3
оrЛАВЛЕНИЕ
I1р('дисловие ко второмУ изданию .
Jlредисловие к первому изданию .
Введение
r л а в а 1. Свободные ВO.1Iебаиия.в ltонсеl'вативвых системах с oд
пой степевыо свободы .
 1.1. Rонсервативвые ItOлооателъны.е системы и общее рассиотре
ние свободных колебаний при КDнсервативной идеализации
 1.2. На'lественвое рассмотрение кол:ебании маятв:и:ка. . .. .
 1.3. Применение метода последовательных приближений. . .
 1.4. Свободные колебания в электрическом контуре без .затуха
. ния.с нелинейiIой емкостью. .
 1.5. Свободные колебания в контуре с нелинеЙЦQЙ Щlдуь.-тив
ностью .
6
7
9
14
14
2s
25
29
g&-
l' л а в а 2. Свободные колебавия в. двссипативвых колебателъвых
системах с одной степенью свободы
 2.1. Основные особенности колебательных процессов в диссипа
тивных системах и методы их рассмотрения. . , . .
 2.2. Начественное рассмотрение свободных колебаний' в диссипа
тивных системах при различных законах трения. . . .
 2.3. Построение фазовых траекторий свободных колебаний MeTO
дом Льенара.. . . '. . . . . . . . . . .
 2.4. Исследование свободных колеба:imЙ в нелинейных диссипа
тивных системах с одной степенью свободы методом поэтan
H01'o рассмотрения . . . . . . . . . '. . .
 2.5. Метод медленно меняющихся амплитуд и e1'o прим;енение к
расчету колебаний в слабо нелинейных системах с малым
затуханием
42
42
48
56
60
71
l' л а 11 а 3. :Колебания в системах с одной степенью свободы под дей
ствием вынуждающей сlшы . .
 3.1. Вынужденные колебания в линейной системе при 1'армони
ческом силовом воздеЙствии. .. ... "
 3.2. Элементы теории амортизации и реrистрирующих приборов
 3.3. Вынужденные колебания в нелинейвой консервативной си
стеме при rармонИчеiшом силовом воздействии .
 3.4. Приближенное рассмотрение работы yшIожитeJЩ частоты. с
неJlинейной емкостЬю . . . . . . . .... . .
 3.5. Рассмотрение вьшужденн:Ых колебаний в слабо нелинейнцх
диссипативных системах при 1'армоническом силовом воздеи
ствии методом rармоничеСlЮ1'О приближения с. .
 3.6. Применение метода медленно меняющихся амплитуд к апа
.JlИзу поведения слабо нелинейных ситем с малыми потеря
ми при rармонич:еском силовом воздействии .
80
80
86
97 .
105
112
119
{.

4
оrЛАБЛЕНИЕ
r л а в а 4. Колебания в системах с одной степенью свободы IlрИ
параметрll'lесвои воздействии 129
 4.1. Параметрическое воздействие На колеuатеJlЫlhlе си('томы 129
i 4.2. Общие замечания о резонансных явлениях в колебательны:(
системах ., .............. 139
 4.3. Свойства активных систем и параметрическая реrенераl\ИЯ 144
 4.4. Основные особепности одноконтурпых параметрических У('И
. Л:Ij:ТЛЙ.................Ш
 4.5.. Параметрическая rенерация электрических колебаниЙ (парll
метрические 1'енераторы) . . . . . . . . . . 156
 4.6. Параметрические преобразователи (параметрические {'eHepa
торы BTopo1'o рода). . . . . . . . . . . . 169
r л а в а 5. Автоколебания в системах с. одной степенью свободы {83
 5.1. Основные физические определения и классификаЦИЯ aBTOKO
лебательных систем. . . . . . . . . . . . 183
 5.2. Вырожденные автоколебателЪные системы . 188
 5:3. Общ-ее рассм01рение автоколебательпых систем 193
 5.4. Автоколебательные системы TOMCOHoBcKo1'o типа. 198
 5.5. Особенности поведения автоколебательпых систем, содержа
щих. инерционные элементы . . . . . . . . . . 209
i 5.6. Поведение автоколебательных систем при внешнем rармони
ческом воздействии . 214
 5.7. Автоколебательные системы с запазДывающими силами 224
  5:8. Хаотические колебания в динамических системах . 236
r л а в а 6. КолебаllИJl: в лииейных системах с двумя стенеВJWИ сво-
боды . 249
6.1. СобствеННЬtе колебания системы с двумя степенями свободы 249
 6.2. Связь и связанность. . . . . . . . . . . . 256
 6.3. Вынужденные колебания в системах с двумя степенями CBO
бо 
r л а в а 7. Параметрические и автоколебательиые системы с двумя
степенями свободы . 267
i 7.1. Парамотрическое усиление в ДВУХКОIIТУРНОЙ системе. 267
 7.2. Параметрический ДВУХКОIlТУРНЫЙ 1'еllератор с некратпыми
частотами. . . . . . . 275
 7.3. ] lараметрическое деление частоты . 281
 7..1.. l\вухкоптурпая автоколебательнал система с реактивной
свнзью. . . . 285
 7.5. НвлеНие заТЯI'ивания . 290
 7.6. Двухкоптурная автоколебательная система с резистивпой
связью . 294
 7.7. Взаимная синхронизация двух связанных {'енератороп 297
r л а в а 8. Колебания в тшейных системах с п степеlUlJlИ свободы 300
 8.1. Собственные колебания в консервативных системах.. 300
 8.2. ОРТО1'ональность нормальных колебаний и экстремальные
свойства собственных частот . 304
 8.3. Нолебания патомноЙ молекулы. . . . . . . . . 309
i 8.4. Выпужденные колебания в системах с п степонями свободы 314
i 8.5. Нолебания в диссипаТИВIIЫХ системах с п степенями свободы 316
i 8.6. Нолебания в одпородпых цепочках . 317
r л а в а 9. Параметрические и автоколебательные системы с п сте-
пеВЯ:МR свободы 326
i 9.t. Параметрические системы с п степепями свободы. COOTHO
mения Мэнли  Роу . 326

оrЛАБЛЕНИЕ , 5
 9.2. Автоколебательные системы с тремя степенями свободы 331
i 9.3. RCreHepaTopbl почти 1'армонических колебаний . 336
r л а в а Ю. Колебательные процессы в распределевныx системах 339
 10.1. ОСНОВЫ теории раепределенных систем. . .. 339
 10.2. Собствениые колебания в системах конечной длины. 348
 10.3. Вынужденные колебания распределенных СИj:тем . 355
 10.4. Обратная реакция системы на {'енератор. . .. 363
r л а в а 11. распределеивыe автокме6ате.п.вые системы . 367
 11.1. АВТОКОJIебательная система с неэКвидистантным спектром
собственных частот. . . . 362
 11.2. Стационарные автоколебания . . . . . . . . . 372
 11.3. Распределенная автоколебательная система с эквидистант
ным спектром собственных частот. . . . . 376
 11.4. Лазер как распределенная автоколебательная система 38t
Список рекомендуемой литературы , .392

"
, ПРЕДИСЛОВИЕ 1\0 ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Со времени первоrо издадия RНИrи «Основы теории колеба
нй}> llpOШJIО около десяти лет. Естественно, что за (jTO время и
точна зрения.. авторов RНИrи, и уровень разработки различпых
разделов теории колебаний, и соответствующие технические
средства претерпели определенные изменения. ОднаIЮ,в OCHOB
ном, содержание книrи, ее структура и характер изложения pac
сматриваемых вопросов себя оправдали и книrа оказалась полез
ной для широкоrо Kpyra учащихся, инженеров и научных работ
ников. Это и позволяет нам  авторам  предложить читателям
второе издание книrи с некоторыми отличиями от nepBoro изда
ния. Так, во втором издании ПОДавляющее большипство paCCMOT
ренных примеров авто колебательных систем содержит в качест
пе активных элементов не электронные лампы, а транзисторы;
введен параrраф ( 5.8), в котором даны основные определения
и понятия о путях рассмотрения хаотических движений в дина
мических детерминированных системах; исключена rлава, посвя
щепная рассмотрению волновых процессов в неоднородных и He
JIИпейных распределенных системах (rлава 12 в первом издании).
В седьмую rлаву введен дополнительный параrраф, посвященный
рассмотрению практически nажноrо варианта автоrеператора с
дополнительным контуром ( 7.6). НРОМС Toro, уточнен ряд фор
мулировок И внесены различные I\орреl\ТИIIЫ n TeI\cT, рисунки и
подписи к ним. Авторы считают, что ;)ти иамепепия ДОЛiЮIЫ улуч
шить качество книrи, сделать ее более цеJICпапrаllЛСlIIюii и COOT
llетствующей современным представлениям и решаемым n lIастоя
щее время задачам.
Мы выражаем rлуБОI{УЮ признательность нашим коллеrам и
читателям, которые своими советами и доброжелательной крити
кой пом:оrли нам устранить недочеты первоrо издания, и HaдeeM
ся, что выход BToporo издания будет полезен всем тем, кто изуча
ет колебательные процессы или имеет дело с колебатеJIЫIЫМИ
системами и протеI\аЮЩИМИ в них явлепиями в различных раз
делах науки и техники.

ПРЕДИСЛОВИЕ R ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящее время можно с полной уверенностью rоворить
о теории колебаний как о вполне определившейсЯ: дисциплине,
посвященной изучению общих закономерностей колебательных
процессов . в различных системах. Имеется обширная литература
но вопросам теории колебаний, и на русском языке шщано HeMa
ло ОТЛЦ1PIы;х: К,Ниr по различным ее разделам. Однако больmин
ство из них посвящено рассмотрению методов теории колебаний,
u изучение колебательных процессов и ИJi специфики в KOHKpeT
lIЫХ системах проводится лишь для иллюстрации тех ИJIИ иных
нриемов. С друrой стороны, есть ряд интересных моноrрафий, по
С8ященных рассмотрению отдельных типов. колебательных про
цоссов в частном классе систем. Вместе с тем, по нашему мнению,
n основе теории колебаний для физиков и специалистов инжо
норных специальностей должно лежать рассмотрение колеба
тельных процессов в различных дипамических системах, BCTpe
чающихся в технике и физике, с использованием в каждом слу
чае наиболее адекватных методов анализа и расчета. Поэтому
наибольшое внимание должно быть уделено рассмотрению нели
нейных систем с использованием соответствующих методов
анализа.
Эти соображения определяли выбор материала и характер из
ложения курса «Теория колебаний», который мноrие rоды чита
стся студентам третьеrо и четвертоrо курсов отделения радиофи
зики и электроники физическоrо факультета Mry.
В предлаrаемой читателю книrе сделана попытка системати
чески и в краткой форме изложить содержание этоrо курса в том
виде, в каком он сложился к настоящему времепи. Авторы счи
тают, что данное учебное пособие может быть полезным для слу
шателей ряда высших учебных заведений при подrотовке специа
листов радиофизическоrо и радиоте:хническоrо про филя, а также
для инженеров и научных работников друrих специальностей,
сталкивающихся в своей деятельности с колебательными и вол
новыми процессамИ в друrих областях.
rЛаБпое внимание в книre удеJIНется рассмотрению колеба
тельных процессов в различных, наиболее распростравенныIx KO
лебательных системах от простейшеrо колебательноrо контура
До лазера как колебательной системы. При этом в каждом отдель
ном случае использовались те из известных методов и приемоn

8
ПРЕДИСЛОВИЕ 1\ ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
анализа расчета, которые наиболее адекватны даШlOii вадаче.
Рассмотрению же и обоснованию применяемых методов и JJрие
мов уделяется иинимально необходимое внимание и место, чтобы
сосредоточить изучающеrо курс теории колебаний lJa самих I\оле
бательных процессах и научить использовать конкретные методы
и общий подход к рассмотрению колебаний и связанных с пими
волновых процессов в различных динамических системах. Во
всех рассмотренных случаях теоретический анализ сопровожда
ется качественным физическим толкованием особенностей I\оле
бательных процессов.
Введение написано В. В. Миryлины:м, И им же совместно
с В. И. Медведевым написана первая часть RНШИ (rлавы 15).
Вторая часть RНиrи (rлавы 612) написана Е. Р. Мустель
и В. Н. Парыrиным.
В. В. Миеулип

ВВЕДЕНИЕ
:Колебания  это повторяющиеся оrраниченные движения OT
носительно HeKoero среднеro состояния, которое в частном случае
может быть состоянием равновеСИlI. Такое определение объединя
ет веСЬМа широкий Kpyr явлений, встречающихся в природе, изуl.
чаемых физиками и находящих мноrочисленные npименения
в технике.
Предметом теории колебаний является рассмотрение общих
закономерностей колебательных процессов в различных динами
ческих системах.
:Колебательные процессы в системах с постоянными парамет
рами «:в линейных системах) изучены уже сравнительно давно,
и математическая их теория развита с большой полнотой. Однако
изучение общих закономерностей колебаний в системах с пара
метрами, зависящими от состояния системы (в нелинейных си
стемах), началось значительно позднее и долrое время рассматри
вались лишь отдельные частные задачи без обобщения получен
ных результатов на широкие- классы динамических колебательных
систем и протекающие в них процессы.
Общий подход к изучению колебательных процессов был впер
вые сформулирован в трудах Л. И. Мандельштама, который
в 1931 r. создал в Московском университете кафедру колебаний
и тоrда же начал читать курс теории колебаний.
В теории колебаний изучаются колебательные процессы
с целью выяснения общих особенностей и закономерностей про
текания этих процессов в различных динамических системах и
условий их существования, т. е. проводится рассмотрение специ
фическоrо типа движений, присущеrо определенному классу си
стем. Подобные динамические системы, в которых MOryT сущест
вовать колебательные процессы, принято называть 1'Оолебатель-
1/,ы,м,и системами.
Современная теория колебаний, естественно, в большой степе
ни основывается на тех работах, в которых был развит COOTBeT
ствующий подход к колебательным процессам и разраб<1'i'аны Me
тоды их рассмотрения. .
В Этой связи представляется необходимым упомянуть ряд
имен ученых, iшесших наиболее фундамеН1'альный вклад в уче-
ние о колебаниях.

10
ВВЕДЕНИЕ
ДЖ. У. Стрэтт (лорд Рэлей, 18421919) в своем трудо .Тео.
рия звукю) впервые изложил расчеты ряда колебатепьных JlpO
цессов с последовательным учетом нелинейпых своЙств JН)Л(Jба
тельных систем. В современной теории колебаний ИСПОJII,3УlOТСЯ
также математические методы, развитые А. Пуаиt<арв (18;;/
1912) в ero работах по небесной механике; нашли примеН(Jllие и
исследования А. М. Ляпунова (18571918) по УСТОЙЧИВОСТII "ви
жений и методы расчета колебательных движений, ра311итые
А. Н. Крыловым (1863 1945). Очень большое значение для фор
мирования теории колебаний имели основополаrаЮЩIIО работы
Ван дер Поля (18891959) по колебаниям в некоторых пелиней
иых сцстемах и общие цсследования колебательных процессов
13 нелинейных системах, проведенные А. А. Андроновым (1901
J952), развившим учение о самоподдерживающихся колебатель
ных процессах, названных им автополебаnuямu. Этот термин
в настоящее время является общепринятым.
При развитии теории колебаний весьма большое внишшие
уделялось разработке эффектцвных методов анализа и расчета
различных колебательных процессов, ц в настоящее время; накоп.
лен боrатый арсенал прцемов ц путей рассмотрения широкоrо
Kpyra задач.
Однако следует иметь в вцду, что для физиков и специалистов
технических направлений теория колебаний  это НО совокуп
ность методов анализа и расчета, а изучение закономерностей
.протекания колебательных процессов в реальных системах с ис
пользованием в каждом случае наиболее адекватных методов
рассмотрения. При этом чрезвычайное мноrообразие колебатель
ных систем и их свойств . требует при изучениц протекающих
в них колебательных процессов нахождения общих черт у раз
личных колебательных систем и объединения их по наиболее
характерным признакам в определенные Iшассы: и типы.
Однако последовательная классификация ра:тИ1JПЫХ }(олеба
тельных систем при их изучении возможна лишь lIрИ условии за
мены :конкретных реальных систем с их неизбежным чрезвычаjf
ным мноrообразием свойств моделями, в которых отражается
только оrраниченное число основных черт, существенных для
изучаемых колебательных процессов.
Выбор модели, передающей наиболее важные, основные и оп
ределяющие свойства изучаемой реальной системы и вместе с тем
достаточно простой для применения известных методов анализа
и расчета, первый и очень важный этап всякой теории и в том
:числе теории колебаний. Такой выбор  нервое упрощение pac
,сматриваемой задачи, и от ero правильности решающим образом
.зависит реальность и достоверность результатов последующеrо
исследования, а также олра,вданность выбора метода дальнейшеrо
аналJ:t3а. Ибыточно точный расчеТЧр8змеРIJО rрубой модели ли
ДIeH смысла, так же. как и использование очень сложной и учи

ВВЕДЕНИЕ
11
тывающей весьма мнorие тали реальнай системы модели при ее
Т\альнейшем; rрубам и упрощеннам анализе. Во. всех случаях
весьма важно. правильно выбрать соответствие между степенью
идеализации при перехаде к мадели, то.чностью аналитич:ескаii:
аппраксимации реальных физических зависимастей и тачнастью
применяемых математических мето.дав.
Заменяя реальные диНамические системы их со.атветственна
выбранными :моделями,. мы мажем про.вести. последо.вательную
классификацию систем и пратекающих в них калебательных пра
цессов па различным признаrщм. Кинематические признаки 
о.снава классификации полебательных движений. Оснава :КЛ:аССII
фикации полебательных систем  их динамические свайства.
Кинематическими признаками ко.лебательнаrо движения
являются era перио.дичнасть и фарма (аМПЛИ'(уда). Для CTporo.
периадических працессав выпалняется соо.тнашение
F (t)  F (t + Т) == О,
справедливае для любаrа мамента времени t, rде Т  периад дaH
Hara калебательнаrа движения; 1/Т '=' v  числа перио.до.в в еди
ницу времени, или частата. Ширака испальзуется. так называе
мая круroвая частата (J) == 2лv.
Осабае значение имеет прастейший вид калебательнаrа пра
цесса  rарманическае калебание
F(t),=, асаs(2лvt + еро)'=' а cas«(J)t + еро);
здесь а  амплитуда калебания, (J)t + еро  мrнавенная фаза, <ро 
начальная фаза калебания. rарманические калебания ПРЕjДстав
ляют о.сабый интерес не талька в силу прастаты их аналитиче
cKara представления, на в первую о.чередь патаму, что. эта фарма
движений наибалее абычна для калебательных працеооо.в в систе
мах с пастаянными параметрами и чрезвычайна часто. встречает
ся в реальных працессах, изучаемых в физике и в технических
дисциплинах.
В зависимасти 0.1' прирады изучаемых калебательных движ&--
ний встречаются периады, имеющие самые различные значения.
Так, например, периады абращения планет Салнечнай системы
саставляют величины парядка 108 с, периад вращения Земли, пе
риады приливных працоссав  величины парядка 105 с, периады
калебаний маятникав в часах  парядка 100 с. Периады калеба
ний, изучаемых в акустике, 0.1' 101 до. 10 с; в радиатехнике
имеют дела с калебаниями с периадами 0.1' 10 да 1<r 1 % с. Rале
бания малекул, связанные с инфракрасным излучением, имеют
периады по.рядка 101% 10H с. Оптический диапазан caaTBeT
ствует периадам калебаний 10H1015 С, связанных с ато.мными
про.цессами, а периады ко.лебаний, саатветC<l'ВУЮЩИХ peHTreHOB-
скаму излучению, саставляют 10171019 с. Из приведенных
примерав видно, наскалька различаются периады калебательных

12
ввЕДЕНИЕ
процессов, изучаемых в астрономии, физике, технике, с H()TOPЫ
ми приходится сталкиваться исследователям. Однако у всех этих
процессов, имеющих самую различную ПРИРОДУj' есть ряд общих
свойств 11 особенностей, которыми занимается теория колебаний.
Следует отме'Х'ить, что строrой периодичности реальных про
цессов в природе нет и строrая периодичность  это тоже Иl\еали
зация. В реальных колебательных системах всеrда существуют
возмущающие силы, случайные смещения (например, ФЛУ1\туа
ционные) инестабильность параметров, исключающие возмож
ность идеальной периодичности. Поэтому более последовательным
было бы изучение колебательных процессов, в которых условие
периодичности выполняется приближенно, т. е. положить в OCHO
ву рассмотрения почти периодические колебания, для которых
IF(t)F(t+T(B»1 <t:8, rде влюбая наперед заданная малая
величина и T(8) почти период. Примером TaKoro процесса MO
жет служить процесс затухающих колебаний
F (t) '== Ae6! COS (ffit + СРО)
при достаточно малом б. Здесь Т'== 2Л/ffi  почти период.
Процесс, представляющий собой сумму двух периодичеСI\ИХ
:колебаний с несоизмеримыми частотами, также служит примером
почти периодическоrо движения
F (t) '== а ! COS (ffi,t) + а 2 COS (ffi2t).
Если, кроме T'oro, можно указать такие т и п, что ImT t  пТ 2 1 
« /1, то тТ 1 или пТ 2 также являются почти периодами этоrо про
цесса при достаточно малом значении /1.
Однако теория почти периодических процессов сложна и во
мноrих случаях мало разработана. По;этому в основу рассмотре-
ния большинства колебательных задач можно положить Т\опуще
ние о периодичности наряду с существованием ааведомо ненерио
дических колебательных процессов.
Помимо периодичности, колебательные Т\вижепия характери
зуются формой и амплитудой, и эти Iшнематическио при:шаlШ
позволяют определенным образом I\лассифицировать раанообраа
ные процессы колебаний.
В теории колебаний, как уже упоминалось, rлавной задачей
является изучение колебательных процессов в определенных ди
намических системах  в колебательных системах. Поэтому He
обходим а классификация I\Олебательных систем по их динам иче
ским своЙствам. Подобная классификация, естоствеНIIО, будет
полностью последовательноЙ липrr, для СООТIlОТСТIlУЮЩИХ моделей
с оrраничонным числом cBoiicTB. ИлаеСИфИI\UЦИЮ I\OJlобательных
систем можно провеСТJ:I по ряду признакон: нопервых, по числу
степеней свободы, BOBTOpЫX, по энерrетическим признакам, раз
деляя системы на активные (с внутренним источником энерrии)
и пассивные, втретъих, по свойствам параметров системы, Bыдe

'\'\ ввЕДЕНИЕ
.  .
ШIЯ системы с параметра , не зависящими от ее состояния (ли
lIейные системы), и с пар метрами, зависящими от состояния
еистемы (неливейные системы), вчетвертых, по условиям дейст
вия, разделяя системы на автономные инеавтономные.
Очевидно, что простейшими колебательными системами явля
ются системы с одной степенью свободы, с которых и начинается
рассмотрение колебательных процессов в идеализированных ди.
памических системах (rл. 15). Далее рассматриваются ав тоном.
ные и неавтономные системы с двумя и большим числом степеней
свободы (rл. 69), а также колебательные и некоторые волновые
процессы в системах ос раопределеннЬ1'ИИ параме11рами (rл. 10 11) .
Следует иметь в виду, что системы с одной степенью свободы
представляют собой объект, наиболее доступный для исследова
ния ВОЗМОЖНJ;.Iх колебательных движений при самых разных их
нелинейных свойствах. Нелинейные же системы с двумя и боль
шим числом степеней свободы и распределенные системы под
даются последовательному анализу лишь в отдельных частных
случаях. Их рассмотрение даже в линейном приближении значи
тельно более сложно, rромоздко и не допускает ряда качествен
IIЫХ и наrлядных приемов, которые возможны для систем с одной
сте-пенью свободы. Поэтому ИiЗложение материала в rл. 6 11
11 меет несколько друrой характер, чем в первых rлавах: оно He
('.IЮЛЬКО более конспективно, в целях выделения основных физи
'IOСRИХ результатов ОПУСRается ряд промежуточных выклаДОR,
особенно при применении изложенных ранее методов анализа.
Однако эти различия R изложении отдельных разделов, по наше
му мнению, вполпе оправдываются спецификой рассматриваемых
IЮПрОСОВ, тем более, что значительная часть материала, приведен
Horo в книrе, ранее не излаrалась в учебных пособиях по теории
l\Олебаний.
При написании этой книrи авторы считали своей rлавной за
дачей наиболее полное, последовательное и обоснованное pac
смотрение колебательных процессов в различных динамических
системах, имеющих значение в физике и технике, с использова
пием в каждом отдельном случае наиболее адеRватных данной
аадаче методов анализа и расчета.
13

rЛАВА 1
СВОБОДНЫЕ КОЛEJ?АНИЯ
В КОНСЕРВАТИВНЬ1,1 СИСТЕМАХ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
 1.1. Консервативные колебательные системы
и общее рассмотрение свободных колебаний
при консервативной идеализации
При рассмотрении колебательных систем мы должны уделить
особое внимание системам с малым затуханием, в которых энер
rиЯ j рассеиваемая за период (или почти период) колебаний, мала
по сравнению с общим запасом энерrии, связанным с исследуе
мым движением. В подобных системах наиболее ярко проявляют
ся их колебательные свойства. В большом числе практических
применений мы встречаемся с высокодоБРОТНЫМII колебательпыми
системами. Можно .'упомянуть резонансные элемонты входных
цепей радиоприемных УСТРQЙСТВ, колебательные контуры, входя
щие в состав полосовых фильтров, маятник или баланс в часовых
механизмах, колебательные элементы в частотомерах и спектр--
анализаторах и др.
Мноrие колебательные свойства подобных систем весьма мало
зависят от величины и характера затухания, если оно при этом
остается достаточно малым. Поэтому, оrраничиваясь не слишком
большими по сравнению с периодом колебаний интервалами Bpe
мени, мы при изучении мноrих важных особенностей колебатель
ных процессов можем вообще пренебречь затуханием и paCCMaT
ривать изучаемую систему как консервативную. Очевидно, что
при этом имеет место существенная идеализация и применение
выводов, полученных при рассмотрении подобной идеальной
системы, к реальной должно проводиться с учетом тех особенно
стей, которые .вносятся затуханием, всеrда наблюдаемым в реаль
вых физических устройствах.. .
I Консервативные колебательные системы:: это идеализирован
вые системы, в которых запас механическои или электромаrнит
ной энерrии, или и той и друrой в совокупности, в процессе co
вершения колебаний остается постоянным.
Существует также целый класс IюлебатеЛJ,НЫХ систем, в кото--
рых потери за период колебаний попОЛПЯIотся за счет впутреннеrо
источника энерrии и, таким образом, запас ;:Jнерrии не меняется
от периода к периоду колебаний. Такие системы носят название
автопо.ле6ате.льnых и будут рассмотрены в друrой rлаве книrп.
Несмотря на отсутствие в природе консервативных колебатель
ных систем, их изучение позволяет получить MHoro данных, по--

\
. Ц. ОБЩЕЕ СМ:О.ТРЕНИЕ СВОБОДНЫХ lЮЛЕБАНИЙ 15
моrаюЩИХ исследованиисте?о(, ОТЛИЧНЫХ от консервативных,
особенно систем, близки кШl. .
Ч,u,сло степеней свободы системы определнетя числом незави
симы:х пременны:х, которое необходимо для полноrо описанWI
движения системы. Оrраничивая свое рассмотрение системами
с oдцo степенью свободы, мы в общем случае должны для оnи.
сания движений в консервативных системах рассматривать диф
ференциалъные,уравнения BToporo порядка *)
х == Ф(х, х). (1.1.1)
Однако подобное уравнение будет описывать движение в KOH
серва тивной системе не при любом виде функции Ф (х, х). Для
упрощения рассмотрения начнем с изучения случая, коrда ypaB
нение, описывающее движение в исследуемой системе,' не coдep
жит Х, т. е. возвращающая сила не зависит от скорости. Torдa
общим видом подобною дифференциальноrо уравнения BToporo
порядка будет уравнение .
х == Нх),(1.1.2)
причем считается, что от вида F(x, х)== О всеrда можно перейти
к виду (-1.1.2), разрешив это уравнение относительно Х.
ДЛЯ механических систем в описывающих их уравнениях типа
(1.1.2) можно считать, что вторая производная х предстаВJIЯет
приведеввую силу инерции, а правая часть  ВОЗНИRающую в си
стеме ему, связанную только с положением рассматриваемой
массы (например, упруrую силу), и обе они отнесены к единице
массы. В электрических системах, для которых принимается, что
основная переменная х  заряд, левая часть уравнения (1.1.2)
зависит от э. д. с., возникающей на индуктивности, а правая
часть  от э.Д. с. на емкости системы.
R уравнению типа (1.1.2) приводится, например, уравнеЩlе
rармоническоrо осциллятора
; + ЮХ . О. (1.1.3)
Для идеальноrо математическоrо маЯТНИI{а (рис. 1.1) с дли
ной 'riодвеса l и массой т, находящеrося в поле тяrотения с YCKO
рением g, дифференциальное уравнение движения для уrловой
координаты ер имеет вид
.. 2. О 2
ер + ЮО SlD ер ==, , rдe юо == g!l.
(1.1.3а)
в случае электрическоro КQлебательноro контура без. п.отерь
(рис. 1.2) уравнение движения; найденное из уравнения. Кирх.
rофа/ принимает вид
Lij + q/C== О';" , .
*): Здесь, как и далее, дифференцироваJЩе по времени Mы часто будем
обознач!lJl'Ъ точкой над соответствующей перемев:ной.

/
16 rл. 1. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОЙЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
, 2
если в нем положить X.q и .обозщrtить ш о == 1/LC, то вновь
получим уравнение (1.1.3).
- u Оба уравнения (1.1.3а) и (1.1.3) описывают процессы I\олеба
нии в консервативных системах, но уравнение (1.1.3) линейно
относительно u коuординаты Х и, следовательно, описывает ДВJlже
нив в линеИНОR колебательной системе. Напротив, ураннепие
(1.1.3а) нелинейно относительно коорди
наты ер (возвращающая сила пропорцио--
нальна sin ер) , и поэтому колебательная
система, описываемая этим ураннением,
нелинейна.
ОС
Рис. 1.1. Математиче
ский маятник
Рис. 1.2. Электрический
контур без потерь
Вернемся к рассмотрению уравнения (1.1.2). Считая, Ч10
Функция f(x) является roломорфной, интеrрируемой п, в общем
случае, нелинейной функцией координаты х, введем новую пер
.менвую у == Х, которая позволяет ИСКЛЮЧИТЬ из уравнений дви
жений время в явном виде, хотя попрежнему х == х (t) IJ у== У (t).
Тоrда можно записать ' .
d 2 x dy dy dx dy
dt 2 == dt == dx dt == dx у.
в новых координатах уравнение (1.1.2) принимает следуюЩИй
вид:
dy  f (х)
dx  у .
(1.1.4)
Проинтеrрировав последнее уравнение, получим
i у2  S f (х) dx == h,
(1.1.5)
rде h == const.
Выражение  S f (х) dx== V (х) есть потенциальная функция,
пропорциональная потенциальной энерrии системы; величина
y2J2 представляет кинетическую энерrию, отнесенную к единич
ной массе. Поэтому соотношение
1
"2 у2 + V(x) == h (1.1.6)
является естественной записью условия консервативности систе
мы, выражающеrося в постоянстве общеrо запаса энерrии.

. и. ОБЩЕЕ ОТРЕНИЕ СВОВОДНЫХ ПОЛЕВАНИй
'.
j. rдля более общеrо слу, коrда возвращающая сила зависит
от скорости, уравнение (1.1.1) может быть записано в виде
dy  Ф (х, у)
dx  у .
в этом случае (1.1.1) будет описывать консервативную систему
при условии существования - однозначноrо интеFрала ЭТОFО ypaB
нения вида
17
(1.1.7)
F (х, у)  const.
При замене у == х можно использовать известный метод pac
смотрения поведения исследуемой системы с помощью фазовой
плоскости  плоскости переменных х и у.
Каждому состоянию системы соответствует пара значений х
и у, т. е. точка на фазовой плоскости. Будем называть подобную
точку, координаты которой однозначно определяют MFHoBeHHoe
состояние системы, описывающей или изображающей ТОЧIЮЙ.
Очевидно, что при движении, совершаемом системой, будут про:"
исходить изменения значений х и у, а, следовательно', описываю
щая точка будет перемещаться по некой кривой, которую приня
то называть фазовой траепторией движения.
Для ИС,следуемой системы переменные х и у связаны системой
двух дифференциальных уравнений первоrо порядка
xy, (1.1.8а)
у  f(x) (1.1.8б)
или одним уравнением dyldx == f (х)/у (см. (1.1.4», интеFрал ко--
Toporo дает уравнение фазовых траекторий *). Из общих свойств
дифференциальных уравнений следует, что через каждую точку
фазовой плоскости должnа проходить одна и только одна фазо
вая траектория, за исключением тех точек, в которых f(x) И/j
о дновременно обращаются в нvль . В этих ос о бых точках вапра1J
ление и число фазовых траекторий становятся неопределенными
11 свойства системы при таких значениях координат нуЖдаются
в специальном изучении.
Заметим, что, получая ураннение фазовых траекторий, мы
исклю,чили время в ЯRПОМ виде. Форма фазовой траектории
Дает только некоторое указание о временном ходе изучаеМОFО
процесс а и без дополнительных исследований не позволяет коли
чественно получить основную переменную х в функции t.
*) в общем случае инте1'ральные кривые, описываемые интеrpалом
ураЩ!6Н,ИЯ (1.1.4), не однозначно соответствуют фазовым траеКТОР]JЯИ. Oд
пакомы в дальнейшем, интересуясь в первую очередь формой этих кривых,
будем С'lитать, что уравнение (1.1.4) Дает семейство 'фазовых траекторий,
однозначное определение которых требует H.eKOТopo1'o дополнителъно1'О pa-
смотрения с учетом начальных условий и свойств изучаемой системы.
2 в. в. миryлин И др.

.рдвноее.сце,
18 rл. 1. lЮНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНоtt СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Рассмотрим условия, при которых в системе возникают со-
стояния равновесия. В равновесном состоянии СКОРОСТЬ движения
обращается в нуль, и в системе должны отсутствовать силы, вы-
зывающие движение, т. е.
у==х==О, у==х==О, (1.1.8)
Отсюда следует, что в точках, соответствующих положениям рав-
новесия (у == о, Х == Х() ,
f(Xj) == о,
(1.1.9)
и потенциальная функция V(x) при Х == Х; имеет экстремум, таЕ
. d
как. у == НХ) ==  d  V(x), а при Х == Xi
х .
d
f(Xi) == (fz V (х) IX==Xi == О. (1.1.10;
Особые точки, в которых выполняется условие (1.1.10), назы-
ваютя особыми точпами первО20 noряд-,.а. Если
d n d n + 1
n V (X)!X==Xi == о,  + l V (Х) I X==Xi =1= о,
dx dx
.!!J.
rде п === 1, 2, . . ., то мы имеем дело с особыми точками порядка п.
Таким образом, мы видим, что положения равновесия системы
соотвежствуют У; == о, f(Xj) == о, т. -е., как указывалось, особым
точкам. на фазовой плоскости. .
Пусть координаты особой точки на фазовой плоскости БУДУ1
Х == Х(, у == О. Обозначи.м V(Xj) == h j . Если V (х) при Х === Х; имее1
минимум, то
d
ах V (х) IX==Xi == о,
d 2
2 V (х) IXXi > О.
dx
(1.1.11:
в окрестностях точки Х == Х ; потенциальную функцию
но разложить в ряд по степеням  == Х  Х(
dV l 1 d 2 V I
V (х) === V (Xi) + dx X==Xi + "2 dx? X==Xi2 + ...
V (х) мож,
1.1.12
Для малых вариаций Х и у вблизи положения равновесия можн(
написать уравнение фазовых траекторий (1.1.6) в виде
 f)2 + V(Xi) +  ::2 V(X)IX==Xi2 == h, (1.1.13;
или
f)Z + a! == 2(h  h(),
d 2 V I
rде f) == у, а ===  > О.
. dж--- Х==Жi.
(1.1.14:

\
 1.1. ОБЩЕЕ РОТРЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ 19
Таким образом, с точы(} до высших степеней  мы полу
чили в качестве уравнений фазовых траекторий вблизи положе
ния раr>новесия, соответствующеrо минимуму потенциальной
функции (а следовательно, и потенциальной энерrии), уравнения
эллипсов. Эти эллипсы различаются между собой размером полу
осей, определяемым значением h  h;. Выбирая различные зна'
чения h, мы получаем различные эллипсы, которые по мере при
ближевИя h к h; уменьшаются, стяrиваясь в точну (Xj, О)
при h ==< h i .
!lалич ие на фазовой плоскости замкн.утых фазовых TpaeKTO
рий (например, эллипсов в окрестностях рассмотренной особой
точ ) указывает на существование периодических движений. Из
нашеrо анализа следует, что в окрестностях особой точки, OTBe
чающей минимуму потенциальной энерrии, происходят периоди
ческие движения с эллиптическими фазовыми траекториями, co
ответствующими rармоническим колебаниям. Реальное движение
тем ближе к rармоническому, чем меньше превышение запаса
энерrии системы над запасом энерrии в точне равновесия, т. е.
чем меньше значение h  h i . В системах, в которых потевциаль
ная функция представляет собой квадратичную функцию KOOp
d n .
динаты х, n V (х) всеrда равно нулю при п> 2, и уравненИЕ!
dx
фазовых траекторий имеет вид
у2 + ах 2 == const
(1.1.15)
для любых значений h  h;. Можно лишь указать, что этот слу
чай относится к тривиальному случаю линейной системы, так как
если V(x)==ao+atx+a2X\ то f(x)==a!2a..2x, и уравнение
ДJ3ижения имеет вид х + 2а 2 х == a!. Последнее уравнение пред
ставляет собой известное уравнение rармоничеСКQrо осцил
лятора. .
Таким образом, иссдедованное положение рановесия (миви
мум потенциальной функции) соответствует на фазовой ПЛОСI\Qr-
сти особой точке, называемой особой точкой типа цен..тр, и OTBe
чает положению равновесия, относительно KOToporo система MO
жет' совершать колебания, близкие к rармоническим или точно
rармонические. Для представления на фазовой плоскости таких
движений характерно наличие семейства замкнутых фазовых
траекторий, окружающих центр, причем они (за исключением
специальных случаев зависим:ости потенциальной функции от
координаты в окрестностях данной особой точки) всеrда стремят
ся к эллипсам при уменьшении амплитуды колебаний. Для pac
сматриваемоrо. случая можно из уравнения (1.1.6) получить по
сле ряда простых выкладок выражение для периода колебаний
т.К. y==:f:1'2(hV(x)).
(1.1.16)
2.

20 rл. 1. IЮНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТEИbl С ОДНОN СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Так как у == dx/dt, то dt== dx!(:i:1'21'h V(X)), и
:!C t
t 1 S dx
== +V2 VhV(x)'
:!со
( 1.1.17)
Рассматривая движение в положительном направлении оси Bpe
мени и учитывая симметрию семейства фазовых траекторий отно-
сительно оси х, получим при заданной амплитуде колебаний HЫ
ражение для периода колебаний вида
й 2
т == V2 S dx . (1.1.18)
Vh V (х)
Gl

Здесь а\ п a z  отклонения системы в моменты ПрОХОЖ,ения
у == ах! dt через нулевые значения. Соответственно a z  а l пред
ставляет собой полный размах колебаний при данном, 110 произ
вольном запасе энер1'ИИ h.
В общем случае полученное выражение для Т будет Функ
цией а\ и az, так что для нелинейной системы имеет место аави
симость периода колебаний от обще1'О запаса ;)Нер1'ИИ ИJШ раз
маха совершаемых колебаний (nеuзохроnnость I\олебаПllir " нели
нейных системах). Лишь для линейной системы, KOI'Ia IIОl'енци
альная функция представляет собой I\вадратичную ФУIIIЩИЮ KO
ординат V (х) == схо + а\х + azx Z , для колебаний вокру1' положения
равновесия имеем Т == 2n IY2cxz == nУ2/1', т. е. период равен Be
личине, не зависящей от амплитуды совершаемых колебаний.
В этом случае I\олебания становятся изохронными и период CBO
бодных колебаний в линейной системе не зависит от сообщенно
1'0 ей начально1'О запаса энер1'ИИ.
Рассмотрим случай, КО1'да положение равновеСIIЯ системы,
а следовательно, и особая точка на фазовой ПЛОСI\ОСТИ COOTBeT
ствуют маI\СИМУМУ щ>тенциальной фующии V (х). TOI'III, ПрОВОДЯ
те же ВЫI\JIaДI\И, мы получим анаЛО1'ичное уравпение IJIЯ мnлых
вариаций у и х, но
d 2
а.х 2 V (х) IXXk == cx< О,; (1.1.19
и уравнение (1.1.14) примет вид
fJzaz==2(hhl1.). (1.1.20)
Это уравнение фазовых траеI\ТОрИЙ для окрестности IIсслодуемо:ii
особой точки задает 1'иперболы с асимптотами
т] == :l::1'a. (1.1.21)
Таким образом, особая точка на фазовой плоскости, соответ'
ствующая максимуму потенциальной функции, представляет со.

 1.1. ОБЩЕЕ РАСОТРЕНИЕ СВОБОДНЫХ RОЛЕБАНИЙ
",
"
rioii такую особую точку, через которую проходят только две фа
:lOlIые траектории и в ее окрестности все остальные фазовые Tpa
('I\ТОРИИ имеют вид rипербол. Подобные точки соответствуют He
'с.:тойчивому положению равновесия, так как любо сколь уroдно
lI1uлое отклонение системы от положения равновесия приводит
li J\альнейшему росту вариаций координат системы, т. е. к даль
IlCuшему удалению от точки равновесия. На фазовой ПJlоскости
:JТo соответствует выходу описывающей точки из особой толки
11 се дальнейшему движению по одной из уходящих фазовых
траекторий. '
Проиллюстрируем приведенные рассуждения rрафичесRИМИ
IIаображениями двух описанных типичных случаев, сделав одно
очевидное замечание. По самому определению величины у == х
:шачения у > О соответствуют росту Х, а у < О  уБЪ1:ванию х.
lIоэтому движения описывающей точки по фазовым траекториям:.
IIcerдa происходят в верхней полуплоскости фазовой плоскос'J'И
11 сторону возрастания х, а в нижней  в сторону убывания х.
Если изобразить rpафически функцию V (х) и построить фазо
вые траектории на основании уравнения у2/2 + V (х) == h ми ero
решения у == :!::)' 2 (h  V (х) ) , то, задаваясь различными значе
нюши h, мы получим два характерных случая (рис. 1.3, точки
А и В). Значение х == хА COOTBeT
ствует минимуму потенциальной
функции V(x), и точка А (ХА, О)
ЯRляется особой точкой типа
цеnтр. Точка В (Хв, О), COOTBeT
ствующая МЮ\СIIМУМУ функции h
V (х), представляет собой особую
точну типа седло и отвечает на
фазовой плоскости неустойчивому
J[оложени равновесия.
Совоцупность семейства фазо
ных траекторий и особых точек
на фазовой плоскости принято Ha
;jывать фазовым портреТом систе
мы  он rрафичесни изображает
ее динамические своЙства. К ;)тим
двум основным ;)лемснтам фазо-
Boro портрета консервативной си
стемы следует добавить еще фазо
вые траектории, поrраничныемежду областями фазовой плоско--
сти, соответствующ:цми движениям различноrо характера. Эти ли
нии (например, линия С па рис. 1.3) носят названиераздели
тельnых лиnий или сепаратрис. Их расположение очень наrЗIЯДНО
показывает области возможных движений разноtо типа и те 3Ha
чения фаэ-овых координат х и у == Х, при которых одно движение
переходит в друrое. Например, на рис. 1.3 мы видим, как кри
\
\
21
!!
I
,

VмMH
,ША lJ:u
, ,
I ,
, ,
, ,
I
:с
о
J:
Ряс. 1.3. Построение фазовых
траекторий по заданной функ
ЦЦИ У(х)

22 rл. 1. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С одной СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
вая С выделяет JJoKpyr точки А область, внутри котороН сущест
вуют колебательные движения BOKpyr устойчивоrо паложенИJ
равновесия. Вне нее эти движения отсутствуют и xapaI\TCp двп
жения системы, т. е. вид фазовых траекторий, может бытr, апр'!
делен только при задании вида потенциальной функции V (х) ДЛJ
ббльшей области изменений х.
Вообще, в большинстве случаев возможность хотя бы приблп
женноrо построения фазовоrо портрета системы чреЗRычаiiп'
облеrчает рассмотрение общих свойств системы, и вид фаЗОВОl"
портрета сразу показывает ряд наиболее характерных своНст
изучаемой системы. Поэтому метод фазовой плоскости являетс]
исключительно полезным при качественном рассмотрении различ
ных колебательных систем, особенно нелинейных.
Мы здесь не будем излаrать дальнейшеrо материала по мета
дам качественноrо рассмотрения динамических систем с помощы<
фазовой плоскости и по более подробному рассмотрению возмож
ных типов особых точек и фазовых траекторий консервативны:
систем. Все это можно найти в [1 3]. Приведенные здесь ОСIЮЕ
ные сведения и определения следует рассматривать ли 1111. ка.
напоминание об основах меТОДа фазовой ПЛОСI<ОСТИ, ноторыl
(с соответствующими пояснениями) мы в ряде случаев буде1
пользоваться в дальнейшем.
Не распространяя качественное рассмотрение нелипе.iiны
консервативных систем с одной степенью свободы па более слож
ные системы, для которых уравнение движения имеет не стол
простой вид, напомним лишь ряд общих положений.
Во мноrих случаях анализа более сложных сисжем целесоос
разно пользоваться уравнением движения Лаrранжа
.!!. ( дТ, ) '  aL == О
dt ду дх '
(1.1.2
rде L (х, у)  функция Лаrранжа, Iюторая для ПрОСТЫХ систе!>
подобных рассмотренной выше, представляет собоЙ разность ю
нетической и потенциальной энерrий. Как известно, дЛЯ СТ
стем со мноrими степенями свободы получается система уравн(
ний Лаrранжа
:е ( ;J  ( ::J == О, i == 1,2,3, о.., n.
Для консервативных злектричеСI\ПХ систем (даже во мноrих пр<
стых случаях) уравпепие движеш1Н пе приводится 1, виду Х =
==f(x), а имеет более сложпыЙ нид -ф(х, Х, х)==О, что даЕ
х == f(i, х), У == f(х, у), и уравпепио фазовых траекторий заш
шется следующим образом:
dy _ f (х, у) ( 1 1 2
dx  У . . . '

!I 1.2. RA ЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ RОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА 23
в этом случае ие всеrда просто найти ero интеrpал и получить
уравнение для построения фазовых траекторий.
Для консервативных систем существует' таи называемый ин
теrрал энерrии
. ':I....й дт.
V p L  u У " У  L == h. ( 1.1.24 )
..... " P",..UII*1"oHG у
Иными словами, для таких систем существует интеrpал ypa:ВHe
ния движения вида F (х, у) == h. rеометрически это сводится к T<r
му, что интеrралами уравнения движения являются фующии, oo
ответствующие фазовым траекториям (кривым paBHoro уровня),
riолучающимся при сечении поверхности z == F (х, у) плоско
стями z == h:
Отсюда следует обязательность существования замкнутых фа
80ВЫХ траекторий, окружающих изолированные особые точки,
или убеrающих траекторий для оrраниченных интервалов изме
нения х и у и не возможность для систем данноrО типа существо
вания особых точек, в которые стяrиваются все фазовые тpaeKT<r
рии из прилеrающей области, называемых ФопУСQМ или узлом.
Заметим, что при рассмотрении электрических систе:u:, леrко
столкнуться со случаем, коrда в консервативной системе кинети
ческая эиерrия не выражается однородной квадратичной функ
цией Х. Напомним, что в механике для больmоrо числа задач
инертная масса может считаться постоянной (т == const) и для
соответственным образом выбранных координат кинетическая
энерrия есть однородная ющдрnтичпая функция, Torдa как при
использовании ферромаrПОТIШОll электрический эквивалент Mac
сы  ИПДУК'l'ИlJIIОСТЬ  часто становптся функцией тока (CKO
расти). .
Но независимо от Toro, встречаемся ли 1.IЫ с простейшим слу
чаем или с упомянутыми здесь более сложными, все равно ypaB
нение фазовых траекторий позволяет нам получить фазовый
портрет и произвести качественное рассмотрение изучаемойси
стемы на фазовой плоскостИ. Разумеется, не всеrда мо жет быть
получено простое выражение вида у == ::1::: r 2 (h  V (х) ), и Torдa
для построения фазовоrо портрета системы необходимо приме
нять. более общие приемы, кан, например, метод построения фа
зовых траекториЙ с помощью II;JOI\JllIlI.
 1.2. Rачественное рассмотрение колебаний маятВIIRа
Для ИJIJIЮстрации путей качественноrо исследованИя колеба
тельных движений весьма полезно. рассмотрени.е некоторых ти
пичных примеров механических систем. В качестве одной из про--
стейmих механических нелинейных консервативных систем pac
смотрим идеальный маятник.
Уравнение движения .маятника
lmx + mg sin х == О,
(идеаль'ноrо)
х ==  (g/l) sin х.
(1.2.1)

24 rл. {. КОНСЕРВАТИВНЫЕ сиСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
,
Вводя ro === g/l, полУчаем (см. (1.1.2)) f(x) ===  rosinx. Обозна
чая i === у, имеем у === f(x) илиdу/dх ===  (ro sinx)/y. Тоrда с точ
ностью ДО постоянной находим V (х) ===  ro cos х, и можно за
писать
 у2 === h + rocosx.
(1.2.:2:
Используя это выражение, леrко построить фазовые траеJ\ТОрИП
движения данной системы 11
нарисовать на фазовой плоско-
сти . общий фазовый портрет си-
стемы (рис. 1.4).
Два типа фазовых траекто-
рий соответствуют двум типаl\1
движения. Замкнутые траекто-
рии, окружающие особые ТОЧКI1
типа «центр» с координатаМI1
у === О, х == 2пл: (п  любое це-
лое число) , соответствуют ко.
хлебательным движениям маят,
ника BOKpyr устойчивоrо ниж-
Hero положения равновесия, 01'-
вечающеrо минимуму потенци-
альной энерrии. Особые ТОЧКF
Рис. 1.4. Фазовый портрет маятника у == О, х == (2п  1) л: представ.
ляют особые точки типа «сед'
ло», соответствующие верхнему положению равновесия маятни-
ка  максимуму потенциальной энерrии.
Убеrающие траектории, которые получаются при h > ro, со-
ответствуют вращательным движениям маЯТНИRа, возникающим
при сообщении ему начальноrо количества движения, которое
обеспечивает проход через верхнее положение со скоростью, от-
личной от нуля. На фазовой ПЛОСRОСТИ это буТ\ет соответствопаТI
выходу описывающей точки за пределы области, оrраничиваемоi!
кривыми С" С 2 . Эти кривые, проходящие через седла и служащи(
в окрестностях данных точек асимптотами rиперболических фа-
зовых траекторий, являются сепаратрисами. Они разделяют топо-
лоrически различные области на фазовой плоскости: область тра-
екторий, приходящих из oo И уходящих в +00, и область замк-
нутых траекторий.
Возвращаясь к нашему примеру, напишем у === dx/dt 
== Y2(h  V(x)), откуда
v
х
11:2
t  S ах
 У 2 (h  V (х))
Хl '

!! 1.3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИй
25
, 2
Если .при х ===::i::a у == О, то h == V (а}=;  000 сов а, и мы получим
для полупериода :колебаний выражение
+а
! == ...!.. r dx
2 У2' :а V 6) cos х  6) СОВ а'.
или
+а
 == 1 S dx . 'Т,.1'() (1.2.3)
2 6) V2cosa Vcos:cfcosa1 .
о a
, Отсюда следует, что в разобранном примере мы встречаемся
с зависимостью периода :колебаний от их амплитуды, т. е. нол&-
бания в рассматриваемой системе будут неиаохронны.ми. Если бы
система была линейной, то описывающее ее уравнение имело бы
вид ==>  оо х, и Torдa dy/dx ==  оо (xIY). В этом случае  случае
линейноrо осциллятора 
1 2 1 22 1 h
 Y ==оо о J.- + 
2 2 2 '
у == :l:: V h  roo o .
Для олебаний с амплитудой а при х == ::i::a, У == О получаем
h ==WJ:, и тоrда У == dx/dt  ::i::Ya 2  х 2 ооо. Для полупериода :коле
бании 'при х, изменяющемся от a до +а, имеем
+а
т С dx n
"I == a o у a2x2 == 00;;'
от:куда получается хара:ктерное для линейной системы выражеиие 1д
т == 2пJ 000, по:казыающееe независимость периода :колебаниi от их
амплитуды  изохронность :колебаний в линейных системах.
 1.3. Применевве метода последовательных приближений
( I;%.LLЧ  11 1 цr tif. )
Оставляя по:ка в стороне друrие нримеры :качественноrо pac
смотрения систем с одной степенью свободы с помощью фазовой
плос:кости, позна:комимся с весьма распространенным методом
приближенноrо I\оличествеПIlоrо расчета интересующих нас си
стем, а именно с методом последовательных приближений. Не за
нимаясь применением этоrо известноrо метода в общем виде, раз
берем тот же случай маятни:ка.
Записывая уравнение движения в виде
:; + oosin х == О,
rде оо == g/l, выразим sin х в виде ряда
. 1 3
В1ll Х == Х  6' х +...
. (1.3.1)
(1.3.2)

26 rл. 1. RОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ОlЧlОй СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ОrpаНИ1Jиваясь рассмотрением значений Х -< 1, остановимся на
члене с х З . Тоrда
.. 2 f 2 3
Х + <00 Х  '6 <ОоХ === О.
Представляя это уравнение в форме
.. 2 + 2 3 О (1 3 4)
Х + <оох а<оо х === , . .
будем сначала, RaR обычно, ИСRа1'Ь решение в виде ряда по CTO
пеВJIМ а:
(1.3.3)
х === ХО + ах! + a 2 xz + . . .
( 1..5)
Подставляя этот ряд в уравнение (1.3.4), получим
;0+ а;;1 + а 2 ;;2 + ... + <OXo + a<OXl + a2<OX2 + ...
... + a<ox + a4<ox + a7<ox: + ... === о.
При а === О Х === хо  решение в нулевом приближении, а;о + <OXo ===
=== о . уравн.ение нулевоrо приближения.
'У"равнение первоrо приближения мы получим из общеrо ypaB
нения, УЧИТЫсВая члены, содержащие а в степени не выше первой,
.. + " + 2 2 23 О
хо аХ 1 <ОоХо + а<О О Х 1 + а<оохо === ,
 ..............
в, учитывая уравнение нулевоrо приближения для Хо, получии
окончательное уравнение первоro приближения
.. + 2 2 3
Х 1 <ООХl ===  <оохо' (1.3.6)
В нашем случае, выби р ая начальпые У словия в ви д е t == О х == а
. О ' ,
х == , находим решение уравнения пулевоrо прпблшкоппл
11 е . О
ХО === а cos ( <oot). -с(... )(0 '1' t-й... )1 Q -=
'У"равlteние первоrо приближения соответственно будет
:;1 + <oxl ===  a3<o cos 3 (<Oot). (1.3.7)
Воспользовавшись извествым триrОRометрическим преобразова
нием, мы можем записать
.. I! а 3 2 За 3 I!
Х 1 + <ООХl ===  4" <00 cos (3<o o t)  Т <00 cos (<Oot). (1.3.8)
Решение этоrо линейноrо диффороIIциалыIrоo ураВIIения coдep
ЖИт секулярный член, вызванныЙ ШIJI1l'lием lJ npunoii части урап
нен:ця члена с резонансной частотой.
Вынужденное решение имеет вид
аЗ 3а 3
Х 1 ===32 COs (3<oi)  8 t sin (<Oot). ) (1.3.9)

. 1.3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИй
27
Ясно, что подобное решение не соответствует реальному 'дв-1tЖе
lIИЮ системы.
Спрашивается, в чем же состоит порвчность подобноrо спосо---
ба нахождения решений ДЩI рассматриваемоrо случая? Ответ на
:.JTOT вопрос мы находим в уже отмеченном свойстве неизохрон
ности колебаний системы. В самом деле, выбранная нами форма
решения предусматривает существование движения с постояв
nым периодом 2n/ 000, т. е.периодом колебания в нулевом при
ближенnи. В действительности же период ДБиженЩ[ с конеЧJi[ОЙ
амплитудой принципиальноотличенот периода колебаний сиете
мы с бесконечно малой амплитудой. Поэтому и получается YKa
занное нами ПрО!fиворечие, которое может быть ЛИRвидировано
только посредством отыскания решения с периодом, отличаю
щимся от периода колебаний в нулевом приближении.
Так как это ОТЮIопение периода от ТО == 2n/ooo долЖно суще
стnенно зависеть от степени нелинейности системы, вполне eCTe
ственно ввести в рассмотрение новую частоту  частоту колеба
пия с заданной амmmтудой в виде
002 == оо + ag + a 2 g 1 + ... (1.3.10)
Если при расчете оrраничиться первым приближением, то можно
полоЖить 002 == оо + ag, rде g  некоторая пока еще неизвестная
J!еличина. Учитывая это добав-ление, можно наппсать с точностью
1\0 первой степени по а (см. (1.3.4)):
х + оо 2 х  agx + аоо 2 х З == о.
Уравнение nулеnОl'О приближения имеет вид
Хо + оо2хо === о;
при тех же начальных условиях t === О, х == а, :i === О ero решением
будет Хо'== а cos (3oot).
Уравнение перnоrо приближения имеет вид
.. + 2 2 3
Х 1 00 Х 1 == gxo  00 хо,
(1.3.11)
или
.. 1 3
Х 1 + оо 2 Хl == ag cos(oot)  '4 а З оо 2 cos(3oot) '4аЗr02 cos(oot). (1.3.12)
В этом уравнении мы можем избавиться от секулярноrо ЧJIе
на, если выберем величину g так, чтобы
3 '
ag  '4 а 3 оо 2 == О. (1.3.13)
Тоrда уравнение первоro приближения примет дид
.. 1
x 1 + оо 2 Х 1 ==  4" а З оо 2 cos(3oot),
(1.3.14)

26 rл. 1. RОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ОlЧlОй СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Оrpаничиваясь рассмотрением значений Х < 1, остановимся на
члене с Х3. Torдa
.. 2 123 О
Х + фо Х  '6 ФоХ == .
Представляя это уравнение в форме
 + тx + aт Х3 == О,
(1.3.3)
(1.3.4)
будем сначала, как обычно, иска1'ь решение в виде ряда по CTO
пеняи а:
х == Хо + ах1 + а2хз + . . .
( 1.q.5)
Подставляя этот ряд в уравнение (1.3.4), получим
o + a1 + a22 + ... + т:х о + aтX1 + a2тX2 + ...
... + aт:X + а4ф:Х + a7тx: + ... == О.
При а == О Х == Хо  решение в нулевом приближении, ao + тxo ==
== о ,уравнние нy.iieBoro приближения.
"Ура.внение первоrо приближения мы получим из общеro ypaB
нения, УЧИТЪLВая члены, содержащие а в степени не выше первой,
.. .. + 2 2 23 О
ХО + аХ 1 ФОХо + ат о ,х1 + аФОХО == ,
 
в, учитыБяя уравнение нулевоrо приближения для Хо, получим
окончательное уравнение первоro приближенИя
.. 2 2 3 3
Х 1 + ФОХl ==  ФоХо' (1. .6)
 нашем случае, выбирая начальные условия в виде t == О, Х == а,
Х == О, находим решение уравнения нулевоrо приближения
. Хо ==acoS(ffiot).  Jlо-Тw:.хо -::: о
'у раВ!teние первоrо приближения соответственно будет
;;;1 + тXl ==  a3<.o cos 3 (<.oot). (1.3.7)
Воспользовавшись известным триrО1Iометрическим преобраЗ0ва
нием, мы можем записать
.. а 3 За 3
Х 1 + тXl ==  '4 <.o cos (3<.oot)  Т <.o cos (<.oot). (1.3.8)
Решение этоrо линейноrо дифференциальноrо уравнения coдep
жит секулярный член, вызванный наличием в правоii части урап
ненця члена с резонансной частотой.
Вынужденное решение имеет вид
3 3а3
Х 1 == 'i2 COS (3<.oot)  '"8 t sin (<.oot):; (1.3.9)

 1.3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
27
Ясно, ЧТО подобное решение не соответству.ет реальному двJtже
IIИЮ системы.
Спрашивается, в чем ?Не состоит порвчность подобноrо сПОC<r
ба нахождения решений ДЩI рассматриваемоro случая? Ответ на
;этот вопрос мы находим в уже отмеченном свойстве неизохро
IЮСТИ колебаний системы. В самом деле, выбранная нами форма
решения предусматривает существование движения с постоян
ным периодом 2:rt!ooo, т. е. периодом колебания в нулевом при
ближеJI'ИИ. В действительности же период движеНЩI с, коне'ЦIОЙ
амплитудой привципиально отличен от периода колебаний биете--
мы с бесконечно малой амплитудой. Поэтому и получается yНa
занное нами противоречие, которое может быть ликвидировано
только посредством Отыскания решения с периодом, отличаю
щимся от периода колебаний в нулевом приближении. . .
Так как это ОТRлонение периода от То == 2:rt!ooo должно суще
ственно зависеть от степени нелинейности системы, вполне eCTe
ственно ввести в рассмотрение новую частоту  частоту колеба
ния с заданной амПJIИТУДОЙ в виде
оо ! == оо + ag + a 2 g 1 + ... (1.3.10)
Если при расчете оrраничиться первым приближением, то можно
положить 002 == оо + ag, rде g  некоторая пока еще неизвестная
величина. Учитывая это добав-ление, можно написать с точностью
до первой ётепени по а (см. (1.3.1»:
Х + (1)2X  agx + аоо 2 х З == О.
Уравнение IIулеnОl'О приближения имеет вид
ХО + оо2хо == о;
при тех же начальных условиях t == О, х == а, х == о ero решением
будет хо '== а cos (3oot). '
Уравнение первоrо приближения имеет вид
.. + 2 2 3
Х 1 00 Х 1 == gxo  00 хо,
(1.3.11)
или
.. 1 3
Х 1 + оо 2 Х 1 == ag cos(oot)  '4 а З оо 2 cos(3oot) таЗоо2 cos(oot). (1.3.12)
В этом уравнении мы можем избавиться от секулярноrо ЧJIе
на, если выберем величину g так, чтобы
3 .
ag  "4а3оо2 == О. (1.3.13)
Torдa уравнение первоro приближения примет в.ид
.. 1
x 1 + оо 2 Х 1 ==  4" а З оо 2 cos(3oot),
(1.3.14)

28 rл. 1. нонсЕрвАтивныЕ СИСТЕМЫ С одной c..тшmнъю СВОБОДЫ
из соотношения (1.3.13) находим g === 3/.a 2 ro 2 , а из
2
2 000
(0=== .
1  З/f,а.а 2
Решение уравнения первоrо приближения будет иметь вид
аЗ
Х 1 === С 1 cos(rot) + C 2 sin(rot) + 3icos(3rot),
( 1.3.10)
(1.3.15)
rде С 1 и С 2  произвольные постоянные. Toroдa полное решение
(1.3.4) в первом приближении "запишется СЛедующим обра30М:
, аЗ
Х === а cos (rot),+ аС! cos(rot) + aC i sin (rot) + а 32 cos (Зrot). (1.3.16)
Значения произвольных ПОСТоянных С 1 И С з моЖно найти, требуя
от этоrо решения, чтобы опо
удовлетворяло тем же началь
вым условиям. Проделав COOT
ветствующие ВЫRЛаДRИ, полу
чим окончательно
&J
(,)0
2.0 а
Рис. 1.5. rрафик зависимости соб
ственной частоты от амплитуды
х === а (1  а ;; ) cos(rot) +
а l
+ а 32 cos(3rot). (1.3.17)
rде, как уназьmалось,
002
ro 2  о
 1  3/f,a.a 2 '
Используя это Ilриближенное решение уравнения (1.3.4),
найденное с точностью до первой степени а, получим дЛп маят
ника (а == 1/6)
х == а (1 + 12 ) cs (rot)  1a9 cos (3rot), ro 2 == 1 :l в а2 . (1.3.18)
в найденном нами решении, которое, как мы отмечали, ro
дится для не слишком больших ОТRЛонений (коrда с достаточной
для нас точностью sin х  х  1/6X3J И является приближенным
для идеализированноrо уравнения
.. ( 1 )
Х + ro Х  if Х3 == О,
(1.3.1.9)
следует отметить две особенности. Вопервых, колебания неизо
хрониы (ro  функция а), и, BOBTOpЫX, колебания не чисто си,
вусоидальны  в них присутствуют rармонИRИ (в нашем случае
третья rармоника). Неизохронность колебаний можно наrлядно

111.4. НОЛЕБАНИЯ В НОНТУРЕ С НЕЛИНЕйНОЙEМRостъю 29
представить, построив rpафИR зависимости ro от а. В данном
ПрIOlере rрафИR будет иметь вид, показанный на рис. 1.5, причем
ero можно ИСПОJIЬзовать до а  1, так как .при ббльших амплиту
дах колебаний теряет свою справедливость сделанное ранее упро
щение sin х == х  l/ вх 3.
'i 1.4. свободJlыe колебан-и в электрическом контуре
без затухании с веmшейной емкостью
в качестве прим:ера нелинейной консервативной колебатенъ
ной системы с одной степенью свободы рассмотрим электриче
ский колебательнЬJЙ контур без затухания с конденсатором, в ко--
тором нет линейной зависимости напряжения от заряда. Подоб
ными нелинейными свойствами обладают конденсаторы, в KOTO
рых В качестве диэлектрика используются материалы, имеющие
сеrnетоэлектрические свойства, и eMKO
сти, возникающие в р  ппереходах
(например, в полупроводниковых дио
дах) при обратном напряжении CMe
щения.
1\ак известно, для конденсаторов
с сеrnетоэлектриком характерно OTCYT
ствие прямой пропорциональности меж
ду зарядом и напряжением на ero об-
Jшадках. Пренебреrан rистерс:!исом,
можно наЧССТllеш/О иаоБРllаИТI. :yry аа-
lIИСИМОСТI. 11 JlJflIO rрафИl'8 рис. 1.6. ДЛЯ
J\аЖI\OJ'О ]юнкретноrо случая ее леrко
получить экспериментально, и она
представляет собой характеристику не-
линеЙ1Юrо элемев;та колебательной системы. Здесь следует иметь
в виду, что свойства конденсатора с сеrнетоэлектриком сущест-
венно зависят от типа применяемоrо сеrнетоэлектрика, который
обладает определенной инерционностью, связанной со скоростью
изменения заряда, что приводит к частотной зависимости eMKO
сти Rонденсатора. Поэтому нелинейные хараRтеристики таких
щшденсаторов MorYT существенно иаменяться при значительном
увеличепии частоты Dлеl,тричесних Rолебаний в ROHType, содер-
жащем пелинейныЙ элемент.
Если ввести привычное понятие емкости, определяемое. С ==
== q/uc, то, считая ис == ер (q), можно записать
C(q) == q/(q).
ас
q
Рис. 1.6. ВОЛЪТКУJIон6вая
характеристика l(оиденса
тора с сеrнетОЭJIектрПОИ
(1.4.1)
Примерный вид фующии C(q) для типичноrо сеrнеТО3Jlектри
Ra показан на рис. 1.7. В случае запертоrо р  -пперехода извест
. на зависимость С д от напряжения, rде С д ==- dq/duc  дифферен
циальпая емкость данноrо устройства. Эта зависимость имеет

30 rл. {. RОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОй С,ТEIIEllЬю СВОБОДЫ
вид, изображенный на рис. 1.8, и аВaJlитичеСКJr1l0жет быть прер.
ставпена формулой
,.. А
С д == в '
(и о  и с )
(1.4.2
rде А.....,... некоторая константа, и о  контактная разность: потеЕ'
Циалов для данноrо перехода, иа  напряжение на емкости, k 
показатель степени, ПрИНИМ8.ющий значение для различных ТИПОI
переходов (плавный, резкий и др.) от 1/2 до 3 и выше. 3алятrпмr,
с
lIo
ас
q
Рис. 1.7. rрафик зависимости eM
кости от заряда для KOHдeHcaT
ра с сеrветоэлектриком,
Рис. 1.8. rрафик заВИСИМОСТF
дифференциальной емкости Зс'
пертоro. р  nперехода от Нс'
пряжения
наиболее часто встречающейся зависимостью дифферевциально:[
емкости от напряжения для узких rерманиевых переходов
C==..EJ..== А
д du c (и о  и с )1/2 .
(1.4.3
.. Отсюда
q ==  2А (ио  и а ) {/2 + D,
(1.4.4
rде D  постоянная интеrрирования, которую следует определит
из началЬных УСJIОВИЙ. Пусть иа == v  Е. Примем, что при ис ==
== E (v == О), rде E  начальное отрицательное напряжеНИt
смещения, v  внешнее напряжение, npиложенное' к p. пперь
ходу, q == О. Иными словами, мы учитываем лишь тот заряд ю.
емкости, который связан с отклонением напряжения на ней o
исходноrо постоянноrо смещения E. При этих предположения:.
D==.2A{uo+E)'/2. Считая, что при v==O, Сд==С о , получае:r.
А == СО (и о + Е) 1/2, откуда D == 2С о (и о + Е).
Разрешая выражение (1.4.4) относительно иа, получим
ис == U   ( q  D ) 2 ==  Е + .!. q  1 q'/i (1.4.5
О 4A СО 4C (и о + Е) ,

6 1.4. ,КОЛЕБАНИЯ В НОНТУРЕ С REЛИREЙНОй ЕМНОСТЪЮ 3!
Jткуда
.
t t 2
и co q4(иo+E) q ,
(1:4:6)
". е. выражение типа
t
v  С (q  2),
О ,
оответствующее rpафической зависимости, изображенв:ой на
)ис. 1.9. Указанное соотноmеnив- справедливо лишь ДJШ v <
ио + Е, так как- ДJJ.Я напряжений на р  ппереходе ис  ио
(1.4.7)
v
.....
'\
\
\
\
\
\
\
q
G
ис. {.9. Волъткулоновая xapaK
"еристика для еикости заперто1'О
р  nперехода
Рис. {.10. Схема контура без за
тухания с се1'неТОЭJIектрическпм
конденсатором
з:спользовапные соотношения теряют смысл и будет иметь место
"Iрямая проводимость. Заметим, что для друrих видов исходной
ависимости С д (ис), например при k:l= 1/2 и при учете неизбеж
"1ЫХ параллель.ных постоJIIШblх емкостей, мы встретимся _ с более
ложным:ц зависимостями типа v == (1/С о ) (q + tqZ + iqa + .. .).
Учитывая приведеввое соотношение, рассмотрим снаЧaJ[А Щ)
лебательиые процессы, про исходящие в консервативном коJ.iба
тельном контуре, в котором в качестве емкости использованкон
денсатор с сеrнетоэлектриком без потерь. Исследуем 'контур
(рис. 1.10), в котором отсутствует затухание, индуктивность L
имеет постоянное значение, независимое от токов и напряжений
в системе, а характеристика конденсатора С подобна характерп
стике, изображенной на рис. 1.6.
Соrласно закону Rиpхroфа
ае
L dt + ис == О,
rде i==dq/dt, uc==q>(q). ТОt'да
L d 2 q + q>{q) == О.
dt 2
. .......
(1.4.8)

Joi. е т О.А. u мж 1\\.0( Н
32 rл. {. RОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С одной СТЕПЕНью СВОБОДЫ
Для качественно.rо. рассмотрения движений в таКо.й СИС1
J:ia Фазо.во.й пло.ско.сти образуем уравнение iJ ==  ( 1п) <р (х)
по.мним, что. У == х), или
ау q> (х)
dX ==  -ту, (1.
rдe х == q.
Для данно.й системы мо.жно. найти по.тенциальную фуню
V (х) , t S <р:(х) dx, (1.4
ко.то.рая для <р(х) == ис, со.о.тветствующей криво.й на рис.
имеет характер, по.казанный на рис. 1.11. В со.rласии с э
В то.чке х == О по.тенциальная ФУНIi
имеет единственный минимум, OTBe
щий усто.йчиво.му по.ло.жению равно.ве
о.тно.сительно. Ko.To.Po.rO система совери
колебательные движения.
Таким о.бразо.м, на фазо.rюй пло.ск<
мы по.лучим единственную о.собую то
х == О, У == О типа центр, BOKpyr коте
распо.лаrаются замкнутые Фазо.вые тр.
тории, отвечающие ко.лебательным I
цессам: с рааличными амплитудами. У]
нение фазо.вых траекто.рий имеет вид
t
2y2==hV(x).
v
(J J;'
Рис. {.Н. fpафик по-.
теициалъilц фуик
ции ДЛЯ контура с
сеrиетоэлектрич:еским
кондеисатоpQМ
По.стро.им мето.до.м изо.клин фазо.вый по.ртрет рассматривае:
нелинейно.й консервативно.й системы. Это.т мето.д меним
 M С ИQ.с i.I!О9Q.r2!ЛЦl'I. }fаок,лuнамu на фазо.
IШо.ско.сти называются линии, на кото.рых накло.н интеrралы
кривых dy/ dx == co.nst. Уравнения семейства изо.IШИН для данн
случая запишутся как dy/dx == k i , rде k i  .произво.льные чИ4
То.rда, учитывая (1.4.9), находим уравнение семейства изо.к.
,
t
kiy == L <Р (х).
(1.4
Теперь для по.стро.ения фазо.во.rо по.ртрета данно.й колебат(
по.й системы нео.бхо.димо. аппроксимиро.вать нелинеiiную во]
куло.но.вую характеристику (см. рис. 1.6) о.пределенно.Й анаЛЕ
ческо.й зависимо.стью. Для мно.жества самых разноо.бразных .
нето.электрических материало.в во.лъткуло.но.вые характеРИСТJ
конденсаторо.в имеют вид кубическо.й парабо.лы с разными ко.
фициентами нелинеЙно.сти, т. е.
,'1-1<(.,): (11-4- у;, C) с О
<Р (q) ----:- ис == J (1 + Yoq.'l),
о
; -+ ,-",,,2. ( Х т (с f./ .х.3) =- о
(1.4
I( <
.х f o (Х -1-1 J

 Ц. RОЛЕБлНия В KOHТYP С НЕ,тп ппiЙ Н: 6Й ЕМRОС'iЪю з3
rде'Т о  :Коэффициент нелинейности. Если в
размерный заряд х == q/ qo, KpyroByIO чаСтоту
размерное время 't == (i)ot, то с учетом (1.4.12)
траекторий (1.4.9) примет вид
аУ , z + ,\,Х 3
dZ==t
(1.4.8) ввести ооз
(i) ==1jLC o it:без
уравнение фазовых
(1.4.13)
rде У == Yoll, а СООТСТБующие ему уравнеиия семейства изоклин
вапиmyтся следующим образом:
Как мы видим:, для не.лииеЙliой систекы: изоклинами на фазовой
плоскости ЯБJIЯIOТСЯ кубические
параболы с ра3JIИ1ШЫМИ коэффи
цвентами k i . ИСЮIючение COCTaв
nяют только ИЗОКJIИна бесконеч--
ВОСТИ (k( == 00), совпадающая с
осью координат х (у == О), и нy
пеВАЯ изоклина (k i == О), совпа
ДDIOЩ!!Я с осью координат у (х ==
.. О). На рис. 1.12 понаэано по
СТрllttllие фа:Ю/lЫХ трnокторий MO
ТОДОМ изокпИII I,ЛR uлеКТРИ'IOСIШ-
ro JCОJ10баТО.lll.UОfО ICJНlтура с HO
.11..0..101'1 ДltЬJlОICТрИI\ОМ. 3aMKHY
ТОСТ). ФаЗОJlЫХ Тf1аекторий под
ТI'РЖДООТ, что мы имеем дело
о IIOJJt\ОрВnТIIВRОЙ системой. Из
фаOiJlJюrо портрета видно, что при
MIIJIJ.JX амплитудах 1\олебаний, как
. 11 спучао идсалr,поrо маЯТНИI\а,
фаll/lllые трutЩТории БJIИЗКИ 1\ эл
"ипс.ом, Т. о. малыu Дпижения в нелинейпой системе близки
)( rap"OIlII'10CКlIM Юlлебuпиям в линейной системе. Это связаио
о '1'0", 'IТO Прll малых IJнаЧl1lШЯХ х влиянием нелинейноro V8-
8а 'fж' по сраlJнвuию с ЛИпойпым членом х на :колебатеJIЬ:ВЫЙ
ЩЮЩIСС в систрме мошно прснебречь. ,
Ilолучонпый фазовый портрет системы, естественно, сущест
II()HHO IШ)ШСИТ от вида исходной характеристИRИ нелинейиооТJI
системы и позволяет нам качественно судить о процессах, кото"
рыо MoryT протекать в подобной системе. Если характеристика
IIUЛИnоЙНоСТИ имеет вид, показаиный на рис. 1.6, мы из фазовоro
Iюртрета можем сделать следующие выводы. Вопервых, в СИСТIr
ме возможны симметричные колебания BOKpyr единственноrо пQ-t
8 В. D. Мнryлин И ДР.
Х+,\,Х 3
У ==  .
I
(1.4.14)
.!/
Рис. Ц2. Построение фаоо:аIU.
траекторий методом: ИSORJUПI AIШ
контура без затухания с eerв8тo-
электрическим конденсатором

34 rл. 1. :КОНСЕРВАТИВНЫЕ систЕы
ы С ОДRОЙ СТEIIЕRЬЮ СВОБОДЫ
ложения равновесия :& == О (q == О); У == О (q == i == О). ВoBTOpl
форма этих колебаний отлична от синусоидальной и их раЗJ1И:Ч
тем больше, чем больше амплитуда колебаний. Втретьих, в си
специфики укаэан-ных. нелинеЙIiы:х свойств конденсатора с сел
тоэлектрИRО:М: с ростом начальноro толчка (или начальноro заш
энерrии) амплитуда колебаний 11 == Х, т. е. аиnлитуда тока в ХС
туре, растет быстрее, чем амплитуда заряда.
Итак, с учетом сделанных допущений мы сводим решен
нашей задачи к нахождению приближенноrо решения уравнен;
.. t
L:& + ё (:& + 1':&3) == О,
о .
(1.4.
или
;; + ro:& + yrox3 == О,
(1.4.1
rде ro == 1/LC o . Это уравнение принадлежит к тому же тип
что и рассмотренное нами приближенное уравнение маЯТНИR
JI мы можем сразу же написать ero решение
( a1r\ а 3
:& == а 1  у 32 ) cos (rot) + у 32 cos (Зrot),
(1.4.1
rде
.. \,_f
:,:.;... .
2
2 (1)0
ro 
t3/4Y42'
(1.4.1
а  амплитуда колебаний, а начальные условия суть: :& ==а, i,
== i == О в момент времени t == О.
ДЛЯ заданных свойств сеrnетоэлектрика и выбранных маСШТI
бов мы всеrда можем найти численные значения "{ и получи
прилиженное реение, rOДRoe в той области значений :& (a'
, Е:;; :& Е:;; +а), внутри которой, вопервых, можно оrраничитьс
выбранной нами аппроксимацией и, BOBTOpЫX, достаточно Прl
ближение с точностью до "{ в первой степени. В этом случае м:
встречаемся с неизохронвостью колебаний и обнаруживаем отхо
От строroй синусоидальности, выражающийся в появлении коъ
поненты с тройнОй частотой. Строя rpафик зависимости частот:
ro от амплитуды, мы получим rpафИR типа показанноrо на рис. 1.:
Здесь следует обратить внимание на следующее обстоятельств(
Из (1.4.18) следует, что ro обращается в бесконечность при а 2 =
== 413"{, а для больших значений а выражение для ro становите
:м:нииым. Этот результат является следствием недостаточност
использованноrо нами первоrо приближения при таких aмr
итудах.
Если аппроксимация типа (1.4.12) точно передает зависииост
напряжения на емкости от заряда, решение (1.4.17) в первOJ

5 Н. :КОЛЕБАНИЯ В :КОНТУРЕ С НEJIИНЕйНОЙ EМRОСТЬЮ '35
Ilриближении 'верно лишь постольку; поскольку можно пренебре1Ц>
lIоследующими членами. То же ОТlЮCИТСЯ и к выражению для ча
стоты (1.4.18). Поэтому при больших амплитудах колебаний Ii
ближенвое реmение становится веприroдиым независимоот точ
ности аппроксимации. Таким образом, здесь екааывается сама
оrраниченвость метода последовательных приближений, не даю
щеrо точных выражений для реаль V
вых движений в оистеме в CJIy.
'Iae больших аМIIIЛИТУД. В )l;альней
шем мы lIIознакоиим:ся с др)тик
приемом определения частоты коле
баний в подобных системах для слу
'Iая приближенноro rармоническоrо
закона колебаний.
Несколько иначе будут протекать
ЯlJления, если в качестве емкости Рис. {.13. fpаф-к потевциалъ
ной функции ДJlЯ контура с
в контуре использовать емкость за емкостью запертоro р..... nB
пертоro р  nперехода полупровод рехода ПОxyIIpOJlОдJIИКОвoro
ииковоro диода. TorAa вид функции диода
ер ( q) будет друrим. ЕCJIИ приНять, .
что rрафик V(q), задаваемый функцией <p(q), будет 1'8КИМ же,
liOI\ на рис. 1.9, а аналитичоокая зависимость передается Bыpa
ЖОllием
.............,
, I ,
I ,
I ,
I "
I ,
3:1
\ 3:
\
\
<r (х)... (1/С а ) (х  x2),
то IIOТОIЩRuпыlUН футщия
V (.1')  .! r <р (х) dx == ....!..... x2L х3
L J ис о 3LC.
(1.4.i9)
будет изображаться кривой, показанной на рис. 1.13. Хотя потен
ЦИОJIЫIaЯ функция, кроме минимума при х == О, имеет еще и маЖ
симум при х == x l , ЭТОТ максимум лежит за прделами при.еllИ
КОСТИ принятой аппроксимации, приrоДRОЙ лишЬ для х < Хо, rAe
хо (()OTnCTcTByeT заряду при напряжении на емкости, равном
I\оJJТUliТlЮЙ ра:JНОСТИ потенциалов. ПОЭТОМУ на фазовом портрете
CJI0IIYOT с'! IITIlTI. ОТJlОIIOЮЩОЙ реальпым процоссам только часть.
пежuщую JI оБШIСТИ х < Ха. I'IlССМОТРEJние фазовых траекторий
ПО"I1;Jыuаот 1I0;JМОЖНОСТI. сущостuования незатухающих колебаний
11O")lyr ОДИНСТIJОllIюrо состояния равновесия  состояния покоя
с положительным ОТКJ10нением, меньшим Ха. ЕCJIИ при заданном
1m 'Iальном условии описывающая точка выходит на траекторию,
НIlХОДЯЩУЮ за пределы указанных значений Ха, ТО проведенный
8Н1IJIИЗ неприrоден и для рассмотрения действительных прОцес
con в подобной системе следует учитывать ПОЛБление суЩествен
пой проводимости р  п--перехода. При выполнении указаиноrо
()l'Рlшичения в системе будет происходить колебательный процесс
с формой колебаний, ОТJIИЧIIой от rармонической.
8.

36 fл. 1. RОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С одной СТЕПЕНЬю СВОБОДЫ
f 1.5. Свободвые КОЛООЩIИJI в контуре
с BeтmeABO" JlllД)'ПИВНОСТЫО
Рассмотрим теперь дрyrой пример электри;ческой неливеih
консервативной системы, а ииенпо контур' с ИНдyRтивв:ост:
зависящей от протекающеrо по нему тока. Этот случай не иы,
наrляДRОro и простоrо нерелятивистскоro механическоroанало
так как зависимость самоиндукции, от тока эквивалентна .
механики случаю зависиыости массы от скорости.
С электрическиыи системами подобноro типа мы встречае)!
тоrда, Коrда в индуктивностях используются сердечники из фl
роиаrнитноro материала. В таких случаях для каждоro данщ
Ф
,О
Рис. f.f4. Нривая зависимости
IfArнитиоrо потока Ф от поля Н
ил. тока i JI слу'lае феРРОМAr-
иетика
Рис. t.t5. Нолебательный КОНТУ]
без потерь с катушкой ивдуктив
иости С феррома1'нитныи сердеч
ником
сердечника можно получить зависимость между наиаrничиваJi
щим полем и потоком маrнитной индукции. Rрцвая, изображаJ
щая эту занис1UiОСТЬ, называется "ривой нд.матuчuванuя. ECJJ
npенебречь явлением rистерезиса, то примерный ее ход мотЕ
rrpедставить rрафиком, изображенным на рис. 1.14. Так юiк зщ
чение поля Н пропорционально току, текщему в катyпiке, то IJ
ООН абсцисс можно в соответствующем масштабе отклаДЫВi1
ток.
Для контура, 'показаниоrо на рис. 1.15, можно написать урю
иение Rирхroфа .
dФ q О
ndё'+ с === ,
rде n  число витков катушки, пронизываемых маrнитным поте
кои Ф, иЛИ (:выбирая иасштаб Ф и i в соответствующих един:и
цах) в видв
Torдa
а. q О а' q О
;nФ(l) + с== " dt Ф(q) + с == .
dФ" q
----;- q + с == О"
аlj
(1.5.1
(1.5.2

. I 1.5. контур С НE.JIИВЕйной индуктивностью
37
или
q.... ,p(q, q),
, (1.5.3}.
rде 11'   4 (с :7 ).
На фазовой плоскости (х == q, у == х  q) будем иметь фаз
Ilые траектории, описываемые уравнениями, . . .
.. ау 'Ф (z, у)
x у, у == ,р(х, у)"  a . (1.5.4)
. . z у
Умножая уравнение (1.5.2) на dq и производл интеrpироваиие,
получим ивтеrpал энерrии
S " dФ" 1
---;- q dq + 2с q2 == h.
. fltJ
Здесь (V2C) q2  электростатическая (потенциальная) эиерrив,
S " q  ......:аrнитная (кинетическая) энерrия. В частности, див
tlq
tJФI dq  L == const, т. е. ДЛИ ;JIJшейноro случая, попучается иэве..
стпое выражение для ManцrrHoB энерrии L q 2/2 ИJIИ LfI/2.
По своей физической природе Ф(q) нечетная фymщия, 1It
5 dФ ' .
следовательно,  q dq больше нуля и обращается в нуль при
dq
1'" О. Таким оброзом, точка q'''' О. q == о есть особая точка на
Фа:IDIIОЙ ПЛОСКООТИ, соответствующая минимуму потенциальной
8J10рrи.
(1.5.5)
q2 S dФ' .
2ё == h  """7 q dq.
dq
(1.5.6)
J lид фазовых траекторий мы сможем установить, есJП! наи буде
андпна Зависимость Ф, от i == q. 3адаваяСI> по Дрейфусу Bыра*
тuпием ..,
Ф(i) А arctg(ai)+ Bai,
( 1.5.7)
rдо А, В и а  соответствующие константы (а == nlS, ---: ЧИCJI"
питков тока, пронизываемых маrнитным потоком Ф при сечеwш
БИТI\ОВ, равном S), получим .
dФ А4 
+Ва
ае 1 + ';l2i 2 J
S dФ . d . A  S t а, + B  S . d .
сп    а 1 + ii"i2 а  t
S dФ . d . А 1 (1  2 ' 2) Ва : 2
СП t== 24 n .+а& +2'"&.

в8 rл. 1. IЮНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ С ОДНОй СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
.
Отсюда находим уравнение фазовых траекторий в виде
 ln(1 + '2 ) + Ва '2 + ..!.. 2 h
24 al 2& 2c q ==.
Оно опиСывает семейство кривых, окружающих особую то
типа центр, причем сами кривые близки к эллипсам при ма;
h (малых значениях ХЕЕ q И У ЕЕ q ЕЕ i) (рис. 1.16).
ДJIЯ оrранИченноrо интервала 
чений i == q можно аППРОКСИМИРОЕ
кривую намаrничиваиия пол,иномом,
держащим Heeтныe степени tj. Е
в процессе изучаемых движеиий 
чение тока не заходит далеко вобла
насыщения, o допустимо в качес
простейшей аппроксимации испот
вать выражение
Ф(i)== Lo(i  Ti'},
у
Рис. t.t6. Фазовыи портреl'
80втура без затухания с
катуткой ИНДУКТИВНОСТИ с
ферромarнитны)( серде'lНИ
ком ПрИ аппроксимации за
8RСIIМОСТИ мarнитноrо ПО--
tOKa от тока по Дрейфусу
(1.
11.f
:с rде "(  1, Lo  индуктивность.
В этом случае (в пределах выбр
Horo интервала значений i) dФ/ d
== Lo  3"( Loi 2 , И эта величина на:
вается .м8пoвeппЬZ/.t 8пачепuем ипд
тивпости. Тоrда
S ; i di == S Loi di  S 31'L o i 3 di ==
t L '2 3 L
=;= 2' 0&  4"1' I
'Уравнение семейства интеrральн
кривых имеет вид
. 3' t
Loq2  2'1' q 4 + c q2 == h, (1.5.
оно представляет собой также ypaВJ
ние семейства кривых, близких к :
.nипсам (особенно. в области малых значений h, т. е. в облас
малых q и q).
Для приближеиноrо КОJIИчественноrо рассмотрения зада
воспользуемся методом последовательных прибли»'tений. 'YpaВl
ние (1.5.2) при выбранной 'простейшей ilIОлиномиальной 8Il'ПрОК(
мации кривой намаrничивания записывается следующим образ(]
.. . f ... ..
q (Lo  3V L oq2) + с q == О, или q  31'q2q + roq == О, (1.5.j
rде ro: == 1/ LoC.
Пусть
q == Х == Х. + "!Х . + "(2х: + . . .;
(1.5.1

. 1.5. НОНТУР С ПEJТП1mЙ1=r ОЙ ИПДYRТИВНОСТЪЮ
39,
сн'раlIИЧlIВаясь первым приближением, положим q == Х == Хо + 'YXI'
Вводя поправку к частоте, оБУCJIовленпую нелинейностью, в виде
002 == oo + ур, (1.5.13)
II<,репиmем уравнение (1.5.11):
хо + 'УХI  3'У (жо + 1ЖI) 2 (Хо + 1XI) + (002  1Р) (Хо + "(Ха) == о.
]т ренебреrая членами, содержащими "( в степени выше первой.
IIOЛУЧИМ
жо + оо 2 хо + 'У(ХI + оо 2 ХI  рхо  3жiо) == о.
'у равнение пулевоrо приближения имеет вид
ХО + оо2хо == о.
F:ro решением Хо при начальных условиях t == О, Х == а, ж == о
CJlУiКит ХО == а cos (oot). 'Уравнение первоrо приближеllllЯ 8аписы
IIОСТСЯ следующим образом:
ХI + оо 2 ХI == ра cos (oot)  3a 3 oo l sin 2 (oot) cos (oot) ,
или после триroнометрических преобразований;
;1 + оо 2 Хl == (ра   а З ОО 4 ) cos (rot) +  а З оо 4 cos (Зrot).
()1'rЮfi ив услопия равенство пулю СОНУJ!ярноrо члена находим
'IIIС'l'ОТПУЮ попраll1,У ра  1/. а З(,). """ О, а для частоты колебаний ф
IIOJIY'IIIOM Yl'IIIIJIOIJ110 (,)',1 ... (I) + 3/ 4уа 2 ю 4 . С точностью до членов п<r
'IJIДIНI "( ИМО(1М ДЛН lIСНОМОЙ частоты выражение :
ro2 == oo (1 +  ya2OO). (1.5.14)
с Y'IPTOM этой поправки получаем уравнение первоrо приблиа<еИИJI,
, '
.. 3
Х 1 + оо 2 Хl == 4' а З оо 4 cos (3rot).
1<:1'0 (1 (1 ШСНПIO М служит
;r I ... С I СО8 (ше) + С Э sin (юt)  ;2 а 3 оо 2 cos (3юt).
JТOJllloe рошопио системы записывается в виде
х == а cos (oot) + уС 1 cos (<Ot) + УС э sin (rot)  ;2 уа З оо 2 cos (3rot).
Нримоняя те же начальные условия, получим С 1 == 3/ зzа lю'.
(.' == о и ОIюнчательно для искомоrо решения находим
q == х == а (1 + ;2 ya 2 r02) cos (oot)  ;2 уаЗ 002 cos (3rot). (1.5.15),

40 rл. {. RОНСЕРВАТйВНЫЕ СИСТЕМЫ С одной t;'l'1ШJW.b Ю СВОБОДЫ
ТаЮIИ образом, й здесь мы получаеw качественно те же \
бенности движения, что и в случаях, разобранных выше. Pa
чие про является лишь в соотношениях между амплитудами Н]
1p.Ix rармонических Rомпонент, их зависимости от параме1
системы и в друrой частотной поправке, причем здесь чаС1
в:айдеННОrQ ,решения, так же как и для контура с сеrнеТОЭJlеК1
ном, увелИчивается с ростом амплитуды. Это связано с тем,
ВRчение эффективноrо 'коэффициента самоиндукции в дан]
примере, так же как и эффективное значение емкости кондеI
тора с сеrнетоэлектриком, для больших, ам:плитуд меньше, ,
для малЫХ амплитуд. .
Укажем еще на друroй способ трактовки той же задачи. 3]
реальную кривую на;маrничивания (i), можно проаналииров
поведение системы, исходя из соответствующей той же к
ВОЙ -зависимости
i==q>(Ф).
(1.5.'
Уравнение системы
dФ + ..!. s .dt==О
dt с  ,
d 2 ф {.
или +==o
dt 2 с
в данном: мучае можно записать так:
а 2 ф +.!. q> ((1)) == О.
dt 2 С 
(1.5.
Иными словами, эта задача по отношению к маI'1lИТНОИУ пото
нак основной переменной оказывается совершенно аналоrичв
разобранной выше задаче о простейшей консервативной систе
с нелинейиой возвращающей силой (контур с сеrнетоэлеКТI
кои). В этом случае нелинейную зависимость тока i от потока
также можно изобразить в виде кубической параболы
i ==' 1 (Ф + "r'оФ3). (1.5/
о
Такое преобразование леrко представить себе rpафически, ес.
На rpафике рис. 1.14 поменять местами оси. координат. Tor
уравнение свободных колебаний в рассматриваемом электрю
сном контуре с нелииейной индуктивностью запишется так:
а 2 ф t
""""""2 + L C (Ф + "r' оФ3) == о.
dt о
Вводя х == Ф/Ф о , 00: == 1/L o C, l' == ooot, получим
i + х + "{х 3 == О, (1.5.21
rде "r' == "r'оФ:. Отсюда находим уравнение фазовых траекторий д;
(1.5.1

51.5. НОНТ17Р С ПЕЛИНЕйноа ИRДYRтивностью
41
lIеремевных у == х и х
ау   Ж+1:11 3
dж  У
(1.5.21)
:Iамечаем, что особая точ:ка типа центр находится в начале :коор.
динат, т. е. при х == О, У == О. Семейство изоклин запишется в виде
1
у ==  k; (х + ух 3 ). (1.5.22)
Мы видим, ЧТО это уравнение семейства изо:клин :качеСТВ8:нВо сов.
падает (с точВоот:Ьюдо значения :козффициента 1) с уравнением
изоклин (1.4.14) для зле:ктричес:коI'О :колебательноI'О :контура
с неливейныи кондеllатором с сеrнетозле:ктрИROМ. Позтому фазо--
IIЫЙ портрет свободных .:колебаВJlЙ; MaI']JIJlHOI'O пото:ка в :контура
с неливейвой индук'lиБносты() авцоrичеп фаоВ()му пор'tрету СВ()1о
бодных :колебаний заряда в :контуре с нелинейвым :конд6.н.сатор<)К.;
ноказанному на рис. 1.12, а при равенст:ве коэффициентов им...
пеиности оба портрета совпадают дру!' с дpyroM. ..' .,
Аппроксимация зависимости i от Ф производится С ПОIIОЩЬJQ
нолинома с большей .точностью и в большем интеРJlме значеииi
l и Ф при той же высшей степени полииока, чем в случае Вав....
симости Ф от i.
Такой прием получения более удобных соотношений для опи
сания той же системы посредством соответствующеro выбора
основной переменной мы используем и в дальнейшем при аНаР.
ас вынужденных :колебании, и eI'o следует иметь в виду при 00':'
ставлепии уравнений, описывающих исследуемые систекы.
.
,.'

rЛАВА 2
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В диссипАтивных колЕБАтЕлъных СИСТЕМAJ
С ОДНОй. СТ RПRПЪ Ю СВОБОДЫ
* 2.1. Освоввые особеввоств: KoJJooaTeDыIьIx процоооов
в диссип8тивIIых сиете_ах . методы их рассмотреии.
Как кы уже О'l'кечaJШ (ск. i {.1), в peaJIъRых системаХ B
npoисходит рассеяние энерrии, ее потери, ее уход из систеКЕ
ШК следствие этоro, уиеиьшение общеro запаса колебатель
ааерrии. Процесс рассеяния  диссипации энерrии и уменьше
ее общеro запаса присущ всем реальным системам, ие содер
щим устройств, пополняющих эту убыль энерrИИ. Поэтому
»праве ожидать, что учет npоцесса уменьшения исходноrо заn
колебательной энерrИИ позволит нам получить решения, пол
описывающие реальные движения, чем при рассмотрении КОН(
. вативпыx систем. Можно указать на множество характерис
1tOJlебательных процессов, которые обусловлены наличием в
стеке потерь энерrии, происходящих по определенному зак
и являющихся существенными как для JIИнейных, так и для
еЙRbl:Х систем. R числу проблем, требуюЩих для све
решения учета диссипации, относятся, например, оценка p
напСНой амплитуды в линейной системе или в системе с ма
велинейностью, общий вид устаНОВИБшеrося движения при на
чии вынуждающей силы, закон изменения во времени амплит
свободных колебаний, устойчивость различных состояний и
На пере численные выше вопросы и ряд друrих теория коне
вативных колебательных систем принципиально не может Д
ответа. Учитывая зто, в каждом случае следует заранее оцею
приroдна ли в анной конкретной задаче консервативная идеа
зация. Совершенно естественно, что учет диссипации неизбе;з
серьезно усложняет анализ и если можно получить ответы
интересующие нас вопросы в рамках консервативной трактов
'1'0 целесообразно зтим воспользоваться. Что же касается р!
общих свойств системы, обладающей затуханием, то выводы, с
 ланные из анализа идеализированных консервативRых сист
KoryT оказаться принципиально неверными, так как MejJ
i консервативными и диссипативными системами имеется прин:
,ПИаJIЪное физическое различие, вытекающее из различноro по
деиия энерrии в тех и друrиx системах. И если на до ста то'
калок интервале времени эти различия MOryT ПРОЯБляться веСI
слабо, то всеrда по истечении достаточно большоrо прокежу

112.1. ОСОБЕННОСТИ RОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЩ:ССОВ
43,
hр()мени от начала процесса движене в реальной дисси:цаТИВ\lОЙ
C'.lIcTeMe будет уже и количественно, 11 качественно ОТJIИчатьсц;
Clт движения в идеализированной КЩlсервативной системе.
Так, свободные колебания в системе ,без затухания должны
существовать неоrpаниченно доЛI'О и их аМШlитула должна цели".
IЮМ определяться начальными условиями, тоrда как в диссипа
"Irвной системе всеrда можно указать такой Rовечныii интервал
"ремени, по истечении KOTOpOI'O амплитуда движения при лroбых
rюальных начальных условиях будет меньше любой наперед з;
данной величины.
С этим связано то обстоятельство, что сами по себе диссипа
тивные колебательные системы, не содержащие источнИRОВ энер.
I'IIЯ, имеют только одно стационарное состояние: покой. В самок,
доле, любые начальные условия, люБQЙ исходный запас энерrии
СJlУЖИТ исходщ>й причиной, вызываJQщей начадо затуханил CIJQ.
бодных колебаний, которые через достаточно большой прокеatJ
то" времени n реальных системах пре:кратятся :цлit в слуЧае'
ИI\()аляз:ированных законов дисщшащш, например, лщrейвое тp,.
IJИ(), их амплитуды станут меньше любых наперед задацных Ma
. .' I
пых величин.
В математическом описаНии автономных консервативвьц. tи..
c:r()M мы встречаемся с ивтеrpалом типа
Ф (х, у) -== h, у === Х,
служащим матемаТИЧ()СКJJМ пыраil\опием условия постоянства З/i
lIaca энерI'ИlI ДIIЮIНJIIИЯ системы с одной степенью свобо,,\
В JlрОСТОЙШОМ случае у2/2 + v (х) -== h, rде, :как уназывал.ось BЫ
ше, V (х)  потенциальная фующия, выражающая в определен';'
110М масштабе потенциальную 8нерrию системы. .;
в не консервативной системе Ф(х, у)-== W(t), rде dW/dt + O
:1д()сь функция W(t) хараRтеризует bl.I'Иовенное значение запЩ
lюлебательной энерrии в системе. В подобном виде )(bl :иоже
ааписать общее условие Н&Rонсервативности системы; следуе-r
добавить, что если хотя бы ДJtЯ сколь уrодно малоI'О промеЖУТRа
времени I1t в рассматриваемом интервале времени dW/dt.p. О, тО,
;шачит, для данноI'О интервала времени система не :КOHcepBa
тявна, причем может оказаться, что на отдельных интервалаз;
времени dW I dt -== О и в этих временных пределах систему МОЖВQ
тра:ктовать RaK консервативную, для которой dW/dt == О. ,
в диссипативной <щстеме всеrда dW/dt < О, что физичоокЦ
соответствует наличию потерь, 'привоДJПЦИХ R непрерывно
уменьшению запаса энерrии, связанной с изучаемъrи движецей.
Обозначим С:КОРОСТЪ диссипщхии новой фymщией F (х, у) ,=,
-== dW/dt. В диссипативных системах всеrда въiполняеТСJl-'УСЛG-
nие Р(х, у» О. в реальных случаях 8та фymЩия ВЫражает мощ":
ность 1I0терь  мощность, рассеиваемyIQ на диссипатИБНЫХ эл&-:
ментах Rоле9ателъной систе. .

44
rJI. 2. RОJIEБАНИЛ В ДИССИПАТИВнЫх СИСтЕмАХ
Для простеЙIirей системы, в которой движение описыВl
эверreтическии уравнением
yZ/2+ У(х)== W(t),
a:erкo пOJIYЧ.И1'Ь уравнение для действующих в ней сил
а' ( t )
iU .2.. у2.+ У(х)  , у),
.
IIC
V (х) == ......, S пх) dx t
о
... 1 
У  f(x) + 1i F(X1 у) == о;
'  <:iv .
T  i:t'l d+
здесь, как и раньше,
дe f(x) возвращающая СИJIа. Выражение (1Jy)F(x, j
....  (fly) dw I dt дает силу трения, которая в ра3JIИЧНЫХ сиете
арактеризуется той или иной зависимостью от состояния ;
евия системы. .
, Заметим, что вЫражение для СИJIы трения (f/y)F (х, у) до
:Во обращаться в нуль при у == о, т. е. в отсутствие движения.
en:едУет из физических wображений,. а именно из тoro, tn'o с
!рения и потери MOryT иметь место лишь при наличии движе:
в системе (у =F О). Отсюда следУет, что в. ФУВlщию F(x, у) ш
менная у должна входить в степени, большей первой.
'Учитывая обязательное, ДJlЯ диссипаТивных систем УCЗIО
F(x, у» О, иы прихоДИ)( к Bывду,' что выражение (tJy)F(x,
o быть знакопереиеllВЬПd и' прив:икатьзнак, совпадаюn
со знаком у, '1'. е. 00 знаком СR6рости; движения в системе]
,Ька в электрическом :контуре. '. . . . .
< Для мноrих диссипатИБНЫХ систем СИJIа трения зависит то
1\О.ОТ сКорости (ИJI]{ сиJIы тока) и не зависит от координаты (
ряда), однако характер этой зависимости может бытьразличв
:8 "в'il.Бисимости от свойств системы и УCJIовий, в которых соверI
етея изучаемое движение. '
, СИJlа трения" не зависящая от МО ля СКО сти И связаю
.1mmь с ее знаком, носит названи с хаю r епия Этот идеали
роваlUlblй: тип трения ПОЗВOJlЯет понять существенные особеm
СТИ процессов, IфОИСХОДЯЩИХ в ряде реальных механических 4
тeM, но ему нельзя найт:u: аналоrа среди процесоов, реализ
tцихся в простых электриЧеских колебатеJIЬв:Ых цепях. ИдеЬи:
:ровавная характеристика cyxoro трения имеет вид, изображеВИJ
йа рис. 2.f, причем' (tJy),F{x, у) == а, rде а> О при у> О, а <
При у < О.
. Эдесь характерно наличие разрыва непрерывности в BырнH
вин wrя силы трения в точКе у'" о; в ацпроксимацию peU:ЬH
физической зависимости силы трения от СROрости необход:u::
вводить ROнечв:ыi разрыв непрерьmноот:u:, и.п:u: скачок. &тестш:
irO, удобно рассматривать отде.пьные этапы двиЖеJЩЯ в систЮо
на которых ВЫJПОJПШются разIlыe вАКОВЫ диооипaци:u:. . .

5 2.1. ОСОБЕННОСТИ RОЛЕБАТЕЛЫlьtt ПРОЦЕССОВ
45
 (; необходимостью раздельноro раССJ40трения этапов движения
... СТОЛlшемся также и в тех случаях, к6rда сила трепя( сonро-.
..деlIИЯ) выражается степенной фушщией скорости с четиыи
IОJ(I\:tателем степени, например в случае так называемоro «КБад
.ТИ1Jноrо) трения (1/у)Р(х, у)== буZ, rде б> О при у> О, {, < о
Iри у < О. в этом случае сила
'fIIС!IIИЯ при У == О скачка не ис
IIытывает.
При наличии скачкообраз
8oro изменения силы трения в
tочнс у == о удобно разбить всю
'.ДО '1у О собственных колеба
.иях в диссипативной системе
.. два этапа: первый COOTBeT
ОТllует одному знаку трения,
.ТОРОЙ  дpyroмy. Эти этапы
II}," свободных колебаниЯх по-- Рис. 2.1. Характеристика cyxoro тре-о
Оlюредно сменяют один друrой, JПIЯ
. изучение Bcero движения в
Ц(lJ[ОМ требует раздельноrо анализа обоих этапов с соответствую 
щим: сшиванием полученных решений.
.Линейная зависимость сильi трения от скорости наиболее со-
IIfJOстранена в механичеСRИХ системах и описывает вязкое т евив
n мохаПИRе при нсболт.mих СI\ОрОС'l'ЯХ.
В ОТОМ CJIY'lllO сило 'rреUИfl раппа (1/y)F(x, у)== бу, т. е.
'" (х, у)'" бу' и б> О при любых у. В электрических цепях CИJlа
ТI10""1I COOTnOTCTIIYOT П8ПРЯШОНИЮ, возникающему на ооычlloи
ПИIIОЙIfОМ СОII(ЮТИDJlеuии, и поэтому она выражается в видеНt;
Т, е. n нnших обозначениях бу. Соответственно Ri z равно мощНо.'
СТII потерь (мощности, выделяемой на сопротивлении).
Для «кубическоrо>} трения имеем (fly)F (х, у) == б у 3. Этот за
lЮН трения, встречающийся в механике больших скоростей, сПра
IIОДЛИВ также для электрических систем с нелинейным ДиссИnа
ТII впым элементом, причем часто встречается комбинация линей
1101'0 и кубическоrо трения.
В случаях, коrда степенная фУНRЦИЯ, аппроксимирующая за
nисимость силы трения от СRОрОСТИ, содершит лишь нечетные
степени, весь диапазон возможных Изменений исследуемых веJIИ
чин dписывается одним выражением с коэффициентами, оБIЦJrИИ
для всей области значений переменных, и поэтому решение для
свободных колебаний rодится без модификации для всех знаtnr
пиЙ х и у.
Для исследования движений внелинейных диссипаmных.
системах, а также в консервативных системах, можно применятъ
различные качественs:ые и количественные методы. Однако не
псе они, приrодные для анализ-а движений в Rонсервативиых си
стемах, MOryT без дополнительных OroBOpOK или модификаций
1
уН:с,у)
+а
!/
a

46
rл. 2. RОЛЕБАНИЛ в ДИССИПАТИВных. СИСТЕМАХ
.
быть использованы для анализа ДИссипативпых систем. При р
смотрении свободных Rолебаний метод фазовой плоскости оста
Ся полностью приroдным И для это1'О нласса задач, приводя ли
К ббльшему разнообразию типов особых точек и фазовых тра,
торий. Так, например, в фазовых портретах колебаний в диCt
пативных системах мы уже не встретимся с особыми точна
типа центр, но зато MOryT появиться особые ТОЧRИ типа фоF
ИJlИ узел, в которые СТЯ1'иваются все фазовые траектории, р.
положенные в определенной области вокру1' этих особых ТОЧI
В фазовых портретах ДИссипативных колебательных систем I
встречаемся со СХОДЯЩИмися траекториями колебательнх (
стем вместо совокупности замкнутых траекторий, окружающ
особые точки, соответствующие устойчивым положенияи раю:
весил. Так же как и при рассмотрении поведения консервативю
колебательных систем с помощью фазовой плоскости, построеи
самих фазовых траекторий для диссипатИБНЫХ систем может ПII
изводиться или посредством построения аналитически найденно
,ешения уравнений фазовых траекторий, или с ИСПOJlьзованИ(
известных приближенных 1'рафических и авалитичесRИ.X методс
Отмеченные выше существенные особенности диссипатИБНЬ
систем, занлючающиеся в том, что любые свободные Rолебаю
в системе, предоставленной самой себе, неизбежно затухают, пр:
водя:т к тому, что для количественно1'О рассмотрения свободнь
колебаний с учетом потерь нельзя без существенных o1'oвopc:
пользоваться методом последоват.еJlЬНЫХ приближений, в которс
за нулевое приближение прпнимается 1'армоническое движени
Данный метод может прииеняться лишь для оrpаничепных вр'
MeHHbIX интервалов в случае достаточной малости затухани;
и поэтому e1'o использование с подобными О1'оворками существе]
во снижает e1'o практическую ценность. Это заставляет нас в ТЕ
случаях, коrда не удается найти прямое и точное решение диq
феревциально1'О уравнения, описывающеro систему, искать друп
пути нахождения приближенно1'О решения, учитывающе1'О спеЦl
фику нелинейвых диссипативных систем и ПРИ1'одно1'О для люСХ
1'0 интервала времени. Из возможных методов нахождения ПрJ!
ближенноro решения следует в первую очередь указать на мето
поэтапно1'О рассмотрения и, в частности, на кусочнолинейвы
метод, а также на метод медленно меняющихся амПЛИТУД. K
сочнолинейный метод, приroдный для любых типов трения :
нелив:ейиости, основывается на замене обще1'О рассмотрения дви
жения всей системы в целом решением ряда линейных задач 
уравнений, приближенно описывающих различные этапы движе
ния системы, на которых ее можно считать более или мене,
лив:ейвой. Так как любую нелинеЙRyЮ характеристику с требуе
мой степенью точности можно представить как совокупность пря
мoшIиейRых отрезков, а решение линейной задачи все1'да можи.
Довести до аналитическоro конца, то в результате мы. получш

g 2.1. ОСОВElПtости RоЛЕвА'т:Ельных ПРОЦЕССОВ
47
4h ' JUble решения серии идеализированных линеаризоваRНЫx за
....... Эти решения далее надо сшить для приближенноrо описания
'tC\Щ'О процесса в системе В целом при заданных начаш.ных
ft\JJO IIИЯХ. .
: )тот метод принципиально прост и дает хорошие результаты,
"О обычно rромоздок и страдает отсутствием общности, так как
tplI()yeT последовательноrо сшивания решения ДJlЯ каЖдоrо этапа
. IlOследующим, начиная с этапа, характеризующеroм выбран
lloIМИ начальными условиями. Безусловное ero преимущеётво co
'ТОИТ в том, что он приrоден для любых систем с любыми xapaK
с "ристиками трения и пелинейности консервативных <ИJIИ, как их
аJlИ"ЯТО называть, реактивных элементов и не требует аналити
'НJСIШЙ аппроксй:мации этих зав.иСИlМостей, а МОЖЕ!"Т с успехом:
IIрименяться при наличии rрафическоrо изображения COOTBeT
еТIIУЮЩИХ характеристик.
Метод медлеnно меняющихся амплитуд тшяется весьма мощ
8ьш средством анализа движений в иселедуемых системах, обла
ДIЮТ большой общностью, может давать' непрерывное решениi:t
AJI JI любых BpeMeHHbIX интервалов и позволяет изучать общие
t'Jlойства движений, процессы установления и С'I'ацИ.'онарпые pe
ЖИМЫ, но в полной мере применим лишь к оrpаниченному (прав
1\11. широкому и весьма важному) массу колебательных систем,
" "менно к системам с малой диссипацией и малой нелиней
I'IOCTI.тo, D ноторых }ЮJЮ()I\IIПН мало ОТJlичаЮтсл от rармоничесRИХ.
Н даЛЫН1iiШ(IМ MI.I 1111 рJlДВ IIримtllЮII разберем особенности
II'I'JII'O ИОТОДtt 1I 1100JlllllioMIJMCJI С tlУТJlМИ Ы'О применения к pepIe
11111(1 I(OIШР"ТIII,IХ 1i00IР()IIТI'JIЫII,IХ задач, а таJ\же выясним возмож
_ост.. И цепnсообраЗllОСТЬ использования в различнщх CJIyЧ1iJI.X
и ДРУI'ИХ методов.
( :лодует отметить, что уравнения, описывающие поведение
"JJeTeMbI с малой диссипацией, но с существенной нелинеiвостью
IJI'/lliтипноrо элемента, можно привести к уравнениям, мало iТ?rи
'IIIIOЩИМСЯ от уравнений линейных J\онсервативных систем, путем
lIорсхода к новым переменным, для ноторых ОТJ\ЛИК сильно нели
llOЙноrо реаJ\тивноrо элемента будет описываться линейным COOT
1I0ll!ением. При этом исходное уравнение
2t + f (х) == p (х,  ),.
rдс Нх)  существенно нелинейная фуНIЩИЯ, а   малая веJIИ
'!Ина, переходит в уравнение
, , d 2 Xl. ( dXl )
' di" + 1 == Fl .1' d'f . ,
IIричем между t и '1: И Х и Xt можно установить ОДRозначное
соответс.твие и найти аналитиче({КiIе :выражения, связывающие Х
с Х1'И' tc''I:. \

48
rл. 2. RОЛЕБАНил В ДИССИПАТИВНЫХ СИG!ЕМАХ
. к преобразованноldY уравнению ,прИм:ецим метод медлен
меняющихся амплитуд; (ММА) . Метод нелиНеiЦI:оrо преобразО!
J!ИЯ персменных расШиряет область применения ММА на сис
мы, близкие к нелинейным консервативным. Таким образом, ф(
мально этим. методом можно воспользоваться и для анали
истем с бощ.mой нелинейностью (пра малой диссипации) п
соотщ!тствующем нелинейном преобразовании переменных =1').
При анализе конкретной задачи необходимо задаваться Е
Rойлибо аналитической или rрафической аппроксимацией реал
ных нелинейных зависимостей, т. е. переходитъ к раССМQТРЩП
системы, прибдиженно передающей свойетва реальной систем
ааатем искать точное иди приближенное, качественное или R
lIичественное реmение соответствующей математически сформ
лированной задачи.
От искусства выбора вида аппроксимации реальных нелине
ных зависимостей, от пути идеализации и метода решения зав:
сит сложным или простым путем будет найдено решение задач
будет ли это решение содержать ответ на все постаБJIенные во)
росы о свойствах исследуемой реальной системы, не приведет .IJ
нас анализ неудачно идеализированной системы к неправилъны
выводам о свойствах реальной системы и, наконец, в каких Прl
делах полученное решение будет правильно описывать дейстВJ
льные' процессы.
f 2.2. Качествевиое раССМO'I'ревие свободIIых колебаний
в диссипативных системах при ра3JIИ1ПlЫX зatКОВ8Х 'l'peRИJI
Рассмотрим с помощью представления движения на фазово
плоскости несколько характерных примеров диссипативных НЕ
линейных колебательных систем с LfНОЙ степенью с вободы с pa
JlИЧНыми законами трения. )(Oe. "тре."ннц.
Ф Начнем со случая, коrда в системе, обладающей JПШейныи:
реактивными элементами, трение описывается идеаJIИЗпрОВ8ННЪn
законом cyxoro трения. В этом случае, как указывалось ВЫПIЕ
ФУНIЩИЯ диссипации имеет вид F(y)== ау; а> О при у> о ]
а < О при у < О. Зависимость силы трения от скорости была по
казана на рис. 2.1. Для простейшей системы с одной степенЫ!
свободы при линейности инерциоJшых и упрyrих сил мы може)
записать уравнение, описывающее ДВИЖение в подобной системе
в виде f+f,c-(fСх)#О , {(x.)-= o2-f
.. t
Х + а + О>о,х .... О. (2.2.1
Это линейное уравнение справедливо для всех значений х, Ж, прJ
*) Этот кетод описав дeT8.1IЬHO в ковоrpафии: Cooй.w К. А. Мето)
аиапиаа колебательвых систек BТOpOro ПQl)JlДКа. М.: Сов. радио, {976.

!i 2,2. СИСТЕМЫ ПРИ РАЗли.ч:ных 3AROHAX ТРЕНИЛ -!S)
'Ю'IОРЫХ а остается постоянным, т. е. в областях постоIЩЩ'В
1I/1111(а i == у. .
Для всей совокупности отрицательных и положительных зна
'IIIIJИЙ у уравнение (2.2.1) нелинейно, так 1\ак при проходе :i == у
'С1\рез значение у == о а изменяется скачком от .+ао до a Jf
o(ipaTHo. Поэтому для изображщmя соответствующих движений
1111 фазовой ПЛОСКОСТИ необходи:ио отдельно ПОСТрОI!ТЬ фазовые
траектории для у > о и для у < О, а затем сшить их в точках
11 ос О для получения непрерывных фазовых траекторий на всей
ФII;ЮВОЙ плоскости. В самом деле, система изучаемоrо типа при
IIIIЛИЧИИ инерционных и упруrих сил, т. е.
" резервуарами :кинетической и потенци
IIJ/i>RОЙ энерrий, может совершать лишь
nопрерывные движения, допускает лишь
lf(Jпрерывные изменения координаты и
f,НОРОСТИ, а, слеовательно, ее фазовый
lJортрет обладает только непрерывиыми
фазовыми траекториями. разрыБы непре
JlЫПНОСТИ в значениях координаты или
rliOРОСТИ и наЛJl1Ще конечных скачкоо
)11I:\нЫХ изменений этих величин означaJЦt
"ы скачкообразное изменение потевциалъ
lJoi-i или ки:в:етической энерrиi, что соответствовало бы физ:ичесRИ
I'1l1ссмысленному MrHoBeHHoMY выделению или поrлощению беско
IJ(\IIПОЙ мощности.
Простейшая механическая модель подобной системы с сухим
"I'опием может иметь вид, изображенный на рис. 2.2, rде касса т
ШiОЛЬЗИТ по сухой поверхности, совершая колебания за счет ивер.
'I11f самой массы и ynруroсти пруживы. Для электричеС1\ОЙ и
I\TtJMbl соэдать простой аналоr cyxoro трения не представляетсл
JЮ:lМОЖНЫМ, и мы В данном случае, характерном для прииененил
мотода Jiинейноrо поэтаnноrо рассмотрения, оrpаничИМ:ся указаи
IIЫМ механичес:ким примером.
Для различных этапов движения получим уравнения
.:с
Рис. 2.2. Модель. Kexuit i
'lесRОЙ копебa-rвш.иot
систеиы с C'JIOD[ тре.-
ниек
;. + ФХ """  а о для у> О,
; + оо:х.. + а о ДЛЯ у< О.
(2.2.2)
п ростыми подстаНОВI\ами Х -= x 1  aol(J) для у > о ИХ == Х 2 + aJФ:
для у < о находим уравнение, общее для обоих знаков у:
.. s ,
xl.1 + (J)OX1. 1 == О.
(2.2.3)
ФаЗ0вые траентории, соответствующие этому уравнеИИlO, пред
стаБJlJllOТ собой эллипсы с центрами соответственио при Х!. а == О.
4 в. в. ИIIr1тm . АР.

50
rл. 2. КОЛЕБАНИЯ В ,цИССИПАТИВIIblX'СИСТЕМАХ
Для построения фазовых траекторий, описываемых уравнением
dy 1.2 2 %1.2
 d ===  ro о . (2.2.4)
%1,2 'l.2
можно либо использовать прямое ивтеrpирование уравнеНИ!l
(2.2.3) и поn:yчить интеrральвые траектории, либо прииенитъ, на-
пример, метод ИЗОRJlИн. СемеЙСТВОИЗОRJIИН в верхней полynло-
CRости (у> О) представn:яет собоЙ прямые у ===  (1/kt) (а о +roх)"
пррходящие через особую ТОЧ'Rу типа центр с координа
тами у === О, x==aolro. В нижней поn:yuлоскости (у < О) семей
Ство изоклин описывается уравнением
у== + k 1 . (а о  roх). (2.2.5)

а соответствуюЩие этому уравнению прямые проходят через
особую точку. типа. центр с координатами у == О, х == aolro:. При
построении полвоro фазовоro портрета сйстеиы мы должны вы-
полнить соответствующее построение ДJIЯ Х1 (у> О) и дп:я Xs
(у < О), сомннув при У === О фазовые траектории верхней и нижней
ПOJIуплоскостей. В результате получаются фазовые траектории,
имеющие вид, показанный на рис. 2.3, на котором изображен фа-
Зовый портрет идеализированной системы.
Из этаro фазовоro портрета сразу виден основной характер
колебательных движений в данной системе, а именно затухание
!I 'нолебавий и прекращевие дви-
жения после конечвоro числ:а
колебаний (при заданвых на"-
чальных условиях  ОТRЛоне-
нии И начальной скорости). На-
! пример, одно таное движение
.х от начальнЫХ условий Х === Хо,
у == уо (ТОЧRа Р на фазово)[
портрете системы) изображено
более жирной кривой. Фазовый
портрет (рис. 2.3) показывает
нам таюке одно харантерное
свойство колебательнъrx систем
с сухим трением, а именно Ha
РиС., 2.3. Фазовый портрет системы личие зоны застоя; в самом де-
С сухим трением ле, прекращение движения
(у == О) может происходить при
ДЮ,бых значениях х в области  ао/ro:  х  + aolro:, откуда сле
1i,yeT, что при каRИХТО началвныx условиях система, будучи
дставлена самой себе, не обязательно придет к состоя;нию
поItоя В точке Х == О, У == О. Зона застоя тем больще, чем больше
трение в системе. . .
00
(1)2
а
ао
+
ц>2
о

62.2. СИСТЕМЫ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЗARОНАХ ТРЕНИЯ 51
Подобное явление хорошо известно в механических системах,.
и с :ним часто встречаются в измерительных приборах, rде коле.-
бательным элемеВ'I'ОМ служит подвижная,система прибора с опре--
делеlШОЙ массой, находяiцаяся под воздейютвием возвращающей
пруживы и вращающаяся на оси с подпятником без смазю(
Заметим еще, что смыкание (сшивание) фазовых траекторий при
у == О обеспечивает также непрерывность производпой dy/dx, т. е.
отсутствие изломов фазовой траектории, так как ДJIЯ у == О и в
нижяей, и в верхнец полуплоскостях dy/dx ==00, как медует из,
способа получения уравнения фазовых траекторий
dz dy Q dy Q (х, у) dy I ,
di' == У, di' == (х, у), dz == 11 I dz /IO == 00
независимо от вида фуП1ЩИИ Q(x , у), ешJП ТnП'f..RQ. она сама не
оБI>ащается 11 нуль 11 этой ТОЧRе. OH'ТЪtP С  \
m Случай линейноro трения, соответствующий ДЛЯ электриче.-
СlШх систем наличию постоянноrо омическоro сопротивления пр.
линейности консервативных параметров, хорошо изучен и, RaR
известно, приводит к линейному дифференциальному ypaвHe
типа
 + 26; + о):х == Of
(2.2.6)
откуда при у == 
у ==  2бу  o)Xy
dy
di==
2бу + 6)X
11
.
(2.2.7)
Подстановкой z == у/х последнее уравнение приводится к :виду
d Z s'J. + 2бs + 6)2
О .
dz ==  sz t
ero интеrрал леrко найти, и мы можем н/Шисать
ln[ з;S (z'J.. + 26z + o))] ==  arctg z  б + ln С:I
rде С  произвольная постоянная; 0)2 == o)  б 2 . Возвращаясь
к переменным х и у I перепишем это решение в виде
 ly2 + 2бху + O)xl == С ехр ( arctg ); . (2.2.8)
npи: ro: > lj'J. оно соответствует спиралям на фазовой плоскости,
описываемыы: уравнением
 р'" == cJ.exp(  ). 2.2:9)
При выводе (2.2.9) из (2.2.8) :мы воопоm.зовалисЪ обозначеНИJIМИ
у + 6х == и, и == р Bin 8, о)х== Р, 1) == Р сов 8. При 0): < б 2 получае
4.

52 'i'л. 2. RОЛЕВАНИЯ В ДИССИПАТИБньП. СИСТЕМАХ
кривые, описываеиые уРавнениеи
 ) у2 + 2дху + 0)IX2 == С ( у + (б  q) % ) "'11
О 1/ + (б + q) % ·
, .
rде q2 == б2  to:. Соответствующие этим двум случаям интеrpаль-
вые кривые изображены на рис. 2.4.
При б3 < O) иы имеем дело сзатухаюЩИ'Ми колебаниJDШ n-
нейноro осциллятора, фазовый портрет которых преДставляет c<r
бой совокупность опиралей, стяrивающихся 'Б . особую тоЧК'
'l'ИIПа фокус. Для 62 > O) С1roтеиа становится апериодическOl..
. на фазовой ПЛОСJ(ОСТИ движения изображаются ФазовЬUt:L
(2.2.9а
1:1
.х
\,.
(],
а
Рис. 2,4. Фазовый портрет :JШнейиой систеиы с затухаиием: м:еJП>ПIе (.
и больше (б) Критическоrо
траекториями, ииеющИIШ вид кривых, сходящихся в особув:
точку типа узел без обходов BOKpyr нее. В обоих случаях в дис--
сипативпых системах особые тоЧКИ (фокус и узел) устоЁ
чивы и соответствуют единственному положению равновесп
систеиы  состоянию покоя, к которому система приходит из ли-
бых начальных условий, при любом начальнои смещении ИЛУ
. I
скорости. "
Случай O) < о иожет реализоваться, если вместо во.звращак..
щей силы действует оттаJIIOlвающая. В этом: случае уравнение фа
зовых траекторий ииеет вид
, [у +(6 + О))х]t+б/"'[у +(6  О))х]tб/.. == С,
rде 0)2 == I 0): I + 62.
'Уравнение (2.2.10) соответствует сеиейству rипербол с аСИИI?
таии при С == О,
(2.2.10:
у ==  (6 :!:: Q) ) Х,
.Мы _ееи дело соеобой точкой типа седло.
(2:2:1(

!j 2.2. СИСТЕМЫ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЗARОНАХ ТРЕШШ 53
Отметим, что разобранные нами уравнения фазовых траекТ(}-
рий для линейной системы остаются оправедливыми и для неЛII
нейных систем в ближней Qкрестности особых точек, TaKRax ДJIJ[
такой системы в окрестности особой точки первоro порядка )(ОЖ
но записать разложение нелинейной функции в ряд по степеllJD(
уа.лы вариаций  и '1') по отношению к значениям, соответствую.-
щим координатам особой Т()ЧJ\И Х == Xi, У == О. Тоrдадля ypaBHe
вия х == f(x, у) в окрестности особой точки и:иеем
НХ, + S; О + 1]) == f (Xf, О) + : IXXi S + : 111==0 f} + ...
п ренебреrая высшими степенями малых вариаций  и '1') и учиты
вая, что j(Xi, О) == О, получим уравнение фазовых траекторий в ох.
реетности особой точки
411 a:i + 0:2 fJ
df== 1} " .
рассмотренное нами выше (см. с. 51). r}!A.9IiH к. . зroХЧI
.. в сисrеме, нелинейной за счет OДRoro из консервативRых па
раметров, на.личие линейнorо трения также ПрИБодит к качествен.
ному изменению фазовооо :портрета системы по сравнению с фазо-
БЫМ портретом подобной же системы в пренебрежепии затухапием:
(трением). При этом исчезают существовавшие в случае KOHcep
вативных систем особые точки типа центр и на их месте появля
ЮТСЯ особые ТОЧ1\И типа УСТОЙЧИDоrо фокуса или устойчщоо
уз.па;-'а вместо коцтинуума замкнутых фазовых траекторий воЗJiiи
Rают' свертывающиеся траектории, приводящие из любоrо м:eCT
фАзовой плоскости (при лmбом началыюм состоянии) к устойЧи
Bo}i .ообой точке  состоянию покоя. Наличие нелинейноro KOH
еерватИБНОro параметра в колебательной системе в первую
очередь сказывается на форме' фазовых траекторий, которые
в э:ro случае не являются лоrарифмическIOШ спирапmш на всей
фазqй плоскости, а переходит в них в окрестностях особой точ
:ки; TJlp:a фокус. Для иллюстрации можно привести фазовый порт
. рет маятника при учете линейноrо трения (рис. 2.5). Описываю
щее ero дифференциальное уравнение им(ют вид
; + 2б + (J) sin х == О.
(2.2.12)
в отличие от фазовоro портрета маятника без учета трения,
который был изображен ранее на рис. 1.4, здесь не поЯв.ля
ются убеrающие траектории, нет заикиутых траекторий и нет зак-
кцутых разделитеьпых J11Ший  сепаратрис. Все траектории из
любоЙ: точки ФаЗБВО,йплоскости стяrива:Ются к одной из :чек 
тойчивоrо положения равновесия  устоЙЧJIБЧМ: фокусам (х ....
а= 2пn, у == О). ЭТо означает, что ира на.лJl1Dl'Ипотерь СИСТelLа
в общек случае после хоне1ШООО числа оборотов (вращений:) R()OO

54
rл. 2. НОЛЕБАНИЯ в ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
пебательным путем придет R устойчивому состояниЮ paBHOBe
сия  покою, соответствующему нижнему положению массы Ma,
,lJТника относительно точки подвеса.
 Введение затухания, обусловленноro линейным трением, не
вносит в фазовые портреты новых особых точен, а лишь меняет
Характер уже существующих и ИСКJIючает возможность появления.
новых точек типа центр в фазовых портретах диссипативныx
систем.
\
\
\
\
\
\
\ I
V
Сwла
Рис. 2.5. Фазовый портрет маятника с затухаииеи
nPe.f.te.HHoe R.
Ф Наличие квадратичноrо трения при линейности КOHcepBa
тивных параметров нолебатепьной системы с одной степенью СВО--
боды приводит К следующему дифференциальному уравнению:,
; + б + rogx == О, (2.2.13)
rде б > О при у > О, б < О при у < О.
Этот случай соответствует электрическому колебательному
контуру, содержащему постоянные индуктивность и емкость,
а также сопротивление, которое пропорционально протекающему
по нему току.
"у равнение фазовых траекторий имеет вид
dy Ву' + oogz
dz ==  у (2.2.14)
!J !Jcтou'lUdbItl
!lCЫ
/'/'/'/ "
/' ./ "
J:
Вводя замену у2 == Z, проинтеrрируем это уравнение
фазовых траекторий получим уравнение
[ 00' ] 002
у2 == Cexp( 2бх) + 2В:  т Х ,
rде с  постоЯIШая интеrpировавия, определяемая,
иа начальных условий.
и тоща для
(2.2.15)
как обычно,

52.2. СИСТЕМЫ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЗАRОНАХ ТРEIЩЯ 55
Величина б скаЧRообразно меняется при прохождени:и значе
з:ия у через пуль, и поэтому в данной задаче, как и для случая
yxoro трения, надо рассматривать решения для у > о И у < о
I СТРОИТЬ отдельно фазовые траектории для верхней И нижнеi
золовив тазовой ПЛОСКОСТИ.
!!
у
х
а б
")ис. 2.6. Ивтеrpальные кривые системы с квадратИ'ШЫИ трением AЮI
б> О (а) и для 6 < О (6)
Для б > О интеrральные кривые описываются уравнением
у2 == [cexP( 2бх) +  ]   х. (2.2.15а)
Кривые, построенные для различных
lIый на рис. 2.6, а. Для б < О
[ 002 ] (1)2
у2 == С ехр (2бх) + 2б + -i х,
(2.2.156)
и соответствующие кривые изображе
вы на рис. 2.6, б. Так кан б > О при
11 > О,.а б < О при у 1< О, то для nOJIY
чения фазовоrо портрота систомы uооб
одимо использовать верхнюю полови
ву рис. 2.6, а и нижнюю половину
рис 2.6, б, которые в совокупности дa
АУт. фазовые траектории двиmн ис
cn:едУИОЙ СИС'l'е:м:е для всех 'возvож"
Выхзначений у. Этот фазовый портрет показан на рис. 2.7; из ero
раосмотрения мы опять можем сдеJ!ат :ьuюдо заТУЯl()Ще:к
характере происходяЩих в системе колебатепьвых движений,
приводящих незавцсИiМО от н-ачальноro состояния R устойчивой
особой ТОЧRе  СОСТОJШИЮ покоя системы (х == О, У == О).
С, имеют вид, покавaR
!I

х
Рис. 2.7. ФазовЫй портрет
систе с квaдpa
трением

56
rл. 2. RОЛЕБАНИЯ в ДИССИПАТИБНblX СИСТЕМАХ
Оrpаничивая Rачественное рассмотрение свободных Rолебаm
в линейных инелинейных диссипативныХ системах разобранньn
примерами, отметии, ч'!'о в более сложных случаях, оообенно ДJ
велинейных задач, целесообразно пользоваться методом ИЗОRЛИ
построение ЕОТОРЫХ позволяе'!' составить представление об ос но
ных чертах фазовоrо портрета исследуемой системы и, тем самы
о характере совершаемых ею движений. При этом, ЕаЕ уже YR
зывалось, в диссипатИБНЫХ системах мы. должны получить нез
висимо от начальных условий такие движения, Еоторые прив
дят систему R устойчивой оообой ТОЧRе  состоянию ПОRОЯ, Т.
R диссипации всей энерrии, связанной с изучаемым движениеJ
 2.3. Построение фазовых траекторий
свобо колебаний методом J[ьенара
ПознаRОМИМСЯ с возможностью приближенноrо rpафичеСRОI
построения фазовых траеRТОрИЙ диссипативной системы с одно
степенью свободы при помощи приема, развитоrо Льепаром. Этс
метод предложен для случая, Rоrда велинейные свойства систем:
определяются ИСRлючителъпо заRОНОМ зависимости силы трени
(или сопротивления) от СRОрОСТИ (или силы ТОЕа), причем сам
сила не зависит от независимой переменной (Rоордината или з
ряд). В таЕОМ случае уравнение движения имеет вид
. 1
У + p (у) + ООХ == о; (2.3.1
у
здесь возвращающая сила линейно связана с ОТЮIонениеJ
 f (х) == ООХ.
R уравнению аналоrичноrо типа :мы придем, рассматрива
элеRтричеСRИЙ ЕОНТУР с постоянными L и С и с сопротивление1t!
зависящим от ТОЕа. "Уравнение Rирхrофа для подобноro RОПТУР
(рис. 2.8) можно записать в виде
l
с
L  + ин (i) +  q == о;
(2.3.
RШ
ТIlR ЕIlR i == q, то, вводя ОО == 1/LCf, полyчJDI
ifq t ( dq ) I! О
 +  L ин  + OOoq ==. (2.3.2
dtl! dt
Рис. 2.8. Схема элеRТ
ричеСRОro Rоптура с
R(t)
Выберем соответствующий масштаб вре
кени, т. е. введем безразмерное врени
т == OOot. (2.3.4:
Torдa в этом ПОВОм масштабе
d d d" "d
tlt == fDO d-r f dt" .... 000 d",, "

52.3. ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИй МЕТОДОМ JIЪEВAPA 57
равнение движения может быть записано в виде
q + 1jJ ( q ) + q ,... о,
fJ + 1jJ(y)+ х == О,
a.JUI
(2.3.5),
(2.з.6}
цe q == х, q == у. Отсюда получаем
. dy
У == dz У ==  1jJ (у)  х или
:IYCTbHaM задан вид фymщии 1jJ (у),
dy   'Ф (у) + z
dz  у
(2.8.,18
I
изображенной rpафичесК8
'Ь
ф(YJ
::с
Юне. 2.9. I'pафик фУНlЩИИ 'Ф(у), про-
"IордвонаJlЬНОЙ напряжению на со-
противлении
Рис. 2.10. ПосТроение Лье вара
на фазовой ПJlOскоети
на рис. 2.9 (там же штриховой линией показан вид этой фупк-
"U:И дЛЯ случая поотолнноrо СОПРОТИ'БJIения). Рассмотрим шю-
"кость переменных х, у  фазовую плоскость наmей задачи. по-
.строим rрафик зависИlИОСТИ х == 1j1(y). Для любой точки фазом!
lШоскости Р(х, у) моЖ!1IОПОЛУЧИТЬ направление касательной к фа-
Зовой траектории, проводя перпенДИRYЛЯР к прлм()ii АР ""1'011
точку Р(х, у) (рис. 2.10). Наклон этой наrnТOJIыroij 111111011 dV/dx,
И так цак РВ == -ф(у) + х, АВ == у, ТО I1ЫРЮf(ОПIIО (:.!,:1,7) QOMIIIW1II-
e'r, что 'прямая АР перпеUДИНУЛНРl1fl 11 НflсаТ8J1ыюit 11 фЮlOlОЙ тра-
ентории 11 ТОЧI,О Р(х, у).
. Производя подобное lIОСТрООlIие ДJ1Н uосJ10доIlателыIстии ии
тересующих нас точек (начиная с 'l'ОЧl\И, характеризующей ис-
ходное состояние системы) и образуя на плоскости х, у достаточ-
ио ryстую, сетку (поле) направлений каса'l'ельных к фазовым:
раеК'l'Ор:ИЯМ, нетрудно построить искомую фазовую TPaeК'l'O  '
ос желаемой точностью. .
При приближенном построении фазовой Тр'аектории по Э'То ,
иетоду можно пriупать следующим образом. Определим с п
мощью описанноrо построения направление фазовой траектор
JJ исходной точке Р(хо, уо), соответcrвующей заданным нач .'

58
rл. 2. RОЛЕБАНИЯ В диссипАтиБных СИСТЕМАХ
выи условиям (Х е , уо). Заменяя на нооольmои интервале фазовую
траекторию о'l1pООНОИ дуrи окружности с центром в ТОЧRе А
и повторяя ту же операцию для конца этоro отреэНа дуrи с но-
вым MrHOBeHRЫM центром, определим новое направление касатеJlЬ
НОЙ.Н траентории. Продолжив подоБныe операции необходимое
'1исло раз, получим ломаную нривую линию, с необходимой TO'l
ностью воспроизводящую ход действительной фазовой траектории.
Для ДIreсиnативных систем, у ноторых знак 'Ф(У) обязательно-
совпадает со знаком у, нанлоны фазовых траеRТОрИЙ во всех TO'l
нах фазовой плоскости таковы, '1ТО сами траектории проходят-
внутрь окружности, которую можно провести '1ерез данную ТОЧRУ
с центром в начале Ноордиват. Это справеДЛ'ИБО для любой формы
фушщии ",(у) , определяющей характер зависимости потерь 0'1
состояния системы, при условии, что система остается диссипа.
тивной. Такая окружность являлась бы фазовой траекторией Ha
шей системы для ",(у) == о, т. е. в отсутствие затухания. Эти со--
ображения подтверждают заIOlЮ'lение о том, '1ТО В случае дисси
пативной системы фазовые траектории соответствуют более или
кенее быстрому уменьшению амплитуды нолебаний и имеют вид
спиралей или сходных с ними кривых, стяrивающихся в на'lало
коордива т (состояние покоя).
Следует подчеркнуть, что в изложенном методе Льенара, учи
Тывающем нелинейную зависимость силы трения от скорости
(или напряжению на сопротивлении от силы тока), нужно-
знать лишь ее rрафическое изображение, ,нотороеможет быть п<r
JIYчено и экспериментально. При этом построении,' очевидно, пет
иинаких существенных оrраничений на вид фукции потерь ",(у)
и ее MrHOBeHHoe значение, так '1то данный метод с одинаковым
успехом применим как к случаю малых, так и к случаю больших
потерь, а также R системам с большой и малой нелинейностью
в диссипативном элементе. Последнее обстоятельстло придает Me
тоду Льенара большую общность и позволяет с ero iIIОМОЩЬЮ
изучать колебательные свойства систем при изменении затухания
от малых до весьма больших значений и с учетом различных за
нонов трения (как линейноrо, так и существенно нелинейныx за
конов). Заметим, что метод Льенара широко используется для по
строений фазовых портретов автоколебательных систем с ,разным;и
законами нелинейности, а именно для нахождения устой'llIВЫХ
предельных циклов  замкнутых фазовых траекторий.
С помощью небольшоrо усложнения методики Льенара пред.
ставляется ВОЗМОЖным ПрО1I3JЗОДИТЬ также построение фазовых
траекторий для ьистемы, в которой кроме потерь, зависящих п
извольным, в том числе нелинейным, образом от скорости ( силы
тока), имеется еще инелинейная жеСТI\ОСТЬ (нелинейная ем-
кость). Пусть мы имеем электрический колебательный контур
с нелинейныM сопротивлением и конденсатором с сеrнетоэлектри.
ком. 'У'равнение, описывающее колебания в подобной системе,

52.3. ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРAERТОРИй МЕтодом ЛЬ1ШАРА 59
1-де ж == q"";" заряд на конденсаторе. Время измеряется в НОвом
масштабе 't == (i)ot, rде (i) == 1/LC o , а напряжение на емкости,
возн'икающее при сообщении этой емкости заряда q, равно
q 1
ис == С == с ер (q),
о
а 'Ф(q) попрежнеиу фушщия, характеризующая силу трения.
В СИlCтеме ROординат х и у == i построим: фунIЩИИ ер (ж) И
'Ф(у) (рис. 2.11). Для произволь У
.вой точки Р(х, у) найдем COOT
ветствующее значение ср(х) (точ
ха В) и отложим ero на оси абс..
;цисс в направлении к началу ко--
ординат от точки А до точки С
,(точки перооечения \Прямой ве с
рсью абсцисс под уrлом в 450).
Тоrда отрезок АС будет равен OT
резку АВ и, следовательно, ср (х).
Соединив далее точку С с точкой
Е, проведем прямую FD, парал
.лельную СЕ, и, тем самым, пере.
несем отрезок, ранный 'Ф(У), на
ось абсцисс и прибавим ero к OT
резку АС, равному ер (х). Отрезок
D будет равен ер (х) + '" (у). Tor
Да оче,видно, что прямая DP будет перпендикулярна к касатель.,.
вой к фаоовой траектории в точке Р(х, у), так как
dy   ", (у) + Ip (ж)
dж  у
Проводя подобное построение для интересующей нас пледо
вательности точек, мы можем построить с требуемоЙ точностью
и саму фазовую траекторию, так же как и в предыдущем случае.
Заметим, что это построение переходит в предыдущее для случая
линейной емкости, коrда С == СО и <р (х) == х.
В рассматриваемом случае нелинейной диссипативной системы
при нелинейной емкости фазовые траеRТОрИИ не обязательно во
веех точках направлены внутрь окружнооти, проходящей через
данную точку, с центром в начале координат. НО ЭТО не лишaGт
справедливости утверждения, что фазовые траектории для иесле:'
дуем ой системы при наличии потерь всеrда направлены Вn'утрь
тех замкнутых фазовых траеRТОрИЙ, 'которые имели бы место для
данной системы с данным видом пелипейпости при ИСRЛючеиии
из нсе потерь (при 'Ф(у) == О, т. е. для консервативноro случая).
имеет вид
ох + 'Ф(i)+ ср(х)== О,
(2.3.8)
(2.3.9)
:с
Рис. 2.11. Модифицироваиное
построение Льеиара в сжучае
иелинейных R и С
(2.3.10)

60
rл. 2. RОЛЕБАНИЯ В ДИССИПАТИБItI>Ж СИСТЕМАХ
Окружности же с центром в начале коорцинат просто пе
стают быть фазовыми траекториями для консервативной системы
при наличии в ней нелинейности. Это соответствует rрафич:еско-
му воспроизведению на фа30БОЙ IIJIОСКOC'l'И процесса, отличаЮЩ6::-
rося от rарм:ови:ческоro. . . t
ПривеДЕiнный 'выше способ приближенноro построения фаоо
Вых траекторий остается в силе и для нелинейной системы беЗе
потерь. Можно также rрафичесIm найти направление касате.льной
к фазовой траектории в любой ее реryтFpНОЙ точке, OOJlИ извостен
rрафик фУВIщии ер(х), характеризу-
ющей нелииейвость консервативно
элемента в системе. В таком KOHce
вативном случае на фазой ШIOско:.
сти надо построить в качестве вспо-
моrательной кривую ер (х) и, как уха-
зьталосъ выше, про ведя из Точки В
ливию под yrJlOM 450 к оси абсцисс
BtC t , найти точку С ! (рис. 2.12). Ли!.
J: ПИЯ CtP t будет перпеНдИкулярна К
касательной к фазовой траекторп .
точке Р! (х, у). Это попрежнеиу сле-
дует из OCHOBHoro уравнения для TЦ
кой системы i
.. .
х +. ер (х) == О, ИJIИ У +. ер (х) == о; .:
dy   (j) (з:)
dз:  у'
Проводя подобные построения указанным выше способом ДЛJl
послеДОВ8.тельности точеR, можно получить ЛО}lаную линию, к&'
Торая сколь уrодно близко будет воспроизводить искомую фазо:.
вую траекторию движения в нашей неЛ!инейной консервативной
системе.
!!
9'(Х)
Рис. 2.12. Модифицированное
построение Льенара для си
стекы без потерь
(2.3.11) ,
* 2.4. ИСCJ1едовавве своБодвых колебаний
в веливейвwx двссипативвых системах с одной степенью свобод..
методом поэтапвою рассмотреНИJl
Точное решение задачи о свободных колебаниях внелинейных
диссипативных системах в подавляющем большинстве случаев
:в;аталкивается на восьма большие и очень часто неразРешИМЫ&'
трудности. Поэтому (как и в случае консервативных c1roTeM) при-
ходится искать методы приближенноrо расчета, которые с"задан-
:пой степенью точнос'l\И позволили бы найти количественные. соот-
ношения, определяющие движения. в иооледуемой сис.теме при
задlЩПЫХ начальных условиях. Из ряда возможных приБЩIжен-
иыx метоДОВ. раесмотрим в первую очередь метод поэтапноro рас-

!i 2.i. ПОЭТАПНОЕ РАССМОТРЕНИЕ иЕлинЕй1Iых СИСТЕМ 6!
смотрения. Мы уже укааывали, что этот метОД ааключае'l'CЯ в ,!-,ОМ,
что :в соответствии со свойствами системы все движение в ией
ааранее раабивается на ряд этапов, каждый иа которых cooтвeT
ствует таней области иамене1ШЯ переменных, rде иreледуемц
система с достатоЧiНОЙ точностью описывается или линейньrм: дИ:ф
ференциальным уравнением, или нелинейныи, но ваведомо инте
рируемым уравнЕтием. Записав решения для всех выбранных
этапов, мы для .заданных начальных условий нахоДИJI уравневие-
движения для первоrо этапа, наЧJl1Нающеrося с ааданных началь--
пых аначений. Значения перемевных (t, х, У == х) конца первоro
этапа сч:итае1l начэ:lIЬ'НЫМИ условиями для следующеrо этапа.
Повторяя эту операцию продолжения решения от этапа к этапу
со сшиванием ПОЭТЭ:пных решений на основе условия непрерыв
ности nepe1leHHblX Х и у == х, 1Ibl можем получить аначения иссле
дуемых величин в любой момент времени. Если раабиение Bcero
движения систе1lЫ на этапы основано на аам:OOIе общей неJППIеi
ной харантеристИRИ ломаной JlИВИей с БОльшим или меныпии
'ЧИслом прямолинейвых участков, то подобный путь оБычнo назы
вается RYсочнолинейвым методом:. В этом случае на каждо эта
не система описывается линейным дифференциальным уравнепи
ем. Условие спntВaния решений на смежных этапах  непрерыв
,ность Х и у  :t  необходимо и ,Т1;()r.таточно для системы с одноИ"
С'l'епенью свободы н и наличии в ней х еае р в у а р ов эне р rии-
и двух орм аапасенной эне р rии ( поте !!Ц.lIальп ой и кинетической ,
электрической и ман'итной ).. Существование двух видов peaepBY8.
ров энерrии является таюне необходимым условием для BoaMoт
иости осуществления в системе свободных колебательных ДВИЖ
пий, хотя для диссиnатИБНЫХ систем оно недоотаточно. При боJIЬ
шом аатухании система и с двумя реаервуара.ми энерrии J.t:ожет-
окааэ:ться неколебательной  апериодичеокой. ..,"
Применение метода поэтаrnlOrо расчета нелинейных диссипа
ТИБных систем;мы ироиллюстрируем нескO.JU/RИМИ примерам:1I
и начнем рассмотрение со случая сис,темы с сухим трением, кото-
р'ая уже подверrалась каЧ6Ствеиному исследованию с ПQМощЫо.
пооения ее фааовоrо портрета.
Уравнение, опИсывающее движение в Iюлебательпой системе
с,С'уХIUI трением, как мы уже видели, имеет вид
. 2
Х + roоХ == а"
1', .
rде а ==  ао при :t > О  а == + lZO при :t < О. Подстановкам:R
Х == Х 1  ao/ro: для > О и Х== x.+ao/ro: для:t < О по
уравнение, одинаковое и для Xi, И дЛЯ Х2,
;1,1 + ro:Хl.2 === о;
ero решение
Xi.2 === А сов (root) + в sin (roet).
12.4.f).

62
rл. 2. IЮЛЕБАНИЯ в ДИССИnАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
311даемся начальными условияии
t == о, Х ==Х о , у == о.
(2.4.2)
Для первоrо этапа, соответствующеro :i == у < О, О  t  n/ооо,
имеем
Х == А 1 COS (OOot) + В 1 sin (OOCJt) + aolOO,
или с учетом начальных условий
Х == (Х о  ao/oo) cos(ooot) + aJOO:.
в конце этапа t == n/ооо, Х п / ШО ==  Хо + 2а е /оо:. Это значение Х п / е ,
следует считать вачаль
выи для BToporo этапа.
Второй этап cooтвeT
ствует :i == у > о; n/ooo 
 t  2n/ооо. Так как при
t ==n/ООо Х ==  Хо + 2а о /оо:.,
t то
J:
о
l
2.1
1
Ьс. 2.13. I'paфllК движения в системе с
.СУХИМ трением, полученный методом по--
этапвоrо рассмотрения
(2.4.3)
Х == (хоЗао/оо) cos(OOot)
 ао/оо:. (2.4.4)
к IЮнцу этоro этапа
при t == 2n/ооо получаем
Х 2 п/ro == Хо 4ao/{J). Дпя
о
рассмотрения второro периода колебаний надо продолжить pa
,смотрение по этапам.
Третий этап соответствует :t == у < о, 2n/ооо  t  3n/ооо и
Х == Аз cos (OOot) + В з sin (OOot) + ao/oo.
Дляt == 2n/ооо,Х == х,  4ao/oo, у == О имеем
Х == (Х е  5а о /оо:) cos (OOot) +' ao/oo. (24.5)
R концу этапа при t == 3n/ооо получаем Хап/ro о   Хо + &o/.
Аналоrичво для следующеrо этапа при у> о и 3n/ооо  t  4n/ооо
находки
Х == (Х о  7ao/oo) cos(OOot)  ао/оо:! (2.4.6)
11 в конце зтапа Х.. п / ro == Хо  8aolOO.
о
Полученное решение предстМ!лено rрафичеоки в координатах
.t, Х на рис. 2.13.
В соответствии с основными особенностями системы с сухим
. трением подобные расчеты имеют смысл ЛИПIЬ дО тех пор, пока
хфи у , о I Х I > aolOO& т. е. пока система !Не приmла в зову эа

 Н. поэт АПНОЕ  ,АССМОТРЕНИЕ НEJIИНEйНЫX СИСТШd 63.
стоя. Если в момент наибольшеrо ОТЮlOнения ВозвращаЮЩ8JI CJPta
окажется меньше 'Силы трения, то система не будет продолжаt:1.t
свое движение и останется в зоне застоя. За каждый период КО.,
леба1LИЯ аМПЛитуда уменьшается .на велИ'ПШу2===4ао/0>:. Такии
образом, через n целых периодов ОТЮlOнение будет равно
I х I === Хо  (4а о /о>:) n. (2.4.7}
юда следует, что система совершит только KOHe1lНoe число-
колебаний, определяемое nз условия 0< Хо  4000/0>: < aolO>:. ''Иi
этоrо условия вытекает, что n удовлетворяет
неравенству
Zo Zo 1
>n>.
4401(1): 4aol(l) 4
фв качестве друrоro прииера Поэтапно:rо
рассмотрения сильно нел,инейной колеба
тель'ной системы обратимся к движениям,
которые иоryт происходить В контуре, co
стоящем из емкости, сопротивления и индук
тивности С леrко насыщаемым ферромar
иитныи сердечником. Для TaKoro контура,
рис. 2.14, уравнение К,ирхrофа запишем в виде
dФ R . + 1 О
ndТ+ L c q ==.
(2.4.8)
I Щ)
c 1
R
Рис. 2.14. Схема КОК-
тура, содерmащеl'Oo
катушку ИИдyRТИJlио.
сти С ферромаr
ным сердечником
изображенноrона
(2.4.9)
Здесь Ф  маПIIТНЫЙ поток, пронизывающий n витков обмO'l'К..
Запишем это уравнение иначе:
dФ а! . 1
Пат dt + RL + c q == О. (2.4.10}
Прим:еи, что кривая намаrничивания сердечника имеет идеализи
рованный вид, показанный на рис. 2.15. Torдa, пренебреrая из.
мененивм маrнитноro потока при насыщении сердечника (что до-
пустимо при малом числе витков обмоТRИ и высокой маrнитной
проницаемости сердечниКа достаточно большоro сечения), иы мо-
жеи считать, что зависимость Ф от тока изображается rрафиком,
приведенным на рис. 2.16. Подобная идеализация П031l0ляет на}{"
разбить процессы в системе на этапы, в которых lil  ie или
lil  io. Для lil  ie справедливо уравнение
.. " 1
Lq + Rq + c q == о, (2А11}
rAe L == n dФ/di.
Для I i I  io получаем дифференциальное уравение пер:ВоIO
порядка
" 1
Rq + с q == о.
(2.4.12}

64
rл. 2. RОJmБАНИя В ДИССИПА.ТИВНblX СИСТЕМАХ
Более C'11poroe рассмотрение. с учеТОм изменения Ф в обла
наСЫЩеnия маrнит:t101'O поля привело бы нас к уравнению с
JIЫМпараметром'Л ТiИII8.
с, J.;j + Rq +  q == О. (2.':.
Решение этоrо уравнения для малоro 'Л, взятое для достат(\
moro интервала времени, блзко к решению написаж.
JЦ,Iше уравнения nepBoro порядка (2.4.12).
. , . Рассмотрим теперь движения в исследуемой системе для
данных начальных условий. Пусть при t == О, q == n. .... п == i =
о
ф
11
hc. 2.15. Идеализированная кри-
1i1lя: вамarнич:ивания серде'lНИКа
Рис. 2.16. Идеализированная КРI!
зависимости маrнитноrо ПО1'ОК:
от тока , обмотки
Тоща в качестве первоro этапа необходmro рассматривать про!
uри lil < io, и мы ПQЛУЧИМ
.. . 1 ...
Lq + Rq + с q == О, или q + 2{jq + roq == О, (2.L
I'де 2б == R/ L, ro: == 1/ LC.
Решение ;)TOrO уравнения имеет вид
q == ебf [А cos (rot) + в sin (rot)], (2.4
I'де ro'l. == ro:  б2. Из начальных условий находим
q==e6t[qOCOS(rot)+  qoSin(rot)],
. 002
. О 6t. (
 == q ==   qoe sш <1
(j)
(2.
Если начальный заряд qo достаточно велик и через время
< п/2ro значение i == q стало равным to, то процесс перех.
из nepBoro этапа во БТорой. Конечные значения q и i == q 1
:мент времени t, равны
6t [ б ] . . 00: 6t.
f"l == e lqo cos(rot 1 ) + ш"sin(UJt 1 )  tl== tо==шqое IS11

 2.4. ПОЭТАПНОЕ РАССМОТРЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 65
Решение идеализированноrо уравнения BToporo этапа имеет вид
q  De t/-r. .' D tl't
  t ==q== ";{ е 
(2.4.17)
rде D  начальная амплитуда заряда, 't' == RC  постоянная Bpe
мени. Отсюда вытекает однозначная связь между q и i, даваемая
соотношением i ==  ( 1/ т) q.
Это условие может оказаться в противоречии с полученными
нами значениями qt 1 и io, явившимисл результатом движения
системы от исходноrо состояния q ==qo, i  О к rраВице первоrо
этапа. Значения qt 1 и io должны служить начальными условия
ми для движения во время BToporo этапа. Однако здесь получает
ся одно лишнее началнное условие, так как для определения
и'сходноro дВижения записаноое нами идеализированное уравнение
hepBoro порядка требует только одноrо начальноrо условия. Этот
«конфликт) между идеализированным законом движенЩI СИC'Fемы
и начальными условиями требует введения дополнительных усло
ВИЙ, еели мы хотим остаться в рамках сделанной идеализации
(Ф == const при lil > io) и не хотим исследовать решений ypaB
lICния (2.4.13), т. е. уравнения Bтoporo порядка.
Таким дополнительным условием является допущеnие бес.,.о
llечnо быстроzо иа.меnе71ия той пере.ме711l0Й, И;Jмснепие котороЙ не
СllЯ:Н\ПО с измеленнсм ЗНlIRСU ;J1JсрrIlИ СJlС1'СlllЫ.
11 JI:lIШJii ::InlI"1C \1 ]lI1МIiIlХ ]\1'OpOI'O ;)TRIIH ВО;JМОiIШО произволь
1100 MI'JlOIIOJllloo 1I:111101lOIIИО i == rj до знuчепиЙ, определяемых BЫ
рЮ1\ОIlIlОМ (2А.Ш), ТЮ. lШК при постояпстве Ф изменение i не
сннэапо с изменением маrнитной энерrии системы. Величина же
q определяет электрическую энерrию заряженноrо конденсатора,
11 се скаЧRообразное изменение означало бы расход или потребле
IIJIC бесконечной мощности, что фИЗИЧ6-Ски бессмысленно.
Естественпо, в реальной системе не может быть бесконечно
(,ыстроrо изменения тока, но весьма слабая зависимость маrпит
1101'0 потока от тока при I i I > io эквивалонтна исчезающе мало
му :!I1ачспию ИНДУ"ТИIIIIОСТII, и n II<що(jllоii ('ИСТРМС nПОЛllС допу
СТIIМЫ O'lCIl1. БЫС'f'jJl.ю И:11IIРlfОllИЯ СИJIЫ ТОЮI. TalOlM образом, в Ha
lIIcii идсаЛIIЭИр<llIlIlIllOii ('11('1'01\1 С, III.IIIOШI\СIIIЮЙ по отношению
]; IIОJ1lIOЙ системе с ДIIУМЯ ре:юрвуарами эперrии, мы вводим CKa
ЧОК i, ликвидирующиЙ «копфликт» между возможными движе
пиями системы и задаппыми начальными условиями и ПрИБодя
щий значение i от значения io к значению i t1 ==' qtJ't'. При
этом q не претерпевает разрывов непрерывности, так как на всех
этапах дВижения величина q определяет запас электростаIиче
скоЙ энерrии N E == q2/2C. .
Дальнейший процесс в системе будет протекать в соответствии
с решением уравнения BToporo этапа. Величина заряда будет из
::5 п. в. Миryлив И дР.

66 rл. 2. IЮЛЕБАНИЯ в ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
меняться по закону q == qt 1 ехр [(t  t 1 )/t] , а ток  соrласно.
выражению i ==  (qt 1 /T) ехр [(ttl)/,t]. Этот экспонепциальный
процесс будет прододжаться до тех пор, ПОRа значение i не CTa
вет вновь равным io.
Если в момент времени t == t 2 мы приходим К кО'нцу BToporo
этапа, то
i tз ==  io ==  (qtJt) ехр [ (t 2  t 1 )/т:],
qt a == qt 1 ехр [ (t 2  t 1 )/т:] == -rio
откуда можно определить t 2 .
С этоrо момента начнется движение, отвечающее этапу изме
нения Ф, и для третьеrо этапа мы вновь должны воспользоватьси
решением Вида
q == ехр [б(t  t 2 )]{A cos[ro(t  t 2 )] + В sin [ro(t  t 2 )]}" (2.4.18)
причем А и В находит обычным способом.
Как нетрудно показать, yRазанные значении qt и it ==  i...
. . ...
соответствуют экстремуму функции
q ==  ехр [б (t  t 2 )] Х
Х {(Вro  БА)соs[ro(t t 2 )] (Aro + БВ)siп [w(t t 2 )]}. (2.4.19}
Вследтвие потерь дальнейшее движение уже не будет выводить
значении i за пределы :i:io !и вплоть до полноro затухании дви
жение в системе будет опиыБтъсии уравнением (2.4.14) и' ero
решением (2.4.15) с определенными обычным образом коэффи
циентами.
Дли начала этоrо третьеrо (и последнеrо) этапа при t == t 2
получаем
q == qt 2 == At a ,
q == it == io == Bt (()  БА t ,
138
откуда
В l) ' о l) ' о
t ==  At +  ==  qt + 
8 (о а (о (о I (00
Таким образом, окончательные выражеmu.r дли q и i дли TpeTЬ
ero этапа будут иметь вид .
q == ехр [ б (t  t 2 )] {qt a cos [ro (t  t 2 )] +  (бqt а + io) sin [u>(tt2)]}"
(2.4.20)
i == ехр [б(tt2)] {io COS [u> (t  t 2 )] +  (u>qt2 + бiо)Siп [u>(tt2)]}.
Так как, соrласно закону изменении q, во втором этапе qt:, == 'ti Ot

I 2,. ПОЭТАПНОЕ РАССМОТРЕНИЕ uЕлинЕйных СИСТЕМ а7
то 01\Ончательво для TpeTbero этапа мы можем записать
lIыражения
q == ео ехр [б (t  t 2 )} {'t'Cos [00 (t  t 2 )] +  (б't' + 1) sin [oo(t t2)]}'
(2.4.21)
i == ioexp [б(t  t 2 )] {cos [oo(t  t,)] +  (oo.. + б) sin[00(tt2)]}.
Этот затухающий процесс имеет один и ТОТ же характер при
любых начальных значениях qo. Каков бы пи был начальный за
ряд емкости, система после апериодическоrо процесса в области
Ф == const придет к затухающе
му движению в области I i I  io
с одними и теми же значения
ми q и i, т. е. q == -rio, i ==  io.
Рассмотренный процесс бу
дет соответствовать фазовой
траектории на фазовой плоско
сти q, q == i, показанной на
рис. 2.17. Все друrие фазовые
траектории, отвечающие дpy
I'ИМ начальным условиям,
должны иметь тот же харю\тер,
что и па рис. 2.17. 13 оБJI аСТllХ
I i I > io ПРИlIятая идеаЛ1lзация
допускает только одно движе
ние, соответствующее един
ственной фазовой траектории
i ==  q/-т:. Из любой друrой
точки фазовой плоскости в этих
областях система должна скач
ком с бесконечно быстрыми из
менениями i перейти или на
rраницу области с дальнеЙшим движением по одноu из спиралей,
или на единственную тра()l{ТОРИЮ, СООТВОТСТllУIOЩУIO экспоненци-
.альному разряду ()1\11ЮСТII.
Если построить rрафИ1\И изменения q и i в функции времени.,
то для выбранных нами начальных условий они будут иметь вид,
показанный на рис. 2.18.
При друrих начальных условиях MOryT появиться И два скач-
На (например, если в начальный момент t == О, q == qo И i> i o );
Torдa сразу же движение 'начнется с первоrо скачка тока до зна-
чения i o , а затем после прохождения по первому этапу ПРОllзойдет
второй скачок, приводящий оистему в режим апериодическоrо
разряда емкости, как наблюдалось в разобранном пр:mм:ере.
5.
ij-i
 \  i,
f
Рис. 2.17. Фазовая траектория дви-
женияв контуре с насыщaIOЩИМСЯ
сердечником

68
rл. 2. RОJIEБАНИЛ В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
"Учет слабоrо изменения Ф в областях насыщения и, следова
тельно, рассмотрение уравнения BToporo порядка на всех этапах
процесса избавляет от необходимости допускать скачки и дает
возможность найти непрерывное решение задачи для всех воз
можных значений q и i. Но такое уточнение связано с большими
трудностями и не дает интересующих нас принциnиально новых
качественных результатов, так что для общеrо рассмотрения хода
процооса свободных колебаний в изучаемой системе сделанна
q
Ilo
t
rii
t
Рис. 2.18. rрафик изменения q (а) и i (6) в функции времени для колеба
тельно1'О контура с насыщающимся сердечником
идеализация вполне оправдапа. Если же пас будет иптересовать
сама форма быстроrо процесса перехода от одноrо типа движения
к друrому, тоrда, конечно, необходим более последовательный
и строrий анализ. При этом следует иметь в виду, что изучение
более тонких деталей схематически рассмотренных процеосов Tpe
бует также использования более точной аппроксимации реаль
ных кривых намаrничивания.
В действительности нет скачкообразных изменений хода кри
вых намаrничения, а маrнитные свойства сердечников MOryT из
меняться лишь непрерьrвно, хотя и достаточно быстро в опреде
ленные фазы процесса.
3. Разберем еще один пример I\олебапиi'r n дпссипативной си
стеме посредством поэтаПIIоrо рассмотренин. Проанализируем KO
лебания в уже описанном электричеСRОМ колебательном контуре
с катушкой индуктивности, содержащеЙ фсрромаrнитвый сердеч
вик, во в отличие от ранее принятой идеализации ве будем BBO
дить в' рассмотрение насыщение, а учтем наличие нестационарной

!i 2.4, ПОЭТАпНОЕ РАССМОТРЕНИЕ нЕлинЕйных систЕМ 69
петли в кривой наиаrпичивания. Будем считать, что петли rисте.
резиса моЖно приближенно представлять так, как показано на
рис. 2.19 ДJIЯ pa3JIых амплитуд периодически изменяющеrосл Н.
"Уравнение колебаний в контуре (см. р:оо. 2.14) имеет вид
п  :: + Ri +  S i dt== о,; rде q == S i dt; (2.4.22)
как и раньше, Ф  полный жаrнитНЬJЙ поток, пронизывающий все
n витков обмотки катушки.
Рассматривая движение по этапам, получаем следующие урав"
пения.
Для этапов, rде n dФI di == L, имеем
q + 2{} q + q == о;
{2.4.231
здесь q  заряд па емкости, в качестве масштаба времени взято
't == (f)ot (oo == 1/LC), 21'} == RJffioL.
Для этапов, rде Ф == const, находим
1.
q ==  Rro С q.
о
Рассмотрим сначала этап возрастания i и Ф (i)' от начальных
условий q.o ==  qo, q.o == О до макси
мальпоrо значения q (п соотпетстпсп
но Ф); пот()м проапали:щруем процесс,
ОПИСЫDD.смыii УРUDпением (2.1.24), далее
возьмем этап убывания Ф (i), коrда вновь
вступает в <:илу уравнение (2.4.23), вплоть
до достижеll!ИЯ наибольшеrо отрицатель
Horo значения i == is и Ф(i s ). Затем опять
следует этап постоянства Ф и, начиная
от значеIИlЯ i == i" ДВИЖение описьmается
уравнением (2.4.24) вплоть до наступле
ния HOВOro возрастания Ф (i) .
При этом происходит постспсппыЙ пс
реход от одноЙ пстли rистсрсзисu Jt дpy
rой, соответствующсЙ меньшим знuчсниям
тока И маrнитноrо потока. CTpOro rоворя,
здесь происходит некоторое отклонение
хода зави01lМОСТИ Ф (i) от выбраlШОro нами идеаЛИЗllрованноrQ
закона, но При не СЛИIПКом широкой петле rистерезиса он()
достаточно мало, и учет поправи при данном приближенном
рассмотрении не представляется оправданным. .'
Повторяя последовательно подобное исследоание по этапам,
можно получить выражение для изменения q и q во времени. На
фазовой плоскости соответствующий фазовый портрет еистемы
(2.4.24)
ф
qi
Рис. 2.19. Идеализиро.о
ванные кривые rист&<
резиса

70
1'П. 2. КОЛЕБАНИЯ В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
имеет вид, изображе1l1lый на рис. 2.20. Фазовые траектории буду.
.редставлять отрезки спиралей, соединенные отрезками пряvor
q ==  q/(f)oRC в точках i == q, соответствующих началам и КОНЦ811
этапов Ф == const. Таким обра.зом, мы видим, что при учете I'2
стерезисных явлений должно происходить более быстрое ymeHI-
mение амплитуды свободных колебаний иоо.педуемоro контур<.
это. обус.1Jовлiшо тем, что существование rистерезисной петли Прr
водит к потерям в материале сердечнив:а за счет работы на erl
ttеремаrНИЧiИБа:ние, вызванным взаимодействием элементарных Ot
]:астей намаrничивания с остальной м-ассой вещества сеDпечнию.
q
i;
q
q
Рис. 2.20. ,Фазовый портрет ко--
лебательной систеЪПd с потерями
и сердечником, обладающим rи
стерезиCDМ
. Рис. 2.21. Фазовый портрет ИД
альноrо контура без потерь  Ka
тушкой индуктивности с сердеч
ником, обладающим rистерезисоы
и в конечном счете  к пореходу маrНИТПОll энерrии в тепл<r
вую за счет работы, расходуемой на переориентацию указанных
областей, или доменов.
По этой причине наличие ферромаrпитноrо сердечника с rи
стерезиснъnми свойствами в индуктивности колебательноrо KOHТY
ра даже при отсутствии в нем активноro сопротивления ПРИВОДИт
R появлению потерь, и такая сисreма оказыБетсяя привципиаль
:во диссипативной.
На рис. 2.21 показан фазовый портрет подобноrо идеальноrо
JЮllтура, не обладающеrо активным сопротивлением, но содержа
щеrо индук'тивность с сердечником, имеющим rистерезисные свой
етва. Здесь фазовая траектория составляется из полуокружностей,
радиус которых уменьшается в зависимости от ширины пеreль
rистерезиса. В этом процессе этап движения, соответствующий
Ф == const, происходит yrHOBeHHO, что связано с отсутствием в
нзучаемом контуре активноrо сопротивления, которое оrраничи
вало бы скорость изменения q.

!I 2.5. МЕТОД МЕДЛEIШО МЕНЯющих.сл АМПЛИТ1'Д
7.
-' i 2.5. Метод медленно меJlJЦОЩВХСJl а:мп.нитуд
и ero nPlDlенеиве к раечету колебаний
8 еаабо. Heтm:eiiвыx системах C.MaJIЬDI затуханием
Издожеввый в предыдущем парarрафе метод поэтапноrо pac
смотренИJI, RaR укаЗЫВаЛОСЬ, не НaIOIадъmает ИRaRих. оrpаниче,.
IIИЙ на веливеiiность п-сс.недуемой Rолебательной системы и при
!'Оден для лIQбых захонов заnrх8IШJI. ОЩlaRО этот метод обычно
приводит R rpомозДRИМ Бычи-слениям или сложвым: rричеCRИ1.t
ПОС'l:роен:иям:, причем палученные результаты атносятся ТОЛЬRО
R одному виду движения при заданных начальных условиях и не
ПО8во.ня:ют наrлядно представлять общие особенности движений
сиетеиы при различвых услав иях и разных значениях ее пара.i.
метров. Поэтому весьма важно рассмотреть те приближенные ме.:.
тоды, которые хотя бы для оrpа:ниченвоrо RЛасса Rолебательных
систем моrли бы дать еД'ИЦое решение д.ня: любоrо момента Rоле..:.
бательнаrо працесса при произвольных начмьных условиях. Та':'
Rora рода приБJIиженный метадбыл в свое время преДJIожев В8.й
дер .полем и Ц:ОдyчllЛ в дальнейшем назваJ;lие м'етода м'eдAewн6
м'епяющuxся о,ЖnAU1'уд (ММА). Он позваляет весьма успешна ис.
сщщо:вать RЛасс Rолебательных систем С малай иелинейнастыo
и мальm затуханием. ЭлеRтреские кантуры с ферро:маrнитпым:
сердечником рри мальrх потерях на rистерезис в области значени:Ц
амшtитУд мarнитноrо поля, далеRИХ от насыщения, контуры с He
линейными емкостями при апалоrичных оrраничениях, линейные
Контуры с постоянными L и С при малых затуханиях (неЗаБИСИМ:О
от их линейности или нолинейности), мноrочислеввые механиче
СRие аналаrи указанных выше ВЫСОRадабротных линейных и B
.линейных систем составляют тот Rласс СИO'l'ем, в которых движе::-
ния можно приближенцо рассчитывать методом меДJIeШJ:о мевяю-
ЩИХСJ[ амплитуд. 'Условия малой нешшейвасти па м
и аиия измене свойств
стемы iI mенИJI описываю ero ее е е a.n:bHoro
п ИВО ДЯ т R 'roмy, что движение в нанном СЦУЧЯА l'iУ7ТfТ fiлп:\JtЬ
!'. точна rариович6СКО:М:У, соответствующему линейной KOHcepB a
ТОНОИ системе.
Дл я лине ино й консервативной системы с однай степенью CBO
боды уравнение, описывающее калебания в ней при .COOTBeTcтвeH
но выбранном масштабе времени, наи уже известна: х + х ....J)..
В это.м с.нучае масштаб времени 't' определяется сооrilOшевие
't' == 6) o t, rAe 6)  круroвая частота свободных RОJIе9ав.ий системы..
t  абычное время. .
Д.ня: СИС'J'емы. близкой R инеiiной RонсерваТИВJ;lОЙ,
.. .
х + х == f. (х, х),
-(2.5.1)
rAe f. (xs ;) произвольная реryлярвая в общем случае неаuей,"

12
rл. 2. КОЛЕБАНИЯ В ДИССИПАТИБНЫХ СИСТЕМАХ
ЕМ функция координаты х и скорости ее изменения, значенИJ[
I\'ОТОрОЙ остаются малыми по сравнению со значениями членов,
СТОЯЩИХ в левой части уравнения (2.5.1) (в силу слабой нели
lIейности пара:м:етров и малых потерь в системе).
Если соответствующим выбором масштаба координаты х pac
C1fатриватъ такие изменения переменной х, при которых она по
рядка единицЫ, то правая часть уравнения (2.5.1) будет мала по
сравнению с единицей. Поэтому это уравнение целесообразно
r 88Писатъ в виде
I
1
!
х + х == Jtf(x, х), (2.5.2)
('де j(x, x) задаIШая оrpаниченная реrулярная функция, не свя
анная услови1WИ малости, а Jt  малый параметр (,...  1), зва
чение KOToporo характеризует степень близости данной систе
R линейной консервативной. Исследуемая система переходит в по
<следнюю при jJ. -t о. При Jt == О решением уравнения (2.5.2) будет
]с == а cos 't + Ь sin т, rде а и Ь  постоянные, задаваемые началъ-
IIЫМИ условиями,'!'. е. начальныи запасом :колебательной энерrии
11 ,системе.
Следуя Ван дер Полю, считаем, что для J.I. =F О, во Jt < 1 pe.
mе.ние может быть записано в виде
х == и соз 't + v sin 1',
'(2.5.3,
('де .uI't) и V(1') медленно мевяющиеся функции (медленно :ме-
пяющиесн аиwштуды) *), так что zi  и и 1;  v. Перейдем от пе--
ременных х и :i к пере:менньw и и v посредством соотношений
х == и соз т + v sin т, :i ==  и sin т + v COS T,-t :(2.5.4)
что ЭI\вивалептпо введению дополнительноrо
щеrо zi и v:
zi соз 't + v sin 't == О.
(2.5.5>'
Используя (2.5.1) п (2.5.5), можно от уравпевия '(2.5.2) перейти
R системе
zi ==  Jtj (и соз 't' + v sin '{; и sin 't' + v соз 1') sin 't,
, " .(2.5.6)
V == jJ.j{и соз 't + v sin 1'; и sin 't':t: v соз '{)сов '{.
3та система двух уравнений первоrо порядка точно соответствуе1'
lreходному уравнению (2.5.2) BToporo порядка. ОНа не дает тша
них преимуществ в смысле упрощения задачи. Однако из этой си-
стемы следует, что ПрОИ3Бодные zi и v имеют порядок малости
р.  1, что подтверЖдает справедливость выбранных условий
и  и, v  v. СуществеIШЫЙ шаr в сторону пахождения npибли-
*) в дальнейшем изложении метода МОДЛОlllIО меняющихся амплитуд
(ММА) мы будем следовать Л. И. Мандельштаму и Н. д. Папалекси, KOT
plie в своей работе (ЖЭТФ, {934, т. 4) впервые дали математическое
обоснование метода ММА и областей ero применения.

 2.5. МЕТОД МЕдJIEIШО МЕНЯЮЩИХСЛ AМIIЛИТУД 73
iKeHHoro реmения можно сделать, вели заменить мrновенпое зна--
чение U и v их средними величинами за каждый период коле6а--
тельноrо процееса, раВIIЫЙ 2л:. ПРЩlзведя усреднение по периотr
от О ДО 2л:, мы приходи:м: к системе так изываемых «укорочеп
ных» уравнений
. {tя s
и ==  2л JJ.! (и 1 V 1 т) sin 't' dT 1
,О
tп ,
. 1 S
v == 2n JJ.f(U 1 и 1 т) СОИ d-r. (2.5.7)
О
Эта система вида
и==(j)(U, vJ, V=='Ф(U, vI
i
{2.5.8)
уже не Мдержит в правых частях в явном виде времени т, и в@о
мпоrиx случаях ее можно ПроlПr1еrpировать, получая временней
ход меДЛ8R110 'М6IШIOЩИХСЯ' функций ,
U (т) и v (), ЯВЛЯIOЩИХ,<JЯ «ашIЛИТуд. "'.Y
ми» искомоrо реmения.
. Соотему 'УРМJиений . (2.5.8) можно
получить из системы (2.5.6), если пра-
Бые части разложить в ряд Фурье нак
периодические фушщ:ии с периодом 2п
и отбросить все Осциллирующие члены. 3:
В этом отбрасывании осциллирующих
членов и заключается «УI\орочепие»,
приводящее от системы урапнений, точ
по соответствующеЙ исходному ypaBHe
нию, R приближенным укороченным
уравнениям. Р.с. 2.22. Сиеиы иоорд--
Переход от переиенных х, :i R пере.. ват Z, z . 11, ..,
менным. и, v Э1QШlВaJIентев: nepexo.J{y от \
ОДВОЙ деRарто:вой системы координат х, i R дрyrой, та:кЖ" прямо-
уrольвой с О,бщим начаJIом Rоординат, повернутой на yrол 't' по
-qасовой стрелке (рис. 2.22). Это означает, Ч1'о система коордиваr
и, v в координатной плоскости х, :i вращается с yrловоii част()оо
той, равной единице. Поэтому в случае линейпой I\онсервативноi
системы изображающая точка р описывает ОI,РУЖПОСТЬ в фазо.-
вой плоскости координат х, Х, вращаясь с период<».f .21t,a...
плоскости переменных и, v остается неподвижной. Это coo .
ствует rармоническому колебанию с амплитудой А == Уи 1 + vJ".
Полученная система укорочепных ypa1lHemrii позвоияет 
скивать состояния равновесия для переменвых U и V, что соотве?-
ств.ует стационарным движениям. '
Для стационарных движений (состоянийI 1lI == (ц,. v == Ь". ii 
== v == О, и тоrда
(j) (а" Ь,) ==: О, 'Ф (а; Ь.): == От
так как й == v == О.
2;5.&)

'14 rл, 2. КОЛЕБАНИЯ В ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
ч't&oetb
Решения системы (2.5.9) должны дать возм()жные стационар.-
ные амплитуды мрмонических движений, приближенно OTpa'
жающих реальиый стационарный процесс.
'у стойЧиВость стационарных движений можно определить из
вес.;вы м м.tНUДОМ возмущений, заключающимся в составлении
уравнений для малых вариаций BOKpyr найденных стационарных
.8иачений и == aj, V == b j , соответСтвующих равновеоию BcnoMora....
"l'ельной системы, описываемой yRороченными уравнениями.
Если задать и == а; + Т), v == Ь ; +, то для вариаций т) и  име
ем уравненя .
fI==cp(ai+'t}, bi+t); ,t==:',p(ai+fI, bi+t). (2.5.10)
Разлаrая правые части этой системы В ряд в окрестности G'F8Qe-:
варных зиачевий aj, Ь ; и пренебреrая степенями малых величии 'J
11  выше первй, получим систеу линейных уравнений .
т) == all'r} + alzt, t == aZ1'r} + azzt. (2.5.11}
Вводя зависимость вариаций от времени т) == Т)oe1 И t == toe1 и
подставляя эти выражения в (2.5.11), находим два mmейнЫх
уравнения для амплитуд вариаций Т)О и to:
(ан  А) 'r}o + alzto .... О, aZ 1 'r}o + (azz  А) to == О. (2.5.12)'
кан обычно, поведение вариаций будет определяться харантерок
реmений характеристичесоro уравнен-я, которое получается 83
условия нетривиалъвостиреmеmш системы (2.5.12)
I 0:11  А. 0:12 . \ == О. (2.5.13)
0:21 0:22  '"
Отсюда А I  '( all + azz) л. + allazz  alZaZI == О и
Al,l'" +(а 11 + ( 22 )::I::  У(а 11  ( 22 )2 + 4а 12 а 2 l" (2.5.14)
'Если оба корня имеют знак минус у вещественной части А, ТО
'ооответстующее стационарное решение (и == aj, V.... b j ) УСТОЙЧИ
110. Если хотя бы одно из значений А имеет знан плюс у веЩе
L . ствен ной части, то иледуеиое решение веусто:йч.во. Н8JШЧИе
:или отсутствие мниt.lОЙ части в А опреДeJIЯет характер УСТОЙЧ:;Ц
.JJОСТИ или неустойчивости стационарноrо решения.
: Мы не будем сейчас уrлу6лятI7CЯ в детали вопроса 06 иссле--
,довани.и устойчивости стационарных движений, а вернемся к нему
.позднее при рассмотрении параметрических и активных систе,
в которых возможны различные типы стационарных движений.
,Для диосипативных же систем лспа, что может существовать
лишь одно стационарное состояпие  состояние покоя, которое
rда устойчиво.
\ Рассмотрим теперь друrой вариант метода медленно иен
щихся амплитуд с переходо:м от исходных координат :е и i к пр..

I

о 2.5. МЕТОД МEДЛEЩIО МЕНЯЮЩИХСЛ АМПЛИТУД 75
вым переменныи  амплитуде А', и фазе в, которые также lIIIЛЯ..
Юreя :медленньniи переменными в масштабе времени '(. .
Очевидно, что и == А соа в; v ==  А sin в и А% == и% + р 2 ; tg в ==111
==  р/и, rде и и v  медленно )lеняющиеся амплитуды. А и. Q
представляют собой соотвеТС'11Венно ПОJIярные координаты описы!!'
Бающей ТО'ЩИ на плоскости перем:еJшых и и Р. ПоскOJIЪКУ пере
:менные и и v  медленные фушщии времени '(, то И амплиту"
да А, и фаза в таюке медленно меияютсв: со временек '(.
Будем теперь искать решение исходвоrо уравнения (2.5.21
в виде
х == А соа ['t'+ O('t')].
Введем замену переменной х:
i ==  А sin ['t' + в (1:)].
{2.5.15}
(2.5.161
Следует обратить БНИlИание на то, что помед:нее 1Jыражеиие .ДJlJI
i не есть результат диффереНЦИрОБаШlЯ х по Dрекеии '(, аб6
производная :с по 't' имеет вид
. . .
- х . А соа ('t' + в}  А sin('t' + в) A sin(-t + О) .0. ,
Из (2.5.15) и (2.5:16\медует ум.овие' d
. Acos('t'+e)AOsin('t'+er==O. (2.5.171
Если переменную i продифференцировать по времени 't и подста.
БИТЬ Х, i и х, выражепные в новых переменных А и в, в И
НОе дифференциальпое ураnпепе (2.5.2), то с учетом (2.5-.17
получим систему двух уравнении . ..
А sin('t' + 0)+ Ав соs ('t' + 0)-= JLf(A, в, '(),
) (2.5.181
f '
, Aco!t('t' + в) Ав sin('t' +: О) == О. ..,
Отсюда находим точную систему дифференциальnьtt ура'Вещ.
опиывающих процеесы в системе, .
А= .:.... J.Lf{A, в, 't')sin('t' + в), Ав....  J.Lf{A, в, 'tJcos {'t' + ву.
(25.19Y
Здесь А ('t') И в (т) являются медлепными фующиями ремени. '(,
что позволяет усреднить правые части (2.5.19) за период, считал,
что за это Время А и в не меняются. 'Указанная процmа усрел-
нения приводит к системе двух укорочеlшых ураЩlевий .ви-д'
< . . J \ j . ,t
2П
. 1\ .
А ==  2n J р,НА! 81 '() slП '(1 dT 11
О
rДе '(1 == 't' + в.
2П
Ав ==  21n S ('ДА. &j.qoos't;rk 1 :'
о .
(?5.20)

76
rл. 2. RОЛЕБАНnЯ в ДИСCИnАТИВНЫХ СИСТЕМАХ
Из системы укороченных уравнений (2.5.20) МОЖнО опредо
лиТь стационарные значеnия аиплитуДЬt и фазы колебаний в кон-
Rретной системе, исследовать процоосы установления (пеlIOХОД
ные процессы) этих величин, а также определить устойчивость
найде:нных решений.
При:ме:нение Taкoro варианта :метода медленно меняющихся
амплитуд 'иноrда упрощает нахождение СТlЩионарных решений,
особенно в задачах, rде отсутствует опорное колебание (вызван
i,J:oe, :например; :впешней силой, модулядией параметра, синхрони
зирующим сиrналом), фазовый СДБиr (фаза) KOToporo относитель
но искомоrо колебания етествеНIro вошел бы в решение. К по
добныи системам отн6сятся, :в частности, пассивные линейные
и нелинейные колебательные системы, автоколебательные систе ,
мц J:I др. Некоторое облеrчение решения задач этот вариант метода
ММА дает также в тех случаях, коrда нелинейные характеристи .
ки какихлибо параиетро:в колебательной системы аппроксимиру
ются высокими степенями разложения в ряд. .
Проиллюстрируем теперь метод медленно меНЯlOЩИХСЯ ампли
rуд примерами ero применения к расчету колебаний в простей
mих системах.
Линейный OHTYP с nОСТОЯН1tЫ.м. ватухание.м. (линейный oc
цилляroр с затуханием). Эта задача леrко решается прямым ин
rеrpированием дифференциальноrо уравнения (2.2.6), но для ил
люстращш ие1:0да проделаем соответствующие расчеты для сво-
бодных колебаний методом медленно мещnoщиx.ся амплитуд.
. Колебания в рассматриваемом хонтуре описываются ypaв
Вением
dllz ах 11 О
dt 2 + 2б dТ + (ООХ == .
Если положить l' == (Oot, то d/dt == (Ood/d1' и Х + 2-6х + х == О, rде
2{}О == 26/(00' Тоrда можно записать, что х + х == 2-O-X, т. е.
lJ.f(x, х) ==  2-6х. 'Условием применимости метода ММА в данной
аадаче будет требование -о- == .... < 1.
Пр.иыеиим: вариант метода с медленно меRЯЮЩИМИСЯ ампли
ТУДОЙ и фазой 'УкоРоченные уравнения для исследуемоro линей
lloro осциллятора с трением будут
. i I! s Я
А ==  2л 26-А sin 2 't'ldt'l'
о
rдe 't'a == 't' + е. Отсюда
. .
А ==  6-А, Ае -= о.
Эти укорочвнвые уравнения леrко интеrрируются, и иы получаеи
А == Aoe, е == е о ,
IIЯ
. t S .
Ае ==  2л 26-А sш 't'l COST1'dTa
о
ошуда
z == Aoe"f соа (1' + е о ).

\
\
.',
S Z.:I. Мtn'OД lImДJIE:ЩlO МЕННIOЩИAGп .hмп.UI"V;Ц '11
Заметим, что найденное приблнное решение не.сколько отли
чается от точиО!'о решения ИСХОДНОI'Q линейноrо уравнения. В точ
ном решенJЦI
:t == Ао ехр ( ;;. t) cos (юе + 80)' rде ;;. t == -6-1:;
поэтому СКОРОСТТ;, уменьшения амплитуды одна и та же и в точ
ном, И 13 приБJШженн ом реш ениях. Частота же колебаний в точ
ном решении (J) == V (J)  62, что отличается от Фо, прини:м:аемой
за крyrовую частоту приближенноrо решения, найденноrо из yкo
роченных уравнений.
Не.лuиеuиыu 1>ОllТУР беа аату:tаиuя. Расомотрим контур с кои:.
денсатором С сеrнетоэлектрико:м: в пренебрежении затуханием.
В этом случае Lij + и (q) == О. Введем х == q/ qo, rде qo  некоторый
заряд, соответствующий ожидаемой максимальной аШIJШтуде ко:'
лебаний 13 контуре, и зададимся для не.линеЙ1IОЙ зависимости
и(q) выражением вида и(q)==(q/C o ) (1 + "!orj2). Torдa паше урав"
пение примет вид ,
.. 2 ( 2 ) 2
:t + Юа :t + 'VoQoxS == О, rде ЮО == 1/LC o .
Введем: новый масштаб времени 1: == (J)t, rде (J) не обязательно COB
падает с (J)o. С учетом этой ПОДстановки
.. 001
Х + ---%(х + 'Voq.xn)... О.
00
Вводя оuо;шачения ю/ф2  1 , 'V == 'Voq, получим
.х + х == X  (1  ) ,,!х З .
'УчитывaJil., что мы оrраничивае:мся случаем   1 и "{  {,
МОЖНQ, отбрасывая член второro порядка :малости, nриближев:но
записать
.х+ х == Sx  "{х З .
Это уравнение принадлежит к типу х + х == !tf (х, х), и к нему
можно применить метод медленно меннющихся амплитуд. Исполь
зуем вариант с модленпо меняющимися амплитудами и и У. 'Yx
роченные уравнения будут иметь вид
111
;. ==  : 5 (x  'V x3 ) sin't' d1: t
О
. t 2 S 1C
V == 2it (x  'VX3) COS 't' d't' .
о
Тде х == и cos т + V sin 1:. После усреднения получаем
. i 3 . i 3
и ==  2' и + 8'V (и 2 + у 2 ) V t V == 2' и  "8 'V (и 2 + v2) и.

78
rл 2. JШЛЕБЛНВЛ D диосип'I'iIвlIых СИСТЕМАХ
или иначе
. 1 ( 3 ) . { ( 3 )
u ==""2 '4 ,\,Z   V, V ==  "2 Т ,\,Z   и.
Здесь Z == и 2 + v 2  RБадрат амплитуды ИС1\омоrо колебания.
Не занимаясь решением полученв:ой .системы укороченных
ура.внеций, сделаем некоторые заключения о характере возмож
ных движений в системе. Стационарный процесс в системе Tpe
бует удовлетворения системы уравнений
(  ,\,Zo   ) V o  О, ( : ,\,Zo   ) и о == о.
Это возможно при ио == V o == О или 3/.'\'Zo   == о. Первая воз
иожность соответствует состолпию покоя, вторая  стационарно
иу коле'баRпю с постоянной амплитудой Ао == }' Zo. Наличие CTa
ционарной ненулевой амплитуды в этой задаче вытекает из усл
вия консервативности системы. Однако при это раССТрОЙRа S
должна иметь определенное значение  == З/4.'\'Zо' Так как  ===
.. (ф2 ю)/ ф2, то мы получаем для частоты стационарных кол
баний выражение
0)2
ф2 == О .
1  /i'lzo'
l'де Zo задается начальными УСЛОВИЯIМ.и, создающими в системе
определенный исходный запас колебательной энерrии. Эта зави
симость частоты свободных колебавийот амплитуды, уже полу
ченная нами раньше друrими методами (см. (1.3.15», отражает
неизохронность данной нелинейной системы.
9ле"трuчес"uй "оитур с малым иелuиейиым, ватухаиием,. Pac
смотрим Iюлебапия в контуре с постоянными L и С, но с сопp<r
'fивлением R (i), зависящим от тока по заI\ОПУ R == Ro (1 + 'Yoi 2 ).
Это соотношение качественно передает зависимость омическоro
сопротивления проводников от протекающеrо через них тока за
счет их HarpeBa.
Составим уравнение движения в ЭТО1J контуре
... .. 1
Lq + Ro (1 + '\'oq2) q + с q === О.
обычно, новые переменвые х == q/ qo и -r == (j)ot, rде
нолучим уравнение
х + 2-б о (1 + 'У:е)х + х == О.
ЗДI:JСЬ 2-6-0 == Ro/L(j)o, '\' == '\'oq(j). При малом затухании, коrда
2o (1 + 'Ух2)  1, для приближенноrо решения задачи можно при
менить метод ММА. Тоща исходное уравнение удобно записать
в виде
х + х == 2-6-0X  2-6-0'УХЗ == /lf (х, х).
Положим х == А cos(-r + 8); i ==  А sin(-r + 8); тоща для А и 9
Вводя, как
ю == 1/ LC 1

\
 2.5. МЕТОД МEДO МЕНЯЮЩИХСЯ: АМПЛИТVД 79
"
имеем укороченные уравнения \
. 2Л
А ==  2f.1& I (2t1- о А sin 't'l + 260 0 уА3 sin 3 't'l) sin Тl d't'17
О
2n
Аё ==  11& 5 (2t1- о Аsiп't'1 + 2t1- о уА3 s iп 3 't'1)соS't'ld't'l>
о
I'де '[I == 't' + 8. Производя интеrрирование, получим
A==oA(1 + : yA2)t 8==0.
Из ур;rвщния для фазы 8 находим е == 80. "Уравнение для ампли
туды мы можем записать в виде i ==  2-6-0 (1 + 3/ i р) z, rде z == А 2.
Интеrрируя это уравнение, 1l0лytntм ,
i
z==
D ехр (2& o't)  3/ ,у 1
.I'Де D  поотоянная, опреДeJIяемая из начальных условий. Если
в начальный момент при 't' == О z == zo, то D..... 1/z0 + 3/.. 11 и мы
можем записать
S(I
z==
(1 + 3/irzo) ехр (2tto't)3/..rso .
Полученное соотношение для z выражает закон уиеиьшения
aдpaTa амплитуды l\Олебаний в исследуемом велинеЙRОМ: :КOB
туре, вач,ивая от исходноro зна z
чения z == zo. Этот закон пере
ходит в обычный экспонепци
альный при '1 == о, т. е. при пе
реходе к линейному случаю
,(линей.но:му осциллятору. с по
стоянным затуханием) . На
рис. 2.23 в условном масштабе
показано спадание квадрата
амплитуды z для HeKoToporo
значеIШЯ '1. На том же рисунке
приведен за,кон убывапия z, co
ответствующий '1 == О.
Отметим Т8.1\же, что, как следует из проведенноrо paCCMoтpe
ния, величиной, определяющей ход процесса, является в.м:плитуда
:колебания (z ИJ1И YZ), а фаза колебания не иrрает llИКaRОЙ роли.
Это обстоятеJlliCТВО вполне понятно, так как характер двиЖеШIЯ
задается исходным запасом колебательной энерrин, сообщеl:ЩОЙ
:контуру в начале процесса, а фаза колебания никак не оределя
ет ход колебания  соотвеreтвующнм выбором, произвольноro для
автономной системы начала оreчета времени фазу можно сделать
любой.
"-
"-
"-,,-
......
'...... ..J.O
yO,1 ............

..............
о  r
Рис. 2.23. rрафик уменьшения аи
плитуды свободных колебаний в
1\онтуре с пелинейным и линейным
затуханием

/
rЛАВА $
КОЛЕБАНИЯ В 1 СИСТЕМАХ
С одной СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕЙ СИЛЫ
s 3.1. Вынужденные колебания в линейной системе
при rаРМОllИ'lее:ко:м: СИJIовоМ воздействии
До сих п(}р :мы расематривали колебания в изолированных от..
внешних :воздействий системах. В них MorYT происходить только
собственные колебания. Однако пеобходимо отметить, что даже
в изолированных колебательных системах затухающие или Ha.
растающие колебания возникают только после HeKoToporo внеш
Hero воздействия. Внешнее воздействие задает начальное отклоне
ние и начальную скорость, которые в свою очередь определяют
начальную амплитуду 1I начальную фазу колебаний. Частота KO
лебаний о) и IЮ:JффИЦИОllТ затухания 6 определяются только свой
ствами самой системы.
ЕсЩl же рассматривать колебания в системе под действием
:вне:mв:ей периодической силь;r  т8.К называемые (Jьшуждеllllые
олебаllия; то их свойетва зависят не только ОТ праметров си-
стемы (О), 6), но и от амплитуды и частоты внеmвей сIЩЫ.
При изучении внешнеrо воздействия на колебательные систе
:мы необходимо различать силовое и параметрическое воздействия.
Силовым воздеиствием называетеfI Т1ШОО nоздеiiстие, при KOTOPQM
не измепяются параметры (ш, б) I\ОJlе:ателыlOИ систеr.1Ы. Пара
метричеСI\ое воздеЙствие, напротив, измеШlет толы,о эти пара..
метры.
Как будет ПО1\азапо в следующих разделах, силовое воздей-
ствие на колебательную систему практичоски всеrда сопровожда
ется появлением вынужденных колебаний, тоrда как при парамет
ричееком воздействии колебания в системах MOryT не возникать;
Очевидно, что чисто силовое воздействие на колебательные
системы может иметь место только при определенной их идеали':'
зации, а именпо при допущении линейности системы. Если же
происходит параметричеСI\ое воздействие, то колебательная си
стема должна иметь по I\райней мере один параметр, величина
KOToporo зависит от мrповеппоrо зпачения деЙствующей на нее
внешнеЙ силы.
Однако в случае реальпых спстем, Jют()рые принципиально
нелинейны, нельзя CTporo разделить силовое и параметричеСI\ое
воздействия. Это можно пояснить простым примером. Представим
себе, что мы воздействуем на какуюлибо реальную колебатель-

\
\

 3.1. RОЛЕБАНИЯ ПРИАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕйствии

ную систему внешней силой. a при некоторых небольших:.
амплитудах внешнеrо воздеЙствия колебательная система OCTa
нетея линейной и, следовательно, имеет место силовое воздей
СТБие на систему. ПО мере увеличения а.ишштуды внешней силы'
или уве.личенил амплитуды вынужденных Rолебаний в систем&
появляется нелинейная зависимость какоro---либо пара.иетра систе
мы от мтновенното значения внеmвей силы, и ТОТДа такое воздей
ствие следует считать CMe
шанным, т. е. и силовым,
и параметричесRИМ.
Наиболее интересны и
важны таRИе внешние воз
действия, которые изменяют
запас колебательной энрrИИ
 системе.
В случае механичесRИХ
колебательных систем реше
ние задачи о действии перио--
Диче.еКQii: внешней силы наталкивается на известные TPYДНOCТiВ;
ибо, .сотласво законам мехапики, исто1fНИК такой силы будет ИIC
пытывать обратное ВМдеЙ!ст:вие со стороны колебательной еи
стемы.
Одним из наиболее простых опособов механическоrо внешнеrо.
воздействия на механическую I\Олебательную систему является
задание смещения некоторой определенной ТОЧIШ А системы
(рис. 3.1). Если чероз Х обо:шачить ОТIшонение массы т от ПОJIО
жения равновесия, то ураппение дв-ижения без учета сил 'I1pе1ПlЛ
запишется в виде
81
к'
А
F(t/
ох
Рис. 3.1. Способ задания СИЛОВО1'о во:'"
действия па иехаuичеСRyJO коебат
вую свстеку
тх + kx == k' (F (t). х), или тХ + (k + k')x == F(t)k'.
На систему действует в нешняя сил а k' F (t), а собственная часто
та системы равна юо == -у (k + k')/т.
Если мы теперь потребуем, чтобы сила воздейстоовала на KO
лебателъную систему, собс'J1Бенное движение в которой описыва
ется дифференциальным уравнением тх + kx == О (юо == -у k/ т) ,.
то для реализации :Horo НУЖIIО, чтобы k' < k, но величина внеш
ней силы k' Р (t) была достаточной для получения необходимоro.
вынужденноrо процеоса.
, Анализ вынужденных колебаний в линейных системах об.
леrчается блаrодаря возможности применения ИlЩИIIа СуПеvпо--
зиции. Если внешняя сила F i (t) вызывает вынужденное коле ба:..
ние х! (t), а >сила F 2 (t)  колебание Х2 (t), то сила F (t) == F i (t) +
+F 2 (t) создаст вынужденное колебание X(t)==Xi(t)+X 2 (tr; Ко--
лебания, вызываемые различными внешними (lилами, склаДЫ 4
ваются друт с друrом: так же, как и внешние силы, есшr
они действуют одновременно на линейную систему с трением.
9 в. В. Миryлин И дР.

:82 rл. 3. КОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕйСТВИЕМ вынужАющЕйй силы
)Характеризуемым КОЭффИЦИ81lТ'ОМ h, т. е. если
тХI + hX 1 + kXI === FI (t), тхз + hxz + kxz === Fz (t),
ТО
т(ХI + хз)+ h(xl + Хз)+ k(xl + xz)===F1(t)+ Fz(t).
Если теперь через Х (t) обозначить ХI (t) + Xz (t), а через F (t). ===
 F I (t) + Fz (t), то получим уравнение
тх + hX + kx == F(t).
Припцип суп{)рпозиции, справедливый только для линейных
систем, означает, что в них отсутствует нелинейное взаимодей
ствие колебаllИЙ, вызванных ра3JIИЧНЫМИ одновременно действую-
щими внешними силами.
Необходимо также иметь в виду, что В колебательной системе,
наряду с вынужденными колебаниями под действием внешней
силы, возникают также собственные колебания при изменении.
внешнеЙ силы, при ее включении, выключении и дрyrих изме
нениях. Однано В диссипативных системах собственные колеба
пия затухают с постояиноЙ: времени переходноrо процеооа. Через.
время t::> 1/6 llереходныЙ процесс в диссипативной колебатель-
ной системе можно считать зю\ОПчившимся.
,.х
c
'IJ. (t) = o Gospt......
R
Рис. 3.3. Электрическая
колебательная система с
ВЫНУiIщающей электро-.
движущей силой
Q ассмотрим вынужденные колебаВJlЯ в диссипати:вной еисте-
. :ме под действием внешней еинусоидaJ'IЬНОЙ силы. В случае иеха
I нической колебательной системы с трением (рис. 3.2) уравнение
движения имеет вид
тх + h;i + kx === F о сов (pt) ,
rде р  частота Duешпсй сплы, Fo  ее амплитуда, а в случае
электрической системы (рис. 3.3)  вид
Lij + R(j + q/C === o соэ (pt).
Если обозначить q через Х, то оба дифферепциальных уравнения
с точностью До коэффициентов совпадут:
- . 2
Х + 26х + (ООХ == Р о СОВ (pt)J
ТРение
Рис. 3,2. Мехапич('ская коле()nт/,лъпап CIICT('-
ка с <Iатухаuисм при ВIIсшuеи силовом воз-
Действии
(3.1.1)

s 3.1. RОЛЕБAIllШ ПРИ rАРМОНИЧЕСКОМ воздЕйСТВИИ 83-
rде 26 == Ыт == R/L,. 6) == k/m == 1/и, РО == Ро/т == (t>oIL. Реше
ние дифференциальноrо уравнения (3.1.1), как известно из COOT
ветствующеrо раздела матема'I'ИRИ, можно записать в виде
x(t)==X o cos(pt + <р) + AeM coS(6)t + '1'); (3.1.Ц
зцесь
РО
Хо==
V (оо  р2)2 + 46 2 i
Р 0/00:
V(1  у)2 + -r/Q: ·
rде '1 == Р/6)о, Qo == 6)oLlR, tg <р == 26р/(р2  6)), А и '"  начат..
ные амплИТуда и фаза собственных колебаний. Первое слаrаемое
решения Х1 (t) характеризует вынужденное колебание в систем&-
под действием внешней СИJIЫ. Второе слаrаемое через время
t ;> 1/6 затухает и характеризут соООтвевноо нолебавие  систе-.
Из выражения дЛЯ ХО видно, что при определенных соотвошв
Ниях МС$ДУ 6)0 и р ДОО'I'иrается максимум амплитуды вЬШужден"
въu: колебаlliИ Й Х иаIlС ' По лучив выражение для Хиаl<С == Х рез , MQ-ЩВ:о.
пострОИ'I'Ь р азличн ые семейства нормированных резонансных кРи
вых, например, Ф(р) == Х(р)/Х реа . В этом случае переменньm па
раметром считается частота внешней силы р. Однако возможно.
нахождение и построение резонансных характеристик друrоrо ви
да, при которых фиксируется чаСтота внешней силы р, а пере
менным пара){етром является или С, или L, т. С. D конечном сче I
те 6)0. Torдa получаются cCMeiicTBa lIОрМllровапных резонансных \
кривых Ф(С), Ф(L), ф(6)о). ...............
Очень удобен для изучения вынужденны?, колебаний в ЛИRей
ных системах метод 1tо.чnле1>СНЫХ а.м.nлитуд. По определеqD
:комплексная ампЛиТуда Х == Хое;", rде ХО  модуль комплексной
амплитуды, q>. apryмcH'!' (фаза) цолебания.
. Для решения УРЩJнения ДБиженИJI (3.1.1) методом :комплеRC'
ных амплитуд нужно обратиться к уравнению с теми же пара..
метрами, но с комплексной вынуждающей силой Poe iP " т. е.
.. . 2 jpt
У + 26у + 6)оУ == Рое .
(3.1.3)
Решение этоrо уравнепия ищем в виде У == Xe ipt . В с.илу линеЙi-
ности (3.1.3) решение У == и + jv содержит реальную часть, 100:-
rорая ОТНОСИ'I'ся к уравнению (3.1.1). Тоrда
( р2 + 2бjр + 6)) Х == РО
иЛи
X РО '
 00:  р2 + 26 j р ·
Обычным способом находим модуль ХО комплексной амплитуды Х
6*

g4 rл. 3. RОЛЕБАНИЛ под ДЕйСТВИЕМ ВЫНУШДАЮЩЕЙ СИJThI
и apryMeHT (фазу) 'Р:
РО
XO I
V (oo  р2)2 + 46 2 р2
26р
q>  arctg 2 2 '
Р  000
(3.1.4)
(3.1.5)
Следовательно, частное решение (iВынуждеиное колебание) име
ет вид
х  Re{X ехр (jpt)}  Re {Ха ехр U (pt + 'Р)}} :;;:; ХО cos (pt + 'Р)"
Применим: этот метод решения для случая после.I(Oвателъноro
электрическоrо :колебательноrо контура (см. рис. 3.3), для ко.
Toporo уравнение движения, lЩК вам уже известно (см. с. 82),
можно записать в виде
L + Ri + 1.. S idt ::.:..
ае с
 шоре. .(3.1.6)
Ф/О (р)
1
Решая ото уравнение
методом комплексных ам.
плитуд (i  [e;pt), полу.
чаем [  fff oIZ; rде Z ==
== R + j(pL 11 рС) . Для
Модуля тока имеем
Y=fl/йJ п [о  I Л == I Ol ==
0,7 
о
Рис. 3.4. Семейство пормированпых резо-
дапсnых ItРИВЫХ ФI (р) для ра:шых :Шll
n
чепий ДОUрОТlIОСТИ Qo
l!!o
==
v л 2 + (pL  1/pC) .
(3.1.7)
Теперь нетрудно найти максимальную амплитуду тока [о мане. Для
этоrо необходимо найти экстремум: (минимум) знаменателя иъrpа.
жения для модуля тока; тоrда 10 маие == fffolR, что справедливо при
pL  1lрС, т. е. при р  юо.
Семейство нормировавных резонансных кривых для тока в по--
следовательном элеltтрическом колебательном контуре (рис. 3.4),
может быть записано n lDиде
Ф] (р) с:;   R ...
о IOKa1IO V R 2 + (pL  1/рС)'"
f
V 1 + Q: (1  1/-r)Z I
(3.1.8)
rде Q.  ЮоL!R, '1 == рlю..

!I 3.1. RОЛЕБАНИЯ ПРИ r АРмонИЧЕCRОМ ВОЗДЕйствии 85
Заметим, что операции с комплексными амплитудами произ
водятся так же, RaK при IOперационном исчислении, т. е. если
i==I&7/, то di/dt==jpI&P' и idt==(1/jp)IPt.\ Исходя из этоrо
леrRО получить выражения для напряжений на всех элементах
расематриваемоrо Rолебательноrо ROHTypa:
f
IURI==IIIR 1 IULI==pLIII, \Ucl== pc l ]\-
Отсюда путем нахождения экстремумов мож'tro также найти Maк
симальные (резонансные) значения напряжений на элементах
ROHTypa Л, L и С. Читателю нетрудно убедиться в том, что резо
нане напряжения при р == ())о наступает только для напряжения
па сопротивлении В.
Резонанс напряжения на емкости I и с I """'с  Q$o получается
при "(2 == 1 1/2, т. е. при более низкой чем ())о частоте р, а 1'е.-
зонанс напряжения на индуктивности I U,r.. I манС  Q;co  при "f' ==
==1/(11/2Q), Т. е. на более высокой чем ())о частоте р. Все три
максимума совпадают только при Qo -+ 00 (практически при
Qo> 102). На этом примере леrко убедиться в том, что при He
больших значениях добротности электрических Rолебательных
контуров (Qo == 2  5) резонансные максимумы UL, ис, ив отлича
ются дpyr от дpyra по частоте на неСКОЛЬRО процентов, что может
быть весьма существенно при ИСПОЛЬ30ПQПИИ ТaI\ИХ систем в pa
диоизмерительпых УСТ]JОЙСТnПХ.
В приведеппых lJЫlJJО рассуждениях мы считали, что L == const,
С == const, R == const (U>o == const), а меняется только частота
внешнеrо воздействия р. Однако на ПРaRтине часто интересуются
резонансныии зависимостями, при которых ча.стота ввепmеrо воз
действия р == const, а меняется одиц из энерrоемких параыетров'
L или С (или т или k в случае механической колебательной си.,.
стемы). Особенность 'этоrо случая состоит в том, что OДHOBpeMeH
но с изменением собственной частоты ())о (изза изменения пара
метров колебательной системы меняется также добротность си
стемы Qo == ())oLlR ==(1/R)1 L1C (в случае механическоrо аналоrа
Qo мех == ())eт/1i == '}' km/ h ). П о::>тому резопапспые зависимости в та.
БОМ случае \ (рис. 3.5) отличаются от расемотренных выше. 
Следует отметить, что в последовательном электрическом: ко.,.
.лебательном контуре при постоянной р и переменной ())о ЭКС'llpе.
мальные значения напряжения на конденсаторе и на индуктив
'ности MOryT' достиrаться длн каждоro из этих напряжений ПР.
ра3JIИЧНЫХ значениях 000 в зависимости от Toro, КaRОЙ из пара.
метров L и С m!Ляется переменным: в данной системе и oтвeT
.ственным: за изменение ())о. Для амплитуд колебаний напрЯ'Rепия
.на конденсаторе, раВiJ!iIХ III/pC o при переменной индуктивности
11 системе, и для амплитуд колебаний напряжения на инду.ктив",
НОСТИ, равных IIIpL o при переменной емкости, форма резонанс-

86 rл. З. КОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕйСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕЙ СИJIbl
IIЫХ кривых одинакова, а экстремальных значений они достиrа
ют при одних и тех же собственных частотах юо == р.
Итак, в такой ,колебательной системе при одном перемеННО!l
реактивном параметре всеrда совпадают по частоте два экстрему
ма: резонансное значение напряжения на сопротивлении и резо
нансное значение напряжения на постоянном реактивном эл
менте.
ФI/(,Jо)
1
1,2 1,4 1,6 У=Р/Ц)"
0,7 
о
Рис. 3.5. СемеЙС11Ю нормиров8.IпIыx резонансных КРИВЫХФI (000) при изме--
о
иениисобствеиной частоты (j)'o контура ДЛЯ ра3JIИ1ШЫX дооротностей:
10(000) t Q pL
ФI (0)0) '='== , .==, р==соnзt
о 10 макс V 1 + Q (1/уа  1)а Jt
с помощью метода комплексных амплитуТ( (для тока, напря-..
жения, импедаIIса) можно построить различные семейства реЗО 4
нансных I\рИВЫХ: амплитуды смещений (амплитуды заряда на
конденса торе, напряжения на конденсаторе), амПЛИТУДЫ СКОРОСТIJ
(амплитуды тока), амплитуды ускорений (амплитуды напряже-
ния на индуктивности).
Для кажДОro из перечисленвых семейств резонансных кривых
мошно построить свое семейство фазовы:)!: характеристик, опреде..
ляющее сдвиr фазы вынуЖДенных колебаний относительно фаз..
внешней силы, которую мы считаем начальной и для просто ты
полаrаем равной ную.
i 3.2. Элементы теории амортва8ЦИИ и реrистрирующвх првборо.
Амортuзuрующее устройство. На оспово поведения колеба
тельных систем, находящихея под внешним воздействием, можН{)
проанализироватъ деЙСТБие амортизирующих колебательных
устройств. Обычно основное назначение амортизаторов состоит
в том, чтобы уменьшить силу давления на фундамент или дpyryIQo

. 3.2. ТЕОРИЯ АМОРТИЗАЦИИ И РErИСТРИРYlOЩИХ ПРИБОРОВ 87
опору со стороны некоторой периодической силы (например, виб
рирующих машин, станков, двиra'reJIей BHYTpeHHero сroрания:
и т. д.).
На рис. 3;6 изображена простейш8Я колебательная система,
которую можно при определенных условиях рассматривать как
амортизирующее устройство. Уравнение движения в ней можно
записать в виде
, 'h Р
т dt 2 + h(it + kx  F (t)  о cos(pt),
(3.2.1)
rде т  масса вибрирующеrо тела, h  коэффициент трения, k 
жесткость пружины амортизатора, х 
отклонение массы от ноложения paBHO
весия; ВRешнюю силу F(t) для просто
ты будем сч.итатъ из:м:еняющейся по
l'армоllИЧООКО:ИУ закону. Записывая си
ну в RO:м:п.леRCНОЙ форме Р 0&"', можно
блarодаря линейности уравнения дви h h
шенин (3.2.1) искать решение методом "2 I
Rоъ{шlеRcных a:мnлитуд в виде х  х&"'.
 .Torдa нетрудно получить выражение
 модуля аиплитуды колебаний
Х  \ Х \ '  р () Рис. 3.6. Схема амортизи
о   v . (322 ) рующеrо устройства
, (k  тр2)2 + }2 р2 . .
На фундамент (опору) в этом случае действует со cTopoны ви6--
рирующеrо уСт,ройства сила F, == kx + h:t, отк уда наход:ик
IF,I ==FoXoYkz+hZp1.. (3.2.3)
Если ввести Rоэффициент амортизации
, а == FoIPo, (3.2.4)
который, естественно, должен быть меньше единицы (что BЫTeKa
.ет из нормальных требований к работе амортизирующеrо устрой
С'1'Ба), и выразить ero через параметры колебательной системы и
частоту ВнеШней силы, то пол учим следующе е выражение:
..../ k'l. + h2p'l' , f 1+-t/Q
-а == V (k  тр2)2 + h2p2 == V (1  -t)2 + y2/Q2 
с О
'1 f Q+y'l.
== V Q (1  -t)2+ -1'.1 (3.2.5)
.rДе "(  р/юо; Qo == k/(jjoh.
Леrко показать (см. (3.2.5», что а меньше единицы при
11  1'1.)2 > 1, т. е. при "( > "'-2.

88 rл. З. КОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕйСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕЙ СИЛЫ
На рис. 3.7 приведены кривые для коэффициента амортиза
ции при пескольRИХ значениях добротности.
Из рассмотрения семейства кривых для а в интересующеii
нас области (1) "'-2', а < 1) можно сделать вьтод, что для эф
фективной амортизации амортизирующая колебательная clIcTeMa
должна иметь как можно большую добротность Qo и как можно
меньшую собственную частоту
ФQ. (При фИКСИРOOlанноИ: часто
те внешнеrо воздействия р это
приводит К повышению "( и,
следоватеЛЬRО, к снижению а.)
Однако не следует пряме-
нять амортизирующую сие тему
с очень высокой добротноетью,
ибо такой выбор :может при
вести к опасным последствияМ.
При высокой добротности
амортизаторов в них MOryT при
некоторых условиях БОзн:икать
опасные вибрации за счет воз-:-
буждения паразитных резо.-
нансных колебаний. Это Qбсто--
ятельство хорошо известно из практики работы мощных ТУР-
боreнераторов. и /ф-Уrиx подобных 'Механизмов.
Если вибрирующее тело является источником колебаний не
N
одной частоты р, а несколы\Их частот  Рn,. то В предположении
nl
О линейноети системы к пей моШно применить принцип суперпо
зиции колебапий. Torдa реауш.тирующее действио колебаииЙ Te
ла т с разпыми частотами приведет к воздействию на опору
(фундамент) СОПОI\УШIOСТИ JIеСI\ОЛЬЮIХ сил, каждая из которых
соответствует опродеJIОШIOИ частоте, т. е.
N N
F ==  роп ==  Х(}n V k 2 + h 2 p;.
n=:l nl
I;t
90"'5
1
-f!
Рис. 3.7. rрафюш зависимости КОDф-
фициента амортизации от "( для раз
личных добротностсй
r
(3.2.6)
Однако, как нетрудно сообразить, наибольший вклад в совокуп
ность сил, деЙствующих на фундамент, вносят силы с самыми
низкими частотами рn, ЧТО следует из раосмотренных выше rpa
фиков для а ("(, Qo). Поэтому 1110 мноrих практичеСI\ИХ случаях
вполне достаточно рассчитать и выполпить амортизатор для наи
меньшей из совокупности возбушдаЮЩИХСiI в вибрирующем YCT
ройстве частот.
Рееuстрuрующuе nрuборы. На оспопе рассмотренных ранее
явлений можно построитq. некоторые типы приборов для реrистра
ции быстропеременных БО времени величип. Такие приборы бу
дем в дальнейшем называть рееuстрuрующUJttu nрuбора.мц,.

 3.2. ТЕОРИЯ АМОРТИЗАЦИИ И РErИстрирующих ПРИБОРОВ 89
Во всех типах приборо.в, которые мы здесь будем рассматри
Вать, имеется определенная ЗaRономерная связь между измеряе.-
мой величиной и силой (часто моментом 'Силы). Например, в Ма1'-
нитоэлектрических приборах момент маrnитных сил поворачивает
катуШRу с закрепленной на ней стрелкой до тех пор, nOI{a он не
TaHeT равным моменту силы, действующей на катушку со CTOpO
ны «восстанавливающей» пружины.
Если х  показания стрелки прибора под действием измеряе
:мой величины z(t), то можно записать следующее очевидное co
отношение: x===f(z), или x(t)===f[z(t)], которое позволяет сфор
мулировать основные характеристики реrистрирующих приборов.
Ч У8ствителЬ1l0СТЬ прибора характеризуется отношением
'Дх/ дz, показывающим, наСI<ОЛЬКО сильно отклоняется стрелка
tIрибора при действии на прибор единицы измеряемой величины.
Лоарешностью, даваемой прибором, называется отношение ми
lIимально реrистрируемой измеряемой величины дz ко всей lIзме
ряемой величине z, т. е. дz!z. Идеальным является прибор, с по
мощью KOToporo можно измерить z(t)===Bx(t), rде В== const, т. е.
Не зависит ни от величины z, ни от х. Немало:важиая характери
Стика реrистрирующеrо прибора  постоянства ero показаний во
Бремени или, иными словами, воспроизводимость результатов из.
L'Мерений.
При боры, одинаково приrодные для реrистрации совершенно
произвольных процессов, не сущестпуют и сущеСТDопать никоrда
Не будут. Rаждый при бор 1IНОСИТ n намеРСI1ИЯ спои ИСI\ажения:,
Iюторые можно ОПРl'долеllllЫМ образом свести I{ мипимуму только
для определенноrо Шlасса физических или технических процессов.
Более подробно рассмотрим основные характеристики и oco
бенности следующих четырех .классов приборов, предназначедных
для реrистрации определенных h
типов процессов:. квазистатиче  E
скне, сейсмические, реЗОRaнсные,k ,
баллистические. т F(tJ
Квааистатичесnuе приборы. 
Rвазистатические приборы исполь / / :с
зуются для реrистрации больших Рис. 3,8. Схома J\ВI13истаТИЧССI\О1'О
И малых сил как DеремеПIIЫХ 110 приuора
времени, так и от времени не за
висящих (статичеСI{ИХ). На рис. 3.8 ilIоказана схема TaKoro реrи
стрирующеrо прибора. ,
Идеальным квазистатическим Dрибором является прибор, в ко--
тором имеется пружина со стрелкой и отсутствует масса т И тре.
ние h, т. е. выполняются условия
lmxl === О, Ihil == о.
Если, кроме Toro, мы выберем для работы YDpyroro элемента
,(DРУЖИНЫ) линейный участок, то, поскольку выполняются усло.

90 rл. З. КОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕйСТВИЕМ ВЫffi'ЖДАюЩЕй силы
вия RБазистатичности, можно учитывать ТОЛЬКО упруrие силы си
стемы. Отметим попутно, что в настоящее время имеются надеж
ные радиотехничоокие методы реrистрации очень малых смеще
ний (до величин ПОРЯДRа 10151O16 см) в макроскOOIИЧООКИХ
механичооких системах.
В действительности же при действии переменных во времени
сил на такую измерительную систему с одной степенью свободы i
нельзя пренебреrать силами инерции и трения, как было сделано
Выше. Рассмотрим факторы, которые способствуют или препят
ствуют выполнению условия RБазистатичности нашеrо измери
тельноrо прибора.
Заметим, что статичеCRая чувствительность прибора для реrn
страции силы равна /1x//1F == 1/k. Пусть на прибор действует
rармоничоокий сиrнал с частатой р. Torдa переменные процессы
прибор реrnстрирует как статические толы,о при выполнении yc
J.Iовий
Imxl < Ikxl, Ih.il < Ikxl.
(3.2.7}
Здесь, юш обычно, можно ввести ф == k/т и Qo == т(J)o/h == k/(J)oh.
Эти два условия n предположепии о rармоническом воздейсТБИЦ
принимают вид
тр2  k, или р2  Ф, IIШI 'У 2  1; (3.2.8)
hp «: k, или '{ «: Qo.
Таким обраЗО1l, ДЛЯ Toro чтобы измерительный прибор работал
как Irnазистатич8СКИЙ, необходимо выполнение двух требований:
"(2 < 1 и "( «: Qo. Однако нет.рудно заметить, что требование "(2 «:
< 1 выполняется для заданной часто'Ты внешнеrо воздействия Р
Тем лучше, чем больше Фо, но с ростом фо будет уменьшаться
чувствительность, ибо опа обратно пропорциопальна k. Следова
тельно, для Iшазистатических при боров харю\терно противоречие
между условиом l\Вазистатичпости (неИСI\ажаемости, или точно
сти) И чувствительностью.
Если на реrистрирующий при бор действует :мноrОКОШlOнент
пая сила с частотами Р1, Р2, . . ., Рn, ТО не все частотные КО1lпонен
rbl будут «передаватьею> правильно, так как не для всех компо
нент будет выполняться условие квазистатичности. Оценим верх.
нюю rраницу частот тех компонент, которые RБазистатический
прибор может реrистрировать без заметных искажений. Для He
искажаемости необходимо, чтобы все частотные компоненты BOC
производились с оmиБIЮЙ, не превосходящеiI определенной напе
ред заданной величины.
Пусть на при бор действует сложная сила
N
F (t) ==  F n СОЭ (Pflt + F n ),. (3.2.9)
nl
rде Еn  начальная фаза частотных компонснт сИлы.

А 3.2. ТЕОРИЯ АМОРТИЗАДИИ И PErИСТРИРYIOЩИХ ПРИБОРОВ 91
Torдa при условии линейности системы используе:м: принцип
суперпозиции и найдем собственные и вынужденные колебавwr
под действием этой сложной силы
N
x(e)==Ae(\' COs(oot + "') + 
n1
Fnfk
V ( 1  )' + Y/ Q: cos(pn t + (j)n + 8n)
(3.2.10)
rде А  начальная амплитуда, 'Ф  начальная фаза собствевных
колебаний, а '\'" === Рn!Шо, (j)n == arctg "?n/( Qo (1  ,,?))o Естествеюlо,
что начальный учаСТОI\ реrистрации воздействия искажен соб
ственными колебаниями прибора. Однако по прошествии неболь
шоrо времени (например, t == r/б, r == 5) амплитуда собственных
колебаний упадет до 1 % (e5)OT начальн()й.
Для неискаженной реr:ОО'I'рации воздействия необходимо, что
бы для всех компонент р" значения
!
( 2 ) 2 Уn
а n == 1  ,,?n + 2
Qo
и
У n
Ь n ==
Q. ( i  у;)
l6ыли примерно одинаковы. Так как обязательно выполнение ус.
ловия квазистатичности '\'"  1, то с у'меньшением '\'" до нуля вели.
чина а" стремится к единице, а Ь"  к нулю. Поэтому следует вы.
бирать величину Qo ТaI\ОЙ, чтобы при ВОЗМОiIШЫХ больших зна.
чениях '\'" величина а" мало отличалась от единицы, а величив:а
Ь"  ОТ нуля. Разумеется, это требо 1
вание можно выполнить только с He vii
ноторой конечной точностью для or
раниченноrо диапазона частот р"о 1,Об
На рис. 3.9 показзна зависимость 1
'111'а" от '\'" для Qo == 0,9. Анализируя
зависимост,и а" и Ь" от 'У", МЫ видим,
что для достижения малоискажен
ной квазистатической реrистрации
воздействия необходимо работать с
приборами, у которых собственная
частота по краЙпеii море в 10 раз
выше частотЫ р" ('У" < 0,1). Дей.
ствительно, при 'У" == 1 (j)" == 900, что
заведомо недоqустимо; даже при
""  1/2 (j)" == 3540o, что также означает сильное вскажение ре.
rиСТРИ'Руемой силы.
В области звуковых частот в качестве кв3.зистатическоro )lexa
ническоrо прибора MOryT быть использованы пьезодатчики, имею.
щие очень въroокую собственную частоту (000  105  107 рад/с,
Qo < 10; при этом 'У"  1), а также еМКОстные датчики давления.
I
I
0,9 .--+
I
I
I
I
0.8 1
r
Рис. 3.9. Нривая зависимости
амплитуды частот!fыx коИIl&-
нент от частоты воздействия

92 rл. 3. КОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕйСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕй СИЛЫ
Высокие значения добротROСТИ RБ8Iзисrатических приборов He
желательны, так как это приводит к уведичению длительности,
переходных процессов.
В качестве RБазистатическоrо npибора можно также использо
вать mлейфовый ОСЦИЛЛО1'раф, схематически показанныи на
рис. 3.10. При бор предназначен для опти
ческой заmroи колебаний тока, проnyскае
мою по проводнику, ИЗО1'нутому в виде
рамки и помещенному в поле постоянно
1'0 ма1'нита. При проnyскании тока через
рамку последняя поворачивается на у1'ОЛ,
ПРОПОРЦJЮнальный изменению тока в цe
00, и ОТRJlонение луча света, отраженноrо
от поворачивающе1'ОСЯ вместе с рамкой
Рис. 3.10. Схема шлей зернальца А, ре1'истрируется на ПрО1'ра
фовоrо осциллоrpафа дуированной nrnало (п шлейфовых npибо
рах 000/21& == 103 rц, Qo == 1  2).
Для процоссов, заI\ОП изменения которых по времени не MO
жет БЫТJ, представлеп 1'армопической функциеЙ, в общем случае
нельзя оцепить ВОСПРОИ:DОДИМОСТЬ ис,следуемоrо процесса дaH
ным прибором. В DТИХ случаях для анализа качества прибора ис
пользуют кривую записи СJ\ачкообраЗIlО1'О измеппия измеряемой
r
1 
""\ 1
{Jo <. z
I
I
t
Рис. 3.1 {. I'pафИRИ фушщии отклика при внешнем воздействии в виде еди
НИЧIIоrо скачка для различвых добротностей
величины (например, силы), т. е. иоследуют так называемую
фУnЦllЮ отлuпа r и). 13 нашем случае
p(t) == [1ебtСОS(ооt + (p)] (3.2.11)
1'де <р  начальная фаза ОСЦИЛЛИРУЮIЦоii чдсти функции ОТRJIИКа,
002 == 003  iP, tg <р == б!ОО, l3 == h/2m.
На рис. 3.11 показан характер нормировапных фymщий откли
ка реrистрирующе1'О прибора при разных значениях добротности

5 3.2. ТЕОРИЯ АМОРТИЗАЦИИ И РErИстрирующих ПРИБОРОВ 93
Qo колебательной системы, рассчитанных на едиIIИЧIIЫЙ толчок
внешней силы. Из рисунка видно, что в отсутствие трения (Qo==OO}
при бор будет периодически показывать удвоенную амплитуду дей
ствующей силы с периодом Т == 21&/00 == 21& 'fт/k. При наличии по
терь максимальное превышение амплитуды над статическим OT
клонепием (в про цеН'Тах) равно 0==100 ехр(пб!оо) == 100 ехр Х
Х (  п/ v 4Q  1). На l'ранице колебательноl'О и anериодичееко
1'0 режИ!Мов работы (Qo == 1/2)0 == О, но зато Т --+ 00, ибо 00 --+ О.
Поэтому в данном случае, как и во М:НОl'ИХ ДРУl'ИХ, нх()диио оп
ТИМ:ИЗИРО1Jать измерительную систему в ооответсТБИИ с тем, для
KaKoro класеа измерений она предназначается. Если иптересуют
ся в первую очередь точностью измерений воздействующей силы,.
.'Со необходимо использовать систему с Qo« 1 и проводить изме
рения через большие ПрQмежутки времени. Наоборот, если перво
очередным требованием к измерительной системе является ее бы
стродеЙСТБие, то нужно использовать с:астемы с Qo:> 1, проиrpы
вал при этом в точности.
СеЙСNuчеС"uе nрuборы. СеЙСМИЧOOЮlе приборы используются
для реl'ИСТРации смещений. Для определения уровня вибраций-
в автобусах, железнодорожных BarOHax, на кораблях, самолетах
и аналоl'ИЧПЫХ системах пеобхоДИIIЫ особые приборы, которые'
называются сейсмическими по той причине, что ,все они построе
пы по тому же принципу, что и сейсмоrpаф, реl'ИСТРИРУЮЩИЙ KO
лебания почвы. В пих lI:1МОрЯЮТС1I колобания ТОЧЮI вибрирующе
ro тела относительно JЮIlОДIIЮЮroй системы J\оординат. Следова
тельно, необходимо подобрать такую механическую колебательную,
систему, которая покоилась бы относи
тельно неподвижно,Й системы :коорди / [;Qkт:::: .
нат, а затем измерять смещения вибри
рующеro тела относительно этой непо
движной» системы.
На рис. 3.12 схематически показан
прннцип устройства и работы приборо'В
сейсмическоl'О типа. Основу прибора Рис. 3.12. Схема действия
составляет колебательная система, co сеiiсмических приБОРОD
стоящая из массы, сос)\ипенпоЙ: через
пружину с J\олеблющоi1ся опороЙ (осповапием, почвой и т. д.)'.
Если через Х! обозпачить координату смещения массы OTHO
сительно вибрирующеro тела, а через Х  координату смещения
всей опоры (основания) относительно не подвижной системы ко-
ординат, то уравнение движения массы т прибора относительно.
еистемы отсчета, связанной с Х, запишется как
d 2 xJ dX J d 2 x
т +h+ kXl==тS
dt 2 dt dt 2
rде тсРх/ dt 2  сила инерции.

'94 rл. 3. RОЛЕБАНИЛ .пОД ДЕйСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕй си.лы
RaR и раньше, предположим, что опора еовершает Rолебание,
по rармоничеСRомузаRОНУ х == z&Pt; тоrда и масса т Rолебатель
ной системы после ОRончанил переходноro процесса будет Rоле
баться (хl) по rармоничоокому aKOНY с частотой Р (вынужден
вый процесс).
Для Toro, чтобы колебанпе хl наиболее «правильно» передава
ло Rолебание х опоры (почвы), необходимо, чтобы хl -+ х. Pac
'Смотрим условия, при которых МОЖно выполнить это требование.
'Оно :выполняется при маRсимальном увеличении массы т реrи
стрирующеrо прибора и маRсимальном уменьшении жеСТRОСТИ
k пружины, а таRже при уменьшении трения в колебательной
системе, т. е. при "(  1 ("( == Р/Юо) и малых h(Qo > 1). Действи
rrельно, если ИСRать Х 1 и х В виде
хl == X 1 e ipt , х == ze ip "
'1'0 к линейной системе МОЖно примепить метод }\ОмплеRСНЫХ
амплитуд, и Torдa (p2 + (l/т) jp + юп Х 1 ==  p2Zt пли дл
:модуля амплитуды
zp2
1 X11 .. У (oo  p)2 + h (p/т2) -= z
ер == arctg (У 2) .
Qo 1  'v
выражения (3.2.12) видно, что условие 'Х 1 ! == z достиrа
ется при Ф("() -+ 1. Фаза BЫ
пужденноrо колебания хl
при 'у  1, как следует из
(:.3.2.13), БЛИ3I\8 I\ Л. Доброт
)IOCTb системы Qo должна
быть цебольшой (Qo  1)
(рис. 3.13), что необходимо
для быстроrо rашения соб
ственных Rолебаний в систе
ме (уменьшения длительно
сти переодноrо процесса).
Для реrистрирующих при
l' боров Этоrо :класса требова
ние неИСRаженности внеш
ней силы при ее реrистрации
совпадает с требованием мак..
rимаЛI,НОЙ чувствительности
,при "(  1, и, следовательпо, для сейсмичооких приборов не воз
.никает противоречия между чувствитеJ1ЬПОСТЬЮ и неискажае
:мостью (точностью) при увеличении "(, что имеет место для KBa
истатичесRИX приборов.
Jj;ЛЯ фазы имеем
Из
Р'11
.Z
"
L
{lJ  "О
1 
Рис. 3.13. Rривые зависимости (jезраз
.мерпых амплитуд выuушденпых KOJle
оаниi.i от 't для различиых добротпостсй
-r 
V( 2)2 / 2  zФ х (1').
1 y +У Qo '.
с (3.2.12)
(3.2.13)

А 3.2. ТЕОРИЯ АМОРТИЗАЦИИ И РЕrиСТРИРУЮЩИХ'ПРИБОРОВ 95-
Таким образом, если чаС'fота колебаний вибрирующей щоры р.
MHoro больше собственной частоты Фа реrистрпрующеrо прибора,
то колебание Х 1 (с точностью до ЗНaI!l) . сообщает нам информа
цию о колебаниях вибрирующей опоры, к которой прикреплена
реrистрирующая колебательная система.
Физически работу прибора сейсмическоrо типа можно себ&
представить следующим образом. Блаrодаря очень высокой часто
те Р вибрации опоры по сравнению с собственной частотой Фа,
масса колебательной СИС'fемы (см. рис. 3.12) остается пр8.R
тически неподвижной и образует, таким образом, неподвижпую
систему координат. При этом опора (почва) будет двиrаться
(колеб-аться) относительно массы т, и это относительное дви
жение можно зареrистрировать теАI точнее, чем больше Р по
сравнению с Фа.
РсаОШ1ЦСUl;i/,е npuQopbl. Работа резонансных приБОjlОВ основана.
на оообенностях резонансных законов в линейных цепях. Обычно
они используются для определения амплитуды и (или) частоты
одноrо rармоническоrо колебания или для определения амплитуд
и частот нескольЮIX rармонических компонент, ВХОДЯЩИх в состав
сложноrо колебания.
Поскольку ширина резонансной кривой колебательноrо KOH
тура обратно пропорциональна ero добротности Qa, а амплитуда,
вынужденных колебаний при резонансе почти в Qa раз превосхо
дит амплитуду внешней силы, то, увеличивал l\обротность розо
HaHCHoro прибора, МОiIШО ОПОRрОМСJlПО ПОПЫСПТI, ero чупствитель
ность и И:lбираТ()ЛЬПОСТI,. Ври пысо}(ой добротности (Qa == 102
10 и НЫI1IО) РU:lOпаПСllЫЙ прибор практически реаrирует тольк<У
на ту частоту, па которую он настроен.
Резонансные прироры приrодпы только ДJIЯ индикации уста":
новипmихся процессоп в системе. Наиболее типичными ИХ при
мерами являются волномеры, спектранаJlизаторы, куметры и TO
му подобные устройства.
Однако если при бор предназначен для реrистрации процессо
с меняющейся частотой, то в нем моryтиспользоваться резонанс
ные системы с ра3JIИЧВЫМИ собственными частотами при не слиш
КО1.1 ВЫСокой добротности, чтобы затухание Rолебапий в каждом,
резопаторе происходило остатоqпо быстро по сравнению со вре.
менем ИЗМСllенил роrпстрируемоii: частоты. Подобные часто
томеры с набором механических резонаторов, возбуждаемых.
маrнитным полем переменноrо тока, m.ирОRО Всполъзуются
в электротеIJjlIRе для контроля час'I'ОТЫ техв.ическоrо перемен.
поrо тока наряду с ЦИфрОВblJrIИ частото)[ера:ми
Бал.лuстuчес"uе nрuборы. БаЛJПIICтические приборы служат д
реrистрации кратковременных импульсов сил или связанных с
ними величин. Если на механич.ескую колебательную систему' а
одной степенью свободы и с собственной частотой ФО дейстпует
сила f(t) в течение времени 't (рис. 3.14), то импульс силы, ИJIII

116 rл. 3. КОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕЙ силы
l{Оличество движения, которое сообщается телу массы т, равно
'с
mv (..) == S f(t) ае.
о
(3.2.14)
Пусть на маесу т действует импульс силы, но мы не учитываем
действия на ту же массу упруrой силы пр ужины и силы трения;
Torдa скорость Vo, которую импульс сообщает массе т, с точ.
IIOСТЬЮ дО малых поправок, равняется
'с
V o ==  5 f(t) dt.
о
(3.2.Щ
Если время действия.. импульса силы f(t) мало по сраввепиВl
с периодом Т колебательной системы (рис. 3.15), т. е. Т ..
J:
f
l'
t
t
Рис. 3.14. rрафик им
пульса силы
Рис. 3.15. Действие импульса силы
на колебательную систеу
или 21&/ ro .., и если припять, что .. мпоrо меньше собственно!"
времени устаповления l\ОЛIJбаниЙ в систем о t u == 1/6, т. е. ..  t l
-то с Достаточноii точностью МОilШО считать, что D момент t ==
смещопие х массы т раuш) lIУШО (х  О), а Vo =t= О и определяетс.
выражением (3.2.15). ,
При указанных выше условиях после окончания действи
импульса силы. истема колеблется как свободная с заданно.
начальной скоростью V o и со своими характерными параметраМIJ
затуханием {j и собственной частотой (1)2 == (I)  б2. Наблюдая
измеряя эти колебания, можно определить скорость vo. Скорос!
Vo определим из соотношения
х (t) ==  e! cos (rot   ) ==  e! sin (rot). (3.2.11
Бремя t l (четверть пориода затухающих 1ЮJюбапий), необходим(
.системе для достижения аМПЛИТУДТlОl'О значения колебани
..t(t l ) == а1, вычисляется из соотношения
t 1 == ..!. arctg !Е.. == ..!. arctg V 4Q  1.
(J) () (J)

 3.3. RОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕйНОй СИСТЕl'trg
97
Теперь уже с учетом написанпых выше соотпошений можпо
определить количество движения (импульс)
mvo == тa1' (3.2.17):
rдо   коэффициепт баллистической постоянпой прибора, равный
R 00 бt 1
t'e
 sinoot 1 .
В зависимости от назпачения баллистическоro прибора зпаче
пин т, а следова'Тельно и Т, MOryT 'Выбираться в пеКQТОРЫХ
Прселах. Хотя точпость прибора повышается с увеличением т
вследствие ЛyчПIе1'G выполнения неравенства Т  Т, при этом,
однако, уменьшается чувствительпость (пропорциональная ),
И !I()ЭТОМУ В приборах тако1'О типа наблюдается противоречие
)dР/[ЩУ точностью и чувствительностью.
Если оценить максимальную поrpешность в определении им
пулr,са, ВОЗНИ1\ающую изза неучета действия упрyrой силы и
силы трепия на массу т во время воздействия импульса сИЛЬ1
на J\Олебательпую систему, то окажется, что суммарная ошибка
JЮ превышает 1 %, если сила f (t) имеет пря:моyroль:пyio форму,
т === 100. и Qo == 10.
.J
 3.3. вьтуждениыe Rолебапия в нмивейпой консервативной
системе при rармоннческом силовом воздействии
При воздействии rармонической силы на линейную систему
в JI{'ii, I(ак хорошо известно, возникает l'армопический вынужден
вый процесс с частотой вынуждающей силы и с амплитудой,
определяемой параметрами системы, частотой и внешней силой.
В 'rастности, при совпадепии частоты воздействующей силы с
частотой свободпых колебаний системы' в ней при отсутствии
ПОТРJ!I. (т. е. в случае консервативной системы) возбуждается
беСl\ОПО'lI/О J/l1рl1стающий вынулщепный колебательный процесс,
соотвеТСТJI)'JOщиii Нllетуплепию резонанса. Однако если попреж
нему раССМlll'р ItlllI '1'1. liоrн('rIlПТИВПУЮ, по пелинейпую систему, то
вследстпи() IЩ:ШОЩII()!\ 1I1 1 Н:Ю\!lОНII()СТИ при n()зпиюronопии в. пеil
ко!rебаllИЙ YCJ1011ll{\ pO:lOllllllt'l\ е. иам(нн1ПИСМ а мпЛИТУДЫ колеба
в1fЙ мошет И3ИОJIИТI.сft, It n ;JTuM СЛУ'IQQ мыслимо установление
конеqпой а мплитуды DЫnУЖДСШI()rо .ко лебания при любой часто--
т евоэiIеиствия. '
 Как и исслеДQвание липейпыx систем, изучепие вьmуждеНRЫХ
колебапий в идеализированных копсервативных системах дает
нам цчень MHOl'O ценных сведепий о протекании CaMOl'O явления
в реальных диесипативных системах. Для пелипейных систе. это,
вероятпо, еще более справедливо, так как для брльmоro класеа
явлений в таких систесмах основными факторами, определяющи
hlII характер вынужденпых процессов, служат именно не линейные
7 п, п. Миryлин и др.

98 rл. 3. RОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕйСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕй силы
свойства элементов, а не наличие затухания, как было в лищ)й
ных системах.
В данном паРЮ'Рафе нас будут интересовать исключительно
вынужденные процессы, и поэтому мы не будем рассматривать
вопросы, сnяэанные с установлением вынужденных движений,
в особенности учитывая, что в консервативных системах они про
текают принципиалыIo иначе, чем в реальных диссипативных.
"Укажем лишь, что в реальных системах BCel'Aa можно выбрать
такой интервал времени после начала воздействия, по истечении
KOTOpOl'O в системе будет cyrцecTBoBaTЬ практически только чисто
"
вынужденное движение, не эависяrцее от начальноl'О состояния
системы, ТОl'да как в консервативных системах это принципиаль
но невозможно.
Даже при анализе наиболее ПрОСТОl'О случая l'армоническоro
воздействия на нелинейную консервативную систему, вообпw
rоворя, приходится сталкиваться со 3l1ачитольными ТРУДНОСТЯ1I
и нет возможности уназать удобные апалитичеСI}ие методы pac
смотрения подобной задачи.
Нахожденио J\ЫНУЖl\tнIНоrо решепия нелинейноl'О уравнения
BTOpOl'O порядка, ОJ/исывающвrо J\онсервативную нелинейную K
лебательную систему с одной стопон},ю СDободы при периодиче
екой вЫнуждаюrцей силы, :можно осуrцествить, отыскивая это
решение в виде ряда Фурье с основной частотой, равной частоте
воэдействуюrцей силы
N
Х ==  [(а n cos (npt) + Ь n sin (npt)],
n1
rде р  частота воздействия.
Тоща после подстаНОПJ\И ряда с достаточно большим числом
членов n исходпое уравнопио Щ>ИIЩИllИаJIЫro JIOЗМОЖНО, произве
дя СООТll(jтствуюrцие триrОНОМОТРИЧ(jСКИО нрообразования, полу
чить систему аЛl'l1браИЧ<1СJШХ уравнениЙ l\JIЯ отыскания коэффи
циентов а n и Ь n . Таким путем в принципе можно находить зна
чения а n и Ь n и определять их зависимость от параметров системы
и характера воэдействуюrцей силы, которая может быть представ
лена в виде ряда Фурье с компонентами частоты р, 2р, 3р, ...
.однако такой путь весьма l'ромоздок и сложен, и в редких
случаях с ero помоrцью удается решить задачу достаточно полно,
а мноrие cyrцeCTBeHHыe особенности поведения нелинейных KOH
сервативных систом, паходяrцихся под внешним периодическим
воэдействием, не JIыJJляютсяя достаточно отчетливо. Поэтому мы
Оl'раничимся лишь некоторыми частными случаями и отдельными
приемами, поэволяюIЦИМИ JIЫЯСПИТЬ паиболео характерные CTO
роны рассматриваемоro явления.
\' Рассмотрим проотейшую нелинейную консервативную си
стему, описываемую уравнением х == f(x). При воэдействии на
вее rармонической силы Р cos (pt) уравнение, описывающее ее

!I 3.3. КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕйной СИСТЕМЕ
99
IOпедение, не'Обх'Одимо записать в виде
x j(x)==,Pcos(pt). (3.3.1)
Из 'Общих СОQбражений вытекает, что вынужденное решение
J;ОЛЖНО иметь тот же период, что и вынуждающая сила, и co
J;ержать компоненту а cos (pt).
Принимая, что система не слишком далека от линейной и эта
.юмпонента с частотой, совпадающей с частотой вын;ужД;ающей
илы, является доминирующей в общем выражении для вынуж.
eHHoro npоцесса, мы в качестве OCHOBHoro (первоrо) прили
жения будем раосматривать реш
z / ") ние х  а cos (pt).
При этом, разумеется, наиболее
интерооными будут выводы об
амплитуде э'l'Oro процесса а, так
lal
/
rJ
)
р2
Рис. 3J7. Зависимость ампли.туДЫ
вынужденных колебаний от частоты
воздействия в системе с «жесткой
иелинейвой возвращающей сИлой
шк вполне очевидно, что -особенности формы деЙСТБите'льноrо
:rроцесса здесь просто OIIIускаю1'СЯ.
Если искать вынужденное решение в форме х  а cos (pt),
"о уравнение (3.3.1) будет иметь вид
p2a сов (pt)  j (а сов (ре) ) == р cos (pt) . (3.3.2)
aK как ОIIО должно УДО!lJНJТllОрЯТЬСЯ при любых значениях ар.
yмeHTOB, то необходимо потребовать, чтобы
Ha)  Р + р2 а . (3.3.3)
'еrпение этoi'О уравнения удобно получить rраф:ически (рис. 3.46).
троя заданную функцию z ==  f (а) и прямую z == Р + р 2 а, мы
 точке их пересечения получим искомое решение а, .Т. е. Jщйдеи
АМПЛИТУДУ приближенноrо rармоническоrо решения. Для разных
:> и р2, т. е. для различных амплитуд и частот воздействия, можно
":Iайти значения а и построить соответствующие кривые а(р) для
JИс. 3.16. l'рафичсское ОIlределе
.ше амплитуды вынужденных KO
"Iебаний в нелинейной системе
..

100 rл. 3. RОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕйствИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕй СИЛЫ
различных Р, т. е. построить некоторый !l.налоr резонансным
кривым для резонанса в линейных системах. Изображенный на
рис. 3.16 rрафик функции f(a) характерен для «жесткой» упру
rой силы. При этом, как обычно, принято, вопервых, что /(0) ==
== о; B()BTOPЫX, упруrая сила антисим'Метрична, т. е. Ha) ==
=== f(a); в третьих, для малых амплитуд а система близка к ли
нейной, и в четвертых,  f (а) > О, ибо сила возвращающая.
Для f(a), имеющей характер, показанный на рис. 3.16, эти
кривые а(р) имеют вид, изображенный на рис. 3.17, rде показа.,
пы три такие кривые, соответствующие трем значениям P(Pt> .
> Pz > Р з ). При Р == о получим кривую, изображенную штрихо
вой линией; она соответствует собственной частоте свободных
колебаний 00 изучаемой системы при различных амплитудах и
называется селет1IOЙ кривой. Рассматривая характер п()лучен '
ных резонансных кривых, мы замечаем следующее: при частоте
воздействия р, меньшей частоты свободных колебаний 000, в систе
ме всеrда происходит однозначно определяечое . Rолебательное
движение с амплитудой, зависящей от величин Р и р. Rоrда в
процессе cBoero изменения р становится больше 000, то, начиная
со значения р > 000, в системе, кроме существовавшеrо ранее
движения, оказываются DОЗМОЖПЫМИ еще ДВа колебательных
npоцесса с различными амплитудами. При этом амплитуда ис
ходноrо вынужденноrо Процесса с ростом р продолжает расти
(область А), амплитуды же двух вновь появившихся решений
изменяются так, что одна из них растет с ростом р (область С),
друrая уменьшается (область В). Линия раздела этих областей
показана на рис. 3.17 штрихnyнктирной кривой, и она проходит
через точки амплитудных кривых с вертикальными касательны
МИ. Таким образом, если для задаппой амплитуды Р воздейству
ющей силы ее частота р И3МОIIЯОТСН, пачиная с малых значений
до любых сколь уrодно больших ЗШ1ЧСllиii и обратно, мы получим
однозначпоо решоние, соотвотствующее одной из ветвей резонанс
ной RРИВОЙ в области А. Заметим, что здесь нас интересовало
ЛИllIЪ абсолютное значение величины а, а знак амплитуды, свя
занвый с возможным изменением фазы на п, не учитывался.
Отметим лишь, что колебания в областях А и В для одной и
той же амплитуды внешней силы р отличаются дрyr от дрyrа
по фазе на п.
Если же рассматривать поведение амплитуды вынужденноrо
движения, пачипая с больших значений р, то мы будом двиrатъ
ся по ветви резонапспой кривой в области В в сторопу уменьше
ния р и роста а до той точки, rдо касательная к резонансной
кривой станет вертикальной. Дальнойшео умепьшение р может
сопровождать\:'я лишь скачком амплитуды вынужденноrо Коле
бания а на ветвь кривой в области А и дальнейшим И3iМенени
ем а в соответствии с формой этой части резонансной кривой.
T образом, мы не обнаружили eCTecTBeHHoro хода процесс а,

!! 3.3. НОJIEВАНИЯ В НЕЛИНЕйноn СИСТЕМЕ
НИ,
IIрИ котором система оказалась бы на ветви резонансной кривой
в области С. Это соrласуется с тем, что строrий анализ особен
ностей всех трех типов решений показывает неустойчивость
движений, соответствующих области С, в отношении любых сколь
уrодно малых вариаций параметров.
Правда, не следует придавать слишком большоrо ЗJIaЧfЕИЯ
сделанным выводам о вынужденных колебаниях при больших а
и сильных уклонениях р от Фо, так кан в зтих условиях действи
тельное движение может значительно отличаться от rармониче
cKoro и допущения, положенные в основу построения paCCMOT
ренной картины резонансных кривых, станут несправеДЛИБыщr,
не rоворя уже о расхождениях, связанных с заменой реальной
систе консервативной. Однако если оставить в стороне вопрос
о поведении реальной системы при увеличении р, сопровождаю
щемся ростом амплитуды а до болыпиx значений в области А,
то мы можем выяснить весьма характерные особенности резо
нансных явлений в нелинейных системах.
Изобразив резонансную кривую для некоторой заданной а:мп--
литуды воздействия Р === const на отдельном чертеже (рис. 3.18),
отметим следующие особенности.
Вопервых, отсутствие бесконечно Idl
на растающей амплитуды а при
совпадении р с Фо, что является
следствием неизохроппости К()ЛО
БUI1иii ]\ !lРJ!ИI10ЙНЫХ систома х.
ПОIIТОР'" Х. !Н ' Оl\l1О:1II1' '(НОС,... 11 P()
ТОЮ\llИ/I ЛlIJll'пи!f n :ILlПИСИМОСТИ от
IIаПр/1IIJtOJШII измопения частоты
]ЮiIJ\I1ЙСТВИЯ.
С ростом р, начинающимся от
МElJIЫХ значений, амплитуда а
растет монотонно. При уменьше
нии р от болыпиx значений в
сторону ФО сначала а растет монотонно, затем в точке р,2 COBep
шает скачок и далее уменьшается, а при увеличении р ампли
туда монотонно растет.
В дальнейшем мы увидим, что более полное рассмотрение
задачи указывает на наличие BToporo скачка а, который COOTBeT
ствует перебросу а с ростом р с ветви А на ветвь В, 1!.О в области'
значений р, превышающих величины, характерные для СRачка
с В :На А.
V Рассмотрим теперь ту же задачу приближенным аналитиче
СНИМ способом, методом еаРМОlluчеС1;.оео балаllса.
ДЛН исследуемой системы, находящейся под rармоничеС1\ИМ
воздеЙСТIIИОМ, используем уравнение (3.3.1). 3адавIПИСЬ rармови
ческим решением
Ыб р'2 /}
Рис. 3.18. Резонансная Iq>ВВая
ДЛЯ Rонсервати:ввой неJlИВейвой
системы с жесТRОЙ ВeJШВеii:
ностью
х == а cos (фt) + Ь sin (фt),
13.3.4):

102 rл. 3. НОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕй СИЛЫ
получаем для р == о
аф2 cos «(j)t)  ЬФ sin «(j)t)  f (а cos «(j)t) + ь sin «(j)t) ) == О, (3.3.5)'
rде f (а cos «(j)t) + ь sin «(j)t) )  периодическая функция с периодом
2n/ 00.
Если разложить f(x) в ряд Фурье, то очевидно, что только
члены с cos «(j)t) и sin «(j)t) будут в сочетании с х давать тожде
ственно нуль, как Toro требует уравнение (3.3.5). Члены же с
высшими rармоническими составляющими не будут скомпенси
рованы, и это является естественным следствием сделанноrо дo
пущения о rармоничности искомоrо решения.
. Таким образом, если представить функцию в виде ряда
! (а cos (rot) + ь sin«(j)t)) ==
00
00
==' (%1 cOS{(j)t) + 1 sin «(j)t) +  (%11 cos «(j)1I t ) +  n sin «(j)nt), (3.3.6)
n2 n2
то, пренеброrая (%п Н n для n ;;:з. 2, можно записать
«(%1  а(2) cos «(j)t) + (I  Ь(2) sin «(j)t) ==, О. (3.3.7)'
Заметим, что постоянный член в фурьеразложенин функции
 f(x) должен равпяться ПУЛЮ, как СJIодует из caMoro существа
задачи.
Из уравнения (3.3.7) получаем два условия
аф == (%1, Ьф2 == I' (3.3.8)'
Для свободных колебаний оба уравнения совершенно иден
тичны, так как ввиду произвольности выбора начала отсчеТ{l
врЕ!мени зпа '!ОПНе х можот быть с раппым успехом выражено
через cos«(j)t) или sin«(j)t) н их Iюмf)иIНЩИЮ. I\'о:эффициенты (%1
и . I опреДСJIЯIOТСЯ из СООТJЮllЮllиii, IIJНI I1UХО1IЩОПИЯ коэффици
ентов Фурь()
+n/оо
(%1 ==  : 5 f (а cos «(j)t) + ь sin «(j)t)) cos «(j)t) dt,
n/ы
+n/оо
1 ==  S f(acos«(j)t) + bsin«(j)t))sin«(j)t)dt,
n/ы
или, иначо,
+n
(%1 ==  * s f(acos1: + bsin1:)coS'td.,
n
+n
1 ==   s f (а cos 1: + Ь sin 1:) sin 1: d1:,;
n
rде 1: == (j)t.
(3.3.9)

!! 3.3. НОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕйНОЙ СИСТЕМЕ
Ю3
Используя соотноmение (3.3.8), определим частоту свободных
нолебаний
+л:
ф2 == ..!.. S f( а cos т: + ь sin т:) cos т: dT,
an
л:
или
+л:
ф2 ==  b S f (а cos т: + Ь sin т:) sin т: dT.
л:
(3.3.10)
Для заданноrо вида функции f(x) можно, произведя COOTBe
ствующе интеrpирование, цайти (j) в функции амшштуды., a
пример, при начальных условиях t == О, х == а, х == о получаем
х == а cos «(j)t), ь == О и тоrда используем первое из выражени;й
(3.3.9) .
Пусть для примера  f (х) == ФХ + вфх3. Тоrда
 f (а cos т:) ==ф а cos т: + вфа3 cos 3 1',
'О)
или
 f (а cos т:) cos т: == Фа cos 2 т: + вфа3 cos 4 т: ==
( 1 2 3 2 3 \ ( 1 2 1 2 3 ) 2 1 2 3 4
== "2 фоа + "8 вФоа J + '2 фоа + '2 вФоа cos т: + "8 вФоа cos т: .
rr ри атом ИIIТ(II'fJIIJI I"IIIIШ
11
J J (а сuи) сои dT == ( i Фа +  вФа3) 2л;,
11
а выражение для неизохронной частоты при обретает вид
2 2 (1 3 2 )
(j) == ФО + 4" ва .
(3.3.11)
Найденное выражение для частоты свободных колебаний He
сколько отличается от выражения (1.4.18) , полученноrо при
использовании метода последовательных приближений для кон-
тура с нелинейной емкостью. Однако с точностью до членов с
более высокими степенями З/ва2 эти два выраженияприводятся
одно к друrому, а различие, существенное при не СЛИlПКом ма-
лых значениях BaZ, связано с тем, что в методе последовательных
приближений мы используем не чисто rармоническое реmевИi',
tI У'lИтываем наличие BЫcmвx (например, третьей) rармониче-
ских составляющих.
Для "рyrих типов нелинейностей мы, eCTeTBeHHO, получили
бы друrио выражения для частоты свободных колебаний нели-
вейной системы при конечных амплитудах колебаний. /Эти COOT
..:-

104 rл. 3. КОЛЕБАНИЯ под ДЕйствИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕй силы
ношения, характеризующие зависимость частоты свободных KO
лебаний от их амплитуды, дают нам приБJШженное матемаТИЧEr
ское выражение свойства неизохронности данной системы.
Разобранные npимеры с нелинейной емкостью показывают, что
с ростом амплитуды колебаний возрастает действующее значе
ние ее. «жесткостю>, т. е. уменьшается дейсТвующее значение
емкости. Подобная «жесткая» система в соrласии с полученны;ми
выражениями характеризуется возрастанием частоты колебаний
с ростом их амплитуды, т. е. с увеличением сообщенноrо системе
аапаса колебательной энерrии.
Очевидно, что для обратной зависимости жесткости системы
от амплитуды колебаний, т. е. при уменьшении той величины
(росте действующеrо значения емкости электрической коле6,а
тельной системы) с возрастанием ампJШТУДЫ колебаний, мы 6у-:
.дем иметь уменьшение частоты спободпых I\олебаний при увели:'
чении их амплитуды. ПО/\оuную закономерность нетрудно полу
чить, например, если в выражениях, аппроксимирующих нели
нейпые свойства системы, считать в < О. Тоrда соответствующие
-соотношения, поро"ающио свойства неизохронности системы,
дадут ,,\акон уменьшения частоты (j) с ростом амплитуды, т. е.
-с увеличением сообщснноrо системе общеrо запаса колебательной
энерrии (рис. 3.19).
Следует еще раз подчеркнуть, что найденные выражения,
равно как и использованный метод расчета, являются при6ли
женными, npиrодными лишь для ДO
ста точно малых значений в, причем
чем меньше в, тем до ббльших зна
чений амплитуд можно npимеШlТЬ
юн- рI1С'roты, так и полученные co
fJТllонrrllИЯ. I\ритерием для подобной
<щt'IIIШ может служить неравенство
'ва 2 1 < 1. (3.3.12)'
Возвращаясь к анализируемой
эадаче, рассмотрим теперь случай
действия внешней силыI на систему,
т. е. Р  О. Torдa, ОТЫСRИБая реше
ние с частотой внешней силы в Ha
шем приближении, положим
х == acos(pt) + Ь sin(pt) (3.3.13)'
и введем обозначение pt == 1', И;J уравнения (3.3.1) следует, что
1
ap2 cos 't'  Ьр2 Sill l'  f (а cos l' + Ь sin 1') == Р cos 1'.
Пренебреrая высшими rармониками фурьоразложения, получим
. два уравнения
\П! 
eO
II/(a!
(,)2(а l
е<О,
I Я8/((jЯ
: I/ПРiрfJЯ
, С{JЛ{f
(,)2
О
Рис. зJ9. rрафики измене-
ния частоты собственных
колебаний с ростом ампли
туды для мяших И жеСТЮIХ
систем
р2
а1  ар2 == Р, 1  Ьр2 == о.
(3.3.14).

tI 3.4. УМНОЖИТЕЛЬ ЧАСТОТЫ СНЕЛИНЕйНОй EМRОСТЬЮ 105
Здесь, как и раньше,
+л:
(%1 ==   s 1 (а cos 't + Ь sin т) cos 't ат,
л:
+11
1 ==   s f(a сои + Ь sin 't) sin 't d't.
л:
Используя соотношение (3.3.8), находим
;:Zta(j)2  ар2 == Р, ф2  Ьр2 == О, (3.3.15)
rде, как и раньше, (j)  частота COДHЫX колебаний в системе
при данной амплитуде. Так как соотношения (3.8.15) должны
быть справедливы при любых р и Ф, то второе из этих уравнений
может удовлетворяться лишь при Ь == О. Тоrда из nepBoro ypaB
нения (3,3.15) получаем
Р
а== 2 2'
(j) p
rде,)как указывалось, ф2 есть функция а. Изменение знака зна
менателя соответствует измене
нию фазЫ колебания х == а cos 't 1111
на n, т. е. на 1800.
В таком виде исследованио
резонансных СВОЙСтв достато'l
но затрудпителыI.. ПО;JТОМУ рас-
смотрим :JаНИСИМОСТf, р2 от а.
Имея )\ШI lЩППОЙ системы
определенную, уже подсчитан
ную зависимость (j) от а, можно
построить кривую ф2(а) и за
тем, задаваясь различными зна
чениями ::!::а, найти COTBeTCT
вующие им значения р2 и по
полученным точкам ПОСТРОИТЬ
резонансные кривые для раз
личных Р. Таким образом, МОЖ
но построить И иаУЧИТf, fЮlJОДОIfИО ро30пl\пспыx кривых исследу
, мой системы и ВПОlJJ, пuлучить те же особенности протекания вы...
нужденных колебаний, которые уже отмечались выше (рис. 3.20} .
6/([,')
/
./ /
./ /
, ///
//
I
/ I РС
 }

(,)3 Р/
р'
Рис. 3.20. Построение резоИ8ВСIШX
кривых для системы с веливейвой
возвращающей силой: р2 == ro-(a) :t:
. :t: P/lal
 3.4. Приближенное рассмотрение работы УМИОЖИТeJIВ частоты
с НeJlинейвой еИRОСТЫО
в предыдущем параrpафе мы рассмотрели вынуждеюше ко...
лебавия, возбуждаемые в слабо нелинейной кО'Всервативвой св...
стеме rармоничесRИМ внеmвим воздействием. Определение слабой
велинейности в нашем толковании основано на БJIИЗОТИ весле...

106 rл. 3. НОЛЕБАНИЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ вын'ждАющЕйй СИЛЫ
дyeMOI'O :колебательноI'О процесса :к соответствующему :колеба
тельному процессу, происходившему в линейной системе. Поэто
му, как указывалось ранее, даже для существенно нолинейных
:консервативных систем в большинстве случаев *) можно найти
такую область амплитуд свободных или вынуждец.ных колебаний,
оставаясь внутри которой нам удается с требуемой точносI'ЫО
описывать процессы методом I'армоническоI'О приближения. Од:"
на:ко подобное ОI'раничение исключает из нашеI'О рассмотрения
ряд особенностей протекания колебательных процессов в нели
нейных системах.
В самом деле, из общих :качественных соображений ясно, что
в нелинейной системе при rармоничес:ком воздействии вынужден
I u u
н!>ш процесс не чисто I'армоническии и содержит I'армоничеСIOlе
:компоненты высших частот, :кратные частоте воздействия.
:Эти высшие I'арМопичеСJ\ИО J\ОМ[/ОПОПТЫ достаточно малы, по
ка система для l(атlllОЙ аМПЛИТУ1(Ы lЮJlебаний СJID.бо нелинейна,
но возрастаЮ'f 110 мрро роста D.МlIЛИТУJl,Ы вынужденпых :колеба
пий. Если частота Ol(llOii иа JlоаIlИ'ОТТИХ ЗD. счет нелинейности
системы I'армоничеС1\ИХ lЮМПОПОIlТ блиака :к собственной частоте
колебапий системы, то аМlIJlИтуда :JТОЙ компоненты может cy
щественно возрасти. n ИТОI'О l1рИ исходной I'армоничес:кой BЫ
нуждающей силе результирующий :колебательный процесс может
иметь характер весьма далекий от I'армоническоI'О с резким yвe
личением амшштуды тех :компонент, частоты :которых лежат в
резонансной области. При этом, естественно, от вида нелинейных
зависимостей (тип нелинейности) существенно зависит возмож
ный хараl(тер результирующеI'О процесса.
Это свойство пеЛИНОЙllЫХ СИСТРМ используется в умножителях
частоты, 11 IЮТОРЫХ за C'IPT {'ООТIIОТСТII('II110 подобранной нели
нейности системы при rарМОIIИ'Il'С1ЮМ (ИJIИ uлизком к нему)
воздеЙСТIJИИ 1I0зникают lЮJIОUUIIИН :I1IН"lитt'J1ЫlОЙ амплитуды с
частотами, I,РnТНЫМИ частоте воздействия, Подобпые умножители
частоты с катушками индуктивности с ф()рромаrнитными сердеч
никами, :конденсаторами с сеrнетоэле:ктричеСI\ИМИ ди;)лектриками
или друrnми нелинейными элементами позволяют производить
jнеРI'етически эффективное умножение частоты в 3, 5 и более
раз в одном элементе. Из нечетности функций, аппро:ксимирую-
щих нелипейпые характеристики соответствующих катушек
и кондепеаторов, елдует, что в yRазанных уетройствах эффе:к
тивное умпожеllИО частоты возможно лишь в печетное число
раз.
.) Исключением, копечпо, будут те случаи, lюrда функция, описываю
Щa1l нелипейные свойства системы, имеет особонность в точке а === О и в
Q,кIJeСТНОСТИ этой точки не может быть разложена в степенной ряд с ко-.
He'IIIЬЦI числом членов. R числу таких систем, например, относятся меха..
ничеСКИе Системы с люфтами.
I

!I 3.4. УМНОЖИТЕЛЬ ЧАСТОТЫ СНЕЛИНЕйНОй ЕМНОСТЬЮ 107
Для соотве1'ствующеI'О приближенноI'О расчета подобны.х про
цессов целесообразно пользоваться следующими элементарными
приемами. Исходя из известной (например, полученной экспери
ментально) определяющей свойства системы нелипейной зависи
мости необходимо выбрать ее математическую аппроксимацию.
Наиболее удобна полиномиальная аппроксимация. Наивысшую
степень аппроксимирующеI'О полинома следует выбирать исходя
из условий желаемой точности аппроксимации реальной физи
ческой зависимости в используемом интервале значений перемен
ных и, что самое важное, из ожидаемой кратности умножеН!JЯ
частоты. Можно просто выбрать высшую степень полинома paB
ной номеру интересующей нас I'армоники I'армоническоI'О воз
действия. Считаем, что собственная частота системы близка к
частоте этой I'армоники и составляем уравнение системы. Реше
ние ищем в виде суммы компонент с частотами р, 3р, 5р, пр,
rде n  кратность умножения. Подставляя предполаI'аемое p
шение в уравнение движе.ния (3.3.1), разлаI'аем нелинейную
функцию f(x) в ряд Фурье по частоте р, начиная с основной
частоты и до членов с номером n. Из полученных выражений
можно составить систему n уравнений для нахождения амплитуд.
Как уже yRазывалось выше, этот прием, обладая общностью,
приводит к весьма I'ромоздким вычислениям и может эффективно
применяться лишь для отдельных случаев.
Рассмотрим, например, J\олобания в полинейпой копсерватив
.ной системе с ко'Влепсатором (', соrпото;)лектриком при достаточно
большой амплитудо l'арМОI!И'IОСIЮI'О llоздействия, причем собствен
ная частота малых свободных колебаний системы близка к YTp()
енной частоте воздействия (утроитель частоты). 'Урайнение в
такой системе запишется в виде :
а'
L а: + ис === Ро cos (pt), (3.4.1)
rде Ро cos (pt)  внешнее воздействие.
Пусть ис === (1/С о ) (q + Bq3), что достаточно хорошо СОI'ласуется
с экспериментальными зависимостями для нонденсатороп с ceI'
нетоэлектриками разных типов. Torдa, JJПОДЯ обозначепия1jLС о .===
=== (O и Pr! L === Р, получаем
а 2
....f + (O (q + вq3) ===Р cos(pt). (3.4.2)
dt
Вводя новБlЙ масштаб времени 't === pt, преобразуем это нелиней
ное уравнение к виду
p2q + (O (q + вq3) === Р сои.
(3.4.3)
Таким образом, мы вновь получили уже известное уравнение
типа p2ij+ f(q)==Pcos'('t) (см. (3.3.1». Однако в этом случае в

108 rл. 3. КОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕйСТВИЕм вынуждАЮЩЕй СИЛЫ
соответствии со спецификой задачи ищем решение в виде суммы
двух компонент:
q == аl cos . + аз cos 3.,
(з.4.4J,
и Тi)I'да имеем
ij == a! cos .  9аз cos 3..
Оставляя в разложении f (q) в ряд Фурье только члены с cos 'r
И cos3. и приближенно положив f(q)==(%lcos.+a.cos3., по-
пучим систему двух уравнений
p2al + СХI == Р, 9р2аз + сх, == о, (з.4.5}
rAe ;'1 == (j)'Фl (а 1 , аз), аз == (j)'Ф2 (а 1 , аз).
Для выбранноrо вИда нелинейности f (q) == Ф'Р (q) ==ф (q + вq3)
имеем
2 ( 3 2 3 2 3 3 )
а 1 == (,)0 \a L + 2 еа 1 а з + 4" еаlаз + 4" М l ,
2 ( f з 3 2 3 3 )
аз == ФО аз + 4' еаl + :r talаз + "4 ta з .
Для свободных колебаний системы снелинейностью (Р == О) по-
лучим уравнения
ф2а1 + (%1 == О, 96)2a, + (х, == О. (3.4.7)
Здесь (j)  основная частота свободных колебаний нелинейной
Системы, заменившая частоту р, которая задавалась внешним
воздеЙСТllием. Последняя СИСтема aeT два соотношения ф2 ==
== сх/ аl, ф2 === аз/9а., из которых опроеляотсл СООТlIошение меж-
ду аl и а.
(3.4.6)
а/а! === схз/9аз,
(3.4.8)
.'
а для заданных начальных условий  форма колебаний, т. е.
отиосительные амплитуды свободных колебаний основной часто
ты и третьей rарм:оники; частота этих колебаний задается соот-
ношением ф2 === а/ аl или ф2 == аз/9а.. Нетрудно убедиться, что
частота таких свободных колебаний будет равна
 2 (1 3 2 3 3 2 )
ф == (1)0 + 2" еа з + 4' еа 1 а з + 4" Мl .
(3.4.9)
. 2
Как мы видим, ф2 ОТЛИ'lается от ФО лишь па величину порядка 8.
Иначе обстоит дело при паличии 1I()3ОЙСТЛИЯ (Р.р О). Тоща
частота возбуждаемоrо колебания будет задаваться внеПUffИМ воз
действие:и. В рассматриваемом случае частота ФО близка к 3р.
В реэулътате соотношение между амплитудами OCHoBHoro коле-
бания и ero третьей rармоники должно быть совсем иным.

!I 3.4. УЫНОЖИТЕЛЬ ЧАСТОТЫ СНЕЛИНЕйной ЕМRОСТЬЮ 109
Для определения а! и аз имеем систему
p2a! + а! === Р, 9р2аз + аз >== о. (З.4.10
Заменяя в первом уравнении а! на (О 2 а!, rде попрежнеиу
(1)2  квадрат частоты свободных колебаний нелинейной системы,
получаем p2a! + (О 2 а! === Р, откуда а! === Р/ ((02  р2).
Так как (о  (00 (с точностью до величины порядка 8)", а (00 
 3р, то можно, не делая существенной ошибки, заменить (02
на (o и получить выражение
р
a 1 === 2 2 ,
<oop
откуда с той же степенью приближения а! === Р/8 р 2.
Для определеНия аз воспользуемся соотношением
+ аз === о; тоrда
9 2 2 ( 1 3 3 2 3 3 ) О
)  р а з + (00 аз + TW,l + '2 ваlаз + т ва з == .
(3.4.11)
9р2аз +
(3.4.12)
Вводя относительную расстройку , определяемую как
9p2/(O === 1 + s,
(3.4.13)
получим из соотношения (3.4.12) уравнение третьей степени от--
носительно аз:
3 з ( 3 2 t ) f 3 О
'4 w,з + 2" W,l  '" аз + 4' W,l == .
Положив  === вА, имеем
а: + Dа з + [ff == о,
(3.4.14)
rде D == 2a  '/зL\, [ff == l/за.
rрафическое рассмотрение полученноrо уравнения позволяет
найти качественные особенности амплитуды колебания утроенной
частоты аз. Перепишем уравнение (3.4.14) в видеа: ==  Dа з  [ff
и построим rрафик левой и правой частей этоro уравнения в
функции аз.
 3
Значение [ff == 1/ за1 > о, так как а! всеrда больше нуля при
(1) . 3р. В зависимости от величи:пы L\ меняется наклон пряыой
z ==  Dаз ;s и соответственно получаются ра3ЛИЧIlЫе (одна, две
или три) точки пересечения этой прямой с кубической параболой
, З
Z == аз (рис. 3.21), соответствующие решенияы исслеДуе){оrо
уравнения. примервый вид кривых, изображающих зависимость
абсолютноrо значения амплитуды lазl от А, показан на рис. 3.22.
При А' == 3/2a == L\ имеем D == О и амплитуда I а з \ == a 1 !Y'з.

110 rл. 3. НОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕйСТВИЕМ ВЬШУЖДАЮЩЕй СИЛЫ
Эти нривые нелинейноI'О резонанса для жесткой системы по
казывают, что значительная амплитуда утроенной частоты 3р,
т. е. эффективность умножения частоты, требует вывода рабочеro
режима системы в область достаточных расстроек (6 или ).
Лиmь в этом случае при режиме колебаний, отвечающих ветви А
(см. рис. 3.22), амплитуда колебаний тройной частоты может
стать достаточно большой. Вывод системы на данный режим дo
стиrается либо соответствующим выбором начальных усло
вий, либо постепенным изменением расстройки (пачиная, напри-
мер, от вачально1'О значения 6 ==  === О, т. е. от условия ЮО ==
== 3р).
Отметим весьма характерное обстоятельство, а именно то, чт('
эффективная работа умножителя частоты данноI'О типа при BO::'
растающей с амплитудой жесткостью системы требует наЛИЧИF
определенной расстройки соответствующей 3р> юо.
Из исследования дан пой задачи в консервативной идеализе
ции получаются также весьма важные выводы  возможноСТi.
Рис. 3.21. rрафическое построение
ДЛЯ определения амплитуды колеба
ния утроенной частоты
10'з1
113
[J
Рис. 3.22, rрафик амплитуды колео
ния утроенной частоты в системе ,
жесткой нелинейвостью
существования различных режимов колебаний тройной чаСТОТh
(ветви А и В на рис. 3.22) и зависимость устаповившеI'ОСЯ pE-
жима от начальных условий и «истории» системы. Эта особеБ
нОСТЬ анаЛОI'ична соответствующим свойствам paccMoTpeHHOI'O 1
предыдущем параrpафе резонансноI'О l1роцесса внелинейной CF
стеме при воздействии с частотой, бли3IЮЙ к собственной частот
колебаний системы, но в разбираемом примере она ПРОЯБляеТСЕ
по отноmению к третьему обертону воздействующей I'арМОНИЧt-
екой силы.

!i 3.4. УМНОЖИТЕЛЬ ЧАСТОТЫ СНЕЛИНЕйНОй ЕМНОСТЬЮ 111
J1ривятое вами пренебрежение затуханием системы привело
к вооможвости нооrраниченноrо роста аз с ростом L\ (см.
рис. 3.22). Очевидно, что этот вывод несправеДЛИА, и учет потерь
должен изменить картину процесса, в особенности в области
больших L\. Увеличение L\ от малых значений приводит к пере
ходу устойчивоrо состояния системы с ветви А на ветиь В pe
зонансной кривой (см. рис. 3.22), а возможность увеличения lазl
за счет выбора достаточно большоrо значения расстройки L\ orpa
ничена определенным оптимальным ,значениEW этой величины
(L\on.,,) .
Увеличение амплитуды воздействия Р дает рост значения lазl
при данной расстройке. Это следует из анализа корней кубиче
CKoro уравнения (3.4.14) и из ero rрафическоrо рассмотрения,
так как величина а! с большой степенью точности просто про
порциональна Р.
Интересно отметить, что в нашем рассмотрении значение 1 аз I
при заданных Р, р и ыо растет с уменьшением е, '1'. е. параметра,
характеризующеrо нелинейность системы. Это можно объяснить
следующим образом. Уменьшение е при заданных р и ЫО приво""
дит К увеличению L\ и, следовательно, к дальнейшему Уходу
системы по ветви А в сторону возрастания I аз 1, причем умень-
шение е ПрИБодит вместе с тем к увеличению крутизны ветви А,
что еще более ускоряет рост I азl.
Этот результат физически вполне попятен, так нак уменьше
ние е хотя и СОПРОВОЖ)ЩСТf1Я соответствующим уменьшением
«уделЬноrо веса» l'UРМОШI'IРСIШХ IЮМIlОIIСIlТ в процесс е вынужден.
ных колебаний системы в области, далекой от какихлибо резо
нансов, но зато уменьшение нелинейности системы приводит к
более сильному возрастанию амплитуды третьей rармоники, ча
стота которой лежит вблизи собственной частоты системы. МЫ
рассматриваем консервативную идеализацию, и поэтому. ампли
туда любой сколь yrодной малой rармонической составляющей,
возникающей за счет нелинеиности системы, может достичь боль
шой величины при надлежащей близости частоты этой компо
ненты к собственной частоте системы.
Следует лишь отметить, что R даппом случае будст возрастать
время устаповлсния СТ!lЦИОllарllоrо колебания умноженной Ча
стоты. Влиянисм же роста аМlIJlИТУДЫ третьей rармоники на зна
чение а! мы с caMoro начала пренебреrаем. Очевидно, что учет
потерь должен принципиально изменить указанные выше особен
насти. В самом деле, уменьшение амплитуды третьей rармоники
при уменьшении нелинейности соответствует уменьшению COOT
вет!<твующей доли энерrии, Torдa как потери считаются неза
висимыми от нелинейных свойств системы. Последнее Q,бстоя
тельство существенно изменит характер Щl.Виеимости амп
литуды третьей rармоники воздействия от степени нелинейностк
системы.

112 rл. 3. НОЛЕБАНИЯ под ДЕйСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕй силы
Однако выводы, которые не нуждаются в существенной KOp
ректировке при учете затухания и были получены нами при KOH
сервативной идеализации, весьма принципиальнЫ и дают MHoro
ценных сведений о работе практически важных систем умножи
телей частоты без активных элементов.
 3.5. Рассмотрение вынужденвых колебаний в cn:або нen:ивейных
диссипативвых системах при rармовическом СШIовом воздействии
метоДОМ rармовическоrо приБJIИЖеиия
:Как уназывалось ранее, не представляется возможным BЫ
бра ть единый эффективный метод для анализа вынужденных
колебаний внелинейной диссипативной системе с произвольной
нелинейностью и любой диссипацией при наличии внешнеrо
силовоro воздействия произвольной формы. Поэтому В первую
очередь необходимо сузить наше рассмотрение рамками опреде
ленных тинов воздействий.
Обратимся к особо важному случаю rармоническоrо воздей
ствия и из Bcero мноrообразия нслипейных диссинативных си
стем с одной степенью свободы выберем слабо нелинейвые си
стемы, в которых вынуждснные колебания при таком воздействии
также близки к rармоническим. Требование малости диссипации
не столь уж принципиально, но поскольку нас интересуют в
основном системы с отчетливо выраженными колебательными
свойствами, а не апериодические, то мы в нашем рассмотрении
оrраничимся случаями небольшоrо затуханИJl (малой дисси
пации) .
С учетом всех этих oroBopoK можно сформулировать задачу
следующим образом: требуется l1аiiти параметры (амплитуду и
фазу) приближенно rаРМОlIичеС1\Оl'О 1\ОJ1сБIlПИЯ, Dозбуждаемоrо
в слабо нслипеЙllОЙ l\олебатсJIыlii систсме с MaJIblM затуханием,
при заданной rармоничеСIЮЙ внеШllСЙ СИJ1е. С подобной задачей
мы встречаемся не ТОЛLIЮ при рассмотрении механических систем,
но и при анализе различных колебательных ценей в радиотехни
ческих устройствах при наличии нелинейных диссипативных эле
ментов (ПОЛУПРОВОДНИRовые приборы, радиолампы), а таЮRе при
использовании ферромаrнитных или сеrнетоэлектричесних MaTe
риалов в катупrках индуктивности и конденсаторах этих ценей.
Заметим также, что введение силы, действующей по заданно
му временному закону, например rармоничес:кой силы, весьма
непринужденно осуществляемос D электричесних системах, дo
вольно затруднительно реализовать в систсмах механических.
В самом деле, с помощью соответствующих устройств (напри
мер, с помощью индуктивной связи) в JJ1сктрические системы
леrко ввести э. д. с. с заданной временной зависимостью при л
бом ИI'новенном состоянии самой системы. В механической же
системе леrко задать определенное смещение, а задавие силы.

 3.5. РАССМОТРЕНИЕ МЕТОДОМ rАРМОНIlЧЕСlюrо llPИБЛИЖЕНИЯ 113
меняющейся по заданному закону, требует использования ДOCTa
точно сложных устройств, например тех или иных электромеха
нических приспособлений.
Итак, рассмотрим колебательную систему, описыпаемую ypaв
нением вида
а 2 х 2 ( ах )
dt 2 + ffioX == F х, iit + Р cos (pt)
(3.5.1)
при малых значениях функции F (Х, dx/dt).
Подобным уравнением, например, описывается электрический
контур снелинейной наrрузкой и нелинейным конденсатором
при rармовической внешпой силе (рис. 3.23), для KOToporo ypaB
нение примет вид
d 2 q ( d q ) dq
L dt 2 + R iit dt + ас (q) == Ucos (pt).
Если считать, что вольткулоновая зависимость TaKoro контура
выражаетсJt как Uc(q)==(1/C o ) (q+<p(q)), то :можно записать
d 2 q 2  . ) dq 2 U )
dt 2 + ffioq ==  2и (q dt  ЮuСР (q) + L cos (pt t (3.5.2)
rде ffi == 1/LC o ' 2б==R(i)/L, i==dq/dt.
Полученное уравнение имеет тот же пид, что и (3.5.1), причем
F (х ] :: ) == [2б (q) ;  (LJ(f! (f/)]jqo, Р == U/Lqo,
и если пелипейuость и диссипация в системе малы, то выражение
. . d
 215 (q) di  юср (q)
также мало по сравнению с членами, стоящими в
}'РаВ'IIения (3.5.2). Это позволяет нам искать
приближенное решение уравнения (3.5.2) в
виде
(3.5.3)
леиой части
х == а cos (pt) + Ь sin (pt) + а о ,
rде х== q/ qo  безразмерный заряд.
В отличие от случая llЫПУЖДСПllЫХ 1\олоба
Ний в Iюнсерватипной пелипсйной системе Рис. 3.23. Схема
( см. 1: 3.4 ) ' з д есь не о бхо д им о У читывать по контура с нели
11 нейныии KoндeH
стоянный член ао. Нелинейные свойства дисси сатором C{q) и со--
пативноrо члена R (i) MorYT привести к несим противлением R(i)
метрии вынужденных колебаний, которые учи ПрИ rаРМОНИЧEr
СКОМ внешнем B03
тыва:rpтся в решении при помощи постоянной действии
составляющей  члена ао. .
В :примере с электрическим контуром (см. рио-. 3.23) этот слу
чай соответствует нелинейному сопротивлению R (i) и, следова
тельно; на конденсаторе возникает постолнцый заряд qo, велп
8 в, В. МиryJlИИ И дР.
[ UCS
L м. crq)T


114 rл. 3. I\ОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕЙСТБИЕМ ВЬШУЖДАЮЩЕЙ СИЛЫ
чина 1\0TOpOro связана с амплитудой переменной составляющей
вынужденноrо процесса. Очевидно, что в установившемся режиме
постоянная составляющая тока в подобном контуре существовать'
не может и для установившихся колебаний ток определяется
выражением
:; ==  ар sin (pt) + Ьр cos (pt),
(3.5.4)
причем переходные процессы методом rармоническоro приБJIИже
ния рассматривать нельзя.
Подставляя (3.5.3) и (3.5.4) в исходное уравнение (3.5.2) и
сравнивая коэффициенты при cos(pt) и sin(pt), получаем систе
му уравнений, справедливую с точностью до членов, содержащих
компоненты с частотами 2р, 3р, ... и т. д. в разложении функ
ции F (х, х) в ряд Фурье,
а (ю  р2) == а 1 + Р, ь (ю  р2) == 1' юао == а о , (3.5.5)
причем
р (х,  ) == а о + а 1 cos (pt) + 1 sin (pt) + ...,
+п
1 J ' ( dX )
а о == 2it F х, dt d.,
п
х == а cos (pt) + Ь sin (pt),
+п
а 1 == + S F (х, d:Z ) сои d., :; ==  ар sin (pt) + Ьр cos (pt),
п
+"
1 == *" .f р (х, :: ) sin. d., . == pt.
п
R
(:3.5.5) l1.0ЮШlа I!О:II\ОJIИТI. паiiти JЮJIИЧИПЫ а о , а, Ь в за
JlИСИМОСТИ от Р И СООТllOПЮПИЛ между юо ир'
для заданноrо вида функции F(x, dxldt) , ап
проксимирующей в общем случае функцию,
описывающую нелинейные реактивные и дис
сипативные свойства системы.
Рассмотрим этим методом два примера.
Коитур с иелuиеииои ем,;,остью u nостоян'"
иы.м соnротuвлеиuем. Уравнение, описывающее
систему, и:юбраженную на рис. 3.24, имеет вид
а 2 !! 1 а!! и
dt 2 + т: ис (q) ==  2б dt + Т cos (pt). (3.5.6)
Система
C(q)
{/sd:J
Рис. 3.24. Схема
контура с нели
нейной емкостью
C(q) при rармони
ческом вношнем
воздеЙствии
Как ухазывал<юь ранее (см. с. 77), Iля аппроксимации реаль
ной зависимости ис (q) для конденсатора с сеrнетоэлектриком
можно с хорошим приближением воспользоваться выражени
ем Uc(q)==(1/C o ){q + ,,!oq3). Вводя безразмерную переменную

!i 3.5. РАССМОТРЕНИЕ МЕТОДОМ rАРМОНИЧЕсноrо ПРИБЛИЖЕНИЯ 115
х == q! qo, получим
d 2 x 2 2 dx Р
....... + ЮОХ ==  ЮоУХ3 26 d + COS(pt);
dt Q t
эдесь Ю == 1/LC o , у == Yoq, 2б == R!L, Р == U!Lqo. Решение для Х
ищем в виде Х == а cos (pt) + Ь sin (pt); Torдa
; ==  ар sin (pt) + Ьр cos (pt).
(3.5.7)
Постоянную составляющую в решении для Х мы опустим, так
нак 2б, соrласно условию задачи, является постоянной величи
ной, и правая часть уравнения (3,5.7) с учетом искомоrо реше
ния представляет собой нечетную функцию cos (pt) и sin (pt),
и, значит, ао == О (см. (3.5.3». Производя вычисления коэффици
ентов а1 и 1 фурьеразложения нелинейной функции F (х, х)
:rI .,
а 1 ==  s [ую (а cosт+ Ь sin 1')3 + 26 (ар sin 1' Ьр сои)] cos1'd1',
п
:rI
1 == : S [ую(а cosт + ь sin 1')3+26 (ар sin т  Ьр COS1')] sin 1'd1',
:rI
rде т == pt, получим
а 1 ==  26рЬ  i ЮУ (а 2 + Ь 2 ) а,
3
1 == 26ра  "4 ЮУ (а 2 + Ь 2 ) Ь.
Тоrда система уравнений (3.5.5) для нашеrо случая
(ю  р2 + : юуА2) а + 26рЬ == Р,
( (it  р2 + : юуА2) ь  26ра == О,
rде А 2 == а 2 + Ь 2 .
Возводя' в квадрат и складывая оба написанных выше ypaB
нения, получаем
( ю  р2 + i уА2ю ) 2 А2 + 462 р2 А2 == р2,
или
(3.5.8)
примет вид
(3.5.9)
(ю2  р2)2А2 + 4б 2 р 2А2  р2 == О, (3.5.10)
rде ю2 ==; ю (1 +3/ 4у А2)  квадрат частоты свободных ко;баний
той же нелинейной системы при 6 =="0 (т. е. для консервативноrо
случая (см. (3.3.11», характеризующей неизохронность системы.
88

116 rл. 3. НОJIEБАНИЯ ПОД ДЕйСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮi:цEй силы
Для 'Удобства рассмотрения перепишем уравнение (3.5.10Ж
в виде
i' + 2 (2<,\2  (f)2) р2 + (f)4  Р/А 2 === О,
откуда лелю находим
р2 ===,( (f)2  2<,\2):!: У р2! А 2  4<,\2 «(f)2  б 2 ).
(3.5.Н}.
>
Полученную зависимость р2 от А при "{ > о можно представить
rрафически в виде семейства резонансных кривых. На рис. 3.25
.....6/=6.>5{1+ fyA 2)
у>О
А
pZ
Рис. 3.25. Семейство резонансных кривых ДЛЯ нелинепоrо контура с жест--
кой нелинейностью и постоянвыM затухаmtем .
изображено подобное семейство для одноrо заданвоrо значеmш б
и для различных амплитуд воздействующей силы Р.
Исследование особенпостеii поведения кривых р2 (А), задава
мых уравнением (3.5.11), позволяет разделить их на два типа.
I\ривые одноrо вида соответствуют значепиям амплитудЫ
внешней силы, меньшим пекоторой критической величив:ы, и xa
рактеризуются однозначным ходом амплитуды вынужденвоrо ко--
лебания А в зависимости от частоты воздействующей силы
(тип 1). Все они расположены ниже кривой для Р ==РКР' Резо--
нансные кривые TaKoro типа представляют собой несколько
деформированные кривые резонансной амплитудЫ для обьrim:оrO
линейноro контура с затуханием. Максимум у них смещен в
сторону больших частот в соответствии с возрастанием частоты
свободных колебаний с ростом ампЛИТУДЫ, обусловленным H
изохронностью.
При значениях Р, ббльших определенноrо критическоrо зна
"чения Р ИР ' В резонансных кривых появляются участки с верти
кальной касательной, и для определенпой области значений рl
возникает неоднозначная зависимость амплитуды выиуждениых
колебаний от частоты воздействия (тип 2). На рис. 3.25 заm'rpИ
хована область, rде резонансные кривые ймеют обр атиый: наклон,
.  '.; 

!i 3.5. РАССМОТРЕНИЕ МЕТОДОМ rАРМОIIИЧЕсноrо ПРИБЛИ1RЕНИЯ 117
ее rраницы соответствуют вертикальным касательным к резо
зансным кривым. Амплитуды резонансных кривых, лежащие
3 заштрихованной области, неустойчивы, и при непрерывном
.:Iзменении частоты воздействия р для достаточно больших амплИ,
,:,уд внешней силы Р> Р КР появляются скачки амплитуды при
J;остижении rpаницы юзустойчивой области.
Неустойчивостъ этих решений не следует прямо из приведен
Th!X раСчетов. Метод rармоническоrо приближения не дает воз
"н)жности определи'l'Ь устойчивость найденных решений. Для
1TOro необходимы дополнительные исследования ,полученных зна
зений амплитуды.
Нак видно из формулы (3.5.11) при б == О, мы приходим К co
JТношению, аналоrичному (3.3.15) и связывающему частоту
зоздействия и амплитуду вынужденноrо колебания в консерва-
"ИВной нелив:ейной колебательной системе р2 == 002 =1:: Р/А. В co
.Jтветствии с этим и семйство резонансных кривых рис. 3.25 при
2 Z(1.J... I AZ) б  О переходит в семейство
liI 6)0 4 Ir изолированных кривых, раз
..( деленных скеле'l1НОЙ RРИВОЙ
оо2(А) .
Очевидно, что в Случае
обратноrо заRона зависимо
сти ис от q или, rоворя
язьшом мехаНИRИ, обратной
р2
.R{i)
t С
lIgBJ
Рис. 3.27. Схема контура с пост()..
явными L и С и снелинейным
затухаиием при rармоническом
внешнем воздействии
зависимости жесткости от отклонения при аналоrичной аппрокси
:м:ации необходимо считать "( < о и соотвотствующие резонансные
кривые будут чметь наклон в обратную сторону, что схематиче
ски показано на рис. 3.26 (случай мяrкой возвращающей силы).
Коптур с nосrояппымu L U С и с пелипейпъz.м. аатухапием.
(рис. 3.27). Пусть
( з.5.12J
R (i) == Ro(l + oi + "(oi 2 ).
Тоrда уравнение, описывающее поведение данноrо контура, мож
но записать в виде
 + 2б о ( + 2+y3) + оох == Р сoS pt, (3.5.13)
rд х == q/qrt, 2fJ o == RoIL, 00:== 1/LC i Р == UolLqo,  == oqo, У == yoq;.

118 rл. 3. НОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕйСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕй СИЛЫ
Ищем решение в rармоническом приближении в виде
х == а cos (pt) + Ь sin (pt) + ао, :i == ap sin (pt) + Ьр cos (pt).
Для определения ао, а, Ь получаем из (3.5.5) систему уравнени
юао ==  бо р2 А2,
(ю  р2) а ==  2б о р (1 +  I'р2А2) Ь + Р,
(ю  р2) Ь == 2б о р (1 + : I'р2А2) а.
Из nepBoro уравнения следует, чтЬ
а о ==  (р2/ю) боА2.
(3.5.14)
(3.5.15)
Найденное выражение дает постоянное напряжение смеще
ния, образующееся на емкости аа счет песимметрии нелинейноrо
сопротивления. Появление ::>Toro папряжения на радиотехниче
ском ЯЗыке называется дете-птироваиием воздействующеео еармо--
иичес-поео сиепала. Отметим, что постоянное напряжение CMe
щения для заданноЙ амплитуды воздействия связано лишь с
коэффициентом , т. е. с ко::>ффициептом при квадратичном члене
функции, аппроксимирующей пелипейность системы. Члены раз
ложения нелинейной функции с нечетными степенями не при
водят к возникновению постоянной составляющей. В нашем при
мере, как и в боЛее сложных случаях, ответственны за детекти
рование члены с четными степенями полинома, аппроксимирую.-
щеrо нелинейность, которые и приводят к несимметрии xapaK
теристики носледней.
Для определения амплитуды ю,тпуждеппоrо колебания нужно
рассмотреть систему уравнониЙ
(ю  р2) а + 2б о р (1 + i I'р2А2) Ь == Р,
(ю  р2) Ь  2б о р (1 + i I'р2А2) а == О,
откуда получаем
(ю  р2)2 + 4бр2 (1 + : I'р2А2) 2 == : .
(3.5.16)
Примем, что нам :1аданы параметры воздействия: ero амплитуда
Р == const и частота р == const. Будем мепять D системе собствен
в:ую частоту контура ю. Для пахошдопия апалитическоrо Bыpa
жения зависимости А от ю запишем БИlшадратное уравнение:
4 2 ( 3 ) 2 р2
ЮО  2р2ю + р4 + 4б о 1 + '4l'р2А2  А 2 == О,
(3.5.17)

 3.6. АНАЛИЗ нЕлинЕйных СИСТЕМ МЕтодом ММА 119
откуда
(3.5.18)
ОО == р2:1:: V ::  46p2 (1 +  ур2А2)2.
Если изобразить передаваемую этим соотношением связь меж
ду А и 000, ТО получится семейство резонансных кривых
(рис. 3.28). Дифференцируя ypaB
нение (3.5.16) по ОО и находя At
производную дА2/доо, нетрудно
показать, что в пределах выбран
HOro приближения она обращает
ея в нуль при ОО== р2 независимо
от значения амплитуды коле9а
ний А. ,
Для контуров снелинейным
8атуханием резонансные кривые
при малых "( и при небольших
амплитудах внешней силы незна
чительно отличаются от обычных
резонансных кривых для линей
Horo контура, си лишь для боЛЬ
ших амплитуд наблюдается упло-
щение их вершин. Это связано с ростом эффеI\тивноrо затухания
системы с возрастапием амплитуы ]{()JJоuаllИЙ по закону 61 ==
== 60 (1 + з 1. "( р2 А 2) .
6)2
О
Рис. 3.28. Семейство реэонансНblX
кривых для контура с .нелиней
ным затуханием
* 3.6. Применение метода медленно менЯIOЩИХСЯ aиmIитуд
R анализу поведения слабо нелинейных систем
с малыми потерями при rармоничесRОМ силовом воздействии
в  2.5 были описаны основы метода медленно меняющихся
амплитуд применительно к анализу автономных слабо нелиней
ных систем с малым затуханием. Там же были даны примеры
применения этоro метода для исследования свобоных колебаний
в некоторых нелинейных системах. OHиKO исходные положения,
на которых ОСIlопана HoaMOIIOlOCTI, ][олучепия упрощающих зада
чу УIюрочепных уравноний, ДОllускают также применение этоrо
метода к случаю систем, находящихся под внешним воздей
етвием.
Если на колебательную систему, близкую к линейной KOHcep
вативной, действует периодическая сила с частотой, существенно
отличной от собственной частоты колебаний системы, то эта сила
вызовет вынужденное колебание с частотой внешней силы и
амплитудой, в основном определяемой различиеи. между частотой
возде-ствия и собственной частотой системы; при этом также
возможно умножение частоты внешней СИЛЫ.

120 rл. 3, НОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕйСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕй СИЛЫ
При rармоническом воздействии на слабо нелинейную систему
с малым затуханием необходимо рассматривать уравнение вида
а 2 х 2 ( dX )
ае 2 + юох === 111 Х, di + Р cos (pt), (3.6.1)
причем в рассматриваемом случае р достаточно сильно отличается
от Ю о , а JA.  1.
Пусть
Х === Хl + а cos (pt), (3.6.2)
rде а == Р /( ю  р2)  амплитуда вынужденноrо нолооаниЯ для
подсистемы ,; + ЮХ === Р cos (pt), в которую переходит (3.6.1)
при JA. === О. Тоrда ХI будет удовлетворять уравнению
d2Xl 2 ( ах! )
ае 2 + ЮоХ! == 111 Х ! + а cos (pt), dt  ра sin (pt) .
(3.6.3)
Это уравнопие при Р == о допускает только одно стационарное
решение ХI == О, так как при этом исходная система должна Ha
ходиться в покое. При Р"* о уравнение (3.6.3) можно рассмат-.
ривать как уравнение, ОIIИСЫ1Jающее колебательную систему с
вынужденными колебаниями и амплитудами порядка JA. и перио-
дом 2n1р, взаимодействующими с собственными колебаниями
вследствие нелинейности системы. Вопрос же о сущеС1'вовании
стационарных собственных колебаний требует Дополнительноro
исследования, так как в этом случае система, вообще roворя,
претерпевает периодическое (с частотой, кратной р) изменение
энерrоемких параметров, что может при выполнении определен-
ных частотных соотпошеIlиii 1Iривести к Dффектам параметриче
cKoro ВЛОЖОIIИН :шорrии, При ;JTOM IIРОl\llOлаrаотся, что амплиту
да воздойствующеЙ силы Р 110 Оl'рUUИЧОllll. УСJJOвием малости
подобно силам СОНРОТИВЛОl1ИЯ и силам, спязанным снелинейными
свойствами систомы, ноторые имеют порядон малости JA..
Если частотные и знерrетические соотношения, обусловлива-
ющие параметрическое вложение энерrии в систему, не выпол-
няются, то для Р, достаточно отличающеrося от Юо, движение
в рассматриваемой системе будет в основном зависеть от вынуж-
денных процессов, описываемых вторым членом соотношения
(3.6.2) .
Если частота воойствия близка н собственной частоте ноле-
баний слабо Диссипативной системы, то соответствующие резо-
нансные колебания (XI) llриобротут значительную амплитуду.
которая будет возрастать до величины порядна 1/JA. при прибли-
жеюm частоты воздействия I{ собственной частоте системы. Это
обстоятельство не позволяет в подобном случае использовать
указанную подстановну и заставляет при рассмотреюm данной
задачи ввести оrраничения на амплитуду воздействия. ДлIl воз-

!i 3.6. АНАЛИЗ НЕЛИНЕйНЫХ СИСТЕМ МЕтодом ММА 121
можности применения метода медленно меняющихся амплитуд
необходимо потребовать, чтобы внешняя сила была мала по
амплитуде и имела бы тот же порядок малости, что и малые
силы, связанные с нелинейными и диссипативными свойствами
системы и ВОЗНИRающие при Rонечных амдлитудах Rолебаний в
ней. В TaROM случае воздействующую силу можно объединить
с этими малыми силами и свести рассмотрение задачи к при
ближенному исследованию уравнения типа
r
 + юх == v- f 1 (х, ;, t),
ROTopoe отличается от paccMoTpeHHoro ранее (см. (2.5.2»' тем, что
ФУНRЦИЯ f1 зависит не ТОЛЬRО от переменной х и ее производной
Х, но и ЯВНО от времени.
Решение этоrо уравнения будем ИСRать в виде х == и cos (pt) +
+ v sin (pt) , rде, RaR и раньше, и и v  медленно меняющиеся
ФУНRЦИИ. Вводя в исходное уравнение новый масштаб времени
't == pt, получим .
;; + (ю/ р2) х == V-71 (х, ;, 1').
(3.6.4)
Вводя обозначее
ю/р2 == 1  6 (3.6.5)
и требуя, чтобы расстроЙка s была пеличипои ПОрЯДRа малости
, запишем ураППСIJИО (З.6.4) ОI(QIIчательно в виде
х + х == v-f (х, х, '(). (3.6.6)'
Тоrда в соответствии с изложенным методом медленно меняю
ЩИхся амплитуд имеем
х == u COS 't + v sin '(, :i ==- и sin l' + v COS l'
И можно перейти R укороченным уравнениям для определения
фУНRЦИЙ и и и:
. 1 S 2Л  . .
u ==  2л v-f (х, х, '() SШ 't d't,
о
2Л
. 1 r  .
V== 2л .J v-f(x,x,'t)cos'td't.
о
(3.6.7)
Если x==>Acos('t+e), :i==Asin(T+e), то укороченпые ypaB
пения для определения амплитуды и фазы будут иметь вид
2Л
. 1 S .
А ==  2л v-f (А, в, т) sш Tl dT 1 ,
О
2л
. 1 S
Ав ==  2л V-f(А, в, 't)COS:rld't 1
о
(3.6.8)
rде '(1 ==.+ в.

122 rл. 3. IЮЛЕБАНИЯ под ДЕЙСТВИЕМ ВЬШУЖДАЮЩЕЙ СИЛЫ
в отличие от описанноrо пути нахождения методом медленно
меняющихся амплитуд приближенноrо решения уравнения
(3.3..1), мы для упомянутоrо ранее случая существенноrо разли
чия между р и ФО (т. е. области, далеRОЙ от резонанса) должны
поступить неСRОЛЬRО иначе.
Вводя через подстаНОВRУ (3.6.2) новую переменную X 1 , COOT
ветствующую Rолебанию с частотой, БЛИЗRОЙ R собственной ча
стоте системы (Ф  Фо), мы, при меняя метод медленно меняю
щихся амплитуд, должны ИСRать дЛЯ ХI решение с частотой р/n
(случай р == ПФ) или тр (случай р == фj т) и соответственно BBO
дить новый масштаб времени 't == (р/ п) t == Фt или 't == тpt == Фt.
При этом раССТРОЙRа будет определяться из соотношений
222
2 / <00 n <00
Ф О ф 2 ==  == 1  6 или  == 1  6
. m 2 i i'
а для основной подстаНОВRИ (см. (2.5.3» имеем попрежнему
ХI == и cos 't + v sin 'т, ХI == и sin т+ vcos 'т.
Rоrда ФО БЛИЗRО R тр, мы будем определять амплитуду Rолеба
ния с частотой, соотпетствующей тMY обертону воздействующей
силы, а Rоrда ФО  р/ п, речь будет идти об ОТЫСRании возмож
ных унтертонов, или субrармониR. Если же не представляется
возможным подобрать TaRoe т или п, чтобы раССТРОЙRа s YДOB
летворяла выбранному Rритерию малости, то тоrда описываемый
путь решения теряет смысл. В этом случае наиболее вероятно,
что ИСRомое установившееся решение будет с большой степенью
точности описываться вторым членом в правой части (3.6.2).
Исследопание УRорочеIlПЫХ уравнений для описанных случаев
проводится теми же lIРИ!'МflМИ, что И для автономных систем.
В RаЧUСТllе простойнюrо IIримера рпссмотрим методом ММА
вынужденные колебания 1\ НОllтуре с пелинойным затуханием,
Rоторые были рассчитаны в  3.5 методом rармоничеСRоrо балаи
са (rармоничеСRоrо приближения). Для подобпоrо ROHTypa (см.
рис. 3.27) мы можем записать уравнение Кирхrофа в виде
L d2q R dq 1
dt 2 + dt + с q == и о cos (pt).
Если считать, что нелинейная .зависимость сопротивления R от
TORa i имеет Rвадратичный xapaRTep, а собственная частота ROH
тура ФО БЛИЗRа R частоте внешней силы р, ТО, вводя обозначения
Ф == 1/LC, 2{)о == R,JLp, Х == q/qo'
Ф7 р2 == 1  6, т == pt, R == Ro (1 + '\'Oi2),
приходим R уравнению
ох + Х == sx  2--&х  2-&'УХ3 + р сов 'т,
(3.6.9)

!! 3.6. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ММА 123
rдеР == UolLqop\ '\' == '\'oqp2, а "(о> О. ДЛЯ применимости метода
медленно меняющихся амплитуд R решению <JToro уравнении
необходимо потребовать, чтобы выполнялись неравенства: pac
С'l'рОЙRа s  1, затухание в системе 2-&  1, амплитуда внешнеrо
воздействия Р  1, т. е. чтобы все члены в цравой части ypaB
нения были малы по сравнению с членами в левой e1'O части.
Решение ищем в виде x==Acos('t'+e), x==oAsin('t'+e).
Тоща, вводя т! == 't' + О, получаем следующие УRороченные ypaB
нения:
211
А ==  2 1 л S [;А COS't'l + 2t1A sin 'С1 + 2t1,\,АЗ siп З 'С1 +
о
+ р cos('t 1  О)] sin 'С1 атн
211
Аё ==  2 S [;А cos 'С1 + 26'А sin 1'1 + 26',\,АЗ sin 1'1 +
о
+ Р COS (Т1  О)] COS 'С1 атн
а после выполнения интеrрирования имеем
. 1 3 . 1 1
А == {MPsinO {}"АЗ АО == tA PcosO
2 4 ' , 2 ... 2 .
(3.6.10)
Стационарные рОl!Itшия llaxoJ\fIT из укороченпых уравнений при
условии А == е == О, т. е. из системы уравнений
2{} (.1 + i-- ,\,A) Ао ==  Р sinO o ' ;Ao==PcosOo'
Возводя правые и левые части этих уравнений в RБадрат и с:кла
дывая их, получаем
A == Р2/[;2 + 4{}2 (1 + + ,\,A У];
оно представляет собой уравнение резонансной RРИDОЙ для доб
pOTHoro н:олебательноrо IЮНТУРn с нслинеЙпым сопротивлением.
В случае Л>-Jпейноrо Rоптура ("{о == О) получается известное
уже нам выражение (см. (3.5.10)) для резонансной RРИВОЙ
 == fJ2/(;2 + 4{(2).
Соответствующие семейства. резонансных RрИВЫХ JIОRазаны на
рис. 3.28 штриховыми линиями. I\aR мы видим, резонансные
Rривые для ROHTypa с нелинейным затуханием уплощаются в
области paccTpoeR, БЛИЗRИХ R нулю. Это измененИе тем больше,
чем больше резонансная амплитуда. Вдали от области малых
paccTpoeR резонансные Rривые линейноrо и нелинейноrо ROHTY

124 rл. 3. RОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕйСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕй СИЛЫ
ров практически совпадают. Однако следует иметь в виду, что
эти кривые нище не пересекаются и резонансная кривая нели..
нейноrо контура при "{ > о даже вдали от резонансной ча
стоты всетда расположена ниже резонансной кривой линейноrо
контура.
Однако полученные выше укороченные уравнения позволяют
найти не только стационарные амплитуду и фазу вынужденноrо
колебания, но в принципе и закон yCTaHOB
ления стационарноrо процесс а путем инте
rрирования системы укороченных уравнений
(3.6.10). В этом, в частности, заключается
большая эффективность метода ММА по
сравнению с методом rармоническоro при-
ближения, дающеrо в принципе только ста-
ционарные значения амплитуд.
. ]3 качестве друтото примера примененин
метода ММА рассмотрим вынужденные
Jюлебапия в нонтуре с нелинейной индук
тивностью (рис. 3.29). Будем считать однозначной связь между
маrнитным потоком ФО И TOJ\OM i, т. е. npенебрежем rистерезRc
сом. Значения R и С принимаются постоянными. При соответ-
ствующем выборе масштаба для функции Ф, пропорциональной
маrнитному потоку Фо, мы можем записать уравнение, описы
вающее процессы в контуре, в виде
 Ф (i) + Ri +  q == И О cos(pt),
R
I ао
с
fIosJ
Рис. 3.29. Схема KOH
тура снелинейной
индуктивностью при
воздействии rармони
чеСI<ОЙ силы
или
(3.6.11)
d Ф ( dq ) Л rlq 1
dt dt + dТ+сq==Иосоs(рt).
Зададимся llыражепиt'м I\J11I 11III1РОI{СИЫaI,ИИ записимости Ф(i
в форме
Ф(i)==Lо(i"{оiЗ), тде iE!ldq/dt. (3.6.12}
Подобная npостейшая полиномиальная аппроксимация кривой
намаrничивания, еетественно, может 'удоошетворительно переда-
вать ее реальный ход лишь в определенном QrраничеНRОМ интер.,
вале значений i. Поэтому, прежде чем обсуждать полученные
резуд:ьтаты, нообходимо убедиться, что найденные значения амп-
литуды тона не выходят за те пределы, в которых применим
выбранная аППрОJ\{имация.
Дифференцируя (3,6.12),
d . L 3 2 rlf r 3 ( dq ) 2 ] а2ч
dТФ(z)==( o Lo'Voi)dt==l'ol1 1'0 dt dtJ I
и подставляя найденное соотношение в (3.6.11), имеем
.. .... 1
Loq 3Lo'Voq2q + Rq + с q == И О cos(pt).

!i 3.6. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ММА
125
Переnиmем это уравнение в виде
.. 1 ....
Loq + с q== 3LoYoq2q  Rq + Uocos (pt).
')
(3.6.13)
которое допускает применение метода медленно меняющихся
Так как мы рассматриваем случай малоro затухания и малой
нелинейности, то первые два слаrаемых в правой части (3.6.13)
:малы по сравнению с членами, стоящими в левой части, и мы
приходи м К уравнению вида
.. 2 . 88;
q + ffioq == !-tF* (q, q, q) + (Uo/L) cos(pt),
амплитуд для произвольноrо РО при частоте р, сильно отличаю.
щейся от ffio, И дЛЯ РО порядка !-t при р, близкой к то.
;\ Рассмотрим сначала случай частоты р, далекой от ffio. 'YpaB
И6ние (3.6.13) запишем в виде
; + ffiX == у;2;  26; + РО cos (pt), (3.6.14)
здесь ffi==1/LoC, Y==3Yoq, 26==R/L o , Po==UJLqo, X==qlq8'
р
Положим Х == Х 1 + 2  2 cos (pt). Тоrда дЛЯ Х{ получим из
<OoP
(3.6.14)
а;:2 1 + ffiXl == У ( 1  рР sin (fJt)Y ( a;1  рЧ) COS(pt») 
 26 ( 1  рР sin (Pt»)t (3.6.15)
rде Р == Po/(ffi  р2).
Правая часть этоro уравнения периодична С периодом 2п/р
и мала по сравнению с членами, стоящими в левой ero части.
Поэтому при частоте р, далекой от ffio, вынуждеВное колебание
в решении уравнения (3.6.10) будет иметь амплитуду по край
ней мере TOro же порядка малости, что и члены с "{ и 26. Исклю
чения соответствуют случаям, коrда тр  ffio. Torдa высшие rap
:монические компонент в правоЙ части уравнения (3.6.15) MorYT
вызвать резонапсные зффеl\ТЫ. n зтих случаях :можно ожидать
появления вынужденных l\олебапий с l\онечными амплитудами
на частотах тр, т. е. работpI подобной, систе:мы нак сумножителя
частоты.
Довольно очевидно, что относительная интенсивность этих
rармоничеСl\ИХ компонент будет определяться видом нелинейной
хараl\теРИСТИl\И системы и для выбраной аппрОl\симации будет
прямо задаваться видом аППрОl\симирующей ФУНl\ЦИИ.
При кубичеСl\ОЙ аПпрОl\симации появится лишь третий обер
тон и резонансные эффекты Moryт возникать лишь при 0>0. близ.

{26 rл. 3. НОЛЕБАНИЯ ПQД ДЕЙСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕй силы
ной R 3р, т. е. в этом случае исследуемая система будет работ&,ть
в Rачестве утроителя частоты.
Использование больших учаСТRОВ нелинейной хараRтеристи
RИ привело бы R необходимости введения в аППрОRСИМИрУЮЩИЙ
полином членов с более ВЫСОRИМИ степенями, и тоrда имели бы
место отчетливо выраженные резонансные эффеRТЫ для т == 5, 7
и т. д. При этом антисимметрия хараRтеРИСТИRИ намаrничивания
соответствует присутствию в аППРОRсимирующем полиноме лишь
нечетных степеней и, следовательно, возможны резонансные про
цессы ТОЛЬRО на нечетных rаРМОНИRах воздействующей силы. Эти
же свойства нелинейной хараRтеристиRИ приводят R тому, что
В результате появления в системе вынужденных Rолебаний с ча
СТО той р ВОЗНИRает периодичеСRое изменение ее ИНдyRтивности
с частотой 2р.
RaR yRазывалось, случай (1)0  3р соответствует работе систе:'
мы в Rачестве утроителя частоты с использованием rаРМОНИRИ
воздействующей силы, llOЗНИRающей на нелинейной реантИБНОСТИ
ROHTypa. СJIУ'lаЙ шо  2р СООТllетствует появлению возможных
параметричеСRИХ эффеl\ТОВ (параметричеСRая rенерация, пара
метричеСRое усиление (см. rл. 4)), а случай (1)0  Р  известному
явлению возбуждения резонансных вынуЖденных Rолебаний В
нелинейной системе.
) Случай p. (1)0. Для возможности применения метода ММА
1 примем, что амплитуда внешней силы Ро имеет величину поряд
Ra малости 26 и "{. Тоrда уравнение (3.6.14) переходит в
i + х == 6Х  2{}х + "{'Х2х + Р cos 'т. (3.6.16)
rде 't===pt, (1)/Ji2===1;, 21't==2б/р, 'I('==='I(p2, Р===Ро!р2.
Для РОIlIОНИЯ задачи, 111 10 ВI. ИС11ОJlI,аул париант метода ММА.
изложенныЙ 11  2.5 с IIРИМОJ[('IIИ('М MP/\JIOIIJIO МСI1ЯJOЩИХСЯ амп
литуды А ('t) И фuаы О ('t), lIахо/\им
x==AcoS('t+8). .i==Asin('t+e).
В правой части уравнения (3.6.16) следует оrраничитьсл членами
первоro ПОрЯДRа малости относительно единицы, и поэтому член
1'Х2х нужно записать в виде
"{' х 2 з; === "{' А 3 sin 2 ('t + 8) cos ('t + е),
пренебреrая члонами, содержащими А и е, TaR RaR в силу «Meд
, . .
ленности» А ('t) И О ('t) спрапсдливы условия А «А, е« е. YRO
роченные уравнения IIрИllимают nИ)1;
211
А ==  2 J [;А СОИ 1 + 2{}А sin 'Т 1  + '1(' АЗ соИ 1 +
о
,r
+ + '1(' A 3 cos 31'1 + Р COS('t1e)] sin Т 1 d1f!f,

!I 3,6. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕтодом ММА 127
211
ё ==  2:А S [A cos l' 1 + 2tJ- sin l' 1  '1 у' А 3 COS l' + )
о
+ +y'A3COS 31'1 +PCOS(1'18)]cOS't'ld1'1>
rде 1'1 == l' + 8. После выполнения интеrрирования получаем сле
Дующие укороченные уравнения:
. 1.' i ( 1, )
A==<t}ATPS1ll8, 8== 2A ;ATyA3+Pcos8.
(3.6.17)
Стационарную амплитуду вынужденных колебаний Ао можно
. .
найти из решения системы (3.6.17) при условии, что А == О, 8 ==
==> О, т. е.
2<t}Ao + Р sin 80 == О, sA()  + у' A + Р cos8 0 == О. (3.6.18)
Решая эту систему относительно ;, получаем выражение, удобное
для расчетов и rpафическоrо построения при заданных значениях
"(', t} и Р,
r 2
; ==...!. у' A::!:: 1 /   1{}2. (3.6.19)
/. A
На рис. ;\,;\0 IIРИIIР)\РIIО ТИIIИ'Il100 сомейство соответствующих
реЗ011l1llСl1ЫХ НjJИIIЫХ )\JШ ра:IJ1ИЧНЫХ значений амплитуды BЫ
НУЖl\ающuй силы. l\ак видно из этоrо рисунка, здесь вследствие
затухания в системе мы не
встречаемся с бесконечным
нарастанием амплитуды BЫ
нужденн  колебаний с po
стом расс ройки, как было
JI консерва ивном случае (см.
 3.3). 3 есь для каждой
амплитуды воздействующей
силы существует своя MaK
симальная амплитуда YCTa
НОIIИIlШИХСЯ вынужденных
lЮJlUбаний на частоте воз
1\(liiстпия. Дальнейшее изме
lIt1llИО частоты воздействия
(ИJIИ соliственной частоты контура), приводящее к увеличению pac
СТРОЙКИ  до величины, превышающей значение, соответствующее
МtlКСИМIIJIЫIOИ амплитуде вынужденных колебаний, npиводит к
ска'Il(ОоБРII:ШОМУ уменьшению этой амплитуды до значений, OT
ВС'Iающих монотонно спадающей ветви резонансной кривой.
Ао
о

Рис. 3.30. Семейство резонансных кри
вых'для контура с нелинейной индук
тивностью

128 rл. 3. НОJIEБАНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВЫНУЖДАЮЩЕЙ силы
Уменьшение 5 приводит R возрастанию Ао в соответствии с усте
ЧИВОй ветвью RрИВОЙ вплоть до Toro значения 5, при ROTOp
Rасательная R резонансноЙ RРИВОЙ станет веРТИRальной. То]
произойдет «обратный» СRаЧОR амплитуды Ао вверх до вых(
на верхнюю устойчивую ветвь резонансной RРИВОЙ.
Очевидно, что при достаточно малой амплитуде BHemнero в
действия и друrих соотношениях между параметрами ,( и {} ИJ
rозначв:ости может и не быть, и тоrда ВОЗНИRает лишь HeRoToI
несимметрия резонансной RРИВОЙ. за счет нелинейных свойе
системы, что уже было ПОRазано в  З.5 (см. рис. З.25).
Возможность получения трех значений стационарных, отЛI
ных ОТ нуля амплитуд, из ROTOpblX два устойчивы, а одно J
устойчиво, является следствием Toro, что для определения с
ционарпых амплитуд необходимо решать уравнение третьей с
пени относительно Ао.
Устойчивость найдсппых реruепий можно определить метор
возмущений: тоrда, задаваясь вариациями амплитуды и фа
вблизи стационарных значоний Ао и 80 в виде А == Ао +, Е
== 00 + '1'], получаем СlIстему УRороченных уравнений для вариа]]
i ==  {}   2 t Р cos 00' '1'],  ==  ...!.. ( ;  2... у' A )   р sin 00
2Ао 4 2Ао
(3.6.:
Если задаться временной зависимостью вариаций в виде  == o
'1'] == 'l']oe\ rде л  хараRтеристичес:кий ПОRазатель (в обще.м с;
чае RомnлеRСНЫЙ), и учесть, что Р sin 00 == 2{}Ao и Р cos 80
== Ао (1/4У' A  ;), то получим систему однородных уравнеБ
относительно o И '1']0
 ({} + л) o  +Ао (+ у' A  ;) '1']0 == О,
1 (  3 ' А 2 )
 2Ао   т у о o  (t) + л) '1']0 == о.
Составляя определитель для этой системы и требуя для нет]
виальности решения равенства ero НУJIЮ,. получаем для xapaR
ристичеСRоrо ПОRазателя л следующее выражение:
л ==  {}::!: V (;  ; у' A) (+у' A  6).
(З.6.
(З.6.
Для НОI<ОТОРОЙ СОllО1,УIllIOСТИ параметроп Iюлебателъной сис
мы действительная часть л может быть положительной, и то]
система уйдет из этоrо стационарноrо состояния; для ДPYJ
СОВОRУПНОСТИ параметров она может быть отрицательной, и то]
вынужденное Rолебание с таRОЙ амплитудой Ао будет уСТI
чивым.
'"

rЛАВА 4
\
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
 4.1. Параметрическое воздействие на копебатепltные системы
До сих пор мы рассматривапи Rолебательные системы, в RO
торых происходили либо свободные Rолебания, определяемые
на чальными условиями, либо чисто вынуЖденные, ВОЗНИRающие
под действием внеПIНей силы, приложенной R Rолебательной си
стеме. Для элеRтричеСRихсистем это соответствовало введению
в изучаемый ROHTYP вынуждающей э. д. с. или введению задан
HOro TORa в RаRОЙЛИбо элемент цепи.
ОднаRО, ЮlR известlIO, существует еще один важвый вид ВОЗ
действия на Rолебательные системы, RОТОРЫЙ заЮIючается в том,
что в неПIНей силой производится изменение одноrо из параиет I
{)ОВ СИСТАМЫ ТаRОЙ вид воздействия мы называем параметрич е
 В этой rлаве б удут рассмотрены Rоле о ательн ы е системы,
в ROTOpblX один из параметров меняется во времени.
о Исследуя ТОЛЬRО системы с ОДНОЙ степенью СlJоБО)l;Ы, мы orpa
ничим свою :за)l;ачу рllССМ()Трl'lIием JIИШI. IItJрИО)l;ичеСRИХ измене
ний или, как 'I/1CTO I'ОUО}ШТ, СJlУ'ШОМ периодичеСRОЙ :модуJIЯЦИИ
параМl'тра. JJl1t uынснепия специфичеСRИХ oco
бопностой IlРUЦОССОU, вызываемых периодиче
СRИМ lIuраметричеСRИМ воздействием, paCCMOT
рим простейшую модель.
Возьмем линейный Rолебательный ROHTyp
(рис. 4.1), состоящий из последовательно c<r
еl\иненных L, R и С. Пусть еМRОСТЬ Rонденса
тора ROHтypa меняется во времени с помощь ю
R aRorOTO внеПIНеrо устроиства по изображ ен
lIОМУ на rpа ф и ке ;ji:НЮ.liУ ( риС? 4 . 2 , а ) . lrp ед
положим, RpoMe Toro, что заряд на Rонденса
торе меняетс.я по заRОНу, БЛИЗRОМУ R rapMo
пичеСRОМУ.
Если при наличии Rолебаний заряда на Rонденсаторе q(t)
иаменять yRазанным обра30М ero еМRОСТЬ во времени С (t), то
кuшдый раз при ее уменьшении на 2C энерrия Rонденсатора
COOTlIUTCTueHHO увеличивается. Заряд q при СRаЧRообразном из--
МIШОПИИ (lМIЮСТИ не меняется, ибо ЯБJIяется инерционной вели
ЧИНОЙ, Нусть частотные и фазовые соотношениЛ" между q(t) и
С (t) таковы, что еМRОСТЬ кондесатора уменьшается Rаждый раз
точно в то моменты времени, Rоrда заряд на еМRОСТИ ПрОХОДИ'f
9 Б, D, l\1иryЛlIII "др.
ЕЗ
Рис. 4.1. Нолеба
тельный контур с
меняющейся во
времени емкостью

130 rл. 4. RОЛЕБАНИЛ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСIЮМ ВОЗДЕЙСТВИИ
через экстремум (рис. 4.2, б). При этом вложение энерrии в си
стему будет маRсимальным, TaR RaR при раздвижении оБRлаДОR
конденсатора для уменьшения С совершается маRсимальная pa
бота против электростатичеСRИХ сил притяжения между ero пла
стинами. Частота изменения параметра {еМRОСТИ) в этом случае
в два раза выше частоты Rолебаний в ROHType.
С
со
k t
u.q
qo
t.
Рис. 4.2. !'рафики периодическоrо изменеНИjl С (а) и и, q (6) при парамет--
рйч.еском ВоздействИИ
Рассчитаем приращение элеRтростатичеСRОЙ энерrии Rондев
сатора !1N, которое получается в момент СRаЧRа еМRОСТИ:
q [ 1 1 ] q 2дС
!1N == Т СО  ;\С  ('о .1. М' == --т C  (дс)2 .
(4.1.1)
Считая, что !1С« Со, можпо записать
2
!1N '""...!!.!!..... 2дС  N 2дС
'"" 2С С  о С '
о о о
rде N o  q/2Co хараRтеризует' энерrию, запасенную в Rонден
саторе до СRаЧRа еМRОСТИ. ЕСJIИ ввести Rоэффициент т, наЗЫБа
мый елубиnой ,модуляции nарам.етра:
'Смакс  С МИН
т
 Смакс + С МПИ СО '
то приращение RолеGателыlйй ЭIlОрl'ИИ в контуре после одноro
скаЧRообразноrо уменьшения емкости равняется !1N == N o . 2т.
Важно отметить, что пзменение Rолебательной энерrии !1N в
контуре при параметричеСRОМ воздействии или, RaR часто rOBo
рят, при параметричеСRОЙ «накачке пропорционально самой
эиерrии N o , запасенной в системе.
(4.1.2)
дС
(4.1.3)

 4.1. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ БОЗДЕйСТDИЕ НА СИСТЕМЫ 131
в соответствии с выбранным фазовым соотношением между
накачкой и колебанием, действующим в контуре, следующее
екачкообразное увеличение емкости не вызовет изменения энер
)'ии в системе, ибо в соответствующие моменты времени началь
ная энерrия равна нулю (q == О), как показано на рис. 4.2. За
один период колебания энерrия, вкладывается два раза, CTporo
)'ОБоря, неодинаковыми порциями, однако в силу условия !:!С <
< Со их можно считать одинаковыми, и Torдa общее прираение
;шерrии в системе за период равно
. \1
qo
2!:!N === N о' 4т === 2С .4т. (4.1.4)
о
Теперь необходимо определить потери в контуре. Если счи
тать колебания заряда приближенно rармоническими, т. е. q ==
==, qo sin, ((J}t) то q == uЩо cos, ((J}t) и, следовательно, мощность по
. \1
терь W == Rq2/2 == R(J}2qo/2. .
Энерrия, теряемая системой за период Т, равна
1. R \1 2 Т R I
"'2 (J) qo === 11 (J}(]o.
(4.1.5)
Сравнивая (4.1.4) и (4.1.5), получим условие, при
KOTOpOro вкладываемая энерrия превосходит потери
происходит парастапио колебапиii:
(I 2 1
2C'l"rn > лRощо, т. е. т> "'2nЛСою
о
выполнении
и в системе
(4.1.0.)
ппп
1. 1/ 1.
т>тпороr === "'2 11Л у CoI L ===т а .
)'де d === 1IЛУ  лоrарифмичесRИЙ: декремент затухания KOH
тура. Этот процесс ВО.l!б уящпия RолеnапиП яа счет периодическ о
ljL:aзМQОПИЯ энерrоемкоro параметра колебатеЛ1'.пnп f'Пf',темы м ы
будем называть naраметрuчеСrtuм, воабуждеnuем rtо.лебаnuй или
параметрuчесrtuм, реаоnаnсом.
Если емкость меняется с той же периодичностью, но до дpy
rOMY закону, то качественно получится тот же результат, хотя
lю:)ффициент в соотношении (4.1.6) будет не 11/2, а бопьmе, так
юш выбранный нами скачкообразный закон изМенения С опти
MltJll'lI для вложения энерrии. Нарастание амплитуды возбужд
IIMOI'O liолебания, а следовательно, и увеличение энерrии систе:AJЫ
происходят за счет работы внешних сил, изменяющих пар»,метр.
В риссмотренном примере параметр пзменялся дважды за пе
рпод возбуждаемых колебаний. Однако можно npoизводить БЛо
жепи(\ !>порrии за счет изменения 'Параметра один раз за период,
9.

132 rЛ. 4, НОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАРАМJ!:ТРИЧЕСНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
два раза за три периода и вообще при выполнении условия
р===2оо/п, (4.1.7)
rде п === 1, 2, ..., р  частота изменения параметра, 00  часта
возбуждаемых колебаний. При этом, конеЧ1l0, энерrовложение
в возбуждаемую систему за период будет тем меньше, чем боль
ше п.
Аналоrичные соотношения мы получим, если скачком меняет
ся индуктивность L. При этом N L === Li 2 /2. Однако поскольку при
изменении L изменяется также и ток i, то для расчета вложения
энерrии удобнее пользоваться выражением N L === ф2/2L, rде Ф 
маrнитный поток, который является инвариантом при скачкооб
разном изменении L. Поэтому при изменении L на величину 2!!J.L
Ф ( 1 1 )
!!J.N ==="'"'2 Lo  tJ.L  Lo + tJ.L '
или при !!J. TJ « Lo
!!J.N  N o .2 IJ === N o '2т,
'о
rде
L MaKc  L мин
т=== .
L MaKc + L мин
(4.1.8)
Отметим, что в линейной I\ОлебательноЙ системе при выпол
нении условия параметрическоro возбуждения колебаний (усло
вия параметрическоrо резонанса) происходит неоrpаниченное
нарастание амплитуды возбужденных колебаний. Это связано с
тем, что и потери, и вложение энерrии в данном случае пропор...
циональны квадрату амплитуды колебаний (пропорциональны
колебательпой ;шерrии системы). Для вынужденных колебаний. в
линейных системах при силовом nо:щсiiствии вложение энерrии
пропорциопаЛЫ10 перной СТРIIОIIИ амплитуды колебаний, а поте
ри ПО)fрt'ашРму IIРОI)ОРI\ИОIIIIJII>IIЫ 101!\I\1H1Ty аМIIJIИТУДЫ, что при
водит к оf)ра:lOваllИЮ !ЮJll"lJIоii аМIIJJИТУIЫ llынужденных коЛ:е
баний.
Очевидно, что. параметрическое возбуждение колебаний воз
можно лишь при изменении одноrо из энерrоемких параметров L
или С. Изменение R может привести лишь к изменению закона
диссипации  затухания имеющихся колебаний, но система OCTa
нется диссипативной.
Мы уже rоnорили, что явлени, состоящее в возникновении
:ц... KOHTVDe HapacTalOllPrO I\олеоательноrо процесса с частотои, же 
С1.lflа.1\l!поj!.... с ЧI1 СТОТОI1 внсшпсrо параМ Q. 'U}Иllр{')(оrg :ВОЭДР.П 
и вызыв аемое имснно ::JТИМ J10:Щf'iiСТJlИСМ, принято назы
вать параМетрп'lесим во.збуждеНllеJ.t оле6апий или пapaмeTpu
чес'Хuм резопаНСОJ.t. Параметрическиii рс:юпапс имеет место при
выполнении определенных соотношениЙ между частОТой имене
ния параметра р и частотой возбуждаемых колебаний 00, близкой
или совпадающей с собственной частотой возбуждаемой С1lстемы

 4.1. ПАРАМЕТРИЧЕСНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА СИСТЕМЫ (33
Ю О (р == 2 Ф!п) , а также при выполнении условий, определяющих
паменение параетра т(т> тпороr) для дапноrо соотношеИИJl
частот. с
Математическое описание параметрическоrо резонанса в JI.
пеiiных системах производится с помощью линейноrо дифферен
циальноrо уравнения с переменными коэффициентами
х + 'P (t)i + (jJz (t)x == О,
rде <р1 (t) и (jJz (t)  периодические функции времени. Подста
повкой х == z ехр {  + 5 'Рl (t) dt1' это уравнение преобразуется
l{ уравнению Хилла вида
z+ 'iJ(t)z ==0, (4.1.9)'
l' t 2
rде 'Ф (t) == 'Р2 (t)  т'Рl (t)  Т 'Рl (t)  периодическая фушщия.
Частным случаем уравнея Хилла является уравнение Матрё
ii + ф (1 + т cos(pt» у == О. (4.1.10)
Теория этих уравнений разработана с большой полнотой, извест
вы и все существенные  войства их решепий, обычно записы
l!aeMblX в виде
х == CtX (t) е А ! + czx (t) eA" (4.1.11)'
rдe ')(t)  оrраПИ'IОIIIIЫО фушщии с пориодам,. равным Периоду
изменения IIlI}шм!\тра IIJIИ IIOJIOIIИНО :1ТОI'О периода, и л  коип
леКСН8Я IIШIИ'lИН/I, IIflаЫIIRомая хараrерисrичеспи.м по'ХаааrелQJ.,
ВОЩОСТ\JОНllая 'IUCTb )ютороЙ определяет, имеет ли решение возра
стающиЙ характер или нет. Полный анализ решений математи
чески довольно сложен и для линейных случаев, и, тем более,
ДЛЯ нелинейных задач. Поэтому он сводится к нахождению Ta
них областей значений соотношения частот 2(f)Jp и rлуБИII мо--
)\УJIЯЦИИ т, для которых имеются комплексные значения ЛI 'и Лz.
Тоrда в системе MorYT происходить нарастающие колебания, т. е.
lIозникает параметрический резонанс.
А. А. Андронов и М. А. Леонтович рассчитали эти области
:шачений для систем без затухания и с затуханием, описываемых
:уравнениями .
.. 2
Х + фо (1 + т cos (pt» х == О,
у + 2бу + ф (1 + т cos(pt» у == О.
l'1!:lYJII,T/lTbI их расчетов в виде rpафиков показaны на рис. 4.3. /
11;, ЮН 1111)\110, что при наличии потерь в системе вершин:ы обла
CTI''' 11111)j1It'трической неустойчивости поднимаются; они лежат
110 IIpHMOii, I\оторая составляет yrол 'Р == аrсtg(2б) с осью абс
цисс. IlIIIТjJИХОllaIIНые области соответствуют нарастающему

{34 rл. 4. КОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАР АМЕтриЧЕCRОМ ВОЗДЕйСТВИИ
процессу с частотой 00 == nр/2  000 (n == 1, 2, 3, ...). Вне этих
областей в случае консервативной системы получается сложный
незатухающий процесс, а в случае диссипативной  затухаюIЦ1Цi
процесс колебаний. На rpанице областей имеет место баланс
энерrии.
d
Рис. 4.3. Области параметрическоrо возбуждения для
ния (а) и с затуханием (6)
т
то
J
4
т
2ы о
р
то
tgfOи
1
Z J
tf
системы без затуха
Из rрафиков видно также, что для заданноrо значения ТnQ
ширина областей парамеТРИ'1ескоrо возбуждения для разных но--
херов n раалична для консервативной и неконсервативной систем.
J1Iиpа области неустойчивости с одним и тем же номером
А области всеrда меньше у диссипа
ТИВНОЙ колебатеJIЪНОЙ системы.,
чем у Rонервативной. С ростом
этоrо номера иэза более peДRoro
вложения энерrии в систему (р ==-
== 2оо/n, n == 1, 2, 3, ...) необхо
димо увеличить rлубину модуля
ции рсаНТИDlюrо параметра для
получения той же ширины обл'а
сти параметрическоrо возбуж
2р дения.
ыо Если rрафики рис. 4.3 предста
БИТ.Ь в виде аМШIИтудночастот
ных характеристик параметриче
СRИ возбуждаемой линейной IiOJIe
бательной системы, то дл1j фИRси
роваlШЫХ то и р опи будут иметь вид, показанный на рис. 4.4.
Как мы видим, полосы возбуждения сужаются с ростом номера
области неустойчивости n, а таюко изза наличия диссипации в
системе (полосы, оrраниченные штриховыми линиями). Из
рис. 4.4 видно также, что для выбранноrо значения rлубины MO
дуля:ции (параметра т) и при данном конкретном значении ,зату
хаimя 26 в системе вообудить параметрические колебания в чет
вертой облаСl\И неустойчивости не представляется ВQЗможIlЪU(.
с потсряни
 tifJ3 потерь 
(1 '1 11
I I I I 11
I I I I 11
I I I I 11
I I 1 I 11
I I I I '1
I I I I :'
I f I I li,!
р р 3р
Z Т
Рис. 4.4. Аиплитудв<rч&Сrотные
характеристики параметрически
возбуждаемой линейной системы

 4.1. ПАРАМЕТРИЧЕСНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА СИСТЕМЫ f35
 Теперь необходимо рассмотреть,' что HOBoro вносит в проте
Jiание параметрическоrо резонанса наличие нелинейности. Даже
f)ез дальнейшеrо анализа ясно, что наличие нелинейности, вы:зы
:ная неизохронность, будет приводить с ростом амплитуды КОЛIr
баний к изменению частоты собственных колебаний систем'Ьr,
а следовательно, к нарушению условий резонанса и к оrраниче
пию амплитуды параметричооки возбужденных
колебаний.
Мы уже познакомились с тем, как неизо
хронность проявляется при обыкновенном си
ловом резонансе (см. рис. 3.25), и теперь сле
дует рассмотреть ее для случая параметриче
cKoro резонанса. Постараемся выяснить HeKO
торые наиболее существенные особенности по
ведения интересующих пас систем при допу
щениях и предположениях, весьма далеких от
строrости, но позволяющих правильно оценить
характер параметрическоrо резонанса в ряде
нелинейных систем. Для простотырассмотрим iКонсервативвую
спстему, состоящую из индуктивности и ковденсатора с cerHeTO
электриком (рис. 4.5). Пусть 'в этой сиете.ме происходит такое
периодичоокое изменение индуктивности, что
L Lo
(t)  1 f- т сов ре '
Е3
Рис. 4.5. Схема
контура с меняю--
щейся во времени
индуктивностью и
конденсатором с
сernеТOЭJIектри
ком C(q}
(4.1.12)
Тоrда уrНIIIJ(рJ(ИР, ОllиеЫIIUIОЩОО колебания в системе при р  26>,
будет
.. 1
q + [1 + m cos (2rot)] т ис (q)  О.
о
Выразив 'зависимость uc(q) в виде uc(q)==={1/C o )f(q), полуЧим
;; + ro [1 + mcos(2rot)]f(q)  О, (4.1.13)
rде ro  1/L o C o  собственная часто'll8. колебаний при достаточно
малых амплитудах, t ( q)  функция, описывающая нелинейную
характеристику конденсатора.
Заметим, что точно такое же уравнение было бы получено
при постоянстве индуктивности, но при периодичещюм измене
нии значеRЩI емкости с rлубиной модуляции m по закону С (t) ==
" r:n! [1 + m cos (2rot)].
ЛJIЯ случая контура с нелинейной индуктивностью при пе
рИОДИ ,(Оском изменении L или С описывающее ero уравнение не
Yi\!\I1TeH привести к такому простому виду. Однако общий-харак
тор НIIJНШИЙ, происходящих в подобном контуре', остается тем же,
так что ДJIЯ 11 ростоты оrраничимся приближепныи исследованием
решений уравнения (4.1.13).

136 rЛ, 4. КОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗДЕйСТВИИ
Будем искать приближенное решение вида q  а cos «(J}t) +
 + Ь sin«(J}t), т. е. вида установившеrося колебания (а == const)
'l....b == const) с частотой, равной половине частоты параметрическоI'(}
liвоздействия, что соответствует первой области параметрическоrо
возбуждения. Подставляя это решение в уравнение (4.1.13),
имеем
аю2 cos«(J}t)  Ьоо2 sin «(J}t) +
+- ю [1 + т cos (2(J}t)J f[a cos «(J}t) + Ь sin (rot)J == О.
Разлаrая f( q) в ряд Фурье и сохраняя лишь члены с cos «(J}t)
и sin«(J}t) (постоянньuff член в силу свойств нелинейноro,конден
сатора равен пулю), находим уравнение, из KOTOpOro, rруппируя
коэффициенты при cos «(J}t) и sin «(J}t) , получим систему двух
уравнений
юсхl (1 + m/2'f аю2 == О, Ю1 (1  т/2)  Ьоо2 == О. (4.1.14)
Здесь, как и раньше при замоне (J}t на т, имеем
п
СХ 1 == + S f (а cos т + Ь sin т) cos т dT,
1C
п
f:}1 == ; J На COST + Ь sin т) sin т d't'.
п
Отсюда мож но най ти амплитуду возможноrо стационарноrо ре-!
шения А == )' а 2 + Ь 2 и ero фll3У ер  arctg (а/ Ь). Правда, прибли-
женное решение q == а COR «(J)t) + ь si n «(J)t) следует еще исследtt
вать на устойчивость ДJlЯ Оllродетшия Toro, насколько оно фи-
зически реально; ДОJIifШЫ быть И:JУЧРПЫ И пути установления
процесса.
Рассмотрим в качестве примера случай, коrда нелинейная
характеристика еыности задана выражением
f(q)== q + 'tq3.
в этом случае
3 S 3 Ь 2
сх 1 .... а + туа + туа ,
(4.1.15)'
3 3
1 == Ь + туЬ З + туа 2 Ь,
и мы приходим К уравнспиям
ю (а +- +уа З +- +уаЬ 2 ) (1 + + т)  аю2 == О,
ю (ь +  уЬ З + +уа2Ь)( 1  +т)  Ью2 == О..

!j 4,1. ПАРАМЕТРИЧЕСНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА СИСТЕМЫ 137
IIJIИ
ооа (1 +  уА2)( 1 + + т)  аоо 2 == О,
ооЬ (1 +  I'А2)( 1  + т)  Ьоо 2 == О,
!'де А 2 == а 2 + Ь 2 .
Эта система допускает следующие решения: а == Ь == А == О,
что соответствует отсутствию в системе ус')'ановившеrося Перио
дическоrо движения (состояние покоя). Такое состояние является
!!Озможвым равновесным состоянием системы, и вопрос о Щ'О
осуществимости при данных значениях параметров систе и
характере внешнеrо воздействия можно решить только на основе
рассмотрения вопроса об устойчивости данноrо состояния. AHa
лиз устойчивости системы по отношению к малым отклонениям
от состояния покоя приводит К линейному уравнению с перио---
дичесRИ изменяющим:ся коэффициентом (типа уравнения .Матъё).
Для этоro уравнения, как мы уже yRазывали (см. рис. 4.3),
вблизи значений 000/00 == 1, 2, 3, ..., п при данном те  rлубине
модуляции параметра  существуют определенные области зна
чений 00, в которых состояние покоя становится неустойчивым,
и в системе должен возникать и нарастать колебательный про
цесс с частотами 00, 200, 300 и т. д.
Мы В нашем приближенном рассмотрении оrраничимся ClIa
чала лишь решением с частотоЙ ы, СООТ!IUТСТIIУЮЩИМ нарушению
условий устоЙчипости СОСТОJlIIПJl 1101\011 (а == Ь == О), в первой
области ]Jоустоiiчи[IOСТИ 11 ОКрОСТIIОСТИ Фе == Ф.
В раССМUТрИllаемоii системе возможны также решения а '* О,
Ь == О или а == О, Ь '* О. Случай а '* О, Ь '* О невозможен, так как
он приводит к несовместным уравнениям.. Принимая а,* О, Ь == О,
получаем
(4.1.16)
ф (1 + y А2) (1 + ; ) == 002,
откуда
A2== r 1 ] .
 6); (1  т/2)
Значение А тем БОJIЪше, чем меньше 'у  коэффициент, хаР.I{те--
ризующий степень нелинейности системы.
Этот результат вполне очевиден и из качественных сообра
;]ений. В самом деле, чем меньше 'У, тем при большей аМПJilИТУД
НOJlобаний средняя частота собственных колебаний систеи;ы .за
. ,
С'I(\Т ее неизохронности изменится на величипу, достаточную для
IIЫI\f1ДОIIИЯ системы из области параметрическоrо резонанса.
ЛМlIJlИтуда А реальна (А 2 > О) при. 'У> О толЬко В случае
(»2 .
6)(1+т/2) 1>0,
( 4.1.17)

138 rл, 4. КОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАР АМЕТРИЧЕCRОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
т. е. при 00/000 > )',1 + т/2, 00 > 001 == 000 у 1 + т/2. Если а == О, Ь =1=
=1= О, то из BToporo уравнения (4.1.16) находим решение
А2   з 4 [ 6)2 1 ] ' (4.1.18)
 l' 6) (1  mj2)
откуда получим услов ие сущ ествования реа льноrо. ре шения
00/000 > у 1  т/2, 00 > Ю2 == 000 у 1  т/2.
Если в системе нелинейность имее.т друrой характер, при
КО1'ором 1 < О и, следовательно, средняя частота свободных коле
баний уменьшается с ростом амплитуды, то для вынужденных
колебаний при параметрическом воздействии получим два Bыpa
женил
Изобразим полученные роаультаты rрафичеСI\И. На рис. 4.6
в координатных осях 002 и А 2 показаllЫ зависимости, описывае
иьiе (4.1.17), (4.1.18).
Характер процессОБ в изучаемой системе при параметрическом
воздействии с данной rлубиной модуляции т можно себе пред
ставить следующим образом. Система остается в покое (т. е.
. .. в ней не П.9 '"iWЛеба.:-
ния сча:Стотой (0) при всех
значени ях ffi < 002 И 00'> 00\.
При значениях ro, пощщаfO
щих внутрь частотноrо ин
торнала Ш!  Ю2, В системе
JlОВllИI,аот I\олебатеЛЫIЫ.ii,
процесс с I\Опечной амплиту
доЙ А, которая существенно.
зависит от степени нелиней
ности "системыI (величины 1).
В зависимости от xapaT,epa
нелинейности (знак 1) ,жсще
бания при даЛЫlейшм из
. .менении 00 за пределы УЩ1
заииой области (первой области параметрическоrо возБУЖДеНИя
2ооoIр == ooJoo lIit$ 1) или спадают до нуля, или нарастают, ,Torдa
KaIt состояние покоя 'на :этих частотах ffi вновь становится .УСТQЙ
ЧllВЬW. ,Такии образом, здесь на примере проведенноrо pceTa
МQ ИДIIИ оrpани'Швающую роль нелинейноrо элемента систем,
ПО8воляющеro ПОЛучи.ть конечные (оrраниченные) амплитуды
парам:етричесRИ возбужденных колебаний в консервативной си
А2 == ...i..... [ 1  6)2 ]
311' I (a) (1 + mj2) ,
А 2
,
,
"
/
X
'
о
I
I
I
I
I
I
I
I
I
, /
I х
I 
" '
X
БJ2 БJ2. 1iJ2. (;)2
2. о 1
Рис. 4.6. Кривые параметрическоro ре.-
зонанса А2(6)2) для консервативнЩi не--
линейной системы ',!
t'
А2 == 31 I [ 1 
6)2 J
6) (1  mj2) ..
(4.1.19)

!I 4.2. ОБЩИЕ ЗАМЕЧ.АНИЛ О РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЯХ . 139
стеме, подобно тому, как это ииело место в нелинеiиоi KOHcep
вативной системе при непосредственном силовом воздействии.
Неизохронность системы прИВОДИТ к тому, что при во3llИIШО--
вении параметрИЧески возбужденныx колебаний собственная ее
частота с ростом амплитуды изменяется и сама система Bьmo--
дитея на rрlЦlИЦУ соответствующей области параметрическоro
возбуждения. Это приводит к уменьшению энерrии, вкладываемой
в систему устройством, изменяю--
ющим параметр, и тем самым А
оrраничивает нарастание ампли
туды.
Если считать, что нам задана
частота воздействия р == 2ю, и
припять, что в изучаемом случае
реrулируемой величиной является
юо  соБСТllенная частота системы
(для малых амп.литуд), то полу
ченные нами соотношения будут о
изображаться rpафически в KOOp
динатах юо и А так, как показано
на рис. 4.7. Изображенные на нем
uбласти параметричеСRоrо возбуж
дения для '( > о (кривые парамет
рическоrо резонанса) для исслодо
ванпоrо частотноrо соотношения,
соотвеТСТНУЮЩ(1l'О !lРРIIОЙ ОUJIaСТИ неустойчивости линейноrо
ураRПОl!ИЯ MaT!.!i, переХОIЯТ при '1 --+ О в соответствующую o
ласть, изображенную на рис. 4.4. Здесь, как и в случае.резонанса
при силовом воздействии, получается деформация резонансной
кривой для линейной консервативной системы и ее наклон в c'FO
рону больших или меньших частот в зависимости от знака He
линейной поправки, т. е. в зависимости от ти:па неИЗ0ХРОННОЙ
системы.
rz  211
(,}и
.'r.J(1
Рис. 4.7. Кривые параметрическо--
ro резонанса А ( ro) для нелиней
ной консервативной системы при
двух значениях коэффициента не...
липсйпости ("(2> "(1) и при т ==
== 0,2
 4.2. Общие замечания о рсзощ\Нсных явлениях
в колебательных системах
Выше уже указывалось, что характер протеканил резонансных
явлений в колебательных системах с одной степенью свободы
существенно меняется в зависимости от TOro, является ли изу
чаемая система линейной или обладает определенньrми нй
ными свойствами, а также от характера рассматрива,емо,;ro воз.
действия. Даже оrраничиваясь случаем rарм()нической, формы
воздействия, мы встречаемся с весьма различными особенностями
резонансных явлений при пря:иом (силовом) или параиетриче.

140 rл. 4. RОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСRОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
скок воздействиях. В предыдущих параrpафах рассматривались
процессы, протекающие при простейщих видах воздействия в
линейных и нелинейных системах.
Консервативная идеализация, существен.но упрощая paCCMOT
рение, в рлдеслучаев приводила к выводам, не ,оправдывающим
ся в реальных системах. Но вместе с тем ряд принциnиально
важных особенностей вынужденных процессов в нелинейных си
стемах мало зависит от наличия или отсутствия потерь (разу
меется, если они не слишком велики), и выводы о резонансных
явлениях в консервативных системах лишь с небольшими коли
чественными поправками можно распространить на HeKOHcepBa
тивные системы. С учетом этих замечаний рассмотрим некоторые
уже установленные особенности резонансных процессов в иели
нейных системах при воздействиях различноrо типа. В нелипейJIыx
системах (в отличие от линейных) при прямом rармоническом
воздействии резонансные явления наблюдаются при ряде частот
ных соотношений, а не только при совпадении частоты воздей
ствия с собственной частотой системы.
J в линейной системе с одной степенью свободы резонанс
.( единственный) наступает lIрИ
р == Юо,
rAe Р  частота СИЛQвоrо воздействия, юо  собственная частота.
В нелинейной системе резонансные явления возможны при
юо == пр,
rде n может принимать любое целое положительное значение
1, 2, ... Возможность ВОЗНИlШОlleIIИЯ резонансных процессов при
различных значениях n ОllрIЩОJIЯСТСЯ ВИДОМ нелинейности си
стемы.
Далее, следует отметить, что в нелипейной системе (в отличие
от линейной) даже при консервативной идеализации всеrда им
ет место оrраничение амплитуды вынуЖденных колебаний. Это
оrpапичение обязано своим существованием свойству неи30ХРОН
ности колебаний в нелипейных системах.
Такие специфические особенности резонансных явлений
(а также форма резонансных кривых) привели к тому, что по
добные процессы в нелинейных системах часто выделяют в oc<r-
бую катеroрию и называют их феррореаоnаnсом. Это связано с
тем, ЧТО чаще Bcero такие процессы наблюдаются в системах,
содержащих индуктивности с ферромаrнитными сердеЧНИI(3ИИ
или конденсаторы с сеrнето:щектриками. n зависимости от типа
веJПIНейвости форма резонансных КРИIJЫХ при феррорезовансе
моЖет иметь тот или иной специфический вид, но BcerAa coxpa
iшется одна основная особенность, обусловленная отсутствием
'l'aitoro звачепия частоты воздействия, при котором даже в KOH

64,2. ОВЩИЕ ЗАМЕчАНИЯ О РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЯХ 141
сервативно.й системе наблюдалось бы бесконечное возрастание
амплитуды. '
При силОвом воздействии вынужденные колебания существу
ют при любых соотношениях между частотой воздействия р и
собственной.частотой системы ио и возбуждаются при любой
амплитуде воздеЙствующей силы. При наступлении резонанса
происходит лишь соответствующее увеличение амплитуды вынуж
денных колебаний.
Переходя к резонансным явлениям при параметрическом воз
действии  параметрическому резонансу, можно также отметить
ряд их особенностей. Прежде Bcero следует обратить внимание
на то, что при параметрическом воздействии существует дрyrой,
чем при прямом, ряд частотных соотношений, при которых Ha
блюдаются резонансные явления. При чисто параметрическом
воздействии даже в mmейной системе резонансные эффекты воз
никают при Ив  nр/2, тде n:= 1, 2, 3, ...
Таким образом, существуют ск етны о
ческоrо воз6 ж ени
елинейный случай ОТЛичается от линейвоro случая только
деформацией rpаниц этих, областей при конечных амплитудах
возбудивших:ся колебаний. Поэтому для нелинейных систем (в OT
личие от линейных) мы всеrда имеем конечную амплитуду пара
метрически возбужденных колебаний опятьтаки за счет неизо
хронности колебаний. В линеЙных же системах при осуществле
нии условия параметрическоrо РU:ЮIlанса IJ любой из частотных
областей резонанса БУ)1UТ IIрОИСХО)1ИТЬ неоrраниченное нарастание
. амплитуды. При :этом для возникновения параметрическоro рзо-
нанса в диссипативной системе необходимо, чтобы аIllПЛИТУДа.
воздействия (шубина модуляции параметра т) была больше
HeKoToporo поротовоrо значения,. ра3JIичноrо для разных 'lJастот
ных областей.
Для резонасных явлений в нелинейных консервативных си
стемах как при силовом, так и при параметрическом воздействии
характер:иа и принципиальна несимметрия резонансных кривых,
связанная с законом неизохронности колебаниЙ рассматриваемой
системы. Это общее свойство присуще также инеконсервативным
системам, но лишь при условии, что по крайней мере один из
их консервативных (перrоемких) параметров зависит от OCHOB
ной переменной, т. е. по введенной терминолоrии нелинеен (Ha
пример, нелинейная емкость, нелинейная индуктивность, нели
нейная жесткость и т. п.).
Для нелинейных систем (в отличие от линейных) неприм:ении
прИБцип суперпозиции, и поэтому не представляется возмОЖНЫм
разделить в результирующем процессе компоненты, вызванные
01l'дельными составляющими внешнеrо воздействия. Это обстоя
телъство чрезвычайно усложняет. анализ вынужденных процессов
в нелинейных системах даже в консервативном приближении и

142 rл, 4. КОЛЕБАНИЯ ЩИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ В03ДЕйСТВlIИ
делает не вполне корректным рассмотрение случая ПрЯМQFO си
ловоrо воздействия без учета одновременноrо воздействия на па
раметры системы. В самом деле, если учесть, что вынужденный
периодический процесс, обязанный своим происхождением пря
мому воздействию, вызывает в свою очередь периодическое из
менение параметров нелинейной системы, то становится ясным,
ЧТО, результирующие резонансные явления MorYT иметь весьма
сложIIый характер. Частотные соотношения, при которых про
исходят резонансные явления, также будут задаваться условиями
нелинейных прямоrо или параметрическоrо резонансов. Эти об
стоятельства не позволяют применять для нелинейных систем
полное разделение двух упомянутых типов ре30Нансных явлений.
Поэтому представляется разумным, ВЫДеляя случай чисто па.ра
метрическоrо резонанса, не противопоставлять ему случай СИJIО--
Boro, или прямоrо, резонанса для нелинейноЙ системы. Можно
лишь классифицировать виды воздействия, связанные с различ...
ными способами внесения энерrии в систему, что является опре
деляющим для протекания резонансных явлений.
В консервативной системе при прямо м воздействии внешняя
сила в I\аждый данный момент уравновешивается упруrими и
инерциальными силами системы и, следовательно, внешняя сила.
производит работу и тем самым увеличивает запас колебатель
ной эиерrиисистемы лишь во время нестационарных процессов.
Это происходит при амплитуде вынужденноrо процесса, MeHЬ
шей стационарIiоrо ее значения, определяемоFO данными частот
ными соотношениями и параметрами системы. В таком случа-е-
интеrрал работы внешней силы за период не равен нулю. По
достижении стаЦИ8нарноrо значения амплитуды работа внешней
СИJIы за период становится рапной нулю, и в консервативной си
стеке дальнейший процесс не сопровождается изменением запа
са ее колебательной энерrии.
Лишь в случае линейности системы при (J)o == Р пе существует
конечной амплитуды стационарноrо вынужденноrо движения,'
а будет иметь место непрерывное возрастание амплитуды вынуж
денпоrо колебания и соответствующий рост запаса колебательной
энерrии системы за счет работы, производимой силой внешнеro
воздействия. Это и есть то явление, которое мы называем Аин,еи--
н,ы.м резонансом в 1'>онсервативной системе. Очевидно, что харю\
тер eFO протекания принципиально. изменится при введении в
рассмотрение любоrо сколь уrодно малоrо затухания. При HeBЫ
полнении условий ре:юпанса учет малоrо затухания должен вно--
еить лишь небольшие количественные поправки.
Таким образом, пр прямом воздсiiСТJlИИ :терrия ВЫНУЖден
ных колебаний образуется за счет нспосредственной работы внеш
ией силы при движении системы. При параметрическом воздей
ствии увеличение запаса колебательной энерrии происходит с
прбразованием энерrии из одноrо ТИпа в друтой. Так, напри

 4.2. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЯХ 143
\
мер, меха.пическая работа, производимая при соответствующем
изменении' .емкости конденсатора. (при модуляции ero емкости
посреДСТВО?4 периодическоro раздвиrания или сближения цла
стин), приведет к изменению запаса электростатической и общей
энерrии эле:lt'l'рических колебаний в электрическом Iюлебатель
ном контуре. Интеrрал этой работы при периодическом воздей
ствии не равен нулю (больше нуля) при частотах воздействия
вблизи точноrо выполнения условий
(i)o == пр/2, п == 1, 2, 3, ...,
что соответствует наличию при таких частотах нарастающеrо
вынужденноrо процесса. Это и есть параметрический резонанс,
а области частот, внутри которых работа внешних сил, pacxoдye
мая на периодическое изменение параметра, создает увеличение
запаса колебательной энерrии системы, являются областями па
ра:метрическоrо резонанса.
В линейной системе нарастание амплитуды параметрически
возбужденных колебаний не оrраничено для всех частотных co
отношений, лежащих внутри областей параметрическоrо реЗОRаi
са. Скорость нарастания амплитуды колебаний различна для раз
ЛИЧНЫх областей, а ВНУТРИ каждой области изменяется от макси
мальноrо значения при точном выполнении частотноrо COOTHO
шения
(i)o == п р/2
до нуля на rрапицс оБJJUСТСl1. ВНР IIреl(СЛОП ;:JТИХ областей рабо'F8.
внешuеrо lJоаДСЙСТlJИЯ за период равна нулю и наличие во;щЩi
Ствия вызывает лишь соответствующее изменение формы соБСТ
венных колебаний, если они существуют в рассматриваемой.,КОН
сервативной системе при данных начальных условиях. .. ,
в нелинейных системах, как было ПОlщзано на ОТДЛЬ:JЦi[х
примерах (см. рис. 4.6 и 4.7), даже в консервативном np}IP"o/
жении неоrраниченноrо нараставин параметрически возбущn;еlI
ных колебаний не происходит, ибо присущая нелинейным систе
мам неизохронность приводит с ростом амплитуды колебанИя к
нарушению требуемых частотных и фазовых соотношений. и к
прекращению вложения энерrии в систему со стороны механизма,
изме.пяющеrо параметр, а следовательно, к установлению опре
деленной ампЛИТУДЫ вынужденных колебаний.
Сопоставим основные свойства силовоrо и параметричесоrо
резонансов.. '; ..; .
1. Силовой резонанс возНикает при р  (i)o или пр  (i), (в Be
линейной системе), во вынужденные колебания существуют. при
любой частоте воздействия р. В случае параметрическоro резо
нанса существуют лишь оrраниченные частотные ИН1'ерв8.ЛЫ
в.близи точноrо выполнения соотношения р =='2(j)Jn, внутри KO
торых возникают параметрически возбужденные колебания..

144 rл, 4. КОЛЕБАНИЯ IIPИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗДЕйствии
2. Любая по величине внешняя сила может вызвать силовой
резонанс. Для возникновения параметрическоrо резонанса в He
консервативной системе величина воздействия должна быть боль
ше некоторой пороrовой величины.
3. В силу существования пороroвоro значения амплитуды
параметрическоrо воздействия в неконсервативной системе суще
ствует оrраниченное число частотных интервалов, внутри KOTO
рых осуществляется параметрический резонанс.
4. Для линейной неконсервативной системы при силовом pe
зонансе всеrда характерна оrраниченная амплитуда колебаний,
так как потери растут быстрее вложения энерrии.
5. В линейной неконсервативной системе при параметриче
ском резонансе происходит неоrраниченный рост амшштуды, так
как и вложение, и потери энерrии пропорциональны квадрату
амплитуды и только в нелинейной системе происходит оrpаниче-
ние колебаний.
 4.3. Свойства активных систем и параметрическая реrенерация
'Уже из общей теории парамеТРllческоr() резонанса следует,
что путем периодическоrо изменения реактивноrо (энерrоемкоrо)
парам:етра при определенных соотношениях между частотой воз
действия на парам:етр и собственной частотой системы можно
реализовать нарастающий по амплитуде процесс, т. е. обеспечить
увеличение энерrии колебаний системы. Поэтому колебательные
системы, испытывающие определенное параметрическое воздей-
ствие, можно отнести к классу активных колебательных систем.
А"ти8nыми "од,ебатед,ьnыми системами называются системы,
в ноторых постоянно или В опреJелеllные интервалы времени
(например, в течение части пернода J\олебаниii) происходит YBe
личение энерrии I\олсбаниii за счет источника энерrии, входя:Ще
ro в состав рассматриваемоЙ системы.
Вложение колебательной энерrии в систему за счет энерrии
источника можно представить себе нак процесс частичной или
полной компенсации потерь в системе. Этот процесс для данноro
типа движения (например, для колебаний данной частоты и фоjr
мы или для определе:в:ноrо широкоrо RЛаеса типов колебаний) З8
счет внутренних свойств системы называется реееnерацией.
Для Toro чтобы обеспечить компенсацию потерь или пополне
ние запаса колебательной энерrии, в системе должен содержаться.
внутренний источник в сочетании с устройством, преобразующим
энерmю этоrо источника в требуемую форму (батарея с элек,...
ронной лампой, батарея с туннельным диодом, источник. тока
с rазоразрядным прибором, reHepaTop напряжения или тока оп
редеneнной частоты, вызывающий изменение энерrоемкоrо пара-
:метра во времени и т. д:).

!I 4.3. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ РЕrEНЕРАЦИЯ:
145
Для физическоrо и математическоrо описания активных сис
тем широко используется понятие «отрицательное СОПРОТИБJIе
JIие». Если оrраничиться случаем rармонических колебаний, '1'0
мощность ПОТерь (рассеиваемая мощность) для линеЙной HeHOH
сервативной системы можно записать в виде W == Ri 2 /2, rде
R > О. Точно тан же можно обозначить ВВодимую в систему
J.IОЩНООТЬ, компенсирующую потери, ТОЛЬRО тorда необходимо
считать, что сопротивление R меньше нуля. В этом случае R
отражает действие одноrо из возможных конкретных механиз
мов, подкачивающих энерrию в исследуемую систему.
Таким образом, отрицательное сопротивление уменьшает об
щее СОПРОТИБJIение цепи. Если представить себе цепь, состоящую
из последовательно соединенных R и R, то общее сопротивле
иие цепи будет
R z == R  R.
Как в колебательных системах можно создать отрицательное
сопротивление путем периодическоrо воздействия на Rакойлибо
реактивный параметр системы? В  4.1 мы, рассматривая случай
скаЧRообразноrо изменения еМRОСТИ в колебательном; контуре с
L, R, С, нашли, что при изменении емкости с соответствующей
фазой дважды за период Rолебаний в контуре вложение энерrии
за период равно (q/2Co).4т, rде qo  аМПЛитуда заряда па eMKO
сти, СО  среднее значение смт\Ости, т  rлубипа модуляции
смности.
ПараМОТРIl'ICСI(()О nЛОil\СП1l0 ;>псрrии в сиСтему можно фор
малыш ПрИрНВIIЛт!' «отрицательным» потерям энерrии в НОНТУР6
за период колебаний; тоrда получаем
1 q 2
""2 с 4т == 'Л,Rqо(f),
,О
отнуда определим отрицательное сопротивление
R == 2т 1 f L == 2т р rде р == у L
 л r СО л' Со'
(4.3.1)
Таним обра:юм, в I\олебателъном контуре с периодически из
меняюIЦИМСЯ реактивным параметром при указанных частотных
и фазовых соотношениях происходит реreнерация, формально
описываемая введением отрицательноrо сопротивления R; тоrда
коебательный контур, изображенный на рис. 4.1, можно пред
ставить эквивалентной схемой, ПОRазанной на рис. 4.8. При ЭТOJI
энерrия, ВЮIадываемая в систему, черпается из механизма, про
изводящеrо периодичеСRое изменение реактивноrо параметра.
Подобный тип реrенерации обычно назыаютnaражетричес,,ойй
рееепе рацией.
10 в. В, Миryдин И др,

146 rл. 4. КОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМВОЗДЕйСТВИИ
с помощью параметрическоrо воздействия можно влиять на
вынужденные колебания в колебательном контуре. В частности,
при параметрической реrенерации реализуется работа системы
либо в качос.тве параметрическоrо усилителя, либо в качестве
параметрическоrо reHepaTopa, что определяется соотношением
между омическим R и отрицательным R сО'противлениями. При
параметрическом усилении R > R, при параметрическом B03
буждении (rенерации) R < R.


L
и:COO
Рис. 4.8. Эквивалептпап CX('
ма коптура с ре1'СIIсрациеii
Рис. 4.9. ЭI;впвалептпая cxe
ма РС1'еперированно1'О KOH
тура с внешним возцii::-
ствием
Рассмотрим линейный ПОСЛОДОllаТСЛЫIЫЙ l\Олебательны.. KOH
тур (рис. 4.9), в котором, нроме обычпоrо омическоrо сопртив
ления R, имеется отрицательное сопротивление R, обуслq.БЛен
BQe параметрическО'й реrенерацией; кроме Toro, в контур вводит
ся внепщяя: сила и == и о cos (pt). Будем считать, что собственные
колебания, вызванные' начальными воздействиями внешней. силы
и механизма изменения реактивноrо параметра, через ,<?p:eдe
ленное время затухнут и в системе останутся только реrеериРо
ванные вынужденные J((шебания с частотой внешней СИJll,:.ДРИ
резонансе амплитуда ТОJШ, lНШ известно, равна ' . .
И О
10 == 1l  ll '
Отсюда следует, что введение реrонерации действительно ц-.р.иво
ДИТ к возрастанию резонансной амплитуды тока в контуре.
В этом и закщочается принцип работы реrенеративных усилите
лей различных :классов, в том числе параметрических усилителей.
Мощность, выделяемая на СОПрОТИБJlении W == 1/2RI, п pe
rенерированном контуре увеличивается, иБО' W 1 == 1/zЩU(R 
 R) Jz, Torдa как без реrенерации она равнялась. .w:o ==
=.1/ z R(U o /R)Z. ТаI\ИМ образом, получаем 1;: :.
: == ( п  1l Уч:з.2)
! i ,:
и. следовательно, WJW o > 1. Итак, в линейном, частично;!.реrе
нерированном (R > R) контуре происхО'дит усиление введеПfIЫХ
в Hero извне колебаний. Введение отрицательноrо орротиия
-; .:

!I 4.3. ПАР АМЕТРИЧЕCRАЯ PEI'EНEP АЦИЯ
147
при водит К
;терrии.
Для осуществления параметрической реrенерации в колеба
тельном контуре можно изменять во времени не емкость С,
а второй реактивный параметр  индуктивность L. Выражение
для отрицательноrо сопротивления в этом. случае получается
таким же, как и при изменении емкости, т. е.
R === 2т у Lo === 2m Р
 п Сп'
увеличению отбираемой от источника колебаний
ЛL
rде т === Т'
о
Приведенные выше выражения для отрицательноrо сопротив
ленин при параметрической реrенерации были получены в пред
положении об оптимальной фа38 изменения параметра при ДBy
кратном ero изменении за период колебаний,
т. е. в первой области параметрическorо воз
буждения. Очевидно, что фазовые соотноше
ния между колебаниями, существующими в
реreнерируемой системе, и силой, изменяющей
реактивный (реактивные) параметр системы,
существенно влияют на ход процессов и xa
рактер параметрической реrенерации.
Для иллюстрации указанных выше' особен
постей параметрической реrенерации paCCMOT
рим линейную систему, представляющую co
боЙ последоватеЛЫlыii IЩ1lСUНТСJIJ.llыii !ШllТУР с
JlерИОДИ1lrСIШ IJ;ШОIlIlIOЩСi'tсл {)11(()CTЫO C(t),
11 J\О'l'орыii IIJ,Л IOIfСllа внешняя сила и (t) (рис. 4.10). Пусть eM
HOCTI. НUllдепсатора меняется по закону
С
С ( t )  о
 1 +m СОВ (2(J)t)'
[3 ?tJ
L c(t) .
R /
Рис. 4.10. Схема
линеiiноro колеба
тельно1'О контура
с периодически
МСl1лroщейся eM
ItОСТI,Ю и впешним
воздействием
11. выражение для внешней силы запишем в виде
и (t) === РО cos (pt) + Qo sin (pt),
чтобы можно было учесть фазовый сдВИr между внешней силой
и накачкой  механизмом, измепяющим СМIЮСТЬ конденсатора
во времени. Уравнение движения в TaKoii нолебательной системе
можно записать в виде
а 2 ч dq 1
L dt 2 + R dt + с (t) q == и (t).
Вводя безразмерный заряд х === q/ qo И безразмерное время
т === (J)t, получим
2 '
; + 2; + : (1 + т сов 2.) х == Р СОВ ( : т): Q sin (),
(4.3.3)
rде 2'6 === R/ *Ю, Р ==1:. РО! (Lqo(J)2), Q == Qol (Lqou/') 
10.

148 rл. 4, НОЛЕБARИЯ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСНОМ ВОЗДЕйСТВИИ
Если оrраничиться исследованием колебательных процессов
в первой области неустойчивости, то необходимо считать., что
частота внешней силы р близка к половине частоты изменения
параметра 20), т. е. р::::: 0), И что в свою очередь собственная
частота 0)0 близка к 0), т. е. 0)::::: 0)0; тоrда можно записать, что
plO) == 1 + fл, [де д  малая величина.
Для упрощения решения задачи и анализа результатов допу
стим, что о) == 0)0; тоrда уравнение примет вид
х + 2tti + (1 + т cos 2 т) х == Р cos [ (1 + д) _] + Q sin [ (1 + д) _].
( 4.3.4)
Дальнейший анализ проведем для двух :качественно отлич
ных дpyr от друrа случаев. Первый из них называется .,.oeepeпT
HblМ и относится К ситуации, коrда между частотой внешней
силы и половиной частоты изменения параметра имеет место
точное равенство, т. е. р == о) (д == О). Разумеется, такое COOTHO
шение частот отвечаот тольт\О первоЙ области неустойчиiюсти;
для друrих областсЙ ПСУСТОЙ'1И80СТИ в соответствии с их HOMe
ром требуются друrио СООТlIОШСIlИЯ частоты внешнеЙ силы р и'
частоты изменения параметра.
Если не рассматривать процоссы устаповлсния, а иптересо
ваться только стационарными (установившимися) состояниями,
то решение пtJЛученноrо уравнения можно искать методом [ap
моническоrо баланса, считая, что х == и cos т + v sin <, [де и ==
== const, v == const. Тоrда, беря первую и вторую производные
i == и sin т + v cos Т, х == и cos 't  V sin 't
и подставляя их вместе с выражением х == и cos 't + v sin f
в уравнсние (4.3.4) при Л == О, получим систему двух линейных
алreбраических уравпсниЙ ОТНОСIIТСJIЫIO и и v. Их решение при
водит к выражению
А2 == 2 + ,; == 2 1(jt}21 т 2 .1 8т{ sin 2ср
и р 4 (4б2  т 2 /4)2 "
(4.3.5)
[де pZ == pz + QZ, ер == arctg (PIQ). Здесь через р обозначена амп
литуда внешней силы, действующей на колебательную сисТему.
Из полученноrо выражения для квадрата амплитуды вЫ:нуж
денных колебаний в контуре при наличии RorepeHTHoro пара
метричесв:оrо воздействия ясно видна роль фазовых соотношений
между внешней силоii и силоЙ, изменяющей реактивный п.ара
метр системы.
Действительно, при ер == л/4 максимальная амплитуда вынуж
денных колебаниu в контуре равна
А канс == 2б  т/2
Vp2+Q2
....... 2t}........ т/2 I
, (4,.3.6)
"

!I 4.3. ПАР АМЕТРИЧЕCRАЯ PErEНEP АДИЯ
149
т. е. амплитуда вынужденных колебаний (т> О) увеличивается
по сравнению с амплитудой, которая была в отсутствие модуля
ции параметра (т == О). Это эквивалентно внесению в систему
отрицательноrо сопротивления и называется случаем сильноrо
параметрическоrо резонанса.
При <р == л/4 получаем минимальную амплитуду вынуж
денных колебаний в контуре (слабый параметрический pe
зонанс)
р v р2 + Q2
Амин == 2б + тj2 2б + тj2 . (4.3.7)
Так как величина 21't здесь характеризует потери в системе, то
увеличение знаменателя на положительную величину т/2 при
водит к уменьшению амплитуды вынужденных колебаний по
сравнеНlJЮ с амплитудой, которая была в отсутствие модуляции
параметра (т == О). При таком фазовом ооотношении часть aaep
rии вынужденных колебаний отбирается от иСточника внешнеr0
сиrнала и передается в :механизм накачки. Это эквивалентно
внесению в колебатльный контур дополнительноrо ПОЛОЖИ'1'ель
нщо сопротивления, уменыIiющеrоo амплитуду заряда (тока)
в контуре, что можно описать введением 2t}экв == 26 + т/2.
Таким образом, в зависимости от соотношения между фазой
воздействия на параметр и фазой усиливаемоrо сиrнала в систе
ме получаем параметрическую реrенерацию шш параметриче
скую деrенерацию системы. Па ;'ТОМ ПрИIIЦllllе можно создать
системы фа301l0ii ССJJСIЩИИ. .
Рассмuтрим пе1>UiJереllТIlЫЙ СJIУ'IaЙ параметрическоrо усиле
ния. При этом расстройка  не равна нулю, и поэтому в правой
части дифференциальноrо уравнения (4.3.4) следует записать
внешнюю силу в виде
р cos [ (1 +  ) т] + Q sin[ (1 + ) tJ == Р ( cos т cos  т  sin  т sin т) +
+ Q (sin. cos T + sin. cos т) == Р' (.)cos т + Q' (т) sin Т. (4.3.8)'
Изза малости расстройки (« 1) амплитуды Р'(т) и Q'(T)
мало изменяются за период основпоrо I\олебапия. Поэтому в
каждЫЙ момент времени процесс парамстричеСlюrо воздеЙствия
на вынужденныо нолебания можно приближенно считать yCTaвo
вившимся и применять для расчетов амплитуд выражения, полу
ченные ранее для стационарноrо случая. Поэтому, несмотря на
то, что Р' (т) и Q' (т) :медленно изменяются во времени, фаз
вый СДВИf между внешней силой и накачкой можно попрежне
ну рассчитывать длл каждоrо момента .времени по формуле
<р (т) == arctg !:.: ('t) . (4.3.9)
Q ('t)
Отсюда видно, что <р (т) также является переменной во :Вpe
мени величиной, причем медленно меняющейся. Поэтому иссле

150 rл. 4. КОЛЕБАНИЯ IIPИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ воздЕйСТВИИ
дуем:ая система будет проходить через все возможные значения
разности фаз между усиливаемым сиrналом и накачкой, в том
числе и через значения, при которых достиrается максимальная
и минимальная амплитуды, т. е. система попеременно будет пе
реходить ОТ сильноrо резонанса к слабому, затем снова к силь
ному и т. д. Следствием этorо является амплитудная модуляция
Бынужденноrо колебания с частотой 2дф. 3а один период в СJlС
теме два раза реализуется сильный и два раза слабый параиет
рический резонанс. Такое амплитудномодулированное колебание
можно представить как биения двух rармонических компонент с
близкими частотами и постоянными амплитудами.
На диаrpамме частот это выrлядит следующим образом
(рис. 4.11). Здесь в полосе проnyскания исследуемоrо контура
ОI\азывается сумма двух компонент с частотами внешней силы р
и ра.зностью между частотой наI\аЧI\И и частотой внешнеЙ
силы 2Ф  р. Из рис. 4.11 таЮl\е видно, что частота накачки
200 лежит далеко за пределами прозрачности рассматриваемоrо
контура.
Таким образом, в HeKorepeHTHoM случае в системе возникают
две близкие rаРМOJIИчеСI\ИО компонснты, в сумме дающие бие
ния. Если общая энерrия этих сложпых колебапий больше, чем
энерrия простых вынужденных колебаний при т == О, то на oc
нове тaIOIX систем можно создать реrенеративные усилители.
При помощи элементарных чис-;
ленных расчетов нетрудно убе
диться в том, 'что при сильном
пара:метрическом резонансе в сис-:
тему вкладывается ббльшая энер-:
I'И Н, чем отбирается при слабом
lIараМСТрИ'IеСI\ОМ розонансе.
Такой тип параметричеСRИХ
усилителеЙ наиболее распростра
нен, так как слабый принимае
мый сиrнал, подлежащий пара';'
метрическому усилению, принци
пиально HeKorepeHTeH сиrналу
MeCTHoro reHepaTopa накачки.
Реrенеративный парамеТрlIче
ский усилитель, работающий по
принципу компенсации потерь в системе за счет внесения в сис
тему HeKoToporo отрицательноrо сопротивления, в Принципе MO
iКeT давать неоrраниченное УСИJI(шие. ДеЙствительно, при силь
но:и резонансе за счет вложения ;эпсрrии происх одит частичвая
V 2 2
компенсация потерь в системе и при Р о + Qo == const увели
чивается амплитуда тока 10, так что мощность, выделяющаяся
па наrpуЗRе, W == Rи1/2! растет. Источник внешней силы npJl
А
Р8зонuнснtlЯ
к/шdtlЯ КOHт!lfXl
26)p 6) р
26)
Рис. 4.11. Диа1'рамма распре)l;е--
ления частот в неКО1'ерептном па
раметрическом усилителе
'-,

!i 4.4. ОДНОКОНТУРНЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УСИЛИТЕЛИ 151
этом должен БRЛадывать в систему неоrранпченно возрастающую
мощность (идеальный reHepaTop напряжения).
В более реальном случае оrраниченной мощности источника
сиrнала (внутреннее сопротивление источника больше нуля)
усиление можно получить за счет увеличения сопротивления
наrрузки R и при соответствующей параметрической реrенерации
системы, коrда
21't экв :;; 21't  т/2.
Допщщительная мощность в этом случае получается только за
счет изменения реактивноrо параметра (накачки).
Итак, при работе нашей системы в качестве параметрическо
ro усилителя (т. е. в недовозбужденном режиме, коrда т <
< тпороr) для KorepeHTHoro случая исходная форма rармониче
cKoro сиrнала сохраняется и он лишь увеличивает свою мощ
ность. В HeKorepeHTHOM случае также происходит усиление мощ.
НОСТИ,но форма сиrнала не сохраняется и вместо rармоническоrо
колебания с одной спектральной компонентой получается слож
ный сиrнал, состоящий из двух rармо:в:ических компонент,. Ha
блюдаемый как квазиrармонический сиrнал С периодически
изменяющейся амплитудой. Этот процесс усиления в HeKorepeHT
ном . случае можно формально описать с помощью представления
() периодически изменяющемся отрицательном сопротивлении
(от .некоторой веЛ!РIIIIIЫ UТрIЩIIТОJI r.t101'O СШlрО'I'И IIJIОIlИЯ до значе
НИН, БЛll:ЩOl'О ], OMII'IOCI\OMY СОIII)()ТIIIIJIOIIИlO н:олебательноrо
lЮIIТУРn) .
t 4.4. Основные особенности
ОДНОКОllТУРНЫХ параметрических усилителей
n предыдущем параrpафе было показано, что, используя па
рuметрическую реrенерацию электрическоrо контура, моiitнр':соз
;\II'I'!. усилитель электрических колебаний.
Достоинство подобных параметрических усилителей состоит
11 том, что они позволяют усиливать сиrнnлы, внося в трактуси
JICUИЯ лишь небольшие собственные шумы. Типичным пар8;Мет
РI1'!еСКИМ усилителем является охлаждаемый до низких темпера
тур колебательный контур, в котором реактивный параметр,
IIlIпример емкость конденсатора, периодически меняется во Bpe
мени. "Уровень тепловых шумов в такой системе можно сделать
МИIlИМальв.ыи.
Первые опыты по параметрическому резонансу ПрОИ3ВОДИJlИсь
11 30e rоды путем механическоrо перемещения ферромаrнитноrо
сордечника внутрь катушки индуктив:в:ости колебательноr.о KO:В:
тура. Используя :в:елинейную зависимость наМ;lrничивания cep
де'lника от проходящеrо по вспомоrательной обмотке тока, можно
было и электрическим путем менять реактивный параметрк.ОR-

152 rл. 4. КОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
тура. На этих принципах были построены тоrда первые в мире
параметрические машины (reHepaTopbl) Мандельштама и Папа
лекси. Однако из--за неизбежных больших потерь за счет петли
rистерезиса и низких механических частот перемещения сердеч
ника реализовать в те rоды параметрическую реrенерацию в
диапазоне радиочастот для практических целей оказалось невоз
можным.
Значительный проrресс в этой области и в теории параметри
ческих явлений, которым мы обязаны школе Мандельштама и
Папалекси, был достиrнут в
50e rоды после появления
высококачественных Mar
нитных материалов (ферри
тов) И параметрических по
лупроводниковых диодов.
Вольтамперная и вольт--фа
радная характеристики п
JIУIПРОВОДНИКОВОro диода по
назапы на рис. 4.12. Нак мы
ВИi\ИМ, в запорном (и < О)
наllраВJrеl1ИИ ток через диод
практически отсутствует, а
емкость JOOrKo меняется
Рвс. .12. Характеристики ПОЛУПРОВОД в зависимости от напряже
никовыx диодов ни,Я, приложенноrо к р  n
переходу. Это обстоятельст
во позволяет весьма просто управлять емкостью последнеrо пу
тем приложения к нему постоянноrо и переменноro напряжений.
При приближении напряжения 1\ контантной разности потенциа
лов <рк, толщина р  п-mepexoj\1l становится равной нулю, а eM
кость диода  бесиопечвоi1. ТIlI\ИМ обрааом, ПОJlучается некотораа
нелинейная занисимость емкости ДII!ща от напряжения, а следо
вательно, и заряда на конденсаторе q (и).
Пусть на нелинейную емкость подано напряжение накачки
ив и напряжение ilIодлежащеrо усилению сиrнала и о , причем
напряжение сиrпала и о  ив. Тоrда функцию q == f (и) ('заряд),
rде и == ив + и о , можно разложить в ряд в окрестности ив:
q == j(u) == f(ии) + .!l. 1 ис + ...
ди иии
с i
9'к

11
Если нас иптересуют периодические колебания с частотой, OT
личной от частоты накачки, т. е. с частотой сиrнала, то
qc == д д! I ис  С ди с . (4.4.1)
и ииH
Ве.пичина С д == aj/ди lиUв имеет раэмерность емкости, OДHalКO,
:в ет.пичие от обычной емкости, она называется диффере1tциадЬ

!i 4.4. однокон'fурныЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УСИЛИТЕЛИ 153
пой е.мпостъю и зависит от выбора рабочей
радной характеристике, т. е.
 д! I  aq
Cд ,
ди иии ди
точки на вольт-фа
(4.4.2)
тоrда как обычная емкость С == q/и. Это обстоятельство необхо
дим о учитывать в расчетах при составлении уравнений :Кирхrо
фа для цепей с переменными реактивными параиетрами, rде
заряд равен
и
q == S Сдаи.
о
Параметрические диоды (ПД) отличаются исключителыo
малой инерционностью: дисперсия в них отсутствует до частот
порядна 1011 rц. При расчетах пара
метрических усилителей (reHepaTopoB)
параиетрический диод заменяется эк
вивалентной схемой, показанной на
рис. 4.13 и справедливой для больmин
ства типов ПД в любых рабочих диа
пазонах частот, включая СВЧ. 3десь
через R обозначено сопротивление по
терь, сп  емкость МОНТaiююrо патr()
на, L  пара;штпая И!/)\УI\ТIIJIlJ()СТ\. BBO
дов. В HRIIII;J()(Ie СВЧ ТИlIORЫО llapa
метры IЩ СJ\tJДУЮщио: С д от 1 до 0,1 пФ, R от 10 до 1 Ох,
L  0,1 нrп, Сп от 1 до 0,5 пФ (вторые значения отн.осятся к
ПД BblcoKoro качества).
Для узких reрманиевых р  nпереходов функцию С. (l)
можно аппроксимировать выражением
ТjD
Рис. 1.13. Эквивалентная
схрма параметрическоro
диода
СО
С 
д  (1  и/T K )I/k '
(4.4.3)
{'де k  2 и зависит от типа полупроводника и технолоrии ero
изrотовления.
При расчетах параметрических усилителей необходимо задать
зависимости q(и) или и(q). Первую зависимость можно полу
чить, используя выражение заряда через дифференциальную
емкость, т. е.
и и
q == S Сдаи == СО J аи 1/2 == 2C o (jJK [1  (1  иj<pк)1/2]. t4.4.4)
о о (1  и/ Т к ) .
Отсюда путем простых алreбраических преобразований нетрудн()

154 rл. 4. КОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
получить выражение для и == и (q) :
и ==(q/C o ) (1  q),
(4.4.5)
rде коэффициент нелинейности  == 11 (4С о СР,,).
Задавая напряжение накачки ив относительно большим, а Ha
пряжение сиrнала и о малым, можно осуществить нелинейное
изменение емкости С д от ин. Допущение, что и с « ив, оправдано
использованием в качестве элементов параметрических усилите
лей колебательных систем с большой добротностью. При этом
контур настраивается на частоту, близкую к частоте малоrо
(усиливаемоrо) сиrнала, и он практически не реаrирует на KO
лебание с частотой накачки. Torдa в нулевом приближении мож
но считать, что напряжение накачки меняет (модулирует)
11 контуре только реактивный параметр, и поэтому усиливается
только вынужденное колебание, на частоту Jщтороrо HacTpOeJ:t
контур параметрическоrо усилителя. В полосе пропускания
(прозрачпости) контура в общем случае оказываются два близ
ких rармонических I\олебапия, одно с частотой внешней силы р,
друrое с разностной частuтой ООн  р == 2ro  р  р.
Одноконтурные параметрические усилители uбладают усиле
нием в 2030 дЕ на каскад; швивалеllТlIУЮ шумовую TeMHepa
туру можно довести до нескольких десятков rрадусов по шкале
Кельвина, ширина полосы пропускания усилителя может дости
raTb 10 15 % от «сиrналъной» частоты. Очевидно, что такие
параметрические усилители не мотут усиливать сиrналы слож
пой формы, спектр которых содержит набор частот от нулевой
(бли3IЮЙ I( нулевой) до некоторой высокой частоты.
Для усиления подобпых сиrналов (видеосиrналов) необходи
мо использовать друrую ра3НОJ\ИДПОСТЬ параметрическоrо усили.,.
теля. Принцип деiiстния параметричеСI\оrо усилителя видеосиr
налов OCllOIHlII па 1I0аМОiI\1I0СТИ МОДУJIЯЦIШ с частотой сиrналu
реактивнurо llapaMeTpa l\олобательпоrо нонтура, в котором суще
ствуют колебания, задаваемые внешпим reHepaTopoM. PaCCMOT
рим работу параметрическоrо усилителя видеосиrналов на при
мере параметрическоrо усилителя видеосиrналов с маrнитным
(ферритовым) сердечником в катушке индуктивности парал
лельноrо колебательноrо контура.
. Если маrнитное поле создается током, протекающим через
обмотку, размещепную на ферромаrнитном сердечнике, то ero
маrнитная пропицаемость является функцией этоrо тока. Torдa
дифференциальная маrвитная проницаемость !lд == дВ/дН сердеч
ника при действии па IIero ДОПОJIШfТ()JII,IIоrо маrнитноrо поля Н
(подмаrничивание) имеет 1IИД, ПOJшааПllыii па рис. 4.14. Как мы
видим, от тока (дополнителыlrоo маrНИТJIоru поля) зависит ин
дуктивность обмотки L, что приводит К перестройке колебатель
Horo контура по частоте. Такая перестройка контура, в котором
поддерживаются вынужденные колебания высокой частоты, при

!I 4.4. ОДНОКОНТУРНЬШ ПАР АМЕТРИЧЕCRИЕ УСИЛИТЕЛИ 155
водит к модуляции сиrналом амплитуды этих вынужденных KO
лебаний (рис. 4.15) И после их демодуляции позволяет получить
усиленный сиrнал.
* Действительно, пусть на одном и том же ферромаrнитном
рдечнике размещены две обмотки  контурная и сиrнальная,
:r пусть по параллельному колебательному контуру протекает
.:-армонический ток (ток накачки), задаваем:ii внешним reHepa
opOM. Частота посл:еднеrо может изменяться вблизи резонанс
з:ой частоты lюнтура и значительно (в 510 раз) превышать
.l
А
il(ORr
11
o
7
t
t t
JИС. 4.14. НрПDая П:JМ<'IIf'ПИН ДИфф(1
lеНЦИ8лыюii M/ll'HllTHOii "I1О"ИЦIII'
.юсти фl'РlJOМIII'НИТНOI'(j СII(JJ\!I'IIIИЮI.
ОТ I1UJlI1
t
Рис. 4.15. ПРИНЦИП дрйствия усили
ТРJШ С МОДУJIНЦИОЙ И демодуляцией
-:>:астоту сиrнала. В результате модуляции индуктивности сиrна
10М настройка контура изменяется (контур «перестраивается» ),
-ryo ПРИВОДИТ как к изменению уровия накачки в нем (ампли
vдная модуляция), так и к изменению со временем разности
паз KOHTypHoro тока и тока внешнеrо reHepaTopa (фазовая MOДY
IЯЦИЯ). Амплитудную и фазовую модуляции, несущие информа
ию о сиrнале, можно выделить С помощью амплитудпоrо и фа
;oBoro детекторов. АмплитуднофаЗОllая модуляция тока накачки
Jудет тем эффективнее, чем больше добротность контура и чем
начительнее rлубина модуляции индуктивности сиrналом
т. е. чем больше чувствительность устройства). Кроме Toro, rлу
Jина и характер модуляции высокочастотных колебаний зависят
JT расстройки контура относительно частоты внешпеrо reHepaTo
"Ja. Мощность продетектированноrо тем или иным образом сиr
зала может превысить мощность входноrо сиrнала.
Для неискаженноrо воспроизведения сиrнала необх'одимо
Jlедующее: устранить симметрию кривой J.l.p; (ic)' путем постоян
з:оrо подм:аrничивания ферритовоrо сердечника; выполнить Tpe

156 rл. 4. RОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСRОМ возДЕЙСТВИИ
бование линейной зависимости L == f(i o ) в пределах измененил
тока снrнала: при работе с амплитудной модуляцией следует
изменить настройку контура относительно частоты накачки. '
Блоксхеиа OДXOKOHTypHoro параметрическоrо усилитля ви
деосиrналов с нелинейной индуктивностью показана на рис. 4.16.
Ширина полосы TaKoro уси
лителя уменьшается с увеличе
нием добротности Q (коэффи
циент усиления при этом pac
тет) и зависит от расстройки,
так как ею определяется ypo
вень боковых полос. .Увеличе
ние частоты накачки приводит
к расширению полосы ПРопJс
кания контура, если Q неиз
менно, и, следовательно, 1\
уmирению полосы пропуска
ния усилителя.
Для получения достаточно
ro усиления пеобходимо, чтобы
ферритопыii: модулятор обла
дал достаточной чувствительпостью (сильпая зависимость J..tл
феррита от матнитноrо поля сиrнала). Для Toro чтобы напряже
lJ.Ие с частотой накачки не проникло в сиrнальную цепь, приме
вяется, ншример, модулятор со взаимно перпендикулярной ори
ентацией взаимодейству1ОХ полей.
rrr.
I
I
: Лl
: бхоо
I
I
L J
I I
I I
Lj
I
Рис. 4.16. Блоксхема OДROKOHтypHO--
1'0 параМетрическо1'О усилителя ВИ
деОСИ1'налов: 1  {'еНератор rармони-
ческой накачки, II  параллелъный
колсбатсЛJ.пый нонтур, III  си
налъная цепь, lУ  цепь подма1'НИ
чивания, V  ферритовый СОРДОЧНИI\
 -1.5. Параметрическая rенерация электрических колебаний
(параметрические reHepaToVbl)
Выше ужо упомипаЛОСJ., что ПЛЯ НОJlllпеiiпых систем не пред
ставляется ПО3МОi!ШЫМ 11 рОJ\ОСТИ чоткое рааrраllичение между
силовым и параметричеСJ\ИМ ВОВДОЙСТIIИЯМИ. При силовом воздей
ствии вынужденный колебательный процесс, вызванный внешней
СИJ10Й, будет за счет нелинейных своЙств системы при водить
:к периодическому изменению соответствующих параметров. По
этому в конечном счете результирующий вынужденный процесс
может иметь некоторое сходство с параметрически возбуждае
м:ым колебательным процессом; может нарушаться монотонность
изменения амплитуды при изменении соотношения частот и MO
ryT наблюдаться иптепсиппые колебания при частотных COOTHO
шениях, типичных для нарамотричесюlX роаопансов.
В связи с этими особепн()стлми I10IlеlеIlИЯ нелинейных сис
тем представляется разумпым собственно параметрическим воз
действием на такую систему считать :uоадействие, при котором
принудителъное изменение реактивных (энерrоемких) парамет
ров системы не сопровождается введением в систему COOTBeTCT

 4.5. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЛ rEНЕРАЦИЯ КОЛЕБАНИй 157
вующих периодических сил, способных вызвать обычным путем
вынужденные колебания. Это, наnpимер, может быть реаливова
но при механическом изменении емкости или индуктивности.
Возможно также осуществление балансных схем (рис. 4.17,
4.18), в которых подбором соответствующих элементов можно
добиться практически полной компенсации В.Д.с., наводимых па
частоте накачки 2u> в системы, и рассматрива.ть. пос.ледние как
колебательные цепи с периодически
изменяющимися iПараиетрами. В первой
схеме (рис. 4.17) происходит перио
дическое :изменение ИНДУКТИБВ'Ости
6)
,...., 26)
о
83 ( )
26)
, . )
Ри. 4.! 7. Схема балансноrо
М:ОДУJlятора .ИНдyRТИВНОСТИ
РИС. 4.f8. Схема балаНСШIr
то модулятора еМJ(ОСТИ
с частотой 2ro; во второй (рис. 4.18)  периодическое и.э
менение емкости, образованной двумя запертыми р  nпе-
реходами в полyп:rроводвик{)вых диодах, таюке с частотой
внешнеrо воздействия (НaI\аЧI\И) 2(1). НреДПОЛОil\ИМ теперь,
что условия параметричеСRоrо 1I0аБУil\пепия выполнены, и тоrда
амплитуда J1юбоrо MaJlOrO J\олебания с частотой, удовлетворлю--
щей соотношению ro == nр/2, rде n  номер соответствующей об-
ласти возбуждения, будет нарастать за счет вложения в еистему
энерrии со стороны устройства, периодически изменяющеrо па-
раметр с частотой р. Вследствие нелинейности систеМ:QI нараста-
ние амплитуды можно оrpаничить, и при некотором значении
амплитуды подобных параметрически возбужденных колебаний
возможно установление энерrетическоrо баланса между потеря
ми и вложением энерrии.
Как отмечал ось в  4.1, в консервативноЙ пелинеЙной сис
теме установление стационарной амплитуды характеризуется
уменьшением до нуля вкладываемой энерrии и реализуется за
счет изменения средних значенИЙ нелинейных реактивных пара
метров (емкости или индуктивности). В диссипативной же сис
теме достижение энерreтическorо баланса и соответственно уста-
новление стационарной амплитуды происходит при отличных от
нуля вложениях энерrии и может осуществляться не только за
счет эффективной расстройки системы, связанной с изменнием
среднеrо значения OДROro из реактивных параметров системы,
но при наличии в возбуждаемой системе нелинейноrо затухания
и путем изменения величины потерь. Если в возбуждаемой сис

158 rл. 1,. КОЛЕБАНИЯ IIPИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
теме значения L и С не зависят от тока и :напряжения, а эффек,
тивные потери растут с увеличением амплитуд колебаний быст
рее, чем квадрат последней, что соответ,ствует возрастанию co
противления R или наrpузки с увеличешоом тока (это весьма
леrко реализовать, например, за счет термичеС1\ИХ эффектов), ТО
можно ввести в раССМОТIЮние медленно меняющееся затухание
и представить дело так, 1\ак будто с ростом амплитуды nозбуж
денных колебаний увеличивается наклон прямой, проходящей
через вершины областей неустойчивости, и области неустойчиво
сти поднимаются вверх (см. рис. 4.3, 6). Это будет происходить
до тех пор, пока изображающая точка, ранее находившаяся
внутри одной из областей неустойчивости, не окажется на ее
rp, анице что будет свидетельствовать о наступлении энерrетиче
cKoro баланса.
При оrpаничении же амплитуды за счет нелинейности pea1\
тивных параметров процесс установления paBHoBecHoro режима
можно связывать с соответствующим перемещением изображаю
щей ТОЧ1\И и некоторой деформацией самих областей неустойчи
вости, происходящими до тех пор, нока изображающая ТОЧ1\а
та1\же не 01\ажется на rрашще области параметрическоrо B03
буждения. В зависимости ОТ механизма оrрапичения нарастаНИII
амплитуд параметрически возбуждаемых 1\олебаний процесс yc
тановл:ения стационарной амплитуды идет либо монотонно, либо
имеет ООЦИJIJIЯторный XapaI{Tep.
При изучении кривых парамеТрlflIОО1\оrо резонанса, т. е. кри
вых, изображающих зависимость амплитуды установивпiихся
колебаний при параметрическом возбуждении от соотношения
между частотой изменения параметра и собственной частотой
колебаний возбуждаемоrо 1\онтура, можно наблюдать различные
типы кривых при различных IIИI\ах IJслипоiiпости в диссипатив
ных системах.
Если в lIелинейпоЙ системе затухание постоянно и не зави
сит от тока или напряжения в системе, то различие между по
лучающимися 1\рИВЫМИ параметричеС1\оrо резонанса для дисси
пативных систем и консервативных (см. рис. 4.6) сводится 1\
тому, что В первых происходит смыкание двух различных ветвей
кривой и исключается возможность бесконечноrо возрастаНИII
аиплитуды при увеличении расстройки системы (т. е. ухода ее
собственной частоты от значения, определяемоrо точным выпол
нением соотношения шо == npl2). Примерный хара1\тер кривых
для случая параметричеС1\оrо возбуждения 1\онтура с постоян
ным затуханием и с НОЛИllейной СМJЮСТЫО при различных типах
этой нелинейности ПО1\ааан па рис. 4.19. С!JJIOшная и штриховая
кривые соответствуют двум тинам неJlииейности реа1\тивноrо
параметра (еМ1\ОСТИ). Сплошной кривой соответствует убьmание
средпеrо значения еМ1\ОСТИ, штриховой  ее возрастание с poc
том амплитуды колебаний. Видно также характерное для пара

!i 4.5. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ I'EНЕРАЦИЯ КОЛЕБАНИй 159
!стрическоrо резонанса существование оrраниченной области
)8сстроек, т. е. оrраниченноrо частотноrо интервала, внутри KO
oporo возможно параметрическое возбуждение, причем ширина
:Toro интервала 2o зависит от rлубины модуляции параметра rп
[ обращается в нуль при т, равном критическому значению т.. р ,
юответствующему равенству энерrии, вносимой в систему при
.lзменении папаметра, потерям в системе.
z
Ао
,10
t
+o
f
...
/
I
ис. 4.f9. Нривые параметрич
'Koro резонанса в диссипаТИВIIОМ
'юнтуре с йелинейной емкостью
Рис. 4.20. Нривая параметрll'l
CK01'O резонанса в контуре с
нелинейвым: сопротивлением
:{оrда оrраничение амплитуды осуществляется за счет нели
'шиноrо сопротивления при постоянных средних :lIIU1JОIIИЯХ peaK
"ивных Н8рпмотрОIl, форма НрИIIЫХ пнраМОТрИ l l()Сlюru резонанса
1меот DИi(, ПOl\Н:1Il11I1ыii lIа рис. 4.20. .цocь характерна симметрия
\plllloii IIl1paIOTpII'I()CI\Ol'O реаопаиса n отсутствие неустойчивьtх
ЮТllеЙ 11 СНН 1JJ\ообразных изменений амплитуды при монотонном'
Iзмопении расстрой:ки. По--прежнему в качестве OCHOBHoro при
;нака параметрическоrо резонанса остается существование KO
.1ечноrо интервала расстроек (2o), внутри KOToporo возможно
lCуществление параметрическоrо возбуждения.
Из Bcero изложенноrо выше вытекает, что для теоретическоrо
1сследования явления параметрической rенерации колебаний He
Jбходимо привлечь к рассмотрению нелинейные характеристики
:rapaMeTpoB системы. Их анализ позволяет получить как закон
"становления амплитуды параметрических колебаний, так и BЫ
..жжения для стационарных значений этих амплитуд.
Рассмотрим более подробно методом ММА процеССbl, проис
ОДЯIЦИе в параметрическом reHepaTope при оrpаничении ампли
'уды колебаний в нем с помощью нелинейноrоэлемента.
ОдnО1>ОnТУРnЫй naрамеrричеС1>ий ееnератор с nелиnейnым.
;оnроrивлеnием. Рассмотрим колебательный контур с элемента
Ш L, С, R и допустим, что. во времени меняется только реактив
ный параметр C(t), а активное (омическое) сопротивление зави
сит от проходящеrо через Hero тока R(i). Torдa при параметри
ческом воздействии такая колебательная система снелинейным

160 rл. 1,. КОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
сопротивлением (рис. 4.21) при определенных условиях, Haп:ara
емых на параметры системы, может стать одноконтурным пара
метрическим reHepaTopOM.
Если омическое сопротивление увеличивается при увеличе
нии проходящеrо через Hero тока, то повышается диссипацИJ
энерrии в системе и, как следствие, наступает баланс межд:
парам:етричеСRИ подкачиваемой. энерrией и энерrией, рассеивае
мой на сопротивлении, т. е. оrраничение амплитуды колебаниii
При этом необходимо такое сопротивление, которое увеличива
ется с возрастанием тока вне зависимости о'
ero направления в цепи. Этому требовани
можно удовлетворить, если выбрать закон па
дения напряжения на сonротивлеаии в виде
иR==Rо(i+оiЗ), (4.5.1
(
что равносильно выбору следующей харю,
теристики сопротивления:
R == Ro (1 + oi2),
R(i)
C(t)
l
Рис. 4.21. Схема
параметрическо1'О
reHcpaTopa с П('-
липейным сопро-
тивлснием
причем o должно быть больше нуля.
Пусть закон изменения емкости во времени, как обычно, вы
ражается в виде
СО
С == f + т 008 (2юt )'
Torдa уравнение Кирхrофа для рассматриваемой системы при
мет вид
а 2 d 1
L4 + R d q +  C [1 + т cos(2rot)] q == О.
dt t о
Для обеспечения общности результатов введем безразмерную КС
ординату х == q/ qo и безразмерное время -r == rot; Torдa это урю:
нение движения запишется в виде
.. R' ю 2
Х +  L х + (1 + т cos2-r) х== О,
ю ю
rде дифференцирование ведется цо -r, ro == 1jLC o и R == Ro (1 
+ oqro2;2).
Если ввести обозначения ro/ ro 2 == 1 ;, 261 == R/roL,  =
== oq2ro2, то получим уравнсние
х + 26 1 х + (1  s) (1 + т cos 2"t")x == О.
Будем считать, что колебательная система обладает малой дие
сипацией(2611), а s и ттоже малые величины (s1

!\ 4.5. lIАРАМЕТРИЧЕСНАЛ rEНЕРАДИЯ НОЛЕБАНИй 161
т« 1). Torдa, обозначая RJroL == 2'1'), имеем
х + х == x  2'1')х  2{t.i3  тх сов 2т, (4.5.2)
rде опущен член BToporo порядна малости с ноэффицпоптом т.
Применим н (4.5.2) приближенный метод решения  метод
ММА. Тоrда, нан и для автономных систем, решение мOJШIO HC
нать (для первой области неустойчивостц) в виде
х == U сов т + v sin т, .i == и sin т + v сов т,
rде и(т) и V(T) медленно меняющиеся функции времени т.
В соответствии с методиной получения решений методом ММА,
иаложенной в  2.5, для рассматриваемоrо случая можно запи
сать унороченные уравнепия, ноторые посло усредпепия примут
вид
 0== . 2 J (sx  21'1":" 21'1p3  тх сов 2т) sin т (IT ==
о . .
== {}[1 + +PA2]и+(S +  )v, (4.5.3)
. 1 2 S :1t .. .
V == 2л: (sx  21'1х  2ер;сз  тх сов 2т) сов Т ат ==
О
  (  )Ili)'l1 +  /12]и,
rде '10рОЗ А 2 == и 2 + 1)2 обо:шu чон HBaJl.paT амплитуды параметри
чеCI\И lIоаБУiJiДl10МЫХ IЮJlебаний в системе.
Решение системы укороченных уравнений позволяет в прин
ципе получить полное решение задачи о возбуждении колебаний
в исследуемой системе ц'О процессе установления стацИонарноrо
режима. Однако в силу нелинейности дифференциальных ypaB
нений (подобных (4.5.3)) их, как правило, не удается проинтеr
рировать До конца. Тем не менее они очень удобны для исследо
вания стационарных СОСТОяний системы (прn этом анализе, ec
тественпо, переходные процессы не рассматриваются).
В стационарном состоянии й === v == О. TorJl.a из рассмотрения
системы однородных уравнопии (4.5.3) ВЫТОIщет, что в системе
возможно СОСТОЯllие llОI\ОЯ (ио == Vo == О)  первое стационарное
состояние системы.
Второе стационарное СОСтояние системы с отличной от нуля
амплитудой (и о =1= О, VO =1= О, Ао -:f= О) можно найти И3 (4.5.з), если
ее записать в виде
1'1 (1 + : pA) и о ==   (s + : ) o
 (1 +  pA) и о == . (s  ; ) и о .
11 в. В. Миrулин И др.

162 rЛ, 4, НОЛЕБАНИЛ пРИ П,А.РАМЕТРИЧЕСНОМ ВОЗДЕйСТВИИ
Поскольку ио =F О и Vjj *' О, ТО мы впрае премножить обе лев,Ы
и обе правые части уравнений и сократить на UoV o . Тоrда
( 3 ) 2 1 ( т2 )
-&2 1 + т pA ==  т 2  Т .
. Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства
найдем выражение для стационарной ам плитуд ы колебаний:
A == 3 [  1 :f: 2 y 2  2]. (4.5А
Поскольку коэффициент нелинейности  > О 'и 2tt > О, то зна
минус перед корнем нужно опустить, так как по определенlП
амплитуда должна быть больше пуля (Ао> О). Тоrда из BЫp
жения (4.5.4) следует, что условием существования стациодаI
пой отличной от нуля амплитуды колебаний является следующе
неравенство:
1 .. f т 2
2 V Т  S2 > 1,
( 4.54
откуда получается, что раССТрОЙI\а в системе не может превосх(
дить величины
т 2
2 == 4"  4-&2
а на rлубину модуляции параметра т должно быть наложеБ
условие
т 2 > 1&62 + 4;2.
( 4.5,(
Эта связь МОШ)l;У Пl1раМОl'рами систомы опре)l;еляет ВОЗМОЖНОСl
или (при ПрОl'ИТlOlIОЛОilШОМ анюш JlopanOJlCl'BI1) пеВОЗМОШНОСl
возБУШJl;ОНИЯ параМОl'РИ'IOСI\ИХ lюлобапиi'L II системе.
Из вырашепия для A ясно llИ)(LIa роль нелинейности соrф
тивления () системы. Если  --+ О, т. е. если уменьшать нет
пейность системы, то амплитуда параметрических колебан!'
будет постепенно увеличиваться и в пределе для линейной си
темы долшна обратиться  бесконечность, что соrласуется с 'те
рией параметрическоrо возбуждения ,линейных диссипативнь
систем.
I\ривые lIараметрическоrо возбуждения для разных велич!'
коэффициента <JI1TY хашlЯ системы и фИI\сиропанных значений
и  покаааны па рис. -1.22. Иа рассмотроIПШ :JТИХ rрафиков
выражения для стационарноii аМI1JIИТУ)\Ы мошно сделать следу]
щие заключения. При наличии Jlсшшоiiпоrо сопротивления а:
плитуда параметрических колебаниЙ Rсеrда оrраничена; облас'
возбуждения симметрична относительно нулевой расстройки
сужается при увеличении потерь (tt з > tJ.). Кроме Toro, ширю

!3 4.5. ПАРАМЕТРИЧЕСНАЯ l'EНЕРАЦИЯ НОЛЕЕАний 163
юласти параметричесноrо возбуждения не заnисит от велnней
.юсти системы, а опредепяется ИСRлючительно соотношением па
щметров т, ;, -(t. В частности, при данном т и потерях в систе
,{e, больших или равных -62 (например, (1), параметрические
{Qлебания возбудить вообще невозможно.
Области параметрическоrо возбуждения для разных lю:tффи
.шентов нелинейности I' 2 И при фlIксированных значениях т
I -6 показаны на рис. 4.23.
.!. '<;А2 u 1 >iJ 2 >u J >rJ li
.11" о
1
Ag 4 >;82

t
JИ(. 4.22. Области параметриче---
'Koro резонанса для различных
зпаЧ'ений затухания
Рис. 4.23. Области параметричеСl\оrо
резонанса для различных коэффи
цие'нтов нелинейности I и 2
Амплитуда параметрических колобаниЙ 11 СIIСТОМО М аl\СIIМаль
за при ;  о lf равна
A Io   (   1).
раницы области воабуждения МОЖно определить из выражепия
,ЛЯ стационарной амплитуды '(4.5.4), прираввивая ero Нулю;
..меем
(4.5.7)
;1 == Ут 2 /4  4-62, ;2   Ут 2 /4  4-62.
Исследуем найденные стационарные решения системы (4.5.3)
за устой.чивость методом малых возмущениЙ (вариаций); тоrда
?, == ио + 11, v == и о +. Подставляя :)ти выражения н УН:ОрО'lОПllые
.'равнения и==qJj(U, и), VqJ2(1l, и) И рааJнн'ая их правые части
"] ряд по малым вариациям, получим, оrраничиваясь первыми
тенами разложения,
Ч == дЧ'l \ 11 + дЧ'l I  +
ди и:::::и о дv и:;:;;;;и о ... . .,
""o 1>1>o
. дЧ'2 \ дЧ'з !
 ==7} 11+ д + ...,
и ииo v ииo .
,,v6 1>Vo
збо в стационарном состоянии СРI (ио, ио) == о, СР2 (ио, ио) == о.
1.

1.64 rЛ. 4. НОЛЕЕАНИЯ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Будсм иснать решение системы дифференциальных уравие-
ний для 11 и  в виде 11 == 1l0е"  == oe; торда получается систе,
ма линейIlЫХ однородных алrебраических уравнений, детерми-
нант ноторой для нетривиальности решения должен быть раnе!
нулю, т. е.
О<р]  л д<Рl
Ои ди
д<Р2 д<Р2
 л
Ои ди
== О. ,
Вводя обозначения
д<Рl
а 11 == ---д;;'
д<Рl
al == дV'
д<Р2
а 21 == ""дii"'
д<Р2
а 22 == 7iV
и разрешая приведепное выше уравнение BToporo порядна отно
сительно Л, получим
1 1 V
л == 2' (а 11 + а 22 )х :.! (0'11  а 22 )2 + 4а]2 а 21'
Применим ту же процедуру ДJIЯ ИСCJIедоnавия УСТОЙЧИВОСТI
состояния покоя системы (нулевой стационарной амплитуды, т. Е
ио == Vo == Ао == О). Torдa
1 '11т2
л ==  t} + '2 V '4  s2.
ЕСJ!И потребовать, чтобы Re л > О, т. е. интересоваться СООТНС
шением параметров системы, при нотором состояние покоя буде
неустойчивым, ТО это трсБОЩllШС о:шачаст, что
{ 2
+ .!'   1:2 > ')_
  4 '" \,
2
'r. с. S2 < :  4{}2.
Последнее выражение в точности соответствует условию c
ществования отличной от нуля стационарной амплитуды Ай. Дл
облаати расстроек , удовлетворяющих неравенству 2 < т 2 /4 
 4'1'}2, ДЛЯ которых существует стационарная ОТЛИчная от нул
аМПЛИТуда Ао, состояние покоя системы неустойчиlЮ. СлеДОБl
тельно, опо lIОУСТОЙЧИВО внутри области параметрическоrо рез(
нанса (от I дО 2)' Состояпие покоя УСТОЙ'IИDО вне области ш
раметрическоrо резонанса, НOl'да Не л < О и для соотношения ш
раметров системы получается IlсраВСНСТlIО ВИда 2 > т 2 /4  46
Аналоrичным образом анализируется устойчивость состояни
с отлИчной от нуля стационарной амплитудой (Ао =1= О). ПОCJ:
довольно rромозДКИХ вычислений находим, что эта амплиту
УСТОЙ1Цl:ра (Re л < О) ВО :sсей области расстроек, rде она сущес:

 4.5. ПАРАМЕТРИЧЕСRАЛ rEНЕРАЦИЯ НОЛЕБАНюt 16
nует (2  6  ;1)'. Области УСТО.йчивых стационарны реще.
пий системы (4.5.3) на rрафинах рис. 4.23 отмечены HPY
ЖОЧRами, оБЛасти неустойчивых стационарных решений  ире
СТИRами.
Роль нелинейноrо механизма оrраничения и устаuовления
амплитуды параметричесRИХ Rолебаний ВЫПОJIняет в paCCMOTpeH
ной задаче нелинейное затухани", (сопротивление). Нелинеиным
СОlIротивлением: на частотах до сотен млоrерц может служить
оБЫRВовеН1lая лампа наRаливания. Часто в качеСТве механизма
оrраничения амплитуды параметричесRИХ колебаний использует:
ся нелинейная реактивность, например
нелинейная емиость.
Одноnонтурный паРQ,J,f,етричесnuй eeHe
ратор С HeAинeй peaxTивHЬ ЭАемен
ТОМ. Рассмотрим колебательную систему
(рис. 4.24) , в которой L == const, R == const,
а емиость является фу:щщией вреиени и
нелинейно зависит от заряда q, т. е. С ==
== c(t)cp(q). Пусть емкость [юпрежнему
менятс;.я по заRОНУ
c(t): == CoI[1 + т cos(2(J)t»),
,9C(t,q)t
Рис, 4.24. Схема па
рам;етрll1lески ВОО4.
БУ1Кдаеиоro новтура
о веmmеiвой ем-
костью
а напряжение на емкости  по закону ис == {q! с)' (1 + 'f о q2)', т. е.
в отсутствие модуляции параметра наПрЯiI\опие на еМRОСТИ И3
мепяется по заRОПУ Rубической параболы (кондепсатор с cer
нетозлеНТРIЩОМ, см. рис. 1.6), что реалЬно наблюдается у боль--
шой rруппы сеrпетоэлеКТРИRОВ, исследованных в ранних работах
И. В. I\урчатова. С увеличение,м заряда емкость TaR,oro .Щ)нден
сатора уменьшается. . .
Если в уравнении Rирхroфа для расr;матриваеиой системы
Lij+Rlj+uc(q, t)O
ввести прежние обозначения х == q/ qo, . == (J)t, ro == 1/LC o f,
ЧJ/ ro 2 == 1 , 260 == RjroL, 'У == 'Yoq и считать величины "(, ,
'6,. т малыми по сравнению с единицей, то можно получить сле
дующее нелинейное дифферепциалъпоо уравпение движения, дo
ПУСRающее примепоние метода ММА:
х + х == x  2tJ.i  '(х З  тх соэ 2., (4.5.8)
в котором отсутствуют ЧJIеньi BToporo ЦОрЯДRа малости. Тамм
образом, метод ММА в данном случае применяется к слабо He
линейной системе с малой диссипацией.
Решение (4.5.8), иак и преЖДе, ищем в Вl:fде х == и-еоз 1" +
+ v si:(l т, i == и sin т + v сов т. Подставляя выражениц для х и
.i в правые части укороченных. уравнений и про:аодя их ycpeДHe
ние по периоду, получаем следующую систему УRороченных
{2 в. в. Миryлин n ДР.

466 rл. 4. НОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСIЮМ ВОЗДЕйСТВИИ
уравнений для рассматриваемоrо случая:
. 1 S 2:r1 .
U ==  2п (x  2t}x  ух '  тх cos 2.) sin -r dt ==
о
==  t}u   [ (  +)  : уА2] V == «Р! (и 1 V}1
(4.5.9)
. 12 S 31: .
V == 2п (6 Х  2t}x  1':r  тх cos 2т) cos -r d-r==
о
==  I [(  6) + { I'А2] U  t}v == «Р2 (и, V)1
rде А 2 == и 2 + v 2 .
Попреiкнему будем искать только стационарные решения
этих уравнений. При й == v == О MorYT реализоваться два режи-
иа: состояние покоя системы ио == Vo == Ао == О и состояние с от-
пичной от нуля амплитудоЙ колебапиii ио r:i= О, VO r:i= О, Ао r:i= О.
Рассмотрим усповия существования этих режимов и исследуем
устоЙ"ЧИвостьсостояния покоя (анализ устойчивости стационар-
HЫX решеНий, отличных от нуля, изза rромоздкости выюIдоRR
проводИть не будем).
Исследование унороченных уравнений (4.5.9) показывает, ЧТ(]
вупевые стационарные решения ио == Vo == Ао == О (состояние по-
хоя) возможны в системе при любых величишtх naplWeTpOJl
т, '6', "(,  (разумеется, в предеп8Х малости этих величин ПС
сравнению с единицеЙ, что требуется для применения меТОДIJ
ММА к данной задаче). Стационарное отличное от нуля реше.
вие системы (и о r:i= О, VO r:i= О) определяется тем же путем, что lJ
выше (см. с. 161); имеем
t}U o ==   [ (' +)   y] V 01
t}v o ==.;. [(  ) +  yA] и о .
(4.5.Щ
Тоrда выражение для :квадрата стационарной амплитуды при.
нимает вид
A == 3 (:!: V 2  4t}2).
(4.5.11
Отсюда сразу виден физический смысл коэффициента нелиней.
ности "(. Чем меньше коэффициент нелинейности у, т. е. че!/
ближе нелинейная система к линейной, тем больше возможнаI
в системе амплитуда параметрических Rолебаний.

!I 4.5. ПАРАМЕТРИЧЕСНАЛ rEНЕРАЦШI НОЛЕЕАНИЙ 161
Определим теперь. условия сущес;.твования действитеJIЪВЫХ
значений отличной .от нуля стационарной амплИТУДЫ. Из формы
l\РИВОЙ для ис(ч) (см. рис. 1.6) видно, что '( > О. Поэтому, ЧТо
бы не исключать из рассмотрения область отрицательных pac
строен , необходимо потребовать выполнения условия
m Z /4> 4t1 Z или т/2> 1/Q.
Torдa для выполнения УС?IОВИЯ  > о. необходимо, чтобы
.Z < m Z /4  4t1z,
или для rлубины модуляции
m Z > 4z + 16-&Z. (4.5.12У
rрафих кривых параметричеСRоrо резонанса для одноконтурноrо
парам:етрическоrо reHepaTopa с оrpаничениеы амплитуды за счет
нелинейной емкости показан на рис. 4.25, rде для общности
AJ
А 2 (,) Аио
, Жесткое $
Оозо!/жrl6'Нt16'
Рис. 4,25. Нривые параметрическоrо резонанса в контуре с пещш{)йпой
емкостью
z
l\артины изображена также область параметрическоrо резонанса
для случая конденсатора с "( < о. rраничные расстройкИ 1 и a
получаются из усло вия A == О и равн ы соответст венно
1==l'mZ/44i), z==Ymz/44tP. (4.5.13>:
Исследование устойчивости стационарных решений можно,
как и в предыдущей задаче, проnооти методом возыущений. To
да для случая нулевой стационарной амплитуды нужно составить
определитель для нахождения характеристическоrо показателя Д.
Если правые части укороченны:х: уравнений (4.5.9) обозначить
через «Р1 (и, v) И qJz (и, v), ТО для рассматриваемой задачи имеем
Bq>l  А Bq>l
ди Bv
Bq>2 Bq>2
 A
ди Bv
i}A !. ( +; )
==0 или  2
 . (  )  f}  А
== о.
{2*

168 rл. '. RОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАРАмЕТРИЧЕСRОМ ВОЗДЕйСТВИИ
Решения этоrо квадратноro уравнения отнotительно л равны
t '1/ т 2
Лц ==  -(} :1::"2 V Т  2 .
Состояние покоя системы неустойчиво, если л имеет положитель-
ную вещественную часть, т. е. Re л > О, Torдa
E Z < т 2 /4  4-O-Z.
Итак, получено условие параиетрическоrо возбуждения сис-
темы. Нетрудно заметить, что состояние покоя неустойчиво имен-
но в пределах области супwствовапия отличной от пуля ампли-
туды параметрических колебаний. Вне данной области, т. е. пр13
Z > т 2 /4  4{j2, существует устойчивое ст'ационарное СОСТОЯНИЕ
покоя (ио === Vo == Ао === О), так как при этом условии Re л < о.
Более подробный анализ устойчивости стационарных отлич,
ных ОТ пуля решений поназывает (см. рис. 4.25), что устойчивы
обе прямые с кружками (при "( > О и у < О) и неустойчивы оБЕ
прямые с крестиками (при "( > О и у < О). При "пижении (для
"( > О) из области отрицательных расстроек 6 (ffi < (1)0) амплиту-
Да Ао, оставаясь с перва нулевой, затем, начиная со значения
2 ==  "(т 2 /4  462, мяrко (плавно) начинает увеличиваться
В области расстроек от 2 дО I состояние поноя неустойчиво }J
малейшие флуктуации в систеъw нарастают до А:::р О.
При движении в обратном направлении  из области поло-
жительных расстроек ; (ffi > ffio)  параметричес кие нолеб анИ1
можно возбудить при значениях, больших I == Ут 2 /4  4t)Z, н(
такое возбуждение может быть тольно жестким. Если системе
находящейся правее точки " сообщить толчок, ббльший ампли
туды нолебапиii iВ ПИiRпем (поустойчивом) стационарном: состоя
вии, то колебания в системе раскачаются до значения A =1= О
соответствующеrо устойчивой стационарной амплитуде ДЛЯ дан
пой расстройни. Если же таной системе, находящейся npaBe l
то1ffiИ I' сообщить толчок L\А 2 ,меньший амплИТУДЫ колебани]
n системе в неустойчивом состоянии, то он не вызовет в систем,
устойчивой параметрической reнерации. Это возмущение со вре
менем затухнет, и снова наступит состояние ПQКОЯ.
Экспериментальное исследование работы одноконтурны
параметричеСI\ИХ rеператоров поназало, что кривые паР&'\Iетриче
cKoro резонанса для них в действительности имеют вид, поназав
ный на рис. 4,26. Это связано с двумя обстоятельствами. Bo--пеI
вых, использованное нами математичеСRое приближение пр
решении укороченных уравнений привело к тому, что в ни
отсутствовали члены ПОрЯДНа "(6 и тЕ, ибо были удержаны т()ш
ко члены порядка "f и т. Уже учет этих членов BToporo ПОРЯДR
малости приводит Н соrласию теории с экспериментом.

s ..6. ПАРАМЕТРИЧЕСНИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
169
Во--вторых, В реальных колебательных системах с нелинейны-
ми реактивными элементами необходимо учитывать также нели-
нейную ПрОВОДIOlооть (сопротивление) последних, например
сопротивление запертоrо полупроводниковоrо диода или конден-
сатора с сеrнетоэлектриком. Сопротивления нелинейных элемен
тов увеличиваются с ростом амплитуды параиетрических колеба-
ний, в результате чеrо для областей параметрическоrо возбуж
дения таких систем характерно сочетание специфических черт,
при сущих как системаУ с He 2
линейной реактивностью (Ha Ао
клон области возбуждения),
так и системам снелинейной
диссипацией (замкнутость кри
вой, оrраничивающей область
возбуждения), при решении за
дачи с учетом членов только
nepBoro порядка :малости.
При изучении OДHOKOHTYP
ных пара:метрических reнepaTo
ров мы не рассматривали коП
кретный механизм изменения
реактивноrо параметра во Bpe
мени, а задавались :математическим законом модуляции пара-
)'HTpa, например, в виде C(t)==Co/{1+тcos(2rot)J. Такие сис-
темы принято называть nаражеТРU'lеС1(u.ми ееператорам.и nервоео
рода, в отличие от nарам.етри'lеС1(их еепераТОРО8 второео рода
(nарамеТрИ'lеС1(их nреобрааоватеJtей), в которых изменение не-
линейноrо реактивноro параметра происходит в результате дей-
ствия неRQТОроЙ периодической силы, ВIillюченной в колебатель-
ную систему.
.
;2 ;1 (
Рис. 4.2.6. Реальпая кривая парамет
рическorо резонанса в диссипативпой:
системе с неJПIВейвой емкостью
А 4.6. Параметрические преобразоВ8ТeJIИ
(Dараметрически reиераторы второro рода)'
В подобных системах параметрическиii механизм возбужде-
ния колебаний в колебательной системе реализуется за счет уп
равления нелинейным параметром с помощью напряжения
накачки, что можно осуществить включением reHepaTopa напря-
жения в последовательный колебательный контур, содержащий
нелинейный реактивный элемент.
На рис. 4.27 представлен нелинейный электрический' колеба-
тельный контур, состоящий из элементов L, R, С(ч) и reHepaTo"
ра напряжения и о cos (2rot). Проанализируем процессы, проис..
ходящие в такой системе, рассмотрим условия и особнности
возбуждения колебаний в ней, выясним вопррс о наличии ста-
ционарной отличной от нуля амплитуды параметрически B03
бужденных колебаний.

170 rл. 4. R6JЩБАНИЯ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСIЮМ: ВОЗДЕйСТВИИ
. Для TOrO о чТобы неусл"о;княть  расчеты, неЛ:инейНым 'пара:мет-
ром данной колооательной системы будем считать п{)прежнему
ТОлько емкость кондеПсатора, которую можн{) аппроксимltpовать
выражением.'uс(q)== (q/Co)1p (q), rде Ip (q)  нелинеЙная функ...
Ц1IЯ' Если.в каЧестве нелинейноrо параметра использовать eM..J
кость конденсатора с сеrнетоэлектриком,. то, 'исходя. из ВИДа He
линеЙности кривойuс(q' (см. рис. 1.6), можно
оrраничиться кубическим: членом полинома
(кубическая парабола), аIIiIIрОКСИ1Мирующеrо
 ,С Т реальную ВОЛЬ'I'КУЛОlIОВУЮ зависимость на
l'o C  конденсаторе. Тоrда. '
uc(q)== (q/Со)Ip.(ч) :..... (q/C o ) (1"+ 'fo(),
Рис. 4.27. Схема
ко:птура . с :пели- а уравнение Rрхтофа для расматрив.аеой
:пеЙD:ОЙ емкостью системы примет вид
и {'енератором :па- d 2 q dq ( q )  ..
качки L dt 2 + R dt + Со. {1 + "(oq2) == и о COS (?оое).
Если ввести обычпые обозпаЧСIIИЯ х == ql qo, 't == wt, оо ==t/ LC Ot
. 2 / 2
СРо 00,2 == 1  , "( == "(oqo, 2t1 == R/u)L п считать, что 2'6« 1, s« 1,
'у «1, то исходное уравнение запишется следующим образом:
l
х +.х:;= sx  'fх З  2'()х + и cos 2't,
(4.6.1у'
I'д и == UoILqooo2. ПРИ этом, как и раньше, мы пренбреrли чле
ном BToporo порядка малости .......6'1'х3. .'
в правоЙ части (4.6.1) цеpIlые три члена малы, одваК&- пос-
ледниЙ член, представляющий напряжение reHepaTopa НllRа.ЧRИ,
:в, общем сJ.tучае достаточно велик. Это обстоятельство не, позво-
ляет применять IIспuсродственно R данному уравнению ме-
тод ММА. {: 9., е
O;::\HaI\O вСJIИ IШССТII новую поремеIIНУЮ у такую, что  -Уу_ y.
х == у  (И/3)соs 2't, (4.6.2):
rде  (И/3) cos 2't == p cos 2't  вынужденное решение уравненИя
. . х + х == 3Р cos 2т == И cos 2т, .... '-i
то, произведя в исходном уравнении замену переменной х на
переменную у, получим
jj + у == s (у  р COS 2't)  2t}(li + 2Р sin 2't)' "( (у  р cos 2't)3.
(4.6.3):
Теперь правая часть диффврепциальноrо уравнения движения
содержит члены только первоrо порядка малости, поэтому к дан-
IIОМУ уравнению применим метод ММА.
В рассматриваемой системе происходят два процесса: один
с собственной частотой 000, .друrой с частотой внешней силы 200.

 4.6. ПАРАМЕТРИЧЕСНИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
17j
Общий результирующий процесс складывается из двух периоди
ческих процессов с соизмеримыми частотами roo и 2ro и поэтому
также является периодическим. В соответствии с методом ММА
решение уравнения для первой области неустойчивости ище}f:
в виде
у == u cos т + v sin т, fJ == и sin 't + v сов т,
rде u и v  медленные переменные времени Т. Используя CTaH
дартную процедуру нахождения усредвеввых по периоду укоро-
ченВЪ1Х уравнений, получим
 ==  ,'}и + i ( : уА2 + { yJ12  s) v == 11'1 (и, V)t
( ) (4.6.4)
v ==   : уА2 +  уР2  S u  ,'}v == 11'2 (и, v).
Рассмотрим стационарные решения данной задачи (й == v ==
== О). Сразу видно что нулевые стационарные решения (ио "":"
== Vo == Ао == О) существуют при любых параметрах исследуемой
системы во всей ооласти расстроек . . с
Для ненулевых стационарнЫх амплитуд (Ао:=/= О) находии
описаввым выше способо м слеДующее выражение :
2,'}==11 ( : yA+  YP2).
которое, как видпо, по имеет фИЗИЧОСIюrо смысла, ибо затухание
в системе всоrда положительпо и не может равняться мнимой
величине. Это значит, что стационарных отличных от нуля ре.
mений системы (4.6.4) быть не может, а может существовать
только состояние покоя (и о ==v == А'о == О).' .С
Нетрудво 'УбеДИТЬJ:J в том, что если в системе не MOryT во:Юуж.
датьсн колебания на 'частоте ro с отличной от нуля амплитудой,
то состояние ПОНОJ:J должно быть устойчивым. Для исследоваиия
устойчивости этоrо состояния используем известный метод воз
мущений, при котором необходимо потребовать равенства нулю
следующеrо определителя:
д<Р 1  А д<р}
ди дIJ
д<Р 2 д<Р 2  Л.
ди Bv'
{}л.
  (  ур2  6)
{}A
== О!
== Т.е. ( )
  ур2  6
ОТКУда
л == ,'}:!:  11  ( yJ12 s)a.
Видно, что квадратный корень при любых 'У, Р,  является мии.
мой величиной, а веществеввая часть характеристическоrо пона

172 rл. 4. НОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСRОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
iJa-теля '}.. всеrда. отрицательна, ибо по определению потери й сис
теме всеrда больше нуля, т. е. {} > О. Следовательно, состояние
ПОRОЯ рассматриваемой системы всеrда устойчиво, стационарной
амплитуды Ай =1= О в системе не существует ни при Rаких значе
нинх параметров.
Объяснение невозможности' возбуждеIiия Rолебан>ий в систе
ие на частоте, равной половине частоты напряжения накачки,
1теДует искать вневыполнении HeKoTopыx условий возбуждения
парам:етрических Rолебаний в первой области МаТЬЁ!. Дело в том,
что взятая в рассматриваемой задаче симметричная относитель
но начала координат ВОЛЬТКУJIОНОВая хараеристика KOHдeHca
тора обусловливает двукратнqe за один период напряжения
наRа'чRи увеличение емкости конденсатора и двукратное ее
уменьшение. Поскольку частота напряжения накачки в два раза
выше частоты искомых параметрических колебаний, то емкость
колебательной системы меняется четыре раза за 'период собст
венной частоты системы, т. е. условия параметрическоrо. возбуж
деЩIЯ в такой систоме не ВЫlIОЛНЯЦ>ТСЯ, ибо маRсимальная час
тота изменепия реактиппоrо параметра за период искомых пара
метрических колебаниu (первая область Матьё) равна; двум.
В областях неустой:чивости с более высокими номерами она еще
ниже, так как частота изменения
параметра . должна подчиняться yc
ловию
р  2roolпj rде n == 2, З, 4,...
Для Toro чтобы обеоеЧИТJ> BЫ
полнение УСЛОIIИЙ параметраческоrо
возбуждения для колебательной си
стемы с Iюпденсатором на основе
соrпето;)леI,ТРlша, необходимо при
дать вольткулоновой характеристи':'
Re ис (q) несимметричный вид, что
можно осущесТБИТЬ путем подачИ
на конденсатор ПQстоянноrо напря
жения смещения (например, иo).
Torдa кривая ис (q) будет иметь вид,
показанный на рис.' 4.28. Можно для этой же цели иополь
зовать в качестве нелинейной еМRОСТИ р  nпереход полупро
водвиковоrо диода. Здесь кривая С (и) всеrда несимметрична и
имеет вид, показанныu на рис. 4.12.
Наличие несимметрии кривых ис (q) или С (и) требует учета
в их аппроксимирующих выражеuиях квадратичных членов;
иным:и словами,' для конденсатора с сеrнетоэлектриком и с по
стоянным смещением необходимо пользоваться зависимостью
q
Рис. 4.28. ВольткулоноваJl ха.-
рактеристика нелинейнorо
конденсатора со смещением
Uc(q)==(q/C o ) (1 + oq + "(oq2).
(4.6.5j

 4.6. .ПАРA1liEТРИЧЕСНИЕ ЛРЕОБРА30ВдТЕЛИ ,
173
Тоща с учетом этоrо соотношения исходное уравнение ДБuжения
11 тех же обозначениях примет вид
х + х == Sx  2t}i  xZ ....... "(х з + и cos 2т, (4.6.6):
rде  ==oqo  1. ,
Это уравнение получено в результате пренебрежения члена
:ии BToporo порядка малости, т. е. в предположении, что
(1s)"("(, (1s).
Решение этоrо уравнения, как и прежде,' ищем методом Meд
ленно меняющихся амплитуд с помощью следующих под
стаНОВОЕ:
х == у  р COS 2т, У == u cos т + v sin 1',
у == и sin т + v cos т.
Torдa получаются следующие УRороченные уравнения:
. 1 . 1
u ==  f}u + '2 (j3P  S*) и, v == 2' (j3P + S*) и  и1 (4.6.7)
3 3
rде S* == s  41'А2 21']>2. .
Последнее обозначение оправдано физическими соображения
ми и еще раз подтверждает, что раССТрОЙRа частоты в Rолеба
тельном Еонтуре с нелинейной реактивностью зависит от ампли
туд действующих в нем напряжений. При увеличении аМПЛlIТУ
ды параметричесRИХ RолебаниЙ в системе измеIlяется сроднее
значение пелипейной ОМJЮСТИ, что пподит ПОI\ОТОРУЮ дополни
тельную raccTpoii liY и оrрапичипаот амплитуду колебаний на бо.
лее JIИ:ШОМ УрОlJне, чем при тои же расстройке S и малых дейст-
вующих аиплитудах' А  О и Р  О. В получе:нном, реmений
присутствуют и вынуждеННЫе Rолебания, НОтор:Ьш служат источ
ником энерrии для параметричеСRИХ Rолебаний и способствуют
увел'Ичению их амплитуДЫ;. Поэтому расстройка _ S* харaRтериву
ет изменение собственной частоты контура (i)B. по отношению R
lIоловине частоты напряжения накачки от первовачальноrо зна
чендя .при А == О, Р == О до эначений при А 7'= О, Р 7'= О.
В полученных укороченных уравнениях члоп P COOTBeTCTBY
ет члену т/2 для случая параметричоских reHepaTopOB первоrо
рода и характеризует отрицательпое сопротивление (степень ре-
rецерации), вносимое в нелипеЙпый Rолебаtельвый ЕОНТУР re...
нератором накачки.
ИЗ системы укороченных уравнений лешо находятся ст.ацио
нарны1'' решения для Ао == О и Ао 7'= О. Состояние ПОRОЯ '{ ио .,;,
== Vo == Ао == О) возможно в системе при любой комбинации irap1i"
метров. 
Выражение для стационарной отличной от нУля амплитуды
параметрических колебаний имеет вид
4- [ З' ]
A == зу s  21']>2 + 11 j32p2  4f}2
(4.6.8)

!l.74 rл. ,. RОJIEnАНИЯ ПРИ ПАРАМЕтрИЧЕCRО:М: ВОЗДЕЙСТВИИ
и показывает, что оrpаничение амплитуды параметрических ко..
лебаний здесь T происходит за счет кубическоrо члена He
линейноrо peaкТ1lBHoro параметра.
Для существования стационарноrо режима параметрических
колебаний с амплитудой, отличной от нуля, необходимо выпол
нение двух очевидных требований: 1) величина 2p2  462 дол..
Жна быть вещественно й; 2) дол жно выполняться неравенство
Y2p2  4,'}2 >   vF2. (4.6.9)
Rривая параметрическоrо резонанса в этом случае неси.м:метри'l
на относительно оси ординат  что видно на rpафике рис. 4.29
л}
Жесткое z О 1 Жесткое $
l1 и./О!fЖiJенив 1, /'fЯiJКllе ../dОзОУA!li'ение
dозоужrlение
Рис. 4.29. Кривые параметрическоrо резоианса для Ko:sтypa с :ве.1IJlRейвоl
еихостью при электрической накачке
и следует из выражения для стационарной отличной от нуля ам.
плитуды параметрических колебаний. u
)(арактеристическое уравнение для анализа устоичивости сос.
тояния покоя можно найти из следующеrо приравневноrо нулю
детерИJШaИта:
\  6 ). i: (P .s*o)
1 . . == О.
'2 (P + s*o)  (}  л
rде 6*0 означает расстройку при Ао == О и р -1= О. Решение Xll.
рактеристическоrо уравнония
"л: + 2ttл. + {)2   (2p2  :o) == о
приводит К
7.:==  tt.  V2p2  6;0'

. tI 4.6. ИАРА:мвтРИЧЕСRИЕ ПРЕОВРА30ВАт:EJIЦ
11
Чтобы. состояние ПОRОЯ системы стало неусто йчивым, необходд"
мо потребовать .выполнония неравеJЮrва  V 2p2  ;0>'6-1 OT
кудасЛедут услрвие параметрич:ескоrо возб'уждения '
:0<2.P24{t1. (4..6.10)
Сравнивая условие параметричеСRОЙ неусто:ijчи;вос'J; состояния
покоя. (4.6.10) с УСJlовцем сущеСТВОВ!iНИЯ :етационарноrо реше
ния дм Ao::f= О( 4.6.9), JJетрудно заме'l'ИТЬ... что ЭТJI. условия со&-
падаJQТ.Из них леrко получаются иптерващы расстроек, в RG:TO:-
рых ,существуют неутойчивое состояние ПОRОЯ и стационарнщ
ненулевые' амплитуды параметрически возбужденных Rолеба--
ний; имеем
2 С ;:...... y2P2  41}2 +  yF2:r;;;, 6. Y2p2 4"'21: {у.Р2 == 1'
(4.6.11)
Из этоrо. в:ырзжения ртчетливо видн-а несnметрия области na-
раметрическоrо резонанса, о которой речь шла выше. ,Иесиммеt:""
рltю' 1 облоотй: nараМj;jтричеСRоrо ревона:вса' ,цля, Rолеба'rеJiьной
системы с нелинейНbl\l, реактивным параметром и reHepaTopOM
накаЧЮI MOHO объяснить также качественно. ДеJrО в том, что в
рассматриваемом неЩlНейном колебательном контуре при воз
действии на Hero иапряжения пакаЧI\И возпикают выпуждепные
I\олебания, которые изменяют сродпое значение емкости систе..
мы, чем и объясняотся начальная расстройка контура в ОТСУТСТ-:,
вио IIl1раМQТрИЧQСl\И возбужденных колебаний (несимметрия 61
и 61 относительно оси ординат). .
Анализ устойчивооти показьtвает, что верхшre кривые пара-
метричеСRоrо резонанса; каи и прежде, УСТ<f.Йчивы, iIИжние""':'
неустойчивы. .. '.
Из выражений для 61 и 62 следует.,:чro. изменением iЩцлитi..
ды накачки Рм:ожно реryлировать шИрину области параметри..
ческоrо возбуждения. При этом амплитуда НакачКи должна пре..
восходить некотор}'ю минимальную величину  пороr, опредшя-
емыйиз условия
Рпороr == 2"'/ при 6*0 == u.
(4.6.12)
Наличие пороrа для величины накачки,. eciiecTBeHHo, объясняется
параметрической природой вложения энерrии в рассматриваемой
задаче, иак иво всех друrих случаях параметрическоrо во.збуж-
дения колебаний, иоrда вкладываемая за счеТМ:ОДУJlЯЦИИ, реак"
1'ивноrо параметра энерrия должна превосходить начальные
потери.
В реальных колебательных системах, r.дев kачестве._ нелиней..
Horo элемента используются р  ппереходы полупроводниковых
(параметрических) диодов, одновременно, фиrypируют и оказы..

176 rл. 4. КОЛЕБАНИЯ ПРИ JIАРАМЕТРИЧЕСНО:М: ВОЗДЕЙСТВИИ
вают оrраничивающее действие и нелинейная реактивность,
.и нешrнейное затухание. Поэтому нривые параметрическоrо ре.
зонанса оrраничи:вают наклонные замкнутые области параметри.
ческоrо возбуждения. Общий математическИй анализ реальных
параметрических систем  сложная задача, которая обычно pe
шается приближенными методами, в частности 1dетодами чис
ленных расчетов с использованием ЭВМ. .
Таким образом, в рассмотренной системе при определенных
условиях, накладываемых на параметры, 1I при несимметричн:о.
сти характеристики нелинейноrо реактивноrо элемента можно
возбудить параметрические колебания, частота которых точно
в два раза ниже частоты rtlHepaTOpa накачки, а UПЛИТУJ(а на.
пряжения накачки через нелинейнblЙ реактивный элемен'i' WIИlI.
ет на ампзштуду парам:етрических колебаний и ширину области
возбуждения. Поэтому такой параметрический reHepaTop второсо
рода называют также nарам.етричеспим nреобраэователе:м., т. е.
устроЙством, преобразующим один периодический процесс в дру.
rой периодический процесс, причем оба процесса являются KOrEr
.рентными.
Как отмечалось выше, для задания определеШlOrо вида не.
симметрии вольт.кулоновой (Uc(q» или вольтарадной (C(и)
характеристик пользуются источником постоянноrо напряжения.
В случае реальных реактивных элементов
тlЩИИ путе. :ИОЖIIО оДнОВpeerlенно задать
'рабочую тouy пах на ,характеристике не.
линейной реактивности, так и на ее вольт.
амперной характеристике.
Однако и в случае параметрических r
нераторов для этих целей часто использует
ся автоматичеСIЮО смещение. Схема такосо
однокоптурноrо параметрическоrо сенерато-
ра (iПараметричеСI«>rо преа6разователя) с по.
лупроводниковым диадом имеет вид, пока-
,аанвый на рис. 4.30. В полупроводниковых диодах с изображен.
:вой на рцс. 4.12 зависимостью С(и) напряжение на еМКОСТЕ
с достаточ'ной степенью точности можно апщ:iоксимировать вы.
ражением
R 17,11
L J...
co?3 (Ut 6/?т
Рис. 4.30. Схема OДB
ковтурнохо парамет-
рическоrо reuepaTopa
с автоматичсским
Сlещевием
Uc(q)==(1/C o ) (q + oq2),
сде для реальных диоов o < О.
Сопротивление дИода в положительном (прямом) направле
вии, l,aK видно из тосо же рис. 4.12, весьма мало, в обратно
ваправ..шнии сопротивление очень велико. Чтобы учесть ВJlИЯНИi
тонов через диод и резкоrо измепения сопротивления при заход
.. область положительных токов, можпо ввести разделительныi
.кондевсатор с емкостью Ср. Диод с последовательно включенныъ
с ним конденсатором работает как пиковый детектор, и рабочаJ

!i 4.6. ПАРАМЕТРИЧЕCRИЕ ПРЕОБРАЗОВАТEJЩ
171
ТО'lI:а при этом СДJIИrается влево по характеристике (даже при
ШIlюrально?yl заходе в область положительных смещений).
Если предположить, что напряжение на конденсаторе равно
nШlJlитуде колебаний, то решение можно искать в виде
х == у  р сов 2., у === и сов. + V Bin l'  А, У == и Bin . + v сов "
еде попреЖIJему и"'" и (.), V == V (т)..
Уравнение- движения в рассматриваемой колебательной сис-
теме при указанной для полупроводпиковоrо диода аппроксима
ции в принятJ>{X наии обозначениsx имеет вид
ж + х == sx  2'6х  T + и сов 2т. (4.6.13)
l\aK видно, в нем в явном виде не фиryрирует нелинейная про
водимость, однако она скрыта в саиом решении, точном в слу.
чае бесконечной проводимости диода в прямом направлении.
Решение задачи меtодои ММА при указанной замене перемен
ных приводит к следующей системе укороченных уравнений,
аналоrичной предыдущей и имеющей вид
· 1. . 1.
и == f]и + 2_(P*)и.!: V .....2(P + *)иf]vJ:(4.6.14)
сде s. ==  + 2A.
Поскольку в колебательной системе имеются параметрически
возбужд;енные колебания с амплитудой А, то существует допол
нительное смещение (напряжение), которое смещает рабочую
точку влево от пуля, иамопяя том самьш нолинейную диФФерен
циальпую ошюсть Дllода. При этом, естественно, изменяется и
paccTpoiiI\a спстомы .. ,
Выражение для стационарной, отличной от нуля аМDИТУДЫ
в рассматриваемом случае получатся сrаидартlIым способом и
имеет вид
AO== 21 (s + y aJ>24f]2)== 2I1.I (s=F V2p;s4f]2) (4.6.15)
ибо для реальных диодов  < О.
Сравнивая выражения для стационарных амплитуд в случае
одноконтурносо параметрическоrо сенератора с нелинейной ре.
активностью и параметрическоrо сенератора на ПД с автосые.
щением, можно заметить их сходство; это, естественно, приводит
Ii аналоrии в положении и виде областей параметрическоro воз
буждения. Поэтому в рассматриваемом случае можно использcr
вать полученные ранее результаты исследования устойчивости
стационарных решений.
Если в укороченных уравнениях сохранить член с К<?lФФИЦИ.
ентом , то выражение для стационарной аиплитуды-" примет
несколько иной вид, а именно
А о . 21 1 t1I [S + Va(1s)ap24f]a].
(4.6.16)

!78 rл. ,. ltо.1IEВАНИЛ IlPИ UАРAIO:ТРИЧЕCltОМ: ВОЗДЕЙСТВИИ
3'10 выражение COOTBeTc'J.'ByeT замкнутЬUl K'pl1ВЫM, оrраничиваю
щим области параметрическоrо возбуждеНйЯ (рпс. 4.31), что
веСЬ1,fа хорошо соrпасуется с экспериментальными резул:ьтатами
по измерению ширnны оБЛастей парамет'рическоrо возбуждевия
,. Ha и в рассмотренных ранее ситемах, наличпе нешшейной
реактивности приводит в данном случае к наКлону области воз
буждения, причем :кроме сохраняющй6я ьбласти M1:irI{oro воз
буЖдеmtй' (при 62 < 6 < п ПОЯБЛяет.ся обпасть жест:коrо,ВОЗ
буждения, лежащая между 61 и
Ао 63. Для возбуждения в ней пара
метрическаХRолебаний системе
Jlеобходимо сообщип определен
НhIЙ 'начальный толчок, вели:"
чина KOToporo. зависит от pac
строй:ки 6, что хорошо видно на
рис. 4.31.
В случае одно:контурноrо па;-
раметриtreс:коrо reHepaTopa на ПД
,-2 О , Жr:Сf17lrое ,;  С автосмещением оrраниченИе aм
рис. 4.31. Кривая параметриче. плитуды I\олебапий проИсходит
CKOro возбуждения для системы не за счет нелинейноrо затухани
-с автоматичесКИJol- смещением (ибо мы рассматривали иде аль:'
. . ныйпиковый детектор без п
терь) , а за с-ч:ет расстроечнOfО иеХ,аНИзма оrравичеНИJl (=F О).
при :котором полу-ч:ается, нaIOxов oБJ1асти БозбуждеВИJI, так как
ри'вая зависимости дифференциальной eMKOCTn от заряда у по.:-
лynроводниковоrо диода имеет несимметричный вид. Этот меха:"
изм оrраничения амплитуд параметричес:ки возбуждевных :ко:'
лебаний в тю\Ом reHepaTope называют иноrда оераnичеnие:м. aq.
счет автосжещеnия. .
При анализе работы параметричес:ких rencpaTopoB разноrо
типа с разными механизмами оrраничения амплитуды парамет
ричес:ких колебаний мы интересовались в основном стационар
:ными реmеНИJlМИ, :которые можно получить из общеrо решений
той или иной задачи (разумеется, если ее удается решить aHa
литичес:ки), если время устремить в бесконечность. Одна:ко зна:'
чительный интерес представляет рассмотрение переходныi пр
цессов (процессов установления) в параметрических reHepaTopax
различных типов, т. е. псследование зависимости амплитуды воз
буждающихся :колебапий от времени.
. В большинстве реальных случаев, :коrда деIiствует OДHOBpe
менно нес:коль:ко механизмов оrрnпичспия амплитуды, т. е. в си
стеме имеется неСl\ОЛЬКО пелипейпых :элемептов, полное решение
задачи удается провести толы\О числсппыми методами с по
мощью ЭВМ. Одна:ко хара:ктер переходноrо процесса можно :кa;
eCTBeвнo (а иноrда и :количественно) определить на основании
nсследования хара:ктеристnчес:коrо по:казателя л.

!i .6. ПАРАМЕТРИЧЕСНИЕ ПРЕОБРА30ВАТЕЛИ
i7
Общий характер устойчивости стационарных решений для
lараметрических reHepaTopOB всех типов следует из анализа ве-
цественной и мпииой частей характеристическоrо показателя Л.
3сли вещественная часть для непулевых решениЙ отрицательна,
o соответствующий стационарный режим является устойчивым
.10 Ляпунову, причем наличие или отсутствие мнимом части ха-
)актеристическоrо показателя вьшвляет XapaRTep этой устой-
:швости.
Если Ве л < о и отсутствует мнимая часть л (1т л == О), то
'\озмvщения в области устойчивости апериодически затухают;
i
А
<10 --=--
/.....
/
/
I
/
/
/l
Ао
t 1
t z
t
t
">ис. 4.32. rрафик установления ста-
онарной амплитуды в параметри-
"еском reHepaTope при диссипатив
ном мехапи:зме О1'рапичt'пия
Рис. 4.33. rраФик установления ам-
плитуды I\олебапий в параметриче-
ском 1'енсраторе при оrранич:евии
за счет нелинейности реактивноrо
параметра
сли же характеристический показатель л комплексен, то зату..
аJ;lие происходит в осцилляторном режиме. Поэтому выход на
,тационарную амплитуду в случае диссипативноrо механизма
)rрапичения (оrрапичепие за счет нелинейноro сопротивления),
"1сеrда имеет апериодический характер (рис. 4.32, сплошная кри.
зая). На том же рисунке штриховой кривой пока'зан процесс
;становления стационарной амплитуды в reHepaTope с активным
}лементом. Особенность переходноrо процесса при параметриче.
...ком возбуждении колебаний связана с тем, что увеличение
энерrии параметрически возбуждаемых колебаний пропорцио-
'Iально самой их энерrии. Вследствие малости запасенной на-
"!альной энерrии (энерrия тепловых флуктуаций) аМIIлптуда па-
,аметрпческих кол.ебаний вначале на участке О  t l растет мед-
шнно, затем на участке t l  t z быстро увеличивается, а. на
'Частке t > t 2 , коrда встулает в действие механизм оrpаничения,
iмплитуда колебаний параметрическоrо reHeparopa аСИМIIтотиче-
,ки приближается к стационарной амIIлитуде Ао (случай нели
з:ейноrоздтухания). .

480 rл. 4. RОЛЕВАНИЯ ПРИ iIАРАМЕТРИЧЕcRо:м: ВОЗДЕЙСТВИИ
При оrравичении параметрических Rолеба.ний за счет нi:ши
пейной реактивности (расстроечный механизм оrраничения) сис.-
тема приходит к своему стационарному состоянию осцилляторно
(рис. 4.33). Колебательный процесс установления Rолебаний 1'40"
жет возникать за счет инерционности реаКТИвноrо параметра.
В этом случае характеристический показатель л является комп-
лексной величиной, в которой действительная часть (Ве л) опре-
деляет скорость уменьшения амплитудных вариаций, а мнимая
часть (Imл) частоту (нериод) осцилляций при выходе на ста-
Ционарную амплитуду.
При наличии в параметричеСRОМ reHepaTope нелинейноrо со-
противления, нелинейной еМRОСТИ и цепочки автосмещения в за
:висимости от соотношения нелинейных параметров, rлубины
модуляции, расстрой:ки И от соотношения между постоянной вре-
мени цепи автосмеlЦевия и периода параметрических колебаний
в системе можно реализовать как апериодический, так и осцил
JIЯТОРНЫЙ процессы установления; можно также получить ста-
Ционарuый режим с синусоидальной или прерывистой aBTOMO
дуляцией.
Физически процесс парамотрическоrо возбуждения колебаний
в параметрическом reHepaTope можно представить себе следую-
щим образом. Колебательный контур одноконтурноrо параметри-
"'I:eCKOro reHepaTopa представляет собой высокодобротную колеба-
тельНую систему; в ней еще до ВЮIIOчения reHepaTopa Н!lкачки
вследствие наличия тепловых флуктуаций существуют электри..
чески е колебания с mиpОRИМ спектром частот, причем Rолебавие
с одной из частот 00, на которую примерно настроен ЕОНТУР па-
раметрическоrо reHepaTopa, значИтельно превышает все осталь-
ные по средшН\вадратичной амплитуде. Torдa включение reHepa-
1:'ора накачки с 'Ча:стt>тоЙ 200 приведет к возрастанию амплитуды
IIIyм:овой I\омпопепты с частотой, точпо равной половине 1IaCTO-
ты накачки (для первой области параметрическоЙ неустойчиво-
tти); фаза этой номпоненты ПО отношению I\ фазе колебаний
накачки соответствует случаю «сильноrо» параметрическоt'о' ре:..
зонанса. Однако, как Следует из особенностй «сильноrо» nара-
метричеСI\О'I'О резонанса, при изменении фазы усиливаемоrо сиr;'
нала на n процесс ero параметрическоrо усиления абсолютно не
изменится. Отсюда BыокаетT важное следствие, а именно то; что
llараметрическпй reHepa'top позволяет возбудить колеб'ание либо
.в одной, либо в друrой (противоположной) фазе.
Таким образом, ОДIlОI\оптурпые параметричсскпе reHepaTopbl
обладают тоы cBoiicTIIOI, что фазы парамеТРИЧССJ\И возбуждае-
мых в них колебаний зависят от начальных условий. ,Если на-
чальные условия случаiiпы (например, тепловой шум), то фаза
возбужденных колебаний тоже будет случайной. При непрерыв-
ном 'дейстии; reHeparOpa накачки подбором начальных условий
можно возбудить колебание либо в одной, либо в друrой (проти-

1'.6. ПАРАМЕТРИЧЕСRИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
t81
воположной) фазах, условно обозначаемых О и л. Фаза этих ко.
JIебаний относительно фазы напряжения накаЧIШ сохраняется D
параметрическом reHepaTope сколь уrодно долrо.
На этом свойстве параметрических reHepaTopoB основана ра-
бота параметронов  малых по rабаритам и по потребляемой
мощности одноконтурных параметрических reHepaTopoB, которые
используются в технике в качестве элементов памяти, в счетных
и лоrических машинах и устройствах (сочетание больmоrо ко.
личества параметронов в одной машине). в силу специфическоrо
характера переходных процессов при параметрическом возбуж.
дении колебаний (наличие начальноrо участка С медленным
ростЩI амплитуды, в результате чеrо процесс установления ста-
ционарной амплитуды длится примерно 2030 колебаний основ.
ной частоты) счетные и лоrичеСRие устройства на основе пара.
MeTpOIJOB используются обычно в тех случаях, коrда требуется
не очень большое быстродействие, но высокая надежность, на.
пример, для управления механическими станками с проrрам:и.
ным управлением. .
В колебательных системах с параметрическим воздействием
возможно появление комбинационных явлений. В пара:метриче.
ских преобразователях, в которых преобразование частоты про.
изводится с помощью напряжения накачки с использованием
нелинейных элементов, может возникнуть
целый ряд комбинационных частот.
В частности, параметричесюlO IюлебаНIlЯ
MorYT возБУlRдаться при 1I0Д!lче на нели.
нейный реактивныЙ :элемент не одното,
а, например, двух напряжений накачки с
разными чаСТO'I'ами. Схема TaKQro одно.
KOHTypHoro параметрическоrо reHepaTopa
с двумя rенераторами накачки с разны
ми. астотаии . ПОlщ'зана на рис. 4.34.
Здесь в качестве нелинейноrо реактивно--
то элемента используется конденсатор с сеrнетоэлектриком.
"Уравнение, описывающее колебательный процесс в такой
системе, имеет вид
Щ)
UfC bl,t И2 Б
Рве. 4.34. Схема пара-
метрическоro тенератора
е . двумя rенераторами
накачки
R
q  '
L""""""2 + R di' + ис (q) == и 1 cos «(J)l t ) + и 2 cos ((J)2 t ).
dt . ,
Если вольткулоновую зависимость Uc(q) на ковдеnсаторе преД-.
:Ставить в виде полинома ис (q) ..:.... с1. (q + 13oq2 + Yoq3 + ...), .что
.. о . .
-соответствует изменению емlЮСТИ нелинейноrо КОlIденсатора, по
1. 1 ' '
'закону -ё == с (1 + oq + Yoq2 + .. .), и оrраничиться за'писан.
о
,ными выше членами разложения, а также положит:ь, что в рас-
сматриваемом контуре существуют вынужденные колебания с не.
13 :в. в, Миryлин и др,

182 rл. 4. КОЛЕБАНИЯ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕCRОМ ВОЗДЕйствии
соизмеримыми частотами 6)1 и 0)2, ТО эти колебания, воздействуя
на нелинейный элемент, вызовут комбинационные колебания.
Первый нелине:йный член разложения '!otf обусловит ПОЯВJIе
ние компонент изменения обратной емкости с частотами вида
0)1.::1: 0)2 (т. е. с частотами, представляющими комбинацию ис
ходных частот, отсюда и термин «комбинационные частоты>}).
Если учесть еще более высокие степени разложения обратной
емкости по степеням заряда q, то комбинационных частот CTa
нет еще больше и они будут в общем случае иметь вид
тО)I '.::1: nО)а,
rде т и n  произвольные целые числа, причеы: сумма т + n
соответствует степени высmеrо члена в разложении обратной
емкости.
Если колебание каКОЙJIИбо комбинационной частоты 6) удав.
летворяет условиям параметрическоrо возбуждения, то в конту.
ре возникают колебаН'Ия с частотой о)  0)0, rде 0)0  собственная
частота контура параметрическоrо reHepaTopa. Для первой обла
сти параметрической неустойчивости это может произойти в слу.
tJae 0)1 == 20) (0)2 == О) , в случае Ю2 == 20) (0)1 == О) , в случае
0)1.::1: О)а == 20) или в общем случае тООI.::1: nо)а == 20). Таким обра.
зом, кроме возбуждения колебаний с частотой, равной половине
частоты одноrо reHepaTopa накачки о) == 00112 (О)а == О) или о) ==
== O)zl2 (0)1 == О), в системе с двумя reнераторами накачки Mory:r
возбуждаться также колебания ос частотами о) == (6)1.::1: 0)2)12, или
11 ОQщем случае с частотами о) == (тO)I.::I: n6)а)/2. (Для простоты
ы:ы рассматривали частотные условия возбуждения параметриче.
ских колебаний, соответствующие первой облаети Матьё. Разу:"
ы:еется, комбинационные колебаН'Ия MoryT также возбуждаться
в областях Матьё более высокоrо порядка.)
При расомотрении комбинационных явлениЙ в параметриче.
ских системах предполаrалось, что 0)1 и О)а  несоизмеримые
частоты, т. е. такие, что период повторения суммы колебаний
с частотами 0)1 и О)а на MHoro порядков превосходит периоды
колебаний 0)1 и 0)2. Если бы частоты 0)1 и О)а были соизмеримы,
то сумма напряжений
и 1 COS (O)lt) + и2 COS (0)2t)
изменял ась бы периодически. Torдa в правой части исходноrо
уравнения стояла бы периодическая функция времени и исполь.
зование метода ММА с усреднением точных дифференциальных
уравненпii по периоду но представляло бы трудностей. Необхо.
димо только учесть еще и фазовые соотношения между воздеЙ'.
ствующими частотами. При несоизмеримых значениях 0)1 и 0).1
применение метода ММА становится весьма неточным и для ре.
шения исходноrо уравнения необходимо прибеrнуть ксоответст.
вующ,иы: приближениям..

rЛАВА 5
АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
" 
 5.1. основиыe физические определения и оассифрlЩИJl
. автоколатель Систем
Автоколебательные системы относятся к классу активных ко-
лебатещ.ных систем, определеВiИе которых было дано в  4.1.
Однако, В отличие от активных систем, в которых вложение
энерrtm можно однозначно описать с помощью отрицательноrо
сопротивления и которые MOryT быть линейными и HeKOHcepвa
тиввыии, автоколебательные системы приН-
ципиально веJIИнейны и неконсервативвы.
Это ах свойство обусловливает ВОЗМQЖНОСТЬ
существова.ния в автоколебательвых. систе-
мах стациоварных по форме и величине ко:-
лебаний, что в рамках представлепий О фа-
зовой плоскости означает наличие предель-
ных циклов  асимптотических замкнутых
фазовых траснторий.
Схематически ПрОСТСllШУЮ автоколеба-
тельную систему можно представить так,
как на рис. 5.1. Если через N обозначить
запас колебательной энерrии в системе, то
n стационарном режиме авто колебаний из-
менение колебательной энерrии за период по определению равно
нулю, т. е.
1f11КfJпитrt/tьнью
Jлltlfltнт
Оtf/штНQЯ
сdязь
Рис. 5.t. Общая CX
на автоколебательвои
систеиы
N t + T  N t == О.
Напомним, что для консервативных систем dN/dt E!I О, поскольку
запас колебательной энерrии N == const. В случае диссипатИБВЫХ
систем dN/dt == F (t) < О, rде F (t)  функция, характеризую-
щая диссипативные свойства системы, причем для диссипатив-
ных систем F (t) > О. Функция диссмпации хаРaRтеризует мощ-
ность потерь в системе.
Действительно, если' написать уравнение, 'описывающее поМ-
дение последовательноrо колебательноrо контура, т. е. диссипа-
тивной колебательной системы, в виде
2
L  + R dq +  == о
dt 2 dt С. q . 
13.
.(5.!.!)

t84
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ 'l'ВОРИИ АВТОRОЛЕБАНИй
то отсюда леrко находим .
d [ t ( d q ) 2 1 2 ] ( dq€J "(
di 2 L dt + 2c Q ==R dt )o
(5.1.2)
Следовательно, изменение маrнитной и электростатической энер.
rий колебательноrо контура, т. е. изменение колебательной энер
rии системы, равно мощности потерь, или в обобщенной записи
dN/dt == F(t). Обычно F(t» О, но в авто колебательных систе.
мах возможны интервалы времени при определенных амплиту.
дах и скоростях, при которых F (t) < О. Вполне очевидно, что ус.
ловие F (t) < о присуще только активным сиСтемам. Из этих фи.
вических представлений вытекает основное уравнение энерrеТИ 4
ческоrо баланса ав'rо1tьле'батenыш: 'СИdfl!И .." .
т
S F (t) dt == О.
о
(51.3)
Совершенно ясно, что в линейной и пелинейной диссипативных
системах невозможеп автоколебателыJйй процесс. Для осущест.
вления аВТОIюлебательноrо процесса необхо,"ЩМО, чтобы фуmщИJl
дисс.ипацпи F (t) была знакопеременноii. 11 ри этом в течение OД
вой частп периода происходит пополнение колебательной эвер-
J'ии (что можно описать с помощью извеСТНGrО нам понятия от..
рицаТ8ИЬноrо 'сопротивлении" Л), в тчение друrоji el'o части......
уменьшение КQлеательвой энерrии. ,Torдa . можно обесnе'Штъ
l'
энерrетическиЙ баланс системы , F (t)dt == о; что означает вали.
,; ,
чие стационарных аВТОI\Олебапий в колебательной системе. Ес»..
R примеру, считать, что в колебателыюЙ системе сопротивление
зависит от протекающеrо через Hero тOIШ, т. е. R == R (i), то ДЛll
реализаЦИIl аВТUJюлебапий необходимо потребuвать, чтобы фУНJ{.
ция F (t) == R (i) i 2 была знакопеременноЙ. Только в этом случае
можно выполнить условие (5.1.3). Как видно, для этоrо необхо.
димо, чтобы знакопеременной была функция R (i) .
ПО ПОВQДУ формы автоцолебаний можно сделать .некоторые,
предварительные физичес,RИ обоснованные предполож,ения. Если
накопительный элемент (см. рис. 5.1) предстаВJIяет собой доб;-
ротный колебательный контур и в системе происходят автоколе
бания, то эти колебания будут близки к rармоничеСRJIМ; своЙст.
ва цепи обратноЙ связи лишь в небольшоЙ степени повлияют ЩI.
форму колебаний, и в основном опа служит только для пополн&:-
ния колебательной энерrии в теченио части периода автоколеба
ний. Если при наличии автоколебаниЙ разорвать цепь обратной
связи, то в накопительном элементе будут наблюдаться затухiЮ 4
щие колебания. Автоколебательные системы, удовлетворяющие
указанным выше условиям, мы будем называть авто,.о.ltебатеJf,Ь

Сл_Л '-> """
!
Jt
!I 5.1. КЛАССИФИКАЦия .лвТОКОЛЕБАТЕЛЬных. СИСТЕМ
185
llы.ми системами осци.л.лЯТОрllоео типа. В осцилляторнъu: систе..
мах потери энерrии за период, 'а следоватеЛbllО, и добаВЛJlекаJl
энерrил значительво меныпе запаса энерrии, накопленной в ос-
вовной колебательной системе.
Если же нанопительный элемент (см. рис. 5.1) представляет
собой апериодический контур, состоящий в основном из RL или
RСэлементов, То ,форма автоколебаиий существенно зависит от
свойств цепи обратной связи. Если в такой колебательной систе-
ме выщ>лнены условия самовозбуждения, то форма reнерируе-
мых колебаний, как' правило, далека от синусоидальной, а пери-
од :кciIебаний связан со временем релаксации системы, хотя в
векоторых случasx (см. ниже) подбором параметров автоколеба-
тельной системы можно заставить ее rенерировать колебания,
блИзкие к rармоническим. Эти автоколебательные системы при-
нято вазывать ре.ла"сационпыми. Релаксадиоввыии системами
считаются системы, в которых после разрыва кавала, по кото--
року -восполняются потери в системе (канал обратной связи на
рис 5.1), колебания в накопителе апериодически затухают веза-
висим:о от формы этих колебаний до разрыва цепи обраТIfОЙ свя-
зи. Отсюда сразу же вытекает, что в релаксационных автоколе-
бателъных системах может происходить 100%ный обмен энер
rии (рассеиваемой на пополняемую) в течение каждоrо периода
колебаний. f/;,C.€. Щ И tJ "," , с.; 1'; . '" l' " !р f,
Как уже было отмечено выше, для получения автоколебан/й
в системе необходимо, чтобы функция диссипации была знако-
переменноЙ, для чеrо можно ИСQользовать различные по физиче-
ской природе 1.ICлипеицые двухполюсники с так на:fdваемыии
i
t"z
io
i l
11
rf s  Тl1П
11
i
tIt 00 02
{[ Л'ТШl
Рвс. 5.2. Вольтамперная характеристика тунпельпоro диода (а) и rазора
рядноrо прибора (6)
Падающими участками на своих вольтамперных характеристи-
ках (рис. 5.2). На этих участках путем принудительноro llOд-
держания определенных тока io или напряжения и о в двухпо-
ЛJOсиике обеспечивается появление в системе отрицательноrо co
противления и, следовательно, возможность возникновения авто--

186
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕории. А.ВТОRОJIEБАНИй
'колебаний. Такими падаIQЩИМИ характеристиками обладают туп.
нельные диоды, rазоразрядные приборы, )Jноrосеточные ЭJlек
тронные ЛlWпы, тиристоры, диоды raHHa, джозефсоновские
сверxnроводящие контакты и друrие приборы. В случае. параJI
лельноro 'подсоединения нелинейноrо двухполюсника с отрица
тельны:м: ,дифференциальным сопротивлением к параллельш:шу
контуру необходимо использовать элемент с. характеристикой
" . f,Tl::1. r (,"
,А/7и/l и-. а lLU 5
С ZA  }
. Ro  . 1.\
'(1= r.p(i)
.. Q'iW1 4.-
Рис. 5.3. Схема колебательной системы снелинейным активJiЫМ эпементо.
с характеристикой Nтипа (а) и Sтипа (б)
".
Nтипа, показанноп па рис. 5.2, а, так как общим для всех 81I
ментов такой колеuательной системы является напряжение и.
'Уравнение I\ирхrофа для этой СИСтемы (рис. 5.3, а) имеет вид
i S иdt +C  + ;0 + «р(и) == О
JIИ lIOCJlе одн<жраТНоrо дифференцирования
JJи 1 [ 1 , ( )1 аи . t О
dtЗ + с Ro +<р и dt + LC и == J;
(5.1.4)
)
rде <р' (и)  дифференциальная проводимость нелинейноro эле'..
мента с падающей характеристикой, называемая также крутизной
характеристики. 'Условие самоnозБУiRДОППЯ системы (неустойчи
вость Состояний покоя ио == О) получаотсл, если потребовать вы.
полнения неравепства
[o + <р' (и)] < О.
(5.1.5)
Для этоrо необходимо, чтобы, вопервых, <р' (и) 'Il <О и, БОвто--
рых, l<p' (и) I > 1/R o . . о .
Иными словами, на нелинейный лемент пужн!) подать TJ{OP
. постоянное напряжение, чтобы подасть на падающий участок
вольтамперной характеристики, И, кроме Toro, обеспечить, что--
бы отрицательная дифференциальная крутизна <р' (и) в рабочей
точке была по модулю больше IliКТИВНОЙ проводимости в сиете;.
ие. Данные требования отвечают выбору омическоrо сопротив,.
ления Ro в соответствии снеравенством Ro > 1/1<p' (и) 1. ,
При последовательном соединении элементов (рис. 5.3, :6).01),.
ЩJW: для всех элементов является ток i, и поэтому :уравнение

 5,1. КЛАССИФИRАЦИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 187
движения в системе целесообразно записать в виде
L : + Roi .+  5 i dt + 'i' (i) == О. (5.1.6)
или
:: + :. [Ro + 'i" (i)] : +' L 1 C i == о. (5.1.6а)
в этом случае необходимо использовать
ной характеристикой Sтипа (рис. 5.2)..
ния запишется следующим образом:
[Ro + 'i" (i)] < О,
элемент с вольтампер.
Условие самовозбужде.
(5.1.7I
что можно выполнить, если
'i" (i) 11=-10 < О" I '!>' (i) \1..10 > Ro.
Для удовлетворения условия (5.1.7): необхоДJnЮ введение в Be
ливейвый элемент дополнительноrо тока io, обеспечивающеrо в
рабочей точке падающую характеристику, и соответствующий
выбор R g . '
Заметим, что и для параллельноrо и для последовательноrо
контУРов создание неустойчивоro состояния равновесия требует
введения в систему дополнительных источников напряжения или
тока. Это означает, что свойства аКТИБноrо элемента MOryT быть
получены только при наличии источника энерrии в системе.
ЕСJlИ в качестве независимой переменной выбрать напряже.
:JШе на емкости с тем, чтобы эта переменная х =:о. ис не моrла
меняться скачком (энерrия, запасенная в конденсаторе, не ио.
жет меняться скачком), то с учетом ic == С duc/dt == С dx/dt и
с введением безразмерноrо времени 't == (j)t, rде юа == 1/LC, пOJIy.
чаем из (5.1.6а).
х + (RoC(j)X + 'i' (С6>Х)] + х == О,
или
x+f{X)+x==O, (5.1.8
rде j (Х):::: RoC юх + 'i' (С юх). Если при всех движениях в системе
функция f(x) мала, то это уравнение описывает систему, близ.
кую к линейной консервативной. Подобные автоколебательные
системы осцилляторноrо ТlИIа п иня а ыва
Если х хо ение равновесия исследуемой системы,
то 1(0) == Xo. Устойчивость этоrо положения равновесия оп.
ределяется характером решения уравнения для малых ва.
риаций (возмущей) 11. paBHoBecHoro начения х == Хо, т. е.
х == Хо'+ 11; тоща 1(х) == 1( 11) == НО) + f' (О) 11 + ...
Уравнение для вариаций будет иметь вид
 + f' (О) Ч + 11 == О. - (5.1.9I
Если j' (О) < О, то любые сколь уrодно маЛJ>Iе возмущения 11
вблизи начальноrо значения хо превратится в нарастающие ко.

188
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОRОЛЕБАНИй
лебания. Параметры этих Rолебаний можно найти либо интеrри
рованием псходноrо уравнения (5.1.8), либо путем исследования
системы Rачестоонно на фазовой ПЛОСRОСТИ методом ИЗОRЛИН или
методом Льенара. "Уравнение фазовых траеRТОрПll для paCCMT
риваемой системы имеет вид
ely   (х + f (у)) (5 110)
ах  y.t . .
rде, ЕаЕ п ранее, у == Х.
 5.2. Вырожденные авТОRолеба'l'елъные системы
Вырожденной авТО"ОJl,ебате.лъной системой называется систе
ма, не содержащая полноrо набора реа;ктивных элементов. Pac
смотрим прпмер таRОЙ системы, Rоторая, естественно, является'
системой релаRсационноrо типа (рис. 5.4). Для нее можно за
писать:
. С аи
lc == dt'
Ri + и == Е, i == ic t- i*,
i* ==«р(и),
rде U  напряжепие па пеЛИIlоiiпом олемепте, и следовательно,
RC  == Е  и  Лер (и). (5.2.1)
В ., аи О
.'стационрн()м состоянии 1ft == и
Eи
<р (и) =="lr-
в Rачестве аRтивноrо двуХПОЛЮСНИRа
элемент с падающеЙ вольтамперной
(см. рис. 5.2, б). Предста
вим уравнение (5.2.2) rpa
фичеСRИ для трех различ-
ных напряшеПИlI питания
R
i*t
с
z' t
с
Рис. 5.4. CxrMa вырож
денной автокол('батr'ль
вой системы с R 11 С
. (5.2.2)
необходимо ИСПОЛЬЗ0ваТk
хараRтеРИСТИRОЙ Sтип
:J(/IJ
", '
Е1
':/
Рис. 5.5. rрафическое определение .поло--
шепиЙ равновесия ДШI вырО1Кденноrо BC
рел lIКСUЦИОННОI'О {'енератора
схемы Е" Е 2 , Е з , соответствующих трем стационарным состояни
ям системы 1, 2, 3 (рис. 5.5). Исследуем на устойчивость CTa
ционарное состояние ио. Пусть U == ао + '1']. Линеаризуя. по
малой вариации 1} вольтамперную хараRтеРИСТИRу <р(и) вблизи

 5.2. ВЫРОЖДЕНПЫЕ АВТОRОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМы 189
сrационарноrо СОстояв:ия ио, имеем
ер (и) == ер (и о + '1']) == ер (и о ) + 1)ер' (и о ) ;
подставляя Полученное выражение в Исходное уравнение (5.2.1)',
находим
RC dd ==  [1+ Rep' (и о )] Т}. (5.2.3)
Если [1 + Rip' (и о )] > О, получаем затухающее решение, при
[1 + Rep' (ио)] < О  нарастающее решение. Следовательно, при
[1 + Rip' (ио)] > О система, опиСываемая ОСНОВНЫМ: уравнением
движения (5.2.1), находится в УСТОЙЧИВОld состоянии, а при
[1 + Rq>' (и й )] < О Состояние с u == и о неУСТОllЧИВО. Отсюда сразу
видно, что состояния 1 и 3 на рис. 5.5
устойчивы, а состояние 2 может быть He
устойчивым, если ср' (и о ) < 1/R.
Построим фазовый портрет исследуе
.мой релав:сациопной системы, для чеrо
на фазовой плоскости 'в в:оординатах О
ic == С du/ dt и и изобразим вид функции
Cdu/dt==(Eu)/Rq>(и) (рис. 5.6).
. Расс.мотрцм положение ращювесия
(dи/dt == О), соответствующее точке 2 на
рис. 5.5. ЕсЛ.и система в силу флуктуаций
в ней испытала толчон в сторону увеличе
.ния <значения и, то напряжение будот YBe
личиваться ввиду ПОЛОiю!ТеЛЫIOСТIf du/dt
dl c с! ( аи )
ДО Toro момента, коrда dU == dи С dt не
станет равным бесконечности. Дальнейшее увеличение и невоз
можно, но описыБющаяя точка с dic/du == 00 не может быть paB
новесной. ТаRИЫ образом, при анализе системы появилось BНYT
реннее противоречие,' вознидщее ,вследствие Toro, что математи
ческое описание системы с помощью дифферев:циальноrо ypaBHe
ния первоrо порядка не отражает ВСех ее существенных особеIt
.настей. Для последоватеЛЬНоrо рассмотрения необходимо учесть
в систеые малую парааитпую ИНдуктивность, которая всеrда
существует в схемах, содержащцх соеДlllштельпые проводники.
Тоrда систему ОПисывает дифференциальное уравнение BToporo
Порядна, что позволяет Получить периодическое решенnе и, сле-
довательно, автонолебательный процесс.
Однако УДается обойти возниншеепротиворечие, предполо
жив, Что система в процессе движения может совершать скачни
с одной УСтойчивой ветви в:риВой на друryю!. т.е. из тоЧ1qt 1
в точку 2, а из точки 3 в точку 4. Такое предположение ocв:o
вано в:а том, что ВО в емя сн то ка п И L I U эне r
TeMe в:е меняется, т. е. иО  '!:..0J: !IеЕРl>ЦШОСТИ
эверr,ии, ноторое при.?tенительно к данной систе пр!!.водит н 
У ОВИj) вепреры вноСТ инапряжёВил на койДёНСаторе (и,,) ;. ==
...........
{с
(j
Рис. 5.6. Фазовый порт-
рет колебаний в вырож-
денном RС-релаксацион-
БОМ {'енераторе

d90
rл. 5. ЭЛЕМЕНты ТЕОРИИ АВТОRОЛЕВАНИй
== (ис) IO' Допуская возможность существования бесконечнr
быстрых скачков тока в рассматриваемой системе, получим ,ДЛЕ
ис (t) и ic (t) стацИонарные автоколебательные процессы, покс
занные на рис. 5.7. Такой упрощенный анализ движения не лае
исчерпывающей характеристики автоколебаний.
ic
I1с
о
i,
t z
t J
t
t/
t z t з
t
Рис. 5,7. rрафик изменения напряжения на конденсаторе и тока в выроа-
iICIIIIOM RСрслаксаЦИОПIlОМ {'енераторе
решение получается, если учитываТJ, наличие реальпо существ)
ющей даразитной индуктивности, что DрllВОДИТ К конечной CK(\
рости скачков.
Ана;цоrичные автоколебательные процессы возможны и в СР
стемах с неОДНQзначной зависимостью напряжения от тою.
(вольтамперная характеристика Nтипа), например в системi..
изображенной на рис. 5.8. В этой системе возможно возБУЖДF-.
ние и поддержание автоколебаний со ока'".
ками напряжения. "Условием скачка в даF
но)[ случае будет непрерывность тока, т. Е
нспрсрывность изменения маrнитноrо пот(,
ка в ипдуктивпости L, определяющей запа,
<!нерrlШ в Системе. В момент скачк..
i l + O === ilo'
Друтим примером вырожденной aBTOК!
лебательной системы является TpaH8UTpOr
ный ееНератор, в котором используется пи-
дающий участок вольтамперной характ...,
ристики зависимости тока второй сетки пентода от напряжениF'
на антидинатронной сетке i'2 === q:> (и'а) (рис. 5.9). Схема TpaEo
8итронноrо reHepaTopa, представляющеrо собой систему с ДEYMF'
вырожденными степенями свободы, показана на рис. 5.10. ДЛА
нее можно записать следующие уравпепия (опуская для Kpaтк(
сти индекс с у напряжения):
RC  + U + Ur::Z Е'2'
U r === r ( С аи + i , C l dUr ) .
dt а dt
R
L
Рис. 5.8. Схема вы-
рожденной автоко-
аебателъной LRси-
стемы
(5.2.4
(5.2.5

 5.2. ВЫРОЖДЕННЫЕ АвтоRолЕБАтЕльныЕистЕмыы 191
1з (5.2.4)' ПOJ1учаем выражениеДJ1Я и. и подставляем el'O BMe
Te с первой производной по времени dи./dt === RC d 2 u/df+ dи/dt
з (5.2.5), что приводит к следующеМу уравнению:
R СС d2и R С dи'. Е
r 12+ [ С + r + rC 1 ]  dt + п, + u === 'N,
dt  I .
)бозначим apryмeHT неJiинейной транзитронной характеристикп
:rерез Х == u,з-== RC duIdt; тоrда уравнение (5.2.6): по(ще OДHOKpaT
.з:оrо дифференцирования примет вид
а 2 а: [ { 1 1 S (ж) ] аж 1
. ar + ТС! + RC! + Rё + С; dt + RrCC 1 х == О, (5.2.7)
'це, Rакбычно, 8 (х)' == <р' (ху. Нетрудно заметить, что 8 (xr
.JMee пазмерность проводимости и, следовательно, падающий
(5.2.6)
Cg z
о IJ g ;
Рис. 5.9. Трапзптроппая XllpaKTO Рис. 5.10. Схрма трапзитроппо-
ристпка нонтода 1'0 rUllupa-rора
!чаСТОR трапзитронной характеритики представляет собой часть
зольтамперной характеристики Nтипа (см. рис. 5.2).
Анализируя уравнение (5.2.7), можно сделать некоторые
зажиые выводы. Если предположить, lITO коэффициент при пер
зой производной dx/dt в состоянии покоя системы (х == О) можо
J:одбором параме'lрОВ r, R, С, С I , 8 (О) сделать меньше нуля, 10
з системе MoryT возникнуть автоколебания. Их частота опреде",
:шется произведением двух постоянных времени релаксации rC I
.I RC, т. е. ю == (RrCCl)l. Условия самовозбужденпя системы
-з:меют вид
t t c 1
8(0)<0,; 18(0)1>7 + R + CR '
(5.2.8)
сли теперь преfЩОЛОЖИТЬ, что козффициент при первой произ-
зодной в уравнении (5.2.7) останется малым для всех возмож
IblX значений х в процессе колебаний, то такое уравнение опи
jblBaeT автоколебательный процесс, близкий к rармоническому.
:r словие малости зтоrо коэффициента можно реализовать; если
Jоеспечить на линейном участке падающей характеристики еле.
1 1 С
4Ующее слабое неравенство: 18 (О) I  r + R + ck "

{92
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВтокоЛЕБАНИй
Рассматривая поведение такой автоколебательной системы,
следует обратить внимание на особую роль, которую иrpает
в определении формы колебаний параметр С 1 . Если уравнение
:(5.2.7) записать в виде
Cd2x [ 1 1 С 1 ] dX 1
1 dt2 + r + R + CR + S (х) dt + RrC х == О
и считать, что С I --+ О, то получаем дифференциальное уравнение
с малым коэффициентом при высшей производной. Такой масс
уравнений в теории колебаний имеет большое значение. Действи
тельно, при С 1 --+ О первый член уравнения влияет на характер
движения ТОлько в тех облатях изменения х, тде dx/ dt велико,
т. е. наличие емкости С 1 ПОЗJЮЛllет учесть быстрые изиенения
тока (C 1 d!x/df). Нотда изменение тока медленно, а 01 близко
к нулю (например, С 1  только паразитная емкость схемы), то
движение в системе описывается уравнением первоrо порядка
dz [ 1 t ] Х
dt R + -т + S (х) + RrC == О,
(5.2.9)
из которото следует, что
dX Х
dt ==  С (R + r + RrS (х)] · (5.2.10)
Поскольку выражение в квадратных скобках в (5.2.9) входит
сомножителеи в фувнцию диссипации колебательной систеllЫ и
обязано быть знакопеременным в случае автокoJIеоательных си-
стем, то выражение в квадратных скобках в (5.2.10) при изме-
:!Iении х проходит через нуль в точках, определяемых соот-
ношением
\ I R+r
S(x) ==.
(5.2.11)
в зтих точках в систеlе происходят очень быстрые изменения
тока, и для определеНlIЯ конечноrо времени скачка необходимо
учитывать член со второй производной C 1 d!x1dt=. Чем меньше С 1 ,
тем резче выражены быстрые этапы движения, т. е. автоколеба
нин носят разрывный релаксационный -характер.
Таким образом, изменяя в широких пределах С 1 , можно
заставить релаксационную автоколебательную систему, какой яв-
ляется транзитронный тенератор, rенерировать колебания от
типично разрывных до колебаний, близких к rармоническим.
Наиболее близки к rаРМОНJIчеСI\ИМ колебания, получающиеся при
приближении к нарушению условия самовозбуждения (5.2.8,
в ,результате увеличения параметра С 1 . Эти особенности поведе-
ния траЕзитронноrо тенератора как релаксационной автоколеба
тельной системы в зависимости от параметра С 1 можно наблюдать
на фазовой плоскости путем построения фазовых портретов си-
Стемы с учетом конкретното llида характеристики S(x).

15.3. РАССМОТРЕНИЕ АБТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ f9Э
Если кооффициент при первой производной (5.2.7) записать
в виде
t [ t f C 1 ]
С; r + R + CR. + S (х) == t"'l (х),
то уравнение фазовых траекторий ДЛЯ этой системы примет вид
:: ==  + [RrCl + t"'l (х) у}
а уравнение изонлин  вид
x/(RrCC 1 )
у ==  k i + еФl (х) ' rде k i == dy/dx.
При малом t, что соответствует большим С{, изонлины близ
:ки к пря:мым, и такую автоколебательную систему можно счи
тать близкой к линейной консервативной с фазовыми траектория
ми, близкими к эллипсам. При большом t (С{ мало) изонливы
сильно отличаются от прямых и фазовые траектории содержат
быстрые изменения производной от координаты. В пределе при
С { == о процесс описывается уравнением первоrо порядка и на
фазовой плоскости останется ОЩlаединственная фазовая TpaeK
тория. В этом случае периодические движения возможны лишь
при наличии скачков производной при сохранении пепрерывно
сти изменения х, т. е. напряшения на емкости, определяющеrо
запас энерrии системы.
Недостатком траП311ТрОПlIоrо reHepaTopa следует считать He
возможность изменения частоты колебаний без изменения их фор.
мы и амплитуды, ибо все параметры, определяющие частоту
:колебаний, входят в условие самовозбуждения (5.2.8).
* 5.3. Общее рассмотрение 8вто:колебательпых систем
На примерах релаксационных Систем мы убедились в том,
что для математическоrо описания движения в реальных авто-
:колебательных системах с одной степенью свободы необходимо
пользоваться дифференциальными уравнениями BToporo порядка.
Для систем, описываемых такими уравнениями, можно получить
изображение соответствующеrо движения на фазовой плоскости.
В некоторых случаях, коrда уравнение нелинейно и не поддаМ'СЯ
аналитическому решению, построение фазовоrо портрета движе-
ния в системе является существенной помощью в определеInпt
формы колебаний и динамики их установления. Следует отме-
тить, что для решения СЛОЖНЫх нелинейных уравнений иепоJ1Ь-
вуются также численные методы с применением ЭВМ.
Если рассматривать автоколебательные системы с постоянны-
ии реактивными параметрами в предположении, что нелиней-

f94
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ, АВТОIЮЛЕБАНИй
ность системы проявляется только в свойствах диссипативноrо
члена в уравнении движения, то в общем виде ero МОЖJ;lО за,..
писать следующим образом:
d 2 x ( dx ) 2
at 2 + "'О х, dt + U>oX == о.
(5.3.1)
При соответствующем выборе функции "'о(Х, dx/dt} оно справед
ливо для любоrо вида авто колебательных систем (как осцилля.
торных, так и релаксационных). Вводя безразмерное время 't ==
о=: U>ot, получим :
.х+'Ф(Х, i)txo=:O.
(5.3.2):
Если, как обычно, положить
екторий запишется в виде
dy
dX==
i == У, ,то уравнение фазовых с тра.
х + Ф (х, 11)
у
(5.3.3)
Введение в уравнение (5.3.1)' 't == u>ot необходимо для получения
одинаковоrо масштаба для Х и у.
ИЗ физических определений известно, что если система явля.
ется автоколебательной, то в ней должен существовать стацио.
нарный колебательный процесс, который на фазовой плоскости
соответствует замRВyТОЙ фазовой траектории, так как автоколе.
бателъную систему можно рассматривать как RБаЗИRопсерватив
nyю. Если автоколебания в системе устойчивы, то и замкнутая
фазовая траектория также должна быть устойчива, т. е. к ней
должны сходиться все фазовые траектории в близкой ее окрест.
ности. Подобные предельные фазовые траектории называют
оедьпьмщ цuдaMU.
. Д ля предельноrо цикла ;r1;олжеп соблюдаться энерrетический:
баланс, т. е. за период колебаний
2п
S '" (х, у) ; d't == О.
о
Доказано, что при определенных условиях, накладываемых
на вид диссипативной функции ",(х, у), такие предельные циклы
существуют, и они описывают автоколебательные процессы. При
представлении автоколебательных систем на фазовой плоскости
наряду с предельными циклами необходимо рассматривать также
особые точки, соответствующие состояниям равновесия.
Если положить, что ",(х, y)==j(y), что соответствует мноrим:
физическим колебательным системам, то уравнение фазовых Tpa
екторий примет вид
!!JL   х + f (у)
ах  у
(5;3.4)

 5.3. РАССМОТРЕНИЕ АВТОКОЛЕБАТEJIЬНЫХ СИСТЕМ 195
Приближеппое rpафическое построение фазовых траекторий
таких систем (см.  2.3) удобно проводить иетодом Льенара. На
рис. 5.11 показаны построения для нескольких точек (А, С, В)
фазовой плоскости при заданной форме f(Y).
Если система диссипативная, то фУПIщия f(Y) должна иметь
тот же знак, что и У. При введении в систему энерrии знак f(y)
противош:mожен 8Нану у. Мrновенный
центр для построения отрезков фазо
вой траектории пежит при этом C)Jpa
ва от начала координат, и сама фазо
вая траектория раскручивается. В слу
чае стационарных автоколебаний необ
ходиw:о, чтобы вложение энерrии ба
лансировалось потерями в системе;
иRЬ1'МИ словами, фувкция !(у) должна
быть такой, чтобы в зависимости от co
стояния системы менялся знак потерь.
На рис. 5.11 это соответствует движе
нию описывающей точки по фазовой
траектории из точки А к точке С; на
этом участке траектория скручивается.
На участке от точки С до точки В фазовая траектория раскручи
Вается. Такая смена состояний системы на фазовой плоскости
происходит четыре раза за период. Если уменьшения и увеличе
ния амплитуды RомпеНСlJРУЮТ друr друrа, то наблюдается устой
'ЧИвый предельный ЦIll\Л и имеет место энерrетический баланс
в системе,
Рассмотрим малые колебания вблизи положения равновесия.
Приближенно можно считать, что для функции Ну), характери
вующей потери системы, мы вправе записать
НУ)  f' (О) У.
!J
'х
Рис. 5.Н. Построение ЭЛ
мента фазовой траектории
:методом Льепара
Нак известно, для неустоЙ'lИВОСТИ состояния покоя необходимо,
чтобы f' (О) и у имели разные знаки, т. е. чтобы !' (О) У < О.
в этом случае в системе происходит увеличение колебательной
энерrии. Если же f' (О) у> О, то в системе имеет место диссипация
8нерrии. Поэтому rрафик !(y) для автоколебательной системы
с малыми потерями должен иметь вид, показанный на фазовой
плоскости рис. 5.12. ,
, При иалых НУ) MrHoBeHпыe центры для ПОС'l'роевия фазовых
траекторий близки к началу координат, сами фазовые траектории
напоминают окружности, а колебания в системе близки к rapMo
ническим. Подобные автоколебательные системы принадлежат
к системам TOMCOHOBcKoro типа. СледоватеЛЬНQ,ДЛЯ томсонооских 1
автоколебательных систем характерна малость f'(y), что физиче.
ски означает малую убыль и малое пополнение энерrии ва пе
риод колебания в стационарном режиме.

196
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОRОJIEБАниа
Начало координат (см. рис. 5.12)' является неустойчивой осо..
бой точкой типа фокус, и все траектории, выходящие из начала
координат, через БО.1lЪшее или меньшее число периодов колеба
ний (в зависимости от добротности накопительноrо элемента си.
стемы) приходят .на предельный цикл.
В зависимости от знака /(у) вся фазовая nЛОСRОСТЬ делится
на следующие области: 1  инкрементв:ац область, в :которой
вложение колебательной энер.
rии превQCХОД1lТ потери; l/ 
,цекрементньщ области, в кото..
рых потеР1f ,превосходят влQ-o
жении энеprии (см. рис. 5;12).
В инкрементной области рас..
I стояние фазовой траектории от
х начала координат увеличивает..
ся, т. е. увеличивается энерrия
колебаний, в декрементной об..'
ласти фазовые траектории при..
блnжаются к началу RООРДИ"
нат, что соответствует уменъ"
шению колебательной знерrии
Рис. 5.12. Построение фазовых тра- системы. В такой системе в за..
екто:рий ДJIЯ томсоповской системы висимости от начальных усло..
вий (Хо, Уо} фаЗоВая траекто"
рия придет к предельному циму либо изнутри, если ХО < Х стац ,
УО < Устац, либо снаружи, если ХО > Хстan:, уо > Устац, rде Х стац Jt
Устац лежат на предельном цикле.
у
Т(y)
f1реiJелыfс1
цшrл
I
II
у
.J:
fj
Рис. 5.13. Вид фазовых траекторий ДЛЯ систем промежуточ:ноrо (а) и ре-.
Лаксациоппо1'О (б) типов
, Для автоколебательной системы, для I\ОТОрОЙ функцию f(yX
нельзя Считать малой, фазовый портрет системы имеет вид, пока..
занный на рnС. 5.13, а. В такой системе Iюлебания заметно отли"
чаю'I'СЯ от rармонических, процесс установления стационарных
автоколебанцй происходит значительно быстрее, чем в случае,
показанном на рис. 5.12. Энерrообмен в системе значительно

!! 5.3. РАССМОТРЕНИЕ АБТОRОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 197
юльше, чем в системах TOMCOHoBcKoro ТИllа. АвтО!юлебательная
истема TaKoro типа занимает промежуточнuе ПОJlOжение между
:истемами TOMCOHoBcKoro и релаксационноrо типов.
Если МЫ построим на фазовой плоскости фазовые ТIНleIПОрИИ
:(ЛЯ системы, у котор.ой фУНIЩия t (у) меняется в БОJIЬШИХ пре
J;елах, то получим для данноrо вида t(y) фазовый портрет, по
{азанный на рис. 5.13,6. Нелинейная функция Ну) TaKoro вида
:оответствует автоколебательной системе релаксационноrо типа,
)Лизкой к вырожденной системе, для которой член с высшей
JРОИЗВОДНОЙ необходимо учитывать только во время быстрых из
.rенений координаты у (случай скачков) . Установление стацио
зарных колебаний (выход на предельный цикл) в подобных си
:темах происходит практически за доли периода колебаний.
3нерrообмен в системе в режиме автоколебаний близок к 100%.
Dазовый портрет такой системы показывает, что форма предель
.:lOro ЦИЮIа в сильной степени зависит от вида нелинейной
nунIЩИИ f(Y).
Если, как это сделал Ван дер Поль, провести численное
знтеrpирование уравнения
х+ е (1 + х 2 )х + Х ==- О,
(5.3.5 )
3 котором функция f(y) имеет вид Ну) == e (1  х2) у, то при
)азличных значениях безразмерноrо инрам()тра в UОJIучаются cy
:пествеПIIО рааные наРТl1l1Ы II!нщ()сса УСТaJЮlJJЮllИЛ I\ОлебаниЙ в
,o,1
1 20 чо 00 t
J t
j ..
t
:lис. 5.14. rрафики устаповления колебаний для различных типов aвTOK
лебательпых систем
истеме, описываемой уравнением (5.3.5) (рис. 5.14). При 8 ==- 0,1
рис. 5.14, а) установление колебаний происходит медленно, СlI
;тема добротна и представляет собой автоколебательную систему
nOMCOHOBCKOrO типа. При е ==-10 (рис. 5.14, в) стационарные KO

19S
rЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АБТОКОЛЕБАНИЙ
лебания устанавливаются за доли периода колебаний, ймею:r
четко выраженный разрывный характер и соответствуют aBTO
КОJIебательной системе реЛaI,сационноrо типа, близкой к вырож
денной. При е == 1 (рис. 5.14, б) процесс установления происхо
дит за несколько периодов колебаний; форма колебаний суще
ственно отличается от rармонической; такая автоколебательная
система является промежуточной между системами TOMCOHOB
cKoro и релаксационноrо типов. '
Процессы установления в системах, описываемых уравнением
Ван дер Поля с разными ,значениями ко3ффициеНТОD при дисси
пативном члене, соответствуют фазовым портретам систем
с разными значениями функции t (у), рассмотренным ранее на
фазовой плоскости методом Льенара.
Последовательное рассмотрение релаксационных систем,
близких к вырожденным с одной степенью свободы, может быть
проведено с помощью уравнений с малым параметром при BЫC
шей производноЙ ТИJШ
d х ( (Zx ) 2 О
!.L  + 'ф ,Т,  dt + О)оХ == ,
(U"
(5.3.6)
rде !.L  малая величина.
Дли уравнений подобноrо типа существуют разработанные
методы нахождения периодических решений с разбиением Bcero
периода на этапы быстрых и медленных движений. Подобный
характер процессов имеет место в релаксационных автоколеба
тельных системах. При переходе к вырождению (при стремлении
одноrо из знерrоемких параметров к нулю) этапы быстроrо дви
жения превращаются в СI,ачки. В уравнении (5.3.6) подобный
переход соответстнует уМСIIЫllеllИЮ lIapaMeTpa !.L до нуля.
 5.4. АвтоколебателыIеe системы ТOMcolloncKoro типа
Выше уже отмечалось, что для автоколебательных систем
TOMCOHoBcKoro типа характерны малое затухание и малое вло
жение энерrии за период колебаний по сравнению с запасом
колебательной энерrии системы. Колебания в таких системах
почти rармонические.
9Jtемептарпая теория часов. Простейшая система TaKoro ти
па  обьпшоrЮIIIII.1O част.т с маятником или балансом в качестве
накопителя :шерl'llIl, Ilpllllr\lllr работы часов ааЮIIО'lается в том,
что коrда маЯТIIИI, (баJIIШС) еоrюрlТlНСТ l\(шобания и проходит
через Свое положение раВllоuеспн, ому чоrюз механизм, связан
ный С запеденной пружиной, сообщн('тсн толчок, который He
MHoro увеличивает скорость движения маНТТIит,а.
Если бы маятник (баланс) совершал колебания без подтал
кивания со стороны заведенной пружины, то уравнение ero

 5,4. СИСТЕМЫ TOMCOHOncRoro ТИПА
1IIИJI\eIIИЯ записывал ось бы в виде
х + 2,з,х + х  О, ПрИ1fем tt > О,
199
(5.4.1 )
н фазовая траектория ижела бы вид постепенно СI\РУ'IИnающей-
ел спирали.
Обозначив через d изменение скорости в момент прохожде
пия маятнИIШ через х  О, находим
у (t + О)  У (t  О) == d.
в этом случае в стационарном режиме колебаний при двух
<<подталкиваниях» за период предельный цикл на фазовой пло
скости имеет вид, схематически показанный на рис. 5.15.
Для данной автоколебательноЙ системы
пеТQУДНО определить стационарную ампли
туду колебаний, используя то обстоятельст
во, что уменьшение амплитуды скорости за
половину периода (т == л) В точности KOM
пенсируется увеличением СI\ОросТИ на d в
результате одноrо толчка. Решение ypaBHe
ния (5.4.1), как известно, имеет вид х ==
== Ae'" sin __; 'I'оrда
.:z:
у == х == A'6e'" sin 't + Ae'" cos 't ==
== Ae'" (cos 't  {} siп т).
При !1у < d ТЮJlOбаТ(1ЛI.IIIIН :JlЮIII'IfН СI1СТ()
мы возрастаст; 111111 Лу > ,{ I\ОJюuательнан
:meprl1H CIICTCMI.I уБI.IIНlСТ; нри !1у'== d
имеО'I' МССТО стационарный автоколебательный режим, при KOTO
ром баланс вкладываемой и рассеиваемой энерrий равен нулю.
Если считать, что толчок происходит при 't == О, то можно
записать условие.баланса за половину периода колебаний
!1у  А  Ae"" == А (1  e"") == d,
Рис. 5.15. Фазовая
траРктория YCTaH
JlИВIIIИХСЛ автоколе
rJапий в идеализир
ВIIШЮЙ модели часов
откуда сразу определяется стационарная амплитуда колебаний
d
Ао ==  .
1  e' п
9Jtек,трическ,ие авток,оJtебатеJtьные системы с цепью обратной
связи. В подобных системах накопителем энерrии служит до-
статочно добротный колебательный контур, а вложение энерrии,
компенсирующее потери и полезный отбор энерrии, осуществ
ляется с помощью аI\тивноrо элемента и цепи обратной связи.
В качестве активноrо элемента в электрических аБтоколебтель-
пых системах чаще Bcero используют транзистор.ы или электрон-
ные лам'1Ы, в которых управляющее напряжение определяет
lJЫХОДНОЙ т()к.

200
rл. 5, ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИЙ АВТОRОЛЕБАНИЙ
При этом возможны два варианта aBToreHepaTopOB: с к(
лебательным контуром в цеlIIИ упраВJlЯlOщеrо на:пряжени
(рис. 5.16, а) и с колебательпым контуром в цепи управляемоr
TOI{a (рис. 5.16, б).
l ...............
i.
с
l
АЮllUВНЫU
элеNент
R
R
l
с
+
а о
Рис. 5,16. СхеМа 1'енератора с КОНтуроМ в цепи управляюще1'О напряшени
/ (а) и в цепи управляемоrо тока (6)
Для rеператора с Iюлебательным контуром в цепи упраВЛЯI<
щеrо папряжепия (рис. 5.16, а) уравнение, описывающее пот
дение данной системы, име!)т nид
.. . Мы di
Х + 20х + х  .........!, (5.4.:
и о d't
rде х == и/ио, 2-6 == R/(j)oL, 'т == (J)ot и ю == 1jLC. Для rеиератор
с контуром. в цепи управляемоrо тока (рис. 5.16,6) диффереl
циальное уравнение движения имеет вид
.. .
х + 2ttx + х == i*ji o , (5.4.i
rде х == i/i o , 2-6 == R/(J)oL, 't == (J)ot и ю: == 1jLC.
Поведение этих систем JI меТОl\Ы aJН1Лиза уравнении (5.4.2
и (5.4.3) зависят от типа СИСТОМ и ШЩIJ. харal{теристик испоЛJ
зуемых активных элементов.
Здесь рассматриваются только автоколебательные систем
TOMCOHOBCKoro типа, уравнения движения которых можно привt
СТИ к виду
от + х == Hx, х), (5.4.4
rJ!.e Нх, х)  оrраниченная однозначная фующия, а !J.  1.
) Допустим, что характеристика активноrо элемента имеет ви,
изображенный па рис. 5.17, т. е. активный элемент предстю
ляет со.бой релейноо УСТрОЙС'l'I!О, Н1шючающее или ныключающ{
ток i. в зависимости 0'1' :шаJ{D, УllраВJIЯlOщеrо напряжения и.
Тоrда для схемы рис. 5.16, а, описыnаемой уравнением (5.4.
для всех значений и, кроме и == О, мы будeIМ иметь
di. == О  + 2-0.; + х == О.
d't '

 5.Q. СИСТЕМЫ TOMCOHOBCKOrO ТИПА
201
в момент скачка тока i* при х == и/ио == О маrнитный поток
в индуктивно связанных катушках (см. рис. 5.16, а) изза ero
инерционности должен меняться непрерывно. Отсюда следует,
что ток i через индуктивность контура должен испытывать CKa
чок Lii при скачке тока в индуктивно связанной с ней катушкой
обратной связи в соответствии с условием Li == L (i + Lii) + Mi"
rде Li  маrнитный поток до скачка тока i*, а L (i + Lii) + Mi, 
после скачка тока i* от нуля до значе
ния i,. Соответственно Lii == i,M/ L.
На фазовой плоскости х, у, rде у ==
== dx/ dT в ;момент прохождения х через
нуль, координата описывающей точки у
будет ИClПытывать скачок на величину
Liy == Lii/lJ,f}fiJoC, И отсюда
Liy ==  i1Mo>o .
"о
i*
t
(J
1/
Рис. 5.17. Характеристи
ка релейно1'О устройства
Таким образом, мы пришли к той же модели, что и в случае
элементарной теории часов. Соответствующий выбор знака М
(за счет выбора направления витков катушки обратной связи)
позволяет обеспечить вырастание у (Liy > О) при возрастании х
и наоборот. Ам:плитуда стационарных колебаний х будет

i 1 I м I о>()
А 
о  и (1  е1'JoЛ) ,
о
так же как это было раньше в случае элементарнЩ): теории ча
сов (d == Liy == i,M fiJo/Uo). '- ' .
&.) Перейдем к случаю линейной характеристики активноrо эле
VeHTa i* == 10 + 8и, rде 10  постоянная составляющая управ
ляемоrо тока, 8  крутизна характеристики (8 == ai*/aи), I и 
управляющее напряжение. Этот вид зависимости i* от и описы
вает поведение системы вблизи состояния покоя. Рассмотрим по
ведение системы, приведенной на рис. 5.16, а. Очевидно, что
и == q/C == qox/C и уравнение (5.4.2) запишется следующим
образом:
х + х == (SMfiJ o  2'6)х.
(5.4.5)
Если (SM(J)o  2'6) > О, то в системе будет иметь место Ha
растающий колебательный процесс начиная с любоrо сколь уrод
но малоrо начальноrо толчка, т. е. с истема самовозбужда.ется . V
Аналоrичное условие самовозбуждения получае'fСЯ для reHepa
тора с контуром в цепи управляемоrо тока (рис. 5.16,6). Уп
равляющее напряжение и == М di/ dt == М fiJoi. Тоrда без учета
14 в. в. миrуJIИН И др.

202
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОRОЛЕБАНИЙ
"
постоянной составляющей уравнение. (5.4.3) примет вид
х + х === (SM (00  2'6) Х. (5.4.6
Таким образом, условием самовозбуждения обоих reHepaTopo
вблизи состояния покоя системы (х === О) является неравенств
w- I SM(Oo > 2'6. (
Следует отметить, что при сделанных предположениях сам(
возбуждающиеся колебания в исследуемых системах нарастак
неоrраниченно, чеrо не происходит в реальных системах. 8'1
обстоятельство связано с тем, что принятая нами линейная aI
проксимация вольтамперной характеристики активноrо элемеI
та приrодна лишь для неболыпих пределов изменения х. 8'1
означает также, что при линейной характеристике неВОЗМОЖI
получение стационарных автоколебаниii и при их описании с Пi
мощью фазовой плоскости мы не будем иметь замкнутой фаЗ1
1 воЙ траектории  предельноrо цикла.
 Метод о.лебате.лыtых хара1'>терuсти1'>. Для рассмотрения
расчета аВТОI\олебательных систем при нелинейных вольтампе:
ных характеРИСТИI\ах антиnпых ;тсмсптоn может быть испол
зован квазилинейный метод, называемый методом колебательнь
характеристик. В этом методе вводится усредненная КРУТИЗI
нелинейной характеристики, которая является переменной вел
чиной, зависящей от амплитуды колебаний управляющеrо напр
жения, т. е. S === f(A).
Сущность квазилинейноrо метода колебательных характер
стик состоит в том, что ищется такая усредненная крутизна
которая обеспечивает равенство нулю коэффициента при дисс
пативном члене в среднем за период колебаний, т. е. в стаци
нарном режиме (2{)  SM(Oo) === О. Отсюда сразу получается
S (А) === 21'} === ЛС 4
МШ О М . (5. ,
Под веJIИЧИНОЙ S (А) здесь понимается отношение амплиту):
первой rармоники управляемоrо тока 11 к амплитуде А rapM
ническоrо управляющеrо напряжения u. Пусть i* === Ф (и), r
u === А cos «oot); тоrда, разлаrая i* в ряд Фурье, получим
i* ===10+ 11 cos«Oot) + 12 cos(2(Oot) + '"
Зависимость 11 от А называется колебательной характеристик
данноrо активноrо элемента.
В качестве при:мера рассмотрим случай, коrда активным ЭJ
ментом является полевой транзистор.
На рис. 5.18 показана нелинейная характеристика i CT == qJ (и
Если выбрать начальные рабочие точки 1 и 2 так, как показз
на рис. 5.18, т. е. точку 1  в середине участка характеристи
с максимальной крутизной S, а точку 2  rДето на изrибе :

 5,4. СПСТЕМЫ TOMCOHOBCROrO ТИПА
рактеристики qJ (u з ), то для этих начальных точек зависимости
усредненной крутизны от амплитуды колебаний А на затворе
имеют существенно различный характер (рис. 5.19).
rрафическое решение уравнения (5.4.7) при выборе в каче
стве рабочей точки 1 имеет вид, изо
браженный на рис. 5.19, а. В этом
случае находим единственное реше
ние  стационарную амплитуду коле
баний Ао, при которой :в. системе обес
печивается баланс вкладываемой и
рассеиваемой энерrии за период коле
баний. Из Toro же рисунка следует,
что полученное решение Ао не только
единственно возможно, но и устойчи
во. Действительно, если амплитуда KO
лебаний А станет больше Ао, то поте
ри в системе, пропорциональные RC/ М,
будут превышать вложение энеprии,
пропорционалъное S, и амплитуда А
вернется в точку Ао. И наоборот, если
А станет меньше Ао, то вложение энер
rии будет превосходить потери и, как следствие, аМплитуда
колебаний снова увеличится до значения Ао.
Такой режим возбуждения с выходом на предеЛJ>НЫЙ ЦИIШ
называется .мяz1';UМ и реализуется при выборе рабочеii: точки на
s
s
о А ,
203
l.r 1.
о I/J
Рис. 5.18. Типичная xapaK
теристика зависимости то--
ка стока i CT от напряжения
из на затворе цолево1'О
транзистора
РС
/1
о
Ао
А
а
Рис. 5.19. Нривые средней крутизны для случаев МЛ1'КО1'о (а) и жесткоrо (6)
режимов
6
Az
А
участке характеристики с наибольшей крутизной; при этом Ha
чальные толчки (флуктуации) в системе MOryT быть сколь уrод
но малыми.
rрафическое решение уравнения (5.4.7) при выборе рабочей
точки на изrибе вольт..-амперной характеристики (точка 2 в:а
рис. 5.18) показано на рис. 5.19, б. Из ero рассмотрения можно
сделать несколько выводов. При таком режиме возбуждения
в потенциально автоколебательной системе не происходит caMO
возбуждения; иными словами, если флуктуации (амплитуды
14.

204
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АБТО!ЮЛЕВАНИй
толчков) в системе не превышают значения неустойчивой ст
ционарной амплитуды А\, то ЭТИ флуктуации спадают до нул
Поэтому для возбуждения автоколебательной системы с так(
колебательной характеристикой S (А) необходимо сообщить «
толчок, величина KOToporo А должна быть больше или равна .
(жеСТ1'ое возбуждение).
Качественное определение устойчивости стационарных ампл
туд А\ и А 2 , аналоrичное случаю мяrкоrо режима, показываЕ
что решение А \ неустойчиво, а решение А 2 устойчиво.
Следует отметить, что квазилинейный метод основан на а
риорном предположении о существовании в рассматриваемой с
стеме стационарных rармонических колебаний, для котор!
можно вычислить усредненное значение крутизны и получить
зависимость от амплитуды колебаний. Только введение допуП!
ния о достаточно медленном изменении амплитуды reнерируеМI
колебаний позволяет изучать процессы возбуждеlIИЯ и устане
ления стационарных колебаний с помощью усредненных ура
нений, аналоrичпых получаемым в методе ММА.
 r- Прuмеnеnие метода ММ А " авто"олебательnым CUCTeMaJ.t то
О 'соnовс"оео типа. Уравнение, описывающее автоколебательНJ
системы TOMCOHoBcKoro типа с одной степенью свободы, Bcer
можно свести к обобщенному уравнению вида
х + х == Hx, х), (5.4.
rде  < 1. Такое же оrpаничение наклады:валось на правую час
уравнения (2.5.1) с тем, чтобы для ero решения можно бы
применять метод ММА. Поэтому для исследования различНJ
автоколебательных систем TOMCOHoBcKoro типа очень часто ]
пользуется метод ММА. На рис. 5.3 приведена обобщенная с]
ма автоколебательной системы с активным элементом с харl
теристикой Nтипа. К такоЙ схеме можно привести лаМПОВJ
reHepaTop с контуром в цепи анода, rеператор на туннельн
диоде и мноrие друrие reHepaTopbI TOMCOHOBcKoro типа. ОтмеТI
что характеристику Nтиnа с падающим участком можно пш
чить С помощью электронной лампы или транзистора (котор
представляют собой четырехполюсники или трехполюсники) ,
пользуя системы обратной связи (как, например, в схеме, и
браженной на рис. 5.16, б), тоrда как соответствующие ПОJ
проводниковые и rазоразрядные приборы вследствие специфи
cKoro механизма про хождения тока через них MOryT слуЖI
активными двухполюсниками с требуемыми характеристика
без дополнительных цепей обратной связи.
· Уравнение Кирхrофа для токов в контуре (рис. 5.3) им,
вид.
<р(и)+ i L + i я + ic == О,
и при полиномиальной аппроксимации тока активноrо элме:

!I 5.4. СИСТЕМЫ TOMCOHOBCKOrO ТИПА
205
IIОЛУЧИМ
qJ (и) == io + аои + oи2 + "(оU З , ао > О, o, '{о < О,
rде учитываются члены до кубическоrо включительно. Тоrда для
нашей системы можно записать следующее уравнение ДВIIжени:я:
х + х == (k -f  + "(х 2 )х, (5.4.9)
rде k == CG  2{}, а == ао/Сюо, 2{} == 1/RC(J)o, ю == 1/LC,  ==
== 2ouolC(J)(I' ')' == 3,\,(lи/Cыo, х == и/ио, "t == (J)ot. Введенный Ta
ким способом коэффициент k == CG  2{} называется оэффициеn
том реzеnерации и показывает соотношение между вложением и
потерями энерrии в колебательной системе при различных зна
чениях ее параметров. Если считать, что коэффициент pereHe
рации k и коэффициенты нелинейности  и '{ удовлетворяют
требованию k« 1, «1, "(<< 1, то к такой системе применим
метод ММА.
Вводим новые переменные *) х == и СО8Т + V 8in"t, х ==
== и 8in "t + V СО8Т И после усреднения уравнений
2Х1
. 1 S .
и ==  2n (k + x + ')'.r) х 8in"t d"t,
(1
2П
. 1 S .
V == ';)'""" (k + x + ,\,х2) Х СОВТ d"t
..л
о
получаем систему Уl\ОJ)()lЮIIJJЫХ урапнепий
. 1 [ 1 ) . 1 [ 11
и == ""2 k + т ')'Z и, V =="""2 k + т ')'Z I V ,
(5.4.10)
rде Z == и 2 + V?. ОТ двух укороченных уравнений для и и V мож
но перейти к одному уравнению дЛЯ Z:
 == ( k + -+ ')'z) Z. (5.4.11)
В укороченных уравнениях (5.4.10), (5.4.11) отсутствуют члены
с коэффициентом , откуда следует, что квадратичные члены при \ 1
усреднении не влияют на процессы установления и стационар \
ные амплитуды в таких автономных автоколебательных режимах
работы.
Для данной системы существует два стационарных решения
(i == О). Одно из них является нулевым решением и COOTBeTCTBY
ет состоянию покоя и о == V o == Zo == О, дpyroe  с отличной от нуля
амплитудой  имеет вид Zo == 4k/"(. Так как для самовозбуiК
дения автоколебательной системы необходимо, чтобы коэффи
*) Разумеется, здесь (как и MHo1'o раз ранее) и  новая пеРЕ'менная.
а не напряжение.
"'

F

206
rл, 5. ЭЛЕМЕНты ТЕОРИИ АБТОRОЛЕВАНИЙ
циент реrенерации был больше нуля (k > О), то, значит, стаци(
нарная отличная от нуля амплитуда аВТОRолебаний в систем
может быть только при "( < О (при выбранной аппроксимаци
нелинейной характеристики). Здесь мы встречаемся с обычны
для автоколебательных систем условием, требующим, чтобы ЗlНl
коэфФициента при высшем члене в разложении вольтамперно
характеристики нелинейноrо элемента ("(о) был обратен знак
чле1Jа, обеспечивающеrо вложение энерrии, а члены (член), o
ветственные за вложение энерrии в систему (ао), были Bcerp
более низкоrо порядка, чем высший член в разложении. В ю
шем примере ао > О, "{о < О.
Исследуем устойчивость стационарных состояний систеМI
В случае состояния ПОRОЯ системы Z == О +'1'), и тоrда уравненl'
для возмущений (малых вариаций) в первом приближении имf
ет вид
..
11 === "'1').
(5.4.1
Как мы видим, знак ко;эффициента реrенерации k определяет у
тойчивость состояния покоя: при k > О (а> 2t1) состояние п,
коя неустойчиво, происходит самовозбуждение; при k < О (а'
< 2t}) состояние покоя устойчиво. В случае ненулевой стаци,
нар ной амплитуды (Zo == 4k/"() ее значение при возмущении
запишется как Z === 4k/'Y + 11; тоrда уравнение для возмущею
примет вид
.
11 === k11.
(5.4.1;
При k > О (а> 2t}) невулевая стационарпа1t амплитуда усто
чива, при k < О (а < 2t}) амплитуда неустойчива. На рис. 5;:
у
ki>O
Zo
j
(/'i.
JJ
JIt(}'1CHUe "
r;т[щtlОlftljllfО{f
Ш1Т1лит!lillJl
x)(X-------
О k
Рис. 5.20. Зависимость стацио"
нарной амплитуды от коэффи
циента реrенерации при мяr
ком режиме
Рис. 5.21. Фазовый портрет
автоколебательной системы
томсоповскоrо типа при мяr--
ком режиме возбуждения
приведена завиСИМОСТЬ стационарной ненулевой амплитуды
коэффициента реrенераЦИИ, rде кружочками обозначены уст!
чивые стационарные состояния системы, крестиками  неУСТI

!I 5.4. СИСТЕМЫ TOMCOHOBCKOrO ТИПА
207
чивые состояния. Показанный на этом рисунке жирной линией
режим возбуждения называется мяищ.м реЖUJ.tом.
Таким образом, каждому значению k i соответствует OДHO
единственное отличное от нуля стационарное состояние системы,
что Ооответствует на фазовой плоскости одному предельному
циклу  замкнутой фазовой траектории (рис. 5.21). Снаружи
предельноrо цикла фазовые траектории соответствуют затухD.IO
щим колебаниям (СI<pучивающиеся спирали), внутри предеЛЬНОl'О
цикла фазовые траектории (раскручивающиеся спирали) COOT
ветствуют нарастающим колебаниям; в начале координат Haxo
дится особая точка типа неустойчивоrо фокуса.
Если аппроксимировать i == qJ(U) полиномом пятой степени:
i == io + аои + "(оu З + еои а ,
то уравнение движения (5.4.9) будет иметь вид
: x+x==(k+"(x 2 +ex')i,
(5.4.14)
rде е == 5eou/C(J}o, а остальные обозначения
(5.4.9). "Укороченное уравнение в этом случае
. ( 1 1 )
Z == Z k + TI'Z + 8 ez 2 .
те же, что и в
запишется как
(5.4.15)
Отсюда нетрудно определить стациопарнью состояния (i == О)
системы, одно из которых яnллетсн СОСТОНШЮМ ПОI\ОЯ (zo == О) и
возможно при любых пuрнметрuх системы. Второе отличное от
нуля стационарное СОСТОJlпие системы определлется из решения
уравнения
1 2 1 k О
Bezo + TI'Zo + == ,
откуда
Zo ==  '(/ е ::1:: + у V l  8ke.
(5.4.16)
Поскольку коэффициент е при старшем члене должен быть MeHЬ
ше нуля (е < О), то здесь возможны два случая: "( < О и "( > О.
С.ttучаи "( < О. Качественно он не отличается от сптуации,
коrда ео == О, т. е. соответствует мяrкому режиму возбуждения.
Тоrда кривая BToporo порЯдка zo(k) проходит очень близко от
прямой, описывающей решение для кубической аппроксимации
(80 == О) (рис. 5.22, слева).
С.ttучай "( > О. Решение для стационарной амплитуды можно
записать в виде
у 1 V
Zo == тет ::1:: тет y+8k I е 1.
При k == О возможны два решения Zo == ZOI == 2"(/1 е I и Zo == Z02 == О.
Однако оказывается, что и при некоторых отрицательных зна

208
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АБтОRОЛЕВАНИй
чениях Rоэффициента реrенерации k можно получить отличну
от нуля амплитуду аВТОRолебаний. Пред ельное от рицательнО(
значение ko определяется из условия f "(2 + 8ko I е I == О, отнуд;
kо=="(2/8181;при этом Zo ==Zоз== "(/Iel. Зависимость zo(k) ПОRа
зала на рис. 5.22, справа. Попрежнему состояние покоя систе
мы устойчиво при k < О и неустойчиво при k > О. Однако ю
...-
*x
О ko<fl О k
МЯ8Кlllj !Jt'Жlll1 j(t'сткшJ /Jt'Жlll1
Рис, 5.22, Зависимость стациопарной амплитуды от коэффициента pe1'eHepa
ции при аППРOltсимации характористики полиномом пятой степени дл.
МЯ1'ко1'О ('Уо < О, I!o < О) и 1ReCTKo1'o ('Уо > О, 80 < О) режимов
участке от ko == "(2 /81 е I до k == О состояние покоя лишь относи
тельно устойчиво; если амплитуда возмущения rJo будет TaKof
что она достиrнет нижней неустойчивой ветви амплитудной кр}]
вой, то в системе возбудятся автоколебания с отличой от нул
устойчивой стационарной амплит
дой. Такой режим возбуждения НЕ
зывается жестким. В област
 "(2/81 е I  k  О система са!Мовозб)
диться не может. Физическое оБЪЯ(
псние явления жесткоrо возБУЖ'ДЕ
ния заключается в том, что при ю
которых достаточно больших в03Щ
щениях 110 реrенерация системы во:
можна и происходит за счет кубцч(
cKoro члена зависимости i == q> ( и
несмотря на отрицательное значени
коэффициента реrенерации k.
На фааовой плоскооти облаС1
жесткоrо возбуждения для фИКСИрt
BaHHoro k Oi == const < О представлеЕ
двумя предельными циклами  о]
ружностяiМИ, ОДИН из которых (ббш
ший) устойчив и еоответствует 3'Н,
чениям амплитуд автоколебаний, лf
Жащих в области от ZОЗ == "(/Iel дО ZO\ == 2"(/lel; друrой (меньшиi:i
неустойчив и соответствует значениям амплитуд, лежащих в оБЛi
сти от Z02 == О дО ZОЗ == у/I е I (рис. 5.23). Начало координат на фаЗ1
Zo
eoO
/
I

/ :с
/
/
Рис. 5.23. Фазовый портрет
автоколебательной систе
TOMCOHoBcKo1'o типа при жест
ком режиме возбуждения; зам
кнутая сплошная кривая 
устойчивый цикл, IJIТРИХО
вая  неустойчивый ЦИIШ
 4}
/ о
/
/
203 //
/
./

!I 5.5. СИСТЕМЫ. СОДЕРЖАЩИЕ ИНЕРЦИОННЫЕ ЭЛЕМЕнты 209
вой плоскости является особой точкой типа « УЙЧИФl}J( .
Все возмущения, :меньшие амплитуды, соответствующей неустой
чивому предельному ЦИ'КЛу,осцилляторно затухают. Возмущенияi
ббльшие амплитуды, отвечающей пеустойчивому предельному
циклу, осцилляторно увеличиваются, и амплитуды этих колеба
ний стремятся к предельному устойчивому циклу изнутри. Если
амплитуда колебаний по какойлибо причине стала болыпе амп
ЛИТУДЫ, соответствующей устойчивому предельному циклу, то
первая постелеюtе будет уменьшаться, стремясь в пределе CHa
ружи «навиться» на предельный ЦИJШ.
При изменении значения k происходит э-волюция картины на
фазовой ПЛОСКОСТИ. При стремлении k к нулю слева радиус Heyc
тойчивоrо предельноrо цикла уменьшается и стремится к нулю.
Начало координат на фазовой IIIЛОСКОСТИ при этом обращается
из особой точки типа «устойчивый фокус» в особую точку типа
(шеустойчивый фонус». Одновременно радиус устойчивоrо цикла
увеличи:оается.
Uри стремлении k к нулю справа радиус единственноrо ус':
тойчивоrо предельноrо цикла постепенно уменьшается, а неустой
чивая особая точка типа «фокус» в начале координат прибли
жается по характеру движения в ее окрестности к особой точке
типа «eHTp».
 5.5. Особенности поведения автоколебатсльных систем,
содержащих инерционные элементы
До сих пор при рассмотрении колебательных, параметриче,
ских и автщюлебательных систем мы считали, что все линейные
и нелинейные элементы, составляющие эти системы, безынер
ционны, т. е. их ВОЛБтамперные,вольткулоновые, вольтфарад
ные и друrие' характеристики выражаются мrновенными фуцд
циями соответствующих координат. Например, токи туннельноrо
диода, электроцной лампы, полупроводниковоrо диода, тиристора,
омическоrо сопротивления и аналоrичных элементов зависят от
мrцовенных зцачений переменных напряжений на них; папря
жеция на линейных и нелицейных конденсаторах и емкости Ta
ких коцдецсаторов определяются мrновецными значениями заря
дов на них и т. д.
Однак.о в природе существуют и исусственно MOryT быть
созданы элементы, параметры которых зависят не от мrновенных
значений координат, а от амплитудных значений. Такие элемец
ты (устройства) цазываются иnерциоnnы.ми nелunейnостя.мu, ибо
они прицимают соотвеТСтВУЮЩИе значения не сразу, а 'WI?ез оп-
ределенное время, назыБемоеe ПОСТQЯННОЙ времени тото или ино
ro элемента. В  4.5 описан 'одно:Контурный параметрический
reHepaTop с автосмещением, в котором деЙствующее значение
емкости контура, содержащеrо полупроводниковый диод с цепоч

210
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОIЮЛЕБАНИй
кой автосмещения, определяется не мrновенными значениями
rенерируемых колебаний интересующей нас величины, а ее амп
литудой, и уётанавливается это значение емкости через время,
равное постоянной времени цепи автосмещения.
Друrим примером инерционной нелинейности может служить
обычное сопротивление, значение KOToporo неизбежно зависит от
протекающеrо по нему тока. В силу тепловой инерции темпера
тура, а следовательно, и сопротивление TaKoro резисторноrо эле
мента не являются мrновенной функцией лротекающеrо по нему
тока. Эти инерционные нелинейные активные элементы назы
ваются термисторами, и их включение в те или иные автоколе-
бательные системы приводит к ряду особенностей, которые
будут рассмотрены ниже.
Известны также полупроводниковые термисторы, сопротивле
ние которых падает с ростом амплитуды протекающеrо в ню
тока.
Уравнение тепловоrо баланса для TOHKoro проводника, чере:
lОТОрЫЙ проходит переменный ток 10 cos (pt), можно записаТJ
в виде
de 2
те dt + ke == R1 о cos 2 (pt),
(5.5.1
rде т  масса проводника, е  удельная теплоемкость, k  коэф
фициент теплоотдачи, е  температура проводника. В уравнени
(5.5.1) член те de характеризует изменение запаса теша в СЕ
стеме, ke dt  количество тепла, отдаваемОе системой за врем
dt; праllая часть уравнения показывает количество ТffiIЛа, пол
чаемоrо системой извне.
Решение уравнения (5.5.1) имеет следующий вид:
е == е etl!!. + т [1  sin (2pt + <р) ] .
о 2k V '2 '2 ' (5.5.:
1 + 4р 
rде А == me/k называется постоянной времени термистора, qJ 
начальная фаза. При t --+ 00 В решении (5.5.2) останутся толы
члены, характеризующие постоянный HarpeB в термистора
пульсации HarpeBa в BOKpyr некоторой постоянной темпераТУРl
Относительные пульсации температуры определяются из соо
ношения
e 1
e == V 1 + 4p22 .
Этими вариациями температуры можно пренебречь, если 4р2А2
 1, т. е. р  1/ А. Если ввести период колебаний тока, протеI1
ющеrо через термистор Т == 2n/р, то условием малости e/
будет неравенство
(5.5.
А»Т.
(5.5,

!} 5,5. СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ИНЕРЦИОННЫЕ ЭЛЕМЕНты 211
Физически это условие означает, что в течение Bcero периода
колебаний тока, протекающеrо через термистор, температура Tep
мистора остается постоянной с той же СТ,епенью точности, с Ka
кой вьmолняется условие (5.5.4). В таком случае можно считать,
что сопротивление термистора равно R(e) или R(lo), т. е. зави
сит от амплитуды тока, а не от MI'IioBeHHblx значений деЙству
ющеro тока. В этом и заключается принцип применения терми
сторов в различных радиотехнических и электротехнических
устройствах.
Однако инерционность термистора не должна быть слишком
большой. Она должна быть по возможности меньше времени пе
реходных процессов t 1 в колебательных системах, в которых ис
пользуется термистор для стабилизации тех или иных парамет
ров системы. Поэтому для нормальной работы термистора необ
ходимо выполнение неравенства
т  А  t 1 . (5.5.5)
Рассмотрим поведение автоколебательной системы томсо ;:: о
cKoro типа с термистором в цепи последовательноrо резонанс
контура с активным элементом с Sобразной вольтамперной xв.
рактеристикой 1jJ(x). Уравнение движения для такой системы
име-ет вид
2t + [2б (а о ) + 1jJ' (x)]  +: roх == О,
rде ао  стационарная амплитуа колебаний.
Если 2б == consL, т. о. llотери не являются инерционными, то
реализация СТl\ционарноrо автоколебательноrо процесса в системе
возможна только при условии 2б == ' (х) (' (х)  усредненная
крутизна падающей вольтамперной характеристики), что озна
чает обязательный выход MrHoBeHHblx зна
чений тока х за пределы линейноro участка
падающей характеристики нелинейноrо эле
мента.
Друrой режим работы в такой системе
можно осущесТБИТЬ при наличии в системе
термистора, коrда 2б (ао) =1= const. В этом
случае можно выбрать достаточно большой
линейный участок вольтаМlПерной xapaKTe
ристики и=='Ф(х), на котором 1jJ'(x)==So==
== const; при этом оrраничение амплитуды
колебаний будет осуществляться с помощью
термистора. Стационарную амплитуду а о для
автоколебательной системы, описываемой
уравнением (5.5.6), можно найти либо aHa
.'1итически, либо rрафичесRИ, как показано на рис. 5.24. Физи
ческRМ механизмом оrpаничения амплитуды колебаний является
реакция '!'ермистора на процессы в системе.
(5.5.6)
20
30
Qo {1
Рис. 5.24. rрафиче--
ское определение CTa
ционарной амплиту
ды в аВТОRолебатель
вой системе с терми
стором

212
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОКОЛЕБАНИЙ
Отметим некоторые принципиальные особенности данной aB
токолебательной C:\ICTeMbl. В этой системе 1jJ' (х) == 80 == const, член
26 (ао) в силу своей идерционности также постоянен в пределах
Bcero периода колебаний. Поэтому коэффициент в квадратной
скобке в уравнении (5.5.6) в силу автоколебательности системы
равен нулю не в среднем за период, а для каждоrо момента Bpe
мени в пределах любоrо периода колебаний. Следовательно, по--
добную систему можно с большой степенью точности считать
консервативной системой, для которой характерна неизменность
амплитуды и частоты колебаний.
Нетрудно убедиться в том, что в подобной системе невозмож
но отклонение амплитуды от cBoero стационарноrо значения ао.
Действительно, пусть для определенности амплитуда колебаний
в системе увеличится, тоrда СОПРОТИВJIение термистора увеличит
ся в течение конечноrо времени изза своей инерционности. При
этом потери в системе будут превышать вносимую в систему
колебательную энерrию [2б (ао) + 80] > о и амплитуда колебаний
системы МОНО1'ОJШО вернется н исходному состоянию. Однано дa
же таное I\paTI\OBpeMOJlJlOe иамепепие амплитуды нолебаний в
системе с термистором невозможно, если выполняется HepaBeH
ство (5.5.5), ибо переходные процессы во всей системе, опреде
ляющие возможность случайноrо изменения амплитуды ао, в си
лу этоrо неравенства имеют rораздо ббльшую постоянную Bpe
мени, чем процессы в термисторе. Поэтому всяние внешние
попытни изменения ао будут номпенсироваться соответствующим
изменением сопротивления термистора, что означает стабилиза
цию амплитуды и частоты нолебаний в системе. Однано если
правая часть неравенства (5.5.5) имеет вид t l  А, т. е. время
переходноrо процесса сравнимо с постоянной времени термисто
ра, то в таной аВТOI\Олебательной системе может наблюдаться
нан апериодичесний харантер установления стационарной аМПЛИi
туды (случай t l > А), тан и нолебательный харантер (случаЙ
t j < А). Частота осцилляций переходноrо процесса в случае t j <
< А определяется выражением
r-. ,...,  (    ) 1/2
<:,..." 2 L\t 2 .
1 L\
Возможность получения в колебательных системах с терми
сторами автонолебаний, сноль уrодно близЮIХ н rармоничесним,
позволяет использовать системы, содержащие добротные HOHTY
ры, термисторы и антивные элементы с линейными падающими
участнами вольтамперных характеристин, в ряде эталонов ча
стоты (времени).
Рассмотрим теперь возможность применения термисторов в
релансационных автонолебательных системах. 1\ан было поназано
ранее (см. с. 191), для Toro чтобы траJli3ИТрОННЫЙ rеиератор
с- двумя вырожденными. степенями свободы rенерировал нолебания,

g 5,5. СИСТЕМЫ. СОДЕРЖАЩИЕ ИНЕРЦИОННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 213
близкие к rармоническим, необходимо выполнение условия
1 l' С 1
181R+7+ RC '
Если положить в этой системе 8 == 80' а оrpаничение амплитуды
возложить на термистор, заменяющий резисторы с сопротивле
пиями R и (или) r, то ожидаемой стабилизации амплитуды aB
токолебаний не получИ'1'СЯ. Дело в том, что обычные термисторы
увеличивают свое сопротивление с ростом амплитуды тока, и по
этому в рассмотренной схеме применение термисторов вместо
постоянных резисторов с сопротивлениями R и r вызовет лишь
улучшение условия возбуждения системы и дальнейшее увели
чение амплитуды автоколебаний с обязательным ее выходом за
пределы линейноrо участка падающей вольтамперной xapaK
теристики.
Стабилизацию амплитуды автоколебаний в релаксационных
reHepaTopax, reнерирующих колебания, близкие к rармониче
ским, можно осуществить, tmЛИ использовать терм:истор в каче
стве элемента, образующеrо отрицательную обратную связь
в системе. Действительно, если включить терЪiИСТОР с СОПРОТИВ
лением р в катодную цепь транзисторноrо reHepaTopa, а режим
работы усилнтельноrо элемента выбрать линейным, т. е. считать,
что i == 8,и для всех дапустимых амплитуд автоколебаний, то Tor
да с учетам отрицательной обратной связи имеем i == 80 (и  pi)
и, следовательно,
So
1 + PSo и.
Отсюда видно, что ток в системе зависит от новой деЙC'l'вующей
крутизны 801 (1 + р8 0 ) , которая меньше 80' Так как р является
функцией постоянной и переменной составляющих тока, то МОЖ
но считать, что р == р (ао), если на термистор и систему, в KOTO
рой он применяется, наложены требования (5.5.5). Torдa усло
вие стабилизации амплитуды транзитронноrо reHepaTopa можно
записать в виде
(5.5.7)
So 1 1 С 1
1 + р (а о ) So == R + r + CR '
(5.5.8)
Соотношение (5.5.8) показывает, что в транзитронном reHepaTo
ре с термистором увеличение амплитуды автоколебаний по cpaB
нению с ао приводит к тому, что баланс (5.5.8) нарушается и
система из консервативной превращается в диссипативную с ec
тественным уменьшением амплитуды колебаний до значения ао.
Если амплитуда автоколебаний стала меньше а о , то это оз
начает, что в системе появилось отрицательное сопротивление,
и. следовательно, происходит увеличение колебательной энерrии

214
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ"ТЕОРИИ АВТОI\ОЛЕБАНИй
до тех пор, пока амплитуда снова не станет равной ао. Таким
образом, оставаясь в пределах линейноrо участка падающей
вольтамперной характеристики релаксационных систем, можно
осуществить rенерацию колебаний, сколь утодно близких к rap
моническим, со стабилизацией амплитуды и частоты автоколе
баний с помощью термистора. Аналоrичным образом можно ocy
ществить стабилизацию автоколебаний в RCreHepaTope и друrиx.
релаксационных автоколебательных системах. При этом следует
учесть, что в таких системах с термисторами баланс энерrии
должен сохраняться постоянным в течение Bcero периода коле
баний, что, естественно, накладывает оrpаничения на форму
rенерируемых колебаний.
 5.6. Поведение автоRолебательных систем
при внешнем rармоничеСRОМ воздействии
Изучение поведения аВТОI\олебательных систем при внешнем
rармоническом воздеЙствии имеет большое значение для науки
и техники, ибо ero результаты позволяют осуществить синхро
низацию колебаний нескольких маломощных источников, стаби
лизацию излучения (колебаний) мощноrо reHepaTopa с помощью
стабилизировавноrо м:аломощноrо источника колебаний, решить.
мноrие вопросы преобразования частоты и т. п.
В зависимости от вида елинейной характеристики автокoлs
бательной системы, уровня внешнеrо rармоническоrо воздействия,
соотношения частоты внешнеrо воздействия И частоты Rолебаний
автоколебательной .системы будут Ha
блюдаться различные результирующие
эффеI\ТЫ.
1. Рассмотрим внешнее воздействие
на томсоновский reHepaTop с KOHTY
ром В цепи затвора (рис. 5.25). Пусть
внешнее вО'здействие v (t) == РО sin (pt);
напряжение на затворе выберем в кa
честве переменной и; Torдa уравнение
движения запишется в виде
Lc d2 и RC dи Р . ( ) dtCT
dt 2 + dt"+ и== оsш pt + M dТ ,
iCT
с
"-.J
v(t)
Рис. 5.25. Схема 1'енератора
на полевом транзисторе с
контуром в цепи затвора
при внешнем воздействии
+ 
Вводя обычные обозначения Х == п/ио, 2б == R/ L, ю == 1!LC по.
лучаеf
а '! d Р 00 00 0 2 di CT
Х Х  o. ( ) М
 + 2б  + (йоХ ==  Slll pt +   dt .
dt 2 dt и о и о
(5.6.1
Если искать решение с частотой внешнеrо воздействия Р, ТI

'.
",
\
!I 5,0, СИСТЕМЫ при ВНЕШНЕМ rАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕйСТВИИ 215
r
безразмерное время необходимо определить как 't == l!t; Torдa
уравнение (5.6.1) примет вид
.. . (02
Х + 2ftx +  х == л sin 't +
Р
I'де 2ft== R/pL, л == p()ro/uop2.
1. Рассмотрим поведение исследуемой системы, в которой не
выполняется условце самовозбуждения, при слабом внешнем сиr
нале. В этом случае, имеll в виду малую амплитуду возбуждае
мых колебаний, характеристику i CT == j(u) можно аппроксимиро
вать на линейном участке характеристики линейной зависи
мостью i CT == Su, rде S  крутизна характеристики. Тоrда в pe
зонансном случае (р == roo) получаем уравнение
ох + [2ft  MrooS].i + х ==лsiп 't. (5.6.3)
При 2{)о > MrooS система .недовозбуждена (коэффициент pereHe
рации k < О), н о реl'енеРИрована, т. е. затхание в контуре ча
с тично скомпенсировано положительной о ратной связью. 11 0
этому за счет такои реrенерации проис х о дит усил ение BHerllHerO
воздействия на частоте р. При увеличении амплитуды внешнеrо
воздействия нелинейностью функции i CT == Ни) пренебреrать уже
нельзя и использованная нами линейная аппроксимация i CT == Su
становится несправедливой. В этом случае резонанс имеет такой
же характер, как и в контуре с нелинейным затуханием. Резо
нансныекривые попрежпему симметричны, по имеют HeMHoro
иную форму, а именно песколы\О сплюс
нуты сверху в окрестности резонансноrо
максимума из-<за УЩJличения потерь в си
стеме с ростом амплитуды колебаний
(рис. 5.26). ,
2. Если реrенерация переходит в ca
мовообуждение (М rooS > 206 ) , то наряду
с вынужденными колебаниями на часто
те р в систе появляются аВТORолебания
на частоте ro  roo. В режиме авто.колеба
ний исследуемая система является KBa
зиконсервативной, что автоматически
реryлируется амплитудой автоколеба
ний.
За счет нешшейноrо взаимодействия (при нелинейной i. T ==
== j(u) характеристике) в такой системе MorYT возникать как би
ения, т. е. колебания с частотой Q == Ip  rol, так и комбина
Ционные составляющие с частотами вида I пр ':!:: тro 1, rде т и
n  целые числа.
Рассмотрим приближенную теорию синхропизации для мяr-
Koro режима воэбуждения на примере описанной выше aBTOKO
лебательной системы. Уравнение (5.6.2) при произвольной
м Ю di CT
и ОР '"'d-t t
(5.6.2)
А
о
5
Рис. 5.26. Резонансная
кривая ре1'енерирован
Ho1'o контура для HeMa
лых сиrналов

216
/
rл, 5. ЭЛЕМЕНТЫ ri:ории АБТОКОЛЕБАНИЙ
ic. == j(u) характеристике можно записать в виде
.. .
х + х == Нх)х + 6Х + лsiп't', rде 6 == 1  UJU p 2. (5.6.4)
Если искать решение этоrо уравнения с частотой, точно равной
частоте внешнеrо воздействия (.. === pt), то, используя обычную
замену переменных в методе ММА х == А cos ('t' + е) , :i ==
=== A sin( 't' + 6) и проводя стандартную процедуру усреднения,
получаем следующие укороченные уравнения:
2А == D (А)А  л cos 6, 26 ===  + (л sin 6)/А. (5.6.5)
Здесь функция D (А) описывает баланс потерь и вложения
энерrии (эффективное затухание) в aB
тономном reHepaTope (л === О). В случае
мяrкоro режима rрафик функции D (А)
имеет вид, приведенный на рис. 5.27. Ec
ли, например, i CT === io + аои +oи2 + у о и 3 ,
то D (А) == (21't  а)  (у/4) А2, rде а ==
== МаоUJб/Р, у == 3МУоUБUJ/Р.
ПроанаJ1И:шруем уравнение (5.6.5).
При л == о (автономный режим reHepaTO
ра) имеем
]}
о
]}(О)
А
Рис. 5.27. rрафик зави
симости фуВlЩИИ потерь
ОТ амплитуды автоколе-
бавий
2А == D(A)A,
20 == 6'
. . .
Эти уравнения имеют два стационарных решения (А == О, 6 == О) :
состояние покоя системы (Ао == О), устойчивое при D (О) > О и
неустойчивое при D(O) < О, а также ненулевое решение А ==Ао
и е == s../2 + const, rде Ао определяется из приравнивания нулю
функции D(A o )== О. Учитывая, что 6 === s"t/2, 6 == 1  UJиp2
 2 (р  UJ o )/ р и .. == pt, получаем выражение
х == Ао cos (.. + + 6") == Ао cos(UJot),
(5.6.6)
которое подтверждает, что в автономном reHepaTope колебания
происходят с собственной частотой системы UJo, а не с частотой
р, с которой мы искали решение. Таким образом, мы видим, что
использованный нами метод ММА исправил ошибку в опреде
лении частоты reHepaTopa.
Теперь рассмотрим неавтономный режим работы reHepaTopa
(л 0;= О) в области синхронизации. При D (О) < О (потери в си
стеме превышают вложение :)Нерrии) в reHepaTope не выполня
ется условие самовозбуждения, однако имеет место реreнерация,
т. е. реrенеративный режим приемника. В зтом случае получа
ется несколько сплющенная сверху резонансная кривая (см.
рис. 5.26), аналитическое выражение которой определяется из

"",
 5,6, СИСТЕМЫ ПРИ ВНЕШНЕМ r';u,МОНИЧЕСНОМ ВОЗДЕйСТВИИ
217
системы укороченных уравпений (5.6.5) и имеет вид AZ[D2(A)+
+ S2] == "j,,,z. Это уравнение при любых 6 имеет одноединственное
решение, соответствующее амплитуде вынужденноrо колебания
в реrенерированном контуре.
reHepaTopa
(D (О) > О) синхронный режим работы TOMCOHoBcKoro rеператора
имеет место лишь при малых значениях 6. Действительно,
в стационарном синхронном режиме из системы уравнений
(5.6.5) получаем систему
AD(A) === л cos в, As == л sin в,
или одно уравнение
А 2 [D 2 (A)+ 62] == л 2 .
При произвольном D (А) последнее уравнение аналитически не
разрешается. Однако для малых значений л можно считать, что
амплитуда автоколебаний в автономном режиме и амплитуда
автоколебаний при внешнем воздействии близки дpyr к друry,
т. е. А  Ао; тоrда из BToporo уравнения (5.6.5) получаем соот.
ношение sin в == SAoIл, которое с очевидностыo имеет стацио
нарное решение лишь при
161 :s;; 60 ===Л/А о , т. е. IIp  Фоl :s;; лр/2Аoj (5.6.7)
Это неравенство и опреде ляет ширину полосы синхронизации,
которая"lIpопорциональпа  отнош епию амплиту ды Rнешпоrо воз
действия к амплитуде аВТОJ\олебапий D автопомпом режиме. На
А
.......... ,
""-. '
. ,
. ",
биения \
'" .
.",," \
......", .
Синхронныtl
режим
\ .,.....
\ ,/"
\ ./.
Х биения
. "
/ '....
......
..
o
о
go
::
,.
Рис. 5.28. Схематическое изображение поведения амплитуды автоколебаний
при синхронизации: Штриховые кривые  амплитуда вынужденных колеба
ний, штрихпунктирные  амплитуда автоколебаний
рис. 5.28 схематически показаны области биений, синхрониэиа,
а также rрафики для амплитуд вынужденных и автоколебаний
TOMCOHoBcKoro reHepaTopa с мяrким режимом возбуждения при
внешнем rармоническом воздействии.
В действй:тельности синхронный' ржим возникает за счет
cOBMecTHoro действия двух процессов. Вопервых, за СЧ;  ПQ,Цав---
л ения собственных автоколебательных движений в СИСТАМА. при 
15 в. В. Миrулин и др.

218
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ т;,ЕОРИИ АБТОКОЛЕБАНИЙ
чем внутри области синхронноrо режима сохраняется только
чисто вынужденный колебательный процесс с частотой BHemнero
воздействия р. BOBTOPЫX, при внешнем воздействии синхронный
режим может возникать за счет принудительноrо изменения ча
стоты автоколебаний путем воздействия вынужденных колеба
 ний на форму rенерируемых автоколебаний. В томсоновских aB
r токолебательных системах, работающих в мяrком режиме, rлав
ную роль иrрает первый процесс. При достаточно малых pac
стройках вынужденные колебания за счет резонансных свойств
системы приобретают большую амплитуду и, наIOlадываясь на
существующие автоколебания в reHepaTope, уменьшают среднюю
действующую крутизну. Это прИ'Водит К нарушению условия п()д
держания автоколебаний, и в системе остаются лишь внужден
ные колебания.
ыx системах, далеких от томсон()вских, и oco
бенно в релаксационных rеператорах, rде отсутствуют четко BЫ
ражепные резонансные свойства, внешний сиrнал вследствие
нелипеЙности активноrо элемента существенно воздействует на
форму аВТОI\олебаний и в некqтороЙ: области расстроек приводит
к совпадению частоты UВТОКOJlобапий с частотой внешнеrо сиr
нала, т. е. к возникновению синхронноrо режима.
3. Рассмотрим поведение reHepaTopa при внешнем воздействии
с большой амплитудой и с частотой воздействия, примерно в
n раз большей, чем частота reHepaTopa в автономном режиме
(р  nroo).
Для reHepaTopa с контуром в цепи эатвора уравнение движе
ния имеет вид (5.6.1). Для удобства введем в рассмотрение Ta
кую частоту ro, что р == nro. Из условий р == nro ир:::::; nrog следу
.gT, что ro  roo. Введем безразмерное время 't' == (iJlt, нормированное
по ro, т. е. будем искать решение системы (5.6.1) с частотой,
точно в n раз меньшей частоты внешнеrо воздействия р == nro.
Если ввести расстройку  == 1  ro/ro2 == [р2  (nro)2]/p2 и аппрок
симировать ток i CT == f(u) полиномом третьей степени i CT == io +
+ (хои + oи2 + '(оUз, то с учетом написанных выше соотношений
уравнение движения примет вид
х + х == (k + x + '(х 2 )х + Р sin(п-r) + sx, (5.6.8)
rде k == а  2tt, а == Maoro/ro,  == 2Mouoro/ro, у == 3Myouro/ro;
2tt == R/roL,: Р == Poro/uoro2. Применение метода медленно меня
ющихся амплитуд для решения уравнения (5.6.8) при k  1,
  1, '(  1, s  1 11 большом Р требует перехода к новой пере
менной у, определяемой соотношением
x==y+Qsin(n't'), (5.6.9)
rде Q  амплитуда вынужденных колебаний. Таким обрэ.зом, pe
шение уравнения (5.6.8) представляется в виде суперпозиции
двух решений, причем член Q sin (n't) соответствует чисто вы-

\
\j 5.6. СИСТЕМЫ ПРИ ВНЕШНЕМ r АРМОНИЧЕСНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ 219
нужденному процессу нолебаний с частотой внешнеrо воздей
ствия, а член у  колебаниям с частотой, БЛИЗИОII к собственной.
Амплитуда Q определяется условием Q == Р/ (1  п 2 ). После под
становки (5.6.9) в уравнение (5.6.8) последнее приобретает вид
ii+y::(k+x+1x2)X+6x. (5.6.10)
Это уравнение уже допускает применение метода ММА, так как
в правой ласти уравнения стоят малые члены.
Рассмотрим случай п:: 2; он представляет особый интерес,
ибо при этом значении п возникает таи называемый резонанс
BToporo рода.
Применяя метод медленно меняющихся амплитуд, ВВОДЯ но--
вые переменные у == u cos 't' + v sin 't', у:: и sin 't' + v cos 't' И учи
тывая, что х == u cos 't' + v sin 't' + Q sin n't' и :i; == и sin 't' + v cos 't' +
+ nQ cos n't', получаем укороченные уравнения
 == + [k + + l' (z + 2(52)] U + + (2(5  ) v,
1 [ 1 ] 1 (5.6.11)
; == т k + т l' (z + 2(52) V + '""2 (2Q + ) и,
rде z == и 2 + v 2 , Q:: P/3.
Рассмотрим стационарные решения задачи (и == v == О).
 в системе ВОЗМОЖны нулевые стационарнь/О состояпия (co
стояние поиоя системы) ио == V o == Zo:: О. 2) ОТJшчные от нуля
стационарные состояния (и о =-/= О, VO "'" О, ZO =-/= О) леrко получаются
из системы (5.о.11) путем простых алrебраических преоб
разований:
4 [ 1 2 V 2712 2 ]
Zo ==  у k + '2 yQ + 4 '-t   .
(5.6.12)
в зависимости от параметров рассматриваемой системы в ней
может реализоваться несколько различных режимов.
а) В автономном режиме (Р == О, Q == О) стационарная ампли":
туда колебаний Zo == 4k/1 существует при коэффициенте pereHe
рации k>O (1<0) и равна нулю (zo==O) при k<O. Это пол
ностью соответствует рассмотренной ранее автоколебательной си
стеме с мяrким возбуждением (кубическая аппроксимация вольт
амперной характеристиии). rенерация колебаний происходит на
собственной чаС'J'оте 0>0 системы. у ,
б) В не автономном режиме при внешнем воздействии (Р"", О,
Q "'" О) на автоколебательную систему (k > О, 1 < О) при упро--
щающем условии о> == 0>0 амплитуда автоиолебательноrо процес
са определяется из соотношения
Zo == I  I [k + +I'QI:f:: 2(5]. . (5.6.13)
rpафик KOToporo изображен на рис. 5.29.
15*

220
rл, 5, ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОКОЛЕБАНИЙ
Нривая АВ характеризует зависимость амплитуды автоколе
бания Zo от амплитуды внешнеrо воздействия Q (Р). При увели
чении амплитуды внешнеrо воздействия до значения Q  В в
автоколебательной системе прекращаются автоколебания и за.
штрихованной области соотвотствует чисто вынужденный процесс
с частотой р.
Таким образом, в определенной области 
. ЦЯ (Q < В) в системе будет существовать синхроНIiЪiи
автоколебательный процесс с часто
той, точно вдвое меньшей частоты
внешнеrо воздействия. Заметим. что
такая синхронизация автоколеба
тельной сист на кратной частоте
ПОЗВОJlНет делить частоту и фазу
внешнеro сиrнала в целое число
ра'з, как это имеет место в парамет
ричоских reHepaTopax, rде можно
осуществить деление частоты и фа
;Ы сиrпала накачки в необходимое
число раз:
Зависимость Zo от S при синхро
низации на кратной частоте по
хожа на эту зависимость при обычной синхронизации (р == о> )
(см. рис. 5.28).
в) Случай k < О. "{ < О, о> =1= 0>0 (s =1= О) соответствует недовоз
бужденной автоколебательной системе с внешним воздействием
на кратной частоте. Тоща в интервале So < S < So (вблизи точ
Horo совпадения значений о> и 0>0) при определенных Q (Р) воз
можен колебательный процесс с амплитудой, определяемой из
соотношения
Zo
о
5.29. rрафик амплитуды aBTO
колебаний при воздействии
внешней силы с удвоонной ча
стотой
р'
4 ( 1 .2 V 2/'\2 2 )
Zo == ТУТ k + 2" yQ + 4 \'   .
(5.6.14)
Отсюда нетрудно определить rpаничные расстройки. при KO
торых MOryT возникать колебательные прор;ессы с половинной ча.
сто той. Из условия Zo == О получаем
/ 2 ( 1 ..7\2 ) 2
1,2 == :f:: У 4   k + ТУХ' .
(5.6.15)
Явление возбуждения колебаний с частотой, вдвое меньшей
частоты воздействия в недовозбужденной автоколебательной
(потенциально автоколебательной) системе, называется реао1Шn
сом. второео рода. Кривые резонанса BToporo рода ZO (S) при раз
ных значениях амплитуды внешнеrо воздействия показаны на
рис. 5.30.

!j 5,6. СИСТЕМЫ ПРИ ВНЕШНЕМ rАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕйСТВИИ 221
Зависимость Zo от р,,=, 31QI имеет вид, изображенный на
)ис. 5.31; кривая PiPZ показывает зависимость амплитуды BЫ
з:ужденных колебаний в недовозбужденном reHepaTope от ампли
yды внешнеrо воздействия на двойной частоте. В заштрихован
:юй области имеет место вынужденный процесс с небольшой
lМПЛИТУДОЙ изза большоrо различия между собственной часто
",ой системы 0)0 и частотой внешнеrо воздействия Р: (в нашем
учае р  20)0). Значение амплитуды внешнеrо воздействия,

Zo

.:'ис. 5.30. Нривые резОнанса ВТ(}-
poro рода
Рис. 5.31. Амплитудная кривая
резонанса BToporo рода
швное P i , называется пopozoM воабужде1tuя, а значение Pz 
"ОТОЛ1Ю:М воабужде1tuя. В области значений от Р ! ДО Pz суще
TByeT резонанс BToporo рода. Наличие пороrа возбуждения свя
аио с параметрической природой ре;юнанса BToporo рода, а HA
'IИчие потолка НО:lбуждения объясняется тушением (подавле
ием) автоколебаний.
Параметрическая природа резонанса BToporo рода связана
, тем, что при наличии положительной обратной СВ1!ЗИ внешнее
зйствие вызывает периодическое изменение па амет ов си
TeMЫ с частотои, лизительно вдвое большей собственной
"астоты системы, ибо действующая крутизна меняется в системе
 частотой воздействия.
В определенной области расстроек, если при этом обеспечи
заетея достаточная rлубина изменения параметра (пороr для
знешнеrо воздействия), происходит параметрическое возбуждение
;:олебаний в недовозбужденной автоколебательной системе с ча
;тотой, точно В два раза меньшей частоты внешнеrо воздействия.
-Этим объясняется форма резонансных кривых BToporo рода, aHa
IOrичных кривым параметрическоrо резонанса в параметрических
"'Внераторах е нелинейным: затуханием.
Дальнейшее увеличение амплитуды BHemHero воздействия
"1рИБОДИТ к уменьшению средней крутизны вольтамперной xa
Jактеристики, росту эффективноrо затухания в системе и, как
едствие, к нарушению условий параметрическоrо возбуждения.
-Это явление сходно с явлением тушения автоколебаний при
инхронном и асинхронном воздействиях и приводит к суще

222
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АБТОRОЛЕВАНИй
ствованиЮ ПОТОЛRа для амплитуды внешнеrо воздействия при pe
зонансе BToporo JIOда.
4. В reHepaTopax TOMCOHoBcRoro типа с термисторами, Haxo
дящихся под внешним воздействием с частотой, БЛИЗRОЙ R соб
ственной частоте aBToHoMHoro reHepaTopa, процесс синхронизации
происходит и может быть описан неСRОЛЬRО иначе. Считаем, что
хараRтеРИСТИRа аRтивноrо элемента линейна и ее Rрутизна 80
постоянна.
Введем в !{ОНТУР reHepaTopa с термистором ИСТОЧНИR внешней
силы частоты р (рис. 5.32). Тоrда уравнение движения в таRОЙ
системе можно записать в виде
d 2 x [   ] dx 2
+ 2б(х2)О)оМ80  d +O)ox==Pcos(pt),
dt" t
rде 215 (х 2 ) хараRтеризует тепловой эффеRТ разоrрева термистора
за счет cyMMapHoro действия аВТОRолебаний с амплитудой А и
вынужденных R{)Jlебаний с амплитудой
')." т. С. х 2 == А 2 + ').,2.
ЕСJIИ амплитуда аВТОI\олебаний aB
ТОIЮМНО/'О rсператора с термистором
была стабилизирована на уровне Ао, то
в присутствии вынужденных Rолеба
ний (после ВRлючения внешнеrо воз
действия) аМПЛитуда аВТОRолебаний
должна уменьшиться до значения
А 2 == A  ').,2, rде ').,  аМплитуда вынуж
денных 'Rолебаний, Rоторая для Rвази
Rонсервативной системы, RаRОЙ Я'Iшяет:-
ся reHepaTop TOMCOHoBCRoro типа с термистором, равна ')., ==
== Р /( O) р2). Дальнеiiший рост ')., при стремлении р R 0)0 будет
сопровождаться в таном reHepaTop€ уменьшением амплитуды aBTO
Rолебаний А вплоть до полноrо их rашения. Тоrда в неRОТОРОЙ об
ласти расстроек в аВТОRолебательной системе наступит режим чи
сто вынужденных Rолебаний с частотой внешней силы, причем их
аМJIлитуда может стать больше амплитуды Ао aBToHOМHoro reHepa
тора. Однано это сопровождается появлением неСRомпенсирован
ных потерь в системе, ибо до наступления синхронноrо режима
аВТОRолебательная система была кваЗИRонсервативной, \ т. е.
215 (A)  0)M8o == О, а в режиме синхронизации при р2  O)
выражение в нвадратных СRоБRах, хараRтеризующее фуНIЩИЮ
диссипации системы, становится положительным, т. е. 215 (').,2) 
 0)M8o > О, ибо ').,2> А:. Повышенный разоrрев термистора
при ').,2 > A приводит R тому, что Rолебательная система из HBa
ЗИRонсервативной становится диссипативной, что сопровождается
«притуплением» резонансной RРИВОЙ в полосе синхронизации re
нератора с аRТИВНОЙ инерционной нелинейностью (рис. 5.33).
(" ОТ .....
R(;?)
с
+
Рис. 5.32. Схема 1'енератора
с термистором при воздей
ствии 1'армонической силы
(5.6.16)
м

 5,(;. СИСТЕМЫ при ВНЕШНЕМ rАРМОНИЧЕСКОМ ВО3ДЕйСТВИИ 223
Для определения ПОЛОСЫ синхронизации обозначим rраничные
частоты, при ноторых она ВО3НИRает, через P,2 === ffi::I::. Torдa
в точках rашения аВТОRолебаний можно записать, что амплитуда
вынужденных Rолебаний в точности равна амплитуде Rолооаний
aBToHoMHoro reHepaTopa, т. е. л === Ао === Р/(ю  P,2),OTHyдa
260 == ZP/Ao. (5.6.17)
Из (5.6.17) следует, что ширина области синхронизации (rашения
аВТОRолебаний) пропорцио
нальна ,амплитуде внешней A Z
силы Р. Это объясняется
тем, что, чем больше ампли
туда внешней СИЛЫ, тем боль A
те амплитуда вынужденно
ro решения при той же pac
СТРОЙRе (ю  р2) И, следова
тельно, тем раньше подав
ляются аВТОRолебания в си
стеме (А 2 == A л 2 ).
Несмотря на внешнее
сходство явления синхрони
зации в' ТОМСОНОВСRИХ aBTO
Rолооательных системах без
термистора и с термистором
(ср. рис. 5.28 и 5.33), меШI\У этими системами и в режиме
СИНХРОIlиаации, и вБJlиаи области синхронизации имеется cy
ществеНIlое различие. ТОМСОНОВСRИЙ reHepaTop без терМИC'l'ора
принципиально не может rенерировать zармоnические колебаnия
в автономном, синхронном и промежуточном режимах изза нешз
бежноrо «захода» Rолебаний в нелинейные области хараR тери сти
RИ! дЛЯ снижения значения ее действующей RрУТИЗНЫ 8(х) до
величины, обеспечивающей Rвазиконсервативность системы.
В ТОМСОНОВСRИХ reHepaTopax с термисторами оrраничение ампли
туды Rолебаний происходит за счет термистора, а значение HPy
тизны хараRтеРИСТИRИ выбирается постоянным (80 == const), т. е.
Rолебания в автономном, синхронном и промежуточном режимах
не выходят за пределы линейноrо учаСТRа хараRтеРИСТИRИ систе
МЫ и в таких системах Rолебания при выходе на стационарный
режим не обоrащаются rаРМОНИRами и Rомбинационными HOM
понентами.
В .заRлючение еще раз следует подчеРRНУТЬ, что в paCCMOTpeH
ных системах при внешнем воздействии происходит rашение, по
давление аВТОRолебаний и сохранение (в полосе синхронизации)
ТОЛЬRО вынужденных Rолебаний. Поэтому общепринятый' термин
«синхронизация» не отражает физичеСRИХ процессов, происходя
щих в подобных аВТОRолебательных системах с термисторами под
действием внешней силы.
/ . \
/ \
I \
;:::SC
А.?:--'"" / IСilНХДОНilзui \ ./';2'
бш:нuя 'х. I (ЩЯ 1)( бшшuя
;,Z // \. I 1.1 ,,;,Z
/' I ы} ""
р
Рис. 5.33. rрафию! изменения амплитуд
автоколебаний и вынужденнЫХ KO
лебаний в томсонОВСIЮМ 1'спораторе с
тормистором при ВIIlШ!II(JМ воздействии

224
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АБТОКОЛЕБАНИЙ
 5.7. Автоколебательиысистемыы с запаздывающими силами
Здесь мы рассмотрим особенности поведения автоколебатель
ных систем с запаздыванием сил, определяющих работу этих
систем. Ранее мы считали, что состояние автоколебательной си
стемы в каждый данный момент MrHoBeHHo и однозначно опреде
ляется действием сил на нее. В реальной системе действие сил
в каждый данный момент времени зависит не от MrHOBeHHoro ее
состояния, а .от всей предыстории последней. Уже в случае aK
тивной инерционной нелинейности было установлено, что значе
ние одноrо из параметров, например сопротивления термистора,
зависящее от температуры проводника, не является мrновенной
функцией проходящеro через термистор тока.
Необходимость учета запаздывания сказывается и в электро
нике СВЧ. Например, за счет конечноrо времени пролета элект
ронов между электродами лампы MrнoBeHHыe значения аНОДНОfО
тока не являются Мfповенной функцией значений напряжений
на управляющеЙ сетке лампы. Пролетные эффекты искажают
форму анодноrо тока, I\оrда период I\олебаний становится соиз
меримым со временем I1ролета :.JЛеI\ТрОllОВ в системе. Аналоrич
ные явления имеют место в системах с транзисторами. Большую
роль иrрает запаздывание в акустических системах изза OTHO
сительно небольшой скорости распространения звука в rазооб
разных, жидких и твердых средах.
В теории колебаний существует множество задач, в которых,
как мы видели, учитывать запаздывание не нужно. Но есть и
такие, в которых невоа.можно не учи
тывать явления запаздывания, так как
оно приводит к качественно иным pe
зультатам.
Схематически аВТОl\олеба тельная
система с запаздывающей обратной
связью отличается, как это видно из
рис. 5.34, от обычной автоколебатель
ной системы наличием условноrо эле
мента с запаздыванием I1t. Термин «за
паз.дывающие силы» предuолаrает, что
в системе причина возникает в момент
t, а вызванное ею действие сил вследствие конечной скорости
передачи информации  опустя время I1t. Математически учет
подобноrо идеальноrо запаздывания осуществляется просто: Bpe
мя t в выражении для силы заменяется времепем t  I1t.
В качестве примера систем с запаздывающими силами pac
смотрим автоколебательную систему TOMCOHoBcKoro типа с поле
вым транзистором, в цепи обратной связи которой включен эле
мент с Запаздыванием I1t (рис. 5.35). Такая схема такЖе COOT
ветствует электронной лампе, работающей В' СВЧдиапазоне.
Рис. 5.34. Блоксхема aB
токолебаний системы с за
паздыванием

 5.7. СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ СИДАМИ 225
Если система rенерирует колебания, близкие к rармоническим,
o фазу колебания (j)t при наличии запаздывания необходимо
:;аменить на (j) (t  t) == (j)t  (j)t == (j)t  8. Всякое запаздывание
3.t для rармоническоrо процесса может быть записано в виде
з:екотороrо фазовоrо сдвиrа, поэтому вместо элемента t в схему
.>Iожно включить фазовращатель,
юecm:ечивающий соответствую tT 
:ций фазовый сдвиr.
Уравнение движения для cxe
IЫ рис. 5.35 имеет вид
  + Ri + + S (i  icT)dt == О.
(5.7.1)
l С
R
+
Рис. 5.35. Схема {'енератора с aa
3удем считать ток стока i CT MrHo паздьrвающей обратной связью
eImой функцией напряжения и
з:а затворе, а само напряжение и  функцией с запаздывающим
J;ействием, т. е. i сж == f(M dil>.t/dt), rде it>.t (t) == i(t  М). Тоrда,
зводя, как обычно, обозначения х == i/i o , 2б == R/L, Ш == 1/LC
"I дифференцируя (5.7.1), получим
 .
d"x 2  dx 2 2 !СТ
""'9:"' + u  dt + ШоХ == ШО .....,........
dt" 10
(5.7.2)
J;ля простоты положим, что i CT =- f (и) представлена кусочноли
.з:ейной характеристикой, показанной на рис. 5.36. Тоrда при
правой части уравнения (5.7.2) будет Ш, а при и < О
правая ero часть равна нулю.
. Далее, предполаrая репreние дo
ста точно близким к rармониче
скому, будем считать, что и изме
вяется по закону синуса:
di M
и == М  == в sin ( OЭt  8 )
dt '
т. е. :il>.I==A'sin«(j)t8).
Решение буд искать в виде
х == A COS«(j)t). Это с необходи
мостью следует из зависимОСТИ
и  sin( (j)t  6). Разлаrая пра
,ую часть уравнения (5.7.2) (единичную функцию) в ряд Фурье
З: оrраничиваясь первой rармонической компонентой, получим
 Ш sin «(j)t 8). Тоrда, Подставляя в уравнение движения (5.7.2)
начения х, х, .х и первый член разложения единичной функции
:1
о
)о
11
?ис. 5.36. Нусочнолинейная раз
ывная аппроксимация xapaKTe
ристИКR i CT == j(и)

226
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОКОЛЕВАНИЙ
в ряд Фурье, находим
АЦ)2 cos (ffit) + 2БАЦ) sin (ffit)  Аю cos (ffit) == Ы 2. sin (ffit  е) ==
n
== 2. Ы cos е sin (ffit)  2. Ы sin е COS ( ffit ) .
n n
Отсюда, приравнивая члены с синусами и косинусами, получим
два соотношения
А (  2 ) 2 2' е
Ю"  ЮО ==   юо Sln ,
n
2 "
2БАffi ==  (Jj cos е.
n
(5.7.3)
(5.7.4)
Из BToporo соотношения сразу получается выражение для ампли
туды колебаний
ш2
A== (jJ cose.
(5.7.5)
Для автоколебательных систем
А Ь, 
о J!. 7t 3 "" 211 b
IV 2 Z" I и
I I I
Ii I
I
1ft ",, д" 9
2 2 2
Рис. 5.37. rрафики вависимости ампли
туды и частоты rенерируемых колеба
ний от запаздывания
rОМСОIIОВСIЮl'О типа можно счи
тать, что ffi  Юо, И поэтому
С достат{)чной степенью точ
ности мы вправе записать
Тоrда из (5.7.3) с учетом
(5.7.6) II (5.7.7) получается
ffi == Ц)О  б tg е. (5.7.8)
На рис. 5.37 приведены
rрафики зависимости aм
ллитуды колебаний А и re
нерируемой частоты ffi от запаздывания (фазовоrо сдвиrа)
е. На этом: рисунке видны различные области возбужде
ния (они заштрихованы) для различных сдвиrов фазы. YMeHЬ
mение амплитуды автоколебаний до А == О получается
при значениях е п == (2п + 1) /2, п == 1, 2, 3, ... Физически это
объясняется тем, что по мере ввода ДОПОЛIIительноrо фазовоrо
сдвиrа ток стока становится не в фазе с током в колебательном
контуре. Из анали-тическоrо выражения для частоты rенерируе
мых колебаний и соответствующеrо rрафика видно, что ffi OДHO
значно связана с фазовым сдвиrом е (с точностью до 2). При
изменении фазы е частота rенерации ffi сама неск(шыю смеща
А шо
 nб cose, (5.7.6)
ю2  Ю  2юо (ы  (00)'
(5.7.7)
о

!! 5.7. СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ СИЛАМИ
227
е'l'СЯ (в соответствии с (5.7.8)) тан, чтобы в пределах области
rенерации сохранить необходимый баланс фаз 8 == (2п + 1) n.
Одна из существенных особенностей данной автоколебательной
системы состоит в том, что при достаточно большом, т. е. опре
деленном L\t (8), при нотором выполняются условия возбуждения,
небольшое изменение рабочей частоты системы ffi == ЮО  б tg е
может привести R смене области (или областей) возбуждения
системы, ибо е == ffiL\t. Следовательно, в тано:Ц системе возможна
целая серия рабочих частот, лежащих в полосе прозрачности
Аонтура аВТОRолебательной системы, для ноторых выполняются
условия самовозбуждения. Установлено, что на возбуждение
в таRОЙ аВТОRолебательной системе Rолебаний с теми или иными
частотами решающую роль ОRазывают начальные условия. Если
начальные условия для ОДНОЙ ИЗ возможных частотных RОМПО
нент будут преимущественными, то эта Rомпонента -может дo
стиrнуть стационарной амплитуды раньше дрyrих и подавить все
остальные Rолебания. При этом система нан бы «запомнит) ту
чаСТ01У, Rоторая соответствовала задаваемым начальным yc
ловиям.
Рассмотрим применимость метода медленно меняющихся aM
плитуд для анаЛиза аВТОRолебательных систем с запаЗДЫБаю
щей обратной связью. Для Э'l'оrо, наА известно, необходимо, что
бы дифференциальное уравнение, описывающее 1\обротную Rоле
бательную систему, можно было привести 1\ виду
x+x==llf(x, х, Хо, Хо), r1\c Il« 1.
В правой ero части стоит фУURЦИЯ, зависящая не ТОЛЬRО от х
и х, но и от запаздывающих Rоординат хв И Жв. Тоrда решение
уравнения методом ММА можно проводить путем подстаНОВОR
х == и cos т * V sin т, ж == и sin т + V cos Т,
хв == и/cos (т  8) + Ve sin(T  8), (5.7.9)
Же == ив sin (т  8) + Ve COS (т  8).
Теперь необходимо определить, при RаRИХ условиях и  ие
и V  Ve. Естественно, что и и V отличаются от ив и Ve на вели
чину, на l\ОТОРУЮ они изменяются за ffiL\t == 8. Снорость измене
ния и, равная и, имеет ПОрЯДОR Il и, значит L\u == (и  ие) имеет
ПОрЯДОR 1l8. Поэтому если потребовать, чтобы Ile« 1, то можно
с'Штать, что ив  и и Ve  V, И применение метода ММА R таRИМ
системам значительно упрощается. Тем самым мы вправе допу
стить, что за время запаздывания амплитуда изменяется ДOCTa
точно мало. Тоrда можно записать:
хе == и cos 8 cos т + и sin 8 sin т + V cos е sin т  V sin 8 cos т ==
== (и cos 8  V sin 8)cos т + (и sin е + V cos e)sin т, (5.7.10)
Жв ==  (и cos 8  V sin e)sin т + (и sin е + V cos 8)cos т.

228
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОRОЛЕБАНИй
Укороченные уравнения находят в данном случае по обычным
правилам метода ММА; имеем
2п
. 1 r . .
и ===  2л .1 !-tf(x, х, Хе, Хе) sin 'т d't,
о
2п
. 1 S . .
v === 2л !-tf(x,x, хе, Хе)соs'Тd'Т.
о
(5.7.11)
Найдем этим методом условия самовозбуждения reHepaTopa
с запаздывающей обратной связью (см. рис. 5.35) при аппрокси
мации вольтамперной характеристики полиномом третьей степе.-
ни i CT === io + аои + "{оиз, rде и == М diAl/dt. Torдa уравнение (5.7.2)
при 't == ffit и 6 == 1  ю/ы2 примет вид
:;; + х === 6Х  21'1 + ae + Y.
Укороченные уравнения, приrодпые для анализа этой системы
. 3
на линейном учаСТJ(е характеристики (без учета члена УХе, OTBeT
cTBeHHoro за оrрапичеllие амПJIИТУДЫ автоколебапиii), запишутся
следующим образом:
. 1 1
и == "'2 (а cos е  21'1) и  '"2 (а sin е + 6) v == ер (и, и),
. 1 1 (5.7.12)
v =="'"2 (asine + 6) и + '"2(acose  21'1)и == 'Ф(и, и).
Система укороченных уравнений (5.7.12) позволяет опреде
лить условия устойчивости и неустойчивости состояния покоя
системы. Для этоrо, как известно, необходимо потребовать pa
венства нулю детермипапта
aq>  л
ди
a'IjJ
а;;
aq>
дV
a'IjJ  Л
ди
== О,
откуда получаем выражение для характеристическоrо показателя
Л 1 ,2 ===  + (21'1  а cos е)::I:: j + (а sin е + 6). (5.7.13)
Состояние покоя системы неустойчиво (система возбудится) при
условии, что вещественная часть л положительна, т. е. Re л ==
== 1/2 (21'1  а cos е) > О, откуда следует, что условием самовоз
буждения системы является
acose>21'1, (5.7.14)
rде а cos е  некоторая приведенная крутизна с учетом запазды
вания, 21'1  приведенные потери в системе.

!I 5.7. СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ СИЛАМИ
Нан видно, запаздывание в аВТОRолебательных системах TOM
COHoBcRoro типа приводит R уменьшению Rоэффициента pereHe
рации по сравнению со случаем без запаздывания, т. е. всеrда
(а cos е  28) < (а  2'1't). Если для RОНRретной системы заданы
параметры а и 2'6, то допустимое зацаздывание (фазовый
сдвиr е), при НОТОрО:М еще можно возбудить Rолебания в системе,
определяется ИЗ условия е < arccos(2'6/a).
Подход и методы анализа, использованные при рассмотрепии
TOMCOHoBcRoro reHepaTopa с запаздывающей обратной связью,
справедливы и MorYT применяться для
любых УЗRОПОЛОСНЫХ систем TaRoro типа.
Теперь рассмотрим друrой Rрайний 1
случай, Rоrда в аВТОRолебательной систе
ме с запаздыванием вообще отсутствует
Rолебательный нонтур, т. е. она являет
ся системой неОСЦИЛляторноrо типа с
очень ШИрОRОЙ полосой. ПРОПУСRания
(рис. 5.38). Будем считать, что усилитель
имеет неоrраниченную полосу ПрОnyСRа
ния и принципиально нелинеен, т. е.
и2 == '" (иl)' Элемент задеРЖRИ (запазды
вания) I1t является идеальным в том
смысле, что и == ",из (t  I1t), rде х  по
стоянный Rоэффициент, не завислщий от спеитральноrо состава
сиrнала. Физически это о:тачает, что дисперсия н цепи обратной
связи отсутствует. Заметим сраау, что ИСllош,ауемые для создания
запаздывания отре.ши Rоаисиальных линий и ИСRусственные ли
нии (фильтры) неизбежно обладают дисперсией, и поэтому ПО--
СТОянство Rоэффициента х может быть обеспечено праRтичесЮI
ТОЛЬRО дЛЯ оrраниченно;i полосы частот;
Для идеализированной схемы, ПОRазанной на рис. 5.44, можно
записать следующие очевидные соотношения: и2 == '" (и 1 ), из == и2,
и == хи з (t  I1t); тоrда
и == и 1 == ер [и 1 (t  I1t)].
29
!/силитtШЬ
2
4 L1t 3
Рис. 5.38. Блоксхема aв
токолебательиой систе.-
мы с запаздыванием без
колебательной цепи (без
накопительно1'О зле
мента)
ТаRИМ образом, для анализа поставленной задачи необходимо
решать нелинейное уравнение вида z == ep(z) с учетом запаздыва
ния в системе. Подобные фУНRциональные преобразования в MaTe
маТИRе рассматриваются методом итераций *).
Если задана фУНRЦИЯ ер (z), то процессом итерации называется
следующий процесс: задается неноторое начальное значение zo,
ноторое позволяет найти <р (zo); затем ер (Zo) == Z счи-тается новым
*) Метод итераций и друrие методы рассмотрения процессов YCTaHOB
ления колебаний в колебательных и автоколебательныi системах в лите
ратуре ИНО1'да объединяются под общим названием .метода точечnых пpeo6
рааО8аnий.

230
rл. 5. ЗЛЕМЕнты ТЕОРИИ АБТОКОЛЕБАНИй
aprYMeHToM И подставляется вновь в функцию qJ (z); при этом
получается функция qJ [qJ (Zo)], которая позволяет тем же способом
получить qJ{qJ[qJ(Zo)J}, и т. д. В теории итерационноrо исчисления
ПОRазывается, что ооли неоrраниченно продолжать итерационный
процесс, то получится последовательность величин Z!, Z2, Zз, '"
. .., zт, после которых вся последовательность итерационных зна
чений Z будет повторяться вновь и вновь. Иными словами, эта
последовательность соответствует He
ROTOPOMY предельному ЦИRЛУ. Если
в ней содержится т повторяющихся
значений Z, т. е. Z!, Z2, ..., Zm, то
эти значения по определению явля
ются итерационными порнями индек
са т.
Очень наrлядно итерационный
процесс можно представить rрафи
чески по методу Лемерея (рис. 5.39).
Если по оси абсцисс ОТRладывать Z,
а по оси ОР1\инат у == qJ (z) и прове
сти прямую У == Z, то процесс Ha
ХОЖ1\епия итераЦИОIlIlЫХ Rорней CBO
дится к следующему.
Пусть задано значение qJ (z), например, в точке Zo == О. Про
ведем rорJ.130нтальную прямую через точку qJ (Zo) до пересечения
С прямой у:=: Z. ИЗ этой тоЧRИ проведем вертикальную прямую
до пересечения с qJ (z)  при этом получим qJ [qJ (Zo)]. Дальнейшее
продолжение процесса даст qJ{qJ [qJ (Zo)]}
и т. д. Этот процесс приведет к HeKO !J
торому значению Z == Zt  единственному
порню llтерационноrо уравнения ИН1\екса
1 для данной системы. "у стойчивость KOp
ня очевидна: rrIe бы мы ни выбрали llа
чальное значение Zo, мы всеrда придем
в точку Z!. Критерий устОйчивости корня
соответствует
!J r;o(Zo) r;ot(f)[jO(ZоШ
, y=z
Z1 Z
Рис. 5,39, ПостроРнио ЛrмРрrlI
для уравнения с одним HOp
нем
y-z
Z1 Zo Zz z
Рис. 5.40. Построение
Лемероя для уравнения
с двумя корнями
IqJ' (Zt) j < 1.
Если ваять более прутую кривую qJ (z)
(рис. 5.40) и провести методом Лемерея
итерационный процесс, то получится CTa
ционарный предельный итерационный цикл. При этом, как видно,
получаются два устойчивых значения функции qJ (z), т. е корни
индекса 2 (Zt и Z2), Если бы функция qJ(Z) имела более сложный
вид, то итерационнЫМ способом можно было бы получить более
сложный стационарный цикл с корнями индекса т.
Система с идеальным усилителем и идеальной линией задерж
lШ математически адеRватна итераЦИQННОЙ задаче. В такой зада

 5.7. СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ СИЛАМИ
231
ЧJ В зависимости от вида нелинейной фУНКЦИИ можно найти
..iабор напряжений Ut, Uz, ..., и n , набор корней, соответствующих
Jпределенному периоду колебаний.
Если считать, что для схемы рис. 5.38 выполпено условие
амовозбуждения, а нелинейная функция <р (z) имеет вид, изобра
кенный на рис. 5.40, то в такой автоколебательной системе
.:rериодически чередуются напряжения Ut:И Uz, соответствующие
.IBVM КОDНЯМ итерационной задачи ZI и Zz. Это означает, что
,;
r>
I
2М
4М
6М
8М t
Jис. 5.41. Последовательное прохождение начальных импульсов через си-
стему с усилением и задержкой
иrнал проходит по системе дважды: первое значение COOTBeTCTBY
T началу прохожденил сиrпала чороз уеилитеЛl>, второе  OKOH
анию ПрОХОiJщенил Хllоетп СИl'III1JJН чороа сиетому задержки и
HOBa через УСИJШТОЛl.. ] lоатому пориод итерации соответствует
TДBoeHHOMY nрОМСIlИ ваДОрЖI\И Т  2t. Таким обра.зом, pac
матриваемая система должна находиться лиБQ в одном (иl),
.;rибо в друrом (Uz) еостояниях, т. е. колебания в системе должны
lЫТЬ подобны последовательнрсти прямоyrольных им:пульсов.
Если задать системе (см. рис. 5.38) начальные ТОЛЧЮl, то
JНИ без изменения cBoero спектральноrо состава должны уси
"IИТЬСЯ (рис. 5.41). Со временем эти импульсы изза нелиней
з:ости усилителя оrраничатся и система войдет в стационарный
Jежим, повторяя периодичность начальных импульсов исходно
o (начальноrо) режима. Такая последовательность импульсов
J;олжна получаться в случае идеальной системы. В реальных
;истемах сохраняется только общий период колебаний, завися
:ций от времени задержки, но форма начальных импульоов пре
ерпевает существенные изменения по мере циркуляции в aBTO
::юлебательной системе с запаздывающей обратной связью.
Дело в том, что даже при однократном прохождении сиrнала
--:rерез реальную систему с задержкой последняя вносит изза
:Iеизбежной дисперсии (т. е. зависимости времени запаздывания
'армонических компонент сиrнала от частоты) некие (пусть даже
Ieбольmие) искажения формы сиrнала, которые вследствие MHO
'oKpaTHoro прохождения через усилитель и линию задержки

2З:!
)',1), ", :JJШМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОRОЛЕБАНИn
приводят к УСl'ановившемуся процеесу, сильно отличающемуся пс
форме от исходноrо. Форма установившеrося процесса будет прЕ
этом определяться конкретными свойствами реальных линий за.
держки и усилителей.
Таким образом, рассмотрение процеесов в автоколебательных
системах с запаздыванием с использованием аппарата метода
итераций позволяет объяснить только периодичность и условия
возбуждения колебаний в системах с запаздыванием. Уже из ка-
чественноrо анализа поведения реальных систем можно сделать
вывод о невозможности создания с помощью таких систем ди-
намической системы памяти, которая была бы способна запо-
:&IИнать не только время воздействия сиrнала, но и ето сложную
форму.
Для анализа автоколебательдыx систем неосцилляторноrо ти-
па с запаздывающей обратной связью моЖно применить метОД
переходных характеристик. Этот метод основан на использовании
функции отклика f] (), физический смысл которой заключается
в том, что если на вход линейной системы подать единичный
скачок напрюнеllИЯ, то па ее выходе появится отклик f] ().
Функция ОТI\Лика, преJ(стаnляющая реальное значение выходно-
то напряжения, позволяет найти псреходпый процесс и напря.
жение на выходе четырехполюсника с помощью интеrральноrо
соотношения Дюамеля
d S t
иВЫХ (t) == dt и ВХ (t  ) f] () d,
о
(5.7.15)
тде   переменная интеrрирования.
Применяя этот стандартный прием для расчета автоколеба.
тельной системы неосцилляторноrо типа с запаздывающей o
ратной связью (см. рис. 5.38), можно записать
t
и 1 (t)  и о == :t S Ф [и 1 (t  )] f] ш d, (5.7.16)
о
тде Ф  функция потерь и друrих параметров, и!  напряжение
на входе усилителя, ио  начальное значение напряжения. По
скольку функцию отклика можно интерпретировать как введение
некоторойзадержки, то мы имеем ситуацию, сходную с той, ко-
торая получается при применении метода итераций. Действи-
тельно, в системе без дисперсии функция отклика представляеТ
«чистый» сдвиr во времени, т. е. f] () == % (  М). В этом слу.
чае решение интеrральноrо уравнения Дюамеля для системы без
дисперсии имеет вид
и! и) == Ф t [и! (t  М)],
т. е. получается изложенная выше итерационная задача.
(5.7.17)

!! 5.7. СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ СИЛАМИ
233
Итак, задача о движении в автоколебательной системе с за-
паздыванием сводится к исследованию интеrральноrо уравнения,
аналитическое решение KOToporo представляет большие трудно-
сти; однако оно может быть решено численными методами с п<r
мощью ЭВМ.
Аналитическое решение задачи возможно лишь дЛЯ началь-
нои фазы процеоса, коrда характеристику усилителя можно счи
тать линейной Ф(и) === kи и не нужно рассматривать задачу о ста-
ционарном решении. Переходную характеристику удается рас-
считать только для искусственной линии (цепочки) без потерь
I! для коаксиальноrо кабеля без потерь и с потерями.
В результате исследования удалось показать, что решение
задачи о начальном этапе автоколебаний в рассматриваемой си
стеме имеет вид
00
U 1 (t) ===  [а т (t) сов (<дmt) + Ь т (t) sin (rom t )] ,
т==l
(5.7.18)
rде справа стоит не ряд Фурье, а сумма rармонических компо-
нент напряжения, в общем случае с несоизмеримыии неэкви
дистантными частотами. Здесь a.n(t) и bm(t) ЭКСПОItенцпальные
функции времени; они возрастают, если
коэффициент усиления усилителя k > 1
:it достаточен для компенсации потерь в
:аепи обратной св л;ш: , или ссли DТИ поте 5,7
ри отсутствуют.
, Рассмотрим l1РИUJJИЩCJПIО, как будет Jтr
развиваться процосс колебаний в таких
системах. Известно, что в автоколеба
тельной системе с определенной фаЗОЧIt
стотной характеристикой будут нарастать
амплитуды тех колебаний, для которых
выполняются условия баланса фаз в сис
теме. Если принять, что усилитель изме
няет фазу колебаний на п, то удовлетво
ряют условию фазовоrо баланса компо
ненты, у которых результирующий сдвиr
фаз равен е == (2п + 1 )л. На рис. 5.42
приведена типичная дис.персионная кри
вая, т. е. нелинейная фазочастотная характеристика систе
:мы. В системе MorYT нарастать колебания с частотами <о,, <02,
<0з И т. д. Эти частоты, как мы видим, не эквидистантны. Если
бы в системе не было дисперсии, то rрафик представлял бы
собой прямую L\ === е/<о. При наличии дисперсии следует ввести
в рассмотрение и оперировать с дифференциальным временем
заДержКИ L\", === deld<o, значения KOToporo для мноrих реальных
систем всеrда лежат выше прямой L\ === е/<о.
{6 в. в. МIП'}'J1И1I 1'1 др.
8
/t
I
1 >
fJ.r &1
Рис. 5.42. fpафик зави-
симости фазы от часто--
ты (дисперсионная кри
вая) и определение 1'e
нерируемых частот в
аВТОRолебательной си
стеме с дисперсией

234
rл. 5, ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОRОЛЕБАНИЙ
в линейпом приближении, т. е. для начальной фазы npоцесса
возбуждения автоколебаний в такой системе, можно рассчитать
зависимость между дифференциальным временем задержки и 'CKO
ростью нарастания амплитуд rармонических компонент, удовлет
воряющих условию баланса фаз в системе.
Пусть коэффициент усиления k лишь HeHaMHoro превышает
единицу, т. е. (k  1)« 1, тоща am(t) и ьЛlи) можно считать
медленно меняющимися величинами за период колебаний. Кроме-
Toro, для линейноrо участка развития процесса каждая кодеба
тельная компонента тro порядка не взаимодействует с друrимп
компонентами. Тоrда, используя разложение в ряд Тейлора KO
эффициентов при sin и cos в (5.7.18), можно записать
аа т
а т (t) == а т (t  т) + dt т,
(5.7.19)
аь .
Ь т (t) == Ь т (t  т) + d7 т,
rде т одинаково ДJIН ВОJIИЧИll а т и Ь Уп , ибо обе опи xapaKTe
ризуют одну колебательную IЮМIIОIIОНТУ тro помера.
Теперь рассмотрим, как будет развиваться процесс автоколе-
баний ;в своей начальной фазе для произвольной тй компонен-
ты. в предположении о динейности усилителя (и2 == kUI) И (
учетом различноrо дифференциальноrо времени задержки т ДЛЯ
разных частотных компонент.
Выражение для тй компоненты на входе усилителя имее,
вид
и1т (t) == а т cos «(ijmt) + Ь Уп sin «(ijmt).
(5.7.20)
Кроме Toro, из схомы, приведеl1lIоii: на рис. 5.38, следует ря):
очевидных СООТlIошеIlИЙ:
uзm(t)==U2m(t), U2m(t)==kUlm(t),
и 1т т == UЗni(t т) == kUlm(t  т) ==
== k{am (t  т) COS [Фт (t  т)] + bm(t  т) sin[ Фт (t  т)]}
(5.7.21:
Приравнивая друr друrу (5.7.20) и (5.7.21) и заменяя в по
следнем а т (t  т) И Ь Уп (t  т) на соответствующие выражени:
из (5.7.19), получаем
а т (t) cos (Фтп + Ь т (t) sin «(ijmt) :;..=  k Пат (t)  a; т] Х
., [ db m ]
Х cos«(ijmtn)+ bm(t)dtm sin«(ijmtn), (5.7.22
rде, соrласно необходимому балансу фаз, мы потребовали, чтоб,

!i 5,7. СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ СИЛАМИ
23
(t)m"", == п или, в общем случае, Фтт == (2п + 1) п. Тоrда, при
равнивая коэффициенты при члеН,ах с синусами и косинусами,
находим
а т (t) == k [а т (t)  a: т J, Ь т (t) ,.:. k [Ь т (t)  a: т ],
откуда следует, что
da m 1 (
==1
dt т
f)a m ,
аЬ т 1 ( 1 )
dt == L\m 1  k Ьто
(5.7.23)
Из этих выражений видно, что при k > 1 аат! dt > О, аЬ т / dt >
> О. Таким образом, между скоростыо нарастания амплитуд ча
стотных компонент и дифференциальным временем задержки
установлена связь
а т (t) == ато ехр [ ;т (1  1 )],
Ь т (t) == bтf) ехр [ L\t m ( 1  1 )].
(5.7.24)
которая показывает, что чем меньше дифференциальпое времЯ
задержки '" (более низкочастотная компонепта), тем быстрео
увеличивается аМПЛИТУJ(а этоЙ J\ОМIIОIЮIIТЫ.
Учет дисперсии н антоколеfiнтеJ(l,lIоii е"етею lIеосцилляторпоrо
типа с запааi\ЫВЕ\ЮЩСЙ ufil'UТIIОЙ евнаыо IIpllВeJl 1\ i\ИУМ принци
пиальным реаУJ(l,татам:
1) колебания, развивающиеся в такой системе при условии
линейности усилителя, образуют спектр колебаний неэюшдистант
пых частот;
2) амплитуДЫ этих колебаний нарастают по экспонентам He
равномерно: чем выше частота компоненты, тем медленнее YBe
личивается ее амплитуда.
Из эксперимента известно, что в автоколебательной системе
пеосцилляторноrо типа с запаздывающей обратной связью в CTa
циопарном режиме rенерируется одпа или несколько самых низ
Rочастотных компонент. Рассмотрим кратко возможпое качест
венное объяснение этоrо явления.
В начальный период под влиянием различных флуктуацион
ных процессов возбуждаются все возможные частотные компо
ненты. 3'атем низкочастотные компоненты в силу yCKopeHHoro
развития опережают по амплитуде высокочастотные компоненты.
При дальнейшем росте амплитуд низкочастотных компонент они
первыми выходят за пределы линейноrо участка характеристики,
что вызывает уменьшение эффективной крутизны усилителя и,
нак следствие, ухудшение условий для нарастания амплитуд
-высокочастотных компонент. Это в конечном счете приводит к
16*

236
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОКОЛЕБАНИЙ
«выживанию}) только одной или нескольких самых низкочастот
вых компонент. \
Однако процессы возбуждения в такой широКополосной си
стеме MoryT существенно измениться, если создать в ней началь
вые условия, обеспечивающие преимущественное нарастание OT
дельной, например, высокочастотной, колебательной компоненты.
Для этоrо достаточно в момент включения автоколебательной
системы подать на нее высокочастотный (близкий по частоте к
одной из возможных высокочастотных KOМUIoHeHT системы) сиr
пал с амплитудой, значительно превышающей уровень флуктуа
Ционных шумов в системе.
В этом случае мы искусственно создаем большие начальные
значения а то и Ь то .высокочастотной компоненты (5.7.24), и, xo
тя скорость ее роста меньше, чем у низкочастотной, она первоЙ
ВЫйдет за пределы линейноrо участка характеристики и может
снизить действующую крутизну усилителя До значения, не обе
спечивающеrо пеобходимой степени реrенерации дрyrих (в тоМ
числе 1I l1и;нючаСТОТIIЫХ) I\ОМПОlIент. Опыт показал, что таки:ц
путем мошно застаВИТl. ШИрОI\ОПОЛОСПУЮ аnтоколебательную си
стему с задеРJIшоii rенерировать (запомипаТl» Iюлебания до, при
Мерно, пятнадцатой частотной ROMHoHeIITbl.
5 5.8. Хаотические колебания в динамических системах
До сих пор мы рассматривали npимеры lюлебательных и ав..
токолебательных систем, имеющих cTporo детерминированные
решения на основании существования и единственности решений
задачи :Коши для динамических систем. ;Под динамической си
стемой понимают какойлибо физический объект, математическую
модель или процосс. состояпие которых однозначно определе о
совокупностью некоторых пеличип в начальпый момент времен и,
а с помощью задаююrо футшиональноrо оператора можно най -
ти состояние системы в любой наперед заданный момент вре -
мени.
"Спрашивается, MorYT ли в таких системах существовать слу.
чайные, непредсказуемые (хаотические) движения? Если рас'
сматривать системы с очень большим числом степеней свободы
например rаз, жидкость, то даже интуитивно npeдставляетш
естественной непредсказуемость траектории движения микрообъе
ма в таких средах. Если же рассмотреть на фазовой ПЛОСКОСТI
характер движений n линейных и нелинейных колебательных ]
автоколебательных системах cTporo с одной степенью свободы
То, как было нами показапо ранее, колебания в таких система:
носят cTporo детерминированный характер.
Однако уже при рассмотрении движений в окрестностях осс
бой точки типа неустойчИБЫЙ фокус и особой точки типа седл
(рис. 5.43) видно, что малая неопределенность 81 в задании НЕ

 5.8. ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИНАМИЧЕСRИХ СИСТЕМАХ 237
.:rальных условий (разброс)' приводит В случае экспоненциальной
..iеустойчивости (рис. 5.43, а) к большому разбросу 82 фазовых
Dаекторий через конечное время /).t, а в случае возмущения
',епаратрисы  к неопределенности движения в ее окрестности. На
1'1'0 указыБлл еще Пуанкаре, Коrда писал, что «ничтожная ПрИ 4
.:rина может вызвать в неустойчивых системах значительное
ействие». Физическая сущность в неопределенности задания
j
у
, 8z
(J;'
I
\
\
,
,
"-
,
"
а
о
?ис. 5.43. Влияние неопределенности (разброса) на характер фазовых Tpa
екторий для разных колебательных систем
:rачальных условий или возмущений движсниЙ заЮlючастсл в
"lаличии в реальпых l\олоuаТОJIЫIЫХ: систомах флуктуирующих
.шрамеТРОD.
Таким образом, i\ЛЛ попродсказуемости иеобходима экспонеН4
:щаЛЫlал нсустойчипость или сложное движение в окрестности
епаратрисы, однако для получения хаотичесRИХ колебаний не 4
Jоходима еще и возвращаемость фазовых траекторий, что реали..
:овать ,на фазовой плоскости нельзя, так как на ней фазовые
Dаектории не пересекаются. Поэтому минимальная размерность
v фазовоrо пространства, в котором можно описать такой пр
тесс, равна N == 3, что соответствует колебательной системе
 полутора степенями свободы. Такая система может состоять из
ОВОRyпности двух систем: колебательной систсмы с одной полной
;тепенью свободы (LСRсистема) и системы с одной вырождеН4
IOЙ степенью свободы (LR или СRсистема).
rеометрический объект в фазовом пространстве, к которому
тремятся все фазовые траектории системы и от KOToporo они ОТ4
"алкиваются, так как неустойчивы на нем, принято назыБчч
:тран,nым аттра1'>ТОРОМ, в отличие от известных нам простых ат-
oaKTopOB (притяrивающих и отталкивающих множеств, СОС.'1;ОЯ 4
:rий рав:ц:овесия).
в трехмерноМ фазовом пространстве «странное» поведение
"'Dаекторий можно себе представить, например,' следующим обра..
ом:они разбеrаются по спиралям на плоскости, а БОзвращают<:я
за нее после выхода в пространство (рис. 5.44). Так как пове..

238
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОIЮЛЕБАНИЙ
дение таких систем в сильной степени зависит от начальных
условий, то, несмотря на детерминированность описания, нет
возможности предсказать эволюцию системы. В этом случае He
обходимо построение статистической теории динамических си
стем со странным аттрактором.
Изучение свойств и особенностей хаотических колебаний в
динамических системах потребовало привлечения для их анализа
ряда самостоятельных дисциплин и методов, таких кю{ теория
нелинейных колебаний,
теория динамических си
стем, теория дифферен
циальных уравнений, Teo
рия возмущения, теория
устойчивости и бифурка
ций (бифуркация  каче
ственное изменение дви
жения) , статистическая
теория. Хаос в динамиче
СКИХ системах  одна из
важных проблем нелиней
пой теории колебаний, так
как мноrочисленные задачи в области метеоролоrии, биолоrии,
ЭКОIЮМики, эколоrии, мноrих раделО'Б физики, в том числе радио
фИЗИRИ, описываются общими или сходными динамическими
уравнениями. Исследования в этом направлении проводятся с
помощью численных и натурных экспериментов.
Для изучения характера движений в конкретной колебатель
ной системе с целью установления наличиЯ или отсутствия
CTpaHHoro аттрактора в ней используется ряд методов.
Рис. 5.41. ВоаМОil\llЫЙ харю,тор двишенин
изображающеЙ точки в фааOlIОМ простраll
СТВО с N == :!
ох
Рис, 5.45. Изменение во времени фазовой переменной x(t) для 1'енератора
с инерционной нелинейностью в режиме хаотических колебаний
ф Численное интеrрировапие исследуемоrо дифференциально--
то уравнения с исключением переХОДIIоrо процесса. В результате
мы можем получить картину изменения во времени одной или
нескольких фазовых переменных х и), i и) и т. д. На рис. 5.45
показана одна такая временная реализация для reHepaTopa с

 5.8, ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 239'
iперционпой нелинейностью, работающеrо в режиме CTpaHHoro
, \
3.ттрактора.. ,
2. Исследование фурьеспектра получающихся колебаний ли':
10 в натурном эксперименте с помощью спектрапализатора, либо
3 результате интеrрирования уравнения с помощью ЭВМ по
пециальной проrрамме «быстрое преобразование Фурье». При
волюции колебаний в системе от периодичесRИХ к хаотическим
JDИ изменении одноrо или нескольких управляющих параметров,
,qS
-".78
'l.07
О
"..,
0.3
0,5
I
0,9
I
1,2
I
7,5 (д
Jис. 5.46. СпектральныЙ состав колебаний в параметрическом усилителе на
джозефсоновском переходе в режиме хаотических колебаний '
шпример амплитуды и (или) частоты внешнеrо. воздействия,
<оэффициента нелинейности, декремента затухания (инкремента
шрастания) .и т. П., в спектре наблюдается сперва возрастание
.'ровней rармоник, затем появление субrармоник (бифуркация
""Iериода колебаний) и при хаосе образуется сплошной спектр,
3 котором выделяются некоторые характерные частоты системы.
'fa рис. 5.46 показан спектр хаотических колебаний в парамет
Jическом усилителе па джозефсоновском переходе, описываемом
'равнением
.. l'
ljJ + ,/ 1jJ + sin«p == pcos(rot), (5.8.1)
r c
дe ({J  джозефсоновская разность фаз, р и (J)  амплитуда ц
:raCTOTa СВЧoofiОДЯ, c  llараметр, ра'Впый внешней частоте, HOp
Аированный к частоте плазмы. .
3. Исследование корреляционных фУНIЩий хаотических коле
lаний. При'н/!,личии сплошноrо спектра в силу теоремы Винера 

240
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОКОЛЕБАНИй
Хинчина получается спадающий характер ФУНIЩИЙ :корреляции.
для любой фазовой переменной x;(t). Прямой расчет фУНIЩИИ
I>орреляции может быть осуществлен с помощью соотношения
k (t) == <XiXi+'t  т 2 ), (5.8.2)
rде т  среднее значение переменной Х; (т == х;).
4. Одним из :критериев стохастичности (хаотичности) явля
ется положительность энтропии К динамической системы, кото--
рая характеризует среднюю скорость разбеrания фазовых TpaeK
торий В странном аттракторе:
К 1 . 1 . м (8, t)
== 1т lm,
вo too t
(5.8.3)
rде 8  неточность измерений, t  время наблюдения, М (8, t) 
максимальное число траекторий, расстояние между которыми
!J
<5
!J
3'
tJ
а
{J
о
J
5
о
2
о 2 J:
J
fj
iJ
J:
3'
!J
3'
:. . ...... .' .'
. '..:,'::: ,',:,,:-/ :=:,' :.>.: .=":.
. " ":' .: ,,' .'. . :....
. " ,,'
....
.....
",
о
.',
.'
,.
....
". '.
.' :  ..... . 
ь
о '. :.," ",:, .,
" '" а
'"
0'0:
....
........:.." .:
. "о ":. .
.........
'. '."" :'" ;".
3
.........
::...:.
3'
....:... О""
. о". . '.
. ,- ',' 0.0.
О" ..:.... .:.'
3
[J
2 J:
5
о
2 J:
Рис. 5,47. Эволюция двумерноrо отображения сдвиrа при увеличении ампли
Tyды внешнеrо воздействия в случае HeaвToHoMHo1'o reHepaTopa Ван дер
Поля с нелинейной реактивностью
больше 8. Таким образом, если траектории устойчивы по Ляпу
нову, т. е. близкие исходные изображающие ТОЧ:КИ не расходятся
далеко, то К == О.
Дрyrии :критерием стохастичности является ляпуновский xa
рактеристичес:кий пока за те ль Л, который также характеризует

 5.8. ХАОТИЧЕСIШЕ НОЛЕБАНИЯ В ДИНАМИЧЕСНИХ систЕМАХ 241
среднюю скорость энспоненциальноrо разuеrания близ них Tpa
енторий:
л. == Нт : ln I х (t)\.
t--+oo
(5.8.4)
Положительность л. означает разбеrание фазовых траенторий,
а значение л.  rлубину хаоса.
5. Определение дисперсии D 2  (х  х) 2 И построение rисто--
rpaMM по реализациям. При сечении cTpaHHoro аттрактора пло
сностью, называемой плосностью Пуанкаре, можно снизить раз
мерность фазовоrо пространства на едИНllЦY и получить на ней
нартину эволюции нолебаний. от периодичесних до хаотических
при изменениИ ynравляющеrо параметра (двумерное отображение
сдвиrа). На рис. 5.47 поназана таная эволюция отображения
сдвиrа для HeaвToHoMHoro reHepaTopa Ван дер Поля с нелиней
ной реантИБНОСТЬЮ, уравнение движения KOToporo имеет вид
х  е (1  х 2 )х + х + ух З == р cos( O)t):. (5.8.5):
На рис. 5.47, а показаны периодичесюre и квазипериодическив
I\олебания (О < р < 1,7), которые переходя т затем (1,9 < р <
< 2,65) к семитактному цинлу (рис. 5.47, б), который в свою
очередь разрушается (рис. 5.47, в), и при р > 2,75 получаются
хаотические колебания. При р == 5
в системе наблюдается раанитый (,
хаос (рис. 5.'17, е). Сущсствуют И
неноторыо "руrио методы ИССJlедо
вания I\олсuаТСJrЫIЫХ процессов в
странпых аттракторах.
В настоящее время известно He
сколько сценариев развития хаоса в
неавтономных колебательных и aBTO
колебательных системах. Наиболее Рис. 5.48. Пример одномерноrо
часто встречается и Теоретически необратимоrо отображения
разработан сценарий перехода к xao
су путем бифурпаций удвоения периода полебаний. В связи
с этим рассмотрим свойства одномерных отображений НХ)
(рис. 5.48) вида '
х ,
х "
1 J:
xn+i  НХ n , С)", (5.8.6)
'(С  параметр), имеющих единственный максимуМ (иинимум,.
Такой выбор вида функции необходим для получения хаотиче-о
ских колебаний, которые возникают изза наличия хотя бы од..
Horo экстремума f' (х)  О.
Если провести процесс итераций rрафическим метоДОМ Леме-о
рея, то, вопервых, леr:kо убедиться в том, что 'вне завИСИМОСТI!
от выбора начальноrо значения хо решение сходится R точке Хщ
I\ОТОрая является неподвижной устойчивой точкой отображения

'242
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АБТОIЮЛЕБАНИЙ
,(корнем) Хн === нхн), BBTOpЫX, из рис. 5.48 видно, что ото--
бра жени е необратимо, так как одному и TOMr же значению Xi
соответствуют два начаJlЬНЫХ состояния ХО и Хо.
В случае одномерноро отбражения с одним максимумом, корда
j' (х) === О, а f" (х) * О, т. е. отображение локально Ю!адратично,
tz
/
/
"
п
f'z
/
 !
 ''
I
" 
, ................ %
ill
/
/
о
d
.Рис. 5.49. ВО:JПикповспие процесса с удвоенным периодом колебаний в слу
час квадраТИ1JlЮ1'О отображопин 12 == l(f(x)): а  С > 1/2, б  С < 1/2,
..в  двухоБОРОТllЫЙ (СIIЛОНIlIIIН линия) И ОДllооборотпый (штриховая ли
НИН) ЦИI\ЛЫ
можно линейным преобразованием разложения Тейлора вблизи
экстре.мума получить Ю!адратичное отображение в виде
Х n +1 == f(x n ), Рде 1 (х n ) == 2Сх n + 2x. (5.8.7)
Если построить функцию отображения 12(Х)== f(f(x)) при
различных значениях параметра С (рис. 5.49) и прямую Нх)== х,
то при С > 1/2 оба пересечения ЭТИХ
линий соответствуют неподвижным
точкам с основпым периодом; при
С < 1!2 точка Х 1 0 становится неустой
чивой, и одновременно с ЭТИМ рождает
ся пара неподвижных устойчивых TO
чек с удвоенным периодом, которые
удовлетворяют условиям
х
о с
рис. 5.50. Иллюстрация к
возникновению бифуркаций
удвоения периода при из
'менении параметра С для
'iatадраТИЧIlоrо отобраJI\е
ния
х 2 + == f (X2) === 12 (Х2+)"
, X2 == f (Х2+) == f 2 (X2)'
Это и есть пример бифуркации YДBO
ния периода. На рис. 5.49, в показан
двухоборотный цикл С 2 , рожденный при
возмущении ОДIIооборотноrо цикла C i .
При дальнейшем уменьшении параметраС происходит сле
дующая бифуркация удвоения периода и т. Д. На рис. 5.50 изо--
бражены первые три бифуркации удвоения периода, в результате
I(OTOpЫX рождается колебание с периодом, равным восьми. Инт

 5.8. ХАОТИЧЕСRИЕ НОЛЕБАНШI В ДИНАМИЧЕСRИХ СИСТЕМАХ 243
ресно отметить, что при этом закон изменения параметра (закон
подобия) подчиняется универсальной постоянной Феfuенбаума,
б == 4,6692 (для отображения с одни квадратичным максимумом)
и имеет вид
Ck+1Ck 1
C k  Ckl == 6'
Последовательность бифуркаций С" сходится к предельному
значению С ОО == O,781 (при численном моделировании С ОО ==
== o, 785). Однако в численных и натурных экспериментах уже
после ДBYXTpex бифуркаций удвоения периода возникают хаоти-
ческие цолебания. В некоторых системах наряду с удвоением
периода колебаний при бифуркациях рождаются также колеба-
ния с периодом 3, 5, 7, ..., механизм образования которых He
сколько отличается от paccMoTpeHHoro выше. Друrим механизмом,
ответственным за появление сложноrо неупорядоченноrо движе
ния, является перепрытие реаоnaн,сов. Если на линейный осцил-
лятор действует внешняя сила р (t) с периодом 2л/Q .
 + ffi:X == р (t), (5.8.9)
rде k == 1,2,3, ...
(5.8.8)
то, как известно, решением однородноrо уравнения является
ХО == А cos (ffiot) + в sin (ffiot). (5.8.10)
Если внешнюю силу r (t) ра:JJIOIIШ TI. 11 рlЩ Фу pl,e:
00
'р (t) ==  + 'l [ап cos (nQt) + Ь п sin (nQt»),
то, разлаrая частное решение 'А в. ряд Фурье,. для nro члена
получим
а п cos (nQt) + Ь п sin (nQt)
л-п . 2 2W .
. (OO.n
(5.8.11)
При ffi  n 2 Q2 получаются резонапсы с раскачкой колебаний.
Если же колебательная система нелинейна, то в ОДIIОРОll;НОМ ре-
шении (5.8.10) присутствуют все rаРМОIIИКИ, кратные основной
частоте ffio. В этом случае резонансы имеют место всякий раз,
Коrда отношение ffio/Q является рациональным числом, т. е. по-
лучается всюду плотная система резонансов. Так как в нелиней
ных ,СИСТ,емах собственная частота колебаний являеТjJЯ функцией
И'Х амплитуды, а реЗЩIaнсны:е явления как раз изменяlO'r амnли.'
туду и, следовательно, частоту колебаний, то тем самым наруша-
ется вЫполнение условий резона:нсов. Следовательно; малые зна'"
чения ;шаменателей, преПЯТ1'вующие сходимости классических
рядов в окрестности резонансов, естественно, отращают определен--
ные физические явления, которые ВЫЗЫfЩЮТ локальные измене-
ния характера фазовых траекторий.

244
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОНОЛЕБАНИй
 Мноrочисленные исследования в области хаоса в динамич
CIWX системах направлены на изучение областей хаотичесних 1.
периодических (если они есть) колебаниИ в :кoHKpeTвыx система:..
в пространстве (плоскости) некоторых управляюIЦИХ параметроI.
с целью определения режимов нормальной работы систем, а Tal<
же на аналитическое изучение некоторых особенностей переход..
к хаосу с математическим моделированием с целью проверrc-
результатов на ЭВМ, на изучение характеристик хаотически:...
колебаниИ и их зависимости от параметров системы с целью и('.
ПОЛЪЗ0вания таких систем в качестве reHepaTopoB шума.
В качестве примера reHepaTopa хаотических автоколебанш.
рассмотрим reKepaTOp шума кпр (по первым буквам фаии:шп..
ero авторов:' Кияшко, ПиковсК1IЙ, Рабинович). reKepaTO
R
l
I 'nz)
"[о,
с
!!
.0 о
Рис. 5.51. Схема rеператора хаотических автоколебаний (а) и вольтампеr
пая харахтеристиха тув:нельноro диода (6)
рис. 5.51,а) представляет собой автоколебательиую систему с
одной степенью свободы, в последовательную цепь которой ВRЛю-
чек туннельный диод с параллельной ему емкостью С., повьппаю.
щий степень свободы системы до 1,5. "Уравнения движения такоЁ
аптоколебательной системы имеют вид
:t -== У  бz, У -== x + 2уу + az +, J.l.i -== Х  f(z), (5.8.12:
rде
Х -==   1} у == iJ (v o  v) {  + 2 }
V t J.\ '1/СР о
Z -==   1, 't' == VLC ' U == у L 10 ';
t L R РО J.\ С 1
l' == 2 V LC (g  с )"  -== g   1" J.I. == U С' а == 1 +   21'6.
Вольтамперная характеристика туннельноrо диода j(z) аппрок
сииируется кусочнолинейной Nобразной mтрихованной линией
показанной на рис. 5.57, б.
Если J.L <: 1, то все движения в фазовом пространстве ЭТОF
системы складываются иа медленных, которым соответствуют фit-

!j 5.8. ХАОТИЧЕСIШЕ НОЛЕБARИЯ В ДИНАl\IИЧЕСНИХ СИСТЕМАХ 245
зовые траектории, лежащие на повеРХНОСТII х == f(z) (на hлоско
стях z == 1, х < 1 и z == 1, х > 1), и быстрых (вдоль прямых
х == const, у == const). Иными словами, при l.t  О фазовое про.
странство системы (5.8.12) вырождается в две перекрывающиеся
в полосе 1 < х < 1 Полуплоскости (рис. 5.52). Переход изобра
жающей точв:и с одной из них на дрyrую прОИ,сходит на прямых
JJ 1
шу
Рис. 5.52. Фазовое пространство системы, описываемое уравнениями (5.8.12)
.zl
х == 1 и х == 1. Нак и требуется "ля страппоrо аттрактора, в
системе имеются три состонпия раппонсr,IIН (оюlO n пачале KOOp
динат и два распоJIощоIпlыx симмотрично на поверхности мед.
ленных движений), причем все состояния являются неутойчи.
выми. Ввиду палrtчия в системе эксПоненциальной неустойtmво--
сти разброс в пачальных условиях приводит как R перемещению
v
I
Рис. 5.53. ХаотичеСIШе автоколебания в reHepaTope нпр
положений неустойчивых фо:кусов, так и к неопределенности в
фазе перехода с одной плоскости на друrую и, следовательно,
1, числу колебаний в цyrax напряжений, которые rенерируются
таким reHepaTopoM (рис. 5.53). Действительно, две сколь yrодно
близкие фазовые траектории около rраницы срыва с поверхно.
сти медленных движений ведут себя совершенно различно. Те
на них, которые раСПОЛо'жены' внутри траектории, касательной
1, прямой Ixl == ::!:1, останутся на поверхности медленных движе.
JlIIЙ и совершат еще почти целый виток, а те, которые лежат

246
rЛ. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОRОЛЕБАНИЙ
снаружи этой касательной траектории, нереходят в окрос.тность
симмеТрИЧIIоrо неустойчивоrо равновесия.
Можно по казать, что выдаваемые таким reHepaTopoM в ди
скретные моменты времени значения напряжений будут близка
к последовательности независимых случайных величин.
Ранее при изучении ряда задач о воздействии внеDIВей силы
на нелинейные колебательные и автоколебательные системы
(э 3.33.6, 4.5, 4.6, 5.6) мы считали, что в рассмотренных си
стемах возможны лишь одночастотные или двухчастотные cTporo
периодические движения. Однако нетрудно заметить, что, Бопер
БЫХ, все эти системы описываются тремя независимыми пере
менными (3я координата  время) и, BOBTOpЫX, являются
нелинейными. Следовательно, в таких: системах при определеН1
ных условиях, налarаемых на амплитуду и частоту внешней
силы, декремент затухания (инкремент нарастания), коэффици
ент нелинейности, можно ожидать появления хаотических коле--
бапий.
Выше мы уже принеJJИ примеры некоторых таких систем: па
раметрическоrо усилителя на :эффенте Джозефсона (5.8.1), reHe
ратора Ван дер Поля с впешним rармопическим воздействием
(5.8.5), в которых обнаружены как области иериодических, так
и области хаотических колебаний.
Хаотические колебания обнаружены также в нелинейных ко..
лебательных системах, находящихся под действием rар:иопиче..
ской возбуждающей силы, ypaB
нения движения в которых в
безразмеРJlЫХ пере:иенных им е..
ют вид
х + 2tt.i + х + х З  р COS ( ffi t ) ,
х + 2tt.i + х  х З  Р COS(ffit),
(5.8.13)
х + 2tt.i  х + х З  р COS (ffit).
Эти уравнения достаточно xopo
шо описывают мноrие радиофи
зические, оптические и механи
ческие системы, такие, как
сеl'нетоэлектрические резонато
ры и контуры с ферромаrнети:'
ками, взаимодействие связан""
пых зарядов с полем электро
маrнитной волны, обтекание'
воздушным потоком тел с тупыми обводами (плохо обтекаемых)
и др. Уравнения (5.8.13) известны в литературе как ypaBHe
ния Дуффинrа.
Для исследования колебательных систем, находящихся ПОД
Jlнешним периодическим (rармоническим) воздействием, в част..
Рис. 5.54. Метод отображения двy
MepHo1'o фазово1'О пространства на
себя через период Т внешней силы

 5,8. ХАОТИЧЕСНИЕ НОЛЕБАПЮI В ДИНАlVIИЧЕСНИХ СИСТЕМАХ 247
!ости систем, описываемых уравнепиями (5.8.13), используется
.{етод отображения фазовоrо пространства на себя через период
:: внешней силы (стробоскопический метод), Korll;a па секущей
1Лоскости отображаются две фазовые перемеПIlые х и х либо
щна из них (рис. 5.54).
Пристроrо периодическом с периодом Т изменении х от Bpe
>1:ениt положение точек пересечения секущих плоскостей с TpaeK
!'орией не меняется. При бифуркациях периода колебаний
р
А;е
. н::з :i::::::НВНХз::::::::::::::::
х :.1СХ хх  . х з х] l .7. . . . . . х х 3] . Х:] Х 3.2................
....... :]I: ::::?:::=:Хзl\::::::::::::;:::
: : : : : : :  3 J : : :: :  : х     :   : :  : :    i  х : J 1 : : : : : : : : : : . . . : . .
: : : : : : :  J Х : 6Х : : ! : х    :  : j : : : :   = 1. =)  i  j : : : : : : : : : : : : : : : :
. . . . . J .   . j I Х . . Х 1 Х 3 2 . 7 . . Э.. . . Х Х Х Х Х Х 3 3 . 3 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
::::: .:r::::=::J:х:::з::х:: !\ii::::::::::::::::
.. .. х.,l.э".ххх..х3хх.хl.....)Ii)(х3хх3 )]322................
: : : :: J:: x :  i  3 :   =  :  : : : : : :    :: = ] :!  } J j  : : : : : : : : : : : : : : : :
..... .ХХS.i)(.S.ХХХ3Х.7..J...Х1(ХХЖJt 3J312...,.............,.
.....1 ХХХ..ЭХ"'Х3ХJl'Х"З"ХХХ Х ХХЗ 3ээ2.................
.. ". . . tI.., Х 3 . Э 3 Х . . . 3 Э х э 1 Х Х . . . . . Х Х х.) Х  Э 3 3 2 . . . . . . . . '-' . ;-' . . . . .
. . .. . . . '. "х 2 3 . . э 3 . . .  3 Х Х . Х 1 . . . . . Х Х Х 3 Х 3 3 Э 3 12 . . . . . . . . . .. .....,.
::: ::: :  Э f х ::: : хИ:::: з: : ::нр jз Н Н; :: :::::: :::::: : : ::
.......1. 7.эх7..ХХХ2.Х.....хХХ3Х 333322'...... ............
: : : : : : : э . 12  :  П ,; п н х  : : : : : B  Х п 1 п;: : : : : : : : : : : : : : : : : : :
.... .... . э . .. . э . Х 9х Э . Х .. .. . 1 Х Х Эх 33 1Э Э 2 , .. . .. .. . .. .. . .. .. ..
....... .3.ХХ...Э.ХХ.Х..3..хххэх 3Э33......................
-.о ........ .Х.3Х...Х3ХХ.Х.....ХХХ3Х 333322....................
. . .. . rт .. 2 3э ЭХ. . Х '32' Х . . . . . Х Х Х Х Х 33322.................. Э . .
..... .х..ззХ..ХХ]l.2....зХJ(;JХХ 33]2....................].2
:зs ::::: хВ,;:J;.Н:::!:ПХ3ВН::::::::::::::::::::l
..... Х.3Х.э2..Х30.......ХXl .J3311..................3. i .3
::::: X:l,;:::PX:X  :i::::: . 331:::::::::::::::::::3::
Jl ...... '3'ХЭХ"Jl1. .....Bl..1 )р...................3.3..
:::::: ::хз:з:.: :::o: 311::::::::::::::::::::3 1 :::
...... "' 1 12'А1 J'2' \ "XXXP 32Н................... ....-
.. .......)(.. ...)(6'.)1'. ..ХХ] 1',,2.................)........
:::::::Xl:l:::::: : ::,;X I2}H:::::::::::::::::3 J ::::::::
...... J'Х3  ХЭ32" . хх 22IЭl2................э. ........
д. ....... . [ 2'ХЭЭ' .Х.. Х 212221.................э.э........
.. .. ... . 3 .. Х Э . . э.. ! }, 2 2 2 Э 2 .... . .. .. .. .. . .. . .. э. э .. . .. . . 1
: : : : :  :  : 1 : : : В :.:?:: Ш Н  : : : : : : : : : : : : : : : : : :  : : : : : : : i : 
......... ..Х3. .э...О22112................эl.......1.2..
.. .. ..1 . .. Х ;(Э. .2.] . . .222212. . . . .. ......... э ээ . . . . . . . 2 . . "
. . . . . '1' . '3 2......22 5222 . . . . . . . . . . . . . . . .3333 . . . . . . . . . . . .
. .. . "2. Э. " . . . э. . .lll22. . . .. . . .. . . . . ... э э.э. .. . . . . " . . '.
   ):?   HE    ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . з . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- :::: :::::: :::::: ::::::: :::::: ::::::;:!::::: :::::::: :::::::
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. . . . . . . , . . , . . . . . . . . . ' . . .
S.J ................................... 3' . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3' . . . . , . . . , . . . . , . . . . . . . . . "
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3' . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . .
з: : :: : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : :: : : : :
 ;         ;   ; ; ;  !.   ;.: : 'T j: \  j  j  i  j' :, \ :.).: i ;, , .
u     u      u  и U
!ис. 5.55. Области с разным характером движений для системы, описыва!r
.. ой уравнением ДуффиШ'а вида
х + 2t}x + х + х 3 .== Р cos (uтt) (2'!) == 0,1)
оложение точек пересечения меяется, но они повторяютоя COOT
j8TCTBeHHo через 2Т (бифуркация удвоения периода), через 3Т
рождение трехоборотноrо цикла), через 4Т (умножение перио
:з;а в 4 раза) и т. д. При возникновении в системе хаотических.

248
rл. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АВТОНОЛЕБАНИй
колебаний положение точен пересечения фазовой траекториИ
с секущими' плоскостями становится непредсказуемым. ЭТОТ М8--
тод исследования характера движения используется при ПРОВ8--
дении численных экспериментов по изучению эволюции перехода
периодических с основным периодом Т колебаний к хаотическим;
Весьма распространенным способом представления результа
тов таких исследований является изображение на плоскости па:'
раметров, например амплитуды р и частоты (J) внешней СИЛь'l
областей, периодических с основным периодом (область нормаль
пой работы), областей бифуркационных движений и областей
хаотических колебаний.
На рис. 5.55 в качестве примера показана такая плоскость
параметро:в с разными видами движений для уравнения Дy
финrа вида x+2'1'tX+X+X3==pCOS«(J)t) (2'1't == 0,1). Точками на
рисунке показаны области периодических с основным периодом
т == 2л:/ (J) движений, цифрами обозначены области бифуркаций
умножения перИОll;а (цифры указывают на новый период коле.-
баний), а крестиками изображепы зоны с хаотическими колеба
виями. Обращает на себя впимапие сложная картина располо
жения областей с разпым характером движепия, что, однако,
наблюдается практически во всех системах с хаосом. Из
рассмотрения рис. 5.55 видно также, ч'l'() переход к хаотиче-ским
l\олебанlIЯИ происходит через бифуркации умножения периода KO
лебаниi, что подтверждает, в частности, справедливос'tь теории
возникновения хаотически колебаний через последовательность
бифуркаций умножения периода.

rЛАВА 6
КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕйНЫХ СИСТЕМАХ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
* 6.1. Собственные Rолебания системы
с двумя степенями свободы
ЧИCJIО степеней свободы определяется как минимальное числс>
независимых переменных, необходимое для описания движений
в системе. В механической системе ero можно найти как иmm
мальное число точек, ноторые необходимо закреlIИТЬ для '1'01'0,
чтобы прекратить движение. Для электрической сист.емы ЭКБива
лентом закрепления. является разрыв цепи, если веаависимо:п'
переменной служит ток, и замыкание цепи, если в качестве неза
висимой переменной выбрано напряжение.
Необходимо четко представлять себе, что в этом определении
речь идет не о реальной системе, а об идеализированной модели
реальной системы. Практически любал реальная система обладае'!'
бесконечным числом степопен свободы, если учесть все возможны&
в ней движения. Например, rрузик, подвешенный на пружипе,.
может рассматриваться как система с одной степенью свООоды,.
если он совершает колебания тольR.О вдоль оси пружИIIЫ. Но эта
же система обладает тремя степенями свободы, если учесть ещ&
и маятникообразные колебания rр}"за в двух плоскостях. Если ж&
принять во внимание возможность колебаний, связанных с изrи
бои пружины, ТО число степеней свободы становится бесконечным
А ведь можно еще учесть и упруrие колебания caMoro rруза, и
даже колебания молекул, из которых состоит rруз.
Поэтому определение числа степеней свободы, которые должны
быть учтены в идеализированной системе, зависит от характера
движения реальноrо объекта. Как правиJlО, можно пренебречь.
теми степенями свободы реальной системы, которым COOTBeTCTBY
ют частоты, сильно отлnчающиеся от частот рассматриваемых K
лебаний.
Правильnый выбор идеализированной системы, приrодной длл
теоретическоrо исследования, т. е. достаточно простой n в то же-
время сохраняющей основные черты, ПР,исущие исходному реаль..
лому объекту, представляет наибольшую ТРУДlЮсть при любом
физическом исследовании. rлавным критерием правильности BЫ
бора идеализированной системы является опыт.
17 в. Б. МИУУJIИН И др.

250 rЛ. 6, ЛИНЕйНАЯ СИСТЕМА С двумя СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Мноrие реальные механические и электрические устройства
MorYT рассматриваться как системы с двумя степенями свободы.
Например, связанные колебательные контуры, широко исполь
зуемые в радиотехнике в качестве полосовых фильтров, в двyx
контурных параметрических усилителях и т. д.
Си"Стему с двумя степенями свободы можно представить как
две отдельные системы с одной степенью свободы, связаННЫfJ
друr с друrом. Связь между ними приводит к тому, что колеба
ния в одной из них влияют на I\олебания.в друrой и ющборот.
Система с одной степенью CBO V"l l L:!O 0 '...'
боды, на которые можно раз L, "2 {,2
бить сложную колебательную с, С 2 . t1.
систему, называются пapциaДb
хы.ми.
Существует общее правило
выделения парциальных систем.
LI !l.
Lt.L
L, L 2
 +i2
i,
С, С 2
LТ'l
т С , Т С 2
0.
Рис. 6.1. Схема элеКТРИЧ!r
CKOl'O колебательнOI'О KOH
тура с двумя степенями
свободы
'.1. t S. 1. t:!O
  C, L, L2 А
т С , Т С2  и
Рис. 6.2. Различные варианты раз
биения системы, показанной на
. рис. 6.1, на парциальные систеиы
Парциальная система, поведение которой описывается данной,
обобщенной координатой, получается из полной системы, если по'"
. ;JIОЖИТЪ равными ПУЛЮ все остальные координаты. Частоты СВО-
бодных колебаниЙ отдсJlыlхx парциаЛЫIЫХ систем называются
.nарциадьпыми частота,ми полной системы.
Разбиение полной системы на парциальные неоднозначно,
поскольку независимые координаты MorYT быть выбраны различ
ными способами. Так, например, в колебательном контуре, изо
.-браженном на рис. 6.1, в качестве независимых координат можно
.выбрать любую пару токов i l и i 2 ; i3 и i l или i 2 И i з , и Torдa
парциальные системы будут иметь вид, представленный: на
рис. 6.2. Соответственно изменяются и парциальные частоты.
Для независимых координат i l и i 2 они равны
1 1
"1== Y(L 1 +L 2 )C 1 ' "2== Y L2C2 
-для i з и i l 
f
"1 == У "
L 1 C 1 C 2 /(C 1 + С 2 )'
1
"2 == r L с )J
у 2 2

 6.1. СОБСТВЕННЫЕ lЮЛЕБАНИЯ
251
l\ЛЯ i 2 И i з 
1
"1 == V L 1 C 1 C 2/(C 1 + С 2 )'
1
"2 == , .
V(L 2 + 1'1) [1
Характер связи между парциальными системами танже зависит
от выбора независимых переменных. На рис. 6.2, а связь индук
ТИБная, 6.2, б  емкостная и 6.2, в  смешанная. В качестве He
зависимых переменных в контуре, изображенном на рис. 6.1,
:можно выбрать также напряжения на конденсаторах "И, и и2.
В этом случае парциальные системы получаются при корqткоИ
замыкании конденсаторов С, и С 2 . COOTBeT
ствующие парциальные частоты равны
1 1
"1 == V L 1 C 1 ' "2 == V L 1 L 2 C 2 /(L 1 + L 2 )'
Физически ясно, что движение в полной
системе при заданных начальных условиях
будет одним и тем же, но запись ero в
различных координатах различна.
Проведем изучение свободных колебаний
в системе с двумя степенями свободы на
ЮlассиЧ:еском примере двух маятников, связапных пружиной.
и совершающих Iюлебания n нлоскости рисуrша (рис. 6.3).
Если уrлы отклонения маНТIIИJ\ОIl от l1OJIOщеНИ11 устойчивоrо
равновесия достаточно малы (Hill (Р  'Р, COS qJ  1  q;2/2), то ки
нетическая и потеl1циалыlнH :шерrия системы... равны
Т 1 [ 2 . 2 1 1 2 . 2
== 2' т 1 1'Рl + 2т2 2'Р2'
V 1 [ 2 1 [ 2 1 lш 2 ( ) 2
== "2 т 1 Ig'Pl + 2" т 2 2g'P2 + "2 'Р1  'Р2 ,
тZ
Рис. 6.3. Два связаIr
ных маятника
(6.1.1}
(6.1.2)
rде k  жесткость пружины. Последний член в выражении для-
потенциальной энерrии представляет собой энерrию сжатой
пружины.
Зная выражение для кинетической и потенциальной энерrий,
запишем уравнения движения системы (уравнения Лаrранжа):.
d вт BV
dt  + дср == О, s == 1, 2, (6.1.3}
дср& &
или
ml1i1 + m 1 [lg'Pl  ka 2 ('Р2  'Рl) == О,
m21;2 + m 2 [2g'P2 + ka 2 ('Р2  'Рl)'== о.
(6.1.4}
(6.1.5)
Положив в (6.1.4) <р2 == О, получим уравнение колебаний первой
парциальной системы с парциальной частотой "1, определяемой
17*

252 rл. 6. ЛИНЕйНАЯ СИСТЕМА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
оотношением
2 g ka 2
"1 == +.
[ 1 т [2
1 1
Из (6.1.5) при ер, == о получим выражение для второй парциаль
ной частоты "z:
(6.1.6)
g lш 2
": == т +. (6.1.7)
2 mi2
lш 2 ka 2
Если ввести !',@ф'gн шиенты QШ!ШI СХ 1 =="""""2' СХ 2 ==, то ypaвH
т 1 [1 т2[
ния колебаний принимают вид
1 + "<P1  CX.1.q>2 == О, 2+":<P2  CX2q>1 == О. (6.1.8)
Мы получили систему двух линейных дифференциальных уравне-
lШЙ BToporo порядка. Ее решение будем искать в виде
ер, == А COS «(J)t + ",), 'Р2 == В cos«(J)t + 1):). (6.1.9):
Подставляя (6.1.9) в (6.1.8), находим
 ф2А + ,,A  cx1B == О,  ф2В + ,,B  СХ 2 А == О. (6.1.10)
Эта система уравнений имеет нетривиаЛЪНое решение только в
Том случае, если ее детерминант равен пулю, т. е. если
I ,,  (I)  (% I == О.
 (%2 'Y  (1)
Отсюда получим уравнение для определения частоты (i)
ф4.  ф2 (,, + ":) + ,,v:  СХ 1 СХ 2 == О. (6.1.11)
Решение этоrо БПRвадратпоrо уравнония дает две возможные ча
стоты колебаний систомы ФI и (J)z:
ф ==  [,, +,,  V ( 'Y  ,,:)2 + 4СХ1СХ2 ]' (6.1.12)
Ю ==  [ ,, + ": + V (,,  ,,;)' + 4сх 1 сх 2 ]. (6.1.13)
Частоты ФI И Ф2 не равны парциалъным частотам "1 и "2 И назы
ваются собстве1i1iЫМU или 1iор.маЛЪ1iЫМU частотами системы. Hop
мальные частоты системы не зависят от выбора координат. Они
определяются только свойствами системы.
Из уравнений (6.1.10) можно найти отношение амплитуд В/А.
На частоте ФI оно равно
I 2 2
В "1  (1)1 f 2 2 2 2 2 .
 A ==  == 2  ("1  "2 + V ("1  "2) + 4сх 1 сх 2 )== :1<1' (6.1.14)
001 (%1 0;1
ВеЛИ1Цlна :1<, полностью определяется параметрами системы и не

 6.1. СОБСТВЕННЫЕ НОЛЕБАНИЯ
253
,ависитот начальных условий. Она называется 1>оэффuцuеnто.м.
{iоспределеnuя амплuтуд па частоте Фt.
Таким образом, амплитуда колебаний одноrо из маятников на
частоте Фt может быть произвольной (она определяется началь
IIЫМИ условиями). Амплитуда колебаний BToporo маятпин:а на
той же частоте всеrда находится в определенном отношении к aM
плитуде колебаний первоrо маятника.
Найдем теперь Х2  коэффициент распределения амплитуд на
частоте Ф2:
Х 2 '='  1002 '=' 'Y  OO == l [,,  "  V (vi  ,,)2 + 4ct 1 ct 2 ]. (6.1.15)
Общее решение уравнений (6.1.8) запишется в виде
<Р! == А! cos (фtt + 'Фt) + A z cos (Фzt + 1):z),
(jJz == XtAt cos (фtt + 'Фt)+ xzAz COS (Фzt + z)'.
(6.1.16у'
Постоянные At, A z , 'Ij:.t, 'Фz определяются начальными условиями.
Соотношения (6.1.16) показывают, что в общем случае колебания
Iшждоrо маятника представляют собой сумму двуХ rармонических
Iюлооаний с ч&стотами Фt и Фz. Если частоты Фt и Фz близки, то
суммарные колебания носят характер биений.
Специальным понбором пачаЛЫIЫХ уелопий можно получить
чисто rармоничссн:ие IШJrебания систсмы на частоте Ф[ или (J}z.
Если, например, D начальный момент времени отклонить маят..
ники таи, чтобы отношение их амплитуд равнялось Хl, а скорости
были равны нулю, то система начнет колебаться с частотой Фt.
Если отношение начальныx отклонений маятников равно Х2,
то в системе возбудится колебание с частотой Ф2'
Соотношения (6.1.16) можно рассматривать как формулы ли
пейноrо преобразования координат (jJt, <р. В координаты % и У.
rде
х == А! COS (Фtt + 'Фt), у == А. cos (Фzt + 'Ij:.).
(6.1.17)'
Тоrда очевидно, что каждая из новых координат х и у COBep
шает rармоничесиое колебание с частотой Фt (или Фz) при лю t
бых начальных условиях. Координаты х и у называются nop
.tальnы.мu r;,oopaunaTaMU системы. Координаты <Р! и 1jJ. связаны
с нормальными координатами х и у соотношениями
<р! == х+ У, <р. == XtX + xzy.
(6.1.18)'
Нетрудно показать в общем виде, что для ЛlОбой системы с
дuумя степенями свободы с помощью соответствующеrо линей"
1101'0 преобразования можно перейти к нормальным координатам.

254 rЛ. 6, ЛИНЕйнАЯ СИСТЕМА С ДВУМЯ стЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
причем уравнения колебаний в этих координатах имеют ВИ)!
 + ooix == о, у + ООУ == О. (6.1.19)
Особенностью уравнений движения, записанных в нормальных
координатах, является отсутствие членов, описывающих свЯ3И
между . системами. Соответственно в выражениях для потен
циалъной и кинетической энерrий, записанных в нормальных KO
ординатах, отсутствуют члены с произведениями координат.
Поскольку каждая из нормальных координат совершает rap
моническое движение с одной И3 собственных частот, посЛеодние
/ часто называют нормальными ча....
'/ стотами системы. .
(;)2 // Рассмотрим зависимость HOp
2 '/ мальных частот системы от COOT
'// ношения парциальных частот Ma
'/ ЯТников. Для определенности бу
vf  ?('   дем считать, что из:меняется толь
// (;)2 JЮ оТ\па И3 парциальных ча
.  .1 1 стот, например "2. С помощью
соотношений (G.1.12) и (6.1.13)
можно построить rрафик зависи
мости квадратов собственных ча
стот системы OT" (рис. 6.4),
пазываемыйzрафи-по:м, Вина. Как мы видим, при любом "2 пар-.
циальные частоты лежат между собственными частотами. Это
свойство является общим для любых консервативных систем с
двумя степенями свободы. '. 
Проапализируем более подробно предельные случаи сильно
различающихся парциальпых частот ,, ,,, ,,,, и равных
парциальпых частот "i == ":.
При ,, "i частоты собственных колебаний равны
(;)2
2
1
Рис. 6.4. rрафик Вина
1)2
2
2 2 0:10:2
001  "2   '
. "1
<.,2 ,..., " 2 + 0:10:2
"'2"'" 1 2 .
"1
(6.1.20)
а часто
(6.1.21)
Поскольку обычно а 1 а 2  "i,,, частота 001 близка к "2,
та 002  К "1. При ,, "i нормальные частот равны
0:0:
<.,2 . " 2 1 2
"'1;';::;' 1  ,
"2
0:0:
<.,2 ,..., " 2 + 
"'2"'" 2 2 .
"2
в случае сВЯ3aIIНЫХ маятников вариацию "2 при постоянной
частоте "1 можно производить. изменепием длины BToporo маят
ника. Одновременно происходит измепение коэффициента СВЯ3П
а.2. Предельный случай "2 --+ О соответствует увеличению 12 и
уменьшению а2' При 12 --+ 00, 001 --+ О, 002 --+ "1' Друrой предельный
случай "2 --+ 00 имеет место при уменьшении 12. Можно показать.

!! 6.1. СОБСТВЕННЫЕ :КОЛЕБАНИЯ
255
что при l2-+0 ooi-+ "i  а 1 , а оо-+ ": + а 1 . Если парциальцые ча
стоты маятников равны, то собственные частоты имеют вид
:1 Y 
001 == ,,2  а 1 а 2 ,
оо == ,,2 + V а 1 а 2 .
(6.1.22)
2 g
001,==7'
При равенстве масс маятников соотношения (6.1.22) упроща
I
ются:
2 g + 2ka
002 == Т .
ml
Таким образом, при сильно различающихся парциальных ча,
,стотах нормальные частоты близки к парциальным. По мере сбли
женин парциальных частот нормальные частоты отходят от пар
циальных. Наибольшее отличие 00 от " наблюдается вблизи p,a
венства парциальных частот.
Проследим теперь за поведением коэффициентов распределе
ния Х1 и Х2 при изменении парциальной частоты "2' Так как "1
всеrда больше 001 и меньше 002, то
из соотношений (6.1.14) и (6.1.15)
следУет, что Х1 всеrда больше пуля,
а Ха вееrда меньше нуля. Поэтому
:колебания маятников на частоте 001
1Iсеrда происходят в фазе (синфаз
вы), а колебания на частоте (1)2 lIee
тда протипофазпы. На основании со-
отношений (Ii.1.14) и (li.1.1r» на
рис. .6.5 построена ааНИСИМОСТh ]ю;)ф
фициентов распределепия амплитуд
'пО координатам Х1 и Х2 от "i для
случая т1 == т2' Коэффициент pac
предеJtения Х1, соответствующий син
фазным колебаниям, при "2« "1 при
мерно равен "иа 1 , т. е. MHoro боль
те единицы. По мере увеличения
"2 коэффициент Х1 уменьшается, и при \'2» "1 Хl  а 2 /,,;, т. е.
значительно меньше единицы. Будем считать, что изменение "3
.связано только с изменением длины BToporo маятника. Тоrда при
"1» "2 длина BToporo маятника l2 значительно больше длины
nepBoro l1, а при "1 «"2 длина l1 MHoro больше l2. В этом случае
.амплитуда 9Iнфазных rармонических R()ПАhl>ППП ППИПП()I'() МЯ Я'1:
ника ия'" "nПП') ИQ f)ие. 8.3, Rа}:я hf\ЛJ...ПТА nuпп-vу иnПАnД ..
KOD()TRnrQ . Это связано с тем, что собственная частота сип
фа :mых :колебаний 001 меньше чаоты противофазных колебаний
UJ2. Поэтому энерrия синфазных колебаний в осн{)вном cocpeдo
точена в низкочастотной парциальной системе: Наоборот, энер
rия протщюфазных колебаний сосредоточена в высокочастотной
парциальной системе, т. е. на частоте 002 более короткий маятник
(6.1.23)
)(1,2
1)2
1
7fff
+1
v 2
Z
о
1
Рис. 6,5. 3ависJЩОСТЬ I{ОЭффИ
Циентов распределения от па.р--
циальных частот

256 rл. 6. ЛИНЕйНАЯ СИСТЕМА С двумя СТЕIIEНЯМИ СВОБОДЫ
Rолеблется с большей амплитудой. В соответствии с этим IX21 
 1 при "1»"2 и IX21 »1 при '\'2»"1. .
При равенстве парциальных частот ("1 == '\'2) Rоэффициенты
распределения оказываются равными по абсолютной величине
{ а 1 12 у т2
Х 1 ==  ==   Х 2 ==  х 1 .
а 2 11 m 1 t
(6.1.24)
Если маятники идентичны (l1 == [2, т 1 == т2), то Rоэффициенты
распределения равны по модулю единице. Это 0значает равенство
амплитуд колебаний обоих маятников на обеих собственных ча..
стотах. При неидентичности систем (т 1 * т2) амплитуды Rоле"
баний различ'пы даже при одинаRОВЫХ парциальных частотах.
Однако энерrии при равенстве парциальных частот распределены
по координатам равномерно.
 6.2. Связь и связанность
Коэффициент распределепил Х1 хараI\теризует относительную
амплитуду колебания BToporo аятника с частотой Ф1' ПОЭТОМУ
условие Х1  1 ПОRазывает, что основная часть энерrии Rолебаниа
с частотой Ф1 сосредоточена в первом маятнике. Это 0значает, чтС)
физичесRая связь между системами (их взаимодействие) мала.
Случаю Х1« 1'всеrда соответствует условие IXzl» 1, т. е. кол
бание частоты Ф2 преобладает во второй координате. Слабая фи..
зическая связь между системами дает основание расс:матриват-
Rолебания в двух взаимодействуюIЦИХ системах Н8Н собетвеквО&
Rолебание одной И3 парциальных систем с большой амплитудоi4
ВЫНУЖДaIOIЦей слабые Rолебапия во второй системе. Л. И. Ман"
дельштамом введено понятие СВlIзаппости системы, определяю..
щее степень физической связи между парциальными системами.
Связаююсrью системы называется величина I
2V
<1== , 2 2 1 '
'\11  "2
(6.2.1)
Каи видно И3 этоrо выражения, связаквость определяется не-
только Rоэффициентами связи, но и БЛИЗ0СТЬЮ значений пар
циальных частот. Если связанность мала, то собственные часто...
ты близки R соответствуюIЦИМ парциальным частотам. И3 фор.-
мул (6.1.12) и (6.1.13) слеl1:ует, что в случае слабой связанно
сти Ф2  '\'1, Ф1  '\'2 при '\'1» '\'2 и Ф2  "2, Ф1  "1 при '\'1 «'\'2'
Вводя велиЧИIIy (J в выражения для коэффициентов распреде'"
ления (6.1.14) и (6.1.15), получим для '\'1> "2
'" == Jl a2 t+ V1+ 1 '" I == V r a2 1V 1+a2 .
"'1 а {J t "'2 а а (6.2.2а)
1 1

 6,2. связь И СВЯЗАНность
251
Для '\'1 < '\':
хl ==." / !Х 2 y 1 ,
V!X 1 {J .
I х 2 \ '9 .. I !Х 2 V  + 1 . (6.2.26)
V!X 1 (J
Та ним образом, для наЖдоrо нормальноrо нолебания тот маят
НИН имеет ббль!ln'Ю амплитуду, у }\OTOP01'o парпиальпая частота
близна к с Обств енно й частоте ассмат иваемоrо :колебания. При
венстве парциальных частот связанность сие темы велина даже
при малых ноэффициентах связи. В этом случае относительная
амплитуда :каждоrо :колебания одинанова в обеих ноординатах.
Можно оценить также взаимодействие парциальных систем
по степени передачи энерrии от одноrо маятпина к друrому. Для
этоrо рассмотрим процесс нолебаний двух .связанных маятинов
при начальвых условиях t == О, ЧJ1 == ЧJо, ерl == О, ерз == О, ЧJз == О.
Подставляя эти условия в (6.1.16), получим
А I + Аз == ЧJо, А 1 Х1 + Азхз == О, ""1 == 'ltz == О.
l\олебания маятнинов будут описываться следующими Bыpa
жениями:
ерl == I + [1 х 2 1 COS((Ol t ) + Х 1 cos ((;)2 t )) ,
1(2 1(1
СРп1(1 11(21
ер2 == 1 I l' [сон(ю 1 t)  сон(ю 2 l)j.
1(2 1(1
(6.2.3)
Колебапия первоrо lIШЯТIIИI\а можно записать в виде
ер 1 (t) == А (t) cos [(О 1 t  'It ( t) ],
(6.2.4)'
rде
2
А2 (t) == ( I 1(2  1(1)2 {x + x + 2Хl1 Х21 cos [((02  (01) t11,
11(21 sin [«(02  (01) t)
tg'Ф (t) ==  1(1 + I )(21 сов [(002  (01) t) '
Если частоты (01 и (оз не слишком далени дрyr от друrа, то А (t)'
может рассматриваться кан меняющаяся со временем амплитуда
I\олебания. Период изменения амплитуды равен 2n/ ((оз  (01).
Мансимальное значение амплитуды равно ЧJо, минимальное 
q;O(XI Ixzl)/(Ixzl +ХI), Колебания BToporo маятника представ
ляют собой биения следующеrо вида:
2СРо1(1 1)(21 . (002001)t. (001+oo2)t
({J2 == 11(21 + )(1 SЩ 2 sщ 2' . (6.2.5)
Если парциальные частоты маятнинов различаются сильно (Ma

258 rл. 6. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ДВУМЯ СТЕIIEНЯМИ СВОБОДЫ
лая связанность), то ОДИН из коэффциентов распределения MHoro
больше BToporo. Пусть, например, ХI  'Х21, тоrда минимальное
значение амплитуды первоrо маятника приближенно равно
ljJо(1  2Ix 2 1/XI)' т. е. амплитуда первоrо маятника изменяется
t
2p<'1 t
Рис. 6,6. НолрuаПИII CBllaallllblX МIIIIТIIИJ\ОВ ПР1' слаuоЙ СВII:заввости
:мало. Ма:i\симальная амплитуда BToporo маятника в этом случае
равна 2<ро I Х21, т. е. MHOro меньше амплитуды nepBo1'o маятника
(рис. 6.6.).
А
9?;
t
9'2
;(9'0
t
Рис. 6.7. Нолсuаl1ИЛ связаппых малтвиков при сильной связанности
Таким образом, при малой связанности обмен энерrией между
парциальным,И системами незпачителен: .
С приближением ХI к Ix 2 1 минимальное значение А (t) YMeнь
mается, т. е. перекачна знерrии от первоrо маятника ко второму
увеличивается.

!! 6.2. связь И СВЯЗАННОСТЬ
259
При равенстве парциальных частот \' t == \'2 == \' (т. е. 1%21 =:о
 %1 == %) клебания маятников принимают ВИН
(oo<oo)t ( oo+oo ) t
m == (() СОБ 2 1 СОБ 1 2
'У1 'у0 2 t 2 '
m == (() % sin (002  (01) t sin (001 + (02) t
'У2 'у0 2 2'
На рис. 6.7 представлены колебания маятников при \'1 == \'2 == ".
Оба маятника совершают биения, оrибающая которых сдвинута
по времени на Т/4, т. е. периодически происходит пере качка
энерrииот одноrо из маятников к дрУ1'ому. В полной перекчке
эперrии и Заключен физический смысл понятия сильной связан
ности системы. Обмен энерrией происходит независимо от коэф
фициента . связи между системами. Однако время "с передачи
энерrии от одноrо маятника к друrому зависит от коэффициента
связи. Время т равно
(6.2.6)
л . лv
т==
002  001 а;
Следовательно, времЯ перекачки энерrии обратно пропорционаJIЬ
но коэффициенту связи.
В любой реальной системе имеет место затухание с постоян
ной времени То. Наличие r\аже малоrо антухапнн может l\аРr\И
нальна изменитт, Rартипу нолеf)н ниii 1\ Сllетсмо е малоii СI\НЗhЮ
и большой свнааПIl0еТI>IО, IJОТОМУ Ч'fО I\ОJЮ()UН ин 1\ первом маят
нике успеют aaTYXIIYTI. (jыетрсо, '!см pael\a'!1l0TCH второй маятник.
ТаRИМ о()рааом, СlIJlt.llUП СllлааПIIОСТЬ в системе проявляется
только в том случае, еСJIИ т« "Со. При известном затухании в си
стеме это условие накладывает оrраничение на минимальную
связь, при которой происходит сильное. взаимодействие двух
систем.
Наличие сил трения изменяет картину собственных колеба
пий в системе о двумя степенями свободы. У равнения Лаrранжа
для системы с потерями имеют вид
:!:. ( дТ ) + av + дФ == О
dt д;. aX i aX i '
.
rде Ф  диссипативная функция. Если маятники совершают KO
лебания с малыми амплитудами в среде, обладающей вязким Tpe
иием, то диссипативная фУНRЦИЯ равна Ф  6i:X, 6 ;  парциаль
ные коэффициенты затухания. Уравнения колебаний маятников
в ЭТОМ случае запишутся в виде
1 + 2611 + \'i(j)1  ct 1 (j)2== O
(6.2.7)
i == 1, 2,
2 + 2622 + \'(j)2  ct(j)1 .:..... , О"
(6.2.8)
62  парциальные :коэффициенты затухания, назвапные
аналоrии со случаем систем с одной степенью свободы.
rде 61,
так по

260 rл. 6. ЛИНЕйНАЯ СИСТЕМА С ДВУМЯ СТEIIEНЯМИ СВОБОДЫ
Решая эти уравнения, получим
elt e2t
<Рl == А 1 е COS«(J)l t + 'Ч'1) + А 2 е COS«(J)2 t + 'Ч'2)
(6.2.9)
elt e2t
<Р2 == %I А l е СОБ «(J)l t + 'Ч'1 + Хl) + %2 А 2 е cos «(J)2 t + 'Ч'2 + Х2).
Колебание каждоrо маятника в этом случае представляет собой
сумму двух затухающих колебаний, причем затухание каЖДОfО
нормальноrо колебания характеризуетсн определенным коэффи"
ц»ентом затухания 81 или 8а. Можно показать, что собственные
частоты Ф1 и Фа И коэффициенты распределения %1 11 %а С точ"
ностъю до членов порядка '6/ ф совпадают с собственными ча..
стотами и коэффициентами распределения в консервативной си..
стеме. Поэтому для систем с малыми потерями можно пользо..
ваться значениями (J) и %, ВЫ'lИсленными по формулам (6.1.12). 
(6.1.15).
Особеппостью колсбапий в системе с затуханием является
сдвиr по фазе I\олебuниii одной и тоЙ же частоты у разных маят
ников. Эти сдвиrи (ХI и Ха В (6.2.9)) зависят от параметров си
стемы. Они пропорциональпы I\О;эффициентам затухания.
i 6.3. Вынужденные КO.JIебаВИJI
в системах с двумя степеllJDПl свободы
т- С, L ,
I б,(t}
'"
IН"
Рис. 6.8. Схема связан
вых контуров при внеш
нем воздействии
Рассмотрим вынужденные колебания в системе из двух ин
дуктивно связанных контуров, в один из которых включена внеш
вяя э. д. с. /ff (t) (рис. 6.8). Запишем уравнения колебаний для
этих контуров, препебреrая вначале зату
ханием:
1" 5 di di 2
С i 1 dt + L 1 ае 1 == /ff + м (й
1 d . а . (6.3.1)
1 S . 12 !1
ё; L 2 dt + L 2 dt == M""d:i'
rде i l , i z  ТQIШ В контурах, LI' L2' С I ,
С 2  индуктивности И емкости контуров,
М  взаимная индуктивность контуров.
В линейной системе еправедлИБ принцип суперпозиции, и поэТО--
м:у достаточно рассмотреть воздей-ствие на систему rармоничоокой
внешней силы /ff(t) ==/ffo cos(pt). 'Уравнения колебаний токов
принимают в этом случае вид
R ,
м
Rz
:. 2 . .: ;Сор .
1 + '\'lll  ct1lj! ==  L sш(рt),
1
...
': + 2. .: О
Z2 '\'2 L 2  а 2 ZI == "
(6.3.2)

 6.3. ВЬШУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ:
261
rде
2 t 2 {' М М
"1 == L С " "2 == L С " а 1 == Т' СХ З == Т'. (6.3.2а)
11 22 1 2
Колебания в системе будут состоять из собственных Rолебаник
е частотами Ы1 и Ы2 И вынужденнЫХ колебаний с частотой внеш
вей силы р.
Уравнение для собственных частот имеет вид
ы4 (1  СХ 1 СХ 2о )  ы2о ( ,, + ,,) + "V == О.
Соответственно Rоэффициенты распределения ХI и Х2 равны
Xi ==  fX 2o (J)il( ,,  ыО, i == 1, 2. Решение уравнений (6.3.2) ДШf
вынужденных Rолебаний будем ИСRать в виде
i l == [1 sin (pt),
i 2 == [2 sin (pt).
Подставляя ИСRОМЫЙ вид решения в (6.3.2), получим уравнениre
для определения амплитуд [1' [а:
(,,  р2о) [1 + (ХIР2о[ 2 ==  OP t ('V  р2) [2 + сх2р2[ 1 == О. (6.3.3}
1
Отсюда [2 ==  fX 2 p2[1/( "'  р 2 ). ПолуtlOПllое отношение ампли
туд [а и [1 IlП частоте Р . ы. СОВJ1Iщаот с ХI  J\Оэффициентом
распредеЛСlll1JI nМIIJll\ТУ; 11 (111 eOUC'I'1I1'1I110M I\О,1[(.GаllИИ с частотой
(J)I; на частото р  Ы2 соотношение амплитуД равно Ха. ТаRИМ:
образом, ОТJЮШUJ1ие UМJlJII1ТУД вынужденных Rолебаний в HOHТY
рах совпадает с отношением амплитуд при собственных Rолеба
ниях (на соответствующей частоте). Подставляя найденное зна
чение [2 в первое из уравнений (6.3.3), получим выражения ДШf
амплитуд [1 и [а:
[1== <%,op(vp2) ,
L 1 [( vi  р2о) (v:  р2) СЧ.G2ор4] ,
[ а 2 <%' ОР З
2 == L 1 [(vi  р2) (v  р2)  аlа2ор4]'
(6.3.4)
На рис. 6.9 приведены зависимосТИ [1 и [2 от частотЫ внешней
силы р. В ТОЧRах р == ЫI И Р == Ы2 амплитуды [1 и [2 обращаЮТСIl
в бесконечность. Таким образом, в системе с двумя степеНЯМJ1
св обопы p"a<HlalHHlee уве.ничвИllе яuшrптупы RолР.nаппП происх о
ДИТ на обеих собствен тах системы При р <'\12 i l И  "
сов ерша т противо азные Rолебания,.а при Р.> "'а""':'" синфазные.
Точка р == "'2 интересна .тем, что в ней [1 обращается в нуль,
т. е. происхоДИТ УПОRое:riие Rолебаний в том нонтуре, в нотором.
действует внешняя сила. Во втором нонтуре Rолебапия не обра

262 rл. 6. ЛИНЕйНАЯ СИСТЕМА С ДВУ1\Ш СТEIIEНЯМИ СВОБОДЫ
щаются в нуль ни при каком конечном р. Частота успокоения
в общем случае зависит от Toro, в какую из ветвей сложноrо
контура включена внешняя э. д. с. Она всеrда равна парц.иаль
ной часrоте Toro контура, коrорый получается при разрЫве цепи
в точке включения э. д. с.
Выясним физическую причину отсутствия колебания в пер
1JOM контуре при р ==V2. ДЛЯ эrоrо рассчитаем э. д. с., наводимую
4
12
Рис. 6.9. Зависимости [\ и [2
для консервативной системы
е двумя степенями свободы от
частоты внешней силы
1,
102
"
11
'1
l'
l'
l'
I \
, I
, \
,
101
,
\
!O7
0,5
(,),1))2 0,8
1,0 (,)2;V2 ;1/))2
Рис. 6.10. Резонансные кривые дисси
пативной системы с двумя степеняии
свободы а\а2 == О, 1, V\/V2 == 0,87
в первом KOHrype па ;)Toii частоте Jюлебаниями BToporo контура:
di 2
[521 == М dt == МР/2 cos(pt) ==  [50 cos(v 2 t). (6.3.5)
Как мы видим, [521 В точности компенсирует внешнюЮ э. д. с.
Поэтому вынужденные колебания в первом контуре на частоте
V2 не происходят.
На практике шщюко применяется демп и ование нежела
тельных колебаний в контуре, на кото ыи действует внешняя
сила определенной частоты, с'. помощью дополнитеЛЬНОrО КOH
тура, HacTpoeHHoro на эту частоту. Так устроены фильтры--<пробки
на щюмежуточную частоту в радиоприемниках, механические
успокоители колебаний валов и т. д.
"Учет затухания в контурах при вынужденных колебаниях
приводит к тому, что амплитуды колебаний при реЗОIlансе CTa
новятся конечными. При р ==У2 амплитуда колебаний в первом
:контуре при учете затухания не обращается в нуль. Таким об
разом, дем:nфирование в системе с потерями никоrда не бывает

 6.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
26;}
полным. Однако уменьшение амплитуды колебания на частоте '\':1:
при малом затухании весьма значительно. На рис. 6.10 приведе
на' .рзонансная кривая в первом контуре при наличии потерь.
для двух значений декрементов затухания. Штриховая кривая
еоответствует случаю Н1Jбольших потерь: -6'1 == .&2 == 0,01, rде \З; ==
== RipL 1 , i == 1, 2. Сплошная кривая  значительным потерям:
t}1 == '-&2 == 0,1. В этом случае демпфирования практически не Ha
блюдается.
Увеличение потерь приводит к уменьшению амплитуды коле
баний вблизи резонанса и к уширен ию резонансной кривой. При
достаточной близости частот Юl и Ю2 потери MorYT превратит
резонансную кривую в одноrорбую, полностью сrладив провал
между "(астотами.
Задачу о вынужденных колебаниях в диссипативной систем
с двумя степенями свободы удобно решать методом комплексных
амплитуд. Уравнения, связывающие комплексные амплитуды
токов [1 и [2 С параметрами контуров и аМ'IIЛИТУДОЙ электродви
жущей силы [ff о, имеют вид
o == 11 [Rl + i(pL i  PJ ] + jpMl 2 ,
0== 12 [R2 + j (pL 2  PJ ] + jpMl 1 ,
(6.3.6}
rде Rt, R 2  сопропrIlJ(()IIШI ШJlJТУРОII. Ис.Ю\Ю I IНН 11:1 IIToporo ypaB
непия 12, nUJIY'lIIM
/f;' п == I1 (Н окв + jХ зкв ),
(6.3.7)
rде
2 м 2
R R R Р
8RB  1 + 2 R2 + ( L  1 / с ) 2 ,.
2 Р 2 Р 2
( 1 ) р2 м 2 ( ..!... )
Х ыш == pLl  РС 1  R; + (pL 2  1/рс 2 )2 pL2  РС 2 .
Таким образом, система из двух индуктивно связ:шных КОНТУрОВ'
сведена к одиночному контуру, обладающему активным сопро
тивлением R зкв и реактивным ХЭШ" На контур действует э. д. с.
ф о, В контуре течет ток амплитуды [1.
"Условие резонанса в таком контуре сводится к равенству HY
лю ХЭШ, т. е.
Х ЭНВ == О.
Введем относительные расстройки Дl == 1  'V/p2,
И парциальные декременты затухания t}1 == RJpLl
Torдa с учетом (6.3.2а) условие резонанса .
Дl'\'} + Д;Дl  (Х 1 а 2 Д 2 == о.
(6.3.8}
Д2 == 1 -----' '\';/р?;:
иt}z == Ff..z/ pL 2 .
(6.3.9)

264 rл. 6. ЛИНЕйНАЯ СИСТЕМА С двумя СТЕIIEНЯМИ СВОБОДЫ
в случае одинаковых иарциальных частот контуров '\'1 ==Vz ==-'
расстройки равны, и мы получаем
Д (Д2 + \}  СЦХ 2 ) === о. (6.З.Н
Этому уравнению удовлетворяют три з начения Д:
Дl === О, Дп, III == =1:: V et 1 ct 2  \}: (6.3.1
Отсюда находим три значения частоты внешней силы, при коте
рых Х экв == о:
Рl == '\', р! == V 'v ., рз == 'v . (6.3.1:
1 + V ctla2: V 1 Vala2
Если затухание BToporo контура достаточно велико, то существ
ет единственная резонансная частота р ==='\'. Система с двум
-степенями свободы ведет себя в этом случае как система с одно
-степенью свободы. При ct 1 ct 2 > 'д': имеются три значения част(
-ты р, при IЮТОрЫХ выполняется условие (6.3.8). На частотах 1
и Рз амплитуда ТOI,a достиrаЕ
Ма!,симаЛЫIЫХ значений, на ч:
стоте РI == '\' амплитуда мню
мальна. Этот минимум те
rлубже, чем на большую вею
чину КОЭффИЦИ&Н!f связи l' ctl(
I,/l HaKc
1
I 1 Z J
I! I i
1)
р
R, !! D R2
--+- 
[, ' 2
Т С ; [, [2 С 2
L{t)
,.
Рис. 6.12. Схема связан
ных контуров с внеш
ними э. Д. с. в обоих
контурах
Рис. 6.11. Резонансные кривые двух
<:вязанных контуров с равными IIарци
.альными частотами при коэффициенте
связи, меньшем критическо1'О (1),
.близком JC. критическому (2) и большем
критическо1'О (3)
превышает декремент затухания BToporo контура (рис. 6.11). I\
:зффициент связи, при котором а 1 а 2 == 'д', называется критически
АмШIИтудночастотная характеристика двух связанных ко
-туров при критической связи имеет плоскую вершину и бол
крутые, чем ОДИНОЧ!lЫЙ контур, склоны. Поэтому такая систе]
использутся в радиотехнике в качестве полосовоrо фильтра.
Рассмотрим теперь особенности вынужденНЫХ колебаний
вухконтурной системе без затухания при одновременном де
<ствии внешних э. д. С. в обоих контурах (рис. 6.12). "YpaBHeНJ

 6.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ НОЛЕБАНИЛ
265
1ООлебапий )l;ЛJI ТОКОВ в таких контурах имеют вид
'i 1 + "I'i1  CG 1 'tjJ == i! 1/ L 1' '; + ":ijJ  аз 't 1 == is jJ/L 2 . (6.3.13)
Если RнеШJJие Э. д. с. действуют на ОДНQЙИ той же частоте и
синфаз.вы, 1'. е. ,==  lе cos (pt),  11 ==  O oos (pt), то амплитуды
токов 11 И 12 равны -
1 L2 10 Р ( ,, . р2)  М lF 2пР'
1 ==  [ - :1 ( 11:1 ., 4 ] '
L 1 L 2 (":  р ) "2  Р )  ct 1 cxjJP
1  Ll20P(,,p:I)M1f)p3
jJ  L1LjJ [(,,  p2)(,,  p2) сх1схзр4].
Из соотнomеий (6.3.14) вытекают два интересных следствия.
Это, вопервых, принцип взаимности. который в нащем случае
rласит: аМПЛИтуда вынужденных колебаний во втором контуре
при включении некоторой э. д. с. в первый равна амплитуде KO
лебаний в первом контуре, если ту же э. д. с. включить ВО второй
контур. Принцип взаимности справедлив вследствие линейности
системы. Одно из проявлений взаимности состоит в том  и это
широко используется на практике, что диаrраммы направлен
ности антенны, работающей па передачу и прием, одинаковы.
Вторая особенность ВЫНУЖ1(енпых колебаний в системе с пвvмя
тепенями свободы заI\лючается в TQM, что при определенном;
соотношении меЖ1(У аМПЛИТУ1(АМИ JШОШIIИХ ;Э, 1(. с. 'O И 20 B cl!_
етёме может ОТСУтствовать резонанс даже в том случа е, коrда )
aBHO ю, или Ю2. О Н OTcY'l'cTByeT, если в выражениях (6. 3 . 14
при р == ю, или р == Ю2 одновременно со знаменателями обраща
Ются в нуль И числители.
Пусть, например, На частоте р == Юl числитель 11 обращается
в нуль. Это возможно при следующем СООтношении между zo
и Фl0:
(6.3.14)
[520/810 ==(v;  ffiП/а2ffi.
(6.3.15)
Подставляя (6.3.15) в выражение для 12 (6.3.14), получим, что
и числитель этоrо выражения также равен нулю. Отсюда сле
дует, что при выполнении условия (6.3.15) числители и знаме
натели (6.3.14) представляют собой бесконечно малые одинако
Boro Порядка, и поэтому амплитуды колебаний в обоих контурах
остаются конечными, несмотря на наличие внешних сил резонанс
ной частоты. Правая часть соотношения (6.3.15) равна 1/Xl'
rде Хl  коэффициент распределения амплитуд собственных KO
леба,НИЙ на частоте ю,. Поэтому (6.3.15) можно записать в виде
A10 + B20 == О, (6iH6)
rде А и В  амплитуды собственных колебаний контуров на ча
сто те юl. Условие (6.3.16) называется условием ортоrональности
{8 в. в. МиryJIПП И др.

266 rл. 6. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С двУМЯ СТЕПЕНJlМИ СВОБОДЫ
внешней силы собственному колебав:ию с чаСТОТQЙ (J)i. OpTor
нальность внешней силы собственному КQдебанию физичесКИ
означает, что раБОта внешней силы в первой системе равна. и
прОТИВQположна по знаку работе силы во второй парциальпой
системе. Так как полная работа внешней силы оказывается paB
ной Нулю, то и не происходит увеличения амплитуды колебаний
системы. Если, например, на два одинаковых связанных маятни
ка действуют равные, но протиоофазные внешние силы с часто--
той (J)i, соответствующей синфазным колебаниям систеы, то
резопансноrо раскачивания колебаний в системе не про изойдет.
Наоборот, две синфазные и равные внешние силы не CMOryT воз
будить противофазRЫХ колебаний на частоте (02' Ортоroналь.
ность внешней силы и собственноrо. колебания :МОЖно ИcrIользо--
вать для Toro, чтобы избежать вежелательноrо резонанса на
одной из нормальных частот.

rЛАВА 7
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ И АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
С ДВУМЯ СТE1IEИЯМИ своБоды
i 7.1. Пара:нетричесиое УClШение
в двухиоитуриой системе
Использование колебательных систем с двумя степенями CBO
боды еущественио улучшает характеристики параметричес'Ких
устройств. На практике используются двухконтурные парамет
рические усилители, reHepaTopbl и делители частоты. HeДOCTaT
ком однокоитурноrо параметрическоrо усилителя в KorepeHTHoM
режиме является необходимость выполнения определенных час
тотных и фазовых соотношений между
сиrналом накачки и усиливаемым сиrна
лом. При HeKorepeHTHoM режиме усиления
фазовые соотношения теряют смысл и
становятся принципиально неизбежными
искажения формы усиливаемоrо сиrнала.
Это связано с тем, что в полосу прОПУСЮ1
ния контура УСПЛJlтеля попадают две
частоты: частота спrпала ЮI и разностпая
частота Ю п  Ю 1 , rде Ю п  частота накач
ки. :Колебания в I\OHType представляют
собой биения этих двух {).лизких частот. Если ввести дополни
тельныЙ контур, настроеШlblЙ на частоту Ю%:;::I 'Ю и  (01, то при
достаточной добротности контуров в первом из них будут проис
ходить rармонические колебания с частотой ЮI, а в допоJlНИ
тельном  rармонические колебания на ча,стоте (ОИ  ЮI. Такая
система из двух контуров, связанных переменной во времени
емкостью, представляет собой двухконтурный параметрический
усилитель (рис. 7.1).
в двухконтурном параметрическом усилителе фазовые COOT
ношения между сиrналом и накачкой не иrрают роли, так как
частота и фаза колебаний во втором коптуре автоматически уста.
наВJlИваются такими, чтобы обеспечивалось максимальное усиле.
ние в системе. Автоматичность установления наиболее выrодных
частоты и фазы дополнительноrо колебания служит важнейшим
преим.уществом двухконтурноrо параметрическоrо усилителя.
Подобно одноконтурному параметрическому усилител двух.
контурный усилитель с частотой накачки (Оп, равной сумме
чаGТОТ Ю! и (0%, является реrенеративным, т. е. часть энерrии
накачки преобразуется в колебательную энерrию на частоте сиr-
18*

e
1.,
Рис. 7.t. Принципиаль--
пая схема двухконтур.
H01'O параметрическоro
усилителя

268 rл. 7. ПАРАМЕТРИЧЕCIШЕ и Авт()I(олЕвАтЕльныЕ СИСТЕМЫ
нала. При этчаеТЬDиерrии reHepaTopa накачки поступает во
второй контур.
Кроме параметрическоJ'О усилителя с дополнительным KOBTY
ром, настроеввыи ва частоту (он  (01, можно создать усилитель
с дополнительвыи контуром, настроенным на частоту (Оп + (01'
Качественно возможность усиления в такой системе можно по
яснить следующими рассуждениями. Если на переменную во Bpe
мени емкость С (t) == СО [1 + т соз (roиt») действует напряжение
СИFнала и с == ио соз {(Olt + <р), то ТОК через емкость равен
dQc d .
i == ?t === Сои о dt [{1 + т соз (<Oвt» сов {(01 t + <р)] ==
"'"" ...:. С.и8 {(I>1 sin ( ro l t +<р) + i т «(08  (1)1) sin [{(J)и  (01) t  <р) +
+ t т (<Он + (01) sin [( 6>й + (01) t + <P]}t.
[
I tI ,
'L R i ", R; С ,
Рис. 1.2. Схема ДВyxl(онтураоrо na
Meтp'leCK01'O усилителя с rенераторои
накачки и нелинейной емкостью
т. е. в СПСl\тре тока имеются компоненты с частотами (01, (Оп + (01.
(он  (Oj. Амплитуды TOKO
всех :иомпонент пропорцио-,..
пальпы их частотам. ECJi
второй :ИОНТУР настроен на
частоту (он + (01, то при дo
статочной аИnЛI!Туде па:иач:кв
энерrия, выде.JIЩOЩаяся BQ
втором 'контуре, npeBOCxOД1t'J;
энерrию ВХОДlЮrо сиrнаЛа,
Систма превращается fI He
реrеверативный параметри-
ческий усилитель. 'Усиление в этом случае сопровождаеroя пре-
образованием частоты сиrнала вверх.
В практических схемах двухконтурных параметрических уси
лителей и reHepaTopoB параметрический механизм вложенив
знерrии обычно реализуется с помощью reHepaTopa накачки,
ВЮlючнаоrо последовательно снелинейным реаl\'tивным элемен-
том ( 4.6).
Прииципиальная схема ДВУXlюнтуриоrо парам:етричеекоr
усилителя с reBepaTopOM наl\ачки и нелииейной еМl\ОСТЬЮ изо-
бражена на рис. 7.2. 'у силитель состоит из двух l\OHTYf'JO]
(L" C 1 , R) и (Lz, С 2 , Rz), связанных нелинейной еМl\ОСТЬЮ С
В схему включен источВlШ накаЧl\И с напряжением ин и reHepa
тор сиrнала, характеризуемый TOl\OM i Н внутренним СОПрО'tив
ле:цием RI' Полное активное сопротивление первоrо :контура
,
RtRi
Rl == ,
R 1 + R i
ic
Ин I1с
1-- . 
I I I
Пусть частота усиttиваемоrо сиrнала равна (01, а частота вака'!

 1.1. ПАРАМЕТРИЧЕСНОЕ УСИЛЕНИЕ В СИСТЕМЕ
269
IШ  юн, Для работы усилителя необходимо, чтобы ero первый
нонтур был настроен на частоту, близкую к частоте сиrнала;
второй контур настраивается на частоту, близкую к Ю2, которая
равна юн  (J)1 либо (1)" + Ю1. Режим: работы параметрическоrо уси
JlПтеля в этих двух случаях оказывается различным. Обычно в
ДBYXKOHTYPЫK" паР!lм:rрических, усил.в:ТeJlЯХ парциальныо ча
(',тоты контуров VI и. V2 далеки друr от друrа, т. е. связанность
системы мала. Поэтому WOOTBeHBble чатоты системы БЛИЗI{И к
нарциальным ЮI  VI, Ю2 V2. Коэффициенты распределения дa
JIеки от еДИНИЦ:БI.
При достаточно высокой добротности контуров сопротивления
Jt[lждоrо "овтура для частот, далеких от ero парциальной часто
ты, практически равны нулю (3.1.7). Таким образом, контур 
IIвляется активной наrpузкой лишь в небольшой области частот'
вблизи своей парциальной частоты. В рассматриваемой нами cxe,
м о в OCHOBIiOld контуре активная мощность иожет выделяться
только на частоте (iJ1, а в дополнительном  на одной из частот
(112 == ЮН ::J:: Ю1. Токи остальных комбинационных частот MorYT не
JI риниматься во внимание. Таким .оора.щм, в изучаемой системе
следует раССМатривать лишь токи и напряжения с частотами (iJ1,
(')2 И ЮН, ДЛЯ частот (J)1 и @z запишем следующие уравнепия
J\олебаний:
f S иl dU 1 dqe I
L u1dt + R + С 1  a e == ic:   / e '
1 1 ( (011
1 S и2 аи 2 d 1{ с I
 u 2 dt +  + С 2  ==  .
1'2 Л 2 dt dt 002
:Здесь и!  напряжения на пер1!ОМ и втором контурах,
составляющая заряда на емкости С на частоте (Щ.
Пусть 'зависимость заряда qc на нелинейпой емкости
JI ряжения на ней имеет вид
 !
qe == Соае + аис,
1')\0 СО  постояпная составляющая емкости, а
Iюлинейности. Нацряжение ис, очевидно, равно
ас == и1 + и н  Uz,
(7.1.1)
qelooi
от Ha
(7..1.2)
а  коэффициент
(7.1.3)
l'IO
и 1 ==А I cos «(iJlt + "'1), и2 == A z COS«(iJ2t + "'2), и н == Ан COS«(iJHt).
I
IIОJ(ставляя эти выражения в (7.1.2), получим для сос}авляющих
:lltрнда на емкости С на частотах 6)1 и Ю2 соотношения
qe 1001 == СоАl COS «(iJ1t + 'Фl)  аА 2 А н cos (Юl t :f: 'Ф2).
qc 1002 ==  С о А2 COS «(iJ2 t 1-- 'Фz) + аА 2 А а cos «(iJ2 t . ::J:: 'Фl)'
(7.1.4)
:liII'CI, знак плюс соответствует случаю (02 == (он + (01, а знак ми-
.ус  Юа == Ы"  (J)1'

270 rл. 7. ПАРАМЕТРИЧЕСRИЕ И АВТОRОЛЕБАТЕЛЪНЫЕ СИСТЕМЫ
ПостаВИ1.1 полученные значения qc IOOi в уравнения Rолеба
ниЙ (7.1.1) и будем с'Штать, что ic==IooS«(iJ 1 t+Ip):
[ Lll  (С 1 + Со) Фl] А 1 sin «(iJ1t + 'Фl) + : COS«(iJl t + 'Фl) ==
== 1 cos «(iJlt + Ip)  aA2Aнffi1 sin «(iJ1l::l:: 'Ф2)' (7.1.5)
[ L22  (С 2 + Со) Ю2] А 2 sin «(iJ2 t + 'Фа) + ;: cos «(iJzt + 'Ф2) ==
==  ;;А 1 А В Ю2 sin«(iJ2 t ::!:: 'Фl)' (7.1.6)
и Q2 и
Введем парциальные частоты "1 и '\'2' добротн{)сти Ql
расстрой :ки 1)1 и 1)2 к онтуро:вус илителя:
'\.'1 == 1/YL 1 (C 1 + Со), " 2 == 1/YL 2 (C 2 + Со),
Q2 == (iJ2 R 2 (С 2 + Со), 'tJl === (,,  ыО/ю,
Ql == (iJI R l (С 1 + Co)t
'tJs === ( "  ю)/ы:.
Прп использовании этих обозначений (7.1.5) приним:ает вид
QI'Y)tA I sin «(iJ1t + )I) + АI сов «(iJ!t + Ф!) ==
.....
=== IR 1 COS «(iJ1t + Ip)  cxA 2 R 1 A B sin «(iJlt + q,).
Полученнее соотношение должно выполняться в любой момент
врееRИ, п<;>этому в нем следует приравнять в правой и левой
частях Rоэффициенты при ooS«(iJlt+1Pl) и sin( ffi l t + 1Рl)' После
простых триrонометричесЮIX преобразований правой части
(7.1.5) получим .
Ql'Y)IA 1 == IRl sin(Ip  'Фl) a(iJ1R1A2AB СОS(Фl =F 2),
АI ==IR 1 cos(Ip  'Фl)+ cx(iJ 1 R 1 A z A H siП('Фl =F 'Ф2),
(7.1.7)
(7.1.8)
Апалоrичпьш образом из (7.1.6) имеем
Qz'Y)zA 2 == (iJ2R2A1AB cos (ф2 =F Фl),
А 2 == (iJ2R2A1AB sin ('Фz =F Фl),
(7.1.9)
(7.1.10)
ИЗ соотношений (7.1.9) и (7.1.10) можно получить
.  А 2 Q 2 1'J 2 A 2
SШ ('1'2 + '1\-:1) == , , ooS('I'2 =F 'Фl) ==  .
аw 2 Я 2 А 1 А н aw 2 R 2 A 1 Au
CYMa квадратов левых частей этих равенств дает единИЦУ, по-
этому
А: == А 2 сХ2оо 2 R 2 
1 2 2 (7.t.11
1.+ Q1'J
" ,
Подставляя в (7.1.7) и (7.1.8) выражения .для sin (фt =F "'2) I

s 7.1. ПАРАМЕТРИЧЕCRОЕ УСИЛЕНИЕ В СИСТЕМЕ
27!
сов ('1'1 =F '1'1)', получим тание соотношения:
А O\RIQ21J2A IR ' ( )
Ql'1l1 1  R А ==  1 sш <р  'Фl ,
0)2 2 1
O)I R l А; 1
А 1 =F R А == R 1 сов(<р  'Фl)'
0).2 2 1
Возведем левые и правые части этих соотношений в квадрат и
сложцм, а затем вместо А: подставим ero выражение из (7.1.11).
В результате пелучается выражение для амплитуды колебаний
в первом контуре в зависимости от параметров усилителя:
А 2 == рВ 2 [ ( 1 aO)i0)2RIR2 ) 2 (  2О)1О)2RIR2Q2'Т12 ) 2 ] 1.
1 1 ::1:: 1 + 1J:Q: + Ql'YJl 1 +'1J:Q
(7.1.12)
Полученное выражение показывает, что аЫ'IIлитуда параметриче
CKQrO усилителя с lIизкочатотной накачкой ((J)B == 00........ (J),) CY.
ществеnно отличается от амплитуды усилитеJIJI с выоокочастот
ной иакачкой ((J). == (J)1 + (J)1). Рассмотрим теперь отдельно каж
дый из. этих типов усилителей.
у сuштеJl,Ь с нuапочастотнои шzпачпои. Максимальный сиrнал
в таком усилителе достиrается при точной настройке контуров
(Ч1 == Ч2 == О). В этом случае амплитуды колебаний в первом и
втором контурах равны
IR 1 А r;;0)2R2IRl
А 1 ==  '2 == . (7.1.13)
1 +a;20)10)2RIR;aAi 1 +a;2C))10)2 R I R 2 Ai
На рис. 7.3 изображена зависимость А I и А I ОТ А. при точной
настройке контуров усилителя. Из рисунка видно, что ахплитуда
lюлебаиий в' первом контуре А
монотонно уменьшается по Me  1'2
ре увеличения амплитуды Ba
(\аЧНИ. Таким образом, в этом А 1 Az
елучае усиления сиrнала в пер
вОМ контуре не происходит. ?д А А
нако амплитуда колебании в н
наполнительном контуре, Пр6 Рис. 7.3. Зависимость амплитуд Аl и
IIDpциональная аИlIлитуде BXOД А 2 от амплитуды накачки Ав при
о " а А < А точной паGТрОЙRе ко нтуро в У сили
lIor "иrнал при в в.ОПТ,
растет с ростом Ав. Поэтому в теля
(истеме 'возможно усиление с
11 реобразованием частоты вверх, если в качестве выходноro сиr
IIIIJla использовать колебания ва втором контуре усилител,р:. Ta
J(oii усилитель является нереrенеративныM n:араметрическиМ: уси
тlтолем с преобраЗ0вани. '1астоты вверх. Определим коэффици
1111'1' ero усиления по мощности. Под коэффИциентом усиления по
.!

272 rл. 7. ПАРАТРИЧЕСКИЕ и АВТОRОЛЕБАТEJIЬRЫE СИСТЕМЫ
мощности будем ПОНИ1dатr.. отношение мощноети на I;'blXOдe уCJI
лителя R мощности входноrо сиrнала, выделяемой на соrласован
ной наrрузке. IIоскопьху reHepaTop входноrо сиrнала дает ток с
амплитудой 1 и И1dеет внутреннее СОПрOТИllление R i , то на соrла
сованную Harpysкy он отдает мощность
Ре == РЕ/8. (7.1.14)
МОЩнotТЬ иа выходе усилителя (во втором контуре) раВНа
А2 ciц't.R'Л А2(о}!
Р == .......! == 1 2 "И 2 . (7 115)
Bых 2На 2 (1 + iX2R1RI0)10)2)Z . .
MaKCМЫA.J1ЪHoro sваче:вия Рвых.маю:. эта :&еJlИчина достиrает при оп
тимальной амм..туде напряжения нака'Чки A. от == 1/r;)R1R2OJ1(J}io
В этом случае P BЫX . мuc == J2R I (/)2/8(/)1. Поэтому коэффициент усил
H по мощности усилителя аапишется в виде PBblx....a".lPe ==
== R\(/)zIR i (/)\. Если потери первоrо контура достаточно халы JI
R i  R, то п\  Л ; и маRсимальный коэффициент усиления He
реrенеративноrо двухкоптурноrо параметрическоrо усилителя pa
вен отношению выходной частоты (1)2 к частоте входноrо .сиrна
ла (/)\:
р вых. NaJlC
Ре
0),
.==
0)1'
(7.1.16)
Поясним фИ3RЧQСIШЙ ...смысл полученноrо соотношении. ПОСКОЛЪ
ну мощв;ос.ть вхоД1ЮЮ eJП'нала на CTOTe Ш, раЩlа Раж, то полное
число квантов энерrии N, попадающих на вход усилителя, равно
N == PВX/n(/)I' Появление кванта частоты (1)2 происхот В резуJlЬ
тате сложения входноrо кванта и кванта накачки 1мt 2 ==
== 1/,(1)1 + !t(1)a.
Таким образом, число Jшаптов на выходе системы N Bыx не
может превышать числа квантов на входе. В оптимальном cJQ'-
чае N вx == N Bblx , т. е.
Р вьп / ro 2 == Р,.,.! ЮI.
Uтсюда сразу получается соотв:ошени (7.1.16).
Нереrенеративный усилитель  преобразоВателъ часТОТЫ  об.-
ладает стабильным усuе:пи:ем: JI ннаким уровнем туков. Это свя-
зано с тем, 'Что усиление по мощнotТИ происходит В даННОJl слу-
чае без изменния числа квантов, а лишь в резулътате иаменения
их частоты.
ИЗ соотношения (7.1.12) можно определить ПQJIOCY частот
не ereHe ативноrо параметрическоr ит ля 'Пр и опредеЛ8-
ШIJI ,ПOJlОСЫ читать, что 'Частота нака'ЧКИ настроена ка
разность частот контуров Юа == "'2  "'1. В этом CJlyЧае раестроЙRИ
1 и 1}э заВGJIТ ТOJIЪKO от разности частот 6>.  V 1 ; , 111 ::::1'
::::I'2("'I(j}I)/Vt, 1122(Vt(J)I)/"'2' IIодставшlЯ эти авачевия J!

!i 7.1. ПАРАМЕТРИЧЕСRОЕ УСИЛЕНИЕ В СИСТЕМЕ 213
(7.1.12), определим полосу УСИJlевlIЯ нереrенеративноl'O ,пара
метричесхоro УСWIителя при ОПТИИПЬDОЙ накачке:
(0)1  "1)2  1;[(R 1 C 1  R2. C 2.)" + 4R:C:].
НаибоЛее mирокая полоса достиrаеТСJJ при R 1 C 1 === R 2 C 2 .
У СUJШтелъ с вЫСО1tQlЮСТОТНОЙ на1tаЧ1tQU. Двухконтурный пара
метричеекий усилитель, для KOTOporo справецлИIЮ соотношение
о)н == 0)1 + 0)2, явлиется реrенеративным усилителем, т. е. систе
мой, в 'коroрой под действием напряжения накачки в оба KOH
тура вносится отрицательное сопротивление, зависящее от напря
жения IiаКаi:ши. Это напряжение определяет rлубину модуляцип
емкости, связывающей два контура. Из соотношений (7.1.11)
и (7.1.12) можно определить амплитуды колебаний в первом и
втором КОllХ при точной настройке усилителя ('111 == '112 == О):
А  IR 1 А  1Rii(j)"R.A.
l  11 t 2  2.
t  a2(j)1(J)aRIR2.AB 1  al(J)IO)lRIBI
По ие увмичения Ав DП;n:ТУр1 КOJlебaвиii в обоих контурах
увеличиваются. При A, HP ==! 1/a}0)10)2 R I R 2. амплитуды колеба
ний в обоих ROHтypax нарастают до бесконечности, что свиде
тельствует о равенстве вносимых параметрически отрицатеЛJ)НЫХ
сопротивлений активным потерям в коцтурах. При Ан  AH,P
параметрический усилитель с ВЫСОJ\очаСТОТIlОЙ накачкой самовоз
буждается и ПРСRращается в параметрическиЙ reHepaTop.
Пр.и Ан < AH,P амUJIИТУДЫ l\олебаний в первом и втором KOH
турах пропорциопальны амплитуде входноrо сиrнала 1, поэтому
система может служить усилителем при отборе еиeprии RaK от
IIcpBoro, так и от BToporo контура.
Мощность колебаний на выходе nepBoro контура
.42. [2. R
РВЫХl== 21: 1 == 2(12RRIA2.O)ffi)2 (7.1.17)
1 2. В 1 2.
мощность коаllИЙ lIа выходе BTOporo контура
А2. [a R 2.R 0)2
Рвых 2. == 21:2. == 2 (1  aal2.AiIO)2.)2. .
Если выходной сиr]jал усилителя снимается с первоrо KOHTY
1'11, то система УСИJlивает сиrнал без измене нил ero частоты. При
lI'I'riope энерrии на выходе BTOPorO контура система' одПовременnо
С', усилением производит преобразование чмтоть-:. n обоих слу
'IIIIIX выходная мощвость :может бытьскоJiь уrодво БoJlыIiй,' т. е.
IIшффициент усиления TalIOro параметрическоrЬ усилителя, l\ак
.. 1I(',flJюrо реrеперативвоrо УСJIлителя, не оrраничен. Конечно,
пJl IIl'актике 3Н8.чение :коэффициента усилениЯ реrенератиilноrо
(7.1.18)


'274 rл. 7. ПАРАМЕТРИЧЕСRИЕ И АВТОRОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
параметрич:еСRоrо усилителя оrраничено нестабильностью пара-
метров системы. При Ав, очень БЛИЗRОМ R Ав.ир, система CraHfr
вится неустойчивой и небольшие уходы параметров приводят R
ее самовозбуждению.
"Усиление в тан()м усилителе происходит в результате распада
нванта наRачни на два нванта 1/,{i) == n(J)1 + n(J)2. Этот распад
индуцируется входным сиrналом, нванты с ч.астотой (J)1 постynа
ют во входной нонтур И реrенерируют ero. Кванты с частотой (J)s
возбуждают Rолебания во втором нонтуре. Тю. :!'аи МОЩность
наRачни считается неоrраниченной, то количество нвантов, nfr
ступающих в контуры, может расти вплоть до достенИJI co
стояния самовозбуждения системы.
Недостатком расс:матриваеМО:tО усилитедя, как и .люоoro pere
иеративвоrо усилителя, работающеrо вблизи точки самщюзбуж
дения системы, является ero узкополосность: Действительно, :Вне-
сение в контур отрицательноrо сопротивления, компенсирующеrо
потери, приводит к увеличению добротности КQHTypa, что умеиь
шает ширину полосы усиливаемых частот.
Для оценки полосы ДВУХl\Онтурноrо реrенеративноrо парамет-
рическоrо усилителя воспользуемся соотношением (7.1.12). Пfr
JIОЖИМ дЛЯ определенности, что (J)B == "1 + "2. Тоrда 111 
2(VI(i)t)/"I' 1122("t(J)I)/"2' Соотношение (7.1.12) в этом
приближени:ft принимает }Jид
A == J2R 1 [1 + 4('\11  (J)1)2R;C:J { [ 1  '? + 4('\11  (J) 1)2R:c: ] 2 +
HP
[ ( Ai ) ] a } 1
+ 2 ('\11  (J)1) R 1 C 1 + R 2 C 2 AHp + 8 ('\11  (J)1)3RICIRC: .
(7.1.19)
Коэффициент усиления двухконтурноrо реrенеративноrо па
раметричооноro' усилителя существенно превышает единицу толь
но при Ав, близном Н А",кр, В этом случае из (7.1.19) следует,
что амплитуда A уменьшается в )'2 раз по' .сра:Внению с резо-
нансной при расстройке ' ,
1 AJAa. ltp
.1 (J)l  '\111 == 4 (Л С + R с ) .
1 1 2 \1
Таним образом, полоса реrенеративноrо параметричесноrо усили
телятем уже, чем ближе А.. н А в . ир . Рост ноэффициента усиле.-
ния реrенеративноro усилителя сопровождается сужением ПОЛО-
сы усиливаемых частот.
Важной харан:rеристИRОЙ усилителя являются пределы линей
пости ero усиления, т. е. пределы изменения 1, внутри которых
выходной сиrца.п' пропорционален входному. В проведенном нами
расс:мотреюtи С выходной сиrнал всеrда бьш пропорциопален ВХОД-
\.
(7.1.20)

.
. ;. 7.2. ПАРАМЕТРИЧЕCRИЙ ДВУХIЮНТУРНЫЙ rEНEPATOP .
27::;
JlОМУ (см. (7.1.12), (7.1.15), (7.1.17)). Это связано с видом xa
рактеристики нелинецноro элемента (7.1.2). При больших а:\-шли
тудах входноrо сиr,нала необходимо учитъmать следующие чщшы
разложения qc ио ис, что и приводит к нелинеЙноIr зависимости
выходноrо сиrнала. 'от входноrо. I\РО,ме тoro, мы считали, что
reHepaTop накачки представляет собоЙ исто-чник с нулевым BIIYT
ренним сопротивлением, т. е. reHepaтop веоrраниченноii МОЩ
пости. Это позволяло перекачивать любую энерrию в KOHT'PЫ
с частотами ш. И Ш2. При использовании рсальноrа reHepaTopa
накачки линейнасть усилендя нарушается, коrда fащности Ro
лебаний на частатlj.Х ш. И (J)э станавятся сравнимыми с мощ
постью reHepaTapa накачки.
Оснавное дастаинства параметрическаrа усилителя заRлюча
стея в низком уровне шумав. Маласть шум()в TaI\Ora УСШIитеJIЯ
обусловлена тем, что нелинейный элемент усилителя реактивен.
'у лампавых, транзистарных и иных усилителей на нелинеп:ном
активном элементе асновную часть шума в вносит активный He
линейный элемент. 'у параметрических же 'усилителей этот ис
точник шума практически отсутствует. При этам наибалее с.lIабы
шумы нереrенеративных усилителей, так как их усиление свя
аано толька е преабразаванием частоты и не соправождается
внесением отрицательнаrа сапративления. в какиелиба контуры.
s 7.2. Параметрический двухконтурный rellepaтop
с lIекратными частотами
Реrенеративныii двухкантурный параметричеСIШЙ усидитель
11 ри дастатачнай амплитуде накачки самовазбуждается и превра.
II\ается в параметрический reHepaTap. IIРИJЩипиальная схема
TaKoro reHepaTopa дана на рис. 7.4. Для работы reHepaTapa не()б
ходима, чтобы сумма парциаль
IIЫХ частат контуров была близ
1111 к частате накачки. В это.м
('.IIучае в системе возбуждаются
liOлебания на частатах (J)t::::: Vt
11 (1)2::::: V2, причем
mt:+:m3==mB' (7.2.1)
Лllllлаrична таму, хак делалась
11 IIредыдущем параrрафе при
III'следовании параметрическаrа усилителя (см. (7.1.1)), залише)!
уравнения калебаний параметрическаrо reHepaTapa на частотах
111 I И Ш2:
1 и 1 .. .. I
7  /l) + R  + C 1 U 1 == qc (11 1
'1 1 '
(:1111;11, аяряда с напрпжепием
R, С,
l
U Z !
С 2 Rz :j
Рис. 7.4. Принцпппальпая схема
двухкоптурпоro параметрпчеСRО1'О
renepaTopa
t и 2 .... I '
т и 2 ,+ R + С.р2 == qc. (7.2.2)
2 2, '
на нелинейной емкости выбереМ

276 rл. 7. ПАРАМЕТРИ"IEСЮIE И АВтORОЛЕВАТEJIЬПЬП: СИСТВМЫ
8 виде
 2 , 3
qc Соас + (1.ис + !Же. ... (7.2. )
Второй член в пра.Щ)й части (7.2.3) обеспечивает паракеrри-
чес:кое вложение энеprии, а третий  неливейность системы, не-
обходимую для оrраничения амплитуды Rоле.бl!llиii. Напряжение
на нелинейной емкости равно . .
а с == и ! + и. Пi,
rAe и 1 == А t сов ({J)tt + 'liд, и2 == А 2 сов (ffi2t + 1tJ2), а" == А" сов (ffiиt).
Считая амплитуды At, А 2 Й фазы 1\'\, 1\'2 медленно меняющи-
мися величинами, получим следующие укороченвые уравнения
(см.  2.5): '
а) А 1 =-  IAl + (1.1А2Аиsin,
. A2
б) '1\'1 ==  Alf\ + (1.1 Jr'COS 'Р,
1
в) .12 == :---- б 2 А 2 + (1.2АIАн sin ер,
. AJAH
r) '1\'2 ==  A2f\ + (1.2 '""'А"""" сов ер,
а
(7.2.4)
"де б i == 1/2Ri(Сi+Со)Rоэффициент затуханиn колебаний в iM
контуре,
(1.i == U>i/2 (C i + Со), A == U>1  "1 +Рl "(2А: + 2A + A)
A 2fJ == U>2  "2 + 2 (2A + 2Ai + A),
3(j)i
i == 8 (C i + Со) ' ер == '1\'1 + 'Ф2'
Величины "1  l (2A + 2A + Ai) и "2  2 (2A + 2Ai + А:)
ожно рассматривать как парциальные частоты, смещенные ia
счет нелинейной емкости. '
В случае стационарвоrо режима работы reператора (А ; == ; ==
<==0) получим из уравнений (7.2.4а) и (7.2.4в) оТношение ампли-
туд в контурах
.А 1 ...:....I а л ==1  "-
А 2 == у. ai'l V  .
Из уравнений (7.2.4) можно найти ctg q> и соотношение меж-
1JY расстройками At и A2: .'
/!,./!,.
ctg q> == ....!lI == .
61 62
" . . >
,Та:кии ооразом, фаза q> опрецеляется ,параметрами систеиы, фазы
же 1tJ\ и 1tJ2 В отдельности произвольны, но сумма их фиксирована,
т. е. -Фi +  == <р. .
(7.2.5)
(7.2.6)

\
J 7.2. АРАМВТРИЧЕСКИй ДВ'УХIЮНТУРНЫй rEВEPAT.oP 277
ВOCnOJlЬЗоваашись соотноmeвияии (7.2.5) и (7.2.6) и равен.
ством О)И === О). + 0)2, находим для частот rенерации О)! и шz:
0)1 === с\ О)и + ''162  "261  621 I\2 [ 2A + A ( 1 + 261 )] ,
61 + 2 (jl + 62 61 + 62 162
(7.2.7)
 62 : "261 62Vl 621 бl2 r А 2 А 2 ( 2(\ )]
0)2  6 + 6 О)и + 6 + 6 + 6 + 6 2 u + 1 1 + R 6 .
1 2 1 2 1 2 1-'1 2
Эти выражения показывают, что частоты rенерации О). и О)!
остаются ПОСТОЯННЫми при медленных коррелированных флук
туациЯх AVt и L\V2 парциальных частот '\Ii и '\12, коrда выполня
ется условие 6iL\V2  6 2 L\v! === О. Это позво
лиет ПОЛУ>ЮЦ, табильные частоты reHe (,)
рации подбором параметров колебатель
ных ко:а:туров. Друrая отличительная oco
бевность двухконтурноrо reHepaTopa  ero
способность reнерировать колебания со'
стабильвостью частоты большей, чем у ча
стоты нвквч.ки. ИЗ (7.2.7) видно, что при
с\ <:: 2 вестабиJ1ьность 1Jастоты О). значи
тельно мень:tпе нестабильности 0).., так
как L\O)i  б!0)../62, а нестабильность ча
стоты 0)2 примерно равпа L\O)n.
Частоты rенерации при определенном
соотношении параметроп системы не за
висят от амплитуды накачки и амплитуд
rенераци. Из (7.2.7) следуе'J условие их независимости вида
бi2  ! =;= О.
/,Ы'
Ы1

(цн
Рис. 7.5, Зависимость re
JI!\рируемых частот (1)'1 и
Ш2 от частоты накачки
Ш. В в полосе параметри
ческой rенерации
(7.2.8)
Это УCJIовие означаеr, что wiR i == W2R2. Соотношении (7.2.7) по
н:азывают, что частоты О). и 0)2 линейно зависят от частоты Ha
качки О) и' :в той области, rде A ве зависит от О)и или зависит
от нее по JJивейному ЗaI\ОНУ. Поэтому В большfЗЙ части полосы
частот параметрической rенерации О)! и 0)2 линейно следуют за
IIзменением О)и. На рис. 7.5 приведены типичные зависимости
Ы! и 0)2 ОТ Ю и :в П(щосе параметрической rе:а:ерации.
Найдем теперь стационарные амшщтуды параиетрической
I'енерации. Для этоrо сложим попарно уравнения (7.2.4а) и
(7.2.4в), а также (7.2.4б) и (7.2.4r):
( А\! Аl ) А
L\113 +  с== а.  + а, А 2 И СОВ <р,
( А2 Аl ) . .
61 + 62 == а 1 А 1 + а 2 А 2 Ав ВШ 'Р.
, (7.2.9)

278 rл. 7. ПАРАМЕТРИЧЕСRИЕ И АБТОНОЛЕВАТЕ.1JЪНЫЕ 6исТЕМЫ
Возводя левые. и правы.е части (7.2.9) в RBaдpa'r' и CJlожив их,
получим
( A2 ) A2
(.1.113 + .1.213)2 -+ (,\ + б 2 )2 == а 1 + 'а 2  .
А2' А 1
'Учитывая (7.2.5) и раСRрывая выражения .1.1 и .1.2, получим
нвадрат амплитуды стационарноrо Rолебания Ai :
2.' (%.1/52 . [ А z
А 1 == (%. б ( -+ 2 ) -+ а б ( + 2) .1. -----: 2 (1 + 2) и ::1::
121 2 21 а 1 " , . .
: i ::1:: (б 1 + 62) V A; l:  1 J. (7.2.10)
rде .1. == ffi"  (VI + V2) расстройка 'частоты наRаЧRИ относителi..:
но суммы собственных частот нонтуров.
ИЗ (7.2.5) следует, что выражение дЛЯ А; имеет аналоrич
ныЙ вид. На рис. 7.6 приведена зависимость Ai от расстройии..
.1. для  > о и фхшсированной аМПЛII-;
туды наRаЧRИ. Ашлитудночасто
вая хараRтеРИСТИRа представляет со-
бой две ПрJDIые, НQRлоненные влево.
, При  < о аипцитудночастотвая ха..
раRтеРИСТИRа наклонена вправо.
Для cyrцecTBoBaB колебаний
необходимо, чтобы ВЫПОШIЯJIОСЬ с,лео,
дуюrцее неравенство:
A > 6 1 б 2 /а 1 'Х 2 == А;.кр' (7.2.11
'Условие (7.2.11) совпадает с приве--
денным в  7.1 условием самовQЭo-
буждения параметричеСRоrо усили
теля с ВЫСОRочаСТОТНQЙ наRаЧRоji.
Однано даже при ero вьшолнениiJ
стационарная аМЩJдтуда rенерации cyrцecTByeT ТОЛЬRО при опре.-
деленных раССТРОЙ1\8Х
.1. < (б 1 + б 2 ) V ( HKJ   1  2 (1 + 2) A.
А 2
1
'х
,
х,
А11 х
2(H )А2.
'1 '"Z Н
Рис. 7.6. Зависимость амплиту
ды двухконтурНО1'о параметри
'leCK01'O 1'еНератора от pac
стройки: крестиками показаны
неустойчивые состояния, KPy
жочками  устойчивые
'\
.4
в полосе ра сстроеи
(61 +62) V ( A:KJ 2  1  2 ( 1 + 2) A  .1. 
 '(бl + б 2 ) V-( 1) 2 ;1  2 (1)1+ i) A (7.2.12)

\
5 7.2. АРАМЕТРИЧЕСRИй ДВУХRОНТУРНЫй rEНEPATOP 279
существует одна стационарная амплитуда A 12 . При
А <  (6] + (2) V ( АиJ 2  1  2 (] + 2)A: (7.2.13)
имеем две стациопарвые амплитуды Ан и A 12 .
Можно ПОRазать, что амплитуда Ан всеrда неустойчива,
а амплитуда A I2 устойчива. Внутри ПОЛQCЫ (7.2.12) состояние
равновесия системы неустойчиво и происходит мяrкое возбуж
дение к-олебаний. Полоса мяrкоrо возбуждепия несимметрична
относительно нулевой расстройки. При расстройках, удовлетво
ряющих условию (7.2.13), имеет м&сто жесткое возбуждение па
раметрическоrо reHepaTopa. Для возбуждения СlЮте.мы необходим
начальный ТОЛЧОR, величина KOToporo должна превосходить AII'
,С помощью соотношения (7.2.10) можно проанализировать
зависимость амплитуды Rолебаний параметрическоrо reHepaTopa
А{ от амплитуды накаЧRИ при различных значениях раоотpiJ:й-.
:ки А, ДЛЯ удобства анализа введем новые переменные
х === (A  А:. нрУ/2 и А' === А + 2 (1 + 2) А.Iф' Кроме Toro, BBe
дем обозначения
А  а]6 2 6] + 62 
О  а 1 6 2 (] + 22) + а 2 6] (2 + 2]) ' а === Ан, ир ' Ь == 2 ( ] + 2)'
в этих обозначениях (7.2.10) ПРИllимает вид
А;2 + АоА' == Ao(ax Ьх 2 ), (7.2.14)
А 1 + ЛоА' ==  Ао (ах + Ьх 2 ). (7.2.15)
На рис. 7.7 изображены правые части (7.2.14)  сплошная кри.
вая и (7.2.15) штриховая кри
вая. С помощью этоrо рИСyпRа
леl'RО опредеJIИТЬ квадрат ампли
туды колебаний A2 при любом
А 2' , Н
значении Hj и А. апример, при
А' === о .параметрическая rенерация
возникает при х === О (Ав == Ав.кр).
Квадрат амплитуды колебаний в
соответствии с (7.2.14) равен op
дина те сплошной RрИ1!ОЙ рис. 7.7.
С ростом х амплитуда колебаний
увеличивается, достиrает макси
'IYMa при х === а/2Ь, а затем
уменьшается и при х == Ь обращается в нуль. При A':I= О для
определения амплитуды колебаний на рис. 7.7 необходимо про..
вести rоризонтальную прямую С ординатой АоА'. в соответствии
с (7.2.14) A2 равно разности ординат сплшной кривой на
рис. 7:7 и прямой АоА'.
, А о аУ4Ь
Рис. 7.7. rрафичеСRое решение
амплитудво--частотпоro ypaвH
ния (7.2.10) для параметрическо--
1'0 rеператора

280 rл. 7. lIАРАМЕТРИЧЕСНИЕ и АВТОНОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ tp1СТЕМЫ
Таним образом, .при положительных i\' амплиt'уды ко.п:ебавпи
уменьшаются, а при отрицательных i\'  растут. Мансимальная
амплитуда н()лебаний всеrда достиrае1'СЯ при z; == а/2Ь. При по
ложительных. i\', например i\ на рис. 7.7, имеет место мяrное
возбуждение нолеб/!,нйй. при Хпор > О И пренращенив ноле6анпй
РРВ: ХВО'О <. sJ.b. При i\'  а 2 /4Ь возбуждения парамеrричесRИХ HO
пооаВllйпе :происходит ни при наних зиаченцях аМWlИТУДLI Ila
ка-qви. При отрицательных значениях !J.', например i\ па
рис. 7.7, возбуждение па.раметричесних колебаний происходит
при Х == Хь, соответствующем пересечению прямой Aad со mtри
ХОВОЙ прямой рис. 7.7. это жестное возб-уждение колебаний d
kовечной амплитудой, Rйадрат ноторой aBeH развости ордиат
, 'СПJl0mноii нривой и nрЮ,{ой i\. Пренращенйе колебаний с po
стом A достиrается при х> Ь/а. При уменьшении амплитуды
наначни срыв нолебаний происходит не при Х == Хь, а при Х'== O
2 ' . . '
Амплитуда нолебаний при cpbme равна Аср ==  AO2'
, Таним образом, область существования параметричесной reHe
рации ОI,азьшается всеrда оrраниченной нан со стороны малых
амплитуд на начни (<<пороr rенерации»), тан и со стороны боль
тих {«IЮТОЛОЮ». Существование «nopora» обусловлено необхо:
димостыо полной номпенсации потерь в системе за счет парамет-
ркчесноrо вложения энерrии. Наличие «потолню> связано с pac
стройной парциальных часТО'Т при больmи амплитудах ваRatmй
И:НJа нелинейной реактивности в СИ'I'еw:е. Пр.и жестном режиме
возбуждения нолебания вознинают при амплитуде наRачRИ, COOT
ветствующей достижеnию nеус'I'OЙЧИВОй BeТВ}J амплитудночастот
ной харантеристини (см. (7.2.15)). Жесткий срыв нолебаний п
исходит при Ан == Ан,ир.
В рассмотренном нами случае оrраничение амплитуды свя
зано с наличием в системе нелинейноrо нонденсатора. Это тан
называемый расстроечный механизм оrраничения. Зависимость
средней емности нонденсатора от амплитуды напряжения на нем
приводит н раССТРОЙRе между rенерируемыми' и парi:щаЛЫIЪtN:и
частотами системы. В результате ухудшаются условия передачи
энерrии от reHepaTopa нанаЧRИ. н возбужденным нtше'бан1tmI.
В параметричесном reHepaTope с цепью автосмещеiП'rя orpa:
ничение аМПJtиТУДЫDOзН1rnает. иэза смещения рабочей ТО1'f1\П,
1\01'OPQe танже приводит н расстроЙRe системы. Однано в этоц
случае нанлон амплитудных нривых противuположен наЮIОНУ
при расстроечном механизме оrранич:ения. ;
Если в системе имеется элемент ,О нелинейной в()льтамперной
харантеристИкой, 1'0 оrраничение амплитуды параметричеtк:и воз
буждаемых нолебан,ИЙ происходит за счет нелинейной дим:иnа
ции эяерrи:и (Дl'юсиnативный механизм оrpанич:еnия). На прак
тине чаще Bcero наБJIЮJj;аеtся одновременное деЙ'СТllИе ReскоЛЬ
них механизмов оrраничения амплитуды. .

\
\
17.3. ПАРАМЕТРИЧЕСIЮЕ ДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ
2$1
Суммарное ,t(еЙСТilиерасстроечноrо и диссипаТИIlВОro механиз'::
мов ПрИВ(JДИТ к' зависимости аJlИЖИТУДЫ от расстройки, изо:бра
женной штриховой :кривой на рис. 7.6. Более подробно о :Мexa
низмах rраНJlЧе:sин амплитуды СМ. в i 4.5, 4.6.
Еще ОДIIОЙ причиной, оrраничиваlЭIЦeЙ амплитуду параМе1ри
ческих колебаний, является обратная реакция на накачку. Энер
rия воабужденны]f, RОЛООаиий: :возвикает за счет энерrии исто'l
ника накачюа:. Если ИОЩRОСТЬ параиетрически воабужденпыХ"
колебаний становится сравнимой с мощностью rеператора нака'l
ки, то амплитуда колебIШЙ оrраничивается изза уменьшени1t
мощности накачки.
f 1.3. Параметрическое деление частоты
в предыдущем параrрафе был рассмотрен двухконтурныи
параме'Тричесimй reиератор, коrда в первом контуре имеЮТСJl
колебания ТОЛЬКО частоты Юj, а во втором  Ю2. Под действием
напряжеllИЙ с этими частотами через неJIинейную емкость в об
щем случае протекает ток, KOTO А
рый содержит КМfбинаЦИQlШые
частоты вида тЮj + nЮ2, rде т и
n равны О, ::1:::1, :С2, ... МlI.кси
мальные значения lml и Inl оп
ределяются видом нелинейной З!l
висимости qc от ис. Если ни одна
из этих частот но попадае'r 11
полосы пропускания I\ОПТУРОВ, то
мы имеем обычный параметри
ческий reHepaTop, описанный в
* 7.2. Однано если I\акаялибо
]юмбинациоюtая частота ПОiIIадет
11 полосу пропускавия одноrо из
"онтуров, то В этом контуре B03
IIИКНУТ I\олебания двух БЛИ3I\ИХ частот, т. е. биения.. Возникно
ноние биений в одном из контуров reHepaTopa всеrда сопровож
)(ается биениJtМи в друrом нонтуре.
ПУСть, например, I\омбииациоипая частота ю ==тЮ 1 + nЮ 2 при
мерно равна Юj. Леrко ПОI\азать, что Iюмбинационная частота
(IJ== (1  т) Ю 1 + (1 n) Ю 2 близка к частоте Ю2. Изза налИ1JИЛ:
lIелинеЙI;lОЙ емкости I\олебания I\омбивационных частот вnияюl"
lIa частоты rенерации Юj и Ю2. ЭТИ частоты «подтяrиваютсю>
1\ ком:бииационвыж и при определенных условиях JlЮжет проиЗой
'1'11 автозахваТЫвание частот. Термин «аВТО3ахватьmюше» (a:8TO
l'IШХ-РОНИЗ8ЦИЯ) подчерI\ивает то обстоятельство, что заХВ8I1' про
IIСХОДИТ ие под действ-иеи в:sеI1Iвей силы, а в результате действия
liOлебания с комбинационной частотой, возниюnеrо в самой си
('теме. .наиболее JrerKO аВ'I'озаХватывание происходит, Rоrда 'Ш 
6)1 '6)1
U)H
-н-----
/i)z blz
/Н
Y(UH
liI
Рис. 7.8. Спеатр колебаний в:
двухковтурпои 1'еператоре вбли3l:l
режима автозахватываНИJi
'!) в. в. Миryлип и др.

282 rл. 7. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и АБТОRОЛЕВАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
 (N  1) Ю1, Т. е. частота ю, почти кратна 6)1. Такая система в
синхронном режиме является делителем частоты накаЧRИ в N раз.
При этом частота 6)1 ORазывается точно в N раз ниже частоты
накачки, а частота Юа отличается от Ю" в '(N  f)/N раз. В aBT
синхро:щю'м . режиме колебания с частотами Ю1, Юа И (J)и Kore
peHТ1IЬJ.
На рис. 7.8 приведен спектр колебаний вдвухконтурном re.
, ,
нераторе для случая, коrда Ю1 и Ю2 попаают в полосы пропуска.
ния контуров (комбинационные тона, расположенные вдали от
резонанса, на рисунке не изображены). Автосинхро:нный режим
, ,
наступает, коrда частота Ю1 захватывает 6)1, а частота 6)2 захва.
тьшает Юа. у станавливающиеся в автосинхронном режиме част
ты (J)и/N и (J)и(N  f)/N показаны на рисунке штриховыми ли.
ниями.
Рассмотрим более подробно работу делителя частоты в ,четы.
ре раза. Будем считать, что связь заряда на нелине:iiвой емкости
с напряжением имеет вид (7.2.3). Напряжение на емкости в ре.
жиме деления (автосинхронный режим) равно
ис ==А 1 COS«(J)t + '\'1)+ Ав cos(4(J)t + ФН) Аа cos(3(J)t + 'Фа).
Укороченные уравнения для амплитуд AI' Аа и фаз '\'1' 'Фа в
этих предположениях примут вид
..41 ==  б 1 А 1 + ct 1 А 2 А п sin <р + lAA2 sin Ф,
. АвА, ( ' , ' )
'Фl ==  1 + а 1 ""j["""'cos<p + IAIA, соsФ +1 2А и + 2А 2 + А 1 I
1 . ,
(7.3.1)
.4., ==  б 2 А 2 + се 2 А 1 А п sin <р  2A sin Ф,
. А 1 А в A ( 2 , ' ) .
"'2 ==  , + се, ---т--- cos <р + , А cos Ф +, 2А в + 2А 1 + А, 
, ,
rде
1 аю 
б i := 2R i (C i +C o ) ' се 1 == 2(С 1 +С о ) ' се,== 2(С,+С о ) I
3ю А 9jko А
1 == 4(С 1 + со) , ....2 == 4(С, + Со) ' ill == (J)  "11
2 == 3ю  "2' <р == 'Фl + 'Ф" Ф == 3'Фl  'Ф2'
Для получения стационарных амплитуд колебаний необходи'
1.10 учесть какойлибо из рассмотренных в предыдщем:м: параrра-
фе механизмов оrpаничения амплитуды. Пусть в данном случае
действует диссипативный механизм, т. е. затухание системы за-
висит от амплитуды колебаний.
Будем считать, например, что 61 является ФУНIЩией A i .

37.3. ПАРАМЕТРИЧЕCRОЕ ДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ
283
Полученная система укороченных уравненпй достаrочно слож
на. Для ее решения воспользуемся методом вторичноrо упроще
ния укороченных уравнений, предложенным Р. В. Хохловым *) .
Для этоro проведем сравнение относительной величины отдель
ных членов системы уравнений (7.3.1). При достаточно малых
напряжениях ис член иb в выражении (7.2.3) MHoro меньше-
 2 . '.
члена аис. Поэтому можно ввести :малый параметр J.!, раnпыЙ1
иc/a  1.
В этом случае члены уравнений (7.3.1), содержащие коэффи
циенты i, малы по сравнению с остальными членами. Будем
искать решение системы уравнений (7.3.1) с помощью разло
жения в ряд по малому параметру J.!:
А! == Ato + J.!a! + . . ., Аа == А 20 + J.! a 2 + . . ., qJ == ЧJо + J.!qJ! + . . .
в нулевом приближении по J.! система уравнений (7.3.1) прини:='
мает вид
А!о == ()!A!o + а;!А 2 оА. sin qJo,
А 20 == ()2Aao + а;2А!оАв sin ЧJо,
. ( а 1 А20 а 2 А 10 )
ЧJо ==  1  2 + """jf"""'"" +"""jf"""'"" Ан COS ЧJо'
10 20
(7.3.2)
ИЗ этих уравнений определяется отношение стационарных амп
литуд напряжений в контурах A 1o , А 20 и стационарная фаза ЧJо:
А 10  ., r ct t 62
А 20  V а261'
. { <\6 2
sш ЧJо == .
ala21
Подставляя эти выражения в (7.3.2), получим соотношение,.
определяющее стационарную амплитуду А!о при зад-авной pac
стройке и амплитуде накачки Ав:
а 1 а 2 2
()1 (А 10 ) == т- Ав
2
61 (A 10 )L\2
[61 (А 10 ) + 6 2 У'
(7.3.3)'
rде  == ! + 2. При заданной амплитуде накачки ооотношение-
(7.3.3) представляет собой резонансную заВИСЮfОС'1'Ь А!о от рас--.
строЙRИ . Так же как и для системы с одной степенью свобо
)(Ы, в случае диесипативноrо механизма оrpаничения peaOHaHC
ная кривая симметрична относительно расстройки  == О.
РасС}{отриИ теперь решение системы (7.3.1) в первом прибли
жении (с точностью до членов порядка J.!).
.) Хохлов Р. В. // ДАН CCCP: 1954. Т. 97. С. 411.
1!'*

284 rл. 7. ПАРА.МЕТРИЧЕCRИЕ и АВТОRОJIEБАТEJIЪИЪШ систEмы
v короченные ураввеиия. в этом приближеJIИИ' имеIOТ ВЦ
1 ==   (61+ :: Al )а 1 +
+ 11IAa(a2 sin<po + А 20 <Рl cosepo) + IАоА20sinФ, (7.3.4)
l1a ==  ба2 + !lа 2 А п (а 1 sin еро + А 10 ерl cos еро)  2A sin Ф,
IL';' == ILA ( а "2АI0  й 1 А 20 COS т  а А 20 т sin m ) +
,.. 'Уl r п 1 Aio ' 'УО , 1 А 1 ,ь 'Уl 'УО
( Aie ) .
+ PI A \io +2 Аао А 1 0соsФ +
+ 1 (2А; + 2.A + Ao) + .2.(2A: + 2A. + ),
· 3il 1  б 2 ( А20 а. 2 ) .
Ф == б + 6   'И 1 3а 1 2"" + А Ав СОВ tpCl +
1 2 А 10 20
( За 1 А10 ) А (3 А20 А 10 ) А .
+ (.ta 2 А + а 2 2"" 11 COS ЧJо  f.!epl а 1 А  а 2 А п sш еро +
10 А 20 10 20
+ З1 (2А: + 2o + Aio)  2 (2A + 2Aio + А: о ) +
( Ao )
+ 3IA20  2 AJO А 10 СОБ Ф.
В стационарном реЖ1lме дееJlИЯ '1ае'J'ОТЫ аШIliIТУ ДОЛЖНЫ
быть постоянными, а фазы '1\:1 и 'Ф2 жестко связаны между собой.
Поэтому левые части уравнений (7.3.4) в стационарном режиме
деления частоты равны нулю. Из первых трех уравнений этой
системы можно найти поправки к амплитудам и фазе al, а 2 и <Pl.
Ширина полосы деления частоты rp определяется последним
уравнением системы (7.3.4). Поскольку все члены в правой ча
сти этоrо уравнения, кроме первоrо, имеют порядок малости J.1,
то при Ф == о первый член также должен быть ПОрЯДКа J.1.
Это возможно в двух CJI)'Ч81Д. а и.ыеllНО, Rоrда мала ширина
полосы деления r/ (б l + ( 2 ) ,.., /.L иди коrДа мала величина
(3«51  ( 2 )/ (б l + ( 2 ),.., f..I.. Последнее ооотношеие означает бли
З0СТЬ д06ротностей пер.воro и BT,oporo контуров делцтеля часто
ты, так как Qt == ю/6 1 , а Q2 == 3(J)/. Если 381  ба, 'то QI  Q2.
Таким образом, для получения большой полосы деления необхо--
ДИМО использовать контуры с близкими добротностями.
Следует отметить, что вследствие зависимости б l (At) при-
БЛRжеНJIОО pue.ucTBo Зб j  ба может выполняться JПIШJ> при
определенной амплитуде At. В э.То случае полоса делния orpa..
пичена областью, в которой АI меняется мало.
Полученные выше условия широкополосноrо деления.часто':'
ты накаЧЮI в четыре раза справедливы и в общем сл:уч:ае деле-

17.4. ;1I;НУXIЮНТУРНАЯ АВТОRОЛЕБАТЕЛЪНАЯ СИСТЕМА 285
ния часТ01Ы в N раз. Для T&.Koro деления необходимо ВЬШОJIВ
ние следующих условий:
{) парциальные часто'J'Ы контуров должны быть равны COOT
ветственно '\'1 == юн/N, '\'2== юн(N  1)/N;
2) добротности контуров должны быть близки друr к друry;
3) нелинейная зависимость заряда qc от ис должна coдep
Nl
жать член ис . .
Параметрические делители частоты широко прим:еняются на
практике в связи с их 60JIЬ.щой ШИРОКОПOJIосностью и высокой
кратностью преобра30вапия частоты.
 7.4. Двупонтурнаяавтоколебательная система /
с реактивной СВВ8ЫО 
Наиболее распространенными прим:ерами автоколебательных
систем с двумя степенями свободы являются: reHep8(1:op с ОДНИМ
активным. элементом и; двухконтурной колебательно"ц системой
и два связанных reHepaTopa. В  7.4 и 7.5 Раосм:отрены автоко--
лебания в ДБУХКОНТУРНQЙ систем:е с реактивной связью. При сла
бой связи между контурами система MO
жет раеехатриваться как reHepaTop, Ha
rруженlIый дополнительным контуром.
При большой связи вблизи РUlIрпстnа
парциальных частиц сущестпуо'l' область
расстроек, для которых уело пия самоноэ
буждения выполнены одповременно для
колебаний двух частот, близких к соб
ственным: частотам. системы. При мяr
ком режиме самовозбуждения reHepaTopa
и связи активноrо элемента только с
первым контуром наблюдается явление
затяrивания частоты. В области затяrи 
вания устанаВЛJJБаются коле б ания
но стимых частот, причем реали
зу ющая ся частота зависит о т на правле н ия изменения парциаль
ной частоты.
Расмотрим:работу reHepaTopa, индуктивно связанноrо с дo
ПОJIнительным: контуром L 2 C 2 (рис. 7.9). Уравнения для токов
D первом и втор8м контурах имеют вид
' ) +
R 1 М Rz
С, ", " 
М
Рис. 7.9. reHepaTop с
ДВУМЯ степенями свобо--
ды с реактивной связью
между контурами
. L!il + R 1 i 1 + ; \ i1dt + M 1 i 2 == MlCT'
1. .
'L'l. t 2 + R 2 i 2 + ;2 S i 2 dt + M 1 i 1 00= Q.
(7.4.1)
Обозначим через и! напряжение на ковденсаторе первоro ковТура,

286 rЛ..7. ПАРАМЕТРИЧЕСIШЕ и АвтонолЕБАтЕльныЕ СИСТЦМbl
а через и2  напряжение на
и 1 == d 1 S i 1 dt,
Кроме тото, введем обозначения
R 1 R 2 1 t. 1 z
L == 2б 1 , L == 21'12' т-ё-- == '\'1, L С == '\'2.
1 2 11 22
.,. М 1 С 2 М 1 С 1
а 1 == т:-ё'"'"' (Х ! == L-ё .
1 1 2 Z
Будем считать, что тенератор работает в мяrком режиме и xa
рактеристику полевоrо трнзистора ИО1Кно аппросровать по
линомомf'третъеиетепеви: ,, ',.  .' .  . "
'id-r  SoUi ---'-- Sitf/Z?
Введя все эти обозначения, получ}Щ: уравнения
пряжециii в контурах в виде
..' . 2 .. М 2 .
и 1 + 2б 1 и 1 + '\'1 и l + (Х 1 и 2 == т:с (So  S2 U l) ин
1 1 (7.4.3)
.. . t ..
и 2 + 2б 2 и 2 + '\'2 и 2 + (Х 2 и 1 == О.
Систему уравнений (7.4.3) будем решать квазилинейным :м е то...
доы. Для этоrо введем зависящую от амплитуды Iюлебаний cpeд
нЮЮ крутизну  (см.  5.4). Ее введение ПО1ffiоляет перейти ОТ
нелинейных уравнений (7.4.3) к следующим RВазиливейным
уравнениям:
конденсаторе второro контура:
и 2 == d z S i 2 dt.
(7.4.2)
Rолебаний. Ha
1 + 2бl1 + \'IU 1 + (Х 1 ;;2 . MS'\'lil'
.. . I ..
и 2 + 2б 2 1l 2 + '\'2и2 + Gt S U 1 == О.
Решение этой систе:мы БУJем иСI\аТЬ в виде
иl ==А COS«(J)t), u2==Bcos«(J)t+qJ). (7.4.5)
Подставляя ето в (7.4.4) и учитывая, что оно должно быть
справедливо для любоro моментэ.... времени t, можно получить
систему уравнений, связывающую А, В, q> и ю. Будем в дальней
шем считать, что изменяющейся величиной является лишь пар.
циальная частота VI, а '\'2 остается постояВ1IОЙ. Тоrда удобно
ввести относительные расстройки:  , (,,  '\':)/ ю2 и 11 ==
=="( 6)2  ,,) I ю2. Введение этих раоотроек позволяет записать си-
стему уравнений для определения А, В, q> и (J) в следующем виде:
. Mi(
(:.Т)) А  а 1 В cos q> == О, IA  а 1 В siu qJ == (J) А, (7.4.6)
Т)В + а 2 А cos q> == O,ftaB + а 2 А sin q> == О,
тде -6; == 2БJ(J)  декременты затухания первоrо и второто
контуров.
(7.4.4)

Ii 7.1. ДВУХRОНТУРНАЯ АВТОRОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА 287
Из последних двух уравнений системы (7.4.6) найдем отно--
mение амплитуд В! А колебаний во втором и первом контурах и
сдвиrфаз <р между этими колебания:м:и:
В а 2 2
А == (1)2 + -tфl/2 ' tg <р ==  1)'
Подставляя полученные :выражения в первое и второе уравнения
системы (7.4.6), имеем следующие уравнения для определения
расстройки '11 и амплитуды колебаний А:
 == 1') [ 1  (Т]2 :2)2 ]. (7.4.7)
iA MvS (А)
l + (Т]2 + ;) (J) (7.4.8)
rде k 2 == (Х1(%2  коэффициент связи между контурами.
Для определения средней крутизны S(A) подставим в (7.4.2
rарионическое решение (7.4.5) и выпишем только выражение
для ам:плитуды первой rармонИКИ тока стока. Отсюда находим
среднюю крутизну S (А) в виде
 82
8 (А) == 80 "4 А2. (7.4.9)
Из (7.4.8) с учетом (7k9) получим слсдующее
амплитуды стационарных IЮJlсбпний:
А2 == А2  42k2
О  (Т]2 + ) ,
А ! ( M80V  )  Mv82
О  f\ (J) t}1'   (а) .
выражение для
(7.4.10)
rде
Из (7.4.10) следует, что включение в схему BToporo контура при
водит к появлению дополнительноrо затухания, которое зависит
от част()ты rенерации. При равенстве парциальных частот KOH
туров (==O) уравнение (7.4.7) принимает вид
11 [ 1 1 == о.
'12 + 
\
(7.4.11)
Один из корней этоrо уравнения '1'} == О, т. е. (J) == v; два друrих
l\ОрВЯ определяются из уравнения
1') == + Vk 2  t}.
,
IIоследнее соотношение дает действительные значения 1') только
11 том' случае, коrда k > t}2. Полученное неравенство указывает
lIа существование критической свзи :Между контурами k.... I'

28&- rл. 7. ПАРАМЕТРИЧECRИЕ и АВТОRОЛЕБА'1'EJIЪНЫЕ СИСТЕМЫ
Korдa "* < k"p, чаСтотное уравнение при синхронизме имеет тьль
.ко одно решemre (i) >==v. Еwи же k> k"p, то при QИНХР0ilИ8Щ
существуют три действительных корня урю!Нения {7 .4.11). Про--
ведем исследование .этих двух случаев отдельно.
GJtучай сJtабой. С6явu между l'i,ОnТУjШШI. {k < k"p). Зависимость
'1'} от  имеет вид, изображенный на рис. 7.10. rенерируемая ча
стота однозначно связана с пар
циальной частотой первоrо lЮН
тура. При этом если '11 < О (V2 >
> ю), то эквивалентная парЦиаJIЬ
ная частота понижается, т. е. дo
волнительный контур влияет как
подключенная к основному KOH
<: туру шУНТИ'рующая емкость. Если
'q > о (V 2 < ю), то добавка к пар
циальной частоте положительна,
т. е. дополнительный контур ЭR
вивалентен подключению myRТИ
рующей индуктивности. АиПJIП
туду автоколебаний можно на.
ти из соотношения (7.4.10). Ее
зависимость от относительной
ССТРОЙКИ:  изображена на
рис. 7.11. ИаиБОЛЬ,шее уменьшение ающитуды (отсос нерrии
из nep1ro1'O коптура во 1Itopой} имеет Мooro ври раВенстве па'Р
циальных частот (синхронизме), т. е. при t == О. АИUВ:fl1'УАа ко-
лебаний при :== '11 == О равна
4 ( k2 )
А2 == MvS 2 :NlvS o  -&1  tJ- 2 .
'7
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/.
/
Рис. 7.10. 3авИСИ140СТЬ частоты
reверируемоro колебания от pac
СТроЙКИ Ь при слабой связи
'Уменьшение амплитуды rонорации при синхронизме тем боль
ше, чем больше связь между контурами и меньше потери BTOpO
ro контура. При достат чв ысокой доБРОТ1IО '
.1XP а:\J'fОRQлебцния в си е изма IroВTYpoв IЮ--
обще ИО родавлены. 'Условие TaKoro nшiIевия ам JЮ
баний состоит в тои, что иНкремент перБ6ro ROHтypa MVS(J  t "'"
:== В некоторой области частоl' ОRаается еньше величины
k2/:rJ, представляющей собой потери (декремент), вносимые дo
полнительным контуром в nepBblAfi коптур. Зависимость ампли
1уды копебавий А от расстройки  при наличии области rашенВfI
изображена на рис. 7.12. rраницы этой области можно ощюде
лить, прправняв в (7.4.10) амплитуду пулю. При '&0 == k 2 /'&a об
.пасть rашепия стяrивается в точку.
GJtучай сuJtЬnОЙ свяаu tежду поnту ра.ми (k > k"p). Зависи.
ИOGть относительной расстройки '11 от  для k > k,q, п,mщцец :ка.
рис. 7.13. Из ри. 7.13 ЕИДНО, что при ДQстаТО1ffi:О болыпп по
иодУтО рweетроИRaх t (слабая связаивост},) систеМа reвeрирует

5 Н. ДВУХКОНТУРНАЯ АВТОRОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА. 289
:>:ас'l'ОТУ, близкую к парциа.1lЫroй частоте OCHOBHOro контура 'Vt
1]  t). Такиы образом, ВТОроЙ контур изза слабой СВRЭaНИО-
',ти :ие ВJI1Iяет на частоту reнерации. Вблизи синхронизма <ъ == О):
авиСИМООТЬ 1') от t оказыБетсJl тре:хзна'Шой. Исследоваиие
A
о

Рис. 7.Н. 3uиеимоеть aM
плитуды 1'енерируемо1'О K
"ООанкя от расстройки 
при слабой связи
о
с:
Рис. 7.12. Зависимость ампли
туды 1'енерируеиOJ'О К(),JIеба
иия -от расc:rpoйкк t вБШlав:
оБJl.асти ramев:ив:
'стойчивости колебаний цкаЗЫЩlет, что средняя ветвь частот-
'IОЙ характеристики всеrда неустойчива. Что касается наружны
етвей частотной характеристики, то их ход качественно совпа
aeT с ХОДОМ нормальных частот линейной консервативной си
теиы (на рис. 7.13 они изображены штриховыми линиями).
Рис. 7.13. Зависимость частоты 1'ене--
рируемо1'О колебания от расстройки
 при сильной связи
';0/112 
с;
ЗитRш&tН1l8
(fer,o'iJ
ruщеНllе
k2jrJi
Рис. 7.14. Области отсоса
энер1'ИИ, rашения и затя1'И
вания колебаний
)днако наличие в (7.4.7) не paBHoro нулю декремента {}2 ЭКВИБа
lентно уменьшению связи между контурами, так что rенерируе
1ые частоты лежат несколько ближе к парциальным чаC\l'отаи,
"еы в конеервативвой системе.
ПОДЮ1lOчеиие ДОПОJIНительвоro ковтура, так же как и В слу-
"'ае CJlабой связи, уменьшает амплитуду колебаний в reHepaтope.

290 rл. 7. ПАРАМЕТРИЧЕСl\ИЕ И АВТОl\ОЛЕБАТЕЛЪНЫЕ СИСТЕМЫ
Степень ее уменьшения при сильной связи зависит от соотноше
вия инкремента {}ОО и денремента BToporo контура {}о2. Если '&2 >
> .&0, то вблизи синхронизма существует область rашения авто.
колебааий. Если {}о! < {}оо, то вблизи синхронизма имеет место
явление затяrивания, которое будет подробно рассмотрено в сле
дующем параrpафе. На рис. 7.14 в плоскости перемнных '60/{}2
и k 2 jt): показано расположение областей rашения, затяrивания
и отсоса энерrии колебаний.
 7.5. Явление аатarивавии
Проведенный выше анализ базировался на предположении
о том, :что в системе в кажДый момент времени существуют ко.:.
лебания только одной частоты. Между тем мы показали, что
вблизи равенства парциальвых часТот в системе устойчивы KO
л ебания с частотами 6>. И 6> 2.
Рассмот рим теперь УGmНl ИЯ одновременной rенерации двух
rармонических колебапий с частотами 6>. И 6>2' Для этоrо пред.
ставим напряжепие затвор  ИСТОI{ и\ В виде
и\ А\ сов (6)\t) + А 2 сов (6)2t). (7.5.1)
Так как частоты колебаний (о. и (02 асинхронны, то относитель.
вые фазы не И:rрают никакой роли и их можно опустить (это
соответствует определенному выбору начальноrо момента BpeMe
ни). В рассматриваемом случае каждому колебанию частоты (1);
соответствует своя средняя крутизна. При этом 8001 И ВОО2 за
висят, в общем случае, от обеих амплитуд А. и А 2 .
Подставив (7.5.1) в (7.4.2), найдем компоненту тока стока
с частотой 6>\:
i CTW1 == l80A1  2 (A + 2A1A)1 COS((1)1t).
Таким образом, средняя крутизна на частоте 6>\ равна
 А А s 2 ( 2 2 )
S001( l' 2)==804 А1+2А2'
Аналоrичным способом получаем и S на частоте (02:
 А S2 ( 2 2 )
SW 2 (А1' 2) == 80  4" 2А 1 + А 2 .
(7.5.2)
(7.5.3)
ИЗ (7.5.2) и (7.5.3) видно, что средняя крутизна уменьшается
С ростом амплитуд А\ и А 2 . Однако уменьшение ВОО1 на частоте
(о. в большей степени запшшт от Az, че,м от А\. Уменьшение
S 00, определяется в основном амплитудой AI' Отсюда следует,'
что одновременное сосуществование двух частот при мяrкои ре.
жиме ВдайМ1ro меньшает значения средней крутизны. Для оп

!! 7.5. ЯВЛЕНИЕ ЗАтяrИВАНИЯ
291
ределенил стационарныx амплитуд колебапиii подставим Bыpa
жения ДJUI S (7.5.2) и (7.5.3) в соотношение (7.4.8). С учетом
(7.4.7) получим следующие выражения, связывающие амплиту
ды колебаний А 1 и А 2 С параметрами контуров:
M"[So 842 (A + 2A)] == \'}l +'6-2 '\1  == R экв (1]I)' (7.5.4)
M,, [So 2 (А: + 2A)1 =='6-1 + '6-2 '12 'II == R эЮJ (1]2)' (7.5.5)
rде 1]i == (oof  ":)/ oo, i == 1, 2. Левые части уравнений (7.5.4) и
(7.5.5) описывают вклад энерrин в контуры, правые части  по
repH. Если при АI == А 2 == О вклады энерrиибольше потерь в обоих
случаях, то выполняются условия самовозбуждения системы.
В системе возникают колебания с частотами 001 и 002 И начинают
расти их амплитуды. Амплитуды А 1 и А 2 увеличиваются до тех
пор, пока для какоrолибо колебания ВЮIад знерrии не сравня,:,
ется с потерями. Пусть, например, это произойдет сначала для
колебания с относительной расстройкой 1]:&.. С этоrо момента
амплитуда Аа перестает увеличиваться, а А 1 будет продолжать
расти. Это приведет к тому, что при расстройке 1]2 вклад энерrиИ
станет меньше потерь и А 2 начнет уменьшаться, что увеличит
скорость возрастания А 1 . В итоrе А 2 уменьшится до нуля, а А 1
возрастет до такоЙ величины, что будут выполпяться соотноше
ния
2 ( 82 А 2 )
Лl V l 804 1 == R D I\B(1]I)'
2 ( 82 А 2 )
MVl 8 о  2" 1 < R эЮJ (1]2)'
(7.5.6)
(7.5.7)
Соотношение (7.5.6)  условие существования стационарноrо K
лебания с частотой 001 (расстройкой 1]1) и амплитудой А 1 ; He..,
равенство (7.5.7) показывает, что на частоте 002 (1]2) ВI\лад знер
rии меньше потерь.
Аналоrичным образом можно получить условия существова-
ния Rолебания с частотой 002 и амплитудой А 2 . Они имеют вид
2 ( 82 2 )
MVl 80 т А 2 ==R эЮJ (1]2)'
М 2 ( 82 2 )
" 1 80  2"А 2 < R:?ЮJ (1]1)'
(7.5.8)
(7.5.9)
Простые соображения ноказывают, что rармоничеСI\ие колеба-
ния, описываемые соотношениями (7.5.6) и (7.5.7), устойчивы.
Пусть, например, амплитуда А! HeMHOro возрастет, тоrда, левая
часть (7.5.6) станет меньше правой и А 1 вновь уменьшится.
Если А 1 уменьшится по сравнению со СВОИИ стационарным зна-
чением, то вклад энерrии на этой частоте станет больше потерь

292 rл. 7. ПАРАМЕТРИЧВCRИE и АВТОКОЛЕБАТЕЛ;ЬНЫЕ СИСТЕМЫ
и А I вновь возрастет. Вместе с тем небonъшие R8JIенеНRЯ А.:
слабо сказываютtя на иерэ.венстве (7.5.7) . ,вклад эиерrIIR на
частоте 6)z не сможет превысить потерь. Авалоrич:uые. рассуж-
дения доказывают устойчивость колeбttнitй на част'О'l. ffiJ при.
выполнении условий (7.5.8) и (7.5.9). Леrко nоказать, что би
rарМОllичес.кий режим, описываемый -соотношениями {7.5.4) и
(7.5.5), неустойчив. Действительно, при неболыпом увеличении
А I ВlШад эверrии на частоте юz уы:еиъшается сильнее, чем: вклад
на частоте ЮI; зто приводит К быстрому уменьшению Az, что
увеличивает вклад энерrии на частоте (1)1. Позтому неболшое
увеЛИ'leПие А I по сравнению со' стационарпым значением ведет
к резкому умепьшевmo A z и росту А I . Система переходит к rap-:
МОНИ"tеСJ(И)( I«>лебanmrи с часТОТОЙ Ю1' Наоборот; вебольmое
уменыпевие А I по сравнению .со стациоварныи Значением пере
 O ит систему в реЖИ)( rарионических колебаний с частотой U>z.
Рассмотрим теперь поведение двухкоптурвой системы с реак-
ивной связью в зависимости от изменения парцnальной частотьt
epBoro контура, т. е. от относительной расстройки t. При часто
те \'1  \,z (< О) в системе существует rаРМОНIIческое колебание
с частотой U>1, близкой к \'1. При увеличении "1 система ВХОДИ1:
в область, rде возможно существование колебаний как частотыi
U>1, так и частоты U>z. Эта область НОСит название области затя"
fИВIiВИJI ЧIiСТОты. В области затяrивания режИм rенерации зави
СИТ о'т преД'Ыетории.
Если система вошла в область со стороны  < О (рис. 7.1
R 7.15), то в ней будут существовать колебl!НИЯ с частотой Юt
и амплитудой А 1 . При дальнейшем увеличении t система при
t == tl скачком перейдет в режим rенерации с частотой U>z Jl
ампШlТУДОЙ A z . Если система входит в область затяrивания со
стороны  > О, то n неЙ происходят Iюлебания с частотоЙ U>z If
амплитудой A z . Переход в режим (Юl, At) наступает при tz;
меньшей tt. Расстройки tl и 2, определяющие rраницы области;
ватяrивания, можно найти из условия нарушения устойчивости
соответствующих колебаний. Различа1ОТСЯ частотные и а),(пли
TYДllble условия устойчивости. Ча.стотные условия устойчивости
нарушаются при расстройках, 'на которых кривая '1 == /() имеет
вертикальную касательную, т. е. dtldч == О. При связи большей
критnческой (k > tJo 2 ), условие d/dч ==0 дает два значения Ч.
определяемые из соотношения
ч 2 == v 20;k 2 +   ({) + ).
Амплитудная в.еустойчивость возникает при нарушении усхо.
вий (7.5.7) или (7.5.9). Пусть "при некоторой раССТрQйке t )в
системе выплняloтсяя УCJIовия (7.5.6) И (7.5.7). При увеличении
t 1}I  t быстро растет (рис. 7.13). При этом правая часть

g 7.5. JIВJIEВИE ЗАтяrИВАНИЯ
293
(1.5.6) расТет и А, уИеньmаеТСJl. Что Rасается правой части
(7.5.7), то опа укевъшается, а певая часть (7.5.7) растет. На.
нонец, при неRОТОРОЙ раССТрОЙRе t ==! неравенство (7_.5.7) из"
:иевит знак. ВЮIад Dнерrии на. частоте 0)2 станет больше потерь,
и начнется уве.пичевие амплитуДЫ А.. z
Система перейдет в режим rармоJПIЧ&- А,,2.
сRих RолебаШIЙ: с частотой 0)2. Обрат.
ный переход :8 режим lюлебавий с ча.
стотой U>! может произойти .пиmъ при
уиеньшеllИИ , коrда нарушается y
ловие (7.5.9), т. е. при t .... t2.
Зависимость амтштуд колебаний
А! 'и .42 от расстройки  приведена на
рис. 7.15. Соотношение амплитуд на
rp8RИЦе оБJIасти затяrивания  == !
можно найти из (7:5.7) и (7.5.8). Уста.
навливающаяся после скаЧRа амплиту.
да А 2 в 12 раз больше амплитуды А!,
существовавшей в систе8 ДQ скаЧR/l. CooTBeTcтne при  ==
, .... 2 получим A == 2A.
При связи, незначительно превышающей Rритическую, об.
ласть затяrиванив: оrраничивается ч астотной неустойчивостыn.........
При достаточно большой связи между I\онтурами о б ласть затя
rивавия оrpаничивается условиями амплитудной устойчивости.
При самовозбуждении системы внутри области затяrивания уста.
навливающийся режим заnисит от начальных условий в системе.
Проведенный выше анализ ПОRазывает, что под влиянием ре.
зопансной наrРУЗRИ аВТОRолебательная система может вопреде.
ленной области частот изменить свою  aCTOТY и ам:ПJIитуду, во.
об ще преRратить Rолебапия (режиы rаmения) или попасть в
ре ж им СRаЧRоо о разноrо изменени я амплитуды lfЧ астоты. По это.
му при использовании резонансной наrрузки необходимо приви.
мать меры для уменьшения ее обратноrо влияния на аВТОRоле.
бательную систему. Q д IШМ ,ИЗ п р име р ов системы с резонансной
наrРУЗRОЙ является reHe ато , связанный с контуром волномер а .
правильноrо измерения rенерируемои частоты нео ходимо,
чтобы связь между контурами reHepaTopa и волномера была
достаточно мала (режим отсоса энерrии). Явления затяrивания
и rашений, наступающие при сильной связи, в этом случае сни
жают точность определения частотЫ. Однако явление затяrива.
ния может быть иснользовано для стабилизации частоты авто.
RОJlебаний. Для этоrо в Rачестве дополнитеЛЬНОFО нонтура в
систему включают нонтур с высокой добротностью. В радиодиапа.
зоне обычно применяется кварцевый резонатор, а в диапазоне
СВч......... ВЫСОRодобротный объемный резонатор. При малом 62 об
ласть З8тяrи:вания увеличивается. В этой области значите.пыIеe
вариации парциальной частоты нонтура reHepaTopa сопровож.
r;:'z о r;, <;
Рис. 7.15. Зависимость aM
ПЛИТУДЫ rенерируемоro КО-
лебания от расстроЙЮI  в
режиме аатЯI'и:8a11ИJ1

294 rл. 7. ПАРАМЕТРИЧЕСRИE ИАВТОRОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
.даются малыми изменениями rенерируемой:частоты. На рис. 7.13
жирными линиями изображены области стабилизации частоты
при затяrивании.
При использовании явления затяrивання для стабилизации
частоты необходимо удовлетворить двум условиям, а именно:
а) диапазон изменения парциалъной частоты reHepaTopa дол
жен быть значительпо мепьше области стаБИJlИзацви;
б) после включепия системы reHepaтop должен быть настроен
на соответствующую ветвь стаБИЛЫlOii частоты.
При связи, большей критической, в рассмотренном выше Te
.ператоре с мяrким: режимом возбуждения и связью активноro
элемента с первым контуром наблюдаются только одиочастот
ные режимы. ОднаRО в более сложных системах, например в
reHepaTope с жестким режимом: возбуждении или в случае об
ратной связи с дОполнительным контуром, при определенных
параметрах возможно существование двухчастотных режимов re
верации.
i 7.6. Двухконтурнаа автоколе6ательнаs система h
с резистивноii СВIIЗЬЮ /<..
l\ачественно иные амплитудные и частотные характеристики
lDIeeT двухконтурная автоколебательная система с резистивной
свЯ8ЪЮ между контураЪfИ *). Такая система изображена на
рис. 7.16. Введя в качестве везависимыx координат напряжения
на конденсаторах иl и и2, получим следующие уравв:ения:
... . di
U 1 +2(\u 1 + viu 1  a 1 u 2 == M,, d '
2 + 2б22 + ,,и2  O:2l == О,
(7.6.1)
тде
л+л.
2б.
1  L i '
2 1
"i == L.C.'
1 1
O:i == vRCj,
i =1= }!
rде i == 1, 2, j == 1, 2. Так же как и в  7.4, уравнения (7.6.1)
будем решать квазищшейным методом, предполаrая, что реше--
пие Щlеет вид
иl == А cos «(J)t) , ll2 == В COS «(J)t + (j).
При введении относительных расстроек  == (vi  V)/(J)2 и 1'\ ==
"==((J)2 V:)/(J)2, и декрементов затухания -tt i == 26/(J), i == 1, 
(V2 считаем за данной величиной), получим следующую систем)
)
*) Курдю:м.ов О. В., Мипапова И. И. 1/ РадиотеX1IИКа. 1969. Т. 24, Н2" 6
е.65.

 7.6. ДВУХRОНТУРНАЯ СИСТЕМА С РЕЗИСТИВНОй связью
295
уравнений, СВJliЗывающих А, В, ер и 00:
юА(  1'\) + а 1 В sinq> == О,
Z
 2ro6- 1 A + а 1 В cos <р== ---:-- М VIB (А)А,
'fIOO8 + a z А sin q> == О,
 f}zroВ + a z А cos q> == О.
(7.6.2)
ИЗ этой системы получим уравнение для определения частоты:
.  == 1'\ [ 1 + '12   ],
rде k 2 == a1a,.loo2  Rозффициент резистивной связи между кон-
турами.
Для нахождения амплитуды Rолебаний в первом нонтуре He
обходимо воспользоваться вторым из уравнений этой системы.
Считая, что reHepaTop рабо
тает в МJIrROM режиме. Т. е.
срединя Rрутизна s' (А) рав-
на S' == Ве  (BJ4) А', получим
следующее выражение для
амплитуды стационарных НО-
лебаний:
k22 '
А==Ао +  (z 2 2 ) ==
'1 +  z Рис. 7.1G. reHepaTop с двумя степенями
4 ( k22 ) С80боды с реЗИСТИ8НОЙ связью между
== lf f}o'+ '12 +: ' (7.6.4) контурами
rде Ао  амплитуда Rолебаний в первом нонтуре в отсутствие
связи,  == MB 2 vi/oo, '60  ИНRремент первоrо нонтура, равный.
tt o ==  tt 1 + MBoV/OO.
Рассмотрим ча.стотное уравнение (7.6.3). Сравнение этоrо
уравнения с уравнением для нахождения частоты при реактивной
связи между Rонтурами (7.4.7) ПОRазывает, что единственное
различие между ними  знаR перед вторым членом, стоящим в
СRоБRе. Это отличие весьма существенно изменяет вид зависи
мости f) от расстроИRИ t. в ТОЧRе синхронизма (t == О) всеrда
имеется лишь один :корень уравнения (7.6.3), т. е. при V1"""Va
частота reHepaTopa равна парциальной частоте первоrо нонтура
(1}==0).
На рцс. 7.17 построена зависимость f}(t) ДЛЯ различных зна
чений Rоэффициентов связи k. Из РИСУНRа видно, что при боль
IIIИХ значениях k вблизи синхронизма (t == f} == О) существует
область, rде f} слабо зависит от t. Эта область соответствует
устойчивому режиму, при нотором имеет место сабилизация ча
стоты reHepaTopa. Коэффициент стабилизации частоты при СИll
хропизме равен В == dd1}lfJo< == 1  k2/tt, т. е. тем больше, чем
(7.6.3)
L 2
R 2
С 2
С,
R

296 rп. 7. ЦАРАМЕТРИЧECRИЕ и АВТОRОЛЕБАТЕЛЬНЬШ СИСТЕМЫ
больше коэффициент связи и чем меНЬше декремент. В'IOJ.
контура. Область стабилизации раСПOJIо,жена между двумя or
-СТЯМИ неОДНIlJlЧRQСТИ, которые возникают при k > kxp. RpI.
еСRОО значеВив k находится из условия dtlач === О. Из Э
усло:вйя слеютет, что расстройка '1. соответствующая скач:.
-частоты, равна:
",2 ===   {t2 :f: .. / kf.  2k2t}2
'1 2 2 V 4 2 .
Действительные значения Ч им:еюТ: место при k 2 > 8t}. Ta
образом, /с,.р === УМ:!. ЭТО зваче1Ше 'kxp значительно выше, чем
в случае реактивной связи между Rонтурами. Условие пео):
;1н8ч-еСТ}f 'k2>86-:, озНачает, чrt> 8(R + R2)2/Lt должно б
меньше Е2/ L 1 , 1rIЮ Возможно лиmь при L z > 8L.. , ...
Из выражения для амплитуды А (7.6.4)сЛедУТ;' 'lTO
lIаличии связи включение BToporo ROHTypa приводит к увеличе:Е
амплитуды reHepaTopa (рис. 7.
т. е. дополнительный контур IL
тирует сoтrротивление связи Р.
прИБОДИТ К уменьшению заТVХа
lJ
Рис. 7.17. Зависимость частоты
rеиерируемо1'О колебания от
расойки:  при различных
Rо3ффициевтах связи: k 1 === О,
k 2 < k ир , k з > k Kp
А 2
О,
.А}
l;,
о
Рис. 7.18. Зависимость ампли
туды 1'еперируемо1'О колебс
пия от расстройки . k > k иr
в первом, контуре. Чем меньше ДKpeMeHT затуаця !
poro конт;ура {tz,  тем 6олJ;.ше увеличение . амплитуды
по сравнению с Ао  амплитудой reHepaTopa при .нали
только одноrо контура. Уменьшение затухания OCHoBHoro, KOF
ра является также причиной Toro, что в днной системе .
 == о worYT ВОЗНИIшуть колебания даже в том случае, Rоrда
ноконтурцая система является потенциально автоколебатедь=
т. е. для нее '60 < О. Возбуждение колебаний произойде'l'
УСЛОВИИ k 2 -6:/(ч 2 + "') > I -60 1, т. е. для задапвоrо КОЭффИЦl
та СВЯЗИ k при расстройках Ч  k2t}!1 "о I  tI-. При б6J!Ь!
11 колебания срываются.

!I 7.7. ВЗАИМНАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ ДВУХ rEНEPATOPOB 297
Двухконтурная автоколебательная система с резистивной
связью между контурами обладае't лучшими стабилизирующими.
характеристиками, чем система с реактивной связью. ЭТО связа
ДО с тем, что облас'rЬ стабилизации '!аСТ QТЫlliлр ложена вблизи
  О rде достиrается м8."RСимум' амплит ы колебаний. Кром е
'Toro, ширина о ласти ста илизации при резистивноисвязи зна
чительно больше, чем при реактивной.
f 7.7. Взаимная СИВХРОIВI38ЦИJI двух свJl3а1пlых reHepaTOpoB
" В ,случае двух связанных reнepaTopoB с сильно различающи
мися парциальными частотами. автоколебательные системы рабо
тают практически независимо. Вблизи синхронизма парциальных
частот имеет место взаимная синхронизация reHepaTopoB. В по
J.юсе синхронизации в системе существуют колебания лишь ОДНОй
частоты, амплитуда и фаза которых зависят от расстройки пар
циальных частот и от соотношения мощностей reHepaTopOB.
Процесс взаимной синхронизации двух reHepaTopOB paCCMOT
рим на КОПRретном примере схемы, изображенной на рис. 7.19.
Для напряжений затвор  'исток транзисторов и 1 и и2 получим
следующие дифференциальные
уравне НИ 1J:
1 + \'al  2(\ (и 1 ) 1  СХ 1 ;;'2 ==
==0
.. . ' (7.7.1)
и 2 + \'a2  262 (и 2 ) и 2 
 сх 2 и 1 == о.
Здесь "1 И "2  парциальные
частоты контуров, 26 i т Mi\' Х
XSi Ri/L i , Si нелинейная
крутизна, зависящая от напря Рис. 7.19. Схема двух связанвых 1'е--
жения затвор  исток COOTBeT нераторов
ствующеrо reHepaTopa, CXI, 0;2 
}\оэффициенты свя13и: CXi== Ca/(C i + Са), i==1, 2, rде Самалая
емкость связи. "Уравнения (7.7.1) получены при пренебрежении
членами порядка малости cx;R;/L;. Для решения системы (7.7.1)
методом медленно меняющихся амплитуд положим
с,
и 2
и 1 == А (t) cos [root  'Ф (t)], и2 == В (t) cos [root  q> ин (7.7.2)'
rде ffio == (\'I + \'2) /2, А, В, 'Ф и ер  медленно меняющиеся Функ
ции времени.
Представление решения в виде (7.7.2) спра-ведливо внутри
полосы синхронизации, }\оrда rенераторы работают на одной и
той же частоте или вблизи синхронизации, коrда разность reHe
:20 в. в. Миrулин И др.

298 rл. 7. ПАРАМЕТРИЧЕСRИE И АВТОRОЛЕБАТEJIЬВЫЕ СИСТЕМЫ
рируемых частот не!елика. Частота колебаний первоrо reHepaT<r
ра равна ?>' == U>o  'Ф(t), для частоты BToporo reHepaTopa имеем
U>z==U>o<p(t). Укороченные уравнения дЛЯ А, В, '" и <р записы-
ваются в виде
.  аоо
А == (\ (А) А + 12 о В sin Ф,
.  аоо
В == б 2 (В) В  22 о А sin Ф,
. а 1 ОО 0 В 3
'ф == 1 """'27 соsФ, (7.7. J
. а 2 ОО 0 А
<р == 2  Т 7i cos Ф,
['де Ф == <р  'Ф  разность фаз колебаний reHepaTopoB, , == U>o 
 v" Ll z == U>o  V2,
2п
 1 r
б 1 (А) == 2n .J 261 [А cos(U>ot  'Ф)] sin(U>ot) d(U>ot),
о
2п
б 2 (В ) == 2 S 2б 2 [В cos (U>ot  <р)] sin (U>ot) d (U>ot).
о
Разность фаз Ф удовлетворяет уравнению
. 00 ( АВ )
Ф == Ll  Т 0:2 В  0:17 cos Ф,
rде  == д,  z == V,  Vz  раС<\тройка контуров.
Уравнения (7.7.3) будем решать методом вторичноrо УП
щения укороченных уравнений (  7.3). Малым параметром
будем считать величину о:,u>о/б, == «1, т. е. отношение козе
фициента связи к инкременту первоrо контура. Величина r:t..zu>J,
тоже примерно равна /l-.
ПредставJIЯJI решение первых двух уравнений системы (7.7.:
в виде ряда по малому параметру Jl- И пренебреrая членами п
рядка Jl-z и выше, получцм
А==Ао+а,sinФ, В==ВоЬ,sinФ, l' (7.7.
rде Ао, Во  амплитудЫ свободных колебаний reHepaTopoB (П]
/l- == О),
(7.7)
f.1a 1 == 0:1u>оВо(2\ бl kАо)1,
f.1b 1 == 0:2U>oAo (2 \  \BoBo)1.
В режиме синхронных. колебанИ",Й система rенерирует
СТОТУ, равную u> == U>o  <р == U>o  'i'.
(7.7
одну 1

!I 7.7. ВЗАИМНАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ ДВУХ rEНEPATOPOB 299
Эту частоту можно найтн нз второй пары
cxz(oo Ао
ro ==v z + всоsФ,
о
В синхронном режиме Ф  ностоянная величина, т. е.
Тоrда из (7.7.4) следует, что
2
сов Ф == (А В В А) '
(00 CX z 0/ о  СХ 1 0/ о
равнений (7.6.3):
(7.7.7)
.
Ф==о.
(7.7.8)
Для заданной расстройки reHepaTopOB !1 нри известных амнли
тудах несвязанных колебаний Ао, Во из (7.7.8) HeTpДHO найти
фаз Ф. Подставляя ее в (7.7.5) п (7.7.7), определим амплитды
А и В и частот (iJ синхронных колебаний.
Ширина полосы синхронноrо режима находится из условия
cos Ф == ::J::1:
!1 rp == o ( СХ 2 ;:  CX 1 : ). (7.7.9)
На рис. 7.20 ПРИJ3едены зависимости А и В от расстройки !1 в
полосе синхронизации для случая Ао < Во. Если Ао  ВО, то в
соответствии с (7.7.5) и (7.7.6) ампли
туда более мощноrо reHepaTopa почти А,б
не меняется. Этот reHepaTOp иrрает Во
роль захватывающеrо ( 5.5). 3ависи
мость частоты от раССТРОЙI\И в полосе
синхронизации линейпа. При Ао  Во
чаС1'ота rенерации близка к Vz  пар
циальной частоте более мощноrо reHe
ратора. В случае близких мощностей
reHepaTopOB при синхронизации изме
няются обе амплитудЫ А и В. При этом
различие между захватываемым и за
хватывающим rенераторами уменьша
ется и при Ао  Во в системе возможны
два устойчивых режима: режим, при
IЮТОрОМ reHepaTOp с амплитудой А яв
ляется захватывающим, а reHepaTOp С амплитудой В  захваты.
ваемым, и режим, в котором эти reHepaTopbl поменялись ролями.
Внутри полосы синхронизации возможны переходы от одноrо
режима к друrому, сопровождаемые резким изменением амплиту.
ды и частоты.
Взаимная синхронизация двух reHepaTopOB может быть ис.
1I0льзова:на для стабилизации частоты в том случае, если захва
тывающий rеиератор более стабилен, чем захватываемый.
:'(1.

I I

Ао Т I
I I
Дтp
+!J.rp !J.
о
Рис. 7.20. Зависимость aM
плитуд колебапий двух
связапп.?IХ 1'еператоров от
расстроики в области сип
хропизации

rЛАВА 8
КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕйНЫХ СИСТЕМАХ
С п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
i 8.1. Собственные колебания в консервативных системах
Мпоrие колебательные системы должны рассматриваться как
системы с п стененями свободы. R числу таких систем относятся
сложные электрические цепи, в частности фильтры. Эквивалент.
ные схемы СВЧцепей, как правило, также являются система
ми с п степенями свободы. Примером механической системы с
п степенями свободы может служить мноrоатомная молекула,
Теория колебаний в системах со мноrими степенями свободы ин
тересна также при изучении движения кристаллической решетки
твердоrо тела.
Движение в системе с n степенями свободы описывается 11
пезависимыми координатами, выбор которых, так же как и Е
системе с двумя степенями свободы, проИЗ1l0лен. Так, в электри-
ческих цепях в качествепеременнъrx мож:во выбрать напряже.
1IИЯ на элементах цепи или токи в соответствующих коНТурах
Число степеней свободы определяется :минимальным числом пере.
менных, необходимым для полноrо описания движения.
Так же как для систем с двумя степенями свободы, в рас.
сматриваемых системах можно ввести нормальные координаты
Число нормальных IЮОРДинат равно числу степеней свободы си
стемы. Движение каждой нормальной координаты происходи'
пезависимо от остальных. Поэтому каждая нормальная коорди
пата совершает rармоническое колебание с собственной, или нор
мальной, частотой. .ц.юбые свободные и вынужденные колебанИJ
. можно представить в виде суперпозиции нормальных колебаний
Для исследования собственных колебаний в системе с f.!: сте
пенями свободы воспользуемся уравнениями Лаrранжа. Пуст
движение в системе определяется n независимыми обобщенным]
координатами ql, q2, qз, ..., qn.
В частном 'случае эти координаты MorYT представлять сме
щения некоторых точек механической системы или заряды н
проводниках электрической системы. Потенциальная энерrия СЕ
стемы является функцией обобщенных координат
V(ql, q2, ..., qn).
В положении устойчивоrо раI:\новесия потенциальная энерrи

!! 8.1. СОБСТВЕННЫЕ RОЛЕБАНИЯ:
301
имеет минимум, т. е.
aV I о
aq, qao ==
для всех s от'1 до n, rде q.o  значения координат в положении
равновесия. Если в качестве новых координат выбрать х. == q. 
 q.o  отклонения от равновесных значений координат, то для
малых Х. можно написать
(8.1.1)
v (Хн Х 2 , . . ., Х n )  V (О, О, . . ., О) ==
n n
'" aV I 1 '" a 2 V I
==  ах Х, + т  дх дх ХВХI +
'1 8 О ,.Il 8 1 о
(8.1.2)
Так как потенциальная энерrия определяется с точностью До
константы, то положим V (О, О, ..., О) равной нулю. Используя
соотношения (8.1.1) и пренебреrая высшими степенIOШ отклоне
ний, получим
. i  a%v I 
v (Х 1 , Х 2 , . . ., Х n ) =="'2  дх дх Х,ХI ==  k'IX,XI. (8.1.3)
',!1 ' 1 О '.!1
V (XI, ..., Х,,) является положительно определенной квадратич
ной формой от Х., причем k' l == k/.. Аналоrичпым образом кине
ТИ'lеская энерrия системы представляет собой положительно оп
ределенную квадратичную форму от обобщепных скоростей х.
n
т (;1, 2' . . ., ;n) ==  m,!:rs;Z.
,.I1 .
(8.1.4)
в (8.1.3) и (8.1.4) члены с s == l соответствуют внутренней энер
rии парциальных систе?о(, а члены с s =F l соответствуют энерrии
связи между sй и lй парциальными системами. В механическом
СЛучае т.. и k.. соответствуют массе и упруrости sй парциаль
ной системы.
Если теперь записать уравнения Лаrранжа
.!:... дТ + av == О
dt. дх '
дх, '
то получим n линейных дифференциальных уравнений вида
тНХI + m l 2X2 + . . . + тl"X n + kHxl + k l2 X 2 + . . . + k1nx n == О,
т21ХI + т2 2 Х2 + . . . + т 2п х п + k 21 XI + k 22 X 2 + . . . + k 2n x n == О, 8 1 5)
(  .
тntХ 1 + т п 2Х2 + . . . + тппх ,. + knlXI + k n2 x Z + . . . +.knnx,,== О.
ДЛЯ анализа системы (8.1.5) удобно перейти к матричной фОJr
ме записи.

302 rл. 8. ЛИНЕйНЫЕ СИСТЕМЫ С n СТЕПЕНЯМИ СБОБОДЫ
Введем матрицы массы;" и упруrости k, ,равные
т ( ;:..  :.:  ; ) , k ( ;;. :;:.: : .:: ) .
т n1 т n2 ... т nn . . k n1 k n2 . .. k nn
Обе матрицы квадратные и симметричные. Будем теперь счи
тать координаты ХI, Х2, ..., Х п кОМПОнентами вектора колеба
ниii х, так что
(8.1.6)
( X 1 )
2
:е == ;n .
В соответствии справилами матричноrо исчисления уравнения
(8.1.5) мощно записать в матричной форме
т + kx == о.
(8.1.7)
..
Величина тх является вектором. (матрицей с одним столбцом)'
и называется ((ептором cU.ltbl Ин'ерции. Соответственно kx  веп.
тор cu.лы' уnруэости, или упруэий вептор. Решение матричноr(]
1'равнения (8;1.7) естественно искать в виде веКТора
х == Аei юt ,
(.1.8)
.тде амплитудный вектор А в общем случае может быть комп'
лексным, т. е. ero компоненты являются КОМiIIлексНЫ'М'И амп-
литудами колебаний соответствующих I,оординат. Из (8.1.8) сле-
дует, что; ==  оо2Ае jюt . Используя свойство ассоциаТИВНОСТI:
матриц, МОiЮIО записать вместо (8.1.7)
( оо2 т + ") А === О. (8.1.9
Нетривиальное решение однородното матричноrо уравненИ1
(8.1.9) существует только в случае равенства нулю детерми
нанта
loo2';+ '" ' О.
(8.1.10:
(8.1.10) является уравнением nй степени отноСительно 002. и:
нето можно определить n собственных частот колебаний систе
мы оо, s == 1, 2, ..., n.
Поскольку все коэффициенты уравнения (8.1.9). действи
тельные числа, вектор Ха, соответствующий собтвенной частот
00., имеет вид
Х, == А, ехр (jOOat) + А: ехр ( joo,t).
(8.1.11

(j 8.1. СОБСТВEIШЬIE RОJIEБAШIJl
303
Амплитудный вектор А. должен удовлетворять уравнению
( 2  )
 ш.т + k А. == о.
(8.1.12)
Это матричное уравнение эквивалентно системс n одпородных
уравнений для амплитуд А"",. Первый индекс у аМlIЛИТУДЫ co
ответствует номеру собствеlJНОЙ частоты, второй индеI,С  HO
меру координаты. Из системы (8.1.12) можно найти отпошепие
амплитудА."./А' 1 == Х. т . Величины Х. т образуют вектор К" KO
торыйназывается вепторож поэффициеnтов расnределеnuя aMn
литуд па частоте .ш. :или формой szo со6ствеnnоао поле6аnия
системы. Коэффициенты Х. т .для всех s образуют квадратную
ма трицу
; == ( X2. .X2 ..... .Х;2 ) .
Х 1n Х 2n '" Х пn
(8.1.13)
Амплитудный вектор Аа выражается через К. следующим
образом:
А. == Ан Ка.
(8.1.14)
В консервативной системе все коэффициенты Х. т действитсльны,
т. е. колебания всех координат на даllПОЙ CO(jC'fBCIlllOii Ч<lстоте
происходят в фазе или в противофа:lO. ДJfЯ в<штuра А: аlIало
rичны:м образом получим
А: == А: 1 К..
(8.1.15)
Поэтому se собственное колебание можно представить в виде
А j!J)st " i!J)st
Ха == .1К а е + А 31 К,ф. (8.1.16)
Общее решение матричнрrо уравнения (8.1.7) представляет co
бой суперпозицию решений типа (8.1.16)
n
Х (t) ==  С.К. COS (Wst + <Рв),
а=оl
(8.1.17)
rде С. == 2IА. I I. В этом выражении С. и <р. определяются Ha
чальными условиями, а формы собственных колебаний К. и ча
стоты 0). зависят от параметров системы. Для выделения sro
собственноrо колебания необходимо задать в начальный момент
времени отклонения от положения равновесия системы каждой
из координат, пропорциональные К.. В этом случае все ампли
туды С, кроме С., равны нулю.
Так же как в случае системы с двумя степенями свободы,
}\JIЛ системы с n степенями CIюбоды можно ввести ормаЛЬНЫ!L
lаЮР Д ИН fI'fЫ т. е. такие Iюординаты, которые совершают rapMo
Ji иче Сlше колебания при любых начальных условиях. Их МОЖИQ

304 rл. 8. ЛИIПmНЫЕ CnС7ЕМЫ С n. СТЕПЕНЯ:м;И СВОБОДЫ
ввести следующим образом. Зададим n rармо:ц:ичесRИХ колеоапи
вида
'1']. == с. cos (oo.t + <р.), s == 1, 2, 3, . .., n.
(8.1.18)
Каждое из колебаний '1']. можно рассматривать как нормальное
n
колебание. Действительно, сумма  '1']3 представляет движение
з==1
первой координаты Х\ (t). Движение остальных координат при
заданных '1']. также определено в соответствии с (8.1.17):
n
Хl (t) ==  ха 1'1']з,
3==1
1 == 1, 2, ..., n.
(8.1.19)
Соотношения (8.1.19) ЯВЛяIQТСЯ формулами преобразования от
нормальных координат к Qординатам Х/.. В матричной форме
(8.1.19) имеет вид
3J == H,
(8.1.20)
rде Н  Ber{TOp, образованный нормальными координатами.
Переходя в уравнепии (8.1.7) от 3J к Н, получим
ii + XlтlkxH ==< О. (8.1.21)
Так как каждая нормальная координата совершает rармониче 4
ское колебание, то для любоrо '1']. справедливо равенство
3 + 00:'1']з == О. (8.1.22)
Сопоставление (8.1.21) и (8.1.22) показывает, что X1т1kx
представляет собой диаrональную матрицу. Ее диаrовальные
элементы являются квадратами собственных частот.
Таким образом, при собствонных }{олебаниях системы каждая
нормальная координата совершает rармоническое колебание с
соответствующей собственной частотой. Любое собственное K
лебание представляет суперпозицию нормальных колебаний.
* 8.2. Ортоroиальиость иормальных Rолебаний
и экстремan:ьные свойства собствеиllЫX частот
Каждому нормальному колебанию соответствует определенное
распределение амплитуд по координатам, или определенная
форма колебаний. Формы колебаний, соответствующие ,разным
собственным частотам, ортorоналъны друr друrу. Для Toro чтобы
ноказать это, запишем уравнение (8.1.7) для sй и rй форм
колебаний:
2"""""'" 2,..........
 ООатКа + kK3 == О,  ооттК. + kKr == О. (8.2.1)
Умножим скаляр но первое из уравнений (8.2.1) на КТ.

!! 8.2. ортоrОНАЛЬНОСТЬ ItормАльных :КОЛЕБАНИЙ 305
а второе на К,:
2 ---- 
 <о.КттК. + KrkK. == О,
 <oK.тKT + K.kK r == О.
(8.2.2)
(8.2.3)
Поскольку матрицы т и k симметричны, то кт,;;к, == К.тК т 11
KTkK, == K,kK T . Вычитая из (8.2.3) уравнение (8.2.2), получим
(<О;  <o) КттК. \' О. (8.2.4)
Если: <о, =1= <От, то отсюда
КттК, == О.
Следовательно, справедливо и соотношение
KrkK. == О.
(8.2.5)
(8.2.6)
Последние два соотношения являются условиями ортоrонаJlЬИО<-
сти Sй и rй форм колебаний.. Вектор т.к, называется вектором
СUЛЫUн'ерцuu, соответствующим SMY нормальному колебанию,
а вектор kK,  вектором силы yпpYZOCTU, соответствующим TO
му же колебанию. Поэтому соотношения (8.2.5) и (8.2.6) мож
но трактовать как условия ортоrональности формы rro HOp
мальноrо колебания к векторам силы инерции и силы упруrости,
соответствующим SMY нормальному колебанию. Использование
условий ортоrональности нормальных l\олебаний дает возмож
ность получить HeI\OTopble соотношения, общие для любых си
стем с п степенями свободы. ПОl\ажем, например, что кинети
чеСl\ая энерrия любоrо собственноrо колебания. равна сумме ки
петических энерrий всех нормальных колебаний. КинетичеСI\УЮ
энерrию системы (8.1.4) в матричной форме можно записаТh
в виде
.т ==  (т).
(8.2.7)
Переходя к нормальным !,оординатам и учитывая условие орто.
rональности (8.2.5), получим
т ==  K8. ( т  К rЧr ) ===  Ч.ЧrК.тКr ===  ч;К.тК.. (8.2.8)
3 l' 8,т 8
Аналоrично можно ПОl\азать, что потенциальная энерrия системы
с п степенями свободы имеет вид
 2 
V ===  1].K.kK..
.
(8.2.9)
Выражения (8.2.8) и (8.2.9) ПОl\азывают, что систему с п CTe
ленями свободы можне представить в виде наоора п невзаимо"
JJ;ейс'l'ВУЮЩИХ систем с одной степенью свободы, каждая из ко"
'l'орых обладает массой М. и упруrостью К" причем веJIИЧИНЫ

306 rJi. 8. ЛИНЕйНЫЕ СИСТЕМЫ С n СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
М. и К. соответственно равны
М. == 2К.тК в , КВ == 2K.kK B . (8.2.10)
Условия ортоrональности нормальных колебаний используют-
ся Тjшже для. отыскания собственн!'>IХ частот системы. Расчет
собетвеilНых"астот с помощью соотношения (8.1.10) во мноrиx
случаях веС1?ма сложен. Поэтому для их отыскания часто поль-
зуются свойством :жстреllfальности собственных частот. Можно
'показатъ, что собственные частоты являются экстремумами H«r
которых соотношений, вытекающих из закона сохранения энер--
rии и условий ортоrональности Ц9рмальных колебаний. '
Зададим в момент времени t == О произвольное отклонение 0'1'
положения равновесия, системы всех n координат 3:0' Пусть ско-
рости ИЗllfенния координат в тот же моМент времени равны
'нулю, т. е. ХО == о. Колебание в системе в любой момент Bp«r
мени t > О можно записать в виде
Х (t) ==  С 8 К 8 соэ (ffist). (8.2.11)
.
При этом амплитуды Св должны удовлетворять начальному ус-
ловию
ХО ==  С 8 К 8 .
8
(8.2.На)
Потенциальная. энерrия системы
'(8.2.11) равна
в соответс'l'ВИИ с (8.1.3) и
'\
n
  2 
V == хkз: == "" CsK,kK8 соэ 2 (ffi 8 t).
81
'Для ЮIНетической энерrии Iюлебапий имеем (см. (8.1.4»
n ,
. .  2 2...... . 2
Т == хтх "" C s ffi 8 K 8 mK 8 sш (ffist).
81
При колебаниях в консервативной системе среднее по времени
значение потенциальной энерrии равно среднему значению ки-
нетичеСRОЙ энерrии, т. е.
v
-т ==
 2 
k.I С 8 K 8 kK 8
8
 2 2 
k.I С 8 Ф 8 К 8 тК ,
8
== 1.
(8.2.12)
Расположим собственные частоты в порядке их возрастания
ffi < ffi < . . . <.
.ЕслИ заменить все ffi :квадратом наинизшей. частоты ffit то

 8.2. оРтоrОНАЛЬНОРЬ НОРМАЛЬНЫХ RОЛЕБАНИй 307:
(8.2.12) превращается в неравен(;тво
'" 2 '.
..... С ,K,kK.
s ......... 2
" 2  ::;:::;001'
""'" с,К,тК,
а
Л евая часть неравенства (8.2.13) является фушщией амплитуД
Св, т. е. функцией начальноrо распределения отклоненпii KOOp
, 2
динат ХО' Величина 001 является минимумом левой части (8.2.13)
как фушщии ХО' Таким образом, используя соотноmение (8.2.11),
получим "-
2 . zokzo
001 == mш. (8.2.14)
zomz o
(8.2.13)
Этот минимум достиrается в том случае, коrда все Св, за иск
лючением C i , равны нулю. Тоrда ХО == С 1 К 1I т. е. распределение
амплитуД по координатам совпадает с первой собственной фор--
мой колебания. Для нахождения второй собственщiй частоты 002
следует выбрать начальное отклонение ХО opToroHaJIьныM первой
собственной форме колебания, т. е.
х о тК 1 == О и XokKl == О. (8.2.15)
Torдa в выражении (8.2.12) суммирование начинается с s == 2
и самой низкой частотой Оl\ажется частота 002. Приводя рассуж
дения, аналоrичные изложенным выше, получим
:x:kz
oo == min. (8.2.16)
zomz o
Минимум этоrо выражения при дополнительном условии opToro
нальности (8.2.15) достиrается, коrда Хо == С 2 К 2 , Т. е. Rоrда
f1
k k k k k k
х
J;z 3 х"
.  п
Рис. 8.1. Механическая колебательная система с пятью степенями свободы
(а) и распределение амплитуд колебаний на наинизmей частоте (6): 1 
точное решение, 2  кусочнолинейная anпpоJtСимация
начащое рас.пределеиие колебаний соВ/Падает со второй собствеR
ной формой. Аналоrичным образом можно найти все собствен
пые частоты колебаний ООв и собственныe формы Кв.
Тот факт, что I{БадраТI собственных частот являются эк
стремумами определенных. выражений, позволяет приближенно

З08 rл. 8. линЕйвыЕ СИСТЕМЫ С n рЕIIEНЯМИ СВОБОДЫ
находить собствеНВ1Jе частоты, це зная точно собственньrx форм
Rолебаний. Если в правую часть (8.2.14) в качестве:&о подста
вить распределение амплитуд, близкое к К 1 С 1 , то ошибка в оп
ределении Ф1 будет очень мала, так как функция вбл:изи мини
мума слабо зависит от apryMeHTa. Б качестве примера рассчи
аем наипизmyю частоту собственных колебаний механической
системы, состоящей из пяти одинаковых масс т, связанных. пру
жинками с жесткостью k (рис. 8.1). Точное реШЩlИе задачи при
ведено в  8.6. Из решения следует, чтораспределеНИEJ ампли
туд на всех частотах является синусоидальным,. т. е. формы
собственных колебаний к.. имеют вид
() (=!}(} С!} (=)
Частота наипизшеrо l\олеб ания равна
Ф1 == V(2  УЗ)k/т.
Покажем, что достаточно близкое значение собственной частоты
можно получить из. соотношения (8.2.14), если в качестве 3:0
i:юдетавитъ.. RуООчнолинейное 'распределение амплитуд, соответ-
ствующее кривой 2 на рис. 8.1,6:
( 2 fЗ )
. '4/3
хо == 4 .
2/3
\
Матрицы m и k для рассматриваемой системы можно записать
8 виде
;n == m (  !    ) , k == k ( ! =  !
о о о 1 О О О 1
00001 О О О
Производя матричное перемножение, получим
.  2  4
з: о kз: о == 2"3 k, хотх о == 8"9 т.
О )
О О
1 О.
2 1
1 2
о
Подставляя найденные выражения В (8.2.14),
 , . 2
ближенно собственную частоту системы Ф1:
2 6 k
Ф1 == 19-т'
опредеJI1Ul при-

'8.3. КОJШВАТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ 309
Это приближенное значение ч  оты отличается от точноrо не
более чем на 8.%. Если Хо счи ть параболическим распреде
лением амплитуд, то ошибка в оп елении собственной чаСТОТ:{>I
будет менее 1,%. '
Приведенный пример наrлядно иллюстрирует то обстоятель
ство,ЧТО даже приближенное знание формы собственных коле
баний позволяет точно определить сOQ.тветствующую собствен
ную частоту.
 8.3. Колебания nатомной молекулы
Мноrоатомная молекула представляет собой систему взаимо
действующих атомо'!!. Если общее число атомов, входящих в MO
лекулу, равно п, то молекула имеет 3п степеней свободы. Oд
иако не все эти степени свободы являются колебательными. При
произвольном расположении атомов молекула имеет три посту
пательные степени свободы, соответствующие ее смещению как
целоrо, и три вращательные степени свободы, соответствующие
вращению молекулы BOKpyr трех ортоrональных осей. Таким
образом, полное число колебательных степеней свободы пaTOM
ной молекулы. равно Зп  6.
В одном важном частном случае, а именно, при расположении
nсех атомов данноЙ молекулы ВJJ;ОЛЬ ОДНОЙ прямой, молеI\ула
называется линейной. Число RuлебаТСЛЫIЫХ степеней свободы
линейной МОЛeI\УЛЫ раино 3п  5, тю, ]\ю{ вращение BOKpyr дaH
ной оси молеКУJIЫ неJIЬ3Я рассматривать как самостоятельную
степень свободы. Вдоль оси линейной молекулы расположены п
атомов, поэтому возможны п независимых движений вдоль этой
оси. Из них одно движение является поступательным, а п  1 
колебательными. Таким образом, для колебательных движений,
иыводящих атомы с оси молекулы, остается 3п  5  (п  1) ==
== 2 (п  2) степеней свободы. Поскольку обе ортоrональные пло
скости, проходящие через ось молекулы, равноправны, то все
Iшлебания, выводящие атомы с оси молекулы, дважды вырож
дены. Таким образом, линейная молекула из п атомов имеет
2п  3 различные частоты собственных колебаний. При п == 2
имеется лишь одна собственная частота, при п == 3  три соб
ственные частоты и т. д. Примером линейной трехатомной MO
лекулы может служить молекула уrлекислоrо rаза CO z . Эта M
лекула имеет четыре колебательные степени свободы. Два нор.-
мальных колебания молекулы происходят вдоль ее оси. Третье
I! четвертое колебания выводят атомы с оси молекулы. Рассчи
таем собственные частоты и коэффициенты распределения амп
литуд по координатам для этой молекулы. ПfСТЬ атомы pac
ноложены по оси ох и имеют координаты XI, Xz, Хз. Запишем
J\инетическую и потенциальную энерrии для колебаний атомов

310
/
rл. 8. ЛИНЕйНЫЕ СИСТЕМЫ С n ЕПЕНЛМИ СВОБОДЫ
/
/
вдоль оси молекулы /
1 . . 1 . / 1
Т == 2' то (x + х;) + 2' тс.:ч, V == "2 k [(Х 1  х 2 )2 -+ (х з ------: X2)2J.
(8.3.1)
rде k  жесткости, соответствующие продольным. колебаНlUDl
молекулы. Исключим поступательное движение молекулы, за
крепив ее центр масс:
тОХ1 + mcXz + тох з == о.
( 8.3.2)
ИСЮIючая из соотношения (8.3.2) координату атома уrлерода
Xz ==  (mo/тс) (Х1 + хз), получим
v ==  {[ Х 1 (1 + : ) + х з : ]2 + [ х з (1 + : ) + Х 1 : Т},
(8.3.3)
/ПО ( /ПО ) . /ПО ( /по ) . /nЪ"
Т== Т 1 + /nс x + т 1 + /n с х; + /n с х 1 х з .
Используя эти выражения для кинетической и потенциальной
энерrий, запишем уравнения Лаrранжа для движения \ атомов
молекулы вдоль оси ох
.. /nЪ" ( /nб ) /ПО
тоХХ 1 +  х з + kx 2 + k 2"" Х 1 + 2kХхз == О"
/n с /nс /nс
/NЬ .. .. /ПО ( /nб )
xl + тоХх з + 2kXXl + k '1..2 + "2 Ха == О,
/nе /n с /n е
(8.3.4)
rде Х == 1 + molmc.
Матрицы массы и упруrости для молекулы уrлекислоrо rаза
в соответствии с (8.3.4) имеют следующий вид:
т == то ( Х
/по
/n с
/ПО )
тС
,
Х
( Х 2 + т
 т С
k==k
то
2x
те
то )
2x
те
2 .
то
x2+
т 2
е
Частоты колебаний вдоль оси ОХ найдем из уравнения (8.1.10).
Подставляя в это уравнение матрицы массы т и упруroсти ".

\
!I 8.3. RОJIEБ nАТОМНОй МОЛЕRУЛЫ
золуч... '''
 оо2 тох + k ( х 2 + : )  oo' + 2kX :
 002 : + 2kX :  оо2 тох + k ( х2 + : )
Jпределим И3 последнеrо уравнения собственные
1:ебаний
311
== О. (8.3.5)
частоты ко.
2 k
<01 === ,.
то
2 k ( то )
<02 ==  1 + 2  .
то те
.dатричное уравнение (8.1.12) дает возможность найти вектор
.юэффициентов распреl\еления амплитуд на каждой из частот:
К 1 == {}, К 2 == {2./me}.
(8.3.6)
,1з вида вектора К, следует, что колебание с частотой Ф, полно
,имметрично (рис. 8.2, а), т. е. симметрия молекулы при колеба
.Iиях не меняется. Это колебание носит название валентноrо,
о G О
f1 @ О @ z
 . о о
1 О +1
О С О Z1 ....z3
5 @ О  ,
.......  ........
1  2то 1 О
те Х
Рис. 8.2. Схема ПРОДОЛЬНЫХ Rолеба Рис. 8.3. Схема ИЗ1'иб
пий атомов в молекуле СО 2 : а  ных колебаний мол&-
симметричные колебания, б  анти кулы СО 2
симметричные колебания
aK как при нем меняется расстояние между атомами yrлерода
:I RИслорода, определяемое валентными силами. :Колебание с ча.
'тотой Ю2 явяется антисимметричным валентным колебанием
рис. 8.2, б).
Рассмотрим теперь изrибное колебание молекулы CO z . Пусть
ззrиб происходит в плоскости zox (рис. 8.3). Условие неШr
ижности центра масс в данном случае имеет вид
то
mozl + тeZa + moZa == О, Z2 ==  (Zl + Zз). (8.3.7)
те

312
/
/
rл, 8. линЕйIiыЕ СИСТЕМЫ С n qtЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
,
Исключая вращение молекулyt как целоrо BOKpyr ее центра
масс, получим следующее доп!>'лнительное условие, означающее
равенство нулю момента количества движения молекулы С0 2 ,
moill'== тоiзl. Отсюда и из сОотношения (8.3.7) можно выразить
координаты Z2 и Zз через Zj : Zз  ZI; Zz '== 2mozJmc.
Учитывая эти равенства, получим выражение для кинетиче
ской энерrии изrибных колебаний молекулы CO z
( то ) .
т === то 1 + 2 т С Z.
(8.3.8)
Уrол изrиба молекулы <р связан с координатами атомов Zj COOT
ношением
. 2:1  2:2 2:3  2:е '
<p+,
справедливым для малых уrлов <р.
В том же приближении потенциальная энерrия изrиба про
ПОрциональна квадрату <р
V kq;2 k ( то ) 2 2
'==  == 2  1 + 2  ZI
2 l2' т С '
(8.З.9
rде k  жесткость, соответствующая изrибным колебаниям мо--
лекулы. Уравнение изrибных колебаний принимает в этом слу
чае вид
то ( 1 + 2 то ) z + 2  ( 1 + 2 то ) 2 *1 == О.
т С 1 т С
Таким образом, частота изrибны:'Х колебаний молекулы С0 2 равна
Ю == 2\ ( 1 + 2 то ) .
mol т С
Вектор коэффициентов распределения амплитуд на этой ча
стоте. имеет вид
\
(8.3.10)
(8.3.11)
К з == {2o/тc}.
:Колебание с частотой юз носит название деформационноrо KO
.лебаНIШ. Оно нарушает симметрию молекул (см. рис. 8.3) и
является вырожденным. Вырождение связано с тем, что пло':'
скости ZOX и УОХ равноправны. Поэтому в плоскости УОХ
'возможно изrибное колебание той же частоты ЮЗ.
,. Описанные выше собстве'нные колебания молекулы CO z ис
пользуются в rазовом лазере на уrлекислом rазе. Упрощеннай
aмa энерrеТIJчеСЮIХ УРОВНеЙ молекулы С0 2 и азота .N 2 , входя
'щих В состав rазовой смеси лазера,'привеДЕша на рис.' 8.4. Элек
(8.3.12)

. 8.3. кот!ВАНТОМНОЙ МОЛЕКУЛЫ
. 
ТрОННЫЙ поток rазовоrо раЗРЯ  ОЗбуждает с большой ,эффеI{
тивностью колебания, соответств щи е наипизшему уровню MO
лекул азота Е!. Частота этих к' баний БЛИ3I{а к частоте (J)э-
антисимметричных колебаний молепулы CO z . В результате He
упрyrorо столкновения молекул N z и CO z происходит возбужде
ние антисимметричноrо колебания СО: и молекула переходит'
на энерrетический уровень E z . Этот уровень метастабилен. С He
1'0 возможны переходы на более низкий возбужденный уровень.
симметричноrо колебания Е з и второй возбужденный уровень.
деформационноrо колебания Е!,. Уровни Е з и Е!, близки, между
ниш! в результате неупрyrоrо взаимодействия молекул суще
ствует сильная связь. Деформационные колебания молекулы СО:!:
УроОнtI CD z УроОень N z
Е2 [1
313
1;6.1
1;6.12
l;6.lf
[4
1;6.1з
[5
o O @О@
..... ........  .......-+-
осоосо ос о
Рис. 8.4. 'Упрощенная схема :шерrетических уровней молекул СО 2 и Na-
Леrко передают свою энерrию электронам rазовоl'О разряда. По
этому уровни Е з и Е!, имеют малую населенность. Переходы
меЖДу Ez и Е з или Ez и Е!, являются рабочими переходами ла
зера на CO z . Они соответствуют rенерации излучения с длинами
волн 10,6 и 9,6 мкм. Следует иметь в виду, что на рис. 8.4
предстаllлен лишь схематический спектр наинизших энерrетиче,
ских уровней rазовой смеси CO z и N z . Реальный спектр значи
тельно боrаче, так как каждый колебательный уровень расщеп
лен на несколько близких вращательных уровней.
Рассмотрим теперь плоскую молекулу, у которой в положе
нии равновесия все атомы расположены в одной плоскости.
В этой плоскости такая молекула имеет 2п степеней свободы
Из них две поступательные и одна вращательная, следователь
но, число колебательных степеней свободы равно 2п  3. На дo.
лю колебаний, ВЫБодящих атомы из плоскости, остаются 3п 
 6  (2п  3)  п  3 степени свободы. Это означает, что у
трехатомной молекулы нет таких собственных колебаний, KOTO
рые ВЫБодили бы атомы из плоскости. В качестве примера Tpex
атомной молекулы рассмотрим молекулу HzO. У этой молекулы
21 в, В, Миrулии и др.

314
/
/
rл. 8. ЛИНЕйНЫЕ СИСТЕМЫ С n qТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
/
атомы в положении равновесия/образуют равнобедренный Tpe
утольнИI{. Как уже уназываJЮСЬ выше, все три возможных
нолебания молекулы происходят в одной плоскости. Схемы все;х:
трех видов изображены на рис. 8.5. Первый вид колебаний
(рис. 8.5, а) является валентным колебанием. При втором KO
лебании, деформационном (рис. 8.5, б), изменяется уrол между
прямыми, связывающими атомы водорода с атомом кислорода.
l1 О t
Рис. 8.5. Схемы Rолебаний атомов в молекуле Н 2 О: а  валентное колеба
ние, б  деформационное, в  антисимметрИ'IВое
Первый Il второй НlII\Ы НОJIC()arшй не мепяют симметрии моле
кулы воды И потому полносиммеТРИЧl1Ы. Третий вид колебаний
(рис. 8.5, в) нарушает симметрию молекулы и антисимметри
чен. Поскольку масса атома кислорода в .16 раз больше массы
атома водорода, при всех Iюлебаниях смещение атома кислород1J.
мното мепьше смещений атомов водорода.
 8.4. вынщдепньlеe RолебaиWI в системах
С n степешom свободы
В линейной системе с n степенями свободы справедлив прин
цип суперпозиции Rолебаний. Поэтому задача о вынужденных
колебаниях в системе по)\ действием любой периодической силы
сводится l{ нахождению вынужденных движений системы в pe
зультате действия тармонической силы частоты р. В общем слу
чае Сеила может действовать на каждую из координат. Таким
образом, внешняя сила представляется вектором Fe ipt , причем
ето составляющие описывают амплитуды сил, действующих на
соответствующие координаты. Если рассматриваемая система
консервативна, то уравнение ее колебаний в матричной форме
принимает вид
rп;; + kx == F rl Pt .
(8.4.1)
Вынужденные колебания системы, т. е. колебания, происходя
щие a частоте внешней силы, можно записать в виде
х == Ae ipt , (8.4.2)
l'де A амплитудный вектор ]jынуЖденных колеба1lИЙ. Подстав
для решение (8.4.2) ]j (8.4.1), получим уравнение для ампли

тудноrо вектора
,в... вждЕнныЕ КОЛЕБАНИЯ
\,
'\
\
(k  p'2 т }1 == F,
315
'8.4.3)
откуда имеем
А == (Е  p)lF.
(8.4.4)
Таким образом, для отыскания выражения для вынушдеrшоrо
колебания в матричной форме необходимо найти :матрицу, об
ратную матрице k  р2 т . Некоторые общие выводы о характере
колебания можно сделать на основании вида решения (8.4.4).
Матрица (k  p2in) I при частоте р, равной одной из собствен
ных частот ro. системы, обращается в бесконечность, так как
определитель матрицы k  ro:т равен нулю (соrласно (8.1.10).
Таким образом, при р == ro. в системе имеет место резонанс.
Дрyrой путь отыскания вынужденных колебаний состоит R
разложении искомоrо решения по собственным колебаниям си
стемы. Для этоrо амплитудный вектор А разлаrают по K.BeK
торам коэффициентов распределения амплитуды собственных:
!шлебаний системы:
n
А ==  ВвКв'
'l
(8.4.5}
Теперь задача сводится к ОТЫСI(анию неизвестных IШЭффIIциен
тов В.. Разложим внешнюю силу по BeI(TOpaM сил упруrости:-
n
F ==  fskKs,
Sl
(8.4.6}
rде f.  коэффициенты разложения. Коэффициенты f. можно-
найти, используя условие ортоrональности собственных форм и'
векторов сил упруrости (8.2.6). Умножая равенство (8.4.6) CKa
лярно на К., запишем коэффициенты /. в виде
 (FKs)
/в   . (8.4.7).
KskKs
Подставляя (8.4.5) и (8.4.6) в уравнение (8.4.3), получим
i [ ВВ ( 1  Р: )  /в ] kKs == О. (8.4.8,
sl ООв
Используя условие ортоrональности (8.2.6), леrко получить BЫ
ражения для коэффициентов В.:
в  f&
s  1 2 / 2.
p ООв
(8.4.9);
21*

316 rл. 8. ЛИНЕйНЫЕ СИСТЕМЫ С n СТЕДЕНЯМИ СВОБОДЫ
ОтСЮ;Ца амплитуда вынужденных I<олебаний равна
n
А ==  f8 K 8
 2 / 2.
811  Р 0>8
(8.4.10)
Из (8.4.10) непосредственно видно, что при р -+ ro, амплитуды
всех координат стремятся к бесконечности, т. е. происходит
резонансное возрастание амплитуды. Резонанса на частоте ro. не I
будет, если вектор внешней силы ортоrонален sмy собственному 
колебанию. В соответствии с (8.4.7) коэффициент f. в этом слу-
чае равен нулю. В Системе с п степенями свободы резонансное
возрастание амплитуды может не наступать и при действии
внешней силы только на одну lю коорДйнату. Это будет в том
случае, если па данной частоте ю. 'Х.! обращается в нуль, т. е.
lя координата является узлом sro колебания, и, таким образом,
сила приложена в узле соответствующеrо колебания.
 8.5. Колебания в диссипативных системах
с п степенями свободы
При наличии затухания расчет Iюлебаний для систем с п
степенями свободы становится еще более rромоздким. Если за
тухание имеет характер вязкоrо трения, то можно ввести MaT
рицу рассеяния энерrии вида
( hll
h == hl .
h nl
h 12 ... h 1n )
h 22 ... h 2n
. .. .. .. . ..
h n2 '" h nn
(8.5.1)
и решать матричное ураВНeIIИе
;; +  + k.x == о
;; +  + k.x == Fe jpt
(8.5.2)
(8.5.3)
или
в зависимости от Toro, ищем ли мы собственные или вынуж-
денные колебания..
Собственные колебания системы можно искать в виде
х (t) == Ае М . (8.5.4)
Подставляя (8.5.4) в (8.5.2), получим уравнение степени 2п
для определения 'л
l;;;'л 2 + hл + kl == о. (8.5.5
Так как уравнение (8.5.51 имеет действительные коэффициенты, '
то все ero КOМIIIлеRСные корни будут папарно сопряженными,

\
!I 8.6. RОЛЕБАНIщ В ОДНОРОДНЫХ ЦЕПОЧRАХ
.
"
\
317
т. е.
л'в === б в + jmB'
..
Д;:, === ба  jms,
(8.5.5а)
rде б. и ю.  вещественные числа.
Можно показать, что для неконсервативной диссипативной
системы, не содержащей источников эверrии, все б. > О. Вели
чины А.. часто вазыва,ют 1>омп.ле1>с1tыми собстве1t1tыми частотами
системы. Подставляя Л. из (8.5.5а) в (8.5.4) и учитывая (8.5.2),
получим уравнения для определения коэффициентов распреде
ления. В данном случае коэффициенты распределения будут
Jiомплексными. Общее решение системы уравнений (8.5.2) имеет
вид
""" бst
Х (t) ===...:::.. Gse К, cos(mst + <Рв).
s
(8.5.6)
Здесь компоненты вы,торов К. lюм:плекспы и MorYT быть пред
ставлены в ВИде 'Х.! ехр U'ФSl].
Колебание каждой координаты представляет собой суперпо--
зицию затухающих колебаний, причем ИЗ3'i R'омплексности KO
эффициентов распределения колебания на частоте ю. в разных
координатах СДБинуты по фазе на величину 'Ф.l. Амплитуда С.
и фаза <р., как обычно, определяются из начальных условий.
При исследовании вынуждеппых J\олебапий в неконсерватив
ной системе с n стеПСНЯМll свобоны пс()uходимо решать ypaB
нение (8.5.3).
Разлаrая амплнтудпыЙ вснтир ВЫIlУЖДСПНЫХ колебаний Ae ipt
по векторам К" получим
n
А ===  fsKs
Bl 1  p2/oo + j2/)BP/(f) .

(8.5.7)
Таким образом, при совпадении частоты внешней силы с одной
из собственных частот в системе наблюдается резонанс. Однако
амплитуда ВынуЖденных lюлебаний при резонансе остается or
раниченной.
 8.6. Колебания в однородных цепочках
Анализ колебаний в системе с n степенями свободы значи
тельно упрощается, если система представляет собой цепочку
последовательно включенных однородных элементов. PaCCMOTpe
ние собственных колебаний в такой цепочке представляет ин
терес в связи с тем, что цепочка является одномерным аналоrом
кристаллической решетки, .состоящей из одинаковых атомов. Oд
нородные электрические и механические цепочк,и в режиме BЫ
нужденных колебаний используются в качестве фильтров, про
пускающих или задерживающих определенную полосу частот.

318 rЛ. 8. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С n СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Рассмотрим колебания в однородной цепочке на примере
полосовоrо фильтра, изображенноrо на рис. 8..6. Выберем в Ka
честве независимых координат заряды ql, прошедшие Б моменту
времени t через поперечное сечение .соотвеТСТВУЮЩlL'\: катушек.
lRh"'r9q'"
JC O ТСО 1 . JCO Т СО 1 .
Рис. 8.6. Схема ОДНОРОДНОЙ цепоЧЮI
Запишем в этих КQординатах маrнитную и электрическую
энерrии системы, состоящей из N + 1 элементов:
N+l N+l 2 2
2 Т   L. 2 2 V   ч n + (ч n  чnl)
  qn,   (; с
1 nl О
(8.б.1)
Уравнения Лаrрапжа для цеПОЧl\И с энерrией (8.6.1) имеют
вид
.. ( t 2 ) 1
Цn + с + с qn  (; (qnl + qn+1) == о.
о О, 
, Уравнение (8.6.2) справедлИБО для любоrо звена цепочки, KpO
ме первоrо и последнеrо. Заряды в 1M и (N+ 1)M звеньях
цепочки определяются rраничными условиями. Рассмотрим слу-
чай системы с разомкнутыми },онцами, т. е.
qt == О, qN+t == О.
частное решение системы уравпений (8.6.2)' ищем в виде
qn == Qn&(j)t.
(8.6.2)
(8.6.3)
(8.6.4)'
Подетавляя решение (8.6.4) в (8.6.2), получим соотношение,
связывающее амплитуды колебаний в соседних элементах цe
почки
(,\,2  (J)2) Qn  c.t (Qnt + Qn+t) == О, n == 2, ..., N, (8.6.5)
rде ,\,2 == 1/LC + 2/LC o  квадрат парциальной частоты, c.t ==
=== 'lI LC о  коэффициент связи.
Решение системы уравнений (8.6.5) можно записать следу
ющим образом:
Qn == A&n.
При подстановке (8.6.6) в (8.6.5) получим
, ,\,2  (J)2  c.t (& + e.iII) === о.
(8.6.6)
(8.6.7)

 8.6. RОЛЕБАНИЯ В ОДНОРОДНЫХ ЦЕПОЧRАХ
319
Отсюда
...2  002
СОБ  == 2а. .
(8.6.8)
ВеJIИчина  в соответствии с (8.6.6) представляет собой сдвиr
фаз на одном элементе цепочни. Поэтому ,уравнение (8.6.8),
связывающее частоту Rолебаний (i) и сдвиr фаз , назьmается
aucnepCU01Ui,blM уравиеиием цепочки. Действительные значения
 имеют место лишь при условии
1...2  002\
2а.  1, ,,2  2а  ю2  ,,2 + 2а. (8.6.9)
Каждому значенпю (i) из иптервала (8.6.9) соответствуют два
равных по модушо, но ОТЛПЧ<lIOЩИХСЯ ЗНaIЮМ значения .
Таким образом, общее решение системы уравнений (8.6.5)
имеет вид
Qn == A&J!n + Bej"n.
(8.6. 1 10Y
Для нахождения собственных частот колебаний цепочки BOC
пользуемся rраничными условиями (8.6.3)
A&J! + Bej" == О, A&"(N+I) + Be.....J1I(Nf-I) === О. (8.6.11)
Эта система уравнений совместна, если
sin N === О,
(8.6.12)
т. е. N == sл: илп  === s:rrJN п В == Ae2j1!. Используя соотноше
ние (8.6.8), найдем собственные частоты
Ю == ,,2  2а МБ '; .
(8.6.13)
Так как цепочка с разомкнутыми концами (ql == О, qN+1 -== О)'
представляет систему с N  1 степенью свободы, то мы имеем
N  1 различных собственных частот: s == 1, 2, ..., N  1, лежа
щих в полосе прозраЧНОСТII системы (8.6.9). Значения s == О и
s == N дают критические частоты: <OPl == ,,2  2а и Ю: Р2 == ,,2 + 2а.
При s > N из (8.6.13) получатся те :ке значения ю., что и при
s<N.
Из (8.6.10), учитывая (8.6.12), можно найти выражения для
амплитуд Qns. Первый индекс у амплитуды заряда относится
к номеру 3'Бена, второй  к номеру с06ственной частоты
А jлsn В ( jлsn )
Qn8 == 8 ехр N + 8 ехр  N .
При s == О и s === N Qns равно нулю, т. е. амплитуды всех KO
ординат на критической частоте равны нулю.
Таким образом, собственные колебания цепочки из N + 1 эле
ментов с разомкнутыми концами описываются следующими
(8.6.14)

320 rл. 8, ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С n СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
выражениями:
Nl
 D . па (n  1) ( )
qn ==  8 Slll N cos ffi 8 t + <р. ,
B1
Величины D. и <р. определяются начальными условиями. Соб
ственное колебание nro звена цe
почки представляет суперпозициro
N нормальных колебаний. Pac
пределение амплитуд по KOOpДH
натам для каждой собственной
частоты происходит по синусои
дальному закону.
На рис. 8.7 показано распре
деление амплитуд Qn. .по звеньям
цепочки на каждой собственной
частоте для случая N == 6, q\ ==
== q1 == О. Нак видно из рисунка.
прп ffi == Ю\ Iюлебанпя во всех
элементах цепочки происходят в
фазе и на длине цепочки уклады
)
вается одна полуволна. С увели
чением номера 8 количество полу
волн, укладывающихся вдоль цe
почки, растет. На sй собственной
частоте. число полуволп равно ,8.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания в ОДRОрОДRой
цепочке, изображенной на рис. 8.8. Предположим, что на oд
ном конце цепочки действует rармоническая внешняя сила
(t ( t) == (t О&Р" а друro й ее
конец йаrружен произ
вольным СОПРОТlIБлением
Z". Используем так Ha
зываем:ое Т разбиение,
1'. е. IПредставим цe
почку в ВIIде последова
тельно соединенных Тоб
разных четырехполюсни
IЮВ (рис. 8.9).
Для напряжений на
входе (и п ) И выходе (и П +I) nro звена запишем следующие ypaB
венИЯ Rирхrофа:
и n ==  d:; +  5 (in  i n +1) dt + 2 5 indt,
о
1 S . . L di n +1 1 S .
 и n +1 == С (L n +1  Ln) dt + T""""dt"' + 2С Ln+t dt .
о
/)
fdt
, ..-
,
t/II"' l
' ............... J "",/
 
// ......." // .......,,,
/  6J / 1
t/" )/', 
'i l' '--J.
' '/ / '
" ;Д 
t/ \. / \ /f '
' \ / ' -i I "
, ,/ 1,
'- /
Ри,с. 8.7. Распределение амплитуд
по звеньям однородноЙ цепочки на
каждоЙ из собственных частот
n == 1, 2, . . . ,N + 1. (8.6.15)
9 ...T
g(t) ТСО l . TCo ZH У
Рис. 8.8. Схема однородной цепочки с
внешней силой и нarРУЗКQЙ на конце
(8.6.16)

!! 8.6. RОЛЕБАНИЯ В ОДНОРОДНЫХ ЦЕПОЧRАХ
321
Цас интересуют только вынужденные I\Олебания,
представим напряжения и токи в виде
un(t)== Unexp(jpt), Un+i(t)== и П + 1 exp(jpt),
in(t)== Iп exp(jpt), in+,(t):== Iп+! exp(jpt),
rде и п , Iп, U n + l , I пн  комплексные амплитуды напряжений и
токов.
и поэтому
(8.6.17)'
L/2 2С L/2 2С L/2 2С L/2 2С L/2 2С [,/2 2С
rrotrro l r
Т СО J: п т со о п+t т СО
Рис. 8.9. Представление однородной цепочки В виде последовательно соеди
пенных Тобраэных четырехполюснИlЮВ
При подстановке (8.6.17) в (8.6.11) получим следующие ал
rебраические уравнения для комплексных амплитуд:
и п == (ZI + Zz)In  Zz1nH, иnH == ZzIn + (Zi + Zz)In+l' (8.6.18)
rде Zi, Zz  комплексные последовательное и параллельное co
противления звена. Отметим, что уравнения (8.6.18) справедли
вы для симметричной цеПОЧIШ, состоящ()й из Т звеньев, coдep
Жащих любую I\омбипацию линейных I{омплексных сопротив
лений.
Решение системы уравнений (8.6.18) ищем в виде
и п == Ае ТП , Iп == Ве ТП , (8.6.19)
rде "{ в общем случае может быть комплексной величиной, т. е.
"{ -== а+ j.
Подстановка предполаrаемоrо решения
дает два линейных однородных уравнения
лексныx амплитуд А и В:
А == (Zi + Zz)B  ZzeTB, A -== ZzeTB + (Zi + Zz)B.
(8.6.20)
(8.6.19) в (8.6.18)
относительно комп
(8.6.21)
Нетривиальное решение эта система уравнений имеет в том слу
чае, коrда ее детерминант равен нулю. Равенство нулю дeTep
минанта приводит к следующему соотношению:
сЬ"{ == 1 + Z/Zz. (8.6.22)
Последнее выражение дает связь между частотой внешней силы
fi и величиной "{, определяющей характер процесоа.
Рассмотрим отдельно две возможности: 11 + z I IZ 2 1 ::::;; 1,
11 + Z/Zzl > 1. Для рассматриваемой схемы неравенство

322 rл. 8. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С n СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
11 + Z/Z 2 1  1 справедливо, если частота р лежит в пределах
p ==' v 2  2а  р2  v 2 + 2а ==' p. (8.6.23)
В этом случае "(  чисто мнимая величина, причем существуют
два различающихся знаками значения "(: "(1. ==' j, "(2 ==' j.
Соответственно решение (8.6.19) можно запиеать в виде
и п ==' Atejn + A2&n, [п ==' Btejn + В 2 #,п. (8.6.24)
Для каждоrо значения "( можно найти из (8.6.21) связь между
комплексными амплитудами А. и В. (8 == 1, 2). Так, для "(1 =='
== j получим В/А! ==(Zt + Z2  Z2ej)1 или, учитывая COOT
ношение (8.6.22),
В 1 1
А 1 == jZ2 sin'
Соответственно для "(2 == j имеем
В 2  1
А 2   jZ2 sin  .
Таки образом, решения (8.6.24) можно записать в ВИДе
un(t)"" А 1 :ехр [j(pt  п)] + А 2 ехр [j(pt + п)],
. ( ) Аl ( R ) А2 . А ) (8.6.27)
п t == 'Z .  exp [j pt  t'n ]  ,z .  ехр [j (pt + t'n J.
] 2 slП ] 2 slП ,
Каждое из слаrаемых: (8.6.27) можно рассматривать КaRбеry"
щую волну. Однако в отличие от непрерывной среды фаза ВОJIИЫ
меlI1iется не непрерывно, а скачком на величину  при переходе
ОТ nro звена цепочки к п + 1MY.
Мы предположили, что входным ;JBOHOM цепочки, к которому
приложена внешняя э. д. с., служит звено с номером п == О.
в (8.6.27) первые слаrаемые соответствуют волне, беrущей от
источника, а вторые  волне, отраженной от наrрузки. Ампли
туды этих иолн можно определить из rраничных уеловий
ио , fSoexp(jpt), UN==iNZ п .
(8.6.25)
(8.6.26)
(8.6.28)
Из BToporo rраничноrо условия, которое задает связь между
напряжением и током на выходе цепочки (п == N), можно найти
отношение A 2 /A t :
j Z sin R ехр ( jN) + (А 2 /А 1 ) ехр (jN) ==' Z (8 6 29)
2 t' ехр ( jN)  (А 2 /А 1 ) охр (jN) в' . .
Вводя обозначение jZ2 sin  == Zo, перепишем (8.6.29) в виде
А 2 ZBZO
А == z + z ехр ( J2N). (8.6.30)
1 в о

!! 8,6. ноЛЕВАНИЛ В ОДНОРОДНЫХ ЦЕПОЧНАХ
.323
. Если сопротивление наrрузни ZH равно Zo, То, нан щ'!Дно из
последнеrо соотношения, отраженная волна в цепочне OTCYTCТВY
{)т. Величину Zo наЗЫБают водnовым сопротивдеnием цепочпu.
Если цепочна наrружена волновым сопротивлением, то вся энер
rия, распространяющаяся по ней, будет поrлощаться этим co
противлением. В отсутствие потерь волновое сопротивление BЫ
ражается вещественной величиной, зависящей от параметров
.цепочки и частоты вынуждающей силы. Для рассматриваемой
цепочки
1 '1 /' ( ,,2 р2 ) 2
Zo  РСn V 1  2а: .
(8.6.31)
Вследствие зависимости волповоrо сопротивления от частоты
условие соrласования цепочки с наrрузкой (ZH  Zo) не может
выполняться в широкой полосе частот.
Если ZH =t= Zo, то наряду с волной, беryщей от источника, cy
ществует и отраженная волна. Решение (8.6.27) в этом случае
имеет вид
z z
и n (t)  А 1 ехр [j (pt  п)] + z н + z 1) А 1 ехр [j (pt + п  2N)];
н о
(8.6.32)
А [ z z ]
i n (t)  z: ехр [j (pt  п)]  z: + z: ехр [j (pt + п  2N)] .
По аналоrии с непрерывной системой отношение комплексной
амплитуды отраженной волны к амплитуде падающей называют
поэффuцuеnтом отражеnuя в пM рвеnе:
z z
R  z н + z о ехр [j2 (N  п)].
н о
(8.6.33)
При ZH =t= Zo лишь часть эперrии поrлощается в наrрузке, oc
тальная часть возвращается !{ lIСТОЧПИКУ энерrии.
Для короткозамкнутой цепочки (ZH  О) И разомкнутой цe
почки (ZH -+ 00) модуль коэффициента отражения IRI  1, и в
цепочке существует чисто стоячая волна. Так, для ZH  О
иn(t)D,cos(pt)sin(Nn), rде D,2jejNA,; (8.6.34)
для ZH -+ 00
un(t)  D z cos (pt) cos  (N  п), rде Dz  2ejN А,.
Для чисто стоячей волны поток энерrии от источника к Ha
rрузке равен нулю. Амплитуду А, в (8.6.32) и (8.6.34) можно
определить из первоrо rpаничпоrо условия (8.6.28).

324 rл. 8. ЛИНЕйньm СИСТЕМЫ С n СТЕПЕНЯми СВОБОДЫ
Кроме ВОЛНОБоrо сопротивления, практически важны следу
ющие параметры цепочки:
а) входное сопротивление, определяемое как отношение на-
пряжения к току на входе линии:
Z и о Z А 1  Az. 8 3
вх == Т == о А +  ' ( .6. 5)
. о 1
б) коэффициент передачи цепочки, т. е. отношение напряже
ния выходноrо сиrнала к напряжению входноrо:
к === U N/U o '
(8.6.36)
Если на входе линии включен источник, внутреннее сопро
тивление KOToporo MHoro меньше волновоrо, то (8.6.36) при
нимает вид
к == UNlfS o .
(8.6.37)
При соrласовании наrрузки с волновым сопротивлением цепочки
(ZB == Zo) получим Z." == Zo и IKI == '1. В случае несоrласованной
цепочки (ZB -=1= Zo) входное сопротивление и коэффицинт пере
дачи при изменении частоты MorYT припимать любые значения
от нуля до бесконечности.
Рассмотрим теперь второй возможный случай: 11 + Z/Zzl > 1.
Это неравенство справедливо либо при
 == о и cha> 1,
(8.6.38)
либо при
==л:
и
ch( + jл:) == ch  < 1.
(8.6.39)
Область частот, для которых  === о и ch  > 1, располarаеТС1l
между нулем и частотой PI, т. е.
О  р2 < p == v 2  2а. (8.6.40)
в этом диапазоне значений Р решение (8.6.19) имеет вид

и n == Alean + А 2 е аn . (8.6.41)
Здесь первый член характеризует колебательный процесс, при
котором все звенья колеблются в фазе, но аМПЛИтуда колебаний
экспоненциально уменыпается в направлении увеличения номера
цепочки. При большом числе звеньев (aN. 1) процесс затух
нет раньше, чем колебания достиrнут наrpузки. При выполне
нии этоrо условия второй член в (8.6.41), возникающий в pe
зультате отражения от наrрузки, можно не учитывать. В атом
случае. оrибающая распределения напряжения по звеньям имеет
вид экспоненты (рис. 8.10).
Коэффициент передачи цепочки для  1 будет равеа
 a.N
к === U N/@o === е . (8.6.42)

 8.6. RОЛЕВАНИЯ В ОДНОРОДНЫХ ЦЕПОЧRА.Х
Отсюда следует, что К падает с увеличением числа звеньев N,
т. е. цепочка не пропускает колебаний всех частот, лежащих
ниже значения PI'
Область частот, для которых  == 11: И /сЬ аl > 1, простирается
от Рз до бесконечности. Решение для этой области ча-стот
и n == (1)"(Ale...an + А 2 е аn ). (8.6.43)
При большом числе звеньев (Д' '1) мы можем оrраничиться
в рещении только первым членом. В этом случае распределение
амплитуд по звеньям ОПИСЫБается по
казательным законом. Однако в обла
сти частот Р > Рз соседние звенья KO
леблются в противофазе (рис. 8.11) .
Rоэффициент передачи по модулю COB
падает с К, определяемым формулой
,(8.6.42). При большом N коэффициент
К для всех частот Р < РI ир> Рз MO
жет быть сделан очень малым.
Таким образом, рассмотренная цe
почка представляет собой полосовой
фильтр, пропускающий частоты, лежа
щие в полосе прозрачности (8.6.23), и отфильтровывающий ча
стоты Р < РI ир> Рз. Частоты РI и Рз являются rраничными ча
стотами фильтра.
Частотная характеристика полосовоrо фильтра, т. е. зависи
мость коэффициента передачи от частоты, при отсутствии зату
хания и Za == Zo имеет вид, изображенный на рис. 8.12. Наличие
ил
1;
.rz
325
un
:fo
12J45578910n
Рис. 8.10. Распределение
напряжений на звеньях
цепочки для Р < РI
Рис. 8.12. Частотная характери
стика полосово1'О фильтра
Р 1
''
Pz Р
Рис. 8.11. Распределение напря
жений по звеньям цепочки для
р >Рз
затухания сrлаживает резкость изменения К при переходе через
rраничные частоты.
В случае симметричных цепочек со структурой звеньев, OT
личной от рассмотренной нами, полоса про пускания будет опре
деляться общим соотношением 11 + ZJz z 1  1. Крутизна спада
харантеристики при Р < РI ир> Рз зависит от числа звеньев N.
Чем больше N, тем резче спад характеристики.

rЛАВА 9
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
. С n СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
 9.1. ПараметричесRие системы сп степеввJIIИ сободы.
СоотиОшевиа: Мэвли  Роу
Системы с п степенями свободы находят применение в па-
раметрических и автоколебательных устройствах. Параметриче-
ская система с п степенями свободы состоит из нелинейной ре-
активности и линейной цепи с п контурами, настроенными на
:комбинационные частоты двух внешних сиrналов, действующих
на систему. Мыши и Роу *) показали, что между мощностями,
выделяющимися в IШiЩl;ОМ из I\ОПТУРОВ, существуют ()IIределен
ные CQотношения. Эти соотношения позволяют определять мак-
симальные коэффициенты усиления и преобразования сложной
парамтрической системы.
Раесмотрим поведение нелинейной емкости под действием
двух э. д. с. несоизмеримЫх частот (J)I и Ыа. Если связь между
ЗаРЯДОМ и напряжением ис ва этой емкости q (ис) однозначна,
то заряд на нелинеЙНQЙ еМКОСТJI будет содержать :комбивацион-
,ные частоты вида (J)m,l === m(J)a + l(J)l. Величины т и l jЩляются
целыми положительными или отрицательными числами. Одно
из НИХ может быть нулем. Посколы{у физический смысл имеют
только положитеЛI>пые I\Омбинаци:онные частоты, то числа ти
l не морут быть одновременно отрицательными. Если число т
отрицательно, то (J)m,l > О только при l> 1т I (J)a! (J)I. Если же от.,.
рицательно l, то III должен быть меньше чем т(J)a!(J)I'
Пусть к емкости в параллель ПОДRлючено бесконечное число
линейных цепей, состоящих из фильтра Ф и сопротивления R
(рис. 9.1). Фильтры считаем идеальными, т. е. проnyскающими
токи только одн ой чаСТОТЫ.1...,с оответствующей определенному зна-
чению чисел...."т и l . На каждом активном сопротивлениИ: R вы-
деляется мощность Р тl на частоте (J)ml, пропущенной соответству-
ющим фильтром Ф. От внешних ренераторов накачки и сиrнала
поступают мощность Р 10 на частоте накачки '(J)a И :мощность Р 01
на частоте сиrнала (1)1. Если нелинейная емкость свободна от
потерь, то она не потребляет энерrии, а преобразует поступаю
щую на нее мощность в мощность колебаний Р т1 на различных
комбинационных частотах. Будем считать мощность, ВВОДИ:МУI9
*) Maпley 1., R01()e Н. !I Proо. IRE. 1956. V. 44,  7. 904.

 9.1. СООТНОШЕНИЯ МЭНЛИ  РОУ
327
в систему, положительной, а мощности, рассеиваемые на со про-.
ТИБлениях, отрицательными.
:М:энли и Роу получили в 1956 r. соотношения между Р т!
путем перемножения токов и напряжений в схеме рис. 9.1. Ta
кой вывод является весьма rРОМОЗДRИМ и Не выявляет физиче
ското смысла полученных соотношений. Поэтому мы получим
тrrJ H + [(,)1
Щи)
"-'Ы н "- ы ,
Рис. 9.1. Принципиальная схема МНО1'окоптурной параметрической систеиы
соотношения Мэнли  Роу более простым и физически ваrляд
ным путем, исходя из квантовоro рассмотрения происходящих
в системе процессов преобразования мощностей. '
Запишем ЗalЮН сохранения числа квантов накачки в pac
сматриваемой системе. reHepaTop накачни отдает в систему мощ':'
ность P 10 . Это означает, что в систему в единицу времени посту
пает N a -== P1o!nffi a квантов накачки. Эти кванты расходуются на
образование комбинационных колебаний. reHepaTop накачки не
являеreя единственным в схеме источником квантов накачни.
Дело в том, что при образовании кванта комбинационной ча
стоты Ю т ! == тЮ а + 1Юl с отрицательным значением т одновре.-
менно происходит выделение квантов накачки. Образование oд
:в:оro кванта частоты Ю т ! сопровождается поrлощением 1 квантов
частоты Юl и выделением I тl квантов частоты Ю а , так кIШ
nют! == l!iffil  lтlnffi a . Число 1 при этом должно быть больше
чем 1т I Фа/ ffil. Полное число квантов накачки, выделяющихся
в системе при образовании мощности Р т ! колебания с частотой
ffiml, при отрицательном т равно lтIPmJ1iffiml. При записи этоrо
выражения мы учли, что Р т ! < О. Суммируя по всем отрица
тельным т и по всем возможным 1, J. также прибавляя число
квантов, приходящих от тенератора накачки, получим общее
число квантов, выделяющихся в системе
1 00 ( )
N == р 10 +    1т I Р тl
+ пОО   поо'
II тoo 1>lm\W H /W 1 тl
Все эти кванты расходуются на образование комбинационных
колебаний с т> О. Рассмотрим комбинационное колебание с ча
стотой Ют! == тЮ Н + 1(f)1, длл которото т> О. Число 1 в этом
случае J\IОжет быть любым числом, большим тffiH/ffil' При об
разовании одното кванта частоты Ют! затрачиваются т квантов
(9.1.1 )

328 rл. 9. ПАРАМЕТРИЧЕ1CRИЕ И АВТОКОЛЕВАТЕЛЪНЫЕ СИСТЕМЫ
накачки, так как hФ ml == тпю и + lhЮt. Полное число квантов ч
стоты Юml, выделяющееся в систем.е за единицу времени, раю
РmzlпЮml' На образование этих квантов в единицу времени з
трачиваеrся тРmz/hЮml квантов накачки. Суммируя по ВСЕ
положительным т и по всем возможным l, получим число квш
тов частоты Юи, поrлощающихся в системе за единицу времен]
N==  (  ;Pml ) .
т1 l>mfJ>н/OOI ООт!
В выражении (9.1.2) необходимо исключить член, дЛЯ КОТI
poro т== 11, l == О, так как колебание этой частоты учтено
(9.1.1). Закон сохранения числа квантов нанаЧIЦI (N:!-N==(
принимает таким образом вид
, 00 OD ....1 00
Р 10 "" "" тР т! "" "" I т I Р т! == (
iO) +   п. ( тю + 100 )   Чтоо + 100 )
н т1 l>m(jJH/(jJl н 1 тOO l>l m1 fJ>н/(jJl н 1
Сменим знarш у llH1J;eKCOB суммирования в последнем члене ЭТОI
равенства. Будем суммировать по т от 1 до бесконечнбсти, а Ii
1  ОТ минус бесконечности до l < тю..IЮI' в стоящем под зщ
jtOM суммы выражении 1т I заменится в этом случае на 7J
Plmll  на равную ей величину Pm.l, а частота колебаний lЮt-
. lтlю и  на равную ей по модулю, но противоположную D
анану частоту тю и  III Юt. Смена знака у частоты требует З
:мены знака перед суммой. Таким образом, закон сохранени
'Числа квантов накачки принимает lНIД
00 00 00 1< тfJ>н/ 001
"" V тР тl "" "" тР тl "
  Чтоо + 100 ) +   Ч тоо + 100 ) == О. (9.1....
т==ll>тooвJOOl н 1 т==l loo н 1
(9.1.:
D первую из сумм (9.1.3) мы включили и член Р1Jhю и .
Умножим теперь (9.1.3) на п и объединим оба члена в ОДИЕ
00 +00
""  тР т! == О.
тf::l 1'=00 тоо н + 1001
Суммирование по т в получившемся выражении можно наЧIJ
нать не с т == 1, а с т == О. Это не меняет суммы, так ка
добавляет только равные нулю члены. При таком суммировави.
получаем стандартное соотношение Мэнли  РОУ
00 +00
'" '" тР тl == О (9.1.4а
  тоо н + 100 1 .
т==о 'oo
Проведенные выше рассуждения показывают, что это СООТНОШЕ
вие выражает собой закон сохранения числа квантов накачкI'
,/

 9.1. СООТНОШЕНИЯ мэнли  РОУ
329
Аналоrичным образом может быть получено второе COOTHO
шение Мэнли  Роу, представляющее собой ЗaI\оН сохранения
числа квантов сиrнала
00 00
  lP ml  О
.. .. тю + loo  .
lo тoo н 1
(9.1.4.б)
Соотношение (9.1.4а) и (9.1.4б) написаны при условии, что He
линейный элемент не имеет потерь.
В каждое из соотношений Мэнли  Роу входят члены, co
ответствующие всем частотам схемы рис. 9.1, но в (9.1.4а) ча
стоты, для которых т > О, считаются отрицательными, а в
(9.1.4б) отрицательными оказываются частоты, для которых
l<O.
Из вида соотношений Мэнли  Роу следует, что независимо
от вида нелинейности и вида потребителя энерrии распределение
мощности по комбинационным частотам определяется величи
ной и знаками комбинационных частот.
Применим соотношения Мэнли  Роу К анализу ДВYXКOHТYP
ных параметрических усилителей, рассмотренных в rл. 7.
PezeueparueublU усилurель. Пусть на нелинейную емкость
действуют две э. д. с. с частотой накачки ЮН и частотой сиrнала
Ф\, а в епи имеется дополнительный IЮНТУР  фильтр, HaCTpo
енный на частоту ЮН  Ю\. Таким образом, в соотношения Мэн
ли  Роу войдут три мощности: Р\О  мощность НaRаЧRИ, Ре! 
мощность сиrнала и PI(\) мощность, выделяемая в дополни
тельном контуре. В этом случае соотношение (9.1.2а) примет
вид
Р 1"
+
ООн
Pl(1)
ООн  (01
== О.
(9.1.5)
Соответственно (9.1.2б) запишется следующим образом:
Р О1 P(I)l О
+ 
(01 001  (ОН  .
(9.1.6)
Мощности P(\)1 И PI(\) тождественно равны. Поэтому вместо
(9.1.6) получим
Р О1  Pl(l)
== О.
001 ЮН  (01
(9.1.7)
Нак отмечалось выше, мощность, поступающая от reHepaTopa
накачки Р\о, больше нуля, и Torдa из (9.1.5) следует, что
(ОН  (01
Pl(1) == PI0 <О,
(01
I P(I)11 < Р 10 '
22 в. в. МИ!'УЛИll, И др,

330 rл. 9. ПАРАМЕТРИЧЕС1ШЕ и АБТОIЮЛЕВАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Эти неравенства означают, что только часть мощности накаЧRИ
поступает в дополнительный контур. Остальная часть, как видно
из (9.1.7), идет в цепь сиrнала (Р 01 < О), т. е. расходуется на
ero усиление. Система представляет собой реrенеративный уси
литель и способна к самовозбуждению.
На рис. 9.2 схематически показано pac
пределение мощностей по спектру коле
баний paccMoTpeHHoro ДБухконтурноrо па
раметрическоro усилителя. Там же стрел
ками показано направление перераспре
деления энерrии между частотами,
Нереееперативпый усUJtитель  преоб
рааователь часТОтЫ. В этом случае допол
ни тельный контур настроен на частоту
ФИ + Ф1' Поэтому в соотношения Мэнли 
Роу будут входить мощности Р 10, Р 01
И мощность, рассеиваемая в дополни-
тельном контуре Р н . Первое из соотношений Мэнли  Роу!' прп
мет вид
I ;)
(J, (Jz
с
(JH
Рис. 9.2. Распределе---
ние :мощностей по
спектру колебаний
для ре1'енеративнoro
ДВУХRОНтурНО1'О пара
:метричеСRО1'О усили
теля
P 10 Р l1 О
+ 
о>н 0>1 + о>н  .
(9.1.8)
Для (9.1.2б) соотношение запишется следующим образом:
Р 01 + Р+ 1 == О. (9.1.9)
0>1 0>1 О>Н
Из цепи накачки в систему поступает мощность Р 10 > О. Torдa
из (9.1.8) следует, что РН==(ФИ+Ф1)Р10/Фи<0, И из (9.1.9),
что Р О! == Ф1Р111 (ФИ + Ф1) > О.
Это означает, что теперь на управление емкостью идет энер
rия как от reHepaTopa накаЧIШ, так и от reHepaTopa сиrнала.
В таком случае схема не способна к самовозбуждению. При
съеме энерrии с дополнительноrо контура получается усиление
за счет пере распределения энерrии в пользу более высокой ча
стоты. Максимальный коэффициент усиления по мощности Ta
Koro усилителя  преобразователя частоты  равен
I Р 11 I  о>н + 0>1
Р . (9.1.10)
01  0>1
На рис. 9.3 приведено распределение мощностей по спектр
колебаний для paccMOTpeHHoro нереrенеративноrо усилителя.
Данная схема может быть использована как демодулятор
Подадим на нелинейную емкость модулированный сиrнал (
комбинационной частотой ФИ + Ф1 и сиrнал от reHepaTopa накач.
ки с частотой Фи. Считая, что задан сиrнал с частотой ФИ + о)
(т. е. Р Н > О), из соотношений (9.1.8) и (9.1.9) получим P iO <

!J 9.2. ТРЕХНОНТУРНЫЕ АБТОRОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 831
< о И РОI < О. Следовательно, энерrия модулированноrо сиrнала
частично идет в первый НОНТУР, а частично  в цепь reHepaTopa
накачки. В нонтуре выделяется продетектированный сиrнал ча
стоты Ф1, причем ero мощность меньше мощности модулирован
Horo сиrнала в (J)J (Ф1 + (J)и) раз. Схема эта способна I{ самовоз
буждению. На рис. 9.4 дано распределение мощностей по спект
ру колебаний для данноrо случая.
[  1
J " СО :
(,)1 (,)If tV z
Рис. 9.3. Распределение мощно
стей по спектру колебаний для
нере1'енеративпо1'О ДПУХI\ОНТУР
Ho1'o параметрическо1'О усилителя
, [ flt f
п ( Е 1О
J (
(,)1 {.}If (.}z
Рис. 9.4. РаспрrJ(ешшие МОЩПО
СТОЙ но Сllектру колебаний для
параметрическо1'О демодулятора
Если число взаимодействующих частот преВыmает ТРИ, то
два соотношения :Мэнли  Роу не дают возможности решить за
дачу до конца. Необходим анализ Rонкретной схемы. Однако
эти соотношения служат двумя дополнительными уравнениями,
облеrчаIQЩИМИ решение задачи о поведении параметрической
системы с п степенями свободы.
 9.2. Автоколебательные системы с тремя степенями свободы
в последние rоды стали находить применение аВТОRолеба
тельные системы LСтипа с числом степеней ,свободы больше
двух. Такие устройства обеспечивают лучшую. стабилизацию ча
стоты, чем рассмотренная в rл. 7 авт-околебательная система
с одним дополнительным
контуром *) .
Наличие дополнитель
ной степени свободы при
водит к появлению третьей
устойчивой ветви нормаль
ных частот, причем стаби
лизация частоты может
оказаться выше, чем в
двухк-онтурной системе.
В качестве примера TaKoro устройства рассмотрим reHepaTop
с тремя последовательно связанными Rонтурами (рис. 9.5). Бу
дем считать независимыми Rоординатами токи в контурах i l , i 2 ,
R,
[ 1
R 2
[ 2
Рис. 9.5. Принципиальная схема 1'енерато-
ра с тремя последовательно связанными
контурами
*) Миnа-пова Н. Н., Курдю.мв О. А. 1/ Изв. вузов. Радиоэлектроп.
1968. Т. 11, М 1. С. 41.
22"

332 rл. 9. ПАРАМЕТРИЧЕCRИЕ И АВТОRОЛЕБАТEJIЬНЫЕ СИСТЕМЫ
i3. Допустим, что система работает в мяI'Rом режиме, т. е. xa
раRтеРИСТИRУ нелинейноrо элемента можно аппроксимировать
кубическим полиномоМ
. 1 .3
и ::: rOz1  ""3 r 2 t 1'
(9.2.1)
Составим дифференциальные уравнения, описывающие поведение
схемы:
";1 + 2 (б о + б1i) i' 1 + "i1  a 1 i 2 == О,
i 2 + 2б 2 i' 2 + "i2 + a 2 i 1  а з i з == О,
';3 + 2бiз + ":i з  a 4 i 2 == О,
rде ,,, ,,, ,, RВaдpaTЫ парциальных частот нонтуров, COOTBeT
ственно равные
(9.2.2)
2 1
"1 == L С '
1 1
": == ( ..!. + ...!.. ) l...,
С 1 С 2 L 2
,,; == ( ..!. + ..!. ) l...,
С 2 С 3 L3
(
al, аж, аз и al  коэффициенты связи между Rонтурами:
1 1 1 1
а 1 == ТС' (%1 == L С ' с%з == 'L7f""' а 4 == L С '
11 21 12 32
1/ R  r r 2 R2 R3
2ue == 1 L1 О , 2б 1 == Lt' 2б 2 == L 2 ' 2б з == Lз '
Колебания в нонтурах считаем rармоническими:
i l == А sin «(()t), i 2 == В sin «(()t  qJ), i3 == С sin «(()t  ф). (9.2.3)
Уравнения, связывающие амплитуды и фазы токов i l , i 2 , i3
В стационарном режиме, имеют следующий вид:
1
2б о (()А + '"2 б 1 (()А3 + а 1 В СОВ qJ == 0,_
2б 2 (()В  azA sin qJ  азС sin (qJ  'Ф) == О,
2б з (()С + а 4 В sin (qJ  'Ф) == о,
2 2 + в О (9.2.4)
(()  "1 а 1 А COSqJ == ,
А С
(()2  ,, + а 2 В соз qJ + а з В соз (qJ  'Ф) == о,
(()2  ,,; + а 4  cos(qJ  'Ф) ==0.
Из последних четырех уравнений (9.2.4) можно определить
нормальные частоты системы, а из первоrо уравнения (9.2.4) 

n 9.2. тpExHoнтypныЕ АБТОНОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
333
стационарную амПJIИТУДУ нолебавий в первом нонтуре.
удобно ввести относительные расетройни
,.,2  .,2 .,2 .,2 .,2  .,2
..... .3 '" 2 === . 1 2 .3 , .2.3
1 === 2 '  3 === .
(о ф (о
Здесь
(9.2.5)
Зависимость нормальных частот от расстроен 2, a И параметров
системы наиболее просто проанализироватъ для следующеrо част
Horo случая. Пусть парциальные частоты '\'2 и '\1а постоянны И
1
5
!
Рис. 9.6. Частотные кривые автоколебательной системы с тремя степеням'и
свободы при различных связях между контурами
равны между собой, т. е. a == О. Единственной изменяющейся Be
личиной будем считать парциальвую частоту первоrо нонтура.
Тоща из (9.2.4) можно получить частотное уравнение. Разрешая
ero относительно 2, находим
  '" t+ Н{}:+{}k2Ч)+(k +{}2{}з)2+kНk{}) ( 926 )
2  1 t +  ({} + {}  2k:) + (k + {}2{}з)2 :. .
rде '6-2 == 2б2/((), '6- з === 2б а /(()  денременты затухания BToporo и
TpeTbero контуров k == (1,1(1,2!(()4, k === (1,з(1,4/(()4  безразмерные
нозффициенты, харантеризующие связь.
Частотное уравнение (9.2.6) может иметь до пяти действи
тельных норней. На рис. 9.6 приведены частотные кривые, т. е.
зависимость 1 от 2 (см. (9.2.6» для различlilЫX соотношений
параметров системы. Равенство 1 === 2 === О соответствует син
хронизму '\'1 == '\12 == '\'а. Вдали от синхронизма частотные кривые

334 rл. 9. ПАРА МЕТРИЧЕСКИЕ И АБТОRОЛЕБАТЕЛЬНЬШ СИСТЕМЫ
однозначны, причем нормальная частота трехконтурной системы
(() близка R парциальной частоте первоrо нонтура '\'1. Поэтому
асимптотоЙ для ветвей частотных кривых, уходящих в бесконеч
ность, будет биссеRтриса первоro и третьеrо нвадрантов. Для об
ласти расстроек, близкой R синхронизму, частотные кривые будут
вести себя поразному в зависимости от коэффициентов k l и k 2 .
Для Наrлядности целесообразно ввести в рассмотрение парциаль
ную двухконтурную систему. Будем считать связанные между
собой второй и третий контуры такой парциальной системой. Сле
довательно, полную систему можно рассматривать как реrенери
рованный первый контур и связанную с ним парциальную ДBYX
контурную систему. При этом коэффициент k l описывает связь
между первым контуром и парциальной системой. Коэффициент
k 2 характеризует связь между вторым и третьим Iюнтурами. Если
k 2 < k 2 , ир, ТО двухконтурную парциальную систему можно счи
тать эквивалентной контуру с одной собственной частотой
(9 6.3). Частотные кривые (см. рис. 9.6) при этом аналоrичны
кривым ДВУХIюптурноii системы (см. 9 7.4). Если k l < k l , ир, то
кривая однозначпа (кривая 1) при любых расстройках; еcirи
k l > k l , ир, то на частотной RРИDОЙ вблизи точки синхронизма
появляется участок трехзначности (кривая 2). При связи k 2 >
> k 2 , ир двухконтурная парциальная система имеет две нормаль
ные частоты ( 6.3). Поэтому частотная Rривая начинает пере
сенать БИССeI\ТРИСУ первоrо  третьеrо нвадрантов, кроме точки
синхронизма, еще в двух точках, соответствующих совпадению
нормальных частот парциальной двухконтурной системы и часто
ты первоrо контура. Так как, по предположению, '\'2 == Vз, то точ
ки пересечения расположены симметрично относительно начала
Rоординат. При этом если k l < k l , ир, то частотная кривая coxpa
няет однозначность (кривая 3). Если же k l > k l , ир, то появляют
ся участки трехзначности (I(РИБаЯ 4). При дальнейшем увеличе
нии связи k l И неизменных параметрах двухконтурной парциаль
ной системы вблизи синхронизма парциальных частот появляются
участки пятизначности (кривая 5).
Не исследуя условий устойчивости, что представляет для
трехконтурной схемы сложную задачу, можно из общей теории
автоколебательных систем указать неустойчивые участки частот
ных кривых. На рис. 9.6 они помечены крестиками. Из этоrо
рисунка видно, что для целей частотной стабилизации наиболее
приrодна работа в режиме, соответствующем средней ветви ча
стотной кривой 5, проходящей через точку синхронизма.
Стационарную амплитуду колебаний в первом контуре можно
записать в виде
А2 == А 2  .!. k 2 М 1 >
О t1 1 М 2 + М2"
1 1 2
(9.2.7)

!! 9.2. ТРЕХНОНТУРНЫЕ АВТОRОЛЕБАТЕльньm СИСТЕМЫ 335
rде М 1 =={}2 + 1'tзk:/( + 1't), М 2 == 1  3  kl/( + 1't:), A ==
== бolбl> На рис. 9.7 приведены зависимости амплитуды ноле
баний в первом нонтуре от расстроЙRИ 2 для k l > k lKP И k 2 > k 2кp .
На рис. 9.7, а наблюдаются две БЛИЗRО расположенных области
затяrивания 1 и 2, харантерные для системы с двумя степенями
свободы ( 7.5); на рис. 9.7, б
области затяrивания 1 и 2 ча
стично переRрЫЛИСЬ. Средняя
ветвь амплитудных хараRтери-
стИR рис. 9.7 харантерна ТОJlЬ
но для трехионтурной схемы.
Эта ветвь используется при
стабилизации частоты в Tpex
нонтурном reHepaTope.
Стабилизирующие свойства
системы можно охараRтеризо
вать Rоэффициентом стабилиза
ции и областью удержания.
Rоэффициент стабилизации flJ
определяется нан значение про
взводной dJdl' При фИRсиро
ванных параметрах системы он
имеет маRСИМУМ в ТОЧRе син
хронизма I == 2 == з == О. Об
ластью удержания называется
область значений расстроен 2,
внутри RОТОРОЙ существуют
устойчивые Rолебания на cpeд
ней ветви частотной RрlИЮЙ 5 рис. 9.6. Rоэффициент стабили
зации для случая ts == о наЙДем из (9.2.6):
а
А 2
А 2
О
 z
о'
C: z
Рис. 9.7. Зависимость амплитуды ко--
леGапий в первом коптуре от рас--
стройки 2 дли связи, соответствую
щей на рис. 9.6 кривой 4 (а) и кри
вой 5 (6)
k 2 ( k2  t}2 )
flJ==1 + 1 2 3
( 2 ) 2"
k 2 + t}2t}з
(9.2.8)
RaR мы видим, Iюэффициент flJ paCTe'i' с увеличением RОЭффИЦИ
ента k l и уменьшением денремента {}а. Зависимость flJ от k 2 при
фИRсированных параметрах имеет оптимум, достиrаемый при
k == 1't 2 1't з .
Зависимость flJ от 1't 2 сложнее, тан нан значение {}2 существен
но влияет на устойчивость Rолебательноrо режима на средней
ветви частотной RрИВОЙ. Подробное исследование ПОRазывает,
что при больших значениях k l и добротности Qs == 1/{}а маRСИ
мальное значение flJ достиrается при малой добротности BToporo
1\онтура Q2 == 1/1't z . .
Область удержания растет с увеличением Rоэффициента связи
k l (см. рис. 9.6).

336 rл. 9. ПАРАМЕТРИЧЕCRИЕ и АВТОRОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Таким образом, для создания высокостабильноrо reHepaTopa
можно использовать трехконтурную систему с высокодобротным
третьим контуром и сильной связью между первым и вторым
контурами, причем добротность BToporo контура должна быть
небольшой.
 9.3. RC-rенераторbl почти rарЮ}вических колебаний
RCreHepaTopbl  автоколебательные системы, линейная цепь
которых содержит только омические сопротивления и емкости.
Колебания в этой цепи апериодичны, и автоколебания появля
ются ТОЛЬRО при реrенерации. Колебания, близкие к rармониче.
ским, существуют в таких релаксационных системах при незна.
чительном превышении пороrа самовозбуждения и при наличии
достаточно протяженноrо почти линейноrо участка характеристи.
ки нелинейноrо элемента. В этом случае ТОRИ и напряжения во
всех участках схемы (нелинейном элементе, цепи обратной связи,
RСцепочке) почти синусоидальны. При увеличении обрашой
связи форма автоколебапий ИСI\ажается. На рис. 9.8 приведена
II П
Рис. 9.8. Принципиалъная схема RС1'еиератора
принципиальная схема пзвенпоrо RC.reHepaTopa. Дифференци.
альное уравнение, описывающее Rолебания в таком reHepaTope,
является нелинейным .уравнением Nro ПОрЯДRа. Если колебания
в RCreHepaTope почти rармонические, то это уравнение можно
линеаризовать, используя Rвазилинейный метод. Torдa RОЭффИ
циент усиления усилителя Кус == ивых/и вх является фуmщией толь-
ко амплитуды А напряжения !lвx. Полученное квазилинейное
уравнение удобно решать методом Rомплексных амплИТуД.
Выберем в Rачестве переменных напряжения на сопротивле-
ниях R цепочки и" и2, ..., UN. КомплеRсные амплитуды А. этих
напряжений должны удовлетворять следующей системе N линей-
ных уравнений:
(2 + 1/jroRC)A,  А 2 == В,
А,  (2 + 1/jroRC)A 2 + Аз == О,
(9.3.i)
AN'  (1 + 1/jroRC)A N == О,

!! 9,3. НСrБНЕРАТОРЫ почти rЛРМОНИЧЕCRИХ НОЛЕБАНИЙ 337
rде В  комплексная амплитуда напряжения на выходе уси
лителя.
Решая эту систему уравнений относительно А", найдем ноэф
фициент передачи цепочки К, равный
..... 1
К == AN/B == !!.'N , (9.3.2)
rде !!.В  детерминант, образованный коэффициентами системы
однородных уравнении (9.3.1).
Леrко видеть, что !!.! == 2  j/lJ)RC, !!.2 == (2  j/lJ)RC) 2  1,
а остальные !!." удовлетворяют следующим ренуррентным COOT
ношениям:
!!.п == (2  j/ lJ)RC) !!."!  !!."2 для п == 3, 4, ..., N  1, (9.3.3)
!!.В == (1  j / lJ)RC) !!.B!  !!.B2'
В автоколебательном режиме должно выполняться условие
Ав == А, откуда следует, что !!.В равняется коэффициенту усиле
ния усилителя:
!!.в == КУС (Ао).
(9.3.4)
Это соотношение определяет стационарную амплитуду нолеба
ний Ао. В общем случае !!.В  комплексная величина. Если KO
эффициент усиления КУС (А о )  вещественная величина, то из
(9.3.4) вытекают следующие два уравнения:
1т !!.В == О,
Ве !!.В == КУС (Ао).
(9.3.5 )
(9.3.6)
Эти два уравнения отражают баланс фаз и амплитуд в reHepa
торе и дают возможность найти частоты и амплитуды установив
шихся нолебаний.
Если усилитель дает сдвиr фаз между напряжением на ero
входе и выходе, равный n, то, соrласно условию (9.3.6), сдвиr
фаз, создаваемый цепочной, должен равняться (2т + 1)n, rде
т == О, 1, 2... Каждое из звеньев цепочки (рис. 9.7, б) дает
сдвиr фаз q>, определяемый соотношением tg q> == 1/lJ)RC. ДЛЯ pe
аль ной схемы q> Bcerдa меньше n/2 и поэтому минимальное число
звеньев, входящих в цепь RCreHepaTopa, должно равняться трем.
Система, описываемая. уравнением (9.3.6), в этом случае имеет
одну частоту автоколебаний lJ)i. На этой частоте сдвиr фаз, BHO
симый цепочкой, равен n. Вторая, более низкая частота lJ)2 воз
никает при числе звеньев N> 6. Сдвиr фаз по цепочне на этой
частоте будет равен 3n. Третья частота появится при N> 10
и т. д.
Условие самовозбуждения для каждой из частот имеет вид
I Re!!.N IФООа < I Кус (О) 1. s == 1, 2, . . . (9.3.7)
Стационарная амплитуда колебаний на частотах lJ), определится
из уравнения (9.3.61.

338 rл. 9. ПАРАМЕТРWШCRИЕ И АБТОRОЛЕВАТЕЛЬВЫЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрим в качестве примера четырехзвенный RCreHepa"
тор. Запишем выражение для детерминанта Ll.:
Ll, == ( 2  j OOC У (1  j OOC )  ( 2  j OOC У 
 2 ( 2  ] . .....!..... ) ( 1  j .....!..... ) + 1
(J)RC roRC.
Выделяя И3 Ll. мнимую и вещественную части, имеем
10 7 1.5 1.
1m Ll, === RC  3 3 11 ' Re Ll, === 1  2 2 2 + <1 <1 4 .
(J) (J)RC (J)RC (J)RC
Прираввивая нулю мнимую часть, найдем возможную частоту
авто колебаний четырехзвеШlOrо RCreHepaTopa
(J) === v:l. (9.3.8)
Подставляя это значение в вещественную часть Ll't получим
I Re Ll. I ,..", 18,4. (9.3.9}

rЛАВА 10
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ
 10.1. Основы теории распредеJIеииых снстем
в рассмотренных выше системах с сосредоточенными посто
явными имеет место npостранственное разделеWе элементов Mac
сы и упруrOO'I'И (механич!Юкие системы) или емкости и индуктив
ности (электричеСRИе системы). В этих системах можно не учи
тывать времени передачи возмущения от точки к точке, оно мало
по сравнению с периодом колебаний. В системах происходят KO
лебательные процессы, зависящие от единственной переменной 
времени t. Поэтому движения в системах со сосредоточенными
пара:метрами описываются обыкновенными дифференциальными
уравнениями.
В распределенных системах параметры распределены непре
рывно по всему объему системы. Rаждый сколь уrодно малый
элемент распределенной системы обладает как массой, так и
упруrостью. В случае электрической распределенной системы
каждому элементу присущи емкость и ИБ;дyRТИБность. В качестве
примеров распределенных систем, имеющих широкое практиче
ское применение, можно назвать струну, стержень, мембрану,
ДВУХПРОВОднУю и коаксиальную электрические линии, волноводы,
объемныIe резонаторы и т. п.
Система рассматривается как распределенная,сли ее линей
ные размеры сравнимы с длиной волны, т. е. время передачи воз
мущения по системе не мало по сравнению с периодом колеба
ний. Таким образом, для распределенных систем условие RБази
статичности принципиально не выполняется. Основные движения
в таких системах  волновые.
Возможны две трактовRИ движения в распределенных систе
мах. В первой считается, что по системе беryт волны, отражаю
щиеся от неоднородностей. Таким образом, полное движение
представляет собой сумму беryщих в обе стороны волн. Это 
трактовка Даламбера, особенно удобная для описания процессов
в неоrраниченных системах и в системах, длина которых значи
тельно больше длины волны. RолебатеJIЬная трактовка (метод
Бернулли) применима лишь для оrpаниченных систем. В ней
любое движение рассматривается как сумма собственных колеба
ний системы (стоячие волныI.. .
Зависимость процессов от нескольких переменuых  коорди
нат и времени t  ПрИБодит к уравнению движения в частных

340
rл. 10. НОЛЕБАНИЯ РАСПРЕД EJТRRПЫХ СИСТЕМ
производных. Это уравнение, называемое 8QА,мвьш уравнением,
для одномерной однородной системы записывается в виде
д 2 у 1 д 2 у
дж 2 == 7 Bt 2 1
( 10.1.1)
rде у == у (х, t)  фующия, харантеризующая движение, v  пара-
метр системы. Таному уравнению подчиняются, например, малые
поперечные нолебания натянутой cTpyIlы. В этом случае у (х, t) 
смещение точки струны в момент времени t, V == r т I р, rде Т 
натяжение струны, р  масса единицы длины.
Тому же уравнению подчиняются продольные нолебаиия од-
нородноro стержня (или rаза в трубе). Параметр V равен и....
== Y Elp, rде ,Е  модуль упруrocти материала, р  объемная
плотность.
Точное решение задачи об элентромаrнитных колебаниях в
элентричесних линиях возможно лишь на основе уравнений MaHC
велла, из ноторых можно получить волновое уравнение ВJlда
(10.1.1). Однано обычно волновое уравнение для элентричесRИX
систем типа длинной линии выводится из телеrрафных уравне-
ний, связывающих ТОRИ и напряжения в линии. Телеrpафные
уравнения не универсальны, и поэтому нообходимо определить те
условия, .при ноторых можно ими пользоваться.
Кан уже отмечалось, распределенные системы не удовлетв
ряют условию нвазистатичности; следовательно, для элентриче-
2
CKoro поля rot Е =f= о. в этом случае интеrрал S Eads зависит от
1
пути интеrрирования между ТОЧRами 1 и 2, и поэтому нельзя
ввести понятие потенциала и понятие емкости. Ток и индуктив
ность также введены для квазистатических полей, и использо-
вать их для описания процессов, происходящих в распределенных
системах, cTporo rоворя, нельзя.
Однако если в двухпроводной или коаксиальной линиях вы-
полняются условия малости расстояния Ь между проводами по
сравнению с длиной линии l и длиной волны л (Ь« l, ь« л) и
малости сопротивления ПрОВОДНИIюв, то в линии существует толь-
ко поперечная электромаrнитная волна. Такая волна харантери-
зуется тем, что векторы электрическоro и маrнитноrо полей ле
жат в плоскости, перпендикулярной к направлению распростра-
нения, и в этой плоскости удовлетворяют двумерному уравнению
Лапласа. Таким образом, в плоскости, нормальной к линии, рас--
пределение этих полей совпадает с распределением электрическ
ro и маrнитноrо полей для статическоrо случая. Поэтому для
малых участков линии dx можно считать применимой теорию
нвазистатических тонов и вводить понятия потенциала, тока, рас- .
пределенных емкости и индуктивности.

 10.t. ОСНОВЫ ТЕОРИИ рАспрЕдЕлЕнных. СИСТЕм 341
Считая выполненными оба сформулированных выше условия,
получим телеrрафные уравнения для двухпроводной системы,
схема участка которой показана на рис. 10.1.
Если система не излучает и не взаимодействует с какимили
бо друrими проводниками, то токи в каждом сечении линии в
обоих проводниках равны и про I I
тивоположны по направлению, ;'1(:C,t} I I if(JJ+dx,tJ
Т.е.  
Рассмотрим бесконечно малый
элемент dx длины линии, облада
ющей индуктивностью [; и eM
костью С на единицу длины ли
нии. Падение напряжения на pac
сматриваемом участке равно ин
дуктивности L ах, умноженной на скорость изменения тока, т. е.
ди д'
dx == Ldx
дх де .
i 1 (х, t) == i2 (х, t) '== Цх, t).
( 10.1.2)'
u(3J,tJ
u(x+dx, t}
.........
..........
iz (ж,tJ I
I
ж
I i z (ж+dJJ,tJ
I
JJ+dж
Рис. 10.1. Малый участок двyx
проводвой ЛИНИИ (к выводу теле
1'рафных уравнений)
I
( 10.1.3)
Уменьшение тока на длине dx равно тому току, который OTBeT
вляется в распределенную емкость. Этот ток равен произведению
емкости на скорость изменения напряжения:
ai d ди
 х==  Cdx
дх де'
(10.1.4)
Из (10.1.3) и (10.1.4) получаем два так называеыых те.!tеерафных
уравнения:
ди   L ai
дх  де 11
==c ди .
дж де
(10.1.5)
Отсюда леrко получить волновые уравнения для напряжения и
тока:
д 2 и 1 д 2 и
дх 2 ==  де 2 '
Ф
['де
VФ == 1 /JLC .
a 2 i 1 a 2 i
..................................
д2  V де 2 '
(10.1.6)
(10.1.7)'
Волновое уравнение можно получить также, если рассматри
вать, например, распределенную электрическую систему как пре
дельный случай одномерной цепоЧRИ, составленной из cocpeДOTO
ченных индуктивностей и емкостей. Если увеличивать число яче
ек на единицу длины цепочки, сохраняя постоянной общую
индуктивность и емкость, то в пределе система уравнений для цe
почки (8.6.2) перейдет в волновое уравнение (10.1.6). Rоордина
та х соответствует изменяющемуся номеру ячеЙRИ.

342
rл. 10. КОЛЕБАНИЯ рАспрЕдЕлЕнных СИСТЕМ
Частным решением волIiовоrо уравнения типа (10.1.1) явля
ется любая функция apryMeHTa t  х/vф, т. е.
Y===Fl(t   ).
(10.1.8)
Смысл этоrо решения заключается в том, что любое возмуще
пие, которое находилось в момент времеНй t == О в точке х, по.
вторится через время t в точке х + vфt. Таким образом, при VФ ==
=== const возмущение распространяется по ливии, не мевяя своей
формы. Величина VФ является скоростью распространения волны.
Второе частное решение волновоro уравнения можно записать
в виде
у == Р. (t +  ).
(10.1.9)
Оно также представляет волну, которая без изменения формы
распространяется со скоростью VФ в сторону отрицательных х.
Полное решение уравнения (10.1.1) имеет вид /
У == Fl(t   ) + F2(t +  ). (10.1.10)
Для процессов, синусоидальвых во времени, решение (10.1.10)
принимает форму
у === А 1 ехр [1 (rot   х)1 + А 2 ехр [1 (U)t + Р: х)} (10.1.11)
Величина U) (t::l: х/vф) называется фавой волны.
Из (10.1.11) видно, что VФ определяет скорость распростране
ния фазы, поэтому VФ называют фавовой С1>ОрОСТЬЮ, а величину
1> === U)/VФ  фавовой постоянной или волновым числом. Эта посто
явная характеризует пространственную периодичность волновоrо
процесса и связана с длиной волны соотношением
1> == 2n/"л. (10.1.12)
Исходя из волновых уравнений (10.1.6) заПишем волвы напря
женил и тока для электрической длинной линии:
и === [А 1 ехр (/1>X) + А2 ехр и1>Х)] ехр (jU)t),
(10.1.13)
i == [В 1 ехр (j1>x)+ В 2 ехр и1>Х)] ехр (jU)t).
Подставнв значения и и i из (10.1.13) в телеrрафные уравнения
(10.1.5), получим слеДУЮЩИе соотношения между коэффициента
ми А. и В.:
В 1 == AJZo, В 2 == A2/Z0,
(10.1.14)
rде Zo == r' L/C. Величина Zo имеет размерность сопротивления и
называется волновьш сопротивлением линии.

 10.1. основы ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
з43
Учитывая (10.1.14), перепишем (10.1.13) в виде
и == [А 1 ехр ( j-пх) + А 2 ехр (j-пх)] ехр (jrot),
i == Z;;l [А 1 ехр ( j-пх)  А 2 (j-пх)] ехр (jrot).
Таким образом, полное напряжение и полный ток в линии пред
ставлены в виде суперпозиции двух волн. Если на конце линии
х==О задано ВОЗМущение tWoexp(jrot), то волну Аlехр[j(rot-пх)]
Можно рассматривать как беryщую от источника, а волну
А 2 ехр [j ( rot + хх) ]  как отраженную. Последняя волна может
возникнуть либо при отражении от неоднородностей линии, либо,
если линия оrраничена в направлении х, от ее BToporo конца.
Если в линии существует только беryщая волна, то
и==lZo. (10.1.16)
(10.1.15)
Исходя из этоrо соотношения волновое сопротивление можно
определить как сопротивление, которое «оказывает» линия беry
щей волне напряжения.
Поrонные индуктивности L и еыкости С (т. е. индуктивности
и емкости на единицу длины) ДЛИlШЫх ливий определяются reo
метрией ПРОВОДНИRов и свойствами окружающей среды.
Для двухпроводной линии имеем
411 Ь Ь
L ==  2 ln,  r,;
с r
(10.1.17)
rде Ь  расстояние между проводами, r  радиус проводов, с 
скорость света в вакууме, J.t  маrнитная проницаемость среды,
окружающей провода;
е
С == 41n (b/r) '
rде 8  диэлектрическая проницаемость среды.
Учитывая последние два соотношения, получим для волновоrо
сопротивления следующее выражение:
Ь r"j:L
Zo == 2761g r JI е [Ом]. (10.1.19)
(10.1.18)
Для линии без потерь волновое сопротивление является вещест
венной величиной, зависящей от размеров линии и от рвойств
среды.
Для коаксиальной линии имеем
Zo == 1381g  V  [OM]r, (10.1.20)
I'де D и d  диаметры внешнеrо и BHYTpeHHero проводников.
Подставляя поrонные L и С в (10.1.7), получим, что фазовая
скорость волны в линии равна
VФ == С П'8J.t. (10.1.21)

344
rл. 10, RОJШБАНИЛ РАСПРEДEЛEШIЫX СИСТЕМ
Таким образом, фазовая скорость VФ волны, распространяющейся
по ДЛИННОЙ линии, зависит от свойств среды, в КОТОрОЙ находит
ся линия. Провода служат лишь направляющими, вдоль которых
происходит распространение волны.
Если провода линии обладают конечной проводимостью, то
существует продольная составляющая электрическоrо поля, и
распределение электрич:еСI(оrо и маrнитноrо полей в плоскости,
перпенДИRYЛЯРНОЙ к проводам, отличается от статическоrо. OДHa
ко если поперечная составляющая электрическоrо поля в провод
нике мала по сравнению с продольной, а продольная составляю
щая поля в диэлектрике, окружающем провода, мала по
сравнению с поперечной, то можно пренебречъ этими малыми
компонентами ПОЛJF и прииенять телеrpафвые уравнения, введя
в них распределенные сопротивление и утечку между проводами.
Телеrpафные уравнения в этом случае примут вид
!!.!!:..   Ri  L.!!.., !!.   аи  С ди , ( 10.1.22 )
дх at " дх at
rде R и G  сопротивление и утечка на единицу длины линии. /
, Для rармоническоrо во времени процесса уравнения (10.1.22)
запишутся следующим образом:
ди
дх ==  (R + J(f)L) J =<'  ZJ,
дI ==  (а + j(f)C) и   УИ,
дх
(10.1.23)
rде Z и У  комплексвые последовательное сопротивление и па
р'аллелъная утечка, И и J  комплексные амплитуды напряжения
и тока. Из этих двух телеrрафных уравнений получим уравнение
WIяИ
д 2 и
 == у2И,
дх
(10.1.24)
rде
12 == (R + j(f)L) (а + j(f)C) == ZY.
(10.1.24а)
Ем решение имеет вид
И == А leT'" + А 2 е Т "'. (10.1.25)
Постоянная распространения 1 в данном случае является комп
лексной величиноЙ. Представим ее так:
1   + j",
Тоrда мы вправе написать
И == AleiXXejnX + A 2 eG x e JnX .
(10.1.26)
Падающая и отраженная волны содержат теперь множитель, xa
рактеризующий затухание волны , КОТОРЫЙ называется пaCTO
ЯЮИй аатухания.

6 10.1, ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ з45
Из (10.1.24а) получим
у == (J) V  LC + RC + J ( RC  GL ) .
0)2 О) О)
( 10.1.27}
Как мы видны, действительная и мнимая части "( являются
нелинейными фУНIщиям:и частоты. Поэтому фазовая СКОРОСТЬ-
в линии, равная VФ == ro/п, также зависит от частоты.
Зависимость фазовой скорости от частоты называется диcпep
сией. Любой сиrнал при распространении по линии с дисперсией
будет искажаться. Рассмотренные выше линии с потерцми обла
дают дисперсией. Их волновое сопротивление является таКЖ
комплексной величиной
1/ R + jO)L l/Т
Zo == у G + jO)C ==- У у'
Распределенные системы типа волноводов относятся к тиnич
ным неквазистатическим системам, я которых нельзя ввестц
такие электростатические и маrнитостатические понятия, как Ha
пряжение, ток и т. п. Несмотря на это, для описания волновод
ных систем успешно применлются телеrрафные уравнения. Вол
новод, в котором существует один определенный тип колебаний..
можно формально сопоставить элек
трической линии с определенllыии
параметрами. Для такой линИИ МОЖ
но формально ввести попятие напря
женил и тока. Напряжение и обыч
но задается в виде величины, про
порциональной поперечной COCTaB
ляющей электрическоrо поля волны
данноro типа. Ток i предполаrается
пропорциональным поперечной co
ставляющей маrнитноrо поля. Коэф
фициенты пропорциональности BЫ
бираются так, чтобы произведение
I/zi*и равнялось мощности, перено
сныой через поперечное сечение волновода. Мощность ЯВЛ1ЦJтсsr
экспериментально измеряемой величиной, что дает возможность,
проверить результаты расчетов опытным путем. Естественно, что.
выбор и и i при таком определении неоднозначен.
Рассмотрим в качестве примера вывод телеrpафных уравнений
для прлмоуrольноrо волновода, в котором распространяется вол
на типа Н ,о (рис. 10.2). У волны этоrо типа отличны от нуля
лишь компоненты Еу, Н" и Н.. Поперечными компонентами явля
ются Е у и Н"' которые и будут использованы для определения
параметров линии. Для упрощения выкладок допустим, что зави
Симость всех величин от времени имеет вид е1"". Расписывал
23 в. В. Миrулин и др.
у
(с
z
Рис. 10.2. Распределение-
электрическо1'О поля волны ТИ
па НI0 в ПРЯМОУ1'ольном волн
воде

346 rл. 10. RОЛЕБАНИЛ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
уравнения Максвелла
jO)e
rotH == E
с '
'0)11
rotE ==  LH
с
(10.1.28)
по компонентам, получим
) дH  дН z == jO)e Е
а дz дх с у,
б ) дЕу  jO)I1 Н
дz  с ,
дН z дH
б)  == == о
ду ду ,
дЕ у jO)I1
r) ==Hz'
их с
(10.1.29)
Введем U и 1 следующим?образом:
Е у == А sin п: U (z), H ==  А sin п: 1 (z),
(10.1.30)
I'де а  ширина волtIовода.
Подставим (10.1.30) в (10.1.29в). Это даст одно из телеrpаф
ных уравнений:
fЮ ==  j O)!-t 1.
дz с
(1О.1.31У
Подставляя (10.1.30) в уравнения (10.1.29а, r), получим второе
телеrрафное уравнение
д д l ==  jro (   + п: ) и. (10.1.32)
z с O)!J. а
. Из сравнелия найденных уравнений с телеrрафными уравнения
ми (10.1.22) следует, что последовательное индуктивное сопро
т,ивление линии, эквивалентной волноводу с волной типа Н 10 ,
равно
Z jO)!-t L
==  == jro 8J<S' т. е.
с
LЭJ<S == L,
с
(10.1.33)
а параллельная емкостпая проводимость определяется COOTHO
шением
у == jro [   ...!...... п 2 ] == jroСЭJ{JJ, т. е.
с 0)211 а 2
е с п 2
СЭJ{JJ ==  .
с 0)211 а 2
(10.1.34)
Таким образом, для волноводов можно применлть телеrpафные
уравнения, но с соответствующими эквивалентными параметрами,
различными для разпых типов волн в волноводе.
Волновое сопротивление для волны типа Н 10 В соответствии
() соотношением (10.1.14) будет иметь вид
 ... [ ( с п ) 2 ] 1/2
Zo== == JI  1 a .
с ЭJ{JJ . е О) VЦi
(10.1.35)

 10.1. основы ТЕuрии РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ 347
При воздушном заполнении волновода (е == J.t == 1) получим для
постоянной распространения "(
r ==   ==  (  у + ( : у. (10.1.36}
Нелинейная зависимость фазовой постоянной от частоты означает
существование дисперсии в волноводах даже в отсутствие потерь.
Из выражения (10.1.36) видно, что при
(j) == сл/а (10.1.37}
постоянная распространения обращается в нуль. Частота, опре
деляемая соотношением (10.1.37), называется критической часто
той для даввоrо типа волны в волноводе и обозначается Ф"р.
При частоте возбуждения (j) < Ф"р постоянная ''(2) О И реше
ние уравнения (10.1.24) отвечает колебаниям с затухающей по
длине волновода амплитудой
и,..., eT".
При частоте возбуждения (j) > Ю>:р постоянная распростране
ния "(2 < О, И мы получаем решение в виде беrущей волны
и,..., e:ri"", rде " == J (ю/ с) 2  (л/а) 2.
ИТaR, распространение волны вдоль волновода возможно толь
но на частотах Ф, превышающих (j)ир.
Учитывая (10.1.38), получим для
фазовой скорости волны в волноводе
:выражение
о)
Vф == -,;- == v 1  «(J)KPj(J)2'
(Dазовая скорость Vф в волноводе зави
сит от частоты. Эта зависимость приве
дена на рис. 10.3. При (j) -+ 00 Vф CTpe
мится к скорости света с, т. е. условия
распространения в волноводе прибли
жаются к условиям распространения
волны в. свободном пространстве. При
(j) -+ (j)ир Vф -+ 00.
Такой закон дисперсии характерен для любоro типа волны
в любом волноводе, меняется лишь значение (j)ир,
rрупповая скорость волны, определяемая как V rp == d(j)/ dп, для
волновода равна
V rp == cJ1  (ю"р!ю) 2. (10.1.40)
3ависимость V rp от частоты приведена на том же рис.. 10.3.
23*
с
(10.1.39)
(10.1.38)
v
с
I
I
I
I
l..
I
I
{z)/(P
(z)
Рис. 10.3. Зависимость фа
зовой и 1'рупповой скоро--
стей волны в волноводе от
частоты

348
rл. 10. КОЛЕБАНИЯ РАGПPЕд E,!ТF.FI'RYТ СИСТЕМ
 10.2. Собственпые колебания в системах коневой дJIииы
(
При исследовании колебательных процессов в распределенных
<системах конечной длины об:w:чно используется метод Бернулли,
т. е. решение разлаrается по собственныи функциям краевой
,задачи. Вид собственных функций существенно зависит от rpa
ничных условий, связывающих ток и напряжение или силу и
-смещение на rpаницах системы.
Остановимся лишь на простейших случаях rpаничных усло
:вий, которые, однако, часто встречаются на практике.
Наиболее простой тип rраничных условий
1/(0, t)===O, y(l, t)==O (10.2.1)
-соответствует закреплению концов СТРУНЬ{, стержня и т. д.
в электрической линии такие условия имеют место для отрезка
лпнии, разомкнутой на кqицах, так lITO ток i(O, t)==i(l, t)===O.
Если линия замкнута на концах, то аналое условия MOryT
ЫTЬ написаны для напряжения и: и(О, t) == О, и(l, t) == О. ./
Второй простейший тип rраничных условий имеет вид
ду ду
дх (О, t) ==0, дх (l, t) == О. (10.2.2)
Это rpаничное. условие характерно для стержня со свободными
Rонцами. Оно следует из требования, чтобы сила, возникающая
на конце стержня вследствие ero деформации, была равна нулю.
Для электрической системы этим условиям удовлетворяет напря
жение на разомкнутых концах линии и ток в КОРОТRозамКНУТОЙ
.JlИНИИ.
Более общий случай rраничных условий осуществляется в'
электрической линии, наrруженной на конце емкостью Со. Для
напряжения на этой емкости и и заряда q справедливо COOTHO
тение и == qlC o , или
ди I 1 aq I t (1, t)
Подставляя ( 1Од;. з;: та::r;Ф1 : YP..:: . (без УЧет:::
ни), получим
.2!.- I ==  .Е... i (l, t).
дх x==l СО
(10.2.4)
Если конденсатор включен на левом конце системы (х == О), то
rpаничное условие будет иметь вид
a al I === С С i (О, t). (10.2.5)
х х==о о
Условия (10.2.4) и (10.2.5) различаются знаком. Это связано
с тем, что ток в линии заряжает емкость на правом конце и раз

 10.2. СОБСТВЕННЫЕ RОЛЕБАНИЯ СИСТЕм RОНЕЧНОй длины 349
ряжает ее, если она включена на левом конце, т. е. для левоrо
конца aq/at == i.
Если на концв линии включена ИНДУI{ТИВНОСТЬ Lo, то rранич
вые условия запишутся так:
ди 1 L ди I L
д == L  и (О, t), д  r=  L и (l, t).
:х Х==6 (J :& xl о
Объединяя рассмотренные выше типы rpаничIIых условий, по
.пучим
: 'xo == ау (О, t), :; 'х==! ==  y(l, t), (10.2.7)
['де О  а  00, О    00.
Уравнение колебаний типа (10.1.1) при rраничных условиях
(10.2.7) удобно решать методом разделения переменных (метод
Бернулли), Тоrда ero решение имеет вид
(10.2.6)
00
у (х, t) ==  <Ра (х) [А 8 соs(Ф 8 t) + В8 sin (Ф 8 t)].
81
(10.2.8)
Постоянные А. и В. определяются из начальных условий.
Из решения (10.2.8) следует, что раопределенные колебательные
системы конечной длины имеют бесконечное множество собствен
пых частот Ф., каждой из которых соответствует определенная
форма колебаний <р.. Формами собственных колебаний OДHOMep
ныx однородных систем являются rармовические фуmщии.
В простеЙПIем случае однородной струны с закрепленными
концами собственные формы колебаний системы имеют вид
q>.(x)== siп(sл:х/l), а собственные частоты равны Фа == 8 }/ ; .t
('де р и Т  плотность и натяжение струны.
Нахождение общеrо решения для неоднородной системы Becь
ма сложно. Однако в практически часто встречающемся случае co
средоточенной неоДНОрОДНоети :можно получить точное решение
задачи методом поэтапноrо paCCMOT
рения.
В качестве примера неоднородной
системы рассмотрим струну с cocpe
доточенной неоднородностью. Пусть
струна закреплена в точках х == О,
:r; == l и нмруЦ(ена в точке х == Ь резо /
натором, состоящим из массы М и
пружины С упруrостью k (рис. 10.4).
Эквивалентной электрической систе
мой TaKoro типа является, напри
мер, измерительная линия с зондом,
имеющим резонатор.
Смещение струны для х < Ь обозначим через YI, для х> Ь 
через У2. Уравнения собственных колебаний для УI и Yz
;;;o xb х=!
Рис. 10.4. Струпа, наrpужен-
ная в точке механичесRИИ pe
.зонатором

350 rл. 10. КОЛЕБАНИЯ РАСПРEДEЛE1iныx СИСТЕМ
одинаковы:
д 2 у, 1 д 2 у, V Т
дж 2 == -;;2 at2 ' s == 1, 2, VФ == Р .
Ф
Их решения имеют вид
Уl == А sin("x) cos «())t) , У2 == В sin [" (l  х)] сов( ())t),
(10.2.9)
(10.2.10)
rде ,,== ())/Vф. Здесь уже учтены rраничные условия в точках
х == О и х == l. При х == Ь решения необходимо сшить. Из непре
рывности решения в точке Ь вытекает, что
У1(Ь' t)==Y2(b, t)==y(t),
(10.2.11 }
rде у (t) смещение массы М. Второе условие сшивания можно
получить из уравнения движения массы М ПОД действием сил
упруrости струны и пружины:
М а 2 у k Т ду! I Т д У 2 \
dt2 ==  y ах xb + ах xb'
,
rде k  жесткость пружины.
Учитывал условия (10.2.11), получим из (10.2.10)
. А sin("b)== В sin [,,(l  Ь)] == С,
откуда
с с
A== ь ! В== .
sin (,. ) sin [к (l  Ь)]
Таким образом,
C sin(KX) sin(K(lx))
Yl== sin(Kb) cos(())t), Y2==C sin[K(lb)) cos«())t).
Подставляя эти значения в (10.2.12), получим
'пТ { соз (кЬ) + соз [к (l  Ь)) } . M,.2 v t  k
sin (кЬ) sin [к (l  Ь))
или
(10.2.12)
(10.2.13) .
MK2v  k siп (кЬ) sin [к (l  Ь)]
Т . (1) == 1. (10.2.14)
к sln к
Из трансцендентноrо уравнения (10.2.14) найдем ".
Рассмотрим сначала частный случай Ь == l/2 (резонатор Haxo
дится в середине струны). Уравнение (10.2.14) при b==l/2 при
мет вид
(м ,,2V:  k) sin 2 к; == кТ sin (,..l).
Отсюда
. ,,1 ( MK2v  k "z )
sш т "т tg T  2 == о.
(10.2.15)

!! 10.2. СОБСТВЕННЫЕ НОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ НОНЕЧНОЙ длины 351
Одна rpуппа решений этоrо уравнения определяется из равенства
sin ,;; == О, т. е. ,..l == 2nл, (10.2.16)
rде n  целое число.
Учитывая, что п == 2л/'А, получим 1 == n'А. Таким образом, реше
ния вида (10.2.16) дают собственные колебания, при которых на
-етруне укладывается целое число J!. 3rt Kl
длив волн. Это четные обертоны Z 1t 2 Z
струны. Для таких колебаний точ ;)
на Ь == l/2 является узлом, и по-- I
зтому резонатор не влияет на соб I
ственные частоты. Для нечетных
06ерт?нов имеем
tg!!!:.. == ;,;Т . (10.2.17)
2 м" V  k
Рассмотрим ряд частвых слу-
чаев.
1. М == О, уnруеая nаерувка.
Частотное уравнение в этом слу
чае имеет вид
t g !!.!..   2,;Т ==  4Т .!!!:.. == F.
2 k lk 2
(10.2.18)
F
Рис. 10.5. rрафическое реmеиие
частотноro уравнения для CTPy
ны, на1'руженной ПРУЖИН<;IЙ. Точ
ками 1, 2, 3, 4 обозначены веJIИ
ЧИНЫ klj2, соответствующие пер-
вым четырем собственным значе
ниям частоты. Стрелками пока
заны изменения собственных ча-
стот, обусловленные влиянием
пружины
Решим это уравнение rрафически
(рис. 10.5). Построим прямую
F ==  (4T/kl)kl/2 и кривые F == tg(kl/2). Точки их пересечения
дают значения п, удовлетворяющие уравнению (10.2.18). При
малых k это уравнение определяет собственные частоты нечетных
обертонов ненаrруженной струны: nl/2  (2n + 1)л/2, т. е. 1 
 (2n+ 1)'А/2. С увеличением k уменьшается уrол наклона пря
мой к оси абсцисс и собственные частоты обертонов растут.

kO

IY\
k;eO
fV\
k.....oo
ПербlJlf] тон !Зторой тон
Рис. 10.6. Формы собственвых колебаний струны, нarруженной пружиной
Их распределение неэквидистантно. ИЗ рис. 10.5 видно, что сильнее
Bcero меняется основной тон. При k  00 (О2n+1 стремится к (О2n+2'
Изменение k меняет и форму колебания. Для JlepBOro тона фор
ма колебаний при различных k изображена на рис. 10.6 (первая,
третья и четвертая кривые>:.

352
rл. 10. IЮЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
По мере увеличения k смещение точки струны, в которой
ПОДRлючена пружина, уменьшается. В пределе при очень боль
шой жесткости пружины точка х о=: l/2 остается при колебаниях
неподвижной. В этом случае частота первоrо тона близка к ча
стоте BToporo. Подбором наrpузRИ частоты
соседних тонов можно сблизить настоль
ко, что система будет вести себя как по--
лосовой фильтр С частотной характери
СТИRой, изображенной на рис. 10.7.
2. k == О, струпа 1Юеруже1Ю то.ltЬ"О .шzс
сой. Частотное уравнение в этом случае
Рис. {О.7. Частотная xa имеет вид
рактеРИСТИRа полосово-- ,;l 2Т pl 1
ro фильтра tg T ==  == М  l12 == Р. (10.2.19)
I A1,;vt ,;
Для ero rpафическоrо решения построим кривые F == tg ("l/2) и
F == (pl/ М) (2/,.Z) (rипербола) (рис. 10.8). ПО мере увеличения М
rипербола идет круче и собственные частоты понижаются тем
СИJlьнее, чем выше номер обертона. При М  00 (02n+t  (02",
причем основной тон можно сделать СI\ОЛЬ уrодно низким.
F
1t
11 
 
ПеРUbllJ тон
oтOPoи тон
"
3n' 2" К!
Т Т
/\
 ТрвтшJ тон
11
Рис. 10.9. Формы собственных ко--
лебаний струны, на1'руженной
массой
Рис. 10.8. I'pафическое решение ча
cTOTH01'O уравнения для струны, Ha
rpуженной массой. Точками 1, 2, 3,
4 обозначены величины klj2, COOT
ветствующие первым четырем соб
ственным значениям частоты. Стрел
ками показаны изменения собствен
ных частот, обусловленные влия
нием массы
На рис. 10.9 изображены три первые собственные формы коле
баний для струны, наrруженной массой М. Штриховой линией
показан основной тон эквивалентной струны, имеющей ту же
частоту IWлебаний, что и рассматриваемая струна, наrруженная
массой М.

 10.2. СОБСТВЕННЫЕ RОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ КОНЕЧНОЙ длины 353
3. НаеРУЗ1'>ои струны является весь резонатор. Частотное ypaB
.Iение (10.2.17) снова решаем rрафически (рис. 10.10). Правая
..,ro часть обращается в бесконечность на частоте резонатора
Uрез == У k/ М. При (J) < (J)pea резонатор представляет упруryю Ha
'!tуз:ку и собственные частоты нечетных тонов наrруженной CTPy
-ъ:r повышаются. При (J) > (J)pea наrрузка действует как масса и
'2п+1 понижаются.
Таким образом, ВRЛючение резонатора приводит к подтяrИБа
.:IИЮ собственных частот (J)2n+1 К частоте резонатора. Если частота
какоrолибо тона совпадает с соб
ственной частотой резонатора, то
в установившемся режиме взаимо
действия между струной и резо
натором на этой частоте нет.
В качестве примера распреде
ленной электрической системы с
сосредоточенной наrрузкой pac
смотрим коаRCиальную линию,
=1
I,/([
I
12
I
I
I
1
1
Dис. 10.10. rрафическое решение ча
'TOTH01'o уравнения для струны, Ha
'Руженной резонатором. Точка пере
,ечения mтрихпунктирной ПРЯМОЙ с
JСЬЮ абсцисс соответствует резо--
нансной частоте контура OJ'рез
I СО
"
I
х=О x=!j2 х=[
Рис. 10.11. Ноаксиальная
линия, наrpуженная COOplr
доточенной емкостью
закороченную на концах х == О и х == l, к которой 11 середине (х ==
-== l/2) подключена сосредоточенная емкость С о (рис. 10.11). При
'арм ониче ском законе изменения напряжения V(x, t)==
-== U(x)exp(j(J)t) волновое уравнение (10.1.6) перейдет в следую
:цие два уравнения для амплитуд Uj(x):
5 2 u.
 + (J)2LCU i == О, i == 1,2, (10.2.20)
dx
rne и 1  амплитуда напряжения на участке линии O:S;;; х < и2,
и 2  амплитуда напряжения для l/2 < х :о:;;; l, L и С  поrонные
индуктивность и емкость коаксиальной линии. Решения этих
уравнений при учете rpаничных условий U1(0)== U 2 (l) имеют вид
и 1 (х) == А sin (1'>х), и 2 ==ft sin [1'> (l  х)],
rде 1'> == (J) у LC  волновое число.
Учтем два условия сшивания решений в точке х == и2: 1) He
прерывность токов, т. е. [1 (и2) == [2 (и2); 2) скачок напряжениа

354
rл. 10. НОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
в точке х == lI2 определен зарядом Q на емкости Со, т. е.
Y2(+) v 1 (f) ==  или jO)[ul(f)U2 (f)] == o 1(+).
"Учитывая телеrрафные уравнения (10.1.5), получим
1 dU
I==
jwL dx'
Таким образом, первое условие СПIивания сводится к равенству
dU1 1 dU2 \
"di x==1/2 == di X==1/2'
,
а второе  к соотношению
dU I == ,.2 Со ( и  U ) I
d:z x==1/2 С 2 1 x==1/2'
Подставляя преДПOJiаrаемое решение в оба условия сшивания,
получим ltBa уравнения, из которых MOryT быть определены соб
ственные частоты 0), и формы собственных колебаний, т. е. за
коны изменения U i (х) и U z (х):
А 1;l В Kl
,. сos 2"" ==  ,. cosT'
1;l 1;2 С о 1;l
Аксosт == (BA)sin2' (10.2.22)
Из (10.2.21) следует, что либо cos (,.l/2) == О, либо В == A. При
cos (,;,l/2) == О ,;,l/2 == (28  1) :л/28  1, rде 8 == 1, 2, .,. Это означает,
12
5 б
34
F
Рис. 10.12. rрафИ'lеское решение ча
CТOTH01'O уравнения для линии, Ha
1'руженной емкостью
( 10.2.21)
Kl
"""2
81 8=J
 AA
%
Рис. 10.13. ФорllЫ собствен!lЫХ кол&-
баний: линии, нarруженной емкостью
что на длине коаксиальной линии укладывается нечетное число по..
луволн 'А == 2n/,., т. е. l == (28  1)'А/2. Собственные частоты этих He
четных тонов не зависят от емкости Со. Амплитуда А равна В.
При cos(,.1/2):;l=0 из (10.2.22) получим уравнения для опре
деления собственных волновых чисел, а следовательно, и соб
1;l С Cl 1
ственных частот ffi,:tg 2"" ==  2C o I'I. ==  4С о I'I.l/2 .

 10.3. ВЫНVЖДЕННЫЕ RОJIEБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕм 355
Для rрафическоrо решения этоrо уравнения построим функции
,;1 C1 1
F'== tg 2' F ==  4С о ,;1/2
(рис. 10.12). Из рисунка видно, что подключение емкости СО
приводит к смещению собственных частот четных тонов. Чем
больше Со, тем сильнее смещаются собственные частоты четных
тонов к нечетным более низкоrо порядка ((023 --+ (02ЗI)' Чем ниже
номер тона, тем сильнее смещение частоты.
На рис. 10.13 даны формы собственных колебаний первых че
тырех тонов. В точке х == и2 для четных тонов имеет место CKa
чок напряжения, величина KOToporo определяется отношением
емкостей CoICl. При СО --+ 00 (02. --+ (02sl, rде s'== 1, 2, ... HO
мер тона.
Частотное уравнение (10.2.14) при любом 0< Ь < l исследо
lIать сложно. Однако можно показать, что в этом случае будут
изменяться как нечетные, так и четные TO 
.на; Изменить число узлов конечная наrруз 
ва не может. Поэтому при любой наrрузке О l/3 l
частота nro тона всеrда выше частоты Лер!Jыi] тон
(n 1)ro тона и ниже частоты (n+1)ro, 
т. е. (On1 < (ОП < (On+l. В качестве примера f 1,'0 ' ''-...../J
на рис. 10.14 приведены формы колебаниЙ о l/3 l
для Ь == l/3 и М == О. ВП:ОjJоJ /тн
Характерным примером распределенноЙ
системы, взаимодействующей с резонатором,
является лазер. Резонатор лазера, образо
J3анный системой зеркал (резонатор Фаб
ри  Перо), обладает эквидистантным спек
тром собственных частот (оп' Rоrда в резо
патор лазера помещается активное вещест
во, обладающее резонансной частотой (00,
собственные частоты резонатора (оп подтя
rиваются к (00. Спектр становится неэкви
дистантным. Это обстоятельство приводит к
тому, что частоты rенерируемых лазером мод становятся незави
симыми. Если с помощью специальных мер добиться, чтобы
спектр стал близок к эквидистантному, то начинается самосин
хронизация мод лазера (rл. 11).
 /\
о l/  l
ТретшJ тон
Рис. 10.14. Формы
собственных колеба
пий струны, Ha1'py
жеппой пружиной на
расстоянии 1/3 от
края струны
 10.3. Вынужденные RолбаВИJl распределепиых систем
Вынужденные колебания в распределенной системе конечной
длины представляются в виде разложения по собственным функ
циям краевой задачи. Если частота внешней силы совпадает с
одной из собственных частот системы, происходит резонансное
увеличение амплитуды колебаний.

356 rл. 10. RОЛЕВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННblX. СИСТЕМ
Вынуждающая сила может быть распределена вдоль системы
либо действовать в определенной точке. В последнем случае воз
можно возбуждение ТОЛЬRО тех колебаний, для ноторых точка
включения внеmней силы не является узловой.
Рассмотрим вынужденные колебания в распределенной систе--
ме на примере электрической длинной липии, на которую дей
ствует распределенная э. д. с. произвольной формы В (х, t).
Уравнение Rолебавий в такой линии имеет вид
L д 2 q R Bq 1 B 2 q
""2'" +  Bt ===  C """"'2 + (S (х, t),
Bt дх
(10.3.1)
rде L, С и R  постоянные поrонные параметры ливии.
Пусть линия разомкнута на обоих концах, т. е. q(O, V)===
==q(l, t)==O. Предположим, что внешнюю силу B(x,t) в интер
вале (О, 1) можно разложить в ряд по собственным фуmщиям
однородной линии с разомкнутыми концами:
Ш (х, t) ==  ФП (t) sin nx . (10.3.2)
n
Коэффициенты разложения Фn(t) получим из (10.3.2), пользуясь
условиями ортоrональности собственных функций свободной
системы:
1
Фп(t) == -} s ш (х, t)sin '7 dx.
о
(10.3.3)
Естественно искать решение уравнения (10.3.1) также в виде
ряда по собственным функциям линии с разомкнутыми концами
q (х, t) ==  qn (t) sin nx .
n
(10.3.4)
Подставим (10.3.2) и (10.3.4) в исходное уравнение (10.3.1):
.. . п:n 2
Lqn + Rqn +  qn == фп (t), n == 1, 2, ... (10.3.5)
Cl
Получил ась бесконечная система обыкновенных дифференци
альных уравнений относительно qn(t). Каждое из них имеет
обычный вид колебательноrо уравнения для системы с одной
степенью свободы, на которую действует внешняя сила Фn(t).
Уравнения независимы, и поэтому qn(t) можно рассматривать
как нормальные координаты системы. Число таких координат
бесконечно. Если отсутствует какаялибо компонента внешней
силы фn, то соответствующая координата qn совершает только
свободное затухающее колебание.

!I 10.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ RОЛЕDАlJИЯ РАСПl'IЩШЛlШffЫХ ШЮ'1'IМ 3/17
( t )  t
qn  у 2 ,,2
L (OnU
Решения уравнений (10.3.5) имеют вид
t
S Фn(.)ехр[ l\(t  .)] х
о
х sin[ V ffi;  б2 (t  .)] d., (10.3.6)
rде ffi == n 2 л 2 v 2 /l 2 , v == 1 П' LC , l\ == R/2L.
Получим qn(t) для разных частных случаев внешнеrо воздей
ствия Ф..(t).
Пусть фn (t) == Фnоtf Р " т. е. внешнее воздействие представляет
синхронное и синфазное rармоническое возбуждение линии.
Torдa qn(t) можно записать в виде
qn (t) ==
t
== v Фnо S ехр [ l\ (t  .) + j]Yt'] sin [V ffi  б2 (t  .)] d. ==
L (02  62
n о
Фnо [ exp(jPt)exp[t(6j V(O;62)] 
== 2jL V (О;  62 6 + j (р + У (О;  (2)
 ехр (jpt)  ехр [t (6+1 V (O  (2)] J .
6 + 1 (р  v (O  6 )
Для установивmихся Rолебаний (t > 1/ б) вторыми членами в.
числителе каждой дроби можно пренебречь, поэтому для qn (t)
имеем
ф eiPt
qn (t) == no ) .
L ( (О;  р2 + 2j р6
Суммируя по n, получим общее решение уравнения
( ) eipt  Фnо . n:rtx
q х, t ==""7:""  2 2 . sшт,
n (оп  Р + 21 рб
При частоте внешнеrо воздействия р, совпадающей с одной из;
собственных частот ffi n системы, имеет место резонансное возрас
тание амплитуды колебаний nro обертона тем большее, чем MeHЬ
ше затухание системы б.
Рассмотрим следующий частный случай: rармоническая внеш
вяя сила приложена в точке х == Ь, т. е.
(10.3.7)
(10.3.1) :
(10.3.8)
;С(х, t)==Фоб(хЬ)еjРt,
( 10.3.9)
rде б(х)  деJIьтафунRЦИЯ. Определим коэффициенты разложеПIl fl

258
rл. 10. RОЛЕАНИЯ: рАспрЕдEJIEшIых СИСТЕМ
функции [ff (х, t) I t
t
2 Jpt 5  nл:х. плЬ . t
Фn(t) == т Фоfr б (х  Ь) sinT dx == 2Фоsinте1Р .
о
Общее решение в этом случае будет иметь вид
( t ) == 2 ФО JPt sin (nл:Ь!l) sin (плх/l)
q х, L t:.bl 2 2.. .
- n W n  р + 21P{j
ИЗ ero вида можно сделать ряд полезных заключений о поведе
пии рассматриваемой системы под действием внешнеrо воздей
{)твия типа (10.3.9). Если внешнее воздействие приложено в узле
(10.3.10)
9ёШ Q6 Ш
Йi А. P) k:,
ь х, .z; Ь х, ;],'
Рис 10.15. 3ависимость амплитуды вынужденно1'О колебания от места вклю--
'1ения внешней силы
ообственноro колебания номера n, т. е. sin (nлЬ!l) == О, ТО это :ко--
лебание, а также все кратные ему обертоны не возникнут. Из
{)имметричности соотношения (10.3.10) относительно точек х и Ь
еледует принцип взаимности. Заряд, наведеRный в точке Х1,
коrда э. Д. с. приложена в точке Ь, равен заряду, наведенноМу в Ь,
если э. д. с. включена в точке Х1' Принцип взаимности наrлядно
лоясняет тот факт, что амплитуда колебаний тем больше, чем
ближе точка включения к пучности колебания (рис. 10.15).
() практическом использовании принципа взаимности мы уже
упоминали в  6.3.
Зависимость амплитуд Qn нормальных колебаний от р носит
резонансный характер. }I'IаксимМ!>!lYio амплитуду- ИИОО'l'- ТO_K e
ба ние. H :::: обственная ч асто та.' (O  . n лv /l со впада ет
.с ча('!r/) Jj силЬУ..w
, Если внешняя сила подключена к одному из концов линии,
.ее можно учесть в rраничных условиях при решении однородноrо
волновоrо уравнения
2 2
L!..д.. + R !.!L   i.i. == о
at 2 at С а:? .
(10.3.11)
Рассмотрим ряд частных, но часто встречающихся на практике
иучаев.

!! 10.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ RОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ 359
r@Hua одном конце линии включен reHepaTop напряжения,
а второи конец линии разомкнут, т. е.
1. aq .
 ==!S e 'Pt П р и х == О
С дж о ,
q (1) == О при х == 1. (10.3.12)
Вынужденные колебания ищем в следующем виде:
q(x, t) == Q(x)&pt. (10.3.13)
Подставляя (10.3.13) в (10.3.11), получим уравнение для Q(x)
1. d 2 Q
С dж 2 + (Lp2  jRp) Q == О, (10.3.14)
которое имеет общее решение
Q == А cos (x) + в sin (пх),
rде
п 2 == с (L p 2  jRp).
( 10.3.15)
( 10.3.15а)
Решим сначала задачу, пренебреrая сопротивлением R. Torдa
волновое число п, равное п == р f LC == 2:лJ"л, действительно. "у ДOB
летворим rраничным условиям (10.3.12) и получим для Q(x}
следующее выражение:
Ш оС sin [1; (l  ж)]
Q (х) ==   cos (I>l) . (1О.3.16)
Перейдем от амплИТУДЫ заряда J( амплитуде напряжения:
и (х) ==  ...!..  ==  5р COS 11> (l  х)] ( 103 1 7 )
С dx CD о сов (I>l)' . .
Мы видим, что при п1==(28+1):л/2 (8==0, :1:1, :1:2, ...) имеет
место резонансное возрастание амплитуды напряжения в линии.
В этом случае на линии укладывается нечетное число четвертей
длин волн, т. е. 1 == (28 + 1)1../4. Частота внешней силы р, при KO
торой наступает резонанс, совпадает с одной из собственных
частот линии, замкнутой на одном Koцe и разомкнутой на дpy
rOM: ffi. == (28 + 1) :лv/21. Вблизи точки подключения внешней силы
находится узел напряжения. На рис. 10.16, а показано распреде
ление и (х) для первых трех обертонов. Отношение максимальной
амплитуды и к амплитуде внешней э. д. с. !So определяется доб
ротностью. При добротности, стремящейся к бесконечности, MaK
симальная амплитуда всех обертонов также стремится к беско
He  ти.
2. uHa одном конце линии включен reHepaTop напряжения,
вт ои ее конец замкнут, т. е. .
t aq' aq
С дж == Шое'Рt при Х == О! -дi == О при х == 1. (10.3.18)

60
,
rл. 10. RОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
Решая уравнения (1О.3.Н), при I'раничных условиях (10.3.1,
;получим
и ( )  [3 sin [1> (l  х»
х о sin (I>l) .
(10.3.1
Резонанс в этом случае возникает при ,..l  sл:, т. е. при резона
.се на линии укладывается целое число полуволн. Резонансн:
частота системы совпадает с одной из собственных частот лини
короткозамкнутой на обоих концах, т. е. ffi.  sл:v/l. I
рис. 10.16, б приведено распределение амплитуд напряжения д;
первых трех обертонов.
о
1
so
L/
JJ
а 5
Рис. {О.16. Распределение амплитуды напряжения вдоль ЛИНИИ, возбуждв
мой 1'енератором напряжения с разомкнутым (а) и с замкнутым KORЦa!
(б) для первых трех обертонов
v одному концу линии подключен I'енератор тока, втор(
.Lинии разомкнут, т. е.
aq .
дt  I o e 1pt . при х == О, q (l)  О при х === l. (10.3.2
Решение в этом случае имеет вид
Q(x),== o sinl(lx)]
] р Slll (I>l)
Соответственно для амплитуды напряжения получим
и ( )  !L ,. cos 1" (l  х)]
х jpC sin (Kl) .
( 1O.3.
(1O.3.
При резонанее ,..l  sл: и на линии укладывается целое число D
луволн. Резонансная частота р равна ОДНОЙ из собственных 1]
стот линии, разомкнутой на обоих концах, т. е. ffi.  sл:v/l. ]

!i 10.3. ВЬШУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ 361
)ис. 10.17 приведено распределение ВДОЛЬ линии амплитуд тока
1 напряжения для первых двух тонов.
4. R одному концу линии подключен reHepaTop тока, второй
e конец замкнут, т. е.
дq . t дq
7ft == Iо(Р при х == О, дХ == О при х;=: l. (10.3.23)
lри этих rраничных условиях решение имеет вид
Q(x) == o cos[/I:(lx)) .
J Р cos (kl)
?езонанс будет при совпадении р с ОДНОЙ из собственвъах частот
.1). == (2" + 1)nv/2l.
!J
,О
.I:
.х
а
1
!J
1
$=0
10
.:z:
.:z:
s
.:'ие. 10.17. Распределение амплитуд тока и напряжения вдоль ЛИНИИ, воз-
'Iуждаемой 1'енератором тока с разомкнутым (а) и с замкнутым (6) Koнцa
ми для двух тонов
Распределение вдоль линии амплитуд тока и напряжения для
4БУХ наинизших тонов дано на рис. 10.17,6.
Таким образом, резонансные явления в рассматриваемой си-
,теме зависят не только от частоты р, но и от способа воздей.
jтвия на систему. В зависимости от Toro, какой reHepaTop (тока
.;4 в. В. Миryлин И др.

362
rл. 10. КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕм
или нацряжения) ПОДIOlючен к системе, резонансные частоты
будут различны.
Номер тона 8, на котором при заданной частоте р может во..-
НИRать резонанс, определяется соотношением
8 == pl/nv == 2ил или s == 2Цл  1/2.
При малых номерах s резонансное колебание происходит в OCHOB
ном на одном тоне, если же s  1, то даже при небольшом зату
хании в полосу резонансной кривой попадает несколько тонов.
При этом уже нецелесообразно пользоваться разложением по
спектру собственных колебаний. Лучшие результаты дает пред-
ставление вынужденных колебаний в виде набора беrУЩJIХ от ис
точника волн и волн, отраженных от понца линии. При учете Ma
лоrо затухания волновое число " можно записать, соrласно
(10.3.15а), следующим образом:
" :::::: .1!..... ( 1  i RCv 2 ) == .l!....  1.. 
v 2 р v 2VLiC
(10.3.24)
Решая уравнение (10.3.11) при rраничных условиях (10.3.12),
найдем запон изменения напряжения и (х, t):
( t )  fC ( . pt) cos[n(lx)} 
и х,   о ехр 1 СОВ (nl) 
==  fC ех (} t ) ехр [jn (l  х)] + ехр [jn (l  Х)} .
орр ехр (jnl) + ехр ( jnl)
После простых преобразований получим
( t ) ==   (} t) ехр ( jnx) + ехр (jnx) ехр (2jnl) (10 3 25 '
и х, (Q о ехр р 1 + ехр ( 2jnl) .. .
'Учитывая (10.3.24), можем записать
ехр ( 2J"l) :::::: ехр [  (2! l + -:/C ) 1,
откуда следует, что lexp(2j"l) 1< 1. При этом предположенИI
(10.3.25) можно переписать в виде
и (х, t) == fCo {ехр [j (pt  "х)]  ехр [j (pt  "х)] Х
Х [exp(2j"l) exp(4j"l)+...] +
+ ехр [j(pt+ "x)][exp(2j"l) exp(4j,.l)+.. .]}. (10.3.26:
Таким образом, вынужденное колебание представлено в ,вид
суммы беryщих волн. Первое слаrаемое характеризует волну, б€
ryщую от источника. Слаrаемые вида ехр [j (pt  "х)] ехр (2js,.l
(8 == 1, 2, ...) описывают беryщие волны, отраженные от конц
ЛИНИИ х == О, а слаrаемые ехр [j (pt + "х)] ехр (2js"l)  отражю'

 10.4. ОБРАТНАЯ РЕARЦИЯ СИСТЕМЫ НА I'EНEPATOP 363
ные от конца х == l. Величина s характеризует число отражений,
которые претерпела данная волна. При каждом прохождении
линии волна затухает по законуех р (   ). Поэтому в
(10.3.26) следует учитывать лишь конечное число волн, тем
меньшее, чем больше затухание в линии. В пределе при большом
затухании остается лишь волна, беrущая от источника,
и(х, t) ==80 ехр U (pt  x)].
 10.4. Обратная реaIЩИЯ системы на reHepaтop
Все выводы предыдущеrо параrрафа справедливы при пред
положении, что источшш внешнеrо воздействия на систему обла
дает бесконечно бош>шой мощностью. Только В этом случае
можно считать постоянпыми амплитуду напряжения (reHepaTop
напряжения) или амплитуду тона (rеператор тока) и не учи-
тывать обратное влияние системы на источник колебательной
энерrии. Учтем теперь, что реальный источник обладает конеч
ной мощностью, и колебательная система оказывает на Hero
обратное воздействие. Рассмотрим механическую систему, экви
валентная схема которой представлена на рис. 10.18. Возбуж
даемая струна характеризуется плотностью р, патяжением Т и
ПЛQТНОСТЬЮ сил трения h. В центре струны через пружину связи
С жесткостью k' ПОДЮIючен rеператор мехаПИ'lеСЮfХ колебаний.
hpeJ-
J
А
!/,
Yz
Рис. 10.18. Эквивалентная схе--
ма механическо1'О 1'енератора,
возбуждающе1'О струну
Рис. 10.19. Зависимость экви-
валентно1'О трения h рез 1'ене--
ратора от амплитуды Iюлеба-
ний массы М
reHepaTop представлен в виде резонатора с массой М, образо-
BaHHoro пружиной с жесткостью k и элементом трения, характе-
ризуемым коэффициентом h рез ' Автоколебательные свойСТDа pe
зонатора учтены зависимостью h рез от амплитуды колебаний.
Эта зависимость приведена на рис. 10.19 (мяrкий режим). Ве-
24.

364
rл. 10. КОЛЕБАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ
личина Ао является амплитудой устойчивых стационарных коле
баний reHepaTopa в отсутствие связи со струной.
Обозначим через УI и Y7i смещение участков струны слева и
справа от точки l/2, а через z  смещение массы М от положения
равновесия. Torдa мы можем написать уравнения колебаний для
струны и для reHepaTopa в виде
д 2 уn + h дуn == Т д2уn 1 2
Р at2 at дх 2 ' п == , ,
d 2 s ds , ) О
М dt 2 + hpes dt + kz + k [z  уо (t ] == ,
(10.4.1)
(10.4.2)
rде yo(t) смещение струны в точке х == l/2. Из условия сmива
ния решений в точке х == l/2 имеем
Уl (t, l/2) == У2 (t, l/2) == уо (t),
Т ( д д У2  д д У1 ) + k' (:  уо) == О.
Х Х 1/2
(10.4.3)
(10.4.4)
Пусть струна закреплена на концах х == О и х == l, т. е.
YI(O, t)==yz(l, t)==O. (10.4.5)
Torдa из rpаничных условий ( 10 .4.5) и условий сшивания
(10.4.3) следует вид решения
 (t) sln(/l:x) sin(/I:(lx)]
У1  уо ( , У2 == уо ( t ) 2
sin /l:l/2) sin(/l:l/ )
(10.4.6)
rде п  волновое число для колебаний ненаrpуженщй струны.
Подстановка этих выражений в условие сшивания (10.4.4) дает
связь между yo(t) и z(t)
 2Tyo ctg  + k' (:  У.о) == О
k'z (t)
уо (t) == 2кТ ctg (Kl/2) + k' . (10.4.7)
Отсюда видно, что при 2T ctg (n1/2)  k' смещение струны уо (t) 
 z (t). Torдa в уравнении для reHepaTopa (10.4.2) можно пре
небречь уо по сравнению с z. В данном случае струна практиче
ски не оказывает влияния на reHepaTop. При этом reHepaTop
работает на частоте
или
(j)r == у (k + k')/ М.
( 10.4.8)
Однако при приближении частоты reHepaTopa к одной из соб
cTBeHных частот струны, наrруженной в центре пружиной, у о (t)
будет возрастать и станет сравнимым с z (t). При малом k' собст
венные частоты нечетных тонов струны (четные тона не возбуж
даются, так как пружина прикреплена в центре струны) близки

!i 10.4. ОБРАТНАЯ РЕARЦИЯ СИСТЕМЫ НА I'EНEPATOP 365
R собственным частотам струны без наrрузки:
Ю . === (2s+ 1) я - / т (10 4 9)
l .... Р' . .
Из (10.4.7) видно, что УО будет порядка z лишь вблизи тех зна-
чений п, для которых
,.l (2s+1)я
 2
Для Toro чтобы ПOJIучить связь между Уа И Z при сильном взаи-
модействии струны и reHepaTopa, разложим ctg(l\:l/2) в ряд вбли-
зи зачения I\:l/2 === (2s + 1) n/2:
t,.l (2& + 1) я "l
с g '2  2  Т'
(10.4.10)
(10.4.11)
&лйчину п можно Dыразить через параметры струны и пока
еще неизвестнуIO частоту системы 00. Для этоrо, предполаrая,
что процесс носит rармонический характер, подставим Уа (t) ===
== в ехр U (юt + Ip)] в уравнение колебаний струны (10.4.1). в ре-
зультате получается следующее соотношение:
рюZ+jhЮ+1\:2Т===0. (10.4.12)
Отсюда при малых h получим связь между 1\: и 00:
l\:ю../ Р ( 1l!:. ) . (10.4.13)
v т 2роо
Знаменатель (10.4.7) при подстаНОВI{е в Hero (10.4.11) и (10.4.t:3)
прим:ет вид
21\:Т ctg l + k' === рlю(ю.  (0) + jhl (00  . ) + k'. (10.4.14)
Так как 00 порядка 00., то можно считать, что 00 (о:>.  (0) 
 (00:  (02)/2. Таким образом, (10.4.7) принимает вид
[+ pl (00:  (02) + + jhlЮ+k'] УО (t) === k'z (t). (10.4.15)
Для reHepaTopa можно записать: z(t) === А ехр (jюt). :Колебания
струны происходят с фазой, отличной от фазы reHepaTopa, по
этому Уа (t) == в ехр [j (юt + Ip)].
Подставляя z и Уа В (10.4.15) и в уравнение колебаний для
reHepaTopa (10.4.2), получим
[+ pl (00:  002) + k'] В сов Ip  + hlюВ sin Ip  k' А === о,
[+ pl (ю  (02) + k'] В sin Ip + + hlюВ CB Ip == О,
(10.4.16)
(Мю2 + k + k') А  k' В cos Ip === О,
hреsюА  k' В sin Ip == О.

366
rл. 10. КОЛЕБАНИЯ РАCIlPEДEЛEННЫX СИСТЕМ
Мы получили систему из четырех уравнений относительно
четырех неизвестных А, С == В cos <р, D == В sin <р, h рез ' Для нахож
дения стационарных амплитуд необходимо знать КОНRретный вид
зависимости h рез (А). Однако если нас интересует только частот
ная характеристика системы, мы можем оrpаничиться первыми
тремя уравнениями. Это  система линейных однородных ypaB
нений относительно А, С и п. Нетривиальное решение система
ймеет при условии равенства нулю детерминанта
 рХ ( oo  (02) + k'
i. hool
2
k'
.!. hool
2
i рХ (00:  (02) + k' == о.
о
k;
о
.с..... м0о 2 + k + k'
Раскрывая детерминант, получим
(10.4.17)
002 "002
(02  (Оз)(О2  (O)  а 1 а + 4152(02 2  ; == о, (10.4.18)
00  оосз
rде а.1 == 2k' Ipl, а == k' 1М, 215 == h/p, (O == (O + а 2 .
Это уравнение для данной частоты (ос. совпадает с уравнением
частот для автоколебательной системы, наrруженной дополни
тельным контуром с парциальной частотой (ос. (см. (7.4.7». При
связи, большей критической, т. е.
при аа.1 > 4152(02, вблизи частоты
(ос. имеет место явление затяrи
ванил. Струна обладает беско
нечным числом собственных час
тот (ос.. И явление затлrиванил
будет возникать вблизи любой из
частот (ос. (s == 1, 2, ...). 3ависи
мость частоты рассматриваемой
сложной системы от настройки
reHepaTopa (о. имеет вид, изобра
женный на рис. 10.20. Так как
(,)01 (,)03 (,)05 (,)07 (,)т критическая связь ( 7.4) зависиТ
от частоты то при ДOCTaTO'IНO
Рис. 10.20. Зависимость частоты '
колебаний в системе от парциаль высоких частотах uсвязь станет
ной частоты меньше критическои и области
затлrивания исчезнут.
Так же как и в случае системы с двуМЯ степенями свободы,
явление затяrивания частоты reHepaTopa, наrруженноrо BЫCOKO
добротным объемным резонатором, можно использовать для цe
лей ero частотной стабилизации вблизи одной из собственных
частот объемноrо резонатора.
(,)
(,)07
(,)05
(,)О;)
6J C1

rЛАВА 11
РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ АВТОRОЛЕВАТЕЛЬПЫЕ СИСТЕМЫ
i 11.1. АвтоколебаТeJlЬНaJI система
с неэквидист8нтныи спектром: собственных частот
Распределенная система конечной длины имеет бесконечное
ЧИCJIо собственных частот, и поэтому при вознпкновении aBTOKO
лебаний существенную роль иrрает харю{тер спектра собствен-
ных частот. ЕCJlИ спектр неЭJшидистаптен, тю{ что комбинацион
ные частоты не являются собственными, то в системе возникают
синусоидальные колебания на одной из частот, для которой BЫ
ПOJIняются УCJIовия самовозбуждения и устойчивости стационар
вой амплитуды. В автоколебательных системах с эквидистантныи
спектром одновременно возбуждаются несколько собственных
Rолебаний и форма возникающих колебаний далека от rармони
ческой.
'
t (fc t «  1 {
M а 8 6 п
Рис. 11.1. Распределенная автоколебательная система с отрицательным со--
противлением на. одном конце и разJ1И1ШЫМИ нarрузками на дpyrOM
1
Т
в качестве распределенной автоколебательной системы с He
эквидистантным спектром рассмотрим оrраниченную двухпровод
ную линию, на одном из концов которой включен нелинеЙный
активный элемент (туннельный диод, транзистор, электронная
лампа и т. д.) (рис. 11.1)*).
Пусть линия обладает распределенными параметрами L, С
и R. Нелинейный двухполюсник, ВКJlюченный на конце ЛИНИИ,
обладает емкостью С I и вольтамперной характеристикой i A (и),
имеющей падающий участок ( 5.1).
Решение задачи проведем для случая, коrда сопротивление
линии MHoro меньше ее волновоrо сопротивления ZQ == 1 L/C,
Rl
т. е. параметр  == , / MHoro меньше единицы. Используя
v цс
.) Витт А. А. /1 ЖТФ. 1934. Т. 4. С, 144.

368 rл. 11. рАспрЕдЕлЕнныЕ АВТОRОJIEБАТEJIЬНЫЕ СИСТЕМЫ
телеrрафные уравнения (10.1.22) (в пренебрежении утеЧRОЙ)
а ) !!... ==  С !!:.. б) ди ==  L!!....  Ri (1111)
дх де 'дх де.' . .
запИшем волновое уравнение для линии:
ffи == LC д 2 и + RC!:!...
дх 2 де 2 де
rраничное условие на конце х == О имеет вид
'i ==  С 1 : + iд(U).
(11.1.2)
(11.1.3)
Исключая о помощью этоrо соотношения из телеrpафноro ypaB
нения (Ы.1.1б) i и ai/at, получим rpаничное условие, записав-
ное для напряжения и:
ди L ffи L дЕд ди R ди R'
дх == С 1 iJt2  Жi-дt + С 1 -дt  д(и)..
(11.1.4)
rраничное условие на втором конце линии х == 1 зависит 0'1'
Toro, что подключено к линии. Рассмотрим несколько вариантов
возможных наrрузок.
а) R концу линии подсоединена емкость СО (рис. 11.1, а).
Тоrда связь между током и напряжением на этом конце можн!)
записать в виде и== S i dtjC.. Используя телеrpафное уравнение
(11.1.1б), получии следующее rpаничное условие:
ди RC ди L C il.и
дх ==  o7ii'  о otJ .
(11.1.5)
б) К концу линии х == 1 ПОДЮlючена индуктивность L&
(рис. 1 f.1, б). Тоrда при х == 1 u == Lo di/ dt и rраничное усло
вие примет вид
д 2 и R L ди
==и
дх де Lo Lo iJt'
rраничные условия для случаев закороченноrо и раЗОМRНyтоrо
концов получаются как частные случаи (11.1.5) и (11.1.6).
в) Для коротко заМRНyтоrо конца (рис. 11.1, в) при х == 1
имеем
и==О. (11.1.7)
r) Для разомкнутоrо (рис. 11.1, е) при х == 1 конца имеем
:: == О. (11.1.8)
(11.1.6)
Будем считать, что характеристику нелинейноrо элемента
можно представить кубическим полиномом (мяrкий режим):
i д (и) == Sou (1  и2/3и),; (11.1.9)

 11.1. СИСТЕМА С НЕЭКВИДИСТАНТНЫМ СПЕКТРОМ 369
rде ио  напряжение насыщения, 80  крутизна линейно.й части
характеристики.
Здесь удо.бно. перейти к безразмерным величинам, и по.это.му
введе:и ряд о.бо.значений:
у == хЛ, т == t/ly и, V == и/и о ,
(11.1.10)
 == LoI Ll, х == CJCl, l' == CiCl, 8 == 8 0 LlRlC.
В ЭТRX обо.значениях во.лно.во.е уравнение (11.1.2) запишется
в виде
д 2 р д 2 р др
==,...
ду2 aiA д'( .
Со.о.тветственна для rранИ"IНЫХ усло.вий по.лучим при У == О
др  д 2 р [  ] др
I'=="" I'8(1и2);
ду oiA д'(
при У == 1 со.о.тно.шения (11.1.5) (.11.1.8) примут вид
др  др  д 2 р
 + "х  + х  == о
ду r (л д-r2 '
д 2 р 1 др t
ду д'( +  7Fi' +  V == о,
V == о,
др
 == о.
ду
(11.1.11)
(11.1.12)
(11.1.13)
(11.1.14)
(11.1.15)
(11.1.16)
Поско.льку патери энерrии в ClroTeMe считаются малыми, то и
вклад энерrии, прonо.рцио.нальный i A (и), также мал. Поэто.му
в выражении (11.1.12) опущен член, про.по.рцио.нальпый RiA(V),
так как о.н имеет по.рядо.к мало.сти ,...2.
Решение задачи начнем с о.пределения со.бственных часто.т
со.о.тветствующей ко.нсервативно.й системы. Для это.rо. по.ло.жим J..I.
равным нулю. Запишем для это.rо. случая уравнение (11.1.11)
и rраничпо.е усло.вие (11.1.12)
д 2 р д 2 р
.==o
д у 2 д '
др '" ffv
дii  l' д'(2 == О при у == о.
(11.1.17)
(11.1.18)
При у == i имеет место. о.дно. из следующих rpанИ"IНЫХ усло.вий:
а) !.!!.. + ..... д 2 р == О б) д 2 р +..!.  == о
ду х д'(2 ' ду д...  д'( ,
 (11.1.19)
В ) V == 0 1 ' r ) ' О
дY ·

370 rл. 11. РАСПРЕДЕ JТF,mп.rn АБтокоJIEБАтEJIьныЕ СИСТЕМЫ
Решение уравнения (11.1.17) можно записать в виде
v == [А cos (юу) + в sin (юу)] cos (ЮТ + Ip). (11.1.20):
Подставляя это решение в rpаничные условия (11.1.18) и
(Н.1.19а), получим уравнение для определения: собственных
частот консервативной системы, наrруженной на конце у === 1
емкостью:
ctg (J)k === (;ую:  1)j[Юk б + у)]" ,k == 1, 2, ... (11.1.21)
Соответственно для системы, наrруженной на конце у == 1
ИНдуКтивностью, имеем
tg Юk === (1  1iую:)/[ Юk (jr + у)].
(11.1.22)
Уравнения для нахождения собственных частот системы с зако
роченными или разомкнутыми концами, получим как частный
случай уравнения (11.1.21) при; === 00 или ;G === О, т. е.
ctg ЮА === ЮА"(,
tg ЮА === ЮА'У.
( 11.1.23)
(11.1.24)
Любое из приведенных выражений дает бесконечный спектр
ДОПУстииы:х частот. Особенностью этоrо спектра является ero неэк
ВJlДИстантность. Заметим, что ЮА есть безразмерная частота.
Вещественная частота Q равна
QA ' юАll r LC.
(11.1.25)
Собственные частоты находятся из уравнений (11.1.21)
(11.1.24) rрафически. Пример нахождения собственных частот
с помощью уравнения (11.1.23) приведен на рис. 11.2. На этом
рисунке построены кривые F ===
=== ctg 00 и прямая 001. ТОЧRИ
их пересечения определяют
собственные частоты 001, 002, 00,
И т. д.
Найдем теперь условия ca
мовозбуждения системы. При
(;) исследовании условий самовоз
буждения можно линеаризовать
rраничное условие на конце
у == о. Это означает iIренебре
жение в (11.1.12) членом V Z
по сравнению со единицей. Для простоты ВЫЮIадок будем в даль
нейшем рассматривать линию, закороченную при у == 1. Анало
rично можно решить задачу и при друrих типах rраничных
условий.
F '
(;)1 !!. J( (;)2
2
Рис. 11.2. I'pафическое нахождение
собственных частот

 11.1. СИСТЕМА С НЕЭIШПДИСТАНТНЫМ СПЕКТРОМ 371
Волновое уравнение (11.1.11) и rраничные условия в ЭТОИ
с,,'lучае примут вид
rrv rrv 8v
8у2  д-?' == f.L a:t'
  :y lfv == f.L(.y в)  при у == О,
8 У 8т;2 8т;
в) V == О, при у == 1.
Решим полученную линейную задачу методом разделения
переменных, для чеrо искомое решение представим в виде
v(y, т)== У(у)Т(т). (11.1.27)
Подставим (11.1.27) в (11.1.26а), находим для У(у) и Т(т) сле
дующие уравнения:
а2У 2 + А2У == О, а 2 т + Е.... + А2Т == О
ау а-?' f.L ат; ,
rде А 1  собственное значение краевой задачи.
Общее реmение уравненИJI (11.1.26а) запишется в виде
v (у, т) == (А cos Ау + в sin Ау) ехр [(J.LI2 ::1:: jA) '{]. (11.1.29)
ПО,r(становка ( 11.1.29) в rраничное условие при у == о дает воз
можность определить отношение амплитуд В и А:
а)
б)
(11.1.26)
(11.1.28)
В/А =:о =F jf.LS  А1.
(11.1.30)
с друrой стороны, из rpаничноrо условия при у == 1 следует, что
отношение амплитуд ВI А равно
В/А == ctg А. (11.1.31)
Прираввивая (11.1.30) и (11.1.31), получим
ctgA==Ay::l::jf.LS. (11.1.32)
Разложим А в ряд по степеням f.L:
А == ro + f.LA i + . .., (11.1.33)
rде ro  одна из собственных частот соответствующей KOHcepBa
тивной системы. В рассматриваемом случае закороченноrо KOH
ца ro удовлетворяет уравнению (11.1.23). Оrраничившись в co
отношении (11.1.33) членом порядка f.L, подставим ero в (11.1.32):
ctg ro  f.LA i (1 + ctg 2 ю) == 1ю + f.LA;;Y ::1:: jf.tS,
откуда
j8 3
А 1 ==::1:: 1 + у+ у2оо2 ' (11.1. 4)
Таким образом, поскольку А ! является чисто мнимой велИчи
ной, поправка к частоте в первом приближении отсутствует.

372 rл. Н. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ АВТОRОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Решение (11.1.29) теперь можно записать в виде
V (у, "') == [А cos (Ау) + в sin (Ау)] ехр [( ......f.L12 + J.tIA 1 1 :1: jO}) 'т].
(11.1.35)
Отсюда следует, что нарастающее со временем решение будет
при IA 1 1 > 1/2. В эксноненте (11.1.35) член /-t/2 характеризует
потери энерrии (декремент) ,
а ЧJIен/-t I А 1 1  инкремент си
сте:мы. Из 'Iребования превыше
ния иннре:мента системы над
декрементом (при малых a:м
П.JIитудах) вытекает условие са.
мовозбуждения систеиы
f
s
(,)1 (,)2 (,)3 (,)4 (,)5 (,)6 (,)7 (,)8
UJ S>(1+'1+1zO}I)/2. (11.1.36)
Рис. 11.3. rрафик функции 1(00) для
линии с замкнутыи :концом Исследоваuе неравенетва
>(11.1.36) проведем rpафически.
Для этоrо построим правую часть выражения (11.1.36) как Функ
цию частоты f (О}) (рис. 11.3). На том же рисунке проведем пря
мую, соответствующую величине S. На оси абсцисс отмечены те
дискреТные зиачении частоты ЮI< (k == 1, 2, . . .), которые COOTBeTCT
вуют собственным частотам систе:иы, удовлетооря:ющии уравнению
(11.1.23). Нак ы видим, с ростом номера собственной частоты
превыmение инкремента над декрементом уменьшается. Начи
ван с lIекоторой частоты (о}з), ситема не самовозбуждается.
 f 1.2. Стационарные 8ВТОRОЛООamш
Амплитуда стационарноrо колебанин определяется решением
исходноrо уравнения (11.1.11), удовлетворяющим rраничным yc
ловиям (11.1.12) и (11.1.15). В консервативной системе (f.L == О)
периодические движения возможны с любой амплитудой, зависн
щей от начальных условий. В неконсервативной системе (f.L =1= О)
периодические движения существуют лишь с вполне определен
ными амплитудами, соответствующими равенству вклада энерrии
за счет отрицательноrо сопротивления и потерь в активном
сопротивлении линии. В частном случае мяrкоrо режима, как
известно, имеетсн лишь одна стационарная амплитуда. Это 
амплитуда предельноrо цикла, близкоrо к одной из замкнутых
траекторий соответствующей консервативной системы.
Можно считать, что решение для неконсервативной системы
имеет вид
V == V o + /-tV 1 + /-t2 V2 + . . .,
(11.2.1)
rде Vo  одно из решений для. консервативной системы.

!I 11.2. СТАЦИОНАРНЫЕ АВТОКОЛЕБАIIИЯ
373
Из (11.1.17) и rраничноrо условия (11.1.18) Vo можно запи
сать следующим образом:
V o == А [cos (о}у )'\'O} sin (о}у)] сов (О}т).
(11.2.2)
Здесь амплитуду А надо подобрать так, чтобы она 6ыла близка
к амплитуде предельноrо цикла автоколе6ателъной системы.
В этом случае величина V, и члены, соответствующие более Bы
соким приближениям, не будут возрастать со временем. Подста
вим (11.2.1) В уравнение (11.1.11) и rраничные условия (11.1.12)
и (11.1.15). Уравнение и rраничные условия дЛЯ V, ПРIlнимают
вид
p p 
а) .....-t  .....-t ==  Аю [cos (юу)  '\'0} sin (о}у)] sin (ют),
ду д't
ди 1  д 2 и 1
б) дjj  '\' a-r2 == (11.2.3)
==  (у  S) АО} sin (о}т)  S А 80} cos 2 (о}т) sin (ют) при у == О,
в) V 1 == О, при у == 1.
Эти уравнения имеют вид уравнений, описывающих KOHcep
вативную систему, на которую действуют как распределенные
силы, так и силы, сосредоточенные на концах. В выражения для
этих сил входят компоненты с частотами О} и 3ю, rде О}  часто
та, определяемая соотношением (11.1.23). Так как спектр частот
рассматриваемой нами системы неэквидистантен, т. е. 30}, =1= О}з,
то компонента силы с частотой 30}! не создаст в системе движе
ния с заметной амплитудой. Поэтому эту составляющую силы
можно не учитывать. Тоща rpаничное условие (11.2.36) при
мет вид
ди 1  и1 [  ( А2 )]
  у  ==  Аю у  s 1   sin (О}т).
ду ar- 4
Таким образом, на консервативную систему с собственной
частотой О} действует сила резонансной частоты. Стационарное
решение в данном случае возможно лишь при выполнении усло
вия ортоrональности внешней силы и собственноrо колебания
системы. Это условие определит стационарную амплитуду, т. е.
амплитуду, не возрастающую со временем. Поэтому потребуем,
чтобы
V, == V(y)sin(o}T). (11.2.4)
Подставляя решение в форме (11.2.4) в уравнения f11.2.3).

374 rл. 11. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ АВТОRОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
получим
V 
а)  + 0}2V ==  АО} [cos (О}У) )'O} sin(O}y)],
ау
б) : + y0}2V ==  АО} [У s (1   )] ПрИ У ==O, (11.2.5)
в) V == О, прц у == 1.
Общее решенце неоднородноrо уравненlIЯ (11.2.5а) имеет вид
V (у) == в cos (О}У) + с sin (wy)   АуО}у cos (О}У)  ..} Ау sin (О}У).
(11.2.6)
(11.1.23) ,
Из (11.2.6) и rpаниЧных УCJIовий (11.2.5б, в), учитывая
получим два соотношения, связывающие А, В, с:
 А ... ( А2 )
С + )'О}В ==  ""2 У + AS 1  Т '
... А 
С + УО}В == 2" (1 + )'20}2).
(11.2.7)
Отсюда найдем амплитуду стационарных колебаний
[  2 ]
А: == 4 f  1 + '\'2 '\' Ю k .
( 11.2.8)
Стационарная амплитуда существует только на тех частотах O}k,
для которых S > (1 +  + 'fO}O/2. Леrко видеть, что это условие
совпадает с условием самовозбуждения (11.1.36). Из выражения
(11.2.8) и из рис. 11.3 также видно, что с ростом номера соб
ственной частоты стационарная амплитуда уменьшается.
Таким образом, мы получили стационарное решение, которое
в первом приближении мОЖно записать в виде
V :-,: V o + f.LVl == АА [cos (0}1JI)  O}" sin (O}kY)] cos (O}k т) +
+ Jill cos (O}kY) sin(O}k't)+ f.L [ А" (1 +О}?)rюkВ] sin(O}ky)sin(O}k T)
f.L  Akysin(O}ky)sin(O}k't)f.L  AkyrokycOS(roky)sin(O}k't) (11.2.9)
(величина С исключена с помощью одноrо из соотношений
(11.2.7» .
Для исследования устойчивости этоrо решения дадим V He
большое отклонение z. Движение будет устойчивым, если z 
ненарастающая функция времени.
Проводя соответствующие математические выкладки, можно
показать, что колебание с амплитудой Ak на частоте O}k будет

!I 11.2. СТАЦИОНАРНЫЕ АБТОКОЛЕВАНИЯ
375
устойчивым, если
[  2 2 ]
А 2 2 1':"" t+y+yro i
11.> 28 ';
( 11.2.10)
rд (i)i  любая из собственных частот колебаний, удовлетворяю
щая уравнению (11.1.23).
Обратим внимание на то, что в условие самовозбуждения
( 11.1.36) , в условие. устойчивости периодическоrо движения
(11.2.10) и в выражение для стационарной амплитуды i.f1.2.8)
входит одна и та же частотная функция: !((i)i) == (1 + у + "f(i))/2.
Это позволяет относительно просто анализировать полученные
результаты.
Обратимся снова к рис. 11.3, rде эта функция представлена
в виде непрерывной зависимости от частоты.
Устойчивыми будут те амплитуды A,r" дЛЯ которых выполнено
условие
t
8  ! ((i)k) > '2 [8  ! ( (i)i)] .
(11.2.11)
Так как разность 8 f((i)i) максимальна для наинизшей частоты
(i)1 (рис. 11.3), то будут устойчивы те A,r" дЛЯ которых
1
8  !((i)k)>2: [8  f((i)l)]' (11.2.12)
Прямая {8 !((i)1)]/2 показана на рис. 11.3 штриховой ли
нией. Из зтоrо рисунка видно, что количесто частот при задан
ном 8, для которых выполнено условие самовозбуждения (для
данноro примера) , равно семи (i == 7). Однако устойчивыми бу
дут колебания только для k == 1, 2, 3, 4, 5, так как для них раз
ность 8  f( (i),r,) больше {8  f( (i)1) У2.
ИЗ рис. 11.3 видно, что леrче Bcero в системе возбуждаются
колебания на самой низкой из собственных частот (i)1' Задавая
определенные начальные условия, в системе можно возбудить
колебания также на одной из частот (i)z, (i)a, (i)" (i)5. Любое из
зтих rармонических колебаний может устойчиво существовать в
системе. Если система rенерирует колебания с частотой (i)i, rде
i  2, то при уменьшении инкремента амплитуда колебаний дaH
ной частоты уменьшается. Как только нарушается условие устой
чивости (11.2.10), происходит пере скок с колебания частоты (i)i
на колебание частоты (i)1' Вопрос о возможности одновременной
rенерации колебаний нескольких частот требует отдельноrо pac
смотрения.
Для линии, наrруженной при у == 1 емкостью или индуктив
ностью, условия самовозбуждения, амплитуда стационарных KO
лебаний и условие устойчивости имеют тот же вид, что и для
замкнутоrо конца. Разница будет лишь в форме зависимости
функции f ((i)i) от частоты.

376' rл. н. РАСПРEДEJIEННЫE АВТОКОЛЕВА1'ЕЛЬНblE СИСТЕМЫ
Так, для случая емкостной наrрузки имеем
 ( 2 2 )
t (   2 ) Х 1 + '\' (Oi
f ((fЧ) == '2 1 + у + r<дi + 2 ( 1 + ,,2(00 '
(11.2.13)
а для линии, наrpуженной индуктивностью, фуннция I(OOi)
равна
f'
f(OOi) ===  (1 + у + OOi) +
 (t + у2(ОО
+ 2(t+ 112(00' (11.2.14)
6J ИЗ (11.2.13) и (11.2.14) видно,
Рис. Н.4. fpафик функции Нro) ДJlЯ что функция 1(00) иожет быть
ЛИНИИ с емкостной на1'РУЗКОЙ немонотонной. На рис. 11.4 при.
ведена зависимость f (00 ) для
мучая емкостной наrрузки при;» '1 (СО» C 1 ). в такой системе
возбуждаются колебания (для данноrо примера) на частотах от
(J)a до 007. Устойчивыми колебаниями являются колебания с часто
тами 00., ООа, Ше.
s
Q1 blz ЫЗ Ы Ч "'5 "'а "'7 "'8
 11.3. РаспредмеИН8JI автоколебательВ8JI система
.с эIcвидRст8IIтIIым спектром собствеввых частот
Еми реактивные ваrpузки на концах линии малы, например
при емкостной наrрузке ;:( < 1 и '1 < 1, то спектр собственных
частот близок к ЗКБидистантному. Колебания, возбуждаемые
в таких системах, являются Herap  i (Х, t)
ионическими, так как происхо
дит одновременное возбуждение
нескольких мод с кратными ча
сто та ми. Поэтому форма aBTOKO
лебаний может быть весьма слож
ной (вплоть до треуrольной) *).
Рассмотрим автоколебательную
систему, состоящую из отрезка
передающей линии, наrруженной туннельным диодом с прене
брежимо малой паразитной емкостью (рис. 11.5).
Волновое уравнение для линии, свободной от потерь, имеет
обычный вид
I 11 (.x,t) f lI д
I Т ;g
х=О х=!
Рис. Н.5. Схема распределенной
автоколе6ательной системы с TYH
нельвы'м диодом
2 д 2
 === LC.
дх 2 дt 2
(11.3.1)
.) Витт А. А. // ЖТФ. 1936. Т. 6. С. {459.

!I 11.3. СИСТЕМА С ЭНВИДИСТАНТНЫМ СПЕНТРОМ 377
Для линии, закороченной при х == О и наrруженной при х == l
туннельным диодом, можно записать следующие rpаничные yc
ловия:
u (0,\ t) == О,
i (l, t) == f [и(l, t)+ ],
(Н.3.2}
(11.3.3}
rде   постоянпое смещение на диоде, а i == f(u A )  вольтам
перная характерйстика туннельноro диода.
Решение волповоrо уравнения (11.3.1) в соответствии с  1O.i
при учете rраничноrо условия (11.3.2) имеет вид
u(x,t)==F(t  )F(t+ : ),;
i (х, t) == liJ F (t  : ) + F (t + : )},
(11.3.4)
rде Z. == l' L/C  волновое сопротивление линии, v == 1/ 1' LC  CKO
рость волны влипии.
Подставляя (11.3.4) в rраничпое условие при х == l, получим
F ( t   ) + F (t +  ) == zof [ F ( t   )  F ( t +  ) +  ],
(11.3.5)
rде Т/2 ' l/v  время прохождения волной пути l. Уравпение
(11.3.5) можно переписать в виде
F(t + I ) == Ф[F(t  )].
( 11.3.6)
Это функциональное уравнение дает возможность определять,
состояние системы в момент t+ Т, если известно ее состояние в.
момент времени t:
F (t + Т) == Ф [Р (t)]. (11.3.7).
Пусть в начальный момент фупкция F (t) известна, т. е. F (t) ==
== РО (t), rде Fo  известная функция t в интервале 0< t < Т.
ДЛЯ любоrо t o , расположенноrо в этом интервале, имеем сле
Дующий итерационный процесс;
Fo==Fa(to),
F, == F(t o + Т) == Ф [Fo(to)],
F 2 == F(to+ 2Т)== Ф [F(t o + Т)] ==
== Ф{Ф[Fо(tо)]} == ф(2) [Fo(to)], (11.3.8)
Fn == F(to+ пТ) == Ф {F [t o + (п  1)Т]} ==
== ФФ... Ф [Fo(to)] == Ф(n) [Fo(to)].
25 в. В. МиrУЛIIН и др.

378 rл. 11. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
При n -+ 00 (11.3.8) может иметь два типа предельных решений.
В первом случае существует единственное значение F 00, УДОБЛет
воряющее уравнению
F...==Ф(F оо ).
(11.3.9)
Это решение соответствует венолебательному процессу в линии
(напряжение и ток постоянRы.. Во втором случае последователь
ность стремится к предельному цИRЛУ с корнями (см.  5.4)
( 11.3.10)
(11.3.10) YДOB
F 001, F 002, ..., F оот.
Каждый итерационный корень индекса т из
летворяет соотношению
F 00. == ф(т) [Р 00.], (11.3.11)
которое описывает периодический процесс в линии. Форма коле
аний зависит от вида характеристики туннельноrо диода и Be
личины смещения Ш.
Характер процесса, устанавливающеrося в системе, удобно
исследовать rеометрически (построение Лемерея, см. rл. 5). На
рис. 11.6 построена зависимость F(t+ Т) == Ф [F(t)]. Там же на
рисунке показана прямая F (t + Т) == F (t), которая является бис
сектрисой координатноrо уrла. Для Toro чтобы проследить xapaK
ep установления колебаний и определить устойчивость стацио
BapHoro решения, произведем на рис. 11.6 следующее построение.
Пt+Т)
"
Fo Foo F(t)
Рис. 11.6. Схема итерационно-
1'0 процесса (построение Ле--
мерея) с одним стационарныIM
состоянием
,
...L.....j
I I I
F oo1 I F""5 \ F""z П/;)
FooJ F""ч
Рис. 11.7. Построение Лемерея
для случая существования трех
стационарных решений. mтрихо
выми линиями показан процесс
установления колебаний
Возьмем на кривой Ф точку с абсциссой Fo(to), проведем от нее
I'ОРИЗОIlтальную прямую до пересечения с биссектрисой. ИЗ ТОЧRИ
пересечения прямой и биссектрисы проведем вертикальную пря
мую до пересечения с кривой Ф. Продолжая такое построение,
получим последовательность значений Fn(t), которая полностью
<соответствует итерационному процессу (11.3.8). На рис. 11.6
построена такая последовательность, которая сходится к един

!I 11.3. СИСТЕМА С ЭКВИДИСТАIIТНЫМ СПЕКТРОМ 37!}
ственному значению F оо,соответствующему пересечению биссек
трисьi: и кривой Ф. Леrно Видеть, что стационарное значение F 00
в этом случае устойчиво. F 00 будет неустойчиво, если
I dФ/dF IF==Foo >1. На рис. 11.7 'изображена зависимость P(t + Т) ==
== Ф [F(t)], для которой сущесТвуют три стационарных решения
итерационноrо уравнения. Первому стационарному решению co
ответствуют два пмдельных значения F 001 И F 002. При втором
стационарном решении существуют также два предельных зна
чения F 003 И F оо!.. Третьему стационарному решению COOTBeTCT
вует F 005. ИЗ построеllИЯ видно, что первое и третье решепия
устойчивы, а второе решение неустойчиво.
Штриховые ломаные, соответствующие итерационному про
цессу, аналоrичны интеrpальным кривым на фазовой плоскости.
Предельные последовательности (на рис. 11.7 они изображены
сплошными линиями) подобны предельным циклам. Неустойчи
вые предельные последовательности являются сепаратрисами,
разделяющими области приближения к различным устойчивым
решениям. Какое из устойчивых решений установится в системе,
зависит от начальных условий, т. е. от распределения тока и
напряжения в линии при t == О. Все предельные циклы образуют
на плоскости F(t+ Т), F(t) замкнутые мноrоуrольники, верши
ны которых лежат на кривой Ф и биссектрисе. В частном случае,
изображенном на рис. 11.7, предельные циклы являются KBaд
ратньnш.
Вид предельной последовательности зависит от конкретнок
характеристики диода и от смещения Ш. На рис. 11.8 приведена
типичная характеристика зависимости i==!(u д ) для туннельноrо
диода. При и д < и 1 И и д > и2 дифференциальное сопротивление.
диода положительно, при и1 < и д < U z 
отрицательно.
Для получения фУНlЩиональноrо
уравнения (11.3.6) необходимо перейти
от переменных и д и i к перемен
ным F(t) и F(t+ Т). Воспользуемся
соотношениями (11.3.3) и (11.3.4)
при х == l:
Uд[ff == u(l)==F(t)F(t+ Т),
(11.3.12)
111
112
иА
Рис. 1.18. Вольтампернаff
характеристика туннельн
Zoi(l) == F(t)+ F(t + Т). 1'0 диода
Отсюда видно, что для перехода от переменных ид, i к F (t) ,
F (t + Т) необходимо сдвинуть начало Координат на отрезок [fj'
по оси ид, повернуть полученную систему координат на 450 и
изменить масштаб по оси и д в 1п2 раз, а по оси i  в Z o /Y2 раз.
Соответствующее преобразование координат поясняется рис. 11.9,
rде по оси абсцисс отложена величина и/)'2 == (и д  [ff)/i'2.
25*

З8Q rл. 11. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ АВТОRОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Стационарное состояние системы существенно зависит o
емещения Ш. Если fS < и. или Ш> UZ, т. е. рабочая точка He
ходится в области положител:ьноrо дифференциальноrо сопрv
'l'ивления диода, то существует е.циНСТВЕшное предельное значр
вие F 00' Процесс установления напряжения и тока в линии IIЛЕ
f(t+n
iZo/v'Z
" и/ff
Рис. 11.9. Нахождение СТ8Ци<r
парпоro состояния при выборе
рабочей ТОЧКJI на участке xapaK
теристИRИ с DОЛQЖИТeJ1ЬНЫМ: диф-
ференциаш.вым: сопротивлениеIL.
Пупктироы показав итерацион
.выi процесс, сходящийся It CTa
циопариой точке
Рис. 11.10. Нахождение ст"
ционарно1'О решения при ВБi
боре рабочей точки на падак
щем участке характеристию.
диода
f.1
tF1t+ т)
[2о/12
Т zт оТ 47 5Т
t
t-
Т ZT ОТ 4Т 5Т
ioo
Рис. 11.Н. Форма возбуждаю--
щихся стационарных колебаний
Рис. Н.12. Предельная последов...
тельность при больших Zo
сл:учая fS < и. изображен на рис. 11.9. Стационарному режим
F 00 соответствует нулевое напряжение в л:'инии; при зтом по m;
нии течет постотшый ток.
Если рабочая точка выбрана на падающем участке xapaKTlc'
ристнки диода (и. < fS < ll2}, то в системе возбуждаются aBTt.

1} 1и. ЛАЗЕР КАК АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА 381
колебания, форма и амплИтуда которых определяются /S D. вол
новым сопротивлением Zo. Если выбранная рабочая ТОЧRа COOT
ветствует максимуму модуля отрицательноrо сопротивления
туннеЗ1ьноrо ДИОДа IRI и Zo  IRI, то устанавливается режим,
иллюстрированный рис. 11.Щ.
Форма стационарных напряжениа. lL
и тока в линии, соответствующая
данному режиму, 'приведена на
рис. 11.11. Через время Т ==
== 2l/v ПРОИСХОДИТ переключение
туннельноro Д.llода. Ток в З1ин:ии
при этом ОСтаеreя поотоявиым.
При увеличении Zo кривая
Ф[F(t)] вытяrивается вдоль бис
сектрисы. Это приводит К более
CJIожной форме стационарной
предельной последовательности.
Соответственно более сложной
становится форма напряжения и
тока в линии. На рис. 11.12 при
ведена ОДВа из возможных
форм предельной последователь
ности при больших Zo, а на
рие. 11.13  заВИСИМQСТЬ напряже
вия и тока от времени, COOTвeTCT
вующая рис. 11.12. Автоколебания в данном случае являются
периодическими с периодом 5Т; форма тока и напряжения весьма
сложна.
Таким образом, в автоколебательных системах с эквидистант
вы:м спектром существуют автоколебаиия релаксационноrо xapaK
тера ( 5.2).
т zт 5Т
БТ 7т 8Т
t
т 2Т 5Т
Рис. 11.13. Форма тока и напря
жения, соответствующая пределъ
ной последовательности, показан
ной на рис. 11.12
 11.4. Лазер кав распредe.uеиная автоколебатe.uьная система
Оптический квантовый reHepaTop  лазер является автоколе
бательной системой с раопределеlШЫМ отрицателъ'НЫМ сопро
тивлением. Последнее создается средой с ииверсной населен
БОСТЬЮ.
Сопротивление может быть отрицатель'НЫМ лишь в определен
вой полосе частот вблизи линии поrлощеиия данной среды. RaK
правило, в пределах ширины линии активноrо вещества уклады
вается несколько собственных частот резонатора. Поз тому лазер
reнерирует, в общем случае,' ряд мод с частотами, близкими к
собственным частотам резонатора.
Анализ работы лазера обычно проводится в полуклассическом
приближении. Электромаrнитное поле описывается уравнениями
Максвелла, а поляризация среды, определяющая отрицательное

382 rл. 11. рАспрЕдЕлЕнныЕ АвтоRолЕБАтЕльныЕ СИСТЕМЫ
нелинейное сопротивление, описывается на квантовом язьше.
Амплитуды и фазы 1(олебаний, rенерируемых лазером, можно
найти методом самосоrласованноrо поля. Электромаrнитное поле,
воздействуя на активную среду, совдает в ней поляризацию
fJJ (Т, t). В свою очередь поляризация является источником
злектромаrнитноrо поля. Необходимо отметить, что поляривация
среды зависит не от MrHoBeHHoro значения напряженности элект
ромаrнитноrо поля, а от ero амплитуды. Позтому лазер пред
ставляет собой автоколебательную систему с инерционной He
линейностью ( 5.6).
В простейшем случае оптическоrо резонатора, образованноrо
двумя ПЛОСRИми зеркалами, расположенными на расстоянии 1
друr от дpyra, наибольшую добротность имеют аксиально сиы
метричные типы колебаний. Электромаrнитное поле таки..х коле-
баний медленно меняется в направлении, параллельном зерка
лам, что позволяет оrpаничиться рассмотрением одномерной
задачи, в которой единственная пространственная перемеННaJI
Z направлена вдоль оси резонатора.
Волновое уравнение для аксиально симметричных мод можно
получить из уравнений Мю{свелла
д'Е . дЕ 1 {)2Е a 2 [jJ
 Oz 2 + f.Lot дТ+ '7' ot 2 ==  110 ot 2 .
(11.4.1)
Это уравнение записано в пренебрежении векторным характером
электрическоrо поля, ЧТО справедливо для резонатора, в котором
созданы условия существования колебаний с определенной пло-
скостью поляризации. Величина  характеризует все виды по
терь знерrии в оптическом резонаторе.
Напряженность злектрическоrо поля можно представить в
виде ряда по собственным функциям нормальных мод резонатора:
Е (z, t) ==  An (t) sin (nz),
n
(11.4.2)
rде nп == nлЛ == 2л:/l"п  волновое число nro нормальноrо колеба
ния. Такой вид нормальных колебаний соответствует rраничным
условиям Е(О, t)==E(l,t)==O, т. е. в точках z==O и z==l поме
щены зеркала с козффициентом отражения, равным единице.
Подставляя (11.4.2) в (11.4.1), получим дифференциальное
уравнение для пространственной фурьекомпоненты электриче-
cKoro поля An(t):
a2 00 аА п ......2,1 002 а2рn 3
ае 2 + Qn (ft' + n'n'n == ,ё; dt2  (11.4. )
rде Qn  собственная частота резонатора, равная
Qn == лnс/l,
(11.4.4l

1} 11.4. ЛАЗЕР НАН АВТОНОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА 383
Q"  добротность резонатора на nй моде, ffi  частота электро
маrlJитноrо поля, Р n  пространственная фурьекомпонента по
ляризацпи среды, равная
1
2 S t1l1 . nnz
Рn (t) == Т от (z, t) sш Т dz.
о
(11.4.5)
При достаточно высокой добротности Q" дЛЯ решения уравнения
(11.4.3) можно использовать метод медленно менЯIOЩИХСЯ аИШIИ
туд (см.  2.5). Решение уравнения (11.4.3) будем искать в виде
А" (t) == Е" (t)cos [ffi"t + <р" (t)],
(11.4.6)
Р" (t) == С" (t) cos [ffi"t + <р" (t)] + S" (t) sin [ffi"t + <р" (t)],
rдe Е" (t) и <р" (t)  медленно меняющиеся за период 2",/ ffi ампли
туда и фаза nro колебания, Cn(t) и S,,(t) медленно менвю
щиеся компоненты Р" (t) .
Обычно для rазовых лазеров время устаномения инверсной
населенности MHoro меньше времени установления аМШIИТУДЫ
нолебаний. Поэтому можно считать, что поляризация P,,(t) успе
вает следовать за амплитудой электрическоrо поля. В зтом сн.у-
чае укрроченные уравнения для амплитуды и фазы nй моды
имеют вид
. 1<0 <о'
Еn +  2 Q  Еn ==.  2SnJ
n 80
. <о.
(ron + <Рn  Qn) Еn ==  2ё-- Сп. (11.4.7)
о
Изза инерционной нелинейности лазера компоненты поляриза
цИИ С" и S" зависят от амплитуды электрическоrо поля Е". Эта
зависимость определяется механизмом создания инверсной Ha
селенности среды и характером уширения спектральной линии
актпвноrо веЩества. Если напряженность электрическоrо поля
в резонаторе невелика (лазер работает вблизи пороrа самовоз
буждения), то в разложении С" и S" по амплитудам поля можно
оrраничиться членами третьей степени, т. е.
 2 Сп == аnЕn + pnE + I т:nтЕnЕ;',
о m".t.n
 2<0 Sn == аоnЕn  nE  I ОптЕn Е ;'.
80 
В (11.4.8) опущены колебания комбинационны частот, т. е.
считается, что частоты вида lffi" + тro. при любых целых 1 и т
не попадают в полосы пропускания оптическоrо резонатора.
Rозффициенты ао", '" е"т, 0'", р" И 'Т"т для rазовоrо лазера
рассчитаны Лэмбом *). При расчете предполаrалось, что актив
(11.4.8)
"') Лэмб У. Теория оптических мазеров /1 Rвантовал ОПТИRа и KBaHTO
вая раДИОфИВИRа. М.: Мир, 1966. С. 282368.

384 rл. 11. РАСПРЕДЕЛЕННьm АВТОКОJШБАТЕЛьНЫЕ СИСТЕМЫ
ная среда может рассматриваться как двухуровневая система,
обладающая инверсной населенностью. Козффициенты, входя
щие в соотношения (11.4.8), зависят от собственных частот pe
зонатора а,., от степени инверсии населенности, от времени pe
лакс.ции BepxHero и нижвеrо рабочих уровней и от ширины
линии. поrлощения'. С учетом (11.4.8) укороченные уравнения
для амплитуды и фазы nй моды лазера примут вид
. ( W ) 3 V 2
Еn === !хоп  2Q Еn  En   ептЕпЕ т , (11.4.9)
. п т>"п
. I 
ro n + <рn === а" + 0'" + рnЕn + ... ТптЕ:а.
m>"n
Из уравнения (11.4.9) спедует, что веЛИч:JIJIа lX.o.. определяет уси
ление активной среды на nй моде колебаний для малоrо сиr
нала. Поэтому УCJIовие самовозбуждения nй моды колебаний
можно записать в виде ао.. > ro/2Q... Это означает, что поступле
ние энерrии в систему превышает потери в резонаторе на c<r
ответствующей частоте. Физический смысл остальных козффи
циентов уравнений (11.4.9) и (11.4.10) будет выяснен ниже.
Рассмотрим сначала случай возбуждения в системе только
одной ыоды. "Уравнения (11.4.9) и (11.4.10) приобретают сле
дующий вид:
Ё === ( !ХI)  2 ) Е  E3, (о .=== Q + о' + рЕ2.
(11.4.10)
(11.4.11)
Отсюда можно найти стационарную аиплитуду и частоту reHe
рации
E ===  (а о  2 ), ro === Q + о' + pE.
(11.4.12)
Стационарная амплитуда Ео тем больш!:), чем больше поступ
ление энерrии в систему превышает потери. RpoMe Toro, Ео за
висит от коэффициента нелинейности . Этот коэффициент опре
деляет уменьшение инверсной населенности, связанное с Hacы
щением активной среды, вызванным колебаниями rенерируемой
моды. Частота rенерации ro отличается от собственной частоты
резонатора на величину о' + pE. Rоэффициент (J пропорциона
лен разности между собственной частотой резонатора и частотой
спектральной линии aToMHoro перехода. Поэтому он создает
линейное подтяrивание rенерируемой часто'ты к частоте aToMHoro
перехода. Аналоrичное явление было рассмотрено в  10.2. He
линейный член pE дает зависящее от амплитуды смещение
частоты.
Если усиление активной среды превышает потери для двух.
собственных частот оптическоrо резонатора, то возможна OДHO
временная reнерация двух независимыХ: мод колебаний.

!i 11.4, ЛА::JЕР НАН АJJ'l'OIЮЛlШАТ/ШЫIАП СИСТЕМА 385
iIliJ в случае двухмодовоrо режима укороченные уравнения для
мплитуд Е 1 И Е 2 имеют вид
Е 1 == а 1 Е 1  1E  О12 Е 1 Е :, E'J ==а2Е22Ее21Е2Щ' (11.4.13)
['де а1 == СХо1  ro/2Q., a.z == аО2  ro/2Q2  коэффициенты, xapaKTe
ризующие превыmеmtе усиления над потерями для каждой из
мод. Rоэффициенты 012 и е 21 определяют уменьшение инверсноЙ
населенности для каждой моды, вызванное колебаниями друrой
МОДЫ, т. е. зквивалентны коэффициентам связи. Физический
смысл остальных коэффициентов, входящих в уравнения
(11.4.13), был определен раньше.
Уравнения (11.4.13) удобно переписать для квадратов ампли
туд E == Х и Щ'== У:
X==2X(a;..XeI2Y), ?==2Y(a22Y021X)' (11.4.14)
Будем исследовать эти уравнения на фазовой плоскости перемен
пых Х, У (* 1.1). Физический смысл имеют только положи
тельные значения Х и У, т. е. фазовые траектории расположены
ц первом квадранте. Прямая
а 1  IX  е 12 У == о (11.4.15)
является изоклиной вертикальных касательных, т. е. на ней
dX/dY == О.
Прямая
aa aY  е 21 Х ==0
(11.4.16)
(dX/dY == (0).
решения си
является изоклиной rоризонтальных касательных
В обще:и случае возможны четыре стационарных
стемы уравнений (11.4.14):
Х 1 == У 1 == О, Х 2 == О, Уа == aэIа, Ха == a.1/t' Уа == О,
(%;12  (%;2812 (%;21  (%;1621
Х, ==   6 6 ' У, ==   6 6 .
1 2  12 21 1 2  12 21
(11.4.17)
Первое решение соответствует отсутствию rенерации, второе и
третье  rенерации одной моды. Четвертое решение, которому на
фазовой плоскости соответствует точка пересечения прямых
(11.4.15) и (11.4.16), описывает режим одновременной reHepa
ции двух мод.
Устойчивость стационарных решений можно определить при
исследовании поведения малЫх отклонений от стационарных pe
mений (см., например,  4.2). Однако в данном сЛучае устойчи
вость стационарных состояний можно исследовать с помощью
фазовой плоскости.
Будем рассматривать только случаи, коrда «1 и lX2 больше
нуля, т. е. условия самовозбуждения выполнены для обеих мод.
Rоэффициенты ! и 2 для активной среды всеrда положитель

386 rл. н. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ АВТОНОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
вы. На рис. 11.14 представлены фазовые траентории для случая,
Rоrда a/. > az/8 Zi ' ai/8 iZ > aJz. Прямые 1 и 2  изоклины Bep
тинальных и rоризонтальных касательных. Эти прямые не пере
секаются в первом квадранте, что свидетельствует о невозмож
ности двухмодовоrо режима. Остальным трем режимам COOTBeT
ствуют стаЦионарные точки (О, О), (О, aJJ), (a./i, О).
V
а;1
812
 а;1
&21 /51
Рис. 11.14. Фазовые траектории в случае a.1/1 > (1.,21821, а1/е 12 > a2/2

Об устойчивости этих состояниЙ можно судить по направле
нию движения изображающей точки по фазовым траекториям
вблизи данноrо стационарноrо состояния. Как видно из рис. 11.14
и уравнения (11.4.14), правее прямой 1 переменная Х yмeHЬ
mается со временем (Х < О), а левее этой прямой Х возрастает.
Ниже прямой 2 переменнал У возрастает (У> О), а выше"""':
убывает. В соответствии с этими представлениями проведены фа
зовые траектории на РИСУНRе. Видно, что положение равновесия
и состояние Х == О, У == a2jz неустойчивы. Единственному устой
чивому с'остоянию соответствует точка Х == a/i, у == О.
Таким образом, пока (a/8 i2 » a2/Z и aJi > aJ8 zi , система
rенерирует только одну моду. Вторая мода подавляется модой
с большим коэффициентом усиления. Можно ввести эффектИБ
,
ный коэффициент усиления для второй' моды а 2 == a2e21al/l'
Пока a < О, вторая мода не возникает. Если эффективные коэф
фициенты усиления для обеих мод положительны, то в системе
MOryT существовать обе моды колебаний. В этом случае режим
о
х

!I 1и. ЛАЗЕР КАН АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА 387
работы системы зависит от величины связи между модами. При
слабой связи (!2 > е!2е 2 !) происходит одновременная rенерация
колебаний двух частот. На рис. 11.15, а изображены фазовые
траектории, соответствующие этому режиму. Пересечение прямых
1 и 2 определяет уфтойчивую точку (узел) фазовых траекторий.
Положение равновесия и одночастотные режимы при слабой свя
3И неустойчивы.
В случае сильной связи (!2 < е",!е!2), приведенном на
рис. 11.15, б точка пересечения двух прямых является неустой
чивой (седло). "Устойчивы одночастотные режимы reнерации:
Х == aJI, у == о и Х == О, У == a2l'2'
ИЗ вида фазовых траекторий, изображенных на рис. 11.15, б,
следует, что в системе может установиться либо один, либо дpy
['ой одночастотный режим в зависимости от начальных условий.
Если начальные условия таковы, что изображающая точка в MO
мент t == О лежит правее бифуркационной кривой (штриховая
линия на рис. 11.15, б), то установятся колебания с частотой 0)1
и амплитудой Е!а == Y aJ !. Все изображающие точки, лежащие
слева ОТ бифуркационной прямой, в процессе установления дви
жутся К точке, характеризующей процесс с частотой 0)2 и ампли
тудой Е 2а == Ya2/2 ' Таким образом, в случае сильной связи ДBYX
МОДовый лазер' ведет себя аналоrично автоколебательной системе
с двумя степенями свободы, описанной в  7.5 (явление затя
rивания) .
Соотношения (7.5.4) и (7.5.5) показывают *), ЧТО В автоколе
бательной системе с двумя контурами всеrда осуществляется
сильная связь (е!2е 2 ! == 412)' Поэтому биrармонический режим
в такой системе невозможен. В rазовом лазере преимущественно
реализуется случай слабой связи. Это различие обусловлено тем,
что в системе с двумя контурами ( 7.5) усиление колебаний
обеих частот происходит в одном и том же нелинейном активпом
элементе, например в полевом транзисторе или лампе. В rазовом
же лазере снеоднородным уширением линии поrлощения уси
ление для каждой из reнерируемых мод происходит за счет энер
rии различных атомов активной среды. Поэтому взаимное влия
ние колебаний различных частот оказывается малым и возможна
одновременная rенерация двух независимых колебаний.
Амплитуды этих колебаний связаны с параметрами системы
с.lIедующими соотношениями:
2 2(%1  8 12а2
Е 10 == 12  812821
Е: о  :la2:2al . (11.4.18)
 12  12 21
*) В настоящем парarрафе введепы обозначения, приняты е в цитиро--
ванной выше книrе Лэмба, но отличные от использованных в 1'JI. 7.

388 rл. н. РАСПРЕДEЛEIШьm АВТОRОЛЕБАТEJJЬНЫE СИСТЕМЫ
J."
,.........
9\\..
о
>;
..di y
\'L
у
r:&z
Iz
Рис. 11.15.
о  (1,1 Х
е 2.. I о А
Фазовые траекТОрИИ двуЬ10ДОВОЙ системы при слабой (а) и
сиЛЬНОЙ (б) связях

1111.'. ЛАЗШ' НАН АDТОIЮЛIШАТJШЬНАЯ СИСТЕМА 389
Частоты rенерируемых мод в соответствии с (11.4.10) равны
<01 == Ql + С1 1 + PIEo + Т12 Е :о, <02 == Q2 + С1 2 + Р2 Е :о + T21Eo'
(11.4.19)
Из последнеrо соотношения следует, что частота каждоrо из
колебаний зависит не только от ero амплитуды, но и от ампли
туды BToporo колебания.
Если в пределах ширины линии активноrо вещества уклады
ваются три собственных частоты резонатора, то возможен Tpex
модовый режим reнерации. Поскольку спектр собственных частот
резонатора эквидистантен, т. е. Q2  Q, == Qs  Q2' ТО И для reHe
рируемых частот <О; справедливо следующее приближенное COOT
ношение:
Ш2  <О,  <О!  <02.
(11.4.20)
Поэтому вблизи каждой из rенерируемых частот возникают KOM
бивационные частоты: 2<O2. <ОЗ  <О,, <ОЗ  <02 + <О,  <02 И 2(O2.
 0>,  юs. Наличие этих комбинационных частот при кубической
аппроксимации неливейНой поляризации приводит к следуюuцим
yRороченным уравнениям для фаз rенерируемых колебаний:
<01 + 1 == Ql + С1 1 + PIE + T12E + ТlзЕ +
( . ,. ЕЕз
+ f]zs sш 'ф  0,,23 сов,р) Е'"""'
1
<02 + 2 == Qz + С1 2 + Р2Щ + T21E + Т2зЕ +
+ (f]IЗ sin 'ф  13 COS 'Ф) ЕIЕа' (11.4.21)
<Оа + з == Qs + С1 3 + рзЕi + 't31E + 't'З2 Е ; +
( EEl
+ f]21 sin 'ф  21 cos 'Ф)""'Е"""'
3
rде слаrаемые с коэффициентами f]ij и ij определяют вклад в
поляризацию членов с комбинационными частотами,
'ф == (2<02  <О,  <оз) t + (2qJ2  !jJ,  qJз). (11.4.22)
Из (11.4.22) идно, что в общем случае 'Ф зависит от времени.
"Уравнение для '" можно получить, дифференцируя (11.4.22) и
учитывая (11.4.21):
'Ф == а + А sin 1)1 + в cos -ф, (11.4.23)
rде
с1 == 2С1 2  С1 1  С1 3 + (2Т21  Рl  't'Зl) E + (2Р2  Т12  'Т з2 ) Е: +
+ (2'Т 2з  Т13  Рз) Е:,

,390 rл. 11. рАспрЕдЕлЕнныЕ АВТOIЮJIEБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕl't1Ы
А == 2Е 1 Е з '111S  E ( '1123 :3 + '1121 ;1 1, .
1 S )
В == E ( 2З :: + 21 : )  213ЕIЕз,
'Удобно записать (11.4.23) в виде
'" == а + с si.n ( '" + а;) ,
l'де С == УАЗ + В2, tg а == В/А.
Характер функции", (t) существенно зависит от соотношения
ЕeJIИЧИН а и С. Если 'аl < С, то уравнение (11.4.24) имееr сле
.дующее стационарное решение:
. а
'" == --- aresш -ё  <Х.
(11.4.24)
( 11.4.25)
Величина '" в этом случае не зависtIт от времени, и в COOTBeT7
-ствии с (11.4.22)
20>2  0>1  о>з == О.
(11.4.26)
тенерируеыыe частоты эквидистантны, а фазы связаны COOTHO,
шением
2 . . 'а
</>!  </>1  IJ'з ==  аrсsш С  а.
(11.4.27)
Частотное (Н.4.26) и фазовое (11.4.27) соотношения указывают
па самосинхронизацию мод. Каждая из rенерируемых мод захва
'l'ывается соответствующей комбинационной частотой.
В синхронном режиме лазер rенерирует последовательность
-световых импульсов с частотой повторения , равной
 == о>з  0>2 == 0>2  0>1. (11.4.28)
Форма импульса зависит от амплитуд и фаз rенерируемых мод.
В частном случае близких амплитуд Е 1  Е 2  Е з  Еа и разно
-стей фаз, удовлетворяющих соотношению
</>з  </>2 == </>2  </>1 == </>0' (11.4.29)
импульс имеет вид
sin [3 (М + <1'0)/2]
Е == Ео sin [(М + <l'o)f2J cos(o>t + <Ро)' (11.4.30)
Зависимость оrибающей (11.4.30) от М изображена на рис. 11.16.
Если фазы не удовлетворяют ( 11.4.29) , то форма импульса
искажается.
В случае lal > с стационарноrо значения для '" не сущест
вует. Поэтому rенерируемые МОДЫ не синхронизируют дpyr
друrа, их частоты и фазы не связаны. Обычно в лазерах наблю
дается несинхронная rенерация. Самосинхронизация мод возни

I j t 6, ЛА:ШР НАН АlJтщщJtIODАткт.НАП mll1'rТCM А 3U1
j 1111' JlПWЬ npll симмотричном рnСПОJIОШОJIИИ собствеЩIЫХ частот
, "ВОН.ТОРО ОТ/10сительно цонтрн JIИJIЮf усиления. Частота Q
ДCNIНСI. npll ;)том совпадат), с центром линии усиления, а часто
ты О, и '2. рпсполаrаются симметрично относительно цeHTpa
В таком случае величина а
' \ . омоаывоетсн минимальной и BЫ Е
ПОЛШIЮТСR условия самосинхро 3[0
Iвиа8ЦИИ.
I в пазере, rенерирующем 2[0
MHoro мод (больше трех), TaK
же возможна их самосинхрони [о
8ация. При этом, чем больше
ело синхронизируемых мод,
м уже rенерируемый импульс
тем больше импульсная
ощность.
Синхронизация мод лазера
ожет также осуществляться
при Пf>даче внепшеrо сиrнала, изменяющеrо потери резонатора
и ero оптическую длину (внешняя синхронизация). Частота
епшerо сиrнала должна быть близка к   разности частот
reнерируемых лазером мод.
24 8ШМ
Рис. H.t6. Форма импульса в син
хронном режиме для трехмодово1'О>
лазера

'.,
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОй ЛИТЕРАТУРЫ
Мандел.ьштa.v Л. Н. Полное собрание тpYДOB. М.: Ивдво АН СССР, {95::
Т. IV; ЛеlЩИИ по теории .колебавий. М.: Наука, 1972. 512 с.
Андронов А. А., Витт А. А., XaUl>UH С. а. Теория l\олебавий. М.: Фивыат
rиз, 1959. 912 с.
.cTPMI>oe С. П. BBeдemt:e в теорию .колебавий. М.: Наука, {964......... 431 с.
rOpMUI> r. С. Rолеб3.вия и воJШЫ. м.: Фивыатrиэ, 1959. 572 с.
БОЗОJl,юбов Н. Н., MUTPOnOJl,bCl>иu Ю. А. Асwmтотические методы в теорИ1!
петmейных l\олебаний. М.: Наука, {974. 503 с.
Rрылов А. Н. О пеиоторых дифференциальных уравнениях ыетаматическоi!
фивики, имеющих ириложение :в теХНИ'lеских вопросах. М.: Иэдво АН
СССР, 1949. 368 с.
Теодорчиl> К. Ф. Автоколебательные систеblы М.:
271 с.
Булзаl>ов Б. В. Rолебания."':'" М.: Наука, {969. 892 с.
.cTOl>ep Дж. Нелинеiные колебания в ыеханических и злеl\трических си!
CTeыax. М.: ИЛ, 1952. 264 с.
Харl>евич А. А. нетmейиыe и параметрические явления в радиотехнике.
М.: rостехиздат, 1956. 184 с.
Хаяси Т. Нелинейные КQлебании в физических систеыах. М.: Мир. {968.
432 с. ,.'
Моисеев Н. Н. АСИМnТОТИ'iские методы нетmейной мехапики. М.: Нnу,:
Ба, 1981. 400 с. I
БЛЭ1>ьер О. Анализ нелинейвых систем. М.: Мир, {969. 400 с.
RawtaH А. Е., Кравцов Ю. А., РЫJl,ов В. Н. Параметрические 1'enepaTopw и
делителн 'lастоты. М.: Сов. радио, 1966. 334 с.
Найфэ А. Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.
Ахмапов А. С., Хохмв Р. В. Проблемы пелинеiной оптики. М.: ВИНИТИ,
1964. 295 с.
Тихонов А. Н., СамарС1>ий А. А. Уравнения математической физики. М,.
Наука, 1977. 735 с.
Бутепин Н. В., НеймарlC Ю. Н., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нетmей
ных колебаний. М.: Наука, 1976. 384 с.
.caMOUJl,O К. А. Метод анаjJИза l\олебательных систем BTOpo1'O порядка.,М.:
Сов. радио, 1976. 204 с.
rапоповrрехов А. В., Рабинович М. Н. 1/ УФН. 1979. Т. 128. вып. 4.
С. 579624.
.3аславСl>ий r. М. Стохастичпость динамических систем. М.: Наука, t9З4.
271 с.
Лихтепбера А., Либерман М. Ре1'УЛЯРНая и стохастическая дипамика. М.:
M1 ,
АнищепlCО В. С. Стохастические колебания в радиофизиiJесКИх сист"
Ч. 1, I1. Издво Саратов. YHTa, 19851986. 377 с. " .
РабимвЙ:а,9J.361>.в Д. Н. Введение в теорию колебаний и во . . '  " " ""
Пиnnард А. Физика колебав:ий:. М.: Высшая школа, 1985. 453 с. .. ',!
"':;-:,
. , .
. ,,"с'
rостехиэдат, 1952.
I


.

''