ПРОБЛЕМЫ НАУКИ
И ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА
В. А. БРОНШТЭН
КАК ДВИЖЕТСЯ
ЛУНА?
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ББК 22.654.1
Б88
УДК 523.3(023)
Рецензент
доктор физцко-математических наук В, Г. Демин
Бронштэн В. А.
Б88 Как движется Луна?-—М.: Наука. Гл. ред. физ.-
мат. лит., 1990— 208 с. (Проблемы науки и
технического прогресса).
ISBN 5-02-014071-6
Прослеживается история создания теории движения
Луны — на протяжении почти 30 веков, от Древнего
Вавилона до наших дней. После разработки методов небесной
механики, основанной па законе всемирного тяготения
Ньютона, стало ясно, что теория движения Лупы — одна
из труднейших задач небесной механики, потому что
«главным возмутителем» движения Луны является самое
массивное из тел Солнечной системы — Солнце.
Изложение ведется в форме рассказа о работах ученых,
внесших вклад в решение этой трудной задачи, в том
числе русских и советских ученых. В заключительной
главе рассказано о том, как ученые «научили» ЭВМ не
только делать расчеты по готовым формулам, но и
выводить эти формулы по заданному алгоритму. Использование
ЭВМ позволило добиться точности определения положения
Луны в пространстве в пределах нескольких сантиметров.
Для школьников старших классов, преподавателей и
любителей астрономии.
^1605050000—017 А ^
Б—п^о.по. пп 120-89 ББК 22.654.1
053(02)-90
ISBN 5-02-014071-6 © ?Ш^Т1111^Г^
физико-математической литературы,
1990

ПРЕДИСЛОВИЕ
Более десяти лет назад автору попала в руки
крохотная брошюра известного американского астронома и
популяризатора пауки, крупного специалиста в области
теории движения планет и Луны Саймона Ньюкома (1835 —
1909), называвшаяся: «Теория движения Луны (история
и современное состояние этого вопроса)». В подзаголовке
сообщалось, что это доклад, прочитанный в общем
собрании IV Международного конгресса в Риме. Брошюра
была издана в Одессе известным до революции
издательством «Матезис», но год издания указан не был. Неясно
было также, что за конгресс в Риме имелся в виду.
Хотя автор был по специальности астрофизиком, а в
брошюре С, Ньгокома шла речь об одной из труднейших
проблем небесной механики, приступив к чтепию этой
брошюры, я уже не мог от нее оторваться и за пару
часов дочитал до конца. Потом не один раз перечитывал. Из
литературы удалось узнать, что свой доклад профессор
Ньюком сделал на IV Международном математическом
конгрессе в Риме в 1908 году, за год до смерти. Этот
доклад был как бы научным завещанием его автора
астрономам следующих поколений.
С тех пор я, если можно так выразиться, «заболел»
этой драматической историей — историей создания и
развития теории движения Луны, о которой весьма кратко
и конспективно рассказывалось в брошюре С. Ньюкома*
Я стал собирать литературу по этому вопросу. «Второй
ступенью» для меня явился великолепный очерк
советского пебесного механика и историка науки Н. И. Идель-
сона (1885—1951) «Закон всемирного тяготения и теория
движения Лупы», впервые опубликованный в 1943 г,
в сборнике «Исаак Ньютон», посвященном 300-летию со
дня рождения основателя небесной механики, и
переизданный в 1975 г. в книге: //♦ И. Идельсон. Этюды по
истории небесной механики (М.: Наука, 1975). В нем
излагалась эволюция взглядов на движение Луны от глубок
кой древности и до середины XVIII в.
1*
3

Других столь же подробных обзоров по истории этой
проблемы в литературе найти не удалось. Правда, весьма
содержательные очерки есть в «Курсе небесной механики»
Ф. Тиссерана и во «Введении в теорию движения Луны»
Э. Брауна, но обе эти книги, изданные в середине 90-х гг.
XIX в., не доводят изложение развития лунной теории до
таких переломных моментов, как завершение теории
Брауна и построение основанных на ней таблиц (1919—
1923 гг.), введение эфемеридного времени (1950 г.) и
освобождение этой теории от «большого эмпирического
члена» (1954 г.), создание «машинных» (построенных с
помощью ЭВМ) аналитических и численно-аналитических
теорий (1970—1982 гг.).
Во всех остальных книгах по небесной механике
излагаются лишь некоторые теории (преимущественно,
теории Делоне, Ганзена и Хилла — Брауна). В книгах
по истории астрономии на всю историю теории Луны
отводится 2—3 страницы.
А ведь даже если считать от Ньютона, разработкой
теории движения Луны в течение трех веков занимались
И. Ньютон, Л. Эйлер, А.-К. Клеро, Ж .-Л. Даламбер,
Ж.-Л. Лагранж, П.-С. Лаплас, М. III. Дамуазо, Дж. А.
Плана, Ф. Г. Понтекулан, Дж. У. Леббок, П. А. Ганзен,
У. Леверрье, Дж. К. Адаме, Г. Гюльден, А. М. Жданов,
Н. П. Долгоруков, А. Пуанкаре, Ф. Тиссеран, Дж. Хилл,
Э. Браун, М. А. Вильев, А. М. Ляпунов, А. Андуайе и
многие другие — вплоть до большой группы современных
астрономов. Таблицы Луны, основанные на этих теориях
и частично — на наблюдениях, составляли Дж. Брадлей,
И. Т. Бюрг, Ж.-Ш. Буркхардт, М. Ш. Дамуазо, Т. Майер,
П. А. Ганзен, Р. Радо, Э. Браун, Д. Брауэр, У. Эккерт.
Чтобы по возможности отразить реальный вклад
каждого из тех, что воздвигали это стройное здание со
многими входами и выходами, пришлось перерыть горы
литературы. Порой выявлялись и такие факты, о которых
почти не упоминают авторы курсов небесной механики и
большинство историков науки. Вообще вся история
напоминает скорее остросюжетный детектив, чем спокойное
повествование о развитии и совершенствовании теории1).
В ходе работы перед автором возникли два рода
трудностей. Одна была связана с твхМ, что кое-где в история
имелись «белые пятна». Некоторые обстоятельства, факты,
1) Эта характеристика принадлежит профессору Е. П.
Аксенову.
4

даты, приоритетные вопросы были не вполне ясны или
неоднозначно освещались в литературе. Во всем этом
нужно было разобраться, желательно по первоисточникам,
а то и по архивным материалам.
Вторая трудность состояла в том, что автор по
специальности — астрофизик, а речь шла об истории одной
из глав небесной механики. Конечно, чтобы описывать
историю войн, не обязательно самому быть полководцем;
чтобы написать жизнеописание известного физика, не
обязательно быть непременно физиком. Эта книга —
не курс по теории движения Луны, а лишь история
ее развития. Чтобы сделать наше изложение
понятным для большинства любителей науки, мы стремились
по возможности доступно излагать довольно сложные
вопросы небесной механики и высшей математики.
Вероятно, это удалось нам не всегда. Мы советуем читателям
в таких случаях обращать главное внимание на идею
того или иного метода, а не на его математическое
содержание.
История создания теории движения Луны — это
история борьбы ученых с математическими трудностями,
которые стояли на пути к решению задачи. И быть может,
самым удивительным в ходе этой борьбы было то, что
некоторые методы, предложенные астрономами и
математиками (иногда специально для решения этой задачи,
а иногда и вовсе независимо от нее), были реализованы
спустя сто лет и более.
Приведем два примера. В 1772 году Леонард Эйлер
предложил метод решения уравнений движения Луны
во вращающихся прямоугольных координатах. Спустя
сто лет эта идея была положена Джорджем Хиллом в
основу его теории, усовершенствованной затем Эрнестом
Брауном.
В 1867 году французский астроном Шарль Делоне
после 20-летних трудов закончил публикацию своей
аналитической теории движения Луны. Спустя 23 года
норвежский математик Мариус Софус Ли, разрабатывавший
новый в то время раздел высшей алгебры — теорию групп,
ввел понятие о преобразованиях, которым было присвоено
его имя. А через сто лет после работ Делоне
американский астроном Андре Депри применил преобразования Ли
к решению задачи, поставленной Делоне, и вместе с
группой сотрудников с помощью ЭВМ довел его теорию до
такой точности, о которой французский ученыйчне смел
и мечтать.
5

Не менее интересные события происходили и
двадцатью веками раньше. Во II веке до п. э. замечательный
греческий астроном Гиппарх, исследовав данные
наблюдений Луны вавилонских и греческих астрономов,
рассчитал периоды, которые мы теперь называем
синодическим, сидерическим, аномалистическим и драконическим
месяцами. Точность, с которой он определил их
продолжительность,— доли секунды — потрясает наше воображение.
А через 300 лет александрийский астроном и математик
Клавдий Птолемей построил первую в истории науки
кинематическую теорию видимого движения Лупы по небу.
Поэтому начинать наше изложение мы будем не с
Ньютона, а с самых древних наблюдателей Луны, чьи
наблюдения были использованы потомками,—с вавилонян.
Автор глубоко благодарен профессору МГУ В. Г.
Демину за ценные замечания по содержанию и тексту
книги.

ВВЕДЕНИЕ
И славен буду я,
Доколь в подлундом мире
Жив будет хоть один пиит.
Л, С, Пушкин
Как движется Луна? Любой школьник ответит: Луна
обращается вокруг Земли. А те, кто изучал школьный
курс астрономии в 10 классе или занимался в
астрономическом кружке, скажут более определенно: Луна
обращается вокруг Земли по эллипсу, в соответствии с
законами Кеплера. Кто-нибудь непременно скажет: «Луна —
наш единственный естественный спутник; она обходит
Землю за 27*/з суток».
Казалось бы, все обстоит очень просто» Но когда вы
прочтете эту книгу, вы поймете, что это не так, что
эллипс — лишь первое приближение для лунной орбиты,
что ее движение гораздо сложнее.
Пожалуй, Луна — единственное небесное тело,
относительно места которого во Вселенной за 25 веков не
возникало никаких споров и противоречий. Аристотель, Гип-
парх, Птолемей, Коперник, Тихо Браге — все были
согласны в том, что Луна обращается вокруг Земли. Такого
согласия не было между названными учеными в
отношении движения планет, Солнца, Земли. А в отношении
Луны — было.
Все были согласны также в том, что Луна —
ближайшее к Земле небесное тело. В системах мира
Аристотеля и Птолемея «сфера Луны» располагалась ниже
других сфер, ближе всего к Земле. Все, что располагалось
еще ниже, именовалось с древних времен «подлунным
миром»—миром, находящимся под Лупой.
Период наиболее заметного явления, связанного с
Луной,— смены лунных фаз — получил название месяца. Его
округлили от точной длительности в 29,53 суток до
30 суток и сделали удобным для календаря подразделением
года, тем более что в году укладывалось почти 12 лунных
месяцев (остававшиеся 5—6 дней добавлялись либо все
сразу в конце года, либо распределялись по месяцам).
Числа 30 и 12 были очень удобны: первое делилось на 2,
3, 5, 6, 10, 15, второе — на 2, 3, 4, 6,
7

Самое Лупу на языках многих народов называли
Месяцем. Так она называлась и у нас на Руси (и до сих
пор называется на Украине). Нетрудно уловить сходство
в наименованиях Луны и месяца на английском языке
(Moon —month) или на немецком (Mond — Monat). На
чешском языке слово mesic означает и Луну и 1/12 часть
года.
Период смены лупных фаз явился основой для целой
группы лунных календарей (принятых, например, у
мусульман) и играл важную роль в лунно-солнечных
календарях.
Стремление изучить закономерности в движении Луны
не было простой данью человеческой любознательности,
а диктовалось, как и все вообще научные исследования,
чисто практическими прпчипами. В древние времена
одной из таких задач было предсказание солнечных и
лунных затмений. Несмотря на широкое распространение
легенд о том, что Солнце или Луну во время затмения
заглатывает дракон или иное фантастическое существо,
наиболее образованные люди в древности — жрецы —
прекрасно понимали, что причиной затмений является Луна,
ее движение вокруг Земли.
Широкое распространение получила китайская легенда
о том, что придворные астрономы Хи и Хо, жившие
в XXII в. до н. э., предались пьянству и не предсказали
вовремя солнечное затмение 22 октября 2137 г. до н. э.
Затмение наступило во время торжественной церемонии,
нарушив ее ритуал. Разгневанный император приказал
отрубить им головы. Есть, однако, и вполне достоверные
указания на то, что астрономические исследования в
древнем Китае были начаты раньше, чем у других
народов2). Однако мы ие будем описывать их в этой книге.
Причина этого состоит в том, что астрономические
исследования, проводившиеся в древнем Китае, не стали в свое
время достоянием других народов, не были использованы
древнегреческими и александрийскими астрономами при
построении теорий движения небесных тел (в том числе
Луны), ие проникли в Индию и к арабам. Вот почему мы
начнем наш рассказ с древнего Вавилона, а не с Китая.
По той же причине мы не будем здесь рассматривать
и астрономию древнего Египта эпохи фараонов и
раннего эллинизма (царство династии Птолемеев) ♦
2) См. Старцев П. А. Очерки истортш астрономии в Китае.—
М.: Физматгиз, 1901,— 156 с.
8

Выше были названы две практические задачи,
требовавшие от ученых древности построения хотя бы
приближенной теории движения Луны по пебу. Это —
составление календаря и предсказывание затмений. В дальнейшем
к ним добавилась третья, очень важная задача:
определение долгот пунктов земной поверхности. Эта
задача возникла уже во времена Клавдия Птолемея (II век
н. э.) и стала особенно актуальна в эпоху Великих
географических открытий (XV—XVII в.). Суть вопроса
заключается в следующем.
Как мы уже говорили, Луна совершает полный оборот
вокруг Земли за 27Уз суток. Значит, за одни сутки Луна
в среднем перемещается по небу на 13 градусов, а за
один час — на полградуса, т. е. на свой видимый диаметр.
Любой из наших читателей, живущих вдали от крупных
городов (где уличное освещение мешает видеть звезды),
может проверить это. Имея более или менее точные таб*
лицы положений Луны, капитан корабля по ее положению
среди звезд может определить долготу своего корабля,
потому что Земля вращается с запада на восток и местное
время различно на разных долготах. По положению Луны
капитан может рассчитать время начального меридиана
(например, Грипвичского), для которого составлены
таблицы, а разность местного и гринвичского времен даст
ему долготу корабля, выраженную в единицах времени.
Поскольку Земля за один час поворачивается на 15
градусов, переход к градусной мере не составляет труда.
Определение долгот по положению Лупы являлось
чуть ли не единственным способом до конца XVII в.,
когда был применен более точный и надежный способ
перевозки хронометров, являвшихся «хранителями»
гринвичского времени. Но хронометры могли выйти из строя,
и тогда капитанам приходилось обращаться к старой
спутнице всех кораблей — Луне. Вот почему даже в
середине XIX в. британское адмиралтейство издало на свои
средства таблицы Луны Ганзена, в то время самые
точные из всех. В англо-американском «Морском
ежегоднике» эфемериды Луны (таблицы ее положений на каждый
день и час данного года) публикуются и по сей день.
Публикуются они и в ежегодниках других стран, в том числе
в «Астрономическом ежегоднике СССР».
Но чтобы составлять точные таблицы и эфемериды
Луны, нужно иметь теорию ее движения. Эта задача в
разных формах стояла перед астрономами на протяжении
25 веков. Истории ее решения и посвящена эта книга.

Глава I
ОТ ДРЕВНИХ ВАВИЛОНЯН ДО ПТОЛЕМЕЯ
Древний Вавилон
В древнейшем дошедшем до нас учебнике астроно*
мии — знаменитом «Альмагесте» Клавдия Птолемея —
содержатся (и используются) сведения о десяти лунных
затмениях, наблюдавшихся в Древнем Вавилоне
между —720 и —381 годами3). Вот как описано в
«Альмагесте» самое раннее из этих лунных затмений.
«Первое [лунное затмение — В. Б.] наступило в
первый год Мардокемпада, в месяце тот, 29/30 числа по
египетскому календарю. Затмение началось, как говорят,
более часа спустя после восхода Луны и было полным.
Поскольку Солнце было в это время в конце созвездия
Рыб и ночь длилась около 12 равноденственных часов,
начало затмения наступило очевидно за 4Уг
равноденственных часа до полуночи, а середина затмения
(поскольку оно было полным) — за 27г часа до полуночи».
Здесь необходим целый ряд пояснений. В Вавилоне
счет годов велся по царствованиям. Первым годом
правления царя (в данном случае Мардокемпада)
считался год его вступления на престол, начиная
с первого месяца в египетском календаре — месяца тот
(хотя царь мог вступить на престол и в другом
месяце). В ту эпоху в Вавилоне пользовались египетским
календарем, введенным задолго до основания Вавилонского
государства — примерно в середине IV тысячелетия до
н. э. Основы его мы уже приводили во введении.
Для ориентировки читателя в истории государств,
существовавших в Месопотамии, сообщим основные
сведения о них. Древневавилонское государство образовалось
в Междуречьи — области между долинами рек Тигра и
Евфрата — около 2500 г. до н. э., на земле древних
шумеров. Расцвет этого государства приходится на XVIII в.
до н. э. (царствование Хаммурапи). В начале первого
3) Мы будем использовать астрономическую систему нумера-»
ции годов до нашей эры. В ней 1 г. до н. э. считается нулевым,
101 г. до н. э. обозначается как —100 г. и т. д. Год — 720 эквива*
ленте!! 721 г. до н. э.
10 )

тысячелетия до п. э. в верховьях Тигра возникла новая
мощная держава — Ассирия со столицей Ниневией. Но
Вавилон сохранял по крайней мере поминальную
независимость от Ассирии, и там правили свои цари. Когда же
в 606 г. до н. э. под ударами мидян пала Ассирия и была
разрушена ее столица Ниневия, образовалось так
называемое Нововавилонское царство, просуществовавшее еще
около 70 лет — до его завоевания персами.
Династия вавилонских царей, пришедшая к власти
в VIII в. до н, э., была осповапа Набонассаром, который
занял престол в —764 году. Клавдий Птолемей проделал
нолегкую работу историка и составил хронологическую
таблицу правления всех царей Вавилопа (от —746 до
—537 г.), персидских царей от Кира, завоевателя
Вавилона, до Дария III Кодомана (от —537 до —331 г.),
Александра Македонского, двух его наследников и 15 царей
династии Птолемеев, правивших в Египте, куда (наряду
с Грецией) переместился центр астрономической науки
(от —331 до —30 г.), и римских императоров, под власть
которых попали и Египет, и Греция (от —30 до 137 г.).
Царь Мардокемпад, о котором говорится в
приведенной выше выдержке из «Альмагеста», начал править
в —720 г. Б этом же году наблюдалось полное затмение
Луны, о котором рассказывает неизвестный наблюдатель
(оно произошло в первый год Мардокемпада). Указание
месяца и числа позволяет установить дату затмения: ночь
с 19 на 20 марта —720 г. Равноденственными часами
назывались 1/24 доли суток, в отличие от дневных и
ночных часов, равных соответственно 1/12 доле
длительности дня и ночи в данные сутки (в течение года эти
величины изменяются). Короче говоря, Птолемей
расшифровал момент середины затмения как 21 ч 30 мин 19
марта -720 г.
Обратимся к «Специальному канону затмений» Ф. Гин-
целя, рассчитанному им в 1899 г. для Вавилопа, древнею
Египта, Греции и Рима на те далекие времена, но па
основании современной теории движения Луны. Для этого
затмения Гинцель дает момент середины полной фазы
21 ч 27 мин. Птолемей ошибся только на 3 минуты!
Впрочем, не надо здесь чрезмерно радоваться за
Птолемея. Это совпадение случайно. Как показывает
сравнение моментов середин 19 лунных затмений,
приводимых в «Альмагесте» и в каноне Гнпцеля, средняя
ошибка «Альмагеста» составляет ±28 минут. Впрочем, иного и
ожидать не следовало. Как вы определите точнее момент
И

начала и середины затмения, если в исходном сообщении
сказано лишь, что оно началось «более часа спустя после
восхода Луны и было полным»? Ну, время восхода Луны
можно вычислить. Но что такое «более часа»? 1 ч 5 мин?
Или 1 ч 20 мин? Или 1 ч 30 мин? А может быть, еще
больше? Птолемей посчитал, что скорее всего это
1 ч 30 мин. Это было наиболее вероятное значение для
интервала «более часа» и меньше двух часов. Но тем
самым допустимая ошибка в ± 30 мин уже заложена в
самом методе истолкования сообщения. Правда, средняя
квадратическая ошибка в этом случае будет в У 2 раз
меньше, но есть и еще один источник погрешности.
Птолемей считал, что поскольку затмение было полным, оно
длилось 4 часа, и отсчитал от момента начала затмения
половину этого интервала, т, е. 2 часа. Но далеко не
всякое полное затмение Луны длится 4 часа. Средняя
длительность его гораздо меньше — около 3 ч 30 мин4).
Используя наблюдения лунных затмений в древнем Ва-
вилопе, Гиппарх вычислил длительность всех лунных
месяцев, а Птолемей построил свою теорию движения Луны.
Об этом будет рассказано в следующих разделах. А пока
обратимся к вавилонской астрономии как таковой. Что
нам о ней известно? И в первую очередь — как
вавилоняне предсказывали солнечные и лунные затмения? Ведь для
этого они должны были тоже иметь какую-то теорию
Луны. Кто были те наблюдатели, чьими наблюдениями
пользовались Гиппарх и Птолемей? Как их звали? Птолемей
ничего не сообщает об их именах, не говоря уже о других
сведениях, а называет их обобщенно «халдеями». Это
слово проникло на страницы многих научных и
научно-популярных книг и создавало у читателей впечатление, что
был такой особый народ — халдеи, проводившие, в
частности, астрономические наблюдения.
На самом деле никакого народа халдеев не было,
просто так в Древней Греции называли вавилонян по
ассирийскому названию их города — Халду. Итак, если вы
прочитаете где-нибудь о халдеях, знайте, что это
вавилоняне.
О вавилонской астрономии мы знаем не только из
«Альмагеста» Птолемея и других сочинений античных
- 4У Средняя длительность полной фазы по 80 затмениям XX
века — 1 ч 14 мин, средний интервал от начала частного до начала
полного затмения — 1ч 08 мин. Столько же происходит в среднем
от конца полного до конца частного затмения. В сумме и
получаем (2X1 ч 08 мин)+ 1 ч 14 мин = 3 ч 30 мин.
12

авторов. Уже во второй половине XIX в. были расшифро-»
ваны клинописные надписи на глиняных табличках,
содержащие крайне важные и интересные сведения.
Большая заслуга в расшифровке этих надписей принадлежит
историкам науки Ф. Куглеру, И. Эппингу, И. Штрасмайе-
ру, а в дальнейшем О. Нейгебауэру и А. Паннекуку.
Вот отрывок из такой записи начала VII в. до н. э.:
«Четырнадцатого произойдет затмение; это —
неблагоприятно для Элама и Амурру5), но благоприятно для царя,
мой господин; пусть царь, мой господин, успокоится. Оно
будет видно без Венеры. Царю, мой господин, я говорю:
будет затмение. Из Ирасшиилу, царский слуга»6).
Этот царский слуга не ошибся в своем предсказании и
поспешил напомнить об этом царю: «Царю, мой господин,
я передал: „Будет затмение". Теперь оно не прошло
мимо, оно было...»
Как же вавилонские астрономы предсказывали
наступление затмений? Уже давно они подметили, что лунные
затмения обычно повторяются через 6 лунных месяцев
(177 суток). Затмения шли сериями, по 4—6 затмений
в каждой серии. Потом серия обрывалась, но зато
возникала новая серия лунных затмений, причем первое
затмение в этой серии наступало на месяц раньше, чем
следовало бы наступить затмению старой серии.
Разберемся в причинах такой последовательности.
Плоскость лунной орбиты наклонена к плоскости
эклиптики (земной орбиты, геоцентрической орбиты Солнца) на
средний угол 5°9'. Точки пересечения с эклиптикой
проекции лунной орбиты на небесную сферу называются
узлами. Тот из узлов, в котором Луна, перемещаясь справа
налево, переходит с южной полусферы (по отношению
к эклиптике) на северную, называется восходящим,
противоположный узел — нисходящим.
Тень Земли на расстоянии Луны превосходит лунный
диаметр в среднем в 2,65 раза (крайние значения: от 2,57
до 2,73 раза). Однако многолетние наблюдения показали,
что фактически тень Земли на 2 % больше, чем следует
из геометрических соображений (этот эффект связан с
наличием у Земли атмосферы). С учетом этого земная тень
б) Элам и Амурру — соответственно восточная и западная части
Ближнего Востока, ныне — юго-западная часть Иранского нагорья
и Сирия.
6) Эта и следующие выдержки — по книге: Паннекук А.
История астрономии,—М.: Наука, 1966, гл. 4. Их подборку впервые
опубликовал в 1900 г, Р, К, Томпсон,
13

от 2,62 до 2,79 раза больше диаметра Лупы (в среднем
в 2,71 раза).
Исходя из этих соотношений и зная, что наибольший
видимый диаметр Луны ракен 16'44", а наименьший
14'41" и что наибольшему диаметру соответствует
наибольшее же отношение диаметров тень/Луна, можно
вычислить предельпые расстояния Луны от узла ДА, при
которых возможно то или иное лунное затмение:
если ДА > 12,0°, то частное затмение невозможно,
ДА < 10,0°, то частное затмение неизбежно,
ДА > 5,6", то полное затмение невозможно,
ДА < 4,4°, то полное затмение неизбежно.
Итак, если Луна находится от узла ближе чем на 4,4°,
то непременно произойдет полное затмение. При
расстояниях между 4,4 и 5,6° затмение может быть полным,
а может и не быть, в зависимости от расстояния Луны
от Земли, или, если хотите, от положения Луны на
орбите относительно ближайшей к Земле точки — перигея.
Вопрос могкет быть решен путем специальных
вычислений, которых в Вавилоне, конечно, производить не умели.
Дальше, если расстояние Луны от узла будет заключено
между 5,6° и 10,0°, затмение будет частным. Если же
это расстояпие будет больше 10,0°, но меньше 12,0°,
частное затмение Луны могкет наступить, а может и не
наступить. Наконец, при ДА > 12,0° дагке частное затмение
Луны наблюдаться не может').
Рис. 1. Положения Луны относительно тени Земли в полнолуниях
Взглянем теперь с этой точки зрения на расположение
Луны и земной тени в восьми положениях,
соответствующих последовательным (с интервалом в 6 месяцев)
полнолуниям вблизи узла (рис. 1). Большие округкности
7) Однако и при этом условии могкет наблюдаться так
называемое полутепевое затмение, когда Луна попадает в полутень
Земли. Полутеловые затмения могут наблюдаться до 18,2° от
узла. Поскольку полутень Земли на лунном диске простым глазом
неразличима, древние не могли наблюдать нолутеневые затмения.
14

изображают тень Земли, маленькие кружки — Луну.
Показаны также часть эклиптики (средняя горизонтальная
линия) и части проекции лунной орбиты для
восходящего и нисходящего узла. Положения Луны на этих от*
резках показаны через одно, поскольку через 6-месячные
интервалы затмения происходят поочередно вблизи то
одного, то другого узла.
За 6 лунных (синодических) месяцев, т. е. за 177,18
суток Солнце переместится по эклиптике на 174,64°,
и ровно настолько же сдвинется за тот период
противоположная Солнцу точка полнолуния. Но линия узлов
лунной орбиты не остается неподвижной, а
поворачивается навстречу движению Солнца и Луны, в среднем
на 9,38° за 6 лунных месяцев. Поэтому противоположный
узел окажется через 6 лунных месяцев в 170,62° от
прежнего положения другого узла. Это означает, что
расстояние Луны от узла спустя 6 месяцев изменится в среднем
на 174,64° -170,62° -4,02°.
Пусть теперь в некоторое исходное полнолуние Луна
находится на расстоянии 14,50° западнее нисходящего
узла (самое правое положение на рис. 1). Затмения,
очевидно, не будет. Спустя 6 месяцев Луна окажется в 10,48°
от восходящего узла, и может произойти (но не
обязательно) частное затмение. Еще через 6 месяцев Луна будет
вновь перед нисходящим узлом, но уже в 6,45° от него,
и частное затмение произойдет непременно. В следующее
благоприятное полнолуние (опять через 6-месячный
интервал) Луна будет перед восходящим узлом на
расстоянии 2,43° и затмение будет полным. Дальше Луна пройдет
нисходящий узел и окажется от него в 1,59° к
востоку — снова будет полное затмение. В следующее
подходящее полнолуние Луна будет в 5,62° к востоку от
восходящего узла, так что затмение будет «почти полным»—
иначе говоря, частным затмением большой фазы. Еще
через полгода расстояние увеличится до 9,65° и наступит
частное затмение малой фазы. Наконец еще полгода
спустя расстояние Луны от узла достигнет 13,67° и затмения
не будет — серия оборвется.
В рассмотренном примере в серии будет 5 или 6
затмений, в зависимости от того, случится или нет самое
первое из них, на расстоянии 10,45° от восходящего узда.
Некоторые затмения могли не наблюдаться в Вавилоне
из-за того, что приходились на дневные часы, когда полная
Луна была под горизонтом. Вавилонские астрономы
понимали это, как видно из следующей записи того времени:
15

Серии лунных затмений
Серия
I
11
ш
IV
V
VI
Дата начала
1966 V 4
1969 VIII 27
1973 VI 15
1977 IV 4
1980 VII 27
1984 V 15
Дата конца
1969 IX 25
1973 VII 15
1976 XI 6
1980 VIII 20
1984 VI 1Н
1987 X 7
Расстояние
1 2
-12,56°пт
—19,58 пт
—13,32 пт
-10,75 ч
—15,80 пт
—13,02 пт
-11,97°пт
-10,87 ч
—10,97 ч
—11,90 пт
—10*97 пт
—12,02 пт
3
-3,73°п
-10,13 ч
—5,61 ч
—2,38 п
—7,32 ч
—4,28 п
«Затмепие прошло мимо; его не было. Если царь
спросит: „Какие предзнаменования ты водишь?*'— боги не
виделись друг с другом.., (Из Муниабату)». Здесь
имеется в виду, что противостояние Луны и Солнца (когда
только и могло наступить затмение) произошло после
восхода Солнца.
С солнечными затмениями было труднее. В отличие от
лунных, область их видимости на Земле весьма
ограничена (особенно полных), поэтому большинство солнечных
затмений в данном пункте Земли (или в небольшом
государстве) наблюдать нельзя.
Вернемся к лунпым затмениям. Составим, следуя
А. Паннекуку, таблицу расстояний Луны от узла для
шести последовательных серии ватмений (табл. 1), но
для периода 1966—1987 гг.8). Для полной картины в
табл. 1 приведены данные и для полутеневых затмении
(обозначены буквами пт); частные затмения обозначены
буквой ч, полные — буквой п.
Если считать и полутеневые затмения, в каждой серии
будет 8 или 9 затмений, разделенных интервалами в 6
синодических месяцев. (Таким образом, длительность серий
составляет 42 или 48 Месяцев. В четырех случаях из пяти
новая серия начинается на месяц раньше, чем
заканчивается предыдущая, в одном случае она начинается на
5 месяцев позже окончания предыдущей. Поскольку из
пяти первых серий три имеют длительность 42 месяца,
а две — 48, интервал от начала I серии до начала VI серии
будет равен (42 X3)+{48X2J-4 + 5 «223 месяца,
Запомним это число.
8) А. Павнекук в цитированной книге (см. •)) не указывает,
для какого именно периода времени он ирииодит свои данные
16

Таблица 1
в 1966-1987 гг.
Лупы от узла
4 5
-4,11°п
—3,03 п
-3,32 п
—1,57 п
-3,27 п
-4,45 п
+5,30°п
—0,95 п
—2,56 п
+5,58 ч
—0,74 п
+4,59 п
6
+4,08°п
+4,82 п
+ 1,69 п
+5,12 п
+4,27 п
+3,70 п
7
+14,57 пт
+7,92 ч
+10,97 ч
+12,92 пт
+8,30 ч
+13,78 пт
8 9
+13,36°пт
+ 12,70 пт
+11,56 пт
+13,59 пт
+11,96 пт
+12,70 пт
+ 16,01°пт
+ 16,61 пт
Рассматривая табл. 1, мы заметим, что значения ДА, от
затмения к затмению изменяются совсем не так
равномерно, как мы описывали выше. Бывают даже случаи, когда
АХ убывает, хотя по всем данным оно должно возрастать
(пятое и шестое, седьмое и восьмое затмение I серии),
или наоборот.
Это происходит из-за неравномерности движения
Луны по орбите и изменения ее расстояния от Земли. Кроме
того, линия апсид (большая ось лунной орбиты), как и
линия узлов, поворачивается, но в противоположную
сторону и с вдвое меньшей скоростью. Это приводит к тому,
что ориентация линии апсид, соединяющей перигей и
апогей орбиты Луны, относительно линии узлов постоянно
меняется, так что совпадение точки перигея и
восходящего узла (в проекции на небесную сферу) происходит
почти точно раз в 6 лет.
Взглянем теперь на нашу таблицу глазами древних
вавилонских астрономов. Полутеневых затмений они не
знали, поэтому исключим их мысленно из таблицы. Тогда
в серии будет от 4 до 6 затмений. Если взять первые
пять серий (VI серия нам нужна для сравнения с I
серией), то одна из них (I) содержит 4 затмения и
охватывает интервал в 18 месяцев; две содержат по 5 затмений,
по охватывают разные интервалы: IV серия — 30 месяцев
(вклинилось полутеневое затмение, которое вавилоняне
посчитают за отсутствие затмения), V серия —24
месяца; наконец, две серии (II и III) содержат по 6
затмений и охватывают иптервал в 30 месяцев каждая.
Интервалы от конца предыдущей серии до начала следующей
составляют соответственно 17, 17, И, 23 и 23 месяца.
Общая продолжительность цикла в 5 серий равна 18 + 24 +
+ (ЗХ30) + (2Х17)+11+(2Х23)=223 месяца, Это зна-
2 В, А. Броншгэи 17

*Шт, что и вавилоняне, ничего не зпая о йолутепевых
затмениях, могли найти этот период.
Можно его найти и третьим способом, если брать
интервалы между полными затмениями, находящимися в
середине серии (в табл. 1 —в одном столбце). Эти
интервалы трижды равны 47 месяцам и дважды — 41 месяцу,
Складывая, получим: (3X47)+ (2X41)== 223 месяца.
Сравнивая ряд затмений I и VI серий, разделенных
именно этим периодом, мы замечаем большое сходство
в их последовательности и значениях ДА, у
соответствующих затмений. И это не случайно. Дело в том, что период
в 223 синодических месяца, равный 18 годам и IOV3 или
11 Уз суткам (в зависимости от числа високосных лет),
или 6585 Уз суткам, содержит также целое число (242)
драконических месяцев (периодов обращения Луны
относительно узла), поэтому по прошествии этого периода
в полнолуние Луна оказывается в том же положении
относительно узла, как и в начале периода. Более того, этот
период содержит также целое число — 239
аномалистических месяцев (обращений Луны относительно перигея),
так что и неравенства, связанные, как мы теперь знаем,
с эллиптичностью лунной орбиты и неравномерностью ее
движения, будут те же, что и в начале периода.
Приведем числовые значения длительности
названных циклов:
223 синодических месяца X 29,5305§8| сут =
-6585,3212 сут,
242 драконических месяца X 27,212220 сут =
-6585,3572 сут,
239 аномалистических месяцев X 27,554550 сут =
-6585,5376 сут.
Этот период, получивший впоследствии в древней
Греции название сароса, был открыт древними
вавилонскими астрономами не позднее VI в. до н. э. Вот
свидетельство Клавдия Птолемея:
«Древнейшие математики нашли из наблюдений лунных
затмений, что за промежуток в 6585Уз дня
заканчивается приблизительно 223 синодических месяца, 239
аномалистических, 242 возвращения по широте9), 241
возвращение по долготе 10) и сверх того 102/з градусов, которые
Солнце прошло за то же время сверх своих 18 оборотов,
9) Имеется в виду дракоиический месяц. Во времена
Птолемея этого термина еще не существовало.
,0) Имеется в виду сидерический месяц.
18

считая их по отношению к неподвижным звездам; и они
назвали этот промежуток времени периодом, так как после
пего все эти движения возвращаются к исходному
положению».
Итак, Птолемей первый сообщил культурному миру
об открытии вавилопскими математиками (так тогда
часто называли и астрономов) периода, впоследствии
названного саросом. Впрочем, как указывает А. А. Михайлов,
имеется свидетельство Геродота (V в. до н. э.) о том,
что этот цикл был известен еще Метону (VI в. до н. э.)
и использовался им для предсказания затмений.
Лишь в XIX веке были найдены и расшифрованы
таблички с клинописными текстами древнего Вавилона. Одна
из них, хранящаяся в Британском музее, содержит
таблицу саросов с —372 до —276 г. Один из исследователей
этого документа, И. Штрассмайер, полагает, что часть
таблички была обломана и таблица уходила в глубь
веков до —571 г.
Открытие сароса является величайшим вкладом
вавилонских астрономов в лунную теорию. Важным — но
не единственным. Приведем высказывание видного
современного историка науки О. Нейгобауэра по этому
вопросу. Отмечая, что вавилоняне открыли много циклов,
связанных с видимостью планет (284-летний цикл
видимости Марса11), 427-летний для Юпитера и др.), Нейгебауэр
замечает: «Это относится, в частности, к теории ватмений
в связи с так называемым саросом, охватывающим
223 лунации (см. Нейгебауэр, 1957). Ныоком (1879) в
его исследовании циклов солнечных затмений не
подозревал, что он имел предшественников — вавилонян,
которые полностью осознали значение периодичности также
в движении Луны по аномалии».
Но вавилонские астрономы не ограничились открытием
серий лунных затмений и сароса. Они построили два
варианта теории движения Лупы по широте, которые
позволяли им вычислять не только даты, но и величину
ожидавшихся затмений.
Под величиной затмения ф«, подразумевалось с
древних времен отношение закрытой доли диаметра Луны в
момент наибольшей фазы затмения А В к самому диаметр
ру BD (рис. 2, а). Для полных затмений это —
отношение отрезка диаметра земной тени, проходящего в тот же
и) См. Бронштэн Б. А. Когда паступит противостояние
Марса? / Земля и Вселенная, 1974,- М 3.~ С. 70—73,
2*
19

момент через центр лунного диска, от ближайшего края
тени до противоположного края Луны АВ, к диаметру
последней BD (рис. 2, б). Очевидно, что при полных
затмениях фш > 1, при частных — фш < 1.
В древности видимый диаметр Луны полагали равным
12 частям, поэтому величина затмений могла изменяться:
D
а
Рис. 2. Величина затмения
для частных затмений—от 0 до 12, для полных — от 12
до 22,8 (в случае центрального затмения при
наибольшем отношении диаметров тень/Луна).
Вавилоняне еще не знали тригонометрии, они не
использовали никаких кривых линий, поэтому движение
Луны под углом к эклиптике с пересечением ее в двух
точках (узлах) они представили ломаной линией (рис. 3).
В их первой системе (система Л по современному
обозначению) эта ломаная вблизи узлов имела вдвое
больший наклон к эклиптике, чем вблизи наиболее отстоящих
Рис. 3. Представление
видимого пути Луны ломаной у
вавилонян (по А. Паннекуку)
от нее точек. В более поздней системе В наклон всюду
одинаков, но в двух точках (примерно посередине между
узлами и экстремумами ломаной) имеют место разрывы
непрерывности. Оба эти вида ломаных давали по тем
временам неплохое приближение к истинной форме кривой,
изображающей цилиндрическую проекцию лунной орбиты
(на цилиндр, касательный к небесной сфере вдоль
эклиптики), а именно, к синусоиде. Но вавилоняне не имели
представления о синусоиде.
20

Достоверно известно, что система В была разработана
в начале IV в. до н. э., причем ее автором, согласно
Ф. Куглеру, был Кидинну, а автором более ранней
системы А — Набу-риманну. Действительно, оба этих имени
имеются па клинописных табличках с описанием каждой
из систем. Солее того, их упоминают античные авторы:
Страбон (I в. до и. э.) и Плиний Старший (I в. н. э.),
хотя и не называют их авторами указанных систем. Все
же по мнению О. Нейгебауэра, авторство Кидинну и
Набу-риманну нельзя считать доказанным. Тем не менее,
это первые имена вавилонских астрономов, с которыми мы
познакомились. Немецкий историк науки И. Шнабель
в 20-х годах пытался доказать, что Кидинну открыл
явление прецессии (предварения равноденствий). Однако
этот вопрос — весьма спорный, а после работ О.
Нейгебауэра (50-е годы) спор решился не в пользу Кидинну.
Несмотря на это, мы должны отдать должное заслугам
Кидинну, Набу-риманну и других вавилонских
астрономов, имен которых мы не знаем, но которые заложили
первые камни в фундамент лунной теории.
S
«Муж трудолюбец и поклонник истины»
Такими словами характеризует Клавдий Птолемей
своего великого предшественника, греческого астронома
Гиппарха (ок. 185 — ок. 125 г. до н. э.), заложившего
основы математической астрономии. Заслуги Гиппарха
действительно весьма велики. Он составил каталог около
1000 звезд, исследовал явление прецессии, построил
теорию видимого движения Солнца, провел ряд важных
астрономических наблюдений и расчетов.
Весьма существен и его вклад в создание теории
видимого движения Луны. Гиппарх определил угол наклона
лунной орбиты к эклиптике в 5° (что лишь на 9' меньше
действительного значения). Он с гораздо большей
точностью определил длину всех четырех лунных месяцев,
чем это делали до пего. Предоставим опять слово
Клавдию Птолемею. Приведя уже известные читателю
сведения о саросе и о числе месяцев в нем по данным
вавилонян («халдеев»), Птолемей пншет далее:
«Но Гиппарх уже показал, пользуясь наблюдениями
халдеев и своими собственными, что эти числа не
являются достаточно точными. Действительно, он доказывает,
что наименьшее число дней, после которого затмения
повторяются через одинаковое число месяцев и при одинаковых
21

движениях, равно 126 007 дням и одному
равноденственному часу; он находит в нем 4267 полных
синодических месяцев, 4573 возвращения по аномалии, 4612
возвращений по долготе без 7V2°, которых недостает Солнцу,
чтобы закончить 345 оборотов по отношению к
неподвижным звездам»; он же нашел далее, что в «5458 месяцев
происходит 5923 возвращения Луны по широте».
Попробуем, воспользовавшись данными Гиппарха,
рассчитать длительность каждого из четырех лунных
месяцев, и сравним полученные значения с современными.
Для этого разделим число суток в периоде: 126 007,0417
на количества месяцев, приводимые Гиппархом. Длину
драконического месяца (возвращение по широте) найдем
по длине синодического, умножив ее на 5458/5923:
Месяц Гипиарх(ч Современные
~\ данные
Синодический 29,530592 29,530588

Аномалистический 27,554568 27,554551
Сидерический 27,321679 27,321661
Драконическяй 27,212218 27,212220
Итак, длительность драконического месяца по Гиппар-
ху отличается от современной на 0,17 секунды,
синодического — на 0,35 секунды, аномалистического и
сидерического—примерно на 1,5 секунды. Тут, право же, есть
чем восхищаться. Ведь Гиппарх располагал
наблюдениями вавилонян и своими собственными за 6 веков, что но
составляет даже двух полных 345-летних циклов, которые
он использует. Наблюдения эти производились простым
глазом и записывались в той форме, которую мы уже
приводили выше. Точность момента середины затмения
по этим определениям, как мы убедились, ±30 минут.
Как же неточность в десятки минут обеспечила точность
в доли секунды?
Все очень просто. За 345 лет Луна совершает около
4600 обращений вокруг Земли (здесь мы намеренно
округляем уже известные нам числа). Неточность в 30
минут, или 1800 секунд, как бы распределяется по этим
4600 обращениям, внося в длительность каждого из них
«вклад» в 1800:4600 = 0,4 с. Поскольку погрешности
определений моментов разных затмений имеют разные
знаки и значения, они могут либо усиливать, либо частично
компенсировать друг друга. Поэтому и итоговые
неточности значений Гиппарха получились различными, но
именно того порядка, который мы только что пашли,
22

Различие в длительностях аномалистического, драио-
нического и сидерического месяцев позволило Гиппарху
не только сделать вывод о смещении лунного перигея
и узла в результате поворота линии апсид и линии узлов
в разные стороны, но и определить скорости и периоды
этих движений. Поясним это на примере хорошо
известного явления, состоящего в том, что синодический месяц
(период смены лунных фаз) на двое с лишним суток
длиннее сидерического месяца (периода обращения Луны
вокруг Земли, по терминологии древних — возвращения
по долготе). Причина этой разницы состоит в том, что
Луне после новолуния, чтобы достигнуть следующего
новолуния, приходится догонять Солнце. На это и уходит
2,21 суток.
А давайте рассчитаем эту разпость с большей
точностью. Составим отношение средних угловых скоростей
перемещения по небу Солнца и Луны. Как нетрудно
сообразить, оно есть обратная величина от отношения
длительностей сидерического года и сидерического месяца.
Вот это отношение:
г " т^ёйиг -13>368746' W
Итак, Луна движется по небу в 13,37 раз быстрее
Солнца. Скорость сближения Луны и Солнца будет
превышать скорость движения последнего в 12,37 раз (на
единицу меньше). Следовательно, длительность
синодического месяца составит
Т = * __ 365,25636 0q солсоп л>ч
I з « -jr 12,368746 ~~ -у>0ои°Эу> УА)
2 \
что с точностью до единицы последнего (восьмого!)
знака совпадает с значением, приведенным в таблице.
Исходя из тех же принципов, найдем по разностям
аномалистического и драконического месяцев с
сидерическим неизвестные нам периоды обращения перигея
и узла. Из формулы (2) следует
Т т
™i я т — т ' (*),
1 3 л 2
где Т\ — искомый период обращения перигея (узла),
7^2 — длительность сидерического месяца, Гз — то же для
аномалистического (соответственно драконического)
месяца.
23

Выполняя расчеты с данными Гиппарха, находим:
период обращения перигея — 3232,60 суток —
= 8,85 юлианских лет,
период обращения узла = 6792,22 суток «
-»18,60 юлианского года.
Современные значения для тех же периодов равны
соответственно 3232,70 и 6794,0 суток, так что ошибка
периодов Гиппарха для перигея — 0,1 суток, для узла —
1,8 суток12). Эти ничтожные расхождения столь же
потрясают наше воображение, как и те доли секунды, на
которые ошибся Гиппарх при определении длительностей
четырех лунных месяцев.
Но значение результатов Гиппарха этим не
исчерпывается. Как мы смогли убедиться, Гиппарх получил
длительности четырех средних-периодов (которые мы, следуя
общепринятой терминологии, (называем месяцами). Из
этих периодов нетрудно вычислить средние суточные
движения Луны относительно звезд, Солнца, перигея и узла.
Обозначим средние суточные движения Луны, Солнца,
перигея и узла относительно звезд соответственно через
и, п\ п\ и Л2. Введем также обозначения:
±~т, Hl^i-c, -^- = 1-£, (4)
п 7 п 7 п ° х '
По данным Гиппарха их можно вычислить:
w - * " ЖГЖ ~ °>0748008>
1-С-1- —■ (1 - го) - 0,0084519, (5)
1 — ^ = 1 — -||§| (1 — /^) = — 0,0040225,
Можно сказать, что Гиппарх определил все средние
движения, связанные с Луной. Мы подчеркиваем слово
«средние», потому что на эти средние движения
накладываются многочисленные неравномерности, или, как их
принято называть, неравенства лунного движения. С
ними мы познакомимся в следующих разделах книги. А
пока отметим еще один поразительный факт.
12) Н. И. Идельсон в своем обзоре (см. предисловие и список
литературы) получал несколько большие расхождения. Это
связано с тем, что он использовал данные Э. Брауна (1897 г.), а мы —
новейшие расчеты на ЭЕШ А. Деори (1970 г.).
24

Астрономия Гиппарха позволила вычислять, как только
что было сказано, четыре равномерно нарастающих угла,
связанных с движением Луны: среднее угловое
расстояние Луны от Солнца (среднюю элонгацию), которое мы
будем обозначать через D, суточное приращение его равно
и(1 — т); среднее расстояние Луны от перигея (среднюю
аномалию) /, имеющее среднее суточное приращение,
равное сп\ среднее расстояние Луны от восходящего узла
F с суточным приращением gn; среднюю аномалию
Солнца (его угловое расстояние от перигея
геоцентрической орбиты) V со средним суточным приращением
п' = тп.
Прошло двадцать веков, пока небесная механика, ос-
пованиая на законе всемирного тяготения Ньютона, не
доказала, что для построения динамической теории
движения Луны необходимо и достаточно рассматривать лишь
четыре равномерно парастающих угла, причем именно
зги четыре. Конечно, Гиппарх об этом не знал и даже
догадываться не мог, но, видимо, интуиция подсказала
ему, какие именно характерные движения, относительно
каких точек надо рассматривать и уметь вычислять. Он
понял, что таких движений у Луны — четыре, и сделал
все, чтобы определить их с возможно большей точностью,
в чем мы смогли уже убедиться.
Задача вычисления лунных неравенств выпала на
долю продолжателя дел Гиппарха — Клавдия Птолемея.
«Математическое построение» Клавдия Птолемея
Клавдий Птолемей жил и работал в Александрии во
II веке н. э. Точные годы его жизни неизвестны, но
наиболее вероятны 100—165 гг. н. э. Астрономические
наблюдения Птолемея, приведенные в его главном труде —
«Альмагесте», выполнены между 127 и 141 гг. Есть
указание еще на одно наблюдение, относящееся к 126 г.
С другой стороны, по свидетельству византийского
философа VI в. Олимпиодора, Птолемей работал в течение
40 лет. Кроме того, известно, что в 165 г. Египет и
соседние страны были охвачены страшной эпидемией чумы.
Эта скудная информация и позволяет нам с известной
долей вероятности считать 165 г. за год смерти Птолемея.
Свой главный труд но астрономии Птолемей завершил
около 1Г>0 г. После этого он написал еще ряд работ:
«Чстырехшшжие» Хучсбппк астрологии), «Географию»,
25

«Планетные таблицы», «Оптику», «Гармоники» (труд по
теории музыки).
Сам Птолемей назвал свой астрономический трактат:
«Математическое построение». Впрочем, греческое слово
«синтаксис» можно перевести и как «сочинение»,
«трактат». Впоследствии переписчики заменили слово
«Математическое» на «Великое» (мэгале), а еще позднее —на
«Величайшее» (мэгисте). При переводе на арабский язык
начальные слова «Аль мэгисте...» превратились в
«Альмагест». Именно в таком виде это название укоренилось на
латинском и всех европейских языках.
Используя наблюдения лунных затмений уже почти
за 9 веков до своих собственных включительно и умело
их группируя, Птолемей сумел определить основные
лунные неравенства. Что Луна движется (неравномерно, было
ясно из расположений затмений в сериях и в саросе, о чем
мы уже говорили. Но отчего это происходит? Как
описать это неравномерное движение математически, если
наука его времени признавала для небесных тел только
равномерные круговые движения?
Птолемею пришлось пойти на хитрость. Еще Гиппарх
показал, что видимое движение Солнца может объяснить
лишь в предположении, что
Земля не совпадает с центром
солнечной круговой орбиты, что
последняя расположена
эксцентрично. Если в точке Т
находится Земля (рис. 4), а в точке
О — центр орбиты Солнца или
Луны, то расстояние ОТ,
отнесенное к диаметру орбиты АР,
получило название полного экс-
„ /л - п центриситета. Ближайшая к
Рис. 4. Оропта Солнца по о п
Птолемею оемле точка Р называется
перигеем, самая дальняя точка
А — апогеем, прямая АР есть линия апсид.
Неравномерность видимого движения Лупы (Солнца,
планеты), являющаяся следствием эксцептричподо
положения Земли, получила название первого неравенства.
Прежде чем вычислять это первое (или простое)
неравенство, Птолемей составил таблицу средних суточных
движений Луны (не отягощенных этим неравенством): по
долготе (относительно точки весеннего равноденствия), по
аномалии (относительно перигея), по широте
(относительно узла лунной орбиты) и по элонгации (относительно
26

Голица). Таблицы, составленные Птолемеем, позволяли
рассчитать средние положения Луны и все четыре наз-
панных угла на любой день и час от начала эры Набо-
иассара (—746 год) до 64 г. н. э.
Приступая к вычислению первого неравенства,
Птолемей доказал теорему о том, что движение Луны по
эксцентрично расположенному кругу (эксцентру) можно
представить как комбинацию
двух равномерных круговых
движений: по большому
кругу с центром в центре Земли
(деференту) движется центр
малого круга (эпицикла), по
которому в обратном
направлении и с той же угловой
скоростью движется Луна.
Представим себе (рис. 5)
деферент AG с центром в Д
совпадающий с эклиптикой
(наклоном лупной орбиты
пока пренебрегаем). По
нему движется центр
эпицикла. Пусть в момент
прохождения Луны через апогей
центр эпицикла будет в точке А, а сама Луна — в точке Е.
Пусть далее за время, пока центр эпицикла опишет дугу
AG, Луна пройдет дугу EL=AG (в угловых единицах).
В этом случае ее движение будет происходить по кругу
радиусом IIL » DG, цептр которого смещен относительно
центра деферента D на расстояние DII — GL. Этот круг
££иесть эксцентр13). Все отсчеты положений Лупы
Птолемей делает от апогея и рассматривает ее движение
только по аномалии.
Чтобы найти первое неравенство, Птолемею нужно
было определить отношение радиусов эпицикла и
деферента. Тогда каждому значению угла аномалии AKL (рис.6),
отсчитываемому по эпициклу, будет соответствовать
некоторый малый угол KDL при центре деферента D
между направлениями па Луну t п на центр
эпицикла К. Соотношение между этими углами определяется из
Рис. 5. Эквивалентпость
движения по эпициклу и ио
эксцентру
,3) Учитывая, что драконический месяц короче
аномалистического, Птолемей рассматривает и случай EL < AG, показывая,
что тогда центр эксцентра Н будет описывать малый круг вокруг
точки Db
27

треугольника DRL, в котором радиус деферента DK
считается известным и равным 60 частям (так Птолемей
называл линейные единицы в своих построениях), сокращенно
60р, угол AKL служит аргументом. Если мы будем знать
радиус эпицикла KL, нетрудно по углу AKL определить и
интересующий нас угол KDL,
т. е. первое неравенство.
Итак, задача сводится к
определению радиуса
эпицикла, точнее его отношения к
радиусу деферентам~^ту
задачу Птолемей решил
методом трех затмений»,
предложенным еще Гиппархом.
Метод этот состоит в следующем.
Выберем три лунных
затмения так, чтобы интервалы
между двумя ближайшими
затмениями в тройке
составляли от полугода до полутора
лет14). Эти интервалы,
очевидно, содержат целое число синодических месяцев
(лунные затмения происходят только в полнолуние), а за один
синодический месяц Луна, как мы знаем, проходит больше
одного оборота как относительно звезд, так и
относительно апогея своей орбиты. Поэтому положения Лупы в
моменты затмений на эпицикле будут в различных его
точках (в схеме Птолемея Луна совершает полный оборот по
эпициклу за один аномалистический месяц).
Зная точные моменты затмений и интервалы между
ними, можно вычислить дуги эпицикла между этими
точками. Но как найти положение первой точки? Птолемей
поступил следующим образом. Он вычислил разность
долгот Солнца во время затмений (по составленным им же
таблицам Солнца). Очевидно, что разности долгот Луны,
находящейся в момент середины лунного затмения точно
напротив Солнца, должны иметь точно такие же
значения, что и разности долгот Солнца. Но по таблицам
среднего движения Луны получались несколько иные
значения долгот. Разности между средними и истинными долго-
Рис. 6. Определение
отношения радиусов эпицикла п
деферента (по Птолемею)
14) Минимальный интервал между двумя последовательными
лунными затмениями составляет 176 суток, максимальный —
680 суток.
23

та ми Луны и следовало отнести за счет первого
неравенства.
Искусно применяя некоторые геометрические теоремы,
доказанные в свое время замечательным математиком
древности Евклидом (IV век до н. э.), Птолемей
определил положение апогея Луны относительно трех точек на
опицикле, в которых находилась Луна в моменты
затмений, и нашел искомое отношение радиусов эпицикла и
деферента.
Для решения этой задачи Птолемей выбрал две
тройки лунных затмений: одну, наблюдавшуюся
вавилонскими астрономами в VIII веке до н. э. (вот где пригодились
наблюдения астрономов древнего Вавилона!), и другую,
но своим собственным наблюдениям. Данные об этих
затмениях, использованные и вычисленные Птолемеем,
приведены в табл. 2.
Птолемей использовал в своих расчетах шестидесяте-
ричную систему дробей. Эта система известна и
применяется у нас для единиц времени и угла (дуги). Мы привыкли
Таблица 2
Две тройки лунных затмений, использованных Птолемеем
Дата
-720 III 10/20
—719 III 8/9
—719 IX 1/2
133 V 6/7
134 X 20/21
136 III 5/6
Интервал в сутках,
часах, минутах
354 02 34
176 20 12
531 23 38
502 05 30
Разность долгот
истинных
349° 15'
169 30
161 55
138 55
средних
345° 51'
170 07
169 37
137 34
Первое
неравенство
+3° 24'
-0 37
-7 42
+121
к тому, что минута — 1/60 доля часа, а секунда — 1/60
доля минуты. Точно так же минута дуги это 1/60 часть
градуса, а секунда дуги — 1/60 минуты. Число градусов
в окружности — 360, это составляет 6 X 60. Но во времена
Птолемея все дроби выражались в шестидесятеричнод
системе, и обозначали их, например, так:
5; 13, 45, 24, 35, ...,'
что означает: 5 целых, 13 шестидесятых, 45 долей (1/60)2,
24 доли (1/60)3, 35 долей (1/60)/ и т. д.
29

Птолемей не знал современной тригопометрии. Вместо
известных нам шести тригонометрических функций он
использовал одну, так называемую хорду, равную
отношению длины хорды, стягивающей данный центральный
угол, к радиусу. Как нетрудно сообразить, эта функция
выражается через синус так:
Chorda = 2sin-£,
Определения размеров эпицикла по обеим тройкам
затмений дали весьма близкие результаты: в единицах,
в которых радиус деферента равен 60р, радиус эпицикла
получился 5;13р и 5; 14р соответственно. Однако потом
Птолемей округлил эти значения до 5; 15 (51Л).
Наибольшее значение первого неравенства получается теперь
по формуле sin a = r/R (г, R — радиусы эпицикла и
деферента). Опо равно 5°01' (правильное значение 4°57')15).
С помощью своей геометрии и тригонометрии хорд
Птолемей составил таблицу первого неравенства для всех
значений аномалий.
Используя то обстоятельство, что между двумя
средними затмениями в каждой тройке протекло 854 года,
Птолемей уточнил длину аномалистического месяца*
Поправка к среднему суточному движению Луны по
аномалии, полученному Гиппархом из его циклов, составила
всего 1/300 секунды дуги в сутки. Затем по двум
затмениям Луны, наблюдавшимся при одинаковых положениях
ее относительно узла в —490 г. и в 125 г., т. е. с
интервалом в 615 лет, Птолемей уточнил длительность дракони-
ческого месяца. Поправка в этом случае оказалась еще
меньше.
Построенная Птолемеем приближенная теория
видимого движения Луны, изложенная в IV книге
«Альмагеста», хорошо представляла наблюдения в сизигиях
(в новолуниях и полнолуниях), но для других положений
Луны требовала уточнений. Это понимал еще Гиппарх,
который незадолго до смерти выполнил с помощью
угломерного прибора типа астролябии несколько наблюдений
положений Луны па небе. Три из них использовал Птоле-»
мей. Из этих и своих собственных наблюдений он нашел,
что в квадратурах, когда Луна отстоит от Солнца на 90 °
,5) Приведенное в табл. 2 значение 742' не противоречит
величине наибольшего неравенства в 5°01', так как в табл. 2
приведены разности двух его значений, могущие достигать, как
нетрудно сообразить, 10°02'в
30

Рис. 7. Построение
Птолемея для
определения первого
неравенства
и видна в фазе первой или последней четверти, амплитуда
первого неравенства возрастает до 7°40'.
Геометрически Птолемей представил это следующим
образом (рис. 7). Центр эпицикла движется по
окружности, эксцентричной относительно Земли Г,— по эксцентру
с центром в О. Поскольку обе сизигии и обе квадратуры
равноправны, Птолемей их
совмещает попарно, так что сизигии
приходятся на апогей эксцентра, а
квадратуры—на его перигей (рис. 7). Эта
операция равносильна удвоению дуг
на эксцентре, что компенсируется
удвоением скорости движения по
нему центра эпицикла. Таким
образом, угол АТО\ между осью апсид
эксцентра АР и направлением на
центр эпицикла ТО\ равен 2D, где
D —- элонгация Луны от Солнца.
В сизигиях D = 0° или D = 180°,
а значит, 2D = 0° и точка 0\
совпадает с апогеем эксцентра А. В квадратурах D = 90°,
2D — 180° и 0\ совпадает с перигеем эксцентра Р.
Из соотношения амплитуд первого неравенства в апо*
гее и перигее эксцентра Птолемей получил значение
эксцентриситета ОТ. Поскольку радиус эпицикла известен
из расчетов первого неравенства (в долях расстояния ТА,
принятого за 60р), нетрудно по величине этого радиуса,
равной 5; 15р, и по углу 7°40/, под которым виден
эпицикл из Г, когда его центр совпадает с Р, найти
расстояние ТРУ диаметр эксцентра РЛ, его радиус О А и
относительный эксцентриситет е = ОТ/ОА. Птолемей получил
О77=10;19р, е = 0,20765, относительный радиус эпицикла
(в долях радиуса эксцентра) г = 0,10567.
Эта усложненная теория хорошо представляла
наблюдения древних астрономов и в сизигиях, и в квадратурах.
Но наблюдения в промежуточных положениях давали
заметные отклонения. Чтобы избежать их, Птолемей ввел
в свою теорию еще одно усложпение.
Именно, за начало отсчета обращения Луны по
эпициклу Птолемей принял средний апогей эпицикла,
лежащий на прямой, пересекающей ось апсид эксцентра не в
Т (где находится Земля) и не в его центре О, а в
некоторой точке /V, отстоящей от Т на расстояние NT = TO
(рис. 8). Наряду со средним апогеем и противоположным
ему перигеем Птолемей рассматривает также истинные
ol

апогей и перигей эпицикла, лежащие на прямой ТО\ и ее
продолжении. Угол z~ aO[dc называется у Птолемея
«неравенством апогея»16). Птолемей показал, что этот угол
может измепяться в пределах от 0° (в сизигиях и
квадратурах) до максимального значения 13°09/ при 2D — 1140*
Введение в теорию точки N (точки эквапта), средних
апогея и перигея и неравенства апогея означало, в
сущности говоря, отказ от принципа равномерных круговых
движений. Движение центра
эпицикла по эксцентру
происходило неравномерно, по так, что
из точки N оно казалось
равномерным. За этот отход
Птолемея от принципа равномерного
движения его критиковали
многие ученые арабского Востока,
а в дальнейшем — Коперник.
Тем не менее теория
Птолемея позволила ему составить
Рис. 8. Введение точки эк- таблицу всех лунных нера-
ванта {N) велств, позволявшую найти для
любого момента времени
долготу, широту, аномалию и элонгацию Луны от Солнца.
Взглянем теперь на эту теорию с современной точки
зрения. Вся сложная па первый взгляд кинематика
движения Луны по Птолемею может быть описана, как
указывает Н. И. Идельсои, тремя следующими формулами
элементарной математики:
р « е cos 2D + П — е2 sin2 2D,
rr sin 2D
tga-_L- , tgE
1 + -г- cos 2D
Здесь p — переменный радиус-вектор эпицикла 0\Т,
I — средняя аномалия Луны (угол pmO\L)% Е — общее
неравенство долготы, которое нужно прибавить к средней
долготе, растущей пропорционально времени.
Формулы для z и Е (известные астрономам по теории
параллакса светил) допускают удобные разложения в ря-
|б) Еще один пример различия в терминологии во времена
Птолемея и в наши дни. «Неравенством» тогда можно было
называть угол, характеризующий неравномерность движения. Со
времен Ньютона этот термин уступает место термину «возмущение».
sin (I + z)
1 — — cos (I + z)
33

ды. Для Е получаем следующее выражение:
Е « г' sin I + r'e sin (2D - /) + V2 sin 21 + , ♦.,
где
r/«r(l + 3/4Z2)\
Подставляя в эти формулы г —0,10567 и е« 0,20765
по Птолемею и переводя углы из радианов в градусы,
получим такое выражение для Е:
Е - 6e15' sin I + П8' sin {2D - Z) + 19' sin 21.
«К этой короткой формуле и сводится вся древняя
теория Луны в отношепии ее долготы,— пишет Н. И. Идель-
соя,— но эта теория оказывается великолепной, так как
современное разложение для Е — сохраняя в нем,
разумеется, только члены с теми же аргументами — гласит:
Е - 6° 17,3' sin I + Iе 16,4х sin (2Z? - J) + 13' sin 21.
Согласие пастолько замечательное, что его можно в
известной мере считать делом случая»17).
С оценкой Н. И. Идельсона нельзя не согласиться.
Ведь кинематика, построенная Птолемеем для обьяснения
второго лунного неравенства, ниоткуда не вытекала, она
была построена скорее всего в результате ряда проб, о
которых Птолемей, правда, ничего не сообщает, но без
которых он вряд ли смог бы обойтись. Вскоре мы увидим, что
можно было использовать совсем иную кинематику.
Кинематический смысл теории Птолемея заключался
в следующем. Первое неравенство движения Луны
(учитываемое введением эпицикла) имеет амплитуду,
достигающую 5*01' в сизигиях и 7°40' в квадратурах. Но в
обоих случаях оно изменяется как функция аргумепта
I —средней аномалии Лупы. На него накладывается
второе неравенство, зависящее от элонгации D и средней
аномалии J, полная амплитуда изменения которого как
раз и равна разности амплитуд первого неравенства в
квадратурах и сизигиях, т. е. 7°40'—5°0Г — 2°39\
Полуамплитуда второго неравенства равна 1°19,5' (это и есть
коэффициент при втором члене в формуле Птолемея).
Прибавляя его к углу 5°01' (или вычитая из 7°40'),
получаем 6°20,5'-~ коэффициент при первом члене той же1
формулы. Оба коэффициента примерно на 1% больше
17) Оговоримся еще раз, что Птолемей не употреблял
тригонометрических формул. В его геометрических построениях первые
две амплитуды слегка отличаются от приведенных здесь (па 1 %)•
3 J3. А. Бронштэн
зз

тех, что получаются из формул теории параллакса
при подстановке в них значений г и е, полученных
Птолемеем. Это несоответствие связано, по-видимому, с
неточностью его вычислений. Действительные значения
амплитуд первого неравенства в сизигиях и квадратурах
равны соответственно 4°57/ и 7°33', а полуамплитуда
второго неравенства—1° 18'.
Формулу для Е можно преобразовать еще таким
образом:
Е«4°57'sinI + 2°36'sinDcos (D-I) + 19' sin 21.
Здесь за основу принимается первое неравенство в
сизигиях, а во втором члене фигурирует полная
амплитуда второго неравенства.
Рассмотрим теперь физический смысл этих
неравенств. Первый член в выражении для Е получил
название главного эллиптического неравенства, иди цравнения
центра. Период его аргумента — средней аноталии I —
равен среднему аномалистическому месяцу (27,55 суток).
Он, как и третий член, связан с эллиптичностью лунной
орбиты.
Второй член с аргументом 2D.,— I был впервые найден
яг введен в лунную теорию Клавдием Птолемеем. Сам
Птолемей называл его «покачиванием» лунпого апогея.
Спустя полторы тысячи лет, в 1634 г., французский астроном
И. Бульо (1605—1694), более известный под
латинизированным именем Буллиальд, предложил для этого
неравенства название эвекция, которое и стало с тех пор
общепринятым (это слово собственно и означает
«покачивание»).
Физический смысл эвекции связан, как нетрудно
понять, с воздействием на Луну со стороны Солнца,
поскольку в аргумент эвекции входит угол элонгации Луны от
Солнца. Эвекция состоит в периодическом изменении
формы лунной орбиты (рис. 9). Ее эксцентриситет
"возрастает, когда линия апсид направлена па Солнце, и
уменьшается, когда она составляет с ним прямой угол. Период
эвекции равен, как нетрудно подсчитать, 31,81 средних
солнечных суток 18). В 1903 г. русский астроном П. П.
Долгоруков (о котором речь будет впереди) предложил
назвать этот период «птолемеевым месяцем», по это предло-
18) Период эвекции Те подсчитыватотся по формуле: 1/Те ==■
= 2/Г, — 1/Та, где Тв1 Та — длительности синодического и
аномалистического месяцев,
34

жение прошло незамеченным (лишь спустя 40 лет о нем
напомнил Н. И. Идельсон).
Период изменения эксцентриситета лунной орбиты в
результате эвекции — это интервал времени между двумя
Орбита
ш ж
Апозеи\*уГ
Земля \
/а
_\ Периеей
^ Солнце
3
к
Апоеей
Лериъщ
Апогей
Перигеи
/
Рис. 9. Изменение эксцентриситета лунной орбиты под действием
солнечных возмущений (эвекция)
положениями лунной орбиты, когда линия апсид
направлена на Солнце (рис. 9). Этот период Тее равен 205,9 су<
юк и вычисляется по формуле:
J^^ J/J i\
где Т — длина года, Тп — период оборота линии апсид
(3232,6 суток).
Открытие эвекции Птолемеем получило весьма
высокую оценку астрономов нового времени. Французский
астроном и историк науки Ж. Деламбр (1749—1822) в
своей шеститомной истории астрономии отмечает, что
одного этого открытия было бы достаточно, чтобы поставить
Птолемея в первые ряды астрономов. Один из создателей
современной небесной механики И. С. Лаплас (1749—,
1827) отметил громадный вычислительный труд Птолемея
при составлении таблицы лунных неравенств, хотя итог
этого труда — сама таблица — занимает всего одну
страницу.
Положения Луны на небе, определяемые ее эклипти-
кальными координатами — долготой и широтой по
таблицам Птолемея, отличались от истинных не более чем на
20—30' (табл, 3), Сравнение долгот и широт Луны пб
3*
35

теории Птолемея и по современной теории для
нескольких моментов от —600 до 200 г. выполнил американский
астроном Б. Тукерман. Эти данные приведены в табл. 3
на 16 ч всемирного времени. Даты приведены по совре-
Таблица 3
Сравнение долгот и широт Луны по теории Птолемея
и современной теории
Дата
Соврем.
—600 янв. 7
—400 май 17
—200 сент. 4
—50 дек. 26
50 аир. 20
200 авг. 10
Птолемей
147 месори 23
348 мехир 18
548 эпифи 28
699 хойак 23
797 пахон 13
948 паофи 8
Дата
Соврем. Птолемей
—600 янв. 7
—400 май 17
—200 сент. 4
—50 дек. 26
50 апр. 20
200 авг. 10
147 месори 23
348 мехир 18
548 эпифи 28
699 хойак 23
797 пахон 13
948 паофи 8
Птолемей
174°22'
332 37
240 42
33 35
150 02
293 07
Долгота
Соврем»
172°18'
331 24
240 30
33 18
149 42
293 54
Разность
+2°04'
+1 13
+0 12
+0 17
+0 20
-0 47
Широта
Птолемей
+0°10'
—4 46
+4 51
—4 53
+4 30
—4 46
Соврем.
0°00'
—5 00
+5 06
—5 06
+4 48
-4 54
Разность
+0°10'
+0 14
—0 15
+0 13
-0 18
+0 08
менному летосчислению и по приводимому у Птолемея
(годы эры Набоиассара, месяцы — египетские).
Мы видим, что долготы Луны по Птолемею для давних
эпох систематически отклоняются от истинных, так что
к —600 году разность доходит до двух 1радусов. В
интервале II в. до н. э.— I в. н. э. разности не превышают 20',
но к концу II в. н. э. вновь растут, доходя до 47' в 200 г.
Разности по широте за весь период не превышают 18'.
Любопытно, что все выбранные Б. Тукерманом даты
близки к моментам квадратур. Для сизигий теория Птолемея
давала лучшее согласие. Так, моменты новолуний и
полнолуний в том же интервале эпох отличаются от
истинных в 9 случаях из 10 не более чем на полчаса, и лишь
в одном случае разница достигает целого часа.
Напомним, что Луна за час перемещается по небу в среднем на
полградуса (точнее, на 33').
Теория движения Луны, развитая Птолемеем, давала
возможность определять лишь ее видимое положение на
38

небе — долготу и широту. Изменение расстояния Луны от
Земли эта теория представить не могла. Более того, она
приводила к серьезным противоречиям с наблюдениями.
В самом деле, согласно этой теории, наибольшее
расстояние Луны от Земли в единицах радиуса эксцептра ОА
составляло 1+0,208 + 0,106 = 1,31, а наименьшее—1 —
— 0,208 — 0,106 = 0,69. Их отношение равнялось 1,9, тогда
как действительное отношение иаиболыпего расстояния от
Луны к наименьшему составляет 1,14. Даже из
наблюдений невооруженным глазом ясно, что видимый угловой
диаметр Луны меняется в очень малых пределах (не
более чем на 14%), а никак не вдвое, как следовало из
теории Птолемея.
Птолемей рассчитал, что среднее расстояние от Земли
до Луны в сизигиях равно 59 земным радиусам, а
крайние его значения — Г>4 и 64 радиуса. В действительности
среднее расстояние до Луны составляет 60 земных
радиусов, а крайние значения — Г>6 и 64 радиуса.
Но для квадратур, по Птолемею, средпее расстояние
равно 39 радиусам Земли, а крайние его значения — от
34 до 44 радиусов. Почему Луна в квадратурах не выгля*
дит значительно больше, чем в полнолуние, Птолемей не
объясняет и вообще замалчивает это несоответствие.
Теория видимого движения Луны по небу, созданная
Птолемеем, служила человечеству полтора тысячелетия.
Па основе составленных пм таблиц вычислялись даты и
моменты солнечных и лунных затмений. Лишь в XVI в.
астрономы начали вносить усовершенствования и даже
серьезные изменения в эту теорию. Об их работах мы
расскажем в следующей главе.

Глава II
ОТ ЭПИЦИКЛОВ - К ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЕ
Остановивший Солнце и сдвинувший Землю
«Остановись, Солнце!»—такие громкие слова
приписывает библейская легенда иудейскому полководцу
Иисусу Навину, которому было необходимо продлить день,
чтобы победно завершить сражение.
Мы готовы допустить, что такой полководец
действительно существовал, хотя прямых исторических
доказательств этому нет. Ничего невозможного нет и в том, что
он в пылу сражения выкликнул такие слова — очень уж
ему нужен был дневной свет, чтобы довершить разгром
противника. Вот только Солнце послушаться его не могло:
ведь видимое движение Солнца по небу происходит от
вращения Земли вокруг оси, которое ни Иисус Навин, нп
даже современная наука и техника остановить (или д£же
чуточку замедлить) не способны.
Когда мы говорим, что великий польский ученый
Николай Коперник (1473—1543) «остановил» Солнце, мы
имеем в виду совсем другое — Коперник доказал, что
Солнце вовсе не обращается вокруг Земли, а наоборот,
Земля и все планеты обращаются вокруг Солнца.
С точки зрения математической переход от
геоцентрической сис/темы мира к гелиоцентрической не представлял
особых трудностей. Перенос «начала отсчета», как мы
теперь говорим, с Земли на Солнце, замена
геоцентрической орбиты Солнца на точно такую же
гелиоцентрическую орбиту Земли, упрощение систем кругов, по которым
движутся планеты (отпало по одному эпициклу,
«изображавшему» движение Земли вокруг Солнца),—все это бьь
ло нетрудно для такого искусного математика, как Ко-
нерник.
Гораздо труднее было другое. Опрокинуть
геоцентрическую систему, утвердившуюся за 20 веков, подкреплен-*
ную авторитетами Аристотеля и Птолемея, освященную
еще более высоким авторитетом христианской церкви,—
на такое дело мог решиться не каждый. Для этого нужно
было быть настоящим титаном в науке, Как известно,
33

b древнегреческой мифологии титаны не раз восставали
против богов. Одним из титанов был знаменитый
Прометей. И не случайно Энгельс сравнивает Коперника, Бруно,
Галилея, Кеплера именно с титанами.
Впрочем, даже Коперник долго колебался, издавать
свой труд или нет. Не потому, что он сомневался в своей
правоте — Коперник еще с самого начала XVI века был
убежденным гелиоцентристом. Но он прекрасно понимал,
каковы могут быть последствия издания его труда, не
только положительные, но и отрицательные. Будучи
близок к церковным кругам, он хорошо знал, на что
способна католическая церковь.
Труд Коперника назывался по латыни «De Revolutio-
nibus orbium caelestum», что обычно переводят как «Об
обращениях небесных кругов», хотя существуют
различные варианты перевода. Но замечательно, что глагол revo-
lutio, означающий в данном случае обращение, движение
по кругу, вскоре стал основой другого понятия — револю*
ция, переворот в государственном строе или в науке,
в технике. И да позволено нам будет, пусть с некоторым
нарушением правил филологии, дать этому названию
труда Коперника еще следующий иносказательный перевод:
«О революции в небесных орбитах»19). Ведь Коперник
только начал эту революцию. Пройдет 66 лет, и Иоганн
Кеплер докажет, что орбиты небесных тел —вовсе не
окружности, а эллипсы. И слово «орбита», первоначально
непременно означавшее окружность, круг, приобретет
новое, более широкое значение как траектория движения
небесного тела вообще.
А что же Луна? В системе Коперника Луна, как и в
системе Птолемея, обращалась вокруг Земли. И все же в
положении Луны произошло изменение. Раньше она
считалась одной из планет, которые (правда, по-разному)
обращались вокруг Земли. Теперь, в гелиоцентрической
системе Коперника, Луна приобрела новое качество: она
стала спутником одной из планет, а именно, Земли.
До открытия Галилеем следующих спутников в
Солнечной системе — спутников Юпитера — должно было пройти
*оже 66 лет. Ведь Галилей открыл их в 1609 году, в тот
&е год, когда Кеплер сформулировал в своей «Новой
19) Правильнее было бы «О революциях...». Кому так больше
нравится, те могут использовать эту форму, тем более что
революционного изменений было песколько,
39

астропомии» первые два закопа планетных движении,
получившие затем его имя.
Итак, менять что-либо в принципе в луппой теории
Июломея Коперник не стал. Но ему не давало покоя
несоответствие между расстояниями от Земли до Луны по
тгории Птолемея в эпохи квадратур и данными
наблюдений, свидетельствующими об отсутствии заметного
различия диаметров Лупы в сизигиях и квадратурах.
И великий польский ученый нашел другое решение
задачи о движении Луны, хотя и основанное по-прежнему
па концепции равномерных круговых движений. Он убрал
оксцеитр, поместил Землю в центре деферента, но добавил
второй эпицикл, центр которого движется по первому
эпициклу20).
В схеме Коперника (рпс. 10) центр первого эпицикла
А движется по деференту ВВ в прямом направлении с
равномерной: скоростью,
соответствующей
среднему движению Луны по
аномалии. Началом счета
угла аномалии при
центре эпицикла А является
его перигей р\. По
второму эпициклу в прямом
направлении движется
точка L, изображающая
Рис. 10. Эпп-эпицикл Коперника Луну. Ее угловая скорость
равна удвоенной скорости
движения Лупы по элонгации ее от Солнца, так что угол
OAL всегда равен 2D. В сизигиях точка L проходит через
точку /?2, лежащую на прямой О А, а в квадратурах —
через противоположную ей точку а*. Таким образом,
в течение синодического месяца Луна дважды обходит
второй эпицикл.
Коперник определил из наблюдений лунных затмений
радиусы обоих эпициклов в долях радиуса деферента и
нашел г\ «0,1097, гг = 0,0237. Разложение в ряд
выражения для общего неравенства Луны по долготе в этой
схеме дает
Е = 6°17' sin I + Г2Г sin {2D - l)+ 21' sin 2Z, '
т. е. согласие с современными значениями коэффициентов
(см. с. 33) оказывается не хуже, чем у Птолемея. Зато
2U) Коперник назвал второй эпицикл эпи-эпициклом,
40

паиболынее и наименьшее расстояния до Луны в этой
схеме составляют (в тех же единицах) 1,13 и 0,87
соответственно, а их отношение —1,30, что гораздо ближе к
реальному значению (1,14), чем птолемеево отношение 1,9.
Мы видим теперь, что схема Птолемея, изображавшая
движение Луны с привлечением эксцентра и точки экван-
та, была искусственной и во многом уступала схеме
Коперника. К тому же в схеме Коперника нет двух иеригеев
и апогеев (среднего и истинного), нет неравномерных
движений (у Птолемея центр эпицикла движется по эксцепт-
ру неравномерно), нет «качания» перигея эпицикла.
Такую схему вполне мог бы придумать и сам Птолемей.
Мог —но не придумал21).
Однако дело вовсе не в том, какая из моделей с
эпициклами лучше, а какая хуже. Уже сам факт наличия
двух разных эпициклических моделей, одинаково хорошо
представляющих видимые движения Луны, говорит об их
несостоятельности. А ведь, вероятно, можно было бы при-»
думать и третью, и четвертую модель. Так, индийские
астрономы V века и позднее применяли модель с
переменным радиусом эпицикла.
Как мы видели, формула для общего неравенства дол-i
готы представляет собой сумму периодических члепов,
выражаемых синусами или косинусами некоторых углов.
Каждый из этих членов можно представить отдельным
эпициклом с соответствующим радиусом и периодом.
Введя большое число таких эпициклов, можно в принципе
добиться довольно хорошего согласия теоретических
видимых положений Луны на небе с наблюденными22). Но если
мы хотим таким путем добиться представления
пространственного движения Луны, то вряд ли мы добьемся
успеха. Мы уже говорили, что у Птолемея наибольшие
расстояния до Луны всегда приходились на сизигии (так была
построена его схема). У Коперника, напротив,
наибольшие расстояния до Луны достигались в квадратурах. Но пи
21) Система с двумя эпициклами была примеиена почти за
тысячу лет до Коперника астрономами Индии. В XIII в. к ней не-
зависимо пришел известный азербайджанский астроном Насирэд-
дин Туей (Насир ад-Дин ат-Туси, 1201—1274). Эвекция была пе-г
зависимо открыта в Индии в 932 г. Муньджалой, а вариация —
в 1639 г. Нитьянандой.
22) Этот процесс эквивалентен разложению возмущенного
движения Луны в ряд Фурье. Но для долготы, широты и
радиуса-вектора Луны потребовались бы равные ряды, что и имеет место в
современных теориях,
41

то, ни другое невозможно, потому что аномалистический
месяц на двое суток короче синодического. Это значит, что
если когда-нибудь прохождение Луны через апогей совпа-»
дет с новолунием, то спустя месяц оно наступит на два дня
раньше, спустя два месяца — на четыре дня раньше, и т. д«
На основе теории Коперника его последователь Эразм
Рейнгольд (1511 — 1553) составил таблицы положений
планет и Луны, которые были изданы в 1551 г. на сред-»
ства герцога Альберта Прусского, отчего они и получили
название Прусских таблиц. Эти таблицы заменили
составленные за 300 лет до того на основе теории Птолемея
Альфонсинские таблицы (названы так по имени короля
Кастилии Альфонса X, который поручил астрономам их
составление и оплатил расходы). Три четверти века спу*
стя Прусские таблицы уступили место Рудольфинским
таблицам, составленным в 1627 г. Кеплером по его тео«
рии и посвященным его прежнему покровителю —- ав-*
Стрийскому императору Рудольфу. К этому времени
Прусские таблицы давали ошибки в положениях планет
до 4—5%
Феникс астрономии
Такое прозвание дал замечательный теоретик и вычис-*
литель Иоганн Кеплер (1571—1630) не менее замечатель*
ному астроному-наблюдателю Тихо Браге (1546—1601),
Датчанин родом, он более двадцати лет провел за
наблюдениями небесных светил на специально для этого соору-
женной обсерватории на острове Вэн в Зундском проливе,
в 20 км северо-восточнее Копенгагена. Эта обсерватория
получила название Ураниборг (город Урании — музы
астрономии). Здесь Тихо Браге работал с 1576по 1597 гг.,
когда «по милости» датского короля он оказался
изгнанником и после двух лет скитаний продолжил свою науч*
ную деятельность в Праге.
С помощью сооруженных по его проектам угломерных
инструментов Тихо Браге улучшил точность позиционных
наблюдений в 10—20 раз по сравнению с той точностью,
которая была достигнута Коперником и другими
наблюдателями того времени. В частности, точность
определения положений Луны была доведена до =fc 0,5'. Не
следует забывать, что все наблюдения светил велись
невооруженным глазом, до изобретения телескопа оставалось еще
около 30 лет, а угломерные инструменты обеспечивали
43

лить точную наводку на таетило и отсчёт его небесных
координат.
По прибытии в Прагу Тихо Браге поручил одному из
своих учеников, Кристиану Лонгбергу, более известному
под латинизированной фамилией Лонгомонтан (1562—
1647), обработать 20-летний ряд своих наблюдений Луны.
Анализируя полученные в ходе обработки результаты,
Тихо Браге обнаружил, что в точках, отстоящих от сизи-
]ий и квадратур на 45°, в так называемых октантах,
проявляется еще одно неравенство в долготе Луны,
достигающее 40'. Тихо Браге с присущей ему интуицией ввел
ого непосредственно в формулу для Е в виде члена
40,5' sin 2D.
Очевидно, что как в сизигиях, так и в квадратурах
этот член обращается в нуль, так как в этих точках 2D «
= 0° или 2D =» 180°. Напротив, в октантах 2D = 90е или
270° и sin 2D « ± 1.
Новое неравенство получило название вариации.
Тихо Браге ошибся в определении его коэффициента
лишь на 1': его современное значение равно 39,5'.
Оставим на время Тихо Браге и расскажем об одном
эпизоде в истории астрономии, характерном для тех
проблем, которые порой возникают в этой области знания.
В середине 30-х годов XIX в. известный французский
историк астрономии и математики Л. А. Седийо (1808—
1875), сын не менее известного востоковеда и астронома
Ж. Ж. Седийо (1777—1832), выступил с сообщением, что
вариация была открыта еще в X в. багдадским
астрономом Абу-ль-Вафой.
Абу-ль-Вафа Мухаммад аль-Бузджани (940—998)* —
автор «Книги Альмагеста» (обработки «Альмагеста»
Птолемея с критикой и ревизией многих его положений) и
«Объемлющего Зиджа» (зиджами назывались на Востоке
сборники астрономических таблиц с комментариями к
ним). Излагая теорию видимого движения Луны по
Птолемею, Абу-ль-Вафа пишет, что за вычетом уравнения
центра (главного эллиптического члена) и эвекции
остается еще одно неравенство, неощутимое в эпохи сизигий и
квадратур, но весьма заметное в промежуточные эпохи.
Л. А. Седийо считал, что Абу-ль-Вафа обнаружил, таким
образом, вариацию — за 600 лет до Тихо Браге. В пользу
этого предположения говорило и указанное Абу-ль-Вафой
максимальное значение «третьего неравенства» — 45' (Абу-
ль-Вафа записывает это число так: ]k + Ча градуса). Это
близко к значению 40', найденному Тихо Браге,
43

Сообщение Седийо наделало немало шума во
Французской академии наук. С возражениями против точки
зрения Седийо выступил известный физик, астроном и
историк наук Ж.-Б. Био (1774— 1862). Прежде всего он
высказал сомнение в подлинности документа с текстом
багдадского астронома. А не была ли копия с него
«подправлена» уже после открытия вариации Тихо Браге? Седийо
отклонил это подозрение — рукопись Абу-ль-Вафы ранее
принадлежала Шахруху, отцу Улугбека и сыну Тимура,
жившему в XIV —XV в., о чем ясно свидетельствует
хорошо известная всем востоковедам печать Шахруха.
Рукопись была приобретена по приказу Кольбера, министра
Людовика XIV, во второй половине XVII в.
Второе замечание Био было существеннее. Почему,
спрашивал он, пи один арабский ученый, работавший
после Абу-ль-Вафы, не упоминает о таком, казалось бы,
важном открытии, как обнаружение третьего неравенства в
движении Луны? Да и сам Абу-ль-Вафа никак не
выделяет этот факт. Правда, описывая третье неравенство, он
пишет «мы нашли», но точно так же он описывает и два
первых (уравнение центра и эвекцию).
Сам Седийо, приведя арабский текст из сочинения
багдадского автора и давая затем его французский перевод,
правильно называет те точки, в которых третье
неравенство достигает максимальных значений. Вот как выглядит
это место текста Абу-ль-Вафы:
«После того как мы нашли два неравенства 23) и
эксцентриситет, узнали расстояние центра эксцеитра от
центра зодиака24), мы нашли еще третье неравенство,
имеющее место, когда центр эпицикла находится между
апогеем и перигеем эксцентра и достигающее максимума,
когда Луна находится приблизительно в трети (trine)
и в шестой (sextile) с Солнцем25), но не имеющее места,
что мы отметили, ни в соединениях и противостояниях,
ни в квадратурах». (Максимальная величина третьего
неравенства указывается дальше.)
Но, правильно переведя смысл арабских слов татилит
и тасдис, означающих треть и шестую окружности, Седийо
вдруг начал утверждать, что Абу-ль-Вафа, говоря об этих
точках, имел в виду октанты, где, как мы знаем,
вариация достигает наибольших значений.
) Уравнение центра и эвекцию.
) Т. е. от центра эклиптики, или от Земли.
) Иначе говоря, на угловых расстояниях от Солнца 120е и 00°,
44

Французские арабисты указали Седийо, что никто из
арабских астрономов не употреблял термина «октанты»,
что такого слова в арабском языке просто нет. Астрономы
сделали тщательный анализ текста Абу-ль-Вафы и
сравнили его с «Альмагестом» Птолемея. Вывод был роковым
для гипотезы Седийо: никакого принципиального
различия в описании лунных неравенств у Птолемея и Абу-ль-
Вафы нет. А то третье неравенство, о котором писал
багдадский астроном, это вторая часть эвекции, связанная
с отклонением линии апсид лунного эпицикла, которая
всегда должна быть направлена, согласно Птолемею, на
точку, отстоящую от центра эксцентра па то же
расстояние, что и Земля, по по другую сторону (ближе к перигею
эксцентра). Эту точку Птолемей называл просневзисом.
Лбу-ль-Вафа, приводя это слово по-гречески, переводит его
арабским словом мухазат (означающим буквальпо:
заметка, зарубка). Эффект проспевзиса, как показали расчеты
Кио, достигает максимального значения в 17,8' в точках,
отстоящих от Солнца на углы 90° ± 32°57,5/, т. е. на
122°57,5' и 57°02,5', что близко к 120 и 60°. Этот эффект
не имеет ничего общего с вариацией.
После смерти Био (1862 г.) дискуссия продолжалась,
потому что позицию Седийо поддержал французский
геометр, геодезист и историк науки М. Шаль (1793 —
1880). Ему возразил член Французской академии наук
Ж. Л. Ф. Бертран (1822 — 1900), весьма убедительно
показавший, что в рукописи Абу-ль-Вафы ничего нового по
сравнению с Птолемеем нет. И даже значение «третьего
неравенства» 45' фигурирует в «Альмагесте» как составная
часть эвекции.
Публикация труда Бертрана поставила точку на этой
дискуссии, продолжавшейся чуть меньше 40 лет. Помимо
уже названных ученых, в ней приняли участие
французские астрономы Ф. Араго, Г. Либри, К. Л. Матье,
востоковед С. Мунк и другие. Честь открытия вариации была
сохранена за Тихо Браге.
Тихо Браге обнаружил из своих наблюдений еще одно,
четвертое неравенство движения Луны — так называемое
годичное уравнение, которое он представил членом вида
— 4,5' sin V (Г — средняя аномалия Солнца, считаемая щ
«солнечного перигея»26). Здесь Тихо Браге ошибся в зна-
26) Не надо забывать, что Тихо Браге считал Солнце
обращающимся вокруг Земли. Планеты же в его системе мира обращались
вокруг Солнца,
45

чянии коэффициента более чем вдвое, поскольку
правильное значение его равно —11' 10", Но вскоре И. Кеплер
исправил эту ошибку.
Тихо Браге впервые установил, что паклон лунной
орбиты к эклиптике испытывает периодические колебания.
И Птолемей, и Коперник считали этот угол постоянным
и равным 5°. Кроме того, они знали, что линия узлов
лунной орбиты поворачивается вокруг Земли иавстречу
движению Луны с периодом в 6791 сутки. Впрочем, это
движение было известно еще Гиппарху.
Тихо Браге определил из анализа своих наблюдений,
что средний наклон лунной орбиты к эклиптике равен
5С8' и может изменяться от 4°58,5' до 5° 17,5', причем
наименьшее значение наклона достигается тогда, когда
узлы лунпой орбиты находятся в 90° от Солнца (узлы в
квадратурах), а наибольшее — когда направления на
Солнце и один из узлов совпадают (узлы в сизигиях). Период
этого колебания наклона равеп половине так называемого
драконического года, т. е. промежутка времени между
двумя прохождениями Солнца через один и тот же узел
лунной орбиты. Этот промежуток нетрудно подсчитать по
уже известной нам формуле:
J_ J i_
т р р х
где TD — дракопический год, PD, Pa — драконический и
синодический месяцы. Подставляя их значения,
приведенные на с. 22, находим TD — 346,62 сут. Половина этого
периода, или 173,31 сут, и есть период колебания наклопа
лунной орбиты.
Но открытия Тихо Браге на этом не копчились. Он
обнаружил, что и движение линии лунных узлов происходит
неравномерно, причем период измепения скорости
смещения узлов также равеп 173,31 сут. Оказалось, что узлы
уходят вперед от их средних положений между сизигией
и следующей квадратурой и отстают между квадратурой
и сизигией. Наибольшее зпачепие ухода или отставания
составляет 1°46'. В сизигиях и квадратурах эта величина
(разность долгот среднего и истинного узла) равна пулю.
Колебание наклона лунной орбиты сказывается на
широте Лупы, которая, согласно Тихо Браге, выражается
формулой
р = 5°8' sin и + 9,5' sin (и - 2Я')\
46

где (J — широта Луны (ее угловое расстояние от эклипти*
ки), и — ее угловое расстояние от восходящего узла (так
называемый аргумент широты), Z)'— угловое расстояние
Солнца от этого же узла.
Птолемей и Коперник вычисляли широту Лупы,
учитывая только первый член. Тихо Браге открыл, такий об*
разом, главное неравенство лунной широты, получившее
название эвекции по широте. Период этого неравенства
равен 32,36 сут, правильное значение амплитуды 10'42"g
Все эти неравенства, как уже говорилось, Тихо Браге
вывел из своих наблюдений. Естественно, он не мог дать
им какого-либо объяснения. Это сумел сделать лишь спуг
стя столетие Исаак Ньютон на основе теории тяготения,
начав новую главу в изучении движения Луны и другие
небесных тел.
Хорошо известно, что большую роль в открытии
закона всемирного тяготения сыграли законы движения пла,-
пет, открытые Кеплером. А что дали работы Кеплера для
уточнения движения Луны? Об этом мы сейчас и
расскажем.
Законы Кеплера и Луна
Деятельность Иоганна Кеплера на ниве, если можно
так выразиться, совершенствования лунной теории, четко
разделяется на два направления: уточнение лунных
неравенств и попытки применить к описанию движения Луны
законы планетных движений, открытые им в 1609—1624 гг.
Работая в первом направлении, Кеплер добился скром*
пых, но вполне ощутимых успехов. Вычисляя моменты
наступления солнечных и лунных затмений и сравнивая
свои вычисления с данными наблюдений, Кеплер заметил,
что солнечное затмение 7 марта 1598 г. и лунное
затмение 20 февраля того же года наступили на час с лишним
нозже, чем было указано в его календаре, а лунное
затмение 16 августа того же года — на столько же paifbine. Из
анализа этих расхождений Кеплер независимо от Тихо
Браге вывел годичное неравенство в движении Луны, прц*
чем коэффициент в его выражении у Кеплера получился
гораздо точнее, чем у Тихо,—11' (правильное значение
лишь на 10" больше).
После этого Кеплер на длительное время отошел цт
исследований движения Луны, посвятив себя целиком изу>
„ чению орбиты Марса, которое и привело его в 1609 г. Kt
открытию двух первых законов движений планет, носящих
47

его имя. Первый закон определял форму планетных ор-ч
бит —эллипс, в одном из фокусов которого находится!
Солнце. Второй закон — закон площадей — определял
скорость движения планеты по эллипсу в каждой его точке*
Он формулируется так: площади, описываемые радиусом-
вектором планеты за равные времена, равны между собой.
Если рассматривать труд Кеплера хронологически, то мы
узнаем, что второй закон Кеплер получил рапыпе первого.
Иначе говоря, он уже зиал, как изменяется скорость
движения планеты на орбите, форма которой была ему еще
неизвестна. Лишь потом законы Кеплера получили
принятию теперь нумерацию.
Мы еще вернемся к законам Кеплера в следующей
главе, причем приведем их точное математическое
выражение. Без этого нам трудно будет понять, как Исаак
Ньютон пришел к открытию закона всемирного тяготения,
легшего в основу построения динамической теории
движения Луны, планет и вообще всех небесных тел.
Выведя свои два закона из наблюдений планеты Марс
'(третий закон он вывел спустя 15 лет, в 1624 г.), Кеплер
не сомневался, что они нриложимы и к движению всех
других планет, а также их спутников. Ведь всего лишь
спустя год после открытия двух первых законов Кеплера
Галилео Галилей (1564—1642) с помощью изобретенного
им телескопа обнаружил четыре спутника Юпитера. Так
что Кеплеру были известны уже пять спутников планет:
четыре галилеевых спутника (это название закрепилось
га ними до наших дней) и... Луна.
Кеплер попытался применить свои законы к
движению Луны. Увы, здесь его успехи оказались более чем
скромными. Наблюдения Луны, выполненные за короткий
отрезок времени, неплохо представлялись эллипсом, но для
представления наблюдений за другие эпохи этот эллипс
уже не годился, надо было подбирать другой. Неравенства
движения Луны нельзя было объяснить открытыми им
законами, столь хорошо представлявшими движение пла-
пет. Уже два первых неравенства: главпый эллиптический
член (уравнение центра) и эвекция требовали для своего
объяснения предположения о переменности элементов
эллипса, в частности, его эксцентриситета и ориентации
линии апсид. Кеплер попытался разработать физическую
схему, которая объясняла бы все это, вводил даже
действие солнечных лучей. Единой схемы для объяснения
лунных неравенств Кеплер придумать не смог. Пытаясь
объяснить вариацию, он получил коэффициент 5 Г, на 27$
4»

больше, чем тот, что вывел из своих 20-летних
наблюдений Тихо Браге.
Задача, с которой не справился Кеплер, оказалась по
плечу лишь Исааку Ньютону спустя 80 лет после откры-
1ия первых законов движения планет. Не будем внпить
аа это Кеплера. Он ведь тоже сделал революционный шаг
в науке о Вселенной: отказался от принципа равномерных
движений по круговым орбитам, державшегося в науке
2000 лет. Кеплер построил кинематическую теорию
движений планет. Ньютону предстояло создать динамическую
теорию этих движений.

Глава III
ОТ КИНЕМАТИКИ К ДИНАМИКЕ
Закон всемирного тяготения
Существует весьма популярная легенда о том, что
когда юный Ньютон сидел в саду, с дерева упало
яблоко. Падение яблока на землю будто бы навело Ньютона
на мысль о существовании силы, управляющей
падением тел, что и привело его в конце концов к открытию
закона всемирного тяготения27).
Разумеется, это только легенда, хотя нет ничего
невозможного в том, что в юности Ньютон (как вероятно
и каждый из нас) видел, как с дерева падают спелые
яблоки. Свой закон он вывел вовсе не из факта падения
яблок или других тел, а из анализа движения планет,
Луны и из общих законов механики.
О том, что тела способны, по-видимому, притягивать
друг друга, сказано еще в «Альмагесте» Птолемея. Все
тела, говорится в «Альмагесте», стремятся к центру, и
поскольку они падают вертикально вниз на всех
широтах Земли, значит, она, Земля, и есть этот центр. И если
бы земная поверхность не преграждала путь падающим
телам, они падали бы дальше вниз, до самого центра
Земли. И хотя Птолемей приводит эти рассуждения для
доказательства центрального положения Земли во
Вселенной, в них содержится понятие о тяжести, о земном
притяжении, действующем на свободные тела.
Законы свободного падения тел на Земле были
выведены Галилео Галилеем из экспериментов» Они
известны каждому школьнику. Напомним их.
27) Эта легенда была пущена в обращение одним из друзей
Ньютона — У. Стакли, который уверял, что ему рассказал об этом
сам Ньютон. Но ученик Ньютона Т. Пембертон (редактор третьего
издания ньютоновых «Начал», 1726 г.) также с его слов утверждал,
будто Ньютон нарочно придумал эту легенду, чтобы отвечать на
расспросы любопытных об истории открытия закона тяготения,
Дальнейшим широким распространением эта легенда обязана
Вольтеру, много сделавшему для популяризации работ Ньютона,
50

Путь ' s, ' пройденный свободно падающим телом за
время t от начала падения, равен
где g — ускорение силы тяжести, или, как теперь
принято говорить, ускорепие свободпого падения. У
поверхности Земли на экваторе g = 981 см/с2. Эту величину
мы будем обозначать go.
Скорость v движения свободпо падающего тела в
конце промежутка времени t равна
v-gt.
Галилей попробовал подсчитать, исходя из формул
равноускоренного движения (т. е. полагая g^go***
«const), время, необходимое Луне, чтобы упасть па
Землю, если бы она перестала обращаться вокруг нее.
Выражая t через g и s и подставляя $ — 384 000 км и
в = £о, Галилей получил
, t - У2$/go = 8848 с = 2 ч 27 мин 28 с.
Итак, Луна, по Галилею, упала бы па Землю за два
с половипой часа. Разумеется, этот результат ошибочен.
Правильный расчет по формуле, с которой мы
познакомимся в дальнейшем, даст время падения 4 сут 20 ч,
или в 47 раз больше. Причина ошибки Галилея
состояла в том, что он не учел изменения ускорения
падающего тела с расстоянием от центра притяжения.
Галилей вообще отвергал притяжение других небесных тел.
Лот как он отнесся к правильной идее Кеплера о
воздействии Лупы па морские приливы: «Среди великих
людей, рассуждавших об этом поразительном явлении
лрироды, более других удивляет меня Кеплер, который,
обладая умом свободным и острым и будучи хорошо
а паком с движениями, приписываемыми Земле, допускал
особую власть Лупы над водой, сокровенные свойства
и тому подобные ребячества».
Что ж поделать? И великим ученым свойственно
ошибаться! В этом мы убедимся еще не раз.
Гораздо ближе к идее всемирного тяготения был
Кеплер. Он полагал, что изменение скорости планеты
с расстоянием от Солнца связано с исходящей от послед-
пего центральной силой, которая распространяется в
пространстве подобно лучам света. Строгое применение
этой аналогии привело бы Кеплера к открытию закона
4*
51

обратной пропорциональности этой сплы квадрату
расстояния. Но Кеплер почему-то полагал, что эта сила
распространяется только в плоскости орбиты планеты
и, значит, должна быть обратно пропорциональна первой
степени расстояния. Само изменение расстояния
планеты от Солнца Кеплер приписывал «движущей душе»
планеты, а вовсе не центральной силе Солнца.
Таковы были взгляды предшественников Ньютона28).
Посмотрим теперь, как он, используя достижения
механики Галилея и законы Кеплера, пришел к своему
знаменитому закону.
В основу своей механики Исаак Ньютон (1642—
1727) положил три аксиомы, известные под названием
законов Ньютона. Впрочем, они почти полностью были
известны еще Галилею, Ньютон лишь придал им четкие
формулировки.
Закон инерции. Тело, находящееся в состоянии покоя
или равномерного прямолинейного движения, будет
сохранять свое состояние, если на него ие действуют
внешние силы.
Закон движения под действием силы. Если на тело
действует сила, то оно получит ускорение по направле*
нию ее действия, пропорциональное действующей силе
и обратно пропорциональное массе тела.
Закон равенства действия и противодействия. Если
одно тело действует на другое с некоторой силой, то и
второе тело действует на первое с такой же силой, но
в обратном направлении.
Второй из этих законов часто выражают формулой:
F = та,
где F — сила, т — масса, а — ускорение. С его
применением мы скоро познакомимся.
Запишем теперь в математической форме законы
Кеплера. Первый закон гласит, что планеты движутся
по эллипсам, в одном из фокусов которых (общем для
всех планет) находится Солнце (здесь мы отвлечемся на
время от нашей героини — Луны; очевидно, что в
фокусе ее эллиптической орбиты находится Земля). Что-
28) Почти одновременно с Ньютоном и даже несколько раньше
него к идее всемирного тяготения пришел Роберт Гук (1635—1703).
Но в его работах пег и намека на математическое развитии теории
тяготения. Это оказалось но силам только Ньютону. Однако между
Гуком и Ньютоном шел дол1ий спор о приоритете в открытии
закона всемирного тяготения,
52

бы выразить этот закон формулой, напишем уравнение
эллипса относительно фокуса в полярных координатах;
г~ Е .
1 + € COS ф *
Здесь г — расстояние планеты от Солнца, е —
эксцентриситет ее орбиты, ф — полярпый угол,
отсчитываемый от перигелия в направлении движения планеты,
р — так называемый параметр ее орбиты, равный
где а — большая полуось орбиты. Параметр орбиты
имеет простой геометрический смысл: это длина отрезка
перпендикуляра, восстаповлеппого в фокусе орбиты к ее
большой оси, до его пересечения с орбитой (F\P на
рис. 11). Если ф = 0° (перигелий), то cos ф = 1 и ^
где q — расстояние в перигелии. Если же ф = 180е
(афелий), то cos ф = —1 и тогда
гш = Т^Ь = а (* + ') в «''
где q — расстояние в афелии.
Попробуем теперь выразить формулой второй закон
Кеплера. Площадь, описываемая радиусом-вектором
планеты, есть площадь
сектора эллипса. Нас интересует
площадь, описываемая
радиусом-вектором за единицу
времени. Назовем эту
величину векториальной
скоростью уСек- Тогда второй
закон Кеплера можно
записать так:
в
^сек = const. Рис. 11. Элементы эллипса
Чему же равна секториальпая скорость? Будем
считать, что единица времени у пас достаточно мала и тело
проходит по орбите отрезок, весьма малый по
сравнению с расстоянием до центрального тела (радиусом-
вектором). Секунда вполне подходит: за 1 с Луна
проходит по орбите 1 км (1/384 000 радиуса-вектора), а,
например, Земля — 30 км (1/5 000000 радиуса).
Значит, за секунду и Луна, и любая планета пройдут такой
53

маленький путь по орбите, что- раДйу'с-ЬёктЪр dnfifnier
очень узкий сектор. Такой сектор можно заменить
треугольником, а площади треугольников мы считать
умеем. В общем случае треугольник получится
косоугольный, но мы можем заменить его равновеликим
равнобедренным треугольником FCD с высотой г. Если
центральный угол при точке F обозначить d<p, то основание
треугольника будет равно nftp, а его площадь — 72Г2с?ф.
Разделим ее на тот весьма малый интервал времени dt.
за который тело опишет угол <2ф, и мы получим секто-
риальную скорость. Постоянную в правой части
обозначим буквой с. Тогда второй закон Кеплера выразится
формулой
2r dt ~c-
Здесь требуются некоторые пояснения. Читатель,
знакомый с основами дифференциального исчисления,
уже обратил внимание, что мы незаметно (эдак бочком-
бочком) и не вполне строго ввели в употребление
понятие дифференциала (d<p, dt) и производной (dcp/dt)t
Объясним их смысл, опять же пе претендуя на
строгость, а стремясь обеспечить наглядность.
Дифференциалом какой-либо величины будем называть ее беско*
нечно малое приращение, то есть такое приращение,
которое можно сделать меньше любого заданного
значения. В пределе бесконечно малая величина стремится
к нулю. Производной мы будем называть отношение
двух дифференциалов: той величины, поведение которой
нас интересует (функции) и той величины, которую мы
задаем, чтобы найти соответствующее ей значение
функции. Эта последняя величина называется аргументом.
В рассмотренном выше выводе формулы второго зако-
па Кеплера аргументом служило время t, функцией —
позиционный угол ф. Можно иначе подойти к понятию
производной. Это как бы скорость изменения функции
по мере равномерного приращения аргумента.
Обычная скорость движения какого-либо тела — это
тоже производная от пройденного пути по времени:
Точтто так же ускорение — это как бы скорость
изменения скорости:
d I ds\ d s
8~ Ж\~)~~^ш
54

Производная от производной (по тому же аргументу)"
называется второй производной и записывается так, как
показано выше. Таким, образохм, ускорение — это вто*
рая производная от пройденного пути по времени.
Процесс нахождения производных от пекоторой функции
называется дифференцированием. До Ньютона понятия
производных и дифференциалов не были известны. Ге<
ниальность Ньютона проявилась в том, что он понял
необходимость введения для решения поставленной
задачи принципиально нового математического аппарата,
сумел разработать этот аппарат и умело применить его,
Хотя «метод флюксий» (так Ньютон называл производи
ные) был им разработан в 1665—1666 гг., Ньютон
длительное время не публиковал его. Лишь после
завершения своих работ по обоснованию закона всемирного
тяготения и его многочисленных применений в теории
движения небесных тел и некоторых земных явлений
X тяжесть, приливы, форма Земли), Ньютон опубликовал
в 1687 г. свой капитальный труд «Математические на»
чала натуральной философии» (в дальнейшем мы
будем называть его просто «Начала»).
Одновременно с Ньютоном основь*
дифференциального и интегрального исчисления разработал
замечательный немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646—1716). Те обозначения, которыми мы
пользуемся для дифференциалов и производных, введены
Лейбницем, как и знак интеграла и ряд других
математических символов. Но применение новых методов
математического апализа к задаче о законах движений
небесных тел является заслугой Ньютона.
Нам осталось написать формулу третьего закона Кед«
лера. Это — самая простая из трех формул, чисто
алгебраическая: _
: Т\ __ а\
Закон читается так: квадраты времен обращения
планет вокруг Солнца относятся как кубы больших
полуосей их орбит.
Как же из этих трех формул, выражающих законц.
Кеплера, Ньютон вывел закон всемирного тяготения?
Оказывается, у трех законов Кеплера имеется
своеобразное «разделение труда». Каждый из них.выявляет
строго определенное свойство силы, действующей на
планеты»
53

Именно, второй закон Кеплера доказывает, что
источник силы, действующей на планету,— Солнце.
Перейдем в формуле второго закона от полярных координат
к декартовым с помощью соотношений г2 ~ х2 + у'2
(достаточно двух координат, так как эллипс — плоская
кривая) и q> = arctg —. Получим
du dx
Дифференцируем это уравнение по £; после
сокращения получаем
d*y d2x Л
dr dr
Умножим обе части полученного уравнения на
массу m и вспомним второй закон Ньютона: произведение
массы на компоненту ускорения по координате равно
компоненте силы по этой же координате:
m— = х, m—г- » У,
откуда следует
d2x
dt*
«X*
У
X ~~
m—§■
dt2.
***—' •
X
Ho y/x = tg ф (тангенсу позиционного угла планеты)\
Аналогично Y/X = ig q/ (тангенсу направления действия
силы). Так как tg cp^tg ф\ то либо ф^ф', либо ф —
«=ф' + 180Р. В обоих случаях направление силы,
действующей на планету и сообщающей ей ускорение,
проходит вдоль радиуса-вектора,. т. е. через Солнце. Поскольку
сила, исходящая от Солнца, притягивает, а не
отталкивает, ее направление считается обратным направлению
радиуса-вектора:
г А г
Первый закон Кеплера доказывает, что сила, дейст*
вующая на данную планету, обратно пропорциональна
квадрату ее расстояния от Солнца. Умножая первое из
выражений для компонентов силы на х% второе на у
и складывая, получим
56

Делим это уравнение на массу:
d х , d"y
Из тождества х2 + у2 — г2 следует
Л 4-77^ -Г Л _г»^фУ
X
Из первого закона Кеплера находим
с?2г __ c2g cos ф
,.2 2 *
dt pr\
а из второго закопа
.2
Г \~dtj ~ г*'
В итоге получаем
___£!. / g cos gT i\
п окончательно
£jLe ^
Р г2 г
£ в ~ "Т в -2 '
Третий закон Кеплера доказывает, что сила,
действующая на разные планеты, тоже обратно пропорцио~
нальна квадратам их расстояний от Солнца. Для этого
нужно доказать, что коэффициент пропорциональности
|i одинаков для всех планет, и найти его значение.
Поскольку площадь эллипса равна nab (а, Ъ —
большая и малая полуоси), постоянная закопа площадей и
период обращения Т связаны соотношениями
2ялЬ гр 2яйЬ
С — -у—, 1 — -у—.
Третий закон Кеплера дает пам
Л3
Л rt
Г2 ~~
Остается выполнить цепочку подстановок
fl e 4лУь2
ц — — = — 4я2С
Поскольку постоянная третьего закона Кеплера С —
одинаковая для всех плапет, наше утверждение
доказано. Нам осталось сделать еще один шаг, чтобы полу-
57

чить закон всемирного тяготения. Сила,-действующая на
планету со стороны Солнца, очевидно равна
_ т
F « mg — \к—г*
Но на основании третьего закона Ньютона планета
притягивает Солнце (масса которого равна М) с той
же силой F:
Следовательно,
F „' м
И окончательно получаем
F-Gi^.
Г
Величина G носит название постоянной тяготения,
или гравитационной постоянной. Это — одна из немногих
мировых постоянных, на которых зиждется все здание
современной физики. Численно она равна в системе СГС
6,67-Ю-8 см8с-2г-\ в системе СИ —6,67-10"u mV2^"1.
Мы намеренно столь подробно рассмотрели вывод за*
Кона всемирного тяготения из законов Кеплера, чтобы
Читатель понял, как именно пришел Ньютон к своему
Знаменитому закону. Он вывел его теоретически, а затем
решил обратную задачу — вывел из него все три
закона Кеплера. Этот вывод мы здесь приводить не
будем, хотя он не сложнее предыдущего. Отметим лишь,
^то два из трех законов Кеплера Ньютон уточнил и
обобщил. А именно, выяснилось, что под действием притя-
Йкения центрального тела планета может двигаться не
Только по эллипсу, но также по параболе и по
гиперболе. Правда, планет с такими орбитами мы не знаем,
но у комет орбиты, неотличимые от параболы, встреча-
$отся довольно часто. Кроме того, параболические и
гиперболические орбиты встречаются у некоторых
метеорных тел.
Второе уточнение относится к третьему закону Кеп-»
лера. Его точная формула, вытекающая из закона
тяготения, имеет вид:
Т\ (М + m ) a\
f
где гп\ ж т,2~- массы двух планет, Я — масса Солнца,
58

Одним из крупнейших своих достижений Ньютон
считал доказательство идентичности силы всемирного
тяготения и силы тяжести. Он сделал это, сравнив
ускорение силы тяжести на поверхности Земли с
центростремительным ускорением Луны. Луна расположена
от центра Земли в 60 земных радиусах. Согласно закону
всемирного тяготения Земля сообщает ей ускорение, в
3600 раз меньшее, чем телам на поверхности Земли.
Оно равно 981: 3600 - 0,2725 см/с2.
С другой стороны, центростремительное ускорение
Луны равно v2/r, где v — средняя скорость Луны на
орбите. Она равна 2пг/Т, где Т — сидерический период
обращения Луны вокруг Земли. Подставляя г и Г,
находим v =1,022 км/с и центростремительное ускорение
Луны 0,2721 см/с2. Расхождение в четвертом знаке
связано с приближенностью некоторых использованных
нами значений.
Закон всемирного тяготения имеет многочисленные
следствия. Мы уже приводили в качестве примеров три
закона Кеплера. Но закон Ньютона позволяет
определить также скорость планеты на любом расстоянии ее от
Солнца. Для этого представим уравнения движения
планеты в виде:
d2x х d"y . у
л
Из' j,2 — Из*
dV * r° dr ' г
,, dx dy
Умножая первое из них на -^-, а второе на -jj-
п складывая, получим дифференциальное уравнение для
скорости
vdv
откуда
- ^ \т\
Г '
где а — постоянная интегрирования. Привлекая первый
закон Кеплера, можно определить а = —-~. Кроме того,
ц, » G (М + тп), значит,
H-G(M + m)(f-4)...
59

Здесь а — большая полуось орбиты. Если орбита
круговая, то г = а и
Если орбита — парабола, то а = <», и тогда
2 __ 20 (Л/ + /п)
^нар — ~ •
Иначе говоря, параболическая скорость в У2 раз
больше круговой (их квадраты относятся как 2:1).
На этом мы закончил! знакомство с законом
всемирного тяготения и приступим к изложению длинного ряда
исследований движения Луны на основе этого закопа.
Исаак Ньютон и Луна
Ньютон прекрасно понимал, что любая планета
испытывает не только притяжение Солнца, но и других
планет. На основании закона о независимости действия
сил ускорения, получаемые планетой от других планет,
надо было геометрически (векторпо) складывать с
ускорением от Солнца. К счастью, планеты Солнечной
системы имели массы во много раз .меньшие, чем у Солнца.
Определение масс планет стало возможно по движению
их спутников на основании уточненного третьего закона
Кеплера. В эпоху Ньютона уже были открыты спутники
не только у Юпитера, но и у Сатурна. Оказалось, что
Юпитер уступает Солнцу по массе примерно в 1000 раз,
Сатурн — в 3500 раз. Поэтому учет взаимного
притяжения планет, вызывавшего небольшие отклонения от
движения по кеплеровскому эллипсу (они получили
название возмущений), не представлял труда.
Иначе было с Луной. Здесь в роли главного
возмущающего тела оказалось... Солнце — самое массивное
тело Солнечной системы.
Сравним силы притяжения Луны Землей и Солпцем.
Их отношение равно отношению масс, умноженному на
обратное отношение квадратов расстояний
Подставим отношение масс Ме/тф = 332 000 и
отношение расстояний г0/гв « 390. Получим FJt\ = 2,18.
Итак, Солнце вдвое сильнее притягивает Луну, чем Зем-
60

ля. Почему же Луна обращается все-таки вокруг Земли,
а не вокруг Солнца?
Причина состоит в том, что Солнце притягивает как
Землю, так и Луну. Чтобы найти возмущающее
ускорение Солнца, надо взять разность ускорений,
сообщаемых Солнцем Луне и Земле. А эта величина зависит от
положения Луны на орбите.
Предположим, что Луна находится в фазе
новолуния, между Землей и Солнцем. Поскольку расстояние
Луна — Земля во много раз меньше расстояния Земля —
Солнце, разность ускорений, которую мы хотим
подсчитать, будет равна
/sg = GMe ^:
Составим отношение этого возмущающего ускорения
к ускорению, сообщаемому Луне Землей:
£е = Gm® — ,
Эта величина равна примерно 1/00. Итак,
возмущающее ускорение Солнца все-таки в 90 раз меньше
ускорения, сообщаемого Луне Землей29). Вот почему Луна
обращается вокруг Земли и не собирается с ней
расстаться 30).
Но солнечное возмущение вызывает целый ряд
отклонений от геоцентрического кеплеровского движения,
которые и проявляются как известные нам лунные
неравенства. Ньютон задался целью дать физическое
объяснение этим неравенствам на основании открытого им
закона и построенной на его основе теории движения
пебесных тел.
Задача оказалась нелегкой. Главная трудность
состояла в тОхМ, что возмущающее ускорение непрерывно
изменялось по величине и направлению. Эту задачу
можно было сравнить со стрельбой по быстро движущейся
29) Эта величина солнечпого возмущения — максимальная. Как
показывает расчет, среднее возмущение от Солнца ровно в 4 раза
меньше и составляет 1/357 ускорения, сообщаемого Луне Землей.
30) Тем не менее орбита Луны относительно Солнца всюду
вогнута в сторону Солнца. Так что можно считать, что Луна
обращается и вокруг Солнца,
61

цели, все время изменяющей скорость и направление
полета.
И все же Ньютон добился немалых успехов. Прежде
всего, он объяснил все четыре классических лунных
неравенства. Главный эллиптический член был связан с
эллиптичностью лунной орбиты. Причина эвекции за*
ключалась в том, что в новолуние Луна находится бли-*
же к Солнцу, чем Земля, и вследствие этого Солйце
сильнее притягивает к себе Луну, нежели Землю,
стремясь как бы отдалить Луну от Земли (рис. 12). То же
Рис. 12. Действие Солнца на Землю и Луну в сизигиях
имеет место в полнолуние, когда Солпце как бы
оттягивает Землю, удаляя ее от Луны. Напротив, в квадратурах
действие Солнца стремится сблизить их между собой.
Благодаря эвекции орбита Луны стремится вытянуться
по направлению к Солнцу. Поэтому эксцентриситет
лунной орбиты периодически изменяется, и период его
изменения, как мы уже знавхм, равен 206 суткам. Величина
эвекции зависит от положения Луны как относительно
Солнца, так и перигея, поэтому период эвекции
,(31,81 сут) длиннее синодического месяца.
Изменение эксцентриситета лунной орбиты происхо-»
дит в пределах от 0,0448 до 0,0650 (средпее его
значение равно 0,0549) и сильнее сказывается на
расстояниях Луны в перигее (диапазон изменения от 356 000
до 369 800 км), чем в апогее (от 402 000 до 406 000 км),
как это наглядно показано на рис. 13.
Вариация происходит в результате измепения
скорости движения Луны по орбите, обусловленного
притягивающим действием Солнца. Орбита Луны благодаря
вариации все время деформируется. Как Ньютону
удалось количественно и качественно объяснить
вариацию — это особая глава в истории познания законов
движения Луны, и мы расскажем об этом подробнее ниже.
Годичное неравенство зависит от того, что Земля
движется вокруг Солнца тоже по эллипсу, ее расстоя-<
62

пие от Солнца в течение года меняется, а с ним
изменяются и все солнечные возмущения, будучи
наибольшими в перигелии и наименьшими в афелии.
Бельгийский астроном Ж. Мейюс уже в наше время обратил
внимание на то, что все наименьшие и наибольшие рас-*
стояния Луны от Земли (так сказать, рекордные) имеют
Рис. 13. Изменение расстояний до Луны в перигеях и апогеях
в 1980 — 81 гг. (по Ж. Мейюсу)
место между 25 ноября и 10 февраля, т. е. вблизи
перигелия, который Земля проходит 4 января. В эти
эпохи эксцентриситет лунной орбиты становится
максимальным. Годичное неравенство влияет и на скорость
движения Лупы по орбите. Ньютон теоретически нашел
амплитуду вариации 35'Ю" (вместо 39'30" в
действительности), а для годичного неравенства — 1Г50"
'(вместо 11'10"). Таким образом, полученные Ньютоном
значения отличались от действительных на 11 % и 6 %
соответственно, что следует расценивать для первого
приближения как большой успех.
Посмотрим, как строится лунная теория. Чтобы
рассчитать движение Луны на основе ньютоновой теории
тяготения, надо выполнить две операции: во-первых,
составить систему уравнений, определяющих движение
Луны, и, во-вторых, решить эту систему. Первая
операция займет даже у студента вероятно не более часа; на
вторую ушло три столетия напряженной работы многих
поколений ученых,
63

Дело в том, что если мы имеем три взаимно
притягивающих друг друга тела, массы, положепия в
пространстве и скорости которых заданы в начальный момент,
то решить аналитически, как будут двигаться эти три
тела дальше, оказывается невозможно. Эта задача по*
лучила в небесной механике название задачи трех тел*
Многие выдающиеся астрономы, последователи
Ньютона, пытались решить ее и не смогли.
Не нужпо думать, что виною этому были недостаток
опыта, или умения, или таланта этих ученых. Спустя
двести лет после Ньютона, в 1887 г., немецкий астроном
и математик Г. Э. Вруне (1848—1919) строго доказал,
что задача трех тед не может быть решена в конечном
виде, точнее, что ее решепие нельзя представить
конечным алгебраическим выражением. Спустя два года
выдающийся французский астроном и математик Анрй
Пуанкаре (1854—1912) усилил это доказательство,
показав, что задачу пельзя решить и с помощью
трансцендентных выражений, одпозпачпо зависящих от
координат и компонентов скоростей трех тел. Поясним, почему
это так.
Если у пас есть три тела, то движение каждого из
них описывается тремя дифференциальными
уравнениями второго порядка (по числу координат: я, у, г).
Напомним, что дифференциальными уравнениями
называются такие, где пеизвестные функции стоят под
знаком производной. Второй порядок — это значит, что
старшей является вторая производная. А мы помним,
что ускорение выражается второй производной пути по
времени.
Так как тел у нас три, то всего получается девять
дифференциальных уравнений второго порядка,
образующих систему 18-го порядка (9X2 = 18). Что же у
нас есть для ее решения? Есть десять соотношений,
называемых первыми интегралами: шесть интегралов
движения центра масс трех тел, три интеграла площадей
(они выражают второй закон Кеплера) и интеграл
энергии (мы уже приводили вытекающую из пего
формулу скорости планеты). С помощью этих десяти
классических первых интегралов можно попизить порядок
системы па 10, привести ее к системе 8-го порядка. Есть
еще две чисто математические операции, позволяющих
понизить порядок системы па единицу каждая. Но для
решения оставшейся системы 6-го порядка у нас нет
в распоряжении никаких методов или соотношений, Уси-
М

лия учепых XVIII—XIX веков были направлены на
поиск новых первых интегралов, помимо десяти
классических. И лишь Вруне и Пуанкаре доказали, что
таких интегралов не существует (или же они могут быть
выражены через классические)*
И все же аналитическое решение задачи трех тел было
получено. Это сделал в 1912 г. фипский математик и
астроном Карл Фритьоф Супдман (1873—1949). Но свои
решения он представил в виде бесконечных рядов,
которые сходятся столь медленно, что для обеспечения
нужной астрономам точности пришлось бы взять число
членов, в котором 8 000 000 значащих цифр31). Даже
с помощью современных ЭВМ это невозможно, так что
метод Суидмана не имеет пока практического
приложения.
Как мы увидим дальше, решение лунной задачи тоже
выражается бесконечными рядами, в которых
вычисляется число членов, зависящее от требуемой точности.
Для обеспечения необходимой в начале века точности
в 1" по углу и в 1 км по расстоянию достаточно было
500—700 членов, а для обеспечения современной
«лазерной» точности в 1 см требуется уже около 20 000
членов. О том, как их получают с помощью ЭВМ, будет
рассказано в последпей главе книги.
Рассмотрим задачу о движении Лупы
математически32). Пусть на Лупу L (рис. 14) действуют своим
притяжением Земля Т и Солнце S (действием других
тел пока пренебрежем). Их массы обозначим mL, пгг
и М. Радиусы-векторы, соединяющие все три тела,
обозначим соответственно: Земля — Луна — г, Земля —
Солнце — г', Луна — Солнце — р. Каждое ускорение,
сообщаемое телу притяжением другого тела, будем
записывать в виде mr/r3 вместо тп/г2, поскольку первая
форма записи указывает не только величину ускорения, но
31) Для того чтобы представить себе это число, не подходят
никакие «космические» сравнения. Подчеркнем, что это не 8
миллионов, а восьмимиллиошюзначпое число. Между тем, расстояние
до самых далеких галактик выражается «только» 28-значным
числом сантиметров, а масса нашей Галактики — 44-значным числом
граммов.
82) В изложении математических построений Ньютона и Кле-
ро мы будем следовать обзору Ы. И. Идельсоаа «Закон всемирного
тяготения и теория движения Луны» (1943), перепечатанному в
его книге «Этюды по истории небесной механики» (см. список
литературы в конце книги)»
5 в, а. Броиштэн
65

и его направление (оно совпадает в данном случае с
направлением вектора г). Тогда мы сможем складывать
ускорения по правилам сложения векторов.
Пусть wz, и wT — ускорения, приобретаемые Луной
т Землей в поле сил ньютонова притяжения. Они равны
очевидно
Wl== г + —Г' wr=—3-Ч 7Г,
г р г г
Первый член в первом уравнении имеет знак минус
потому, что ускорение Луны от Земли направлено
навстречу радиусу-вектору Земля — Луна г.
Найдем теперь вектор ускорения Луны относительно
Земли, поскольку мы хотим рассматривать движение
Рис. 14. Действие Земли и Солнца на Лупу
Лупы относительно Земли. Он равен разности векторов
Wl и wr:
w — wl — wr = —
г3
Но, согласно рис. 14, р —г' — г, и поэтому
mL -f" тт
W =
_rp-=i+-)+„£_£)
Вот эта формула и является, как заметил II. И. Идель*
сон, единственной основой всех динамических теорий
Луны. Разлагая ускорение на его компоненты по трем осям
координат, мы получим три дифференциальных уравне-

иия движепия Лупы. Их интегрирование (так называют
математики процесс их решения) представляет
громадные трудности и в общем виде не может быть
проведено. Здесь наука безусловно уступает природе, которая
в любой момент «зпает», куда направить Луну.
Это противоречие на первый взгляд может показаться
странным, труднообъяснимым. Почему природа,
выражаясь фигурально, «умеет» решать систему уравпений
движения Луны, и даже уравпений задачи трех (и многих)
тел, а наука с этой задачей справиться не может. Не
торопитесь обвинять науку. Дело в том, что мы несколько
усложнили задачу, поставив ее так: рассчитать на основе
закона всемирного тяготения движение Луны на любой
интервал времени вперед и назад, зная массы Лупы,
Земли и Солнца, начальные их положения и скорости.
Природа же «решает» более простую задачу:
рассчитать движение Луны (при тех же задаппых условиях)
в данный момент, А спустя мгновение природа «решает»
ту же задачу заново, и так все повторяется много раз.
Но задача о движении Луны в данный момент много
легче, чем о движении Луны па длительный интервал
времепи. И учепые успешно с пей справляются. Методы,
которые для этого применяются, называются численными,
в отличие от аналитических, о которых мы говорили до
сих пор. Теперь, с развитием высокопроизводительных
ЭВМ, численные методы даже во многих отношениях
удобнее аналитических. И о тех, и о других мы не раз
будем рассказывать в этой книге. Потому что между
ними, как между рефракторами и рефлекторами в телеско-
построении, в течение почти столетия шла своеобразная
борьба, не закончившаяся и до спх пор.
Но первоначально ученые, начиная с Ньютона,
развивали аналитические методы. Им казалось, что поскольку
движением Лупы в пространстве управляет одип-единст-
веипый закон природы и все исходные величины
известны, то вычислить движение Лупы па любой промежуток
времени вперед возможно. Пусть трудно, но возможно.
Трудности они считали поначалу чисто математическими.
Если не удается решить задачу сразу в общем виде,
следует применить те или иные упрощения.
Посмотрим, как Пыотоп объяснил явление вариации,
одного из важнейших лунных неравенств. «Метод,
которому следовал здесь Ньютон,— писал столетием позже
Пьер-Симон Лаплас,—одно из самых замечательных мест
во всем содержании «Начал».
5* 67

Ньютон вычисляет сперва проекцию геоцентрического
ускорения Луны на радиус-вектор Земля — Луна г. Она
равна
mL + mT Mr . njr ,f 1 1 \ .
Wr= —
г2
где г|? — разность истинных долгот Земли и Луны. Пусть
щ п — средние суточные движения Луны и Солнца,
равные соответственно
2л / 2л
где Р и Т — длительности сидерического месяца и
сидерического (звездного) года. Введе*м их отношение яг,
известное еще Гиппарху:
m - — = £ - 0,0748.
Тогда, на основании третьего закона Кеплера,
М - дг'V3,
где а' — большая полуось земной орбиты. По аналогии
где а —величина, мало отличающаяся от большой полуоси
лунной орбиты. Теперь можно так записать wr:
2 3
па
Wr =
2 „л
Это выражение — точное. Дальше приходится вводить
ряд приближений и упрощений. Из треугольника LTS
(см. рис. 14) следует
р2 — г2 -J- г'2 — 2rr' cos ф,
откуда получаем, разлагая в ряд,
1 1 Зг
Гл в — +" "Г cos * + • • •
р г г
Поскольку а/а' = 1/390, am2 — 0,0056, можно
отбросить члены порядка т2а/а' и ниже. Далее будем считать
орбиту Земли круговой и примем, как говорит Ньютон,
что и Луна, в отношении ее возмущений, движется «без
эксцентриситета». Заменим разность истинных долгот
Луны и Солнца ^ разностью их средних долгот D — хорошо
известной нам средней элонгацией Луны от Солнца. По-
68

еле всех этих упрощений получаем первую формулу лун*
ной теории Ньютона:
2 3
— wr = —з- (1 + т2 — 3/п2 cos? /?).
г
Беря затем векторное произведение ускорения w на
радиус-вектор г, Ньютон получает выражение для
удвоенной секториальной скорости Луны:
h = г»-^- = па2 fl + 1-г^- cos2d\
at \ ' 4 1 — т )
Это — вторая формула лунной теории Ньютона. Обе
формулы имеют ту особенность, что значения wT и h не
меняются при замене D на D-f-д, т. е. они одинаковы
в обеих сизигиях и в обеих квадратурах. Таким образом,
лунная орбита симметрична по отношению к прямой TS
(ведь угол D отсчитывается от направления TS) и по
отношению к перпендикуляру к TS, восстановленному в
точке Т. Так Ньютон пришел к представлению лунной ор*
Питы замкнутой кривой, симметричной по отношению
к вращающимся осям X и У, из которых первая (ось
сизигий) всегда направлена на Солнце, вторая ей
перпендикулярна, а угловая скорость вращения этих осей равна
среднему суточному движению Солнца п'.
Из приведенных формул нетрудно рассчитать
отношение радиусов кривизны лунной орбиты в сизигиях и
квадратурах. В самом деле, в этих точках полное ускорение
Луны w равно радиальному wr, а последнее равно
центростремительному ускорению у2/р, где р — радиус
кривизны орбиты. В этих точках с большой степенью точ-
ности
dep » of dq>Y h2
У = Г7Г' l' ='(it) =т^ = и;''Р'
и значит, в сизигиях и квадратурах
Кг
Р = а»
откуда отношение радиусов кривизпы в сизигиях pt и
в квадратурах р2 равно
^ -l + 3i»2fl+ -г*—).
Ра ' \ ' i — mj
69

Итак, кривизна лунной орбиты в сизигиях меньшее
(радиус кривизны больше), чем в квадратурах, а секто-<
риальная скорость — наибольшая в сизигиях и
наименьшая в квадратурах. Лунная орбита под действием
возмущений Солнца из круговой превратилась в овальную,
расположенную малой осью в направлении на Солнце
Хрис. 15).
Здесь Ньютон делает следующий шаг и допускает, что
эта орбита — эллипс, в центре (ие в фокусе!) которого
Солнце
Земля \ \ Солнце
Рис. 15. Объяспепие вариации: возмущающие силы Солнца в
разных точках орбиты Луны (а): в точках awe (сизигии) Солнце
как бы уменьшает массу Земли и замедляет движение Луны,
в точках d и h оно его ускоряет, а в точках Ь и / — замедляет;
искажение круговой орбиты за счет вариации (б)
находится Земля, а малая ось его все время направлена
па Солнце и поворачивается с угловой скоростью п.
Пусть его полуоси равны а(1 + а) и а(1 — а). Тогда то
же отношение pi/рг равно
Pl/P2 = l + 2a[4(l~m)2- 1].
Приравнивая оба выражения, Ньютон находит а =
= 0,0072 и отношение полуосей эллипса 1,0072:0,9928
(у Ньютона 70724-69724, что то же самое). Теперь это
значение а можно подставить в выражение для г:
г = а(1 — acos2Z)),
после чего нетрудно получить dq/dt, а затем, полагая
угол ф равным долготе Луны X, и выражение для К.
Получается
А. = Хо + nt + Ь sin 2Z),
где Ь выражается через а и т. Ньютон получил Ь =
= 0,01027 (в радианах) или Ь - 2110" = 35'10". Это и
есть коэффициент вариации. Как мы знавхМ, правильное
70

его значение равно 39'30" = 2370". Ошибка Ньютона
составила лишь 11 %, несмотря па всю приближенность
его метода.
Разберемся теперь немного в идее этого исследования.
Несомненно, у некоторых читателей возникнут вопросы:
зачем Ньютон полагал луииую орбиту круговой, если он
хорошо знал, что она —эллипс? Почему, получив в
результате учета солнечных возмущений овальную орбиту
вместо круговой, он представил ее эллипсом с Землей,
расположенной в его центре, а не в фокусе? Как могла
секториальпая скорость изменяться вдоль орбиты, если
по второму закону Кеплера она постоянна?
Ответ на все эти вопросы кратко может быть
сформулирован так: Ньютон решал приближенную задачу. Он
знал, что эксцентриситет лунной орбиты невелик (0,055),
и потому в первом приближении принял, что она
круговая. Как повлияет на круговую орбиту возмущающее
действие Солнца? И Ньютон получает свой первый
результат: действие Солнца сожмет круговую орбиту,
превратит ее в овал, расположенный малой осью в сторону
Солнца. Это возмущение — вариация, имеющая период
14,8 суток (половина синодического месяца). А пет ли
здесь противоречия с рис. 9, где было показано, что
возмущающее действие Солнца растягивает лунную орбиту
но направлению оси сизигий? Нет, потому что если
рассматривать эллипс, мы будем иметь дело с другим
неравенством — эвекцией, амплитуда которой почти вдвое
больше, чем у вариации, а период равен, как мы помним,
31,8 суток. Вариация возникает из-за изменения скорости
Луны па орбр1те (даже круговой) под действием
возмущений Солнца, эвекция возможна только в случае
эллиптической орбиты.
Теперь становится понятным и все дальнейшее.
Ньютон заменяет овал эллипсом, потому что это дает ему
возможность использовать известные геометрические
соотношения для эллипса. Выведенные им формулы
показывают, что его фиктивный эллипс симметричен
относительно направления на Солнце и перпендикулярного к
нему, значит Земля находится в центре, а не в фокусе
этого фиктивного эллипса. А это приводит к тому, что сек-
ториальная скорость неодинакова в разных точках
фиктивной орбиты. Зато главный результат получен:
фиктивная орбита поворачивается вслед за Солнцем, задачу надо
решать во вращающейся системе координат. И как
окончательный итог: солнечные возмущения приводят к до-
71

полнительпому приращению долготы,
пропорциональному sin 2Д коэффициент при котором почти такой же, как
и наблюдаемая амплитуда вариации. Значит, причина
вариации — солнечные возмущения. А расхождение на 11 %
не что иное как результат введенных Ньютоном
упрощений.
Введенная Ньютоном фиктивная кривая может быть
представлена с использованием координат во
вращающейся системе так:
^ « (l — ■—- ml J cos D + -jg m* cos Wt
IF ~ [t + ^ ml)s[nD + Ть m*s[n3D* mi = T=^T9
Поскольку обе координаты являются периодическими
функциями аргумента D, а значит и времени (ведь D —
средняя элонгация Луны, растущая пропорционально
времени), Ньютон устаповил очень важное свойство задачи
трех тел: она допускает возможность периодических
решений.
Судьбе было угодно, чтобы ровно через сто лет после
Ньютона Леонард Эйлер в своей второй лунной теории
применил метод вращающихся осей, впервые введенный
Ньютоном, а спустя еще сто лет Джордж Хилл, используя
тот же метод, но введя весьма эффективный способ
последовательных приближений, сумел вычислить
координаты Луны в тех же ньютоновых вращающихся осях
с точностью до т10.
Его решение имело вид бесконечного ряда:
— = At cos D + А3 cos 3D + Аь cos 5Z) + ...,
2- = BLsinD + #3sin3Z> + #5sin5Z>+ ...ж
Or
пз которого можно было брать для вычислений столько
членов, сколько требовалось для обеспечения заданной
точности расчета. Естественно, что кривая, определенная
таким образом, уже пе была эллипсом, хотя и мало от
него отличалась. Она получила название вариационной
кривой. Обе вращающиеся оси она, как и ньютонов
эллипс, пересекает под прямым углом и имеет те же
свойства симметрии.
Мы убедились на ряде примеров, как Исаак Ньютон,
применяя свой закон всемирного тяготения к движению
такого «трудного» тела, как Луна, вводил один за другим
72

йовые, дотоле никем не применявшиеся методы матема*
тического анализа, как общие (интегрирование
дифференциальных уравнений), так и частные (метод
вращающихся осей). Вместе с тем Ньютон широко использовал
геометрию, так что порой сложными геометрическими
построениями он скрывал от не слишком вдумчивого
читателя глубокий смысл своих методов и выводов.
Понадобились специальные исследования ученых XIX и XX
веков, чтобы выявить те замечательные идеи, которые
лежали в основе геометрических построений Ньютона.
Так, он предвосхитил метод вариации произвольных по*
стоянных, развитый спустя почти столетие Леонардом
Эйлером и Жозефом Луи Лагранжем и так
пригодившийся при построении аналитической теории движения Луны
уже в XIX веке.
Не следует, однако, думать, что в исследовании
теории движения Луны Ньютону сопутствовали одни лишь
успехи. Нет, были и неудачи, и огорчения.
Одним из важнейших достижений новой лунной
теории было объяснение движения линии узлов лунной
орбиты, обнаруженного еще древними (вспомним циклы
Гиппарха). По современным данным, период оборота
линии узлов равен 6794,4 суток. Согласно Ньютону
среднее движение узлов за один звездный год составляло
19° 18' 1,38", чему соответствовал период оборота 6812,9
суток, на 18,5 суток длиннее действительного. Но в
относительных единицах эта погрешность составляла лишь
0,27 % самого периода.
Если обозначить среднее суточное движение узла
через пг, то суточное смещение Луны относительно узла
будет п — ri2. Поскольку линия узлов движется навстре^
чу Луне, П2 следует полагать отрицательным. Если
обозначить п —1%2 = §и, то величина g будет немного больше
единицы. Очевидно, что
где Гг — период оборота линии узлов, Р8 — 27,32166 сут —
длина сидерического месяца. Из теории Ньютона
получалось g — 1 «0,00401, тогда как современная теория дает
g _ 1 = 0,00402, следовательно, погрешность теории Нью-Г
тона составляет снова 0,25%, Между тем, современная
небесная механика дает для g — 1 такое выражение:
73

В него, кроме известного нам малого параметра т й
эксцентриситета лунной орбиты е, входит Y = s^n"2" —
синус половины угла наклона орбиты Луны к эклиптике.
Все это —малые величины (е = 0,055, ч = 0,045).
Точность результата Ньютона указывает на то, что он в
своем геометрическом построении учел члены не только
порядка т2 (тогда погрешность его результата была бы
около 5 %), но и члены более высоких порядков.
Ньютон вычислил и периодическое неравенство в
движении линии узлов, открытое Тихо Браге. Амплитуда
этого неравенства у Ньютона получилась равной 1°30'
(Тихо Браге из наблюдений определил ее в 1°46').
Далее Ньютон вывел из своей теории колебание наклона
лунной орбиты к эклиптике с полной амплитудой 17'45"
(у Тихо Браге получилось 19'). Таким образом, открытая
Тихо Браге эвекция Лупы по широте нашла полное
объяснение в теории Ньютона. Правда, расхождения здесь
были больше, чем для смещения узла —15% и 6%
соответственно. И все же это были успехи ньютоновой
теории и успехи немалые.
Ньютон вычислил еще ряд неравенств лунпой
долготы, помимо вариации. Но каким путем он их вывел,
Ньютон не сообщает. Он лишь приводит их значения
в своем «Поучении» (нечто вроде заключения), которым
заканчивается раздел «Начал», посвященный движению
Луны. Более подробно Ньютон говорит о них в своей
статье «Теория Луны», которая была впервые
опубликована лишь в 1772 г., спустя 45 лет после смерти
Ньютона. Из этой статьи видно, что Ньютону было известно
семь неравенств лунного движения, в том числе годичное
неравенство, для которого он получил амплитуду 11'51"
вместо действительного значения 11'10" (расхождение
на 6 %). Правда, оставалось неясным, как получил
Ньютон значение одного из главных неравенств долготы —
эвекции: вычислил на основании своей теории или взял
из наблюдений. Зато в «Теории Луны» дано интересное
построение, позволяющее определить на любой момент
времени эксцентриситет лунной орбиты и неравенство
лунного перигея. Здесь же Ньютон приводит еще одно
неравенство, которое не было известно его
предшественникам. Это неравенство третьего порядка,
пропорциональное т2а/а' и имеющее амплитуду всего 2'5". В дальней"
шем оно получило название параллактического. О нем
мы еще не раз будем говорить в этой книге.
74

Чтобы иметь возможность проверить свои
теоретические выводы в отношении столь малых неравенств,
Ньютон не раз обращался к королевскому астроному33)
Джону Флемстиду (1646—1719), располагавшему
точнейшими позиционными наблюдениями Луны, с просьбой
о передаче их ему. Флсмстид с большой неохотой
относился к просьбам Ньютона, отказывая ему иод
различными предлогами. Ньютон шел на хитрости, рассыпал
наблюдениям Флемстида лестные характеристики. Только
в 1694 г., после тяжелой болезни Ньютона, Флемстид
передал ему часть наблюдений. Именно на основе эти*
наблюдений Ньютон написал свою «Теорию Луны».
Однако сложные отношения между Ньютоном и Флемсти-
дом сохранялись еще много лет, испортив обоим
немало крови.
Объяснив движение линии лунных узлов, Ньютон
попытался таким же путем объяснить движение линии
апсид, иначе говоря, смещение лунного пориюя.
Применив теорию движения Луны по вращающейся орбите,
Ньютон получил выражение для радиуса-вектора в виде
где X — долгота Лупы, с —величина, близкая к единице,
сЯ — истинная аномалия Луны, отсчитываемая от
движущегося перигея, долгота которого равна л*. Тогда сХ =*
— Х~я* и л*=(1 — с)А.. Опюитепие угловой скорости
перигея к скорости движения Луны по долготе будет
равно
^-1-c-fin3- 0,004196.,
или, в переводе в единицы угла, 1°ЗГ28". Но вся беда бытта
в том, что циклы Гиипарха давали величину вдвое
большую, а именно, 3°4'8", или, в радиапиой мере, 0,008452.
В чем была причина этого расхождения? Смещение
перигея, даваемое наблюдениями, было многократно
подтверждено за 18 веков, прошедших после Гшшарха.
Неверна теория? По она так хорошо объяснила все
остальные лунные неравенства и движепия. А может быть,
в вывод Ньютона закралась неточность, которая и
привела к расхождению?
33) Такое звание получал, начиная с 1676 г., директор Григт-
вичской обсерватории. Флемстид был первым королевским
астрономом, Звание это сохранено и поныне.
75

Для прямых последователей Ньютона это было
загадкой, решение которой им предстояло найти. В следующем
разделе мы проследим за их поисками. Но никто из
ученых XVIII и первой половины XIX веков не знал, что
эту загадку раньше всех решил... сам Ньютон. Да, он
решил задачу, получил из своей теории почти правильное
значение смещения перигея, но почему-то не опубликовал
свое решение и не сообщил кому-либо из своих коллег.
Оно осталось в рукописи. После смерти Ньютона все его
рукописи были приобретены лордом Портсмутским.
Коллекция почтенного лорда переходила от одного его
наследника к другому. И только в конце XIX века доступ к ней
получили ученые. Лишь тогда выяснилось, что гений
Ньютона справился и с этой задачей. Но на развитие теории
движения Луны в XVIII—XIX веках это открытие, увы,
повлиять не могло.
Конкурс Петербургской академии наук
Исаак Ньютон скончался в 1727 г. Спустя год на
заседании Парижской академии наук была доложена
первая работа Алексиса Клода Клеро. Поскольку автору
работы еще не исполнилось 13 лет, работа была доложена
его отцом. Но уже в возрасте
18 лет А. К. Клеро (1713—
1765) был избран членом
Парижской академии наук
за работу по теории
пространственных кривых.
Деятельность Клеро
неразрывно связана с
дальнейшим развитием ньютоновой
механики и теории тяготения.
В 1735 г. он вместе с П. Л. М.
Мопертюи провел экспедицию
в Лапландию (в район Тор-
нео) для измерения дуги
меридиана. Одновременно
другая экспедиция,
возглавляемая П. Буге и Ш. М. Ла Кон-
дамином, выехала в Перу.
Результатом обеих экспедиций
было подтверждение сплюс-
Алексис Клод Клеро нутости Земли, предсказан-
(1713—1765) ной теорией Ньютона.
76

• Первая работа Клеро по теории движения Луны под
названием «Об орбите Луны в системе Ньютона»,
вышедшая в 1743 г., содержит аналитический вывод ускорения
Луны в проекции на радиус-вектор wr и на
перпендикулярное направление wh вывод отношения полуосей
ньютонова эллипса в вариационной кривой (см. с. 70) и
решение задачи о движении лунных узлов. Но ведь эти
задачи уже были решены Ньютоном! Что же нового привнес
Клеро? Лишь то, что его выводы были чисто
аналитическими, в отличие от геометрических построений Ньютона.
Спустя четыре года Клеро вновь обращается к лунной
теории. Вот как он пишет о своем отношении к теории
Ньютона: «После долгих размышлений над теорией
Ньютона и не достигнув той степени убежденности, которой
я ожидал, я решил больше ничего у него не заимствовать
и самостоятельно искать определения движения небесных
тел, при единственном допущении об их взаимном
притяжении». Это был, безусловно, правильный подход. Одной
из важнейших проблем, требовавших решения на основе
закона всемирного тяготения, Клеро считал теорию
движения Луны, а в ней — исследование того неравенства,
«которое получило у Ньютона наиболее темное развитие,
именно, движение лунного перигея».
И Клеро пошел в этом исследовании своим,
оригинальным путем. Он выводит два уравнения, из которых
первое устанавливает скорость изменения лунной долготы
со временем, а второе — наиболее важное в его теории —
выражает обратный радиус-вектор (и = 1/г) в виде
суммы нескольких периодических членов. Собственно говоря,
величина и определяется путем решения
дифференциального уравнения второго порядка, которое мы здесь
приводить не будем. Его решение имеет вид
—L = 1 -(- е cos ск -f- т? cos кк + -у те cos (2к — с) % —
— -g- m2e cos {2к + с) к,:
где рх — р 2, fc= 1 — m, а величина с,
определяющая движение лунного перигея, получила_сь равной
т. е. тому же значению, которое получил в свое время
Ньютон и которое было почти рбвно вдвое меньше того,
что дают наблюдения.
77

Жан Лероп Даламбер
(1717-1783)
У Клеро был постояипый
соперник в научных
исследованиях, ие уступавший ему
в таланте и оставивший
яркий след в истории науки (не
только астрономии, но
также математики и механики),
Зто был ЖанЛерон
Даламбер (1717-1783). Он, как
и Клеро, широко применял
теорию Ньютона в самых
различных областях знания.
В год выхода «Теории фту-
ры Земли» Клеро (1743 г.)
вышел и «Трактат по
динамике» 26-летнего Даламбера,
в котором был впервые
сформулирован принцип,
получивший в дальнейшем его
имя и изучаемый теперь во
г всех курсах общей механики,
судьба страпиым образом сталкивала Даламбера и
Клеро. Но втором издании «Трактата по динамике»
Даламбер перед изложением своего нового принципа сделал
следующее примечание: «И тот самый день, когда я па-
чал чтеиие своего мемуара, что было к концу 1742 г
г-н Клеро представил свой мемуар, носивший название-'
«U некоторых общих началах, облегчающих решение
большого числа задач динамики». Эта работа,
опубликованная в томе мемуаров Академии за 1742 г., была
прочтена после моей; к тому же, она не имеет ничего с ней
общего».
И мемуары по теории движения Луны они оба
представили в Академию одновременно - 15 ноября 1747 г
Обе работы были опубликованы в одном и том же томе
мемуаров Академии (вышедшем в 1749 г.): работа Клеро
занимает с. 329-304, работа Даламбера-с. 365-390.
К каким же выводам пришел Даламбер, также
изучавший проблему движения лунного перигея? Да к тем
же самым, что и Клеро: под действием ньютонова
притяжения перигей орбиты Лупы должен был бы завершать
одно^ обращение за 18 лет, а не за 9 лет, как происходит
в действительности.
Итак, закон тяготения Иьготопа пе может объяснить
движение лунною перигея. Как же быть? Быть может

дело можно поправить, внеся в закб^ Ньютона неболь*
шую поправку, например, представить этот закон в виде
суммы двух членов:
г г
где п>2 (например, п = 3 или п = 4). Такой путь под*
сказал еще сам Ньютон. Коэффициент а можно
подобрать достаточно малым, чтобы второй член не повлиял на
теорию движения планет (на больших расстояниях,
разделяющих планеты, второй член благодаря сравнительно
большой степени п быстро убывает с расстоянием).Клеро
утверждал в своем мемуаре, что он окончательно доказал
недостаточность закона Ньютона для объяснения
движения лунного перигея.
Почти то же самое заявлял и Даламбер: «Луна при*
тягивается к Земле еще другой, небольшой по величине
силой, действующей не по закону обратной
пропорциональности квадратам расстояний». И Даламбер не
забывает подчеркнуть, что он пришел к этому выводу, ничего
не зная о результатах Клеро, равно как и Клеро не знал
о его заключении.
Итак, два крупнейших специалиста по теории
движения Луны независимо друг от друга пришли к
одинаковому выводу о том, что теория Ньютона не способна
объяснить движение перигея Луны и требует внесения
поправок. Как же отнеслись к этому другие ученые?
С возражениями против этого вывода Клеро и Далам-
бера выступил известный французский
естествоиспытатель, член Парижской академии Жорж Бюффон (1707—
1783). В тех же мемуарах Академии он опубликовал
статью под названием «Соображения о законе
притяжения», в которой доказывал следующее положение:
«всякий физический закон лишь потому является законом,
что его выражение обладает единственностью и
простотой».
По мнению Бюффона, если бы мы решили ввести
добавочный член в формулу Ньютона, то ничто не
помешало бы включить впоследствии еще третий и четвертый
член и т. д., т. е. тем самым как бы уничтожить значение
закона притяжения, действующего обратно
пропорционально квадратам расстояний. «Нам предлагают,—
заявлял Бюффон,— нечто произвольное, вместо того, чтобы
воспроизводить истину»,
7Э

Другой великий современник Клеро и Даламбера,
Леонард Эйлер (1707—1783) почти одновременно с ними
тоже пришел к выводу о недостаточности закона
Ньютона. Причиной, как потом выяснилось, была ошибка,
допущенная Эйлером в исследовании взаимных возмущений
Юпитера и Сатурна. Но это выяснилось позднее.
Очевидно, Эйлер и явился инициатором конкурса,
объявленною в 1750 г. Петербургской академией наук на
тему: «Показать, согласны ли все неравенства, которые
наблюдаются в движении Луны, с ньютоновой теорией, и
какой должна быть истинная теория всех этих неравенств,
чтобы по ней можно было со всей точностью
определять место Луны на любое время».
Объявление о конкурсе самой молодой из академий
наук мира как бы подстегнуло Клеро. Он и до объявлен
ния конкурса неустанно продолжал заниматься лунной
теорией и искал разрешения противоречия, связанного
с движением перигея. И он сумел разрешить его почти
за год до объявления конкурса: уже 17 мая (1749 г. он
доложил Парижской академии свое решение. В чем же
было дело?
«Немного размышлений над предосторожностями,
необходимыми в таких вычислениях,— писал Клеро,—-
покажет, что нельзя рассчитывать на точность
предыдущего решения в отношении этого элемента лунной теории,
и обнаружит, что его очень легко исправить последующи^
ми операциями». И Клеро предпринимает целую серию
таких операций.
Чтобы попять их сущность, вернемся к выражению
для pi/r, приведенному на с. 77. Каков смысл каждого из
его членов? Аргумент сК во втором члене, как мы
помним, есть не что иное как истинная аномалия Луны.
Заменим ее на среднюю аномалию I. Тогда этот член даст
нам главное эллиптическое неравенство, но не в долготе,
а в обратной величине радиуса-вектора Луны (иначе
говоря, в ее параллаксе). Аргумент 2AAae2(l — m)nt~
=2(n — n)t=*2D, т. е. равен удвоенной средней
элонгации Луны от Солнца, а третий член формулы выражает
вариацию. Аргумент (2А — с)Я «* 2Z? — 2 представляет ъо-
бой аргумент эвекции, и значит, четвертый член формулы
выражает эвекцию в лунпом параллаксе. Таким образом,
Клеро доказал., что все известпые неравенства долготы
Луны проявляются и в расстоянии Земля — Луна (или
соответственно в параллаксе Лупы). Что касается
долготы, то Клеро получил в ее выражении уже 20 неравенств.
80

Исходя из этой формулы, Клеро написал более
развернутое выражение для радиуса-вектора:
— = 1 — е cos ск — т2 cos 2kX g- me cos (2к — с) X*
Вводя это выражение в дифференциальное уравнение
для 1/с, Клеро получил небольшие приращения к
коэффициенту при cos c\. Если раньше этот коэффициент (обо-
значим его Е) был равен Е = у е1 то теперь он
получается равным
Отсюда Клеро получает, исключая е,
Подставляя численное значение т = 0,0748, Клеро
получает
1-е - 0,04196 + 0,02943 - 0,07139,
что уже гораздо ближе к наблюдаемому значению 0,08452*
И Клеро попял: первоначально полученное Ньютоном,
Даламбером и им самим значение для смещения
перигея — это лишь первый член ряда, которым выражается
величина 1 — с. Уже учет второго члена уменьшил
расхождение в три с лишним раза. Клеро нашел и вычислил
еще несколько членов. Расхождение продолжало
уменьшаться. Радостный Клеро, узнав о конкурсе
Петербургской академии наук, немедленно сел за работу. К
назначенному сроку он представил на конкурс свой мемуар.
содержащий полную теорию движения Луны,
включающую и решение задачи о движении перигея.
На рукопись Клеро поступили благоприятные отзывы
Л. Эйлера, X. Гольдбаха и Г. Гейнзиуса34). Леонард
Эйлер, охарактеризовав во всех подробностях достоинства
работы Клеро, написал в своем заключении: «По этим
причинам данную диссертацию не только нужно считать
достойной высшей награды, но через нее и слава зна-
84) Христиан Гольдбах (1690—1764), математик, и Готфрид
Гейизиус (1709—1769), астроном, члены Петербургской академии
наук.
6 в, А. Бронштэн
81

менитейшей Академии возрастает не незначительно, так
как, предложив вопросы столь трудные, она привела к
ясности положения самые скрытые».
Премия была присуждена Клеро. 7 сентября 1752 г.
состоялась церемония присуждения. Похвальную речь по
этому случаю произнес Никита Иванович Попов (1720 —
1782), назначенный профессором астрономии за год до
этого. Было решено издать работу Клеро на средства
Академии. Эта работа, носящая название «Теория
движения Луны, выведенная из единственного принципа
притяжения, обратно пропорционального квадратам
расстояний», была напечатана в Петербурге в том же 1752 г.
Направление в печать было подписано президентом
Академии наук графом Кириллом Разумовским. В 1765 г.
Клеро выпустил в Париже второе издание этой книги.
Клеро старался продолжить так удачно начатые связи
с Петербургской академией наук. Буквально через
месяц после присуждения ему премии он предложил
секретарю Академии А. Н. Гришову проект постройки
для Петербургской обсерватории большого стенного
квадранта, а 8 июля 1754 г. Клеро был избран
членом-корреспондентом Петербургской академии наук. Протокол об
избрании Клеро подписали: Готфрид Миллер, секретарь;
Михайло Ломоносов, академик; Степан Крашенинников,
профессор ботаники и натуральной истории; М. Клейн-
фельд, адъюнкт анатомии. Можно полагать, что вопрос
об избрании Клеро был подготовлен М. В. Ломоносовым.
Клеро ответил благодарственным письмом на имя
президента Академии графа Разумовского. Спустя 7 лет
после своего избрания, в 1761 г., он представил на вновь
объявленный Петербургской академией наук новую
работу — свое знаменитое исследование орбиты кометы Гал-
лея. И на этот раз премия была ему присуждена.
В исследовании движения лунного перигея Клеро, как
видим, сумел «оторваться» от своего постоянного
соперника в науке — Даламбера. Но Даламбер на этом не
успокоился. Он решил проверить результаты Клеро.
В 1754 г. он опубликовал первую часть своей работы,
а в 1756 г.— вторую, в которых... подтвердил результаты
Клеро. Но Даламбер шел своим путем, применял иные
методы. Позже между ним и Клеро продолжалась
полемика по некоторым вопросам теории движения Луны,
а также движения комет. Принципиальных расхождений
между ними не было, дискуссия шла в основном о
методических вопросах и о приоритете.
82

Величайшей заслугой обоих ученых является
сделанное ими доказательство того важнейшего факта, что все
особенности движения Луны (а также движения комет
и фигуры Земли) объясняются законом всемирного
тяготения Ньютона. Кроме того, Даламбер дал на его основе
теорию прецессии земной оси.
Клеро был редактором французского перевода «Начал»
Ньютона, выполненного еще в 1749 г. маркизой
Эмилией де Шатле по инициативе Вольтера. Этот перевод
вышел в свет в 1760 г.
Когда в 1765 г. Алексис Клод Клеро внезапно
скончался в расцвете сил (он умер от тифа), над его гробом
было произнесено немало прощальных речей. Но среди
выступающих, увы, не было Жана Даламбера. А кто как
не он мог бы дать лучшую характеристику научным
заслугам Клеро.
Три лунные теории Леопарда Эйлера
Действительный член Петербургской академии наук
Леонард Эйлер отнюдь не собирался ограничиваться
ролью рецензента мемуара Клеро, представленного в
1751 г. на конкурс. Он сам уже несколько лет занимался
этой проблемой и в 1753 г. выпустил труд,
озаглавленный «Теория движения Луны» (свои труды Эйлер писал
по~латыни). Обычно эту теорию называют «первой
лунной теорией Эйлера», в отличие от его «второй теории»,
опубликованной в 1772 г. На самом деле в мемуаре
1753 г. содержится не одна, а две разных теории: одна
в основном тексте и другая в «Приложении» (Addita-
mentum)» Именно теорию «Приложения» чаще всего
называют «первой теорией Эйлера»35). Теория же,
изложенная в основной части его мемуара, оставалась почему-то
малоизвестной. Достаточно сказать, что такой классик
теоретической астрономии, как Ф. Ф. Тиссеран (1845 —
1896) в третьем томе своей «Небесной механики» на этом
исследовании Эйлера ие останавливается вовсе. Лишь
весьма краткое изложение его первых глав имеется во
«Вводном трактате по лунной теории» Э. Брауна,
вышедшем в 1896 г.
W———^—"»^м— .«II
85) На это обстоятельство (что в мемуаре 1753 г. содержатся
две различных теории) вновь обратил внимание в 1918 г.
(опубликовано в 1923 г.) русский астроном М. Л, Вильсв, о работах
которого мы еще расскажем.
6*
83

Леонард Эйлер (1707—1783)
Между тем, теория основного текста мемуара Эйлера
1753 г. совершенно отлична от теории «Приложения».
Эйлер представляет в ней уравнения движения Луны в
цилиндрических координатах. В качестве основной
плоскости он берет плоскость эклиптики. Первой координатой
у него является радиус-вектор Луны г, второй — долгота
Луны X и третьей—«высота» над плоскостью эклиптики
z. Дифференциальные уравнения движения Луны в этих
координатах выглядят так:
d2r Г(<ПЛ2
dt2 \dt)
d Я. , л dr d\
84
= s,
3j
(I)
(II)

Буквами 5, 7\ Z Эйлер обозначает правые части этих
уравнений, которые мы здесь выписывать не будем. От
«высоты» г Эйлер вскоре переходит к двум хорошо
известным элементам лунной орбиты, определяющим ее
ориентацию в пространстве: долготе восходящего узла Q
и наклону к эклиптике г, вводя уравнения:
1гГ - ^^=-^{-S sin (К- q)-T cos (Х- SI )+Z ctg i],
(III)
n^i^ctg{x-Q)m, (iv)
Уравнения (I) —(IV) составляют основу его решения.
Эйлер рассматривает сначала неравенства в движении
Луны, не зависящие от наклона, полагая t = 0 и
ограничиваясь двумя уравнениями (I) и (II). В первом
приближении лунпая орбита считается эллипсом с
постоянным эксцентриситетом ео. Поскольку i — 0, этот эллипс
лежит в плоскости эклиптики, а его линия апсид
движется с угловой скоростью, равной средней скорости
движения перигея. Эйлер рассматривает среднюю
долготу Луны и среднюю аномалию 1\ далее, вводя
эксцентриситет ео, он определяет истинную аномалию 1\9 которую
в дальнейшем считает независимой переменной. Беря
среднее значение большой полуоси «о, Эйлер находит
радиус-вектор п, соответствующий истинной аномалии
/ь Он несколько отличается от проекции на плоскость
эклиптики действительного радиуса-вектора г:
r«ri(l + v),
где v — малая величина. Для определения v Эйлер
получил дифференциальное уравнение второго порядка. Его
решение облегчалось тем, что v не содержит постоянного
слагав1МОГо и члена вида dcosh. Значения ^, £} и i
получаются у Эйлера из дифференциальных уравнений
первого порядка. Дальше Эйлер находит разность между
истинной долготой Луны и суммой долготы перигея я*
и истинной аномалии 1\.
Теперь все подготовлено для вычисления неравенств
лунной долготы. Сначала Эйлер получает неравенства,
не зависящие от ео, е' (эксцентриситета земной орбиты)
и угла наклона i, но содержащие а*=а/а' (отношение
больших полуосей орбит Луны и Земли, равное, как мы
помним, 1/390). Это — главный член вариации и
параллактическое неравецство.
85

Из четырех аргументов, т. е. равномерно нарастающих
углов, необходимых и достаточных в любой
динамической теории Луны, а именно средней элонгации Луны
D, средней аномалии Z, средней аномалии Солнца V и
расстояния Луны от восходящего узла (аргумента
широты) X—£), Эйлер рассматривает на этом этапе только
элонгацию D. Применяя остроумный способ
интегрирования дифференциальных уравнений, содержащих dkfdlu
dD/dl\, d2v/dl2u известный ныне под назвапием способа
неопределенных коэффициентов, Эйлер находит
разложения долготы Луны по синусам или косинусам углов D,
2D, 3D, AD и т. д.
Далее Эйлер последовательно находит неравенства,
зависящие от первой степени ео, потом — от высших
степеней во и отношения параллаксов а. Таким же путем
он находит неравенства, пропорциональные е' и е'2,
произведениям е0е\ аео, ае'. Затем он находит неравенства
в движении линии узлов (т. е. SI) и неравенства,
относящиеся к изменению угла наклона лунной орбиты L
Неравенства лупной широты Эйлер сводит к вычислению
£> и L Неравенств параллакса (или радиуса-вектора)
Луны Эйлер не приводит.
У Эйлера было обыкновение отбрасывать без
достаточных оснований некоторые члены в исходных
уравнениях, ограничиваясь их линейной частью, поэтому
последние неравенства (высших степеней) найдены им
очень неточно. Быть может, это и явилось причиной того,
что сам Эйлер мало ценил развитый им в этой работе
метод вычисления лунных возмущений и вскоре начал
искать повый метод, который и был им развит в
«Приложении».
Однако идеи первой луппой теории Эйлера не
пропали для науки. Спустя 85 лет, в 1838 г. немецкий
астроном II. А. Ганзен (1795—1874) развил метод Эйлера,
внеся в него ряд изменений й усовершенствований. О
работах Ганзена мы расскажем в свое время. Еще спустя
80 лет, в 1918 г., метод Эйлера начал развивать русский
астроном М. А. Вильев (1893—1919). Ранняя смерть не
позволила ему завершить эту работу.
Как отмечает М. А. Вильев, первая лунная теория
Эйлера имела все данные, чтобы служить основой точной
теории движения Луны, способной дать все неравенства
лунной орбиты, вызванные солнечными возмущениями,
с произвольным приближением. В ней ясно проведен с
самого начала принцип разделения неравенств на клас-
86

сы в зависимости от различных степеней ео, в'\ i и а.
Теория Эйлера позволяла в каждой группе неравенств
последовательно получать величины, зависящие только
от отношения средних движений Солнца и Луны иг,
причем с произвольной степенью точности. Равным образом
эта теория позволяла получить с произвольной степенью
точности неравенства в движении перигея и узла — как
главные их члены, так и зависящие от el, е'2, i2, a2
и их произведений (еое\ ед, еоа, e'i, еа и т. д.).
Знаменитый французский математик и астроном Лаплас
считал, что форма аргументов, применявшихся Эйлером,
способствовала быстрой сходимости его разложений. Идея
разложения координат Луны в ряды по степеням <?о, е\
г, где коэффициентами служили периодические функции,
оказалась весьма плодотворной и спустя сто с лишним
лет была с успехом использована Дж. Хиллом, а затем
Э. Брауном.
Лунная теория Эйлера 1753 г., наряду с теориями
Клеро и Даламбера, была одной из первых аналитических
теорий движения Луны. Она вовсе не была попыткой
усовершенствования теории Клеро, как полагали авторы
некоторых статей, посвященных Эйлеру. Это была
совершенно самостоятельная работа, автор которой (знакомый
с сочинениями Клеро) шел своим оригинальным путем.
Не менее оригинальной была и теория, изложенная
в «Приложении». В пей Эйлер впервые применил к
задаче о движении Луны метод вариации произвольных
постоянных.
Суть этого метода состоит в следующем. Орбита
любого небесного тела и его положение на орбите
определяются шестью величинами, называемыми элементами
орбиты (рис. 16). Два первых — долгота восходящего
узла Q и наклон орбиты к эклиптике i — определяют
положение плоскости орбиты в пространстве; третий —
угловое расстояние перигелия (перигея) от узла о) —
определяет ориентировку орбиты (ее линии апсид) в ее
собственной плоскости; часто вместо со используют
долготу перигелия (перигея) я — £> -(-ш, хотя обе части этого
угла лежат в разных плоскостях: Q — в плоскости
эклиптики, а со — в плоскости орбиты данного тела; два
следующих элемента — длина большой полуоси а и
эксцентриситет е — определяют размеры и форму орбиты;
наконец, последний элемент — долгота планеты в начальную
эпоху Го — определяет ее положение на орбите в
некоторый заданный момент,
87

Если бы у нас было всего два тела (например, Земля
и Луна), мы могли бы принять одно из них (Землю) за
неподвижное тело и рассматривать движение Луны
относительно центра Земли по законам Кеплера.
Соответствующая система дифференциальных уравнений движения
Рис. 16. Элементы орбиты Луны
решается однозначно, причем решение включает шесть
произвольных постоянных. Определить их из уравнений
нельзя (поэтому они и называются «произвольными»),
их находят из наблюдений. Вот почему для определения
расположения, размеров и формы орбиты Луны (и любой
планеты, спутника, кометы) и ее начального положения
необходимо и достаточно именно шести элементов. Это
не должны быть непременно те шесть элементов, которые
мы перечисляли. Так, вместо долготы в начальную эпоху
можно задавать момент прохождения через перигей.
Вместо эксцентриситета можно задать параметр орбиты или ее
малую полуось и т. д. Но именно шесть перечисленных
элементов признаны наиболее удобными в астрономии.
В задаче двух тел задание шести элементов орбиты
определяет не только орбиту и начальное положение
Луны (будем дальше говорить именно о Луне, хотя наши
рассуждения справедливы для любого небесного тела),
но и ее положения в любой момент времени, как в
прошлом, так и в будущем, поскольку ее движение по орбите
регулируется вторым законом Кеплера (законом
площадей). Таким будет невозмущенное движение Луны.
Вводим теперь третье тело — Солнце, главного
«возмутителя спокойствия». Под действием солнечных
возмущений, как мы видим, все элементы орбиты Луны
изменяются. Меняются долгота узла £1, долгота перигея я,
88

наклон орбиты i, эксцентриситет е. Из-за возмущений в
лунной долготе изменится и период обращения Луны, и
моменты всех ее последующих (после начального,
взятого из наблюдений) прохождений через перигей. Менее
других элементов подвержена возмущениям большая
полуось орбиты а, но в принципе изменяется и она.
Поэтому задачу можно поставить так. Поскольку
возмущающая сила приводит к постепенному изменению
элементов орбиты Луны, это равносильно тому, что мы
будем варьировать (изменять) произвольные постоянные
в решении системы дифференциальных уравнений,
определяющих невозмущенное движение. Тогда каждому
моменту времени будет соответствовать своя система
элементов эллиптической орбиты. И хотя реальная орбита
Лупы не будет эллипсом, ее можно разложить на
небольшие отрезки эллипсов, стыкующиеся между собой. Такие
эллипсы получили название оскулирующих*6). Равным
образом движение по ним принято называть оскулирую-
щим. В оскулирующем движении координаты тела и
проекции вектора его скорости в каждый момент совпадают
с таковыми в реальном, возмущенном движении.
Метод вариации произвольных постоянных связывают
обычно с именем Лагранжа. Действительно, Лагранж в
мемуаре, опубликованном в 1766 г., развил общую
теорию и указал приложения этого метода. Но Эйлер еще
за 13 лет до Лагранжа применил метод вариации
произвольных постоянных, или, другими словами, метод оску-
лирующей орбиты, для построения теории лунных
неравенств, вызванных возмущающим действием Солнца.
И в данном случае он действует последовательными
операциями. Сначала Эйлер определяет неравенства, не
зависящие от е', а и г. При этом он полагает
эксцентриситет лунной орбиты е — ео (среднему), а в выражении
для параметра орбиты р = /?о(1 + 5), гДе 6 — некоторая
малая величина (как в первой теории v), он полагает
на первом этапе | = 0, т. е. р =» ро. Поскольку р = а(1 —
— е2)у очевидно, это последнее условие соответствует
условию е = во, поскольку большая полуось орбиты а почти
не подвержена возмущениям.
Так Эйлер находит коэффициенты разложений гдля
г/а, е, углового расстояния перигея от узла <о и средней
долготы Луны К. При этохМ члены, пропорциональные со,
Зб) От латинского osculatio — поцелуй, что в данном случае
переводится как «соприкасание»,
89

Эйлер берет из наблюдений, хотя он и приводит
формулу для нахождения коэффициентов при со. В итоге Эйлер
получает разложения, содержащие не меньше
неравенств, чем в первой теории, но со значительно более
высокий точностью числовых значений коэффициентов.
Теория «Приложения» получила дальнейшее развитие
в работах С. Д. Пуассона (1781—1840) и ITI. Э. Делоне
(1816—1872). Ей (как и первой теории) посвятил
специальное исследование М. А. Вильев.
Лишь через 19 лет Леонард Эйлер вновь обратился
к проблеме движения Луны. В 1772 г. вышло его
сочинение, озаглавленное «Теория движений Луны,
объясненная новым способом». Как и предыдущие сочинения
Эйлера, этот мемуар был написан по-латыни. В историю
науки этот труд вошел под названием «Новая теория
Луны». Он был издап Петербургской академией паук.
Это был громадный том ин-кварто объемом в 790 страниц.
К этому времени Л. Эйлер полностью потерял зрение.
Свои труды он диктовал либо сыну, Иоганну-Альбрехту,
либо помогавшим ему молодым академикам В. Л. Краф-
ту (1743—1814) и А.-И.-Лекселю (1740-1787). Они же
выполнили по указаниям Л. Эйлера большой объем
вычислений, занимающих около 60 % его книги. В связи
с этим нелишне будет привести здесь полное название
труда Эйлера: «Теория движений Лупы, объясненная
новым способом, вместе с астрономическими таблицами, из
которых положения Луны для любого времени легко
могут быть получены, созданная под руководством
Леонарда Эйлера неимоверным усердием и неутомимыми
трудами трех академиков: И.-А. Эйлера, В. Л. Крафта,
А.-И. Лекселя».
Это один из первых в истории науки примеров труда
научного коллектива. Один из первых, но не самый
первый. Четырнадцатью годами раньше научный коллектив
для решения важной задачи — предсказания появления
кометы Галлея — создал А. Клеро (в этот небольшой
коллектив вошли, кроме самого Клеро, астроном Ж. Ж. Ла-
ланд и вычислительпица Николь Лепот). Но еще за
500 лет до этого, в 1252 г. кастильский король Альфонс X
привлек группу астрономов для построения так
называемых Альфонсинских таблиц (см. с. 42),
Мы видим, что Эйлер ставил себе целью не только
развить новую, более совершенную теорию Луны, но и
составить на ее основе таблицы, пригодные для
мореплавателей и путешественников,— не будем забывать, что
90

точные положения Луны были нужны в первую очередь
именно им для определения долгот.
На каких же принципах строил свою новую теорию
Леонард Эйлер? В предисловии к своей работе он так
оценивал положение, сложившееся в лунной теории: «За
последние 40 лет я часто пытался вывести теорию
движения Луны из принципов тяготения, но сталкивался
со столь многочисленными трудностями, что мне
приходилось прерывать свою работу и дальнейшие
исследования. Проблема сводится к трем дифференциальным
уравнениям второго порядка, которые не только не
интегрируются, но и при использовании метода приближений,
которым нам придется удовлетвориться, приводят к
величайшим трудностям, так что я не вижу, как из одной
теории тяготения можно заключить — годится ли она для
чего-нибудь полезного...»
Несмотря на столь пессимистическое вступление,
Эйлер в этой работе применил ряд остроумных методов,
очень пригодившихся впоследствии. Он рассмотрел
задачу о движении Луны во вращающихся прямоугольных
осях координат, так что одна из осей была все время
направлена на «среднюю луну», т. е. на воображаемую
точку, движущуюся равномерно по эклиптике с
периодом, равным сидерическому месяцу. В дальнейшем
совершался переход от прямоугольных координат к
полярным.
Основная идея Эйлера заключалась в следующем.
Любая из трех координат Лупы (например, долгота,
широта и синус параллакса) может быть разложена в ряд
по степеням и произведениям малых величин е, е и
7 (отношение собственных движений Солнца и Луны m
считаем заданным из наблюдений). Тогда нашу
координату (обозначим ее через у) можно представить в
виде ряда:
у - Р0 + ePi + е'Р2 + Чръ + Н^4 + ...,
где величины Рп — периодические функции времени,
имеющие вид
Иначе говоря, каждая из функции Р„ — это тоже ряд,
члены которого выражаются через синусы или косинусы
от аргумента (А + Bt) с коэффициентами h. Требовалось
найти эти функции.
91.

Эйлер пытался найти значения коэффициентов Pni
каждого в отдельности. Но тут он встретил затруднение,
связанное с тем, что величины m, e, e', if входят в
коэффициенты В. Поэтому он был вынужден рассматривать
изменения аргументов вида {А + Bt) как взятые из
наблюдений. Из наблюдений же он брал движение перигея
лунной орбиты. Все это, конечно, нарушало стройность
метода Эйлера, снижало его точность. Однако
построенные по этой теории трудами помощников Эйлера
таблицы не уступали в точности полуэмиирическим таблицам,
построенным в 1755 г. геттингенским астропомом Тобиа-
сом Майером (1723—1762) по первой теории Эйлера.
Майер для вычисления своих таблиц брал все члены
разложений по теории Эйлера, но коэффициенты подбирал
такие, чтобы они наилучшим образом удовлетворяли
наблюдениям. Точность этих таблиц достигала ±1,5'.
После смерти Майера английский астропом Джеймс
Брадлей (1692—1762), использовав собственные
наблюдения, повысил точность таблиц Майера до =Ы'.
Британское адмиралтейство высоко оценило таблицы Майера,
дважды обеспечив их издание (в 1755 и 1770 гг.) и
уплатив вдове Майера вознаграждение в 3000 фунтов
стерлингов. Автору же использованной Майером теории,
Леонарду Эйлеру, было уплачено только 300 фунтов. Здесь
явно сказался узкий практицизм лордов Британского
адмиралтейства: таблицы были оценены в десять раз
дороже теории, на основе которой они были вычислены.
Таблицы Майера до 1823 г. использовались для
вычислений положений Луны, дававшихся в
астрономических ежегодниках. При этом их еще не раз исправляли.
Новое издание их выпустил в 1787 г. (с исправлениями)
Ч. Мейсон (1730—1787), ассистент Брадлея. В
дальнейшем их заменили более точные таблицы Бюрга и Бурк-
хардта, основанные уже на теории Лапласа.
Значение второй лунной теории Эйлера было по
достоинству оценено только через сто лет, когда Джордж
Хилл использовал его методику для построения самой
совершенной, до применения ЭВМ, числеппо-аналитиче-
ской теории движения Луны. Методы Эйлера
пропагандировали в своих лекциях такие крупные специалисты,
как Джон Адаме и Джордж Дарвин. Весьма высокую
оценку этим методам дал в своей обзорной лекции на
IV Математическом конгрессе в Риме Саймон Ньюком.
С этой оценкой солидаризовался и автор перевода
«Теории движений Луны...» 1772 г, на русский язык акаде-
П

мик А. Н. Крылов, подчеркивавший значение методов
Эйлера (а также Хилла) для... теории механизмов и
машин. Не удивляйтесь! В этой теории, изучающей
разного рода периодические колебания, применяются те же
уравнения, что и в теории движения Луны37).
Теоретические исследования Эйлера пытался
продолжить действительный член Петербургской академии наук
Фридрих Теодор (Федор Иванович) Шуберт (1758--*
1825). Уроженец Германии,
но с 1783 г. работал в
России, с 1804 г. заведовал
Петербургской астрономической
обсерваторией. Еще в 1798 г.
Шуберт издал трехтомный
курс теоретической
астрономии, который по
предложению Лапласа был переведен
на французский язык и
переиздан во Франции.
Первая из работ Шуберта
по теории движения Луны,
доложенная на двух
заседаниях академии в мае 1799 г.
и в январе 1800 г., так и
называется: «Дополнение к
теории Луны Эйлера». В этой
работе, занимающей более
40 страниц, уточняются те
члены эйлеровых разложе- фрИДрих Теодор (Федор Иъа-
пий, которые зависят от квад- нович) Шуберт (1758—1825)
рата эксцентриситета земной
орбиты. Шуберт учитывает вековое изменение этой
величины (об этом мы расскажем дальше) и, независимо
от Лапласа, получает как следствие вековое ускорение
в движении Луны. В другой работе, опубликованной в
1810 г., Шуберт исследует качественные проявления
влияния солнечных возмущений на движение Луны: на
изменение формы ее орбиты, скорости самой Луны в разных
точках орбиты; он простым путем выводит вариацию,
годичное уравнение и другие неравенства.
37) К сожалению, А. Н. Крылов перевел этот труд Эйлера на
русский язык лишь частично (см. Дополнение к тт. V и VI
Трудов А. Н. Крылова,—М., 1930). Почти вся вторая книга осталась
непереведснпои. Полного перевода этого сочинения на русский
язык пока пе существует.
93

Глава IV
ВЕК ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ:
НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА ИДЕТ НА ПРИСТУП
Лагранж и Лаплас
После смерти Эйлера и Даламбера эстафету
исследований по теории движения небесных тел приняли два
замечательных французских астронома (работавших, как
и их предшественники, также в области математики и
механики)— Жозеф Луи Лагранж (1736—1813) и Пьер
Симон Лаплас (1749—1827).
Лагранжу мы обязаны многими общими формулами
механики, выражающими движение системы
материальных точек, на которые действуют силы. Он занимался не
только астрономическими проблемами, но и вопросами
гидродинамики или, скажем, такими задачами, как
натяжение пити под действием приложенных к ней сил.
Прямой вклад Лагранжа в теорию Луны невелик. Но
целый ряд разработанных им методов, введенных им
понятий и соотношений
получили примепепие и в теории
движения. Лупы, облегчили
ее построение. Так, мы уже
упоминали о методе вариации
произвольных постоянных.
Хотя его применяли ранее
Ньютон и особенно Эйлер,
именно Лагранжу
принадлежит его общая формулировка
и наиболее полная теория.
Интересно, что после первых
работ по этому методу,
выполненных в 1762—1766 гг.,
Лагранж вернулся к нему
спустя 12 лет и в 1778 г.
опубликовал мемуар,
заслуживший премию Парижской
академии паук, в котором
Жозеф Луи Лагранж
(1736-1813)
вывел систему
дифференциальных уравнений, опредс-
94

ляющих все шесть оскулирующих элементов. В этом
труде Лагранж уже широко использует понятие
возмущающей функции, о котором мы скажем чуть
дальше. В 1808 г. он опубликовал еще три мсмуара,
посвященные обобщению и усовершенствованию метода
вариации произвольных постоянных. В дальнейшем
Лагранж включил теорию этого метода во второе издание
своего капитального труда—-«Аналитической механики».
Лагранж ввел очень важные понятия классической
механики, а именно, понятия силовой и возмущающей
функций. Любопытно, что понятие силовой функции
было введено им в одном из немногих мемуаров,
посвященных движению Луны: «О вековом уравнении Луны»
(1773).
Рассмотрим функцию
mimj
• * * 2 *
ггЗ гз
где /га,-, rrtj — массы взаимодействующих тел, r»j —
расстояние между ними, G — постоянная тяготепия. В
правой части у нас стоит сумма членов, куда входят
взаимодействия масс всех рассматриваемых тел, взятых
попарно (запрет i ^ / обозначает, что тело не может
взаимодействовать с самим собой). Лагранж доказал, что силы
взаимодействия тел между собой во всех комбинациях
могут быть выражены частными производными силовой
функции по координатам:
Слева здесь стоят компоненты сил, сообщаемых телу
под номером i всеми другими телами системы, справа —
частные производные силовой функции по
соответствующей координате38). Эти уравнения доказывают, что сила
всемирного тяготепия потенциальна и ее потенциалом
является силовая функция С/, Иначе говоря, функция U
имеет смысл потенциальной энергии системы тел в
некотором силовом поле (ноле тяготения). Таким образом,
Лагранж ввел и само понятие силового поля, получившее
столь разнообразные применения и в наше время, в том
38) Частной производной функции, зависящей от нескольких
аргументов, называется производная по данному аргументу в
предположении о том, что остальные аргументы постоянны*
95

числе и для полей совсем иной природы (электромагнит*
ных, ядерных и др.).
Представим себе теперь систему из п материальных
точек, из которых т0 представляет центральное тело,
а ш\у тяг, ..., nin-i — остальные тела, возмущающие
движение друг друга. Тогда уравнения возмущенного
движения можно, оказывается, записать в такой форме:
^Г + Ж гз - дх. •
и аналогично для коордипат yiy zu Здесь обозначено р, =
*=>G{mQ + mi) и введена функция
*,-«2-)(-,дг-'"+';'+"''),
которая и называется возмущающей функцией.
Расстояния п, Г} в формуле — это расстояния тел i, j до
центрального тела, а г« — их расстояния между собой; так же
обозначены их компоненты по ося*м; суммирование опять
проводится для всех ; Ф г, а в скобке стоят два члена,
выражающие прямое и косвенное (через центральное
тело) воздействия тела / на тело U Таким образом, мы
опять приходим к выводу, что возмущающее действие
всех тел с / Ф г и / Ф О потенциально и аддитивно, т. е.
возмущения разных тел геометрически (векторио)
складываются между собой. Если бы тел /т?2, ..., тп-\ не
было, а имелись бы только тела то и ти то Ri = О,
поскольку все массы m}(j Ф О, ] Ф \) обратятся в нуль.
Тогда мы будем иметь невозмущепное движение.
Введение возмущающей функции позволяет упростить
решение основной проблемы теории Луны — учета
возмущений от Солнца. Для этого нужно разложить
возмущающую функцию в ряд по степеням малых величин с
периодическими коэффициентами. С таким разложением
в ряд мы уже встречались. Но вместо того, чтобы
разлагать отдельно каждый элемент орбиты или каждую из
трех координат (долготу, широту, радиус-вектор),
достаточно получить разложение одной возмущающей
функции, потому что через нее легко выражаются и элементы
орбиты, и координаты небесного тела. К тому же в
случае основной задачи теории Луны формулы упрощаются,
поскольку имеется лишь одно возмущающее тело —
96

Солнце и одно возмущаемое тело —Луна. Тогда для на<
шей функции R имеем:
R~GM
®("Д
хх' + УУ' + ™
.3
-}
где Д — расстояние между Луной и Солнцем, г —
расстояние между Землей и Солнцем, #, у, z —
геоцентрические координаты Луны, х\ у\ z — такие же
координаты Солнца.
Наибольшие трудности представляет разложение в
ряд члена 1/Д — главной части возмущающей функции.
Разложение второго члена, называемого также косвенной
частью возмущающей функции, особых трудностей не
представляет.
Таким образом, Лагранж, введя понятия
возмущающей функции, как бы направил усилия исследователей
по определенному руслу: начинать надо с разложения
возмущающей функции в ряд по степеням е, е\ *\ =
= sin J/2, a = aja' с коэффициентами в виде
периодических функций (синусов или косинусов) уже известных
нам четырех углов (см. с. 86) или их целочисленных
комбинаций. Как производить разложение — этот вопрос
и стал предметом многочисленных исследований на
протяжении целого столетия, О них мы расскажем дальше,.
Если Лагранж, как мы
уже отмечали, специально
теорией Луны почти не
занимался „ (за исключением
двух-трех работ,
посвященных вековым неравенствам
Луны), то его младший
современник Пьер Симон
Лаплас затратил не менее 30 лет
труда на ее
усовершенствование.
Одним из важнейших
достижений Лапласа на этом
поприще было объяснение
векового ускорения в
движении Луны. Это явление было
открыто в 1693 г. Эдмондом
Галлеем из сравнения
наблюдений лунных затмений
в древности и в его время.
Галлей сделал об этом до^
7 в. А. Бронштэв 97
Пьер Симон Лаплас
(1749-1827)

клад в Королевском обществе (Академии наук
Великобритании), указав на то, что средняя скорость движения
Луны вокруг Земли постепенно возрастает. Наличие
точных наблюдений Луны за XVIII век позволило оценить
вековое ускорение в 10" в столетие. Это означало, что
орбита Луны постепенно уменьшается и она может рано
или поздно упасть на Землю.
В 1770 г. Парижская академия наук объявила
конкурс на лучшее объяснение этого явления. Леонард
Эйлер, принявший участие в конкурсе, пришел к
неутешительному выводу, что «вековые неравенства лунного
движения не MqryT вызываться силами тяготения». Он
пытался объяснить их торможением Луны межпланетной
средой.
В 1774 г. Лагранж тоже сделал попытку объяснить
это явление, но потерпел неудачу. Разочарование было
столь удручающим, что Лагранж усомнился в
подлинности древних наблюдений, на которых основывалось
открытие Галлея, а новые наблюдения пытался объяснить
наличием долгопериодических возмущений. Столь же
неудачны были первые попытки Лапласа. Он, как Эйлер
и Лагранж, пытался выдвигать специальные объяснения
этому факту. Так, он предположил, что тяготение
передается телам не мгновенно, а с некоторой скоростью, как
свет. Но в 1783 г. Лаплас нашел решение. Под
действием возмущений от других планет происходит вековое
изменение (уменьшение) эксцентриситета земной
орбиты. Это и является причиной векового ускорения
движения Луны. Лаплас получил полное согласие теории с
наблюдениями. Правда, спустя 80 лет выяснилось, что дело
обстоит гораздо сложнее и только часть векового
ускорения Луны объясняется по Лапласу, но заслуга его в
объяснении этого эффекта несомненна.
Основываясь на понятии о возмущающей функции,
введенном Лагранжем, Лаплас указал общий метод
вычисления лунных неравенств, о котором мы уже
говорили: разложение возмущающей функции в ряд и
переход от этого разложения к соответствующим
разложениям, для элементов и координат. Этим он довел лунную
теорию до степени обобщения, недосягаемой для его
цредшественников.
к Указав общий метод решения основной задачи теории
движения Луны, Лаплас выявил целый ряд неравенств,
причиной которых были не возмущения от Солнца, а
другие факторы, Однцм из них были возмущения от планет,
98

как прямые (т. е. за счет притяжения Луны планетами),
так и косвенные (например, уже упомянутое влияние
планет па эксцентриситет земной орбиты). Другим очень
важным фактором, создающим неравенства в движении
Луны, является, как доказал Лаплас, несферичность
Земли, ее сжатие у полюсов. Дополнительные массы,
сосредоточенные в экваториальном «горбе» земного
эллипсоида, возмущают движение Луны. Этому эффекту
Лаплас посвятил два мемуара, опубликованные в 1782
и 1796 гг. Более того, он указал метод определения, на
основании этих возмущений, полярного сжатия Земли,
и определил это сжатие в 1/305. Этот метод не раз с
успехом применялся последователями Лапласа. Спустя
полтора столетия советский астроном профессор К. Л. Баев,
следуя методу Лапласа, по неравенствам в широте Луны
определил сжатие Земли в 1/297. Прямые измерения
фигуры Земли (так называемый эллипсоид Красовского)
дают сжатие 1/298,3. Таким образом, метод Лапласа дал
здесь погрешность 0,4 % •
Заслугой Лапласа является и теоретический анализ
явления либрации Луны, Общеизвестно, что Луна
обращена к Земле одной стороной. Это означает, что период
вращения Луны вокруг оси равен среднему периоду ее
обращения вокруг Земли (сидерическому месяцу).
Но поскольку Лупа обращается вокруг Земли
неравномерно, а вращается вокруг оси равномерно, мы можем
иногда немного заглядывать на ее невидимую половину,
то с восточной, то с западной стороны. Это явление,
впервые обнаруженное еще Галилеем и детально изученное
Я. Гевелием, а затем Т. Майером, получило название
оптической либрации по долготе. Наибольшее ее значение
составляет ± 7,9°. Она равна сумме уравнения центра
и всех неравенств луппой долготы.
Как показал французский астроном Ж. Д. Кассини
(1625—1712), плоскость лунного экватора пересекается
с плоскостью лунной орбиты и плоскостью эклиптики по
одной липии — линии узлов лунной орбиты. Таким
образом, ось вращения Луны, ось лунной орбиты и ось
эклиптики лежат в одной плоскости. Наклон экватора
Луны к эклиптике равен 1°32', а к лунной орбите 5°09' +■;
+ 1°32' = 6Q41/. Благодаря этому мы можем заглядывать
па обратную сторопу Луны то с северной, то с южной
стороны. Это явление называется оптической либрацией
по широте. С учетом всех возмущений лунной широты
она может достигать =Ьб,85%
7*
99

Очевидно, что период оптической либрации по
долготе равен аномалистическому месяцу (27,55 сут), а
период оптической либрации по широте — драконическому
месяцу (27,21 сут), поскольку она определяется
положением Луны относительно узла. Несоизмеримость этих
а б
Рис. 17. Оптическая либрация Луны в октябре 1935 г. (а) и в
августе 1928 г. (б) (по И. И. Путилину)
Рис. 18. Снимки Луны при разных углах либрации (обсерватория
Пик-дю-Миди, 30 августа и 25 декабря 1966 г., 60-см рефрактор)
периодов приводит к тому, что общая картина
оптической либрации бывает весьма замысловатой (рис. 17).
Наглядное представление об оптической либрации дают
показанные на рис. 18 два снимка Луны, сделанные при
разных углах либрации,
100

Однако кроме оптической либрации, вызываемой чисто
геометрическими причинами, существует еще реальная,
или физическая либрация, представляющая собой
отклонение Луны от равномерного вращения. Ее
существование предполагал еще Ньютон, считавший, что Луна
имеет форму сфероида, наибольший диаметр которого
повернут к Земле 39).
Получилось так, что в этом вопросе теоретики шли
впереди наблюдателей. Около 50 измерений положений
лунных кратеров выполнил Т. Майер, в 1763 г. серию
наблюдений провел Ж. Лаланд, в 1791 г. результаты
своих наблюдений опубликовал И. Шретер. Несмотря на
большие усилия, Шретер не смог с нужной точностью
определить величину физической либрации, так как
применявшийся им метод приводил к большим случайным
ошибкам. Между тем, всем было ясно, что физическая
либрация Луны — величина весьма малая по сравнению
с оптической либрацией, и не должна превосходить 5'
в селенографических координатах, иначе говоря,
«лишний поворот» Луны в результате физической либрации
не должен превосходить этой величины.
Теорией вращения Луны занимались Даламбер и
Эйлер. Даламбер еще в 1749 г. рассмотрел вращательные
движения свободного твердого тела, а Эйлер в 1758 г.
вывел уравнения движения вращающегося тела,
имеющего неподвижную точку. При этом он доказал, что задача
имеет решение, если результирующая всех сил,
приложенных к телу, проходит через эту точку.
В 1764 г. Лагранж в специальном исследовании
доказал, что фигура Луны может быть представлена
эллипсоидом с наибольшей осью, направленной к Земле,
и с наименьшей полярной осью. Этот мемуар был
удостоен премии Парижской академии наук. В нем Лагранж
доказал также, что в результате воздействия Земли
периоды вращения и орбитального движения Луны
должны сравняться. В 1780 г. в другом мемуаре,
опубликованном Берлинской академией наук, членом которой
состоял Лагранж, он объяснил совпадение узлов лунной
орбиты и экватора Луны и вывел соотношение между
лунной либрацией и движением узлов.
89) Ньютон указал также на любопытное обстоятельство: в
результате оптической либрации по долготе Луна обращена одной
стороной не к Земле, а к другому фокусу своей орбиты (см. Пе«
релъман Я. И. Занимательная астрономия,-»- Изд, ll-et M,: Наука,
1966),
101

Более полная теория физической либрации Луны
была развита Лапласом в 1798 г. Он не только подтвердил
основные выводы Лаграижа, но и построил теорию маят-
никообразных колсбапий Луны относительно
равновесного положения, происходящих под действием
притяжения Земли. Эти колебания складываются из двух
компонентов совершенно разной природы. Первый из них
связан с тем, что направленная к Земле главная ось
инерции Луны вследствие оптической либрации
отклоняется от направления на центр Земли, а притяжение
Земли стремится вернуть эту ось в прежнее положение.
Продолжительность и фаза этого колебания зависит от
неравенств движения Луны по орбите, в основном от
неравенств долготы. Что касается амплитуды, то она
зависит от разности моментов инерции Луны, определяемых
ее точной формой и распределением масс в ее недрах.
Так как моменты инерции Луны неодинаковы, то это
колебание должно иметь конечное (не нулевое) значение.
Спустя 90 лет после Лапласа немецкий астроном И. Франц
назвал этот вид колебаний вынужденной либрацией.
Другой вид колебаний связан с тем, что в ходе
формирования и эволюции Луны ее фигура изменялась и не
имела симметричной формы и распределения масс.
Поэтому Луна совершала сначала большие, а потом все
уменьшавшиеся свободные колебания относительно
положения равновесия, когда ее период вращения был бы
равен периоду обращения вокруг Земли. Приливы в
лунной коре, в 20 раз более мощные, чем те, что Луна
вызывает в земной коре, должны были затормозить ее
некогда более быстрое вращение. Его «остатком» и
являются эти колебания, продолжительность которых зависит
от моментов инерции Луны, а амплитуда и фаза —
произвольные постоянные, определяемые из наблюдений.
Этот вид колебаний получил название свободной
либрации.
После работ Лапласа по исследованию физической
либрации Луны усилия астрономов были направлены
в основном на определение постоянных обеих либрации из
наблюдений. По инициативе Лапласа эту работу,
состоявшую в точном измерении положения на лунном диске
некоторых специально выбранных кратеров, проводили
в 1806—1810 гг. французские астрономы А. Бувар и
Ф. Араго, а в 1819—1820 гг. Ж. Н. Ииколле. В
дальнейшем большие ряды наблюдений физической либрации
Луны проводили эстонский астроном Э, Гартвиг, прль-
102

ские астрономы Т. Банахевич и К. Козиел, советские
астрономы А, А. Яковкин, И. В. Белькович, А. А. Не-
федьев, Ш. Т. Хабибуллин.
Сказанным не исчерпывается вклад Лапласа в теорию
движения Луны. Он стремился не только строить теорию,
но и применять ее на практике. Так, по величине
параллактического неравенства он определил солнечный
параллакс, т. е. величину, обратную среднему расстоянию Зем-
щ& от Солнца. По приливам, вызываемым на земных
океанах притяжением Луны, он определил ее массу. Этому
вопросу он посвятил две работы: в 1790 и в 1818 гг.
Кроме того, Лаплас показал, что как обращение Луны
вокруг Земли по орбите, так и ее вращение вокруг
оси подвержены одним и тем же вековым возмущениям,
поэтому Луна всегда будет обращена к Земле одной
стороной.
Все свои исследования по лунной теории Лаплас
описал в третьем томе капитального научного труда
«Трактат по небесной механике», изданного на протяжении
четверти века (1799—1825) в пяти томах (третий том
вышел в 1802 г.). В самом заголовке этого сочинения
впервые прозвучало название новой науки, созданной
трудами Ньютона, Эйлера, Клеро, Даламбера, Лагранжа
и Лапласа — небесной механики. Теперь этот термин
прочно вошел во всеобщее употребление.
Лаплас всячески содействовал составлению и изданию
лунных таблиц, основанных на его теории и на
разработанной им методике. Первым составил такие таблицы по
формулам Лапласа, с использованием большого ряда
наблюдений пятого но счету королевского астронома
Невиля Маскелайна (1732—1811), выполненных на
Гринвичской обсерватории, венский астроном Иоганн Тобиас
Бюрг (1766—1834). Таблицы Бюрга были опубликованы
в 1806 г. и заменили собой таблицы Майера. Но спустя
всего шесть лет, в 1812 г., Иоганн Карл Буркхардт (1773 —
1825) выпустил под непосредственным руководством
Лапласа (для этого он переселился из Германии в Париж)
новые таблицы Луны, основанные непосредственно на
формулах «Небесной механики» Лапласа. Таблицы Бурк-
хардта в свою очередь заменили таблицы Бюрга. Однако
в них были ошибки, доходившие иногда до 40"» Тем не
менее, таблицы Буркхардта использовались до 1828 r.f
когда на смену им пришли таблицы М. Дамуазо,
Дщ,, А. Плана и Ф. Карлини. О работах этих ученьц мы
расск&щем в следующем разделе,
т

В заключение нашего рассказа о работах Лагранжа
и Лапласа нелишне будет привести следующее
высказывание об этих замечательных ученых их ученика и
продолжателя их работ С. Д. Пуассона, содержавшееся в
произнесенной им речи на церемонии похорон Лапласа
(1827 г.): «Будь то вопрос о либрации Луны или
проблема теории чисел, Лагранж по большей части видел в
вопросах, которые он изучал, только математическую
сторону дела; для Лапласа математический анализ был,
напротив, орудием, которое он приспособлял к самым
разнообразным применениям, но подчиняя всегда данный
специальный метод сущности вопроса. Быть может,
потомство скажет, что один был глубокий геометр40),
а второй — великий философ, который стремился познать
природу, заставляя служить ей самую высокую
математику».
Последователи Лапласа
Лаплас воздвиг своими трудами грандиозное здание
небесной механики. И ему самому, и его ближайшим
ученикам и сотрудникам казалось, что на долю его
последователей останется лишь отделка этого блестящего
сооружения, в крайнем случае — достройка отдельных
его частей.
Изложив в III томе своей «Небесной механики»
основные результаты лунной теории, Лаплас писал: «Из
них бесспорно следует, что закон всемирного тяготения
есть единственная причина неравенств движения Луны;
...именно Луна среди всех небесных тел является
наиболее подходящим для того, чтобы утвердить этот великий
закон природы».
Но когда последователи Лапласа попробовали
«достраивать» ту часть воздвигнутого им здания, которая
относилась к теории движения «наиболее подходящего»
небесного тела — Луны, они неожиданно встретились с
рядом трудностей. Ближайший ученик и сотрудник Ла-
40) Термин геометрия в те времена понимали иначе, чем
теперь. По определению Ньютона, «...геометрия основывается на ме*
ханической практике и есть не что иное как та часть общей
механики, в которой излагается и доказывается искусство точного
измерения». Поэтому и геометрами в то время называли вообще
специалистов по точным наукам, т. е. математиков, механиков и
астрономов (физика тогда еще к разряду точных наук не
относилась).
104

'fvrwrtW wtiTV1
1&£*
Симеон Дени Пуассон
(1781-1840)
пласа, Симеон Дени Пуассон
(1781—-1840), продолжатель
его математических работ,
чувствовавший себя в
вопросах математического анализа
буквально как рыба в
воде41), сделал в 1833 г.
попытку развить новый метод
вычисления лунных неравенств,
но вынужден был сам
признать, что этот метод
недостаточен для создания
теории Луны, хотя и может быть
использован для
вычислений возмущений в движении
планет. В 1835 г. Пуассон
пытался развить метод
Эйлера определения оскулирую-
щих элементов лунпой
орбиты, но и здесь его
результаты были более чем
скромными. Другой ученик Лапласа, Мари Шарль Теодор Дамуазо
(1768—1846) в результате четырехлетней работы составил
«Таблицы Луны», опубликованные в 1828 г. на средства
Бюро долгот в Париже. За эти таблицы он получил премию
Парижской академии наук, которая еще в 1820 г., при
жизни Лапласа, объявила конкурс на создание таблиц
Луны, построенных на чисто теоретической основе и
дающих точность, не уступающую точности лучших
астрономических наблюдений. Дамуазо сумел продолжить
и расширить расчеты Лапласа по вековому изменению
среднего движения Луны. В то же время работа Дамуазо
показала, что теория Лапласа не дает нужной точности
положений Луны. Поэтому Дамуазо был вынужден,
используя аналитические разложения в ряды, взятые из
работ Лапласа, определять числовые значения
постоянных интегрирования из наблюдений.
Нужно отдать справедливость Дамуазо — численные
значения коэффициентов всех неравенств он вычислял
с большой точностью, так что поправки к ним не
превышают нескольких десятых долей секунды дуги в долготе
(за исключением некоторых). Поэтому таблицы Дамуазо
41) Французское слово poisson означает «рыба».
105

Джованни Антонио Амедео
Плана (1781—1869)
были повсеместно принята
па вооружение, поскольку
они были значительно точнее
таблиц Бюрга и Буркхардта»
Дамуазо впервые исполь*
зовал численно-аналитичег
ский метод вычисления
лунных неравенств, основанный
на подстановке численных
величии элементов орбиты до
интегрирования дифферент
циальных уравнений. Но это
было до некоторой степени
признанием слабости теории,
отходом от принципов, заве-*
щанных Лапласом. Ведь ее-»
ли все неравенства Луны
объясняются законом все*
мирного тяготения, а аппа*
рат для его применения н
теории движения небесных тел дает небесная механика,
следовало ожидать успеха чисто аналитического подхода
к проблеме.
Именно по такому пути пошел итальянский небесный
механик Джованни Антонио Амедео Плана (1781—1869).
директор обсерватории в Турине. После того как Париже
екая академия наук в 1820 г. объявила конкурс на
составление таблиц Луны, полностью основанных на
теории, он тоже принялся за работу и совместно с
миланским астрономом Франческо Карлини (1783—1862)
составил таблицы, не уступавшие по точности таблицам
Дамуазо, а в ряде случаев и превосходящие их. Таблицы.
Плана и Карлини тоже получили премию Парижской,
академии, но, к сожалению, не были изданы. Зато в
1832 г. Плана издал в Турине свой трехтомный труд
«Теория движения Луны», в котором лунные неравенства
были рассчитаны до 5-го порядка относительно малой.
величины т = п'/п, а некоторые члены и до более
высоких порядков. Плана использовал чисто аналитический
подход. С помощью развитой им теории он проверил
расчеты вековых неравенств, выполненные ранее Лап*
ласом.
Для некоторых периодических неравенств он впервые
получил аналитические выражения, для других поправил
коэффициенты, найденные Лапласом и Дамуазо,
106

Работа Плана возбудила интерес у других небесных
механиков к лунной проблеме. Плана явился прямым
предшественником таких аналитиков, как Ф. Г. Понте-
кулан и Ш. Э. Делоне, предпочитавших аналитические
методы построения лунной теории.
Нельзя не отметить колоссальный объем работы
Плана. Три громадных тома его «Теории движения Луны»
содержат около 2500 страниц текста, формул и таблиц.
Все три тома он сдал в печать одновременно. Они были
изданы в Турине, в то время — столице Сардинского
королевства (до объединения Италии оставалось еще около
30 лет), на французском языке. Свои три итальянских
имени Плана заменил одним французским, назвавшись
просто: Жан Плана.
И в самом деле, в течение более ста лет, со времен
Клеро и Даламбера, французские астрономы прочно
занимали ведущее место в небесной механике. После
смерти Эйлера и вплоть до работ Гаизепа и Адамса никто не
мог с ними конкурировать. Неудивительно, что итальянец
Плана тоже изложил свой труд по-французски.
Труд Плана получил должную оценку у
современников. «Этот труд,— писал Ф. Г. Понтекулан,— наиболее
важный из всех, что появились по теории движения
Луны, и заслуживает самого пристального внимания.
Разложение аналитических формул продолжено так далеко,
а детали, в которые углубляется автор, дают как будто
столь прекрасные гарантии верности его вычислений, что
если исключить некоторые частные неравенства в
движении Луны, которые по своей сложности ускользнули от
общего метода, использованного Плана, представляется
затруднительным добавить что-либо существенное к
объему и точпости его приближений, к результатам этой
большой работы».
Но дав труду своего предшественника столь высокую
оценку, Филипп Гюстав Понтекулан (1795—1874)
поступил как раз наоборот в отношении своего
заключительного вывода. Начиная с 1837 г., он начал разрабатывать
лунную теорию дальше, стремясь учесть неравенства
более высокого порядка, чем это сделал Плана.
В самом деле, большая часть членов в разложениях
Плана содержит коэффициенты до 5-го порядка
включительно, а некоторые — и до более высоких порядков,
вплоть до 7-го. Понтекулан задался целью учесть все
неравенства 6-го порядка и расширить круг включаемых
членов 7-го и более высоких порядков,
107

Он понимал, что залогом успеха является правильный
выбор метода исследования. «Выбор методов
небезразличен,— замечает Понтекулан во введении,— особенно
в столь обширной и трудной теории, как теория Луны»,
И далее он приводит слова своего учителя Лапласа:
«Именно в выборе методов и в предвидении величин,
которые могут быть существенны в последовательных
интегрированиях, состоит искусство приближений,
искусство не менее нужное для прогресса наук, чем поиск
аналитических методов».
Понтекулан не был новичком в небесной механике.
В 1829 г. он выпустил два тома своей «Аналитической
теории системы мира», в 1834 г. увидел свет ее третий
том. В четвертом томе Понтекулан предполагал
изложить лунную теорию, существенно доработанную им
самим.
Он решил отказаться от использования в качестве
независимой переменной истинной долготы Луны, как это
делал Плана, следуя рекомендациям Даламбера. Правда,
метод Плана сокращал затраты труда на разложение
в ряд возмущающей функции, но последующие
преобразования формул к обычному виду, когда координаты
Луны выражены в функции времени, были столь объемны
и трудоемки, что этот недостаток метода перекрывал все
его выгоды.
Работа оказалась нелегкой, несмотря на наличие
подробных трудов предшественников. Наступил 1840 год.
В это время от жестокой болезни умирал преемник и
продолжатель многих работ Лапласа Симеон Дени
Пуассон. Понтекулан зашел навестить умирающего. «Ну, как
подвигается Ваша теория Луны?»— спросил его Пуассон,
«Эта теория — бездонная бочка,— отвечал Понтекулан,—
и я не уверен, что справлюсь с этой задачей. Чей голос
сможет оценить по достоинству мои скромные усилия
в этом трудпом деле?»
«Если я выживу, то это будет мой голос,— сказал на
это Пуассон.— Ну, а если нет, то запомните: каждый из
нас должен вложить свой камень в стройное здание
науки. Я свой камень вложил и умираю со спокойной
совестью. Вложите же и вы свой — и вам будет легче жить
и умирать». Спустя несколько дней Пуассон скончался.
Его слова произвели на Понтекулана глубокое
впечатление. Он продолжил работу над лунной теорией в в 1846 г.
смог, наконец, выпустить четвертый том своего труда. По
объему он уступал вчетверо трехтомнику Плана, но по
108

точности теория Понтекулана превосходила работу его
предшественника.
Понтекулан принял время в качестве независимой
переменной и сферическую систему координат. Впрочем,
в дальнейшем он ввел модифицированные координаты,
с которыми было легче работать и которые легко можно
было преобразовать в обычные: долготу, широту и
радиус-вектор. Решая дифференциальные уравнения
движения Луны, он использовал метод неопределенных
коэффициентов. Разлагая возмущающую функцию, а затем
непосредственно координаты в тригонометрические ряды,
Понтекулан представлял амплитуды периодических
неравенств неопределенными коэффициентами, которым он
присваивал условные обозначения типа ао, а>и ^2, %. •,
Ьо, Ь|, Ьг, • • • При подстановке таких разложений в
основные уравнения получалась система алгебраических урав*
нений, которые решались методом последовательных при*
ближений. В разложении для 8и (напомним, что и =■*
«=■ 1/г, а Ьи — приращение и относительно его
невозмущенного значения) Понтекулан сохранил 76 членов,
зависящих от малых постоянных е, е' и а/а\ Столько же
возникло и неопределенных коэффициентов, а значит
и алгебраических уравнений, которые надо было решать.
В ту пору не было не только ЭВМ, но даже
арифмометров, считать надо было от руки, используя, правда,
таблицы логарифмов и тригонометрических величин. Очень
много времени отнимали громоздкие выкладки, а также
сами расчеты. Неудивительно, что ученые работали над
основной проблемой теории Луны многие годы,
Понтекулан выполнил поставленную им задачу,
построил новую аналитическую теорию движения Лунь1„
Всюду, где это было возможно, Понтекулан сравнивал
свои результаты с результатами Плана и, если
обнаруживались расхождения, старался докопаться до их
источника. Но в большинстве случаев расхождений не было,
только у Понтекулана было больше членов в
разложениях. Окончательное буквенное выражение для радиуса-
вектора Луны (вернее, для отношения а/г), выведенное
Понтекуланом, дается с точностью до малых величин
порядка ть включительно, выражение для долготы в
общем случае — до малых порядка т6, а некоторые
важнейшие члены — до малых порядка т7 или даже т8,
выражение для широты — до малых порядка т6
включительно. Из формул Понтекулана легко получаются такие
основные неравенства, как эвекция. вариация1 годичное
109

и параллактическое неравенства. Поэтому его теорию до
сих пор излагают в учебниках, хотя теперь есть и более
совершенные теории 42),
Спор о вековом ускорении
Мы уже рассказывали о том, как Лаплас теоретически
объяснил величину векового ускорения Луны, получив
значение, которое хорошо согласовалось с данными
наблюдений. В самом деле, Лаплас получил для векового
ускорения средпей долготы Луны о в 10,2" в столетие,
тогда как анализ наблюдений древних и современных
лунных затмений давал 11", Последователи Лапласа,
о работах которых мы рассказывали, также определяли
из своих теорий эту величину и, казалось бы,
подтверждали вывод Лапласа. Так, академик Ф. И. Шуберт
получил 11,5", Дамуазо получил 10,7", Плана—10,6",
Понтекулан— 12,24". Немецкий астроном Петер Андреас
Ганзен (1795—1874), работавший в Готе, получил для
этой величины сначала 11,47", а затем 12,18", в хорошем
согласии с результатом Понтекулана, а также с
данными наблюдений. Казалось бы, все здесь обстоит хорошо.
Но вот в 1853 г. этот во«
прос пересмотрел
английский астроном Джой Кбуч
Адаме (1819-1892),
известный уже благодаря тому, что
он, независимо от Леверье,
предсказал в 1846 г.
существование. Нептуна. Он указал
на ошибку в расчетах
Лапласа, Дамуазо и Плапа,
состоявшую в том, что эти ав«
• торы при интегрировании
дифференциальных уравне-*
ний движения Луны
принимали эксцентриситет земной
орбиты е* постоянным и
только после интегрирования
;он Коуч Адаад начинали, рассматривать е'
(1819—1892) как функцию времени. Это
42) Довольно ясное изложение теории Понтекулана и его
метода неопределенных коа<} фнциеатов содержится в книге:
Смарт У, Л/и Небесная механика.— М.: Мир, 1965, гл,-17«
110

было\ допустимо в первом приближении, на котором ос-,
тановился Лаплас, но в дальнейших вычислениях, где
принимаются в расчет вторая и третья степени
возмущающей функции, это допущение не могло не привести,
к неверным выводам.
Адаме представил величину а в виде ряда по
степеням т (член с иг3 в него не входит):
о — am2 + Ьттг4 + сть + dm6 + em7 +.. f
Оказалось, что все коэффициенты Ь, с, d, e —
отрицательны. Последовательные члены ряда были вычислены,
и вот что получилось:
0-10,66" -2,34" ^1,58" -0,71" -0,25" -
. -0,06*-r8t7Jfy
Здесь величина — 0,06" выражает вклад всех после*
дующих членов ряда.
Выводы Адамса поддержал Шарль Делоне, который
в это время усиленно работал над новой аналитической
теорией движения Луны. Он получил о = 6,18". Однако
несмотря на ясность и убедительность доводов Адамса,
поддержанных Делоне, другие ученые не согласились с
ними. Горячим противником мнений Адамса и Делоне
выступил Понтекулан, который не только не допускал
возможности представить с помощью предложенной Адам*
сом величины о наблюдения древних затмений, но и
оспаривал правильность его теоретических заключений»
К Понтекулану присоединились Плана, Ганзен и даже Ле*
верье. Впрочем, последний основывал свои сомнения не
столько на своих собственных исследованиях, сколько на
авторитете Ганзена.
Началась полемика. Адаме доказывал, что этот вопрос
является чисто математическим и должен решаться
именно математическими методами, независимо от того, со*
гласуется результат с наблюдениями или нет. Чтобы не-
быть голословным, он привлек в качестве эксперта
известного английского математика Артура Кэли (1821—
1895), который подтвердил справедливость выводов Адам*
са. В связи с этим Адаме высказал мнение, что если
теоретическое значение о явно отличается от того, которое
дают наблюдения, то на движение Луны влияют другие
силы, не гравитационной природы. «Этот факт,— заявил
он,— может указать нам путь к важному физическому
открытию».
Адаме оказался прав. Еще в 1865 г. его союзник
в споре Делоне заметил, что причиной расхождения меж-
Ш

ду теоретическим и наблюдаемым значениями о может
быть приливное торможение вращения Земли.
Как известно, приливы в океанах Земли вызываются
в основном Луной. Правда, их создает и Солнце, но
нетрудно подсчитать, что действие Луны сильнее, В самом
деле, возмущающие действия Луны и Солнца относятся как
d ( г©_ V _ 3903 _ 59 319 000 ^ 2 20
М
М
0 \ га
332 000-81,3 26 991600
Здесь ге/Г(1 «= 390 — отношение расстояний до Солнца и
Луны, 332 000 и 81,3 —отношения масс Солнце: Земля
и Земля: Луна соответственно. Их произведение
очевидно и равно Мэ/М<[<
Поскольку Земля вращается вокруг оси, приливная
волна как бы катится по поверхности океана, обходя
Землю за 24 часа 55 минут — за так называемые лунные
сутки, или промежуток
между двумя последовательными
верхними кульминациями
Луны. За это время бывает
два прилива и два отлива.
Из-за трепия приливной
волны о берега и морское дно
Хна мелководье) приливная
волна отстает от Луны
(происходит приливное
запаздывание), а вращение Земли
постепенно тормозится, так
как приливная волна
катится навстречу вращению
Земли (рис. 19).
Но для наблюдателя, находящегося на тормозящейся
Земле и не знающего о ее торможении, все небесные
светила будут казаться ускоряющими свое видимое
движение, даже если бы в действительности они двигались
равномерно.
Именно на это обстоятельство и обратил внимание
Шарль Делоне. Некоторые специалисты согласились с
ним, другие выразили сомнение. Точку зрения
сомневающихся хорошо сформулировал русский астроном
Н.П.Долгоруков, который в 1885 г. писал в своей магистерской
диссертации: «Весьма мало вероятно, чтобы
происходящее от этой причины замедление вращения Земли
оказалось хотя сколько-нибудь чувствительным»,
Рис. 19. Угол приливного
запаздывания
412

Однако уже на рубеже 70-х и 80-х гг. серьезные ис-»
следования приливного торможения Земли начал Джордж
Дарвин (1845—1912), сын великого естествоиспытателя.
К концу XIX века стало ясно, что именно приливное
торможение ответственно за ту часть векового ускорения
Луны, которая не объясняется гравитационной теорией.
Но задолго до этого большинство противников Адамса
и Делоне сложили оружие. Плана сам провел
необходимые вычисления и убедился в том, что гравитационное
вековое ускорение Луны не превосходит 6". Признал
истинность этого значения и Ганзен.
Приливное тормояшние влияет не только на
вращение Земли, но и на движение Луны. Система Земля —
Луна — это связанная система, обладающая
определенным моментом количества движения. Эта величина есть
сумма произведений масс всех частиц системы на их
расстояния от центра (оси) вращения и на линейную
скорость вращательного (орбитального) движения43).
Момент количества движения Земли относительно ее оси
вращения, называемый также вращательным моментом
Земли, близок к значению
]9 « 0,33ад^э - 0,33 • 6 • Ю24 • 6,378 • 106.464 -
- 5,9 • 1033 кг м2/с,
а орбитальный момент Луны — к значению
/4 « Мцги - 7,38-1022.3,844.10е-1023 - 2,9.10м кг м2/С
Здесь R — радиус Земли, v9 — скорость ее вращения
на экваторе, г и v — расстояние от центра Земли и
орбитальная скорость Луны. Итак, орбитальный момент Луны
почти впятеро превосходит вращательный момент
Земли — случай, в системах спутников планет единственный
(во всех остальных системах вращательный момент
планеты во много раз превосходит орбитальные моменты
всех ее спутников, вместе взятых).
Одним из важнейших законов механики является
закон сохранения момента количества движения. Это
значит, что общий момент количества движения системы
Земля —Луна (равный, очевидно, 3,5 • 1034 кг м2/с) не
может измениться за счет взаимодействия тел системы г
между собой.
43) Имеется в виду скорость вращения точек экватора;
предполагается, что скорость перпендикулярна радиусу-вектору; если
это условие не соблюдается, берется их векторное произведение.
8 в. А. Бронштэы
113

Но Луна своим воздействием создает приливы,
которые тормозят вращение Земли, а значит, уменьшают ее
вращательный момент (за счет уменьшения иэ). Из за-*
кона сохранения момента следует, что уменьшение
вращательного момента Земли должно компенсироваться
таким же увеличением орбитального момента Луны. Как
же именно? Теория показывает, что расстояние Луны
от Земли должно расти. Правда, при этом уменьшится
орбитальная скорость Луны и, но v ~ г~1/2, значит rv ~
~ г1/2, т. е. орбитальный -момент с удалением Луны от
Земли будет расти.
Все это хорошо, скажет читатель, но неубедительно.
Что же заставляет Луну «подчиняться» закону
сохранения момента? Ведь она не живое существо, которому
можно сказать: «Удаляйся от Земли! Закон есть закон».
Конечно, Луна удаляется от Земли не по приказу.
Существует физический механизм передачи Луне части
потери вращательного момента (та часть, которую
вызывают солнечные приливы, Луне не передается). Мы уже
говорили, что приливные горбы отстают от Луны. На
рис. 20 показана схема их
взаимодействия с Луной, на-
ходящейся в" точке М.
Ближайший к Луне горб с
центром масс в Р стремится
ускорить ее движение, тянет ее
вперед, более далекий горб
Р\ наоборот, действует как
тормоз, тянет назад. Но горб
Р ближе, и его действие
сильнее, поэтому движение
Рис. 20. Взаимодействие при- ЛУНЫ Укоряется, и она вы-
ливных горбов с Луной нуждеиа перейти на более
далекую- от Земли орбиту,
с бблыйим г» Увеличение г приведет к уменьшению
орбитальной скорости у.
Здесь не надо искать ошибок автора или опечаток
типографии. Парадокс в том и состоит, что ускорение
Луны приливными горбами- приводит к замедлению ее
движения. Обратная картина наблюдается в движений
близких искусственных спутников Земли: там
торможение спутника в верхних слоях атмосферы заставляет
спутник снижаться, а притяжение Земли разгоняет его,
так что несмотря на атмосферное торможение, его
движение ускоряется, Но чтобы перевести тот же спутник.
114

на более высокую орбиту, его надо слегка разогнать
(действием двигателей). И несмотря на разгон, скорость
орбитального движения такого спутника уменьшитсй — за
счет его отдаления от Земли и ослабления силы земного
притяжения. Примерно то же происходит и с Луной в
результате действия на псе приливных горбов. И мы на
этом примере снова убеждаемся, что и в небесной
механике действует строгое правило: «Закон есть закон».
Подсчитаем, какое кажущееся ускорение Луны
получится в результате прогрессивного приливного
торможения Земли. По данным современных астрономических
наблюдений длина суток увеличивается на 1,5
миллисекунды в столетие, т. е. за 36525 суток. За это время
Земля «не довернется» до очередного полного оборота на
некоторый угол. Чтобы повернуться на этот угол, Земле
понадобится еще
1,5.10~3.^р- = 27,8 секунды,
Нетрудно сообразить, что этот угол равен 27,8 • 15 *
«=417". Чтобы найти кажущееся приращение долготы
Луны за 28 секунд, надо это число помножить на число
секунд дуги в окружности (1296 000) и поделить на
число секунд времени в сидерическом месяце (27,32166 X
X 86 400-2360591). В итоге получим 15", Это и есть
дополнительное вековое «ускорение» Луны.
Казалось бы, получилась слишком большая
величина. Ведь гравитационная теория дает для истинного
векового ускорения Луны 6", да за счет приливного
торможения получается еще 15" фиктивного ускорения,
а всего 21", тогда как наблюдения, согласно Г. Спенсеру
Джонсу44), давали 11,2", Но, во-первых, величина
приливного торможения определена пока еще весьма
неточно, а, во-вторых, оценка Спенсера Джонса подверглась
в последние годы изменениям и поправкам. Так, Л. Мор-
рисон получил в 1973 г. значение 0 е 21", Р. Ньютон4*)
по древним наблюдениям солнечпых затмений в 1970 г.
нашел о~19", такой же результат получили в 1972 г.
44) Гарольд Спенсер Джонс (1890—1960) —десятый королев*
Ский астроном Великобритании, крупный специалист в области
астрометрии и небесной механики, популяризатор астрономии. Ряд
его книг был переиздан в СССР.
45) Роберт Ньютон, современный американский геофизик и
историк науки, известен советскому читателю по изданной у нас
ею книга «Преступление Клавдия Птолемея» (М,; Наука, 1985).
6*
115

из анализа моментов прохождений через меридиан
Солнца, Луны и планет за 1912—1968 гг. астрономы К. Эс-
тервинтер и К. Коэн, а по 7000 наблюдений покрытий
звезд Луною Т. Ван Фландерн получил о = 26".
Однако у читателя может возникнуть вопрос: а не
забыли ли мы в наших подсчетах реальное отставание
Луны из-за ее постепенного удаления от Земли и
замедления движения по орбите. Нет, не забыли. Подсчеты
показывают, что из-за этого эффекта Луна за столетие
отдалится от Земли... на 3 метра, период ее обращения
увеличится на 0,025 секунды и за 1337 оборотов,
которые Луна сделает за 100 лет вокруг Земли, она отстанет
от того положения, которое занимала бы на прежней
орбите, на угол в 3", Так что мы спокойно можем это
отстаивание учесть.
Нам поневоле пришлось для выяснения вопроса о
вековом ускорении далеко оторваться от исторической
последовательности повествования. Мы еще вернемся к
участникам дискуссии о вековом ускорении, подробно
расскажем об исследованиях Ганзена и Делоне. А
сейчас заметим только, что & наиболее совершенной
численно-аналитической теории^ Луны Эрнеста Брауна
(законченной в 1919 г.) б1^ло получено значение
гравитационного в£к^ого__у_ско|)ения 0 = 6,01", в прекрасном
согласии с расчётами Адамса и Делоне.
Таблица 4
Вековые неравенства в движении Луны (по Н. П. Долгорукову)
Автор
Лаплас
Дамуазо
Плана
Понтекулай
Ганзен
Делоне
Адаме
Средняя
долгота
10,182"
10,723
10,580
12,24
12,18
6,176
5,70
Долгота
перигея
30,551"
39,697
36,220
40,611
37,25
39,499
—' г
Долгота
восходящего узла
7,488'*
6,563
6,830
6,731
7,07
6,778
~"^
Лаплас открыл не только вековое ускорение в
движении Луны. Он обнаружил еще два вековых эффекта —
в изменении долготы перигея и восходящего узла,
В 1800 г. А. Бувар доказал, что наблюдения древних
затмений — в Вавилоне, Греции и странах арабского
116

Востока — вполне соответствуют всем трем вековым
неравенствам» Их не раз уточняли последователи Лапласа,
как это наглядно представлено в таблице 4,
заимствованной из книги II. И. Долгорукова.
В отличие от векового ускорения долготы Луны,
два других вековых эффекта у разных авторов
получились примерно одинаковыми и повода для дискуссии не
создали.
Теория и таблицы Петера Ганзена
Петер Андреас Гапзен (1795—1874), родом датчанин,
всю жизнь работал в Германии, в городе Готе, в
предместье которого — Зеберге — он в 1825 г. построил новую
обсерваторию, оснастил ее точными приборами и
руководил ею почти 50 лет — до самой смерти. На
обсерватории производились точные измерения положений
небесных светил, в том числе Лупы. Это и побудило
Ганзена заняться небесной механикой. Пожалуй,
наибольший вклад он внес в теорию движения Луны.
Но подход Ганзена к этой проблеме был иной, чем
подход Плаыа и Понтекулана (а в дальнейшем —
Делоне). Ганзен понимал, что для нужд практики необходимы
точные таблицы лунных положений. Требования к их
точности все росли, и их у
даже таблицы Дамуазо,
Плана и Карлики, не
говоря о таблицах их
предшественников.
Однако для составления
точных таблиц Лупы
необязательно было строить
аналитическую теорию
движения нашего спутника.
Достаточно было разработать
удобную числепно-анадиш-
ческую теорию. Это значит,
что многие величины,
которые в чисто аналитических
теориях подлежат
определению из самой теории, в
данном случае можно было
брать из наблюдений.
Вот как характеризует
использованный им метод сам
не могли удовлетворить
Петер Андреас Ганзен
(1795-1874)
Ш

Ганзен: «Я подставляю численные значения коэффициент
тов в выражения и произвожу умножения и
интегрирования непосредственно с этими числовыми значениями.
Из всех методов, что я использовал, это кратчайший и
надежнейший путь для получения точного результата,..
В отличие от метода неопределенных коэффициентов,
который требует решения мпогих условных уравнений,
быстрее и надежнее сразу подставлять численные
значения коэффициентов в известных членах разложений п
определять неизвестные без построения условных
уравнений, методом последовательных приближений. При
этом можно не заботиться, будет ли соответствующий
член иметь заметное значение или пет. Приближения
продолжаются, пока вновь получаемое значение искомой
величины не совпадет с предыдущим».
В 1838 г. Ганзен изложил свою теорию, метод
исследования и его результаты в сочинении на латинском
языке, озаглавленном «Новые основы исследования
истинной орбиты, пробегаемой Луной». По первому слову
латинского названия это сочинение часто называют
Fundamenta («Основы»).
Почти 20 лет труда ушло у Гапзена па составление
его знаменитых лунных таблиц. Это увесистый том,
изданный в 1857 г. на средства Британского
адмиралтейства. Любопытно, что Британское адмиралтейство
издало труд немецкого астронома на... французском языке.
Почему? Ведь, казалось бы, «владычица морей» должна
была подумать в первую очередь осшх, английских
капитанах. ^\^_.._ _ ^
Дело в том, что в XVIII—XIX веках французский
язык стал чем-то вроде международного языка, не
только среди ученых, но и среди дипломатов, купцов, моряков.
В среде дворянства было принято говорить только по-
французски (в том числе и в нашей стране).
Дипломатам пе нужны были переводчики — они говорили между
собой тоже на этом языке. Знали его и английские
капитаны. А к моменту выхода в свет таблиц Гапзена только
что закончилась Крымская война, в которой Англия и
Франция участвовали как союзницы. Англии выгодно
было продать часть тиража таблиц Гапзена французским
мореходам.
Таблицы Ганзепа превосходили по точности все
изданные ранее. Они использовались с тех пор не только
мореплавателями — по ним составляли разделы,
посвященные Луне, в больших астрономических ежегодниках
118

j гораздо проще метода Пла-
! удовлетворял Делоне.
1 Он решил пойти своим пу-
I тем. За десять лет он разра-
I ботал оригинальный метод
I решения задачи о возмущен-
движении. Еще десять
Шлет ушли у него на приспо-
I собленис этого метода к за-
з о движении Луны. Ито-
- двадцать лет нанря-
труда. Но резуль-
1 таты его работы превзошли
I все ожидания.
В чем же состояла идея
1 метода Делоне? В его основе
I лежал уже известный нам
В метод вариации
произвольных постоянных, использо-
1апный за сто лет до Делоне
Эйлером и подробно
разработанный Лагранжем.
Этими произвольными
постоянными служили в данном
Луны.
Обозначим через а некоторый элемент эллиптической
орбиты Луны. Возмущающая сила Солнца, действующая
на Луну, заставляет этот элемент изменяться со
временем, и его производную по времени (т. е. скорость его
изменения) можно представить так: \
%-Р0 + Р1 + Р>+...,
случае элементы орби:
где Pt — это функции элементов орбиты и времени, за
исключением Ро, которое не содержит времени в явном
виде. Делоне на первом этапе пренебрегает всеми
членами, кроме первых двух, и интегрирует дифференциальное
уравнение ^У
Тогда наш элемент а становится функцией шести
новых произвольных постоянных а\, Ъ\, с\, ... и времени t:
* lLau bi, cu
г П.

столетие. Ганзен пришел к
выводу, что если бы вековое
ускорение равнялось этой
величине, то ни одно из трех
античных затмений
наблюдаться бы не могло.
Здесь налицо было явное
недоразумение. Ведь
величина, определенная Адамсом
и Делоне, это не все вековое
ускорение Луны, а лишь та
его часть, которая
определяется гравитационными сила*
ми. Как мы уже знаем, есть
и другая причина, порождав
ющая аналогичный
эффект,— приливное
торможение. Поэтому аргументация
Ганзена не могла
опровергнуть расчеты Адамса и Де-
Саймон Ныоком (1835—1909) лоне, а лишь подтверждала
существование другой при*
чины векового ускорения, кроме гравитационных воз-»
действий.
Таблицы Ганзена хорошо представляли наблюдения
Луны за 1750—1850 гг. Но уже к 1875 т. расхождение
между вычисленной по этим таблицам и\ наблюденной
долготой Луны достигло 8". Исследованием)этого вопроса
занялся известный американский астроном/Саймон
Ныоком (1835—1909). Обработав еще раз наблюдения
древних и средневековых затмений и многочисленные наблю*
дения покрытий звезд Луною, выполненные в XVII—
XVIII вв. Буллиальдом, Гассенди, Г^велием, Флемсти-
дом, Ла-Гиром и Делилем, Ныокдм^пришел к заключен
нию, что без введения эмпирических поправок таблицы
Ганзена не могут представить одновременно древние и
новейшие наблюдения затмений и покрытий при какой
бы то ни было величине векового ускорения. «Мы не
можем предвычислять долготу Лупы,— писал Ныоком,—
и нам придется вносить в нее поправки по данным
наблюдений через каждые 10 или 20 лет». В 1878 г.
Ньюком внес эмпирические поправки в таблицы Ганзена,
и с 1882 г. они стали применяться в эфемеридах Луны,
публикуемых в английском астрономическом ежегоднике
Nautical Almanac. Анализируя отклонения в движении
120

Луны от данных таблиц Ганзена, Ньюком начал
подозревать наличие не только приливного торможения, но
и флуктуации в скорости вращения Земли.
К этому времени уже можно было сравнить числовые
коэффициенты, вытекавшие из аналитической теории
Делоне, с коэффициентами Ганзена. Согласие между ними
было еще лучше, чем между коэффициентами Ганзена,
с одной стороны, Дамуазо и Плана, с другой. Значит,
дело было не в недостатках теории.
И все же в теории Ганзена недостатки были. Так,
одному из долгопериодических неравенств, связанных с
возмущениями от Венеры («большой венерианский
член»), Ганзен приписал коэффициент 21,47", тогда как
последующие вычисления дали значение 0,27" — почти
на два порядка меньше. После исправления этой ошибки
согласие теории Ганзена с наблюдениями даже за
1750—1850 гг. было нарушено. Ньюком показал, что
теория Ганзена представляет наблюдения нового
времени (1625—1875) с ошибками в долготе,
изменяющимися от — 28" до +33".
Тем не менее, теория и таблицы Ганзена с
поправками Ньюкома применялись для вычисления
астрономических ежегодников во всех странах (кроме Франции) до
1923 г., когда на смену им пришли теория и таблицы
Эрнеста Брауна.
Аналитический метод Шарля Делоне
Имя французского астронома-теоретика Шарля Эжена
Делоне (1816—1872) мы упоминали уже не раз.
Говорили мы и о разработанпой им теории. Теперь наступила
пора рассказать подробнее и об этой теории и о ее авторе.
Окончив Политехническую школу в Париже, Делоне
уже в 25 лет начал преподавать в знаменитой Сорбонне.
Он преподавал не только астрономию, но также
математику и механику. Ему припадлежит ряд получивших
известность исследований в области дифференциальной
геометрии и динамики. Но основпая заслуга Делопе в
науке — это разработка самой точной аналитической
теории движения Луны.
Делоне приступил к изучению возмущенного
движения в 1846 г., когда только что вышел в свет
четвертый том «Аналитической теории системы мира» Понтеку-
лана, содержавший самую совершенную по тому времени
лунную теорию, Но метод Понтекулаиа, хотя и был
121

f гораздо проще метода Ш
|на, не удовлетворял Дело]
[Он решил пойти своим гз
;тем. За десять лет он раз!
ботал оригинальный мет
решения задачи о возмуще
ном движении. Еще деся
лет ушли у него на присг
собленио этого метода к г
даче о движении Луны. Hi
I го — двадцать лет нащ
женного труда. Но резул
| таты его работы превзош,
все ожидания.
В чем же состояла ид
I метода Делоне? В его осно
| лежал уже известный hi
I метод вариации произвол
! ных постоянных, исполы
! ванный за сто лет до Дело
Эйлером и подробно разр
ботанный Лагранжем. Эт
дш произвольными постоя
ными служили в данн
случае элементы орбиты Луны.
Обозначим через а некоторый элемент эллиптическ
орбиты Луны. Возмущающая сила Солнца, действующ
на Луну, заставляет этот элемент изменяться со врем
нем, и его производную по времени (т. е. скорость е
изменения) можно представить так:
"Jjf = -М) + "l + *2 + • • • 1
Шарль Эжен Делоне
(1816-1872)
где Pi — это функции элементов орбиты и времени,
исключением Ро, которое не содержит времени в явн<
виде. Делоне на первом этапе пренебрегает всеми член
миг кроме первых двух, и интегрирует дифференциалья
уравнение ^У
— — Р 4- Р
Тогда наш элемент а становится функцией шее
яовых произвольных постоянных #ь Ъи Си ._.« и времени
т
а «1{аи Ъи си ,, r| t\.

Дальше Делоне предполагает, что произвольные
постоянные fli, 6i, ... являются новыми переменными,
причем их производные по времени выражаются тем же
рядом, но без члена Р\ — он после подстановки решения в
исходное уравнение пропадает, а остальные несколько
изменяются; наше уравнение примет вид
Затем производится новое интегрирование, в котором
принимаются во внимание только члены Ро и Рч, Оно
позволяет выразить он, Ь\у ••. в функции времени t и новых
шести произвольных постоянных аг, Ьг, ... Принимаем их
снова за переменные и интегрируем, взяв справа только
Ро + Р3, и т. д.
Наконец, остающиеся члены на некотором этапе
будут столь малы, что их квадратами и произведениями
можно пренебречь.
Таким образом, метод Делоне сводится к повторению
так называемых операций Делоне: некоторой
последовательности алгебраических операций со
множеством повторных подстановок. И хотя с каждой новой
операцией мы все ближе и ближе приближаемся к точным
значениям переменных, уже после нескольких подстановок
мелкие неравенства появляются в таком обилии, что
затрудняют ведение дальнейших выкладок.
В окончательном результате коэффициент каждого
члена сам является суммой бесконечного ряда, члены
которого расположены по степеням и произведениям
малых чисел е, е', *у и т. Этот ряд достаточно быстро
сходится в отношении величин е, е', f> по сходимость
его членов по степеням т гораздо более медленная, что
представляет дополнительное затруднение.
Чтобы облегчить эту сложную процедуру, Делоне
произвел замену обычных кеплеровых элементов орбиты
на другие, получившие название канонических элементов
Делоне. Они однозначно связаны с кеплеровыми
элементами:
L = У^а, I «= п (t — т),
G - VV(l-e2), g - со,
# = /уа(1 — e2)cosf, ft«=£.
123

Здесь а, е, i — большая полуось, эксцентриситет,
наклон орбиты к эклиптике, со — расстояние перигея от
узла, U — долгота восходящего узла, /—средняя
аномалия, т — момент прохождения Луны через перигей,
\i ■» п2а? — постоянная третье! о закона Кеплера, л —
среднее суточное движение Луны относительно перигея.
Левая колонка определяет не угловые элементы,
правая — угловые 46).
Элементы Делоне обладают замечательным
свойством: дифференциальные уравнения возмущенного
движения в этих элементах имеют следующий симметричный
вид:
M^^dR* dl = dR*
dt ~~ dl ' dt Ы '
dG__d& d£ dR*
dt dg ' dt dG *
dH^^dR* dh dR*
dt dh ' dt dH'
где Д* =* -s-j + R, a R — возмущающая функция.
Функция R* играет очень важную роль в динамике,
поскольку ее свойствами определяется весь комплекс
движений тел некоторой системы. Мы привели лишь одпу
из форм этой функции для нашего частного случая —
двийсейия Луны в возмущенном поле тяготения. Вообще
же эта функция (обозначаемая обычно буквой Н)
равна думмё кинетической и потенциальной энергии системы
и может быть представлена как функция координат и
импульсов всех тел системы. Пусть положения этих тел
определяются п обобщенными координатами qt (n = 3fc,
где к — число тел), а их скорости — п обобщенными
импульсами pi (г — 1, 2, ..., и). Тогда уравнения
движения будут иметь вид
dt " apt* dt ~~ dqt'
Здесь дН/дрь дН/dqi — так называемые частные произ*
водные, т. е. производные функции Н(ри q{) по одному
4в) Теперь их называют соответственно позиционными и уг«
ловыми переменными, или переменными «действие ~ угол*.
124 ' Ж'

из ее аргументов, если считать все остальные постоянными
|(см. с. 95).
Нетрудно убедиться, что величина \х2/2Ь2 равпа
половине квадрата скорости Луны на круговой орбите, т. е.
ее удельной кинетической энергии, возмущающая функция
R играет роль потенциальной энергии.
Понятие о функции Н было введено лет за двадцать
до основных работ Делоне английским математиком
Уильямом Роуэном Гамильтоном (1805—1865), поэтому
она получила название функции Гамильтона
(гамильтониана). Делопе умело использовал это понятие в своей
теории. Все те преобразования и подстановки, о которых
мы рассказывали выше, гораздо проще выполняются с
помощью гамильтониана, с использованием канонических
элементов Делоне.
В 1860 г. Делоне опубликовал первую часть своего
труда, в 1867 г.— вторую. Его теория была самой полной
аналитической теорией движения Луны за всю историю
ее разработки. Более того — метод Делоне пригодился
спустя сто лет для построения современной аналитик
ческой теории Луны с помощью ЭВМ. Ученые
«научили» ЭВМ не только рассчитывать движение Луны
по готовым формулам, но и составлять эти формулы по
определенному алгоритму, который был четко установлен
в теории Делоне. Но об этом мы расскажем в последней
главе нашей книги.
А пока вернемся к Шарлю Делоне. Работа, которую
он выполнил, была неимоверна для одного человека.
Достаточно сказать, что разложение лунной долготы в
теории Делоне содержит 479 периодических членов
неравенств, коэффициенты которых были вычислены с
точностью до гп7 (иногда до шъ и т9) и до членов шестого
порядка относительно е, е\ у и У а/а'. Полное выражение
для широты Луны в теории Делоне содержит 436
неравенств, для синуса параллакса — 100 неравенств*
Закончив свой труд — результат двадцатилетних
усилий — Делоне и не подозревал, что в 1870 г. в Париж
приехал молодой норвежский математик Мариус Софус
Ли, чтобы послушать лекции известных французских
математиков Ж. Г. Дарбу, М. Шаля и Ж. Л. Ф. Бертрана,
что еще более молодой немецкий математик Феликс
Клейн, вместе с ним слушавший лекции парижских
корифеев, склонит его заняться теорией групп, и что,
работая над этой новой областью математики, норвежец
откроет вид преобразований, которые получат название
125

преобразований Ли. А спустя сто лет преобразования Ли
будут применены к переводу теории движения Луны
Делоне на машипный язык, и послушные ЭВМ доведут
разложения координат Луны до 15-й, а кое-где до 19-й
степени т. Только здесь уже понадобится вычислять не
сотни, а десятки тысяч отдельных неравенств.
В том же 1872 г., когда Ли и Клейн покинули Париж,
чтобы занять профессорские кафедры, первый — в
Христиании47), второй — в Эрлангене, трагически прервалась
жизнь Шарля Делоне. В августе 1872 г. он выехал
отдохнуть к морю. День 5 августа в порту Шербур не
предвещал ничего плохого, и Делоне решил прокатиться
по морю на парусной лодке. Внезапно налетел шквал,
лодка перевернулась и 56-летний ученый утонул.
После гибели Делоне его труды продолжил Рудольф
Радо (1836—1911), немецкий астроном, с 1858 г.
работавший в Парижской обсерватории. Лишь к 1895 г. оп
составил таблицы Луны, вычисленные по теории Делоне.
В течепие десятилетия, с 1915 по 1925 г., они
использовались для составления лунных эфемерид во
французском астрономическом ежегоднике «Connaissance des
Temps». После 1925 г. вместо них, как и в других
ежегодниках, стали использовать таблицы и эфемериды,
составленные по теории Брауна.
Но значение теории Делоне не ограничилось ее
десятилетним использованием во французском ежегоднике.
Ведь эта теория была буквенной, все члены разложений
были получепы в общем виде, а это означало, что ее
можно было применить не только к Луне, но и к
движению других спутников планет. Стоило лишь
подставить их элементы орбиты, параметры центральной
планеты, расстояние от Солнца. И это было сделано при
изучении движения спутников Юпитера и Сатурна, а в
дальнейшем — искусственных спутников Земли.
Однако еще задолго до преобразований теории Делоне
на ЭВМ за ее усовершенствование взялся французский
астроном Анри Андуайе (1862—1929). Уже в начале
90-х г. он сумел значительно улучшить теорию Делоне,
повысить даваемую ею точность. Мы познакомимся с
результатами его работы позже, когда будем сравнивать их
с расчетами на ЭВМ,
47) Так назывался тогда город Осло, с 1905 г,—столица
Норвегии,
126,

Ряд важных
методических усовершенствований
внес в теорию Делоне
шведский астроном Гуго фон Цей-
пель (1873—1959), который,
между прочим, несколько
лет проработал в
Пулковской обсерватории. Эти
работы были выполнены в
1902—1918 гг. и дали
основание некоторым
астрономам ввести термин «метод
Делоне — Цейпеля». Об этих
работах мы подробно
расскажем ниже.
Теория Луны Делоне и
предложенный им метод
исследования возмущенного
движения (с использовани- Анри Андуайе (188241929)
ем гамильтониана и его
канонических элементов) прочно вошли в небесную меха*
нику и излагаются во всех учебниках. Тем более что
теперь эта теория обрела вторую жизнь.
Теория Хилла — Брауна и ее уточнения
После кончины Делоне и Ганзена центр исследований
движения Луны переместился из Европы в Соединенные
Штаты Америки. Мы уже рассказывали об усилиях
американского астронома Саймона Ньюкома по
уточнению и исправлению таблиц Ганзена. Он же выполнил то,
что не удалось в свое время сделать самому Ганзену,—
сравнил результаты, даваемые его теорией и теорией
Делоне. Согласие получилось превосходным. Значит, при*
чина расхождений между теоретическими и
наблюдаемыми положениями Луны заключалась не в недостатках
теории, а в чем-то другом. Ныоком не очень уверенно
говорил о возможности неравномерного вращения Земли,
но доказать свое предположение не мог.
Вместе с Ньюкомом в Морском ведомстве США в
Вашингтоне в вычислительном бюро «Американского
морского ежегодника» работал астроном и математик
Джордж Уильям Хилл (1838—1914). Обсуждая
совместно с Ньюкомом проблемы теории движения Луны, Хилл
понялд что ни теория Делоне, ни .теория Ганзена не
427

Джордж Уильям Хилл
(1838-1914)
могут удовлетворить
растущие требования к точности
лунных эфемерид. И он
решил разработать новую
теорию. Какую же? С одной
стороны, Хилл прекрасно
понимал, как нужны точные
эфемериды Луны. С другой
стороны, возможности
построения чисто
аналитической теории движения Луны
были практически
исчерпаны исследованиями Делоне.
И Джордж Хилл решил
сперва исследовать
некоторые общие вопросы лунного
движения, а затем построить
его численно-аналитическую
теорию, но на более
высоком уровне, чем у Ган-
зеиа.
Идею метода он позаимствовал из второй лунной
теории Эйлера: рассматривать движение Луны в
прямоугольной системе координат с вращающимися осями.
Но в отличие от Эйлера, у которого одна из осей была
направлена на «среднюю луну» (точку, равномерно
движущуюся по эклиптике, совершающую один оборот за
сидерический месяц),Хилл направил осьXсвоей системы
координат на «среднее солнце» (на такую же точку,
равномерно движущуюся по эклиптике в течение
сидерического года и раз в год совпадающую с центром диска
реального Солнца). Ось Y у него была расположена в
плоскости эклиптики перпендикулярно к X, ось Z была
направлена по нормали к эклиптике.
Построив систему дифференциальных уравнений
движения Луны в прямоугольных координатах, Хилл
временно полагает z = 0 и ищет периодическое решение
полученной системы для координат х и у в виде
бесконечных тригонометрических рядов вида
я = 40cos n(t — t0)+ А\ cos3rc(* — *о) +
+ A2COs5n(t — t0)+ ...
у = Bo sin n (t — *о) + В{ sin дп (t — t0) +
+ #2 sin bn (t - to) + •..,
128

где п и tо — произвольные постоянные, определяемые из
наблюдений (средняя угловая скорость Луны
относительно Солнца и момент ее прохождения через ось X,
что близко к новолунию), Ai и Я<—-постоянные
коэффициенты, определяемые как функции п и п (средней
угловой скорости Солнца) из условий задачи. Эти
коэффициенты должпы определяться путем решения
бесконечной системы алгебраических уравнений. Казалось бы,
такая задача неразрешима. Но Хилл предложил
оригинальный метод решения этой системы и определения
коэффициентов А(, Ви Полученные им таким образом
выражения для х, у выражают некоторую кривую,
являющуюся лучшим первым приближением к
возмущенной орбите Луны, чем кеплеровский эллипс. Эта кривая
получила название вариационной кривой, или
промежуточной орбиты.
Важное преимущество промежуточной орбиты перед
кенлеровским эллипсом в качестве первого приближения
заключается в следующих двух положениях: во-первых,
она с самого начала учитывает основную часть
солнечных возмущений; во-вторых, координаты Луны при ее
движении по этой орбите выражаются приведенными
выше периодическими рядами, коэффициенты которых
связаны между собой сравнительно простыми
соотношениями. Эти коэффициенты являются функциями
величины
m « г,
которая с большой точностью определяется из
наблюдений. Хилл нашел т' = 0,080848933808312. Методом
последовательных приближений он получил выражения
всех значимых коэффициентов с точностью до величины
порядка т'9. В принципе же метод Хилла позволяет
определять эти коэффициенты с любой требуемой
точностью.
Исследования Хилла по теории движения Луны были
им опубликованы в трех мемуарах в 1878—1886 гг.
Однако Хилл не дал доказательства сходимости
полученных им рядов. Иначе говоря, он не показал, что
суммы этпх бесконечных рядов представляют собой
конечные величины. Переходя с математического языка на
астрономический, это означает, что Хилл не решил
вопрос, будет ли Луна постоянно обращаться вокруг Земли
9 В. А. Бронштэц
129

или она под действием солнечных возмущений сможет в
один прекрасный день покинуть нашу планету и стать
«независимой», самостоятельной планетой, которая будет
обращаться вокруг Солнца.
Эта задача — об устойчивости движения Луны — была
обобщена на другие спутниковые системы и получила
название задачи Хилла. Возникло специальное понятие:
устойчивость в смысле Хилла, или короче —
устойчивость по Хиллу. Это понятие имеет большое значение в
небесной механике.
Первым решение задачи о сходимости рядов Хилла
!(а значит и об условии устойчивости движения спутника
в смысле Хилла) дал в 1896 г. замечательный русский
математик Александр Михайлович Ляпунов (1857—1918).
Он получил условие сходимости m < 1/7. Луна
удовлетворяет этому условию, но, например, VIII спутник
Юпитера, у которого m = 0,146, находится как бы на
границе устойчивости. Уже в 1952 г. советский астроном
Г. А. Мерман, следуя методу А. М. Ляпунова, уточнил
его доказательство и получил условие сходимости га <
<0,18, а в 1959-1962 гг. М. С. Петровская и Ю. А.
Рябов довели предел сходимости до ггь < 0,258. Это значит,
что даже если Луна удалится от Земли на двойное
расстояние против современного, она все еще останется
спутником Земли.
Вернемся однако к Джорджу Хиллу. Кроме введения
промежуточной орбиты и постановки проблемы
устойчивости движения Луны и других спутников планет, Хиллу
принадлежит еще одно важное достижение в лунной
теории. Речь идет о движении лунного перигея.
Известно, что перигей луппой орбиты смещается
примерно на 40° в год. Делоне в ходе утомительных
вычислений с учетом членов до восьмого порядка по m удалось
достичь точности в 1/8000, т. е. до 18" в год. Такая
точность не могла удовлетворить наблюдателей, а тем
более Морское ведомство США. Хилл сумел развить
общий метод изучения той части движения перигея,
которая не зависит от величин е, е' и у. Переход к
промежуточной орбите позволил ему путем сравнительно
кратких вычислений с немногими членами достичь
фантастической точности в 10~и, или до миллиоппой доли
секунды в год, до 10~4 с в столетие.
Следуя методике Хилла, Дж. К. Адаме и П. Коуэлл
выполнили столь же точные расчеты движения лунных
узлов,
130

Исследования Хилла открыли новую страницу в
теории движения Луны и других спутников планет. Не
случайно коллега Хилла Саймон Ньюком назвал его
«величайшим из живущих мастером в высшей и
наиболее сложной отрасли астрономии, который завоевал своей
стране всемирную известность в науке, получая
вознаграждение государственного служащего».
Эти слова были написаны в 1903 г. Ньюком не знал,
конечно, что пройдет всего два года и другой
государственный служащий, скромный сотрудник Патентного бюро
в Берне Альберт Эйнштейн опубликует небольшую
статью «Об электродинамике движущихся сред», которая
принесет ему всемирную известность в науке, намного
большую, чем та, что выпала на долю Хилла; что с
помощью развитой Эйнштейном теории относительности
удастся объяснить дополнительное смещение перигелия
Меркурия на 43" в столетие — явление, которое сам
Ньюком пытался объяснить существованием неизвестных
масс между Меркурием и Солнцем; что эффекты теории
относительности придется учитывать и в теории
движения Луны и это сделают спустя 70 лет советские ученые
В. А. Брумберг и Т. В. Иванова.
Однако теория Хилла в применении к Луне не была
доведена до конца. Не было развито хорошей, удобной
методики вычисления
коэффициентов при тех членах,
которые расположены по
степеням и произведениям
е, е и «у. Трудность
состояла в том, что эти величины
входили не только как
множители в периодические
члены, но также и в их
аргументы. Требовалось найти
разложения тех частей
аргументов, куда входили е, е\
•у, по степеням этих величин.
Между тем в 1887 г.
Кембриджский университет в
Англии с успехом окончил
молодой астроном и
математик Эрнест Уильям Браун
(1866—1938). Его
профессор и учитель Джордж Дар-
imu, видя интерес молодого
О' £31
Эрнест Уильям Врауп
(1866-1938)

ученого к теории движения Луны, посоветовал ему
отправиться в Соединенные Штаты Америки к Джорджу
Хиллу и там под его руководством заняться дальнейшим
развитием лунной теории. Уже в 1888 г. Браун начал
свои исследования под руководством Хилла. В 1896 г.
он публикует книгу «Вводный трактат по лунной
теории», в которой излагает существующие теории
движения Луны, анализирует их достоинства и недостатки.
Но уже начиная с 1897 г. Браун публикует серию
статей, в которых развивает свою собственную теорию
Лупы, основанную на идеях Хилла. В ходе многолетней
работы ему удалось преодолеть все затруднения теории
одно за другим и развить оригинальные методы решения
основной задачи.
Для пояснения этих методов представим некую
координату Луны у (это может быть долгота, широта или
синус параллакса) в виде бесконечного ряда:
у — Р0 + еРг + е'Р2 + ?Рз + е^РА +...,
где Pi являются периодическими функциями времени:
Мы уже встречались с этими выражениями в разделе,
посвященном Эйлеру, который безуспешно пытался
найти значения коэффициентов Р< в отдельности. Хилл
сумел найти общий метод разложения членов выражения
Ро. Как же подошел к разрешению задачи о разложениях
Pi, P2 и т. д. Эрнест Браун?
Вместо того чтобы разлагать коэффициенты h по
степеням отношения средних движений Солнца и Лупы
т, Браун с самого начала подставляет числеппое
значение т. Таким образом, его метод по отношению к е, е\ у
является аналитическим, а по отношению к величине
т — численным.
Далее Браун развил общий метод определения
каждой из периодических фупкций Pi, Р2,... с помощью
дифференциального уравнения второго порядка. Его
решение может быть получено с какой угодно степенью
точности путем сведепия задачи к решению системы
линейных алгебраических уравпепий. На каждой ступени
этого вычислепия (а оно ведется методом последователь-
пых приближений) Браун дает значения тех членов
движения перигея и узла, которые необходимы для решения^
132

Теория Браупа получила высокую оценку
современников. Его учитель Джордж Дарвин с гордостью излагал
теорию своего ученика в лекциях по небесной механике,
которые он читал в Кембридже. Дарвин обладал
большим педагогическим талантом, и его изложение тэории
Браупа в лекциях (вскоре опубликованпых) было яснее
и понятнее, чем у самого Брауна.
Браун выполнил вычисления по своей теории таким
образом, чтобы в каждом из коэффициентов долготы,
широты и параллакса Лупы ошибка была меньше
±0,01", Кроме того, он вывел формулы для контроля
вычислений, чтобы выявлять ошибки, которые могли
быть допущены при вычислениях значений отдельных
членов.
Разложения долготы, широты и параллакса Лупы,
выполненные по теории Брауна (только в рамках
основной задачи), содержат соответственно 312, 349 и 185
членов. Сразу же после окончания в 1908 г» теоретичен
ской части работы, занявшей у Брауна (как до него—
у Ганзена и Делоне) двадцать лет непрерывного труда,
Браун приступил к составлению таблиц. В 1913—1915 гг*
он опубликовал ряд статей, содержащих обсуждение
астрономических постоянных, которые следовало
положить в основу новых таблиц Луны. В 1919 г. все три
тома таблиц Брауна вышли в свет, а с 1923 г.
эфемериды Луны в американском, британском и немецком
астрономических ежегодниках начали составлять на основе
таблиц Браупа, которые заменили применявшиеся с
1862 г. таблицы Ганзена. Использовал таблицы Брауна
н молодой «Астрономический ежегодник СССР», изда*
ние которого было начато в 1923 г. Спустя два года на
таблицы Брауна перешел и французский
астрономический ежегодник, который до этого использовал таблицы
Радо, составленные на основе теории Делоне.
Браун сравнил получеппые им коэффициенты разло*
жений с теми, которые давали теории Делоне и
Ганзена. Согласие было таким, что не оставляло желать луч*
шего. Но коэффициенты Брауна были точнее: сам
Браун давал их с точностью до ±0,001" в долготе и
широте и ±0,0001" в параллаксе. Помимо возмущепий
от Солнца, Браун учел также возмущения, вызываемые
прямым и косвенным воздействием на Луну планет,
фигурами Земли и Луны. Несмотря на то, что эти возмуще*
нпя много слабев солнечных, в свете требований,
предъявленных автором таблиц к их точности, пришлось
133

включить в разложения долготы, широты и параллакса
еще дополнительно 414, 117 и 67 членов соответственно,
учитывающих эти возмущения. Таким образом, всего в
разложении долготы у Брауна фигурирует 726 членов,
в разложении широты — 466 и в разложении
параллакса — 252 члена.
Сравнив вычисления по своим таблицам с лучшими
наблюдениями, дававшими положения Луны на небе,
Браун был вынужден ввести в среднюю долготу Луны
так называемый большой эмпирический член,
имевший вид
АХ = + 10,71" sin [140,0е (Т - 18,5)+ 170,7°].
Здесь Т — эпоха в юлианских столетиях; например,
на эпоху 1900,0 Т -19,0 и ДА,-10,71" sin 20,7°-
= — 9,34". Большой эмпирический член Брауна мало
отличается от эмпирического члена Ганзена (с поправкой
Ньюкома), имеющего вид
М - +12,95"sin[131,0° (T - 18,5) + 166,1°].
Для той же эпохи 1900,0 поправка по Ганзену
составит —10,15", на 0,81" отличаясь от поправки по
Брауну. Браун подобрал три произвольных параметра,
входящих в его выражение для большого эмпирического
члена, а именно амплитуду 10,71", аргумент угла в
начальную эпоху 170,7е и период (определяемый
изменением аргумента на 140° в столетие, что дает 257 лет),
таким образом, чтобы представлять наблюдения Луны в
интервале 1720—1930 гг. с точностью до 0,1", а в
интервале 1625—1720 гг. с точностью 0,6".
В предисловии к первому тому своих таблиц Браун,
как и Ньюком, указывая на расхождения теории с
наблюдениями, пе делает никакого определенного вывода
об их причине. «Если в прошлом,— пишет он,—было
затрачено много усилий на то, чтобы представить
движение Луны с помощью одной гравитационной теории,
то теперь признается, что это не может быть достигнуто
полностью. Когда мы пытаемся представить древние и
современные наблюдения с одной и той же
совокупностью постоянных, то оказывается, что при любых
способах уравнивания остается некоторое расхождение с
теорией. То же самое имеет место и в отношении совре-<
менных наблюдений. Здесь обнаруживаются
знакопеременные разности, которые не соответствуют никакому
гравитационному теоретическому неравенству и которые
134

достаточно велики для того чтобы исключить
возможность объяснения их ошибками в теории или в
наблюдениях».
Делая этот довольно пессимистический вывод, Браун,
конечно, не знал, что в том же 1919 году, когда вышли
в свет его таблицы, в одном из журналов Королевского
общества в Лондоне вышла статья английского
механика, математика и физика Джеффри Инграма Тейлора
(1886—1976), который, разработав теорию приливного
торможения и проведя детальное изучение диссипации
энергии приливов в Ирландском море, обнаружил, что
она может объяснить 2 % наблюдаемых вековых
изменений скорости вращения Земли. На следующий год- в
другом журнале — «Ежемесячных записках Королевского
астрономического общества»—появились уже две статьи:
одна — того же Тейлора, другая — известного
английского астронома и геофизика Гарольда Джеффриса
(1891—1990). В них показывалось, что приливы в таких
мелководных океанских морях, как Берингово,
Охотское, Желтое и еще нескольких, могут объяснить уже
80 % вековых изменений.
И все же астрономы сомневались, можно ли
объяснить наблюдаемые долгопериодические неравенства в
движении Лупы изменениями скорости вращения Земли.
Как писал в 1943 г. Н. И. Идельсон, «этот вопрос
приобретает очень большую сложность, если мы учтем, что
замедление (или ускорение) вращения Земли должно
отображаться также и на наблюдаемых движениях
планет, по крайней мере ближайших к Земле и обладающих
наибольшей скоростью, именно Меркурия и Венеры».
Лишь к середине 50-х г. вопрос прояснился,
поскольку исследование Г. Спенсера Джонса еще в 1939 г.
показало «синхронные» изменения видимых движений
Солнца и Меркурия. В 1956 г. сам Спенсер Джонс,'
а в 1960 г. У. Манк и Дж. Макдональд подтвердили
этот результат.
В 1952 г. по решению Международного
астрономического союза большой эмпирический член был заменен
поправкой к средней долготе Луны N
ДЯ = -8,72"-26,75"Г-11,22"Г2,
где Т — эпоха в юлианских столетиях, отсчитываемая от
эпохи 1900,0. Поправка по этой формуле на эпоху 1900,0
равна очевидно — 8,72", что мало отличается от
поправки Брауна, но физический смысл ее совсем иной. Те-
133

перь эта поправка учитывает неравномерность вращения
Земли за длительные периоды времени, в основном за
счет приливного торможения.
С 1950 г. в астрономии введено так называемое эфе-
меридное время, текущее строго равномерно и
являющееся осповной независимой переменной в ньютоновой
механике. Его течение контролируется атомными
часами, где единица времени определяется не по вращению
Земли, а по частоте колебаний излучения одной из
линий цезия. Принято, что одна эфемеридпая секунда есть
промежуток времени, в течение которого происходит
9 192 631 770 колебании в линии цезия. С другой
стороны, еще в 1956 г. было принято иное определение эфе-
меридной секунды: это есть 1/31 566 925,9747 доля
тропического года в фундаментальную эпоху 1900,0. Оба
определения согласуются до 2 • 10~9 с.
Ученики и сотрудники Эрнеста Браупа, в первую
очередь Дирк Брауэр (1902—1966) и Уоллас Дж. Эк-
керт (1902—1971), внесли и ряд изменений в теорию.
Эти измепення сводились, во-первых, к общему
повышению точности теории за счет увеличения числа
учитываемых члепов, а во-вторых, к исправлению отдельных
ошибок, вкравшихся в таблицы Браупа.
С появлением ЭВМ расчеты эфемерид Лупы, в том
числе и для «Астрономического ежегодника СССР»,
стали вести не по таблицам Брауна, а непосредственно по
его разложениям координат Луны.
Исследования по теории Луны в России.
Гюльден и его школа
После замечательных работ Леонарда Эйлера,
действительного члена Петербургской академии наук, более
30 лет проработавшего в России, и тесно примыкающих
к его трудам исследований академика Ф. И. Шуберта
наступил почти 75-летний период, когда исследовапия
лунного движения в пашей страпе не проводились. Опи
возобновились лишь в конце XIX века.
В 1862 г. по приглашению второго директора
Пулковской обсерватории О. В. Струве в Пулково приехал
из Швеции молодой астроном Иогапн Август Гуго
Гюльден (1841—1896), ученик Гапзепа, под руководством
которого он работал два года в Готе, до приезда в Пул*
'ково. Гюльдеп показал себя весьма разносторонним аст*
ропомом. Он вел наблюдения точных положений звезд
Ш

на вертикальном круге,
определяя широту Пулкова а
ее изменения, разработал
теорию рефракции. Но
основное внимание он уделял
развитию методов учета
возмущений и их применению к
исследованию движений малых
планет, комет и Луны. И в
этом направлении он
добился круппых успехов, создал
новое направление в
небесной механике. Вокруг пего
образовалась целая научная
школа.
II хотя спустя девять лет
Гюльден покинул Пулково,
заняв должность директора
Стокгольмской обсерватории,
его роль в развитии небесно- Иогапп АЖ-Гюв°) ГюЛЬДен
механических исследований ^ '
в России несомненна. В самом Пулкове начатые им
исследования продолжали Э. Астеп, О. А. Баклунд (бу-
дущий директор обсерватории и академик), А. М.
Жданов, в астрономических обсерваториях Казанского, а
затем Варшавского университетов методы Гюльдена
развивал А. В. Краснов.
В основе этих методов лежал качественный подход
к проблемам небесной механики. Это зпачпт, что,
рассматривая какую-либо конкретную задачу небесной
механики (например, движение Лупы), мы исследуем те
или иные свойства решений заданных нам
дифференциальных уравнений, не получая самих решений.
Примером такого подхода является уже
рассмотренная выше (см. с. 130) задача об устойчивости движения
Луны (или другого спутника какой-либо плапеты). Для
выяснения вопроса о том, будет ли движение Луны
устойчивым или неустойчивым, вовсе не требуется
вычислять это движение по одной из аналитических теорий
на тысячи лет вперед. Как мы уже зпаем, задачей об ус-»г
тойчивости движения Луны и других небесных тел мпо-
го занимались Дж. Хилл, А. Пуанкаре, А. М. Ляпупов
и другие исследователи. Вообще же методы
качественной небесной механики берут начало еще в
классических работах Лагранжа и Лапласа,
137

Изучая возмущенное движение, Гюльдеп независимо
от Хилла пришел к мысли, что кеилеровский эллипс —
слишком плохое первое приближение к истинной орбите
тела, испытывающего возмущения, будь то Лупа, малая
планета или комета. Таким приближением, по идее
Гюльдена, должна служить другая кривая, которую он
назвал промежуточной орбитой.
С этим термином мы уже встречались, когда
рассказывали о работах Хилла. И пе^ед Гюльденом, и перед
Хиллом стояла одна и та же трудность, с которой
пытались бороться почти все небесные механики второй
половины XIX века, Трудность эта состояла в следующем.
При разложении элементов или координат Луны в
ряды, помимо чисто периодических членов, где время
фигурировало только под знаком синуса или косинуса,
появлялись так называемые вековые члены, где время
входило сомножителем. Их появление не было связано
с существом задачи, а лишь с особенностями используе^
мого метода ее решения.
Первые попытки избавиться от этих вековых членов
(мы не имеем здесь в виду истинное вековое
неравенство, теоретически обоснованное Лапласом и уточненное
работами Адамса и Делоне) предпринимал еще Эйлер
в своей «Новой теории движения Луны». Делоне был
вторым исследователем, чей метод давал возможность
устранить эти псевдовековые неравенства.
Пусть мы имеем 48) переменную величину р (это
может быть один из элементов орбиты Луны или одна из
ее координат), обремененную неравенством бр, которое
следует получить из дифференциального уравнения вида
^ = и/(Мр),
где \х — малая величина, пропорциональная возмущению.
Прежние методы исходили из ряда последовательных
приближений:
fip-nj/(*.0)*«6plt
Ьр — I-1 J / & 6Pi)dt e bPv •
Так постепенно получали все более точное
численное значение б/?; но этот прием не позволял определить
аналитическую форму 8р. Он был удобен, пока мы име-
48) В изложении этого вопроса мы следуем А, В. Краснову,
138

ли дело с чисто
периодическими неравенствами, но
долгопериодические
неравенства превращались при
этом в вековые, а эти
последние выражались рядами с
возрастающими степенями
времени в качестве
сомножителей. Для устранения
псевдовековых членов было
предложено и использовано
три пути.
Первый путь состоял в
том, что исходные значения
6р для разных р, стоящие
под знаком интеграла, в
первом приближении берутся
не равными нулю (6р0 = 0 Пуанкаре (1854-1912)
соответствует эллипсу как
исходпой кривой), а определяются из тех же
дифференциальных уравнений как их частные решения49). Идея
этого способа лежала в основе теории Хилла,
изложенной им в мемуаре 1878 г. В дальнейшем, исходя из этой
же идеи, французский астроном Анри Пуанкаре (1854—
1912) развил свой способ периодических решений. Этот
же путь избрали для построения своих теорий
французские астрономы А. Андуайе (1862—1929) и Л. Ж. Пер-
шо (1867-после 1902 г.).
Второй путь состоял в том, что вместо бро = 0 в
первом приближении берется такое значение бр, которое
получается в результате более или менее строгого
интегрирования дифференциальных уравнений с
сохранением некоторых членов, содержащих 6р.
Идея этого способа лежит в основе теории Делоне.
Она же была использована Гюльденом для построения
его теории промежуточных орбит, которую в
дальнейшем применили к изучению движения Луны русские
астрономы А. М. Ждапов и А. В. Краснов.
Наконец, есть третий путь, который заключается в
том, что, задавая вид неизвестных интегралов от бр,
определяют введенные в выражения для бр постоянные
49) Частным решением (или частным интегралом)
дифференциального уравнения называется такое его решение, которое
удовлетворяет уравнению при заданном наборе произвольных
постоянных (в данном случае — элементов орбиты Луны).
139

способом неопределенных коэффициентов. Оставшиеся
невычисленными величины будут произвольными
постоянными интегрирования. Идея этого метода восходит
к работам Лапласа, Пуассона и других классиков.
В дальнейшем она была применена шведским ученым
Андерсом Линдстедтом (1854—1939), исследование
которого было в 1882 г. издано Петербургской академией
наук (Линдстедт в это время работал в Дерптской, ныно
Тартуской, обсерватории). Этот же метод применяли,
наряду с предыдущим, уже упомянутые французские
ученые А. Андуайе и Л. Ж. Першо.
Для получения своей промежуточной орбиты Гюль-
ден использовал много остроумных приемов. Суть их
сводится к тому, что радиус-вектор и долготу Луны мы
разделяем на две части: основную часть и малую
поправку. Пусть и = 1/г определяется дифферепциальным
уравнением, в котором независимой переменной
является средняя долгота Xq:
где К — истинная долгота, Со — постоянная закона
площадей, R — возмущающая функция. Заменяя dR/dr на
известную функцию <p(wi) (wi — основная часть к) и
долготу К на Хо, Гюльден заменяет точное уравнение
приближенным:
d и. и
-тт + ui + -7"-9("i).
dX0 о
которое интегрируется в квадратурах. Получается
приближенное решение, определяющее орбиту некоторого
фиктивного тела, которое в эпоху т имеет обратный
радиус-вектор щ и долготу Яо. Орбита, которую
описывает это фиктивное тело, это и есть промежуточная
орбита по Гюльдеиу.
Следующим этапом в теории Ггольдепа является
получение абсолютной орбиты. Так Гюльден назвал
орбиту, которая более близка к реальпой орбите Луны, чем
промежуточная. Здесь вместо постоянной Со выступает
новая вспомогательная функция с\, в результате чего
наше уравпепие принимает вид
£0± д. I rfloggi i!!i л. „ a JL _ Li
ах* + 2 dX0 dlQ + и1 + сх ~ сх '
140

где Pq — это сумма наиболее:
влиятельных членов
выражения r2dR/dr. При
некоторых упрощающих
предположениях Pq зависит только
от щ и Ко, a ci — только от
Ко. Это позволяет решить
уравнение и найти
абсолютную орбиту. После этого, по
идее Гюльдена, можно
рассчитать малые поправки к щ
и К0 фиктивного тела и
перейти таким образом к
реальной орбите.
Гюльден создал теорию. I
По ее надо было применить
к конкретным небесным те-1
лам. Этой задачей занялся
молодой русский астроном
Александр Маркелович
Жданов (1858-1914). Окончив
в 1881 г. Петербургский
университет, он был оставлен для приготовления к
профессорскому званию50), а через три года, будучи уже
сверхштатным астрономом Пулковской обсерватории,
защитил магистерскую диссертацию на тему «Способ
Гюльдена для определения орбит малых планет». После
этого А. М. Жданов был командирован в Стокгольм,
где в течепие двух лет работал над теорией движения
Луны под руководством самого Гюльдена.
В это время Гюльден читал цикл лекций с
изложением своей теории. На этих лекциях присутствовали не
только студенты, но и многие астроиомы — специалисты
из разных стран. Гюльден обладал замечательным
педагогическим талантом. «Лекции Гюльдена становятся
все интереснее и интереснее»,— писал восхищенный
А. М. Жданов своему другу и коллеге, впоследствии
известному русскому и советскому астроному и
геодезисту В. В. Витковскому (1856—1924).
Одновременно с Ждановым у Гюльдена работал
немецкий астроном-теоретик П. Г, Харцер (1857—1922}»
Александр Маркелович
Жданов (1858-1914)
50) Так называли сто и более лет назад процесс, аналогичный
современной аспирантуре, но во многом от нее отличавшийся
(кандидат не должен был сдавать никаких экзаменов, работал
совершенно самостоятельно).
141

Жданов сообщал В. В. Витковскому: «Харцер тоже поч->
ти окончил свою работу о планете Гекуба и получил
превосходные результаты — теория Гюльдена
торжествует. Я убежден, что лет через 10—20 будут смеяться
над теми, кто вздумает вычислять по старой теории».
Сам А. М. Жданов вычислял по теории Гюльдена
смещение лунного перигея, точнее, его отношение к
среднему движению самой Луны. По теории Ганзена
это отношение было равно 0,008539. В первом
приближении Жданов получил 0,00911 (расхождение на 7%),
во втором — 0,008322 (расхождение на 2,5%), в
третьем — 0,008582 (расхождение на 0,5%). При атом
Жданов не знал, что и определение Гапзена неточное,
что истинное значение относительного смещения перигея
равно 0,008572 и его третье определение ближе к
истине, чем определение Ганзена. Стремясь «подогнать» свое
значение к полученному Гаизеном (а это часто бывает
у молодых ученых), он ввел какие-то поправки, и был
очень рад, получив 0,008527. Теперь отличие его
результата от ганзеновского сократилось до 0,14 %, хотя
отличие от истинного значения достигло 0,5 % вместо
0,1 % в третьем приближении. Разумеется, все эти
расчеты и предшествовавшие им выкладки потребовали
уйму времени — около 6 месяцев. Кроме работы над
теорией Луны, Я^данов вычислял методом Гюльдена
движение кометы Випнеке с учетом возмущений.
В 1888 г., вернувшись в Петербург и Пулково,
А. М. Жданов успешно защитил докторскую
диссертацию на тему «Теория промежуточных орбит и
приложение ее к исследованию движения Луны». Его
диссертация была издана Петербургской академией паук.
Еще раньше — в 1886 г.— оп стал приват-доцентом
Петербургского университета, а в 1890 г. получил звание
профессора. Однако теорией движения Луны А. М.
Жданов больше не занимался.
Оценку теории Гюльдена и научным результатам
работы Жданова мы дадим несколько ниже. А пока
расскажем об исследованиях другого русского астронома •—
А. В. Краснова.
Александр Васильевич Краснов (1866—1907),
питомец Казанского университета, в 1891—1898 гг. работал
на Казанской обсерватории, где вел наблюдения на
гелиометре, изучая, в частности, физическую либрацию
Лупы. Свой первый труд по луштой теории оп
выпустил и 1894 г. под названием «Теория солнечных нера-
1«

венств в движении Луны». В этой работе —своей первой
работе по теоретической астрономии — А. В. Краснов,
опираясь на труды А. Пуанкаре и Дж. Хилла, дает не
только обзор уже достигнутых результатов и
классификацию методов решения основной задачи теории
движения Луны, но развивает свой собственный метод
исследования, в котором идеи Хилла служат как бы отправной
точкой. Полагая расстояние до Солнца и его
долготу постоянными (решение производится, как и у
Хилла, во вращающейся системе координат), Краснов
удерживает лишь известные члены возмущающей функции
и, интегрируя каноническую систему уравнений,
получает решение, которое он называет производящим (этот
термин и теперь широко применяется для подобного
рода решений). Применяя метод вариации
произвольных постоянных, Краснов получает новое, основное
решение, в котором расстояние до Солнца уже переменно.
Но это решение еще не окончательное, оно определяет
лишь промежуточную орбиту, от которой требуется
перейти к истинной. Этот переход А. В. Краснов совершает,
удерживая лишь несколько первых членов в разложении
возмущающей функции. Его задача —
продемонстрировать метод решения задачи, а не получить ее точное
решение. Поэтому он выписывает пе более полутора
десятков неравенств. Зато движения перигея и узла
лунной орбиты он получает с не худшей точностью, чем
его знаменитый предшественник Ганзен, о чем наглядно
свидетельствует таблица 5.
Таблица 5
Главная часть движения перигея п движение узла лунной орбиты
по данным различных исследователей *
Автор
Ганзеп
Дедоно
Хилл
Жданов
Краснов
Денри
Перигей
(главная часть)
0,008539
0,008572
0,008572
0,008527
0,008521
0,008573
Узел
(полное движение)
0,004048
0,004022
—
0,004040
0,004032
0,004021
В этой таблице представлена так называемая глав-*
ная часть движения перигея, т. е. не зависящая от е,
е' и ч. Учет членов, зависящих от е, е\ f> изменит
смещение перигея до значения 0,0084515, Главная часть
143

смещения узла равна, по определепиям Делоне и Адам*
са, 0,003999. Выбор нами главной части смещения
перигея и полного смещения узла вызван тем, что больший*
ство исследователей определяли именно эти величины.
В последней строке приведено для сравнения
современное решение, полученное А. Депри и его сотрудниками
с помощью ЭВМ. Мы видим, что смещение узла
А. В. Краснов вычислил еще точнее, чем А. М. Жданов, с
погрешностью лишь в 0,25%, тогда как смещение
перигея он занизил на 0,6 %, хотя он, как и Жданов,
полагал, что добцлся хорошего согласия с результатом Ган-
зена. Но оказывается, именно Ганзен и допустил здесь
наибольшую погрешность — больше, чем Жданов и
Краснов.
Эта работа А. В. Краснова получила высокую оценку
академика О. А. Ваклунда и была удостоена премии
Русского астрономического общества.
В своих дальнейших исследованиях А. В. Краснов
продолжал развивать методы Гюльдепа и проявил при
этом четко выраженпый качественный подход. Уже
Гюльден ввел понятие о периплегматической кривой, или
периплегматикеъх). Так он назвал кривую,
касающуюся двух окружностей: внутренней и внешней и
обращенную всегда вогнутостью к внутренней окружности.
Типичным примером периплегматики является
эллипс: если провести из его центра внутреннюю
окружность радиусом, равным малой полуоси, и внешнюю
радиусом, равным большой полуоси, то эллипс будет
касаться обеих окружностей в точках на концах обеих
осей. Введенные Гюльденом промежуточная и
абсолютная орбиты тоже относятся к классу периплегматик.
Поскольку под действием солнечных возмущений
лунная орбита (если рассматривать ее как эллипс с
переменными параметрами) непрерывно изменяется,
поворачиваясь в собственной плоскости п изменяя
эксцентриситет и большую полуось, мы можем рассматривать
обертку этой непрерывной последовательности эллипсов,
причем эта обертка тоже будет периплегматикой,
заключенной между двумя окружностями, радиусы
которых равны минимуму малой полуоси и максимуму
большой полуоси.
51) От греческих слов nepi — лХехсо — обнимать, охватывать и
яХечца — сеть, сплотоняс. Церпплсгматика не обязательно должна
быть замкнутой кривой,
Ж

Здесь А. В. Краснов отрывается от Гюльдена,
обобщает его понятие о периплегматике, определяя ее как
кривую, заключенную между двумя замкнутыми
кривыми, близкими к окружностям, но с переменным
радиусом-вектором. Движение Луны вокруг Земли он
рассматривает заключенным внутри овала Хилла, т. е. кривой,
внутри которой движение Луны является устойчивым
по Хиллу.
Рассматривая прохождения Луны через перигеи и
апогеи своей орбиты, А. В. Краснов выводит уравнения
геометрического места всех перигеев и всех апргеев
Луны, называя его апсидной кривой. Эта кривая состоит
из двух непересекающихся ветвей: геометрического
места перигеев и геометрического места апогеев. Далее он
прослеживает закономерности чередования
максимальных и минимальных значений радиусов-векторов Луны
в этих точках. Все это делается на основе
теоретического анализа движения Луны.
К сожалению, этот качественный анализ движения
Луны не имел продолжателей, несмотря на то, что
качественные методы небесной механики получили в
нашей стране большое развитие уже в советский период,
начиная с 30-х гг., особенно в Государственном
астрономическом институте им. П. К. Штернберга, под
руководством профессоров Н. Д. Моисеева и Г. Н. Дубошина.
Представители этой научной школы уделили немало
внимания проверке гипотезы Гюльдена о происхождении
противосиянияб2), но практически обошли молчанием
вопросы, связанные с движением Луны.
Гюльден очень любил вводить новые термины.
Помимо периплегматики, элементарных и критических
членов, он пытался вводить такие термины, как диастема,
протометр и т. п. Ни один из них (в том числе и пери-
плегматика) не удержался в научной терминологии, за
исключением понятий о промежуточной и абсолютной
орбитах.
В 1896 г. Гюльден внезапно скончался в полном
расцвете творческих сил. Оба его русских последователя —
А. М. Жданов и А. В. Краснов — опубликовали некрологи,
в которых старались обрисовать смысл и научное зна-
м) Слабо светящееся пятпо в точке, противоположной Солнцу.
Гюльден считал его скоплением космической пыли в одной из
точек либрации. В 40-е годы нашего столетия было доказано, что
это — свечение газового хвоста Земли,
Ю В. А. Еронштэн
145

чение методов Гюльдена. Почти сто страниц уделил их
описанию в своих «Новых методах небесной механики»
Анри Пуанкаре.
По-разному оценил научный мир заслуги Гюльдена,
Даже его ученик, • академик О. А. Баклунд, пытавшийся
использовать метод Гюльдена для изучения движения
малых планет и комет, отзывался о возможностях этого
метода весьма сдержанно. Он был применен к расчетам
движения малых планет типа Гекубы (имеющих
соизмеримость периодов обращения с Юпитером 1 : 3), и то
лишь в немногих работах. Прогноз А. М. Жданова о
том, что через 10—20 лет (после 1885 г.) будут смеяться
над теми, кто будет вычислять возмущенное движение
не по Гюльдену, не оправдался. В большинстве
современных курсов небесной механики о методах Гюльдена
даже не упоминается53).
Причина этого заключается, по нашему мнению, в
том, что Гюльден не построил законченной теории
движения Луны, как это сделали до него Плана, Понтеку-
лан, Ганзен, Делоне, а после него — Браун. Развитие
машинных методов построения лунных теорий и
расчетов по ним в наши дни вновь вызвали к жизни теории
Делоне и Хилла — Брауна. Гюльден не успел создать
законченной аналитической теории Луны. Не сделали
этого и его последователи: ни рано скончавшийся
А. В. Краснов, ни перегруженный административными
функциями А. М. Жданов. Их собственные
исследования, опубликованные в основном на русском языке в
малотиражных изданиях, не стали достоянием большинства
специалистов не только за рубежом, но и в нашей стране.
Конечно, полученные ими результаты не представляли
собой ничего принципиально нового (за исключением
качественных анализов А. В. Краснова), И все же,
подобно тому как Хилл использовал идеи второй лунной
теории Эйлера спустя сто лет после ее публикации,
возможно, что и методы Гюльдена, и качественный анализ
лунного движения Красновым не будут забыты, а будут
53) Метод Гюльдена — Жданова подробно рассматривается в
обзоре московского астронома Б. М. Щиголева, посвященном
классификации промежуточных орбит (1954). Щиголев соглашается
с мнением Хилла, что способ Гюльдена очень сложен. Зато этот
способ полностью учитывает точное выражение возмущающей
функции, и вопрос состоит лишь в том, как разделить ее на части
для получения промежуточной орбиты.
146

Николай Петрович
Долгоруков (1853-1917)
вновь взяты па вооружение
на более высоком уровне,
чем прежде54).
Теперь мы переходим к
деятельности еще одного
русского астронома — Николая
Петровича Долгорукова
(1853—1917?). В отличие
от А. М- Жданова и
A. В. Краснова он не
принадлежал к школе Гюльдена,
хотя и был весьма дружен
с А. М. Ждановым и
B. В. Витковским. Окончив
в 1875 г. Московский
университет, он некоторое время
учительствовал в школе,
а в 1882 г. был зачислен
сверхштатным астрономом
Пулковской обсерватории. В 1885 г.
он защитил магистерскую диссертацию на тему
«Вековые неравенства вдвижении Луны». В этом «рассуждении
на степень магистра астропомии»55) Н. П. Долгоруков дает
сначала подробный обзор состояния вопроса и тех
дискуссий о вековых неравенствах, о которых мы уже
рассказывали в разделе «Спор о вековом ускорении Луны» (при
этом мы использовали обзор Н. П. Долгорукова и приведешь
ную в нем таблицу). После этого автор «рассуждения» дает
собственный анализ вопроса. Пользуясь в качестве
первого приближения известными дифференциальными
формулами Лагранжа и Пуассона, выражающими
изменения элементов орбиты через производные
возмущающей функции, Долгоруков получает выражения этих
изменений во времени с точностью до величии порядка
т2 (напомним, что т есть отношение средних движений
Солнца и Луны). После этого он переходит к
интегрированию дифференциальных уравнений движения Луны и
из интегралов этих уравнений выводит значения
коэффициентов трех главных вековых неравенств в движении
64) Примером такого продолжения исследовании по идеям
Краснова является опубликованная в 1977 г. работа советского
астронома В. В. Радзиевского «Поверхности перигеев и апогеев Луны»,
65) Ученая степень, соответствующая нынешней степени кан«
дидата паук.
10*
147

Луйы, а именно: векового изменения в долготе Луны,
векового смещения ее перигея и линии узлов с
точностью до величин порядка тъ для перигея и линии
узлов и т4 для долготы Луны.
Это ограничение малыми величинами сравнительно
невысокого порядка не позволило Н. П. Долгорукову
достичь высокой точности в определении вековых
неравенств. Он получил —7,88" для векового смещения
долготы (вместо —6" по Адамсу и Делоне), — 7,35" для
узла (вместо —6,8" по Делоне) и +21" для перигея
;(вместо +39,5" по Делоне). Как мы помним, ряд для
смещения перигея сходится всего медленнее, поэтому
при данной точности (до членов порядка т?)
Долгоруков и не мог получить более точных результатов. Но
предложенная им методика разложения возмущающей
функции и вычисления коэффициентов разложений
искомых вековых смещений была достаточно надежной и
при гораздо большей затрате времени могла обеспечить
и более точные результаты.
Защитив магистерскую диссертацию, Н. П.
Долгоруков поступил по конкурсу приват-доцентом на кафедру
астрономии Петербургского университета. Там в течение
пяти лет он читал курс теоретической астрономии.
Одновременно он служил на государственной службе — в
Государственном банке. Управление банка послало его
на три года в Ташкент. Преподавание в университете
пришлось прекратить. По возвращении из Ташкента
Долгоруков прослужил еще пять лет в банке, а в 1899 г.
вышел в отставку и целиком посвятил себя научной
работе. Он читал курс лекций и писал учебник по теории
движения Луны.
Этот учебник вышел в свет в 1902 г. под названием
«Теория движения Луны. Опыт руководства». Книга
была издана Петербургской академией наук. Подчеркнем,
что это — единственный учебник по теории Луны на
русском языке56). И хотя со времени его выхода прошло
более восьмидесяти пяти лет, никто из наших
астрономов не написал другого, более современного учебника.
Отдельные главы, посвященные движению Луны, есть
56) В 1905 г. в Москве был издан перевод на русский язык
(под редакцией С. А. Казакова) курса английского астронома
Г. Годфрея «Введение в теорию движения Луны», написанного в
1853 г. и неоднократно переиздававшегося. Перевод был сделан
с 4-го издания (1885). Но этот курс по полноте и уровню
изложения намного уступает курсу Долгорукова.
148

в монографиях
М.Ф.Субботина «Введение в
теоретическую астрономию» (М.:
Наука, 1968) и Г. А.
Чеботарева «Аналитические и
численные методы небесной
механики» (М.: Наука, 1965),
а также в «Справочном
руководстве по небесной
механике и астродинамике» под
редакцией Г. Н. Дубошина
(М.: Наука, 1971). В них
описывается чаще всего
теория Хилла — Брауна,
иногда —- основы теории Делоне.
В переведенной на русский
язык «Небесной механике»
У. Смарта (М.: Мир, 1965)
описаны три теории: Понте- фРансуа ^откс Тпссеран
кулана, Делоне и Хилла — * '
Брауна. Более подробно проблемы теории движения
Луны изложены в многотомных курсах небесной механики
А. Пуанкаре и Ф. Тиссерана (1845—1896).
Чью же теорию излагает в своем учебнике Н. П.
Долгоруков? Нет, он не излагает ни теорию Делоне, ни
теорию Хилла — Брауна (которая к тому времени еще не
была доведена до конца). Излагаемая им теория близка
к теории Понтекулана, в ней также используется метод
неопределенных коэффициентов. Но Долгоруков не
просто повторяет Понтекулана, он на каждом шагу ищет
более простые пути, понятные читателю. В заключение,
приводя формулу квадрата линейной скорости Луны на
орбите w2 (также имеющую вид разложения по
степеням m, e, е', y), Долгоруков пишет: «Эта формула
вполне согласуется с результатами вычислений Плана и
Понтекулана,— по крайней мере по отношению к главным
членам разложения и;2,— но получается несравненно
проще».
В предисловии к своей книге Долгоруков так
формулирует свою задачу: «Стремясь сделать свою книгу г
доступной возможно широкому кругу читателей, из
числа ознакомленных, конечно, с основами математического
анализа, я избирал постоянно наиболее простые приемы
для вычисления лунных неравенств и объяснения тех
или других особенностей движения земного спутника,
149

дополняя все более сложные выводы геометрическими
доказательствами... Я буду считать себя счастливым,
если изучение моего курса теории Луны вызовет хотя
в нескольких читателях интерес к более подробным я
глубоким исследованиям в этой области небесной
механики. Здесь предстоит еще сделать многое и многое!»
Да, в этом последнем заключении с Н. П.
Долгоруковым нельзя было не согласиться. Но глубокими
исследованиями в этой области занялся лишь один
последователь и читатель его курса — М. А. Вильев, о работах
которого мы вскоре расскажем.
Не нужно думать, что курс И. П. Долгорукова легко
читается. Эта книга отнюдь не рассчитана, вопреки
утверждению автора, на широкий круг читателей.
Впрочем, первые главы, где излагаются работы Гиппарха и
Птолемея, читаются действительно легко. Не составит
труда для студента-астронома проследить и за выводом
дифференциальных уравнений движения Луны.
Подробно и вполне доступно излагает автор курса действие на
Луну радиальной и тангенциальной компонент
возмущающей силы Солнца. Но когда автор переходит к
решению основной задачи движения Луны и ведет
читателя от первого приближения ко второму, а от второго
к третьему, формулы коэффициентов и разложений все
разрастаются, доходят до 2—3 страниц каждая.
Разумеется, ни один студент, даже самый гениальный, не
мог их запомнить. Но научиться выводить их такой
студент мог.
Курс Н. П. Долгорукова был удостоен в 1906 г.
премии Русского астрономического общества. Спустя
полтора десятка лет М. А. Вильев, отмечая наличие ошибок
у Тиссерана в изложении вопроса о неравенствах
долгот, перцгея и узла и изменениях эксцентриситета
лунной орбиты, отдает предпочтение изложению этих
вопросов в учебнике Н. П. Долгорукова и в то же время
упрекает его за то, что он ограничивается только
самыми существенными неравенствами. Ссылки на курс
Н. П. Долгорукова имеются в обзоре II. И. Идельсона
(1943), в работах Б. М. Щиголева (1954) и В. В. Рад-
зиевского (1977). За 85 лет —маловато! Теперь эта
книга — библиографическая редкость.
Н. П. Долгоруков после выхода своего курса
продолжал работать над теорией движения Луны и в 1912 г.
выпустил одновременно две работы: «Движение лунного
перигея» и «Неравенства лунных месяцев». Для нас
150

особенный интерес представляет первая из них,
законченная в мае 1911 г. Это уже не магистерская
диссертация и не учебник. Это глубокое научное исследование.
Как известно, Делоне рассчитал движение перигея
лунной орбиты с точностью до иг9. Долгоруков доводит
точность расчета до /тг12. Кроме того, он вычисляет и ту
, Таблица 6
Сравнение расчетов смещения перигея Луны
Автор
Делоне
Долгоруков
Хилл
Депри
Главная часть
0,00857151
0,00857243
0,0085725736
0,0085725735
/(е, е', 7» а/а')
-0,00012000
—0,000120458
—0,0001211052
Общее смещение
0,00845243
0,008452115
0,0084514682
часть смещения перигея, которая зависит от е, е\ у и
а/а'. В табл. 6 сравнены результаты этих расчетов, а
также расчетов Хилла и современных расчетов на ЭВМ
группы Депря.
Таким образом, погрешность результата Долгорукова
составляет лишь 1,7 • 10~5 самой величины против
1,2 • 10~4 у Делоне. При этом надо иметь в виду, что,
приступая к своим расчетам, Долгоруков уже знал
точное значение главной части смещения перигея. В
предисловии он приводит это значение (0,00857257),
ссылаясь, правда, не на Хилла, а на результаты
наблюдений, которые давали для общего смещения значение
0,00845198. Вычитая из этой величины компоненту
/(е, е\ if, a/a'), принимаемую им равной —0,00012059,
Долгоруков и получает правильное значение главной
части смещения перигея.
Комментируя далее работы Хилла, Долгоруков
отмечает, что они, «хотя и представляются в высшей
степени ценными и интересными, но относятся к известным
частностям теории Луны и кроме тог<5 пЪ свойству
избранного автором метода не дают; к сожалению, ясного
представления о физической стороне явлений, о которых
он трактует». Сравнивая теории Ганзена и Делоне,
Долгоруков указывает на трудности сравнения результатов
Ганзена с результатами других исследователей без
новых утомительных вычислений. Действительно,
понадобился специальный труд С. Ньюкома (1876), чтобы еде-
№

лать возможным сопоставление теории Ганзена с теорией
Делоне. И Н. П. Долгоруков отдает решительное
предпочтение аналитическим теориям Делоне и Понтекулана.
Выводя шаг за шагом довольно громоздкие
выражения для компонентов смещения перигея Луны,
Долгоруков при каждой операции старается упростить выкладки.
Для этого он ищет и находит закономерности изменения
членов рядов, которыми выражаются коэффициенты при
разных степенях яг, выводит обобщающие формулы,
намного сокращающие объем вычислений без заметной
потери точности. Почти на каждом шагу он сравнивает
свои результаты с результатами Плана, Понтекулана и
Делоне. Как правило, согласие с этими теориями либо
полное, либо весьма близкое.
Во второй работе «Неравенства лунных месяцев»
Н. П. Долгоруков продолжает тему, начало которой было
положено еще в первой лунной теории Эйлера. Правда,
на Эйлера Н. П. Долгоруков не ссылается, хотя
упоминает многих классиков: Кассини, Даламбера, не говоря
уже о теоретиках XIX века.
Используя выведенные им самим в «Теории
движения Луны» и в «Движении лунного перигея»
приближенные формулы, II. П. Долгоруков рассчитывает
закономерности изменений длительности всех четырех лунных
месяцев: сидерического (звездного), синодического,
аномалистического и драконического. Эти изменения
показаны на рис. 21—23.
На рис. 21 представлены колебания длительности
синодического и звездного месяцев относительно средних
значений, показанных горизонтальными штриховыми
линиями. Сплошные горизонтальные линии соответствуют
длительностям 27 суток для звездного и 29 суток для
' ^ L_i I i I I \ 1 1 1 1 1 1 1 27
1301 1904 1907 1910 1915
Рис. 21. Изменения длительности сидерического и синодического
месяцев в 1901—1913 гг. (по Н. П. Долгорукову)
синодического месяца. Хорошо видно, что высота и
глубина максимумов и минимумов синодического месяца
подвержена изменениям. Как показывает Н. П.
Долгоруков, самые длинные синодические месяцы наступают
тогда, когда новолуние совпадает с апогеем Луны и с
152

Рис. 22. Изменение длительности аномалистического месяца
в 1901—1912 гг. (до И. П. Долгорукову)
10
8
4
27Чо\
8
4
27d00h
[ ^—\ ^—-^1912
^/г ^ЧЧц ^у^^ ^N,
1 *^
, 1901
^ ^*^^4*^^^ __,^"^""^ж_
1 1 J 1 1 1 L 1 1 1 1 L__
I Ж Ш Ш ¥ Ш Ш ТШ JZ Z Ш Ш
Рис. 23. Изменение длительности дра конического месяц» i 1901—
1912 гг. (по Н. П. Долгорукову)
IBS

положением Земли близ перигелия ее орбиты (4 января),
В это время Солнце движется по эклиптике всего
быстрее, а Луна — всего медленнее, и синодический
месяц растягивается до 29с19ч38м и более. Через полгода
новолуние совпадает с перигеем Луны и с положением
Земли в афелии, картина изменится на
противоположную и синодический месяц сократится до 29С6Ч44М, так
что амплитуда составит в течение года 12ч46м. Такая
картина наблюдалась в 1912 г., сходная картина имела
место в 1982 г.
Но через 4—5 лет картина меняется. Так, в 1986 г.
самый длинный синодический месяц 29с16ч02м, а самый
короткий — 29е10ч28м с амплитудой 5Ч34М. Но амплитуда
может быть еще на час меньше (1907 г.—4Ч05М).
Колебания длительности звездных месяцев носят
более плавный характер. Самый короткий звездный месяц
длится 27С6Ч8М, самый длинный — на 4Ч42М дольше.
Значительно больше амплитуда изменения
аномалистических месяцев, достигающая почти 4 суток!
Н. П. Долгоруков доказывает, что эта амплитуда равна
Лпах - Лпш = [2т -1 т? - ...) - 3,887 сут = Зс21ч23м*
Самое интересное — это асимметрия кривой
изменения аномалистического месяца. В максимуме он может
быть длиннее среднего лишь на 1 сутки, зато в
минимуме он бывает короче среднего на 2С21Ч. Максимумы и
минимумы от года к году (и даже в течение одного года)
сильно изменяются, как видно из рис. 22.
Н. П. Долгоруков обнаружил 35-летний цикл
повторяемости условий, определяющих длительность месяцев.
В самом деле,
35 юлианских лет содержат 12 784 суток,
468 звездных месяцев содержат 12 787 суток,
433 синодических месяца содержат 12 786,5 суток,
464 аномалистических месяца содержат 12 785,5 суток,
470 драконических месяцев содержат 12 790 суток.
Кроме интересных закономерностей и соотношений,
приведенных выше, позаимствованных автором не только
из английского «Морского ежегодника», но и
обоснованных теоретически, эта работа содержит ряд интересных
высказываний ее автора. Перефразируя известную
латинскую поговорку, он провозглашает девиз: «Per aspera ad
Selenam!» («Путем тернистым к Луне!») И, казалось бы,
и полном противоречии с этим девизом заявляет: «Изу-
164

чить теорию Луны все равно невозможно; для
выполнения этой задачи не хватило бы жизни человеческой
и сил самого обширного ума; но изучать ее и изучать
еще с надеждой не только на усовершенствование ее, но
даже на „исторжение" у ревнивой к своим секретам и
чудесам природы многих и многих тайн ее — это
доступно многим математически образованным людям и это
необходимо для пользы науки, потому что — я в этом
глубоко убежден — именно в теории Луны лежит ключ к
разрешению самых важных вопросов небесной
механики». Автор приводит прекрасные слова Даламбера,
которые хочется адресовать всем молодым ученым,
исследователям, инженерам: «Идите вперед —и вера придет».
Н. П. Долгоруков отмечает то значение, которое
имели исследования по теории движения Луны для
развития математики: «Прочтите великолепное сочинение
Пуанкаре „Новые методы небесной механики", его
работы по исследованию бесконечного детерминанта Хилла57),
оцените многообещающие труды Линдстедта и Болина...
Разве их теоремы не успех математики? И разве не
задачи небесной механики были поводом к изысканиям
этих ученых?»
Мы можем вполне согласиться в этом с Н. П.
Долгоруковым. Астрономия вообще и небесная механика в
частности немало способствовали прогрессу математики*
возникновению новых ее разделов. И не случайно такие
корифеи науки, как Ньютон, Эйлер, Клеро, Даламбер,
Лагранж, Лаплас, Пуассон были и величайшими
астрономами, и величайшими математиками.
Обратим внимание еще на одну деталь в
приведенном высказывании. Расточая похвалы работам Пуанкаре,
Линдстедта и Болина, Долгоруков ни одним словом не
упоминает о Гюльдене, хотя его исследования имели ту
же направленность, что и у Линдстедта и Болина,
и о них очень много говорится в упоминаемом труде
Пуанкаре. Мы ясно прослеживаем пристрастие
Долгорукова к аналитическим теориям Плана, Поитекулаиа,
57) При решении системы алгебраических уравнений
используется величина, называемая определителем или детерминантом этод
системы. Детерминант записывается в форме квадратной таблицы,
состоящей из коэффициентов при неизвестных, и вычисляется по
особым правилам. Поскольку Хиллу пришлось иметь дело с
бесконечной системой уравнений, его детерминант содержит
бесконечное число строк и столбцов. Тем не менее, он может быть
вычислен,
155

Делоне, которые он неоднократно цитирует и с
которыми сопоставляет свои результаты.
Зато теории Хилла он дает иную оценку, чем в
«Движении лунного перигея»: «Более совершенные лунные
таблицы, которые должны заменить ганзеновские,
вероятно будут вычислены по теории Хилла, давшего столь
много ценного в обширной области небесной механики,
посвященной все еще облеченному тайной
меланхолическому спутнику Земли». И далее он перебрасывает мост
от гармонических рядов, фигурирующих в теории Хилла,
к эпициклам Гиппарха и Птолемея. Ведь движение по
эпициклам уже в те времена (и даже гораздо раньше)
можно было представить математически в виде
гармонических рядов, о чем мы уже упоминали в первой главе
(см. с. 41).
Работа Н. П. Долгорукова «Неравенства лунных
месяцев» была издана Русским астрономическим обществом
(РАО) в качестве приложения к «Известиям» этого
общества. Автор посвятил ее «славному геодэту (то есть
геодезисту) и астроному Василию Васильевичу
Ваковскому». Мы уже говорили, что Витковский и Жданов
были друзьями Долгорукова. К тому же Витковский
серьезно интересовался неравенствами лунных месяцев.
В своих мемуарах «Пережитое» (М.: Госиздат, 1927)
В. В. Витковский не раз упоминает о Долгорукове.
В свою очередь Н. П.
Долгоруков заимствует
необходимые ему данные о размерах
земного эллипсоида из
книги В. В. Витковского
«Практическая геодезия» и из
определений А. М. Жданова.
Нам осталось рассказать
о короткой жизни и
славной деятельности еще одного
русского астронома —
Михаила Анатольевича Вильева
(1893—1919). Сын
известного педагога, математика
А. В, Вильева, состоявшего
членом Русского
астрономического общества, Михаил
еще в школьные годы прист-
Мпхаил Анатольевич Влльев Растился к занятиям астро-
(1893--1919) номией. Будучи студентом,
156

он участвовал в экспедициях РАО по наблюдениям полных
солнечных затмений 1912 и 1914 гг. В 1915 г. он
окончил Петроградский университет, был оставлен при
кафедре и сразу погрузился в разнообразные научные
исследования. Хорошо зная несколько европейских языков, а
также латинский и древнегреческий, он стал изучать
историю астрономии с самых древних времен. Для этого
он изучил арабский язык, мог читать египетские
иероглифы.
М. А. Вильев прекрасно понимал значение старинных
наблюдений солнечных и лунных затмений для
уточнения теории движения Луны. Имевшиеся «каноны
затмений» Т. Оппольдера и Ф. Гинцеля не затрагивали
территорию Русского государства. В это время известный
историк науки Д. О. Святский (1881—1940) заканчивал
большой труд «Астрономические явления в русских
летописях». Общаясь со Святским на заседаниях Русского
общества любителей мироведения (РОЛМ)58), Вильев
решил составить «Канон русских затмений». Этот канон,
опубликованный в 1915 г. в Приложении к книге
Д. О. Святского, содержит список солнечных затмений
между 1060 и 1715 гг., дает моменты и значения
наибольшей фазы для некоторого среднего пункта,
расположенного на широте 55° и долготе 32° (близ Смоленска),
и содержит карты с изображением полос полных и
кольцеобразных солнечных затмений для территории Древней
Руси, а затем Российского государства до Волги.
Приведены также компактные и удобные таблицы для
вычисления лунных затмений.
Этой работой М. А. Вильев показал себя как
вычислитель. Но он был и блестящим теоретиком. Всего за
пять лет активной научной деятельности (1915—1919)
он опубликовал около 15 крупных работ по различным
вопросам теоретической астрономии, небесной механики
и астрономической хронологии. Еще шесть работ, в том
числе большая монография по теоретической астрономии,
увидели свет, увы, лишь после преждевременной смерти
58) Это общество было организовано в 1909 г. именно для объ-*-
единения любителей астрономии и смежных наук, поскольку
Русское астрономическое оощество принимало в свои ряды главным
образом астрономов (и других ученых) — профессионалов.
Председателем РОЛМ в течение всего периода существования общества
(1909—1930) был известный ученый и революционер Н. А.
Морозов (1854—1946). Вильев состоял члсном-коррес^о^дептрм РОЛМ.
157

нх. автора, скошенного в конце 1919 г, эпидемией
испанки 59).
В 1918 г. он выполнил два больших исследования по
теории движения Луны. В первом из них он развил
теорию оскулирующих элементов лунной орбиты. Используя
некоторые промежуточные результаты Делоне, он вывел
аналитические выражения для возмущений кенлеров-
ских элементов орбиты Луны. Судя по некоторым
указаниям автора во введении, эта большая (75 с. большого
формата) работа — лишь часть более обширного
исследования, задуманного им. Как пишет М. А. Вильев,
исследования, «изложенные в настоящей работе, отпосятся
только к некоторым частностям теории движения Луны
и составляют часть исследований более общего характера».
Сделав краткий, но. весьма содержательпый
критический обзор всех имевшихся к тому времени лунных
теорий, как аналитических, так и численио-аиалитиче-
еких, Вильев отмечает прежде всего их недостатки. Так,
лунная теория Ганзена, в течение 50 лет считавшаяся
самой совершенной, требует основательного пересмотра,
а во многих местах и необходимых исправлений. То же
относится и к теории Дамуазо. Что касается
аналитических теорий Плана, Понтекулана и Делоне, то, по
мнению Вильева, ни одна из них, даже самая совершен?
пая — теория Делоне — не развита достаточно далеко,
чтобы можно было сравнивать их результаты с
результатами чисто числовых методов. И Вильев ссылается па
успешные попытки Андуайе усовершенствовать теорию
Делоне, особенно за счет членов высших порядков.
Андуайе показал возможность с большой степепью
полноты вычислить коэффициенты разложений по степеням
отпошения средних движений Солпца и Луны путем
сближения теории Делоне с идеями Эйлера. Вот почему
М. А. Вильев посвящает первую главу своей работы
приложению теории Делоне к определению
оскулирующих элементов лунной орбиты.
Вильев разделяет все члены возмущающей функции,
па классы. Оказалось, что пять членов этой функции
могут дать в формулах оскулирующих элементов неравен-'
ства первого порядка,. 18 — неравенства-второго порядка
и 25 — неравенства третьего порядка, остальные же
приводят к неравенствам не ниже четвертого порядка. По-
69) Острая форма гриппа, эпидемия которого в 1919 г. началась
в Испании и, пройдя через всю Европу, достигла вашей страпы,
158

скольку к этим 48 членам первоначального выражения
возмущающей функции в результате последующих
операций добавляется еще девять, нужны 57 операций для их
исключения. Вильев тщательно проверяет весь процесс
операций Делоне (см. с. 123), выделяя из них 23
операции первого и второго порядков, которые он анализирует
особенно подробно. Затем он на 13 страницах приводит
формулы для оскулирующих элементов орбиты Луны и
вычисляет несколько десятков неравенств оскулирующих
элементов, в том числе долгот перигея и узла, а также
неравенств эксцентриситета.
Выведенные им формулы Вильев сравнивает с
результатами Ньютона. Почему же Ньютона? Потому что более
поздние авторы, в частности, Пуассон и Пюизё,
применяют уравнения метода вариации произвольных
постоянных лишь к некоторым частным вопросам лунной теории
и к солнечным неравенствам определенного вида.
Полного практического приложения этих уравнений к
неравенствам даже низших порядков еще никто не делал, чем
и объясняет Вильев то обстоятельство, что в «Курсе
небесной механики» Тиссерана приведены весьма
неточные значения главных неравенств долготы узла и
перигея. Так, наибольшее неравенство в долготе перигея,
согласно Тиссерану, имеет амплитуду 8°41' (в другом
месте стоит 9°), тогда как по расчетам Вильева кроме
этого неравенства (с амплитудой 9°27') есть еще одно,
у которого амплитуда достигает 15° 15'. Как могли
«прозевать» такое крупное неравенство предшественники
Вильева, остается загадкой.
Автор этой книги попытался провести в этом
вопросе некоторое «расследование». Неравенство долготы
перигея, выявленное М. А. Вильевым,— это хорошо нам
знакомая эвекция с периодом 31,81 сут., который
Н. П. Долгоруков предлагал называть «птолемеевым
месяцем». Ее аргумент — угол 2D — Z, где D — средняя
элонгация Луны от Солнца, I — средняя аномалия Луны,
т. е. ее угловое расстояние от перигея.
В исследовании Понтекулана неравенства долготы
лунного перигея не приводятся вовсе: там даны лишь
неравенства долготы, широты и радиуса-вектора самой
Луны. В многотомном труде Плана есть весьма
подробное разложение долготы перигея, но лишь в буквенном
виде, числовые значения амплитуд не приводятся.
Делоне не выводил формул оскулирующих элементов
лунной орбиты, в частности, форАмул для эксцентриситета и
159

долготы перигея, быть может, потому, что он старался
избегать выражений, куда малая величина е
(эксцентриситет орбиты Луны) входила бы делителем.
С этой проблемой малых делителей или малых знаме*
нагелей столкнулся еще Л. Эйлер в своей первой лунной
теории. Появление е в знаменателях выражении для
неравенств эксцентриситета и долготы перигея в теории
Эйлера было расценено Ф. Тиссераном как недостаток
этой теории. Курьез здесь состоит еще в том, что именно
Тиссеран указал на возможность применить операции
метода Делоне (см. с. 123) к получению неравенств оскули-
рующих элементов лунной орбиты, что и выполнил
М. А. Вильев. Четвертая по порядку операция Делоне
и привела его к выявлению большого члена эвекции в
долготе перигея.
Во второй главе своего труда М. А. Вильев
доказывает фундаментальную теорему о том, что, применив
некоторое простое преобразование координат и выбрав
определенные произвольные постоянные, можно
избавиться от малых знаменателей в разложениях для оску-
лирующих элементов. Он выводит и решает уравнения
промежуточной орбиты, сравнивает свое решение с
решениями Адамса, Хилла и других авторов. В конце
этого своего труда Вильев вычисляет главный член
движения лунного перигея с точностью до 33-го порядка
величины ml Свой результат он сравнивает с вычислением
Хилла. Сравним их и мы.
Вильев: - -^г - 0,00857 25730 04853 22,
п at 7 7
Хилл: 1 -~г - 0,00857 25730 04864»
Итак, расхождение на единицу 14-го знака после
запятой. Это полностью соответствует мнению самого
Хилла, считавшего, что из 15 десятичных знаков
полученного им числа только два последних могут быть неверны.
Эта работа Вильева вышла в III томе «Трудов
Астрономической обсерватории Петроградского университета»
через несколько дней после его смерти, в декабре 1919 г.
Набор, видимо, был сделан еще до революции, по крайней
мере до вступления в силу декрета Совнаркома РСФСР
о переходе на новое правописание (10 октября 1918 г.).
Учитывая некоторые трудности с изданием научных
трудов в Петрограде, М. А. Вильев еще в ноябре 1918 г,
послал вторую часть своего труда в Пермь, где тогда был
160

филиал Петроградского упиверсптста. Но в конце
декабря 1918 г. Пермь была захвачена войсками Колчака.
Лишь осенью 1919 г. город был освобожден. Но прошло
еще четыре года, пока первая половина этой работы
Вильева увидела свет в «Журнале
Физико-математического общества Пермского государственного университета».
В этой публикации 34 страницы.
Основной задачей этой работы было показать
возможность дальнейшего развития первой лупиой теории
Эйлера для построения точной теории Луны. Для этого
М. А. Вильев подробно разбирает результаты первой
теории Эйлера и делает их количественное сравнение с
данными других, более новых работ. «Необходимые для
дальнейших приложений формулы и соответствующие
дополнения и детали,— писал в конце своей статьи
М. А. Вильев,— я надеюсь дать в будущей своей работе,
специально посвященной этому вопросу».
В самом конце статьи было напечатано:
«Продолжение в следующем выпуске». Увы — ни в следующем, ни
в других выпусках пермского журнала продолжение этой
статьи опубликовано не было. Уже в 1938 г. усилиями
директора Астрономической обсерватории ЛГУ М. Ф. Суб-
ботлна были изданы две самых крупных работы
М. А. Вильева по общим проблемам теоретической
астрономии, но «лунной» статьи среди них не было.
Из введения ко второй части работы Ы. А. Вильева
известно, что во второй ее главе он предполагал
рассмотреть вопрос о неравенствах лунных месяцев более полно,
чем это Сило сделано в уже известном нам исследовании
Н. П. Долгорукова и в вышедшей в 1900 г. в Болонье
статье итальянского астронома Луиджи Барберы на ту
же те*му. Вильев сообщает, что развитый им метод
позволяет получить в аналитической форме все неравенства
лунных месяцев, и притом с произвольной точностью60).
Известен нам (из первой части его работы) и общий
замысел М. А. Вильева в области совершенствования
лунной теории. Основной своей задачей он поставил
пересмотр теории и вычислений Ганзена. Внимательное
изучение второго труда Ганзена (Darlegung) показало,
в0) Вторая (неопубликованная) глава пермской статьи под
названием «Неравенства лунных месяцев» в октябре 1986 г. была
обнаружена автором этой книги вместе со многими другими
рукописями М. А. Вильева в Ленинградском отделении Архива All СССР
(ЛОААН, фонд 836, оп. 1, д. 150). Принимаются меры к изданию
этой работы.
11 В, А. Бронштэн
161

что до полного совпадения результатов двух
последовательных приближений его вычисления не были доведены.
Предпринятые М. А. Вильевым расчеты
(неопубликованные!) указали па наличие у Ганзепа и вычислительных
неточностей. Вильев критически оценивает мнение Ган-
зена о преимуществах метода последовательных
приближений, использованного им в Darlegung, перед способом
неопределенных коэффициентов, примененным Ганзеном
лишь к некоторым типам неравенств. Идея
распространить его на все неравенства приводит к теории Дамуазо,
целиком основанной на этом способе и являющейся, по
мнению Тиссерана, наиболее обширным его практическим
приложением.
С целью убедиться в справедливости этого мнения и
в преимуществах способа неопределенных коэффициентов
М. А. Вильев подверг теорию Дамуазо коренному neper
смотру и перевычислению. Число рассматриваемых
Дамуазо неравенств было увеличено более чем вдвое.
Правда, при этом соответственно возросло и число
условных уравнений, а с ними и технические трудности их
решения. Но М. А. Вильев справился с этой задачей,
исправил многочисленные теоретические и
вычислительные ошибки Дамуазо, лишь отчасти замеченные и
указанные Плана и Понтекуланом, и получил
окончательные значения солнечных неравенств, в том числе в
движениях перигея и узла, которые, при сравнении их
с теорией Брауна, оказались много точнее окончательных
результатов Ганзена. Это заставило М. А. Вильева не
согласиться с Ганзеном в его оценке способа
неопределенных коэффициентов и высказаться за широкое
использование этого способа в лунной теории, начало чему
было положено еще Эйлером в его теории 1753 года.
Далее М. А. Вильев полностью переделал выкладки
Ганзена, направленные к определению векового
ускорения Луны, и получил результаты, совпадающие с
найденными «другими исследователями последнего времени»
(очевидно, Вильев здесь имеет в виду результаты Адам-
са, Делоне и Брауна). Он обратил также свое внимание
на расхождения в вычислениях планетных неравенств
в движении Луны Радо, Ньюкомом и Брауном, особенно
двумя последними. Браун применил здесь аналитический
метод и получил буквенные разложения, тогда как
Ньюком использовал численный метод. Разбираясь в этом
вопросе, Вильев получил новую — четвертую по счету —
систему значений коэффициентов планетных неравенств,
162

которые оказались в одних случаях более близкими к
коэффициентам Брауна, в других — к значениям Ныоко-
ма. Только дальпейшие исследования,— замечает Виль-
ев,— могут уточнить этот вопрос, а до тех пор он
рекомендует брать средние значения из коэффициентов Радо,
Ньюкома, Брауна и Вильева.
Увы — эта рекомендация оказалась невыполнимой,
потому что Вильев не успел опубликовать свои
результаты: ни по пересмотру теории Ганзена, ни теории Дамуа-
зо, ни по вековому ускорению, ни по планетным
неравенствам. Из введения к его первой работе мы знаем, что
эти исследования были выполнены Вильевым. Однако
они остались пока неопубликованными. Большая часть
рукописных материалов М. А. Вильева находится в
Ленинградском отделепии Архива АН СССР. Однако часть
их была утрачена, а часть пострадала во время блокады
Ленинграда. Еще предстоит большая работа по
систематизации и публикации того, что представляет в наши дни
научный или хотя бы исторический интерес. В
частности, мы имеем возможность представить здесь в виде
Таблица 7
Сравнение коэффициентов основных планетных неравенств
по вычислениям М. А, Вильева, С. Ньюкома и Р. Радо
Аргумент
Т — V
2Т -2V + 179,8°
ZT — 2V+ 272,9
4Г —3V + 271,7
21 -2V+ 179,5
J— Т+ V
1+ Т— V
1+ЗТ — 3F
2М — 2Т
2М—Т
Вильев
+0,822"
0,307
0,348
0,176
0,136
0,129
0,152
0,127
0,195
+0,327
Ныоком
+0,882"
0,401
0,354
0,197
0,143
0,149
0,166
0,008
0,224
+0,372
Радо
+0,860"-
0,283
0,348
0,181
0,148
0,066
0,080
0,138
0,228
+0,422
табл. 7 сравненнпе коэффициентов планетных неравенств,
вычисленных-М. А. Вильевым, а также С. Ныокомом и
Р. Радо. Таблица эта взята из рукописи Вильева
(ЛОААИ, ф. 836, оп. 1, д. 143) и публикуется впервые;
Мы ограничились здесь самыми большими
коэффициентами, превосходящими 0,1" (у самого Вильева их
приведено несколько десятков, причем для 50 дано сравне-
11*
163

ние с расчетами Ньюкома и Радо). Видно, что значения,
полученные Вильевым, довольно близки к найденным
Ньюкомом и Радо и отличаются от них не более, чем эти
последние друг от друга61). Сравнение с данными
Брауна в рукописи Вильева не приводится.
В графе «аргумент» I — средняя долгота Луны, Т, V,
М — долготы Земли, Венеры и Марса соответственно.
Сравнение вычислений Вильева, сделанных им по
улучшенной теории Дамуазо, которые были обнаружены
автором этой книги в октябре 1987 г. случайно в рукописи
«Аналитическая теория маятника Фуко» (Вильев
занимался и ею), с подлинными расчетами Дамуазо и с
данными теории Брауна, дается в табл. 8. Здесь мы
приводим для примера только шесть значений из примерно
Таблица 8
Неравенства лунной долготы (в секундах дуги)

Аргументы
IVFD
0 0 0 4
0 0 0 2
10 0 4
10 0 2
10 0 0
10 0-2
Теория Дамуазо
Дамуазо
+ 14,85
+2370,00
-0,43
+192,22
+22639,70
-4589,61
Вильев
+13,90
+2369,92
+1,99
+ 191,93
+22639,58
-4586,47
Теория
Брауна
+ 13,902
+2369,899
+1,979
+191,954
+22639,580
-4586,438
Разности
Д-В
+0,948
+0,101
-2,409
+0,266
+0,120
-3,172
В-Б
-0,002
+0,021
+0,011
-0,024
0,000
-0,032
двухсот, вычисленных Вильевым (всего он вычислил
около 500 неравенств: долготы, широты и параллакса)62).
В этой таблице в графе «Аргументы» приведены
множители у целочисленных комбинаций уже известных нам
углов: средней аномалии Луны Z, средней аномалии
Солнца Z', среднего аргумента широты F и средней элонгации
Луны от Солнца D.
Хорошо видно, что разности с теорией Брауна
коэффициентов, рассчитанных Вильевым по улучшенной им
теории Дамуазо, много меньше, чем по расчетам самого
Дамуазо, а именно, в среднем по 80 неравенствам
долготы ±0,018" против ±0,874" у Дамуазо. Таким образом,
план Вильева: довести каждую теорию до требуемой
точности — был вполне реален.
61) Средние квадратичные разности для приведенных 10
коэффициентов равны: Вильев — Ньюком ± 0,059", Вильев — Радо
± 0,049", Ньюком — Радо ± 0,073".
62) ЛОЛАН, ф. 836, он, 1, д. 226, лл. 122—131.
164

Глава V
ВЕК ДВАДЦАТЫЙ:
ТЕОРИЮ СТРОЯТ.- ЭВМ
Система астрономических постоянных
В любой теории, рассматриваемой в небесной
механике, приходится иметь дело с некоторыми постоянными
величинами, носящими фундаментальный характер. Мы
не раз упоминали и использовали такие постоянные, как
отношение средних расстояний Земля — Луна и Земля —
Солнце а/а\ отношение масс Земли и Луны, Солнца и
системы Земля — Луна, экваториальный радиус Земли,
гравитационная постоянная.
Чтобы построить точную теорию движения Луны,
недостаточно написать соответствующие буквенные
выражения. Нужно подставить в них значения постоянных и
получить достаточно хорошее согласие с наблюдениями.
Нетрудно понять, что невозможно развить теорию
движения Луны, не имея в распоряжении хорошей теории
движения Земли вокруг Солнца, а также теории
движения планет, возмущения от которых тоже приходится
учитывать. Нужно иметь и данные о фигуре Земли, а для
более точного учета возмущений от ее несферичности —
распределение потенциала земного эллипсоида, его
разложение по сферическим гармоникам.
До самого конца XIX века не существовало единой
системы фундаментальных астрономических постоянных.
Каждый астроном выбирал те значения постоянных,
которые представлялись ему наиболее заслуживающими
доверия. Лишь в 1895 г. Саймон Ньюком, проделав
титаническую работу по обработке и анализу 60 000
меридианных наблюдений планет, Солнца и Луны (эта работа
ваняла у него 18 лет), предложил взаимно
согласованную систему из 14 астрономических постоянных. Эта
система продержалась в науке почти 70 лет: с 1896 г.,
когда она была официально утверждена на
международной астрономической конференции в Париже, до 1964 г.,
когда XII съезд Международного астрономического союза
в Гамбурге утвердил новую систему.
165

Впрочем, попытки ревизовать систему Ньюкома
предпринимались и раньше. Росла точность наблюдений,
вводились новые, более совершенные методы, В тридцатых
годах голландский астроном Биллем де Ситтер (1872—
1934) сформулировал критерий идеальной системы
астрономических постоянных, согласно которому теоретические
соотношения между ними должны выполняться точно,
а согласие с наблюдениями должно быть в пределах
точности последних. Де Ситтер разделил все постоянные
на фундаментальные и производные. К
фундаментальным он отнес следующие восемь величин: средний радиус
Земли, ускорение силы тяжести на средней широте,
динамическое сжатие Земли, скорость света, параллакс
Солнца, отношение масс Земли и Лупы и еще две
постоянных, определяющие внутреннее строение Земли.
Работу де Ситтера продолжил Дирк Брауэр (1902—
1966), голлапдец родом, еще в молодости переехавший
в США и работавший там в Йельском университете под
руководством Э. Брауна. Таким образом, Д. Брауэр как
бы соединил два направления: уточнение системы
астрономических постоянных, начатое де Ситтером, и
усовершенствование лунной теории Брауна. Второе было
немыслимо без первого. К этой работе Брауэр привлек
в дальнейшем Джералда М. Клеменса (1908—1974) и
У. Дж. Эккерта (1902—1971), которые и довели ее
до конца.
В мае 1963 г. в Париже под председательством
Дж. М. Клеменса состоялся специальный симпозиум по
астрономическим постоянным. От Советского Союза в нем
приняли участие директор Пулковской обсерватории
член-корреспондент АН СССР А. А. Михайлов и
астроном той же обсерватории А. А. Немиро. Кроме того,
были представлены и зачитаны доклады советских
астрономов Е. П. Федорова, Д. К. Куликова и X. Поттера.
Симпозиум подготовил ряд резолюций, рекомендовавших
к введению новую систему астрономических постоянных,
основанных па результатах обработки многих тысяч
наблюдений Солнца, планет и Луны, а также некоторых
астероидов. Так, американский астроном Р. Данком
обработал наблюдения Венеры за 1750—1949 гг., а П. Хер-
гет вычислил* на основании теории С. Ньюкома,
теоретические положения Венеры за тот же период. Были
найдены расхождения и выявлены их причины,
заключавшиеся в недостаточной точности аналитических
разложений Ньюкома. Дж, Клеменс построил новую общую
166

теорию движепия Марса методом Гаязена, которая с
большой точностью представила наблюдения положений
планеты за 200 лет. Такие же работы были проделаны
и для других планет. Брауэр, Клеменс и Эккерт
составили теорию движения пяти внешних планет от Юпитера
до Плутона.
В 1964 г. новая система астрономических постоянных
была утверждена Международным астрономическим
союзом. За 14 лет до этого было введено эфемеридное
время. С 1960 г. эфемериды Луны стали вычислять не по
таблицам Брауна, а непосредственно по его формулам.
Это стало возможным благодаря тому, что на помощь
астрономам-вычислителям пришли ЭВМ.
Первоначально астрономы смотрели на ЭВМ лишь
как на удобное средство для ускорения длительных,
сложных и трудоемких вычислений. Поэтому они
продолжали работу по совершенствованию лунной теории.
После завершения составления теории движения
внешних планет У. Дж. Эккерт взялся за повое улучшение
лунной теории Брауна. Эта работа была проведена им
с сотрудниками в 50-е г. и дала хорошие результаты,
Составленная Эккертом и его группой «улучшенная
лунная эфемерида» (сокращенно ILE) содержала примерно
на 200 неравенств больше, чем теория Брауна, а
точность давала на порядок выше. Эта уточненная
эфемерида получила в дальнейшем индекс / = 0, присвоенный
ей Комиссией № 4 (по астрономическим эфемеридам)
Международного астрономического союза. После
перехода к системе астрономических постоянных MAG 1964 г.
и исправления одного неточного члена эфемерида Луны
получила индекс / = 1. Наконец, введение поправок,
обусловленных заменой выражений для солнечных
возмущений, следующих из теории Брауна,
соответственными выражениями, полученными Эккертом, дает
эфемериду с индексом / = 2. Начиная с выпуска на 1972 г.
«Астрономический ежегодник СССР», как и все
ежегодники мира, использует эфемериду / = 2.
В это время лунные эфемериды уже использовались
при планировании космических полетов к Луне. При
применении эфемериды / = 0 в программах Лунар Орби-
тер и Сервейор обнаружились большие систематические
отклонения. Использование лунной эфемериды j = 2 в
значительной степени сократило их, но все же
остаточные систематические разности между теоретическим и
фактическим расстоянием до Луны, достигали сотен мет*
107

ров. Таким образом, даже лунная теория Хилла —
Брауна, улучшенная Эккертом, не могла обеспечить той
точности, которой требовали космические полеты.
Поэтому начиная с 1967 г. под руководством Эккерта
началась разработка новой численно-аналитической
теории (ELE), в принципе подобной теории Брауна, но на
гораздо более высоком уровне. Все расчеты велись на
ЭВМ и были закончены уже после смерти Эккерта его
сотрудниками С. Белленсхайм и М. Гутцвиллером.
В 1976 г. XVI съезд Международного
астрономического союза принял новую систему астрономических
постоянных, уточняющих систему 1964 г. в свете результатов,
полученных с помощью радиолокации и космических
аппаратов (орбиты, массы планет, внутреннее строение
Лупы и др.). Кроме того, был устранен ряд несогласо-
ванностей, еще оставшихся в системе 1964 г. Многие
величины были определены с гораздо более высокой
точностью, чем прежде. Все это было необходимо,
потому что и теории Луны претерпевали внутреннюю ломку.
К их составлению стали применять совершенно иные
методы.
Новые идеи и новые методы
Нередко в истории науки бывает так, что созданию
нового метода предшествовала длинная цепь поисков,
порой совсем в других направлениях. Случалось и так, что к
новому методу приводили неудачи в использовании
прежних методов. Именно такая цепь поисков, успехов и
неудач и привела к созданию первых «машинных» теорий
движения Луны.
Трудности теории Делоне заключались в
необычайной громоздкости метода исключения членов ряда в
разложениях. Поэтому неудивительно, что уже спустя
десять лет после трагической гибели французского ученого
астрономы начали поиски иных путей.
Шведский математик и астроном Андерс Линдстедт,
о котором мы уже писали, основываясь на идеях Гюль-
дена и работах Ныокома, развил в 1882 году метод
последовательных приближений, приводящий к полностью
периодическим решениям. При этом все вековые члены
исключались. Спустя год Линдстедт показал, что его
метод может быть успешно применен к задаче трех тел.
Однако он ввел некоторые формальные ограничения на
применимость своего метода.
163

В 1886 году французский астроном и математик Анри
Пуанкаре доказал, что метод Линдстедта применим и без
введенных им ограничений. Затем он обобщил метод
Линдстедта, применил его к задаче трех тел и
представил его в таком виде, что, по выражению современного
бразильского теоретика Жоржио Джакальи, этот метод
стал едва узнаваем. Пуанкаре указал также возможность
применения этого метода к изучению вековых и дол-
гопериодических возмущений в теории движения
планет.
Метод Линдстедта и его усовершенствование
Пуанкаре произвели большое впечатление на астрономов того
времени. Недаром ими так восхищался Н. П.
Долгоруков (см. с. 155).
Прошло еще тридцать лет, и уже в 1915 году другой
шведский ученый, математик и астроном Гуго Цейпель
(о котором мы вкратце упоминали в разделе,
посвященном Делоне), видоизменил метод Линдстедта —
Пуанкаре и успешно применил его к теории движения малых
планет, обратив особое внимание на случаи их движения
в резонансе с Юпитером (когда, как мы знаем,
приходится иметь дело с малыми знаменателями). Три ме-
муара Цейпеля по 60—80 страниц каждый составили
единый труд, опубликованный в 1916—1917 гг. в трудах
Стокгольмской обсерватории на фраицузском языке
(Цейпель следовал традиции XIX века). Во введении к
первому из этих мемуаров Цейпель замечает, что его
метод — лишь «пебольшая модификация представления
идей Линдстедта в той форме, которую им придал
Пуанкаре».
Но значение метода Цейпеля выходило далеко за
пределы «небольшой модификации». Этот метод, в
отличие от метода Пуанкаре, позволял ясно разграничить
вековые, долгопериодические и короткопериодические
возмущения. Вводя некоторую вспомогательную функцию,
которую Цейпель назвал определяющей, он исключал
(сразу, так сказать, «в блоке») короткопериодические
члены и приводил систему канонических уравнений к
виду, в котором гамильтониан системы не зависит от
средних долгот. Затем таким же образом вводилась
вторая определяющая функция, исключавшая «блок» долго-*
периодических членов, и приводившая к новой системе,
гамильтониан которой совсем не зависел от угловых
переменных. Эту последнюю систему уравнений можно
было решить.
109

Сам Цейпель применил свою методику к малым
планетам — собственно, для изучения именно их движения
под действием возмущений от Юпитера и других планет
Цейпель и создавал свой метод. Но прошло сорок лет,
и метод Цейпеля получил совсем иное применение —
к исследованию движения искусственных спутников
Земли. Автор метода дожил до их запуска — ему шел тогда
уже 85-й год.
Метод Цейпеля принадлежит к обширной группе
методов решения систем нелинейных дифференциальных
уравнений, которые носят название «методов
осреднения». Начало этим методам положили
небесно-механические работы Гаусса, но потом выяснилось, что они
применимы для весьма широкого класса задач, в
которых нужно решать системы нелинейных
дифференциальных уравнений, описывающих колебательные процессы.
Вспомните высказывания академика А. Н. Крылова о
возможности применения уравнений небесной механики
в теории машин и механизмов (см. с. 93). Но методы
осреднения получили распространение в гораздо более
широкой группе наук: в электродинамике и в теории
колебаний, в теории поля и в физике заряженных частиц,
в радиофизике и в магнитогидродинамике.
Само название «осреднение» происходит от того, что
в этих методах производят осреднение компонентов
гамильтониана по быстро меняющимся переменным. Если
некоторая величина испытывает быстрые периодические
колебания, то, осредняя гамильтониан по этой
переменной, мы в дальнейшем имеем дело с ее средним
значением, что намного упрощает дальнейшие операции и
позволяет в конце концов решить систему уравнений.
И хотя такой метод — приближенный, его можно довести
до нужной степени точности, учитывая достаточно
большое число членов ряда.
Совершенно независимо от небесных механиков
развитием методов осреднения занялись математики и
физики. Уже в 20-е годы больших успехов в этом
направлении добились, с одной стороны, советские физики
Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси (будущие
академики), а с другой стороны, математики академик
Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов (тоже будущий
академик). Особенно плодотворным оказался метод Крылова —
Боголюбова, получивший обширные применения в
различных областях науки и техники. Опираясь на этот
метод, советские радиофизики Э. Л. Бурштейн и Л. С. Ср-
170

ловьев в 1961 году доказали, что можно так выбрать
вспомогательные функции, чтобы усредненные уравнения
тоже можно было бы записать в канонической гамильто-
новой форме (см. с. 124), хотя в общем случае это
условие не- выполняется. Уже через три года эта работа
привлекла внимание небесных механиков всего мира.
В это время в теории возмущений безраздельно
«царил» метод Цейпеля, хотя после него были предложены
и другие методы. На международном симпозиуме по
теории орбит, собравшемся в августе 1964 г. в Фессалони-
ках (Греция), американский ученый У. Кайнер в
обзорном докладе о методах осреднения сравнил точность,
даваемую классической теорией Делоне, методом
Крылова —■ Боголюбова и методом Цейпеля. Оказалось, что в
пределах второго приближения все эти методы дают
примерно одинаковую точность.
За пять лет до этого симпозиума, в июле 1959 года
продолжатель работ Эрнеста Брауна Дирк Брауэр
поставил задачу: применить метод Цейпеля к улучшению
теории Делоне движения Лупы. Одновременно он
применил метод Цейпеля к изучению движения
искусственных спутников Земли. Последовала настоящая лавина
исследований, в которых задача движения ИСЗ все более
усложнялась: учитывалась несферичность Земли,
отличие ее потенциала от однородной сферы, сопротивление
атмосферы, движение по орбитам с большими
эксцентриситетами и наклонениями и даже световое давление.
В апреле 1963 года сотрудник Брауэра Г. Хори,
приехавший в США из Японии, показал, как можно
получить решение осповпой задачи движения Луны,
используя метод Цейпеля. В 1965 году этод метод был
применен к расчету движения искусственных спутников Луны
(готовилась программа «Аполлон»), а в 1966 году
американский астроном Б. Марсден применил его к
исследованию движения галилеевых спутников Юпитера.
Казалось бы, торжество метода Цейпеля было
полным. Но так только казалось. Тучи уже сгущались над
ним. До вынесения ему окончательного приговора
оставалось всего три года.
Что же произошло? Почему метод Цейпеля, так
широко и успешно применявшийся при решении самых
различных задач теории возмущений, оказался непригодным
на новом этапе исследований? Оказалось, что он не
удовлетворяет требованиям, которые предъявили
исследователям... ЭВМ.
171

От письменного стола — к пульту ЭВМ
Еще в 1959 году американские астрономы П. Хергет
и П.Мюзан указали на возможность запрограммировать
ЭВМ на выполнение аналитических выкладок типа тех,
которые встречаются в небесной механике. Но прошло
почти десять лет, пока эта идея получила практическую
реализацию.
На пути такого использования ЭВМ стояли большие
трудности. Нужно было выбрать удобный для перевода
на машинный язык и в то же время достаточно
надежный метод. На написание, отладку и проверку программы
для конкретной задачи требовалось несколько месяцев.
Чтобы ускорить эту процедуру, нужны были какие-то
новые пути.
Одним из первых за это дело взялся бельгийский
астроном, небесный механик Андре Депри, в то время на"
ходившийся в длительной научной командировке в
лаборатории фирмы Белл в штате Нью-Джерси (США).
После окончания срока работы в этой фирме Депри принял
приглашение научно-исследовательской лаборатории
фирмы Боинг (Сиэттл, штат Вашингтон) и остался работать
в США. Для участия в этой работе он привлек двух
помощников: своего соотечественника и коллегу Жака Ан-
рара и американского математика Арнольда Рома, который
с 1961 года занимался составлением компьютерных
программ, способных реализовать «механизацию»
алгебраических операций. Сам Депри тоже весьма успешно
составлял программы для расчета различных
небесно-механических задач. В июле 1965 года группа Депри
приступила к работе.
Взяв за основу метод Цейпеля, Депри и его
сотрудники в 1966 году попытались применить его к
нормализации гамильтоновой системы вблизи состояния
равновесия и... потерпели неудачу. Тогда трое исследователей
стали искать выход из положения. Им удалось найти
путь построения канонических преобразований,
основанный на некотором обобщении метода квазипериодических
решений, разработанного Пуанкаре. Однако они вновь
потерпели неудачу в попытке найти хорошее решение
задачи приведения к нормализованным переменным
функции первоначальных основных переменных.
А в это время в Кембридже астроном Д. Бартон бился
над задачей использования ЭВМ для автоматического
выполнения операций теории Делоне. Машина «Титан»
172

справлялась с этой задачей, Бартону удалось даже
получить неравенства до 10-го порядка (сам Делоне получал
их до 8-го порядка), но затраты машинного времени были
слишком велики. Более эффективным оказался метод
Брауэра — Клеменса. Но решающий эффект достигнут
не был.
Андре Депри внимательно следил за усилиями Барто-
на, сперва с надеждой, потом с разочарованием. Он
понял, что ни метод Цейпеля, ни оригинальный метод
Делоне, ни метод Брауэра не годятся для построения на их
основе удобного алгоритма для ЭВМ. Одним из
недостатков метода Цейпеля было то, что в нем канонические
преобразования производятся над функцией смешанных
переменных (старых координат и новых моментов
количества движения). Метод производящих функций,
использованный Цейпелем, не мог привести к общему алгоритму
для приведения к новым основным переменным функции
старых переменных. Помимо удовлетворения критерию
каноничности, используемое преобразование должно быть
аналитическим относительно новых переменных и
позволять легко осуществлять обратный переход к старым
переменным. Все эти соображения заставили группу
Депри отказаться от метода Цейпеля.
Какой же метод избрать? Еще в 1966 году, когда
группа Депри еще пыталась перевести на машинный язык
метод Цейпеля, в «Публикациях Астрономического
общества Японии» появилась статья японского астронома
Генихиро Хори, который работал с Д. Брауэром, а после
его смерти в январе 1966 года вернулся на родину. Хори
предлагал применить для канонических преобразований
так называемые преобразования Ли. По его мнению, они
были удобны для развития на ЭВМ теории движения ИСЗ.
В следующем году Хори применил этот метод для
изучения движения звезд в Галактике.
Преобразования Ли
Мы уже имели случай рассказать о Мариусе Софусе
Ли, норвежском математике (1842—1899), приехавшем*
в 1870 году в Париж послушать лекции своих
французских коллег Ж. Дарбу, М. Шаля, Ж.-Б. Бертрана. Но
особенно много дали ему собеседования с Камилем Жорда-
ном (1838—1922). Под влиянием Жордана и Феликса
Клейна Софус Ли вплотную занялся теорией групп и
173

там же, в Париже, открыл так называемые контактные
преобразования.
Здесь мы должны сделать небольшое отступление,
иначе все дальнейшее изложение не будет понятным.
За 40 лет до описываемых событий, в том же Париже,
сидел за столом и писал письмо другу один молодой
человек. Он писал не о прелестях молодой жизни, и даже
не о делах, он развивал в этом письме новую
математическую теорию — теорию групп, прося друга передать его
записки одному из выдающихся математиков той эпохи:
Карлу Якоби (1804—1851) или Карлу Фридриху Гауссу
(1777—1855). На следующее утро молодой человек был
убит на дуэли. Звали его Эварист Галуа (1811 — 1832).
В это время ему шел двадцать первый год.
Письмо Галуа ие попало пи к Якоби, ни к Гауссу.
Лишь через 14 лет замечательный фрапцузский
математик Жозеф Лиувилль (1809—1882) собрал и
опубликовал работы Галуа (включая и его письмо) в основанном
им «Журнале чистой и прикладной математики». (Этот
журнал издается и сейчас, недавно отметил свое
150-летие.) В 1870 г. Камиль Жордан издал первый
систематический курс по теории групп.
Что же такое группы? Группой в математике
принято называть такое мпожество элементов (этими
элементами могут быть числа, функции, геометрические
построения, наконец, формальные преобразования), что двум
любым элементам А и В всегда может быть поставлен
в соответствие третий элемент С, принадлежащий к
тому же множеству (С*=АВ). Для этой операции
справедлив ассоциативный закон: (АВ)С — A (Z?C) — ABC.
Коммутативный закон АВ = В А справедлив лишь для
некоторого класса групп (так называемых абелееых групп).
Большое значение имеют понятия о единичном элементе
Е(ЕА = А) и обратном элементе А~1(А~]А — Е).
Нетрудно убедиться, что множество натуральных
чисел образует группу, причем основной операцией
является их сложение (ведь сумма двух натуральных чисел
есть тоже натуральное число). Единичным элементом при
этом будет ноль, а обратным элементом будет — А.
Множество рациональных чисел тоже образует группу,
причем в этом случае основной операцией может быть как
сложение, так и умножение.
Математические преобразования, когда мы с помощью
некоторой системы уравнений от одной системы величин
(#ь #2, ..., хл) переходим к другой системе уравнений
174

(#}, x\, .»., xl), тоже образуют группу, если они
обратимы, иначе говоря, если можно перейти таким же путем
от второй системы к первой. Одним из видов обратимых
преобразований и являются контактные преобразования,
открытые Софусом Ли.
Преобразование называется контактным, если для
каждого Хг выполняется равенство (индекс i опускаем,
индекс 1 переносим вниз)
dUx — y1dx1 = p (я, J/, у') (dy — y'dx),
где обозначено
у ~^> У1~- dx/
Простым примером такого преобразования является
переход от линейного элемента на плоскости, заданного
координатами некоторой точки (х, у) и угловым
коэффициентом в этой точке у', к другому линейному элементу,
определяемому соответствующими величинами (х19 уг, у^).
Вспомним теперь канонические уравнения
Гамильтона, с которыми мы уже встречались (см. с. 124):
дд_ = ОН (g, р) <др ^ _ дН (q,p)
Ы dp ' dt dq '
где Н — гамильтониан.
Условие, при котором преобразование будет
каноническим, выражается равенством
PdQ - pdq + Ж|\
где ф — некоторая непрерывная функция. Покажем, пто
каноническое преобразование сводится к контактному,
Положим
Ух «*(» + *). <? = -Т> 5 = * (в-^0),
и мы придем к равенству
dy\ — Pdx\ = ady + adty — a(pdx + dty) = a (dy — pdx),
которое и выражает контактное преобразование.
Применив к написанной выше системе гамильтоновых
уравнений контактное преобразование, подобное описанному
выше, мы получим
i£ в дИ* W' Р) 1L = _ дН*{Ql Р)
175

т. е. новую систему канонических уравнений Гамильтона,
но уже с гамильтонианом //i((>, P) = H(q, p)63).
На этих основаниях была создана теория группового
анализа дифференциальных уравнений, нашедшая
обширные применения не только в небесной механике, но и
в газовой динамике и во многих других областях
математической физики.
Решающий шаг в применении преобразований Ли
к задачам небесной механики и в частности к теории
движения Луны был сделан в 1969 году Андре Депри и
его сотрудниками: Жаком Анраром и Арнольдом Ромом.
аъл (Л»
/
ж, ^ж/"-агда
/ /
I I I
III/
Рис. 24. Преобразования Ли (треугольная схема)
Математические основания метода разработал Депри. Его
практические приложения они осуществили втроем.
Суть метода Депри состояла в следующем.
Преобразования Ли позволяли развертывать исходный
гамильтониан в ряд по степеням малого параметра. Для этого
гамильтониан нужно было подвергнуть цепочке
преобразований, которая наглядно представлена на так называемой
треугольной схеме (рис. 24).
63) Вообще говоря, #х = # + -^-, \ю так как в нашем
случае Ф не зависит от t, получасы //j = //.
176

Исходный гамильтониан 5#о, содержащий
возмущающую функцию, находится на схеме наверху
треугольника. Для получения всех неравенств до /с-го порядка
включительно нам нужен преобразованный гамильтониан
5#o°i стоящий на схеме крайним справа на (й+1)-й
строке. Так, чтобы получить неравенства до третьего
порядка, нужно найти <3^о3)* Он выражается суммой
элементов, стоящих на левой от него диагонали, причем
нижний элемент (в данном случае Жх ) берется без
изменений, а остальные — после воздействия на них некоторых
операторов £mj называемых производными Ли. В нашем
примере
O0Q ass 0$^ -J- 1-*1</&о л
Разумеется, до этого и 3#i2), и5#£2) вычисляются по
таким же формулам. Процедура идет сверху вниз и
вправо. Последовательные шаги показаны на рис. 24
стрелками.
Скажем несколько слов об операторах Lm. Оператором
в математике называют символ некоторой
последовательности операций, в результате которой функция
/(tfi, X2, •..,£«) превращается в другую функцию тех же
или иных аргументов, однозначно связанных с первыми.
Операторы Lm имеют такой смысл:
Г / — V / °f dW df dW\
Выражение, стоящее в скобках, называется скобкой
Пуассона. В ней W — производящая функция, г/, К
—обобщенные координаты, / — та фупкция, на которую мы
воздействуем оператором Lm. Таким образом, наш
оператор есть сумма (цепь) скобок Пуассона, которые тоже
представляют собой отпгодь не простые выражения.
Мы остановились па этих подробностях вовсе пе за
тем, чтобы попытаться объяснить читателю все детали
этой процедуры, а исключительно ради того, чтобы
показать ее сложность, с одной стороны, и однообразие, с
другой. Первое обстоятельство исключает возможность
провести всю цепь преобразований вручную. Второе
обстоятельство, напротив, облегчает использование для этой
цели ЭВМ.
В самом деле, каждая из операций в цепи подобна
предыдущей. Нужно лишь «указать» машине, как ей
действовать и где ей следует остановиться. По существу, дан-
U в. А. Бровщтаа
477

Вый процесс подобеп методике, применявшейся Делоне,
во он как бы автоматизирован.
Перед авторами новой методики стояли большие
трудности. Одной из них была возможность появления при
разложении по степеням эксцентриситета орбиты Луны
е и переменной у = sin i/2 малых делителей е и if- Как
пишут Депри, Аирар и Ром, па этот факт обратил
внимание Д. Бартон в 1967 г. Жак Анрар нашел очень
интересное компромиссное решение, введя вместо е и f
величины Е\ и /i, связанные с ними соотношениями
1 Ех = I - (1 - e*f\ -i Jt - (1 - *У/2 f,
причем в ходе применения преобразований Ли малые
делители Е\ и J\ не появляются.
Конечно, мы можем похвалить Жака Анрара за
находчивость. Но, к сожалению, авторы этой работы пе знали,
что за полвека до Бартопа на эту особенность задачи
указывал М. А. Впльев и он же нашел способ избавиться
от малых знаменателей, хотя и иной, чем предложил
Апрар.
Мы уже не раз говорили, что при построении
разложений координат Луны или элементов ее орбиты
получаются ряды, каждый член которых есть
тригонометрическая функция, умноженная на коэффициент, который сам
является рядом, но степенным. Такие комбинированные
ряды получили название рядов Пуассона. «Эти ряды
получили широкое распространение в небесной механике,
особенно при построении аналитических теорий движения
небесных тел.
Для работы с рядами Пуассона на ЭВМ в разных
странах были созданы специальные системы подпрограмм —
пуассоповсуие процессоры. Так, группа Депри создала
процессор МАО, советские астрономы В. А. Брумберг и
Л. А. Исакович — процессор АМС, А. В. Васильева —
систему Алита.
Однако преобразования Делоне приводили к более
сложным рядам, чем ряды Пуассона. В этих рядах,
кроме тригонометрических и степенных «этажей», возникают
дополни юльпые «этажи» с делителями, о которых мы
уже говорили. Такие ряды получили название
эшелонированных. Арнольд Гом создал специальный процессор,
названный им KSP (процессор эшелонированных рядов),
который был подключен к американской ЭВМ IBM
860/44. Необходимо было проявить большую изобретатель*
471

ность в организации распределения информации в кубе
оперативной памяти ЭВМ, на дисках в двух магнитных
лентах, чтобы предотвратить переполнение диска и
избежать потерь времени на сматывание и разматывание
лент.
Первоначально неравенства рассчитывались до 15-го
порядка. Последовательно исключались члены с
аргументами месячного периода (к ним относятся хорошо нам
известные эвекция и вариация), затем члены с годичным
периодом (такие, как годичное неравенство) и, наконец,
долгопериодические члены. Месячные члены были
исключены при непрерывной работе машины в течение 30 часов.
Для исключения годовых членов понадобилось 7 часов.
Эти числа могут дать представление о том громадном
количестве выкладок, которое потребовалось для
построения окончательного гамильтониана.
Однако разложение до 15-го порядка не
удовлетворило авторов работы» В среднем движении перигея еще
оставалась погрешность до 20" в столетие. Поэтому Депри
и его коллеги продолжили процесс исключения,
продвигая его до членов 19-го порядка (правда, некоторыми
малыми величинами при этом пренебрегли). Удалось
провести еще ряд упрощений в работе. Но песмотря на
все это, работа по~ исключению месячных членов заняла
теперь 56 часов, а работа по исключению годовых
членов — 30 часов машинного времени.
Зато задача была решена. Построенную ими теорию
Депри и его сотрудники обозначили символом ALE
(«аналитическая лунная эфемерида»).
Состязание машинных теорий
Успех первой машиипой теории движения Луны был
очевиден. Стало ясно, что ЭВМ можно запрограммировать
любую теорию, получить результаты с громадной
точностью и сравнить их между собой, с результатами
классических теорий и с самыми точными наблюдениями.
Закончив свои расчеты, Депри, Алрар и Ром сравни*
ли полученные результаты с данными лучших
домашинных теорий, в частности, с ILE (улучшенной лунной
эфемеридой) Эккерта, а также с результатами Делоне и
Андуайе. Вот несколько примеров таких сопоставлений
(табл. 9, а, б).
Итак, главные члены в средних движениях перигея и
узла по расчетам rpyuuu Депри согласовались с данными
12* 179

Эккерта с точностью до 0,5" в столетие для перигея и
0,2* для узла. Это составляет 3 • 10~8 и 2 • 10"8 самих
значений главных членов соответственно.
Потрясает согласие значений коэффициентов в
главном члене среднего движения перигея с теорией Андуайе
(1901). Расхождение едва достигает единицы 14-го знака.
Таблица 9. а
Главные члены в средних движениях перигея и узла
Автор теории
Эккерт
Депри и др.
» —
Перигей
14852492,006"
14852492,533
Узел
-6928790,253"
—6928790,438
Таблица 9, б
Коэффициенты в главном члене среднего движения перигея
Автор теории
Андуайе
Депри и др.
Хилл
Депри и др.
т*
-9424,086853733769
-9424,086853733670
30867,712975...
30866,406380...
т9
-43749,55748950846
-43749,55748950795
7П#
136396,50607...
136425,05411...
т .
Сравнение коэффициентов с соответствующими
значениями по Хиллу (1894) дает расхождение уже в пятом знаке
(Хилл разлагал среднее движение по степеням величийы
яг* — т/1 — т, мало отличавшейся от т).
Мы намеренно не приводим сравнение с результатами
Делоне. Они (для приведенных коэффициентов) аа 6—7
процентов превышают значения Андуайе и значения,
полученные группой Депри. Отсюда можно видеть, каковы
были погрешности теории Делоне и насколько
усовершенствовал efe Андуайе спустя 30 лет после трагической
гибели своего учителя. Некоторые коэффициенты Делоне
оказались и вовсе ошибочными, а один член был
пропущен.
Выведенную ими аналитическую теорию движения
Луны Депри и его сотрудники применили к движению двух
180

искусственных спутников Земли. Поскольку спутники
движутся гораздо ближе к Земле, чем 'Луна, нужно было
тщательнее учесть отличие потенциала прптяжения
Земли от точечного. Обычно потенциал притяжения
сферического (или близкого к сферическому) тела разлагают
в ряд по синусам и косинусам долготы и широты, причем
коэффициенты ряда — сферические функции —
называются гармоническими коэффициентами, или гармониками.
Чем больше гармоник мы учтем в разложении
потенциала в ряд, тем точнее будет искомый результат.
Оказалось, что переход к высшим гармоникам в
разложении земного потенциала не представляет
принципиальных трудностей и ограничивается лишь возможностями
ЭВМ. Зато при одинаковой точности применение
аналитической теории сокращает время вычислений по
сравнению с численным интегрированием примерно в
150 раз.
К концу 70-х г. разработка машинных аналитических
теорий движения Луны значительно продвинулась
вперед. Особенно больших успехов добился здесь Жак Ан-
рар, принявший приглашение университета города На-
мюра (Бельгия) и вернувшийся в эту страну. Он
построил чисто буквенное решение пространственной задачи
Хилла в теории движения Луны с использованием хил-
ловской промежуточной вариационной орбиты. Степенные
ряды в разложениях средних движений он довел до
членов 28-го порядка для средней долготы Луны и до 24-го
порядка для движений перигея и узла. Ряды Пуассона,
выражающие лунные неравенства, для долготы и
радиуса-вектора Луны были построены с учетом членов 25-го
порядка и содержали соответственно 18 948 и 15 801
членов (в ALE их было 2403 и 2013). Полученное решение
послужило основой для решения главной задачи теории
движения Луны с весьма высокой степенью точности —
до нескольких сантиметров (!) в ее пространственных
координатах. В 1979 г. Анрар получил новое решение
главной задачи лунной теории, в котором разложение
в ряды было проведено не по самим значениям малых
параметров, а по их отклонениям от номинальных
значений, что значительно ускорило сходимость рядов. Заг
основу в этой полуаналитической теории было взято
полученное Анраром ранее аналитическое решение задачи
Хилла, а отклонения от него определялись методом
преобразований Ли, Теория Анрара получила обозначение
SALE.
in

Между тем в разработку машинных теорий движения
Луны включились новые исследователи. Дитер Шмидт
(ФРГ) построил оригинальный алгоритм для решения
главной задачи лунной теории при помощи системы
машинного манипулирования степенными рядами. В 1980 г.
он получил решение главной задачи методом Хилла —
Брауна с точностью до члепов 6-го порядка. Сравнение
в результатами Брауна обнаружило расхождения в
последних зпаках коэффициентов. На следующий год Шмидт,
продолжая уточнять свое решение при помощи
сконструированного им алгебраического процессора, дошел до
членов 9-го порядка. Члены его тригонометрических
рядов были вычислены с точностью до 10~5 секунды дуги
для долготы и широты и до 10~6 секунды дуги для
параллакса Луны.
Сильная группа исследователей образовалась при
Парижском бюро долгот, под руководством Ж.
Ковалевского. Интересные результаты получила Мишель Шапрон-
Тузе из Бюро долгот64). Она построила
численно-аналитическое решение главной задачи теории движения
Луны (ELP). В этом решении выражения для координат
Луны пмеют вид тригонометрических рядов от четырех
угловых аргументов с численными коэффициентами и
численными значениями производных от коэффициентов
по шести параметрам задачи. Этими параметрами
Являются: отношение средних движений Солнца и Луны т,
наклон орбиты Луны к эклиптике г, эксцентриситеты
орбит Луны и Земли е, е', отношение их больших
полуосей а/а\ отношение масс Луны и системы Земля —
Луна. Решение было найдено путем комбинирования
итерационного метода (последовательных приближений) и
метода вариации произвольных постоянных.
Было построено два варианта решения: для констант
эпохи 1900,0 и 2000,0. Тогда они получили обозначения
ELP-1900 и ELP-2000. Точность решения для долготы
Луны составляет 0,0002",- что соответствует точности
около 40 см в положении Лупы в пространстве.
М. Шапрон-Тузе и Ж. Апрар сравнили точность своих
теорий. Они пришли к выводу, что теория Шапрон-Тузе
дает более точные значения координат, а теория Анра-
64) Мы привыкли к тому, что Мишель — мужское имя,
соответствующее русскому имени. Михаил. Но во Франции есть и
женская форма этого имени. Она пишется иначе, но произносится так
же, как и мужская форма.
182

pa —более точные значения производных по параметрам,
В табл. 10 мы приводим разности коэффициентов для
некоторых аргументов но различным теориям.
Здесь Т — предварительная теория, построенная
М. Шапрон-Тузе до теорий ELP, SALE —
полуаналитическая теория Анрара, ELE — численно-аналитическая
Таблица 10
Разности коэффициентов при некоторых аргументах
по различным теориям
Аргумент
2D — 2F + 21'
D — 1+ V
2D - 2/ + 21'
1+ V
D+ 1+V
T-ALE
+0,0212"
-0,0084
+0,0047
+0,0034
+0,0016
ELP-1900-
-ALE
+0,0004"
+0,0058
-0,0003
+0,0005
+0,0017
ELP-2000-
-SALE
—0,00009"
-0,00035
-0,00017
+0,00006
ELE-SALE
—0,00011"'
—0,00030
—0,00022
+0,00013
теория У. Дж. Эккерта и его сотрудников С. Белленс-
хапм и М. Гутцвиллера. Обозначения углов те же, что
и на с. 164.
Видно, что для всех теорий, кроме Т, расхождения
в коэффициентах измеряются десятитысячными, редко —
тысячными долями секунды дуги. Во многих случаях
расхождения оказались еще меньше.
Но решения главной задачи — учета солнечных
возмущений — было недостаточно. Нужно было учесть
возмущения от планет, для этого необходима была точная
теория планетных движений. И такая теория была
построена, также с помощью ЭВМ. В 1978 г. Ж. Л. Симон
и П. Бретаньон из Бюро долгот в Париже построили
теорию движения пяти внешних планет (от Юпитера до
Плутона), а в 1980 г. Пьер Бретаньон завершил
построение теории четырех внутренних планет (Меркурия,
Венеры, Земли и Марса).
Опираясь на эти результаты, М. Шапрон-Тузе и
}К. Шапрон изучили в 1980 г. прямые и косвенные
возмущения от планет в движении Луны на основе теории
ELP-1900. Были составлены таблицы этих возмущений
в долготе и широте Луны, а все решение сравнивалось
е теорией Брауна, и был сделан анализ причин
выявленных расхождений.
Коллега супругов Шапрон по Бюро долгот, Даниель
Стандерт, развил алгоритм определения прямых планет-
183

пых возмущений с помощью преобразований Ли. В этом
алгоритме он использовал полуаналитическую теорию
Анрара для главной задачи движения Луны и теорию
Бретаньона движения планет. Однако значения средних
движений в долготе Луны, перигея и узла брались из
наблюдений, а не из результатов решения главной
задачи. Алгоритм, примененный Стандертом, обеспечивал
точность в 0,001" во всех лунных неравенствах с периодами
не более 2000 лет.
Возмущения в движении Луны, обусловленные
влиянием ее фигуры, были изучены Ж. Анраром опять-таки
с помощью преобразований Ли. Точность учета этих
возмущений составила 10~5 секунды дуги в долготе и
широте Луны и 5 • 10~п в геоцентрическом расстоянии
(чему соответствует 2 см). В пределах этой точности
достаточно принимать во внимание гармоники до 2-го
порядка в разложении потенциала Луны (см. с. 181). В
вековых движениях перигея и узла вклад от несферичности
Луны составляет —1,86" и —17,1" соответственно.
Анрар учел и влияние несферичности Земли на
движение Луны, с учетом гармоник до 4-го порядка.
Точность вычисления этих возмущений (в рамках его
полуаналитической теории SALE) составила 3 • 10~5 секунды
дуги (около 5 см в пространстве).
В 1982 г. супруги Шапрон представили новую
систему формул для вычисления планетных возмущений на
основе решения главной задачи ELP-2000 и планетной
теории Бретаньона. Если для ELP-1900 внутренняя
точность вычисления планетных возмущений была 2 • 10~4
секунды дуги (около 40 см в пространстве), то для ELP-
2000 она составила всего 2 • 10~в секунды (4 мм!).
Результаты сравнили с теорией ELP-1900, а для
возмущений от Венеры и Марса — с новым решепием Д. Стан-
дерта, которому удалось значительно повысить
внутреннюю точность своих расчетов.
Японский астроном X. Киносита произвел сравнение
двух аналитических теории — SALE и ELP — с
численным интегрированием в рамках главной задачи (с
учетом только солнечных возмущепий). Расхождения в
расстояние Луны от Земли для теорпи SALE не превысили
1,2 см на 10-летнем интервале, а для теории ELP — 1,5 см
на 20-летнем интервале.
Супруги Шапрон и П. Претапьоп сравнили
результаты, даваемые их теориями для Луны и планет, с числеп-
ными теориями, построенными в Лаборатории реактив-
184

ного движения (JPLJ в США под руководством Дж. Мал-
холланда. Для Луны расхождения по прямому
восхождению не превосходят 0,0008", по склонению 0,005", по
дальности 12 м — па 20-летнем интервале. Однако после
уточнения 50 параметров лунной теории удалось
достигнуть точности представления движения Луны в 60 см.
Возросшая точность не только аналитических теорий,
но и наблюдений с помощью светолокационной техники
(о них мы расскажем в следующем разделе) потребовала
учета влияния на движение Луны релятивистских
эффектов. Хорошо известно, что одним из триумфов общей
теории относительности Эйнштейна было количественное
объяснение дополнительного смещения перигелия
орбиты Меркурия на 43" в год. У других планет
релятивистские эффекты оказались весьма малыми (у Венеры,
например, смещение перигелия составляет лишь 2,4" в год,
у Земли — менее 1").
Советский астроном В. А. Брумберг еще в 1958 г.
обратил внимание на необходимость при построении
точной теории движения Луны учитывать релятивистские
эффекты. В 1972 г. он выпустил специальную
монографию «Релятивистская небесная механика», где
обсуждался и вопрос о проявлении эффектов общей теории
относительности в движении Луны.
В 1982 г. В. А. Брумберг и Т. В. Иванова (Институт
теоретической астрономии АН СССР) выполнили
специальное исследование на эту тему. В 1985 г. они
опубликовали новую большую работу, завершающую это
исследование. Принятое ими приближение авторы назвали
постньютоновским, поскольку в нем фигурируют
эффекты, не содержащиеся в ньютоновой механике.
Естественно, что и здесь координаты Луны (долгота,
широта, радиус-вектор) выраяшотся длинными
тригонометрическими рядами. Но каждый коэффициент в этих
рядах представляется в виде суммы пяти составляющих:
ньютоновой части N, релятивистской части Я, не
зависящей от параметров задачи, и еще трех релятивистских
частей, пропорциональных параметрам а, £, ^. Первый
из них (а) характеризует принятую систему координат,
два других ((*, Tf) соответствуют принятой
постньютоновской модели. Если эта модель соответствует общей теории
относительности Эйнштейна, то £ « Y *"* 1. Как мы
увидим дальше, существуют и другие модели.
Релятивистский вклад в движение перигея и узла
лунной орбиты был найден равным 1,73" и 1,90" в столе*
185

тие соответственно. Это примерно 10~7 и 3 • 10~7 доли
ньютоновского смещения.
В коэффициентах разложений долготы, широты и
радиуса-вектора Луны релятивистские слагаемые
составляют от 10~5 до 10~9 ньютоновских слагаемых.
Сравнение результатов советских астрономов с
аналогичными данными зарубежных исследователей (в
частности, уже известных нам супругов Шапрон из Бюро
долгот в Париже) показало вполне удовлетворительное
согласие между ними. Разумеется, все расчеты велись
на ЭВМ, с применением специально сконструированного
в 1980 г. в Институте теоретической астрономии АН СССР
Универсального пуассоновского процессора (УПП).
Такое название он получил потому, что приспособлен для
работы с рядами Пуассона.
Наш обзор современных машинных теорий движения
Луны был бы не полон, если бы мы не рассказали о
численных теориях. Наибольший вклад в их развитие
внесли американские специалисты из Лаборатории
реактивного движения при Калифорнийском технологическом
институте (JPL) и из Техасского университета.
Инициатором создания ряда численных теорий был Дж. Д. Мал-
холланд. В конце 60-х г. он установил, что расхождение
эфемерид, построенных по улучшенной теории Хилла —
Брауна — Эккерта с индексом / «= 2, с результатами
прямого численного интегрирования дифференциальных
уравнений движения Луны с учетом всех возмущений
гравитационного характера обнаруживает расхождения
в расстоянии, доходящие до сотен метров. Вдобавок
остаточные разности обнаруживали систематический ход е
периодами, близкими к таковым для основных планетных
неравенств в лунной теории. Дж. Малхолланд и К. Девин
назвали этот недостаток гравитационным дефектом* На
пути к его устранепию стоял ряд трудностей, в
частности, при учете приливных- эффектов и фигуры Луны;
В те годы теория этих эффектов была разработана
недостаточно. Используя данные наблюдений положений
Луны на небе и "траекторные измерения искусственного
спутника Луны ч<Лунар Орбитер», американские ученые
ввели ь лунную теорию Брауна — Эккерта ряд эмпириче^-
ских поправок. Затем уточнили систему небесных коор*
динат, взяв за основу систему новейшего в то время фун*
даментального звездного каталога FK4. Была принята
система астрономических постоянных 1964 г. Численное
интегрирование велось с' шагом 0;25 сут, причем пара*
IM

ыетры, входившие в уравнения, варьировались так, чтобы
добиться наилучшего согласования результатов числсп-
ного интегрирования с лунной теорией. В итоге была
получена лунная эфемерида, обозначенная LE-16.
Но это было только начало. За LE-16 последовал
длинный ряд все новых и новых численных теорий,
каждая из которых учитывала недостатки предыдущих,
а также все накопленные наблюдения, выполненные
принципиально новыми методами: радиолокацией, тра-
екторными измерениями с космических аппаратов и, на-
копец, светолокацией.
«Венцом» этого направления развития численных
теорий можно считать эфемериду DE-102/LE-51,
построенную в 1982 г. Дж. Дж. Уильямсом, Кс. Ньюхоллом и
Э. М. Стэндишем из Лаборатории реактивного движения
(США). В ней объединены динамические теории движения
всех больших планет, Луны и пяти крупнейших
астероидов с учетом влияния всех этих тел (и, конечно,
Солнца) друг на друга, а также с учетом релятивистских
эффектов в уже известном нам постньютоновском
приближении. Были учтены и влияние фигур Луны и Земли,
и приливные эффекты с передачей импульса от Земли
к Луне. Пришлось решать систему из 33
дифференциальных уравнений, причем порядок их доходил до 14-го.
Но ЭВМ справились с этой нелегкой задачей. Трем
американским астрономам удалось вычислить эфемериду
Луны и планет на 44 столетия: с 1411 г, д& н. э. до
3002 г. н. э.
Последовала громадная работа по сравнению
результатов, во-первых, с наблюдениями, а во-вторых, с
аналитическими теориями. Были привлечены все виды
наблюдений: древние и средневековые наблюдения затмений,
позиционные наблюдения Лупы, начиная с XVII века,
современные радиолокационные и светолокациоиные
наблюдения, траекторшле измерения орбитальных и
пролетных космических аппаратов. Авторы аналитических
машинных теорий (П. Бретаньоп, супруги Шапрон и
другие) подключились к сравнению своих теорий с
эфемеридой DE-102/LE-51.
Всего было использовано около 38 000 оптических
наблюдений Солнца и планет, более 5000
радиолокационных наблюдений и 800 траекторных измерений с
космических аппаратов, чтобы уточнить эфемериды планет,
входящие в DE-102, Для Луны получена точность
положений около 40 см.
т.

Но авторы теории не успокаивались на достигнутом.
В их публикации 1983 г. фигурирует уже улучшенная
по сравнению с DE-102 эфемерида DR-118. Но и она —
не последнее слово теории, в сочетании с электронной
техникой: переход к системе координат 2000 года
привел к эфемериде DE-200.
А теперь обратимся к самому совершенному способу
проверки новых теоопй — к светолокации Луны.
Светолокация Луны
Вплоть до середины нашего столетия расстояние до
Луны определялось косвенным путем — через ее
параллакс. Для определения параллакса Луны требовалось
одновременно измерить ее склонение из двух
обсерваторий, расположенных на одной долготе, но на разных
широтах. Зная расстояние между обсерваториями и измерив
разность склонений Луны, можно было вычислить ее
параллакс, а по нему и расстояние до Луны. Однако
относительная точность этого способа была на два
порядка ниже относительной точности измерения угловых
координат Луны. Ведь параллакс —- малый угол
(порядка градуса), и погрешность в его определении на 1"
приведет к неточности в расстоянии Луны на 1/3600 самого
расстояния, то есть около 100 км. А такая же
погрешность в долготе и широте Луны даст неточность в ее
положении менее 2 км.
Еще в 1928 г. советские физики Л. И. Мандельштам
и Н. Д. Паналекси указали на принципиально новый
метод определения расстояний до Луны с применением
радиолокации. Однако их расчеты показали, что
мощность существовавших тогда передатчиков и приемников
недостаточна для решения этой задачи. В 1943 г. оба
физика (ставшие к тому времени академиками)
сделали новые расчеты, показавшие практическую
осуществимость радиолокации Луны. Пучок радиоволн, посланный
на Луну, должен отразиться от ее поверхности и достичь
Земли примерно через 2,5 секунды (радиоволна, как и
свет, распространяется со скоростью 300 000 км/с, а
двойное расстояние Земля — Луна равно примерно 770 000 км).
Чтобы добиться «астрометрической» точности в
измерении расстояния до Луны, нужно было определять
интервал между посылкой сигнала и приемом отражения
с точностью до 10 5 секунды. Первые эксперименты по
183

радиолокации Луны были осуществлены в 1946 г.
одновременно в Венгрии и в США. Ио на пути к
достижению нужной точности пришлось преодолевать
множество трудностей, как принципиальных, так и технических.
Требовались мощные передатчики, большие приемные
антенны с точной параболоидальной поверхностью,
правильный выбор длины волны и полосы пропускания
(диапазона частот, принимаемых приемным устройством),
наконец, длительности и формы сигнала. Не следовало
забывать, что Луна — не зеркало, а шар с весьма неровной
поверхностью. Разные точки лунного шара получат и
отразят сигнал в разное время: прежде всего сигнал отразится
от ближайшей к Земле точки Луны — для земного
наблюдателя она расположена в центре лунного диска.
Если бы Луна была совершенно гладким шаром, то
дальше в отражение включались бы все более и более
широкие кольца, окружающие центральную точку. Наличие
на Луне гор и депрессий (понижений) исказит эту
картину. Все же по времени прихода переднего фронта
отраженного сигнала можно определить расстояние до
ближайшей точки Луны, а зная ее радиус — и до центра
лунного шара.
Требуемая в то время точность в ±1 км была
достигнута сотрудниками Морской исследовательской
лаборатории США в 1958 г. Помогло то обстоятельство, что
радиоволны отражала не вся Луна, а некоторое
сравнительно небольшое «яркое пятно» (в радиодиапазоне),
диаметром в несколько сот километров. Это было связано
с особенностью рассеяния метровых и сантиметровых
радиоволн поверхностью нашего спутника.
Итак, к концу 50-х г. точность измерения положения
Луны сравнялась с точностью теории Браупа (в то
время— наилучшей). Развитие в те же годы космических
полетов к Луне (в Советском Союзе уже в 1959 г. к
Луне были запущены три автоматических межпланетных
станции) потребовало нового повышения точности
измерений.
Но еще в 1954 г. два молодых советских физика
(будущие академики) А. М. Прохоров и Н. Г. Басов и,
независимо от них, профессор Колумбийского уяиверсите-#
та США Ч. Таунс создали первые молекулярные
квантовые генераторы — основу будущих лазеров. За это
через 12 лет все трое были удостоены Нобелевской премии
по фиэикв (наши ученые, кроме того, стали лауреатами
Ленинской премии).
189

За прошедшие 30 лет квантовая электроника
проделала большой путь. Были созданы мощные лазерные
излучатели, посылающие узкий пучок лучей строго
определенной длины волны. Уже в конце 50-х г. в Принстоп-
ском университете* (США) Р. Дикке с сотрудниками
произвел первые эксперименты по светолокации Луны.
В 1962 г. Л. 3. Грасюк с группой сотрудников в
Крымской астрофизической обсерватории и ученые из Масса-
чусетского технологического института (США) провела
первые измерения расстояния до Луны методом
светолокации. Но эти эксперименты не могли дать высокой
точности, потому что луч отражался естественной лунной
поверхностью, изрытой многочисленными неровностями.
В 1905 г. Ю. Л. Кокурип с сотрудниками вновь
использовал рубиновый лазер, помещенный в фокусе 2,6
метрового рефлектора 3TI1I (зеркальный телескоп имени
Г. А. Шайиа 65) и посылавший модулированные сигналы
длительностью 20 не (1 папосекунда (не)— 10~9с)« Это
давало возможность довести точность измерения
расстояний до 1,5 метра. Отраженный сигнал принимал тот же
телескоп.
Но па пути к такой точности стоял целый ряд
препятствий. Луч лазера испытывал рассеяние в земной
атмосфере и начинал расширяться, расходиться.
Поверхность Луны, покрытая неровностями, была плохим
отражателем. Возникла идея: используя успехи космической
техники, доставить на Луну специальные отражающие
устройства.
В качестве таких устройств были применены так
называемые уголковые отражатели, или триппель-призмы.
Триппель-нризма (рис. 25, а) представляет собой как бы
уголок, отрезанный от куба. Входной гранью является
прозрачная плоскость среза, остальные три грапи
покрыты металлическим отражающим напылением (рис. 25, б).
Луч света, попав па входную грань призмы, после
полного отражения внутри пес выйдет точно по направлению
падающего луча, независимо от ориентации всего
отражателя относительно этого луча.
Первый лазерный светоотражатель был установлен
на поверхности Луны 21 июля 1969 г. экипажем
американского пилотируемого космического аппарата
в5) Щайп Григории Абрамович (1892-1956), академик,
известит,; ft советский астрофизик, основатель и Первый директор Крым*
ской астрофизической обсерватории АН СССР.
190

'«Аполлон-11». Он состоял из 100 отдельных
уголковых отражателей. Размер каждой призмочки составлял
3,8 см. Все отражатели были смонтированы на панели,
которая была развернута в сторону Земли. Напомним,
Рис. 25. Схема уголкового отражателя. Путь луча показан
стрелками
что Земля на небе Луны не участвует в суточном
движении небосвода (из-за того, что Луна обращена к ней
одной стороной) и лишь вследствие оптических
либрации может отклоняться от среднего положения до 11 #
'Рис 26. Фпанпузсюш лазерный отражатель, помещении* **
. /-.Г'.. * 7* •"* «Луноходе-1*

Аналогичные приборы были доставлены на Луну
экипажами космических кораблей «Адоллон-14, 15» в
феврале и июле 1971 г.
В ноябре 1970 г. советская автоматическая
межпланетная станция «Луна-17» доставила на поверхность
Луны самоходный аппарат «Луноход-1», на котором был
смонтирован отражатель, изготовленный французскими
учеными и содержащий 14 триппель-призм (рис. 26).
В середине января 1973 г. советская АМС «Луна-21»
доставила на Луну «Луноход-2» с такой же установкой.
Эксперимент по светолокации Луны в СССР
проводился группой сотрудпиков Физического института
АН СССР им. П. Н. Лебедева во главе с Ю. Л. Кокури-
ным в тесном содружестве с астрономами Крымской
астрофизической обсерватории, главный телескоп которой —
ЗТШ — использовался для посылки и приема сигналов.
Американские ученые вели подачу и прием сигналов
с обсерватории Мак-Дональда (Форт Дэвис, штат Техас),
располагавшей почти таким же телескопом —
2,7-метровым рефлектором. Работами руководил директор
обсерватории Э. Сильверберг.
Светолокациоиные наблюдения уголковых
отражателей с «Аполлонов-11 и 15» и «Лунохода-2» были
выполнены с обеих обсерваторий, «Аполлон-14» наблюдался
только на обсерватории Мак-Дональда, а «Луноход-1»
только на Крымской обсерватории. Позднее к ним
присоединились и другие обсерватории. Всего было получено
несколько тысяч измерений. Их обработка производилась
как советскими, так и американскими астрономами.
Некоторые работы были выполнены совместно. Советскую
группу исследователей возглавил профессор В. К. Аба-
лакин из ИгЛтитута теоретической астрономии АН СССР
(ныйе — директор Пулковской обсерватории).
Американские исследования велись под общим руководством
Дж. Д. Малхолланда из Техасского университета.
Начиная с апреля 1978 г. в наблюдения включилась станция
лазерной локации Луны Оррорал-Вэлли (Австралия),
организованная совместно американскими и
австралийскими учеными, переправившими туда 1,5-метровый
телескоп. Получился гигантский треугольник Крым —
Техас—Австралия, стороны которого превышают 11 тыс. км
каждая. Их длины были уточнены из самих лазерных
наблюдений.
НЬ рис. 27 показан один из непосредственных
результатов светолокации Луны. Здесь представлено изменение
192

со временем разности моментов прихода отраженного
сигнала по данным наблюдений и теоретического
(вычисленного по эфемериде LE-16). Наблюдения проводились
26 ноября 1971 г. и охватывают интервал в 20 минут,
t-J I L*_l I J I I i I 1 1 I I I I L-J I LJ
00ч50н ООц55н 01ц00н О/ч05ы Q141QH
всемерное время
Рис. 27. Изменение разности моментов прихода отраженных
сигналов 26 аоября 1971 г, (по Д. Малхоллавду)
Каждый сигнал показан кружком. Их разброс, как видно
из графика, не превышает 5 не. Зато четко
прослеживается рост разности моментов с временем, из которого
следует, что движение Луны слегка отличается от
теоретического, так что разность положений Луны
(наблюденного и эфемеридного) возрастает на 4,5 метра за час.
Много это или мало? Напомним, что скорость Луны
по орбите равна примерно 1 км/с. Невязка в 4,5 м/ч
соответствует приращению скорости в 0,125 см/с, что
составляет 1,25 • 10"6 скорости движения Л^ы, или, грубо
говоря, одну миллионную долю. Вот до какой тЛности
дошла числепная лунная теория к 1971 г. А ведь с тех
пор прошло более 15 лет.
Светолокация Луны позволила получить много
интересных результатов — не только в отношении уточнения
теории движения нашего спутника. Вот некоторые из них.
Данные о лунной орбите, ее вращении и
физической либрации улучшены на два порядка величины.
Определена суммарная масса системы Земля — Луна:
1/328900,5 массы Солнца. Вычислено приливное
ускорение Луны: 24"/столетие2, в хорошем согласии с другими
13 В. А* Бронштэв
193

определениями (см. с. 115, 116)\ Определены моменты
инерции Луны, свидетельствующие о наличии у нее
плотного ядра.
Установлено, что модель трехосного эллипсоида
недостаточна для описания лунного гравитационного поля и
физических Либрации — нужна более сложная модель.
Исследование свободной либрации Луны указывает на то,
что в сравнительно недавнее время- наш спутник
испытал сильный удар другого тела (небольшого астероида
илп ядра кометы). Доктор Одиль Калам из обсерватории
11ик-дю-Миди (Франция) определила амплитуду
свободной либрации (по данным светолокации) в 15 метров,
что слишком много для такого тела, как Луна.
Английский геолог Джек Хартунг, основываясь на анналах Кен-
терберийского собора в Лондоне, высказал предположение,
что яркая вспышка, наблюдавшаяся на Луне в 1178 г.
(невооруженным глазом!),—результат удара,
образовавшего молодой кратер Джордано Бруно на обратной
стороне Луны. Системы его светлых лучей выходят на
видимую сторону, поэтому о существовании этого кратера
,внали еще до полета нашей станции «Луна-3» в октябре
1959 г., передавшей его первую фотографию,
Данные светолокации Луны помогли в создании селе-
нодезической системы координат опорных пунктов на
поверхности Луны66). Уточнены некоторые неравенства
.вращения Земли, в частности, годичные и долгопериоди-
ческие члены. Разработан новый метод
определения-положения полюсов Земли с точностью до метра, с исполь*
-Боданием светолокации Луны.
_ .Читатель не должен удивляться тому, что в резуль»
тате.. светолркацпи Луны мы узнали многое о движении
•нашей Земли. Ведь лазерный светоимпульс посылается
и, принимается на вращающейся Земле. Все величины,
oLкоторых шла (и еще пойдет) речь, взаимно хвязаны
-и .входят в, одни и те же уравнения, определяющие
время прихода сигнала. Поэтому, когда имеется много наблнЗ*
денпй из разных пунктов, искомые величины
определяются без ^особого труда.
, Обратимся теперь еще к одной группе физических
явлений, для изучения которых пригодилась светолока-
ция Луны. Речь идет о проверке общей теории
относительности Эйнштейна,
- . еб) Селенодезия — наука об измерениях иа поверхности Луш,
аналог, нащей зедшод геодезии.
194

Мы'уже рассказывали о том, что в теории движения
Луны нужно было учитывать и релятивистские эффекты,
определяемые этой теорией. Целый ряд наблюдаемых
эффектов (дополнительное смещение перигелия
Меркурия, гравитационное красное смещение спектральных
линий в сильном поле тяготения, отклонение световых
лучей таким полем) говорил в пользу справедливости этой
теории.
Но не все было так просто. Понятие массы любого
материального тела имеет два смысла. Во-первых, масса
входит в формулу закона инерции F — та, она является
мерой инерции тела. Такая масса называется инертной.
Во-вторых, масса входит в формулу закона всемирного
тяготения (см. с. 58) и может быть из нее определена.
Эта масса называется гравитационной. Равенство обеих
масс друг другу не вытекает ни из каких известных нам
законов природы. Но точнейшие эксперименты
показывают, что инертная и гравитационная масса равны между
собой с точностью до 10~12. Их равенство представляет
собой одну из загадок природы.
В конце прошлого столетия известный австрийский
физик.и философ Эрнст Мах (1838—1916) выдвинул
физический принцип, из которого следовало, что инертная
масса тела не постоянна, а зависит от распределения
масс окружающих тел. Работая над созданием общей
теории относительности, Альберт Эйнштейн находился
под впечатлением этого принципа. Но когда теория
Эйнштейна была построена, принцип Маха не нашел в ней
места. Согласно Эйнштейну, инертная масса не зависит
от распределения окружающих масс.
В 1961 г. два американских физика, Карл Бранс я
Роберт Дикке, решили ввести принцип Маха в общую
теорию относительности. Они пришли к выводу, что
можно построить непротиворечивую физическую теорию,
в которой помимо обычною эйнштейновского тензорного
гравитационного поля присутствует еще дополнительное
поле — скалярное 6/). Поэтому свою теорию они назвали
теизорно скалярной. -
б7) Напомним, что скаляр — величина, задаваемая одним ЧИ0«
лом (например, площадь, объем, масса, температура); для 11ДА*
mi я вектора нужны три числа (примеры векторных ЫРЛИЧИЩ Ujjjl j
рость, ускорение, сила); тепаор задается шестью и 6ОЛ00 ЧШШШШШ
(примеры: деформация, напряжение, давлении; 01ЮЙ11|'Ц^^^Н|
рапства-времепи также задаются тензором)i * '^ЩНН|
13* % ЯР

В 1968 г. еще один американский физик, Кеннет Норд-
тведт, указал на то, что если теория Бранса — Дикке
верна, то и.нертиая и гравитационная массы Луны будут
ваметпо различаться между собой. Отклонение в
движении Луны от определяемого теорией Эйнштейна
достигает метра и более.
В 1976 г. сразу две группы американских ученых
предприняли попытку проверить это с помощью лазерной
светолокации Луны. Результат был однозначным: теория
Эйнштейна вернд, теория Бранса — Дикке не отвечает
действительности.
Из тех же лазерных экспериментов было найдено,
что с точностью до 3 - 10~п доли гравитационная
постоянная не изменяется со временем, как предсказывали
в 1938 г. известный физик П. А. М. Дирак и в 1961—
1964 гг. К. Бранс и Р. Дикке. Теория Эйнштейна
восторжествовала и на этот раз.
Мы видим теперь, как много дали науке
эксперименты по светолокации Луны. Они позволили не только
проверить и уточнить новейшие теории ее движения, нодади
богатую информацию о нашей Земле, ее вращении и
даже об общих свойствах мира, в котором мы живем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Наше повествование подошло к концу. Мы
проследили развитие теории движения Луны за 28 столетий —
от первых наблюдателей древнего Вавилона до
современных машинных теорий и лазерных средств наблюдения.
Развитие и совершенствование теории проходило
параллельно с улучшением методики и повышением
точности наблюдений. Ведь теория и наблюдения
неразрывно связаны между собой, и одно немыслимо без
другого.
Достижения в теории движения Луны были
немедленно использованы для построения аналогичных теорий
движения естественных спутников других планет,
особенно Юпитера и Сатурна. Строятся теории спутников
Урана, Нептуна и даже недавно открытого спутника
Плутона. Начиная с 1957 г. лунная теория (в измененном виде)
служит для точного предсказания движения
искусственных спутников Земли. Уже вышли на орбиты
искусственные спутники Луны, Венеры и Марса. При расчетах
их движения тоже пригодились основные принципы
построения лунной теории.
История создания и совершенствования лунной
теории — прекрасный пример доведения до конца трудной,
очепь трудной задачи. В ее решение вложили свой труд
десятки ученых разных стран и эпох. Мы постарались
никого не пропустить. Особенное внимание мы
стремились уделить отечественным ученым. Целый ряд фактов
и результатов их деятельности не был до сих пор
опубликован, а если и был, то остался незамеченным в
широких кругах специалистов, не говоря уже о любителях
астрономии.
На многочисленных примерах мы постарались
показать п то, как разработка теории движения Луны
способствовала развитию новых методов математического
анализа, в частности, приближенного решения систем
дифференциальных уравнений, а в последние роды — развитию
197

алгоритмов и программ для решения широкого круга за-<
дач с помощью ЭВМ. Методы теории движения Луны
нашли применение в теории механизмов и машин, в газовой
динамике, в других разделах небесной механики. Точное
внание движения Луны позволило провести
своеобразный тест среди конкурирующих релятивистских теорий.
Сказанным не исчерпывается значение этого раздела
астрономии.
История науки всегда интересна. Ведь это история
поиска, борьбы с трудностями, ошибок, открытий,
успехов, разочарований. Автор будет рад, если эта книга
привлечет внимание читателей. За любые замечания
автор будет благодарен.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абалакин В. ТС. Основы эфемеридпой астрономии,— М.: Наука,
1979.
Абалакин В. К., Кокурин Ю. Л. Светолокация и небесная
механика II Некоторые вопросы физики космоса,—М.: Изд-во ВАГО,
1974-С. 63-79.
Белый Ю. А. Иоганн Кеплер.— М.: Наука, 1971.
Белый FO. А. Тихо Браге— М.: Наука, 1982.
Берри А. Краткая история астрономии: Пер. с англ.— М.; Л.: Гоо*
техиздат, 1946.
Боголюбов А. /У. Математики, механики: Биографический
справочник,— Киев: Наукова думка, 1983.
Бронштэн В. А. Клавдий Птолемей.—М.: Наука, 1988.
Броиштэн В. А. Восстанавливая страницы истории. Очерк первый,
Николай Долгоруков / Земля и Вселенная, 1989.—№ 3,—
С. 51-56.
Вавилов С. И. Исаак Ньютон.— Изд. 4-е.—М.: Наука, 1989.
Веселовский И. П., Белый 10. А. Николай Коперник.—М.: Наука,
1974.
Воронцов-Вельяминов В. А. Очерки истории астрономии в России.-*
М.: Гостехпздат, 1956.
Воронцов-Вельяминов Б. Аш Лаплас—2-е изд., доп. и перераб.—
М.: Наука, 1985.
Гребеников Е. А., Рябов Юу Л, Что такое небесная механика.—Мл
Наука, 19G6.
Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Поиски и открытия планет,—
2-е изд.— М.: Наука, 1984.
Демин В. Г. Судьба Солнечной системы.—2-е изд.—М.: Наука, 1971
Депри 4. Движение Луны в пространстве // Физика и астроиомпя
ЛуЕш: Пер. с англ.— М.: Мир, 1973,—Гл. 1.
Идельсоп Н. И. Этюды по истории пебесной механики,—М,: Hay*
ка, 1975.
Колчинский И. Г., Корсунъ А. А., Родрмес Л/. Г. Астрономы:
Биографический справочник.— 2-о изд.— Киев: Наукова думка,
1986.
Кудрявцев П. С. Исаак Ньютон.—2-е изд.— М.: Учпедгиз, 1955. /
Паннекук А. История астрономии.- М.: Наука, 1966.
Лерелъман Я. И. Занимательная астрономия,—Изд. 11-е,—М,: На* г
ука, 1966.
Полищук Е. М. Софус Ли.—Л.: Наука, 1983.
Радзиевский В. В. Поверхности перигеев и апогеев Луны / Проб*
лемы наблюдательной и теоретической астрономии,— М.— Лл
ВАГО, 1977.- С. 164-180.
Рой At Движение по орбитам»— М,: Мир, 1981,
£09

Рябов Ю. Л. Движение небесных тел.— 3-е изд.— М.: ФизматгиЗ,
1977.
Смарт У. Л/. Небесная механика.—М.: Мир, 1965.
Старцев 11. А. Очерки истории астрономии в Китае.— М.: Физмат*
гиа, 1961.
Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики.— 4-е изд.— М.:
Наука, 1984.
Субботин Л/. Ф. Очередные задачи теоретической астрономии //
Труды II съезда ВАГО.—М.: Изд-во АН СССР, I960.—С. 61—
71.
Субботин Д/. Ф. Теоретическая астрономия / Астрономия в СССР
за 40 лет.— М.: Физматгиз, I960.— С. 113—133.
Яковкин А. А. Движение, вращение и фпгура Луны Ц Луна,—
М,: Физматгиз, I960.— Гл. I.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абалакин В. К. 192
Абу-ль-Вафа 43—45
Агафокл 119
Адаме Дж. К. 4, 92, 107, НО,
111, ИЗ, 116, 119, 120, 130,
138, 144, 148, 160, 162
Аксенов Е. П. 4
Александр Македонский И
Альберт Прусский 42
Альфонс X. 42, 90
Андуайе А. 4, 126, 127, 139,
140, 158, 179, 180
Анрар Ж. 172, 176, 178, 179,
181-184
Араго Ф. 45, 102
Арпстотель 7, 38
Астен Э. 137
Баев К Л. 99
Баклунд О. А. 137, 144, 146
Банахевич Т. 103
Барбера Л. 161
Бартон Д. 172, 173, 178
Басов Н. Г. 189
Белленсхайм С. 168, 183
Бслькович И. В. 103
Бертран Ж. Л. Ф. 45, 125, 173
Био Ж. 44, 45
Боголюбов EI. H. 170, 171
Болип К. 155
Браге Тихо 7, 42—47, 74
Брадлей Дж. 92
Бра не К. 195, 196
Браун Э. 4, 5, 24, 83, 87, 116,
119, 121, 126, 127, 131-136,
146, 149, 162—161, 166-168,
171, 182, 186, 189
Браузр Д. 4, 136, 1G6-168, 171,
173
Брсташ.оп П. 183. 184, 187
Броиштэн В. А. 19
Брумберг В. А. 131, 178, 185
Бруно Дж. 39, 194
Брунс Г. Э. 64, 65
Бувар А. 102, 116
Буге П. 76
Бульо И. (Буллидльд) 34, 120
Буркхардт И. К. 4, 92, 103, 106
Бурштсйн Э. Л. 170
Бюрг И. Т. 4, 92, 163, 106
Бюффоя Ж. 79
Ван Фландерн Т. 116
Васильева А. В. 178
Вильев А. В. 156
Вильев М. А. 4, 83, 86, 90, 150,
156-161 178
Вятковский В. В. 141, 142, 147,
156
Вольтер Ф. М. 50, 83
Галилей Г. 39, 48, 50—52, 99
Галлей Э. 97, 98
Галуа Э. 174
Гамильтон У. Р. 125, 175
Ганзен П. А. 4. 9, 86, 107, 110,
111, 113, 116-121, 127, 128,
133, 134, 136, 142-144, 146,
151, 158, 161, 162, 167
Гартвнг Э. 102
Гассенди П. 120
Гаусс К. Ф. 170, 174
Гевелий Я. 99, 120
Гейнзиус Г. 81
Геродот 19
Гинцсль Ф. 11. 157
Гиппарх 6, 7, 12, 21-26, 28, 30, г
46, 68, 73. 75, 150, 156
Годфрей Г. 148
Гольдбач X. 81
Грасюк А. 3. 190
Гршиов А. И. 82
201

Гук Р. 52
Гутцвиллер М. 168, 183
Гюльден И. А, Г. 4, 136-142,
144-147, 155, 168
Даламбор Ж. Л. 4, 78-83, 87,
94, 101, 103, 107, 108, 152,
155
Дамуазо М. Ш. Т. 4, 103, 105,
106, 110, 116, 117, 119, 121,
158, 162-164 '
Дапком Р. 166
Дарбу Ж. Г. 125, 173
Дарвин Дж. 92, ИЗ, 131, 133
Дарий Ш. И
Девин Vt. 186
Деламбр Ж. 35
Делиль Ж. Н. 120
Делоне Ш. Э. 4, 5, 90, 107, 111-
113, 116, 117, 119-128, 133,
138, 143, 144, 146, 148, 149,
151, 152, 158-160, 162, 168,
169, 171—173, 178—180
Домин В. Г. 6
Депри А. 5, 24, 143, Ш, 151,
172, '173, 176, 178-180
Джакалья Ж. 169
Джеффрнс Г. 135
Дикке Р. 190, 195, 196
Дирак П. А. М. 196
Долгоруков Н. П. 4, 34, 112, 116,
117, 147-156, 159, 161, 169 -
Дубошин Г. Н. 145, К9
Кала*! О. Ш" - - * .'. \
Карлшш Ф. 103, 106, 117
Кассини Ж. Д. 99, 152
Кеплер И. 39, 42, 46-49, 51-
60, 64, 68, 71, 88, 124
Кидиону 21
Киносита X. 184
Кир 11
Клейн Ф. 125, 126, 173
Клейпфельд М. 82
Клемепс М. 166-168, 173
Клеро А. К. 4, 65, 76-83, 87,
90, 103, 107, 155
Ковалевский Ж. 182 '
Козиел К. 103
Кокурин Ю. Л. 190, 192
Кольбер Ж. В. 44
Коперник Н. 7, 32, 38-42, 46,
47
Коуэлл П. 130
Коэи К. 116
Краснов А. В. 137—139. 142—
Ш
Красовский Ф. Н. 99
Крафт В. Л. 90
Крашенинников С. П. 82
Крылов А. Н. 93, 170
Крылов Н. М. 170, 171
Ксенофонт 119
Куглер Ф. 13, 21
Куликов Д. К. 166
Кэли АЛ 11
Евклид 29
Жданов А. М. 4, 137, 139. 141—
147, 156
Жордан К. 173, 174
Иванова Т. В. 131, 185
Идельсон Н. И. 3, 24, 32, 33, 35,
65, 66, 135, 150
Иисус Навин 38
Исакович Л. А. 178
Казаков С. А. 113
Кэинер У, 171 .
202
Ла Гир Ф. 120
Лагранж Ж. Л. 4, 73, 89, 94, 95,
97, 98, 101-104, 122, 137,
147, 155
Ла Кондамип Ш. М. 76 ;> ^
Лаланд Ж. Ж. 90, 101
Лаплас П. С. 4, 35, 67, 87, 94,
97-99, 102-106, 108, НО,
111, 116, 137, 138, 140, 155
Леббок Дж. У. 4
Лебедев П. Н. 192
Лсверье У, 4, НО, 111
Йедониц Г, В. 55
Лекссль А.-И. 90
Летют Н. 90
Ли М. С. 5, 125, 126, 173, 175—
178, 181, 184
Лпбри Г. 45
Липдстедт А, 140, 155, 168, 169

Лиувилль Ж. 174
Ломоносов М. В. 82
Лонгберг С. К. (Лонгомоптап)
43
Людовик XIV 44
Ляпунов А. М, 4, 130, 137
Майер Т. 4, 92, 99', 101, 103 *' :
Макдоиальд Дж. 135
Малхолланд Дж. Д. 185, 186,
192, 193
Мапделыптам Л. И. 170г 188
Манк У. 135
Мардокемпад 10, И
Маскелайн Н. 103
Матье К. 45
Мах Э. 195
Мейсон Ч: 92 ( ": '
Мейюс Ж. 63
Мерман Г. А. 130
Миллер Г. 82
Михаилов А. А. 19, 166
Моисеев Н. Д. 145
Мопертюи П. Л. 76
Морозов Н. А. 157
Моррирон Л. 115
Мунк С, 45
Муньджала 41
Мюзан П. 172
Набонассар И, 27, 36
Набу-риманну 21
Насирэддин Туей 41 . . ',
Нейгебауэр О. 13, 19, 21 "
Немиро А. А. 166
Нефедьев А. А, 103
Николле Ж. Н. 102
Нитьянанда 41
Нордведт К. 196
Ньюком С. 3, 19, 92, 120, 127,
131, 134, 151, 162-166, 168
Ньютон И. 4, 6, 32, 47—52, 55,
56, 58—60, 62-65, 67-81, 83,
94, 101, 103, 155, 159
Ньютон Р. 115
Ньюхолл Кс. 187
Олимпиодор 25
Оппольцер Т. 157
Паппекук А. 13, 16, 20
Напалокси Н. Д. 170, 188
Пембертон Т. 50
Персльмап Я. И. 101
Першо Л. Ж. 139, 140
Петровская М. С. 130
Плана Дж. А. А. 4, 103, 106—
ИЗ, 116, 117, 119, 121, 122%
**14б, 149, 152/155, 15S, 1§9,
162 *".-■.-
Плиний Старший 21 -
Понтекулан Ф. Г. 4, 107*—I'll,
116, 117, 121, 146, 149, 152,
155, 158, 159, 162
Попов Н. И. 82
Портсмут (лорд) 76
Поттер X. 166
Прохоров А. М. 189
Птолемей К. 6, 7, 9—12. 18, 19,
21, 25-42, 45-47, 50, 150,
156
Пуанкаре А. 4, 64, 65, 137, 139,
143, 149, 155, 169, 172
Пуассон С. Д. 90, 104—108, 140,
147, 155, 158, 177; 178, 181,
186
Путилин И. И. 100
Пушкин А. С. 7
Пюизё П. А. 159
Радзи-евский В. В. 147, 150
Радо Р. 4, 126, 133, 162—164
Разумовский К. Г. 82
Рейнгольд Э. 42"
Ром А. 172, 176, 178, 179
Рудольф П. 42 „
Рябов Ю. А. 130 *
Святский Д. О. 157
Седийо Ж. Ж. 43
Седийо Л. А. 43—45
Сильверберг Э. 192
Симон Ж. Л. 183
Ситтер В., де 166
Смарт У. М. 110, 149
Соловьев Л. С, 170, 171
Спенсер Джонс Г. 115, 135
Стакли У. 50
Стапдерт Д. 183, 184
Старцев П. А. 8
Страбоп 21
Струве О. В. 136
Стэндиш Э. М. 187
203

Субботин М. Ф. 149, 161
Сундман К. Ф. 65
Чеботарев Г. А. 149
Таунс Ч. 189
Тейлор Дж. И. 135
Тимур 44
Тассерай Ф. Ф. 4, 83, 149, 150,
159, 160, 162
Томпсон Р. К. 13
Тукерман В. 46
Уильяме Дж. Дж. 187
Улугбек 44
Фалес 119
Федоров Е. П. 166
Флемстид Дж. 75, 120
Франц И. 102
Хабибуллин Ш. Т. 103
Хаммурапи 10
Хартунг Дж. 194
Харцер П. Г. 141
Хергет П. 166, 172
Хи 8
Хилл Дж. 4, 5, 72, 87, 92, 93,
127-132, 137-139, 143, 145,
146, 149, 151, 155, 156, 160,
168, 180-182, 186
Хо 8
Хври Г. 171, 173
Шайн Г. А. 190
Шаль М. 45, 125, 173
Шапрон Ж. 183, 184, 186, 187
Шапрон-Тузе М. 182—184, 186,
187
Шатле Э., де 83
Шахрух 44
Шмидт Д. 182
Шнабель П. 21
Шретер И. 101
Штернберг П. К. 145
Штрасмайер И. 13, 19
Шуберт Ф. Т. 93, НО, 136
Щиголев Б. М. 146, 150
Эйлер И.-А. 90
Эйлер Л. 4, 5, 72, 73, 80, 81,
83-87, 89-94, 98, 101, 103,
105, 107, 122, 128, 132, 136,
138, 146, 155, 158, 160-162
Эйнштейн А, 131, 185, 194—196
Эккерт У. Дж. 4, 136, 166-168,
179, 180, 183, 186
Энгельс Ф. 39
Эппинг И. 13
Эстервинтер К. 116
Цейпель Г., фон 127, 169—173
Якоби К. 174
Яковкин А. А. 103

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие • • • 3
Введение • , 7
Глава I. От древних вавилонян до Птолемея .... 10
Древний Вавилон 10
«Муж трудолюбец и поклонник истины» . . 21
«Матвхматическое построение» Клавдия Птолемея 25
Глава II. От эпициклов —к эллиптической орбите ♦ . 83
Остановивший Солнце и сдвинувший Землю . • 38
Феникс астрономии 42
Законы Кеплера и Луна 47
Глава III. От кинематики к динамике 50
Закон всемирного тяготения 50
Исаак Ньютон и Луна 60
Конкурс Петербургской академии наук ... 76
Три лунные теории Леонарда Эйлера . . . , 83
Глава IV. Век девятнадцатый: Небесна л механика идет
на приступ 94
Лаграиж и Лаплас 94
Последователи Лапласа 104
Спор о вековом ускорении 110
Теория и таблицы Петера Ганзена . . , ♦ 117
Аналитический метод Шарля Делоне . , . 121
Теория Хилла — Брауна и ее уточнения . . . 127
Исследования по теории Луны в России. Гюль-
ден и его школа 133
Глава V. Век двадцатый. Теорию строят... ЭВМ , , , 165
Система астрономические постоянных .... 165
Новые идеи и новые методы 168
От письменного стола — к пульту ЭВМ . . . 172
Преобразования Ли 173
Состязание машинных теорий , 179
Светолокация Луны , 183
Заключение . . 19Г
Список литературы # , 199
Именной указатель •••«•«••••»» 201

Научно-популярпое издание
ВРОВШТЭВ ВИТАЛИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ
КАК ДВИЖЕТСЯ ЛУНА?
Серия «Проблемы науки и технического прогресса»
Заведующий редакцией Г, С. Куликов
Редактор Т. Г. Борисова
Художественный редактор Т Н. Иолъченко
Технический редактор Е. JB Морозова
Корректор И. Я. Кришталь
ИБ М 32484
Сдано в набор 24 02 89. Подписано к печати 24 01.90. Т-06654.
Формат 84x108/32. Бумага книжно-журнальная. Гарнитура
обыкновенная. Печать высокая Уел иеч. л. 10,92. Уел кр-отт. 11,34,
Уч.-изд. л. 11,44. Тираж 117 000 экз. Заказ ЛЪ 593. Цепа 70 ьшх,
Ордеца Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, «Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 Новосибирск, 77. Станиславского, 25

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Готовится к печати:
. НА РУБЕЖАХ ПОЗНАНИЯ ВСЕЛЕННОЙ (Исторпко-астроно-
мические исследования. 1990)/Под ред. А. А. Гурштейна. (Темплая
1990 г., поз. 138).
Ежегодный сборник доступных по изложению публикаций вид*
ных ученых и молодых исследователей по актуальным проблемам
иотории отечественной и мировой науки. Наряду с историко-аст-
рономическими статьями помещены материалы по истории
космических исследований, геодезии, геофизики. Среди наиболее
необычных публикаций: поэтический перевод сочинения
современника И. Ньютона Джона Донна, дискуссионная попытку
астрономической расшифровки письменности тиауанако, филологическое
исследование астрономической терминологии Древней Руси,
свидетельства старых топографических описаний о прошлрм Москвы,
пауковедческая оценка прогресса наблюдательной базы советской
астрономии, из истории советской авиационной астрономии,
100 лет Нижегородскому кружку любителей физики и астрономии,
бесселевские материалы в Ленинградском отделении архива АН
СССР и др.
Для специалистов и аспирантов в области астрономии и
смежных дисциплин, преподавателей, любителей астрономии.
Предварительные заказы па данную книгу принимаются без
ограничения всеми магазинами книготорга и Академкниги,
распространяющими филшо математическую литературу.