А.М. СКУДРА
Ф.Я. ВУЛАВС
М.Р.ГУРВИЧ
АХ КРУКЛИНЬШ
5
ЭЛЕМЕНТЫ
СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ
V1 Hr JrЖ11Н1Э1М.Л
СИСТЕМ
ИЗ
КОМПОЗИТНЫХ
МАТЕРИАЛОВ

t If
‘ ПАРИЖСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
А. М. СКУДРА, Ф. я. БУЛАВС, М. Р. ГУРВИЧ,
А. А. КРУКЛИНЬШ
ЭЛЕМЕНТЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ИЗ КОМПОЗИТНЫХ
МАТЕРИАЛОВ
РИГА «ЗИНАТНЕ» 1989
38.112
Э 456
УДК 678.067.5:539.4
Элементы строительной механики стержневых систем из композитных
материалов / А. М. Скудра, Ф. Я- Булаве, М. Р. Гурвич, А. А. Крук-
линьш. — Рига: Зинатне, 1989. — 248 с. ISBN 5-7966-0187-3.
В книге изложены результаты теоретических и женериментальных иссле-
дований упругих, неупругих и прочностных c'ioiictb n.ni с i пкоз, армирован-
ных как прямыми волокнами, так и ihhiihmh при кратковременном и дли-
тельном нагружении. Освещаются вопросы про, по шронапня механических
свойств армированных пластиков с учетом их e'lpxhrypni (волокон, связую-
щего, сцепления между ними) и внутреннего поля напряженнн. Ргнработаны
инженерные методы определения напряженно!о состояния, оценки прочности
и определения деформаций слоистого стержня при iiorienei ihiii ня нбающего
и крутящего моментов, поперечных и осевых cii'i I Ipe ыожена мегодпмч рас-
чета статически неопределимых систем из армированных плас 1 икон при дли-
тельном нагружении. Важнейшие ре зу.чьта i ы 'icopci пчсских иссле топаний
подтверждены экспериментами. Табл. 8, пл. Ill, библией р. 99 наш.
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Академии
наук Латвийской ССР от 10 марта 1988 года
Рецензенты:
д-р техн, наук Г. А. Тетере,
д-р техн, наук К. А. Роцеис
3302000000—126
С 1W811(11)—89 79-89
ISBN 5-7966-0187-3
С кий iioiii!(ехнический
ши iniyi, 1081)
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................ 5
Основные обозначения............................................... 8
I.	СТРУКТУРНАЯ МЕХАНИКА МАТЕРИАЛА..................................11
Глава 1. Структурная механика пластиков, армированных тканями	11
1.1.	Расчетная модель тканевого пластика..........................И
1.2.	Упругие характеристики тканевого пластика...................14
1.3.	Алгоритм определения технических упругих характеристик тка-
невого пластика...............................................19
1.4.	Напряженное состояние структурных элементов тканевого
пластика......................................................20
1.5.	Прочность тканевого пластика при одноосном растяжении	.	.	24
1.6.	Алгоритм определения ступеней разрушения тканевого пластика
при одноосном растяжении......................................29
1.7.	Прочность тканевого пластика при одноосном сжатии	...	29
1.8.	Диаграмма деформирования тканевого пластика.	Бимодульность	30
Глава 2. Структурная механика гибридных композитов	........ 33
2.1. Упругие характеристики гибридного композита.............33
2.2. Особенности разрушения гибридного композита.............35
Глава 3. Температурные деформации и напряжения.................42
3.1. Функция термического	расширения.............................42
3.2. Температурные напряжения в слоях симметрично армирован-
ного пластика ..............................................  51
Глава 4. Относительное рассеяние	энергии...........................59
4.1.	Вводные замечания ..........................................59
4.2.	Рассеяние энергии в однонаправленно армированном слое .	.	61
4.3.	Рассеяние энергии в слоистом армированном пластике ...	63
4.4.	Алгоритм определения относительного рассеяния энергии .	.	68
Глава 5. Структурная теория ползучести.............................70
5.1.	Вязкоупругие свойства компонентов...........................70
5.2.	Ползучесть однонаправленно армированного слоя...............79
5.2.1.	Деформационные свойства при продольном нагружении .	.	79
5.2.2.	Ползучесть при продольном сдвиге........................82
5.2.3.	Ползучесть при поперечном нагружении....................86
5.3.	Вязкоупругие свойства слоистых армированных пластиков при
длительном плоском напряженном состоянии.........................91
5.3.1.	Закон деформирования однонаправленно армированного пла-
стика при длительном плоском напряженном состоянии .	.	92
5.3.2.	Закон деформирования слоистого армированного пластика
при длительном плоском напряженном состоянии ....	93
5.3.3.	Напряженно-деформированное состояние косоугольно арми-
рованного пластика при осевом нагружении........................95
Глава 6. Напряженное состояние армированных пластиков при дли-
тельном нагружении................................................102
6.1.	Вводные замечания .........................................102
6.2.	Напряженное состояние компонентов однонаправленно армиро-
ванных пластиков при продольном	сдвиге .................... 104
Оглавление
6.3.	Напряженное состояние компонентов одиоиаправленно армиро-
ванных пластиков при поперечном нагружении......................ПО
6.4.	Напряженное состояние слоистых армированных пластиков при
длительном нагружении..........................................118
Глава 7. Структурная теория длительной прочности ................ 123
7.1.	Критерии длительной прочности компонентов армированных
пластиков......................................................123
7.1.1.	Критерий длительной прочности полимерного связующего 123
7.1.2.	Критерии длительной прочности сцепления и волокон .	.	127
7.2.	Длительная прочность однонаправлепно армированного слоя при
разрушении полимерного связующего.............................132'
7.3.	Зависимость длительной прочности однонаправленно армирован-
ного слоя от прочностных свойств волокон и сцепления между
компонентами...................................................140
7.4.	Нарушение сплошности слоистых армированных пластиков при
длительном плоском напряженном состоянии.......................146
7.5.	Предельное состояние слоистых армированных пластиков при
длительном плоском напряженном состоянии.......................153
II. МЕХАНИКА УПРУГОГО КОМПОЗИТНОГО СТЕРЖНЯ ...	158
Глава 8. Поперечный изгиб стержня.................................158
8.1.	Определение нормальных напряжений в слоях..................158
8.2.	Определение касательных напряжений в слоях.................165
8.3.	Критерии	прочности слоя....................................167
Глава 9. Кручение слоистого стержня...............................175
9.1.	Комплексный характер межслойного сдвига в слоистых арми-
рованных	пластиках........................................175
9.2.	Кручение	плоского слоистого	стержня........................184
9.3.	Кручение тонкостенного слоистого трубчатого стержня .	.	.	195
Глава 10. Упругие характеристики слоистых тонкостенных стержней
открытого профиля.................................................199
10.1.	Постановка задачи	и	основные	допущения....................199
10.2.	Свободное кручение.	......................................203
10.3.	Осевое нагружение	и	чистый	изгиб..........................204
10.4.	Закон деформирования стержня с учетом поперечных сил .	.	206
III. МЕХАНИКА СТЕРЖНЕВЫХ	СИСТЕМ.........................213
Глава 11. Упругие перемещения слоистых стержневых систем .	213
11.1.	Потенциальная энергия	слоистого	стержня...................213
11.2.	Метод Кастильяно..........................................214
11.3.	Метод Мора ...............................................215
Глава 12. Упруговязкие перемещения слоистых стержневых систем 219
12.1. Структурный метод определения реономных характеристик
слоистого пластика ....................................... 219
12.2. Влияние длительности нагружения на перемещения стержневых
систем.....................................................224
Глава 13. Расчет статически неопределимых стержневых систем при
длительном нагружении.............................................228
13.1.	Применение метода сил для стержневых систем из слоистых
армированных пластиков.........................................228
13.2.	Особенности применения метода перемещений.................232
13.3.	Влияние длительности нагружения на	внутренние усилия .	.	235
Список литературы.................................................243
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основными преимуществами композитных материалов явля-
ются их относительно высокие удельные прочности и жесткости
но сравнению с обычными конструкционными материалами. По-
этому композитные материалы в настоящее время экономично
применять в первую очередь в массочувствительных конструк-
циях. В связи с этим необходимо отметить, что «Программа
фундаментальных исследований на 1987—2000 гг.», совместно
разработанная АН СССР и ГКНТ СССР, содержит подраздел
«Новые конструкционные материалы в машиностроении», в рам-
ках которого предусмотрена разработка научных основ рацио-
нального армирования композитных материалов для обеспече-
ния прочности, надежности и долговечности деталей машин и
конструкций в условиях их реальной службы. Содержание на-
стоящей монографии полностью соответствует задачам этой про-
граммы.
Весьма важное место в развитии самых передовых областей
машиностроения занимает применение различных видов стерж-
невых конструкций из армированных пластиков. Следует отме-
тить. что по технико-экономическим причинам некоторые стерж-
невые конструкции могут быть созданы только на основе высо-
коэффективных видов армированных пластиков. К таким кон-
струкциям, например, относятся трансформированные конструк-
ции, применяемые для строительства в космосе. В настоящее
время очень распространенным и перспективным видом компо-
зитных материалов являются армированные пластики. Основ-
ная особенность армированных пластиков состоит в том, что их
структура (объемное содержание волокон, их упаковка и ориен-
тация, тип волокон и связующего) рассчитывается для каж-
дого конкретного случая применения. Отсюда вытекает не-
обходимость разработки научно обоснованных методических
пособий для инженеров-конструкторов и технологов, которые
6
Предисловие
работают над созданием различных видов армированных пла-
стиков и стержневых конструкций из них.
В настоящей работе использованы научные основы меха-
ники систем из композитных материалов, изложенные в трудах
таких известных ученых, как Н. А. Алфутов, В. В. Болотин,
Г. А. Ванин, В. В. Васильев, И. Г. Жигун, С. Т. Милейко,
И. Ф. Образцов, Б. Е. Победря, Г. Г. Портнов, В. Д. Протасов,
А. Пук, Ю. Н. Работнов, В. С. Стрсляев, Ю. В. Суворова,
В. П. Тамуж, Ю. М. Тарнопольский, Г. А. Тетере, М. Уэмура,
Т. Хайаши, К. Т. Херакович, С. В. Цай и др. Обширный обзор
достижений советских ученых в области механики композитных
материалов приведен в работе Ю. М. Тарнопольского [68].
Строительная механика стержневых систем из армирован-
ных пластиков состоит из двух частей — структурной механики
материала и механики стержней. Первые семь глав посвящены
мало исследованным проблемам структурной механики армиро-
ванных пластиков. В первой главе изложены основы структур-
ной механики пластиков, армированных тканями. Во второй
главе анализируются особенности деформирования и разруше-
ния гибридных пластиков, зависящие от режима нагружения и
имеющие важное значение для правильной интерпретации опыт-
ных данных. В третьей главе в новом аспекте анализируются
температурные деформации и напряжения в армированных
пластиках. Новизна результатов состоит в том, что вместо по-
стоянного коэффициента термического расширения вводится
функция термического расширения. Четвертая глава посвящена
разработке структурного подхода для прогнозирования относи-
тельного рассеяния энергии в слоистых армированных пласти-
ках. В пятой главе разработаны основы структурной теории
ползучести армированных пластиков, позволяющей прогнозиро-
вать их реологические свойства по заданным реологическим ха-
рактеристикам компонентов. В шестой главе разработана ме-
тодика определения напряженного состояния структурных эле-
ментов слоистого пластика при его длительном нагружении.
Седьмая глава посвящена крайне мало исследованному во-
просу — разработке структурной теории длительной прочности
армированных пластиков при простых видах нагружения.
Следующие три главы посвящены исследованию напряженно-
деформированного состояния упругого композитного стержня.
В восьмой главе разработана инженерная методика определе-
ния напряженного состояния слоев слоистого стержня, вызван-
ного воздействием изгибающего момента, поперечной и осевой
сил, и предложены структурные критерии прочности слоев. Де-
вятая глава посвящена исследованию напряженного состояния
слоистого стержня при кручении. В десятой главе приведена
методика определения напряженно-деформированного состояния
слоистого тонкостенного стержня открытого профиля.
Предисловие
7
Последние три главы посвящены механике стержневых сис-
1см. В одиннадцатой и двенадцатой главах разработаны инже-
нерные методики определения упругих и упруговязких переме-
щений слоистых стержневых систем. Методика расчета стати-
чески неопределимых слоистых систем при длительном нагру-
жении изложена в тринадцатой главе. В этой главе показаны
особенности применения метода сил и метода перемещений к
системам из армированных пластиков.
Предлагаемая монография не претендует на полноту изло-
жения рассмотренных проблем строительной механики стержне-
вых систем из композитных материалов. В ней освещены в ос-
новном результаты исследований, проводимых в лаборатории
структурной механики композитных материалов кафедры строи-
юльной механики архитектурно-строительного факультета Риж-
ского ордена Трудового Красного Знамени политехнического ин-
ститута И. Г. Радиньшем, А. А. Скудрой, К. К. Калвишем,
О. В. Сбитневым, Ю. Р. Оленговичем и А. Э. Паэглитисом.
Главы 2, 3, 8, 11 написаны проф., д-ром техн, наук А. М. Скуд-
рой; главы 5, 6 — проф., д-ром техн, наук Ф. Я. Булавсом;
главы 1, 4, 9 и 10 — доц., канд. техн, наук А. А. Круклиньшем;
। лавы 7, 12, 13 — ст. науч, сотр., канд. техн, наук М. Р. Гур-
ннчем.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
1, 2, 3 — оси упругой симметрии слоистого материала, армиро-
ванного прямыми волокнами;
о, у, z — оси упругой симметрии пластика, армированного тка-
нями;
||, ±, || — оси упругой симметрии однонаправленно армирован-
ного пластика;
г, z — оси упругой симметрии трансверсально изотропных во-
локон;
о, у — направления основы и утка ткани;
г, z, в — оси цилиндрической системы координат;
«о», «т», «е», «у» — средние напряжения и деформации слоис-
того материала;
<о), <т>, <е>, <*у> — средние напряжения и деформации одно-
направленно армированного пластика;
<о±>,	<ец>, <e_L>, <ед> — средние нормальные напря-
жения и деформации в однонаправленно армированном
пластике в направлениях, параллельных и перпендикуляр-
ных направлению армирования;
<тщ>, <ЧД>, <т_1Д>, <тн>, <Т1Ш>> <Т±д> — средние напряжения и
деформации продольного сдвига в однонаправленно арми-
рованном пластике;
or, oz, ов — нормальные напряжения в связующем;
тгг, Тгэ — касательные напряжения в связующем;
or, Oz, Trz — безразмерные структурные параметры композит-
ного материала, характеризующие концентрацию напряже-
ний в структурных элементах;
Vij — коэффициент Пуассона, определяющий поперечную де-
формацию в направлении / при нагружении в направле-
нии i;	,
Основные обозначения
9
EBz, EBr — модули упругости анизотропных волокон в осевом и
радиальном направлениях;
GBrz — модуль сдвига анизотропных волокон;
Увгг, vbj.0 — коэффициенты Пуассона анизотропных волокон;
Л’в, GB, vв — упругие характеристики анизотропных волокон;
г в — радиус волокна;
I,	р — параметры упаковки волокон;
ф — относительное объемное содержание волокон;	<
‘И — относительное рассеяние энергии;
Еа, Ga, va — упругие характеристики связующего;
Е\\, Ej_, t?u_L, vu, Vj.ii, v±j£ — технические упругие характеристики
однонаправленно армированного пластика;
Е[, Е2, Gi2, V12, V21 — технические упругие характеристики сло-
истого материала;
Ео, Еу, Goy, voy, vyo — технические упругие характеристики тка-
невого пластика до потери сплошности;
Ео+, Еу+, voy+, vy0+ — модули упругости и коэффициенты Пуас-
сона тканевого пластика при растяжении после его рас-
трескивания вдоль утка;
Ео<-+\ Е/+\ vOy<+), vy0(+) — модули упругости и коэффициенты
Пуассона тканевого пластика при растяжении после его
растрескивания вдоль основы;
£’0+(+), Еу+<-+1, vOy+(+), vy0+(+) — модули упругости и коэффициенты
Пуассона тканевого пластика при растяжении после его
растрескивания вдоль основы и утка;
Goy+, GOy<+), Goy+<+) — модули сдвига тканевого пластика после
его растрескивания вдоль утка, вдоль основы и вдоль утка
и основы;
Ra+, Та — прочности связующего на растяжение и на сдвиг;
Rb, Ть — прочности сцепления при отрыве и сдвиге;
Rbz+, Rbt+, TBrz — прочности волокон на осевое и поперечное
растяжение и на продольный сдвиг;
евн+, евн_ — предельные деформации волокон при растяжении
и сжатии;
<«т0+», «<То+(+)», «а0+++» — средние растягивающие напряжения
тканевого пластика в направлении основы, при которых
происходит потеря сплошности первого, второго и третьего
вида;
То, Ту, с0, Су, ₽о, ₽у — параметры переплетения ткани;
h — толщина слоистого материала;
р — углы укладки однонаправленно армированных слоев;
m — удельная толщина однонаправленно армированного слоя;
S — поперечная сила;
М — изгибающий момент;
ЭЛ — крутящий момент;
W — осевая сила;
10
Основные обозначения
t — время;
Т — температура.
Индексами «Л», «5», «С» обозначены соответственно харак-
теристики полимерного связующего, волокон и высокомодуль-
ных волокон в трехкомпонентных материалах. Знаками « + »,
«—» обозначены характеристики при растяжении и сжатии. Ин-
дексом «7?» обозначены предельные характеристики материала
в момент разрушения. Индексами «о», «у» обозначены харак-
теристики тканевого пластика в направлениях основы и утка.
I. СТРУКТУРНАЯ МЕХАНИКА
МАТЕРИАЛА
Глава 1. СТРУКТУРНАЯ МЕХАНИКА ПЛАСТИКОВ,
АРМИРОВАННЫХ ТКАНЯМИ
1.1. РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ ТКАНЕВОГО ПЛАСТИКА
Пластики, армированные тканями, представляют собой очень
сложный класс композитных материалов. Это объясняется тем,
что вследствие переплетения нитей жесткость и напряженное
состояние тканевых пластиков в пределах повторяющегося эле-
мента структуры непрерывно меняются от сечения к сечению.
Кроме того, в пределах любого сечения распределение напря-
жений имеет весьма сложный неоднородный характер. В на-
стоящей работе предпринята попытка приближенно определить
напряжения в структурных элементах тканевого пластика с
учетом переплетения нитей и ступенчатого характера разруше-
ния материала. Для исследования напряженно-деформирован-
ного состояния тканевого пластика используется расчетная мо-
дель его структуры, представленная на рис. 1.1, где направле-
ния основы, утка и нормали к плоскости слоя обозначены через
о, у и г. В основе предложенной расчетной модели тканевого
пластика лежат следующие допущения.
1.	Структура материала регулярна и все его компоненты де-
формируются линейно.
2.	Искривления нитей смежных слоев по фазе совпадают.
3.	Изменение искривления нитей в процессе нагружения ма-
териала пренебрежимо мало.
4.	Искривленная ось волокон заменяется ломаной, характер-
ные параметры которой (То, Ту, с0, су, р0 и ру) представлены
на рис. 1.1. Все приведенные параметры определяются по мик-
рофотографиям структуры материала.
5.	Отдельный слой представляется состоящим из двух ус-
ловных монослоев основы и утка, которые обозначаются через
о и у. Искривление нитей учитывается чередованием в услов-
ных монослоях наклонно и продольно армированных полос, ко-
торые на рис. 1.1 для монослоя основы обозначены через о₽ и
12 Глава 1. Структурная механика пластиков, армированных тканями
Рис. 1.1. Модель структуры тканевого пла-
стика
о||, а для монослоя утка — через у(3 и у||. Относительные ши-
рины наклонно армированных полос определяются по зависи-
мостям п0 = 2с0/Т0-, пу = 2Су/Ту.
6.	Элементарные волокна размещены равномерно по объему
условных монослоев, которые, следовательно, имеют во всех
точках одинаковое относительное объемное содержание воло-
кон, равное среднему относительному объемному содержанию
волокон для всего материала ф, и относительные толщины пг0
и ту, определяемые по формулам
t0	1
т°=-г
пг —
/	1 + kofoPo/kyfyPy
m0 + my= 1,
где k0 и ky — число элементарных волокон в нитях основы и
утка (зависит от номера нитей); f0 и fy — средняя площадь по-
перечных сечений элементарных волокон; р0 и ру — число ни-
тей на единицу длины. Если нити основы и утка одинаковые, то
зависимости (1.1) принимают вид
1
т0='-------
1+-^
р»
1 +^у/уРу/^о/оРо
1
1
т-,=--------.
1+-^-
Ру
7.	При нагружении материала в плоскости ткани в услов-
ных монослоях возникают одинаковые средние деформации, рав-
ные средним деформациям всего слоя:
«о0) — «оу) = «е0>>;	(бу0)»= <еуу)=«еу))_;
Су°у° )=\Уоуу) = «Toy) ) •
(1-2):
1.1. Расчетная модель тканевого пластика
13
Здесь и далее нижние индексы обозначают направления дефор-
маций или напряжений, а верхние — структурный элемент.
8.	Средние напряжения в отдельном слое складываются из
средних напряжений в условных монослоях по закону смеси:
<<o-o» = ^o<o'o°> + Wy<o'oy>; <<огу>>=^о<(7у0>+ту<ОуУ>-
(	У — И1о<Тоу°> +	\Т<>уу).
9.	Между средними деформациями условных монослоев и
наклонно и продольно армированных полос существуют соот-
ношения
<ео°> = «о<еоо₽> + (1 —По)<е001!>; <еуу> = ny<eyy₽>-|- (1 + ny) <eyyll>;
<еу°> = <еу0₽> = <еу0«>; <е0У>=<е0>’₽> = <е0^>;
<Тоу°> =По<Уоу°^)+ (1 ~По) <уоу°">;
<Тоуу> = «у<?оуу₽>+ ( 1 - %) <ТоуУ|1>.
10. Между средними напряжениями в условных монослоях и
в наклонно и продольно армированных полосах существуют со-
отношения
<Оо°> = <поо₽> = <Ооо|1>; <Оуу>= <СТуу₽> = w>;
<(Ту°>=По<(ТуО₽>+ (1-По)<ПуО||>;	(15)
< (Тоу> = Пу< Поу₽> + ( 1 - По ) < Ооу" >;
<Тоу°> = <тоуо₽> = <Тоу°" >;	<тоуу> = <Тоуу₽> = <Тоуу«>.
И. На основе вывода из работы [37], согласно которому эф-
фект коробления условного пакета из несимметричных слоев
очень быстро затухает с увеличением числа слоев, а также с
учетом того, что отдельный слой тканевого пластика работает
в составе пакета, принимается, что напряженно-деформирован-
ное состояние условных монослоев основы и утка по толщине
однородно.
12. Напряженно-деформированное состояние условных нак-
лонно армированных полос зависит от взаимодействия перепле-
тенных нитей в местах их перекрещивания (рис. 1.2). Взаимо-
действие нитей определяется с учетом следующих условий для
наклонно армированных полос:
а)	условие неразрывности деформаций
<Yozo₽>Co= -<?yzy₽>cy;	(1.6)
б)	условие равновесия
<Тог°^>СоШо = (тугу^>ву/Пу,	(1.7)
где е0 и еу — ширины полос условных монослоев основы и утка
соответственно, армированных волокнами только одной нити
(е0= 1/ро, еу=1/ру).
14 Глава 1. Структурная механика пластиков, армированных тканями
13. Нормальными напряжениями в направлении оси z можно
пренебречь.
14. Все одинаковые элементы структуры тканевого пластика
разрушаются одновременно.
Все принятые допущения применимы в случаях тканей как
с полотняным (см. рис. 1.1 и 1.2), так и с саржевым и сатино-
вым переплетением.
1.2. УПРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТКАНЕВОГО ПЛАСТИКА
Представленный на рис. 1.1 слоистый тканевый пластик яв-
ляется ортотропным материалом, для которого закон деформи-
рования в случае его нагружения в осях упругой симметрии
имеет вид
г«ао»
«Оу»
• «Тоу»
Qu1 Q12T
Q21t Q22t
Фббт-
«ео»
«еу»
{ «оу»
(1-8)
где индекс «т» означает «тканевый пластик». Согласно приня-
той расчетной модели закон деформирования (1.8) относится
и к отдельному слою, работающему в составе пакета.
Из допущений (1.2) и (1.3) следует, что составляющие при-
веденной матрицы упругости Qi;T в законе деформирования (1.8)
определяются по закону смеси:
Qi/ = WoQpo + my<21/,	(1.9)
где составляющие приведенных матриц упругости условных мо-
нослоев Qi/° и Qi/y должны определяться с учетом наклонно ар-
1.2. Упругие характеристики тканевого пластика
15
мированных полос и взаимодействия переплетенных нитей сог-
ласно допущениям 7 и 9—14, приведенным в параграфе 1.1. Как
показано на рис. 1.2, взаимодействие переплетенных нитей вы-
ражается таким образом, что при условном воздействии нор-
мальных напряжений, например, только на монослой основы де-
формации через его наклонно армированные полосы в силу их
моноклинной анизотропии и согласно условиям (1.6) и (1.7)
передаются и на монослой утка. При сдвиге материала в плос-
кости слоев взаимодействием переплетенных нитей в первом
приближении можно пренебречь. Тогда, выражая Qa° и Qi/y в
зависимости (1.9) через технические упругие характеристики мо-
нослоев, армированных в одном направлении прямыми волок-
нами, получаем [35, 37]
~ т0 „
Q11т —-----И туЕ j_y;
(О Я о
Шу
Qz2t = m<jE х° 4-----;
ыау
Фббт = тоС|1о-|-ЩуО;у;	(1-Ю)
1 / г. Ьо	г.	^0	\
Q2it=------I т0Е±°'----------------\-my~-----) ;
<в '	а0	Пу	ПоПу '
1 /	b0	by	dy \
Qi2T=------I tnC!E ——-^гТПуЕ^У-----l~nio----- ) >
СО '	$о	аУ	I
где
d^dy
co — 1--------
„ k i₽ (S15’₽)2cz
ai = n.i Sii’p-
Gmtei J
bi = ni I 312’₽-315«₽325г₽-Д— ]
L	Qrriiei J
т.
trije,
SI5°»Slsy₽
2G
1 — tii
E^ ’
Q — flo^y
G ----------+ 355У₽-------7---;
ITloGo	tTlyGy
StajP /!-------------Vjai) cos^sinaf),;
16 Глава 1. Структурная механика пластиков, армированных тканями
Sssif=^_+4(J+^L+U_	> )co
W ' £n £jj	/
SI2i₽= —-^q—COS4 pi- -7^-sin4 pi;
-Cjj
17	1	(c0S2p._sin2p.)_
£||’ /
ein2 ft. \ 1
ч sin2
о/ COS2P»
' £ll4
JI
COS Pi sin (Зг;
S25;₽ = 2 (	------I cos Pi sin p,;
' -ЕЦ '-JI?	'
Ь/=0, y; i=£j; р,>0.
Технические упругие характеристики Ef, Е^ = Е^, vm^vn^,
Уих*, Gm4 (i=o, у) определяются по зависимостям, которые при-
ведены, например, в работах [55, 57]. Индексы i и / в зависи-
мостях (1.10) использованы для возможности учета случая,
когда в направлениях основы и утка применены волокна раз-
ного типа. К представленному виду формулы (1.10) приведены
после некоторых упрощений, незначительно влияющих на ко-
нечный результат.
Технические упругие характеристики тканевого пластика до
потери сплошности материала определяются по следующим за-
висимостям:
Q12T(?21T
E0 = Q^~ У’Д 7
422
<212Т(?21Т
£y = Q22T_ Ч12721
у	<2пт
Q2it
Voy~^F;
Goy=QeeT = moGj j_° + myG]| jJ.
т0 с „
-----Н ^уЬ±у;
а0
Щу
/п0£±°-|------;
tZy
<212т
(i-ii)
(1-12)
(1.13)
Из того, что в зависимостях (1.10) myd0 = mody, следует, что до
потери сплошности для тканевых пластиков характерна сим-
метрия уПруГИХ СВОЙСТВ, Т. е. Q12T = Q21T.
Тканевые пластики весьма неустойчивы относительно потери
сплошности. Даже небольшие растягивающие напряжения, дей-
ствующие поперечно направлению армирования, могут вызы-
вать растрескивание условных монослоев, что изменяет упру-
гие характеристики материала в целом. Принимается, что при
наличии трещин поврежденные условные монослои не воспри-
нимают касательных и растягивающих напряжений, действую-
1.2. Упругие характеристики тканевого пластика
17
щих соответственно параллельно и перпендикулярно плоскости
трещин. В таком случае при определении упругих характерис-
тик тканевого пластика для условного монослоя с трещинами
следует принимать £'±+ = vu+=vj.u+=v±J1+= б±ц = О, где знак « + »
означает растяжение. При разгрузке и повторном нагружении
на сжатие эти трещины практически не влияют на восприя-
тие монослоем сжимающих напряжений. Таким об-
разом, после потери сплошности тканевый пластик обладает
бимодульными свойствами. В условиях растяжения или сдвига
в направлениях упругой симметрии он в зависимости от вида
потери сплошности может иметь следующие технические упру-
гие характеристики:
а) в случае растрескивания монослоя утка
Ео+^
&о
£У+=ЕУ;	Goy+=moG||±0;
^оу+ =
Г-. t	^0
т0Е±0Ь0+ту—	,
Ov	, г, , «у
-----;	Vyo+ = Е д°&0 ч	;
(dQ22T®0	аУ
б) в случае растрескивания монослоя основы
* -
'J
к4
Г
Ео(+) = £о;	Еу(+>=-^; GOy(+> = myG||j.y;
tZy
(f-n
Voy(+>=£i^y+—;
do
(1-15)
в) в случае растрескивания монослоев основы и утка
£,0+(+) = £'0(+);	£у+(+) =^(+1;	GOy+(+> = 0;
6?о	. ^У
«voy+(+) =-------;	Vyo+(+)=--------•
а0	ау
При сжатии в направлениях упругой симметрии тканевый
пластик имеет начальные модули упругости и коэффициенты
Пуассона, не зависящие от вида потери сплошности. В общем
случае плоского напряженно-деформированного состояния мо-
дули упругости и коэффициенты Пуассона тканевого пластика
в направлениях его упругой симметрии зависят от вида потери
сплошности и соотношения между приложенными напряжени-
ями «о0» и «Оу» или деформациями «е0» и «еу», т. е. от того,
раскрываются трещины или сжимаются. В первом приближе-
(1-14)
2 —
18 Глава 1. Структурная механика пластиков, армированных тканями
нии при выборе модулей упругости и коэффициентов Пуассона
с учетом потери сплошности тканевого пластика можно ограни-
читься только учетом знаков напряжений «о0» и «сту» и пользо-
ваться табл. 1.1.
Следует отметить, что растрескиванием и взаимодействием
переплетенных нитей объясняется несимметричность упругих
свойств (т. е. неравенство v0y£y¥=Vy0£0) для тканевых пласти-
ков [37]. Принимается, что модуль сдвига тканевых пластиков
в осях его упругой симметрии зависит только от вида потери
сплошности материала и при любой форме напряженно-дефор-
мированного состояния определяется по формулам (1.14) —
(1.16).
Используя технические упругие характеристики тканевого
пластика, определенные по формулам (1.14) — (1.16), можно
получить все составляющие его матриц податливости и упру-
гости с учетом вида потери сплошности материала:
[5г/]
[<?</] =
Ео
1 VoyVyo
"Voy-Gy
1 Voy'Vyo
Vyo
Gy
1
1_
Goy
VvijE0
1 "VoyVyO
5у
1 VoyVyo
Goy -
Таблица 1.1
Модули упругости и коэффициенты Пуассона для растрескавшегося
тканевого пластика
Знак напря- жений		Растрескавшиеся условные монослои		
«а0»		о	У	о и у
—	—	£o£yVoyVyo	£o£yVoyVyo	£o£yVoyVyo +	+	£o£y< + )Voy<+)Vyo( + ,	£o+£yVoy+Vyo+	£o + £y+Voy+t + )Vyo+<+) +	—	EoEyVoyVyo	£o+£yVoy+Vyo+	£o + £y, + >Voy, + )Vyo< + ) —	+	£0£у1 + )Уоу1 + 1Ууо' + )	E0EyV„yVyn	£o£yl + )Voy,+ )Vyo< + )				
1.3. Алгоритм определения технических упругих характеристик
19
Рис. 1.3. Зависимость составляющих
матриц жесткости тканевого стекло-
пластика до (----------) и после
(-------) растрескивания пропитан-
ных нитей основы и утка от угла по-
ворота координатных осей:
' — 0"nT; 1 — QssT; 3 — о"12т; 4 — ОД-
Кривые построены по формуле (1.17) при
следующих исходных данных: ф=0,45;
Н,,=РУ=1О°; mo = my = 0,5; ло = лу=0,2; Ео =
.’5 ГПа; vB=0,22; ЕА = 3 ГПа; тА=0,35
Для преобразования составляющих матриц податливости и уп-
ругости при повороте координатных осей используются фор-
мулы трансформирования
[^•т]=tn чад ел •-	=[л-'чад [л-1т,	(i-17>
। де
[Л =
COS2 Р
sin2 р
— cos р sin р
sin2 р
cos2 р
cos р sin р
2 cos р sin р
— 2 cos р sin р
cos2 р —sin2 р
На рис. 1.3 показано влияние растрескивания на составля-
ющие матрицы упругости тканевого стеклопластика. Необхо-
димо отметить, что при растрескивании обоих монослоев ткане-
вого пластика (когда GOy~O) все составляющие его матрицы
податливости под углом к направлениям упругой симметрии
материала стремятся к бесконечности (5цт—>оо).
1.3.	АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ УПРУГИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ТКАНЕВОГО ПЛАСТИКА
Расчет технических упругих характеристик тканевого плас-
। ика производится в следующем порядке.
1.	Устанавливаются технические упругие характеристики
> пазующего и волокон и их относительное объемное содержа-
ние.
2*
20 Глава 1. Структурная механика пластиков, армированных тканями
2.	По известным зависимостям, приведенным, например, в
работе [57], определяются технические упругие характеристики
однонаправленно армированной среды.
3.	Устанавливаются следующие структурные параметры тка-
невого пластика: р0, ₽у, «о, «у, е0, еу, т0, ту, описанные в па-
раграфе 1.1.
4.	По зависимостям (1.10) — (1.13) параграфа 1.2 определя-
ются технические упругие характеристики тканевого пластика
по потери сплошности.
5.	По зависимостям (1.14) — (1-17) определяются техниче-
ские упругие характеристики тканевого пластика с учетом вида
потери сплошности.
6.	Выбор технических упругих характеристик тканевого пла-
стика после потери сплошности осуществляется по табл. 1.1 в
зависимости от вида растрескивания и знака напряжений «ст0»
И «Оу».
1.4.	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СТРУКТУРНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ ТКАНЕВОГО ПЛАСТИКА
Прочность тканевых пластиков зависит от следующих фак-
торов:
—	прочности пропитанных связующим нитей, которая явля-
ется функцией от прочностных свойств связующего, волокон и
сцепления между ними;
—	механизма взаимодействия пропитанных нитей основы и
утка, который в большой мере определяет их напряженное со-
стояние.
Для прогнозирования прочности тканевых пластиков при
простых видах нагружения (например, при растяжении) необ-
ходимо определить напряженное состояние пропитанных нитей
на участках с ориентацией волокон, параллельно плоскости
ткани и под углом к ней, учитывая особенности работы нитей
в составе композитного материала.
Рис. 1.4. Схема напря-
женного состояния
структурных элементов
тканевого пластика при
двуосном растяжении
1.4. Напряженное состояние структурных элементов
21
Для моделирования работы пропитанных нитей в составе
тканевого пластика и определения их напряженного состояния
используются модель структуры материала, представленная на
рис. 1.1, и допущения, приведенные в параграфе 1.1. Согласно
этой модели пропитанные нити условно представляются как мо-
нослои основы и утка, в которых средние напряжения (рис. 1.4)
при осевом нагружении тканевого пластика в направлениях уп-
ругой симметрии определяются по зависимостям
J <Оо°> 1	_ Г	Qn°	*2В * * * 12° 1	J	1
I <оу°>-’	~ L	Q2i°	Q220 J	I	<<ey»J	’
f W> 1	= Г	Qny	Qi2y 1	f	<<eo>> |
I <cryy> J	' L	Q2iy	Q22y J	I	< <ey>> J	’
(1-18)
где
Qu°=——
coa0
Qi2°=---—-(б0Е±'’+—
(Odo '
b0E±°
aa0
Q22y=-----;
(O£Ty
byEjJ
(Ody
Uy£±y+—) .
x a0 '
В наиболее невыгодном напряженном состоянии находятся
наклонно армированные полосы о|3 и ур. Нормальные напряже-
ния на этих полосах принимаются равными средним напряже-
ниям, действующим на весь монослой в целом, т. е.
<сто°₽> = <стоо>; <стуу₽> = <стуу>;
<СТу0₽>~<СТу0>; <Goyp>-<Ooy>,
(а)
(б)'
где равенства (б) приняты с учетом того, что Е^таЕ^' 'Х.Е	и
E^~Ej>ttEL*.
Касательные напряжения <tOzoP) и <.тугу13> (см. рис. 1.4) воз-
никают в силу взаимодействия переплетенных нитей (см. рис.
1.2) и определяются на основе допущений (1.6) и (1.7) через
внешние напряжения «ст0» и «сту». Выражая через «ст0» и «сц»
22 Глава 1. Структурная механика пластиков, армированных тканями
также и деформации «е0» и «еу» в зависимости (1.18) с учетом
(а) и (б), получаем зависимости для определения напряжений
в наиболее опасных местах — наклонно армированных полосах
монослоя основы и
утка:
где
<C7oO₽> <cry°₽> (Toz0₽>	=	<Oo°> <Oy°> <Toz°₽> .	=	£11° g!2° g21° g22° . £15° g25° J	( «Со» l «Пу»
КсТуУР)		( <Oyy> )		’ £11У gl2y	f //rr \\
<Ooy₽>	=	j <CToy>.	=	g2iy g22V	
<Ty2yP> .		1 <TvzyP> J		- gl5y g25y -	v «Оу»
п!у
ау
(1.19)
gn° — ---------f—• 1 + Х’оУ
1
О-
n 1 I 1 , vy°fto
g22°=------ I 1+—--------
/Зу '	(Jl)6Zq
1	/	, „ dy \
£12°  --------n— I Vy0 + b0Ej_0+—- ) ;
(j)ClQ£l-y '	6Zy '
1 1	b0 \ „
g2i°=------I VoyH——-1 £i°;
Co '	(O&o
g\$°=-~-------(Co£ii°Si5o3 + Cy£iiySi5y₽);
£25O = 7T—(Cogl2°S15O₽ + Cygl2yS15y₽);
Geomo
1	/	, d0 \
gny=--------f— I voy +йу£_|_у+—— I ;
(Dfly-CQ '	6Zq
1 /	by \
g22* =----(vyo4--------—) £±У’>
jCy *	CDtZy '
IF	/	d \ "I
g'i2y==---f-I l+vyo (by£p4 ) I ;
(0£Zyx3y L	'	£Zq
1 /	by \ _
g21y = —F~ I l+voy---/ £±y;
£0 *	СОЯу '
1
g'i5y=----g\b°eomo\
вуГПу
1
£25У = —~-g25Oeamo.
eymy
1.4. Напряженное состояние структурных элементов
23
Таблица 1.2
Коэффициенты gij° и gig для растрескавшегося тканевого
пластика
Знак напряжений		Растрескавшиеся условные монослон		
	«СТУ>>	о	1	У	(	о и у
—	gii°giiy		g^gi?	Ьо о Йо
+	+	'gila)(+)(gil	у)< + ) (gi50) + (g.?-) +	(gu°) +t + ) (guy) + ( + )
+	g^°gig		(giJ°) + (gO'y) +	(gij°) + (go-y) +
—	+	gii°)(+4gi3	у)< + ) gu°guy	(go°)(+)(gijy)<+)
После потери сплошности материала коэффициенты gif’ и
gijf, так же как значения технических упругих характеристик
(см. параграф 1.2), должны определяться с учетом вида рас-
трескивания и соотношения между деформациями «е0» и «еу»
или напряжениями и «<ту». В первом приближении при вы-
боре коэффициентов gt/0 и gi^ с учетом растрескивания мате-
риала можно ограничиться, только учетом знаков напряжений
«о0» и «оу» и использовать табл. 1.2, в которой коэффициенты
(£о°)+, (gv7)+,	(£vy)(+), (gij°)+(+), (£цу)+(+) относятся
к растрескавшемуся материалу и определяются по следующим
формулам:
1 Г	/	dy \1
(gn°)+=------ i+voy+1 6О£±°Н-------) ;
ojmo L	\	ay / J
1 /	b0 \
(gr22°) + = -rr-( 1+Vyo+---) £±°;
cy '	ci)a0 '
1	/	. „ dy \
(gi2°)+=-----—F“( vyo++&o£±0+—- I;
,	1 / b0 \
(£21°)+= - — (voy+ao+—- J £±°;
fll'Q '	UJ z
(1-20)
1
(£ny)+=------------(voy^o+^o);
<aaytn0
(g22y)+= Cg2iy)+==0;
1	/	d0\
1	/	, , dy \
(£n°)<+) =~ p......(1 +voy(+) —- );
(Da0Jb0 '	Uy '
(g22°)<+)= (g2.1°)<+) = 0;
24 Глава 1. Структурная механика пластиков, армированных тканями
(&12° ) <+) — —	--(Vyo(+) Яу + С?у);
(OUQ/TTy
(g1]y)(+)=-------J— (voy<+)+&y£'±y + —
СОЛу-Со '	4
1 /	by \
(g22y)<+) --------I vy0<+)ayH---I £±y;
ГПу '	co '
(§12У)	—-------[ 14-Vyo'+> (by£_LyH----)
OWy L	'	CIq '
(g21y)(+)=J_( 1 +voy(+>-—}Е1У;
IZq '	(0#y '
(gno)+(+)=_L_( 1 +voy+(+> ~ ;
(gr22°)+(+)= (gr21°)+(+> = 0;
(gi2°)+(+) =-----------(vyo+(+,ay + c?y);
(X)dQfTl-y
(gny)+<+) =----------—(vy0+(+)ao + do);
<oaym0
(g22y)+<+) = (g2iy)+(+) = 0;
(gl 2У) +(+) =    ( 1 +Vyo+(+) ~~ )•
(O/My '	ClQ •
(1-21)
(1-22)
1.5.	ПРОЧНОСТЬ ТКАНЕВОГО ПЛАСТИКА ПРИ
ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ
Рассмотрим случай, когда нагрузка приложена в направле-
нии основы. В таком случае первым разрушается монослой
утка (рис. 1.5, я), на который согласно выражениям (1.19) при
«ау»=0 воздействуют напряжения (Ооу> = <о 1У>, <сгуу> и <Tyzy|i>.
Первая ступень разрушения тканевого пластика, определяющая
момент потери его сплошности первого вида, вызывается на-
пряжением ^о0у>, когда оно достигает прочности на поперечное
растяжение /?±+ пропитанной связующим нити утка. При этом
в первом приближении можно пренебречь влиянием напряже-
ний <стуу> и <ту2уР>. Прочность /?±+ определяется по следующим
формулам [55, 57, 81]:
а)	в случае разрушения связующего
Qt-VI-va2
(а)
1.5. Прочность тканевого пластика при одноосном растяжении
25
Рис. 1.5. Схемы потери сплош-
ности первого (а), второго (б)
и третьего (в, г) вида при
одноосном растяжении ткане-
вого пластика
б)	в случае разрушения сцепления между волокнами и свя-
зующим
(б)
Ur
в)	в случае поперечного разрыва волокон
R_L+~RBr+,	(в)
где Ra+ — прочность полимерного связующего; Rb — прочность
сцепления на отрыв; RBr^ — поперечная прочность волокон.
Обозначая напряжение «оо» в момент растрескивания монослоя
утка через «сгот» и учитывая, что <аоу>=-К1+, из закона (1.19)
получаем:
а)	в случае разрушения связующего
«ст0+» =----;	(1.23)
g2iyOr]/l-VA2
б)	в случае разрушения органических волокон на попереч-
ное растяжение
«сто+» = -^С=0,91	;	(1.24)
g21yUr	§21У
в)	в случае разрушения сцепления
«сто+» = -Дг-.	(1.25)
g2lyUr
Следует отметить, что коэффициент концентрации напряже-
ний иг в зависимостях (1-23) — (1.25) и далее относится к одно-
направленно армированной среде внутри нити, где объемное
содержание волокон всегда выше, чем в среднем по слою. В
нервом приближении можно принять, что объемное содержание
волокон в нити является постоянным и равно 0,7. Тогда по кри-
26 Глава 1. Структурная механика пластиков, армированных тканями
вым, приведенным в работе [57], получаем, что для стеклоплас-
тика ог = 2,0, для органопластика стг= 1,1.
При дальнейшем увеличении нагрузки возможен один на-
следующих случаев разрушения [36]:
1) растрескивание монослоя основы из-за воздействия попе-
речных напряжений, вызванных эффектом Пуассона в плоскости
оу (см. рис. 1.5, б);
2) разрушение монослоев основы и утка на наклонно арми-
рованных полосах (см. рис. 1.5, в).
Первый случай, когда растрескивается монослой, армирован-
ный в направлении растяжений, называем потерей сплошности
второго вида. Обозначая напряжение «ст0» в момент растрески-
вания монослоя основы через «оо+<+)», получаем условие потери
сплошности второго вида в форме
<W<+’>> =--^-,	(1.26)
(§21°)+	'
где 7?±о+ определяется по формулам (а), (б) или (в).
Третьим видом потери сплошности будем называть второй
из перечисленных случаев, когда монослой основы и утка на
наклонно армированных полосах разрушается от сдвига по на-
клонным плоскостям (см. рис. 1.5, в). Отметим, что вследствие
взаимодействия переплетенных нитей основы и утка (см. рис.
1.2) разрушение монослоев утка вызывает и разрушение моно-
слоев основы (на наклонных полосах) и наоборот. Составляя
условия потери сплошности третьего вида, обусловленной раз-
рушением, например, монослоя основы, в первом приближении
учитываем только напряжения <o0oli> = <ст0°> и <т020|5>. Напря-
жением <Оу°Р>=<Оу°> пренебрегаем, так как направление его
действия параллельно плоскости возможных трещин (см. рис.
1.5, в). При составлении условий потери сплошности третьего
вида, обусловленной разрушением монослоев утка, по аналогич-
ным соображениям пренебрегаем напряжением <(тоу₽> = <стоу>.
Напряжения в направлениях упругой симметрии монослоев
в пределах полос о(3 и ур, вызванные воздействием напряжений
<По°₽>, <т ozo|3> и (оу^Х (тугу^>, определяются по зависимостям
<О|р> = <а,‘₽> cos2 Рг + 2<т«;₽> sin 0,- cos 02;	(1-27)
<ояг>= <cr?₽> sin2 0; —2<Ti2‘₽> sin 0, cos 0г,	(1-28)
^Тд11{> = <о?₽> sin 0; cos 0,— <T,-2,p> (cos2 0; — sin20,),	(1.29)
где i = o, y.
Напряжения <оцо> и <any> пренебрежимо мало влияют на
сдвиговую прочность монослоев. Прочность монослоев главным
образом определяется комбинированным воздействием напряже-
ний <од°>, <Т||||°> и <Оду>, <Тццу>. В таком случае критерии проч-
1.5. Прочность тканевого пластика при одноосном растяжении
27
ности, приведенные в работах [8, 12], принимают следующий
вид [36]:
а)	при разрушении связующего на сдвиг
< <V>2 (1 + 2) + 2<W >2 (1 + va) +
+ <a^>(l+vA)y<a?>2(l-VA2)+4<TKir>2 = 2(/?A+)2;	(1-30)
б) при поперечном разрыве волокон
Т Brz	'
Явг+
= 1;
(1.31)
в) при нарушении сцепления
<а/>- , / <тяц4>тгг
Тъ
2
= 1,
1 = 0, у.
(1-32)
пластику
монослоя
напряжение
на наклонно
зависимости
Обозначая приложенное к тканевому
«а0», при котором происходит разрушение
армированных полосах, через «а0+++» и учитывая
(1.28), (1.29) и (1.19), по критериям (1.30) — (1.32) получаем
следующие формулы для определения момента потери сплош-
ности
утка:
третьего вида в случае разрушения монослоев основы или
при разрушении связующего на сдвиг (при va = 0,35)
"о.л—- |	+	+	2 ;	(1.33)
б)	при поперечном разрушении волокон
z-	КВг^	-1 Brz
(УуПг 1 Т Brz
Rbt+ J TrzVi
(1-34)
в) при разрушении сцепления
«Л«»=2 [-|/'( «2)!+4(4с)2
2	7?ь	Тъ
0т^г Т Ъ
Rb	TtrzVi
(1.35)
где с учетом ранее происшедшей потери сплошности первого и
второго вида in и v> определяются по формулам
Ui~ (£п*)+(+) sin2 -2(gi5Y)+<+> sin рг- cos p;;
vi= (gn£)+<+) sin Р/ cos Pi- (gi5’)+(+)(cos2 Pi-sin2 p;),
(1.36)’
i=o,y.
28 Глава 1, Структурная механика пластиков, армированных тканями
I------1______I_____I— -L ।
2/1	1,9	1,7 h, mm
1----------1------------1________i
10	9	8
Рис. 1.6. Результаты экспериментальных [90] и
теоретических исследований процесса разруше-
ния тканевого стеклопластика при одноосном
растяжении.
Теоретические кривые построены по формулам: 1 —
по (1.23); 2 — по (1.33); 3 — по (1.38) — при сле-
дующих исходных данных: то = 0,52; ЯА+=60 МПа;
RBz=l,35 ГПа
Фактически потеря сплошности третьего вида происходит при
наименьшем из напряжений «<т0+++», определенных по зависи-
мостям (1.33) — (1.35).
Если потеря сплошности третьего вида происходит до по-
тери сплошности второго вида, то в зависимостях (1.36) вместо
(glli)+(+) и (^15’)+(+) используются коэффициенты (gll’)+ И
(£15*)+.
Третий вид потери сплошности характерен только для тка-
невых пластиков. После его наступления происходит раздроб-
ление связующего по всему объему материала, что равносильно
его полному разрушению, хотя растягивающая нагрузка воспри-
нимается тканевым пластиком еще до разрыва волокон основы.
Обозначая среднее напряжение «оо» в момент разрыва волокон
основы через Ro+, получаем приближенную формулу конечной
прочности тканевого пластика с учетом потери сплошности
третьего вида:
Ro+~RBz+mo^ cos ₽о-	(1-37)
Критерий (1.37) позволяет определять напряжение Ro+ с запа-
сом, так как содержит множитель cos р0. В действительности
после потери сплошности происходит частичное выпрямление
волокон. Если допустить, что перед разрывом волокна выпрям-
ляются полностью, то вместо (1.37) получим
/?о+~^Вг+^оф.	(1.38)
1.6. Алгоритм определения ступеней разрушения
29
Разрыв волокон основы возможен и до потери сплошности
третьего вида. Тогда конечная прочность тканевого пластика
где So= (gii°)+(+)cos2p0 + 2(g-i50)+(+)cos (30sin 0о. Если разрыв во-
локон происходит до потери сплошности второго вида, то вместо
(<?п°)+<+) и (^15°)+(+) используются коэффициенты (£п°)+ и
(£15°)+-
На рис. 1.6 представлены экспериментальные результаты из
работы [90] и теоретические кривые, построенные по зависи-
мостям настоящего параграфа.
1.6. АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТУПЕНЕЙ
РАЗРУШЕНИЯ ТКАНЕВОГО ПЛАСТИКА ПРИ
ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ
Расчет ступеней разрушения тканевого пластика при одно-
осном растяжении в направлении основы осуществляется в сле-
дующем порядке.
1.	Устанавливаются прочность связующего Ra+, прочности
волокон Rbz+, Rb?+, TBrz и прочности сцепления Rb и Тъ.
2.	По кривым, приведенным в работах [55, 57], устанавли-
ваются коэффициенты концентрации напряжений стг и тге, соот-
ветствующие коэффициенту армирования ф = 0,7.
3.	По зависимостям (1.19) — (1.22) определяются коэффици-
енты gij° и gay, связывающие внешние напряжения с напряже-
ниями в структурных элементах тканевого пластика как до, так
н после потери сплошности.
4.	По критериям (1.23) — (1.25) определяется наименьший из
пределов потери сплошности первого вида.
5.	По критерию (1.26) определяется предел потери сплош-
ности второго вида.
6.	По критериям (1.33) — (1.35) определяется наименьший из
пределов потери сплошности третьего вида.
7.	По критериям (1.37) и (1.39) определяется наименьшая
конечная прочность тканевого пластика при растяжении в на-
правлении основы.
1.7. ПРОЧНОСТЬ ТКАНЕВОГО ПЛАСТИКА ПРИ
ОДНООСНОМ СЖАТИИ
Рассмотрим сжатие тканевого пластика в направлении ос-
новы. При сжатии предварительное растрескивание материала
нс наблюдается. Это позволяет предположить, что конечное раз-
30 Глава 1. Структурная механика пластиков, армированных тканями
рушение тканевого пластика соответствует потере сплошности
третьего вида, т. е. разрушению связующего в пропитанных ни-
тях на наклонных участках вследствие комбинированного воз-
действия напряжений <о£°> и <Т||||0> (см. рис. 1.5). Обозначая
напряжение «ст0» в момент разрушения через 7?0~, в случае раз-
рушения монослоя основы получаем
₽гГ=«о0+++>>,	(1-40)
где наименьшее напряжение «ст0+++» определяется по формулам
(1.33) — (1.35) путем подстановки в зависимостях (1.36) вместо
И (gi;y)+(+> коэффициентов gif и gif'.
1.8. ДИАГРАММА ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТКАНЕВОГО
ПЛАСТИКА.
БИМОДУЛЬНОСТЬ
Предварительная потеря сплошности при растяжении отра-
жается на диаграмме деформирования тканевых пластиков. До
полного разрыва образцов на диаграммах деформирования при
растяжении обычно наблюдаются два характерных перелома,
соответствующие потерям сплошности первого и третьего вида.
При сжатии диаграмма деформирования вплоть до разрушения
является линейной.
Согласно исходным допущениям принимается, что при дости-
жении приложенным напряжением «оо» значения, соответствую-
щего уровню потери сплошности, все однотипные, находящиеся
в наиболее невыгодном напряженном состоянии структурные
элементы тканевого пластика разрушаются одновременно, в ре-
зультате чего происходит скачкообразное изменение упругих
свойств материала. Но фактически в реальном тканевом плас-
тике вследствие разброса геометрических параметров (несовпа-
дение по фазе искривлений нитей отдельных тканей, разброс
значений углов р0 и ру и др.) напряженное состояние однотип-
ных структурных элементов неодинаково. Кроме того, сущест-
вует разброс упругих и прочностных свойств связующего и во-
локон. Поэтому изменение жесткости в момент потери сплош-
ности носит не скачкообразный, а плавный характер, как это
видно по точкам экспериментальной диаграммы деформирова-
ния пластика, армированного тканью Т-42-36, содержащей в
направлении основы органоволокна СВМ., а в направлении утка
стекловолокна ВМП (рис. 1.7). Для учета плавного характера
потери сплошности необходимо применить стохастическую мо-
дель разрушения. Здесь следует отметить, что использованная
в настоящей работе детерминированная модель разрушения поз-
1.8. Диаграмма деформирования тканевого пластика
31
Рис. 1.7. Диаграммы про-
дольного (/, 2, 3) и по-
перечного (5) деформи-
рования тканевого пла-
стика, а также акусти-
ческой эмиссии (4) при
одноосном растяжении в
направлении основы
воляет с достаточной для практики точностью учитывать важ-
нейшие особенности процесса разрушения тканевого пластика.
В качестве примера рассмотрим теоретическое построение
диаграммы деформирования тканевого пластика (см. рис. 1.7),
построенной при следующих исходных данных: для волокон
CBM — EBz = \ 10 ГПа; £Вг=3,6 ГПа; vBzr=vBre = 0,16; GBzr =
2,2 ГПа; GBr0= 1,5 ГПа; 7?Вг+=2,3 ГПа; /?Вг+ = 70 МПа; TBzr =
= 45 МПа; для волокон ВМП — £в = 75 ГПа; vB=0,22; GB =
31 ГПа; 7?Вг+=1,55 ГПа; для связующего ЭХД-У — ЕА =
= 3 ГПа; va = 0,35; Ga=1,11 ГПа; 7?А+=75 МПа; 7\ = 65 МПа;
для ткани Т-42-36 — «0 = 0,53; «0=0,35; ну —0,40; Зо=12°; 0У =
= 1Г; ф = 0,55. Прямая 1, построенная по формуле (1.11), ха-
рактеризует модуль упругости тканевого пластика при сжатии
п начальный модуль при растяжении. Напряжение «ст0+», соот-
ветствующее моменту потери сплошности первого вида, т. е.
первому перелому, определяется по зависимости (1.23), а соот-
ветствующая деформация — по закону Гука
«е0+»=-—5-------•	(1.41)
Ео
После достижения напряжением «е0» значения «<т0+» проис-
ходит скачкообразный переход на прямую 2, построенную по
зависимости (1.14). С учетом того, что Е0+жЕо+<+\ влиянием
потери сплошности второго вида при построении диаграммы де-
формирования обычно можно пренебречь. Напряжение, соответ-
ствующее моменту потери сплошности третьего вида «о0++ь»,
32 Глава 1. Структурная механика пластиков, армированных тканями
т. е. второму перелому, определяется по зависимости (1.33), а
соответствующая предельная деформация — по формуле
 <'.«)
где £0+(+) определяется по зависимости (1.16).
Согласно исходным допущениям при «ст0+++>> происходит
мгновенное разрушение на сдвиг нитей основы и утка на всех
наклонно армированных участках, в результате чего нити ос-
новы выпрямляются. Прямая 3 на диаграмме деформирования
построена по формуле
«ст0> > = EBzm0^ («е0» - Д« е0 »),	(1 -43)
где Д«е0» — дополнительная деформация от выпрямлений ни-
тей основы, определяемая по зависимости
Д«е0» = п0(зес р0—1).	(1-44)
Конечная прочность тканевого пластика определяется по
формуле (1.38), а предельная деформация — по зависимости
«е0+>> = еВг++Д<(е0>>.	(1-45)
На рис. 1.7 представлены также результаты измерения про-
дольных и поперечных деформаций тканевого пластика. Кроме
того, кривая 4 отражает результаты акустической эмиссии в
процессе нагружения. Увеличение интенсивности акустической
эмиссии весьма хорошо совпадает с расчетным путем установ-
ленными скачками деформирования.
После однократного нагружения выше уровня потери сплош-
ности первого вида тканевый пластик становится бимодульным
материалом, так как при сжатии имеет модуль упругости Ео,
а при растяжении — £0+.
Методы экспериментального определения механических
свойств армированных пластиков, в том числе тканевых, де-
тально изложены в работе [67].
Глава 2. СТРУКТУРНАЯ МЕХАНИКА
ГИБРИДНЫХ КОМПОЗИТОВ
2.1. УПРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИБРИДНОГО
КОМПОЗИТА
В настоящее время в распоряжении конструкторов имеется
весьма широкий выбор различных видов армированных плас-
тиков, стоимость и механические свойства которых существенно
различаются. Объединением, в одном пластике двух или не-
скольких типов волокон создается гибридный композит, меха-
нические свойства которого можно в широком интервале регу-
лировать в желаемом направлении. Существует два вида гиб-
ридности: слоистая и дисперсная (рис. 2.1). При определении
некоторых упругих характеристик важно учитывать вид гиб-
ридности материала [55].
Модуль упругости однонаправленно армированного гибрида
в направлении армирования практически не зависит от вида
гибридности и определяется по формуле
Д||= (1—Ф)Да+ (1 — р.с)фДвг+|TC'4’£cz =
^aEa+^bEbz+^cEcz,	(2.1)'
где фл, Еа — соответственно объемное содержание и модуль
упругости полимерного связующего; фв, EBz — то же для воло-
кон типа В; фс, ECz — то же для волокон типа С.
В формуле (2.1) и далее через z обозначено осевое направ-
ление волокон, а через г — радиальное.
Между относительным объемным содержанием компонентов
существует следующая зависимость:
фл + фв + фс= 1.
Суммарное относительное объемное содержание волокон оп-
ределяется по формуле
V в + Vc	FB + Fc
Ф ' Т7 । 4/ । TZ ’ р । р । с ' фВ 4" фс,
Vа+гв+ус	га+гв+Гс
3 — 482
34
Глава 2. Структурная механика гибридных композитов
Рис. 2.1. Структура гиб-
ридных пластиков:
а — слоистая гибрндность;
б — дисперсная гибрид-
ность
где V и F — соответственно объем и площадь поперечных се-
чений компонентов.
Отношение объемного содержания волокон типа С к общему
объемному содержанию волокон обозначим через цс:
фс фс
И £ = I-    = 
фв + фс Ф
(2.2)
Поперечный модуль упругости в случае слоистой гиб-
ридное™ определяется по формуле
£± = £±в(1-|1с)+£±сцс,	(2.3)
где Е±в и Е±с — соответствующие поперечные модули упру-
гости пластиков, однонаправленно армированных волокнами ти-
пов В и С.
В случае дисперсной гибридности формула для определения
поперечного модуля упругости £j. имеет вид
Е .вр ,с
Е^рсн Ле в '•	<2-4>
£д.с(1 — |ЛС) +C±Bpc
Модули сдвига определяются по аналогичным зависимостям
[56]:
в случае слоистой гибридности
Gu = Gaxs(l-gC) + G||±cHc,	(2.5>
в случае дисперсной гибридности
G|i±BGuc
Q ___ _______________________
"±~ G|i±c(l —цс)+ бц±вцс •
(2.6)
В первом приближении можно принимать, что коэффициент
Пуассона практически не зависит от вида гибридности и опре-
деляется по известному закону суммирования
’'7±11 = Ж = ''’АфА+^вгафв + ^Сггфс.	(2.7)
2.2. Особенности разрушения гибридного композита
35
2.2.	ОСОБЕННОСТИ РАЗРУШЕНИЯ ГИБРИДНОГО
КОМПОЗИТА
Закон деформирования однонаправленно армированного гиб-
ридного композита при его нагружении в направлении армиро-
наиия имеет вид
<О|]> = (фд^д + фв^вг + фс^сгХецХ	(2.8)
Формула (2.8) составлена на основании допущения, что
между волокнами и матрицей существует полное сцепление,
I. е. деформации волокон равняются деформациям гибридного
композита:
ед = ев=8с = <8||>.
Допустим, что между предельными деформациями компо-
нентов существует следующая зависимость:
8дВ> 8вв^> 8св.
На первом этапе нагруж.ения гибридный композит деформи-
руется согласно закону (2.8). Этот этап кончается в момент
нагружения, когда деформации волокон типа С достигают пре-
дельного значения ecu- Тогда среднее напряжение <о'ц> опреде-
1ястся по формуле
= (фАДд + фвДвг + фс^СгХсв.	(2.9)
После разрушения волокон типа С скачкообразно меняется
напряженно-деформированное состояние гибридного композита.
В зависимости от режима нагружения потенциальная энергия
> пстемы в момент разрушения волокон типа С может увеличи-
ваться (Д£7>0), не изменяться (ДП = 0) или уменьшаться (Д£7<
При Д£7>0 после разрушения волокон типа С всю нагрузку
практически воспринимают волокна типа В. Приложенное сред-
нее напряжение <а'ц> в момент разрушения не меняется, а де-
формация <ец> увеличивается до значения
, (фАДА + фвДвг + фсДсгХсЯ
<6 II? =--———, , ъ 7-------
(фл В а + фвДвД
(2.Ю)
Диаграмма деформирования углестеклопластика при ДП>0,
>кспериментально установленная в работе [83], представлена на
рис. 2.2.
Формулу (2.10) можно переписать в виде
,, х	[(1-ф)£А + рвф£вг+ (1-рв)ф£сг]8СЛ
<м>_-----------(2Л1)
3’
36
Глава 2. Структурная механика гибридных композитов
где
фв
Цв=——•
Ф
При <е'ц> = евв сразу после разрушения волокон типа С в ре-
зультате скачкообразного перераспределения напряжений раз-
рушаются и волокна типа В. В этом случае формула (2.11)
принимает вид
( 1 — Ф)£'а + ЦВ критфВвг + (1 ЦВ Крит) фсг
евв =|------г-:---	— -------------------SCR. (2.12)
[(1	) А 4^ J.IB крит'ф^Вг]
При постоянном общем относительном объемном содержа-
нии волокон ф из формулы (2.12) можно определить критиче-
ское относительное содержание волокон типа В:
(1 — ф) Еа (есв — евв) + tyE czScr
р-в КРИТ	-фЕвг (бвв — eCR) + ф^СгбСВ
~	EczBcr
Ebz(ebr — Gcr) +Ecz&CR
При рв<|Лвкрит прочность трехкомпонентного гибрида опре-
деляется по формуле
/?|| = [(1 — Ф)£а + |ЛвфВвг+ ( 1 — Цв) Ф^Сг] бСВ, (2.14)
а при цв^рвкрит по формуле
/?|| ~	— Ф)£а+ рвфВвг] &BR-	(2.15)
На рис. 2.3, 2.4 представлены зависимости прочности угле-
стеклопластика на растяжение (7?ц+) и на сжатие (7?ц-) от отно-
сительного содержания стеклянных волокон рв при постоянном
объемном содержании волокон ф = 0,62. На этих же рисунках
представлены экспериментальные результаты, приведенные в-
работе [83].
2.13)
Рис. 2.2. Экспериментальная диаграмма де-
формирования углестеклопластика
2.2. Особенности разрушения гибридного композита
37
1'ис. 2.3. Зависимость углестекло-
пластика на растяжение от отно-
<и тельного содержания волокон
при Д/7>0.
I еоретическне прямые построены по
формулам: 1 — по (2.14); 2 — по
(2.15) — при следующих исходных
'инных: ф=0,62; £сл*=0,003; EBR+a
= 0,036; £‘а = 3500 МПа;
= 83 750 МПа; ECz = 502 500 МПа
Ркс. 2.4. Зависимость прочности
^пластика на сжатие от отно-
>< единого содержания волокон
при At/>0.
икчическне прямые построены по
мулам: 1 — по (2.14); 2 — по
। ’ ’5) — при eBR =0,021; еСЙ*=0,0019.
сальные исходные данные те же,
что па рис. 2.3
При Д£7 = 0 деформацию <е'ц> можно определить на основе
изменения потенциальной энергии. В момент разрушения во-
локон типа С накопленная в них энергия передается неразру-
шенной части гибридного композита:
|TB)ipeCB2=-^- [ДвгЦвф+ДД!—ф)] (<е'ц>2 — еСв2).
11з этого уравнения получаем
<е'ц> = есн
£сД1 —цв)ф
£а(1~Ф) +£Bz)J,Bty
(2.16)
38
Глава 2. Структурная механика гибридных композитов
В момент разрушения волокон типа С средняя деформация
материала увеличивается до значения <еЛц>, а среднее напря-
жение <оц) уменьшается от <</ц> до <о"ц>:
<ог,,||>.= [Ба (1 —ф) + р.вфЯвг] зек У 1 +• „ .—( ,~У —j—
'	£а(1— ф) +£bz[1bv
(2-17)
При <е'ц> = евя вслед за разрушением волокон типа С про-
исходит разрушение волокон типа В. В таком случае формула
(2.16) может быть переписана в следующем виде:
евя = есв
1-+
£cz(l —ЦВ Крит )ф
£д(1— ’Ф) +£bzP.B Крит
Из этой зависимости можно определить цвкрит для рассматри-
ваемого режима нагружения, при котором Д£/ = 0. Получаем
(2.18)
Прочность гибридного композита определяется формулами
(2.14) и (2.15).
ouj 'la
Рис. 2.5. Зависимость прочности
углестеклопластика на растяже-
ние от относительного содержа-
ния волокон при Д17 —0.
Теоретические прямые построения по
исходным данным рнс. 2.3
2.2. Особенности разрушения гибридного композита
39
1'не. 2.6.
параметра
о । ношения
информаций
Зависимость
Цв крит ОТ
предельных
волокон ти-
пов В и С
£br/£cr
На рис. 2.5 представлена зависимость прочности углестекло-
п,1астика на растяжение от цв- Теоретические прямые построены
по формулам (2.14) и (2.15} с учетом (2.18).
Из формулы (2.18) следует, что значение параметра цвкрит,
при котором гибридный пластик имеет минимальную прочность,
и большой мере зависит от отношения предельных деформаций
подокон типов В и С. При исходных данных углестеклопластика
((м. рис. 2.3) эта зависимость представлена на рис. 2.6. Харак-
к'рная диаграмма деформирования при Д£7 = 0 представлена на
ри 2.7.
При ДП<0 в момент разрушения волокон типа С деформа-
। ия гибридного материала не изменяется, а среднее напряже-
I'iii 2.1. Диаграмма деформи-
рования гибридного пластика
при Д(/=0
40
Глава 2. Структурная механика гибридных композитов
ние <</ц> скачкообразно уменьшается до значения <о"ц>, опре-
деляемого по зависимости
<о"ц> = еся [ (1 — ф) Ед + цвфДвг] 	(2.19)
После разрушения волокон типа С в случае, когда <ец><
<евя, при дальнейшем увеличении нагрузки закон деформиро-
вания не зависит от режима нагружения и имеет вид
<оц> = [ (1 —+ 11-вф£вг] <ец>.	(2.20)
При нагружении с постоянной скоростью деформирования
прочность гибридного композита также определяется по форму-
лам (2.14) и (2.15). Следует отметить, что формула (2.14) в
конкретном случае применима только при рв = цв крит = 0. При
цв>0 прочность определяется по формуле (2.15). Зависимость
прочности углестеклопластика от цв в рассматриваемом случае
нагружения представлена на рис. 2.8.
Среднее напряжение <о'ц> в момент разрушения волокон
типа С определяется по формуле (2.9), которую можно пере-
писать в виде
<ОГ'||> = [(1— 4>)£,a + PB'4>£'bz+ (1 — цв) ф£\вг] £сн. (2.21 )
Зависимость <о'|> от lib для углестеклопластика показана
на рис. 2.8 штриховой линией. Из рисунка видно, что при ив<
,<p/вкрит среднее напряжение <а'ц>, вызвавшее разрушение бо-
лее жестких волокон типа С, больше прочности гибридного ком-
Рис. 2.8. Зависимость прочности
углестеклопластика на растяжение
от относительного содержания
волокон при ДС/<0.
Теоретические прямые построены по
исходным данным рис. 2.3
2.2. Особенности разрушения гибридного композита
41
/ ш 2.9. Диаграмма деформи-
|н1пания гибридного пластика
при ДД<0
in нита определяемой по формуле (2.15). Поэтому при цв<
|<"вкрит следует принять, что
=	= [ (1 — ф)£ + двф£вг+ (1 — |iB)4>£cz]ecB. (2.22)
При цв>|1/вкрит прочность определяется по формуле
('* 15). Теоретическая прямая, построенная по формуле (2.22),
и.। рис. 2.8 показана сплошной линией. Качественный характер
। сформирования представлен на рис. 2.9.
Глава 3. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
И НАПРЯЖЕНИЯ
3.1. ФУНКЦИЯ ТЕРМИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ
Для определения температурных деформаций армированных
пластиков в работах [13—17, 34, 59, 92, 94, 95] использован
коэффициент термического расширения, не зависящий от тем-
пературы. Коэффициент термического расширения является
функцией от упругих свойств и коэффициентов термического
расширения полимерного связующего и волокон. Эксперимен-
тально установлено [82, 85, 91, 94], что упругие свойства и ко-
эффициенты термического расширения полимерного связующего
и волокон зависят от температуры. Из этого следует, что для
армированных пластиков понятие коэффициента термического
расширения а как константы материала теряет смысл и вместо
него необходимо ввести новое понятие — функцию термиче-
ского расширения а(Т) [60]. В таком случае вместо обычной
зависимости
е(Г) =аД7
получаем
Ts
е(7’2-7'1) = J a(T)dT.
Т,
Для упрощения определения функции термического расши-
рения однонаправленно армированного пластика а(Т) в первом
приближении можно принять, что упругие характеристики во-
локон не зависят от температуры. Функции термического рас-
ширения связующего ал(Т) и волокон ав(Т) должны быть ус-
тановлены экспериментально. Характерные виды функций тер-
мического расширения для эпоксидного связующего и стеклово-
локон приведены в работе [82] и представлены на рис. 3.1. Экс-
3.1. Функция термического расширения
43
Гис. 3.1. Функции термиче-
 кого расширения эпоксид-
кою связующего ал(Т) и
стекловолокна а,в(Т)
периментально установленные кривые функций термического
расширения целесообразно аппроксимировать в виде полиномов
। ретьего порядка.
Экспериментально также должна быть установлена темпе-
ратурная зависимость модуля упругости ЕА(Т) и коэффициента
Пуассона связующего vA(T). Эти зависимости также целесооб-
разно аппроксимировать полиномом третьего порядка.
После того как определены температурные зависимости уп-
ругих Характеристик связующего, можно перейти к определе-
нию температурной зависимости упругих характеристик одно-
па иравленно армированного пластика. С этой целью в извест-
ных формулах для определения упругих характеристик одно-
па иравленно армированного пластика £)|, Е±, уц1( бщ следует
вместо Еа, va и Ga подставить ЕА(Т), vA(T) и дА(Т). Так, на-
пример, используя формулы, приведенные в работе [59], полу-
чаем
Ец(7’)=ф£В2+(1-ф)£А(Т);	(3.1)
ЕХ(Т)= [( 1~2]Д)	1	+2]/ Ъ] Еа(Т), (3.2)
L '	' -Л '	1 —\1 )	' Л J
r 1 Г л 2а , т/ а — b
j =-------------_____ arctg у -----
ЬЕа(Т) l 2	]/а2-62	' а + Ь
1-va2(T)
а =-----'—- 
............-	Еа(П ’ .
44
Глава 3. Температурные деформации и напряжения
где
1 VBrzVBzr
Евг
VIII (Л = (1—'Ф)уа(Т') +if-VBzr;
ViiKT) =
уц(7’)£1(7’)
Е^Т)
+ 1-2
Ga(T) =
Еа(Т)
2[1+va(T)]
(3.3)
В приведенных зависимостях EBz, EBr, GBrz, vBrz и vBzr — уп-
ругие характеристики волокон; ф — относительное объемное
содержание волокон.
В качестве примера рассмотрим определение упругих харак-
теристик эпоксидного углепластика, армированного двумя ти-
пами углеродных волокон: высокомодульными и высокопроч-
ными (табл. 3.1).
Принимаем, что деформативные характеристики волокон не
зависят от температуры, а температурная зависимость харак-
теристик эпоксидного связующего определяется по следующим
полиномам третьего порядка:
аА(Т) = -4,68+11,00Т-10-2-4,85Г-10~4 +
+ 7,42г-10-7 (10-5 К"1);
Еа(Т) = 34,25-24,807’-10-2 + 77,107'2-10-5-	(3.5)
-8,7673-10-7 (ГПа);
уа(Т’) =0,28-0,0097’-10-3-0,12Г2-10~5 + 0.537’3 - 1Q-8.
Таблица 3.1
Упругие характеристики углеродных волокон
Тип волокон	^Bz’ ГПа	ЕВг. ГПа	VBrz	VBzr	Gn±- ГПа	“вг. 10-е К-'	“Br- io-® к-1
В ысокомодуль ные	411	6,6	0,006	0,35	20	— 1,2	27,3
Высокопрочные	262	13,0	0,013	0,25	20	-1,2	27,3
3.1. Функция термического расширения
45
Таблица 3.2
Упругие характеристики эпоксидного связующего
Т, К	Еа, ГПа	VA	СА, ГПа
100	16,32	0,274	6,40
160	10,77	0,275	4,22
200	8,55	0,277	3,35
260	6,58	0,293	2,54
300	5,69	0,316	2,16
390	2,98	0,411	1,056
Таблица 3.3
Упругие характеристики углепластика, армированного высокомодульными
волокнами
Т, к	ЕА, ГПа	ГПа		v±ll	G||±. ГПа
100	213,4	11,78	0,3120	0,017	8,32
160	211,4	9,64	0,3125	0,014	5,83
200	210,3	8,49	0,3135	0,013	4,76
260	209,1	7,01	0,3215	0,011	3,700
300	208,6	6,30	0,3330	0,010	3,19
390	206,8	3,23	0,3805	0,006	1,63
Таблица 3.4
Упругие характеристики углепластика, армированного
высокопрочными волокнами
Г, к	-Ец, ГПа	£ ГПа		Д<1	ГПа
100	139,18	15,00	0,262	0,028	8,32
160	136,53	11,43	0,263	0,022	5,83
200	135,40	9,66	0,2635	0,0187	4,76
260	134,31	,8,02	0,272	0,0166	3,70
300	133,70	7,16	0,283	0,0151	3,19
390	132,88	4,26	0,331	0,011	1,63
Температурные зависимости упругих характеристик связую-
щего и однонаправленно армированного углепластика при ф =
0,50, вычисленные по формулам (3.1) — (3.4), приведены в
1абл. 3.2—3.4.
Для установления функций термического расширения одно-
иаправленно армированного пластика используем известные
формулы, заменяя в них коэффициенты термического расшире-
ния компонентов ал и ав на соответствующие функции ал(Т)
46
Глава 3. Температурные деформации и напряжения
и ав(Т). Наилучшее совпадение с опытными данными дали сле-
дующие формулы:
а)	в направлении армирования — формула Г. А. Ванина
[13]
<а« (Т) > = аА (Т) - [ал (Т)-аВ2]	;	(3.6)
б)	перпендикулярно направлению армирования — формула
Шапери [95]
<aj.(7')) = [l+vA(7')]aA(7') (1 — ф) + авгф(1+^вгг) —
-<ац(7’)>[ф'Рвгг+ (1-Ф)^а(7')].	(3.7)
Функции термического расширения в направлениях упругой
симметрии, построенные по формулам (3.6) и (3.7) для двух
типов однонаправленно армированных углепластиков, представ-
лены на рис. 3.2, 3.3. Там же представлены экспериментальные
результаты работы [92].
Функции термического расширения в произвольных направ-
лениях х и у определяются по зависимостям
<ax(T)> = <au(T)>cos2 p + <aj.(T)>sin2 р;	(3.8)
<ау (Т) > = <ац (7)>sin2 р + <а± (7)>cos2 Р;	(3.9)
<«зд(^)>= ~2«aj_(Т)> — <ац(7)>)sin р cos^, (3.10)
где Р — угол между направлением х и направлением армиро-
вания.
т, к
Рис. 3.2. Функции термического
расширения в направлениях упру-
гой симметрии для углепластика,
армированного высокомодульны-
мн волокнами.
Теоретические кривые построены по
формулам: для (Иц (7*)) — по (3.6):
для (а_ц(Л) — по (3.7)
3.1. Функция термического расширения
47
Рис. 3.3. Функции термического
расширения в направлениях уп-
ругой симметрии для углепласти-
ка, армированного высокопроч-
ными волокнами.
I еоретические кривые построены по
формулам: для (0Сц(Л) — по (3.6);
для (а±(7")) — по (3.7)
Функция термического расширения, построенная по формуле
(3.8), представлена на рис. 3.4. Экспериментальные результаты
взяты из работы [92].
Из приведенных в работе [59] общих зависимостей для оп-
ределения коэффициента термического расширения слоистого
материала вытекают следующие общие выражения функций тер-
мического расширения для слоистого материала:
п
«а=е(Л» = ^1Г1(П Е[^и(Л<ах(Л>+«12(П<«ИО> +
Ь=1
п
+ Qie(T){aXy(T)y]k(hh — hil-1) +Д12-1 (Т)	[Qi2(7')<ax(7’)> +
ь-1
I'tic 3.4. Функция термического
расширения ((аДЛ» Для угле-
U шетика, косоугольно армиро-
п.итого высокопрочными волок-
нами при ₽ = ±45°
48
Глава 3. Температурные деформации и напряжения
+ Q22 (Т)(ау (Т)> + Q26(T)(axy(T))]iifJi}i—hk-i) +
п
+ А6-ЧЛ H[Qi6(7’)<^(7)> + Q26(7)<ai/(7)>_ +
k=i
+ Qee(T) Qaxy (T)y]k(h,k — /ih-i);	(3.11)
n
<<аи(7')»=Л12-*(Т) :£ [^1(Л<ах(Л> + а12(О<аЛЛ>+
й=1
n
+ Q16(^')^Oixy(7’)]fe(?lh — hk—i) + Л22~1 (T) [Ql2(^)Cax(?)У +
й=1
+ Ояъ^Т)<(ay (7’)) + Q26(7')<&ху(Т) >]ь(йъ—hk-i) +
n
+A26~1(T)	[Qi6(?")<ax(?')> +
fe = l
+ Q26 (T) CMT) > + Q66 (Т) <ажу (T) >] h (hh - hh^);	(3.12)
n
<<а*у(Т)У>=А16-ЦТ) £ [Qii(T)<ax(D'>+Qi2(r)<M7’)> +
n
+ Qie(T)(axy(T)')]k(hh — /ih-i) +-A26-1 (T)	[Qi2(7') {ctx(T) >+
fc=i
+ Q22 (T)^y	+ О.2в(Т)^аху (T) >]h (/ih — /ife-i) +
n
+ Лбб-1 (T)	[Qi6(7’)<ocx(7’) У+ Q26(T)^ay(T)) +
Й=1
+ Q6G(T)(axy(T)>]ih(hh-hk_i).	(3.13)
В этих формулах приняты следующие обозначения:
ЛП-1(Л =-! [Л22(ЛЛ6(Л -Л262(Т)];
Л12-ЧЛ=у [Л1б(7’)Л26(Г)-Л12(7’)Л66(7’)];
3.1. Функция термического расширения
49
Л2-ЧП=^[А1(ЛЛ6б(Л-л1б2(П];
А16->(7)=^-[Л12(7)Д26(7)-Л22(7)Л16(7)];
Агв-'СП “ И12(7)А16(Т) -АП(7)А26(7)];
Дее-1 (Т) =1 [Ди (7) А22 (7) - А122 (Т)];
Л=АП(Т) [А22(7)А66(7)-А262(7)]-А12(7) [А66(7)А12(7)—
-Al6(T)A№(T)] +А16(7) [А12(Т)А26(7) -А22(7)А16(Т)],
I Ю
п
Aij(T) —	[Qij (Т) ] h (fth /ife— 1).
fe = l
В частном случае косоугольного армирования из общих за-
висимостей (3.11) — (3.13) вытекает функция термического рас-
ширения [60] слоистого пластика
<<а1(7)»=<аж(7)> —
Ql2(T)Q26(T)-Q22(T)Q16(T)	/0 1,1V
------—<а”( (314>
Qu(T') = Qn(7')cos4p + 2[Qi2(7) +2Q66(7)] sin20cos20 +
+ Q22(7') sin4 ₽;
Qi2(?) = [Qn(7) + Q22(7) -4Q66 (7) ] sin2 ₽ cos2 ₽ +
+ <212(7) (sin4 p + cos4 P);
Q22(7) = Qii(7)sin4p + 2[Qi2(7)+2Q66(7)]sin2pcos2p +
+ Q22(7)cos4 p;
Qi6(T) = [Qu (7) -Q12(7) -2Q66(7)]sin p cos3 p +
+ [Q12 (T) - Q22 (7) 4- 2Q66 (7) ] sin3 P cos P;
Q26(7) = [QH (7) -Q12(7) -2Q66(7)]sin3 p cos p +
+ [Qi2(7) — Q22 (7) +2<2бб(7) ]sin p cos3 P;
О	£и(П	Ex (7)_______
?,l( } ' i-m(nvxn(7) ’ Q2zU i-w(nvx»(n ’
о rn= Fl|(7)viix(7')	_ Ех(7)ухЦ(Г)_______.
1	' l-vllx(7)vxn(7) l-vu(7)vl„(7)	’
QS6(T)l=Gu(T).
4 — 482
50
Глава 3. Температурные деформации и напряжения
т, К
Рис. 3.5. Функция термического рас-
ширения ((а^Т))) для углепластика,
косоугольно армированного высоко-
модульными волокнами при Р = ±30°
Рис. 3.6. Функция термического рас-
ширения <(ai(T))) для углепластика,
косоугольно армированного высоко-
модульными волокнами при р = ±60°
Рис. 3.7. Функция термического рас-
ширения ((ai(T))) для углепластика,
косоугольно армированного высоко-
прочными волокнами при Р = ±30°
Рис. 3.8. Функция термического рас-
ширения ((ai(T))) для углепластика,
косоугольно армированного высоко-
прочными волокнами при |3 = ±60°
Для определения Qij(T), (аДТ1)) и <ажу(7')> используем за-
висимости (3.5) и результаты вычисления упругих характерис-
тик, приведенные в табл. 3.3 и 3.4. Теоретические кривые,
построенные по формуле (3.14) для двух типов углепластиков,
представлены на рис. 3.5—3.8. Экспериментальные результаты
взяты из работы [92].
Приведенные зависимости позволяют устанавливать функ-
цию термического расширения армированного пластика, если из-
вестны функции термического расширения его компонентов.
Если эти функции не известны, а известна экспериментально
установленная кривая «е(Т)», то эту кривую целесообразно ап-
проксимировать полиномом третьего порядка:
«Ё(7’)» = &0 + &17 + Ь2Г + &37'3.	(3.15)
3.2. Температурные напряжения в слоях
51
Функция термического расширения определяется по следую-
щей общей зависимости:
«a(T)»=^<<ff>> .	(3.16)
В результате дифференцирования полинома (3.15) зависи-
мость (3.16) принимает вид
(Са (7)» =ао + 017+а272.	(3.17)
3.2. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В СЛОЯХ
СИММЕТРИЧНО АРМИРОВАННОГО ПЛАСТИКА
Если структура слоистого материала симметрична относи-
юльно его срединной плоскости, то температурные напряжения
и направлениях упругой симметрии однонаправленно армиро-
ванного слоя k определяются по зависимостям
т,
<o«(72-71)>ft=[Qn(72)]ft [<<81(Т2-71)»- J <а1(7)Мт] +
т,
Ts
.+ [<212(72)]й £«е2(72—7])» — J (a2(7)»tZ7 ] +
т.
т2
.+ [Qie(72)]& £(<(712(72—7’1)»— J <ai2(7)»d7] ;	(3.18)
т,
т2
<ax(72-71)>ft=[Q12(72)]ft[«61(72-7I)»- J <а, (T)>hdT ] +
г.
т2
+ [<222 ( 72)]й [<<е2(72 —7i)>>— J <а2(7)»й7^ +
I	T1
+ [Q66(72)]ft [«Yi2(72 —7i)>>— J <cci2(7)>ftd7]; (3.19)
Т|
4*
52
Глава 3. Температурные деформации и напряжения
т2
<TU(7'2-7i)>ft=[Qi6(72)]ft[«ei(72-71)»-J <Mw] +
т,
т2
+ [Q26(72)]a[ №2(72-7i)»-/<а2(7)М7] +
Т,
т2
+ [Qes(72)]h [ х12(^"2J" (<Х12(T))kdT j ,	(3.20)
Г,
где «81(72-71)», «е2(72-7])» и «yi2(72-7i)» — средние де-
формации слоистого пластика, вызванные изменением темпера-
туры от 71 до 72; <cn(7)>ft, <a2(7)>fe и <ai2(7)>ft — функции
термического расширения слоя k, определяемые по формулам
(3.8) —(3.10).
Для определения средних температурных деформаций сло-
истого пластика используем результаты работы [59], заменяя
коэффициент термического расширения на функцию термиче-
ского расширения. Получаем
п	Тц
«81(72-71)»=Д1г‘(72) У, [qh(72)J <ai(7)M7+
fe=l	Tl
T2	T2
+ Qi2(72) j*<a2(7) >d7 + Q16(72) J C<xi2(7))d7jfe (/ife —/1&-1)+
Ti	Tl
n	T2	T2
W1^) У, [ Qi2(72)J<ai(7)>d7 + Q22(72) J <a2(7)>d7+
fe=l	T,	T,
T2
+ Q26(72)J <ai2(7)>d7jfe(/ift — /i*_]) +
t,
n	T2	Ti
+ Al6~l(T2) £[ q16(72) f<ai(7)>d7+Q26(72) J<a2(7)W+
ft = l	Ti	T,
T2
+ Q66(72) J<cci2(7)>d7]	—Лл-О;	(3.21)
Ti
3.2. Температурные напряжения в слоях
53
п	т2
_«82(?’2-?’1)>.>=Л12-1(7П2). Zl[ «иСТ’г) J<ai(n>^7’+
h = l	Tl
Та	Ti
+ Qi2(^2) J(<x2(T))dT+ <21б(7г) J <«12(T))dT j (/i^ — hk-i) +
n	Tl	Tl
Ч-Л22~* (T2) У1 £ @12(^2) J (T))dT+ Q22(7’2) J <a2(T') ~)dT +
k-1	T,	Ti
+
Ti
Q26(7'2)J* <<xi2(7')>d7’ 1 (h
k~ hk-1) +
n	Tl	Tl
ЬЛ26->(Г2) £[ Qi6(T2) f <ai(T))dT + Q26(P)J <a2(7)W+
h=l	Tl	Tl
Tl
+ @бб(Г2) J<ai2(r)>dT 1 (Aft—Ла-j) ;	(3.22)
Ti	k
n	Ti
«Т12(7’2-Л)>.>=^1б-1(7’2) У, [ Q11(T2) J<,ai (T)>dT+
h = l	Ti
Tl	Tl
+ Q12(T2) J<a2(7’)>-^+Q16(7’2) J <a12(7’)w]fe(/ih-A/1-i) +
Ti	Tl
n	Ti	T2
^^гв'^Т’г)	Qi2(7’2) J'<ai (T))dT, +Q22(^2) J <a2(^))^^ +
h = l	Tl	T|
Tl
+ @2б(7'2) J(;ai2(T)ydT	(Яд — /гд_[) 4-
t,
n	Tl	Tl
i-A66-i(T2)	Qi6(r2) J<a1(7n)>dZ + Q26(7’2)J <a2(7)>dr+
h = l	Ti	Ti
Tl
+ Q66(T2) J <al2(r))dT ]k(hk-h^).	(3.23)
r.
54
Глава 3. Температурные деформации и напряжения
В качестве примера рассмотрим определение температурных
напряжений слоя эпоксидного стеклопластика. Возьмем наибо-
лее часто встречающийся случай, когда материал состоит из
слоев, однонаправленно армированных в двух направлениях.
Таким, например, является случай ортогонального армирования,
показанный на рис. 3.9. С учетом того, что в конкретном случае
<31б(7'2) =<52б(?’2) =0 и «У12(^2 — Т1)» = 0, формулы (3.18) — (3.20)
для определения напряжений в слоях упрощаются:
т2
ап (Т’г—7’1)>_й= [Qu (T2)]ft [ «61 (Т2-7\)» - J <ац(Л>^] +
1	Т1
т2
"+[Q12(T2)]J«82(T2-T1)»-f <ccx(T)>ftdrl ;	(3.24)
(г,
т2
<ЫТ2-Л) >&= [Qi2(T2)]&[ «е1(Т2-Л)»-J<all(T)W7’] +
2’1
Т2
+ [Q22(T2)]fe [ «e2(T2-Ti)»— J<a1(7’)>ftd7’] ;	(3.25)
т,
<Tu(7’2-7’1)>fe = 0.	(3.26)
Существенно упрощаются также выражения (3:21) — (3.23)
для определения температурных деформаций с учетом того, что
А 16—Л2б = 0:
п
г,т, Е[ «Г.)Х
(•'2)Л22(/2) — А(2 (-/г) ft=1 L
Т2	Тг
X J <ац (Т) >dT+ Q12 (Т2) J <а± (T))dT ] (йд-^-О -
т(	Ti а
п	Тг
~ 'А (Т\АА1(ТТ?	[ ^12(Тг) <a«(T)>dT+ 
Лп(-« 2)Л22(Г2) —Л12 (J2) fe=1 L	т
т2
+ $12(Л) /<а±(Л^]&(^-^-1);	(3.27)
Ti
3.2. Температурные напряжения в слоях
55
Рис. 3.9. Расчетная схема ортого-
нально армированного пластика
п
«82(Т2-Л)»=^-	2/Т А Е[ «п(Т2)
Ац(Т2)А22(Т2) -А122(Т2) ~ L
т2	Т2
X /<ац(Г)>(1Т+^2(Т2) J <^j.(T)>dT\k(hk-hk^)-
Т\	Ti
п	Ti
- A IT	А аст > £ [
Л11 (•/ 2)Л22(*2) — ^12 (•' 2) ft = 1L	Г1
+ Q22(7’2) J<ax(n>^]fe(^-^-i):	(3-28)
«У12(Л-Т’1)» = 0.	(3.29)
На основе экспериментальных результатов работы [82] в
работе [61] приведены функции термического расширения
<ац(Г)> и <а±(7)> для однонаправленно армированного стекло-
пластика. С использованием этих результатов для ортогонально
армированного стеклопластика по формулам (3.27) и (3.28) по-
< троена кривая температурных деформаций (рис. 3.10).
т, к
Pm 3.10. Температурная
= 1Ы1симость деформаций
и направлениях армиро-
II шия ортогонально рав-
нопрочно армированного
н'ь.’юпластика при ф =
0,7, вызванных пони-
1<1Ч1нем температуры от
300 до 4,3 К
56
Глава 3. Температурные деформации и напряжения
Рис. 3.11. Температур-
ная зависимость напря-
жений в направлениях
упругой симметрии эле-
ментарного слоя ортого-
нально равнопрочно ар-
мированного стеклопла-
стика при i|)=0,7, выз-
ванных понижением тем-
пературы от 300 до 4,3 К:
1 - (aJT)); 2 - <CT|J(T)>
После того как определены температурные деформации ор-
тогонально армированного стеклопластика, по формулам (3.24)
и (3.25) можно определить температурные напряжения (рис.
3.11).
В случае симметричного сбалансированного косоугольно
(±Р) армированного пластика (рис. 3.12) выражения для оп-
ределения температурных деформаций принимают вид
т2
«ei(7’2-7’,)»= J <a,(7’)>d7’+
Т,
_	_ т2
+.	’(7 )	(Гг> <С“а (Г) >"	(330)
Qii (<2)Q22(Уг) —<212 (<2) Т1
Тг
«82(7’2-7'1)»= f <a2(7’)>d7'+
Tl
, gutl’algasll’a)—Qlsll'alQiefl's) f ,	/n
+,~ <3-31>
Puc. 3.12. Расчетная схема косоугольно армирован-
ного пластика
3.2. Температурные напряжения в слоях
57
Теоретические кривые, построенные по формуле (3.30) для
разных значений углов ±₽, представлены на рис. 3.13. Экспе-
риментальные результаты взяты из работы [82].
Температурные напряжения в произвольном слое k опреде-
ляются по следующим зависимостям:
(oi (Т2 — Т1)>й = <о2(Т2- Л) Х = 0;
т2
112(7'2 — 7'1 )>л= [<216(Т'а) ]* [((si (Т2 — Т1))У— J (ои (T)yhdT ] +
Т1
т2
+ [Q26(7'2)]ft [«82(7'2-Л)>>- J <а2(7)мт] -
Ti
Та
-[Q66(7'2)]ft J<ai2(T)MT.	-(3.32)
Т1
Кривые, построенные по формуле (3.32) для стеклопластика,
представлены на рис. 3.14,
Г, к
0 = 0° (/); ±30 (2); ±45 (3); ±60 (4); 90° (5)
58
Глава 3. Температурные деформации и напряжения
Рис. 3.14. Температурная зависимость касательных на-
пряжений <Т12(Г)> в элементарном слое косоугольно
армированного стеклопластика при ф=0,7, вызванных
понижением температуры от 300 до 4,3 К:
Р = ±30, 60° (/); 45° (2)
Температурные напряжения в осях упругой симметрии для
слоя определяются при помощи матрицы трансформации
<СГ||(Т2 —то>
<o±(T2-Ti)>
<тщ(Т2-Т1)>
= [Л
(Т2 — Ti) >
Т\) У
<ti2(T2-Ti)y .
(3.33)
где
т2 п2 2тп "
п2 т2 —2тп
— тп тп т2 — п2
m = cos Р; n = sin р.
Глава 4. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАССЕЯНИЕ
ЭНЕРГИИ
4.1.	ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Важной характеристикой конструкций, подвергающихся ко-
|| оаниям, является уровень относительного рассеяния энергии
(<)РЭ), который в большой мере зависит от ОРЭ в применен-
ных материалах. ОРЭ выражается через коэффициент
\и
(4.1)
। к' &U — энергия рассеяния в конструкции или в образце ма-
п риала за один цикл колебаний; U — максимальная потенци-
1 и.пая энергия упругого деформирования в этом цикле колеба-
нии. В настоящее время среди конструкционных материалов
hi । ьма важное место занимают слоистые армированные плас-
nikii (САП). В связи с этим возникает необходимость в созда-
нии методов прогнозирования ОРЭ для САП с учетом их струк-
1-, ры и вида колебаний.
В работах [26—29, 45, 74, 75, 88, 89], посвященных исследо-
11П111Ю ОРЭ в армированных пластиках, отражен следующий
и" 1ход, использованный в настоящей главе. Вначале экспери-
ппгально [75] или путем теоретического расчета на основе
микроструктурного подхода [26] определяются характеристики
<>1’Э однонаправленно армированного материала. Затем по дан-
ным характеристикам на основе макроструктурного подхода
"pin иозируется ОРЭ в слоистом материале. При этом можно
пренебречь зависимостью ОРЭ от частоты и амплитуды [43, 64]
1ебаний. В работах [74, 75, 88, 89] в качестве характеристик
1 Н’Э однонаправленно армированного материала введены коэф-
фициенты Ч^н, Tj. и Чгр±, выражающие ОРЭ в подобном мате-
ми.ые при соответствующем виде колебаний. В этих работах
предполагается, что в случае комбинированного циклического
60
Глава 4. Относительное рассеяние энергии
Рис. 4.1. Расчетная схе-
ма слоистого армирован-
ного пластика
напряженного состояния материала энергия рассеяния склады-
вается из отдельных частей, пропорциональных частям макси-
мальной энергии упругого деформирования, приходящимся на
долю каждого напряжения. Но из такого предположения сле-
дует маловероятное равенство ОРЭ, например, в случаях цик-
лического одноосного напряженного и циклического одноосного
деформированного состояния материала. Этого недостатка нет
в работах [26—29], в которых анализируется ОРЭ в армиро-
ванных пластиках начиная с изотропных компонентов однона-
правленно армированного стеклопластика и кончая слоистым
материалом, подвергнутым циклическому воздействию нормаль-
ных и сдвиговых усилий в плоскости слоев и поперечных изги-
бающих и крутящих моментов. Но при этом не совсем обосно-
ванно сокращено число характеристик ОРЭ однонаправленно
армированного материала. До сих пор не исследовано влияние
межслойного сдвига на ОРЭ в САП.
В настоящей главе определяются характеристики рассеяния
энергии САП, рассчитанного на циклическое воздействие уси-
лии Ах, Ау, ЛДу, *SXz, *5уг(П/м), Afx, Aly, А1Жу(Н-м/м) (или в мат-
ричной форме {N}, {3}, {А1}), в зависимости от его слоистой
структуры и свойств составляющих слоев (рис. 4.1). Рассмат-
ривается самый общий случай слоистой структуры, представ-
ляющий собой произвольную последовательность произвольного
числа произвольно в плоскости укладки ориентированных орто-
тропных слоев. Используются следующие основные допущения.
1.	Причиной рассеяния энергии являются кратковременные
вязкоупругие свойства составляющих слоев. Влиянием возмож-
ных межслойных несовершенств можно пренебречь.
2.	ОРЭ не зависит от амплитуды колебаний.
3.	Все законы деформирования линейные.
4.	Деформирование САП происходит согласно гипотезе плос-
ких сечений.
5.	Межслойными нормальными напряжениями можно пре-
небречь.
6.	ОРЭ вообще может зависеть от частоты колебаний.
4.2. Рассеяние энергии в однонаправленно армированном слое
61
4.2.	РАССЕЯНИЕ ЭНЕРГИИ В ОДНОНАПРАВЛЕННО
АРМИРОВАННОМ СЛОЕ
Чтобы определить характеристики рассеяния энергии САП,
необходимо задаться характеристиками рассеяния энергии со-
। 1.1вляющих слоев. Для этого сначала следует выделить удель-
и\ю энергию упругого деформирования составляющих слоев че-
рт 1 напряжения в осях их упругой симметрии:
2^{<ЛГ{<Л} - {of и {«}•
1 <Т> J I <Y> J I \т> 1 I <т> -»
I II'
{<о>}т= [<ац>; <а±>; <Ол>];
{<т>}т= [<т|щ>; <т±д>; <тщ>_];
{<е>}г = [<ец>; <е±>; <ед>];
{<y>}t= [<thji>; <y±ji>;<yh±>];
I *> | — квадратичная симметричная матрица податливости раз-
п'рпостью 6x6. Если {<о>} и {<т>} являются векторами ампли-
।. шых значений напряжений при циклическом напряженном
'и юянии материала, то соответствующая удельная энергия
р.к сеяния, также выраженная через напряжения
f<о>1г	f<а> )
2<Д№>=	[3°М \ к	(4.3)
1 <т> >	I <т> 1
1 ll“ [S0] — матрица неупругих характеристик слоя, аналогич-
п in по форме и числу составляющих матрице упругой подат-
пности [S], Далее индекс «О» используется для обозначения
। ipyrnx неупругих характеристик как слоя, так и всего па-
н ia. С учетом отсутствия в САП межслойных нормальных на-
ир'1/кений и того, что направления упругой симметрии состав-
। нищих слоев относительно друг друга повернуты только в
и юскости укладки, целесообразно рассматривать энергии <Д117>
и • 1Е> как суммы двух независимых составляющих:
<Д№> = <Д№>п + <Д№>м;
<№> = <№>n + <W%,	( }
миорые соответственно возникают вследствие действия напря-
। сппй в плоскости слоев (индекс «п») и межслойных касатель-
ных напряжений (индекс «м»). Через напряжения действую-
щих в направлениях упругой симметрии однонаправленно
62
Глава 4. Относительное рассеяние энергии
армированных составляющих слоев удельные энергии рассеяния
<ДЮП и <Д№>М определяются по зависимостям
2<ДИ7>п= {<а>}пг[3°]п{<а>}п;
2< Д Я7>м = {<т>} мг [5°] м {<т>} м,	1 1
где
J<c>}nT= [<ац>; <о±>; <тц±>];
{<т>}мт= [<тл±>; <тц11>];
Sn° 312°
*^21° $22°
Ф11 5ц
ф21 >$21
Ф12 *^12
ф22 ^22
фбб 5бб _
ф55 S55
Выражение 8ц° с помощью нововведенных коэффициентов ф»/
(Sif°=q>ijSij) обосновано тем, что диагональные коэффициенты
q>ii (i=l, 2, 4—6) равняются коэффициентам ОРЭ образца, оп-
ределяемым непосредственно экспериментально при поочеред-
ном возбуждении в образце циклических напряжений <стц>,
<.ог±>, <Тл±Х <тцл>, (fin) и обозначаемым соответственно че-
рез ЧД Так, например, согласно принципу обозначений для од-
нонаправленно армированного материала [74, 75, 88, 89] фц =
= Чгц; ф22 = Чг±; ф44 = Чгл±; ф55=Чгщ1; фбб=Ч%1 (или ЧЧ; Чг2; Чг4;
Чг5; Чг6). Экспериментальное определение Чгц и Чг± проводится в
условиях продольных или изгибных колебаний продольно и
поперечно армированного плоского стержневидного образца.
При определении 4fiii = 4fnJ1 продольно армированный образец
должен нагружаться циклическим крутящим моментом. При оп-
ределении ЧД± циклическим крутящим моментом должна на-
гружаться достаточно широкая и относительно тонкая полоска,
армированная в направлении толщины. В первом приближении
можно принять Чг111 = Чг|ц. Для определения ф12 = ф21 необходим
дополнительный эксперимент, например, по исследованию про-
дольных колебаний стержневидного образца, армированного под
углом 45°. При этом измеряется коэффициент ОРЭ, обознача-
емый через ЧГ1 (45°). Тогда qpi2 вычисляется по формуле
Ф12=“ос— [ (5ц+ 2S12 + S22-|-S66)4ri (45°) —471511 —
ZC>12
-W2s22-T6s66],	(4.6)
которая получена подстановкой выражений (4.2) и (4.3) (при
продольном нагружении под углом 45° к направлению армиро-
вания) в соотношение AW/W.
4.3. Рассеяние энергии в слоистом армированном пластике
63
4.3. РАССЕЯНИЕ ЭНЕРГИИ В СЛОИСТОМ
АРМИРОВАННОМ ПЛАСТИКЕ
Для получения характеристик рассеяния энергии пакета вы-
ражаем в зависимостях (4.5) напряжения, действующие в на-
правлениях упругой симметрии материала, через напряжения,
действующие в осях пакета {<о>}г= [<аж>, <сгу>, <тжу>] (см.
рис. 4.1):
2<ДИ7>П= {<7>}пТ[Т]Ч50]п[7’] {<а>}п;	(4.7)
2<AW>M= {<Ч»МТИТ [S°]M[P] {^>}М)	(4.8)
|де матрица [7] приведена в главе 2, а матрица [Р] имеет вид
г я = [ cos 0 sin 01
L — sin р cos p J ’
С учетом того, что монослои работают в составе пакета, энер-
। ню <ДЦ7>П удобнее выражать через деформации <еж>, <8У> и
<.уХу> (или {<е>})- Тогда после некоторых матричных преобра-
юваний вместо (4.7) получаем
2<ДГ>П= {<ё>}пг[<3°] {<£>}„,	(4.9)
। де
[Q°] = [T]->[Q] [S°]n[Q][T]-‘r;
[Q] =
1 — V12V21
V21-E1
1 — V12V21
V12B2
1—V12V2I
g2
1 —V12V21
G12 *
Выражая входящие в зависимость (4.9) деформации через де-
формации и кривизны срединной поверхности пакета и коорди-
нату z, согласно гипотезе плоских сечений получаем
{<е>}п= {<8 (Z) >}п = {«8°»} + z{k},	(4.10)
а выражая {«е0»} и {&}, в свою очередь, через усилия, дейст-
вующие в сечениях пакета, и жесткости пакета получаем
(«8°»| = ГА В 1-4 N 1 [А' В Л f Л7 \
I k f Lbz?-I l aiJ Lb'td'JImJ '
64
Глава 4. Относительное рассеяние энергии
Интегрируя <ДЦ7>П по толщине пакета, получаем удельную энер-
гию рассеяния на единицу площади поверхности САП вследст-
вие действия напряжений в плоскости слоев
2«AIF»n=
Г А0'
L в°'т
В0' 1 f N |
до/J 1л1 J ’
(4.12)

где
А0 В°'1
В®'т до']
ГА' В' ] Г А0 В° 1 Г А' В' ]
L в'т D' J L до до ] [Д'Т Д' J
h^—J;
n
(Qo’°) & (Ла2 —/ife-i2);
n
^г;° = 4 Л (Qt’J°)fe(^3-W), /,/=1,2,6.
О ,	,
Расчетная схема для определения й* представлена на рис.
4.1; п — число слоев.
Соответствующая удельная энергия упругого деформирова-
ния определяется следующим образом:
1ЛПТЦ' В' I f N ]
2«’7»'-= { л, } [ в- D'J L }	<413<
В зависимости (4.12) приведена матрица неупругих характе-
ристик САП для случаев циклического воздействия усилий Nx,
Ny, Nxy, Мх, Му, МХу. При повороте координатных осей матрица
неупругих характеристик САП трансформируется по формуле
Г д0' 50'1_Г7’ 1Т Г А0' В°'1 Г Т 1
L в°'т D°' 1 ~ 1 Т J 1до' до' J L т J ’
При определении зависимости характеристик рассеяния энер-
гии САП от межслойного сдвига используются результаты ис-
следований (см. параграф 9.1), согласно которым следует раз-
личать два вида поперечных сил: Syzn, Sxla и SyzK, SXZK (или
{5й} и {<$к}). Распределения межслойных касательных напря-
жений, соответствующих всем силовым факторам, приведены в
виде зависимости (9.11). Но в настоящем параграфе в первом
приближении не учитываются межслойные касательные напря-
жения, возникновение которых возможно вследствие наличия
тех производных мембранно-изгибных усилий, которым не со-
4.3. Рассеяние энергии в слоистом армированном пластике
65
ответствуют поперечные силы. Тогда, подставляя зависимость
(9.11) в выражение (4.8) и интегрируя это выражение для
<ДЮМ по толщине САП, получаем удельную энергию рассея-
ния на единицу площади поверхности САП вследствие действия
межслойных касательных напряжений
( 3й Г U° £°1 ( 5й 1
2«AIF»M={	} [	§ \	(4.14)
б г
где
Л/2
[«°[ = J
-h/2
h/2
[P°l = J [Ук(г)]Ч^]т[5°]м[Л[^(г)]^;
-h/2
h/2
[g°] = J [VH(2)r[P]T[S0]M[P][VK(z)]dz;
-h/2
|l'“(z)] и [VK(z)] будут раскрыты в выражении (9.11).
Удельная энергия упругого деформирования от воздействия
поперечных сил определяется по формуле
2«^>-={Г-}[^рШ'Ь	<415)
1 Iе [w], [g], [р] будут приведены в параграфе 9.1.
В состав зависимости (4.14) входит матрица неупругих ха-
рактеристик САП для случаев циклического воздействия попе-
речных сил Syz11, Sxz11 и SyzK, SXZK. При повороте координатных
 н ей упомянутая матрица трансформируется по формуле
Г й° g0] _ Г Р V Г и° g°l Г Р 1
L gor poj _ L pJ Igor ро J L p J 
• уммируя «ДЦ7»П и «Д1У»М, а также «П7»п и «W»M, получаем
• \ммарные удельные энергии рассеяния и упругого деформиро-
п.шия на единицу площади поверхности САП
<<ДГ» = «ДГ»а+«ДЮ>м;
«№» = <<№»п+«Г»м.	(	’
По всему конструкционному элементу ОРЭ определяется со-
'I ношением (4.1), где полные энергии рассеяния и упругого де-
формирования определяются путем интегрирования энергий
\М7» и «IF» по всей площади А поверхности тонкостенного кон-
5 — 482
66
Глава 4. Относительное рассеяние энергии
струкционного элемента. Тогда в случае элемента с постоянной
структурой САП имеем
2А17=Тг
А0' В°'1 Г
В°'т до/ J L J I м Л м J
(4-17)
где Тг [ ] — сумма диагональных элементов матрицы. Мат-
рицы с интегралом в выражении (4.17) содержат все возмож-
ные произведения эпюр мембранно-изгибных усилий и попереч-
ных сил соответственно по поверхности тонкостенного элемента.
Тонкостенные конструкционные элементы часто подверга-
ются цилиндрическому изгибу. Если цилиндрический изгиб про-
исходит в плоскости xz, то зависимости (4.17) сводятся к виду
2At/=Aii°' J МЛМ + 2ВП0' J NxMxdA +
А	А
+Dn°' J Mx2dA + u55° J (3Ж2и)2<М;
А	А
2U=A'n J N^dA + 2В'ц J NxMxdA-\-
A	A
(4.18)
+•0'11 j.Mx2dA + u55 J (3Ж2и)2с?А,
где
V' Ви0' J _ Г An Ви j-‘ Г Аи° Ви° 1 Г Аи Ви I"1
Ви^Ви0'-1 " I-Ви Ви * Ь1(° Вп° J Ви J ;
Ад1
В'ц
В'и
В'ц
Г Ац Вп1 1
Вц Вп
4.3. Рассеяние энергии в слоистом армированном пластике
67
1’ис. 4.2. Зависимость ОРЭ в однонаправленно
фмированной углепластиковой балке при
|рехточечном свободном (1) н цнлиндрнче-
• ком (2) изгибе от угла вырезки образцов.
I <еретические кривые построены по формулам: 1 —
in' (4.17); 2 — по (4.18) — при следующих исходных
। шных [75]: / = 23 см; Л=0,23 см; £ц=103,6 ГПа;
I ! =7,59 ГПа; Тц± = О,3; G||j_ = filj_l||=3,83 ГПа; фц =
0.64%;	Чг±-6,9%;	Т’||(45°)=9,1%;	Чгц±-’1г±|| =
= 10,0%
На рис. 4.2 представлены экспериментально полученные в
работе [75] коэффициенты ОРЭ однонаправленно армирован-
ных углепластиковых полосок, вырезанных под различными уг-
лами, при циклическом трехточечном изгибе. Там же представ-
имы теоретические кривые, построенные с использованием фор-
мул (4.17) и (4.18) для случаев свободного и цилиндрического
и и иба. Как видно из рисунка, с экспериментальными точками
\човлетворительно согласуется кривая свободного изгиба. Оче-
видно, это объясняется тем; что в полоске уже на небольшом
расстоянии от опор реализуются все побочные деформации.
Составляющие матрицы неупругих характеристик САП, так
।е как однородного материала (см. зависимость (4.5)), можно
иыразить с помощью коэффициентов:
А0' В0' 1 _ Г срА' ЪВ1 1
£0/т до/ J ~ L $В'Т 6D' J
(4.19)
I 'иффициенты ф, 6, Ф, у, т], х также могут быть использованы
н качестве характеристик рассеяния энергии САП. В самом об-
HicM случае их число, т. е. число независимых характеристик
ишстого материала для тонкостенных изделий, может дости-
1 in. 31: 21 характеристика мембранно-изгибных деформаций и
Hl характеристик межслойного сдвига. Таким образом, для экс-
периментального определения всех характеристик САП потре-
«ишалось бы проведение экспериментов 31 вида. Это лишний
! 11 подтверждает целесообразность структурного подхода, ко-
'чрый позволяет прогнозировать характеристики рассеяния
'пгргии САП по слоистой структуре и по свойствам составля-
4’iiiiix слоев.
Особенно следует отметить коэффициенты фп, фгг, Фее и 6ц,
 бее, которые соответствуют коэффициентам ОРЭ материала
•Ч'П простых продольных (фп, Ф22), сдвиговых (фее), изгибных
68
Глава 4. Относительное рассеяние энергии
Рис. 4.3. Зависимость характерис-
тик ОРЭ слоистого углепластика
со структурой [(0790°) в]« от угла
вырезки образцов.
Теоретические кривые построены по
формулам (4.20): 1 — фи; 2 — Ф22;
3 — фее; 4 ~ Си; 5 — O22; 6 — две.
Исходные данные те же, что на
рис. 4.2
(611, 622) и крутильных (бее) колебаниях. Это соответствие дает
возможность легко (кроме фее) проверять достоверность выше-
изложенной методики теоретического прогнозирования ОРЭ пу-
тем экспериментального исследования образцов, вырезанных
под разными углами, при упомянутых видах простых колеба-
ний. При этом должны выполняться следующие равенства:
- V	ф22 —	4220/	- _ Л660'	
— о IQ 1		АХ22 П220/	11 1 tn CD СП	х । О CD 1 4 СП	
					(4.20)
Ai 1 —	622		. ббб=-=т	•	
ОЦ	=Г/	>		. .		 - .		
D п		D 22	D 66	
На рис. 4.3 представлены теоретические кривые изменения
коэффициентов, характеризующих ОРЭ, построенные по зави-
симостям (4.20) для САП различных структур в зависимости
от угла вырезки образцов.
4.4.	АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО
РАССЕЯНИЯ ЭНЕРГИИ
Определение ОРЭ в тонкостенном конструкционном элементе
из САП с учетом структуры материала и вида циклической на-
грузки проводится в следующем порядке.
1.	Путем экспериментального исследования устанавливаются
упругие и неупругие характеристики составляющих слоев. Опи-
сание и принципы получения неупругих характеристик слоев
изложены в параграфе 4.2, откуда следует, что неупругими ха-
рактеристиками слоя являются составляющие матрицы и
[S] м, определяемые по формуле (4.5). Необходимые для состав-
ления матрицы [5°]п коэффициенты фп, Ф22, фее и Ф12 определи-
4.4. Алгоритм определения относительного рассеяния энергии
69
ются на основе экспериментально установленных коэффициентов
ОРЭ Wi, W2, и Ч^ (45°) по формуле (4.6) с учетом равенств
•I । = ЧГ1, ф22=Чг2, Фбб = Чг6. Необходимые для составления мат-
рицы [S°]M коэффициенты <p44 и ф55 определяются на основе экс-
периментально установленных коэффициентов Ч^ и Чг5 по ра-
венствам ф44 = ЧГ4 И ф55 = ЧГ5.
2.	На основе упругих и неупругих характеристик составляю-
щих слоев и с учетом их расположения в пакете по формулам
(4.12) и (4.9) определяются неупругие характеристики САП
/1,/°', Вц°' и Da0', необходимые для учета циклического воздей-
। гвия мембранно-изгибных усилий Nx, Ny, Nxy, Мх, Mv, Мху.
3.	Неупругие характеристики САП для учета влияния цикли-
чески воздействующих поперечных сил SyzR, SXZR, Sy 7К, SXZK оп-
ределяются по формулам (4.14).
4.	ОРЭ по всему конструкционному элементу определяется
подстановкой в соотношение (4.1) энергий АСУ и U, определен-
ных по формулам (4.17). Для этого необходимо на поверхности
момента построить и попарно перемножить отдельно эпюры
всех мембранно-изгибных усилий и отдельно эпюры всех попе-
речных сил SyzH, и SyzK, SXZK.
Если элемент работает на цилиндрический изгиб, то вместо
(1.17) используется формула (4.18).
Глава 5. СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
5.1. ВЯЗКОУПРУГИЕ СВОЙСТВА КОМПОНЕНТОВ
Многочисленными опытами доказано, что полимерное связу-
ющее обладает выраженными вязкоупругими свойствами. Де-
формации полимерного связующего при постоянной длительной
нагрузке изменяются в несколько раз. Таким образом, при оп-
ределении деформаций полимерного связующего важным пара-
метром является время.
Для полимерных связующих закон деформирования в слу-
чае одноосного нагружения определяется зависимостью
i
е(0=-^-[о(0+jKAG-0)o(0)de] .	(5.1)
L о
Функция /С должна быть определена из опыта на ползучесть
материала при постоянном нагружении.
В случае постоянного нагружения, когда =const, зави-
симость (5.1) принимает вид
(5-2)
Функция ползучести D (t) задается в виде графиков, таблиц
или аналитических зависимостей.
Экспериментальные результаты показывают, что в случае
постоянного напряжения скорость деформации в начальный мо-
мент времени стремится к бесконечности. Следовательно, в ка-
честве ядра ползучести необходимо выбрать функцию, которая
при t = Q обеспечивала бы бесконечно большую скорость дефор-
5.1. Вязкоупругие свойства компонентов
71
мации в момент нагружения. Но эта особенность должна быть
нс слишком сильной, чтобы не стали бесконечными и началь-
ные деформации. Простейшей функцией такого типа, обладаю-
щей слабой особенностью, является ядро Дюффинга [51]. В
(лучае этого ядра кривая ползучести, соответствующая уравне-
нию (5.2), неограниченно возрастает, т. е. длительный модуль
упругости равен нулю. Для материалов с конечным длительным
модулем упругости А. Р. Ржаницыным [51] предложено ядро
ползучести в форме
Ai ехр[-рА(^-0)]
'	(г-0)°л	’
। че 0<аА<1. При таком ядре деформации ползучести согласно
определяются неполной у-функцией аргументов pAi и аА.
Метод определения параметров аА, рА, Аг ядра Ржаницына из-
южен в [32]. Ю. Н. Работновым [49] в качестве ядра ползу-
чести сингулярного типа предложены дробно-экспоненциальные
функции ЭаА( —рА, t—0).
В последнем случае функция ползучести полимерного связу-
ющего принимает вид
t
D(t) =~ [ 1+XAJЭа (-рА, t-0)d0 ] .	(5.3)
о л
Практическое применение функций Эал связано с установ-
ившем параметров ЕА, аА, рА, ХА, которые принимаются за рео-
мгические характеристики материала. Предлагается метод оп-
|ч деления этих параметров по экспериментальной кривой пол-
,чести с помощью преобразования Лапласа [49]. Разработан
и реализован метод определения характеристик ограниченной
ин щучести с помощью ЭВМ. В случае отсутствия программы
। ш ЭВМ используются приближенные, но зато весьма простые
. пособы установления параметров аА, рА, Л.А, например графи-
ческий способ аппроксимации кривых ползучести [47]. Способ
и, новая на том, что графики Э-функций в полулогарифмических
координатах имеют большой линейный участок, угол наклона
। спорого к оси абсцисс пропорционален соотношению аА/рА.
’I ругой способ определения параметров аА, рА и Л.А основан на
нс пользовании аппроксимации экспериментальных кривых пол-
iy чести таблиц Э-функции и интеграла от нее [50].
Если параметры аА, рА, ХА известны, то функция ползучести
/»(/) полностью определена согласно (5.3). Однако интеграл
функции ЭаА определяется суммой степенного ряда, практичес-
ки' определение значений которого возможно лишь с помощью
 пениальных таблиц [50]. Поэтому были предприняты попытки
72
Глава 5. Структурная теория ползучести
разработать аппроксимации такого ряда. Так, М. И. Розовским
[47] предложена аппроксимация
t
(-PA^-e)de₽J-[1-ехр(-рАТ/>+ал)],	(5.4)
о А
где
1<«а<0;	(1 + аА)1+“-А.
В случае использования аппроксимации (5.4) согласно урав-
нению (5.2) получаем
{Ха	1
1+-—[1— ехр( — 0Ау/1+“л)] ? ,	(5.5)
Ра	>
где во — упругая деформация.
Из уравнения (5.5) устанавливаем, что при t—roo деформа-
ция ползучести выходит на асимптоту е(°о). Согласно зависи-
мости (5.5) имеем
/ Ха \
8а(оо) =Бо ( 1 +— ).
х Ра '
Таким образом, если известны деформации мгновенного и
бесконечно длительного нагружения, то отношение Ха/Ра одно-
значно определяется выражением
Ха	ёа (оо)
—= 	7 -1.	(5.6)
Ра 8о	Х Z
Для определения параметров оа и Ра можно пользоваться
зависимостями
• / - Ра \
Inll-—aj
,	1	,	'	Ла	'
«А = - 1 4-7— In ---------
1 ti i / 1	Ра	\
In——	In I 1— -—а2 I
t\	'	Ла	'
1	/	.	Ра	\
In	I	1---— d] I
я =_ X
PA [(I+kaJM^a '
(57)
где
e(^)	, n 8(f2)	.
4J1----------1, O,2 —" 	— 1.
8o	8o
5.1. Вязкоупругие свойства компонентов
73
Iри вида точек соответ-
мпуют трем различным об-
разцам	СУТ
1десь ti и t2 — два независимых фиксированных значения вре-
мени нагружения. Следовательно, согласно зависимостям (5.7)
шачения параметров аА и рА не являются однозначными. Тем
не менее методика определения параметров ползучести аА, рА
и ХА по зависимостям (5.6) и (5.7) может быть успешно ис-
пользована. На рис. 5.1 представлена экспериментальная кри-
на я ползучести фенолформальдегидного связующего при сжа-
1 ни. Аппроксимирующая кривая построена по выражению (5.5)
при следующих значениях параметров ползучести: аА=—0,35;
|1|-=0,21 сут~0’65; Ха = 0,17 сут-0-65.
Таким образом, функция ползучести для полимерного свя-
лющего согласно зависимостям (5.3) и (5.4) принимает вид
W)=4~{	•	(5.8)
t-A 1 рА	1
Следует отметить, что в качестве ядер ползучести широкое
распространение получили функции в виде сумм экспонент. К
недостаткам этих функций следует отнести большое число не-
пшсимых параметров, увеличивающееся с ростом числа сла-
। немых суммы. Если ядром ползучести является одна экспо-
нента, то это частный случай аппроксимации (5.4) при условии,
a io аА = 0.
Уравнением (5.2) определяется ползучесть полимерного свя-
цющего в случае одноосного напряженного состояния. Однако
ц<> шмерное связующее в армированных пластиках даже при
простейших видах нагружения находится в сложном напряжен-
ном состоянии. При определении закона деформирования поли-
icpijoro связующего для трехосного напряженного состояния
и< пользуется гипотеза об упругости объемного деформирования
ГД 47], т. е. принимается, что у полимерного связующего при
74
Глава 5. Структурная теория ползучести
статическом нагружении отсутствует изменение объема во вре-
мени.
В таком случае
6i(0 =D(t) [а,- Р2*Рз ] +1 2VA (ет2 + <тз),	(5.9)
L	A J -^A
где Oi, 02, оз — компоненты напряжения; Ea — коэффи-
циент Пуассона и модуль упругости полимерного связующего;
Д(0 — функция ползучести при одноосном напряженном со-
стоянии.
Аналогично зависимости (5.9) записываются и выражения
для деформаций е2(0 и &з(0-
Если символически уравнение ползучести полимерного свя-
зующего при сдвиге записать в виде
у(О=/(От,	(5.10)
то на основе гипотезы об упругой сжимаемости материала функ-
ция ползучести при сдвиге выражается через функцию ползу-
чести при одноосном нагружении следующим образом:
1 — 2va
Z(0=3D(0-------(5.11);
Г-А
Следовательно, упруговязкие свойства полимерного связую-
щего в случае линейной зависимости между напряжениями и
деформациями характеризуются одной функцией времени. Та-
кой функцией может служить функция ползучести D(t), кото-
рая определяется в результате аппроксимации эксперименталь-
ной кривой ползучести при одноосном нагружении. Если в на-
шем распоряжении имеется кривая ползучести полимерного
связующего при сдвиге, то согласно имеющимся данным уста-
навливается функция J(t), а затем с помощью выражения
(5.11) — и функция D(t).
Все сказанное о вязкоупругих свойствах относится к поли-
мерным связующим, для которых имеет место линейная зависи-
мость между напряжениями и деформациями. Однако в ряде
случаев (например, при повышенных температурах или высо-
ких уровнях нагружения, а для некоторых полимерных связую-
щих и при комнатной температуре) для полимерных связующих
характерна нелинейная зависимость между напряжениями и де-
формациями. Нелинейный характер этой зависимости для ряда
полимерных связующих особенно выражен при длительном на-
гружении [30, 46].
На рис. 5.2 представлены кривые пслзучести полимерного
связующего ЭДТ-10 при одноосном растяжении и сжатии в изо-
термических условиях (7 = 22° С). Как видно из рисунка, сте-
пень нелинейности изменяется во времени. Следовательно, для
5.1. Вязкоупругие свойства компонентов
75
1'ис. 5.2. Кривые ползучести полимер-
ного связующего ЭДТ-10 при растяже-
нии (а) и сжатии (б):
0,-120 МПа (/);	200	(2);	240	(3);
500 МПа (4)
приведенных экспериментальных данных не соблюдаются усло-
вия подобия кривых ползучести или подобия изохронных кри-
вых. Для описания кривых ползучести полимерного связующего
)ДТ-10 при осевом нагружении целесообразно пользоваться ре-
ологическим уравнением
t
e(z)=4-f <jA{t)+kAOA\t)+ f 7G(z-e)[Me) +
1 0
+ (dA + (kA - dA) exp (-xa'0)) OA3 (0) ] dd | .	(5.12)
Ядро ползучести KA(t—0) характеризует ползучесть в линей-
ной области деформирования (таковой обычно является область
низких уровней нагружения), а три параметра kA, dA и ха дают
возможность учитывать нелинейное поведение полимерного свя-
ivionjero. В качестве ядра ползучести удобно пользоваться сум-
мой экспонент KA(t-0) = S CAj ехр[ — aAj(t — 0)]. Увеличивая
2=1
76
Глава о. Структурная теория ползучести
число слагаемых, можно обеспечить необходимую точность ап-
проксимации. При п = 2 или п = 3 достигается достаточная для
практики точность при больших длительностях нагружения.
При условии OA = const уравнение (5.12) принимает следую-
щий вид:
п
1 f	, V [ Cxi
8а(0=-Е~1 ^a + ^aOa3 + /  -----(1-ехр(-аАз0) X
1	j=1 L OCAj
С*а ’
X (оа + ^аПа3) -1-------(ехр(—KAt) — ехр( —аА/0) х
ccaj ха
Х(^а-Йа)са3] } .	(5.13)
Таким образом, для описания кривых ползучести полимер-
ного связующего с нелинейным характером деформирования
согласно зависимости (5.13) необходимо определить 4 + 2/г по-
стоянных, из которых 1+2п характеризуют линейную ползу-
честь, а остальные три — нелинейное поведение материала. Па-
раметры ядра ползучести СА, и аА] определяются в результате
аппроксимации кривой ползучести в линейной области дефор-
мирования. Для рассматриваемого связующего ЭДТ-10 (см. рис.
5.2, а) в результате аппроксимации методом наименьших квад-
ратов были получены следующие значения параметров ядра
ползучести: Cai = 0,57; СА2 = 0,028; Саз = 0,01056; oai=2 сут-1;
(Ха2 = 0,0833 сут-1; сиз = 0,007143 сут-1.
Для определения параметров kA, dA и [За воспользуемся кри-
выми ползучести в нелинейной области деформирования. В пре-
дельном случае, когда £ = 0, уравнение (5.13) принимает вид
ёа(0	(оа + ^аоа3).	(5.14)
£а
Тогда параметр kA определяется в результате аппроксимации
нелинейной кривой деформирования при кратковременном на-
гружении.
Согласно (5.14) имеем
, Саёа(О) —ста
«А —--------5---
Па3
(5.15)
Аналогично, когда для определения параметра dA сог-
ласно уравнению (5.13) получаем соотношение
аЕАеА(оо) — (1 +а)аА
dA =-----------------------akA,	(5.16)
5.1. Вязкоупругие свойства компонентов
77
I ю
। на(оо) — деформация установившейся ползучести при на-
пряжении ОА.
Параметр ха характеризует скорость изменения нелинейных
• пойств полимерного связующего во времени и определяется из
сравнения (5.13) при фиксированном времени нагружения t = ti.
Для эпоксидного связующего ЭДТ-10 согласно зависимостям
(15) и (5.16) по экспериментальным кривым ползучести, пред-
• I.явленным на рис. 5.2, были установлены следующие значения
параметров нелинейности: /гЛ = 350 кПа-2; dA+ — 5400 кПа-2;
ф=0,4 сут-1 — при растяжении; £А-=10,4 кПа-2; dA =
610 кПа-2; ха-= 0,55 сут-1 — при сжатии.
Совпадение экспериментальных данных и расчетных кривых
пилзучести, построенных согласно уравнению (5.13), хорошее.
Таким образом, оказывается, что линейно-упругие и линейно-
нруговязкие свойства полимерного связующего ЭДТ-10 при
растяжении и сжатии практически одинаковы, но нелинейные
пойства более выражены при растяжении. Следует отметить,
’ни зависимость (5.13) дает возможность с достаточной для
практики точностью описывать кривые ползучести полимерного
и । зующего при простом напряженном состоянии (одноосном
растяжении, сжатии1 или сдвиге). Следует отметить, что в не-
.пейной области деформирования даже для изотропного ма-
н риала практически отсутствует единая теория напряженно-
сформированного состояния.
Все сказанное о деформационных свойствах полимерного
снующего при длительном нагружении может быть отнесено
с к армирующим волокнам. Однако в отличие от полимерных
’ .	5.3. Кривые ползу-
» hi борных волокон
। Hi Ов = 2720 МПа (три
>• ।' и точек) соответ-
II’юг трем различным
образцам
78
Глава 5. Структурная теория ползучести
Рис. 5.4. Кривые деформаций
ползучести волокон Кевлар-49;
ОГВ=240 МПа (/); 1940 МПа (2)
[55]
связующих волокна, применяемые в конструкционных пласти-
ках, обладают сравнительно малой ползучестью. Деформацион-
ные свойства таких волокон, как борные, углеводородные и стек-
лянные, практически не зависят от времени нагружения. На
рис. 5.3 представлены экспериментальные кривые ползучести
борных волокон при постоянном растягивающем напряжении.
Стрелками обозначены моменты разрушения волокон.
Если у борных, углеродных и стеклянных волокон практи-
чески отсутствует ползучесть и их можно считать упругими, то
для органических волокон такое предположение может ока-
заться ошибочным. Так, согласно результатам работы [62] во-
локна Кевлар-49 обладают свойством ползучести (рис. 5.4). Пол-
зучесть свойственна высокопрочным органическим нитям и мик-
ропластикам (нить, пропитанная полимерным связующим и
прошедшая термообработку), как показано на рис. 5.5 и 5.6.
t, сут
Рис. 5.5. Кривая дли-
тельного деформирова-
ния органической нити
при постоянных уров-
нях напряжения.
Три вида точек соответ-
ствуют трем различным об-
разцам
5.2. Ползучесть однонаправленно армированного слоя
79
t, сут
Рис. 5.6. Кривые деформирования одиоиаправлеино
армированного органопластика:
(Оц) = 300 МПа (/); 450 (2); 600 МПа (3)
Кривые удельной ползучести (отношение деформации к началь-
ной деформации) являются усредненными и построены по ре-
зультатам длительных испытаний [63] при напряжениях, состав-
in ющих до 0,6 от разрушающих при кратковременном нагруже-
нии. Согласно этим результатам в пределах исследованных на-
пряжений зависимость между напряжением и деформацией в
иобой момент времени нагружения линейна. Таким образом,
ползучесть как органических нитей, так и микропластиков под-
чиняется линейной теории вязкоупругости и кривые ползучести
могут быть описаны зависимостью (5.2).
5.2. ПОЛЗУЧЕСТЬ ОДНОНАПРАВЛЕННО
АРМИРОВАННОГО СЛОЯ
5.2.1. ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ПРИ ПРОДОЛЬНОМ
НАГРУЖЕНИИ
Основным структурным элементом конструкционных слоис-
1ых армированных пластиков является однонаправленно арми-
рованный слой. Поэтому ползучесть слоистых пластиков опре-
деляется упруговязкими свойствами и геометрией расположе-
ния отдельных слоев. В свою очередь, упруговязкие свойства
однонаправленно армированных слоев определяются свойствами
их компонентов. Неоднородностью строения армированных плас-
(иков и различными деформационными свойствами компонен-
|<)в обусловлена неоднородность распределения напряжений по
объему этих материалов. Напряжения в компонентах различны
и зависят в основном от соотношения деформационных свойств
и объемных содержаний компонентов. При длительном действии
80
Глава 5. Структурная теория ползучести
нагрузки вследствие выраженного различия упруговязких
свойств полимерного связующего и армирующих волокон в ком-
понентах материала происходит перераспределение напряжений
во времени. Рассмотрим три независимых случая нагружения
однонаправленно армированного слоя: осевое нагружение в на-
правлении армирования, осевое нагружение поперек направле-
ния армирования и продольный сдвиг.
При осевом нагружении расчетную модель однонаправленно
армированного пластика можно представить в виде бесконечно
длинного стержня, помещенного в цилиндр конечной толщины.
При решении краевой задачи получены выражения для опре-
деления напряжений в волокнах и полимерном связующем при
кратковременном осевом нагружении [57]. Напряжения в на-
правлениях, перпендикулярных направлению нагружения, кото-
рые обусловлены различием коэффициентов Пуассона полимер-
ного связующего и волокон, для стекло- и углепластиков не
превышают 10—12% от напряжений в направлении волокон.
Обычно этими напряжениями пренебрегают. Напряжения же в
направлении армирования в полимерном связующем и волокнах
пропорциональны их жесткостям.
Для конструкционных армированных пластиков соотношение
жесткостей волокон в продольном направлении и полимерного
связующего даже при кратковременном нагружении в зависи-
мости от типа волокон меняется в пределах 20—120. При воз-
растании длительности нагружения это соотношение увеличива-
ется. Боро-, угле- и стеклопластики при осевом нагружении в
направлении армирования практически не ползут. Иначе об-
стоит дело с однонаправленно армированными органопласти-
ками. Этим материалам свойственна ползучесть. Полная дефор-
мация органопластика, состоящая из упругой деформации и де-
формации ползучести, может превышать упругую деформацию
в 1,6 раза [63]. Характерной особенностью кривых ползучести
органопластиков (см. рис. 5.6) является большая длительность
достижения деформации установившейся ползучести.
Таким образом, актуальной является проблема определения
деформаций ползучести однонаправленно армированных плас-
тиков при нагружении в направлении армирования по дефор-
мационным свойствам их компонентов. Задача сводится к реше-
нию системы двух линейных интегральных уравнений типа (5.1)'
с условием совместности деформаций и уравнением равновесия
напряжений. Такая задача решена, например, для ядер ползу-
чести полимерного связующего и армирующих волокон в виде
дробно-экспоненциальных или экспоненциальных функций [56].
Ограничимся лишь наиболее простым случаем, когда нас удов-
летворяет точность аппроксимации кривых ползучести полимер-
ного связующего и армирующих волокон в виде экспоненциаль-
ных функций. В таком случае деформирование полимерного
5.2. Ползучесть однонаправленно армированного слоя
81
• пазующего и органических волокон при осевом растяжении
описывается соотношениями
t
ёа(О =-?—[оа(0+ХаJ exp[-pA(/-0)]oA(0)t/e] ; (5.17)
Ьа	о
EB(t)=~[ ов(0+Хв J exp[ —Рв(/-0)]ов(0)^0] . (5.18)
£в L	0
Между напряжениями в полимерном связующем оа(/) и в
подокнах ов(^) в любой момент времени должно сохраняться
||.тновесие, т. е.
(1 — Ч>)оа(0 +г|юв(0 =<оц>,	(5.19)
। io <оц> — постоянное среднее напряжение однонаправленно
армированного слоя.
Случай, когда в качестве ядер ползучести компонентов ис-
пользуются дробно-экспоненциальные функции, рассмотрен в
г |(>оте [55].
Опустив подробности решения системы уравнений (5.17) —
С>19) при условии <81|(/)> = ба(0 =ев(/), приведем лишь ко-
нечный результат, согласно которому кривая ползучести одно-
п.।иравленно армированного пластика в направлении армирова-
ния определяется зависимостью
О-|| (Z) > = S|| ( 1Н—[ 1+ Л] exp (—+А2 exp ( — z2t) ]<оц>,
3	(5.20)
А 03-^1 (fli+fl2) z . А	аз-^щ + аг) ?
1	(zi-z2) (Ь3 + «з) Z2’ 2	(z2-Zi)(b3+a3) Zl’
+ ^2
21,2 =
, . . « 1-4---------- I :
2	\ V j (&i + Ь2)2 '
ai = XB[l- (1-^)£aSb]; о2=%А[1-фЕВг5ц];
йз — Ьлкв + Р АЙ1 + Рв&2>
b\ = рв+ (1 — 4>)2ibEaSu; ^2—Ра + ФХаЕв25ц;
S||=—— ; Ьз= ^iPa + ^гР-в — РаРв
А
 кч'ь £ц — модуль упругости однонаправленно армированного
ин гика в направлении армирования).
(, — 482
82
Глава 5. Структурная теория ползучести
Согласно зависимости (5.20) деформация установившейся
ползучести при условии М-оо определяется выражением
<8ц(оо) >=S|| ( 1+-А) <СГ||>.	(5.21)
'	°3
Отношение деформации установившейся ползучести <ец(оо)>
к кратковременной деформации <ец(О) > характеризует степень
ползучести материала и является характеристикой реономных
свойств материала при заданном виде нагружения. Так как за-
кон деформирования однонаправленно армированного пластика
при осевом нагружении в направлении армирования определя-
ется зависимостью (5.20), степень ползучести характеризуется
выражением
7)!]=!+-?-=^,	(5.22)
Оз
где
[Ли	1 “Я	Ьв
(1—Ф)£а----; ла=1+-—; t]b=1+v_-
Т]А	J	рл	рв
Анализ зависимости (5.22) показывает, что степень ползу-
чести однонаправленно армированного слоя в направлении ар-
мирования пропорциональна степени ползучести волокон т]В,
причем коэффициент пропорциональности с в случае т]в<т]а
больше единицы. Это значит, что степень ползучести армирован-
ного пластика в направлении армирования всегда больше сте-
пени ползучести волокон (предполагается, что ползучесть поли-
мерного связующего больше ползучести армирующих волокон).
5.2.2. ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ СДВИГЕ
Продольный сдвиг однонаправленно армированного слоя —
это вид нагружения, при котором наиболее сильно проявляются
вязкоупругие свойства композиционного материала, обусловлен-
ные вязкоупругостью полимерного связующего. Для определе-
ния вязкоупругих свойств однонаправленно армированного слоя
по деформационным свойствам его компонентов воспользуемся
расчетной моделью, изображенной на рис. 5.7. Согласно этой
модели материал содержит неограниченное число слоев беско-
нечно малой толщины, параллельных плоскости нагружения.
При этом принимается, что каждый слой находится в однород-
ном напряженном состоянии и средние деформации всех слоев
в любой момент нагружения одинаковы. Деформация сдвига
любого слоя складывается из деформаций полимерного связу-
ющего и армирующих волокон. Если учесть, что полимерное
5.2. Ползучесть однонаправленно армированного слоя
83
Рис. 5.7. Расчетная модель одионаправленно арми-
рованного пластика при продольном сдвиге
• иязующее деформируется вязкоупруго, а волокна — упруго,
m определение напряженно-деформированного состояния ком-
понентов армированного слоя при продольном сдвиге сводится
। решению системы уравнений
t
GAVAi(t) =XAi(t) + f Kx(t—9)таД9)с/9;
о
GBrzVBi(t)	_
n/2
1<Я±(0> = -7- J Tll-Li (<p) COS <pd<p+ ( 1-	XA(t)-,
1 0	4
t
Ta(0 = Ga[ <Yu(n>“ J^(/-O)<Yu(0)M9] ,
0
 ic Ta(/) — напряжение в тех слоях расчетной модели, кото-
рые не содержат волокон; Kx(t —9) и Rx(t—9) — ядра ползу-
ний и релаксации полимерного связующего при сдвиге.
При <уцх> = const решение системы (5.23) дает возможность
> 1.иювить закон релаксации напряжений (среднего напряже-
ния для однонаправленно армированного слоя и напряжений
।вига в его компонентах).
Далее рассмотрим другую задачу — определение деформа-
ций ползучести однонаправленно армированного слоя. Следует
। мстить, что в процессе ползучести напряжения в компонентах
ч метика меняются, т. е. происходит их перераспределение во
времени. Таким образом, эпюры распределения напряжений
с*
84
Глава 5. Структурная теория ползучести
сдвига в расчетном элементе пластика в момент нагружения и
при установившейся деформации ползучести различны. Харак-
тер распределения напряжений сдвига в армированном плас-
тике показан на рис. 5.8. Как видно из рисунка, в плоскости,
соответствующей точке М, напряжение сдвига не изменяется.
Оказывается, плоскость т является характерной для конкрет-
ного армированного пластика и напряжение Т|цто в этой плос-
кости постоянно в любой момент времени. Положение плоскости
т определяется углом <рм:
Фм = arccos —~ [ Н------——-----------]	,	(5.24)
ГВ L	T]lll —ЛтА 'JBrz J
где т]та — характеристика степени ползучести полимерного свя-
зующего при сдвиге, определяемая соотношением значений
функции ползучести при сдвиге /(/) при /->оо и в начальный
момент нагружения, т. е. при ^>-0. Из (5.11) имеем
/(°о)	3	Ла
7(0)	+ 2(1+va) рГ’
(5.25)
Характеристика степени ползучести однонаправленно арми-
рованного пластика при продольном сдвиге тцц. определяется
соотношением деформаций сдвига при установившейся ползу-
чести <уих(оо)> и кратковременном нагружении <уи(0)> для
фиксированного значения среднего напряжения сдвига <тщ/.
Таким образом, эта характеристика определяется соотношением
модулей продольного сдвига однонаправленно армированных
пластиков при кратковременном деформировании и установив-
шейся ползучести. Модуль сдвига пластика при заданных струк-
туре расположения, объемном соотношении и деформационных
свойствах компонентов определяется выражением
Рис. 5.8. Характерные распределения
напряжений сдвига в повторяю-
щемся элементе армированного пла-
стика в момент нагружения (-------)
и после неограниченно длительного
действия постоянного внешнего на-
пряжения (----------------)
5.2. Ползучесть однонаправленно армированного слоя
85
। модуль установившейся ползучести — зависимостью
, . Г.	гв	ГВ / 2k	1/^+1	л'
<111 (оо) =1----1---k I —= arctg |/-----------
L	I	]/k2-l	V k-1	2 ‘
(5-27)
I це
----Ga; k=
Т]тА
(iBrz
Согласно расчетной модели материала средняя деформация
>>< го слоя определяется как сумма деформаций волокон и по-
IIIмерного связующего и равна средней деформации пластика:
/ ч	г в	/	г в	\
VllJ.m = \Y||±7=—-f- cos фмувт+ I 1------~ COS фм I уАт.
(5.28)
Из выражения (5.28), учитывая, что деформация любого
• in слоя (а следовательно, и m-го) равна средней деформации
в- < го пластика определяем напряжение в т-м слое:
IL уставляя в выражение
। 11 м
Г В	\	г В	Г / ч
—~ COS фм ) Н—j- cos фм J	<Т|Ц.Л
(5.29)
(5.29) значение фм из (5.24), полу-
GBrz Г .
Т|]1т = —7; I 1
Gll± L
1-Щ
1—Т]гА
1-
Ga
G Brz
(5.30)
) ] <Т||±>.
Кривая ползучести однонаправленно армированного плас-
• 11.1 при продольном сдвиге определяется зависимостью (5.28)
• । и длительно действующем постоянном напряжении <тцхт>. В
j \ штате получаем следующую зависимость средней дефор-
• пни сдвига пластика от длительности нагружения:
<ТиЮ>=«бб(0<ти>.	(5.31)
11 ь «бб(О — функция ползучести однонаправленно армиро-
• иного пластика при продольном сдвиге, которая определяется
• рнжением
«66 (0 = gl+g2I(t),
(5.32)
п T1U-TM 1
^1-—,------- -х—,
1-Т)тА Сгщ
1— Т)11± ^а
g2=~.--------- -р—.
1-Т)гА Цх
1аким образом, ползучесть однонаправленно армированного
и 1ика согласно зависимости (5.31) и с учетом (5.32) прог-
86
Глава 5. Структурная теория ползучести
t, сут
Рис. 5.9. Кривая деформирования фенолформальдегидного
стеклопластика при продольном сдвиге
нозируется по вязкоупругим свойствам полимерного связую-
щего. На рис. 5.9 сплошной линией изображена расчетная кри-
вая ползучести фенолформальдегидного стеклопластика при про-
дольном сдвиге. При расчете были использованы следующие ис-
ходные данные: <р = 0,52; GBrZ = 28 ГПа; £а = 3,6 ГПа; vA'= 0,35;
ал=—0,35; |За = О,21 сут-0’65; Ха = 0,17 сут-0’65. На рис. 5.9 пред-
ставлены также экспериментальные результаты, полученные при
напряжении сдвига <-гц j_ >=22,5 МПа. Хорошее совпадение экс-
периментальных и расчетных результатов служит подтвержде-
нием обоснованности допущений, использованных при составле-
нии расчетных зависимостей.
5.2.3. ПОЛЗУЧЕСТЬ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ НАГРУЖЕНИИ
При определении напряженно-деформированного состояния
компонентов однонаправленно армированного пластика при дли-
тельном поперечном нагружении следует решить объемную кра-
евую задачу для неоднородной двухкомпонентной среды,
Однако в настоящее время точного решения такой задачи не су-
ществует. С целью установления лишь основных, наиболее су-
щественных закономерностей распределения и перераспределе-
ния напряжения и деформаций в компонентах при поперечном
нагружении пластика однонаправленно армированный пластик
рассматривался [9, 96] как двоякопериодическая среда, повто-
ряющийся элемент которой, выбираемый в качестве расчетной
модели, представлен на рис. 5.10. С помощью метода гипотети-
ческого разреза расчетного элемента на бесконечно тонкие слои
составлена система уравнений, отражающая напряженно-дефор-
5.2. Ползучесть однонаправленно армированного слоя
87
шрованное состояние повторяющегося элемента и всего арми-
синанного пластика в целом.
Решение задачи по определению поперечной ползучести од-
шшаправленно армированного пластика сводится к решению
г истемы линейных алгебраических уравнений совместно с урав-
нениями деформирования компонентов. В дальнейшем прини-
-ч 1стся, что волокна являются трансверсально-изотропным уц-
еним материалом, а полимерное связующее деформируется
• иласно зависимости (5.1). В итоге получены зависимости [93,
чн| для определения напряжений в волокнах и полимерном свя-
цкицем в любой момент времени при длительном статическом
ч.нружении однонаправленно армированного слоя поперек на-
н|>,1вления армирования.
11а основе этих результатов можно сделать вывод о том, что
ич шмерное связующее находится в неравномерном трехосном
и шряженном состоянии, причем для таких армированных плас-
||| ков, как стекло- и боропластики, данное напряженное состоя-
инг практически не зависит от длительности нагружения. Та-
ким образом, можно считать, что в процессе поперечной пол-
пчести стекло- и боропластиков полимерное связующее нахо-
IIIгея в постоянном напряженном состоянии. Следовательно, в
« пестве закона деформирования полимерного связующего
I'ukiio использовать зависимость (5.9). Согласно расчетной
еме, изображенной на рис. 5.10, ползучесть всех слоев одина-
«ииа, т. е. ползучесть армированного пластика в направлении
и иружения равна ползучести любого слоя.
Рассмотрим слой с максимальным содержанием волокон, т. е.
|'н"|, соответствующий условию <р = 0 (см. рис. 3.10). Деформа-
• II I 1Г0Г0 слоя
/*R	/ Гн \
<8±(/)>=—eBr+ (1-—) eA(/),	(5.33)
1 к' f[lr — упругая деформация волокон в направлении действия
• п. ншего среднего напряжения <oi>, определяемая согласно
>,10. Повторяющийся элемент модели
нншаправленио армированного пластика
88
Глава 5. Структурная теория ползучести
Рис. 5.11. Зависимость степени пол-
зучести стекло- (/) и углепластика
(2) при поперечном нагружении от
объемного содержания волокон
закону Гука; ел(0 — деформация полимерного связующего, оп-
ределяемая зависимостью (5.9).
Таким образом, деформация ползучести однонаправленно ар-
мированного пластика при поперечном нагружении определя-
ется уравнением
<8±(0>=«22(/)<О±>,	(5.34)
где S2z(t) — функция ползучести пластика в поперечном на-
правлении.
С учетом геометрии строения однонаправленно армирован-
ного пластика и деформационных свойств компонентов получено
выражение для определения функции ползучести однонаправ-
ленно армированного пластика в поперечном направлении:
s22 (i) = d\ + d%D (t),	(5.35)
где
d^~
Or । / 1	\ 1 2*va -	- 4
( , i~b \ / —	Oe + Oz \
Г- —Л”-----------
Здесь or, oe, oz •— коэффициенты, характеризующие напря-
женное состояние компонентов в армированном пластике в за-
висимости от упругих свойств, объемного соотношения и гео-
метрии расположения компонентов. Подставляя в выражение
(5.35) значение функции ползучести полимерного связующего,
соответствующее деформации установившейся ползучести, т. е.
S2s(/) при	определяем асимптоту, на которую выходит
деформация поперечной ползучести однонаправленно армиро-
ванного пластика. С учетом выражения (5.8) получаем из (5.35)
•S22(°°) =d\ + d2 ( Г4--—)	.
'	! Еа
(5.36)
5.2. Ползучесть однонаправленно армированного слоя
89
Поскольку 5аг(О) характеризует жесткость армированного
л шстика поперек направления армирования при кратковремен-
ном нагружении, степень поперечной ползучести пластика опре-
ieчается соотношением
, .	^i^a + ^2 ( 14—~ )
М00)	х Рл '
ЫО)	<*1£а + <*2	’	'
Но соотношение зависит как от упруговязких свойств полимер-
ною связующего, так и от вида и объемного содержания арма-
|уры. На рис. 5.11 показана зависимость коэффициента щ от
• о немного соотношения компонентов для стекло- и углепласти-
I.HII на эпоксидном связующем. На рис. 5.12 представлены экс-
периментальные значения (точки) и рассчитанная по уравне-
нию (5.34) кривая ползучести однонаправленно армированного
« юклопластика на фенолформальдегидном связующем с объем-
ным содержанием волокон 0,52. Предполагалось прямоугольное
р.к пределение волокон в поперечном сечении пластика. Расчет
приводился при следующих исходных данных: EBz — EBr = 70 ГПа;
«н , =VBr6=0,22; £а = 3,6 ГПа; va = 0,35; на=— 0,35; |За = 0,21
 v । °’65; Ха = 0,17 сут-0-65; <ох^=1 МПа.
Для армированных пластиков с выраженной анизотропией
и<> юкон (например, углеродных и органических) изложенная
in годика определения свойств поперечной ползучести является
шч ьма приближенной.
При нагружении угле- и органопластиков постоянной дли-
и' 1ьно действующей поперечной нагрузкой напряженное состоя-
ние компонентов изменяется во времени. Так, для углепластика
t, сут
Рис. 5.12. Кривая деформирования фенолформаль-
дегидного стеклопластика при поперечном сжатии:
(п )=25,8 МПа (О); 57,3 (•); 56,5 МПа (□)
90
Глава 5. Структурная теория ползучести
увеличение максимального напряжения в полимерном связую-
щем в процессе ползучести составляет до 30% от начального
значения.
Задача построения кривых поперечной ползучести по дефор-
мационным свойствам волокон и полимерного связующего с уче-
том переменного во времени объемного напряженного состоя-
ния компонентов решена в работе [9, 10]. Здесь ограничимся
приближенным решением, которое основано на гипотезе о по-
стоянном значении максимальной составляющей напряжения в
некотором n-м слое повторяющегося элемента расчетной модели
армированного пластика. Положение этого слоя определяется
углом <р.у, который находится из выражения
I г 1 —Hi Еа I-1
<p.v = arccos-1+ —----------Б—	>	(5.38)
Г в L 1~ Т]А Евг J
где т]а — характеристика степени ползучести полимерного свя-
зующего при осевом нагружении; тц — характеристика степени
ползучести армированного пластика в поперечном направлении.
Характеристика тц определяется соотношением значений де-
формаций при установившейся ползучести <8л(оо)> и кратко-
временном нагружении <8х(0)> для фиксированного среднего
напряжения Следовательно, t)j. определяется соотноше-
нием
Т]1 =
£1(00)
(5.39)
Е
Модуль поперечной упругости £i(oo), соответствующий мо-
дулю упругости полимерного связующего при установившейся
ползучести
£а(оо) =Еа
Ра
Ха + Ра
рассчитывается согласно структурной теории по деформацион-
ным свойствам компонентов [8, 55]. В качестве приближенной
зависимости можно пользоваться выражением
где
1
л
ЬЕа l 2
1 — VA2
а=~Р---;
Еа
2а	-|/ а — Ь
—-_________arctg V --------
^а2 — Ь2 1 а + Ь
,	Г в Г 1—-VBrzVBzr
ь=-г\.—Ё7г-----------------
5.3. Вязкоупругие свойства слоистых армированных пластиков
91
Выражая деформацию n-го слоя через деформационные ха-
!• нсгеристики волокон и полимерного связующего, получаем
формулу для определения постоянного во времени осевого на-
пряжения в этом слое а±.п:
о±п = -Е^Г- [ 1-—— ( 1 H~")]	(5.40)
Е± L	1-т)А ' Евт
Таким образом, деформация n-го слоя и всего армирован-
ною пластика в целом вследствие длительно действующего на-
пряжения определяется зависимостью
<8i(Z)>=-^----------[п±-тм+ (1-П1)£'а£>(/)]<сг±>. (5.41)
Е± 1—Т)А
Функция ползучести полимерного связующего D(t) задается
ныражением (5.8).
5.3. ВЯЗКОУПРУГИЕ СВОЙСТВА СЛОИСТЫХ АРМИРОВАННЫХ
ПЛАСТИКОВ ПРИ ДЛИТЕЛЬНОМ плоском
НАПРЯЖЕННОМ состоянии
Армированные пластики в реальных конструкциях обычно
иоружаются в плоскости армирования. Поэтому при определе-
нии напряженно-деформированного состояния слоистого арми-
рованного пластика при длительном нагружении можно огра-
ничиться рассмотрением плоского напряженного состояния. Раз-
личие вязкоупругих свойств отдельных слоев при условиях
овместности их деформирования и удовлетворения уравнений
и шновесия напряжений вызывает перераспределение напряжений
и < лоях во времени. Это явление не учитывается при использо-
н.।нии широко распространенного квазиупругого метода решения
ни жоупругих задач слоистых пластиков, а также методов ус-
реднения составляющих матриц упругости или податливости
сдельных слоев для определения деформационных свойств
ч ьчетика. Подобные упрощения в ряде случаев могут привести
। весьма существенным отклонениям при определении деформа-
ционных характеристик слоистых пластиков.
Таким образом, задача прогнозирования ползучести слоис-
">ю пластика по вязкоупругим свойствам отдельных слоев сво-
нпся к определению закономерностей изменения напряжений
н отдельных слоях при заданной внешней нагрузке и к опре-
1г.1ению деформаций однонаправленно армированных слоев под
н'йствием этих переменных во времени напряжений.
92
Глава 5. Структурная теория ползучести
5.3.1.	ЗАКОН ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОДНОНАПРАВЛЕННО
АРМИРОВАННОГО ПЛАСТИКА ПРИ ДЛИТЕЛЬНОМ ПЛОСКОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние произ^
вольного ориентированного однонаправленно армированного
слоя, нагруженного изменяющимися во времени напряжениями
<0i'G)>a, <О2'(^)>а и	(рис. 5.13). Воспользуемся мати
ричной формой записи, для чего введем обозначения <тг2'(0\яч
= <СТб'(0 ХЛуГ2'(Л \= <8б'(0>йХтГ2'(0 \=1(о6'(0)й и <yi'2'(0
= <8б'(0>й- Напряжения в осях упругой симметрии однонаправ»]
ленно армированного слоя в таком случае определяются зави«|
симостью
[<Oj(/)>fe] = [T]*[<Op(0>h]> 7, Р=1, 2,6.
(5.42;
Матрица трансформирования имеет вид

COS2 Рй
sin2 р*
. — cos Рь sin рА
sin2 pfe 2 sin рА cos Ph
cos2 Ph —2 sin рй cos Ph
cos Р-h sin рА	cos2 Ph — sin2 p«
Закон деформирования однонаправленно армированного слоя;
в случае плоского напряженного состояния в осях упругой сим-J
метрии записывается в виде
[<M0>h] = [sv(ft>][4(0>h]+	j
+ J[Si/ft)^(ft>G-®)][<oj(0)>hd0,	)
0
i,j, =1,2, 6,
где Si, — составляющие матрицы податливости; Ka(t—0) —
ядра ползучести, характеризующие вязкоупругие свойства од-'
нонаправленно армированного слоя в осях упругой симметрии.,
Рис. 5.13. Напряженное состояние произволь-
но ориентированного одионаправленио армиро-
ванного слоя
5.3. Вязкоупругие свойства слоистых армированных пластиков
93
Па основе зависимостей поворота осей деформации одно-
н ।иравленно армированного пластика под углом к осям упру-
1<>й симметрии определяются выражениями
[<е«(О>л] = [Ла-‘[М0 М, <7=1',2',6', i=l,2,6. (5.44)
Решая совместно уравнения (5.42) —(5.44), получаем закон
((•формирования однонаправленно армированного под углом к
ч< ям упругой симметрии слоя, нагруженного изменяющимися
пи времени напряжениями, в виде
[<8з (0>*] = [s9P<fe)] [^°г> (0 >л] +
t
+ J	(/- 9) ] [<Ор (9) >а] <
(5.45)
i,j=l,2, 6, q,p=l', 2', 6', k=l,...,n, v ’
[sgpw^pw(/-o)] =	[Л; (5 ,
[sg,W] = [7b-Wft>] [Л.	'
Ядра ползучести однонаправленно армированного пластика
и осях упругой симметрии Ka(t — 0) могут быть определены как
жгпериментально, так и расчетным путем исходя из свойств
|.|>мпонентов, как это показано в предыдущих главах.
Зависимости (5.45) могут быть проинтегрированы и полу-
чены выражения для определения ползучести произвольно ориен-
нфованного однонаправленно армированного пластика при
плоском напряженном состоянии.
5.3.2.	ЗАКОН ДЕФОРМИРОВАНИЯ СЛОИСТОГО
АРМИРОВАННОГО ПЛАСТИКА ПРИ ДЛИТЕЛЬНОМ ПЛОСКОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Для определения напряженно-деформированного состояния
> юистого армированного пластика при плоском длительном на-
। ружении воспользуемся следующими условиями:
1)	деформации отдельных слоев равны деформациям всего
। юистого пластика:
[<<е3(^)»] = [<е9(0М, <7=1',2',6', k=\,...,n- (ЬЛ7)
2)	средние напряжения в армированном пластике равны
। родним напряжениям отдельных слоев:
п
[<<Ор(0»]=	(5.48)
। де mh — удельный объем /г-го слоя;
94
Глава 5. Структурная теория ползучести
3)	закон деформирования произвольно ориентированного
однонаправленно армированного слоя принимаем в виде зави-
симости (5.46).
Системой уравнений (5.46) — (5.48) определяется напряжен-
но-деформированное состояние слоистого армированного плас-
тика при длительном плоском нагружении, поскольку для опре-
деления 6п + 3 неизвестных имеем столько же уравнений. Для
решения данной системы уравнений целесообразно воспользо-
ваться преобразованием Лапласа. Тогда из зависимостей (5.46)
и (5.48) с учетом (5.47) получаем
[<<eg (Р)»] = [(1 +	(Р)) ] [<о₽ (Р) >ft];	(5.49)
п
[<<tfp(p)>>]= Jumft[<op(p)>ftL <7, Р=Г, 2', 6',	(5.50)
А=1
где «ед(р)>>, «Ор(р)», Kqp(k)(p) и <Ор(р)>к — изображения по
Лапласу соответствующих функций.
Выражения, определяющие напряженное состояние каждого
однонаправленно армированного слоя в слоистом пластике при
заданном изменении внешних деформаций, получаем из выра-
жений (5.49) в следующем виде:
[<Ор(Р)>а] = [WA> (1 +^P(fe) (Р))]-’ [<<е9(Р)>>],
<7, р=Г, 2', 6'.
(5.51)
В свою очередь, зависимостью (5.50) с учетом (5.51) уста-
навливается функциональная связь между изображениями внеш-
них напряжений и деформаций, определяющая в общем случае
ползучесть и релаксацию напряжений слоистого пластика:
п
[«аДр)»] = [Л mdsgP(fe)(l+^gPW(p))]-1[<<8g (р)>_>] ] ,
'	(5.52)
откуда
п
[«8g(p)»]= [Zj "I4sgp,A)(l+^gP(ft)(P))]-1[«Op(p)>.>]1 ,
fe=i
q,p= Г, 2', 6'.
Следует отметить, что решение уравнений (5.52) и (5.53)
даже при самых простых ядрах ползучести (экспоненциальных)
является весьма сложной задачей, требующей большого объ-
ема вычислений. Однако для ряда материалов и частных
5.3. Вязкоупругие свойства слоистых армированных пластиков
95
|учаев нагружения данная задача может быть значительно
»прощена, если учесть особенности, связанные со свойствами
».омпонентов и геометрией расположения однонаправленно арми-
рованных слоев. Например, для пластиков, армированных бор-
ными, углеродными и стеклянными волокнами, деформирова-
ние в направлении армирования с большой точностью можно
 читать упругим и можно ограничиться учетом вязкоупругих
• нойств только при трансверсальном нагружении и продольном
। шиге.
5.3.3.	НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
КОСОУГОЛЬНО АРМИРОВАННОГО ПЛАСТИКА ПРИ ОСЕВОМ
НАГРУЖЕНИИ
В качестве примера рассмотрим косоугольно армированный
шухкомпонентный пластик со слоями, ориентированными под
углами ±р к осям упругой симметрии (zni = m2 = 0,5), нагру-
женный по одной из осей симметрии, например «1», постоянным
но времени напряжением «ог» (рис. 5.14). Ввиду ортотропной
симметрии такого материала имеет место условие «8б'» = 0. При
рассмотрении зависимостей (5.51) в развернутом виде установ-
юно, что для слоев, ориентированных под углами +р и — р к
осям упругой симметрии, имеют место условия <Oj (/) >| = (oi'(Z) >2,
'П2'(/)>1 =<О2'(/)>2, <T1'2'U) >1 = — <Т1'2'(0 >2. Согласно ЗЭВИСИМОСТИ
(5.48) получаем <СТг(0>1 =<СТг(0>2 = «аг», <O2'(0>i=<O2'(0>2 = 0
н <Ti'2'>i+<Т|'2'>2 = 0. Следовательно, для определения вязкоуп-
ругого поведения рассматриваемого материала необходимо ре-
шить систему уравнений (5.49) с учетом приведенных условий.
Она имеет следующий вид:
«ei'(p)»=si'r(ft)«ai'»y+si'6'(ft)<Ti'2'(p)>ft;	(5.54)
«©И?)» =51'2ДЙ»«О1'>>-^+ $2'6'(Й)<'И'2'(Р)>Й, k= 1, 2,
at 5.14. Схема нагружения косоугольного армированного
слоистого пластика
96
Глава 5. Структурная теория ползучести
где
=	[ 1 + Лц(й) (р)] COS4 Р+ 322<й> [ 1 + К.22^ (Р)] Sin4 Р +
+ {2s12 < *) [ 1 + я12(й> (р) ] +s66(ft) [ 1 + ^66(*) (р) ]} sin2 р cos2 Р;
S1'2'(A) = {S1! (Л) [ 1 + К!! (А) (р ) ] + S22W [ 1 + ^22(fe» (Р ) ] ~
-з66<*) [ 1 - Л66<А> (р) ]} sin2 р cos2 0 +
+s12(ft) [1 +Л12(Й) (р)] (cos4 р +sin4 р);
51'6'(А) = {2 [Sii W [ 1 + К11(Й) (Р) ] COS2 Р + S66<*) [ 1 +
+ ^66(A)(p)]sin2p] — [2si2(A)[l + ^i2(ft)(p)] +
+ s66(ft> [ 1 + ^66<А) (р) ] ] (cos2p — sin2 Р)} sin Рcos 0;
32'6'(А) = {2 [sH(ft)[l+ #!!<*) (p)]sin2p-s66(*)[l + ^66(ft)(p)]cos2p] +
+ [2s12<A> [ 1 +Л12(*) (р)] + S66(*) [ 1 + Kf,6w (р)]]X
X (cos2 р —sin2 P)}sin р cos р;
s6,e,W = 4{з11(*)[1 + К11^)(р)]-2512(й)[1+Л12<а)(р)] +
+s22(ft) [ 1 + K22W (р) ]}sin2 Р cos2 Р +
+ s66(ft> [ 1 +Ябб(й) (р) ] (cos2 р —sin2 р)2.
Из последнего уравнения системы (5.54) для k-vo слоя полу-
чаем
Лиг' (р)>.= - - _---------.	(5.56
Зб'6'|А) Р
Деформации пластика определяются первыми двумя уравнени-
ями системы (5.54):
/- lh} (51'6'<А>)2\
<<ei(p)»= (spi'W----------	)—-------;
56 6	?	Г 5 57)
WVH<ar>>. (	’
«е2(р)».= I si'2'w-----------------) —-------•
'	Зб'б'А 7 р
Рассмотрим ползучесть косоугольно армированного стекло-
пластика АГ-4С (ф = 0,52). Ограничимся учетом вязкоупругих
свойств однонаправленно армированного слоя только при транс-
версальном нагружении и продольном сдвиге, т. е. используем
условие Aii(ft)(Z—0) ==/С12(А)(/—9) =0. При выборе соответствую-
щих ядер ползучести в виде экспонент ?(22<h)(Z —0) =
= С22ехр[ —а22(/—0)] и Л66(й’(/-0) =С66ехр[-а6б(/-0)] выпол-
нение обратного преобразования Лапласа для зависимости
(5.56) дает
<Ч-И0>»--------ГТ-Г {>- £	[1-ехр(р,0]} «01».
К’в'' 1 !-! PlP‘^ >
5.3. Вязкоупругие свойства слоистых армированных пластиков
97
। |С
Pi(pi) = (ai~bl)pi + a2~b2;
]	P2(Pz) =2pi + bi-,
а\=------тт- [si'6'(A) (а22 + абб) — 2C22s22<fe) sin3 £ cos В —
Sl'6'1 '
— C66s66(ft) (cos2 p — sin2 p) sin p cos p];
1
«2=------777 [si'6'(A)a22a66 — 2C22a66S22(fe> sin3 p cos p —
Si'6'( 1
— C66a22s66(fe) (cos2 p — sin2 p) sin p cos p];
1
bi=------7—[s6-6 w (а22+«бб) +4C22s22<a) sin2pcos2p +
5б'бд '
4-C66s66(A) (cos2 p —sin2 P)2];
1
b2=------^7[sc'6'(ft)a22a66 + 4C22a66S22(fe) sin2 p cos2 p +
$6 6'( '
+ C66a22s66W (cos2 p —sin2 P)2];
i1 - корни уравнения p2+b[p + b2 = 0.
Выражения для определения составляющих sq, q, p=l,
6, получаем из зависимостей (5.55), подставляя в них
/. ,(М(р)=о, i,i=l, 2, 6.
Из уравнений (5.57) с учетом (5.58) определяются дефор-
мации пластика в направлениях «1» и «2»:
{С22522^^
Sl'l'W 4----------[ 1 _ еХр ( _ К22/) ] sin4 р
«22
, CKs6^h'> . 2о 2пГ. .	,
4-------------sin2 р cos2 р [ I — exp (— а6б0 ] +
(Хбб
I
1-5Г6ЛЛ)<Т1,2,(/)>ь——— -2------------7TTs22(ft) Sin3 Р cos Р Ф22(/) -
<<аг»	S6-6'(ft)
- S1 Дбб(Ь) (cos2 р —sin2 р) sin р cos р Ф66(0 } «аг»;
6'6’ Г	C22s22<ft)	<5-59*
(<е2 (/)»= 1	------------sin2 р cos2 р[1 —ехр( —а220] —
*-	а2г
---^66^66-----sin2 р cqs2 р[Д_ехр (—ав6^)] -р
а6б
+ s2'6'(ft) -^z/6	-2 -S1 в,к} s22W sin р cos3 рФ22(0 +
4-------— s66<ft)(cos2 p-sin2 p)sin р cos рФ66(0 f«ai»,
5б'бЛ ’	J
7 — 482
98
Глава 5. Структурная теория ползучести
где
2
_ Css г ,	,,	,	\ 1	Р1 (р/)	( Css г .
Ф88= [exp ( — asst) — 1] — Z_j пр /п\ |Т [exp ( —otssO — 1] —
OLss	Pl* 2 (Pl) ' ^ss
----------[exp (—aSst) — exp (Pit)] г , s = 2,6.
ass + pi--J
На рис. 5.15 представлены рассчитанные согласно зависи-
мостям (5.45) и (5.59) относительные кривые ползучести одно-
направленно и косоугольно армированных стеклопластиков на
фенолформальдегидном связующем при различной ориентации
армирующих волокон. Совпадение экспериментальных данных и
расчетных кривых ползучести хорошее. Следует отметить су-
щественное понижение степени ползучести пластиков, армиро-
ванных анизотропными (органические) волокнами, по сравне-
нию с пластиками, армированными изотропными волокнами
(стеклопластики). Как видно из рисунка, кривые ползучести
однонаправленно и косоугольно армированных пластиков су-
щественно различаются в диапазоне изменения угла р от 0 до
45°. В этом диапазоне ползучесть косоугольно армированного
пластика значительно ниже ползучести однонаправленно арми-
рованного пластика.
Результаты расчетов, представленные на рис. 5.16, 5.17, дают
возможность оценивать влияние взаимодействия слоев на упру-
гие и вязкоупругие свойства слоистого пластика в зависимости
от ориентации арматуры. Неучет взаимодействия слоев, имею-
щий место в случае применения довольно широко распростра-
ненных методов усреднения составляющих матриц упругости и
податливости, может приводить к значительным погрешностям
Рис. 5.15. Кривые ползучести
однонаправленио (---------) и
косоугольно (--------) армиро
ванных стеклопластиков при
различных углах ориентации
волокон:
Р = о° (/); 15 (2); 30 (5); 45 (4).
90° (5). Экспериментальные точки
получены для однонаправленном»
стеклопластика АГ-4С при
(□, Л, О); 30° (> А)
5.3. Вязкоупругие свойства слоистых армированных пластиков 99
Гш. 5.16. Деформационные свойства однонапраз-
II пно (/) и косоугольно (2) армированных
• юклопластиков при / = 0	(-----) и /->-оо
(------)
при определении упругих и вязкоупругих свойств косоугольно
|рмированных слоистых материалов. Как видно из рис. 5.16,
максимальное расхождение упругих деформаций однонаправ-
ц'нно и косоугольно армированных стеклопластиков достигает
а при М-оо оно увеличивается до 70%, для органоплас-
HIKOB соответствующие расхождения составляют 125 и 155%
^30°).
Существенно различаются степени ползучести однонаправ-
к-нно и косоугольно армированных пластиков (см. рис. 5.17).
Косоугольное армирование по сравнению с однонаправленным
приводит к снижению степени ползучести стеклопластика во
п« ем диапазоне изменения угла р, а органопластика — в диа-
п.ноне угла р от 0 до 40°. При 40°<р<90° степень ползучести
। осоугольно армированного органопластика несколько выше
и'пени ползучести однонаправленно армированного органо-
|.тстика.
Вследствие стеснения деформаций сдвига в различных на-
правлениях ориентированных слоев косоугольно армированного
и шстика в них появляются равные по величине возрастающие
и । времени напряжения сдвига противоположных знаков (рис.
Гиг 5.17. Зависимость степени ползучести однона-
> р.тленно (/) и косоугольно (2) армированных
и кло- (------) и органопластиков (-------) от на-
правления укладки волокон
7*
100
Глава 5. Структурная теория ползучести
Рис. 5.18. Зависимость напряжении сдвига н
слоях косоугольно армированных стекло- (1) I»
углепластиков (2) от ориентации волокон при
/=0 (---------------) и /-»-оо (------)
5.18). Сдвиговые напряжения существенно зависят от ориента-
ции арматуры и, например, для рассматриваемого стеклоплас-
тика могут составлять от 0,34 (при / = 0) до 0,43 (при
приложенного внешнего напряжения. Определение сдвиговых
напряжений в слоях представляет интерес при разработке тео-
рии прочности слоистого армированного пластика.
При нагружении однонаправленно армированного пластика
под углом к направлению армирования появляются деформации
сдвига, по величине сопоставимые с линейными деформациями
в направлении нагружения. Наиболее ощутимые деформации
сдвига наблюдаются в диапазоне изменения угла р от 10 до 45°
для стеклопластика и от 10 до 70° для органопластика (рис.
5.19). Такое явление следует отнести к недостаткам однона-
правленно армированных пластиков, поскольку оно в некото-
рых случаях может вызывать потерю устойчивости, а вместе с
тем и несущей способности конструкций из армированных плас-
тиков.
Косоугольно и однонаправленно армированным пластикам
при нагружении под углом к направлению армирования свойст-
Рис. 5.19. Зависимость де-
формаций сдвига однона-
правлеино армированных
стекло- (а) н органопла-
стиков (б) от ориентации
волокон при (-----------)
и (-----------)
5.3. Вязкоупругие свойства слоистых армированных пластиков
101
Гис. 5.20. Зависимость коэффициента Пуассона косоугольно (а, б) и одно-
h.шравленно (в) армированных стекло- (-------) и органопластиков (------)
от ориентации волокон:
t=0 (/); 5 дней (2), 20 дней (3); /->оо (4)
пенны значительные поперечные деформации. Максимальное
шачение коэффициента Пуассона косоугольно армированного
। юклопластика может изменяться от 0,65 (при t = 0) до 0,85
(при >-оо), а органопластика — от 1,36 до 1,68 (рис. 5.20).
Чля однонаправленно армированного стеклопластика соответ-
шующие значения коэффициента Пуассона равны 0,5 и 0,55, а
। 1Я органопластика — 0,42, т. е. они ниже как по абсолютному
качению, так и по степени изменения во времени (см. рис.
. 20, б).
Глава 6. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
АРМИРОВАННЫХ ПЛАСТИКОВ ПРИ
ДЛИТЕЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ
6.1.	ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Нагрузка, приложенная к армированному пластику, вслед-
ствие выраженной неоднородности его строения распределяется
по объему весьма неравномерно. В случае длительного нагру-
жения ввиду явно выраженных реономных свойств компонентов
(полимерного связующего, органических волокон) происходит
перераспределение напряжений как в отдельных компонентах,
так и между ними. С учетом того, что даже при простых видах
нагружения в компонентах армированного пластика возникает
объемное напряженное состояние, задача определения законо-
мерностей изменения напряжений во времени в общем случае
весьма сложна и в явном виде неразрешима. Поэтому целесо-
образно пользоваться обоснованными допущениями относительно
напряженного состояния, механических характеристик и гео-
метрии компонентов.
Все допущения, упрощающие расчет напряженного состоя-
ния компонентов, можно разделить на две группы. К первой
группе относятся допущения относительно характера перерас-
пределения напряжений между компонентами. Предполагая, что
в любой момент нагружения напряжения в компонентах рас-
пределяются пропорционально их условно упругим характерис-
тикам в данный момент времени, приходим к квазиупругим ре-
шениям. Другая группа допущений касается замены сложных
напряженных состояний компонентов более простыми. Так, на-
пример, анализ напряженного состояния компонентов однона-
правленно армированного пластика при осевом нагружении
(если учесть, что волокна непрерывны, выпрямлены и парал-
лельны, а связующее монолитно, т. е. отсутствуют поры, на-
чальные трещины и случайные несовершенства) показал, что
для оценки изменения напряжений в полимерном связующем и
волокнах во времени достаточно решить одноосную задачу двух
параллельных совместно деформирующихся элементов.
6.1. Вводные замечания
103
Общая методика решения задач совместного деформирова-
ния параллельно соединенных элементов дана в работе [51].
Решения таких задач в случае конкретных ядер ползучести по-
рчены в работе [56]. Из совместного решения уравнений
(5.17) —(5.19) можно установить, что в случае ядер ползучести
и виде экспоненциальных функций изменение напряжений в
компонентах во времени определяется зависимостями
t
<	yA(t) =£а{ <E||(O>-A.aJ ехр[-(Ха + Ра) (/—*0)]<eu(0)>rfe} ;
О
t	(6.1)
<	тв(0 =Евг | <ец (/) >—J ехр[ — (%в + Рв) (t —0) ]	('9)>dQ } .
о
1акон деформирования пластика в направлении нагружения мо-
жет быть определен из эксперимента или установлен выраже-
нием (5.20) по деформационным характеристикам компонентов,
il последнем случае из зависимостей (6.1) получаем
Ей / аз \ Г / 1	1	1 \
<	ъ.(0=-#( 1+-Л) М----------+-------+------)ехр(-щ0 +
£ц \ b3 ! L \ vk Vh-Zi vk-z2 >
2
EAi (Pfe Zi)	pfe I
.. exp(-ZiO+—J <oii>; (6.2)
. , Vk — Zi	Vk J
2=1
k=A,B.
Ill рис. 6.1 представлены изменения напряжений в компонен-
тах органопластика. Напряжения в полимерном связующем во
। ;юмени релаксируют от 0,049 <оц> до 0,021 <стц>, а напряжения
/ не. 6.1. Зависимость напряжений в полимерном связующем (а) и в органи-
н । ких волокнах (б) от длительности постоянного продольного нагружения
104 Глава 6. Напряженное состояние при длительном нагружении
в пропитанной органической нити возрастают от 1,513 <стц> до
1,527 <оц>.
При длительном статическом нагружении однонаправленно
армированных пластиков в направлении армирования волокон
можно считать, что напряженное состояние волокон независимо
от их типа во времени практически не изменяется и определя-
ется упругим решением. В полимерном связующем при усло-
вии, что скорость ползучести связующего больше скорости пол-
зучести волокон, происходит релаксация напряжений.
6.2.	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ КОМПОНЕНТОВ
ОДНОНАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННЫХ ПЛАСТИКОВ
ПРИ ПРОДОЛЬНОМ СДВИГЕ
Для определения напряженно-деформированного состояния
компонентов однонаправленно армированного пластика при дли-
тельном статическом продольном сдвиге рассмотрим однона-
правленно армированный элемент, который выбирается в каче-
стве расчетной модели (см. рис. 5.7).
При этом соотношения между геометрическими параметрами
материала h, I, гв и объемным содержанием волокон ф устанав-
ливаются в зависимости от вида расположения волокон в по-
перечном сечении пластика. При квадратичном распределении
арматуры h — l, а гв// = 2Уф/л;. При гексагональном распределе-
уз
нии арматуры	а
помощью метода ги-
потетического разреза расчетного элемента на бесконечно тон-
кие элементарные слои плоскостями, параллельными плоскости
укладки волокон и направлению нагружения, составляется си-
стема уравнений, отражающая напряженно-деформированное
состояние повторяющегося элемента и всего композитного мате-
риала в целом.
Решая систему (5.23) относительно напряжений -гщД^) при
заданном законе изменения деформаций сдвига <уи(£)), полу-
чаем интегральное уравнение
t
5гТ||1Д^) + (1-ф,)7^- /КАг(г-е)тиД9)^ = <Ш(0>. (6-3)
Ьа 0
где
_ 1—фг
Ga GBrz
6.2. Напряженное состояние компонентов при продольном сдвиге 105
Для решения уравнения (6.3) целесообразно пользоваться пре-
образованием Лапласа. Тогда для изображения напряжения
имеем
та±/(р)=--------J-----------7-<?u(P)>-	(6.4)
s‘
Si(jA
Пользуясь обозначением
-1 Rax(p)=R	(6.5)
SiOA
и учитывая соотношение
।де Ri — изображение ядра релаксации i-ro слоя, получаем
уравнение (6.4) в виде
Т||1г(р) =-^(1 -Ri)'CVlI-L (Р)>-
□ г
Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем
t
Tun(О =— [ <Y||1 (0>- f Ri (Z-9) <yu (9)>d9] .	(6.6)
Si	о
Необходимость определения резольвенты ядра ползучести
I го слоя ограничивается классом функций, применяемых в ка-
честве ядер ползучести для описания деформационных свойств
полимерного связующего. Предпочтение отдается ядрам в виде
фобно-экспоненциальных или экспоненциальных функций. До-
i гаточную точность описания кривых ползучести полимерного
। нязующего обеспечивает выбор ядра ползучести в виде суммы
п
депонент KAx(t — 9) = 2 Слъехр[ — aAzi{t—9)]. В таком случае
г=1
п С Ari
l<Azi(p)= 2 —:—— и выражение (6.4) принимает вид
г=1 Р + адт»
Р1Щр) -
(6.7)
।ля которого выполнение обратного преобразования Лапласа,
। е. определение резольвенты ядра ползучести i-ro слоя, не со-
। । являет труда	Р2(г,(р) — полиномы n-й степени по р).
106 Глава 6. Напряженное состояние при длительном нагружении
Например, если ползучесть полимерного связующего описы-
вать одной экспонентой, например	—9) =САтехр
[ —адт(/—9)], то напряжение в любом слое, а следовательно,
и в любой точке пластика при известном законе изменения во
времени средней деформации пластика <уц±(О> определяется
зависимостью
- — Jехр [ — ( аАх+~~} (i-'9) 1 <уц± (9)>d’9,
Si Si °	‘	(6.8)
где
bi = CAxsAee( 1 — фч).
Закон деформирования <ущ(/)> может быть определен либо
экспериментально, либо теоретически согласно зависимости
(5.31).
Анализ напряженного состояния компонентов при продоль-
ном сдвиге показал, что в полимерном связующем неравномер-
ное распределение напряжений таково, что максимальное зна-
чение соответствует плоскости <р = 0 (см. рис. 6.1). Таким обра-
зом, согласно выражению (6.8) имеем закон изменения макси-
мального напряжения сдвига	ч
t
...	( 5бб(0	5о ( Г	/	Ьо \
тахт||±(0= 1--------------j-J ехР ~ \ “аг9---/ X
*• So	So2	•-	'	So '
X (/-©)] s66(0)d9 )<тп>,
(6-9)
где
l-rB/Z , гв/1	l —
s0 —  7;------Г ; Oq = ь At---------7;  
“A 'JBrz	MA
Отношение максимального значения напряжения к среднему
напряжению <тц±> является важной структурной характеристи-
кой материала. В случае экспоненциального ядра ползучести
полимерного связующего при сдвиге функция изменения кон-
центрации напряжений во времени определяется выражением
max тц1 (0 = «ат
<ТЩ>	«Ат + ^О
1+----)ехр(-аАтО +
ОСАт
§2 САх
So а Ат
АЬр ! g2
Wat+5q s0
(6.10)
6.2. Напряженное состояние компонентов при продольном сдвиге 107
где
1 Г	Cat
А. =---- I gl + §2----
$0 L	--At
В случае, если деформация пластика <ун(0> принимается
постоянной во времени, выражением (6.6) устанавливается за-
висимость для определения релаксации напряжений в любой
ючке пластика. Согласно условию равновесия внутренних и
внешних напряжений на основе уравнений (5.23) устанавлива-
ется закон релаксации напряжений для пластика в целом
t
т	0)^0 1 ;	(6.11)
S; L о	J
л/2	t
( rB	f 1	Г	Г	1
^Т||1 (£)> = 1	- 1— J Ri(t — 9)сЮ J cos ср d<p +
1	о Si	о
t
+ (1--4) Ga [ 1- f^r(^-9)d9] }<TU>.	(6.12)
1 ц о
Изменение распределения напряжений во времени при про-
юльном сдвиге согласно (6.8) для стекло- и органопластиков
представлено на рис. 6.2. Расчет проведен для связующих со
< гепенью ползучести 'Пат=Уа(оо)/?а(0) =3 ( Ga = 1,3 ГПа, СЛ1 =
0,0872 сут-1, йАт = 0,0435 сут-1) и т)ат=Ю (Ga=1,3 ГПа, САх =
0,11765 сут-1, йАт = 0,01307 сут-1) при соотношениях модулей
Рис. 6.2. Зависимость распределения напряжений в однонаправлен-
ных стекло- (а) и органопластпках (б) при продольном сдвиге от
длительности нагружения (объемное содержание волокон 60%):
t = 0 (-----------------); Z-»oo, Т1а=3 <-)‘> С->оо,
ПА = 10 (---)
108 Глава 6. Напряженное состояние при длительном нагружении
Рис. 6.3. Зависимость коэффициента концен-
трации напряжений при продольном сдвиге
от соотношения модулей сдвига волокон и
связующего и объемного содержания волокон:
тр = 0,3 (/); 0,4 (2); 0,5 (3); 0,6 (4); 0,65 (5), 0,7 (6)
сдвига волокон и связующего GBrz/GA = 20 (стеклопластик) и
GBrz/GA = 2 (органопластик) и объемном содержании волокон
ф=0,6.
Следует отметить неравномерное распределение напряжений
по плоскостям, параллельным плоскости нагружения. Макси-
мальные значения напряжения сдвига имеют в плоскостях с
наибольшим содержанием волокон. Коэффициент концентрации
напряжений при продольном сдвиге, т. е. соотношение макси-
мального и среднего значения напряжений, зависит как от объ-
емного соотношения компонентов, так и от соотношения их мо-
дулей сдвига. На рис. 6.3 представлена зависимость коэффи-
циента концентрации т при 1 = 0 от соотношения модулей сдвига
волокон и связующего. Коэффициент концентрации увеличива-
ется с увеличением соотношения модулей сдвига GBrzlGA и объ-
емного содержания волокон ф, т. е. наибольшая концентрация
напряжений имеет место в боропластиках (GBr2/GA« 100) при
больших объемных содержаниях волокон, а наименьшая — в
органопластиках (GBrzIGA = 2).
Анализ зависимости (6.6) показал, что неравномерность рас-
пределения напряжений увеличивается со временем (см. рис.
6.2), т. е. в однонаправленно армированном слое при продоль-
ном сдвиге коэффициент концентрации напряжений увеличива-
ется со временем. Изменение коэффициента концентрации на-
пряжений во времени для стекло- и органопластиков представ-
лено на рис. 6.4. Более выражено это явление при небольших
значениях соотношения модулей сдвига волокон и связующего,
т. е. для органопластиков.
Перераспределение напряжений в однонаправленно армиро-
ванном слое увеличивается с увеличением степени ползучести
li 2. Напряженное состояние компонентов при продольном сдвиге
169
1‘ис. 6.4. Зависимость концентрации напряжений в стекло- (а) и ортанопла-
стиках (б) при продольном сдвиге от длительности нагружения:
ПА = 3 (----), 10 (----); -ф=о,3 (7); 0,5 (2); 0,7 (3)
полимерного связующего. Зависимость изменения коэффициента
концентрации напряжений во времени от степени ползучести
полимерного связующего для стекло- и органопластиков пред-
ъявлена на рис. 6.5. Увеличение коэффициента концентрации
напряжений во времени более выражено при небольших соот-
ношениях модулей сдвига волокон и связующего (органоплас-
। ик) и при больших объемных содержаниях волокон.
Рис. 6.5. Зависимость концентрации напряже-
ний в пластиках, армированных анизотроп-
ными (-------) и изотропными (----------) во-
локнами при длительном продольном сдвиге
от степени ползучести полимерного связую-
щего:
ф=0,5 (/); 0,6 (2); 0,7 (3)
110 Глава 6. Напряженное состояние при длительном нагружении
6.3.	НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ КОМПОНЕНТОВ
ОДНОНАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННЫХ ПЛАСТИКОВ
ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ НАГРУЖЕНИИ
Как уже было отмечено, определение напряженно-деформи-
рованного состояния компонентов однонаправленно армирован-
ных пластиков в общем случае сводится к решению трехмерной
краевой задачи теории упругости. Однако стремлением полу-
чить более простые и доступные решения обусловлено исполь-
зование приближенных методов расчета. Таким приближенным
методом, позволяющим достаточно точно устанавливать основ-
ные закономерности распределения и перераспределения напря-
жений в компонентах при поперечном нагружении во времени,
является использованный в параграфе 5.2 гипотетический раз-
рез расчетного элемента на тонкие слои, параллельные плос-
кости армирования и направлению поперечной нагрузки.
Предлагаемую расчетную модель следует считать прибли-
женной, так как она дает возможность учитывать члишь нор-
мальные напряжения, возникающие в компонентах пластика,
и не учитывает касательных напряжений. Другим допущением
расчетной модели является предположение о постоянстве на-
пряжений в слое. Тем не менее предлагаемая модель дает воз-
можность качественно правильно определять поле напряжений
в армированном пластике. Что касается количественной досто-
верности результатов, то, как будет показано далее, максималь-
ные напряжения, определенные на основе предлагаемой модели,
практически не отличаются от напряжений, рассчитанных ме-
тодом конечных элементов.
При составлении системы уравнений, определяющей напря-
женно-деформированное состояние компонентов однонаправ-
ленно армированного пластика при поперечном статическом на-
гружении, используются следующие исходные предпосылки:
1)	все элементарные слои повторяющегося элемента дефор-
мируются совместно, т. е. их деформации в направлении нагру-
жения одинаковы:
(1-ф0ед2(‘> (0 +Ф*ев2<{> (t) = <е± (0>,	(6-13)
где eA(i)(0, ss(i) (О — деформации полимерного связующего и
волокон соответственно в i-м слое;
2)	деформации волокон и полимерного связующего в на-
правлении армирования в любой момент времени одинаковы:
ЕА1<*> (t) =	(0 = ЕА1 (О =v±,|<e± (/)>,
(6.14)
1>.3. Напряженное состояние компонентов при поперечном нагружении 111
и в ряде случаев, например для высокомодульных анизотропных
волокон, целесообразно пользоваться условием
Vjjj = O;	(6.14а)
3)	плоскости разреза повторяющегося элемента на всем
протяжении деформирования остаются плоскостями, т. е.
едз(,)(0=евз^(0;	(6-15)
4)	полимерное связующее и волокна деформируются сов-
местно, и, следовательно, имеет место уравнение равновесия в
иобом элементарном слое
(1 —(0 + фгСТАЗ(,) (0 =0;	(6.16)
5)	напряжения в направлении нагружения для любого эле-
ментарного слоя в полимерном связующем и волокнах между
юбой равны, но изменяются от слоя к слою и в среднем равны
внешнему приложенному напряжению:
aA2(,)(0=^2(i'(0=^(i)(0;	(6.17)
л/2
Jcr2(’)(Ocos <pd(p+	aA2(^) = <ai(/)>.,	(6.18)
Z о	1
। ie Oa2(0 — напряжение в неармированной части расчетного
> юмента;
6) полимерное связующее является изотропным линейно
вязкоупругим материалом, а волокна — трансверсально изо-
топным упругим:
t
SAjW (t) =SAjm [oAm(i)(0+ f ^A (t — 0) <JAm(i) (9) Л ] J (6.19)
0
(0 = SBjm<JBm(i) (Q, J, «1=1,2, 3,	(6.20)
। ie sA/m, sBjm — составляющие матрицы податливости полимер-
ного связующего И ВОЛОКОН; £Aj^>(t),	OAm(i)(0,
— деформации и напряжения в полимерном связующем
н волокнах в i-м слое. Применением преобразования Лапласа
в полученной системе уравнений решаемая Задача сводится к
решению упругой относительно изображения неизвестных функ-
ций. Связь между изображением напряжений и изображением
нчрормаций пластика в направлении действия внешней наг-
рузки определяется уравнениями
<TAl(i)=--------{	фг В1-~ ОВ1<‘) +О2б) j -|-Г ——  1-
1 —фг I Sah ' SB12	' SAII L 1 + KA
+ФЦ----------J 'V-Lii<e-L>j ;
' Sb12	ItAa' j	1
112 Глава 6. Напряженное состояние прн длительном нагружении
1
[ (Лб + .ббКА^1||<е.|_> — (Л5 + ВзКА)с2(г)];
(6.21)
€>ВЗ
где
CTBl(i) А4 + В4 + Ка
— ...	FiKa2F^Ka + F3 ,
°2 + + <Е1>’
СТАЗ(г)=-------( Y~-=-+ 5А11СГА1(г) ) ~<12W;
&А12 ' 1 + Ка	'
-----’ (V-L|| <e-L> + 5В11<ГВ1(г)) —<Г2(г),
SB12
F1= (B3B4-BIB6)vlli;
Вг = В4+ (Л3В4+Л4В3—Л[Вб — AgBi) viu;
Вз = ^4+ (•^3-^4—•^Иб)'У1Ц;
£>i = BgB4—В1В5;
О2=Л2В4+Л4В2—АI Вд—А5В1;
В3 — А2А4—А,Аз;
Л . I $В11«В2з\ , о
Л 1 = грг I SJ3I2 — -I +В15
'	SB12 '
Д2=г|)г(5в22 — SB23) + В3',
SA12 , , / SB23 Sa12 \ , D
Д3--------1- Ipj I------------I + £>3;
SAI! V Sbi2 Sah '
. «All / Sb11Sb22 „	\	\ , D .
A4 =------I-----------Sj3i2 I (1— 4>()+B4,
SA12 ' SB12	'
^5=------—(SB22-SB23) (1“’M + BS;
SA12
SA11SB22 \ ,,	. . , о .
-------- I (l-грг) +B6;
Sa12sB12 '
TJ , SA12SBII .	.
Bl = трг-------(sA12—SA11)
SA11SB12
2
о	Sa>2 , , 1	\
B2 = Sa11—--------t-'p' (sA12~~sAI1) ;
SAll
D , SA12 / sA12 , \
B3 = ipi----t ------- —II,
SB12 ' SAII '
B4= —SbuBg',
(2	X
Sam	\
--------Sah J ,
Sa12	'
Лб =
Н.З. Напряженное состояние компонентов при поперечном нагружении 113
(2	.
SA12	SA11	\
		/ ’
Sj312-----SA12SB12 '
1<л, CAi(i\ <е±> — изображение по Лапласу соответствующих
функций.
Применяя к выражениям (6.21) обратное преобразование
Лапласа, находим связь между внешней средней деформацией
в направлении нагружения и составляющими напряжений в по-
шмерном связующем и волокнах.
Таким образом, если задан закон деформирования пластика
в направлении нагружения, то могут быть определены напря-
жения в любой точке материала. Закон деформирования может
оыть установлен экспериментально или расчетным путем.
Если имеет место /Са(^—0) =САехр[ —cia(/ —9)1, то Ка =
£
~р + а и согласно зависимости (6.21) получаем
t 2
о, »	р2(р»)	(62>2)
। де Pi и Р2 — корни уравнения p2+cf1p + d2 = O:
Л(р)=Са(-^--^)(р+«а) + Са2(^--^-) ;
' ?з	/	\ г3 D3 I
Р2(р)=2р + СА~+2аА;
G,
di = CA —р,—Ь2ал;
Gg
СА
^2 = ~^~{СаР^1 + Иа.О2) + иа2-
^3
\ и алогично получаем зависимости и для других составляющих
мпряжений:
/11	/о В \ Г г /
aB1(i)(Q = - _2_| ст2(й(0+СА - ~) J ехР [ - ( ои +
+ Ga-t ) (1—9) 1 о2(<)(9) dQ | + —- I V1||<B1 (1)> +
/Вб f Г / вл 1	)
' CaV±" “ ~aJ Jехр L ~	д~4 ) J <ei(9)Wj ;
8 — 482
114 Глава 6. Напряженное состояние при длительном нагружении
Gai °	, _ _ O!„, (/) _ l-фг SaiiSb12	1-фг «АП ^0.^0 J Ф»	Sa12	/	VJ-II J/ /4\\ 	:	;	V_L||<e_L (^)>	i<e±(0> 1 — фг SAll^Bia	SA11
t
-СА /ехр[ — (ъа + Са) (t-9)] <е± (0)>d01 ;
О
t
(0 = -	{ <Ej. (0> - с А I ехр [ - (аА + СА) (/-9) ] X
SA12	п
X <8± (0)>л}
—	(0;
SA12
СТВЗ(О (,) =	<Б± (/) > _	Ств1 (г) (Q _ ^(0 (Q .
Sj312	SB12
Эти зависимости дают возможность определять все составляю-
щие напряжений в любой момент времени в произвольной точке
армированного пластика при его ползучести в результате попе-
речного нагружения.
Анализ напряженного состояния компонентов пластика, ус-
танавливаемого зависимостями (6.22) и (6.23), показал, что
максимальные напряжения достигаются в слоях, соответствую-
щих условию <р = О (см. рис. 5.10). Поэтому важными характе-
ристиками напряженного состояния однонаправленно армиро-
ванного пластика при длительном поперечном нагружении яв-
ляются функции изменения главных напряжений в точках их
максимальной концентрации. Такими функциями являются за-
висимости (6.22) и (6.23) при условии <р = 0.
Напряженное состояние и характер его изменения в точках
максимальной концентрации напряжений при постоянном сред-
нем напряжении <о±> определяются выражениями
одг(^) =стдг(0^<71>;
OAe(t) =стде(0^ст1>;
OAz(t) =Од2(0<О1>,
Il 3. Напряженное состояние компонентов при поперечном нагружении 115
| ЧС
сМО- <ст±>	<Р = 0 ’
-	
СТА9() <Ol>	Ф=0 ’
л’(}	<<т±>	Ф = 0 ’
При определении функций (6.24) в качестве закона ползу-
чести пластика при поперечном нагружении может быть исполь-
юнана зависимость (5.34). Анализ функций (6.24) показал, что
и 1менения напряжений в полимерном связующем во времени
имеют лишь количественный характер и зависят как от дефор-
ыционных характеристик компонентов, так и от объемного со-
I.-ржания волокон. На рис. 6.6 изображена зависимость макси-
। । 1ьного изменения коэффициента концентрации напряжений
 ь от степени ползучести полимерного связующего.
Из зависимостей (6.22) и (6.23) следует, что при попереч-
•н.м нагружении пластика происходит перераспределение на-
пряжений по всему объему материала. Изменения отношений
и । ряжений к среднему напряжению представлены на
•и- 6.7.
Изложенные результаты относятся к случаю, когда в одно-
।иравленно армированном пластике создается постоянное во
имени напряженное состояние. В случае переменного во вре-
н ни напряженного состояния однонаправленно армированного
I"'1	(0>¥=const) целесообразно использовать
-• о Зависимость концентрации напряже-
пластиках, армированных анизотроп-
( ------) и изотропными (---------) во-
। 1 t при длительном поперечном нагру-
। о г степени ползучести полимерного
связующего:
,	(----); £Вг/£а=20 (-----); ^=0,4(7);
0.5 (2); 0,6 (5); 0,65 (4); 0,7 (5)
<А
8*
116 Глава 6. Напряженное состояние при длительном нагружении
Рис. 6.7. Изменение распределения напряжений ffA2(i) (a), ОаР”
(б), <TA3(i) (в) в полимерном связующем во времени для стекло-
(1,2) и углепластиков (3, 4) при поперечном нагружении:
i = 0 (/, 3); t^co (2, 4)
возможности феноменологического представления зависимостей
в виде
i=r,Q,z,rz, (6.25)
где J*i — функционалы, определяемые вязкоупругими свойст-
вами компонентов слоя и их объемным соотношением. Вид фулк
ционалов Ji* определяем как ряд интегралов Стильтьеса возра-
стающей кратности:
t
OAi(t) = J ?ao-(^-'9)^<o-j(9i)> +
о
t t
+ J J qAijk(t-'ei, ^-‘92)t/<CTj(9i)>6/<aft(02)>+ ...,
о 0
i = r,Q,z,rz; /,& = _[_, ||±.	(6.26)
Ограничиваясь первым членом в разложении (6.26) и учитывая
согласно [57], что при поперечном нагружении Tatz = 0, а при
продольном сдвиге пластика составляющими напряжений оЛ|,
Стай в наиболее нагруженной точке можно пренебречь, получаем
т
СТдг(0= f <7rj.(^-6)d<CT±(9)>;
О
t
сие(0= J ?ei(2I-9)d<CT±(9)>;
О
(6.27)
' i Напряженное состояние компонентов прн поперечном нагружении 117
t
CTAZ(O= J 9)d(<Ji (©)>;
О
t
TArz{t)= J 9а||1(^-'9М<Т||1(9)>.
о
Ишсгрируя выражения (6.27), имеем зависимость	от
< шгельности нагружения в виде
t
оаг(0=оаг(0)<о±(Ф.+ J Кац(*-'9)<о±(9)>с!0;
о
t
=<т.А0(О) (ctj. (/)) + J Kaj_	(9)>rf9;
о
t	(6.28)
<JAz(t) = <JAz(O) <Oj_ (0>+ J /CaJ/—9)<CTl (9)>d9;
0
t
XArz(t) =TAre(O)<T||±(O>+ J Kau (t - '9) <T||_L (0)>d9,
0
KAi(t) =
dqi(t)
dt
••икции /С4.11, Kai, Кац, 2C4.HJL определяются зависимостями на-
i>P икенного состояния слоя при постоянном нагружении
I " (0> = const, <T||j. (/)> = const). Согласно (6.28) имеем
KAi(t)
d(JAi (?)
di
.иювенные структурные параметры при переменном нагруже-
<г*а/(О определяются соотношениями
?Ai(0=CTAi(0/<^(0)>, j = -L, 111.
Рассмотрим случай релаксации напряжений в компонентах
шрованных пластиков при длительном поперечном нагруже-
н постоянной средней деформацией, когда <ej_> = const. Изв-
инение по Лапласу <.ej_>= ~<£±) и аналитические зависи-
III составляющих напряжений при заданном ядре ползучести
шмерного связующего определяются из системы уравнений
’I) в результате обратного преобразования Лапласа. Так, в
118 Глава 6. Напряженное состояние при длительном нагружении
случае, когда ядро ползучести полимерного связующего явля<
ется экспоненциальной функцией, согласно (6.21) для напри,
жений в направлении нагружения получаем

?3 D3
3	3 D +
£)3
CaD 1 + CLa^2 + CL А2 —
2
J .	..	ехр (рп0
J РпГ2 уРп)
<е±>.
(6.29)
Здесь обозначения те же, что и для зависимости (6.22).
Усредняя напряжения, действующие в направлении нагру*
жения армированного пластика, приходим к выражению
л/2
,	Гв f	Л , /, Гв\ S-A| I ~ V jA-W
<c>j_ (/)>=—— J е>2<г> (/) cos фс/срН- (1 — I ——-—-——х
I о	'	I ’ Sa\v-Savi2
>	(6.30)
X (ал + Слехр [- (ал + Сл)/])-•
а а + Са
Зависимость (6.30) устанавливает закон релаксации среднего
внешнего напряжения для однонаправленно армированного слоя
при поперечном нагружении. Следует отметить, что для nori-
роения конкретных кривых изменения <а±(0> во времени coi
ласно (6.30) целесообразно пользоваться численным интсгрмро
ванием зависимости (6.30).
6.4. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТЫХ
АРМИРОВАННЫХ ПЛАСТИКОВ ПРИ
ДЛИТЕЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ
В параграфе 5.3 дана общая методика определения напря-
женно-деформированного состояния слоистых пластиков при
длительном нагружении. Согласно этой методике задача опрг
деления деформаций слоистой системы тесно связана с опреде
лением закона распределения напряжений в отдельных слоях
Определяющими уравнениями метода являются уравнения
(5.46) — (5.48). В результате применения преобразования Лап-
ласа система (5.46) — (5.48) преобразуется в систему алгебраи-
ческих уравнений, решение которой не составляет труда. За
дача сведена к линейно-упругой задаче относительно образом
деформаций и напряжений по Лапласу. Основные трудное! и
6.4. Напряженное состояние при длительном нагружении
119
включаются в выполнении обратных преобразований Лапласа
> in выражений (5.51) — (5.53). Допущение о том, что деформа-
ции слоев в направлении армирования имеют упругий харак-
н’Р и, следовательно, /<ц(/ — 0) =^ц±(^ — 9) =0, лишь незначи-
щльно упрощает задачу. Лишь для простейших схем армиро-
плния и экспоненциальных ядер ползучести удается получать
|ччпения в явном виде. Поэтому рекомендуется рассматривать
сложность численной реализации решения задачи по опре-
имению напряженного состояния отдельных слоев пластика при
। штельном нагружении.
Для каждого слоя пластика имеет место уравнение
[<6i>d = [si/ft)(0][4(0>d> 4=1,2,6,	(6.31)
«ле матрица податливости [«г/й).(0] непрерывно меняется по
, । кону
4(0> J,
X4(fe,(^-9)d9 ]].	(6.32)
। iecb SijW(O) — кратковременное значение составляющих k-a
|црицы податливости. Матрицу (0] назовем псевдоупру-
|чц в отличие от квазиупругой. матрицы, составляющие которой
' иределяются без учета изменения напряжений во времени:
SijW (0 —Sij1
(6.33)
о
Будем пользоваться шаговым методом расчета. Сущность
ктода состоит в разбивке диапазона времени нагружения на
i.i.1ые интервалы	, в пределах которых (гт_]^
/^/т) можно пренебречь изменением напряжений и считать
и постоянными. Тогда согласно выражению (6.32) имеем
/	[ JLi
4(0>й l ,
SijW (0
m
(6.34)
11 к’дует отметить, что при М->оо получаем точное решение, сле-
швательно, варьируя частоту разбивки JV или интервал Мт,
। /КНО получать любую точность расчета. На каждом этапе вы-
пи 1ений (l^m^TV) рассчитывается псевдоупругая матрица
I ''‘-’(4], а затем решается упругая слоистая задача, где мат-
иц.-!	(tm}] является мгновенной упругой матрицей подат-
'I! пости /г-го слоя. В результате определяем значения <<Т/(/т)>й,
122 Глава 6. Напряженное состояние при длительном нагружении
четырехна-
АГ-4С во
Рис. 6.9. Изменение напряжений в слоях
правленно армированного стеклопластика
времени при двухосном нагружении:
' — О’ /-к г.- 2 ~ <°>₽=90‘; 3 ~ <°х)р=о°;
4 ~ <°1> Р = ±ЗО’; 5 _	Р = 90°
податливости присваиваются начальные значения. Затем про
водится упругий расчет слоистой структуры пластика с помощьи
подпрограммы PLAST. Подпрограмма PLAST вычисляет мгпо
венные значения напряжений в слоях и деформации пластика
Подпрограмма STRESS позволяет определять упругие и вязко*
упругие характеристики слоев. При разработке подпрограмма
PLAST использованы стандартные подпрограммы по матричпо!
алгебре.
После печати полученных результатов перерассчитываюте|
значения составляющих псевдоупругой матрицы податливости
соответствующие времени нагружения t2 = ii + &t. Процесс ра<
счета повторяется до достижения L>Lnax.
В качестве примера применения предлагаемого метода про
веден расчет длительного напряженно-деформированного состоя
ния четырехнаправленного пластика АГ-4С при двухосном на
пряженном состоянии (<«j2» = 0,5 «о(»; «<Т12» = 0) при следующей
проекте его строения: т₽=0’=0,2;	= тр=_зо»=0,2;
= 0,4 (рис. 6.9). Решение такой задачи аналитическим методой
было бы весьма трудоемким. Отметим, что в первом приближа
нии для некоторых видов слоистых пластиков удовлетворитесь
ные результаты дает и применение квазиупругого метода, пр|
котором составляющие матрицы податливости слоев опреде irt
ются зависимостями (6.33).
Глава 7. СТРУКТУРНАЯ ТЕОРИЯ
ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ
7.1. КРИТЕРИИ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ
КОМПОНЕНТОВ АРМИРОВАННЫХ ПЛАСТИКОВ
Исследование длительной прочности армированных пласти-
। .н базируется на информации о напряженно-деформированном
।••• гоянии структурных элементов и включает последовательное
। к смотрение длительной прочности компонентов (волокон, по-
.Цмерного связующего и сцепления между ними), однонаправ-
• uno армированных элементарных слоев и слоистых пакетов.
Даже при одноосной, постоянной во времени нагрузке ком-
-центы слоя находятся в условиях неоднородного, непрерывно
.. няющегося во времени сложного напряженного состояния. Это
" словлено геометрией внутреннего строения армированного
। ц'тика и реономными свойствами его компонентов. Поэтому
с’чность компонентов в пластике при длительном нагружении
• i/кна определяться критериями, учитывающими изменение их
и иряженно-деформированного состояния во времени.
7.1.1. КРИТЕРИЙ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ ПОЛИМЕРНОГО
СВЯЗУЮЩЕГО
Уравнение, определяющее поверхность длительной прочности
. тмерного связующего при комбинированном нагружении, в
• щем случае формулируется на основе экспериментального изу-
< пня поведения материала при длительном одноосном растя-
• пни, сдвиге, сжатии, а также при их комбинациях. При этом
целью удобства использования зависимостей, определяющих
. тельную прочность, целесообразно введение некоторых упро-
ч нищих гипотез, отражающих причину (или причины) разру-
I. пня материала. Так, для упруговязких полимерных связую-
’.ц \ применительно к случаям одноосного нагружения в рабо-
1 [33, 56] была принята и экспериментально подтверждена
124
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
следующая гипотеза: разрушение материалов во времени проке»
ходит при достижении упруговязкой работой напряжений не*
которой критической величины.
Рассматривался
случай
стати*
ческого одноосного растяжения для полимерного связующей
ПН-1 в пределах времени нагружения до 90 сут [33]. ПеремеИ
ное во времени нагружение рассматривалось на примере ран
номерно возрастающего одноосного растяжения, и в диапазон!
скоростей до 2,2 МПа/мин и времени нагружения до 10 ч по
казана применимость такой гипотезы для полиэфирного свяну
ющего ПН-1 [56]. В работе [4] установлено, что для полимер
ного связующего ЭД-6 при одноосном сжатии в пределах вр!
мени нагружения до 83 ч в первом приближении удельная упру
говязкая работа сжимающего напряжения также являете!
прочностной характеристикой материала.
Анализ характера разрушения полимерных связующих по
казал, что они разрушаются по площадкам действия главны!
растягивающих напряжений [44, 65]. Поэтому для описанЩ
предельного состояния полимерного связующего воспользуеми
критерием [19], согласно которому разрушение материала нй
ступает, когда удельная упруговязкая работа главных расти
гивающих напряжений во времени W+(t) достигает своего прй
дельного значения
Таким образом, поверхность прочности определяется сот?
ласно уравнению
1П+(0^1^н+
(7. IJ
где WR+ — характеристика прочности полимерного связующего
при растяжении, определяемая экспериментально при одноос*
ном нагружении.
Рассмотрим случай, когда на полимерное связующее воздей*
ствуют напряжения щ(/), ое(0> МО и тМО- В таком напри*
женном состоянии находится полимерное связующее в армиро*
ванных пластиках при их нагружении в плоскости армирования,
Тогда выражение Ц7г(?) записывается в зависимости от знаке
главных напряжений.
Пусть or(Z), <^е(0, <7?(^)>0. Тогда в зависимости от напря-
жения Tr2(Z) главное напряжение является положительным или.
отрицательным:
(0 ~~~п [*-’’(0 +az(0 +У[с>г(0 — <Jz (0 ]2+4т«2(0 ] >
(7.2)
о2(0 =4 [МО + М0 - ПМ0 - MOF+WtO];
Оз(0 =<70(0-
7.1. Критерии длительной прочности компонентов
125
В случае, если тГ2(0 <y<j?(£)oe(0 (рис. 7.1, б), главное напря-
жение <72(0 положительно. Поверхность прочности полимерного
। нязующего согласно уравнению (7.1) имеет вид
1^[О1 (0> <72 (^), О3(0] = J 01^81+ J G2<7s2 +
О	О
ез(<*)
+ J <эзй(ез=	(7.3)
о
l ie 8i (/*), 82(/*), 83(/*) — деформации полимерного связующего;
f, — время нагружения до разрушения. Значения WR+ легко
пнределить из эксперимента на кратковременное одноосное рас-
। чжение:
। le Ra+ и Еа — соответственно прочность на растяжение и мо-
। уль упругости полимерного -связующего. Тогда для полимер-
ных связующих, деформирующихся практически линейно вплоть
н> разрушения,
ф*{<712 (0 + о22 (t) + (J32 (0 - 2va [<Т1 (0 сг2 (0 + О1 (0 Оз (0 +
+ О2(0оз(0]}=(Яа+)2.	(7.5)
 1есь <р* — оператор по правилу
t
Ф*Р(0]=^(0+2 J F(v)KA(t-i)di,	(7.6)
о
Рис. 7.1. Напряженное состояние в полимерном связую-
щем (а) и главные напряжения при малых (б) н больших
(в) значениях тГ2
128
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
Остальные компоненты напряженного состояния (кроме
стг(0), тга(0, тге(0 во всех процессах нагружения равны нулю.
Тогда, исходя из свойств прочностной симметрии сцеплении
(относительно нормали к контактной поверхности — оси г) и
анализируя ее разрушение при этих нагружениях, получаем
выражение поверхности (7.11) в виде
J*pr[^-Ti]dOr(Ti) + f J Prz,rz[t*—X\, ^-T2]d-rrz(Ti)dTrz(T2) +
0	0 0
t* t*
+ J Jpre, re IA-ti, /,-T2]dTre(Ti)dTr&(T2) = 1.	(7.12)
о &
Пользуясь допущением, что
pu[t* —ti, ^-т2]	Г1]р,[^—r2],	(7.13)
и учитывая, что
* *
J J Pi(^-Ti)pi(/,-T2)doi (xi)dai(T2) =
0 0
получаем
}2
+
о	0
При интегрировании выражений типа f т)б/ст(т) имеем
о
jF(^-T)do(T)=F(0)o(U+J ff(r)F'(^-T)dr.	(7.16)
о	о
Отсюда в случае постоянного нагружения (ст(/) = ст=const)
t*
р(^-т)<Мт)=^(Мст.	(7.17)
о
Следовательно, если 7?ь(0> 7б(0 — законы изменения проч
ности сцепления на отрыв и на сдвиг от длительности постоям-
7.1. Критерии длительной прочности компонентов
129
кого нагружения, то выражение (7.15) окончательно имеет вид
|20]
t*
Г б/ог(т)
0 Rb[t*~ т]
dtrz (т)
Т’бр,—'г]
</тг&(т)
М^-т]
(7-18)
2
Соответственно критерий длительной прочности на отрыв при-
нимает вид
t*
С <М(т)
= 1,
(7.19)
। критерий длительной прочности на сдвиг —
t* f Ме(т) о ?Ж-т]	(7.20)
]2
= 1.	(7.21)
В случае постоянного (ar=const, xr2 = const, Tre = const) нагру-
.ксния согласно (7.18)
[19 Г
Trz 'j ( I Tr0
Tb(t*) J +L Tb(tj
При кратковременном нагружении (/* = 0) и при крите-
рий прочности сцепления
МО, °°)	Г trz(0, оо) Г	Г tre(0, оо) 12
7?6(0, оо) + L 7'6(0,оо) J + 17’ь(0,оо) J	‘	1	'
Хнпроксимацию ядер Rb~{ (t*—т),	целесообразно
представить в виде
/?(0)
ВД='--------------,	(7.23)
1+ 2 bi [ 1 — exp (— a^t) ]
>=1
। де R={Rb, Tb}', R(0) — кратковременная прочность сцепления;
/»,, at — некоторые константы материала, характеризующие из-
менение прочности во времени.
Для численного определения функций Rb, Тъ можно пользо-
ваться двумя способами: прямым и косвенным. В случае
прямого способа исследуется адгезионная прочность непосредст-
венно системы полимерное связующее — волокно при длитель-
ном постоянном растягивающем (сдвиговом) нагружении раз-
шчными экспериментальными методами, обзор которых приве-
ден, например, в [31]. Косвенный способ осуществляется на
9 — 482
130
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
Рис. 7.4. Зависимость прочности сцепления на сдвиг
стекловолокна и связующих ЭДТ-10 (7) и БФ-4 (2) от
длительности нагружения:
а — t=vt; б — -r=const; X — ЭДТ-10; + — БФ-4
основе испытания однонаправленно армированных пластиков,
Значения констант сц, bi, i=l,..., N, Д(0), определенные при
каком-то конкретном режиме нагружения, позволяют согласно
(7.18) рассчитывать прочность сцепления при другом законе н.п
менения Так, в случае равномерного закона нагружении
тге(0=^ при ЛГ=1, интегрируя выражение (7.20) и учитывая,
что Тго(/ = О) =0, получаем
( b	I-1
Tb(t*) = Tb(O)t*]i*+~[Да]—1 + ехр( —оДД] } .	(7.24)
Отметим, что предел длительной прочности сцепления ТДД*
-э-оо), /?;, (Д-4-оо) не зависит от закона нагружения и определя-
ется по формуле (7.24) при 7*->оо. Для сцепления эпоксидною
(ЭДТ-10) и бутварофенольного (БФ-4) связующих со стеклово-
локном (0=10—13 мк) проведено сравнение эксперименталь-
ных [18] и теоретических зависимостей Tb(t) при равномерной
законе нагружения (рис. 7.4, а). Теоретические кривые постро-
ены по (7.24) при следующих данных: для ЭДТ-10 7’й(0)-
= 36,9 МПа; ai = 0,186 с-1; 6, = 0,455; для БФ-4 ТДО) =38,3 МПм|
«1 = 10,165 с-1; 61 = 0,567. На рис. 7.4, б представлены кривые
длительной прочности Гь(7) при постоянном напряженном со» г
стоянии.	•	I-
Основными компонентами, воспринимающими нагрузку 4
конструкционных элементах из армированных пластиков, явлиМ
ются волокна. Поэтому определение прочностных свойств воло*
кон как при кратковременном, так и при длительном нагружеш
нии — одна из основных задач структурной теории прочноспм
армированных пластиков.	Ц
Рядом авторов [1, 55, 56] было показано, что предельнаД
деформация волокон практически не зависит от длительностей
нагружения. Поэтому с учетом того, что в стеклянных, углероде
•МММ
7.1. Критерии длительной прочности компонентов
131
пых и борных волокнах практически отсутствуют деформации
ползучести [56, 71], длительную прочность волокон будем опи-
 ывать с позиций теории накопления повреждений.
Ограничиваясь двумя первыми членами в разложении (7.11)
и рассматривая случаи одноосного растяжения (сжатия) (oz^=
/ 0), приходим к следующему критерию длительной прочности
подокон:
t
л *
J Р4^-‘г]^сг2(т) = 1,	(7.25)
о
1 ю Pz — функция изменения прочностных свойств во времени.
I ели 7?в(0 — закон изменения длительной прочности волокон
на растяжение при постоянном напряжении, то критерий (7.25)
принимает следующий вид:
t
d<yz(t)
i'lecb через z обозначено направление армирования и принима-
i 1ся, что прочность на сжатие волокон реализуется лишь при
рассмотрении волокна в качестве компонента армированных
и 1астиков. В предельном случае при /* = 0,	критерий
I /26) имеет вид неравенства
сгг(О, оо) С7?в(0, оо).	(7.27)
t, сут
Рис. 7.5. Кривые длительной прочности на растяже-
ние борного волокна (7) и стеклянной нити (2)
132
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
Для определения ядер 7?B_1(^ —т) будем пользоваться аппрок-
симацией (7.24). Определение длительных прочностных харак-
теристик волокон на растяжение можно осуществлять прямым
и косвенным (из испытаний однонаправленно армированного
пластика) способами.
На рис. 7.5 представлены результаты исследования длитель-
ной прочности стеклянных (1) и борных (2) волокон при посто-
янном нагружении [56]. Теоретические кривые построены по
формуле (7.26): 1 — при 7?в(0) =0,80 ГПа; Х = 1; «1 = 0,129 сут
&i = 0,689; 2 — при 2?в(0) =2,17 ГПа; М=1; а,=0,098 сут-1; -
=0,417.
7.2.	ДЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЧНОСТЬ ОДНОНАПРАВЛЕННО
АРМИРОВАННОГО СЛОЯ ПРИ РАЗРУШЕНИИ
ПОЛИМЕРНОГО СВЯЗУЮЩЕГО
Прочность однонаправленно армированного слоя, причиной
разрушения которого является разрушение полимерного связу
ющего, при плоском напряженном состоянии определяется не
личиной и соотношением средних напряжений в плоскости ар
мирования слоя и ^тцх>, так как напряжения в направлс
нии армирования практически полностью воспринимаются вы
сокопрочными волокнами [И]. В работах [55, 57] для случая
кратковременного нагружения показано, что разрушение поли
мерного связующего в однонаправленно армированном слое при
поперечном растяжении начинается с разрушения наиболее
нагруженных областей связующего и имеет в дальнейшем лави
нообразный характер. Развивая этот результат для случая дли-
тельного комбинированного нагружения, принимаем, что разру
шение слоя во времени происходит при разрушении его наибо
более нагруженных областей. Момент первых разрушений
является началом лавинообразного разрушения полимерного
связующего и, следовательно, моментом разрушения всего
слоя.
При продольном сдвиге компоненты однонаправленно армп
рованного пластика также находятся в условиях неоднородного
напряженного состояния. Однако достижение предельного со-
стояния в наиболее нагруженных областях не всегда является
началом лавинообразного разрушения всего материала [55, 571.
При дальнейшем нагружении наблюдается перераспределение
поля напряжений, вызванного условным течением полимерного
связующего, и, как было показано в работах [55, 70], прочность
на сдвиг однонаправленно армированного слоя практически
равна прочности на сдвиг полимерного связующего.
7.2. Длительная прочность при разрушении связующего
133
В связи с изложенным напряженное состояние в наиболее
нагруженных областях слоя в момент его разрушения харак-
теризуется соотношениями [7]
сте(0=о-е(0.<1±>;	(728)
о2(0 =Ог(/)<(Т±>;
Trz(t) =<т±||>.
Структурный метод определения безразмерных функций концен-
траций напряжений ar(t), ®z(t) рассмотрен в [10].
При поперечном нагружении слоя деформации в направле-
нии армирования незначительны и ими практически можно пре-
небречь. Обоснованность такого допущения возрастает с увели-
чением продольного модуля упругости волокон. В этом случае
имеет место соотношение
oz(0=VA[Gr(0 + ae(0].	(7.29)
Согласно напряженному состоянию (7.28) и с учетом зависи-
мости (7.29) главные напряжения в областях начала разруше-
ния полимерного связующего определяются выражениями
О'1 (0 =-2—( 1+'\’а)о'г(^) +VaC>9(^) +
+ У [(1— VA)or(t)— VA<je(0]2+4^2} ;
<о > Г -	-	(7-30)
О2(0 =---| (l+VA)ffr(0 +VAOe(0 -
— У [(1—VA)<Jr(0 — VA<je(0]2+4&2} 5
<73(0 =<<Tx>(J9(0,
। де
.	<Я±>
<o±>
Как следует из анализа выражений (7.30), знак главных
напряжений определяется не только знаком напряжений <о±>,
по и относительной величиной касательных напряжений (тщ.)
(отношение k). Следовательно, условие длительной прочности в
полимерном связующем при напряженном состоянии в виде
134
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
_(7.30) согласно критерию (7.1) будет определяться несколькими
уравнениями в зависимости от условий нагружения слоя. Рас-
смотрим более подробно отдельные виды нагружений при попе-
речном растяжении со сдвигом. При поперечном растяжении и
зависимости от отношения <тц±> к <ох> главное напряженно
а2(^) принимает положительное или отрицательное значение.
Первый случай соответствует соотношениям средних напря-
жений <О1> и Для которых выполняется условие
]/vAar(0[M0+ae(0L	(7.31)
При этом все главные напряжения положительны (см. рис,
7.1, б). Пользуясь в качестве критерия длительной прочности
полимерного связующего критерием (7.1), получаем уравнение
поверхности длительной прочности слоя в координатах
<Т|Ц> и t
WV{hr2 (/) +ое2(/)] (1—va) -2[vACr(0oe(0 “О =
1 + VA
где <р* — линейный оператор вида (7.6).
В случае, когда имеет место неравенство
У VaGt (/) [<Jr (t) + пе (t) ],
главное напряжение <Т2(0 является сжимающим (см. рис. 7.1, в).
Тогда поверхность длительной прочности слоя согласно (7.7)
описывается уравнением
—Ф* { [°>2(0 -4-2<j02(/) ] (1 — va) — 3vAO-r(O<j0 (t) +
— l/ —	—	1	(7?a+)2
+ ffr(O F [arW(l-VA)-VAO9(Z)]2 + 4&2 + 2£2J = k—-4-.
(7.33)
Таким образом, поверхность длительной прочности однонапран-
ленно армированного слоя при комбинированном нагружении
продольным сдвигом и поперечным растяжением состоит из двух
участков, описываемых уравнениями (7.32) и (7.33). Учитывая,
что для реальных пластиков при |&| >]/va<M0 [<М0 + <jb(^) |
У MZ)(1-va)-vact9(0]2+4&2«2£,	(7.34)
совокупность уравнений (7.32), (7.33), определяющих поверх
7.2. Длительная прочность при разрушении связующего
135
пость длительной прочности слоя при поперечном растяжении
• о сдвигом, записывается в следующем виде:
при
Ф*{а2(0<<тх>2+а3<ти>2} = (/?а+)2;	(7.35)
при k~>a\ (t)
(p*{«4(0W>.2 + a5(0<aj.><T|ix> + a6(0<Tu>2} = (Ra+)2. (7.36)
Здесь 1=1,...,6, — безразмерные функции времени:
ai (О = VAQr(t) [dr(0 + ое(Р];
аг(0 = [ог2(0 +<те2(0 ] (1—va2) — 2va(1 + vA)o-r(O<j0(O;
a3(t) = 2( 1 +va) = const;
a4(t) = 0,5[or(t) + 2oe2(t)] (1 — va2) — l,5vA(l+vA)or(0oe(0;
a5(t) =Gr(t) (1+va);
a6(t) — (1+va) = const.
На рис. 7.6 представлены экспериментальные результаты
184], полученные при испытании однонаправленно армирован-
.1. 7.6. Кривые длитель-
на.) предельного состоя-
 11/I однонаправленно ар-
1ированного стеклопла-
(ньа при фиксирован-
। i\ значениях времени
। имбинированного на-
гружения:
Ч (/); 100 ч (2); 500 (3);
)3 ч (4) (эксперименталь-
на • значения: t-^О (О);
i'll ч (•); 300 (Д); 1000 Ч
(▲))
136
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
Рис. 7.1. Изменение поперечной прочности на растяжение
стеклопластика во времени при 7?л + (0) = 1 для различных
содержаний волокон:
ф=0,4 </); 0,5 (2); 0,6 (3); 0,7 (4); 0,75 (5);
£в/£Л = 20; va=0,35; vb = 0,23; СА =0,0872 сут-1; аЛ=0,0436 сут4
ных намоточных трубчатых образцов из стеклопластика на кру
чение и растяжение при различных соотношениях напряжений
продольного сдвига и поперечного растяжения. Теоретическим
кривые построены по зависимостям (7.35), (7.36) при следую
щих исходных данных: Ra+=65 МПа; vA = 0,35; Vb=0,23,
EbIEa = 2G\ ф = 0,65. Ядро ползучести полимерного связующею
выбрано в виде KA(t—т) =Сдехр[ — aA(t—т)] (СА = 0,00675 ч
ад = 0,00435 ч-1).
Пределы кратковременной и длительной прочности одноиа
правленно армированного слоя при t* = 0 и >оо определяютгн
выражениями (7.35), (7.36) с заменой а,(/) соответственно пн
di(0) или аг(оо), а функционала <р* — на выражение согласно
зависимости
оо
TWOL =Oi_-^(0),^(~) [ 1 + 2/Кд(^-т)</т] .
* ’ *	0	(7.38)
Применительно к боропластикам, для которых изменением но
времени структурных параметров crr(t), пе(0 можно пренебречь,
имеют место зависимости	=ai(0) = const, i=l,...,6. H
этом случае оператор (7.6) принимает вид
t
<р*[с]=с[1 + 2{/<д(^-т)б/т] , c=const. (7.39)
о
Рассмотрим два частных случая нагружения: поперечное раю
тяжение и продольный сдвиг. В первом случае <тцд> = 0 и сш-
7.2. Длительная прочность при разрушении связующего
137
Рис. 7.8. Кривая относительной длительной прочности на по-
перечное растяжение однонаправленно армированного боро-
пластнка
Мено выражению (7.35) получаем следующую зависимость из-
биения поперечной прочности на растяжение слоя во времени:
£±+(Q =
Ra+
V<P*{«2(0)
(7.40)
и in в развернутом виде
У Ф*{[Ог2(0 +о02(/)] (1-VA2) -2vA(l+VA)(7r(0cj9(^)}
(7.41)'
Анализ изменения длительной прочности однонаправленно ар-
мированного слоя согласно выражению (7.41) показывает, что
мсньшение поперечной прочности во времени тем более выра-
1 ено, чем выше степень ползучести полимерного связующего.
1 и носительное объемное содержание волокон ф для пластиков
высоким соотношением модулей упругости ЕВ[ЕА в попереч-
ном направлении (стекло- и боропластики) мало влияет на за-
। он изменения поперечной прочности Дд+(Д) (рис. 7.7).
Для углепластиков (ЕВг/Еа~2) изменения Дд+(^*) тем бо-
не выражены, чем выше коэффициент армирования ф. На рис.
8 представлена кривая относительной длительной прочности
••।ненаправленно армированного боропластика при поперечном
р к-тяжении, построенная согласно зависимости (7.41) при
• ц/Еа=Ю0; va = 0,35; vb = 0,23; ф = 0,6; СА = 0,0033 мин-1; аА —
0,0289 мин-1. Там же представлены экспериментальные ре-
а штаты [76].
138
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
В случае продольного сдвига (<ох> = 0) согласно выражению
(7.36) длительная прочность слоя определяется выражением
о 4- г	р*	1 — —
Tu(tJ=-^= l + 2j/(A(Z,-T)dT	2,	(7.42)
VI+va L	0
или с учетом (7.39)
7|i(M = 7’^{<P*[1]}~F = 7’^(^)-	(7.43)
Приведенные зависимости длительной прочности относятся к
случаям нагружения в направлениях упругой симметрии слоя.
Теперь рассмотрим случай одноосного длительного растяже-
ния однонаправленно армированного слоя под углом р к на-
правлению армирования. В осях, совпадающих с направлением
армирования, напряжения определяются выражениями
<сг|1> = cos2 р<Щз>;
<crx> = sin2 р<О|з>;	(7.44)
<ru> = cos р sin р<О|з>.
В момент разрушения <. <т р> =/?р+ и зависимость длительной
прочности слоя на растяжение от структуры его строения и угла
Р согласно выражениям (7.35), (7.36) с учетом (7.44) прини-
мает следующий вид:
а)	при ctg pCfli (/)
7? д4-
#₽+(/*) =----------------—------------------;	(7.45)
1
sin p{cp*[a2(Osin2 P + a3(Oc°s2
б)	при ctg-p>ai(£)
/?а+
/?₽+(М ='----------------------------------------------------.
1
sin Р{ф*[щ(0 sin2 p + n5(Z)cos р sin p + a6(/)cos2 p]} 2
(7-46)
На рис. 7.9 представлена зависимость прочности на растяже-
ние однонаправленно армированного стеклопластика от дли
дельности постоянного нагружения и угла р, построенная по
формулам (7.45), (7.46) при ЕВ1ЕА=--2(У, va = 0,35; vb = 0,23; ф-
= 0,51; /?а+=63 МПа; СА = 0,0143 мин-1; па = 0,0315 мин -1. Экс-
периментальные результаты взяты из работы [99].
В случае пренебрежения параметром ое(^) по сравнению е
стг(/), как эт0 было предложено для случая кратковременною
7.2. Длительная прочность при разрушении связующего
139
, МПа
Рис. 7.9. Зависимость длительной прочности на ра-
стяжение однонаправленно армированного стекло-
пластика от угла его ориентации относительно на-
правления армирования в случае разрушения поли-
мерного связующего
нагружения в работе [57], получаем следующие удобные для
практического применения выражения для оценки длительной
прочности однонаправленно армированного слоя:
а)	при <Tni>/<o±><or(01/'VA
Ф* {<(71 >?[аЛ (0 (1 -VA2) ] + <тц1>2[2 (1+VA) ]} = (/?а+)2;
(7.47J
140
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
б)	При <TU>/<^l>>O'r(0'l/VA
Ф*К<7±>2[0,5<7г2(0 (1-va2)] 4-<ах><т||±>[аг(/) (1+va)] +
+ <tu>2[1+va]} = (/?a+)2.	(7.48)
При этом поверхность длительной прочности слоя в осях {од.},
<тц±> и t сводится к двум участкам.
7.3. ЗАВИСИМОСТЬ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ
ОДНОНАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННОГО СЛОЯ ОТ
ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ волокон И СЦЕПЛЕНИЯ
МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ
Длительная прочность однонаправленно армированных слоен
в случае разрушения сцепления определяется величиной и со-
отношением напряжений и <тцх>. Для кратковременной
задачи прочности слоя по результатам численного моделиро-
вания процесса разрушения было показано, что разрушение
сцепления в наиболее нагруженных точках слоя приводит к его
разрушению [31]. В случае длительного нагружения принимаем,
что разрушение сцепления в наиболее нагруженных точках
также является началом лавинообразного разрушения слоя. На
основе зависимости (7.18) получаем условие длительной проч-
ности однонаправленно армированного слоя при плоском напря-
женном состоянии в случае разрушения сцепления [20]
<<ji>
f ^сгг(т)
J9 /?6(^-т)
{<Я±>
сДгДт)
т)
}2
= 1.
(7.49)
Для пластиков, у которых изменением коэффициентов концен-
трации напряжений во времени можно пренебречь (бороплас-
тики), критерий (7.49) упрощается и имеет вид
<Oj>Or	Г <TiiX>Trz I2
Дь(/*)	I Т’б(Д) J
(7.50)
Частными случаями критерия прочности (7.49) являются кри-
терии прочности при Д = 0 и ^->оо
<о±>
о?(0, со) f Trz(0, оо) V,
/?6 (0, со) + I <Т"7’ДО, ооТ )
(7.51)
7.3. Длительная прочность при разрушении волокон и сцепления 141
II случае длительного поперечного растяжения или продольного
। двига из критерия (7.49) получаем
Я±+(М =	(,52) о °b(^ т)
n±(Q =	:	]' .	(7.53) Н 7’ь(^-т) J
I ели однонаправленно армированный слой растягивается под
\ । лом р к направлению армирования, то напряженное состоя-
ние в осях упругой симметрии определяется зависимостями
(/.44), а критерий прочности (7.49) принимает вид
<оЖ)+<°1>Ж) = 1;
I _
4(/j=sin2pJ^r(T2---;
и Аь(** т)
(7.54)
(7.55)
(7.56)
t -
Н* б/тгг(т) V
0 lb(t* т) J
Г> предельном состоянии	и, решая уравнение (7.54)
нюсительно получаем
y42(M+4B(Q-4(Q
(и = йй “
(7.57)
'м периментальное исследование при длительном растяжении
иц углом р к направлению армирования однонаправленных
. метиков позволяет косвенным путем определять длительные
(ричностные характеристики сцепления. Неизвестные параметры
тпсимости (7.23) определяются методом наименьших квад-
нов по кривым длительной прочности исследованием на ми-
'нмум величины S:
У1 , Д f n+O) n+(j) ч2
1 У | 7?P,3Kcn77?g,Teop Д	(7 58)
М /?+<’>
J	Л0,эксп
/?^эксп — экспериментальное значение прочности слоя;
’ |',,,р — теоретическое значение прочности слоя, рассчитанное
 (7.57) при соответствующих параметрах эксперимента (£*,
); М — число экспериментальных значений.
142
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
Рис. 7.10. Зависимость дли
тельной прочности на рн
стяжение одионаправлешю
армированного углепласти
ка от угла его ориентации
относительно направлении
армирования в случае ра*
рушения сцепления при
7=114,7 °C
Для определения параметров длительной прочности сцепле-
ния (7?&(0), Т’ь(О), ait bi,...) на алгоритмическом языке ФОР-
TPAH-IV разработана и отлажена на ЭВМ серии ЕС соответ-
ствующая программа. В качестве метода численной реализации
поиска минимума величины S использован метод сетчатого по-
иска, выбор которого обусловлен многоэкстремальностью функ-
ции (7.58) при аппроксимации Rb(t) и Tb(t) в виде (7.24). При
0 = 90° получаем характеристики функции Rb(t), а при О°<0<
<90° — функции Tb(t). Для использования разработанной прог-
раммы необходима уверенность в том, что разрушение пласти-
ков происходит вследствие разрушения сцепления. Обзор раз-
личных методов анализа причин разрушения армированных
пластиков приведен в работе [31].
В работе [78] представлены экспериментальные результаты
по длительной прочности однонаправленно армированных тер-
7.3. Длительная прочность при разрушении волокон и сцепления 143
Гис. 7.11. Зависимость
[лительной прочности
па растяжение однона-
правление армированно-
н) углепластика от угла
«то ориентации относн-
юльно направления ар-
мирования в случае раз-
рушения сцепления при
Т= 128,0 °C
Rjd , М По
мостойких эпоксидных углепластиков в диапазоне температур
110—160 °C. Стремление авторов описать температурно-времен-
ную зависимость прочности исследуемого пластика как однород-
ного материала при различных углах нагружения 0 с помощью
параметра Ларсона—Миллера не дало удовлетворительного ре-
зультата. Прочностные характеристики сцепления аппроксими-
рованы в виде выражения (7.23) при N—1 и рассчитаны с по-
мощью разработанной программы для экспериментальных ре-
зультатов [78] (табл. 7.1, 7.2).
Зависимость длительной прочности на растяжение однона-
правленно армированного углепластика (ЕВг/Ел~2-, EBz!EBr = 20‘,
ф = 0,6; va = 0,35; vBer = 0,40; vBzr = 0,25) от угла его ориентации
в случае разрушения сцепления при различных температурах
представлена на рис. 7.10—7.13. Теоретические кривые постро-
ены по зависимости (7.57) при значениях параметров, приве-
144
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
t, ч
Рис. 7.12. Зависимость
длительной прочности па
растяжение одионаправ
ленно армированного
углепластика от угла
его ориентации относи-
тельно направления ар-
мирования в случае
разрушения сцепления
при Т= 141,3 °C
Таблица 7.1
Прочностные характеристики сцепления на отрыв
Т, °C	ч-’	Ь,	Я6(0), МПа	м	S, %
114,7	0,9630	0,1887	60,389	5	1,36
128,0	0,6205	0,2158	52,509	6	2,96
141,3	0,7016	0,2558	41,190	5	3,79
154,6	0,3828	0,0812	20,485	6	2,85
Таблица 7.2 Прочностные характеристики сцепления на сдвиг					
Т, °C	аь ч->	Ь.	Ть(0), МПа	м	S, %
114,7	1,0100	0,3546	112,516	1	2,65
128,0	1,0190	1,0055	93,002	9	2,85
141,3	1,9221	1,0555	82,495	11	7,64
154,6	0,9298	0,5444	37,055	9	4,65
7.3. Длительная прочность при разрушении волокон и сцепления 145
Гис. 7.13. Зависимость
। штельной прочности на
|мстяжение одионаправ-
к’нно армированного
.ыепластика от угла
• ю ориентации отиоси-
кмьио направления ар-
мирования в случае раз-
11 \ шеиия сцепления при
Т= 154,6 °C
юнных в табл. 7.1, 7.2, а экспериментальные результаты взяты
ns работы [78]. Анализ результатов, представленных на рис.
<10—7.13, показывает, что прочность на растяжение слоя су-
щественно зависит от угла нагружения. При уменьшении угла
|> все большую часть напряжений воспринимают волокна. Пре-
юл длительной прочности /?р+Цф-»-оо) составляет 75—80% от
кратковременных значений в диапазоне 45°^р^90°.
Длительная прочность однонаправленно армированного слоя
н случае разрушения волокон определяется величиной и зна-
ком <сгц>, так как напряжения <сг±> и ^тц±> несущественно вли-
пот на напряженное состояние волокон стекло-, боро- и угле-
пластиков [55]. В работе [10] показано, что при постоянном
и.1гружении в направлении армирования слоя перераспределе-
ние во времени напряжений в волокнах оВг(/) не превышает
’ -3% от obz(O). Аналогичный результат экспериментально был
in мечен в [87], где на примере эпоксидного однонаправленного
< । еклопластика было показано, что уменьшение прочности при
ристяжении в направлении армирования практически одинаково
10 — 482
146	Глава 7. Структурная теория длительной прочности
50	Рис. 7.14, Кривая длительной прочности пи
растяжение в направлении армирования эпок
С СУТ	сидного боропластика
при ползучести и'релаксации. Следовательно, можно считать,
что при постоянном нагружении напряженное состояние воло-
кон не меняется во времени. Тогда
OBz(t) =СГВг(О)-----------=----------(7.59)
Е-В
причем для высокопрочных стекло-, угле-, и боропластиков
Овг«1|5<О||>-	(7.60)
Применяя критерий (7.26), получаем условие длительной проч-
ности однонаправленно армированного слоя в случае разруше-
ния волокон при растяжении
<рц>
т|)7?в(^)
(7.61)
На рис. 7.14 приведено сопоставление экспериментальных ре-
зультатов [56] по длительной прочности растяжения эпоксид-
ного боропластика (ф = 0,67) с теоретической зависимостью, по-
строенной по критерию (7.61) при 7?в = 2,17 ГПа; W=l;
= 0,098 сут-1; Ьх = 0,417; /?в(оо) = 1,53 ГПа.
7.4. НАРУШЕНИЕ СПЛОШНОСТИ СЛОИСТЫХ
АРМИРОВАННЫХ ПЛАСТИКОВ ПРИ ДЛИТЕЛЬНОМ
ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ состоянии
Нарушение сплошности слоистых армированных пластикон
определяется разрушением отдельных наиболее нагруженных
слоев. Нарушение сплошности многонаправленных (и^З) плас-
тиков не обязательно приводит к их полному разрушению (до

7.4. Нарушение сплошности при длительном нагружении
147
i гижение предельного состояния). Однако растрескивание плас-
Н1КОВ вызывает изменение их деформационных характеристик,
нарушает герметичность конструкций и резко понижает их со-
противляемость действию агрессивных сред. Поэтому в зависи-
мости от эксплуатационных требований нарушение сплошности
пластиков может рассматриваться как условие прочности. Кроме
юго, нарушение сплошности косоугольно армированных ма-
1ериалов при произвольном нагружении или ортогонально ар-
мированных при наличии напряжений сдвига в осях армирова-
ния является одновременно причиной их предельного состояния.
Поэтому актуальной проблемой механики слоистых пластиков
является построение поверхности нарушения их сплошности.
Рассмотрим многонаправленный пластик с заданной струк-
турой строения (см. рис. 4.1). В соответствии с методикой, из-
ложенной в главе 6, по известным вязкоупругим свойствам
слоев, определяемым экспериментально или аналитически по
свойствам компонентов, рассчитываем длительное напряженное
состояние слоев в виде
<Oll(0^> = <Qll(0)i>/l|I(0;
<о±(0(> = <а±(0)г>Г1г(0;	(7.62)
<ш(Ф>=Ы0)/>ЫО,
1де fji(t), /=П, -L, II-L, — безразмерные функции времени.
В случае численного расчета прочности пластика с исполь-
юванием ЭВМ целесообразно зависимость (7.62) заменить со-
вокупностью дискретных значений	/=||, _1_, ||±, i =
= 1,...,п, с шагом А/, определяемых по методике, изложенной
и [24]. Тогда поверхность длительной прочности армированного
пластика определяется пересечением поверхностей длительной
прочности слоев в осях Nx, Nv, Nxy, t. В свою очередь, причиной
разрушения слоя может служить разрушение волокон, полимер-
ного связующего или сцепления между ними. Поэтому крите-
рии длительной прочности слоистого пластика в случае нару-
шения сплошности в зависимости от причин разрушения прини-
мают следующий вид [5]:
а)	разрушение волокон i-ro слоя (i = 1,..., п)
f ^<О|1(т)г)
О ф₽в(^-т)
t
/„ZAAxf*
= <CF[|(O)i> J 77-------ГТ
о /<в(г*-т)ф
(7.63)
б)	разрушение полимерного связующего i-ro слоя (i =
= 1,..., п)
<Tu(i)r>}^l,	(7.64)
или в развернутом виде по (7.35), (7.36) при условии
<тщ(0{>/<о±(0г> ^a*i(i)
ю*
148
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
фЧ<^(0)1>2Р(0 + <Ри(0)ф2а%(0)С (^а+)2,	(7.65)
а в случае
<тц(0<>/М) z»a*i (О
имеем
Ф* {<о± (0) г>2а% (0 + <а± (0) {><ти (0) г>а% (0 +
+ <т||±(0){>2а*6(0}^(^+)2.	(7.66)
Здесь выражения а*р), /г=1,... ,6, определяются по соответст-
вующим выражениям (7.37) с заменой по правилу
щ(0^^г(0; ае(О^^е(О-	(7.67)
Выражения о*г(0, °е(0 получаем в соответствии с методикой,
изложенной в параграфе 6.2:
t
(0 i=(0 Or (0) + J f±i (г) K.T (t - т) dr,
(7-68)
a*9(P = MOae(0) + J fu(r)Ke(t-r)dv,
о
в)	разрушение сцепления i-ro слоя (i=l,...,n):
f* d [a%(t) y<o± (Op] ( f d[?rr(T)i<TU(0),>] 12 <
Jo Я.Р-т) Ч ПР-т) J ^’769)
откуда
где в соответствии с методикой, предложенной в параграфах
6.1, 6.2,
t
т*гР)/=ЬР)тгг(0)+ f fUi(r)^(i-T)dr. (7.71)
о
Рассмотрим длительное предельное состояние косоугольно
армированного пластика при одноосном постоянном нагруже-
нии в направлении оси упругой симметрии (A^2 = jVi2 = 0). На-
7.4. Нарушение сплошности при длительном нагружении
149
пряженное состояние в слоях пластика согласно зависимостям
(.‘>.58) определяется выражениями
<сгц(О>.=М [cos2 р —2 sin Р cos Р щ2(0 ]/h;
<<j±	= [sin2 p + 2 sin p cos ^vi2(t)]jh;	(7.72)
<тцi (t)) = Nt [sin p cos p + (cos2 p — sin2 P) Щ2 (0 ]/h,
i де h — толщина слоистого пластика;
М)=М)Ж	(7.73)
Учитывая, что в момент разрушения Rt—Nt/h, согласно вы-
ражению (7.63) прочность пластика в случае разрушения воло-
кон определяем зависимостью
d[cos2 р —2 sin Р cos р 012 (т) ] I-1
^в(^-т)	J ’	1	’
/?1+(М={ J
о
В случае разрушения полимерного связующего при ^crj_(0>>0
(что соответствует г712(^) >0,5tg Р) согласно зависимостям (7.65)
п (7.66) прочность косоугольно армированного пластика опре-
деляется выражением
ф* {£i +	(О + йз+22 (О}1/2
при
_	a*!(Z)sin2p —sinpeos р
012	~~~ cos2 р —sin2 р —2n*i (/)sin Р cos р
или
*	ф*{§4 + £5Й12(0 +§'бЩ22(0}‘/2
при
(^)sin2 р —sin р cos р
12	> cos2 р —sin2 р —2а*1 (0 sin р cos р
Здесь использованы следующие обозначения:
gi = а*2 (0 sin4 р + а*з (i) sin2 р cos2 р;
g2 = a*2(t) -4 sin3 р cos р + а*3(/) • 2 sin р cos р (cos2 р —sin2 р);
g3 = a*2(t) -4 sin2 p cos2 P + «*3(0 (cos2 p —sin2 p)2;
= л*4(^) sin4 p + a*5(^) sin3 p cos p + a*e(£)sin2 p cos2 p;
g'5 = «*4(^) -4 sin3 p cos P + n*5(O (3 sin2 p cos2 p —sin P) +
+ а*б(О • 2 sin p cos P (cos2 p —sin2 p);
§6 = <7*4(0 -4 sin2 p cos2 p + a*s(O -2 sin p cos p(cos2 p —sin2 p) +
+ a*6(0 (cos2 p-sin2 p)2.
150
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
В случае разрушения сцепления между волокном и связующим
согласно зависимости (7.70) получаем
п \	+ —g2
(U-------2Й
(7.77)
где
i*	—
f d {[cos2 р — 2 sin р cos рv12 (т) ] сг% (т)}
§7~ 0J ;
£* —
_ Г d{[sinpcosp+(cos2p —sin2p)tJi2(T)]T*,.2(T)}
ft_J —:
На рис. 7.15 сопоставлены экспериментальные результаты
[76] по длительной прочности косоугольно армированного би-
ропластика с ориентацией волокон р = 45° при одноосном рас-
тяжении с теоретической зависимостью, построенной по выра
жениям (7.75), (7.76) при Ев/Еа=№0', тр = 0,6; va~ 0,35; vB
= 0,23; Ка(1~т) = CAexp[ — aA(t — т)]; СА = 0,0033 мин-1; ал
= 0,0289 мин-1. Здесь использовано условие, что прочность сцен
ления борных волокон с эпоксидным связующим выше проч
ности этого связующего. Отметим, что разрушение волокон ко
соугольно армированного пластика имеет место лишь при ма-
лых углах р.
При двухосном нагружении (A/'i2 = 0) напряженное состоя
ние слоев косоугольно армированных пластиков определяется
зависимостями
,<ац (0 > = {М [cos2 р — 2 sin р cos рщ2 (t) ] +
+ A72[sin2 р —2 sin р cos pw'i2(0]}-^-
<од (0>= {M [sin2 p + 2 sin p cos рщ2(0] +
+ A^2[cos2p + 2sinpcospy/I2(/)]}
<tiij.(O>= {A^i [sin p cos p+ (cos2p-sin2p)6i2(0]+ ^7’7H^
+ iV2[sinp cosp— (cos2 p —sin2 p) ti'i2 (/) ]}
где
P) =vi2(t, 90°-p).
Подставляя выражения (7.78) в критерии прочности (7.63)
(7.70), получаем уравнение поверхности прочности косоугольно
7.4. Нарушение сплошности при длительном нагружении
151
/ не. 7.15. Изменение отио-
|пельиой длительной проч-
ном и иа растяжение косо-
мольно армированного бо-
ропластика во времени
армированного пластика при двухосном напряженном состоянии.
В качестве примера рассмотрим нагружение внутренним давле-
нием р трубы, выполненной из слоистых армированных плас-
Н1К0В со структурой строения [±0]. Тогда Nilh=p\ N2/h = 0,5 р.
Используя выражения (7.63) — (7.70), разрушающее значение
а пишем в следующем виде:
а) в случае разрушения волокон
/ Г d[cos2,p — 2sin0cospt42(t)]

б) в случае разрушения полимерного связующего
= RA+J{<s>*{gi+g2vl2(t) + g3vi22(t) +
+ 0,25[g'i + g'2v' 12(0 + g'3(^12(t) )2] +£9+
+ £10^12(0 +Ян^/12(0 +gi2^i2(i)v'i2(t)}}i/2,	(7.80)
• ели
щ2(0 [cos 20 — 4a*i (Z)sin 20] — v'i2(0 [0,5 cos2 0 +
+ 2a*i (0 sin 20] <:3n*i (i) — a*i (t)cos 20 —3 sin 20;
иначе
P*(0) =Ra+/{<P* {g'4 + g'5^12(0 +§6^122(0 +
+ 0,25[g'4 + g'/5W/i2(0 + g'e (v'i2(0 )2] +gis +
+ §14Щ2(0 +§15П/12(0 +§1бЩ2(0 v’xzit)}}1/2.	(7.81)
> (есь
§s= sin2 0 cos2 0 [a*2 (0 + a*3 (t) ];
gio = sin 0 cos 0[2cos2 0n*2(O +cos 20a*3(/)];
152
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
gn = sin р cos р [2 sin2 ра*2 (/) — cos 20а* 3 (/) ];
g12 = 4 sin2 р cos2 ра*2 (t) — cos2 20a*3 (t);
gi3= sin p cos p{sinp cos p[a*4(/) +a*6(/)] +0,5a*s(£)};
£14=2 sin p cos3 pa*4(^) +sin p cos p cos 2pa*6(/) +
+ 0,5 cos2 pa*5(/);
£15 = 2 sin3 p cos pa*4 (/) — sin p cos p cos 2pa*6 (t) +
+ 0,5sin2pa*5(^);
£16 = 4 sin2 p cos2 pa*4(/) — cos2 2pa*6(/);
g'AM)=^(90°-p,0, /=!,..., 16;
РАЮ =
в) в случае разрушения сцепления
V[g7 + 0,5£/7]2 + 4£8 + 2£/8 — g?— 0,5£'7
2gs+g's
На рис. 7.16 представлены результаты расчета зависимости
р* от длительности нагружения при р = 50° для стеклопласти
ков на эпоксидном (£s/£A = 20; тр = 0,6; 6^ = 0,00245 ч~аА
= 0,00418 ч-!) и фенолформальдегидном (£в/-Еа = 20; ф = 0,6,
6^ = 0,00293 ч-1; Па = 0,00763 ч-1) связующих. Теоретические
кривые построены по формулам (7.80), (7.81), а эксперимеп
тальные данные взяты из работы [77]. Анализируя результаты,
представленные на рис. 7.15, 7.16, делаем вывод о том, что от
носительное изменение прочности слоистого пластика (в данном
случае — косоугольно армированного) во времени при длитель
ном нагружении меньше, чем изменение прочности однонаправ
ленного материала (при одинаковых механических свойствах
компонентов). Это объясняется тем, что в процессе вязкоупру
того деформирования слоистой структуры происходит перерас
пределение напряженного состояния в слоях. Как было отме-
чено в главе 6, при постоянном нагружении, как правило, про
исходят увеличение напряжений в направлении армирования
Относительная
разрушающего
давления для
армированных
Рис. 7.16.
зависимость
внутреннего
косоугольно
стеклопластиковых труб ш»
эпоксидном (/) и фенол
формальдегидном (2) свя
зующих от длительности на
гружения: О — эпоксидное
связующее; ф — фенол
формальдегидное связут
щее
7.5. Предельное состояние при длительном нагружении
153
Ед Ю)/Ед (»)
Рис. 7.17. Зависимость предельной прочности косоугольно арми-
рованных стекло- (а) и углепластиков (б) при 7?л+(0) = 1 от
степени ползучести полимерного связующего в случае одноосного
растяжения:
3 = 10° (/); 15 (2); 20 (3); 30 (4); 45° (5)
Ед(О)/Ед(«)
<сгц(Ог> и уменьшение напряжений <сгд_(£)г> и <т;ц (/),>, что об-
условлено возрастанием компонент тензора податливости слоев
'>22(’)(0, 5e6(i)(0- Поэтому уменьшение прочности пластика во
времени частично компенсируется слоистой геометрией строе-
ния. Это видно на примере зависимости предела длительной
(/*_>оо) прочности при растяжении косоугольно армированных
< текло- (£в/£а = 20; ip —0,6) и углепластиков (ЕВг/ЕА = 2-
EBzlEBr=2fr, ip = 0,6) от степени ползучести полимерного связу-
ющего (принимается, что причиной разрушения пластика явля-
ется разрушение связующего) (рис. 7.17). Следует отметить,
что изменение во времени поверхности длительной прочности
слоистых пластиков близко к афинной трансформации. Причем
анизотропия длительных относительных прочностных свойств
пластика (7?гД0/Ец(0)) тем выше, чем существеннее реоном-
иые свойства его компонентов.
7.5. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТЫХ
АРМИРОВАННЫХ ПЛАСТИКОВ ПРИ ДЛИТЕЛЬНОМ
ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ состоянии
Нарушение сплошности таких видов слоистых пластиков, как
косоугольно армированные, в общем случае плоского напря-
/кенного состояния является причиной полного разрушения этих
154
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
материалов. Однако процесс разрушения трех и более направ-
ленных материалов или ортогонально армированных материа-
лов при двухосном нагружении в направлении армирования
имеет многоступенчатый характер. После нарушения сплош-
ности пластиков в результате разрушения сцепления или поли-
мерного связующего в отдельных наиболее нагруженных слоях
материал способен воспринимать внешнюю нагрузку, так как
разрушенные слои продолжают воспринимать нагрузку в на-
правлении армирования. При дальнейшем увеличении нагрузки
или возрастании длительности ее действия происходит растрес-
кивание (разрушение сцепления или связующего) в других
слоях и, наконец, предельное состояние пластика наступает при
разрушении волокон. На каждой ступени разрушения пластика
происходит скачкообразное перераспределение напряжений, и
лишь после разрушения наиболее нагруженных волокон начи-
нается лавинообразное разрушение всего материала.
Определение напряженного состояния в слоях пластика и
момент, предшествующий наступлению его предельного состоя-
ния, должно в общем случае осуществляться на основе анализа
процесса разрушения отдельных слоев. Однако в первом приблп
жении можно считать, что в этот момент все слои пластика
исчерпали возможность воспринимать сдвиговые и поперечные
напряжения и слои работают лишь в направлении армирования.
В работах [52, 55, 70] показано, что для реальных много-
направленных стекло-, боро- и углепластиков нагрузки, вызы-
вающие их предельное состояние и разрушение первого слоя,
различаются примерно на порядок. Поэтому для определения
предельного состояния при длительном статическом нагруже-
нии пренебрегаем прочностными свойствами слоя в поперечном
направлении и при сдвиге, т. е. принимаем, что компоненты мат-
риц жесткостей слоев Q22, Q12, Qee равны нулю.
Рассмотрим предельное состояние при длительном произ-
вольном плоском напряженном состоянии четырехнаправлен-
ного пластика, представляющего собой комбинацию косоуголь
ной и ортогональной схем армирования со следующей структу
рой строения: mp=0<> = mI; т^ = т-р= (l — mi — m2)/2; тр=ЭОо = т2.
В соответствии с введенным допущением матрицы жесткости
слоев [Qp] записываются в виде
[Qp]=£’h(O
cos4 р
sin2 р cos2 р
sin р cos3 р
sin2 р cos2 р
sin4 р
sin3 р cos р
sin р cos3 р
sin3 р cos р
sin2 р cos2 р
, (7.83)
где — модуль упругости слоя в направлении армирования,
причем, как было показано выше, ползучестью слоев в напран-
лении армирования можно пренебречь, т. е. E\\(t)=E^. Согласно
7.5. Предельное состояние при длительном нагружении
155
; а виси мости (8.4) матрица упругости четырехнаправленно ар-
мированного пластика имеет следующий вид:
	' тх + Ьт cos4 р	т sin2 2р	0
[Q] =£„	т sin2 2р	/п2 + 4/п sin4 р	0
	0	0	т sin2 2р _
i	(7-84)
I де т = ~^ (1 —mi —т2). В этом случае деформации пластика оп-
ределяются зависимостями:
/7 хх Ni Im2+ (1 -тх-т2)sin4р]
«81>? =-7Ъ---------------X---------------
hE[{	Д
N2	[1 —mi —m2]sin2 р cos2 р
Я£|1	А
х\	[wi+ (1—mi —m2)cos4p]
<<.е2>/	----------------------------
hE[{	Д
М [1-m1-m2]sin2pcos2p
~~кЁ,	'	(7'85)
<<У12>>	(1 — mi —m2)sin2 р cos2 р
где
Д=т1/п2+ (1— тх — т2) (тх sin4 р + т2cos4p),
а напряжения в слоях в направлении армирования определя-
ются выражениями [6]:
сг[|^>|з=о° = [7ViZ?i j TV2&12] —;
(О]|>Р = 90о= [^1^12 + ^2^22] ~7~‘,
t	(7-86)
<О||>3 — [7Vi&3i + Л^2&з2 + Л^12&зз] —;
(CFll)>-₽= [7710з1+ Л^2&з2 —Л^12Ьзз] —.
Здесь
bxx = [т2+ (1 — тх — /п2) sin4 р]/Д;
&22= ["11+ (1 —"i[ —"i2)cos4 р]/Д;
6j2= — [(1 — тх — m2)sin2pcos2 р]/Д;
156
Глава 7. Структурная теория длительной прочности
&31 = m2 cos2 р/Д;
b22 = m\ sin2 р/Д;
&33 = [(1 — «i — m2) si пр cos р]-1.
Предельное состояние пластика определяется пересечением
поверхностей:
<O|l>i^/?ll+=ip/?B+, i=l,...,4,	(7.87)
так как при постоянном нагружении напряжения	посто-
янны. Окончательно получаем поверхность длительной проч-
ности четырехнаправленно армированного пластика в случае
расчета по предельному состоянию в виде следующей системы
уравнений:
N {Ьц +N2bl2^Ri\+(t^)h.;
N1bi2+N2b22^Ri\+(t*)h-,	(7 88)
Nibn + Л^з2+Л^зз^нЖ)^
Nib2i + N2b22 — Nl2bS2 ^^ц+(/ж)/г.
На рис. 7.18 представлены поверхности длительной прочности
четырехнаправленного пластика для случая Nit N2>0 со следу-
ющей структурой строения: mi=0,4; тг = 0,2; р = 45°. Штрихо-
вые линии построены по уравнениям (7.88) и соответствуют по-
верхностям разрушения каждого направления укладки. Заштри-
хованная область определяет поверхность прочности всего плас-
тика, которая афинно трансформируется во времени.
В частном случае трехнаправленных структур (т2 = 0) сог-
ласно (7.86) получаем
, . М N2 cos2 р
X СГ||/ ₽=0° =---’--1  9 „ ’
mih mi/ism2p
N2 ________________N_____________ ^7’89^
<О||>±з	(1 — mj/i sin2 p + (1 — m^h sin p cos p
(аналогичные выражения для случая трехнаправленных струк-
тур получены в работе [48]). Условие длительной прочности
трехнаправленно армированных пластиков по предельному со-
стоянию согласно зависимостям (7.87) с учетом (7.88) прини-
мает вид
Ni	N2 cos2 р	,
------------- 2 о~
1Щ	mi sinz р
A*2	__ У12
----------------------------------—---<
(1 —mi)sin2p (1 — mjsinpcos p
(7.90)
7.5. Предельное состояние при длительном нагружении
157
Гис. 7.18. Поверхности дли-
п-льной прочности четырехиа-
правлениого пластика, по-
коенные по условию Пре-
Н'ЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ При N|2 = 0
(а) и Л'2=0 (б)
Рис. 7.19. Поверхность дли-
тельной прочности трехна-
правлениого пластика, по-
строенная по условию пре-
дельного состояния при
Л'12=0 (/); 0,1 /?||+(1)/1 (2);
0,2	(3)
В качестве примера на рис. 7.19 представлена поверхность
длительной прочности трехнаправленно армированного плас-
шка со следующей структурой строения: mi =0,4; 0 = 45°. Сле-
дует отметить, что выражения (7.89) можно получить также из
\ равнений равновесия, так как трехнаправленный пластик, рас-
• читываемый по предельному состоянию, является статически
определимой системой. В случаях, когда условием расчета сло-
истых армированных пластиков является наступление предель-
ного состояния, целесообразно использовать не менее трех на-
правлений армирования, так как в противном случае наруше-
ние сплошности материала одновременно является и причиной
его предельного состояния. Исключение составляет случай двух-
осного нагружения ортогонально армированных пластиков в
направлении армирования.
II. МЕХАНИКА УПРУГОГО
КОМПОЗИТНОГО СТЕРЖНЯ
Глава 8. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЯ
8.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В СЛОЯХ
Расчетная схема стержня представлена на рис. 8.1. Напря-
жениями <QzX и можно пренебречь ввиду их относитель-
ной малости.
Обобщенный закон деформирования слоистого материала
имеет вид
где
(8-1)
h
I <о*>
А= J <оу>
h L (ЪхуУ
^*2
dz\
k
(8.2)
(8.3)
п
Afj', Bijt Dtj= (Qij)fe| (^fe hk—1)»	„ {hk hk-1),
k=i
] .	(8.4)
В обратной форме закон деформирования (8.1) имеет вид
f <е°> 1 _ Г А' \ В' j (АП
I k J I- 'В' D' J IM J
8.1. Определение нормальных напряжений в слоях
159
стержня
Рис. 8.1. Расчетная
схема
пли в развернутом виде
<ex°>l		А'ц А'12 A'ie	В'ц B'12 B'is		Nx	
<еу°>		A'21 a'22 A'2S	B'21 B'22		Nv	
		A'ei AJg2 A'gg	B'ei B'g2 B'ee		Nxy	
kx	—~	tn 1 J - | .11	D'w D'12 D'\g		Mx	
ky		B'i2 B'22 B'62	D'21 D'22 D'2g		My	
kxy		B'ig B'26 B'gg	D'g\ D'g2 D'gg		MXy	
						(8.5)
где A'ij, В'ц и D'ij — элементы обратной матрицы уравнения
(8.1).
160
Глава 8. Поперечный изгиб стержня
Из формулы (8.4) следует, что для слоистых пластиков, со
держащих косоугольно армированные слои, жесткости Di6 и
не равняются нулю и, таким образом, матрицы Di/ и D'ij содср
жат все элементы.
При комбинированном действии поперечного изгиба и осе
вой силы Nx=Nxy=My=Mxy=Q, Мх=£0, Л/ж=#0. В таком случае
из закона деформирования (8.5) вытекают следующие зависп
мости для определения деформаций срединной плоскости и крп
визны k-.
— A1 \\N х-\- В' \]МХ\	kx = B'uNx+D'uMx,
<(еу°>=Л/21Лгх + B'2i^x',	ky — В' 12^x4- D'2\Mx’,	(8.6)
(Тад0) = A'jd+В'61Л1Х; kxy — B'igNx+D'6iMx.
Из теории слоистых материалов следует, что напряжение в слое
k определяется по зависимости
{<а>4 = [«]И<е°>+^}.	(8.7)
В развернутой форме зависимость (8.7), например, для на
пряжения Отж>ь имеет вид
(Qu) iXex°), + (Q12) ь(еу°/ + (QieK^yxi/0) +
+2[ (Qn)hkx + (Qi2)kky+ (Qiejkkxy]-	(8.8)
Для определения <ож>ь при одновременном поперечном из
гибе и осевом нагружении в зависимость (8.8) следует подста
вить выражение для <е°> и k из (8.6). В таком случае, учиты
вая, что М = ЬМХ и N=bNx, получаем
N	М
(.<УхУк=-^-((Вк + zkQ3k) +	(Qzk + ZkQik) = NWi+MW2,	(8.9)
где
Qik = (Qii)M'ii+ (Q12) MZ2i + (QiejkA'ei;
<?2k— (Q11) кВ'и + (Q12)fc5'2l+ (<21б) kB'si',
Язь— (Q11) kB'n + (Qi2)fe7?/i2+ (QiejkB'ie;
<?4i*= (Qi 1) kD'n + (Qi2)fe7)/2i+ (Qse) kD's\,
lv7 (Bh + ^kQzh
b
lv7	<hh + Zhqth
1172 =--------- .
Формула (8.9) является законом распределения нормальных
напряжений по высоте поперечного сечения слоистого стержня
произвольной структуры. Следует отметить, что применение фор
мулы (8.9) не связано с определением положения нейтральной
8.1. Определение нормальных напряжений в слоях
161
<>си. Положение нейтральной оси стержня можно определить из
формулы (8.8) при <ОЛ:>й = 0.
Следует отметить, что в случае, когда B'ij = O, максималь-
ного _значения нормальное напряжение достигает там, где
/,[(Qn)fe£)'ii+ (Qi2)feD'2i+ (Qie)имеет максимум. В этом
включается одна из особенностей напряженного состояния сло-
истых стержней по сравнению с однородными стержнями, у ко-
юрых максимальные нормальные напряжения всегда возникают
в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси.
Если структура стержня симметрична относительно средин-
ной плоскости и число слоев достаточно большое, то =
.1'16 = 0 и D'&l = 0. В таком случае формула (8.9) упрощается к
виду
<ох>ъ=№3+М№<,	(8.10)
|де
1^з=-у[ (Qi 1) kA'i j + (Q12) М721];
^4=-у[ (Qu)feEJ'u + (Q12)ftE)'21].
В случае простого поперечного изгиба в вышеприведенные
формулы для определения следует подставить N=0.
Если соотношение пролета I и ширины b поперечного сече-
ния стержня достаточно большое, то при изгибе можно прене-
бречь влиянием составляющей матрицы податливости D'2l:
М _
(<Tx^k—Zk (Qu) hD'w.	(8.11)
При определении податливости D'u используем выражения
для Nx и Мх, полученные из зависимостей (8.2) и (8.3). Поме-
щая в эти выражения напряжение ^ox)k, определяемое по фор-
муле
(<Tx>k= (Qll) h (Сех°^ + 2й^ж),	(8.12)
после интегрирования получаем
Nx=А\\(кёх°') + B^kx,	(8.13)
А1Х=В\\(fixayD\\kx,	(8.14J
где Ли, В\\ и D\\ определяются по формуле (8.4).
Если к стержню не приложена осевая сила, т. е. Мс = 0, то
с учетом того, что М = ЬМХ, из уравнений (8.13) и (8.14) сле-
дует
Ж = [	kx.	(8.15)
11—482
162
Глава 8. Поперечный изгиб стержня
Выражение в квадратных скобках представляет изгибную
жесткость стержня
Р*и=-^-~ (Пи- b=E*J.	(8.16)
и 11 '	^11 '
Из формулы (8.16) получаем
D' Аи
“ ДцЯц-Вц2 '
При свободном изгибе опирание стержня позволяет ему сно
бодно скручиваться. Если скручивание стержня задерживается,
то такой случай будем условно называть чистым изгибом. Тогда
kxy~MxD'6l+МхуВ'66 = О,
откуда
Мху— М,
Из (8.5) следует
kxi=В' 11М х+В' 1 в МХу = М х
B'liD'ee—D'eiD'ie
В'66
Последнюю зависимость можно переписать в виде
д, _________В'вв_____
B'nB'66-B'6iB'16
kx = E**Jkx.
Учитывая, что
й3
12 ’
получаем следующую формулу для определения модуля упру
гости слоистого стержня при условном чистом изгибе:
Ь?[В'\\В'66—£)'б1/)'1б]
Если ширина стержня 6 = 1, то из (8.16) получаем формулу
для определения модуля упругости слоистого стержня при сн<>
бедном изгибе
£* =
Вц2\
Ли /
(8.П)
8.1. Определение нормальных напряжений в слоях
163
61
1'ис. 8.2. Диаграммы деформирова-
ния ортогонально (1 : 1) армирован-
ного пластика (а) и пластика, арми-
рованного тканью (б)
«е0», %
Следует отметить, что вышеприведенные зависимости отно-
сятся к случаю, когда отношение длины стержня к его ширине
достаточно большое. В таком случае можно пренебречь влия-
нием эффекта Пуассона (£>i2) и изгибной анизотропии (£)16).
Если структура стержня симметрична относительно его сре-
динной плоскости, то Вц = 0 и
D*n~Dnb-	(8.18)
(8.19)
<Ox>fe=zh-^^-M.	(8.20)
bDn
Многим видам армированных пластиков при растяжении
свойственно двух- или даже трехступенчатое разрушение, а при
сжатии разрушение обычно носит одноступенчатый характер.
п*
164
Глава 8. Поперечный изгиб стержня
Характерные диаграммы деформирования ортогонально ар
мированных пластиков и также пластиков, армированных тки
нями, представлены на рис. 8.2. После первой ступени разру
шения модули упругости слоистого материала на растяжение
и сжатие различаются, т. е. материал стал бимодульным, и
структура стержня стала несимметричной относительно его сре
динной плоскости. Для такого стержня Вц#=0. Таким образом,
формула (8.18) применима только до первой ступени разруше
ния растянутой зоны стержня. При дальнейшем увеличении па
грузки следует пользоваться более общей формулой (8.16), ко
торая учитывает эффект бимодульности.
По аналогии с напряжением из уравнения (8.7) вьпс
кают формулы для определения распределения по высоте попе
речного сечения стержня напряжений <оу>ь и ^ХхуУк
N	М
<cTy>fe=-^-(95fe+2fe?7fe) +"£~(<76k+2fe?6k) = AflFs+MW$, (8.21)
где
т qsk+Zkq7k
----------ь— ;
woe-------7----- 1
b
?5fe=	(Q22)kA'2i+ (Q26)kA'ei,
(Qi2)fe^/u+ (Q22)kB'2i+ {Q2e)kB'6l;
q?k=	(Q22)kB'i2+ (Q2e)kB'is,
qsh= (<212)fe^/ll+ {Q.22)kD'2\+ (Q26)hD\\,
N	M
(Sxy)k=~r(q2k-sr^kq\\ii) 4—T~(<7iofe + 2fe<7i2fe) =A^lF7 + AnF8,
(8.22)
где
M/7 —•----7------- ;
b
**' 8	1	j
b
<?9fe= (Qie) fee'll + (Q26)hA'2i + (QeeJM'ei;
<7iofe= (<21б)ь^/и+ (Q26)feS'2i+ (Qee) h.B' 6i;
<7ufe= (<21б)ь^/и+ (Q26)kB'i2+ (<2бб)й73'1б;
<712/»= (<21б)ДЭ/и+ (<22б)Д?/21+ (Qes) kD'si.
8.2. Определение касательных напряжений в слоях
165
8.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
В СЛОЯХ
Для определения закона распределения касательных напря-
жений по высоте стержня используем уравнение равнове-
< ня бесконечно малого объема слоя k (см. рис. 8.1). Принимая,
что слой k находится в плоском напряженном состоянии и на-
пряжения не зависят от координаты у, получаем уравнение рав-
новесия
d(,Txz>h_»
дх +~д~г ’
Для приближенного определения напряжений <тж2>й. следует
проинтегрировать уравнение равновесия:
—	— J	<^2.
Л
~ 2
Для слоистого стержня шириной Ь эта зависимость прини-
мает следующий вид:
h h(
—	2^ J ^z-	(8.23)
i=l
Напряжение <ож>2 определяется по формуле типа (8.8). Ис-
пользуя известную зависимость между изгибающим моментом
Л1 и поперечной силой S
получаем зависимость для определения производной напряже-
ний по X
^^ = S(qii+Ziq2i),	(8.24)
1 де
<71* = (Qu)i5'u+ (Qi2) iB'21 + (Qi6)<B'6i;
</21= (Qu) iD'n + (012)^'21+
учетом зависимости (8.24) формула (8.23) принимает вид
'	k h{
<Txz>fe=-У. f (qu+ztq^Sdz. (8.25)
166
Глава 8. Поперечный изгиб стержня
Выполняя интегрирование по слоям, получаем
<te>k=SW9l	(8.2(1)
где
k
W5=- ~ У, [ q^hi-h^+^q^-hL.) ] •
1 = 1
Максимальное значение касательное напряжение <rxz>s будет
иметь на расстоянии от срединной плоскости стержней, опрс-
k 1
деляемом из условия, что сумма 2 [qu(ht — 1ц_\) +nq2i(^ii
i=i
— fti-i2)] имеет максимум.
Если структура слоистого стержня симметрична относительно
срединной плоскости и число слоев достаточно большое, то
D'ei = 0',
qu=0; q%i= (Qn)iB'n + (QizjiD'zi
и формула (8.26) упрощается к виду
<тхг>й=-5Г10,	(8.27)
где
k
l(Qn)iD'n+ (Qi2)/Z)'2i] (fti2-/if-i).
2 = 1
Дальнейшее упрощение формулы (8.27) имеет место при D'2\
=0:
k
7Г--П тЕ («и).^!2-^-!).	(8.28)
20 U1iU22—U12 i=1
Пренебрегая влиянием поперечных эффектов, т. е. принимая
Z)12 = 0, получаем
к
<Txz>ft=- —^-El (Qn)i(^2-^-i).	(8-29)
i=i
Из вышеприведенных зависимостей следует, что для опреде-
ления касательных напряжений также нет необходимости опре-
делять положение нейтральной оси стержня.
Следуем отметить, что для слоистых систем характерным
является так называемый краевой эффект, в результате кото-
8.3. Критерии «рочности слоя
167
рого в зоне, равной примерно одной высоте стержня от его сво-
бодного края, будет образовываться объемное напряженное со-
стояние. Для уменьшения этого эффекта соотношение ширины
b и высоты h стержня должно быть достаточно большим.
8.3. КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ СЛОЯ
Допустим, что слоистый стержень состоит из однонаправ-
ленно армированных слоев, общие критерии прочности кото-
рого приведены в работах [55, 57, 58, 80]. Возможные вари-
анты ориентации произвольного слоя k представлены на рис.
8.3. В общем случае на слой k воздействуют напряжения
И ^Txz>fe.
Если слой k армирован в направлении оси стержня (см. рис.
8.3, а), то возможны два вида разрушения: а) разрушение во-
локон на растяжение или сжатие; б) разрушение связующего
или нарушение сцепления между волокнами и связующим.
В случае разрушения волокон можно пренебречь влиянием
(тцлХ и условие прочности для слоя k принять в виде
<ех>л = 8вв,	(8.30)
где и евн — предельные деформации слоя k и волокон.
Рис. 8.3. Варианты ориентации произвольного слоя, ар-
мированного в направлении оси слоистого стержня (а),
перпендикулярно осн стержня (б), под произвольным
углом к оси стержня (в)
168
Глава 8. Поперечный изгиб стержня
Полная деформация слоя k определяется по следующей за
висимости:
<еж> = <еж0>+2^ж.	(8.31)
В общем случае
<еж°) = A' nN х + В' цМх;
kx — В' \\Njd+D'
Помещая выражения для определения <ех°> и kx в (8.31) и
учитывая, что N=bNx и М = ЬМХ, получаем критерий (8.30) н
следующем виде:
А'цМ -{-B'nMA-Zk(B'nN+£)/цЛ4) =&8вд.	(8.32)
В случае разрушения связующего в слое k вследствие воз
действия напряжений	и <Т|Ш\ (см. рис. 8.3,а) це-
лесообразно ввести следующие допущения:
а)	влияние напряжения <оц>й на напряженное состояние свя
зующего пренебрежимо мало;
б)	влияние взаимодействия между напряжениями	и
<тцяХ на прочность связующего пренебрежимо мало.
При таких допущениях слой k разрушается на продольный
сдвиг и его прочность определяется по зависимости
SlFg^,	(8.33)
где ТА — прочность связующего на сдвиг.
У некоторых видов армированных пластиков, например у
углепластиков, прочность сцепления между волокнами и связу
ющим обычно меньше прочности связующего. Применяя критс
рий прочности сцепления, предложенный в работах [55, 57, 801.
получаем зависимость (8.33) в виде
SF9=^-.	(8.34)
Тг2
Если слой k армирован перпендикулярно оси стержня (см
рис. 8.3, б), то на него воздействуют напряжения <ац>ь, п
Принимая, что напряжение <ов>й практически не влияет на
напряженное состояние связующего, получаем критерий проч
ности для слоя k в виде
(aj.2>fc+2<r.u>fc (1 +v±k) ±
<а±2Х+4<тЬ>ь = 2(/?±+)й2,	(8.35)
где удц и (7?л+)й — соответственно коэффициент Пуассона и
8.3. Критерии прочности слоя
169
прочность на поперечное растяжение однонаправленно
ванного слоя k. В рассматриваемом случае при р = 90°
<o.L>ft=Wi + MF2;
<Tj_ л>й = 5П79.
армиро-
(8.36)
Помещая выражения для определения напряжений
и <т±я>* в критерий (8.35), получаем
(Wi + jW2)2+2(l + vj.K)S2W± (Wi +
+ MW2) у (N + М Г2)2 + 4S2 W=2 (R х+) ft2,	(8.37)
где [55, 57]
(/?x+)fe=-^ ЛЛ+	^2— •	(8.38)
]/ar2 + Oz2 — 2vAOraz	oryi— vA2
Характерный вид разрушения связующего при поперечном
растяжении стеклопластика представлен на рис. 8.4.
Если прочность сцепления меньше прочности связующего, то
прочность на поперечное растяжение, входящая в критерий
(8.38), определяется по формуле [81]
(Я±+)й=-^-.	(8.39)
В случае разрушения слоя k вследствие поперечного сжатия
критерий прочности имеет вид
(W1 + M1F2)2 + 2(1+vik)SW+(AWi +
+ MlF2)y(Wi + MlF2)2 + 4S2№92 = 2(/?i-)ft2,	(8.40)
где прочность однонаправленно армированного слоя k на попе-
речное сжатие	определяется по формуле [55, 57, 81]
(flx-h=3,5
(8.41)
Если слой k армирован под произвольным углом р/г по отно-
шению к оси стержня, то напряжения (.ПуХ, <тХу\, <.огхХ и
'txz)k вызывают следующие напряжения в направлениях упру-
гой симметрии слоя (см. рис. 8.3, в) :
<O|i>h = cos2 pk + <ау> h sin2 + 2<Txy>h cos рк sin Pm (8.42)
<tfj_>fe = <Ox>feSin2 Pfe + <orj/>feCOs2Pfe-2<Txy>fe cos PfeSin p&; (8.43)
<t||j.>fe= (<.Oy>s-<Ox>fe)cos pft sinpft-
—<Txy>fe(cos2 pfe — sin2 pft);	(8.44)
<Ял>/1«<Тхг>йСозР/г;	(8.45)
<Tj. л>к=» <TXZ>k sin pft.	(8.46)
170
Глава 8. Поперечный изгиб стержня
Рис 8 4. Вид разрушения однонаправленно армированного эпоксидного стекло
пластика при поперечном растяжении (Хоио)
Рис. 8.5. Схема для определения знака к»
сательного напряжения (txy)h
8.3. Критерии прочности слоя
171
В зависимостях для определения <ац>ь, ^o±>h и <тщ>ь необ-
ходимо учитывать знак касательного напряжения <.тху>ь по
схеме, представленной на рис. 8.5.
Помещая в формулы (8.42) — (8.46) выражения для опреде-
ления напряжений <ож>л, <ау>ь и <тху>у, получаем
NFi +MF 2,	(8.47)
где
Fi = Wi sin2 Рл + IF5 cos2 Pfe—21F7 cos Рл sin ph;
F2= W2 sin2 P&+ 1F6 cos2 Pfe— 2W8 cos Ph sin Ph;
<тцл>л = ^з + ^4,	(8.48)
где
F3 = (^5— №1)cos ph sin Ph— IF7 sin2 Ph;
Fi= (IF6— 1F2)cos Ph sin Ph— 1F8 sin2 Ph;
<O|i>h = ^5 + A4F6,	(8.49)
где
F5= Wi cos2 Ph+ F5 sin2 Ph + 2IF7 cos Ph sin Ph;
F6 = F2 cos2 Ph + F6 sin2 Ph + 2№8 cos Ph sin pft;
<T||^>h«SF9cos Ph;	(8.50)
<T.L K>h~SU79sin Ph.	(8.51)
В случае разрушения полимерного связующего можно пре-
небречь влиянием напряжения <ац>ь. Тогда фактическая проч-
ность стержня будет равняться наименьшей прочности, опреде-
ляемой по следующим критериям.
1.	Разрушение вследствие воздействия и <од>ь:
а)	разрушение связующего на растяжение
/ щ \2	1
(1-va2) (--М (NFl + MF2y+-^T-(NF;i + MFiy=F,
'	Тл	(8.52)
б)	разрушение связующего на сдвиг
(NFi + MF2y(l+vA2) + 2(l+vA) (NF3+MF^+ (NFX +
ьMF2) (1 + va) У (Л177! +	)2 (1 -va)2 + 4 (Жз + А4Л) 2= 2 (Яа+)2;
(8.53)
в)	разрушение сцепления
(Л'Т1 + Л1Р2)П2ш+ (AlF3 + MF4)2P67r? = 7VPi. (8.54)
172
Глава 8. Поперечный изгиб стержня
Рис. 8.6. Виды разрушения однонаправленно армированного органопластик*
2.	Разрушение вследствие воздействия <о±>ь и
а) разрушение связующего на растяжение
(1-va2) ( Y(NFl+MF2)^+--S2Wsin2₽ft=l;
1а	(8.55)
б)	разрушение связующего на сдвиг
(NF, + MF2)2 (1 +va2) + 2(1 + va)SW sin2 ₽ft+ (AiF1 +
+ MF2) (1 + va)]/(2VF1 + MF2)2(1-va)2 + 4S2Wsin2 ₽ft = 2(Ra+)2;
(8.56)
в)	разрушение сцепления
(FlN+MF2)Tb2Or+S2W92 sin2 ₽ft/?6T„2 = 7'62/?6.	(8.57)
8.3. Критерии прочности слоя
173
при поперечном растяжении (а) и поперечном сжатии (б) (Х500)
3.	Разрушение вследствие воздействия
(NWi + MW2) cos2 pft+ (NW5+MW6) sin2 pft +
+ 2(AflF7 + MlF8)sin cos $k = EBzEBR+. (8.58)
Вышеприведенные зависимости относятся к случаю, когда слой
/г находится в растянутой зоне слоистого стержня. В сжатой
юне средние напряжения <ох>й и являются сжимающими
и критерии прочности слоя k принимают следующий вид:
1)	в случае разрушения слоя k на поперечное сжатие вслед-
ствие совместного воздействия — и
(^1 + М/?2)2 + 2(1+у±л)(^з + Л1^4)2+(^1 +
+ М£2)У(¥р1 + МР2)2 + 4(^3+МР4)2=2(/?±-)2;	(8.59)
174
Глава 8. Поперечный изгиб стержня
2)	в случае разрушения связующего на сдвиг вследствие сои
местного воздействия и <тцх>а
+MF2)2(1 +va2) + 2(1 + VA) (NF3 + MF.) *- (NFt +
+ MF2) (1 + va) У (2VFi + MF2)2 (1 -va)2+ 4 (JVF3 + MF4)2 = 2(Ra+)a.
(8.60)
3)	в случае разрушения волокон на осевое сжатие критерии
(8.30) принимает вид
(Wi + JW2)cos2 pfe+(W5+W6)sin2 pft +
+ 2(W7 + AnF8)sinpftcos₽ft=£Bz8BB-. (8.61)
Вышеприведенные критерии прочности не применимы к ор-
ганопластикам. Это объясняется тем, что прочность органичес-
ких волокон на поперечное растяжение и сдвиг меньше соотьег
ствующей прочности связующего и, таким образом, разрушении
органопластиков всегда связано с разрушением волокон. Хара к
терные виды разрушения однонаправленно армированного орга-
нопластика при растяжении и сжатии представлены на рис. 8.11
Глава 9. КРУЧЕНИЕ СЛОИСТОГО СТЕРЖНЯ
П.1. КОМПЛЕКСНЫЙ ХАРАКТЕР МЕЖСЛОЙНОГО СДВИГА
В СЛОИСТЫХ АРМИРОВАННЫХ ПЛАСТИКАХ
Структурные особенности слоистых армированных пласти-
ков (САП) обусловливают повышенные требования к учету
мсжслойного сдвига при расчете изделий из этих материалов.
I акой учет до сих пор осуществляется на основе закона меж-
। .тонного сдвига типа [86]
С?,'»}	МП'1} "ли «<т»!-МЩ, (9.1)
। де <<yyz>> и <<Yxz>> — углы относительного поворота нормали
и касательных к срединной поверхности САП в плоскостях yz
и xz соответственно (рис. 9.1). В силу того, что оси упругой
< пмметрии ортотропных составляющих слоев обычно повернуты
'Иносительно друг друга только в плоскости укладки, межслой-
пый сдвиг САП не взаимосвязан с мембранно-изгибным дефор-
мированием его срединной поверхности.
Значения составляющих матрицы податливости [и] зависят
о г упругих характеристик слоев, а также от слоистой струк-
ivры САП в силу ее влияния на распределение межслойных
касательных напряжений <ryz> и или {<т>} по толщине
Рис. 9.1. Расчетная схема
< лоистого армированного
пластика
176
Глава 9. Кручение слоистого стержня
материала. Распределение напряжений <туг> и <тХ2> можно уста
новить интегрированием по толщине САП дифференциальным
уравнений равновесия (см. рис. 9.1)
^{ХхуУ	~
дх	ду	дг	’	/п ,
(9.2)
ду	дх	дг
Тогда для определения <xyz> и <тжг> получаем выражение
где постоянные интегрирования отсутствуют в силу отсутствия
касательных напряжений на поверхности САП. Для выраже
ния межслойных касательных напряжений через силовые фа и
торы и с учетом структуры САП в выражение (9.3) последопа
тельно подставляются следующие соотношения.
1.	Закон деформирования составляющих слоев
{<<>>} = [Л [Q] [Л т{<8» = [Q] {<е>},	(9.1)
где
{<о>}т= {<o(z)>}T= [<ох>; <огу>; <тхУ>];
{<е>}т= {<e(z)>}T= [<8х>; <8У>; <уЖу>];
(Л = [Лг)]; [Q] = [Q(z)];
[Q] — матрица упругости слоя, а матрица [Г] приведена и
главе 1. Здесь [Г(з)] и [Q(z)] относятся к тому слою, в пре
делах которого находится координата z.
2.	Гипотеза плоских сечений
{<e(z)>} = {«e0»}+z{A}.	(9.5)
3.	Закон мембранно-изгибного деформирования слоистого
материала
1«6°»1 р' В'11 N |
I k J L В'т D'i I М J	v
где
{N} т = [Nx- Ny- Nxy]  {М} т = [Мх; Му-, МхУ].
9.1. Комплексный характер мёжслойного сдвига
177
В результате подстановки соотношений (9.4) — (9.6) в (9.3)
межслойные касательные напряжения выражаются через все
производные всех мембранно-изгибных усилий {dN/dx},
{dN/dy}, {дМ/дх}, {дМ/ду}, т. е. любой градиент любого уси-
лия в общем случае может вызывать появление межслойных
касательных напряжений. Однако следует учитывать, что между
частью производных этих усилий существуют соотношения
dNx dNxy
дх ду	’
дМх дМху
дх +	ду	xz’
dNy dNxy _
~ду~7Гх ’
дМ4	дМху
ду дх
(9.7)
(9.8)
представляющие собой дифференциальные условия равновесия
>лемента пластины. Из условий равновесия (9.7) следует взаи-
мообусловленность межслойных касательных напряжений, со-
ответствующих производным dNxldx и dNvfdy, с одной стороны,
и производным dNxyldy и dNxy/dx — с другой. В свою очередь,
из соотношений (9.8) следует, что только соответствующие про-
изводным моментов дМх/дх, дМу)ду, дМху/ду и дМху)дх меж-
c.тойные касательные напряжения могут дать результирующие
поперечные силы, в то время как напряжения, соответствую-
щие другим производным, самоуравновешиваются по толщине
САП. То обстоятельство, что соотношения между производными
моментов дМх1дх, дМу)ду, дМху)дх и дМху1ду могут быть лю-
быми, требует в случае САП различать два вида поперечных
1 пл. Для объяснения этого необходимо вернуться к выражению
(9.3), которое раскрывает двоякий характер поперечных сил.
Как видно из зависимости (9.3), распределение межслойных
касательных напряжений в САП зависит от распределения в
нем нормальных и действующих в плоскости слоев касатель-
ных напряжений. Если в однородном или в слоистом мате-
риале, состоящем из изотропных слоев, эпюры распределения
(тих напряжений по толщине при изгибе и кручении имеют
одинаковую форму, то в САП вследствие анизотропии состав-
1яющих его слоев формы эпюр распределения нормальных и
шйствующих в плоскости слоев касательных напряжений
принципиально различаются. Это объясняется тем, что, напри-
мер, слои с наибольшими модулями упругости могут иметь на-
именьшие модули сдвига в своей плоскости. Поэтому, в силу
к)го что разный характер распределения нормальных и дейст-
вующих в плоскости слоев касательных напряжений по-разному
влияет на распределение межслойных касательных напряже-
ний, а следовательно, и на характеристики межслойного сдвига
всего материала, следует вместо одного вида поперечных сил
различать два. Эти силы, с одной стороны, представляют собой
равнодействующие межслойных касательных напряжений, оп-
12 — 482
178
Глава 9. Кручение слоистого стержня
ределяемых интегрированием законов распределения нормаль-
ных и действующих в плоскости слоев касательных напряже-
ний <ож>, и <тху>, возникающих при изгибе и кручении со-
ответственно, т. е.
/1/2 z
dzdz-,
dzdz.
С другой стороны, двоякие поперечные силы соответствуют про
изводным изгибающих и крутящих моментов, на что указываю!
индексы «и» и «к», т. е. условие (9.8) должно приводиться к
следующей форме:
дМу
s - дМ’ 
ОХ
Q и —
OyZ --
дМху
~дх~
дМху
i>XZK=-3---
* к
yz
(9.10|
С учетом вышесказанного получаем следующее выражение
для определения межслойных касательных напряжений oi
внешних силовых факторов:
- {<т (2) >} = [ Vй (г) ] {5й} + [ Ук (z) ] {S«} + [ V* (г) ] {Ф},
(9.П)
где
Г dNx _
L дх
dNx dNv
ду ’ дх
01 ' V3 К
dNxy _ dNy _
ду ’ ду
дМх дМу
’ ду ’ дх
dNXy
дх
[Уф(г)] =
Уэ Ую Ун
У15 У16 У17
У12 У13 У14 1
У|8 У19 Уго-*
9.1. Комплексный характер межслойного сдвига
179
(z) = A2j (z) В'}2 + B2j (z) D'j2, V2 (z) = A6j (z) B'ji - B6i (z}D'n-,
V3 (z) = A w (z) B'j2 + B6j (z) D'j2- Vi (z) = Aij (z) В'п -Вц (z) £)'я;
V5(z)=Aej(z)B'j3 + B6j(z)D'j6; Vg(z) =A2j (z)B'3-6+B2j (z) D'j6-,
V7(z) =Aij(z)B'}6+Bl}(z)D'j6-, V8(z) =A6j(z)B'j6 + B6j(z)D'j6-,
Уэ(г) = Аб3 (z)A'3i + B63(z) В' a—A2j (z) A' j3 — B2j (z) B'ej',
Vio (z) = — Aej (z) A'j3 — B6j (z) B'6j+A2 j (z) A'j2 + B2j (z) B'2j\
Vn (z) =A2j (z)A'n-i-B2j(z)B'ij; Vi2(z) = Agj(z) A'32+Bgj(z)B'2j;
V13 (z) =X2j(z)B'Ji + B2j(z)Z)'j1; Vu(z) =Agj(z)B'j2 + Bgj(z)D'j2-,
Vis(z) =Au(z) A/ji + B1J(z)Bzi;—A6j(z) А';б —B6;(z)B'6;;
V is (z) = — Au (z) A'j6 — Вц (z) B'gj+Agj (z) A'j2+B6j (z) B'2J-;
^i?(z) =Ae/(z)A'/1 + B6j(z)B'1,-; Vie(z) =Aij(z)A'j2 + B1}(z)B'2j-;
V19 (z) =Ag}(z)B'jl + Bgj(z)D'jl; V2o(z) =AiJ(z)B/,-2 + Blj(z)B/j2;
Л/2	Л/2
^O’(z)= Qij(z)dz; Bii(z)=j Qij(z)zdz
-h/2	-h/2
(предполагается суммирование по одинаковым индексам i,
/=1,2,6).
На рис. 9.2 представлены кривые распределения межслой-
ных касательных напряжений, построенные по формуле (9.11)
отдельно для каждого из десяти факторов.
Действие межслойных касательных напряжений вызывает в
слоях межслойные сдвиговые деформации {yyz} и (ухг) или
{<у>}, что может привести к межслойному сдвигу пакета в це-
лом. Межслойный сдвиг пакета может возникать не только
вследствие действия поперечных сил, но и вследствие действия
производных усилий, дающих самоуравновешивающиеся по
толщине САП межслойные касательные напряжения (см. третье
слагаемое в правой стороне выражения (9.11)).
Сначала определим межслойный сдвиг САП вследствие дей-
ствия поперечных сил. Для этого используем равенство работ
внешних усилий и внутренних напряжений на элементарном
участке САП. При этом необходимо различать и два вида де-
формаций межслойного сдвига САП: <<уУги», <<ухги» и
«уугк», <<YxZK» или {«уи»} и {«ук»} с соответственно «из-
гибным и крутильным происхождением». Тогда равенство работ
имеет следующий вид:
f {|”Г{	(9J2)
Далее в выражение (9.12) последовательно подставляются
следующие соотношения.
12*
180
Глава 9. Кручение слоистого стержня
ЭМу/дхг1 ЗМу/ду=1 дмх/ду = 1
20 0	20 0 -20 20 0 -20 -40
0,05 0 0,05 0	0,1 0 -0,1 0,1 0 -01
МПа
Рис. 9.2. Распределение межслойны^
касательных напряжений (тЖ2> )и>
толщине САП со структурой (+23'7
— 25°) (/) и САП, содержащего слой
алюминия, со структурой ( + 457А1/0 ’)
(2) при воздействии единичных сило
вых факторов.
Кривые построены по формуле (9.II) при
следующих исходных данных [54]: £Л|-
= 70 ГПа; Од1=26 ГПа; £„ = 178 ГПп.
/-± = 7 ГПа; Г|, , =0,28;	О||± = 3,8 Г1Н
G^|| = 2,7 ГПа
1.	Подлежащий определению закон межслойного сдвига при
воздействии только поперечных сил, содержащий предположи
тельно симметричную матрицу податливости,
f «уи»1 = Г« £1 (5И|
l«VK»-> LgpHs«J
(9.13)
2.	Закон межслойного сдвига составляющих слоев
{<у>} = [Р]qs] [Р] {<т>} = [S] {<?>},	(9.14)
где
1_
G55 -
а матрица [Р] приведена в главе 4.
9.1. Комплексный характер межслойного сдвига
181
3.	Выражение для определения соответствующих попереч-
ным силам межслойных касательных напряжений (первые два
слагаемых в правой стороне зависимости (9.11))
{<т>} = [Ги]{5и} + [У«]{5к}.	(9.15)
В результате подстановки получаем подматрицы искомой мат-
рицы податливости закона межслойного сдвига САП в следую-
щей форме:
Д/2
[«] = J [Vй] Г[3] [Vй] dz;
—h/2
h/2
[р]= J [VKF[s][VK]dz;	(9.16)
-h/2
h/2
[£]= f [VH]4S][VK]dz.
-h/2
При этом подтверждается симметрия полной матрицы податли-
вости в законе межслойного сдвига (9.13).
Практическое определение составляющих подматриц [и],
[р] и [g] по зависимостям (9.16) осуществляется заменой ин-
тегрирования на суммирование. При этом возникает на первый
взгляд неожиданная зависимость получаемых результатов, т. е.
упругих характеристик САП, от числа слагаемых. Такая зави-
симость объясняется нелинейностью распределения межслойных
касательных напряжений по толщине САП. В силу этой нели-
нейности точность описания распределения межслойных каса-
тельных напряжений, а следовательно, и точность определения
упругих характеристик межслойного сдвига САП повышаются
с увеличением числа слагаемых. На рис. 9.3 представлены не-
Рис. 9.3. Зависимость расчетных значений по-
датливостей «44 (Л> Р44 (2) и g44 (3) меж-
слойного сдвига для САП со структурой
(25°/0°) от числа членов суммирования, заме-
няющего в зависимости (9.16) интегрирование.
Исходные данные те же, что на рис. 9.2
182
Глава 9. Кручение слоистого стержня
Рис. 9.4. Структура углов межслойного сдвига
САП
которые составляющие подматриц [и], [р] и [g], определенные
по зависимостям (9.16) для САП при различном числе слагае-
мых суммирования, заменяющего в зависимости (9.16) интег-
рирование.
Для трансформирования матрицы податливости межслой-
ного сдвига САП используется следующая формула:
,*]['J <->
Анализ полученных результатов приводит к весьма неожи-
данным выводам. Оказывается, что в одном сечении САП цопе-
речные силы, приложенные одновременно в одном направле-
нии, например SXZH и SXZK, могут совершать работу на разных
перемещениях: <<ухги»йх и <<ухгк»йх соответственно. К тому
же лежащие в одной плоскости углы <<уХ2и>> и <<уХ2к» нельзя
суммировать для получения фактически необходимого угла меж-
слойного сдвига «ухг», который вместе с углом <<yyz» дол-
жен определяться по формуле
{«?»} = [«] {$*} + [р]{5«}.	(9.18)
Такие выводы объясняются разным распределением по толщине
САП межслойных касательных напряжений изгибного и крутя-
щего происхождения. Структура фактически наблюдаемого угла
сдвига схематически представлена на рис. 9.4, где раскрыва-
ется смысл матрицы взаимного влияния [g]: составляющие
матрицы [g] позволяют определять величину тех углов {<<уи>>},
которые одновременно являются и углами {«№>)}, и наоборот.
Для более наглядного представления полученных результа-
тов целесообразно ввести матрицы [й], [р], [g], составляющие
которых выражают влияние неравномерности распределения
межслойных касательных напряжений на упругие характерис-
тики межслойного сдвига САП. Составляющие матриц [й], [р]
и [g] равняются отношениям составляющих матриц [н], [р] и
[g] к соответствующим условным составляющим, полученным
по закону смеси податливостей составляющих слоев при пред-
9.1. Комплексный характер межслойного сдвига
183
Рис. 9.5. Зависимость (/), р44 (2) и g44
(3) межслойного сдвига для САП со
структурой (₽/0°) от угла р.
Исходные данные те же, что на рис. 9.2
положении, что межслойные касательные напряжения распреде-
лены равномерно по толщине САП:
(9.19)
O'ij
где
n
а‘з=~№~ SijrtT, i, ] = 4, 5;
r=I
г и tr — соответственно номер1 и толщина составляющих слоев.
Следует напомнить, что для однородных материалов, в которых
касательные напряжения распределены по закону квадратиче-
ской параболы [69], й = р = g=\, 2. На рис. 9.5 представлены
теоретические зависимости составляющих матриц [й], [р] и [g]
от структурных параметров САП.
Как уже отмечалось, деформации межслойного сдвига САП
могут возникать и вследствие действия самоуравновешиваю-
щихся межслойных касательных напряжений, которые опреде-
ляются третьим слагаемым в правой стороне выражения (9.11),
хотя они и не образуют поперечных сил. Для определения де-
формаций межслойного сдвига в этом случае можно использо-
вать равенство виртуальных работ, которые производятся, с од-
ной стороны, межслойными касательными напряжениями, соот-
ветствующими всем четырем поперечным силам Syza, Sxz11, SyzK
и SxzK, а с другой — самими поперечными силами на виртуаль-
ных перемещениях при воздействии внешних факторов в виде
производных dNxfdx=—dNxyldy, dNy/dy= — dNxyldx, dNx/dy,
dNy/dx, дМх/ду, дМу/дх. Тогда на основе подхода, уже исполь-
зованного для получения закона межслойного сдвига (9.13),
можно получить соотношения между углами «у^и>>, <^ухги>>,
((.Ууг*)) и «уягк» и перечисленными производными. Фактически
при наличии этих производных в САП должны наблюдаться
углы межслойного сдвига
(.(УугУ) =<(<'У?у2И>^_ +	+ «"?хгК>Х
184
Глава 9. Кручение слоистого стержня
Рис. 9.6. Зависимость и.» (/), р44 (2),
f46 (3) и /4] (4) для САП со структу
рой (Р/0°) от угла 0.
Исходные данные те же, что на рис. 9.2
ИЛИ
{«?»}= {«¥“»}+ {«Т15»)-
Суммирование углов здесь допускается (в отличие от углов, он
ределенных по закону межслойного сдвига (9.13)) в силу того,
что углы изгибного и крутильного происхождения в случае вол
действия упомянутых факторов определяются только с учетом
поперечной силы того же вида. На основе сказанного и с учетом
(9.18) получаем выражение для определения суммарных углов
межслойного сдвига САП от всех силовых факторов
{«у»}=[«] m+и {s*}+[/] {ф},
где
гп _ Г /41/42/43/44/45/46 1 _
I- /51/52/53/54/55/56 *
11/2
= J [ [VH(Z)]^+[I/K(Z)]^] [S][P»(2)]&.
—h/2
На рис. 9.6 представлены теоретические зависимости некоторых
составляющих матриц [w], [р] и [/] от структурных параметрон
САП, дающие представление об относительном вкладе в меж-
слойный сдвиг САП, поперечных сил и других факторов.
9.2.	КРУЧЕНИЕ ПЛОСКОГО СЛОИСТОГО СТЕРЖНЯ
Задача о кручении слоистых стержней прямоугольного попе-
речного сечения уже рассмотрена в работах [3, 41, 42]. В ра-
боте [42] получено решение для двухслойного стержня, состоя-
щего из изотропных полос с различными упругими свойствами.
В работах [3, 41] расмотрены стержни из произвольного числа
соответственно изотропных и ортотропных слоев произвольной
толщины. Результаты, приведенные в работах [3, 41, 42], полу-
чены путем применения функций напряжения или кручения и
9.2. Кручение плоского слоистого стержня
185
имеют вид бесконечных рядов. В более простой форме в рабо-
тах [3, 41] приведены решения лишь для частного случая трех-
слойных материалов с симметричной относительно срединной
плоскости структурой. Рассмотренный в работе [41] случай кру-
чения непрерывно-неоднородного ортотропного стержня прямо-
угольного поперечного сечения с модулями сдвига, изменяющи-
мися вдоль одной из сторон по экспоненциальному закону, имеет
главным образом теоретическое значение.
В настоящем параграфе предлагается инженерный вариант
решения задачи о кручении стержня (рис. 9.7), имеющего прямо-
угольное поперечное сечение шириной b и состоящего из моно-
клинно-анизотропных слоев, расположенных несимметрично от-
носительно срединной поверхности стержня. Решение ищется на
основе допущения, что деформации в плоскости слоев <ех>, <еу>
и по толщине стержня распределены линейно. Такое допу-
щение позволяет для получения теоретических соотношений ис-
пользовать теорию слоистых материалов [34, 57] и вместо всего
стержня рассматривать лишь его срединную поверхность, по ши-
рине которой распределены поперечные силы Sxz(y) (Н/м) и кру-
тящие моменты Мху(у) (Н-м/м), статически эквивалентные кру-
тящему моменту 931 (Н-м), действующему в поперечном сечении
стержня (см. рис. 8.7):
Ъ/2	Ъ/2
- f Mxydy + J Sxzydy = 33l.	(9.20)
-Ъ/2	-Ъ/2
Вид функций Мху(у) и Sxz(y) устанавливается на основе до-
пущения, согласно которому суммарная кривизна kxy постоянна
по ширине стержня и в каждой точке его срединной поверхности
Рис. 9.7. Расчетная схема
стержня
186
Глава 9. Кручение слоистого стержня
складывается из кривизны kxy, пропорциональной моменту МЛ1/,
и кривизны kxys= — 2 d«Yxz>>/d«/, пропорциональной производной
dSxz/dy. Учитывая также, что постоянная по ширине стержня
кривизна kxy соответствует удвоенному относительному углу за-
кручивания самого стержня 20', получаем
kxy = kxy(y) +kxys(y) = -20'.	(9.21)
При определении функций Мху(у~) и Sxz(y) необходимо учи-
тывать влияние побочных усилий, которые возникают в стержне
вследствие несимметрии его структуры (относительно как сре-
динной поверхности, так и поверхности продольных сечений,
параллельных плоскости xz) и неравномерности распределения
моментов Мху. Учет побочных усилий зависит от вида круче-
ния, который обусловливается комплексом условий, наклады-
ваемых на побочные деформации стержня. Самые крайние
виды кручения стержня можно назвать «свободным кручением»
и «чистым кручением». При этом предполагается, что в случае
свободного кручения в сечении стержня действует только кру-
тящий момент 2R, а все побочные деформации продольной осн
стержня свободно реализуются. В случае чистого кручения ось
стержня может только закручиваться, а ее возможные побоч-
ные продольные деформации и искривления стеснены.
Сначала рассматривается случай свободного кручения. При
этом принимается, что начиная с некоторого расстояния от
места приложения внешнего крутящего момента (любым спо-
собом) все поперечные сечения достаточно узкого и длинного
стержня находятся в одинаковом напряженном состоянии, при
котором
Ny — NXy = Му — Syz= 0;
Ь/2	Ь/2
J ЛМу = 0; f Mxdy = 0-	(9.22)
-Ь/2	-Ь/2
«еж («/)»= const; kx(y) =const.
Из сказанного следует, что в стержне действуют усилия NXt
Мх, Мху и Sxz (см. рис. 9.7), переменные по ширине и постоян-
ные по длине стержня. Тогда из условий равновесия элемента
стержня, ограниченного двумя продольными и двумя попереч-
ными бесконечно близко расположенными сечениями, остается
только одно соотношение
где индекс «к» означает, что поперечная сила соответствует
производной крутящего момента (см. параграф 9.1). Условие
9.2. Кручение плоского слоистого стержня
187
равновесия (9.23) лежит в основе следующего важного соотно-
шения, получаемого подстановкой соотношения (9.23) в (9.20)
и интегрированием (9.20) по частям с учетом того, что Мху = 0
при у=±Ь!2:
Ь/2	Ь/2
 J Mxydy= J Sxz*ydy=^- 931.
-Ь/2	-Ь/2
(9.24)
Как видно из равенства (9.24), сумма крутящих моментов по
ширине стержня равна половине всего крутящего момента ЭЛ,
так же как и суммарный момент всех поперечных сил.
Для определения кривизны йжДу), приведенной в зависи-
мости (9.21), используется закон деформирования слоистого
материала при Ny = Nxy = Mv = Q-.
«е/»
^х
^ху
А'и В'и
В'и В'ц
- B'ie B'l6
В'1б
В'16
В'в6 -
Nx
мх
(9.25)
После интегрирования выражения (9.25) по ширине стержня и
некоторых алгебраических преобразований с учетом (9.22) и
(9.24) получаем продольную деформацию и кривизну стержня
В'I»	В' 16
«ех°» = -^^9Л;	А.ЭЛ,	(9.26)
а также распределение кривизны
ь , х Мху(у) 1 В1ЪВ'16+В16В'16
kxv(y)=—=--------------------------- ЭЛ,
Дбб	В66
где
(9.27)
Для определения приведенной в зависимости (9.21) кри-
визны kxys= — 2<3«у.хг>>/(?у как функции от у сначала ищется
зависимость между <<yXz>> и Sxzv. Для этого используется за-
кон межслойного сдвига (9.18), согласно которому
«Yxz»=P555xZk.	(9.28)
Следует отметить, что при использовании зависимости (9.28)
не учитывается влияние на деформацию сдвига <<ухг)>> меж-
188
Глава 9. Кручение слоистого стержня
слойных касательных напряжений, которые могут возникать и
САП вследствие наличия производных дМху/ду и dNx/dy, как
это следует из зависимости (9.11). Подставляя соотношение
(9.23) в (9.28) и дифференцируя (9.28) по у, получаем кри
визну kxys(y), выраженную через вторую производную момента
(у):
W(</) = -2д2М$-~ 
Теперь суммируя кривизны kxy(y) и kxys(y), выраженные через
зависимости (9.27) и (9.29), согласно соотношению (9.21) полу
чаем дифференциальное уравнение для определения распределе
ния Мху(у)
(20-+ '	ж )^1-.
оу2	\	2&	-	> 2р55
Z/Rfi
(9.30)
где
1
Решение уравнения (9.30) имеет следующий вид:
— Мху(у) =Ci ch ур + С2 sh г/р+27)бб!9/+-т^-(51бВ/1б + 7)1б7)/1б)9Л-
(9.31)
Постоянные С[ и С2 определяются на основе граничных услсь
вий, согласно которым Л4жг/ = 0 при у = ±Ь)2 и dMxyldy = Q при
1 г/ = 0. Тогда решение уравнения (9.30) в конечном виде получа-
ется следующим:
Мху(у) = — [ 2Обб0/+_лт(А.1бА/1б + ^1б^/1б)Э111 ( 1----г—)•
L	2b	J , bp '
ch~
(9.32)
Интегрируя (9.32) по ширине стержня с учетом равенств (9.24),
получаем закон свободного кручения стержня
0'=dK2R,	(9.33)
где
•----------— В165'16 —Z)16Z)'i6 \ .
4^7)бб
Ьр
9.2. Кручение плоского слоистого стержня
189
Здесь dK — крутильная податливость поперечного сечения
стержня.
Есть смысл представить кручения (9.33) вместе с законами
продольного деформирования и изгиба (9.26) в виде
'9'] = [dK2; ^кь 4]931,	(9.34)
где (1x2= —В'1Ё/2Ь и dKi = — D'l6/2b — крутильно-продольная и
крутильно-изгибная податливости поперечного сечения стержня
соответственно. Величина
Ьк=~	(9.35)
UK
тогда является жесткостью свободного кручения поперечного се-
чения стержня.
Закон распределения Мху(у) получаем подстановкой дефор-
мации 0' из закона кручения (9.33) в зависимость (9.32):
Mxy(y) = -fl{£- ЯП.	(9.36)
После дифференцирования выражения (9.36), в свою очередь,
получаем закон распределения поперечных сил
pf2(y)
S^(y)=-2f	(9-37)
Здесь
. chyp	sh ур
, bp	bp
cli —	ch —
1-----—-	1 _ .—-----
bp	bp
~2~	~2~
Выражая Nx и Mx через 931 с помощью зависимостей (9.25) и
(9.26),	легко получаем законы распределения и этих усилий:
Nx(y) =------[Л +	(у)]931;	(9.38)
2	bD 66
Мх(у) = --^[Е2+ад(у)]931,	(9.39)
2bD^
190
Глава 9. Кручение слоистого стержня
Рис. 9.8. Эпюры усилий Мху (а), Мх (б), Sxz (в)
и Nx (г), распределенных по поперечному сечению
стержня из САП со структурой (0°/45°)8 прн воз-
действии единичного крутящего момента.
Кривые построены по формулам (9.36)—(9.39)
где
F'l = АцВ' 16^66 + BnD' 1б/?бб — В16В'is — Bl6Dr leZ^ie;
F2=В цВ'D\iD' igDgs—О^В'^В^ — D l6D' 16D l6.
На рис. 9.8 представлены построенные по формулам (9.36)
(9.39) эпюры распределения всех усилий, возникающих в попе
речном сечении стержня из слоистого углепластика со струк
турой (0°/45°)8 при его свободном кручении.
В случае чистого кручения согласно принятому определению
полностью стеснены продольные и изгибные деформации осн
стержня, т. е. вместо условий (9.22) имеют место следующие
условия:
Ь/2	Ь/2
JNxdy = N=/=Q-,	J Mxdy=M=/=G\
-Ь/2	-Ь/2
(9.40)
«ех°(г/)» = Лх(г/> =0.	'
Условия Ny=Nxy = My = Syz=0 остаются в силе, так как рассмат-
ривается достаточно узкий и длинный стержень на достаточном
расстоянии от сечений с сосредоточенными силовыми воздейст-
виями. Распределение усилий Nx, Мх и Мху теперь зависит
только от распределения кривизны kxy
[^х(у)’, Мх(у)-, Mxy(y)] = [Bi6', Dl6; D66]kxy(y),	(9.41)
9.2. Кручение плоского слоистого стержня
191
а кривизна kxy(y) в отличие от зависимости (9.27) определя-
ется следующим образом:
(9-42)
£>66
Кривизна вследствие изменения поперечной силы kxys(y) оп-
ределяется по уже имеющейся зависимости (9.29). Суммируя
kxy(y) и kxys(if), вместо (9.30) получаем дифференциальное
уравнение
д*Мху
ду2
— р2'МХу
О'
Р55
(9.43)
решение которого в конечном виде следующее:
Мху (у) = —2D66I 1 —
ch ур
, bp
chv
(9.44)
Выражение распределения поперечных сил в случае чистого
кручения остается таким же, как и в случае свободного круче-
ния. Интегрируя (9.44) по ширине стержня с учетом (9.24), по-
лучаем закон чистого кручения, отличный от закона свободного
кручения (9.33):
(9.45)
где
Здесь DK — крутильная жесткость поперечного сечения стержня.
Подставляя в зависимость (9.41) распределение Мху(у), оп-
ределенное по зависимости (9.44), получаем распределения по-
бочных усилий
ЛМу) = -2В16/
\	СЬ^	/
Мх (у) = - 2Z)16 / 1 - Chj/P	\ 0'.
, Ьр	]
\	chT	/
(9.46)
192
Глава 9. Кручение слоистого стержня
Интегрированием (9.46) определяются суммарная продольная
сила N и изгибающий момент М, действующие в поперечном
сечении стержня. Если записать эти усилия, выраженные чере»
деформацию закручивания 0', вместе с крутящим моментом 3)1,
то в отличие от (9.34) получим
[N; М-, 2R] = [Рк2; Z)Ki; Рк]0',	(9.47)
где
 / “4
Z)K2= —2Bi6^ I 1— —,	
I	bp_
\	2
- / “4
DKi = — 2Dl6b I 1——-—
I	^P_
\	2
жесткости попе
крутильно-продольная и крутильно-изгибная
речного сечения стержня соответственно.
Имея распределения усилий Nx(y), Мх(у)
и чистого кручения легко получить вы
напряжений в плоскости слоев:
Qi;(z)
Q2j(z)
QeAz)
чае как свободного, так
ражения распределения
У)>
<оУ(г,У)>	=
<т:ху(г,у)') .
и Мху(у), в слу

+ (5/i;+zZ)/iJ)Mx(y) + (В%-|-г/)/б/)-^х?/(У)], i—1,2, 6. (9.48)
Для выражения распределения межслойных и касательных на
пряжений используется зависимость (9.11). Подставляя в нес
производные dNxjdy, дМх/ду и дМху1ду из параграфа 9.1, полу
чаем выражения для случая как свободного, так и чистого кру
чения
KnVz(y,z)>\ (Vi(z)l pf2(y)
I <xXz(y, z)> f I V2(z) J 2b
(9.49)
где
J V1(Z) 1 Г A2i(Z) B2i(z) I J В1бЛ11 + р1бВ1г + DegBei ]
'•^2(2)-^	1-Абг(2)	BisBu+D^Dn+Ds^DsJ
Aij(z), Bij(z) определяются по зависимостям, которые были
приведены в главе 8.
3
9.2. Кручение плоского слоистого стержня
193
Ри£. 9.9. Отношение макси-
мальных касательных напря-
жений н крутильной жестко-
сти, рассчитанных по форму-
лам (9.50), (9.51) и (9.45), к
|аковым, полученным в рабо-
те [41]:
l __ (T.xy)max ? _ Щ.’)т.х
(тху)тахт	^Txz)maxT
Часто структура САП является симметричной относительно
всех трех плоскостей координатной системы х, у, z. В таких слу-
чаях при кручении стержня в нем не возникают ни побочные
деформации, ни побочные усилия, а жесткости свободного и
чистого кручения поперечного сечения стержня одинаковы, т. е.
DK=DK. Наибольшие напряжения в плоскости слоев при этом
будут возникать в среднем продольном сечении стержня, где
у=0. Эти напряжения в зависимости от координаты z определя-
ются по упрощенному варианту формулы (9.48):
<o*(z)>
<0y(z)>
(z) )
Qi6 (2)
<226 (z)
<2бб (z)
В'вб
2b
(9.50)
2
Для определения межслойных .касательных напряжений у сво-
бодных кромок (у = ±Ь/2) стержня из симметричного САП из
(9.49) получаем следующую формулу:
-	th(±-^)
{<Tyz(z)>|	(B26(z)\ pD'66D66 V 2 /
W»1 -1ви(2);-25—'—<9-51>
2
Для оценки полученных теоретических соотношений на
рис. 9.9 сопоставлены максимальные касательные напряжения
<Txy>max И <Txz>max, определенные по формулам (9.50) и (9.51),
13 — 482
194
Глава 9. Кручение слоистого стержня
а также крутильная жесткость DK, определенная по форму,к-
(9.45), с соответствующими величинами, полученными в рабоги
[41] путем точного расчета для стержня из однородного орто
тропного материала. Как видно из рисунка, для напряжений
^ТхУ>тах и жесткости DK совпадение с точным решением удов-
летворительное и улучшается с повышением отношения ширины
стержня к его толщине.
Следует отметить, что в настоящем параграфе не рассмат-
ривается кромочный эффект. Поэтому не выполняются гранит
ные условия для напряжений ^иуУ, (т;ХуУ и <Tyz>, которые на сво-
бодных кромках должны равняться нулю, тогда как зависи
мости (9.48) — (9.51) дают для них ненулевые значения. Для
напряжений <ож> и <txz> граничные условия выполняются. Од-
нако вопрос о фактическом распределении как напряжений <ст.,->
и <Txz>, так и напряжений	и <Туг> вблизи свободной
кромки остается открытым. Причиной этого является как пре
небрежение уже упомянутыми кромочными эффектами, так и
использование гипотезы плоских сечений по отношению к про
дольным сечениям стержня вблизи свободной кромки. Ясно,
что зона распространения кромочного эффекта уменьшается <
уменьшением относительной толщины составляющих слоен
Также ясно, что у свободных кромок возникает концентрация
межслойных нормальных и касательных напряжений. Кроме
того, вследствие низкой прочности САП на межслойный сдвиг
свободные кромки оказываются самым уязвимым местом
стержня из САП и должны укрепляться. Укрепить кромки
можно, например, обмоткой всего стержня. Но обмоточный слой
кроме выполнения своих чисто конструктивных функций может
значительно повышать крутильную жесткость стержня, осо
бенно в случае, если намоточные волокна направлены под уг-
лами ±45° к продольной оси стержня. Учет работы обмоточ-
ного слоя в настоящей работе предлагается основывать на еле
дующих допущениях: толщина обмоточного слоя намного
меньше толщины стержня; обмоточный слой склеен со стерж-
нем только по поверхностям, параллельным плоскости ху. В та-
ком случае можно предположить, что приклеенные участки об-
моточного слоя одновременно являются как наружными слоями
САП, так и составными частями тонкостенного стержня с зам-
кнутым коробчатым профилем поперечного сечения (рис. 9.10).
Притом в слоистом и коробчатом стержнях возникают одина-
ковые относительные углы закручивания 0'. Тогда жесткости
свободного и чистого кручения обмотанного стержня DK° и Z?,"
состоят из соответствующих жесткостей слоистого стержня (с
учетом наружных обмоточных слоев) и жесткости коробчатого
стержня DKK:
L)K°=DK+DK«-, DK°=DK+DK«,
(9.52)
9.3. Кручение тонкостенного слоистого трубчатого стержня
195
Рис. 9.10. Расчетная схема обмотанного
стержня и действующих в нем касатель-
ных напряжений
где
( —)2
OK" = 2Q66°^3--b-j~ ;	(9.53)
Qee° — сдвиговая составляющая матрицы упругости обмоточ-
ного слоя; 6 — толщина обмоточного слоя; h — толщина
стержня (см. рис. 9.10). Формула (9.53) получена из закона кру-
чения, приведенного в работе [53], для замкнутых тонкостенных
профилей из изотропного материала.
Если наружные слои САП являются и частью обмотки, то в
них дополнительно к напряжениям, определяемым по зависи-
мостям (9.48) или (9.50), возникают касательные напряжения
<т°>. Распределение этих напряжений в первом приближении
можно принять равномерным как по толщине, так и по контуру
всей обмотки (см. рис. 9.10). Напряжения <т°> определяются
по формуле
h
(9.54)
которая следует из закона кручения коробчатого стержня
^=<.T°'>6bh=D^Q'.	(9.55)
9.3. КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННОГО СЛОИСТОГО
ТРУБЧАТОГО СТЕРЖНЯ
Рассмотрим случай, когда к стержню кроме крутящего мо-
мента ЭЛ приложена осевая сила N. Произвольный слой k арми-
рован под углом к оси 1, параллельной оси стержня. Тан-
генциальное направление обозначим через 2.
13*
196
Глава 9. Кручение слоистого стержня
Деформации стержня определяются по зависимостям
	ai «61»=-^-=- zi«JTx\	2kR2	ЯП;	
	a2 <<e2>>- 0 D 2n/<	a4 Л 1 2nR2	ЯП;	(9.5(i)
	0-5 <<Y12>>-	Or л 1 2nR2	ЯП,	
где	a A',	(5/ll)2 •		^/21Д/Ц	
	а1"Л11 D'It ’ F'nF'ei	U2	21 <T4 = A/26_ Or = A'rr-	D'n ’ В'21 В'si	
	a‘J~A ib D'u ’ л,	F'eiB'n		D'n ’ (B'6i)2	
	o5-Abl '	,		D'h	
Средние напряжения в произвольном слое k в направлениях
1 и 2 определяются по зависимостям
(9.57)
2n.R 2n.R2
где
г 1= (Qll)ft«l+ (Q12)ka2+ (<21бЫ5;
§1= (Q11) 7[йз+ (Q12) й&4+ (<21б) ka6'>
’ (9'58>
где
Гг= (Q12) kO-l + (Q22)fefl2+ (<22б)й<25;
$2 = (<212)й<2з+ (Q22)ka4+ (Q2s)ka6',
<^>*=^ГЛ'+^ДЖ’	(9'И)
где
гз= (<21б)?А+ (<2гб) А.аг+ (<2бб)
$з= (<21б) каз + (Огб) /1^4+ (<2бб)йаб-
В направлениях упругой симметрии слоя k средние напря
жения определяются по формулам
<ац>й= <oi>fe cos2 pft+<O2>fe sin2 0ift+
p7 Fl
+ 2<Ti2>fc sin Pfc cos pft=- —-#+ • — ЭЛ, (9.60)
2nR	2nR2
9.3. Кручение тонкостенного слоистого трубчатого стержня
197
где
Fj = Г1 cos2 + Г2 sin2 + 2r3 sin 0 а cos pft;
778 = si cos2 ₽fe + s2 sin2 Pfe + 2s3 sin Pa cos pft;
<О±>А = <О1>А Sin2 0й+'<СТ2>'А cos20a —
- 2<Ti2>ftSin pfecospfe=	(9.61)
2пл 2я/\
где
ТТ9 = Г1 Sin2 0а + г2 cos2 рА — 2r3 sin pftcos Pa;
Fio = Si sin2 Pa + s2 cos2 Pa — 2s3 sin Pa cos Pa;
(<O2>fe—<oi>A)sin Pa cos Pa +
+ <Т12>а(соз2Ра-5Ш2Ра)=-^-Л^+-^5ГЭД,	(9.62)
2л/?	2л/?2
где
Л i = (гг - ri) sin Ра cos рА + r3 (cos2 р а - sin2 Ра) ;
F12 = ($2 - Si) sin Ра eos pft + $3 (cos2 рй - sin2 pfe).
Помещая выражения для определения напряжений ^о±>а и
<Т11 а_>л. в общие критерии прочности слоя к, получаем следующие
частные критерии при комбинированном кручении и осевом на-
гружении:
1) в случае разрушения связующего на растяжение в слое k
nf9 агсЛо у
2nR 2 л/?2 '
1 / NFn ЯП/712 у
ТА* \“2^+ 2л/?2 ' -1
(9.63).
2) в случае разрушения связующего на сдвиг
/ NFg	^RFio \ 2
(1+va2) (~VT-+-r^ +2(1+va)X
' 2л/?	2л/?2
х (NFii i 3)17712 Г+ ( NFg	^Fio Г (i+
x V 2л/? + 2л/?2 /	V 2л/?	2л/?2 ' (
NFo , ЯИЛо у„	NFn
2nR + 2л/?2 Н VA >+ \ 2л/?
яяЛг \2
2л/?2 '
= 2(/?л+)2;
(9.64)
198
Глава 9. Кручение слоистого стержня
3) в случае разрушения сцепления между волокнами и свя
зующим
/	ЖЛо \	- < ( NFn , 2RF12 \2п - 2_	.
\ 2aR + 2л/?2 / Ть СТг+ \ 2л/? + 2л/?2 / RbT”	* * 5 6 R
4) в случае разрушения слоя k на поперечное сжатие
/ NF9 3RFiq \2	/ NFl{ 3RFl2 \2
2л/? 2aR2
2nR 2nR2
NF9 931Ло
2nR 2nR2
(9.66)
NF9	2JlFio V	/ NFn SSRF12 \2
2л/?'+ 2л/?2 / + \ 2л/? + 2л/?2 '
5) в случае разрушения волокон на осевое растяжение или
сжатие
«Ei>>cos2 pft+ <<e2»sin2 pft+ «Yi2»sin pft cos pfe =
r4 , s4
(9.67)
о о	—о	9^ = евв±,
2л/?	2л/?2
где
r4 = cos2 Pa. + a2 sin2 pfe+a5 sin pfe cos P&.;
s4 = a3 cos2 Ph + a4 sin2 pft+a6 sin pft cos Ph.
Если стержень состоит из однонаправленно армированных
слоев, ориентированных под различными углами р, то слои не
разрушаются одновременно и при определении следует учи-
тывать ступенчатый характер разрушения слоистого материала.
Глава 10. УПРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛОИСТЫХ ТОНКОСТЕННЫХ стержней
ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
10.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ
ДОПУЩЕНИЯ
В настоящее время слоистые армированные пластики (САП)
все шире применяются в изготовлении тонкостенных стержней
открытого профиля. Существующая технология позволяет соз-
давать стержни с непостоянной структурой САП, т. е. с раз-
личной структурой САП в различных элементах профиля и на
разных участках стержня. Далее; говоря об изменении струк-
туры САП по профилю стержня, будем использовать термин
«структура профиля стержня».
До сих пор выбор структур как для САП, так и для про-
филя стержня в большой мере осуществляется на эмпирической
основе. Структура САП главным образом формируется симмет-
ричной относительно как срединной поверхности, так и поверх-
ностей продольных и поперечных сечений стержней. Из этого
следует, что элементарный участок САП между двумя продоль-
ными и двумя поперечными сечениями стержня (рис. 10.1)
обычно является ортотропным по отношению к силам и дефор-
Рис. 10.1. Расчетная схема
стержня
200
Глава 10. Упругие характеристики слоистых стержней
мадиям в плоскости слоев. Симметрия САП относительно сре-
динной поверхности может быть желательной для предотвра-
щения коробления стенки стержня. Но в стержне, нагруженном
несимметрично относительно продольной оси, несимметричная,
т. е. неортотропная, относительно плоскостей продольных и по-
перечных сечений стержня структура САП может оказаться
наиболее оптимальной. Применению стержней с неортотропной
структурой САП препятствует отсутствие инженерной теории
расчета их напряженно-деформированного состояния и, следо-
вательно, их упругих характеристик. Только С. Г. Лехницким
[40] рассмотрен частный случай — однородная полоска из мо-
ноклинно-анизотропного материала, нагруженная в своей плос-
кости. Его расчеты далее используются для оценки результа-
тов, полученных в настоящей главе.
В настоящей главе рассматривается тонкостенный прямой
стержень с открытым профилем и цилиндрической (в матема-
тическом понимании) поверхностью из САП с неортотропной, но
симметричной относительно срединной поверхности слоистого
материала структурой. Структура профиля стержня может пред-
ставлять собой непрерывное изменение по определенному за-
кону, кусочное постоянство или постоянство структуры САП.
Предполагается, что по длине стержня структура его профиля
сохраняется постоянной. Стержень с кусочно-постоянной струк-
турой профиля тогда состоит из полос разной ширины и с раз-
ной структурой САП, состыкованных между собой таким обра-
зом, что их срединные поверхности образуют непрерывную сре-
динную поверхность всей стенки стержня с контуром попереч-
ного сечения s (см. рис. 10.1).
Структура и напряженно-деформированное состояние САП в
каждой точке стенки стержня рассматриваются в правой орто-
гональной координатной системе х, у, z с началом на средин-
ной поверхности САП и ориентировкой осей, представленной на
рис. 10.1. Для анализа стержня в целом вводится другая пра-
вая ортогональная координатная система X, Y, Z с началом в
произвольной точке на плоскости поперечного сечения и произ-
вольно в этой плоскости ориентированными осями Y, Z (см. рис.
10.1). Таким образом, контур поперечного сечения стержня s
задается в осях X, Y.
Главной целью работы является определение упругих харак-
теристик поперечного сечения стержня, т. е. жесткостей или по-
датливостей, необходимых для составления закона деформиро-
вания элементарного участка стержня в зависимости от геомет-
рии и структуры его профиля и упругих характеристик САП.
Закон деформирования должен связать между собой продоль-
ную силу N, изгибающие моменты MY, Mz, поперечные силы
5ух, Szx и крутящий момент ЭЛ, действующие в его сечениях
(см. рис. 10.1), с соответствующими деформациями стержня е,
10.1. Постановка задачи и основные допущения
201
kY, kz, \yx, yzx и 0', которые дефинируются следующим обра-
зом:
ди0	д2(£>0	, д2«о
^—~дхГ’
,	д	до	(10Л
д(о0	dv0	Ото
yYX =	дХ	’ yzx =	дх’’	~~дзГ’
где и0, vQ, со0 — перемещения начальной точки координатной
системы стержня в рассматриваемом сечении в направлениях
X, Y, Z соответственно; 0О — поворот этого сечения вокруг оси
X против часовой стрелки.
Относительно САП используется классическая теория сло-
истых материалов [34, 56], что позволяет вместо реального
стержня рассматривать только его срединную поверхность, на
которую вообще могут действовать мембранные силы {N}T =
= [Nx, Ny, Nxy], моменты {М}Т=[МХ, Му, Мху] и поперечные
силы Sxz и Syz (см. рис. 10.1). Мембранные силы и моменты с
деформациями срединной поверхности САП {«е»}т= [«ех», «еу»,
«Уху»] и {k}T =\kx, ky, kxy\ связывает известный закон деформи-
рования (4.11), который в случае симметричной относительно
срединной поверхности структуры САП, когда Bi, = 0, i, / = 1, 2,
6, принимает следующий вид:
{N} = [А] {«е»); {М} = [D] {k}.	(10.2)
Межслойный сдвиг САП подробно проанализирован в пара-
графе 9.1.
В общем случае между результирующими по сечению
стержня усилиями N, Му, Mz, Syx, Szx и ЭЛ и распределенными
ио контуру s усилиями Nx, Мх, МХу и Sxz существуют следую-
щие соотношения:
N=^Nxds-,	(10.3)
Му= J NxZds+ jMxCosqsds;	(10.4)
S	8
Mz= J* NxYds— J Mx sin yds-,	(10-5)
8	8
3R= — J NxyZ cos <pds+ J NxyY sin yds —
S	8
f Mxyds+ J SxzZ sin q>ds+ J Sxz/cos q>ds;
8	8	8
(10.6)
202
Глава 10. Упругие характеристики слоистых стержней
Syx= f Nxy cos yds — JSXz sin q>ds;	(10.7)
8	s
Szx= J Nxy sin <pds+ j cos <pds, (10.8)
8	s
где cp — угол между касательной к контуру s и осью У (см. рис.
10.1). Формулы (10.3)— (10.8) получены при условии, что поло-
жительными являются такие усилия, которые вызывают поло-
жительные деформации в направлении своего действия (см.
рис. 10.1, где все усилия являются положительными). Но с уче-
том тонкостенности стержня в настоящей главе вводится ряд
упрощений.
Предполагается, что изгибная жесткость САП настолько
меньше изгибной жесткости всего сечения, что моментами Мх
можно пренебречь. Также можно пренебречь вкладом распре-
деленных по контуру s поперечных сил Sxz в образование ре-
зультирующих поперечных сил Syz и Szx- Важно отметить, что
настоящая глава ограничивается анализом только таких внеш-
них условий, при которых депланация поперечных сечений
стержня при кручении, а также при других видах нагружения
вследствие сдвиговых деформаций стенки свободно реализуется,
На основе вышесказанного соотношения (10.4) — (10.8) значи-
тельно упрощаются:
MY~ j NxZds;	(10.9)
Л4Х= $NxYds-,	(10.10)
ал=— §Mxyds+ j SxzZ sin <pds+ j SXZY cos <pds; (10.11)
s	8	8
Syx — cos <pd$;	(10.12)
s
Szx= J Nxy sin yds.	(10.13)
s
Кроме того, предполагается, что рассматриваемое сечение
настолько удалено от концов стержня и мест приложения со-
средоточенных нагрузок, что согласно принципу Сен-Венана
можно пренебречь какими угодно локальными эффектами. Для
10.2. Свободное кручение
203
этого принимаются следующие условия относительно кривизны
срединной поверхности САП:
A«(s)=O;	(10.14)
kxy(s) = const = —29'.	(10.15)
Условие (10.14) принято с учетом тонкостенное™ стержня, а
условие (10.15) соответствует случаю свободного кручения
стержня с открытым профилем [39]. Дополнительно к условиям
(10.14) и (10.15) следует принять и условия относительно со-
стояния САП в продольных сечениях стержня. В соответствии
с классическим подходом [12, 15] принимается, что контур по-
перечного сечения стержня не деформируется, т. е.
«ег,»=^=0.	(10.16)
Практически это соответствует случаю, когда по длине стержня
расположены жесткие диафрагмы или стержень работает сов-
местно с обшивкой или легким наполнителем. В обратном слу-
чае вместо (10.16) следует использовать допущение
УДв)= Му (s)=0,	(10.17)
которое является корректным, если к рассматриваемому сече-
нию стержня не приложена распределенная нагрузка или она
достаточно мала по сравнению с усилиями, распределенными
по контуру профиля. Влияние такой нагрузки на деформи-
рование однородной моноклинно-анизотропной полоски проана-
лизировано в работе [40].
10.2.	СВОБОДНОЕ КРУЧЕНИЕ
В случае САП с симметричной относительно срединной по-
верхности структурой свободное кручение стержня (т. е. такое,
при котором депланация его поперечных сечений свободно реа-
лизуется) моментом ЭЛ можно рассматривать независимо от ос-
тальных видов нагружения. Это следует из закона деформиро-
вания (10.2) и соотношения (10.11) и объясняется тем, что при
мембранно-изгибных жесткостях В<6 = 0, 1=1, 2, 6, распределен-
ный по контуру s крутящий момент Мху не вызывает нормаль-
ных и сдвиговых деформаций срединной поверхности САП и,
следовательно, всего стержня.
Как следует из соотношения (10.11), момент 5R образуют
кроме крутящих моментов Мху и распределенные по контуру s
поперечные силы Sxz. В случае толстостенных стержней закон
распределения усилий Мху и Sxz подлежит определению, так
как от него зависит расчетное значение жесткости кручения
стержня [14, 39]. Для тонкостенных стержней распределение
204
Глава 10. Упругие характеристики слоистых стержней
Рис. 10.2. Вид поперечного сечения
стержня, на который воздействует при
ложенный крутящий момент ЭЛ (а), II
схема условной замены фактического
распределения (-------) усилий на ку
сочно-однородное (б)
Мху в пределах участков контура s с постоянной структурой
САП при определении упругих характеристик стержня можно
считать однородным, т. е. можно пренебречь фактически криво-
линейной формой Мху, наиболее выраженной вблизи свободных
кромок стержня или в местах стыков отдельных полос (рис.
10.2), если таковые имеются. Из этого допущения следует, что
в конкретном случае нельзя применить зависимость
(10.18)
бг/
Для учета влияния поперечной силы Sxz в работе [39] раз
работай косвенный способ, согласно которому вклад попереч
ных сил в образование внешнего крутящего момента ЭЛ равно
силен вкладу распределенных по контуру s крутящих моментов
Мху. После подстановки зависимости (10.18) в (10.11) и ип
тегрирования (10.11) по частям получаем
9Л= —2 J Mxyds.	(10.19)
S
Из условий (10.14) — (10.16) следует, что моменты Мху рае
пределены по контуру s прямо пропорционально крутильной
жесткости САП D66. Подставляя Мху из закона деформирования
(10.2) в выражение (10.19), получаем с учетом условия (10.15)
закон свободного кручения тонкостенного стержня с неоднород-
ной структурой профиля
ав=г>к0',	(Ю.20)
где Дк=4 f Dt^ds — жесткость свободного кручения.
10.3.	ОСЕВОЕ НАГРУЖЕНИЕ И ЧИСТЫЙ ИЗГИБ
В случае комбинации осевого нагружения и чистого изгиба
в сечении стержня отсутствуют поперечные силы SYx и SZx и
могут действовать только усилия N, MY и Mz, которые вмеси*
10.3. Осевое нагружение и чистый изгиб
205
обозначаем через вектор {N}. Эти усилия образует только рас-
пределенная по контуру s сила Nx согласно выражениям (10.3),
(10.9) и (10.10), которые вместе, в свою очередь, записываем
следующим образом:
{N}=$ Nx{J}ds,	(10.21)
s
где {J}T= [1,Z, У].
При свободной депланации сечения стержня вследствие сдви-
говых деформаций его стенки (при Л'ху = 0) и при стесненных
поперечных деформациях («еу» = 0) сила Nx, как следует из за-
кона деформирования (10.2), вызывает продольные деформации
«еж», определяемые по закону
«е^> = «цМс,	(10.22)
где «и определяется из матрицы
Г «и «161 Г ^161-1
*- «16 «66 -I ^16 Аве *
В условиях чистого изгиба деформация «еж» распределяется по
контуру s линейно и выражается через продольную деформацию
е и кривизны стержня kY, kz (или короче {е}) следующим об-
разом:
«еж» = е + Ау2+^У,	(10.23)
или
«8ж»={7}г{е}.
Последовательно подставляя одну в другую зависимости (10.23),
(10.22), (10.21), получаем следующий закон деформирования
элементарного участка стержня:
	N Му Mz .		Кп Kia К.13 К21 К22 К23 . Кз1 Кз2 Кзз -	| е j &Y 1 kz	(10.24)
или где	W = [tf] {е}, [К]= f -J-{/}{/} Tds				(10.25)
206
Глава 10. Упругие характеристики слоистых стержней
Рис. 10.3. Схема для определения положения главных
центральных осей
является матрицей жесткости стержня. Как видно из выраже-
ния (10.25), [К]Т=[К], т. е. матрица [К] является симметрич-
ной, или Kij = Kji, i,/ =1,2,3.
Как уже отмечалось в параграфе 10.1, координатные оси X,
У, Z являются произвольными. Для определения положения
главных центральных осей X', Y', Z', относительно которых дей-
ствующие усилия не вызывают побочных деформаций оси
стержня, вводятся координаты начальной точки главных осей
Угл, Кгл и угол их поворота агл относительно начальных осей
(рис. 10.3). Для определения Угл, Угл и агл используется прин-
цип, согласно которому в главных центральных осях все недиа-
гональные составляющие матрицы жесткости стержня равня-
ются нулю. Тогда после выражения в формуле (10.25) началь-
ных координат У, Z (они входят в состав матрицы {7}) через
главные центральные координаты Y', Z' с помощью соотноше-
ний
У=Угл + У'С03аГл X' sin ОСгл‘,	no 9R*
Z = Кгл + Y' sin аГл + X' cos аГл
получаем следующие формулы для расчета параметров, опре-
деляющих положение главных центральных осей, содержащие
жесткости стержня в начальных осях:
_ ^13	7 — ^12
All	All
1
аГл=— arctg2
К12К13-КпКгз
(10.27)
К11(7<22-7<33)-К122-/<132
10.4.	ЗАКОН ДЕФОРМИРОВАНИЯ СТЕРЖНЯ С УЧЕТОМ
ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ
Согласно выражениям (10.12) и (10.14) поперечные силы
5у.у и SZx образуют распределенные по контуру s сдвиговые
силы Nxy. Для определения распределения Nxy по контуру s ис-
10.4. Закон деформирования стержня с учетом поперечных сил
207
пользуется условие равновесия элементарного участка стенки
стержня
dNx । dNXy__q
дх ду
в котором с учетом тонкостенное™ стержня заменяем х, у на
координаты X, s. Тогда получаем
ЛМ*)=-	(10.28).
ол
So
где нет постоянных интегрирования в силу отсутствия сдвиго-
вых сил Nxy на свободной кромке стержня, где s = s0. В более
конкретном виде (через поперечные силы Syx, Szx) распреде-
ление NXy(s) выражается после последовательной подстановки
в (10.28) необходимых величин из зависимостей (10.22) — (10.24)
с учетом того, что
dN дМу „ dMz „
---= 0:------~Szx\ 	“Syz,
дХ ’ дХ ’	дХ YZ’
(10.29)
или короче
( dN
KU ={5}T=[0;Szx;Syx].
ОЛ J
Формирование вектора поперечных сил {S} в приведенной форме
производится для удобства записи. Конечное выражение для
определения Nxy(s) будет приведено в дальнейшем вместе с вы-
ражениями для определения других усилий.
Наличие сдвиговых сил Nxy в первую очередь вызывает до-
полнительные сдвиговые деформации в стенке стержня, приво-
дящие к дополнительной депланации его поперечных сечений и
к дополнительным деформациям поперечного сдвига стержня
вследствие действия поперечных сил. Но кроме этого прямого
эффекта действие сил Nxy, а также связанной с ними производ-
ной dNx/dX (см. выражение (10.28)) в случае неортотропного
САП является причиной возникновения в стержне побочных эф-
фектов соответственно первого и второго рода.
Побочный эффект первого рода возникает из-за того, что
сила Nxy кроме сдвиговых деформаций стремится вызывать и
нормальные деформации (обозначим их через «е*ж»), которые в
случае реализации определялись бы следующим образом:
«ex» = al6Nxy.	(10.30)
Но условная реализация «е*ж» привела бы к образованию в
стенке стержня «разрывов» (рис. 10.4, а) или «наслоений», что
зависит от знаков а-,6 и Nxy. Тогда из условия неразрывности
208
Глава 10. Упругие характеристики слоистых стержней
«£*, »
Рис. 10.4. Схема условных разрывов
первого (а) и второго (б) рода
следует существование самоуравновешивающихся по контуру $
дополнительных сил первого рода N'x, «затягивающих» услов-
ные разрывы и приводящих к дополнительной деформации и
кривизнам первого рода всего стержня е', k'r, k'z-
В результате побочного эффекта второго рода также возни-
кают самоуравновешивающиеся по контуру s дополнительные
силы N"x, «затягивающие» условные разрывы второго рода и
приводящие к дополнительной деформации е" и кривизнам
стержня k"Y, k"z. Причиной побочного эффекта является то, что
силы Nx кроме нормальных деформаций стремятся вызывать и
сдвиговые деформации согласно закону
«Тхг/>> = а1б^ж.	(10.31)
Это приводит к депланации поперечного сечения стержня, ко-
торую характеризуют продольные перемещения u(s), опреде-
ляемые следующим образом:
S
u(s) = J «.‘yxyi'ids.	(10.32)
So
Если dNxldX=j^=Q, то сечения будут стремиться осуществлять
разную степень депланации. Если условно представить, что раз-
ная степень депланации реализовалась бы, то это привело бы
к образованию разрывов (или наслоений) второго рода (см.
рис. 10.4, б). Относительная ширина условных разрывов харак-
теризуется продольной деформацией
ди
«8**ж» = -—,	(10.33)
дл
где знак « —» необходим для однозначного присвоения дефор-
мациям «е*:с» и «е**ж» отрицательных значений в случае образо-
вания разрывов (см. рис. 10.3) и положительных значений в
случае образования наслоений. Подставляя в выражение (10.33)
зависимости (10.32) и (10.31), получаем условную деформацию
разрывов второго рода в следующей форме:
Г = dNx
«8**х» = - J а16—— ds.	(10.34)
иЛ
So
10.4. Закон деформирования стержня с учетом поперечных сил 209
Дополнительные продольные силы N'x и N"x соответствуют
дополнительным деформациям «е'ж» и «е"ж», которые обуслов-
лены разницей между условным положением сечения стержня,
установившимся бы в случае реализации «е*ж» и «е**ж», и фак-
тическим его положением, определяемым деформациями и кри-
визнами стержня s', k'Y, k'z (см. рис. 10.4, а) и е", k"Y, k"z. В
математической записи это выражается следующим образом:
е' + k'YZ + k'z У - « е*ж> > = o’! i N'x = « s'x> >;	(10.35)
е" + k"YZ+k"zy - «8**х> > = a] i N"x = « 8"x>>.	(10.36)
Для определения суммарных дополнительных распределенных
по контуру s сил N'x + N"x, возникающих при наличии в стержне
поперечных сил SYx и SZx, еще необходимо привести условие
самоуравновешивания N'x и N"x (см. выражение (10.21))
J (Л'\;Л'"ж){7}=0.	, ’	(10.37)
S
На основе сказанного получаем следующие выражения рас-
пределения по контуру s нормальных и сдвиговых сил при дей-
ствии в стержне усилий {N}T =[N, MY, Mz] и {S}T=[0, SZxL
S-xyJ:
Nx (s) = {Д (S) } т {TV} + {J2 (s)} т {S};
^(s) = {73(s)}t{S}.	(
Подставляя зависимости (10.38) в закон деформирования (10.2)
и учитывая отсутствие поперечных деформаций («8г/» = 0), полу-
чаем выражения распределения по контуру s деформаций «8Ж»
и «ужг/»
«ех (я)» = {Д (s)} T{N} + {/5 (s)} т {я};
«TxHs)» = {/6(s)}TW + {/7(s)}r{S}.	1	’
В выражениях (10.38) и (10.39) через {7Дх)}, 1=1—7, обозна-
чено
{71(s)}=J-[/(]-^{7};
Оц
{72(s)}=-J-[/(]-i4[t7]4/(]-iT{/}_;i6{L/1}_{L/2}};
аи
{/з(5)} = [К]-1т{^1};
{74(я)}=ац{Л(я)};
{Д (я)} = ап {-^2 (s)} +а1б{^з(5)};	(10.40)
{/6(я)}=а16{Л(я)};
14 - 482
210
Глава 10. Упругие характеристики слоистых стержней
,{A(s)} — 016 {Л (s)} +йбб{Л(5)};
[t/]= J (~-{J}{Ui}T+-^-{J}{U2}T\ds;
«и	«п
So
S
{L/i}= J ~ {J} ds;
so an
s _
W>} =
So flu
Имея распределения по контуру s усилий и деформаций,
легко определять упругие характеристики всего сечения стержня
приравниванием друг к другу работ всех внутренних и внешних
усилий на элементарном участке стержня длиной dX:
J (A^«ex» + AW<Y*y»)dsdX=	dX,
s	Y (10.41)
где
{у}т= [0; yZx; угх'].
Подставляя в равенство (10.41) уравнения (10.39) и выражая
деформацию и кривизны стержня через соответствующие уси-
лия с помощью надлежащего определения закона деформиро-
вания, содержащего предположительно симметричную матрицу
податливости
el F/7'	(10.42)
у J - L G'T Н' J I S / ’
получаем искомые подматрицы податливости стержня, выра-
женные через его геометрические и структурные параметры и
характеристики САП:
[Л= J {Л(5)}{Л(5)}Г^;
в
({J2(s)}{J5(s)}T + {J3{s)}{J7(s)}T)ds; (10.43)
[О'] = J {Jl(s)}{J5(s)}Tds = J ({/4(s)}{/2(s)}r +
s	s
+ {J6(s)}{J3(s)}T)ds.
10.4. Закон деформирования стержня с учетом поперечных сил 211
При этом подтверждается симметричность полной матрицы по-
датливости элементарного участка стержня. Следует также от-
метить, что подматрица [У7'] = [/С]-1Т.
Полученный закон деформирования (10.42) целесообразно
преобразовать с учетом того, что четвертый член в векторе уси-
лий равняется нулю (dN/dX = Q). Это дает возможность исклю-
чить из полной матрицы податливости четвертую строку и чет-
вертый столбец и в место их пересечения вставить податливость
кручения D'K=DK~\ связывающую относительное закручивание
6' с моментом 2R. Тогда закон деформирования элементарного
участка стержня предлагается в форме
е		~F'n	F'l2	^13 I	j 0'12	G'i3		N
А? у		F'21	F'22	F'23 1	j OZ22	0'23		MY
kz 'Q'		.5 | 1	F'22	F'33 f	j G'32 1 )	CO 1 ч” 1 e 1		Mz -1иГ
yzx		0'12	G'22	G'22 j	j H'22	H'23		Szx
[ Yvx		_G'i3	g'22	G'331	j Н'з2	H'33 _		Syx
(10.44)
где матрица податливости в целом является симметричной, т. е.
F'ij = F'ji; =	G'2^G'32- Обращая зависимость (10.44),
получаем закон деформирования, содержащий жесткостные ха-
рактеристики стержня F, G, DK, Н.
При определении упругих характеристик стержня по фор-
мулам (10.43) и (10.40) легко учитываются возможные разли-
чия условий относительно реализации поперечных деформаций
«еу» на различных участках контура s. Например, если на опре-
деленном участке контура s вместо условия «ey(s)» = 0 (см. вы-
ражение (10.16)) можно принять, что Ny(s) =0, то САП на этом
участке вместо податливостей ац характеризуется податливос-
тями aij, получаемыми обращением полной матрицы мембран-
ной жесткости [А].
Для оценки достоверности полученных теоретических резуль-
татов был рассмотрен частный случай тонкостенного стержня —
плоская однородная полоска в виде консоли, нагруженная на
конце сосредоточенной силой. В этом конкретном случае фор-
мулы распределения усилий Nx и Nxy в полоске (см. выражение
(10.38)) оказались идентичными формулами распределения
нормальных и касательных напряжений в анизотропной консоли,
полученным путем точного решения в работе [40]. На рис.
10.5, а представлены распределения усилий Nx и Nxy в одно-
родной анизотропной полоске, построенные по формулам (10.38)
при действии единичного момента и поперечной силы. Для
14*
212
Глава 10. Упругие характеристики слоистых стержней
a) Nx	NXy
Рис. 10.5. Распределение усилий в полоске с постоянной
(а) и кусочно-постоянной (б) структурой пластика при
воздействии единичного момента и поперечной силы.
Теоретические кривые построены по формулам (10.38) при Ny — Q
(7) и ((е2/’)) = 0 (2)- Исходные данные те же, что на рис. 9.2
61 Nx Nxy
иллюстрации новых результатов, полученных в настоящей ра-
боте, на рис. 10.5,6 представлены распределения усилий NxnNxy
в полоске с неоднородной структурой профиля, построенные по
тем же формулам и при той же нагрузке. Распределения уси-
лий на рис. 10.5 построены для двух противоположных вариан-
тов внешних условий: «ег/» = 0 и Ny = Q.
Для определения положения центра изгиба, через который
проходят поперечные силы, не вызывающие кручения стержня,
следует приравнять нулю крутящий момент 9Л вследствие дей-
ствия сдвиговых сил Nxy относительно точки с неизвестными
координатами Уи и ZR:
S0l=— J (Z— Zlt')Nxy cos q>ds+ J (У— Ya)Nxy sin <pds = O.
s	s	(10.45)
Выражая Nxy через поперечные силы с помощью зависимости
(10.38), получаем условие для определения координат центра
изгиба Уи и ZH:
х {Ш»{ “7ГЛН’ <io-46>
s	Y
где {J3(s)} — вектор, состоящий из второй и третьей компонент
вектора {73(s)}.
На основе полученных результатов можно сделать вывод,
что главной особенностью упругих характеристик тонкостенных
стержней открытого профиля из неортотропного материала яв-
ляется наличие податливостей и жесткостей G';, и Gij, i, j= 1,
2, 3, которые характеризуют взаимосвязь продольного деформи-
рования и изгиба стержня с его поперечным сдвигом.
Ш. МЕХАНИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Глава 11. УПРУГИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
СЛОИСТЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
11.1.ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ СЛОИСТОГО СТЕРЖНЯ
Потенциальная энергия U для упругого слоистого стержня
определяется по следующей формуле:
i	i	i
^d<p+lj Sxdy. (11.1)
2 о	z о	2 о
Перемещения d6, dtp и dy для элемента стержня длиной dx,
в свою очередь, определяются по следующим зависимостям:
d6 = d<<e3C0» =A'nNxdx+B'nMxdx-,
d^—dkx = B'nNxdx+D'nMxdx-,	(11.2)
,	* e j
dy—— Oxdx,
^55
где
^55 = Gafe/l.
В формуле (H.l) введены следующие обозначения: Nx, Мх и
Sx — усилия в стержне при ширине его прямоугольного попе-
речного сечения, равной единице; х — безразмерный коэффи-
циент деформаций сдвига, зависящий от формы поперечного
сечения стержня и его структуры; Gxz — модуль сдвига слоис-
того материала; Л55 — составляющая матрицы жесткости слоис-
того материала.
Подставляя выражения для перемещений d6, dtp и dy в фор-
мулу (11.1), получаем
i	i	i
U——— J NX2A'ndx-f- JNxMxB\\dx+—J MX2D'\\dx-\-
2	о	о	0
г
2 0 2155
214
Глава 11. Упругие перемещения стержневых систем
Формула (11.3) относится к случаю, когда ширина прямо-
угольного поперечного сечения стержня равняется единице.
Если ширина стержня равняется Ь, то
1	Г	If
Д=-J	J NpMpB'\\dx+
i	i
If	1 Г х
+~2Ь MP2D'ndx+~2bJ ~^Sp2dx-	С11-4)
Если структура слоистого стержня симметрична относительно
его срединной плоскости, то формула (11.4) принимает вид
+	Mp*D'ndx+±~-\-^—Sp2dx.
2Ь °	2Ь °	2Ь ° Л55	(11.5)
Методика определения коэффициента деформаций сдвига х
изложена, например, в работах [79, 97].
11.2.	МЕТОД КАСТИЛЬЯНО
Согласно теореме Кастильяно обобщенные перемещения
равны частным производным от потенциальной энергии U по
соответствующим обобщенным силам Pf.
При определении перемещений по теореме Кастильяно по-
тенциальная энергия должна быть выражена в виде функции
только от обобщенных сил.
Заметим, что теорема Кастильяно позволяет определять пе-
ремещения только тех точек, к которым приложены обобщен-
ные силы (например, сосредоточенная сила или сосредоточен-
ный момент). Для определения перемещения произвольной точки
упругой системы используется следующий искусственный прием.
В точке k, для которой требуется найти перемещение, прикла-
дывается сосредоточенная сила или сосредоточенный момент, и
составляется выражение для определения потенциальной энер-
гии в функции от заданной и дополнительной нагрузки Pg (или
Mg).
11.2. Метод Кастильяно
215
Тогда искомое перемещение получаем из уравнений
/ dU \
<"'7>
или
п / ди \
&к~ \ dMg / ms^o-
С помощью выражения для определения потенциальной энер-
гии слоистого пластика в виде (11.4) уравнение (11.6) может
быть переписано в следующей развернутой форме:
I NpA'n~Jd^dx+T I NPB'n-^^-dx +
b •	дРг b '	dPi
1 f	r>/ dNp	1 Г	dMp
+ -?- J MpB ir ~—- dx+ — J MpD и лп“^х +
b °	dPi	b *	dPi
(	х	dSp
I	A55 дРг
(H-8).
B случае симметричной структуры формула (11.8)
ется:
упроща-

dNp j
——	dx-\-
дР{
Sj,2L_^_dx.	(П.9)
11.3.	МЕТОД МОРА
Метод Мора построен на основе принципа виртуальной ра-
боты. Предположим, что на слоистый стержень действует еди-
ничная нагрузка, место и направление приложения которой со-
ответствуют искомому перемещению. Придадим стержню некое
виртуальное перемещение, в результате чего единичная нагрузка
переместится на отрезок Д и проделает виртуальную работу
1Д. Виртуальная работа единичной нагрузки будет равняться
суммарной работе внутренних усилий (возникающих из-за воз-
действия единичной нагрузки) вследствие деформирования
216
Глава 11. Упругие перемещения стержневых систем
бесконечно малых отрезков стержня при придании ему вир-
туального перемещения:
i	i	i
1Д = §Nxd8 + J Mxd<p+ jsxdy,	(11.10)
ООО
где N, М и 3 — внутренние усилия, вызванные воздействием
единичной нагрузки; dd, dap и dy — перемещения бесконечно
малых элементов стержня.
Для слоистого стержня с несимметричной структурой пере-
мещения определяются по зависимостям (11.2).
Подставляя выражения для dd, dtp и dy в зависимость
(11.10) и учитывая, что ширина поперечного сечения стержня
равняется Ь, получаем формулу для определения перемещений
слоистого стержня:
Дгр =	~— j* NiNpdx+	—-—J NiMpdx +
к	к
+ У MiNPdx+ У, У MiMPdx +
к	к
+ 12	 У SiSpdx.	(п.н)
В случае поперечного изгиба формула (11.11) принимает
вид
ДгР =	—-— У NiNpdx+	—-—У MiMPdx+,
+ Ц-Г-7-У SiSpdx.	(11.12)
Л55о h
Если структура слоистого стержня симметрична относительно
его срединной плоскости, то формулы (11.11) и (11.12) упро-
щаются:
Дгр=	—7— У NiNpdx+	1|—-—У MiMpdx-^-
+ dEd ~л~Т" У SiSpdx-,
A^b h
^ip—	—-— УMiMPdx+	——— У SiSpdx,
о .	ЛмО.
(П-13)
(П-14)
11.3. Метод Мора
217
Рис. 11.1. Зависимость относительной разницы перемещений в
центре шарнирно опертой балки прямоугольного сечения из ко-
соугольно армированного симметричного боро- (а) и углепла-
стика (б) от геометрии ее строения:
Р = о° (/); 15 (2); 20 (3); 25 (4); 30' (5); 35 (6); 45 (7); 90° (8)
где
ЙЦ =-Т- (/422^66 — ^262) ;
Да
	Ац	^12		
Да =	А21	А22	^26	
	. ^61	Аб2	А 66	
dn=—— (£>2г£>бб~£>2б2);
До
	'£>н	£>12	Е>16
Дл =	£>21	£>22	£>26
	_ £>61	£>62	£>66 .
В качестве примера рассмотрим изгиб под действием равно-
мерно распределенной нагрузки шарнирно опертой балки пря-
моугольного поперечного сечения высотой h, изготовленной из
косоугольно армированных боро- (Ев/ЕА=Ю0; va = 0,35; vb =
= 0,23; ip = 0,6) и углепластиков (EBr/EA = 2', EBz/EBr = 20; va =
= 0,35; ip = 0,6). На рис. 11.1 представлены результаты расчета
относительной разницы между прогибами в центре балки, опре-
деленными с учетом и без учета поперечных сил (Дг — соот-
218
Глава 11. Упругие перемещения стержневых систем
ветствующее перемещение, определенное без учета действия по-
перечных сил). Как следует из результатов, представленных на
рис. 11.1, учет поперечных сил при анализе деформативного со-
стояния стержневых систем необходим для относительно корот-
ких стержней. Понятие относительно коротких стержней (харак-
терное отношение длины стержня к его высоте l/h) сущест-
венно зависит от вида и свойств материала. В частности, для
слоистых армированных пластиков понятие коротких стержней
определяется деформативными свойствами монослоев, направ-
лением их укладки и схемой армирования (симметрия матери-
ала). Относительный вклад поперечных сил в перемещения
стержневых систем из слоистых армированных пластиков зави-
сит от свойств симметрии схемы укладки слоев. На примере
структур типа [±р] и [0°/90°] по результатам численного ана-
лиза для типичных стекло-, угле- и боропластиков показано,
что этот вклад больше выражен для симметричных схем, чем
для несимметричных. Поэтому оценку влияния поперечных сил
на внутренние усилия и деформативное состояние стержневых
систем проведем на примере симметричных структур. Наиболь-
шее отличие прогибов балки, определенных с учетом действия
поперечных сил, от соответствующих прогибов, определенных
по классической методике (учитываются лишь изгибающие мо-
менты), наблюдается (см. рис. 11.1) у наиболее анизотропных
пластиков (р=0°). С увеличением угла укладки р это отличие
уменьшается (следовательно, уменьшается эффект действия по-
перечных сил), поскольку значительно меняется изгибная жест-
кость пластика (D'u растет). Отметим, что эффект действия
поперечных сил более выражен для боропластика — материала
с наибольшей деформативной анизотропией слоев, нежели для
углепластика, и еще в большей степени, чем для стеклоплас-
тика.
Резюмируя вышеизложенное, можно сделать вывод о том,
что в отличие от перемещений однородных изотропных мате-
риалов перемещения стержневых систем из слоистых армиро-
ванных пластиков должны определяться, как правило, с учетом
действия поперечных сил.
Глава 12. УПРУГОВЯЗКИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
СЛОИСТЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
12.1. СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
РЕОНОМНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛОИСТОГО ПЛАСТИКА
При исследовании напряженно-деформированного состояния
стержневых систем, выполненных из слоистых армированных
пластиков и подверженных длительному нагружению, необхо-
димо знать реономные характеристики используемых материа-
лов, которые могут быть определены как экспериментально, так
и аналитически. Экспериментально определенные значения спра-
ведливы лишь для одного конкретного материала и не могут
быть использованы даже для пластиков, изготовленных из тех
же однонаправленно армированных слоев, но при другой схеме
укладки. Поэтому целесообразно определять вязкоупругие свой-
ства слоистых армированных пластиков структурным методом —
по деформативным свойствам монослоев и геометрии их ук-
ладки. Отметим, что структурный метод может быть осущест-
влен и на уровне компонентов монослоев, так как задача опре-
деления вязкоупругих свойств однонаправленно армированных
пластиков по структуре их строения успешно решена, напри-
мер, в работе [9]. Поэтому с целью упрощения принимаем в
дальнейшем, что упругие и реономные деформативные харак-
теристики монослоев известны.
Закон деформирования линейного вязкоупругого слоистого
материала в общем случае может быть записан согласно крат-
ковременному решению (8.5) в виде
[««(<)»!	Г-4'. I В'. -|Г*(Ц1
1 *(<) j I В',, I D'. 11 M(l) J	1  *
Компоненты матриц А'*, В'*, D'* представляют собой линейные
операторы, определяемые по правилам
t
A\;j[F(t)] = A'^ b(/) + J	};
о
220
Глава 12. Упруговязкие перемещения стержневых систем
{^(о+	(12-2>
о
t
D'h;[F(0]=£)^ {f(0 + J	.
0
Значения А'ц, В'ц, D'Zj, i, /=1, 2, 6, определяются из упругой
задачи и представляют собой элементы упругих матриц мем-
бранной, мембранно-изгибной и изгибной податливостей слоис-
тых армированных пластиков.
Для случаев одноосных нагружений имеем
(t)	=	(/)];	(12 3)
kt (t)	[Mj (t) ].
Здесь	«ei(t)», M. ,... — соответствующая i-я дефор-
мация пластика от действия одной лишь j-й компоненты нагру-
жения (Nj, Mj). Отсюда при постоянном нагружении (Л7Дг?) =
= const; Л4Д/) = const) легко определить реономные характе-
ристики пластиков согласно выражениям (12.2):
J А'ц^-1)^=	-1 ];	(12.4)
0	L /т ijiVj	J
о	L £) ijMj J
<1М>
t
Дифференцируя выражения (12.4) —(12.6) по t и учитывая, что
ь	ь	1
f F(b — x)dx= ff(x)dx,	(12.7)
о	о
12.1. Метод определения реономных характеристик пластика
221
окончательно получаем
г/ _ d^Ei(t))),Nj	1
Л ij )-----------------------
Bz /f\_ d{(&i(t))),Mi
ij{) dt ’
dt
1
s/ dki(t),M}
гз() dt
A'ijA/j
(t) ,Nt
dt
1
D'aMi
(12-8)
1______
B'ijNt
3	(12.9)
(12.10)
Отметим, что уравнения (12.9) определяют один и тот же вид
ядер Bij(t — g) и выбор выражения в качестве определяющего
происходит в соответствии с конкретными условиями: наличие
экспериментальных (рассчитанных) данных, удобство вычисле-
ний и т. д.
Для определения функций ядер ползучести деформативных
характеристик слоистых армированных пластиков согласно вы-
ражениям (12.8) — (12.10) необходимо знать соответствующие
кривые ползучести «ei(t)»,N., «ei(t)», М] , Если зависимости
вязкоупругих деформаций пластиков во времени заданы анали-
тически, то и соответствующие ядра ползучести определяются
в результате аналитического дифференцирования уравнений
(12.8) — (12.10). Рассмотрим в качестве примера сбалансиро-
ванный косоугольно армированный пластик, длительное напря-
женно-деформированное состояние которого при одноосном по-
стоянном растяжении исследовано в параграфе 5.3. Отсюда в
соответствии с выражением (12.8), например, для A'n(f—g)
получаем
Д'п(/ —g) =С'22ехр [ — «22G —£)] +0'66ехр [ —абб(^ —£)] +
2
+ ехр [Л (/-£)].	(12.11)
Здесь
sin2	Аз Q г 
С 22=—- i 522С22 sin2 р— D -	S22C22 sin 2р —
/2Л 11 v
2
S22C22 sin 2ра22 у1	+А3] 1	. z .
Bl “ Pi(pi-Pj)^22+P^i;
r, 1 с sin22₽ , лз „ r sin 40
ЛА'п I	4 BJ\P2	4
2
ЗббСбб<Хбб sin 40	[А1Р^+А2-Рг + ^з] 1	• , .
Ди pi(pf_p.) (а6б + Р,-) J ’
222
Глава 12. Упруговязкие перемещения стержневых систем
Q, [^1-Рг2+^2-Рг + ^з] f <-.» _ S66C66Sin4p
jBiM'll	V	4 (абб+ Pi)
2S22C22 sin3 р cos р
(«22 + Л)
Значения Pi, Р2, Ai, Di,...,A3, D3, а также характеристики
слоев Sy, S*ij, Сц, ai/ определены в параграфе 5.3, Ядра ползу-
чести A'22(t—|),	%), A'66(t — g) определяются аналогично.
Реономные характеристики, рассчитанные согласно выраже-
ниям (12.11), (12.12), справедливы для любых симметричных
косоугольно армированных пластиков независимо от свойств мо-
нослоев и в соответствии с законом деформирования (12.1) поз-
воляют описывать деформирование материала при любом виде
плоского напряженного состояния — как постоянном, так и пе-
ременном во времени.
Отметим, что аналогичные аналитические решения получены
и для сбалансированных ортогонально армированных пластиков
на основе результатов работы [21]. Здесь, так же как и в слу-
чае ортогонально армированных пластиков, учитывалось изме-
нение во времени напряженного состояния монослоев.
Аналитические решения вязкоупругого деформирования ко-
соугольно, а также ортогонально армированных пластиков, ис-
пользуемые в параграфе 5.3, получены в результате выполнения
преобразований Лапласа. В общем случае для произвольных
несимметричных схем армирования и при комбинированном на-
гружении выполнение обратных преобразований Лапласа соот-
ветствующих выражений является достаточно трудоемкой зада-
чей. Значительно усложняется решение при выборе ядер ползу-
чести монослоев в более сложной форме, чем экспоненты (ядер
А. Р. Ржаницына, Ю. Н. Работнова и др.). Поэтому для ана-
лиза трех- и более направленных схем армирования целесооб-
разно использовать численные методы расчета кривых ползу-
чести слоистых армированных пластиков с заданной структурой
строения, которые позволяют, в свою очередь, численно опреде-
лять соответствующие реономные характеристики материала.
С помощью численного метода определения напряженно-де-
формированного состояния слоистых армированных пластиков
при длительном комбинированном нагружении с учетом пере-
распределения напряжений в монослоях во времени [24] полу-
чаем совокупность дискретных значений, соответствующих де-
формациям в заданные моменты времени: «е'ДЛ)», «е\;(^)»,...
..., «e'(tk)», где k — число рассчитанных значений. Данные
значения могут рассматриваться как экспериментальные (т. е.
полученные в результате машинного эксперимента, отличие ко-
торого от реального состоит в том, что мы вместо испытывае-
мого материала задаемся его структурой и с помощью ЭВМ
12.2. Влияние длительности нагружения на перемещения
223
прогнозируем его фактические свойства), и, соответственно, ап-
парат расчета реономных характеристик пластиков такой же,
как и для экспериментально полученных кривых ползучести.
Пусть искомые ядра есть некоторые заранее задаваемые
функции констант материала:
(t §) =A'ij (di, t g);
3'Й(НМШН);	(12.13)
где ai, bi, di,	,M, — искомые параметры реономных
свойств слоистого материала.
Тогда с помощью выражений (12.3) можно определить зна-
чения соответствующих деформаций в любые заданные моменты
времени как функции параметров щ, bi, de
«щ(а;, bi, di ^)>>,..., «&<(ог, &г, dt, /ft)>>.
Сравнивая эти значения деформаций с рассчитанными с по-
мощью численной методики, определяем неизвестные параметры
реономных характеристик слоистых армированных пластиков.
При этом в качестве условия нахождения параметров щ, bi, di
используется требование минимума вектора невязки S:
у k
1/V Г
«8'^)>>
2
(12.14);
Уравнение (12.14), представляющее собой аналог метода наи-
меньших квадратов, позволяет определять неизвестные пара-
метры щ, bi, di для любых видов ядер ползучести. Примени-
тельно к ядрам ползучести в виде суммы экспонент разработана
соответствующая стандартная программа на языке ФОР-
TPAH-IV и отлаженная на ЭВМ. серии ЕС. В качестве алго-
ритма нахождения минимума вектора невязки S и соответству-
ющих ему параметров ai, bi, di использован метод сеточного по-
иска, который оказался эффективным с точки зрения затрат
машинного времени в отличие от минимаксных методов, исполь-
зующих вычисление производных.
12.2. ВЛИЯНИЕ ДЛИТЕЛЬНОСТИ НАГРУЖЕНИЯ
НА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Определение перемещений длительно нагружаемых стержне-
вых систем, состоящих из элементов с существенно реономными
свойствами, удобно проводить на основе принципа Вольтерры,
согласно которому в кратковременном, решении упругие
224
Глава 12. Упруговязкие перемещения стержневых систем
константы заменяются соответствующими операторами. Пусть
нагрузка, приложенная к стержневой системе, является функ-
цией времени и вызывает следующие усилия:
m
Mp(t,x) = J1, fi(t)MpW(x);
г=1
m
Np(t,x)~'YiMWv(Xy, 	(1215)
m	~
Sp(t, *)=21л(№(г’(*).
2 = 1
где т — число различно меняющихся во времени обобщенных
нагрузок, действующих на систему. Следовательно, в соответст-
вии с выражением (11.12) функция изменения во времени пере-
мещения определяется в виде ^25]
т
(0 ° i=l
+MNp (i) ! ДА (t) ] + MMp WD'n *[fi (t) ] + SSP «) F ДА (t) ]} dx.
(12.16)
Здесь /I'ii*, -S'n*, D'u* — операторы по правилу (12.2); Z7* —
оператор в виде
t
MM0]=Ha(0+ J M£)F(*—},	(12Л7)
о
реономные характеристики которого определяются аналогично
методике, приведенной в параграфе 12.1. Величина F имеет
смысл податливости стержня на сдвиг [23] и согласно (11.12)
определяется как
^=-7--	(12.18)
Л55
Для случая постоянного во времени нагружения (/-;(/) =const =
= 1, m=l) согласно (12.16) имеем
A«j(O = [^рА'иДО + ^рВ'пД!) +
+ ^рВДД1)+лШрПДД1)’ + зЗрЛф1)]сД. (12.19)
12.2. Влияние длительности нагружения на перемещения
225
Зависимость (12.16) позволяет проводить анализ относитель-
ного вклада отдельных длительно действующих внутренних уси-
лий в развитие перемещений стержневых систем из слоистых
армированных пластиков во времени. При анализе влияния
структуры пластиков на роль длительно действующей попереч-
ной силы при деформировании системы во времени установ-
лено, что влияние поперечной силы растет с увеличением отно-
шения модуля упругости материала в направлении оси стержня
к модулю продольного сдвига. Со временем нагружения это со-
отношение растет и, следовательно, вклад поперечной силы в
деформирование системы увеличивается. В качестве примера
рассмотрим шарнирно опертую балку прямоугольного сечения
под действием равномерно распределенной постоянной нагрузки.
На рис. 12.1 представлены результаты расчета относитель-
ной разницы, обусловленной учетом сдвига, в перемещениях в
центре шарнирно опертой балки из однонаправленного стекло-
и углепластика при ф = 0,6 (Дг(оо) — прогибы при t-+co, рас-
считанные без учета действия поперечных сил; Д(оо) — про-
гибы при	рассчитанные с учетом действия поперечных
сил). Относительная разница, вносимая неучетом слабого со-
противления сдвигу слоистых армированных пластиков, практи-
чески линейно растет в зависимости от степени ползучести по-
ЕА(О|/ЕА(=°)
Ед(О)/Ед(~)
Рис. 12.1. Зависимость относительной разницы при /->оо пере-
мещений в центре шарнирно опертой балки прямоугольного се-
чения из однонаправленно армированного стекло- (а) и угле-
пластика (б) от степени ползучести полимерного связующего:
Z/ft = 8 (/); 10 (2); 12 (3); 14 (4); 16 (5); 18 (6); 20 (7); 30 (8); 40 (9)
15 — 482
226
Глава 12. Упруговязкие перемещения стержневых систем
Рис. 12.2. Зависимость параметра J при 1->оо для длинных ба-
лок прямоугольного сечения из косоугольно армированных
стекло- (а) и углепластиков (б) от степени ползучести поли-
мерного связующего:
₽ = 53 </); 10 (2); 15 (3); 20 (4); 25 (5); 30 (5); 45’ (7)
лимерного связующего. Понятие «коротких стержней» меняется
в процессе увеличения длительности нагружения в зависимости
от реономных свойств компонентов пластика. Даже для доста-
точно длинных стержней (l/h = 20 и более) необходимо учиты-
вать действие поперечных сил при расчете деформативного со-
стояния при t~^oe. Отметим, что большей чувствительностью к
низкому сдвиговому сопротивлению обладают более анизотроп-
ные пластики: в рассматриваемом примере это углепластики (по
сравнению со стеклопластиками).
Другим фактором строения слоистых армированных пласти-
ков, существенно меняющимся в зависимости от длительности
нагружения, является симметрия (асимметрия) схем армирова-
ния материалов. Введей параметр У, определяющий зависимость
деформаций стержневых систем из слоистых армированных
пластиков от симметрии их структуры (в %) по правилу
j Дасим Дсим
Дсим
(12.20)
где Дсим — деформация стержневой системы при фиксирован-
ном виде нагружения и симметричной структуре строения (для
косоугольно армированных материалов — бесконечно большое
число пар слоев, уложенных в направлениях ±₽); Дасим — соот-
12.2. Влияние длительности нагружения на перемещения
227
ветствующая деформация стержневой системы при том же фик-
сированном виде нагружения и асимметричной структуре стро-
ения (для косоугольных материалов — одна пара слоев ±Р).
На рис. 12.2 представлены результаты расчетов параметра J
для прогибов балки при /->-оо, выполненной из косоугольно ар-
мированных стекло- и углепластиков при ф = 0,6, в зависимости
от степени ползучести полимерного связующего и направления
укладки волокон. Балка считается достаточно длинной, что дает
возможность пренебречь действием поперечных сил. С измене-
нием угла укладки монослоев меняется и влияние асимметрич-
ности строения материала на перемещения. Так, для косоугольно
армированных материалов при р^45° разница в максималь-
ных перемещениях балок соответственно из симметричных и
асимметричных структур не превышает 20%, а при углах ук-
ладки слоев 10osC(3sC25° указанная разница может достигать
150%.
15*
Глава 13. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ПРИ ДЛИТЕЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ
13.1. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СИЛ ДЛЯ СТЕРЖНЕВЫХ
СИСТЕМ ИЗ СЛОИСТЫХ АРМИРОВАННЫХ ПЛАСТИКОВ
Особенность расчета статически неопределимых стержневых
систем из армированных пластиков по сравнению с традицион-
ными методами строительной механики обусловлена специфи-
кой материала стержней, выражающейся в возможной несим-
метрии структуры и слабом сопротивлении продольному сдвигу.
Другой принципиальной особенностью является отмеченная в
главе 12 существенная зависимость деформаций стержневых
систем из армированных пластиков от длительности нагруже-
ния, следствием чего является и зависимость напряженного со-
стояния статически неопределимых систем от времени.
Рассмотрим произвольную статически неопределимую стерж-
невую систему, каждый элемент которой выполнен из слоистого
армированного пластика, при кратковременном нагружении.
Тогда при образовании статически определимой основной сис-
темы заменой «лишних» связей неизвестными реакциями X (А'=
=Х1,...,ХА, где Хг — обобщенные силы; k — степень стати-
ческой неопределимости системы по методу сил) усилия запи-
шутся в виде
1 h
М=Мр+ Ц XjMi-,
г — 1
k
N=NP+ ^jXjNj-,	мою
i=i	U3.J)
k
S = Sp-}- AiSj,
1 = 1
где Mi, Ni, Si — соответствующие усилия на основной системе
от действия силы Х,= 1.
13.1. Применение метода сил
229
Система канонических уравнений, вытекающих из условий
равенства нулю перемещений на основной системе в направле-
ниях действия неизвестных реакций Xi, имеет вид
Лц = 0,	(132)
где Дн — перемещение основной системы в направлении дейст-
вия i-й реакции в i-ii точке. В результате подстановки выраже-
ния (11.12) в уравнения (13.2) в матричной форме имеем
[б][Х] + [Др] = [0],	(13.3)
где [X] — матрица-столбец искомых реакций. Элементы квад-
ратной матрицы [6] определяются выражениями
6н = / । ( —	“J-	+	+
(О
-MiMj-D'н + SiSjF} dx.	(13.4)
Элементы XiP матрицы-столбца [Др] определяются выражени-
ями (11.12).
В результате решения уравнения (13.3) неизвестные реак-
ции определяются как
[Х] = -[6]-1[Др].	(13.5)
Таким образом, значения реакций отброшенных связей поз-
воляют при помощи выражений (13.1) определять усилия в
стержнях статически неопределимых систем с учетом структуры
и деформативных свойств слоистых армированных пластиков.
В качестве примера рассмотрим подкрепленную консоль
(один раз статически неопределимая система), изгибаемую рав-
номерно распределенной нагрузкой. Согласно классическому
решению метода сил для однородного изотропного стержня зна-
чения внутренних усилий определяются его размерами и вели-
чиной внешней нагрузки. Так, в рассматриваемом случае реак-
ция правой опоры определяется выражением
XT=^gl,	.	(13.6)
О
а реакция заделки — выражением
(13.7)
о
где индекс «Т» относится к реакциям, определенным без учета
действия поперечных сил. Однако, используя метод расчета,
позволяющий учитывать сдвиговую жесткость слоистых арми-
рованных пластиков, их анизотропию и неоднородность струк-
туры, т. е. определяя соответствующие характеристики X или
230 Глава 13. Расчет статически неопределимых стержневых систем
Рис. 13.1. Зависимость реакции опоры X от геометрии строения
балки из косоугольно армированного симметричного боро- (а) и
углепластика (б):
3 = 0° (/); 20 (2); 30 (3); 40 (4); 45 (5); 90° (6)
М согласно выражению (13.6) или (13.7), с учетом зависимос-
тей (13.4) и (13.5) получаем выражение
Здесь безразмерный параметр ц определяется структурой стро-
ения слоистого армированного пластика по выражению
F 1 х 1	, п _
D'n IF~A55D'}1 h*’	(13'9)
где h — высота сечения стержня. Можно показать, что для под-
крепленной консоли момент в заделке на основании выражения
(13.1) определяется выражением
/ h \
1 + 3п \~Г /
На рис. 13.1 и 13.2 представлены зависимости неизвестных
реакций от структуры строения материала и геометрии балки
прямоугольного поперечного сечения (относительной длины
l/h). Рассматриваемые балки изготовлены из симметричных ко-
13.1. Применение метода сил
231
М
Зависимость реакции заделки
от геометрии строения балки из
боро- (а) и углепластика (б):
Рис. 13.2.
косоугольно армированного симметричного
₽ = 0° (/); 15 (2); 30 (3); 45 (4); 60 (5); 75 («); 90° (7)
соугольно армированных боро- (£'в/£'а= 100; va = 0,35; vb=0,23)
и углепластиков (ЕВт/ЕА = 2-, EBz/EBr = 20; va = 0,35) при ф = 0,6.
Эффект действия поперечных сил проявляется лишь для отно-
сительно коротких стержней (практически при l/h^.7), причем
в большей степени он выражен для наиболее анизотропных ма-
териалов (Р = 0°). С увеличением угла укладки волокон ±рзна-
чение параметра т] уменьшается, сводя к минимуму различие
между Хт и X (Мт и М). Для относительно коротких стержней
(llh^.T) разница между соответствующими значениями ординат
эпюр изгибающих моментов М и Мт не превышает 20%. По-
этому действие поперечных сил при расчете статически неопре-
делимых систем по методу сил должно учитываться в зависи-
мости от требуемой точности расчета.
Отметим, что наибольший эффект действия поперечных сил
наблюдается для симметричных структур, поскольку асиммет-
ричная схема строения пластика приводит к увеличению значе-
ний D'n и незначительно влияет на значения F, что является
причиной уменьшения параметра тр
Выбор в качестве примера простейшей, один раз статически
неопределимой балки обоснован наглядностью и простотой
оценки влияния структуры материала на напряженное состоя-
ние системы. При исследовании многократно статически неопре-
делимых систем (расчет рам при k — 2, 3) получены аналогич-
ные результаты.
232 Глава 13. Расчет статически неопределимых стержневых систем
13.2. ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Разработанные в параграфе 13.1 определяющие выражения
метода сил позволяют учитывать особенности поведения арми-
рованных пластиков при использовании метода перемещений.
Далее приведем результаты расчета применительно к элемен-
тарным статически неопределимым балкам, находящимся в ус-
ловиях единичных перемещений или поперечных нагружений.
Приведенные результаты необходимы для расчета коэффици-
ентов канонических уравнений метода перемещений, алгоритм
применения которого полностью соответствует традиционному
подходу.
Рассмотрим подкрепленную консоль:
а)	при единичном угловом перемещении (рис. 13.3)
3	(13.11)
/?А=/?в=--------=------TTvT;
П'ц/2 [ 1 + Зц ( — ) ]
б)	при единичном линейном перемещении (см. рис. 13.3)
(13.12)
(13.13)
13.2. Особенности применения метода перемещений
233
Рис. 13.3. Схемы единичных перемещений и простых
нагружений подкрепленной коисоли
г) при равномерно распределенной нагрузке g (см. рис.
13.3)
Rb =
&
8
(13.14)
234 Глава 13. Расчет статически неопределимых стержневых систем
Рис. 13.4. Схемы единичных перемещений и про-
стых нагружений защемленной балки
Рассмотрим защемленную балку.
а)	при единичном угловом перемещении (рис. 13.4)
/ h V
4+12т] ( — )
Мв=
1
D'nl
1 +12т]
Ra=?Rb =
D'nl2
М
1
(13.15)
13.3. Влияние длительности нагружения на внутренние усилия
235
б)	при единичном линейном перемещении (см. рис. 13.4)
6
Мл=Л1в=1--------------<. h
D'nP [ 1 + 12т] ( — ) ]
1О	(13.16)
1 + 12т]
г) при равномерно распределенной нагрузке g (см. рис.
13.4)
Л1а = Л4в=-^-;
gl	<13-18)
13.3. ВЛИЯНИЕ ДЛИТЕЛЬНОСТИ НАГРУЖЕНИЯ НА
ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ
Как было показано, влияние ползучести слоистых армиро-
ванных пластиков приводит к существенному увеличению пере-
мещений стержневых систем из них. Тем не менее полагаем,
236 Глава 13. Расчет статически неопределимых стержневых систем
что перемещения остаются достаточно малыми. Учитывая, что
между деформациями и напряжениями во времени сохраняется
линейная зависимость, приходим к выводу, что сохраняется
принцип возможных перемещений, а следовательно, действи-
тельны теоремы взаимности перемещений и взаимности работ.
Считаем, что в любой момент времени имеют место принцип
независимости действия сил и, следовательно, принцип наложе-
ния. Таким образом, в пределах выдвинутых гипотез методика
расчета статически неопределимых стержневых систем по ме-
тоду сил с учетом длительности нагружения строится на тех же
принципах, что и расчет систем, работающих в упругой стадии,
Следует отметить, что канонические уравнения также выражают
равенство нулю полных перемещений по направлению одного из
неизвестных, вызываемых воздействием всех неизвестных и
внешней нагрузки в любой момент времени. Однако вследствие
того, что слоистые армированные пластики ползут, происходит
изменение всех перемещений во времени, а следовательно, и не-
прерывное изменение неизвестных реакций. Поэтому независимо
от характера ползучести материала стержней канонические
уравнения метода сил имеют вид
/ f dXi
X i6ii (t) + J ——— bu(t,x)dx+ ... +
0
t
+ Хй61й(0+ /'—;—6гй(£, t)^t+
o “г
f dP
-pP&ip(t)P J —j—&tp t) dx — 0,	(13.19)
о dx
где Хь...,Хй — начальные значения неизвестных, определяе-
мые в момент времени i = 0; 6ц(i), • ., 6;h(i) — перемещения
по направлению i-ro неизвестного к моменту времени t, вызыва-
емые единичными значениями неизвестных Xi,...,Xk, приложен-
ных в начальный момент времени; би (t, т),...,т) — пере-
мещения по направлению i-ro неизвестного к моменту времени
t, вызываемые единичными значениями неизвестных, приложен-
ных в любой момент времени т; Р — начальное значение пара-
метра, определяющего внешнюю нагрузку; AjP(i) — перемеще-
ние по направлению i-ro неизвестного в момент t, вызываемое
нагрузкой, приложенной при i=0; ДгР(£,т) — аналогичные пере-
мещения, вызываемые постоянной нагрузкой, приложенной в лю-
бой момент времени. Произведения Xm&im(t) и РД,Р(/) явля-
ются перемещениями основной системы к моменту времени t,
вызываемыми начальными значениями неизвестных X или на-
13.3. Влияние длительности нагружения на внутренние усилия
237
чальным значением нагрузки, а интегралы в уравнении (13.19)
являются перемещениями к моменту времени t, вызываемыми
изменениями неизвестных и нагрузки за промежуток времени от
О до t.
Согласно результатам исследования реономных свойств сло-
истых армированных пластиков установлено, что эти материалы
имеют выраженные упругонаследственные свойства и их дефор-
мативные свойства при длительном нагружении описываются в
виде интегральных уравнений Больцмана—Вольтерры с вырож-
денными ядрами ползучести (12.2). В этом случае вместо ка-
нонических уравнений метода сил (13.19) можно записать в
матричном виде уравнение
t
[б] И(0] +’J [6'G-t)][X(t)Mt=-[M0L	(13.20)
о
где элементы матриц [6'] и [Др] для стержневых систем опре-
деляются выражениями [25]
т) = J-j-{A'nA'u (t—+	(t—т) X
(0 °
XiNiMj + NjM^+D'nD'n^t-T;') MiMj + FF(Z-т)StSj}dx; (13.21)
m
Aip(t)=	j	MtNpi)
!=1 (0 °
X	J + MiMpiD'uxlfitt) ] + SiSpiF* [fi(t) ]}dx, (13.22)
где внутренние усилия на основной системе, вызываемые при-
ложенной нагрузкой, определяются в виде (12.15), а функцио-
налы А'п*, В7ц*, D'u*, F* — по выражениям (12.2), (12.17).
В случае постоянной нагрузки из (12.19) получаем
Дгр(/) = J _т’{^/п*[1] М'А/р + В'цД!] (NiMp -\-MiNp) +
(!) Ь
+ D'u*[\]MiMp + F*[\]SiSp}dx.	(13.23)
Решение системы интегральных канонических уравнений (13.20)
возможно осуществить либо численно с помощью ЭВМ, либо
аналитически. Из аналитических методов применительно к дан-
ной задаче наиболее целесообразным является метод преобра-
зований Лапласа. Выполняя преобразования Лапласа системы
(13.20), получаем
[6] [Х(В)] + [б7(Р)] [Х(Р)] = - [Др(Р)].	(13.24)
Отсюда
И(Р)] = - [ [б] + [б7(Р)] ]->[Др (Р) ].	(13.25)
238 Глава 13. Расчет статически неопределимых стержневых систем
Выполнение обратных преобразований уравнений (13.25)
дает искомое решение. Отметим, что с ростом степени стати-
ческой неопределимости исследуемой стержневой системы тру-
доемкость выполнения обратных преобразований многократно
возрастает. Поэтому в ряде случаев целесообразно использо-
вать численные методы.
В результате решения системы (13.20) определяем закон из-
менения неизвестных Л'1,...,Л'Й во времени нагружения. Но в
таком случае согласно зависимостям
k
M(t)=Mp+
i = l
k
N(t)=Np +	(13.26)
1 = 1
k
S(Z)=Sp+ ^jA^i(/)Si
1 = 1
внутренние усилия в стержнях даже при постоянной внешней
нагрузке изменяются во времени. Скорость и пределы их изме-
нения определяются как реономными свойствами компонентов
армированных пластиков, так и структурой строения материала.
Рассмотрим в качестве примера один раз статически неопре-
делимую систему, все стержни которой выполнены из одного
материала и являются прямолинейными. В случае постоянной
нагрузки, пренебрегая действием осевой силы, согласно урав-
нению (13.20) получаем следующее уравнение относительно
*(0 =
I	t
;Ид,и Ц	Ы2(х)/х	] {*(0+	J	т)йт}	+
°	о	о
I	t
+	Si2(x)dx ]{^(0+ J X(T)F(/-T)dt} =
U G	0
I	t
= D'u	J Mi (х)Мр (x)dx J | 1 + J В'ц (t—r)dT 1 +
° о	0
I	t
+ Xj f [4 J Si(x)Sp(x)dx ] { 1 + J F(t — x)dx J.
0	0	(13.27)
13.3. Влияние длительности нагружения иа внутренние усилия
239
Пользуясь преобразованием Лапласа, образ неизвестной функ-
ции X в области параметров преобразования определяем выра-
жением
vtn, (Р1+Р2) + [Р1Д/ц(Р)+Р2р(Р)] 1
( )	(^ + ^4) + [^'ц(Р)+/?4^(/’)] Р’ (	1
где
I
Rx='y,D'lx [4- f Xh(x)Mp(x)dx I ;
L bo	J
I
Р2=^1р[у/ Si (x)Sp (x)dx j ;	(13.29)
i
R3 = E D'u [y J Mi2(x)dx] ;
P4= £jp[ у J Si2(x)dx],
Выполнение обратного преобразования выражения (13.28) свя-
зано с выбором конкретного вида ядер ползучести D'n(t—т) и
F(t—т). В случае, когда эти ядра определяются функциями
5'н(/-т) = Спехр [-ая(/-т)];	НЗЗО)
F(t—т)=С?ехр [ — аг-(/—т)],
их соответствующие отображения имеют вид
О'м{Р)=-~—, Р(Р)=-7^->	(13-31)
P+old	P + av
а выражение (13.28) принимает вид
(13.32)
где
й0 = (Pl +P2)<XD<Xj' + P16'Dar' + P2^'J'OCZ>;
a,i=Р1Сд+Р2Ст? + (Pi +Р2) (ctn + cxf);
02 = (Pi +Рг);
Ьц= (Рз + Р4) аоат?+РзСоар-^-Р^Срао",
^i = РзСо-^-RqC(Р3+Р4) (ао+аг1);
&2= (Р3 + Р4) •
240 Глава 13. Расчет статически неопределимых стержневых систем
Выполняя обратное преобразование выражения (13.32), полу-
чаем
X(t) =Ai exp(hi) +A2exp(l2t) +А3,	(13.33)
где
+ Oq
b2li [li )
i,/=1;2, i=/=/;
л=. а*
3 b2lxl2
Здесь /], /2 — корни квадратного уравнения
Ь2Р-Р bj,+ Ьо = 0.
Анализ зависимости (13.33) показывает, что даже при по-
стоянном нагружении реакции статически неопределимых сис-
тем из слоистых армированных пластиков, а следовательно, и
внутренние усилия непрерывно меняются во' времени.
Для численной оценки изменения во времени внутренних
усилий статически неопределимых стержневых систем, выпол-
ненных из слоистых армированных пластиков, рассмотрим опер-
тую консоль, т. е. один раз статически неопределимую систему,
под действием равномерно распределенной нагрузки. В случае
выбора в качестве неизвестной реакции правой реакции опоры
имеем
(13.34)
R3=D'n — -,	Ri = Fl,
О
а в случае заделки
#2 = 0;
z	F	(13.35)
Яз = П'ц-—;	%4 = -^-
О	•
Предельные значения реакций опор X(t) согласно (13.33) при-
нимают следующие значения:
при t = Q
А(0) =Ai + /42 + A3;
при t^>-oo
Х(оо)=А3.
13.3. Влияние длительности нагружения иа внутренние усилия
241
На рис. 13.5, 13.6 представлены результаты расчета зависи-
мости реакций опор исследуемой статически неопределимой сис-
темы при /->оо от степени ползучести полимерного связующего
и геометрии строения балки. Рассматриваемые балки изготов-
лены из однонаправленно армированного углепластика (ЕВг/ЕА =
= 2; EBz/EBr = 2Q-, vA = 0,35; ф = 0,6). Для случая Еа(0)/Еа(оо) =
= 1 имеем кратковременные значения Л'(°°) =Х(0) (УИ(оо) =
=7И(0)). Изменение значений Л (со) по сравнению с Х(0)
существенно зависит не только от реономных свойств по-
лимерного связующего, но и от геометрии строения стержней.
Согласно строительной механике, не учитывающей влияния по-
перечных сил, внутренние усилия статически неопределимых
систем, состоящих из стержней постоянного сечения, не зависят
от свойств материала и длительности нагружения. Однако для
материалов, выполненных из армированных пластиков, энерге-
тический вклад, вносимый поперечными силами, соизмерим с
энергией деформирования, обусловленной изгибающими момен-
тами, и, как было показано, увеличивается в зависимости от
длительности нагружения. Этим объясняется большая зависи-
мость внутренних усилий от реономных свойств материала для
относительно коротких стержней, так как с ростом их длины
(отношения l/h) эффект действия поперечных сил уменьшается.
В рассмотренных примерах разница с теоретическими (опреде-
ленными без учета действия поперечных сил) значениями внут-
еа<°1/еа'”1	еа,0,/еа(”>
Рис. 13.5. Зависимость абсолютных (а) и относительных (б)
значений реакции опоры X от степени ползучести полимер-
ного связующего для балки из однонаправленно армирован-
ного углепластика:
l/h = 7 (/); 8 (2); 9 (5); 10 (4); 15 (5); 20 (5)
16 — 482
242 Глава 13. Расчет статически неопределимых стержневых систем
Ед(О1/Ед(«)
ед(о)/еа(~)
Рис. 13.6. Зависимость абсолютных (а) и относительных (6)
значений реакции заделки М от степени ползучести полимер-
ного связующего для балки из однонаправленно армирован-
ного углепластика:
1/Л=7 (/); 8 (2); 9 (3); 10 (4); 15 (5); 20 (в)
ренних	усилий	достигает 40%	для	моментов	tMT =|-g'Z2)	и	20%
/	3	\
для	реакций	опор	1ХГ = — gl 1.	Это	свидетельствует	о	необходи-
’ о j
мости учета поперечных сил при расчете по методу сил стерж-
невых систем, выполненных из слоистых армированных пласти-
ков, при длительном нагружении.
Причиной исчерпания несущей способности стержневых сис-
тем, таких, как фермы или рамы, может быть потеря устойчи-
вости всей системы или ее отдельных элементов. Методы
расчета стержневых систем на устойчивость рассмотрены, напри-
мер, в работах [16, 66]. Применительно к системам из слоис-
тых армированных пластиков необходим учет таких особеннос-
тей, как слабое сопротивление продольному сдвигу, возможность
несбалансированности слоистой структуры материала, а также
существенная зависимость деформативных свойств компонентов
пластиков от длительности нагружения. Учет этих особенностей
применительно к оценке напряженно-деформированного состоя-
ния стержневых систем из армированных пластиков рассмотрен
в главах 11—13. Полученные результаты могут служить осно-
вой для постановки и решения задачи расчета стержневых сис-
тем из армированных пластиков на устойчивость [22].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Антанс В. П„ Скудра А. М. Влияние неупругости стекловолокна на
длительную прочность армированных пластиков при одноосном растяжении
вдоль волокон // Механика полимеров. — 1967. — № 4. — С. 719—725.
2.	Арутюнян Н. X. Некоторые вопросы теории ползучести. — М.: Гос-
техиздат, 1952. — 323 с.
3.	Арутюнян Н. X., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. — М.:
Физматгиз, 1963. — 688 с.
4.	Аузукалнс Я. В. Длительная прочность армированных пластиков при
сжатии: Дис. ... канд. тех. наук. — Рига, 1974. — 157 с.
5.	Булаве Ф. Я-, Гурвич М. Р. Нарушение сплошности слоистых арми-
рованных пластиков при длительном плоском напряженном состоянии // Ме-
ханика композитных материалов. — Рига: Риж. политехи, ин-т, 1984. —
С. 11—20.
6.	Булаве Ф. Я., Гурвич М. Р. Рациональное проектирование элементов
конструкций из слоистых армированных пластиков по условиям прочности //
Проектирование и оптимизация конструкций инженерных сооружений. —
Рига: Риж. политехи, ин-т, 1984. — С. 111—118.
7.	Булаве Ф. Я., Гурвич М. Р., Радиньш И. Г. Длительная прочность
однонаправленно армированных пластиков при комбинированном растяги-
вающем и сдвиговом нагружении // Механика композитных материалов. —
Рига: Риж. политехи, ин-т, 1982. — С. 33—41.
8.	Булаве Ф. Я., Радиньш И. Г. Влияние нелинейности деформатнвных
свойств полимерного связующего на деформативные свойства композитных
материалов при длительном трансверсальном нагружении // Механика ком-
позитных материалов. — Рига: Риж. политехи, ин-т, 1980. — С. 56—65.
9.	Булаве Ф. Я-, Радиньш И. Г. Деформативные свойства однонаправ-
ленно армированных пластиков при трансверсальном нагружении //' Вопросы
динамики и прочности. — Рига: Зинатне, 1980. — С. 73—81.
10.	Булаве Ф. Я-, Радиньш И. Г. Изменение во времени напряженно-
деформированного состояния компонентов однонаправлеино армированных
пластиков при длительном статическом нагружении // Механика композит-
ных материалов. — Рига: Риж. политехи, ин-т, 1980. — С. 5—18.
11.	Булаве Ф. Я-, Скудра А. А. Прочность слоистых пластиков // Меха-
ника армированных пластиков. — Рига: Риж. политехи, ин-т, 1983. — С. 4—18.
12.	Бычков Д. В. Строительная механика стержневых тонкостенных кон-
струкций. — М.: Госстройиздат, 1962. — 476 с.
13.	Ван Фо Фы Г. А. Конструкции из армированных пластиков. —
Киев: Техника, 1981. — 220 с.
14.	Васильева А. В. Свободное кручение тонкостенных композитных
стержней с круговым контуром сечения // Механика композитных материа-
лов. — Рига: Риж. политехи, ин-т, 1988. — С. 53—59.
15.	Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. — М.; Л.: Стройиздат,
1940. — 276 с.
16.	Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем. — М.: Физматгиз,
1963. — 879 с.
16*
244
Список литературы
17.	Вышванюк В. И., Алимов В. Т., Турусов Р. А. Тепловое расширение
гибридных однонаправленных композитных материалов с малым темпера-
турным коэффициентом линейного расширения // Механика композитных ма-
териалов. — 1985. — № 2. — С. 357—360.
18.	Горбаткина Ю. А., Иванова-Мумжиева В. Г. Влияние скорости на-
гружения на прочность стеклопластика и элементов армированной системы //
Физика прочности композиционных материалов: Материалы 3-го Всесоюз.
семинара. — Л., 1979. — С. 44—49.
19.	Гурвич М. Р. Длительная прочность полимерного связующего при
сложном переменном напряженном состоянии // Механика композитных ма-
териалов. — Рига: Риж. политехи, нн-т, 1982. — С. 25—32.
20.	Гурвич .-И. Р. Длительная прочность однонаправленно армированных
пластиков при разрушении сцепления между волокнами и полимерным свя-
зующим // Механика армированных пластиков. — Рига: Рнж. политехи, ин-т,.
1983. — С. 32—43.
21.	Гурвич М. Р. Структурные критерии длительной прочности слоистых
армированных пластиков: Дис. ... канд. техн. наук. — Рига: Риж. политехи,
ин-т, 1983. — 206 с.
22.	Гурвич М. Р. Влияние структуры анизотропных материалов на устой-
чивость плоских стержневых систем // Проектирование и оптимизация конст-
рукций инженерных сооружений. — Рига: Риж. политехи, ин-т, 1986. —
С. 32—41.
23.	Гурвич М. Р. Оценка влияния поперечных сил на деформированное
состояние систем из армированных пластиков // Механика композитных мате-
риалов. — Рига: Риж. политехи, ин-т, 1986. — С. 84—97.
24.	Гурвич М. Р. Численный метод исследования вязкоупругих свойств
слоистых армированных пластиков при комбинированном нагружении // Ме-
ханика армированных пластиков. — Рига: Рнж. политехи, ин-т, 1985. —
С. 49—60.
25.	Гурвич М. Р., Булаве Ф. Я. Влияние длительности нагружения на
напряженно-деформированное состояние статически неопределимых стержне-
вых систем из армированных пластиков // Механика армированных пласти-
ков. — Рига: Риж. политехи, ин-т, 1985. — С. 61—71.
26.	Зиновьев П. А., Ермаков Ю. И. Анизотропия диссипативных свойств
волокнистых композитов // Механика композитных материалов. — 1985. —
№ 5. — С. 816—825.
27.	Зиновьев П. А., Ермаков Ю. Н. Диссипативные характеристики одно-
направленного волокнистого материала // Изв. вузов. Сер. Машинострое-
ние. — 1985. — № 12. — С. 16—21.
28.	Зиновьев П. А., Ермаков Ю. Н. Диссипация энергии прн изгибе
многослойных волокнистых композитов // Изв. вузов. Сер. Машинострое-
ние. — 1986. — № 4. — С. 15—20.
29.	Зиновьев П. А., Ермаков Ю, Н. Матрицы упруго-диссипативных
характеристик однонаправленного композита. Преобразование координат //
Изв. вузов. Сер. Машиностроение. — 1986. — № 2. — С. 46—51.
30.	Ильюшин А. А. Метод аппроксимации для расчета конструкций по
линейной теории термовязкоупругости // Механика полимеров. — 1968. —
№ 2. — С. 210—218.
31.	Кирулис Б. А. Прочность сцепления в армированных пластиках:
Дис. ... канд. техн. наук. — Рига, 1977. — 131 с.
32.	Колтунов М. А. К вопросу выбора ядер при решении задач с уче-
том ползучести и релаксации // Механика полимеров. — 1966. — № 4. —
С. 483—497.
33.	Корф О. Я., Скудра А. М. Длительная прочность изотропных поли-
мерных материалов в плоском напряженном состоянии // Механика поли-
меров. — 1966. — № 6. — С. 837—844.
34.	Кристенсен Р. М. Введение в механику композитов. — М: Мир,
1982. — 334 с.
Список литературы
245
35.	Круклинып А. А. Жесткостные характеристики тканевых пластиков //
Механика композитных материалов. — Рига: Риж. политехи, ин-т. — 1984. —
С. 75—88.
36.	Друклиньш А. А. Структурные критерии прочности тканевых пла-
стиков // Механика композитных материалов. — Рига: Риж. политехи,
ин-т. — 1984. — С. 57—74.
37.	Друклиныи А. А. Структурная теория пластиков, армированных тка-
нями: Дис. ... канд. техн. наук. — Рига, 1985. — 180 с.
38.	Круклиныи А. А., Калвиш К. К.. Комплексный характер межслой-
ного сдвига слоистых армированных пластиков // Механика композитных
материалов. — Рига: Риж. политехи, ин-т, 1988. — С. 45—55.
39.	Хруклиньш А. А., Далвиш К,. К,. Свободное кручение стержня из
слоистого армированного пластика // Механика армированных пластиков. —
Рига: Риж. политехи, ин-т, 1987. — С. 42—53.
40.	Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. — М.: Гостехиздат,
1957. — 464 с.
41.	Лехницкий С. Г. Кручение анизотропных и неоднородных стерж-
ней. — М.: Наука, 1971. — 240 с.
42.	Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической
теории упругости. — 5-е изд. — М.: Наука, 1966. — 321 с.
43.	Панов ко Я. Г. Внутреннее трен не при колебаниях упругих систем. —
М.: Физматгиз, 1960. — 193 с.
44.	Песчанская Н. И., Степанов В. А. Долговечность полимеров при
растяжении и кручении // Механика полимеров. — 1974. — № 6. —
С. 1003—1006.
45.	Пискозуб Л. Г. О влиянии анизотропии на рассеяние энергии в
слоистых армированных композитах .// Неклассические проблемы механики
композиционных материалов и конструкций из них: Тез. докл. 2-го Всесоюз.
науч.-техн, семинара, Львов, сент. 1984 г. — Киев, 1984. — 40 с.
46.	Победря Б. Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости //
Упругость и неупругость. — М.: Изд-во МГУ, 1973. — Вып. 3. — С. 95—173.
47.	Работное Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. — М.: Наука,
1966. — 752 с.
48.	Работное Ю. Н. Прочность слоистых композитов // Изв. АН СССР.
Механика твердого тела. — 1979. — № 1. — С. 113—119.
49.	Работное Ю. Н. Равновесие упругих сред с последействием //
Прикл. математика и механика. — 1948. — Т. 12, вып. 1. — С. 12—62.
50.	Работное Ю. И., Паперник Л. X., Звонов Е. Н. Таблицы дробно-
экспоненциальной функции отрицательных параметров и интеграла от нее. —
М.: Наука, 1969. — 132 с.
51.	Ржаницын А. Р. Теория ползучести. — М.: Стройиздат, 1968. —
416 с.
52.	Розен Б., Кулкарни С., Мак-Лафлин П. Механизмы усталости и по-
тери несущей способности в слоистых композитах // Неупругие свойства
композиционных материалов. — М.: Мир, 1978. — С. 33—103.
53.	Рудицын М. Н„ Артемов П. Я-, Любошин М. И. Справочное посо-
бие по сопротивлению материалов. — Минск: Вышэйш. школа, 1985. —
509 с.
54.	Си Дж. Механика разрушения композитных материалов // Разруше-
ние композитных материалов. — Рига: Зинатне, 1979. — С. 107—119.
55.	Скудра А. М., Булаве Ф. Я. Прочность армированных пластиков. —
М.: Химия, 1982. — 213 с.
56.	Скудра А. М., Булаве Ф. Я-, Роценс К. А. Ползучесть н статиче-
ская усталость армированных пластиков. — Рига: Зинатне, 1971. — 235 с.
57.	Скудра А. М., Булаве Ф. Я. Структурная теория армированных пла-
стиков. — Рига: Зинатне, 1978. — 192 с.
58.	Скудра А. М., Калвиш. К. Д. Прочность слоистого стержня из арми-
рованных пластиков // Механика композитных материалов. — Рига: Рнж.
политехи, нн-т, 1986. — С. 98—110.
246
Список литературы
59.	Скудра А. М., Сбитнев О. В. Коэффициент линейного расширения
слоистых пластиков // Механика армированных пластиков. — Рига: Рнж.
политехи, ин-т, 1981. — С. 65—75.
60.	Скудра А. М., Сбитнев О. В. Температурная зависимость коэффи-
циента термического расширения армированных пластиков // Механика ком-
позитных материалов. — Рига: Риж. политехи, ин-т, 1982. — С. 12—24.
61.	Скудра А. М., Сбитнев О. В. Функция термического расширения
армированных пластиков // Механика композитных материалов. — Рига:
Риж. политехи, ин-т, 1984. — С. 88—99.
62.	Соколов Е. А. Возможности предсказания ползучести слоистого орга-
нопластика по свойствам однонаправленно армированного материала // Ме-
ханика композитных материалов. — 1980. — Ns 1. — С. 142—147.
63.	Соколов Е. А. Деформационные и прочностные свойства высоко-
прочных ор'ганопластиков: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. — Рига,
1980. — 18 с.
64.	Сорокин Е. С. Динамический расчет несущих конструкций зданий. —
М.: Госстройиздат, 1956. — 340 с.
65.	Степанов В. А. Деформация и разрушение полимеров // Механика
полимеров. — 1975. — № 1. — С. 95—106.
66.	Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений /
А. Ф. Смирнов, А. В. Александров, Б. Я. Лащеников, Н. Н. Шапошников. —
М.: Стройиздат, 1984. — 416 с.
67.	Тарнопольский Ю. М. Инженерная механика волокнистых компози-
тов // Изв. АН ЛатвССР. — 1987. — № 11. — С. 90—97.
68.	Тарнопольский Ю. М., Еинцис Т. Я. Методы статических испытаний
армированных пластиков. — М.: Химия, 1975. — 263 с.
69.	Тимошенко С. П., Гере Дж. Механика материалов. — М.:. Мир,
1976. — 669 с.
70.	Чамис К. Микромеханические теории прочности // Композиционные
материалы. — М.: Мир, 1978. — Т. 5: Разрушение н усталость. —
С. 106—165.
71.	Шепери Р. А. Вязкоупругое поведение композиционных материа-
лов // Композиционные материалы. — М.: Мир, 1978. — Т. 2: Механика
композитных материалов. — С. 102—195.
72.	Яковлев А. П. Диссипативные свойства неоднородных материалов
н систем. — Киев: Наук, думка, 1985. — 120 с.
73.	Adams D. F. Micro- and macromechanics analyses of composite mate-
rials // Advanced fibrous reinforced composites: SAMPE, 10th nat. symp. —
1968. — Vol. 10. — P. Gl—G13.
74.	Adams R. D„ Bacon D. G. The dynamic properties of unidirectional
fibre reinforced composites in flexure and torsion // J. Composite Materials. —
1973. — Vol. 7. — P. 53—67.
75.	Adams R. D., Bacon D. G. C. Effect of fibre orientation and laminate
geometry and the dynamic properties of CFRP // J. Composite Materials. —
1973. — Vol. 7. — P. 402—428.
76.	Agarwal B. D., Broutman L. J. Analysis and performance of fiber
composites. — New York: Wiley-Intersci. Publ., 1980. — 297 p.
77.	Bax I. Deformation behaviour and failure of glass-fiber-reinforced resin
material // Plastic a. Polymers. — 1970. — Vol. 38, N 133. — P. 27—30.
78.	Brinson H. F., Griffith W. I., Morris D. H. Creep rupture of polymer-
matrix composites // Experimental Meeh. — 1981. — Vol. 21, N 9. —
P. 329—335.
79.	Dharmarjan S., McSutchnen H. Shear coefficients for orthotropic
beams // J. Composite Materials. — 1973. — Vol. 7. — P. 530—535.
80.	Handbook of composites / Ser. ed. by A. Kelly, Yu. N. Rabotnov. —
Amsterdam, 1988. — Vol. 2. Structures and design / Ed. by С. T. Herakovich,
Yu. Tarnapolskii. — 672 p.
Список литературы
247
81.	Handbook of composites / Ser. ed. by A. Kelly, Yu. N. Rabotnov. —
Amsterdam, 1985. — Vol. 3. Failure mechanics of composites / Ed. by G. C.
Sih, A. M. Skudra. — 444 p.
82.	Hartwig G., Puck A. Termische Kontraction von glass-faserverstarkten
Epoxydharzen bis zu tiefsten Temperaturen Ц Kunststoffe. — 1974. — Bd 64,
H. 1. — S. 32—35.
83.	Kalnin I. L. Evaluation of unidirectional glass-graphite fiber epoxy
resin composites / Composite materials: Testing and design. — 2nd conf.
ASTM STP 497, Amer. Soc. Testing and Materials. — 1972. — P. 551—563.
84.	Knappe W., Schneider W. Bruchkriterien fur unidirektionalen Glas-
faser: Kunststoff unter ebener Kurzzeit- und Langzeitbeanspruchung // Kunst-
stoffe. — 1972. — Bd 62, H. 12. — S. 864—868.
85.	Kourtides D. A. Processing and flammability parameters of bisma-
termide and some other thermalien stable resin matrices for composites //
Polymer Composites. — 1984. — Vol. 5, N 2. — P. 143—166.
86.	Lauke B-, Barthel R. Theoretischer Beitrag zum deformationsmechani-
schen Verhalten mehrschichtiger Verbundplatten unter Beriichsichtigung von
Schereffekten // Techn. Meeh. — 1983. — Bd 4, H. 3. — S. 38—46.
87.	Lifshitz J. M„ Rotem A. An observation on the strength of unidirec-
tional fibrous composites // J. Composite Materials. — 1970. — Vol. 4. —
P. 133—134.
88.	Ni R. G., Adams R. D. A rational method for obtaining the dynamic
mechanical properties of laminae for predicting the stiffness and damping of
laminated plates and beams // Composites. — 1984. — Vol. 15. — P. 193—199.
89.	Ni R. G., Adams R. D. The damping and dynamic moduli of symmetric
laminated composite beams — theoretical and experimental results // J. Com-
posite Materials. — 1984. — Vol. 18..— P. 104—121.
90.	Owen M. I., Rice D. I. Biaxial strength behaviour of glass-fabric-
reinforced polyester resins // Composites. — 1984. — Vol. 15, Jan. — P. 13—25.
91.	Raghava R. S. Prediction of thermal and mechanical properties of
glass-epoxy composite laminates // Polymer Composites. — 1984. — Vol. 5,
N 3. — P.'173—178.
92.	Rogers K. F., Philips L. M., Kingston-Lee D. M. et al. The thermal
expansion of carbon fibre-reinforced plastics // J. Materials Sci. — 1977. —
N 12. — P. 718—734.
93.	Schapery R. A. Approximate methods of transform inversion for vis-
coelastic stress analysis // Proc. 4th U. S. Nat. congr. appl. mech. — New
York, 1962. — Vol. 2. — P. 1075—1085.
94.	Schneider W. Warmeansdehnungs Koeffizienten und Warmspannun-
gen Glasfaser: Kunststoffverbunden aus unidirektionalen Schichten // Kunst-
stoffe. — 1971. — Bd 61, H. 4. — S. 273—277.
95.	Shapery A. A. Thermal expansion coefficient of composite materials
based on energy principles // J. Composite Materials. — 1968. — Vol. 2. —
P. 358—365.
96.	Skudra A. M., Bulavs F. Ya. Strength and creep micromechanics.
Mechanics of composites / Ed. by J. F. Obraztsov, V. V. Vasilev. — M.: Mir
Publ., 1982. — P. 77—109.
97.	Teh К. K-> Huang С. C. Shear deformation coefficient for generally
orthotropic beams // Fibre Sci. Technol. — 1979. — Vol. 12. — N 1. —
P. 73—80.
98.	Weidmann G. W., Ogorkiewiez R. M. Tensile creep of a unidirectional
glass-fibre-epoxy laminate // Composites. — 1974. — Vol. 5, N 5. —
P. 117—121.
99.	Wu E. M., Ruhman D. C. Stress rupture of glass-epoxy composites:
environmental and stress effects // Composite reliability. ASTM STP 580. —
1975. — P. 263—287.
АЛБЕРТ МАРТИНОВИЧ СКУДРА
ФЕЛИКС ЯЗЕПОВИЧ БУЛАВС
МАРК РОБЕРТОВИЧ ГУРВИЧ
АЙВАРС АРНОЛЬДОВИЧ КРУКЛИНЬШ
ЭЛЕМЕНТЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ИЗ КОМПОЗИТНЫХ
МАТЕРИАЛОВ
Редактор А. Морозова
Художник И. Демидова
Художественный редактор В. Пугачева
Технический редактор Л. Мисевича
Корректор Ж- Деркачева
ИБ № 2959
Сдано в набор 12.05.89. Подписано в печать
14.11.89. ЯТ. 05064. Формат 60X90/16. Бумага ти-
погр. № 1. Литературная гарнитура. Высокая
печать. 15,5 физ. печ. л.; 15,5 усл. печ. л.;
15,5 усл. кр.-отт.; 11,8 уч.-изд. л. Тираж
1000 экз. Заказ № 482, цех № 3. Цена 1 р. 10 к.
Заказное. Издательство «Зинатне», 226530 ГСП
Рига, ул. Тургенева, 19. Отпечатано в типогра-
фии «Циия». 226011 Рига, ул. Блауманя, 38/40.