Автор: Мордкович А.Г. Денищева Л.О.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа анализ алгебра математический анализ функциональный анализ математика
ISBN: 978-5-346-01205-4, 978-5-346-01203-0
Год: 2009
Текст
И НАЧАЛА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
3=..,. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
ЗАДАЧНИК
рл Е Л fe Q
Ялтяря
И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
11
класс
В двух частях
Часть 2
Задачник
для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)
Под редакцией А. Г. Мордковича
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
3-е издание, стереотипное
Москва 2009
УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.14я721+22.161я721.6
А45
На учебник получены положительные заключения Российской академии наук (№ 2-10106-5215/1419 от 25.10.2006) и Российской академии образования (№ 01-179/5/7д от 19.07.2006)
Авторы:
А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Л. И. Звавич, Т. А. Корешкова, Т. Н. Мишустина, А. Р. Рязановский, П. В. Семенов
Алгебра и начала математического анализа. 11 клас А45 В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательнь учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович и др. под ред. А. Г. Мордковича. — 3-е изд., стер. — М. : Мнем зина, 2009. — 264 с. : ил.
ISBN 978-5-346-01205-4
Задачник является второй частью комплекта из двух книг, предназв ченных для изучения курса алгебры и начал математического анализа в 11 классе с профильной подготовкой по математике (первая часть — учебник]
УДК 373.167.1:[512+51
ББК 22.14я721+22.161я 721
Учебное издание
Мордкович Александр Григорьевич, Денищева Лариса Олеговнг Звавич Леонид Исаакович и др.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 11 класс
В двух частях Часть 2 ЗАДАЧНИК для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.60.953.Д.001625.02.08 от 29.02.2008.
Формат бОхЭО1/^. Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 16,5. Тираж 30 000 экз. Заказ №0901220. Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 6. Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 5627, 367 6781; факс: 8 (499) 165 9218.
E-mail: ioc@mnemozina.ru www.mnemozina.ru
Магазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книг). 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 б. Тел.: 8 (495) 783 8284, 783 8285, 783 8281 Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг).
Тел./факс: 8 (495) 665 6031 (многоканальный). E-mail: td@mnemozina.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством f предоставленного электронного оригинал-макета
< ЯП |\ в ОАО «Ярославский полиграфкомбинат» arvato 150049, Ярославль, ул. Свободы, 97
© «Мнемозина», 2007
© «Мнемозина», 2009
ISBN 978-5-346-01203-0 (общ.) © Оформление. «Мнемозина», 20
ISBN 978-5-346-01205-4 (ч. 2) Все права защищены
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя ...................................... 3
Задачи на повторение.......................................... 4
глава 1. многочлены
§ 1. Многочлены от одной переменной ................. 10
§ 2. Многочлены от нескольких переменных............. 18
§ 3. Уравнения высших степеней....................... 24
глава 2. Степени и корни. Степенные функции
§ 4. Понятие корня п-й степени из действительного числа . . 29
§ 5. Функции у = Vx, их свойства и графики .......... 31
§ 6. Свойства корня п-й степени ..................... 36
§ 7. Преобразование выражений, содержащих радикалы... 39
§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. 16
§ 9. Степенные функции, их свойства и графики ....... 50
§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел................ 57
глава з. Показательная и логарифмическая функции
§ 11. Показательная функция, ее свойства и график .......... 62
§ 12. Показательные уравнения .............................. 73
§ 13. Показательные неравенства............................. 80
§ 14. Понятие логарифма .................................... 86
§ 15. Логарифмическая функция, ее свойства и график ........ 89
§ 16. Свойства логарифмов .................................. 96
§17. Логарифмические уравнения............................ 105
§ 18. Логарифмические неравенства ......................... 111
§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций 118
глава 4. первообразная и интеграл
§ 20. Первообразная и неопределенный интеграл ............. 124
§ 21. Определенный интеграл................................ 132
глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики
§ 22. Вероятность и геометрия ............................. 149
§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами .... 153
§ 24. Статистические методы обработки информации........... 157
§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел................. 162
глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
§ 26. Равносильность уравнений ............................ 166
§27. Общие методы решения уравнений ...................... 168
§ 28. Равносильность неравенств ........................... 174
§ 29. Уравнения и неравенства с модулями .................. 180
§ 30. Уравнения и неравенства со знаком радикала .......... 189
§ 31. Доказательство неравенств ........................... 198
§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными ......... 202
§ 33. Системы уравнений ................................... 208
§ 34. Задачи с параметрами ................................ 215
Дополнительные задачи...................................... 220
Ответы .................................................... 223
Приложение ................................................ 263
Предисловие для учителя
Издательство «Мнемозина» подготовило учебный комплект для изучения в 11-м классе профильной старшей школы курса алгебры и начал математического анализа, состоящий из двух книг:
А. Г. Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. Часть 1. Учебник.
А. Г. Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа. Часть 2. Задачник.
В, И. Глизбург. Алгебра и начала математического анализа. Контрольные работы / Под ред. А. Г. Мордковича.
У вас в руках вторая книга комплекта — задачник.
Наличие отдельного задачника позволило авторам выстроить в нем полноценную как по объему, так и по содержанию систему упражнений, достаточную для работы в классе, дома, а также для организации повторения (без привлечения других источников). В каждом параграфе представлены упражнения трех уровней сложности: простые, средние (слева от номера такого упражнения помещен значок о) и трудные (слева от номера такого упражнения помещен значок •). Нумерация упражнений своя в каждом параграфе. Ко всем средним и трудным заданиям в конце книги приведены ответы.
Число заданий в каждом номере — одно, два (а) и б)) или четыре (а)—г)). Все они в пределах конкретного номера однотипны, поэтому советуем вам разбирать в классе пункт а) (или пункты а) и б)), а на дом задавать пункт б) (или, соответственно, пункты в) и г)).
Количество упражнений в данном задачнике таково, что его должно хватить при работе с учащимися профильных классов различной математической направленности: при четырех, пяти или шести часах в неделю на изучение курса алгебры и начал анализа. В конце задачника появился новый (по сравнению с предыдущим изданием) сравнительно небольшой раздел «Дополнительные задачи». В него мы включили задания с нестандартными формулировками, идеи которых навеяны материалами Единого государственного экзамена по математике. Распределение их по параграфам задачника потребовало бы переверстки всей книги, что неудобно ни нам, ни вам. Нумерация заданий в этом дополнительном разделе двойная: первые цифры указывают, к какому параграфу относится задание, а вторые — продолжают нумерацию упомянутого параграфа. Так что при желании (и при возможности) дополните материалы того или иного параграфа заданиями из нового раздела.
Авторы
3
ПЛ. Определите знак выражения:
ч . л 2л 7л . 8л
a) sin — cos — cos — sin —;
7 5 4 5
27л . 32л 50л . 22л
6) cos----sin----cos----sin----;
5 11 9 7
x . л 4л Зл . 9л
в) sin — cos— cos— sin—;
6 7 5 5
ч . 35л 21л . 18л . 17л
г) sin cos sin sin ——.
3 8 5 7
П.2.
Запишите числа
в порядке возрастания:
а)
sin—; sin—; 3 5
sin—;
5
• 6л . sin—;
7
б)
л 5л
cos—; cos—;
4 7
cos—; 5
Зя. cos—;
8
в)
cos-ii^; cos—; 9 8
cos— 5
_ 16л. cos-----;
9
г)
• 2л. 13л.
sin—; sin----;
5 8
. 12л sin----.
11
. 4л sin—;
7
П.З.
Найдите значения cos t, tg t9 ctg t, если:
a) sint = t g л^;
. . 7 . ( л л
6) sinf =---, t g —; — ;
25 2 2 J
x . , 9 . (л 3л
в) sinf = —, t g —; — ;
41 2 2 J
r) Sint = , t G (n; — \
37 2 J
4
П.4. Найдите значения sint, cost, ctgt, если:
a) te
IzJ I Zj J
6)tg( = ->
в)«(=А
Г) tg t = —y, t g (0; л).
П.5. Вычислите:
a) sint + cost, если sint cost = 0,22;
6) sint • cost, если sint + cost = 0,4.
П.6. Упростите выражение:
a)
(3л J cos------t
I 2 J fir A ------------ • tg - - t ; cos(я + £) I 2 \
_ cos(90° + a) tg(270° + a) 6) ---------------------------;
cos (180° - a) sin(90° - a)
в)
sin(180° + a) sin(270° - a)
cos (90° + a)
- ctg(270° + a);
sin (я + t) cos---------t
\ 2
(QtT" \
t I tg(K - t)
П.7. Найдите значение выражения:
a) (cos35° + cos85°Xcos275° + cos325°) +
+ (cos5° + cosl25°Xcos355° - cos415°);
6) sin 6° + cos 6° - tg42°;
в) tg23° • tg293° + sin52° • sinl28° - sin322° • sinl42°;
(1-2 sin213o) cos 64°
r> 2cos219° -1 ’
П.8.
Упростите выражение ------
2 sin
я ] — - а I ------- + V2 tga.
П.9.
Докажите тождество 1 + cosa sin a
(1 - cosa)2 sin2 a
2 sin a
П.10.
ОС
cos------sin За
2
Преобразуйте выражение sin— 2
в произведение и найдите его значение при a =
cos—----
3 4
я 4
1
П.11. Вычислите:
a) sin arccosO - arctgVs - arcsin
6) cos arccos(-l) + arcsin
+ arcctgVl
в) tg arcctg(-l)
r) sin(arccos (-1) - arcsin 1 + arcctgO).
Решите уравнение:
П.12, a) 2sinx cosx - 2sinx - cosx + 1 = 0;
6) 2sinx - V3tgx - 2V3cosx +3 = 0;
в) 2cosx - ctgx - 2sinx + 1 = 0;
r) 2sinx cosx + >/2cosx - V2sinx -1 = 0.
П.13. a) 2cos2 x - 3cosx + 1 = 0;
6) 4sin2 — + 8cos— -7 = 0; 2 2
в) 4sin2 x - 2cos2 x - sinx = 0;
r) 2 sin2 3x - 7sin3x -4 = 0.
7л. л
4 ’ 4
Зл. Зл 2 ’ 2
Решите уравнение:
П.14, a) 3cos2 х - 2sin2x + sin2 х = 0;
б) 1 + 7 cos2 х = 3sin2x;
в) 5sin2x + 5sinxcosx = 3;
г) —-— + sinx = 7 cosx. cosx
I sin x I _ cos x -в • л
П.15. a) ----- = 1 - cos2x; 6) = 1 - sm2x.
sinx |cosx|
П.16, а) Найдите корни уравнения cos2x + (sinx + cosx)2 tgx =
= tgx (tgx + 1), принадлежащие отрезку
б) Найдите корни уравнения sin — - 4x1 cos — - х + к 4 ) (4 )
+ sin2 — = 0, принадлежащие отрезку Г-л; л].
2 L J
П.17. Найдите наименьший положительный корень уравнения
cosx cos 2х = cos3x.
П.18. Постройте график функции и перечислите ее свойства:
а) у = 2sin2 х; в) у = —s-. • х2, хе
|cosx|
2 sin I х I i
б) у =----5L + х; г) у = —cos2 2х.
sinx 2
П.19. Найдите производную функции:
а) у = 2х3 - Зл/х + 2х;
б) у = 2sin3 х - 3tg4x - 4;
в) у = 3cos2 х - ctg— + 5;
2
г) у = — х4 - 5х2 4- 2>/2х + 5.
4
П.20. Найдите значение производной функции у = f(x) в точке
х0, если:
a) f(x) = х2 ~^ - ±х3, х0 = -1;
х - 2 3
7
6) f(x) = 4cos2x - ctg-^, x° = 3^; в) f(x) = 2sin-^- + cos3x, x0 =
Г) f(x) = gx8.-! + 1X4, = -2 .
x + 1 4
П.21. Известно, что значение производной функции у = /3(х) в точке х = 2 равно 27, а значение производной функции у = —— в точке х = 2 равно -1. Найдите f\2).
П.22. Решите уравнение f'(x) + f(x) = 0, если f(x) = 2х2 + Зх + + 2.
П.23. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства f(x) - f\x) < 0, если f(x) = Зх2 + 18х + 8.
П.24. Докажите, что любая касательная к графику функции 3 4“ 2 у -----------------12 образует тупой угол с осью абсцисс.
Зх — 2
П.25. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = х3 + 4х2 - Зх - 1 образует тупой угол с положительным направлением оси х.
П.26. В какой точке графика функции у = х3 + 5х2 + 6х + 8 касательная образует с осью х угол, равный 135°?
П.27. Составьте уравнение касательной к графику функции У = f (%) в точке х0, если:
a) f(x) = Зх2 - 5х + 12, х0 = 1;
б) fix) = *о = 2;
X2 - 1
\ \ у]2х2 + 1 о
в) f(x) = --------, х0 = -2;
х3
2 г~
г) f(x) = 3--sinnx - у/Х9 х0 = 1.
л
2 __ ~|
П.28. На графике функции у = ------- найдите точки, касатель-
2х + 1
ные в которых параллельны прямой у = 4х + 5.
П.29. Напишите уравнение касательной к графику функции у = 2х2, которая параллельна секущей, проходящей через точки графика с абсциссами х = -1 и х = 2.
П.30. При каком значении а прямая у = ах - 7 касается параболы у = 2х* - 5х + 1?
х2 — 3
П.31. Докажите, что функция у =--------- возрастает на любом
х - 1
промежутке области определения.
П.32. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции у = х3 + 5х2 - 8х + 4.
П.ЗЗ. Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) у - 2"б) у = (х + 1)2(х + 2).
х2 - Зх + 4
I I I I I ! I I I I I II I I I I I I I i I I I I
§ 1. Многочлены от одной переменной
1.1. По данному стандартному виду многочлена f(x) определите его степень, выпишите набор всех его коэффициентов и найдите значение многочлена в данных точках:
а)/(х) = Зх4 - 2х2 + х - 10 в точках -2; -1; 0;
б)/(х) = -х5 + Зх4 - х3 + х в точках -1; 1; 2.
1.2. Запишите в стандартном виде произвольный многочлен степени п, если:
а) п = 0; в) п = 1;
б) п = 3; г) п = 4.
1.3. Запишите в стандартном виде произвольный приведенный многочлен степени и, если:
а) п = 0; в) п = 1;
б) п = 2; г) п = 3.
Запишите многочлен в стандартном виде:
1.4. а) (х + 1)(х - 1)(х - 2);
б) (х + 1)2(х - 2) - (х + 1)(х - 2)*,
в) (2х + 1)(2х - I)2;
г) (2х + 1)(2х - I)2 + (1 - 2х)3.
01.5. а) (х2 - Зх + 2)2 - (х2 - х)2;
б) (х + 1)(х7 - х6 + ... - х2 + х - 1);
в) (2 - х)3 + (х - I)3;
г) (х5 - X4 + х3 - X2 + х - 1)(х5 + X4 + X3 + X2 + X + 1).
10
Запишите многочлен в стандартном виде:
1.6. а) (х2 - Зх + 1)(х2 - Зх - 3);
б) (х3 + 2х - 3)(х3 - 2х + 3);
в) (х3 - Зх - 7)(х2 + 7х - 1);
г) (х4 - Зх2 - Зх + 3)(х3 + х2 - х).
01.7. а) (1 + х + х2 + х3)2; б) (1 - х + х2 - х3 + х4)2.
1.8. Какие из следующих утверждений верны:
а) сумма многочленов степени п есть многочлен степени не выше п;
б) разность многочленов степени п есть многочлен степени и; в) произведение многочленов степени п есть многочлен степени не выше п;
г) произведение многочленов степени п есть многочлен степени 2 и?
01.9. Пусть /(х) = х2 - х + 1 и ф(х) = 2х + 1; найдите: а)/2(х); б)/3(х); в)/(х) - <р3(х); г)(2/(х) - х<р(х))2.
01.10. При каких значениях параметра а:
а) коэффициент при х2 в стандартном виде многочлена (х2 - Зх + а)(х2 - ах + 2) равен 0;
б) коэффициент при х3 в стандартном виде многочлена (х2 - (а - 1)х + а)(х2 + а2х + 2а) равен 7?
01.11. В многочлене р(х) выполнили замену переменной х = у + а и получили многочлен рг(у) = р(у + а). При каких значениях параметра а многочлен р^у) не содержит члена степени п, если:
а) р(х) = 2х2 + Зх - 6, п = 1;
б) р(х) = 2х3 + Зх2 - х + 1, п = 2;
в) р(х) = (7 - 4х)(3х - 5), п = 1;
г) р(х) = (2х2 + Зх)(х - 1), п = 2?
01.12. а) Докажите, что свободный член многочлена р(х) равен значению этого многочлена в точке х = 0.
б) Докажите, что сумма всех коэффициентов стандартного вида многочлена р(х) равна р(1).
11
•1.13. Определите степень, старший коэффициент и свободный член многочлена р(х):
а) р(х) = (Зх2 - х + I)17 + (х3 + 5х + 1)п;
б) р(х) = (х6 - 2х + 64)3 - (х9 + х8 - 512)2;
в) р(х) = (81х4 - 36х2 + 4)5 - (9х2 - 2)10 + (х - I)13;
г) р(х) = (х2 - X + 1)(х2 + х + 1)(х4 - X2 + 1)(х8 - х4 - 1) +
+ (х - I)16.
01.14. Заполните таблицу, считая, что /(х) и g(x) многочлены:
Степень /(х) Степень Степень /(х) + g(x) Степень /(х) • g(x) Степень
5 3
7 21
4 7
2 9
4 14
01.15. Докажите, что:
а) сумма всех коэффициентов при четных степенях многочлена /(х), записанного в стандартном виде, равна 0,5(/(1) + /(-1));
б) сумма всех коэффициентов при нечетных степенях многочлена /(х), записанного в стандартном виде, равна 0,5(/(1) - /(-1)).
01.16. Для многочлена р(х) найдите степень, свободный член, старший коэффициент, сумму всех коэффициентов, сумму всех коэффициентов при четных степенях переменной, сумму всех коэффициентов при нечетных степенях переменной:
а) р(х) = (х + I)17 - (х - I)17;
б) р(х) = (х2 + х - 2)35(х2- Зх - 4)15 - (х - 1)2(х3 + х + 2)65.
01.17. При каких значениях параметра а многочлен (а2 - 4)х4 - 2х3 + (2а - 1)х - 4 будет: а) приведенным многочленом;
б) многочленом четвертой степени;
в) многочленом третьей степени;
г) принимать одинаковые значения в точках х = 1 и х = -1?
12
-1.18. Найдите все значения параметров а и Ь, при которых многочлены р(х) и q(x) тождественно равны:
а) р(х) = 2ах - (а + b), q(x) = 4х + (За - Ъ - 8);
б) р(х) = 2х2 + х - (а + b)x + 2b - a, q(x) = -ах +
+ 2(х2 - b) + (1 - Ь)(х2 + 2х).
21.19. Найдите все значения параметра а, при которых многочлен (а2 - IJx4 - 2Х3 + (2а - 1)х - 7 будет:
а) тождественно равен многочлену 8х4 - 2х3 - (а - 8)х -- 4 - а;
б) тождественно равен многочлену -2х3 - (2 - За)х - а2 - 6.
• 1.20. Пусть р(х) — многочлен степени k и при всех значениях х справедливо равенство р(-х) = р(х). Докажите, что: a) k — четное натуральное число или нуль;
б) коэффициенты многочлена р(х) при нечетных степенях х равны нулю.
• 1.21. Пусть р(х) — многочлен степени k и при всех значениях х справедливо равенство р(-х) = -р(х). Докажите, что: a) k — нечетное натуральное число;
б) коэффициенты многочлена р(х) при четных степенях х равны нулю.
1.22. Выполните деление «уголком»:
а) х3 - 2х2 + Зх - 5 на х2 - Зх - 1;
б) 2х5 - Зх3 - х + 2 на х - 2;
в) х3 + 2х2 + х + 3 на 2х2 - Зх - 4;
г) 6х4 - 2х + 3 на 2х + 3.
1.23. а) Выпишите все приведенные многочлены, являющиеся делителями многочлена 3(х - 1)2(х + 5).
б) Выпишите все приведенные многочлены третьей степени, являющиеся делителями многочлена х2(2х + 3)(х + 5)3.
1.24. а) Докажите, что многочлен р(х) = х3 + 5х2 + Зх - 1 делится без остатка на многочлен q(x) = 2х2 + 8х - 2 .
б) Докажите, что многочлен t(x) = -5х2 + 4х - 4 является делителем многочлена 1(х) = 5х4 - 9х3 - 2х2 + 4х - 8.
13
01.25. При каких значениях параметров а и Ь:
а) многочлен р(х) = х4 - Зх3 + Зх2 + ах + b делится без остатка на многочлен f(x) = х2 - Зх + 2;
б) многочлен р(х) = х4 - 2х3 + ах + 2 делится без остатка на многочлен t(x) = х2 + х + Ь?
1.26. Для многочленов Дх) и р(х) найдите многочлены q(x) и г(х) такие, что f(x) = р(х) • q(x) + г(х) и либо степень г(х) меньше степени р(х), либо г(х) является нуль-много-членом:
Р(*)
Зх4 - 2х3 + 7х - 3 х2 - Зх - 2
х2 - Зх - 2 Зх4 - 2х3 + 7х - 3
12х7 - Зх5 + 6х4 - 9х2 + 33 4х7 - х5 + 2х4 - Зх2 + 11
4х7 - х5 + 2х4 - Зх2 + 11 12х7 - Зх5 + 6х4 - 9х2 + 33
х4 - 7х3 + 6х2 - 5х - 19 х - 1
х4 - 7х3 + 6х2 - 5х - 19 X + 1
х4 - 7х3 + 6х2 - 5х - 19 7х - 7
х3 - 5х + 3 Зх - 1
Зх5 - 2х4 + Зх3 - 7х2 + 2х - 1 Зх - 1
01.27. а) Пусть многочлен ах3 + bx2 + сх + d тождественно равен многочлену а(х - х1)(х - х2)(х - х3). Выразите коэффициенты а, Ъ, с и d через числа х19 х2, х3.
б) Пусть многочлен х4 -I- ах3 + bx2 + сх + d тождественно равен многочлену (х - хг)(х - х2)(х - х3)(х - х4). Выразите коэффициенты а, Ь, с и d через числа хр х2, х3, х4.
1.28. Используя схему Горнера, выполните деление многочлена f(x) на двучлен х - а и заполните таблицу:
f(x) а Частное Остаток (f(a))
х5 - 2х4 + Зх3 - 7х2 + 2х - 1 2
2х4 + 7х2 - 21х - 30 -1
х7 - 2х4 + 27х + 3 -2
Зх5 + 5х4 + Их2 + 2х 1
14
1.29. Найдите остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (х - а) и значение f(x) в точке х = а:
a) f(x) = х3 - 4х2 + Зх + 11, а = -3;
б) f(x) - х7 + Зх6 - х3 - 12х2 + 1, а = -2;
в) f(x) = Зх4 - х2 + х - 31, а = 2;
г) f(x) = 2х6 - Зх5 + 2х3 - 4х2 - 2х + 100, а = -1.
01.30. Докажите, что остаток от деления многочлена /(х) на двучлен (kx - р), k * 0, равен значению этого многочле-р на в точке х = —.
k
1.31. Используя схему Горнера, найдите все такие значения параметра а, при которых для многочлена р(х) = х7 -- 2х6 + Зх5 - х3+х2-5х + а выполняется условие: а) р(1) = 0; б) р(-1) = 0; в) р(2) = 0; г) р(-3) = 5.
1.32. Используя схему Горнера, докажите, что число а является корнем многочлена р(х):
а) р(х) = 2х4 - Зх3 + х - 10, а = 2;
б) р(х) = 2х3 4- х2 - 7х - 6, а = -1,5.
1.33. Используя схему Горнера, найдите все такие значения параметра а, при которых число х0 является корнем многочлена р(х) = х4 - Зх3 + х2 + ах - 1: а) х0 = 1; б) х0 = -3; в) х0 = 2; г) х0 = 0,5.
01.34. Докажите утверждение: при любом натуральном значении п многочлен р(х) = 2хп 4- 4хп-1 - 2п + 2 делится на (х-2) без остатка. Используя это утверждение, докажите, что: а) (2 • 5" + 4 • 5"’1 - 2Л + 2) ! 3;
б) (2 9" + 4 • 9nl - 2Л + 2) ! 7;
в) (2 • 7100 + 28 • 798 - 2102) : 5;
г) (2(п + 3)" + 4(п + 3)nl - 2Л + 2) : (п + 1).
15
•1.35. Найдите значения параметра а, при которых многочлен имеет ровно три различных корня:
а) 3(х + 5)(х - 7)(х + 1)(х - а);
б) (ах2 + 5х + 1)(х2 - х - 2);
в) (х2 - (а + 1)х + а)(х2 - х - а);
г) (Зх2 + х - а)(2х + а).
•1.36. При каких значениях параметра а заданный многочлен имеет кратные корни:
а) (2х + 5)(3х - 1)(х - а)(х - 2а);
б) (х2 - (За - 2)х - 6а)(х2 - (5а + 3)х + а)(х - 2)?
01.37. Найдите действительные корни многочлена:
а) Зх4 - 5х2 4- 2; б) х5 4- Зх4 - Зх3 - х2 - Зх 4- 3.
01.38. Докажите, что многочлен не имеет действительных корней:
а) х6 - 5х3 +7; б) х4 - х + 2.
01.39. В данное предложение вместо многоточия вставьте один из пропущенных оборотов: «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»; докажите полученное утверждение:
а) для того чтобы многочлен /(х) с целыми коэффициентами делился без остатка на двучлен х - х0, х0 е Z, х0 * 0, ... , чтобы его свободный член делился без остатка на х0;
б) для того чтобы свободный член многочлена /(х) с целыми коэффициентами делился без остатка на целое число х0 Ф 0, ... , чтобы х0 был корнем многочлена /(х).
01.40. Найдите целые корни многочлена; в ответе укажите множество целых корней многочлена и кратность всех его целых корней, если эти кратности больше 1:
а)х3 - 4х2 4- х 4- 6;
б) х4 4- 5х2 - 6;
в) х4 - 2х3 - 6х2 4- 5х 4- 2;
г)х6 4- х5 - 10х4 - 12х3 4- 19х2 + 35х 4- 14.
16
01.41. Для некоторого приведенного многочлена р(х) указаны его степень и все его корни с учетом их кратностей. Требуется записать в таблице разложение р(х) на множители:
Степень многочлена Корни кратности 1 Корни кратности 2 Корни кратности 3 Корни кратности 4 Разложение многочлена
а) 7 1; -3; 5 2
б) 12 0; -2; 3 7з 0,7
в) 8 9 тс; -0,3
г) 5 2 -3
01.42. Разложите многочлен на линейные множители:
а) х5 - 4Х4 + 14х2 - 17х + 6;
б) х5 - х4 - 5х3 + х2 + 8х + 4;
в) х4 - 6х3 + 13х2 - 12х + 4;
г) х8 - х7 - 5х6 + Зх5 + 9х4 - Зх3 - 7х2 4- х 4- 2.
01.43. а) Найдите многочлен р(х) второй степени, если р(0) = -1, р(1) = 2, р(2) = 3.
б) Найдите приведенный многочлен р(х) второй степени, если р(-2) = 3, р(-2,5) = 8.
01.44. а) Найдите приведенный многочлен р(х) третьей степени, если р(0) = 1, р(1) = 2, р(2) = 3.
б) Найдите приведенный многочлен р(х) третьей степени, если р(0) = р(1) = р(4) = 0.
01.45. Пусть р(х) — многочлен третьей степени; р(1) = р(2) = = р(3) = 0. Докажите, что:
а) р(4) * 0; в) р(1,5) + р(2,5) = 0;
б) р(7) * р(-3); г) р(5) = 4р(4).
01.46. Докажите, что у данного многочлена р(х) нет рациональных корней:
а) р(х) = 7х15 - 13; б) р(х) = Зх7 + 1.
•1.47. При каких значениях b и с многочлен /(х) = х4 4- 8х3 4-4- Ъх2 4- сх 4- 1 имеет два корня, каждый из которых второй кратности? Для каждой пары таких значений b и с найдите корни многочлена.
17
•1.48. При каких целых значениях а, b и с многочлен f(x) = х4 + + ах3 + Ьх2 4- сх 4- 2 имеет целый корень кратности 3? Для каждой тройки таких значений а, b и с найдите корни многочлена /(х).
•1.49. Докажите, что все корни многочлена g(x) являются кор нями многочлена f(x):
g(x) fix)
a) x2 - 7x - 1 x5 - 7x4 - 5x2 - 15x - 2
6) x3 - 5x2 + 2x - 3 x5 - 12x4 + 36x3 - 12x2 + 19x + 3
§ 2. многочлены от нескольких переменных
Разложите многочлен на множители:
2.1. а) х2 - xf/3 4- у2 - х3у;
б) х(х - 2у) + у(х - 2у);
в) х(х - у) + 3xz/ - Зг/2;
г) х2 + 6xi/ + 5г/(6г/ 4- х).
02.2. а) х2 - Зхг/ + 2у2\
б) 7х2 + 5xi/ - 12 г/2;
в) 5х2 - 8xi/ 4- 3z/2;
г) 7х2 + 18xz/ 4- Sy2.
02.3. а) х2 4- (1 4- у)х 4- z/;
б)2х2 - 7ху + 5z/2 - Зх 4- Зу;
в) 4х2 - у2 - 8х 4- 4г/;
г) Зх2 - ху - 24г/2 + 5х - 15г/.
02.4. а) (х7 + х) - (у7 + у); в) (х5 - х) - (г/5 - у);
б) х4 4- 4г/4; г) 16х4 4- у4.
•2.5. а) (х 4- у 4- г)3 - х3 - у3 - г3;
б) (х 4- у 4- z)(xy + yz + zx) - xyz-,
в) x(y 4- z)2 4- y(z 4- x)2 + z(x 4- z/)2 - 4xz/z;
r) (x 4- У + z)4 - (y 4- z)4 ~ (Z + x)4 - (x 4- y)4 +
4- X4 4- y4 4- Z4 .
18
•2.6. а) Докажите, что многочлен (у2 - z2)x + (z2 - х2)у + 4- (х2 - y2)z не обращается в нуль ни при каких попарно различных значениях переменных х, у, z.
б) Многочлен х3 + рх + q обращается в нуль при х = а, при х = р и при х = у. Докажите, что а 4- р 4- у = 0.
02.7. а) Докажите, что сумма 1711 4- 511 делится без остатка на 22.
б) Докажите, что разность 139 - 79 делится без остатка на 6.
02.8. Докажите, что многочлен:
а) х7 - 3x3z/4 + 6xi/6 - 4у7 делится без остатка на многочлен х - у;
б) х13 -I- 7x10z/3 - Их3#10 - 17г/13 делится без остатка на многочлен х + у.
02.9. Пусть х + у = -3, а ху = -5. Найдите значение выраже-
ния:
а) х2 4- у2; в) х4 4- у4;
б) х3 4- z/3; г) х2у7 4- х7у2.
•2.10. Пусть х 4- у = -7, а ху = -1. Найдите значение выражения:
а) Jp±L + 2. г...
ху2 + х2у у X
|х* -у*| _ у?_ .
ху3 4- Х3у у2 X2
Запишите многочлен в стандартном виде:
2.11. а) (2х - г/- З)2 + (х - Зг/-1)2;
б) (х - у - 2z - I)2 + (2х + у + z - З)2;
в) (5х - у - 2)2 + 2(3х - у - I)2;
г) (х - Зу + z - 2)2 - 3(2х + у - z + 1).
02.12. а) (х + у + 2)3 + х(2х + у - I)2;
б) (2х - у - г)3 - Зху(2х + Зу - г).
2.13. Найдите отношение ty) если: /(*; у)
а) /(х; у) = 2х2 + 5ху - 7у2;
б) f(x; у) = х4 + 12х3у - 7х2у2 + 2ху3 - 2у4;
в) у) = (Зх - 5у)3 + 2х(х + у)2 - 7у2(2х - у);
г) ftx; у) = (х + у)6 + (5х2 - 4у2)3 - 7(х3 - у3)2 + х3у3.
2.14. Пусть у = Зх. Упростите выражение:
\ У2 ~ §ХУ ~ Зх2 . g. х2у3 + 2у2х3
2у2 + ху + 2х2 ’ х5 + у5
2.15. Найдите все пары /(х; у) действительных чисел х и у, для которых верно заданное равенство; изобразите множество всех найденных пар на координатной плоскости:
а) . 6. „ + . 2;
4г/ + 5х х + у
х2 + х(2 + у) + 2у х3 + х2у - Зх - Зг/ .
б)----------------- -- = х2; г) ------------------- - 1.
х + у у + X
Решите уравнение относительно х:
2.16. а) х2 - 5ху + 4у2 = 0;
б) 5х2 + 27ху + 10у2 = 0.
02.17. а) 4х3 + 5х2у + ху2 = 0;
б) х3 + 6х2у + 11ху2 + бу3 = 0.
Постройте график уравнения:
02.18. а) х2 - 9у2 = 0; в) 5х2 - ху - 4у2 = 0;
б) х2 + ху = 0; г) х2у + Зху2 + 2у3 = 0.
02.19. а) (2х + у - 5)2 - (х + у - З)2 = 0;
б) (2х + у - 5)2 + (х + у - З)2 =0.
02.20. а) х2 + у2 = 16;
б) х2 + у2 - 6х + 4у = 12;
в) х2 + у2 + 4х + 2у = 4;
г) 4(х2 + у2) + 12х + 20у + 34 = 0.
20
Постройте график уравнения: 2.
02.21. а) ху = 2; в) г) х(у + 3) = 2; (х + 2)(у + 1) =
б) (х - 2)у = 2;
•2.22. а) (х - 2)2 + (у - З)2 = 9; в) (|х| - 2)2 + (у - З)2 = 9;
б) (х - 2)2+ (|у| - З)2 = 9; г) (|х| - 2)2 + (|у| - З)2 = 9.
•2.23. а) (х - 3)(у - 2) = 1; в) (х - 3)(|у\- 2) = = 1;
б)(|х| - 3)(у - 2) = 1; г) (|х| - 3)(|у| - 2) = 1.
02.24. Найдите целочисленные решения системы уравнений
2Х2 + ху + 9г/2 = 12, |х + 2у\ + 2х = 5.
Решите систему уравнений:
02.25. а)
х2 - ху - 2у2 = О, х2 + у2 = 20;
fx2 + Зху + 9у2 = 12, [х2 + Зху + 2у2 = 0.
02.26. а)
х2 + Зху + 2у2 = О, <
2х2 + ху = 25;
2х2 + ху - Зу2 = О, х2 - у2 + ху = 4;
б)
х2 + ху - Зу2 = -23, х2 - у2 - 2ху = -14;
г) fx2 + Зху = 7, [у2 + ху = 6.
•2.27. а)
fx2 [х2
+ 4|х|у - Зу2 = 2, - |х|у + 5у2 = 5;
Зх2 - у2 = 11, х2 + 2|х| • |у| - у2 = 7.
•2.28. а)
(х2
[х2
+ х(у - 1) - 2(у - I)2 - О, + ху + у = 1;
(х2 + х(у - 1) + (у - I)2 = 3, [х2 + у2 = 2у + 1.
21
Решите систему уравнений:
5 _ 4 = 13
02.29. а) х2 - ху + у2 - ху 6 ’
8 1
2 2 — = 1;
[х - ху у — ху
1 3 = 25
2х2 + бху 4у2 - 4ху 14 ’
3_____________1 = 4
4х2 + 12xz/ 2у2 - 2ху 7
02.30.
х2у - 4у3 = О, х + 2у2 = 12;
х3
+ Зх2у = ху2 + Зу3, + ху = 50.
а) <
02.31. а)
х3 + ху2 = 5, у3 + х2у = 10;
х3 - у3 = 7, х3 - у3 = 9 - х2у + ху2.
Решите симметрическую систему уравнений:
02.32. а)
х + у = 5, х2 + у2 = 13;
х + у + ху = 5, ху(х + у) = 6;
(ху - Зх - Зу = -9, [х2 + у2 - 5х - 5у = -10;
(ху - 7х - 7у = -9, Г) [х2 + у2 + 11(х + у) = 16.
02.33. а) < х2 + ху + у2 = 3, ху(х2 + у2) = 2; в) < х2 + у2 = 5, х4 + у4 = 13;
б) fl 1 к х у -4 + Л = 13; [х2 у2 г) • 1 1 х + у + — + — = 4, х у ху(х + у) = 2.
•2.34. Решите систему уравнений:
а)
|х - у\ + ху = X + у, х2 + у2 - х - у = 2;
б)
\х - у\ + X + у = Зху, х2 + у2 - ху = 3.
22
•2.35. При каких значениях параметра а система имеет нечетное число решений:
|х2 + ху + у2 = За2, б) (ху - Зх - Зу = -5, [xi/(x + у) = 2; [х2 + у2 - 5х - 5у = а?
Решите уравнение:
02.36. а) (х2 + Зу2 - 7)2 + ^3 - ху - у2 = 0;
б) (5х + у - 6)2 + (Зх - у - 2)4 = 0.
•2.37. а) 9х2 + 12ху + 5 у2 - бу + 9 = 0;
б) 26х2 + 10у2 - ЗОху + 6х + 10у + 34 = 0.
•2.38. а) (х + 2у)2 + 2|х - у + 3| = у - х - 3;
б) (5х - 2у - 7)2 + 4|3х - 2у - 5| = Зх - 2у - 5.
•2.39. Найдите все тройки чисел, удовлетворяющих уравнению: а) (х - у + I)2 + (х + 2у - г)2 + 5у2 = 0;
б) х2 + у2 + z2 - ху - yz - zx = 0.
•2.40. Найдите наименьшее значение выражения:
а) х2 + 4г/2 - 4xi/ + 3; б) х2 + 4хг/ + 5у2 + 2у + 7.
•2.41. Найдите наибольшее значение выражения:
а) -х2 - 40 г/2 ' -ь 10хг/ + 3;
б) -х2 - 4xi/ - 10у2 + 14г/ + 12.
02.42. Найдите наименьшее значение выражения /(х; у) при заданном дополнительном условии:
a) f(x; у) = х2 + 4г/2 - 4х^/ + Зх - у + 6, х + у = 1;
б) /(х; у) = 2х2 + у2 - 4ху + Зх - у + 6, х - 2у = 4.
•2.43. Докажите, что многочлен принимает положительные значения при любых действительных значениях переменных: а) Зх2 - 11X1/ + 47у2 + 2;
б) (2х + Зг/ + 5)2 + (х + 2у + З)2 + (Зх - 7г/ -ь I)4;
в) Зх2 - 2ху + у2 - 6х - 2у + 11;
г) х2 + у2 + z2 + 2ху + 2yz + 2zx + 3.
23
§ 3. Уравнения высших степеней
Решите уравнение:
03.1. а) х3 - Зх2 - 4х = 0;
б) х4 + Их3 - х2 =0;
в) Зх3 - 8х2 + 14х = 0;
г) (2х - З)3 - (2х - З)2 = 12х - 18.
03.2. а) (2х - I)4 - х2 = 0;
б) х4 - 4х3 + 4х2 = (7х + I)2;
в) (8х + З)2 - х4 = 8х2 + 16;
г) х4 - х2 + 2х = 1.
03.3. а) х3 - Зх2 - х + 3 = 0;
б) х8 + Их5 - З2х3 - 352 = 0;
в) 5х3 - 15х2 - х + 3 = 0;
г) х3 - 2х2 + х = (х2 - 2х + I)2.
03.4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых данное число р является корнем данного уравнения; для каждого найденного значения а решите данное уравнение:
а) х3 + Зх2 - 7х + а = 0, р = 2;
б) х3 - ах2 - 5х + 4 = 0, р = 1;
в) 2х3 - 5х2 + ах - 4 = 0, р = -1;
г) ах3 - Зх2 - 5х - а2 = 0, р = -1.
03.5. Найдите целые корни уравнения:
а) х3 + Зх2 - 5х - 4 = 0;
б) х4 - Зх3 + 4х2 - 9х + 3 = 0;
в) х4 + 2х3 - 5х2 - 4х -1- 6 - 0;
г) х5 - х4 - бх3 + бх2 + 4х - 4 = 0.
03.6. Найдите рациональные корни уравнения:
а) 2х3 + 7х2 + 5х + 1 = 0;
б) 2х4 + 7х3 - Зх2 - 5х - 1 = 0;
в) 18х3 + 9х2 - 5х - 2 = 0;
г) 16х4 + Тбх3 - 48Х2 + 28х -5 = 0.
24
Решите уравнение:
03.7. а) г3 - 4х2 + х + 6 = 0;
б) х4 + 5х3 + 4х2 - 24х - 24 = 0;
в) х3 + 9х2 + 23х + 15 = 0;
г) (х + 1)(х2 + 2) + (х + 2)(х2 + 1) = 2.
03.8. а) 10х3 - Зх2 - 2х + 1 = 0;
б) 4х3 - Зх - 1 = 0;
в) 4х3 + 6х2 + 4х + 1 = 0;
г) 38Х3 + 7Х2 - 8х - 1 = 0.
03.9. а) 16х3 - 28х2 + 4х + 3 = 0;
б) 6х3 - 13х2 + 9х - 2 = 0;
в) 100х3 - 120х2 + 47х + 66 = 0;
г) 4л3 + 2Х2 - 8х + 3 = 0.
03.10. а) На основании того, что число ^2 является корнем уравнения х2 - 2 = 0, докажите, что ^2 — иррациональное число.
б) Проверив, что >/3 - д/2 является корнем уравнения х4 - 10х2 +1 = 0, докажите, что \/3 - \[2 — иррациональное число.
03.11. Найдите все целые значения параметра а, при каждом из которых многочлен р(х) имеет хотя бы один целый корень; для каждого найденного значения а определите число различных целых корней многочлена р(х):
а) р(х) = х3 - Зх2 + ах - 1;
б) р(х) = х4 + ах2 - (2а + 3)х - 7.
03.12. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых многочлен р(х) имеет два целых корня:
а) р(х) = ах2 + Зх + 2а2 - 3;
б) р(х) = ах2 - 5х + 4а2 - 10.
25
•3.13. Найдите все значения параметров а и Ь, при каждом из которых многочлен р(х) имеет три различных целых корня: а) р(х) = Xs + ах2 + Ьх + 2;
б) р(х) = Ьх3 + ах2 + х + 2.
Решите уравнение:
3.14. а) х4 - Зх2 + 2 = 0; в) х4 - 7х2 + 3 = 0;
б) х4 - 9х2 - 10 = 0; г) х4 - 12, Зх2 + 45 = 0.
03.15. а) х6 - 4Х8 + 3 = 0;
б) (2 - х)6 + 9(2 - х)8 + 8 = 0;
в) х6 - 7х3 - 8 = 0;
г) (2 - х - х2)6 - 14,7(2 - х - х2)3 + 57 = 0.
2 1
03.16. Найдите значение выражения х + если:
а) х + — = 3; в) х + — = t;
’ х Jx
б) х - = 5; г) х - = t.
03.17. Найдите значение выражения 9х2 + если:
а) Зх + - = -5; в) Зх + - = t;
б) Зх - — = -5; г) Зх - - = t.
' X ' X
03.18. Найдите значение выражения х3 + если:
а) х + 1 = -3; б) х + | = t.
03.19. Решите уравнение: / х2
а) 2 х + — + х + — - 10 = 0;
х J х
( \2
б) 2 х - - + х + - - 2 = 0;
X ) X
в) 2х2 + 4- + х + - - 6 = 0;
X2 X
г) 2х4 + х3 - бх2 + х + 2 = 0.
26
Решите уравнение:
03.20. а) | 2х + - I + 2х + - - 12 = 0;
X J X
б) ^2х - -^1 + 2х + - - 4 = 0.
I X J X
( 2 Y 2
03.21. а) Зх - - + Зх - - - 2 = 0;
I х J х
б) 9х2 + Л + Зх - - - 14 = 0; X2 X
в) 9х4 + Зх3 - 14х2 - 2х + 4 = 0;
г) 9х4 - Зх3 - 14Х2 + 2х + 4 = 0.
•3.22. а) х4 - х3 - 4х2 - х + 1 = 0;
б) 9х4 - 9х3 + 10х2 - Зх + 1 = 0;
в) 2х4 - 7х3 + 10х2 - 7х + 2 = 0;
г)25х4 - 50Х3 + 14Х2 + 10х + 1 = 0.
03.23. а) Пусть х2 + 5х + 4 = 17.
Вычислите (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4).
б) Решите уравнение (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = 360.
Решите уравнение:
03.24. а) 4(х2 - х)2 + 9х2 = 9х - 2;
б) (2х2 - х + I)2 - 4х2 = 1 - 2х.
•3.25. а) (х2 - 7х + 13)2 - (х - 3)(х - 4) = 1;
б) (х2 - 2х - I)2 + 3(х - I)2 = 16;
в) (х - 2)(х + 1)(х + 4)(х + 7) = 63;
г) (х2 - 2х - 8)(х2 - 8х + 7) = 63.
•3.26. а) (2х + З)2 - 3(2х + 3)(7х - 5) + 2(7х - 5)2 - 0;
б) (Зх - 2)2 - 3(3х - 2)(7 - 5х) + 2(5х - 7)2 = 0;
в) (х2 - х + З)2 - 3(х2 - х + 3)(10х - 1) + 2(10х - I)2 = 0;
г) (2х2 - х - 6)2 - 3(2х2 - х - 6)(х2 + 10х - 6) +
+ 2(х2 + 10х - 6)2 = 0.
27
Решите уравнение:
•3.27. а) 2yi - у2(у - 2) - 3(у - 2)2 = 0;
б) (х2 + 6х - 9)2 + х(х2 + 4х - 9) = 0;
в) (t2 + 2t)2 - (t + 2)(2t2 - t) = 6(2t - I)2;
r) (z2 - z)(z2 - 5z + 6) = 15z2 - 45z + 90.
•3.28. a) (x + 2)4 + x4 = 82;
б) (5x - 3)4 + (5x - I)4 = 82;
в) (x + 3)4 + (x - I)4 = 32;
г) (5x + 3)4 + (5x - I)4 = 32.
03.29. a) 3x4 - 5x2 + 2 = 0;
6) 7x8 + 3x4 - 10 = 0;
в) x5 + Зх4 - Зх3 - x2 - 3x + 3 = 0;
г) (2x2 - Зх + I)2 - 5(2x2 - 3x + l)(x2 + x + 3) +
+ 4(x2 + x + 3)2 =0.
03.30. Докажите, что уравнение не имеет действительных корней: а) х6 - х5 + 2 = 0; б) х14 - х + 3 = 0.
•3.31. Найдите, если это возможно, такие целые числа а, Ь, с и d, что для всех значений х выполняется равенство: а) х4 + х3 - 4х2 - х + 1 = (х2 + ах + б)(х2 + сх + d);
б) х4 + х2 - 4х - 3 = (х2 + ах + б)(х2 + сх + d);
в) х4 - 5х2 - 6х - 5 = (х2 + ах + б)(х2 + сх + d);
г) х4 - 5х - 6 = (х2 + ах + &)(х2 + сх + d).
•3.32. Используя результаты номера 3.31, решите уравнение:
а) х4 + х3 - 4х2 - х + 1 = 0;
б) х4 + х2 - 4х - 3 = 0;
в) х4 - 5х2 - 6х - 5 = 0;
г) х4 - 5х - 6 = 0.
03.33. Используя свойство монотонности функции, докажите, что уравнение имеет единственный корень, и найдите этот корень: а) х3 = 10 - х; б) х8 + Зх3 = 11-72 - х.
•3.34. Докажите, что если функция у = /(х) выпукла вверх (вниз) на Я, то уравнение /(х) = ах + b имеет не более двух корней, и решите уравнение:
а) х4 = 15х - 14; б) х10 = 1023х - 1022.
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
p Степени и корни.
p Степенные функции I
Г1 । । । । । । । । । । । । । । । । । । । । । ।
ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ
§ 4. понятие корня п-й степени из действительного числи
4.1. Докажите, что верно равенство:
а) л/361 = 19;
в) ^343 = 7;
Г) V 243 3‘
4.2. Имеет ли смысл выражение:
а) ^3^-, б) в) г) VW?
4.3. Объясните, почему неверно равенство:
a) V25 = -5;
б) ^Й54 = -2;
в) -^/=8 = -2;
г) ^625 = -25.
4.4. Найдите ошибку в рассуждениях:
а) 2 = V16 = = </(-2)4 = -2;
б) 5 = в/15 625 = $5? = ^/(-5)6 = -5.
04.5. Верно ли равенство:
а) ^7 - 473 = 2 - 73;
б) 714 - 675 = -J5 - 3;
в) 7^ - 473
ч/З - 2;
г) 715 - бТб = 3 - >/б?
4.6. Вычислите:
a) V16; б) V32; в) ^81;
г) ^64‘
29
Вычислите:
4.7. a) W12; б) в) V1331; г)
4.8. а) ^/0,125; б) ^/0,0081; в) ^/0,0625; г) ^0,027.
04.9. а) б) з[з^; в) г) б|тЖ
V 16 \ 8 V 81 V 32
4.10. a) б) в) л/-64; г)
4.11. а) -2^81; б) -3^64; в) -5^/16; г) -4^32.
4.12. а) \/32 + О;
б) 3</16 - 4</27;
в) </625 - </-125;
г) 12 - 6</0Д25.
4.13. Найдите такое число а, чтобы выполнялось равенство:
а) \[а = -4; б) tf-a = в) у/^а =2; г) \[а = 1^. о d
04.14. Подберите показатель корня п так, чтобы выполнялось равенство:
а) V117 649 = 7; в) ^46 656 = 6;
б) nl-12^. = —1—; г) = 1|.
V 243 3 V 81 3
04.15. Определите знак разности:
а) </15 - ^/90; в) ^40 - </50;
б) 3 - V150; г) ^300 - 5.
04.16. Между какими соседними целыми числами расположено число:
а) >/5; б) </^19; в) ^52; г) V-670?
4.17. Решите уравнение:
а) х3 = 125; б) х7 = в) х5 = 32; г) х9 = 1. IZo
30
Решите уравнение:
4.18. а) х4 = 17; б) х4 = -16; в) х6 = 11; г) х8 = -3.
4.19. а) х3 + 8 = 0; б) Зх8 - 9 = 0; в) х4 - 19 = 0; г) 5х10 +6 = 0.
4.20. а) </х - 5 = -3; б) </4 - 5х = -2; в) </2х + 8 = -1; г) </7 - 4х = 4.
04.21. а) </х2 - 9х - 19 = -3; б) </х2 - 10х + 25 = 2; в) </2х2 + 6х - 57 = -1; г) </х2 + 7х + 13 =1.
04.22. а) 0,02х6 - 1,28 = 0; б) -lx8 + 18| = 0; 7 4 4 в) 0,Зх9 - 2,4 = 0; г) |х4 -2 = 0. О
04.23. Расположите числа в порядке возрастания:
а) 2, </5, </17; б) </75, 4, </1000; в) 3, </40, </7; г) 2, </60, </20.
04.24. Расположите числа в порядке убывания:
а) -1, </=5, </0Д; б) 0, </—0,25, </-29; в) -2, </-1,5, </-9; г) 1, </2, </=2.
04.25. Расположите числа в порядке возрастания:
а) -, </-12, 2, </70; ’ 2 б) —» </й, 1, </-л; 7 л в) х/2л, -, </-2, 2,5; 3 г) 2л, </-0,5, 0, </200.
§ 5. Функции у = tfx, их свойства и графики Постройте график функции:
5.1. а) у = </х; б) у = </х; в) у = </х; г) у = </х.
5.2. а) у = 2</х; в) У = -|</*; &
б) у = -|</^; о г) У = 3</х.
31
Постройте график функции:
05.3. а) У = V-x; в) у = 2-Рх;
б) У = -4-ч/^х; г) у =
05.4. а) У = ^2х; в) у = у1-6х;
б) У = йх; г) 42 II 1 н
05.5. а) У = $х + 1; в) у = 1]х-3;
б) У = >/х - 4; г) г/ = Vx + |.
05.6. а) У = х + 2 — 3; в) у = \/х + 1 + 3;
б) У = </х - 1 + 2; г) у - у/х - 4 - 4.
05.7. а) У = 2 - 5 • </х - 5; в) у = 4 - 2 \/9 - х;
б) У = 4 • ^2х + 4-1; г) у = 3 • V3x - 6 + 1.
/ х2 - х - 2. Jx2 4- 7х + 12
05.8. а) У = V х - 2 в) у V х + 3
Jx2 - 5х + 4. „ Jx2 - X - 6
б) У = у х - 4 ’ г) х-3 •
•5.9. а) У = /Зх2 - 8х - 3 _ 2х. V х - 3 ’
.13х2 - 2х - 1 4х2 6х - 4
б) У = 4 — у 1-х 2 - - X
Найдите область определения функции:
5.10. а) у = $]2х - 4; в) у = ^Зх - 9;
б) у = ^2 - Зх; г) у = ^1 - 5х.
5.11. а) у = ^/х2 + 5; в) у = %j6x - 7;
б) у = Цх3 - 1; г) у = %]2х + 1.
32
Найдите область определения функции:
05.12. а) у = V5x + 8 + ^2х - 4; в) у = ^Зх - 12 - ^2х - 1;
б) у = $'2х + 1 - - 10х; г) у = V8 - 16х + 1^10х + 20.
05.13. а) у = V*2 + 4х - 12; в) у = Vx2 - 8х + 12;
б) у = \/15 - х2 - 2х; г) у = д/4 - х2 - Зх.
°5-14-а) у = /Ж4/ в)»=
,ч „ .11 + 9х. . „ в/3 - 7х
б) у = и------; г) у = ?-----.
’ у V4 + Зх ’ У V2x + 9
05.15. а) у = V25 - х2 + ^/х2 - 1;
б) у = л/х2 - 6х + 5 - 7х2 - Зх;
в) у = МУх2 - 9 - л/16 - х2;
г) у = ^15 - 2х - х2 + 7х2 + 6х + 8.
05.16. а)
J2x- 5 ! Ух2 + 2х - 3.
V 4х + 8 х - 3 ’
б)
Ул? - 5х 2х + 2
/2х + 2 х - 4 ‘
•5.17. а) у = J10X- - * i.
WO.ll. л) у у _ ix _ 21
б) у = ^4х2 + 11,5х - 1,5 - Ух3 - х2 - 10х - 8;
в)
„ я/х3 - 12х + 16.
у V X2 - 2х - 15
У-х3 + 5х2 - 8х + 4
^х2 - 9|х| + 18
33
•5.18. Найдите область определения функции:
а) у = ^/х3 - бх2 + Их - 6 + >/6х3 + 17х2 + бх - 8;
fi = J 2х3 - Зх2 - Зх + 2 .
j У N х3 - 9х2 + 20х - 12 ’
в) у = V2x3 - Их2 + 18х - 9 - J ... 1 ;
\ 4х3 - Их2 -h 6,5х - 1
х J бх3 + Их2 - 19х + бГ
Г) У \х3 - 8,25х2 + 14х - 3*
5.19. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = tfx:
а) на отрезке [0; 1]; в) на отрезке [5; 16];
б) на полуинтервале [1; 3); г) на луче [16; +оо).
5.20. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у =
а) на отрезке [-1; 1]; в) на отрезке [-32; 32];
б) на луче (-°°; 1]; г) на луче [2; +оо).
05.21. Найдите наименьшее значение функции:
а) у = д/х2 - бх + 8; б) у = ^х2 + бх + 13.
Найдите область значений функции:
05.22. а) у = \1х + 1; в) у = Vx + 3;
б) у = ^х - 2; г) у = $х - 4.
05.23. а) у = 2 +tfx; в) у = $х-3;
б) у - fx - 3; г) у - 2 + ^х.
05.24. а) у = л/х2 - 8; б) у = V32 - 2х2.
05.25. а) у = >/35 + 2х - х2; в) у = л/12 - 4х - х2;
б) у = V2x2 - 4х - 1; г) у = д/х2 + 2х + 3.
•5.26. Найдите, если это возможно, наименьшее и (или) наибольшее целое число, принадлежащее области значений функции: а) у = V16 + 4х - 4х2; в) у = ^Зх2 - бх - 4; б) у = ^/х2 - 4х + 35; г) у = V1 - х2 + бх.
Решите графически уравнение:
06.27. а) Vx = -х;
б) Цх = 7 - 6х;
в) 7х = 2 - х;
г) у/х = -х2.
05.28. а) ^2х = —+ 1;
х - 1
б) tfx + 2х + 3 = 0;
*5.29. Решите неравенство:
в) = 3 - 2х3;
г) л/Зх - 2 = .
х - 1
a) 7х + 9 > х - 5;
б) 2%[х~ > 5 - Зх;
в) 7-х < х + 6;
г) 7х - 7 < Зх + 1.
Определите число решений системы уравнений:
05.30.
б)
05.31.
а) <
б)
у = 7х, 2х - Зу = 6;
У = tfx, Зу - 4х = 0; у = 7х - 1, у = х2 - 2х - 8;
У = tfx, у = 2х4 - 5;
в)
г)
У = 7х,
6 - 2х - Зу = 0;
у/Х
5 4- х - 2у = 0.
[У
= 2у[х,
= 10х -16-х2;
= (х + З)6 - 1.
а) '
У
05.32. Постройте и прочитайте график функции:
2х2, если х < 1,
а)
б)
в)
У =
У- =
У =
у[х + 1, если х > 1; у/х + 1, если х < О, 2х2 + 1, если х > 0;
—, если х < О, х
2^/х9 если х > 0;
2cos х, если х < О,
г)
2 - \[х, если х
0.
У =
35
05.33. Постройте и прочитайте график функции:
\[х9 если х < -1
а) у = < -х2, если - 1 < х < 1,
х - 2, если х > 1;
3(х + I)2, если - 2 < х < -1,
б) у = S -2х - 2, если -1 < х < О,
\/х, если х > 0.
•5.34. Исследуйте функцию и постройте ее график:
а) у = >/4х2 + 4х - 3; в) у = л/2х2 - х - 3;
б) у = л/2 + Зх - 2х2; г) у = V4 - Их - Зх2.
§ 6. свойства корня n-й степени
Найдите значение числового выражения:
6.1. а) 4/16 0,0001; в) ^0,00032 243;
5) ?243 г)
e.2. a) V48 1B2; б) а) (/54 24; г)
6.4. а) 4/32 • 3 • ^/8 • 27;
, _ V1024
в) V20 • V5; г) ~j=~-
л/4
б) ^25 • 72 • ^/7Г.
Упростите выражение, считая, что все переменные прини-
мают только положительные значения:
6.5. а) 7а2Ь4 ; б) ^/а3Ь6 ; в) ;
6.6. а)
149а4 .
169b2 ’
б)
Jiea4^ .
4 ------•
V с12
. 3/27°6 .
В) V 64b3 ’
г) у/а5Ь15.
ч ^/зга5^0
V 243с15
36
Упростите выражение, считая, что все переменные принимают только положительные значения:
6.7. a) ^/1024x10j/5215 ; в) 70,0081а12&4с20 ;
/З43тп12 . . /16r16s12
)^64п3р15’ Г) \81р24д4 '
Возведите в степень:
6.9. а) (73а) ; в) (ба • Та) ;
б) (-5 • Va7)2; г) (2^/-За2 /.
Вычислите:
06.10. а) 7б + 2л/5 • 7б - 2V5; в) 7в - 737 78 + >/37;
б) - 2717 • 7б + 2717; г) VV17 + 3 • 7717 - 3.
06.11. а) 7з О 727 79 -
72
б) • 78 725 • 732 + ^~1-29 7з
06.12. а) 733 • 42 • 746 • З5; в) 7^ • 7212 • 52;
б) 772 • 2 • 774 • г2; г) 7б2 • З7 • 7б3 • З3.
•6.13. а) ^/100 + 5173 - 74 - 273;
б) - 475 - 716 + 875;
в) 737 + ЗОТЗ + 7б1 - 2873;
г) 717 - 1272 + 799 + 7072.
•6.14. а) 726 - 1573 + 726 + 1573;
б) 72972 - 45 - 745 + 2972;
в) 738 - 1775 + 71775 + 38;
г) 7170 + 7873 - 77873 - 170.
37
Приведите радикализма к одинаковому показателю корня:
6.15. a) V2 и V3; б) Тб и T9; в) Т7 и 4/8; г) ТЗ и Т2.
6.16. а) ТЗ; Т4 и 47; б) Т2; ТЗ и Т4; в) Тб; ТЙ и Т40; г) ТЗ; Т2 и 1Т1бб.
06.17. Сравните числа:
а) Т26 и Тб; б) Тб и ТЗ; в) Тт и Т47; г) -Т4 и-48.
Преобразуйте задаыпжюе выражение к виду уА:
6.18. а) у/2 Т2; б) T^S 43; в) ТЗ ТЗ; г) Т2 • ТЗ.
06.19. а) 4^ >/36; б) Т2а • Т4а5; в) >/а • Т*?; г) 4у 7^7 •
06.20. а) Та& б) Та4^ ^а5&2; в) Тбаб2 Тба3Ь4; г) 4®Х2 4хгь.
06.21. а) 4а? : 4а; б) 4/a2b3 : 4at4; в) : То; г) y/a3b6 : Vob«
06.22. a) %]xy2z3 Х^х3у2г ; в) То2&с® • ;
б) yjs4p3t5 : ^st2; г) %k43m6 : 4Fin.
6.23. а) ТТб; б) 7^/S- ; в) f/2; г) >/Т4.
6.24. а) ; б) ; в) yjy/a10; г) ТТоб.
06.25. Внесите переменные под знак корня:
a) ad24~ad2; в) -тп3 у/-тп;
б) -p3qy]p2q; г) ху$[х2у3.
06.26. Вынесите переменнее ые из-под знака корня:
а) 4а6Ь9 - Ц-а'Ь3 = б) Т-/7?и12 + Т-/4пг15 •
38
Решите уравнение:
06.27. а) |7б7 + 13 + = 2Т5х;
2 5
б) 72х + Т32х + 7162х = 6.
06.28. а) - 2^с = 0; в) + 2^ - 1 = 0;
б) 7^ - бТх + 6 = 0; г) + 2^ - з = 0.
06.29. Докажите, что 2f{x) = f(128x), если f(x) = ifx.
06.30. Докажите, что 2f(x) = f(32x), если f(x) = 2>[х.
06.31. Докажите, что 277(7) = g(64x), если f(x) = у/х, g(x) = у[х.
06.32. Постройте график функции:
а) у = 7(х “ 2)4 5 в) у = 7(х + I)3;
б) у = 7(2 - х)5; г) у = 7(3 - х)6.
f 7. преобразование выражений, содержащих радикалы
Вынесите множитель из-под знака корня:
7.1. а) 720; б) 7147; в) 7108; г) 7245,
7.2. а) 724; б) Тб4; в) 7256; г) 7375
7.3. а) 780; б) 7160; в) 7405; г) 7486
Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что пе ременные принимают только неотрицательные значения:
7.4. а) Тх3; б) Та4; 7.5. а) 725а3; б) 7405а5; 7.6. а) 775£4г3 ; б) 7256а9513; в) ; г) \]n12. в) 724 х3; г) 7160m10 . в) Т250х4/; г) V320znun15 .
39
07.7. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:
а) -7-л/72а3Ь; od
х2 „172а4Ь3 , б) “h® ’
. 3 |а5х2 .
В) ж У 18 ’
г) Зтп
J 80Х3
У 243т5 п9
Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные могут принимать как положительные, так и отрицательные значения:
7.8. a) yja2b; б) %/asb; в) ^а4Ь; г) \1а5Ь.
7.9. а) >/50а3; б) ^256с8; в) /25х^; г) V162a8.
7.10. a) ^/-162£4г5;
б) ^625x5y6;
07.11. а) -^-^256а7Ь3;
7 4а2
в) /128а6Ь9;
г) *Ц-64т6п16 .
5 I c5d8
б) с 15 625 '
Внесите множитель под з-нак корня: 7.12. а) 2л/5; б) 5^2; в) 5л/3;
7.13. а) 2-^3; б)6-^1±; в) 3-^2;
7.14. а)|->/3; б)|//12; в) 1% -Д
о & и у I
г>7-#
Г)3Ж
7.15. Внесите множитель под знак корня, считая, что перемен-
ные принимают только кеотрицательные значения:
а) 7а2 • Vab; б) 5аЬ2 • \Jci2b; в) 5х >/2х; г) 2ти • л/Зти2
07.16. Преобразуйте заданное выражение к виду >[а : а) ^2^2/п4п8 ; в)
б) у1у^9х4у2; г) ^q^2p3q.
Преобразуйте заданное выражение к виду \[А:
07.21. а) л/50 - ^/3 - 6>/2 + ^24 + 78;
Выполните действия:
7.22. а) (у/т - 2tfn)(tfm + 2у/п);
б) (Тб - х/з)(7з + Тб);
в) (а - + V&);
г) (74 + 2V2)(2V2 - 7i).
7.23. a) (Vx + Jy){x - Jxy + у);
б) (3 + 7а)(9 - З7а + Та);
в) (2^/р + VT)(4p - 2y[pq + <?);
г) (Та + %/аЬ + y/b)(y/a - Тб)-
Выполните действия: 7.24. а) - 2^п) ;
б) (Тб-М
7.25. а) (а - Ь) : (Та - Т&);
б) (k + I) : (V* + ^1);
в) (а2 - Та) ;
г) (Т4 + 2V2) .
в) (т - п) : ($т - %[п);
г) (х - 4у) : (>/х + 2у/у).
Разложите на множители:
07.26. а) >/2х - y/Зу + у[2у - л/Зх;
б) ^4х2 + у/2 у/х3 - tfitfy3 - ^2у3;
в) + Tab3 - Ta3b - tfb*", г) by/а - ab + y/ab - aby/b.
07.27. a) Tw - Tw - 6;
6) y[m + 5y/m + 6;
в) Ta + 7JTa + 12;
r) 2y[x - y/x - 1.
Сократите дроби, считая,
что переменные принимают
неотрицательные значения:
7.28. а)
- y[ad у/За -
42
7.31. Сократите дроби, считая, что переменные принимают
неотрицательные значения: V 6^ + - 1. 2Л? + Л б) 3 Л - 5 Л - 2 Э4х - 1
07.32. Сравните числа: а) -^2 Ло и --^/99; в) Л и^Л;
6) 72W И Л;
Л и -^2.
Расположите числа в порядке возрастания:
07.33. а) $ и Л»;
в) ^2и ЛЙ);
б) л/4; 1[2 и ^40;
г) Л; ЛиЛ2.
07.34. а) Тз</4; $W3 и Лбб; в) ^5; и ^/3;
б) л/4; tf&js и Л25; г) ^<64; 4^7Л и ^2^X25.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
7.35. а) 1 зЛ’ 2^9 ’ в) 8 Лб’ г) 12
7Л43 ‘
7.36. а) 7_ б) 2 • в) 17 г) 9
Л + J Л’ 6 - ЗЛ’ 3V2 +1’ Л - 2’
©7.37. а) 10 б) П • в) 4 г) 3
Л2 - Л’ б) Л + Л’ л* + лг Л5 - Л
©7.38. а) 1 б) 1
\1а + - Jb + \ гс’ Л - >/з + ’ ?5‘
^©7.39. а) б) 2 в) г) -10
Лб - Лб + 9 л’ V4 + Л4 + 5 V49’
Лё + Л + Л’ ^/36 - V24 ( Ч 1б‘
©7.40. а) 3 б) 6
Лб + Ло - Л - 2 Ло - Л + 5 - Лб'
43
•7.41. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
•7.42. Вычислите:
2 2 + 2 2 2
' /з + 1 Уб + Уз >/7 + ч/5 V23 + V21 V25 + V23'
•7.43. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби 1 \[а + y/b + \[с +____________________+ y[t\ +
а b с
если известно, что — = — = —.
а. Ь. с.
Найдите значение выражения: . 4 - зУ2 ч (V24 + Уб/
07.44. а) ---------г; в) —т=---------
(У2 - Ув) 4>/3 + 3Уб
(Уэ + Уз)' 1-2^5 + 75
Уз + 2У3 + 1; г) (Vi _ yjK)2
•7.45. а) </17 4- >/288; б) ^28 - 1б/3.
07.46. Выполните действия:
а) (1 + /а)(1 + Уа)(1 - Уа);
б) (У9а2х - 2^/ЗаЬх + Уь2х) : (УЗа - У&);
в) (4т + /п)(Утп - 4п)(4т + Уп);
г) (У16х2 - У25у2 ) : (У4х - Убу).
07.47. Упростите выражение: л/аЬ • >/а а2 + Ь2
а) F"
Зл/тп.
07.48. Упростите выражение:
б) ayja\l3ab - 2ay[ab y]a3b(7 + 4л/з).
07.49. Решите уравнение:
ч х^с - 1 V7-1 л X + 8 V? - 25
а) -т=------2-т=---- = 4; б) -т=--------+ —т=----- =
Чх* -1 х/х + 1 у/х + 2 у/х + 5
Проверьте равенство:
,/-------7=/ г-\ 2^2 ^20 + 12л/з
•7.50. а) ^/26 + 15л/3 <2 - >/3) = 1; б) ----у= = -------у-—
Т + 'уЗ 2 + yj 3
•7.51. а) ^5^2 + 7 - ^5^2 - 7 = 2;
+И^3-
<7.52.
Вычислите:
а)
.2
X
3
при X =
б)
1 + 2х 1 - 2х л/з
------+ --------------! при X = —
1 + V1 + 2х 1 - х/1 - 2х 4
*7.53. Докажите тождество:
а) ^6а(б + 2>/б) у/3у/2а - 2у[3а = \[ба;
V7 + У2^ + V4
2 - а
45
§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем
8.1. Имеет ли смысл выражение:
4 2 _з _i
а) 5~3; б) (-16)3; в) 232; г) (-25) 2?
Представьте степень с дробным показателем в виде корня:
2 8.2. а) 53; 3 8.3. а) с4; з! б) 3 2; б) р5~2; 3 в) 68; 3 В) х4; г) 434. \ 2-з Г) у 3.
8.4. а) О,20,5; б) Z03; в) &1,5; г) 8,5016.
1 2 1 3
8.5. а) (2а)3; б) 3(х-у)3; В) (2&)4; г) 3(а + Ь)4
Представьте заданное выражение в виде степени с рацио-
нальным показателем:
8.6. a) б) в) г) л/а.
8.7. а) л/Г*”; б) -/=; № В) Г) 1 з/ -2
Вычислите:
1 j.
8.8. а) 492; б) 10003;
2± 1-
8.9. а) 9 2; б) 0,16 2;
1 1
в) 273; г) 252.
в)
2
г) 0,0013.
8.10. а) (27 3“4)2; в) 16 -(2“3)2;
6-4 . 6-9 7-Т . 7-8
б) 6-12 ’ Г) 7-13 '
8.11. а)
54 49~3.
7“’ • 253 ’
8112 10 7
Ю~5 • 2717 ‘
-1 _1
8.12. а) 4’2; б) 8~3;
1 _1
в) 32 5; г) 16 4.
46
Вычислите:
2 1_
08.13. a) 10s 102 1001; б) 40,7 2“0,6 • 80,4;
08.14. а) 40Л И’0 4 : 2^6; б) 3 • 90,4 :
08.15. а) (27 64)3;
б) (— • 8Г1 "I 4 ;
к16 J
_4 J_ 3
в) 7~3 • 712 • 7’4;
г) 250,3 51,4 • 6250’25.
1 -1
в) 43 • 2 3 : 4’3;
-1 1
г) 8 3 • 163 : $2.
в) I — • 0,04
36
г) 5"3
08.16. а)
б)
в)
г)
08.17. а)
-1
49 2;
2
—Т3 64 )
8 3 • 25 2 - 2~‘
64; • 22
08.18. Найдите значение выражения:
5 1
уб 1 -уЗ
а) —-----г при х = 1,44;
X® -
2
- 2,25 Q
б) —i------- при т = 8.
+ 1,5
47
08.19. Найдите значение выражения: 1
а) — при t = 9;
t2 -2
б)----------------------— при у = 100.
у* + 3 j/4-З
Упростите выражение: _1 1 — 8.20. а) Ь'з . ь2; б) у 6 : у3;
1 2
8.21. а) (&2 )3 . бДвх’^)3;
2 1 1 _1
в) а3 • а 6; г) г5 : z 2.
В) (д2 )3 ; г) (81х’4) 4.
8.22. а) х2
б) У3
з _ в) г4 у/г;
г)
1 с4.
08.23. а) (а°-4)2 . а08;
б) (с10)’1 : (с’1-2)4;
в) (х4) • х1,4;
3 / _2 V1’5
г) (Ь°’8р : \Ь Ч
2
8.24. а)
X5
5
х 3 • х3
з
г)
з \20
а2 • Ь5
08.25. а)
3
с 7 •
3
с7 • I/0’2
б) \р
Представьте выражение в виде суммы:
8.26. а) (х2 - у2) • х2у2;
2 2(1 j_ \ б) а3Ь3 \а3 + Ь3);
8.27. а) (тп2 + п2) ;
б) (1 + с3) ;
11/2 3 \
в) Ь3с4 \Ь3 + с4 /;
г) x2z/2 (х2 - у3].
в) (1 - ^) ;
г) Ц + 2&з) .
8.28. Выполните умножение:
а) (%з + з)(хз - з);
б) (а2 + Ь2 )(а - a2b2 + b);
В) (d2 - l)(d2 + 1);
/1 1V - - з \
г) \Р3 _ <73 Др3 + (р<?)3 + Д /•
Сократите дробь:
8.29. а)
4 • 3^
б)
З2 - 3
1 1.
_2 1,2
а — о
а - Ъ
1
г)
-5
р - 25*
8.30.
. С 4- C2d2 4
3 3
с2 - d2
Упростите выражение:
08.31. а) (1 + Д) - 2с2;
б) (тп4 - иг2) + 2тп12;
т + п
6) —------ГТ
~_3 „3 3 . „3
гп — т п + Т1
г) 4b + 4с - (б4 + с4
08.32. а) (оз + Ьз) _ (оз _ Ьз) . б) (а2 + 5а2) - 10а2
08.33. а) (х4 + 1)(х4 - 1)(х2 + 1);
б) (л4 + + Д)(лз - 1^).
3 3 _
Ок.34. а) ТА- - б> -Дт + -Дт-
а2 - Ь2 х2 4- у2 х2 - у2
Упростите выражение:
08.35. а) -------------+ 2а?Ь2;
а2 + b2 а + a2b2 + b
б)
pg2 + p2q p-q
08.36. а)
а2 Ъ
I Г + 1 1 ’
а2 - Ь2 а - а2Ь2
2
а3 а + 1
| I а2 - 4а + 3 а6 - а6
•8.37. а) Упростите выражение и найдите его значение при
хз 2 x2^! + x2)’1 - Vl + x2
1 + x2 1 + x2
5 1_
X2 - X 2 (х + 1)(х2 + 1)
б) Упростите выражение и найдите его значение при а = JO,027, х = —;
N 27
( 1 i 111 All
x3 - a3 x3 - 4a3 a3 - 2x Q x3 - a3
2 2 4 _1 1 2 41 2
kx + 2x3a3 + a3x3 a3 - x3 x - a3x3 ) 6a3 - 2
§ 9. Степенные функции, их свойства и графики
9.1. Постройте график функции: 1 _1 а) у = х10; б) у = х4; в) у = х 2; г) у = х"4.
9.2. Постройте и сравните графики функций:
1 Г— -
а) у = ух и у = х3; б) у = ух и у = х4.
50
9.3. Вычислите:
5
а) /(4), если f(x) = х2;
б) /(1), если f(x) = х 3;
в
в) /(0), если f(x) = х7;
2
г) Д8), если f(x) = х 3.
9.4. Исследуйте степенную функцию на четность:
а) у = х10; б) у = х 3; в) у = х-15; г) у = х3.
9.5. Исследуйте степенную функцию на ограниченность: _3 2
a) z/ = х8; б) у = х 4; в) у = х-5; г) у = х5.
9.6. Исследуйте степенную функцию на монотонность: _1 1
а) у = х12; б) у = х 6 ; в) у = х-11; г) у = х7.
9.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
У = х4 :
а) на отрезке [0; 1]; в) на интервале (2; 3);
б) на луче [1; +°°); г) на полуинтервале (5; 16].
9.8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 5
У = х2:
а) на луче [0; +°°); в) на отрезке [1; 2];
б) на полуинтервале [1; 3); г) на полуинтервале (6; 8].
9.9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 2
z/ = X 3:
а) на отрезке [1; 8]; в) на луче [1; +°°);
б) на интервале: (3; 5); г) на полуинтервале (0; 1].
9.10. Постройте график функции: 1 -2.
а) у = (х + 2)2; в) у = (х - 1) 3;
7 __1
б) у = х2 - 3; г) у = х 3 + 4.
51
Постройте график функции:
09.11. а)
б)
у = (х + 3)6 - 1;
__i
у = (х - 2)~9 + 5;
в) у = (х + 6)4 + 2;
г) у = (х - 3)2 - 1.
1 -3
09.12. а) у = 2х3; б) у = -х 5;
1 — —
в) у = -^Х2; г) у = -2х4.
09.13. а) у = 2 2(х - I)3 - 2; в) у = 3 -(X + 2)2 + 1;
б) У = - , 1 + 2; \]х + 4 Г) У = 4
</х - 3
09.14. Решите графически уравнение:
1 3 1 1 2
а) х2 = 6 - х; б) х2 = —; в) х4 = х3; г) х3 = х - 4.
х
09.15. Решите графически систему уравнений:
а)
У = х2, .У = 1;
б)
У = х 3, У = л/х;
09.16. Определите число решений системы уравнений:
8 5
а) < У = X 5, в) < У = х 3,
у = х2 - 4х + 1; У = 2Х2;
1 Г 2
б) У = х9, г) У = X1,
у = 2х + 3; у = (х + 2)3
09.17. Постройте и прочитайте график функции:
х, если х < О,
|х|, если х < 1,
а)
5
X3
если х > 0;
б)
1
х3, если х > 1.
У
У =
52
Постройте и прочитайте график функции:
1
—, если х < 0,
09.18. а) у = - б) У = X 1 х 2, если х > 0; х2 - 2х, если -1 < х < 2, 2(х - 2)0,75, если 2 < х < 3 х2, если х < 0, 2
09.19. а) у = « х3, если 0 < х < 1; 1 л —, если х > 1; <х 2, если х < -1,
б) У = < 2х2, если -1 < х < 0; 3 х2, если х > 0.
09.20. Решите графически неравенство:
1 3 12
а) х2 < 6 - х; б) х2 > х-2; в) х 4 < х3; г) х3 > х - 4.
1
09.21. Известно, что f(x) = х4. Найдите:
а) /(1бх); б) /(81х4); в) X^xl; г)
I О-*- )
2
09.22. Известно, что f(x) = X 3. Найдите:
a) /(8х3); б) Ax’6); в) /Г^х\ г) /(х12).
09.23. а) Известно, что /(х) = х4, Л16х8) = 2(g(x)"1).
2
б) Известно, что f(x) = х3, /(27х9) = 9(g(x)f2.
g(x) = х2. Докажите, что
g(x) - х"3. Докажите, что
9.24. Найдите производную заданной функции:
7
а) у = х8; б) у = л/х8; в) у = х’4; г) у = X2.
53
Найдите производную заданной функции:
9.25. . 1 1 1 1 а) У = -п=; б) у = —; в) у = г) у = —. VX 7 л/х о X5 V X3
9.26. а) у = х4х; б) у = в) у = —; г) у = х2 • tfx. \!х х
9.27. а) у = 2х4 + Хл/х; в) у = х5 —U; Vx б) у = + Зх6 - 1; г) у = х3 - 7xVx. VX
9.28. Л 2 А а) у = - - 1 (х - х-1); \х J б) у = (Зх3 - 7х + 5)(л/х + з); в) у = (7</х + б)(х5 - 7х3 + 1); г) у = (.2х9 + х 3)(5 - 2х).
9.29. . х3 - 5 3>/х - 7 а) у й +1: - «• +1
9.30. , 5л1 - Зх2 + 15л - 7 а) у = г ; Хл/Х
б) у = (л/хл - 2х)(2 sin 2х + cos х);
7х8 - 5х4 + 12х -
tg (Зх - 5).
9.31. а)
х3 — 1. у[х - 1’
X + 1
X3 - X3 + 1
09.32. a) 3/tg2x; в) ----------------
(2 sin х + 3 cos х) *
б) (>/Зх - 1 + ctg2x) ; г) у = sin(x5 + 2\[х - б).
54
09.33. Найдите значение производной функции у = g(x) в заданной точке х0:
а) £(х) = х3 - З7х, х0 = 1;
б) g(x) = \/Зх - 1, х0 =
3
в) g(x) = х'1 + х~2, х0 = 1;
г) g(x) = —(5 - 2х)Л х0 = 2.
3
09.34. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = f{x) в точке с абсциссой х0:
а) /(х) = 4 - х 4, х0 = 1;
б) f(x) = 12х 2 - х, х^ = 9;
2
в) /(х) = 2х3 - 1, х0 = 8;
г) /(х) = Х“3 + бд/х, хо = 1.
09.35. Найдите скорость изменения функции у = Л(х) в точке с абсциссой х0:
а) Л(х) = х3 - (1 - Зх)-1, Хо = 0;
б) Л(х) = ^2 sin 2х, х0 = ——;
12
в) й(х) = (3 - х’1)2, х0 = -1;
ч ч сс^х18 - З^х? + 0,25л + лх) л Г) й(х) = —iх^ = 0.
Л
09.36. Решите уравнение g'(x) = 0, если:
a) g(x) = 2л/х - х;
2 - 12 -
б) g(x) = -х2-----х4 4- 2х;
3 5
Q 4
в) ^(Х) = -х3 - 2х;
4
X / ч Н 6 5 о
г) g(x) = -х3----х6 - 2х.
4 7
55
09.37. Решите неравенство f\x) > 0, если: о 5 о 4 5 q з
a) f(x) - —х3 + — х3; б) Дх) = 0,4х4 - —х4.
09.38. Найдите угол, образованный касательной к графику функции у = g(x) в точке с абсциссой х0 с положительным направлением оси абсцисс:
a) g(x) = |>/4 - Зх, х0 =
б) g(x) = -3(V2 + хр, х0 = 1 - V2.
09.39. Напишите уравнение касательной к графику функции У = Дх) в точке с абсциссой х = а:
а) у = \/Зх - 1, а = 3; в) у = (2х + 5) 2, а = 2;
б) у = ^2 sin х, а = г) у = . 1 • - , а = -.
6 ^2 cos х 3
09.40. Проведите касательную к графику функции у = Дх), параллельную заданной прямой у = kx + т:
а) f(x) = 4х/х, у = х - 2; б) Дх) = у - 5 - Зх.
х
•9.41. Проведите касательную к графику функции у = f(x) из данной точки М\
з
а) Дх) = ч/х, М(0; 1); б) Дх) = х2 + 4, М(0; 0).
•9.42. а) Составьте уравнение той касательной к графику функ-- 2
о , Л е>
ции у = хй + —, которая отсекает от осей координат тре-
угольник площадью 0,75.
б) Составьте уравнение той касательной к графику функции у = xVx, которая отсекает от осей координат тре-1
угольник площадью —.
09.43. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
2 г-
а) у = —хл/х - 2х;
3
Q 2 б) у = —х3
2
X.
56
•9.44. Исследуйте функцию у = f(x) на монотонность и экстремум и постройте ее график:
а) у = x/х - х;
б) у =
X
\ 1 Г
в) у = -= + ух; х/х
г) у = Хх/х+2.
•9.45. Постройте график уравнения:
a) (3z/ + х)3 = 27х; б) (х + z/)3 = х2.
•9.46. Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:
а) 2х5 + х3 + 5х - 80 = </14 - Зх;
б) V10 + Зх = 74 - х5 - Зх3 - 8х.
09.47. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке:
о ,__ о,—
а) у = —хх/х - 2х, [1; 9]; в) у = —хх/х - 2х, (1; 9);
3 3
з - Ч -
б) у = -X3 - х, (0; 8); г) у = -х3 - х, [0; 8].
2 2
-- 1
•9.48. На графике функции у = х 3----х выбирают произволь-
3
ную точку М и соединяют с началом координат О. Строят прямоугольник, диагональю которого является отрезок ОМ9 а две стороны расположены на осях координат. Найдите наименьшее значение периметра такого прямоугольника.
§ 10. извлечение корней из комплексных чисел
* 010.1. Вычислите:
. 3 + 7/ -i(3 + i) . (2 + 3i)(4 - i) . i5 + i4 +
a) 6) B> —n ..............’ Г> i* □_ .V
3 — i 7 — i t(l — 7i) (3 + Z)
57
010.2. Решите уравнение относительно п (и е Z):
a) f + in = 0; в) Г12 + Г13 + i9 + in = 2;
б) j9 + Г = 1 + f; г) f2005 + in = 1 - i.
010.3. Найдите наименьшее натуральное значение и, при котором:
а) число (4 + 3Z)n лежит вне круга радиуса 100 с центром в начале координат;
б) число (1 - 2i)n лежит вне круга радиуса 1000 с центром в начале координат;
в) число (I - 2)л лежит вне круга радиуса Юн с центром в начале координат;
г) число (1 + 3/)л лежит вне круга радиуса 5п2 с центром в начале координат.
Расположите комплексные числа z2, z3, z4 в порядке возрастания их аргументов:
010.4. a) zx = Z, z2 = i2, z3 = /3, z4 = Z4;
б) z1 = Г1, z2 = Г2, z3 = Г3, z4 = Г4.
•10.5. а) = л/З - 2 + Цл - 4),
z2 = л/б - 2 + Цл2 - 9),
z3 = V17 - </31 + Ц1- 2°’2),
= 1^10бб - ^600 + i(3^ - J);
б) z1 = sin 200° + i cos 170°,
z2 = sin 250° + i cos 70°,
z3 = cos 440° + i cos 460°,
z4 = tg 185° + t arccos 0,9.
010.6. Изобразите на комплексной плоскости множество всех комплексных чисел z, для которых выполняется заданное неравенство:
a) Rez > 3; б) Imz > 5; в) Rez > Imz; г) Rez < Imz.
58
010.7. Пусть z = cos 8° + i sin 8°. Найдите наименьшее натуральное значение п, для которого:
a) zn принадлежит третьей координатной четверти комплексной плоскости;
б) (z)n принадлежит третьей координатной четверти;
в) zn принадлежит четвертой координатной четверти;
г) (z)n принадлежит первой координатной четверти.
010.8. Решите уравнение:
a) z2 - 10г + 29 = 0; в) г2 + 30г + 241 = 0;
б) iz2 - Юг - 29г = 0; r) z2 + 30Zz + 31 = 0.
010.9. Вычислите:
a) (cos 20° + i sin 20°)9; в) (cos 3° - i sin З0)-40;
6) (cos 20° + i sin 2O0) 3; r) (cos 5° - i sin50)24.
010.10. Пусть {z, z2, z3, ..., zn, zn + 1, ...} — геометрическая про-грессия co знаменателем z = cos 0,1л - i sin 0,1л.
а) Укажите наименьшее натуральное значение п, при котором zn лежит в третьей координатной четверти комплексной плоскости (не на координатных осях).
б) Укажите наименьшее натуральное значение п, при котором zn лежит во второй координатной четверти (не на координатных осях).
в) Сколько в этой прогрессии различных чисел?
г) Найдите сумму этих различных чисел.
Вычислите корни (в алгебраической форме), изобразите их на комплексной плоскости; найдите сумму и произведение вычисленных корней:
010.11. а) /г, б) х/ч; в) Vl - I; г) y/i - 10.
010.12. а) </8;
г) V-64i.
010.13. а) VI;
010.14. Вычислите и изобразите на комплексной плоскости: а) б) V^l; В) (V1)2; Г) (V^)3.
59
010.15. Запишите в тригонометрической форме тот из корней
б/- °
л/z, который принадлежит:
а) первой четверти; z = -i;
б) второй четверти; z - 0,5(i - л/з);
в) второй четверти; z = 81;
г) третьей четверти; z = -13,5(i + л/з).
*10.16. а) Запишите в тригонометрической форме и изобразите на комплексной плоскости все значения V1.
б) Докажите тождество г5 - 1 = (г - 1)(г4 + г3 + г2 + + z + 1); подберите действительные числа А < В так, чтобы выполнялось тождество г4 + г3 + г2 + z + 1 = (z2 + + Az + 1)(г2 + Bz + 1).
в) Используя результаты пунктов а) и б), вычислите cos 72е и sin 72°.
г) Найдите сторону а5 правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность, и сторону а10 правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность.
010.17. Составьте (если возможно) многочлен третьей степени
с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа:
a) Zj = 1, z2 = 2 - i, г3 = 2 + f;
б) zr = 0, z2 = 3 + 2i, г3 = 3 - 2i;
в) Zj = 1, z2 = 2 - i, z2 = 2 + 2f;
r) z1 = i, z2 = 2i, z3 = 3L
010.18. а) Составьте многочлен третьей степени с действительны-
ми коэффициентами, корнями которого являются числа zx - -5, г2 3 = 4 ± 3L
б) Найдите числа zx + z2 + г3, г1(г2 + г2г3 + zzzlb zxz2z2 и сравните их с коэффициентами многочлена из пункта а).
*10.19. а) Для многочлена £3 + az2 + bz + с и его корней г1, z2, г3
докажите, что выполняются следующие соотношения (теорема Виета):
21 + z2 + z3 = -a, zxz2 + г2г3 + z2zx = &, zxz2z2 = -с.
б) Сформулируйте и докажите теорему Виета для приведенного многочлена четвертой степени.
Составьте (если возможно) многочлен четвертой степени с действительными коэффициентами, корнями которого являются числа:
a) = i, z2 = i - 1, z3 = -i, z4 = -(1 + f);
6) Zj = 2 + i, z2 = i - 2, z3 = 2 - i, z4 = -(2 + 0;
в) Z) = 4 + 3f, z2 = 4 - 3i, z3 = z4 = 2;
r) Zj = -1 - 8i, z2 = 8i, z3 = z4 = -10.
Решите уравнение и изобразите его корни на комплексной плоскости:
a) z3 - 2z2 + z - 2 = 0; в) z3 + 3z2 + z - 5 = 0;
б) z3 + 3z2 4- 5z 4- 15 = 0; г) z3 4- 4z2 - 50z + 100 = 0.
a) z4 - 1 = 0;
6) z4 - 3z3 + 6z2 - 12z 4- 8 = 0;
в) z4 - 5z2 - 36 = 0;
r) z4 - 5z3 + 7z2 - 5z 4- 6 = 0.
Г Показательная 2Г”
р и логарифмическая
г функции :Г“
Г. । । । । । । । । । । । । । । । । । । । । । । I
ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГП—
§11. показательная функция, ее свойства и график
Найдите значение выражения:
11.1. а) 25’3 • 2~0,3; б) 7’2 83,5;
11.2. а) • Ш'-’-, в) №)" • Ш"-.
в) З®’8 • З"5’8;
в) и?Г’г (М3,8;
г) (V3p •
11.3. а) 43,5 :43;
<-2,3
в) 8^ : 82;
11.4. а) (^б)2’7 ; (Vo^)0’7;
11.5.
б) (да)4’2:(Тм)°’2;
Г 1 V а) 2з
б)
62
11.6. a) (2‘3)2 • 25;
11.7. a) ^8 • 20,5 : 21’25;
6) ^10000 л/ioo : 103;
в) (З27)3 : 35’1;
Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными:
11.8. а) у = 3х; б) у = х3; в) у = хз; г) у = (7з)*.
5 ( 1 Y
11.9. а) у = пх; б) у = хп; в) у = (^) ; г) у = -j= .
11.10. Найдите значение показательной функции у = ах при заданных значениях х:
а) у = 7х, Xj = 3, х2 = -1, х3 =
( 1 Y Q |
б) у = I ~ 9 Xj = —, х2 = 1> х3 = — —•;
i & j & л
в) у = (7з) , Х1 = 0, х2 = 4, х3 = 5;
11.11. Найдите значение аргумента х, при котором функция у = 2х принимает заданное значение:
а) 16; б) 8>/2; в) -^5 г) —
л/2 32V2
11.12. Найдите значение аргумента х, при котором функция
(i Y
У - т принимает заданное значение: I о 1
а) тЬ‘> б) в) 125; г) 625>/5.
25 25V5
63
Схематично изобразите график показательной функции:
11.13. а) В) у = (7т)
( Л X
б) у = | - I ; г) у = 1 -
.Л.
11.14. а) у = лх; в) у = (Л)' с
б) у = (4 - л)х; г) у = ( 1 — 1
4 - л J
011.15. а) (Js - -ЛУ; в) (л/5 -М
б) у = (</24 - </4)"; г) У = (</32 ,1 - J3)'
11.16. В одной системе координат схематично изобразите графики функций:
а) у = 3х, у = 8х;
б) у = , у = fl");
у I4 J 2 )
в) У = (V?) , У = 5х, у = (>/8) ;
11.17. Сравните значения З*1 и З*2, если:
а) Х-t — , х2 ~ у в) Х-t — —, х2 ~ “5
1 3 2 3 1 5 2 5
б) , х2 = — г) х1 = 1, х2 = — ~.
11.18. Определите, какое из чисел, 5*1 или 5*2, больше, если:
ч 2 4 ч 3 4
а) •*! — , х2 - ; в) Xi - —, х2 —
об 5 7
б) Х1 = -1-, Х2 = г) Х1 = х2 = -И.
11.19. Сравните значения (л/з) а) а = 0,3, Р = -;
4
и (л/з)\ если:
в) а = 1,9, Р = 2,1;
б) а = --, Р = -0,4; 3
г) а = 3,1, Р = л/10.
11.20. Сравните значения (0,6)Хг и (0,6)*2, если:
a) Xj = 0,2, х2 = i;
б) jq = л/б, х2 = 2,5;
в) Xi = -4,1, х2 = -5;
г) Xi = -6,5, х2 =0,1.
11.21. Определите, какое из чисел — если:
f 3 Г А или — — больше,
ч 2 3
a) Xi = -, х2 = о 5
6) X, - г, - - —;
1 7 г 11
11.22. Сравните числа:
а) 1,334 и 1,340;
ч 5 3
в) хА = —, х2 = —;
' 1 7> 2 п>
г) Xi = -1,6, х2 = -3.
в) 12,1^ и 12,1^;
г) (0,65)и (0,65)2.
Расположите числа в порядке возрастания: 011.23. а) 2®; 2*; 2$-, 2^; 214; 1;
б) 0,39; 1; 0,3-^; 0,3"; 0,3-9; 0,3*.
011.24. a) (Vs) 75; (7з),г; 1; (Тз)"5; ШЛ
65
Исследуйте функцию на монотонность:
11.26. а) у = (7з)Х ; в) у = 21х;
б) У = 0.3-; г) у = -£=
('1^1
<2 YX 11.27. а) у = 2-х; б) у = | ; в) У = 17-х; г) у =
011.28. а) у = (712 _ 7з)х; в) у = (727 - л/8)Х;
б) у = (^75 - 7б)х; г) У = (798 - Т64)1-
11.29. а) у = -3 12х; (з Y в) » = -»•({];
б) у = , А ; г) у = —.
(0,5) + 1 4+2*
011.30. а) у = 2 Х+1; в) у = —Ц-; 7 * 2~х+1
б) у = 5"2х + 4; г) у = 10’3х - 2.
11.31. Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу: а) у = 4х - 1; в) у = -Зх2 + 8;
б) у = 18х; Г) у = .
11.32. Укажите, какие из данных функций не ограничены сверху: а) у = -Зх2 +1; в) у = (7,2)х;
б) у = (0,6)х; г) у = cos х.
11.33. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:
а) у = 2х, [1; 4]; в) у = f|T, [0; 4];
б) У = flT’ L"4; -21; г) У = 2х’ [-4; 2]-I о )
11.34.
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:
а)
У = (Vif , 4];
( V
011.35.
011.36.
11.37.
11.38.
б)
а)
б)
в)
У =
1
Гз
у = 3х1 + 8,
к (31
у = 5 • —
I5 J
У = 7х-2 + 9,
+ 4, [-1; 2];
[0; 2];
г) У = 4 •
а)
б)
х
2
у = 32 • 2х’6
У = 8 •
В) у = (</б)Х , [0; +оо);
Y
7=- , Г-2; +оо
П
г) У =
+ 13, [-2; 3].
- 5, [-1; 2];
у = 27 • З’х-2 + 4, [1; 3];
у = 125 5~х~4 - 12, [-2; 0].
На каком отрезке функция у = 2х принимает: а) наибольшее значение, равное 32, и наименьшее,
ное
в)
г)
1
б) наибольшее значение, равное ”, и наименьшее, о
1 9
НОС ТТ77-
128
На каком отрезке функция у = — | принимает: 13)
а) наибольшее значение, равное 81, и наименьшее,
НОе 27 5
б) наибольшее значение, равное и наибольшее, 7з
ное -т=?
V9
рав-
рав-
рав-
рав-
67
011.39. Докажите, что для функции!/ = f(x), где/(х) = 2х, вы полняется равенство:
a) /(xj f(x2) = f(Xi + х2);
б) /(х + 1) /(2х) = 2/3(х);
в) f(-2x) =
г) /(cos2 х) = y2/(cos 2х).
011.40. Докажите, что для функции у = /(х), где /(х) =
выполняется равенство:
а) / (хх) • f(x2) = /(Хх + х2);
б) /(х - 1) /(Зх) = 3/4(х);
в) «-5«> =
Г) /(sin2x) =
yjSf (cos 2х)
11.41. Найдите область определения функции: z \~х2 + 2 а) У = 4х2’1; в) У = | 1 О 1
б) У = 7х; г) У = 9,1х-1.
11.42. У = 1 , в) 7/ — X
а) 2х - 1’ у - 3х - 9’
х + 2 . 2х + 1
б) У - 0,5х - 2’ г) у - Г1Т - 27 I3)
11.43. а) 7/ — X 4- 1 . В) 11 = 3х -ь 3.
у - VF - 27’ У 32х - 9 ’
б) 2х + 4 г) л/б7 - 5
у - 7о,6х - 0,36 ’ У = 5х - 25 *
1 Найдите область значений функции:
Ь11.44. а) У = 3 • 2х; в) у = - • 7х; У 2
J б) г) м-Ш
011.45. а) У = з" + 1; в) у = 17х - 2;
б) У = (Ф*
011.46. а) У = 0,52х - 16. 0,5х- 4
б) 231 - 27
У = 2^ + 3 2х + 9 ’
011.47. а) 0,5х - 9
У = 7о,5х + 3*
б) 216х - 8
У = 36х + 2 • 6х + 4
г) У = ш - °-
в) У = г.б2" - 25. 2,5х + 5
г) 431 + 125
У = 42х - 5 • 4х + 25
в) У = 1,21х - 4
71,21х - 2*
г) 11 — 64х + 1
у - 16х - 4х + 1 *
Постройте график функции:
11.48. а) у = 2х + 1; 6> У - (1J - 2; в) у = 4х - 1; г) у = (0,1)х + 2.
11.49. а) у = 5Х+1; в) у = 3х-2;
011.50. а) у = 2х1 + 3; в) у = Зх+1 - 2;
Z \Х-1 Г) у = - 3.
011.51. Дана функция у = /(х), где f(x) = <
2х, если х > О,
Зх + 1, если х <
0.
а) Вычислите /(-3); /(-2,5); /(0); /(2); /(3,5).
б) Постройте и прочитайте график функции у = /(х).
011.52. Дана функция у = /(х), где /(х) = <
4х, если х < 1,
-х1 2 3 + 1, если х > 1.
а) Вычислите /(-3); /(-2,5); /(0); /(1); /(2).
б) Постройте и прочитайте график функции у = f(x).
011.53.
Дана функция у = /(х), где /(х) = *
если х < О,
\[х + 1, если х > 0.
а) Вычислите /(-5); /(-2,5); /(0); /(4); /(1,69).
б) Постройте и прочитайте график функции у = f(x).
011.54.
Дана функция у = /(х), где /(х) = *
2
4
если х < О,
cos х, если х > 0.
а) Вычислите /(-3); f(-2); \ Г(0); /Ш;
б) Постройте и прочитайте график функции у = /(х).
011.55. Постройте график функции:
4х, если х < О, cos х, если 0 < х < л, х - л - 1, если х > л;
sin х, если х < —, 2
л л
х +----1, если — < х < 0.
2 2
1 А
- , если х > О
3
70
Постройте график функции:
(1
011.56. а) у = 2|х|; б) У =| - ; в) у = 4|х|; г) у = 0,2|х+г|.
V3 J
.011.57. а) у = |2Х - 4|; б) у = |9 - 3х |.
•11.58. а) у = |2Х + 1| + |1 - 2х|; б) У = |О,5Х + 1| - |1 - 0,5х |.
Решите уравнение:
11.59. а) 23х = 128; б) 63х = 216; в) 32х = —; г) fl") = —
27 ^7 J 343
011.60. а) (>/2Г+2 = 1; в) = ^/5;
2
6) = 4=; Г) (йГ =
V3
011.61. а) 3х = 4 - х;
«(1J =х+*
в) 5х = 6 - х;
011.62. а) 2х = -2х + 8; в) 3х = -х + 1;
< 1 у
б) - = х + 11; г) (0,2)х = х + 6. I о J
011.63. а) 2х = -; б) W в) 5х = -; г) flY = -3.
х х х ^8 J х
011.64. а) 3х + 1 =
X
б) 3х + 3 = — X
011.65. а) 5х"1 = 1;
X
б) Зх+2 = —; х
71
011.66. Решите уравнение: а) 2х - 1 = х/х;
<1 у г-
б) - = ух + 1;
( 4
Решите неравенство:
11.67. а) 4х < 64; б)
в) 3х - 1 = -х/х;
11.68.
Г1Y а) 1 >81;
I О I
б) 15х <
011.69.
а) (Зх/З)* > х/З;
б) (4^/4)" < 3/4;
ч (2 Y . 343
в) — С--------5
I7 J 8
г) 2х > —.
256
в) (93/ёГ < Зх/З;
г) (83/4)* > 3/32.
При каких значениях аргумента график заданной показательной функции расположен выше графика заданной линейной функции:
011.70. а) у = 3х, у = -х + 1;
б) у = 0,5х, у = 2х + 1;
011.71. а) у = 2х, у = х - 2;
( 2 Y
б) У = - , у = х+1;
I б )
в) у = 5х, у = -2х + 1;
(1 у
Г) у = - , У = х + 1?
I О J
в) у = (х/2)1, у = х - 4;
( Q Y
Г) У = - , У = -X - 2?
011.72. При каких значениях х график заданной показательной функции расположен ниже графика заданной линейной функции:
Q а) у = 2х, у = --х - 1;
/и
б) У = Ш , у = -Х-2;
у = Зх + 1;
г) у = 3х, у = -2х + 5?
72
Решите неравенство: И 1.73. а) 3х > 4 - х;
(1 у
б) - < х + 3;
l2J
2 (1 >Х
>11.74. а) 2х > —; б) - I <
' х к4/
•11.75. а) 2х + 1 > cos х;
б) 2'х' + 1 > 2 cos х;
• 11.76. а) |х - 1| > 2,5х;
б) |2х - 1| < 3,1х;
•11.77. а) 2х - 1 > Vx;
flY , г 1
б) - < Vx + 1;
I 1Т 1
в) - + 1 < sin х; l3J
г) з'х' < cos 2х.
в) 2х < |х - 3|;
г) > |х + 4| .
I О J
в) 3х - 1 > -Jx;
(1Y . г- 1
г) - > Vx + 1.
I о )
•11.78. а) Найдите наибольшее целочисленное значение функции _ -I rjsin 2х cos Зх + cos 2х sin Зх + 0,5
б) Сколько целых чисел принадлежит области значений функции у = 30 • Зсоз2,5х sin3.5z-2?
§ 12. Показательные уравнения
12.1. Решите уравнение:
б) 7х = —; 343
в)
г) 0,2х = 0,00032.
73
Решите уравнение:
12.2. а) 10х = ^1000;
б) 5х
12.3. а) 0,3х = —;
27
12.4. а) 2х + 1 = 4;
б) 53х-1 = 0,2;
в) 0,3х = л/0,0081;
г) W = 25^5.
ч л „х 1000 в) 0,7х = -----;
343
г) Г з У =
1^2 J 81
в) 0,44"5х = 0,1б7О4
Г) [1Г = SV2.
012.5. а) 3 ^х
б) 62х-8 = 216х;
012.6. а) 3х2’4’8 • 7з = —; 27
б) 0,5х2'5’5 • л/д?5 = 32;
г) 0,1х2’0-5 • л/ОД = 0,001.
1
в) 5х • 2х = О,Г3;
г) 0,3х 3х = ^'081.
012.8. a) (V12Г • (л/зГ = -;
6
в) (< • = 243;
б)
= 0,81"2х;
г)
= 20,25х+1
74
Решите уравнение:
012.9. а) л/б25 л/б141’9 = л/125 • 56х’12;
б) V0,22x^ = V0,04~3x + e.
012.10. а) — = 27;
9х
2х2
б) =44;
4
012.11. a) 3X + I 5х = 675;
б) 4Х + 2 Зх+1 = 576;
012.12. а) 27^ = х/9х+1;
б) 2^13-х2 = у[2 V32;
7х в)
л2х2
в) = 44-
в) 5 23х 3х = 2880;
г) 22х + 1 5х = 16 000.
012.13. а) 2х = 3х; б) 25х = 72х;
012.14. а) 3х • 7х'2 = 49 • 4х; в) 2Х+1 • 5Х+3 = 250 • 9х;
б)
g2x +4 __ 2® + х 3^Х *
354х'2 = 53х + 4 • 7&.
012.15. а) 24х+2 • 5’3х’4 = 6,25 • 2Х+1; б) З51’1 • 72х’2 = З3х + 1.
012.16. а)
4(75 - 2Г12 =
( 2 Г’12
+ 2J
б) 9(3 - >/8)2l+1 = —-
75
Решите уравнение:
012.17. а) 3х - Зх+3 = -78;
б) 521'1 - 52х"3 = 4,8;
012.18. а) 72х + 1 + 72х + 2 + 72х + 3 = 57;
б) 24х-1 + 24х'2 - 24х’3 = 160;
в) 100 0,34х+2 - 0,092х + 5 0,0081х = 13;
012.19. а) 23х - 6 • 22х + 12 • 2х - 8 = 0;
<•» ';)•“
в) 5х + 6 • (</25)Х + 12 • (</5 )* + 8 = 343;
г) 2х + 3 • (^4)Х + 3 • (^2)Х + 1 = 27.
012.20. а) (32х - 1) • (34х + 32х + 1) = 26;
б) (52х + 1) • (54х - 52х + 1) = 126;
в) ((^7)Х - 1) • (7х + (V7)X + 1) = 342;
г) ((И1)’ + 1) • ((ИЙ)' - (И1)‘ + 1) = 122.
012.21. а) 22х - 6 • 2х + 8 = 0;
б) 32х - 6 • 3х - 27 = 0;
76
Решите уравнение:
012.22. а) 2 • 4х - 5 2х + 2 = 0;
б) 3 9х - 10 3х + 3 = 0;
',4Ш'+15Ш‘_4=О;
г) (0,25)х + 1,5(0,5)х -1 = 0.
г,5Ш’+23 Ш"1о=о-
012.24. а) 22х + 1 - 5 • 2х - 88 = 0;
в) 52х + 1 - 26 • 5х + 5 = 0;
012.25. a) (V7)2X + 2 - 50 • (ЛУ + 7 = 0;
б) (л/б)2х + 2 - 37 • (л/б)Х + 6 = 0.
012.26. а) 3х’1 - fi) = .М— + 207;
^3j v94"x
б) ^16x+1 + 188 = 8 • 2х - 0,53-х.
012.27. а) 2х2+2х’6 - 27~2х’х2 = 3,5;
б) 32х2+х = 26 + З3’х’2х2
77
Решите уравнение:
•12.28. а) (19 - 6>/10)Х + 6 • (V10 - з)* - 1 = 0;
б) (ЛЬ - з)41 - 6 (19 - бЛоГ -1 = 0.
•12.29. а) (2 - ЛГ + (2 + ЛГ -4 = 0;
б) (3 - 2л/2)Х + (3 + 2ЛГ -6 = 0.
•12.30. а) З3х + 1 - 4 9х = 17 3х - 6;
б) 32 8х’1 + 3 (4х + 2х) = 1.
012.31. а) 32х + 4Х + 1 = 5 • 2~z;
б) 5 • 125х - 26 5х + 51-х = 0.
012.32. а) в)
5 = 5
б) 12х + 143 “ 12х*2’ Г)
2х + 1
012.33. а) —------- = 1; в)
2 2 - 2
5х + 4 5Х+1
8 = 8
11х + 120 11х + 2 ’
ох + 1 _ 1
---------- = 2;
3х + 4
72х - 1 =
721-1 + 1
012.34. а) 18х - 8 • 6х - 9 • 2х = 0;
б) 12х - 6Х+1 + 8 3х = 0.
012.35. а) 24 32x2’3x~2 _ 2 • 32х2’3х + З2х2'3х^ = 9;
б) 5 • 2х2+5х+7 + 2х2+5х + 9 - 2х2+5хх1° = 2.
•12.36. а) 52х2~] - 3 • 5<х + 1)(х + 2) = 2 • 56<х + 1);
б) д2х2-1 _ д(х-1Хх + 5) _ 2 . д8(х-1)
012.37. а) 3 • 2х + 6х - 2 • 32х =0;
б) 2 22х - 3 10х - 5 • 52х = 0;
в) 32х + 1 -4 • 21х-7 • 72х =0;
г) 5 • 32х + 7 • 15х - 6 • 25х = 0.
78
•12.38. Решите уравнение:
а) 9х + 6х = 22х + 1;
б) 252х + 6 + 16 42х+4 = 20 102х + 5.
012.39. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни:
а) 2х = а; в) = -а;
С1 л*
б) 83х + 1 = а + 3; г) | 2 J =
012.40. При каких значениях параметра а уравнение не имеет корней:
а) 48 • 4х + 27 = а + а 4Х + 2;
б) 9х + 2а Зх + 1 + 9 = О?
•12.41. а) При каких значениях параметра а уравнение 9х + 3х + а2 - 14а = 0 имеет единственный корень? б) При каких значениях параметра а уравнение 4х - 3 2х + а2 - 4а = 0 имеет два корня?
•12.42. При каких значениях параметра т уравнение х2 _ (2™ - 1)х - 3(4ГП~1 - 2т~2) = 0 имеет единственный корень?
•12.43. При каких значениях параметра а уравнение
|Зх-а| + |Зх+а| = 2 имеет бесконечно много корней?
Решите систему уравнений:
012.44. а)
2Х + У = 16, 3* = 27х;
б)
0,53х 0,5* = 0,5, 23х • 2~у = 32;
012.45. а)
шх+2у = 7з V27,
0,1х 103* = 10;
27* 3х = 1,
в) 52х’* = 125, 4Х“* = 4;
Г) 0,6х + у 0,6х = 0,6, 10х 10* = (0.01)’1. Ш"' - £ V5, С1 у - • 5* = 125; Л5 )
в) <
5* 25х = 625,
г) < f-T -9* = ± 1 3 ) 27’
79
Решите систему уравнений:
012.46. а) <
л/З^1 = 27.
22хх* : 2х = 64;
012.47. а)
22х + 2х • у = 10, у2 + у • 2х = 15;
б)
72х - 7х • у = 28, у2 - у -7х = -12.
§ 13. Показательные неравенства
Решите неравенство:
13.1. а) 2х > 4; б) 2х < i;
2
13.2. а) 3х < 81;
13.3. а) 32х'4 < 27;
13.4. а) 72х-9 > 73х’6;
б) 0,54х+3 > 0,56х-1;
013.5. а) 45х-1 > 163х + 2;
в) 2х < 8; г) 2х > —. 16
в) 5х > 125;
г) (0,2)х <0,04.
в) 54х+2 > 125;
г) (0,1)5х-9 < 0,001.
в) 9х*1 > 9~2х*8;
в) 1Г7х + 1 < 12Г2х'10;
г) 0,096х-1 < 0,3х + 7 .
в) 25~х+3 >
Решите неравенство:
2>/2 • 2х*3 > i; 2
013.7. а)
013.9. а) x/F” х/г*2-7’8 > 2“7;
б) 0,9х2-4х < j ;
013.10. а) 2х 3х > 36х х/б;
013.11. а) 4х • < 2,25;
” ST • J > 0,25;
013.12. а) */з • ^2 > —; 36
б) </0Д • </0Л > 0,0016;
013.13. а) 5х-1 • 2Х+2 > в-Ю^-3^2;
б)
32z + l . 22х-3 < 81.01-2Z2
Решите неравенство:
2х - 3
013.14. а) 19х + 2 >1;
7x4-1
б) 0,362~х < 1;
013.15. а) 5х7* < 5;
2х -1
5х - 9
в) 37х+6 < 1;
9х-18
в) 17х’8 > 17;
г) (0,21)^ < 0,21.
013.16. а) 3 х < —;
27
013.17. а) 37х2’5х+6 > 1;
q,4V4x2-13x+3 1;
в) 9',5+4х’х2 > 1;
013.18. а) 2х-31 > </2;
б) 5!x+9i < </25;
г) (О.З)1^’11 < 0,027.
013.19. а)
б) (0,2) х| > (0,04)х91;
в) (Vs)21"' < 3|-х+91;
г) > б-19"-11.
013.20. Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства:
а) 8"2х + 8 > 512; в) 25х~7 < 16;
/ J \8x-23 J
б) - г) о,i4x~5 > o,ooi?
82
013.21. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства (если оно существует):
а) 2,52х + 3 С 6,25; в) 1,15*-3 < 1,21;
/о Y*-9 о
б) £ > г) 0,79х + 4 > 0,49.
^5 J 125
013.22. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
а) 5х2'2х < 125; Z 1 \2х2-3х . б) - ; ' ^7J 49’ Решите неравенство: 013.23. а) 3х < 5х; б) 6х > 2х; 013.24. а) 2х + 2Х+2 < 20; б) 32х-1 - З2х-3 < -; 3 013.25. а) 72х+1 + 72х+2 + 72х+3 б) 24х-1 + 24х’2 - 24х‘3 в) 2-х2+8х > 128; г) (0,3)х2"х >0,09? в) [—"l < 12х; I13 J г) 0,6х > 3х. ( 1 4 / \3х + 5 в) - ] + - I >6; I5 J I5 J г) 0,36х-1 - 0,36х > 0,7. > 57; < 160;
в) 100 0,34х+2 - 0,092х + 5 0,0081х < 13:
z \х+0,25 / \2х + 1 z \4x-t-3 Г[16J + [lJ " [2 J 4' 013.26. а) 22х+1 - 32х+1 < 32х - 7 • 22х; б) Зх+1 + 3х'2 + 2 • 3х > 2 • 72х+1. 013.27. а) 32х - 4 • 3х + 3 < 0; в) 0,22х (1YX б) 52х + 4 • 5х - 5 > 0; г) - - 1,2-0,2х + 0,2 > 0; (1 ¥ + 6 • ± - 7 < 0. I7 J
83
Решите неравенство:
013.28. а)
5 > 5 .
12х + 143 12х*2 ’
8 с 8
11х + 120 " 11х + 2
б) с
16х
ч 5х + 15 г)-^~
013.29. а) 3"' - 3!'*‘ + З”1 - 1 » 0;
б) (Я‘-^Г+27Ш-27<0;
в) 23х + 15 • 22х + 75 • 2х + 125 < 0;
г) 0,13х - 3 • 0,01х + 3 • 0,1х - 1 > 0.
013.30. а) (3х - 1)(32х + 3х + 1) < 0;
б) (7х + 1)(72х - 7х + 1) > 0;
в) (0,2х - 0,2)(0,04х + 0,2х+1 + 0,04) < 0;
013.31. а) 22х+1 - 5 • 2х + 2 > 0;
б) 32х+1 - 10-3х + 3 < 0;
г) (0,5)2х1 + 3 (0,5)х - 2 > 0.
013.32. а) 26х-10 - 9 • 23х‘5 + 8 < 0;
б) 52х+1 - 5Х+2 < 5х - 5;
в) 38ххв - 10 • З4х+3 + 9 > 0;
г) 32х+2 - Зхт4 < 3х - 9.
013.33. а) 5х - 30 G/б)* + 125 > 0;
б) 0,2х - 1,2 • (А2)Х + 0,2 < 0;
в) Зх+1 - 28 • (ТзГ + 9 < 0;
г) 7Х+1 - 50 • (л/7)х + 7 > 0.
013.34. а) 5х < -x + 6;
б) > Зх + 1;
013.35. а) 22 х > 2х - 3;
013.36. а) > х2;
013.37. а) | < (4,5)х-1;
•13.38. а) х -2х < 8;
•13.39. а) 2х + 2 - х2 > Зх2’2х+2
в) < 0,5х + 5;
г) 3х > —х + 4.
б) З3-2х < 2х + 1.
б) х2 + 6х + 9 > (0,1)х+2.
б) - > 3х’1 + 4. ' х
б) х • (0,5)х > -8.
б) 2х2-4х+5 > 4х - 2 - х2.
Решите систему неравенств:
013.40.
2Х+1 > 4, 73х'10 < <
0,4‘х + 3 < 0,16, 0,1х2"1 > 0,01;
а)
013.41.
б)
(0,3)-4х + 1 < — 9
102х + 4 > 1;
Л\ ю о 1 н (М ю [1О
г) < 0,2®-9х < 125.
в) < (Ж-1 > А.
(0,2)3х+1 < 5х’1;
г) < Ш’*"1 < 24г,
1 ) > 0,16.
013.42. Решите неравенство:
ч х2 + 4х + 4 . п
а) > 0;
3х - 27
б) °’2* - °-’-008- < 0;
х2 - 10х + 25
„ 25 - 0,2х
в) 1------------7
4х2 - 4х + 1
ч х2 + 6х + 9
Г) 2х - 4
85
Решите неравенство:
•13.43. а) (х - 6)(5х6 - 25) < 0; б) (2х + 1)(33х - 9) > 0.
у2 _ О _ 5
•13.44. а) ------ < 0; б) —----— > 0.
2х - 8 5х - 125
•13.45. а) (2х - 8)(3Х - 81) < 0;
б) ^Зх+2 - j(53-2x - 0,2) > 0.
*13.46. а) При каких значениях параметра а неравенство
9х - 4(а - 1) • 3х + а > 1 выполняется для любого значения х?
б) При каких значениях параметра а неравенство
4х - (а - 3) 2х + 1 + 2а + 2 < 0 не имеет решений?
§ 14. понятие логарифма
Докажите, что верно равенство:
14.1. a) log2 8 = 3;
б) log3 i = -2;
9
14.2. a) log2 2 = 1;
б) log2 4V2 = 2,5;
Al 1 Л в) logi 77 = 4;
2
г) logj 625 = -4. 5
в) log010,l = 1;
г) IglOOVlO = 2,2.
Вычислите:
14.3. a) log2 24; б) logj Ч V7 - ; в) log3 8~3;
з' 3 J
14.4. a) log3 в) 1g 0,0001;
б) log0.1 0,0001; г) log^ 81.
г) log01(0,l)5.
14.5. a) log с 49;
>/7
б) log^ (278);
в) log £ 225 715;
15
г)
log
64
1 729'
Вычислите:
14.6. a) log^ 1; б) log05 в) log^ 81V3; г) 1g-^=.
14.7. a) log! —; б) log6 в) log0 2-^; г) log01 lOVlOOO.
7 49 V6 v5
З7 • 3"
014.8. a) log3 ——
C,S,5 0-0,7
6)
r) log6
gV2 - 1 . &/2 + 1 (6^-3)2
014.9. a) log2 (73 - 1)(>/з + 1);
6) log5 - 1)(л/36 + л/б + 1);
в) log0>2 (>/32 + Т7)(л/32 - V7);
г) log? (^5 + V2)(</25 - ^/10 + V4).
014.10.
a) log65
218 + 1
212 - 2е 4
б) logs
3° - 8
З6 + 2 З3 + 4
014.11.
a) log2 log5
10л/5
7^5 - V125’
б) log6log2
2<j,4
(2е’1)2
- \logi7
14.12. а) 31оез8; б) 410g423; в) 121ой21-3; г) А 3
014.13. а) 23т 10629; б) 71 + 10|М; в) г) (^/f)4410^0-5_
014.14. а) 1з‘°е1з4-2. б) О)5*»еод4-1. в) 2j2106m5'2; г) IO165’0’5.
87
Вычислите:
014.15.
014.16.
014.17.
14.18.
14.19.
14.20.
14.21.
14.22.
014.23.
a) 8210g83;
б) 6’310&з2;
в) 341огз2; г) 5'210853.
а) 4 • 125Ь1ог1258; в) 7 • О,52'10^35;
б) 3 • 4310в424; г) 100 • 0,33'1ОИад27.
a) (М''” + 2“’-=’; а) (75)'°““ - 2“Л
б) (ТЗ)'"“‘! - 12“"’; г) + 161"»’.
Решите уравнение:
a) 1g х - 1; в) 1g х = -4;
б) logo,027 х = о г) 1 з log025 x = -.
. 1 1 a) log4х = в) 1 ш 1 II Н <М ъп о <—<
б) log0425x = о г) . 3 1оёо,01* =
a) logx4 = 2; в) logx125 = 3;
б) logx — = -3; 27 г) , 1 log — = -4. 16
a) logx3 = |; в) 1 г, 1 !°gx7 = -; О
б) logx4 = г) log 8 = 3
а) 2х = 9; б) 12х = 7; в) ^=4; г) 0,2х = 6.
а) 3х"1 = 14; в) (Г-
б) 45х’4 = 10; D Ш'" = 6.
' Решите уравнение:
014.24. а) 2х2*1 = 7;
б) 9°’5х2 = 2;
014.25. а) 4х - 5 • 2х = -6; б) 16х = 6 • 4х - 5;
014.26. а) 9Х + 1 + 6 = 189 • 3х'2;
б) 25x+1 + 3-100 5х'1;
Решите неравенство:
014.27. а) 2х > 9; б) 12х < 7;
014.28. а) Зх+1 < 14;
б) 55х"4 > 10;
014.29. а) 4х - 5 • 2х > -6; б) 16х < 6 • 4х - 5;
•14.30. Решите уравнение с параметром а:
а) 4х - 2х + а = а • 2х;
б) 9х - (2а + 1) • 3х + а2 + а - 2 = 0.
•14.31. Постройте график функции:
а) у = logxx2; б) у = 2*og2X; в) у = х10®*2; г) У = 1о^~-
в) 0,1х2-2 = 3;
в) 9х - 7 3х = -12;
г) -9 • 7х + 14 = -49х.
в) 4Х + 1 + 5 = 24 • 2х'1;
г) < 6.
в) 9х - 7 • 3х < -12;
г) 9 • 7х + 14 > -49х.
§ 15. Логарифмическая функция, ее свойства и график
15.1. Какие из указанных функций являются логарифмическими: а) у = log2 4 + х; в) у = log0,6 х - log4 2;
б) у = log37t - Зх; г) у = log0,2 л + 9х?
15.2. Найдите значение логарифмической функции у = log3 х в указанных точках:
а) З7; б) З'3; в) З13; г) З’117.
Найдите значение логарифмической функции у = log2 х в указанных точках:
15.Я. а) = 4, х2 = 8, х3 = 16;
1 1 1
б) х, = -, х9 = ;
1 2 2 4 3 16
в) хл = 32, х9 = 128, хч = 2; z 1 ' A О '
111
г) X. = -, Х9 = -, X, = ---.
1 8 2 32 3 128
15.4. а) хг = л/2, х2 = ^8; в) хг = </32, х2 = 16</128;
2 4 ч 4 2
б) х, = —i=, х9 = —j=; г) х, = —х, = .—.
1 2 V2 1 >/32 2 7128
15.5. Постройте (схематично) график функции:
а) у = log2 х; б) у = logj х; в) у = 1g х; г) у = log^ х. п 2
15.6. В одной системе координат изобразите графики функций: а) у = log2 х, у = log9 х; в) у = log5 х, у = log3 х;
б) у = logj х, у = logj х; г) у = log2 х, у = log^ х.
2 5 5 5
Найдите область определения функции:
15.7. а) у = log6 (4х - 1); в) у = log9 (8х + 9);
б) у = logx (7 - 2х); г) у = log0>3 (2 - Зх).
9
015.8. а) у = log5 (х2 - 5х + 6);
б) у = log2 (-х2 - 5х + 14);
з
в) у = log9 (х2 - 13х + 12);
г) у = log0 2 (~^ + 8х + 9).
015.9. Найдите область определения функции:
а) У = log84 (2х2-5х + 7 - 2);
б) у = log2 (log0>i х);
2^2- 5х + 7 _ 2
в) у = log0i6----------------
X
г) у = log0>2 (log3 X).
015.10. Дано: f(x) = log2x. Докажите, что выполняется следующее соотношение:
a) f(2x) = х; б) /(4х) + /(8х) = 5х.
015.11. Дано: f(x) = logx х. Докажите, что выполняется следую-з
щее соотношение:
2х +1 \
2х + 1;
Сравните числа:
15.12. a) log47 и log423;
б) log20,8 и log21;
3 3
в) log9 V15 и log913;
1 2
г) log 1 ± и 10gj_-.
12 * 12
15.13. a) log2 2 6 2 и log2(4V2); (2 )
б)
Сравните с единицей число:
15.14. a) log341; б) log230,l; в) logx 2,6; г) log^0,4.
7
15.15. a) log6(^9 - ^/з)(^/81 + </27 + </э);
б) lg«/9 + 1)(</81 - + 1).
15.16. Исследуйте функцию на монотонность:
а) у = log26x; в) у = log^x;
б) у = log3x; г) у = log03x.
4
015.17. Расположите числа в порядке возрастания:
a)log20,7, log22,6, log20,l, log2 log23,7;
1 2
6)log0317, log03 2,7, log03-, log03 3, log0>3-. & о
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:
15.18. а) у = log3 х,
9 ;
б) у = logjX, 2 16 L8 9
15.19. а) у = log5 X, —; 25 .125
в) у = 1g х, [1; 1000];
г) у = log» X, '_8_. .27’ 81 16.
3
В) у = log6 х, 1 .216’ 36
16 . 25 8 343
б) У = log 4 X, 9 ; г) у = log2 х,
5 25 16. 7 _343’ 8
15.20. а) На каком промежутке функция у = log3 х принимает наибольшее значение, равное 4, и наименьшее, равное -2?
б) На каком промежутке функция у = log0 5 х принимает наибольшее значение, равное -1, и наименьшее, равное -3?
015.21. Найдите наибольшее значение функции:
а) у = logj (х2 + л);
п
В) У = log0il (х2 + 1);
б) У = logo з (х2 - 4х + 5); г) У = logj (х2 - 18х + 90).
3
92
Найдите наименьшее значение функции:
а) у = log2(х2 + 128); в) у = log3(x2 - 4х + 13);
б) у = log;(32 - х2); г) у = log02 (5^125 “ х2).
2
Найдите наибольшее значение функции на заданном промежутке:
а) У = 10£2 77ТТ’ [°; 4];
б) У = log0>5—, (2; 3]; £ — о
в) у = 1о^тЛ-7’ П; 7ь о + о
г) У = logo,2 1 о > [2; 3].
О — ^4
Найдите область значений функции:
а) у = log3 (х + 1);
б) У = log0>1 (2х + 4);
а) у = log22x;
б) у = 3log3X;
а) у = 510g5X+2;
б) у = 0,llogwx2;
а) у = logj (х2 + л);
Л
б) у = log0,3 (х2 — 4х + 5);
а) у = log2(x2 + 128);
б) у = logj (32 - х2);
в) у = log2 х - 4;
г) У = log0>5 (-х) + 90.
1 (
в) У = log2 - ;
I л I
г) у = О,^9*.
в) у = З1-10®3*;
г) у = 121ОЙ2<
в) У = log0il (х2 + 1);
г) у = logj (х2 - 18х + 90). з
в) у = log3(x2 - 4х + 13);
г) у = log0 2 (бл/125 - х2).
93
Решите графически уравнение:
015.29. a) log2 х = -х + 1; в) log9 х = -х + 1;
б) log! х = 2х - 2; г) log3 х = 4х - 4.
3 7
015.30. a) log3x = 4 - х;
z-x 1 1
б) log! х = х + —; 2 2
015.31. а) х + 2 = log8x;
б) log! х = -2х - 5;
3
в) log5 х = 6 - х;
Ч ! 2
Г) log! х = х + —-
3 3
в) Зх + 7 = log7 х;
г) log2 х = -5х - 6.
5
Решите неравенство:
15.32. a) log6 х > 2;
б) log0>] х > 3;
15.33. a) log9x < -1;
б) log! х < -4;
з
4 1 1
в) log9х <
г) log4 х < 3.
в) log5 х > -2;
г) log0>2 х > -3.
Постройте график функции:
15.34. а) У = 2 + log3 х; в) У = -3 + log4 х;
б) У = -1 + logi х; 3 г) У = 0.5 + log01 х.
15.35. а) у - 31og4x; в) У = 5 log8 х;
б) У = 2 logj х; 3 г) У = | log0,5 *• &
15.36. а) У = -2 log7 х; в) у = -0,5 log2x;
б) У = -4 logj х; 6 г) у = — log2 X. 3
15.37. а) у = log2 (х + 4); в) у = iog5 (* - i);
б) у = logj (х - 3); г) У = logo.3 (х + 5).
5
Постройте график функции:
5.38. а) у = log3(x + 1) - 3;
б) у = log0>2 (х - 2) + 1;
5.39. а) у = 1g (5 - х);
б) у = logj (2х - 4);
в) у = log5 (х - 1) + 2;
г) У = log0>5(x + 2) - 1.
в) у = log0-5 (1 - х);
г) у = log3 (Зх + 6).
-Зх + 3, если х < 1, logj х, если х > 1.
5.40. Дана функция у = f(x), где Дх) =
а) Вычислите f(-8), Д-6), /(0), ДЗ), Д9).
б) Постройте и прочитайте график функции.
5.41. Постройте и прочитайте график функции:
а) У = |-4х + 4, если х < 1, [log2x, если х > 1;
б) у = • -(х - 4)2, если х < 5, log02x, если х > 5; log2x, если 0 < х < 2,
в) У = < (1 ¥ — , если х > 2; A2J —, если х < 0,
г) У = ' X log^x, если х > 0.
Постройте график функции:
5.42. а) у = log2 |х|;
б) у = | log 1(1 + х)|;
5.43. а) у = |1 - log2|x - 1||;
в) у = logjl + |х|);
3
г) У = |log3(-x)|.
б) У = |log1>512 - х| - 2
5.44.
а)
б)
У = log2 х - 1 + log2 X + 1 ;
У = log3 х + 1 - log3 х - 1.
95
015.45. При каких значениях х график заданной логарифмиче ской функции расположен выше графика заданной ли нейной функции:
а) у = log2 х, у = -х + 1; в) у = 1о& х, у = 7х;
7
б) У = logo,5 г, У = X -1; г) у = log3x, у = -Зх?
015.46. При каких значениях х график заданной логарифмиче ской функции расположен ниже графика заданной линей ной функции:
а) у = log4 (х - 1), у = —х + 2;
б) у = logi(x + 4), у = -Зх - 2?
2
Решите неравенство: 015.47. a) log2x > -х + 1;
б) log3 х > 4х - 4;
7
015.48. a) log3 х < 4 - х;
б) log I х < х + 2- 2
2
015.49. a) log2x > —;
б) log3 х <
015.50. a) log! | х - - | > х2;
2 V 2 )
б) 1g х + 1 < -х2 + 2;
в) log9x < -х + 1;
г) logi х < 2х — 2.
з
в) log5 х > 6 - х;
ч 1 2
г) log-i х > х + -.
з 3
в) log2(-x) < —;
г) log3(-x) >
в) log0>3 х < х2 - 1;
г) 1g (-х) + 1 > —х2 + 1.
§16. Свойства логарифмов
Вычислите:
16.1. a) log62 + log63;
б) 1g 25 + 1g 4;
16.2. a) log1443 + log144 4;
6) logj^ 4 + logi 2; 8 8
в) log26 2 + log2613;
r) log12 4 + log12 36.
в) log216 2 + log216 3;
r) log j 4 + logj 36. 12 12
Вычислите:
16.3. a) log37 - log3—;
б) log; 28 - log± 7;
2 2
16.4. a) log^ 6 - log^ 2^3;
6) log^7V2 - log^-14;
16.5. a) logj-2; 6) logi^=;
V 2 4V2
в) log215 - log230;
r) log0 2 40 - logo 2 8.
в) log2 32 - log2 243; 3 3
r) log0л 0,003 - logo,! 0,03.
в) log j-18; r) 1g—1^=. 100Л0
16.6. a) (31g 2 - lg24) : (lg3 + lg27);
6) (log3 2 + 31og30,25) : (log328 - log37).
016.7. a) log; 4 • log39 : log4—; 2 4
6) log^ Зл/З : logj >/49 • log5 ^5;
7
в) log3 81 : log0>5 2 • logs 125;
r) log^5>/5 • log0>370?3 : IglO^/OJ.
3/K
016.8. a) logl 16 - logs : 310ga2; 2
6) logs 27 ' logj 4 • log7V49; 2
в)
3/0
logl 9- log2^- : 7210g72;
3 8
г) 1о&йй6 l0S" ds' lel°ж
016.9. a)
016.10. a)
log 19
log 127’
2
log725 log75 ’
V5(log336 - log3 4 + 5log58)0>51g5;
6) ^-(log123 + log124 + 710g74)21°g5“.
6)
log 36 x logo,3 32 в) ---------; r) ------------•
log46 logo ,3 64
97
Вычислите:
016.11. a) ^8110g,j6 - 710g7®;
б)
^3610g65
glog5 9
016.12. a)
22 + log2 5 ,
6)
^log516
в)
01 + log3 8 e
r)
glog83-2
016.13.
a)
23 log2 4,
6)
2 logi 7
I 2
в)
log53,
r)
(0 3)31og0’36
Jogi 13
Jog! 5
016.14.
a)
glog23,
6)
в)
251OS53;
r)
016.15.
a)
36^10g618
6)
64>25
в)
— log., 35
1212
- logs 9
r) 254 .
016.16.
a)
1 + 0,5 log! 14
I 2
9
6)
251 ” 0,5 log511 •
r)
401-0,5 logy 14
016.17. a)
log364 - 21og32 log32
6) log612 + 21°g62 . I log6 27 + 41og62 О
2 log0 s2 + logos V10 log0.510 - logo.5ViO + logos 4’
log0a16
log0,315 - log0 3 30’
016.18. a)
logs 15 - logs3 + 2 logs 15 + 2 logs 3. log515 + logs3
б) 3(1оё515)(1оё59) - 2 log815 ~ log! 9. log59 - log515
. 21og312 - 4 log* 2 + log* 12 + 41og32.
B 3 log312 + 6 log3 2
51og431og412 - 210^3 - 3 log; 12
2 log4 3 - 3 log412
Вычислите:
016.19. а)
Sill7 +10^2 2COSS P О о
б)
, тс .тс
log1 cos — + sm —
H в 6
+ logi I cos * - sin ;
й 6
в)
i Л . л 1 тс
logi 2 sm — + log, cos — ;
H 12 J Ц 12 J
г)
l°gV3
2
+ sin —
12
016.20. а)
logs 2tg-
б)
в)
1 Л 1 1 W i 2
logi 2 tg - + log! 1 - tg -
з \ 0 J з v 6
г)
5
logi tg^ |+logjtg-л 2 к 7
И ’14
Сравните числа:
016.21. а)
в)
б)
log0 5 3 и sin3;
г)
log25
1g 0,2
и
И
•16.22. а)
б)
log23
И
^7;
cos 0,2.
%7.
016.23. а) Известно, что б) Известно, что в) Известно, что
г) Известно, что
logo,5 3 = а. Найдите log0^81 log64 = m. Найдите log624. log642 = b. Найдите log67, logi 7 = d. Найдите logx -i.
з з 49
2
49
в) logj 147; г) logj -f=.
016.24. Известно, что log5 3 = т и log5 2 = п. Выразите через т и п:
a) log56; б) log518; в) log524; г) log572.
016.25. Известно, что logj 7 = с и logj 3 = а. Выразите через с и а\
2
a) log!21; б) logj—; 2 h2
Найдите число х по данному его логарифму:
16.26. a) log2x = log272 - log29;
б) log^ х = 2 log^ 4 - log^ 2 + log^ 5;
„ , ,1,1
в) 1g x = 1g- + 1g--;
8 125
7
r) logj x = logj - + logj 21-2 logj 7.
8 8 9 8 8
16.27. a) Igx = lg7 - lg3 + lg8;
6) Igx = 21g3 + lg6 - — lg9;
2
в) 1g x = i 1g 3 + — 1g 5 - — 1g 4;
2 3 3
r) Igx = —~lg5 + lgV5 + -jlg25.
16.28. a) log0 з x = log0 з a ~ 2 1о£о,з
6) log5 x = log5 c - 2 log5 b + log5 a;
в) log2 з x = 4 log2 з c - 3 log2 з b;
r) logj x = 3 logj a - 4 logj c + logj b.
7 7 7 7
16.29. Выразите lognx через логарифмы по основанию п чисел а, Ь, с, если известно, что положительные числа х, а, Ь, с связаны соотношением:
pie 30. Прологарифмируйте по основанию 5:
а) 125а4 : Ь4;
25л/5а6Ь7.
С3
62б(л/ад)3 б) ------i------;
С2
>16 31. Положительное число b записано в стандартном виде b = Ьо • 10п, где 1 < Ьо < 10 и п — целое число. Найдите десятичный логарифм числа Ъ:
ь)Ь = 9-102; б) b = 9 • 10"3; в) b = 9 • 104; г) Ъ = 9 • 10"5. (Для справки: 1g 9 » 0,95.)
016 .32. Найдите десятичный логарифм числа:
a) 1g 50; б) 1g 0,005; в) 1g 5000; г) 1g 0,00005. (Для справки: 1g 5 ~ 0,7.)
Решите уравнение:
516.3 3. a) log4x = log42 + log4 7; в) log9x = log95 + log96;
6) logj x ~ loSi = logi 4; r) logix ~ l°gi 9 = logi 5.
2 2 2 444
D16.34. a) log612 + log6x - log624;
6) log0,5 3 + log0,5 X = loSo,5 12;
в) log513 + log5x = log539;
r) logi 8 + lo£i x = lo£i 4. 3 3 3
016.35. a) log23x = log24 + log26;
6) lo^f = 1оё7з6 + lo^2;
в) log45x = log435 - log47;
г) 1о^Т = 1о^15 - loSj26-О
016.36. a) logx8 - logx2 = 2; в) logx3 + logx9 = 3;
6) logx2 + logx8 = 4; r) logxV5 + logx25>/5 = 3.
101
Постройте график функции:
16.37. a) у = log28x; B)
б) у = logj 4x; 2 Г) » = iog4- 3 y
16.38. a) у = log2x3; в) , 1 У = log3-; X
б) у = logj 3 x r) у = logi x3. 2
016.39. a) у = log2—; X в) у = log39x3;
S) у = log.i; r) У = logi-. 2 X
016.40. Докажите, что при заданных условиях выполняется тре буемое равенство:
a) 1g а-+ - = -(Iga + Igb), если а2 + Ь2 = 7аЪ\
3 2
б) lg —= — (Iga + lgfc>), если а2 + 4b2 = 12аЬ.
4 2
Вычислите:
016.41. a) log2 - + log4 9; в) log25 9 - log8 3;
3
б) log^sVa + log3—; г) log164 - log48.
2
016.42. a) 910g34 -I- log^ 3 • log3 36;
6) log38 • log227 - З*06®25;
в) 3410g’2 + log5V2 • log4 25;
r) 10o.5igi6 + i4iOg372 • log481.
016.43. a) 51og29 • log364 + 310g®8 • З*08®8;
б) г410628'1 + log93 + log364 • log43.
102
I Вычислите:
16.44. a) 16(log9 45 - 1) • logn 9 • log5121;
6) log15 3 • log5 3 • log^ 5 • (1 + log3 5).
16.45. a) 31og54 log65 log76 • log87;
6) log210 log32 • log43 • log54 • ... • log1000999.
16.46. a) 6) *«4» - -ДД .
log28 2 log224 2 log45 3 log12I5 3
16.47. a) (log46 + log64 + 2)(log46 - log246)loge4 - log496;
6) log6 4 + log6 9 + log4 6 • log^ 2 - log6 2 • log2 5.
1 4
016.48. a) 8110gs3 + 2710g936 + 310g?9;
б) 4л/3 + 0,21-log53 - 15°’5+10616Л
016.49. а) 21ОЗД9^75. 6) 3iog455-iogJ377
Сравните числа:
16.50. a) log2 7 и log74;
6) log69 и log98;
16.51. a) log26 и log4 5;
6) logj3 и logj 1,5;
2 4
в) log3 5 и log5 4;
r) logjj 14 и log14 13.
в) log96 и log37;
r) logj 4 и logj 7.
3 9
Расположите числа в порядке возрастания: 016.52. a) log27, log43 и 1g 1;
б) log0 50,l, log30,5 и 1g 1;
в) log7 9, log31 и logj 4;
г) log020,3, log70,6 и log2l.
016.53. a) log40,9, log2l, log73, log910;
6) iogo.s1’ 1оёо,9 5> bg50,7, log0 j 10;
в) 210g*5, log127, log157, lg0,3;
\10g2 4
Г) 910g315, | , logjl, 10g67.
103
\ , 1 г) log2----.
625
г) log854.
016.54. Известно, что log52 = b. Найдите:
a) log225; б) log2—; B)log2125;
25
016.55. Известно, что log2 3 = а. Найдите:
a) log49; б) log8 18; в) log481;
016.56. Известно, что 1g 2 = a, 1g 3 = b. Найдите:
a) log412; б) log618; в) log053; г) logj24.
3
016.57. Известно, что log25 = a, log23 = b. Найдите:
a)log315; б) log875; в) log1645; r)log1512.
016.58. а) Найдите log10040, если известно, что log25 = а.
б) Найдите log63147, если известно, что log37 = b.
•16.59. а) Найдите log3 5, если известно, что log6 2 = a, log6 5 = b.
б) Найдите log35 28, если известно, что log14 7 = а, log14 5 = b.
•16.60. а) Найдите log2 360, если известно, что log3 20 = а,
log315 = b.
б) Найдите log27560, если известно, что log125 = а, log12ll = b.
Упростите выражение:
016.61. a) (logab + log6a + 2)(logab - loga6d)logda - 1;
6)
(logab + log, a + l)loga|
016.62. a) 0,2 • (2a10S2tl + 3blae^);
6) ^ogab + log, a + 2 • log^a • фо£Ь.
•16.63. Докажите тождество:
a) biogaC = clogfl&, если a, b, с — положительные числа, отличные от 1;
z fe410g.,Q 10g0znfe .
б) (т ) р = q > если т, р, q, k — положительные числа, отличные от 1.
16.64. Докажите тождество:
х 1 7 log/, а + log. k
a) log^afe = 7 , 7 ;
1 + log, k
1 1 1 1 1 1C1
6) S----7 + 1---7 + i-----7 + ;----7 + ;---7 = ISlogbfl.
logafe log2fe log^fe log4fe log^fe
16.65. Найдите координаты центра симметрии графика функции
У = х + 1g
х2 + 2х
х2 + 10х + 24’
§17. Логарифмические уравнения
Решите уравнение:
17.1. а) log2x = 3; в) log0,3x = 2;
б) log7 х = -1; r) !og16x = -.
17.2. а) logx 16 = 2; в) logxV3 = -1;
б) log i = -3; Г) log 9 = -.
8 2
017.3. а) log^ (2x + 1) = 6; B) log2v216x = 4;
б) log^ + 1(3x + 2л/з) = 2; r) log^ ДЗх- 2x/5) = 2.
017.4. а) fogcosx-^- = 1; B) logsinx _
б) l°gcosx| = 2; Г) logstax^ = 2. 4
017.5. а) log0 д (x2 + 4x - 20) = 0;
б) log; (x2 + x - 5) = -1; 7
в) log7 (x2 - 12x + 36) = 0;
г) log j (x2 + 3x - 1) = -2.
3
17.6. a) log2(3x - 6) = log2(2x - 3);
б) log6 (14 + 4х) = log6 (2х + 2);
в) logj (7х - 9) = logj х;
г) log02(12x + 8) = log0.2(llx + 7).
105
Решите уравнение:
017.7. a) logj (7х2 - 200) = log! 50х;
б) log0 3 (-х2 + 5х + 7) = log03(10x - 7);
в) 1g (х2 - 8) = lg(2 - 9х);
г) log0 2 (—х2 + 4х + 5) = log0 2 (~х ~ 31).
017.8. а) г1082^2’4’ = 21; в) 9’0g9(x2’5) = 31;
Z \log!(x2- 9х + 21)
б) 1 ’2 =1; г) (0,3)logw(x2+x ** = 2.
I2 J
/ -j \1О£0,5 (9х - 10)
017.9. a) 310g4(’5x) = log5125; в) - = log9729;
б) 2!og3(2x + 8) = log^ 9; г) (O,2)log07('3x+1) = log20,5.
017.10. a) log7 (log3 (log2 x)) = 0;
6) log18 (log2 (log3 4x)) = 0;
в) log25 (log3 (log2 x)) = 0;
r) log12 (log4 (log3 (x + 1))) = 0.
017.11. а) Известно, что /(x) = log3(5x - 2). Решите уравнение
f(x) = f(3x - 1).
б) Известно, что f(x) = log2(8x - 1). Решите уравнение
/(x) = /f^ + 51
в) Известно, что f(x) = log02(3x - 6). Решите уравнение
/^x - 1) = ftx2 - 1).
г) Известно, что /(х) = log14(4x + 1). Решите уравнение
f[-x - зК Дх2 - 3).
^4 )
•17.12. Решите уравнение:
a) log2 (2х3 - х2 - 2х) = log2 (х3 + 2х2 + 2х);
б) log3 (Зх3 - 2х2 + 4х) = log3 (2х3 + 2х2 + Зх - 6);
в) log0i2 (х3 + 5х2 + 6х + 1) = log0>2 (-х3 + 2х2 + Зх);
г) log0 4 (2х3 + х2 - 5х - 7) = log0,4 (х3 ~ 2x2 - 2х + 7).
106
Решите уравнение:
017.13. a) logx (х + 3) = logx(2x + 9);
б) logx (х2 - 2х) = logx (Зх - 4);
в) logx (х - 1) = logx (2х - 8);
г) logx (х2 - 6) = logx (—х).
017.14. a) logx(2x2 + х - 2) = 3; б) logx_](12x - х2 - 19) = 3.
17.15. a) log2x = log2 3 + log2 5; в) log] 4 + log! x - logj 18;
3 3 3
6) log74 = log7x - log79; r) log049 - log04x = log043.
17.16. a) 2 log8x = log82,5 + log810;
6) 31og2| - log2 = log2x;
B) 3 logj x = lo£i 9 + loSi 3;
r) 4 log06 7 *ti x = log7 ! 2 + log01 8.
017.17. a) log3(x - 2) + log3(x + 2) = log3(2x - 1);
6) logu (x + 4) + logn (x - 7) = logii (7 “ x);
в) log0,e (x + 3) + log0,6 (x - 3) = log0,6 (2x - 1);
r) log0,4 (x + 2) + log0,4 (x + 3) = log0,4 (1 ~ 2x).
017.18. a) log23(2x - 1) - log23x = 0;
6) logo,5 (4x - 1) - logo,5 (7x - 3) = 1;
в) log3 4 (x2 - 5x + 8) - log3 4 x = 0;
r) logj (x + 9) - logj (8 - 3x) = 2.
2 2
017.19. a) log2(x - 3)(x + 5) + log2^—= 2;
x + 5
6) log3 (x + 3)(x + 5) + log3 *-+ 3 = 4.
x + 5
017.20. a) 1g (x - I)3 - 3 1g (x - 3) = 1g 8;
6) lg(x + l)5 - 5 1g(x - 1) = lg32.
107
Решите уравнение:
017.21. a) log2(x3 - 1) - log2(x2 + х + 1) = 4;
б) log05(x6 - 6х4 + 12х2 - 8) = -3;
в) log0 3(x3 + 27) - log0,3(x2 - Зх + 9) = -1;
г) log5 (*6 + 9x4 + 27x2 + 27) = 3-
017.22. a) log| х - 4 log2 х + 3 = 0;
б) log3 х - log4 х - 2 = 0;
в) log^ х + 3 log^ х + 2 = 0;
г) log£ 2 X + log0 2 x “ 6 = °.
017.23. a) 2 log3 x + 5 log5 x + 2 = 0;
6) 3 log4 x - 7 log4 x + 2 = 0;
в) 2 log£ 3 x - 7 log0 зx - 4 = 0;
r) 3 logo s x + 5 log^ x - 2 = 0.
017.24. a) lg2 x - Igx + 1 = ——;
1g lOx
37
6) log2 x + 3 log3 x + 9 =-------;
log3 —
3 27 g
в) lg2x - 2 Igx + 4 =---------;
lg lOOx
r) log2 x + 7 log2 x + 49 = -----
017.25. a) lg lOOx • Igx = -1;
6) lg210x + lg lOx = 6 - 31g—;
X
в) 2 Igx2 - lg2 (-x) = 4;
r) lg2x3 + Igx2 = 40.
017.26. a) log2 * + 5 + 1 = 0; в) 91og^x + 14 log2x-l 3-21og05x
71og3x - 15 = 0. -19 Igx + 20
’ 51og3x + 3 ’ 7 4-51gx
= 0;
= 0.
Решите уравнение: 14 4
017.27. а) --------- + ------- = —2-------------
log2 х - 3 log2 х + 1 log2 х - 2 log2 x - 3
6) + —8— =----------8— .
2 log3 x - 6 9 - log3 x 2 log3 x + 6
ч 1 4 q.
в) 1- ---- = 3;
5-4 Igx 1 + Igx
-4 2 = j.
Г 2Igx - lg2x + 2 - Igx 2’
017.28. a) log4x + log16x + log2x = 7;
6) log3 x + log^ x + logj x = 6. 3
017.29. a) log3x + 1 = 2 logx3; в) log7x - 1 = 61ogx7;
6) 2 Iogx5 - 3 = -log5x; r) log2x + 9 logx2 = 10.
017.30. a) logx2 • log2x2 = log4x2; 6) log4(x + 2) logx2 = 1.
017.31. a) logo5 4x + 1о£г— = 8! 8
6) 10g3X + lOggX + log27X = y.
017.32. a) 1 + log ——- = (Igx2 - 1) log 10; 10
б) 1 + 2 logx2 • log4(10 - x) = .
log4X
017.33. a) x10g3X = 81; в) xIog2X = 16;
6) xloS05x _ J_. 16 ’ r) tog i x | x 5 = —. 81
017.34. a) xlgx’2 = 1000; в) ^.5 + log2x _ 1 . 16’
6) х1О8адХ’2 = 0,125; r) logi X - 4 x 4 =27.
017.35. a) 10xIgx + x~'gx = 11; 6) x10g2X + 32x’10g2X g2 + 10g32
109
017.36.
017.37.
017.38.
•17.39.
017.40.
017.41.
Решите уравнение:
a) 6logix + ?og6X = 12; б) 10lg2x + 9xlgx = 1000.
a) log5(6 - 5х) = 1 - х; б) log3(4 • 3х’1 - 1) = 2х - 1.
а) log9 (3х + 2х - 20) = х - х log9 3;
б) = 6,25’2’lgx2.
а) х2 loggg (5х2 - 2х - 3) - х log] л/бх2 - 2х - 3 = х2 + х;
6
2 1 3 + X о , 2 a ni Зх + 11Х + 6
б) х log2-—-----хг log1 (2 + Зх) = лг-4 + 2 log^-----—------.
Решите систему уравнений:
а) flog2 (х2 + Зх - 2) - log2y = 1, [Зх - у = 2;
[2х + у = 7,
б) j ,
[log3(x + 4х - 3) - log3 у = 1.
flogj (х + У) = 1.
[ioge х + iog6 у = i;
б)
log0i5 (х + 2у) = log0 5 (Зх + у), log7 (х2 - у) = log7 х-,
, / ч 1
log9(x - у) =
, , 1
log64x - log^i/ =
О
г)
log^ (Зх - у) = log^ (х + 4), log9(x2 + X - у) = log9x2.
17.42. Решите систему уравнений:
ч 2х • 2У = 16, а)
[log3 х + log3 у = 1;
IV Зу - 81, [log2 х + log2 у = 1;
б)
1
27’
log2 2х - log2 у = 2;
,log4 у - log4 х = 1.
•17.43. Решите уравнение
log, (Зх - л/18) + log 2 (б + х>/72 + Зх2) = lg2722. х Igx2
§18. Логарифмические неравенства
Решите неравенство:
18.1. a) log2x > 4;
б) logj х > -3;
2
18.2. a) log5 (Зх + 1) < 2;
б) logo Л >-2;
О
X 1 1
в) log2x < 2
г) log0>1x <
в) log2 7 > 1;
з 5
г) log^(2x - 3) < 4.
18.3. a) log3x > log372 - log38;
б) 3 logr х < logr 9 + logj 3; 7 7 7
В) 10g5x - logs 35 < log5|;
r) 4 log06x > log0,e 8 + log0,e 2-
018.4. a) log5 x > log5 (3x - 4);
6) log0 6 (2x - 1) < logo,6 x>
Bj logA (5x - 9) > logA 4x; 3 3
r) log3 (8 - 6x) C log3 2x.
111
Решите неравенство:
018.5. a) log2 (5х - 9) < log2 (Зх + 1);
б) logo.4 (12х + 2) > logo,4 (10х + 16);
в) log2 (-*) > log2 (4 - 2х);
г) log2 5 (6 - х) < log25(4 - Зх).
018.6. a) log^g Д7х - 21) < log^ x(21 - Зх);
6) log^ + 1(2x + 7) > log^ + 1(19 - 6x);
в) logK(5x - 15) > logK(15 - 3x);
r) log2 _^(4x + 17) < log2 ^(25 - 5x).
018.7. Найдите наибольшее целое решение неравенства: a) log7 (6х - 9) < log7 (2х + 3);
б) logj (2 - х) > logj (2х + 4); 5 5
в) 1g (8х - 16) < 1g (Зх + 1);
г) logo,4 (7 - х) > logo,4 (Зх + 6)-
Решите неравенство:
018.8. a) log3(x2 + 6) < log35x;
б) log0,e(6x - х2) > logo,6 (-8 - х);
в) 1g (х2 - 8) < 1g (2 - 9х);
г) log^ (х2 + 10х) > log^ (х - 14).
018.9. a) log,_3(6 - х) > log^gX2;
б) logK_2(x2 + 22) < log„_213x;
в) log3_o,5n(-x - 6) < log3_0;SE(6 - x2);
г) log32_Jx2 - 27) > log32_1[6x.
018.10. a) log2^ < log2—-;
x - 2 x - 2
018.11. a) log8(x2 - 7x) > 1; в) log2(x2 - 6x + 24) < 4;
6) logj (x2 + 0,5x) < 1; r) logj-x2 + —x | > 2.
2 3 V 9 J
112
018.12. Решите неравенство:
. , Зх - 2 . ч , 7х - 4 , _
a) log! ------- > -1; в) log6------- < 0;
з 2х - 3 х + 2
б) log5(2^ - 3\/х) < 1; г) log01(7x2 - х4) > -1.
018.13. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
a) log12 (х2 - х) < 1;
б) logj (х2 - 10х + 9) > 0; 2
в) log9 (х2 - 8х) < 1;
г) log03(-x2 + 7х-5)<0?
Решите неравенство:
018.14. a) logj х + logj (4 - х) > -1; 3 3
б) log2 (7 - х) + Iog2 х > 1 + log2 3;
в) 1g (7 - х) + Igx > 1;
г) logj х + logj (10 - х) > -1 + logj 4,5. 2 2 2
018.15. a) 1g (х + 3) + 1g (2х - 8) < 2 Igx;
б) log0,5(3x - 1) - log03(x - 1) < log05(x + 18) - log0>5(x + 2);
в) log3(2x - 7) > 2 log3(x + 1) - log3(x - 19);
r) logj (2x + 3) + logj (x - 2) > —logj x2 + l°gi (4x - 9).
3 3 % 3 3
018.16. a) log2(x2 + 2x + 4) + log2(x - 2) < log2(x3 - x2 + 4x - 3);
6) 1g (x3 - x2 - x + 20) > 1g (x + 2) + 1g (x2 - 2x + 4).
018.17. a) log2 x > 4 log2x - 3; в) log2x - log4x < 2;
6) logj x + 3 logj x < -2; r) log^ 2 X > 6 - log0 2 X.
2 2
113
Решите неравенство:
018.18. а) 2 log§ 3 (х + 1) - 7 log0 3 (х + 1) - 4 < 0;
б) 3 log1 2x - 7 log416x + 30 < 0;
в) 3 logj (2х + 1) + 5 logj (2х + 1) - 2 > 0;
з з
г) log3 х + 3 log3 9х - 24 < 0.
018.19. a) log2 х2 - 151og22x + 11 < 0;
б) Logj (х2 - 2х + 1) - 7 log! (х - 1) + 3 < 0; 3 3
в) 2 log2 х2 + 5 log5 25х - 8 > 0;
г) log2 (х2 + 2х + 1) - 31 logj + 15 < 0.
5 5 5
018.20. a) log2 (5 - х) - 2 log2 (5 - х)3 + 9 < 0;
б) log2 (4 - х) + 5 logj (4 - х)2 + 25 < 0;
2 2
В) log2 (х - 1) + 3 > logj (х - l)5;
з 5 з
г) log3(x +• 5) < 0,5 log3(x + 5)4 + 3.
018.21. a)
1 - log4x < 1.
1 + 21og4x 2’
6)
3 logos x
2 - logo s X
21og0>5x + 1;
в)
Г)
logj x + 2
I 2
log02x + 3 1 log0,2x -3 3'
1 x3
2 - logj x < logi —;
2 ) 2
018.22. a) ----------- > —;
log2x - 4 log2x
6) -----— < 21gX ~ 5;
1 - Igx 1 + Igx
. 4 5 . n.
в) ------ --0,
lg lOx lg lOOx
r) 2 + > log X.
1 + log2 x
114
Решите неравенство:
018.23. a) 21og^2 + log^^2’1 - ^ < log^31;
б) logj [ 3х2'4 - - |+ 2 log± 3 > logx80.
М 9) 7з 7з
018.24. a) logj (13 + х) < 2 logj (>/х + 1 + 2); 3 3
б) 2 log12 (л/х + 5 + 1) < log12(x + 10).
018.25. а) -1 log ! (7х + 5) > log49(3x - 1);
4 77
б) 3 log8 (2х - 1) - 2 log0.25 (X + 2) < 0,5 log^ 3;
в) log^ V10 + х + log0r2(2x - 4) > 0;
г) - log7^(4x + 17) - log7(25 - 5х) < log 4 0,5.
2 7
018.26. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
a) log2 ———— < log05x2; 6-х
б) 0,25 log^(x + 6) < log3(6 - х2);
в) 0,5 log^(x2 - бх + 24) < log8(2x + 9)3;
г) log3 f-х2 + + logj 9 > 0?
\ 9 ) з
018.27. Найдите наибольшее целое решение неравенства:
а) 2 log5(V12 - х + 1) > logj —-—;
о 1.5 — х 1
б) 2 logo,5 V2X + 1 - logo,5 (4 - х) < log2 З 2 1064 2.
115
018.28. Найдите наибольшее целое решение неравенства:
a) log4(Vx - 1) + logj (>/х + 1) < logj (Vx + 2);
4 4
б) log/л/х - 5) + logj (\[x + 1) < logj i - logjj/x + 1).
я- ; 3
Решите неравенство:
018.29. a) 6) logsx-12 < 10g3x + 4°>2 0; > 0; B) log2-3x5 > r) log5_x0,3 0; < 0.
018.30. a) log3x. jl6 < c 2; 6) logx_227 • i x + 3 6) logx x - 1 < 3.
018.31. a) logj21- 4x > 1; > 1.
018.32. a) logx_2(2x - 3) > logx_2(24 - 6x);
6) log2x_j(3x - 5) < log2x_j(15 - 7x).
•18.33. a) logcos — 1;
6) log^l < 2;
o o x 4 . , ( 1 2 sinx A
•18.34. a) log, log, — +---- <
I H27 27 J
6) log3log4(96 + 64cosx) >
•18.35. a) logx2 3729 > 3;
_ ] Г 16 9^1
6) logln 2 —x - x2 <1; 7 °10 -x* I 5 I
018.36. a) log2 x + 1 > 2 logx 2;
•18.37. a) log. (x + 12) • log. 2 < 1;
в) iogsmxl > 1;
r) !°gcosx- < 2-
bUo Д, 2
-1;
1.
в) logx_jO,3 > 0;
x + 5
r) log4_x(x2 - 10) < 2.
6) 21ogx5 - 3 < -log5x.
6) 1 + logx 5 • log7 x > log5 35 logx 5.
•18.38. a) log9 x2 + logj(-x) < 2; 6) log4x2 + log2(-x) > 6.
•18.39. a) logx 2 • log2x 2 • log2 4x > 1;
6) logx5 • log5x5 log5625x < 1.
116
Решите систему неравенств:
018.40. a) J10g°’2 (2X + 3) < 10g°'2 (X ~ 2)’ [log6 (3x - 1) < logg (9x + 4); flog7(6x - 1) < log7(9x + 11), [l°go,5 (3 - X) < log0.5 (4x - 1).
018.41. a)
б)
loggX2 > log3125 - log35, log0,2 (x - 1) < 0;
logj x2 > logj 28 - logj7,
< 2 2 2
log3(4x - 1) > 0.
018.42. a)
logojCx2 - 12) < logo i (-x),
2х’1 > 8
3x2-5x-4 < g,
6) logj (x2 + 3)
5
lgj4x.
5
Решите неравенство:
018.43. а) (4х - 1) log2 х > 0;
б) (х + 2) logj 5 (4 - х) > 0.
018.44. а)
(4x2 - 16x + 7) log2 (x - 3) > 0; 6) -gy(X _1} 0.
V5x - x2
018.45. а)
logo,5 l°g2 logi -
3 X к к 3
б)
, [ , f Зх - 1
log2 logl TTT I 3 l л T 1
в)
. (. (, 1 fogo.2 10go,3 logo,4 —
Г) log! 10g(
, [ x2 - 2x
’8 x - 3
•18.46. a) log5x_4x2(4_I) > 0;
6) log_5x2 - ex (6х) > 0.
117
•18.47.
а)
Решите неравенство: log5(2x - 3) - lg(2x - 3)
Igx - log20x
> iog5 2°;
6) loe,(2 - ») - loe,(2 - x) 4 log<9 logg X - log9 X
§19. дифференцирование показательной и логарифмической функций
19.1. Постройте график функции: а) у = ех + 4; б) у = ех + 1; в) г) У = ех~3; У = ех-2 - 3.
19.2. Найдите производную функции: a) f(x) = 4 - ех; в) б) f(x) = 13ех; г) f(x) = ех - 19; fix) = -8ех.
19.3. а) б) /(х) = х3ех; Лх) = —; X в) г) fix) = х2ех; ех М - 7-
19.4. а) f(x) = esinx; в) fix) = е^;
б) fix) = хех2-2х*3; г) fix) = >]е2х + х.
Найдите значение производной заданной функции в указанной точке х0:
19.5. а) у = ех + х2, х0 = 0; в) у = ех - X, х0 — 1;
б) у = ех(х + 1), х0 = -1; г) ех У= х + 1’ х0 = 0.
19.6. а) У = е3хЛ х0 = О в) У = е4'9х, 4 Х° ~ 9’
б) у = Зе6 + Х, х0 = -5; г) У = e°-ix-3, х0 = 4.
019.7. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х0:
a) f(x) = 4ех +3, х0 = -2;
б) f(x) = у/х • ех, xQ = 1;
в) f(x) = 0,1ех - 10х, х0 = 0;
г) fix) = х0 = 1.
118
019.8. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции у = h(x) в точке с абсциссой х0:
(1 у 1
а) й(х) = - , х0 = 0; в) h(x) = — + х5, х0 = -1;
I е I е
б) h(x) = е-х + 2, х0 = 2; г) h(x) = х + е2х~3, х0 = 1,5.
019.9. Найдите угол, образованный касательной к графику функции у = h(x) в точке с абсциссой х0 с положительным направлением оси абсцисс:
a) h(x) = -е5х-1, х0 = 0,2;
5
б) й(х) = е’х+^, х0 = ->/3;
в) й(х) = |е1-3х> х0 =
Дх-! г
г) й(х) = е3 , х0 = V3.
019.10. Решите уравнение f\x) - а, если:
а) Дх) = Зех + 4, а = е
б) Дх) = 2 + —е“6х“13, а = -2;
в) f(x) = 2е~7х + 9, а = -14;
г) Дх) = 42 - е°'1хЛ а = 0,1.
019.11. Решите неравенство g'(x) < а, если:
a) g(x) = 6 - —е2х’3, а = 2 е
б) g(x) = х + е4х-3, а = 5;
в) g(x) = -е3х + 5, а = -;
3 е
г) g(x) = е9х + 21 - х, а = 8.
019.12. Напишите уравнение касательной к графику функции У = f(%) в точке с абсциссой х = а:
а) у = ех, а = 1; в) у = ех, а = 0;
б) у = ех9 а = 2; г) у = ех, а = -1.
119
019.13. Напишите уравнение касательной к графику функции у = /(х) в точке с абсциссой х = а:
а) у = е3*"1, а = в) у = —, а = 0;
3 е
рх
б) у — xe~2x + l, а = 0,5; г) у = -----, а = 0.
х + 1
019.14. Является ли заданная прямая касательной к графику за данной функции в указанной точке:
а) у = Зе2х - Зе2; у = е3*"1 - е2; х = 1;
б) у = х + е; у = хех; х = О?
019.15. Напишите уравнение касательной к графику функции У = fix) в точке с абсциссой х = а:
а) у = хе2х~\ а = б) у = (2х + 1)е1-2*, а =
2 2
019.16. а) Напишите уравнение той касательной к графику функции у = е2х, которая параллельна прямой у = 2ех - 5. б) Докажите, что касательная к графику функции у = ех ”* в точке х = 1 параллельна прямой у = 2х + 3.
019.17. Проведите касательную к графику заданной функции так, чтобы она проходила через начало координат:
а) у - е2; б) у = е\
Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: 019.18. а) у = х2ех; б) у = хе2*"4; в) у = х3е*; г) у = —.
х
019.19. а) у = е2х - Зех + х + 4; б) у = 1 - Зх + 5ех - е2х.
019.20. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции О -у у = х е на заданном отрезке:
а) [-1; 1]; б) [-3; 1]; в) [-3; -1]; г) [1; 3].
•19.21. При каких значениях параметра а функция у - xQe~x на интервале (а; а + 7):
а) имеет одну точку экстремума; б) имеет две точки экстремума; в) убывает; г) возрастает?
019.22. Постройте график функции:
а) у = In (х - 4); в) у = In (х + 3);
б) у = 1пех; г) у = In—.
120
19.23. Найдите производную функции:
ч 21 ч Х
а) у = х 1пх; в) у = ---;
Inx
Inx .
б) у =-----г) у = (х - 5) Inx.
X + 1
19.24. Найдите производную функции:
а) у = ех1пх; в) у = V? 1пх;
б) у = 31nx + sin2x; г) у = 2 cos — - 5 Inx.
Найдите значение производной заданной функции в указанной точке:
19.25. а) у = 1пх + х, х0 = у; в) у = х2 - 1пх, х0 = 0,5;
б) у = X Inx, х0 = е; г) у = ---, х0 = 1.
X
19.26. а) у = 1п(2х + 2), х0 = —;
4
б) у = In (5 - 2х), х0 = 2;
в) у = In (9 - 5х), х0 - -2;
г) у = -31п(-х + 4), х0 = -5.
Найдите производную функции:
19.27. а) у = 2х - log3 (х - 1);
б) у = З’х + 2 logj х;
2
19.28. а) у = 7х In (2х + 3);
б) у =
019.29. а) у = logx(x + 1);
019.30. а) у = Ini 2Х3 - - |;
k х J
б) у = 1п2(3х - 4);
в) у = 5х - 7 logi (х + !)>
3
(1
Г) у = - + log5 (х + 4).
в) у = х2 logl (Зх “ !);
1п(2х - 1)
г) У =-----------•
tJ
б) у = log^iX2.
в) у = ln(2tgx + х);
ч 1
г) У = .------
Щп2х
121
019.31. а) Докажите, что функция у = Vlnx удовлетворяет урав нению 2хуу' = 1. г
б) Докажите, что функция у = ех удовлетворяет уравне нию у + х2у' = 0.
019.32. Составьте уравнение касательной к графику функции У = f(x) в точке с абсциссой х = а:
a) f(x) = х5 - Inx, а = 1; в) f(x) = -2xlnx, а = е;
б) f(x) = а = 1; г) /(х) = Vxlnx, а = 1.
х
019.33. Напишите уравнение той касательной к графику функции У = /(х), которая параллельна прямой у = kx + т: a) f(x) = 1п(3х + 2), у = х + 7;
б) f(x) = 1п(х2 + х), у = 1,5х + 4.
019.34. Проведите касательную к графику заданной функции так, чтобы она проходила через начало координат: а) у = 1пх; б) у = 1пх3.
•19.35. При каком значении параметра а:
а) прямая у = Зх - 4 + а является касательной к графику функции у = In (Зх - 4);
б) прямая у = 2х + 3 + а является касательной к графику функции у = 1п(2х + 3)?
019.36. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
а) у = х + In — ; б) у = х4 - 41пх. х
019.37. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = х - In х на заданном отрезке:
1 е
е
а)
б) [е; е2].
019.38. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
2 J
а) у = 21пх3 - 5х + —; б) У = In — + х2 + х + 3.
122
Найдите наименьшее и наибольшее значение заданной функции на заданном промежутке:
019.39. а) у = х + In (—х), [-4; -0,5];
б) у = х + е~х, [-In4; in2].
019.40. а) у = 4 • 23х - 27 • 22х + 3 2Х + 3, [-2; 0];
б) у = З3х - 2 32х + 9 • 3х’2, [-1; 1].
019.41. Найдите, если возможно, наименьшее и (или) наибольшее значение заданной функции на указанном промежутке: ех
а) у = 1пх + х; (0; 1]; б) у = —; (0; 2). х
Постройте график функции:
• 19.42. а) у = ех2’2х+1; б) у =
• 19.43. а) у = х2ех; б) у = х3ех.
• 19.44. а) у = 1п(х2 - 2х - 3); б) у = 1п(3 + 2х - х2).
*19.45. На графике функции у = х - In (2х - 5) выбирают произвольную точку М и соединяют с началом координат О. Строят прямоугольник, диагональю которого является отрезок ОМ, а две стороны расположены на осях координат. Найдите наименьшее значение периметра такого прямоугольника.
*19.46. Расположите комплексные числа в порядке возрастания их аргументов:
zx = log20,7 + i log0 5 7, 22 = InlO + ilge, z3 = 1пл + i In (л - 3), z4 = log30,3 + f log0 30,9.
(Указание, -л < arg z < л.)
§ 20. Первообразная и неопределенный интеграл
Докажите, что функция у = F(x) является первообразной для функции у = f(x):
20.1. a) F(x) = х2 + х3 + 3sinx + 1,
f(x) = 2х + Зх2 + 3cosx;
б) F(x) = х11 + х4 - 3 - 4cosx,
f(x) = Их10 + 4x3 + 4sinx;
I— 9 - 1
в) F(x) = 7Vx + -==, f(x) = r ;
\IX Ху/X
г) F(x) = ex2*3x, f(x) = (2x - 3)ex2~3x.
20.2. a) F(x) = f(x) = — + x2;
x 3 x2
. 4x5 - 3x4 + x3 - 1
6) F(x) = --------------------,
2x
f(x) = 8x3 - 4,5x2 + x + —;
2x2
5 r5 5
B) F(x) = - - f(x) = -4 - X4;
x 5 x2
4 5x’ - 4x5 + 2x . „ 2
r) F(x) = ---------------, f(x) = 25x4 - 12x2--------.
X2 X2
r— 2 1
20.3. a) F(x) = 4Vx + tgx, f(x) = -==• +-----------;
y/x cos2 X
6) F(x) = 3ctgx - Vx, f(x} =-----------------
sin2 x 2ух
1 4x
B) F(x) = ln(2x - 1) - —, /(X) = —;
2x - 1 (2x - I)2
\ л/ \ 5/ • 4 £t \ COS X
r) F(x) = -vsin3x, f(x) = r. — .
3 ^/sin2 x
124
Докажите, что функция у = F(x) является первообразной для функции у = f(x):
( ТГ \ I ТГ.
020.4. a) F(x) = cos 4х-+26, f(x) = -4sin 4x-
I 9 I 19
6) F(x) = sin3 x - 3, f(x) = 3 sin2 x cos x;
\ \ 2----6 .. 2x + 3 6
в) F(x) = Vx2 + 3x----------, f(x) = —, + —;
x 2л/х2 + Зх x2
X x /Z""I----------7ГТ Г ч 10x3 + 9x 1
г) F(x) = л/бх4 + 9x2 + л/х, f(x) = -r- = + —j=r.
V5x4 + 9x2 2vx
020.5. a) F(x) = |x2 - 1| - 3x, f(x) = 2x - 3, x g (1; +oo);
6) F(x) = |x2 - 1| + 8x, f(x) = -2x + 8, x g (-1; 1);
в) F(x) = |x2 + 1| + |x - 3|, f(x) = 2x + 1, x g (3; +oo);
r) F(x) = |x4 + 3x2 + 1| + |x|, f(x) = 4x3 + 6x2 - 1, X G (-oo; 0).
•20.6. a) F(x) =
X X A 16 I I О
— +------4x + —, если x > 2,
3 2 3
x3 x2 16 I I о
-----+ — + 4x , если x < 2, .32 3
f(x) = |x2 - 4| + x;
6) F(x) =
-— Зх2 - 9x, если |x| > 3, 3
--— 3x2 + 9x - 36, если lx I < 3, 3
f(x) = |x2 - 9| - 6x.
125
Установите, является ли функция у = F(x) первообраз ной для функции у = f(x) на промежутке X:
20.7. a) F(x) = 3cosx - х6, f(x) = -3sinx - 6х5, X = R;
б) F(x) = -4sinx + —, f(x) = 4cosx - —, X = (0; +oo);
X3 x2
в) - 2Л - (3TT1F-
м ’ 7=+ ЙГПг' x = (ft+”);
r) Fix) = — - 2 sin (4x + 5),
x2
fix) = — - 2cos(4x + 5), X = (-oo; 0).
X
020.8. a) Fix) = |x|(x3 - 4), fix) = -4x3 - 4, X = (-00; 0);
6) Fix) = |3x - 7| + |x + 2| - x2, fix) = -2x + 4,
X = (3; +00).
•20.9. Установите, является ли функция у = Fix) первообраз ной для функции у = fix):
a) Fix) = • х5 2 3 1—х , если х > 0, 5 3 fix) = |х| (х3 + 2х); х5 2 з х , если х < 0, 1 5 3
б) Fix) = < х3 X2 1 — + 25х + 83—, если х < - 5, х > 5, 3 2 3 + — + 25х - 83—, если |х| < 5, L 3 2 3
fix) = |х2 - 25| + х.
20.10. Для функции у = fix) найдите первообразную:
1 7
a) fix) = ; в) fix) =
X2 X2
б) fix) = -±=; г) fix) = 3
2у/х у/Х
126
Для функции у = f(x) найдите первообразную:
20.11. а) fix) = x2 + x16; B) fix) = x13 + x18;
б) f(x) = 1 2#x x?' r) ft . 4 2 ft*) = ir - ~7=’ \lx Xy/X
20.12. а) fix) = -3sinx + 2cosx;
б) fix) = 4 9 sin2 x cos2 x
в) fix) = . 2 -4 cos x + ; sin2 x
г) fix) = -13 sinx + —-—. cos2 X
20.13. а) fix) = . (о 7C Л sin 3x + - ; I 6 J в) fix) = cos(4x - 3);
б) fix) = In (2 - 5x); r) 3 - — fix) =2 2.
20.14. a) fix) = ; (6x + I)2 6) f(x) = ; (8x - 3)2 в) fix) = ; (7x-3)2 r) fix) = (lOx + 2)2
20.15. a) fix) = . 1 ; V7x - 9 6) fix) = - - -. •J42 - 3x
•20.16. a) fix) = sin2x + cos2x; 6) fix) = 1 + tg2x; в) f(x) = sinx cosx; r) f(x) = 2 + ctg2 2x.
>20.17. a) f(x) = sinx cos 6х + cosx sin6х;
б) f(x) = sin25x;
в) f(x) = cos 6x cos x + sin 6x sin x;
r) f(x) = sin 5x cos x.
>20.18. Найдите функцию у = f(x), удовлетворяющую заданному условию (дифференциальному уравнению):
a) z/ = x4 - 3x2; 6) y' = sinx + 1; в) y' = x12 - 8x7; r) y' = cosx - 9.
127
020.19. Найдите функцию у = f(x), удовлетворяющую заданно
му условию (дифференциальному уравнению):
. I Q
а) у' = + х;
х2
в) / = - 4х;
б) у = —- + sinx; X2
Для данной функции найдите ту первообразную, графи! которой проходит через данную точку М:
020.20. а) у = Зх2 - 4х, М(2; 19);
б) у = + 1» М(-0,5; -3);
в) у = 4х3 + Зх2, М(1; -12);
г) 9 = 2х - A, Mj'L т).
020.21. а) у = sinx, М\
б) У =
г) У =
sin2 -
3
—, М —;
х I 4
в) у = cos2 — - sin2—, М(0; 7);
2 2
128
Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через данную точку М:
а) у = 1 + tg2 х, М\ 5 ;
I О J
б) у = 2 + 2ctg2x, м(~; -з\
\ 4 J
в) у = 3 + tg2x, м(--; 4^
6 )
г) у = ctg2 х - 9, -211
13 у
а ) у = sin - cos — + cos - sin —, м(—; 21 \ 6 6 6 6 4 )
б ) у = cos cos - sin * sin 4^, m(-9);
7 У 5 5 5 5 ^6 J
в) у = sin — cos - - sin - cos —, m{-—; 10 \
’ 6 6 6 6 4 J
г) у = cos —cos — + sin —sin —, м(—; -б\
7 11 11 11 11 3 I
Для функции у = f(x) найдите первообразную у = F(x), которая принимает данное значение в указанной точке:
a) f(x) = х5 + Зх2, F(0) = -16;
б) f(x) = 14sinx, F^—= 23;
I 2 I
в) f(x) = Юе5**4, F(0,8) = 5;
a) f(x) = -2 sin cos
-15;
6) f(x) =
в) f(x) =
r) f(x) =
sinx cos 3x, Fl — I = —;
^3j 12
sin2--cos2-, f(-)= 4,5;
2 2 1^2 J
4cos —cos—, f(^} = 42 + 1.
2 2 I4 J
129
020.27. Для функции у = /(х) найдите первообразную у = F(x) которая принимает данное значение в указанной точке: a) f(x) = . 12 + 1, F(5) = 4;
л/Зх - 6
б) /(х) = - 8, F(l) = -12.
Решите уравнение F(x) = 0, где у = F(x) — первообраз ная для функции у = /(х), если известно, что F(x0) = О
020.28. a) f(x) = Зх2 - 2х - 25, х0 = 1;
б) Дх) = Зх2 + 4х - 1, х0 = -2.
020.29. a) f(x) = 2sin2x, х0 =
б) Дх) = 2cos0,5x, х0 = \
020.30. Найдите ту первообразную для функции у = f(x), обла стью значений которой является луч (-оо; 4]: а) Дх) = 7 - бх; б) Дх) = 3 - 2х.
020.31. Пусть Gx(x) и (?2(х) — две различные первообразные для функции y = g(x), причем 6^(2) = 3, G2(3) = 4, Gx(3) = 3. Найдите G2(2).
020.32. Найдите ту первообразную для заданной функции у = Дх), график которой касается оси х:
а) Дх) = 2х + 3; б) Дх) = 12(3х - I)3.
020.33. Найдите ту первообразную для заданной функции у = Дх), график которой касается заданной прямой у = kx + т: а) Дх) = 2х, у = х + 2; б) Дх) = Зх3, у = Зх + 5.
020.34. Некоторая первообразная функции у = 3 cos Зх + 6 sin 6л принимает в точке х = значение 6. Какое значение* принимает та же первообразная в точке х =
020.35. Точка движется по координатной прямой, ее скорость выражается формулой v = 1 + 2t. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t = 2 координата точки равнялась числу 5.
020.36. Скорость движения точки по координатной прямой выра жается формулой v = -4sin3t Найдите закон движе ния, если известно, что в момент времени t = 0 коорди ната точки равнялась числу 2.
130
Скорость движения точки по координатной прямой задается формулой v = —, 6 * . Найдите закон движения, y2f + 1 если s(0) = 3.
Ускорение движения точки по координатной прямой задается формулой a(t) = 2(t + I)2. Найдите закон изменения скорости движения и закон движения, если р(0) = 1, 8(0) = 1.
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = F(x) в точке х = а, если известно, что у = F(x) — первообразная для функции у = /(х): а) /(х) = xsinx + x2cosx + 5, а = 0;
б) f(x) = log2 х + log3 (х + 1), а = 8;
в) f(x) = д/х2 - Зх + 3, а = 20;
г) f(x) = х$ - (2х)з, а = 32.
Сравните числа F(a) и F(b), если известно, что у = F(x) — первообразная для функции у = f(x): а) /(х) = х21пх, а = 2, b = 3;
б) f(x) = -J-6^-8, а = 0, Ь = 1;
в) /(х) = sin3x, а = у, b =
г) f(x) = x/х3 + 2х2 - 5х - 6, а = 1g 1001, b = log2 7.
Исследуйте функцию у = F(x) на монотонность и экстремумы, если известно, что она является первообразной для функции у = f(x):
а) f(x) = 2х2 + 5х - 7;
б) f(x) = J5x - 24 • lg (х2 - 6х + 6);
в) Дх) - 2*2-^ + 1;
г) f(x) = (х2 - 5х - 14) log2 (5 - 2х).
Найдите неопределенный интеграл:
a) J
+ 2ех - -Lx; k2Vx х J
б) ff-Д + х2 + зЪх;
J г I
.( 2 . A
в) [ Зх3 —+ x5 dx;
J t/x
г) П 6х - Д + х5 \dx. JI J
131
Найдите неопределенный интеграл:
20.43. а) |(2 - 9х)Мх; в) J(7 + 5x)13dx;
б) Г dx . r) Je°’5x+2dx.
J 3 - 5х ’
020.44. а) |(tg2x + l)dx; в) j(ctg2x + l)dx;
б) j(cos2x - sin2x)dx; r) jsinx cosxdx.
020.45. а) j sin 2x sin 6xdx; в) j cos 3x cos 5x dx;
б) jsin 4x cos 3xdx; r) j sin 2x cos 8xdx.
•20.46. а) jsin2xdx; в) jcos2xdx;
б) jsin4xdx; r) jcos4xdx.
•20.47. а) г dx г cos 2x dx
J sin2 x cos2 x ’ 6) J sin2 x cos2 x ’
§ 21. Определенный интеграл
Вычислите определенный интеграл:
21.1. a) j x3dx; 6) в) J x4dx; 2 1X -1 3 к з a -л 021.2. a) + x2 + 2jdx; в) J o A 8/ 6) J -7=^== —7 dx-, Г) [ o[Vx + l (x + 1) J 021.3. a) I 8x3 + 36x2 + 54x + 27 dx-, Д 2x + 3 - 18»- + 81 d 'j x2 - 6x + 9 i 5 3 021.4. a) f r-d-x-— ; 6) f 2--:r. 1 V2x - 1 4 <10 - 3x D 4 y/X | —— + x4 - 3x |dx; L x2 J 2 1 L , a. (x - 2)2 7x - 4 I x3 - 27 dx 7 J x2 + 3x + 9 f x3-64... d ’ j x2 + 4x + 16
132
Вычислите определенный интеграл:
021.5. а)
f4x5 - Зх4 + х3 - 1 , CLX 9
.2
б)
f 5х7 - 4х6 + 2х ,
1 ах;
-2
X3
в)
о
f бх4 - 4х3 + 7х2 - \dx.
2
X2
г)
Зх6 - 4х5 - 7х4 + Зх2
-2
Х‘
°г (х2 - 2х)(3 - 2х)
021.6. а) |-------------------dx;
-t х - 2
Зг (х2 - Зх + 2)(2 + х)
-------------—-------dx;
I х - 1
б)
И»2
J х2 + х - 2
г (9 - х2)(х2 - 16)
Д х2 - 7х + 12
dx.
я
021.7. a) jsinxdx;
я
2
я
б) (-ПГ-
J cos^x _я 4
я я
2 2
в) f cosxdx; г) [ dx .
< isinx
2 4
п 2
021.8. a) j cos2xdx; я 4
я
в) [2 sin—dx;
I 3
2
Я
г 7
г) [----
J cos23x
Я
021.9. Вычислите интеграл:
я
2
a) jsin 2х cos 3xdx;
о
я
Г 2 х J cos —ах;
{ 2
4
я
3
в) jcos 7х cos 5xdx;
о
я
г) j sin2 3xdx.
-я
133
Вычислите интеграл:
371 4
021.10. a) J
О
0
б) J f 2 sinI 2 — - 1 j dx; -П X /
n
4
021.11. a) J(1 + tg2x)dx;
0
7t
4
6) j(3 - 3ctg2x)dx;
7t 3
_7T
8
в) j (sin2 2x - cos2 2x)dx; 0
371
4 Z X
r) [11- 2cos2— \dx.
I I 3 4 J
7Г
3
в) j(ctg2 x + l)dx;
7t
4 n
4
r) J(1 + 2tg2x)dx.
7C
6
6 sin—cos— \dx;
3 3
021.12. a)
sin x cos — + x dx; 3
j sin2 x —— I cos (2л - x) 021.13. a) J -—----------------dx;
| tg2^X--|jcOS2^X--yj
f t^fx-^Wf^ + x]
6) j------------V V ------------J----------dx-,
j cos2 (я - x) + sin2 U- - x + cos (n + x) cos (2л - x)
I ctgf^-x"!
j- sinGi ~ x) J COS(2л - x) dx^
J tg(K - x) (n > sin(-x)
4 tg — + X
r)
cos2
cos (л + x) tg
dx.
134
Вычислите интеграл:
4 521.14. a) J^(x + l)dx; 0 в) И J 5 • - 1 dx; 2 3
0 б) J л/1 - 2х dx; г) J(5x - 7) sdx.
-1 1 1 ( 21.15. a) \exdx; б) f 3exdx; 2 ° 1 Г в) f^-^dx; г) ]~2exdx.
0 -1 4 21.16. а) ]>’5*-Мх; в) -I2 -2 4 j e0,25x + l Jx.
0 1 б) j e2x+1dx; г) -4 0 j e~2x+2dx.
-1 2 _ 021.17. a) в) -0,5 —2—dx; ox + 1
h и к 2
[ ех + — dx; г) f е2х + — dx.
ik хJ Д х)
6 ° ,
021.18. а) [ dx ; б) [-------;
• 2х - 1 J -5х + 6
021.19. Вычислите:
6
a) j /(x)dx,
-з
где f(x) = <
если -3 < х < 2,
6-х, если х > 2;
х2,
2
б) j/(x)dx, где /(х) = <
1
4
если 0 < х <
Л/X
х3 4, если х > 1.
1,
135
021.20. Вычислите:
я
3
a) J f(x)dx, где /(х)
6
—5------1, если х < О,
cosz 2х
sin—, если х > 0; 2
з
б) j f(x)dx, где fix)
_л
2
-sin х - — , если х < О, 2
-г---, если х > 0.
ух + 1
2
021.21. Вычислите j/(x)dx, если: о
\[х, 0 < х < 1,
а) /(х) =
4х, х < 1, 4х3, х > 1;
б) /(х) =
Вычислите:
з
021.22. a) J(|x2 - 4| + 2x)dx;
2
1
б) j(|x2 + 2| + |х - 5|)dx;
о
2
в) J(I*2 - 4| + 2x)dx;
-2
-1
г) J (|х4 + 2х2 + 3| + |х + l|)dx.
-2
1
•21.23. a) J(|х - 1| + |х + l|)dx;
-1
о
б) j(|х - 2| - |х + 3|)dx;
-4
2
в) j(|x - 1| + |х + l|)dx;
1
4
г) J(|x - 2| - |х + 3|)dx.
-4
136
3
021.24. Вычислите J f(x)dx, если график функции у = f(x) изоб-
-2
ражен на заданном рисунке:
з
021.25. Вычислите j f(x)dx, если график функции у = /(х) изоб-
-2
ражен на заданном рисунке:
а) рис. 3; б) рис. 4.
137
021.26. Вычислите интеграл:
a) j f(x)dx, если график функции у = f(x) (парабола!
-2
изображен на рис. 5;
2
б) jf(x)dx, если график функции у = /(х) (парабола)
-1
изображен на рис. 6.
Рис. 5
Рис. 6
138
6
>21 .27. Зная, что j/(x)dx = 12, найдите:
з
2 -1
a) p(3x)dx; б) J f (1 - 2x)dx.
1 -2,5
Решите уравнение:
>21.28. а) = х; в) I 1 dt = 4;
I V* 5 V2t - 1
б) f 1 dt = 2; г) I 1 dt = 2.
0 y2t + 4 2 AM + 2
D21.29. a) j cos2 tdt =
I
6) Jcos2£df + Jsin2fd£ = 0;
। 0 я
в) 2 f sin2 tdt = x; о
r) j(2 cos 2t + 6cos6f)di = 0. о
•21.30. a) J(18t2 - 22t - 4)dt = 5;
i
6) ](4t3 + 3t2 - 4t - 4)dt = 6. -1
•21.31. Сколько корней имеет уравнение:
fcos tdt = — x;
J 4
6) jsin tdt = 0,2x? о
139
021.32. При каком значении параметра а уравнение имеет толь
ко один корень:
X
a) j sin t dt = a - x1 2;
к
2
x z \2
6) fcosMZ = x - + a?
J0 I 2 )
Решите неравенство:
021.33. a) \tdt < 0,5;
0
6) J(3t2 - 8t + 3)dt > 0;
0
021.34. a) jsintdt < —; n 2
в) JtMt < 0,25; 0
r) j(2t + 5)dt > 6.
0
в)
1
6) fcos2£d£ > ——
i 2V2
2
r) Jsin— dt > JU.
•21.35. Решите уравнение: t
a) j(ex - 3x2 - 2x)dx = et - 3; 0
6) ff—— + 2x - зЪх = In (t - 2) - t3 + 6, t > 3.
R*-2 )
•21.36. Решите неравенство:
a) [32*-1dx < —J—, t > 0;
J 3 In 3
6) [f2x - 5-----—Idx > —30 — In (t + 5), t > -4.
< x + 5
Используя геометрические соображения, вычислите интеграл:
4
021.37. a) j V16 - x2dx-, О
О
в) j ^25 - x2dx;
-5
V2
б) j V4 - x2dx', о
4
г) j V64 - x2dx.
•21.38. a) - x2dx-, о
о
б) j \]—х2 - 2х dx.
-1
3
•21.39. a) j|x|dx;
-2
3
б) j(|х - 2| + 4x)dx;
-2
5
в) j|x - l|dx; о
2
г) j(|х + 1| - 2x)dx.
-з
021.40. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой v = v(t) (время измеряется в секундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдет точка за 3 секунды, считая от начала движения (t = 0), если:
a) v(t) = 3t2 - 4t + 1; в) v(t) = 4t3 - 6t2-,
6) v(t) = 1 ; r) V(t) =
V5t + 1 V7t + 4
021.41. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону v = v(t) (время t измеряется в минутах, а скорость — в метрах в минуту). За какое время, считая от начала движения, точка пройдет расстояние s метров, если:
a) v(t) = 2t - 3, s = 4; б) v(t) = 8 = 2?
y/t + 1
021.42. Дан прямолинейный неоднородный стержень [0; Z], его плотность в точке х определяется по формуле р = р(х). Найдите массу стержня, если:
а) р(х) = х2 + х + 1, I = 6;
б) = йЬг 1 = 3;
в) р(х) = -х2 + бх, I = 2;
г) р(х) = (d-ir 1 =k
Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными
линиями:
021.43. а) у = х2, у = 0, х = 4;
б) у = х3, у = 0, х = -3, х = 1;
в) у = х2, у = 0, х = -3;
г) у = х4, у = 0, х = -1, х = 2.
021.44. а) у = х3 + 2, у = 0, х = 0, х = 2;
б) у = -х2 + 4х, у = 0;
в) у = 4 - х2, у = 0;
г) у = -х3 + 1, у = 0, х = 0, х = -2.
021.45. а) у = -V» У = °> х = 1, х = 2;
X2
б) у = у = 0, х = 1, х = 9;
yJX
в) у = —V’ У = °’ х = -1’ х = “3» X2
г) у = У = 0, х = 1, х = 4. yJX
021.46. а) у = sinx, у = 0, х = —;
2
б) У = COS2X, у = 0, х = х = £;
' 6 6
в) у = cosx, у = 0, х = х = -j;
ч . X тс
г) у = sm —, у = 0, х = —, х = л.
2 2
142
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
021.47. а) у = 1 + —cosx, у = 0, х = х = 7 2 2 2
б) у = 1 - sin 2х, у = 0, х = 0, х = тс;
в) у = 1 + 2 sinx, у = 0, х = 0, х = — ; 2
г) у = 2cos—, у = 0, х = 0, х = —.
’ У 2 У 3
021.48. а) у = х, у = -0,5х + 5, х = -1, х - 3;
б) у - 2х, у = х - 2, х = 4;
в) у = -х, у = 3 - —, х = -2, х = 1; 4
г) у = 1 - х, у - 3 - 2х, х = 0.
021.49. а) у = 1 - х2, у = -х - 1;
б) у = х2 - Зх + 2, у = х - 1;
в) у = х2 - 1, у = 2х + 2;
г) у - -х2 + 2х + 3, у = 3 - х.
021.50. а) у = х2 - 4х, у = -(х - 4)2;
б) у = х2 + 2х - 3, у = -х2 + 2х + 5;
в) у = х2 - 6х + 9, у = (х + 1)(3 - х);
г) у = х2 - 4х + 3, у = -х2 + 6х - 5.
021.51. а) у = cosx, у = -х, х = 0, х = ^;
б) У - sin2x, у = х - —, х = 0; 2
в) у = sinx, у = -х, х = 0, х =
г) У = cos —, у = X - 71, X = О, X = 71. 2
021.52. а) У = 2cos3x - 3sin2x + 6, у = 0, х = 0, х = —;
6
. О • Л Г* Г* ГТ Л ТС
б) у = 2sm4x + 3cos2x + 7, у = 0, х = —, х = —.
4 4
021.53. а) у = 0, х = 4, у = >/х;
б) у = 1, х - 0, у - tfx;
в) у = 0, х = 1, х = 3, у =
г) у = 2, х = 0, у = >/х.
143
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
021.54.
•21.55.
021.56.
021.57.
021.58.
021.59.
021.60.
а) у = у[х, у = -2>/х, х = 4;
б) у = 2у[х, у = -Jx, х = 9.
а) у = 2 - >/х, у = у/x, Зх + 5у = 22;
б) у = >/х, у = 3 - 2у/х, 4х - 5у - 21 = 0.
а) у = 0, х = 0, х = 3, у = ех;
б) у = 0, х = 0, х = 4, у = е~х;
в) у = 0, х = -1, х = 1, у = ех;
г) у = 0, х = -2, х = 0, у = егх.
а) х = 1, у = ех, у = е~х;
б) у - —, у = 1, х = -1;
ех
в) у = ех, х - 2, х + 2у = 2;
г) у = ех, х = 2, х = 0, у - -ех.
а) У = О
б) У = О
в) У = О
г) У = О
а) у = ех, у = —, х = 2, х = 3;
X
1
б) у = —, у = 1, X = 5; х
в) У = Vx, у = х = 4; X
г) у = , у = -1, X = е.
X
а) у = 2х, у = 3 - х, у = 0, х = 0;
б) У = 3х, у = 5 - 2х, у = 0, х = 0.
, х = 1, х = е, у = —; х
, х = 3, х = -1, у = —-—;
* 2х + 3
2 2
, х = е, х = е2, у = —;
, х = 2, х = 5, у =
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 021.61. а) у = -i-, у = 2х - 1, х = 2;
У = у = , х
021.62. а) у = ех, у = -, х = е, X
б) у = , у = X2 + 1,
•21.63. а) у = х3, у = 10 - х, б) у = х3, у = 10 - х,
х = 0, у = 0;
х = 2.
х = 0;
У = 0;
в) у = -х3, у = 5 + 4х, х = 0;
г) у - -х3, у - 5 + 4х, у = 0.
•21.64. а) у = |х|, у = —|х| + 2;
б) у = |х + 1|, у = —(х - I)2 + 2;
в) у = |х| - 2, у =
г) у = (х - I)2, у = —|х + 1| + 2.
•21.65. а) у = 3 - х2, у = 1 + |х|;
б) у = х2, у = 2 - |х|.
•21.66. а) у = |х2 - 4|, х = 3, х = -3, у = 0;
б) У = |х2 - 2|х||, х = 3, х = -3, у = 0.
•21.67. а) у = sin2x, у =
7С2
б) у = х2 - 1, у = cos
(2х
в) у = cosx, у =---------1 I;
I 71 /
г) у = х2 - 2х, у = sin-^-
US
021.68 Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, изображенной на заданном рисунке: а) рис. 7; б) рис. 8.
021.69. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2х - 5 и графиком ее первообразной, проходящей через точку Af(l; -3).
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 4х + 1 и графиком ее первообразной, проходящей через точку М(2; 6).
•21.70. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у - 2х - х2, касательной к ней в точке х = 1 и осью у, б) Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х2 - бх, касательной к ней в точке х = 1,5 и осью у.
•21.71. а) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком 4
функции у = хз, касательной к графику этой функции, проведенной в точке х0 = 8, и осью абсцисс.
б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = xtfx, касательной к графику этой функции, проведенной в точке х0 = 1, и осью ординат.
146
•21.72. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х3, касательной к нему в точке х = 1 и осью у. б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х3 и касательными к нему в точках х = О и х = 1
•21.73. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции У = 3 - -i-x1 2 и двумя касательными, проведен-ными к нему из точки на оси у так, что угол между касательными равен 90°.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 0,5(х2 + 5) и двумя касательными, проведенными к нему из точки на оси у так, что угол между касательными равен 90°.
•21.74. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком ,к JC2 л/з
функции у = —-— и двумя касательными, проведенными к нему из точки на оси у так, что угол между касательными равен 60°.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
х2
функции у =-----— и двумя касательными, проведенны-
2 л/3
ми к нему из точки на оси у так, что угол между касательными равен 120°.
•21.75. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х3 - бх2 + 9х + 1 и касательной к нему в точке х = 3.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х3 - Зх и касательной к нему в точке х = -1.
•21.76. а) При каком положительном значении параметра щадь фигуры, ограниченной линиями у = —, X2
а
У
1 7 ?
х = 1, х = а, равна — о
б) При каком отрицательном значении параметра
- 1
щадь фигуры, ограниченной линиями у = —, X2
пло-
= 0,
пло-
= 0,
а
У
1 10 ?
х = -1, х = а, равна — •
147
•21.77. Докажите, что площадь S криволинейной трапеции, ограниченной параболой у = ах2 + Ьх + с и прямыми х = ос, х = р (ос < р), у = О можно найти по формуле
S =
6
у(а) + г/(Р) + 4 у
(формула Симпсона).
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Элементы теории вероятностей и математической статистики
ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ
§ 22. Вероятность и геометрия
022.1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства х2 < 9. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:
а) х2 < 10; в) х2 > 10;
б) 2х - 3 < 17; г) х3 4- 2х > 0.
022.2. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства 1 < |х - 3| < 5. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства: а) |х| < 2; в) |х| < 1;
б) |х - 6| < 2; г) 1 < |х - 6| < 2.
•22.3. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства Vx < 10. Найдите вероятность того, что оно: а) является решением неравенства Vx < 1;
б) принадлежит области определения функции у = 1п(40х - 39 - х2);
в) является решением неравенства ^х - 10 < 5;
г) принадлежит области значений функции
у = 0,5 sinf 2х 4- — 4- 1.
I 2 )
022.4. Случайным образом выбирают одно из решений неравен-
2х2 + 15х + 18 . п тт г
ства -g - Что более вероятно;
а) то, что оно положительно, или то, что оно отрицательно;
б) то, что оно меньше -3, или то, что оно больше -3;
в) то, что оно целое, или то, что оно не целое;
г) то, что оно больше -5, или то, что оно меньше -2?
149
022.5. Случайным образом выбирают одно из положительных решений неравенства 3х < 6 - Зх. Найдите вероятности того, что:
а) оно меньше 0,1;
б) оно больше 0,999;
в) оно ближе к 0,4, чем к 0,3;
г) оно дальше от 0,7, чем от 0,8.
022.6. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ = 2, ВС = I» случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, чт<> она расположена:
а) ближе к прямой АВ, чем к прямой CD;
б) ближе к вершине А, чем к вершине С;
в) ближе к прямой АВ, чем к прямой ВС;
г) ближе к вершине А, чем к точке пересечения диагоналеи
•22.7. В прямоугольнике ABCD со сторонами АВ = 5, ВС = Ю случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена:
а) ближе к прямой АВ, чем к прямой AD;
б) ближе к прямой AD, чем к каждой из прямых АВ, СВ; в) ближе к вершине А, чем к вершинам В и С;
г) ближе к прямой АВ, чем к прямой АС.
022.8. Внутри окружности, описанной около прямоугольного тре угольника с катетами 6 и 8, взята точка. Найдите веро ятность того, что она:
а) лежит внутри треугольника;
б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник;
в) лежит вне треугольника;
г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.
022.9. На оси абсциссе случайным образом выбирают точку В(х; 0), -2 < х < 6, и соединяют ее с фиксированной точ кой А(4; 4). Какова вероятность того, что угол наклона отрезка АВ к положительному направлению оси абсцисс: а) тупой; б) меньше 45°; в) острый; г) больше 60°?
022.10. На оси ординат случайным образом выбирают точку С(0; у), О < у < 8, и соединяют ее с фиксированной точкой А(4; 4). Какова вероятность того, что угол наклона отрезка АС к положительному направлению оси ординат:
а) тупой; б) меньше 45°; в) острый; г) больше 60°?
150
•22 .11. Коэффициенты а и b в уравнении прямой у = ах + b случайным образом выбираются из множества {-5, -4, ..., -1, 0, 1, ..., 4, 5}. Найдите вероятность того, что эта прямая:
а) пересекает ось ординат;
б) пересекает только две координатные четверти;
в) не пересекает ось абсцисс;
г) не пересекает вторую координатную четверть.
Указание. Считать, что точки осей координат не принадлежат ни одной четверти.
D22.12. Из отрезка [-1; 1] произвольно выбирают два числа — х и у — и на координатной плоскости отмечают точку (х; у). Какова вероятность того, что: а) эта точка лежит в первой координатной четверти; б) х + у < 0;
в) эта точка лежит или во второй, или в четвертой координатной четверти;
* г) х + у > 0, а ху < 0?
•22.13. Случайным образом выбирают два решения — х1 и х2 — неравенства |х -- 2| < 2 и точку (xj х2) отмечают на координатной плоскости. Найдите вероятность того, что: а) оба решения не больше 2;
б) хотя бы одно из решений не больше 2;
в) сумма этих решений больше 3;
г) хг и х2 отличаются друг от друга (по модулю) не более, чем на 1.
•22.14. На координатной плоскости даны точки А(0; 3), В(4; 6), С(6; 0). В треугольнике АВС случайным образом выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена: а) ниже прямой у = 3;
б) правее прямой х = 4;
в) ближе к прямой АС, чем к прямой АВ;
г) ближе к прямой АС, чем к прямой ВС.
022.15. Точку случайным образом выбирают из фигуры, ограниченной параболой у = х2, осью абсцисс и прямой х = 3. Найдите вероятность того, что она лежит:
а) левее прямой х = 1; в) правее прямой х = 2;
б) выше прямой у = 4; г) ниже прямой у = 1.
151
022.16. Точка случайным образом выбирается из фигуры, ограниченной графиком функции у = ех, осью ординат и пря мой у = е. Найдите вероятность того, что она лежит: а) в первой координатной четверти;
б) правее прямой х = 1;
в) правее прямой х = 0,5;
г) ниже прямой у = л/ё.
022.17. Под аркой синусоиды у = sinx, 0 < х < к, случайным образом выбирают точку выше оси абсцисс. Найдите вероятность того, что она лежит:
х/з
а) выше прямой у = V2; в) ниже прямой у - ——;
б) левее прямой х =
тс, 3’
х <-> 3 7Т
г) правее прямой х = — 4
•22.18. Найдите значение параметра а, если известно, что вероятность указанного события равна 0,5:
а) точка фигуры, ограниченной параболой у = х2, осью абсцисс и прямой х - 1, лежит левее прямой х = а;
б) точка фигуры, ограниченной графиком функции у =
осью абсцисс и прямыми х = 1, х = 2, лежит ниже прямой у = а;
в) точка фигуры, ограниченной гиперболой у - осью абсцисс и прямыми х = 1, х = 2, лежит левее прямой х = а;
г) точка фигуры, ограниченной осью ординат, прямой у = 2 и графиком функции у = |х - 1|, лежит правее прямой х = а.
022.19. Случайным образом на координатной плоскости хОу выбирают точку Р(х; у), 0 < х < 4, О С у < 2. Отрезок ОР является диагональю прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. Какова вероятность того, что периметр этого прямоугольника: а) больше 20; в) меньше 4;
б) не больше 12; г) больше 10?
•22.20. Случайным образом на координатной плоскости хОу выбирают точку Р(х; у), 0 < х < 4, 0 < у < 2. Отрезок ОР является диагональю прямоугольника со сторонами,
152
параллельными осям координат. Какова вероятность того, что площадь этого прямоугольника: а) больше 9; в) меньше 2;
б) меньше 10; г) больше 4?
022.21. Числа р и q произвольно выбирают из отрезка [0; 1]. Какова вероятность того, что у приведенного квадратного уравнения х2 4- рх + q = 0:
а) есть хотя бы один корень (действительный или комплексный);
б) нет действительных корней;
в) есть два различных действительных корня;
г) есть хотя бы один положительный корень?
•22.22. Отрезок единичной длины наудачу разбили на три отрезка. Какова вероятность того, что длина каждого отрезка будет:
а) больше 0,34;
б) больше 0,25;
в) меньше 0,32;
г) меньше 0,5?
§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами
023.1. Найдите вероятность «успеха» в каждом из следующих испытаний:
а) вытаскивание одной кости домино; появление дубля — «неудача»;
б) вытаскивание одной кости домино; появление кости с суммой очков меньше 4 — «неудача»;
в) вытаскивание одной карты из колоды в 36 карт, появление «пики» — «неудача»;
г) вытаскивание одной карты из колоды в 36 карт, появление туза, короля или дамы — «неудача».
023.2. Каждое испытание в задаче 23.1 повторили дважды. Найдите вероятность двукратного появления «успеха» в каждом из случаев а), б), в), г).
•23.3. Найдите вероятность появления хотя бы одного «успеха» в каждом из случаев а), б), в), г) задачи 23.2.
153
023.4. Каждое испытание в задаче 23.1 повторили трижды. Что более вероятно в каждом из случаев а), б), в), г): то, что наступит хотя бы один «успех», или то, что наступит хотя бы одна «неудача»?
023.5. Какова вероятность того, что при восьми бросаниях монеты: а) орел выпадет ровно пять раз;
б) орлов и решек выпадет поровну;
в) решка выпадет ровно пять раз;
г) решка выпадет чаще орла?
023.6. Какова вероятность того, что при п бросаниях двух раз личных игральных костей хотя бы один раз выпадет пара шестерок, если:
а) п = 1; б) п = 2; в) п = 3; г) п = 10?
023.7. Шахматисты А и Б играют несколько партий. Шансы на победу каждого из них в отдельной партии считаются равными. Какой результат А : Б оценивается как более вероятный:
а) 2 : 2 или 3 : 13 : 1 в четырех партиях;
б) 2 : 2 в четырех партиях или 3 : 3 в шести партиях;
в) 3 : 1 в четырех партиях или 4 : 2 в шести партиях;
г) 2 : 3 в пяти партиях или 3 : 3 в шести партиях?
•23.8. Хоккейные команды А и Б играют в финальной стадии «play-off». Шансы на победу команды А в отдельной встрече оцениваются в 40%. Какова вероятность того, что после четырех встреч результат А : Б будет:
а) 0 : 4; б) 2 : 2; в) 3 : 1; г) в пользу команды А?
023.9. Вероятность успеха в одном испытании равна 0,2. Расположите следующие события в порядке возрастания вероятностей их наступления, предварительно вычислив эти вероятности:
Ах — при двух повторениях испытания успех наступает ровно в одном случае;
А2 — при трех повторениях испытания успех наступает ровно в одном случае;
А3 — при трех повторениях испытания успех наступает ровно в двух случаях;
А4 — при трех повторениях испытания успех не наступает ни разу.
154
023.10. Стрелок не очень меток: вероятность поражения мишени при одном выстреле оценивается в 40 %. Оцените (в процентах) вероятности наступления следующих событий при пяти выстрелах этого стрелка: а) в мишень попадут ровно три пули;
б) в мишень не попадет ровно одна пуля;
в) мишень останется нетронутой;
г) мишень будет поражена хотя бы раз.
023.11. а) Используя результаты задачи 23.10, составьте таблицу из двух строк: в первой строке запишите варианты количества возможных попаданий стрелка в мишень, во второй — их вероятности. Вычислите и запишите недостающие значения вероятностей.
б) Изобразите многоугольник распределения, откладывая по оси абсцисс число попаданий k = 0, 1, 2, 3,4, 5 в мишень, а по оси ординат — вероятности P5(k).
023.12. При восьми бросаниях монеты орел может выпасть k = О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 раз.
а) Найдите соответствующие вероятности Ps(k) (в процентах).
б) Составьте таблицу распределения вероятностей.
в) Составьте многоугольник распределения вероятностей, г) Найдите наивероятнейшее число выпадений орла.
023.13. Вершины квадрата лежат на сторонах правильного треугольника. В треугольнике независимым образом поочередно выбирают четыре точки. Найдите вероятность того, что:
а) все точки окажутся в квадрате;
б) в квадрате и вне квадрата точек окажется поровну; в) ни одна из точек не окажется в квадрате;
г) хотя бы одна точка окажется в квадрате.
•23.14. Плоскость, проходящая через концы трех ребер куба, выходящих из одной вершины, отсекает от куба треугольную пирамиду. В кубе независимым образом поочередно выбирают три точки. Найдите вероятность того, что: а) все точки окажутся вне пирамиды;
б) в пирамиде окажется ровно одна точка;
в) ровно одна точка окажется вне пирамиды;
г) хотя бы одна точка окажется вне пирамиды.
155
023.15. Даны два концентрических шара радиусов 1 и 2 соответ ственно. В большем шаре независимым образом поочеред но выбирают 3 точки. Найдите вероятность того, что: а) все точки окажутся в меньшем шаре;
б) вне меньшего шара окажется ровно одна точка;
в) ни одна из точек не окажется в меньшем шаре;
г) хотя бы одна точка окажется в меньшем шаре.
•23.16. Даны две концентрические окружности с радиусами 1 и 2 соответственно. На меньшей окружности отмечена точка Р. В кольце между окружностями наудачу выбраны точ ки А и В. Найдите вероятность того, что:
а) отрезок АР имеет с меньшей окружностью только одну общую точку Р;
б) отрезки АР и ВР пересекают меньшую окружность в точках, отличных от точки Р;
в) хотя бы один из отрезков АР и ВР пересекает меньшую окружность в точке, отличной от точки Р;
г) оба отрезка АР и ВР имеют с меньшей окружностью только одну общую точку Р.
023.17. В соответствии с техническими нормативами вероятность выпуска стандартной детали без дефектов оценивается в 95%. Найдите наивероятнейшее число бракованных деталей среди п выпущенных деталей, если:
а) п = 1119; в) п = 20m + 19;
б) п = 1120; г) п = 20(m + 1).
•23.18. Вероятность опечатки на одной странице оценивается в 1 %. Оцените общее количество п напечатанных в типографии страниц, если число страниц с опечатками оказалось равным:
а) 5; б) 10; в) 20; г) 100.
023.19. В п испытаниях Бернулли наивероятнейшим числом успехов оказались числа k и k 4- 1. Найдите вероятность успеха в одном из этих испытаний Бернулли, если известно, что:
а) п = 9, k = 7; в) п = 999, k = 699;
б) п = 99, k = 70; г) п = 999, k - 7.
156
023.20. В п испытаниях Бернулли наивероятнейшим числом успехов оказалось единственное число k. Оцените, в каких пределах может находиться вероятность неудачи в одном из этих испытаний Бернулли, если известно, что: а) п = 9, k = 3; в) п = 99, k = 30;
б) п = 999, k = 300; г) п = 99, k = 3.
§ 24. Статистические методы обработки информации
В задачах 24.1—24.5 рассматриваются результаты одного и того же измерения I отметок, которые получили студенты одной группы на экзамене по истории. Отметки эти таковы:
4342345334 3454524452
024.1. а) Сколько получено двоек, т. е. какова кратность варианты 2?
б) Какова кратность варианты 4?
в) Перечислите все варианты измерения 7.
г) Выпишите сгруппированный ряд данных измерения I.
024.2 а) Составьте таблицу распределения кратностей вариант для измерения I.
б) Нарисуйте многоугольник распределения кратностей, в) Составьте таблицу распределения частот и нарисуйте многоугольник распределения частот.
г) Для процентных частот нарисуйте гистограмму распределения с шириной столбцов, равной 1.
024.3. Вычислите: а) размах; б) моду; в) медиану; г) среднее результатов измерения 7.
•24.4. а) Найдите отклонения вариант измерения I от среднего результатов измерения.
б) Проверьте, что сумма всех отклонений равна нулю.
в) Найдите квадраты отклонений и сумму квадратов отклонений от среднего.
г) Вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
157
•24.5. Отметки «2» и «3» не позволяют получать стипендию, будем считать их «нулевыми» (для получения стипендии). Отметки «4» и «5» будем считать «единичными». Для распределения отметок по категориям «нулевые» и «единичные»:
а) составьте таблицы распределения кратностей и частот; б) постройте гистограмму распределения с шириной столбцов, равной 1;
в) вычислите моду и среднее значение;
г) вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
024.6. В специализированном спортивном магазине продается 50 видов велосипедов.
Они распределены по цене так (граничную цену относят к более дорогой категории):
Цена (тыс. руб.) ДО 3 3—6 6—9 9—12 12—15 > 15
Кол-во видов 3 8 19 ? 11 2
а) Сколько видов велосипедов стоят от 9 до 12 тыс. р.?
б) Какова частота очень дорогих (> 15 тыс. р.) видов велосипедов?
в) Какова процентная частота относительно дешевых (< 6 тыс. р.) видов велосипедов?
г) Какова процентная частота моды проведенного измерения?
024.7. В сводной таблице распределения данных некоторого измерения остались пустые места:
Варианта № 1 № 2 № 3 №4 Всего: 4 варианты
Кратность 5 Сумма =
Частота 0,45 0,1 Сумма =
Частота, % 25 20 Сумма = %
а) Какой столбец можно сразу заполнить, исходя из этих данных?
б) Какую строку можно заполнить после выполнения пункта а)?
в) Заполните всю таблицу.
г) Укажите моду распределения.
158
024.8. В сводной таблице распределения данных некоторого измерения остались пустые места. Заполните их.
Варианта № 1 № 2 №3 №4 № 5 № 6 Всего: 6 вариант
Кратность 291 113 Сумма =
Частота 0,122 0,193 Сумма =
Частота, % 29,1 20,2 7,9 Сумма = %
•24.9. Требуется восстановить сводную таблицу распределения данных некоторого измерения по следующей информации:
Варианта № 1 № 2 № 3 № 4 Всего: 4 варианты
Кратность k 2k Сумма = 100
Частота Сумма =
Частота, % 3k k2 - 7k - 33 Сумма = %
а) С какого столбца следует начать восстановление данных?
б) Составьте уравнение, связывающее данные, выбранные в пункте а).
в) Решите это уравнение и найдите значение k.
г) Заполните всю таблицу.
•24.10. Дана сводная таблица распределения результатов некоторого измерения:
Варианта № 1 № 2 № 3 № 4 Всего: 4 варианты
Кратность X У X + у Сумма = 50
Частота Сумма =
Частота, % 23х - 105 у2 - у - 70 Сумма = %
а) Найдите х.
б) Найдите у.
в) Восстановите всю таблицу.
г) Найдите моду этого распределения.
159
В задачах 24.11—24.16 рассматриваются результаты одно го и того же измерения: речь идет об оценках, которые получили выпускники одной из школ за сочинение. Выс тавлялись две отметки: первая — по литературе, вторая по русскому языку. Оценки таковы:
5/4 4/5 3/1 4/3 2/3 3/3 4/3 5/3 3/3 1/2 4/4 4/2 2, 1 3/5 3/4 4/3 5/5 4/4 5/4 2/2 2/3 4/3 5/4 2/3 3/3
024.11. Для оценок по литературе:
а) выпишите сгруппированный ряд данных;
б) составьте таблицу распределения кратностей;
в) постройте многоугольник распределения процентных частот;
г) найдите среднее.
024.12. Для оценок по русскому языку:
а) выпишите сгруппированный ряд данных;
б) составьте таблицу распределения кратностей;
в) постройте многоугольник распределения процентных частот;
г) найдите среднее.
024.13. Для суммы оценок по литературе и русскому языку: а) выпишите сгруппированный ряд данных;
б) составьте таблицу распределения кратностей;
в) постройте многоугольник распределения процентных частот;
г) найдите среднее.
024.14. Найдите размах, моду и медиану:
а) оценок по литературе;
б) оценок по русскому языку;
в) суммы оценок по литературе и русскому языку;
г) модуля разности оценок по литературе и русскому языку.
024.15. а) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оценок по литературе.
б) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оценок по русскому языку.
в) По какому предмету оценки, в среднем, выше?
г) По какому предмету оценки имеют более устойчивый характер?
024.16. Итоговая оценка за сочинение (см. с. 160) была выставлена по инструкции: «2», если сумма оценок меньше 5; «3», если сумма оценок равна 5 или 6; «4», если сумма оценок равна 7 или 8, и «5» — в остальных случаях, а) Определите число итоговых двоек.
б) Определите число итоговых пятерок.
в) Составьте таблицу распределения итоговых оценок.
г) Нарисуйте гистограмму распределения итоговых оценок.
024.17. После урока по теме «Статистика» на доске остался ответ «Среднее значение — 12» и таблица:
Варианта 3 8
Кратность 26 13 11
а) Какое число должно быть записано в пустой клетке?
б) Укажите размах, моду и медиану распределения.
в) Допустим, что среднее значение равно М. Что тогда должно стоять в пустой клетке?
г) Может ли в ответе для среднего значения стоять 15, если все варианты — целые числа?
•24.18. После урока по теме «Статистика» на доске остался ответ «Среднее значение равно 10» и таблица:
Варианта 4 7 11
Кратность 5 2
а) Какое число должно быть записано в пустой клетке?
б) Найдите размах и моду распределения.
в) Вычислите среднее квадратическое отклонение.
г) Может ли среднее значение равняться пяти при каком-нибудь заполнении пустой клетки?
•24.19. Таблица распределения кратностей имеет вид:
Варианта 0 1 3 5 6
Кратность 19 2 Зх - 1 5 4х - 7
а) Выразите среднее значение через х.
б) Как выглядит график зависимости среднего значения от х?
в) Каким может быть целое число х, если модой является О?
г) Может ли мода распределения равняться трем?
161
•24.20. Таблица распределения кратностей имеет вид:
Варианта 0 1 3 5 6
Кратность 10 2х Зх - 1 5 х + 5
а) Выразите через х среднее значение.
б) Как выглядит график зависимости среднего значения от х?
в) Каким может быть х, если модой является О?
г) Может ли мода распределения равняться единице?
§ 25. Гауссова кривая, закон больших чисел
В пунктах а)—г) задач 25.1—25.2 найдите значения п k, р, ди выпишите (без вычислений) формулы для Pn(k)'.
025.1. а) Вероятность появления ровно 7 «орлов» при 10 броса ниях монеты;
б) вероятность появления ровно 3 «решек» при 10 бросаниях монеты;
в) вероятность появления ровно 57 нечетных цифр при 100 независимых выборах одной цифры от 0 до 9;
г) вероятность появления ровно 75 цифр, кратных трем, при 100 независимых выборах одной цифры от 0 до 9.
025.2. а) Каждый из 50 человек независимо называет один из дней недели. «Неудачным» днем считается понедельник. Какова вероятность того, что «удач» будет ровно поло вина?
б) Каждый из 100 человек независимо называет один из дней недели. «Удачными» днями считаются суббота и воскресенье. Какова вероятность того, что «неудач» будет 33?
в) Бросание кубика «удачно», если выпадает 5 или 6 очков. Какова вероятность того, что ровно 175 бросаний из 293 будут «удачными»?
г) Одновременно бросают три различные монеты; «неудача»: «решек» больше, чем «орлов». Какова вероятность того, что будет ровно три «удачи» в тысяче бросаний?
162
В пунктах а)—г) задач 25.3—25.5 следует заполнить пропуски в приведенных формулах для подсчета вероятностей по теореме Бернулли, если известно, что вероятность р «успеха» не меньше вероятности q «неудачи»:
025.3. а) Р10(3) = с; • 0,6? ??; Р100(99) = С7 • 0,1? ??; в) Р20(5) = С7 • 0,3? • ?7 г) Р1ООо(О) = 0,2?.
б)
025.4. а) б) Р?(5) = С70 • О,77 • ??; Р7(?) = С] 0,67 ?23; в) Р100(?) = С3 • 0,57; г) Р40(?) = 0,7’.
025.5. а) б) Р,(?) = ? • 0,32 • 0,78; Р,(?) = ? 0,019 0,99; в) Р?(?) = ? 0,65 • ?25; г) Р?(?) = 0,1100.
025.6. Объясните, какие ошибки допущены в формуле:
а) Р10(3) = 120 • 0,63 • 0,76;
б) Р100(99) = 100 0,9" • 0,01;
в) Р20(2) = 180 • 0,82 • 0,218;
г) Р1000(1) = О,21000?
025.7. По таблице значений функции (р найдите:
а) Ф(1), ф(2), Ф(3); в) ф(0,1), <р(1,1), <р(2,1);
б) (р(0,5), ф(1,5), ф(2,5); г) ф(0,9), ф(0,99), ф(1,99).
025.8. Используя таблицу значений функции ф, найдите приближенное значение х, если известно, что: а) ф(х) = 0,1781; в) ф(х) = 0,3988;
б) ф(х) = 0,1006; г) ф(х) = 0,0116.
025.9. Найдите х > 0, для которого значение ф(х) ближе всего к заданному числу:
а) 0,33; б) 0,333; в) 0,1; г) 0,01.
•25.10. Вероятность рождения мальчика примем равной 50%. Найдите вероятность того, что среди 400 новорожденных будет ровно:
а) 220 мальчиков; в) 210 мальчиков;
б) 180 девочек; г) 300 девочек.
•25.11. При входе на выставку аттракционов стоит урна с четырьмя черными и одним белым шаром. Входящий вытаскивает шар и потом возвращает его обратно. Если шар окажется белым, то посетитель проходит на выставку
163
бесплатно, а если черным, то покупает билет. С помощью таблицы значений функции (р найдите приближенно (с точ ностью до четвертого знака после запятой) вероятное ! ь того, что из 2500 посетителей бесплатно пройдут ровно а) 1000; б) 500; в) 450; г) 510 человек.
•25.12. Один из этапов отбора участников для игры «Ну и счас! ливчик!» организован так. Ведущий записывает проил вольную цифру от 0 до 9. После этого очередной участ ник вслух произвольно называет свою цифру от 0 до 9 Если цифры совпали, то участник проходит на следую щий этап. С помощью таблицы значений функции (р най дите приближенно (с точностью до четвертого знака по еле запятой) вероятность того, что из 10 000 игроков h<i следующий этап пройдут ровно:
а) 2000; б) 1000; в) 970; г) 900 человек.
025.13. По таблице значений функции ф найдите:
а) Ф(1), Ф(2), Ф(3); в) Ф(0,1), Ф(1,1), Ф(2,1);
б) Ф(0,5), Ф(1,5), Ф(2,5); г) Ф(0,9), Ф(0,99), Ф(1,99).
025.14. Используя таблицу значений функции Ф, найдите при ближенное значение х, если известно, что:
а) Ф(х) = 0,3461; в) Ф(х) = 0,004;
б) Ф(х) = 0,4441; г) Ф(-х) = 0,4904.
025.15. Найдите х, для которого значение Ф(х) ближе всего к заданному числу: а) 0,33; б) 0,46; в) 0,1; г) 0,49.
025.16. Вероятность рождения мальчика примем равной 50%. Найдите вероятность того, что среди 900 новорожденных будет:
а) от 400 до 450 мальчиков;
б) не менее 440 мальчиков;
в) от 430 до 470 девочек;
г) не более 460 девочек.
•25.17. (Продолжение задачи 25.11.) Какова вероятность того, что из 2500 посетителей бесплатно пройдут: а) от 500 до 1000; в) от 500 до 520;
б) от 400 до 600; г) от 490 до 510?
164
*25.18. (Продолжение задачи 25.12.) Какова вероятность того, что из 10 000 участников на следующий этап пройдут: а) от 500 до 1000; в) от 800 до 1200;
б) не более 970; г) не менее 2000?
025.19. Известно, что из всех поступавших в университет абитуриентов в среднем 60% набрали на экзаменах более 20 баллов. Какова вероятность того, что из 100 случайно выбранных абитуриентов более 20 баллов набрали: а) от 50 до 70 человек; в) не более 60 человек;
б) не менее 20 человек; г) более 69 человек?
•25.20. В большом десятиэтажном доме на каждом этаже живет одинаковое количество жильцов. Какова вероятность того, что из 150 случайным образом опрошенных жильцов этого дома:
а) на первом этаже проживают не менее 15 человек;
б) на последних двух этажах проживают не более 30 человек;
в) на четных этажах живут от 70 до 80 человек;
г) выше четвертого этажа живут более 99 человек?
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Г Уравнения и неравенства. : Р Системы уравнений Г и неравенств : г. । । । । । । । । । । । । । । । । । । । । । ।
гггггггггггггггггггггггг
§ 26. Равносильность уравнений
26.1. Равносильно ли уравнение 2х = 256 уравнению:
a) log2x = 3; в) Зх2 - 24х = 0;
б) х2 - 9х + 8 = 0; г) у = 2?
26.2. Равносильно ли уравнение sinx = 0 уравнению:
a) cos х = 1; в) cos 2х = 1;
б) tgx = 0; г) Vx - 1 sinx = О?
26.3. Придумайте три уравнения, равносильных уравнению:
а) л/2х - 1 = 3; в) Igx2 = 4;
з
б) cosx = 3; г) х5 = -1.
26.4. Укажите уравнение-следствие для уравнения:
а) л/7х 4- 3 = х; в) sin (л - х) • ctg х = -0,5;
б) log2 (х - 1) - log2 х = 0; г) sin - х • tg х = 0.
26.5. Объясните, почему равносильны уравнения:
а) х37 - 12х2 + 1 = 0 и х37 + = х2
б) </х2 - 2х - 3 = 2 и х2 — х —2 =332
26.6. Равносильны ли уравнения:
а) л/2х2 + 2 = Vx4 + 3 и 2х2 + 2 = х4 + 3;
б) \/sin2x + 1 = 1 и sin2x = О?
Равносильны ли уравнения:
26.7. a) 3^ + i • = 1 и Jx + 4 - х = 0;
б) л/0^57 • 2х2V2 = 4 и х2 — — + — = 2?
’ у 2 2
26.8. а) ~ 1 = 3 и х2 + х - = Эк2 + 1
б) в?11* + о = 0,5 и sinx +1= 0,5 sinx + 1?
’ sinx + 2
Докажите, что уравнение не имеет корней:
026.9. а) х/Зх - 5 = х/9 - 7х; б) х/х2 - 4 + х/1 - х2 = 4.
026.10. a) 1g(х2 - 9) + 1g(4 - х2) = 1;
б) 1g (х2 - Зх) - 1g (2х - х2) = 0,5.
Решите уравнение:
026.11. а) х/7х - 6 = х; в) х/бх - 11 = х - 1;
б) х + 3 = х/2х + 9; г) -х - 5 = 77х + 23.
026.12. a) Vx4 - Зх - 1 = х2 - 1; в) х/х4 + х - 9 = 1 - х2;
б) х/х4 - Зх - 1 = 1 - х2; г) х/х4 + х - 9 = х2 - 1.
026.13. а) ^х* - 5х2 - 2,5х = 5 - х2;
б) х/х4 “ 5х2 - 2,5х - х2 - 5;
в) х/х4 - Зх2 - 1,5х = х2 - 3;
г) х/х4 - Зх2 - 1,5х = 3-х2,
026.14. а) (х2 - 9)(х/3 - 2х - х) = 0;
б) (х2 - 16)(х/4 - Зх - х) = 0.
026.15. a) sin 2х • х/4 - х2 = 0;
б) (cos 2х - 1) • х/9 - х2 = 0;
в) (cos2 х - sin2 х) • х/1 - х2 = 0;
г) tgx х/16 - х2 = 0.
167
•26.16. Найдите целочисленный корень уравнения:
. log2(7 + бх - х2) - log2(x - 2) _ „
а) 10х - 24 - х2
log12(6 + 5х - х2) _
б) х2 - 9х + 20
•26.17. а) Найдите сумму натуральных значений параметра и при которых уравнение (л/х - 4 - 2)(х - а) = 0 имееч единственный корень.
б) Сколько имеется натуральных значений параметра а, при которых уравнение (log3(2x - 11) - 1)(х2 - а2) = О имеет единственный корень?
§ 27. Общие методы решения уравнений
Будет ли уравнение вида h(f(x)) = h(g(x)) равносильно уравнению вида f(x) = g(x)?
27.1. а) 32~х = 3х2-4*; в) 1/7 - х = %5х + 1;
б) (Зх2 - 2)4 = (х - З)4; г) 1g 1 = 1g (2х - 7).
X
27.2. а) (2х4 + I)5 = (1 - х3)5;
б) log02(2sinx - 1) = log02(3 - sin2x);
в) л/2х - 1 = Ш - 3 - 2х;
г) cos (3х - 1) = cos(3 - 9х).
Решите уравнение:
027.3. а) 2^ = — V32;
2
б) iolog2(x’3) 0,00001 = 0,11ой(х’7).
027.4. а) о,5йпх-с08Х = 1;
/ /—\sin2x-l i— i----
б) (л/з) • Зл/З = ^/729.
027.5.
а)
б)
log3(x2 - 10х + 40) = log3(4x - 8); log08(9x - 4х2) = log08(x3 + 4х2);
в) log^^ = 1о^Ш;
г) log01 V5x - 6 = log01Vx2 - 2.
Решите уравнение:
027.6. а) (х2 - 6х)8 = (2х - 7)5;
б) (V6x - 1 + 1)9 = (>/бх + 8)9;
в) (22х + 16)20 = (10 • 2х)20;
г) (logjjjX - 2)3 = (21og01x + l)3.
027.7. a) sin Зх + — j = sin I x - — ;
I 3 J I 6 J
6) tgf-j - x) = tgf^ + 2x\
I о j I О j
в) cos x - — I = cos 2x + 4 ;
\ 4) \ 4 J
r) ctg 2x = ctg 3x.
027.8. a) 2x2+3 - 8X+1 = 0; б) 275~x2 - 3х2"1 = 0.
027.9. а) 2log8x-logsx2+2’8 _ (2^2 + 1/ - 9;
6) 3°°sx • 3-j3 = V3
027.10. a) (73)- = 6) (M™ .
027.11. a) loga (7x + 9) - log^ (8 - x) = 1; 3 3
6) logj 2 (3x - 1) + logj 2 (3x + 1) = log12 8.
Решите уравнение методом разложения на множители:
027.12. а) х3 - 9х2 + 20х = 0; в) х8 + 8Х4 + 12х® = 0; б) х3 - Зх2 - 4х + 12 = О, г) х3 + х2 - 9х - 9 = 0.
027.13. а) Тх8" - Зл/х3" - 18>/х = 0;
б) - З^х8 - 15^/х = 0.
027.14. а) 2х х - 4х - 4 + 2х = 0; б) 3х • х - 3х*1 + 27 = 9х.
Решите уравнение:
027.15. a) 2x2sinx - 8sinx + 4 = х2; б) 2x2cosx + 9 = 18cosx + х2.
027.16. a) sin2x = sinx;
б) cos2 (л - х) + sin 2х = 0;
в) 73cos3x = йпбх;
(X 1 1
л + — I-sinx = О
2
Решите уравнение методом введения новой переменной:
027.17. а) 8Х6 + 7Х3 - 1 = 0; б) х8 + Зх4 - 4 = 0.
027.18. а) 2х + 24~x =3; в) 5х + 4 = 52х+1;
б) 25'х - 50 = 5~х + 1; г) Зх + 1 - 29 = -18 • 3 х.
027.19. а) 72х + 1 - 50 • 7х = -7; в) 4sin2x + 4 = 17sinx;
б) log|x + 12 = 71og2x; г) Vx - \/х - 2 = 0.
027.20. a) ig2 х2 + 1g 10х - 6 = 0;
б) 3х + 3’x+1 = 4;
в) 2 cos2 х - 7 cos x - 4 = 0;
г) 52Л + 125 = 6 • 5Л + 1.
Решите уравнение, используя функционально-графические методы:
027.21. а) х = Vx; б) |х| = \[х.
027.22. а) 2х = 6 - х; б) (= х + 4.
027.23. а) (х - I)2 = log2 х; ( if б) logx X = X + - . 2 k Z )
027.24. а) 1 - >/х = In х; б) Jx - 2 = X
027.25. Сколько корней имеет уравнение:
a) lognx = sinx; в) log3nx = cosx;
б) х2 + 1 = cos х;
г) sinx = -х?
9
170
027.26. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:
а) 2х = sin х, [0; 4-эо); в) 7х = cos х, [0; 4-оо); / д у
б) — = cosx, (-ос; 0]; г) log3x = sinx, (0; 3]?
I о j
Решите уравнение:
027.27. а) х3 - бх2 + Их - 6 = 0; в) х3 + 2х2 + Зх + 6 = 0;
б) х3 + 7х2 - 6 = 0; г) х3 + 4х2 - 24 = 0.
027.28. а) (х - I)4 + 36 = 13(х2 - 2х + 1);
б) (2х + З)4 - 9 = 8(4х2 + 12х + 9).
027.29. а) (х2 - 5х + 7)2 - (х - 2)(х - 3) = 1;
б) ((х - 2)(х - 4))2 + 2(х - З)2 - 2 = 0.
027.30. а) х(х - 1)(х - 2)(х - 3) = 15;
б) (х - 1)х(х + 1)(х + 2) = 24.
027.31. а) ---------г = 3 - х - х2;
1 + X + X2 х2 ~ х _ х2 - х + 2 _ ч ' х2 - х + 1 х2 - х - 2
027.32. a) sin2 х + cos2 2х = 1;
б) cos2 Зх - sin2 Зх - cos 4х = 0.
027.33. a) cos 5х + cos 7х - cos бх = 0;
б) sin9x - sin5x 4- sin4x = 0.
027.34. a) cos бх - cos 2х + cos 8х - cos 4х = 0;
б) sin Зх - sin х + cos Зх - cos х = 0.
027.35. а) 3 tg2 х - 8 = 4 cos2 х; б) 4 sin2 х = 4 - 9 tg2 х.
027.36. a) sin3 х - sin2 х cos х + 3 cos3 х = 3 sin х cos2 х;
б) sin3 х + 5 sin2 х cos х = 6 cos3 х.
•27.37. a) sin х cos х - 6 sin х 4- 6 cos х 4- 6 = 0;
б) 5 sin 2х - 11 sin х = 11 cos х - 7.
027.38. а) 8Л - 3 • 4Л - 3 2Л+1 +8 = 0;
б) 4'°а>* _ 6.2log5* -I- 21ой125 = 0.
171
Решите уравнение:
•27.39. а) 2х 5^ = 50;
з
б) 3х • 2х = 24;
х- 2
в) 3х1 • 625х1 = 225;
2 + х
г) 5х 2“ = 40.
027.40. a) log02V5x - 4 = log02x;
б) log, л/Зх2 - 7х + 9 = log, (х + 2);
в) log3 (х - 1) = log3 7бх - 11;
г) log0,iх = 1о£о,4 Vx2 + х.
027.41. a) log2 5x + 12 = 71og2x;
б) logg5x - 61ogAJx + 8 = 0;
42
в) 9 logj х = lllog2x + 12;
г) 71og2x + 11 = 31og8x - 1.
027.42. a) logx+1(x2 - 3x + 1) = 1; 6) logx(2x2 - 3x - 4) = 2.
027.43. a) In (0,2х - 7) = In (9 - 3 0,2х);
б) 9'°вз* _ 12 • 3log3* + 31о6зЭТ = 0;
В) gteU-2) . 1 = (e-iyg(x+l).
e
r) log5(2 + 3 5 х) = x 4- 1.
027.44. a) ioln2(3x-e)-51n(2x + e) = (0,l)ln(2x + e)5_1;
6) 1g (9х + 3X+1 - 1) - lg(3x - 2 • 9х) = 0.
027.45. a) log10 (lg(x + 1) - I)-1 = log0,(31g(x + 1) - 1) -- log0jr(lg(x + 1) + 3);
6) log^(3x - 2л/3х - 1) = 21og3(2V3x - 1 + 1).
027.46. a) 1g2 x - 5|lgx| = 0; 6) ln2x - = 0.
172
Решите уравнение:
027.47. a) log25x - 3|log0>5x| + log05x = 0;
б) lg2x - 9|lgx| - Igx = 0.
027.48. a) logj (2 sin x - 1) = logj (2 - sin2 x); 5 e
6) log5(2cos2x - 1) = log5 (-11 cos x + 5).
027.49. a) log2sinx = log2(-cosx);
6) log3cosx = log3(-sinx).
027.50. a) Vxsinxlog2x = 0;
6) \l3x + 1 cos 2x Igx = 0.
027.51. a) 25l-1fsinx - |log0 5(x + 4) = 0;
6) (sin 2x + cos 2x)(x - 8^2x - 15) = 0.
027.52. a) 1 + x2 = ; 6) 3 - x2 = Й*1.
027.53. a) 2 - x - Vx = 0; 6) log5x - 1 + (x - 5)3 = 0.
•27.54. a) sin — x = x2 - 4x + 5; 6) -cos 7nx = x2 - 6x + 10.
4
•27.55. a) л/x2 - 2x + 2 + log3 Vx2 - 2x + 10 = 2;
6) (x - 7)6 + log5 Vx2 - 14x + 74 = 1.
•27.56. a) log2 (x2 - 4x + 8) = sin - cos
6) log3(x2 + 4x + 13) = cosnx - sin^.
•27.57. a) In2 (x2 - 3x - 9) + y/x3 - 8x - 8 = 0;
6) arctg4(x3 + 2x2 - x - 2) + ^xi + x3 + 2x2 - x - 3 = 0.
173
§ 28. Равносильность неравенств
28.1. Придумайте три неравенства, равносильных неравенству: а) х2 - 9 < 0; б) 1 < |.
х 3
28.2. Придумайте три неравенства-следствия данного нера венства:
a) log0 2 х < Ф б) 10х 3 < 1.
28.3. Являются ли равносильными неравенства:
a) sin х + 2 log3 х > 20 и sin х > 20 - 2 log3 х;
б) ;S- --- > 1 и sin х > Vx2 + 1;
в) 13 - 13х2’4 > 10х и 13 > 10х + 13х2’4;
г) 104*-1 • 1g(х2 - 4) < 0 и 1g(х2 - 4) < 0?
28.4. Данное неравенство замените более простым равносиль ним неравенством:
a) 1g (х2 + 9) > 1g (2х2 + 4);
б) 1,47х-9 < 1,4х2-6;
в) V4x - 9 > %/7х + 9;
г) log0 2 (16х2 + 8) < log0 2 (*2 + !)•
Решите систему неравенств:
_ СЗх - 11 > 2х + 13, „ [бх + 2 < 4х + 24,
028.5. а) •[ б) <
[17х + 9 < 9х + 99; [2х - 1 > х + 7.
028.6. а) + - (* - 1)! * 12’
[(х + 4)(х - 4) - (х + 2)2 < 9;
Г (х — 2)(х2 + 2х + 4) - х3 < 8х,
6 [Зх - 16 < х.
7 + Зх < 5х + 3,
29 + 25х > 2(13х + 9),
028.7. a) j 7х - 15 < 4х - 3,
б) <! 2х > 5,
11х - 32 > 13х - 42;
3(5х + 3) < 4(4х + 3).
174
Решите систему неравенств:
028.8. а)
Зх + 5 , 10 - Зх 2х + 7 о
7 5 3
7х _ 11(х + 1) Зх - 1 _ 13-х.
3 6 3 2 ’
< 2х,
4 2
1 ( _ у + х
9 5к 7 3
(х3 < X
[Зх2 - х > 5 - 15х;
028.10. а) х + 2
24
(х + 2)1 2
< О,
х^5 < х
х - 7
Зх + 4
,4х - 2
-Зх < 9;
х2 - 1,5х - 7
б) <J (х - 4)2
> О,
х2 < 25.
Решите совокупность неравенств:
028.11. а)
б)
х2 - 4 > О, х - 6 < 0;
'(х + З)3 > 27, 4х - 1 < 12х;
х(х + 1) < О,
Зх - 9 > 0;
(х + 3)(х2 - Зх + 9) < 54, х2 - 9 > 0.
028.12. а)
2* ~ 3 > О, х + 3
^±1 < о;
,4х - 2
(х + 3)(х - 1) > О,
2-х2 < 0;
х + 3 х
-3-< 2;
_х - 2 х
х2 < 25,
175
Решите неравенство, применяя теоремы о равносильно сти неравенств:
028.13. a) log14 (х - 1) < log14(2x + 3);
б) log0,3 (2х + 1) < 1°£о,з (х - 3).
028.14. a) logj (2х2 - 5х) > logj (2х - 3);
б) 1g (5х2 - 15х) < 1g (2х - 6).
028.15. а) 2^ > |>/128; б) О,5ЙПХ + ^ < 1.
Решите неравенство:
028.16. a) log9 (х2 - 10х + 40) < log9(4x - 8);
б) log0 7(9x - 4х2) > log0 7 (х3 + 4x2);
г) logj (5х - 4) < logj х2. 3 3
028.17. а) (х2 - 6х)5 > (2х - 7)5;
б) (х2 - 2х)9 < (2х - х2 - 2)9;
в) (х2 - 10)11 < (5 - 2х)и;
г) (6х2 - 4х - 2)7 > (х2 + Зх + 10)7.
028.18. а) (2х+] + I)6 > (2х + 17)6;
б) (2 • 0,1х + З)10 < (0,1х + ЮЗ)10;
в) (3 - 31og02x)13 < (log0,2 х + 7)13;
г) (31og7 х - 24)5 > (2 log7 х - 22)5.
028.19. а) 2х2"3 - 8Х + 1 > 0; б) 275 *2 - З^1 < 0.
028.20. а) (ТзГ <
176
Решите неравенство методом введения новой перемен ной:
028.21. а) 32х - 2 • 3х - 3 > 0; б) 2 • 52х - 5х - 1 < 0.
028.22. а) 31 + х • 21 х + 3х • 2 х < 10,5;
б) 2х 51-х + 2Х+1 5"х > 2,8.
028.23. а) л/х - Vx - 2 > 0; б) tfx - 6'^х + 8 < 0.
028.24. а) 3х + 3 х'1 < 4; б) 25 х - 50 > 5’х+1.
028.25. a) log2x - 71og2x + 12 < 0;
б) 31og^ х - 10 log! х + 3 > 0.
3 3
028.26. a) log2(x - 1) + 31og2(x - 1) + 2 > 0;
6) giogoj* _ 4 . 3iogo,i* + ОД10^-13 < 0.
028.27. a) 2 sin2 x - 3 sin x + 1 < 0;
6) cos2 x - 5 cos x + 4 < 0.
Решите неравенство, применяя функционально-графические методы:
028.28. а) 3х > 12 - 1,5х; б) 3х > Vx; в) 3х < 12 - 1,5х; г) 2х < Vx.
028.29. a) log2x < 6 - х; б) log3x > х3; в) log2 х > 6 - х; г) log3x < X3.
028.30. a) Igx < — - 1; X б) log16x > - 1.
028.31. Найдите область определения функции:
о \ п V9 - х2 = Ух2 - 4
,у log7(2-x)’ ° 7 * log8(x - 3)*
Решите неравенство:
028.32. а) х2 + 1 > cosx; в) х2 + 1 < cosx;
/ \2 z \2
б) sinx <- х + -1; г) СЛ t—*• P V 1 + 4 1
028.33. а) З*”2* > cosx; в) ЗШ^ < cosx.
б) у/х2 + 1 < cosx; г) Vx2 + 1 > sinx.
177
Решите неравенство:
028.34. а) 9Х+2 + 4 • 32х+2 > 4-; б) 8х’2 + 3 • 23х“2 < 24-.
3 2
028.35. а) 4Л - 9 • 2Л + 8 < 0; б) 9Л - 10 Зл + 9 < О.
028.36. а) х4 — 8х — 6х3 + 12х2 > 0;
б) х4 + 12х < 13х2.
028.37. а) (х - 2) log4 (х + 2) > 0;
б) (3 - x)71og3(x + 5) < 0.
028.38. а) (х - 3,1) 1п(х2 - 10х + 22) > 0;
б) (х - 7,3)1п(х2 - 8х + 8) < 0.
028.39. а) (2х - 3)(3х - 4) < 0;
б) (31og3x - 1)(3х - 4) > 0.
028.40. а) (х + 3) logj х < 0;
7
б) (х - 5)Vx + 1 < 0;
г) хл/х + 7 < 0.
028.41. a) 4xlog2(x2 - 8) > 0;
б) 3x2~19Vx2 - 4 < 0;
в) V=x logj (100 - х2) < 0;
8
г) (2х2-5 - 0,5)log6(4x + 1) > 0.
028.42. а) —3)(3* 4 + °>3) > 0;
х + 2
(х + 5)(г^ + 0,г)
б) ----------------- 0.
х - 2
•28.43. а) (х2 - 2x)(tg2x + 2X+1) < 0;
б) (х2 + 4x)(ctg2x + 3х-1) < 0.
178
Решите неравенство:
О2Л АЛ. 5Й ^2х + 4 > У2* + 4 . л/7 + 6х < >/7 + 6х
028.44. а) 3 _3 , б) 0 2х + 1 0,3x + i •
028.45. a) (sin2 х + l)(lg (2х - 3) - 2) < 0;
б) (V6x - 1 + 5)(5х2-1 - 0,2) > 0;
в) cosx(2x + 3 + 3х-7) > 0;
г) (2 - V3x + l)(log25(3x - 6) + 2) < 0.
028.46. a) > 7“2'+11; в) (3-1 2* < 3cos2x-o,5.
б) 0,3^2 < X* г) Ю1п(х-2) • 0,1 > (10'1)1п(х+2).
028.47. a) lg(0,2x - 5) < log0>1(95 - 3 0,2х)1;
б) log0>1(3V3x + 1 - 2) > 0,25 • log01 V3x + 1 lg (О,Г8).
028.48. a) </32 x - 13 < + 11;
6) ^/2 In2 x - 31nx + 5 > ^/6 - 41nx.
028.49. a) logx (21 - 4x) > 2;
6) log2x-3(x2 - lOx + 9) < 2.
• 28.50. logx+2(x2 - 4x + 1) > log3x_5l.
x-6
• 28.51. (12x3 - 16x2 - 7x + 6)(logi (4 - 2x) + log3 (x + 2)) > 0. з
• 28.52. log8 log9 log7x + 6 ((7x + 6)9 + x2 - x - 56) > 0.
• 28.53. (x2 - x + 1)^ < (x2 - x + I)3.
• 28.54. a) yjsinx - 1 < 4 - x2; 6) y/cosx - 1 > x2 - 49.
• 28.55. a) 61og3|x - 1| < 14 + 2x - x2;
6) log2 (x2 + x - 10) > 25 - 2x - 2x2.
179
Решите неравенство:
•28.56. а) ^4 - log05 х < х - 1 + ^6 - log8 х3;
б) Jlog s Vx < yj\og3 243x - /logj —. V з x
•28.57. a)
(x2 + x + I)2 + 21X3 + x2 + x) - Зх2 lOx2 - 17x - 6
(x2 - x - l)2 - 2(x3 - x2 - x) - 3x2 lOx4 - 43x3 - Эх2
•28.58. a) (x2 + 8x + 15)log05(l + cos2 ™ j > 1;
6) (lOx - x2 - 24) logj 4 sin2 + 1) > 1.
\ 2 I
§ 29. Уравнения и неравенства с модулями
29.1. Решите уравнение:
а) б) |х| = 7; |х - 8| = 7; в) |х + 5| = 7; г) |5х - 2| = 1.
29.2. а) |х + 2| = -7; в) |х + 8| = 2 - V7;
б) |х + 5| = -2 + V7; г) |х + 5| = 3,14 - л.
29.3. а) X + 1 _ р в) 2х + 5 = 2;
х - 3 2-х
б) 4* - 5 = 4. г) 2 Зх = з.
4х + 1 3 + х
029.4. Решите уравнение для каждого значения параметра р:
а) |2х + 1| = р; в) |2х + 1| = -1 - 5р;
б) \х2 - 1| = (р - 1)р; г) |х2 - 1| = 4{р - 1) - р2.
•29.5. Для каждого значения параметра р определите число корней уравнения:
а) \х + 1| = 2 - р; в) |2 - х| = 1 - 2 sinр;
б) |2х - х2| = log5 р; г) |х2 - 1| = 1g
•29.6. а) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых существует только один корень уравнения |х - 1| = р, удовлетворяющий неравенству х2 > 4.
б) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых существует корень уравнения |х - 1| = р, удовлетворяющий неравенству х2 > 4.
в) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых ни один корень уравнения |х - 1| = р не удовлетворяет неравенству х2 > 4.
г) Найдите все значения параметра р, при каждом из которых уравнение |х - 1| = р имеет корни и все они удовлетворяют неравенству х2 > 4.
029.7. Докажите, что уравнение
|/(х)| = /г(х) равносильно сис-
теме
/(х) = Л(х), < [_/(х) = -h(x), h(x) > 0.
Решите уравнение: 029.8. а) |2х - 3| = х;
б) |3х - 1| = х + 9;
в) |2х - 2| = 5х + 1;
г) |4х + 3| = -бх - 7.
029.9. а) |х2 - х| = 4х; в) |х2 - бх + 10| = х;
б) |2х - х2 + 3| = х + 7; г) |-х2 + 4х - 5| = -х.
•29.10. a) |log2x| = log2(2x - 3);
б) |log3 (Зх - 2) + log3(2x - 1)| = log3(2x - 1);
в) |log5 (х + 3)| = log5(4x + 1);
г) |log7 (2х - 7) - log7(x - 11)| = log7(x - 11).
•29.11. a) |cosx| = sinx;
в) I sin 2x| = cos x;
6) | cos 3x| = -cos x;
r) |sin5x| = -sinx.
029.12. Докажите, что уравнение |/(x)| = |Л(х)| равносильно со-
вокупности уравнений
Дх) = Л(х);
/(х) = -Л(х).
Решите уравнение:
029.13. а) |х2 - 5х| = 4|х|;
б) |2х - х2 + 3| = |х + 3|;
в) |х2 - 6х + 10| = |х + 10|;
г) |—х2 + 4х - 8| = 2|-х| .
029.14. а) |х - 5| + 4|х| = 17; в) |х + 10| - 2|х - 10| = 11; б) 2|х - 5| - |х + 6| = 7; г) 3|4х - 5| = 2|-х| + 1.
029.15. Докажите, что уравнение |/(х)| + |Л(х)| = 0 равносильно „ f/(x) = О, системе уравнении <
[Л(х) = 0.
Решите уравнение:
029.16. а) |х2 - 4х + 3| + |х2 - 5х + 4| = 0;
6) тЛ„ - + |х! + X - 2| = 0;
х2(х + 1) х + 2
в) |х2 - 2х| + |2х2 - 5х + 2| = 0;
г) + Iх2 - 6х - 7| = 0.
2х + 1 х3(х +6)
029.17. а) |1 + log2x| + |1 - V2x| = 0;
•29.18. а) | sinx| + Icos —
2
= 0;
б) |sin3x + cos3x| + |cos6x| = 0;
в) |cos2x| + |sin4x| = 0;
г) |V3sin3x - cos3x|
= 0.
+ 1 - cos 6x — ~ l о
•29.19. Докажите, что уравнение |/(х)| + |Л(х)| = f(x) равносильно
[ й(х) = О, системе <
\f(x) > 0.
182
•29.20. Решите уравнение:
в)
г)
+ |sin27rx + sin?rx| = —-—
+ |3sinx - sin Зх| = .
sinx smx
•29.21. Докажите, что уравнение |/(х)| + |й(х)| = /(х) + /г(х) равно-
сильно системе
Лх) > О, й(х) > 0.
•29.22. Решите уравнение:
а) |х2 + 2х - 3| + |-х2 + 2х + 8| = 4х + 5;
б)
х
X - 1
в) |х3 - 4х| + |5х2 - х3| = 5х2 - 4х;
г)
Зх
- х - 2;
•29.23. Докажите, что уравнение | f(x)| + |Л(х)| = \f(x) + h(x)\ равно-
сильно неравенству f(x) • h(x) > 0.
•29.24. Решите уравнение:
а) |х2 + 4х| + |-х2 + 9| = |4х + 9|;
б)
(х + I)2 + х + 1 X X
в) |х3 + Зх2 - х - 3| + |2х2 - х3 + 7х + 4| = |5х2 + бх + 1|;
г)
3-х х + 1
— Зх - 3
1 - Зх +
х + 1 + 4 + 4 ~ х X X
х + 2
х + 1
+ 4
+
- 2
х - 1
X х - 1
= 4 - Зх + -. X
5
х + 1
183
•29.25. Решите уравнение:
a) |2sinx + 1| + |-1 + 2cosx| = 2|sinx + cosx|;
б)
fc-l +
4
Igx - 3
2
lg2x Igx - 3
4 2
в) |2sin 2x - л/з| + |7з + 2cos x| = 2|sin 2x + cos x|;
r) 12 - lgx| + |log5 (x2 - 7x + 7) - 2| = |log5 (x2 - 7x + 7) - lgx|.
Решите неравенство: 29.26. a) |x| < 7;
6) |x + 5| > 7;
29.27. a) |x + 2| < -7;
6) |x + 8| > 2 - V7;
029.28. a) |3x - 9| > 6;
6) |4 - 2x| < 16;
b) |x - 8| < 7;
r) |5x - 1| > 1.
в) |x + 5| < -2 + 77;
r) |x + 5| > 3,14 - it.
в) |5x + 10| < 7;
r) |9 + 3x| > 12.
029.29. а) Докажите, что при a < 0 множество решений неравенства |/(х)| > а совпадает с множеством D(f) — областью определения выражения /(х).
б) Докажите, что множество решений неравенства |/(х)| > > g(x) совпадает с множеством решений совокупности 7(х) > g(x);
_Дх) < -g(x).
Решите неравенство:
029.30. а)
б)
------- 7х2 - 2х - 8
712х - х2
> 72 + 7з - 710.
029.31. а) |2х - 1| > х;
б) |4х - 12| + |5х - 15| > 9х - 9;
в) |3х - 4| > х + 1;
г) |12х + 4| + |9х + 3| > -7х.
029.32. Решите неравенство:
2
х + 2
х -
а)
> 3;
б) |х - 3|
в)
г)
Зх х + 2
х2 + 2
х - 1
> 2;
> 5.
• |х2 + х - 2| > 1.
х + 2
X X
х + 2 х - 1
029.33. Докажите, что множество решений неравенства |/(х)| < < g(x) совпадает с множеством решений системы
Г/(х) < g(x),
[f(x) > -g(x).
Решите неравенство: 029.34. а) |х + 1| < 2х;
б) |2х - 1| + |6х - 3| < 12;
в) |16 - 8х| < 4х + 2;
г) |12х + 4| + |9х + 3| < 28.
029.35. а)
< 3;
X
б) х
4 х
х х - 2
х _ х + 2 < 1_. х + 2 х - 1 2’
X х + 2
г)
х + 2 х - 1 < _1_
х - 1 5х + 4 10
029.36. Докажите, что множество решений неравенства |/(х)| < < |Л(х)| совпадает с множеством решений каждого из неравенств:
а) /2(х) < Л2(х); б) (Дх) - й(х))(Дх) + Л(х)) < 0.
185
Решите неравенство:
029.37. а) |5х + 3| < |2х - 1|; в) |3 - 7х| < |х + 5|;
б) |9х + 1| > |5 - 9х|; г) |х - 3| > |2х + 3|.
029.38. а) |х* 2 - 7х + 3| < |2х2 + 5х - 10|;
б) |х2 + Их - 6| < 10|х|;
в) |х2 + Зх - 5| > |х2 - 7х 4- 5|;
г) |5х2 - х| > |х - 5| • |х 4- 2|.
029.39. а)
б)
1-х
1 + Зх
> |1 + х|;
х - х2
1 + х - Зх2
> |1 - х|;
в) 1--
X
г) х - — X
2 + — ;
х
2х2 - -х
029.40. а) Докажите, что неравенство |/(х)| > Дх) выполняется для любого х из области определения выражения Дх). б) Докажите, что неравенство |Дх)| > Дх) равносильно неравенству Дх) < 0.
029.41
Решите неравенство: а) |х2 - х| > х2 - х;
б)
х +__________1_________
|х - 2| - |х2 - 4|
1
Х+|х-2|-|х2 - 4|’
в)
г)
:2 - 4
1
х2 - 4’
- 2х2 | - |х - 2|
|х3 - 2х2 I - |х - 2|‘
029.42. а) |х2 + Зх - 1| > х2 + Зх - 1;
б) 1 - - > —— X X
в) |5х2 4- х| > 5х2 4- х;
г) |х| • |х - 7| > 7х - х2.
029.43. а) Докажите, что неравенство |f(x)| < f(x) не выполняется ни при каких значениях х из области существования f(x).
б) Докажите, что каждое из неравенств |/(х)| < f(x) и |-/(х)| f(x) равносильно неравенству f(x) > 0.
Решите неравенство:
029.44. а) |х2 + 4х - 5| х2 + 4х - 5;
3 с х2 - 2х - 3, X X
< 8х2 + —; х
в)
8х2 + — х
г)
1-х
х + 2
|х + 2| < х - 1.
029.45. а) |5х + 7| < 8х - 11;
б) |5 - 4х| < 8х + 17;
в) |5х + 7| < 14х2 - 2;
г) |5 - 4х| < И - 10х2.
029.46. а)
5х - -х
В) |х - 1| < ——
1 1 х + 2
х - 1 17х - 39,
х + 2 20х - 20’
х - 2
х + 2
х - 2 х
г)
029.47. а) |х2 + 7х - 7| < 2х + 7;
б) х2 + 5х + 1| < х2 + 6х + 1;
в) |5 - 4х - х21 < 7 - 6х - х2;
г) |х3 - х2 - 4х - 2| < -х2 - Зх - 2.
029.48. а) |7х - 11| > Зх + 5;
б) |5х + 7| > Зх2 + 11х - 2;
в) |4 - х| > -Зх - 2;
г) |5 - 4х| > 5 - 7х - Зх2.
187
Решите неравенство:
029.49. а)
5х - — х
> 4х;
в)
32 - 14х.
х -I- 2 ’
6)
17х - 39.
20х - 20’
г)
х - 1
х + 2
х - 2
х + 2
х - 2 х
029.50. а) |х2 - 2х - 5| > -2х - 5;
б) |-2х2 + 5х + 7| > 2х2 - 6х + 7;
в) |5 - 4х - х21 > 2 - х - х2;
г) |х3 - х2 - 4х| > -х3 - 5х - 4.
029.51. Докажите, что множество решений неравенства |/(х)| + + |g(x)| > |/(х) + g(x)| совпадает с пересечением множеств D(f) и D(g).
•29.52. Решите неравенство:
а) |х - >/Зх + 7| + |2х - >/Зх + ?| > |х|;
б) |х2 + 2х| < х2 + х - — —
। । V1 - х
+ х + ------
X
029.53. а) Докажите, что неравенство |/(х)| 4- |g(x)| > |/(х) 4- g(x)| равносильно неравенству /(х) g(x) < 0.
б) Докажите, что неравенство |/(х)| -F |g(x)| < |/(х) 4- g(x)| равносильно неравенству /(х) • g(x) > 0.
Решите неравенство:
•29.54. а) |3х + 5| + |х2 - 7| > |х2 + Зх - 2|;
в) |3х + 5| + |х2 - 7| < |х2 + Зх - 2|;
029.55. а) х2 - 4|х| + 3 > 0;
б) (х2 - Зх)2+ |3х - х2| - 20 < 0;
в) (х - 2)2 - 4|х - 2| - 96 < 0;
г) (х2 - 5х)2 - 5|5х - х2| - 6 > 0.
029.56. Решите неравенство:
а) х2 + 1 х2 - 4 х + -X - 3 < 0;
б) х2 + 4 X2 + j с+ 2 X -16 < 0;
в) х2 + 1 X2 + 2 х - - X - 10 > 0:
г) х2 + 9 х2 - 4 00 | н 1 н — 2 < 0.
•29.57. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственный корень:
а) |х + 1| + 2|х - 1| = 1 - а;
б) 2|х - 5| - |х + б| = 2а - 1.
•29.58. Найдите все значения параметра t, при которых неравенство |х + 2| + |х - 7| > t выполняется: а) для любых значений х;
б) хотя бы для одного значения х;
в) для любых значений х > 10:
г) для любых значений х < 1.
•29.59. а) Найдите все значения параметра t, при которых неравенство |х + 2| + |х - 7| + |х + 4| > t выполняется: а) для любых значений х;
б) хотя бы для одного значения х;
в) для любых значений х < -7;
г) для любых значений х > -1.
•29.60. Найдите наименьшее значение функции у = Дх):
a) f(x) = |х - 1| + |х - 2| + ... + |х - 10|;
б) f(x) = |х - 1| + |х - 2| + ... + |х - 9|.
§ 30. Уравнения и неравенства со знаком радикала
30.1. Решите уравнение:
a) Vx = 7;
б) Vx + 1 = -1;
в) V6 - х = 8;
г) Vx + 1 = -2.
Решите уравнение:
30.2. a) 7х2 - 4х - 3 = 3;
в) 736 - х - 12х2 = 5;
б) 7Х3 - 2х2 + 1 = 1;
г) х/1 - X2 - X3 = 1.
030.3. а) 7х + 2 73х - 2 = 4;
б) 7(х + 2)(3х - 2) = 4;
в) ~Jx - 2 73х + 7 = 4;
г) 7(х - 2ХЗх + 7) = 4.
30.4. а) ^2 sinx = 1;
б) е/I - 2cos4x = 72 - ТЗ;
в) ( 4tg4 = 2; V 4
г) 72sin3x + 1 = -1.
030.5. a) 71g (1 - х) = 1;
б) log0>2 7бх2 - 25 = -1;
в) ^J].og2(x2 + Зх - 24) = 2;
г) log0 25 Vx2 - 6х - 11 = -0,5.
030.6. Найдите все действительные значения а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один действительный корень:
a) 7х - 4 = 2 - а; в) 716 - х2 = а + 1;
б) 7х2 - 2х - 7 = 1 - а; г) 71 - 4х - х2 = а.
030.7. Докажите, что уравнение ^f(x) = ^h(x) равносильно каж-
„ [/(х) = Л(х), (7(х) = Л(х),
дои из систем: ! 1,, , „
[f(x) > 0, [h(x) > 0.
030.8. Решите уравнение:
а) 7х - 2 = 74 - х;
б) Vx3 - 2х2 + 1 = Vx3 + х2 - 8х - 2;
в) 725 - х2 = 75х - 11;
г) 7х3 - х2 = 72 - х - х2.
Решите уравнение: 030.9. a) Vsinx = Vcosx;
б) у]2 - tgx = Vctgx;
в) у]2 - T3sin2x = 7cos2x;
г) Ttgx = yjctgx.
030.10. a) ^Ig (1 - х) = .figx-,
б) ^log0>2>/х -Т = ^logo.2V3 - х;
в) 71оёо,з (1 - *) = 71оео.з*;
г) ^log0 2 7x^7 = ^logo.2 79 - X.
•30.11. Решите уравнение с параметром а:
а) л/х + 2 = \12а - х;
б) >/х - 2а = \/4 + 2а - 5х;
в) л/ба - 2х + 1 = л/бх - а - 7;
г) V4 - х2 = л/4х + а.
030.12. Докажите, что уравнение y/f(x) = й(х) равносильно си-
f/(x) = Л2(х), стеме <, z ч Л
[Л(я) > 0.
Решите уравнение:
030.13. a) Vx + 12 = х;
б) л/х3 + х2 + 1 = х;
в) 75 + 12х - х2 = х - 7;
г) 7х3 + X2 - 1 = X.
030.14. а) 7Х4 - Зх2 + 4 = х2 - 5;
б) 7Х4 - Зх - 1 = х2 - 1;
в) 7Х4 - Зх2 + 4 = 5-х2;
г) 7х4 - Зх - 1 = 1 - х2.
Решите уравнение:
•30.15. a) \/cosx = sinx;
б) Jo# + sinx + cosx = cosx;
в) A/cos2x = sinx;
r) yjsinx + sin 3x = -cosx.
030.16. a) Vx + 3 + >/5 - x = 4;
6) V3x + 16 - 2jx - 2 = 3;
в) V2x + 6 + 78 - x = 5;
r) 5-73 - x - 2Vx + 10 = 4.
030.17. a) Vx + 1 - 79 - x = 72x - 12;
6) 4x - 7x + 1 + Vx + 9 - 7x + 4 = 0;
в) 72x + 5 + 75x + 6 = 712x + 25;
r) 75 + 7x + -\/б ~ \/x =
030.18. a) 73X2 - 2x + 15 + 73x2 - 2x + 8 = 7;
6) 7x2 + x + 4 + 7x2 + x + 1 = 72x2 + 2x + 9;
в) 7x2 - 3x + 3 + 7x2 - 3x + 6 = 3;
r) 7x2 + x + 7 + 7x2 + x + 2 = 73x2 + Зх + 19.
030.19. a) 4x = x - 6;
6) Vx2 + x = 2(x2 + x) - 3;
в) y/5 - x - x + 1;
r) x + 13 + 718x2 - x - 1 = 18x2.
030.20. a) + 4 • = 4;
N 2x - 1 \2x 4- 3
\ t / x 4- 3 /5x — 1 r*
°>5 Vsm+ \1-ггз =6-
192
Решите уравнение:
030.21. а) (х + 1)(х + 4) - 3>/х2 + 5х + 2 = 6;
2 о L 2 4 34 28х
б) х2 - Зх + ^9х2 + X - - = - - —.
030.22. а) х • + (х + 5\М— = 12;
V X N X + 5
б) (х - 511^2. + (х + 2)J^4 = 14^2-
V х - 5 V х + 2
030.23. а) + 20 = 2х;
б) л/бТ 12 • 3х - 9х = 3х - 7;
в) л/7^0,5х = 0,5х - 1;
г) 5>У36Х - 2 = 4Х+1 9х - 14.
•30.24. а) Тр2Г + 42| = 2х; б) V|5 + 12 • 3х - 9х | = 3х - 7.
•30.25. а) л/х + 2у[х - 1 + л/х - 2>/х - 1 = х - 1;
б) 7* + 8 + 2>/х + 7 + yjx + 1 - 4х + 7 = 4.
•30.26. а) 1/х~+1 + ^/28 - х = 5;
б) Гх + ^/2x^3 = ^12(х - 1);
в) Vx2^! + Ух2 + 18 = 5;
г) Vx + ух - 16 = Ух - 8.
•30.27. a) figx + 2-^lgx - 1 + yjigx - 2^/lgx - 1 = Igx - 1;
б) ь 8 + 2^5Х + 7 + л/бх + 1 - л/5х + 7 = 4.
•30.28. a) 4x + Ух+ 5 = 9 - x;
6) Зл/m + 5УЗх + 10 = 30 - 2x.
193
Решите уравнение:
•30.29. а) ^х + | + V8x + 3 + 2</х = 6 - 16х;
б) V3x + 1 + 5^/х = 20 - х + V17 - х.
•30.30. a) Vx3 + х2 - 1 + л/х3 + х2 + 2 = 3;
б) л/х3 - 4х2 + х + 15 + Vx3 - 4х2 - х + 13 = х + 1.
•30.31. a) 4(V1 + х - 1)(V1 - х + 1) = х;
б) х + >/х + >/х + 2 + >/х2 + 2х = 3.
•30.32. a) V2 - х + л/-Ю - х = 0;
б) V2x - 1 + Vx + 7 = 3.
Решите неравенство:
30.33. а) < 7;
б) ^х + 1 > -1;
030.34. а) Vx2 - 4х - 3 < 3;
б) \/х3 - 2х2 + 1 > 1;
в) V6 - х < 8;
г) л/х + 1 > -2.
в) V36 - х - 12Х2 > 5;
г) V1 - х2 - X3 < 1.
030.35. a) Vx + 3 • V4x + 5 < 6; в) Vx - 2 • V2x + 3 > 3;
б) 7(х + ЗХ4х + 5) < 6; г) 7(х - 2)(2х + 3) > 3.
030.36. a) 4/2cosx > 1;
б) ^1 + 2cos4x > л/2 - л/3;
в) .«/в ctg < 2; V
г) ^2sin3x - 1 < -1.
030.37. Решите неравенство:
a) ^Ig (1 - х) < 1;
б) log0>2 ^/бх2 - 25 > -1;
в) 71og2 (х2 + Зх - 24) < 2;
г) log0 25 x/x2 - бх - 11 > -0,5.
030.38. Найдите все действительные значения а, при каждом из которых неравенство имеет хотя бы одно решение: a) x/х — 4 < 2 - а; б) х/16 - х2 < а + 1.
030.39. Найдите все действительные значения а, при каждом из которых неравенство не имеет решений:
а) 7х - 4 > 2 - а; б) х/16 - х2 > а + 1.
030.40. Докажите, что неравенство y]f(x) < 7^(х) равносильно
двойному неравенству 0 < /(х) < й(х).
Решите неравенство:
030.41. а) x/х - 2 > х/4 - х;
б) х/х3 - х2 > х/2 - х - х2;
в) х/25 - х2 < х/5х - 11;
г) x/х3 - 2х2 + 3 < x/х3 + х2 - 8х + 8.
030.42. a) x/sinx < х/cosx; б) ^2 - л/З sin2x > 7c°s2x.
030.43. a) ^Ig (10 - 5х) > /gx;
б) 7loSo,3 <18 - 7х) < 7loSo,3°>25x-
•30.44. Для каждого значения параметра а решите неравенство:
а) x/х + 2 > \/2а - х;
б) x/х - 2а > х/4 + 2а - 5х;
в) х/5а - 2х + 1 < х/бх - а - 7;
г) х/4 - х2 < >/4х + а.
195
030.45. а) Докажите, что неравенство y]f(x) < равносильно
f(x) < h2(x),
системе s hfx) > 0,
[f(x) > 0.
б) Докажите, что неравенство y]f(x) > h(x) равносильно
Jf(x) > 0, ff(x) > Л2(х), совокупности двух систем: s <
[Л(х) < 0, [Л(х) > 0.
Решите неравенство:
030.46. a) Vr+“6 < х; в) >?2х3 + х2 - 20 < х;
б) >/5 + 12х - х2 > х - 7; г) V2x3 + х + 3 > хТб.
030.47. а) 7(х + 2)(х - 5) < 8 - х;
б) Vx2 - 4х > х - 3;
в) >/х2 - 5х + 6 С х + 4;
г) V3x2 - 22х > 2х - 7.
030.48. a) Vx4 - Зх2 + 4 < х2 - 5;
б) Vx4 - Зх2 + 4 > х2 - 5.
030.49. а) ^17 ~ 15х ~ > 0; в) х1° ~ 7х--+ > 0;
’ х + 3 ’ х -1
„ V14 - 11х - Зх2 п. . V12 + 8х + х2 п
б) -----JV3------0’ г) ----ТТ5----- С U-
X -г О X т О
•30.50. а) у]3х + 1 + Vx - 4 - л/4х + 5 < 0;
б) 2л/х + 1 - >/х - 1 - 2л/х - 3 > 0;
в) 2^2х - 7 - 7х - 4 > 2ч/х^“3;
г) л/6 - х + >/Зх - 5 < >/4х + 1.
Решите неравенство:
030.51. а) 7х2 + х < 3(х2 + х) - 4;
б) х + 3 + 72х2 - х - 1 > 2х2.
030.52. a) + 4’Jfel >
r\ ₽; I х + 3 , I5x - 1 й
615 Veth + \1ттз =6-
•30.53. a) 72 - x - \/'3x + 5 < 3; 6) 72x - 1 + 7x + 7 > 3.
•30.54. a) + (x + 1)J—< 272;
V x n x + 1
6) (x - + (x + > 4V2.
•30.55. a) sinx7cosx + cosx7sinx < 0;
6) (sinx + cosx)7cosx + cosx7(sinx + cosx) > 0.
•30.56. a) 7-3x + 12 < 3х;
б) 7б + 12 • 5х - 25х > 5х - 7;
в) д/7 - 0,2х < 0,2х - 1;
г) 57100х - 2 > 4Х + 1 25х - 14.
•30.57. а) у/cosx > sinx;
б) 70,5 + sinx + cosx < cosx;
в) 7cos2x > sinx;
г) фтх + sin3x < cosx.
•30.58. a) 7x + 7x + 5 < 9 - x;
6) 37x + 2 + 573x + 10 > 30 - 2x;
в) 7-х + 77-х < х + 16;
г) 72-х + 3710 - Зх < 2х + 18.
197
Решите неравенство:
•30.59. а) х + - + х/8х + 3 + 2^/х < 6 - 16х; V 8
б) V3x + 1 + 5х/х > 12 - х + х/17 - х;
в) . х + — + V8x + 3 + 2yfx > 6 - 16х;
v 8
г) у/Зх + 1 + 5х/х < 12 - х + х/17 - х.
•30.60.
1 2 3 > 10 + х/з + х/?
х/х + 1 - 1 х/2х + 3 - х/з x/Зх + 7 - V? X
•30.61. Для каждого значения параметра а решите неравенство: a) >] х — а < 1 - х; б) у/х + 2 > х + 2а.
•30.62. Решите неравенство:
а) > i±3; в) х/m <
х + 1 х + 2
б) х/х + 2 > г) х/2х + 3 <
х - 1 1-х
§ 31. Доказательство неравенств
031.1. Сравните числа а и Ь, связанные заданным соотношением:
а) а + 6 = b - 5; в) Ь - — = а * 0;
а а
б) а3 - a2(b + 1) + а = Ь; г) - 2--= -3————т
7 v 7 7 а2 + 1 а6 + (г + а + 1
Сравните числа а и Ъ:
031.2. а) а = 100!, b = З100; б) а = 100!, b = 1О100.
•31.3. а) а = З369, b = 5246; б) а = 5963, b = II642.
031.4. а) а = sin 1 sin 2, b = cos 1 cos 2;
6) a = cos 1 sin 2, b = sin 1 cos 2.
•31.5. а) а = sin (cos 1), b = cos (cos 1);
б) а = cos (sin 1), b = cos (cos 1).
198
Сравните числа а и Ь:
031.6. а) а = log312, b = log3 2 2;
б) а = log0 2 37,2, b = log0,337,2;
в) а = log5 40,3, b = log5 30,3;
г) а = log0 22 0,7, ъ = log0,зз ОД.
031.7. а) а = log38, b = log27; в) а = 1g 995, b = log330;
б) а = log22 4, b = log336; г) а = log0>27, b = log0j317.
031.8. Докажите:
а) если а + b > О, а * О, b * О, то + Д > — + er а b
б) если а + Ъ > 0, то ab(a + b) С а2 + Ъ2.
Докажите неравенство:
031.9. а) а2 + 2b2 + 2аЬ + Ъ + 10 > 0;
б) а2 + Ь2 + с2 + 3 > аЬ + Ьс + ас;
в) а2 + Ь2 + с2 + 3 > 2(а + Ъ + с);
г) 1 + 2а4 > а2 + 2а3.
031.10. а) х2 + ± > 2 (х # 0); б)
•31.11. а) (х2 + у2)(х2у2 + 1) > 4х2у2;
б) (а4 + &4)(а4&4 + 1)(а2&6 + а6&2) > 8а8Ь8.
•31.12. а2Ь2с2(а2 + Ь2 + с2) + a2b2 + b2c2 + с2а2 > Qa2b2c2.
031.13. а) X2 + > 5 (х # 0); в) x2i/2 + > 2хг (у Ф 0);
22 + 10 2. 67с2 + 3 .
б) VFT9 ’ г) с2+ 12
031.14. Докажите, что заданное неравенство выполняется при указанных условиях:
а) а + Ъ > 2у/аЬ, а > О, Ъ > 0;
б) а + b + с > 4ab + \[bc + Тел, а > 0, & > 0, с > 0;
в) (с + а)(а + &)(& + с) > 8аЪс, а > О, Ъ > 0, с > 0;
г) (1 - а)(1 - &)(1 - с) > 8abc, а + Ъ + с = 1, а > О,
Ъ > 0, с > 0.
031.15. Докажите, что заданное неравенство выполняется при ука занных условиях:
а) а + Ъ > ab + 1, а > О, Ъ > 0, ab = 1;
б) а + b + с > 3, а > О, Ъ > 0, с >0, abc = 1;
v)a + b + c + d> 4, а > О, Ъ > 0, с >0, d > О, abed = 1;
г) ах + а2 + а.л + а4 + а5 > 5, > 0, а2 > 0, а3 > О,
> 0, аъ > 0, а2а&а^ а^ — 1.
Докажите неравенство:
031.16. a) yjp + q < у[р + yfq; р > 0, q > 0;
Ip + Q NP + л а
б) Р > о, q > 0;
V ct ct
в) \/р + q + г < Jp + Jq + >/r; p > 0, q > 0, r > 0;
r) /ZZZZZ > £±4±£; p > o, q > 0, r > 0.
Vo о
•31.17. a) 12 + 22 + 32 + ••• + n2 < 1 + j . 2 + 2 3 + + (n - l)n’
12 92 Ч2 1D2
«4F + i^ + i7y + -+i7W<W-
>31.18. Докажите, что для любого натурального числа п > 2 выполняется неравенство:
а) Л + V2 + л/з + ... + \[п > те,
б) п + 1 + ЙТ2 + п + 3 + + 2п > 2’
031.19. Докажите неравенство:
л, л 2’ 2
в) Vcosx > cosx > cos2x, х е
г) Vsinx > sinx > sin2 x, x e (0; л).
200
031.20. а) Докажите, что tgAtgB < 1, если А, В — острые углы тупоугольного треугольника.
б) Докажите, что tgAtgB > 1, если А, В — углы остроугольного треугольника.
031.21.
Пусть х е 0; — , у е 0; — . Докажите, что:
1 2 / \ 2 J
a) > sinx + any.
\ — х + у \ cosx + cosy, в) cos—>-------------2----
2
б) tgii» <
г) ctgilJ' S
Ci и
031.22. а) Пусть пик — некоторые натуральные числа, большие или равные 2. Докажите, что sinnx + cos^x < 1 при всех действительных значениях х.
б) Пусть аир — некоторые положительные действительные числа, меньшие 1. Докажите, что sinax + cos*3 х > 1
при всех х е
0; -
2J
Докажите неравенство, воспользовавшись методом математической индукции:
•31.23. а) 2П > п2, где п > 5; б) 2П > п3, где п > 10.
•31.24.
б) 2л/п > 1 + где п > 2.
7 V2 х/3 Jn
031.25. С помощью производной докажите неравенство:
a) sinx - х < 0 при всех х е (0; +оо);
б) tgx - х > 0 при всех х g (в;
031.26. Докажите неравенство:
а) 1 + 1пх < х при всех х е (0; +оо);
б) ех > 1 + х при всех х е R.
201
•31.27. Докажите неравенство.
т2
а) 1п(1 + х) > х - при всех х е (0; +оо);
б) sinx > х - — при всех х е (0; 4-оо);
х2
в) ех > 1 4- х 4- при всех х е R;
х2
г) cosx > 1—при всех х е (0; 4-оо).
§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Построите график уравнения:
32.1. а) х2 = 1;
б) у2 = 9;
32.2. а) х = у",
б) Зх - 4г/ = 12;
в) х2 - 2х + 1 - 0;
г) у2 - бу + 8 = 0.
в) х + у = 2;
г) 2у - х - 4 = 0.
Решите уравнение /(х; у) = 0 относительно х, т. е. пре образуйте уравнение к виду х = х(у). Найдите все значе ния у, при которых это решение единственно:
032.3. а) ху + у - х = 0;
б) ху2 + xt/5 - (1 + t/3) = 0;
в) ху 4- у 4- 2х = 0;
г) ху - (х - 1)г/3 -1 = 0.
032.4. а) ух + х + у + 1 = 0; в) ух + 4х + 2у + 8 = 0;
б) у2 + (х + 1)г/ + х = 0; г) у2 + 5xi/ + 4х2 = 0.
032.5. а) |х| - (х + у) = 0; в) |г/ + 1| - (х - у) = 0;
б) 5|х| - |х + у\ = 0; г) |t/| - |х| - 2х - Зу - 4 = 0.
Постройте график уравнения:
032.6. а) х2 - 3xi/ = 0; в) ху + 2у2 = 0;
б) (х - l)(t/ + 5) = 0; г) ху - 5х + у = 5.
032.7. а) х2 - у2 = 0; в) х2 - 3xi/ + 2у2 = 0;
б) х2 + 7ху - 18t/2 = 0; г) х2 + ху + у2 = 0.
202
Постройте график уравнения:
032.8. а) — = 1; в) ——= 0;
у х + у - 2
д, 2х + Зу - 5 _ Q. > 2х2 - 4х - 2ху + Зу - 5
' х + у ~ ’ г) X - у
•32.9. а) |х| + |у| = х + у; в) |х| + |у| = х - у,
б) |х| + |у| = у - х; г) |х| + |у| = -х - у.
°32-10- (хЛу^Зу) = *
в) (х + 3z/ - I)2 + (х2 - 3xz/ - 4z/2)2 = 0;
г) |х2 - у - 2| + |х2 + у2 - 2| = 0.
032.11. График уравнения Дх; у) = 0 изображен на рисунке 9. Постройте график уравнения:
а) Д-х; у) = 0; в) Д-х; -у) = 0;
б) Дх; -у) = 0; г) Дг/; х) = 0.
•32.12. На рисунке 10 изображен график уравнения Дх; у) = 0, имеющий вид четырехугольника, вершины которого — точки с целочисленными координатами. Постройте график уравнения:
a) f(|x|; у) = 0; в) /(|х|; |у|) = 0;
б) fix', |у|) = 0; г) /(у; |х|) = 0.
203
•32.13. График уравнения /(х; у) = 0, изображенный на рисун ке 11. имеет вид многоугольника, вершины которого точки с целочисленными координатами. Постройте гра фик уравнения:
a) f(x + 1; у - 1) = 0; в) f(2 - х; 1 + у) = 0;
•32.14. Постройте график уравнения и вычислите площадь фигу ры, которая ограничена этим графиком:
а) 2|х| + 3|i/| = 6;
б) ||х + 5| + ||i/- 1| = 2;
в) 0,5|х| + ||f/| = 2;
|х^а| + 1^ = 1 0 0<
7 Р Q
•32.15. Постройте на координатной плоскости множество точек (х; у) таких, что |х| + 3|у\ = 6, и определите все значе ния, которые на этом множестве принимает выражение: а) х; б) у; в) х + 3t/; г) х + у.
•32.16. Постройте на координатной плоскости множество точек (х; у) таких, что |х - 3| + \у + 3| = 3, и определите все значения, которые на этом множестве принимает выра жение:
а) -Зх - 2у, б) х2 + у2; в) 5х + 7у; г) ху.
204
Постройте график уравнения:
032.17. а) у = х/4 - х2;
б) |г/| = л/4 - х;
в) у = -х/4 - х2;
г) X = - У2-
032.18. а) у = х/1 - х2;
в) у + 2 = -х/1 - х2;
б) у = -V1 - (х - I)2; г) |г/| = -х/1 - х2 + 3.
032.19. а) \у + 2| = х/4 - х2; в) |г/| + 2 = х/4 - х2;
б) |г/| = -х/4 - х2 + 2; г) \у + 2| = -5/4 - (х - I)2.
•32.20. а) (х - I)2 + {у - 2)2 = 16;
б) (х- 1)2+(|г/| - 2)2= 16;
в) (|х| - 1)2+(г/- 2)2= 16;
г) (|х| - I)2 + (|г/| - 2)2= 16.
Решите уравнение в целых числах:
032.21. а) х + 2у = 7;
б) 7х + 2у = 1;
•32.22. а) х + 2у2 = 7;
б) х2 + 2у = 1;
в) 5х + у = 17;
г) 7х - 12г/ = 1.
в) 5х2 + у = 17; г) 7х - Зг/2 = 1.
•32.23. а) х2 - 5хг/ + бу2 = 2;
б) х2 + ху - 6г/2 = 5 - 5г/;
в) х2 - ху + 12г/2 = 12;
г) х2 - 2ху + 8г/2 = 6 - 2х + 2г/.
Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:
32.24. а) х < 5; б) х > -4; в) г/ > -3; г) у < 2.
32.25. а) х + 2г/ < 3; б) х - у > -4;
в) Зх + 2г/ > -5;
г) х - Зу < 4.
205
32.26. Укажите на координатной плоскости все точки (х; у) та кие, что выражение х + Зу - 4 принимает: а) неположительные значения;
б) значения, меньшие числа -8.
32.27. Не производя построений, докажите, что точки А(-1; 2) и В(2; 3) лежат по одну сторону от прямой 13х + 7у * + 6 = 0, а точки А и С(-13; -11) — по разные.
032.28. При каких значениях параметра с точки А(-1; 7) и В(2; 11} лежат:
а) по одну сторону относительно прямой Зх + су = 5;
б) по разные стороны относительно прямой 5х - 4у = с?
032.29. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
Гх + у > 3, [2х - Зу < 1;
(х - 2у > 3, [х + Зу С -2;
б)
X - у > 1,
х - у > 2х,
X + у < 1,
г) х + у < Зу,
X < 2у;
5х < 2у - 7.
Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:
032.30. а) ^Зх - у - 1 < у[2х + у - 1;
б) ф.-у > V1 - 2х2;
в) ,]х + у - 1 > у/2х - у;
г) ^у2 - 1 > V2x - 1.
032.31. а) у/y + l < х;
б) yj2xy + у2 > х + у;
в) у]-2х - у - 1 > -х;
г) у]2ху + х2 > х - у.
206
Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:
•32.32. а) 2|х - 3| + 2х - Зу С 0;
б) |х - 3| + \у + 2| > 2х + 5.
•32.33. а) |х + у\ + 2х - у > 3;
б) J----X + |х + у\ + у < 4.
’ X + у
032.34. а) ху < 2; б) у < в) |х| • у < 2; г) |х| < |
032.35. а) ху > -3; б) < х; в) у > г) — < |х|.
\У\ х У
•32.36. а) |х| + |у| С 4; в) 2|х| + 3|у| < 6;
б) \у - 3| + |х + 1| > 5; Г) kzJl^-±21 < 1.
& и
Л _ -у-2
•32.37. а) 9-* -Q---х > 0; ’ 2х + Зу - 6
б)
х2 + у2 - 4
И +\у\~2
<0.
032.38. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:
х < 2,
х + у < 12;
а) <
Зу - х < 4,
[У
-х;
б) < у - х < 12;
у > 0.
•32.39. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством:
а) х2 + у2 < 2(|х| + |у|>/з);
б) 2(х2 + у2) < |x|V3 + |у| .
•32.40. Случайным образом выбирают одно из решений системы |х - у\ < 2, неравенств s Найдите вероятность того, что
[|х + у\ < 2.
выбранная точка расположена:
а) ниже прямой у = 1; б) выше прямой у = 0,5; в) правее прямой х = 1; г) выше параболы у = х2.
207
§ 33. Системы уравнений
Решите систему уравнений методом подстановки: (х + у = 3,
а ) [х2 + 2уг - ху + 2х - Зу -• 3;
(у - 2 + х,
б ) Г
7 (х3 - у3 = -8;
/х + у = 5,
[х3 + у3 = 35;
(х + 2у = 1,
г) 1
|2х2 + Зху - Зу2 = 6.
033.2. а)
х + у = i
sinx siny = — 2\2
Зх = у + 1, rjy-2x + 2 _ уу-4х + 1 _|_ g.
х = 2у,
в)
logj (2У + X) + logl (г - у + 1) = log3—i—;
3 з У + 1
г) ‘
,/7 - 6х - у2 = у + 5, У = х - 1.
033.3. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
Зх + 2у = 1, X - у = -3;
{х + у2 =2,
В) (2у2 + х2 = 3;
б)
2л/х - З^у = 1, Зл/х - 2у[у = 4;
г)
Vx + ^у = 3, _3л/х - 5^У = 1.
208
033.4. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
flog2x - log3 у - -5, [21og2x + 3 log3 у = 0;
в)
2х+2у - ^/2х + у = 6, Зч/2х + у - 2Х+2* = -2;
[cosx + cos 2у - -0,5, 6М
[3cos2y - cosx = 2,5;
[2sin2x + tg Зу = 2, [6sin2x - 2tg3y = 1.
033.5. Решите систему уравнений методом введения новых пере-
менных:
а)
—-— + —-— = -2, Зх - у х - Зу
Зх - у х - Зу
Решите систему уравнений:
2х + Зу = 12, 033.6. а) t „ 1 О1
[logg ху + 1 - 2 log6 ху,
033.7.
Slogj х + 2У*1 = 5, 2
2У + log2x = 5;
3-^/х 4- у = log216x2, log2x2 + 2%lx + у = 6;
[tg2x + sin# = 2, [3sinjz + tg2x = 0;
= -1,
= -2.
• /у = 10 - Зфсу, 2х - 5у = 6.
033.8. Применяя графический метод, определите, сколько решений имеет система уравнений:
Ь = х2, (у = sinx,
а) 1 В) 1 Л 1
^1/ = cosx; [у = 0,1х;
fx2 + у2 = 4, [у + 2 = ч/х + 4,
б) 1 „ г) v
[у = 2 - х2; [у + х3 = 0.
X + у х - у
X + у X - у
а) <
209
Решите графически систему уравнений:
033.9. а)
jy + х = 3, \ху = 2;
(у = х(х - 4), [у + 8 = 2х.
033.10. а)
У -2Г' = 1, Vx”+ 2 = у;
б)
У = 21-1, |х - 3| = у + 1.
у = sin 2х, \-1 = 2х-1 Ci
33.12. Докажите, что система уравнений не имеет решений:
j 2х + Зг/ = 1, |4х + бу = 5;
sinx = у;
033.13.
| cos (х + у) + sin ху = 1, [2 sin ху + cos (х + у) = -1;
Решите систему уравнений:
Jy + 2х = 3, ]х2 + у2 = 2;
[х4 - у4 = 15, [х4 + у4 = 17;
г)
f 2 sin (х + у) - 3 cos (х - у) = 5, [7cos(x - у) + 5sin(x + у) = -2;
У = fl ]
9 к3;
у = log2 X.
033.14. а) + 1 У 2’ [log7 (4 - х) = у;
2У+Х - Зх-у = 1, 2Х+У + Зх~у = 3;
б)
[у - X _ I X _ J. V 2х \ х + у ~ 2’
16 CZZ _ 7ДР = 1;
\ х + у N 2х
У + X = 1, 2X'V = fl]
2
83
2
210
Решите систему уравнений:
033.15. а) ' (2х + у)(х + Зу) 2х + у _ 3. х + Зу 4’ = 48, б) < * = 4 у + 2 (х - З)2 4- (у + 2)2 = 17.
033.16. а) х2 + у2 = 13, х4 - у4 = 65; б) 1 [2х4 = х2у2 + 1, |_3х4 = х2у2 + 2.
033.17. а) ' у + х3 = 4, Зу + у2 + 2х3 = 20; б) fy4 + х = 3, [2х2 - 5х + Зу4 = 1.
033.18. а) ] х3у5 = 32, [х5у3 = 8; б) < [(х + 2у)3(х - 2у)2 = [(х - 2у)3(х + 2у)2 = 9, -27.
033.19. а) < — - ху = -9, 2ху - = 23; б) < х + у х_ _ _5 X - у у 6’ X2 + ху _ ху - у2 6'
•33.20. а) < [2х2 + ху - у2 = [у2 - Зху = 16; 0, б) [Зх2 - ху = 10у2, [х2 - 2ху + у2 = 4.
•33.21. а) [х2 + Зху + у2 = \2х2 - Зху - Зу2 -1, = -4; б) ]хг + ху + 4у2 = 6, [Зх2 + 8у2 = 14.
•33.22. а)
х - 2ху + у = -17, х2 + у2 = 25;
(х + у + х2 + у2 = 18, [ху 4- X2 4- у2 = 19.
033.23. а)
X2 и2
— + = 12.
У X
х у 3
б)
ху(х + у) = 20,
X у 4
211
Решите систему уравнений:
033.24. а) б)
033.25. а)
033.26. а)
б)
033.27. а)
033.28. а)
б)
•33.29. а)
б)
yJx - у + yJx + Зу = 4, 2х - у = 4;
бх + 2у = 10,
л/2х + у + 7бх - Зу = 2.
у/х + tfy = 5, ху = 216;
б)
х + Зу + 2 = з . / У + 5 у + 5 у х + Зу’
ху + 2х = 13 - 4у;
х2 + 4х - у2 - Зу = О,
\х + У + 3 . \х~у = 4. ух - у А|х + У
у/х + у/у +
х + 2у = 9;
Зх - у = 3,
J5x + у + л/бх - у = 4.
1 = 10
+ Ту 3
1 = 65
'х + 2у/у 8
2^3у + х - у]бу - х = х, у]3у + х + y/бу - х = Зу;
у]2х - Зу + у]4х + Зу = 2х, 2у]2х - Зу = у/4х + Зу - Зу.
212
Решите систему уравнений:
033.30.
g6x-2y _ ^x+y+lQ 3х2 = 311+y;
б)
033.31.
а)
5^ = 53-^, (0,25*)* =
б)
033.32.
а) ’
2х 0,25-« = 512, Jx + 2jy = 5;
б)
1^ = 49,
-i^ = l.
25x-y
= 4.
9х Зу~3 = 729,
033.33.
[62x + 6х • у = 12, ’ [у2 + у • 6х = -8;
72y - 7y • x = 28,
6) 1 , x2 - x • 7y = -12.
033.34.
log13 (*2 + У2) = 0,51ognK2, log3 х - 1 = log3 2 - log3 у;
log7(x + у) = 41og7(x - у), log7 (x + у) = 5 log7 3 - log7 (x - y).
033.35.
а) <
logx!/ + log,,* = 4л/х - З-Уу = 1;
logy x - 2 logx у = 1, x2 + 2y2 = 3.
033.36.
flogf у + log2xlog2y - 21og2x = 0, |9x2y - xy2 = 1;
2 log2 x + log3 x log3 у - log| у = 0,
6) 1 x2
xy + — = 28.
I У
•33.37.
а) <
x2 + Igx = y2 + Igy, Jx - у + Jx + Jy = -| x + 2'/x = у + 2^, [x2 + x + у2 + у = 12.
213
Решите систему уравнений:
sinx sinу = 0,25, х + у =
033.38. а) < Л. б) ' * 4
х + у = —; 1 у 3’ sin2 х + cos2 у = 0,5.
sinx + cosy = o,
033.39. а) < sin2x + cos2
•33.40. а) < sinxsiny - tgx ctgy = : 1 2’ 1;
fcosx + cosy = 0,5, [sin2x + sin2 у = 1,75.
cosy cosx =
tgy = ctgx.
Решите систему трех уравнений с тремя переменными:
х + 2у - 3z - -3, Зх - 5у + z = -13,
033.41. а) 2х - Зу + г = 8, б) < х + Зу - 2г = 5,
-х + у - 5г = -8; 2х - 2у + 5г = -6.
х + у = -1, х + у + 2з = 0,
033.42. а) < X - 2 = 2, б) • х + 2у + z = 1,
ху + XZ + yz - -1; х2 + у2 + г2 = 5.
033.43. Составьте уравнение параболы у = ах2 + Ъх + с, есл известно, что она проходит через точки М, Р, Q:
а) М(1; -2), Р(-1; 8), Q(0; 1);
б) М(-1; 6), Р(2; 9), Q(l; 2).
033.44. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, > сумма кубов ее членов равна 192. Найдите первый чле*> и знаменатель прогрессии.
033.45. Сумма трех чисел равна 8, а сумма их квадратов — 2b Найдите эти числа, если известно, что одно из них на больше другого.
•33.46. Три целых числа образуют конечную возрастающую гео метрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 6, то получится конечная арифметическая прогрессия. Если в этой арифметической прогрессии первое и треты числа увеличить на 5, а второе — на 1, то получится гео метрическая прогрессия. Найдите три исходных числа.
214
•33.47. Три бригады, работая одновременно, выполняют норму по изготовлению подшипников за некоторое время. Если бы первые две бригады работали в два раза медленнее, а третья бригада — в 4 раза быстрее, чем обычно, то норма была бы выполнена за то же время. Известно, что первая и вторая бригады при совместной работе выполняют норму в 2 раза быстрее, чем вторая бригада совместно с третьей. Во сколько раз первая бригада производит подшипников за 1 ч больше, чем третья?
§ 34. Задачи с параметрами
034.1. При каких значениях параметра т уравнение тх - х + + 1 = т2:
а) имеет ровно один корень;
б) не имеет корней;
в) имеет более одного корня?
034.2. При каких значениях параметра b уравнение Ь2х - х + + 2 = Ь2 + Ь*.
а) имеет ровно один корень;
б) не имеет корней;
в) имеет более одного корня?
Решите уравнение (относительно х):
034.3. а) а2х - 4х + 2 = а; б) — + х - 1 = а.
а
г^а а х ах - 5 - х _ п. ах + 6 - 2х п
034.4. а) -х2-- 4~ = 0; б) —х2 _ 9 = 0.
Решите неравенство (относительно х):
034.5. а) тх - х + 1 > тп2; б) b2x - х + 1 > Ь.
034.6. а) Ь2х - Ьх > Ь2 + Ь - 2; б) - + х < а + 1.
а
034.7. При каких значениях параметра а уравнение ах2 + 4х-- а + 5 = 0:
а) имеет два различных корня;
б) имеет ровно один корень;
в) не имеет действительных корней?
034.8. При каких значениях параметра а система уравнений имеет решения:
[ у = 2х2 - 5х + 1, [ у = Зх2 - 4х - 2,
а) С б) Г
[у = Зх + а; [у = -10х + а?
215
034.9. Найдите наименьшее целочисленное значение параметра д, при котором уравнение имеет два корня:
а) х2 - 2bx + b2 - 4Ь + 3 = 0;
б) х2 + 2(Ь - 2)х + Ь2 - 106 + 12 = 0.
034.10. При каких значениях а;
а) корни уравнения х2 - 8ах + 27 = О относятся как 3 : 1;
б) корни уравнения х2 - 10ах + 24 = 0 относятся как 2 : 3?
034.11. При каких значениях а:
а) уравнение (log3 а)х2 - (21og3- 1)х + log3a -2 = 0 имеет единственный корень;
б) уравнение (log4a)x2 - (21og4+ 1)х + log4a 4-2 = 0 не имеет действительных корней?
034.12. Решите уравнение с параметром а:
х2 - (а - 1)х - 2а(а + 1) = Q.
х — 3
х 2 _ 3 - а2
а(х + 1) х + 2 " а(х + 1)(х + 2)*
034.13. При каком значении а:
а) прямая у = 6х + а касается графика функции у = х2;
б) прямая у = 4х имеет только одну общую точку с графиком функции у = х2 + а?
034.14, При каких значениях b графики функций имеют общие точки:
а) у = х2 - 4х + 2 и у = -2х + Ь;
б) у = х2 + 6х + 7 и у = 2х + Ь?
034.15. При каких значениях а:
а) ось симметрии параболы у = 2х2 - Зах + 2 пересекает ось абсцисс левее точки (-3; 0);
б) ось симметрии параболы у = 5х2 - 2ах + 2 пересекает ось абсцисс правее точки (4; 0)?
034.16. При каких значениях а:
а) вершина параболы у = (За + 1)х2 + 2х - 5 принадле жит четвертой координатной четверти;
б) вершина параболы у = Зх2 + (4а - 1)х + 3 принадле жит первой координатной четверти?
216
034.17. Что можно сказать о знаках коэффициентов а, Ь, с, если известно, что график функции у = ах2 + Ьх + с проходит через заданные точки: а) (-4; 0), (0; -2), (-3; -2);
б) (О; л/з + 1), (-1,7; 0), (3,3; V3 + 1)?
034.18. При каких значениях а неравенство ах2 + 4х - 3 + а > 0: а) выполняется при любых х;
б) не имеет решений?
034.19. При каких значениях а неравенство ах2 + 2ах + 2х + + 2и + 2 С 0:
а) выполняется при любых х;
б) не имеет решений?
034.20. а) При каких значениях параметра а неравенство (х3 - 8)(а - х) > О имеет единственное решение?
б) При каких значениях параметра а в множестве решений неравенства (х - 1)(а - х) > 0 содержится пять целых чисел?
034.21. Решите неравенство:
а) >/х - 2(х - а) > 0; б) (6 - x)Jx - а > 0.
•34.22. а) При каких значениях параметра а решением неравенства (х - а)2 (х - 3)(х + 1) < 0 является сплошной промежуток?
б) При каких значениях параметра а неравенство х - 2а - 1 л < 0 выполняется при всех значениях х из от-х - а
резка [1; 2]?
•34.23. При каких значениях параметра а корни уравнения (а - 2)х2 - 2ах + а + 3 = 0:
а) положительны; в) отрицательны;
б) меньше числа 3; г) заключены в интервале (1; 3)?
•34.24. Решите неравенство (относительно х): (а - 1)х2 + 2(2а + + 1)х + 4а + 3 < 0.
034.25. а) При каких значениях параметра а функция у = ах3 + + Зах2 + бх + 7 возрастает на всей числовой прямой? б) При каких значениях параметра а функция у = 2х3 -- 6а2х + 3 имеет минимум в точке х = 3?
217
034.26. Решите уравнение:
a) sinx = За - 2; б) cos2 х = 2а - 1.
034.27. Решите уравнение:
а) у/З sinx + cosx = а; б) 3 sinx + 4 cosx = 2а - 1.
•34.28. При каких значениях параметра а уравнение sin2x = а имеет на отрезке [0; 2л] пять корней?
•34.29. При каких значениях а:
а) уравнение 52х - 3 5х + а - 1 = 0 имеет единственный корень;
б) уравнение 0,01х - 2(а + 1) • 0,1х + 4 = 0 не имеет действительных корней?
•34.30. При каких значениях а уравнение имеет хотя бы один корень:
а) 9х + (а + 4) • 3х + 4а = 0;
б) 25х - (а - 2) • 5х - 2а = О?
•34.31. Решите уравнение:
a) yja cos 2х + 3 sin 2х = cosx, если известно, что х = О — корень уравнения;
б) у/2 sin 2х - a cos 2х = -sinx, если известно, что х =
л = — корень уравнения.
•34.32. При каких значениях а уравнение имеет ровно три корня: а) х(х + З)2 + а = 0; б) х3 - 12х + 1 = а?
•34.33. При каких значениях а:
а) уравнение х4 - 8х2 + 4 = а не имеет корней;
б) уравнение Зх4 + 4х3 - 12х2 = а имеет не менее трех корней?
•34.34. Сколько корней при различных значениях а имеет уравнение:
a) Vx = х - а; б) у/4 - х2 = х + а?
•34.36. При каких значениях р уравнение | Зх + 6| = рх + 2 имеет: а) один корень; б) два корня?
•34.36. При каких значениях а существуют два решения:
[z/ = |х - 2|,
а) системы <
[у = ах + 1;
б) уравнения |х + 4| = ах + 2?
218
•34 37. При каких значениях а уравнение |х2 - 4х - 5| = а:
а) имеет два корня;
б) имеет четыре корня?
•34.38. При каких значениях а:
а) в уравнении (х - а)2 - 12|х - а| + 35 = 0 число отрицательных корней равно числу положительных корней;
б) в уравнении (х + а)2 - 6|х + а\ + 8 = 0 число положительных корней больше числа отрицательных корней?
•34.39. а) Сколько корней имеет уравнение ||х| - 2| = а при различных значениях параметра а?
б) Решите уравнение |х - 1| + |х - 3| = а.
• 34.40. При каких значениях параметра а графики функций у = а\х + 1| и у - х + а2|х| пересекаются в трех точках?
• 34.41. При каких значениях параметра а система уравнений |х2 - 7х + б| + х2 + 5х + 6 - 12|х| = О, V имеет два реше-
х2 - 2(а - 2)х + а(а - 4) = О
НИЯ?
• 34.42. При каких значениях параметра а система уравнений ах2 -ь а - 1 = у - |sinx|, < . . . имеет единственное решение?
+ |у| = 1
• 34.43. При каких положительных значениях параметра а неравенство 2х2 - alnx < О имеет хотя бы одно решение?
•34.44. При каких значениях параметра а уравнение 4х + 2 = = а 2х • sinrcx имеет единственный корень?
• 34.45. Найдите все положительные значения параметра а, при которых неравенство |2х + а|х| - 13| > 1 выполняется для всех х из отрезка [-3; 3].
• 34.46. Найдите все значения параметра а, при которых области определения функции у = (ах+0,э + a3Vx - x°’5+xlogra - а3,5) принадлежит лишь одно целое число.
•34.47. Известно, что уравнение (2а + 3)х2 + ах + Зх + 1 = О имеет хотя бы один корень. При каких значениях параметра а число корней этого уравнения равно числу корней уравнения = 3 + >/х - 3 ?
219
дополнительные задачи
1.79. Решите уравнение:
а) (tg?F 2 = ~7 *3; б> (sin таГ 3 = ~2-
1.80. Решите неравенство:
а) 5х + 6х > 11; б) 3х"4 + 2х"2 < 11.
1.81. При каких значениях х график функции у = /(х) располагается не ниже графика функции у = g(x), если: а) /(х) = 25 cos 2х - sin4 х, g(x) = 25 • 5(л-х)2;
б) /(х) = = sjn2 х _ sjnx 4. 7,25?
1.82. Найдите наименьшее и наибольшее целочисленные значения ФУНКЦИИ у = 20 5sin4x + ^ cos4x-l.
3.47. а) Найдите количество всех целых решений неравенства 4х’1 - 9 2Х+ 32 < 0.
б) Найдите сумму всех целых положительных чисел, которые являются решениями неравенства 14х"1 < 5х +1.
в) Из всех целых чисел, которые не являются решениями неравенства (104х-9 - 1)(35х 21 - 1) > 0 найдите число, наименее удаленное от множества решений этого неравенства.
г) Укажите наименьшее натуральное число х, при котором число 3 • 2х составляет менее 50% от числа 3х + 5.
6.66. Вычислите:
log4 sin yg + log4 cos yg + log4 I cos - sin
cos — + sin — 16 16
7.44. Решите уравнение:
a) log! (2 - x) + 2,5 log2 ^з^^4 =6-10 log16 (Зх - 1);
6) logi (6 - x) - logj (x + 10)4 - 4 log3 (x + 10)(x2 - 12x +
3
+ 36) = 9.
8.48. а) Найдите сумму всех целых чисел, которые являются решениями неравенства log2 (5 - х) > log0 5 х - 6.
б) Найдите наименьшее натуральное число, которое явля-
41х - 4х2 - 100
ется решением неравенства —iOg100 (х - 3)—
< 0.
•18.49. Сколько целых чисел содержится в решении неравенства х/5 + 41og2x - log2x < Vlog232x4 - logjx ?
log232x2 4-logo,5х3
•18.50. а) При каких значениях а сумма целочисленных решений неравенства log2 (2 - х) - 8 < loga (х - 2)2 равна нулю? б) При каких значениях а хотя бы одно целое число из интервала (-л/51; 1g 0,1) является решением неравенства log2(l - х) + 3 > 0,51oga(x- I)4?
ЧП lg (7х - х2 - 9) lg (9 - 2х) Л
•26.18. а) Решите уравнение ---------------5---------- = 0.
б) Найдите сумму всех корней уравнения
1g (х2 - 10х + 25) • logn (Зх - 5) log12 (х2 - 4х + 4) = 0.
1g (8х - х2 - 14) • 1g (13 - Зх) п
в) Решите уравнение --------------5---------- = 0.
х — о
г) Найдите сумму всех корней уравнения log4 (х2 - 12х + 36) iog5 (Зх - 8) • log6 (х2 - 6х + 9) = 0.
•26.19. При каких значениях параметра а уравнение х2 - ах + + sin а = 0 является следствием уравнения х + sin х -- sin а = а?
•27.58. Решите уравнение:
а) 0,5х2 + 34 = 23^cos(7lx) + 6х;
б) 20х - 100х2 =
в) |2х2 - Их + 5| + tg2 пх = 0;
г) 7 - |2х2 - 7х + 3| = Т • 7 1 1 cosz лх
•27.60. Найдите нули функции:
а) у = In (Зх - 2х2) - Vx3 + х2 - 2;
б) у = |х3 + х2 - 10х + 8| + 71&(sin7lx + х2 - 15).
•28.59. а) При каких значениях параметра а неравенство 2х + + in 2 + In х - а2 < 2 In а имеет решения и любое его решение удовлетворяет неравенству х2 - 4ах - 5а2 < 0; б) при каких значениях параметра а ни одно решение неравенства х + 3х - 2а - 9а < 0 не является решением не-
х - За - 1 равенства 7^-3 < 0?
221
•30.63. Решите уравнение:
a) Jl - tgx = ——; б) J4 + ctgx —= 0.
v cosx v sinx
1 . 2 7
•30.64. Решите уравнение _ 4х + 5 + _ 4х + 29 " 5’
•30.65. При каких положительных значениях параметра а во множество решений неравенства \/2ах - х2 > а - х можно поместить два непересекающихся промежутка длиной 2 + каждый?
•31.28. Решите уравнение 2 cos2 г + ~ = 7х + • 72-х.
•32.41. Решите уравнение:
а) 7(х - 2у + I)2 + 1 + V(3x - у - 2)2 + 25 = 6;
б) 1g (1000 - 9х2 - 4у2 + 12xz/) + arccos ((х + у - 5)2 -- 1) = 4.
•32.42. Решите неравенство log2 (cos2 ху + cos-2 ху) < ^2 + 2у + 2‘ •32.43. Найдите целочисленные решения неравенства:
а) 5д/3х - 2у - 4 + 3>/2х + Зу - 7 < 2;
б) 4д/2х + Зу + З^Зх + 4у < 3,5.
•33.48.
Решите систему уравнений
g-| 3cos2x + 10 sinx + 101 _
у3 = 8(2 sin x + I)3.
5\
•34.48. Найдите все значения параметра а, при которых уравне-
2х + 1 _ 3
ния х2 + 2х + 7 - 2а = 0 и а _ 2 " + 1п(х - 2)
одновременно не имеют корней.
•34.49. При каких значениях параметра а неравенство х + sin х + + 2а + sin 2а < 0 является следствием неравенства х2 -- 4ах + а < 0?
ОТВЕТЫ
ПОВТОРЕНИЕ
tt "I \ cz \ 1 \ \ it о \ 7я , 6я , я 2я
П.1, а) б) +; в) г) -. П.2, a) sin -g-, sin sin 3, sin -g-,
5я Зя я 9я Ия 2я
б) COS -у, COS -g-, COS COS -д-; в) COS ~д-> cos -5-»
. 13я . 12я . 2я . 4я
г) sin “g”*’ sin TJ"’ sin “5”’ sin ~7"‘ И**» a) c°s t = -
16я я.
COS q > COS g>
15 t t 8 17’ tg ” 15’
. 15 , 24 _ 7 . 4 24 . х 40
clgt = —g-; б) cos t = 25, tgf = ~24’ ctg t = —в) cos t =
35
15
12
12
9
tgt = ctgt = —0-; r) cost = -37, tg t = У2’ = 35*
40
7
4 . 5 12 , 12. . 12 35
П.4. a) sin t = ^13’ cos t - J3? ctg t ~ 6) sm t = 3^, cos t = ”37’
ctg t =
cos t =
35 4 . 9 40 40 4 . 24
в) sint = cost = ctgt = -др; r) sint =
7 7
25’ = ~24‘ a) или “1’3» 5) -0,42. П.6. a)
1;
6) -
1
; в) sin a; r) cos t. П.7. a) 1; 6) 1; в) 0; г) cos a
1
2‘
П.8. 0.
П.10. sin
. 1 ./q
L 4. П.11, а) б)
V3. . .
2 ’ В)
r)
0.
я тг
П.12, а) (-1)" 0 + яи, 2яи, и € Z; б) ± д + 2яи,
я
д + яп, и
e
Z;
я я я я
в) (~1)п q + яп, + яи, и 6 Z; г) + яп, ~ + 2ял, л е Z. П.13, а)
я
±3
2я 4.1 я 2
+ 2яи, 2яи, и е Z; б) ±-д- + 4яи, и е Z; в) (~1)л 1 д + яи, (-1)'1 arcsin 3 +
+ яи, и е Z; г) (-l)n + 1 jg
лп „ .
+ -д-> п е Z. П.14, а)
я
+ яп, arctg 3 + яп, п € Z;
6) arctg 2 + яи, arctg 4 + яи, и € Z; в) arctg
яи, -arctg 3 + яи, n e Z;
r) -arctg 3 + яи, arctg 2 + яи, n € Z. П.15. a)
я
4
ЯП,
n e Z; б) 2яи,
„ v 7я 5я Зя я я.
и е Z. П.16, а) , 4 » 4’ 4’ б)
_я
2’
я
6’
5я
6 ‘
П.17.
я
2‘
223
3 12
П.19, а) 6х2 - —т= + 2; б) 6 sin2х cosx - -«г—; в) -6 sinx cosx +
’ 2Vx cos2 4x
+ -------; г) x3 - Юх + 2—П.20. a) 6) -4^3 + 2; в) + 3;
2sin2^ ч/2х + 5 3 >2
r) -19. П.21. +3. П.22. -2,5, -1. П.23. 0. 11.25. f-3; П.26. -2-L -1.
О J о
Iе» IQ 7
П.27, a) у = x + 9; б) у = -±x + 3^; в) у = --^x - г) у - l,5x + 0,5.
У У 4о О
П.28. (0; -1), (-1; 3). П.29, у = 2х - 0,5. П.30. -13, 3. П.32. Функция
возрастает на (~°°; -4] и
2.
3’
4-оо L убывает на
точка мини-
2 Л.
мума минимум функции
точка максимума -4, максимум функ
ции 60.
ГЛАВА 1
§1
1.5. а) -4х3 + 12х2 - 12х + 4; б) х8 -1; в) Зх2 - 9х + 7; г) х10 4- х8 + + х6 - х4 - х2 - 1. 1.7. а) х6 + 2х5 + Зх4 + 4х3 -I- Зх2 4- 2х 4- 1; б) х8 - 2х7 + + Зх6 - 4х5 + 5х4 - 4х3 + Зх2 - 2х 4- 1. 1.9. а) х4 - 2х3 4- Зх2 - 2х + 1; б) х6 - Зх5 + 6х4 - 7х3 + 6х2 - Зх + 1; в) -8х3 - Их2 - 7х; г) 9х2 - 12х + + 4. 1.10. а) а = -0,5; б) а = -2, а = 3. 1.11. а) а = -0,75; б) а = -0,5;
41 1
в) а = 24^г) а = 1.13. а) 34, З17, 2; б) 17, -2, 0; в) 13, 1, -1; г) 16,
2, 0. 1.16. а) Степень равна 16, свободный член равен 2, старший коэффициент равен 34, сумма всех коэффициентов равна 217 = 131 072, сумма всех коэффициентов многочлена при четных степенях переменной равна 217 = 131 072, сумма всех коэффициентов при нечетных степенях переменной равна 0; б) степень равна 197, свободный член равен 0, старший коэффициент равен (-1), сумма всех коэффициентов равна 0, сумма коэффициентов при четных степенях переменной равна 0, сумма коэффициентов при нечетных степенях переменной равна 0. 1.17. а) ±7б;
б) а Ф ±2; в) ±2; г) 1,5. 1.18. а) а = 2, b — произвольное действительное число; б) а = 4, b - 1. 1.19. а) а = 3; б) а = 1. 1.25. а) При а = -3, b = 2; б) при а = -5, Ъ = 2 и при а = -1, b = 1. 1.27. а) а — любое число, не равное 0, Ъ = -(хг + х2 4- х3)а, с = (хгх2 + х2х3 + x3Xi)a, d = -(ххх2х3)а; б) а = - (Xi + х2 4- х3 + х4), b = хгх2 + XiX3 + XjX4 + х2х3 4- х2х4 + х3х4, с = -(XiX2x3 + XjX2x4 4- XjX3x4 + х2х3х4), d = XiX2x3x4. 1.35. a) a - -5, a = -1, a = 7; 6) a = -2-?> a = 0, a = 4, a = 6^; в) a = a = J, a = 2; r) ae 4 44
e °] U (0; 2) U (2; +OO)’ L36, a) °’ 3’ -4’ ~2’ 6; б) "И ’ "I’
224
9 9 4 Гр _Q + ч/рТ
’ -5 , о, - о . 1.37. а) ±J^, ±1; б) 1, ’ 1-40. а) 2> б)
У о О у о &
в) -2, 1; г) -1, 2, корень х = -1 имеет кратность 3. 1.41. а) р(х) = = (х- 1)(х + 3)(х - 5)(х - 2)4; б)р(х) = х(х + 2)2(х - 3)2(х - л/з)3(х - 0,7)4; в) р(х) = (х - 9)2(х + 0,3)3(х - я)3; г) р(х) = (х - 2)2(х + З)3. 1.42. а) (х + 2)(х - 1)3(х - 3); б) (х + 1)3(х - 2)2; в) (х - 1)2(х - 2)2; г) (х + 1)4(х - 1)3(х -- 2). 1.43. а) р(х) = -х2 + 4х - 1; б) р(х) = х2 - 5,5х - 12. 1.44. а) р(х) = х3 - Зх2 + Зх + 1; б) р(х) = х3 - 5х2 + 4х. 1.47. Если b = 18, с = 8, то -2 ± л/З; если Ъ = 14, с = -8, то -2 ± V5. 1.48. Если а = -5, b = 9, с = -7, то 1, 2; если а = 5, b = 9, с = 7, то -1, -2.
§ 2
2.2. а) (х - у)(х - 2у); б) (х - у)(7х + 12у); в) (х - у)(5х - Зу); г) (х + + 2у)(7х + 4у). 2.3. а) (х + у)(х + 1); б) (2х - 5у - 3)(х - у); в) (2х -у)(2х + + У - 4); г) (х - 3у)(3х + 8у + 5). 2.4. а) (х - у)(хв + х5у + х4у2 + х3у3 + + х2у4 + ху5 + уе + 1); б) (х2 - 2ху + 2у2)(х2 + 2ху + 2у2); в)(х - у)(х4 + + х3у + хгу2 + ху3 + у4 - 1); г) (4х2 - 2 а/2 ху + у2)(4х2 + 2 ^2 ху + у2).
2.5. а) 3(х + у)(х + z)(z + у); б)(х + у)(х + z)(z + у); в) (х + у)(х + z)(y + z); г) 12xyz(x + у + z). 2.9. а) 19; б) -72; в) -36 075; г) -31 575.2.10. а) 14^ • л/53;
б) 35(1/53. 2.12. а) 5х3 + у3 + 7х2у + 4ху2 + 2х2 + бу2 + Юху + 13х + 12у + + 8; б) 8х3 — у3 — z3 — 18х2у - 12x2z - Зху2 - 3y2z + 6xz2 - 3yz2 + 15xyz.
2.16. a) x = у, x = 4y; 6) x = -5y, x = -0,4y. 2.17. a) x = 0, x = -y, x =
6)x = -y,x = -2y, x = -3y. 2.24. a) (1; 1). 2.25. a) (-V16; Л6), (Л6; -V10), (4; 2), (2; 4); 6) [+2^; +2^| j. {±4^|; 2.26. a) (5; -5), (-5; 5),
\ о О у у о О j
(-1; -2). 2.27. а) (-1; 1), (1; I), —4=1 f——4=1
(7149 л/149 ) ( V149 л/149 J
б) (2; 1), (-2; -1), (-2; 1), (2; -1). 2.28. а) (-1; 0), (-1; 1,5), (0; 1); б) (1; 2), (-1; 0). 2.29. а) (2; -1), (-2; 1); б) (0,5; 1), (1,75; -0,25), (-0,5; -1), (-1,75; 0,25). 2.30. а) (12; 0), (4; 2), (4; -2), (-6; 3), (-6; -3); б) (5; 5), (-5; -5); ^5^2; j, ^-5>/2; j 2.31. а) (1; 2); б) (-1; -2), (2; 1). 2.32. а) (2; 3),
(3; 2); б) (1; 3), (3; 1), (3; 4), (4; 3); в) (1; 2), (2; 1); г) (2; -1), (-1; 2).
225
2.33. a) (1; 1), (-1; - 1); 6) в) (^2; 7з), (-V2; -V3),
(V2; -&}, (-V2; 7з), (V§; M (-v3; -V2), (-V3; V2), (V3; -V2); w, .. (-4 + 372.-4-372^ (-4-372. -4+ &/2У _ _ . . n. г) (1; 1), ---л--; ----2---J, [----g----; ---%---J. 2.34. a) (2; 0),
(0; 2), (1; 2), (2; 1); 6) (O, -7з)> (-73; O), | I, f|;
I О О I О О I
2.35. a) 1, -1; 6) 0, -8. 2.36. a) (2; 1), (-2; -1), (0,5; 1,5), (-0,5; -1,5); 6) (1; 1); в) (-2; 1); r) (1; -1). 2.37. a) (-2; 3); 6) (-3; -5). 2.38. a) (-2; 1); 6) (1; -1). 2.39. a) (-1; 0; -1); 6) (Z; t; t), где t € R, 2.40. a) 3; 6) 6. 2.41. a) 3; 6) 2o|. 2.42. a) 6) -60^. 6 9 4
§3
—11+ S-\/5
3.1. a) -1, 0, 4; 6) 0, - - ; в) 0; г) 0,5, 1,5, 3. 3.2. a) 0,25, 1;
6) - -—А-—-; В) -1, -7, 4 ± 715; г) > 3.3. a) ±1, 3;
__ /к Q -U К —К + /1 Q
6) 2, - ^11; в) ±—, 3; г) 1, —5т—. 3.4. а) При а = -6 Xi = 2, х2.з =--
□ z
б) при а = 0 Xi = 1, х2 з
в) при а - -11 хг - -1, х2 = 4,
х3 = -0,5; г) при а = 1 хг = -1, х2, з = 2 ± V5, а при а = -2 Xi = -1. 3.5. а) -4;
б) целых корней нет; в) -3, 1; г) 1, -1, -2, 2. 3.6. а) -0,5; б) 1, -0,5;
1
1
2’
3’
-%; г) 0,5, -2,5. 3.7. а) -1, 2, 3; б) -1, 2; в) -1, -3, -5; г) -1.
О
3.8. а) -0,5; б) -0,5, 1; в) -0,5; г) -0,5, 3 3.9. а) 1,5, 0,5, -0,25;
1У
1 1 2.
б) b 2’ 3’
в) -0,5; г) 0,5,
-1 ± V7 2
. 3.11. а) Один целый корень при а = -5
и при а = 3; б) один целый корень при а = 1 и при а = -9. 3.12. а) -0,5; б) 1, 1. 3.13. а) а = -2, b = -1; б) а = -2, b = -1. 3.15. а) 1, 73; б) 3, 4;
в) -1, 2; г) корней нет. 3.16. а) 7; б) 27; в) t2 - 2; г) t2 + 2. 3.17. а) 13; б) 37; в) t2 - 12; г) t2 + 12. 3.18. а) -18; б) t3- 3i. 3.19. а) -2, -0,5, 1; б) -2,
-0,5, 1; в) -2, -0,5; 1; г) -2, -0,5, 1. 3.20. а), б) 1,
-2 ± 72 2
3.21. а), б),
226
2 -1 ± >/?
3’ 3 ’
В) 1,
г) -1,
1 ± V7 _ оо . , 3 ± V5
—-—. 3.22. а) -1, —5—; б) корней нет;
в) 1; г) 1,
3 ± V14
5
3.23. а) 323; б) -7, 2. 3.24. а) 0,5; б) 0,5, 0.
3.25. а) 3, 4; б) -1, 3; в)
-5 ± s/93 „ 5 ± V93
---2--; Г) —Г~
8 13 9
3.26. а) 5» 12; б) g,
16.
13’ в)
11 ± >/105 21 ± V421.
2 2
г) 0, 11, 3.27. а) -2, 1; б) -9, 1,
5 в) 1, 3, -3 ± >/11; г) -3, 6. 3.28. а) -3, 1; б) 0, 0,8; в) -1; г) -0,2.
3.29. а) ±1, ±Д; б) -1, 1; в) 1, 3± ^ V о
г) 2±>/б. 3.31. а) а = -1,
Ь = -1, с = 2, d = -1; б) а = -1, b = -1, с = 1, d = 3; в) а = -1, b = 1, с = 1, d = -5; г) а = 1, b = 3, с = -1, d = -2. 3.32. а) -1 ± >/2, 1 * * * * б) * В) ± б) 1 ± Л £
—1 + J9A г-
В) ~ ; г) -1, 2. 3.33. а) 2; б) V2. 3.34. а) 1, 2; б) 1, 2.
ГЛАВА 2
§4
1 1 9 1
4.5. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 4.9. а) б) в) 1-^; г) 1-^. Z Z о Z
4.14. а) 6; б) 5; в) 6; г) 4. 4.15. а) -; б) +; в) -; г) -. 4.16. а) 2 и 3; б) -3 и -2, в) 2 и 3; г) -4 и -3. 4.21. а) 1, 8; б) 1, 9; в) 4, -7; г) -4, -3. 4.22. а) ±2;
б) ±^5; в) ^2; г) ±2. 4.23. a) W, 2, ^/17; б) V1000, 4, ^75; в) ^7, ^40, 3;
г) ^60, t/20, 2. 4.24. а) ^/0Д, -1, ^5; б) 0, ^-0,25, '^29; в)
- 2, >/-9; г) ^2, 1, ^2. 4.25. а) </^12, 2, ^70; б) ^jt, 1,
В) 2,5, >/2л; г) 5/^5, 0, ^200, 2л.
§5
5.12. а) [2; +°°); б) [-0,5; 0,5]; в) [4; +°°); г) [-2; 0,5]. 5.13. а) (-оо; -6] ч. и [2; +оо); б) [-5; 3]; в) (-оо; 2] и [6; +°о); г) [-4; 1]. 5.14. a) f-oc, -Й 1 .j \ J
и [8; +°°); б)
-Й; +оо О
в) (-оо; 3,5) и (3,5; +^);
227
3
7 ‘
5.15. a) [-5; -1] и [1; 5]; 6) (-°°; 0] и [5; +°°); в) [-4; -3] и
и [3; 4]; г) [-5; -4] и [-2; 3]. 5.16. a) (-°°; -3] и [2,5; 3) u (3; +°°); 6) (-oo; -1) u [5; +°°). 5.17. a) (-3; -0,4] и [0,5; 2] и [7; +°°); 6) [4; +°°); в) [-4; 3) u [5; +°°) и {2}; г) (-оо; -6) u (-3; 1] и {2}. 5.18. a) [0,15; 2] и и [3; +°°); б) (-оо; -1] и [0,5; 1) и (6; +°°); в) [3; +°°); г) (-оо; -3] и
2
3
и (0,25; 0,5] и
и (6; +оо) 5.21. а) 0; б) </2. 5.22. а) [0; +°°);
б) (-оо; +°°); в) (-оо; +°°); г) [0; +°°). 5.23. а) [2; +°°); б) (-оо; +°°); в) [-3; +°°); Г) (-оо; +оо). 5.24. а) [-2; +°о); б) (-оо; 2]. 5.25. а) [0; 6]; б) [0; +°°); в) [0; 2]; г) [^2; +оо). 5.26. а) 0, 2; б) 2; в) 0; г) 2. 5.27. а) 0; б) 1; в) 1; г) -1, 0.
5.28. а) 0, 2; б) -1; в) 1; г) 0, 3. 5.29. а) -9 < х < 7; б) х > 1; в) -4 < х < 0; г) х > -1. 5.30. а) — в) Одно решение; г) нет решений. 5.31. а) 1; б) 2; в) 2; г) 0.
§6
6.10. а) 2; б) -2; в) 3; г) 2. 6.11. а) -25; б) -83. 6.12. а) 144; б) 98; в) 100; г) 54. 6.13. а) 5; б) -3; в) 8; г) 6. 6.14. а) 4; б) -6; в) 4; г) 10. 6.17. а) ^26 > V5; б) ^5 < >/3; в) ^7 > ^47; г) -^4 > -$3.
6.19. а) ^2т¥; б) Ш2а8; в) $?; г) 6.20. a) %4а3Ь3; б) \laisb8;
в) ^125а7&10; г) ^216х7г23. 6.21. а) б) 1$F; в) 1^а7; г)
6.22. a) б) ^p^t23-, в) ^а^с33; г) 6.25. a) -^-asd10;
б) -у]pxq9 при р > 0 и y/p^q9 при р < 0; в) \J-mJn19; г) у/х6у7 при х > 0 и ~^х6у7 при х < 0. 6.26. а) -аЬ2 yla2b + ab у/-а3Ь; б) -1т2 4-1 + 1т3 Ц-т3.
6.27. а) 200; б) 6.28. а) 0, 64; 6)16, 81; в) Л; г) 1.
§ 7
гч гч \ Г4.-- ч 2 IЛ ч 2 J 5х _ \ 3l3 .
7.7. а) 4у/2^Ь; б) ? ; в) a г) ~у/^- 7.11. а) ^1а Ь ,
б) 4^. 7.16. a) ^2тог2; б) фх4/; в) ^б4^15; г) ^2p3qe. 7.17. а) 4/8; б) ^~2^’ в) ^9; г) ^243- 7-18- а) б) т+ п’
в) -^80ап&4; г) -^(х - у)2. 7.19. а) а; б) 1; в) tfr; г) ^2. 7.20. а) <^3;
б) 4</3; в) 7^2; г) 3^2. 7.21. а) & + ^3; б) 5^х + 5^.
228
7.26. a) (V2 - >/з)(>/х + ТЮ; б) (^4 + ^2)(^? - ^®);
в) (а + &)($/а - $?); г) ^(1 - + 1). 7.27. а) (^п - з)(^пг + 2);
б) (Ут + 2)(Ут + 3); в) УУа + А)УУа + 3); г) (Ух - 1)(2^х + 1).
7.31. а) б) ^7^- 7.32. а) -^2 • V16 < -^99; б) < ^5;
в) Уз > \[бУ2; г) -V2 • Уб > -^5?2. 7.33. а) Уа, У18, Уз-, б) ^2, 1^40, УА; в) Уз, Узд, У2-, г) Уб, У12, УА. 7.34. а) УбУ^, УТдо, УзУА; б) Уз№, Уа, Уж-, в) Оз, Уз-, г) УтУ7, ^/йб, Ш. 7.37. а) 2(2^18 + У8А + ^49); б) ^25 - УЗО + ^36; в) 1(^9 - 3 + ЗУЗ); О
Г) 1(^225 + ^90 + ^36). 7.38. а) О
(у/а + y/b - \[с)(а + b - с - 2\!ab). (а + Ъ - с)2 - 4аЬ
(V2 + V5 + 7з)(Лб - 2) _ эд . ^5 + V3 . 9(V4 - Ж
о) -< Q • • »ov. а; л > о) 0 ,
в) 2(У2 - УТ); г) + 7.40. а)ч/15->/1б + >/б-2;б)5 + >/15 -
/10-/6 7 41 1 № - + 2^}(Э + 12^ + 32^2).
v v ’ 229
б) (^5 - Уз)(Уб + Уз)(У2б + У16 + Уд);
. (Уб - У2)(У2 + ^25)(4 + 10^5 + 25^25)
в>-----------------йт------------------
г) №. Гг№ + + 2 + n\ 7Л2 а) 27; б) 4.
Л
(\[а + yjb - \[с)(а + Ъ - с - 2y/ab) • - Va)
7‘4^* (а2 + Ь2 + с2 - 2ab - 2ас - 2Ьс)(а! - а)
7.44. а) -1; б) 3; в) 1; г) -g- 7.45. а) 1 + У2-, б) УЗ - 1. 7.46. а) 1 - а;
б) УЗах - УЪх; в) т - п; г) УАх + Убу. 1.А1. а) д; б) (Ут - Уп) .
7.48. а) 2; б) -а2УЬ. 7.49. а) 8; б) 27. 7.52. а) -У2 + У2-, б) 1.
§8
8.13. а) 10; б) 4; в) 7'2; г) 53. 8.14. а) 2; б) 9; в) 8; г) 1. 8.15. а) 12;
б) 6; в) 30; г) 20. 8.16. а) 8-|; б) 7-i; в) 5; г) 6^. 8.17. а) 3^; б)
э о 4 4
229
8.18. a) 11; б) 0,5. 8.19. a) 0,2; б) -12. 8.23. а) а; б) с’91; в) x2; r) b l 2. 2 6 3
8.24. a) x5; б) у; в) с2; r) a5b“. 8.25. a) c’y, 6) p2q 2. 8.31. a) 1 + c;
12 11
6) m2 + zn3; в) x + y\ r) -2^c. 8.32. a) 4a363; 6) a3 + 25a. 8.33. a) x - J;
6) 4k - V/. 8.34. a)
x + у
v _ • 8.35. a) a + b; 6) л у
Л + 4p
Jq - Vp
8.36. a) 0; 6) 0. 8.37. a) 0,3; 6) 0,3.
§9
9.14. a) 4; 6) 1; в) 0, 1; г) 8. 9.15. a) (1; 1); 6) (1; 1); в) (0; 0); (1; 1); г) (1; 1). 9.16. a) 1; б) 0; в) 1; г) 0. 9.20. а) [0; 4); б) [1; +°°); в) [1; +оо);
1 1 1 1 _2
г) [0; 8). 9.21. а) 2х4; б) Зх; в) ±х4; г) х'2. 9.22. а) -jX"2; б) х4; в) 9х 3;
3 4
г) х’8. 9.32. а)
2
3^tg2 2х cos2 2х
б) 0,4(V3x^l - ctg2xf°’6 *
Г з ^2л/3х^1
2 sin22x
3(2 cos х - 3 sin х)
4^/2 sin х + 3 cos x
2
г) cos (x5 + 2\/x - 5) 5x4 +
9.33. a) 1,5;
3 2 2 /ч
6) 1; в) -3; r) 2. 9.34. a) б) -1|; в) r) °- 9.35. a) "3J 6) 2>
в) 8; r) 9.36. a) 1; б) 1, 16; в) 8; г) 64. 9.37. a) x > 0; б) x > 16. £
9.38. a) ^5 6) 9.39. a) у = ^x + б) у = ^-x + 1 -
в) У = ~^x + г) У = + 1 “ 4^' 9’40’ a) P = x + 3; б) у = 4 - Зх
1 2
и у = -4 - Зх. 9.41. а) у = -?х + 1; б) у = Зх. 9.42. а) у = -~х + 1;
4 о
4 1 4 1
б) у = У = ~ъх ~ 9.43. а) Убывает на [0; 4], возрастает на
о о о о
2
[4; +°°); х = 4 — точка минимума, z/min = -2—; б) возрастает на [0; 1], о
убывает на [1; +°°); х = 1 — точка максимума, z/max = 9.44. а) Возра-
стает на
Утах
1.
2’
убывает на
1
х ~ 4
точка максимума,
б) возрастает на [1; 2], убывает на [2; +°°); х = 2 — точка мак-
230
симума, pmax
1.
2’
в) убывает на (0; 1], возрастает на [1; +°°); х = 1 —
точка минимума, i/min = 2; г) убывает на
-2;
возрастает на
4
3
4
3
4 4>Уб
—g — точка минимума, i/min = ——. 9.46. а) 2; б) 2.
g
9.47. а) l/наим —"3? 9, б) //наиб
8
= ~3, </наИб не существует; г) унаим = -2,
1
2’ i/наим не существует; в) рнаим
Унаиб = 9.48. з|.
§ 10
10.1. а) 0,2 + 2,4/; б) 0,2 - 0,4/; в) 1,74 + 1,18/; г) 0,2 + 0,1/. 10.2. а) п = 4k + 1, k € Z; б) п = 4k, k € Z; в) n = 4k, k € Z; г) нет корней. 10.3. a) n = 3; 6) n = 9; в) n = 5; r) n = 4. 10.4. a) z3, z4, z2; 6) zx, z4, z3,
z2. 10.5. a) Si, s3, z2, z4; 6) zx, z3, z4, z2. 10.7. a) n = 23; 6) n = 12; в) n = 34; r) n = 34. 10.8. a) 5 ± 2/; 6) ±2 - 5/; в) -15 ± 4/; r) zx = /, z2 = -31i. 10.9. a) -1; 6) 0,5(1 - /7з); в) 0,б(-1 + b/з); г) -0,б(1 + |7з).
10.10. а) п = 6; б) п = 11; в) 20; г) 0. 10.11. а) ±~(1 + i); б) ±^-(1 - i); d d
в) ±0,5(V2 + 2V2 - i>/2V2 - 2); г) ±(7o,5>/loi ^5 + i7o,571Ol + б).
10.12. а) z0 = 2, zx = -1 + 17з, z2 = -1 - iV3; б) z0 = 1,5(1 + /7з), zx = -3, z2 = 1,5(1 - 1V3); в) z0 = 0,б(7з + i), 21 = 0,5(-Тз + i), г2 = -i;
г) zQ = 2(75 - i), 2Х = -2(>/3 + i), 22 = 41. 10.13. a) zQ = 1, zx = i, z2 = -z0,
z3 = -zx\ 6) z0 = 0,5(V2 + 1V2), Zi = 0,5(-V2 + 1V2), z2 = -z0, z3 = -zx.
10.14. a) z0 = 1, Zi = 0,5(1 + 1V3), z2 = 0,5(-l + /7з), z3 = -z0, z4 = -zx,
25 = ~22; 6) z0 = 0,5(V3 + 1), 2i = i, z2 = 0,5(-73 + i), z3 = -z0, z4 = -zlt
z5 = ~z2; в) z0 = 1, Zi = 0,5(-l + £>/з), z3 = -0,5(1 + iy/з); r) ±i.
10.15. a) cos 45° + i sin 45°; 6) cos 145° + i sin 145°; в) ^(cos 135° + + i sin 135°); г) у/З (cos (-145°) + i sin (-145°)). 10.16. a) z0 = 1, zx = cos 72° + _ _ 1 — x/5
+ / sin 72°, z2 = cos 144° + / sin 144°, s3 = z2, z4 = zj 6) A = —-—, d
o 1 + 5/5. . _„o V5 - 1 . „oo 710 + 2V5 . /5 - Vs
В = —-—; в) cos 72° = ——, sin 72° = —; r) a5 = J—2~'
231
It) — 1
a10 = —5—• 10.17. a) z3 - 5z2 + 9z - 5; 6) z3 - Qz2 + 13z; в), г) таких
многочленов нет, так как среди корней нет сопряженных чисел. 10.18. a) z3 - 3z2 - 15z + 125; б) zx + z2 + z3 = 3, ZiZ2 + z2z3 + z3Zi = 15, ZiZ2z3 = -125. 10.20. a) z4 + 2z3 + 3z2 + 2z + 2; 6) z4 - 6z2 + 25; в) z4 - 12z3 + 61z2 - 132z + 100; г) таких многочленов нет, так как корни не разбиты на пары сопряженных чисел. 10.21. a) zx - 2, z2>3 = ±i; б) zx - -3, z2j3 = ±b/5; в) Zi = 1, z2)3 = -2 ± i; r) zx = -10, z2)3 = 3 ± i. 10.22. a) zli2 = ±1,
z3.4 = ±i; 6) Zj = 1, z2 = 2, z3<4 = ±2i; в) z1<2 = ±3, z3<4 = ±2i; r) zx = 2, z2 = 3, г3,4 = ±i.
ГЛАВА 3 §11 i i ii
11.23. a) 2 ^, 2’2, 1, 23, 273, 2й; 6) 0,39, 0,32, 0,33, 1, 0,3'/5, 0,3''
11.24. а) (Тз)’72, 1, (7з)5, G/з)1’2, (х/з/2, (ТзУ3; б) (^3 - ^2)°' ‘,
1 Q 2 Z - / х -
,-г /.г (И Г1? Г1? ГИ6
(V3-V2), (V3-V2) . 11.25. a) ’
11.28. а) Возрастает; б) возрастает; в) убывает; г) возрастает. 11.29. а) Убывает; б) возрастает; в) возрастает; г) возрастает. 11.30. а) Убывает; б) убывает; в) возрастает; г) убывает. 11.35. а) 9, 8-^-; б) О1
121 5^; в) Ю, О э
9-1; г) 29, 131 11.36. а) -3, -4^; б) 522, 26; в) 5, 4-1; г) -7, -11|. 49 2 4 9 5
11.44. а) (0; +оо); б) (0; +оо); В) (0; +°о); г) (0; +°о). 11.45. а) (1; +оо); б) (6; +°°); в) (-2; +оо); г) (-8; +°о). 11.46. а) (4; 8) U (8; +°о); б) (-3; +°°); в) (-5; +оо); Г) (5; +°о). 11.47. а) (-3; +оо); б) (-2; +оо); в) (2; 4) и U (4; +оо); Г) (1; +оо). 11.51. а) /(-3) - -8, Д-2,5) = -6,5, ДО) = 1, Д2) = 4, /(3,5) = 8л/2. 11.52. а) /(-3) = /(-2,5) = -1, /(0) = 1, /(1) = 0, /(2) = -3.
11.53. а) /(-5) = 32, /(-2,5) = 4^2, /(0) = 1, /(4) = 3, /(1,69) = 2,3.
11.54. а) /(-3) = 64, /(-2) = 16,
/[-|] = 8, /(0) = 1, /ф = 4’
232
f о \ 1 23
f = 0. 11.60. a) -4; 6) 5; в) г) -g?. 11.61. a) 1; 6) -1; в) 1; г) -1.
11.62. a) 2; 6) -2; в) 0; г) -1. 11.63. a) 1; б) -1; в) 1; г) -1. 11.64. а) 1;
б) 2. 11.65. а) 1; б) 1; в) -4; г) 2. 11.66. а) 1; б) 0; в) 0; г) 1. 11.69. а) х >
1 9 25
б) х < -j? в) х < г) х > 51 • 11.70. а) х > 0; б) х < 0; в) х > 0; г) х < 0.
11.71. а) (-ОО; -ЬОО); б) (0; ±ОО); в) (-оо; 4-OO); г) (-оо; +оо). Ц.72. а) X < -1; б) таких значений нет; в) х > 0; г) х < 1. 11.73. а) х > 1; б) х > -1; в) х < 1; г) х < -1. 11.74. а) х < 0, х > 1; б) -1 < х < 0; в) 0 < х < 1; г) х < -1, х > 0. 11.75. а) -°0 < х < оо; б) х < 0, х > 0; в) нет решений; г) х = 0. 11.76. а) х < 0; б) х > 0; в) х < 1; г) х < -1. 11.77. а) х > 1; б) х > 0; в) х > 0; г) х = 0. 11.78. а) 31; б) 9.
§12
12.5. а) -2; б) -8; в) 2; г) 0,2. 12.6. а) ±1; б) 0; в) ±1; г) ±>/3. 12.7. а) -2;
б) 1,5; в) 3; г) |. 12.8. а) -1; б) 3; в) 2,5; г) -6, -2. 12.9. а)
б) 4
12.10. а) -1, 3; б) -2, 4; в) -1, 7; г) -1, 4. 12.11. а) 2; б) 1; в) 2;
г) 3. 12.12. а) 2, 5; б) ±2; в) 8; г) 3. 12.13. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. 12.14. а) 0; б) 4; в) 0; г) 2. 12.15. а) -1; б) 1. 12.16. а) 14; б) 0,5. 12.17. а) 1; б) 1; в) -3; г) 0,4. 12.18. а) -0,5; б) 2; в) 0; г) -0,25. 12.19. а) 1; б) -2; в) 3; г) 3. 12.20. а) 0,5; б) 0,5; в) 2; г) 2. 12.21. а) 1, 2; б) 2; в) -1; г) 0. 12.22. а) ±1; б) ±1; в) 1; г) 1. 12.23. а) ±1; б) 1; в) 1; г) 1. 12.24. а) 3; б) -3; в) ±1; г) -2. 12.25. а) ±2; б) ±2. 12.26. а) 6; б) 5. 12.27. а) -4, 2;
б) -1,5, 1. 12.28. а) 1; б) -0,5. 12.29. а) ±1; б) ±1. 12.30. а) ±1; б) -2.
12.31. а) 0; б) ±0,5. 12.32. а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. 12.33. а) 0; б) 0,25; в) 2; г) 0,5. 12.34. а) 2; б) 1, 2. 12.35. а) -0,5, 2; б) -3, -2. 12.36. а) 4, -1;
б) 1, 3. 12.37. а) 1; б) -1; в) -1; г) 1. 12.38. а) 0; б) -3. 12.39. а) а > 0;
б) а > -3; в) а < 0; г) а * 0. 12.40. а) а < 3, а > 27; б) а > -1. 12.41. а) а = —
9
а = 2’ 0 < а < 4; б) -0,5 <а<0, 4<а< 4,5. 12.42. а) т = -2, т = 0.
12.43 . а = ±1. 12.44. а) (1; 3); б) (1; -2); в) (2; 1); г) (-1; 3). 12.45. а) (2; 1); б) (-0,6; 0,2); в) (-1; 2); г) (2,2; -0,4). 12.46. а) (5; 1); б) (0; 1). 12.47. а) (1; 3);
б) (1; 3).
§13
13.5 . а) х < -5; б) х > -1; в) х > 7; г) х > 1. 13.6. а) х < -0,8; б) нет решений; в) х > -5; г) -оо < х < +оо. 13.7. а) х > 0,5; б) х < 0,25; в) х > -0,5; г) х > 13,5. 13.8. а) 2 < х < 3; б) -2 < х < 3; в) -2 < х < 0,5; г) 4 < х < 6.
233
13.9 . а) -оо < x < +oo; б) x < 1, x > 3; в) -2 < x < 1; г) < х < 4.
13.10 . а) х < -0,5; б) х > 2; в) х > -0,5; г) х > -2. 13.11. а) х < 2; б) х < 2;
в) х < 2; г) х > 2. 13.12. а), б) 2, 3, 4, 5, ...; в) 2, 3, 4;
г) 8, 9, 10, 11, ... . 13.13. а) 1 < х < 3; б) -2 < х < 1. 13.14. а) х < -2, х > 1,5;
б) < х < 2; в) -6 < х < 1,8; г) х < 2, х > 6. 13.15. а) х > -3; б) х < -6,
.2 1
х > -I-qJ в) х > 8; г) х < -6, х > 8. 13.16. а) 0 < х < 4; б) 0 < х < о <
в) 0 < х < 2; г) х < х > 0. 13.17. а) х < 2, х > 3; б) х < 4, х > 3;
° Ч 1 9 4 1
в) -1 < х < 5; г) -2 < х < 3. 13.18. а) х < 2^, х > Зу, б) -9^ < х < -8у
4 4 3 3
в) х < 2; г) х < -2, х > 2. 13.19. а) -16 < х < -5-^; б) х < 6, х > 18;
3
2 2
в) х < 4,5; г) х < 21» х > yg. 13.20. а) 2; б) 3; в) 2; г) 1. 13.21. а) -1;
б) 1; в) 0; г) -1. 13.22. а) 5; б) 3; в) 5; г) 2. 13.23. а) х > 0; б) х > 0; в) х > 0; 9 1
г) х < 0. 13.24. а) х < 2; б) х < 1; в) х < -1-^; г) х < 13.25. а) х > -0,5;
б) х < 2; в) х > 0; г) х > -0,25. 13.26. а) х > 1: б) х < 0. 13.27. а) 0 < х < 1;
б) х > 0; в) х < 0, х > 1; г) х > 0. 13.28. а) х > 0; б) х > -^5 в) х < 0; г) х > 1.
13.29. а) х > 0; б) х > logi 3; в) нет решений; г) х < 0. 13.30. а) х < 0; 2
б) -оо < х < +°о; в) х > 1; г) х < -2. 13.31. а) х < -1, х > 1; б) -1 < х < 1;
в) х > 1; г) х < 1. 13.32. а) 1-| < х < 2-|; б) -1 < х < 1; в) х < —х > ~4;
3 3 4 4
г) -2 < х < 2. 13.33. а) х < 2, х > 4; б) 0 < х < 2; в) -2 < х < 4; г) х < -2, х > 2. 13.34. а) х < 1; б) х < 0; в) х > -2; г) х > 1. 13.35. а) х < 2; б) х > 1. 13.36. а) х < 1; б) х > -2. 13.37. а) х < 0, х > 1; б) 0 < х < 1. 13.38. а) х < 2; б) х > -2. 13.39. а) х = 1; б) —ОО < X < +°О. 13.40. а) 1 < х < 4; б) х < -2;
1 3
в) -1 < х < 1; г) 0 < х < 1. 13.41. а) х > 2’ 6) -2 < х < в) х > 0; г) —| < х < 13.42. а) х = -2, х > 3; б) 3 < х < 5, х > 5; в) х < -2;
г) х > 2. 13.43. а) 6 < х < 8; б) < х < 1. 13.44. а) х < -V2, V2 < х < 3; б) -V5 < х < у/5, х> 3. 13.45. а) 3 < х < 4; б) -5 < х « 2.
13.46. а) 1 < а < Ц; б) -1 < а < 7.
234
§14
14.5. a) 4; б) 5; в) -2-i; г) -6. 14.6. а) 0; б) 2,5; в) 9; г) 14.7. а) 2; О &
б) 1,5; в) -1,5; г) -2,5. 14.8. а) 5,5; б) 1 - 2>/3; в) 9,6; г) 6. 14.9. а) 1;
б) 1; в) -2; г) 1. 14.10. а) 1; б) 2. 14.11. а) 0; б) 1. 14.13. а) 72; б) 28;
5 4 , 4 Ло 1
в) д! г) 24,5. 14.14. a) ygg! б) 8; в) г) 14.15. а) 9; б) g! в) 16;
г) 14.16. а) 62,5; б) 8; в) 0,05; г) 0,1. 14.17. а) + 4; б) 2х/3 - 144;
в) 4 - V2; г) 4 + V2. 14.23. a) log314 - 1; б) . в) 3 _ log2 Ц;
5 7
Г) 8~1°g^6. 14.24. a) ±71og2 7-1; б) ±71og3 2; в) ±^2 - 1g 3;
г) ±^3 log8 10 - 3. 14.25. а) 1, log2 3; б) 0, log4 5; в) 1, log3 4; г) 1, log7 2.
14.26. а) -1, log3 2; б) -1, log5 3 - 1; в) -1, log2 5 - 1; г) -1, -log2 6. 14.27. а) х > log2 9; б) х < logi2 7; в) х > -log3 4; г) х < -1. 14.28. а) х > > log314 - 1; б) х > log5 5° + 4; в) х > 3 - log2 И; г) х > —| log5 6 +
14.29. а) х < 1, х > log2 3; б) 0 < х < log4 5; в) 1 < х < log3 4; г) -оо < х < +оо. 14.30. а) х = 0 при а < 0; Xi = 0, х2 = log2 а при а > 0; б) при а < -2 решении нет; х = log3 (а + 2) при -2 < а < 1; Xi = log3 (а + 2), х2 = log3 (а - 1) при а > 1.
§15
15.8. а) (-оо; 2) и (3; +оо); б) (-7; 2); в) (-оо; 1) u (12; +оо); г) (-1; 9). 15.9. а) (-оо; 2) и (3; +оо); б) (0; 1); в) (0; 2) и (3; +оо); г) (1; +оо).
15.17. a) log20,l, log2 log20,7, log2 2,6, log23,7; 6) log0,317, log0,3 3,
2 1 Г1 “I
logo,з 2,7, logo.a з> log0,3 2‘ 15.20. a) 811; 6) [2; 8]. 15.21. a) -1;
Q
6) 0; в) 0; r) -2. 15.22. a) 7; 6) -5; в) 2; г) -1^. 15.23. a) -2; 6) log2 5; в) -2;
г) -logo,2101. 15.26. a) у > 0; б) у > 0; в) у > 0; г) у > 0. 15.27. а) у < -1;
б) у < 0; в) у < 0; г) у < -2; 15.28. а) у > 7; б) у > -5; в) у > 2; г) у > -1-|.
15.29. а) 1; б) 1; в) 1; г) 1. 15.30. а) 3; б) vj; в) 5; г) 15.31. а) — г) Нет решений. 15.40. а) /(-8) = 27, f(-6) = 21, /(0) = 3, f(3) = -1, /(9) = -2. 15.45. а) х > 1; б) 0 < х < 1; в) 0 < х < 1; г) х > -н- 15.46. а) 0 < х < 2;
235
б) х > 0. 15.47. а) х > 1; б) 0 < х < 1; в) 0 < х < 1; г) х > 1. 15.48. а) 0 < х < 3; б) х > в) х > 5; г) 0 < х < 15.49. а) х > 2;
б) 0 < х < 3; в) -2 < х < 0; г) х < -3. 15.50. а) < х < 1; б) 0 < х < 1;
в) г > 1; г) х < -1.
§ 16
16.7. а) 4; б) -1,5; в) -12; г) 3. 16.8. а) з|; б) -1; в) Й; г) 2,5. о о
16.10. а) 5; б) 22. 16.11. а) 3; б) 2. 16.12. а) 20; б) 3,2; в) 24; г) Д.
От
16.13. а) 64; б) 49; в) 9; г) 216. 16.14. а) 27; б) 169; в) 9; г) 625. 16.15. а) 18; Q
б) 5; в) 35; г) 3. 16.16. а) 3,5; б) 2уу; в) 2; г) 3,5. 16.17. а) 1; б) 1; в) 1; г) -4.
16.18. а) 3; б) 2; в) 1; г) 1. 16.19. а) -1; б) 1; в) 1; г) 1. 16.20. а) 0; б) 0;
в) -тр г) 0. 16.21. a) log3 4 < ^9; б) log0)5 3 < sin 3; в) log2 5 > $7; г) 1g 0,2 < cos 0,2. 16.22. a) log3 4 > ^2; б) log2 3 < ^7. 16.23. а) 4а; б) т + 1; в) b - 1; г) -2d, 16.24. а) т + и; б) 2т + п\ в) т + Зи; г) 2т + Зп.
16.25. а) с + а; б) 1 - с - а; в) 2с + а; г) 2с - 4 а. 16.36. а) 2; б) 2; в) 3;
&
г) 5. 16.41. а) 0; б) 2; в) 0; г) -1. 16.42. а) 20; б) 4; в) 16,5; г) 18. 16.43. а) 68;
б) 44. 16.44. а) 32; б) 2. 16.45. а) 2; б) 16.46. а) 6; б) 6. 16.47. а) -1; о
б) 2. 16.48. а) 890; б) 0,6. 16.49. а) 80; б) 1у. 16.52. a) lg 1, log4 3, log2 7; б) log3 0,5, lg 1, logo.5 0,1; в) log3 1, log6 4, log7 9; r) log7 0,6, log21, log9i2 0,3. 16.53. a) log4 0,9, log21, log7 3, log910; 6) log0,9 5, log0,i 10, log6 0,7, log9,61.
2 23 4 1 + 2a 1 + 3a
16.54. a) -^1 6) ~в) r) -&• 16.55. a) a; 6) —g—j в) 2a; r) —g—•
.с л i u. «a 2b + a. . b. . 3a + b c_ . a + b 16.56. a) 1+oT. б) ; в) --; r) t—. 16.57. a) ——;
aa a + b a b b
2a + b. . 1, 1 2 + b a + 3 1+2b
6) —3-; в) 2b+±a’ r) 16-58- a) 2^T2’ б) ТТТ
b 2 - a 3a - b + 5 a + 1
16.59. a) —a, 6) 16.60. a) +4> 6) 16.61. a) log.b;
6) logot>. 16.62. a) a10®6; 6) logad. 16.65. (-3; -3).
236
§17
17 .3. a) 3,5; б) 1^; в) 4; г) 2. 17.4. а) ±| + 2лп, п е Z; б) + ^п,
п е Z; в) (-1)" + пп, п е Z; г) (-1)л + яп, п е Z. 17.5. а) -7, 3; б) -4, 3;
в) 5, 7; г) -5. 2. 17.7. а) 10; б) 2; в) -10; г) нет корней. 17.8. а) ±5; б) 4, 4
5; в) ±6; г) -3, 2. 17.9. а) -0,8; б) 0,5; в) г) нет корней. 17.10. а) 8;
б) 2-^; в) 8; г) 80. 17.11. а) 0,5; б) 10; в) -4; г) нет корней. 17.12. а) 4; 4
б) 2, 3; в) г) 2. 17.13. а) Нет корней; б) 4; в) 7; г) нет корней. 17.14. а) 2; б) 3. 17.17. а) 3; б) нет корней; в) 4; г) -1. 17.18. а) 1; б) нет корней; в) 2, 4; г) -4. 17.19. а) 5; б) 6, -12. 17.20. а) 5; б) 3. 17.21. а) 17;
б) ±2; в) г) ±V2. 17.22. а) 2, 8; б) -j, 16; в) 2, 4; г) 0,04, 125.
17 .23. a) Д, б) ^4, 16; в) 0,0081, г) 4. 17.24. а) 100; 75 zo о &
б) 81; в) 10; г) 32. 17.25. а) 0,1; б) 0,01, 100; в) -100; г) 100, 10 9. 17.26. а) 0,25; б) 3; в) 2; г) 0,0001. 17.27. а) Нет корней; б) 9; в) V10, 10; г) 0,0001. 17.28. а) 16; б) 27. 17.29. а) 3; б) 5, 25; в) 343, ^5
г) 2, 512. 17.30. а) 2^, 2~Д\ б) 2. 17.31. а) 2, б) 9, 17.32. а) 2;
б) 2, 8. 17.33. а) 9; б) 4; в) 4; г) 9. 17.34. а) 0,1, 1000;
б) 0,125, 2; в) г) 17.35. а) 1; б) 2, тр 4, 17.36. а) 6;
б) -Д, 17.37. а) 0, 1; б) 0, 1. 17.38. а) 10; б) 0,1, 105. 17.39. а) -1,
ю"
Q
-2^, 3; б) 1, 2. 17.40. а) (1; 1), (2; 4); б) (-12; 31), (2; 3). 17.41. а) (2; 3), о
(3; 2); б) (3; 6); в) (4; 1); г) (4; 4). 17.42. а) (1; 3), (3; 1); б) (2; 1); в) (1; 2); г) нет решений. 17.43. 2.
§ 18
18.4. а) Д < х < 2; б) х > 1; в) 1,8 < х < 9; г) 1 < х < Д. 18.5. а) 1,8 < О о
< х < 5; б) —g < х < 7; в) х < 0; г) х < -1. 18.6. а) 4,2 < х < 7;
237
б) 1,5 < х < З-i; в) з| < х < 5; г) | < х < 5. 18.7. а) 2; б) 1; в) 3; г) 6 6 4 у
18.8 . а) 2 < х < 3; б) нет решений; в) -10 < х < -2л/2; г) х > 14.
18.9 . а) х < -3, 2 < х < 6; б) 2 < х < 11; в) нет решений; г) ЗТЗ < х < 9.
3 1
18.10 . а) 3 < х < 4; б) х > 1-^. 18.11. а) х < -1, х > 8; б) х < -1, х >
в) 2 < х < 4; г) 0 < х < -5» 1 < х < 1~. у у
2 1
18.12. а) х < q, х > 2-±; б) -1 о о
3 ^4 г- г- г-
< х < 0, 3— < х < 15-—; в) 7 < х < 1; г) -V7 < х < -л/б, -л/2 < х < О, о о *
0 <х<у/2, л/5 < X < х/7. 18.13. а) 6; б) 0; в) 2; г) 4. 18.14. а) 0 < х < 1,
3 < х < 4; б) 1 < х < 6; в) 2 < х < 5; г) 0 < х < 1, 9 < х < 10. 18.15. а) 4 < х < 6; б) 1 < х < 2, х > 4; в) х > 44; г) х > 3. 18.16. а) 2 < х < 5:
б) -2 < х < 3. 18.17. а) 0 < х < 2, х > 8; б) 2 < х < 4; в) < х < 16;
г) ° < х < х > 125. 18.18. а) -0,9919 < х < -1 + ^з|
б) нет решений;
в) < х < -^ + х > 4; г) < х <27. 18.19. а) < х < 16;
б) 1| < х < 1 + в) х > 0; г) 5'5’75 -1 < х < -0,96. 18.20. а) -3;
2 1 г-
б) -28; в) 1 < х < 4, х > 28; г) -4-= < х < 22. 18.21. а) 0 < х < х > V2; О
б) < х < х > 2; в) 0 < х < 2, х > 4; г) < х < 15 625.
18.22. а) 0 < х < 1, х > 16; б) 0 < х < х > 10; в) 0 < х < 0,01, 0,1 < х < 1000; г) 0 < х < х > ^. 18.23. а) -2 < х < 2; б) -л/б < х < -^2, V2 < х < л/б. 18.24. а) -1 < х < 3; б) -5 < х < -1. 18.25. а) х > ^5 б) | <
1 5
< х < 1; в) 2 < х < 14; г) -4-i < х < 2-±. 18.26. а) 5; б) 2; в) 3;
г) 1. 18.27. а) 10; б) 3. 18.28. а) 2; б) 511. 18.29. а) | < х < б) -1^ < 1 12 2
< х < -1; в) х < gJ г) х < 4. 18.30. a) g < х < g> х > 1g; б) 2 < х < 3, Q
х > 5. 18.31. а) 1 < х < 3; б) 1 < х < 3. 18.32. а) 2 < х < 3, 3^ < х < 4; о
238
9 Л Л
б) lg < х < 2. 18.88. а) —g + 2тиг < х < 2яп, 2тт < х < g + 2лп, п 6 Z;
б) 2пп < х < + 2яп, + 2тт < х < я + 2яп, п е Z; в) g + 2тт <
я „ я „ 5 л „ ч я п
< х < 2 + 2яп, 2 + 2яи < х < ^я + 2яп, п € Z; г) —+ 2тт < х < —j +
+ 2тт, -j + 2пп < х < + 2яп, п е Z. 18.34. а) —| + 2яп < х < + 2яп,
-н + 2пп < х < + 2яп, п е Z; б) —+ 2яп < х < + 2яп, п е Z.
о о о
18.35. a) -V12 < х < -2, 2 < х < V12; б) 0 < х < 3, 3-i < х < V10; в) х > 1; о
г) х < ->/10, 3-^ < х < 4. 18.36. а) < х < 1, х > 2; б) 0 < х < 1, 5 < х < 25.
18.37. а) 0 < х < 1, х > 4; б) 0 < х < 1, х > 7. 18.38. а) -3 < х <
б) х < -4, х > —g. 18.39. а) <х<^, 1<х< 2^; б) 0 < х <
| < х < 1, х > 25. 18.40. а) х > 2; б) 0,25 < х < 0,8. 18.41. а) х > 5; б) <
< х < 2. 18.42. а) Нет решений; б) 1 < х < 3. 18.43. а) 0 < х < х > 1;
б) -2 < х < 3. 18.44. а) 3 < х < 3-L х > 4; б) 2 < х < 5. 18.45. а) 3 < х < 9;
б) g < х < тр в) 0 < х < 2,50,3 - 1; г) 3 < х < 4; х > 6. 18.46. а) 0 < х <
1 < х < 1^; б) -1-g < х < -1, | < х < 0. 18.47. а) х > 3; б) 0 < х < 1;
1 < х < 2.
19.11. а) (-ОО; +ОО); б)
§19 4 4е 1
19.7. а) б) -у; в) -9,9; г) 19.8. а) -1; б) -1; в) 5 - е; з) 3. я 3 3 я 13 9
19.9. а) -^9 б) в) г) g* 19.10. а) -5; б) —gS в) у*, г) нет решений.
19.12. а) у = ех;
О I
°°; -2); г)
х 2
б) у = е2х - е2; в) у = х + 1; г) у = — + -• 19.13. а) у = Зх; б) у = 0,5;
239
в) у = -2х + 2; г) у = 1. 19.14. а) Да; б) нет. 19.15. а) у = 2х -
б) у = -2х + 3. 19.16. а) у = 2ех. 19.17. а) у = -|х; б) у = ^х.
2 о
19.18. а) Возрастает на (-оо; -2] и на [0; +°°), убывает на [-2; 0], х = 0 — точка минимума, х = -2 — точка максимума; б) возрастает на [-0,5; +°°), убывает на (-оо; -0,5], х = -0,5 — точка минимума; в) убывает на (-оо; -3], возрастает на [-3; +°°), х = -3 — точка минимума; г) убывает на (-°°; 1], возрастает на [1; +°°), х = 1 — точка минимума. 19.19. а) Возрастает на
х = In — точка макси-
и на [0; +°°), убывает на
lni
мума, х = 0 — точка минимума; б) убывает на (-°°; 0] и на [In 1,5; +°°), возрастает на [0; In 1,5], х = 0 — точка минимума, х = In 1,5 — точка
1 4
максимума. 19.20. а) 0, е; б) 0, е; в) ; г) е, 9е3. 19.21. а) а € (-7; -1] и
и [0; 6); б) а € (-1; 0); в) а € (-оо; -7] [6; +°°); г) нет таких а.
IQ 9Q х1пх “ + Х)М1 + X). 2(х- 1) In (X — 1) — 2х In X
а) , о » О)
x(l + x)hrx
_ „„ , бх4 + 3 „ 61п(3х- 4) .
19-3°-a)2?T^=6l Зх - 4 ’»)
х(х - 1) In2 (х - 1) 2 + cos2 х
sin 2х + х cos2 х ’ г) 5х
19.32. а) у = 4х - 3; б) у = х - 1; в) у = -4х + 2е; г) у = х - 1.
19.33. а) у = х + In 3 - б) у = 1,5х + In 2 - 1,5. 19.34. а) у = ^х; 3
б) у = —х. 19.35. а) -1; б) -1. 19.36. а) Убывает на (0; 1], возрастает на
[1; +°°), х - 1 — точка минимума; б) убывает на (0; 1], возрастает на [1; +°°), х = 1 — точка минимума. 19.37. а) 1, е - 1; б) е - 1, е2 - 2. 19.38. а) Возрастает на (0; 2] и на [3; +оо), убывает на [2; 3], х = 2 — точка максимума, х = 3 — точка минимума; б) возрастает на [1; +°°), убывает на (0; 1], х = 1 — точка минимума. 19.39. а) -4 + In 4, -1; б) 1, 4 - In 4. 19.40. а) 1, 5,75; б) 0, 12. 19.41. а) Нет, 1; б) е, нет. 19.45. 12. 19.46. г3, г2, г4.
ГЛАВА 4
§ 20
20.16. а) х; б) tg х; в) ~ cos 2х; г) х - -i ctg 2х. 20.17. а) ~ cos 7х;
4 2 <
11111 х5
б) т;Х - — sin 10х; в) - sin бх; г) cos бх - ъ cos 4х. 20.18. а) у = -з—
2 2U о 12 о о
х13
- х3 + С; б) у = х - cos х + С; в) у = ttz— х8 + С; г) у = sin х - 9х + С, 1 о
240
13 х2 9 -4
20.19. а) у = —- + ~x- + С; б) у = — - cos х + С; в) у = — - 2х2 + С; Л- Л/ Л-
5 3
г) у = — - sin х + С; 20.20. а) х3 - 2х2 + 19; б) + х - 8,5; в) х4 * +
5 15 3
+ х3 - 14; г) х2 + — - 20.21. a) -cos х + -ji б) tg 5х - 2; в) sin х + 0,5;
г) -3 ctg + 3. 20.22. а) -4 cos х + 3; б) sin х + 15; в) sin х + 7; г) sin х +
+ 14. 20.23. a) tg х + 5 - >/3; б) -2 ctg х - 1; в) 2х + tg х + 4 + +
+ г) -ctgx - 10х - 21 - 20.24. a) -cosx + 21 -
о о о Z
./о х/ч
б) sin х - 9,5; в) -cos х + 10 - —; г) sin х - 6 - -5-. 20.25. a) F(x) =
х6
= ~- + х3 - 16; б) F(x) = -14 cos х + 23; в) F(x) = 2е5х ’4 + 3; г) F(x) =
= 1 - -|1п(2 - Зх). 20.26. a) F(x) = cosx - 14,5; б) F(x) = —g cos 4х +
1 23
+ cos 2x + в) F(x) = -sin x + 5,5; r) F(x) - sin 2x + 2 sin x.
20.27. a) F(x) = 8x/3x - 6 + x - 25; 6) F(x) = “V5x + 4 - 8x - |.
о о
л л
20.28. а) -5, 1, 5; б) -2, -1, 1. 20.29. а) % + пп, п € Z; б) (-1)п 3 + 2лл,
1 7
п € Z. 20.30. а) -Зх2 + 7х - б) -х2 + Зх + 7. 20.31. 4. 20.32. а) х2 +
9 4 29
+ 3х + 2,25; б) (Зх - I)4. 20.33. а) х2 + ^5 б) ^х4 + 20.34. 8.
4 2 ______
20.35. s = t2 + t - 1. 20.36. s = з cos St + 3. 20.37. s = -6yJ2t + 1 + 9.
20.38. s = |(1 + t)4 + + I» v = |(1 + t)3 + 20.39. a) 5; 6) 5; в) 7;
г) -2. 20.40. a) F(a) < F(b)-, 6) F(a) > F(b)-, в) F(a) > F(b)-, r) F(a) > F(b). 20.41. a) x = -3,5 — точка максимума, x = 1 — точка минимума; б) x = 5 — точка минимума; функция убывает на (4,8; 5] и возрастает на [5; +°о); в) экстремумов нет, функция возрастает на [0, +°о); г) х = -2 — точка максимума, х = 2 — точка минимума; функция возрастает на (-оо; -2) и на [2; 2,5), убывает на (-2; 2].
241
20.44. a) tgx + С; б) sin 2х + С; в) -ctg х + С; г) —| cos 2х + С. 20.45. а) g sin 4х - sin 8х + С; б) —| cos х - cos 7х + С; в) sin 2х + + sin 8х + С; г) —cos 10х + cos + С. 20.46. а) -^х - sin 2х + Зх + 8
+ С; б) |х - | sin 2х + 7^2 sin 4х + С; в) -^х + -j sin 2х + С; г) 11 2
+ sin 2х + 32 sin 4х + С. 20.47. а) -2 ctg 2х + С; б) ~ +
с.
§21
21.2. а) 5^; б) 4>/2 - 5,5; в) 8,2; г) -1|, 21.3. а) 2()|; б) 12-1; О ООО
.1
в) -4;
1 к 1
г) -2,5. 21.4. а) 2; б) 1-=. 21.5. а) 9; б) 47; в) 34^; г) 7,5. 21.6. а)-2-±; о о о
юУз.
- 3
^12 1
б) U; в) 2-i; г) -24-=. 21.7. а) 1; б) 2; в) 2; г) 1. 21.8. а) б) „ , ООО £0
в) з(7з - 1); г) 21.9. а) -0,4; б) в) г) п. 21.10. а) 4,5;
б) -2; в) 0,25; г) 1,5. 21.11. а) 1; б) 3 - 0,5л - ч/З; в) + 1; г) + + 2 - 21.12. а) ^л; б) г) -2. 21.13. а) -1;
б) л/3 - 1; в) г) л/3 - 1. 21.14. а) 18^; б) |(3х/3 - 1); в) 87 j;
Z Z Э о "
г) |(2 - $3). 21.17.a)In2; б) е2 - е + In 2; в) 0,1 In 2; г) ^(е4 - е2) + 2 In 2. и *
1 1 11 1 9 4
21.18. а) 2 In 2,2; б) g In -gS в) In 3; г) In 4. 21.19. а) 19|; б) 4-|.
21.20. а) 2 - б) 3. 21.21. а) + 15; б) In 2 + j. 21.22. а) 7^; б) б|; 9 11
в) 10-=; г) 14-==. 21.23. а) 4; б) 11; в) 3; г) -5. 21.24. а) 9,5; б) 6,5. о ои
21.25. а) -3; б) 1,5. 21.26. а) 0; б) 0. 21.27. а) 4; б) 6. 21.28. а) 1; б) 6; в) 25; г) 7. 21.29. а) ^п, п & Z; б) % + п & Z; в) %п, п е Z; г) п е Z.
Z о Z Z 4
21.30. а) j, 2; б) -2, 2. 21.31. а) 3; б) 5. 21.32. а) -1; б) 1.
242
21.33. a) -1 < x < 1; б) 0 < х < 1, х > 3; в) -1 < х < 1; г) х < -6, х > 1. Я Я Я Зя
21.34. а) —з + 2тт < х < g + 2яп, п € Z; б) g + лп < х < -g- + яп,
п ч 2я я „ ч 5я 7я
п € Z; в) —g- + 2яп < х < ~g + 2яп, п € Z; г) -g- + 4яп < х < -g- +
+ 4яп, п 6 Z. 21.35. a) t = 1; б) нет корней. 21.36. а) 0 < t < 7,5 б) -4 < t < -1,
t > 6. 21.37. а) 4л; б) | + 1; в) г) + 16^3. 21.38. а) 2л;
Я
б) 21.39. а) 6,5; б) 18,5; в) 8,5; г) 11,5. 21.40. а) 12; б) 1,2; в) 27;
г) 6. 21.41 а) 4; б) 3. 21.42. а) 96; б) в) э|; г)
21.43. а) 2Й; б) 20^; в) 9; г) б|. 21.44. а) 8; б) lO-j; в) 10-|; г) 6.
21.45. a) j; б) 4; в) |; г) 4. 21.46. а) 1; б) в) ^2; г) V2. 21.47. а) л + 1;
б) л; в) £ + 2; г) 2х/3. 21.48. а) 14; б) 18; в) 7^; г) 2. 21.49. а) 4,5; 2 о
19 9 19 тг2
б) Ц; в) 10^; г) 4,5. 21.50. а) 2^; б) 21-±; в) 2-^; г) 9. 21.51. а) 1 + 3 3 ооо о
2 2 2 1
б) 1 + в) 1 + г) 2 + 21.52. а) я - ул; б) 7я. 21.53. а) 5±;
о о Z О
12 9 9
б) -г; в) о; г) 2-=. 21.54. а) 16; б) 54. 21.55. а) 8,5; б) 12-=. 21.56. а) е3 - 1; т: О 3 3
е4 — 1 р2 — 1 (р — II2
б) ——5 в) —-—; г) е2 - 1. 21.57. а) -—б) е - 2; в) е2 + 1; г) 2(е2 - 1).
1 2
21.58. а) 1; б) 1п 3; в) 2; г) 3 1п 10. 21.59. а) е3 - е2 + 1п тр б) 4 - 1п 5;
14 12 9 2
в) -3 - 1п 4; г) г - 2. 21.60. а) 2 + б) 21.61. а) - 1,5;
б) - 2. 21.62. а) 2е - 1; б) 21.63. а) 14; б) 36; в) 2^;
In 2 31 31п 3 J 4
г) |• 21.64. а) 2; б) 1; в) г) 1- 21.65. а) 2±; б) 2± 21.66. а) 1б|; о о 0 о 3 3 3
1 1 я 4 1 я 4 4
б) 5| 21.67. а) 2 - 12= б) - + I3; в) 1 - г) - + 3. 21.68. а) 4,5;
б) 4,5. 21.69. а) 20|; б) 14-^. 21.70. а) б) 2,25. 21.71. а) б|; б)
243
3 1 11 /я
21.72. а) б) у2« 21.73. a) gJ б) д- 21.74. а) б)
21.75. а) 6,75; б) 6,75. 21.76. а) 8, б) -11,
б) 0,5; в) 0,25; г) 0,25
ГЛАВА 5 § 22
22.1. а) 1; б) 1; в) 0; г) 0,5. 22.2. а) 0,5;
22.3. а) 0,01; б) 0,38; в) 0,25; г) 0,01. 22.4. а) То, что оно отрицательно
б) то, что оно больше -3; в) то, что оно не целое; г) то, что оно больше 5
22.5. а) 0,1; б) 0,001; в) 0,65; г) 0,25. 22.6. а) 0,5; б) 0,5; в) 0,2; г) 0,21
22.7. а) 0,25; б) 0,5; в) = 0,28125; г) = 0,1545. 22.8. а)
24 24 - 4л
« 0,3; б) 0,16; в) 1 - « 0,7; г) « 0,145. 22.9. а) 0,25; б) 0,25,
_/Q -L О
в) 0,75; г) s 0,539. 22.10. а) 0,5; б) 0; в) 0,5; г)
= 0,789.
20 10 36
22.11. а) 1; б) J21 = 0,165; в) в 0,083; г) 121 ' °’297* 22Д2‘ а) °’25’
23 7
б) 0,5; в) 0,5; г) 0,25. 22.13. а) 0,25; б) 0,75; в) » 0,719; г) = 0,4375
22.14. а) 0,5; б) в) « 0,573; г) 3 г- = 0,515.
22.15. а) = 0,037; в) = 0,704; б), г) « 0,259. 22.16. а) 1; б) 0; в) - 0,5е « 0,289; г) 1 - 0,5л/ё « 0,176. 22.17. а) 0; б) 0,25: в) « 0,9534; г) 2 ~ « 0,146. 22.18. а) а = 2’Ъ б) а = 4;
в) а = л/2; г) а = 3 - 7^5. 22.19. а) 0; б) 1; в) 0,25; г) 0,0625. 22.20. а) 0; б) 1; в) 0,25(1 + In 4); г) 0,5(1 - In 2). 22.21. а) 1; б) = 0,917; в) =
= 0,083; г) 0. 22.22. а) 0; б) 0,0625; в) 0; г) 0,25.
§ 23
23.1. а) 0,75; б) = 0,7857; в) 0,75; г) 23.2. а) 0,5625; б) 0,6173:
4 8
в) 0,5625; г) д. 23.3. а) 0,9375; б) 0,9541; в) 0,9375; г) д. 23.4. Так как во всех случаях а) — г) вероятность р «успеха» больше вероятности q «неудачи», то 1 - q3 > 1 - р3, т. е. более вероятно, что наступит хотя бы
244
7 35 93
один «успех». 23.5. а), в) ~ 0,219; б) -jTjg ~ 0,273; г) Tjgg ~ 0,363.
23.6. а) 1 -
35
36
« 0,028; б) 1 -
(35>2
« 0,055; в) 1 -
« 0,081;
г)1-
( 35 7° ы
= 0,246. 23.7. а) 2 : 2; б) 2 : 2; в) 3 : 1; г) события равнове-
роятны. 23.8. а) 0,1296; б) 0,3456; в) 0,1536; г) 0,1792. 23.9. Р(А3) = = 0,096 < P(AX) = 0,32 < Р(А2) = 0,384 < Р(А4) = 0,512. 23.10. а) 0,23; б) 0,0772; в) 0,077; г) 0,923.
23.11.
k 0 1 2 3 4 5
PJk) 0,078 0,259 0,346 0,23 0,077 0,01 Сумма = 1
23.12.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Р&) 0,004 0,031 0,109 0,219 0,273 0,219 0,109 0,031 0,004
23.13. а) 0,0612; б) 0,375; в) 0,0638; г) 0,9362. 23.14. а)
0,5787;
б) 0,3472; в) 0,0694; г) 0,9953. 23.15. а) 0,002; б) 0,041; в) 0,67; г) 0,33.
23.16. а) -Ц------ = 0,2607; б) 0,5466; в) 0,932; г) 0,068. 23.17. а) 55 и 56;
о 71
б) 56; в) т и т + 1; г) т + 1. 23.18. а) от 499 до 599; б) от 999 до 1099; в) от 1999 до 2099; г) от 9999 до 10 099. 23.19. а) р = 0,8; б) р = 0,7; в)р = 0,71; г) р = 0,008. 23.20. а) 0,6 < q < 0,7; б) 0,69 < q < 0,7; в) 0,699 < < q < 0,7; г) 0,96 < q < 0,97.
§ 24
24.1. а) 3; б) 8; в) 2, 3, 4, 5; г) 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3,
§
4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
8 3
24.2. а)
Варианта 2 3 4 5 Всего: 4
Кратность варианты 3 5 8 4 Сумма = 20
в)
Варианта 2 3 4 5 Всего: 4
Частота варианты 0,15 0,25 0,4 0,2 Сумма = 1
245
24.3. a) 3; б) 4; в) 4; г) 3,65.
24.4. а)
Варианта 2 3 4 5
Отклонение от среднего -1,65 -0,65 0,35 1,35
б) 3 (-1,65) + 5 (-0,65) + 8 • 0,35 + 4 1,35 = -8,2 + 8,2 = 0;
в)
Варианта 2 3 4 5
Квадрат отклонения 2,7225 0,4225 0,1225 1,8225
Сумма квадратов = 3 • 2,7225 + 5 • 0,4225 + 8 • 0,1225 + 4 • 1,8225 = = 18,55; г) D = = 0,9275, а = JT) « 0,9631.
24.5. а)
Варианта 0 1 Всего: 2
Кратность 8 12 Сумма = 20
Частота 0,4 0,6 Сумма =1
в) мода равна 1, среднее равно 0,6; г) D = 0,24, а = 0,4899.
24.6. а) 7; б) 0,04; в) 0,22; г) 38 %.
24.7. а)
Варианта №1 №2 №3 №4 Всего: 4
Кратность 9 5 2 4 Сумма= 20
Частота 0,45 0,25 0,1 0,2 Сумма =1
Частота, % 45 25 10 20 Сумма = 100 %
г) варианта № 1.
24.8.
Варианта №1 №2 №3 №4 №5 №6 Всего: 6
Кратность 291 122 113 202 79 193 Сумма = 1000
Частота 0,291 0,122 0,113 0,202 0,079 0,193 Сумма =1
Частота, % 29,1 12,2 11,3 20,2 7,9 19,3 Сумма = 100%
246
k 100
24.9. а) Столбец № 2; 6) k2 - Ik - 33 =
100; в) = -3, fe2 = 11,
так как k > 0, то k = 11; г)
Варианта №1 №2 №3 №4 Всего: 4
Кратность 33 11 34 22 Сумма = 100
Частота 0,33 0,11 0,34 0,22 Сумма = 1
Частота, % 33 11 34 22 Сумма = 100 %
24.10. в)
Варианта №1 №2 №3 №4 Всего:4
Кратность 20 х = 5 </=ю 15 Сумма = 50
Частота 0,4 0,1 0,2 0,3 Сумма =1
Частота, % 40 10 20 30 Сумма = 100 %
г) варианта № 1.
24.11. a) 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ' 5 in
5, 5, 5, 5, 5;
6)
Оценка по литературе 1 2 3 4 5 Всего: 5
Кратность 1 5 6 8 5 Сумма = 25
4 1 • 1 + 2 • 5 + 3 • 6 + 4 • 8 + 5 • 5 „ ,,
г) M = -----------------25---------------- = 3,44.
24.12. a) 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, ..., 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5;
2 11 6
6)
Оценка по русскому языку 1 2 3 4 5 Всего: 5
Кратность 2 3 11 6 3 Сумма = 25
г) М = 1 2+ 2 3 + 3 11 + 4 6 + 5 3 Ort ч 25 - 3,2. 24.13. а) 3, 3, 4, 4, 2 2
5, 5, 5, '“Г" 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10; 4 5 4 4
247
б)
Сумма отметок 3 4 5 6 7 8 9 10 Всего: 5
Кратность 2 2 3 4 5 4 4 1 Сумма = 25
г) 6,64. 24.14. а) 4, 4, 4; б) 4, 3, 3; в) 7, 7. 7; г) 2. 1. 1.
24.15. а)
Кратность 1 5 6 8 5
Отклонение от среднего -2,44 -1,44 -0,44 0,56 1,56
Квадрат отклонения 5,9536 2,0736 0,1936 0,3136 2,4336
Сумма квадратов = 1 • 5,9536 4- 5 • 2,0736 4- 6 0,1936 4- 8 0,3136 + ПЛ Ч /?
+ 5 • 2,4336 = 32,16; D = = 1,2864, о = <JD = 1,134;
б)
Кратность 2 3 11 6 3
Отклонение от среднего -2,2 -1,2 -0,2 0,8 1,8
Квадрат отклонения 4,84 1,44 0,04 0,64 3,24
Сумма квадратов = 2 • 4,84 4- 3 1,44 4- 11 • 0,04 4- 6 0,64 -I- 3 • 3,24 = 28;
28 rzr
D = 25 = 1’12’ ° = “ 1,0583; в) по литературе; г) по русскому языку.
24.16. а) 4; б) 5; в)
Итоговая отметка 2 3 4 5 Всего:4
Кратность 4 7 9 5 Сумма = 25
24.17. а) 38; б) 35, 3, 3; в) -2; г) нет. 24.18. а) 36; б) 7, 11;
ЗЗх - 18
в) 2,333; г) нет. 24.19. а) М = у” + jg * б) часть одной из ветвей гипер-17х 4- 52
болы; в) 3, 4, 5, 6; г) нет. 24.20. а) М = б) последовательность
точек одной из ветвей гиперболы; в) 1, 2, 3; г) нет.
§ 25
25.1. а), б) Ci’o • 0,510; в) С& • О,5100; г) С$о 0,475 • 0,6й. /еЧ25 х,ч25 ГЧЛ®7 79Л33 /9\175 /1 \118
25.2. а) • (у) ; б) С& • ; в) С^з • (-j • j ;
г) Cfooo • О,5100°. 25.3. а) Р10(3) = Cfo • 0,63 • 0,47; б)Рюо(99) = С& • 0,1 • 0,9";
248
b)P20(5)= Clo 0,316 • 0.75; г) Р1000(0) = О,21000. 25.4. a)Pw(5)= (*> 0,75 • 0,345; б) Р30(7) = Ck 0.67 • (М23; в) Р100(3) = cfoo • О,510°; г) Р4О(4О) = О,740. 25.5. а) Р10(8) = Cfo • О,32 • О,78; б) Р10(8) = С}0 • 0,019 0,99; в) Р30(5) = = С|) • 0,65 • 0,425; г) Р1оо(О) = 0,110°. 25.6. а) 0,6 + 0,7 * 1; б) 0,9 + 0,01 * 1; в) С|) * 180; г) 1000 * 1 и 1000 * 1000 1. 25.7. а) 0,242, 0,054,
0,00443; б) 0,3521, 0,1295, 0,0175; в) 0,397, 0,2179, 0,044; г) 0,2661, 0,2444, 0,0551. 25.8. а) 1,27; б) 1,66; в) 0,03; г) 2,66. 25.9. а) 0,62; б) 0,6; в) 1,66; г) 2,72. 25.10. а), б) 0,0054; в) 0,0242; г) 0,0004. 25.11. а) 0; б) 0,02; в) 0,0009; г) 0,0176. 25.12. а) 0; б) 0,0133; в) 0,0081; г) 0. 25.13. а) 0,3413, 0,4772, 0,49865; б) 0,1915, 0,4332, 0,4938; в) 0,0398, 0,3643, 0,4821; г) 0,3159, 0,3389; 0,4767. 25.14. а) 1,02; б) 1,59; в) 0,01; г) -2,34. 25.15. а) 0,95; б) 1,75; в) 0,25; г) 2,32. 25.16. а) 0,4995; б) и г) 0,7454; в) 0,8164. 25.17. а) 0,5; б) 1; в) 0,3413; г) 0,383. 25.18. а) 0,5; б) 0,1587; в) 1; г) 0. 25.19. а) 0,9586; б) 1; в) 0,5; г) 0,0207. 25.20. а) 0,5; б) 0,5; в) 0,5878; г) 0,0485.
ГЛАВА 6 § 26
26.11. а) 1, 6; б) 0; в) 2, 6; г) нет корней. 26.12. а) 2; б) -0,5; в) нет корней; г) -2,5, 2. 26.13. а) -2; б) 2,5; в) 2; г) -1,5. 26.14. а) 1, -3; б) 1, -4. 26.15. а) 0, ±|, ±2; б) 0, +3; в) +1, ±^; г) 0, ±я, ±4. 26.16. а) 5;
б) 3. 26.17. а) 14; б) 6.
§27
27.3. а) 5,25; б) 11. 27.4. а) + яп; б) + яп. 27.5. а) 6, 8; б) 1;
К ТГ
в) 0: г) 4. 27.6. а) 1, 7; б) 2^; в) 1, 3; г) 10, 0,001. 27.7. а) + яп,
5я яп. ______я_ яп. 2яп
24 + 2 ’ б) 72 + 3 ’ в) 3 ’
Я
~2 + 2яп; г) нет корней. 27.8. а) 3, 0;
б) ±2. 27.9. а) 1; б) ±-^ + 2яп. 27.10. а) + яп; б) ±-^ + 2яп.
27.11. а) б) 1. 27.12. а) 0. 4. 5; б) -2, 2, 3; в) 0, -2, -6; г) -3, -1, 3.
27.13. а) 0, 6; б) 0, 5. 27.14. а) 2, -1; б) 2, 3. 27.15. а) ±2, ( 1)" | + яп;
б) ±3, ±— -I- 2яп. 27.16. а) яп, + 2яп; б) + яп, -arctg + яп; в) + + (-1)" | г) 2яп, + 2яп. 27.17. а) -1, б) +1. 27.18. а) 1, 0;
249
6) -log510; в) 0; г) 2, log3 2- 1. 27.19. а) ±1; б) 8, 16; в) (-l)n arcsin + ли;
г) 64. 27.20. а) 10, 10 4; б) 0, 1; в) ±-^- + 2лп; г) 1, 4. 27.21. а) 0, +1; О
б) О, 1. 27.22. а) 2; б) -1. 27.23. а) 1, 2; б) 27.24. а) 1; б) 9. 27.25. а) 1;
б) 1; в) 3; г) 7. 27.26. а) 0; б) 1; в) 1; г) 1. 27.27. а) 1, 2, 3; б) -1, -3 ± >/15;
в) -2; г) 2. 27.28. а) 3, 4, -1, -2; б) 0, -3. 27.29. а) 2, 3; б) 2, 4.
27.30. а) 3±У^; б) 2, -3. 27.31. а) 0, +1, -2; б) 0, 1. 27.32. а) 2 о
ли ч л ли , л л _ лп л 2лп л 2лп
б) 5 • 27.33. а) 12 + £ > +д 4- 2лп; б) 2 » 9 + 9’5 + 5 •
27.34. а) б) лп, 5 27.35. а) ±5 + лп; б) ±$ + лп.
27.36. а) + лп, + лп; б) + лп, arctg (-3 ± >/3) + лп, 27.37. а) +
+ 2лп, л 4 2лп; б) ~+ (-l)n arcsin + лп. 27.38. а) 4, 0; б) 5, 25.
27.39. а) 1, log2 5; б) 1, 3 log3 2; в) 3, log3 0,12; г) 1, log5 4. 27.40. а) 1, 4;
б) 5; в) 6, 2; г) нет корней. 27.41. а) 8, 16; б) ^5 в) 0,5, 4096;
2е
г) 32. 27.42. а) 4; б) 4. 27.43. а) Нет корней; б) 3, 9; в) 4; г) 0. 27.44. а) у. ^7^; б) -1. 27.45. а) 99; б) 5-j. 27.46. а) 1. 100 000, 0,00001; б) et3. Зе о о
1 л
27.47. а) j, 1. 16; б) 10'8, 1, Ю10. 27.48. а) 2 + 2лп; б) нет корней.
27.49. а) ~^ + 2лп; б) —+ 2яп. 27.50. а) 1, лп, п € N; б) 1,
п = 0, 1, 2, 3, ... . 27.51. а) -3, (-1)" + лп, п = 0, 1, 2, 3. ...; б) 8, 120,
л лп
“8 + Т’ п = 6’ 7’ 8’ 9’ - * 27,52‘ а) 0; 1 * * * * б) ±Ь 27,53‘ а) 1; б) 5* 27,54‘ а) 2;
б) 3. 27.55. а) 1; б) 7. 27.56. а) 2; б) -2. 27.57. а) -2; б) ±1.
§28
28.5. а) Нет решений; б) 8 < х < 11. 28.6. а) х > 3; б) -1 < х < 8. 28.7. а) 2 < х < 4; б) 2,5 < х < 11. 28.8. а) х < 5; б) 2,7 < х < 6.
250
1 2 1
28.9. a) х < -5, з < х < 1; б) х < -у, < х < 7. 28.10. а) -3 < х < -2,
-2 < х 4; б) -5 < х < -2, 3,5 < х < 4, 4<х<5. 28.11. а) -оо < х < +°°;
б) х > —в) -1 < х < 0, х > 3; г) х < 3. х > 3. 28.12. а) х < -3, —| < х <
х > 1,5; б) х < -3, х > 0; в) х < -л/2, х > 1; г) -5 < х < 5. 28.13. а) х > 1;
я
б) х > 3. 28.14. а) 2,5 < х < 3; б) нет решений. 28.15. а) х > 2,25; б)—^ + 4л
+ 2лп < х < -3- + 2лп. 28.16. а) 6 < х < 8; б) 1 < х < 2,25; в) х < -2,
О < х < 2, х > 2; г) 1 < х < 4. 28.17. а) х < 1, х > 7; б) х = 1: в) -5 < х < 3; г) х < -1, х > 2,4. 28.18. а) х , 4; б) х > -2; в) 0 < х < 5; г) х > 49.
к л
28.19. а) х < 0, х > 3; б) х < -2, х > 2. 28.20. а) ~+ лп < х < + лп;
2л 2л
б) —3- + 2лп < х < -3- + 2лп. 28.21. а) х > 1; б) х < 0. 28.22. а) х < 1; б) х < 1. 28.23. а) х > 64; б) 210 < х < 2“ 28.24. а) 0 < х < 1; б) х < log5 0,1. 28.25. а) 8 < х < 16; б) 0 < х < х > 28.26. а) 1 < х < 1,25,
л 5л
х > 1,5; б) 0,1 < х < 1. 28.27. a) g + 2лп < х < -g- + 2лп; б) х = 2лп. 28.28. а) х > 2; б) х 0; в) х < 2; г) нет решений. 28.29. а) 0 < х < 4; б) нет решений; в) х > 4; г) х > 0. 28.30. а) 0 < х < 1; б) х > 1. 28.31. а) [-3; 1) и и (1; 2); б) (3; 4) и (4; +<»). 28.32. а) -°° < х < 4-оо; б) х = в) х = 0;
г) -оо < х< 4-00. 28.33. а) -оо < х < 4-°о; б) х = 0; в) х = 0; г) -оо < х < 4-оо. 28.34. а) х > -1,5; б) х < 28.35. а) 0 < х < 9; б) 0 < х < 4. 28.36. а) х < О,
х > 2; б) -4 < х < О, 1 < х < 3. 28.37. а) -2 < х < -1, х > 2; б) х > 3, х = -4.
4
28.38. а) 3 < х < 3,1, х > 7; б) х < 1, 7 < х < 7,3. 28.39. а) 3 < х < log2 3;
4 q/tt 1
б) 0 < х < 3, х > v3. 28.40. а) х > 1; б) -1 < х < 5; в) х < -8, х > тр г) -7 < х < 0. 28.41. а) х > 3; б) нет решений; в) -3>/п < х < 0; г) —j < < х < 0, х > 2. 28.42. а) х < -2, 3 С х < 4, х > 4; б) -5 < х < -1, -1 < х < 2. 28.43. а) О < х < | < х < 2; б) -4 < х < -л, -я < х < 0. 28.44. а) х > 3,
х = -2; б) < х < -1. 28.45. а) 1,5 < х < 51,5; б) х >
251
я я к
в) “2 + 2лп < х < g + 2лп; г) х > 2. 28.46. а) х > 3; б) х > 1; в) + 2лп 5 л / j 5
< х < -Q + 2лп; г) х > V4 + е. 28.47. а) -2 < х < 1; б) < х < 0, х > 1.
28.48. а) х > -1; б) О < х < j, х > 4ё. 28.49. а) 1 < х < 3; б) х > 9.
28.50. -1 < х < —| < х < 0, х > 6. 28.51. -2 < х < ~< х <
| < х < 2. 28.52. х > 8. 28.53. х < 0, < х < 1, х > 4. 28.54. а) ^5 б) О,
±2л. 28.55. а) -2 < х < 1. 1 < х < 4; б) х < -4, х > 3. 28.56. а) 2 < х < 32; б) 27 < х < 81. 28.57. а) х < -2 - 7з, -0,3 < х < -2 + 7з, х > 2; б» 1 < х < 2 - >/5, -0,2 < х < О, 0 < х < 1, 2 + л/5 < х < 4,5. 28.58. а) х = -4; б) х = 5.
§29
29.4. а) Если р < 0, то корней нет; если р = 0, то х = -0,5; если р > 0, ±р — 1
то х = —5—; б) если 0 < р < 1, то корней нет; если р = 0 или р = 1, л
1 ± V5 п , [X ..^1 + V5
то х = ±1; если р = —~, то х = 0, х = ±V2; если 1 < р < —-— или Z А
-z— < р < 0, то х = ±71 - р + р1 2, х = ±71 + р - р2; если р < —— л л
1 ^7
или р > —±5—, то х = ±71 - р + р2;
в) если р > -0,2, то корней нет;
если р = -0,2, то х = -0,5; если р < -0,2, то х =
±(1 + 5р) - 1 2
; г) если
р Ф 2, то корней нет; если р = 2, то х = ±1. 29.5. а) Если р > 2, то корней нет; если р = 2, то 1 корень; если р < 2, то 2 корня; б) если р < 1, то корней нет; если р = 1 или р > 5. то 2 корня; если р = 5, то 3 корня; если л
1 < р < 5, то 4 корня: в) если р = (-1)п -I- лп, п С Z, то 1 корень; если
4^ + 2л& < р < + 2л&, k eZ, то 2 корня; если — + 2л/ < р < — + 2л/,
6^6 6 6
10
I е Z, то нет корней; г) если р < 1, то нет корней; если 1 < р < -д-> то
10 10
2 корня; если Р = "д"’ то 3 корня; если р > -д-> то 4 корня. 29.6. а) 1 < р < 3;
252
б)р > 1; в) р < 1; г) р > 3. 29.8. а) 3, 1; б) -2, 5; в) г ) -2. 29.9. а) 0. 5;
9 тг
б) -2, 5; в) 2, 5; г) нет корней. 29.10. а) 3; б) 1; в) =; г) 16. 29.11. а) (-1)п-г + о 4
+ лп, п € Z; б) + лп, л(1 + 2п), г 4- 2лп, п € Z; в) -н + лп,
+ 2лп, п 6 Z; г) + 2лп, лп, (-l)^1 + лп, (-1)п + 1^ + лп,
(-1Г *1 рлп, nEZ. 29.13. а) 0, 1, 9; б) 0, 1, 3 ±2^; в) 0, 7; г) 2, 4. 29.14. а) -2,4, 4; б) -1, 23; в) 7, 19; г) 1, 1,6. 29.16. а) 1; б) 1; в) 2; г) нет корней. 29.17. а) 0,5; б) 1; 29.18. а) л(1 + 2п), п € Z; б)
п € Z; в) — t_P, л с Z: г) ^?Q+ п € Z. 29.20. а) 4; б) 8; в) все целые 4 io
2 2
числа кроме 1, -g, ±g + 2k, k € Z, k * 0; г) корней нет. 29.22. а) [1; 4];
б) (1; 2]; в) [-2; 0] и [2; 5]; г) f-oq
I о
и (0; 1]. 29.24. а) [-4; -3] и [0; 3];
б) [-1; 0) и (0; 1]; в) [ 3; -1] u [1; 4]; г)
I; -11 и (-1; 0].
□ ]
29.25. а) —g + 2л/? < х < + 2л/?, + 2л/? < х < + 2л/?, k е Z;
л л эл 4л
б) [0,01; 10] и [100; +оо); в) + 2л/? < х < g + 2л/?, ~q + 2л/? < х < -у +
+ 2л/?, k е Z; г) [9; 100]. 29.28. а) (-оо; 1] и [5; +оо); б) (-6; 10);
в) [-3,4; -0,6]; г) (-оо; -7) и (1; +оо). 29.30. а) (-оо; 0) и (0; +оо); б) [4; 12).
29.31. a) f-oc; 1
I о
и [1; +оо); б) (-оо; 2); в) (-оо; 0,75) и (2,5; +оо);
Г1 - J43 i
г) (-оо; -о,5] и [-0,25; +оо). 29.32. а) (-оо; -4) и - ; -2 и
у Л J
и (-2; -1] и [ 1+уЗЗ; +оо'|; б) (-оо; -2) и f-2; -11 и (1; 11 и (4; +°о); в) (-3,5; -2) и [-2; ~7 и [ ~7+ ^4Т; 11 и (1; 2); г) (-оо; -2) и
и (-2; -1) и (0,5; 1) и (1; +оо). 29.34. а) [1; +°°); б) (-1; 2); в) | L 4,5 к
253
г) (-11 29.35. а) (-4; -1) и (1; 4); б) (-9; 0) о (0; 2) kJ (2; 5);
-11+ vQ7 I
-1; - - и (Ю; +°°); г) (-оо; -12) и (8;
( Л 9> <9 Л Г 1 4~1
+оо). 29.37. а) -; б) +оо : в) г) [-6; 0].
29.38. а) (-оо; -13) и
1 + л/22.
3 ’
б) выполняется при всех действительных значениях х, кроме -3, -1, 2;
в) выполняется при всех действительных значениях х, кроме -2, 2;
г) выполняется при всех действительных значениях х, кроме -1, 1, 2.
29.42 . а) |~3~^; ~3+9^ |; б) (-оо; -1) о (0; 1); в) (-0,2; 0);
г) (-0°; 0) и (7; 4-оо). 29.44. а) (-оо; -5] u [1; +оо); б) [-1; 0) и [3; +°°);
в) (-оо; -0,5] и (0; +оо); г) [1; ч-оо). 29.45. а) (6; +оо); б) [-1; +°о);
и [1; +оо); г) [-0,6; 1]. 29.46. а)
fl. к3’
!) ») 1] V
; в) (-2; 2]; г) [-1; 0) и [2; +оо). 29.47. а) [0; 2]; б) [0; +оо);
в) (-6; 1); г) -1. 29.48. а) (-оо; 0,6) и (4; +оо); б) [-5; 1]; в) (-3; +оо);
г) (-оо; -1] и [0; +0О). 29.49. а) (-оо; 0) kJ [ 0; | ] kJ (1; +°о); б) (-оо; -2) kJ
kJ (7; +°о); в) (-оо; -2) kJ [2; +°о); г) (-оо; -2) kJ
kJ (-2; -1] kJ (0; 2]. 29.50. а) Я; б) 10; -у! и [14; +оо); в) (-оо; 1) и (1; +оо);
254
г) -ос;
о [-1; +00). 29.52. а)
_7.
3’
+оо ; б) (-оо; 0) о (0; 1].
29.54. a) (~<х;
в)
и [V7;
+оо); г) (-л/3; 0) и [1; >/3). 29.55. а) (-оо; -3) и
и (-1; 1) и (3: +°°); б) [-1; 4]; в) (-10; 14); г) х < -1, 2 < х < 3, х > 6.
29.56. а) [--5<Д _ Л и
5- V21. 5 + V21 2’2.
б) (-2 - >/2; -2 + V2) и (2 - >/2; 2 + >/2);
в) (-oq -1 - V2] и [1 - >/2; О) и (О; -1 + >/2] и [1 + >/2; +оо); г) ±1,
±3. 29.57. а) а = -1; б) а = -5. 29.58. a) t < 9; б) при любых действительных t\ в) t < 15; г) t < 9. 29.59. a) t < 11; б) при любых действительных t; в) t < 22; г) t < 12. 29.60. а) 25; б) 20.
§ 30
10 10
30.3. а) 2; б)—р 2; в) 3; г)—р 3. 30.5. а) -9; б) ±5; в) -8, 5; г) -3, 9. 30.6. а) а < 2; б) а < 1 + tfs; в) -1 < а < 3; г) а < V5. 30.8. а) 3; 6)“^, 3; в) 4; г) 1. 30.9. а)^ + 2fen, k Е Z; б) -I- kit, k е Z; в)^ + fen, я
k € Z; г) + fen, fe € Z. 30.10. а) Нет корней; б) 2; в) 0,5; г) нет корней. 30.11. а) При а > -1 х = а - 1; при а < -1 корней нет; б) при а < 0,5 2(а + 1) п - „ ч .2 За 2
х = при а > 0,5 корней нет; в) при а > х = + 1, при а <
корней нет; г) при -8 < а < 8 х = Д - а - 2, при |а| > 8 корней нет. 30.13. а) 4; б) корней нет; в) 11; г) 1. 30.14. а) Корней нет; б) 2; в) ±>/3;
г) -0,5. 30.15. a) arccos ^2~-- + 2kn, k е Z; б) + 2kn, k е Z;
ь 1 Л 1
в) (-1) arcsin + fen, fe € Z; г) 2 + 71 “ arcsin + 2fen, fe € Z. 30.16. а) 1;
б) 3; в) -1, г) -1. 30.17. а) 7, 8; б) 0; в) 2; г) 64. 30.18. а) 1;
255
б) -1, 0; в) 1, 2; г) -2, 1. 30.19. а) 9: б) 2 » в) 1; г) “18’ 11
30.20. а) ^5 б) -3,8, 1. 30.21. а) -7, 2; б) ?1 30.22. а) 4;
3.
б) 12. 30.23. а) 2; б) log311; в) log0,5 3; г) 0,5. 30.24. a) log2 6; б) log311,
30.25. а) 5; б) 2. 30.26. а) 1, 20; б) 1, 3; в) ±3; г) 8, 8 ± 30.27. а) 105;
б) log5 2. 30.28. а) 4; б) 2. 30.29. а) 0,125; б) 8. 30.30. а) 1; б) 3, .
О
30.31. а) 0; б) 0,25. 30.32. а) -2; б) 1. 30.34. а) (-2; 2 - V?] и [2 + л/7; б);
б) {0} о [2; +оо); в)
|| |; г) [-1; +00). 30.35. а) j
5. 4’
21
4
-4; 11; в) [3; +°о); г) (-оо; -2,5] и [3; +°о). 4 )
( тг тг \ JC klL 7С лУ1
30.36. а) -•| + 2fac; | + 2tat , k е Z; б) [~g + g + > k е Z;
f jr о
в) (2 arcctg 0,5 + я + 2kn], k C Z; r) ~ l о о
30.37. a) [-9; 0]; 6) -5;
5 Г 5 _ . Г о. -3 - V109
~ о 5 ; в) -8; ---------------5----
V6 J V6 J L 2
-3 + 5/109. 2
5 ; r) [-3; 3 - 2^5) и (3 + 2^5; 9]. 30.38. a) a < 2;
6) a > - I. 30.39. а) Таких а не существует; 6) a > 3. 30.41. а) (3; 4]; б) 1;
в)
(4; 5]; г) [-1; 1] и
+оо|. 30.42. а) 2/от; + 2fet |, k € Z;
4
б)
kit - ~ + kit} и kit + £;% + kit , k e Z. 30.43. а) Г1; -1;
4 6 I ( 6 4 J L 3J
б) I-y; ggj* 30.44. a) (a - 1; 2a] при a > -1; решений нет при a < -1;
. [~2/ •<\ 2а + 4"I
б) |_д(а + 1); -5-J
при а < 0,5; х = 1 при а = 0,5; решений нет при
а > 0,5; в)
2.
при а > у» решении нет при а <
г) [-2; 2]
("ч За. 5а + 1
I 4’ 2
k е Z.
5
3
256
при а > 8; [-2 + V8 - а; 2] при -8 < о < 8; 2 при а = -8; решений нет при а < 8. 30.46. а) (3; +°о); б) [б - 11); в) [2; ^16]; г) [-1: 1] и
•00; -2] и
; б) (-оо; 0] и (4,5; +°о);
В)
2 и [3; +oo); г) (-оо; 0]. 30.48. а) Нет решений; б) R. 30.49. а) (-3; 1); 1о
б)
б)
б)
14
3
3; 1
-3 и {!}; в) (1; 2) и (5; +°°); г) (-оо; -6] и {-2}. 30.50. а) [4; 5);
“М .) х - 4; г)
15
i 2] -
О
6 . 30.51. a) (1; 5];
-0,5 u 1;
4 J L
4
( 7
. 30.52. а) (-оо; -1,5) и 0,5;
I о
1QA
~ и (1; +оо). 30.53. а) (-2; 2]; б) [1; 4-оо). о J
30.54. а) (-оо; -1) о (0; 1]; б) [6; +°о). 30.55. а) у. fe £ Z;
б) -% + 2Ая. + 2Ая , k е Z. 30.56. а) (1; log312]; б) (-оо; log5 Ц); в) [log0,2 7; 4 л
logo.2 3]; r) [log100 2; logioo 6]. 30.57. a) 2for - £; 2fat + arccos
L
I, AeZ;
б) 2Ая - + arccos 2kn - Д L k £ Z; в) 2Ал - 4; 2Ал + arcsin -!=• и
L 4 4 4J 4 J3
л
1
4
(2k + 1)л - arcsin-Ь 2Ая + , fe е z. г) Г^. 2^ + arcsini
г 4
и + Аяк k 6 Z. 30.58. а) [0; 4); б) (2; +°о); в) [-9; 0]; г) [-2; 2].
30.59. а)
И б) (1; 17]; в) [0,125; +°о); г)
О о )
1
3
1 . 30.60. [-1; 0) и
и (3: -f-оо). 30.61. а) Если а < 1, то
3 - V5 - 4a ,
a; ---------- ; если a > 1, to
2
9 9
решений нет; б) если а > g, то решений нет; если а = g, то х = -1,75;
257
если 1 < а < g, то
; если а < 1,
30.62. а) [-3; -1) о [1; +оо); б) [-2; 1) и
и (2; +оо); в) (0,5; 1); г) {-4} и (-2; 0].
§ 31
31.1. а) а < Ь; б) а > Ъ\ в) а < Ъ; г) а < Ъ. 31.2. а) а > Ъ; б) а > Ь. 31.3. а) а > Ь; б) а > Ъ. 31.4. а) а > Ь; б) а > Ъ. 31.5. а) а < Ь; б) а < Ъ. 31.6. а) а > Ь', б) а > Ъ; в) а > Ь; г) а < Ъ. 31.7. а) а < Ъ; б) а > Ь', в) а < Ь; г) а > Ь.
§ 32
32.14. а) 12; б) 120; в) 48; г) 2pq. 32.15. а) -6 < х < 6; б) -2 у < 2; в) -6 < х + Зу < 6; г) -6 < х + у < 6. 32.16. а) -12 < -Зх - 2у < 6; б) 4,5 < х2 + у2 < 45; в) -27 < 5х + 7у < 15; г) -20,25 < ху < 0. 32.21. а) х = 7 - 2k, у = k, где k е Z; б) х = 1 - 2k, у = 7k - 3, где k € Z; в) х = k, у = 17 - 5/?, где k € Z; г) х = 12/? - 5, у = 7k - 3, где k е Z. 32.22. а) х = 7 - 2Z?2, у = k, где k е Z; б) х = 1 - 2k, у -2k - 2k2, где k е Z; в) х = k, у = 17 - 5k2, где k € Z; г) х = 4 - 18/? + 21Z?2, у = 3 + 7k, х = 7 - 24/? + 21Z?2, у = 4 + 7k, где k е Z. 32.23. а) (-4; -1), (-1; -1), (1; 1), (4; 1); б) (-3; 1), (2; 1); в) (0; -1), (0; 1), (1; 1), (-1; -1); г) (-2; -1),
(0; 1). 32.28. а) с <
1 8
с > б) -34 < с < -33. 32.38. а) 6; б) 144.
1 7 9 17
32.39. а) 8>/з + 8тс; б) 32.40. a) g, б) ’ в) g* г) 24*
§ 33
33.1. а) (1; 2), (1,5; 1,5); б) (0; 2), (-2; 0); в) (2; 3), (3; 2); г) (3; -1), (9; -4). 33.2. а)^ + б) (0; -1); в)(|; г) (-1; -2).
33.3. а) (-1; 2); б) (4; 1); в) (1; 1), (1; -1); г) (8; 1). 33.4. а) э)
б) fit+ йй; ±5 + я/Л в) I) г) + ^; Л + 33.5. а) (2; 1);
к v J \ ° ° / О ,
б)(1; -2). 33.6. а) (3; 2); б) (8; 2). 33.7. а) (2; 2); б) (2; 6), (-2; 10);
258
в) + я/г; ~ + 2л/г ; г) (5; 3), (3; 1). 33.8. а) 2; б) 3; в) 7; г) 1. I о &
33.9. а) (1; 2), (2; 1); б) (2; -4), (4; 0). 33.10. а) (-1; 1); б) (1; 1).
33.11. а) (0; 0); 6)fe 11 33.13. а) (1; 1), (1,4; 0,2); б) (2; 1), (-2; 1),
Я
4
(2; -1), (-2; -1); в)
+ tc(zi + /г);
+ я(п - k) ; г) (2; 1). 33.14. а) (3; 0);
б) (а; За), где а — любое число, кроме 0; в)
г) (2; -1). 33.15. а) (2; 2),
(-2; -2); б) (7; -1), (-1; -3). 33.16. а) (3; 2), (-3; 2), (3; -2), (-3, -2); б) (1; 1), (-1; 1), (1; -1), (-1; -1). 33.17. а) (1; 3), (2; -4); б) (2; 1), (2; -1). 33.18. а) (1; 2), (-1; -2); б) (-1; 1). 33.19. а) (6; 2), (-6; -2); б) (х; -2х), (х; -Зх), где х — любое число, кроме 0. 33.20. а) (2; -2), (-2; 2); б) (4; 2),
(-4; -2), 33-21- а) (1; ”2)> (-1; 2); б)
(Лб. 2710'
" 2 ’ 5 ’ 5
7 \ /
716. 2-Jw}
5 ’ 5
33.22. а) (3; 4), (4; 3),
(-6 + 714. -6 - 714 'I (-6-714 -6 + ЛЗ'| , 2 2 / ( 2 2 )
б) (2; 3), (3; 2), (-2 + 77; -2 - 77), (-2 - -J1; -2 + 77).
33.23. а) (6; 6),
-3+745
б) (1; 4), (4; 1),
б + ТДР
33.24. а) (4; 4), (3; 2); б) (1; 2). 33.25. а) (8; 27), (27; 8); б) (16; 1).
33.26. а) (3; 1), (2; 1,5); б) (-4; 0), -^1. 33.27. а) (2; 1), (1;2);
I У У j
б) (1; 4). 33.28. а) (1; 4), (9; 0); б) (4; 9). 33.29. а) (0; 0), (-3; 1), (6; 1), (3; 2); б) (0; 0), (1,5; 1), (1,5; -2), (3; -1). 33.30. а) (3; -2),
(-2; -7); б) (-1,6; -2). 33.31. а) (8; 1), (1; 8); б)
33.32. а) (1; 4),
49. 16 \ 9’9’
б) (4; 1). 33.33. а) (1; -4); б) (3; 1). 33.34. а) (2; 3), (3; 2);
259
б) (42; 39). 33.35. а)
1. 1
9’ 81
33.36. а)
б) л/г; Д- - itk к 4 /
+ Jtfe; £ - nA 33.39. а) ((-!)*$ + nk; ±ф + 2nk
+ nk; + 2л А б)
+ л/?; + 2л&
+ 2л/г; + 7tk
33.40. а)
+ ^(2л + k)-, -j + fyk - 2nA
б) + 1.(п + й); -Т§ + i(n - ^4 (“12 + ¥п + 2к)'1% + ~
33.41. а) (2; -1; 1); б) (-1; 2; 0). 33.42. а) (1; -2; -1), (-3; 2; -5);
б) (2; 0; -1), ( 33.43. а) у = 2х2 - 5х + 1; б) у = Зх2 - 2х + 1.
33.44. Ъг = 6, q = --L 33.45.1, 3, 4 или 4 ,4, Ж 33.46. 3, 9, 27. 33.47. 4. А о о о
§ 34
34.1. а) т Ф 1; б) таких значений т нет; в) т = 1. 34.2. а) b ф ±1; 1
б)Ь = -1;в)6 = 1. 34.3. а) х - если а Ф ±2; х — любое действи-
тельное число, если а = 2; нет корней, если а = -2; б) х = а, если а Ф -1 и а Ф 0; х — любое действительное число, если а = -1; нет корней, если а = 0. 34.4. а) Если а = 1 или 3,5 или -1,5, то корней нет; в остальных 5
случаях х = д _ б) если а = 0 или 2 или 4, то корней нет; в осталь-
6
них случаях х = q—-• 34.5. а) х > т + 1, если т > 1; х < т + 1, если
1 1
т < 1; -оо < х < +оо} если т = 1; б) X > если b < -1, b > 1; X <
если -1 < b < 1; -оо < х < +оо, если b = -1; нет решений, если b = 1.
34.6. а) х > , если b > 1, b < 0; х < если 0 < b < 1;
260
х — любое действительное число, если Ъ = 0, b = 1; б) х < а, если а > О, а < -1; х > а, если -1 < а < 0; -оо < х < +°о, если а = -1; нет решений, если а = 0. 34.7. а) а < 0, 0 < а < 1, а > 4; б) а = 0, 1, 4; в) 1 < а < 4. 34.8. а) а > -7; б) а > -5. 34.9. а) 1; б) 2. 34.10. а) ±1,5; б) ±1.
34.11. а) а = 1,
0, а > \[2.
34.12. а) Если а = —то
х = -т/, если а = 1,5, то х = -2,5; если а = -4, то х = -8; если а Ф о &
1,5, -4, то Xi = 2а, х2 = -а - 1; б) если а = -3, то х = -6; если а = -2, то х = -5; если а = 0, то корней нет; если а = 1, то х = 2; если а = 2, то х = 3; если а ^-3, -2, 0, 1, 2, то Xj = а + 1, х2 = а - 3. 34.13. а) -9; б) 4.
34.14. а) b > 1; б) b > 3. 34.15. а) а < -4; б) а > 20. 34.16. а) а <
б)_А < а < 4- 34.17. а) а > 0, b > 0, с < 0; б) а < 0, Ъ > 0, с > 0; 4 4
34.18. а) а > 4; б) а < -1. 34.19. a) а < -1; б) 0 < а < 1. 34.20. а) а = 2;
б) -4 < а < -3, 5 < а < 6. 34.21. а) х > 2, если а < 2; х > а, если а > 2;
б) а < х < 6, если а < 6; нет решений, если а > 6. 34.22. a) -1 < а С 3;
б) | < а < 1. 34.23. а) а < -3,
2 < а < 6; б) а < 2; з|
4
< а < 6; в) ни при
3 4
каких; г) а = 2, 3-^ < а < 6. 34.24. Если а < —? > то -оо < х < +оо; если
5 <а < 1
ТО X ч хь
х > х2; если а = 1, то х < -lg> если а > 1, то
здесь хг =
~(2а + 1) + 7ба + 4 -(2а + 1) - л/5а + 4
-------------------, х2 = --------------------
а - 1
а - 1
34.25. а) 0
б)
а = ±3. 34.26.
а) Если g
х = (-1)" arcsin (За - 2)
пп; если а <
или а
то корней нет;
б) если 2 < а < 1, то х = ±2 arccos (4а - 3) + пп; если а < или а > 1,
то корней нет. 34.27. а) Если -2 =С а < 2, то х = g ± arccos + 2 да;
если а < -2 или а > 2, то корней нет; б) если -2 < а < 3, то х = 4 2а - 1
= arccos 5 ± arccos —g— + 2дп; если а < -2 или а > 3, то корней нет.
34.28. а = 0. 34.29. a) а = а < 1; б) а < 1. 34.30. а) а < 0; б) а > 0.
261
34.31. а) 2тсп, arctg 6 + 2тсп; б) - g + 2яп> arctg-j + тг(2п + 1). 34.32. a) 0 < < a < 4; б) -15 < a < 17. 34.33. а) a < -12; б) -5 < a < 0. 34.34. а) Нет корней, если а < -4; один корень, если а = -4 или а > 0; два корня, если 4 4
—| < а < 0; б) нет корней, если а < -2 или а > 2^2; один корень, если -2 < а < 2 или а = 2\/2; два корня, если 2 < а < 2^2. 34.35. а) р < -3, р>3, р = 1; б)-3<р<1. 34.36. а) ~ < а < 1; б) -1 < а < i А л
34.37. а) а = 0, а > 9; б) 0 < а < 9. 34.38. а) -5 < а < 5; б) а < -2. 34.39. а) Если a < 0, то корней нет; если а = 0 или a > 2, то два корня; если а = 2, то три корня; если 0 < a < 2, то четыре корня; б) если a < 2, то корней нет; Л Л V5 + 1
если а = 2, то 1 < х < 3; если a > 2, то хЪ2 = —g—’ 1 < а < —2—’
34.41. а) a = 1, a = 2, 5 < а < 6. 34.42. а = 2. 34.43. а > 4е. 34.44. а = 2ч/2. 34.45. 0 < а < 2. 34.46. 2 < a < 4. 34.47. а = -1,5, а = -1.
Дополнительные задачи
11.79. а) -2; б) 3. 11.80. а) х > 1; б) х < 5. 11.81. а) х = тс; б) х = 11.82. 1; 100. 13.47. а) 4; б) 10; в) 4; г) 5. 16.66. -2,5.
17.44. а) 1Ц; б) б|- 18.48. а) 10; б) 7. 18.49. 3. 18.50. а) | < а < $3 < a < >/2; б) 0 < а < 1; 1 < а < 2; а > 3. 26.18. а) 4; б) 4; в)13; г) 16. 26.19. а = пп, п ё Z. 27.58. а) 6; б) 0,1; в) 5; г) 3. 27.60. а) 1; б) -4.
Qtt
28.59. а) 0 < а < 10; б) a > 2. 30.63. а) тс + 2тсп, -j- + 2тсп; п е Z; б) arcctg I + 2лп, % + 2лп; п ё Z. 30.64. 2. 30.65. а > 2. 31.28. 0. 32.41. а) (1; 1); б) (2; 3). 32.42. (лп; -1), п ё Z. 32.43. а) (2; 1); б) (0; 0), (3; -2). 33.48. + 2лп; -2), п ё Z. 34.48. а < 2. 34.49. а < -2,25; a > 4.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица значений функций ф и Ф
X <р(х) Ф(х) X <р(х) Ф(х) X <р(х) Ф(х)
0,00 0,3989 0,0000 0,40 0,3683 0,1554 0,80 0,2897 0,2881
01 3989 0040 41 3668 1591 81 2874 2910
02 3989 0080 42 3653 1628 82 2850 2939
03 3988 0120 43 3637 1664 83 2827 2967
04 3986 0160 44 3621 1700 84 2803 2995
05 3984 0199 45 3605 1736 85 2780 3023
06 3982 0239 46 3589 1772 86 2756 3051
07 3980 0279 47 3572 1808 87 2732 3078
08 3977 0319 48 3555 1844 88 2709 3106
09 3973 0359 49 3538 1879 89 2685 3133
0,10 0,3970 0,0398 0,50 0,3521 0,1915 0,90 0,2661 0,3159
11 3965 0438 51 3503 1950 91 2637 3186
12 3961 0478 52 3485 1985 92 2613 3212
13 3956 0517 53 3467 2019 93 2589 3238
14 3951 0557 54 3448 2054 94 2565 3264
15 3945 0596 55 3429 2088 95 2541 3289
16 3939 0636 56 3410 2123 96 2516 3315
17 3932 0675 57 3391 2157 97 2492 3340
18 3925 0714 58 3372 2190 98 2468 3365
19 3918 0753 59 3352 2224 99 2444 3389
0,20 0,3910 0,0793 0,60 0,3332 0,2257 1,00 0,2420 0,3413
21 3902 0832 61 3312 2291 01 2396 3438
22 3894 0871 62 3292 2324 02 2371 3461
23 3885 0910 63 3271 2357 03 2347 3485
24 3876 0948 64 3251 2389 04 2323 3508
25 3867 0987 65 3230 2422 05 2299 3531
26 3857 1026 66 3269 2454 06 2275 3554
27 3847 1064 67 3187 2486 07 2251 3577
28 3836 1103 68 3166 2517 08 2227 3599
29 3825 1141 69 3144 2549 09 2203 3621
0,30 0,3814 0,1179 0,70 0,3123 0,2580 1,10 0,2179 0,3643
31 3802 1217 71 3101 2611 11 2155 3665
32 3790 1255 72 3079 2642 12 2131 3686
33 3778 1293 73 3056 2673 13 2107 3708
34 3765 1331 74 3034 2703 14 2083 3729
35 3752 1368 75 ЗОН 2734 15 2059 3749
36 3739 1406 76 2989 2764 16 2036 3770
37 3726 1443 77 2966 2794 17 2012 3790
38 3712 1480 78 2943 2823 18 1989 3810
39 3697 1517 79 2920 2852 19 1965 3830
Продолжение таблицы
X <₽(*) Ф(Х) X <Р(х) Ф(х) X <р(х) Ф(Х)
1,20 0,1942 0,3849 1,70 0,0940 0,4554 2,40 0,0224 0,4918
21 1919 3869 71 0925 4564 42 0213 4922
22 1895 3888 72 0909 4573 44 0203 4927
23 1872 3907 73 0893 4582 16 0194 4931
24 1849 3925 74 0878 4591 48 0184 4934
25 1826 3944 75 0863 4599 50 0175 4938
26 1804 3962 76 0848 4608 52 0167 4941
27 1781 3980 77 0833 4616 54 0158 4945
28 1758 3997 78 0818 4625 56 0151 4948
29 1736 4015 79 0804 4633 58 0143 4951
1,30 0,1714 0,4032 1,80 0,0790 0,4641 2,60 0,0136 0,4953
31 1691 4049 81 0775 4649 62 0129 4956
32 1669 4066 82 0761 4656 64 0122 4959
33 1647 4082 83 0748 4664 66 0116 4961
34 1626 4099 84 0734 4671 68 ОНО 1963
35 1604 4115 85 0721 4678 70 0104 1965
36 1582 4131 86 0707 4686 72 0099 4967
37 1561 4147 87 0694 4693 74 0093 4969
38 1539 4162 88 0681 4699 76 0088 4971
39 1518 4177 89 0669 4706 78 0084 4973
1,40 0,1497 0,4192 1,90 0,0656 0,4713 2,80 0,0079 0,4974
41 1476 4207 91 0644 4719 82 0075 4976
42 1456 4222 92 0632 4726 84 0071 4977
43 1435 4236 93 0620 4732 86 0067 4979
44 1415 4251 94 0608 4738 88 0063 4980
45 1394 4265 95 0596 4744 90 0060 4981
46 1374 4279 96 0584 4750 92 0056 4982
47 1354 4292 97 0573 4756 94 0053 4984
48 1334 4306 98 0562 4761 96 0050 4985
49 1315 4319 99 0551 4767 98 0047 4986
1,50 0,1295 0,4332 2,00 0,0540 0,4772 3,00 0,00443 0,49865
51 1276 4345 02 0519 4783
52 1257 1357 04 0498 4793 3,10 00327 49903
53 1238 4370 06 0478 4803 3,20 00238 49931
54 1219 4382 08 0459 4812
55 1200 4394 10 0440 4821 3,30 00172 49952
56 1182 1406 12 0422 4830 3,40 00123 49966
57 1163 4418 14 0404 4838
58 1145 4429 16 0387 4846 3,50 00087 49977
59 1127 4441 18 0371 4854
1,60 0,1109 0,4452 2,20 0,0355 0,4861 3,60 00061 49984
61 1092 4463 22 0339 4868 3,70 00042 49989
62 1074 4474 24 0325 4875 3,80 00029 49993
63 1057 4484 26 0310 4881
64 1040 4495 28 0297 4887 3,90 00020 49995
65 1023 4505 30 0283 4893 4,00 0,0001338 499968
66 1006 4515 32 0270 4898
67 0989 4525 34 0258 4904 4,50 0000160 499997
68 0973 4535 36 0246 4909 5,00 0000015 49999997
69 0957 4545 38 0235 4913
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя ...................................... 3
Задачи на повторение.......................................... 4
глава 1. многочлены
§ 1. Многочлены от одной переменной ................. 10
§ 2. Многочлены от нескольких переменных............. 18
§ 3. Уравнения высших степеней....................... 24
глава 2. Степени и корни. Степенные функции
§ 4. Понятие корня п-й степени из действительного числа . . 29
§ 5. Функции у = Vx, их свойства и графики .......... 31
§ 6. Свойства корня п-й степени ..................... 36
§ 7. Преобразование выражений, содержащих радикалы... 39
§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем. 16
§ 9. Степенные функции, их свойства и графики ....... 50
§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел................ 57
глава з. Показательная и логарифмическая функции
§ 11. Показательная функция, ее свойства и график .......... 62
§ 12. Показательные уравнения .............................. 73
§ 13. Показательные неравенства............................. 80
§ 14. Понятие логарифма .................................... 86
§ 15. Логарифмическая функция, ее свойства и график ........ 89
§ 16. Свойства логарифмов .................................. 96
§17. Логарифмические уравнения............................ 105
§ 18. Логарифмические неравенства ......................... 111
§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической функций 118
глава 4. первообразная и интеграл
§ 20. Первообразная и неопределенный интеграл ............. 124
§ 21. Определенный интеграл................................ 132
глава 5. Элементы теории вероятностей и математической статистики
§ 22. Вероятность и геометрия ............................. 149
§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами .... 153
§ 24. Статистические методы обработки информации........... 157
§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел................. 162
глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
§ 26. Равносильность уравнений ............................ 166
§27. Общие методы решения уравнений ...................... 168
§ 28. Равносильность неравенств ........................... 174
§ 29. Уравнения и неравенства с модулями .................. 180
§ 30. Уравнения и неравенства со знаком радикала .......... 189
§ 31. Доказательство неравенств ........................... 198
§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными ......... 202
§ 33. Системы уравнений ................................... 208
§ 34. Задачи с параметрами ................................ 215
Дополнительные задачи...................................... 220
Ответы .................................................... 223
Приложение ................................................ 263