показывает, что линии приемки и браковки —
это параллельные друг другу прямые, так как они имеют равные угловые
коэффициенты к = (Тй + Т0Х)/2, смещенные от начала координат вдоль оси
_	, о2 - Р , о2 . 1-Р
абсцисс на величины Ь. =-------In — и Ь„ =----------In---- соответст-
Т0-Тт 1-а Го-Го, а
венно. Поскольку отношение р/(1-а)всегда меньше единицы, то его лога-
рифм имеет отрицательное значение, так что линия приемки А (и) смещена
вдоль оси tT вверх, а линия браковки В(п) - от начала координат вниз.
Величины этого смещения зависят от исходных данных условий пла-
нирования Т0,Т01,а, р. При этом можно отметить, что функция А(п) более
чувствительна к значению р, а функция В(п) - к значению а. Это соответст-
вует логике проверки гипотез, так как приемка должна обеспечить ошибку,
не превосходящую риск заказчика Р, а браковка - ошибку, не превосходя-
щую риск изготовителя а.
Рассмотрим пример.
Пример 6.7. Необходимо провести испытания партии изделий с тре-
буемым уровнем надежности: наработкой до отказа не менее 30 ч и средним
квадратическим отклонением 2,5 ч. Риск изготовителя а = 0,03, риск заказ-
чика р = 0,02. Предприятие-изготовитель ориентирует производство на
уровень надежности - наработку до отказа 34 ч.
Решение. Примем значение параметра, соответствующее мини-
мально допустимому уровню надежности =30 ч, и нормальному уров-
ню надежности - То = 34 ч. Для планирования испытаний найдем урав-
нения линий приемки А(п) и браковки В(п):
188
,	°2 i Р То + Гы
А(п) =--------In ——I- -2---—n =
T0-T0l 1-a	2
2,52 , 0,02 , 34 + 30 „ , r ,
-------In	1-	n = 32л + 6,1,
34-30 1-0,03--------2
. о2 , 1-P To + To,
B(n) =--------In —— + -2-n =
T0-Tm a 2
2,52 , 1-0,02 , 34 + 30	„ c л
=---------In-------1------n = 32n - 5,4.
34-30	0,03	2
Проведем испытания методом последовательного анализа. Результаты
внесем в таблицу:
Параметр	Последовательность испытаний, <					
	1	2	3	4	5	6
Наработ- ка до от- каза tt	34,0	34,2	32,3	34,8	31,4	32,6
Суммар- ная нара- ботка до отказа	34,0	68,2	100,5	135,3	166,7	199,3
4”)	38,1	70,1	102,1	134,1	166,1	198,0
В(и)	26,6	58,6	90,6	122,6	154,6	186,6
Результат анализа	Испытания продол- жить	Испытания продол- жить	Испытания продол- жить	Испытания продол- жить	Испытания продол- жить	Партия годна
Отметим, что результат испытаний пяти изделий находится в зоне не-
определенности. И только по результатам испытаний шести изделий полу-
чаем определенность ГЕ= 199,3 ч > А(п = 6) = 198,1 ч. Поэтому принимаем
гипотезу HQ : партия годная.
Для сравнения по условиям данного примера рассчитаем план испыта-
ний методом однократной выборки, применяя для расчета формулу (6.4):
Г/	ч Т2 г-	-|2
(М1_а-и₽)о	(1,96 + 2,01)2,5	_
п= -------2— =  ---------------- = 6Jb~l,
L Т0-Тм J L 34-30 J
где п|_а=п097=1,96, г/р =п002 =-2,01 - квантили распределения Ф («,,)•
Если величина среднего квадратического отклонения о заранее неиз-
вестна, то записать уравнения линий приемки А(п), браковки В(п) и постро-
ить график, подобный графику на рис. 6.9, невозможно. Поэтому после ка-
ждого испытания необходимо вычислять отношение правдоподобия, ис-
189
пользуя плотность вероятности нормального закона распределения с заме-
ной о на его выборочную оценку о*.
Принятие решения о результате испытаний при этом проводят по сле-
дующим условиям:
.. л! \	1 Р	У) + Т|
-	для принятия гипотезы Нй - > Ain)  --------In——F —-----—n;
Т0-Г01 1-a	2
tt nt \	2 i i“0 r0 +
-	для принятия гипотезы H0l - t^< Bln)-------In -  ч—---—n;
Г0-В01 a 2
-	для продолжения испытаний - А (и) > > В^п).
При экспоненциальном законе распределения наработки плотность ве-
роятности с параметром 7’р = Тф описывают функцией
. 1 /
/(?) =—ехр
'ф I V
где 7^ - неизвестное фактическое значение средней наработки до отказа, в
отношении которого по результатам испытаний необходимо принять реше-
ние о выборе гипотезы Но или Нт.
Пусть заданы нормальный То и минимально допустимый Т01 уровни,
соответствующие гипотезам Но и Н01, при То > Тщ. Составляют отношение
правдоподобия для произвольного количества наблюдений случайной нара-
ботки г, (z = 1,2,..., и) при уровнях То и Тон
1
—ехр
п Т г\
уехР
ч Т
= П,-схр
1=1 701
1-lfc
у гг *—• 1
701
Условие продолжения испытаний (условие неопределенности) имеет
вид
л._е_<п<ь₽=в,
1-а а
или
ехр
После логарифмирования и преобразования получают
, Р , То , 1-р	. То
-In——+ И1П-5-	-In—- +/zln-е-
1—g t >_________________Zk.
11 z 11'
T
z0
190

'z
Отметим, что это неравенство выражает условие продолжения испыта-
ний. Тогда можно записать условие определенности как противоположное
условию неопределенности: A(n)<tz, tL<B(n). Здесь и В(и) явля-
ются функцией аргумента - объема выборочной совокупности п, в отличие
от критических значений отношений правдоподобия: приемочного А и бра-
ковочного В.
Получают условие принятия партии, т. е. гипотезы Но,
-In-L + wln^.
1-а Тм
_1___£
Т Т
'oi •'о
и условие браковки партии, т. е. принятия гипотезы Нм,
-1п^ + и1п^-
g___________
j____i_
т т
Joi 'о
Уравнения линий приемки А(п) и браковки В(п) записывают в коорди-
натах и, tL (см. рис. 6.9):
-1п-^- + и1п^2-	—In——^ + nil!—
Д») = - t Го1 , В(п)=-----------“---j-V
^01	^0	^01	^0
Эти линии являются параллельными прямыми, угол наклона которых
определяется значениями Тй и Т01, а смещение относительно начала коор-
динат - еще и значениями аир.
Процедуру планирования контрольных испытаний методом последова-
тельного анализа при экспоненциальном распределении наработки до отка-
за рассмотрим на примере.
Пример 6.8. Необходимо осуществить приемку партии изделий при
средней наработке до отказа не менее 1 000 ч с вероятностью ошибки не
более 0,05 и браковку по уровню 900 ч с вероятностью ошибки не более 0,1.
Построить план испытаний, принимая распределение наработки по экспо-
ненциальному закону.
Решение. Запишем данные: Те - 1 000 ч, Г01= 900 ч, а = 0,1,
Р = 0,05. Найдем уравнения линий приемки А(п) и браковки В(п):
.	₽ То 0,05	, 1000
-In-----+ П1П--5 -In—------+ и!п
Л(и) =-----—-------
।	222_ = 26016 + 1054и.
J______1_
T T
2oi lv
900 1000
191
-1пЬ₽+и1гЛ -1п^ + и1п^
В(п) =---“---—=........ О’1----j--— = -20 264 +1054и.
701~7^	900 ~ 1000
Таким образом, уравнения линий приемки и браковки имеют вид
А(п) = 1 054 п + 26 016,
В(п) = 1 054 и-20 264.
Порядок проведения испытаний и принятия решения о надежности
партии аналогичен порядку, приведенному в примере 6.7.
Планирование испытаний, когда показателем надежности являет-
ся вероятность отказа. В этом случае фактическое значение надежности
определено показателем «Вероятность отказа <2ф(0 за время /». В качестве
контролируемых уровней надежности выступают значения вероятности от-
каза: нормальное Qo и максимально допустимое Qol, при этом Qo < Qul.
Проверяемые по критерию Вальда гипотезы формулируют следующим об-
разом:
-	гипотеза Но : надежность партии соответствует требованиям (партия
годная) - бф(0 = б0(Г);
-	гипотеза/Tpi : надежность партии не соответствует требованиям (пар-
тия бракуется) - (2ф(/) = g01(Z).
Испытания проводят по плану [и, U, 7], при этом регистрируют количе-
ство отказов т за время Т= t. Под величиной и (объем выборки) понимают
произвольное количество изделий, испытанных к моменту принятия реше-
ния о преобладании одной из гипотез Но или Нт, тогда случайной величи-
ной показателя надежности Y будет число возникших отказов т из общего
числа испытанных изделий п. Условной плотностью вероятности
выступает условная вероятность возникновения т отказов в выборке п за
время испытаний - плотность распределения случайной величины т.
Известно, что при условии n«N (практически при значениях
и<0,1 Д') вероятность появления т отказов в выборке п хорошо описывает-
ся биноминальным законом распределения:
PirnlQ^C^X-Q^'".
Тогда отношение правдоподобия выражают следующим образом:
х \т f	\п-т
fl-go.
m)	fa J U-goJ
Условие продолжения испытаний
-£-=л<п=(^
1 ct	Qo j 1 Qq J a
192
После логарифмирования и преобразования получают
z Хт f	\я-
1п_р_<1пш izoJ
1-а laJU-GoJ
<щЬ₽
а
In	< т1п^-+(п-w)ln-——< In-—-,
1-а Qo	1-QO а
1п_₽-„щ1^
1-а	1-а
ьА-ьЬаг <т
Qo 1 Qo
, i-p . 1-а.
In—--win——
a 1-gp
ln Oi_ _ ln J-ZOi,
Qo 1-а
где левая и правая части неравенства - уравнения прямых линий вида кп + Ь
Уравнение линии А(п) имеет вид
1п-₽-
л( „)_____1 а п_____________1~а
1пЬОг_1па’
i-2o Qo 1-е0 Qo
а уравнение линии В(п) - вид
in-——	)д 1 ~ Р
В(п) =______--------и---------а_____
inlzOt-jnOL |nLzOi_lnai
i-а а i-а а
При количестве отказов т принимают следующие решения (рис. 6.10):
—	если т < А(п), то на-
дежность партии соответст-
вует требованиям, партию
принимают, т. е. принимают
гипотезу Но",
—	если т>В(п), то на-
дежность партии не соответ-
ствует требованиям, партию
бракуют, т. е. принимают ги-
потезу //01;
-	если А(п)< т <В(п),
то испытания продолжают.
Выражения для линий
А (и) и В(п) - это уравнения
параллельных прямых, на-
клон которых определяется только значениями Qo и Q0I, а смещение отно-
сительно начала координат - еще и величинами а и р. Смещение линии
приемки А(п) в основном зависит от р, а линии браковки В(п) - от а. По-
скольку величина р / (1 - а) всегда меньше единицы, то ее логарифм отри-
1 3 Испытание ракетных двигателей
193
цателен, а величина (1-0)/а всегда больше единицы, и ее логарифм поло-
жителен. При значениях G,i > Qa знаменатели в уравнениях линий отрица-
тельны, так что ЬА < 0 и линия приемки А(п) смещена по оси т от начала
координат вниз, а Ьв > 0 и линия браковки В(п) смещена вверх.
Рассмотрим процедуру контроля надежности ракетных двигателей на
примере.
Пример 6.9. На контроль поставлена партия изделий, для которых неко-
торый параметр У должен находиться в пределах 500 < У < 800 с доверитель-
ной вероятностью Р = 0,90. Построить план испытаний при а = 0,03; 0 = 0,02.
Решение. Если Р = 0,90 - вероятность попадания в требуемый ин-
тервал, то Q = 1 - Р = 0,10 - вероятность непопадания параметра У в этот
интервал, т. е. вероятность отказа. Принимаем значения Qm=0,10 и
Qo =0,05. Тогда проверяемые гипотезы можно оценить уравнениями прие-
мочной А (и) и браковочной В(п) линий:
in1—
А{п) =------
In
l-0o
, 1-0,1
In------
1-0,05
• °,! " ।
-In---- In
0,05	1-0,05
i Q)i дп а,
' - Оо
ln-₽-
___1-а
1 ~ Ooi in 0)1
0)
In
i-a
0,02
In
1-0,03
. 1-0,1
In-------
1-0,05
1-0,1 . 0,1
-------In——
0,05
=0,073/7-5,19,
In1—
_____‘-a „_________________
lnL_6oi_in£k bL-Oi-in^i
i-0o о, i-Oo а
, 1-0,1
In-----—
1-0,05
, 1-0,1 . 0,1 n
In-----’---In----
1-0,05	0,05
. 1-0,02
In--------
,-7=o,|0’0?-o.i ° °-073"+4-67'
In--------In----
1-0,05	0,05
При проведении n последовательных испытаний подсчитываем число
отказавших изделий т, имеющих значения параметра, выходящие за тре-
буемые пределы, из общего числа изделий подвергнутых контролю п. Ко-
ординаты точек (и, т) наносим на график с линиями А(п) = 0,073/7-5,19 и
В(и) =0,073/7 + 4,67. Испытания проводим до тех пор, пока координата точ-
ки (и, т) не попадет в зону определенности - зону приемки или браковки.
Проанализируем уравнение А(п) = 0,073л - 5,19 с учетом да > 0, так как
число отказавших изделий не может быть отрицательным, и вычислим ми-
нимальное число испытываемых изделий, при котором возможно получе-
ние определенности. Это число определено точкой пересечения линии А(п)
с осью п. Запишем 0,073/7m,n -5,19 = 0, откуда иго1п =71.
194
По данным этого примера рассчитаем минимальный объем выборки
при испытаниях методом однократной выборки по формулам (6.2)
= In (1-а) = In (1-0,03)
1 In (1-й) 1п(1-0,05)	’
1пР 1п0,02	„
п, =---------~;-------т = J 7 .
in (i-а,) in (i-од)
Отметим, что «lmn (нтп=71) превышает пг (и2=37). Это значит, что
при заданных условиях метод последовательного анализа менее эффекти-
вен, чем метод однократной выборки.
Теоретически число отказов изделий т, при котором возможно полу-
чение определенности для принятия решения о надежности партии, может
достигать очень больших значений (и даже стремиться к бесконечности).
Поэтому существует модифицированный вариант последовательного кон-
троля, свободный от этого недостатка - метод усеченной последовательно-
сти, который будет рассмотрен далее.
Таким образом, сущностью планирования контрольных испытаний ме-
тодом последовательного анализа является определение областей приемки,
браковки и неопределенности, разделяемых линиями приемки А(п) и бра-
ковки В(п). Оценивая положение значения показателя надежности относи-
тельно указанных областей, принимают решение о прекращении испытаний
и соответствии или несоответствии уровня надежности изделия установ-
ленным требованиям.
6.5. Метод усеченной последовательности
Последовательный метод испытаний имеет преимущество при кон-
троле либо весьма надежных партий, либо весьма ненадежных, так как в
этих случаях можно достаточно быстро определить условия для принятия
одной из гипотез (Яо или /70|), т. е. принятия решения о приемке или бра-
ковке партии. При средних же уровнях надежности условие неопределен-
ности, требующее увеличения объема испытаний, может выполняться дли-
тельное время. В случаях когда область неопределенности образована па-
раллельными линиями приемки А(п) и браковки В(п), необходимый объем
испытаний теоретически может увеличиваться до бесконечности. В ре-
зультате не только не будет реализовано преимущество последовательного
метода, но и проявится его недостаток по сравнению с методом однократ-
ной выборки, где объем испытаний заранее фиксирован. Тогда для про-
верки гипотез Но и НВ1 от критерия Вальда нужно отказаться, а объем ис-
пытаний ограничить. Процедура ограничения последовательного метода
называется его усечением.
195
Обозначим через U контролируемый показатель надежности: среднюю
наработку до отказа Т или вероятность отказа Q(t). Пусть Uo — нормаль-
ный, С701 - предельно допустимый уровень показателя надежности.
Усечение последовательного метода осуществляют следующим образом.
В том случае когда объем испытанных изделий с неопределенным исходом
достигает значения объема выборки п , которое обеспечивает проверку гипо-
тез Нй и Н01 по методу однократной выборки при тех же исходных данных
(£70,£7(||,а,Р), испытания прекращают и оценку надежности партии делают
по полученным результатам, используя критерий Неймана - Пирсона.
Величину и и соответствующий ей приемочный норматив С/пр опреде-
ляют по решению системы уравнений (6.1):
1-а = Р0(б/ф=С/0),
р=р0(с/ф=с/0|).
Тогда усеченный последовательный метод будет выполняться сле-
дующим образом.
Испытания начинают методом последовательного анализа сравнением
выборочной характеристики £7’: суммарной наработки до отказа tL или
числа отказов m - с границами приемки А(п) и браковки В(п). При достиже-
нии условия определенности принимают решение о надежности пар тии, ис-
ходя из соотношений U’, А(п) и U', В(п). Например, для нормально рас-
пределенной средней наработки до отказа при > А(п) партия принимает-
ся. Если условие неопределенности выполняется непрерывно, то последним
увеличением объема испытаний достигают значения п =п и соответст-
вующую величину U’ сравнивают с приемочным нормативом £7пр.
При планировании усеченного последовательного метода для расчета
линий приемки А(п) и браковки В(п) и значений п и t7np используют соот-
ветствующие уравнения в зависимости от вида контролируемого показателя
надежности U: средней наработки до отказа Тср или вероятности отказа
Q(t) - и действующего закона распределения. Необходимо учитывать, что
при контроле наработки {и^=Т^ по методу последовательного анализа
выборочной характеристикой U'является суммарная наработка а в ме-
тоде однократной выборки - выборочная средняя наработка U’= t-Jп.
Поэтому для построения графика плана испытаний усеченным после-
довательным методом (рис. 6.11) величину приемочного норматива 7’11р не-
обходимо пересчитать как значение для суммарной наработки до отказа по
формуле
^Пр=7’пр«*-
196
Выбор гипотезы Но или /70| при п =п осуществляют по критерию
Неймана • Пирсона с учетом вида показателя надежности. Если, например,
для показателя надежности «Средняя наработка до отказа» получают
U' > U, то утверждают, что в партии С7ф > и партию принимают, а ес-
ли окажется U’< (7пр, то утверждают, что в партии [7ф< и партию
бракуют.
Поскольку линии при-
емки А(п) и браковки В(п) и
величины и’и t/np рассчи-
таны по одним и тем же ис-
ходным данным, то приня-
тие решений при п <п и
и = п будет в равной сте-
пени отвечать условиям
(б/0,£/0„а,Р).
Следует отметить, что
линии А(и) и В(п) и области
приемки и браковки
(см. рис. 6.11) соответству-
ют показателю надежности
«Средняя наработка до от-
каза» в случае Qo = Uo >
Рис. 6.11. График плана усеченного
последовательного метода при 670 > Со|:
----линия, ограничивающая область приемки;
— - линия, ограничивающая область браковки
> ^01 = бе,  Если же контроль осуществляют по вероятности отказа, т. е.
когда T0=U0 < Uul =Tot, то линии и области приемки и браковки изменяют
свое расположение относительно друг друга.
Таким образом, рассмотренный выше усеченный последовательный
метод гарантирует минимальный объем испытаний. Этот метод совмещает
порядок планирования контрольных испытаний как методом последова-
тельного анализа, так и методом однократной выборки.
***
В заключение отметим, что задачи организации определительных и
контрольных испытаний на надежность имеют существенные отличия.
Планирование контрольных испытаний опирается на требуемое значе-
ние показателя надежности, известное до начала испытаний. В результате
планирования определяют необходимый объем испытаний (для метода од-
нократной выборки) и оценочный норматив - решающее правило, по кото-
рому принимают решение о соответствии или несоответствии изделия (пар-
тии изделий) заданному требованию.
197
Контрольные вопросы и задания
1.	Какие испытания называют контрольными?
2.	Каким образом контрольные испытания подразделяют по виду кон-
тролируемого показателя и методу контроля?
3.	Какова суть статистической проверки гипотез при контрольных ис-
пытаниях?
4.	Какую процедуру контроля называют одноуровневым контролем?
5.	Что выражает нулевая гипотеза?
6.	Что выражает конкурирующая гипотеза?
7.	Какова сущность критерия Неймана - Пирсона?
8.	Запишите выражение для вероятности приемки партии изделий.
9.	Запишите выражение для вероятности браковки партии изделий.
10.	Что называют ошибкой первого рода, ошибкой второго рода, рис-
ком изготовителя, риском заказчика?
11.	Какие зависимости называют оперативными характеристиками?
12.	Каковы основные недостатки одноуровневого контроля надежности?
13.	В чем состоит сущность двухуровневого контроля надежности?
14.	Какова сущность метода последовательного анализа?
15.	Что называют функцией правдоподобия?
16.	Каковы условия приемки гипотезы Но при методе последователь-
ного анализа?
17.	Каковы условия приемки гипотезы Н01 при методе последователь-
ного анализа?
18.	В чем состоит сущность метода однократной выборки?
19.	Какие преимущества получают при планировании методом усечен-
ной последовательности?
Глава седьмая
Ускоренные испытания на надежность
Рассмотрим теоретические основы ускоренных испытаний для наибо-
лее распространенных случаев, в частности показатели и виды этих испы-
таний, построение базовой зависимости и выбор режима испытаний, плани-
рование и обработку результатов.
7.1. Показатели и виды ускоренных испытаний
Для получения достоверных результатов продолжительность испыта-
ний на надежность должна быть соизмеримой с оцениваемой наработкой
объектов испытаний. Современные объекты космической техники имеют
высокий ресурс работы, достигающий нескольких лет. Проведение испыта-
ний в течение столь длительного времени оказывается неприемлемым хотя
бы потому, что их результаты выявляются настолько поздно, что уже не
имеют практического значения. Высокие требования по надежности, предъ-
являемые к современным изделиям, приводят к тому, что доведение их до
отказа при режимах работы, соответствующим эксплуатационным, требуют
испытаний гораздо более длительных, чем установленный ресурс.
Это положение можно подтвердить, рассматривая экспоненциальное
распределение наработки до отказа, для которого вероятность безотказной
работы Р(/) = ехр(— Очевидно, что значение вероятности безотказ-
ной работы в момент времени t будет определяться отношением (//Тр),
причем чем оно меньше, тем выше значение Р(/). Например, при t = Tcp
P(t)-0,367 8, при (//Tip) = 0,1 вероятность безотказной работы принимает
относительно низкое значение (Р(/) = 0,904 8), итолько при (tlТср) = 0,005
можно получить P(z) = 0,995 0. Таким образом, для обеспечения вероятно-
сти безотказной работы изделия Р(/) = 0,995 0 при наработке t = 100 ч
средняя наработка до отказа должна быть Ttp = 100/0,005 = 20 000 ч. Учи-
тывая, что оценкой Т является величина Т*, определяемая как средняя на-
работка до отказа tt при испытаниях:
Г=(1/и)£г,.,
/=|
то при плане [и, U, 71] необходимо задавать время испытаний, значительно
превышающее время работы изделия при эксплуатации. Для приведенного
выше случая время испытаний Т > Тср = 20 000 ч, что составляет период
199
продолжительностью более трех лет при непрерывном режиме испытаний.
Естественно, что в реальных условиях такое положение неприемлемо.
Сокращение времени проведения испытаний на надежность является
проблемой, имеющей первостепенное значение также и с точки зрения эко-
номии средств. Поэтому возникает необходимость разработки таких методов
ускоренных испытаний, которые позволили бы получать суждения о надеж-
ности изделий за время, существенно меньшее их средней наработки. На
практике за счет методов ускоренных испытаний длительность испытаний
сокращают до 10 раз и более. Но при этом возможно снижение точности
оценки надежности в связи с необходимостью пересчета результатов, полу-
ченных ускоренными испытаниями, к реальным условиям эксплуатации.
Ускоренными называют испытания, методы и условия проведения ко-
торых обеспечивают получение необходимого объема информации в более
короткий срок, чем в установленных технической документацией условиях
и режимах эксплуатации. При разработке ускоренных испытаний для кон-
кретного вида изделий необходимо в первую очередь установить принцип
ускоренных испытаний, затем на основании сформулированного принципа
выбрать метод и режим ускоренных испытаний.
Принцип ускоренных испытаний - это совокупность теоретических и
экспериментально обоснованных закономерностей или допущений, на ис-
пользовании которых основано проведение испытаний с сокращением их
продолжительности.
Метод ускоренных испытаний — совокупность правил применения
принципов ускоренных испытаний для получения показателей надежности
определенных групп или видов изделий.
Режим ускоренных испытаний - режим, предусмотренный применяе-
мым принципом и методом ускоренных испытаний и обеспечивающий со-
кращение продолжительности испытаний.
Возможность ускоренных испытаний предопределена известными за-
висимостями надежности технических средств от внешних воздействую-
щих факторов, при которых происходит их эксплуатация. Условия эксплуа-
тации, когда ни один из воздействующих факторов по величине не превос-
ходит эксплуатационных норм, устанавливаемых нормативно-технической
документацией, называют нормальными условиями. Очевидно, что при воз-
действии на изделия факторов, превышающих уровень нормальных усло-
вий, скорость их износа (снижения надежности) увеличивается и поток от-
казов, достаточный для оценки надежности, реализуется в меньшем интер-
вале времени по сравнению с нормальным уровнем, за счет чего и достига-
ется сокращение времени испытаний.
Например, если средняя наработка до отказа какого-либо изделия или его
элемента при температуре 200 °C уменьшается в 10 раз по сравнению с нара-
боткой в нормальных условиях при 40 °C, то испытания в течение 10 ч при
температуре 200 °C будут эквивалентны испытаниям в интервале 100 ч при
температуре 40 °C. Следовательно, если при испытаниях повысить темпера-
турную нагрузку в несколько раз относительно нормальных условий, то мож-
но во столько же раз сократить продолжительность ускоренных испытаний.
200
Эффективность ускоренных испытаний можно охарактеризовать ко-
эффициентом ускорения Ку, равным отношению времени Тэ, затраченному
на получение требуемой информации о надежности при испытании в усло-
виях, аналогичных нормальным, ко времени Т , в течение которого эта ин-
формация получена методом ускоренных испытаний:
Ky=TJTy.
В приведенном
Ку =100/10 = 10.
Состояние изделия или его элемента, обусловленное внешними воздейст-
виями и условиями функционирования, называют погруженностью, а процесс,
характеризующий изменение нагруженности во времени, — нагружением.
Ускоренный метод может применяться как для контрольных, так и для
определительных испытаний. Через коэффициент ускорения может быть
выполнен пересчет приемочного норматива t7np для контрольных и оценки
U для определительных испытаний.
Ускоренные испытания бывают сокращенным!! и форсированными.
Сокращенные испытания — ускоренные испытания без интенсифика-
ции процессов, вызывающих отказы или повреждения. В сокращенных ис-
пытаниях уменьшение сроков получения показателей надежности достига-
ют за счет уплотнения рабочих циклов или прогнозирования поведения
объекта испытаний на период, больший чем продолжительность испытаний.
выше примере коэффициент ускорения
Принцип
уплотнения ра-
бочих циклов
применяют при
испытании из-
делий, которые
в эксплуатации
имеют большие
перерывы в ра-
боте. На со-
кращении этих
перерывов ос-
новано ускоре-
ние испытаний
(рис. 7.1). В
>том случае,
сокращая или
совсем ликви-
дируя извест-
ные перерывы в
жсплуатации,
можно добить-
ся значительно-
Рис. 7.1. График уплотнения рабочих циклов: а - эксплуатация;
б - сокращенные режимы; Л1юрм- нагружение в нормальных
условиях; /р - время работы; /пер - время перерыва; tnM - время
перерыва при испытаниях
201
го уменьшения времени проведения испытаний. Коэффициент ускорения
при уплотнении рабочих циклов будет
К —Т'— +
У Ту
Принцип экстраполя11ии по времени основан на гипотезе о возможно-
сти достаточно достоверной оценки закономерностей процесса накопления
повреждений по начальным этапам процесса. При этом испытания проводят
в нормальном режиме лишь на некотором начальном участке работы изде-
лия, включающем выход на стационарный режим повреждения. На этом
участке измеряют параметр, определяющий накопленное повреждение, а
затем эти результаты экстраполируют до перехода в неработоспособное ли-
бо предельное состояние. Экстраполяцию проводят графически (рис. 7.2)
или аналитически. Коэффициент ускорения при экстраполяции по времени
б
Рис. 7.2. График экстраполяции результатов испытаний по времени:
а - известная закономерность процесса накопления повреждения;
б - сокращенный режим ускоренных испытаний; Т- наработка до отказа;
t„ - время испытаний; D„ - мера повреждения после испытаний
при нормальных условиях
Этот принцип предполагает, что практически при всяком изменении во
времени t накопленного повреждения D (например, величины износа), про-
цесс накопления можно отобразить функцией D = f(t), где t - текущее
время.
202
Принцип экстраполяции по времени применют для изделий, процессы
износа которых достаточно хорошо изучены. А в целом проблема экстрапо-
ляции по времени в каждом конкретном случае требует решения трех ос-
новных задач:
-	выбора уравнения состояния (нагруженности), достаточно надежно
описывающего экспериментальные результаты процессов типа износа в об-
ласти изменения параметров испытаний;
-	исследования поведения выбранного уравнения вне области экспе-
римента, что сводится к определению оценки точности прогнозирования;
-	выбора объема экспериментальных данных, обеспечивающих надеж-
ный прогноз на заданный срок эксплуатации.
Форсированные испытания — ускоренные испытания, основанные на
интенсификации процессов, вызывающих отказы. При форсированных ис-
пытаниях проводят преднамеренное увеличение скорости утраты работо-
способности изделия. Эти испытания проводят на форсированных режимах,
обеспечивающих увеличение интенсивности процессов утраты работоспо-
собности по сравнению с нормальным режимом.
Форсированный режим применяют, когда известна функциональная
зависимость между показате-
лями надежности в нормаль-
ном и форсированном режи-
мах испытаний. Запишем, на-
пример, такую функциональ-
ную зависимость для вероят-
ности отказа (рис. 7.3):
Q(t, Я) = /[е’(т, Я’)],
где Q(t,R) - вероятность от-
каза в нормальном режиме R
за время I; Q' (т, R‘) - вероят-
ность отказа в форсированном
режиме R* за время т.
Рис. 7.3. Функциональная зависимость
вероятности отказа при ускоренных
испытаниях: Q* и Q - вероятности
отказов в форсированном режиме и при
нормальных условиях соответственно
Функциональная зависимость может иметь как линейный, так и нели-
нейный характер. Ее используют не только для определения вероятности
отказа, но для определения любого другого показателя надежности: нара-
ботки до отказа, интенсивности отказов и т. д.
Функциональную зависимость можно выразить одним из известных
законов распределения. Если, например, имеет место экспоненциальное
распределение времени безотказной работы, которое не изменяется от пар-
тии к партии, то для вероятности безотказной работы
ехр(—Z/Tp (А)) = ехр(-т/7;р (/?’)),
или

203
где Гср (А), Гср (А*) и t, т - средняя наработка до отказа и время работы в
нормальном R и форсированном R* режимах соответственно.
Отношение с = til определяют на стадии предварительных испытаний
по выражению
где (А) и Т’г(??’) - средняя наработка до отказа в режимах R и R* соот-
ветственно, рассчитанная по результатам испытаний.
Для оценки Tcp(R) по результатам форсированных испытаний можно
воспользоваться формулой
U*)=c7U*’)-
Характеристиками ускоренных испытаний могут служить временные и
нагрузочные коэффициенты.
Временной коэффициент определяют отношением времени, в течение
которого при номинальной нагрузке было выявлено определенное число
отказов, ко времени, в течение которого было выявлено то же число отказов
при повышенных нагрузках.
Нагрузочный коэффициент зависит от отношения числа отказов, выяв-
ленных после определенного времени работы при повышенных нагрузках, к
числу отказов, полученных после того же времени работы при нормальных
нагрузках.
Форсированный режим может достигаться за счет изменения одного
или одновременно нескольких форсирующих факторов. Форсирующим
фактором называется составляющая режима испытаний, изменение пара-
метров которой по сравнению с режимом нормальных испытаний приводит
к интенсификации процессов, вызывающих отказ или достижение предель-
ного состояния. В качестве форсирующего фактора используют усилие
(момент), скорость (частоту), температуру, влажность среды, химическую
агрессивность среды и т. д.
Показатели надежности, полученные по результатам ускоренных ис-
пытаний, можно пересчитать для нормального режима только при усло-
вии, что физические процессы разрушения при нормальном режиме и ус-
коренных испытаниях одинаковы. Поэтому форсирующий фактор и режим
форсированных испытаний изменяют при ускорении процесса испытаний
только до определенного предела, называемого предельной нагрузкой. Та-
кой нагрузкой является предельно допустимый уровень форсирующего
фактора, обеспечивающий максимально возможную степень форсирования
испытаний при сохранении идентичности картины разрушения в условиях
нормальных и ускоренных испытаний и соблюдении предпосылок, поло-
женных в основу выбранного принципа ускоренных испытаний.
Результаты нормальных и форсированных испытаний могут быть со-
поставлены только в том случае, если при соблюдении идентичности при-
роды разрушения получаемые значения показателей надежности будут с за-
данной доверительной вероятностью у одинаковы:
204
Yy(t, R) = Yy(x, R ),
где Yy(t,R),Yy(x, R*)- показатели надежности при нормальном и форсиро-
ванном режимах соответственно.
Трудность разработки методов форсированных испытаний заключается в
том, что всякая интенсификация процессов, приводящих к отказу или пре-
дельному состоянию, чаще всего приводит к некоторому (в той или иной сте-
пени) искажению истинного процесса потери изделием работоспособности.
Форсированные испытания проводят по следующим принципам:
—	учащения рабочих циклов;
-	усечения спектра нагрузок;
-	доламывания;
-	экстраполяции по нагрузке;
—	запросов.
Принцип учащения рабочих циклов основан на увеличении частоты
циклического нагружения
предполагается, что на-
дежность изделия, выра-
женная в количестве цик-
лов до предельного со-
стояния, не зависит от
частоты приложения на-
грузки. В этом случае ко-
эффициент ускорения оп-
ределяют по выражению
Ку = ///„,
где fy, fH - частоты при-
ложения нагрузки при ус-
коренных и нормальных
испытаниях соответс-
твенно.
Принцип учащения
рабочих циклов исполь-
зуют при проведении
стендовых испытаний из-
делий и их элементов. Ко-
>ффициент ускорения'ог-
раничивается скоростны-
ми возможностями испы-
тательного оборудования,
а иногда - и возникнове-
нием сопутствующих про-
цессов, искажающих пря-
испытываемого изделия (рис. 7.4). При этом
Нагружение
а
б
Рис. 7.4. График частот приложения нагрузки:
а - эксплуатация; б - ускоренный режим;
fK,fy — частоты приложения нагрузки
при нормальных и ускоренных испытаниях
соответственно; Т- наработка до отказа;
1У - наработка до отказа
при ускоренных испытаниях
мой переход к нормальным условиям по частотам (например, повышение
температуры).
205
Модификацией принципа учащения рабочих циклов является проведе-
ние испытаний подвижных сопряжений деталей машин на изнашивание при
повышенных скоростях скольжения И
Выражая ресурс по износу в виде накопленного пути трения L и считая
в первом приближении, что Ly = LH (это условие может быть корректно при-
менено к процессу изнашивания лишь в очень ограниченном диапазоне из-
менения скоростей скольжения), можно определить коэффициент ускорения:
Ky=YyfVH,
где Vy - скорость процесса при ускоренных испытаниях; - скорость про-
цесса при нормальных условиях эксплуатации.
Для практической реализации этого принципа при форсированных ис-
пытаниях необходимо обеспечить сохранение параметров, влияющих на
физические условия трения, в тех же пределах, что и при нормальных усло-
виях эксплуатации. Так, например, для поддержания заданного температур-
ного режима в форсированных испытаниях используют охлаждение по-
верхностей трения.
Однако применение принципа учащения рабочих циклов требует экс-
периментального обоснования режимов ускоренных испытаний, чтобы ис-
ключить несопоставимые результаты.
Большинство изделий и их элементов в реальных условиях эксплуата-
ции подвержены воздействию определенного спектра случайных или пе-
Рис. 7.5. График усечения спектра нагрузок:
а - спектр нагрузок в эксплуатации; б - усеченный
спектр нагрузок; Т- наработка до отказа в
эксплуатации; - время одного цикла
испытаний с усеченным спектром нагрузок
риодически повто-
ряющихся нагрузок.
Точное воспроизве-
дение этого спектра
представляет значи-
тельные технические
трудности. Принцип
усечения спектра на-
грузок заключается в
отбрасывании опре-
деленной части на-
грузок, не оказы-
вающих заметного
повреждающего воз-
действия на объект
испытаний, что при-
водит к повышению
среднего уровня на-
грузок и, следова-
тельно, к более бы-
строму проявлению
предельного состоя-
ния или отказа
(рис. 7.5).
206
Частным случаем усечения спектра нагрузок является использование
из всего рабочего цикла, состоящего из пуска, установившегося режима и
останова, только двух элементов: пуска и останова. Целесообразность при-
менения этого принципа основана на свойствах некоторых механизмов со-
хранять высокую износостойкость при установившемся режиме, тогда как
во время пуска или останова наблюдаются нестационарные процессы, вы-
зывающие предельные нагрузки на элементы изделия, которые приводят к
значительному износу рабочих поверхностей. Исходя из предположения,
что установившийся режим не приводит к существенному износу, в испы-
таниях воспроизводят режимы пусков и остановов. Такие испытания дают
несколько завышенную оценку надежности, но в большинстве случаев она
вполне приемлема для практического использования.
Форсирование за счет пусков и остановов применяют при ускоренных
испытаниях изделий и их элементов, работающих в циклических режимах
эксплуатации.
Принцип доламывания предусматривает испытания изделия последова-
тельно на двух уровнях нагружения: нормальном и форсированном или на-
оборот. Этот принцип является достаточно универсальным принципом уско-
рения испытаний, применяемым при ресурсных испытаниях изделий и их
элементов (объектов испытаний) на прочность, усталость, изнашивание и т. п.
Принцип доламывания предполагает, что для оценки степени повреж-
дения объекта испытаний за время эксплуатационной наработки объект ис-
пытаний необходимо подвергнуть воздействию форсированного режима
нагружения и на этом режиме довести его до отказа или предельного со-
стояния, т. е. доломать. В результате доламывания объекта оценивают его
остаточный ресурс на форсированном режиме.
Остаточный ресурс — запас возможной наработки изделия, начиная с
некоторого момента контроля tk до отказа или перехода в предельное со-
стояние при установленных режимах применения и условиях эксплуатации.
Если Т - наработка изделия от начала работы до отказа или перехода в пре-
дельное состояние (полный ресурс), то остаточный ресурс
Ш=т-1к.
Степень повреждения объекта за время его эксплуатационной наработ-
ки оценивают путем сравнения полученного остаточного ресурса изделия
при форсированном режиме нагружения 7’рес( tk,R'} с полным ресурсом Т
нового (без предварительной эксплуатационной наработки) изделия того же
типа (рис. 7.6).
Если полный ресурс изделий при испытаниях на форсированном ре-
жиме нагружения ? (/?*) не известен, то несколько новых изделий из той же
партии необходимо испытать до отказа или предельного состояния на ре-
жиме R' и таким образом оценить средний ресурс изделий при форсиро-
ванной нагрузке, что не займет много времени при правильном выборе ко-
(ффициента форсирования нагрузки.
207
Пршщип экстраполяции по нагрузке заключается в проведении испы-
таний при уровнях нагружения, превышающих нормальный, и экстраполя-
ции полученной зависимости показателя надежности до эксплуатационного
Рис. 7.6. График испытаний по принципу доламывания:
Лнорм, 7? - уровни нормального и форсированного
нагружения; Я*) - остаточный ресурс при
форсированном нагружении с моментом отсчета Ц;
Znp - момент достижения отказа или предельного
состояния; Т- полный ресурс нового изделия
(нормального) уровня
нагружения. Для реа-
лизации этого прин-
ципа проводят испы-
тания п изделий при
уровнях нагружения,
превышающих нор-
мальный уровень, и по
полученным результа-
там методами матема-
тической статистики
рассчитывают функ-
циональную зависи-
мость показателя на-
дежности от уровня
нагружения.
Наиболее просто
такая задача решается,
когда имеет место ли-
нейная функциональная зависимость, так как при этом для оценки показате-
ля надежности достаточно проведения двух форсированных испытаний
(рис.7.7).
Вначале проводят испытания первого изделия до отказа при нагружении
/?’, а затем второго - при нагружении R',. По результатам испытаний нахо-
дят функциональную зависимость R = f(R) и путем экстраполяции рассчи-
тывают оценку показателя надежности 7^р при нормальных условиях.
Принцип запросов применяют при форсированных испытаниях изделий,
отказ которых связан с достижением предельного уровня некоторым контро-
лируемым выходным параметром (износ лимитирующего элемента, произ-
водительность, мощность и др.) при монотонном изменении уровня. Под из-
носом здесь понимается изменение значения любого параметра, характери-
зующего степень постепенной утраты испытуемым изделием надежности.
Износ отсчитывается от начала испытаний.
Форсированные испытания по принципу запросов предназначены для
ориентировочной оценки надежности испытываемого изделия до достиже-
ния им заданного предельного износа, соответствующего заданной нара-
ботке изделия в нормальном режиме.
Принцип запросов применяют для объектов со стационарным и неста-
ционарным изнашиванием в нормальном режиме. Наиболее эффективно
использование данного метода для нестационарного изнашивания, когда
интенсивность изнашивания (или скорость износа) зависит от величины на-
копленного износа.
208
При наличии информации о стационарности изнашивания объекта в
процессе эксплуатации целесообразнее использовать принципы сокращен-
пых испытаний (ус-
коренных испыта-
ний, не связанных с
форсированием ре-
жимов), например
принцип экстрапо-
ляции по времени.
Испытания по
принципу запросов
проводят при по-
следовательном сту-
пенчатом чередова-
нии нормального и
форсированного ре-
жимов нагружения.
В процессе испыта-
ний устанавливают
зависимость интен-
сивности изнашива-
ния в нормальном
режиме от величи-
ны накопленного
изделием износа.
Эта зависимость,
полученная по ре-
зультатам ступенча-
тых испытаний,
Рис. 7.7. Графики экстраполяции по нагрузке для
показателя надежности «Средняя наработка до отказа»:
Т- средняя наработка до отказа; Т" - оценка средней
наработки до отказа; R норм нагружение при нормальных
условиях; TR. и TR. - наработка до отказа
при нагружении Л," и R'2 соответственно
должна быть справедлива для процесса изнашивания в нормальном режиме
жсплуатации, т. е. в интервале от момента окончания приработки до накоп-
ления предельного износа. Ускоренное получение необходимого ряда уров-
ней накопленного износа обеспечивают испытаниями на ступенях с форси-
рованным режимом. Параметры нормального режима должны быть заданы
нормативно-технической документацией, отражающей требования к на-
дежности изделия.
Организация и проведение ускоренных испытаний могут быть пред-
ставлены следующими этапами:
-	исследовательскими испытаниями и построением базовой зависимости;
-	выбором испытательного режима для ускоренных испытаний;
-	планированием рабочих испытаний;
-	проведением рабочих испытаний;
-	обработкой результатов рабочих испытаний.
Анализ этого перечня показывает, что первые три этапа являются ос-
новополагающими, так как в серийном производстве именно они обеспечи-
III кныгаимс раке шых двигателей
209
вают многократное осуществление контрольных испытаний на двух по-
следних этапах. Поэтому при организации ускоренных испытаний на на-
дежность особое внимание уделяют процедурам, установленным тремя
первыми этапами. Рассмотрим их подробнее.
7.2.	Построение базовой зависимости
и выбор режима испытаний
Чаще всего ускоренные испытания реализуют, когда их проводят с
оценкой такого показателя надежности, как средняя наработка до отказа Тср.
Поэтому далее ускоренные испытания будем рассматривать применительно
именно к этому случаю.
Для проведения ускоренных испытаний необходимо знать функцио-
нальную зависимость исследуемого показателя надежности от величины
воздействующего фактора, которую называют базовой зависимостью. Чаще
всего такую зависимость получают экспериментально после проведения
специальных исследовательских испытаний. На основании известной базо-
вой зависимости назначают испытательный режим и определяют соответст-
вующий ему коэффициент ускорения испытаний.
Составляющая режима испытаний, изменение параметров которой по
сравнению с режимом нормальных испытаний приводит к интенсификации
процессов, вызывающих отказ или повреждение, называется форсирующим
фактором.
Обозначим через X влияющий на надежность изделия фактор, прини-
маемый в качестве форсирующего.
Главный принцип выбора величины форсирующего фактора X для уско-
ренных испытаний заключается в том, чтобы возбуждаемые при этом физи-
ческие процессы были теми же, что и при эксплуатации в нормальных усло-
виях. Это значит, что повышение значения влияющего фактора до величины
Ллредне должно приводить к изменению характера утраты работоспособности
и появлению видов отказов, отсутствующих при нормальных условиях.
Выбор величины форсирующего фактора требует предварительного
определения базовой зависимости Тср = <р(х), где Г - средняя наработка до
отказа; х — значения влияющего фактора.
Базовая зависимость будет получена, если совокупности значений т
влияющего фактора х1,х2,—,хн,...,хп,_л,хт сопоставить совокупность т зна-
чений средней наработки до отказа Г , Г ,..., Г Г ,Т , при этом
л	VP1 VP2 СР-Н1	* cPm-I cPm х
включение в совокупность значений влияющего фактора и показателя на-
дежности при нормальных условиях (Л'=хн, 7’ср=7’ ) является обязатель-
ным. Значения Т могут быть получены только после специальных испыта-
ний некоторой выборки п при соответствующих значениях х:. В силу слу-
чайности попадания изделий в выборку случайный характер носят и значе-
210
ния Тср . Следовательно, имеет место типичная задача проведения определи-
тельных испытаний на надежность, результатом которых является точечное
(Т'п) и интервальное (Г,>ГР) оценивание неизвестного показателя Гср
(см. пп. 4.2, 4.3). Для упрощения записи в обозначениях нижней и верхней
интервальных границ доверительного интервала индексы «н» и «в» приме-
нены на месте, где обычно располагают показатель степени, т. е. вверху.
Оптимальным для проведения таких определительных (специальных
исследовательских) испытаний является план [и, U, и] (табл. 7.1).
Таблица 7.1
Таблица значений наработок до отказа ttJ
Значения форси-	Номер испытываемого изделия (j = 1,2,..., п)				
рующего фактора х.	1	2		n - 1	n
	tu	^12		Zi("-0	
*2	Gi	<22			^2n
	z(»-i)i	Z(m-I)2		^(ю-1)(л-1)	
	t,	t			t
	"h				
Испытания по плану [и, (7, и] проводят при всех значениях х. (i = 1, 2,
..., m), и для каждого значения х,. вычисляют точечную оценку средней на-
работки выборочной совокупности объемом п, зафиксированной при значе-
ниях форсирующего фактора xt:
1 ”
т' = -Ул.
где ty (z = l, 2,	/ = 1,2,..., w) — случайные значения наработок. Напри-
мер, для значения форсирующего фактора х2 записывают
Гр2	(/21+/22+"+/2(n-l)+,2,J-
При нормальном распределении наработки до отказа при условии, что
величина среднего квадратического отклонения о известна априорно, ниж-
няя Г“р и верхняя Г’р границы доверительного интервала для значения фор-
сирующего фактора Xj с уровнем значимости а определяют по выражениям
гР, =к, +«.-а-г.
yjn	yjn
где — квантиль функции нормального распределения Ф0(г) и z = up
при соответствующей вероятности Р — (1 — а).
Если значение о неизвестно, а его точечную оценку о определяют из
выборочной совокупности. Тогда, используя квантиль распределения
211
Стьюдента t (s = n-1) при заданном уровне значимости а (см. табл. 2
приложения), находят
При экспоненциальном распределении наработки до отказа нижняя
Т“р и верхняя Т*р границы доверительного интервала будут
2пТ'	2пТ'
rj-iH _ Ср,-	утВ ______Ср,
“ х2(2и, 1-а) ’ ч’’ - X2(2и, а)'
Если последовательно соединить полученные точки \xt, Г р ) отрезками
прямых линий, то можно получить ломаную линию, характеризующую ба-
зовую зависимость Гср = ф(х). Однако пользоваться таким представлением
базовой зависимости на практике проблематично, поэтому выравнивание
экспериментальных базовых зависимостей выполняют для всей совокупно-
сти значений х, (/ = 1,2, ..., т). Полученное семейство точек (см. табл. 7.1)
подвергают визуальному анализу с целью оценки функции (графика) зави-
симости Т’р — <р(х). Наиболее приемлемой для планирования ускоренных
испытаний является линейная зависимость вида
Тч=ах + Ь-
Задача выравнивания экспериментальных базовых зависимостей, т. е.
нахождения уравнения прямой линии, проходящей с минимальным откло-
нением от экспериментальных точек, решают с помощью метода наимень-
ших квадратов:
Для упрощения записи совокупность значений Г*р (i = 1, 2,..., tri) обо-
значают через у,. Тогда формулы для расчета значений коэффициентов
уравнения прямой линии имеют вид
( tn \ f m	tn \	( tn Л( tn \	( tn	in \
Еад ~ Ел- Ел Ед EX г ^х,у>
О = -^1----> k±L 1 h = ^	) км-----Дм J
где m - количество точек в рассматриваемом участке аппроксимации, соот-
ветствующее числу значений форсирующего фактора.
Особо следует отметить, что вычисления по методу наименьших квад-
ратов необходимо выполнять с высокой точностью и сохранять все полу-
чаемые цифры, так как числители и знаменатели в этих выражениях пред-
ставляют собой малую разность двух больших чисел.
212
Рассеяние значений у\ = Г* относительно линии зависимости
у = Тср = ах + b оценивают средним квадратическим отклонением [18Jr
Величины доверительной вероятности у и относительной точности е„
принимают равными 0,80...0,95 и 0,05...0,20 соответственно. Для заданной
доверительной вероятности у по таблицам нормированного нормального
распределения Ф0(г)(см. табл. 1 приложения) определяют квантиль z . То-
гда условие соблюдения заданной доверительной вероятности при приня-
тии уравнения, представляющего базовую зависимость, имеет вид
Если такое условие не соблюдается, то линию базовой зависимости
представляют в виде последовательности прямолинейных отрезков либо
криволинейной функцией, например квадратическим уравнением
у — Т'р = ах2 +Ьх + с. Коэффициенты а, Ь, с этого уравнения определяют
по аналогии с линейной базовой зависимостью методом наименьших
квадратов.
По заданному значению относительной точности £0 вычисляют абсо-
лютное значение половины доверительного интервала £ = —£07’1.рн,
где 71 - средняя наработка до отказа в нормальных условиях. Тогда урав-
нения нижней и верхней доверительных границ для базовой зависимости
(рис. 7.8) будут иметь вид
К" = уи=ах + Ь-Е,
Тр=ув=ах + Ь + е.
Зависимости у = ах + Ь и
у = ах2 +Ьх + с с доверитель-
ными границами ун и ув
представляют функцию базо-
вой зависимости Гср = ф(х).
Эти зависимости могут быть
использованы при планиро-
вании ускоренных испыта-
ний на надежность.
Следует иметь в виду,
что для различных форси-
Рис. 7.8. График базовой зависимости нижней
и верхней доверительных 1раниц
213
рующих факторов при рассмотрении одного испытываемого изделия базо-
вые зависимости Т*р = <Pi(*i), Т’р = <р2(*2), Т'р = Ф«(Л«) могут значительно
различаться как по виду, так и по уровню связи. Тогда методы организации
ускоренных испытаний отличаются достаточной сложностью, и их изуче-
ние выходит за рамки данного курса.
Рассмотрим теоретические основы планирования для однофакторного
случая.
7.3.	Планирование испытаний и обработка их результатов
После построения функции Гср = <р(т), представляющей базовую зави-
симость Т =ф(л), и доверительных границ Т’“ и Гр‘, а также назначения
ускоряющего фактора Xпроизводят планирование рабочих ускоренных ис-
пытаний, целью которых является проверка фактического уровня надежно-
сти установленным требованиям.
Испытания проводят по методу однократной выборки по правилам, ус-
тановленным критерием Неймана - Пирсона. Этот критерий позволяет при
заданных нормальном Тй и минимально допустимом То| уровнях средней
наработки до отказа установить необходимый объем выборки п и приемоч-
ный норматив для нормальных условий Т.
Приемочный норматив Гпр пересчитывают для режима ускоренных ис-
пытаний. Полученную при испытаниях выборки п точечную оценку сред-
ней наработки 7^ сравнивают с приемочным нормативом для ускорен-
ных испытаний Т и принимают одну из следующих гипотез:
-	гипотезу Но: надежность партии соответствует требованиям
(7ф - Т’о), если имеет место неравенство г;₽уск> Гпруск;
-	гипотезу Н01: надежность партии не соответствует требованиям
(Гф STo,), если 7^уи< Т^уск.
Дополнительно отметим, что величина Т’р является функцией от
влияющего фактора, а Г*руск - точечной оценкой средней наработки, рас-
считанной по результатам ускоренных испытаний.
В соответствии с выбранной гипотезой партию изделий принимают
или бракуют, причем вероятности ошибок первого и второго рода не пре-
восходят заданных величин а и 0. Таким образом, задачей планирования
ускоренных испытаний является определение коэффициента ускорения К и
приемочного норматива Т ,.
Объем выборки и и приемочный норматив Тпр для нормальных усло-
вий находят путем решения системы уравнений, составленной согласно ви-
ду распределения случайной наработки Т.
214
При экспоненциальном распределении решение данной системы урав-
нений будет следующим:
Гпр=^Х2(2и,а)=^хШ1-₽),
2и
То =х2(2и,1-Р)
Г01	Х2(2л,сс)
Уравнения в этой системе имеют неизвестные аргументы п и Тпр.
При нормальном распределении, если заранее известна величина сред-
него квадратического отклонения о, приемочный норматив определяют по
уравнению вида
Т — 'Г	0	т	°
— То	I--Г01	j- ,
>jn	УИ
а объем выборки - по уравнению вида
(Wl-а —
П = ------Е--- ,
Т — Т
L о 'oi J
где ц_а и к» — квантили функции нормального распределения Ф0(г) и
z = ир при соответствующей вероятности />=(1-а)и/’ = р.
Полученные выше уравнения представляют систему уравнений, реше-
ние которой позволяет вычислить величину приемочного норматива Глр и
объем выборки и.
На практике значение о при планировании испытаний в большинстве
случаев бывает неизвестно. Тогда использование системы уравнений воз-
можно при замене квантилей нормального распределения ир квантилями
распределения Стьюдента tp(s) той же вероятности Р с числом степеней
свободы $ - п - 1, а неизвестной величины с - ее выборочной оценкой о*.
Переход к распределению Стьюдента за счет параметра 5 позволяет
учесть случайные рассеяния выборочной величины с и получить следую-
щие уравнения для планирования испытаний:
= Т0~ '-<,(«-1)4= = Го, -	~
yjn	\]п
['-°(п~1)-/р(п~1)]а‘ 2
То ~ ^01
где /|_а(и-1) и /р(и —1)— квантили Стьюдента для вероятностей с числом
степеней свободы (и - 1) соответственно (см. табл. 2 приложения).
215
Эти уравнения образуют систему трех уравнений с тремя неизвестны-
ми п, Тпр, О*, причем G* оценивается только по результатам испытаний. По-
этому планирование и сами испытания образуют единый процесс.
Если бы базовая зависимость являлась абсолютно достоверной функ-
цией, то планирование ускоренных контрольных испытаний осуществля-
лось бы простым пересчетом приемочного норматива Гпр, найденного для
нормальных условий, в норматив для ускоренных испытаний по формуле
^’пр.УСК=
где К„ - принятый коэффициент ускорения испытаний.
Однако базовая зависимость определена по ограниченному числу экс-
периментов и с доверительной вероятностью у лежит в пределах Г*“ = уи и
Т'* = ув. Следовательно, описанная выше процедура нахождения 7"npyCK пу-
тем простого пересчета приведет к нарушению условий по заданным значе-
ний а и Р из-за реальной недостоверности базовой зависимости у = Тср= <р(х)
и коэффициента ускорения Кп.
Если истинное значение К велико, то в испытательном режиме средняя
наработка будет существенно уменьшаться по сравнению с режимом нор-
мальных условий и значение 7^р окажется заниженным, что будет способ-
ствовать выполнению условия браковки Г* < Тпр уск. Если же истинное зна-
чение К мало, то тогда приемка партии будет более вероятна при условии
7^> Гпруск. В первом случае увеличивается вероятность ошибки первого
рода, а во втором случае - ошибки второго рода.
Обозначим через а0 и Ро такие значения рисков изготовителя и заказ-
чика, которые определяют приемочный норматив Гпруск для абсолютно дос-
товерного значения К. В силу случайности базовой зависимости значения
коэффициента ускорения с доверительной вероятностью ук будут находить-
ся в доверительном интервале
ук=Вер(Кк<К <КВ),
при двухстороннем симметричном интервале
(l-Yj/2 = Bep(tf</Q= Bep(tf>/Q.
С учетом условий приемки и браковки и назначенного доверительного
интервала коэффициента ускорения с доверительной вероятностью ук при-
нятые для оценки результатов ускоренных испытаний риски изготовителя и
заказчика [10] будут
1 + Yk	1 + Yk
Поскольку а0 и Ро могут быть только положительными, то, в отличие
от испытаний в нормальных условиях, при испытаниях ускоренным мето-
216
дом могут быть обеспечены не любые заданные значения ос и Р, а только
те из них, которые соответствуют неравенствам
Р > * -у или ук > 1 - 2 Р, а > - или ук > 1- 2 а.
Коэффициент ускорения К и границы доверительного интервала К„ и
/<„ с доверительной вероятностью ук назначают исходя из технической и
экономической целесообразности. Тогда нормальный уровень для ускорен-
ных испытаний будет TUyCK = ТО/КЯ, а минимально допустимый уровень -
Л)1уск
Подставляя полученные значения осо, Ро, ТВуа1, Т01уск в системы уравне-
ний для определения объема выборки п и приемочного норматива Тпр,
рассчитывают значение Гпруск.
Для экспоненциального закона распределения такая система уравнений
имеет вид
т	т
=	(2и,1-р),
/<2и	К 2п
(7.1)
ТОКН _Х2(2и,1-р)
Х2(2п, а) '
Решение этой системы выполняют аналогично п. 6.2 (см. пример 6.4).
Сначала вычисляют левую часть второго уравнения системы (7.1) по
известным значениям Го и Т01. Затем по таблице распределения /2
(см. табл. 4 приложения) подбирают число степеней свободы s = 2п, при
котором правая часть уравнения наиболее близка к левой, и определяют
объем выборки п. Далее по первому уравнению системы (7.1) находят
приемочный норматив Г к.
Ускоренные рабочие испытания проводят при выбранном коэффици-
енте ускорения К, подвергая им выборку и. Все изделия испытывают до от-
каза, фиксируя наработки каждого экземпляра (/ = 1,2, ..., и), после чего
вычисляют выборочную оценку средней наработки до отказа:
1 "
Т* =-Уг.
сР-Уск „ L-l J
п j=\
Выбор гипотез Нв и НВ1 (и, соответственно, приемку или браковку
партии) производят проверкой следующих неравенств:
-	если Г*руск > Tnpyat, то принимают гипотезу Но;
-	“ли Т‘сруа<Тпруск, то принимают гипотезу Яо|.
Для случая когда изделие работает в заданном временном интервале
(О, /) в нормальном режиме R, а испытывают его в форсированном режиме
/?’ на меньшем интервале (0, т) < (0, I) с коэффициентом KR= R'/R, и если
217
по результатам ускоренных испытаний на интервале (0, т) найдена нижняя
граница для вероятности безотказной работы А’), то для пересчета к
нормальным условиям (/, R) используют формулу [19]
«)=[<(’• я-)]"",
где г/т>1.
Нижнюю границу вероятности безотказной работы P*(x,R*,y) с дове-
рительной вероятностью у по результатам испытаний находят по соотно-
шению
Р’(т, 7?*,у) = (1-от/и)(]-у)1/<п "°,
где тип- числа отказов и испытанных изделий соответственно; у - дове-
рительная вероятность.
Рассмотрим пример.
Пример 7.1. В процессе форсированных испытаний п = 100 изделий с
коэффициентом KR =1,5 в момент времени т = 50 ч было зафиксировано
т - 10 отказов. В нормальных условиях изделие должно работать безотказ-
но в течение t = 150 ч. Определить нижнюю границу вероязности безотказ-
ной работы с доверительной вероятностью у= 0,9 в форсированном режиме
и произвести перерасчет для вероятности безотказной работы в нормальных
условиях.
Решение. Найдем нижнюю границу вероятности безотказной ра-
боты с доверительной вероятностью у = 0,9:
Рн’(т, R', y) = (l-w/n)(l-y)l/(""",=(l-10/100)(l-0,9)l/(IO°'IO) =0,876 6.
Нижняя граница для вероятности безотказной работы в нормальных
условиях
рп [t, R, у) = [/],’(т, R', у)] "к"'= 0,876 6,50/(1>50) = 0,768 4.
Таким образом, планирование ускоренных испытаний на надежность
имеет принципиальное значение при их организации и проведении, что в
конечном счете позволяет сократить объем и продолжительность этих ис-
пытаний за счет коэффициента ускорения.
***
Описанные выше методы и условия проведения ускоренных испыта-
ний таковы, что обеспечивают получение необходимой и достаточной ин-
формации для принятия решения об уровне надежности изделия в более ко-
роткий срок по сравнению со временем, соответствующим определенному
уровню показателей надежности.
218
Контрольные вопросы
1.	Какие испытания называют ускоренными?
2.	Какова сущность сокращенных и форсированных испытаний?
3.	Что характеризует коэффициент ускорения?
4.	Что называют форсирующим фактором?
5.	Пй каким принципам классифицируют ускоренные испытания?
6.	Какова сущность экстраполяции по времени?
7.	В чем заключается усечение спектра нагрузок?
8.	В чем заключается принцип учащения рабочих циклов?
9.	В чем состоит принцип доламывания при проведении ускоренных
испытаний?
10.	Что называют базовой зависимостью?
11.	В чем заключается принцип построения базовой зависимости?
12.	По каким правилам планируют ускоренные испытания?
13.	Каковы условия приемки и браковки при ускоренных испытаниях?
14.	Каким образом планируют ускоренные испытания при неизвестном
значении среднего квадратического отклонения?
Глава восьмая
Надежность ^восстанавливаемых
элементов
Невосстанавливаемым элементом называют такой объект, эксплуатацию
которого после работы до первого отказа прекращают, так как восстановление
его работоспособность в условиях эксплуатации невозможно. Типичным
представителем элементов такого класса является ракетный двигатель.
Для решения задач по оценке надежности и прогнозированию работоспо-
собности элемента необходимо иметь математическую модель, которая пред-
ставлена аналитическими выражениями одного из показателей: вероятности
безотказной работы P(Z), плотности распределения отказов /(/) или ин тенсив-
ности отказов Х(/), где / - время наработки элемента. Вид аналитической
функции, описывающий изменение показателей надежности P(f), f(f) или ).(?),
определяет закон распределения случайной величины, который выбирается в
зависимости от свойств объекта, его условий работы и характера отказов.
Многочисленные опытные и статистические данные показывают, что
для многих элементов функция X(Z) может быть изображена следующим
образом (рис. 8.1).
Кривую интенсивности отказов X(Z) в теории надежности называют
^характеристикой. В соответствии с этой кривой время эксплуатации (ис-
эксплуатации: I- период приработки; II-период нормальной
эксплуатации; III - период постепенных отказов
пытания) можно
условно разбить
на три периода:
— первый
период (О, zt) -
период прира-
ботки — характе-
ризуется некото-
рым повышени-
ем интенсивно-
сти отказов с по-
следующим сни-
жением. Это свя-
зано с приработкой элемента, когда проявляются случайные дефекты: тех-
нологические, производственные, эксплуатационные и др.;
— второй период (Zb Z2) при X = const - период нормальной эксплуата-
ции элемента. В этот период возникают внезапные отказы;
- третий период (Z > /г) — период постепенных отказов — характеризу-
ется повышением их интенсивности. Здесь начинает проявляться процесс
износа в самом широком смысле.
Рассмотрим эти периоды более подробно.
220
8.1.	Надежность элементов в период приработки
В первый период - период приработки - имеют место отказы, вызван-
ные двумя причинами: проявлением случайных дефектов составляющих
элементов (деталей, комплектующих и др.) и неблагоприятным сочетанием
случайных внутренних и внешних факторов. Отказы, вызванные первой
причиной, распределены по закону с плотностью/1(0, второй причиной - по
закону с плотностью/(/).
Таким образом, в первый период распределение отказов является су-
перпозицией двух законов распределения:
Л)=/(0+/2(0-
Вероятность безотказной работы элемента в этот период равна произ-
ведению вероятностей отсутствия указанных выше отказов:
Р(/) = Р1(0-Л(0,
где Pi(Z) и P2(Z) - вероятности безотказной работы с плотностями f\(t) и/(Z)
соответственно.
Если принять оба закона распределения экспоненциальными, то плот-
ность распределения отказов в период приработки будет
fit) = CiXjexp (-fit) + с2Х2ехр (-X2Z),
вероятность безотказной работы -
P(t) = щехр (—XjZ) + с2ехр (-X2Z).
средняя наработка до отказа -
Гср= °]p(t)dt=
где ci, с2 - коэффициенты суперпозиции законов распределения.
Если имеется щ изделий с плотностью ffit) и и2 изделий с плотностью
/2(Z), то эти коэффициенты будут иметь следующие значения:
и,	и,
С, =--1-, с2 =------ ПрИС1+С2=1.
И) + пг и, + п2
Поведение интенсивности отказов X(Z) в период приработки зависит от
соотношением величин сьс2, Xi и Х2. Очевидно, что если Xi Х2, то функция
X(Z) будет монотонно убывающей. Установить же функциональную зависи-
мость X(Z) от ci,c2, Х]И Х2 аналитически не представляется возможным. Та-
кую зависимость определяют статистическим методом.
На практике также имеет место сочетание распределений отказов в пе-
риод приработки по экспоненциальному и нормальному законам.
Поступающие на испытания изделия состоят из двух групп: изделий
высокого качества и изделий низкого качества. В общем случае изделий
низкого качества гораздо меньше, чем высокого. Это соотношение зависит
от заданного уровня качества выпускаемой продукции. Поэтому, принимая,
что отказы, вызванные неблагоприятным сочетанием случайных внутрен-
них и внешних факторов (изделия высокого качества), распределены по за-
221
кону с плотностью/^/) и определяются коэффициентом ci, можно записать
условие суперпозиции: q » с(. Коэффициент с, обычно меньше или равен
0,005, а при производстве ракетных двигателей он значительно меньше.
Изделиям низкого качества присущи производственные дефекты, ко-
торые невозможно выявить обычными методами контроля, т. е. без прове-
дения испытаний. Естественно, что у таких изделий интенсивность отказов
Л|(/) гораздо выше и их число в процессе испытаний п = пх+п2 изделий
убывает быстрее. Так, например, при С| = 0,01 и Xi = 0,02 ч-1уже после 50 ч
наработки все изделия низкого качества откажут.
Таким образом, можно сделать вывод, что повышение надежности
элементов изделий в период приработки и сокращение этого периода явля-
ется важнейшей задачей их производителей. Одним из методов повышения
надежности изделий в эксплуатации может быть включение в технологиче-
ский процесс их изготовления операции приработки, так как именно в этот
период случайные дефекты проявляются особенно быстро.
8.2.	Надежность элементов в период нормальной
эксплуатации
В период нормальной эксплуатации надежность элемента характеризу-
ется внезапными отказами. Эти отказы вызваны неблагоприятным сочета-
нием многих факторов и поэтому имеют постоянную интенсивность, кото-
рая не зависит от наработки элемента:
Х(/) = X = const,
где X = 1/Г здесь Т - средняя наработка до отказа.
Внезапный отказ возникает
Рис. 8.2. Схема возникновения отка-
за: U- степень повреждения элемен-
та; t - текущее время; UB.„. - допус-
тимое предельное значение
через некоторый промежуток времени t,
который является случайной величиной.
Вероятность возникновения этого отказа
Q(f) в течение заданного периода вре-
мени от /0 до tt не зависит от длительно-
сти предыдущей работы элемента. Поте-
ря работоспособности при этом проис-
ходит внезапно, без предшествующих
симптомов разрушения (рис. 8.2).
Скорость распространения повреж-
дения у можно выразить через производ-
ную:
y=dU!dt,
где U - степень повреждения элемента.
При внезапном отказе у —> <*>. Случайная величина t здесь подчиняется
закону распределения
222
/(Z) = Xexp(-Xz),
зависящему не от состояния изделия, а от уровня внешних воздействий.
Вероятность распределения внезапного отказа, как правило, оценивают
по интенсивности отказов X*, рассчитанной на основании результатов ис-
пытаний или эксплуатации.
Чтобы найти значения плотности распределения f(t), вероятности без-
отказной работы P(f) и вероятности отказа Q(f) при X(Z) = f(t}l P(t) и с
учетом того, что Q(t) = \—P(t) и f(t) — -(dPldt), достаточно знать значе-
ние интенсивности отказов X(z).
Внезапные отказы наиболее приемлемым образом описывают экспо-
( f	1
ненциальным законом распределения, для которого P(Z) = exp<j —jX(Z)t/zj>.
I о	J
Принимая X = const, получают формулы для расчета показателей надежно-
сти при внезапных отказах элемента:
-	вероятности безотказной работы: P(Z) =exp(-Xz);
-	вероятности отказа: Q(t) = 1 - P(t) -1 - exp(-Xz);
-	плотности распределения отказов: f(f) = -	~ Xexp(-Xz);
= ^P(t)dt = °je^dt =^-, тогда
о	о
— средней наработки до отказа: Тср
Х = —.
Т
ср
Если, как обычно, Хг <0,1, то формулу для вероятности безотказной
работы упрощают в результате разложения в ряд и отбрасывания малых
членов:
2!	3!	Т
ср
Для обеспечения высоких значений вероятностей безотказной работы
(0,99 и более) необходимо, чтобы дробь — имела величину 0,01 и менее.
Отсюда следует, что для достижения требуемых значений вероятностей
безотказной работы (0,99 и более) можно использовать только малую долю
средней наработки до отказа.
Рассматривая зависимость P(f) — /(Z)/X(t) и учитывая, что в интервале
нормальной эксплуатации величина Xz принимает значения близкие к ну-
лю, записывают выражение для вероятности безотказной работы:
P(z)=^ = l-Xz.
Х(/)
223
При А,Г = О получают равенство /(Z) = A(Z), которое при А = const при-
водит к закону равномерного распределения /(/) = const. Таким образом,
можно сделать вывод, что внезапные отказы, когда они являются весьма
редкими событиями, т. е. при очень высоких значениях вероятности безот-
казной работы, описываются законом равномерного распределения.
Если работа элемента происходит на разных режимах и, следовательно,
при интенсивностях отказов А., (за время Z,) и А2 (за время /2), то
P(t) = P(ti)P(t2)= ехр[—(A.,z, + A2Z2)] •
Для определения по результатам испытаний оценки интенсивности от-
казов А оценивают среднюю наработку до отказа
где N-общее число испытаний. Тогда А = 1 / Т .
Используя экспоненциальный закон распределения, проявляющийся в
период нормальной эксплуатации, можно определить среднее число эле-
ментов д, которые откажут к заданному моменту времени, и среднее число
элементов Np, которые останутся работоспособными. При Az < 0,1
n = 7VAz, N^NQ-ht).
При этом принимают, что рассматриваемые элементы имеют одинако-
вую надежность: А, = А2 =... = kN — А.
Очевидно, что чем меньше значение величины Az, тем более достовер-
но будут определены п и Np.
Рассмотрим примеры, поясняющие методику расчета показателей на-
дежности элементов в период нормальной эксплуатации.
Пример 8.1. Найти вероятность того, что агрегат откажет в интервале
(0, 140) ч, если вероятность отказа агрегата на эксплуатационном режиме
распределена по экспоненциальному закону f (Z) = 0,000 5е“° 0005' при t > 0.
Решение. Воспользуемся формулой /?(а<л'<Р) = е	опре-
деляющей вероятность попадания случайной величины х в интервал (а, Р).
Учитывая, что по условию примера а = 0, р = 140 ч, А = 0,000 5 ч , по-
лучим
Q(0 < Т < 140) = е-°’000^ - еч,-°005140 = 1 - е-О’07 = 1 - 0,932 4 = 0,067 6.
Пример 8.2. Для заданных в примере 8.1 условий определить среднюю
наработку до отказа.
Решение. Для экспоненциального закона среднюю наработку до от-
каза определяем по формуле Г = 1 / А. Тогда для заданных исходных данных
уср =1/0,000 5 = 2 000 ч.
224
Пример 8.3. При проведении серии испытаний двигателя установлено,
что средняя наработка до отказа составляет 1 000 ч. При каком значении t
вероятность отказа не будет превышать 0,01?
Решение. Вариант 1. Исходя из зависимости X = 1/Тср, определим
Х = 1/1 000 = 0,001 ч~*.
Запишем заданные границы интервала работы двигателя: а = 0, р = t.
Тогда с учетом формулы, приведенной в примере 8.1,
2(0 < 7 </) = 1-е-0’001'=0,01.
Решаем уравнение е-0,001' =0,99 относительно t. Получим окончатель-
ный результат t — 10 ч.
Вариант 2. При относительно больших значениях вероятности безот-
казной работы P(t) = 1 - X/ и Q(t) = X/.
Определяя значение Х = 1/Г|:р =1/1000 = 0,001 ч-1, получим Q(t) =
= 0,001/ = 0,01, тогда t= 10 ч.
Пример 8.4. Определить вероятность безотказной работы элементов в
период нормальной эксплуатации в течение срока средней наработки до от-
каза t = Tv.
Решение. Воспользуемся формулой P(t) = е~ь, в которую подста-
вим значения / = Гсри X = 1 /Гср. Получим Р(Гср) = е-1 =0,37. Это значит, что
при внезапных одинаковых (равнонадежных) элементов отказах после ра-
боты в течение t = Тср 63 % из них откажут и только 37 % останутся работо-
способными.
Пример 8.5. Требуется оценить вероятность отсутствия внезапных от-
казов агрегата P(f) в течение t = 10 000 ч, если интенсивность отказов
Х = 10’7 ч’1.
Решение. Так как X/ =Ю“7  104 = 10 3 < 0,1, то воспользуемся прибли-
женной зависимостью P(t) = 1 -X/ = 1-10~3 = 0,999. Таким образом, при дан-
ном уровне надежности из 1 000 элементов в течение 10 000 ч откажет только
один элемент. Такой же результат можно получить, определяя среднее число
шементов и, которые откажут к заданному моменту времени, по формуле
« = АЛ/= 1000 1 0 7 1 04 = 1.
Пример 8.6. При отработке некоторого элемента установлена средняя
наработка до отказа Т^= 2 • 108 с. Определить вероятность безотказной ра-
боты элемента в интервале времени до 107 с.
Решение. Вариант 1. Выразим случайную величину - наработку
до отказа - в виде экспоненциального закона, при котором вероятность без-
отказной работы P(t) = е". Определим интенсивность отказов:
I S Испытание ракетных двигателей
225
Х = 1/7^ =1/2-IO8 =0,5-IO"8 c’1.
Искомая величина P(t) = е~ь - е-°>10-810’ = 0,9512.
Вариант 2. Внезапные отказы, которые являются весьма редкими со-
бытиями, когда значение вероятности безотказной работы близко к едини-
це: P(t) -1, можно описывать законом равномерного распределения.
Выразим случайную величину — наработку до отказа — по закону рав-
номерной плотности /(/) = Х(/) = const. Для закона равномерной плотности
функция распределения случайной величины Т в интервале {а, Ь)
= -а)/(Ь-а). При заданных в примере условиях а = 0, b = Т функ-
ция распределения отказов Q(t) =t/Т =Xt, а вероятность безотказной ра-
боты Р(/) = 1 —X/. Как и при варианте 1, определим интенсивность отказов
Х = 1/7’ср =1/2-108 =0,5-10“8 с-1.
Тогда Р(/) = I - 0,5 • 10-8  107 = 0,950 0. Полученная разница результатов
расчетов по обоим методам: 0,951 2 - 0,950 0 = 0,001 2 - составляет 0,125 % от
номинальной величины, что вполне приемлемо для данного типа расчетов.
Часто на практике для оценки надежности некоторых изделий в период
нормальной эксплуатации используют экспоненциальное распределение
интенсивности отказов даже при его отсутствии. Это допустимо, если рас-
сматривать некоторый отдельный небольшой интервал времени, принимая
осредненное значение интенсивности отказов. Однако в этом случае может
быть допущена ошибка при расчете средней переработки до отказа по фор-
муле Тср = 1 /X. Если, например, X = 1(Г6ч ’, то Tcf =10“6ч«100 лет, что яв-
ляется противоестественным. В таких условиях необходимо считаться с
процессами старения и физического износа.
8.3.	Надежность элементов в период постепенных отказов
Выявление момента начала старения элемента имеет большое значение
в практике отработки конструкций, так как оно дает возможность назначать
ресурс работы элемента с максимальной безотказностью.
Постепенные отказы возникают в результате протекания того или ино-
го процесса старения, износа, коррозии и т. д. Физическая картина этих де-
фектов общеизвестна. Отметим только, что в отличие от внезапных отказов,
присущих периоду нормальной эксплуатации, на участке старения отказы
являются постепенными. Такие отказы часто называют износовыми.
Основным признаком постепенного отказа является то, что вероят-
ность его возникновения Q(t) в заданный интервал времени от t0 до 0+Д/)
зависит от длительности предыдущей работы элемента /0: чем дольше ра-
ботал элемент до начала рассматриваемого интервала, тем выше веро-
ятность его отказа.
226
Постепенные отказы имеют неравномерный характер распределения.
Вначале они обладают низкой плотностью распределения, затем эта плот-
ность повышается до максимума и далее падает, что связано с уменьшени-
ем числа работоспособных элементов. Постепенные отказы зависят от
большого числа случайных факторов, причем невозможно указать, какой из
них влияет на постепенный отказ значительнее.
В связи с этим для описания надежности в период постепенных отка-
зов наиболее универсальным, удобным и широко применяемым является
нормальный закон распределения, плотность распределения для которого
имеет вид
„ ч	1
Л0 = 7х=ехР1
a,V2n
где о, - среднее квадратическое отклонение наработки до отказа; Тср - сред-
няя наработка (математическое ожидание наработки) до отказа.
Графически плотность распределения выражают кривой Гаусса
(рис, 8.3, 8.4).
Рис. 8.3. Кривая плотности
распределения
Рис. 8.4. Кривая вероятности
безотказной работы
По результатам испытаний No элементов оценивают среднюю нара-
ботку до отказа
и среднее квадратическое отклонение наработки до отказа
1	э
—У	2.
Тогда плотность распределения постепенных отказов в статистической
форме будет
/(/)= ;^ехр
о, <2 л
2о;
227
Функция Лапласа с пределами интегрирования в интервале реального
времени наработки до отказа t > 0 имеет вид
фо(2) = 4= fexP(-4)Jz ’
у 2 л Q	2
где z = (/ — 7’ср)/о, - квантиль нормированного нормального распределения.
Учитывая, что значение функции Лапласа Фо(я = 0) = 0,5 (см. табл. 1
приложения), получают формулы для расчета вероятностей отказа и безот-
казной работы:
(t-T	(t-Т
2(/) = 0,5+Фо ---, Р(/) = 0,5-Фо ------— .
( О, J	k °z 7
Отметим, что для принятого вида функции Лапласа справедливы свой-
ства
Фо(г) = Ф(г)-0,5, Фо(—z) = -Ф0(г).
Кроме того, для постепенных отказов при t = Тср имеет место равенство
Р(О=2(0 = 0,5.
В практике вероятностных расчетов используют и другие виды функ-
ции Лапласа.
По приведенным выше формулам расчета вероятностей отказа и безот-
казной работы следует, что для обеспечения достаточно высоких значений
вероятностей безотказной работы (P(f) > 0,5) квантиль нормального норми-
рованного распределения должен быть отрицательной величиной, а значе-
ния наработки до отказа - долей средней наработки до отказа при t < TCf.
В течение наработки элемента некоторый парамегр У, характеризую-
щий работоспособность элемента условием У < Y^, изменяется от началь-
ного значения Yo до предельного Утах. Уравнение, определяющее изменение
параметра У во времени, можно представить в виде
У= V V,
где - начальное значение параметра (случайная величина); у,- скорость
протекания процесса износа (случайная величина), которая зависит от
большого числа случайных факторов. Тогда предельное значение параметра
будет
где Т - наработка до отказа, т. е. момент, в который элемент теряет работо-
способность.
Если случайные величины Уо и у, подчинены нормальному закону, то
и параметр У как композиция законов распределения также будет распреде-
лен по нормальному закону. Числовые характеристики случайных величин
У, Yo и у, записывают следующим образом:
228
-	ту, ту,т.. - математические ожидания величин У, YB и у, соответст-
венно;
-	су, о0, о7 - средние квадратические отклонения этих величин.
Принимая, что распределение случайной величины Y — это композиция
законов распределений случайных величин Уо и у,, значения числовых ха-
рактеристик параметра У представляют уравнениями
ту=ту.+т^> <\ = V°0+</2-
При формировании постепенного отказа в момент времени t = Т пло-
щадь, ограниченная кривой /(У) и расположенная выше значения Y=Ymm,
выражает вероятность события У >^пах (рис. 8.5). Исходя из условия рабо-
тоспособности элемента по параметру У, неравенство У >УП1ах соответствует
ситуации отказа элемента. Тогда вероятность отказа по параметру У опре-
деляют по функции 2(У) = 0,5 - Ф0(У), а надежность элемента будет
Рис. 8.5. Схема формирования постепенного отказа
Необходимо подчеркнуть, что плотность распределения f (У) представ-
ляет плотность распределения значений параметра У, а не отказов, как рас-
сматривалось выше, поэтому в уравнении применен знак плюс, а не минус.
Практическое применение изложенных выше теоретических основ рас-
чета показателей надежности элементов в период постепенных отказов
рассмотрим на следующих примерах.
Пример 8.7. Оценить вероятность безотказной работы энергетической
установки в течение t = 1,5 -104ч, если ее рабочий ресурс подчиняется нор-
мальному закону распределения с параметрами 7’ср= 4,6 -104ч и о, = 104ч.
Решение. Находим квантиль
t-m. 1,5104 - 4,6 104
и — 3,1.
о,	104
229
По табл. 1 приложения определим значение функции:
Ф(-3,1) = 1 - Ф(3,1) = 1 - 0,999 0 = 0,0010,
фо (-3,1) = ф(-3,1) - 0,5 = - 0,499 0.
Тогда P(t) = 0,5 - Фо (-3,1) = 0,999 0.
Пример 8.8. Оценить 80 %-й ресурс />=08 двигателя автомобиля, если
известно, что его работоспособность ограничена по износу, ресурс подчиня-
ется нормальному распределению с параметрами Тср = 104 ч и о, = 6 - 103 ч.
Решение. В практике часто встречается задача определения нара-
ботки, соответствующей заданной вероятности безотказной работы. Значе-
ния этой наработки определяют с помощью квантилей нормированного
нормального распределения z (см. табл. 1 приложения).
С t _ - т А
Используем выражение /’(/) = 0,5 — Фо -----— = 0,8, по которому
• I °, J
следует
= -0,3 или Ф(г) = Фо(г) + О,5 = О,2,
Ф(—z) = l —Ф(г) = 0,8.
По табл. 1 приложения для Фо(-.?) =-0,8 находим z = -0,842.
По равенству z —	~ -0,842 определим
/у=08 = Тср + ZG, = 104 - 0,842  6  103 = 4 950 ч.
Пример 8.9. При испытании агрегата установлено, что наработка на отказ
Траспределена по нормальному закону с параметрами Гср= 12 ч и о,= 0,8 ч.
Найти вероятность безотказной работы агрегата в пределах не более 1= 10 ч.
Решение. Вероятность безотказной работы агрегата определим по
формуле
(t-T
Р(/) = О,5-Фо --2- .
( О, J
По заданным значениям получим:
/-Гср Ю-12
z =------ =------= —2,5.
а, 0,8
По табл. 1 приложения находим значение функции Ф(2,5) = 0,993 8.
Тогдасучетом Фо(-2,5) = 0,5-Ф(2,5) получим
P(t) = 0,5 - Фо (-2,5) = 0,5 + 0,493 8 = 0,993 8.
Пример 8.10. Проведена серия испытаний партии изделий, при кото-
рых контролировался параметр У. Установлено, что он распределен по нор-
230
мальному закону с математическим ожиданием, равным 100 единицам.
Фактические значения параметра У при испытаниях были зафиксированы в
пределах от 82 до 118 единиц. Найти вероятность того, что параметр изде-
лия, принадлежащего этой партии, будет: а) больше 105 единиц; б) меньше
90 единиц.
Решение. Так как все значения параметра У лежат в интервале от
82 до 118 единиц, то можно записать равенство
Р(82<У<118) = 1.
Исходя из требований к уровню достоверности решения, выбираем од-
но из возможных условий:
-	Утах - Утт= 6оу- вероятность попадания в интервал ±3о равна
0,997 2;
-	Упах - Упт= 8оу- вероятность попадания в интервал ±4о равна
0,999 95;
-	Утах - Утт = Юо - вероятность попадания в интервал ±5о равна
0,999 999.
118 — 82
Принимаем условие Утах - ymin = Юо^,, тогда	=——— = 3,6.
Рассматривая симметричное распределение параметра У относительно
среднего значения, находим
Т _ ^nin + ^max _ g2 + 118 _ j QQ q
cp 2	2
Расчет вероятностей проводим по формуле
Р(а < У < Р) = Фо
Получим следующие ответы:
а)	вероятность того, что значение параметра будет больше 105 единиц,
Р(1О5<У<118) = Фо| 118-100 |-ф Г 105-100 | = 0,999 999-0,917 7 = 0,082 3;
А 3,6 )	\ 3,6 J
б)	вероятность того, что значение параметра будет меньше 90 единиц,
Р(82 < У < 90) = Фо | 90 ~100 | - Ф„ [ 82-100 ] = -0,997 3 - 0,999 999 = 0,002 7.
3,6 )	3,6 )
Пример 8.11. При проведении испытаний агрегата измерялось время
наработки агрегата до отказа. Распределение случайной величины наработ-
ки до отказа подчинено нормальному закону со средним квадратическим
отклонением с = 20 мин. Найти вероятность того, что агрегат откажет не
ранее чем через 10 мин после истечения среднего времени, полученного
при испытании.
Решение. Обозначенный в примере интервал определен границами
[(Уср+ Ю),оо].
231
Искомую вероятность рассчитаем как вероятность попадания в указан-
ный интервал:
= 0,5-0,1915 = 0,3085.
Пример 8.12. Проведены испытания двигателей внутреннего сгорания.
Проектная величина мощности двигателей равна 55 кВт. Двигатели отбра-
ковывались, если отклонение мощности от проектной величины превышало
0,7 кВт. Найти число годных двигателей среди 100 изготовленных, если
значения мощности испытанных двигателей распределены по нормальному
закону со средним квадратическим отклонением оу= 0,4 кВт.
Р е ш е н и е. По условиям годность двигателей определена в интерва-
ле 55 ± 0,7 кВт.
Воспользуемся формулой для симметричного интервала ±/
о
о
где ту — проектная величина мощности двигателей. Тогда для допустимого
интервала I = ±0,7 кВт
Из этого можно сделать вывод, что среди 100 изготовленных двигате-
лей только 92 будут годными.
Таким образом, следует отметить, что в период постепенных отказов
их интенсивности, как правило, многократно выше, чем интенсивность вне-
запных отказов. Постепенные отказы описывают законами распределения
времени безотказной работы, дающими вначале низкую плотность распре-
деления, затем максимум с последующим падением, которое связано с
уменьшением числа работоспособных элементов. Поэтому наиболее уни-
версальным, удобным и применяемым для практических расчетов является
нормальное распределение.
8.4.	Оценка предельного состояния
Как отмечалось ранее, предельное состояние — это состояние элемента,
сохраняющего работоспособность, но при достижении которого его даль-
нейшая эксплуатация не допускается по условиям экономичности, обеспе-
чения безопасности либо другим требованиям. Предельное состояние мо-
жет зависеть как от предельного значения степени повреждения так и
от предельного значения выходного параметра Ymx.
232
Первопричиной потери изделием работоспособности является измене-
ние начальных свойств и состояния материалов, из которых оно изготовле-
но, так как это изменение может привести к повреждению изделия и опас-
ности возникновения отказа.
Изменение выходных параметров происходит в результате развития
повреждений во времени и подчинено той или иной функциональной связи
Y=j{Ui,U2,...,Un).
Для расчета надежности необходимо знать скорость протекания про-
цесса повреждения у(/) или степень данного повреждения U(/) в функции
от времени. Такие зависимости могут быть получены при рассмотрении фи-
зической картины процесса или экспериментальным путем.
Наиболее просто протекают стационарные процессы, при которых ско-
рость процесса постоянна или колеблется относительно среднего значения.
Это происходит в том случае, если все факторы, влияющие на скорость
процесса, стабилизировались, и нет причин, которые могли бы изменить
интенсивность процесса. Тогда зависимость U(f) имеет линейный или
близкий к нему характер.
В общем случае скорость процесса старения со является случайной ве-
личиной и ее полной характеристикой будет закон распределения /(со), ко-
торый определяют экспериментально. Для решения этой задачи необходимо
в первую очередь оценить параметры законов распределения повреждений
тех элементов, от которых зависит значение выходного параметра. При
этом математическое ожидание и дисперсию процесса оценивают с учетом
спектра нагрузок и режимов работы.
В процессе эксплуатации элемента удобнее контролировать выходной
параметр (рис. 8.6), так как проверку условия Y < всегда реализуют
более простыми техническими решениями. В настоящее время для изме-
рения всех известных типов физических, теплотехнических, электрических
и других параметров широко применяют различные средства. Однако из-
менение выходного параметра в основном является следствием поврежде-
ния элемента (рис. 8.7), т. е. между Y и U всегда существует функциональ-
ная У = <р(U) либо стохастическая (вероятностная) зависимость. Поэтому в
нормативно-технической документации для повреждений, которые влияют
на работоспособность элемента, регламентируют не только Утах, но
и U .
max
Во многих случаях выходной параметр У зависит от нескольких по-
вреждений, которые могут иметь различные законы изменения во времени
тогда зависимость выходного параметра будет
у = <р[Ц(/),(/2(/),...,(;„(/)].
Сложные элементы, как правило, характеризуют целым рядом выход-
ных параметров Ylt У2,..., Yk. При этом возможны случаи, когда один вид по-
вреждения оказывает влияние на изменение нескольких выходных парамет-
ров. Тогда можно записать следующие выражения: ^=9,(6/,),
233
У2=Ф2(Ц), •••> ^=Ф*(Ц). В общем случае зависимости выходных пара-
метров от повреждений могут быть записаны в виде
=ф, [{/„(/),	£/„,(/)],
г2=ф2[ц2(/),п22(0,...,п„2(/)],
г*=ФА[с/иЮ,^(/),...,С7Я4(/)].
Рис. 8.6. График достижения
предельного состояния
по выходному параметру
Рис. 8.7. График достижения
предельного состояния
по степени повреждения
Знание законов старения и взаимосвязей между степенью повреждения
элементов и их выходными параметрами позволяет построить схему расчета
параметрической надежности элемента. Целью этого расчета является оценка
основных показателей надежности и сравнение их с заданными. Технические
условия на выходные параметры служат основой для назначения допусков на
предельные состояния деталей и узлов, входящих в изделие.
Отмечают три основных случая взаимосвязи Утах и U^:
-	выходной параметр определяется одним из видов повреждения:
Утах = kUm!a, где к — коэффициент зависимости параметра от степени повре-
ждения;
-	выходной параметр определяется суммарным повреждением элемен-
тов с учетом их степени влияния на параметр: Утах	, где С, - ко-
эффициенты влияния;
-	выходной параметр связан с рядом повреждений сложной функцио-
нальной зависимостью Упах=/(^1> ^2,	U„).
Наиболее известные характерные зависимости У = f(U) могут быть
представлены следующими процессами (рис. 8.8), при этом процессы, изо-
браженные на рис. 8.8, б и г, в общем случае невозможно описать матема-
тическими выражениями.
При установлении номенклатуры и предельных значений регламенти-
руемых выходных параметров и степени повреждения должны учитываться
следующие факторы-
234
-	эффективность работы элемента;
-	опасность дальнейшей эксплуатации;
-	вредные влияния на окружающую среду;
—	трудоемкость и стоимость восстановления (для восстанавливаемых
элементов).
Рис. 8.8. Характерные зависимости выходного параметра У
от степени износа U:a- процесс типа износа трущихся пар;
б — химические процессы с последующим разрушением;
в — термические износовые процессы; г - процессы
износа в подшипниках
Надежность изделия с точки зрения достижения предельного состоя-
ния зависит от работы наиболее ответственных узлов и систем, так как в
любом изделии есть узлы, выход из строя которых не приводит к потере ра-
ботоспособности .
Методы повышения надежности разнообразны и связаны прежде всего
с повышением стойкости изделий к внешним воздействиям. Сюда относят
методы создания прочных, жестких, износостойких узлов за счет их рацио-
нальной конструкции, применения материалов с высокой прочностью, из-
носостойкостью, теплостойкостью, антикоррозийностью, а также использо-
вание различных смазочных материалов.
Другой путь повышения надежности работы — это их изоляция от
вредных условий путем применения антикоррозионных покрытий, виброи-
золирующих устройств, защиты от загрязнения и т. д.
Таким образом, анализируя возможность оценки предельного состоя-
ния, следует отметить, что своевременный контроль достижения этого со-
стояния во многом способствует предотвращению отказа изделия с крайне
опасными последствиями (разрушение изделия в целом при отказе его эле-
235
мента, взрыв и (или) возгорание и т. п.). Поэтому вопросам оценки пре-
дельного состояния при разработке ракетных двигателей следует уделять
особое внимание.
8.5.	Вероят ность безотказной работы по заданному критерию
В процессе выполнения функциональных задач на элемент, обладаю-
щий некоторой несущей способностью R(t), всегда воздействует некоторая
(чаще всего не одна) нагрузка. Эта нагрузка может относиться к различным
типам: механическим, термическим, химическим и др. Будем называть та-
кую нагрузку действующей и обозначим ее как N(f).
Очевидно, что условие работоспособности определяется тем, что дейст-
вующая нагрузка не должна превышать несущую способность: Л'(/)< R(t).
В этом случае и действующую нагрузку, и несущую способность необходи-
мо понимать и самом широком смысле.
Ранее широкое применение находили расчеты с помощью заранее за-
даваемых коэффициентов безопасности п с принятым условием
R(t)>nN(f), где R(t) и N(/) рассматривают как детерминированные зна-
чения нагрузок R и N, хотя в действительности они могут иметь большое
рассеяние. Поэтому в этих случаях расчет выполняют по наиболее неблаго-
приятным значениям 7?min и Nm!a, причем истинное значение коэффициента
безопасности п остается неизвестным.
Способ проек'шрования, основанный на применении коэффициентов
безопасности, не позволяет судить о вероятности отказа элемента, так как
при одном и том же коэффициенте безопасности вероятность отказа может
колебаться в широких пределах. Поэтому обычный детерминистский под-
ход к проектированию не всегда является удовлетворительным с точки зре-
ния анализа надежности элемента. Необходим такой подход, который бы
учитывал вероятностный характер параметров несущей способности и дей-
ствующей нагрузки.
В реальных условиях производства и эксплуатации несущая способ-
ность R(t) и действующая нагрузка N(f) имеют свойства случайных вели-
чин.
Случайная природа несущей способности обусловлена следующими
причинами:
-	процессами проектирования и производства. Ни один элемент не-
возможно изготовить с абсолютно точными геометрическими размерами. В
связи с этим уже при проектировании элементов задаются соответствую-
щие допуски к их номинальным размерам;
—	технологией производства материалов. Отклонения физико-механи-
ческих свойств материалов вызывают изменение их характеристик прочно-
сти, в связи с чем на прочностные характеристики также даются соответст-
вующие допуски;
236
—	условиями эксплуатации. На элемент действуют нагрузки постоянно-
го и переменного характера, которые в зависимости от условий эксплуата-
ции имеют некоторое рассеяние;
-	изменчивостью условий внешней! среды. Однотипные элементы могут
эксплуатироваться в различных условиях внешней среды, т. е. при значи-
тельно отличающихся нагрузках. Поэтому внешние факторы оказывают
существенное влияние на изменение механических свойств материалов.
Действующая нагрузка определяется физическими условиями и пара-
метрами процессов, происходящих при эксплуатации элемента, что также
обусловливает ее случайный характер.
При использовании вероятностных методов расчета величины R(f) и
N(t) рассматривают как случайные с характеристиками mR, csK и mN,
оЛ, - математическими ожиданиями и средними квадратическими отклоне-
ниями соответственно. Параметры закона распределения случайных вели-
чин определяют расчетно-аналитическими методами или используют стати-
стические данные, полученные по предыдущим изделиям или их аналогам.
Наиболее часто на практике возникает задача композиции нормальных
законов распределения (см. п. 2.3). При решении этой задачи учитывают то,
что теория вероятностей доказывает следующее свойство устойчивости
нормального закона распределения: результатом композиции нормальных
законов является также нормальный закон, причем математические ожида-
ния и дисперсии случайных величин, входящих в нормальный закон, сум-
мируются.
Рассмотрим случайную величину Z(t) — запас живучести, представ-
ляющую собой разность между несущей способностью и действующей на-
грузкой:
Z(t) = R(t) — N(t).
Тогда вероятность безотказной работы элемента по заданному крите-
рию можно выразить как
P(/)=Bep[Z(z)> 0].
Если рассмотреть композицию законов распределений случайных ве-
личин R(t) и N(t), то, учитывая наличие множества примерно равнознач-
ных факторов, влияющих на уровень R(t) и N(f), можно принять, что не-
сущая способность, действующая нагрузка и их композиция Z(t) распреде-
лены по нормальному закону. Так как практические значения запаса живу-
чести определены условием 0 < Z(Z)< <ю, то в дальнейшем целесообразно
использовать функцию Лапласа в виде
для которой справедливы свойства
Фо(0) = 0, Фс(оо) = 0,5, Ф0(-с) =-Ф0(г).
237
Исходя из свойства функции Лапласа
| I I а —т, ।
Р(а<х<Р)=Ф0 -Фо ------------------,
I °л ) I Од J
определяют вероятность того, что действующая нагрузка не будет превы-
шать несущую способность:
P(Z > 0) = Р(0 < Z < оо) = фДоо) _ фо I	=
I IY1 |	( П1 |
= 0,5 —Фо —Ч = О,5 + Фо	.
Учитывая зависимость P(f) =Вер[ Z(t)> 0], получают формулу
Р(/) = О,5 + Фо| —
Для композиции Z(t) = R(t) — N(t) значения числовых характеристик
определяют по зависимостям
тг = тн ~ mN ’ &Z =	+	
При неизвестных значениях числовых характеристик тк и mN, oR и
их можно оценить по предельным значениям;
_ ^max Rmin	_ А^гиах ^п»г>
R 2	2
rr* —	^miii —* _ ^max ^min
R~ d ' N~ d ’
где d- коэффициент, выражающий число средних квадратических отклоне-
ний в интервалах (Лт1п, йгаах) и (Ут;„, N^).
Для факторов, максимальные и минимальные значения которых нор-
мированы (например, допуски на параметры элемента) обычно полагают,
что поле допуска покрывается интервалом ±3о или бет. Тогда d = 6. Такое
предположение соответствует вероятности нахождения значения фактора в
пределах допуска, равной 0,997 2. При других значениях этой вероятности
среднее квадратическое отклонение фактора при нормальном распределе-
нии определяют с учетом значения d = 2up, где 2ир выбирают в зависимо-
сти от принимаемой для рассматриваемой задачи вероятности нахождения
значения фактора:
Вероятность	0,90	0,95	0,98	0,99	0,995	0,999
	3,29	3,92	4,66	5,16	5,62	6,38
238
Вероятность попадания случайной величины Z(/)b интервал (0, z)
(рис. 8.10) следующая:
Вер(0 < Z < z) = Ф0ГФо(0) =
—- -
+ G2 \
Обозначив через ир квантиль
распределения Фо, получают сле-
дующее выражение для его расчета:
Рис. 8.10. Графическое изображение
значения вероятности попадания
случайной величины Z(r)
в интервал 0 <Z(t) <z

По рассчитанному значению
пользуясь таблицей функции Лапласа (см. табл. 1 приложения), находят
и
значение функции Ф0(лД и вероятность безотказной работы элемента P{t)
при известных условиях, определяющих действующую нагрузку и несущую
способность.
Анализируя формулу ир = 1И m,f , можно сделать следующие выводы:
7°^ "°*
- чем меньше разность тр - mN, тем меньше значение Ф(| (нр) и, сле-
довательно, ниже вероятность безотказной работы Р(/). Для повышения P(f)
при конструировании потребуется принимать значения тк, существенно
превышающие значения mN, что для элементов с ограничениями по массе
(например, для двигателей летательных аппаратов) неприемлемо;
— чем меньше среднее квадратическое отклонение композиции
, тем больше значение Ф0(пр) и выше надежность элемен-
та. Поэтому элементы, имеющие ограничения по массе, проектируют с дос-
таточно высоким уровнем точности, что обеспечивает снижение значения
oz и повышение надежности элемента.
Практическое применение метода расчета вероятностей безотказной
работы по заданному критерию покажем на следующих примерах.
Пример 8.13. Расчетное предельное значение некоторого параметра }^р
для элемента находится в диапазоне от 24 до 26 единиц. В процессе испы-
1 аний установлено, что параметр У принимает значения от 22 до 25. Опре-
делить вероятность безотказной работы по параметру У.
Решение. Принимая распределение параметра У по нормальному
закону, определим значения числовых характеристик по условию
/(У±4ол)=1:
239
_ Anaxnp + Anmnp _ 26 + 24	_ Tnax„p - А„|„Г1р _ 26 - 24
2	~	2	’	8	"	8
Y + У. 25 + 22	Y -Y 25-22
= _max--nHn_ =------=23,5, O„	— _L__— = 0,.
2	2	8	8
Тогда по свойствам композиции Z = УГф-Y находим:
mz = mYnp — mY =25 — 23,5 = 1,5,
°z = 7°rnp+°r = A25' + 0,3752 = 0,451,
P{Z > 0) = 0,5 + Фо I I = 0,5 + Фо (1 = 0,5 + Ф0(3,326) = 0,999 4.
Пример 8.14. Для материала, из которого изготовлена турбина энерго-
установки, предельное значение температуры Т ф, определяющей термиче-
скую прочность, находится в интервале 2 000...2 400 К. При стендовой от-
работке изделия получены значения температуры Т деталей турбины
1 900...2 100К. Определить достигнутую надежность изделия по термиче-
ской прочности.
Решение. Используя методику расчета, приведенную в предыду-
щем примере, определим
2 400 + 2 000	2 400-2 200 тг
тт =-----------= 2 200 К, от =-----------= 25 К,
2	8
2100 + 1900
2
= 2 000 К, оу =
2100-1900
8
К.
Тогда для композиции Z= Гпр- Т находим
т7 = тТп —тт=2 200 — 2 000 = 200 К,
Z 1 пр 1	7
= у1атпР+а2т = V252 + 252 = 35,36 К,
f m	f 200
Р(7>О) = О,5 + Фо	=О,5 + Фо —— =0,5 + Ф0(3,58) = 0,9998.
I о, I	I 55,9)
Пример 8.15. Техническим заданием на газогенератор установлены
предельные значения давления в его камере сгорания от 4,2 до 4,5 МПа.
При испытании двух альтернативных вариантов конструкции газогенерато-
ра получены следующие значения давления в камере сгорания:
-	для первого варианта /}min = 3,82 МПа, Л}тах = 4,36 МПа;
-	для второго варианта Л,min = 3,90 МПа, Р2ша = 4,32 МПа.
Сравнить надежность испытанных конструкций газогенератора.
Решение. Числовые характеристики для предельных значений та-
ковы:
240
4 2 + 4 5	4 5-4 2
то = ’	--- = 4,35 МПа, g„= -^	’ =0,0375 МПа.
пр 2	пр 8
Числовые характеристики фактических (полученных при испытаниях)
значений следующие:
4,36 + 3,82 д пп
- для первого варианта тх =-----------------------= 4,09 МПа,
4,36-3,82
о. =----------= 0,067 5 МПа;
1	8
4,32 + 3,90
- для второго варианта т2 =-----------------------= 4,11 МПа,
4 32 - 3 90
= 52 5 МПа
2	8
Для композиций Z, = Рпр - Д и Z2 = Рпр - Р2, где Рпр, Рх, Р2 - предельные
и фактические значения давления в камерах сгорания, имеем следующие
числовые характеристики:
wz, =wtnp-raj =4,35 —4,09 = 0,26 МПа,
°z, = 7°np + o? = V°.037 52+0,067 52 = 0,077 6 МПа,
mz2 ~	~m2 = 4,35- 4,11 = 0,24 МПа,
°z2 = 7anp+O2 = V0’037 52 +0,052 52 = 0,064 5 МПа.
Вероятность безотказной работы для первого варианта
P(ZX >О) = О,5 + Фо
= О,5 + Фо
0,26
0,077 6
= 0,5+ Ф0 (3,35) = 0,999 6.

Вероятность безотказной работы для второго варианта
P(Z2 >О) = О,5 + Фо
( о 24 1
= О,5 + Фо —------ = 0,5+ Ф0 (3,72) = 0,999 9.
10,064 5 J °	7
Очевидно, что второй вариант конструкции имеет надежность выше,
так как
P(Z2>0)>P(Z,>0).
Пример 8.16. Стержень с поперечным сечением 0 12 ЛИ нагружен рас-
тягивающим усилием Р = ^Д^кН. Материал стержня — Ст. 3. Найти веро-
ятность безотказной работы стержня. Принять для Ст. 3	= 11,5 • 107Па.
Решение. Условие прочности стержня
где F =----площадь
4
стержня; - допустимое напряжение, тогда
1 6 11СПЫ1<1>Н!С pilKClIiLJX ДВ111 <1 ICjICJI
241
_ 4Р
р nd2
Определим числовые характеристики случайных величин. Используя
рекомендации [18] о значении коэффициента вариации vp =0,03...0,04,
принимаем vp =0,035. Тогда с учетом того, что j = [ор],
S =v т = 0,035-11,5-107 = 0,403-107 Па.
Ы р Ы
По заданным условиям имеем
12,5 + 12,0	„ 12,5-12,0	„
т =------------= 12,25 кН, S =------------= 0,062 5 кН.
₽	2	₽	8
По стандартным таблицам допусков для 0 12 Л11 находим Л = 0,110 мм,
при этом диаметр стержня будет иметь значения d = (12(||10)  10“3 м. Тогда
w =11,89 + 12 Ю~3= 11,95-10~3 м, s =12 11,8910~3 =0,014-10~3 м.
d 2	d 8
Для напряжения в стержне <зр, возникающего от воздействия растяги-
вающего усилия, числовые характеристики будут
_4отр_ 412,25-103
л(11,95-10’3)2
= 109,22 106 Па,
(0,0625-Ю3)2
4
8-12,25103
л(11,95-10’3)3
= 0,613 106 Па.
Вероятность безотказной работы определим по формуле
(0,014 10’3)2 =
т -тп,
+5г
= 0,5 + Ф0
11,5-107-109,22-106
0,613-106)2+(0,403 1 07)2
= 0,5 + Фо (0,858 7) = 0,804 7.
242
Необходимо отметить, что полученная надежность не может быть при-
емлема для высоконадежного элемента и его конструкция должна быть до-
работана либо за счет увеличения диаметра стержня, либо за счет ужесто-
чения точности его изготовления.
Таким образом, методика расчета выраженности безотказной работы
по критерию прочности позволяет производить оценку надежности изделия
на стадии его проектирования, используя имеющиеся статистические и про-
ектные показатели элементов двигателя и протекающих в нем процессов с
требуемым уровнем достоверности.
***
Показатели надежности невосстанавливаемых элементов можно рас-
считать, если известен закон распределения наработки элемента до отказа
либо законы распределения его несущей способности и действующей на не-
го нагрузки.
Контрольные вопросы и задания
1.	Перечислите показатели безотказности элемента и поясните, в чем
состоят отличия статистических оценок от вероятностной формы их пред-
ставления.
2.	Дайте определение вероятности безотказной работы элемента и по-
ясните его смысл.
3.	Чем отличается вероятность безотказной работы (ВБР) элемента к
моменту наработки t от ВБР в интервале наработки [/, t + А/]?
4.	Дайте определение плотности распределения отказов и поясните его
смысл при оценке надежности элемента.
5.	Дайте графическую интерпретацию понятий вероятности безотказ-
ной работы и вероятности отказов.
6.	Дайте определение интенсивности отказов элемента и поясните его
смысл при оценке надежности объекта.
7.	В чем состоит смысл уравнения связи показателей безотказности?
8.	Дайте определение статистической оценки и вероятностного пред-
ставления средней наработки до отказа.
9.	Перечислите условные средние наработки до отказа и поясните не-
обходимость их использования.
Глава девятая
Надежность невосстанавливаемых
систем
Существенное рассеяние основных параметров надежности предопре-
деляет ее рассмотрение в вероятностном аспекте. К числу важнейших об-
щих характеристик надежности относятся зависимости надежности техни-
ческих систем от надежности их отдельных элементов. Рассмотрим далее,
как понятие системы формулируется в теории надежности, а также то, ка-
ким образом рассчитывают надежность основных систем, являющихся про-
стейшими техническими объектами, и более сложных систем — систем с ре-
зервированием, т. е. систем с избыточностью элементов.
9.1.	Понятие о системах в теории надежности
Надежность большинства изделий в технике определяют при рассмот-
рении их как систем. Под системой понимают объект, предназначенный
для выполнения заданной функции, который может быть разделен на эле-
менты. Система - это совокупность совместно действующих элементов,
предназначенная для самостоятельного выполнения заданных функций.
Как уже отмечалось ранее, понятия системы и элемента условны. Они
применяются исходя из рассматриваемой задачи надежности. К примеру,
двигатель летательного аппарата при определении надежности собственно
двигателя рассматривается как система из входящих элементов (агрегатов), а
при определении надежности летательного аппарата — как элемент системы.
С позиции надежности система обладает как положительными, так и
отрицательными свойствами, на которые влияют различные факторы.
Основным фактором, положительно влияющим на работоспособность
системы, является возможность резервирования, исключающего отказ сис-
темы при отказе основного элемента.
Факторы, отрицательно влияющие на надежность систем, следующие:
-	большое число элементов, отказ каждого из которых может привести
к отказу всей системы;
-	значительные индивидуальные особенности сложных систем, при
этом необходимый объем статистических данных для опенки их работоспо-
собности создается с большими материальными затратами и в течение дли-
тельного периода;
-	возможная взаимная зависимость элементов системы, при которой
отказ одного из них влияет на работоспособность другого элемента.
Необходимо отметить, что не все элементы в одинаковой степени
влияют на работоспособность системы, от многих из них зависит лишь эф-
244
фективность ее работы. При анализе работы системы все ее элементы целе-
сообразно сгруппировать следующим образом:
-	элементы, отказ которых практически не влияет на работоспособ-
ность системы, такие как окраска (при ее частичном нарушении), деко-
ративные детали (при незначительных вмятинах), элементы дизайна
и т. п.;
-	элементы, работоспособность которых за рассматриваемый период
практически не изменяется, т. е. Р (t =	~ 1, например корпуса, резьбо-
вые соединения крепления элементов изделия, маркировка и др.;
—	элементы, отказ которых приводит к отказу системы (изделия).
В теории надежности рассмотрению и анализу подлежат только эле-
менты, влияющие на работоспособность системы.
Задача расчета надежности состоит в определении показателей без-
отказности системы, состоящей из невосстанавливаемых элементов, по
данным о надежности элементов и связях между ними.
Цели расчета надежности:
-	обосновать выбор того или иного конструктивного решения;
—	выяснить возможность и целесообразность резервирования;
-	определить, достижима ли требуемая надежность при существующей
технологии разработки и производства.
Расчет надежности системы состоит из следующих этапов:
1	) определения состава рассчитываемых показателей надежности;
2	) составления (синтеза) структурной логической схемы надежности
(структуры системы), основанного на анализе функционирования системы
(какие блоки включены, в чем состоит их работа, перечень свойств исправ-
ной системы и т. п.), и выбора метода расчета надежности;
3	) составления математической модели, связывающей рассчитываемые
показатели системы с показателями надежности элементов;
4	) выполнения расчета, анализа полученных результатов, корректиров-
ки расчетной модели.
Рассмотрим каждый из этих этапов.
Состав рассчитываемых показателей:
-	средняя наработка системы до отказа ГОс;
-	вероятность безотказной работы системы Pc(f);
-	интенсивность отказов системы Ас(/);
-	плотность распределения отказов
Структура системы — это логическая схема взаимодействия элемен-
тов, определяющая работоспособность системы, или иначе - графическое
отображение элементов системы, позволяющее однозначно определить со-
стояние системы (работоспособное или неработоспособное) по состоянию
элементов (работоспособному или неработоспособному).
По структуре системы могут быть без резервирования (основными сис-
темами) и с резервированием (избыточностью элементов).
Для одних и тех же систем в зависимости от вида отказов элементов
могут быть составлены различные структурные схемы надежности. Следует
245
особо отметить важный принцип оценки надежности невосстанавливаемых
систем, заключающийся в существенной разнице между конструктивной и
структурной (в смысле надежности) схемами. Эту разницу можно показать
на примере двух фильтров гидросистемы, которые для повышения надеж-
ности системы могут быть установлены параллельно или последовательно.
Отказ фильтра может произойти из-за засорения или разрыва фильтрующе-
го элемента (рис. 9.1).
Рис. 9.1. Конструктивная и структурная схемы отказов фильтров
В случае засорения фильтрующего элемента одного из фильтров
структурная схема соответствует конструктивной схеме. При параллельном
соединении отказ одного фильтра не приведет к отказу системы, так как
функцию очистки жидкости в системе будет выполнять параллельно уста-
новленный (резервный) элемент. При последовательном соединении засо-
рение одного из элементов приведет к отказу системы.
В случае же разрыва фильтрующего элемента структурная схема про-
тивоположна конструктивной схеме. При параллельном соединении разрыв
одного их фильтров приведет к засорению и отказу системы. При последо-
вательном соединении в этом случае засорения и отказа системы не про-
изойдет, так как рабочая жидкость в системе будет фильтроваться другим
(резервным) фильтром.
Большинство типов механических систем, в том числе и двигатели ле-
тательных аппаратов, представляют последовательное соединение элемен-
тов в смысле надежности, т. е. отказ одного элемента приводит к отказу
системы (изделия).
Выходные параметры элементов системы по их влиянию на формиро-
вание выходного параметрах системы в целом (рис. 9.2) могут быть разде-
лены на три группы:
-	группу Х> для которой изменение выходного параметра элемента
оказывает влияние только на работоспособность самого элемента;
-	группу X, параметр элемента которой участвует в формировании од-
ного или нескольких выходных параметров системы в целом. Его измене-
ния должны учитываться в совокупности с изменениями параметров данной
категории других элементов системы;
246
-	группу Аз, параметры которой влияют на работоспособность других
элементов системы. Изменения их значений для отдельных частей системы
аналогичны измене-
нию внешних усло-
вий работы.
Отметим также,
что каждый выход-
ной параметр эле-
мента системы мо-
жет обладать одно-
временно несколь-
кими из перечис-
ленных свойств.
С точки зрения
надежности системы
могут иметь следую-
Рис. 9.2. Схема влияния элементов
на выходные параметры системы
щие виды структур:
-расчлененная структура. Показатели надежности элементов систем с
расчлененной структурой формируются независимо и могут быть заранее
определены, так как отказы элементов в таких системах рассматривают как
случайные события, не зависящие от состояния других элементов системы.
Все элементы расчлененных систем имеют только выходные параметры ти-
па А,, которые влияют лишь на работоспособность самого элемента;
—	связанная структура. Такой вид структуры имеют системы, в кото-
рых отказы отдельных элементов являются случайными событиями, веро-
ятность которых зависит от состояния других элементов (элементы имеют
выходные параметры типа Аз). В таких системах рассматривать элементы
изолированно друг от друга и определять для них показатели надежности
нельзя. Необходимо рассматривать систему в целом, а также учитывать
участие каждого элемента, имеющего выходные параметры типа А"2, в фор-
мировании выходных параметров системы в целом;
-	комбинированная структура. Системы с комбинированной структу-
рой можно рассматривать как расчлененные, состоящие из подсистем со
связанной структурой и независимым формированием показателей надеж-
ности для каждой из подсистем. Данный вид структуры системы наиболее
характерен для изделий ракетной техники.
Математическая модель надежности системы — формальные преоб-
разования, позволяющие получить расчетные формулы.
Таким образом, невосстанавливаемая система обладает прежде всего
свойством безотказности. В качестве основной характеристики безотказно-
сти системы выступает функция надежности, которая представляет собой
вероятность безотказной работы в течение некоторого времени /. Измене-
ние значения этой функции зависит от структуры и состава элементов, вхо-
дящих в систему. Рассмотрим далее методы и оценки надежности основных
систем и систем с резервированием.
247
9.2.	Расчет надежности основной системы
Основные системы являются простейшими техническими системами, в
которых отказ одного элемента приводит к отказу всей системы. Работо-
способность этой системы обеспечивается при условии, что все п элементов
системы находятся в работоспособном состоянии.
Всякую невосстанавли-
ваемую систему характеризуют
,,, а	надежностью, в качестве ос-
Рис. 9.3. Структурная схема последовательного
соединения независимых элементов
новного показателя которой
служит вероятность безотказ-
ной работы в течение некото-
рого текущего времени P(t).
В дальнейшем изложении,
если особо не оговаривается
обратное, отказы элементов
предполагаются независимыми,
т. е. отказ одного или несколь-
ких элементов никак не влияет
на вероятностные характери-
стики остальных элементов.
Наиболее типичной явля-
ется модель надежности с по-
следовательным соединением
элементов (рис. 9.3).
Пусть система состоит из п
элементов, вероятность безот-
казной работы которых обозна-
чим как Px(t), Р2(t),...,	Так
как элементы, входящие в сис-
тему, являются независимыми,
то вероятность безотказной ра-
боты системы определяют как произведение вероятностей составляющих ее
элементов:
рс(/)= p\t)p2(ty--ри(о=Пш
/=1
Если элементы имеют одинаковую надежность:
/’(о = р2(0=...=Р„(0=Р(/), то рс(0 = Р"(0-
Применение полученной математической модели надежности рассмот-
рим на примерах.
Пример 9.1. Прибор состоит из 10 блоков. Выход из строя каждого
блока приводит к выходу из строя прибора в целом. Вероятность безотказ-
ной работы каждого блока Р(/) = 0,995. Найти надежность (вероятность без-
248
отказной работы) Рпр(0 прибора в целом. Какова должна быть надежность
блоков, чтобы была обеспечена надежность прибора Pnp(t) = 0,99?
Решение. По формуле Р (0 = Рс(0 = Р"(0 определим
Рпр(/) = 0,995'°= 0,951.
По условию Рпр(0 = /?"(0 найдем ^(0 = 1/^-Тогда
/’(0 = ^99=0,999 7.
Пример 9.2. Для обеспечения безотказной работы изделия необходимо
обеспечить пять условий безотказности, вероятности проявлений которых
равны Р\ — Рг = 0,990; Р^ — Р^— 0,995; Р$ = 0,999. Найти вероятность безот-
казной работы изделия.
Решение. Так как несоблюдение каждого из условий приводит к
отказу изделия, то схема работоспособности может быть изображена в сле-
дующем виде (рис. 9.4).
- Р1 ------ Л ------- Л ------- Л ------ Р) —
Рис. 9.4. Схема системы с последовательным
соединением элементов к примеру 9.2
Тогда вероятность безотказной работы изделия
р(о=П/’(о=^ р2 -т.
/=1
Производим вычисления:
Р(0 = 0,990 • 0,990  0,995 • 0,995 - 0,999 = 0,969.
Сложные системы, состоящие из элементов с высокой надежностью,
могут обладать низкой надежностью за счет наличия большого числа эле-
ментов. Например, при п = 50, P(t) = 0,99
Рс (0 = Р" (?) = 0,9950 = 0,605,
а при и = 400, P(t) = 0,99
Рс(0 = 0,99400 = 0,018,
т. е. изделие практически неработоспособно.
В частном случае, когда надежность элементов определяется внезап-
ными отказами, т. е. когда распределение отказов составляющих систему
элементов имеет экспоненциальное распределение с постоянными величи-
нами интенсивностей отказов f(t) = Лехр (—/д) и вероятностей безотказной
работы P(t) = exp (—X/), вероятность безотказности системы будет
Рс(0 =П^(0=Псхр(-Х1./)=ехр[-(Х| + Х2 + ...+Л„)/] = ехр||=
М 1=1	У /=1 у
= ехр(-Хс0,
249
я
где Ас — VX; - интенсивность отказов системы; А, - интенсивность отказов
i=i
/-го элемента. Надежность системы в данном случае также подчиняется
экспоненциальному закону. Учитывая, что средняя наработка до отказа
Tip = 1 / А, получают выражение для средней наработки до отказа системы
Т 1 = 1 -	1	1
Ч’ух"уХ"±+1+...+1
f?  4т	т. г,	т
1=1	1-1 -‘ср, I £	п
где Гр — средняя наработка до отказа /-го элемента.
В общем случае для любого распределения наработки интенсивность
отказов системы
МО=^(0+МО +...+А„(о=£ АДО.
/=1
Для п идентичных элементов А,(/) = А2 (/) = ... = Ап(/) = А(7) интенсив-
ность отказов системы определяют по формуле
ас(о=Емо=«х(о.
i=i
Обычно вероятность безотказной работы элементов достаточно высо-
кая, поэтому, выразив Рс(/) = Д(/)Д (/)...Д(/) через вероятности отказов
Q(t) = 1 - P(t) и пользуясь положением теории приближенных вычислений, в
котором произведениями двух малых величин можно пренебречь, получают
W=[I - Й(0][1 - й (0} • [1-й (0] -1 - [Q (0 + й (0+-+й (0] •
При равенстве вероятностей отказов для равнонадежных элементов
й(о=й(о=-=й(о=е(о
РС=1-Л7Й(/).
Следует отметить, что во всех случаях Рс(/)<ттД(/). Для основной
системы надежность всегда меньше надежности каждого из элементов.
Кроме того, с увеличением числа элементов надежность основной системы
уменьшается.
Плотность распределения отказов системы определяют следующими
математическими зависимостями:
-	в общем случае
Л(0 =	\ ехр(-Ас0;
-	для п идентичных элементов A, (t) — А2 (/) = ••• = А„ (/) = А
Л(0 - «Аехр (-нА/).
Рассмотренные вьпле модели позволяют определить показатели безот-
казности основной системы по показателям надежности элементов, когда
значения P^t) элементов хорошо известны, а значение PL(t) лишь уточня-
250
ется и сравнивается с заданным в техническом задании на проект. Таким
образом решают задачу надежности при завершении технического проекта,
после испытаний опытных образцов системы и составляющих элементов.
При этом если значение Pc(t) получается меньше, чем в техническом зада-
нии, то принимают меры по его повышению за счет резервирования, ис-
пользования более надежных элементов и т. п.
На начальной стадии проектирования в техническом задании указыва-
ют лишь вероятность безотказной работы проектируемой системы. При
проектировании используют как элементы с известной надежностью, так и
элементы, о надежности которых можно судить лишь по их аналогам (про-
тотипам). При этом необходима предварительная оценка надежности эле-
ментов, которая в дальнейшем будет уточняться в ходе испытания опытных
образцов системы и элементов.
Существуют различные способы распределения норм надежности ос-
новной системы по элементам:
-	по принципу равной надежности элементов;
-	с учетом данных об аналогах элементов;
-	с учетом перспектив совершенствования элементов.
Выбор того или иного способа зависит от имеющейся информации о
проектируемой системе. Рассмотрим методы выбора этих способов.
Использование принципа равной надежности элементов предполагает,
что в техническом задании должны быть указаны следующие данные: PQ(t),
число элементов системы п, распределение наработки до отказа элементов -
экспоненциальное. Тогда для равнонадежных элементов, для которых
Х1(Г) = Х2(О=... = Х„(Г) = Х и ГСР1 =ГСР2 =- = ТсРв =Тср,
*<(') = «*, T^=TJn.
Требуемая интенсивность отказа z-ro элемента с учетом зависимости
вероятности безотказной работы от интенсивности отказов для экспоненци-
ального закона P(t) = exp(-Xz) или lnPc(z) = -zzXz будет
nt
При распределении надежности с учетом данных о надежности ана-
логов в техническом задании даны надежность системы Pc(t), число эле-
ментов системы п, интенсивности отказов аналогов Ха., где i = 1, 2, ..., п.
Необходимо найти долю отказов системы из-за отказов z-ro элемента:
п
где Хас =	- интенсивность отказов системы по данным об аналогах.
i=i
По выражению Рс (Z) = exp (-XCZ) определяют интенсивность отказов
проектируемой системы:
251
Используя значения долей отказов системы, вычисляют интенсивности
отказов составляющих элементов:
Х,.=ЛДС.
Для равнонадежных элементов Хс = пк, т. е. к\ = кг = ... = к„ = —,
п
Распределение надежности с учетом перспектив совершенствования
элементов требует, чтобы в техническом задании были отмечены надеж-
ность системы Д(/), число элементов системы п, изменение значений ин-
тенсивностей отказов аналогов за рассматриваемый временной период с
т, по т2, аппроксимированное выражением
\=Ф<Ч’Т)’
где Ха - интенсивность отказов /-го аналога в т-м году.
По выражению Ха = <р(Ха ,т) экстраполируют интенсивность отказов
элементов — аналогов году проектирования системы (например, 2006) и по-
лучают
\||(2006р ^а;(2006)’	^а,(2006)> \>„(2006) ’
Долю отказов системы из-за отказов /-го элемента определяют по фор-
муле
^1 = ^а, (2006) /^а.с(2006) ’
где Хас(20С6)=^Ха.(2006) - интенсивность отказов системы по данным экст-
<=|
раполяции. Тогда интенсивность отказов элементов системы
/
Таким образом, основные системы являются простейшими техниче-
скими системами, в которых отказ одного элемента приводит к отказу всей
системы. Поэтому можно сделать следующий вывод: работоспособность
основной системы обеспечивается при условии, что все п элементов систе-
мы находятся в работоспособном состоянии. Однако добиться этого на
практике не всегда возможно по различным причинам, прежде всего техни-
ческим. В этом случае переходят к резервированию элементов.
9.3. Надежность систем с резервированием
Как уже отмечалось, работоспособность систем без резервирования
требует обеспечения работоспособности всех элементов системы. А в
сложных технических устройствах без резервирования чаще всего не удает-
ся достичь высокой надежности даже при использовании элементов с высо-
кими показателями безотказности.
252
Система с резервированием — это система с избыточностью элементов,
т. е. с резервными составляющими, избыточными по отношению к мини-
мально необходимой (основной) структуре и выполняющими те же функ-
ции, что и основные элементы. В системах с резервированием их работо-
способность обеспечивают до тех пор, пока для замены отказавших основ-
ных элементов имеются в наличии резервные.
К системам с параллельной структурой, в отличие от систем с последо-
вательной структурой, т. е. основных, относятся такие, в которых отказ всей
системы происходит в случае когда отказали или все элементы системы,
или определенное число элементов. В системах с параллельной структурой
используют принцип структурного резервирования элементов систем.
Структурное резервирование может быть общим, при котором система
резервируется в целом (рис. 9.5), и раздельным (поэлементным), когда ре-
зервируются отдельные элементы или группы элементов системы (рис. 9.6).
Рис. 9.5. Общее	Рис. 9.6. Раздельное резервирование
резервирование
По видам резервирование подразделяют на нагруженное, в котором ре-
зервные элементы функционируют наравне с основными, т. е. постоянно
включены в работу (это постоянное резервирование), и непогруженное, ко-
гда резервные элементы вводятся в работу только после отказа основных
элементов (это резервирование замещением) (рис. 9.7).
►
а	б
Рис. 9.7. Виды резервирования: а - с нагруженным резервом;
б - с ненагруженным резервом
При нагруженном резервировании (рис. 9.7, а) резервные элементы
расходуют свой ресурс, имеют одинаковое распределение наработок до от-
каза и интенсивность отказов основных \ и резервных Хр элементов оди-
накова (Хо = Лр). При этом различие между основными и резервными эле-
ментами чисто условное. Для обеспечения нормальной работы (сохранения
работоспособности) необходимо, чтобы число работоспособных элементов
не становилось меньше минимально необходимого.
253
Разновидностью нагруженного резервирования является резервирова-
ние с облегченным резервом, при котором резервные элементы также нахо-
дятся под нагрузкой, но меньшей, чем основные. Поэтому интенсивность
отказов резервных элементов Лро6 ниже, чем у основных: Ло > Хро6.
При ненагруженном резервировании (рис. 9.7, б) резервные элементы
не подвергаются нагрузке, их показатели надежности не изменяются и они
не могут отказать за время нахождения в резерве, т. е. интенсивность отка-
зов резервных элементов до включения их в работу равна нулю. Резервные
элементы включаются в работу только после отказа основных. Переключе-
ние производят вручную или автоматически.
Разновидностью йена груженного резервирования является скользящее
резервирование, когда один и тот же резервный элемент может быть ис-
пользован для замены любого из элементов основной системы.
Если рассмотреть два характерных вида резервирования (см. рис. 9.7),
то очевидно, что при равенстве числа основных и резервных элементов не-
нагруженный резерв обеспечивает большую надежность. Но это справедли-
во только тогда, когда перевод резервного элемента в работу происходит
абсолютно надежно, т. е. надежность переключателя должна быть равна
единице. Выполнение этого условия связано со значительными техниче-
скими трудностями или иногда является нецелесообразным по экономиче-
ским либо техническим причинам.
Кратность резервирования — это соотношение между общим числом
однотипных элементов и элементов, необходимых для работы системы:
k = (n — r)/r,
где п - число однотипных элементов в системе; г - число элементов, необ-
ходимых для функционирования системы. Кратность резервирования может
быть целой, если г = 1, или дробной, если г > 1.
Рассмотрим различные варианты реализации резервирования.
Постоянное резервирование (с нагруженным резервом). При посто-
янном резервировании резервные элементы подключают параллельно ос-
системы постоянного
резервирования
новным (рис. 9.8).
Система при таком резервировании станет
неработоспособной, когда откажут все п элемен-
тов системы.
Вероятность отказа системы, состоящей из п
элементов, по теореме умножения вероятностей
а«=е1(ое2(о-е„м=Пй«’
;=1
где Q,(t) - вероятность отказа г-го элемента.
Вероятность безотказной работы системы
при постоянном резервировании с нагруженным
резервом
254
p. co=1 -а<о=1 - Паю=i - nii - лю] 
>=i	и
При одинаковой надежности элементов (Pl(t) = P2(t) = ... = Pn(t) = P(t))
вероятность безотказной работы системы будет
л<о=1 - ГП1 - ^)]=1 - [1 - W •
/—1
Резервирование значительно повышает надежность изделия. Например,
если система состоит из п = 3 одинаковых элементов с вероятностью безот-
казной работы каждого P(t)= 0,9, то для системы в целом
(/) = 1 - [1 _ />(/)]" = 1 - [1 - 0,9]’ = 0,999.
Если у всех элементов системы могут быть только внезапные отказы,
т. е. P(f) = exp (-Л./), то вероятность безотказной работы системы
Рс(0 = 1-[1-ехр(-Х/)Г.
плотность распределения наработки до отказа системы
Л (0 =	= "М1 “ ехР (~МГ‘,
at
интенсивность отказов системы
х а) Л 0) _	~ ехР (-МГ1
Рс(0 1-[1-ехр(-Х0]”
Применение резервирования позволяет создавать высоконадежные
системы из малонадежных элементов. Если система состоит из и равнона-
дежных элементов, то Qs.(t) = Q"(t), что позволяет найти такое число п при
заданном значении которое бы обеспечило выполнение требования к
надежности системы. Условие выполнения этого требования можно выра-
зить как 0.(0 < Q^, или Q^. Учитывая, что Q^t)< 1, это неравен-
(
ство нужно преобразовать к виду
„ > ln(lzOp) = -1пОр = 1п(1-Ртр)
In (1/0(0) -1п0(О In (l-T’(O)’
Если надежность элементов близка к единице, то при экспоненциаль-
ном законе распределения
0 (0 = 1 - ехр (—X/) = Х/> 0 (0 = л л, • • • Л/" >
а при равнонадежных элементах X, =Х2 =... = Х„ =Х вероятность отказа
системы 0(0 = (X/)". Тогда вероятность безотказной работы системы будет
л(о=1-а(о=1-(М"-
---- >-----и прологарифмировать его:
Qi ) Qrp
255
Несмотря на очевидные преимущества резервирования для обеспече-
ния надежности, в изделиях, имеющих ограничения по массе (например, в
двигателях летальных аппаратов), оно часто становится неприемлемым, так
как структурное резервирование увеличивает массу изделия. Как правило, в
таких изделиях резервируют особо ответственные, но небольшие по габа-
ритным размерам и массе элементы: воспламенители, пиропатроны и дру-
гие элементы, т. е. тогда, когда это не приводит к значительным усложне-
ниям конструкции и реально осуществимо.
Необходимость и возможность резервирования может определяться и
экономической целесообразностью. Рассмотрим такую ситуацию на примере.
Пример 93. Определить условие экономической целесообразности соз-
дания бортовой системы технической диагностики (СТД) ЖРД, если ожи-
даемые экономические потери в случае ее применения, обусловленные стои-
мостью разработки и изготовления системы и стоимостью резервного двига-
теля, составляют Ас тД. Действие, выполняемое СТД, состоит в выключении
неисправного основного двигателя, запуске резервного и ухудшении весовых
характеристик летательного аппарата. При этом ожидаемый ущерб из-за не-
выполнения задачи ЛА при возникновении отказа ЖРД будет А„а. 11ринять
ВБР основного и резервного двигателей равным р, вероятность отказа СТД -
, вероятность ложного выключения основного двигателяя - Rn.
Решение. Для оценки ожидаемых потерь при использовании СТД
рассмотрим возможные гипотезы о состоянии и взаимодействии двигателя
и условные потери в случае их реализации:
Гипотеза	Вероятности гипотез	Стоимости потерь
Основной двигатель исправен. СТД ис- правна, ложного выключения двигателя не произошло		^С.т.д
Основной двигатель исправен. СТД неис- правна, произошло ложное выключение основного двигателя и включение резерв- ного. Резервный двигатель не отказал	p2R.	
Основной двигатель исправен. СТД ис- правна, произошло ложное выключение основного и включение резервного двига- теля. Резервный двигатель отказал	р(1-р)4	+4.»
Основной двигатель неисправен. СТД ис- правна, выключен основной двигатель и включен резервный. Резервный двигатель не отказал		4»
Основной двигатель неисправен. СТД ис- правна, выключен основной двигатель и включен резервный двигатель, который отказал	(1-р)2(1-Л„)	4« +4.3
Основной двигатель неисправен. СТД не- исправна, не выключен основной двигатель и (или) не включен резервный двигатель		4т.д +4.а
256
Математическое ожидание суммарных потерь определим как сумму
парных произведений вероятностей гипотез, составляющих полную группу,
и потерь при условии реализации гипотез:
4„д = А.т.д+[1 - р(2 - R„ - )+р2 (1 - R„ - )] А.» •
При отсутствии СТД ожидаемые потери составляют
А=(,-р)41Л-
Очевидно, что создание бортовой СТД целесообразно при условии
4,тл<4> или (1-А-А)(р-р2)>^-
л.а
Частным случаем резервирования с нагруженным резервом является
облегченное резервирование, когда резервный элемент подключен к системе
не в режиме проектной нагрузки, а только с некоторой ее долей. Чаще всего
эта доля составляет не более 20 % от проектной нагрузки.
Облегченное резервирование используют в технических системах при
большой инерционности процессов перехода из резервного в основной
режим. В этом случае резервные элементы находятся в облегченном ре-
жиме до момента их включения в работу при отказе основных элементов.
Надежность резервного элемента в момент его включения выше надежно-
сти основного элемента, так как резервные элементы до этого момента на-
ходятся в режиме недогрузки. При этом считают, что в состоянии резерва,
т. е. в облегченном режиме, элемент может отказать и его надежность в
течение времени изменяется. Очевидно, что при работе элемента в облег-
ченном режиме скорость изменения (снижения) его надежности значи-
тельно меньше, чем у основного элемента, работающего в нагруженном
режиме.
Точные формулы для расчета надежности системы при облегченном
резервировании довольно громоздки, однако при экспоненциальном законе
распределения отказов, которым характеризуется период нормальной экс-
плуатации, можно воспользоваться приближенной формулой
Р(/) = 1-^Х(Л + Х|)(Х + 2Х|)--{Х + (и-1)Х1]Г =1-—J7(X + iX,),
и.	и! ,=0
где к и интенсивность отказов основного и резервных элементов соот-
ветственно; п - число элементов в системе; i — число резервных элементов.
Для случая резервирования высоконадежного элемента с экспоненци-
альным законом распределения отказов при одном резервном элементе
р(/)=1-1цх+М'2,
при двух резервных элементах
Р(/) = 1-1х(А+Х1)(Х+2Х1)?.
17 Испытание ракетных двигателей
257
Сравнивая формулы для расчета вероятностей безотказной работы сис-
темы с нагруженным резервом и с облегченным резервированием, сделаем
вывод, что надежность последнего при условии Xi « X существенно выше.
Однако следует иметь ввиду, что это не касается надежности тех элементов,
которые обеспечивают переключение резервных элементов. Эта надеж-
ность в реальных условиях значительно меньше единицы.
Резервирование замещением (с ненагруженным резервом). При ре-
зервировании замещением резервные элементы последовательно включают-
ся только при отказе основного элемента, затем первого резервного и т. д.
(рис. 9.9). Это включение может производиться автоматически или вруч-
ную. Резервирование переключением на запасной элемент более эффектив-
но, чем постоянное и облегченное, так как резервный элемент сохраняет
свою работоспособность к моменту его включения в работу. Однако при
этом возникает необходимость включения в состав системы датчиков кон-
троля состояния элементов и механизмов переключения. При рассмотрении
резервирования замещением (с ненагруженным резервом) считают, что в
нерабочем состоянии элемент не может отказать и его надежность не изме-
няется, замена элементов происходит мгновенно, а все датчики контроля и
механизмы переключения абсолютно надежны.
В условиях обязательного сохранения пара-
метров в период переключения элементов резер-
вирование замещением представляет собой
сложную инженерную задачу. Поэтому его при-
меняют в тех случаях, когда допускается хотя бы
кратковременный останов системы.
Пусть в системе основной элемент имеет
вероятность безотказной работы P(t), а вероят-
ность его отказа - Q(t). Основной элемент, от-
работав случайное время , отказывает, и взамен
Рис. 9.9. Схема резервиро- основного подключается резервный элемент, ко-
вания замещением торый, отработав время t2, отказывает и т. д., до
подключения последнего л-го элемента.
Очевидно, что время наработки до отказа системы будет
Tc=t,+t2+...+t,.
Если элементы до включения абсолютно надежны, то для системы из
п элементов вероятность отказа системы
aw-^ftew.
а вероятность безотказной работы -
П\
r=l
258
Вероятность отказа при резервировании замещением в п\ раз меньше,
чем при постоянном резервировании. В случае равных по надежности ос-
новного и резервных элементов
п\	П\
Для экспоненциального закона распределения отказов при постоянном
значении интенсивности отказов для основного и резервных элементов, ко-
гда Q(t) ~ , вероятность отказа системы
а<о-М.
л!
а средняя наработка до отказа Г = пТср, т. е. резервирование замещением с
ненагруженным резервом позволяет увеличить среднюю наработку в и раз.
Методику расчета надежности системы с резервированием замещением
рассмотрим на примерах.
Пример 9.4. Для повышения надежности процесса контроля в системе
установлены два прибора, один из которых дублирующий (резервный). На-
дежность каждого прибора равна 0,95. При выходе из строя первого прибо-
ра происходит мгновенное переключение на второй (надежность переклю-
чающего устройства равна единице). Определить надежность системы с
двумя приборами.
Решение. Так как второй (дублирующий) прибор подключается
при выходе из строя первого, то в данном случае используется схема резер-
вирования замещением (с ненагруженным резервом), при которой
Рс (0 = 1- (1~в’,95) = °- 998 75.
Пример 9.5. В процессе контроля, описанном в предыдущем примере,
используются два прибора, но каждый из которых постоянно подключен в
систему. Найти надежность системы.
Решение. Так как имеет место схема постоянного резервирования
с нагруженным резервом, то вероятность безотказной работы системы оп-
ределим как
рс(о=1-а(о=1-П[1-ш
1=1
Произведем вычисления:
Рс(/) = 1-(1-0,95)2 =0,997 5.
Таким образом, схема в примере 9.4 менее надежна, чем в примере 9.3.
259
Пример 9.6. Для повышения надежности системы регулирования при-
бор с надежностью P(t) = 0,90 дублируется другими такими же постоянно
подключенными приборами. Сколько нужно подключить приборов, чтобы
надежность системы регулирования была не ниже Р,Р = 0,995?
Решение. Для схемы постоянного резервирования с нагруженным
резервом при равнонадежных элементах
рс(/)=Н1-р(0Г
Запишем условие Р < PQ(t). Тогда число элементов будет
ln[l-PW] ’
Произведем вычисления:
Ы (1-0,995) 1п0,005 , п
п >-----------=-------= 2,3.
In (1-0,90)	1п0,1
Принимаем п = 3.
Резервирование замещением (с ненагруженным резервом) является
эффективным способом повышения надежности системы. При этом вероят-
ность отказа в и! раз меньше, чем при постоянном резервировании. Но этот
вывод справедлив при условии, что переключение абсолютно надежно.
Расчет надежности сложных комбинированных систем. В технике
часто применяют системы, которые нельзя полностью свести ни к последо-
вательным, ни к параллельным системам. В этих системах используют
структурные схемы надежности с параллельно-последовательным соедине-
нием элементов, которые можно рассматривать как сложные комбиниро-
ванные схемы.
Рассмотрим, например, основную систему
из двух элементов АС, которая резервирована
системой BD (рис. 9.10). Кроме того, в этой
системе установлен дополнительно резервный
элемент X, который резервирует элементы С и
D, что делает систему сложной. Для расчета
подобных сложных систем пользуются теоре-
мой полной вероятности Бейеса, которая в
применении к надежности формулируется сле-
дующим
Вероятность отказа системы имеет вид
Qc = Q.(X-работоспособен)/3, + £),(.¥-неработоспособен)^,
где Рх, Qx - вероятности безотказной работы и отказа элемента X соответст-
венно.
Вероятность отказа системы при работоспособности элемента X опре-
деляют как произведение отказов элементов С и D:
Рис. 9.10. Комбинированная
система со сложным
резервированием
260
QC(X - работоспособен) = QCQD = (1 - Pc)(l - PD).
Вероятность отказа при неработоспособности элемента X находят как
произведение отказов систем АС и BD:
ft (X - неработоспособен) = QACQBD = (1 - РлРс )(1 - PBPD).
Тогда в общем случае вероятность отказа системы со сложным резер-
вированием (см. рис. 9.10) с учетом теоремы полной вероятности будет
а=(1 - pc)(i - р„)р,+а - рлрс)а - pBpD)a.
В сложных системах формулу Бейеса применяют несколько раз.
Резервирование систем. Рассматривая систему, состоящую из после-
довательно соединенных элементов, проведем анализ нескольких вариантов
ее резервирования, которое бывает общим, раздельным и смешанным.
Общее резерви-
рование системы оз-
начает, что при выхо-
де из строя любого
элемента основной
системы включается
резервная цепь (сис-
тема), которая полно-
стью заменяет основ-
ную (рис. 9.11).
Пусть имеется т
Рис. 9.11. Схема общего резервирования системы
цепей, из них (т - 1) - резервные, где Р^б) - вероятность безотказной рабо-
ты одного элемента; Pj(t)- вероятность безотказной работы цепи из п эле-
ментов. Обозначив вероятность безотказной работы системы, состоящей из
т цепей, как/^п(Х), определяют надежность системы.
Вероятность безотказной работы цепи с последовательным соединени-
л
ем п элементов будет Pj(t) = Пто . Рассматривая цепь как элемент, а сис-
/=1
тему как схему с параллельно подключенными т элементами, получают
выражение
т	щ
qjs)=Пе/о. или рс o(t)=1 - есо(о=1 - n[i -	
j=i	3=1
Производя подстановки, окончательно имеют
т	п
рс.о(о=1-П 
j=l L >=1
При равнонадежных элементах, когда Pt(t) =P2{t)^...=P„(t)=P(t),
формула для расчета надежности будет
РСЛ(0 = 1-[1-Ря(0]'".
261
Раздельное резервирование обеспечивает возможность включения в
систему резервного элемента в условиях нагруженного резерва при выходе
из строя любого элемен-
та (рис. 9.12).
Основная цепь (сис-
тема) состоит из п эле-
ментов. Каждый из п
включенных в цепь эле-
ментов имеет (т - 1) ре-
зервных элементов, ко-
торые поочередно под-
Рис. 9.12. Схема раздельного резервирования
системы
ключаются по мере от-
каза работающего эле-
мента.
Рассматривая группу т параллельно подключенных элементов как сис-
тему с резервированием, записывают:
т	т
«ли />(о=1-Ш')=1-Пе,м
у=1	;=1
где Q..(г)- вероятность отказа элемента в системе.
Учитывая, что £?,,(/) =	вероятность безотказной работы систе-
мы с раздельным резервированием представляют в виде
л	т	I
W-II р-ПО-'И')] 
м	J=1	J
при равнонадежных элементах
^₽(0={1-[1-р(0Г}я-
Следует отметить, что раздельное резервирование значительно услож-
няет конструкцию системы, что снижает эффект от его применения. На
практике часто используют смешанные системы резервирования с общим
резервированием отдельных цепей и раздельным резервированием наиболее
ответственных элементов.
При расчете надежности изделия необходимо иметь данные о надеж-
ности каждого элемента P\t), а также его структурную схему надежности.
Используя известные зависимости надежности при последовательной и па-
раллельной схемам работы элементов (в смысле надежности), можно полу-
чить общую зависимость для расчета надежности изделия.
Таким образом, если для достижения высокой надежности изделий
машиностроительного производства конструктивных, технологических и
эксплуатационных мероприятий оказывается недостаточно, то требуется
применение резервирования. Это особенно относится к сложным системам,
у которых повышение надежности отдельных элементов не позволяет до-
262
биться требуемой надежности систем в целом. Резервирование же позволя-
ет уменьшить вероятность отказов на несколько порядков.
***
Чтобы рассчитать надежность системы, нужно прежде всего описать
условия ее работоспособности, т. е. условия, при которых она может вы-
полнить стоящую перед ней задачу. Наиболее полным представлением этих
условий является графическое описание с помощью структурной схемы
системы. Вычислить значение показателей надежности можно на основе
использования этой схемы и соответствующих формул.
Задания для самостоятельной работы
9.1.	Двигатель состоит из п равнонадежных элементов с надежностью
каждого р, т из которых продублированы (имеют по одному резервному
элементу каждый). Выход из строя любого из (п — т) элементов приводит к
отказу двигателя. Определить надежность всего двигателя.
Ответ: р"^т (Т. р — р2)т.
9.2.	На космических кораблях типа «Space Shuttle» имеются три одно-
временно работающих маршевых двигателя, один из которых резервный.
Надежность каждого двигателя во время полета составляет 0,99. Опреде-
лить надежность всей двигательной установки. Какова была бы надежность
ДУ, если бы не было резервного двигателя?
Ответ-. 0,999 7; 0,98.
9.3.	Двигательная установка состоит из пяти равнонадежных двигате-
лей (р = 0,95), из которых два двигателя резервные. Найти вероятность от-
каза обоих резервных двигателей и надежность ДУ в целом.
Отвепг. 0,021 4; 0,998 8.
9.4.	Обеспечение оптимального значения надежности воспламенителя,
равного 0,99, потребовало неприемлемо высокой стоимости его отработки.
Во сколько раз уменьшатся затраты на повышение надежности от исходно-
го уровня, если применить параллельное соединение двух воспламенителей
топлива? Какой уровень надежности воспламенителя обеспечит безотказ-
ную работу резервированной системы? Исходный уровень надежности при-
нять равным нулю.
Ответ-, в 2 раза; 0,9.
9.5.	Одна из систем ДУ состоит из трех элементов, соединенных по
схеме постоянного резервирования, допускающей отказ двух элементов.
Надежность каждого элемента равна 0,99. Определить требуемое значение
надежности каждого элемента, обеспечивающее безотказную работу систе-
263
мы при переходе к параллельному соединению только двух равнонадежных
элементов.
Ответ: 0,999.
9.6.	Как изменится к концу полета летательного аппарата надежность
двигательной установки, имеющей резервные двигательные блоки? Ответ
обосновать.
Ответ: увеличится.
9.7.	Элемент ДУ имеет постоянную интенсивность отказов X. Во сколь-
ко раз возрастет вероятность безотказной работы в момент времени t при
параллельной установке резервного элемента, имеющего в два раза боль-
шую интенсивность отказов по сравнению с основным? Начальные значе-
ния ВБР элементов принять равными единице.
Ответ: 1 + kt.
9.8.	Резервированная система состоит из п равнонадежных, одновре-
менно работающих элементов и допускает отказ (п — 1) элемента. Как изме-
нится вероятность отказа системы при уменьшении вероятности отказа эле-
мента в /с раз'?
Ответ: уменьшится в кп раз.
9.9.	Оценить изменение вероятности отказа резервированной системы,
состоящей из п равнонадежных параллельных элементов, из которых г — ре-
зервные, при увеличении ВБР элемента в к раз и соответствующем умень-
шении вероятности его отказа в т раз.
Ответ: уменьшится примерно в mr+l / к”~г~' раз.
9.10.	Для условий задачи 9.9 провести расчет при п = 5, г = 2,
к= 1,026 3, т = 2. Определить первоначальную и измененную величины на-
дежности резервированной системы.
Ответ: уменьшится примерно в 7,6 раза; 0,998 84; 0,999 85.
9.11.	Как известно, надежность резервированной системы, состоящей
из п равнонадежных параллельно соединенных элементов, из которых
г элементов резервные, определяется выражением
А,(') = Е
2=0
и!
z!(n — z)!

где р - ВБР элемента. Предложить более простое выражение, не содержа-
щее знака суммы и позволяющее с точностью до пятого знака после запятой
оценить надежность системы или быстро определить надежность элемен-
тов, обеспечивающую требуемый уровень безотказной работы системы, ко-
торая имеет большое число резервных элементов.
Ответ: 1--------—------p"~r~' (1 — p)r+l.
(г + 1)!(я-г-1)!
264
9.12.	Определить значение надежности двигательных блоков, обеспе-
чивающее требуемый ТЗ уровень надежности ДУ, равный 0,999 7. Двига-
тельная установка состоит из трех равнонадежных двигателей, из которых
один двигатель резервный.
Отвепт. 0,99.
9.13.	Двигательная установка состоит из трех одновременно работаю-
щих двигателей, надежность которых соответствует диапазону значений
0,95...0,97. Определить необходимое количество резервных двигателей для
повышения надежности ДУ так, чтобы вероятность отказа ДУ была в
43,2 раза меньше вероятности отказа каждого двигателя. Для этого случая
рассчитать значения надежности ДУ и двигателей.
Ответ: 2; 0,998 8; 0,95.
9.14.	Двигательная установка состоит из нескольких одновременно рабо-
тающих двигателей, надежность которых равна 0,95. Установка двух допол-
нительных аналогичных двигателей (по схеме постоянного резервирования)
уменьшает вероятность отказа ДУ в 123 раза. Определить число основных
двигателей и найти значения надежности исходной и резервированной ДУ.
Ответ: 3; 0,857 38; 0,998 84.
9.15.	Рассчитать надежность двух систем, состоящих из четырех эле-
ментов, соединенных по схемам резервирования (рис. 9.13, а и б). ВБР эле-
ментов р\ = 0,9; р2 = 0,8;	= 0,7; р4 = 0,6.
Ответ: а - 0,807 6; б - 0,862 4.
а	б
Рис. 9.13. Схемы резервирования систем к заданию 9.15
9.16.	Найти надежность узла двига-
тельной установки, схема соединения эле-
ментов которого приведена на рис. 9.14.
Ответ: 0,999 35.
9.17.	Для обеспечения необходимой
частоты вращения топливного насоса при-
вод от турбины осуществляется через ре-
дуктор, схема которого приведена на
рис. 9.15. Уровень надежности редуктора,
Рис. 9.14. Схема узла ДУ
к заданию 9.16
установленный ТЗ, 0,99. Определить требования к надежности зубчатых
передач, если передачи 2 и 3 идентичны, а вероятность отказа зубчатой пе-
редачи равна q2, где q2 — вероятность отказа зубчатой передачи 2.
Ответ: р\ = 0,994 99; рг =р3 = 0,929 2.
265
9.18.	Пронормировать надежность системы ДУ, имеющую значение
р = 0,99, по ее элементам, схема соединения которых приведена на
рис. 9.16. Результаты испытаний, аналогичных по соотношению сложности
элементов, показали, что значения интенсивности их отказов постоянны, а
статистические оценки вероятности безотказной работы соответственно
А =0,99, р2 = р'3 =0,9.
Ответ'.р{ = 0,993 98;р2—рз = 0,938 64.
к заданию 9.17	Рис. 9- О. Схема системы
ДУ к заданию 9.19
9.19.	Пронормировать надежность системы двигательной установки по
ее элементам для системы, приведенной на рис. 9.17, если ВБР системы
р = 0,995, а статистические оценкир\ = 0,97,р 2 ~ 0,95 р’3 = 0,88.
Ответ'. р\ = 0,978 9; р2 = 0,964 5; рт, = 0,911 5.
9.20.	Определить вероятность отказа ДУ, состоящей из основного и ре-
зервного двигателей. Резервный двигатель включается в работу вместо ос-
новного. Надежности каждого двигателя принять равными 0,99, а вероят-
ность отказа переключающего устройства - 0,001.
Ответ'. 5,99-10 5.
9.21.	Для условий задания 9.20 определить изменение вероятности от-
каза ДУ при переходе от резервирования замещением двигателей к посто-
янному резервированию.
Ответ: увеличится в 1,67 раза.
9.22.	Во сколько раз возрастет среднее время безотказной работы ре-
зервированной системы при 10-кратном резервировании с постоянно вклю-
ченным резервом по сравнению с нерезервированной системой?
Ответ', в 3,2 раза.
266
9.23.	Используя график
зависимости вероятности без-
отказной работы системы от
времени, представленный на
рис. 9.18, определить для за-
висимостей а, б и в количест-
во постоянно включенных ре-
зервных систем г.
Ответ: а-г= 1;б-г = 2;
в - г = 3.
0.0	0,4	0,8 1Д 1,6	2,0	2,4	2,8
Рис. 9.18. График зависимости ВБР
от времени к заданию 9.23
9.24.	Двигательная уста-
новка первой ступени ракеты-
носителя «Сатурн-1» состоит
из восьми автономных ЖРД типа Н-1, в то время как для выполнения про-
граммы полета достаточно только шести (допускаются отказы двух диамет-
рально противоположных двигателей). Таким образом, два ЖРД находятся
в поятоянно нагруженном резерве. Определить вероятность безотказной ра-
боты двигательной установки рду, если надежность автономного двигателя
Ро = 0,99, а системы аварийной защиты рса,3 = 0,995.
Ответ: рау = 0,993.
9.25.	Для условий задания 9.24 определить, при каком значении рс аз
система аварийной защиты сводит эффект резервирования к нулю.
Ответ: рслл = 0,947.
9.26.	Определить вероятности безотказной работы систем, состоящих
из двух (к = 2) равнонадежных элементов (р = 0,9), соединенных по схемам
рис. 9.19, а и б.
Ответ: ра = 0,964; р6 = 0,980.
Контрольные вопросы и задания
1.	Каковы основные цели и задачи расчета показателей надежности
систем?
2.	Что такое основная система и в чем состоит условие ее безотказной
работы?
3.	Что такое математическая модель расчета надежности?
267
4.	Определите состав рассчитываемых показателей безотказности сис-
темы.
4.	Что такое структура надежности?
5.	Перечислите и поясните основные этапы расчета надежности систем.
6.	Какие виды резервирования существуют? В чем состоит отличие
между нагруженным и ненагруженным резервированием?
7.	Что такое кратность резервирования и каково отличие целой и дроб-
ной кратности?
8.	Какой закон распределения наработки до отказа будет иметь основ-
ная система, если законы распределения наработки до отказа элементов яв-
ляются экспоненциальными? Привести доказательство.
9.	Как определяются показатели безотказности основной системы?
10.	В чем заключается необходимость распределения норм надежности
между элементами основной системы?
11.	Какие способы распределения норм надежности между элементами
основной системы существуют и чем они отличаются?
12.	Что представляет собой ненагруженное резервирование и как слу-
чайная наработка до отказа системы связана со случайными наработками
составляющих систему элементов?
13.	Каковы основные допущения, принятые при расчете системы с не-
нагруженным резервированием?
14.	К какому закону распределения стремится наработка до отказа сис-
темы при больших значениях кратности резервирования?
15.	Проанализируйте, как изменяется вероятность безотказной работы
системы с увеличением кратности резервирования.
16.	При каких условиях ненагруженное резервирование становится
значительно эффективнее нагруженного?
17.	Какой закон распределения наработки до отказа будет у системы с
ненагруженным резервированием, если законы распределения наработки до
отказа элементов являются нормальными?
18.	Приведите расчетные формулы показателей безотказности для сис-
темы с нормальным распределением наработки элементов.
19.	Сформулируйте условие работоспособности системы с облегчен-
ным резервом.
Глава десятая
Надежность ракетных двигателей
Надежность ракетного двигателя закладывается при проектировании,
обеспечивается в производстве и поддерживается в эксплуатации. Проект-
ная надежность - это надежность, полученная расчетами и уточненная ис-
пытаниями в процессе доводки. Основная цель разработки надежного изде-
лия заключается в достижении требуемой эксплуатационной надежности
при минимальных затратах материальных средств. Рассмотрим методы рас-
чета и обеспечения надежности ракетного двигателя.
10.1.	Ракетный двигатель как объект оценки надежности
Особенности ракетных двигателей как объектов оценивания надежно-
сти определяются задачами и условиями применения, конструкцией и ха-
рактером протекающих в них рабочих процессов.
В большинстве случаев ракетные двигатели представляют собой не-
восстанавливаемые системы однократного применения. Отказ двигателя
означает невыполнение задачи полета летательного аппарата, поэтому тре-
бования к надежности двигателя должны быть достаточно высокими. Осо-
бенностью ракетных двигателей является и то, что эти двигатели в зависи-
мости от их назначения и условий применения могут значительно разли-
чаться как по характеристикам рабочего процесса, так и по конструкции.
Это резко ограничивает объем используемых данных для определения и
контроля надежности. В ряде случаев оказывается вообще невозможным
иметь представительную выборку, характеризуемую необходимым количе-
ством испытаний одинаковых двигателей в идентичных условиях, особенно
для двигателей индивидуального изготовления и использования, например
для жидкостных ракетных двигателей космических ракет-носителей, яв-
ляющихся наиболее напряженным типом двигателей.
К массовым характеристикам ракетных двигателей, как и к любому
элементу летательных аппаратов, предъявляют высокие требования. Это
вынуждает их разработчиков предельно снижать массу всех агрегатов дви-
гателя и, соответственно, уменьшать запасы прочности их деталей, что соз-
дает определенные сложности при решении вопросов надежности.
Ракетные двигатели состоят из большого количества агрегатов и эле-
ментов, в которых протекают разнообразные физико-химические процессы.
К основным элементам жидкостного ракетного двигателя относятся камера
сгорания, насосы, турбина, газогенераторы, трубопроводы, элементы авто-
матики и др.
При работе двигателя его камера испытывает сложное нагружение, вы-
зываемое совместным действием давления газов и охлаждающей жидкости
269
с неравномерным нагревом конструкции. Поверхность стенки камеры, со-
прикасающаяся с продуктами сгорания, подвергается эрозии под действием
газового потока. В аналогичных условиях работают и генераторы газа для
турбины турбонасосного агрегата.
Режимы работы насосов и турбины ТНА также являются очень напря-
женными. Многие элементы этого агрегата находятся под воздействием высо-
кого давления. К нагрузкам, вызываемым давлением, добавляются нагрузки,
возникающие вследствие действия центробежных сил, которые могут дости-
гать больших значений из-за высоких частот вращения ротора ТНА. Лопатки
турбины находятся в среде химически активных газов, температура которых
достигает величин, предельных по прочности для материала лопаток.
Под большим давлением и в условиях воздействия сильно агрессивных
жидкостей работают и трубопроводы и элементы автоматики двигателя.
Таким образом, основные агрегаты ЖРД в процессе его работы испы-
тывают воздействие больших давлений, высоких температур, значительных
центробежных сил, эрозии, вызываемой газовым потоком, который движет-
ся с большой скоростью, коррозии от агрессивных компонентов топлива.
Некоторые из этих воздействий одновременно оказывают влияние на мно-
гие элементы двигателя, а в периоды запуска и выключения и при измене-
нии режима его работы они являются нестационарными.
Одним из основных показателей работоспособности для ракетных дви-
гателей является наработка до отказа. Под отказом двигателя понимают
такое его состояние, при котором вследствие разрушения конструкции или
отклонения характеристик рабочего процесса за пределы допустимых зна-
чений двигатель не выполнит возложенных на него функций в составе лета-
тельного аппарата.
Отказ двигателя проявляется в результате появления одного или не-
скольких событий (неисправностей), таких как механическое разрушение,
прогар конструкции, выход за пределы допуска характеристик рабочего
процесса двигателя и свойств конструкционных материалов и т. д. (под не-
исправностью понимают любое нарушение условий, оговоренных в техни-
ческой документации).
По времени развития отказы разделяют на две группы:
-	постепенные, медленно развивающиеся отказы, время развития кото-
рых от момента возникновения неисправности до прекращения работы из-
делия составляет не менее 0,1 с;
—	скоростные отказы со временем развития не более 0,1 с.
Постепенные отказы приводят к замедленному выходу изделия на
режим или к его незапуску, а также к снижению или форсированию режима
работы и самоостанову двигателя.
Эти отказы могут быть зарегистрированы и локализованы системой
аварийной защиты (САЗ) по давлению в камере сгорания, температуре ге-
нераторного газа, оборотам ТНА.
Причины постепенных отказов следующие:
—	несрабатывание или несвоевременное срабатывание элементов
автоматики;
270
—	негерметичность датчиков, клапанов;
—	разрушения или трещины топливных трубопроводов;
-	неправильная сборка или загрязнение посторонними предметами
внутренних полостей ЖРД;
—	несоответствие гидравлических характеристик и точности их на-
стройки требованиям технической документаций.
Скоростные отказы приводят к разрушению и аварийному выключе-
нию двигателя.
Причины этих отказов таковы:
-	высокочастотная неустойчивость рабочего процесса в камере двига-
теля (эта причина наиболее опасная и частая, с ней связано 70 % скоротеч-
ных отказов);
—	появление усталостных трещин лопаток турбин и последующее их
разрушение;
-	разрушение подшипников турбонасосного агрегата и его некачест-
венная сборка.
Отказы двигателя возникают в результате нарушения установленных
правил и норм конструирования (конструкционные отказы), процесса изго-
товления (производственные отказы), правил и условий эксплуатации (экс-
плуатационные отказы).
Конструкционные отказы характеризуются тем, что они возникают по
общим для всей партии изделий причинам. Конструкционный дефект, про-
явив себя в одном экземпляре, в повторяющихся ситуациях проявится
вновь. Повторяемость облегчает выявление причин отказов, которые до
устранения конструкционных дефектов рассматриваются как случайные.
Выявление и устранение причин конструкционных отказов - основная
цель комплексных испытаний изделия. Задачей надежности на этом этапе
является разработка программ испытаний, оптимальных с точки зрения за-
данной надежности, а также оценка достигнутого уровня надежности и эф-
фективности доработок.
Производственные и эксплуатационные отказы выявляют, как прави-
ло, на конкретных двигателях, и эти отказы не характеризуют всю партию.
Исключить такие отказы можно за счет установления статистических зако-
номерностей возникновения отказов и выработки мероприятий по их устра-
нению путем совершенствования методов производства и эксплуатации.
Признаками отказов ракетного двигателя могут быть непосредствен-
ные или косвенные результаты определения или измерения значений пара-
метров, установленных НТД и характерных для его неработоспособного со-
стояния (падение давления в камере сгорания, появление вибраций, изме-
нение температурного режима и т. д.).
Выделяют следующие типы параметров двигателя:
—	параметры отказа, существенные изменения которых не приводят к
разрушению двигателя (удельный импульс, глубина дросселирования двига-
теля, временные параметры переходных режимов), но в то же время не позво-
ляют выполнить задачи полета. Такие отказы называют параметрическими',
Т1\
-	параметры функционирования, существенное изменение которых
приводит к разрушению двигателя (давление в камере сгорания, интенсив-
ность вибраций, значение расхода рабочих тел, охлаждающих какие-либо
агрегаты). Эти параметры в значительной мере влияют на время работы
двигателя до отказа.
Для параметров отказа используют дисперсионный и регрессионный
анализ обработки результатов испытаний, для параметров функционирова-
ния - модели типа «нагрузка 7V(Z) — живучесть (несущая способность) R(f)».
Вид зависимости R(t) обусловлен механизмом разрушения деталей и
узлов двигателя.
Различают два механизма разрушения:
а)	износ изделий из-за трения и массообмена, вызванный следующими
причинами:
-	налипанием посторонних частиц в каналах малого диаметра;
-	эрозией поверхностей и, соответственно, уносом материала в высо-
коскоростных потоках;
-	износом трущихся поверхностей в кинематических парах;
б)	износ деталей из-за энергообмена с последующим изменением ме-
ханических, химических, электрических и прочих свойств материала, воз-
никающий вследствие изменения физической структуры материала под
воздействием высоких температур, полей излучений при стационарных или
переменных нагрузках.
Чаще всего показателем надежности по заданному критерию выступает
вероятность безотказной работы P{t). Расчет сводится к сопоставлению
значений действующей нагрузки и несущей способности и определению
вероятности, при которой действующая нагрузка не будет превышать не-
сущую способность:
P(Z)=Bep[/?(0>M0].
Способность двигателя сохранять работоспособное состояние и вы-
полнять указанные техническим заданием функции в пределах установлен-
ных интервалов называется безотказностью двигателя.
Вероятность безотказной работы ракетного двигателя представляет со-
бой вероятность, с которой двигатель в течение единичного ресурса будет
удерживать в установленных техническим заданием пределах значения всех
параметров работоспособности [7]:
Junin < У, <
P(z) = Bep- у^<у^<у^’
. Jnmin < Уп < Jnmax’
где Jimax- верхние и нижние допустимые значения параметров, уста-
новленные техническим заданием.
Вероятностная оценка работоспособности зависит от следующих об-
стоятельств:
272
Старт ракеты «Протон»
Летные испытания ракетного двигателя в составе ракеты
Огневые испытания ракетного двигателя на наклонном стенде
Огневые испытания ракетного двигателя на вертикальном стенде
Стенд для огневых испытаний ЖРД
Стенд для отработки конструкций двигательных установок
- детали двигателя имеют допуск на геометрические размеры, а факти-
ческие размеры распределены в пределах допуска;
— входные факторы двигателя, определяющие выходные параметры,
имеют, согласно техническому заданию, диапазон, в котором входные фак-
торы распределены случайно. Эти факторы могут быть представлены дав-
лением окислителя и горючего на входе в двигатель, температурой и газо-
насыщением компонентов топлива, температурой конструкции двигателя,
углами поворота исполнительных органов регуляторов и др.
Если случайно распределенный выходной параметр у имеет плотность
распределения, определяемую функцией fly), то вероятность того, что в лю-
бом экземпляре двигателей значение у не выйдет за пределы, назначенные
техническим заданием, будет
Р(у) = Вер(у”<у<у^)=
Для использования этого выражения в практических расчетах надеж-
ности ракетного двигателя необходимо установить вид функции fly) и опре-
делить ее числовые характеристики. Вид и характеристики этой функции
приближенно задают при прогнозировании надежности и проектировании
двигателя и уточняют в процессе отработки и набора статистики при его
эксплуатации.
Если все неисправности таковы, что каждая из них приводит к отказу,
то вероятность безотказной работы двигателя
к
<=1
где к - число выходных параметров двигателя, определяющих его безотказ-
ность.
Оценку вероятности безотказной работы двигателя производят как по
параметрам функционирования, так и по ресурсу, выражаемому наработкой
до отказа. При этом для получения значения такой оценки необходимо пе-
ремножить оценки вероятностей безотказной работы по параметрам функ-
ционирования Т’ (г) и по ресурсу Р (г):
Д0 = Рф(0-Рр(0.
Современные двигатели любых типов, в том числе и жидкостные ра-
кетные двигатели, состоят из ряда систем и агрегатов, в свою очередь соб-
ранных из большого количества элементов. Достижение полной равнопроч-
ности и одинаковой надежности всех систем и элементов невозможно, так
как это потребовало бы проведения неоправданно большого объема дово-
дочных испытаний. Для практических целей вполне достаточно, если агре-
гат (элемент) двигателя с минимальной надежностью имеет вероятность от-
каза меньше или равную требуемой ТЗ.
Опыт ресурсных испытаний ЖРД подтверждает, что минимальную на-
работку до отказа имеют агрегаты двигателя, работающие при максимальных
18 Нены ।анис раке них лшн aслеп	974
(по сравнению с остальными агрегатами) нагрузках, например камеры сгора-
ния. Для подобных агрегатов характерны большие скорости износа (скорости
снижения начальной живучести под воздействием нагрузки), что и приводит
к малому ресурсу, несмотря на большие запасы начальной живучести.
Огневые испытания показали, что 100 % износовых отказов при ресурс-
ных испытаниях отработанных ЖРД происходят именно по агрегату с мини-
мальной средней наработкой до отказа, в то время как ресурсы остальных аг-
регатов больше примерно на порядок [6]. Кроме того, по этим же опытным
данным очевидно, что дисперсии наработок до отказа у большинства агрега-
тов двигателя малы по сравнению с их средними значениями. По имеющим-
ся статистическим данным [6] коэффициенты вариации имеют значения
—<0,2,
Т
ср
где Гср - средняя наработка до отказа; О,. - среднее квадратическое отклоне-
ние наработки до отказа /-го агрегата двигателя.
Агрегат с минимальной средней наработкой до отказа можно считать
самым слабым звеном двигателя, определяющим его ресурс в целом. Изно-
сом остальных агрегатов после завершения их отработки обычно можно
пренебречь не только во время работы в полете, но и на протяжении всего
ресурса слабейшего звена. Исходя из этого положения все виды отказов ра-
кетных двигателей разделяют на два основных типа:
—	постепенные (износовые) отказы слабейшего звена;
—	внезапные отказы остальных агрегатов двигателя.
Внезапные отказы агрегата возникают без заметного предварительного
износа и вызываются имеющимися скрытыми дефектами или выбросами
нагрузки. Главную роль в надежности двигателей играют именно скрытые
дефекты, поскольку выбросы нагрузки обычно малы по сравнению со сред-
ними запасами начальной живучести агрегатов и не могут привести к отка-
зам агрегатов, изготовленных без дефектов. Как характер и место скрытого
дефекта, так и величина и момент выброса нагрузки связаны со случайным
совпадением множества причин. Это приводит к тому, что не только сам
момент отказа, но и вид отказа (характер разрушения) при внезапном отказе
носит случайный характер и не может повторяться.
Постепенные отказы агрегата связаны с действием какого-либо опре-
деленного комплекса физико-химических причин, приводящего к однород-
ным, повторяющимся по характеру разрушениям (например, к прогарам ог-
невой стенки сопла в районе критического сечения). Следовательно, посте-
пенные отказы рано или поздно произойдут даже у агрегатов, не имеющих
никаких производственных дефектов изготовления, и случайным у них бу-
дет лишь сам момент отказа.
Основным методом оценки и уточнения параметров надежности двига-
телей является проведение стендовых (наземных) испытаний в условиях,
приближенных к эксплуатационным. Достоверность показателей зависит от
объективности выводов, сделанных после каждого отдельного испытания.
274
При оценке надежности двигателя используют только результаты зачетных
испытаний, т. е. испытаний, проведенных в соответствии с разработанным
планом и методикой.
Таким образом, ракетные двигатели должны отвечать требованиям высо-
кой надежности, т. е. гарантировать безотказную работоспособность в течение
всего ресурса в заданных условиях. Особенно большие требования предъяв-
ляют к надежности двигательных установок пилотируемых комплексов.
10.2.	Обоснование количественных требований
к надежности двигателя
Выбор оптимального значения уровня надежности является важной за-
дачей при создании ракетных двигателей. Исходный критерий обоснования
конкретного показателя надежности двигателя - это условие минимизации
затрат средств на его разработку и применение. Очевидно, что с увеличени-
ем числа проводимых в период отработки испытаний, при которых выяв-
ляют и устраняют дефекты (причины отказов), повышается вероятность
безотказной работы изделия. Поэтому более надежное изделие требует
большего числа доводочных испытаний.
Стоимость испытаний имеет линейную зависимость от их числа
(рис. 10.1):
где п - число испытаний; SIIcn
стоимость одного испытания.
Применение более надежных
изделий снижает ожидаемые поте-
ри от их отказов в период примене-
ния по назначению. Если отказ
приносит ущерб то ожидае-
мые потери при отказе будут
4<n=4m[ew=>4OTK[i-p(/)],
Рис. 10.1. График определения
эффективности нормирования
уровня надежности
где Q(t) - вероятность отказа изде-
лия; Р(/) - вероятность безотказной работы.
Суммарные затраты средств на разработку и применение изделия со-
ставят
4.ум 4>тр + ^пот '
Кривая Д. имеет минимум, после которого затраты (потери) возрас-
тают. Затраты на отработку оправданны, когда они компенсируются ожи-
даемым снижением потерь от отказа изделия при эксплуатации. Условие
такой компенсации следующее:
275
dA^ s dA^
dP(t) dP(t) ’
Точка минимума на кривой (см. рис. 10.1) определяет на оси п оп-
тимальное значение числа испытываемых изделий и величину Р™(Р) на
графике вероятности безотказной работы. Минимально допустимое значе-
ние надежности представлено в техническом задании в виде нижней грани-
цы Ртз(/) при доверительной вероятности у13, с которой должно выпол-
няться требование ТЗ. Для специальной техники, которая при эксплуатации
выполняет особые функции (летательные аппараты, объекты особого на-
значения и др.), требуемые значения надежности устанавливаются по кри-
териям, отличающимся от условий минимизации затрат. Например, для пи-
лотируемых полетов надежность ракетных двигателей диктуется условиями
безопасности полета космонавтов и не имеет оптимального значения.
Количественная оценка надежности двигателей позволяет судить о
степени их отработанности и возможности практического применения. Ис-
следование количественных характеристик сводится к следующим меро-
приятиям:
-	оценке надежности на всех этапах его создания;
-	проверке соответствия двигателя предъявляемым требованиям;
—	контролю надежности в процессе серийного производства.
По результатам оценок принимают меры по конструкторскому и экс-
плуатационному обеспечению требуемого уровня надежности, производят
планирование материальных затрат, производственных мощностей и других
технико-экономических показателей. Но как бы ни была совершенна техно-
логия производства, всегда возможны отклонения качества продукции
вследствие ряда различных причин. Поэтому статистический контроль,
осуществляемый на производстве постоянно, позволяет отбраковывать де-
фектные элементы двигателя в процессе их изготовления.
Таким образом, обоснование количественных требований к надежно-
сти изделий обеспечивает назначение таких оптимальных значений показа-
телей, которые наилучшим образом сочетают затраты на проектирование,
изготовление и эксплуатацию и расходы, связанные с отказом изделия.
10.3.	Оценка и обеспечение надежности на различных
этапах создания ракетного двигателя
На различных этапах создания ракетного двигателя возникают специ-
фические задачи надежности, которые будут рассмотрены ниже.
Этап проектирования. Обоснование надежности на этапе проектиро-
вания — важная и сложная проблема. Проектная надежность — это надеж-
276
ность, полученная на основании расчетов и уточненная во время испытаний
в процессе доводки двигателя.
На этапе проектирования решаются следующие задачи:
-	формирование показателей надежности двигателя и его элементов, а
также требований к этим показателям, осуществляемое в процессе выбора
принципиальной конструктивной схемы;
—	конструирование элементов двигателя и выбор их основных проект-
ных характеристик (запасов прочности, запасов по ресурсу и т. д.);
-	определение и контроль надежности двигателя по проектным мате-
риалам;
—	разработка документации на изготовление опытных натурных образ-
цов двигателей и программы испытаний с учетом требуемой надежности.
Чаще всего проектирование основывается на опыте накопленном при
работе аналогов. В этом случае проектирование разбивают на следующие
этапы:
-	сбор материалов о работе аналогичных конструкций;
-	анализ работоспособности существующих аналогов и причин не-
удовлетворительных исходов испытаний для улучшения и усовершенство-
вания разрабатываемой конструкции;
-	составление функциональной и структурной схем надежности, оцен-
ка надежности на различных режимах работы. При этом определяют точеч-
ную оценку вероятности безотказной работы P'm(t) и интервальную оценку
- нижнюю границу вероятности безотказной работы Ри дв.
Для последовательного соединения элементов системы в структурной
схеме надежности расчет производят по формулам
к
Л*в(0=П^(д)-
где к - число выходных параметров двигателя, определяющих его безотказ-
ность; Ри - нижняя граница вероятности безотказной работы г-го элемента.
Если в результате расчета надежность оказывается ниже заданной, то
слабейшие звенья в функциональной схеме заменяют более надежными.
Если же использовать более надежные элементы невозможно, то повыше-
ние надежности осуществляют другими способами, например доработкой
конструкции слабейших элементов, резервированием и др. В этом случае
резервированию подлежат те элементы, надежность которых является ли-
митирующей и при автономной доработке которых не удалось получить не-
обходимой надежности или же в процессе эксплуатации условия их работы
существенно изменились по сравнению с условиями стендовой отработки.
Методику расчета нижней доверительной границы вероятности и без-
отказной работы при проектировании ракетного двигателя и его агрегатов
рассмотрим на примере.
277
Пример 10.1. Пусть некоторый агрегат двигателя по функциональному
назначению условно разбит на пять элементов, причем по двум элементам
оценка надежности может быть получена расчетным путем, а по трем эле-
ментам - по результатам испытаний. Найти нижнюю доверительную грани-
цу вероятности безотказной работы агрегата с уровнем доверия у =0,9, ес-
ли известны следующие исходные данные: время работы агрегата
t = 1 000 с; интенсивности отказов первого и второго элементов соответст-
венно =1,5-10'’ с"1 и Х2 = 2,0 10“5 с'1. Третий элемент испытывали в
объеме иэ=10 циклов при длительности каждого цикла /ц=1000 с, при
этом отказов не зафиксировано, т. е. т3 = 0. Объем испытаний четвертого
элемента л4=20 циклов, зафиксировано т4-2 отказа; объем испытаний
пятого элемента «5 = 25 циклов, зафиксирован т5 — 1 отказ.
Решение. Определим надежность каждого элемента:
Р, = ехр(-Х/) = ехр(-1,5 • 10 5  1 000) = 0,985,
Р2 = ехр(-Х,/) = ехр(-2,0 • 10“5  1 000) = 0,980,
PHj =	= ф-0,9 = 0,794,
Р\ = 1 - т4/п4 = 1 -2/20 = 0,90,
Р\=1-т5/п5 =1-1/25 = 0,960.
Тогда оценка нижней доверительной границы будет
0 794
=	0,90  0,960  0,985  0,980 = 0,689.
0,960
Таким образом, для заданных условий оценка нижней доверительной
границы безотказной работы Рк агр = 0,689.
Одна из важнейших задач на этапе проектирования двигателя состоит в
правильном распределении показателей надежности между составляющими
его элементами таким образом, чтобы надежность двигателя в целом соот-
ветствовала назначенному техническим заданием уровню.
Распределение норм надежности проводят на этапах эскизного и рабо-
чего проектирования. Предполагается, что на любом из этих этапов конст-
руирования изделие можно разбить на некоторое число элементов в виде
отдельных сборочных единиц и исходить из начальной надежности каждого
элемента, полученной по расчету или результатам испытаний элементов.
Пусть надежность входящих в изделие (систему) элементов будет
Pt,P2,...,P„. При отказе любого элемента происходит отказ изделия, т. е.
имеет место система с последовательным соединением элементов. Тогда
надежность системы имеет вид Рс = Pt Р2 Р„.
278
Требуемая надежность системы — Р причем значение надежности
должно удовлетворять условию безотказности Рр< Рс. Если в результате
предварительного расчета надежности системы получен результат Р >РС,
то возникает задача, которая состоит в повышении хотя бы одного из зна-
чений Р, до такого уровня, который смог бы обеспечить требуемое условие
Р^< Рс. Для повышения надежности необходимо либо применить в системе
более надежные элементы, либо ввести резервирование отдельных элемен-
тов. Очевидно, что каждый вариант повышения надежности предусматри-
вает дополнительные затраты как на отработку изделия, так и на его изго-
товление. При этом каждый из вариантов имеет свою стоимость. Возникает
вопрос: какое решение по повышению надежности является наиболее оп-
тимальным?
Методика оптимального повышения надежности системы Рс до тре-
буемого значения Р будет следующей.
Надежности элементов Рп где i = 1, 2, ..., и ранжируют, т. е. распола-
гают в неубывающей последовательности: Pt < Рг <...</}<...< Рп. Из полу-
ченной последовательности выделяют группу Д, Р2,..., Рк, где номер к вы-
бирают по максимальному значению j = i +1, для которого
где PMl = 1 по определению.
Каждую из надежностей Р1,Р2,...,Рк увеличивают до одного и того же
значения Р^, а надежности Рм, Рк+2,..., Рп остаются неизменным. Значение
Р^ определяют по соотношению
Очевидно, что надежность системы после определения РОтр будет удов-
летворять заданному требованию, поскольку новая надежность системы
л+1
(=4+1
Данная методика учитывает, что достижение большей надежности
элемента всегда требует для этого более значительных затрат по сравнению
с меньшим уровнем надежности. Поэтому вариант повышения надежности
279
элементов для обеспечения требования надежности по приведенной мето-
дике является оптимальным.
Рассмотрим практическое использование методики оптимального по-
вышения надежности изделия на примере.
Пример 10.2. Пусть агрегат двигателя состоит из трех элементов. На-
дежность каждого из них соответственно Д = 0,92, Р2 = 0,95, Р, = 0,98. Из-
вестно, что отказ любого элемента приводит к отказу агрегата в целом. Тре-
буемое значение надежности Р =0,90. Провести перераспределение норм
надежности таким образом, чтобы произведение вероятностей элементов
соответствовало заданному требованию.
Р е ш е и и е. По исходным данным определим
Р = Р,  Р2  Р3 = 0,92  0,95  0,98 = 0,857.
Находим число к, используя значения величин г,:
0,90~|'/3
1,0
= 0,965.
Так как Рх<гх, Р2<г2, Р3> г2, то принимаем fc=2. В этом случае наи-
большее значение индекса j со свойством Р <г равно двум. Далее получим
г -I*'1
= 0,958 5.
Это означает, что средства на повышение надежности агрегата необхо-
димо распределить следующим образом: надежность первого элемента уве-
личить с 0,92 до 0,958 5; надежность второго элемента - с 0,95 до 0,958 5;
надежность третьего элемента оставить на прежнем уровне. В результате
вероятность безотказной работы агрегата
Рар =(0,958 5)2-0,98 = 0,90.
После завершения этапа проектирования ракетного двигателя присту-
пают к его конструкторской отработке.
Этап конструкторской отработки. Этот этап позволяет довести па-
раметры двигателя до установленных техническим заданием значений, оп-
280
ределить его соответствие требованиям надежности и обосновать возмож-
ность практического применения.
В процессе проектирования имеют место случаи, когда двигатель в це-
лом или его отдельные агрегаты создаются заново. Тогда автономной отра-
ботке уделяют значительные время и средства, а оценку надежности схемы
в целом производят только после ее завершения. Доработку конструкции
слабейших звеньев на этапе отработки проводят в соответствии с требова-
ниями технического задания, чтобы обеспечить их работоспособность в за-
данных условиях эксплуатации. Агрегат выполняют в металле, проводят его
автономные стендовые испытания, по результатам которых судят о соот-
ветствии или несоответствии этого агрегата установленным требованиям и
дают оценку его надежности.
На этапе отработки проводят следующие действия:
-	уточнение на основе экспериментальных данных проектных характе-
ристик и характеристик технологического процесса, обеспечивающих вы-
полнение требований к показателю надежности;
—	выявление факторов, не учитываемых при проектировании, опреде-
ление и контроль надежности двигателя с учетом их воздействия;
-	уточнение принципиальной и конструктивной схемы двигателя по
результатам испытаний и оценка его надежности;
-	корректировка программ поэлементных испытаний и испытаний дви-
гателя в целом;
-	составление программ завершающих наземных испытаний для под-
тверждения заданных требований к показателю надежности и проведения
летных испытаний в составе летательного аппарата.
За основной критерий надежности принимают вероятность безотказ-
ной работы двигателя в заданных условиях эксплуатации P(j). Для его
оценки используют два показателя: точечную оценку вероятности безотказ-
ной работы Р*в (/):
п — т	. п
Рт =----- при т > О, Р =-----при т = О,
п	п +1
и интервальную оценку - нижнюю границу вероятности безотказной рабо-
ты Р*, вычисляемую при заданной доверительной вероятности у:
“ и'
1 - т=z	7 с1 -р« у при т > о> р«=
^1-у при т = 0,
где п - количество проведенных испытаний; т — число отказов.
Выбор значения доверительной вероятности у чаще всего не является
статистической задачей и устанавливается по договоренности между заказ-
чиком и разработчиком двигателя.
В результате выполнения комплексного плана конструкторских испы-
таний обеспечивается соответствие всех параметров двигателя требованиям
ТЗ при всех возможных сочетаниях факторов, от которых зависят парамет-
ры двигателя, с вероятностью Р и доверительной вероятностью у.
281
В процессе экспериментальной отработки опытные образцы агрегатов
и двигателя, как правило, подвергают изменениям для устранения конст-
рукторских и технологических причин отказов. Основания и информацию
для доработки получают экспериментальным путем в результате проведе-
ния испытаний. Считают, что частота отказов в зависимости от числа про-
веденных доработок имеет тенденцию к уменьшению, а средняя наработка
до отказа возрастает. Однако перед разработчиком в данном случае стоит
конкретная задача - оценить эффективность доработки методами качест-
венного и количественного анализа.
Метод качественного анализа используют в том случае, когда дора-
ботка связана с повышением эксплуатационных характеристик технической
системы (например, с улучшением условий работы обслуживающего пер-
сонала, изменением экологических показателей и т. п.).
Количественную оценку эффективности проводимых доработок системы
определяют с помощью критериев значимости. Суть метода количественно-
го анализа эффективности доработки состоит в сравнении показателей на-
дежности или статистических функций распределения вероятностей отказов,
полученных как на этапе до доработки, так и на этапе после ее проведения.
Известны параметрические и непараметрические модели (критерии)
проверки гипотез с некоторым предварительно заданным уровнем значимо-
сти или вероятностью ошибки а принятия неправильного решения.
Параметрический метод построения модели основан на том, что для
отражения тенденции повышения надежности дорабатываемого изделия
используют кривые роста, которые содержат один или несколько парамет-
ров. Эти параметры оценивают по результатам испытаний. Параметриче-
ские модели подразделяют на модели роста вероятности безотказной рабо-
ты и модели роста средней наработки до отказа.
Одним из параметрических методов оценки характеристик надежности
является метод кривых роста надежности, который используется в период
отработки. Кривая роста надежности выражает зависимость числа отказов с
начала испытаний т от числа испытаний п (рис. 10.2).
Исходя из того, что при уве-
личении числа испытанных двига-
телей и приращение количества
отказов Д/л стремится к нулю,
принимают следующие условия:
— перед испытаниями п = 0 и
т = 0 (начало отсчета);
- при и—т—>const, так
как Д/т? —» 0;
П<1 И
Рис. 10.2. Кривая роста надежности
— текущие значения числа
испытанных двигателей п и коли-
чества отказов т будут
п = п0, т — т0.
282
Тогда характеристику кривой роста надежности m=f(n) аппрокси-
мируют экспоненциальной функцией
т = Л(1-е_а"),
где а - коэффициент темпа роста надежности; А - коэффициент функции.
Для условия и = п0, т = т0 можно записать
откуда определяют значение коэффициента функции
1-е	’
после чего окончательно находят аппроксимирующую функцию роста на-
дежности
Коэффициент темпа роста надежности а, характеризующий вид кри-
вой, аналитическими способами определить нельзя. Его значения подбира-
ют методом наименьших квадратов по расчетным и фактическим значениям
чисел отказов тр и тф:
Точечное значение вероятности безотказной работы P(t) определяют
по аппроксимирующей функции роста надежности с учетом зависимостей
р(/)=1-е«ие(/)=^=щ0Т5^,
где 2(0 ~ вероятность отказа. Тогда вероятность безотказной работы
-и»
Р(0 = 1-2(0 = 1-а^17е_а„„ ,	(ЮЛ)
которая при и —э <*> стремится к единице, а при п = 0 принимает значение
po(r) = l-aWo—1^-.	(Ю.2)
Полученное выражение показывает, что к началу отработки, когда
и = 0, надежность двигателя Д,(/)>0. Это объясняется тем, что проект
двигателя разработан на основе имеющегося опыта создания ракетных
двигателей. Если преобразовать это выражение, то можно получить зави-
симость вероятности безотказной работы от исходной вероятности и числа
испытаний
283
При заданной вероятности безотказной работы P(t) и расчетной веро-
ятности P0(t) определяют число испытаний п для обеспечения заданного
значения P{t).
Число испытаний двигателя, которые необходимо провести для достиже-
ния заданного уровня надежности, находят по соотношениям (10.1) и (10.2):
1 pfi\_ ато }_Р = “то е™"
>	i-g-”1»’ тр	’
Произведя деление записанных выражений, получают
го V ) _ Сси\р
1-Р
Прологарифмировав обе части уравнения, имеют
1 1 —	1 ал
In----— = Ine = an .
I _ о
Отсюда
’ а
Отработка результатов экспериментальных данных по приведенной
методике позволяет прогнозировать необходимое число испытаний и про-
водить сравнительную оценку темпа доводки различных двигателей.
Приведенная экспоненциальная зависимость - далеко не единственная.
Есть и другие экспоненты, описывающие кривую накопления отказов.
Применение метода кривых роста надежности рассмотрим на примере.
Пример 10.3. Стоимость одного испытания двигателя в период отра-
ботки составляет 1,0 млн руб. При отказе двигателя в полете ожидаемый
ущерб составит 250 млн руб. Кривая роста надежности имеет следующие
параметры:
-	коэффициент темпа роста надежности a = 0,076;
-	исходная надежность двигателя 7J(/) = 0,90.
Определить оптимальное число испытаний и требуемую надежность
двигателя P(t).
Решение. Найдем суммарные затраты:
/1=^ + 4^,
где Аотр — затраты на отработку, Лотр = С • п, здесь С = 1 млн руб. - стои-
мость одного испытания в период отработки, п — оптимальное число испы-
таний; 4ют “ вероятные потери при отказе двигателя, Д1ОТ = А0Тк [1-Р(/)],
здесь Лотк = 250 млн руб. — ожидаемый ущерб при отказе двигателя,
P(f) — вероятность безотказной работы двигателя, Р(/) = 1 -[1 - Ро (f .
284
Производим подстановку.
А = С • п + Атк [1 - Ро (/)]е-с“ = 1  п + 250(1 - О,9О)е'0 076'' = п + 25 е’'1-"76".
Оптимальное число испытаний иопт определим по условию минималь-
ного значения суммарных затрат Лшп, используя выражение dAldn = Q:
ДЛ / с/и = 1 + 25 (-0,076) е"0’076" = 0.
Решение полученного уравнения и = 8,44. Принимаем п = 9.
Требуемая надежность двигателя
W = 1 -[1 - Ро (')>р (-«• «опт) = 1 - [1 - 0,90]е-°-О7м = 0,949 54.
При этом суммарные затраты будут
А = С • пот + Атк [1 - Р„ (г)] ехр (-а - и(тт) =
= 1 • 9 + 250(1 - О,9О)е“°'0769 = 21,615 млн руб.
Непараметрический метод построения модели проверки гипотез со-
стоит в следующем. Процесс повышения надежности исследуют с помощью
определения последовательности статистических оценок вероятностей без-
отказной работы P(t), полученных после каждой z-й доработки, т. е. рас-
сматривают условие РД/) < PM(t). Примером непараметрической модели
является биноминальная модель, предполагающая учет только двух исходов
испытаний: успеха и отказа. При этом проверяют четыре гипотезы:
-	гипотезу Но: результаты испытаний при переходе от первого этапа
ко второму остаются неизменными, т. е. проведенные доработки не изме-
няют надежность изделия. Эту гипотезу можно представить в виде
Н'ЛР^Р,)-,
-	гипотезу Ht: на втором этапе надежность повышается, т. е. прове-
денная доработка повышает надежность изделия и доработку считают эф-
фективной. Формально гипотеза имеет вид //,: (Р| < Р2);
-	гипотезу Н2: доработка изделия неэффективна, так как она снижает
надежность изделия. Вид такой гипотезы следующий: Н2: (Р\ > Р2);
-	гипотезу Н3: определенность в изменении результатов испытаний
полностью отсутствует.
При непараметрическом методе наиболее часто применяют критерий
проверки гипотез об изменении частоты отказов по двум группам данных,
основанный на биноминальном законе распределения этих частот. Для это-
го проводят два этапа испытаний, которые характеризуются разными усло-
виями. Данное различие обусловлено изменениями отрабатываемого изде-
лия за счет выполненной доработки. Принимают, что на первом этапе по
биноминальной схеме проводят ц испытаний, из которых mt закончились
отказами, а в условиях второго этапа по той же схеме - испытаний, сре-
ди которых зафиксировано т2 отказов. Необходимо оценить вероятность
285
безотказной работы Р(/) после проведения («,+«2) испытаний с учетом
различия условий, обусловленных доработкой изделия. Результаты испыта-
ний сводят в таблицу или представляют в графическом виде.
Обозначим частоту отказов на первом этапе через hx-ml/nx, а на вто-
ром - через h2 = т2 /п2. Тогда вероятность расхождения двух групп данных
для биноминального закона определяют по формуле
d
Хс^тт!-Г
Bep(hl,h2) = r=m'—+m;-,
где	d = min [(m, + т2), и, ];	= -—-—	'	2 '---------;
L	J	(w, + т2)!(??, +п2 -тх ~т2)\
п I
Qr —	1 ‘	Qtnx+in2-i- ___________'*2 '___________
г!(и, -г)!’ ,l2	(ш, +т2 -r)\(n2 -mt -т2 +г)!
Если Вер(Л|,/г2)<0,05...0,10 или меньше любого другого заданного
уровня значимости, то это свидетельствует о том, что частоты отказов двух
групп результатов испытаний имеют существенное расхождение и после
доработки происходит значимое изменение частоты отказов (надежности).
Если частота отказов оказалась меньше, чем до доработки, то ее считают
эффективной. А если частота отказов после доработки увеличилась либо не
изменилась, то такая доработка является неэффективной.
Рассмотренный выше критерий значимости для оценки эффективности
доработок агрегатов и двигателей с высоким уровнем надежности находят
ограниченное практическое применение из-за громоздкости вычислений
при большом объеме испытаний. Поэтому более предпочтительным являет-
ся критерий значимости, основанный на нормальном законе распределения.
Пусть вероятность отказа системы до доработки равна Q, а после -
Q2, при этом до доработки было проведено испытаний, из которых тх
закончились отказами, а после - п2 испытаний, среди которых зафиксиро-
вано т2 отказов. Следовательно, вероятность (частота) отказов в первой
совокупности Л, = Q = /И] / и,, а во второй - h2=Q2=m2/n2.
Требуется построить критерий, согласно которому можно было бы
принять или отвергнуть гипотезу Но: (Qt=Q2)  Если гипотезу //0 отверга-
ют, то принимают одну из конкурирующих гипотез: Н{'. (Qi > Q2) или
//2 • (Qi < Qi), при этом ошибка принятия неправильного решения не долж-
на превышать заданного уровня значимости или вероятности ошибки а.
Так как частоту появления отказов принимают распределенной по нор-
мальному закону, то разность частот как композиция нормальных законов
также будет распределена нормально.
Рассматривая гипотезу Но о равенстве двух вероятностей Q - Q2,
принимают следующие значения числовых характеристик распределения
разности частот:
286
- математического ожидания	=0;
-дисперсии D(h, -h2) = Q(\-Q)(\/nt + l/n2), где Q = (ml + т2)/(п1 + и2).
Тогда при уровне значимости а критическая область для проверки гипо-
тезы Но: (g, = Q2) при односторонней альтернативе /Д: (Q) > g2) имеет вид
и Ja,-1/(2h.))-(^-1/(2h2))
1-0	^/г(1-/г)(1/и, +.1/и2)
где ut_a - квантиль нормального распределения; h -(mt + т2)/(и, + и2).
Используя значения Ф(н) (см. табл. 1 приложения), принимают реше-
ние об эффективности доработки.
К основным методам оценки надежности двигателей при конструктор-
ской отработке также относится метод систем. Оценка надежности этим
методом предусматривает допущение, что двигатель представляет собой
сложное устройство, состоящее из определенного количества последова-
тельно соединенных статистически независимых систем.
Количество систем, на которое разбивают двигатель, устанавливают по
условию максимального использования разнородной информации о надеж-
ности двигателя, получаемой в процессе его отработки, и определяют по
количеству основных агрегатов (например, камера сгорания, турбонасос-
ный агрегат, газогенератор, агрегаты автоматики, трубопроводы и прочие
агрегаты). Затем производят тщательный анализ причин, приведших к отка-
зу. В процессе анализа используют следующую информацию: внешнее про-
явление отказа, анализ замеренных параметров, результаты дефектации
двигателя после испытаний.
На этапе проектирования, когда готового изделия еще нет и экспери-
ментальные данные для построения модели не мшут быть получены, рабо-
ту будущего двигателя можно исследовать только с помощью теоретиче-
ской модели. В качестве такой модели обычно используют систему уравне-
ний, описывающих протекание рабочих процессов в отдельных агрегатах и
их взаимодействие в схеме.
Структурная схема надежности двигателя состоит из п последователь-
но соединенных элементов (рис. 10.3). Последовательность соединения
элементов в этой схеме формируют по условию, что при отказе хотя бы од-
ного из элементов наступает отказ двигателя.
—	1	-	2	-	3	_••• —	„	_
Рис. 10.3. Структурная схема двигателя
Если каждый элемент имеет надежность Р., то надежность системы,
состоящей из п элементов, будет
287
Надежность элемента определяют следующим образом.
1.	Находят эффективное число испытаний элемента
пэ = min

к
где ^и/вкл - общее число включений, отработанное элементом в процессе
Л-испытаний; — число включений на i-м испытании; - число
включений, заданное техническим заданием; - суммарная наработка в
процессе испытаний; /, - время /-го испытания; /тз — наработка, заданная
техническим заданием.
2.	Определяют статистическую оценку надежности элемента

где т3 — число отказов элемента при испытаниях.
3.	Вычисляют нижнюю границу вероятности безотказной работы:
- при т > 0 - по формуле
Х2(2от + 2)
2п3 - т3 + 0,5%2 (2т + 2) ’
— при т = 0 — по формуле

где у - доверительная вероятность; /2(2/и + 2) — функция хи-квадрат, взя-
тая при степенях свободы 2w,. + 2 и доверительной вероятности у.
4.	Определяют отношение Рн /Р* для всех и(/ = 1, 2, ..., и) элементов
двигателя и выявляют его минимальное значение.
5.	Рассчитывают нижнюю границу вероятности безотказной работы
двигателя
где Р’ — точечная оценка вероятности безотказной работы /-го элемента;
/
п - число элементов в двигателе.
Полученное значение Рк сравнивают со значением, заданным в ТЗ, и
делают заключение о достигнутом уровне надежности. Расчет дает возмож-
ность определить слабейшее звено во всей системе и сделать заключение о
завершении или продолжении испытаний на надежность.
288
Этап серийного производства и эксплуатации. Программу обеспе-
чения надежности двигателей на стадии изготовления разрабатывают в со-
ответствии с требованиями нормативно-технической документации. В ней
должен быть предусмотрен комплекс организационно-технических меро-
приятий, который нужно реализовать на стадии изготовления изделия для
обеспечения количественных показателей надежности, заданных в техниче-
ских условиях. Этот комплекс включает следующие мероприятия:
-	назначение объема установочной партии с целью подтверждения
возможности выпуска предприятием двигателей с заданными характери-
стиками надежности;
—	определение объема и правил комплектации серийной партии, а так-
же выборки из нее, обеспечивающих наряду с другими техническими меро-
приятиями и методами контроля выполнение требований по надежности;
—	анализ фактического проявления эксплуатационных факторов (транс-
портировочных нагрузок, интенсивности коррозии материалов, отслоения
и т. д.) для уточнения характеристик надежности в различные моменты экс-
плуатации, методов контроля технического состояния и накопления мате-
риалов для последующего проектирования.
На этапе установившегося серийного производства выполняют сле-
дующие мероприятия, направленные на обеспечение надежности:
-	контроль соблюдения конструкторской и технологической докумен-
тации;
-	уточнение допусков на размеры и расположение поверхностей;
-	входной контроль составных частей и комплектующих элементов;
-	сбор и анализ информации о надежности серийной продукции;
-	аттестацию технологических процессов и рабочих мест;
-	анализ результатов приемо-сдаточных испытаний;
-	проведение авторского надзора за изготовлением деталей, узлов, аг-
регатов и двигателя в целом.
Необходимо особо остановится на вопросе о комплектации партии при
серийном изготовлении продукции, так как он имеет большое практическое
значение. Объемы и правила комплектации серийной партии во многом
предопределяют процедуру контроля, состав выборки при контрольных ис-
пытаниях и качество принимаемой продукции.
Принципы комплектации могут быть различными. Наиболее широкое
распространение получил сырьевой принцип, который исходит из необхо-
димости обеспечения максимальной однородности двигателей в партии.
Этот принцип состоит в том, что каждое изделие партии должно быть изго-
товлено из одной и той же партии сырья, по одной и той же документации,
на одном и том же оборудовании и т. д.
Если принять, что событие А6 - это отсутствие дефектов в слабейшем
элементе партии, Р(т10) _ вероятность появления этого события, то прин-
цип реализации однородности можно представить в виде
р(4/4) = р(4/4)=...=р(4/4),
I 9 Иены ганце ракетных дингагслсй
289
где 4 - событие, состоящее в бездефектности i-го изделия; Р(А/Л0) - ус-
ловная вероятность события Д. при условии наступления события Д,.
Если известно, что Р(Л) = Ртш (Д )> то вероятность того, что в партии
N нет ни одного дефектного изделия, будет равна вероятности события Ло,
т. е. Р(Д,).
Конечно, на практике невозможно получить информацию о слабейшем
элементе партии, поэтому при ее комплектовании принимают вероятность
бездефектности изделий в партии, равную вероятности бездефектности лю-
бого изделия в ней. После комплектования партии объема по изложен-
ному принципу из нее извлекают выборку, равную одному изделию. Оче-
видно, что такая выборка при условии равной вероятности бездефектности
изделий вполне достаточна.
Выбранное изделие испытывают (контролируют), и по результатам
этого испытания (контроля) делают заключение о партии: если оно окажет-
ся бездефектным, то партию изделий принимают, если же оно будет де-
фектным, то партию бракуют. Таким образом, комплектацию партии про-
водят по принципу максимальной однородности свойств изделий и, следо-
вательно, по принципу максимальной зависимости надежности партии в
целом от свойств каждого изделия в партии.
Итак, решение вопросов оценки и обеспечения надежности на различ-
ных этапах создания ракетного двигателя является важнейшей задачей ор-
ганизации-разработчика и предприятия-изготовителя. Практика показывает,
что при их скоординированной работе освоение новых типов двигателей
производится наилучшим образом.
10.4.	Расчет характеристик надежности
по схеме «нагрузка - прочность»
В общем случае работоспособность находят по условию
где R(t) - несущая способность; Л,(/) - действующая нагрузка.
Надежность изделия определяют вероятностью
Bep[K(0>N(0] = P(t).
При этом нагрузку рассматривают в широком смысле (давление, темпера-
тура, вибро- и химическое воздействие, старение и т. п.).
Определение надежности двигателя путем расчета вероятности, при
которой выполняется условие R(t)> N(t) называют методом расчета на-
дежности по схеме «нагрузка — прочность» (рис. 10.4). Этот метод приме-
няют при наличии количественной информации в виде измерений парамет-
ра, который полностью характеризует какое-либо физическое свойство дви-
гателя, для нахождения вероятности безотказной работы.
290
Рис. 10.4. Расчет надежности но схеме
«нагрузка - прочность»
Обозначив предельно допустимое значение некоторого параметра (не-
сущую способность) через Уп, а текущее значение этого параметра (дейст-
вующую нагрузку) через
Ун, получают выражение
для вероятности безот-
казной работы
Р(/) = Вер(Уп - Ун 20).
Предположим, что
случайные величины
и Ун имеют нормальное
распределение с пара-
метрами тп, Sn и пгК, SK
— математическими ожи-
даниями и среднеквад-
ратическими отклоне-
ниями соответственно. Известно, что композиция законов нормальных рас-
пределений также имеет нормальное распределение. При рассмотрении
разности случайных величин Уп и Уи параметры могут быть представлены в
виде тЛу=(тп -т„) и S^=^S2+S2. Тогда
Р(/) = Вер(Уп-Уи>О) = Ф
т-т.
где Ф(«р) - функция Лапласа.
Точечную оценку показателя надежности Р (?) определяют по формуле
н
Р (?)=Ф
№ + S2J
1 к
—\У - среднее значение несущей способности, полученное по
к “Г '
1 к
данным измерений в к испытаниях (наблюдениях); Ун*= — ^Ун - среднее
к ,=1
значение действующей нагрузки, полученное по данным измерений в к ис-
2
пытаниях (наблюдениях); S2 = —--------- — несмещенная оценка диспер-
к-1
к	2
сии несущей способности; S2 =
---------несмещенная оценка диспер-
к-1
сии нагрузки.
291
Квантиль нормального распределения имеет вид
-^ = и.
Используя табличные значения функции Лапласа (см. табл. 1 приложе-
ния), находят вероятность безотказной работы двигателя по параметру Y
Р^) = Ф(11р) = Ф
У*-У*
Jl II
Нижнюю доверительную границу для квантиля ир определяют при-
ближенным методом, основанным на сходности распределения точечной
оценки и нормального распределения при увеличении выборки:
ир.=иР~^р
с J к	к-1 )
Следовательно, нижнюю границу одностороннего доверительного ин-
тервала находят таким образом:
^(^)н=ФЧ„)-
В общем случае надежность двигателя (см. рис. 10.4) можно расчитать
по формуле
Вер[Л(/) > ЛГ(Г)] = 1 - J]7(7?)/(TV)dRdN.
о о
Полученный двойной интеграл определяют обычными математически-
ми методами в пределах заданных интервалов.
Преимущество метода «нагрузка - прочность» заключается в том, что
для звеньев цепи, надежность которых является лимитирующей, использу-
ют дополнительные статистические данные, полученные при автономных
испытаниях. Недостаток же этого метода состоит в том, что при определе-
нии эффективности мер, принятых для устранения причин отказа, имеет
место субъективный подход.
Отработка и доводка ракетного двигателя являются основными этапа-
ми создания изделий, так как на этих этапах определяют и подтверждают
основные параметры двигателя, в том числе и характеристики надежности.
Существенная ошибка в определении надежности может привести к значи-
тельным материальным потерям. Процесс повышения надежности в период
производства изделий безграничен, поскольку получаемые при этом стати-
стические данные позволяют постоянно улучшать их конструкцию.
Таким образом, метод расчета характеристик по схеме «нагрузка -
прочность» можно рассматривать как универсальный, если под допусти-
292
мым и текущим значением параметра понимать различные характеристики
работоспособности ракетного двигателя (тягу, давление в камере сгорания,
температуру газа на выходе из газогенератора, соотношение компонентов
топлива и т. д.). Одной из таких характеристик является прочность конст-
рукции. Рассмотрим далее методику расчета надежности ракетного двига-
теля по условиям прочности.
10.5.	Расчет надежности по критериям прочности
Оценка надежности конструкции является последним этапом ее расче-
та. Сначала выбирают расчетную схему, определяют основные нагрузки,
действующие на систему, устанавливают вид отказа системы, исходя из ее
условий работы. Далее рассчитывают основные факторы, влияющие на от-
каз конструкции.
Обычно вероятность работоспособности системы в целом задана в тех-
нических условиях, и при расчетах коэффициенты запаса прочности выби-
рают с учетом этой вероятности.
Оценку надежности конструкции производят в следующем порядке.
Выбирают структурную схему всей конструкции в целом. Так, напри-
мер, структурную схему из пяти звеньев можно представить в виде их по-
следовательного соединения. При таком соединении отказ любого звена
приводит к отказу всей конструкции. Следовательно, вероятность безотказ-
ной работы всего изделия равна произведению вероятностей неразрушения
каждого звена:
/’Пл,
/=1
где i = 1,2,..., к- число входящих в конструкцию звеньев.
При параллельном соединении элементов вероятность неразрушения
определяют по формуле
к
1=1
Исходя из принципа равной надежности всех звеньев структурной схе-
мы, вероятность неразрушения каждого звена находят по выражению
P=i[p~,
где Рпр - заданная на всю конструкцию предельная вероятность неразру-
шения; к — число звеньев в конструкции.
Расчет надежности изделия производят на этапе проектирования со-
вместно с расчетом конструкции на прочность. Работоспособность механи-
ческих узлов и металлоконструкций (элементов) характеризуется рядом
критериев: прочностью, износостойкостью, устойчивостью, жесткостью и
др. Каждый из этих критериев определяется соответствующим показателем:
напряжением, упругостью, текучестью, ударной вязкостью, пределом вы-
носливости и др.
293
Обозначим в общем виде каждый из этих показателей У. Для расчета
надежности элемента необходимо знать его несущую способность R(f) и
действующую нагрузку на элемент N(f). Очевидно, что условие работоспо-
собности будет следующим:
P(z) = Bepp?(0>W(0]-
Случайная природа несущей способности и действующей нагрузки за-
висит от разброса свойств материалов, геометрических размеров и техноло-
гических режимов в пределах установленных допусков, условий эксплуата-
ции, нестабильности режимов работы элемента и др.
Каждый из к элементов имеет случайное значение показателя работо-
способности Yi (у1,у2,—,у*). Показатель У как случайная величина рас-
пределяется по некоторому закону распределения с числовыми характери-
стиками: математическим ожиданием ту и средним квадратическим откло-
нением .
Работоспособность оценивают путем сравнения расчетных значений
параметров Ур с их предельными значениями Упр . Предельные значения
параметров выбирают по действующим нормативам или статистическим
данным. Здесь предельное значение У выступает в качестве несущей спо-
собности, а расчетное значение Yp - в качестве действующей нагрузки. В
общем случае расчетное значение параметра не должно превышать пре-
дельного значения, а условие работоспособности имеет вид
У <У .
Р пр
В сложившейся практике конструирования изделий для обеспечения
работоспособности используют коэффициент запаса п, значение которого
принимают до начала проектирования по детерминированным величинам
несущей способности и действующей нагрузки:
где и Ур - соответственно предельное и расчетное значения параметра,
принимаемые для расчета работоспособности. При этом расчет проводят по
наиболее неблагоприятным сочетаниям значений предельного и расчетного
параметров, что в некоторых случаях приводит к неоправданному увеличе-
нию массы и стоимости изделий.
Вероятностный метод расчета работоспособности исключает этот не-
достаток. С переходом на этот метод параметры Ynp и Ур рассматривают как
случайные величины, распределенные по некоторому закону. Из практики
оценки работоспособности механических узлов и металлоконструкций из-
вестно, что распределения несущей способности R(f) и действующей на-
грузки на элемент N(t) (Упр и Yf соответственно) подчиняются нормальному
закону. И целью расчета надежности является определение критических на-
пряжений в конструкции, при которых коэффициент запаса минимален.
294
Пусть несущая способность Ур распределена с плотностью вероятно-
сти /пр(0, математическим ожиданием тпр и средним квадратическим от-
клонением апр; действующая нагрузка Ур - с плотностью вероятности
fp(t), математическим ожиданием тр и средним квадратическим отклоне-
нием Gp (рис. 10.5).
Принимая за основной показатель работоспособности вероятность без-
отказной работы, получают условие
- т„ = и<з,
пр р	’
где ир — квантиль нормированного
нормального распределения при
значении вероятности безотказной
работы Р; о = ^с^р + ар - среднее
квадратическое отклонение разно-
сти двух случайных величин и
Ур. Тогда вероятность безотказной
работы
Рис. 10.5. Распределение плотностей
вероятностей нагрузки и прочности
Р(Г) = Ф
^пр-^р
где Ф(ир) - нормированная нормальная функция распределения, опреде-
ляемая по табл. 1 приложения.
Если задано значение вероятности безотказной работы P(t), то можно
найти значение ир, соответствующее P(f), и условие работоспособности:
Коэффициент вариации для несущей способности vnp = апр //и, а для
действующей нагрузки vp = ор / тр. Тогда при условном запасе прочности
и - тпр!тр можно записать расчетную формулу
п
До накопления достаточного объема данных по величинам математи-
ческих ожиданий ?ипр и тр, а также средних квадратических отклонений
апр и ар, можно воспользоваться следующими зависимостями:
^прпих + ^ripmin	^pmax ^pmin
=----1-------“----, =— -------------к—
пр	2	р 2
295
_____ г. _^npmax ^npmin	__ r* _ ^pniax Apenin
°np ~ *\p —	~ "^P —	’
где d - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности, принимае-
мой в расчетах. Очень часто при предварительных расчетах принимают
d = 6, что соответствует изменению случайных величин в диапазоне ±3а.
Эти допущения соответствуют вероятности нахождения показателей в пре-
делах допуска, равной 0,997 2 (так называемое «правило трех сигм»).
Расчет надежности механических узлов и металлоконструкций прово-
дят для наиболее критических сечений, где запас прочности минимальный.
А затем надежность изделия определяют как произведение надежностей
критических сечений (как для последовательной схемы соединений).
Нормативные пределы прочности и текучести в опубликованной ранее
нормативно-справочной литературе были отнесены к средним значениям
предельных напряжений. В некоторых случаях нормативные пределы проч-
ности указывали как минимально допустимые, и условно их можно отно-
сить к вероятности неразрушения 0,98...0,99, так как рассеяние предельных
напряжений в целом было изучено неполно. В последнее же время при
нормировании механических характеристик материалов в ряде отраслей
промышленности указывают средние значения и средние квадратические
отклонения или коэффициенты вариации.
Вероятность безотказной работы по критерию прочности P(t), назы-
ваемая также вероятностью неразрушения, определяют как вероятность то-
го, что расчетные значения напряжения т не превышают допустимые [т].
Надежность изделия слагается из большого числа составляющих. Бу-
дем рассматривать только физическую, или прочностную, надежность, т. е.
безотказность в течение заданного времени, обеспечиваемую выбранным
запасом прочности деталей изделия. Математически надежность выражают
через вероятность безотказной работы конструкции и записывают в виде
Р = Вер{ U > 0},
где U = ([т] — т) - функция неразрушения при расчетном напряжении т и
предельно допустимом напряжении [т], превышение которого вызывает
отказ элемента.
Обычная формула запаса прочности и = [т]/т предполагает, что значе-
ния [т] и т - это детерминированные величины. В действительности же
предел прочности [т] и напряжение т зависят от большого числа случайных
факторов, вследствие чего случайной величиной будет и запас прочности п.
Примем нормальные законы распределения для случайных величин [т]
и т. Тогда плотности их распределения будут выражены функциональными
зависимостями
^7ехР
/(т) = —U-exp
а.л/2л
1
2 о*
296
Очевидно, что деталь не разрушится, если выполнено условие т<[т],
т. е. когда U > 0, и разрушится, если т > [т], т. е. когда U < 0. Функция плот-
ности распределения для величины U будет нормальной и запишется в виде
ЛС/)= ~7^ехР
2 oz
где mv = т[т] - тТ; а(/ =	.
Вероятность разрушения будет
1
6(0 =-----7Г= fexP
гт -Л/тг J
1 (U~mu)2
2
dU,
а вероятность неразрушения как противоположного отказу события -
1 °г
Л')=1-е(')=1—Jexp
О{у'Х/2ТС
1 (^~ти)2
2
dU.
В последнем выражении переменные заменяют на dU = ci;dz и
z = ([/-w„)/G(7:
P(z) = l—Д= |exp(zz/2)az = l-of-—l=f-^——1.
а/2л liii	I J v	J
T	.	(W(r|-Wr)
Числитель и знаменатель аргумента функции ф-= нужно раз-
делить на тх:
/	л
где и = /WjT] / тг - средний запас прочности; j =	; vt = / тх - коэф-
фициенты вариации. Функция Ф(а) табулирована (см. табл. 1 приложения).
Полученное выражение связывает запас прочности и и вероятность
неразрушения. Обычно коэффициенты вариации изменяются в следующих
пределах: vt =0,05...0,10, v|t] = 0,02...0,10.
При расчетах вероятности безотказной работы по критерию прочности
используют представленные выше зависимости. Принимая обозначения на-
пряжений: расчетного тр и предельно допустимого, превышение которого
вызывает отказ элемента, | т;1] - и рассматривая их как независимые слу-
чайные величины, распределенные по нормальному закону, получают
_	_	п-1
7и’2ум+у’ ’
297
где тити СГ(Т], от — математические ожидания и средние квадратические
отклонения предельно допустимого и расчетного напряжений; и
V, - коэффициенты вариаций; п - W[T| / тх- коэффициент запаса прочности.
По рассчитанному значению квантиля zp определяют вероятность безот-
казной работы по критерию прочности P(t).
Таким образом, приведенные выше расчетные зависимости имеют об-
щий характер для различных видов нагружений. Расчетные зависимости по
отдельным критериям неразрушения более полно изложены в работе [16].
10.6.	Расчет параметрической надежности двигателя
Как отмечалось в п. 10.1, вероятность безотказной работы ракетного
двигателя представляет собой вероятность, с которой двигатель в течение
единичного ресурса будет удерживать в установленных техническим зада-
нием пределах значения всех параметров работоспособности:
-Fimin <71<У1гом»
P(t) = Вер ?2n’,n < Уг < Лтах’
.Ллпип Jn Л л max’
где У',т|П,у'/тах _ верхние и нижние допустимые значения параметров, уста-
новленные техническим заданием.
Рассмотрим методику расчета параметрической надежности ракетного
двигателя на примере такого параметра, как давление в камере сгорания рк в
процессе запуска и на установившемся режиме работы двигателя.
Надежность процесса запуска зависит от двух факторов: максимальной
перегрузки камеры сгорания /4„1ахи времени выхода двигателя на номи-
нальный режим тпуск.
Время выхода на режим тзад установлено -техническим заданием, при
этом требуется, чтобы т 2тзад. Максимальное давление в камере опреде-
ляют при разработке двигателя по условию получения запасов по прочно-
сти ptmax S рккп. Но эти требования противоречат друг другу: чем меньше
Ашах • тем больше т,,та. Следовательно, при проектировании двигателя не-
обходимо оптимизировать значения рктХ1 и тпуск, чтобы данные неравенст-
ва выполнялись (рис. 10.6).
Для уже известной конструкции головки камеры сгорания соотноше-
ние рктш и ркпт выражается следующей зависимостью:
®= Рктт /ркп>„ = /[д), Ыф, т,(тс), Р„, 7^,, Я],
298
Рис. 10.6. Кривая нарастания давления
в камере двигателя
где тс - время задержки воспламенения; &(топ) - соотношение компонен-
тов топлива в период запуска с учетом времени опережения одного из ком-
понентов топлива топ; ДРф - перепад давлений на форсунках; - масса
топлива, поступившего в ка-
меру сгорания до воспламе-
нения; ри — давление в каме-
ре сгорания перед запуском;
Т^ч - начальная температура
топлива; Н - высота распо-
ложения двигателя относи-
тельно нормальных условий.
Переменные величины в
этой формуле взаимосвязаны.
Рассмотрим эти взаимосвязи
подробнее.
Время задержки воспла-
менения тс зависит не только
от химической природой топ-
лива, но и от всех остальных
параметров данной функции.
Соотношение компонентов топлива в период запуска к определено вре-
менем опережения одного из компонентов топлива топ и схемой их смешения.
Существенное влияние на процесс запуска оказывают порядок поступ-
ления компонентов в камеру и скорость нарастания расходов.
Если сочетание гидравлических характеристик за время задержки вос-
пламенения позволяет получить оптимальный (близкий к стехиометриче-
скому) состав смеси, то перегрузка по давлению ДРф будет максимальной.
Ее абсолютное значение определяется количеством реагирующей смеси к
моменту воспламенения т3. Если же образующийся состав смеси значи-
тельно отличается от стехиометрического, то количество реагирующей сме-
си практически не оказывает влияния на перегрузку камеры. В этом случае
на запуск воздействует изменение пускового соотношения компонентов
вследствие опережения времени поступления горючего или окислителя.
Снижение начальной температуры топлива и двигателя при давлении
окружающей среды приводит к резкому увеличению перегрузки камеры,
что объясняется снижением химической активности реагирующих веществ
и увеличением реагирующей массы за счет увеличения удельного веса и
вязкости топлива.
При запусках в условиях различных высот, где факторы, вызванные
пониженной температурой и давлением, действуют одновременно, также
отмечаются значительные перегрузки камеры сгорания.
Система уравнений для расчета кривой нарастания давления рк в ка-
мере сгорания при запуске в относительных отклонениях приращений па-
раметров имеет вид
299
8(Др*) = k,8( Дф) + Лг8( Дотф) + к38( Дотвсп) - к48(Лотс),
8( Д?;р) = к56( Дф) + А68( Дотф) + к78( Дотисп) - /<g8( Дтс),
 5( Дот,,) = ке8(Дотф) + к108 (Дот„от) - 8( Дот2) - 8(Дотс),
8( ДотгФсг) = 8( Дот2) - 8( Дотс),
8( Дотж) = ки8( Дотф) - 8( Дот„сп).
Коэффициенты кх,к2,..., кп определяют уровень значимости прираще-
ния соответствующего аргумента, т. е. долю приращения выходного пара-
метра, вызванную изменением относительного приращения переменного
параметра.
Задаваясь разными отклонениями переменных параметров, характери-
зующих запуск, можно получить множество реализаций кривой рк = /(т).
Статистической обработкой результатов реализаций находят математиче-
ское ожидание р'к и среднеквадратическое отклонение . По результатам
этих расчетов определяют время выхода двигателя на номинальный режим
и среднеквадратичное отклонение о’ .
Принимая нормальный закон распределения, рассчитывают вероят-
ность попадания случайной величины рк на заданный участок:
Вер{А„„„ <РК<	= k'(pkmax)~F(plimm),
где ркпап и Атах - нижний и верхний допустимые пределы изменения дав-
ления при запуске двигателя; F - функция распределения параметра. Ис-
пользование функции Лапласа дает следующие выражения:
/	_	f _ .х
n f _	1 л, Рк max -Рк л Рк min А I
ВеР {ft™, <Рк< = ф ------------•------ф —---------- >
< Рк J \ Рк )
Вер{0<тзш <тдо„} = Ф	.
Надежность параметров на установившемся режиме определяют ко-
эффициентом, характеризующим полноту сгорания в камере:
otz
где F — площадь критического сечения камеры двигателя. Это выражение
можно преобразовать, используя логарифмирование и дифференцирование:
1пР = 1пЛ+1п^кр-1П7Иг:,
_ % , dF«V
Р Рк FKP '
300
Но так как
dm,	,
—~=---- = 8
f=f=ад.
р р	Рк Рк	кр кр
то 8(p) = 8(pt) + 8(FKp)-8(wI) или 8(pJ = 8(P)-8(FKp) + 8(mJ.).
На параметр рк задают допуск +А/4. Аналогично расчету рк в поцес-
се запуска рассчитывают множество реализаций рк, математическое ожи-
дание рк и среднеквадратичное отклонение и определяют вероятность
выхода за допустимые пределы:
ВеР {Amin < Рк< Ркты} = Ф
Рк шах	Рк
 -ф
7	\
Рк min	Рк

Таким образом, вероятность попадания случайной величины рк на
заданный участок (pkmin, рктт) равна приращению функции распределения
на этом участке. Следует отметить, что выполнить оценку надежности
двигателя по параметру рк можно только путем проведения серии испыта-
ний для получения статистических данных.
10.7.	Расчет надежности двигателя
как последовательной системы
Расчет надежности двигателя как последовательной системы преду-
сматривает допущение, что двигатель представляет собой сложный объект,
состоящий из определенного количества последовательно соединенных
статистически независимых элементов. Количество элементов, на которые
разбивается двигатель, устанавливают по условию максимального исполь-
зования информации, получаемой в процессе его отработки по отдельным
агрегатам (камера двигателя, турбонасосный агрегат, газогенератор и др.).
В ряде случаев, когда системы изделия работают в стабильных услови-
ях, рассеивание нагрузки по системам пренебрежимо мало. Если несущие
способности элементов независимы друг от друга, то и отказы элементов
статистически независимы.
Вероятность безотказной работы P(R > No) последовательной системы
с несущей способностью R при нагрузке No равна произведению вероят-
ностей безотказной работы всех элементов:
P(R > /Vo) = Прея, > AQ = П[1 - FRi(Ао)] ,
;=1	i=i
где P(R > No) - вероятность безотказной работы г-го элемента при нагруз-
ке No; п - число элементов в системе; FR (7V0) - функция распределения
несущей способности г-го элемента при значении = No.
301
Зависимость Р(^ >N0) = l~FR (N0) очевидна, если учесть, что при
R. = No возникаег предел, при котором наступает разрушение элемента, т. е.
Fr является функцией распределения отказов /-го элемента при указанных
значения Д,-
Однако в большинстве случаев нагрузка имеет существенное рассеива-
ние по системам. Тогда вероятность безотказной работы P(R > N) следует
находить по формуле полной вероятности (2.1), разбив интервал рассеива-
ния нагрузки на К элементарных интервалов ДА', где j - число интервалов
от 1 до К.
После математических преобразований зависимости вероятности без-
отказной работы от плотности расширения нагрузки в интервале Д/V и зна-
чений несущей способности /?(/) для каждого /-го элемента, входящего в
систему, приобретут следующий вид:
P(R > N) = E/(/Vy)A VJ7P(/?, > NJ,	(10.3)
j=i	>=i
P(R>N)=	(W.4)
0	<=1
Но расчеты по ним весьма трудоемки и поэтому при больших значениях / и
J возможны только на ЭВМ.
В инженерной практике применяется достаточно точный, но значитель-
но упрошенный метод оценки надежности последовательной системы для
нормального распределения нагрузки по системам, предложенный Д. Н. Ре-
шетовым [18]. Суть этого метода состоит в аппроксимации закона распреде-
ления несущей способности системы нормальным распределением, так как
именно эти значения определяют величину показателя надежности системы.
Последовательность выполнения расчетов по данному методу сле-
дующая.
1.	Задают два значения фиксированных нагрузок NA и NB. Нагрузки
подбирают с таким расчетом, чтобы при оценке надежности были получены
следующие значения вероятностей безотказной работы: P(R>NA) =
= 0,45...0,60 и P(R>NB) = 0,95—0,99, охватывающие весь интервал значе-
ний вероятностей безотказной работы, который имеет практический инте-
рес. Ориентировочные значения нагрузок можно принимать близкими меж-
ду собой:
А/л = (1 + ЗуЛ )даЛ, NB = (1 + vw )mN,
5
где v„ = -— - коэффициент вариации.
2.	Расчет вероятности безотказной работы при нагрузках NA и NB
производят по формулам
P(R > NА) = ПАД. > Na), P(R > NB) = ftP(JR, > NB).
/-1	i=l
302
3	Находят квантили нормального распределения UPA и UPB, соответ-
ствующие найденным вероятностям.
4.	Аппроксимируют закон распределения несущей способности систе-
мы нормальным распределением с параметрами: mR, gr и vr. Тогда
— NA + UРА  OR — 0, mR — NB + UPB  <5r = 0.
Решая систему уравнений, получают:
„ NB-NA тг	Nb-Na
mR - N.---*---~UPA,	-~-------•
А UPB-UPA	Na-Upb-Nb-Upa
5.	Вероятность безотказной работы системы Р(7? > N) для случая нор-
мального распределения несущей способности R и нормального распреде-
ления действующей нагрузки N определяют по квантилю нормального
распределения
ГГ1Р	~
где и-—~~ условный запас прочности по средним значениям несущей
пг„
способности mR и нагрузки mN - Эта зависимость получена исходя из усло-
вия, что разность двух распределенных нормально случайных величин R и
N как композиция этих величин также распределена нормально:
mZ = mR — mN’ ~ y]^R + &N 
Использование описанного выше метода рассмотрим на примере.
Пример 10.2. Требуется определить вероятность безотказной работы
ротора турбонасосного агрегата при известных данных. Условные запасы
прочности по средним значениям несущей способности и нагрузки состав-
ляют для подшипников ротора ТНА п\ = пг = 1,4; вала ротора п3 = 1,6; диска
турбины (с лопатками) «4=1,5. Несущие способности элементов ротора
ТНА и нагрузка в ТНА распределены по нормальному закону с коэффици-
ентами вариации =vR> = v^ =:0,1 и v„ =0,15.
Р е ш е н и е. По определению п=^- находим mR=n mN. Тогда для
элементов ТНА
^='”Я2=1,4щд, mRi=l,6mN, =1,5»^.
Зададим нагрузки NA = 1,3/MW и NB = предполагая, что эти вели-
чины близки к требуемым значениям, при которых P(R> NA) и P(R > Nв)
находятся в интервале, представляющем практический интерес. По условию
аппроксимации закона распределения несущей способности нормальным
распределением с параметрами mR и cR составим следующие уравнения:
303
тк ^А +  оя — О,
тия — Л'л + Uрв • ся = О.
Определим квантили нормального распределения всех элементов:
л ~NA-mR _NA-mR
U РА	’
vR-mR
гг ^N,,-mK _NB-mR
и РВ ~
' mR
Для подшипников ротора ТНА
U = N* ~3i = 1,3w^ ~1,4^ =-0,7143,
' v«,’w«,	0,1- 1,4тЛ,
U =^-^=l,lWjv-l,4^=_21428
' V„m„	0,11,4/Ид,
Up/, =-2,1428,
UPB} =-3,125,
ирв< =—2,666 6.
-mR,
И далее аналогично получим:
=-0,714 3,
UPAi =-1,075,
ирАл =-1,333 3,
По квантилям нормального распределения (см. табл. 1 приложения)
находим значения вероятностей безотказной работы элементов при нагруз-
ках NA и NB:
P(R>NA) = 0,7611, Pt(R>NB) = 0,9821,
P2(R > Na) = 0,7611, P2(R > Nt) = 0,9821,
P3 (R > Na ) = 0,857 7, P3 (R > NB ) = 0,999 0,
P4(R > NA) = 0,908 2, P4(R > NB) = 0,995 3.
Вероятность безотказной работы ротора ТНА P(R>N А) и P(R>NB)
при фиксированных нагрузках NA и NB оценим по формуле
Р(Л>А0) = ПР(^>А0).
Производим вычисления:
P(R > Na) = 0,7611 • 0,7611  0,857 7  0,908 2 = 0,451 2,
P(R > NB) = 0,982 1  0,9821 • 0,999 0  0,995 3 = 0,959 0.
Полученные вероятности находятся внутри допустимых практических
значений - 0,45...0,99, поэтому отмечаем, что NA и NB приняты верно.
Определим математическое ожидание mR и коэффициент вариации
несущей способности ротора ТНА:
л,	Nb~Nj тт io (l,l-l,3)wWn,, .
= А,---------~ир. = 1,3, mN-------------—0,11 = 1,286m.,,
Л л UPB-UPA РА N -1,7-0,11	N
304
где UPA = 0,11 соответствует Р = 0,451 2; UPB = -1,1 соответствует Р = 0,959 0;
V, =...	= 0,095 7
NaUpb-NUpa 1,Зю„(-1,7)-1,1™„-0,11
Затем получим квантиль нормального распределения, соответствую-
щий вероятности P(R > ЛЛ) безотказной работы ротора ТНА:
£k_i	1,286-Отд, J
Ц, =	~'~~2  =	-  = -]--------- ,Пк----------	= 1,546.
Р //~	\2	2	/"	\2	I/	Т2
a(h-v„) Ч-Пд, ( т„ I ,	1(1,286™.,] _
V' R' " . ~vk +v«	------- • 0,095 72 + 0,152
J К mN J
По табл. 1 приложения определим Ф(1,545) = 0,938 8.
Таким образом, отметим, что решения по формулам (10.3) и (10.4) по-
казывают следующее: точность рассмотренного выше упрощенного метода
расчета надежности двигателя как последовательной системы достаточна
для инженерных расчетов систем, у которых коэффициент вариации несу-
щей способности не превышает 0,10.. .0,15, а число элементов - 10... 15.
***
Высокой надежности ракетных двигателей достигают за счет выбора
методов отработки конструкции, при этом большое внимание уделяют на-
земной отработке ее элементов. Важное значение также имеет выбор пара-
метров агрегатов двигателя. Чаще всего назначают умеренные (ненапря-
женные) основные параметры.
Контрольные вопросы и задания
1.	Какими параметрами надежности характеризуется ракетный двигатель?
2.	Запишите формулу для расчета оптимального значения уровня на-
дежности.
3.	Как обеспечивается надежность на этапе проектирования?
4.	Что выражает коэффициент охвата аварийных ситуаций?
5.	Какие работы проводятся на этапе проектирования?
6.	В чем состоит сущность метода кривых роста надежности?
7.	Какова сущность оценки надежности методом систем?
8.	Какие мероприятия по надежности реализуются на этапе серийного
производства и эксплуатации?
9.	В чем состоит сущность оценки надежности методом «нагрузка —
прочность»?
10.	Какие нагрузки учитывают при расчете надежности по критерию
прочности?
11.	Как определяется надежность в процессе запуска и на установив-
шемся режиме?
20 Испытание ракетных двигателей
Глава одиннадцатая
Прогнозирование и методы повышения
надежности
Безаварийность ракетного двигателя имеет одно из доминирующих
значений в решении общей проблемы безопасности и надежности ракет но-
космических комплексов. Ключевым элементом задачи повышения безопас-
ности являются прогнозирование, диагностика и защита двигательной уста-
новки, авария которой может привести к катастрофическим последст виям.
Рассмотрим далее методы оценки состояния двигателя, прогнозирова-
ния и обеспечения его надежности.
11.1. Состояние двигателя и задачи контроля
Ракетный двигатель является сложной динамической системой, со-
стоящей из большого количества взаимосвязанных агрегатов и элементов.
Параметры рабочего процесса в двигателях постоянно возрастают. Давле-
ние продуктов сгорания в камере современного жидкостного ракетного
двигателя достигает Рк= 30 МПа, а температура Тк = 4 000 К. Ракетные
двигатели эксплуатируются в сложных условиях: в широком диапазоне
температур, в вакууме и под водой, в условиях невесомости, под воздейст-
вием агрессивных сред и вибраций с большой амплитудой и широким спек-
тром частот и др. Все это приводит к тому, что на конструкцию двигателя
воздействуют большие статические и динамические нагрузки и элементы
двигателя работают в предельных режимах. Ракетные двигатели выполняют
ответственные функции, поэтому их отказ в работе приводит к большим
экономическим, техническим и моральным потерям. Способность выпол-
нять или не выполнять эти функции определяется состоянием двигателя.
Состояние двигателя. Совокупность внутренних свойств двигателя,
определяемых взаимосвязью процессов, происходящих в агрегатах в неко-
торый момент времени t, называют состоянием [2]. С точки зрения надеж-
ности двигатель может находиться в одном из трех состояний [5]: работо-
способном, аварийном и состоянии отказа (рис. 11.1).
Работоспособное состояние двигателя характеризуется свойствами, от
которых зависит его пригодность к выполнению заданных функций с пара-
метрами, установленными технической документацией. Работоспособное
состояние определяет надежность двигателя.
Состояние отказа — это состояние двигателя, когда он не удовлетво-
ряет требованиям, установленным на его параметры.
306
Аварийное состояние является промежуточным и характеризуется тем,
что в двигателе произошли некоторые изменения, появились первичные не-
исправности, в результате кото-
рых изменяются характеристики
рабочего процесса, но двигатель
еще обладает требуемой работо-
способностью. Однако если не
принять специальных мер, то
аварийное состояние неизбежно
перейдет в состояние отказа.
В период работы двигателя
(О, ?0) отмечается его нормаль-
ная работа. Но в некоторый мо-
мент времени t0 по причине
конструктивного, технологиче-
ского или эксплуатационного характера возникает первичная неисправ-
ность, в результате чего начинает изменяться параметр Y рабочего процес-
са. Двигатель переходит в аварийное состояние. Если не принять специаль-
ных мер, то параметр Y в момент достигнет своего предельного значения
КПр, определяемого условиями работоспособности, и двигатель перейдет в
состояние отказа.
В условиях возникшей неисправности появляется необходимость в
особом режиме управления двигателем. Под управлением неисправным
двигателем понимают его аварийное выключение или перевод на облегчен-
ный режим работы, а также, если это возможно, повторный запуск.
На этапе отработки и при возникновении форс-мажорных обстоя-
тельств надежность жидкостных ракетных двигателей имеет более низкий
уровень. При этом увеличивается относительная доля наиболее опасных от-
казов, связанных с их внезапным разрушением. Появление сложных ракет-
но-космических систем с жидкостными ракетными двигательными уста-
новками, состоящими из нескольких ЖРД, и ужесточение требований к ним
по безопасности заставило проектировщиков вводить в управление двига-
телей алгоритмы аварийной защиты, предотвращающие их разрушение при
возникновении неисправности. Из зарубежных разработок в области ава-
рийной защиты наиболее известны система управления ЖРД SSME и сред-
ства аварийной защиты ЖРД ракеты «Сатурн-5». Среди отечественных са-
мыми успешными и масштабными разработками в этой области являются
системы аварийной защиты ЖРД ракеты «Энергия» и объединенной двига-
тельной установки орбитального корабля «Буран».
Контроль состояний двигателя. Для этих целей может применяться
специальная система - система аварийной защиты (САЗ), которая с помо-
щью средств измерений отслеживает значения параметров двигателя и в
случае проявления аварийного состояния вырабатывает необходимые сиг-
налы. В САЗ используют функциональный, вибрационный и акустический
методы диагностирования.
307
При методе функционального диагностирования применяют извест-
ную совокупность входных воздействий, включая возмущающие факторы,
выходные параметры, операторы связи между входными и выходными сиг-
налами.
Рассмотрим принципы построения структуры функциональных систем
аварийной защиты.
1.	Контроль предельных значений параметров. Он сводится к оценке
значений параметров ЖРД и выдаче команды на аварийное выключение
при достижении хотя бы одним из контролируемых параметров предельно
допустимого значения. Существенный недостаток такой САЗ заключается в
выборе уровней настройки сигналов, исходя из условия обеспечения высо-
кой надежности по отсутствию ложных срабатываний. Анализ статистики
настройки САЗ показывает, что учет разброса характеристик узлов и оши-
бок в их настройке существенно повышает предельные значения контроли-
руемого параметра.
2.	Контроль приращения параметра. Система аварийной защиты, по-
строенная по этому принципу, не имеет отмеченного выше недостатка. При
запуске ЖРД фиксируется и запоминается значение параметра на номи-
нальном режиме х)ап. В дальнейшем система контролирует приращение па-
раметра Ах относительно хзап. Превышение предельного приращения Дхпред,
которое зависит только от режима и изменения внешних факгоров, возмож-
но лишь при возникновении аномалий в работе двигателя.
3.	Анализ взаимосвязей между параметрам. Алгоритмы диагностиро-
вания, основанные на этом методе, эффективны при развитии аварийного
состояния на режиме глубокого дросселирования.
Для безаварийной работы ЖРД, в предположении о линейности дрос-
сельных характеристик на определенном участке, независимые параметры
хь х2 и хз связаны неравенством
Д2 = Цх, + А2х2 + А3х3 -ь ZJ>| < А,,
где Ai, А2, Аз - коэффициенты взаимосвязи, определяемые дроссельными
характеристиками; D - постоянная; Д, - нечувствительность системы, за-
висящая от отклонений внешних фак торов, принятых допущений, погреш-
ности измерений и способа преобразований информации.
При отказе регулирующих органов взаимосвязь между параметрами
может быть не нарушена и сигнал об аномалии зафиксирован не будет.
Чтобы эта информация прошла, в схему САЗ вводят блок контроля допус-
тимых значений, например, параметра х3:
= |ХЗср —хз|= ^2 >
где х3ср - среднее значение параметра хзв диапазоне регулирования;
Д2 - допустимое отклонение параметра х3 от его среднего значения.
4.	Методы диагностирования на основе математических моделей физи-
ческих процессов. В качестве примера рассмотрим метод структурного исклю-
чения, в основу которого положена следующая рабочая гипотеза. Если из сис-
308
темы уравнений, описывающей рабочие процессы в нормально функциони-
рующем объекте, исключить уравнение или совокупность уравнений, соответ-
ствующих процессам, нарушенным в результате неисправности, и, добавив
неизменное значение одного или нескольких неизвестных, чувствительных к
нарушению, решить замкнутую таким способом систему уравнений, то раз-
ность расчетного и измеренного значения какого-либо другого параметра,
также чувствительного к этому нарушению, должна быть равна нулю.
Для акустического и вибрационного методов диагностирования харак-
терны однотипные источники информации о колебаниях элементов конст-
рукции или рабочей среды.
Акустический метод основан на определении пульсаций параметров,
которые выражают изменения значений параметра с некоторой частотой.
При численной оценке спектральной плотности стационарного процес-
са применяют стандартный метод, при использовании которого спектраль-
ную плотность выражают через преобразование Фурье автокорреляционной
функции. Если Л'(т) — реализация стандартного случайного процесса с нуле-
вым средним значением, то сглаженную выборочную оценку истинной
спектральной плотности S.f(co) определяют по зависимости
Sx(co) = 4 J Ax(t)£>(t)cos(w/)c/t,
о
где /?Л(т) - корреляционная функция процесса; £>(т) - функция, характе-
ризующая спектральное окно; тгаах - максимальная временная координата
рассмотренной реализации х(т); со - частота пульсаций. При отклонении
текущего значения 5Л от эталонного выдается сигнал о неисправности.
Вибрационный метод диагностирования рассмотрим на примере виб-
родиагностики клапанов, основанной на измерении уровней вибраций, воз-
никающих при срабатывании клапанов и ударе тарели о седло.
Большинство типичных дефектов клапанов, приводящих к возможно-
сти их отказов, характеризуется увеличением времени удара тарели о седло.
В этом случае спектр вибраций сдвигается в область более низких частот,
что приводит к снижению амплитуды вибронагрузок в высокочастотной
области. Поэтому в качестве диагностического параметра можно использо-
вать отношение вибронагрузки в низкочастотной области Д1ч (например, в
полосе пропускании 0... 100 Гц) и высокочастотной области Аач (например,
в полосе пропускания 6...7 кГц):
R=^-.
Л,
Параметр R обладает высокой помехоустойчивостью, так как при нор-
мальной работе агрегатов двигателя практически не возникают случаи одно-
временного выброса низкочастотных виброперегрузок и провала вибропе-
регрузок на высокой частоте. Поэтому все клапаны, у которых R<RT3p, где
309
Лгар ~ гарантированный предел диагностического параметра, вычисленный до-
верительной вероятностью у, считают соответствующими требованиям ТЗ.
Классификация аварийных состояний. Аварийное состояние можно
классифицировать по следующим признакам: времени экспозиции, коэф-
фициенту охвата аварийного состояния, вид первичной неисправности или
отказа. Рассмотрим эти признаки.
Промежуток времени /,1к = tm -10, в течение которого двигатель находит-
ся в аварийном состоянии, называют временем экспозиции. Время экспозиции
играет существенную роль в выборе мероприятий по предупреждению отказа
или его локализации. Очевидно, что специальная система, контролирующая
состояние двигателя, характеризуется быстродействием /с (интервалом вре-
мени от момента начала изменения параметра t0 до выработки соответствую-
щего сигнала). Соотношение между значениями t3K и tc определяет эффектив-
ность системы контроля. В зависимости от этого соотношения все аварийные
состояния подразделяют на контролируемые и неконтролируемые, а отказы,
соответственно, - на прогнозируемые и непрогнозируемые, которые в теории
надежности также подразделяют на постепенные и внезапные.
При tc< t.lr аварийное состояние двигателя контролируемое, так как в
этом случае специальной системой можно установить факт наступления
аварийного состояния, предсказать и предупредить отказ. Если /с > t3K, то
аварийное состояние двигателя неконтролируемое, отказ не прогнозируется
и не предотвращается.
Для рассматриваемого нами класса объектов в настоящее время невоз-
можно, не увеличивая габариты и вес и не усложняя регистрирующую ап-
паратуру, организовать с помощью одного первичного преобразователя
(датчика) систему контроля (измерение) в широком амплитудном и частот-
ном диапазоне (например, от 0,1 до 100 МПа или от 1 до 104 Гц). Исходя из
этого, все параметры рабочих процессов в зависимости от частотного диа-
пазона, в котором они измеряются, можно условно разделить на медленно
меняющиеся параметры (ММП) и быстро меняющиеся параметры (БМП). В
качестве ММП рассматривают давление, расход, температуру компонентов,
а в качестве БМП - пульсации давления компонентов, вибрации и цикличе-
скую нагрузку элементов конструкции, обороты и осевые перемещения ва-
лов роторов турбонасосных агрегатов.
В зависимости от типа контролируемых параметров используют тот
или иной метод диагностирования.
Для создания систем контроля состояний двигателя необходимо знать
соотношение между контролируемыми и неконтролируемыми аварийными
состояниями. Это соотношение характеризуется коэффициентом охвата
аварийных состояний.
Пусть Pj — вероятность того, что г-е аварийное состояние двигателя
контролируется системой:
310
Вероятность того, что все аварийные состояния контролируются, в
предположении их статистической независимости, будет
т
1=1
где т - количество возможных аварийных состояний.
Так как контролируемые и неконтролируемые аварийные состояния
при заданном tc являются независимыми событиями, то
Pt+PHt=l,
где Рик - вероятность неконтролируемых аварийных состояний,
т
Коэффициент охвата аварийных состояний а численно равен вероят-
ности прогнозируемых отказов: а. = Рк.
Теоретически с достаточной степенью точности определить а сложно,
его можно лишь приближенно оценить по результатам испытаний двигате-
лей, имевших аварийные состояния. Исходными данными при этом должны
быть Zt, Z3K, общее количество аварийных состояний и и количество про-
гнозируемых аварийных состояний пк. Тогда а= пк/п.
Например, в двигателях ракеты-носителя «Сатурн» могут иметь место
229 аварийных состояний [2]. Если предположить, что быстродействие
системы контроля составляет Zc=0,05 с, то в 198 случаях аварийные со-
стояния можно контролировать и эффективно воздействовать на двигатель.
Тогда оценка коэффициента охвата
а* =и*/и = 198/229 = 0,86.
Коэффициент охвата аварийных ситуаций может быть представлен как
вероятность предотвращения разрушения двигателя при возникновении не-
исправностей, приводящих к отказу. Для жидкостных ракетных двигатель-
ных установок, включающих несколько ЖРД, необходимый уровень коэф-
фициента охвата аварийных ситуаций должен быть выше 0,90. При такой
эффективности аварийной защиты надежность современных двигательных
установок, состоящих из нескольких ЖРД, становится выше надежности
единичного двигателя при вероятности его безотказной работы более 0,95.
Логическим продолжением функций системы контроля состояний дви-
гателя является его аварийная защита, которая реализуется специальными
системами.
Системы аварийной защиты. Задачи создания и внедрения эффек-
тивных систем аварийной защиты ракетных двигателей, предотвращающих
внешнее разрушение, являются одними из основных при создании двигате-
лей. В настоящее время создан целый ряд систем нового поколения, обла-
дающих следующими свойствами: возможностью управления исправным и
311
неисправным двигателем, автономностью, высокой эффективностью ава-
рийной защиты, высокой надежностью в части отсутствия ложных реше-
ний, применением стандартных алгоритмов, универсальностью техниче-
ских аппаратурных решений. Из этих свойств особое значение имеют авто-
номность и надежность систем.
Под автономностью понимается, что система управления ЖРД имеет
необходимые ресурсы для решения всех возложенных на нее задач. Харак-
теристиками надежности управления двигателем, в том числе управления в
неисправном состоянии - аварийной защиты, являются два параметра: ве-
роятность выдачи команд, когда они нужны, и вероятность невыдачи ко-
манд, когда они не нужны.
Для исправного двигателя задача управления сводится к тому, что по
заданным условиям должна быть выдана команда, а при отсутствии этих
условий команда не выдается. Для аварийной защиты вероятность выдачи
команды при необходимости лимитируется не надежностью аппаратуры, а
эффективностью алгоритмов защиты двигателя, т. е. коэффициентов охвата
аварийных ситуаций.
Для установок с одним двигателем, кроме коэффициента охвата ава-
рийных ситуаций, рассматривают показатель эффективности управления
неисправным ЖРД для выполнения конечной задачи ракетно-космического
комплекса.
-Для того чтобы аварийная защита была эффективной, в практике освое-
ния ракетных двигателей в систему управления включают большое количе-
ство каналов контроля параметров на ранней стадии отработки двигателей.
Таким образом, контроль состояния двигателя и решение задач эффек-
тивного управления с помощью выдачи соответствующих его состоянию
команд являются определяющими для достижения целей, стоящих перед
ракетно-космическим комплексом.
11.2. Неисправности и аварийные состояния двигателей
Неисправности по времени их развития от момента обнаружения до
аварийного состояния можно разделить на несколько групп.
К первой группе относятся мгновенно развивающиеся неисправности,
остановить развитие которых до достижения аварийного состояния двига-
теля практически невозможно. Это, например, возгорание металлических
элементов газового тракта в среде кислорода. Приняв для оценки скорость
процесса горения от 1 до 100 м / с, получим, что металлическая конструк-
ция толщиной 5 мм прогорит через 5 10"3...5 10~5 с. Очевидно, что за это
время выключить ЖРД невозможно, поэтому неисправности этой группы
должны быть исключены специальными конструкторскими мероприятиями.
Вторую группу составляют быстро развивающиеся неисправности. При
возникновении таких неисправностей, применив все возможные средства
312
для ускорения процесса диагностирования и проведения выключения дви-
гателя (быстрые алгоритмы), можно избежать его внешнего разрушения.
Критическое время складывается из интервалов времени, необходимых для
диагностирования, срабатывания аппаратуры управления и закрытия отсеч-
ных клапанов на топливных магистралях ЖРД.
Неисправности третьей группы характеризуются медленным развити-
ем, когда процесс изменения диагностического параметра происходит в те-
чение времени, вполне достаточного для перевода двигателя на облегчен-
ный (щадящий) режим работы или его выключения. Часто процессу некон-
тролируемого быстрого развития неисправности предшествует процесс
медленно развивающейся неисправности. Например, процессу отрыва ло-
патки турбины турбонасосного агрегата ЖРД предшествует относительно
долгое развитие усталостной трещины.
При эксплуатации ракетных двигателей может возникать очень много
аварийных состояний. Рассмотрим наиболее вероятные из них.
1.	Нарушение герметичности жидкостных магистралей. Причины
этого могут быть различными. В основном герметичность нарушается из-за
дефектов конструкции и производства, вибраций и высокочастотных коле-
баний. В трубопроводах первоначально возникают микроскопические от-
верстия, площадь которых под воздействием механических и эрозионно-
коррозионных сил увеличивается.
В связи со значительными перепадами давлений (40...60 МПа) утечки
компонентов даже через незначительные трещины довольно велики, при
этом возможны следующие последствия:
-	возникает опасность возгорания и взрыва;
-	изменяются соотношения компонентов топлива и всех параметров
рабочего процесса. Это особенно опасно для газогенераторных магистра-
лей, поскольку приводит к прогарам, повышению температуры газа и изме-
нению режима работы газогенератора, ТНА и двигателя в целом;
-	происходит заполнение двигательного отсека агрессивными компо-
нентами, что может нарушить работоспособность различных элементов
бортовых систем управления и измерения.
2.	Нарушение герметичности газовых емкостей. Нарушение герме-
тичности газовых емкостей (газоводов, газогенераторов, камер сгорания и
др.) может произойти из-за конструктивно-технологических дефектов, виб-
раций, пульсаций, термического и эрозионного воздействия. При этих на-
рушениях герметичности возможны следующие предпосылки к отказам:
-	выброс продуктов сгорания в двигательный отсек, что может привес-
ти к разрушению, пожару, взрыву;
-	нарушение энергетического равновесия двигателя, при этом в зави-
симости от места негерметичности режим работы форсируется или дроссе-
лируется;
-	разрушение ТНА;
-	потеря работоспособности системы управления регулирующими ор-
ганами из-за снижения давления в газовых баллонах.
313
3.	Неисправности элементов автоматики. Первичными неисправно-
стями могут быть неполное открытие клапанов, несрабатывание (самопроиз-
вольное срабатывание) пиропатронов, обрыв цепей управления и т. д. Такие
неисправности приводят к разрушению ацетатов двигателя из-за форсиро-
вания режима его работы, а также к дросселированию режима работы двига-
теля или его агрегатов и даже к самопроизвольному выключению двигателя.
4.	Кавитация насосов. Кавитация в насосах вызывается следующими
первичными причинами: нарушением герметичности подводящих магист-
ралей, неисправностью системы наддува, загазованностью (газонасыщенно-
стью) компонентов топлива и др. При кавитации уменьшаются производи-
тельность и напор насосов, изменяется энергетический баланс и растут обо-
роты ротора ТНА, что приводит в дальнейшем к изменению соотношения
компонентов топлива и разрушению газогенератора или турбины. Все эти
случаи имеют относительно большие временные интервалы экспозиции.
5.	Неисправности насосов и турбин. Эти неисправности являются
следствием конструкторско-технологических недоработок и случайных де-
фектов материалов. К неисправносгям насосов и турбин можно отнести на-
рушение герметичности уплотнений, разрушение подшипников, обрывы
отдельных крепежных деталей. Разрушение ТНА происходит быстро, с
очень малым временем экспозиции.
6.	Высокочастотные колебания. Колебания с высокой частотой, воз-
никающие в камерах сгорания и газогенераторах, вызывают вибрацию эле-
ментов двигателя. Если колебания происходят с малой амплитудой, то це-
лостность двигателя сохраняется. Если же амплитуды колебаний превыша-
ют предельные значения, то происходит разрушение элементов двигателя и,
как следствие, его отказ.
При характерном процессе развития колебаний вначале возникает лег-
кое возбуждение колебаний с регулярной частотой и малой амплитудой, а
затем наступает период роста амплитуды и разрушение. Единственным пу-
тем к обеспечению надежности в условиях возможных высокочастотных
колебаний является стендовая доводка и анализ статистической обработки
результатов, полученных при проведении испытаний, в том числе и летных.
Таким образом, методы повышения надежности двигателей за счет ис-
ключения указанных выше аварийных состояний разнообразны и связаны в
первую очередь с повышением стойкости изделий к внешним воздействи-
ям. К этим методам относят методы создания прочных, жестких, износо-
стойких узлов и агрегатов, получаемых благодаря применению более ра-
циональных конструкций, материалов с повышенными прочностными ха-
рактеристиками, а также с высокой коррозионно- и теплостойкостью, опти-
мизаций режимов работы двигателя и его элементов.
11.3. Методы прогнозирования надежности двигателя
Прогнозирование надежности сложных систем за последние годы
сформировалось в самостоятельную науку, которая использует свои методы
314
и средства. Создание методов и средств контроля состояний двигателя яв-
ляется частью решения проблемы повышения его надежности.
Жидкостные ракетные двигатели - одни из самых мощных, сложных и
напряженных в энергетическом отношении современных технических уст-
ройств. Мощность, реализуемая в их турбонасосных агрегатах, составляет
от нескольких сотен до сотен тысяч киловатт, а в камерах сгорания достига-
ет нескольких миллионов киловатт. Внешнее разрушение этих двигателей
может приводить к разрушению самой ракеты. Это угрожает безопасности
экипажей пилотируемых комплексов, людей, находящихся в зонах возмож-
ного воздействия элементов отказавших изделий, а также наносит большой
материальный ущерб и урон окружающей среде.
Безопасность ЖРД при эксплуатации в составе ракеты до последнего
времени в основном обеспечивалась за счет повышения его надежности.
Своевременное обнаружение неисправности и выключение двигателя без
разрушения осуществлялось простейшими средствами, эффективность ко-
торых и при стендовых испытаниях, и в полете была невелика.
В связи с большой технической сложностью и значительным числом
элементов в двигателе, непосредственно контролировать состояние каждого
элемента или агрегата, входящего в двигатель, как и двигателя в целом, не
представляется возможным. В то же время для каждого состояния двигателя
характерны определенные признаки, выражающиеся в соответствующем из-
менении параметров рабочего процесса. Контроль параметров двигателя в
процессе его работы является непростой, но технически выполнимой задачей.
В интервале 0-?и двигатель изменяет некоторый параметр Y в преде-
лах эксплуатационных интервалов и сохраняет работоспособность. В ин-
тервале параметр
Y начинает возрастать
(без воздействия регули-
рующих элементов). По-
являются признаки ава-
рийного состояния дви-
гателя. В интервале
эти признаки
развиваются, параметр Y
достигает предельного
значения, наступает от-
каз двигателя по пара-
метру Y (рис. 11.2).
Прогнозирование
надежности отличается
Рис. 11.2. Изменение параметра Y в период работы
двигателя от номинального значения до отказа:
АС - аварийное состояние двигателя
от ее расчета тем, что решается вероятностная задача, в которой поведение
двигателя в последующем интервале определяют лишь с той или иной сте-
пенью достоверности. Математический аппарат прогнозирования надежно-
сти включает элементы численного анализа и теории случайных функций.
Задача прогнозирования применительно к надежности сводится к вероятно-
315
стной оценке надежности двигателя Р(/) как случайной величины, завися-
щей от возможных режимов работы и условий эксплуатации. Для этих це-
лей используют как аналитические, так и вероятностные методы. Рассмот-
рим данные методы прогнозирования более подробно.
Аналитическое прогнозирование. Прогнозирование, связанное с
применением математического аппарата, называется аналитическим.
Пусть некоторый контролируемый параметр y(t) в интервале 0-4и
принимает значения yu(t0), л(А)>	> К(/„)> которые зафиксирова-
ны контролирующей аппаратурой. Требуется по известным в интервале
О — tn значениям параметра ул(г,) предсказать значения величин
лЖ)> Л+2(и)> -> Уп+Л^) в интервале Г„-Г„+и. Задача аналитиче-
ского прогнозирования сводится к подбору аналитического выражения, ко-
торое наилучшим образом описывает контролируемую функцию на участке
прогнозирования t > t„.
Если функция y(t) задана дискретными значениями
то для аналитического прогнозирования следует
подобрать такое математическое выражение Х(/) (рис. 11.3), при котором
4	6	4,	4i+| 1ц+2 tn+m
обеспечиваются условия,
выраженные системами
уравнений
гМ = УоМ>
уи)=д(1,),
Рис. 11.3. График изменения контролируемого
параметра у(/)
И('„)=л('я).
^0»+1 ) — У п+1 (^и+1) + |Е11’
С;+2 ) = У ( Си-2 ) + |е21 >
у0„+м)=т('„+и)+|е„,|-
Вторая система уравнений должна быть преобразована к виду
y(t>i+i) ~ К+1 (^/>+1) ±
Ж+2) = Г('И+2)±е2>
Х,««) = г(^)±е-»-
В качестве прогнозирующей функции необходимо искать многочлен вида
316
где Д - весовые коэффициенты составляющих функций; Д(г) - состав-
ляющие функции. При этом составляющие функции Ft(t) могут иметь вид
полинома
Fi(t) = ай + att + a2t2 +...+amtm,	(11.1)
где а, - коэффициенты полинома. Исходя из этого, система уравнений бу-
дет иметь вид
т
/=1
гп
НМдлЫ.
/=i	111 • А)
т
^) = Z4^U)-
/=1
Прогнозирующий многочлен определяют решением указанной систе-
мы (11.2). В тех случаях когда контролируемая функция изменяется по
сложному закону и информация о контролируемом параметре ограничена,
приемлемую ошибку в определении прогнозирующего полинома дает метод
наименьших квадратов.
При прогнозируемом полиноме (11.1) принимают условие, выраженное
уравнением
т	2
=min-
Дифференцируя уравнение (11.2) с учетом (11.1), пблучают систему
уравнений для определения а,. [2]:
««о + a, Jrf + «2 Jr2 +... + J/,"' = Jy„
1=1	J=1	/=1	1=1
«о J(+«. J'-+-+«. Jr1 =J^.
/=1	J=I	f=i	r=i
«0 Jr + «.Jr1	J(2ra=Jo,-
/=i	<=i	<•=	i=i
Систему (11.3) решают относительно ai, после чего окончательно оп-
ределяют искомый полином Fm (г), который отличается от действительной
функции К (г) на величину не больше е:
max[y(r,)-F„,(r,.)]<E.
Кроме рассмотренных многочленов при аналитическом прогнозирова-
нии могут также применяться различные полиномы и аналитические выра-
317
жения. Когда прогнозирование ведется не по одному, а по нескольким кон-
тролируемым параметрам, методика решения задачи прогнозирования
принципиально не отличается от приведенной выше. Для каждого прогно-
зируемого параметра находят прогнозируемый полином по одному из ана-
литических методов (например, по методу, описанному выше) и определя-
ют изменение каждого параметра.
Вероятностное прогнозирование. Аналитические методы прогнози-
рования применять не всегда возможно из-за того, что контролируемые
функции являются сложными функциями и для них не удается достаточно
полно подобрать прогнозируемый полином. Кроме того, все контролируе-
мые функции являются случайными, а их значения при каждом аргументе
также случайные величины. В этих случаях закон изменения контролируе-
мого параметра во времени не определяют, а оценивают вероятность того,
что контролируемая функция в моменты времени tt выйдет за допустимые
пределы, т. е. наступит состояние отказа.
Предположим, что значения контролируемой функции подчиняются
нормальному закону, который имеет следующие числовые характеристики:
V"1 y^i)
математическое ожидание т - У—— и среднеквадратическое отклоне-
м и
ние о,
, где п - количество измерений параметра
у(< ) в моменты (.
Величина математического ожидания практически совпадает с номи
нальным значением контролируемой функции в каждый момент времени
Следовательно, для фиксированного момента времени t плотность распре
деления контролируемой функции имеет вид
СУ,л/2ТС
Если известно, что номинальное значение контролируемого параметра
не изменяется, т. е. т = const, то тогда при предельных значениях пара-
метра ymjn и угг1ах вероятность достижения им предельных значений будет
у —tn
у max j
а
-Ф
у . — т
-'min J
СУ
Учитывая, что Ф(г) - нечетная функция, для которой
Ф(-и) = 1-Ф(г), а при заданном интервале параметра ±ед jmin =ту -ел и
У=ту+ед’ вероятность достижения предельных значений (рис. 11.4)
может быть определена по формуле
2фЬ--1.
о,.
318
Вероятность Pv для последнего измерения определяют в момент Ги. Ма-
тематическое ожидание и среднеквадратическое отклонение являются функ-
циями времени ту = tny(t), Gy = ay(t), и изменению номинального значения
контролируемой
функции соответст-
вует характер изме-
нения ту и <5у
(рис. 11.5).
Вероятностные
методы прогнози-
рования можно
применять для мед-
ленно меняющихся
процессов, т. е. для
Рис. 11.4. Изменение плотности распределения
вероятности значений параметра при mv = const
контролируемых
аварийных состоя-
ний. Для реализа-
ции этих методов не-
обходимы специаль-
ные быстродействую-
щие вычислительные
машины.
Таким образом,
применение методов
аналитического и веро-
Рис. 11.5. Изменение плотности распределения
вероятности значений параметра при = var
ятностного прогнозиро-
вания надежности дви-
гателя позволяет свое-
временно оценить динамику изменения контролируемого параметра и при оп-
ределенных условиях задействовать систему аварийной защиты для исключе-
ния катастрофического исхода программы полета летательного аппарата.
11.4.	Техническое и технологическое обеспечение надежности
Высокие показатели надежности двигателей летательных аппаратов
обеспечивают резервированием элементов и систем, эксплуатацией по со-
стоянию и диагностикой, практическим исключением возможности внезап-
ных отказов и упрочнением деталей.
Резервирование характерно для жизненно важных систем двигателя.
Резервирование агрегатов и узлов широко используют в системах управле-
ния, регулирования и аварийных системах. При этом, как правило, приме-
няют системы и агрегаты с нагруженным резервом.
319
При конструировании резервированных систем стремятся обеспечить
выполнение следующих принципов:
—	источники питания дублирующих систем должны быть независимы
от основной системы, а их коммуникации максимально удалены от нее;
-	структуру резервных систем управления строят таким образом, что-
бы дублирующая система имела идентичные мощностные характеристики и
действовала независимо;
—	дублирующая система должна иметь собственные бортовые средства
контроля и сигнализации неисправностей.
Одним из прогрессивных и экономически выгодных методов повыше-
ния надежности и ресурсного прогнозирования ракетных двигателей явля-
ется эксплуатационная диагностика, при которой сравнивают диагности-
руемые параметры работающего и эталонного узлов. Для этого все жизнен-
но важные элементы двигателей должны контролироваться в процессе экс-
плуатации по их состоянию. Кроме того, наиболее ответственные узлы кон-
структивно оформляют так, чтобы их целостность постоянно контролиро-
валась, вплоть до автоматического принятия решения об эксплуатации в
период полета и перевода сист емы на резервную. Такой подход стал возмо-
жен благодаря развитию бортовых вычислительных комплексов.
Например, система аварийной защиты ракеты-носителя «Энергия»
контролировала 4 двигателя первой ступени и 4 двигателя второй ступени с
помощью более 100 датчиков. Она реализовывала несколько десятков алго-
ритмов контроля исправности и выдавала команды на выключение неис-
правных двигателей. Объединенная двигательная установка орбитального
корабля «Буран», включавшая 2 ЖРД с тягой по 8,5 кН, 24 ЖРД с тягой по
4 кН, 12 ЖРД с тягой по 0,2 кН, системы хранения топлива и газа, системы
подачи окислителя и горючего и др., контролировалась системой аварийной
защиты. Эта система имела 90 аналоговых и 200 релейных датчиков и могла
выдавать около 200 разнообразных команд, предотвращающих разрушение
неисправных двигателей и осуществляющих локализацию неисправностей
других агрегатов двигательной установки.
Практические исключения возможности внезапных отказов обеспечива-
ют, в частности, за счет применения пластичных материалов, имеющих малую
скорость распространения трещины. Поэтому, например, сплав Д16-Т более
пригоден для конструкции, чем более прочный, но менее пластичный сплав
В95-Т. Распространение трешип ограничивают также с помощью монолитных
пластин с ребрами, расположенными поперек вероятного направления трещи-
ны, так как развитие трещин при переходе через ребро замедляется. Для той
же цели служит перекрытие возможности для распространения трещин про-
дольной полоской или профилем, прикрепленным к основному металлу.
Сочетание резервирования с быстрым выявлением отказавших элемен-
тов, осуществляемое с помощью автоматизированных систем контроля,
практически исключает отказ двигателей.
На стадии изготовления ракетных двигателей их высокую надежность
обеспечивают за счет контроля и регулирования стабильности технологиче-
ских процессов.
320
I Ipn создании двигателя и его систем в проект закладывают современ-
ные технологические приемы и методы обработки, обеспечивающие посто-
янное повышение уровня надежности и долговечности.
Одним из основных направлений развития технологии двигателестрое-
ния является внедрение методов упрочняющей обработки металлов, приме-
няемых при изготовлении деталей РД.
Упрочнение является одним из методов повышения сопротивления ус-
талости деталей ракетных двигателей (например, лопаток турбин). К этим
методам относится термопластическое упрочнение, заключающееся в на-
греве детали до температуры ниже температуры фазовых превращений (для
стали эго 800... 1 000 К) с последующим резким охлаждением поверхности,
в результате чего из-за разных температурных деформаций поверхности де-
тали и ее сердцевины на поверхности возникают пластические деформации,
приводящие к появлению на ней напряжений сжатия. При этом предел вы-
носливости возрастает на 30 %. Широко распространен еще один метод уп-
рочнения деталей - пластическое деформирование поверхности стальными
или стеклянными микрошариками размером 50...200 мкм. Предел выносли-
вости при этом может увеличиваться в 1,5 раза. Возможно сочетание обоих
методов упрочнения.
Важнейшей составной частью процесса изготовления ракетных двига-
телей является заготовительное производство.
Основной метод получения заготовок сложных деталей двигателей -
это литье по выплавляемым моделям (заготовки типа корпусов ТНА, тур-
бин, крыльчаток и др.). Применение этого метода увеличивает прочность
отливок с 300 до 1 200 МПа, улучшает герметичность, повышает качество
обработки поверхностей и точность размеров деталей, а также значительно
увеличивает габаритные размеры отливок.
В листоштамповочном производстве используют методы, позволяю-
щие снизить затраты на оснастку, сократить сроки изготовления изделий,
повысить качество деталей. Это штамповка жидкими и эластичными среда-
ми, ротационная вытяжка, безматрицевая штамповка, импульсные и другие
прогрессивные методы штамповки.
Несмотря на успехи, достигнутые в совершенствовании заготовитель-
ного производства, одним из главных технологических процессов все еще
остается размерная обработка деталей (обработка резанием, электрохими-
ческая и электрофизическая обработка).
Для сталей и сплавов с прочностью 200 МПа и более обычные методы
обработки резанием малоэффективны. В этом случае используют современ-
ный режущий инструмент с многогранными неперетачиваемыми твердо-
сплавными пластинами из сверхтвердых синтетических материалов и рабо-
чими поверхностями, упрочненными износостойкими покрытиями, или
применяют комбинированные методы обработки (плазменно-механи-
ческую, вибросверление и др.).
Электрохимические и электрофизические виды обработки, объеди-
няющие электроэрозионную, электронно-лучевую, лазерную и ультразву-
2 1 Испытание ракетных дшн-атслсн
321
ковую обработку, позволяют изготовлять детали сложной формы независи-
мо от прочностных характеристик материалов, получать отверстия с криво-
линейной осью, узкие щели любой конфигурации и т. п.
В современных ракетных двигателях, имеющих сложную оболочковую
конструкцию, основными методами создания неразъемных соединений яв-
ляются сварка и пайка. Сварные и паяные соединения обеспечивают техно-
логическую и конструктивную прочность, геометрическую точность, гер-
метичность и коррозионную стойкость узлов и агрегатов.
При изготовлении ракетных двигателей широко применяют неразру-
шающие методы контроля качества: радиационную дефектоскопию, ультра-
звуковой контроль, акустико-эмиссионный метод выявления развивающих-
ся дефектов и некоторые другие.
Наряду с повышением экспериментальных характеристик традицион-
ных материалов широко используются новые виды материалов и их раз-
личные комбинации. Так, в конструкциях возрастает доля использования
алюминиевых сплавов, титана, армированных пластиков и пр. Все более
широкое применение находят композиционные материалы, что не только
повышает прочностные свойства деталей и узлов, но и существенно снижа-
ет массовые характеристики. Это особенно важно для двигателей летатель-
ных аппаратов, так как при повышении надежности увеличивается масса
полезной нагрузки.
Например, замена стальных лопаток турбин легкими стеклопластико-
выми снижает их массу на 30 %. При использовании таких лопаток диск
можно изготавливать из алюминиевого сплава, что также снижает массу до
50 %. Стеклопластики обладают повышенным сопротивлением усталости,
так как их демпфирующая способность в 4 раза больше, чем у нержавею-
щих сталей.
Среди прочих материалов особое место занимает бериллий. Благодаря ма-
лой плотности (1 850 кг / м3) и высокой теплопроводности (2 500 Дж / (кг • К)),
бериллий целесообразно применять в быстровращающихся роторных деталях,
что ведет к меньшим центробежным нагрузкам. Близкие коэффициенты терми-
ческого расширения бериллия и ряда сталей позволяют изготавливать из них
подшипники скольжения. При равных массовых характеристиках бериллий со-
противляется потере устойчивости при сжатии в 3 раза лучше алюминиевых
сплавов и в 5 раз лучше стали.
Важнейшим элементом технологической цепочки создания надежного
двигателя является серия различных видов испытаний. По известным стати-
стическим данным, на проектирование приходится 2 % всех затрат, на
обеспечение качества и надежности (главным образом на отработку и спе-
циальные ресурсные испытания) - 90 %, остальные 8 % - на официальные
испытания.
Стендовые испытания при доводке двигателя и его агрегатов проводят
в граничных условиях эксплуатации. Одним из видов испытаний является
термометрирование - изучение температурного состояния в стационарных
и переменных режимах работы камеры сгорания, рабочего колеса турбины,
соплового аппарата, подшипников и др.
322
Испытания стремятся ускорить, организуя эквивалентные испытания,
программа которых строится по принципу ускоренного исчерпания ресурса
основными узлами и деталями двигателя на основе использования законо-
мерностей между нагрузкой и ресурсом по каждому возможному виду отка-
за. У ЖРД малой тяги для сокращения длительности испытаний продолжи-
тельность работы увеличивают на наиболее тяжелом режиме, который при
обычной эксплуатации и длительности стендовых испытаний составляет
1...5 % от общего ресурса. Длительность испытаний при этом сокращается
приблизительно в 6 раз.
Многокритериальная оценка эффективности РД, прогнозный характер
многих исходных проектных данных и технических требований и сущест-
венная длительность всего периода создания двигателя определяют один из
важнейших практических аспектов проектирования силовой установки —
определение оптимальных значений параметров двигателя в условиях зна-
чительной неопределенности исходной проектной информации. При обос-
новании выбора параметров энергетической установки такой характер ис-
ходной информации нельзя не принимать во внимание, так как он может
существенно повлиять на достоверность и надежность результатов оптими-
зации параметров двигателя. Все эти проблемы находятся в непосредствен-
ной связи с проблемами дальнейшего повышения надежности, поскольку
невозможно достичь высокой надежности и долговечности энергетической
установки с несовершенными рабочим процессом, схемой, механизмами и
самой структурой изделия. Следовательно, основным направлением повы-
шения надежности является обеспечение высокого технического уровня
двигателя с учетом его взаимодействия с окружающей средой.
Характерной особенностью ракетно-космической техники является
увеличение и усложнение задач, решаемых с помощью современных кос-
мических аппаратов. Эффективность решения этих задач существенно зави-
сит от технических характеристик бортовых систем, обеспечивающих
функционирование космических аппаратов, в частности от того, каков об-
лик системы управления полетом космического объекта, какие у нее энер-
гетические, динамические и точностные характеристики и какие задачи
можно решить с их помощью.
Таким образом, рассмотренные выше основные меры технического и
технологического обеспечения надежности ракетных двигателей на стадии
их проектирования и изготовления позволяют исключить практически все
причины отказов, что обеспечивает производство и последующую поставку
двш’ателей высокого качества с заданным уровнем надежности.
***
Основными способами и методами обеспечения надежности являют-
ся рациональный выбор конструктивного исполнения ракетного двигате-
ля, введение резервирования, обоснование запасов прочности, включение
в конструкцию средств контроля параметров и определение предотказно-
323
го состояния с помощью технического диагностирования и прогнозиро-
вания.
Контрольные вопросы и задания
1.	Что называют состоянием двигателя?
2.	Какие состояния двигателя определяет время экспозиции?
3.	Что выражает коэффициент охвата аварийных состояний?
4.	Каково назначение систем аварийной защиты?
5.	Какие неисправности относят к первой, второй и третьей группам?
6.	Каковы причины и последствия нарушений герметичности жидкост-
ных магистралей двигателя?
7.	Перечислите первичные неисправности элементов автоматики.
8.	К каким последствиям приводит кавитация насосов ТНА?
9.	Укажите источники высокочастотных колебаний в камере сгорания.
10.	Какой метод обеспечения надежности двигателя в условиях высо-
кочастотных колебаний вам известен?
11.	В чем состоит сущность аналитического и вероятностного прогно-
зирования надежности?
12.	Что обеспечивает своевременное обнаружение неисправности и
выключение двигателя без разрушения?
13.	Чем отличается прогнозирование от расчета надежности?
14.	Как выражаются условия аналитического прогнозирования, если
функция параметра задана дискретными значениями?
15.	В каких случаях определяется не закон изменения параметра во
времени, а вероятность того, что контролируемая функция выйдет за допус-
тимые пределы?
16.	Перечислите основные методы обеспечения надежности двигателей.
17.	Какова цель проведения термометрирования как вида испытаний?
Заключение
В современном мире научно-технический прогресс охватил практиче-
ски все сферы инженерной деятельности. И наиболее значительно он про-
является в области ракетно-космической техники. Современный этап ее
развития характеризуется интенсивным ростом числа космических проек-
тов. Вместе с тем возникли новые проблемы, прежде всего проблема на-
дежности функционирования ракетных двигателей, в том числе жидкост-
ных, обусловленная соображениями обеспечения надежности ракетно-
космических комплексов, безопасности полетов и т. д.
Вопросы надежности в той или иной форме всегда стояли перед создате-
лями ракетных двигателей, но в настоящее время требуется не столько качест-
венная информация о надежности, сколько количественная оценка ее уровня.
Можно выделить три основные причины, которые делают неприемле-
мыми методы качественной оценки надежности ракетных двигателей:
—	высокий уровень надежности двигателей;
—	сложность конструкции, высокая стоимость изготовления и испытания;
-	ограниченность сроков отработки и производства.
По опубликованным данным, аварии ракет-носителей приводят к за-
держке выполнения программы полетов в среднем на 15 месяцев и к увели-
чению стоимости программы за счет реализации мероприятий по предот-
вращению повторного проявления отказа этого типа. В целом же сумма
ущерба от аварии может составлять примерно четверть от затрат на выпол-
нение программы полета.
По мере повышения требований к характеристикам летательных аппа-
ратов и их технического усложнения роль испытаний в процессе изготовле-
ния изделий, входящих в летательные аппараты, в том числе ракетных дви-
гателей, становится все более значительной; при разработке современных
двигателей из-за невозможности получения адекватного теоретического
описания более 40 % возникающих проблем решаются только при помощи
испытаний. При этом их большая стоимость и длительность проведения
становятся определяющими факторами в общих затратах и сроках, необхо-
димых для создания двигателя. Именно поэтому испытания двигателей как
основной процесс обеспечения требуемой надежности занимают особое ме-
сто в их создании.
Подтверждение высокого уровня надежности требует большого числа
испытаний. Но из-за сложности и высокой стоимости ракетно-космической
техники изготавливать большие партии объектов для летных испытаний
нецелесообразно. Это обстоятельство ограничивает возможность определе-
ния эффективности двигателя путем статистической обработки экспери-
ментального материала, полученного только при летных испытаниях. Чаще
всего на практике приходится принимать решения о достигнутой надежно-
сти на основании результатов, полученных на ограниченном количестве ис-
пытанных изделий.
325
Все это требует постоянного развития науки о вероятностно-статис-
тических методах оценки надежности, разработки комбинированных мето-
дов, учитывающих информацию о двигателе, накопленную в процессе
предшествующих испытаний и теоретических расчетов. От полноты и дос-
товерности этой априорной информации зависит число летных испытаний,
необходимое для окончательного определения требуемого показателя на-
дежности изделия.
В настоящее время ставится задача перенести физические основы ин-
женерного анализа в математическую форму и получить количественную
оценку результатов испытаний. При этом необходимо повышать информа-
тивность испытаний, сокращать количество изделий, выявлять на ранних
стадиях слабые места и причины отказов, оценивать показатели надежности
и прогнозировать их на длительные сроки эксплуатации. Во всех случаях
эти оценки должны совпадать со статистическими оценками, полученными
на этапе эксплуатации по результатам большого числа натурных испыта-
ний. Данная задача в значительной мере может решаться специальными ис-
пытаниями ограниченных выборок изделий и их элементов, которые назы-
вают испытаниями на надежность. Целесообразность этих испытаний со-
стоит в том, что при их проведении с помощью телеметрических данных
учитывается практически весь ход изменения основных характеристик из-
делия. При решении таких задач на всех этапах отработки важное место от-
водится раннему обнаружению и прогнозированию отказов. До недавнего
времени это делалось методами эмпирического поиска. Однако современ-
ные требования, предъявляемые к отработке ракетных двигателей, связаны
с разработкой научно обоснованных программ для обеспечения различных
планов опытных работ и объемов испытаний. Теоретические основы для
этого уже созданы: теория эксперимента, математическое моделирование,
теория подобия и размерностей и т. д. Теория испытаний тесно связана с
теориями математического, физического и структурного моделирования.
Вопрос о создании в ближайшие годы теории испытаний сложных тех-
нических систем является чрезвычайно проблематичным. Испытания в це-
лом представляют собой весьма сложный процесс, характеризующийся
большой разнородностью решаемых задач, многоуровненностью этапов ис-
пытаний, неоднородностью информационных потоков, циркулирующих в
самой системе испытаний, многообразием оцениваемых характеристик ис-
пытываемых изделий, наличием ограниченного числа образцов, направляе-
мых на проведение испытаний и т. п.
В основу планирования любой операции, как правило, закладывается
принцип оптимальности. Для реализации этого принципа необходимо
иметь показатель эффективности функционирования системы и модель. По-
этому на этапе планирования испытаний следует в первую очередь выбрать
и обосновать показатели и критерии эффективности испытаний, а также по-
строить их математическую модель. Эта проблема является достаточно
сложной и должного освещения в научно-технической литературе пока еще
не получила.
326
Исход испытаний в процессе конструкторской отработки - не единст-
венный и не всегда главный показатель качества испытуемого двигателя.
Чем больше на данном этапе будет выявлено отказов и чем эффективнее бу-
дет проведена доработка, тем надежнее окажется двигатель в процессе экс-
плуатации. Рассматривая вопрос о работоспособности двигателя, его созда-
тель не должен ограничиваться только фиксированием исходов испытаний.
Необходимо принимать во внимание результаты измерений параметров, ха-
рактеризующих физические процессы, режимы и условия испытаний, при
которых зафиксированы дефекты и отказы, состояние материальной части
и т. п. Только такой подход к оценке работоспособности двигателя в сочета-
нии со статистическими методами, учитывающими полный объем информа-
ции, позволит представить убедительную характеристику надежности.
По мере усложнения техники, расширения областей ее использования,
повышения уровня автоматизации, увеличения нагрузок и скоростей требо-
вания к надежности будут непрерывно расти. И дело здесь не только в том,
что в этих условиях повышаются требования к безотказности и долговечно-
сти изделий, но и в том, что решение вопросов надежности становится од-
ним из основных источников повышения эффективности техники, эконо-
мии материальных, трудовых и энергетических ресурсов, повышения кон-
курентоспособности техники.
При разработке программ создания и совершенствования изделий ра-
кетно-космической техники необходимо учитывать принцип перспективно-
сти. Такие программы должны быть ориентированы на требования к на-
дежности изделий, которые будут изготавливаться и эксплуатироваться че-
рез 10 и более лет, учитывать тенденции развития науки, техники и стро-
иться на данных научно-технического прогноза.
В настоящее время в создании ракетно-космической техники особое
место занимают CALS-технологии, которые используются как инструмент
организации и информационной поддержки всех участников создания, про-
изводства и использования технического объекта для повышения эффек-
тивности их деятельности за счет ускорения исследований и разработки,
сокращения издержек в процессе производства и эксплуатации. Эти техно-
логии активно применяются при создании и производстве сложной науко-
емкой продукции, осуществляемых структурами, которые включают ряд
предприятий и организаций, тесно связанных между собой производствен-
ными отношениями.
Выполнение растущих требований к надежности ракетных двигателей
может быть достигнуто благодаря разработке оптимальной конструкции,
совершенствованию технологии изготовления, максимальному использова-
нию возможностей применяемых материалов, отработке методик испыта-
ний, применению средств технической диагностики. Именно этому были
посвящены работы, проведенные в последние годы конструкторскими, на-
учно-исследовательскими организациями и заводами-изготовителями, что
позволяет создавать ракетные двигатели с требуемой надежностью, кото-
рые смогут обеспечить ракетно-космическим комплексам выполнение за-
данных программ.
Библиографический список
1.	Вентцель, Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. М. : Наука,
1969. 576 с.
2.	Волков, Е. Б. Основы теории надежности ракетных двигателей /
Е. Б. Волков, Р. С. Судаков, Т. А. Сырицын. М.: Машиностроение, 1974.400 с.
3.	Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика :
учеб, пособие / В. Е. Гмурман. 7-е изд. М.: Высш, шк., 1999. 479 с.
4.	ГОСТ 17655-72. Двигатели ракетные жидкостные. Термины и опре-
деления. М.: Изд-во стандартов, 1972. 48 с.
5.	ГОСТ 22763-77. Двигатели ракетные жидкостные. Надежность, кон-
троль и испытания. Термины и определения. М.: Изд-во стандартов, 1977.22 с.
6.	Жуковский, А. Е. Испытания жидкостных ракетных двигателей : учеб-
ник для студентов авиац. спец, вузов / А. Е. Жуковский, В. С. Кондрусев,
В. В. Окорочков. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1992. 352 с.
7.	Кесаев, X. В. Надежность двигателей летательных аппаратов /
X. В. Кесаев, Р. С. Трофимов. М.: Машиностроение, 1982. 136 с.
8.	Коломейцев, А. И. Методы функциональной диагностики ДЛА /
А. И. Коломейцев, Д. С. Мартиросов; Моск, авиац. ин-т. М., 2001. 112 с.
9.	Коломейцев, А. И. Обеспечение надежности двигательных устано-
вок / А. И. Коломенцев, Г. Б. Осипов ; Моск, авиац. ин-т. М., 1992. 52 с.
10.	Королев, В. Л. Основы испытаний на надежность : учеб, пособие /
В. Л. Королев; Краснояр. гос. техн. ун-т. Красноярск, 1997. 126 с.
11.	Костылев, Ю. С. Испытание продукции / Ю. С. Костылев, О. Г. Ло-
сицкий. М.: Изд-во стандартов, 1989. 168 с.
12.	Краев, М. В. Основы теории надежности двигателей летательных
аппаратов : учеб, пособие / М. В. Краев, В. Г. Яцуненко ; Краснояр. ин-т
космич. техники. Красноярск, 1992. 106 с.
13.	Краев, М. В. Основы теории надежности двигателей летательных
аппаратов в примерах и задачах : учеб, пособие / М. В. Краев, В. Г. Яцу-
ненко; Сиб. аэрокосмич. акад. Красноярск, 1996. 80 с.
14.	Кубарев, А. И. Надежность в машиностроении / А. И. Кубарев. М.:
Изд-во стандартов, 1989. 224 с.
15.	Надежность автономных энергетических установок : учеб, посо-
бие / М. В. Краев, В. П. Назаров, В. Г. Яцуненко, В. М. Краев ; под общ. ред.
проф. М. В. Краева ; Сиб. аэрокосмич. акад. 2-е изд., перераб. и доп. Крас-
ноярск, 2001.286 с.
16.	Надежность и эффективность в технике : справ. : в Ют. Т. 6. Экс-
периментальная отработка и испытания. М.: Машиностроение, 1989. 376 с.
17.	Надежность технических систем : справ. / под ред. И. А. Ушакова.
М.: Радио и связь, 1985. 608 с.
18.	Решетов, Д. Н. Надежность машин : учеб, пособие / Д. Н. Решетов,
А. С. Иванов, В. 3. Фадеев. М. : Высш, шк., 1988. 240 с.
19.	Труханов, В. М. Надежность изделий машиностроения. Теория и
практика : учеб, для студентов машиностроит. спец, вузов / В. М. Труханов.
М.: Машиностроение, 1996. 336 с.

Окончание табл.
е	^•^•cnclrH^oovovimoooin© и^ЧОГ-ОСС^ОО —Г) Г) 1Л С ID	С' ir)ir)iDiD|Diz^\D<)<;^r40>0'00' 0\0\0\0>0\0ч0>00>04^0\^^0ч о о o' о о о о о о о © © © © ©	Примечание. Наиболее часто используемые значения нормальной функции распределения Ф(г) выделены полужирным шрифтом.
tsi	^^г^г^г^1Чг^г\гг1Ч°^сп1лао© — — — — — —<’~,’-<’,-г4'г4'гчг^'	
S е	Г)Г-Г1^’-<|ПО'1(ЧФО ООПсП'П^Г-ООгн — Г-1 С)	С1 п п гч п п 0\О>0'|0''Сч0Ч0\0\0\0\ оооосГооооо	
n	Ог-чГ^гП’^-и^КОГ^ООСЛ г—•*	г-—* *—ч т—* т—Н	»—М Т—Н *->Н	
S е	cnV)OQ0OO>OOOO х}-чоооОгчхгоо--т оочог^г-г-Г'-г-оооо ОС ОС 0000^00^00 00 00 00 00 о о о" о” о о о о о о"	
N	о—'CNmxtu^ooooox Г"Н	г-“<	»—«	г—<	»"*<	»-*<	r-И	Г-* »—<	Г-н		*	•—< •—<	•—<	г—<	т—<	Т—<	т—1	
'Т? G	— oc^r^v^om—«осчосп ООг-нспкоСЛОСЧ’^Г^Осп ООСЛСЛСЛСЛООООг— ’—’ г- г- г- Г^Г^ОО 00 00 00^00^00 о о о" о" о о о" о о о” о"	
N	О—’СЧгП'<3-£2^ПЧОГ'-00О\ 00^00 00 00^00^^ 00^00 00 00 00 о o' О О О *> О О о' о о G	
е	•по’оел'^-оотг-О'^- r-^V^OO—1 ОО (N 1Л) О Г1 С^ООООО—"г-'г—<СЧ \ОЧОЧОГ^Г^Г^Г^Г^Г^1> o' о о" о" о" о о о" о o'	
и	o—'C4m^t»^4Dr--ooo\ •О	wy kn vy n vy vy 1/у ооооо'оо'о'о'о''	
е	тсЧг-чооог-чо-^т —1 O\mr-r-,x}.ooc4\c>0’<t Г'-ООООСлАелООг-^г— vT'/rl.'/T'/Y’^ vy о" О о о" o' о о" о о о"	
<4	О — СЧСОХГ^ПЧОГ'-ООСЛ гч	СЧ СЧ СЧ СЧ CN С4 сч сч о o' о" о о о" о" о о о"	
Таблица 2
Критические точки распределения Стьюдента
Число степеней свободы 5	Уровень значимости а для двусторонней критической области							
	0,40	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
1	1,38	3,08	6,31	12,71	31,82	63,66	318,31	636,62
2	1.06	1,89	2,92	4,30	6,97	9,93	22,33	31,60
3	0,98	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84	10,21	12,94
4	0,94	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60	7,17	8,61
5	0,92	1,48	2,02	2,57	3,37	4,03	5,89	6,86
6	0,91	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71	5,21	5,96
7	0,90	1,42	1,90	2,37	3,00	3,50	4,78	5,41
8	0,89	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36	4,50	5,04
9	0,88	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25	4,30	4,78
10	0,88	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17	4,14	4,59
15	0,87	1,34	1,75	2,13	2,60	2,95	3,73	4,07
20	0,86	1,33	1,73	2,09	2,53	2,85	3,55	3,85
25	0,86	1,32	1,71	2,06	2,48	2,79	3,45	3,73
30	0,85	1,31	1,70	2,04	2,46	2,75	3,39	3,65
40	0,85	1,30	1,68	2,02	2,42	2,70	3,31	3,55
СО	0,84	1,28	1,64	1,96	2,33	2,58	3,09	3,29
Число степеней свободы 5	0,20	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,000 5
	Уровень значимости а для односторонней критической области							
Таблица 3
Критические точки распределения FKp(a, kt, кг) Фишера - Снедекора
к2	К								
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	161	200	216	225	230	234	237	239	241
2	18,5	19,0	19,2	19,2	19,3	19,3	19,4	19,4	19,4
3	10,1	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,89	8,85	8,81
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,80
13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77	2,71
14	4,60	3,74	3,34	з,п	2,96	2,85	2,76	2,70	2,65
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2,64	2,59
16	4,49	3,'63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,61	2,55	2,49
331
Окончание табл. 3
к2	К								
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46
19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,54	2,48	2,42
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,51	2,45	2,39
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,49	2,42	2,37
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,46	2,40	2,34
23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,44	2,37	2,32
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,42	2,36	2,30
25	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,40	2,34	2,28
26	4,23	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32	2,27
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,37	2,31	2,25
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,45	2,36	2,29	2,24
29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,55	2,43	2,35	2,28	2,22
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27	2,21
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12
60	4,00	3,15	2,76	2,53	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04
120	3,92	3,07	2,68	2,45	2,29	2,17	2,09	2,02	1,96
оо	3,84	3,00	2,60	2,37	2,21	2,10	2,01	1,94	1,88
Примечание. В табл. 3 использованы следующие обозначения: кх - число степеней
свободы большей дисперсии; к2 — число степеней свободы меньшей дисперсии.
Таблица 4
Критические точки %2 -распределения (критерий Пирсона)
Число степеней свободы	Уровень значимости а							
	0,99	0,975	0,95	0,90	0,10	0,05	0,025	0,01
1	0,000 16	0,000 98	0,003 9	0,016	2,7	3,8	5,0	6,6
2	0,020	0,051	0,103	0,211	4,6	6,0	7,4	9,2
3	0,115	0,216	0,352	0,584	6,3	7,8	9,3	11,3
4	0,30	0,48	0,71	1,06	7,8	9,5	11,1	13,3
5	0,55	0,83	1,14	1,61	9,2	11,1	12,8	15,1
6	0,87	1,24	1,63	2,20	10,6	12,6	14,4	16,8
7	1,24	1,69	2,17	2,83	12,0	14,1	16,0	18,5
8	1,65	2,18	2,73	3,49	13,4	15,5	17,5	20,1
9	2,09	2,70	3,32	4,17	14,7	16,9	19,0	21,7
10	2,56	3,25	3,94	4,86	16,0	18,3	20,5	23,2
11	3,1	3,8	4,6	5,6	17,3	19,7	21,9	24,7
12	3,6	4,4	5,2	6,3	18,5	21,0	23,3	26,2
13	4,1	5,0	5,9	7.0	19,8	22.4	24.7	27.7
14	4,7	5,6	6,6	7,8	21,1	23,7	26,1	29,1
15	5,2	6,3	7,3	8,5	22,3	25,0	27,5	30,6
16	5,8	6,9	8,0	9,3	23,5	26,3	28,8	32,0
17	6,4	7,6	8,7	10,1	24,8	27,6	30,2	33,4
18	7,0	8,2	9,4	10,9	26,0	28,9	31,5	34,8
19	7,6	8,9	10,1	11,7	27,2	30,1	32,9	36,2
332
Окончание табл. 4
Число степеней свободы 5	Уровень значимости а							
	0,99	0,975	0,95	0,90	0,10	0,05	0,025	0,01
20	8,3	9,6	10,9	12,4	28,4	31,4	34,2	37,6
21	8,9	10,3	11,6	13,2	29,6	32,7	35,5	38,9
22	9,5	11,0	12,3	14,0	30,8	33,9	36,8	40,3
23	10,2	11,7	13,1	14,8	32,0	35,2	38,1	41,6
24	10,9	12,4	13,8	15,7	33,2	36,4	39,4	43,0
25	11,5	13,1	14,6	16,5	34,4	37,7	40,6	44,3
26	12,2	13,8	15,4	17,3	35,6	38,9	41,9	45,6
27	12,9	14,6	16,2	18,1	36,7	40,1	43,2	47,0
28	13,6	15,3	16,9	18,9	37,9	41,3	44,5	48,3
29	14,3	16,0	17,7	19,8	39,1	42,6	45,7	49.6
30	15,0	16,8	18,5	20,6	40,3	43,8	47,0	50,9
Таблица 5
Критические значения максимального отклонения Ркр (и, а)
эмпирической функции распределения от теоретической
п	а				
	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01
1	0,900	0,950	0,97.5	0,990	0,995
2	0,684	0,776	0,842	0,900	0,929
3	0,565	0,636	0,708	0,785	0,829
4	0,493	0,565	0,624	0,689	0,734
5	0,447	0,509	0,563	0,627	0,669
10	0,323	0,369	0,409	0,457	0,489
15	0,366	0,304	0,338	0,377	0,404
20	0,232	0,265	0,294	0,329	0,352
30	0,190	0,218	0,242	0,270	0,290
50	0,148	0,170	0,188	0,211	0,226
100	0,106	0,121	0,134	0,150	0,161
Примечание. В табл. 5 приняты следующие обозначения: п — число испытаний;
а - уровень значимости.
Таблица б
Значения коэффициентов обеспечения достоверности испытаний k(r, у)
Г	_Z							г	. .... .	7						
	0,999	0,99	0,975	0,95	0,9	0,8		0,999	0,99	0,975	0,95	0,9	0,8
1	0,14	0,22	0,27	0,33	0,43	0,62	15	0,50	0,59	0,64	0,68	0,74	0,83
2	0,22	0,30	0,36	0,42	0,51	0,67	20	0,54	0,63	0,67	0,72	0,77	0,85
3	0,27	0,36	0,42	0,48	0,57	0,70	25	0,58	0,66	0,70	0,74	0,79	0,86
4	0,31	0,40	0,46	0,52	0,60	0,73	30	0,60	0,68	0,72	0,76	0,80	0,87
5	0,34	0,43	0,49	0,55	0,62	0,75	40	0,64	0,71	0,75	0,78	0,83	0,88
6	0,36	0,46	0,52	0,57	0,65	0,76	50	0,67	0,74	0,77	0,80	0,84	0,89
8	0,41	0,50	0,56	0,61	0,68	0,78	80	0,73	0,78	0,81	0,84	0,87	0,91
10	0,44	0,53	0,58	0,64	0,70	0,80	100	0,75	0,80	0,83	0.86	0,88	0,92
Примечание. В табл. 6 приняты следующие обозначения: г — число отказавших из-
делий; у - доверительная вероятность.
333
Таблица 7
Нижняя доверительная граница Рк при биноминальном плане
испытаний при у = 0,9
р’	/>1|10'1 при объеме выборки и							
	3	4	5	6	7	8	9	10
0,99	4 542	5 509	6 186	6 882	7 061	7 359	7 600	7 798
0,98	4 444	5 397	6 064	6 554	6 929	7 223	7 464	7 657
0,97	4 347	5 287	5 945	6 429	6 799	7 090	7 326	7 520
0,96	4 252	5 178	5 828	6 303	6 671	6 960	7193	7 386
0,95	4 158	5 071	5 712	6 185	6 547	6 832	7 063	7 254
0,94	4 065	4 965	5 599	6 066	6 424	6 707	6 936	7 126
0,93	3 974	4 862	5 487	5 949	6 303	6 583	6811	6 999
0,92	3 884	4 759	5 377	5 833	6 184	6 462	6 688	6 875
0,91	3 795	4 658	5 268	5 720	6 067	6 343	6 567	6 752
0,90	3 708	4 558	5 161	5 608	5 692	6 225	6 447	6 632
0,89	3 622	4 460	5 055	5 497	5 838	6 109	6 329	6513
0,88	3 536	4 363	4 951	5388	5 726	5 994	6213	6 395
0,87	3 452	4 267	4 848	5 281	5 615	5 881	6 098	6 279
0,86	3 369	4 173	4 746	5 174	5505	5 769	5 985	6 165
0,85	3 287	4 079	4 646	5069	5 397	5 659	5 873	6052
Таблица 8
Функция биноминального распределения F(c, п, Q)
Q	С	Объем выборки п							
		5	10	15	20	25	30	40	50
0,001	0	0,995	0,990	0,985	0,980	0,975	0,970	0,961	0,951
	1	—	—	0,999	0,999	0,999	0,999	0,999	0,999
0,01	0	0,951	0,904	0,860	0,818	0,778	0,740	0,669	0,605
	1	0,999	0,996	0,990	0,983	0,974	0,964	0,939	0,911
	2	—	—	0,999	0,999	0,998	0,997	0,992	0,986
	3	—	—	—	—	—	—	0,999	0,998
0,02	0	0,904	0,817	0,739	0,668	0,604	0,545	0,446	0,364
	1	0,996	0,984	0,965	0,940	0,911	0,880	0,810	0,736
	2	—	0,999	0,997	0,993	0,987	0,978	0,954	0,922
	3	—	—	—	0,999	0,998	0,997	0,992	0,982
	4	—	—	—	—	—	0,999	0,999	0,997
0,03	0	0,859	0,737	0,633	0,544	0,467	0,401	0,296	0,218
	1	0,991	0,966	0,927	0,880	0,828	0,773	0,661	0,555
	2	0,999	0,997	0,991	0,979	0,962	0,940	0,882	0,811
	3	—	—	0,999	0,997	0,994	0,988	0,969	0,937
	4	—	—	—	0,999	0,999	0,998	0,993	0,983
0,05	0	0,774	0,599	0,463	0,358	0,277	0,215	0,128	0,077
	1	0,977	0,914	0,829	0,736	0,642	0,553	0,399	0,279
	2	0,999	0,988	0,964	0,924	0,873	0,812	0,677	0,640
	3	—	0,999	0,995	0,984	0,966	0,939	0,862	0,760
	4	—	—	0,999	0,997	0,993	0,984	0,952	0,896
	5	—	—	—	—	0,999	0,997	0,986	0,962
	6	—	—		-	0,999	0,999	0,997	0,988
334
Окончание ihoOji Я
Q	с	Объем выборки п							
		5	10	15	20	25	30	40	
0,10	0	0,591	0,348	0,206	0,121	0,072	0,042	0,015	0,005
	1	0,918	0,736	0,549	0,392	0,217	0,183	0,080	0,034
	2	0,991	0,930	0,816	0,677	0,537	0,411	0,223	0,112
	3	0,999	0,987	0,944	0,867	0,764	0,647	0,423	0,250
	4	—	0,998	0,987	0,957	0,902	0,824	0,629	0,431
	5	—	0,999	0,998	0,989	0,967	0,927	0,794	0,616
	6	—	—	0,999	0,998	0,991	0,974	0,890	0,770
	7	—	—	—	0,999	0,998	0,992	0,988	0,878
	8	—	—	—	—	0,999	0,998	0,995	0,992
	9	—	—	—	—	0,999	0,999	0,998	0,996
	10	—	—	—	—	—	0,999	0,998	0,991
Таблица 9
Планы контроля вероятности безотказной работы при а = Р = 0,05
		С	п		W	С	п
0,998	0,996	22	7 843	0,990	0,980	22	1 566
	0,995	12	3 886		0,970	8	480
	0,994	8	2 402		0,960	5	261
	0,993	6	1 688		0,950	4	182
	0,992	5	1 312		0,940	3	128
	0,991	4	1 015		0,930	2	88
	0,990	4	913		0,920	2	77
	0,980	2	313		0,910	2	69
	0,970	1	157		0,900	2	61
	0,960	1	117		0,890	1	42
0,995	0,990	22	3 135		0,880	1	38
	0,980	5	523	0,950	0,910	31	463
	0,970	3	256		0,900	22	312
	0,960	2	156		0,890	17	230
	0,950	2	124		0,880	14	180
	0,940	1	78		0,870	11	138
	0,930	1	66		0,860	10	120
0,980	0,960	22	783	0,980	0,890	3	69
	0,950	12	386		0,880	3	63
	0,940	8	238		0,870	3	58
	0,930	6	167		0,860	2	43
	0,920	5	129		0,850	2	40
	0,910	4	100		0,800	1	22
	0,900	4	89		0,750	1	17