Эффективные методы решения задач кинематики и динамики робота-станка параллельной структуры - Рыбак Л.А., Ержуков В.В., Чичварин А.В.

Рыбак Л.А., Ержуков В.В., Чичварин А.В. Эффективные методы решения задач кинематики и динамики робота-станка параллельной структуры – 2011

Глава 1. Обзор конструкций роботов-станков с механизмами параллельной структуры

1.2. Направления и структура исследований

1.3. Примеры станочного оборудования на базе механизмов параллельной структуры

Глава 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры

2.5. Оптимизация траектории движения рабочего инструмента

Глава 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС

3.1.3. Исследование динамических свойств исполнительного механизма

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной передачей на базе параллелограммного механизма

3.2.3. Исследование динамических свойств исполнительного механизма

3.2.4. Перспективы применения шаговых двигателей в системах электропривода

3.3. Электрогидравлический исполнительный механизм

3.3.3. Исследование динамических свойств исполнительного механизма

3.4. Рекомендации по выбору типа исполнительного механизма

Глава 4. Управление движением робота-станка на основе нейронных сетей

4.2. Подбор алгоритма обучения нейронной сети

4.2.3. Комбинирование обратного распространения с методом имитации отжига

4.3. Реализация комбинированного алгоритма для обучения НС

Автор: Рыбак Л.А. Ержуков В.В. Чичварин А.В.

Теги: детали машины наука науковедение инженерия механика монография робототехника станкостроение инновационные технологии

ISBN: 978-5-9221-1296-3

Год: 2011

Похожие

Механика промышленных роботов. В 3 книгах. Книга 1. Кинематика и динамика

Структурный синтез параллельных механизмов

Вычислительное мышление. Метод решения сложных задач

Алгоритмы и роботы

Текст

Л.А. Рыбак
В.В. Ержунов
А.В. Чичварин
Эффективные методы решения
задач кинематики и динамики
РОБОТА-СТАНКА
ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
МОСКВА .
ФИЗМАТЛИТ(
2011

УДК bz-z.oby г* Издание осуществлено при поддержке
ББК 72 I* <=f+> и Российского фонда фундаментальных
Р93 J J исследований по проекту 09-08-07076
Рыбак Л. А., Ержуков В. В., Чичварин А. В. Эффективные
методы решения задач кинематики и динамики робота-станка параллельной
структуры. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. - 148 с. - ISBN 978-5-9221-1296-3.
Монография посвящена широко развиваемому в настоящее время
направлению исследований в области создания инновационного технологического
оборудования — роботов-станков параллельной структуры. Излагаются методы
и алгоритмы решения задач кинематики и динамики, основанные на
использовании векторной алгебры, теории нейронных сетей, численного моделирования.
Приведен анализ динамических свойств приводных механизмов робота-станка
различных типов. Дано обоснование необходимости применения нейронных
сетей для решения прямой задачи кинематики, подробно описаны методы
обучения сети, а также представлены сравнительные характеристики нейронной
сети различной структуры.
Для конструкторов, исследователей и инженеров в области станкостроения,
мехатроники и робототехники.
©ФИЗМАТЛИТ, 2011
© Л. А. Рыбак, В. В. Ержуков,
ISBN 978-5-9221 -1296-3 А. В. Чичварин, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 5
Глава 1. Обзор конструкций роботов-станков с механизмами
параллельной структуры 7
1.1. Концепция развития инновационного станкостроения 7
1.1.1. Роботы-станки параллельной структуры (9). 1.1.2. Ме-
хатронные компоненты (11).
1.2. Направления и структура исследований 12
1.3. Примеры станочного оборудования на базе механизмов
параллельной структуры 15
1.3.1. Трехстепенные (триподы) (17). 1.3.2. Четырехстепенные
(тетраподы) (28). 1.3.3. Шестистепенные (гексаподы) (31).
Глава 2. Кинематический анализ механизмов параллельной
структуры 41
2.1. Задача кинематики МПС 41
2.2. Кинематический анализ трипода 42
2.3. Кинематический анализ тетрапода 47
2.4. Кинематический анализ гексапода 50
2.5. Оптимизация траектории движения рабочего инструмента 60
Глава 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС 66
3.1. Электромеханический исполнительный механизм с передаточной
парой «винт-гайка» 66
3.1.1. Характеристика исполнительного механизма (66).
3.1.2. Разработка математической модели (67). 3.1.3.
Исследование динамических свойств исполнительного механизма (71).
3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной
передачей на базе параллелограммного механизма 74
3.2.1. Характеристика исполнительного механизма (74).
3.2.2. Разработка математической модели (77). 3.2.3. Исследо-

4
Оглавление
вание динамических свойств исполнительного механизма (79).
3.2.4. Перспективы применения шаговых двигателей в системах
электропривода (83).
3.3. Электрогидравлический исполнительный механизм 100
3.3.1. Характеристика исполнительного механизма (100).
3.3.2. Разработка математической модели (102). 3.3.3.
Исследование динамических свойств исполнительного механизма (106).
3.4. Рекомендации по выбору типа исполнительного механизма 112
Глава 4. Управление движением робота-станка на основе
нейронных сетей 115
4.1. Управление МПС 115
4.2. Подбор алгоритма обучения нейронной сети 120
4.2.1. Математическое описание алгоритма обратного
распространения ошибки (120). 4.2.2. Метод имитации отжига (123).
4.2.3. Комбинирование обратного распространения с методом
имитации отжига (124).
4.3. Реализация комбинированного алгоритма для обучения НС 125
4.4. Применение НС для решения прямой задачи кинематики (ПЗК) . . 130
Список литературы
143

Введение
Создание высокопроизводительных станков, форсированных по
мощностям, точности, нагрузкам и другим рабочим характеристикам,
неизбежно приводит к необходимости разработки принципиально
новых схем их компоновки. Одним из вариантов решения этой проблемы
является использование механизмов параллельной структуры (МПС).
В книге рассматривается класс металлорежущих станков
параллельной структуры, у которых все координаты связаны, а перемещение
по любой одной координате требует одновременного согласованного
изменения всех других. Отличительной особенностью таких станков
является связь посредством шарнирных штанг узла, на котором
установлена обрабатываемая деталь, с узлом, несущим инструмент, причем
требуемая траектория перемещения инструмента относительно детали
достигается согласованным изменением либо длин этих штанг, либо
угловых и линейных положений штанг постоянной длины.
К станкам со штангами переменной длины относятся так
называемые «гексапод» (с шестью штангами), «трипод» (с тремя штангами)
и их модификации, а к станкам со штангами постоянной длины — «гек-
саглайд» (с шестью штангами), «триглайд» (с тремя штангами) и их
модификации.
Перечисленные станки позволяют производить перемещения
инструмента относительно обрабатываемой детали в некотором объеме,
определенном структурой и размерами несущей системы.
С другой стороны, одним из важнейших направлений в разработке
и освоении производства инновационных станков является применение
мехатронных компонентов, сочетающих в одном конструктиве средства
презиционной механики, электроники, электротехники.
Конструктивное объединение исполнительного и приводного элементов
механизмов линейных и вращательных перемещений станков, реализующих
концепцию привода прямого действия «Direct Drive», позволяет
исключить промежуточные механические преобразователи и передачи,
повысить точность, быстродействие, снизить потери. Наличие в таких
конструкциях встроенных систем автоматического управления и
датчиков контроля технологического процесса превращает мехатронные
узлы в интеллектуальные модули, на базе которых могут создаваться
станки нового поколения традиционной и нетрадиционной компоновок,
в том числе с параллельной кинематикой.

6
Введение
В первой главе представлена классификация роботов-станков с
параллельной структурой и определено их место среди всего спектра
станочного оборудования в соответствии с программой развития
инновационного станкостроения.
Во второй главе проводится кинематический анализ механизмов
параллельной структуры, в частности, трипода, тетрапода и гексапода.
Поставлена задача оптимизации траектории движения инструмента
в станках подобной структуры с целью улучшения их характеристик.
Оптимизация траектории проводится с целью уменьшения реверса
приводных двигателей во время перемещения рабочего инструмента,
т.к. реверс вызывает нежелательные переходные процессы и может
служить источником автоколебаний.
В третьей главе дан анализ схемотехнических решений
исполнительных механизмов электромеханического и электрогидравлического
типов, методы и результаты исследования их динамических
характеристик. Получены основные аналитические зависимости и дан их
сравнительный анализ, представлены результаты математического
моделирования. Обоснована возможность применения шаговых двигателей
в системе привода.
В четвертой главе показана возможность применения нейронных
сетей для управления движением станков параллельной структуры,
приводится анализ возникающих при этом ошибок. Показано применение
аппарата нейронных сетей для аппроксимации траектории движения
рабочего инструмента при обработке криволинейных поверхностей.

Глава 1
ОБЗОР КОНСТРУКЦИЙ РОБОТОВ-СТАНКОВ
С МЕХАНИЗМАМИ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ
СТРУКТУРЫ
1.1. Концепция развития инновационного
станкостроения
Концепция развития инновационного станкостроения России до
2010 г. разработана коллективом сотрудников Инновационного
промышленного комплекса «Инновационное станкостроение» (ИПК ИС),
Ассоциации инновационного станкостроения и мехатроники (АИММ),
Экспериментальным НИИ металлорежущих станков (ОАО ЭНИМС),
Национального института авиационных технологий (ОАО НИАТ) при
участии специалистов МЭИ и МГТУ «Станкин».
В первом разделе концепции определено понятие «инновация» как
общественный, технический, экономический, управляемый процесс,
который через практическое использование нововведений
(научно-технических идей и изобретений) приводит к созданию лучших по своим
свойствам изделий, технологий, дающих при появлении на рынке
добавочную прибыль или решающих экономические и социальные
проблемы. Суть инновационной деятельности — внедрение нововведений.
Важнейшим понятием концепции инновационного станкостроения
является «инновационный станок» (ИСТ). Инновационный станок, или
производственный комплекс, реализующие перспективную технологию
станкостроения, обеспечивают многоразовое увеличение
потребительских свойств, в том числе для продукции машиностроительного
комплекса (МСК). Инновация охватывает весь спектр видов
деятельности — от исследований и разработок до маркетинга продукции, всегда
учитывая потребности и запросы рынка.
Станкостроение рассматривается, с одной стороны, как базовая
отрасль машиностроения, снабжающая технологическим оборудованием,
формируя их технологическую среду, все стратегические отрасли
отечественного машиностроительного комплекса (авиастроение,
оборонное машиностроение, судостроение, автомобильную промышленность,
энергетическое, нефтехимическое машиностроение и др.), и, с другой
стороны, как изготовитель наукоемкой продукции,
конкурентоспособной на отечественном и мировом рынках. Невозможно организовать
производство конкурентоспособного наукоемкого продукта, не имея

8 Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
в составе технологической цепочки определяющего
высокоэффективного технологического оборудования.
Процесс развития технологической среды машиностроительного
комплекса в различных отраслях промышленности идет одновременно
по четырем направлениям:
— модернизация существующего технологического оборудования;
— создание нового оборудования, аналогичного ранее выпускаемому;
— импорт необходимого оборудования и комплектующих изделий;
— новое высокоэффективное оборудование, созданное в рамках
развития инновационного отечественного машиностроения.
Инновационный процесс в станкостроении предусматривает
разработку с последующим внедрением:
— базовых технологий станкостроения (высокоскоростная
обработка резанием, «сухое» резание, лазерная обработка, электрофизические
методы обработки, водоструйная обработка, сверхпрецизионные и на-
нометрические технологии, комбинированные методы обработки);
— информационных технологий («безбумажные» технологии на
всех стадиях жизненного цикла изделия — от заказа до эксплуатации;
обмен цифровой информацией между участниками разработки,
изготовления изделий и заказчиками; интегрированные системы
управления предприятиями; информация о ходе процесса обработки на станке);
— станков с параллельной структурой;
— мехатронных компонентов;
— новых материалов;
— мероприятий по энергосбережению;
— решения проблем экологии и техники безопасности.
Конструкции традиционных станков, начиная с 1985 г. претерпели
коренные улучшения в связи с использованием нового поколения
комплектующих изделий (высокомоментных двигателей, широкорегу-
лируемых приводов главного движения, микропроцессорных систем
с ЧПУ и др.).
Принципиальным с точки зрения обеспечения эффекта
инновационного станкостроения является освоение производства отечественной
промышленностью комплексных систем ЧПУ на базе промышленных
персональных компьютеров, цифровых электроприводов и современных
измерительных систем, а также новых материалов (алюминиевых
сплавов, синтеграна и др.), определяющих функциональные и технические
характеристики перспективного технологического оборудования. При
этом особое внимание следует уделить комплектующим изделиям,
способствующим внедрению в отечественном машиностроении и
станкостроении новых информационных технологий (диагностических
датчиков для контроля состояния узлов станка и режущего
инструмента, протекания процесса резания, температурных деформаций станка,

1.1. Концепция развития инновационного станкостроения 9
аппаратных средств для встройки в информационную систему более
высокого уровня и др.).
1.1.1. Роботы-станки параллельной структуры. Наряду с
традиционными «последовательными» кинематическим схемами роботов-
станков, допускающими независимое изменение узлов по одной из
координат при неизменном значении других координат, в последние
годы появился новый класс металлорежущих станков «параллельной»
структуры, у которых все координаты связаны и перемещение по любой
одной координате требует одновременного согласованного изменения
всех других. Отличительной особенностью таких станков является
связь посредством шарнирных штанг узла, на котором установлена
обрабатываемая деталь, с узлом, несущим инструмент, причем требуемая
траектория перемещения инструмента относительно детали
достигается согласованным изменением либо длин этих штанг, либо угловых
и линейных положений штанг постоянной длины.
Перечисленные станки позволяют производить перемещения
инструмента относительно обрабатываемой детали в некотором объеме,
определенном структурой и размерами несущей системы.
Помимо «объемных» станков нашли применение стержневые
«плоские» станки, у которых инструмент перемещается относительно детали
только в одной плоскости (так называемые Ж-образные станки,
например Dyna-M).
Инновационный характер станков параллельной структуры,
помимо оригинальности, определяется их существенными преимуществами
в некоторых областях использования перед станками с традиционной
кинематикой, а именно:
— оптимальные условия хранения станков для реализации
скоростной обработки (значительно меньшая масса подвижных частей
и постоянство их массы);
— значительное упрощение конструкции в особенности по
сравнению со станками для пятикоординатной обработки (простая станина,
где все приводы перемещения узлов и измерительные системы
одинаковы, значительное уменьшение количества узлов и общего количества
деталей, отсутствие «наслоения» одних узлов на другие, повторяемости
деталей);
— значительное сокращение общей массы станка;
— штанги работают только на растяжение-сжатие при отсутствии
изгибающих нагрузок;
— высокая жесткость несущей системы станка;
— легкая сборка станка.
Вместе с тем рассматриваемые станки имеют определенные
недостатки, существенно ограничивающие область их преимущественного

10
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
использования по сравнению со станками традиционной структуры,
а именно:
— даже простейшие прямолинейные перемещения инструмента
вдоль основных координатных осей требуют одновременного изменения
длин всех штанг, работы приводов и обеспечения точности
результирующего перемещения интерполяцией всех составляющих
перемещений. Несмотря на высокие динамические характеристики современных
приводов, высокоточные измерительные системы и быстродействующие
УЧПУ, перемещение одного узла по хорошей направляющей в
традиционных станках позволяет получать при резании, с колебаниями
нагрузки в особенности при фрезеровании, более высокую точность
обработки простых поверхностей;
— нагрузочная и демпфирующая способности штанг, их шаровых
шарниров о других контактных сопряжений при перемещении
платформы со шпинделем у рассматриваемых станков намного ниже, чем
у направляющих при традиционной кинематике станков. Поэтому
первые не могут воспринимать большие силовые нагрузки (в особенности
переменные), возникающие при обдирочных работах, и позволяют
производительно выполнять только чистовую обработку с относительно
небольшим сечением стружки и усилиями резания;
— система стержней ограничивает возможность угловых наклонов
шпинделя обычно диапазоном ±30°, что не позволяет производить
полную пятикоординатную обработку корпусных деталей без
дополнительной установки на подвижную платформу поворотной головки;
— неблагоприятное соотношение объема рабочего пространства
к объему станка, затрудненный доступ к обрабатываемой детали при
наладочных работах, ограничения для автоматизации смены
инструментов из магазина и смены столов-спутников.
В связи с вышеизложенным настоящая концепция
предусматривает ограничение области преимущественного использования станков
параллельной структуры чистовой обработки деталей со сложными
объемными поверхностями таких, например, как штампы,
пресс-формы, импеллеры, лопатки турбин авиационных двигателей и т. п. (эти
ограничения не относятся к области использования измерительных
машин параллельной структуры).
Прогнозируемый объем выпуска таких станков к концеу 2010 г. не
должен превышать ~ 20% от общего выпуска инновационных станков.
В рассматриваемом концепцией периоде, предусматривается
разработка и освоение производства наиболее перспективных станков
параллельной структуры — гексаподов с вертикальной и горизонтальной
компоновками.
Все станки должны обеспечивать высокоскоростную обработку
деталей. Из известных структур гексоподов предпочтение следует отдать

1.1. Концепция развития инновационного станкостроения 11
структуре с верхним для вертикальных и вынесенным боковым для
горизонтальных расположением стержневой системы (по типу станков
фирмы «Ингерсолл»).
Должны быть предусмотрены исполнения с автоматической сменой
инструментов из магазина и сменой столов-спутников.
1.1.2. Мехатронные компоненты. Одним из важнейших
направлений в разработке и освоении производства инновационных станков
является применение мехатронных компонентов, сочетающих в одном
конструктиве средства прецизионной механики, электроники,
электротехники. Конструктивное объединение исполнительного и приводного
элементов механизмов линейных и вращательных перемещений
станков, реализующих концепцию привода прямого действия Direct Drive,
позволяет исключить промежуточные механические преобразователи
и передачи, повысить точность, быстродействие, снизить потери.
Наличие в таких конструкциях встроенных систем автоматического
управления и датчиков контроля технологического процесса превращает
мехатронные узлы в интеллектуальные модули, на базе которых могут
создаваться станки нового поколения традиционной и нетрадиционной
компоновок, в том числе с параллельной структурой.
Применение мехатронных компонентов позволяет:
— существенно повысить производительность станков с
реализацией технологий скоростной обработки,
— упрощать и облегчать конструкцию станков, в том числе за счет
устранения громоздких кинематических звеньев и др. деталей,
— реализовать принцип агрегатно-модульного конструирования.
Основными станочными мехатронными узлами являются:
— высокоскоростные электрошпиндели,
— модули линейных перемещений на базе линейных двигателей,
— модули вращательных перемещений (поворотные столы),
— координатно-силовые столы,
— мотор-редукторы с волновой и планетарной передачами,
— другие станочные узлы (инструментальные головки,
револьверные головки, план-суппорты).
В качестве системы управления мехатронных компонентов
основным техническим решением является цифровой микропроцессорный
электропривод, имеющий функции адаптивного управления, системы
связи и обменных сигналов с устойчивыми ЧПУ, измерительными
и технологическими датчиками контроля.
Новейшим направлением в развитии мехатронных компонентов
является создание систем цифрового управления, встроенных в
конструкцию электродвигателя и мотор-редуктора. Это первый пример
интеллектуального мехатронного модуля.

12
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
Среди мехатронных компонентов важное место занимают
устройства микромеханики, применяемые в особоточных механизмах, и
решающие задачи нанотехнологий.
В качестве первоочередной номенклатуры станочных мехатронных
компонентов следует выделить:
— высокоскоростные электрошпиндели мощностью 10-40 (80) кВт,
с максимальной частотой вращения 40000 (80000) об/мин, с
гибридными подшипниками или электромагнитными опорами, системами
специальной смазки опор и эффективного охлаждения корпуса
электрошпинделя;
— модули линейных перемещений на базе линейных двигателей,
имеющие высокие технические характеристики: максимальное усилие
до 20000 Н, максимальная длина перемещения — не ограничивается,
максимальная скорость — 150-210 м/мин, ускорение до 5g;
— поворотные столы, развивающие моменты от 100 до 2500 Нм
диаметром 200-2000 мм, максимальная частота вращения 12-100об/мин,
точность 5угл.с;
— комплектные цифровые электроприводы для механизмов главного
движения мощностью до 100 кВт, для механизмов перемещения узлов
с крутящими моментами до 200 Нм.
Дискретность отсчета в электроприводах — менее 0,5 мс, полоса
пропускания частот более 0,4 кГц.
Создание и внедрение мехатронных компонентов позволит
обеспечить:
— повышение производительности и точности в 2-3 раза;
— снижение металлоемкости в 1,5 раза;
— снижение энергоемкости на 15-20%;
— обеспечение новых технологических возможностей станков;
— сокращение в 2-2,5 раза потребных производственных мощностей.
Основным результатом применения мехатронных компонентов
является создание новых видов металлообрабатывающего оборудования
высшего современного технического уровня. Разработка
перспективной номенклатуры мехатронных компонентов — интеллектуальных
мехатронных модулей и узлов — позволит в ближайшие годы приступить
к созданию нового поколения гибкого технологического оборудования,
в т. ч. для средне- и крупносерийных производств.
1.2. Направления и структура исследований
При исследовании и создании роботов-станков необходимо решить
следующие задачи:
— структурный анализ и синтез,
— выбор схемы и его конструкции привода и типов датчиков,

1.2. Направления и структура исследований
13
— синтез системы управления.
Структура исследований показана на рис. 1.1.
К задачам структурного анализа и синтеза относятся проблемы
классификации, синтез структуры, адекватной поставленной задаче,
оптимизация полученной структуры, проверка степени ее
устойчивости. Специфической проблемой данного класса механизмов является
также возможность возникновения особых положений, при которых
Роботы-станки
параллельной структуры
Структурный анализ и
синтез
i
Классификация
Синтез структуры
Оптимизация
структуры
Проверка степени
устойчивости
Особые положения и 1
выход из них
Синтез цифровых
алгоритмов управления
zn
— Частотные методы
Адаптивное
управление
Инвариантное нели -
нейное управление
Оптимальное
управление в
пространстве
состояния
Управление на основе
нейронных сетей
Управление на основе
сверхустойчивости
1— Робастное управление
Схемы и конструкции
приводов
Оптимальное
управление по норме Н2
Оптимальное
управление по норме н°

Электрогидравлические

Электромагнитные
Магнитно-
стрикционные

Пьезоэлектрические

Электромеханические
С передачей "винт-
гайка"
С червячной передачей
или параллелограмным
механизмом
Рис. 1.1. Структура исследований

14
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
они теряют управляемость. Мы не касаемся данного круга задач,
подробно освещенных в работах [3, 4, 32]
Существует большое количество схем и конструктивных
исполнений приводов станочного оборудования на основе МПС. Привод
штанги может быть электромагнитным, электрогидравлическим,
электромеханическим, пьезоэлектрическим или магнитострикционным. В свою
очередь, электромеханические приводы делятся на приводы без
самоторможения и приводы с самотормозящимися передачами, например,
с передачей винт-гайка или с червячной передачей и параллелограмм-
ным механизмом. В качестве датчиков в цепях обратной связи могут
использоваться датчики напряжения, скорости, силомеры,
акселерометры, геофоны. Также могут использоваться разнообразные
конструкции шарниров, с помощью которых штанги крепятся к основанию
и подвижной платформе.
В станочном оборудовании рассматриваемого типа широко
применяют электрогидравлические исполнительные механизмы, которые
вследствие повышенной сложности конструкции при эксплуатации системы
не исключают возникновение проблем при работе в неблагоприятных
средах. Кроме того, необходимо наличие гидросистемы.
Электромеханический исполнительный механизм является
наиболее простым по своему конструктивному исполнению,
эксплуатационным характеристикам и обеспечивает возможность эксплуатации
в неблагоприятных средах. Частотный диапазон работы механизма
определяется, главным образом, частотным диапазоном используемого
электродвигателя. Как правило, можно построить систему так, чтобы
частотный диапазон покрывал всю рассматриваемую частотную
область в нижней части спектра. В качестве датчиков обратных связей
используются акселерометры, установленные на объекте и основании,
и датчик относительного перемещения.
Следующим направлением работы является создание системы
управления, обеспечивающей решение поставленных задач. Здесь
применимы следующие методы:
— частотные методы синтеза, основанные на составлении и
решении уравнения Винера-Хопфа;
— методы теории пространства состояний;
— методы робастного управления, в частности методы оптимизации
по нормам Я2 и Я°°;
— методы адаптивного управления;
— методы построения инвариантного нелинейного управления;
— методы теории нейронных сетей и т. д.

1.3. Примеры станочного оборудования
15
1.3. Примеры станочного оборудования на базе
механизмов параллельной структуры
Число степеней свободы для механизма параллельной структуры
с голономными связями вычисляется по известной формуле Малышева
W = 6п - 5р\ - 4р2 - Зр3 - 2р4 -Р5. (1-1)
где п — число подвижных звеньев (подвижных тел механизма),
р\ — число одноподвижных пар (пятого класса), p<i — число двух
подвижных пар (четвертого класса), рз — число трех подвижных пар
(третьего класса), р\ — число четырех подвижных пар (второго
класса), р5 — число пяти подвижных пар (первого класса).
Уравнение (1.1) получается из условия, что п подвижных тел
перемещаются по шести независимым координатам каждое. Тогда
суммарное число степеней свободы для п тел будет 6п. Но р\ одноподвижных
пар накладывают 5р\ ограничений (дают 5р\ уравнений связей).
Соответственно остальные пары в соответствии с их числом подвижностей
накладывают соответствующее число ограничений. Тогда число
степеней подвижности для механизма, имеющего п подвижных звеньев,
определяется разностью между общей суммой степеней свободы всех
перемещающихся тел механизма и общим числом ограничений,
которые накладывают соединения между звеньями (пары звеньев).
Таким образом, разные значения формулы позволяют получить
разные типы механизмов. В табл. 1.1 приведены наиболее
распространенные типы МПС.
Таблица 1.1.
Типы МСПС
Трипод
Тетрапод
Тетрапод
Гексапод
п
3
4
4
6
6j = (tj -Oj)f (netj)
3
4
4
6
Pi
3
2
0
0
P2
5
2
6
6
Рз
3
4
2
6
W
3
4
4
6
Наиболее распространенным механизмом является гексапод,
обеспечивающий 6 степеней свободы. Широким распространением они
обязаны наличию целого ряда преимуществ. Так, в отличие от
традиционных многокоординатных последовательных систем, в которых
погрешности по каждой из осей суммируются, погрешности в
механизмах параллельной структуры могут взаимно компенсироваться, так что
точность может достигать долей микрона.

16
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
Другое серьезное преимущество гексаподов заключается в том, что
центр вращения может оставаться постоянным во время всего
перемещения. Жесткое соединение концов штанг обеспечивает отсутствие
«мертвого хода», а также повышенную жесткость и несущую
способность платформы. Одно из наиболее интересных исполнений гексапо-
да предусматривает закрепление рабочего инструмента на подвижной
платформе.
Еще одним существенным преимуществом гексаподов является
высокая точность измерения относительных перемещений платформы
и основания, что позволяет применять их в особо точных станках,
робототехнических системах и в медицине; а так же парирование
воздействий низкочастотных колебаний и ударов от основания к
платформе и наоборот, что позволяет применять их в технологическом
оборудовании и системах активной виброизоляции. В этом случае
решается обратная робототехническая задача: при любых случайных
воздействиях со стороны подвижного основания построить такой закон
управления приводными механизмами, при котором объект
(платформа) является неподвижным в инерциальной системе координат. При
этом необходимо рассмотреть вопросы выбора схем и конструкций
приводов и типа датчиков, а также синтеза системы управления.
Первый механизм параллельной структуры был предложен
Дж. Гвиннетом еще в 1931 г. (см. рис. 1.2) [26]. Он предложил
смонтировать под полом зрительного зала кинотеатра своеобразный
гидравлический механизм, позволяющий перемещать зрительские
кресла в соответствии с происходящим на экране. Однако, изобретение
так и не было реализовано.
Рис. 1.2. Схема «увеселительного устройства» Дж. Гвиннета

1.3. Примеры станочного оборудования
17
Первое индустриальное применение механизмов параллельной
структуры — это созданная Гоугом в Великобритании в конце
1950 г. машина для испытания механических свойств материала
шин (рис. 1.3) [25]. Фактически это был огромный чувствительный
элемент, способный измерять силы и моменты на испытываемом
колесе во всех направлениях. Несколько лет спустя, соотечественник
Гоуга Стюарт создал проект симулятора полетов (рис. 1.4) [44].
В комментариях к статье Стюарта, Гоуг и другие авторы отмечали, что
устройство Стюарта чрезвычайно похоже на описанную выше машину
для испытания шин. Проект Гоуга представлял из себя полностью
параллельное устройство, в то время как устройство, разработанное
Стюартом, было последовательно-параллельным. Однако название
платформы Стюарта часто связывают с полностью параллельными
устройствами.
Рис. 1.3. Рис. 1.4.
1.3.1. Трехстепенные (триподы). Данная группа механизмов
параллельной структуры обеспечивает перемещение выходного звена по
трем независимым координатам. Станочное оборудование, построенное
на трехстепенных механизмах параллельной структуры, как
правило, имеет три управляемые координаты в различном сочетании. Все
требуемые движения (в данном случае не более трех) реализуются
механизмом параллельной структуры [1].
Примером является многоцелевой станок Ulyses от Fatronic
(Испания) (см. рис. 1.5, а) [42], который обеспечивает перемещение
выходного звена по трем декартовым координатам.

18
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
Рис. 1.5. Станок модели Ulyses: а — общий вид станка, б — кинематическая
схема
Выходное звено (/), на котором установлен шпиндель, связано со
станиной станка (2) четырьмя кинематическими цепями (рис. 1.5,6).
Три из них содержат приводы (3). Данные кинематические цепи
представляют телескопические штанги с шариковой винтовой передачей.
Кинематическая цепь (4) не содержит исполнительных приводов и
представляет достаточно сложный механизм, обеспечивающий свободное
перемещение выходного звена по трем координатам. Цепь (4)
обеспечивает перемещение в вертикальной плоскости по двум координатам. Для
увеличения жесткости конструкции данной цепи, от действия изгиб-
ных моментов в плоскости его перемещения, каждое звено при
соединении с другим звеном имеет по две разнесенные опоры. Перемещение
в направлении оси z осуществляется по скользящим направляющим.
Максимальная скорость движения выходного звена 120м/мин,
а ускорение 11,5 м/с2. Объем рабочего пространства 600x500x600мм3.
Частота вращения шпинделя 30000 об/мин. Мощность привода
шпинделя 15 кВт.
В станке SKM 400 фирмы Heckert (Германия) (рис. 1.6, а)
используются механизмы параллельной структуры, обеспечивающие три
степени свободы для выходного звена с достаточно громоздкой
конструкцией пассивной кинематической цепи [43].
Выходное звено (3) связано с основанием (1, 6) тремя
кинематическими цепями, реализованными в виде штанг с расположенными
в них приводами (2) и одной пассивной кинематической цепью (4)
(рис. 1.6,6). Пассивная кинематическая цепь обеспечивает
перемещение в плоскости по двум координатам и вращение вокруг оси а.

1.3. Примеры станочного оборудования
19
а б
Рис. 1.6. Станок модели SKM 400: а — общий вид станка, б — кинематическая
схема
В состав станка входит управляемый поворотный стол (5), который
обеспечивает дополнительную степень подвижности, что в
совокупности позволяет перемещать инструмент относительно обрабатываемого
изделия, устанавливаемого на поворотном столе, по четырем
управляемым координатам.
Максимальная скорость движения выходного звена составляет
100 м/мин и ускорение 1 g.
В последнее время трехстепенные механизмы параллельной
структуры достаточно широко используют в качестве основных модулей,
которые реализуют три степени свободы шпинделя. Подобные модули
предназначены для встраивания их в традиционные компоновки.
Примером такого модуля является модуль Sprint-Z3 (см. рис. 1.7, а) [29].
Выходное звено (/) модуля связано с основанием (2) тремя
кинематическими цепями (рис. 1.7, б). Каждая кинематическая цепь состоит
из штанги (3), которая связана с выходным звеном (/) сферическим,
а с ползуном (4) поворотным шарнирами. Ползун (4) перемещается по
направляющей (5). Привод установлен для перемещения ползуна (4)
по направляющей.
Структура данного механизма обеспечивает выходному звену
перемещение по трем независимым координатам, одно из которых —
перемещение вдоль оси, параллельной оси направляющих. Такие модули

20
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
Рис. 1.7. Станочный модуль Sprint-Z3: а — общий вид модуля, б —
кинематическая схема
можно встраивать в традиционные компоновки, которые обеспечивают
две поступательных степени свободы по двум взаимно
перпендикулярным осям.
Технологические возможности оборудования на основе
трехстепенных структур можно повысить, используя дополнительные
перемещения элементов его структуры (см. рис. 1.8). Выходное звено
механизма (/) связано с основанием (5) тремя кинематическими цепями в виде
штанг постоянной длины (3), связанными с ползунами, которые
перемещаются по направляющим (4). В свою очередь основание
(5)-установлено на платформе, которая перемещается вдоль станины
оборудования (2). Рабочий стол (6), на котором устанавливается заготовка,
также может перемещаться относительно станины (2) в направлении
перпендикулярном направлению перемещения основания (5). Такое
решение позволяет значительно расширить объем рабочего пространства
станка.
Сейчас появляется интерес к так называемым «дельта-структурам»
трехстепенных механизмов [2]. Основное отличие «дельта-структур»
заключается в использовании параллельных конструктивных
элементов. Как правило, такими элементами являются штанги.
Станок модели Quickstep HS 500 фирмы «Krauseco&Mauser»
(Австрия) создан на основе «дельта-структуры» (см. рис. 1.9, а).
Шпиндель, установленный на выходном звене механизма (/),
соединен со станиной станка через три кинематические цепи (рис. 1.9,6).
Причем в каждой кинематической цепи установлены парные
штанги (2), связанные с ползунами (3). В такой схеме нагрузку в каждой
цепи воспринимает не одна, а пара штанг. За счет этого повышается
жесткость структуры.
Максимальная скорость движения выходного звена 80 м/мин,
а ускорение 2g. Объем рабочего пространства 630 х 630 х 500 мм3.

1.3. Примеры станочного оборудования
21
Рис. 1.8. Оборудование на основе трехстепенного механизма параллельной
структуры с расширенными технологическими возможностями
Рис. 1.9. Станок модели Quickstep HS 500: а — общий вид, б — кинематическая
схема
Станок URANE SX (см. рис. 1.10), также выполнен по схеме
«дельта». Максимальная скорость движения выходного звена URANE SX
100 м/мин, а ускорение более 3,5 g. Объем рабочего пространства
500 х 500 х 200 мм3. Перемещение ползунов осуществляется с
помощью линейных двигателей.
Схема «дельта» используется и в станке PEGASUS (см. рис. 1.11)
[22]. Данное оборудование проектировалось для обработки с
обеспечением пяти степеней свободы. Механизм параллельной структуры

22
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
Рис. 1.10. Станок модели URANE SX
Рис. 1.11. Станок модели PEGASUS
используется для реализации трех из них, а именно трех перемещений.
Остальные перемещения могут быть реализованы установкой
специальной насадки на выходном звене. Концепция данного оборудования
направлена на увеличение рабочей зоны станка со свободным к ней

1.3. Примеры станочного оборудования
23
доступом. Конструктивно все три направляющие ползунов выполнены
в одной горизонтальной штанге, параллельно друг другу и
расположенных на двух уровнях. Такое решение позволяет увеличить рабочую
зону в направление одной из линейных координат увеличением длины
направляющей штанги. Также возможна установка нескольких
параллельных механизмов на одной штанге. Все это значительно облегчает
изменение технологических возможностей станка.
Станок имеет следующие характеристики: скорость движения
выходного звена 120 м/мин, ускорение 10 м/с2; максимальные
перемещения по осям х, у и z составляет 5000 мм, 1400 мм и 250 мм
соответственно.
Все рассмотренные выше «дельта-структуры» используют
поступательные приводы. Данную структуру можно реализовать с
использованием вращательных приводов. В следующем примере приведена
«дельта-структура» на основе вращательных приводных механизмов
(рис. 1.12,а).
Выходное звено (/) связано с основанием (5) с помощью трех
кинематических цепей (рис. 1.12,6). Каждая кинематическая цепь также
имеет парные штанги (2). Но штанги связаны с рычагом (<?),
приводимым в движение (вращение рычага) приводом (4). В такой схеме
Рис. 1.12. Оборудование модели DELTA: а — общий вид, б — кинематическая
схема

24
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
для передачи вращения к шпинделю выходного звена используется вал
переменной длины (7) с приводом (6), установленным на основании.
Схема «дельта» призвана обеспечить более высокую жесткость
механизма, так как в каждой кинематической цепи нагрузки
воспринимаются парой штанг, и, следовательно, нагрузка, воспринимаемая каждой
штангой, уменьшается.
Ниже приведен пример экспериментальной «дельта-структуры»
механизма параллельной структуры (рис. 1.13, а). Основное отличие ее
заключается в том, что оси трех поступательных приводов взаимно
перпендикулярны и пересекаются в одной точке (рис. 1.13,6).
Рис. 1.13. Пример экспериментального механизма «дельта-структуры»:
а — общий вид, б — кинематическая схема
Можно привести еще несколько возможных вариантов
трехстепенных механизмов, которые в очередной раз показывают,
насколько разнообразен вид рассмотренных выше механизмов параллельной
структуры [20].
В первом примере (рис. 1.14, а) выходное звено (/) связано с
основанием (2) тремя кинематическими цепями. Каждая кинематическая
цепь состоит из двух штанг (3) и (4), которые связаны между собой
сферическим шарниром. Штанга (3) связана с выходным звеном (/)
а штанга (4) связана с основанием (2) вращательными парами. Привод
может быть установлен в одной из вращательных пар каждой
кинематической цепи.
Во втором примере (см. рис. 1.14,6) выходное звено (/) связано
с основанием (2) тремя кинематическими цепями. Причем штанга (3)
связана с желобом (4) выходного звена сферой, так, что сфера может
не только вращаться вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, но
и перемещаться вдоль желоба. Другая часть штанги (3) установлена
в отверстии детали (5) так, что штанга может перемещаться вдоль

1.3. Примеры станочного оборудования
25
Рис. 1.14. Примеры схем трехстепенных механизмов параллельной структуры:
а — общий вид, б — кинематическая схема
своей оси. Привод можно установить для перемещения штанги вдоль
своей оси.
При использовании механизмов параллельной структуры можно
реализовать такую кинематическую схему, в которой при перемещении
одного из приводов выходное звено будет перемещаться только по
одной из координат. Это реализовано в следующей структуре [24]
(см. рис. 1.15, а). Выходное звено (/) связано с основанием (2) тремя
кинематическими цепями (см. рис. 1.15,6). Кинематические цепи
механизма содержат по две штанги (3) и ползун (5), который перемещается
по направляющей. Все элементы цепи связаны между собой только
вращательными кинематическими парами (5).
Рис. 1.15. Схема трехстепенного МСПС: а — общий вид, б — кинематическая
схема
Отличительной особенностью представленного на схеме
(рис. 1.15,6) трехстепенного механизма является то, что оси всех
кинематических пар (5) в каждой цепи параллельны друг другу и ось

26
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
перемещения соответствующего ползуна также параллельна осям
пар (5). В результате, при перемещении одного из ползунов выходное
звено перемещается только вдоль одной из осей параллельной оси
перемещения ползуна. Таким образом, мы получаем линейную
зависимость между координатами положения выходного звена и величинами
перемещения ползунов по направляющим, что не характерно для
структур параллельной структуры. Поэтому рассмотренная структура
вызывает повышенный интерес, в том числе и для применения
ее в станках. Данной структурой можно заменить традиционные
компоновки станков с тремя степенями свободы исполнительного звена
(тремя перемещениями вдоль взаимно перпендикулярных осей). При
этом получаются простые зависимости между положением приводных
звеньев (в данном случае ползуны) и положением выходного звена.
На схемах (рис. 1.16,а, б) приведены варианты структур с другой
геометрией. Здесь выходное звено (/) связано с основанием (2) также
тремя кинематическими цепями со штангами (3) и ползуном (4). В
данных структурах оси кинематических пар цепей параллельны* между
собой, но в отличие от предыдущей структуры они скрещиваются
с соответствующими осями перемещения ползунов.
Рис. 1.16. Примеры кинематических структур «триптерон» : а — общий вид,
б — кинематическая схема
Трехстепенные механизмы с дополнительной кинематической
цепью. Существует еще и вторая группа оборудования параллельной
структуры на основе трехстепенных механизмов [19], ключевое
отличие которых заключается в наличии центральной кинематической
цепи, не содержащей привода. Такая цепь выполнена на основе
массивной трубы, как правило, с большим диаметром, чем у других
кинематических ветвей. Она предназначена для восприятия изгибающих

1.3. Примеры станочного оборудования
27
деформаций. Эта цепь оказывает влияние на угловую ориентацию
выходного звена при его движении. Конструкция отличается
характером нагрузок, которые воспринимают кинематические цепи. Так,
например, приводные цепи такого механизма параллельной структуры
работают в основном на растяжение и сжатие (изгибающие нагрузки
воспринимает центральная кинематическая цепь без привода), в то
время как у трехстепенных механизмов, рассмотренных выше, они
работают еще и на скручивание.
В качестве примера использования подобных структур в
технологических машинах можно привести Tricept TR805 фирмы NEOS Robotics
(см. рис. 1.17, а), который выполнен в виде отдельного
технологического модуля.
Выходное звено структуры (/) связано с основанием (2) четырьмя
кинематическими цепями (рис. 1.17,6). Три цепи выполнены в виде
штанг переменной длины с приводами (<?). Причем эти штанги
связаны с основанием (2) карданными шарнирами (4), а с выходным
звеном — сферическими (5). Одна из кинематических цепей выполнена
Рис. 1.17. Оборудование модели Tricept TR805 фирмы NEOS Robotics:
а — общий вид, б — кинематическая схема

28
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
в виде массивной трубы без привода (6), которая жестко связана с
выходным звеном (/). Труба (6) может свободно перемещаться вдоль оси
втулки (7), но не может совершать поворот вокруг ее оси. Втулка (7)
связана с основанием (2) карданным шарниром. В такой структуре
происходит изменение угловой ориентации выходного звена при его
перемещении за счет центральной кинематической цепи без привода.
Благодаря такой структуре центральная кинематическая цепь
воспринимает все изгибные нагрузки, что позволяет повысить жесткость
станка. Все трехстепенные механизмы с дополнительной кинематической
цепью оснащены дополнительной насадкой на выходном звене, которая
предназначена для изменения угловой ориентации шпинделя. Это
необходимо для того, чтобы компенсировать изменение угловой ориентации
выходного звена и расширить технологические возможности станка.
Этот модуль может быть использован, как вспомогательный так
и основной, для установки в различном оборудовании. Такой
модульный подход открывает качественно новые возможности. На одной
станине можно, например, установить несколько технологических модулей
и получить требуемое технологическое оборудование [37].
1.3.2. Четырехстепенные (тетраподы). Следующая группа
оборудования на основе механизмов параллельной структуры — это
механизмы с четырьмя степенями свободы. Пока применение в
машиностроении таких механизмов ограниченно. В качестве примера можно
привести обрабатывающий центр (Китай) (рис. 1.18, а) [50].
Рис. 1.18. Станок на основе тетрапода: а — общий вид, б — кинематическая
схема
Параллельный механизм имеет структуру (см. рис. 1.18,6), в
которой выходное звено (/) связано с основанием четырьмя
кинематическими цепями. Каждая кинематическая цепь содержит штангу

1.3. Примеры станочного оборудования 29
постоянной длины (2) и ползун (3) перемещающийся по
направляющим (4). Шарнирные соединения штанг с выходным звеном имеют три
степени свободы и реализованы сферическим шарниром, а шарнирные
соединения штанг с ползунами в двух цепях имеют одну степень
свободы, в оставшихся — две степени свободы. Центры крепления двух
кинематических цепей с выходным звеном совпадают. Такой механизм
имеет четыре степени свободы, а именно перемещения по осям у и г,
и вращение вокруг осей х и у. Перемещение по оси х достигается
подвижным столом.
Максимальная скорость движения выходного звена 30 м/мин,
а ускорение 5 м/с2. Объем рабочего пространства 800 х 500 х 600 мм3.
В качестве следующего примера можно привести
экспериментальную модель четырехстепенного механизма (см. рис. 1.19).
Рис. 1.19. Экспериментальная модель четырехстепенного механизма

30
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
Выходное звено механизма связано с основанием тремя
кинематическими цепями. Основная идея механизма заключается в использовании
структуры близкой к «дельта», а именно две кинематические цепи
выполнены по такой схеме. Кинематические цепи, выполненные по
схеме «дельта», крепятся к выходному звену таким образом, что одна
из осей вращения обоих шарнирных соединений расположена по одной
прямой. На этой же прямой расположена точка крепления шарнира
соединяющего третью кинематическую цепь с выходным звеном. Эта
цепь выполнена в виде штанг постоянной длины с карданными
шарнирами на обоих концах. Каждая кинематическая цепь содержит ползуны
с приводами. Это структура обеспечивает три степени свободы
выходного звена, а точнее три перемещения. Особенностью данного
механизма является то, что третья цепь, выполненная в виде штанги, имеет
дополнительный привод, размещенный непосредственно на ползуне.
Этот привод приводит во вращение штангу цепи вокруг своей оси. Так
как штанга связана с выходным звеном карданным шарниром, то она
передает это вращение выходному звену. Это обеспечивает четвертую
степень свободы механизму, т. е. вращение вокруг оси, совпадающей
с одной из осей вращения двух других «дельта» кинематических цепей.
Другим примером экспериментальной структуры является
механизм с четырьмя кинематическими цепями в виде штанг постоянной
длины (рис. 1.20, а).
Структурная схема механизма приведена на рис. 1.20,6. Выходное
звено (/) связано с основанием (2) четырьмя кинематическими цепями.
Две из них содержат штанги постоянной длины (5), которые связаны
с выходным звеном сферическими шарнирами, а с ползунами
карданными. Другие две кинематических цепи содержат штанги постоянной
а б ^^х в
Рис. 1.20. Структурная схема экспериментального механизма: а — общий вид,
б и в — кинематические схемы

1.3. Примеры станочного оборудования
31
а
Рис. 1.21. Структурные схемы экспериментальных механизмов с увеличенными
углами наклона выходного звена: а — общий вид, б — кинематическая схема
длины (3), которые связаны с выходным сферическими шарнирами,
а с ползунами (4) вращательными парами.
Выходное звено механизма данной структуры имеет две
поступательные и две вращательные степени свободы.
В другой структурной схеме экспериментального механизма
выходное звено имеет три поступательных и одну вращательную степени
свободы (см. рис. 1.21, а). Структура станка выполнена по схеме с
четырьмя кинематическими цепями (рис. 1.21,6).
Кинематические цепи содержат одну, две или три штанги (см.
схему). Такое решение позволило обеспечить больших углов наклона
выходного звена, до 180°. Использование такой структуры в станке
позволит значительно расширить его технологические возможности.
Построенный опытный образец имеет поворотный рабочий стол.
1.3.3. Шестистепенные (гексаподы). Из всех ранее
рассмотренных механизмов: двухстепенных, трехстепенных и т.д., только
гексаподы реализуют в себе все преимущества механизмов
параллельной структуры. Так, например, при высокой жесткости конструкции
и относительной простоте получаем механизм, с помощью которого
можно ориентировать выходное звено по шести степеням свободы,
что является неоспоримым преимуществом станочных систем такой
концепции перед станками классической компоновки.

32
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
Наибольшее распространение получили станки на основе структур
механизмов параллельной структуры с переменными длинами штанг
(с телескопическими штангами). С использованием такой структуры
выполнено оборудование Mikromat 6X Неха (см. рис. 1.22) [35].
Рис. 1.22. Станок модели Mikromat 6X Неха
Размеры рабочей зоны 630 х 630 х 630 мм3, предельные углы
поворотов шпинделя 30°, скорость подачи ЗОм/мин, а ускорение 1 g.
Максимальная частота вращения шпинделя 30000 об/мин.
Другим примером служит станок модели Variax фирмы Gid-
dings & Lewis (см. рис. 1.23) [13, 46]. Станина этого станка построена
по триангуляционному принципу и имеет вид октаэдра. Это
обеспечивает высокую прочность штанг и жесткость станка в целом. Выходное
звено и основание соединены между собой несколькими стойками,
которые выходят из ступиц. На основании расположен рабочий стол.
На пересечении стоек установлены шарниры, которые связывают три
пары телескопических штанг с выходным звеном. Станок
установлен на специальные виброизолирующие подушки. Виброизолирующие
подушки расположены на концах трех штанг, которые выступают из
нижней платформы.

1.3. Примеры станочного оборудования
33
Рис. 1.23. Станок модели Variax фирмы Giddings & Lewis
В основании станка расположены три демпфера. Демпферы
соединены с выходным звеном и служат противовесами. В каждую
телескопическую штангу встроен серводвигатель мощностью 6 кВт.
В станке установлены устройства смены, а время смены заготовок
составляет не более 10 с. Максимальная скорость движения
выходного звена 38 м/мин, а ускорение 1 g. Объем рабочего пространства
630 x630 x630 мм3.
Станок оснащен системой обработки данных. Это позволяет
компенсировать изменения ряда его характеристик, которые возникают
в процессе эксплуатации. Для этого в каждой штанге установлен
лазерный интерферометр. Так, например, в процессе работы станка
возникают тепловые деформации, связанные с удлинением штанг.
Система обработки данных позволяет производить корректировку длин
штанг. Учитываются тепловые изменения размеров других деталей,
износ, погрешности шариковых винтовых передач.
Станок модели НОН 600 фирмы Ingersoll (рис. 1.24) выполнен
в виде горизонтальной компоновке параллельного механизма [48].
Скорость подачи 30 м/мин, а ускорение 0,5 g. Объем рабочего
пространства 600 х 600 х 800 мм3.
2 Рыбак Л.А. Чичварин А.В. Ержуков В.В.

34
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
Рис. 1.24. Станок модели НОН 600
Станок модели HEXEL (США) (рис. 1.25) также выполнен по
схеме механизма параллельной структуры с телескопическими штангами.
Шарниры основания расположены на одной плите и закрыты
сферическими колпаками. Причем основание расположено в верхней части
станины. Такая компоновка позволяет обеспечить более удобный
доступ к рабочей зоне станка. Данная модель имеет объем рабочего
пространства 600 х 600 х 600 мм3.
Рис. 1.25. Станок модели HEXEL

1.3. Примеры станочного оборудования
35
Технологические модули фирмы АО «ЛАПИК» (Саратов)
(см. рис. 1.26) выполняются в качестве обрабатывающего станка
и координатной измерительной машины [2, 13, 14]. Выпущен ряд
модификаций данного оборудования для выполнения операций
механической обработки, разметки и измерения деталей.
В конструкции станка используются штанги в виде стержней,
которые связаны с электродвигателями постоянного тока и фрикционным
приводом. Такой привод имеет меньшую нагрузочную способность,
однако это допустимо при выполнении операций измерения. В приводах
для каждой кинематической цепи установлена система обратной связи
по положению. Для этого используется лазерный интерферометр на
основе гелий-неонового лазера и оптоволоконных световодов. В
результате этого точность позиционирования рабочих узлов по осям
координат достигает 0,8 мкм.
Рис. 1.26. Технологическое оборудование модели ТМ-1000
Система управления станка имеет функцию коррекции
погрешностей механизма. Данная система позволяет обеспечить стабильную
точность благодаря устранению погрешностей, которые вызваны
деформациями конструкций. Система позволяет компенсировать
погрешности обработки, учитывая изменения температуры, влажности и
атмосферного давления.
Модель ТМ-750 имеет объем рабочего пространства 750 х 550 х
х 450 мм3. Максимальный угол наклона выходного звена 30°.
2*

36
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
Следующая группа основана на механизмах параллельной
структуры с постоянными длинами штанг. Примером оборудования
выполненного по такой схеме является станок PARALIX (рис. 1.27, а). В станке
PARLIX используются штанги постоянной длины (2) (рис. 1.27,6),
которые связаны с выходным звеном (/) сферическими шарнирами.
Каждая штанга связана с ползуном (3) карданным шарниром.
Ползуны (3) перемещаются по направляющим (4), которые установлены на
станине (б). На ней расположен и рабочий стол (5). Все это выполнено
в сочетании с горизонтальной компоновкой механизма параллельной
структуры.
а б
Рис. 1.27. Станок модели PARALIX: а — общий вид, б — кинематическая схема
Размер рабочей зоны станка 500 х 400 х 400 мм3. Скорость
подачи 90м/мин, а ускорение 2g. К преимуществам данной конструкции
можно отнести некоторую конструктивную простоту по сравнению
с шестистепенными механизмами с переменными длинами штанг, так
как сами шариковые винтовые передачи не находятся в относительном
движении со штангами.
В станке модели Hexaglide (см. рис. 1.28) [27, 49] все
направляющие расположены в одной плоскости верхней плиты станины. Объем
рабочей зоны станка модели Hexaglide 800 х 700 х 400 мм3.
Другой пример — это станок модели Неха М (см. рис. 1.29) [45].
Направляющие установлены на верхней плите станины под углом.
Вращение на шпиндель передается через вал пассивной кинематической

1.3. Примеры станочного оборудования
37
цепи. Скорость подачи 100 м/мин, а ускорение 1 g. Объем рабочей
зоны станка модели Неха М 400 х 400 х 350 мм3.
Интересное применение нашли структуры механизмов
параллельной структуры в оборудовании для пластического деформирования
(см. рис. 1.30) [36]. В данном случае это оборудование
предназначено для гибки труб и профилей. На выходном звене механизма
Рис. 1.28. Станок модели Hexaglide
Рис. 1.29. Станок модели Неха М

38
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
параллельной структуры установлен инструмент, что позволяет
изменять его ориентацию в пространстве и направлять выдавливаемый
профиль, изменяя тем самым конфигурацию.
Рис. 1.30. Механизм параллельной структуры для пластического
деформирования при гибке труб и профилей
Механизмы параллельной структуры с шестью степенями свободы
могут быть выполнены и с тремя кинематическими цепями. В этом
случае в каждой из цепей необходимо установить по два привода
(рис. 1.31, а).
Модель шестистепенного механизма с тремя кинематическими
цепями (см. рис. 1.31,6) разработана в техническом университете
Лавал (Канада). Выходное звено (/) связано с основанием (2) тремя
Рис. 1.31. Шестистепенной механизм с тремя кинематическими цепями,
разработанный в университете Лавал (Канада): а — общий вид, б — структурная
схема

1.3. Примеры станочного оборудования
39
а б
Рис. 1.32. Шестистепенной механизм, разработанный в университете Лавал
(Канада): а — общий вид, б — структурная схема
Рис. 1.33. Модель шестистепенного механизма с увеличенными углами
наклона выходного звена
кинематическими цепями (3), содержащими по два привода (4).
Каждая кинематическая цепь представляет из себя сложную рычажную
структуру и поэтому в целом такая структура параллельной структуры
весьма сложна.
В другой структурной схеме (см. рис. 1.32, а, б) также
используются три кинематических цепи с двумя приводами. Выходное
звено (/) связано с основанием кинематическими цепями, образующими

40
Гл. 1. Обзор конструкций роботов-станков
- 400 - 200
0
200 400
600
У
Рис. 1.34. Сечения рабочего пространства для различных углов наклона
выходного звена
рычажную структуру (2) с двумя приводами (3). Данный вариант еще
более «экзотический», чем структура, рассмотренная выше.
В качестве последнего примера приведем шестистепенной механизм
параллельной структуры с переменными длинами штанг и
увеличенными углами наклона выходного звена, созданной на кафедре «Станки»
Московского государственного технологического университета «Стан-
кин» (см. рис. 1.33)
На диаграмме (рис. 1.34) приведены сечения рабочего пространства
с различными углами наклона выходного звена (при 0°, 45° и 90°). Как
видно из диаграмм, при угле наклона в 90 градусов объем рабочего
пространства значительно сокращается, но при этом остается
возможность обработки типовой детали (см. рис. 1.34).
Из приведенного обзора видно, насколько разнообразны варианты
исполнения механизмов параллельной структуры, которые
применяются для создания технологического оборудования.

Глава 2
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
2.1. Задача кинематики МПС
Прямая задача кинематического анализа механизмов параллельной
структуры состоит в определении движения выходного звена
механизма по движению начальных (приводных) звеньев. С точки зрения
управления механизмом параллельной структуры наиболее важным
является решение обратной задачи кинематики, когда требуется
определять законы перемещения управляемых приводных координат
механизма с целью обеспечения требуемого закона перемещения выходного
звена.
Основные задачи кинематического анализа можно сформулировать
следующим образом:
— определение траекторий движения выходного звена по заданным
законам движения приводных звеньев (прямая задача кинематики),
— определение законов перемещения управляемых приводных
координат, обеспечивающих требуемый закон перемещения выходного
звена механизма (обратная задача кинематики),
— определение скоростей выходного звена по заданным скоростям
управляемых приводных координат, а также решение обратной задачи,
т. е. определение скоростей управляемых координат, обеспечивающих
заданные скорости выходного звена,
— решение линейных уравнений для расчета управления
исполнительными приводами в приращениях и обеспечение заданного закона
перемещения выходного звена.
При анализе кинематики механизмов считается, что структурная
схема механизма известна и все зависимости определяются через
заданные длины звеньев, управляемые координаты и конструктивные
размеры механизма.
В качестве математического аппарата при расчетах применяется
матричный аппарат однородных преобразований, предложенный Ж. Де-
навитом и Р. Хартенбергом [23]. Это позволяет анализировать сложные
пространственные кинематические схемы механизмов, применить
универсальные программные средства и общую методику анализа
кинематики механизмов параллельной структуры. Поэтому предварительно

42 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
рассмотрим математический аппарат однородных матричных
преобразований.
Перед рассмотрением каждого механизма в отдельности введем
систему базисов векторов еь ег и ез с началом в центре основания
механизма и обозначим этот базис начального положения е. Любое
сложное вращение рабочего стола можно рассматривать как
последовательность простых вращений <р, затем нового вектора е'2 на д и е^
на £.
Поворот вокруг орта е\ на угол <р. Положение новой тройки ортов
будет:
ех =еь
е'2 = в2 cos if + е\ х ег sin <р = e sin 1? — ез cos <p sin #, "j
e£ = 4 1 (2.1)
ез = e'i s^n ^ + ез cos ^ = ei sin 1? — ег sin y? cos 1? + ез cos <p cos 1?. J
Поворот вокруг орта e% на угол £
е"' = е" cos ^ + ез х е" sin £ = е" cos £ + ejf sin £, "j
е£" = -е" sin £ + e% х е" cos £ = -е" sin £ + е^ cos £, I . (2.2)
4" - е?. J
Новые базисы е', е" и е'" однозначно выражаются через базис е,
что позволит определить новое положение рабочего стола через углы
поворотов и базис е.
2.2. Кинематический анализ трипода
Рассмотрим решение задачи кинематического анализа трипода
(см. рис. 2.1). В начальном положении штанги 1-4, 2-5, 3-6
расположены параллельно оси Z. Рабочий стол сферическими шарнирами 4,
5, 6 соединяется со звеньями /, 2, 3 соответственно. PC ограниченный
треугольником 4-5-6, углами которого являются центры сферических
шарниров, образует равносторонний треугольник. Вращательные
шарниры в точках 1, 2, 3 соединены со штангами. Оси шарниров
расположены в плоскости основания и перпендикулярны биссектрисам,
проведенным из центра О' треугольника основания в точки /, 2 и 3.
Механизм трипода имеет три степени свободы. В работе [4]
показано, что при свободных перемещениях рабочего стола трипода по трем
степеням свободы происходит изменение оставшихся трех координат.

2.2. Кинематический анализ трипода
43
Рис. 2.1. Схема трипода
Однако, если считать эти изменения незначительными, то можно
рассматривать задачу о положениях в предположении, что рабочий стол
при взаимных перемещениях в штангах звеньев 1-4, 2-5, 3-6
приобретает следующие кинематические свойства:
1. Центр треугольника 4,5,6-0" перемещается только по оси z.
2. Возможны два независимых поворота рабочего стола из
плоскости XY.
3. Вершины рабочего стола (треугольника) — сферические шарниры
перемещаются в вертикальной проекции по лучам 4-0", 5-0", 6-0".
Таким образом, изменяя длины штанг, можно управлять
платформой по трем степеням. Однако следует установить, приводит ли
изменение трех свободных координат платформы к зависимым перемещениям
по трем другим координатам (смещение по оси х, у и поворот вокруг
оси z). Тот факт, что штанги соединены у основания одноподвижными
шарнирами, исключает возможность поворота платформы относительно
оси z.
Для того чтобы ответить на вопрос о том, смещается ли центр
платформы при движении, приведем следующие рассуждения. Будем
в начале рассматриваем трипод без учета жесткой связи между точками
А', В'и С (см. рис. 2.2), т.е. когда штанги соединены только
с основанием платформы одноподвижными шарнирами. Тогда положение

44 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
точек А\ В' и С зависит только от двух параметров: угла наклона
и длины штанги. Рассмотрим штангу еь которая лежит в плоскости
xOz (см. рис 2.2, а).
1
0
У/////,
i Z
щА'
] \ U
1 ul/\
а
А х
а
< V
шшшт
с
V\C
\\
^
*
б
в
Т~$
(
'а
' X
Рис. 2.2. а — схема соединения штанги с основанием, б — схема трипода,
вид сверху

2.2. Кинематический анализ трипода
45
Координаты точки А' могут быть описаны так:
ха' = а — l\ cos(u\)A
У А' = О,
zA> = Zisin(izi),
(2.3)
где а — расстояние от центра треугольника до вершин, 1\ — длина
штанги AAf, щ — угол наклона штанги АА' с осью Ох. С учетом того,
что вершины шарниров развернуты друг относительно друга на 27г/3,
могут быть найдены уравнения движения точек В' и С". Для точки В'\
И для точки С
хв> = ~2а+ 2'2COS(^2)'
л/3 >/3 , / ч
У В' = ~Y& ~ -2-/2COS(^2J,
zB> = l2sin(u2).
xc> = --a + -Z3cos(u3),
у/3 . у/3 . , .
УС = —2~a+ —J3cos(u3),
(2.4)
(2.5)
z& =/3sin(iz3).
Однако точки А', В' и С перемещаются несвободно, они
соединены жестким треугольником (верхним основанием платформы).
Следовательно, расстояние между данными точками всегда одинаковое
и равное стороне верхнего треугольника. Это условие быть описано
следующей системой
(ХА' ~ ХВ>)2 + (У А' ~ У В')2 + (ZA* - ZB'f = bV
(ХА' - ХС>)2 + (УА' - УС')2 + (ZA' - ZC')2 = L2,
(хс - хв>)2 + {ус - У В')2 + (zc - zB>)2 = L2^
где L — сторона верхнего треугольника. Подставляя выражения
(2.3)-(2.5) в систему уравнений и выполняя преобразования, получаем
следующую систему уравнений:
За2 + х\ + х\ — Ъах\ — Зах2 + х\Хч + (z\ - Z2)2 = L2^
За2 + х2 + х2 - Зах\ - Зах3 + х\х$ + (z\ - z3)2 = L2,
За2 + х\ + х\ - Захъ - Зах2 + х^х2 + (г3 - z2)2 = L2 J
(2.6)
где
х\ = l\ cos(izi), х2 = l2cos(u2), x3 = /3cos(^3),
z\=l\ sin(izi), z2 = l2sin(u2), z3 = /3sin(^3).

46 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
Данная система позволяет найти углы наклона штанги к плоскости
хОу, в зависимости от длин штанг. Решение системы может быть
найдено численным методом. Полученные углы позволяют по формулам
(2.3)-(2.5) найти координаты точек А', В' и С Зная координаты точек,
можно найти положение центра платформы для любых длин штанг.
Если подставить численные значения в полученные выражения, можно
убедиться, что при движении механизма рабочий инструмент
смещается относительно координат х и у. Однако смещение относительно
центра составляет 0,1-0,01% от величины полезного перемещения и для
упрощения задачи мы им в дальнейшем изложении пренебрегаем.
Применим для определения длины каждой штанги замыкание
цепочки векторов при движении: от нижнего вращательного шарнира /
к верхнему сферическому шарниру 4 через точки (У и О" (см. рис. 2.1):
l{ = -Rei +(L + z)e3 + Re'{\ (2.7)
— от нижнего вращательного шарнира 2 к верхнему сферическому
шарниру 5 через точки (У и О" —
/2 = i?(eicos60o-e2Cos30o) + (L+z)e3-^(e7cos60o-e^cos30o),(2.8)
— от нижнего вращательного шарнира 3 к верхнему сферическому
шарниру 6 через точки (У и О" —
/3 = i?(eicos60o+e2cos30o) + (L+z)e3-i?(e,1,cos60o+e^cos30o),
(2.9)
где а — радиус описанной окружности рабочего стола, z —
перемещение рабочего стола вдоль оси z, L — расстояние между точками (У
и О" в начальном положении (вдоль оси z).
Преобразовав полученные формулы (2.7)-(2.9) и подставив
выражения (2.1)—(2.2), получим следующие значения:
1\ = R(cost? — l)ei + -Rsin<psin#e2 + (L + z - Дcosy?sin#)ез,
h = n^(l - cos#)ei + -R (v3 cosy? - sin y? sin $ - л/3 J e2+
+ ( L + z + -Rcosipsmd + —iisiny? J ез,
h = n-RO ~ cos#)ei + -R (-л/3 cosy? - sin y? sin $ + л/3 J e2+
+ I L + z + -Rcosipsiwd — Rsimp J ез.
Рассмотрим случай, когда платформа совершает только два
вращательных движения, т.е. углы у? Е [—7г/2; 7г/2] и д Е [—7г/г; 7г/г]. При этом
z = 0, L — 100 мм, R = 30 мм. Графики зависимости длины штанг от
углов наклона предоставлены на рис. 2.3.

2.3. Кинематический анализ тетрапода
47
Рис. 2.3. Зависимость длин штанг l\ (a), h (б) и /з (в) трипода от углов ip и д
2.3. Кинематический анализ тетрапода
Рассмотрим механизма тетрапода (рис. 2.4). В основании шарниры
расположим в вершинах квадрата, чтобы оси вращательных шарниров
пятого класса были перпендикулярны диагоналям квадрата, а оси
крестовин карданов четвертого класса направлены вдоль диагоналей
квадратов и перпендикулярно им. Штанги, которые с помощью сферических
шарниров соединены с рабочим столом, в исходном (начальном)
положении расположены вертикально. Вращательные и карданные шарниры

48 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
расположены на основании, таким образом, чтобы по одной стороне
квадрата были шарниры одного типа. Начало координат расположим
в центре квадрата.
Рис. 2.4. Схема тетрапода
Осуществим для определения длины каждой штанги замыкание
цепочки векторов при движении: от нижнего вращательного шарнира /
к верхнему сферическому шарниру 5 через точки (У на основании и О"
на столе (рис. 2.4):
U = -Rex + (L + z) e3 + хе\ + уе2 + Re!{\ (2.10)
— от нижнего вращательного шарнира 2 к верхнему сферическому
шарниру 6 через точки О' и О"
12 = -Re2 + (L + z)e3 + хех + уе2 + Re2\ (2.11)
— от нижнего кардана 3 к верхнему сферическому шарниру 7 через
точки О7 и О"
k = Re\ + (L + z) e3 4- zei + ye2 - Re"', (2.12)
— от нижнего кардана 4 к верхнему сферическому шарниру 8 через
точки О' и О"
/4 = Re2 + (L + z) e3 + xei + 2/e2 - Де^. (2.13)
Дополнительными условиями, обеспечивающими связность шести
координат рабочего стола я, у, z,ip, д и £, являются условия наличия

2.3. Кинематический анализ тетрапода
49
вращательных шарниров в точках / и 2 основания и
перпендикулярности 1\ и ?2 осям вращения, т. е.
Zie2 = 2/ + i?(e;"e2)=0,
hex =x + R(ef2fe{) = 0.
(2.14)
(2.15)
Подставив формулы (2.1)—(2.2) в формулы (2.10)—(2.13) и
преобразовав, получим аналитические выражения для векторов штанг
Рис. 2.5. Зависимость длин штанг l\ (a), k (б), /з (в) и Ц (г) тетрапода от углов
(р и д

50 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
в едином базисе относительно неподвижной платформы:
l\ = (-R+x+Rcos $ cos£) e\ + (y+R (sin <рsinд cos£+cos <psin£)) e2+
+ (L+z+i? (sin y? sin £ - cos^sintfcos^ea,
l2 = (x - i?cost?sin^)ei + (2/ - R+R (cos <pcos£ - sin(£>sin$sin£))e2+
+ (L + z + i? (cos cos£))e3,
lz = (R+x - Rcosfi cos £) e\ + (y - R (sin sin£))e2+
+ (L + z + i? (cos (p sin $ cos £ - sin(£>sin£))e3.
Механизм тетрапода имеет четыре степени свободы, при этом две
другие степени жестко зависят от них. Из ограничений (2.14) и (2.15)
получим следующие зависимости:
х = i? cost? sin £,
у = -iJsin^sintfcos^ - i?cos<^sin£.
В случае, когда платформа совершает только два вращательных
поворота на углы (р Е [—тг/2; 7г/г], $ Е [—7г/2; 7г/2], £ = О, х = у = z = 0
и, приняв L = 100 мм, R = 30 мм, получим графики зависимости длины
штанг от углов наклона, рис. 2.5.
2.4. Кинематический анализ гексапода
Рассмотрим гексапод в виде эквивалентной схемы соединения двух
дисков [11].
Диски I, II (рис. 2.6) соединяются между собой шестью абсолютно
жесткими стержнями 1-6, с шаровыми шарнирами на концах.
Меньшее число стержней создаст относительную подвижность, в
простейшем случае неособенного расположения пяти стержней одну степень
подвижности и четырех — две степени подвижности и т. д. В случае
семи и более стержней задача становится статически неопределимой:
один раз, дважды и т. д.
Вернемся к случаю шести стержней. При неособенном
расположении стержней система является статически определимой и не имеет по-
движностей. При нагружении одного из дисков внешней силой и
жестком закреплении второго диска в стержнях возникают силы реакции,
которые в общем случае образуют силовой винт. Графоаналитические
методы нахождения этого винта изложены, например, в [7].
Взаимодействие твердого тела и основания по направлениям осей
стержней определяется плюккеровыми координатами этих осей [17].
Пусть Qi, pi и 7г — углы, которые единичный вектор оси стержня

2.4. Кинематический анализ гексапода
51
в{ образует с осями некоторой прямоугольной системы координат xyz,
расположенной на твердом теле, рис. 2.6, т. е.
COS OLi = Sin 7г COS Xi,
cos 0i = sin 7» sin хь
cos 7i = cos 7.
Моменты единичного вектора ё* относительно этих осей равны
U = 7]iCOSJi - &COS/?t,
ТПг = CiCOSa^ -^COS7b
Щ = £i COS 0i - T]i COS ait
где £i, щ, & — координаты точки крепления стержня к твердому телу
(центры сферических шарниров).
Z
Mz
5>
6
м„
м,
II
Рис. 2.6. Схема гексапода с установленным на ней твердым телом

52 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
Матрица плюккеровых координат имеет вид
А =
cosai
cos /3\ .
cos7i
h
ГП\
щ
.. COS #6
.. cos/?6
COS76
k
m6
Щ
(2.16)
Зададим твердому телу / относительно основания II малое
перемещение с матрицей-столбцом перемещений
Хт = [x,2/,z,(/p,i/;,x]T,
где х, у, z — поступательные перемещения вдоль осей х, у, z \
<Р> Ф* X — Углы поворотов относительно этих осей.
Аналогично можно определить матрицу-столбец скоростей
Хт = [£, у, i, ф, Ф, х] •
В рамках теории малых возможных перемещений можно записать
Д = АТХ, Д = АТХ, (2.17)
ДТ = [*Ь*2,*3,*4,*5,*б]Т, ДТ=[5ь52,5з,54,55,5б]Т,
где Д, Д — матрицы-столбцы относительных перемещений и скоростей
по направлениям осей стержней.
Если к твердому телу приложены силы и моменты, характеризуемые
матрицей-столбцом
FT = [Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz]T,
где Fx, Fy, Fz — силы, приложенные по осям х, у, z\
Мх, Му, Mz — моменты относительно этих осей, то
F = AR, (2.18)
где RT = [Дь i?2, Дз>#4, ^5,Дб]Т — силы реакции стержней на
действие сил F.
Решая уравнения (2.16)—(2.18) относительно Д, Д и R получим
(2.19)
Из (2.19) следует, что если определитель матрицы А равен нулю
(матрица А вырожденная), то обратной обратной матрицы не
существует и нет однозначной связи между перемещениями точек крепления
х =
х =
R =
= (AT
= (АТ
= A_,F.
Ч
'А,

2.4. Кинематический анализ гексапода
53
стержней и перемещением твердого тела координат XYZ.
Перемещения X равны бесконечности. То же самое можно сказать о силах и
моментах, приложенных к твердому телу, и реакциях стержней Силы F,
приложенные к твердому телу, вызывают бесконечно большие реакции.
Таким образом, вырожденность матрицы А указывает на мгновенную
подвижность и статическую неустойчивость.
Вопрос об отсутствии подвижности конфигураций типа
представленной на рис. 2.6 аналитически в общем случае решается, таким
образом, проверкой матрицы плюккеровых координат на ее
вырожденность. Ранг вырожденной матрицы А меньше 6. Если ранг равен 5, то
имеем одну степень мгновенной подвижности, в общем случае — в виде
кинематического винта. Если ранг равен 4 — две степени подвижности
и т.д.
Рассмотрим задачу виброизоляции твердого тела в пространстве
с использованием платформы Стюарта, у которой верхние и нижние
шарниры расположены на дисках одного радиуса (см. рис. 2.6). Для
решения поставленной задачи необходимо управлять перемещением
тела I относительно подвижного основания II таким образом, чтобы
положение твердого тела в инерциальной системе координат оставалось
неизменным. При этом вектор перемещения имеет вид:
Хт = [х у z (р х Ф\Т.
где х, у, z — поступательные перемещения относительно осей X, У,
Z;
Ф^Х^Ф ~~ углы поворотов относительно этих осей.
Перемещение твердого тела (объекта) в пространстве связано с
перемещениями вдоль шести стержней платформы Стюарта матрицей
координат Ар.
Аг =
Тогда вектор относительных перемещений по направлениям сей
стержней запишем в виде
А = АГХ.
Будем считать, что к твердому телу приложены силы и моменты,
характеризуемые вектором-столбцом
FT = [FX Fy Fz Мх Му М2]т,
[#Sin^
— sin -у
#Sin7
-^y- sin 7
— sin 7
^-sin-y
-j sin 7
0
5 sin 7
— 5 sin 7
0
5 sin 7
cos 7
cos 7
cos 7
cos 7
cos 7
cos 7
-^ sin 7
*@- R cos 7
- *@- R cos 7+ ^f- sin 7
-^■Лсоз7+^ sin 7
^- R cos 7
^- sin 7
-^az sin7
az sin 7+у cos 7
- -*y- az sin 7+ у cos 7
- -*y- az sin 7+ у cos 7
az sin 7+у cos 7
-^-az sin7
-4*sin7"
4*sin7
-*@- R sin 7
^-Rsin7
-^-fisin7
^-fisin7

54 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
реакциями опор
RT =
где Fx, Fy, Fz — силы, приложенные по осям x,y,z;
Мх, Му, Mz — моменты относительно этих осей.
Силы и моменты связаны
= [R\ i?2 Rs R4 R$ Лб]Т выражением
F = A?R.
Рассмотрим платформу, стержни которой реализованы с
использованием электромеханического приводного механизма с червячной передачей
и параллелограммным механизмом. В этом случае с учетом
электромеханических свойств привода движение одного опоры описывается
системой уравнений в пространстве состояния.
Для реакций стержней для тела массой га и радиусами инерции рх,
ру, pz по аналогии с выражением тх = R\ можно записать
"т 0 0
0 т 0
0 0т
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
mp'i
0
0 1
0
0
0
0
mp'i_
"х
У
z
Ф
0
W
= АТГ
\R\~\
Ri\
Дз
i?4
^5
W
(2.20)
Из выражения (2.20) следует
[х у z ф ё ф]Т = М"1 АТГ [R{ R2 R3 R< R5 Дб]Т •
Рассмотрим далее схему гексапода (рис. 2.7). Обозначим центры
шарниров на плоскости основания 0\, О2, О3, O4, Os и Об. Шарниры
расположены на отрезках, перпендикулярных высотам равностороннего
треугольника на основании и проведены из вершин этого треугольника.
<?4
CW
с5
Л
EvCl
Са
С,С"
»С3
60°
С3
с2
Сх
н
'с,
Рис. 2.7. Схема гексапода

2.4. Кинематический анализ гексапода
55
Расстояние между основанием и рабочим столом в исходном
положении — L. Такое расположение центров шарниров (не в вершинах
треугольника) связано с конструктивной необходимостью разнесения
пар шарниров, так как штанги имеют продолжение за рабочий стол
в виде трубчатых штанг, на концах которых расположены
электродвигатели для привода шариковых винтовых пар. Эти штанги при любом
эксплуатационном положении рабочего стола не должны встретиться
в пространстве между собой.
Для рабочего стола определим его угловое положение с помощью
трех поворотов. Обозначим центры шарниров, связанные с
равносторонним треугольником рабочего стола, С\, С2, Сз, С±, С^ и Cq. Как
и для трипода в исходном базисе на основании по осям х, у, z направим
векторов-ортов еь е2 и ез- Произведем три последовательных поворота.
При этом, применим для определения длины каждой штанги
замыкание цепочки векторов при движении: от нижнего шарнира четвертого
класса верхнему сферическому шарниру С\ через точки Е, О', О" и Н
1\ = -Ае2 - Re\ + хе{ + уе2 + (L + z) e3+
+ г (e'f cos 60° + е£" cos 30°) + а (е£" cos 60° - е'/' cos 30°), (2.21)
— от нижнего шарнира четвертого класса 02 к верхнему сферическому
шарниру 02 через точки F, О', О" и Н
l2 = A(e\ cos 30° + e2cos60°) + R(e\ cos60° - e2cos30°) + xe\ + ye2+
+ (L + z)e3 + r (ei" cos 60° + e'"2 cos 30°) +
+ a (ei" cos 30° - <%' cos 60°), (2.22)
— от нижнего шарнира четвертого класса Оз к верхнему сферическому
шарниру Оз через точки F, О', О" и /
k = -A (ei cos 30° + е2 cos60°) + R {e{ cos60° - е2 cos30°) +
+ xei + ye2 + (L + z) e3 - re'" - ae2\ (2.23)
— от нижнего шарнира четвертого класса О4 к верхнему сферическому
шарниру 0\ через точки G, О', О" и /
Ц = А (ei cos 30° - е2 cos 60°) + R (e{ cos60° + е2 cos30°) +
+ хех + ye2 + {L + z)e3- re'(f + ae%', (2.24)
— от нижнего шарнира четвертого класса 0$ к верхнему сферическому
шарниру Об через точки G, О',0" и J
/5 = -A (ei cos 30° - е2 cos60°) + R {e{ cos60° + е2 cos 30°) +
+ хех + уе2 + {L + z) е3 + г (е'" cos 60° - е2 cos 30°) +
+ а (е'/' cos 30° + е? cos60°), (2.25)

56 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
— от нижнего шарнира четвертого класса Об к верхнему сферическому
шарниру Об через точки Е, О'', О" и J
k = Ле2 - Re{ + хе\ + уе2 + (L + z) е3 + г (е'" cos 60° - е^ cos 30°) -
- а (е'{' cos 30° + е£" cos 60°), (2.26)
где А и а — расстояние между центром шарнира и ближайшим углом
основания и рабочего стола соответственно, R и г — радиусы
описанных окружностей основания и рабочего стола соответственно.
Подставив в формулы (2.21)-(2.26) выражения (2.1)—(2.2) и
преобразовав, получим аналитические выражения, описывающие изменение
векторов штанг в зависимости от углов наклона и перемещения
верхней платформы в виде:
U = he\e\ + 1\е2в2 + Zie3e3,
/2 = ^elei + I2e2e2 + /г^Зез,
k = ke\e\ + /6e2e2 + keSes,
где
l\e\ =—R + x + -r (cost?cos£ - >/3 cost?sinм -
- -a (>/3 cos 1?cos£—cost?sin£) ,
'ie2 = ~r (siny>sin#cos£ + cos(/?sin£) -
— r (sin (/p sin 1? sin ^-cos (/p cos ^)-
— a(siny>sin#cos£+cosy>sin£) —
- -a (sin (/p sin д sin £ - cos ip cos £) - Л + у,
'ie3 — -^r(cos(/Psini?cos^ + sin(/psin£) +
+ —r (cos (/p sin 1? sin £ + sin y> cos £) +
+ —a (cos (f sin 1? cos £ — sin y> sin £) +
+ -a (cos (/p sin 1? sin £ + sin(/Pcos£) + L + 2,
feei = ЛЙ" >/3j4j + x + -r (costfcos^- \/3 cost?sinм +
+ -га ( \/3 cos 1? cos £ + cos 7? sin £ J ,

2.4. Кинематический анализ гексапода
57
he>2 = -9 (^ ~*~ ^Щ +У + ог (snl ^ sni ^ cos £ + cosy?sin£) -
/о
—г (sin у? sin 1? sin £ - cos у? cos f) +
+ -„-a (sin y? sin 1? cos £ + cos <p sin f) +
+ -a (sin y? sin 1? sinf - cos y? cosf),
'2^3 = - ■= r (cos y? sin д cos f - sin <p sin f) +
+ -r-r (cos y? sin д sin f + sin <p cos f) -
Vs
a (cos y? sin д cos f - sin (p sin f) -
- -a (cos y? sin 1? sin f + sin y? cosf) + L + z,
^3ei — 9 (л/З-А + Д) + x - rcost?cosf + acos#sin£,
'зе2 = о Ы — л/3 Д) +У -r (sinу?sin 1?cos£ + cos<psinf) +
+ a (sin y? sin д sin £ - cos y? cos f),
/зез = L + z + r (cos y? sin д cos f - sin /3 Д - Aj +y - r (sinipsin 1?cos£ + cos<^sin£) -
- a (sin <p sin 1? sin £ - cos y? cos f),
/4e3 = L + z + r (cos y? sin 1? cos f - sin y? sin f) +
+ a (cos if sin 1? sin £ + sin y? cos f),
+ rcos#cos£ + v3 r cost? sin £+
+ \/3acosi?cos^ - cos#sinf J ,

58 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
he>2 = У + n [A + VSR) + n (sin (/p sin I? cos ^ + cos sin f) —
— r (cos (/p sin 1? sin f + sin (/p cos f) -
- -a (cos (f sin 1? cos £ - sin y> sinf) +
+ -a (cos (/? sin 1? sin f + sin (/? cos f) + L + z,
ke\ = -R + x + - (л/3 r cos 1? sin £ ->/з
h^2 — n r (sin ^ sin ^ cos £ + cos Ф s^n 0 +
+
-r (sin y>sin д sin £ - cos sin 1?sinf + cosipcos£ J + Л + у,
к^з — nr (— c°s (f sin 1? cos £ + sin <p sinf) -
- -r (cos (/p sin д sinf + sin <p cos f) -
cos (/p sin 1? cos f + л/3 sin <p sin £+
+ cos if sin 1? sin £ + sin </? cos f) + L + z.
Тогда длины штанг могут быть найдены как
^1 = ^1+^2+^3-]
N = y^lel +г2е2 + г2еЗ-
1'б1 = \Д2е1+С2 + Сз-]
(2.27)

2.4. Кинематический анализ гексапода
59
Рис. 2.8. Зависимость длин штанг 1\ (а), 12 (б), /3 (в), U (г), k (д) и /6 (е)
гексапода от углов if и $

60 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
В случае, когда платформа совершает только два вращательных
поворота на углы и, приняв, получим графики зависимости длины штанг
от углов наклона, (см. рис. 2.5).
В случае, когда платформа совершает только два вращательных
поворота,^ G [—7г/2; 7г/2], 0 G [—7г/2; 7г/2], £ = 0, x = y = z = 0u,
приняв L = 100 мм, R = 30 мм, г = 30 мм, А = 10 мм, а = 5 мм, получим
графики зависимости длины штанг от углов наклона (см. рис. 2.8).
2.5. Оптимизация траектории движения
рабочего инструмента
Полученные ранее выражения (2.27) могут быть использованы при
построении траектории движения робота-станка. Самым простым
вариантом перемещения рабочего инструмента от одной точки к другой
является траектория представленная в виде прямой. В этом случае
уравнение движения рабочего инструмента может быть представлено
в виде:
x(t) = х0 + (х\ - so)*, y(t) = уо + (у\ - yo)t, 1
z{t) = z0 + (z{ - zo)t, <p{t) = <po + {<pi - <f>o)t> \ (2-28)
#(t) = 0O + (0i - 0o)*, № = & + Ki - &)* J
Здесь траектория движения выражена в параметрическом виде,- где
параметр t может интерпретироваться как время. Перемещение
начинается с момента времени t = 0 и заканчивается при t = 1.
Графики зависимости длин штанг от времени при перемещении
рабочего инструмента из одной произвольной точки в другую могут
иметь вид, представленный в табл.2.1 и на рис. 2.9.
Для достижения оптимальной траектории движения необходимо
рассматривать траекторию движения рабочего инструмента как
нелинейную, для примера — квадратичную. Проведем аппроксимацию
функций (2.28) в виде:
x(t,k\) = х0 + (х\ -х0- k\)t + k\t2, "J
y(t, k2) = уо + {у\ - 2/о - h)t + k2t2,
z(t, k3) = z0 + (zi -z0- k3)t + M2, I ( gv
<p(t, fc4) = (fo + (<p\ -<Po- h)t + k4t2, f
0(*, h) = 0o + (0i - 0o - h)t + hi2,
£(*, h) = £o + (6 - £o - h)t + hi2. )
В данном выражении появляется шесть новых коэффициентов: к\,
к2, к3, А:4, к$ и fc6. Задача состоит в поиске таких значений
коэффициентов, при которых траектория движения рабочего инструмента

2.5. Оптимизация траектории движения рабочего инструмента 61
Таблица 2.1. Длины штанг при прямолинейном движении рабочего
инструмента
t
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
и
109,157
109,624
110,004
110,301
110,519
110,663
110,738
110,752
110,714
110,631
110,514
110,372
110,215
110,054
109,9
109,762
109,652
109,577
109,549
109,574
109,66
и
109,157
110,098
110,908
111,59
112,144
112,575
112,888
113,089
113,184
113,181
113,089
112,916
112,674
112,372
112,022
111,634
111,22
110,791
110,358
109,933
109,526
£з
109,157
109,896
110,799
111,846
113,022
114,306
115,681
117,127
118,627
120,162
121,717
123,276
124,824
126,349
127,838
129,281
130,669
131,994
133,25
134,431
135,532
и
109,157
110,991
112,821
114,629
116,399
118,115
119,765
121,337
122,823
124,214
125,503
126,687
127,761
128,724
129,573
130,31
130,935
131,449
131,857
132,162
132,367
и
109,157
106,229
103,332
100,482
97,6929
94,9819
92,3633
89,8513
87,4587
85,1974
83,0778
81,1083
79,2957
77,6444
76,157
74,8335
73,6717
72,6673
71,8143
71,1047
70,5294
и
109,157
107,011
104,906
102,854
100,865
98,9489
97,115
95,3705
93,7212
92,1716
90,7241 1
89,3797 |
88,1374 1
86,9944 |
85,9464 1
84,9873 |
84,1098 1
83,3054 |
82,5646 |
81,8771 |
81,2324 J
будет оптимальна. Используя кинематические зависимости
векторов штанг от положения рабочего органа и углов наклона,
можно получить выражения, устанавливающие связь между временем t,

62 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
L 14о
130
120
110
100
90
80
70 \
60
I | | jj-lrptn^fq 1 1 f \ ч \ Irrrf"! t llll III ■
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0.4 0,45 0,5 0,55 0,6 0.65 0,7 0.75 0.8 0.85 0,9 0,95 1 t
-Ы -»-L2-*-L3-«-L4-*-L5-^L6
Рис. 2.9. Длины штанг при прямолинейном движении до оптимизации
коэффициентами fci, ,&4, &5 и ^6 и длинами штанг Lf.
^6 -> /l (t, fci, fc2, fc3, ^4, fc5, fc6).
Исходя из поставленных критериев, можно построить следующие
ограничения:
1. Для всех Li знак производной dLidt не должен изменяться во
время движения
^1^0 when ^
at at
t=o
t=o
>0,
<0,
1...6.
Отсюда можно найти область определения коэффициентов fci , fc2, к$,
fc4, h и fc6-
2. Выбор оптимальных критериев осуществляется из условия
минимизации функций отвечающих первому критерию оптимизации
\^ + {fl(tMMMM,hM)fdt, 1= 1...6.
Решение системы уравнений дает оптимальную траекторию
перемещения рабочего инструмента.

2.5. Оптимизация траектории движения рабочего инструмента 63
Однако, можно ли считать траекторию оптимальной. Скорее всего
нет. Наилучшим вариантом был бы случай, когда изменения длин
штанг происходит прямолинейно, т.е. как изображено на рис. 2.10.
Рис. 2.10. Желаемая траектория изменения длин штанг
Точки Д В, С, D, Е и F соответствуют начальным значениям
длин штанг 1\, /2» h, U, h и k следовательно К, L, M, N, О и Р
соответствуют конечным длинам штанг после перемещения рабочего
инструмента в требуемое конечное положение.
Перемещение рабочего инструмента можно рассматривать как
последовательность коротких переходов из точки U в точку U+\
при At = £г+1 - U —> 0.
При этом следует определить, может ли механизм принимать такие
положения, когда L\ = l\, L^ = /2, ••-, Lq = Iq, такое положение может
отсутствовать в силу структуры механизма. Установить существование
таких положений можно, прибегнув к численному решению системы
уравнений:
(L\ (ж, 2/, 2, <р, 0,С) ='ь
I L2(x,y,z,(p,ti,£) = l2,
[Ь6{х}у}г}(р}$,£) = /6.

64 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
Таблица 2.2. Значения длин штанг при оптимизации траектории
t
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
и
109,157
109,182
109,207
109,232
109,258
109,283
109,308
109,333
109,358
109,383
109,409
109,434
109,459
109,484
109,509
109,534
109,559
109,585
109,610
109,635
109,660
и
109,157
109,175
109,194
109,212
109,231
109,249
109,268
109,286
109,305
109,323
109,342
109,360
109,378
109,397
109,415
109,434
109,452
109,471
109,489
109,508
109,526
и
109,157
110,476
111,795
113,113
114,432
115,751
117,070
118,388
119,707
121,026
122,345
123,663
124,982
126,301
127,620
128,938
130,257
131,576
132,895
134,213
135,532
и
109,157
110,318
111,478
112,639
113,799
114,960
116,120
117,281
118,441
119,602
120,762
121,923
123,083
124,244
125,404
126,565
127,725
128,886
130,046
131,207
132,367
и
109,157
107,226
105,294
103,363
101,431
99,5001
97,5687
95,6373
93,7060
91,7746
89,8432
87,9118
85,9804
84,0491
82,1177
80,1863
78,2549
76,3235
74,3922
72,4608
70,5294
и
109,157
107,761
106,365
104,968
103,572
102,176
100,780
99,3834
97,9872
96,5909
95,1947
93,7985
92,4022
91,0060
89,6098
88,2136
86,8173
85,4211
84,0249
82,6286
81,2324
Если существуют такие х, у, z, ip, #, f, при которых длины штанг L\,
Z/2, • •• ,Lq, равны соответственно, то значит возможны перемещения из
ТОЧКИ U В ti+\.
Результаты расчетов численным методом Ньютона в этом случае
приведены в табл.2.2 и на рис. 2.11. Погрешность перемещения
рабочего инструмента составила не более 0,1% от длины штанги.

2.5. Оптимизация траектории движения рабочего инструмента 65
1140
130
120
ПО
1001
90
80
70|
60
1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :
[ 1 1 1 | 1 [ 1 1 ! 1 1 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 J 1 1 1 1 | 1 1 | [ [ [|
О 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0,3 0.35 0.4 0.45 0,5 0.55 0.6 0.65 0,7 0,75 0.8 0.85 0.9 0,95 1
-L^—^-Li ~*-Ь^-^-Ь^\
Рис. 2.11. Длины штанг при прямолинейном движении после оптимизации
В заключение отметим, что подобная оптимизация траектории
способствует улучшению качества работы рассматриваемого класса
роботов-станков, так как вследствие отсутствия реверса приводных
двигателей уменьшаются переходные процессы, что потенциально уменьшит
вероятность возникновения автоколебаний.
Следует также отметить, что такая оптимизация может
осуществляться не только на холостом ходу инструмента между
технологическими операциями, но и в процессе его работы. Это связано с тем, что
одному и тому же положению рабочего инструмента в конструкции гек-
сапода могут соответствовать различные длины штанг, и, выбирая их
соответствующим образом, можно добиться оптимальной траектории.
3 Рыбак Л.А. Чичварин А.В. Ержуков В.В.

Глава 3
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРИВОДНЫХ
МЕХАНИЗМОВ ДЛЯ МПС
Рассмотрим три наиболее распространенных и одновременно
наиболее простых в конструктивном исполнении типов исполнительных
механизмов: электромеханические с передаточной парой «винт-гайка»,
параллелограммным механизмом и электрогидравлический.
3.1. Электромеханический исполнительный механизм
с передаточной парой «винт-гайка»
3.1.1. Характеристика исполнительного механизма. Передачи
«винт-гайка» применяют в различных машинах и механизмах для
преобразования вращательного движения в поступательное. В ряде
случаев эти передачи используют для получения большого выигрыша в силе.
Достоинства передач «винт-гайка»: возможность получения
медленного движения и высокой точности перемещений при простой и недорогой
конструкции передачи, большая несущая способность и компактность.
Недостаток передачи — низкий КПД.
Исполнительный механизм такого типа изображен на рис. 3.1.
Для использования передачи «винт-гайка» в данном типе
исполнительного механизма требуется реверсивный вращательный
электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением. В первом
приближении можно принять, что относительная скорость
пропорциональна управляющему сигналу, т. е. z — Ки.
Более глубокий анализ динамики потребует учета
электромеханических и электромагнитных свойств электродвигателя, управляющей
электрической цепи и самотормозящейся пары.
Привод, кроме того, включает акселерометры, датчик
относительного перемещения, регулятор, усилитель мощности, электродвигатель
постоянного тока.
Электрические сигналы акселерометров и датчика относительного
перемещения поступают в регулятор, сигнал из которого поступает на
вход электрической следящей системы, управляющей поворотом ротора
двигателя. Двигатель вращает винт, и гайка перемещается в
направляющем элементе, изменяя положение объекта относительно основания.
Ходовая резьба в паре «винт-гайка» является самотормозящейся, чем

3.1. Электромеханический исполнительный механизм... 67
jZ
УШ
У//^//////////////////.
ю
№/м;///;;//;;//ш;;шшш,
*Лг w w
JsJ
«\
-Ы
Рис. 3.1. Система с электромеханическим исполнительным механизмом и
передаточной парой «винт-гайка»: / — объект, 2 — основание, 3, 4 —
акселерометры на объекте и основании, 5 — датчик относительного перемещения,
6 — регулятор, 7 — электродвигатель, 8 — усилитель мощности, 9 — ходовой
винт, 10 — гайка
достигается нечувствительность предлагаемой системы к силам,
действующим со стороны объекта. Наличие направляющих в механизме
обеспечивает отсутствие проворота гайки [11].
3.1.2. Разработка математической модели. Исходя из
требований, предъявляемых к системе, и рекомендаций по расчету передачи
«винт-гайка» [5], составим таблицу исходных технических данных для
расчета передачи «винт-гайка» (табл. 3.1).
Средний диаметр резьбы dcp, высота профиля резьбы h и шаг
резьбы Р могут быть определены, исходя из следующих формул:
аСр —
2Fm
nkq
Л = 0, ldcp, P = 2h.

68 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
Таблица 3.1. Исходные технические данные для расчета передачи
«винт-гайка»
№п/п
1
2
3
4
5
6
Наименование характеристики и обозначение
Максимальная грузоподъемность, (Fmax)
Отношение высоты гайки к среднему
диаметру резьбы, (к)
Допускаемое давление для резьбы (для
закаленной стали по бронзе), (q)
Число заходов резьбы, (п)
Коэффициент трения в паре «винт-гайка»
(для случая сталь 45 по бронзе
БрОЦС6-6-3), (/)
Угол профиля резьбы (для
трапецеидальной) (а)
Единица
измерения
кН
-
МПа
—
-
град
Значение
100
1,6
10
3
0,1
30
Далее определяем угол подъема винтовой линии *ф, приведенный
коэффициент трения /' и приведенный угол трения <//:
^=arctg(C>' /,=Ч!У "'=arcts/''
Теперь можно определить передаточные числа передачи по скоростным
и силовым параметрам соответственно:
П = ^г, r2 = -d-tg(ij; + ip').
В рассматриваемом типовом случае после проведения вычислений
получились следующие значения этих величин: г\ = 6,207 х 10~3м
и г2 = 9,665 х 10"3м.
При построении модели электродвигателя постоянного тока с
независимым возбуждением в качестве входной величины будем
рассматривать напряжение якоря, а в качестве выходной величины — угловую
скорость вращения вала двигателя. Реально электродвигатель
постоянного тока описывается нелинейными уравнениями, и нелинейность
математического описания обусловлена следующими факторами:
— момент сопротивления на валу двигателя зависит от скорости
вращения, и эта зависимость нелинейна;
— поле возбуждения электродвигателя формируется в результате
взаимодействия магнитных полей обмоток возбуждения и обмоток

3.1. Электромеханический исполнительный механизм... 69
якоря, а зависимость этого поля от напряжения на обмотках
возбуждения и якоря нелинейна;
— наличием зоны нечувствительности двигателя.
При построении модели двигателя для целей управления этими
факторами можно пренебречь, так как модель отражает только
наиболее существенные связи для узкого диапазона управленческих
воздействий. В связи с этим при построении модели примем следующие
упрощающие предположения:
— поле возбуждения считается постоянным при постоянном
напряжении возбуждения;
— момент сопротивления на валу двигателя не зависит от скорости
вращения якоря;
— работа двигателя проходит вне зоны нечувствительности.
Кроме того, будем считать, что в данной системе:
— объект является жесткой массой;
— во всех элементах, кроме передачи «винт-гайка», трение
отсутствует;
— зазоры в кинематических парах также отсутствуют.
Электродвигатель постоянного тока с независимым
возбуждением имеет: возможность регулирования частоты вращения в широком
диапазоне, линейность механической и регулировочной характеристик,
высокое быстродействие, малую массу и объем на единицу получаемой
мощности и более высокий КПД. Запишем два электромеханических
уравнения:
уравнение моментов
-J9B,v + k9MIn = М , (3.1)
и уравнение якорной цепи
Ыя + Шя + кэми = U, (3.2)
где Мс — момент сопротивления на валу двигателя, J3A — момент
инерции ротора двигателя, 1Я — ток якоря, L — индуктивность якорной
обмотки, R — сопротивление якорной обмотки, кэм —
электромагнитный коэффициент электродвигателя, и — скорость вращения якоря
двигателя, U — напряжение на якоре двигателя.
В передаче «винт-гайка» модель передачи скоростей и момента
описывается уравнениями:
z = wr\, (3.3)
Мс = Fcr2, (3.4)
где Fc — сила сопротивления, которая может быть определена, исходя
из выражения
Fc = mz. (3.5)

70 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
Из уравнений (3.1)—(3.5) может быть получена система уравнений
z
<^эд г п^эм-'я
mzr<i,
Ыя +Шя + кэм— =и.
(3.6)
Приведем уравнения (3.6) к виду, характерному для уравнений,
описывающих систему в пространстве состояний
А?эмП
z =
Лд + ТПГ\ Г 2
/я,
R
1
r\L L L
(3.7)
Введем две переменные состояния: х\ — i, Х2 — 1Я- Система
уравнений (3.7) примет вид:
#эмП
Х\ =
-%2,
Лд + ГПГ\Г2
кэм Д , 1
х2 = тх\ - тх2 + ти,
или в векторно-матричной форме
z = СХ, J
где X
А =
С =
(3.8)
— матрица входа;
0
/СЭ|
— вектор состояния; В =
— матрица коэффициентов системы
Лд + ГПГ\Т2
R
L
= [1 0] — матрица выхода.
Система уравнений (3.8) полностью описывает поведение
электромеханического исполнительного механизма с передачей «винт-гайка».
Каждой конкретной модели электродвигателя соответствует своя
матрица коэффициентов системы А и своя матрица входа В.
От описания системы в пространстве состояний перейдем к
передаточной функции, описывающей влияние напряжения на якоре и на
скорость поступательного движения винта z
u(s) v '
где Ф (s) = (si — А)-1 — переходная матрица состояния.
После проведения соответствующих вычислений можно получить
кшг\
Wu-t (S) =
L (7Эд + mrir2) s2 + R (J9a + mr\r2) s + ki

3.1. Электромеханический исполнительный механизм... 71
Отсюда может быть выражена передаточная функция, описывающая
влияние напряжения на якоре и на угловую скорость вращения вала
двигателя и
Wu_u (s) = ^-^ = Wu~i ^ = —
u(s) n L(J3A + mr{r2)s2 + R(Js* + mrir2)s + klw'
3.1.3. Исследование динамических свойств исполнительного
механизма. Если предположить, что на вход исполнительного
механизма подан единичный скачок напряжения, т.е. u(t) = 1 (t), a u(s) =
= 1/s, то выражение для выходной величины можно получить с
помощью обратного преобразования Лапласа
h{t) = L-l{Wu-i(s)u(s)}.
Выполнив соответствующие преобразования, можно получить формулу
для описания переходного процесса.
h(t) = A + Be~at sin (0t) + Ce~at cos (0t), (3.9)
где
& — —кэмг\,
- J3A + mr\r2.
Второе и третье слагаемые в выражении (3.9) представляют собой
гармоническую функцию с частотой /3. Она затухает со скоростью,
определяемой экспонентой e~at. При t —> оосистема выходит на
установившееся значение А.
Для получения частотных характеристик рассмотрим комплексную
передаточную функцию Wu-z (jv)
wu-t Ы = wu^ (S)\s=j„ = *ff .
-и L Jnp + кш + juRJnp
Теперь можно получить в общем виде выражения для амплитудно-
частотной и фазово-частотной характеристик соответственно
A(lj) = \Wu-z(ju)\
yJ(kl-u*LJnp)2 + u*R*J2np
ю (и) = arctg _ ;„-ц—т"Нт = _ arctS i г~—
^v ; *\Re(Wu-*{jLj))J b\kl-u2LJnpJ
(ЗЛО)
В качестве примера рассмотрим электродвигатель постоянного
тока 2ПН2-60МУ4, имеющий следующие технические характеристики
(табл. 3.2).

72 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
Основываясь на данных, приведенных в таблице, получим значения
остальных необходимых для исследования параметров двигателя. По
формулам, приведенным ниже, можно вычислить номинальную угловую
скорость и угловую скорость в режиме холостого хода соответственно.
ТГ^-ном ^ном
Таблица 3.2. Технические характеристики двигателя типа 2ПН2-60МУ4
№п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Наименование характеристики и обозначение
Мощность электродвигателя номинальная, Р
Ток якоря, /
Напряжение якоря номинальное, £/Ном
Момент инерции ротора, ./эд
Частота вращения номинальная, пном
Частота вращения максимальная, пМакс
Сопротивление якоря, Яя
Сопротивление добавочных ПОЛЮСОВ, /ъдп
Индуктивность якоря, L
Единица
измерения
Вт
А
В
кг- м2
об/мин
об/мин
Ом
Ом
Гн
Значение
1000
11,8
ПО
0,004
3000
4000
0,6
0,35
0,012.
Теперь получим значения двух недостающих параметров двигателя:
электромеханического коэффициента и полного сопротивления якорной
цепи соответственно:
^ЭМ = —— f Я — 1,3 (Яя + Ядп) •
Для исследования динамических характеристик механизма были
выбраны несколько моделей двигателей, абсолютно различных по
своим техническим характеристикам. Технические характеристики,
соответствующие этим моделям двигателей, приведены в табл. 3.3.
Для вариантов исполнительного механизма с данными
электродвигателям были получены амплитудно-частотные характеристики
(рис. 3.2) и графики переходных функций (рис. 3.3). По графикам
для массы тела т — 100 вычислим значения длительности переходного
процесса и частоты среза (таблица 3.4).
Для того, чтобы определить, какие из технических параметров
электродвигателей положительно влияют на расширение частотного
диапазона работы системы и на повышение быстродействия
воспользуемся статистическим методом.

3.1. Электромеханический исполнительный механизм... 73
Таблица 3.3. Технические данные двигателей, выбранных для исследования
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Обозначение
характеристики
Р
I
Ь'ном
Jan.
Т-ном
ТТ-макс
Яя
Лдп
L
Единица
измерения
Вт
А
В
о
КГ- Mz
Об
мин
об
мин
Ом
Ом
Гн
Значения по моделям двигателей
ДПУ127-
450-2-37
450
11
57
0,0049
1000
2000
0,1
0,1
2,710"3
2ПБ-
112LY4
500
6,05
ПО
0,017
800
1600
1,18
0,892
0,018
2ПН2-
60МУ4
1000
11,8
ПО
0,004
3000
4000
0,6
0,35
0,012
2ПН-
112МУ4
1000
3,75
340
0,005
3150
3500
5,41
3,47
0,107
2ПН-
160МУ4
3000
33,5
ПО
0,083
750
1500
0,138
0,135
5,04- 10"3
2ПН-
180ЬУ4
10000
105
ПО
0,229
1000
2000
0,042
0,03
1,4- lO"3 I
Таблица 3.4. Динамические характеристики исполнительных механизмов
с различными моделями двигателей
№
п/п
1
2
Наименование
и обозначение
характеристики
Длительность
переходного
процесса, tnn
Частота среза,
Единица
измерения
с
Гц
Значения по моделям двигателей
ДПУ127-
450-2-37
0,297
31,8
2ПБ-
П2ЬУ4
0,117
62,0
2ПН2-
60МУ4
0,349
31,3
2ПН-
112МУ4
0,594
29,7
2ПН-
160МУ4
0,109
61,3
2ПН-
180ЬУ4
0,104
55,0
Суть метода состоит в вычислении коэффициента корреляции
между массивом значений частот среза и массивом значений одного из
параметров двигателей. Коэффициент корреляции рху используется
для определения наличия взаимосвязи между двумя свойствами. Для

74 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
данного статистического параметра справедливо отношение
п
^2 (xi - Рх) {yi - ру)
На основе вычисленных значений коэффициентов корреляции
и считая, что сколько-нибудь существенная связь между массивами
существует только тогда, когда \рХу\ ^ 0,5, можно дать следующие
рекомендации по выбора модели электродвигателя для данного типа
исполнительного механизма:
1. Номинальная частота вращения должна быть меньше.
2. Сопротивления якоря и добавочных полюсов должны быть меньше.
3. Индуктивность якорной цепи также должна быть меньше.
4. На переходной характеристике электродвигателя не должно
наблюдаться перерегулирования.
Следование данным рекомендациям приведет к расширению
частотного диапазона стабильной работы исполнительного механизма.
Мощность двигателя в эти рекомендации не включается, так как она
является базовым показателем при выборе двигателя и выбирается,
исходя из значения требуемой расчетной мощности, приведенной ранее,
а также из экономических соображений.
3.2. Электромеханический исполнительный механизм
с червячной передачей на базе параллелограммного
механизма
3.2.1. Характеристика исполнительного механизма.
Направляющие устройства, необходимые для работы системы с парой «винт-
гайка», являются поступательными кинематическими парами. Это
приводит к значительным силам трения за счет скольжения и вызывает
проблемы схватывания и заедания, особенно при работе в
неблагоприятных средах.
Поэтому, аналогичное по смыслу схемно-техническое решение, но
реализуемое на вращательных кинематических парах, является более
целесообразным. Такое решение представлено на рис. 3.4 и основано
на использовании параллелограммного механизма, хотя не исключена
возможность применения плоских четырехзвенников других типов.
Для использования реверсивного вращательного
электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением и по
возможности более высокой частотой вращения применена червячная передача

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной ... 75
-20
-40
-60
-80
-100
-120
-140
0
-45
-90
-135
l7^
—7
4 \\l
-180
*^к
1 1
/ ДПУ127-450-2-57 1
2 ДПУ160 -180-3
3 ДПУ200 - 500 - 3
4 ДПУ240- 1100-3 [
aV
10
-1
10°
10
ю2
103
104
Рис. 3.2. Амплитудно-частотные характеристики для системы с
электромеханическим исполнительным механизмом с передаточной парой «винт-гайка»
с разными типами электродвигателей
с большим передаточным отношением, которая позволяет
электродвигателю сделать значительное число оборотов в одном направлении [11].
В данном случае червячное колесо жестко соединено с парой
нижних рычагов параллелограммного механизма. Таким образом, нижние

76 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
Step Response
-Р
-н
гЧ
У^-1
/ ДПУ 127-450-57
2 ДПУ 150-180-3
3 ДПУ230-500-3
4 ДПУ240-1100-3
^
4
</
_, ^ ^
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,035
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Time(sec)
Рис. 3.3. Переходная функция системы с электромеханическим
исполнительным механизмом с различными типами двигателей где — 1 ^ рху ^ 1;
Рх, ру — математическое ожидание элементов массивов х и у\ ах, ах — сред-
неквадратическое отклонение элементов массивов х и у; п — количество
элементов в каждом из массивов
рычаги поворачиваются от приводного механизма «двигатель —
червячная передача» принудительно. Параллелограммные механизмы, как
и другие виды механизмов параллельной кинематики, получают в
последнее время все большее распространение в машиностроении.
Подобное оборудования сочетает в себе высокие жесткость, точность,
скорость перемещения рабочего органа и имеет значительные
преимущества по сравнению с традиционными компоновками [5, 8].
Реверсивное вращение от электродвигателя передается червяку,
а червячное колесо и рычаги параллелограммного механизма
приводятся в качательное движение. Положение между объектом и основанием
изменяется принудительно. Сигналы датчиков обрабатываются в
регуляторе, выходной сигнал которого управляет усилителем мощности,
а тот, в свою очередь, — управляющими обмотками электродвигателя.
Следует указать, что в получаемой механической системе с одной
степенью свободы возникает малое движение объекта относительно
основания в горизонтальном направлении, а следовательно и ускорение
в том же направлении. Однако, для однонаправленных систем этим
эффектом можно пренебречь.

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной ... 77
Рис. 3.4. Система с электромеханическим исполнительным механизмом с
червячной передачей и параллелограммным механизмом: / — объект; 2 —
основание; 3, 4 — акселерометры на объекте и основании; 5 — датчик относительного
перемещения; 6 — регулятор; 7 — электродвигатель; 8 — усилитель мощности;
9 — червячная передача; 10 — параллелограммный механизм
3.2.2. Разработка математической модели. Исходя из
требований, предъявляемых к системе, и рекомендаций по расчету червячной
передачи [5], составим таблицу исходных технических данных для
расчета механической части системы (табл. 3.5).
КПД, учитывающий потери в винтовой паре г)ВП, и КПД всей
червячной передачи rj можно найти по приведенным ниже формулам:
_ tg ф _
Поступательное перемещение объекта в вертикальном направлении
и угол поворота колеса червячного редуктора связаны выражением
z = I sin ip,
где ip — угол поворота колеса червячного редуктора.
Пренебрегая горизонтальным движением объекта относительно
основания, будем считать, что для малых углов sin(£ « tp.
Соответственно, скорость перемещения объекта и угловая скорость вала двигателя

78 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
Таблица 3.5. Исходные технические данные для расчета червячной
передачи
№
и/и
1
2
3
4
5
7
8
Наименование характеристики
и обозначение
Длина рычагов подвески, it 1
Число заходов червяка, z\
Передаточное отношение редуктора, г
Коэффициент диаметра червяка (согласно ГОСТ
19672-74), q
Делительный угол подъема резьбы червяка и
наклона зубьев колеса (согласно ГОСТ 2144-76), ф
Приведенный угол трения (для случая сталь 40Х
по бронзе БрАЖ9-4Л), у>/
КПД, учитывающий потери зацепления, т)ги
Единица
измерения
м
-
-
-
град
град
-
Значение
0,3
1
40
10
5°42'38"
1°30'
0,97
I
связаны соотношением z — -и, а момент, приложенный к валу
двигателя, и усилие, создаваемое поступательным движением объекта,
находятся в зависимости М = —F. Теперь по аналогии с передачей
«винт-гайка» мы можем определить передаточные числа передачи -по
скоростным и силовым параметрам соответственно
I I
г\ = -, г2 = —.
г irj
В рассматриваемом типовом случае после проведения вычислений
получены следующие значения этих величин: г\ = 7,5 х 10~3м и г2 =
= 9,782 х 10"3м.
Математическая модель электромеханического исполнительного
механизма, состоящего из электродвигателя постоянного тока
с независимым возбуждением, червячного редуктора и параллело-
граммного механизма, будет совпадать с математической моделью
электромеханического исполнительного механизма с передачей «винт-
гайка» (см. подраздел 3.1.2). В обоих случаях величины г\ и г2
имеют абсолютно одинаковый физический смысл и характеризуют
соотношение между величинами электродвигателя (угловой скоростью
вращения вала и, моментом на валу двигателя М) и величинами,
характеризующими поступательное движение объекта в вертикальном
направлении (скоростью движения объекта i, усилием, создаваемым
поступательным движением объекта F).

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной ... 79
Система уравнений, описывающая систему в пространстве
состояний, имеет вид:
Х\ =
Лд + тг\Г2
%2,
х2 = Тх\ - -х2 + ти,
или в векторно-матричной форме:
z = CX, I
(3.11)
где X =
состояния; А =
стемы; В =
О
— вектор состояния; х\ — i, х2 = /Яя — координаты
А:ЭМГ1 I
— матрица коэффициентов си-
nL V J
— матрица входа; С = [1 0] — матрица выхода.
Лд + mr\r2
Система уравнений (3.11) полностью описывает поведение
электромеханического исполнительного механизма с червячным редуктором
и параллелограммным механизмом. Каждой конкретной модели
электродвигателя соответствует своя матрица коэффициентов системы А
и своя матрица входа В.
От описания системы в пространстве состояний перейдем к
передаточной функции, описывающей влияние напряжения на якоре ина
скорость поступательного движения винта i. После проведения
соответствующих вычислений можно получить
Wu-z (s) = кэмП .
L (J3R + mr\r2) s2 + R (Лд + mnr2) s + к2ш
3.2.3. Исследование динамических свойств исполнительного
механизма. В силу того, что математическая модель
электромеханического исполнительного механизма с червячным редуктором и
параллелограммным механизмом соответствует по своей структуре
математической модели электромеханического исполнительного механизма с
передачей «винт-гайка», общий вид их переходной, амплитудно-частотной
и фазово-частотной характеристик будет одинаков
h{t) = A + Be~at sin (0t) + Ce~at cos (0t),

80 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
R /О 1 / 4/СЭм Li — li Jnp т т ,
ol = 2^, /3 = 2 W 7 L2 Е • JnP = Лд + mnr2,
л И = ^эмП v И = - ar^tg
yJ(kl-u*LJnp)2 + u*R*J*p
Единственное отличие этих выражений от выражений, приведенных
в подразделе 3.1.3 состоит в том, что величины параметров г\ и т^
будут учитывать особенности конкретно этой механической части
системы, а именно червячной передачи и параллелограммного механизма.
3.2.3. Исследование динамических свойств исполнительного
механизма. Также как и в подразделе 3.1.3 были выбраны несколько
моделей двигателей, абсолютно различных по своим техническим
характеристикам. Технические характеристики механизма,
соответствующие этим моделям двигателей, приведены в табл. 3.6.
Таблица 3.6. Исходные технические данные для расчета червячной
передачи
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Обозначение
характеристики
Р
I
Ь'ном
оэл
ТТ-ном
^макс
Яя
-ГЦдп
L
Единица
измерения
Вт
А
В
кг-м2
об
мин
об
мин
Ом
Ом
Гн
Значения по моделям двигателей
ДПУ127-
450-2-37
450
11
57
0,0049
1000
2000
0,1
0,1
2,7- 10"3
2ПБ-
112LY4
500
6,05
НО
0,017
800
1600
1,18
0,892
0,018
2ПН2-
60МУ4
1000
11,8
НО
0,004
3000
4000
0,6
0,35
0,012
2ПН-
112МУ4
1000
3,75
340
0,005
3150
3500
5,41
3,47
0,107
2ПН-
160МУ4
3000
33,5
ПО
0,083
750
1500
0,138
0,135
5,04- 10"3
2ПН-
180LY4
10000
105
110
0,229
1000
2000
0,042
0,03
1,4- Ю-3
Для вариантов исполнительного механизма с данными
электродвигателями были получены диаграммы Боде (рис. 3.5) и графики
переходных процессов (рис. 3.6). По графикам для массы объекта га = 100
вычислим значения длительности переходного процесса и частоты
среза (таблица 3.7).
LjRJnp
Ячм — U) LJm

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной ... 81
-120
ее
сз
СО
е
-90
-1801
10
-1
10°
101 102
Частота(рад/сек)
103
104
Рис. 3.5. Амплитудно-частотные характеристики для системы с
электромеханическим исполнительным механизмом с червячной передачей и параллело-
граммным механизмом с разными типами электродвигателей
Из данных табл. 3.7 следует, что, как и можно было ожидать,
и для данного исполнительного механизма величины длительности
переходного процесса и частоты среза в некоторой степени связаны
обратной зависимостью.

82 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
l^^L
^2
/
z-
Т"
3
_д_
/
2
ДПУ127-450-2-571
2ПБ-112ЬУ4
J 2ПН - 90МУ4
4 2ПН-112МУ4
52ПН-160МУ4
62ПН-180ЬУ4
\ 1
6
/ ,
j
1 "1 ,J
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Рис. 3.6. Переходная функция системы с электромеханическим
исполнительным механизмом с с червячной передачей и параллелограммным механизмом
с разными типами электродвигателей
Таблица 3.7. Исходные технические данные для расчета червячной
передачи
№
п/п
1
2
Наименование
и обозначение
характеристики
Длительность
переходного
процесса, £пп
Частота среза,
Единица
измерения
с
Гц
Значения по моделям двигателей
ДПУ127-
450-2-37
32,3
0,287
2ПБ-
112LY4
61,7
0,117
2ПН2-
60МУ4
30,9
0,350
2ПН-
112МУ4
28,9
0,413
2ПН-
160МУ4
62,9
0,0896
2ПН-
180ЬУ4
55,2
0,103
Также как и в случае с исполнительным механизмом с передачей
«винт-гайка», опираясь на статистический метод исследования
закономерностей, можно дать следующие рекомендации по выбору модели
электродвигателя для данного типа исполнительного механизма:
1. Номинальная частота вращения должна быть меньше.
2. Сопротивления якоря и добавочных полюсов должны быть меньше.
3. Индуктивность якорной цепи также должна быть меньше.
4. На переходной характеристике электродвигателя не должно
наблюдаться перерегулирования.
В связи с тем, что при работе в неблагоприятных средах
исполнительному механизму с червячной передачей и параллелограммным
механизмом должно быть отдано предпочтение перед исполнительным

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной ... 83
механизмом с передачей «винт-гайка», кроме перечисленных можно
дать еще одну рекомендацию:
5. Двигатель должен быть выполнен в прочном герметичном
корпусе, исключающем попадание мелких фракций непосредственно в
механизмы двигателя.
Следование данным рекомендациям приведет к расширению
частотного диапазона стабильной работы исполнительного механизма.
Мощность двигателя в эти рекомендации не включается, так как она
является базовым показателем при выборе двигателя и рассчитывается
исходя из значения требуемой расчетной мощности, приведенной ранее,
а также из экономических соображений.
3.2.4. Перспективы применения шаговых двигателей в
системах электропривода. В робототехнике могут быть использованы
любые типы двигателей, но наиболее подходящими являются два
типа — двигатели постоянного тока и шаговые двигатели.
Асинхронные двигатели плохо функционируют в условиях работы
с переменными скоростями или реверсирования вращения вала, так
как движущий момент зависит не только от тока в статоре, но и от
скорости вращения вала, а ток, индуцированный в роторе,
регулировать трудно.
До последнего времени синхронные двигатели применялись редко.
В режиме автоматической коммутации обмоток они могли бы заменить
двигатели постоянного тока. Питание фаз в них зависит от положения
ротора, а рабочие характеристики очень близки к характеристикам
двигателей постоянного тока. Эти двигатели обладают рядом
достоинств:
— магниты располагаются в роторе, а обмотки в статоре;
— вместо системы коллектор-щетка используется надежное
электронное устройство коммутации, в котором облегчен отвод тепла.
Недостаток этих двигателей состоит в том, что их крутящий момент
сильно меняется, так как число фаз невелико.
Шаговые двигатели по конструкции являются синхронными и имеют
все их достоинства и недостатки, но эти двигатели открывают широкие
возможности для их использования, если речь идет о малых
перемещениях. Шаговые двигатели позволяют с высокой точностью
преобразовывать цифровой электрический сигнал непосредственно в дискретные
угловые перемещения (шаги) ротора. По сравнению с другими
устройствами, которые могут выполнять эти же или подобные функции,
система управления, используемая в шаговых двигателях, обладает
следующими существенными преимуществами:
— отсутствие обратной связи, обычно необходимой для управления
положением или частотой вращения;

84 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
— не накапливается ошибка положения;
— шаговые двигатели совместимы с современными цифровыми
устройствами.
Рассмотрим принцип работы шагового двигателя. На рис. 3.7
представлено поперечное сечение однопакетного реактивного шагового
двигателя. Сердечник статора имеет шесть выступающих зубцов, в то
время как ротор всего четыре. Сердечники как ротора, так и статора
выполнены из магнитомягкой стали. Три набора обмоток расположены,
как показано на рис. 3.7. Каждый набор состоит из двух катушек,
соединенных последовательно. Набор обмоток называется фазой, и,
соответственно, машин а —трехфазным двигателем.
Ток на обмотки подается от источника постоянного тока через
переключатели I, II, и III. В положении (/) обмотка фазы I
подключена к источнику через переключатель I или согласно технической
терминологии возбуждена фаза /. Магнитный поток, возникающий
в результате возбуждения, показан на рисунке стрелками. В
положении (/) два выступающих зубца статора фазы /, будучи
возбужденными, останавливаются на одной прямой с двумя из четырех зубцов
ротора. В терминах динамики это положение является положением
равновесия. Когда замыканием переключателя II в дополнение к
фазе / возбуждается фаза II, в зубцах статора, соответствующих этой
фазе, возникает магнитный поток, как показано на рисунке для
положения (2), и вследствие «натяжения» в наклонных силовых линиях
магнитного поля возникает вращающий момент. Ротор, в конце концов,
принимает положение (3).
Таким образом, за время выполнения одной операции переключения
ротор поворачивается на фиксированный угол, который называется
углом шага или шагом, в данном случае на 15°. Если теперь разомкнуть
переключатель I и отсоединить от источника питания фазу /, ротор
повернется на следующие 15° и займет положение (4). Таким образом,
угловым положением ротора в единицах угла шага можно управлять
с помощью процесса переключения.
Для управления шаговым двигателем в качестве электронных
переключателей можно применять транзисторы, а сигналы генерировать
микропроцессором.
В истории развития шаговых двигателей нужно выделить два
важных момента: изобретения 1919 и 1920 гг.
В 1919 году инженером Уолкером из Абердина (Шотландия) был
получен патент Великобритании на изобретение конструкции шагового
двигателя, вращающегося с малым шагом. На рис. 3.8 представлено
продольное и поперечное сечение такого трехфазного двигателя. Зубцы
ротора (их 32) имеют тот же шаг, что и зубцы на полюсах статора.
Когда возбуждается фаза / и магнитный поток проходит по пути,

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной ... 85
Рис. 3.7. Принцип работы шагового двигателя: / — сердечник статора, 2 —
сердечник ротора
отмеченному пунктиром, группы зубцов этой фазы устанавливаются
напротив зубцов статора, а зубцы статора и ротора, относящиеся к
фазам 2 и Зу расходятся друг относительно друга на 1/3 шага зубцов
в противоположном направлении. Когда ток управления переключают
с фазы / на фазу 2, ротор поворачивается по часовой стрелке на
угол, равный (360/32)/3 = 3,75°. Если ток управления переключить
с фазы / на фазу 3 ротор повернется против часовой стрелки на тот
же угол. Таким образом Уолкер изобрел шаговый двигатель с зубчатой
структурой, минимизирующей шаг. Тем не менее двигателей,
основанных на этих принципах не выпускали до 50-х годов.
В 1920 году Чикин и Тейн получили патент на изобретение
шагового двигателя, создающего большой вращающий момент на

86 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
Рис. 3.8. Трехфазный шаговый двигатель, изобретенный Уолкером: / —
обмотка статора, 2 — ротор
единицу объема ротора. Продольное сечение конструкции приведено на
рис. 3.9, а. Отличительная черта конструкции состоит в том, что ротор,
выполненный из магнитомягкой стали, располагается между двумя
зубцами статора, как показано на рис. 3.9, б. Такая структура способна
создавать максимальный момент на единицу объема ротора. Однако
впервые этот принцип для создания мощных шаговых двигателей был
применен только в 70-х годах.
а б
Рис. 3.9. Реактивный шаговый двигатель, изобретенный Чикином и
Теином: а — продольное сечение, б — положение ротора, / — обмотка статора,
2 — ротор, 3 — обмотка, 4 — зубцы статора

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной ... 87
С развитием микропроцессорной техники, применение шаговых
двигателей с каждым годом становиться все более разнообразным. Дело
в том, что шаговые двигатели обладают рядом особенностей,
отличающих их от других типов двигателей:
— двигатель поворачивается за каждый импульс управления на
определенный фиксированный угол. Чем меньше шаг, тем большая
частота вращения может быть достигнута. Шаговые двигатели могут
обеспечить маленький шаг (до 1000 шагов за один оборот);
— шаговые двигатели могут обеспечить высокую точность частоты
вращения. Двигатели конструируют так, чтобы в ответ на входной
импульс они поворачивались на определенный угол и останавливались
в определенном положении. В силу того, что точность
позиционирования без нагрузки, зависит от параметров (физических и
конструктивных) ротора и статора, из-за момента нагрузки имеются отклонения от
конечного положения. С целью увеличения момента фиксации
воздушный зазор между зубцами ротора и статора выполняется минимальным.
В некоторых двигателях для экономии энергии положения фиксации
используются для позиционирования при невозбужденных обмотках.
Отношение электромагнитного момента к моменту инерции для
шаговых двигателей выше, чем для обычного электрического двигателя.
Дело в том, что шаговые двигатели в ответ на поступление
входного импульса или последовательности импульсов должны двигаться
с максимальным ускорением и быстро останавливаться при прерывании
последовательности импульсов.
Частота вращения задается числом шагов в секунду, и вместо
показателя «частота вращения» часто используется термин «шаговая
частота вращения». Однако шаговая частота вращения не определяет
точно абсолютную частоту вращения. Соотношение между частотой
вращения и шаговой частотой вращения задается формулой п = 60//S
где п — частота вращения, об/мин; / — шаговая частота
вращения; S — число шагов.
Шаговые двигатели можно разделить на три основных типа:
— синхронные реактивные двигатели с переменным магнитным
сопротивлением (индукторные);
— двигатели с ротором, представляющим собой постоянный магнит
(магнитоэлектрические);
— гибридные двигатели (синхронные реактивные), которые
обладают свойствами двигателей первых двух типов.
Реактивные двигатели. Поперечное сечение и принцип работы
реактивных двигателей представлен на рис. 3.7. Добавим только, что
статор и ротор обычно изготовливают из шихтованного магнитомягкого
материала, но часто используют и массивные роторы. Материал, как

88 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
статора, так и ротора должен обладать высокой магнитной
проницаемостью и обеспечивать прохождение большого магнитного потока.
Основные структурные особенности реактивных двигателей.
Воздушный зазор должен быть минимальным для создания большого
момента при небольшом объеме ротора и достижения высокой точности
позиционирования. Влияние длины воздушного зазора приведено на
рис. 3.10. При одном и том же значении магнитодвижущей силы
1 11 i м i г
ъ
Рис. 3.10. Анализ магнитного поля при малом (/) и большом (2) воздушных
зазорах
небольшой зазор будет обеспечивать больший магнитный поток,
который создаст более высокий момент. Таким образом, при воздействии
на ротор внешнего момента его уход от положения равновесия станет
меньше с уменьшением зазора.
Малый угол шага за счет увеличения количества зубцов ротора.
Соотношение между углом шага #s, числом фаз т и зубцами
ротора Nrj а также количеством шагов S задается формулой
с 360 at
S = -г— = mNr.
vs
У некоторых реактивных двигателей угол шага доходит до 1,2°.
Г Т * • » А
Рис. 3.11. Многопакетный реактивный шаговый двигатель: а — разрез трех-
пакетного шагового двигателя, б — статор и ротор пятипакетного шагового
двигателя, / — обмотки, 2 — зубец ротора, 3 — третий пакет, 4 — второй
пакет, 5 — первый пакет

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной ... 89
Возможность создавать многопакетные или каскадные шаговые
двигатели. Пример таких двигателей приведен на рис. 3.11, а, б. В
модели на рис. 3.11, а каждый пакет соответствует одной фазе, а ротор
и статор имеют одинаковое количество зубцов. Многопакетные
двигатели делятся на двигатели с разноименнополюсным и с одноименнопо-
люсным распределением магнитного поля.
Шаговые двигатели с постоянными магнитами. При мер четырех-
фазного шагового двигателя с постоянными магнитами приведен на
рис. 3.12. Цилиндрический постоянный магнит используется в качестве
ротора, а статор имеет четыре зубца, вокруг каждого из которых
Фаза! + Е
+ Е
ФазаЗ
Рис. 3.12. Поперечное сечение четырехфазного шагового двигателя с
постоянными магнитами
имеется обмотка. Выход каждой из фаз соединен с положительным
зажимом источника питания. При возбуждении фаз в
последовательности 1 —> 2 —> 3 —> 4, ротор будет поворачиваться по часовой стрелке.
Изменяя число зубцов статора и магнитных полюсов ротора, можно
менять угол шага двигателя. Однако существует предел как числа
зубцов статора, так и числа полюсов ротора.
Особенностью шаговых двигателей с постоянными магнитами
является то, что ротор в конце движения приходит в фиксированное
положение даже при снятии питания с обмотки статора. Здесь
срабатывает механизм фиксации, и данное положение называется положением
фиксации. Как правило, положения фиксации совпадают с конечными
положениями при возбужденных фазах (положениями равновесия).
При использовании постоянных магнитов возникают две проблемы:
— постоянные магниты дороги;

90 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
— максимальная плотность магнитного потока ограничена
значением намагниченности постоянного магнита.
Гибридные шаговые двигатели (рис. 3.13) так же используют
для ротора постоянный магнит. Термин «гибридный» происходит от
того, что двигатель работает, используя принципы как реактивного
двигателя, так и двигателя с постоянными магнитами. Структура
Рис. 3.13. Конструкция гибридного шагового двигателя: / — магнитопровод
статора, 2 — обмотки, 3 — магнитопровод ротора, 4 — обмотка, 5 —
постоянный магнит
статора гибридных двигателей очень близка к реактивным шаговым
двигателям, но в гибридном двигателе на одном полюсе намотаны
катушки двух различных фаз. В результате полюс принадлежит не
только одной фазе и при возбуждении катушки создают магнитные
потоки различной полярности.
Другой важной особенностью гибридных шаговых двигателей
является структура ротора (рис. 3.14). В теле ротора располагается
цилиндрический постоянный магнит, намагниченный вдоль оси двигателя
для создания аксиального магнитного потока. На каждый из полюсов
постоянного магнита надет сердечник ротора из магнитомягкого
материала с зубцами. Зубцы пакетов сдвинуты друг относительно друга
на половину зубцового деления. В некоторых шаговых двигателях
зубцы разных пакетов ротора совпадают друг с другом, но зубцы
статора имеют сдвиг по углу. Магнитное поле, которое создается
катушками статора, является разноименнополюсным. Момент
создается за счет взаимодействия магнитных полей катушек и постоянного
магнита в зубчатой структуре воздушного зазора. Малый угол шага
достигается изменением структуры зубцов статора и ротора.
Существуют и другие разновидности шаговых двигателей, такие
как: гибридные двигатели с постоянным магнитом в статоре, двигатели

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной ... 91
Рис. 3.14. Структура ротора гибридного шагового двигателя: / — шихтованная
сталь, 2 — постоянный магнит
с постоянными магнитами когтеобразного типа, шаговые двигатели
с внешним ротором, линейные шаговые двигатели; но они менее
распространены, чем три основных вида.
Рассмотрим электромеханический привод, который включает
шариковую винтовую передачу шаговый электродвигатель. Электрические
сигналы датчиков поступают в регулятор, сигнал из которого поступает
на вход электрической следящей системы, управляющей поворотом
ротора двигателя. Двигатель вращает винт, и гайка перемещается
в направляющем элементе, изменяя положение объекта относительно
основания. Схема привода приведена на рис. 3.15.
Ui J
«1
/
1 1
4
h\
i
> \
v
5
U>
у
(
ь W
1 W
2
1
1?
-^-^
3
Рис. 3.15. Система электромеханического исполнительного механизма с
шариковой винтовой парой: / — электродвигатель, 2 — шариковая винтовая пара,
3 — объект, 4 — датчик тока, 5 — датчик скорости, 6 — датчик положения,
7 — регулятор, 8 — усилитель мощности

92 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
Шариковые винтовые передачи применяют в различных
машинах и механизмах для преобразования вращательного движения
в поступательное. В ряде случаев эти передачи используют для
получения большого выигрыша в силе. Достоинства таких передач:
возможность получения медленного движения и высокой точности
перемещений, большая несущая способность и компактность, высокий
КПД. Недостаток передачи — некоторая сложность в исполнении.
Построим математическую модель приводного механизма. Для
этого приводной механизм представим как линейную систему.
В шариковой винтовой паре модель передачи скоростей и момента
описывается выражениями:
w = Rii, (3.12)
M = R2F, (3.13)
x = y + z, (3.14)
где R\ — передаточное число по скоростным параметрам, R2 —
передаточное число по силовым параметрам, ш — скорость вращения
якоря двигателя, М — вращающий момент на гайке, F = тх — сила
сопротивления, т — масса платформы, х — абсолютное перемещение
объекта, у — абсолютное перемещение основания, z — относительное
перемещение объекта.
Момент, приложенный к валу двигателя и усилие, создаваемое
поступательным движением объекта, связаны зависимостью
M=l-FDsrtg(^ + p), (3.15)
где Dsr — диаметр окружности, на которой располагаются центры
шариков, гр — угол подъема винтовой линии по цилиндру
диаметром D, р — приведенный угол трения качения.
С учетом выражений (3.12), (3.13), (3.15) и того, что tg(i/> + р) —
= tg-0/77, tg^ = S/nD получаем передаточные отношения по
скоростным и силовым параметрам:
д' = 1? (ЗЛ6)
R2 = i-v, (3.17)
где S — шаг резьбы, п — число заходов резьбы, г/ — КПД винтовой
шариковой пары.
Рассмотрим двухфазный шаговый электродвигатель с активным
неявнополюсным ротором (рис. 3.16).

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной ... 93
tf = 0
а б
Рис. 3.16. Модель шагового двигателя
Примем за начало отсчета угла д положение, при котором ось
полюса ротора совпадает с осью первой фазы. При этом
L\\ = L22 = L = const, 7*1 = r2 = г, щ = и2 = и.
Запишем уравнения движения ротора и напряжения в обмотках статора:
J9 + DQ + 1\рф sinpS + I2piJ> sinp(9 - А) + М = 0,)
rl\ + LI\ + М12/2 — -л {'Ф cospG) = и,
rl2 + Ы2 + Mnh - jt [Ф cosp(6 - A)] = и,
(3.18)
где J — момент инерции ротора двигателя, 1\,г\ — ток и
сопротивление 1-й фазы статора, 12,Г2 — ток и сопротивление 2-й фазы
статора, и — напряжение источника питания, 9 — угол между осью
полюсов и вектором н. с, р — число пар полюсов, ф —
максимальное потокосцепление возбужденного ротора с одной фазой статора,
L — собственная индуктивность, D — коэффициент вязкого трения,
Iq — установившееся значение тока в обмотках, А — интервалы между
обмотками, Mi2 — взаимная индуктивность.
Уравнения системы (3.18) являются нелинейными
дифференциальными уравнениями. Так как нелинейные дифференциальные уравнения
крайне сложно решить аналитически, линеризуем их. Если по
обмоткам обеих фаз проходит постоянный ток /qb направлении, указанном
на рис. 3.16, то положение равновесия здесь достигается при 9 = А/2.
Отклонение от положение равновесия обозначим через д. Оно является
функцией времени t и в последующем анализе мало. Когда ротор
поворачивается или колеблется, ток в обеих обмотках отклоняется от
установившегося значения на i\ и i2 соответственно.

94 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
Предположим, что:
I\=I0 + i\,
h = lo + h,)
тогда имеем
sinpG = sin ( ^- + pd 1 = sin ^- cospfl + cos ^- sinpfl.
Учитывая, что pti малая величина, получаем:
cospfi « 1,
smpfi & p$
}
Уравнение (3.20) упрощается
sinpG = sin ^r- + pd • cos ^-,
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
аналогично
(3.23)
sinp(9 - A) = sinp (- + $ - A J = -sinp(- - #) =
. p\ , Q p\
= - sm £— + pv • cos ^-,
cospG = cosp f - + v\ = pd • sin ^— + cos ^-,
cosp(9 — A) = cosp ( - + д — A J = cosp(- — d) =
Q . pX , pA
= —£77 • Sin £— + COS ^-.
Подставив уравнения (3.19), (3.22) и (3.23) в (3.18), приняв ц-в = 0
и г2$ = 0 получаем:
Ji) + Dd + 2р2<ф10$ cos ^ + рф{ц - г2) sin ^ + М = 0,
vX
2 > (3.24)
гг2 + Lz2 + Mi24 + pipti sin ^- = и,

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной ... 95
Из уравнений (3.12)—(3.14), (3.16), (3.17), (3.24) получим систему
уравнений:
JiHDtf+2pfyTo#cos у+W>(*i-k)sm^+R2mz+R2my = 0,
pX
ri\ + Li\ + M\2t2 -рф'д^т^-— = и,
pX
r%2 + Li^ + M\2i\ + pipti sin ^r- = u,
d = R\z.
> (3.25)
Упростим уравнения системы (3.25) и приведем их к виду,
характерному для уравнений, описывающих поведение системы в пространстве
состояний, приняв \I>i =p?/;sin^r- и \1>2 = 2р2ф1осоБ^г-:
Z =
J#,
*! (D+ 2*' Ь
+ R2m V L-Mx2)
Rl$2
+
L - M12,
-*+
(J-Ri + R2m)(L-Ml2)
JR\ + i^m
(ii - г2) - Й2^У,
2? = Z
• RXVX ^
4 = ~ Ti—Z
Lr . . Mx2r . . 1
9 Vl\ H 9 9-г2 + 7 iT^^>
> (3.26)
L - Mi2 L2 - M22 L2 - Ml
n
Д1Ф1
-i +
Mr
Lr
L - Mi 2
1
L-Mx2~ ' L2-Mi22"Zl L2-M22l2 L-MX2U'
Введем четыре переменные состояния: x\=z, x^ — z, х^—г\ и 2:4=22-
Система уравнений (3.26) примет вид:
х\ =
JRx
R\ fn , 2Ф! \ Д1Ф2 ,
+ tf2m V L - М,2У ' Jiii + Л2тХ2+
+
L-M]
(JRi +R2m)(L-Ml2)
+ R2m
(х3 - s4) - R2my,
X2 = X\
Я1Ф1 Lr . M\2r , 1
*3 = ~^T^^ - T2 „2 ^3 + Г2 „2 ^ + ^^^,
L - M,2 L2 - Mf2 L2 - Ml
R\^\ Mr Lr
X\ = — ti—X\ -\ 5 ttXs 5 TX\ +
L-M,2 L2-M\2 L2-M\2
или в векторно-матричной форме:
X = АХ + Bu + GY,
i = CX,
L - Mi 2
1
L- Mi 2
> (3.27)
(3.28)
где X = [#i X2 xs X4] — вектор переменных состояния, Y = [у О О 0]Т —
вектор возмущающего воздействия, и = [и и О 0] — вектор

96 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
входных сигналов; матрицы коэффициентов:
А =
R\
D +
2Ф1
JR\ +R2m V L- Mi2>
Д1Ф2
JR\ + R2m
ГФ1
(JRi + #2m) (L - M12)
r£i
(JAi + #2m) (L - M12)
1
0
0
0
Д1Ф1
L - Mi 2
0
Lr
L2 - M22
Mr
L2 - M22
Д1Ф1
L- Mi 2
0
Mr
L2 - Mi22
Lr
L2-M22,
-. 71
B =
0
0
1
L- Mi 2
L- M12J
G =
—R.2m
0
0
0
, c =
0
0
1
0
От описания системы в пространстве состояний перейдем к
передаточной функции, описывающей влияние напряжений на статоре инз.
скорость поступательного движения механизма z
где Ф(з) = (si — А)-1 — переходная матрица состояния, I — единичная
матрица.
После проведения соответствующих вычислений имеем
передаточную функцию, описывающую влияние напряжения на статоре и на
угловую скорость вращения вала двигателя и
Исходя из требований, предъявляемых к системе, и рекомендаций
по расчету шариковой винтовой передачи, составим таблицу
исходных технических данных для расчета шариковой винтовой передачи
(табл. 3.8).
Таблица 3.8. Исходные технические данные для расчета винтовой
шариковой передачи
№
п/п
1.
2.
3.
Наименование характеристики
и обозначение
Шаг резьбы
Число заходов резьбы, п
КПД, ту
Единица
измерения
—
—
-
Значение
6,15
3
0,97

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной ... 97
В качестве примера рассмотрим шаговый электродвигатель
FL20STH30-0604A, имеющий следующие технические характеристики
(табл. 3.9).
Таблица 3.9. Технические данные шагового двигателя FL20STH
№
п/п
1.
2
3
4
5
6
Наименование характеристики
и обозначение
Интервалы между обмотками, Л
Момент инерции, J
Число пар полюсов, р
Максимальное потокосцепление возбужденного
ротора с одной фазой статора, ф
Сопротивление фазы двигателя, г
Индуктивность, L
Единица
измерения
Вт
кг • м2
Ом
Гн
Значение
1• 10"3
0,2- 10"7
4
0,04
6,5
1,7- Ю-3
Реакция полученной системы на единичное ступенчатое
воздействие приведена на рис. 3.17, а амплитудно-частотные характеристики
(АЧХ) и фазово-частотные характеристики (ФЧХ) — на рис. 3.18.
' I
Т !
L* |
1'
1 t
lj
i
[ :
i ! i
[ i i
^ 1 .j.
.. j j .j.
i 1 I
iii4
! ! :
: : i
i i !
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Время(сек)
CC
t=f
иту
4
с
2
<
0,2
0,15
0,1
Рис. 3.17. Реакция рассматриваемой системы на единичное ступенчатое
воздействие
Из приведенных рисунков видно, что время переходного процесса
при единичном ступенчатом воздействии составляет 0,0028 с, а
полоса пропускания — до 500 Гц. Необходимо заметить, что
колебательный характер процесса, вытекающий из вида передаточной функции,
практически не проявляется из-за большой величины затухания, что
является отличительной особенностью шагового двигателя.
Для системы (3.28) найдем управляющее воздействие и = К • X,
которое минимизирует J^sup^ ||j/||2.
4 Рыбак Л.А. Чичварин А.В. Ержуков В.В.

98 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
45
0
-45
90
\ f г 4 .Л1^. J
\ f f J— t --^-- J
1 1 4- i .^t—J
10"
10° 101 102
Рис. 3.18. АЧХ и ФЧХ
10d
104
Введем во второе уравнение системы (3.28) управление и для
ограничения величины используемого управления, т. к. в противном случае
можно добиться сколь угодно маленького значения J с помощью
достаточно больших и. Система (3.28) примет вид
х = Ах + Bu + GY
z = Cx + Biu
Как известно J = |№)||^f где H(S) = (С + BiK)(*I - А +
+ BK)_1G — передаточная функция замкнутой системы от
возмущения и к выходу у, т.е. минимизация J эквивалентна задаче
Яоо-оптимизации.
Преобразуем предварительно
Ы\1
(Сх + Biu)T(Cx + Biu)cft =
(xi С1 Сх + 2u' В/ Сх + и' В/ Вщ)Л.
ТтьТт
Предположим для простоты выкладок, что Bf С = 0, тогда
смешанное произведение отсутствует, а
(xi С1 Сх + ui Su)dt,
neS = BT-Bi.

3.2. Электромеханический исполнительный механизм с червячной ... 99
Таким образом, запишем
x = Acx + Gy, ||y ||^1, х(0)=0, АС=А + ВК,
J
xTRxcft, где R = CTC + KTSK.
Если неравенство
AgP + РАС + -^ PGGTP + R ^ О
7
имеет решение Р > О, то J ^ 72-
Умножим неравенство (3.29) слева и справа на Q = Р-1,
(3.29)
Q(A + ВК)Т + (А + BK)Q + 4GGT + QCTCQ + QKTSKQ ^ 0,
7
и сделаем замену Y = KQ. Тогда
QAT+AQ+QCTCQ+YTBT+BY+YTSY+-!2GGT ^ 0. (3.30)
7
Преобразуем члены, зависящие от Y
YTBT + BY + YTSY = (S'/2Y + S"1/2BT)T(S1/2Y + S~^2BT)-
-BS1BT^-BS1BT,
причем равенство достигается при Y = —S-1BT.
Неравенство (3.30) выполняется при некоторых Q > 0, Y тогда
и только тогда, когда выполняется неравенство относительно Q > 0
1
QA' +AQ + QCiCQ-BS1Bi +-^GG' ^ 0.
7
В свою очередь оно имеет положительно-определенное решение Q > 0,
если такое решение имеет уравнение Рикатти, полученное заменой
неравенства на равенство. По этому решению восстанавливаем
соответствующий стабилизирующий регулятор К = YQ-1 = —S~1BTQ~1.
Матрицы А, В и С уравнения (3.28) для такой системы будут
следующими:
3,6-Ю-5 -5,1-Ю-3 ЧЬЮ"4 4,110-41
10 0 0
|-1,МО"3 0 1,1 -65
1,1-Ю-3 0 65 -1,1
0
в =
о
-10,2
-10,2
, С = [0 0 1 0] .
4*

100 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
Установим следующие значения весовых коэффициентов:
После выполнения процедуры нахождения коэффициентов обратных
связей оптимального регулятора была получена матрица
коэффициентов обратных связей
К= [0,0984 0 0,0001 0,0001].
3.3. Электрогидравлический исполнительный
механизм
3.3.1. Характеристика исполнительного механизма. Система
с электрогидравлическим исполнительным механизмом (рис. 3.19)
включает в себя гидроцилиндр, размещенный между объектом и
основанием, электрогидравлический преобразователь, акселерометры на
объекте и основании, датчик относительного перемещения и регулятор [11].
Гидроцилиндр является объемным гидродвигателем,
предназначенным для преобразования энергии потока масла в энергию
поступательного движения выходного звена. Рабочий процесс в гидроцилиндре
основан на попеременном заполнении рабочей камеры маслом и
вытеснении его из рабочей камеры.
Широкое использование гидроприводов определяется рядом их
существенных преимуществ перед другими типами приводов и прежде
всего возможностью получения больших усилий и мощностей при
ограниченных размерах гидродвигателей. Гидроприводы обеспечивают
широкий диапазон бесступенчатого регулирования скорости при
условии хорошей плавности движения, возможность работы в
динамических режимах с требуемым качеством переходных процессов, защиту
системы от перегрузки и точный контроль действующих усилий. С
помощью гидроцилиндров удается получить прямолинейное движение
без кинематических преобразований, а также обеспечить определенное
соотношение скоростей прямого и обратного ходов.
К основным преимуществам гидропривода следует отнести
достаточно высокий КПД, повышенные жесткость и долговечность. Кроме
того, гидравлические системы легко поддаются модернизации и
состоят, главным образом, из унифицированных изделий, серийно
выпускаемых специализированными заводами.
Гидроприводы имеют и недостатки, которые ограничивают их
использовании в машинах и механизмах. Это потери на трение и
утечки, снижающие КПД гидропривода и вызывающие разогрев рабочей
жидкости. Внутренние утечки через зазоры подвижных элементов

3.3. Электрогидравлический исполнительный механизм 101
^10
т///шш//Ш^
Рис. 3.19. Система с электрогидравлическим исполнительным механизмом
/ — объект, 2 — основание, 3, 4 — акселерометры на объекте и основании,
5 — датчик относительного перемещения, 6 — регулятор, 7 —
гидроцилиндр, 8 — усилитель мощности, 9 — электрогидравлический преобразователь;
10 — гидролиния, // — датчик расхода рабочей жидкости
в допустимых пределах полезны, поскольку улучшают условия смазки
и теплоотвода, в то время как наружные утечки приводят к
повышенному расходу масла, загрязнению гидросистемы и рабочего места.
Необходимость применения фильтров тонкой очистки для обеспечения
надежности гидроприводов повышает стоимость последних и
усложняет техническое обслуживание. Работоспособность гидросистем резко
снижается при попадании воздуха и воды в минеральное масло.
Изменение вязкости масла при его разогреве приводит к изменению
скорости движения рабочих органов. Узлы гидропривода весьма трудоемки
в изготовлении. В связи с наличием внутренних утечек затруднена
точная координация движений гидроприводов.
При правильном конструировании, изготовлении и эксплуатации
гидроприводов их недостатки могут быть сведены к минимуму.
Узел электрогидравлического преобразования состоит из
дросселирующего гидрораспределителя с задающим шаговым электродвигателем,
который через винтовую пару смещает в осевом направлении четырех-
кромочный золотник.

102 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
В шаговый электродвигатель подаются импульсы напряжения,
причем каждый импульс соответствует повороту его вала на определенный
угол-шаг (угловую дискрету), которая чаще всего составляет 1,5°.
Таким образом, угол поворота определяется числом поданных импульсов,
а частота вращения — частотой их следования.
В шаговых двигателях надежно гарантируется отработка
выходным валом заданного угла поворота, обычно не возникают проблемы
устойчивости, что позволяет сократить сроки наладки. При работе
с шаговыми двигателями нет проблемы обеспечения малых скоростей
движения, поскольку мгновенная скорость движения в процессе
отработки отдельных шагов значительно выше средних скоростей
движения в режиме медленных перемещений. Шаговый характер движения
при частотах свыше 10 Гц практически исчезает.
Вместе с тем, использование шагового электродвигателя
накладывает некоторые ограничения по приведенному к выходному валу
моменту инерции механизма, а также величине приемистости.
Дросселирующий гидрораспределитель по существу является
гидравлическим усилителем мощности, преобразующим входное
механическое воздействие в соответствующее перемещение выходного звена,
что позволяет изменять расход и направление потока масла в
нескольких линиях одновременно в зависимости от внешнего управляющего
воздействия.
Оптимальное техническое решение может быть выработано в
результате критического анализа приводов различного типа
применительно к конкретным условиям эксплуатации системы. Следует помнить,
что применение промежуточного энергоносителя (минерального масла)
целесообразно лишь в тех случаях, когда преимущества гидропривода
имеют решающее значение [12].
3.3.2. Разработка математической модели. При построении
модели поршневого гидроцилиндра одностороннего действия в качестве
входной величины будем рассматривать расход рабочей жидкости,
поступающей в гидроцилиндр, а в качестве выходной величины —
скорость поступательного движения штока. Реально гидроцилиндр
описывается нелинейными уравнениями, и нелинейность математического
описания обусловлена следующими факторами:
— утечка рабочей жидкости зависит как от рабочего давления, так
и от расхода жидкости, и эта зависимость нелинейна;
— модуль упругости рабочей жидкости зависит от температуры
и других условий среды;
— существуют зоны нечувствительности гидроцилиндра.
При построении модели двигателя для целей управления
этими факторами можно пренебречь, так как модель отражает только

3.3. Электрогидравлический исполнительный механизм 103
наиболее существенные связи для узкого диапазона управленческих
воздействий. В связи с этим при построении модели примем следующие
упрощающие предположения:
— утечка рабочей жидкости не зависит от расхода жидкости;
— модуль упругости рабочей жидкости является постоянной
величиной;
— работа гидроцилиндра проходит вне зоны нечувствительности.
Кроме того, будем считать, что в рассматриваемой системе:
— объект является жесткой массой;
— зазоры во всех элементах системы отсутствуют, кроме
учитываемого зазора между поршнем и корпусом гидроцилиндра.
Рассмотрим поршневой гидроцилиндр одностороннего действия,
имеющий высокое быстродействие, малую массу и объем на единицу
получаемой мощности и более высокий КПД. Запишем
гидродинамическое уравнение расходов
Q = Q*B + Qc>K + QyT, (3.31)
где Q — подводимый расход рабочей жидкости, QRB — расход
жидкости, затрачиваемый на движение поршня, (Зсж — расход жидкости,
характеризующий потери на ее сжимаемость, QyT — расход жидкости,
характеризующий потери на утечки. Составим определяющие
зависимости для составляющих расходов [12, 16].
£дв = Az, (3.32)
&ж = /?р, (3.33)
С^ут = гСутР, (0.04J
где А — площадь поршневого действия, (3 — коэффициент
сжимаемости жидкости, р — перепад давлений в гидроцилиндре, fcyT —
коэффициент утечки жидкости.
Коэффициенты сжимаемости и утечки рабочей жидкости могут
быть определены по следующим формуле
>=&
где V — суммарный объем поршневой и штоковой полостей
гидроцилиндра, Е — модуль упругости рабочей жидкости.
fcyT = 9,2x Ю"17^-, (3.35)
где D — диаметр поршня, мм, S — диаметральный зазор, мкм, v —
кинематическая вязкость рабочей жидкости, мм2/с, I — толщина
поршня, мм, /сщ — коэффициент, учитывающий характер щели. Для
концентрической щели /сщ = 2,5.

104 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
Усилие, перемещающее поршень, определяется согласно выражению
F = Аркт?у (3.36)
где fcTp — коэффициент, учитывающий потери на трение. Обычно fcTp =
= 0,9... 0,98.
С другой стороны F = Fc, где Fc — сила сопротивления, которая
может быть определена, исходя из выражения.
Fc = mz. (3.37)
Из уравнений (3.31)—(3.35), (3.36)-(3.37) может быть получена
система уравнений
Az + -p + kyrP = Q,] (338)
mz = Аркт?. J
Приведем уравнения (3.38) к виду, характерному для уравнений,
описывающих систему в пространстве состояний
Z =
ЛКтг
Р= —
-V,
m
4АЕ .
-z —
4EkY
p+^Q-
(3.39)
V V
Введем 2 переменные состояния: х\ = i, x<i = р. Система
уравнений (3.39) примет вид
Х2
Ah.
тр
Х2,
771
ААЕ
:Xl.^bLX2 + fQ.
V 1 V
или в векторно-матричной форме
X = AX + BQ,
i = CX,
где X =
Х\
Х2
0
4АЕ
V
— вектор состояния; В
тт.гСтр
0
АЕ
(3.40)
— матрица входа;
m
4EkY
— матрица коэффициентов системы; С =
= [1 0] — матрица выхода.
Система уравнений (3.40) полностью описывает поведение
гидроцилиндра, нагруженного телом массой т. Каждой конкретной модели
гидроцилиндра соответствует своя матрица коэффициентов системы А
и своя матрица входа В.
От описания системы в пространстве состояний перейдем к
передаточной функции, описывающей влияние расхода рабочей жидкости,

3.3. Электрогидравлический исполнительный механизм 105
поступающей в гидроцилиндр, Q на скорость поступательного
движения штока цилиндра i.
ИЪ_Л*) = !^ = СФ(*)В, (3.41)
где Ф(з) = (si - А)-1 — переходная матрица состояния.
После проведения соответствующих вычислений можно получить
WQ-z (s) = -2 *^Е -2 . (3.42)
Теперь построим математическую модель узла электрогидравлического
преобразования. Запишем передаточную функцию шагового
электродвигателя.
Эта передаточная функция описывает влияние импульсов напряжения
якоря и на угол поворота вала электродвигателя (р. Будем считать, что
все управляющие импульсы имеют одинаковую длительность. Каждый
такой импульс приводит к повороту вала двигателя на угловую
дискрету Д(/?. Коэффициент усиления /^определяется согласно выражению.
*эд " АиТ '
где Аи — амплитуда управляющих импульсов напряжения,
Т — длительность каждого из импульсов.
Передаточная функция передачи «винт-гайка» имеет вид
w«-*^ = i$=ru (3-43)
где хГ? — перемещение золотника в дросселирующем
гидрораспределителе, г\ — передаточное число винтовой пары по скоростным
параметрам.
Исходя из требований, предъявляемых к системе, и рекомендаций
по расчету передачи «винт-гайка» [5], составим таблицу исходных
технических данных для расчета передачи «винт-гайка» (табл. 3.10).
Средний диаметр резьбы dc?, высота профиля резьбы h и шаг
резьбы Р могут быть определены, исходя из приведенных ниже формул:
d^Jfip, Л = 0,ЫсР, P = 2h.
nkq
По следующей формуле мы можем определить передаточное число
передачи по скоростным параметрам
пР

106 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
Таблица 3.10. Исходные технические данные для расчета передачи
«винт-гайка»
№
и/и
1
2
3
4
Наименование характеристики
и обозначение
Максимальная грузоподъемность, Fmax
Отношение высоты гайки к среднему диаметру
резьбы, к
Допускаемое давление для резьбы (для
закаленной стали побронзе), q
Число заходов резьбы, п
Единица
измерения
Н
-
МПа
-
Значение
10
1,6
10
1
В рассматриваемом типовом случае после проведения вычислений
получилось г\ = 2,008 х 10~5 м.
Составим передаточную функцию дросселирующего
гидрораспределителя, описывающую влияние перемещения золотника хг? на расход
рабочей жидкости, поступающей в гидроцилиндр, Q
W*-Q(*) = £$)=kv <3-44>
В выражении (3.44) fcrp — передаточное число гидрораспределителя по
каналу хг? - Q. Данный параметр может быть определен из
статических характеристик дросселирующего гидрораспределителя после их
линеаризации.
Общая передаточная функция по каналу и - z определяется по
выражению
Wu-i (з) = Щ = Wu-v (s) Wy-X (s) Wx-Q (s) WQ-z (s).
U [S)
Учитывая формулы (3.41)-(3.44), можно получить выражение для
общей передаточной функции Wu-z {s)
ттт- / \ 4/1.Е/АСТрАСэдГ1 АСрр
Wu-z \s) — —/ : : г-
5 [mVs1 + 4mEkyTs + 4AzEkTpJ
В данном разделе в качестве исполнительного механизма будем
рассматривать гидроцилиндр без учета узла электрогидравлического
преобразования. Это объясняется тем, что винтовая пара и
дросселирующий гидрораспределитель являются с точки зрения теории
автоматического управления пропорциональными звеньями и абсолютно не
влияют на динамику системы. Что касается шагового
электродвигателя, то при достаточно высокой частоте подачи импульсов
напряжения по сравнению с частотой возмущающего воздействия на систему
вал электродвигателя будет успевать следовать за требуемым углом

3.3. Электрогидравлический исполнительный механизм 107
положения вала практически без задержки и, таким образом, также не
будет влиять на динамику системы.
3.3.3. Исследование динамических свойств исполнительного
механизма. Если предположить, что на вход исполнительного
механизма подан единичный скачок напряжения, т.е. u(t) = 1 (t),
a u(s) = 1/s, то выражение для выходной величины можно получить
с помощью обратного преобразования Лапласа согласно формуле
Л(*) = £-'№-;(*)«(«)}•
Выполнив соответствующие преобразования, можно получить формулу
для описания переходного процесса
h (t) = A0 + Be~at sin (fit) + Ce~at cos (fit), (3.45)
где
4=1 H=! / Em r=-±-
° A' V\JA2k^V-Ek2yim' A'
2EkyT Q 2 EA2kTpV-E2k2m
V V V rn
Второе и третье слагаемые в выражении (3.45) представляют собой
гармоническую функцию с частотой /?. Она затухает со скоростью,
определяемой экспонентой e~at. При t —> ос система выходит на
установившееся значение Aq.
Для получения частотных характеристик рассмотрим комплексную
передаточную функцию Wq-z (ju)
Щ-z CM = Щ-i (S)\s=ju; = 2 Л,^ЛА2и Z-L. ЧЛ ?ГТ
J -u) rnV + 4A kTpE + j (АитЕкут)
Теперь можно получить в общем виде выражения для амплитудно-
частотной и фазово-частотной характеристик соответственно.
A(u) = \WQ.z(ju)\
4Ак7рЕ
> (3.46)
у/{4А2к7рЕ - u2mV)2 + \6ш2т2Е2ЩТ
( v . (Irn(WQ-i(ju))\ . ( АитЕку, \
^(W) = arCtg {вМ^М)Г-^ W%E-Jmv)
В качестве примера рассмотрим гидроцилиндр ГЦП50х32х160
(ТУ2-0221050.004-88), имеющий следующие технические
характеристики (табл. 3.11).
В качестве рабочей жидкости будем рассматривать минеральное
масло И-20А (ГОСТ 20799-75). Технические характеристики данной
марки масла приведены в табл. 3.12.

108 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
Таблица 3.11. Технические данные гидроцилиндра ГЦП50 х 32 х 160
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Наименование характеристики
и обозначение
Диаметр поршня, D
Диаметр штока, d
Величина хода, S
Толщина поршня, 1
Диаметральный зазор между поршнем и корпусом,
5
Коэффициент, учитывающий потери на трение, /стр
Единица
измерения
мм
мм
мм
мм
мкм
-
Значение
50
32
160
50
1,0
0,95
Таблица 3.12. Технические данные минерального масла И-20А
№
п/п
1
2
Наименование характеристики
и обозначение
Модуль упругости, Е
Кинематическая вязкость при 50 °С, v
Единица
измерения
МПа
мм2/с
Значение
1,5 х 103
20
Основываясь на данных, приведенных в таблицах 3.9 и 3.10,
получим значения остальных необходимых для исследования параметров
исполнительного механизма. По следующим формулам можно вычислить
площадь поршневого действия и суммарный объем поршневой и што-
ковой полостей гидроцилиндра соответственно
*£ v=,sfD2_S\
4 4 \ 2 )
Теперь получим значение коэффициента утечки рабочей жидкости
fc -3,7х 1(Г17^-.
Для выбранной модели гидроцилиндра эти величины составили
А= 1,963- 10"3м2, V = 2,498- 10~4м3 и кут = 1,833- 10~9м3/(с • Па).
В синтезируемой системе важно иметь высокое быстродействие
исполнительного механизма. Поэтому немалый интерес представляет
длительность переходного процесса в исполнительном механизме при
единичном скачке расхода рабочей жидкости. Для рассматриваемой
модели гидроцилиндра по формуле (3.27) была построена переходная
характеристика и установлено время окончания переходного процесса.
В качестве момента окончания переходного процесса примем момент,
после которого значение выходной величины уже не отклонится от

3.3. Электрогидравлический исполнительный механизм 109
установившегося значения более чем на 5%. В данном случае оно
составило tnn = 0> 150 с.
Также для этого гидроцилиндра была построена амплитудно-
частотная характеристика по формуле (3.27). Наибольший интерес
представляет значение частоты среза амплитудно-частотной
характеристики. В рассматриваемом случае, как и в большинстве других,
исполнительный механизм представляет собой фильтр нижних частот.
Чем выше частота среза, тем шире частотный диапазон работы
исполнительного механизма и, соответственно, тем выше предельные
высокие частоты возмущения, которые могут быть подавлены. В
качестве частоты среза примем частоту, при которой уровень
амплитуды выходной величины равен уровню амплитуды выходной величины
при и = 0, уменьшенному в у/2 раза. В данном примере частота среза
составила ис? = 20,0 Гц.
Чтобы система была устойчивой необходимо выполнение
условия (f (uc?) < 0. Это гарантирует отсутствие перерегулирования в
переходной характеристике и, соответственно, резонансных частот.
Нетрудно убедиться, что данное условие выполняется.
Таблица 3.13. Технические данные гидроцилиндров, выбранных для
исследования
№п/п
1
2
3
4
5
6
Обозначение
характеристики
D
d
S
1
5
АСТр
Единица измерения
мм
мм
мм
мм
мкм
-
Значения по моделям гидроцилиндров
ГЦП63 х 40 х 400
63
40
400
70
1,0
0,95
ГЦП70 х 50 х 400
70
50
400
70
1,0
0,95
ГЦП90 х 63 х 400
90
63
400
45
1,0
0,95
ГЦП90 х 63 х 630
90
63
630
70
1,0
0,95
ГЦП110x80x400
ПО
80
400
40
1,0
0,95
ГЦП140х 100x630
140
100
630
40
1,0 1
0,95 |
Для исследования выбраны несколько других моделей
гидроцилиндров, абсолютно различных по своим техническим характеристикам.

ПО Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
Технические характеристики, соответствующие этим моделям
гидроцилиндров, приведены в табл. 3.13.
Для вариантов исполнительного механизма с данными
электродвигателям получены амплитудно-частотные характеристики (рис. 3.20)
и графики переходные функции (рис. 3.21) По ним вычислены значения
длительности переходного процесса и частоты среза (табл. 3.14).
100
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
-45
-90
-135
-180
' /' 4
^У
.......\......1\Z^
\ \
1.. 5—
6
3^JoJv\
1^ N^S
6
^4
1 ГЦПбЗх 40x400
2 ГЦП70 х 50 х 400
3 ГЦП90 х 63 х 400
4 ГЦП90Х 63x630 1
5 ГЦП110x80x400 [1
6 ГЦП140Х 100 х 1630 ||
10'
,0
10*
ю4
106
Рис. 3.20. Амплитудно-частотные характеристики для системы с
электрогидравлическим исполнительным механизмом с разными типами
электродвигателей

3.3. Электрогидравлический исполнительный механизм 111
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
.....
"ЛУ>
*2v I ^
/XI 3
"1/6 •
—"^^^—
/
^—
; !
1 ! ш
/ ГЦП63 х 40 х 400
2 ГЦП70 х 50 х 400
3 ГЦП90 х 63 х 400
4 ГЦП90 х 63 х 630
5 ГЦППОх 80x400
6 ГЦППОх 100x630
1 }
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Рис. 3.21. Переходная функция системы с электрогидравлическим
исполнительным механизмом с различными типами гидроцилиндров
Таблица 3.14. Динамические характеристики исполнительных механизмов
с различными моделями гидроцилиндров
п/п
1
2
Наименование
и обозначение
характеристики
Длительность
переходного процесса,
Частота среза, cjCp
Единица измерения
с
Гц
ГЦП63 х 40 х 400
0,293
375
ГЦП70 х 50 х 400
0,191
426
ГЦП90 х 63 х 400
0,135
547
ГЦП90 х 63 х 630
0,0863
439
ГЦППОх 80x400
0,0817
676
ГЦПМОх 100x630
0,0403
684
Из данных табл. 3.12 следует, что, как и можно было ожидать,
величины длительности переходного процесса и частоты среза в
некоторой степени связаны обратной зависимостью.
Для того, чтобы определить, какие из технических параметров
гидроцилиндров положительно влияют на расширение частотного диапазона
работы системы и на повышение быстродействия, воспользуемся
статистическим методом.

112 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
На основе вычисленных значений коэффициентов корреляции
и считая, что сколько-нибудь существенная связь между массивами
существует только тогда, когда \рху\ ^ 0,5, можно дать следующие
рекомендации по выбора модели гидроцилиндра для данного типа
исполнительного механизма:
— диаметры поршня и штока должны быть больше,
— величина хода должна быть больше,
— толщина поршня должна быть меньше,
— на переходной характеристике гидроцилиндра не должно
наблюдаться перерегулирования,
— необходимо ограничить физические габариты гидроцилиндра,
чтобы он подходил для работы с конкретным объектом виброизоляции.
Следование данным рекомендациям приведет к расширению
частотного диапазона стабильной работы исполнительного механизма.
В эти рекомендации не включается значение номинального
толкающего усилия, так как этот показатель является базовым при выборе
гидроцилиндра и выбирается, исходя из значения требуемой расчетной
мощности, приведенной ранее, а также из экономических соображений.
3.4. Рекомендации по выбору типа исполнительного
механизма
Электромеханический исполнительный механизм с парой «винт-
гайка» является наиболее простым из рассматриваемых по своему
конструктивному исполнению и эксплуатационным характеристикам.
Однако, в силу того, что устройства, необходимые для работы системы
с парой «винт-гайка», являются поступательными кинематическими
парами, при работе появляются значительные силы трения за счет
скольжения и вызывает проблемы схватывания и заедания, особенно
при работе в неблагоприятных средах. Частотный диапазон работы
системы определяется, главным образом, частотным диапазоном
используемого электродвигателя. Как правило, возможно сконфигурировать
систему так, чтобы частотный диапазон покрывал всю
рассматриваемую частотную область в нижней части спектра.
Электромеханический исполнительный механизм с червячной
передачей на базе параллелограммного механизма имеет
преимущества при работе системы в неблагоприятных средах, что объясняется
схемно-техническим решением, реализованным на вращательных
кинематических парах. Это приводит к уменьшению сил трения и
проблем, связанных со схватыванием и заеданием. С другой стороны,
такой подход несколько усложняет конструкцию системы. Что касается

3.4. Рекомендации по выбору типа исполнительного механизма 113
частотного диапазона работы такой системы, то в этом вопросе данная
система идентична электромеханической системе с парой «винт-гайка».
Вариант электрогидравлического исполнительного механизма
является конструктивно наиболее сложным. Для его эксплуатации
необходима гидросистема — либо уже существующая на объекте
эксплуатации, либо подлежащая разработке. Вследствие повышенной
сложности конструкции и эксплуатации системы, не исключено
возникновение проблем при работе в неблагоприятных средах. Однако,
данная система превосходит все остальные рассматриваемые варианты
по частотному диапазону работы. Частотный диапазон работы системы
определяется, главным образом, частотным диапазоном используемого
гидроцилиндра, а гидроцилиндры, как правило, имеют более широкие
рабочие частотные диапазоны по сравнению с электродвигателями
постоянного тока.
Обобщенные результаты сравнительного анализа различных
вариантов исполнительного механизма приведены в табл. 3.15.
Таблица 3.15. Результаты сравнительного анализа различных вариантов
исполнительного механизма
Наименование
показателя
сравнения
Конструктивное
исполнение
Эксплуатация
в неблагоприятных
средах
Частотный
диапазон работы
системы
Вариант исполнительного механизма
Электромеханический
с парой «винт-гайка»
Самое простое
Нежелательна
Средний
Электромеханический
с червячной передачей
и параллелограммным
механизмом
Достаточно простое
Возможна
Средний

Электрогидравлический
Сложное
Нежелательна
Широкий
При разработке системы для внедрения в обычных транспортных
средствах, эксплуатирующихся на промышленных предприятиях, и на
карьерном оборудовании наибольшее значение следует придавать
показателю возможности эксплуатации в неблагоприятных средах (в силу
того, что обычно такое оборудование работает в условиях высокой
запыленности, загазованности и т.п.). Кроме этого также
немаловажна простота конструктивного исполнения исполнительного
механизма, так как она напрямую влияет на возможность обеспечения
нормальной эксплуатации системы. Поэтому, основываясь на полученных
результатах, можно сделать вывод о том, что для таких систем, как

114 Гл. 3. Динамический анализ приводных механизмов для МПС
правило, следует выбирать электромеханический исполнительный
механизм с червячной передачей на базе параллелограммного
механизма. Для оборудования, эксплуатирующегося в более благоприятных
условиях наиболее подходит электромеханический исполнительный
механизм с парой «винт-гайка». Использование электрогидравлического
исполнительного механизма наиболее оправдано в тех случаях, когда
на объекте имеется действующая гидросистема, пригодная для питания
гидроцилиндра рабочей жидкостью при условии, что система работает
в нормальных условиях.

Глава 4
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ РОБОТА-СТАНКА
НА ОСНОВЕ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ
4.1. Управление МПС
По сравнению с последовательными манипуляторами управление
роботами-станками параллельной структуры является во многих
аспектах непростой задачей. Это, прежде всего, связано с более сложной
структурой и наличием особых положений, в которых механизм теряет
свойства линейности. Как и любая другая система автоматического
управления, рассматриваемый механизм не может функционировать
без некоторой ошибки. В связи с наличием ошибки, в контур
управления необходимо добавлять обратную отрицательную связь, для того
чтобы обеспечить слежение за системой и сведению ошибки к
минимуму. Процесс управления движением робота-станка схематически
можно изобразить в виде, представленном на рис. 4.1. Последовательность
работы схемы следующая:
— на блок управления (БУ) поступает некоторая задача, которая
может выглядеть в виде запроса обработки детали определенной
формы. БУ разбивает задачу на отдельные шаги и подает на выход сигнал,
характеризующий необходимое положение рабочего инструмента (РИ)
в данный момент времени;
— следующий блок 2 получает на вход положение РИ (X) и на
основании аналитических зависимостей (2.3)-(2.5), (2.12)—(2.17), подает
на выход длины штанг У;
— далее сигнал поступает на исполнительный механизм, который
приводит к удлинению штанги на требуемую величину;
— новая длина штанг считывается датчиками, и эти данные
поступают на блок обработки сигнала 5.
Здесь выполняются преобразования обратные тем, что проводились
в блоке 2. На основании длин штанг Y, полученных с датчиков, блок
вычисляет текущее положение РИ-Х.
Реальное и желаемое положение РИ сравниваются, и величина
рассогласования сигнала подается на вход БУ для последующей
корректировки.
Блок управления отвечает за описание поверхности и формирует
траекторию движения. В схему внедрена главная обратная связь по

116 Гл. 4. Управление движением робота-станка на основе нейронных...
5
х.
1
БУ
_/~vJ
i
i
\X = F-\Y)
КП |—
\
2
6
/
\x = F{X) k
'
J I
r
—\ 1
-j J
3'
l_
ИМ1
ИМ2
ИМп
4
Д1
У
Д2
Дп
1
1
1
1
Рис. 4.1. Схема управления МСПС. / — блок управления, 2 — блок,
вычисляющий корректировку приводов, 3 — исполнительный механизм, 4 — датчик,
5 — решение обратной задачи кинематики, 6 — решение прямой задачи
кинематики
результатам обработки поверхности. С датчиков получаем сигнал об
удлинении штанг и на основании этих длин блок 6 решает прямую
задачу о положении, выдавая, таким образом, на выходе реальное
положение рабочего инструмента. Далее вычисляется погрешность, путем
сравнения программного значения управляющего воздействия
(желаемого положения РИ) и вычисленного реального значения (полученного
в блоке 6). В блоке 2 по величине погрешности вычисляется
корректировка длин штанг. В то же время блок 5 находит решения обратной
задачи кинематики, а именно определяет длину штанг по управляющему
воздействию. Суммируя приращения длин с предыдущим значением,
получаем управляющее воздействие на исполнительные приводы.
Здесь следует уделить внимание блокам решения прямой и
обратной задачи — соответственно блоку 6 и 5. Решение обратной
задачи может быть сведено к нахождению длин штанг через векторный
контур. Применение подобного подхода для решения прямой задачи
не представляется возможным. Как один из возможных вариантов
можно рассматривать численные методы решения систем нелинейных
уравнений. Одним из них можно считать метод Ньютона, который
является достаточно универсальным методом и позволяет искать корни
в широкой области определения. Однако решение системы этим
методом может быть затратным по времени, а это критично для систем
работающих в реальном режиме времени. В связи с этим, могут быть
рассмотрены менее затратные методы решения. Предлагается
построить функцию, отвечающую за прямое решение, путем аппроксимации

4.1. Управление МПС
117
значений полученных из решения обратной задачи. В качестве
инструмента аппроксимации функции берем аппарат нейронных сетей (НС).
Искусственные нейронные сети (ИНС) индуцированы биологией,
так как они состоят из элементов, функциональные возможности
которых аналогичны большинству элементарных функций
биологического нейрона. Эти элементы организуются по способу которому
может в некоторой степени соответствовать функционирование
мозга. Несмотря на достаточно поверхностное сходство, искусственные
нейронные сети демонстрируют удивительное число свойств,
присущих мозгу. К ним относятся: массовый параллелизм; распределенное
представление информации и вычислений; способность к обучению
и способность к обобщению; адаптивность; свойство контекстуальной
обработки информации; толерантность к ошибкам; низкое
энергопотребление.
Несомненно, что технические средства, построенные на тех же
принципах, что и биологические нейронные сети, обладают
перечисленными характеристиками. Аппаратная реализация ИНС —
нейрокомпьютер — имеет существенные отличия (как по структуре, так
и по классу решаемых задач) от вычислительных машин, выполненных
в соответствии с традиционной архитектурой фон Неймана [8].
Основополагающие работы по теории нейронных сетей появились
на рубеже XIX и XX столетий. Среди них — труды Г. Гельмгольца
и И. Павлова, рассматривающие общую теорию обучения, анализа
зрительных процессов мозга и условно-рефлекторной деятельности.
К сожалению, в этих работах отсутствовали математические модели
функционирования нейронных сетей.
Современный этап развития теории ИНС начался после публикации
в 1943г. работы У.С. Мак-Каллока и У. Питтса [33], посвященной
логическому анализу нервной деятельности. В этой работе впервые
представлена формализованная модель искусственного нейрона и
разработана теория ИНС как конечных автоматов, способных реали-
зовывать «психологические функции». В соответствии с концепцией
У. С. Мак-Каллока и У. Питтса функциональные свойства моделей
ИНС постулируются в качестве исходных, т.е. отсутствует такое
полезное свойство, как обучение.
Первым результативным методом построения ИНС считается
алгоритм Д. О. Хебба [28], в основу которого положен механизм
корреляции активности афферентного (входного) синапса (соединения)
и эфферентного (выходного) нейрона.
Теории Хэбба, Мак-Каллока-Питтса и накопленные со временем
экспериментальные знания в области психологии и физиологии стали
основой для модели мозга, предложенной Ф. Розенблаттом и названной
им перцептроном (от лат. perceptio — восприятие). В работе [40]

118 Гл. 4. Управление движением робота-станка на основе нейронных...
Розенблатт определяет перцептрон как «некоторое множество
элементов (нейронов), генерирующих сигналы, связанных в единую сеть.
Логические свойства такой сети определяются топологической
структурой, т. е. связями между нейронами; набором алгоритмов,
управляющих генерацией и передачей сигналов; набором функций памяти, или
преобразования свойств сети в результате активности. По сравнению
с другими моделями нейронных сетей перцептрон допускал большую
свободу установления связей и обладал способностью к обучению.
Огромное значение имела теорема о сходимости алгоритма обучения
перцептрона [39]. В 1960 г. была создана первая техническая
реализация ИНС-перцептрон MARK-1.
В 60-е годы разрабатывается множество моделей, методов и
алгоритмов в области нейронных сетей — дисциплина быстро развивается.
Одна из разработок того времени — обучающаяся матрица Штейнбуха,
система распознавания образов, основанная на применении линейной
дискриминантной функции. Тогда же Б. Уайдроу разрабатывает первое
широко известное правило обучения (Madaline Rule 1) искусственных
нейронных сетей, содержащих большое число линейных адаптивных
элементов. Другая ранняя работа в этой области, посвященная
обучению по методу соревнования, — алгоритм «поиска оптимального
режима» Л. Старка, М. Окашимы и Г. Уайпла. За ней последовали работы
по самоорганизации С. Мальцбурга и С. Гроссберга. К. Фукусима
исследовал аналогичные методы и проблемы на имитирующих
биологические структуры моделях, названных «Когнитрон» и «Неокопштрон».
В то же время группой ученых Стэнфордского университета
проводились исследования в области адаптивных систем на основе ИНС.
Разрабатывались технические приложения, включающие
распознавание образов и речи, прогнозирование погоды и адаптивное управление.
В 1969 г. М. Минский и С. Пейперт в опубликованной ими
книге [34] положили начало строгому математическому анализу перцеп-
тронных схем. Утверждалось, что однослойные нейронные сети имеют
ограниченные репрезентативные возможности, а обучение
многослойных ИНС непродуктивно. Авторитет ученых был настолько велик, что
публикация их работы остановила процесс изучения проблемы более
чем на 10 лет. После неудачных попыток разработки обучающих
правил для многослойных адаптивных сетей исследования переключились
на проблемы адаптивной фильтрации и обработки сигналов.
Применение адаптивной обработки сигналов оказалось весьма плодотворным
для решения таких прикладных задач, как настройка антенн, создание
систем управления и анализ сейсмических сигналов. Исследования
Р. Лаки в лабораториях Белла положили начало коммерческому
применению адаптивных фильтров и метода наименьших квадратов (МНК)
для настройки высокоскоростных модемов и подавлению «эхо»-эффекта

4.1. Управление МПС
119
в телефонных и спутниковых сетях. Несмотря на ослабевший
интерес к ИНС перцептронного типа, в 70-е годы появляется ряд работ
по самоорганизации, среди которых — теория адаптивного резонанса
(APT) С. Гроссберга, представляющая собой ряд новых гипотез,
касающихся управления биологическими нейросистемами. К этому же
периоду относятся исследования Дж. Альбуса, автора нейросетевой
модели, известной как «мозжечковая модель суставного регулятора
(СМАС). Первоначально сети СМАС применялись для управления
роботом-манипулятором, хотя возможности этих структур значительно
шире — они могут быть использованы для запоминания,
восстановления и интерполяции функций многих переменных.
Возрождение интереса к ИНС в большей мере связано с
публикацией в 1982 г. работы Дж. Хопфилда, в которой исследовалась
динамическая структура, предназначенная для решения оптимизационных
задач [30]. Для сетей Хопфилда были разработаны методы обучения,
основанные на правиле Хэбба.
Значительный успех в области нейронных сетей прямого действия
принесла публикация в 1986 г. работы Д. Румельхарта, Дж. Хинтона
и Р. Уильямса [41], в которой был предложен алгоритм обучения
многослойных сетей перцептронного типа, получивший название «метод
обратного распространения ошибки». Необходимо отметить, что метод
был разработан и исследован еще в 1974 г. в докторской диссертации
П. Вербоса [47], к сожалению, эта работа осталась незамеченной
специалистами в области нейронных сетей. В 1982 г. Д. Паркер заново
открывает метод [38] и в 1985 г. представляет его в техническом
отчете Массачусетского технологического института. Однако только
ясное и четкое изложение материала Д. Румельхартом, Дж. Хинтоном
и Р. Уильямсом приносит методу широкую популярность, и интерес
к нейронным сетям и их приложениям приобретает характер нейро-
бума. В развитие теории многослойных нейронных сетей
значительный вклад внес российский ученый А. Н. Горбань — автор «принципа
двойственности», позволяющего организовать экономные вычисления
векторов градиента сложных функций (функционалов) [5]. Решение
этой задачи является основным этапом в процедуре обучения
многослойных ИНС.
Нейронные сети не программируются в привычном смысле этого
слова, они обучаются. Возможность обучения — одно из главных
преимуществ нейронных сетей перед традиционными алгоритмами.
Технически обучение заключается в нахождении коэффициентов связей
между нейронами. В процессе обучения нейронная сеть способна
выявлять сложные зависимости между входными данными и выходными,
а также выполнять обобщение. Это значит, что, в случае успешного
обучения, сеть сможет вернуть правильный результат на основании

120 Гл. 4. Управление движением робота-станка на основе нейронных...
данных, которые отсутствовали в обучающей выборке. Данное
свойство НС как раз и используется для аппроксимации нашей обратной
функции.
Аппроксимация функции таким методом сводится к обучению
нейронной сети на определенном наборе выборки. Выборку можно
получить из формул (2.3)-(2.5), (2.12)—(2.17). В роли аргумента
функции принимались длины штанг, а в качестве значения функции-
координаты рабочего инструмента.
4.2. Подбор алгоритма обучения нейронной сети
Качество работы НС очень сильно зависит от метода обучения.
Наиболее универсальным методом обучения НС является алгоритм
обратного распространения ошибки с использованием методики
наискорейшего спуска. Данный алгоритм один из самых быстрых,
достаточно простой в реализации и менее ресурсоемкий. Однако этот
алгоритм обладает большим недостатком — возможность попадания
в области локального минимума, что является недопустимым, т. к.
нейронная сеть не обучается до нужного уровня. В связи с этим
возникает необходимость прибегнуть к методам глобальной оптимизации.
Наиболее подходящим вариантом является алгоритм имитации отжига.
Алгоритм имитации отжига с последующей корректировкой весовых
значений алгоритмом обратного распространения ошибки позволяет найти
оптимальное решение, однако время работы такой методики значительно
больше времени работы лишь одного алгоритма обратного
распространения ошибки. Найти выход из подобной ситуации позволяет методика,
изложенная в [18], которая будет описана ниже. Вначале приводится
математическое описание алгоритма обратного распространения ошибки.
4.2.1. Математическое описание алгоритма обратного
распространения ошибки. Алгоритм обратного распространения ошибки
определяет два потока в сети: прямой поток от входного слоя к
выходному и обратный поток — от выходного слоя к входному. Обратный
поток аналогичен прямому, но он возвращает назад по сети значения
ошибок, в результате чего определяются величины, в соответствии
с которыми следует корректировать весовые коэффициенты в процессе
обучения. В обратном потоке значения проходят по взвешенным
связям в направлении, обратном направлению прямого потока. Например,
в прямом потоке элемент скрытого слоя посылает сигналы каждому
элементу выходного слоя, а в обратном потоке элемент скрытого слоя
будет получать сигналы ошибок от каждого элемента выходного слоя.
В процессе обучения каждый выходной образец будет иметь
соответствующий целевой выходной образец, который должен получаться

4.2. Подбор алгоритма обучения нейронной сети 121
для данного входного. В общем, целью обучения является
нахождение такого набора весовых коэффициентов сети, который
обеспечивает решение данной конкретной проблемы. Перед началом обучения
весовые коэффициенты устанавливаются равными малым случайным
значениям — например, значениям из диапазона от — 0,3 до 0,3.
Процедура обучения по правилу обратного распространения ошибки
выглядит следующим образом:
— для каждого входного вектора и связанного выходного вектора
выполнять, пока «not STOP» STOP = TRUE;
— для каждого входного вектора выполнить прямой проход и найти
реальный выход;
— получить вектор ошибок путем сравнения реальных и целевых
значений;
— если реальный выход не попадает в допустимые рамки;
— установить STOP=FALSE;
— выполнить обратный проход для вектора ошибок;
— в результате обратного прохода определить величины изменения
значения весов;
— обновить значения весов.
Сети предъявляется образец и вычисляется вектор ошибок, в
результате чего выясняется, насколько следует изменить значения весов;
процесс повторяется для каждого образца. Полный цикл рассмотрения
всех имеющихся образцов называется эпохой. Все образцы попадают
на рассмотрение сети снова и снова, эпоха за эпохой, пока на
протяжении одной эпохи все значения реального вывода для каждого образца
не попадут в допустимые рамки.
Данный алгоритм базируется на вычислении градиента — вектор
ошибки, на основании которого проводится последующая
корректировка весовых значений. Наиболее распространенным алгоритмом
нахождения градиента является алгоритм наискорейшего спуска. Его
простота, невысокое требование к объему памяти и относительно небольшая
вычислительная сложность позволили именно этому методу в течение
многих лет остаться основным способом обучения многослойных сетей.
Кроме данного алгоритма существуют и другие методики, в частности
алгоритм переменной метрики, алгоритм Левенберга-Марквардта,
алгоритм сопряженных градиентов и т.д.
Алгоритм обратного распространения ошибки опирается на
обобщенное дельта-правило [9]. Производная ошибки представляется в виде:
дЕ _ дЕ doj dnetj ,. ..
dwij doj dnetj dwij '

122 Гл. 4. Управление движением робота-станка на основе нейронных...
Вводится обозначение Sj
дЕ
dnet
Тогда равенство можно переписать в виде
6j = --£Er. (4.2)
J doj oneij
Поскольку Ер = - J2 (tj ~ °j) » имеем
|f = -(^-0j). (4.4)
Для функции активации / выходом является Oj = /(netj) и
поэтому для /' получаем:
^- = /'(пеЫ, (4.5)
6j = (tj - 0j) f (neij). (4.6)
Для нахождения комбинированного вывода используется обычное
суммирование произведений: netj = J2xiwij-
i=0
Поэтому ——3- = Xi Возвращаясь к формуле (4.1), получим
OWij
дЕ =-(ti-oi)/'(neti)x<. (4.7)
dwij
С учетом того, что вес должен изменяться в направлении,
противоположном тому, которое указывает производная поверхности ошибок,
и с учетом нормы обучения г\ изменение веса для элемента должно
вычисляться по формуле
Awij = rjSjXi. (4.8)
Ошибка Sj соответствует ошибке выходного элемента, но ошибка
скрытого элемента не связана с целевым выходным значением
непосредственно. Поэтому весовые значения скрытого элемента следует
скорректировать пропорционально его «вкладу» в величину ошибки
следующего слоя (т. е. выходного слоя в случае сети с одним скрытым
слоем). В сети с одним скрытым слоем при распространении сигналов
ошибок в обратном направлении ошибка каждого выходного элемента
вносит свой «вклад» в ошибку каждого элемента скрытого слоя. Этот
«вклад» для элементов скрытого слоя зависит от величины ошибки
выходного элемента и весового коэффициента, соединяющего
элементы. Другими словами, выходной элемент с большей ошибкой делает
больший «вклад» в ошибку того элемента скрытого слоя, который

4.2. Подбор алгоритма обучения нейронной сети 123
связан с данным выходным элементом большим по величине весом.
Для скрытого элемента ошибка вычисляется по формуле
^•=/>е^)^<^-, (4.9)
к
где индекс к соответствует слою, посылающему ошибку обратно.
Подходящей функцией активности является логическая функция
/(net,-) = —Ц- (4.10)
1 + е 3
Производная от этой функции активности равна
/,(nCtj) = (1+е-"Ч)2 = 77^ V ~ 1+e-V =
= /(пе^)(1-/(пе^)). (4.11)
Обучение предполагается управляемым, поскольку с каждым
входным образцом связывается целевой выходной образец. Обучение
продолжается до тех пор, пока изменение усредненной квадратной ошибки
не окажется меньше некоторого допустимого значения при переходе от
одной эпохи к следующей. Критерием окончания обучения можно
считать наступление момента, когда выход для каждого учебного образца
оказывается в рамках допустимого отклонения от соответствующего
целевого выходного образца. Чтобы уменьшить вероятность того, что
изменения весов приобретут осциллирующий характер, вводится
инерционный член а, добавляемый в пропорции, соответствующей
предыдущему изменению веса
Awij(n + 1) = rjSjOi + aAwij(n). (4.12)
Таким образом, изменение веса на шаге п + 1 оказывается
зависящем от изменения веса на шаге п.
4.2.2. Метод имитации отжига. Данный метод выполняет
псевдослучайные изменения величин весов, сохраняя те изменения,
которые ведут к улучшениям. Искусственные нейронные сети могут
обучаться по существу тем же самым образом посредством случайной
коррекции весов. Вначале делаются большие случайные коррекции
с сохранением только тех изменений весов, которые уменьшают
целевую функцию. Затем средний размер шага постепенно уменьшается,
и глобальный минимум в конце концов достигается.
Это напоминает отжиг металла, поэтому для ее описания часто
используют термин «имитация отжига». В металле, нагретом до
температуры, превышающей его точку плавления, атомы находятся в
сильном беспорядочном движении. Как и во всех физических системах,

124 Гл. 4. Управление движением робота-станка на основе нейронных...
атомы стремятся к состоянию минимума энергии (единому кристаллу
в данном случае), но при высоких температурах энергия атомных
движений препятствует этому. В процессе постепенного охлаждения
металла возникают все более низкоэнергетические состояния, пока
в конце концов не будет достигнуто наинизшее из возможных
состояний, глобальный минимум. Алгоритм выглядит следующим образом:
— Запустить процесс из начальной точки w при заданной начальной
температуре Г = Гтах.
— Пока Т > О, повторить L раз следующие действия:
— выбрать новое решение w' из окрестности^.
— рассчитать изменение целевой функции Д = E(wf) — E(w).
— если А ^ 0, принять w = w'\ в противном случае (при Д > 0)
принять, что w = w' с вероятностью e~A//cT путем генерации
случайного числа R из интервала (0, 1) с последующим
сравнением его со значением е~Л//сТ; если е~А/кт > Д, принять новое
решением = w'\ в противном случае проигнорировать его.
— уменьшить температуру (Г <— гТ) с использованием
коэффициента уменьшения г, выбираемого из интервала (0, 1), и вернуться
к п. 2.
— после снижения температуры до нулевого значения провести
обучение сети любым из детерминированных методов, вплоть до
достижения минимума целевой функции.
4.2.3. Комбинирование обратного распространения с методом
имитации отжига. Коррекция весов в комбинированном алгоритме,
использующем обратное распространение и стохастическое обучение,
состоит из двух компонент: (/) направленной компоненты,
вычисляемой с использованием алгоритма обратного распространения, и (2)
случайной компоненты. Эти компоненты вычисляются для каждого
веса, и их сумма является величиной, на которую изменяется вес. Как
и в алгоритме имитации отжига, после вычисления изменения веса
вычисляется целевая функция. Если имеет место улучшение,
изменение сохраняется. В противном случае оно сохраняется с вероятностью,
определяемой распределением Больцмана. Коррекция веса вычисляется
с использованием представленных ранее уравнений для каждого из
алгоритмов:
Wij (п + 1) = Wij (п) + г] (aSjOi + (1 - a) Awij (п)) + (1 - г))хс. (4.13)
где т] — коэффициент, управляющий относительными величинами
обратного распространения и случайной величиной хс в компонентах
весового шага. Если т\ приравнивается нулю, система работает
полностью по алгоритму имитации отжига. Если г] приравнивается единице,
система становится функцией обратного распространения.

4.3. Реализация комбинированного алгоритма для обучения НС 125
4.3. Реализация комбинированного алгоритма для
обучения НС
В качестве примера реализации, рассмотрим программу,
разработанную на языке C++. Полный текст программы находится в
приложении 1. Для реализации нейронной сети разработан набор классов
(файл layer.h и layer.cpp), иерархия которых изображена на рис. 4.3.
№eei
Istd:: vectorl
row: int
l-col: int
Matrix
getRow(): sizej
getCol(): sizej
(*setSize(in r: sizej, in с: sizej): vo|
operator()(in i: int, in j: int): real
[+operator()(in i: int, in j: int): real&
-pNext, pPrev: Layer*
-row, col: int
■weight, sdvig : Matrix
■input, error: Pointer
■inputBuf, errorBuf: std::vector<rea|
-NU : real&
Layer
-func(in x : real): real
+front(): void
+back(): void
+setln(in p : Pointer): void
+setOut(in p : Pointer): void
+getln(): Pointer
+getOut(): Pointer
StartLayer
•backQ: void
l-sizeln, sizeOut, count: int
-data: std::vector<real>
Memory
|+setln(in in : int): void
+setOut(in out: int): void
|+operatorQ(in i: int): Mem
+size(): int
+read(in name : char*, in start
I
int, in end : int): уф
NeroNet
arch : std::vector<int>
|-weight, sdvig : std::vector<real *>
Lerror: Pointer
LsumError: real
[■begin, end : Layer*
Wistr: Memory
NU : real
createLayers(): void
front(in mem : Mem): void
zero(): void
MoadData(in name : char*, in from, to : int): vc|k
kfrontBack(): real
j+frontQ: real
Mid I Layer
frbackQ: void
Рис. 4.2. Иерархия классов нейронной сети

126 Гл. 4. Управление движением робота-станка на основе нейронных...
Для начала более подробно рассмотрим структуру нейронной
сети с точки зрения реализации. Нейронная сеть описывается классом
NeroNet и состоит из отдельных элементов — слоев (рисунок 4.3).
Разбиения на более малые составляющие далее не производится и можно
считать, что слой является «неделимым» элементом. Реализация слоя
описывается в классе Layer.
Входные
данные
—pNext
pPrev
—weight
—jinput
error
inputBuf
errorBuf
pNext
pPrev
weight
input
lerror
inputBuf
errorBuf
MidlLaveri
IpNext
pPrev
weight
input
error
inputBuf
errorBuf
begin
NeroNet
end
J Выходные
1 данные
Рис. 4.3. Программная реализация нейронной сети
Все слои объединены в двунаправленный связанный список. Класс
NeroNet имеет поля begin и end, которые хранят указатели на первый
и последний элемент списка. Каждый слой имеет ссылку на
предыдущий pPrev и следующий pNext слой. Если слой является крайним,
то ссылка указывает в никуда (NULL). Слой содержит информацию о
том, сколько нейронов было в предыдущем слое (поле row) и сколько
нейронов в данном (поле col). Исходя из этого, можно заключить,
что количество связей будет равняться row*col. Значения весовых
коэффициентов хранятся в поле weight, имеющей тип Matrix. Данный
тип является производным от стандартного вектора из библиотеки STL
и обеспечивает интерфейс доступа к нему так, как если бы это была
матрица. Это значит, что Matrix содержит такие поля как row и col
(количество строк и столбцов). В класс Matrix реализованы методы
для изменения значения этих полей setSize(int r, int с) и определения

4.3. Реализация комбинированного алгоритма для обучения НС 127
этих значений (методы get). Чтобы класс Matrix вел себя как матрица,
а не как вектор, перегружен оператор круглые скобки, с двумя
параметрами. Первый параметр обозначает номер строки, второй — номер
столбца. Так если объект matrix имеет тип Matrix, то для получения
доступа к 1-ой строке и 1-му столбцу следует записать:
matrix(1,1) = 1;
Теперь, возвращаясь к описанию класса Layer, ясно, что weight —
матрица весовых коэффициентов, где номер строки обозначает
порядковый номер нейрона, из которого выходит связь, а номер столбца —
порядковый номер нейрона, в который входит связь.
Процесс передачи выходных данных из одного слоя на вход другого
осуществляется очень просто. Каждый слой содержит вектор inputBuf,
в который после выполнения прямого прохода записывается результат
вычислений. Соседний следующий слой имеет ссылку input
(является итератором вектора), которая ссылается на самое начало вектора
с входными данными, т.е. значением ссылки является inputBuf.begin().
Инициализация input осуществляется методом setIn(Pointer p). По
отношению к крайним слоям это выполняется немного иначе. Для того
чтобы подать на вход некоторый сигнал, поле input принимает
значение указателя на начало вектора входных значений (метод setln(...)).
Для получения выходных данных используется метод getln(),
возвращающий указатель на начало вектора inputBuf. Ссылочная методика
позволяет избежать копирования данных, что вносит свой вклад в
увеличение скорости обучения нейронной сети. Прямой проход в слое
осуществляется методом frontQ.
void Layer::front() {
for(int i=0; i<weight.getCol();++i) {
real tmp = weight(0, i);
Pointer it = input;
for(int j=l; j < weight.getRow(); ++it, ++j)
tmp +=(*it)*weight(j, i);
inputBuf[i] = func(tmp);
}
Layer *point = next();
if (point) point->front();
}
Последние две строки производят рекурсивный вызов метода frontQ
для соседнего слоя, если он есть. Это позволяет вызвать метод frontQ
только одни раз для входного слоя.
Обратный проход имеет несколько различий для разных типов
слоев. Выходной слой и все скрытые слои выполняют этот проход по
одному алгоритму, входной слой — по другому. В связи с этим метод

128 Гл. 4. Управление движением робота-станка на основе нейронных...
обратного прохода back() в классе Layer был объявлен как
виртуальный, без реализации, а значит, сам класс Layer является абстрактным,
virtual void back()=0;
Для реализации разных алгоритмов было описано два класса Start-
Layer и MidlLayer, которые являются потомками Layer с описанием
метода back(). На рис. 4.4 показаны блок-схемы этих алгоритмов.
Данный метод проводит набор вычислений и прибавляет результат
к матрице sdvig. Каждый очередной проход для новой выборки
накапливает результат, и после обработки всей выборки значение матрицы
sdvig становится равным суммарному вектору градиента ошибки, на
основании которого проводится корректировка весовых
коэффициентов. Как видно из блок-схем все различие заключается в том, что
в классе MidlLayer проводятся еще вспомогательные вычисления для
предыдущего слоя. Для получения доступа к error предыдущего слоя
снова используется ссылочная методика. Вектор поправочных
коэффициентов 6 реализован в программе как контейнер errorBuf. Каждый
слой содержит указатель error на первый элемент контейнера errorBuf
предыдущего слоя.
Для обнуления матрицы sdvig используется метод zeroQ, который
также работает рекурсивно.
Задача управления всеми слоями, создания, установления
взаимосвязи между ними возложена на класс NeroNet. При объявлении
объекта данного класса указывается структура нейронной сети (количество
слоев и количество нейронов в каждом слое). Структура нейронной
сети может быть описана как в файле, так и в стандартном
векторе. Основываясь на данной структуре, создаются экземпляры слоев
и связываются между собой. За это отвечает метод createLayersQ.
В классе NeroNet используется два указателя begin и end типа Layer*.
После выполнения метода createLayersQ begin указывает на первый
(входной) слоя, a end на последний (выходной). Архитектура сети
хранится в векторе arch.
Класс NeroNet имеет следующий интерфейс для взаимодействия
с управляющим процессом:
Метод getWeightQ, который возвращает ссылку на вектор
указателей весовых коэффициентов. По средствам этого вектора можно
производить установление новых весовых коэффициентов.
Метод getSdvig(), позволяет получить ссылку на вектор указателей
поправочных величин.
Методы getNuQ и setNuQ. Предназначены для получения текущего
значения шага и его изменения.
Главными функциями нейронной сети является вычисление
суммарного градиента, что обеспечивает метод frontBackQ —
выполняет прямой и обратный проход для всех выборок. Иногда требуется

4.3. Реализация комбинированного алгоритма для обучения НС 129
i=0, row, 1
5. = ot x(1- о.Л*еггог.
Aw=r\xerror.
sdvig0i+=A w
i=1, row, 1
tmp=0
j=0, col, 1
Aw=r|*5.x0.
• i i
sdvig^ +=A w
tmp+ = b* weight
i=0, row, 1
5. = o.x(l -o.^xerrort
Aw =r\x error.
sdvig0i+=A w
j=1, row, 1
i < j=0, col, 1
Aw=r|x5|xol
sdvig^ +=A w
error=tmp
error*- Ошибка
пред. слоя
Рис. 4.4. Блок-схемы алгоритмов обратного распространения ошибки для
класса MidlLayer (левая) и класса StartLayer (правая)
5 Рыбак Л.А. Чичварин А.В. Ержуков В.В.

130 Гл. 4. Управление движением робота-станка на основе нейронных...
определить только величину ошибки, т. е. на сколько хорошо работает
сеть. Для этого используется метод frontQ, который выполняет только
прямой проход и возвращает сумму квадратов разностей ошибок для
всех выборок.
4.4. Применение НС для решения прямой задачи
кинематики (ПЗК)
НС весьма успешно применяются для решения самых
разнообразных задач. Привлекательность НС состоит в их высокой надежности,
быстродействии и возможности решать плохо формализованные
задачи. НС способны обучаться на экспериментальных данных, что дает
возможность учета факторов, влияние которых очень трудно или
вообще невозможно выразить аналитически по причине сложности
математической модели. Применительно к решению ПЗК можно утверждать,
что использование НС позволяет получить выигрыш во времени, по
сравнению с численными методами.
0,22
0,04
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Количество тренировочных точек
10 нейронов
— — 10нейронов(2 слоя)
60 нейронов
60 нейронов(2 слоя)
Рис. 4.5. Зависимость ошибки обучения от объема выборки

4.4. Применение НС для решения прямой задачи кинематики (ПЗК) 131
Далее проведем экспериментальную проверку решения ПЗК для
трипода и гексапода на базе НС прямого распространения. Будем
рассматривать влияние структуры и сложности НС, а также
количества тренировочных примеров на точность решения и время обучения
сети. В экспериментах использовалась программная реализация НС,
описание которой приведено выше, а полный код программы на языке
C++ приведен в приложении 1.
Данные для обучения и тестирования НС, включающие длины
штанг и соответствующие им координаты рабочего инструмента, были
получены посредствам решения обратной задачи кинематики,
полученной в аналитическом виде (2.7-2.9 и 2.16-2.21). Таким образом,
решения ПЗК каким-либо другим методом не требовалось. На вход
обученной сети подавались тестовые значения длин штанг, на выходе
получали декартовы координаты. В качестве варьируемых параметров
выступали: количество точек тренировочного набора, изменяемое от
60 для 8000, число скрытых слоев, и число нейронов, составляющих
скрытый слой. Число нейронов принималось равным 10 и 60.
0,18
2
| 0,16
9
§ 0,14
с
= 0,12
а
I 0,1
о
0,08
0,06
п пл
\
\
— '
^
■
20 40 60 80
Количество нейронов
100
120
—^— 64 эл.в выборке
— — 729 элементов
4096 элементов
8000 элементов
Рис. 4.6. Зависимость ошибки обучения от числа нейронов в скрытом слое

132 Гл. 4. Управление движением робота-станка на основе нейронных...
Как результат, был построен ряд зависимостей отображающих
связь, числа нейронов, количества тренировочных точек с ошибкой по
положению и времени обучения (рис. 4.5-4.8). Время затрачиваемое
на обучение, сильно зависит от конфигурации используемого
компьютера: частоты и разрядности процессора, объема оперативной памяти,
поэтому на разных компьютерах будет наблюдаться разный результат.
На рис. 4.7 представлено семейство кривых, каждая из которых
получена при количестве числа нейронов скрытого слоя для разного
числа точек тренировочной выборки (60, 700, 1100, 8000). Из графиков
видно, что при достаточном количестве примеров ошибка
незначительно уменьшается с увеличением числа нейронов в скрытом слое.
Возрастание ошибки на графиках соответствующих числу точек выборки 60
и 700 объясняется недостаточным их количеством. Таким образом,
можно сделать вывод о том, что количество точек тренировочного набора
должно превышать количество связей в НС в не менее чем в пять раз.
Соотношения числа нейронов в скрытом слое и величины ошибки
представлены на рис. 4.8. Данные зависимости указывают, что при
90
80
к
Я
X
вг
о
к
S
4)
а
70
60
40
30
20
10
У
/
/
.'"
/
/
/
•'
,.""'
~- -*^_
Л4
9 + ж
*
.S
<*
у4
^.+
^*»**
—. -
"\
" \
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Количество тренировочных точек
— 10 нейронов 60 нейронов
— 10нейронов(2 слоя) 60 нейронов(2 слоя)
Рис. 4.7. Зависимость времени обучения от объема выборки

4.4. Применение НС для решения прямой задачи кинематики (ПЗК) 133
80
70
о
§ 60
X
а>
£ 50
ю
о
| 40
а
* 30
20
10
п
20 40 60 80
Количество нейронов
100
120
64 эл.в выборке
729 элементов
4096 элементов
8000 элементов
Рис. 4.8. Зависимость времени обучения от числа нейронов в скрытом слое
увеличении количества нейронов в сети, величина ошибки
изменяется мало, а время обучения сети, напротив значительно возрастает
(рис. 4.8). Поэтому, выбирая структуру НС, следует ограничиться
небольшим числом нейронов скрытого слоя.
Для увеличения точности обучения можно создавать цепочку
узлов из так называемых корректирующих НС. Данная сеть будет
обучаться на величинах ошибок, полученных при расхождении между
результатами работы основной НС и истинными значениями. При этом
корректирующая НС не привязана к конкретному диапазону
изменения длин штанг, а определяется лишь границами разброса ошибок,
полученных в результате работы первой НС. Принцип работы такой
цепочки НС сводится к следующему. На вход первой НС подаются
значения длин штанг, на выходе получаем приближенное решение
ПЗК. Далее полученные приближенные значения подаются на вход
корректирующей сети и на выходе получаем более точное решение.
В таблице 4.1. приведены сравнительные характеристики
работы НС разной структуры. Как видно, применение корректирующих НС

134 Гл. 4. Управление движением робота-станка на основе нейронных...
Таблица 4.1. Оценка точности решения ПЗК с помощью НС
Структура НС
НС с одним
скрытым слоем
Многослойная НС
Корректирующая НС
Характеристики
20 нейронов, 8000
точек
3 слоя, 20 нейронов,
8000 точек
20 нейронов, 3 корр.
сети, 8000 точек
Время
обучения НС, с
20,045
124,325
102,034
Ошибка
обучения НС
0,07984
0,04805
0,00102
является наиболее оптимальным вариантом, т. к. по сравнению с
многослойной дает выигрыш и по величине ошибки, и по времени обучения.
При этом следует заметить, что скорость прямого прохода по сети
с корректирующей структурой будет также выше. Это объясняется
тем, что каждая из сетей (основная и корректирующая) являются
однослойными и по структуре являются более простыми, чем одна
многослойная сеть.

Приложение 1
135
Приложение 1
layer.h
#ifndef LAYER_H
♦define LAYER_H
♦include <vector>
♦include <algorithm>
♦include <cmath>
♦include <fstream>
♦include <cstdlib>
♦include <iostream>
♦include "log.h"
typedef float real;
typedef std::vector<real>::iterator Pointer;
class Matrix: public std::vector<real> {
private:
size_t row, col;
public:
MatrixO :row(0), col(O) {}
Matrix(size_t r, size_t c): row(r), col(c),
std::vector<real>(r*c) {}
Matrix(const Matrix &m): std::vector<real>(m) {
row - m.getRow();
col ■ m.getCol();
}
size_t getRow() const { return row; }
size_t getCol() const { return col; }
void setSize(size_t r, size__t c) {
row = r;
col ■ c;
resize(r*c);
}
real &operator()(size_t i, size_t j) { return
(*this)[i*col+j]; }
real operator()(size_t i, size_t j) const { return
(*this)[i*col+j]; }
void print(std::ostream &out) const;
};
class Layer {
protected:
Layer *pNext, *pPrev;
int row, col;
Matrix weight, sdvig, lastError;
Pointer input, error;
std::vector<real> inputBuf, errorBuf;
real BETTA, &NU;
void init(int r, int c);
real func(real x) { return 1./(l+exp(-x*BETTA)); }
public:
Layer(int r, int c, real &nu): row(r), col(c), BETTA(l),
NU(nu), pNext(O), pPrev(O) {

136
Приложение 1
init(r, с);
}
void random();
void load(std::ifstream &in);
void front();
virtual void back() = 0;
void listOf(std::vector<real *> &w, std::vector<real
*>&s, size_t pos);
void zero();
void setNext(Layer *n);
void setPrev(Layer *p);
Layer *next() { return pNext; }
Layer *prev() { return pPrev; }
void setln(Pointer p) { input = p; }
void setOut(Pointer p) { error = p; }
Pointer getln() { return inputBuf.begin(); }
Pointer getOut() { return errorBuf.begin(); }
void setBetta(real b) { BETTA = b; }
real getBetta() { return BETTA; }
void print(int num = 1, std::ostream &out = std::cout);
};
class StartLayer: public Layer {
public:
StartLayer(int r, int c, real &nu): Layer(r, c, nu) {}
void back();
};
class {\it MidlLayer}: public Layer {
public:
MidlLayer(int r, int c, real &nu): Layer(r, c, nu) {}
void back();
};
struct Mem {
int sizeln, sizeOut;
Pointer in;
Pointer out;
Mem(int in, int out): sizeln(in), sizeOut(out) {}
};
class Memory {
private:
int sizeln, sizeOut, count;
std::vector<real> data;
public:
Memory():sizeln(0), sizeOut(0), count(0) {}
void setln(int in) { sizeln = in; }
void setOut(int out) { sizeOut = out; }

Приложение 1
137
Mem operator[](int i);
int size() { return count; }
void read(char *name, int start, int end);
>;
class {\it NeroNet} {
private:
std::vector<int> arch;
std::vector<real *> weight, sdvig;
std::vector<real> koef;
Pointer error;
real sumError;
Layer *begin, *end;
Memory distr;
real NU;
void createLayers() ;
void front(Mem mem);
void zero() { begin->zero(); }
public:
NeroNet(char *name);
NeroNet(std::vector<int> &v): begin(O), end(O) {
arch = v;
createLayers();
}
\sim NeroNet();
void print() { begin->print(); }
void loadData(char *name, int from, int to)
{distr.read(name, from, to);}
real frontBack();
real front();
void save01d();
void load01d();
real getNu() { return NU; }
real &setNu() { return NU; }
real getError() { return sumError; }
std::vector<real *> &getWeight() { return weight; }
std::vector<real *> &getSdvig() { return sdvig; }
};
externstd: :ostream &operator«(std: :ostream&
out, const Mem &mem);
extern std::ostream &operator«(std::ostream &out, Matrix &m)
extern std: :ostream &operator«(std: :ostream &out,
std::vector<real> &m);
#endif
layer, cpp
♦include layer.h
using namespace std;
void Matrix::print(ostream &out) const {

138
Приложение 1
for(size_t i=0; i<row; ++i) {
for(size_t j=0; j<col; ++j)
out«(*this) [i*col+j]«'\backslash t' ;
if (i != row-l)out«endl;
}
}
void Layer::init(int r, int c) {
r++;
weight.setSize(r, c);
weight.assign(r*c, 0);
sdvig.setSize(r, c);
sdvig.assign(r*c, 0);
lastError.resize(r*c);
inputBuf.resize(c);
errorBuf.resize(c);
}
void Layer::front() {
for (int i=0; i<weight .getCoK ); ++i) {
real tmp - weight(0, i);
Pointer it - input;
for(int j-1; j < weight.getRow(); ++it, ++j)
tmp +=(*it)*weight(j, i);
inputBuf[i] - func(tmp);
}
DEBUG (endl«input: «endl«inputBuf) ;
Layer *point - next();
if (point) point->front();
}
void Layer::listOf(vector<real *> &w, vector<real *>&s,
size_t pos) {
for(size_t i=0; i<weight.getRow(); ++i)
for(size_t j-0; j<weight.getCoK); ++j) {
w[pos] - &weight(i, j);
s[pos++] - &sdvig(i, j);
}
Layer *point ■ next();
if (point) point->listOf(w, s, pos);
}
void Layer::zero() {
sdvig.assign( (row+l)*col, Ob-
Layer *point ■ next();
if (point) point->zero() ;
}
void Layer::setNext(Layer *n) {
pNext - n;
}
void Layer::setPrev(Layer *p) {
pPrev ■ p;

Приложение 1
139
if (p) {input = p->getln(); error = p->getOut();}
void Layer::print(int num, std::ostream &out) {
out«Sloy «num«std: :endl;
weight.print(out) ;
out«std: :endl;
Layer *point - next();
if (point) point->print(num+1, out);
}
void StartLayer::back() {
for(size_t i = 0; i<errorBuf.size(); ++i) {
errorBuf[i] = inputBuf[i]*(l-inputBuf[i])*errorBuf[i];
real adjust = NU*errorBuf[i];
sdvig(0,i) = sdvig(0,i) + adjust;
}
Pointer itln = input;
for(size_t i=l; Kweight.getRowO; ++i, ++itln) {
for(size_t j=0; j<weight.getCol(); ++j) {
real adjust = NU*errorBuf[j]*(*itln);
sdvig(i,j) = sdvig(i,j) + adjust;
}
}
DEBUG (endl«sigma: «endl«errorBuf) ;
DEBUG (endl«sdvid: «endl«sdvig) ;
void {\it MidlLayer}::back() {
for(size_t i = 0; KerrorBuf.size(); ++i) {
errorBuf[i] = inputBuf[i]*(1-inputBuf[i])*errorBuf[i];
real adjust = NU*errorBuf[i];
sdvig(0,i) ■ sdvig(0,i) + adjust;
}
Pointer itErr - errors-
Pointer itln = input;
for (int i-1; Kweight.getRowO; ++i, ++itErr, ++itln) {
real tmp = 0;
for(int j=0; j<weight.getCol(); ++j) {
real adjust = NU*errorBuf[j]*(*itln);
sdvig(i,j) = sdvig(i,j) + adjust;
tmp += errorBuf[j]*weight(i, j);
}
(*itErr) = tmp;
}
Layer *point - prev();
point->back();
DEBUG (endl«sigma: «endl«errorBuf) ;
DEBUG(endl«sdvid: <<endl«sdvig) ;
Mem Memory::operator[](int i) {
if (i>=count $\vert \vert $ i<0) ERROR(Out of range);

140
Приложение 1
Mem mem(sizeln, sizeOut);
mem.in = data.begin()+i*(sizeln+sizeOut);
mem.out = data.begin() + i*(sizeln+sizeOut) + sizeln;
return mem;
void Memory::read(char *name, int start, int end) {
int c;
data.clear();
count = 0;
ifstream file(name);
file»c;
if (c<end) ERROR(Out of range in file «name);
real tmp;
for(int k=0; k<start; ++k) {
for (int i=0; Ksizeln; ++i) file»tmp;
for (int i=0; i<sizeOut; ++i) file»tmp;
}
for(int k=start; k<end; ++k) {
for (int i=0; Ksizeln; ++i) {
file»tmp; data.push_back(tmp) ;
}
for(int i=0; i<sizeOut; ++i) {
file»tmp; data.push_back(tmp) ;
}
count++;
}
void {\it NeroNet}:icreateLayers() {
Layer *prev, *curr;
size_t ratioCount = 0;
size_t count = arch.size() - 1;
if (!count) ERROR(Incorrect arch nero net);
end = begin = prev = new StartLayer(arch[0], arch[l], NU);
ratioCount = (arch[0]+l)*arch[l];
if (count == 1) return;
for(size_t i=l; i<count-l; ++i) {
ratioCount += (arch[i]+l)*arch[i+l];
curr = new {\it MidlLayer}(arch[i], arch[i+l], NU);
curr->setPrev(prev);
prev->setNext(curr);
prev = curr;
}
ratioCount += (arch[count-l] + 1)*arch[count];
end = new {\it MidlLayer}(arch[count-l], arch[count], NU);
end->setPrev(prev);
prev->setNext(end);
distr.setln(arch[0]);
distr.setOut(arch[count]);
error = end->getOut();
weight.resize(ratioCount);
sdvig.resize(ratioCount);

Приложение 1
141
INFO (count «< ratioCount);"
begin->listOf(weight, sdvig, 0);
koef.resize(ratioCount);
void {\it NeroNet}::front(Mem mem) {
begin->setln(mem.in);
begin->front();
Pointer itln = end->getln(), itErr = error;
for(int j=0; j<arch[arch.size()-l]; ++j, ++itln, ++itErr)}
(*itErr) = *mem.out - *itln;
sumError += (*itErr)*(*itErr);
}
NeroNet::NeroNet(char *name): begin(O), end(0) {
ifstream file(name);
int count;
file»count;
arch.resize(count);
for(size_t i=0; i<count; ++i)
file»arch[i] ;
createLayers();
}
NeroNet::\sim NeroNet() {
Layer *curr = 0, *next = begin;
while(next != end) {
curr = next;
next = curr->next();
delete curr;
}
delete next;
{\it NeroNet}::frontBack() {
zero();
sumError = 0;
for (int i=0; Kdistr. size (); ++i) {
front(distr[i]);
end->back();
}
return sumError;
NeroNet::front() {
sumError = 0;
for(int i=0; Kdistr.size(); ++i)
front(distrfi]);
return sumError;
{\it NeroNet}::save01d() {
for (int i=0; Kkoef. size() ; ++i)
real
}
real
}
void

142
Приложение 1
koef[i] = *weight[i];
}
void NeroNet::load01d() {
for(int i=0; i<koef.size(); ++i)
*weight[i] = koef[i];
ostream &operator«(ostream& out, const Mem &mem) \
out«"Input: ";
Pointer it = mem.in;
for(int i=0; i<mem.sizeln; ++it, ++i)
out«(*it)« ";
out«endl«"Output: ";
it = mem.out;
for(int i=0; i<mem.sizeOut; ++it, ++i)
out«(*it)« ";
out«endl;
return out;
}
ostream &operator«(ostream &out, Matrix &m) {
m.print(out);
return out;
}
ostream &operator«(ostream &out, vector<real>&m) {
for(size_t i=0; i<m.size(); ++i)
out«m[i]« ";
return out;
}

Список литературы
{.Афонин В.Л., Подзоров П.В., Слепцов В.В. Обрабатывающее
оборудование на основе механизмов параллельной кинематики. — М.:
Машиностроение, 2006
2. Бушуев В.В., Холыиев И.Г. Механизмы параллельной структуры в
машиностроении. // СТИН. 2001. № 1. с. 3-8
3. Глазунов В.А., Колискор А.Ш., Крайнев А.Ф. Пространственные
механизмы параллельной структуры. — М.: Наука, 1991. 195 с.
4. Глазунов В.А., Ласточкин А.Б., Терехова А.Н., By Нгок Бик Об
особенностях устройств относительного манипулирования // РАН. Проблемы
машиностроения и надежности машин. 2007. № 2. С. 77-85
5. Горбань А. Н. Обучение нейронных сетей — М.: СП «ParaGraph», 1990
160с.
6. Гузенков П.Г Детали машин [Учеб. для вузов] / П.Г. Гузенков. 4-е изд.,
испр. — М.: Высш. шк., 1986. 358,[1] сил.
7.Диментберг Ф.М. Метод винтов в прикладной механике. — М.:
Машиностроение, 1971. 264 с.
8. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления: Учебник
/ Под ред. Н.Д. Егупова; 2-е изд., стереотипное. — М.: Изд-во МГТУ им
Н.Э. Баумана, 2002. 744 с, ил.
9. Каллан Р. Основные концепции нейронных сетей: Пер. с англ. — М.:
Издательский дом «Вильяме», 2001. 288 с, ил.
10. Кенио, Т. Шаговые двигатели и их микропроцессорные системы
управления — М.: Энергоатомиздат, 1987. 200 с, ил.
П. Корендясев А.И. Манипуляционные системы роботов / А.И. Корендясев,
Б.Л. Саламандра, Л.И. Тывес и др.; Под ред. А.И. Корендясева.— М.:
Машиностроение, 1989. 470,[1] сил. — (AM и PC Автомат, манипуляторы
и робототехн. системы Под общ. ред. Е. П. Попова).
12. Подзоров П.В., Бушуев В.В. Синтез структур технологического
оборудования на основе механизмов параллельной кинематики. // Мехатроника,
автоматизация, управление. 2002. № 4. с. 11-18.
13. Потапов В.А. Возможен и успех станков новой концепции? // СТИН.
1996. № 4. с. 40-45.
14. Потапов В.А. Прецизионное оборудование нового поколения. // СТИН.
1999. № 1. с. 28-32.

144
Список литературы
15. Рыбак Л.А. Синтез активных систем виброизоляции на космических
объектах / Л.А. Рыбак, А.В. Синев, А.И. Пашков; Рос. акад. наук, Ин-т
машиноведения им. А. А. Благонравова.— М.: Янус-К, 1997. 159 с. ил.
16. Свешников В.К. Станочные гидроприводы: справочник / В.К. Свешников.
4-е изд., перераб. и доп.— М.: Машиностроение, 2004. 510, [1] с. ил. —
(Библиотека конструктора (БК)).
17. Синев А.В. Динамические свойства линейных виброзащитных систем /
Принимали участие А.В. Синев, Ю.Г. Сафронов, B.C. Соловьев и др.; Отв.
ред. К.В. Фролов. - М.: Наука, 1982. 205 с. ил. - В надзаг.: АН СССР,
Ин-т машиноведения им. А. А. Благонравова, Словац. акад. наук, Ин-т
материалов и механики машин.
18. Уосерман Ф. Нейрокомпьютерная техника: теория и практика. / Ф. Уосер-
ман. - М.: Мир, 1985. 294 с. ил.
19. Beyer L., Wulfsberg J.-P. Calibration of Parallel Robots with ROSY. 3-rd
Chemnitz Parallel Kinematics Seminar: Development Methods and Application
Experience of Parallel Kinematics. Chemnitz 2002. p. 493-505.
20. Bonev LA., Zlatanov D., Gosselin CM. Advantages of the Modified Euler
Angles in the Design and Control of PKMs, 3rd Chemnitz Parallel Kinematics
Seminar: Development Methods and Application Experience of Parallel
Kinematics. Chemnitz 2002. p. 171-187.
21. CleggA.C Self-tuning Position and Force Control of a Hydraulic Manipulator.
Ph.D. Thesis. Heriot-Watt University, 2000.
22. Czwielong Т., Zarske W. PEGASUS — Incorporating PKM into
Woodworking. 3rd Chemnitz Parallel Kinematics Seminar: Development Methods and
Application Experience of Parallel Kinematics. Chemnitz 2002. p. 843-856.
23. Denavit L, Hartenberg R.S. Kinematic Notation for Lawer-Pair Mechanisms
Based on Matrices, J.Appl. Mech., 77, p. 215-221. 1955.
24. Gosselin СМ., Kong X., Foucault S., Bonev LA. A Fully-Decoupled 3-DOF
Translational Parallel Mechanis. The 4th Chemnitz Parallel Kinematics
Seminar: Parallel Kinematics Machines in Research and Practice. Chemnitz 2004.
p. 595-610.
25. Gough, V.E. and Whitehall, S.G., Universal tire test machine / Proceedings
of the FISITA Ninth International Technical Congress, May, 1962. p. 117-137.
26. Gwinnett, J.Т., Amusement devices US Patent № 1,789,680, January 20,
1931.
27. Hadorn M. Concept and Application of a Model-Based Control Input
Compensation for Parallel-Kinematic Machine Tools. 3rd Chemnitz Parallel
Kinematics Seminar: Development Methods and Application Experience of Parallel
Kinematics. Chemnitz 2002. p.351-369.
28. Hebb D.O. The organization of behaviour: A neuropsychological theory.
- N.-Y.: Wiley, 1949. 436 p.

Список литературы
145
29. Hennes N. ECOSPEED — An Innovative Machinery Concept for
High-Performance 5-Axis-Machining of Large Structural Components
in Aircraft Engineering. 3rd Chemnitz Parallel Kinematics Seminar:
Development Methods and Application Experience of Parallel Kinematics.
Chemnitz 2002. p.763-774.
30. Hopfield J.J. Neural networks and physical systems with emergent
collective computational abilities // Proc. National Acad. Science. 1982. V. 79.
p. 2554-2558.
31. Kenjo T. and Niimura Y. Fundamentals and applications of stepping motors.
(In Japanese.) Sogo Electronics Publishing Co., Ltd., Tokyo., 1979. pp. 225-7.
32. Kong X., Gosselin С Type Synthesis of Parallel Mechanisms. Springer. 2007.
272+XXIV pp.
33. McCulloch W, Pitts W A logical calculus of the ideas immanent m nervous
activity//Bulletin of mathematical biophisics 1943. V. 5 p 115-133
34. Minsky M Papert S Perceptrons An introduction to computational
geometry-Cambndge(Massachusets) Adison-Wesly, 1969. 262 p
35. Neugebauer R., Leopold J., Hoyer K., Stoll A., Kolbig S. Interaction Between
Machine Tool and Process — Modelling, Simulation and Identification of
Milling Operations on Hexapod 6X HEXA. 3rd Chemnitz Parallel Kinematics
Seminar: Development Methods and Application Experience of Parallel
Kinematics. Chemnitz 2002. p. 833-841.
36. Neugebauer R., Putz M., Drossel W.-G., Lorenz U., Blau P. Application
of the Parallel Kinematic Machine Principle in a New Hydraulic Powered,
Flexible Bending Machine for Tubes and Profiles (HexaBand — a 3D-freeform
bending technology concept — development and user report). 3rd Chemnitz
Parallel Kinematics Seminar: Development Methods and Application
Experience of Parallel Kinematics. Chemnitz 2002. p. 629-638.
37. Neumann K.E. Tricept Applications. 3rd Chemnitz Parallel Kinematics
Seminar: Development Methods and Application Experience of Parallel Kinematics.
Chemnitz 2002. p. 547-551.
38. Parker D Learning-Logic-Stanford (CA) Stanford University, 1982. 214 p
39. Rosenblatt F Two theorems of statistical separability in the peiceptron //
Mechanization of Thought Piocesses Proceedings Proc of Symposium held at
the National Phisical Laboratory —London, 1959. p 421-456
40. Rosenblatt F Principles of Neurodmamics Peiceptron and the Theory of Brain
Mechamsams - Washington DC Spaitan Books, 1962. 480 p
41. Rumelhart D E , Hinton G E , Williams R J Learning internal representation
by error propagation // Parallel Distributed Processing 1986. V. 1, № 8
p 318-362
42. Saenz A.J., Collado V., Gimenez M., San Sebastian I. New Automation
Solutions in Aeronautics Through Parallel Kinematic Systems. 3rd Chemnitz

146
Список литературы
Parallel Kinematics Seminar: Development Methods and Application
Experience of Parallel Kinematics. Chemnitz 2002. p. 563-578.
43. Schoppe E., Ponisch A., Maier V., Puchtler 7., Ihlenfeldt S. Tripod Machine
SKM 400 Design, Calibration and Practical Application. 3rd Chemnitz Parallel
Kinematics Seminar: Development Methods and Application Experience of
Parallel Kinematics. Chemnitz 2002. p. 579-594.
44. Stewart, D., A platform with six degrees of freedom / Proceedings of the the
Institution of mechanical engineers, V. 180, Pt. 1, № 15, p. 371-385, 1965.
66.
45. Tooyama Т., Shibukawa Т., Hattori K., Ohta #., Development of
Parallel Mechanism based Milling Machine [HexaM], 2.Chemnitzer
Parallelkinematik-Seminar: Arbeitsgenauigkeit von Prallelkinematiken. Verlag
Wissenschaftliche Scripten, Zwickau, 2000. p. 331-341.
46. Webb P., Geldart M., Gindy N. An Evaluation of the Machining Performanct
of the Giddings and Lewis Variax for Hard and Difficult Materials. 3rd
Chemnitz Parallel Kinematics Seminar: Development Methods and Application
Experience of Parallel Kinematics. Chemnitz 2002. p. 817-831.
47. Werbos P Beyond Regression New Tools for prediction and Analysis in the
Behavioral Sciences - Cambridge (MA) Harvaid University, 1974. 212 p
48. Week M., Staimer D. Application Experience with a Hexapod Machine Tool
for Machining complex Aerospace Parts. 3rd Chemnitz Parallel Kinematics
Seminar: Development Methods and Application Experience of Parallel
Kinematics. Chemnitz 2002. p. 807-815.
49. Weikert S., Knapp W. Application of the Grid-Bar Device on the Hexaglide.
3rd Chemnitz Parallel Kinematics Seminar. Chemnitz 2002. p. 295-310.
50. Wen-jia C, Ming-yangZ., Ling Y. A Six-leg, Four-DOF Parallel Manipulator.
3rd Chemnitz Parallel Kinematics Seminar. Chemnitz 2002. p. 227-240.

Научное издание
РЫБАК Лариса Александровна
ЕРЖУКОВ Виктор Валерьевич
ЧИЧВАРИН Алексей Валерьевич
ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ РОБОТА-СТАНКА
ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
Редактор А.П. Скороход
Оригинал-макет: Е.В. Чернина
Оформление переплета: А.В. Андросов
Подписано в печать 11.01.11. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 10,85. Уч.-изд. л. 12. Тираж 300 экз.
Заказ №К-5417
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАЙК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано в ГУП
«ИПК Чувашия», 428019
г. Чебоксары, пр-т И.Яковлева, 13

ДЛЯ ЗАМЕТОК

Эффективные методы решения
задач кинематики и динамики
РОБОТА-СТАНКА
ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
Л.А. Рыбак
В.В. Ержуков
А.В. Чичварин