Основания геометрии - Костин В.И.

$§ 2. \$

§ 3. Попытки улучшить аксиоматику Евклида

§ 4. Попытки доказать пятый постулат Евклида

$§ 2. Аксиомы сочетания I$_{1-10}$ и их следствия$

$§ 3. Аксиомы порядка II$_{1-4}$ и их следствия$

$§ 4. Аксиомы движения III$_{1-10}$ и их следствия$

§ 5. Аксиома непрерывности IV и ее следствия

§ 6. Заключительные теоремы абсолютной геометрии

§ 5. Внутренняя геометрия развертывающейся поверхности

§ 6. Полнота аксиоматики евклидовой геометрии

§ 7. Предложения, эквивалентные 5-му постулату Евклида

§ 3. Основные теоремы геометрии Лобачевского на плоскости

§ 4. Основные теоремы геометрии Лобачевского в пространстве

§ 5. Предельная линия и предельная поверхность

Глава V. Тригонометрия Лобачевского и абсолютная тригонометрия

§ 2. Формулы тригонометрии прямоугольного треугольника

§ 3. Формулы сложения в тригонометрии Лобачевского

§ 4. Аналитическое выражение функции Лобачевского

§ 5. Формулы тригонометрии косоугольного треугольника

§ 7. Тригонометрия центральной связки. Взаимоотношение тригонометрии Лобачевского со сферической

Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского

§ 2. Метрика в интерпретации Бельтрами-Клейна

§ 4. Геометрия Лобачевского и теория поверхностей

§ 2. Равновеликость и равносоставленность многоугольников

§ 3. Измерение площадей в геометрии Лобачевского

Автор: Костин В.И.

Теги: математика геометрия история математики история геометрии точные науки

Год: 1948

Похожие

Основания геометрии. Учение об обосновании геометрии в ходе его исторического развития. Часть 1

Геометрия. Часть 2

Основание геометрии

Геометрии

Текст

В. И. КОСТИН
ОСНОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКВА 1948

Допущено
Министерством высшего образования СССР
в качестве учебника для педагогических
институтов
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Краткий исторический очерк
Стр.
§ 1. Геометрия до Евклида 5
§ 2. «Начала* Евклида 10
§ 3. Попытки улучшить аксиоматику Евклида 22
§ 4. Попытки доказать пятый постулат Евклида • 26
§ б. Открытие неевклидовой геометрии 30
Глава II. Абсолютная геометрия
§ 1. Введение 41
§ 2. Аксиомы сочетания Ii-ю и их следствия 42
§ 3. Аксиомы порядка Щ-4 и их следствия 51
$ 4. Аксиомы движения IHi-ю и их следствия 69
$ 5. Аксиома непрерывности IV и ее следствия . .• 90
§ 6. Заключительные теоремы абсолютной геометрии 103
Глава III. Геометрия Евклида
§ 1. Аксиоматика евклидовой геометрии 108
$ 2. Непротиворечивость евклидовой геометрии (аналитическая интерпретация) .... 109
§ 3. Геометрия фигур 124
§ 4. Интерпретация Пуанкаре 127
§ 5. Внутренняя геометрия развертывающейся поверхности 136
$ 6. Полнота аксиоматики евклидовой геометрии 138
% 7. Предложения, эквивалентные 5-му постулату Евклида 150
§ 8. О независимости аксиом 161
Глава IV. Геометрия Лобачевского
§ 1. Аксиоматика геометрии Лобачевского 162
§ 2. Непротиворечивость геометрии Лобачевского (интерпретация Бельтрами-Клейна). 166
§ 3. Основные теоремы геометрии Лобачевского на плоскости 173
§ 4. Основные теоремы геометрии Лобачевского в пространстве 191
§ 5. Предельная линия и предельная поверхность 197
Глава V. Тригонометрия Лобачевского и абсолютная тригонометрия
§ 1. Основная формула метрики Лобачевского 214
\ 2. Формулы тригонометрии прямоугольного треугольника 216
§ 3. Формулы сложения в тригонометрии Лобачевского 219
§ 4. Аналитическое выражение функции Лобачевского 221
§ 5. Формулы тригонометрии косоугольного треугольника 226
§ 6. Абсолютная тригонометрия 229
§ 7. Тригонометрия центральной связки. Взаимоотношение тригонометрии Лобачев*
ского со сферической , 231
§ 8. Геометрия Лобачевского в малом 236
Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
§ 1. Полнота аксиоматики геометрии Лобачевского 241
§ 2. Метрика в интерпретации Бельтрами-Клейна 252
§ 3. Интерпретация Пуанкаре 263
§ 4. Геометрия Лобачевского и теория поверхностей 271
Глава VII. Теория площадей
§ 1. Площадь многоугольника в геометрии Евклида 281
§ 2. Равновеликость и равносоставленность многоугольников 287
§ 3. Измерение площадей в геометрии Лобачевского 291
§ 4. Развитие понятия о площади 299
Литература 303
Редактор В. С. Капустина.
Подп. к печати 1/VI 1948 г.
А-01941. Тираж 35 000 экз.
Заказ № 1158.
Техн. редактор В. П. Рожам
Печ. л. 19 -f вкл. Уч.-изд л. 20,8
2-я типография .Печатный Двор" им. А. М. Горького треста .Полиграфкнига" Огиза при
Совете Министров СССР. Ленинград, Гатчинская, 26.

ПРЕДИСЛОВИЕ.
Настоящий курс сложился в результате многократного чтения
его в Горьковском государственном университете и Горьковском
педагогическом институте.
Как при чтении курса, так й при подготовке его к печати автору
приходилось искать надлежащее сочетание логических и
исторических элементов. Конечно, можно было бы начинать с современной
аксиоматики, выводя из нее потом все исторически ценное. Но
такой путь, вполне доброкачественный в научном отношении,
страдал бы педагогическими недостатками, ибо нельзя не согласиться
с тем, что „если мы о чем-нибудь не знаем, как оно произошло,
то и не понимаем его*. И это прежде всего относится к
современной аксиоматике геометрии и связанному с ней методу
формальнологической дедукции. Вне надлежащего исторического введения он
представляется учащимся висящей в воздухе конструкцией,
необходимость, подлинный смысл и значение которой остаются для него
скрытыми, сколько бы мы их ни декларировали.
К тому же будущему учителю и ученому не только полезно,
но и необходимо знать историю своего предмета — знать, что, где,
когда и как произошло и под влиянием чего приняло свой
настоящий вид.
Задача I главы — подвести читателя к необходимости и
пониманию современного формально-логического построения геометрии.
Это достигается с помощью критики той геометрической системы,
которая известна со школьной скамьи и которая ведет свое начало
от Евклида. Сначала мы кратко выясняем историческую почву, из
которой возникло первое из дошедших до нас обоснований
геометрии— „Начала* Ейклида (§ 1), а затем, на основе анализа этих
„Начал", даем критику содержащегося в них обоснования (§ 2).
Далее рассматриваются попытки улучшения „Начал",
направленные, с одной стороны, на улучшение определений и пополнения
списка аксиом Евклида (§ 3), а с другой — на попытки
доказательства 5-го постулата Евклида (§ 4). Наконец, рассказывается о том,
как последние усилия привели к открытию неевклидовой геометрии
Лобачевского (§ 5).
Поскольку I глава играет все же вспомогательную роль, я счел
целесообразным основной материал исторических попыток доказа-

4
Предисловие
тельства 5-го постулата Евклида, содержащий предложения,
эквивалентные этому постулату, подчинить современной аксиоматике
и поместил их в конце III главы.
В последующих главах дано построение абсолютной, евклидовой
и неевклидовой геометрий на основе соответствующих им
аксиоматик в духе требований современного аксиоматического метода
(с исследованием непротиворечивости, независимости и полноты
аксиом). Полагая, что понятие движения психологически
предшествует понятию конгруеитности (а не наоборот, как это отмечалось
еще Пуанкаре *), я вместо аксиом конгруеитности Гильберта ввел
логически эквивалентные им аксиомы движения. Принимая, таким
образом, за основное понятие движение, а не конгруентность, я имел
в виду дальнейшее построение геометрии приблизить к построению,,
опирающемуся на групповую точку зрения, рассматривающую
геометрию как функцию груты и объекта. Как известно, эта точка
зрения, исходящая от Клейна („Эрлангенская программа" а),
оказалась очень плодотворной (работы Картана 3).
.Из-за чрезвычайной сложности предмета, в котором логические
элементы, в силу природы нашэго познания, настоятельно требуют
своей истории и надлежащего методологического освещения, дело
создания такого курса в ограниченных рамках учебника оказалось
далёко не легким. Могу только сказать, что если, вполне охватывая
современную программу по основаниям геометрии, этот учебник
окажется доступным, моя цель будет достигнута.
Наряду с известной классической литературой я пользовался
опытом изложения оснований геометрии проф. В. Ф. Кагана и
проф. . Г. Б. Гуревича, у которых мною заимствованы доказательства
ряда теорем.
Считаю своим приятным долгом выразить мою искреннюю
благодарность академику А. Н. Колмогорову и профессорам П. К. Ра-
шевскому, С. А. Яновской, В. В. Степанову и А. С. Бутягину,
которые разнообразной критикой и советами способствовали улучшению
курса.
* С чувством глубокой признательности я вспоминаю ныне
покойного профессора Н. А. Глаголева, который в свое время внимательно
просмотрел первоначальный вариант рукописи и сделал ряд
принципиальных замечаний.
Наконец, не могу не отметить компетентную редакцию И. Н.
Бронштейна. Автор
Г. Горький.
*) А. Пуанкаре, Отчет о работах Гильберта. Приложение к русскому
перевод/у „Оснований геометрии" Гильберта, Петроград, 1923, стр. 112.
£) Ф. Клейн, Сравнительное обозрение новейших геометрических
исследований. (Известия физико-математического об-ва при Казанском
университете, т. II, 1896.)
8) VIII Международный конкурс на соискание премии им. Н. И.
Лобачевского, 1937, изд. Казанского физико-математического об-ва при
Казанском университете им. В. И. Ульянова-Ленина.

Глава L
КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК.
§ 1. Геометрия до Евклида.
Знаменитые „Начала" Евклида, в которых дана первая из
дошедших до нас попыток дедуктивного- построения геометрии,
продержавшаяся как образец строго логического изложения науки
более 2000 лет, являются творческим итогом предшествующей
многовековой работы мысли. Чтобы выяснить, на какой почве возникло
это выдающееся произведение древнегреческой культуры, мы начнем
с краткого обзора того, что было сделано математиками древности
до Евклида.
От исторической картины нам нередко остаются лишь ее
скудные отрывки, по которым чрезвычайно трудно, а иногда и
совершенно невозможно восстановить ее настоящий образ. Родиной
геометрии считают Вавилон и Египет. Через Прокла (греческого
комментатора Евклида, о котором мы подробнее будем говорить
ниже) до нас дошел отрывок одного из древних сочинений,
начинающийся следующими словами: „Так как нам необходимо здесь
обозреть начало наук и искусств, то мы сообщаем, что геометрия,
по свидетельству весьма многих, была открыта египтянами и
возникла при измерении земли. Это измерение было необходимо
вследствие разлития реки Нила,» постоянно смывавшего границы. Нет
ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из
потребностей человека. Всякое возникающее знание из
несовершенного переходит в совершенное. Зарождаясь . путем чувственного
восприятия, оно постепенно становится предметом нашего
рассмотрения и, наконец, делается достоянием нашего разума" 1).
Наше знакомство с египетской математикой основано,
главным образом, на двух папирусах: на папирусе Ахмеса (писарь
фараона Рауса а), относящемся к периоду 2000 —1700 лет до н. э
1) Эти слова приписывают Евдему Родосскому — философу
аристотелевой школы (см. В. Ф. Каган, Основания геометрии, т. II).
*) Папирус Ахмеса носит название „Наставление, как достигать всех
темных вещей, всех тайн, содержащихся в предметах*.

6
Глава L Краткий исторический очерк
и содержащем арифметические и геометрические задачи на
измерение площадей и объемов, и на Московском папирусе 1).
Изучение содержания этих папирусов привело к следующей
картине египетской геометрии. Египтяне умели определять площадь
прямоугольника, треугольника и трапеции, и притом тем же путем,
как они определяются и теперь. Площадь круга они принимали рав-
ной площади квадрата, сторона которого равняется -q- диаметра,
что соответствует приближенному значению те = 3,1605. Далее
египтяне знали, что углы прямоугольного треугольника определяются
отношением катетов, т. е. по существу владели понятием подобия
фигур. За единицу площади они принимали площадь квадрата со
стороною, равной единице длины. Одним из самых блестящих
достижений египетской математики является правильная формула для
объема усечения пирамиды с квадратным основанием:
v = ~ h (аа + аЪ + Ь\
где а, b — длины сторон оснований, h — высота (формула из
Московского папируса).
Знали ли египтяне теорему, известную под именем теоремы
Пифагора, и пользовались ли они веревочным треугольником со
сторонами 3, 4, 5 для построения прямого угла (легенда, пущенная
в оборот, повидимому, Кантором и распространенная во многих
школьных руководствах по геометрии) — с уверенностью сказать нельзя.
Исследования последнего времени показывают, что, вопреки
сложившимся взглядам, в области геометрии вавилоняне ничуть не
уступали египтянам; при этом вавилоняне решали многие вопросы
способом, содержащим зачатки алгебры.
Эти же исследования показывают, что старая точка зрения,
рассматривавшая догреческую математику как собрание рецептов,
выведенных эмпирическим путем, а потому содержащих грубые ошибки,
неправильна *).
Дальнейшее развитие геометрических знаний связано с Грецией,
в которой за сравнительно короткий срхж (с VII по III в. до н. э.)
геометрия в философских школах Фалеса, Пифагора, Демокрита,
Платона, Евдокса стала теоретической наукой, характеризующейся
высокой степенью абстрактности.
1) Название московского папируса неизвестно, так как в нем недостает
начала
8) Действительно, трудно допустить, чтобы такая сложная формула, как
формула объема усеченной пирамиды, могла появиться без серьезной
теоретической работы в области геометрии^ К тому же до нас дошло всего
лишь два вышеупомянутых связных математических текста, и притом узко
прикладного характера: они не дают нам права судить об общем характере
математики того времени. „Реконструировать по ним всю математику
египтян — такая же ошибка, как если бы мы по двум плохим учебникам
коммерческой арифметики стали бы реконструировать современную
математику • — М. Н. Выгодский.

§ 1. Геометрия до Евклида
7
Начало греческой эпохи развития геометрии обыкновенно
связывают с именем философа Фалеса из города Милета (635 — 548 гг. до
н. э.) — родоначальника греческой науки и философии. В области
геометрии ему приписывают (например Прокл) открытие того', что
угол, вписанный в полуокружность, — прямой, вертикальные углы
равны, углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Фалес знал также, что треугольник определяется одной стороной
и двумя прилежащими к ней углами; основываясь на этом, он умел
определять высоту предмета по его тени и расстояния от
недоступных объектов.
Однако, по словам Прокла, только пифагорейцы — последователи
школы Пифагора, жившего в 570—471 гг. до н. э., „придали
геометрии характер .настоящей науки благодаря тому, что Пифагор
рассматривал принципы ее с возвышенной точки зрения и
исследовал теоремы ее более интеллектуальным и нематериальным образом;
кроме того, он открыл иррациональные величины и построение
космических фигур"1).
Школе Пифагора приписываются следующие открытия: 1) теорема
о сумме углов треугольника; 2) деление плоскости на правильные
многоугольники (равносторонние треугольники, квадраты и
правильные шестиугольники); 3) геометрический способ решения
квадратного уравнения (приложение площадей); 4) построение,
многоугольника, равновеликого данному многоугольнику и в то
же время подобного другому; 5) существование несоизмеримых
отрезков; 6) существование пяти типов космических тел
(правильных многогранников); 7) теорема Пифагора; 8) экстремальные
свойства круга и шара.
В этом последнем открытии можно усмотреть зачатки учения об
изопериметрах.
Открытие несоизмеримых величин, приписываемое Гиппасу —
ученику Пифагора, — вызвало, повидимому, в пифагорейской школе
кризис. До этого открытия они, вероятно, исходили из допущения,
что отношение двух любых отрезков может быть выражено
отношением двух целых чисел. Возможно, что пифагорейцы делали
попытку спасти теорию сравнения отрезков допущением, что
несоизмеримые отрезки имеют бесконечно-малую общую меру —
простейший элемент, отождествляемый ими с точкой. Эти чисто
математические идеальные точки и служили для пифагорейцев образующими
элементами телесного мира. Затруднения, связанные с
несоизмеримыми величинами, были преодолены впоследствии остроумной
теорией пропорций Евдокса (см. ниже). '
Демокрит (около 470 — 370 гг. до н. э.) был всесторонне
развитым человеком. Аристотель говорит о Демокрите, что он
„рассуждал обо всем и разбирался во всем" (он писал по философии,
математике, физике, технике, метеорологии, зоологии, эстетике
и т. д.). Демокрит считал первоосновой мира множество атомов и
1) Так называли в древности правильные многогранники.

8
Глава /. Краткий исторический очерк
пустоту, в которой эти атомы вечно движутся. Атомы или
„неделимее* Демокрита — это материальные элементы, не имеющие частей,
но в то же время имеющие известную минимальную протяженность.
Таким образом, если у пифагорейцев неделимые — нематериальные
точки, не имеющие длины, то у Демокрита неделимые —
материальные протяженные элементы. Как показывает история математики,
точка зрения Демокрита сыграла в геометрии очень большую роль.
Методом неделимых сам Демокрит открыл теоремы об объемах
пирамиды и конуса. С помощью неделимых Архимед открыл ряд
теорем о площадях и объемах. Декарт, Галилей, Кавальери, Паскаль —
все в той или иной мере воспользовались неделимыми Демокрита,
которые, таким образом, подготовили почву для открытия
исчисления бесконечно-малых *).
В исключительном почете была математика в школе Платона
(429 — 348 гг. до н. э.). Для занятий по философии он считал
необходимым предварительное знакомство с геометрией. Об этом отчасти
свидетельствует, может быть, легендарный рассказ, что при входе
в организованную Платоном Академию он написал: „Пусть сюда
не входит никто, не знающий геометрии*. Во всяком случае
достоверно, что по отношению к математике он проявлял особенный
интерес *) и настойчивым образом рекомендовал занятия ею. Пови-
димому, .именно под влиянием Платона после IV в. до н. э., в
течение всего античного периода и позже у римлян более или менее
углубленное знакомство с „Началами* Евклида стало необходимым
элементом законченного классического воспитания.
Полагают, что Платону принадлежит учение о шарообразности
Земли, Луны и Солнца, основанное, якобы, на том, что шар —
наиболее совершенная геометрическая фигура.
Но основная заслуга Платона в области геометрии заключается
не столько в том, какие именно конкретные теоремы он открыл
(его последователи приписывают Платону почти всё — это, конечно,
сомнительно), сколько в многочисленных плодотворных импульсах,
сообщенных им своим ученикам. „Прежде всего, — говорит известный
историк математики Гейберг,— можно с уверенностью сказать, что
его, Платона, логическая выучка в значительной мере
содействовала тому, чтобы придать систематическому построению
элементарной математики ту точность и логическую тонкость, которые затем
навсегда стали ее отличительной чертой. Тем, что вся система
развивается без малейших пробелов из определений и немногих
предпосылок, она, без сомнения, обязана Платону*.
Будучи в философии крупнейшим воинствующим идеалистом,
Платон проводил интенсивную борьбу с материализмом Демокрига
(как известно, Ленин видел в борьбе линии Демокрита с линией
1) Желающих познакомиться с затронутым Здесь вопросом о
неделимых отошлем к книге С. #. Лурье «Теория бесконечно-малых у древних
атомистов", изд. Академии наук СССР, 1935.
*) .Государство", VII.

§ 1. Геометрия до Евклида.
9
Платона основную борьбу философских течений в античном мире).
Восставая, в частности, против неделимых Демокрита и запрещая
ими пользоваться в математике, Платон тормозил ее развитие.
Характерно (как о том свидетельствует Архимед в своем сочинений
яЭфода), что античные математики сначала для себя, так сказать,
неофициально, не для опубликования, находили решение того или
иного вопроса на атомистическом пути Демокрита и лишь потом
искали доказательство методом от противного — сведением к
нелепости всех других гипотез.
Евдокс (410— 356 гг. до н. э.) был исключительно образованный
человек, авторитетный врач, астроном, математик и механик. В области
математики с его именем связано создание теории пропорций, на
основе которой впоследствии Евклид со всей вовможной тогда
строгостью изложил геометрию. Именно поэтому о Евдоксе можно
говорить как об основателе математики того времени.
Второе фундаментальное открытие, связанное с именем Евдокса, —
метод исчерпывания (по терминологии, 'данной ему в XVII в.). Он
находится в тесной связи с его теорией пропорций и основывается
на следующем допущении: „если от некоторой величины отнять
половину или более и с остатком проделать ту же операцию и так
же поступать все дальше и дальше, то можно получить такую
величину, которая будет меньше любой заданной величины*.
Используя рассуждение от противного, Евдокс методом исчерпывания
приходит к измерению объема пирамиды, конуса и шара.
Ученик Евдокса Менехм, занимаясь задачей об удвоении куба,
прихолиг к открытию конических сечений, теорию которых
впоследствии обстоятельно развил Аполлоний и изложил ее в своих
восьми книгах (из них до нас дошли семь).
Знаменитый философ древности, основатель формальной
логики— Аристотель (384— 322) наряду с занятиями естественными
науками уделял внимание и математике. История свидетельствует,
что Аристотель способствовал развитию математики; современные
ему математики могли найти для себя место в его школе. Сам же
он ничего конкретного в области геометрии не сделал.
Итак, мы видим, что развитие математики в Греции шло в
тесном сотрудничестве с философией. „Математика и философия могли,
таким образом, оказывать влияние друг на друга как своими
мирными отношениями, так даже и раздорами. Благодаря этому
математика стала одним из элементов развитой греческой культуры,
а форма, в которую были облечены математические науки в эту
эпоху, убедительнее всего показывает, что они развились в
кружках утонченных мыслителей, стремившихся выражаться с полной
точностью*4 *).
В результате к III в. до н. э. геометрия в греческих
философских школах достигла высокой ступени абстрактности. В
большинстве случаев геометрию при этом отрывали от практических задач.
1) Цейтен, История математики в древнем мире и в средние века.

10
Глава /. Краткий исторический очерк
Римский историк Плутарх писал: „ ...Механика, предмет искания
и прославления, есть изобретение Евдокса и Архита. Они хотели
некоторым образом иллюстрировать геометрию (дать геометрии
внешнюю прикраску) и основать на чувственных и материальных
предметах теоремы, которые трудно решить помощью рассуждений
и научных доказательств... Но скоро Платон в негодовании стал
упрекать их, что они портят геометрию, лишают ее достоинства,
обращают ее в беглого раба, заставляя ее от изучения
бестелесных ц умственных вещей переходить к чувственным предметам
и прибегать, кроме рассуждений, к помощи тел, рабски
изготовленных работою руки".
Так продолжалось до Архимеда (287— 212 гг. до н. э.), в руках
которого, под влиянием возросших требований жизни, математика
получила уже прикладное направление.
Итак, с VII по III в. до н. э. геометрия в Греции накопила
обильный фактический материал. Назрела необходимость его
систематизации, приведения в стройную логическую систему.
Прокл указывает, что за решение этой задачи принимались
Гиппократ Хиосский, Леон, Федий Магнезийский, Гермотим Колофон-
ский и др. Однако их произведения были забыты, когда появилось
бессмертное сочинение—„Начала" или „Элементы" Евклида*
который, по словам того же Прокла, „собрал элементы, привел в
надлежащий порядок многое открытое Евдоксом, дополнил начатое
Теэтетом и доказал строго все, что до него было доказано еще
неудовлетворительно".
Ни одна научная книга не пользовалась таким прочным и
длительным успехом, как „Начала" Евклида. С 1482 г. она выдержала
более 500 изданий на всех языках мира.
§ 2. „Начала" Евклида.
О жизни Евклида (около 330 — 275 гг. до н. э.) почти ничего
неизвестно. Ни в „Началах*4, ни в других сохранившихся его
работах ничего не говорится об их авторе. С достоверностью известно
только то, что он был питомец школы Платона и преподавал
математику в Александрии при Птолемее I.
Систематизация огромного научного материала не является
механическим делом. — она требует руководящих научных принципов,
с необходимостью исходящих уже из более широкой области
мышления — гносеологии. Можно утверждать, что в философском
отношении изложение „Начал41 следует аристотелеву принципу построения
науки, развитого им в 1-й и 2-й „Аналитиках44 (1-я содержит
теорию умозаключений — силлогизмов, а 2-я — теорию научного
доказательства). Этот факт не удивителен, если учесть, что развитие
геометрии протекало в тесном сотрудничестве с философией и что
сам Евклид принадлежал к школе Платона. Это подтверждается
прежде всего структурой самих „Начал".

§ 2. „Начала" Евклида
11
По Аристотелю (как и по Платону), наука состоит в знании
причин, объясняющих необходимую связь явлений. Все научные
положения должны выводиться из необходимых посылок (допущений) путем
цепи умозаключений по приемам, разработанным Аристотелем 1).
• Следуя Платону и Аристотелю, Евклид должен был бы
выставить основные геометрические понятия — категории (у Аристотеля
их в общем случае 10—вещество, количество, качество, отношение, место,
время, положение, состояние, действие, страдание), сформулировать ак-
сиамЫу а затем на этой основе строго логически вывести все
содержание геометрии. Однако в полной мере, как мы сейчас увидим,
этот идеал у него не осуществлен, и дело заключается не в том,
что этот идеал был слажен, а в том, что тогда здание
элементарной геометрии было еще далеко от завершения. Достаточно указать,
что понятия непрерывности, движения и другие вопросы
фундаментальной важности тогда еще только поднимались.
Основой построения „Начал* Евклида служит система
определений, постулатов и аксиом. Первая книга начинается 35
определениями9), пятью постулатами и пятью аксиомами. Приводим их.
Определения.
/. Точка'есть то, что не имеет частей *).
2. Линия есть длина без ширины.
3. Концы линий суть точки.
4. Прямая линия есть та, которая одинаково лежит относи-
тел,ьно всех своих точек.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и-ширину.
6. Концы же или края поверхности суть линии.
7. Плоская поверхность есть та, которая одинаково
расположена относительно всех своих прямых.
8. Плоский угол есть взаимное наклонение двух линий на
плоскости, встречающихся и не лежащих на одной прямой.
9. Когда же линии, содержащие угол, суть прямые, то vгoл
называется прямолинейным.
Следующие 25 определений (10 — 34) — это прямой угол и
перпендикуляр, тупой и острый углы, круг, окружность и центр;
прямолинейная фигура, треугольник, четырехугольник, равносторонний,
равнобедренный и неравносторонний треугольники; квадрат,
прямоугольник, ромб и др.
Наконец, последнее определение, которое для всего дальнейшего
будет иметь особенно важное значение, гласит:
1) См. „Историю философии" под редакцией Г. Ф. Александрова, Б. Э. Бы-
ховского, Н. Б. Митина, П. Ф. Юдина, т. I, ОГИЗ, 1941, стр. 204 —230.
*) „То, что Евклид предпосылает в таком изобилии определения, есть
нечто вроде номенклатуры. Он, собственно говоря, поступает так, как
поступает, например, часовщик или другой ремесленник, начиная знакомить
учеников с названиями орудий своего мастерства" (Ламберт).
•) По другому переводу: Точка есть то, часть чего есть ничто.

12
Глава I. Краткий исторический очерк
35. Параллельные прямые суть те, которые лежат в одной
пло( кости и, будучи продолжены в обе стороны, нигде не
встречаются.
Постулаты.
Требуется, чтобы:
1. От каждой точки до каждой другой можно было провести
прямую.
2. Ограниченную прямую можно было продолжить
неопределенно.
3. Из любого центра можно было описать окружность любым
радиусом.
4. Все прямые углы были равны. '
5. Если две прямые при пересечении с третьей образуют с
одной стороны внутренние односторонние углы 1), сумма которых
Черт. 1.
меньше двух прямых, то эти прямые пересекались бы, при
достаточном продолжении, с этой стороны.
Аксиомы.
U Равные одному и тому же третьему также равны и между
собой.
2. Если к равным прибавим равные, то и целые будут равны.
3. Если от равных отнять равные, то полученные остатки
будут равны.
4. Совмещающиеся друг с другом равны.
5. Целое больще своей части.
Анализируя определения Евклида, мы замечаем, что у него в
качестве основных (родовых) понятий принимаются понятия части,
длины и ширины. С помощью их он определяет точку, линию
и поверхность, а затем уже дает определения прямой и плоскости
как видовых понятий соответственно линии и поверхности. Такой
выбор основных понятий не случаен.
Дело в том, что исторически понятия длины и ширины
предшествовали понятиям точки, линии и поверхности. Мы уже гово-
1) См. черт. 1.

§ 2. „Начала' Евклида
13
рили, что геометрия возникла из потребности измерять земельные
участки, и вначале она совпадала с землемерием. Основной
операцией было измерение длин с помощью канатов, цепей или
собственных шагов. Эти измерения привели через абстракцию к понятию
длины. Установление „точных" границ земельных участков,
требовавшее сужения пограничной черты, наряду с другими потребностями,
привело к понятию линии, не имеющей ширины. Распределение
земельных участков с помощью нивелирования (натянутая нить),
наблюдение над солнечными лучами, инженерная техника и
другие потребности практики выработали понятие прямой и плоскости.
Однако „Поверхности, линии, точки, как их определяет
геометрия, — говорил наш великий математик Лобачевский, —
существуют только в нашем воображении../. „В природе нет ни прямых,
ни кривых линий, нет плоскостей и кривых поверхностей: в ней
находим одни тела, так что все точки, созданные нашим
воображением, существуют в одной теории". Возьмем, например, точку.
По Евклиду, она не имеет частей. Но всякий реальный объект,
будучи материальным, имеет части. К понятию точки мы приходим
в абстрактном процессе уменьшения размеров какого-нибудь тела
путем, так сказать, беспредельного дробления. „Точка" возникает
при этом как „предел". Но все дело в том, что этот процесс не
может завершиться, так как „в малом не существует наименьшего,
но всегда имеется еще меньшее. Ибо то, что существует, не может
перестать существовать от деления, как бы далеко ни было
продолжено последнее" '). Иначе говоря, пространство бесконечно не
только в том смысле, что в нем нигде нет конца, но оно бесконечно,
так сказать, и внутрь, в любой своей малой части.
На практике мы вполне можем ограничиться следующим
определением точки: тела, дальнейшее деление которых невозможно
в пределах наблюдения, называются точками. За „прямую" можно
принять достаточно тонкий луч света, как это делается в
астрономии при определении расстояния между небесными светилами.
В том случае мы практически рассматриваем небесные светила
как „точки", вследствие малых их размеров сравнительно с
расстояниями между ними.
Отражая естественный путь абстракции, посредством которого
возникли основные геометрические понятия, определения Евклида
не имеют точного содержания, пригодного для строго логических
выводов, и поэтому фактически при построении геометрии он ими
совершенно не пользуется. Да и как он может использовать,,
например, свое туманное определение прямой и плоскости. Действительно,
что значит „прямая одинаково расположена относительно всех
своих точек" (определение 4)? Под этим можно понимать все, что
угодно. В частности, можно под этим понимать, что прямая во
всех точках имеет одинаковое направление; но тогда пришлось бы
в основу положить понятие направления. Под „одинаковостью рас-
1) Греческий философ Анаксагор.

14 Глава /. Краткий исторический очерк
положения" можно понимать и такой факт: если прямую представить
реализованной в виде стержня, тогда при определенных движениях
пространства она будет совпадать сама с собой. В этом случае за
основное понятие пришлось бы взять движение. То же самое
относится и к плоскости (определение 7). Определение угла (8) —
тавтология, и т. д.
Обратимся теперь к основным допущениям, на базе которых
должна строиться система Евклида. Евклид различает два вида
таких положений: постулаты и аксиомы.
По вопросу о том, какое различие между аксиомами и
постулатами, суще^авуют различные точки зрения. Наиболее
правдоподобная из них, повидимому, следующая: аксиомы — это
допущения, относящиеся к величинам вообще, а постулаты — допущения
о возможности определенных геометрических построений. В таком
случае геометрический характер аксиомы 4 представляется не вполне
уместным Заметим, что в современной математике не делают
различия между аксиомами и постулатами: все основные допущения
называют аксиомами.
С логической точки зрения коренной недостаток „Начал"
состоит в неполноте аксиоматики: при возведении здания геометрии
Евклид вынужден, в явном или неявном виде пользоваться свойствами
фигур, логически не вытекающими из сделанных им допущений —
постулатов и аксиом. Установление и выяснение этого пробела
для нас играет принципиальную роль; поэтому мы остановимся
на этом моменте подробнее и рассмотрим несколько примеров.
1-й пример. Евклид использует идею непрерывности, хотя в его
системе нет аксиом, на которые он мог бы в этом случае опереться. Чтобы
с в этом убедиться, приведем полностью 1-е пред-
D ^ ложение первой книги „Начал".
~7^С^^ „Предложение первое. На данной
//\\ определенной прямой 1) построить равносто-
/ / \\. ронний треугольник.
/ I \ \ Пусть будет АВ — данная определенная
/ / \ \ прямая. Надлежит на определенной прямой АВ
I / \ \ составить равносторонний треугольник *).
I/ \\ Из центра А расстоянием АВ описываем
\f Nj окружность, а из центра В расстоянием ВА
Д В описываем другую окружность. Точку пересе-
„ чения С этих окружностей соединяем с точ-
. ерт* * ками А и В. Поскольку точка А есть центр
окружности BCD, то АС = АВ, а поскольку точка В есть центр
окружности АСЕ, то ВС = ВА\ поэтому СА = ВС = АВ. Итак,
треугольник ABC есть равносторонний, и он составлен на данной
прямой АВ, что нужно было сделать" 3).
1) Т. е. на данном отрезке.
*) См. черт. 2.
') Перевод Петрушевского. Все последующие ссылки на „Начала*
даются в этом переводе.

§ 2 „Начала* Евклида
/5
В этом рассуждении Евклид опирается на наглядность и
допускает, что две окружности, каждая из которых проходит через
центр другой, имеют общую точку пересечения. Однако откуда
логически следует это предложение?
Начинающий мЬжет удивиться такой постановке вопроса. пРазве
не ясно, — может сказать он, — что эти окружности перееекаются?"
Но суть дела не в ясности — многие из доказываемых теорем' в
геометрии обладают иногда не меньшей ясностью, чем те, на которые
мы 'ссылаемся в доказательствах, но мы их все-таки доказываем.
Нашей целью является при этом установление логических
зависимостей между различными предложениями. Евклид предпослал
своему изложению основные допущения — постулаты и аксиомы; он
ставил себе целью вывести только отсюда все содержание
геометрии строго логически — независимо от того, очевидны или не
очевидны будут дальнейшие предложения сами по себе.
Но эта задача тогда еще не могла быть разрешена до конца.
И действительно, возвращаясь к разбираемому примеру, мы
должны признать, что допущение Евклида о пересечении окружностей
не вытекает логически из его постулатов и аксиом. В самом деле,
если принять, что окружности — разрывные линии и, в частности,
упомянутой точки С они не имеют, то приведенное рассуждение
Евклида отпадает. Таким образом, допущение существования точки
С предполагает непрерывность окружности. Но, перечисляя
постулаты и аксиомы Евклида, мы видим, что там ничего не
говорится о непрерывности. Значит, в самом 1-м предложении Евклида
имеется пробел логического порядка: в процессе доказательства
в скрытой форме вводятся новые допущения 1).
2-й пример. Евклид использует идею движения^ не
формулируя его свойств в аксиомах.
В 4-м предложении первой книги „Начал" утверждается, что
два треугольника равны, если две стороны и угол между ними
в одном треугольнике равняются соответственно двум сторонам и
углу между ними в другом. Евклид доказывает это предложение
совершенно таким же образом, как это мы сейчас делаем в школе,
т. е. использует наложение одного треугольника на другой. Так
как процесс наложения представляет собою движение, то Евклид
здесь апеллирует к свойствам движения. В самом деле, представим себе, что
во время движения прямолинейные отрезки становятся кривыми, а
длины и углы тоже меняются 2). Ясно, что в таком случае мы не
сможем доказать 4-е предложение так, как это обычно делаем,
следуя Евклиду. Значит, мы должны допустить, что возможно движение,
при котором свойство прямолинейности, длины и углы сохраня-
1) Впервые этот дефект в рассуждении был подмечен Лейбницем.
2) Так на самом деле и есть: в природе нет абсолютно твердых тел,
которые не меняли бы свою форму и размеры в зависимости от места,
времени и физических условий. Вспомним, что 'в палатах мер и весов
эталон метра стараются сохранять при относительно постоянных физических
условиях.

16 Глава I. Краткий исторический очерк
ются. Но в аксиоматике Евклида нет соответствующих аксиом;
поэтому он не может провести безупречное доказательство 4-го
предложения и вынужден прибегать к скрытым допущениям, не
вытекающим из* аксиом.
Справедливость требует отметить, что Евклид старается по
возможности избегать движения: к нему он обращается лишь в тех
случаях, когда без него он не может обойтись (в доказательстве
всего только четырех теорем: 4-й и 8-й первой книги и 14-й
и 24-й—третьей книги). Если же теорема может быть доказана
без движения, Евклид к нему не прибегает.
3-й пример. Евклид использует понятие „между", прибегая
только к наглядности чертежа, но не выделяет основные свойства
этого понятия в качестве аксиом, к которым надо было бы
апеллировать в соответствующих доказательствах.
В течение многих веков после создания „Начал" даже не заме-,
чали, что факты, связанные с понятием „между", примененным
к точкам на прямой (например, „если точка С лежит между А и D,
а В—между А и С, то В лежит между А и D"), Евклид
принимает на веру, хотя и здесь возможно установить точные аксиомы.
Повидимому, впервые обратил внимание на необходимость
аксиоматизации этого понятия Гаусс. В письме к В. Больяи в 1832 г.
он писал: „При полном проведении (геометрии) такие слова, как
„между", тоже следует сперва отнести к ясным понятиям, что
очень хорошо можно сделать, но чего я нигде не нахожу
осуществленным". Точную формулировку аксиом, основанных на
понятии „между", впервые дал М. Паш в 1882 г. в своих
„Лекциях по новой геометрии".
Отступления от строгого аксиоматического принципа встречаются
у Евклида очень часто; здесь мы отметили только некоторые из
них. Таким образом, Евклиду не удалось осуществить
поставленного идеала. Многие основные понятия геометрии (непрерывность,
движение, „между" и др.) тогда не были еще разработаны. И тем
не менее, „Начала" Евклида были той школой, через которую
прошли все математики вплоть до нашего времени. Стройностью своих
рассуждений они культивировали математическую мысль. В этом
отношении заслуги „Начал" трудно переоценить.
Остановимся теперь на кратком обзоре содержания „Начал".
Характерная черта' евклидовых „Начал" — обилие
геометрических приемов изложения. Евклид совершенно обходит вычисления;
поэтому впоследствии стали говорить, что „Евклид строит
геометрию геометрически". Что же касается методов этого
„геометрического" изложения, то это, главным образом, методы
аналитический, синтетический *) и метод доказательства от противного. Раз-
1) В XIII книге ,Начал" анализ' и синтез определяются так: „В
анализе принимаем требуемое за доказанное и таким путем достигаем до
истины, которую желаем обнаружить. В синтезе начинаем с того, что уже
доказано, и переходим к заключению или познанию того, что нужно доказать4'.

§ 2. „Начала* Евклида
х IT
работку первых двух методов некоторые связывают со школами Платона
и Евдокса; самому Евклиду приписывают разработку третьего метода,
открытого, как полагают, также Евдоксом.
Первая книга „Начал", состоящая из 48 предложений,
содержит следующий материал: треугольники (теоремы о равенстве,
о сторонах и углах треугольника), перпендикулярные и
параллельные линии, параллелограмы, „площади" прямолинейных фигур,
прямая и обратная теоремы Пифагора. Слово „площади" мы взяли
в кавычки по следующей причине. У Евклида нет понятия площади
как числа; его теория плошадей — это сравнение фигур, связанное
с терминами „больше", „меньше", „равно". Под „равными"
фигурами он понимает такие, которые могут быть разложены на конгру-
ентные части, т. е. совмещающиеся при наложении. В этом же
смысле формулируется у Евклида теорема Пифагора: „квадрат,
построенный на стороне, противолежащей прямому углу, равеч
квадратам, построенным на сторонах прямого угла". Процесс
доказательства всех теорем, связанных с площадями (в современном
толковании), у Евклида сводится к преобразованию самих фигур,
а не к действиям над числами, их измеряющими *).
Вторая книга состоит из 14 предложений и содержит так
называемую „геометрическую алгебру", т. е. некоторые теоремы
о равенстве фигур, эквивалентные элементарным алгебраическим
тождествам.
Первые 10 предложений этой книги в современной
алгебраической форме могут быть выражены так:
1. (a-|-ft + c-|-...)A = aA + ftA-f *А + ....
2. (а + Ь) а + (а + b) b = (а + ft/
3. (a + ft)ft = aft + ft*.
4. (a-j-ft)2 = a2 + 2aft-fft*.
6.<a-ft)ft+(^-ft)f=(£)«.'
7.(a + b)* + b* = 2(a + b)b + a* или a» -f ft» = 2aft-f (a — ft)».
8. 4(a-fft)ft4-a2 = (a-f-2ft)2 или 4ab + (a — ft)'2 = (a + ft)*.
9. {а-Ь)* + Ь*=2^*+2(^--Ьу.
10. (a + ЬУ + ft* = 2 (-f )■ + 2 (-J- + ft)»."
Чтобы представить себе, как выглядят эти теоремы в „Началах"
Евклида, приведем два примера.
Теорема 1 гласит: „Если один из двух отрезков рассечен на
несколько частей, то прямоугольник, построенный на этих двух отрезках,
*) Вопрос о площади был выяснен лишь в конце XIX в. Д. Гильбертом.

18 Глава I. Краткий исторический очерк
равен всем прямоугольникам, построенным из нерассеченного и
частей рассеченного" (черт. 3).
Теорема 4 у Евклида формулируется так: „Квадрат,
построенный на сумме отрезков, равен квадратам, построенным на каждом
ab
а2
Ь2
ob
■— ' " ' ь ■ " I о b
Черт. 3. Черт. 4.
из этих отрезков, и дважды взятому прямоугольнику, построенному
на этих отрезках" (черт. 4).
Аналогичным образом выглядят и все остальные 8 теорем.
В нашей школьной практике мы иногда прибегаем к
геометрической иллюстрации алгебраических тождеств так, как это сделано
у Евклида, например в указанных двух теоремах. Древние же знали
эти факты только в геометрической форме.
• В 11-м предложении решается, с помощью „геометрической
алгебры", задача, известная теперь под именем задачи о „золотом
сечении" (или делении отрезка в среднем и крайнем отношении).
12-е и 13-е предложения — это обобщения теоремы Пифагора.
Третья книга (37 предложений) содержит учение об окружности
и круге, а также о фигурах, связанных с кругом. Здесь, в частности,
имеются (конечно, в геометрической форме) теоремы о степени
точки относительно окружности. Например, теорема 35 о степени
внутренней точки круга гласит: ,,Если прямые пересекаются внутри
круга, то прямоугольник, построенный на двух отрезках одной из
них, равен прямоугольнику, построенному на отрезках другой".
Подобную форму имеет и теорема о секущей и касательной
(теорема о степени внешней точки).
Четвертая книга (16 предложений) содержит учение о
вписанных и описанных многоугольниках и построение правильных
многоугольников (5-угольника, б-угольника и 10-угольника).
Пятая книга—одна из самых замечательных. Здесь в 25
предложениях излагается теория пропорций Евдокса. Оценить по
достоинству значение пятой книги можно, если представить себе,
что нужно изложить теорию пропорций и подобия фигур, не
пользуясь иррациональными числами, которых во времена Евклида
не знали. В таком именно положении и находились греки до тех
пор, пока теория пропорций Евдокса не решила этой проблемы.
В пятой книге эта теория (по свидетельству Евдема Родосского)
представлена Евклидом в усовершенствованном виде. В основном
она состоит в следующем:

§ 2. „Начала" Евклида
19
Пусть /?, q и р\ q' —две пары отрезков (например отрезков
двух прямых / и /' между тремя параллельными линиями 1и 1Ъ /3,
черт. 5), образующих пропорцию:
Р-4 = Р'-Я'-
Под p\q и р' \q' мы понимаем отношение чисел, полученных
в* результате измерения 'соответствующих отрезков некоторым
единичным отрезком.
Умножаа эту пропорцию на рациональную дробь —, где т
и п — какие угодно целые числа,
мы получим равенство:
тр :nq = mp' \nq\
Отсюда следуют три возможности:
1) если mp^>nq> то тр^>пр'\
2) если mp — nq, то mp' = nq'; \ P \ Q*\
3) если mp<^nq, то тр'<^nq'. Черт 5.
Таким образом, если две пары отрезков р, q и р\ <f' образуют
пропорцию р: q = р' :q' (в современном смысле), то всякий раз одно-
>
му из соотношений mp = nq отвечает соответствующее соотношение
<
>
тр' = пр\
Можно доказать, что это свойство пропорции является
характеристическим, и оно фигурирует у Евклида как опр еделение
пропорции. Это определение (передаем его в современной
формулировке, не меняя по существу евклидова содержания) выглядит
так: если /?, q — пара величин одного рода (отрезки, углы и т. п.)
и р\ q' — также пара величин одного рода (не обязательно того же
самого, что и первые) и если при любом выборе пар целых чисел
>
тип одному из трех соотношений mp = nq всякий раз отвечав
<
>
соответствующее соотношение из тр' = nq\ то мы будем говорить,
<
что первая величина р находится в таком же отношении ко второй
величине qy как третья р' к четвертой q\ две пары величин (р, q)
и (/?', q') образуют пропорцию^ которая записывается так-:
p\q = p' \q.
Таким образом, по Евклиду, пропорция — это тоже равенство
двух отношений, но только не следует забывать, что у него
отношение не есть число (потому что число для Евклида может быть
только целым или дробным). Затем Евклид устанавливает для отно-

20
Глава /. Краттй исторический оче)>к
шений понятие „больше": ,,Р :Я^> р': Ч > если существует такая пара
целых чисел тип, что тр ^> nq, amp'rg nq 'и\ понятие „меньше" и др.
Теория пропорций заменяла грекам теорию иррациональных
чисел, роль которых играли отношения «однородных величин1).
Шестая книга (33 предложения) содержит учение о подобных
фигурах и некоторые задачи на отыскание пропорциональных
величин. Сюда входят теоремы: об отношении треугольников и парал*
лелограмов с общей высотой, о параллельных прямых в
треугольнике, о биссектрисе, основные теоремы о подобных треугольниках,
деление отрезка на равные и пропорциональные части, построение
средней пропорциональной, теоремы об отношении площадей
подобных фигур и др. Теорема об отношении подобных треугольников
выражена в такой, свойственной Евклиду геометрической форме:
„Подобные треугольники находятся в удвоенном отношении
сходственных сторон"; под этим „удвоенным отношением" следует
понимать отношение квадратов, построенных на сходственных
сторонах. Таким образом, эта теорема, сохраняя евклидово содержание,
может быть высказана так: подобные треугольники относятся так
же, как квадраты, построенные на сходственных сторонах.
Седьмая, восьмая и девятая книги — арифметические. Они
содержат в геометрической форме учение о целом числе. Здесь мы
встречаем (также в геометрической форме) алгорифм Евклида —
известный прием отыскания общего наибольшего делителя, теорию
непрерывных пропорций • с целыми числами, теоремуч о
существовании бесчисленного множества простых чисел и др.
Десятая книга содержит геометрические операции,
соответствующие извлечениям квадратных корней из целых чисел. Здесь
мы находим построение иррациональностей вида a±Ya* — ^,
1) В указанном определении пропорции Евдокса содержится в
зародыше основная идея Дедекинда — определение иррационального числа как
сечения в области рациональных чисел. Действительно, рассматривая соот-
>
ношения mp = nq, соответствующие различным парам чисел (/я, я), мы можем
<
ввести три совокупности рациональных чисел: первую, состоящую из чисел
т т
-—-, для которых тр > nq; вторую, состоящую из чисел — , для которых
п т п
тр = nq, и третью, состоящую из чисел — , для которых тр < nq. Если
отрезки р и q несоизмеримы, то вторая совокупность не имеет ни одного
элемента. В случае' соизмеримости отрезков р, q, вторая совокупность
состоит лишь из одной дроби, и отношение соизмеримых, р: q, опреде-
т
ляется нами как число —- . В случае несоизмеримости величин р и q их
отношение p\q определяется, следуя Дедекинду, как иррациональное число-
„сечение", разбивающее все рациональные числа на 1-ю и 3-ю совокупности.
Мы видим, как близко стоит современная теория иррационального числа к
теории пропорции Евдокса, имевшей, по существу, дело с „сечением".
Принципиальный шаг, сделанный Дедекиндом, состоит именно в том, что
он впервые начал рассматривать эти „сечения" как числа (иррациональные)
и распространил на область всех полученных таким образом вещественных
чисел основные операции арифметики.

§ 2. „Начала" Ееыж&а
• 21
Y<^ + bz£&> Ya dtYb, корней квадратных и четвертых степеней из
них и др.
Последние три книги — одиннадцатая, двенадцатая и тринадцатая —
относятся в основном к стереометрии.
Одиннадцатая книга (4Ц предложений) излагает элементы
стереометрии. Здесь содержатся: теоремы о взаимном расположении
прямой и плоскости (изложенные так же, как и в современных
руководствах по. элементарной геометрии); теоремы о плоских
углах многогранного угла, о параллелепипеде, о равенстве объемов
призм с одинаковыми высотами и др.
Двенадцатая книга (18 предложений) содержит учение об
отношении площадей кругов и объемов подобных тел. Сюда входят
теоремы: об отношении площадей подобных многоугольников, впи-
санлых в окружности, и площадей кругов, об отношении объемов
пирамид с общим основанием, подобных пирамид („подобные
пирамиды относятся как утроенные отношения сходственных сторон",
т. е. как кубы, построенные на сходственных сторонах), теоремы
об отношении объемов конусов, цилиндров и шаров. В теоремах
об объемах пирамид и конусов Евклид использует так называемый
метод „исчерпывания", который, как было сказано выше, знал
еще Евдокс.
Наконец, тринадцатая книга (19 предложений) заканчивает
стереометрию. Основное содержание этой книги составляют
предложения, в которых устанавливается 5 типов правильных
тел—тетраэдр, октаэдр, гексаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Последнее, 19-е,
предложение утверждает, что никаких других правильных тел не
существует.
Таково краткое содержание „Начал" Евклида.
На протяжении всего сочинения чувствуется стремление к
логической неуязвимости. Этот идеал не позволял Евклиду пользоваться
даже серединой отрезка, если до того с помощью построения не
доказано ее существование. В третьей книге он со всей возможной
тщательностью доказывает, что „если на окружности круга взяты
какие-нибудь две точки, то прямая, через них проходящая, пройдет
внутри круга". И наряду с этим мы не находим у Евклида
доказательства того, что точка прямой разбивает ее на две части
(полупрямые), а прямая разбивает плоскость на две области
(полуплоскости). Между тем, если следовать идее Евклида, то нужно
требовать доказательства или аксиоматизации и этих положений.
На всем протяжении „Начал" мы нигде не встречаем
практических приложений излагаемого Евклидом обильного теоретического
материала. Здесь даже не упоминается о циркуле и линейке, с
помощью которых на практике производится построение
окружности и прямой. Это не только особенность „Начал": таков был
научный стиль того времени в области геометрии. Прикладные
вопросы математики и, в частности, вычислительная техника
древних греков были слишком бедными по сравнению с тем, чего они
достигли в теории. Сами греки по этому поводу говорили, что

22 Глава I. Краткий исторический очерк
„приближенными вычислениями стыдно заниматься свободному
человеку, они — удел раба".
Если в логическом отношении „Начала", несмотря на их
недостатки (некоторые из них были отмечены здесь), и но настоящее
время могут вызывать восхищение своей стройностью, то в
методическом отношении они совсем не могут служить примером.
Известный математик Клейн характеризует манеру изложения Евклида
как „расчлененную", „изрубленную и утомительную своим
однообразием". Сравнивая манеру изложения Архимеда и Евклида, он
говорите „У Архимеда изложение в точности соответствует тому
способу, которого мы придерживаемся в теперешнем преподавании;
материал дается в генетической форме, сперва намечается ход
мыслей, .и никоим образом не применяется то окостенелое
расчленение на предложение, утверждение и доказательство, которое
господствует в «Началах* Евклида".
Заканчивая наши краткие ознакомления с „Началами" Евклида,
мы можем сделать следующие выводы.
Огромное историческое значение „Начал" Евклида заключается
в том, что они являются первым крупным научным документом по
геометрии, в котором сделана попытка логического построения
геометрии на основе аксиоматики.
Если этот идеал и не удалось осуществить, то будущим
поколениям математиков было указано правильное направление. В
частности, аксиоматический метод, господствующий в современной
математике, .своим происхождением в. большой степени обязан
„Началам" Евклида.
Основным недостатком аксиоматики Евклида следует считать ее
неполноту: здесь нет аксиом непрерывности, движения и порядка
(связанных с терминами „между" и „вне"); поэтому Евклиду часто
приходится апеллировать к интуиции — доверяться глазу.
чЧто же касается определения точки, линии, прямой, поверхности
и плоскости, то у Евклида они нигде не используются и поэтому
могут быть из его аксиоматики безболезненно удалены. Их значение
заключается только в том, что они отражают естественный процесс
образования этих понятий.
/
§ 3. Попытки улучшить аксиоматику Евклида.
Что у „Начал" Евклида имеются логические недостатки,
заметили уже очень давно. Кроме того, уже у античных математиков
появилось подозрение, что 5-й постулат Евклида можно доказать —
вывести логически из других предложений, и поэтому помещать
его среди постулатов не следует. И мы видим, что усилия многих
математиков после Евклида—комментаторов Евклида—на'
протяжении более 2000 лет были направлены, с одной стороны, на
устранение логических, пробелов „Начал" (в первую очередь —
системы его аксиом), а с другой — на доказательство 5-го постулата.

§ 3. Попытки улучшить аксиоматику Евклида 23
К важнейшим комментаторам следует отнести античных — Паппа
(конец III в. н. э.) и Прокла (IV в.), арабских — Анариция (X в.)
и Насир-Эддина(1201 —1274), итальянского — Саккери (1667—1733),
венгерского — В. Больяи (1775—1856), французского — Лежандра
(1752—1833) и др. В разные времена под разными названиями,
вроде „Восстановленный Евклид", „Обновленный Евклид", „Евклид,
освобожденный от всяких пятен", выходят в свет работы,
назначение которых, по замыслам авторов, — снять с Евклида все „пя>
на" !). И, в первую очередь,— основное „пятно": 5-й постулат. Одна-
ко строгая критика всегда находила здесь пробелы: все
„доказательства" 5-го постулата были ошибочны. Тем не менее мы должны
быть признательны комментаторам Евклида — они составили в истории
геометрии критический период, без которого невозможно было
создание современной аксиоматики, евклидовой геометрии.
Можно считать, что период комментаторов Евклида продолжался
до конца XVIII в. — он завершается знаменитым французским
математиком Лежандром, который в 1794 г. выпустил в свет сочинение
„Элементы геометрии" — первая книга, в которой геометрия была
построена в духе, отличном от „Начал".
В настоящем параграфе мы остановимся на некоторых попытках
улучшить евклидову аксиоматику; специальному вопросу о
доказательствах 5-го постулата будет посвящен следующий параграф.
Архимед. Великий математик, механик и физик древности
Архимед не принадлежит к комментаторам Евклида. Сознавая
недостаточность евклидовых аксиом для доказательства геометрических
теорем, Архимед в своем сочинении „О шаре и цилиндре" выставляет
следующие 5 аксиом:
Аксиомы Архимеда.
/. Прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя
точками,
2. Из двух линий, проведенных между теми же самыми
точками и обращенных своею выпуклостью в одну и ту же сторону,
внешняя линия больше.
3. Плоская поверхность меньше кривой поверхности,
ограниченной тем же контуром.
4. Из двух кривых поверхностей, ограниченных одним и тем
же плоским контуром и обращенных своей выпуклостью в одну
и ту же сторону, внешняя поверхность больше.
5. Из неравных линий, неравных площадей и неравных тел
большее превосходит меньшее на такую величину, которая, будучи
прибавляема сама к себе, моусет быть больше, чем любая
заданная величина из тех, которые сравнимы1) между собою (а
значит и с нею).
1) Выражение Саккери.
« *) Под сравнимыми величинами здесь имеются в виду величины одного
типа, например отрезки, площади и т. д.

24 Глава I. Краткой исторический очерк
Для отрезков 5-й постулат Архимеда может быть кратко
выражен так: меньший отрезок всегда можно повторить такое целое
число раз, что мы превзойдем больший. Этот постулат теперь обычно
называется постулатом Архимеда или постулатом меры: он дает
возможность всякому отрезку относить число — его длину, если
какой-нибудь отрезок принят за единичный.
Чтобы можно было и обратно — всякому числу отнести
определенный отрезок, необходим другой постулат — постулат Кантора
(который вместе с постулатом Архимеда составляет аксиому непрерыв-
юсти Дедекинда). Об этом будет подробнее говориться дальше
в гл. II (стр. 90).
Несколько слов об остальных постулатах Архимеда. 1-й
постулат можно понять как определение прямой линии; некоторые
исследователи считают, что этот постуллт вместе со 2-м служит скорее
для определения понятия длины линии, а 3-й и 4-й — определения
понятия площади поверхности.
Позднее Лежандр в своих „Элементах геометрии" определяет
прямую тоже как кратчайший путь *).
Про к л. Перейдем теперь к Проклу — одному из видных
комментаторов Евклида.
Пытаясь исправить Евклида, Прокл предлагает следующие
определения прямой или плоскости:-
Определения прямой.
1. Прямая есть линия, отрезок которой между двумя ее
точками совпадает с расстоянием между ними.
2. Прямая есть линия, простирающаяся неограниченно.
3. Прямая есть линия, все части которой могут скользить
по ней.
4. Прямая есть линия, остающаяся неподвижной, когда концы
ее закреплены 2).
Определения плоскости.
/. Плоскость есть поверхность, простирающаяся
неограниченно.
2. Плоскость есть поверхность, в которой все части могут
скользить по ней.
3. Плоскость есть поверхность, которая одинаково относится
ко всем прямым, на ней лежащим.
1) Между прочим, интересное определение прямой линии давал еще
Платон: „прямая линия есть та, которой края заслоняются
предшествующими точками". Мы видим, что размышления над сущностью основных
геометрических понятий уходят далеко в глубь истории.
■) Это определение впоследствии было высказано Лейбницем.

§ 3. Попытки улучшать аксиоматику Евклида 2$
4. Плоскость есть поверхность, в которой лежит всякая пря*
мая, имеющая с ней две общие точки 1).
У Прокла определения прямой и плоскости предполагают
известными понятия линии и поверхности, а первое определение прямой,
сверх того, — понятия длины.
В некотором смысле определения Прокла прямой и плоскости
лучше, чем у Евклида, но они не внесли принципиального
улучшения в основы геометрии: их.можно подвергнуть той же самой
критике, что и определения Евклида (см. стр. 12 — 14). Заметим только,
что 3-е определение плоскости совсем туманно: слова: „одинаково
относится" можно толковать как угодно.
Анариций. Арабский комментатор Анариций выставил
следующие определения для прямой и плоскости:
/. Прямой называется такая линия, которая остается
неподвижной, коль скоро остаются неподвижными две ее точки.
2. Плоскостью называется такая поверхность, в которой от
каждой точки к каждой другой точке можно провести прямую
линию. i
Средневековые комментаторы. Обилием аксиом
отличаются средневековые комментаторы, которые перечисляют в форме
аксиом ряд свойств пространства, например: его неограниченность,
трехмерность, непрерывность („пространство не имеет промежутков",
как тогда говорили), делимость до бесконечности, однородность
(„каждая часть пространства может быть совмещена с другой частью
пространства в любом другом месте") и др. Все эти свойства дей-.
ствительно имеют место для евклидова пространства,' однако точная
их формулировка стала зозможной лишь в наше время. Особенно
важно свойство однородности, содержащее в зачаточной форме идею
движения.
Лобачевский. Попытки улучшения определений основных
понятий продолжались и после периода комментаторов на
протяжении почти всего XIX в. Интересное определение прямой и
плоскости предлагает великий русский математик Лобачевский, о котором
мы еще много будем говорить дальше. Сначала Лобачецский
определяет сферу как место точек, одинаково отстоящих от данной точки
(центра), а затем уже — плоскость и прямую. „Плоскостью
называется поверхность, в которой лежат все круги от пересечения
одинаковых сфер около двух точек — центров происхождения".
Прямую Лобачевский определяет с помощью движения: „Прямая
линия называется та, которая между двух точек сама себя
покрывает во всех положениях. Такова в плоскости круга линия,
которой точки остаются на месте, когда круг покрывает сам себя
другою стороной*.
'*) Эго определение иногда гфиписываюг Герону, жившему до Прокла.

26
Глава /. Краткий исторический очерк
Безуспешность многочисленных попыток установления основ
геометрии объясняется как сложностью самого предмета, так и тем,
что... „трудность понятий увеличивается по мере приближения их
к начальным истинам в природе, так же как она возрастает в
другом направлении, к той границе, куда стремится ум за новыми
познаниями" (Лобачевский).
Какое же значение имеют все эти попытки? Историческое
значение их заключается в том, что они способствовали установлению
современной аксиоматики. Кроме того, все эти определения
основных понятий геометрии не'потеряли практического значения и в
настоящее время: их можно соответствующим образом использовать в
школьной практике при ознакомлении учащихся со свойствами основных
•геометрических образов.
Мы увидим, что современная аксиоматика поступила „коварным"
образом с предшествующей ей историей. Мы теперь вовсе не
находим нужным „определять" точку, прямую и плоскость, как это делал
Евклид и его- комментаторы. В современной аксиоматике эти
понятия принимаются за основные, и сразу формулируются аксиомы,
которым должны удовлетворять эти понятия. Об этом будет подробно
сказано позже.
§ 4. Попытки доказать пятый постулат Евклида.
В истории геометрии 5-й постулат Евклида сыграл
исключительно важную роль: через него лежал путь к созданию новой
геометрии— геометрии Лобачевского, в корне изменившей наши взгляды на
геометрию реального физического пространства и на геометрию как
абстрактную математическую науку.
На протяжении 2000 лет после Евклида трудно указать
крупного математика, который не пытался бы доказывать 5-й постулат.
Его доказывали Посидоний (I в. до н. э.), Птолемей (III в. до н. э.),
Прокл (410—475), Насир-Эддин (1201—1274), Д. Валлис (1616—1703),
Ламберт (1728—1777), Лежандр (1752—1833), В. Болья'и (1775 —
1856), Д. Саккери (1667—1733) и др. -Над ним трудились в свое
время и творцы новой геометрии — Гаусс (1777—1855), И. Больяи
(1802—1860) и, наконец, Николай Иванович Лобачевский (1793 —
1856).
Какие причины вызвали эти многочисленные попытки доказать
-5-й постулат? Можно указать на две основные причины. Первая —
это сравнительно сложный характер 5-го постулата, вторая — очень
позднее его использование в „Началах". Евклид испрльзует 5-й
постулат только после 26 предложений, которые все доказаны без этого
постулата. Только в 29-м предложении единственный раз
используется 5-й постулат.
Оба эти обстоятельства, по словам древних комментаторов,
наводили на мысль, что истина, которая утверждена в 5-м постулате,
*не очевидна и может быть выведена из других более очевидных

§ 4. Попытки доказать пятый постулат Евклида 27
предложений. Самый факт, высказываемый в этом постулате, не
подвергался сомнению, и ученые искали его доказательство. Строгая
критика всех этих попыток всегда находила в них изъяны, и это
в конце* концов поставило под сомнение уверенность в непреложной
истинности 5-го постулата.
В настоящее время вопрос о математическом доказательстве
решается так: доказать какое-нибудь предложение (теорему) —
это значит вывести его логически из других предложений,
доказанных раньше или же принимаемых без доказательства — аксиом.
Ранее доказанные теоремы должны также опираться на теоремы или
аксиомы. Таким образом, всякая теорема является логическим
следствием некоторой системы аксиом. Вне такой постановки вопроса не
может быть и речи о математическом доказательстве: если нет
системы аксиом, то невозможно говорить о доказательстве данного
предложения. В частности, доказательства „Начал" Евклида с этой
точки зрения не являются полноценными доказательствами:
аксиоматика Евклида, как мы видели, недостаточна для логического
построения геометрии. Значит, чтобы доказать 5-й постулат, нужно иметь
какую-то базу—систему аксиом.
Старые авторы такой базы в законченном в,иде не имели, и
потому они не могли поставить вопрос достаточно отчетливо.
Наиболее четкие „исходные позиции для доказательства 5-го постулата мы
встречаем из старых авторов у Саккери.*Чтобы доказать 5-й
постулат, он принимает 26 предложений первой книги „Начал", вывод
которых не опирается на 5-й постулат, а затем на этой основе
методов от противного стремится доказать 5-й постулат. В
невысказанной форме он опирается еще на непрерывность и бет:конечность
прямой. Впоследствии Иоанн Больяи, исследуя геометрию, не
зависящую от 5-го постулата, назвал ее абсолютной1). Следовательно,
первые 26 предложений первой книги „Начал" входят в состав
абсолютной геометрии.
К предложениям абсолютной геометрии относятся следующие:
учение о смежных и вертикальных углах; некоторые теоремы о
сторонах и углах треугольника; теорема о внешнем угле („внешний угол
больше, любого внутреннего, с ним не смежного"); теоремы о
равенстве треугольников; о свойствах фигур внутри круга и др.
Таким образом, можно сказать, что в основном попытки
доказательства 5-го постулата сводились к получению его как
логического следствия абсолютной геометрии. Позже мы увидим, что из
одной абсолютной геометрии вывести 5-й постулат невозможно. И
этим объясняется то, что многие комментаторы Евклида вводили
(явно или молчаливо) новые допущения, после присоединения
которых 5-й постулат уже можно доказать. Такие допущения называются
эквивалентными (равносильными) 5-му постулату.
1) Точное определение „абсолютной геометрии* как системы
всевозможных логических следствий станет возможным лишь после введения ее
строгой аксиоматики (см. ниже, гл. II).

28 Глава /. Краткий исторический дчерк
Итак, существо интересующих нас доказательств сводилось к
введению в явном или неявном виде допущений, эквивалентных 5-му
постулату. Но такого рода рассуждения нельзя рассматривать как
доказательства 5-го постулата — здесь имеется просто подмена 5-го
постулата другим, эквивалентным ему постулатом.
Кроме таких доказательств, существовали, конечно, и другие,
основанные просто на ошибках и неправильных соображениях.
Приведем два примера доказательства 5-го постулата,
основанных на эквивалентных ему допущениях.
1. Доказательство, основанное на допущении
Прокла.
Цачнем с доказательства, предложенного Проклом *).
Прежде всего заметим, что так называемая „прямая теорема
параллельных", „если соответственные углы равны, то прямые парал-,
лелъныи> — теорема абсолютной геометрии: она может быть доказана
без обращения к 5-му постулату; это доказательство имеется в
„Началах" Евклида и в школьных курсах геометрии. Поэтому подвергать
эту теорему сомнению в нашем рассуждении мы не должны.
Пусть сумма внутренних односторонних углов аир,
образованных прямыми 1Х и /2 с.третд>ей пересекающей их прямой /3, меньше
чем 2d: a-f-{3<^2</ (черт. 6). Мы утверждаем, что такие прямые
1Х и /2 пересекаются.
Черт. 6.
Возьмем на прямой /2 какую-нибудь точку В и проведем через
нее прямую,/ так, чтобы она образовала с прямой /3 угол a'=a,
как указано на чертеже 6. Так как a' -f- (3 = а -)- {3 <[ 2d, то прямая/,
не совладает с / и проходит внутри угла $' =2d — ar.
По прямой теореме параллельных, прямая / параллельна прямой lt;
прямая /2 образует с / со стороны прямой 1Х угол ? = Р' — Р =
= 2d-(a + p).
Пусть теперь точка С прямой /2 неограниченно удаляется по
этой прямой от точки В. При этом ее удаление h = CD от прямой
*) Если читатель пожелает сам найти скрытое в рассуждении допущение
Прокла» то пусть он прочтет это доказательство до последнего абзаца и,
отложив книгу, попробует найти это допущение.

§ 4. Попытка доказать пятый постулат Евклида 29
I будет неограниченно расти; поэтому наступит момент, когда h
будет равно расстоянию между прямыми / и 1Х. В этот момент точка
С будет лежать на прямой /,; так как она лежит на прямой /2, то
прямые /j и /2 будут в ней пересекаться, что и требовалось доказать.
Какое же неявное допущение введено в этом рассуждении,
приведшем нас к 5-му постулату?
Здесь имеются два допущения: 1) расстояние от одной стороны
угла до другой, по мере удаления от вершины, неограниченно
возрастает и 2) расстояние между двумя непересекающимися прямыми —
величина ограниченная (Прокл даже считает ее постоянной). Первое
допущение может быть доказано в абсолютной геометрии, и не оно
является эквивалентным 5-му постулату. Но во втором допущении,
действительно, заключается вся сугь дела — из него и вытекает 5-й
постулат. Это второе допущение называется допущением Прокла:
оно эквивалентно 5-му постулату.
а / — их секущая,
взятые с той сто-
2. Доказательство, основанное на допущении
В а л л и с а.
Перейдем к другому доказательству 5-го постулата, предложен
ному Валлисом.
Пусть /j и /2 — какая-нибудь пара прямых,
образующая с ними односторонние углы аир,
роны от /, с которой
a+p<2tf (черт. 7).
Заставим теперь прямую /2
непрерывно перемещаться
от точки В к точке А
так, чтобы сохранялся
постоянный угол р с
прямой /. Те точки прямой /2,
которые лежат внутри
угла а, должны будут по
дороге обязательно
пройти через прямую ll9
потому что в
окончательном положении (1'2) они лежат вне этого угла. Пусть Сх — одна из
точек прямой /2, попавшая на /,; мы получаем треугольник АВ1СХ с
углами a, f) при основании ABV На стороне АВУ сходственной с АВи
построим треугольник ABC, подобный треугольнику АВ1С1. Тогда
АС пойдет по lv а ВС — по /2, в силу равенства соответствующих
углов в подобных треугольниках. Таким образом, прямые /х и /2
пересекаются,в вершине С, что и доказывает 5-й постулат.
Где здесь допущение, эквивалентное 5-му постулату?
Это допущение — допущение Валлиса — состоит в предположении
существования подобных треугольников каких угодно размеров
с любым коэфициентом подобия. Основываясь на нем, Валлис
доказал 5-й постулат. Можно показать, как это и делается в школьных
Черт. 7*

30
Глава I. Краткай исторический очерк
руководствах по геометрии, что и обратно, из 5-го постулата
выводится существование подобных фигур; значит, эти оба предложения
эквивалентны.
Число примеров можно было бы увеличить 1)9 но суть дела одна и
та же йо всех случаях. В доказательствах 5-го постулата в явном
-или неявном виде их авторы привлекают на помощь новые
соглашения, приводящие к 5-му постулату.
* Математическое значение подобных доказательств состоит только
в том, что они показывают,, какие предложения эквивалентны 5-му
постулату. Но в истории вопроса об обосновании геометрии они
сыграли очень большую роль — они расчистили дорогу к открытию
неевклидовой геометрии.
§ 5. Открытие неевклидовой геометрии.
Безуспешность вывода 5-го постулата Евклида из абсолютной
геометрии заставила математиков, в конце кон'цов, усомниться в
возможности решения этой проблемы. Стали задавать вопросы —
возможно ли вообще доказать постулат Евклида? Вытекает» ли он
логически из абсолютной геометрий? Не был ли Евклид прав, поместив
это предложение среди постулатов?
А наиболее проницательные ставили вопрос еще более глубоко:
если 5-й постулат не вытекает логически из абсолютной геометрии,
то к каким выводам мы придем, если перестанем считать этот
постулат верным и заменим его противоположным постулатом?
В такой форме проблема была поставлена сначала Саккери,
Ламбертом, Швейкартом, Тауринусом — их поэтому считают
предшественниками новой геометрии, которую, в отличие от геометрии
Евклида, иногда называют неевклидовой. Но подлинными творцами
этой геометрии следует считать Гаусса,. И. Больяи и Н. И.
Лобачевского — эти три гениальных математика независимо друг от друга
открыли неевклидову геометрию. Наиболее полно развил и впервые
опубликовал свои исследования великий русский математик Николай
Иванович Лобачевский; поэтому эту геометрию принято также
называть геометрией Лобачевского.
Остановимся подробнее на роли каждого из предшественников
и творцов неевклидовой геометрии.
Предшественники неевклидовой геометрии.
Саккери. В 1733 г. итальянский математик Д. Саккери (1667 —
1733) выпустил в свет работу под названием „Евклид,
освобожденный от всяких пятен". В этой работе Саккери не отрицает 5-го
постулата; он пытается его доказать. Как мы уже говорили, в каче-
1) Другие допущения, эквивалентные 5-му постулату, мы рассмотрим позже
(гл. Ill, § 7).

§ 5. Открытое неевклидовой геометрии 3}
стве основы своих рассуждений Саккери принимает 26 первых
предложений первой книги „Начал" (предложения абсолютной геометрии).
Саккери рассматривает четырехугольник с двумя прямыми углами
при основании АВ и равными боковыми сторонами ВС и AD (черт. 8).
Сначала он доказывает, что средняя линия EF такого
четырехугольника перпендикулярна к обоим основаниям и что углы а и а' при
верхнем основании равны-между собою. Затем он ставит три
гипотезы: 1) a^>d — гипотеза тупого угла; 2) a = d—гипотеза
прямого угла и 3) a<^d— гипотеза- острого угла. Гипотезу тупого
угла он скоро опровергает, доказывая, что-
£} F С она приводит к противоречию. Гипотеза нря-
мого угла говорит о существовании прямо-
/
Черт. 9.
угольника, а это приводит к доказательству 5-го постулата. Чтобы
доказать 5-й постулат, Саккери должен, следовательно,
опровергнуть третью гипотезу — гипотезу острого угла. Саккери и стремите»
сделать это, рассуждая „от противного" — он принимает эту
гипотезу и старается получить из нее абсурдное следствие. Целый ряд
предложений получает Саккери из гипотезы острого угла, и ни одно
из них не является противоречащим 'абсолютной геометрии. Наконец,
такое „абсурдное" следствие Саккери усмотрел в своем 33-м•
предложении:' „если гипотеза острого угла справедлива, то в плоскости
существуют прямые 1Х и /2, неограниченно приближающиеся друг
к другу в одном направлении и неограниченно удаляющиеся в
обратном (черт. 9).
Отсюда Саккери делает заключение, что эти прямые в
бесконечно удаленной точке Р^ будут иметь общий перпендикуляр /;
так как это невозможно, то гипотеза острого угла
несправедлива.
Ошибка Саккери заключается#в том, что он без всякого
основания распространяет свойства ограниченных фигур на бесконечные
области.
Таким образом, - стремясь доказать 5-й постулат от противного,
Саккери вывел из своего предположения целый ряд следствий и тем
самым фактически получил начало новой геометрии. Сам он в этом
себе не отдавал отчета и даже считал, что получил противоречие;
но этого противоречия на самом деле не было, а выведенные
Саккери предложения вошли позже в непротиворечивую, .как мы знаем
теперь, геометрию Лобачевского,

32
Глава I. Краткай исторической очерк
Ламберт. Швейцарский геометр Ламберт (1728 — 1777) в своем
сочинении „Теория параллельных линий'1 (1761) рассматривает
четырехугольник ABCD (черт. 10) с тремя прямыми углами Л, Ву D
(половина четырехугольника Саккери). Относительно четвертого угла
а он т^кже рассматривает три гипотезы:
1) <t^>d> 2) <t=d и 3) a.<^d. Первую
гипотезу он опровергает, а вторая приводит его к
доказательству евклидова постулата. Развивая
третью гипотезу, Ламберт не сделал ошибок, как
Саккери; он, повидимому, не считал эту
гипотезу безусловно ложной и во всяком случае
понимал, что опровергнуть ее ему не удается.
Получая следствия из третьей гипотезы, Ламберт,
как и Саккери, фактически закладывает основы
новой геометрий. Он, например, доказывает, что
в этой геометрии сумма углов всякого
треугольника ABC меньше двух прямьдх (А-(- В -(- С <^ тс),
и находит площадь треугольника, которая ока-
пропорциональной „угловому дефекту* треугольника:
С:
Черт. 10.
зывается
Ъ = ъ — А — В
S = p*(ic — А — В — С),
где р — некоторая постоянная величина.
У Ламберта встречается проницательное замечание: я Я почти
принужден прийти к заключению, что третья гипотеза находит себе
применение на мнимой сфере11. Позже (в гл. V) мы увидим, что
тригонометрические формулы для треугольника в геометрии
Лобачевского вытекают из тригонометрических формул для сферического
треугольника, если в них радиус р формально заменить на pi, где
i= У — 1. Повидимому, к своему выводу Ламберт пришел,
сравнивая найденную площадь с площадью треугольника ABC на сфере
радиуса г, которая выражается формулой:
S = re(i4 + 5 + C~ic).
Но существенно продвинуться в развитии новой геометрии
Ламберту не удало.сь. 4
Швейкарт. Профессор права в Магдебурге Швейкарт (1780 —
1859) в 1818 г. также владел элементами новой геометрии,
которую он называл астральной. Об этом свидетельствует заметка,
переданная им Гауссу в 1818 г. В этой заметке Швейкарт говорит:
„Существует геометрия двух родов, геохметрия 'в тесном смысле
слова — геометрия евклидова — и геометрия астральная. В последней
треугольники обладают той особенностью, что сумма трех углов
не равна двум прямым..." И дальше Швейкарт излагает некоторые
факты новой геометрии.

§ 5. Открытие неевклидовой геометрии
33
Своих исследований Швейкарт не опубликовал. Его
геометрические идеи возникли, повидимому, не без влияния работ Ламберта
и Саккери: в своей работе от 1807 г. Швейкарт ссылается на этих
авторов.
Тауринус. Племянник Швейкарта Тауринус (1794—1874)
занялся под его влиянием исследованилми по астральной геометрии.
В 1825 г. он. выпустил в свет свою „Теорию параллельных линий",
содержащую опровержение гипотезы тупого угла Саккери и
исследования, вытекающие из гипотезы острого угла. В другой работе
от 1826 г. он указывает, как можно чисто формально, аналитически,
построить геометрию, вытекающую из гипотезы острого угла; он
полагает в формулах сферической геометрии радиус сферы г
равным pi и получает многие факты логарифмо-сферической геометрии
(так Тауринус называет новую геометрию).
Тауринус знал, что сферическая геометрия соответствует
гипотезе тупого угла, а евклидова геометрия является „переходной" от
сферической к логарифмо-сферической (когда радиус сферы
переходит из действительной области через бесконечность в мнимую).
Несмотря на эти достижения, Тауринус, признавая логическую
непротиворечивость логарифмо-сферической геометрии, все же
отбросил гипотезу острого угла, как нереальную; он не мог себе
представить пространства, в котором имеет место гипотеза острого угла.
Творцы неевклидовой геометрии.
Гаусс (1777—1855). По вопросу о параллельных линиях
знаменитый математик Гаусс, „король математиков", как его называли
современники, при своей жизни ничего не опубликовал.
Исследования Гаусса по неевклидовой геометрии обнаружились только после
его смерти — в переписке с математиками и в некоторых записях,
найденных среди его бумаг.
Впервые Гаусс начал размышлять над вопросом о параллельных
в 1792 г.: он, подобно Саккери и Ламберту, пытался доказывать
5-й постулат. Из одного письма к Вольфгангу Больяи видно, что
еще в 1804 г. Гаусс не терял надежды на отыскание дока'зательства.
Постепенно Гаусс убеждался в невозможности доказать 5-й
постулат, и в 1816 г. в письме к Шумахеру он писал:
„В области математики есть немного вопросов, о которых так
много писалось бы, как о пробеле в началах геометрии, и все же
мы должны откровенно признаться, что в сущности за две тысячи
лет мы не ушли дальше Евклида. Такое откровенное и прямое
признание более отвечает достоинству науки, чем тщетное желание
скрыть пробел".
. В 1817 г. в письме к Ольберсу Гаусс пишет уже более
определенно: „Я все больше прихожу к убеждению, что необходимость
нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере,
человеческим умом для человеческого ума".

34
Глава I. Краткай исторический очерк
В письме к Швейкарту от 1819 г. он пишет уже о своих
успехах по новой геометрии: „ . . . Я развил астральную геометрию
настолько, что могу влолне решить все задачи, если только дана
постоянная Cttl). В письме к Тауринусу от 1824 г. он говорит:
„До гущение, что сумма углов треугольника меньше 180°, приводит
к своеобразной, совершенно отличной от нашей, геометрии. Эга
геометрия совершенно последовательна, и я ее развил для себя
вполне удовлетворительно. Я могу в этой геометрии решить любую
задачу, кроме определения некоторой постоянной, значение которой
a priori установлено быть не может. Чем большее значение придадим
мы этой постоянной, тем ближе подойдем к евклидовой геометрии,
а бесконечно большое ее значение приводит обе системы к
совпадению".
Почему же Гаусс не опубликовал этих своих исследований?
Гаусс опасался остаться непонятым. В письме Гаусса к Бесселю от
1829 г. мы читаем: „Вероятно, я еще не скоро буду в состоянии
обработать мои весьма обширные исследования по этому вопросу,
чтобы их можно было опубликовать. Возможно даже, что я не
решусь на это в течение всей своей жизни, потому что я боюсь
крика беотийцев2), который поднимется, когда я выскажу свои
воззрения целиком".
И. Больяи (1802—1860). Университетский товарищ Гаусса,
Вольфганг Бо.гьяи всю свою жизнь занимался доказательством 5-го
постулата. Исследовав вопрос, по его выражению, „до пределов
возможного", он не внес в него ничего принципиально нового. Но
что не суждено было сделать отцу, то было сделано его сыном
Иоанном, которого даже сдержанный Гаусс впоследствии называл
„генлем первой величины". Будучи студентом инженерной академии
в Вене (1817—1822), Иоанн увлекается этой проблемой. До 1820 г.
он рассуждением от противного, как и Саккери, искал
доказательства 5-го постулата; одно время он даже думал, что ему удалось
этот постулат доказать. Но постепенно Иоанном начинало
овладевать убеждение, что возможна новая геометрия, в которой 5-й
постулат не имеет места. Когда отец Иоанна узнал, что его сын
увлекается вопросом о параллельных линиях, он настоятельно просил
его прекратить эти занятия. „Молю тебя, — писал он, — не делай
и ты попыток одолеть теорию параллельных линий. Ты -затратишь
на это все свое время, а предложения этого вы не докажете все
вместе. Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем
способом, который ты мне сообщаешь, ни каким-либо другим.
1) О том, что это за постоянная, будет сказано позже, в гл. V.
*) Беотийцы — жители древнегреческой провинции Беотии; афиняне
считали их невежественными людьми, и выражение „беотийцы" стало
символом глупости.

$ 5. Открытие неевклидовой геометрии
85
Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной идеи,
которая бы не была разработана мною. Я прошел весь беспросветный
мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней
похоронил. Ради бога, молю тебя, оставь эту тему, страшись ее
не менее, нежели чувственных увлечений, потому что и она может
лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья
твоей жизни. Эгот беспросветный мрак может потопить тысячи
ньютоновских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда
несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо
совершенным даже в геометрии. Это большая и вечная рана в моей душе.. .tt
Однако Иоанн не послушался отца и продолжал упорно
работать над развитием новой геометрии. В 1823 г., в возрасте 21 года,
он писал отцу: „Я твердо решил опубликовать свою работу о,
параллельных линиях, как только обстоятельства позволят мне привести
материал в порядок. В настоящее время я еще не достиг цели, но
я получил такие замечательные результаты, что было бы
чрезвычайно жаль, если бы они погибли. Когда Вы с ними познакомитесь,
то сами это признаете; пока скажу только, что я из ничего
создал целый мир".
В 1832 г. вышла в свет книга по геометрии Вольфганга Больяи; в ней
в виде приложения была напечатана работа Иоанна Больяи. Эта
работа имела длинное название; его начало: „Приложение,
излагающее абсолютно верное учение о пространстве, независимо от
правильности или ложности XI аксиомы Евклида..."1).
Работа Больпи была написана на латинском языке; „приложение*
по латински — appendix; поэтому труд Больяи получил в
математической литературе название „Аппендикс".
Это приложение Вольфганг Больяи послал на отзыв своему
знаменитому другу Гауссу. Гаусс ответил: „Если я начну с того, чГо
я не могу хвалить работу Иоанна, то ты, конечно, на мгновение
изумишься. Но я не могу сказать ничего другого; хвалить ее —
значило бы хвалить себя самого, ибо все содержание этого сочинения,
путь, выбранный твоим сыном, и результаты, к которым он пришел,
совпадают почти целиком с моими собственными размышлениями,
начатыми отчасти 30—35 лет тому назад. Действительно, я этим
поражен до крайности.
Что касается моей собственной работы, которая, впрочем,
имеется в записи лишь в небольшой своей части, то моим намерением
было — ничего не публиковать из нее при моей жизни. У
большинства людей нет правильного отношения к вопросам, о которых
там идет речь; я нашел лишь немногих, которые с интересом
слушали то,- что я им по этому поводу сообщал... В мои
намерения, — заканчивает Гаусс, — входило со временем все это записать,
х) В некоторых изданиях „Начал" Евклида 5-й постулат называется XI
аксиомой.

36
Глава I. Краткий исторической очерк
чтобы оно не погибло вместе со мной. Я приятно поражен тем,
что теперь могу избегнуть этой затраты труда, и чрезвычайно
радуюсь, что лицом, предупредившим меня таким удивительным
образом, как раз оказался сын моего старого друга".
На Иоанна отзыв Гаусса произвел очень тяжелое впечатление.
<Иоанн не допускал мысли о том, что "кто-нибудь другой мог раньше
его прийти к тем же результатам, и решил, что Гаусс захотел
присвоить себе первенство в этом открытии.
Жизнь Иоанна Больяи сложилась тяжело; современники не поняли
значения его открытия, и даже отец не разделял его илей. Хотя
Гаусс в личной переписке и высоко отзывался о работах Иоанна
Больяи, но открыто он об этом ни разу не высказался. Не
встречая ни у кого понимания, сочувствия и духовной поддержки, высоко
одаренный Иоанн пришел в отчаяние и забросил всякие
математические исследования. Остаток своей жизни он провел в полном
одиночестве.
Мы вправе обвинять Гаусса в гибели математического дарования
Иоанна Больяи; своим огромным авторитетом Гаусс, конечно, смот
бы разбить вековые , предрассудки в теории параллельных линий
и добиться всеобщего признания творения И. Больяи и
Лобачевского. Это действительно и произошло, но гораздо позднее, когда
творцы новой геометрии уже сошли в могилу.
Лобачевский. „Многие идеи как бы имеют свою эпоху, —
говорит Вольфганг Больяи, — во время которой они открываются
одновременно в различных местах подобно тому, как весной фиалки
вырастают всюду, где светит солнце". И независимо от Гаусса
и Больяи, наш великий соотечественник Николай Иванович
Лобачевский приходит к тем же идеям. Но* он развивает их гораздо
глубже и шире, чем Гаусс и Больяи, и, не боясь „крика беотийцев",
всю свою жизнь ведет борьбу за их признание.
Николай Иванович Лобачевский (1793—1856) родился 22 октября
1793 г. в Нижегородской губернии *) в небогатой семье землемера.
Отеи умер, когда его сыну, будущему „Копернику геометрии44,
было 3 года. Энергичная мать Лобачевского переехала в Казань
и определила своих трех сыновей на казенный счет в гимназию,
где Николай Лобачевский учился с 1802 по 1807 г. В 1807 г. он
поступил во вновь открытый Казанский университет.
В занятиях математикой Лобачевский показывал настолько
большие успехи, что в 1810 г. он был удостоен степени кандидата,
в 1811 г. — степени магистра, в 1814 г. — звания адъюнкта чистой
математики, а в 1816 г.— профессора.
Подобнэ Гауссу и Иоанну Больяи, Лобачевский не фазу
пришел к своей геометрии; записки его лекций от 1815—1817 гг.
*) Точно не установлено, родился ли Н. И. Лобачевский в Нижнем
Новгороде или в г. Макарьеве, Нижегородской губернии.

§ 5. Открытие неевклидовой геометрии
37
говорят о том, что и он надеялся доказать 5-й постулат. Лобачевский
ясно понимал, что все известные ему доказательства 5-го постулата
не являются строгими. Так, в своем учебнике геометрии
(написанном в 1823 г., но не напечатанном) он пишет о 5-м постулате
следующее: „Строгого доказательства сей истины до сих пор не могли
сыскать; какие были даны, могут назваться только пояснениями, но
не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими'
доказательствами **.
11 февраля 1826 г. !) называют „днем рождения неевклидовой
геометрии". В этот день на заседании физико-математического
факультета Казанского университета Лобачевский прочел доклад: „Рассуж-"
дения о принципах геометрии". В 1829 г., т. е. на три года раньше,
чем вышел „Аппендикс*4 Иоанна Больяи, в журнале „Казанский
вестник** появилась работа под заглавием „О началах геометрии".
Как в своем докладе, так и в этой работе Лобачевский изложил
начала своих исследований по новой геометрии.
Затем следуют дальнейшие работы Лобачевского:
„Воображаемая геометрия** (1835), „Применение воображаемой геометрии к
некоторым интегралам" (1836), „Новые начала геометрии с полной
теорией параллельных" (1835—1838) „ Геометрические исследования
по теории параллельных линий" (1840) и другие.
В 1855 г., за год до смерти, почти слепой, он пишет и выпу
екает на/русском и французском языках свое последнее сочинение
„Пангеометрия", в котором дает новое изложение своей
геометрической системы.
Свою творческую научную деятельность Лобачевский сочетал
с# громадной организационной работой, руководя почти в течение 20 лет
Казанским университетом (с 1827 по 1846 г. он был ректором
университета2).
Геометрия Лобачевского будет систематически изложена позже
в главах IV и V (после ознакомления с современной аксиоматикой
геометрии). Но чтобы хоть до некоторой степени оценить значение
открытия Лобачевского и выяснить, почему оно совершенно не
было понято современниками Лобачевского, мы в нескольких словах
скажем, в чем состоит геометрия, которую сам Лобачевский назвал
воображаемой.
Из 5-го постулата Евклида немедленно вытекает теорема: через
точку С, лежащую вне прямой АВ, можно в плоскости ЛВС
провести одну и только одну прямую, не пересекающую АВ. Вместо 5-го
постулата Лобачевский, прежде всего, вводит новый постулат,
противоречащий этой теореме: через точку С вне прямой АВ в
плоскости ABC проходит не одна, а бесчисленное множество пря-
1) По старому стилю.
*)0 жизни и творчестве Н. И. Лобачевского см. книгу проф. В. Ф. Кагана
.Лобачевский", изд. Академии наук СССР, М. — Л. 1944.

88
Глава I. Краткий исторический очерк
мых CG, не пересекающихся с АВ (черт. 11). Все эти прямые
отделяются от прямых СМ, пересекающих АВ, двумя граничными
прямыми СЕ и CF, которые не пересекаются с АВ. Обе гра-
Черт. 11.
ничные прямые образуют с перпендикуляром CD к АВ одинаковые
углы'о); Лобачевский называет их параллельными к АВ: СЕ
параллельна АВ в направлении от А к В, a CF параллельна ВА
в направлении от В к А. Угол со = /_ DCE = /_ DCF называется
углом параллельности, соответствующим отрезку DC.
Принимая постулат Лобачевского, мы сразу можем видеть,
насколько необычны вытекающие из него следствия. Прежде всего, не
имеет места 5-й постулат Евклида: £. BDC= 90° и /_ DCE = <Ь<^90°
в сумме будут меньше 180°. Подобие фигур отсутствует, потому
что, как мы видели выше на сгр. 29—30, допущение о существовании
подобных фигур (допущение Валлиса) приводит к 5-му постулату,
противоречащему постулату Лобачевского.
Расстояние между двумя непересекающимися прямыми (т. е. длина
перпендикуляра, опущенного из точек одной прямой на другую
прямую) в геометрии Лобачевского не постоянно и может быть сделано
как угодно большим. Действительно, если бы мы допустили, что
расстояние между непересекающимися прямыми было ограниченным
(допущение Прокла), то, как было показано выше (стр. 28—29), также
имел бы место 5-й постулат. Позже мы увидим, что в плоскости
Лобачевского не существует ни одного прямоугольника, а значит и
не* существует линеек с параллельными и равностоящими краями,
к которым мы так привыкли.
Лобачевский нашел, что угол параллельности со связан с
отрезком x = CD уравнением:
X
О) Р
где р — некоторая постоянная, называемая радиусом кривизны
пространства Лобачевского. Из этой формулы следует, что со монотонно
убывает от 90° до 0, когда х растет от 0 до оо.
Как самый постулат Лобачевского, так и его следствия могут
показаться странными и даже нелепыми с точки зрения наглядного
представления. Эгр обстоятельство явилось причиной недоверчивого
и даже враждебного отношения современников Лобачевского к его
геометрии, не говоря уже о том, что они не могли оценить по

§ 5. Открытое неевклидовой геометраа
39
достоинству глуэокое научно-революционное значение его
геометрических идей. Наиболее крупные тогдашние математики России —v
Остроградский и Буняковский — не поняли Лобачевского. В
журнале „Сын отечества*4 в 1834 г. была помещена рецензия на
„Начала геометрии" Лобачевского, в которой геометрию Лобачевского
называют Лшуткой", „сатирой на ученых математиков" и т. д.
Предполагают, что этот документ составлен при участии Остроградского.
Химик Бутлеров в 1878 г. в „Русском вестнике" писал об
отношении современников к Лобачевскому: „О его „воображаемой
геометрии" говорилось с улыбкой снисходительного сожаления к чудаку
ученому".
Незаслуженное отношение к Лобачевскому не сломило его сил,
как это было с Иоанном Больяи. Лобачевский гордо пронес свое
знамя, знамя передового ученого, невзирая на все личные обиды;
его идеи в конце концов победили, а сам Лобачевский признается
всеми как выдающийся представитель русской и мировой науки.
Признание новой геометрии пришло после смерти ее творцов,
в начале 60-х годов, когда была издана переписка Гаусса, в
которой он излагает свои взгляды на основы геометрии и дает
восторженный отзыв о работах Лобачевского. Так, например, в 1846 г.
Гаусс писал своему другу Шумахеру: „Автор (т. е. Лобачевский)
толкует о предмете как знаток, в истинно геометрическом духе.
Я считаю себя обязанным обратить ваше внимание па книгу
„Геометрические исследования по теории параллельных линий", чтение
которой непременно принесет вам большое удовольствие".
Недоверие к „Воображаемой геометрии" было окончательно
устранено, когда итальянский математик Бельтрами в своем мемуаре
„Опыт истолкования неевклидовой геометрии" (1868) доказал, что
плоская геометрия Лобачевского осуществляется в обыкновенном
(евклидовом) пространстве как геометрия на некоторой
определенной поверхности — поверхности постоянной отрицательной
гауссовой кривизны. Таким образом, было показано, что геометрия
Лобачевского так же свободна от противоречий, как и евклидова
геометрия. Вскоре это было полностью установлено путем так
называемой интерпретации Клейна (см. ниже, стр. 166). С тех пор
„Воображаема! геометрия" Лобачевского стала не более
воображаемой, чем евклидова. Одновременно был решен и вопрос о 5-м
постулата: создание непротиворечивой геометрии Лобачевского,
основанной на отрицании 5-го постулата, показало, что последний доказать
нельзя. Эги результаты произвели огромное впечатление, и
геометрия Лобачевского, наконец, получила заслуженное признание.
Значение открытия Лобачевского.
Исследования Лобачевского имели очень большое значение в логи;
ческо-математическом отношении. Создание непротиворечивой
геометрии Лобачевского показало, что аксиомы геометрии не являются
незыблемыми догмами, — они могут подвергаться изменению. Так оно

40 Глава /. Краткий исторической очерк
впоследствии и оказалось: принимая в основу различные аксиомы,
ученые получали различные геометрии. Таким образом, Лобачевский
как бы сломал лед, сковывавший основы геометрии.
Одновременно с этим возросло внимание к вопросу об обосновании
геометрии, к построению логически безупречной системы аксиом геометрии.
К концу XIX в. исследования по основаниям геометрии
завершились достижением идеала Аристотеля: в' 1899 г. Гильберт в
своих „Основаниях геометрии" дает аксиоматику евклидовой
геометрии, уже свободную от тех принципиальных недостатков,
которые мы отмечали у Евклида.
Создание непротиворечивой геометрии Лобачевского поставило
вопрос: какова геометрия реального физического пространства —
каковы его свойства в доступной нам области и в тех областях
мироздания, откуда до нас свет доходит в течение сотен и тысяч
лет? Этот важнейший естественно-научный вопрос с новой силой
встал в начале XX в. в связи с развитием теории относительности»
Таким образом, геометрия Лобачевского оказала огромную услугу
для выработки современного взгляда на геометрию как абстрактную
математическую дисциплину и на геометрию реального, физического
пространства как объективную истину, для выяснения которой
необходимо совместное творческое участие астронома, физика и
математика.
Мы отметили здесь лишь некоторые важнейшие следствия
открытий Лобачевского. Но и их достаточно, чтобы понять, почему
Н. И. Лобачевский занимает одно из первых мест среди русских
ученых и ученых всех народов.
О роли и месте Лобачевского в науке хорошо сказал
В. Клиффорд: пЧем Везалий был для Галена, чем Коперник
был для Птолемея, тем Лобачевский был для Евклида. Между
Коперником и Лобачевским существует любопытная параллель —
оба они славяне по происхождению; каждый из них произвел
революцию в научных воззрениях, и обе эти революции имеют
одинаково громадное значение — это революции в нашем
понимании космоса*.

Глава II.
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
§ 1. Введение.
С точки зрения строго математического доказательства ни „На
чала- Евклида, ни все последующие школьные руководства по
геометрии, включая и современные, не выдерживают критики. Дело
в том, что в этих руководствах доказательства, как мы видели,
анализируя „Начала" Евклида (гл. 1, § 2), во многих случаях
используют интуицию не как приятного, а как необходимого спутника,
и поэтому такие доказательства не являются строго логическими. Под
интуитивным моментом (приемом) в доказательстве мы понимаем
такое явление, когда на основании созерцания изображенной
на чертеже или воображаемой фигуры делается вывод, который
нельзя получить цепью умозаключений, исходящей из принятых
аксиом. Например, принимая без доказательства, как само собою
разумеющееся („очевидное"), что прямая, проходящая ч^рез
внутреннюю точку окружности, пересекает ее в двух точках, мы поступаем
интуитивно. Аналогичных примеров можно привести сколько угодно.
Мы видели выше, что они связаны, главным образом, с понятиями
непрерывности, движения и „между", которые во времена
Евклида не были подвергнуты достаточной логической обработке. Именно
в этом и коренится причина того, что тогда Евклиду не удалось
добиться осуществления идеала Аристотеля в построении геометрии
на-основе некоторого числа основных понятий и аксиом. Но если
необходимость обращения к интуиции как к средству
доказательства во времена Евклида была обусловлена научным уровнем, то
в настоящее время это оправдывается или соображениями
педагогического характера1), или экономией времени, когда призывают
обратиться к чертежу, чтобы получить психологическую уверенность
в справедливости „очевидного" утверждения. К концу XIX в. в
работах различных ученых (Лобачевский, Риман, Бельтрами, Гельм-
гольц, Дедекинд, Клейн, С. Ли, Паш, Веронезе, Пиери, Пуанкаре
и др.) были решены все только что перечисленные, наиболее труд-
') Ф. Клейн говорил: .В школе всегда должно апеллировать к живому
конкретному созерцанию; лишь постепенно позволительно выдвигать на
первый план логические элементы*.

42
Глава ff. Абсолютная геометрия
ные вопросы основ элементарной геометрии. Некоторый итог
в области евклидовой геометрии они получили в известном мему-
аре Гильберта „Основания геометрии" (1899); в нем впервые после
Евклида была создана, удовлетворительная аксиоматика евклидовой
геометрии. Таким образом, лишь в конце XIX в. было окончательно
утверждено, что геометрия, подобно абстрактной теории групп, —
формально дедуктивная система, все предложения которой выводятся
чисто (формально) логически из некоторого числа основных допущений —
аксиом.
В этих аксиомах перечисляются некоторые свойства (основные
отношения)) которыми обладают так называемые основные объекты.
В аксиоматике геометрии, к изложению которой мы сейчас
переходим, в качестве основных объектов принимаются: „точка",
ппрямаяи и „плоскость", а основных отношений—„инцидент-
ностьи (например, точка инцидентна прямой), „между" (например,
из трех различных точек прямой только одна находится. между
двумя другими) и „движение".
Как основные объекты, так и основные отношения, т. е.
понятия, выражаемые терминами „точка", „прямая", „плоскость",
„инцидентность", „между", „движение", называются основными
понятиями. Под основными понятиями можно понимать всё
что угодно; требуется только, чтобыониудовлетво-
ряли нижеследующей системе аксиом. По существу,
абсолютная геометрия занимается только этими основными шестью
понятиями. Все остальные понятия геометрии определяются через
них (например, понятия отрезка, луча и угла определяются через
понятия точки, прямой, инцидентности и „между"), а все
предложения (теоремы) формально-логически вытекают из аксиом.
Важнейшие вопросы, связанные с аксиоматикой
(непротиворечивость, независимость, полнота), будут рассмотрены в следующих главах.
Аксиоматика абсолютной геометрии состоит из четырех групп
аксиом:
^.ю — аксиомы сочетания (десять аксиом),
\\х_ь —аксиомы порядка (четыре аксиомы),
Nli-io — аксиомы движения (десять аксиом),
IV — аксиома непрерывности Дедекинда (одна аксиома).
Таким образом, под абсолютной геометрией мы будем понимать
все возможные следствия, которые логически могут вытекать из
этих четырех групп аксиом.
Мы будем точки обозначать большими буквами латинского
алфавита (Л, 5, С,...), прямые — малыми буквами (а, Ь> с,...)» а
плоскости— греческими буквами (а, (5, 7».-)«
§ 2. Аксиомы сочетания I^o и их следствия.
В аксиомах этой группы речь идет об отношении между
точками, прямыми и плоскостями, которое выражается термином
пинцидентность". Это отношение может связывать или точку

§ 2. Аксиомы сочетания
43
и прямую, или точку и п л о с к ос т ь'(об инцидентности прямой
и плоскости будет сказано дальше, в определении 1, см. стр. 44);
так, например, говорят: „Точка А инцидентна прямой аи9 „точка
А инцидентна плоскости а". Отношение инцидентности мы будем
обозначать символом Ц и писать: А Ц я, АЦа.. Далее мы будем
считать, что это отношение обладает свойством взаимности, т. е.
если, например, АЦа, то а Ц А:
Наряду с термином „инцидентно" существуют широко
употребляющиеся его синонимы: „лежит на", „проходит через" и др.;
например, в случае А Ца говорят: „точка А лежит на прямой аа,
„точка А есть точка прямой а", „прямая а проходит через точку А"
и т. п. Желая, чтобы отношения между основными объектами не
затушевывались в речи синонимами (чтобы одно и то же,
выраженное лишь различным способом соотношение не понималось как
различное и не давало повода к такому смешению), мы на первых
порах будем в терминологии педантичными и постараемся не
пользоваться синонимами.
Надо иметь в виду, что, читая перечисляемые ниже аксиомы,
не следует представлять себе прямую и плоскость как специальные
множества точек (как мы привыкли в элементарной и в
аналитической геометрии). Наоборот, с самого же начала нужно прямую
и плоскость мыслить (представлять себе) как самостоятельные
единые объекты, не разлагающиеся на точки. Соотношение
„инцидентно" не следует понимать в обычном смысле („лежит на",
„проходит через"). Повторяем: объекты „точки", „прямые", „плоскости"
и отношение „инцидентно", имеющиеся в нижеследующих десяти
аксиомах первой группы, — этолюбыетри сорта элементов
и любые отношения, которые связаны только тем,
что они должны удовлетворять этим аксиомам.
Аксиомы сочетания (1А_10).
Ij. Существует прямая а, инцидентная каждой из двух
данных точек А, В.
12. Существует не более одной прямой а, инцидентной каждой
из двух данных точек А, В.
Здесь, как и во всем дальнейшем, под двумя, тремя и т. д.
точками (и — соответственно — прямыми и плоскретями) мы будем
понимать различные точки (и — соответственно различные
прямые и плоскости).
13. Каждая прямая а инцидентна, по меньшей мере, двум
точкам At В. •
14. Существуют по меньшей мере три точки А, В, С, не
инцидентные одной прямой,
1 1б. Если имеются три точки А, В, Си если не существует
прямой а, инцидентной всем этим точкам, то 'существует
плоскость а, инцидентная каждой из этих точек.

44
Глава II. Абсолютная геометрия
16. Каждая плоскость* инцидентна по меньшей мере одной
точке.
17. Если имеются три точки А, В, С и если не существует
прямой, инцидентной всем этим точкам, то существует не
более одной пло( кости а, инцидентной каждой из этих точек.
18. Если две точки А, В инцидентны прямой а и инцидентны
плоскость' а, то и каждая точка М, инцидентная прямой а,
г нцидентна плоскости а.
Определение 1. Будем говорить, что прямая а инцидентна
плоскости а (а ff а), если каждая точка М% инцидентная прямой а
(МЦа), инцидентна плоскости а (уИН&).
19. Если существует точка А, инцидентная каждой из двух
плоскостей а, (5, то существует по меньшей мере еще одна точка
В, инцидентная каждой из этих двух плоскостей.
110. Существуют по меньшей мере четыре точки, не
инцидентные одной плоскости 1/.
Для обоснования геометрии на плоскости, из приведенной
группы десяти аксиом сочетания достаточно только первых
четырех аксиом.
Во всем дальнейшем изложении до самого конца этой главы
(до стр. 107) мы все время будем иметь дело с аксиомами
абсолютной геометрии; поэтому желательно заучивать эти аксиомы наизусть
по мере их появления. Это так же необходимо, как необходимо,
например,, знать правила шахматной игры, чтобы ее понимать или
самому принимать в ней активное участие.
Принимая приведенные здесь десять преддожений-аксиом,
связывающих основные объекты — точки, прямые, плоскости — и
соотношение инцидентности, мы можем теперь строго логически доказать
ряд предложений {теорем), т. е. вывести такие следствия,
выражающие свойства точек, прямых, плоскостей и соотношения
инцидентности, которые будут иметь место всякий раз, как только
выполняются эти 10 аксиом.
Следствия из аксиом l!_10.
Теорема 1. Существует только одна прямая а, инцидент-
ная паре точек Л, В.
Аксиома I, гласит, что всегда существует по крайней мере одна
прямая а, инцидентная каждой из точек А, В, а аксиома 12 — что
существует не более одной такой прямой. Отсюда следует, что
существует только одна прямая а, инцидентная паре точек Л, В.
Теорема 2. Если А, В, S — три точки, причем точка S не
инцидентна прямой а, инцидентной точкам А, В, то не существует
прямой а', инцидентной всем трем точкам.
1) У самого Гильберта не 10, а 8 аксиом сочетания; две пары аксиом у
него объединены вместе: 18 и 14 имеют один номер 18, а 15 и 1в — один номер 14.

§ 2. Аксиомы сочетаная
45
Доказываем теорем> от противного. Пусть прямая а'
существует: а'НА, а'НВ, a'HS. По условию теоремы: а НА аЦВ.
Таким образом, каждая из, обеих прямых а и а' одновременно
инцидентна двум точкам А, В. По теореме 1 обе эти прямые
совпадают. Так как a'HS, а а' совпадает с а, то o-HS, что
противоречит условию теоремы. Значит, прямой а* не существует, и
теорема доказана.
Теорема 3. Если две1) прямые a, b инцидентны общей (т. е.
одной и той же) точке S, то
1) каждая точка А, отличная от S и инцидентная одной
из этих прямых, не инцидентна другой;
2) если Ац а, ВНЬ и А, В с точкой S не совпадают, то не
существует прямой с, инцидентной всем трем точкам.
1. Пусть существует точка Л, отличная от 5 и инцидентная
с прямыми а и b {АН а, АНЬ). Так как, кроме того (по условию
теоремы), SHa, SHb, то прямые имеют пару общих инцидентных
точек Л, 5. В таком случае, по теореме 1, они совпадают. Так как
это противоречит условию теоремы, то точки А, отличной от 5 и
инцидентной различным прямым а и Ь, не существует. Следовательно,
если АНанАсвне совпадает, то А не инцидентна Ь, что
и доказывает первую часть теоремы.
2. Пусть А На, ВНЬ, причем точки А и В не совпадают с S,
и существует прямая с, с которой точки Л, В и S инцидентны:
А Не, В Не, SHc. Мы имеем: А На, SHa — по условию и Л Н с,
SHc — по допущению, т. е. прямые а и с инцидентны одной и той
же паре точек Л, 5. По теореме 1 прямая с совпадает с прямой а%
Точно так же заключаем, что с совпадает с Ь. Значит, прямая а
должна совпадать с прямой Ь. Так как это противоречит условию
теоремы, то точки Л, В% S не могут быть инцидентны одной и
рей же прямой, что и доказывает вторую часть нашей теоремы.
^ )Т е о р е м а 4. Две прямые a, bx) могут иметь не более одной
ею щей инцидентной точки.
Могут быть a priori следующие три возможности:
1) а и b не имеют общей инцидентной точки,
2) а и b имеют одну общую инцидентную точку,
3) а и b имеют две или больше общих инцидентных точек.
В первом и во втором случаях число общих инцидентных точек
равно, соответственно, 0 и 1; поэтому эти случаи не противоречат
нашей теореме. Если число общих инцидентных точек равно 2 или
больше, то, на основании теоремы 1, прямые а и b совпадают, что
противоречит условию теоремы. Значит, любая пара прямых не
может иметь более одной общей инцидентной точки.
Теорема 5. Существует только одна плоскость а,
инцидентная трем точкам А, В, С, которые не инцидентны одной прямой.
По аксиоме 18>всегда существует плоскость, инцидентная трем
точкам А, В, С, а по аксиоме 17 существует не более одной плоскости,
1) Подразумевается—различные. См. замечание на стр. 43 к аксиоме 1в.

46
Глава П. Абсолютная геометрия
инцидентной трем точкам Л, Ву С, если они все не инцидентны неко:
торой прямой а. Отсюда следует, что эта плоскость — единственная,
что и доказывает теорему.
| Теорема 6. Пара плоскостей а, р или не имеет ни одной
общей инцидентной точки (т. е. инцидентной каждой из этих
плоскостей), или имеет одну общую инцидентную прямую.
Возможны два случая: 1) а и (5 не имеют ни одной общей
инцидентной точки и 2) а и (5 ^имеют, по крайней мере, одну общую
инцидентную точку.
Первый случай не противоречит нашей теореме; рассмотрим
второй случай.
Пусть существует точка Л, которая одновременно инцидентна
как плоскости а, так и плоскости (5: Л}{а, А Н (5. Тогда, по
аксиоме 19, существует по меньшей мере одна другая точка В,
инцидентная каждой из этих плоскостей: В На, В Н $. По теореме 1,
существует единственная прямая а, одновременно инцидентная точкам
А и В: аЦ А, аЦ В. На основании аксиомы 18 и определения 1
из инцидентности аЦ АЦа, а Н В Ца следует, что а Ц а (прямая а
инцидентна плоскости а), а из инцидентностей аЦ АЦ$, аЦ В Н$
следует, что яНР- Итак, во втором случае существует прямая а,
одновременно инцидентная плоскостям а и (5.
Чтобы полностью доказать теорему, нужно еще показать, что
не существует точек С, которые были бы инцидентны плоскостям а
и р, но не инцидентны, прямой а. Действительно, пусть СЦа,
С Н Р, причем С не инцидентна а.
Так как АЦ а, В Н а, а С не инцидентна а, то, по теореме 5,
существует только одна плоскость у, инцидентная этим трем точкам:
yH^4> чНВ, 7 ЦС. Поскольку плоскости а, р инцидентны этим же
точкам (а Ц А Ц Р, а Ц В Ц р, а Ц С Ц Р), то, по теореме 5, плоскости
а, р, у совпадают, что невозможно (по условию теоремы, плоскости
аир различны). Поэтому точка С, инцидентная плоскостям аир,
должна быть инцидентна и прямой а.
JgjVeopeMa доказана.
»(А/Георема 7. Плоскость а и не инцидентная ей прямая а
иш не имеют ни одной общей инцидентной точки, или имеют
не более чем одну общую инцидентную точку А.
Случаи, когда а и а не имеют общей инцидентной точки или
имеют одну, не противоречат нашей теореме. Пусть поэтому А и В —
две точки, инцидентные как прямой а, так и плоскости а; а Н А Ц а,
аЦВЦа. По аксиоме 18 и определению 1 отсюда следует, что
прямая а инцидентна плоскости а; (аЦа). Так как это
противоречит условию теоремы, то а и а не могут иметь более одной общей
инцидентной точки, что и доказывает нашу теорему.
Теорема 8. Существует только одна плоскость а,
инцидентная данной прямой а и точке S, не инцидентной а.
Доказательство существования а. По аксиоме 13
существуют по меньшей мере две точки А и В> инцидентные прямой а
(АЦаЦВ). Так как 5 не инцидентна прямой а, то, по теореме 2,

§ 2. Аксиомы сочетания
47
не существует прямой а', инцидентной одновременно всем тр^м
точкам Л, В и 5. Следовательно, по теореме 5 существует
единственная плоскость а, гакая, что а^Л, аК5, &HS. Так как
аЦАЦа и аЦВЦа, то, по аксиоме 18 и определению 1, прямая
и инцидентна плоскости а (а Hot). Итак, aHS и аЦа.
Доказательство единственности а. Пусть теперь а' —
какая-нибудь другая плоскость, инцидентная точке 5 и прямой а
(a'jiS, а Ца). По определению 1 инцидентности прямой и
плоскости, из а' Н а и А Ц а Ц В следует: А Ц а' Ц В. Так как, с одной
стороны, aHS, аНД <*Н В, а с другой — а' Ц S, а' Ц Л, а'Н В,
то, на основании теоремы 5, плоскость а совпадает с плоскостью а'.
Таким образом, доказаны и существование и единственность
плоскости а. ч
Теорема 9. Если две прямые a, b имеют общую инцидентную
точку S, то существует одна и только одна инцидентная им
обеим плоско(ть а.
Существование а. По аксиоме 13 существуют, по крайней
мере, две различные точки, инцидентные прямой а. Так как S}{a,
tq. пусть А—вторая точка, АЦа. Поскольку S Ц Ь, то по той
же аксиоме существует другая точка В )-{Ь. Точки А и В не могут
совпадать, так как в противном случае, по теореме 1, прямые
а и Ь тоже совпадали бы, что невозможно. По теореме 3 (случай 2)
не существует прямой, инцидентной реем трем точкам А, В, S.
В таком случае, по теореме 5, существует единственная плоскость а,
инцидентная точкам Л, В, S, а значит и прямым а, Ь.
Единственность а. Пусть а' — какая-нибудь другая плоскость,
инцидентная прямым а и Ь. Из определения 1 инцидентности
прямой и плоскости следует: АЦа, ВЦ а, БЦа'. На основании
теоремы 5 заключаем, что а' совпадает с а.
Т.ео р е м a 10. Если Л, В, С, D — четыре точки, не инцидентные
одной плоскости, то шкакие три из них не инцидентны одной
прямой.
Существование четверки точек Л, В, С, D, не инцидентных одной
плоскости, вытекает из аксиомы 11о. Если существует прямая а,
инцидентная, например, трем точкам Л, В, С и не инцидентная точке
D, то плоскость со, инцидентная точке D и прямой а (теорема 8),
будет инцидентна и точкам Л, В, С (определение 1). Выходит, что
все четыре точки Л, В, С, D инцидентны плоскости со. По условию
георемы это невозможно; следовательно, допущение существования
прямой а, инцидентной трем точкам нашей четверки, приводит к
противоречию — такой прямой существовать не может.
Теорема 11. Если Л, В, С, D, — четыре точки, не инцидентные
одной плоскости, то плоскости ABC, ACD, ADB l) — различны.
Если Л, В, С, D — четыре точки, не инцидентные одной плоскости,
и S — произвольная точка, не совпадающая ни с одной из них,
*) Т. е. плоскости, определяемые инцидентными с ними тройками Л, В, С,
/4, С, D, Л, D, В.

48
Глава П. Абсолютная геометрия
то из четырех плоскостей ABC, BCD, CD A, DAB может суще-
ствовать не более двух, инцидентных точке S.
Докажем сначала первую часть теоремы. Прежде всего
заметим, что плоскости ABC, ACD, ADB существуют.
Действительно, по теореме 10 никакие три точки из нашей
четверки не инцидентны одной прямой, а по теореме 5 такие
точки определяют единственную инцидентную им плоскость. Если
допустить, что эти плоскости совпадают, то наши четыре точки будут
инцидентны одной и той же плоскости, что противоречит условию
теоремы. По той же причине не могут совпадать и никакие две
плоскости нашей тройки.
Переходим ко второй части. Пусть из четырех плоскостей
три инцидентны точке S, например плоскости ABC, ABD, ACD.
Так как точки А, В> С не инцидентны одной прямой (теорема 10),
то прямые АВ1) и АС различны. Поскольку различные прямые
могут иметь не более одной инцидентной точки (теорема 4), каковой
в данном случае является точка А, то точка 5 (по условию
теоремы отличная от А) не может быть одновременно инцидентна
прямым АВ и АС. Пусть, например, точка 5 не инцидентна
прямой АВ. Мы допустим, что плоскости ABC, ABD инцидентны S.
Так как, по теореме 5, точки А, В н S (не инцидентные одной
прямой) определяют единственную им инцидентную плоскость, то точки
С и D бупут инцидентны этой плоскости. Значит, точки А, В, С, D
инцидентны одной плоскости. Так как это противоречит условию
теоремы, то три плоскости нашей четверки не могут быть,
одновременно инцидентны точке 5. Случай когда две плоскости, например
ABC, ABDy оказываются инцидентными точке 5, возможен: это
•произойдет, если точка S будет инцидентна прямой АВ.
Теорема 12. Каждая плоскость а инцидентна по меньшей
мере трем точкам, не инцидентным одной прямой.
По аксиоме 1е существует, по крайней мере, одна точка S,
инцидентная плоскости а, а по аксиоме j10 — четыре точки А, В, С, D,
не инцидентные 2) плоскости а. Пусть ни одна из точек А, В, С, D не
совпадает с 5. Тогда, по теореме 11 (вторая часть), из четырех
плоскостей, инцидентных тройкам точек нашей четверки,
существуют по меньшей мерс две, не инцидентные точке 5. Пусть,
например, плоскость ABC не инцидентна точке 5. Так как точки А, В, С
не инцидентны одной прямой (теорема 10), то плоскости SAB, SBC,
SAC различны. Действительно, в противном случае (по теореме 5)
плоскости SAB, SBC совпали бы с плоскостью ABC и точка 5
была бы инцидентна плоскости ABC, что противоречит только что
сделанному допущению.
По аксиоме 19 каждая из плоскостей SAB, SBC, SAC, имеющих
с плоскостью а общую инцидентную точку 5, имеют с этой же
*) Прямая, определяемая инцидентными с ней точками А и В.
*) Не инцидентные все четыре вместе плоскости а: три из этих точек
могут быть и инцидентны плоскости а.

§ 2. Аксиомы сочетания 49
плоскостью а еще по одной общей инцидентной точке; обозначим
их соответственно буквами Р, Q, R. Мы утверждаем, что эти
точки не могут между собой совпадать.
Допустим противное: P=Q = /?*). Так как точка Р инцидентна
плоскостям SAB, SBC, SCA, то, по теореме б, точка Р, будучи
общей инцидентной точкой трех плоскостей, будет инцидентна
прямым SA, SB, SC. Так как каждые две из этих трех прямых не
совпадают (в противном случае точки Л, В, С, 5 были бы инцидентны
одной плоскости), а точка Р (по аксиоме 19) отлична от 5, то
сделанное допущение несправедливо.
Допустим поэтому, что точки Р и Q различны. Мы утверждаем
теперь, что точки 5, Р, Q не инцидентлы одной прямой. В самом
деле, если бы имело место противное, то точки 5, Л, В, С были
бы инцидентны одной плоскости, что невозможно. Таким образом,
плоскость а инцидентна, по крайней мере, трем точкам 5, Р, Q,
не инцидентным одной прямой.
Пусть, наконец, одна из точек Л, В, С, D, например D, совпадает
с 5 (D — S). Тогда, по теореме 11, плоскости SAB, SBC, SCA
попарно не совпадают, и мы находимся в условиях уже
рассмотренного случая, для которого теорема доказана.
В приведенных доказательствах мы пользовались только
аксиомами l!_l0; никаких других допущений, не содержащихся в этих
аксиомах, мы не делали. Полученные нами теоремы — следствия из
этих аксиом — будут верны лишь постольку, поскольку верны
аксиомы. При этом мы можем не интересоваться вопросом: что же
такое „точка", „прямая", „плоскость" и отношение „инцидентно",
о которых шла речь во всех этих рассуждениях? Преследуя цели
чисто логического характера, мы можем сказать: неважно, что это
такое; для нас важно только то, чтобы эти три объекта и одно
отношение, удовлетворяющие аксиомам IЁ ж0, существовали. Ясно
(а позже это будет строго доказано), что не всякие три вида
объектов и не каждое отношение способны удовлетворять нашим
аксиомам; мы увидим также, что одними аксиомами наша система
объектов и понятие „инцидентно" определяются далеко не однозначно:
можно указать совершенно различные системы вещей (которым дать
названия „точка", „прямая* и „плоскость") и подобрать для них
такое отношение (которое назвать „инцидентностью"), что все
аксиомы 1,_1о будут иметь место. Об этом будет сказано дальше.
Для аксиоматики очень важно, чтобы рассматриваемые объекты
и соотношение между ними действительно существовали 2). Это
один из основных вопросов аксиоматики — вопрос об интерпрета-
*) Знакомы будем употреблять вместо слов совпадает с.
2) В действительности дело обстоит как раз наоборот. Аксиоматика —
итог развития геометрии; ученый, составляющий систему аксиом, заранее
знает, какие объекты и отношения должны ей удовлетворять.

30
Глава II. Абсолютная геометрия
ции (иногда — непротиворечивости) аксиоматики. Он будет
рассмотрен нами несколько позже, когда мы будем располагать боль-'
шим запасом фактических сведений.
Желая сосредоточить все внимание на формально-логической
стороне дела, мы намеренно не давали чертежей и старались
избегать пространственного представления, хотя оно и играет очень
большую роль при самом построении аксиоматики (не говоря уже
о его огромном значении в научном творчестве). Но продолжение
такого изложения будет мешать выяснению раскрываемых
логических связей (носящих все же по существу формальный, не .
зависящий от интерпретации характер). Поэтому мы позволим себе
в дальнейшем пользоваться пространственным представлением и
чертежами; чертежи, наряду с наглядным истолкованием аксиом, дают
психологическую уверенность в верности получаемых выводов. При
этом следует иметь в виду, что пространственные представления
вместе с сопровождающими их чертежами играют роль лесов при
постройке аксиоматического здания и свободно могут быть убраны
без того, чтобы оно в какой-либо мере пострадало в логическом
отношении.
Далее, чтобы избежать необычно звучащих предложений,
вызванных педантизмом в нашей терминологии, будем иногда
пользоваться синонимами.
Поступая таким образом, мы должны помнить, что
использование обычного пространственного представления, чертежей и
синонимов, наряду с отмеченными положительными качествами, таят
в себе и отрицательные. Когда, например, мы говорим: „точка А
лежит на прямой а", или „точка А — точка прямой аи, или „прямая
а проходит через точку Аи (вместо „точка Л инцидентна прямой а"),
то мы невольно, по школьной привычке, представляем себе прямую
состоящей из точек. Но оказывается, что, основываясь на
предыдущих аксиомах Ij.jq, н е л ь з я доказать, что прямая
представляет собою бесконечное точечное множество. Поэтому,
используя дальше обычное пространственное представление и обычную
терминологию, мы дожны иметь в виду, что обычное толкование
аксиом и их следствий — это лишь одна из моделей формально
построенной геометрической системы. По своему содержанию все
рассуждения должны быть независимы от этой модели. Именно в
этом и состоит отличительная особенность логических выводов в
геометрии *).
1) Расширяя символику — вводя, кроме символа „Цв для инцидентности,
символы и на логические отношения, например понятия не, и, пли, сущест
вуету и вводя для точки, прямой и плоскости специальные обозначения
можно было бы наши аксиомы и доказательства приведенных выше теорем
записывать в алгебраико-символическом виде (символическая логика). Такое
изложение геометрии можно назвать предельно формализованным См. Вейль,
„О философии математики", ПТИ, 1934, стр. 37—48, и .Сборник статей
по философии математики" под ред проф С А Яновской, стр. 100.

§ 3. Аксиомы порядка
51
§ 3. Аксиомы порядка Н^ и их следствия.
В нижеследующих аксиомах речь идет также о точках, прямых
и плоскостях, но, наряду со старым отношением инцидентность,
появляется новое основное отношение, которое мы обозначаем
термином „лежит между", или, короче, просто „между". В аксиомах
И,_4 отношение „между" применяется к трем точкам, инцидентным
одной и той же прямой. Поэтому в каждом предложении, где
употребляется слово „между", должно содержаться или подразумеваться
и слово „прямая". Так, например, мы будем говорить: „Точка В,
инцидентная прямой а, лежит между точками Л, С, инцидент-
ними прямой а, или просто: „Точка В лежит между точками А
и С, подразумевая (хотя в предложении явно об этом и не
говорится), что все три точки непременно инцидентны (лежат на)
некоторой прямой а. Отношение „между" мы .будем обозначать
символом * (звездочкой), поставленным над буквой, обозначающей точку,
которая лежит между двумя другими; так, приведенную выше фразу
символически обозначают так: .
*
ABC.
Переходим к перечислению аксиом, которые называются
аксиомами порядка.
Аксиомы порядка (Н,_4).
II,'. Если Л, Ву С — три р&зличные точки прямой а и точка
В лежит между А и С, то точка В лежит также между С и А.
И2. Если А и В — точки
прямой а, то существует по мень- Д В С
шей мере одна такая точка С, ° 2
что В лежит между А и С
(черт. 12).* Черт. 12.
И3. Из трех точек Л, В> С
прямой а существует не более одной, которая лежит между
двумя другими.
Определение 2. Совокупность двух точек А и В называется
отрезков АВ\ точки М, лежащие между А и В, называются
внутренними точками отрезка, или короче, точками отрезка; точки
Ау В — концами отрезка, а все прочие точки прямой АВ —
внешними точками по отношению к отрезку.
Определение 3. Совокупность трех точек Л, В> С, не лежащих
на одной прямой, называется треугольником, отрезки АВ, ВС и С А
с их внутренними точками—;сторонами этого треугольника, а
точки Л, Ву С — вершинами этого треугольника.
Аксиомы П,_з называются линейными аксиомами порядка, потому
что они относятся к точкам, лежащим на одной прямой линии. К ним
еще присоединяется четвертая, плоская аксиома порядка, которую

52
Глава //. Абсолютная геометрия
называют аксиомой Паша, по имени геометра, впервые четко
формулировавшего ее.
И4 (аксиома Паша). Пусть А, В, С—три точки, не лежа-
щие на одной прямой, и а—прямая, лежащая в плоскости ABC
и не содержащая ни одной из точек А, В, С1). Если при этом
прямая проходит через точку отрезка А В, то она проходит
также или через точку отрезка АС, или через точку отрезка ВС
(черт. 13).
Теоремы о порядке
точек на прямой.
Переходим теперь к основным
теоремам о порядке точек — следствиям
из аксиом порядка.
Теорема 13. Если А и С — две
точки прямой а, то на этой прямой
Черт. 13. существует точка В, лежащая
между А и С.
Доказательство. По аксиоме 14 существует точка D, не
лежащая на прямой а (черт. 14); тогда по теореме 5 существует
единственная плоскость а, проходящая -
через точки А, С, D. По аксиоме II* >ч
на прямой AD существует такая точка s' \
E, что D лежит между А и Е. По акси- Зк \
оме 18 точка Е лежит в плоскости сь По s^\. \
аксиоме 1Ь на прямой СЕ существует ^^ Х& \ г
такая точка F, что С лежит между Е и Л о N. \
F. По аксиоме 18 точка F лежит в пло- >ч \
скости а. Прямая DF имеет с отрезком \\
АЕ (стороной треугольника АСЕ) об- NA
щую точку D, а с прямой СЕ — общую ^
точку F, внешнюю к отрезку СЕ
(аксиома Н3). В таком случае, по аксиоме 114, Черт. 14.
эта прямая DF должна проходить либо
через точку отрезка АС, либо через точку отрезка СЕ. Но
последнего быть не может, так как DF имеет с СЕ уже одну общую точку
F (теорема 4).
Значит, DF имеет с отрезком (стороной) АС общую точку Bt
что и требовалось доказать.
Таким образом, нет необходимости аксиоматизировать на прямой
существование точки, лежащей между двумя данными: как мы видим,
это следует из аксиом I и П.
Аксиома IIз гласит, что из трех точек А, В, С прямой имеется
не больше одной, которая лежит между двумя другими. Но отсюда
1) Т. е. не инцидентная ни одной из этих точек.

§ 3. Аксиомы порядка
53
еще не Следует, что такая точка на самом деле существует. Это
доказывается следующей теоремой.
Теорема 14. Из трех точек А, В, С, лежащих на одной
прямой, имеется только одна, лежащая между двумя другими.
Так как, по аксиоме Н3 из трех точек Л, Ву С существует не
больше одной, которая лежит между двумя другими 1)у то мы вправе
допустить, что точка А не лежит между В и С, а точка С не ле-
*
жит между А и В} и тогда нам остается доказать, что ABC.
Пусть D — точка, не лежащая на прямой АС (аксиома 14, черт. 15).
По аксиоме П9 существует такая точка О, лежащая на прямой BD,
что D лежит между В и О. Применяя
аксиому Паша к треугольнику BCQ и G
прямой AD, убеждаемся, что прямая AD /\\
и сторона CG имеют общую .точку Е / / \
(CEG). На том же основании прямая CD F\/ J^E
пересечет сторону АО в некоторой точке ///^^>Ki \
F (AFG). Поскольку, таким образом, мы ^^^__/ ^^\\
имеем AFG и CEG} то, по аксиоме Паша, 4 В С
применяемой к треугольнику AEG и пря- Черт. 15.
*
мой CD, мы будем иметь ADE.
Рассмотрим теперь треугольник АСЕ и прямую DG\ последняя
со стороной АЕ имеет общую точку D, а с прямой СЕ — точку
О, причем CEG. В таком случае, по аксиоме Паша, прямая DQ пере-
*
секает сторону АС в точке В> которая лежит между Л и С, ABC,
что и требовалось доказать.
Следующая теорема касается вопроса о расположении 4 точек
на прямой. Доказательство ее несколько громоздкое, но оно
приводит к важному факту —установлению порядка для четырех точек.
Теорема 15. Если имеются четыре точки, лежащие на
одной прямой а, то всегда возможно обозначить их буквами А,
В, С, D так, чтобы точка В лежала между А и С и между А
и D, а точка С лежала между A a D а между В a D. В
символах это запишется так: одновременно существуют 4 соотношения:
ABC, ABD, ACDy BCD.
Рассмотрим четыре тройки ABC, ABDy ACDy BCD. По теореме 14
в каждой из них одна и только одна точка лежит между двумя
другими. Не нарушая общности, мы можем считать, что точка В
*
лежит между А и С: ABC.
1) Может показаться, что это утверждение прямо вытекает из аксиомы
И8. Но это неверно: формально аксиома Н8 удовлетворяется, если из трех
точек вовсе нет такой, которая лежала бы между двумя другими (.нуль
меньше единицы"). Как показывает следующее рассуждение, существование
такой точки вытекает из ряда аксиом, в том числе и из аксиомы Паша П4

54 Глава II. Абсолютная геометрия
Для тройки ACD возможны три случая: ЛСД ЛСД ЛСД В
соответствии с этим, рассмотрим отдельно следующие три случая:
1) ABC, ACD; 2) ABC, ACD; 3) ABC, ACD.
1-й случай. ABC, ACD. Докажем, что тогда будут иметь место
* *
отношения BCD и ABD.
Пусть Е — точка, не лежащая на прямой а (аксиома 14,
черт. 16). По. аксиоме Н2 на прямой BE существует такая точка F,
что Е лежит между В и F.
Введем отрезки АЕ и DE. Прямая CF не имеет общей точки
с отрезком АЕ. Действительно, если бы такая существовала (точка
f H' на черт. 16), то, применяя
к треугольнику ABE и прямой
CF аксиому Паша и учитывая,
чго CF не имеет общей точки со
стороной BE, мы пришли бы
к заключению, что точка С,
лежащая на прямой CF и стороне
АВ, лежит между Л и В (см.
точку С на чертеже 16). Но это
противоречит первому условию
*
(ABC), и, следовательно,
допущение существования у прямой
CF и отрезка АЕ общей точки должно быть отброшено.
Рассмотрим треугольник ADE. Прямая CF, как мы только что
обнаружили, не имеет общей точки с отрезком АЕ. По второму
условию нашего случая точка С лежит между Л и D. Применяя
аксиому Паша к треугольнику ADE и прямой CF, заключаем, что CF и
*
отрезок DE имеют общую точку Н (EHD).
Обратимся теперь к треугольнику BDE и прямой CF. Последняя
с отрезком DE имеет общую точку Я, а с отрезком BE не имеет
общей точки. По аксиоме
Паша, CF и BD имеют общую
точку С: BCD.
Чтобы доказать, что В
лежит между Л и D, возьмем вне
прямой а точку Е (черт. 17)
и введем прямую СЕ (а не BE,
как это было в предыдущем
случае). Пусть F — точка пря-
*
мой СЕ, причем CEF
(аксиома И9). Затем вводим отрезки
АЕ, DE, BF и рассматриваем *
последовательно треугольники CDE, АСЕ и ADE. Так как BCD, то
BF не имеет общих точек с отрезком DE (в противном случае
прямая BF пересекала бы сторону CD во внутренней точке В\ что

. Аксиомы порядка
невозможно). Переходя к треугольнику АСЕ и замечая, что прямая
BF и сторона АС имеют общую точку В, лежащую (по первому
условию рассматриваемого случая) между Л и С, а со стороной СЕ
• флмая BF не имеет общих точек, мы, используя аксиому Паша,
убеждаемся, что BF и отрезок АЕ имеют общую точку И. Обратимся
теперь к треугольнику ADE и прямой BF; последняя со стороной АЕ
имеет общую точку И, а со стороной. ED общей точки не имеет. По
аксиоме Паша, В лежит между А и D: ABD.
Таким образом, если между четырьмя точками А, В, С, D имеют
место отношения ABC, ACD, то имеют место и отношения BCD
*
ABD у что и доказывает нашу теорему в случае 1.
Заметим, что теорема удовлетворяется, если установленные нами
обозначения изменить с помощью следующей замены букв:
A-+D', В-+С, C-+B\ D-+A'.
2-й случай. ABC, ACD. Прежде всего заметим, что доказываемая
нами теорема
ABC, ABD, ACD, BCD
может быть записана также и в другой форме, если мы заменим
обозначения букв другими — например, ту точку, которую раньше
обозначали А, заменим буквой С', вместо В напишем В', вместо
С — Л' и вместо D—D'. Эту подстановку схематически обозначим
так:
А-+С, В-+В', С-+А', D-+D'.
Тогда случай 2 в новых обозначениях принимает вид:
С В'A', C'A'D'
или (по аксиоме Ut):
А'В'С, A'C'D*.
Мы пришли к условиям случая 1. Но для этого случая теорема
нами доказана. Следовательно, теорема выполняется и во втором
случае.
•* *
3-й случай. ABC, ACD. Для тройки BCD могут быть
следующие возможности:
BCD, BCD и BCD.
В соответствии с этим рассмотрим три подслучая:
3,) ABC, ACD, BCD; 3.2) ABC, ACD, BCD; 33) ABC, ACD, BCD.
Нетрудно видеть, что 1-й и 2-й подслучаи сводятся к случаю 1
с помощью замены обозначений:

56 Главе //. Абсолютная геометрия •
— . f .
Для подслучая 3J: A-+D', B-+B\ С-+А, D-+C.
Для подслучая 39): Л-^D', В-+С, С-+А', D-+B'.
Что же касается подслучая 33), то он не может существовать,
так как приводит к противоречию. В самом деле, возьмем вне
прямой а.точку F (черт. 18). Пусть Е — точка прямой BF,
лежащая между В и F (теорема 13). Затем введем отрезки АЕ, DE, CF
и рассмотрим последовательно треугольники ABE, BDE, ADE. Так
как ABC и BEF, то, рассматривая 1-й треугольник (ABE),
убеждаемся, что прямая CF и отрезок АЕ
не имеют общей точки (в противном
случае, по аксиоме Паша, мы имели
*
бы АСВ, что невозможно). Так как, да-
лее, BCD и BEFt то по аксиоме Паша
для 2-го треугольника (BDE) следует,
что прямая CF и отрезок DE имеют
общую точку Н. Поскольку, наконец,
в 3-м треугольнике (ADE) ВНЕ, а
прямая CF и отрезок АЕ не имеют
общей точки, то по аксиоме Паша имеем ACD, что противоречит ACD*
Таким образом, теорема 15 доказана полностью. Об этой
теореме можно сказать, что она устанавливает расположение четырех
точек Л, В> С, D на прямой а.
Теорема 16. Из четырех различных точек Л, В, С, D
прямой только две (например В, С) лежат между двумя
другими (Л, D): никакая из точек данной четверки не может
находиться в отношении „между" три раза.
Очевидно, что справедливость утверждения не зависит от
обозначений. Будем поэтому предполагать, что точки нашей четверки
обозначены буквами Л, В, С, D так, что для них удовлетворяется
теорема 15, т. е. справедливы четыре отношения:
1) ABC, 2) BCD, 3) ACD, 4) ABD.
Всего из 4-х элементов может быть 24 размещения по 3 элемента
Так как по аксиоме 1^ каждое отношение „между" может быть прочи-
* • #
тано слева направо и справа налево (ABC равносильно СВА),
то a priori возможны еще 8 отношений:
5) АСВ, 6) ВАС, 7) BDC, 8) CBD, 9) ADC, 10) CAD,
11) ADB, 12) BAD.
Но по аксиоме \\г 5) и 6) противоречат 1); 7) и 8) противоречат 2);
9) и 10) противоречат 3); 11) и 12) противоречат 4).
Стало быть, возможны только первые четыре отношения. Из них
и следует, что точки Л и D являются „крайними"—они не лежат
между ни в одной из троек — и что точки В и С находятся в
отношении между только два раза.

I
§ 3. Аксиомы порядка
57
Теорема 17. п различных точек прямой линии можно всегда
занумеровать цифрами /, 2, 3, ..., п так, что если i <^j <^ k
(или если i^>j^> k), moj-ая точка будет лежать между i-ой и k-ou.
Заметим прежде всего, что эта теорема справедлива для п = 4.
Действительно, по теореме 15 любые четыре точки можно всегда
обозначить буквами А, В, С, D так, что будут иметь место отно-
* * * *
шения: АВС> ABD, ACD, BCD. Нумеруя точки Л, В, С, D
цифрами /, 2, 3, 4 и относя точке А цифру /, В — цифру 2, С — цифру
3 и D — цифру 4 (или А-+4, В-+3, С ^+2, D—►/), мы получим
частный случай теоремы 17. Теорему 15 поэтому можно назвать
теоремой о нумерации четырех точек.
Для доказательства теоремы при любом п воспользуемся
методом математической индукции: предположим, что теорема
справедлива для п — 1 точек и докажем ее справедливость для п точек.
Доказательство распадается на три части.
1) Мы утверждаем, что из данных п точек существуют только
две такие Л и ^ между которыми лежат все остальные.
Пусть А и К — две такие точки из наших п точек, между
которыми лежит наибольшее число точек. Нетрудно видеть, что такая
пара „ крайних" точек всегда существует (поскольку из С* целых
чи#ел существует наибольшее) и притом только одна: все
остальные п — 2 точки лежат между А и К. Действительно, пусть точка
D из числа остальных п — 2 точек не лежит между А и К. В та-
ком случае, по теореме 14, мы будем иметь либо AKD, либо К АО.
*
Пусть для определенности имеем, например, AKD\ тогда (см.
случай 1 в доказательстве теоремы 15) всякая точка В, лежащая между
А н К, будет лежать и между А и D (из АВК и AKD следует
*
ABD). Следовательно, между А и D лежат все точки, которые
лежат между Ли К, и, кроме того, еще точка АГ, что противоречит
нашему условию: между А и К должно лежать наибольшее число точек.
2) Пусть А и К—точки, между которыми лежат все остальные
п — 2 точки. Если теперь В и D — какая-нибудь пара точек из этого
числа, то точки А и К не могут лежать между В и D.B самом деле:
* # * *
если АВК, ADKy тогда, по теореме 16, соотношения BAD, BKD
невозможны.
3) Так как наша теорема предполагается справедливой для п — 1
точек, то мы можем занумеровать п — 1 точку из наших п, за
исключением точки К, цифрами /, 2, 3, ..#| п — 1 и будем
обозначать их А19 Аъ Л8,..., Ап_х. В этой нумерации точке А будет
соответствовать номер 1 или п — 1 (так как иначе она будет лежать
между какими-нибудь точками, что противоречит пункту 2). Мы
можем считать, что A = At (в противном случае нужно изменить
порядок нумерации на обратный). Покажем теперь, если точке К
приписать номер /г, К= Ап, то получающаяся нумерация
удовлетворяет теореме: всякая точка А/ будет лежать между точками At
и Ak, если /</<&.

58 Глава II. Абсолютная геометрия
Так как теорема справедлива для точек Аи Л2,..., Ап__и то
*
нам остается показать, что A(AjAni если /<^у <^я. Если/= 1,
утверждение очевидно, так как А1=А, Ап = К, между которыми
лежат все остальные п — 2 точки. Поскольку для нумерации Av Аг1...,
Лл_1 теорема справедлива, то AxAtA^ если 1 <^i<^j<^п. Так как
любая точка Aj(f ф 1, j ф п) лежит между Л1 и Ап (AtAjAn), то (см.
случай 1 в доказательстве теоремы 15) точка Aj лежит между Ai
и ЛЛ, и теорема доказана полностью.
Теорема остается справедливой, если порядок нумерации
изменить на обратный.
Теорема 18. На каждой прямой а и на каждом отрезке AD
существует бесчисленное множество точек.
Пусть а — какая-нибудь прямая, А и D — инцидентные с ней
точки (аксиома 13). По теореме 13 между точками А и D суще-
*
ствует точка С, ACD. На основании этой же теоремы между
точками Л и С существует точка*. £. Таким образом, мы будем иметь
* *
отношения: ABC и ACD. По теореме 15 о нумерации четырех точек
*
(1-й случай) мы будем иметь также отношение ABD, т. е. В
лежит между А и D. Итак, между А и D существуют две то^и.
По теореме 13 между точками А и В мы опять будем иметь точку Е,
АЕВ. Но по той же теореме 15 из АЕВ и ABD (случай 1, в
котором В-+Е, С-+В) следует, что Е лежит между А и D, AED.
Продолжая таким же образом рассуждать дальше, мы
обнаруживаем между А н D счетное множество точек прямой а, что й
доказывает теорему.
Теорема 19. Каждая точка О прямой а разбивает все ее
точки на две области 2)lf 2)„ обладающие следующими свойствами:
каждая точка прямой а (кроме точки О) принадлежит одной из
этих областей; любые две отличные от О точки Ах и Л2
принадлежат различным областям, если точка О лежит между Аг и А*,
и принадлежат одной и той же области, если точка О не лежит
между Лх и Л2.
На прямой а возьмем какую-нибудь точку S, отличную от точки О
(аксиома 13), и отнесем к области 2)t саму точку 5 и такие точки Л,,
* *
для которых имеет место отношение AxSO или A^SO, а к области 2)2—
*
такие тдчки Л2> для которых справедливо отношение SOA^ l).
Нетрудно видеть, что какую бы точку М прямой а мы ни взяли, она
будет принадлежать или области 2)j, или области 3),. Действительно,
для трех точек О, S, М прямой а всегда имеет место одно из трех
отношений (теорема 14): OSM, OSM, OSM. В первых двух случаях М
принадлежит области 2)1э а в третьем М принадлежит к 5V
Покажем, что эти области удовлетворяют условию теоремы.
1) Там, где читателю потребуются чертежи, пусть он их сделает сам.

§ 3. Аксиомы порядка
59
Пусть Ах и Л/ — две какие-нибудь точки области 2)1# В таком
случае справедливы отношения: SAfi или SAfi для точки At и 5ЛХ О
или &4/0 — для точки Л/. Здесь мог/г быть четыре случая:
1) SAfi, SAi'O; 2) SAfi.SA^O; 3) SAjO, 5Л/0; 4) SAfi/sA^O.
Так как по теореме 16 из четырех точек (О, 5, Al9 Л/) могут только
две лежать между двумя другими, то точка О во всех четырех
случаях не лежит между точками А1 и Л/.
Пусть теперь точки А^А2' принадлежат области ф2; тогда имеют
место отношения 50Л2 и 5иЛ.2'. По теореме 16 точка О не лежит
между Л2 и Ло'.
Пусть, наконец, Ах — точка области £),, а Л2 — точка область 2)2.
В таком случае мы имеем или SAfi или SAfi — для точки Л,
и 50Л2 —для точки Л,2. Следовательно, рассмотрению подлежат два
случая: a) SA{Oy SOA^ b) SAfi, SOA.2. Случаи а) при помощи
перемены обозначений: S —► Л, Лх—► В, О ->С, Л9->0 принимает
вид: 1) ABC, ACD. Как было показано в 1-м случае в доказатель-
стве теоремы 15, тогда будут справедливы отношения ABD, BCD,
Последнее из них в старых обозначениях принимает вид Л^Ло,
т. е. О лежит между точками А{ и Л2. К тому же результату
мы приходим и в случае Ь), если изменить обозначения таким
образом: Ах-+Ау S->B, 0-+C, A^-^D. Действительно, при этом
* «
случай Ь) принимает вид: b) ABC, BCD. Как мы видели в случае 3
в доказательстве теоремы 15 (стр. 55), с ним несовместим слу-
чай ACD и случай ACD, т. е., возвращаясь к старым обозначениям,
* *
случай Ь) несовместим со случаями AtOAb AfiA^. Таким образом,
*
остается положить АхОАч, что и требовалось доказать.
Определение 4. Лучом OS с вершиной О и данной на нем
точкой 5 называется множество всех точек Ж, для которых справед-
* *
ливо или OMS, или OMSy и содержащее, кроме того, самую точку 5.
Из теоремы 19 и этого определения следует, что области 2),
и 2)9, фигурирующие в теореме 19,—лучи. Будем их называть
дополнительными друг к другу.
Из доказательства теоремы 19 следует, что определение луча
не зависит от выбора точки 5 на нем. Действительно, мы видели
там, что если А19 Л/ — какая-нибудь пара точек луча 05, то
вершина О не лежит между точками Л„ Л/, т. е. мы будем иметь
* *
либо ОАхАх\ либо ОА^'. Если точку Л/ = 5' закрепить, то для

60
Глава II. Абсолютная геометрия
любой точки А1 нашего луча (в том числе и для' точки S) будет
справедливо либо OS'A{) либо OS'Av
Теоремы о расположении точек на плоскости.
Теорема 20. Каждая прямая а пюскости а разделяет
лежащие в ней точки (кроме точек, инцидентных самой прямой а)
на две области, 2), и 2)2, обладающие следующими свойствами:
каждый отрезок АХА^ с концами Ах и Аь взятыми в раз шчных
областях, всегда имеет с прямой а общую точку В; всякий же
отрезок АХАХ', концы которого принадлежат только одной из этих
областей, с прямой а общей точки не имгет (черт. 19).
По теореме 12 (§ 2, стр. 48), в плоскости а существуют, по
крайней море, три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому
в плоскости а существует точка 5, не лежащая на прямой а.
Отнесем к области 3), те точки Л, плоскости а, для которых отрезокSA{
с прямой а не имеет общих точек, а ко второй области 552 —
точки Л2 такие, что отрезок SA.2 и прямая а имеют общую точку.
Так как относительно каждого
отрезка SA справедливо одно
из двух: или он имеет общую
точку с прямой а, или не имеет,
то каждая точка А плоскости
а будет отнесена к одной из
этих областей.
Пусть точки Л, и Л,'
принадлежат области 2)т; начнем
со случая, когда точки Alt Л,'
с точкой 5 не лежат
ной прямой (черт,
и прямая а не имеют общей
аксиомы
применяемой к треугольнику 5Л,Л1' и прямой а, следовало бы, что
прямая а имеет общую точку или с отрезком SAly или с
отрезком 5Л/, что противоречит определению области 3V
Пусть теперь точки S, Л„ Л/ лежат на одной прямой а' г). Если а'
не пересекается с а, то отрезок Л^/ не имеет общей точки с а.
Пусть а' пересекается с а в точке В, причем В лежит между А1 и
Л/. По теореме 16 точка В будет лежать „между" либо в тройке AXBS
(A1BS)i либо в тройке AX'BS (Лх BS). Но это будет означать, что
либо точки S w А лежат в разных областях, либо точки 5 и Л/
лежат в разных областях. И в том и в другом случае мы имеем
противоречие с выбором точек Ах и Л/.
Пусть точки Л2 и Л2' принадлежат области £)2, причем Л,, Л</
и 5 не л*ежат на одной прямой (черт. 19). Тогда отрезки SA.>
Черт. 19.
АХАЛ
Если так, то отрезок
Действительно, в противном случае, на основании
на од-
19).
ТОЧКИ.
Паша,
!) На чертеже этого случая не изображено: если потребуется, то
читатель воспроизведет его сам.

§ 3. Аксиомы порядка
61
и SA%' имеют с прямой а по общей точке. Поскольку прямая а не
может (по аксиоме Паша) со всеми сторонами треугольника SA^A^
иметь общие точки, то отрезок Л2Л2' не имеет общих точек с а.
Пусть теперь точки Аъ А% и 5 лежат на одной прямой а' *).
В таком случае, по определению области 352, отрезки SA^ и SAoJ
пересекаются с а в некоторой общей точке В> т. е. SBA^ SBA*.
*
По теореме 16 отношение А^ВА^ невозможно (в четверке точек
S> Aj, Л2', В точка В не может лежать три раза „между" в
соответствующих ей тройках 8ВАЪ SBA2\ A^BAJ).
Пусть, наконец, Ах — точка области 2)„ а А2 — точка области 5)*.
Тогда отрезок SA{ и прямая а не имеют общих точек, aSA* и а —
имеют. Применяя к треугольнику SA^, когда 5, Ах и Л2 не лежат
на одной прямой, аксиому Паша (черт. 19), заключаем, что
отрезок AtA% и прямая а имеют общую точку В.
Пусть точки S, А19 Ач лежат на одной прямой а' 2). По
определению точки Аъ отрезок SA9j пересекает прямую а в некоторой
точке Ву т. е. SBAZ. По теореме 16 точка В будет лежать „между"
* *"
либо в тройке SAj£, т. е. SA^B, либо в тройке ВАХАЪ т. е. ВАхАг.
#
Но случай SAXB невозможен, так как по» определению точки Ах
отрезок SA{ не имеет общих точек с прямой а. Следовательно,
*
справедливо ВАХАЪ т. е. отрезок АХА^ имеет общую точку с
прямой а.
Теорема полностью доказана.
Определение 5. Полуплоскостью с ребром в качестве
прямой а и данной точкой S называется множество таких точек Ах
плоскости а, проходящей через точку S и прямую а, что отрезок SAX
не имеет общих точек с прямой а.
Из доказательства теоремы 20 следует, что каждая из
областей 2), и 2)о, описанных в теореме 20, на которые точки
плоскости а разбиваются любой ее прямой, есть полуплоскость.
Теорема 21. Каждая пара пересекающихся прямых а и b
плоскости а разбивают все ее точки Мг) на 4 области,
обладающие следующими свойствами: каждый отрезок АВ с концами А
и В, принадлежащими различным областям, всегда имеет по край-
ней Meve одну общую точку с одной из прямых а, Ь, а отрезок А А'
с концами, принадлежащими одной области, не% имеет общих точек
ни с прямой а, ни с прямой Ь.
Если А Ц а, В ЦЬ,то точт, отрезка'АВ принадлежат одной из
этих областей^
По теореме 19 точка О пересечения прямых а, Ь разбивает
i) На чертеже этого случая ие изображено; если потребуется, то
читатель воспроизведет его сам.
2) См. предыдущую сноску. г
3) Кроме точек, принадлежащих самим прямым а и Ь.

62 Глава II. Абсолютная геометрия
точки прямой а на два луча А, Л, а точки прямой b — на лучи k> k
(черт. 20).
По теореме 20 прямая а разбивает точки плоскости а на две
области — полуплоскости. *Мы утверждаем, что точки луча k
принадлежат одной из них, а точки луча k —другой. Действительно, пусть At —
какая-нибудь точка луча k, а Л2 — точка луча k\ тогда (по
определению лучей k и k) точка О лежит между Аг и Ач. По
определению 5 такие точки принадлежат различным полуплоскостям.
Пусть а (а, k) — полуплоскость, содержащая луч &, а а (а, k) —
полуплоскость, содержащая луч k.
Совершенно аналогично прямая Ъ разбивает точки плоскости а
на две полуплоскости, одной из которых, а (6, /г), принадлежит
луч /г, а другой, а (£, /г), — луч /г.
Определим теперь четыре области — 2) (Л, k\ 2) (/г, &), 2) (/г, &),
2) (Л,/г) следующим образом: пусть область 2) (Л, &) содержит общие
точки полуплоскостей а (а, &) и а (£, /г); 2) (/г, &) содержит общие
точки полуплоскостей а (а, /г), а (£, Л); 2) (Л, k) — общие точки
полуплоскостей а (а, к)у а (£, /г) и 2) (Л, &) — общие точки
полуплоскостей а (а, &), а (А, /г).
Так как каждая точка М плоскости а, не лежащая ни на одной
из прямых а, Ъ, либо принадлежит полуплоскости а (а, &), либо —
а (а, &) и одновременно — либо полуплоскости а (b, h\ либо а (Ь} А),
Черт. 20.
то введенные нами области содержат все точки плоскости а. Покажем
теперь, что эти области обладают свойствами, указанными в нашей
теореме.
Пусть точка А принадлежит области 2) (h, k), а точка В —
какой-нибудь из трех других областей. В соответствии с этим
рассмотрим три случая.

§ 3. Аксиомы порядка
63
1. Пусть £с:2)(/г, k)1); тогда точки Aw В принадлежат
различным полуплоскостям, определяемым прямой ft. По определению
полуплоскости отрезок АВ с прямой ft имеет общую точку С. Так как С
лежи г в полуплоскости a (a, k) и на прямой ft, то С лежит на луче k.
2. Пусть Z3'cz2)(/z, к). Этот случай аналогичен предыдущему:
точки Л, В' принадлежат полуплоскости a (ft, h), и отрезок АВ'
имеет общую точку с лучом h.
3. Пусть В" d 3) (Л, /г). В этом случае, с одной стороны Лета (а, /г),
В а а (я, £)f a с другой — Л с= а (ft, /г), 5 с= а (ft, ft)- По определению
полуплоскости, отрезок А В" имеет две точки Д Я, из которых D
лежит на ft, а £ лежит на а, причем ADB", АЕВ",
Пусть Л, Л' — точки какой-нибудь одной из четырех областей,
например, области 2 (/г, Л). Мы утверждаем, что отрезок АА' с
прямыми a, ft общих точек не имеет. Действительно, поскольку
точки этой области принадлежат полуплоскости a (a, k), то
(согласно ее определению) отрезок АА' с прямой а не имеет общей
точки. Точно так же, поскольку точки области 2) (/г, к)
принадлежат также полуплоскости a (ft, /г), то отрезок АА' не содержит ни
одной точки прямой ft. Аналогичное рассуждение применимо и к любой
другой из трех остальных областей.
Пусть, наконец, АЦа, ВЦЬ, Исключая случаи, когда одна из этих
точек совладает с О, мы предположим для определенности, что А
принадлежит лучу //, а В — лучу к. По определению
полуплоскостей а (я, £), а (ft, h) внутренние точки отрезка АВ принадлежат к
каждой из них, а значит и общей части их — области 2) (/*, &)> чт0
и доказывает последнюю часть теоремы.
Определение 6. Углом называется пара лучей /г, k с общей
вершиной О. Будем угол обозначать символом 2. {К &)• Точка О
называется вершгной угла, а лучи h w к — его сторонами.
Определение 7. Плоскостью угла называется плоскость, в
которой лежат его стороны. Полуплоскости а (а, &), а (ft, А),
введенные в доказательстве теоремы 21, назовем полуплоскостями угла.
Внутренними точками угла (/г, /г) называются точки, которые лежат
в обеих его полуплоскостях, а внешними — все прочие точки,
лежащие в плоскости угла.
Очевидно, что угол имеет бесчисленное множество как
внутренних, так и внешних точек.
Если, в соответствии с определением 7, точки области 2) (/г, к),
о которых говорится в доказательстве теоремы 21, назвать
внутренними, а точки областей 2) (/*, k), 2) (/*, к), 2) (/г, /г) — внешними, мы
получим для угла (/г, /г) следующее предложение, являющееся лишь
пересказом теоремы 21 (в других только терминах).
Теорема 22. Если А, А' — внутренние точки угла (h, к), то
отрезок АА' со сторонами угла общих точек не имеет. Если А —
*) Символ cz означает принадлежность (в данном случае — точка В
принадлежит множеству ф (ht к).

64
Глава П. Абсолютная геометрия
внутренняя точка угла, а В — внешняя, то отрезок АВ всегда
имеет общую точку или со стороной h, или со стороной k. Если А —
точка луча h, а В — точка луча k, то точки отрезка АВ
принадлежат внутренней области угла.
Следующее определение и ряд теорем относятся к понятию
„между", примененному не к точкам одной прямой, а к лучам,
имеющим общую вершину.
Определение 8. Пусть лучи /г, k, l с общей вершиной О
лежат.в плоскости а. Мы будем говорить, что луч I лежит „междуи
лучами h и ky если все точки луча / принадлежат внутренней области
угла (/*, k).
Замечание. Существование таких лучей очевидно.
Действительно, пусть С — точка угла (/г, k) [т. е. С — точка, общая
полуплоскостям а (а, &), а(£, h)]\ тогда точки луча ОС с вершиной О
лежат как в полуплоскости а (а, &), так и в полуплоскости a(b, h)
(по определению полуплоскости), а значит и во внутренней области
угла 2) (/г, &), как множества точек, одновременно принадлежащих
этим полуплоскостям.
Теорема 23. Каждый луч I, лежащий между сторонами h и k
угла, всегда имеет общую точку С с любым отрезком АВ, концы А
и В которого лежат на сторонах угла. Наоборот, если луч I с
О Л
Черт. 21.
вершиной в вершине угла (h, k) пересекает какой-нибудь отрезок
АВ с концами Л, В на сторонах угла, то он лежит между huh.
Пусть А — точка луча /г, дополнительного к лучу h ').
Рассмотрим треугольник А'АВ и прямую с луча / (черт. 21).
Последняя со стороной АА' имеет общую точку О. Нетрудно видеть,
что с не имеет общих точек со стороной — отрезком А'В.
Действительно, точки прямой с будут общими или для полуплоскостей а(Ь, Л),
a (a, k), или общими для полуплоскостей а(Ь, /г), а (а, &), и, значит,
они принадлежат или углу (/*, /г), или углу (/*, /г).
Так как точка А' принадлежит полуплоскости а(Ь, /г), а точка В —
полуплоскости а (а, &), то точки отрезка АВ будут общими для этих
полуплоскостей, т. е. они будут точками угла (/г, k). Так как углы (/г, /г),
(/г, k) с углом (ht k) не имеют общих точек (за исключением точек
общих сторон), то отрезок А'В не имеет общих точек с прямой с.
1 См. стр. 59.

§ 3. Аксиомы порядка
65
По аксиоме Паша прямая с имеет общую точку С с отрезком АВХ
Так как эта точка С принадлежит углу (/г, k) (теорема 22), а луч /
содержит такие точки этого угла, которые лежат на прямой су то
точка С принадлежит лучу /, что и требовалось доказать.
Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть концы А, В
отрезка АВ лежат соответственно на лучах h и k и луч / с
вершиной О пересекает отрезок АВ в точке С. По теореме* 22 каждая
точка С этого отрезка принадлежит внутренней области угла [как
множеству точек, общих полуплоскостям a (a, k) и а(£, h)]. Так
как точка С принадлежит полуплоскости а (а, &), то точки М
*• *•
луча ОС (для которых ОМС или ОСМ) принадлежат
полуплоскости a (a, k).
По той же причине точки М луча ОС будут принадлежать и
полуплоскости а(Ь, /г), а значит и внутренней области !!)(/*, k)
угла (h, &), что и требовалось доказать.
Теорема 24. Из трех лучей с общей вершиной, лежащих
в одной плоскости, существует не более одного, который лежит
между двумя другими.
В отличие от трех точек, лежащих на одной прямой, не всякие
три луча с общей вершиной О, лежащие в плоскости а, имеют такой
который лежит между двумя другими. Например, в тройке лучей /г, k, /,
где k — луч, дополнительный к лучу k> лежащему между h и kt
нет луча, лежащего между
другими. ' L
Пусть поэтому луч k лежит
между лучами h, L Мы
утверждаем тогда, что луч / не может
лежать между h и k.
Действительно, если луч /
лежит между h и k, то он пере- £ ^*
секает отрезок АВ с концами на ^ *
сторонах h и k угла (/г, k) во „ 22
*
внутренней точке С, т. е. ABC
(теорема 23, черт. 22). Поскольку, по условию, k лежит между
h и /, то (по той же теореме 23) точка В должна лежать между А
* -X -Ч-
и С (ABC). Так как отношение ABC противоречит отношению ABC
(теорема 14), то луч / не лежит между лучами h и k.
Таким же образом доказывается, что и луч h не лежит между
лучами k и /.
Теорема 25. Из трех лучей h, k, I с общей вершиной О,
расположенных в общей полуплоскости тт относительно прямой р,
прохоаящей через О, всегда существует такой, который лежит
между двумя другими.
По теореме 24 из трех лучей /г, k> l существует не более одного,
лежащего между другими. Пусть поэтому луч h не лежит между k

66
Глава //. Абсолютная геометрия
и /, а луч / не лежит между h и k. В таком случае мы утверждаем,
что луч k лежит между Ли/.
В самом деле, точка О на прямой р разделяет ее на два луча pt
и рч (черт. 23). С лучом k они образуют углы (/?„ k\ (p2> k)>
внутренние области которых (вместе с лучами k, pu р<>) составляют
все множество точек полуплоскости тт. Так как лучи h и / лежат
в этой полуплоскости, то они лежат либо в разных углах, либо
в одном угле, например, в угле (/?„ &)•
Но в последнем случае *), по теореме 23, лучи /г, /' пересекают
отрезок РВу имеющий концы на лучах pt и k, во внутренних точ-
ках А и С, tv е. ВАРУ ВС Р. По теореме о нумерации четырех
точек либо А лежит между В и С, либо С лежит между В и А,
т. е. либо h лежит между / и
ky либо / лежит между кик
(теорема 23). Так как это
невозможно (противоречит сделанному
предположению), то h и / лежат
в различных углах
Пусть, например, h лежит
внутри угла (/?!, k)y а /—внутри
угла (ръ k) (черт. 23). По-
р q pt тят~ скольку, таким образом, луч k не
лежит ни внутри угла (/?„ К) и
Черт. 23. ни внутри угла {ръ /), с которыми
угол (/г, /) составляет
полуплоскость тс, то k лежит внутри угла (/г, /), что (в согласии с
определением 8) и требовалось доказать.
Эта теорема неверна, если лучи /г, k> l лежат в полуплоскости
относительно прямой ру не проходящей через общую вершину О.
Теорема 26 (о порядке четырех лучей). Любые четыре
луна с общей вершиной О, расположенные в одной полуплоскости к,
ограниченной прямой р, проходящей- через ту же вершину О, можно
всегда обозначить буквами /г, k, /, m так, что луч k лежит
между h и I и между h и т, а луч I — между hum и между kum%).
Эта теорема совершенно аналогична теореме 15 о порядке
четырех точек на прямой линии.
Пусть pv р2 — пара дополнительных лучей прямой р с
вершиной О, а /г, kt /, т — четверка лучей полуплоскрсти тт, ограниченной
прямой р. По теореме 25 из лучей pv h, k существует только один
луч, лежащий между другими. Предположение, что таким лучом
служит ри противоречит допущению, что лучи /г, k лежат в
полуплоскости тс. Действительно, если рх лежал бы между h и k, то
отрезок АВ с концами Л, В на лучах Л, k пересекал рх в
некоторой точке Р (теорема 23), и, значит, точки Л, В лежали бы в
разных полуплоскостях относительно прямой р (теорема 20).
/ ,
1) Этому случаю на чертеже 23 соответствует луч /\
*) Читателю предлагается сделать чертеж.

§ 3. Аксиомы порядка б?
Пусть, поэтому, h лежит между рх и k (в противном случае мы
переменим обозначения). Применяя к тройке ри h, l такое же
рассуждение, мы заключаем, что или h лежит между pt и /, или /
лежит между рх и /г. Пусть h лежит между рх и / (в противном
случае переменим обозначения).
По той же причине в тройке pv /г, т либо h лежит между рх
и т, либо т лежит между pi и /г. Пусть справедливо первое
предположение.
Итак, в четверке /г, k> /, т существует такой луч h, что лучи k, /, т
лежат вне угла (ри К). Совершенно аналогично мы найдем в этой
четверке такой луч т\ что остальные три луча лежат вне угла (р^ т).
Очевидно, что луч т не совпадает с лучом h [в противном случае
из этой тройки два луча лежали бы внутри угла (ри /г)]. Пусть т = т\
тогда лучи k, I лежат как вне угла (/?„ К), так и вне угла (р2, т).
Поскольку угол (/г, т) дополняет эти углы до полуплоскости тс,
то k и / лежат внутри угла h, т.
По теореме 23, лучи k и / пересекают любой отрезок AD с кон-
цами на сторонах h, т в точках В, С, и мы имеем ABD, ACD. По
#
теореме о нумерации четырех точек на прямой будем еще иметь ABC,
BCD или АСВУ CBD. Но последний случай сводится к предыдущему
переменой обозначений: В -> С, С-+В. Мы приходим к отношениям:
* * V V?
ABC, ABD, ACD, BCD. По определению 8 отсюда вытекают отноше-
ния &&/, /г/г/тг, &//#, klm, что и требовалось доказать.
Следствие 1. Из четырех лучей h, k, /, m с общей
вершиной О, принадлежащих одной полуплоскости, существует не более
двух, которые лежат между двумя другими.
Это предложение аналогично теореме 16 и доказывается (с
ссылкой на теорему 26) таким же образом.
Следствие 2. Если в четверке лучей h, k, t, m с общей
вершиной О, принадлежащих одной полуплоскости, луч k лежит
между h и I и между h и т, то луч k лежит вне угла (7, т).
Действительно, если допустить противное, т. е. что k лежит
между / и т, то луч k должен лежать внутри каждого из трех углов,
образованных лучами h, /, т, что противоречит следствию 1.
Определение 9. Совокупность отрезков А{АЪ Л2Л3,...,
Ап_1Ап с общими концами Л2, Л3,..., Ап_х называется ломаной
линией АХАЧ. ...Ап_хАп, соединяющей точки Аи Аъ ..., Ап_.и Ап\
крайние точки А1 и Ап — ее концами. Если Ап совпадает с Аи то
ломаная А{А2... Ап называется многоугольником, точки Л„ Л2,...,
Ап_х —вершинами многоугольника, а отрезки АХАЪ А<>А2>..., А^А^
АпА1 — его сторонами. Многоугольники с тремя, четырьмя, п
вершинами называются соответственно треугольниками,
четырехугольниками, п-угольниками.
Определение 10. Многоугольник называется простым, если
ни одна из его вершин не лежит ни на одной из его сторон и ни-*
какие несмежные его стороны не имеют общей точки.

68
Глава II. Абсолютная геометрия
Теорема 27. Всякий простой многоугольник, вершины кото-
рого лежат в одной плоскости а, разделяет все точки этой
плоскости (кроме точек, принадлежащих сторонам многоугольника)
на две области г£)1 и ф2 — внутреннюю и внешнюю, — обладающие
следующими свойствами:
Если А1—точка внутренней области, a Aq — точка внешней,
то всякая ломаная линия с концами Аг и Aq имеет, по меньшей
мере, одну общую точку с многоугольником;
если, напротив, АХАХ— точки внутренней области, a A2Aq' —
точки внешней, то существуют ломаные с концами в А{ и Ах'
и ломаные с концами в А* и А2', не имеющие с многоугольником
ни одной общей точки.
Существуют прямые, целиком лежащие во внешней области,
но не существует ни одной прямой, которая целиком лежала бы
во внутренней области.
Доказательство этой "теоремы очень громоздко, и мы его
приводить здесь не будем; отметим лишь, что теорема 27 мржет быть
выведена только из аксиом Ij_10 и И,_4.
Расположение точек в пространстве.
Предлагаем читателю доказать следующие два предложения.
Теорема 28 (предложение Паша для пространства). Если три,
не лежащие на одной прямой, точки А, В, С не лежат в данной
плоскости а, но плоскость а пересекает отрезок АВ, то плоскость а
пересекается или с отрезком ВС, или с отрезком АС.
Теорема 29. Любая плоскость а разбивает все прочие точки
пространства на две области 2), и 2).2, обладающие свойствами:
всякий отрезок АХА2 с концами Ах и Aq, принадлежащими
различным областям, всегда имеет с плоскостью а общую точку В;
напротив, отрезок АХА/, концы которого принадлежат одной из
этих областей, не имеет общих точек с плоскостью а.
В. этом случае говорят, что точки Ах и А2 располагаются „по
разные стороны" от плоскости а, а точки А,;\ Ах' — „по одну
сторону". Области 2)1э 2)в называются полупространствами.
Что же касается пространства, то иод этим термином мы будем
понимать множество всевозможных точек, прямых и плоскостей, как
трех сортов, вещей и трех основных отношений: „инцидентность",
„между" и „движение", которые удовлетворяют нашим аксиомам.
До сих пор мы имели дело с точкой, прямой и плоскостью как
с основными объектами, а с понятиями „инцидентность" и „между" как
с основными отношениями. Принимая аксиомы 11—10 и Н,_4, мы чисто
логически вывели ряд следствий, в которых использовались только
эти основные понятия. Мы познакомились здесь и с основными
геометрическими образованиями; это были — отрезок, треугольник, луч,
•полуплоскость, полупространство и др. — как специальные
множества точек, возникшие на основе наших аксиом.

§ 4. Аксиомы движения
69
Другое обоснование идеи порядка.
Некоторые авторы вместо аксиом порядка, связанных с термином
„между", принимают другие аксиомы, опирающиеся на понятие
упорядоченного плотного множества. Этот второй способ обоснования аксиом порядка
очень изящен и прост, и мы кратко на нем остановимся. Прежде всего дадим
три определения.
Определение I. Множество (каких-либо этементов, например точек)
называется упорядоченным, если между его элементами Л, В, С,...
существует соотношение „<", выражаемое термином „предшествовать'1 и
удовлетворяющее следующим двум аксиомам.
Аксиома I. Если А и В — различные элем нты множества, то
или А<В („А предшествует Ви), илиВ<А („В предшествует Л"-).
Аксиома 2. Если Л < В и В < С, то Л < С.
Первое свойство отношения < называется несимметричным, а
второе — транзитивным (переходящим). Отношение „меньше" в арифметике
служит примером несимметричного и транзитивного отношения.
С каждым упорядоченным множеством можно связать и другой
порядок, получающийся из основного путем обращения. Действительно, если мы
введем отношение > („следовать11) и будем писать В > Л („В следует за Л")
всякий раз, когда имеет место отношение Л < В, то, как нетрудно видеть,
отношение > тоже удовлетворяет обоим требованиям определения I.
Упорядоченное множество может иметь первый элемент Л, т. е. такой,
что для любого элемента В имеет место отношение Л < В, и последний
элемент К — такой, что В < К для любого В из нашего множества (кроме,
разумеется, самого К).
В упорядоченном множестве можно ввести понятие „между" с помощью
следующего определения:
Определение 2. Элемент В лежит „между" Л и С, если Л < В < С
или Л > В> С.
Очевидно, не всякая пара элементов упорядоченного множества имеет
промежуточный элемент.
Определение 3. Упорядоченное множество называется плотным,
если между двумя любыми его элементами суп ествует третий (а
следовательно, и неограниченное множество их).
В качестве примера плотного множества можно указать на область
рациональных чисел (между двумя рациональными а и b всегда существует
а А-Ь
третье рациональное: например—I—, а следовательно, и неограниченное
множество их).
Используя наши определения, формулируем следующие две аксиомы
порядка:
И/. Множество точек прямой линии есть у орядоченное плотное
множество, не имеющее ни первой, ни последней точки.
Оп'ределен-ие. Лучом называется множество точек прямой, которые
следуют за данной ее точкой О или ей предшествуют.
За определение отрезка примем определение 2 на стр. 51.
II/. Аксиома Паша в плоскости; эта аксиома формулируется
совершенно так же,*как' и аксиома Н4.
Принимая, вместо основного понятия „между", понятие
„предшествовать" и требуя, чтобы точки прямой удовлетворяли аксиомам II/ и 112', мы
можем доказать все теоремы, относящиеся к порядку точек и прямых.
§ 4. Аксиомы движения IIIi_i0 и их следствия. *
От нового основного понятия „движение" требуется, чтабы оно
совместно с уже введенными понятиями удовлетворяло следующим
десяти аксиомам:

70
Глава II. Абсолютная геометрия
Аксиомы движения (IIIj_10).
Ш^ Точке М и движению Г соответствует точка М', прямой
а и движению Г соответствует прямая а, плоскости а и
движению Г соответствует плоскость а'.
Аксиому IIIj мы будем выражать иногда другими словами —
будем говорить, что движение Г точке М относит точку М\
а также, — что с помощью движения Г точка М преобразуемся
в точку М'. Это будем записывать при помощи следующего символа:
М' = ГМ.
Таким образом, наряду с термином „движение* мы будем
пользоваться его синонимами „отнесение" и „преобразование".
Шо. Каждое движение Г сохраняет отношение инцидентности:
если, например, точка М лежит на прямой а (М^а), то точка М'
лежит на прямой а' = Га (М'^а').
Ш3. Каждое движение Г сохраняет отношение „между": если
*
точка В лежит на прямой а между точками.А и С (ABC), то
точка В' = Г В лежит на прямой а' = Га между точками А' =
= ГА и С' = ГС (А'В'С'\).
1И4. Существует движение Г0, которое каждой точке М,
прямой а и плоскости а относит их же самих, т. е. Г0М = М,
Г0а = а, Г0а = а.
Определение 11. Преобразование, осуществляемое
движением Г0, называется тождественным; о движении Г0 говорят,
что оно оставляет неподвижными все точки, прямые и плоскости.
Определение 12. Пусть Гх и Г2 — два движения, а Ж —
какая-нибудь точка. По аксиоме И^ движению Гх и точке М
соответствует точка М! = Т^М. По этой же аксиоме точке М' и
движению Г.2 соответствует точка М" = Г2М'. В результате точка М
с помощью двух движений Г\ и Г2 соответствует точке М". Это
соответствие записывается двумя символическими равенствами:
ТХМ = М\ Г2Л4' = М". Подставляя (формально) во второе
равенство ГХЖ на место М\ получим, записанный одним равенством,
переход от точки М к Ж":
Г2Г\М = М".
" Будем последовательное производство движений Г\ и 1%,
которое каждой точке М относит некоторую точку М", называть их
произведением и писать:
Г,Г1 = Г, ГМ = М".
Шв. Произведение двух любых движений Г\ и Г2 есть
движение.

§ 4. Аксиомы движения
71
Предлагаем читателю доказать, что движения обладают
сочетательным свойством:
Ш6. Для каждого движения Г существует движение Г-1,
maitoe, что их произведение — тождественное движение Г0:
г-г = г0.
Определение 13. Движение (преобразование) Г"' называется
обратным по отношению к движению (преобразованию) Г.
Три аксиомы Ш4, Шв, Ш6 (существование тождественного и
обратного преобразований и то свойство, что произведение двух
движений есть также движение) коротко выражают следующей фразой:
движения образуют группу. Это — определение понятия группы.
Прежде чем перечислять остальные четыре аксиомы движения,
докажем две теоремы:
Теорема 30. Каждое движение Г преобразует отрезок
в отрезок, луч — в луч, полуплоскость — в полуплоскость,
полупространство — в полупространство.
Как мы знаем, отрезок, луч, полуплоскость и
полупространство — это точечные множества, соответствующим образом
определяющиеся через основные объекты — точку, прямую, плоскость
и два основных отношения между.ними — инцидентность и „между*.
Поскольку, согласно аксиоме IIIj, точка, прямая и плоскость при
любом движении преобразуются соответственно в точку, прямую
и плоскость, а согласно аксиомам Ш2 и 1И3, при движении
отношения инцидентности и „между" сохраняются, то при каждом
движении отрезок переходит в отрезок (причем внутренние точки —
во внутренние), луч — в луч, полуплоскость — в полуплоскость,
а полупространство — в полупространство.
Из этой теоремы следует, что каждое движение устанавливает
в пространстве (множестве всех точек, прямых и плоскостей,
удовлетворяющих перечисленным выше аксиомам) взаимно
однозначное соответствие, такое, что никакие две точки Mv Ж2
(соответственно— прямые, плоскости) не могут перейти в одну точку М
(соответственно — прямую, плоскость). Действительно, допущение,
что движение Г переводит, например, точки Мг и Ж2 в. одну
точку Му противоречит аксиоме Ш3, поскольку при этом нарушается
понятие „между*.
Определение 14. Совокупность луча /и ограниченной им
полуплоскости X называется репером (черт. 24.) Начало О луча 7
называется началом или вершиной репера; прямая а, на которой
расположен луч /, — прямой репера; плоскость а, проходящая через
полуплоскость X, — плоскостью репера.
Очевидно, что репер может быть определен лучом / и
некоторой его точкой, не лежащей на луче /. Для репера, образуемого
лучом / и полуплоскостью X, введем символ 9t(/, X).

72
Глава //. Абсолютная геометрия
Будем называть два репера 31 (/, X) и 31 (/, X') дополнительными,
если их лучи / и /' совпадают, а полуплоскости X и X' различны,
но лежат в одной плоскости.
Заметим (это будет в дальнейшем использовано), что с каждым*
уГлом (h, k) можно связать два репера (черт. 25): один из них,
3i (/г, X), состоит из луча h и полуплоскости Х = а(а, k),
определяемой прямой а луча h и лучом k (см. начало доказательства
Черт. 24. Черт. 25.
теоремы 21, стр. 61—62), а второй 31 (&, \i) состоит из луча k и
полуплоскости ji = a (b, h), определяемой прямой b луча k и лучом h.
Из теоремы 30 и определения 14 вытекает очевидное
предложение:
Теорема 31. Каждое движение переводит репер Щ1, \) в
репер ЗИ (Г, \'), т. е. относит реперу 3i(7, X; репер $1(1,' X'J.
Ш7. Если движение Г переводит репер 31 (/, Xj в репер 31 '(7, X'J,
причем оба репера имеют общее начало и общий луч I, яго
каждая точка М луча преобразуется сама в себя (остается
неподвижной),
1П8. Существует единственное движение Г, которое данному
реперу 01(1, \) относит другой такой репер 3i'(7' X'; так, что
начало, луч и полуплоскость первого репера преобразуются
соответственно в начало, луч и полуплоскость второго.
Ш9. Существует движение Г, которое преобразует отрезок АВ
в отрезок ВА (т. е. движение, которое точку А преобразует
в. точку В, а точку В — в точку А),
III,0. Существует движение Г, преобразующее угол (h, k)
в угол (k, h) {т. е. движение, которое, сохраняя вершину угла,
переводит луч h в k, а луч k в h).

§ 4. Аксиомы движения
73
Теорема 32. Каждое движение Г, преобразующее луч I в
луч /', преобразует точку М луча I всегда в одну и ту же
точку М' луча /'.
Дополним лучи / и /' какими-нибудь полуплоскостями X и X' до
реперов. По аксиоме Ш8 существует единственное движение Г,
преобразующее репер 9? (/, X) в репер 9?' (/', X'); пусть при этом точка
М луча / переходит в некоторую точку М' луча /'. Мы
утверждаем, что положение М' не зависит от движения Г, определяемого
(согласно аксиоме 1Н8) выбором полуплоскостей X и X'. Пусть р. и jj/ —
другая пара полуплоскостей, и Г', — движение, преобразующее репер
9J (/, jx) в репер 9? (/', ji'). Пусть точка М в результате этого
движения переходит в точку М". Рассмотрим Г'Г-1 — произведение
движений Г"' и Г'. По аксиоме Ш5 произведение ГТ~! есть снова
движение. Так как Г"1 преобразует /' в /, а Г' преобразует / в /', то
ГГ"1 преобразует луч /' в самого себя. При этом точка М*
сначала с помощью Г-1 перешла в УИ, а затем с помощью Г'—в М".
Так как по аксиоме Н17 каждая точка луча /' остается
неподвижной, когда луч /' переходит сам в себя, то точка М" совпадает
с М'\ этим наша теорема доказана.
Основные теоремы о движении и конгруентност»
фигур.
Опираясь на аксиомы III,_10 (и, разумеется, также на аксиомы 1,_1в.
и H!_4), мы можем ввести понятие конгруентности или
равенства фигур и доказать ряд теорем (в том числе и гильбертовы
аксиомы конгруентности), описывающих свойства движения.
Определение 15. Любая совокупность точек, прямых и
плоскостей называется фигурой.
Определение 16. Фигура Fx называется конгруентной или
равной фигуре F& если существует движение, преобразующее
Fx в />
Отношение конгруентности будем обозначать символом = и
писать:
Ft=F4.
Теорема 33. Конгруентность фигур обладает следующими,
тремя свойствами:
\) взаимности: каждая фигура конгруентна сама себе (F = F);
2) симметрии: если первая фигура конгруентна второй, то
и наоборот — вторая конгруентна первой (Fx = F^ —> F2 = FJ;
3) транзитивное ти: если первая фигура конгруентна второй^
а вторая — третьей, то первая фигура конгруентна третьей
(Л=^, F, = F,^Fl = Ft).
Первое свойство конгруентности следует из существования
тождественного преобразования (аксиома Ш4), оставляющего на
месте все точки, прямые и плоскости.

74
Глава II. Абсолютная геометрия
Второе свойство является следствием аксиомы Н1в.
Действительно, если фигура Ft конгруентна фигуре F& то по определению
конгруентности существует движение Г, переводящее фигуру Fx
чв фигуру F^ TFl = F<i. По аксиоме Ш6, существует движение Г"1
обратное с Г) такое, что Г_1Г = Г0, где Г0 — тождественное
преобразование; поэтому Y~1F<i = T~iTF1 = T0F1 = Fv т. е. Г-1
преобразует фигуру F% в фигуру Ft.
Третье свойство конгруентности вытекает из аксиомы Шв. Пусть
Fi = TlFl, рг = Т.2Рь где Fv F^ Fd—три фигуры, а 1\, Г2—два
движения. Мы утверждаем, что существует такое третье движение
Г|, что Fi=TdFl. Действительно, движение Г2 переводит фигуру
Ft в фигуру Fbi а движение Г, — фигуру Fx в фигуру /v По
аксиоме Шв существует движение Г3, заменяющее последовательное
производство движений Г, и Г2: выше Г3 было названо
произведением движений 1\ и Г2: Г3 = Г2Г1. Итак, Г3 переводит фигуру Ft
в фигуру F& т. е. эти фигуры конгруентны между собой.
Следствие 1. Каждый отрезок АВ Соответственно, угол
(h> k)\ конгруентен сам себе.
Поскольку по аксиоме 1Н9 [соответственно Ш10] существует
движение Г, которое переставляет концы [стороны] отрезка АВ
{угла (/г, k)]f т. е. точку А [сторону /г] преобразует в точку В
[сторону k]f а точку В [сторону k] — в точку А [сторону Л], то,
имея в виду это обстоятельство, пишут:
АВ = ВА [Z (Л, k)= £ (fc, h)\.
Таким образом, конгруентность отрезка, [угла] самому себе
вытекает не только из существования тождественного преобразования,
«о также и из существования движения, которое переставляет концы
отрезка [стороны угла].
Заметим, между прочим, что внутренние точки отрезка [угла]
этими движениями преобразуются, очевидно, также во внутренние,
а внешние точки—во внешние.
Следствие 2. Два отрезка [угла], конгруентные третьему,
конгруентны между собой.
Теорема 34. Если О — точка прямой а, а 1Х и ^ —
дополнительные лучи, определяемые прямой а и точкой О, то на каждом
из лучей lt (7 = 1, 2) существует одна и только одна точка Mit
такая, что отрезок OMi конгруентен данному отрезку АВ.
Возьмем луч АВ с вершиной в точке А (см. определение 4).
Пусть Г — движение, преобразующее луч АВ в /£ (начало А луча
АВ при этом преобразуется в начало О луча lt). По теореме 32
точка В луча АВ при этом преобразуется в точку Miy положение
которой не зависит от движения Г. Это и доказывает теорему.
Теорема 35. Если точка В лежит между точками А и С,
•а точка В' лежит между точками А' и С и если АВ = А'В',
ВС = В'С, то АС^АС.
Введем лучи АВ и А'В' с вершинами в точках А и А'.
Очевидно, что точки С и С будут принадлежать этим лучам. Совме-

§ 4. Аксиомы движения
75
стим наши лучи так, чтобы их вершины совпали и один из них
пошел по другому (это обеспечено аксиомой Ш8). Поскольку
АВ = А В' у то по теореме 34 точка В упадет в точку В'. Пусть
точка С упадет в некоторую точку С" луча А В'. Нетрудно видеть,
что С" совпадает с С. Действительно, при движении отношение
„между" сохраняется; поэтому точка В' будет лежать между А
и С"> Так как точка В' лежит между А и С, а точки Л и В
совмещаются соответственно с точками А и В', то В' лежит между
А и С. Из сопоставления двух последних предложений следует,
что точки С и С" расположены по одну сторону от В'. Так как
далее В'С" = ВС и ВС = В'С, то ВС" = В'С. Таким образом,
точки С и С лежат от В' по одну сторону и отрезки ВС, В'С
конгруентны: отсюда по теореме 34 следует, что С" совпадает
с С. Итак, рассматриваемое нами движение переводит точки Л и С
соответственно в точки А и С. По определению конгруентности
фигур отрезок АС конгруентен отрезку АС, что и требовалось
доказать.
Теорема 36. Пусть даны угол (/?, k) и репер 9t (h\ X') с
лучом h' и полуплоскостью X'. Существует, только один луч
k\ принадлежащий полуплоскости X' и имеющий вершину О'
в вершине репера, такой, что угол (h, k) конгруентен углу (h', k').
Возьмем, репер 9i (/г, X) с лучом h и полуплоскостью X =
= а(а, &), определяемой прямой а луча h и лучом k (см. определение
14). По аксиоме Ш8 существует единственное движение, которое
преобразует репер dt (/г, X) в репер 91 (h\ X'); при этом луч h
переходит в луч h\ г полуплоскость X — в полуплоскость X'. Так
как при движении луч переходит в луч, то луч k перейдет в
некоторый и притом единственный (в силу единственности движения,
преобразующего репер в репер) луч k' и угол (h, k) будет
конгруентен углу (/*', k')\ £ (h, k) = /, (h', k).
Равенство (конгруентность) треугольников.
Теорема 37 (первая теорема о конгруентности
треугольников). Если в треугольниках ABC и А В'С имеют
место конгруенции (т. е. соотношения конгруентности):
АВ = АВ\ АС = АС, LBAC= Z.B'AC1),
то имеют место и конгруенции:
ВС = В'С, L ABC= L А В'С, L АСВ = АС'В'.
4) Впервые вводимое здесь обозначение угла тремя буквами (£ ABC)
понятно; оно имеет тот же смысл, который известен из школьного
курса геометрии, и может быть легко определено в точных выражениях:
^ЯЛС=/,(Л, k), где Л —луч, определяемый вершиной А и точкой Б,
a k — луч, определяемый вершиной А и точкой С.

76
Глава II. Абсолютная геометрия
По определению 15 угол есть фигура; по определению 16
конгруенция /, ВАС — Z В'А'С означает, что существует
движение Г, которое преобразует точку А в точку А\ луч АВ— в луч
А В', луч АС — в луч АС, а конгруенции АВ = А'В' и АС = А'С
означают, что при этом точки В и С преобразуются соответственно
в точки В' и С. Если так, то наше движение отрезок ВС
преобразует в отрезок ВС (теорема 30), лучи ВА, ВС, С А, СВ —
соответственно в лучи В'А, ВС, С А\ С В', а потому углы ABC
и АСВ преобразуются соответственно в углы А'В'С и А'СВ'.
Таким образом, ВС = В'С, £ АВС= /, А'В'С', /, АСВ=г /, А'С'В',
что и требовалось доказать1).
Теорема 38 (вторая теорема о конгруентности
треугольников). Если в треугольниках ABC и А В'С имеют
место конгруенции
АВ = А'В', £ВАС= /. В'А'С, /_ ABC = /, А'ВС,
то имеют место и конгруенции
АС = А'С, ВС = В'С, Z.ACB= /_ А'С'В'.
По определению 16 конгруенция АВ — А'В' означает, что
существует движение Г, преобразующее отрезок АВ в отрезок АВ',
а конгруенции ^ ВАС = 2. В'А'С', Z. ABC — Z. А'В'С означают, что
при этом лучи АС ВС преобразуются соответственно в лучи
АС'у В'С. Если так, то, в силу сохранения инцидентности при
движении (аксиома HL2), точка С движением Г преобразуется
в точку С; поэтому отрезки АС, ВС преобразуются соответственно
в отрезки АС, В'С, а угол АСВ'—в угол АС В', что и
требовалось лока ать.
Определение 17. Треугольник ABC с парой конгруентных
сторон АС и ВС (АС = ВС) называется равнобедренным) в
равнобедренном треугольнике сторона АВ называется основанием, а углы
CAB и СВА—углами при основании.
Определение 18. Треугольник ABC с тремя конгруентными
сторонами называется равносторонним.
Теорема 39. В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны 2).
Пусть в треугольнике ABC AC —EC. По определению 16 это
значит, что некоторое движение Г преобразует отрезок АС в от-
1) В „Основаниях геометрии" Гильберта два следствия теоремы 33
и предложения 34, 35, 36 и 37 (в последней теореме — без утверждения
конгруентности ВС = В'С) фигурируют как аксиомы конгруентности. У нас
эти предложения являются следствиями аксиом движения llli_10. Отправляясь
от аксиом конгруентности Гильберта и определения движения как взаимно
однозначного соответствия точек конгруентных фигур, можно наши аксиомы
движения получить как теоремы—следствия аксиом конгруентности.
-) Слово „равный" по отношению к отрезкам и углам мы будем
употреблять иногда вместо слова „конгруентный"

§ 4. Аксаомы дважения
77
резок ВС. По аксиоме Ш8 такое движение действительно существует.
Поскольку при этом АС = ВС, то по теореме 34 точка С остается
неподвижной и точка А преобразуется в точку В и наоборот; но
тогда луч АВ перейдет в луч В А, луч АС — в луч ВС, и поэтому
угол ВАС—в угол ABC, что и требовалось доказать.
Эта же теорема может быть получена немедленно как следствие
теоремы 37, если наряду с треугольником ABC ввести в
рассмотрение треугольник А'В'С', вершины которого соответственно
совпадают с вершинами В, А, С данного. В этих треугольниках
СА = С'А', СВ = С'В\ /, АСВ= Z А'СВ'. По теореме 37 отсюда
следует: £ CAB = /_ ABC.
Теорема 40. Пусть угол (A, А) конгруентен углу (А', А')
и I — луч, лежащий внутри угла (A, А). Тогда внутри угла (ti, k)
существует такой единственный луч /', что
L (А, /)= Z (А\ /'), Z (А, /)= L (А', О-
Внутренняя область угла определяется, в конечном счете, через
понятия „инцидентность" и „между". Так как эти два понятия по
аксиомам IIL2 и Ш3 сохраняются при любом движении, то
внутренняя область угла при движении преобразуется во внутреннюю,
а внешняя — во внешнюю.. Вследствие этого движение Г,
преобразующее лучи А и А соответственно в лучи ti и А', преобразует
внутреннюю область угла (A, А) во внутреннюю-область угла (А\ А');
поэтому луч /, лежащий между.лучами А и А, преобразуется в луч
/', лежащий между лучами A', А'. По определению конгруентности
углов заключаем, что
Z (A, l)=£ (А', /'), L (А, /)=(*', О.
Из теоремы 36 следует, что такой' луч—единственный.
Теорема 41. Пусть лучи h, k, l с общей вершиной О лежат
в плоскости а, а лучи ti, A', l' с общей вершиной О' лежат
в плоскости а', и пусть имеют место конгруенции
L (A, b)=L (А\ A'), L (ti /)= L (A\ O,
причем луч l лежит между лучами h и k, a l' — между лучами
ti и к'. Тогда
Z(/, A)=Z(/\ A').
По теореме 40 существует такой луч /", лежащий между ti
и А', что ^(А\ l")= L(ti /), Ц1\ k')=L(l* А). По условию
настоящей теоремы луч /' лежит между А' и А' и /_ (А\ /') =
= L (ti /).
Следовательно, оба луча, Г и /', лежат между А' и А' и
Z (A', l")= Z. (А', /'). По теореме 36 луч Г совпадает с /', и поэтому
L (/'. А') = L (/■ А).

78
Глава /7. Абсолютная геометрия
Теорема 42. Пусть лучи h, к, I с общей вершиной О лежат
в плоскости а, а лучи ti, k\ I с общей вершиной О' — в
плоскости а', и пусть
L(K 0=Zl*\.O. Z(/, *) = (/', *')■
причем I лежит между h и k, а Г—между Ы и к\ Тогда
L(K k)= L(h\ к').
Пусть 31 (h, а) — репер с лучом h и прилегающей
полуплоскостью а, которая содержит луч fe, a 3t (h\ a') — репер с лучом К
и прилегающей полуплоскостью а', которая содержит луч к'. По
теореме 36 в полуплоскости второго репера существует
единственный луч к" такой, что Z (A, k)=£(h\ к"), а по теореме 40
внутри угла (h\ к") найдется такой единственный луч Г, что
Z (А, /) = Z (h\ /"), Z (/, k) = Z (/", k"). Так как по условию
теоремы Z (A, /) = (Z А', /'), а по теореме 36 такой луч /',
принадлежащий реперу 9t (h\ а'), единственный, то I" совпадает с /'.
В таком случае по теореме 41 мы будем иметь конгруенцию Z. (1,к) =
= Z (1\ &")> а по условию теоремы Z (Л £)= Z ('', &')• Отсюда
следует, что Z (/', к') = /_ (/', &")• Так как луч /' (/") лежит между
Ь! и к (по условию теоремы) и между К и &", то по теореме
26 луч / расположен вне угла (к\ к"). Поскольку все три луча
к', к", V расположены в одной полуплоскости, то луч к"
принадлежит реперу с лучом /' и полуплоскостью, содержащей луч к'.
По теореме 36 луч к" совпадает с k\ и значит /_ (h\ к')= /_ (А, к).
Теорема 43 (третья теорема о конгруентности
треугольников). Если в треугольниках ABC и А'В'С три
стороны попарно конгруентны:
АВ = А'В\ ВС = В'С\ АС = А'С\
то конгруентны и соответствующие углы:
LBAC=£B'AC\ £ABC=£A'B,C, LACB = LACB\
Пусть 91 — репер, определяемый лучом А В с вершиной в А
и (гочкой С, 31й— дополнительный с ним репер (см. определение 14),
с с'
V ; У Д' Ъ
Черт. 26.
а 91' — репер, определяемый лучом А'В' с вершиной в А' и точкой С
(черт. 26). По аксиоме III, существует единственное движение, пре-

§ 4. Аксиомы движения
79
образующее репер 91' в репер 9с". Так как по условию теоремы А'В'±=
= АВ, то точка В' перейдет в В, а точка С — в некоторую точку
С" репера 9Г. Так как точки С и С" принадлежат различным
полуплоскостям, то прямая СС пересекает прямую АВ в некоторой-
точке D. Возможны три случая: или ADB, или ADB, или ADB.
По определению 8 (стр. 64) и теореме 23 (стр. 64, вторая часть) — в
первом случае луч CD лежит межд% лучами СА и СВ, а в двух
других он не лежит между ними. Если один из этих лучей лежит
между двумя другими, то соответствующий ему луч из тройки
С A, CD, С В тоже лежит между двумя другими (например, если
луч. CD лежит между С А и С В, то луч CD тоже лежит между
С" А и С В).
Рассмотрим теперь треугольники ABC и ABC". У них сторона
АВ общая, а две другие попарно конгруентны: АС = АС, ВС =
= ВС. Поэтому треугольники АСС и ВСС равнобедренные, и по
теореме 39 мы будем иметь конгруенции:
Z АСС = L АСС, /_ССВ= АСС"В.
Если луч CD лежит между С А и СВ, то по предыдущему луч CD
будет лежать между С"А и СВ, и по теореме 42 из наших
конгруенции вытекает конгруенция /_ АСВ = Z. АС"В. Если же CD
и CD не лежат между соответствующими парами, то по теореме 41
мы приходим опять к этой же конгруенции. Так как £ АСВ =
= £ А!СВ\ то (в силу транзитивности конгруентности)
L АСВ= £А'СВ'.
Повторяя аналогичные рассуждения для сторон ВС и АС, мы
будем иметь конгруенции:
L BAC= L В'А'С, L ABC = L А'В'С.
Смежные и вертикальные углы. Перпендикуляры.
Определение 19. Углы (A, А) и (A, А) называются
смежными, если они имеют общую вершину, общую сторону А, а их
стороны А и А — дополнительные лучи (см. определение 4 на
стр. 59). Мы будем также говорить, что смежные углы дополняют
друг друга. _
Определение 20. Углы (А, А) и (А, А) называются
вертикальными, если они имеют общую вершину О, луч А —
дополнительный к лучу А, а луч А — дополнительный к лучу А.
Из этих определений следует, что каждому углу ^ (А, А)
соответствуют два смежных угла: /, (А, А) и /, (А, А) — и один

so
Глава /Л Абсолютная геометрия
вертикальный: /_ (h, k). Очевидно, что два угла, смежные с
данным углом, будут между собой вертикальными.
Теорема 44. Вертикальные углы между собою конгруентны.
Пусть ^ (h, k) и Z (h, k)—пара вертикальных углов (/г и /г, £
и k — дополнительные лучи). По определению 19 ,/ (/г, k) — угол
смежный с каждым из них. По аксиоме Н11о существует движение
Г, преобразующее луч k в*луч /г, а луч h — в луч k. Очевидно,
что при этом луч k переходит в луч /г, а луч h — в луч k. Итак,
первая и вторая стороны угла (/г, k) преобразуются соответственно
во вторую и первую стороны угла (h, k): /*—►&, k —► h. По oipe*
делению конгруентности фигур, угол (h, k) конгруентен углу (/г, £)•
Так как углы, смежные с данным углом, — вертикальны между
собой, то по доказанной теореме они конгруентны.
Теорема 45. Если угол (h, k) конгруентен углу (/*', &'), то
и смежные с ними углы конгруентны между собой.
Пусть /_ (hy k) и /_ (/*', k') — углы, смежные соответственно с
углами ^ (/г, k)y £ (h\ k'). По условию теоремы существует движение Г,
преобразующее луч h в луч h\ a k — в k'. Так как при этом луч h
преобразуется в луч /г', то движение Г, преобразующее угол (/г, k) в
угол (/*', &'), преобразует угол (/*, k) в угол (/*', k')\ по
определению 16, конгруентности фигур, Z (A, k)= ^(h\ k').
Определение 21. Угол, конгруентный своему смежному,
называется прямым. Лучи, образующие прямой угол, называются
перпендикулярными друг к другу.
Теорема 46. Прямые углы существуют.
По аксиоме 14, существует треугольник^ ABC. Пусть а —
плоскость этого треугольника (теорема 5). По теореме 20, прямая АВ
разбивает точки плоскости а на две области — полуплоскости. Эти
полуплоскости с лучом АВ образуют два репера. По аксиоме Ш8,
существует только одно движение Г, преобразующее один из
реперов в другой. По аксиоме Ш7, точки луча АВ будут
неподвижными (неподвижными будут также и точки дополнительного с ним
луча). Пусть С — точка, в которую этим движением
преобразуется точка С. Так как точки С и С находятся в различных
областях, то отрезок СС пересекает прямую АВ в некоторой
точке D, которая будет принадлежать или лучу А5, или
дополнительному с ним. Рассмотрим теперь углы ADC и ADC. Они
смежны: у них сторона DA общая, а две другие, DC и DC\
дополняют друг друга. Наше движение Г, оставляя на месте точки
А и D, сохраняет сторону AD, а стороны DC и DC преобразуют
друг в друга, значит Z. ADC = ADC. Поскольку эти конгруент-
ные углы смежны, то, по определению 21, они прямые.
Теорема 47. Прямые углы конгруентны между собой.
Пусть углы (/г, k) и (/г', k') — прямые. Тогда (по
определению. 21) смежные с ними углы (/г, k) и (/г', к') конгруентны им:

§ 4. Аксиомы движения
8J
Z.(A, A)=Z(A, A), Z (A', A')=Z(A', А') (черт. 27). Докажем,
что Z (A, fc) = Z (A', A'). *
Допустим, противное: пусть Z (А, А) ф Z (A\ А'1). По теореме
36, в полуплоскости репера, определяемого лучом А и
примыкающей к нему полуплоскостью, которая содержит луч А, существует
*'
Л'
Черт. 27.
Л'
О'
только один такой луч /, что Z (^> /) = Z (А', А'). По нашему
предположению луч / не совпадает с лучом А. Следовательно, 4
луча А, /, А, А различны. По теореме 25 / лежит либо между А и
А, либо между А и А. Допустим для определенности, что /
лежит между А и А. Тогда по теореме 40 существует такой луч т,
лежащий между А и А, что Z (А, ш)= Z. (А, /). Так как Z (А, /) =
= Z (А', А'), то, в силу транзитивности конгруентности, Z (h> rri)=
= Z (А', А'). Так как углы (А, т) и (А', А') — смежные с этими углами, то
(по теореме 45) Z (А, т) = Z (А', А'). Учитывал, что Z (А', А') =
= Z (А', А'), получаем Z (A, /я) = Z (А\ А'). Итак, мы имеем
Z (А, /)= Z (Л', *') и Z (А, «)= Z (А', А'),
откуда Z (A, /)=Z(A, /я), что противоречит теореме 36. Наше
допущение, что угол (А, А) не конгруентен углу (А', А'), привело
к противоречию; поэтому Z (А, А) = (А', А'), что и требовалось
доказать.
Теорема 48. В полуплоскости X репера (h, l) с лучом А
существует только один луч А с вершиной в вершине луча А,
образующий с А прямой угол.
Действительно,, если бы, вопреки нашей теореме, существовало
два луча А и А', то (по теореме 47) углы (А, А) и (А, А') были
бы равны, что противоречит теореме 36.
Определение 22. Прямые а и b (или отрезки О А, О В) с
общей точкой О называются перпендикулярными, если
перпендикулярны лучи А и А (соответственно О А и ОВ)у на них лежащие
и имеющие точку О общей вершиной. Мы будем говорить также,
1) Знак ф означает жне конгруентно" („не равно*).

82 Глава П. Абсолютная геометрия
что отрезок (или луч) О А перпендикулярен прямой а, если один
из его концов (вершина О) лежит на прямой а, и его прямая ОА
перпендикулярна прямой я.
Из теоремы 48 непосредственно следует теорема 49:
Теорема 49. Через данную точку О прямой а, лежащей
в плоскости а, можно в этой плоскости провести только одну
прямую Ъ, перпендикулярную к прямой а.
Середина отрезка и биссектриса угла.
Определение 23, Точка О называется серединой отрезка АВ,
если отрезок АО конгруентен отрезку ОВ.
Теорема 50. Если О, А, В — три различные точки, лежащие
на одной и той же прямой, и О А = ОВ, то точка О лежит
между А и В (иначе говоря, середина отрезка лежит между его
концами).
Так как ОА = ОВ,- то, по определению коигруентности (16),
существует движение Г, которое точку О оставляет непбдвижной,
а точку А преобразует в точку В. Пусть, вопреки нашему
утверждению, О не лежит между А и В\ тогда либо А лежит между
О и й, либо В — между О и А Пусть, для определенности,
*
А лежит между О и В, ОАВ. Наше движение Г эту тройку О, А, В
преобразует в тройку О, В, Л, причем, поскольку точка А
преобразуется в точку В, а движение сохраняет отношение инцидентности
и „между" (аксиомы Ш^-з)» т0 теперь точка В будет уже лежать
между О и Л, ОАВ. Таким образом, мы имеем: ОАВ и ОАВ, что
противоречит аксиоме П3. Значит, допущение ОАВ несправедливо.
По той же причине несправедливо и допущение ОАВ. Так как из
трех точек ОАВ всегда существует только одна, которая лежит
между двумя другими (теорема 14), то точка О лежит между
точками Л и В.
Теорема 51. Каждый отрезок АВ имеет не более одной
середины.
Пусть О и О'—две середины отрезка АВ, т. е. ОА = ОВ,
0'А = 0'В, причем О и О' не совпадают (черт. 28). По предыду-
* *
щей теореме, О и О' лежат между Л и В (АОВ, АО'В). Из точек
Черт. 28.
О, О', В только одна лежит между двумя другими. По теореме 16,
точка В не может лежать между О и О'. Пусть, например, точка
О' лежит между О и В (00'В). Возьмем теперь движение, которое
преобразует точку А в В и наоборот, а точку О оставляет нело-

§ 4. Аксиомы движения
83
движной (такое движение существует по условию ОА = ОВ). Точка
О' преобразуется при этом в точку О", которая будет лежать
«
между Л и О' {00" А). Пэ определению конгруентности фигур
АЭ" = 0'В. Но О'В = А0'\ поэтому АО" = АО\ По теореме 15
о нумерации четырех точек, из отношений АОВ и 00 В следует
• # *
АОО'. По этой же теореме из отношений АОО' и АО 'О следует
АО"0\ Итак, мы имеем АО" = АО', причем АО"0', что
противоречит теореме 34.
Теорема 52. При движении, переставляющем концы отрезка
АВ, его середина О неподвижна.
Действительно, если бы точка О 'преобразовалась в другую
точку 0\ ' то наряду с О А = ОВ мы имели бы О' В = О'А, что
противоречит теореме 51. »
Теорема 53. Каждый отрезок АВ имеет середину О и
притом только одну.
По аксиоме 13 сущ ствует точка С, не лежащая на прямой АВ.
Луч АВ и точка С определяют полуплоскость. По теореме 36 в
дополнительной полу июскости
существует единственный луч ВС такой.,
что Z ABC = £ ВАС (черт. 29)!
Пусть С — такая точка луча ВС, что
ВС = АС. Так как точки С, С
принадлежат различным полуплоскостям,
то отрезок СС имеет с прямой АВ
общую точку О. Мы утверждаем, что
эта точка О лежит между А и В и
является серединой отрезка АВ.
В самом деле, так как £ ABC =
= £ВАС, АВ = ВА, ВС = АС, то
(по теореме 37) ВС = АС. Отсюда
(по теореме 43) £ АСС = /_ ВСС и
(по теореме 38) АО = 03, т. е. О есть середина отрезка АВ.
По теореме 51 она единственна.
Определение 24. Луч / называется
биссектрисой угла (/г, k), если он лежит
между его сторонами и угсГл (/г, /) конгруен-
тен углу (/, k).
Теорема 54. Каждый угол (h, k) имеет
биссектрису и притом только одну.
Пусть S — вершина угла, А —
какая-нибудь точка луча h, а В — точка луча k (черт.-
30), причем SA = SB (теорема 34). Все точки
отрезка АВ принадлежат внутренней области
угла (h, k) (теорема 22). Пусть О — середина
отрезка АВ (теорема 53); как известно, она
лежит между А и В. По теореме 23 луч SO (с вершиной в S) ле-
Черт. 29.
Черт. 30.

84
Глава П. Абсолютная геометрия
жит внутри угла между лучами h и 'ft. Мы утверждаем, что
Z(A, 0=Z(/, *).
В самом деле, по аксиоме Ш10 существует движение,
преобразующее угол (Л, ft) в угол (ft, ft), т. е. движение, которое
преобразует луч ft в луч ft и наоборот, оставляя на месте точку S. Так
как SA = SB, то точка А при этом преобразуется в точку В и
наоборот. Поскольку, далее, ОА = ОВ, точка О останется
неподвижной (теорема 52). Итак, наше движение кроме вершины S луча
/ оставляет неподвижной еще одну его точку О. Так как
вершиной S и точкой О определяется только один луч, то паше
движение оставляет луч / неподвижным. Поскольку луч ft преобразуется
в луч k> то /_ (ft, /)=Z. (A ft)» т- е. / есть биссектриса угла (ft, ft).
Пусть теперь /' — вторая биссектриса угла (ft, k). По
определению она лежит между лучами h и k и поэтому имеет с отрезком
АВ общую точку О' (тесфема 23). Так как/, (ft, /')=/,(/', &),
SA = SB, SO'=SO\ то треугольники 5ЛО' и SO'В конгруентны
(теорема 38). Из конгруентности этих треугольников следует, что
0'А = 0'В, т. е. точка О' — середина отрезка АВ (определение 23).
Поскольку, по теореме 52, каждый отрезок АВ имеет не более
одной середины, то О' совпадает с О и луч /' совпадает с /, т. е.
/—единственная биссектриса угла (ft, ft).
Сравнение отрезков и углов. Сложение и
вычитание их.
Определение 25. Пусть АВ и А'В' — два отрезка одной
прямой а или различных прямых а и а. Будем говорить, что
отрезок АВ прямой а больше отрезка А'В', а А'В' — меньше
отрезка АВ, и писать АВ^>А'В' и А'В' <^АВ, если существует
движение, которое* концы А\ В' отрезка А'В' преобразует во
внутренние точки А", В" отрезка АВ.
Поскольку соотношение „между", определяющее понятие
внутренних точек отрезка, не нарушается движением, то соотношения
„больше" и „меньше" инвариантны относительно движения.
Нетрудно видеть, что соотношение „больше", а также и
„меньше" обладает транзитивным свойством:
если %АВ > CD, a CD > EF, то АВ > EF.
Определение 26 Если АВ и ВС — два отрезка с общим
концом В, лежащие на одной и той же прямой d% причем точка В
лежит между точками А и С, то отрезок АС называется суммой
отрезков АВ и ВС; мы будем в этом случае писать:
АВ + ВС = АС.
По тем же соображениям, как и в случае равенства отрезков,
заключаем, что сумма отрезков инвариантна относительно движения

§ 4. Аксиомы движения
85
Если отрезки АВ и CD не лежат на одной прямой, то под их
суммой будем понимать третий отрезок EFy который имеет такую
внутреннюю точку О, что ЕО = АВ, OF = CD.
Под суммой п отрезков АХАЪ А^'А.^---, А'пАп+1 будем понимать
отрезок BtBn+ly внутри которого существует п— 1 таких точек Въ
ВгГ-> Вп, что АхАъ = ВхВь А\_Ад = ВоВд,---, Ап'Ап + 1 = ВпВп + 1у
*
причем BiBjBk для /<0<С^ (или />/>&)•
Теорема 55. Сумма отрезков обладает коммутативным
и ассоциативным свойствами:
a+b = b + a и a + (b-\-c) = (a-\-b) + c1).
Эту теорему предлагается доказать читателю.
Определение 27. Если АВ и ВС — два отрезка с общим
концом By лежащие на одной прямой а, причем точка С лежит между
А и By то отрезок АС называется разностью отрезков АВ и ВС;
записывается это так:
АВ — ВС = АС.
Разность отрезков, очевидно, также инвариантна относительно
движения.
Определение 28. Будем говорить, что угол (h, k) больше
угла {h'y k')f и писать:
L(hy A)> £(h\ ft'),
если существует луч /, лежащий между лучами h и ft, такой, что
^/ (/г, /) = Z (^'» &')• В этом случае будем говорить также, что
угол (h'; ft') меньше угла (/*, ft).
Определение 29. Угол, меньший прямого, называется
острым, а больший прямого — тупым.
Прямой угол будем обозначать буквой d.
Определение 30. Суммой углов (/*, ft) и (/, т)
называется угол (/?, q)y во внутренней области которого существует
такой луч г с вершиной в вершине угла (/?, q)y что
L (A r)= L (Л, k) и L (Л q)= L (Л т).
В этом предположении угол (h% ft) мы будем называть /?яз-
ностъю углов (/?, #) и (/, /я) и писать:
L(hy k)=£(p, q)— Z(/, "*)>
и точно гак же:
ZC m)=£<J>, q)—L(h, ft).
Сумма нескольких углов определяется совершенно аналогично
сумме нескольких отрезков.
1) Здесь малой латинской буквой обозначен отрезок АВ или конгруент
ный ему.

86
Глава П. Абсолютная геометрия
Чтобы распространить понятие суммы на тот случай, когда оба
угла — прямые или смежные, мы будем называть также углом
пару противоположных лучей; относительно такого угла условимся
говорить, что он равен сумме двух прямых углов (2d):
d + d = 2d, Z (К к) + L (A, h) = 2d.
Теорема 56. Сложение углов обладает коммутативным и
ассоциативным свойствами.
Доказательство предоставляем читателю.
Теорема о внешнем угле треугольника
и ее следствия.
Определение 31. Внешним углом треугольника называется
угол, смежный одному из его углов.
Теорема 57. Внешний угол треугольника больше любого
внутреннего с ним не смежного.
Пусть С В А' — внешний угол треугольника ABC, причем ABA'
(черт. 31). Покажем, что /,С£Л'> /. АС В.
По теореме 53 существует
середина D отрезка ВС. По теореме 34
существует такая единственная точ-
ка Е, что DE = AD, причем ADE.
Нетрудно видеть, что точка Е
принадлежит внутренней области
угла СВА'. Действительно, внутрен-
нят область угла СВА' (по
определению 7) — множество то.чек,
принадлежащих двум полуплоскостям
а (ВС, А'), а (ВА', С), из
которых первая определяется прямой
ВС и точкой А\ а вторая —
прямой ВА' и точкой С. Так как
*
ABA', то точка А принадлежит
полуплоскости а (ВС, А), дополни-
полуплоскости а (ВС, А'). Поскольку точка D лежлт
ВС (и на прямой АЕ между точками А и Е), то (но
свойству дополнительных полуплоскостей, см. теорему 20) точка Е
принадлежит полуплоскости а (ВС, А').
Далее, точка D принадлежит полуплоскости а (ВА9, С), и ADE,
причем А лежит на прямой ВА'; по определению полуплоскости
а (ВА\ С) точка Е принадлежит ей.
Итак, точка Е — общая для двух полуплоскостей а (ВА\ С) и
а (ВС, А'); поэтому она принадлежит внутренней области угла СВА'.
При этих условиях луч BE лежит между лучами ВА' и ВС.
По определению 28 Z. СВЕ<^ £ СВА'. Но из конгруентностей
BD = DC, AD = DE и Z. BDE = L CD А (теорема 44) следует:
тельной к
на прямой

§ 4. Аксиомы движения
87
Z DBE = £DCA (теорема 37). Так как Z DBE = Z С BE (поскольку
BDC\ а Z DC А = /, ВС А, то Z С BE = Z ВС А. Но, как мы
только что показали, Z CBE<^ L СВА'; значит Z ВС А < Z СВА\
что и требовалось доказать.
Совершенно аналогично доказывается неравенство Z CAB <^
< Z СВА'.
Опираясь на эту теорему, можно вывести ряд следующих
интересных и важных для всего последующего предложений.
Теорема 58. Существует одна и только одна прямая Ъ,
проходящая через данную точку С перпендикулярно прямой а.
Пусть Л, В—пара точек прямой а (аксиома 13). Пусть 91 —
репер с лучом АВ и вершиной Л, содержащий точку С, а 91' —
репер с лучом АВ> вершиной А и
полуплоскостью, дополнительной к
полуплоскости первого репера (черт. 32).
По аксиоме Ш8 существует
единственное движение Г, преобразующее точки
91 в точки 9Г. При этом точки Л, В
преобразуются сами в себя, а точка
С—в некоторую точку С. Мы будем
иметь коигруенщш
АС = АС, ВС = ВСУ
LBAC=LBAC,
LABC= sLABC. 4ерт- 6L
Так как точки С и С принадлежат различным полуплоскостям,
то прямая СС имеет с прямой АВ общую точку D. Рассматривая
треугольники ADC, ADC\ замечаем, что они удовлетворяют
условиям теоремы 37. Поэтому /_ ADC = /_ ADC, и поскольку эти
углы смежные, они прямые. Существование прямой b (СС) доказано.
Пусть теперь существует другая прямая Ь\ проходящая через
точку С перпендикулярно к прямой а. Но тогда в треугольнике
CDD\ где D' — общая точка а и Ь\ будут два прямых угла, именно
Z CDD' и Z CD'D. Внешний угол CDB, смежный с прямым, Z CD В —
тоже прямой. По теореме же 57 он больше внутреннего прямого с
ним не смежного угла CD'D.
Получ 1лось противоречие; следовательно, второго
перпендикуляра через С к прямой а провести нельзя.
Теорема 59. Две прямые а и Ь, лежащие в одной плоскости
и перпендикулярные к третьей прямой с, не пересекаются
между собой 11.
Допущение о существовании общей точки прямых
противоречило бы предыдущей теореме.
1) В этой теореме впервые говорится о параллельных линиях, т. е.
линиях, лежащих в одной плоскости и не пересекающихся. Но
соответствующего определения еще не вводится — это будет уместно сделать в
следующей главе, посвященной специально евклидовой геометрии.

88
Глава II. Абсолютная геометрия
Определение 32. Известное из школьного курса геометрии
определение внутренних и внешних односторонних углов,
внутренних и внешних накрест лежащих углов и соответственных
углов, образованных парой прямых, лежащих в одной плоскости
с третьей секущей их прямой, может быть формулировано точно;
мы предоставляем это сделать читателю.
Из теоремы 59 легко выводится следующая важная теорема:
Теорема 60 (прямая теорема о параллельных
линиях). Прямые, образующие с секущей их прямой равные
соответственные углы, не пересекаются.
Доказательство этой теоремы мы предоставляем читателю. В свою
очередь из нее легко выводится
Теорема 61. Через каждую точку С, лежащую вне данной
прямой АВ, в плоскости ABC проходит по меньшей мере одна
прямая, не пересекающаяся с прямой АВ.
Замечание. В теореме говорится по меньшей мере одна, а
не одна потому, что, как мы увидим позже, в пределах
абсолютной геометрии невозможно доказать, что через точку С, лежащую
вне прямой АВ, в плоскости ABC проходит только одна прямая CD,
не пересекающаяся с АВ. Оказывается, что с аксиомами абсолютной
геометрии совместим тот случай, когда в плоскости ABC через
точку С вне прямой АВ проходит бесчисленное множество прямых,
не пересекающихся -с АВ (аксиома Лобачевского).
По этой причине в пределах абсолютной геометрии мы
умышленно не будем называть непересекающиеся прямые параллельными,
чтобы читатель не ассоциировал непременно случай одной
параллельной (в геометрии Лобачевского параллельные не есть просто
непересекающиеся, а такие, которые, кроме того, являются
граничными — разделяют пересекающиеся от непересекающихся, см. стр. 38).
Дальнейшие теоремы абсолютной геометрии.
На основании всего изложенного можно доказать ряд теорем,
из которых упоминаем следующие (доказательств не даем —
читатель может, в порядке упражнения, вывести*их сам).
Теорема 62. В треугольнике против большей стороны
лежит бдльший угол и, наоборот, против большего угла лежит
ббльшая сторона.
Теорема 63. Во всяком треугольнике каждая сторона
меньше суммы и больше разности двух других сторон.
Теорема 64. Периметр1) ломаной больше замыкающей.
Теорема 65. Если две стороны одного треугольника равны
1) Определение периметра: периметр ломаной линии — сумма отрезков,
ее составляющих.

§ 4. Аксиомы движения
89
двум сторонам другого, а углы между ними не равны, то против
бдлъшего угла лежит большая сторона.
Определение 33. Треугольник ABC с прямым углом АСВ
называется прямоугольным, его стороны АС, ВС — катетами^
а сторона АВ — гипотенузой.
Из теоремы 62 непосредственно следует, что в
прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого катета.
Теорема 66. (Четвертая теорема о конгруентности
треугольников.) Два треугольника ABC и А'В'С конгруентны,
если
АВ = А'В'У ВС = В'С, /, АСВ= ^А'С'В' и АВ>ВС.
Из этой теоремы непосредственно вытекает следующая теорема.
Теорема 67. Прямоугольные треугольники ABC, A'B'C
конгруентны, если катет и гипотенуза одного конгруентны
соответственно катету и гипотенузе другого.
Теорем*а 68. Если в двух треугольниках ABC и А'В'С
имеют место соотношения
АВ = А'В', £САВ= А С А'В', £ ABC>Z А'В'С,
то АС > АС, /_ АСВ < /_ АСВ',
и наоборот — если
АВ=А'В', £САВ= £С'А'В', АС У АС,
то •
L ABC у /, А'В'С, /, АСВ < Z А'СВ'.
Определение 34. Высотой треугольника называется
перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь вершины треугольника на
противоположную сторону.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий какую-
нибудь вершину его с серединой противоположной стороны.
Биссектрисой треугольника называется биссектриса одного иа
его углов.
Теорема 69. В равнобедренном треугольнике медиана,
соответствующая основанию, совпадает с высотой и биссектрисой.
Теорема 70. Три медианы (соответственно — три
биссектрисы) треугольника всегда пересекаются в одной точке, лежащей
внутри треугольника.
Если две высоты треугольника пересекаются, тогда в той же
точке с ними пересекается и третья высота. ,
Это — три так называемые замечательные точки треугольника.

90
Глава II. Абсолютная геометрия
Замечание. В пределах абсолютной геометрии невозможно
доказать, что высоты треугольника всегда (т. е. в любом
треугольнике) пересекаются. Именно по этой причине формулировка
второго предложения нашей теоремы отличается от формулировки первого
предложения (для медиан и биссектрис).
Теорема 71. Три замечательные точки треугольника
совпадают только для равностороннего треугольника.
Во всех приведенных выше теоремах соотношения равно,
больше, меньше между сторонами и углами мы понимали не
как результат измерения сравниваемых величин (как это мы, начри-
мер, делаем на практике, измеряя с помощью метра два
сравниваемых отрезка), а как специальное свойство фигур, которое
сохраняется при движении. Как мы увидим ниже, можно стать и на
метрическую точку зрения при сравнении величин — сравнивать
отрезки по их длинам. Но этого мы пока не можем сделать,
поскольку введенных нами трех групп аксиом недостаточно, чтобы
соответствующим образом отнести каждому отрезку число и
наоборот. Эго станет возможным лишь после введения аксиомы
непрерывности, которой специально посвящен следующий параграф.
§ 5. Аксиома непрерывности IV и ее следствия.
Аксиома непрерывности (IV).
IV (аксиома Дедекинда). Если все точки М некоторой
прямой линии, лежащие между точками А и В, разбиты на два
класса {области) Ki и Ко, обладающге ceoui твами:
1) каждая точка М принадлежит к одному из этих классов;
точка А принадлежит к первому цлассу Ki, а точка В — ко
второму классу Кз,
2) каждая точка Мх первого класса Kj, отличная от
точки А, лежит между А и Мъ где М2 — любая точка второго
класса Ка'),
то существует только одна точка С, такая, что точки Р,
лежащие между А и С, принадле-
£ Q В жат к первому классу, а точки Q,
М, Р м. О лежащие между Си В, — ко
второму.
Черт. 33. Относительно точки С говорят,
что она производит сечение (деде-
киндово сечение) точек отрезка на два класса. Будем называть ei
дедекиндовой точкой (черт. 33).
*) Отсюда следует, что и обратно — каждая точка М2 второго класса.
отличная от В, лежит между Мх и В, где Мх — лк^ая точка первого класси
Предоставляем доказать это читателю

§ 5. Аксиома непрерывности
91
Следствия из аксиомы непрерывности IV.
Теорема 72. Не существует ни одной точки второго
(соответственно первого) класса, лежащей между любой парой
точек Mlt Мх первого (соответственно М<>, М2' второго) класса.
Пусть Мх и Мх—любая пара точек первого класса, а М2 —
произвольная точка второго класса. Тогда, по свойству 2) аксио-
* *
мы IV, АМХМЪ АМХ М3. Мы видим, что из четырех точек А, Ми
Мх\ М« две точки — именно Ж, и Мх* — лежат между А и Ж2. По
теореме 16 ни точка Ж2, ни точка А уже не могут лежать между Мх
и Л!,'.
Отсутствие точек Мх первого класса, лежащих между любой
парой точек Ж2 и УИ2' второго класса, доказывается вполне
аналогично.
Нетрудно видеть, что второе условие аксиомы Дедекинда можно
заменить этой теоремой.
Теорема 73 (предложение Архимеда). Пусть А и В —
пара точек и точка Ах лежит между ними. Если А2, Л3,«««,
Ап,... — ряд таких точек луча
АВ с вершиной в А, что Л, . . ---^ -«---- --
лежит между А и Аъ А2— Д Д, Д7 дз В Дп
между Ах и Аъ и т. д., и все
отрезки AAlt АХАЪ A^AZ и ЧеРт- 34-
т. д. между собой конгруент-
ны, то среди этих точек Ai существует такая точка Ап, что
точка В лежит между точками А и Ап (черт. 34).
Предположим, что точки АЛ, обладающей свойством, указанным
в нашей теореме, не существует, т. е. все точки Ak для любого
номера k лежат между А и В. Введем два класса. К первому
классу Ki отнесем все точки Ak (при любом k) и те точки Ми
которые лежат между А и какой-нибудь точкой Ak (черт. 35).
Ко второму классу Кз отнесем все те точки Ж2, лежащие между А
и В, для которых любая точка Ak лежит между А и УИ2. Так как
относительно любой точки Ж, лежащей между А и В, справедливо
или AMAki где k — некоторое число, или AMAk при любом k, то
Черт. 35.
она. будет входить либо в первый, либо во второй класс. Значит,
наши классы удовлетворяют первому условию аксиомы Дедекинда.
Если Мх — точка первого класса, то существует номер k такой,
*■ *
что AMxAk. Если Mq —точка второго класса, то ААкМ^ (при любом k).

92
Глава II. Абсолютная геометрия
На основании теоремы 15 отсюда следует АМХМ^У т. е. любая
точка Мх первого класса лежит между А и любой точкой М<>
второго класса.
По аксиоме Дедекинда существует такая точка С, лежащая
между А и Ву что все точки первого класса лежат между Л и С,
а точки второго класса — между С и В. Прежде всего, очевидно,
что С не совпадает ни с одной из точек Ak (в противном случае
мы имели бы ACAk+u и точка Ak+1 принадлежала бы второму классу).
Возьмем на луче С А с вершиной С точку D так, чтобы CD = AAX.
Так как АС > ААп = АА1 -\- АгА^ -\ -J~ Ai-i At = пАА] > АА1 при
*
любом пу то точка D будет лежать между А и С (ADC); в
противном случае мы имели бы противоречие с определением 25
(на стр. 84). Из того, что D принадлежит первому классу, следует
(согласно его определению) существование такой точки Ak\ что ADAk.
Так как наряду с ADC, ADAk справедливо AAkC (по определению
первого класса), то по теореме 15 будет справедливо и DAkCy т. е.
точка Ak лежит между D и С.
#
Возьмем теперь на луче СВ точку Е так, что СЕ = DAk. Из АСЕ
и AAkC следует AkCE. Из равенства CE = DAk и AkCE, DAkC
следует Ei4fe = DC. Поскольку, кроме того, DC = AAt, то ЕAk = AA^
Так как AAkE, то АЕ = AAk-\- AAt = ААШ и, значит, точка £
совпадает с Ам. Но это противоречит выбору классов. Действительно,
мы получили ACAk+li а согласно выбору классов и аксиоме Деде-
кинда должно быть AAk+1 С.
Мы пришли к противоречию с аксиомой Н3; поэтому наше
допущение, что все точки Ak лежат между точками А и В,
несправедливо, i
Теорема 74 (предложение Дедекилда для углов).
Если все лучи т, лежащие между лучами а, Ьу разбиты на два
класса (области), об гадающие свойствами: ч
1) каждый луч т принадлежит одному из этих классов; луч а
принадлежит первому классу, а луч b — второму, i
2) каждый луч тх первого класса, отличный от луча а, лежит
между а и /я2; где т2 — любой луч второго класса,
то существует только один луч с такой, что лучи р,
лежащие между а и с, принадлежат к первому классу, а лучи q,
лежащие между с и Ь, — ко второму.
Доказательство этой теоремы становится очевидным, если ввести
отрезок АВ с концами на лучах а, Ь и каждому лучу т> лежащему
между а и by поставить в соответствие точку М отрезка АВ,
лежащую на этом луче. В силу взаимной однозначности этого
соответствия и сохраняемости отношения „между" (лучу ту лежащему
между а и by соответствует точка Ж, лежащая между А и В), на

§ 5. Аксиома непрерывности
93
отрезке АВ будут выполнены условия аксиомы Дедекинда. Дедекин-
довой точке С (единственной, по аксиоме IV) будет соответствовать
единственный дедекиндов луч с, о котором и говорится в теореме.
Теорема 75 (предложение Архимеда для углов).
Теорема формулируется аналогично теореме 73. Предлагаем
доказать ее читателю.
Определение 35. Окружностью, лежащей в плоскости а
с центром в точке О этой плоскости, называется совокупность
всевозможных точек Ж, для которых отрезок ОМ конгруентен данному
отрезку АВ (ОМ = АВ). Отрезок АВ называется радиусом
окружности. Плоскость а будем называть плоскостью окружности.
Точки Ми лежащие в плоскости окружности, для которых ОМх <^ АВ,
называются внутренними точками к окружности, а точки Мъ для
которых ОМъ ^> АВ, — внешними точками к окружности. Первые точки
образуют внутреннюю область ^^—~^^
Окружности, а вторые—внешнюю. /^ ^чч
Теорема 76. Прямая а, ле- / \f
жащая в плоскости окружно- I s' \
сти радиуса О А с центром в О и I рК
проходящая через некоторую \ I \V /
точку Ж, внутренней области \ ] \ \\/ 9 ?
окружности, пересекает ее в С*4*, q М^Уи^
двух точках (черт. 36). '
По теореме 58 существует Черт. 36.
единственная точка В, лежащая
на прямой а, такая, что отрезок ОВ перпендикулярен к прямой а.
По теореме 66 катет ОВ меньше гипотенузы ОМ1
прямоугольного треугольника ОВМх\ поэтому точка В также принадлежит
внутренней области.
Возьмем на луче ВМХ прямой.а точку Q так, чтобы BQ = OA.
По теореме 66 OQ ^> BQ = ОА\ значит, Q лежит во внешней
области окружности. Разобьем теперь все точки отрезка BQ на два
класса: к первому отнесем те точки Mv для которых ОМ <^ОА,
а ко второму—точки Мъ для которых ОМъ^-ОА. Ясно, что В
принадлежит к первому классу, a Q — ко второму.
Эти классы удовлетворяют условию аксиомы Дедекинда.
Действительно, так как относительно каждой точки7 М отрезка BQ
' справедливо одно из трех соотношений: ОМ 1^0А, то точка М
будет принадлежать первому или второму классу; таким образом,
выполняется 1-е условие аксиомы Дедекинда.
Пусть Мх — точка первого класса, отличная от В, а М2 — точка
второго класса, т. е. ОМ, <^ О А, а ОМ.г ^ О А. Прежде всего, ясно,
что эти точки не могут совпадать. Поскольку, далее, прямоугольные
треугольники ОВМх и ОВМ^ имеют общий катет О В и ОМ^^ОМ^
то по теореме 68 мы будем иметь неравенство /Ш,<^ ВМ,2. Значит,
точка Мх лежит между В и Мъ ВМгМ<^ (см. определение 25);
поэтому и второе условие аксиомы Дедекинда выполняется.

94
Глава П. Абсолютная геометрия
По аксиоме Дедекинда существует единственная точка С, про-
изводящая сечение наших классов. Мы утверждаем, что эта точка
принадлежит второму классу и что ОС = ОА.
Допустим противное: пусть точка С входит в первый класс,.
т. е. ОС <^ О А. Тогда на луче BQ возьмем точку Ж2 так, чтобы
СМъ<^ОА — ОС и точка Ж2 лежала между С и Q. По
определению точки С, точка М^ не входит в первый класс. По теореме 64
получим: ОМъ<ОС-}-СМъ<ОС-{-ОА — ОС = ОА, что
невозможно, так как точка Мч не входит в первый класс.
Пусть, наконец, точка С входит во второй класс и ОС^>ОА.
Тогда на луче С В возьмем точку Мх так, чтобы СМ1<^'ОС—О А
*
и ВМХС\ по теореме 64 будем иметь неравенство ОМг^> ОС—СМ^>
]> О А — (ОС — О А) = О А, что невозможно, так как точка Мх
принадлежит первому классу.
Остается последняя возможность: ОС = ОА, т. е. на луче ВМ%
существует точка С, принадлежащая окружности. На луче,
противоположном лучу BMV возьмем точку С так, чтобы ВС = ВС
Поскольку угол О ВС — прямой, то (по определению прямых
углов) угол ОВС тоже прямой, и потому треугольник ОВС'—
прямоугольный. Так как в прямоугольных треугольниках ОВС и
ОВС' катет О В общий, а катеты ВС и ВС' равны, то ОС' = ОС
(теорема 67). По определению окружности, точка С
принадлежит ей.
Итак, мы доказали существование двух точек окружности,
лежащих на нашей прямой. Нетрудно видеть, что на прямой не
существует более точек, принадлежащих этой окружности. Действительно,
пусть окружность кроме точек С, С имеет еще третью, С",
лежащую на прямой а. Тогда треугольники ОСС\ ОС С" будут
равнобедренными с основаниями СС и СС". Если Е> F—середины этих
оснований, тогда отрезки ОЕ и OF будут различны и, по теореме 69,
перпендикулярны к прямой а> что противоречит теореме 58.
Измерение отрезков.
Определение 36. Мерой или длиной отрезка АВ называется
положительное число d, которое, как функция отрезка АВ> d(AB),
удовлетворяет требованиям:
1) Функция d инвариантна относительно движения Г, т. е.
d(AB) = d(A'B')i где Л' = П4, В' = ГВ,
а Г — любое движение; короче: конгруентные отрезки имеют ода-
наковую длину.
*
2) Функция d аддитивна; т. е. если ABC, то
d(AB) + d(BC) = d(AC),

§ 5. Аксиома непрерывности 95
иначе говоря: длина суммы двух отрезков равна сумме длин этих
отрезков.
Теорема 77. Каждый отрезок имеет длину и притом
единственную, если предварительно некоторому фиксированному
отрезку приписать единичную длину (d = 1).
Разобьем доказательство этой теоремы на две части: в первой
установим существование длины отрезка, а во второй — ее
единственность.
Существование длины. Так как, по определению длины
отрезка, она должна быть инвариантна относительно движений, то
для нашей цели достаточно рассмотреть отрезки, принадлежащие
М
О Р, Р2 Рп-и Hjj Р„
о о- о о УгТ""? ^
м\ м;
Черт. 37.
какому-нибудь лучу / с вершиной О. Пусть ОР, — отрезок луча 1%
которому мы желаем приписать единичную длину, а М — ироизволь-
ная точка этого луча (черт. 37). Возможны два случая: или ОР,М+
*
или ОР,М. Остановимся на первом; второй рассматривается
совершенно аналогично. Опираясь на теорему 34, построим ряд точек Р*к
Р3, • • •, Рк, • ■ • так, чтобы ОР1 = Р,Рг = Р9Рг = ... и ОР,Ръ рДр»...
(черт. 37).
Если при некотором k точка Pk совпадает с Ж, то мы должны,
по первым двум свойствам длины, отрезку ОМ приписать длину d = k.
Действительно, по второму свойству
d (ОМ) = d (OPk) = d (OP,) + d (P,Pk) = d (OP,) -f d (Р,Рг) +
+ d (P%Rk) =... = d (OP,) + d (Ptpj + d (P2P3) + ... + <* (/W\)^
Так как, согласно выбору точек Р«, Р3,..., Pfe, все отрезки Р,РЪ
РоР3,. ., Pk-\Pk конгруентны отрезку ОР,% то по первому свойству
длины
d(P,PJ = d(P,P,) = ... = d(Pk_,Pk) = d(OP,).
Поскольку мы отрезку OP, приписываем длину = 1, d(OP,) = 1,
то
d(OM) = k.
Пусть М не совпадает ни с одной из наших точек Рк. По
теореме 73 существует такой номер /г, что М лежит между О и Рп~

96
Глава IL Абсолютная геометрия
Пусть п — наименьший из этих номеров; тогда точка М будет лежать
между Рп_х и Рп (черт. 37). По второму свойству длины имеем:
d(pM) = d(OPn_x) + d(Pn.tM) = (п - l) -f d(P^M)
и
d(OM)+d(MPn)=ny
откуда следует, что
п— 1<</(ОМ)<л.
Пусть Нх — середина отрезка Рп_хРт которую (по теореме 53)
имеет каждый отрезок. Так как Рп_1Н1= НхРп> то по первому
свойству длины
d(Pn_iH1) = d(HiPn),
а по второму:
d(Pn.lni) + d(H,pn)=а(Рп.,рп).
Поскольку flf(Pn_1/>„)= 1, то
d{Pn_iH1)=d(HlPn)±\.
На основании второго свойства длины,
d{OHl) = {n-\) + \.
Если точка М совпадает с Ии то отрезку ОМ мы должны
приписать длину
d(QM) = (n—l) + j.
Пусть М не совпадает с Hv Тогда или НХМРЮ или Pn_xMHv
Рассуждая'так же, как и выше, получим для d(OM) неравенство
(я_1)+^<<*(0>И)<я-£,
где el=l, ех = О в первом случае, и ег = О, е/ = 1 — во втором.
Тот конец одного из двух отрезков Рп^Ни НхРт содержащих
точку Ж, который лежит между О и М, мы обозначим буквой Mv
а второй Мх (на чертеже 37 Мх = Ни а Ж,' = РЛ). Тогда наше
неравенство можно будет записать так:
d(pMx) < d{OM) < d(OMx) OMxM, MXMMX.
Разобьем теперь отрезок МХМХ серединой Щ снова на два
отрезка и обозначим концы того из них, который содержит Му бук-
вами М2, Мъ\ причем пусть ОМ2М, М^ММ^\ тогда, рассуждая, как
и выше, будем иметь неравенство:
d(OMq) < d(OM) < d (ОМ*'),
где

§ 5 Акспома непрерывности 97
причем или е2 = 1, е2' = 0, или е2 = О, е4' = 1 (в зависимости от
тех же обстоятельств, которые были отмечены в первом разбиении;
на чертеже е0 = 0, е.?' =1).
Продолжая такое же построение v — 2 ра^а, получим
отрезок yWvMv', содержащий внутри точку Мл причем
d(OM,) < d (ОМ) < d (OAi Д
где
причем или efr=l, е^' = 0, или ek = О, eft'=l. При
v—vooвеличины d?(0/Mv) и d(OMj) стремятся к некоторому общему значению.
Действительно, мы замечаем, с одной стороны, что они ограничены:
v v оо
2d 2*^*2. 2*^2. 2й = 1'
й=1 k=\ te=l
а с другой, поскольку efe -f- 2Л' = 1 при любом &, то
v v
Это выражение стремится к нулю при v-^co. Отсюда следует, что
длину d отрезка ОМ следует определить как предел d(OM,) или
d(OM,') при v-*oo:
d (ОМ) = lim d (ОМ,) = lim d (ОМ,').
v-*.oo \—*CO
Точное обоснование этого будет дано ниже.
Если при некотором v середина отрезка М,М,' точно совпадет
с точкой Му то для d(OM) будет иметь значение
d(OM) = d(OM,) = (n-\)+ 2%'
В этом случае будем говорить, что отрезки ОМ и ОРх имеют
общую меру —.
Поскольку наши рассуждения справедливы для любого целого
я, то, в частности, при п = 1 они содержат случай ОМР1у и длина
отрезка ОМ будет иметь вид
d(OM)=\jm 25Ь

98 Глава JI. Абсолютная геометрия
где ek = 1 или 0, смотря по обстоятельствам, указанным выше.
Для дальнейшего заметим следующее: если /?v/?v' — другая после-
* *
довательность отрезков таких, что 0/?v/?v' и R^MRJ, причем
разность d(ORv') — d(ORv) стремится к нулю, когда v—* оо, то
lim d (OR,) = lim(0/?v') = d (ОМ),
где d (ОМ) определено первоначальным способом.
Таким образом, наши рассуждения показывают, что если длина d
отрезка ОМ существует, то она может быть определена с
помощью указанной конструкции.
При образовании d(OM) мы использовали оба свойства длины,
указанные в определении 36. Покажем теперь, что так
определенная величина d(OM) удовлетворяет определению 36 и поэтому
может быть позвана длиной отрезка (что мы уже „авансом"
сделали выше).
Мы определили d(OM), опираясь на понятия „инцидентность",
„между" и „конгруентность" отрезков. Так как, согласно аксиомам
IIIo, III3 и определению (16), эти понятия инвариантны относительно
движения, то d(OM) — величина, инвариантная относительно
движения, и, значит, она удовлетворяет первому требованию.
Остается показать выполнимость свойства аддитивности
d(OM)-\-d(MQ) = d(OQ) для OMQ.
По определению d(OM)y это равенство не требует
доказательства, если отрезки ОМ и MQ с отрезком ОР^ имеют общую меру
вида ^ .
По определению d(OM\
d(ОМ) = lim d (ОМ,) = lim d(OM*)9
V-юо ' v-*oo
где Mv, M,' — последовательности точек, определенные выше
(черт. 38). Пусть Q^ и Q»' — такие же точки для отрезка MQ\ тогда,
по определению d(MQ),
d(MQ) = lim d(MQ,) = \\m d(MQ»').
v-*oo v-*oo
Пусть
0/?v = OMv-{-Mv/?v, причем MV/?V = MQV, OM,R4
и
, OR,' = ОМ: + Mv7?v', причем Mv7?v' = MQv', OMv7?v'
(здесь равенство и знак -f- мы пишем не в смысле равенства и суммы
чисел, а в смысле определений 16 и 26).

$ 5. Аксиома непрерывности
99
Так как, с одной стороны,
OMv<^GM, MQ,<^MQ („<Са в смысле определения 26),
а с другой стороны
ОМ^ОМ, MQ,>MQ,
то мы будем иметь неравенства
OR,<OQ<OR,, причем OR&rJqR*.
О Pi М^ *v О —&
Mv Mv Qv Qv
Черт. 38.
Так как отрезки OyWv, OMH'\ MQ?, MQV' с отрезком ОРх имеют
общую меру о;, то, по определению d (ОМ),
d(OR4) = d(OMJ + d(MQj, d(OR:) = d(OMs') + d(MQS)
и так как
lim d(OM,') = lim d(OMv), lim d(MQ?) = lim d(MQv),
V-КЮ V-ЮО V-КЮ V-*O0
TO
lim d(ORJ) = lim d(0/?v).
v-+oo v-*oo
На основании предыдущего замечания заключаем, что
d(OQ) = lim d(ORJ = lim d(OMj + lim d(MQ,)
v-*co j-»oo v—*oo
ИЛИ
rf(OQ) = d(OM) + d (MQ),
что и требовалось доказать.
Единственность. Пусть существует второе число dдля
отрезка ОМ, удовлетворяющее определению 36 при том же
„единичном" отрезке OPv Тогда, рассуждая, как и выше, при отыскании
меры d, мы убедимся, что d(OMv) = d(OM^), d(OM>!) = d(OMJ) для
отрезков OMv, ОЛС, имеющих с отрезком ОРх общую меру^ , где v—
целое положительное число.
Таким образом, остается показать, что d (ОМ) = d(OM) для
любого отрезка ОМ, hq имеющего с отрезком ОРх общей меры вида ^.

100
Глава II. Абсолютная геометрия
Построим, как и выше, последовательность отрезков ЛГМ/ таких,
что О ММ, М^ММч, и ^что отрезки 0Ж„ ОМ* имеют с ОР,
общую меру вида ^ » тогда
d(OM) = lim d (ОМ,) = lim d (OMv').
v—*oo v—*oo
Пусть d (OM)z£ d(OM). Предположим для определенности, что
а?(ОМ)<^(ОМ). Из определения предела а?(О/И) непосредственно
следует, чт*о найдется такой номер v, что d(OM)<^ d(OM„), причем
точка Ms, лежит между О и М. Так как d (OM^) = d(OMyt)i то
tf(OM)<J(OMv). Но 2 (ОМ) = d(OMJ+d(MM). Так как
d (ОМ) — положительная аддитивная функция (не обращающаяся в
нуль ни для какого отрезка), тоd(М^М)^>0 и d(OM)^>d(OM^) =
= d(OMJ.
Мы пришли к противоречию с неравенством d(OM)<^ d(OM„).
По этой же причине d(OM) не может быть меньше d(OM).
Итак, d (OM) = d(OM) для любой точки М луча ОР„ и наша
теорема доказана полностью. Она показывает, что если точке Рх
луча I с вершиной О отнести число \\ то каждой точке М луча I
будет соответствовать свое число—именно то, которое выражает
длину отрезка ОМ.
Естественно теперь поставить вопрос: справедливо ли обратное,
т. е. каждому ли положительному числу х отвечает на луче I
точка>My для которой это число х является длиной отрезка ОМ?
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 78. Если некоторому отрезку ОРх луча I с
вершиной в точке О приписать длину d=l, то между всеми
точками М луча I (не считая точки О) и всеми положительными
числами существует такое взаимно однозначное соответствие,
что эти числа выражают длины соответствующих отрезков ОМ.
Пусть /—луч, исходящий из точки О, а ОРх — его единичный
отрезок. Пусть х—некоторое положительное число. Здесь могут
быть два существенно различных случая: 1) х — целое и 2) х —
рациональное или иррациональное.
Чтобы в первом случае отнести числу х точку М луча /, на
этом луче нужно построить точки Р„ Р2, Р3,..., Рп так, чтобы PiP,P3,
Р,Р, = Р0Р, = Р3Р4 = ... = Рп_хРп = ОРх.
Отрезок ОРт где п = х, и будет иметь длину, равную х
единицам.

§ 5. Аксиома непрерывности 101
Если же п — число рациональное или иррациональное, то, как
известно из арифметики1), его можно представить в виде ряда:
* = (Л-1) + %+£ + £ + ...,
где (п—1) — целая часть числа х, а числа #,, я2, аъ,... вообще
независимы друг от друга и принимают значения нуль или единица.
Заметим, что если х— не целое число и а, = 1, то все дальнейшие
числа я2, aZy..., апУ... все одновременно не могут иметь значения
единицы (в противном случае х = п, что противоречит
рассматриваемому случаю).
Чтобы построить отрезок ОМ длины л:, следует сначала
построить отрезок ОРп_1У соответствующий целой части, а затем
построить отрезок Рп_хМ с длиной, равной сумме ряда
оо
Zi 2v'
v=l
Рассмотрим последовательность отрезков М^М^\ образованную
следующим образом. Пусть Рп_1Рп = ОР1 и ОРп_хРп. Разделим РПштХРп
точкой Нх пополам и выберем левую или правую половину его, смотря
по тому, будет ли а1 = 0 или д,= 1. Левый конец выбранного
отрезка обозначим через Ми а правый—через Ж/. После этого
отрезок МХМХ' разобьем пополам и, смотря по тому, будет ли а* = 0
или л9 = 1, выбираем левую или правую половину и обозначаем
левый конец буквой Мъ а правый — MJ. Пусть МгМ^ и М4/И4' —
таким же образом полученные отрезки. -
Продолжая описанный процесс и дальше, получим ряд
отрезков MkMk\ k=l, 2,..., v, причем отрезок P„_,MV будет иметь
длину -~-\- ф + ••• -^^v • Если наш ряд обрывается на члене-^
(т. е. dv+n = 0 при любом целом /г), точка Mv будет искомой. Если
же этого нет, то мы будем иметь бесконечную последовательность
отрезков MVMV', из которых каждый последующий содержится внутри
предыдущего, причем длина d{M^M^') = — -•*• 0, когда v—*оо.
Мы утверждаем, что существует такая единственная точка М,
которая принадлежат всем этим отрезкам и для которой d(OM) = х.
Разобьем все точки отрезка Рп_хРп на два класса: к первому
отнесем те точки, для которыхtd(OM)<^х, а ко второму — те, для
которых d(QM)^>x. Так как d(OM) или <^лг, или^>лг, то каждая
точка М отрезка Рп-\Рп будет отнесена к одному из этих
классов. Поскольку d (OPn_i) = tt— 1 < х, a d (OPn) = п > лг, то РЛ_, при-
1) См., например, И. В. Арнольд, Курс теоретической арифметики.

102 Глава II. Абсолютная геометрия
надлежит к первому классу, а Рп — ко второму. Для каждой точки М
отрезка Рп_хРп будут справедливы неравенства:
d(ppn_x)<:d{OM)<:d{opn)y
т. е. п—1 <^d(OM)<^ny и, следовательно, каждая точка этого
отрезка будет отнесена или к первому, или ко второму классу.
Нетрудно видеть, что эти классы удовлетворяют условиям аксиомы
Дедекинда1).
Пусть М — точка, производящая сечение классов. Она будет
содержаться внутри каждого отрезка М^Му,' (поскольку М^
принадлежит первому классу, а М„' — второму).
Так как d (MVA1V') = — -► 0, v-*oo, то отрезок М*МЫ' (значит
*•
и ММу,) стягивается к точке, когда v—*оо. Поскольку М^ММ*,
*
то d(MMJ стремится к нулю. Так как ОАМ4, то d (ОМ) = d (ОMJ -\-
-{-d(MvM); отсюда и следует, чтоd (ОМ) = \im d (OMv). Но d(OM^)=
v—*oo
V
= (п—l)-f- > -^, значит lim d(OM^) = xt и мы имеем d(OM) = x.
*=i2 ^°°
Итак, мы показали, что на луче /существует единственная точка Ж,
для которой длина отрезка ОМ равна данному числу х, что и
доказывает нашу теорему.
Измерение углов.
Измерение углов может быть установлено аналогично измерению
отрезков.
Определение 37. Мерой или величиной угла называется число,
удовлетворяющее следующим требованиям:
1) конгруентные углы имеют одинаковую меру,
2) мера суммы двух углов равна сумме мер его составляющих
углов.
Если для установления однозначности измерения отрезков мы
некоторому отрезку приписывали единичную длину, то здесь мы тоже
должны некоторый угол принять за единицу масштаба. Обратим
внимание на прямой угол. Так как прямые углы равны, то мы
всем им должны отнести одно и то же число. Вот почему
представляется естественным принять прямой угол за масштабный. Припишем
ему значение-s-тс, где тг= 3,14159 ... — известное из анализа транс-
J) Действительно, точка Pn-1 принадлежит первому классу, а Рп—второму,
т. е. выполняется первое требование аксиомы Дедекинда. Если d(OPn-x)<.
< d (ОР)< х, d {OP') < d(OP") > x< n, то Рп^РР" и Р'Н"Рп\ в
противном случае мы имели бы противоречие с аддитивным свойством длины.
Значит, выполняется и вторая часть аксиомы Дедекинда.

§ 6. Заключительные теоремы абсолютной геометрии „ 403
цендентное число, которое может быть определено чисто
аналитически, например, известной формулой Валлиса с помощью
бесконечного произведения:
Л— П 2п 2п — 2 2 4 £
2 -^2/1— Г 2/1+1 ~~ 1 * 3 " 3 # 5е"
или с помощью условно сходящего ряда:
т-»('-ж+Ы+-)-
Тогда мера острого угла qp будет заключена в пределах O^qp^s"
а мера тупого угла — в пределах -« <С 9 ^ 7С«
Так как числа, выражающие длины отрезков, можно делить на
любое число частей, то нетрудно убедиться в справедливости
следующей теоремы.
Теорема 79. Для любого целого числа п внутри отрезка АВ
существует (п — I) таких точек AvAi9..., АПш.и что отрезки АА,.
АхАъ,..., Ап_1В между собой конгруентны.
Эта теорема устанавливает делимость каждого отрезка на любое
число равных частей.
Аналогичное предложение справедливо и для угла.
§ 6. Заключительные теоремы абсолютной геометрии.
Следующие несколько теорем абсолютной геометрии имеют
существенное значение; о них отчасти упоминалось в I главе. Это —
теоремы о сумме углов треугольника и четырехугольника, об угле,
который могут образовать две пересекающиеся прямые, о свойствах
четырехугольника Саккери. Мы выделяем их из всех остальных
теорем, чтобы читатель обратил на них особое внимание. Отталкиваясь
от этих теорем, можно строить как геометрию Евклида, так и
геометрию Лобачевского — смотря по тому, принят или отвергнут
постулат Евклида о параллельных линиях. Этим геометриям
посвящены следующие главы книги.
При изложении теорем мы будем, для наглядности, пользоваться
обычным языком школьной геометрии; читатель при желании может
их формулировать и доказывать в строгих выражениях.
Теорема 80. Первая теорема С а к к ер и-Л еж а нд р а.
Сумма углов треугольника меньше или равна двум прямым чгпам*

104 ,
Глава II. Абсолютная геометрия
Допустим противное, т. е. что сумма углов:/ а— £ ВАС,
Р = Z, ABC, 7 = Z, ЛС£какого-нибудьтреугольника Л#С больше 2d:
*-Н + т>2</.
Продолжим сторону АВ и построим на ней (п — 1)
треугольников ВВгС1У ВХВ^СЪ ..., Bn_9Bn_iCn_v равных треугольнику ABC
(см. черт. 39).
Черт. 39.
Обозначим через 8 угол 2d — а — (3. Очевидно, что £ СВС1 =
= Z. CiBfic* = ...= /_ Сп_ъВя_оСл_, = 8 и треугольники CBClt
CxBfi ,..., Сп^Вп_оСп_{ будут между собой равны (теорема 37);
поэтому СС] = CtCq =... = Сп_оСп_1 = е.
Так как a -j- |5 -f- 7 }> 2d, a 8= 2d— а—(3, то ? < 8.
Треугольники ЛС/? и Cj/JC имеют общую сторону ВС и равные стороны АС
и Сх£. Поскольку 7^>о, то с^>е (теорема 65), и, значит,
разность h = c — е будет конечной положительной величиной. С
другой стороны, ломаная АСС1С2Сг... Сп_гСп_хВп_х больше
замыкающей АВп_х (теорема 64); поэтому b -f- (n — \)е-\-а^>пс или
п (с — ё) = nh <^ a -f- b — е.
В правой части последнего неравенства стоит положительная
величина (теорема 63). Согласно предложению Архимеда
(теорема 73), конечный отрезок h можно повторить такое число п раз,
что мы превзойдем любой отрезок; в частности и nh^>a-\-b—е.
Таким образом,' наше неравенство противоречит
предложению Архимеда; потому допущение
a -f- p -j- у ^> 2d несправедливо.
Следовательно, a -f- (3 -(- 7 ^ 2d, что и
требовалось доказать.
Теорема 81. Внешний угол
треугольника больше или равен
сумме внутренних углов с ним не
смежных.
Пусть (У — внешний угол тре-
Черт. 40. угольника ABC с вершиной в
точке В (черт. 40). Поскольку,
согласно только что доказанной теореме Саккери-Лежандра, a-fP +
-j_y^2d, а jJ-j-(J' = 2rf, то P'^a + T> что и требовалось доказать.

§ 6. Заключительные теоремы абсолютной геометрии 105
Теорема 82. Сумма углов выпуклого четырехугольника не
превышает четырех прямых.
Так как правильный четырехугольник разбивается диагональю на
два треугольника, суммы углов которых дают сумму углов
четырехугольника, то последняя меньше или равна Ad. ,
Теорема 83. Через точку вне прямой можно всегда провести
прямую, образующую с данной сколь угодно малый угол.
С
Черт. 41.
Пусть / — какая-нибудь прямая, а С — точка, лежащая вне этой
прямой (черт. 41). Покажем, что через точку С всегда можно
провести прямую CD, образующую с / сколь угодно малый угол е.
Олустим из точки С на / перпендикуляр СЛ, отложим на /
вправо (или влево — это безразлично) отрезок АВ — АС и соединим
точки В и С прямой линией; затем отложим в ту же сторону
отрезок ВВХ = ВС и соединим Вх с С. Далее, отложим BtB<> — ВХС и
соединим В2 с С и так далее. Продолжая этот процесс, получим
последовательность углов:
Р.,Р*Р*---. ft..--- (P»=LABfi).
Рассмотрим треугольники CAB, СВВи СВХВ , .. ., СВп_х Вю...
с их внешними углами d, (5, ри ..., |3Л_,, ... Согласно теореме 81
о внешнем угле треугольника, мы имеем неравенства:
d =- 2|i, |J === 2|i„ (5, ^ 2р, Р„_, Ss 2|5П,
которые дают
Отсюда следует, что §п -*. 0, когда п —► 6о. Следовательно,
начиная с достаточно большого значения я, все (5„<^е. Выберем номер k
достаточно большим, чтобы имело место f>k+l <^ е. Когда точка D
движется по отрезку ABk+] (черт. 42),-то угол CD А меняется непре-

106
Глава //. Абсолютная геометрия
8 v \
и
>—9 "—ч
/
/
/
/
lJ
рывно от значения d ^> e до значения (5ft+1 <^ е. Поэтому наступит
момент, когда угол CD А будет равен е, что и требовалось доказать.
Определение 38. Четырехугольником Саккери называется
правильный четырехугольник ABCD с прямыми углами при стороне АВ
« равными примыкающими к ней сторонами AD и ВС. Сторону АВ
'будем называть нижние основанием, CD — верхним основанием,
a AD и ВС — боковыми сторонами.
Теорема 84. Средняя линия четырехугольника Саккери пер-
пендикулярна к обоим основаниям, а углы при
D € (г S верхнем основании равны между собой.
Пусть F — середина АВ, а Е— середина CD.
Восставим к отрезку АВ в его середине F
перпендикуляр FE' (черт. 43); Е' — точка встречи
этого перпендикуляра с верхним основанием
(существование Ё следует из аксиомы Паша).
Повернем четырехугольник FE'DA вокруг ЕЁ до со-
-}г ^g вмещения с плоскостью чертежа. Так как FA _[_ FE,
~ FB J_ FE' и FA = FB, то FA пойдет по FB и точка А
Черт. 43. упадет в В. Так как, далее, AD \_АВ, ВС \_ВА
и AD = BC, то AD пойдет по ВС и точка D
упадет в точку С. При вращении точка Ё остается на месте.
Поскольку конец D отрезка E'D попадает в точку С, то ED=E'C
и, значит, Ё совпадает с серединой Е верхнего основания. После
поворота угол DEF накладывается на угол CEF\ значит, оба угла
равны между собой.
Замечая, что сумма этих углов равна 2d, заключаем, что каждый
«з них равен d, т. е. средняя линия FE перпендикулярна верхнему
основанию. Поскольку, наконец, углы а и а' при верхнем основании
•тоже накладываются друг на друга, они равны. Теорема доказана.
Чему же равен угол а при верхнем основании? Опираясь только
на аксиомы абсолютной геометрии, нельзя доказать ни то, что угол а
прямой (a = d), ни то, что он острый (a<^d). Гипотеза а^>d
невозможна, потому что сумма углов четырехугольника не больше Ad
(теорема 82). Позже мы увидим, что гипотеза a = d равносильна
5-му постулату и, следовательно, приводит к геометрии Евклида,
а гипотеза a<^d приводит к геометрии Лобачевского.
Стереометрические предложения.
Стереометрические предложения — это предложения, относящиеся
к свойствам фигур, не лежащих в одной плоскости. Слраведливость
стереометрических предложений абсолютной геометрии не должна
находиться в зависимости от 5-го постулата; поэтому не все
понятия и термины стереометрии, известные нам из курса школьной
геометрии, найдут себе место в абсолютной геометрии. Например,
теорема о том, что прямая, перпендикулярная к одной из
параллельных плоскостей, перпендикулярна и к другой, справедлива только
в том случае, если принят 5-й постулат Евклида.

§ 6. Заключительные теоремы абсолютной геометрии 107
В. состав абсолютной геометрии входят следующие
стереометрические теоремы:
1) Прямая, перпендикулярная к двум прямым, лежащим в
плоскости, перпендикулярна ко всякой прямой, проведенной в
плоскости через основание перпендикуляра (и, по определению,
перпендикулярна к плоскости).
2) Из точки плоскости можно восставить к ней только один
перпендикуляр, и из точки можно опустить на плоскость только
один перпендикуляр.
3) Перпендикуляр к плоскости короче наклонной.
4) Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна к
наклонной, если она перпендикулярна к ее проекции на плоскость
(теорема о трех перпендикулярах).
5) Если двугранные углы равны, то и соответствующие
линейные углы равны.
6) Теоремы о равенстве и неравенстве двугранных углов.
7) Плоскости перпендикулярны (т. е. образуют прямой
двугранный угол), если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.
8) Через прямую проходит только одна плоскость,
перпендикулярная к другой плоскости.
9) Прямая пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к
третьей плоскости, перпендикулярна к последней.
10) Теорема о плоских углах многогранного угла.
Поскольку обычные доказательства этих теорем, по существу,
сохраняют силу и в абсолютной геометрии, то их уточненные
доказательства мы опускаем.

Глава III.
ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДА.
§ 1. Аксиоматика евклидовой геометрии.
Четыре группы аксиом, рассмотренные в предыдущей главе,
недостаточны для обоснования евклидовой геометрии: как мы увидим
ниже (§ 2 гл. IV), на их основе невозможно доказать
основное для евклидовой геометрии предложение — 5-й постулат.
Имеются только две возможности пополнения аксиоматики
абсолютной геометрии: принять или 5-й постулат, или постулат
Лобачевского. Это вытекает из содержания теоремы 61 абсолютной
геометрии (стр. 88), которая утверждает, что в плоскости существует
по меньшей мере одна прямая а\ проходящая через точку С и не
пересекающаяся с данной прямой а.
Чтобы получить аксиоматику, достаточную для обоснования
евклидовой геометрии, присоединим к аксиомам абсолютной геометрии (I^q,
IIj_4, III1__l0> IV) аксиому параллельности V.
Аксиома параллельности (V).
V. В плоскости а через точку С проходит только одна
прямая а\ не пересекающаяся с данной прямой а.
Аксиому V можно сузить, потребовав ее выполнимость только
для какой-нибудь одной точки С и не проходящей через нее
одн)ой прямой а. Как мы увидим ниже (теорема 12 § 7 этой
главы), если аксиома V выполняется для одной точки С и одной
прямой а, то отсюда уже логически вытекает, что эта аксиома
выполняется для любой точки 5 и любой прямой Ь.
Опираясь на аксиомы групп I, II, III, IV и V, можно доказать
предложение, составляющее 5-й постулат Евклида, 1) установить
существование подобных фигур, пифагорову теорему, развить учение
о преобразовании фигур в равновеликие им фигуры, обосновать
теорию измерения площадей и многое другое, словом — вывести всё,
что составляет содержание евклидовой геометрии. Итак, под
евклидовой геометрией мы будем понимать ту систему предложений,
которая логически выводится из аксиом I, II, III, IV и V. Эту форму-
1) Об этом см. ниже, § 7 этой главы (стр. 149).

§ 2. Непротиворечивость евклидовой геометрии 109
лировку и следует рассматривать как чисто логическое определение
евклидовой геометрии. •
Мы не будем продолжать систематическое развертывание
геометрии, выводя один результат из другого, одну теорему за другой
так, как делали это в предыдущей главе, развивая абсолютную
геометрию. Осуществить логическое построение евклидовой геометрии
можно совершенно строго, но это отняло бы у нас слишком много
времени, а результаты были бы те же, которые известны из
школьного курса геометрии. Изучая абсолютную геометрию, мы
перечисляли и доказывали почти все теоремы, во-первых, чтобы
ознакомиться с самим процессом логического доказательства, аво-вгорых,
чтобы отделить теоремы абсолютной геометрии от теорем
евклидовой геометрии, — чтобы видеть, какие теоремы не зависят от
истинности или ложности 5-го постулата Евклида. Теперь нам важно лишь
знать, что перечисленных аксиом достаточно для полного
построения всего здания евклидовой геометрии. Наше внимание будет теперь
обращено на выяснение принципиальных вопросов —
непротиворечивости, полноты и независимости системы аксиом, а также — на
различных интерпретациях евклидовой геометрии.
§ 2. Непротиворечивость евклидовой геометрии
(аналитическая интерпретация).
На основные объекты аксиоматики — „точку", „прямую" и
„плоскость", на основные отношения между ними—„инцидентность",
„между" и „движение" мы смотрим как на любые три
совокупности объектов и любые три отношения, которые обязаны лишь
удовлетворять перечисленным выше аксиомам. Поэтому совсем не
безразлично знать, существуют ли такие объекты и отношения,
которые удовлетворяют нашим аксиомам. Если таких объектов -и
отношений не существует и /доказано, что они существовать не могут,
то рассматриваемая аксиоматика должна быть отброшена как
совершенно бесполезная. Напрасным трудом, например, будет попытка
подыскивать объекты и отношения, которые удовлетворяли бы
аксиоматике, состоящей из аксиом 1,_10, И,_4, Ш^ц,, IV и новой аксиомы А:
сумма углов треугольника больше двух прямых' углов. Эта
аксиоматика противоречива: из ее аксиом I, И, Ш, IV, как мы видели1),
вытекает, что думма углов треугольника^ 2d, что противоречит
последней аксиоме А.
Таким образом, когда мы строим геометрическую систему на
некоторой аксиоматике, то прежде всего должны установить
формальную непротиворечивость аксиоматики, т. е. доказать, что в
ее следствиях не существует противоречивых предложений. Как это
сделать? Хорошо, если такое противоречие обнаруживается
сравнительно быстро (как в только что приведенном примере), но как
быть, если оно существует, но остается не обнаруженным?
1) Теорема 80 на стр 103.

110
Глава III. Геометрия Евклида
Мы подошли к одному из основных вопросов философии
математики — к вопросу о средствах установления непротиворечивости
аксиоматики и, следовательно, непротиворечивости всей системы
предложений, которая на этой аксиоматике основана. Речь идет
в данном случае о непротиворечивости всей математической
дисциплины, непротиворечивости евклидовой геометрии. Трудность
этой проблемы видна из того, что, например, до сих пор еще не
доказана непротиворечивость такой, лежащей в основании всей
математики, дисциплины, как арифметика *), хотя она, , подтверждаясь
тысячелетней практикой человека, не вызывает никакого подозрения
в логической непротиворечивости.
Может быть, и по отношению к геометрии не следует задаваться
вопросом о ее непротиворечивости? Ведь с практической точки
зрения евклидова геометрия тоже не вызывает сомнения, ее
применение к механике и физике (как земной, так и небесной) до сих пор
не привело к как^им-либо противоречиям с опытом!
Но следует всегда иметь в виду, что всякий опыт можно
произвести только с ограниченной точностью. Представьте себе, что в
окружающем нас мире существует треугольник, сумма углов
которого не равна двум прямым, а отличается от двух прямых на
величину -гт^. Конечно, никакие современные • приборы не могут
заметить такого отклонения, а между тем сделанное допущение
несовместимо с аксиомой о параллельных линиях.
Осторожнее будет предположить, что евклидова геометрия —
лишь первое приближение к сложной геометрии реального
физического пространства и что, может быть, со временем расхождение
между этими обеими геометриями будет установлено
экспериментально.
Мд>1 видим, что ни отсутствие расхождения евклидовой геометрии
с практикой, ни возможность его обнаружения в будущем — не
решают вопроса о непротиворечивости геометрии. В настоящее время
мы удовлетворяемся тем, что сводим вопрос о непротиворечивости
геометрии к непротиворечивости арифметики,—доказываем, что
если одна из этих математических дисциплин непротиворечива, то
непротиворечива м другая. Такая редукция (сведение) необходима
хотя бы потому, что арифметика лежит в основании всей матема
тики 9).
1) Несмотря на то, что аксиоматика арифметики, предложенная
Гильбертом, более проста, чем аксиоматика геометрии.
2) Что же касается непротиворечивости самой арифметики, то Гильберт
намеревался свести этот вопрос к непротиворечивости формальной логики
Но если это и удастся сделать, то тот же вопрос встанет для формальной
логики, непротиворечивость которой уже невозможно решить без обращения
к выполнимости ее в системе реально существующих вещей. Таким образому
- к» к.он£Мном счете установление непротиворечивости геометрии находится в
существенной зависимости от практики.

§ 2. Непротиворечивость евклидовой геометрии 111
Итак, будем называть систему аксиом непротиворечивой, если
в ее логических следствиях не существует ни одной пары
противоречивых предложений.
Настоящий параграф посвящен следующей основной теореме:
Теорема о непротиворечивости евклидовой
геометрии. Евклидова геометрия, построенная на аксиомах \^1о,
IIj^, IIIi_i0, IV и V, так же свободна от противоречий, как и
арифметика, и наоборот, т. е. если непротиворечива
арифметика, то непротиворечива и евклидова геометрия.
Для доказательства этого предложения следует установить, что
в арифметике существуют объекты и отношения, которые
удовлетворяют всем аксиомам евклидовой геометрии, т. е. следует
обнаружить существование аналитической (арифметической)
интерпретации.
Интерпретацией (истолкованием, представлением) некоторой
системы аксиом называется система определенных объектов и олреде-
ленных отношений между ними, для которой выполнены все аксиомы
этой системы.
Ради простоты мы ограничимся интерпретацией только
двухмерной евклидовой геометрии (геометрии на плоскости), опирающейся
на аксиомы lj_4, 11,_4, Ш^ю, IV, V. Распространение этой
интерпретации на пространство — полезное упражнение для читателя.
Наводящими соображениями к подбору аналитической
интерпретации могут служить основные положения аналитической
геометрии, где каждому объекту отвечает некоторое арифметическое
образование: точке на плоскости — пара чисел (координаты), -прямой —
линейное уравнение и т. д. Но при этом следует стоять на
формальной точке зрения: смотреть на основные объекты („точку" и
„прямую") и основные отношения („инцидентность*4, „между",
„движение"), как на термины, смысл которых нам неизвестен.
План построения аналитической интерпретации будет такой:
сначала мы сделаем ряд . соглашений в выборе содержания основных
понятий аксиоматики, а затем проверим выполнимость всех аксиом
и тем самым оправдаем законность наших соглашений.
Систему соглашений естественно назвать словарем
(интерпретационным). Подобно тому как в каждом иностранно-русском словаре
дается перевод того или иного иностранного термина, смысл
которого до этого неизвестен изучающему1), на русский язык, так и в
перечисляемых ниже соглашениях то или иное основное понятие
переводится на язык известной нам области вещей и отношений.
Итак, переходим к перечню соглашений или к составлению словаря.
Соглашение 1. „ Точка". Точка М — пара чисел (х, у), взятых
в определенном порядке) эти числа мы будем называть
координатами точки М ,
1) Это применимо и по отношению к основным понятиям геометрии,
которые при формальном изучении аксиоматики не имеют для нас
конкретного смысла.

112
Глава III. Геометрия Евклида
Как мы видим, здесь с термином „точка" не связывается
евклидов образ точки, как то, „что не имеет частейtt 1). Здесь два числа —
координаты — рассматриваются как самостоятельный объект,
который мы называем термином „точка".
Соглашение 2. „Прямая". Прямая — отношение трех ни-
сел, и, v, w, взятых в определенном порядке, друг к другу (и : v : w),
за исключением случая, когда первые два из них одновременно
обращаются в нуль (и = 0, v = 0).
Так как прямая определяется отношениями (и : v :w)> то две
прямые (и : v : w) и (и': v': w') считаются совпадающими, если и : v :w =
= и': v' :w'.
Числа и, v и w называются однородными координатами прямой.
С о г л а ш е н и е 3. „Инцидентность". Точка М (х, у) инцидентна
(лежит на) прямой а (и : v : w), если имеет место равенство:
V
их -\- vy -\- w = 0. (I)
При заданных и, v> w мы можем смотреть на равенство (1)как
на уравнение множества всевозможных точек (х, у), инцидентных
данной прямой (и : v : w); наоборот, при заданных (х> у) — как на
уравнение множества всевозможных прямых (и, v> w), инцидентных
данной точке (л:, у) *).
Для следующего соглашения заметим, если три точки М1(х1,у])>
Мъ(ХъУъ), Мъ(хЪуjy3) инцидентны одной прямой a(u:v:w), то
имеет место равенство:
x,-xt=y2-yl (2)
х* — х2 Уз — У8 '
Соглашение 4. „Между". Точка Л12 лежит (инцидентна)
между точкой Мх и точкой Мг> если
>-=SHSr>°- (3)
I
В том случае, когда хъ — х^ = 0 (тогда и х<> — хх = 0), мы должны
взять вторую дробь (которая не может иметь вида -к«у тг> ибо в
противном случае из трех точек Mlf Л42 и Мъ по крайней мере две
должны совпадать).
Как и в определении 2 на стр. 51, совокупность точек Мь
лежащих между Мх и Л43, мы назовем отрезком МХМЪ. Число Хт на"
1) См. стр. 11.
*) Выше мы отмечали, что нет необходимости рассматривать прямую как
точечное множество. Приводимая здесь арифметическая интерпретация
является примером, оправдывающим это положение. Деиствительно, в этой
интерпретации точка есть пара чисел (х, у), взятых в определенном порядке, а
прямая — отношение трех чисел и, v, w друг к другу {v : и ' w). Инцидентность
точки и прямой понимается как возможность этих пяти чисел удовлетворять
равенству (1).

§ 2. Непротиворечивость евклидовой геометрии 113
зовем отношением трех точек Мх, М* и Мъ или, иначе,
отношением отрезка МгМо к отрезку М2/И3 и будем писать:
MiMt
').
Соглашение 5. „Движение". Движение Г — взаимно
однозначное соответствие точек и прямых, при котором координаты
соответствующих точек М (х, у) и М' (х',у') и, соответственна,
инцидентных им прямых a(u:v:w)u a'(u':v':w')связаны равенствами:
х' = тх — пу+а1 )
у' =. е (пх + ту) ~ Ь. ) к у)
ра = ти — nv, \
pv' = е (пи + mv)t I
pw' = — (та + enb) и -f- i
+ (па — гтЬ) v -j- w, j
(4g)
где е = ± 1, m2 -f- n* — 1, а а, £ и р (:£ 0) — произвольные
действительные числа.
Рассматривая всевозможные числа a, b, m> n, e и р, мы получим
совокупность движений, зависящих от трех независимых параметров *).
Принимая эти соглашения относительно терминов „точка4*, „пря-
маяа, „плоскость44, „инцидентность44, „между44 и „движение", мы
можем проверить выполнимость для нашей интерпретации всех аксиом
плоской евклидовой геометрии. Доказательство этого разобьем на
5 частей, соответствующих 5 группам аксиом 3).
Выполнимость аксиом сочетания 1,_4.
Аксиомы lt и Ц выполняются потому, что если заданы две
точки /Wj (ATj, ух) и /И.2(лг?, Vo), то однозначно определяется прямая
а {и : v : w)y удовлетворяющая двум равенствам:
их{ -\- vyx -j- w = 0, ихг -f- ггу^ —|— гг^ = 0.
1) Заметим, что отношение трех точек не симметрично относительно
индексов 1, 2 и 3; оно обладает следующими свойствами:
Ujk = 1 , A. i/k • X /hi • kki/ = i.
kk/i
2) Число параметров три, а не больше, как может показаться с первого
взгляда. Числа а и b — два параметра, числа т и п—третий (они связаны
между собою одним уравнением ш2Н-яа=1), число е нового параметра не
дает, так как оно постоянное, и число р — также не дает, так как
изменение р оставляет прямую а'(и*: v': w')t определенную равенствами (42),
неизменной.
8) Перед рассмотрением выполнимости каждой аксиомы следует
внимательно прочесть содержание этой аксиомы и перевести его на язык
аналитической интерпретации, пользуясь установленным „словарем" —
перечисленными выше 5 соглашениями.

114
Глава III. Геометрия Евклида
Действительно, из этой системы однородных линейных
уравнений относительно и, v и w мы находим:
и : D : w = (у, — У*): (** — *i): (*ьУ* — x^i)-
Так как эти отношения определяются однозначно и так как при
различных Мх и Ж2 числа и и и не могут, одновременно равняться
нулю, то существует одна и только одна прямая, инцидентная
каждой паре точек. Это и утверждают аксиомы I, и 12.
Переходим к аксиоме 1Ъ. Возьмем сначала два различных
произвольных числа хх и х2. Полагая в уравнении (1) x = xv а
затем х = хъ определим из него у. Если v^tO, то это возможно
сделать, и мы получим:y=yXi y=y9t (ух ^ру^)у если и z£_ О, нух =уъ
если н = 0, и, следовательно, существуют две точки Мх (хх, ух)
и М^ (лго, Уъ)\ инцидентные нашей прямой.
Если же v = 0, то по заданным' хх и лг2 определить jy из урав-
w
нения (1) невозможно. В этом случае мы имеем х = = const,
а у может быть любым числом. Давая в этом случае у два
различных значения: ух и у2, мы получим две точки, Мх L— — , у А
и Л42 ( —— ,j/2j, инцидентные одной прямой, что снова свидетельствует
о выполнимости аксиомы 13.
Выполнимость аксиомы /4 очевидна. Поскольку их-f- vy -f- w
относительно х и у тождественно в нуль не обращается (случай
u = v = w = 0 исключен), то не все точки располагаются на одной
прямой: существуют по меньшей мере три точки, не лежащие на
одной прямой.
Выполнимость аксиомы параллельности V.
Пусть a(u:v:w) — какая-нибудь прямая, а Л40(л;п, у0) — не
инцидентная ей точка, т. е. их0 -f- vy^-f- w -ф. 0. Если а' (и \v : w) —
прямая, инцидентная точке /И0, т. е. и'х0 -f- v'y0 -f- w = 0, то
w' = — (ii'x0-\-v,y0).
Существование общей точки прямых (и : v : w) и (и' : v : w')
означает существование совместного решения уравнения (1) и
уравнения
и'х + vy — (и'х0 + х/.у0) = 0
относительно х> у\ напротив, „непересечение" обеих прямых
означает несовместность этих уравнений.
Но, как известно, рассматриваемая система двух линейных
уравнений несовместна (уравнения не имеют общих решений) только в
том случае, когда #
и': v' = и : v.

$ Z Непротиворечивость евклидовой геометрии 115
Это и означает, что существует только одна прямая, именно:
и :и: — (их0 -f- vy0)t
инцидентная данной точке Ж0, но не пересекающаяся с данной
прямой а, что и доказывает выполнимость аксиомы V.
Выполнимость аксиом порядка 11ж А.
Аксиома //« в нашей интерпретации выполняется потому, что
соотношение „между", определенное соглашением 4, обладает
свойством взаимности. Действительно, если точка Ж2 лежит между
точкой Ж, и точкой Ж3, то имеет .место соотношение (3): Xjo3^>0. Но
из него же следует:
321 \ jc, — х« yi—yj hts
означающее, что точка Mq лежит между Mz и Ж,.
Выполнимость аксиомы //9 проверяется так. Если точка М*
лежит между данными точками Мх и Ж3, то имеет место
соотношение (3). Равные отношения?^——1- и ——— мы приравняем какой-
хз — xt У г — У 2
нибудь положительной величине А123 и решим относительно лг3 и уг
два уравнения:
*а — *\ л У*—Уу л *
Х3 — X} Уз — У'2
Мы получим:
V у. | Х£ Х\ ч, .. | У 2 — У\
хг — хъ ~1 > » .Уз —.У* i ^ •
^123 А123
Зная точки Мх и Ж^, мы, с помощью этих равенств при Х123^>0,
найдем точку Ж3, лежащую на прямой МХМ^ Поскольку при этом
точка Ж2 лежит между Ж* и Mqy то аксиома IL? выполняется.
Для доказательства выполнимости аксиомы //3 нужно показать
(в* соответствии с соглашением 4), что для трех точек Ж,, Ж2 и Ж3,
лежащих на одной прямой, существует только одно (не считая
перестановки индексов в обратном порядке) положительное отношение:
\ . — XJ ~ xi
т xk — х,
Действительно, если из трех отношений два положительны,
например, ^#^>0, Х#/^>0, то одновременно или
*j — *i>0, xk—xf>0, *,—xft>0,
или
xi — xi < °. xk — xi <C °> xi — xk <C °-
Складывая в первом случае левые части первых двух неравенств,
получим Xk — ^^>0, что противоречит третьему неравенству. К та-

lib
Глава III. Геометрия Евклида
кому же противоречию мы приходим и во втором случае. Итак, из
грех простых отношений существует не более одного
положительного. Что такое существует, следует из тождества
В самом деле, если бы все Х^ были отрицательны, то и левая
часть, как произведение трех отрицательных величин, была бы
отрицательной, что невозможно. Значит, из трех отношений всегда
существует только одно положительное, т. е. из трех точек на прямой
линии существует одна и только одна, которая лежит между двумя
другими, что и утверждается аксиомой П3.
Прежде чем перейти к проверке выполнимости аксиомы П4,
заметим следующее.
Равенство (2) означает, что три точки /VI, (jc,, ух)у M^(xit у%),
М-к (*3> Уъ) лежат на одной прямой. Обозначим отношение * ~ Xi =
xt — х%
= ——— через X и выразим координаты М2 через координаты М]9
Уз —Уз
Мг и число X:
_ ху + x*i v _ Ух + Xyi ,9'ъ
**— 1+Х ' У*— 1+Х * {2)
Если X ^> О, то, по соглашению 4, точка М2 лежит между
точками Мх и Мъ. Если Х = 0, то Мо совпадает с Ми если X
стремится к оо, то
Хо = п * хдУ у2 — уЪУ М2 — Мъ\
Г + 1
поэтому условимся считать, что при Х = сю точка Л42 совпадает с Мг.
Изменяя X от 0 до сю, найдем возможные точки отрезка МХМЪ.
При Х<^0 точка М<ъ не лежит между Мх и Мг. Так как X
определяет точку Ж2 однозначно, то X можно рассматривать как особого
рода координату (барицентрическая координата) точки М,
лежащей на прямой M\MZ.
Переходим к аксиоме //4 — аксиоме Паша.
Пусть Ж, (л:,, у{)> Мъ(хъ jy.2), Мъ{хЪУуъ) — три точки, не
лежащие на одной прямой; в таком случае
X* — х1 ,Уг—у!
Уз—У%
1) См. сноску 1) на стр. 113.

§ 2. Непротиворечивость евклидовой геометрии 117
и, следовательно, определитель
xqyq 1
*з.Уз 1
будет отличен от нуля.
Пустц Р/(^-, \)у где /=1, 2, 3 — три точки пересечения прямой
а соответственно с тремя сторонами треугольника M]MqMz или
с их продолжениями, причем Рх лежит на стороне МХМЧ, Р2 —
на стороне М2Мг, а Р* —на стороне МгМ{. Допустим, кроме
того, что наша прямая не проходит ни через одну из вершин
треугольника. Пусть X,, Хд, Х3 — отношения; в которых точки Pv Р2, Р3
делят соответственно отрезки МХМ^ Л12Ж3, MZMX\ \L —
положительные или отрицательные числа, но не равные нулю или
бесконечности (согласно замечанию, сделанному выше). Тогда
*~ 1+X, ' 7,'_ 1+X/ . ('—1. A^»
если положить, что Ar4 = Arj, ^=3/,.
Так как три точки Ри А>, Ръ лежат на одной прямой, то
ИЛИ
*1 4l 1
£3 *)з 1
= 0.
Подставляя сюда вместо £., у\( их выражения через х, у и X и
производя надлежащие преобразования, получим:
*i У\ 1
ЛГо Д>2 1
*з Л 1
•
1 X, 0
0 1 Х2
Х3 0 1
1
(l+Xihl+X.Ml+X.)
= 0.
Так как точки Mlt Mq, /И3 не лежат на одной прямой, то
первый определитель отличен от нуля. Поскольку, далее, ни одна из
точек Р( не. совпадает ни с одной из Ж;-, то ни одно из X,- не равно
бесконечности и, следовательно, в нуль может обратиться только
второй определитель; это дает равенство
III— 1 ияи м*р* м*р* М*Р* — 1
(теорема Меиелая).
Если теперь какая-нибудь прямая а, не проходящая ни через
одну вершину треугольника MtM.2MZ9 имеет общую точку Р1 с
отрезком МХМ^ (X, > 0), а с прямыми М^Мг и Л43М,
соответственно точки Р2 и РдУ то из теоремы Менелая следует, что величины
Хо и Х3 будут иметь противоположные знаки. Если, например, Х2 ^> 0,
то наша прямая имеет с отрезком М0МЪ общую точку Ръ а если
Х3^>0, то — с отрезком М%МХ точку Рг. Итак, если прямая не
проходит через вершины треугольника, но с одной стороной имеет общую
точку, тогда она имеет еще одну общую точку с одной из двух дру-

118
Глава IIL Геометрия Евклида
гих сторон. Следовательно, аксиома Паша выполняется для прямой,
которая имеет с одной из сторон треугольника общую точку и
пересекает остальные две прямые.
Выполнимость ее в случае, когда прямая а параллельна,
например, стороне МгМъ, может быть обоснована предельным переходом
(при Х<> —■»—1). В самом деле, поскольку аксиома V выполняется,
то существует только одна прямая а, проходящая через уточку Р,
и параллельная прямой М9М3; поэтому прямую а можно, очевидно,
рассматривать как предельное положение прямой РХР^ когда, по
крайней мере, одна из координат точки Р2, прямой Л12Ж3,
неограниченно возрастает. Из выражений для £,. и т),. следует, что это будет
при Х2—►—1. Теорема Меиелая» тогда дает нам XjX3=l. Так как
*ч^>0, т0 ^з^О и точка Р2 будет лежать между Мг и М^.
Случай, когда прямая а не пересекается с двумя сторонами M2MZ
и МЪМХ, невозможен, ибо он находится в противоречии с аксиомой V.
Выполнимость аксиом движения.
Аксиома ///,. Так как формулы (4j) и (42), определяющие
движение, относят каждой системе чисел х, у\ и, г/, w систему чисел
х\у'\ и\ г/', w\ то „движение" преобразует точку М(х, у) и прямую
а (и : v : w) соответственно в некоторую точку М' (х\ у') и прямую
a'(a':v':w'). Следовательно, аксиома III, выполняется.
Аксиома 111%. Если точка М (л:, у) инцидентна прямой a (u:v:w), то
точка М'(х',у') будет инцидентна прямой a (u':v':w'). Действительно,
простые вычисления показывают, что из системы равенств (4^ и
(4.?) следует:
р (их' + v'у' -f- w') = их-f- vy -f- w\ p^t 0;
поэтому, если точка М (л:, у) инцидентна прямой а (и : v : w), т. е.
их -\- vy -J- w = 0, то их' ~\- v'y' ~\- w = 0, т. е. и точка М' {х\ у')
будет инцидентна прямой а (и : v : w'). Это доказывает выполнимость
аксиомы III,.
Аксиома ///3. Преобразования (4j) и (4^) оставляют
инвариантным соотношение „между", т. е. если М;(х£, yL) и М/ (л:/, у/),
/=1, 2, 3 — три пары соответствующих точек, причем М*_ лежит
между М1 и Ж3, то Mq' лежит между Мх' и М\. Это следует из того,
что отношение (3) инвариантно относительно преобразований (4)
В самом деле, мы имеем:
х{ = тх. — nyt -J- а, у/ = е (nxi + myt) + ft,
откуда
хъ —аг,'= /я(л;2— л:,) — п (у^ — у,),
Уъ —у1' = еп (Хъ — *,) + гт(у2 — у,),
Хъ —Хъ=т{хь — хг)— п (у3— у2),
V3' — У*' = £Л (*з — х*) + е"* СУз — У«).

§ 2. Непротиворечивость евклидовой геометрии 119
Из этих равенств и (2) получаем:
Х2' — Xj Х2 — Хх . у2' — J// Xi — Xl
лг3 — лг2 х$ — лг2 _Уа —У* -*"з х^
что и требовалось. Поэтому, если Х^з^О (3), тб и Х'123^>0, и
аксиома Ш3 выполняется.
Значит, каждое движение преобразует луч в луч, полуплоскость —
в полуплоскость, репер — в репер.
Аксиома lllk. Полагая в формулах (4,) и (42)
а = 0, Ь = 0, т=\, п = 0, е = -{-\,
получим:
х' =лг, у'=у, u':y':w' = u:v:w,
т. е. тождественное преобразование Г0; следовательно, аксиома 1Н4
выполняется.
Аксиома ///в. Пусть Tj и Г2 — два последовательных
преобразования, отвечающие двум различным системам параметров; пусть Vt
переводит точку М (л:, у) в точку Мх (л:,, ух), а Г2 —точку Мх (л:,, ух)
в точку yW2(Ar5, ^уэ):
Го ( I4 = mfl 'ГУ1 + ajV . ) M, = ГоЖ, = Т9ТгМ.
- ( ya==eq (ПоХ1 -t-ntcfV^ -f- 0o ) l - 1 21
Подставляя в последние формулы вместо xv yx их выражения
через х, у из первых, получим „произведение преобразований":.
г г I Хо = тдх — пъу-\- аз>
5 1{Уъ=Ч (пъх -f /тг^) + Ъъ,
где
/«3 = /Т^//^ S,/Z,/Zo, «з = ^l77*? + Sj/W,/2<2, S3 = S^.
Так как
т^п1 = т1(т^п})^п1(т^п\) = т1-^п1=\, e3 = zhl,
то произведение rj\ является преобразованием типа (4j).
Совершенно аналогично проверяется выполнимость аксиомы П1в
для прямых линий.
Аксиома ///6. Разрешая систему уравнений 4 относительно
х, у, и} г/, w, получим обратное преобразование Г"1:
х = тх — п'у' -f- а\
у = е' (п'х' -\-т'у,)-\-Ь\
р'и = т'и' — nv\
p'v = е' (п'и' -\- /zzV),
p'w = — (та -j- s'n'b') и -f- {Цо! — zmb')v' + w !),
') Между прочим, m'a' -\- e'n'b' = — a, n'a' — t'm'b' = b', и, следовательно,
p'w = ян' -f ta/' -f- м;.

120
Глава III. Геометрия Евклида
Где
т'=т. п = — ел, а' = — та — enb, b = па — smb. е = е, р' = —.
| » » г р
Сравнивая преобразование Г"1 с преобразованием Г (см. формулы 4),
мы видим, что преобразование Г-1 входит в совокупность
преобразований (4). Если теперь в правые части этих равенств вместо
х\ у' подставить их выражения через х, у из (4), то получим,
конечно, тождества:
х = ху у=у, и = и, v = vf w = wf
гласящие о выполнении аксиомы Ш6. *
Выполнимость аксиом ф4, Ш5 и Ш6 говорит о том, что
преобразования (4) образуют группу.
«Прежде чем проверить выполнимость аксиомы Ш7, рассмотрим
аксиому Ш8; -из нее получится сразу выполнимость аксиомы 1П7.
Аксиома ///8. Требуется доказать, что в нашей интерпретации
существует единственное движение (назовем его тс), которое
преобразует любой данный репер Ы в любой другой репер 9Г.
Найдем сначала движение Г, преобразующее специальный репер
(назовем его х-репер) в любой репер 01. Пусть х-репер
определен своей вершиной — началом координат О (0,0), лучом —
положительной полуосью х (т. с. точками д:^>0, у = 0, лежащими на
прямой 0:1:0) и полуплоскостью у^>0. Возьмем на луче лг-репера
точку P{d, 0), где d^>0 будет определено позже. Пусть репер NJt
имеет вершиной точку М{(хь у,), а точку на луче — Жо(^, Уъ).
Этот репер 31 еще" не определен однозначно, — можно рассматривать
любую из полуплоскостей, ограниченных прямой М1М*; такая
двузначность будет устранена ниже.
Если потребовать, чтобы Г (0) = Mv Y (Р) = М%, то параметры
движения — числа т, п% a, b — определяются из (4j):
хх = т'' 0 — п • 0+а,
v, = г (п • 0 + т • 0) -f Ь,
откуда
а = х1 и b=yt;
х% = т • d — п • 0 Ч- хи
V2 = е (лг • d-\-m • 0)-j- yv
откуда
х2 — Xi v2 — уi .
так как т2-^п2 = 1, то d = -f- /(*«, — *,)2 + СУ*— ^i)2-
Поэтому формулы искомого преобразования будут следующие:
х. = £к-^ _.*=*, + *„

§ 2. Непротиворечивость евклидовой геометрии 121
Так как здесь е имеет два знака, то мы имеем два движения,
которые преобразуют луч" ОР в луч МХМ*. Поскольку при у = 0
выбор знака е не играет роли, то наше движение между точками
лучей ОР и MlMi устанавливает взаимно однозначное соответствие.
Прямая ОР (0:1:0) разбивает все точки, с ней не инцидентные,
на две области — полуплоскости (в смысле определения 5 главы II,
стр. 61). Для точек одной из них у^>0, а для другой у<^0;
поэтому, если точка /И (а:, у) при e = -j-l преобразуется в точку
М'(х',у'), то при s = —1 в эту же точку М' (л:', у')
преобразуется точка уИ(аг,—у). Поскольку при движении полуплоскость
переходит в полуплоскость, то в первом случае полуплоскость,
для точек которой Д>^>0, переходит в полуплоскость,
определяемую прямой MjAfcj и точкой М (х, у), а во втором — в эту
полуплоскость переходит полуплоскость У<^0. Если теперь потребовать,
чтобы полуплоскость у ^> 0 переходила в одну из полуплоскостей,
определяемых прямой МХМ*, в которой находится точка М\х\ у'),
мы получим единственное движение, преобразующее лг-репер в 9R.
.Наше рассуждение показывает, что существует единственное
движение, которое преобразует г-репер в репер 9?, а в силу
выполнимости аксиомы 1Н6 существует и обратное движение,
переводящее реперов лг-репер. Эго говорит о выполнимости аксиомы IIIg
для частного случая.
Пусть теперь 91 и SR' — какая-нибудь пара произвольных реперов.
Возьмем лг-репер с лучом ОР и полуплоскостью у>0. Как мы
только что видели, существует единственное движение Гц
преобразующее репер 9R в лг-репер 9tn, 9?0 = Г,9?. Пусть Г,— движение
(тоже единственное), которое преобразует лг-репер в 9Г, 9?' = Г29?0.
Произведение этих движений (которое в силу выполнимости аксиомы Ш„
есть тоже движение) переведет репер 9i в 91'. Мы утверждаем
теперь, что это движение Г = Г2Г] единственно.
В , самом деле, пусть Г' — другое движение, преобразующее 5R
в 9Г, 9Г = Г'9?.* Тогда движение ГТ,"1 преобразует лг-репер в
репер 9?'. Так как такое движение единственно, то оно есть 1\>, и мы
имеем rTj"'=Г2. Возьмем теперь произведения (ГТ,"1)^ и
Г2Гу, они будут совпадать: (FT,*"1) Г, =Г2Г, = Г. Действительно,
на основании сочетательности свойства движения, мы имеем:
(ГТг1) Г, = Г(Гг1 Г,) = ГТ0 = Г
и значит Г1 = Г.
Таким образом, аксиома Ш8 выполняется для любой пары реперов.
Переходим к аксиоме IILj. Надо доказать, что если движение
оставляет вершину Мх (л:,, jVi) репера 91 на месте и сохраняет
направление луча / эгогси. репера, то и любая точка М2 луча / остается на
месте.
Движений, удовлетворяющих этому требованию, может быть
два — одно из них имеет в своем аналитическом выражении е = -J- 1
(и, как мы увидим, сохраняет на месте каждую полуплоскость, ограни-

122
Плава III. Геометрия Евклида
ченную лучом /), а другое имеет е = — 1 (и, как мы увидим,
преобразует одну из плоскостей луча / в другую). ,
Случай 1-й. e = -J-l. Если е = —f— 1, то мы можем прямо
указать, что это за движение. Эго — тождественное преобразование,
существование которого установлено при проверке аксиомы Ш4:
а = 0, b = 0t т=\у п = 0у е = —|— 1.
Оно оставляет все точки плоскости на месте; следовательно,
остается на месте и любая точка нашего луча /. Так как, согласно
проверенной нами аксиоме' Ш8, такое движение — единственное,
то этим доказана выполнимость аксиомы Ш7 в нашей интерпретации
для случая е = -(- 1.
Случай 2-й. е = — 1. Сначала совершим преобразование Г,
переводящее луч / в л:-репер, рассмотренный выше, при проверке
аксиомы Ш8. При этом точка Мх{хъ ух)— вершина луча
/—переход в точку О (0,0), а любая другая точка М2 (х%, jy2) этого
луча — в точку P(d, 0):
Г(Ж,) = 0, Т(М2) = Р-
е в этом преобразовании положим =-}-1:
, X* Хг У 2 Vl I
х = d х—^-^у + х,
* у.— Vi , х* — л*1 ,
у = d x+ d у+у\
Г(е = +1)
В результате движения Г точка М переходит в некоторую
точку . М1. Затем совершим преобразование Г° — зеркальное
отражение от оси ху переводящее- точку М\х\ у') в точку М"(х",у"),
где х"=Ху у" = —у.
Параметры этого движения:
а = 0, Ь = 0, т=\9 я = 0, е= — 1.
Это преобразование оставляет все точки оси х(у = 0) на месте.
В частности Г°(0) = 0, Т°(Р) = Р. Наконец совершим третье
преобразование Г^1, обратное преобразованию Г и переводящее
л:-репер в 91 при е = —f— 1 (аксиома Ш6). Точка М" (л:", у") перейдет
в точку М'" (х"\ у'"). Формулы этого преобразования получаются
из Г путем решения системы этих уравнений относительно х и у.
Учитывая, что d* = (xq — *i)2-f-Oo—yt)2, получаем:
x2 — Xi ^,, _j_ y*—yi
d
-xx (xt — xx)—yx — (уш —yx)
x,„ = хш=*_х» + УЦ^1 у» +
•;r-1(e = + i).
i —yi(x1 — xl)-^xl(yt—yl)

§ 2. Непротиворечивость евклидовой геометрии 128
Как легко проверить, это преобразование переведет
О(0, 0) в Мг(хи ух), аР№0)-в М*{хъ у2):
r-i(0) = iM|f' T-l(P) = Mq.
Возьмем теперь движение П — произведение всех трех
рассмотренных нами преобразований Г, Г°, Г"1. Это преобразование
сохраняет точки Мх и Ж2 на месте:
Г(Ж1) = 0, Г°(0) = 0, Г"1(0) = Ж1; следовательно, II(M1) = MV
Т(М2) = Р, Г(Р) = Р, Г"1 (Р) = Мо; следовательно, П (Ж2) = М2,
и в нем е = (—f— 1)( — l)(-j-l) = —1 (см. проверку аксиомы И1в,
стр. 118). Это преобразование переводит луч / в самого себя, но
меняет местами обе полуплоскости, ограниченные, этим лучом. Так
как, согласно аксиоме 1Н8, такое преобразование — единственное,
то этим доказана выполнимость аксиомы Ш7 для случая е = -*— 1.
Аксиома ///q. Полагая в формулах (4])
m = — 1, я = 0, а = х1-{-хъ Ь=Уь-{-уъ е = -f- 1,
мы получим движение
х' = xi+хъ—х> У =У\ +у* — у>
преобразующее точку Mx(xv yx) в точку /И2 (х%, yq) и рбратно.
Так как эти точки могут быть любыми, то этим аксиома Ш9
выполняется.
Нам остается убедиться в выполнении аксиомы Ш10.
Рассмотрим сначала частный случай. Пусть / — луч, для-точек
которого у —0, х^>0 (положительна^ часть оси х), a h — луч,
который имеет начало в точке О (О, 0). Пусть Л(л:2, v2) — какая-
нибудь точка луча h. Полагая
а = 0, * = 0, гп = Ц-, п = —^г, ь = —1, где d = + А,2 +у<*>
найдём движение:
, _ х2х + у2у , ___ у2х — х2у . _ /■ « , «-
х — ^ , у — ^ , а — ул2 -f-Уъ ,
V
преобразующее луч / в луч h и обратно.
Действительно, точка О(0, 0) переходит сама в себя, а точка
А(х<ь, у2) — в точку P(d, 0) и обратно.
Если теперь (/, /г) — произвольная пара лучей с общей
вершиной, то, как и при проверке предыдущих аксиом (Ш7, Ш8), переводя
луч / в луч у = 0, х^>0, мы сведем вопрос к рассмотренному
случаю. Предлагается читателю произвести соответствующие
выкладки и получить формулы, осуществляемые требуемое движение.
Итак, в аналитической интерпретации выполняются все
аксиомы движения.

124
Глава III. Геометрия Евклида
Выполнимость аксиомы непрерывнрсти IV.
Пусть имеем отрезок АВУ точки которого разбиты на два класса,,
удовлетворяющие условиям аксиомы Дедекинда. Так как эти
условия выражаются через - отношение „между", которое инвариантно-
относительно движения, то нам достаточно рассмотреть
выполнимость аксиомы Дедекинда для отрезков, инцидентных какой-нибудь,
определенной прямой, например, прямой у = 0.
Пусть точка Л совпадает с точкой О (О, 0), а точка В — с какой-
нибудь точкой P(d, 0), d^>0, инцидентной прямой (0: 1 : 0). Тогда
ггервая координата каждой точки отрезка ОР будет положительна,
а вторая — нуль. Из соглашения (3) о содержании термина „между"
следует, что если точка Мх {хъ 0) лежит между О (0, 0) и М2(л:2, 0),
то 0 <^ хх <^ х2. Вследствие этого делению точек отрезка ОР на
два класса будет соответствовать деление всех положительных чисел
в интервале (0, d) на два класса, удовлетворяющих условиям
аксиомы Дедекинда в области вещественных чисел: 1) каждое
положительное число, меньшее d, входит в один из таких классов; 2) любое
число первого класса меньше любого числа второго; 3) в каждом
из классоЪ существует, по крайней мере, одно число. Для
действительных чисел, аксиома Дедекинда имеет место. Пусть Е —дедекин-
дово число. Ему и будет отвечать дедскиндова точка С (Е, 0). Ее
единственность вытекает из единственности дедекиндова числа.
Можно было бы показать, что в нашей аналитической
интерпретации длины и углы измеряются точно таким же образом, как
и в обыкновенной аналитической геометрии.
Так как в аналитическом пространстве осуществляются все
аксиомы евклидовой геометрии, то в нем будут справедливы и все
теоремы евклидовой геометрии. В самом деле, теоремы (так, как мы
их понимаем после введения строгой аксиоматики), высказанные
в терминах нашей аксиоматики, являются логическими следствиями
аксиом. Поэтому они имеют место всякий раз, как только
справедливы аксиомы. Вследствие этого каждое предложение евклидовой
геометрии превращается во вполне определенное предложение из
области арифметики. Например, теореме Пифагора здесь отвечает
предложение: если три точки Mt {xti yt), /=1, 2, 3, таковы, что
справедливо равенство
(х2 - хг) (*3 — х2) + (у2 —ух) Суд —Уъ) = О1),
то всегда будет справедливо равенство
(х2 — xxf -j- (У2 — У\У + (*з — х2У + 0/3 — У*)* =
= U3 — *i)2 + Cy3 — j'i)2.
1) Которое означает, что отрезки MtM2 и М2М3 образуют между собой
прямой угол

§ 3. Геометрия фигур
125
Это приводит нас к важному выводу: из аксиом евклидовой
геометрии нельзя вывести двух логически противоречивых
предложений. Действительно, если бы такие предложения существовали,
тогда, будучи высказанными в арифметической форме, на языке
нашего аналитического пространства, они дали бы два
противоречивых предложения из области арифметики.
Показав существование арифметических образов, в которые
реализуются все аксиомы евклидовой геометрии, мы, таким образом,
доказали основную теорему, формулированную в начале этого
параграфа,— евклидова геометрия *), построенная на аксиомах групп
li_4> Ni-4> IIIi_i0, IV, V, стогь же свободна от противоречий,
как и арифметика; если арифметика не содержит противоречий,
то не имеет противоречий и евклидова геометрия. Поскольку
у нас нет сомнений в противоречивости арифметики, то мы говорим,'
что аксиоматика евклидовой геометрии непротиворечива.
Мы только ради краткости ограничились проведением
доказательства непротиворечивости двухмерной геометрии Евклида.
Таким же образом, вводя три координаты х, у, z вместо двух, мы
могли бы провести и доказательство непротиворечивости и для
трехмерного пространства с аксиоматикой Ij.^, H,_4, Н11_1о, IV, V.
Поэтому и эта* аксиоматика так же непротиворечива, как и
арифметика.
§ 3. Геометрия фигур.
Рассмотренная в предыдущем параграфе аналитическая
интерпретация евклидовой геометрии показывает на примере, что мы вовсе
не обязаны представлять себе точку по Евклиду, как „то, что не
имеет частей". В настоящем и в последующих двух параграфах мы
познакомимся с некоторыми другими интерпретациями евклидовой
геометрии. В этих интерпретациях мы будем исходить из обычного
пространства элементарной евклидовой геометрии, которое известно
из школьного курса. Будем, конечно, считать, что в этом
пространстве удовлетворяются все аксиомы I — V.
Мы обнаружим в этом евклидовом пространстве существование
геометрических образов, отличных от обыкновенных точек, прямых
и плоскостей; образов, которые мы также называем „точкой",
„прямой" и „плоскостью" и которые удовлетворяют аксиомам I—V.
Итак, пусть мы имеем евклидово пространство с обычно
представляемыми основными образами. Введем ряд соглашений
(интерпретационный словарь):
1. „Точка". Каждой точке М обычного пространства
соответствует сфера постоянного диаметра d с центром в этой точке
(черт. 44). Будем называть каждую такую сферу термином точка,
взятым в кавычках: „точка" М!. „Точки", центры которых не
совпадают, будем считать различными.
) На плоскости.

126 Глава 111. Геометрия Евклида
Это соглашение устанавливает взаимно однозначное соответствие
между новыми* „точками" и старыми „точками".
2. „Прямая". Круговой цилиндр, огибающий семейство сфер
диаметра d с центрами, лежащими на прямой / (черт. 45), назовем
„прямой" V.
Черт. 44. Черт. 45.
3. „Плоскость". Пару параллельных плоскостей, огибающих
семейство сфер того же радиуса d с центрами, лежащими на
плоскости тт (черт. 46), назовем „плоскостью" 1).
Черт. 4ё.
4. „Инцидентность". Будем говорить, что „точка" инцидентна
„прямой" (соответственно „плоскости"), если инцидентны
соответствующие* им обычная точка и прямая (плоскость), т. е. если центр
„точки" инцидентен оси цилиндра или плоскости симметрии для
пары плоскостей.
5. „Между". Распространим на эти образы также понятие
ьМежду": будем говорить, что „точка" М2' лежит „между" двумя
другими „точками" Ж/ и Ж3', если точка М* (центр соответствующей
сферы) лежит между точками Мх и Мъ в обычном смысле этого слова.
Г
6. „Движение". „Движением" в новой системе объектов будем
понимать движение в обычном пространстве, переводящее „точку"
(т. е. шар)—в „точку", „прямую" (цилиндр) — в „прямую",
„плоскость" (пару плоскостей) — в такую же пару плоскостей.
1) Если число d обращается в нуль, то наши новые .точки*, .прямые*
и .плоскости" совпадают с обычными.

§ 4. Интерпретация Пуанкаре
127
Теперь нетрудно видеть, что в новой системе геометрических
объектов имеют место все аксиомы евклидовой геометрии.
Например, в „плоскости" существует только одна „прямая" /',
инцидентная „точке" С и параллельная данной „прямой" т' (черт. 47), ибо
существует только одна обыкновенная прямая / (ось цилиндра),
инцидентная точке С и не инцидентная прямой т (осью цилиндра т')
и заключенная вместе с „прямой" / между двумя плоскостями.
Если рассматривать „точки" и „прямые" какой-нибудь одной
„плоскости", то получается интерпретация плоской евклидовой
геометрии.
Итак, точку, прямую и плоскость геометрии Евклида можно
представлять соответственно как шарик, цилиндр и „плоский слой"
того же диаметра. Это Мы практически и делаем: в приложениях
евклидовой геометрии мы в большинстве случаев имеем дело с
такими „точками" и „прямыми", которые больше похожи на эти
шарики и цилиндры, чем на не существующие в природе евклидовы
точки и прямые.
Введенная интерпретация носит название „геометрии фигур".
§ 4. Интерпретация Пуанкаре.
Инверсия и ее свойства.
Мы здесь ограничимся интерпретацией Пуанкаре только для
двухмерной евклидовой геометрии. Рассмотрим евклидову плоскость
(в обычном смысле этого слова) с системой точек и прямых, для
которых выполняются аксиомы плоской евклидовой геометрии I^»
IIt_4, IHi.ioi IV и V. Остановимся сначала на одном важном
преобразовании точек этой плоскости, известном под названием инверсии.
Это преобразование определяется заданием точки О {центра
инверсии) и положительного числа р2 (степени инверсии). Окружность К
радиуса р с центром в точке О называется основной окружностью.
Будем считать две точки М и М' соответствующими друг
другу в нашем преобразовании инверсии, если они обладают
следующими тремя свойствами:
1) точки /И, М' лежат на прямой, проходящей через точку О;
2) точка О не лежит между точками М, М'\
3) если г = ОМ— длина отрезка ОМ, а г'= ОМ' — длина
отрезка ОМ\ то rf = р2.
Нетрудно видеть, что точка /И, соответствующая точке М\
принадлежит лучу ОМ' и поляре точки М' относительно основной
окружности К. Действительно, пусть М' — внешняя точка по
отношению к окружности К, РР' — ее поляра (прямая, проходящая через
точки Р и Р' прикосновения пары касательных к окружности К,
проведенных из точки M')t a М0 — точка пересечения этой поляры
с лучом ОМ' (черт. 48). Из прямоугольного треугольника ОРМ'
имеем ОР* = ОМ0 • ОМ' или ОМ • г' = р2. На основании
определения преобразования инверсии заключаем, что М0 совпадает с М.

128
Глава III. Геометрия Евклида
Это рассуждение одновременно указывает на_ способ построения
соответствующих пар точек инверсии.
Опираясь на определение инверсии, можно доказать ряд
интересных свойств этого преобразования; мы остановимся на
следующих свойствах, необходимых для дальнейшего !). Читателю следует
внимательно рассмотреть эти
свойства на чертеже 49, где буквы без
штрихов ознаиают данные
геометрические образы, а буквы со
штрихами — соответствующие им в
нашем преобразовании.
/. Внутренние точки основной
окружности преобразуются во
внешние и наоборот, а точки,
лежащие на самой окружности,
остаются неподвижными.
Заметим, что для центра О нет
соответствующей точки. Дело в
, р2
том, что ОМ =г = -у -► оо, когда
r = OAf-*0, т. е. когда /W-vO; в
евклидовой же плоскости нет
бесконечно удаленных элементов. Поэтому, если мы желаем (как
это будет сделано ниже) иметь без всякого исключения
взаимнооднозначное соответствие точек, мы должны евклидову плоскость
Черт. 48.
Черт. 49.
дополнить одной новой „точкой" 0\ которая называется
несобственной (или „бесконечно удаленной") и которую мы будем считать
принадлежащей каждой из прямых пучка с центром в О.
Но введение точки О', лежащей на каждой прямой пучка с
центром в О, делает прямые этого пучка замкнутыми; поэтому к ним
будут неприменимы аксиомы порядка Н,_4. Так как, к тому же, все
1) Доказательства этих свойств м.ы давать здесь не будем.

§ 4. Интерпретация Пуанкаре
129
эти прямые инцидентны точкам О и 0\ то мы будем иметь
противоречие с аксиомой 1с, (по которой существует не более одной
прямой, инцидентной каждой паре точек). Это противоречие с
аксиомами будет, очевнднс, устранено, если мы из плоскости удалим
точку О (будем представлять себе плоскость „проколотой" в точке О).
2. Прямые, инцидентные точке О, преобразуются сами в себя.
3. Если удалить точку О из плоскости, то инверсия сохраняет
о пношение инцидентности без всякого исключения,
4. Окружности, инцидентные точке О, преобразуются в
прямые, не инцидентные О, и наоборот, прямые, не инцидентные О,
преобразуются в окружности, инцидентные О. При этом,
внутренняя область такой окружности преобразуется в полуплоскость,
не содержаи^ую точки О.
5. Две окружности, касающиеся друг друга в точке О,
преобразуются в параллельные прямые.
6. Инверсия преобразует всякую окружность, не инцидентную
точке О, в окружность.
Если окружность расположена так, что точка О принадлежит ее
внутренней области, то при инверсии эта внутренняя область
преобразуется во внешнюю, а внешняя — во внутреннюю. Наоборот, если
точка О принадлежит внешней области, то при инверсии внутренняя
область перейдет во внутреннюю, а внешняя — во внешнюю.
7. Только окружности, ортогональные к основной окружности,
преобразуются сами в себя, причем их внутренняя область
переходит также сама в себя.
8. Если А, В и С —
три точки прямой линии
и точка В лежит между
А и С, то луч ОВ' лежит
между лучами ОА' и ОС
(А', В' и С — точки,
отвечающие в инверсии
точкам А, В и С). Будем в
этом случае говорить, что
точка В' лежит на
окружности между точками А'
и С.
9. Инверсия обладает
свойством сохранения
углов '), причем ориентация
каждого угла изменяется
на обратную (угол,
отсчитываемый против часовой стрелки, переходит в угол, отсчитываемый
по часовой стрелке).
1) Угол между двумя прямыми переходит в угол между двумя
окружностями, который определяется как угол между касательными к этим
окружностям в точке их пересечения.

130
Глава III. Геометрия Евклида
10. Если А, А'; В} В' — две %пары соответствующих точек
в инверсии (черт. 50), то длина отрезка А'В' выражается через
длину отрезков АВУ О А, ОВ следующим образом:
Действительно, так как О А • О А' = р2, ОВ • ОВ' = р2, то О А: ОВ =
— ОВ': ОА\ и поэтому треугольники О А'В' и ОВА подобны. Из.
подобия имеем пропорцию А'В': АВ = ОВ': О А. Заменяя здесь ОВ'
на -угц-, получаем требуемое.
После этих замечаний перейдем к интерпретации Пуанкаре.
Соглашения в интерпретации Пуанкаре
(интерпретационный словарь).
Будем основные объекты и отношения этой интерпретации
называть именем Пуанкаре: точка Пуанкаре, прямая Пуанкаре и т. п.
и кратко писать „точка П." (или „П. точка"), „прямая II." и т. п.
Интерпретация Пуанкаре определяется следующими соглашениями.
1. „Точка П.и — обыкновенная точка евклидовой плоскости, за
исключением одной точки О (мы не будем причислять ее к точкам П.).
Но вместо этой исключенной точки О мы дополним множество
точек П. одной „несобственной", точкой О' и будем считать ее
полученной в результате инверсии точки О относительно окружности
с центром в О, инцидентной всем прямым пучка с центром в О.
2. „Прямая /7."—или обыкновенная прямая пучка с центром в О
(с выключенной точкой О и присоединением несобственной точки О'),
или окружность, инцидентная точке О. Эти прямые П. мы будем
называть соответственно прямыми П. 1-го и 2-го рода.
3. „Инцидентность Я." — инцидентность в обычном смысле.
4. „Между П.и Понятие „между П." определяется различно для
прямых 1-го и 2-го рода:
б)'
О С В
с о
Черт. 51.
I) если три точки Л, В и С инцидентны прямой 1-го рода, то
П. точка В лежит между П. точками Л и С, когда отрезок ОВ
разделяет (в обычном смысле) отрезок АС, т. е. если имеет место
одно из следующих четырех расположений:
а) ОАВ, ОВС\ б) ОСВ, ОВА\ в) ВСО, BOA] г) ВАО, БОС
(черт. 51);

§ 4. Интерпретация Пуанкаре 131
II) если три точки А, В, С инцидентны прямой П. 2-го рода,
то В лежит между П. точками А и С, когда луч ОВ в обычном
смысле лежит между лучами ОА и ОС.
5. „Движение /7." — каждое преобразование точек и прямых П.,
котор'ому в инверсии с центром в О и заданной степени р*
соответствует обычное евклидово движение.
Выполнимость аксиом евклидовой геом.етрии
в интерпретации Пуанкаре.
Докажем две теоремы, устанавливающие, что в интерпретации
Пуанкаре выполняются все аксиомы евклидовой геометрии.
Теорема I. Инверсия относительно окружности с центром
в О преобразует точку П. и прямую /7. соответственно в
обыкновенные точку и прямую, а отношения „инцидентность /7.",
„между /7." и „движение П.и — соответственно в обыкновенные
отношения — инцидентность, между и движение.
Первая часть теоремы следует из определения инверсии и ее
свойств 1—4 и 6. Заметим, что несобственная точка О' преобразуется
в точку О, а „несобственный" пучок с центром в О преобразуется
в пучок с центром в О. Поскольку О исключена из плоскости
Пуанкаре, то в нашем преобразовании ей точка не отвечает.
Справедливость теоремы для отношения инцидентности следует
из соглашения 3 и свойства 3 инверсии.
Что же касается понятия „между ПЛ то его преобразование в
обычное „между" совершенно очевидно в случае точек, инцидентных
прямой П. 2-го рода: лучи ОА, ОВ, ОС переходят сами в себя,
а точки Л, Ву С — в точки А\ В', С\ инцидентные с ними и с
прямой, в которую преобразуется прямая ABC; если луч ОВ лежит
между ОА и ОС, то, по свойству угла АОВ, точка В' будет лежать
между А' и С.
Пусть теперь П. точки Л, Ву С лежат на прямой П. 1-го рода
и В лежит „между П." А и С (см. соглашение 4). Рассмотрим случай
а) ОАВ, ОВС. По свойству длины (евклидовой) отсюда следует,
что ОА<^ОВ<^ОС. Так как точки А\ В\ С\ находящиеся в
инверсии с точками А, В, С, должны удовлетворять равенствам
О А • О А' = О В • ОВ' = ОС . ОС = р*,
то
0Л'=ш> ов'=т>
UL " ос
и из неравенств ОА<^0В<^0С мы будем иметь такие же
неравенства ОА'^>ОВ'^>ОС'. Отсюда следует, что точка В' лежит
между А' и С в обычном смысле.
Совершенно аналогично рассматриваются и остальные случаи.

132 Глава III. Геометрия Евклида
Справедливость теоремы но отношению к понятию „движение П".
очевидна из соглашения 5.
Теорема 2. В системе образов Пуанкаре выполняются все
аксиомы евклидовой геометрии —1,_4, Hj.^ HI,_10, IV, V — а еле-
довательно, и евклидова геометрия (на плоскости).
В этих аксиомах речь идет о точках, прямых и отношениях
„инцидентность", „между" и „движение". Поскольку между точками
и прямыми Пуанкаре, с одной стороны, и обыкновенными точками
и прямыми; с другой, инверсия с центром в О устанавливает
взаимно однозначное соответствие, причем отношения „инцидентность"
„между" и „движение" Пуанкаре она преобразует соответственно в
обыкновенные отношения „инцидентность", „между" и „движение",
а аксиомы евклидовой геометрии в обыкновенной системе образов
выполняются, то они должны выполняться и в системе образов
Пуанкаре.
Впрочем, можно было бы это проверить и самостоятельно, не
прибегая к преобразованию инверсии !).
Измерения длин и углов в интерпретации
Пуанкаре.
Теорема 3. Длина /7. „АВи (в смысле определения 36 гл. II
на стр. 94) отрезка АВ в интерпретации Пуанкаре выражается
формулой:
АВи _ с ЛЗ
„лп —С0А.0В,
где ОAt OB, ОС — обыкновенные длины обыкновенных отрезков,
sl с — произвольная постоянная.
Убедимся сначала в том, что эта функция аддитивна и
инвариантна относительно движений.
Пусть Д В, С — три точки, инцидентные прямой Пуанкаре
2-го рода, причем В лежит между П. Л и С (черт. 50). Инверсия
относительно основной окружности преобразует прямую П. в
обыкновенную прямую, а точки П. А> В, С — в точки А', В\ С,
инцидентные этой прямой, причем В' будет лежать между А' и С.
Если р—радиус основной окружности, тогда, как мы видели выше
(см. 10-е свойство инверсии),
АВ D,^, 2 ВС
А'Я' = Р*-г^Ш> B'C = p
ОАОВ > v OB ОС*
АС = р< —АС—
ОА ОС
х) При проверке выполнимости аксиом движения заметим, что понятие
„отрезок", „луч", „полуплоскость*4, „угол" и „репер" Пуанкаре преобразуются
инверсией соответственно в обыкновенные отрезок, луч, полуплоскость, угол
и репер.

§ 4. Интерпретация Пуанкаре
133
Сравнивая это с введенной нами функцией, — „длиной П", имеем:
„АВ" = L. А'В\ „ВС* = ^ В'С\ пАСи = у А'С.
Так как В' лежит между Л' и С и обычные длины удовлетворяют
аддитивному свойству, т. е.
А'В' -\-В'С = А'С\
то
„АВ" + „ВС = пАС\
Поскольку аддитивность обыкновенных длин инвариантна
относительно евклидовых движений, то наша функция будет инвариантна
относительно движения П. (напоминаем, что движения П. — такие
преобразования, которым в инверсии отвечают обыкновенные
евклидовы движения).
Совершенно аналогично доказывается теорема для случая
прямой П. 1-го рода.
Чтобы фиксировать значение произвольной постоянной, нужно
некоторому отрезку ОР приписать единичную длину. Тогда
введенное нами измерение будет единственное. Действительно, теорема 77
главы II (стр. 95) гласит, что существует единственная мера отрезка,
удовлетворяющая определению длины. Такую меру мы нашли —
значит, согласно этой теореме, она единственна.
Заметим, между прочим, что расстояние „АВи стремится к
бесконечности, когда точка В стремится к точке О (в знаменателе
формулы, определяющей длину П. „АВи, величина ОВ-+ 0; поэтому вся
дробь -*оо). Вследствие этого точка О называется иногда
бесконечно удаленной точкой интерпретации Пуанкаре.
Замечательно, что расстояние П. от любой точки А до точки О
конечно и равно -^г» хотя ее расстояние от этой точки в основном
пространстве бесконечно. Действительно, из формулы
когда В по лучу О А стремится к О', находим, что
АВ _ОВ — ОА _ ОА 1
W- ОВ — 1 ОВ ~*1'
поэтому
*Аа ~* ОА '
Отсюда следует геометрический смысл величины с — это П. длина
отрезка АО\ от точки Л, находящейся на обыкновенном единичном
расстоянии от точки О, до точки О'.
Теорема 4. Углы в интерпретации Пуанкаре совпадают с
обычными.
Это следует из определения меры угла (определение 37 гл. II,
стр. 102), ее единственности и свойства 9 инверсии.

134
Глава III. Геометрия Евклида
Некоторые теоремы евклидовой геометрии
в интерпретации Пуанкаре.
Каждая теорема евклидовой геометрии может быть переведена
при помощи „интерпретационного словаря" на язык интерпретации
Пуанкаре. В результате этого перевода теорема принимает (с точки
зрения обычных евклидовых представлений) другое содержание.
Таким образом, интерпретация Пуанкаре дает возможность каждой
теореме евклидовой геометрии ставить в соответствие новую теорему.
Рассмотрим несколько интересных примеров.
1. Если в равенстве
ьАВи + яВСи==яАС\
выражающем аддитивность длин в интерпретации Пуанкаре, ввести
по указанным выше формулам обыкновенные отрезки и длины и
произвести надлежащие сокращения, мы получим теорему
Птолемея: ОА-ВС+ОС- АВ = ОВ. АС,
связывающую стороны и диагонали четырехугольника ОАВС,
вписанного в окружность. Таким образом, известная теорема Птолемея
может быть получена как непосредственное следствие аддитивного
свойства отрезков в интерпретации Пуанкаре.
2. Теоремы синусов и косинусов для треугольника имеют в
интерпретации Пуанкаре обыкновенный вид:
sin А sin В sinC ,
„АСи* = „АВи* + „ВСи* — 2„АВи • „ВСи • cos £.
Выражал здесь „АВи, „ВСи, пАСи через длины
соответствующих отрезков, получим после сокращения следующие формулы:
sin Л sin В sin С , <ч
ОА-ВС ~ ОВ-АС~ ОС-АВ> ( }
АС2 • ОВ* = АВ* • ОС* + ВС* • О А2 —
— 2АВ-ВСОА.ОС cos В. (2)
Мы получили две теоремы, которые можно формулировать так:
если в евклидовой плоскости мы имеем четыре точки О, А, В
и С и £ A, Z. B> LC— евклидовы углы, образованные дугами
соответствующих пар окружностей, инцидентных парам точек
Л, В; В, С; С, А и точке О, то имеют место равенства (1) и (2).
Факты, выражаемые этими формулами, дают нам новые соотношения
в евклидовой геометрии, неизвестные, может быть, раньше.
Если в формулах (1) и (2) положить угол £=тс, г. е. считать,
что точки Л, В, С, О лежат на окружности, мы получаем (по
извлечении квадратного корня) теорему Птолемея. Если положить
В = -у , то получаем „теорему Пифагора П.":
АС* • О В2 = АВ2 • ОС* -f ВС2 • О А2.

§ 4. Интерпретация Пуанкаре
135
Другой способ получения интерпретации
Пуанкаре.
Интересно, что интерпретация Пуанкаре двухмерной геометрии
Ечклида может быть получена в результате выполнения двух
стереографических и одной ортогональной проекции.
Пусть 2 — сфера радиуса г=у, касающаяся плоскости тг
в точке О (черт. 52). Проектируя образы плоскости тг из полюса S
(диаметрально противоположная точка по отношению к точке О)
на> сферу, мы переведем точку М в точку Ж0, прямую (— в
окружность /0, проходящую через полюс 5. При этом параллельные прямые
плоскости тг переходят в окружности, касающиеся в точке S.
Поскольку в плоскости к нет бесконечно удаленных точек, цля
полюса 5 нет соответствующей точки. Проектируя затем образы со
сферы на касательную плоскость т,0 к £ в полюсе S из точки О,
Черт. 52.
мы переведем точку М0 в точку М0\ окружность /0 — в
окружность /0'. Поскольку прямая m плоскости гс, проходящая через О,
не пересекается с тг0, то в плоскости тг0 нет точки, в которую
проектировалась бы точка О. Желая, чтобы это соответствие было
взаимно однозначным, мы дополним плоскость тх0 одной
несобственной (бесконечно удаленной) точкой О', которую будем считать
отвечающей точке О. .
Проектируя, наконец, образы плоскости тг0 ортогонально на
плоскость тг, мы переводим точку М0' в точку М\ окружность /0' —
в окружность /', прямую m — в m (совпадающую с пг). В резуль-

136
Глава III. Геометрия Евклида
тате мы в* плоскости тс получаем интерпретацию Пуанкаре (при этом
точка О' проектируется в несобственную точку плоскости тс).
Последовательное производство указанных выше двух
стереографических, а затем ортогональной проекций эквивалентно
инверсии!. Действительно, поскольку /, OM{iS — прямой угол (опирается
на диаметр OS сферы), то /, SOM()'= /, QMS, и значит
прямоугольные треугольники OMS и OM^'S подобны. Из подобия имеем:
ОМ0' -OM' = OS2 или OM-OM' = f.
Мы видим, что своим существованием интерпретация Пуанкаре
обязана преобразованию инверсии. Это приводит нас к мысли <—
с каждым взаимно однозначным преобразованием точек плоскости
и пространства связать новую интерпретацию евклидовой геометрии.
И действительно, если новые образы точек, прямых и плоскостей
называть этими же именами и перенести на них понятие
„инцидентность", „между" и „движение", считал их всякий раз имеющими
место, если они имеют место в основной системе образов, то в этой
новой системе образов мы будем иметь ту же самую геометрию.
Так как в каждой интерпретации (например в аналитической)
существует, очевидно, бесчисленное множество взаимно однозначных
преобразований точек всей плоскости, то существует и
бесчисленное множество интерпретаций евклидовой геометрии.
В следующем параграфе мы рассмотрим еще одну интересную
интерпретацию евклидовой геометрии — геометрию Евклида в системе
геодезических линий развертывающейся поверхности.
§ 5. Внутренняя геометрия развертывающейся поверхности.
Развертывающейся поверхностью называется поверхность,
которая непрерывным изгибанием в пространстве с сохранением длины
(а следовательно, и углов), может быть разложена на плоскость или
на ее часть. Более точное определение: поверхность 2 называется
Черт. 53.
развертывающейся или налагающейся на плоскость тг, если между
их точками М и М' можно установить взаимно однозначное
соответствие/ при котором соответствующие линейные элементы
ds и ds' равны: ds= ds'.

§ 5. Внутренняя геометрия развертывающейся поверхности 137
Как известно из курса диференциальной геометрии, отсюда
следует, что и длины любой пары соответствующих линий АВ и А'В*
будут равны. Точно так же будут равны и углы ф и ф' между
соответствующими дугами (черт. 53), и площади о и о'
соответствующих областей 2) и 3)'. Поэтому внутренняя геометрия
развертывающейся поверхности, связанная с измерением длин, углов и площадей,
будет такая же, как и геометрия плоскости.
Теперь обратим наше внимание на прямые, лежащие в
плоскости тт. Они представляют собою в плоскости кратчайшее
расстояние между любыми ее точками. Так как наше отображение на
развертывающуюся поверхность сохраняет длины, то линии
поверхности V, соответствующие прямым (или отображающиеся в прямые)
плоскости тг обладают тоже этим свойством, т. е. имеют
кратчайшую длину между любой парой ее точек по сравнению с длинами
любых дуг с теми же концами.
Такие линии, дающие экстремум вариационной задаче
8 [ ds = О,
называются геодезическими. Возьмем на нашей поверхности^ какой-
нибудь геодезический треугольник ABC, т. е. криволинейный
треугольник, стороны которого суть дуги геодезических линий.. На
плоскости тс ему соответствует прямолинейный треугольник А'В'С\
стороны и углы которого равны соответствующим сторонам и углам
криволинейного. Отсюда следует, что тригонометрия геодезического
треугольника развертывающейся поверхности совпадает с
тригонометрией прямолинейного треугольника евклидовой плоскости.
Очевидно, что в системе точек и геодезических линий
развертывающейся поверхности имеет силу евклидова геометрия.
Черт. 54.
Развертывающиеся поверхности евклидового пространства могут
быть конические, цилиндрические и поверхности, представляющие
собою геометрическое место касательных к произвольной
пространственной кривой. Случай, например, конической поверхности
показывает нам, что здесь евклидова геометрия реализуется частично.

138
Глава IIL Геометрия Евклида
Дело в том, что между всеми точками конуса и всеми точками плоскости
нельзя установить взаимно однозначного соответствия, при
котором сохранялись бы длины соответствующих линий. При полном
развертывании на плоскость конус заполняет угол, стороны
которого /,', U' (черт. 54) должны рассматриваться
отождествленными (точки Л/, AoJ представляют здесь одну и ту же
точку А образующей /, которая при развертывании второй раз
накладывается на плоскость). Геодезические линии конуса имеют вид,
изображенный на чертеже 54. При развертывании они переходят в
бесконечную совокупность параллельных отрезков Л/ В^\ В{' С/, концы
которых Л/ Л2', Вх\ Въ должны рассматриваться как одна точка.
На параболическом цилиндре геометрия Евклида реализуется
полностью.
§ 6. Полнота аксиоматики евклидовой геометрии.
Мы привели несколько интерпретаций евклидовой геометрии и
видели, что их число может быть неограничено. В связи с этим
естественно поставить следующий вопрос, очень важный для каждой аксиоматики.
Пусть /j и /.2 — две какие-нибудь интерпретации данной системы
аксиом £ и А — предложение, выраженное в аксиоматических
терминах и относящееся к интерпретации /,. Справедливо ли,
выполняется ли предложение А в интерпретации /.2?
Ответ на этот вопрос следует искать прежде всего в свойствах
•самой аксиоматики. Для одной аксиоматики каждому предложению
в первой интерпретации отвечает (в тех же терминах) предложение
второй интерпретации; для другой аксиоматики этого не будет.
Возьмем, например, систему аксиом абсолютной геометрии I, II,
III, IV. Наша обычная евклидова плоскость с ее точками и прямыми
удовлетворяет этим аксиомам; в ней справедливо предложение V:
через точку, лежащую вне данной прямой, проходит только одна
прямая, ее не пересекающая. А в интерпретациях геометрии
Лобачевского, о которых мы будем говорить ниже (в гл. IV),
удовлетворяются все аксиомы абсолютной геометрии, но предложение V
не выполняется. Значит, система аксиом I, II, III, IV допускает
интерпретации, в одной из которых предложение V выполняется,
а в другой — нет.
Обратим внимание на какую-нибудь фигуру Fx в интерпретации /,,
к которой относится предложение Л. Отвечает ли ей в
интерпретации /2 фигура F2 с изоморфным строением, т. е. такая, что
составляющие ее основные объекты (точки, прямые, плоскости)
находятся во взаимно однозначном соответствии с составляющими
объектами фигуры Fiy причем любым ее объектам, связанным каким-
либо соотношением в 1и отвечают объекты, связанные с тем же
-самым соотношением в фигуре /^ интерпретации /2? Если в
интерпретации U такой фигуры не существует, то о выполнимости Л
в этой интерпретации не может быть речи (поскольку нет объекта,
к которому предложение Л может быть приложено). Таким образом,

§ 6. Полнота аксиоматики евклидовой геометрии 139
поставленный нами вопрос приводит к вопросу об изоморфизме
интерпретаций — существует ли между основными объектами
наших интерпретаций /, и L2 взаимно однозначное coomeemtmeue
с сохранением всех основных отношений? Если такое соответствие
существует, то предложение^, справедливое в /,, будет также
справедливо я в Л2. Такая система аксиом называется полной.
■ Формулируем сказанное в виде определения.
Определение. Система аксиом называется полной, если две
любые ее интерпретации изоморфны, т. е. если основные одноименные
объекты (точки, прямые, плоскости) двух любых ее
интерпретаций могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие
гак, что любым объектам, связанным каким-либо из основных
отношений (инцидентность, между, движение) в первой интерпретации,
соответствуют объекты, связанные соответствующим отношением во
второй интерпретации.
Если аксиоматика полная, то каждое предложение одной ее
интерпретации 1Х сохраняет силу и для любой другой ее
интерпретации /о. В этом случае не может существовать для объектов
интерпретации /, такого предложения, которое не было бы
справедливо в интерпретации А,.
Дoкaжevl следующую основную теорему.
Теорема полноты. Система аксиом евклидовой геометрии
1 — V — полная.
Для простоты приведем доказательство только для случая
двухмерной, плоской евклидовой геометрии. Как показывает
определение полноты, нужно доказать, что между основными одноименными
объектами двух каких-нибудь интерпретаций /, и /2 системы I — V
можно всегда установить взаимно однозначное соответствие с
сохранением относящихся к ним основных отношений.
Наша цель будет достигнута, если мы покажем это в отнсплении
любой интерпретации /j и аналитической интерпретации 1анал,
рассмотренной в § 2. Тогда изоморфизм двух любых интерпретаций
полной системы аксиом будет автоматически выполняться1).
Декартовы координаты на прямой линии.
Возьмем в интерпретации У, какую-нибудь прямую / (черт. 55)
и на ней точку О (аксиома 13). По теореме 19 главы II и опреде-
, OEM ,
/ one/
ox ox
Черт. 55.
лению 4 (стр. 58—59) точка О делит все точки прямой / на два луча ОХ и
ОХ так, что, если Е — какая-нибудь точка луча ОХ (соответственно
— х *
ОХ), а М — любая другая точка этого луча, тогда либо OEM, либо
!) Очевидно, в силу определения изоморфных интерпретаций, если 1Х изо-
морфж) /2 и L изоморфно /3, то /j изоморфно /а.

NO
Глава III. Геометрия Евклида
OEM, а если М есть точка луча ОХ (соответственно ОХ), то OEM. Луч
ОХ определяется однозначно заданием вершины О и какой-нибудь
*
его точки Е; для всякой его точки будет справедливо или ОЕМу
*
или OEM; для каждой же точки дополнительного луча ОХ спра-
ведливо OEM.
По теореме 78 главы II (стр. 100), если Некоторый отрезок
(например ОЕ) принят за единичный, между точками М луча ОХ и
положительными действительными числами х устанавливается взаимно
однозначное соответствие, а именно, каждой точке М отвечает
положительное действительное число х, равное длине отрезка ОМ, и
наоборот, каждому числу х отвечает на луче ОХ только одна точка
М, такая, что длина отрезка ОМ=х. То же самое справедливо и
для точек М дополнительного луча. Желая установить взаимно
однозначное соответствие между точками прямой / и действительными
числами, мы введем относительные числа, и каждой точке
М луча ОХ отнесем число x = -\-d(OM)1), а каждой точке
дополнительного луча ОХ—число х= — d(OM). Наоборот, если дано
д:^>0 (соответственно л:<^0), то на луче ОХ (соответственно ОХ)
найдем единственную точку М, являющуюся концом отрезка ОМ с
длиной = | х |. Числу д; = 0 отнесем вершину луча — точку О.
Введенное таким образом число х мы назовем координатой
или абсциссой точки М, и будем это записывать так: М (дг);
точку О назовем началом, луч ОХ—положительной полуосью, а
луч ОХ (дополнительный к ОХ) — отрицательной полуосью.
Установленное нами соответствие не единственно возможное;
оно зависит от выбора начала, положительной полуоси и единицы
масштаба. Если, например, полуоси поменять местами, то нова»
координата х' той же точки М будет равна — х.
Перенос начала координат.
Пусть О' (а)—какая-нибудь точка луча ОХ (а ^>0)> отличная
от О, т. е. либо ОЕО\ либо ОЕО (черт. 56). Как известно, опре-
о с ЧЖ м у
Черт. 56.
деление луча ОХ не зависит от выбора точки Е (см. определение
4 на стр. 59), и мы можем луч ОХ определить как множество
1) Напоминаем, что d (ОМ) — это длина отрезка ОМ (число существенно
положительное). #

§ 6. Полнота аксиоматики евклидовой геометрии 141
точек М, для которых либо ОМО', либо ОМО', а дополнительный
— *
ОХ—как множество точек М, для которых О МО'. Введем теперь
два* взаимно дополнительных луча О'Х' и О'Х с общей вершиной
в точке О'. Пусть О'Х' — луч с вершиной О', содержащий данную
точку О, т. е. О'Х'—множество точек М, для которых либо
ОМО', либо ОМО', а луч О'Х'—дополнительный к О'Х' (множе-
*
ство точек М, для которых ОМО'). Сравнивая определения лучей
О'Х' и О'Х' с определениями лучей ОХ и ОХ, мы заключаем, что
любая точка М луча О'Х' лежит на луче ОХ, а любая точка
луча ОХ лежит на луче О'Х. В этом случае говорят, что луч О'Х'
лежит на луче ОХ, а луч ОХ лежит на луче О'Х. Точки отрезка*
ОО' лежат как на луче ОХ, так и на луче О'Х'.
Ясно, что все точки прямой / можно разбить на три области: на
лучи О'Х', ~ОХ и отрезок ОО'.
Введем новую систему координат с -вершиной в О',
положительной полуосью О'Х' и отрицательной О'Х'. Будем говорить, что
новые полуоси 0'Х\ О'Х получаются из старых путем переноса
начала О в точку О' (а^>0).
Теорема. Старая х и новая х' координаты любой точки М
прямой I связаны между собой формулой
х = х'-\-а, (1)
где а — координата нового начала О' в старой системе (а^>0).
Мы покажем, что эта теорема выполняется для каждой точки М
нашей прямой. *
Случай 1. М лежит на полуоси О'Х', т. е. ОМО'. Поскольку
любая точка М полуоси О'Х' принадлежит полуоси ОХ, то обе
*
координаты х и х' положительны. Учитывая, что ОМО', по
определению длины отрезка, мы имеем равенство: d(OM) = d(00') -f-
-{-d(O'M), где d обозначает длину соответствующего отрезка.
Так как d(OM) = x, d(00') = a, d(0'M) = x', то x = х + а.
Случай 2. М лежит на отрезке ОО', т. е. ОМО'. Имеем
d (00') = d(OM)-\-d(MO'). Так как М лежит на положительной
полуоси ОХ и отрицательной полуоси О'Х', то d(OM) = х,
a d(MO') = — х'. Поскольку d(OO') = а, то а = х — х', откуда
х = х' + а. _ *
Случай 3. М лежит на полуоси ОХ, т. е. ОМО'. В данном
случае обе координаты будут отрицательны; поэтому d (ОМ) = — х,
d(0'M) = — x'. Равенство d(0'M) = d (O'O) + d (ОМ) дает—л;'^=
=а — х, откуда лг = а-|-лг'.
Совершенно аналогично определяется перенос начала О в точку
О'(а<^0) отрицательной полуоси ОХ. Если новую положительную
полуось О'Х' взять так, чтобы старая ОХ лежала целиком на ней,

142
Глава III. Геометрия Евклида
то таким же образом, как и выше, можно показать, что формула
х=х'-4-а остается справедливой и для этого случая.
Опираясь на формулу переноса начала (1), докажем следующую
важную теорему.
Если точка М2(х^) лежит между точками Мх(хх) и Мъ(хг),
>по либо ху < х2 <" дг3, либо хх^>х2^>хд, и, наоборот, если имеет
*
место одно из этих неравенств, то МХМ2МЪ.
Перенесем начало координат в точку М2\ тогда х = х'-\-х2%
где х и х'—старая и новая координаты точки М. Отсюда следует,
что новые координаты хх\ х2, х% наших точек Мх, М2, Мъ будут
равны: j:/=x,—х2, х2=0, хг' = х3 — л:,.
Так как точки Мх и Мъ располагаются по разные стороны о г
точки М2, то или х\ ( — хх — хч)<^0<^Хъ'(=лг3— x*h или
%хх' ^>0>лг3\ откуда, соответственно, хх <^х><^хъ или хх^>х2^>л:3.
Наоборот, если имеют место эти равенства, то, принимая точку
Mq(x2) за новое начало, мы для точек М{% М9, Ж3 будем иметь
новые координаты хх ~ хх — х2, х2 = О, х.Л' = лг3 — х2. Но из наших
неравенств следуют неравенства я, ^0^х^\ означающие, что точки
Мх и Мъ лежат по разные стороны о г точки /И2, т. е. М2 лежит
s между Мх и Мъ.
Декартовы координаты на плоскости.
Согласно теореме 20 главы II (стр. 60), прямая / разбивает все точки,
инцидентные некоторой плоскости а, на две области — полупло-
Положительная полуплоскость скости. Одну из них мы назовем по-
Y^ ложительной, а друг\ ю — отрица-
М тельной.
Но теореме 58, из любой
точки М нашей плоскости можно
опустить на прямую / только один
перпендикуляр. Отнесем точке М пару
чисел х, у — ее координаты, где
х (абсцисса М)—абсцисса точки Р
Отрицательная полуплоскость (основания перпендикуляра MP на
ось ОХ), а у (ордината М) — длина
Черт. 57. перпендикуляра MP, взятая со
знаком -f- или — в зависимости от
того, лежит ли точка Л1 в положительной или отрицательной
полуплоскости (черт. 57). Таким образом, мы каждой точке ставим
в соответствие пару чисел (л:, V). Справедливо и обратное, в
установленной таким образом системе координат каждой паре чисел дс,
у отвечает некоторая точка М, именно та, координаты которой
выражаются этими числами (это обеспечено теоремой 78 гл. И). Эту
систему координат мы назовем прямоугольной декартовой системой.
Пусть О У — положительная полуось, перпендикулярная, к ОХ
в точке О и расположенная в положительной полуплоскости отно-

§ 6, Полнота аксиоматики евклидовой геометрии 143
сительно прямой /. Аналогично определяем OY. • Тогда координату
у можно толковать как координату проекции Q точки М на ось.
OY{OY)v).
Используя теорему Пифагора, можно найти формулу для
расстояния d между точками Ml(xliyl)i М2 (л:2, у2):
d = V(x2-xl)* + {y2-y1)*. (2)
Аналитическое выражение отношения „между".
Пусть теперь М2 лежит между Мх и Mz\ Рц Р2, Ръ— проекции
точек Mv М2, Мъ на ось OX, a xv х2, хг— их абсциссы (черт. 58).
По теореме 59 главы II перпендикуляры МхРи М2,Р2, МгРг не
имеют попарно общих точек. По
аксиоме Паша для треугольника i
Р1МгМ1 и прямой РгМ2
заключаем, что прямая Р2М2 и сто- Q3\-^-
рона РХМЪ имеют общую точку п
Q. По аксиоме Паша для тре- *'
угольника РхРгМ3 и прямой P2Q О,
следует, что точка Р2 лежит
между Р, и Ръ. Вследствие этого,
как было показано выше, либо
Х\ <С Х2 <С ХЪу ЛИ^° Х\ ^>Х2^> ХЪ> И
поэтому выражение
^123 —
х*> — х±
х$ — х%
будет положительно.
Поскольку то же самое мы можем повторить й для проекций QjO/i)>
Q2(^2X <2зСУз) точек Ж„ Ж2, Мг на ось О Г, то либо З^О^ОЪ»
либо yt ^>у2 ^>Уъ, и значит
у _У2—Уг
123 У* —У*
будет тоже положительно.
Так как отрезки прямых, рассеченных рядом параллельных, про-
порциональны2), то ^~ = щ^ -
Pi Pi
но
Ргрг
. *2 — *1 9i92_ ^2" Vl .
"^3 — ^2 ' Q2Q3 З'З—3^2 '
поэтому Х'123 = Х123, и мы имеем:
*а —*i ^g — ^i
-^3 "
.УЗ—J>2
423
>о.
(3)
*) OQ = PM как противоположные* стороны прямоугольника OPMQ (по
условию, мы имеем дело с плоскостью Евклида). Ясно, что в абсолютной
геометрии это несправедливо (в ней OQ^PM).
2) Это следует из аксиомы V.

144 Глава III. Геометрия Евклида
Таким образом, справедлива теорема: если точка М2 лежит
между точками Mv Ж3, то Х123>0.
Обратная теорема. Если лиз ]> 0, то точка Л42 (xif у%)
лежит между точками Мг(хи уу) и Mz(xz, у3).
Действительно, Х123 может быть ^> 0 только в случае одной из
четырех попарных комбинаций неравенств:
*i^x*^х* У\ *$>У*^У9-
Но в каждом из этих случаев точка Р.2 (хъ 0) лежит между
точками Рг (хЛ, 0), Р3 (х3, 0), а точка Q2 (0, у2) — между точками Q, (0,^),
Q»(0, Уz).
По аксиоме Паша, применяемой сначала к треугольнику Р,Л43Р8 и
перпендикуляру к оси ОХ в точке Р.2, а затем — к треугольнику РХМ{ М%
и к тому же перпендикуляру, заключаем, что он пересекает
прямую MXMZ в точке ЛЬ, лежащей между точками Мх и Mv Так как
прямые МхРи MqPb Ж3Р3, перпендикулярные к оси ОХ,
параллельны, то
МХМ2 _ PjP2 _x2 — xl_} x
М2М3 — PJ>\ ~ х3 — х2 ^*3 >'
Совершенно аналогично убеждаемся, что
MjMj1 _QiQi_yj— Vi _у
М2'М3 — Q.2Q3 —Уь -у2 ~ Л 1И'
где Мъ— точка, лежащая между точками MtM3 на пересечении
перпендикуляра к оси ОУ в точке Qq с прямой Л4,Л43. Так как по
условию Х'123 = Х123. и между точками Ж, и Мг лежит только одна
точка Мъ которая делит отрезок МХМЪ в заданном отношении Х1П,
то точка М% совпадает с точкой М*_.
Пусть теперь координаты точек М1 (хиух), М* (лг.2, у*), Мъ(хг, уг)
удовлетворяют равенству (3) при Х123<^0. Мы утверждаем, что и
в этом случае только одна из точек лежит между другими.
Из равенства (3) могут быть получены следующие, ему
эквивалентные:
x3 — x2_ys—y2 _^ x1 — xi = yl—y3_y
xi — xz у,— у3 *31' х2 — хх у2—У1 Ч312#
Так как
^123 * ^231 # ^312 = 1
и Х123 <^ 0, то Х231 и X31<J имеют разные знаки. Пусть,
например, Х281 ^> 0; тогда, в силу предыдущего, точка Л43 лежит между
точками уИ<2 и Mv По теореме 14 главы II, Мъ — единственная точка
из точек Ми Мъ Ж3, которая лежит между Mt и Mv
1) Вытекает из аксиомы V.

§ б. Полнота аксиоматики евклидовой геометрии 145
Уравнение прямой и координатное выражение
отношения „инцидентность".
По аксиоме 13 каждая прямая / инцидентна по крайней мере двум
точкам Мг (хь ух), Мо (л:2, у2), а по теореме 1 главы II этим точкам
отвечает именно эта прямая /. Пусть М{х, у)— какая-нибудь точка,
инцидентная прямой /. Так как из трех точек прямой только одна
лежит между двумя другими, то мы допустим, что М лежит между Mt
и уИо. В таком случае, как показано выше, х, у\ хь ух\ хъ у^
удовлетворяют равенству (3) или равенству
х — хх_ y — yi
Xs — *i Уа—yi1
откуда
ux-\-vy-\-w = 0, (4)
где
и=у1— уъ v = x*—x1, w = x]ycL — Xoyb
или
\х у \
Ui Ух !
\хъ у* 1
= 0.
Поскольку точки Мх и Mq не совпадают, в равенстве (4) случай и = 0,
х; = 0 невозможен.
Случаи MM^Mq и MMtM2 приводят тоже к равенству (4). Итак,
координаты каждой точки М прямой I удовлетворяют
уравнению (4).
Мы теперь утверждаем, что уравнение (4) не зависит от выбора
точек Mlt M<z на прямой /, т. е. если Мх' (хх\ .у/), ^V (*«'> Уъ) —
какая-нибудь другая пара точек, инцидентных прямой /, то
уравнение (4'):
u'x-±v'y-\-w' = 0, (4')
где
и' = У1—Уъ, v' = x%' —хг\ w' = xl'y<2'—x<i,y1'
равносильно уравнению (4), т. е.
и : v : w = 'и': v : w'.
В самом деле, если точки Мх\ М% лежат на прямой /, т. е. на
прямой MtMb то, как мы только что видели, их координаты должны
удовлетворять уравнению (4), т. е.
ихх' + Wi + w = 0, их*' -f- ууч' -f- w = 0.
Они дают:
и : v : w = (yi'—Уо'): (*«' — хх'): (х^ — *<>>/),
что и требовалось доказать.

146
Глава III. Геометрия Евклида
Таким образом, каждой прямой I с точностью до произвольного
постоянного множителя отвечает только одно уравнение (4) или
только одна система отношений и : v : w. Наоборот, за исключением
случая и = v = 0, не имеющего для нас смысла, каждому
уравнению (4) с заданными козфициентами и, v, w отвечает в плоскости
только одна прямая /, т. е. все точки множества точек,
удовлетворяющих уравнению (4), инцидентны одной и той же вполне
определенной прямой /.
Пусть M1(xl, yt), М2(л:о, Уъ) — какая-нибудь пара точек нашего
множества, т. е.
axi + ЪУ\ + w = 0, их* -f- vy*_ -\-w = 0. (a)
По геореме 1 главы II точкам Мх и М9 отвечает единственная
инцидентная им прямая /. Легко видеть, что любая точка Мг(хг, уг)
нашего множества инцидентна прямой /. Действительно, по
определению этого множества,
ux3 + vyz + w = 0. (б)
Чтобы система однородных равенств (а) и (б) была совместна
относительно и, v, w (одновременно не исчезающих), необходимо, чтобы
координаты наших точек удовлетворяли равенству
х\ У\ 1
х* Уъ 1
*ъ Уг 1
= 0.
Но, как было показано выше, точка Мъ (дг3, yz) инцидентна
прямой /(уИ,Л19), что и требовалось доказать.
Так как уравнение (4) определяется отношениями и : v : w, то мы
можем сказать, что между прямыми / плоскости и этими
отношениями, за исключением случая и = v = 0 (не имеющего для нас
значения), устанавливается взаимно однозначное соответствие и что
инцидентность точки М(х, у) и прямой l(u:v:w) выражается
равенством их -(- vy -f- W = 0.
Уравнение (4) называется уравнением прямой [точнее —
уравнением множества всех точек М{х,у), инцидентных прямой l(u:v : w)],
а числа к, v, w называются однородными координатами прямой
линии.
Координатное представление движений.
Каждое движение Г относит точке М(х, у) точку М'(х', у'),
прямой 1{и : v :w) — прямую /' {и : v : w'), сохраняя отношение
инцидентности (аксиома Ш2) и ямеждуц (аксиома Ш3). Таким образом,
если точка М (л:, у) инцидентна прямой / (и: v : w\ т. е.
ux-i-vy + w=0 (МЦ1), (4)

§ 6. Полнота аксиоматики евклидовой геометрии 147
то точка М' (х',у') = ГМ должна быть инцидентна прямой/'(и': v': w'):
и'х + v'y' + w' = 0 (М'Ц /'), (4')
и если точка Л12 (лг2, у*) лежит между точками M1(xv ух), Мг(хг, уъ)>
т. е.
Хъ—Xj _У2 — У1 «yQ
х3 — х« Уг—Уг^ '
то точка М2' (х2\ у2') = ТМ^ должна лежать между точками
Мх'(хх\ yi') = TM] и М3'(*з', у3')=Г/И3, т. е.
Xt—xl'_y'2—y'l ^Q
*з' — Х2' Уз' — у* ^
Поскбльку аксиома непрерывности формулируется через
понятия „точка", „прямая", „инцидентность" и „между", которые остаются
инвариантными относительно каждого движения Г, то последние
сохраняют непрерывность образов — дедекиндова точка при движении
переходит в дедекиндову. Наконец, вспомним, что каждое движение Г
устанавливает взаимно однозначное сопряжение точек и прямых в
плоскости (см. конец в доказательстве теоремы 30, стр. 71).
Теперь мы воспользуемся теоремой Мёбиуса*), которая гласит,
что только проективные преобразования, т. е. преобразования
вида
х> _ Q^ + V + gi , _ а»х + Ь*У + сш
а^х -f Ьъу + с3 ' у azx 4- Ьгу + cs '
являются непрерывными взаимно однозначными преобразованиями,
которые прямые (4) переводят в прямые (4').
Поскольку в плоскости не существует точек М'(х\ у') с
бесконечными координатами, мы должны положить а3 = 0, Ьъ = 0, съф0
(в противном случае точке прямой аъх -f- b^y -)- сг = 0 движение Г не
будет относить точку, что противоречит аксиоме III,).
Итак, преобразования, отвечающие движениям Г, имеют вид:
х' = aix-}-bty-\-clt у' = а^х -4- Ь*у + сг. (5)
Теперь установим условия, которым должны удовлетворять ко-
эфициенты а„ Ьх сх\ аъ Ьъ,с^, Что гакие условия, накладывающие
ограничения на эти коэфициенты, должны существовать, можно
предвидеть хотя бы из того обстоятельства, что мы еще не использовали
всех аксиом движения ^например, аксиом 1Н7, Ш8, Ш9, Ш1о). Для
выяснения этих условий мы обратимся к измерению длины отрезка,
которая является следствием, вытекающим из всех аксиом гео-
м е т р и и.
Так как при движении длина d отрезка М^М^ выражающаяся
через координаты концов по формуле (2), не меняется, то
(*,' - х,у + (у,* - у,')* = (х, - *,)* + (у, - у,)*,
1) См., например, Четверухин, Высшая геометрия.

148
Глава III. Геометрия Евклида
где Мх' (хх\ ух') и М9^(хг\ Уъ) — точки, в которые движением Г
переводятся соответственно точки M1(xv ух) и Мо(л:2, у2). Полагая
здесь по формулам (5)
xi' = a1xi-{-blyi-{-cv у- = агх( + b9yi + с*, (г =4,2),
получаем тождество:
(а*-\-а* — l)6e + (ft,e + V—1)^+2(0,04 + ^)^1 = 0
относительно разностей £ —л;2— a:,, тг)=.Уо—^у, (тождество потому,
что оно должно выполняться для любой пары точек Л1, и М2).
Отсюда следует, что параметры я,, ft,, а2, ft2 должны удовлетворять
равенствам
a,e + a,e=lf ft,*+ ***=!. a,ft,+a2ft2 = 0. (6)
Равенства (6) и есть искомые условия. Из последнего равенства
имеем —~- = —-. Обозначая эти равные отношения через е, полу-
чаем: а2 = — eft,, a, = eft.2. Внося а, и aq в первое равенство (6) и
учитывая второе, находим, что е = ±1. Поэтому формулы (5)
принимают вид: •
х' = тх — пV + а, У = е(л* + /юу) -(-ft, /я2 -f- л4 = 1, |
где V (5')
/ю = а„ л = — ft,, а = с,, Ь = с*_ 1). )
Далее, нетрудно видеть; что движениям Г в системе прямых
/ (и : v : w) отвечают преобразования вида (4<>), указанные в § 2
(стр. ИЗ). Действительно, пусть прямая I(u:v:w) движением Г
преобразуется в прямую l'(u:v:w). Так как то же самое
движение Г переводит точку М(х, у), инцидентную прямой /, в точку
М'(х\ у'), инцидентную прямой /' (аксиома IIU), то одновременно
должны выполняться равенства
их -J-ггу + таг = 0, и'х' -\-v'y' -}-w' = 0,
где х, у, х\ у' связаны равенствами (5').
Выражая во втором х\ у' через х, у по формулам (5'), мы
получим уравнение прямой, инцидентной множеству точек М (х, у)
(следует брать, по крайней мере, две точки М (х, у), инцидентные
прямой /). Так как каждой паре точек инцидентна только одна
прямая, то получающееся уравнение должно совпадать с первым
уравнением. Сравнивая отношения коэфициентов этих уравнений,
получаем движения Г для прямых; они совпадают с уравнениями (4о)
§ 2, т. е.
ри' = ти — nv, \
рх/ = е (пи + mv\ > (5")
р-о/ = — (та -\- enb) и -f- (па — emb) v -j-w.j
«
l) Ср. формулы на стр. 113.

§ 6. Полнота аксиоматики евклидовой геометрии 149
Итак, движениям Г в системе точек и прямых отвечают
преобразования вида (5'), (5"). Обратно, как мы видели в § 2, эти
преобразования удовлетворяют всем аксиомам движения Ш,_101).
Доказательство теоремы* полноты.
Нам остается перейти к выводам.
Если в евклидову плоскость ввести указанным способом
прямоугольную декартову систему координат, то
1) каждой точке М отвечает пара чисел х, у, и наоборот.
2) Каждой прямой / отвечает уравнение их-j-vy-j-w = О или
только одна система отношений и : v : w> и наоборот.
3) Если точка М0(х0, у0) инцидентна прямой l(u:v:w), то
имеет место равенство uxQ -f- vyQ -\-'w = О, и наоборот.
4) Если точка М2(хъ yq) лежит между точками M1(xli yx) и
Мз(*з> уъ)у то
Л з Л 2 -*3 Л 2
и наоборот.
5) Каждому движению Г отвечает преобразование
х = тх — пу + а, у' = е («х -f- /яу) -f- £;
р«' = ти — nv,
pv' = e(nu -f- mv),
pte>' = — {ma -f- enb) и -f- (na — emb) v -f- wt
и наоборот.
Все это показывает нам, что между точками и прямыми
произвольной интерпретации /t евклидовой геометрии и точками и
прямыми аналитической интерпретации 1анал (см. § 2) установлено
взаимно однозначное соответствие, такое, что объектам, связанным
одним из основных отношений (инцидентность, между, движение)
интерпретации /, отвечают объекты интерпретации 1анал> связанные
тем же самым отношением.
Как мы видели (см. стр. 139), этим уже автоматически
установлено взаимно однозначное соответствие между двумя любыми
интерпретациями /j и U евклидовой геометрии. По определению полной
системы аксиом, аксиоматика евклидовой геометрии — полная.
Только чго проведенное доказательство полноты аксиоматики
двухмерной геометрии Евклида не опиралось на аксиомы У5_10,
необходимые для развития геометрии трехмерного пространства. Но
1) Между прочим, по одним только аксиомам 1, II, III, IV, без
пользования аксиомой V, невозможно установить движения (5'), (5"). Дело в том,
что, как выяснится ниже (§ 2 гл. IV), аксиома V не есть логическое
следствие аксиом I — IV. Поэтому в принятой системе координат х = ОР,у = MP
G^ OQ, см. сноску 1 на стр. 143) уравнение прямой не может быть
представлено в форме (4) (поскольку оно следует из равенства (3), которое
выведено в предположении аксиомы V).

150
Глава III. Геометрия Евклида
совершенно в том же духе можно было бы провести доказательство
полноты аксиоматики и для трехмерного пространства.
При выводе уравнений движения (5') мы опирались на теорему
Пифагора. Последняя же в свою очередь основывается на 5-м
постулате; можно показать обратное— из предложения Пифагора и аксиом
абсолютной геометрии вытекает 5-й постулат. Таким образом, судя
по доказательству, полнота аксиоматики (I — V) евклидовой
геометрии находится в зависимости от 5-го постулата. Как мы увидим
ниже, эта зависимость существенна: без предположения 5-го
постулата невозможно доказать полноту, точнее—аксиоматика
абсолютной геометрии — неполная (см. пример в начале этого параграфа).
§ 7. Предложения, эквивалентные 5-му постулату Евклида.
В этом параграфе мы приводим ряд предложений, эквивалентных
5-му постулату. Эти предложения, с одной стороны, расширяют
содержание школьного курса евклидовой геометрии, с другой — они
проливают свет на существо ошибок в исторических попытках
доказательства 5-го постулата, о которых говорилось в главе I (§ 4).
Определим сначала строго, какие предложения мы назовем
эквивалентными.
Определение. Два предложения А и В называются
эквивалентными относительно системы аксиом S, если из аксиом Z-^A
следует В, а из аксиом L-\- В следует А.
По этому определению эквивалентность обладает
транзитивным свойством:
если А же. В и В же. С, то А же. С.
Заметим, что участие системы аксиом Е здесь существенно: те
же предложения А и В относительно другой системы аксиом могут
оказаться уже не эквивалентными. Таким образом, свойство
эквивалентности предложений А и В есть относительное, а не
абсолютное, только им присущее, свойство.
Мы переходим к перечислению и доказательству ряда
предложений, эквивалентных 5-му постулату Евклида. Во всех этих
предложениях аксиоматика £ — это аксиоматика абсолютной геометрии,
изложенная в главе II.
Теорема 1. Предложение Р; п Две прямые /, и lqy лежащие
в одной плоскости и не пересекающиеся между собой, образуют
с любой третьей секущей их прямой I равные соответственные
углы (Xj и а2\ эквивалентно 5-му постулату Евклида.
Согласно определению понятия эквивалентности, нужно показать,
что из 5-го постулата и системы аксиом £ абсолютной геометрии
следует предложение Р, а затем — что из £ и Р следует 5-й
постулат.

§ 7. Предложения, эквивалентные 5-му постулату Евклида 151
Черт. 59.
Пусть /j и /2 не пересекаются и <лх ф а2. Тогда одна из сумм ои2 -}-<х>
a2'-f-a' (черт. 59) . внутренних односторонних углов будет
меньше 2d1). Согласно 5-му
постулату, /j и /2 пересекаются. *Так как
это невозможно, то aj = a2, что и
требовалось доказать.
Пусть справедливо предложение
Р, и /j и /2 — какая-нибудь пара
прямых, а а и ои — внутренние
односторонние углы, образованные 1Х и
/2 с какой-нибудь секущей /,
причем a-\-^<^2d. В таком случаемы
утверждаем, что прямые 1Х и /2
пересекаются (т. е. утверждаем
справедливость 5-го постулата).
Если бы /j и /2 не пересекались, то, согласно нашему
допущению Р, угол <х„ смежный с углом а, должен был быть равен a2, a
тогда сумма a-j-оц равнялась бы 2d и не могла быть меньше 2d.
Следовательно, допущение о пересечении /j и /2 несправедливо1).
Теорема 2. Предложение Плейфера: „В плоскости через точку С
проходит только одна прямая /, не пересекающаяся с данной
прямой АВа, эквивалентно 5-му постулату Евклида.
Нам нужно доказать, что из 5-го постулата вытекает
предложение Плейфера и наоборот.
Пусть имеет место 5-й постулат. Докажем, что тогда
справедливо предложение Плейфера. Пусть С—какая-нибудь точка,
лежащая вне прямой АВ. Соединим
точку С с точкой А и
проведем прямую CD под углом a'=a
(черт. 60). По прямой теореме
параллельных (теорема 60 главы
II) CD не пересекается с АВ.
Очевидно, что всякая другая
прямая CD' (проходящая через точку
С) и АВ образуют с АС с той
или другой стороны от нее
внутренние односторонние углы а и р,
сумма которых будет меньше двух прямых, n-\-$<^2d. Согласно
5-му постулату, прямые АВ и CD' пересекаются. Таким образом,
всякая прямая CD\ не совпадающая с CD, пересекается с АВ. Сле-
Черт. 60.
х) Заговорив о сумме углов, мы начинаем уже пользоваться системой
аксиом Ц (§ 4, гл. II). х
2) Предложение Р обратно предложению — теореме 60 главы II (прямой
теореме параллельных). Теорема 1 ^показывает, что предложение Р
справедливо, если принять 5-й постулат. Как мы увидим ниже, без наличия 5-го
постулата предложение Р несправедливо, т. е. Р не является логическим
следствием аксиом абсолютной геометрии.

152
Глава III. Геометрия Евклида
довательно, через точку С проходит только одна прямая, не
пересекающаяся с АВ, что и доказывает предложение Плейфера.
Выведем теперь из предложения Плейфера 5-й постулат. Пусть АВ
и CD' (черт. 60) —две какие-нибудь* прямые, а а и
р—внутренние односторонние углы с секущей АС, причем a-j-(5<^2d.
Проведем через точку С прямую CD под углом а' = а к АС. Так
как a'-f- Р = a -f- ji <^ 2^f, то CD не совпадает с CD'. Далее, по прямой
теореме параллельных, CD не пересекается с АВ. Поскольку через
точку С- проходит только одна прямая, не пересекающаяся с АВ
(по допущению), то CD' пересекается с АВ. Итак, если a-f~p<^2rf,
то прямые АВ и CD' пересекаются (5-й постулат), что и
требовалось доказать.
Замечание. Во многих руководствах по евклидовой геометрии
вместо 5-го постулата вводится в качестве аксиомы предложение
Плейфера. Впервые это и было сделано английским геометром Плей-
фером. Теорема 2 показывает, что это
вполне допустимо. В нашем курсе аксиома V
взята именно в форме „постулата Плейфера".
К I ТеоремаЗ. Предложение Лежандра:
\ I „Перпендикуляр и наклонная к данной
i \* Г прямой всегда пересекаются", эквивалент-
I \ I но 5-му постулату.
г \ I Пусть АВ — перпендикуляр, а CD — на-
La=</ д\ксг' клонная к АС (черт. 61). Если |3 — ост-
^ fp рый угол, то a-f j5(==d-f-|5)<2^ и, со-
^1 £|Ч гласно постулату Евклида, прямая CD ne-
I I \ ресекается с АВ. Если $^>d, тогда сумма
внутренних односторонних углов с другой
^еРг* 61. стороны от перпендикуляра АС будет
меньше 2d и наклонная CD должна опять
пересекаться с АВ. Итак, принимая 5-й постулат, мы получаем
предложение Лежандра.
Чтобы доказать обратное предложение, выведем из предложения
Лежандра сначала предложение Плейфера. Пусть С — какая-нибудь
точка вне прямой АВ (черт. 61). Опустим из точки С на АВ
перпендикуляр СА. Совокупность прямых CD, проходящих через
точку С, можно разбить на три категории: 1) прямые, образующие
с С А острый угол с данной стороны; 2) прямые, образующие с СА
тупой угол с той же стороны, и 3) прямая CD', образующая прямой
угол с С А. Прямые 1-й и 2-й совокупностей, согласно постулату
Лежандра, будут пересекаться с АВ. Остается только прямая CD',
не пересекающая АВ (см. прямую теорему 60 о параллельных
линиях), т. е. мы получаем единственную прямую, не пересекающуюся
с АВ. Итак, через всякую точку С можно провести только одну
прямую CD', не пересекающуюся с АВ. Следовательно, принимая
предложение Лежандра, мы доказали предложение Плейфера, а вместе
с тем и 5-й постулат (поскольку он эквивалентен предложению
Плейфера).

§ 7. Предложения, эквивалентные 5-му постулату Евклида 153
Теорема 4. Предложение Вольфганга Больяи: „В плоскости
через всякие три тонки А, В, С, не лежащие на одной прямой,
можно провести окружность ')а, эквивалентно 5-му постулату.
Пусть через каждые три точки, не лежащие на одной прямой,
всегда проходит окружность. Мы утверждаем, что в таком случае
перпендикуляр и наклонная всегда пересекаются.
Пусть PQ — перпендикуляр, a RS —
наклонная к АВ (черт. 62). Возьмем внутри
PR какую-нибудь точку В и построим
симметричные с ней точки А и С
относительно осей PQ и RS. Так как RS—наклонная,
то точка С, симметричная с В относительно
нее, лежит вне прямой АВ. По допущению
В. Больяи, через них пройдет
окружность К с центром в некоторой точке О.
По определению окружности, ОА — ОВ=
= ОС и, следовательно, треугольники ОАВ
и ОВС равнобедренные. Поскольку PQ и
RS служат перпендикулярами к хордам — сторонам АВ и ВС в и х
серединах Р и Д то они пройдут через центр О, т. е. пересекутся,
что и требовалось доказать. Таким образом, допущение В. Больяи
приводит к 5-му постулату.
Обратное доказывается аналогично (предоставляем это читателю).
Теорема 5. Предложение И: „Высоты треугольника всегда
пересекаются", эквивалентно 5-му постулату.
Поскольку известно, каким образом из 5-го постулата (или
предложения Плейфера, что то же самое, в силу теоремы 2) вытекает
предложение /У, то нам остается доказать обратное.
Итак, пусть справедливо предложение Н. В таком случае мы
утверждаем, что перпендикуляр PQ и наклонная RS к прямой PR
всегда пересекаются (предложение Лежандра). Возьмем на отрезке
PR какую-нибудь точку В так, чтобы перпендикуляр BD на RS
встречал также и продолжение PQ в некоторой точке F2). Очевидно,
что при достаточно малом РВ это всегда возможно. Тогда в
треугольнике FBR прямые FP (PQ)> RD (RS) будут высотами. По
допущению И они пересекаются в некоторой точке О. Таким
образом выходит, что перпендикуляр и наклонная всегда пересекаются.
По теореме 3 отсюда следует 5-й постулат.
Теорема 6. Предложение: „Сумма уггов всякого треугольника
равна двум прямым", эквивалентно 5-му постулату!
Поскольку из школьного курса геометрии известно, что из 5-го
постулата следует теорема „сумма углов всякого треугольника
равна 2duy нам остается только доказать обратное.
Предположим, что сумма углов всякого треугольника равна 2d.
1) Или, что то же самое, в плоскости существует точка О,
равноудаленная от точек Л, В, С (ОА = ОВ=ОС).
2) Пусть читатель сам дополнит чертеж 62.

154
Глава Ш. Геометрия Евклида
Черт. 63.
Пусть С — какая-нибудь точка вне прямой / (черт. 63).
Докажем, что через нее проходит только одна прямая CD, не
пересекающаяся с L(t. е. докажем предложение Плейфера, эквивалентное,
как мы знаем, 5-му постулату).
Опустим из С на / перпендикуляр СЛ и восставим к нему из
точки С перпендикуляр CD. Согласно прямой теореме о
параллельных, CD не пересекается с /.
Пусть СЕ — какая-нибудь другая прямая, проходящая внутри угла
ACD и образующая с CD угол a<^d. Проведем через точку С
прямую CG, пересекающую
d п I в точке G под углом е <^ а
(что всегда можно сделать
согласно теореме 83 гл. II).
Поскольку сумма углов
прямоугольного
треугольника, как и всякого другого,
равна 2d, то e+Z. ACG=d.
Но /, ACG-\-$ = d
(поскольку CD _l_CA);
поэтому (5 = е.
Так как а^>е, то а^>|5, и значит прямая СЕ проходит внутри
угла ACQ.
По теореме 23 главы II прямая СЕ, входящая внутрь
треугольника через вершину угла С, пересекает сторону AG в некоторой
точке F. Если бы прямая СЕ проводила внутри угла, смежного
с ACD (а не угла ACD, как мы приняли), то мы повторили бы
это же самое доказательство. Итак, все прямые СЕ, не
совпадающие с CD, пересекают /, и, значит, через точку С проходит только
одна прямая CD, не пересекающаяся с /.
Таким образом, мы доказали постулат Плейфера, из которого,
как мы уже знаем, вытекает 5-й постулат.
Предложение о сумме углов треугольника может быть сужено,
как видно из следующей теоремы:
Теорема 7. Вторая теорема С а к ке р и-Л еж ан д р а !).
Предложение: „В плоскости существует хотя бы один
треугольник с суммой углов 2d", эквивалентно 5-му постулату.
Пусть в каком-нибудь треугольнике ABC сумма углов о равна
двум прямым, a = 2d. Проведем через вершину С какую-нибудь
внутреннюю трансверсаль, т. е. секущую CD. Обозначим суммы
углов треугольников ACD и CDB соответственно
Согласно первой теореме Саккери-Лежандра (стр.
ai^2d. Выпишем эти суммы подробно:
о, = £ CAD + /, ACD + LCD А,
о, = L CBD + L BCD + z. CDB.
через
ЮЗ),
;2d,
1) Точнее, под второй теоремой Саккери-Лежандра принято понимать
лишь часть этой теоремы, а именно, что из допущения о сумме углов
следует 5-й постулат.

§ 7. Предложения, эквивалентные 5-му постулату Евклида 155
Складывая оба равенства почленно, мы получим из первого столбца
правой части углы треугольника ABC при вершинах А и В, из
второго столбца — угол при вершине С, что в сумме дает 2d. Углы
последнего столбца — смежные и тоже дают в сумме 2d. Итак,
о, -f- о? = 4rf.
Так как в то же время ox^2d и o0^2dt то приходим к выводу:
о, = 2d, о2 = 2d. Это имеет силу независимо от выбора трансвер-
сали CD.
Пусть, в частности, CF— перпендикуляр к АВ> причем точка F
лежит внутри АВ (если бы этого не случилось, тогда мы взяли бы
в качестве АВ наибольшую сторону, всегда обладающую этим
свойством). По только что доказанному,
сумма углов прямоугольного треугольника £ fc fe £>
CFB будет равна 2d lv^v I ' I
Покажем теперь, что сумма углов J \VsJ I
прямоугольного треугольника, катеты ко- I Х^Грч. I
торого в целое число раз больше кате- J \ fv^V
тов треугольника CFBy гоже равна 2d. J \ N. ^L '
Построим отрезок BCX±_BF, причем J \ N^lN,
ВСХ = FC (черт. 64), и соединим J М \1 ^>j
точки С и С,. F В В, В,
Треугольники CFB и СВСХ имеют Черт. 64.
общую сторону ВС и равные стороны
ВСХ и FC (по построению). Поскольку сумма углов треугольника
CFB = 2d, a CXB±BF (по построению), то £ BCF + £CBF=d
и Z СВСХ -f- Z CBF = d. Отсюда следует, что х. СВСХ = /_ BCF.
Таким образом, треугольники CBF и СВСХ имеют по паре
равных сторон с равными между ними заключенными углами. Согласно
теореме 37 абсолютной геометрии эти треугольники будут равны.
Поэтому /_ BCfi = d, /_С,СВ = £ CBFy £ FCC, ( = ^ FCB +
+ L BCCX = Z. FCB + Z FBC) = d, и четырехугольник FBCfi —
прямоугольник.
Повернем теперь его вокруг ВСХ до совмещения с плоскостью
чертежа. Пусть ВВХС2СХ— его новое положение. В результате мы
получаем, очевидно, прямоугольник FCC^BV диагональ которого СВ}
разбивает его на два прямоугольных треугольника CFBX и ВХС0С.
которые будут равны в силу равенства катетов CF = B*C* и FB,==
= С,С. ! '
Сумма углов треугольника CFBly равная половине суммы углов
прямоугольника, будет равна 2d. Итак, можно считать доказанным,
что, удваивая один из катетов прямоугольного треугольника с суммой
углов 2d, мы сохраняем эту сумму. Повертывая теперь в свою
очередь прямоугольник ВВХС*СХ вокруг ВХСЪ мы получим прямо- '
угольник BtBqCdCq. Рассуждая, как и в предыдущем случае, найдем,
что сумма углов прямоугольного треугольника CFB» будет равна 2d.
Поступая таким образом п — 1 раз, мы получим прямоугольный
треугольник CFBn_x с суммой углов 2d и катетом FBn_x = n • FB.

156
Глава III. Геометрия Евклида
Повторяя такую же процедуру т—1 раз с катетом FC
треугольника CFBn_lt мы получим прямоугольный треугольник Cm_lFBn_1
с суммой углов 2d и катетами FBn_1 = n • FB и Cm_1F = m -CF.
Теперь нетрудно доказать, что сумма углов всякого
прямоугольного треугольника PQR равна 2d (черт. 65).
Возьмем в предыдущем случае тип такими, чтобы FCm_x =
= т • FC^>PRt a FBn_x = п • FB^>PQ и вложим треугольник
PQR в треугольник FBn_1Cm_J так, чтобы прямой угол Р совпал
с прямым углом F.
В силу выбора тип, точки Q и R будут лежать внутри
катетов FBn_x и FCm_x. Проведем трансверсаль Cm_xQ. Так как
сумма углов треугольника FBn_]Cm_] равна 2d, то сумма углов
треугольника FQCm_} тоже равна 2d.
Черт. 65. Черт 6(3
Далее, QR является трансверсалью треугольника FQCm_li сумма
углов которого равна 2d. По той же причине сумма углов
треугольника FQR будет равна 2d, что и требовалось доказать.
Возьмем, наконец, произвольный треугольник GHK- Из вершины К
опустим на противоположную сторону GH высоту КМ (черт. 66).
Пусть основание М лежит внутри стороны GH. Сумму углов
треугольника GHK можно прелставить состоящей из суммы углов
прямоугольных треугольников GKM и КИМ без 2d (отпадут углы
при точке /И):
о = о1 — Оо — 2d.
Поскольку сумма углов всякого прямоугольного треугольника
равна 2d, то ol=o<!=:2dy и мы получаем c = 2d.
Если точка М лежит вне отрезка G/7, то, повторяя аналогичные
рассуждения, придем к тому же результату.
Итак, мы доказали интересную теорему: если в плоскости
существует хоть один треугольник с суммой углов 2d, то и во
всяком треугольнике она будет равна 2d.
В таком случае имеет место 5-й постулат (теорема 6). Обратное
очевидно (в силу той же теоремы 6).
Следствие. Если в плоскости существует простой
четырехугольник (соответственно п-угольник), сумма углов кото-

§ 7. Предложения, эквивалентные 5-му постулату Евклида 157
рого равна 4d [соответственно 2d (п — 2)], то в ней имеет
место 5-й постулат 1).
Действительно, разбивая четырехугольник одной из его
диагоналей на 2 треугольника, мы будем иметь о, -\-o2 = Ad> где о,, о9 —
суммы углов этих треугольников. Учитывая, что ох ^ 2d, о2
2d
А{ D' В1 Е' С'
А
т
i
1
1
!
i
i
i
i
■
1 D В Е С
Черт
67.
(теорема 80 гл. II), мы получаем о, = о2 = 2d, что по теореме 6
приводит к 5-му постулату.
Теорема 8. Предложение Посидония: „В плоскости
существуют по меньшей мере три точки, равноотстоящие от данной
прямой и лежащие на одной прямой* у эквивалентно 5-му постулату.
Пусть точки А\ В\ С отстоят на одинаковом расстоянии h
(h = А'А = В'В— С'С) от прямой / и лежат на одной прямой/'
(черт. 67). Ясно, что
четырехугольники АА'В'В и ВВ'С'С —
четырехугольники С а к к е р и.
Пусть DD' и ЕЕ' — их средние
линии. Как известно (теорема
84 гл. II, стр. 106), они
перпендикулярны к обоим основаниям;
следовательно, DD' и ЕЕ'
перпендикулярны к / и /', и
четырехугольник DD'E'E—прямоугольник. В силу следствия из
предыдущей теоремы имеет место 5-й постулат.
Наоборот, если имеет место 5-й постулат, то при А'А = В1 В =
= С'С четырехугольники ABB'А' и: ВВ'С'С будут прямоугольниками;
поэтому точки А\ В\ С лежат на одной прямой 2).
Те о р е м а 9.
Предложение
Валлиса: „В
плоскости
существует хотя бы
одна пара
неравных
подобных
треугольников",
эквивалентно 5-му
постулату.
Пусть треугольники ABC и А'В'С подобны (черт. 68); тогда
соответствующие углы будут равны: а = а', (5=Р',*у = Т- Пусть
для определенности АВ<^А'В'. Вложим треугольник ABC в
треугольник А'В'С так, чтобы вершина А совместилась с А', а
стороны АВ и АС пошли соответственно по сторонам А'В' и А'С.
Поскольку углы (5 и Р' равны, то прямая ВС в новом положении ВХСХ
В/В)
Черт 68.
*) Определение простого многоугольника см. на стр. 67.
*) Посадоний основывал свое доказательство 5-го постулата на более
сильном допущении, полагая, что расстояние между параллельными
постоянно. Ему равносильно допущение, что эквидистанта, т. е. геометрическое
место точек, равноудаленных от прямой (по одну сторону), — прямая линия.

158
Глава II/. Геометрия Евклида
не пересекается с прямой В'С (теорема 60 гл. II). Так как стороны
ВХВ' и СХС четырехугольника В1В'СС) тоже не пересекаются, то
этот четырехугольник—простой. Его сумма углов о = |У + ?'+
-^x-\-y = 4d, потому что х= L B'BlCl = 2d — $ = 2d—p,
у = /_ С'С1В1 = 2d—у = 2d — у'. В таком случае имеет место
5-й постулат (следствие теоремы 7).
Что из 5-го постулата следует подобие — это очевидно: через
точку Вх стороны А'В' .треугольника А'В'С проводим прямую ВХСХ,
параллельную В'С. По аксиоме Паша она «пересечет сторону А'С
в точке С,. По теореме 2 $ = (У, у —у'. Далее легко устанавливается
пропорциональность сторон наших треугольников.
Теорема 10. Предложение Насир-Эддина: „Если в простом
четырехугольнике ABCD углы при основании АВ прямые, а
угол при вершине С острый, то BC^>ADU, эквивалентно
5-му постулату.
Пусть, в частности, четырехугольник ABCD—четырехугольник
Саккери, в котором DA J_ АВ, £В JL В А и CB = AD (см. черт. 43
на стр. 106).
Если бы равные углы а и а' были меньше d, то, согласно
допущению Насир-Эддина, сторона AD была бы больше стороны ВС
и в то же время ВС больше AD. Так как это невозможно, то
остается предположить, что а = а =d, т. е. четырехугольник
Саккери — прямоугольник, что и дает 5-й постулат (следствие теоремы 7).
Обратное очевидно.
Теорема 11. Предложение Лежандра: „Через всякую
внутреннюю точку D угла ВАС можно всегда провести прямую,
пересекающую обе стороны углаи, эквивалентно 5-му 'потгулату.
Будем исходить из допущения Лежандра и покажем, что сумма
углов о произвольно взятого треугольника ABC равна 2d.
Так как по теореме 80 главы U c^2d, то либо o=2d, либо
о<^ 2d. Покажем, что гипотеза v<^2d находится в противоречии с
допущением Лежандра.
Итак, пусть в каком-нибудь треугольнике ABC a = 2d — s,
0<^e<^2d. В таком случае сумма углов и всякого треугольника
будет меньше 2d. Действительно, если мы допустим, что в
некотором треугольнике она равна 2d, тогда, по теореме 6, она будет
равна 2d и во всяком, в том числе и в треугольнике ABC, что
противоречит допущению.
Отложим от вершины В под углом у' = у = L АС В отрезок
BD = АС (черт. 69). Так как 0 + т' = Р + 7> чт0 (по теореме 80
гл. II) меньше 2d, то отрезок BD пойдет внутри угла ВАС, и,
значит, точка D будет лежать внутри угла ВАС. Соединим затем конец D
с точкой С прямой линией. На основании теоремы абсолютной
геометрии о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между
ними (теорема 37), заключаем, что A BDC = Д CAB (BD — С А,
сторона ВС — общая, у' = у) и, следовательно, (У = р, L CD В =
•= £САВ. Проведем теперь через точку D прямую Bfiv
встречающую стороны АВ и АС угла А в точках Ви С, (что, по допуще-

§ 7. Предложения, эквивалентные 5-му постулату Евклида 159
нию Лежандра, возможно). На отрезке ВХСХ построим треугольник
BXDXCX, равный треугольнику ВХСХА таким же образом, как мы
только что построили треугольник BDCy равный треугольнику ВСА.
Продолжая этот процесс, получим бесконечную последовательность
треугольников ABC, АВХСХ, AB<fio>..., АВпСп,... Оценим сумму
углов произвольного из этих треугольников, АВпСп. Начнем с
треугольника АВХСХ\ он состоит из 4 треугольников: двух равных
{ABC и BDC) и BByD и CDCX. Ясно, что
о(д ЛЯ,С,)=о(Д ЛЯС) + о(Д £DC) + o(A CDCx)-\-
+ о(д BBtD) — 6d,
где о (А АВХС^) и т. д. обозначает сумму углов соответствующего
треугольника. Вычитать 6d приходится потому, что в точках В, С, D
углы составляющих треугольников^ не входящие в углы
треугольника АВХСХ, образуют по 2d.
Так как о(А АВС) = о(& BDC) = 2d — е, a c(aCDCx) и
о (д BBXD), как у всякого треугольника, <^ 2d *), то предыдущее
равенство дает: о(А ABxCx)<^2d—2е.
Л В В, В2
Черт. 69.
Рассуждая аналогичным образом, убедимся, что сумма углов
треугольника АВ^С^ будет меныче 2d—22б.
С помощью индукции нетрудно прийти к неравенству:
o(&ABnCnX2d—2ne,
т. е. сумма углов треугольника АВпСп будет меньше, чем 2d — 2яе.
Согласно предложению Архимеда в области арифметики, можно
выбрать такое целое число я, что 2пе будет больше 2d. Тогда
сумма о углов треугольника АВпСп окажется отрицательной, чего
не может быть.
Отсюда следует, что наше допущение о <^ 2d несправедливо,
и остается вторая возможность, что о =2*2, т. е. сумма углов
треугольника ABC равна 2d. А это влечет за собою 5-й постулат.
1) Меньше 2d, а не ^ 2d, в силу допущения, что в Д-ке ABC a < 2d.

160
Глава III. Геометрия Евклида
Пусть теперь справедлив 5-й постулат. Проведем через
внутреннюю точку D угла ВАС прямую DB{ так, чтобы /_ DBtA -f-
-J- a <^ 2d (по теореме 83 гл. II это всегда возможно, поскольку угол
DBXA можно сделать сколь угодно малым, a a<^2d). Таким
образом, прямые АС и BXD образуют с секущей АВ внутренние
односторонние углы, сумма которых меньше 2d. По 5-му постулату
они пересекаются, что и требовалось доказать.
Укажем еще одно предложение, доказанное в сущности в § 4,
гл. II (стр. 28—29).
Теорема 12. Предложение Прокла: „Расстояние между двумя
непересекающимися прямыми ограничено сверху", эквивалентно
5-му постулату.
Докажем еще одну теорему, являющуюся сужением теоремы 2.
Теорема 13. Предложение- П: „Существует, по крайней мере,
одна прямая АВ и не лежащая на ней точка С такие, что через
точку С в плоскости ABC проходит только одна прямая CD, не
пересекающаяся с данной прямой АВи, эквивалентно 5-му постулату.
Поскольку из 5-го постулата вытекает предложение Плейфера
для любой точки С и не проходящей через нее прямой АВ (теорема
2), то нам остается провести рассуждение в обратном направлении.
Итак, пусть через точку С в плоскости ABC проходит только
одна прямая CD, не пересекающаяся с АВ. Возьмем на прямой АВ
какую-нибудь пару точек А, В и рассмотрим треугольник ABC.
Нетрудно видеть, что сумма его углов будет равна 2d. В самом
деле, пусть а и (5 будут углы, образованные парами прямых (CD, СА),
{CD, СВ), которые соответственны углам CAB и СВА. Поскольку
CD — единственная прямая, проходящая через точку С и не
пересекающаяся с АВ, то угол а равен соответственному углу CAB.
В противном случае, откладывая от продолжения АС за точку С
угол а' = /_ CAB с вершиной в точке С, соответственный углу CAB,
мы по прямой теореме параллельных, получили бы вторую
прямую CD', проходящую через точку С и не пересекающуюся с
прямой АВ, что противоречит сделанному предположению. По той же
причине угол (5 с вершиной в точке С равен соответственному
углу СВА. Далее, угол у, вертикальный с углом АС В, равен ему.
Поскольку углы а, (5, у образуют развернутый угол, то сумма углов
треугольника ABC рава 2d.
По теореме 7 отсюда вытекает 5-й постулат, что и требовалось.
Следствие. Если предложение Плейфера справедливо для
какой-нибудь точки С и прямой АВ, тогда оно справедливо и для
любой точки С, и не проходящей через нее прямой А'В'.
Это вытекает из теоремы 13, следствия теоремы 7 и теоремы 2.
§ 8. О независимости аксиом.
Пусть мы имеем какую-нибудь аксиоматику, в которой аксиомы
расположены в порядке Аъ Аъ .. ., Ап. Заметим, ч^то, вообще говоря,
порядок аксиом не может быть нарушен произвольно: например, в на-

§ 8. О независимости аксиом
161
шем случае мы не можем аксиомы группы Ш^ю поставить на первое
место, поскольку они требуют предварительного введения понятия
отрезка, луча и полуплоскости.
Различают понятия порядковой и абсолютной независимости аксиом.
Система аксиом Аи Аь . .. , Лп называется порядково независимой,
если никакая из ее аксиом Ak не вытекает из предшествующих
ей аксиом Аи Л2,..., Ak_t. Система аксиом называется абсолютно
независимой, если никакая из аксиом At не вытекает из всех остальных
аксиом: Л,, Л2,. .., Л,._„ Ai+li..., Ап.
Ясно, что из абсолютной независимости следует и порядковая
независимость, но не наоборот. ♦
Как установить абсолю гную независимость какой-нибудь аксиомы Е
данной аксиоматики от остальных ее аксиом, совокупность которых мы
обозначим буквой £. Как, например, установить, зависит ли аксиома V
(эквивалентная 5-му постулату Евклида) от аксиом I—IV абсолютной
геометрии V или она от них не зависит? ,
Если бы аксиома Е вытекала как следствие 2> т0 новая аксиоматика,
образованная присоединением к 2 аксиомы F, противоречащей Е,
была бы противоречива; в системе £-\- F имели бы место два
противоречивых предложения F и Е. Если, например, £ — аксиоматика
абсолютной геометрии,Е — 5-й постулат, а/7 — постулат Лобачевского
и мы допустим, что Е вытекает логически из £, то аксиоматика
£ -(-Сбудет противоречива.
Допустим теперь, что мы не знаем, вытекает ли аксиома Е из £,
но знаем, что аксиоматики £ + £ и J^-\-F непротиворечивы. Отсюда
следует, что аксиома Е не вытекает из £, т. е. Е не зависит от 2-
В противном случае система V-j-/7 должна быть противоречивой, что
противоречит условию. Поэтому мы приходим к выводу.
Чтобы установить независимость какой-нибудь аксиомы Е
непротиворечивой аксиоматики £-\- Е, достаточно, показать, что
аксиоматика 2 4- ^I г&е F — аксиома у отрицающая Е, непротиворечива.
Значит, для установления независимости Е от£ приходится
проводить построение новой геометрии, опирающейся на аксиоматику
2 -{-F. Если непротиворечивая аксиоматика состоит из п аксиом, то
для установления абсолютной независимости ее аксиом нужно построить
п вспомогательных непротиворечивых геометрий. Таким образом,
'вопрос о независимости аксиом теснейшим образом связан с вопросом
о непротиворечивости.
В следующей главе мы увидим, что присоединение к абсолютной
геометрии 2 постулата Лобачевского дает непротиворечивую систему
Лобачевского. Тем самым будет доказана независимость 5-го
постулата от абсолютной геометрии, т. е. окончательно будет решен много-
вековый вопрос о доказательстве 5-го постулата.
Требование абсолютной независимости аксиом является
желательным, но не необходимым.

Глава IV.
ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО.
§ 1. Аксиоматика геометрии Лобачевского.
Многочисленные попытки доказательства 5-го постулата Евклида
не толькр не привели к цели, но и дали в некотором смысле
обратный результат: они заставили усомниться в непреложной истинности
этого постулата. Оказалось, что если мы захотим доказать 5-й
постулат от противного и предположим, что он неверен, то отсюда
удается извлечь длинный ряд следствий, вывести целый ряд
предложений, странных и даже нелепых с точки зрения наглядного
представления, но тем не менее нисколько не противоречащих друг
другу. Несколько выдающихся математиков (Лобачевский, И. Больяи
и Гаусс) независимо друг от друга пришли к мысли, чхо это
явление не случайное, что, отрицая 5-й постулат, можно развить новую
своеобразную геометрию, подобно тому, как, принимая 5-й постулат,
мы развиваем геометрию Евклида. Более того: эта геометрия будет
столь же непротиворечива, как и геометрия Евклида.
Вот что писал по этому вопросу Лобачевский в 1835 г.: „Всем
известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор
оставалась несовершенной. Напрасные старания со времен Евклида, в
продолжение двух тысяч лет, заставили меня подозреть, что в самих
понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать
и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут
лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. В
справедливости моей догадки будучи наконец убежден и почитая
затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я
рассуждение в 1826 г.".
Таким образом, Лобачевский считает, что лишь опыт может
решить, какая из геометрий имеет место в реальном пространстве.
Аксиоматика геометрии Лобачевского может быть получена
присоединением к аксиомам абсолютной геометрии аксиомы Лобачевского.
Аксиома Лобачевского (V).
Если дана прямая АВ и не лежащая на ней точка С, то
через точку С в плоскости ABC можно провести по меньшей
мере две прямые, не пересекающее АВ,
Таким образом, аксиоматика системы Лобачевского состоит из
пяти групп аксиом: I, II, III, IV и V.

§ 1. Аксиоматика геометрии Лобачевского 163
Располагая теперь точным списком аксиом, лежащих в основании
геометрии Лобачевского, мы можем определить эту геометрию как
систему всевозможных логических следствий аксиом.
1,-ю. «1.-4. Ш,-и. IV, V.
Поскольку первые четыре группы аксиом составляют аксиоматику
абсолютной геометрии, то все теоремы абсолютной геометрии,
доказанные в главе II, автоматически имеют силу и в геометрии
Лобачевского.
Первые следствия аксиомы V.
Опираясь на изложенные выше в § 7 главы III теоремы об
эквивалентности ряда предложений 5-му постулату Евклида, мы
методом доказательства от противного можем вывести ряд предложений
геометрии Лобачевского, которые ярко показывают расхождение
этой геометрии с геометрией Евклида.
Эти предложения следующие:
У. Соответственные углы, образованные двумя
непересекающимися прямыми с третьей секущей их прямой, могут быть
и неравны между собою.
2. Перпендикуляр и наклонная к одной прямой не всегда
пересекаются.
3. Не через каждые три точки, не лежащие на одной прямой,
можно провести окружность.
4. Высоты треугольника пересекаются не всегда (т. е. не в
каждом треугольнике).
5. Сумма углов любого треугольника (соответственно
четырехугольника) меньше 2d (соответственно 4d).
6. Эквидистанта (геометрическое место точек, равно удаленных
от данной прямой и лежащих по одну сторону от нее) — кривая линия.
7. Не существует ни одной пары подобных треугольников.
8. Не через всякую точку внутренней области угла можно
провести прямую, пересекающую обе стороны vглa.
9. Не существует ни одной точки С и прямой А' В' таких,
чтобы через точку С в плоскости А'В'С прохооила только оОна
прямая, не пересекающаяся с А'В'.
Докажем, например, первое предложение.-
Допустим, вопреки 1-му предложению, что соответственные углы,
образованные двумя непересекающимися прямыми с третьей секущей
их прямой, всегда равны. Тогда, по теореме 1 на стр. 150, имеет
место 5-й постулат. Так как последний противоречит принятому
постулату Лобачевского, то наше допущение привело к
противоречию. Следовательно, предложение 1 в системе Лобачевского имеет место.
Справедливость предложения 9 доказывается аналогично.
Действительно, допустим, что в плоскости существует точка С\ через
которую проходит только одна прямая, не пересекающаяся с
данной прямой А* В'. Тогда на основании следствия теоремы 13, § 7,
гл. Ill через каждую точку С пройдет только одна прямая, не
пересекающаяся с данной прямой АВ, что противоречит аксиоме V.

164
Глава IV. Геометрия Лобачевского
Значит, если аксиома Лобачевского (V) выполняется для какой-
нибудь точки С и прямой АВ, то она будет выполняться и для
любой другой точки С и любой, не проходящей через нее прямой
А'В' (рассматриваемых в одной плоскости). Это показывает, что
аксиому Лобачевского можно сузить, требуя ее выполнимости хотя
бы для одной точки С и одной прямой АВ.
Совершенно аналогично доказываются и все остальные
предложения. Например, если бы сумма углов треугольника была равна
2d (больше 2d она не может быть по теореме 80 главы II), то,
согласно теореме б гл. III на стр. 153, имел бы место 5-й постулат.
Поскольку каждый четырехугольник можно разложить на пару
треугольников, то сумма углов четырехугольника <^4d. Поэтому в
геометрии Лобачевского не существует ни одного прямоугольника.
Предложение б, выражаясь образно, означает, чго в пространстве
Лобачевского не существует линеек с параллельными и
равностоящими краями.
Остановимся на сумме углов треугольника несколько подробнее.
Нетрудно доказать, что сумма углов треугольника, оставаясь
меньшей 2d, не постоянна: она изменяется
при переходе от одного треугольника
к другому.
Действительно, пусть сумма углов
треугольника постоянна. Возьмем на
сторонах АВ и АС какого-нибудь
треугольника ABC произвольные точки В' и С
и соединим их отрезком В'С (черт. 70).
Образуется треугольник АВС\ сумма
углов которого, согласно допущению,
будет равна сумме углов треугольника ABC.
Так как в этих треугольниках угол а общий, то Р' ~|— -у' = р —J— -у;
учитывая еще, что (3'-f-9 = 2tf, ^' -\-^ = 2d, находим, что сумма
углов четырехугольника В'ВСС = ср -\- (5 -)- -у -f- ^ будет равна Ы.
Но, как было только что установлено, в геометрии Лобачевского
сумма углов четырехугольника меньше Ad. Следовательно, наше
допущение о постоянстве суммы углов треугольника приводит
к противоречию.
Интересно заметить, что если мы будем неограниченно уменьшать
стороны равностороннего треугольника, то сумма его углов будет
расти до 2d (никогда не достигая 2d); при неограниченном же
увеличении сторон треугольника сумма его углов убывает, никогда не
достигая нуля. Доказательство этого будет дано ниже.
Отметим еще простое и интересное предложение: в геометрии
Лобачевского угол, вписанный в полукруг, меньше прямого. Оно
легко выводится из теоремы о сумме углов треугольника и, теоремы
о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника,
если эти теоремы применить к двум равнобедренным треугольникам,
образованным сторонами данного угла, диаметром и радиусом,
проведенным из центра круга к вершине угла.

§ 1. Аксиоматика геометрии Лобачевского
165
Для геометрии Лобачевского характерно, что два треугольника
конгруентны, если три угла одного из них соответственно кон-
груентны трем углам другого.
Действительно, пусть треугольники ЛВС и Л'В'С удовлетворяют
условию теоремы. Возьмем движение, которое угол В'А'С
совмещает с углом ВАС так, что сторона А'В' пойдет по
соответствующей стороне АВ, а А'С — по стороне АС. Может представиться
один из трех случаев, изображенных на черт. 71. В первом случае,
как нетрудно видеть, сумма углов четырехугольника В'ВСС' будет
равна четырем прямым углам, что невозможно. Во втором случае
угол АСВ больше угла А'С'В\ что противоречит условию теоремы.
Наконец, в третьем случае мы имеем такое же самое противоречие,
поскольку внешний угол А'С'В' треугольника С'ОС больше
внутреннего с ним не смежного угла АСВ.
А В' 3 Л В' В А В В
Черт. 71.
Возможность в геометрии Лобачевского определить треугольник
по его углам коренится в отсутствии подобных фигур
(предложение 7 на стр. 163). В следующей главе мы ознакомимся с
соответствующими формулами тригонометрии Лобачевского, выражающими
стороны треугольника через его углы, — с явлением, которого нет
в геометрии Евклида, поскольку в ней существуют подобные фигуры.
Уже эти приведенные нами предложения, имеющие место в
геометрии Лобачевского, показывают нам, в каком резком противоречии
она находится с обычными представлениями о геометрических
свойствах реального пространства — с представлениями, которые много
веков тому назад вызвали к жизни геометрию Евклида.
Такое сопоставление может послужить основанием к постановке
очень важного вопроса: поскольку геометрия Лобачевского так
резко противоречит нашим представлениям, то не имеется ли все-
таки в ее аксиоматике логического противоречия 1), а если его нет,
то какая же из этих геометрий более истинна, т. е. более
правильно отражает геометрические свойства реального пространства ?
Второй из этих вопросов подчинен первому: он отпадает, если
аксиоматика I—V' противоречива, так как о соответствии формально
противоречивой теории с реальностью не может быть и речи.
Значит, нужно прежде всего решить математический вопрос: свободна ли
1) Требование непротиворечивости впервые было предъявлено именно
к геометрии Лобачевского, а не к древней геометрии Евклида. Лобачевский
немало потрудился над доказательством непротиворечивости его геометрии;
однако строгое доказательство этого стало возможным лишь в конце XIX в.,
когда была установлена полная аксиоматика геометрии.

166
Глава IV. Геометрия Лобачевского
геометрия Лобачевского (т. е. ее аксиоматика) от логического
противоречия.
В следующем параграфе мы покажем, что геометрия Лобачевского
так же свободна от логических противоречий, как и евклидова
геометрия (а значит — так же, как и арифметика) и наоборот.
Что же касается соответствия с реальностью, то, как мы увидим
ниже, в астрономически доступной нам области реального
пространства она согласуется с ней не хуже, чем евклидова геометрия;
поэтому недоверие к ней, которое возникает на первых порах,
лишний раз свидетельствует лишь о естественном несовершенство
наших чувств и одновременно о догматическом подходе в
перенесении на все реальное пространство тех его свойств, которые
приобретены человеком в достаточно малой окрестности.
§ 2. Непротиворечивость геометрии Лобачевского.
(Интерпретация Бельтрами-Клейна.)
Доказательство непротиворечивости системы аксиом Лобачевского
мы свяжем с интерпретацией, указанной впервые Бельтрами; к ней
впоследствии с новой точки зрения пришел Клейн. Геометрия
Лобачевского иначе называется гиперболической1); поэтому основные
геометрические объекты (точка, прямая, плоскость) и отношения
(инцидентность, между, движение), удовлетворяющие аксиоматике
I—V, мы будем называть гиперболическими и кратко писать так:
пг. точка", „г. прямая", „г. между" (вместо „гиперболическая
точка", „гиперболическая прямая11, „гиперболическое между11) и т. д.
Совершенно аналогично основные объекты и отношения евклидовой
плоскости, в которой мы будем строить интерпретацию, будем
писать в форме яе. точка" (евклидова точка), яе. прямая"
(евклидова прямая) пе. между" (евклидово между) и т. д.
Интерпретацию Бельтрами-Клейна для двухмерной геометрии
Лобачевского с аксиоматикой I1-4, IIj_4, IIIj 10Э IV, V' можно ввести
с помощью следующих соглашений — „интерпретационного словаря".
Соглашение 1. Г. точка — любая е. точка е. плоскости,
лежащая внутри некоторой фиксированной окружности с данным
радиусом, например, /?=1. Эту окружность мы будем называть
абсолютом, а его внутреннюю область — абсолютным кругом.
Точки, лежащие на самой окружности („точки абсолюта"), не
будут считаться гиперболическими; они называются несобственными.
Точки, лежащие вне окружности, тем более не будут г. точками;
они называются идеальными.
Соглашение 2. Г. прямая — любая е. хорда абсолюja.
В силу соглашения 1, концы этой хорды не принадлежат к г.
примой; они называются несобственными точками г. прямой.
Соглашение 3. Г. плоскость — внутренняя область абсолюта.
Соглашение 4. Г. инцидентность — е. инцидентность.
Соглашение 5. Г. между — е. между.
1) Происхождение этого названия будет выяснено ниже (стр. 171).

§ 2. Непротиворечивость геометрии Лобачевского 167
Соглашение 6. Г. движение — автоморфная коллинеация
абсолюта, т. е. проективное преобразование, переводящее абсолют
в абсолют, а его внутреннюю область во внутреннюю (при этом
и внешняя область абсолюта переходит во внешнюю).
В аналитической .форме, когда центр абсолюта принят за начало
декартовой прямоугольной системы координат, автоморфная
коллинеация имеет вид:
, _ ajX + bty + Cj , _ aay + ^ + ga
агХ + Ьгу-\-сг9 у а3х + Ь3у + сл>
где параметры ait biy ct удовлетворяют условиям:
а,* + а<? - а3* = Ь? + V - V = - с,9 - ^ + сг\
аА + аА — аз^з = ь\с\ + Ь*,Съ — Ь^сг = ахсх -\- а2с9 — аъсг = О *).
Принимая этот „словарь", нетрудно проверить выполнимость всех
аксиом плоской геометрии Лобачевского: Ij_4, IIj_4, HIi_l0, IV, V.
В самом деле, две любые точки А и В абсолютного круга
определяют единственную с ними инцидентную хорду, следовательно,
аксиомы Ij и 19 выполняются. Поскольку на каждой хорде абсолюта
существует бесчисленное множество точек и существует
бесчисленное множество точек абсолютного круга, не инцидентных с его хордой,
то выполняются и аксиомы 13 и 14. Из совпадения понятия
гиперболической инцидентности с евклидовой инцидентностью и
гиперболического „между" с евклидовым
„между" вытекает выполнимость аксиом
порядка II,_4 и аксиомы непрерывности IV.
Таким образом, нам остается проверить
лишь выполнимость аксиомы
Лобачевского и аксиом движения.
Пусть а—г. прямая, а С — г. точка,
с ней не инцидентная. Пусть Р,, Р2 —
несобственные точки прямой (черт. 72).
Поскольку обе точки Р„ Р2 не
принадлежат к гиперболическим (соглашение 1), г.
прямые CPj и Рч С с г. прямой а не имеют Черт. 72.
общих точек. Уже этих двух прямых
достаточно, чтобы утверждать выполнимость аксиомы Лобачевского V.
Ясно, что всякая г. прямая СВ, проходящая внутри угла РХСРЪ
Пересекает" прямую а (в точке Л), а г. прямая СВ\ проходящая
внутри смежной пары углов, не пересекается с прямой а. Прямые
СРХ и СРъ называются параллельными прямой а, прямая СВ—сходящей-
ся с прямой а, аСВ'—расходящейся с ней. Таким образом, параллельные
1) Эта аналитическая форма проективных преобразований может быть
получена как следствие требования, чтобы взаимно однозначные и
непрерывные (дифференцируемость необязательна) точечные преобразования
x' = f(x, у), у' = ф(х, у) переводили прямую в прямую. Это — теорема
Мёбиуса. Приведенные условия для параметров автоморфной коллинеации
получаются из требования, чтобы 1—х*ш—у* = 0, когда 1—х*—_у2 = 0
и 1—х'*--у*:>0, когда 1— х%— у1 >0.

168
Глава IV. Геометрия Лобачевского
прямые оказываются граничными, отделяющими сходящиеся
прямые, проходящие через фиксированную точку С, от расходящихся.
Переходим к выполнимости аксиом движения Ш1_10. Мы будем
предполагать, что читателю известны основы проективной геометрии,
основные свойства проективных преобразований евклидовой'
плоскости и, в частности, известны свойства автоморфной коллинеации,
о которой говорится в соглашении 6. Так как последняя
преобразует точку в точку, прямую — в прямую, сохраняя е. отношения
инцидентности и „между", то, в силу соглашений 1, 2, 4, 5, аксиомы
IIIи Ills и Шз выполняются автоматически. Далее, поскольку: 1)
тождественное преобразование1) входит в состав автоморфных
коллинеации, 2) каждая автоморфная коллинеация имеет обратную и
3) всегда существует автоморфная коллинеация, заменяющая
последовательное производство двух любых автоморфных коллинеации
(они образуют группу), то аксиомы Ш4, 1Н5 и 1Н6 тоже
выполняются. В силу выполнимости аксиом III,_6 каждое движение
преобразует гиперболические отрезок, луч, полуплоскость, угол, репер
в гиперболические отрезок, луч, полуплоскость, угол, репер.
Аксиома 1И7 говорит о движении Г, которое оставляет на месте
некоторую г. точку С и некоторый проходящий через нее г. луч СА.
Но г. точка С это — е. точка С внутри абсолюта, а г. луч С А —
это- е. отрезок С А, где А — точка абсолюта. Пусть В — другая
точка абсолюта, лежащая на прямой С А (т. е. СВ — г. луч,
дополнительный к С А). По соглашению б, г. движение Г есть проективное
преобразование, переводящее С в С, Л в Л, следовательно, В в В
(так так точки абсолюта переходят в точки абсолюта), т. е. три
точки прямой остаются неподвижными.
Из основной теоремы проективной
геометрии следует, что такое
преобразование оставляет неподвижной и любую
точку М прямой АВ, что и доказывает
выполнимость аксиомы Ш7 в
рассматриваемой интерпретации.
Для доказательства выполнимости
аксиомы Ш8 заметим, что проективное
преобразование определяется однозначно
заданием двух пар четверок
соответствующих точек, из которых никакие три не
лежат на одной прямой.
Пусть АВ — г. луч, а тс —
прилегающая к нему г. полуплоскость, А'В' —
другой г. луч, а тс'—.прилегающая к нему
г. полуплоскость (черт. 73).
Докажем, что существует единственное г. движение,
преобразующее луч АВ в луч А'В', а полуплоскость тс — в полуплоскость тс'.
1) Получается из уравнений г. движений при а1 = ^2= cs, bt = c^ = a2 -
= ca = а3 = Ъь = 0.

§ 2. Непротиворечивость геометрии Лобачевского 169
Пусть В и С — несобственные точки прямой АВ, В' и
С—несобственные точки прямой А'В'; S — точка пересечения двух
касательных к абсолюту в точках В и С и S' — точка пересечения двух
касательных к абсолюту в точках В' и С; D и D'—точки
пересечения прямой SA, и, соответственно, прямой S'A' с абсолютом.
Рассмотрим проективное преобразование Г, определяемое
соответствием: ,
В-+В', С С, S-*S\ D-+D'.
Так как никакие три точки каждой из двух четверок (В, С, 5, D)
и (В', С, S', D') не лежат на прямой, то, согласно только что
упомянутой теореме, существует единственное проективное
преобразование, в котором эти точки находятся в указанном соответствии.
Как известно, каждое проективное преобразование переводит
кривую 2-го порядка в кривую 2-го порядка. С другой стороны,
кривая 2-го порядка определяется однозначно заданием пары
касательных (например, SB, SC или S'B', S'C), их точек прикосновения
(В, С или В\ С) и еще одной точки (D или D'). Поскольку
рассматриваемое проективное преобразование Г переводит пару
касательных SB, SC, точки прикосновения В, С и точку D
соответственно в пары касательных S'B', S'C, точки прикосновения В' С
и точку D', то оно преобразует абсолют самого в себя. Так как
при этом прямая ВС переходит в В'С, a SD — в S'D', то точка А
преобразуется в А'.
Итак, существует г. движение — автоморфная коллинеация,
переводящая луч АВ в луч А'В' и полуплоскость тс — в полуплоскость тс'.
Единственность такого г. движения доказывается очень просто.
В самом деле, пусть существует какое-нибудь другое проективное
преобразование Г', переводящее АВ в А'В\ а тс в тс'. В таком случае
пары точек {В, В'), (С, С), (D, D') будут соответствующими.
Поскольку соответствием Л—►Л', В —► В', S-+S', D -> D' проективное
преобразование определяется однозначно, Г' совпадает с Г.
Чтобы преобразовать луч АВ и вторую прилегающую к нему
полуплоскость тс0 соответственно в луч А'В1 и полуплоскость тс',
нужно точку D заменить точкой D0 — второй общей точкой прямой
SA и абсолюта и взять автоморфную коллинеацию, в которой точки
пар (В, В'), (С, С), (S, S'), (D0, D') являются соответствующими.
Чтобы проверить выполнимость аксиомы Ш9, достаточно
обнаружить существование автоморфной коллинеации, переводящей любую
г. точку Л в любую другую г. точку В, а г. точку В — в г. точку Л.
Пусть S—полюс прямой АВ (черт. 74), А{ и Л2 — точки
пересечения прямой SA с абсолютом, Вг и В^ — точки пересечения
прямой SB с абсолютом, С1 и С2 — точки пересечения пар
касательных к абсолюту в точках Alt Bx и, соответственно, Л.2, В*,
S' — точка пересечения прямых А1В1 и AqBn. Легко видеть, что S'
будет служить полюсом прямой СХС<{, касательные к абсолюту
в точках Dx и D* пересечения с прямой СхСг пройдут через S\

170
Глава IV. Геометрия Лобачевского
Рассмотрим теперь проективное преобразование частного вида —
гомологию с осью D^D^ центром S' и парой соответствующих точек
А и В. Как известно, этими данными гомология вполне определяется;
она переводит полуплоскость D^D^B в полуплоскость D^D^A, причем
точка А переходит в точку В и наоборот; Ах — в Вх и наоборот,
Аг — в В.г и наоборот. Что же касается абсолюта, то гомология пре-
Черт. 74.
образует его самого в себя; именно—дуга D1BlBiD<t перейдет
в дугу D^A^D^. В самом деле, с одной стороны, кривая 2-го
порядка определяется парой касательных S'DX и S'D^, которые в нашей
гомологии остаются неподвижными (поскольку точки Dt и D4 не-
подвижны)^ точками прикосновения их Dx и D2 и какой-нибудь
одной точкой (например Ах или Bt), а с другой — гомология
переводит кривую 2-го порядка в
кривую 2-го порядка.
Итак, существует автоморфная
коллинеация (указанная гомология),
переводящая любую данную г.
точку Л в любую другую г. точку В,
а г. точку В — в г. точку А.
Так как при этом
преобразовании г. точка Е неподвижна, то
АЕ = ЕВ, т. е. Е — середина
отрезка АВ\ поэтому наше
построение вместе с тем дает способ
построения г. середины отрезка АВ.
Рассмотрим теперь аксиому Ш10. Пусть (черт. 75) Z (^, k) —
г. угол, О — его вершина, А и В — несобственные точки лучей h
и &, 5 — полюс прямой АВ, 5' — полюс прямой OS. Пусть С и D —
точки пересечения OS с абсолютом. По свойству полярной
сопряженности прямых, полюс 5' будет лежать на прямой АВ.
Черт

§ 2. Непротиворечивость геометрии Лобачевского 171
Рассмотрим гомологию с осью CD, центром 5' и парой
соответствующих точек А и В. Она переводит дугу CAD в дугу CBD,
точку А — в точку В, луч О А — в луч ОВ и, следовательно, угол
(A, k) в угол (&, h). При этом точки абсолюта переходят в точки
абсолюта; поэтому наша гомология — автоморфная коллинеаиия.
Итак, выполняется и аксиома Ш10.
Поскольку угол АОС преобразуется в угол ВОС, то ОС есть
биссектриса угла АОВ\ значит, указанное построение дает и способ
построения г. биссектрисы угла (/z, k).
Таким образом, в евклидовой геометрии существуют образы и
отношения, в которых выполняются все аксиомы плоской геометрии
Лобачевского. Для этих образов и отношений осуществляются
аксиомы геометрии Лобачевского. Вследствие этого и каждое
предложение геометрии Лобачевского, как логическое следствие аксиом,
превращается в соответствующее предложение геометрии Евклида
для образов, лежащих внутри абсолюта; наоборот, каждое
предложение евклидовой геометрии для образов, лежащих внутри абсолюта,
может быть переведено на язык геометрии Лобачевского. Поэтому,
если бы геометрия Лобачевского была противоречива, то
существовало бы противоречие и в геометрии Евклида и наоборот.
Таким образом, мы пришли к выводу: геометрия Лобачевского
так же свободна от противоречий, как и евклидова геометрия^
или (используя теорему гл. III на стр. 111) геометрия Лобачевского
так же свободна от противоречий, как и арифметика.
Одновременно дано решение многовекового вопроса о 5-м
постулате: показано, с одной стороны, что он не является абсолютной
необходимостью (ибо возможно такое расположение. прямых на
плоскости, при котором постулат не осуществляется), а с другой,
что 5-й постулат не является логическим следствием аксиом
абсолютной геометрии.
Следуя Клейну, геометрическую систему Лобачевского называют
также гиперболической1).
Доказательство непротиворечивости аксиоматики трехмерного
пространства Лобачевского может быть проведено совершенно
аналогично при помощи интерпретации, основанной на следующих
соглашениях:
Соглашение 1. Г. точка — е. точка внутренней области
данной сферы (называемой абсолютной сферой).
Соглашение 2. Г. прямая — е. хорда абсолютной сферы без
концов (называемых несобственными точками г. прямой).
1 Название „гиперболическая геометрия* указывает на то, что на прямой
Лобачевского, как и на гиперболе в проективно-евклидовой
плоскости, существуют две бесконечно удаленные точки. По той же причине
геометрия Евклида с одной бесконечно удаленной точкой на прямой
называется параболической: ниже мы познакомимся с геометрией Римана —•
эллиптической геометрией (в этой геометрии на прямой линии нет ни одной
бесконечно удаленной точки).

172
Глава IV. Геометрия Лобачевского
Соглашение 3. Г. плоскость — круг, как сечение абсолютной
сферы с плоскостью, без окружности, его ограничивающей
(геометрического места несобственных точек г. плоскости).
Соглашение 4. Г. инцидентность — е. инцидентность.
Соглашение 5. Г. между — е. между.
Соглашение 6. Г. движение — автоморфная коллинеация,
сохраняющая абсолютную сферу (т. е. проективное преобразование,
переводящее абсолютную сферу самое в себя).
Выполнимость аксиом l^10% IIi_4, ГУ, V очевидна. Что же
касается аксиом движения IIIj 10, то их выполнимость проверяете»
совершенно так же, как и выше; при этом нужно иметь в виду
следующее: 1) проективное преобразование в пространстве
определяется однозначно заданием пяти пар соответствующих точек, из
которых никакие четыре не лежат в одной плоскости, и переводит
поверхность 2-го порядка в поверхность 2-го порядка; 2)
поверхность 2-го порядка определяется заданием четырех пар касательных,
выходящих из одной точки, точками прикосновения на них и
заданием еще одной точки. Проверка аксиом IIIj 1о не представляет
трудностей, и мы не будем ее приводить.
Все это показывает, что аксиоматика трехмерного
пространства Лобачевского непротиворечива.
Заметим, что наш интерпретационный словарь можно несколько
изменить — например, оставив его в силе для гиперболических
точек, прямых, плоскостей, инцидентности, понятия „между" и
движения, можно было бы за абсолют принять не окружность (для
плоскости) и сферу (для пространства), как это мы сделали ради
простоты, а любую невырождающуюся действительную кривую (а для
пространства — поверхность) 2-го порядка1).
Естественно поставить вопрос — можно ли за абсолют принять
произвольный геометрический образ (более сложную кривую,
пучок прямых, совокупность различных образов и т. д.).
Можно доказать, что требование выполнимости аксиомы Паша
несовместимо с невыпуклостью абсолюта. Можно также указать,
что при условии выполнимости предыдущих соглашений абсолютом
может быть только образ 2-го порядка (кривая* или пучок): дело
в том, что проективное преобразование может оставлять
неподвижными только образы 2-го порядка (так называемые инвариантные
образы проективного преобразования).
Опираясь на интерпретацию Бельтрами-Клейна, а значит и на
евклидову геометрию, можно было бы получить основные
предложения геометрии Лобачевского (в том числе, например, и
тригонометрические формулы треугольника).
Однако мы не последуем этому пути потому, что при таком
изложении, опирающемся на предложения геометрии Евклида, мы не
1) Случай мнимости или распадения абсолюта на пару параллельных
прямых или плоскостей противоречит аксиоме V, а распадение на пару
пересекающихся прямых или плоскостей противоречит аксиоме Паша.

§ 3. Основные теоремы геометрии Лобачевского на плоскости 173
можем быть уверены, что выводимые нами теоремы не содержат
следов интерпретации, что они не зависят от интерпретации и
будут справедливы и во всякой другой интерпретации *). Другими
словами, изложение геометрии Лобачевского в этой (впрочем, как
и во всякой другой) интерпретации не гарантирует ее полноту.
Мы будем развивать геометрию Лобачевского по пути, не
связанному никакой интерпретацией — по тому же чисто логическому
пути, которым шли, развивая абсолютную геометрию, не
предполагая ничего другого относительно основных понятий (объектов и
отношений) кроме того, что сказано о них в аксиомах.
Что же касается чертежей, которыми обычно сопровождают это
построение геометрии, то их роль чисто психологическая; образно
выражаясь, — это костыли, которые, с одной стороны, в силу
традиционного содержания основных понятий геометрии, помогают нашему
сознанию удерживать как исходные, так и вытекающие из них
логические связи, а с * другой — они способствуют активной работе
геометрической интуиции.
Таким образом, использовав интерпретацию Бельтрами-Клейна
как средство доказательства непротиворечивости аксиоматики, мы
переходим к синтетическому построению геометрии Лобачевского.
Мы начнем, естественно, с геометрии на плоскости.
§ 3. Основные теоремы геометрии Лобачевского на плоскости.
Определение параллельных линий.
Рассмотрим пучок прямых, проходящих через какую-нибудь
точку С относительно прямой АВ, лежащей в плоскости этого
ЛОВ М
Черт. 76.
пучка (и ему не принадлежащей). Пусть точка М неограниченно
удаляется по прямой АВ „вправо", в направлении от А к 5, т. е.
так, что AM -* со, причем каждый раз М лежит на луче АВ с
вершиной А (черт. 76). Тогда угол а = £ MCD, где CD _L AB> будет
монотонно возрастать. А так как при этом он не может превзойти
1) Например, предложение 8 на стр. 163 в интерпретации Бельтрами-Клейна
не требует никакого доказательства, поскольку оно является фактом,
обусловленным выбором данной интерпретации. Вопрос о том, будет ли это
предложение справедливо во всякой другой интерпретации, может быть
ре-шен только на пути синтетического вывода его из аксиом.

174
Глава IV Геометрия Лобачевского
прямого угла, то он будет стремиться к предельному значению,
которое мы обозначим через <о, так что прямая СЕ, образующая
с CD угол DCE = со, будет предельным положением секущей СМ.
Если точка М неограниченно удаляется „влево", то СМ будет
аналогично стремиться к предельному положению CF. Вследствие
симметрии всего построения
относительно перпендикуляра CD,
CF образует с CD тот же
угол ш.
Нетрудно видегь, что
предельные прямые СЕ и CF уже
не пересекаются с АВ.
Действительно, если бы прямая СЕ
пересекалась с АВ в точке Р
(черт. 77), то соединяя какую-
# нибудь* точку М, лежащую
правее Р (т. е. так, чтобы АРМ), с точкой С, мы получили бы
прямую СМ, пересекающуюся с АВ и образующую с CD у гол а ^> <о.
Но это невозможно, так как угол а стремится к предельному
значению ш, монотонно возрастая, вследствие чего ш будет больше всех
значений, пробегаемых а. Следовательно, предельные прямые СЕ и
CF не могут пересекаться с АВ.
_ к
Так как угол а в процессе своего изменения остается меньше -~->
то его предельное значение будет ^у. Если допустить, что
о) = -н-, то это будет означать, что угол а, возрастая, пробегает
71 ТС
все значения вплоть до -~-, за исключением самого значения у.
Другими словами, секущая СМ способна принимать положение
любой прямой, выходящей из С, за исключением прямой СИ,
выходящей из С под углом к CD. Тем самым эта последняя прямая
будет единственной непересекающей АВ, и мы получаем 5-й
постулат в форме Плейфера. А так как мы приняли постулат
Лобачевского, отрицающий постулат Плейфера, то наше допущение ш = у
невозможно.
Итак, мы вынуждены принять а><^-9, то-есть предельные
прямые СЕ и CF различны (в евклидовом случае ш = у и они
совпадают), и через точку С будет проходить бесчисленное множество
прямых CG, не пересекающихся с АВ (черт. 76). А именно, это будут
прямые, лежащие в паре взаимно вертикальных углов, смежных с углом
FCE. Действительно, такие прямые характеризуются тем, что с обеих
сторон перпендикуляра CD они образуют с ним угол, больший ш.
Таким образом, предельные прямые СЕ и CF оказываются
граничными: они разделяют в пучке прямых, проходящих через точку С,

$ 3. Основные теоремы геометрии Лобачевского на плоскости 175
прямые СМ, пересекающиеся с АВ, от прямых СО, не
пересекающихся с АВ. Их Лобачевский и называет параллельными с прямой
АВХ); будем называть прямую СЕ параллельной с прямой АВ в
направлении от А к В, а прямую CF — параллельной с прямой АВ
в направлении от В к А. Пересекающиеся с АВ прямые СМ иначе
называются сходящимися с прямой АВ, а все непересекающиеся
с АВ прямые СО, за исключением двух параллельных, называются
расходящимися с АВ. Мы видим, что через каждую точку С вне
прямой АВ проходят две параллели к АВ, одна—в направлении
от А к В, другая — от В к А.
Итак, параллельные прямые суть граничные, разделяющие
совокупность сходящихся с АВ прямых от совокупности расходящихся
с АВ прямых в данном пучке С. Поскольку параллельные здесь, не
являются просто непересекающимися, то евклидово определение
параллельных (как непересекающихся) здесь не годится.
Угол со называется углом параллельности отрезка CD, а отрезок
CD — стрелкой угла <о.
Только что описанное определение параллельных по
Лобачевскому может быть дано окончательно в такой форме.
Определение. Прямая СЕ называется параллельной с
прямой АВ в направлении от А к В, если: 1) прямая СЕ не
пересекает прямую АВ и 2) всякий лун СЁ, проходящий внутри
угла АСЕ, пересекает луч АВ (предполагается, что точки В и Е
лежат с одной стороны от АС).
Действительно, в этом случае, сама прямая СЕ не пересекает АВ,
но под сколь угодно малым углом е к ней можно проводить прямые СЕ,
пересекающие АВ. А это, как видно из предыдущих рассуждений,
имеет место в том и только в том случае, когда СЕ является
граничной прямой между сходящимися и расходящимися по отношению
к АВ прямыми пучка С, т. е. параллелью в смысле Лобачевского.
Следует обратить внимание на то, что наше определение
параллелизма прямой СЕ с прямой АВ существенно опирается на выбор
точки С, в которой рассматривается пучок прямых. Мы не можем
быть заранее уверены, что, выбрав в качестве точки С какую-нибудь
другую точку на той же прямой СЕ, мы попрежнему будем иметь
параллелизм между СЕ и АВ в смысле Лобачевского. Поэтому
первое время мы должны говорить о параллелизме прямой СЕ
с прямой АВ относительно данной точки С на первой из этих
прямых. Точно так же из нашего определения непосредственно не
следует, что если прямая СЕ параллельна АВ, то и АВ
параллельна СЕ.
Нижеследующие теоремы показывают, однако, что параллелизм
прямых не зависит от выбора точки С, а также обладает
взаимностью и транзитивностью.
*) Иногда мы вместо .параллельная с прямой* будем говорить
„параллельная прямой".

176 Глава IV. Геометрия Лобачевского
Свойства параллельных лин-ий.
Теорема 1. Если прямая СЕ параллельна прямой АВ в
направлении от А к В относительно точки С, то она параллельна
ей и относительно любой другой своей точки S.
Пусть точка Е лежит от прямой АС с той же стороны, что и
точка В. В зависимости от расположения точки S на прямой СЕ
доказательство разобьем на два
случая.
Случай 1. Точка S лежит
на луче СЕ (черт. 78).
Соединим 5 с точкой А
отрезком SA и проведем внутри
угла ASE произвольный луч SD.
Покажем, что он всегда
пересекает луч АВ. Тем самым и
будет показано (согласно
определению), что прямая SE
параллельна прямой АВ относительно точки 5 в направлении от А к В.
Прежде всего ясно, если точка D луча SD лежит по другую
сторону от прямой АВ, чем точка 5, то SD пересекает АВ в
некоторой точке Р. Пусть поэтому D лежит с той же стороны
от АВ, что и точка S. Так как D лежит и внутри угла АСЕ и
прямая СЕ параллельна АВ относительно точки С, то CD пересечет
АВ в некоторой точке М. Рассмотрим теперь треугольник АМС и
луч SD. Последний пересекает сторону СМ во внутренней точке D
и не пересекает сторону
АС, потому что все ее
точки лежат вне угла
ASE. По аксиоме Паша
луч SD пересекает
сторону AM, а значит и луч
АВ в некоторой точке Я,
что и доказывает
теорему.
Случай 2. Точка S
прямой СЕ лежит на луче
CS, дополнительном к
лучу СЕ (черт. 79).
Соединим 5 с точкой А отрезком SA и проведем внутри угла
ASE произвольный луч SD. Покажем, что SD пересекает луч АВ
в некоторой точке Р, т. е. что SE \\ АВ1) относительно точки 5
в направлении от А к В. Прежде всего заметим, что луч SD
пересекает отрезок АС в некоторой точке (теорема 23 гл. II на стр. 64).
На прямой SD возьмем точку Q так, чтобы 5 лежала между Q
J) Знак || будем применять вместо слова .параллельный* (в смысле
Лобачевского).

§ 3. Основные теоремы геометрии Лобачевского на плоскости 177
и D. Точка Q будет лежать относительно прямой СЕ по разные
стороны с точкой А, а относительно прямой С А — по разные
стороны с точкой Е. Вследствие этого луч QC, пройдя через точку С,
пойдет по ту сторону от СЕ, где лежит точка А, и по ту сторону
от СА, где лежит точка Е; значит, он пойдет внутри угла АСЕ.
Поскольку СЕ || АВ относительно точки С, то луч QC должен
пересечь луч АВ в некоторой точке М. Рассматривая треугольник
АМС и луч SD, пересекающий сторону АС и не пересекающий
стороны СМ (так как с прямой СМ он уже встретился в точке Q,
лежащей вне отрезка СМ), мы, на основании аксиомы Паша,
заключаем, что луч SD пересечет сторону AM, а значит и луч АВ. Это
и требовалось доказать.
Таким образом, свойство параллелизма прямой а к прямой Ь
присуще прямой а относительно каждой ее точки, если оно имеет
место относительно какой-
нибудь одной точки С.
Вследствие этого мы будем
просто говорить, „прямая
а параллельна прямой Ь"
(не указывая, относительно
какой точки) в заданном
на прямой b направлении.
Теорема 2. Если
прямая а параллельна прямой
Ъ (а || Ь), то прямая b па- ЧеРт- 80-
раллельна прямой а (Ь \\ а) (взаимность параллелизма).
Пусть прямая а параллельна прямой b в направлении от точки Л
к точке В (черт. 80). Возьмем на а какую-нибудь точку С.
Пусть F — произвольная точка прямой а, лежащая с той же стороны
от прямой АС, что и точка В. Мы утверждаем, что прямая b
параллельна прямой а в направлении от С к F.
Для доказательства достаточно показать, что всякий луч AD,
проходящий внутри угла ВАС, пересекает луч CF (а значит и
прямую а) в некоторой точке М. Опустим из точки А перпендикуляр
АЕ на а и отложим от него по обе стороны равные углы ЕAG и
ЕАН, /mEAG = ZmEAH=a, при условии, чтобы имело место
а <! у Z. &А/Э и чтобы АН и AG пересекали прямую а (последнее,
очевидно, всегда выполнимо, если угол а достаточно мал).
Поскольку /_AGF^> /_AHG = /_AGH=$ как внешний угол к
треугольнику AHG, то прямая GK, образующая с GA угол (5, пройдет
внутри угла AGF и, в силу того что GF \\ Ь, пересечет луч АВ
в некоторой точке К.
Отложим теперь на прямой а отрезок HP=GK и соединим
точки Р и А отрезком РА. В треугольниках АИР и AGK АН =
= AG (следует из равенства прямоугольных треугольников АНЕ
и AGE), /_AGK = LAtiP (по построению) и HP=GK (по
построению); поэтому они равны (теорема абсолютной геометрии) и

178
Глава IV. Геометрия Лобачевского
/_GAK = lmHAP. Вычитая из обеих частей этого -равенства угол
PAG, получим £BAP = £HAG. Учитывая, далее, что £HAG =
= 2a<^/.BAD, мы будем иметь неравенство Z^AP^^BAD.
Так как, кроме того, по построению 2.BAD<^Z.BAC, то луч AD
лежит между лучами АР и АС, т. е. внутри угла РАС, и поэтому
он пересечет отрезок СР в некоторой внутренней точке М.
Итак, всякий луч AD, проходящий внутри угла ВАС, пересекает
луч CF; значит, по определению параллелизма прямых, прямая Ь
параллельна прямой а в направлении от С к F относительно точки А.
По теореме 1, b параллельна а относительно любой своей точки
в направлении от точки С к точке Т7.
Теорема 3. Две прямые а, Ь, параллельные в одном и том же
"направлении третьей прямой с, параллельны между собой
(транзитивность параллелизма).
Случай 1. Пусть прямые а и b лежат по одну сторону от
прямой с и параллельны ей в направлении СС (черт. 81).
Возьмем на а какую-нибудь точку Л, на b какую-нибудь точку В
и на с какую-нибудь точку С. Это можно всегда сделать так, что
точки А, В и С будут лежать на одной прямой. В самом деле,
в противном случае мы из двух лучей СА и СВ выбрали бы тот,
который образует с СС наименьший угол; . пусть, например,
^CCB^LC'CA (черт. 81). Тогда, поскольку СС параллельно
Черт. 81. ерт. 824.
а (согласно теореме 2), то луч СВ должен пересекать а, так как
СВ пойдет внутри угла ССА. Точку пересечения А" мы в
дальнейшем обозначим через Л, получив, таким образом, на прямых
а, Ь, с точки Л, В, С, лежащие на одной прямой. Заметим, что мы
не напрасно остановились на этом пункте: в плоскости Лобачевского
не всякие три прямые можно пересечь четвертой прямой.
Пусть, далее, через В обозначена та из точек Л, В, которая
лежит между другой точкой и С (при этом С между Л и В лежать
не^ может, так как а и b лежат по одну сторону от с). Пусть Л'
и "в' — точки соответственно прямых а и Ь, лежащие вместе с точкой
С по одну сторону от прямой АС (черт. 82). Мы утверждаем,
что прямая а параллельна прямой Ь в направлении ВВ'.
Действительно, поскольку а || с в направлении СС\ то каждый луч;
проходящий внутри угла САА\ будет пересекать луч СС в некоторой
точке D. Замечая, что прямая b пересекает сторону АС треуголь-

§ 3. Основные теоремы геометрии Лобачевского на плоскости 179
ника ACD, а со стороной CD она не пересекается (поскольку Ъ || с),
заключаем, что b пересекает сторону AD в некоторой точке Е.
Итак, всякий луч внутри угла ВАА' пересекает луч ВВ'\ кроме
того, а и b не пересекаются, так как иначе в их общей точке
имелись бы две параллели к с в одном и том же направлении СС'.
Отсюда, по определению параллельности прямых, заключаем, что
прямые а и b параллельны между собой.
Случай 2. Пусть прямые а и b расположены по разные
стороны от прямой с (черт. 83). Возьмем на них точки А и В\
поскольку они лежат по разные стороны от прямой с, то последняя
встретит отрезок АВ в некоторой его внутренней точке С. Пусть
А' и В' будут какие-нибудь точки прямых а и Ь, расположенные
по одну, сторону от прямой АВ с точкой С, где С выбрана на с
в том направлении СС\ в каком а и b параллельны с. Мы
утверждаем, что а || b в направлении ВВ'.
Черт. 83. Черт. 84.
Действительно, поскольку а \\ с в направлении СС\ то всякий
луч, выходящий из точки А внутри угла САА\ пересечет луч СС
в некоторой точке D. Так как, далее, с \\ b в направлении ВВ' и
луч AD, начиная с точки £), идет, очевидно, внутри угла BDC\
то он пересечет луч ВВ' в некоторой точке Е. Таким образом,
оказывается, что всякий луч, проходящий внутри угла ВАА\
пересекает луч ВВ'. Кроме того, о и Не пересекаются, так как лежат
по разные стороны от с. Итак, а \\ Ь.
Теорема 4. Если прямая b отделяет ') друг от друга
параллельные прямые а и с и не пересекается с ними, то прямая b
параллельна с прямыми а и с.
Так как любой луч АС, идущий внутри угла DAA' (черт. 84),
пересекает прямую с, то он пересечет прямую b в некоторой
точке В—иначе АС не мог бы перейти на другую сторону прямой Ь.
А это и значит, что а || Ь. Так же доказывается, что и b \\ с.
Функция Лобачевского и ее свойства.
Теорема 5. Угол параллельности ш (угол, образованный
параллельной СЕ к АВ с перпендикуляром CD на АВУ см. черт. 76
на стр. 173) есть однозначная функция стрелки x = CD.
1) Т. е. прямые а и с лежат в разных полуплоскостях относительно
прямой о.

180
Глава IV. Геометрия Лобачевского
Для доказательства этого предложения, очевидно, достаточно
показать, что каждому значению х соответствует только одно
значение ш.
Пусть прямая С'Е' параллельна прямой D'B' в направлении от
D' к В\ причем CD' ±D'B\ CD' = CD = xl). Совместим плоскость
второго чертежа с плоскостью чертежа 76 так, чтобы луч D'B'
совпал с лучом DB (точка D' при этом перейдет в точку D) и
чтобы полуплоскость, в которой лежит точка С, перешла в
полуплоскость, в которой лежит точка С. Так как при движении
перпендикулярность не нарушается, то CD' перейдет в
перпендикуляр CD, причем, поскольку CD' —CD, то С упадет в точку С.
Учитывая, наконец, что движение не нарушает параллелизма и что
через точку С проходит только одна прямая, параллельная к DB
в направлении от D к В, заключаем, что С'Е' совпадет с СЕ.
Значит, Z_D'C'E' =/aDCEi т. е. при данном x = CD угол
параллельности ш вполне определен. А это и требовалось доказать.
Величина ш, как функция от л:, называется функцией
Лобачевского и обозначается, следуя Лобачевскому, символом П (л:):
ш = П(л:).
Мы видели, что в геометрии Лобачевского угол параллельности
всегда меньше прямого угла; следовательно, при любом х
П(*)<^.
Лобачевский не только установил существование функции П(лг),
но и полностью ее исследовал—дал её точное аналитическое
выражение. Мы приведем его позже, а теперь докажем несколько теорем,
выясняющих качественные свойства этой функции. Предварительно
докажем следующую теорему.
Теорема 6. Две прямые а и Ь, образующие равные
соответственные углы с третьей секущей их прямой АВ, всегда расходятся.
Прежде всего ясно, что два1 перпендикуляра к одной и той же
прямой всегда расходятся. Действительно, по прямой теореме
параллельных (теорема 60 на стр. 88), два перпендикуляра к одной
и той же прямой не могут пересекаться, а как только что доказано,
они не могут быть параллельны (в противном случае угол
параллельности для общего перпендикуляра был бы равен -~-, что невозможно);
значит, они расходятся.
Переходим к доказательству теоремы. Пусть соответственные
углы а и а' (черт. 85) равны. Из середины фО отрезка АВ
опустим на а и b перпендикуляры ОР и OQ. По теореме абсолютной
1) Чертежа с линиями А'В', CE'f CD' не приводим —он аналогичен
чертежу 76 на стр. 173.

§ 3. Основные теоремы геометрии Лобачевского на плоскости 181
геометрии о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе
и острому углу (ОА = ОВ, /_OAP=OBQ) заключаем, что
треугольник О АР равен треугольнику OBQ; поэтому /mAOP = /mBOQ
и отрезки ОР и OQ лежат на одной прямой. Таким образом, мы
видим, что наши прямые а и Ъ имеют общий перпендикуляр PQ,
а значит они расходятся.
Теорема 7. Всякий острый угол ш может быть углом
параллельности, т. е. всегда существует отрезок х, для которого П (х)
имеет заданное значение ш, заключенное между О и -~,
Пусть /тАОВ = <о<^^. Докажем, что наклонная О В не может
пересекаться со всеми перпендикулярами к стороне ОА и что среди
этих перпендик)ляров существует такой PQ, не пересекающийся
с ОВ (черт. 86), который разделяет пересекающиеся (слева от PQ)
от непересекающихся (справа от
PQ) и является параллельным с ОВ
в направлении от О к В.
ОДА,
Черт. 85. Черт. 86.
Докажем сначала, что ОВ не может встречать всех
перпендикуляров к лучу О А. Допустим противное: пусть О В пересекается с
каждым перпендикуляром PQ к лучу ОЛ. Построим тогда
треугольники ОАхВиОАоВъОАгВг,..., ОАпВп следующим образом: из точки В
опускаем на ОА перпендикуляр В А, откладываем отрезок ААх=ОА,
соединяем В с Аи восставляем к ОА1 перпендикуляр АхВи который,
согласно допущению, пересечет ОВ в некоторой точке Вх\ затем
откладываем A1Ai = OA1, соединяем Вх с Аъ восставляем в Аг
перпендикуляр АъВъ и повторяем аналогичное построение дальше.
Поскольку, в согласии с допущением, О В встречает каждый
перпендикуляр кОАу мы можем построить треугольник ОАпВп для любого п.
Так как в плоскости Лобачевского сумма углов треугольника ОАВу
о (ОАВ) меньше двух прямых углов, то мы положим
о(ОАВ)=к — е, где 0<е<тг.
Очевидно, что &ОАВ= &АХАВ, а потому
q{AxAB) = tz — е.
В таком случае в треугольнике ОАхВ она будет тс— 2е. Оценим
теперь сумму углов треугольника ОА1В1:
о (ОЛ,Я,) = о (ОАхВ) + о {ВАХВх) — тс =
= (тс — 2s) 4- о (ВАХВХ) — тс = о {ВА,Вх) — 2е.

182
Глава IV. Геометрия Лобачевского
Заменяя в правой части о (ВА1В1) ббльшей величиной тс, получим:
о(ОА1В1Хк — 2е.
Рассуждая аналогично, мы для суммы углов треугольника ОАгВ%
получим оценку:
о(ОЛ2Я2)<тг — 2*. е.
Методом индукции легко показать, что для любого п
о(ОЛл£п)<7с — 2я-е.
Выбирая п достаточно большим, мы сделаем правую часть
неравенства отрицательной, а тогда и о будет отрицательной, что
невозможно.
Итак, приняв аксиому Лобачевского, мы должны отбросить
допущение, что луч ОВ встречает все перпендикуляры к лучу О А.
Теперь нетрудно видеть: 1) если перпендикуляр PQ встречает ОВ
в некоторой точке Q, то, по аксиоме Паша, и всякий
перпендикуляр PiQt, идущий левее PQ (с основанием Р1 между О и Р),
пересекает ОВ, и 2) если PQ не пересекается с ОВ, то и всякий
перпендикуляр PqQi с основанием Ръ находящимся правее Р (Р лежит
между О и Рч), не пересекается с ОВ (это легко доказывается от
противного). Вследствие этого каждый встречающий ОВ
перпендикуляр PtQi будет лежать левее каждого не встречающего О В
перпендикуляра P<iQb. Если основание перпендикуляра P^Qi непрерывно
перемещать вправо по прямой О А, то, по
аксиоме Дедекинда, наступит момент,
когда этот перпендикуляр займет
пограничное положение PQ, такое, что
расположенные влево от PQ перпендикуляры
PjQj пересекаются с лучом О В, а
расположенные вправо — не пересекаются с ним.
Нетрудно видеть, что этот
пограничный луч PQ не пересекается с ОВ.
Действительно, в противном случае, т. е. если
бы PQ встречал ОВ в точке 5 (черт.
87), мы правее PQ нашли бы
перпендикуляр P'Q\ встречающий луч ОВ: достаточно опустить на ОА
перпендикуляр из какой-нибудь точки S', лежащей на луче ОВ правее
точки 5 (т. е. ,вне отрезка OS). Но это невозможно; следовательно,
PQ не пересекается с О В, а всякий перпендикуляр P}Qt, идущий
левее PQ, уже пересекает ОВ.
Покажем теперь, что PQ \\ ОВ в направлении от О к В (черт. 86).
Пусть PC — произвольный луч, проходящий внутри угла OPQ.
Возьмем на нем точку С, лежащую внутри угла АОВ, и опустим
из нее на ОР перпендикуляр CPV лежащий, очевидно, левее PQ.
Следовательно, СРХ пересечет ОВ в некоторой точке Т. Луч PC
входит в треугольник ОРхТ через его катет РХТ и, по аксиоме
Паша, он должен выйти из этого треугольника через гипотенузу ОТ,

§ 3. Основные теоремы геометрии Лобачевского на плоскости 183
так как катета 0РХ луч PC пересечь не может (точка Р лежит вне
отрезка ОРх). Итак, мы убеждаемся, что PC пересекает луч ОВ
в некоторой точке U. По определению параллельности прямых,
PQ || ОВ, а значит и ОВ \\ PQ (в направлении от Як Q). Но для
этих параллелей углом параллельности в точке О служит наперед
заданный угол АОВ = <п.
Итак, любому острому углу ш всегда отвечает некоторый
отрезок ОР = х такой, что П (х) = ш.
Теорема 8. Функция Лобачевского <о = П (х) непрерывна и
монотонно убывает от -~ до О, когда х растет от О до оо.
Докажем, что если а^ = TL(xt) иш2 = П (л:2) и х2 ^> хи то аь <^ а>1
(черт. 88).
Относительно а^ и аь можно высказать три гипотезы:
1) а>1 = ш2, ,2) а>1<а>2, 3) <о,}>а>9.
Если a)j=a)2, то прямые CtFt и C2F2, согласно теореме б,
расходятся. Поскольку, однако, CtFt \\ AB и C^F^ \\ АВ> то, в силу
транзитивности параллелизма,
CXFX || C2Fq. Значит, первая
гипотеза отпадает.
Если допустить со, <^ ш2, то
луч С2/\2', образующий с Cfit
угол со' = (о,, будет проходить
внутри угла CiCzFz = ш2 и в то
же время, по теореме 5, не
пересекается с CjF,. Но это
также противоречит параллелизму
СЛ || CXFV
Остается последняя гипотеза: а>1 ^> <о.2.
Нетрудно видеть, что из монотонности функции а> = П (х),
взаимной однозначности (в силу теорем 5,7) доставляемого ей
отображения областей у ^ <*> <^ 0> 0 ^ х <^ ооследует, что ш —
непрерывная функция от х.
Итак, когда стрелка х растет от 0 до оо, то угол П (л:)
монотонно убывает. Поэтому, когда х—*оо, то П (л:), оставаясь больше
нуля, должен стремиться к определенному пределу ^ 0. Этот предел
меньше всех значений, принимаемых П (л:), так как стремится к нему,
монотонно убывая. А так как угол П (х) может, по теореме 7,
принимать все значения между 0 и -к, то этот предел будет равен 0.
Итак, П(х)->0 при х—►оо.
Аналогично, при х -* 0, угол П (х) монотонно возрастает; а так
как он остается при этом <^ -~-, то должен стремиться к пределу ^«~.
Этот предел будет больше всех значений, принимаемых П (д:), так
как П (х) стремится к нему, монотонно возрастая; а значит он дол-
^ . Итак, П (х) -* у
жен быть равен -£ . Итак, П (х) -*■ -£- при х —► 0

184
Глава IV. Геометрия Лобачевского
Итак, в маленьких областях (л: —► 0) угол параллельности
приближается к -jr-, и геометрия Лобачевского тем самым становится
сходной с геометрией Евклида. Наоборот, на больших расстояниях
особенно резко выступают особенности геометрии Лобачевского по
сравнению с геометрией Евклида: тогда угол параллельности близок
к нулю, и лишь узенький пучок лучей, выходящих из точки С,
способен достичь прямой АВ; остальные лучи прямую АВ не
пересекают.
Взаимное расположение прямых в плоскости
Лобачевского.
Мы видели, что в плоскости Лобачевского две прямые могут быть:
1) сходящимися (пересекающимися), 2) параллельными и 3)
расходящимися (или псверхпараллельными*), когда прямые не
пересекаются и не параллельны (см. черт. 76 ыа стр. 173, прямые CG и АВ).
Теперь мы познакомимся с свойствами для каждого типа этих пар
прямых. Мы уже знаем, что расстояние между непересекающимися
прямыми (параллельными или сверхпараллельными) не может быть
ограниченным сверху. Действительно, мы уже видели в § 7 гл. III
(при рассмотрении эквивалентности допущения Прокла 5-му
постулату), что в противном случае в плоскости имеет место постулат
Евклида. Теперь покажем это прямыми рассуждениями.
Пусть в плоскости даны две прямые а и а' (черт. 89). Опустим
из какой-нибудь точки А прямой а перпендикуляр АА! на а'. Из
двух углов, образованных прямой а с лучом АА', тупой угол
обозначим через р, и отложим в его сторону по прямой а ряд равных
отрезков АВ, ВС,.. Пусть А'В', В'С',... будут их проекции на
прямую а. Докажем следующую теорему:
Теорема 9. 1) Расстояния /г,, /г.2, /г3,.. .точек деления А, В, С,...
от прямой а' неограниченно возрастают: /г, <[ /г2 <[ /г3 <С • • • <С К <С
<...-*оо. 2) Проекции А'В', В'С,
... равных отрезков АВ, ВС,... при
этом убывают: А'В' > В'С ^> ...
Заметим прежде всего, что если
щ, $£ — углы, указанные на черт. 89,
т0 Pi < Р*< Рз<- • •» а а, > а,>а3>.. ^
т. е. в сторону тупого угла (в нашем
случае (3,) тупые углы растут, а острые
tf *, 1, • Ц убывают 1). В самом деле, поскольку
ЛВС сумма углов четырехугольника АА'В В
. ЧеРт- 89- меньше Ady то (}, -f- a2 < 2d (при
основании А'В'—два прямых угла). Так как а2-f-(^ = 2d?, то P2^>Pi-
Учитывая еще, что ах -f- (^ = 2d, имеем а, }> оц. Итак, в плоскости
*) Все рассуждения остаются верными и в том случае, когда (^ — прямой
угол.

§ 3. Основные теоремы геометрии Лобачевского на плоскости 185
Лобачевского углы, образованные с прямой а перпендикуляром АА'У
опущенным из точки А прямой а на прямую а', 'меняются с
изменением положения точки А.
Докажем теперь первую часть теоремы. На отрезке ВВ' отложим
отрезок B'D> равный АА\ и соединим А с D. Четырехугольник AA'B'D
есть четырехугольник Саккери. Так как сумма углов
четырехугольника в геометрии Лобачевского всегда <^ Ad, то в четырехугольнике
Саккери углы при верхнем основании ( /_ A'AD — /_ В'DA) будут
острые./ Следовательно, AD проходит внутри тупого угла А'АВ и
точка D лежит внутри отрезка В'В. Это означает, прежде всего,
что h j <^7г2.
На продолжении отрезка В'В отложим отрезок BE = BD = /г5 — /г,
и соединим точку Е с С. Треугольник ВЕС равен, очевидно,
треугольнику BDA (АВ = ВС, BE=BD, ^ABD=£mCBE).
Поскольку £ВЕС= £ BDA = 2d— £ADB\ а угол ЛОЛ"7 острый,
то угол ВЕС — тупой. Отложим на луче ОС отрезок C'F = B'E и
соединим F с Е; в результате образуется снова четырехугольник
Саккери, в котором 2. B'EF<^d. Вследствие этого EF пойдет внутри
тупого угла В'ЕС, и, значит, точка F будет лежать внутри отрезка С'С,
и C'F<CC.
Так как CF = В'Е = А, + (**—*i), С'С = /г3, то /г2+ (А2—/гх) </г^
или ho — h1<^hz—/г2.
Совершенно аналогично будем иметь:
*« —*l<*i—A9<*4 —*!<•••<*» —*«-!<•••.
т. е. приращения перпендикуляров ht растут в сторону тупого угла.
Отсюда следует, что hn^>ht +(/г—1) (/г2 — /г,) и значит hn-+oo
при п—*оо.
Докажем вторую часть теоремы. Повернем четырехугольник ВВ'СС
вокруг ВВ' до совпадения с плоскостью чертежа; пусть ВВ'С0'С0 —
его новое положение (черт. 90).
Возможны 3 случая: 1)ВС0 || А'А,
2) ВС0 расходится • с А'А и
3) ВС0 пересекается с А'А в
некоторой точке G. В первых двух
случаях ВС0 не пересекается с А'А,
так что точка С0, а вместе с ней
и точка С0' лежат по ту оке
сторону от А'А, что и точка В; а
значит С0' будет лежать вправо от Л', и
поэтому В'С0' = £'С'<£'Л\ Нам
остается 'рассмотреть третий случай.
Мы утверждаем, что в этом
случае точка C(v лежит между В
и G. Допустим противное — пусть, например,
Тогда треугольник ABG — равнобедренный (АВ = BG) и /_ BAG.
= Z. BQA, т.е. 0^ = а3, что невозможно, так как а1^>а3. Если
теперь точка С0 займет положение И вне отрезка BG> то в равно-

186
Глава IV. Геометрия Лобачевского
бедренном треугольнике АВН / ВАН= /_ АНВ. Так как О лежит
между 5 и Я, то Z BAG = ах < £ ЯЛЯ и /_ А{)'НВ = а3 > Z Л/УЯ.
Но /_ АНВ = £ ВАН и, следовательно, oia^xxj, что невозможно,
так как а, >а3.
Итак, наши рассуждения показывают, что точка С0 не может ни
совпадать с точкой G, ни лежать вне отрезка BG; значит, С0 лежит
между В и G, и поэтому С0' будет лежать между точками А' и 5',
т.е. B'CQ'<B'A', т.е. £'C'<^'£'.
Аналогично получим, что В'С ^>C'D'^> ...; это и требовалось
доказать.
Теорема 10. 1) Расстояние h = BA точки В стороны О В
острого угла ш = £ АОВ до другой стороны О А неограниченно
возрастает, когда точка В неограниченно удаляется от вершины О,
2) проекции ААи Л,Л9, А2Л3,--- равных отрезков ВВи ВХВ^ В^Вг,---
неограниченно убывают, и притом так, что весь луч — сторона О В —
проектируется в некоторый отрезок ОС
стороны ОА.
Возьмем на стороне ОВ какую-нибудь
точку В (черт. 91.)) опустим из нее
перпендикуляр ВА на сторону ОА. Так как во
всяком треугольнике сумма углов меньше 2d,
то в прямоугольном треугольнике ОАВ угол
a = ^ ОВА <^ d. Поэтому смежный с ним
угол р будет больше прямого. Согласно
предыдущей теореме, в сторону тупого угла Р
расстояние ВА-+оо, когда ОВ-+оо, а
проекции AAl% AtAiy A^AZ,... равных отрезков ВВи
ВХВ2, B2BZi... неограниченно убывают. Пусть
соответствующая углу параллельности <о, т. е.
перпендикуляр к ОС — будет параллелен
О А А, А2... С
Черт. 91.
ОС— стрелка,
П (ОС) = о>; тогда CD
ОВ, и перпендикуляры к лучу ОС, расположенные левее CD,
встречают луч ОВ, а расположенные правее его — не встречают (см.
доказательство теоремы 7). Теперь ясно, что весь луч ОВ
проектируется в отрезок ОС, исключая точку С, которой не
соответствует никакая точка луча ОВ.
В отличие от евклидовой плоскости, в плоскости Лобачевского не
через всякую внутреннюю точку М острого угла ш = АОВ можно
провести прямую, пересекающую одновременно обе стороны угла.
Мы можем внутренность угла разбить на две области Q{ и 22,
обладающие следующими свойствами (черт. 92): через каждою
точку Мх области Qx можно провести прямую, пересекающую обе
стороны угла в некоторых точках /?„ 5„ а через любую точку М2
области Q (заштрихованной на чертеже) уже нельзя провести ни
одной прямой, одновременно пересекающей обе стороны угла.

§ 3. Основные теоремы геометрии Лобачевского на плоскости 187
В самом деле, пусть ОР—биссектриса угла <о; тогда £РОВ =
= £ РОА= -^ <^d. Отложим на биссектрисе отрезок
параллельности ОР, соответствующий углу у, так что П (ОР) = -~ , и пусть
PQ -L. ОР. Тогда лучи О А и ОВ будут параллельны РО в проти-
воположных направлениях на ней. От
несем теперь к области Q1 те
точки Мх внутри угла АОВ, которые
лежат от прямой PQ с той же
стороны, что и точка О, а
точки Мч внутри угла АОВ, лежащие
по другую сторону прямой PQ,
включая и точки прямой PQ,
отнесем к области Й?. Как мы видели
в доказательстве теоремы 7, все
перпендикуляры к ОР с
основаниями Рх между О и Р пересекаются
с ОА (а значит и с ОВ в силу
симметрии относительно оси ОР). Черт. У2.
Если Мх взято из области Qx, то,
опуская из Мх на ОР перпендикуляр MXPV мы получим Рх
между О и Р; следовательно, МХРХ пересечет одновременно стороны
ОА и ОВ в некоторых точках Rx и 5,.
Пусть теперь точка М2 взята из области Q2. Допустим, что через
нее проходит прямая R2S2> встречающая стороны угла <о в точках
R2 и 5<>. Так как пары
точек ("/?„ Мч) и (S4%
М.2) лежат по разные
стороны от прямой PQ>
то отрезки уИ2/?2 и
M^St пересекут PQ в
некоторых точках F и
О. Выходит, что через
пару точек F и G
проходят две различные
прямые—FPGw FM2G.
Так как это невозмож-
Черт. 93. но> то чеРез точку Мч
нельзя провести
прямую, пересекающую обе стороны угла. Тем же свойством обладают
и точки прямой PQ.
Теорема 11. Параллельные прямые aub в сторону угла
параллельности неограниченно приближаются друг к другу, а
в обратном направлении — неограниченно удаляются друг от
друга.
Пусть а || b в направлении от А к В. Опустим из какой-нибудь
точки С прямой а перпендикуляр СА на b (черт. 93). Угол

188
Глава IV, Геометрия Лобачевского
параллельности ш, образованный СА и прямой а, всегда острый,
поэтому смежный угол 9^>cf и, согласно теореме 9,
перпендикуляр DE = h в сторону тупого угла будет неограниченно возрастать,
а значит в обратном направлении, в сторону острого, угла ш, DE
будет убывать, причем это будет верно на участке прямой „влево"
от точки С. Но так как в качестве С можно взять точку как угодно
далеко „вправо" на прямой а, то это будет верно и на любом
участке прямой ос. Теперь остается только обнаружить, что расстояние DE
,не только все время уменьшается, когда D неограниченно удаляется
„вправо" по прямой а, но и стремится к нулю. Отложим на АС
отрезок АН сколь угодно малой длины е и через точку Н проведем
прямую с, параллельную b в направлении от В к А. Так как в
направлении от А к В длина перпендикуляра С А убывает, а НА (длина
перпендикуляра, опущенного из точки прямой с на прямую Ь)
неограниченно возрастает, причем в начальный момент СА^>НА, то,
в силу непрерывности изменения этих перпендикуляров, наступит
момент, когда СА = НА, т. е. прямые а и с пересекутся в
некоторой точке F. Пусть FB JL АВ. Повернем четырехугольник FHAB
вокруг FB до совпадения с плоскостью чертежа. Так как
параллельные к b прямые а и Су проведенные через точку F, лежат
симметрично относительно перпендикуляра FB, то после поворота
прямая с пойдет по прямой а, и точка Н упадет в некоторую точку #*,
которая и будет, очевидно, удалена от b на расстоянии Н*А' = НА =е.
Таким образом, расстояние, уменьшаясь, способно принимать сколь
угодно малые значения, а значит1—стремится к нулю.
Интересно отметить, что в сторону ВА (обратную сторону
параллелизма) проекции Е точек D прямой а не могут уходить как
угодно далеко. Мы можем даже указать ту точку, левее которой не
могут находиться точки Е. В самом деле, проведем через какую-
нибудь точку Ек являющуюся проекцией некоторой точки D,
прямую EG — вторую из двух параллелей к прямой а, проходящих
через Е (первой является Ь). Угол АЕG = /_ AED -f- /_ DEG =
= d -[■- Z DEG ^> d\ поэтому смежный с ним угол <t<^d.
Отложим в сторону АЕ отрезок параллельности ЕК, соответствующий
углу а, т. е. такой, что П (ЕК) = и.'У тогда перпендикуляр KL,
восставленный к КЕ, будет параллелен EG, а значит и параллелен а
в направлении от С к D. Теперь ясно, что прямая а расположится
целиком по одну сторону перпендикуляра KL, и потому проекции
Е ее точек D не могут располагаться левее точки К-
Из этой теоремы, между прочим, вытекает интересный факт:
любую пару параллельных прямых можно всегда наложить на
любую другую.
Теорема 12. Любая пара расходящихся прямых всегда имеет
один и только один общий перпендикуляр, по обе стороны
которого они неограниченно удаляются друг от друга.
Пусть прямые а и b расходятся, т. е. они не пересекаются и не
параллельны. Возьмем на а какую-нибудь точку С и проведем через
нее прямые end, параллельные с b в том и другом направлениях

§ 3. Основные теоремы геометрии Лобачевского на плоскости 189
(черт. 94). Так как а расходится с Ь, то прямая а пройдет внутри
вертикальных (заштрихованных на чертеже) углов, содержащих
расходящиеся прямые.
Для угла ф, образованного а со стрелкой СА справа от СА,
возможны три случая: 1) cp=d, 2) Ф<^ и 3) ф^>^.
Случай 1. q> = d> т.е. а и b имеют общий перпендикуляр С А
(черт. 95). Опуская из произвольной точки R прямой а
(возьмем для определенности R справа от СА) перпендикуляр RS на Ь,
получим четырехугольник CASR с тремя прямыми углами С, А и S.
Так как сумма его углов меньше 4d, то /_ CRS = a<^dt и поэтому
смежный с ним угол Р>^. Согласно теореме 9, расстояние h = RS
неограниченно растет в сторону угла (5, т. е. при движении точки R
вправо по прямой а. А так как
справа от СА можно брать
точки сколь угодно близко к
С, то h неограниченно
растет при движении точки R
вправо, начиная от положения
С. В силу симметрии чертежа
относительно САУ совершенно
то же имеет место и слева
от С А.
Второго общего
перпендикуляра наши прямые a, b не
R отлично от С, то угол а,
Черт,
могут иметь. Действительно, если
образованный перпендикуляром RS
с прямой а, будет, как мы видели, острым, т. е. перпендикуляр к b
не будет уже перпендикуляром к а.
Между прочим, точка 5 — проекция на b точки R прямой а —
не может отходить от точки А как угодно далеко, когда CR —► оо.
Действительно, проведем через 'точку А прямую AD \\ а в налравле-
нии от С к R. Тогда угол параллельности ш = /_ CAD<^d и угол
7 = L DAS = d — /_ CAD <^ d. Отложим на b от А в сторону AS
отрезок параллельности АР, соответствующий углу 7=П (АР и
восставим к АР перпендикуляр PQ. Так как AD \\ PQ, то и а || PQ\

190 Глава IV. Геометрия Лобачевского >
следовательно, а расположена целиком по одну сторону от PQ, и
проекции S не могут зайти правее точки Р. ,
Случай 2. v<^d. Опустим из точки Ж, лежащей на а правее С,
на параллельные прямые b и с перпендикуляры MB и MD (черт. 94).
Точки Ж, В и D не могут лежать на одной прямой; в противном
случае прямые b и су как два перпендикуляра к одной прямой,
/5ыли бы расходящимися, а не параллельными. Так как точка М и
прямая b лежат по разные стороны от прямой с, то MB пересечет с
в некоторой точке Е. Когда точка М неограниченно удаляется от С,
то MD (по теореме 9) неограниченно возрастает; поэтому и ME —
гипотенуза прямоугольного треугольника — будет тоже неограниченно
расти *).
Так как MB ^> ME, то при достаточном удалении Ж от С
расстояние MB будет принимать тоже сколь угодно большие значения.
Однако сначала, когда М не успеет еще достаточно отойти от С,
расстояние MB будет убывать. Действительно, поскольку в точке С
угол ф острый, то, в силу его непрерывности вдоль прямой, он будет
оставаться острым на некотором участке вправо от СА; в таком
случае, как легко заключить- на основании теоремы 9, MB на этом
участке убывает.
Итак, вправо от точки С перпендикуляр MB на некотором
участке СР убывает. Так как в конце концов М£-*оо, то найдется такая
точка /?, что расстояние RS^CA (где RS ±_Ь). Таким образом,
переменное расстояние MB, принимая на концах Си/? отрезка CR
значения ^-СЛ, сначала в направлении от С к R убывает, а значит
принимает значения <^СА. По известной теореме анализа,
расстояние МВУ как непрерывная функция на отрезке CR, должно
принимать в некоторой точке Р наименьшее значение, которое будет
меньше СА (MB, как мы видели, способно принимать для точек М
на отрезке CR значения <^САу. Тем самым точка Р не может
совпадать ни с С, ни с R и лежит внутри CR.
Нетрудно видеть, что опущенный на b перпендикуляр PQ будет
перпендикулярен и к а. Действительно, если бы, например, имело
место /, QPR <^ dy то правее точки Р на некотором (может быть,
очень малом) участке расстояния MB убывали (как мы только что
убедились в применении к точке С). А это невозможно, так как PQ
дает минимальное значение расстояния MB.
Итак, две расходящиеся прямые a, b имеют всегда общий
перпендикуляр. Его единственность обосновывается так же, как и
в случае 1.
Случай 3. q>^>d — сводится ко второму, если рассмотреть
часть чертежа 95 слева от СА.
1) Так как сумма углов треугольника всегда меньше 2d, то если один
угол прямой, -— два других острые; гипотенуза всегда больше катета, так как
против большего угла лежит и большая сторона (теорема абсолютной
геометрии).

§ 4. Основные теоремы геометрии Лобачевского в пространстве 191
Теорема 13. Средняя линия треугольника всегда расходится
с основанием, причем их общий перпендикуляр проходит через
середину основания.
Пусть в треугольнике ABC DE— средняя линия (черт. 96,
проходящая через середины D и Е сторон АС и ВС.
Опустим из вершин А, В и С на линию DE перпендикуляры AF,
BG, СИ. Так как AD = DC и /, ADF = /, CDH как вертикальные,
то прямоугольные треугольники AFD и CHD равны; поэтому AF =
= СИ. По той же причине равны и треугольники BGE и СИЕ и
значит CH=BG. Таким образом, AF = BG и четырехугольник ABGF —
четырехугольник Саккери с нижним основанием FG и верхним АВ.
По известной теореме абсолютной геометрии его средняя линия PQ
перпендикулярна к основаниям АВ и FG\ следовательно, по теореме 6
на стр. 180, DE расходится с АВ, и наша теорема доказана.
Черт. 96. ' Черт. 97.
Следствие. Если А, В и R — три точки одной и той же
прямой, а С — точка, лежащая вне этой прямой, то середины D,
Е и S отрезков С А, С В и CR не лежат на одной прямой.
Пусть прямая DE проходит через точку 5 (черт. 97); тогда,
по только что доказанной теореме, перпендикуляр PQ,
восставленный к АВ в середине Р> и перпендикуляр P'Q\ восставленный к BR
в середине Р\ будут перпендикулярны к прямой DE, и мы получаем
прямоугольник PP'Q'Q.
Так как в плоскости Лобачевского прямоугольников не
существует, то наше долущение несправедливо.
§ 4. Основные теоремы геометрии Лобачевского в пространстве.
Мы переходим к стереометрическим предложениям геометрии
Лобачевского. Начнем с взаимного расположения прямых и плоскостей.
Определение. Прямые а и b в пространстве называются
параллельными (соответственно расходящимися), если они лежат в
одной плоскости а и параллельны (соответственно расходятся) в ней.
Прямая а параллельна плоскости а, если она параллельна своей
проекции на эту плоскость. v
Из этого определения и теореме 11 предыдущего параграфа
вытекает сразу следующая теорема.

192
Глава IV. Геометрия Лобачевского
Теорема 14. Прямая а, параллельная плоскости а, в сторону
параллелизма неограниченно приближается к ней.
Определение. Прямая а расходится с плоскостью а, если
она расходится с своей проекцией а' на эту плоскость. Это
определение влечет за собою следующую теорему.
Теорема 15. Если прямая а расходится с плоскостью а, то
существует общий перпендикуляр к прямой а и плоскости а, от
которого точки прямой а неограниченно удаляются от п юскости.
Теорема 16. Если прямые а и b параллельны друг другу,
плоскость а проходит через прямую а, плоскость (5 — через прямую b
и плоскости а и (5 пересекаются по прямой с,
то эта прямая с параллельна как а, так и Ь.
Докажем, что с \\ b (черт. 98). Заметим
сначала, что прямая с не пересекается с Ь.
Действительно, в противном случае точка О
пересечения с и Ьу будучи общей всем трем
плоскостям а, (5, 7, лежала бы и на прямой а. Но
, это означало бы, что параллельные прямые а и
b пересекаются в точке О, что невозможно.
Возьмем на прямых а, Ь> с соответственно
по точке Л, В, С. Пусть CD — произвольный
луч, идущий внутри угла (СВУ с). Через этот
луч и прямую АС проведем плоскость о
(заштрихованную на черт. 97); последняя
пересечется с плоскостью ^ лучей a, b по прямой
AF, которая, очевидно, пройдет внутри угла
(АВ, а). Так как а || Ьу то AF пересечет b в
некоторой точке G. Поскольку точка G принадлежит как плоскости
о, так и плоскости р (луч b лежит в плоскости (5), а луч CD есть
пересечение этих плоскостей, то G лежит на СД или иначе — луч
CD встречает луч b в точке G. Следовательно, в плоскости (5 с \\Ь.
Совершенно аналогично доказывается, что с \\ а.
Теорема 17. Через каждую точку С пространства проходит
только одна прямая с, параллельная с каждой из параллельных
между собою прямых а, Ь.
Что такая прямая существует, показывает предыдущая теорема,
прямая с пересечения плоскостей а, (5, проходящих через точку С
и прямые а, Ь, будет параллельна прямым а и Ь.
Если бы существовала вторая прямая с\ параллельная прямым
а и Ьу то (по определению параллелизма прямых в пространстве)
через точку С в одной и той же плоскости $ проходили бы две
прямые, именно с и с\ параллельные в одном и том же направлении
прямой Ьу что невозможно.
Теорема 18. Две прямые а% Ь, параллельные в одном и том
же направлении третьей прямой с, параллельны между собой.
Пусть а || с} b || с. Докажем, что а || Ь.
Пусть а не параллельна Ъ. Тогда проведем через некоторую
точку А луча а луч а', параллельный с лучами bt с; такой луч

§ 4. Основные теоремы геометрии Лобачевского в пространстве 193
существует и, по предыдущей теореме, он единственный. Учитывая,
что через точку А можно провести только один луч а,
параллельный лучу с, заключаем, что а совпадает с а и, значит, а \\ Ь.
Теорема 19. Прямая а, параллельная прямой Ь, лежащей в
плоскости а, параллельна самой плоскости.
Согласно определению параллелизма прямой и плоскости, нам
нужно доказать, что прямая а параллельна своей проекции а на
эту плоскость.
Пусть а — проекция прямой а на плоскость а; в таком случае а
лежит в плоскости |3, ортогональной к плоскости а и проходящей
Черт 99.
через прямую а. Значит, прямую а можно рассматривать как
пересечение плоскостей а и р, проходящих через параллельные прямые
а и Ь. По теореме 16, а \\ а и а \\ Ьл что и требовалось доказать.
Определение. Конусом параллельности К с вершиной в
точке С относительно плоскости а называется геометрическое место
всевозможных прямых /, проходящих через точку С параллельно
плоскости а (черт. 99).
Конус параллельности можно получить вращением какой-нибудь
одной из параллелей / вокруг СО — перпендикуляра из точки С на
плоскость а. Когда вершина С приближается к плоскости а, конус
параллельности вырождается в двойную плоскость (поскольку со -=

194
Глава IV. Геометрия Лобачевского
—- П(ОС)—► -s-> когда ОС->0); если же вершина С неограниченно
удаляется от плоскости, конус вырождается в ось ОС(<ь—*0 при
ОС -> оо).
Конус параллельности разделяет прямые, проходящие через его
вершину, на две категории: 1) сходящиеся с плоскостью а —
прямые, проходящие внутри конуса параллельности и пересекающие
плоскость а, и 2) расходящиеся с плоскостью а — прямые,
проходящие во внешней области конуса параллельности и расходящиеся
с своими проекциями на плоскость а. Это разделение прямых не
зависит от конуса параллельности: если мы тЬчку С будем
перемещать, на фимер, по расходящейся прямой, последняя всякий раз
будет проходить во внешней области (меняющегося) конуса
параллельности. 4
Рассматривал всевозможные случаи относительного положения
плоскости, ^проходящей через вершину С конуса параллельности К,
с конусом, мы приходи^ к следующим определениям:
Плоскость р называется сходящейся с плоскостью а, если она
пересекает конус параллельности К с вершиной в точке С по паре
образующих. Плоскость называется параллельной к плоскости а,
если она касается конуса параллельности. Наконец, плоскость
называется расходящейся с плоскостью а, если она не содержит ни
одной образующей конуса параллельности.
Теорема 20. Определения сходящихся, параллельных и
расходящихся плоскостей не зависят от положения точки С —
вершины конуса параллельности.
Если через какую-нибудь точку С плоскости о в этой плоскости
проходят п (= 2, 1 или 0) прямых, параллельных плоскости а, то
через всякую другую точку С этой плоскости о проходит тоже п
прямых, параллельных плоскости а. Действительно, пусть lt — прямая
плоскости о, проходящая через точку С и параллельная плоскости а,
т. е, параллельная своей проекции // на эту плоскость (lt || //)1).
Проведем в плоскости <о через какую-нибудь точку С прямую mi || 1{.
На основании теоремы 16 отсюда следует, что mi || //, на
основании теоремы 19 mi || о. Так как каждой прямой lt отвечает
единственная прямая miy то этим теорема доказана.
Теорема 21 .Свойствасходимости, параллельности и
расходимости двух плоскостей взаимны (если, например, а || р, то |3 || а и т. п.).
Предлагаем доказать эту теорему читателю.
Т е о р е м а 22. Сходящиеся плоскости а и (5 всегда пересекаюгт я —
имеют общую прямую q, которой параллельна любая прямая
плоскости (5 (соответственно а), параллельная плоекос >пи а
(соответственно $).
Действительно, если |3 сходится с а, то через любую ее точку С
проходит пара прямых /, т, параллельных плоскости а (/ || /',
1) Соответствующий чертеж читатель может при желании сделать сам

§ 4. Основные теоремы геометрии Лобачевского в пространстве 195
т\\-т\ где /' и щт' — проекции I u m на. плоскость а). Прямые /?,
проходящие внутри одной из пары вертикальных углов,
образованных прямыми / и /я, проходят также во внутренней области конуса
и потому встречают плоскость а в точках Р. Эти точки, являясь
общими плоскостям аир, лежат на прямой q их пересечения. По
определению параллельных прямых, l\\qt m \\ q. Легко также видеть,
что /' || q, m || q.
Теорема 23. Через прямую /, параллельную плоскости а.
проходит только одна плоскость у, не пересекающаяся с
плоскостью а, именно — плоскость, параллельная плоскости а.
Действительно, плоскость 7» проходящая через /, или касается
конуса параллельности (с вершиной С в любой точке /), или
пересекает его еще по одной образующей т. В первом случае
плоскость у не пересекается с плоскостью а; она называется
параллельной плоскости а. Во втором случае плоскость 7» как мы видели,
пересекается с плоскостью а. Значит, через / проходит только одна
плоскость, не пересекающаяся с плоскостью а, и именно —
плоскость 7> параллельная плоскости а.
Теорема 24. Любая пара расходящихся пгоскостей а и 8
всегда имеет один и только один общий перпендикуляр, от
которого плоскости а и 8 в любом
направлении неограниченно
удаляются друг от друга.
Из произвольной точки А
плоскости Ь опускаем на
плоскость а перпендикуляр АВУ
затем из точки В — основания
этого перпендикуляра —
опускаем перпендикуляр ВС на
плоскость 8 (черт. 100). Так
как АВ J_ а, ВС ±_ 8, то
плоскость со, проходящая через
точки А, В и С, будет
перпендикулярна как к плоскости а,
так и к плоскости 8. Поскольку
плоскости а и 8 расходятся,
скостями а и 8 будут тоже
Черт. 100.
прямые /, /' пересечения о> с пло-
расходиться; в противном случае
(т. е. если / и /' сходятся или параллельны) плоскости а и 8 были
бы сходящимися или параллельными. По теореме 12 прямые /, /'
имеют единственный общий перпендикуляр PQ, от которого они по
обе стороны неограниченно удаляются друг от друга. Так как со _|_ а,
а>_1_8, то отрезок PQ, перпендикулярный к ребрам прямых
двугранных углов, будет перпендикулярен и к обеим плоскостям.
Итак, PQ — общий перпендикуляр плоскостей а и о Этот
перпендикуляр— единственный; если бы существовал второй такой
перпендикуляр P'Q\ то четырехугольник PQQ'P' был бы
прямоугольником, что невозможно. .Значит, каждая пара расходящихся
плоскостей а, 8 имеет только один общий перпендикуляр PQ. Мы

196
Глава IV. Геометрия Лобачевского
утверждаем теперь, что его длина — кратчайшее расстояние
между плоскостями а и 8.
Пусть RS — отрезок, соединяющий две любые точки
плоскостей а и 8. Опустим из R на плоскость а перпендикуляр RT и
рассмотрим прямоугольный треугольник RST и четырехугольник PQTR
с тремя прямыми углами с вершинами в точках Р, Q, Т.
Так как катет всегда меньше гипотенузы, то RS^>RT.
По теореме 12 для четырехугольника PQTR имеем неравенство
RT^>PQ. Следовательно, RS^>PQ, что и требовалось доказать.
То, что точки одной из плоскостей неограниченно удаляются
от другой плоскости, сразу вытекает из теоремы 12 (доказательство
предлагаем провести читателю).
Для дальнейшего нам. нужна будет еще одна теорема
абсолютной геометрии:
Теорема 25. Если А, В, С — точки прямых АА\ ВВ', СС,
попарно лежащих в плоскостях, и хорда АВ образует равные
Черт. 101. Черт. 102.
углы с прямыми АА', ВВ', а хорда ВС—с прямыми ВВ',СС, то
хорда АС образует равные углы с прямыми А А', СС (черт. 101).
Лемма. Если прямые АА', ВВ', лежащие в одной плоскости,
образуют равные углы с АВ, то Л) они образуют равные углы а, |3
с любой плоскостью ш, проходящей через АВ, и 2) их проекции a, b
на эту плоскость образуют равные углы а, (У ( АВ; наоборот,
если ЛА', ВВ' лежат в одной плоскости и а' = (У или а = |5, то
/\А'АВ= <_В'ВА.
В самом деле, пусть A'D ±_AB, A'F _|_m, В'Е ± В A, B'Glw,
причем отрезки АА\ ВВ' между собой равны (черт. 102). По
теореме о трех перпендикулярах, FD ±_ АВ и GE ± АВ. Если £ ВАА' =
= £ ABB9, то прямоугольные треугольники ADA\ BEB' равны и,
значит, AD — EB, DA' = ЕВ'. Так как линейные углы A'DF, В'EG
одного и того же двугранного угла между собой равны, Го
прямоугольные треугольники A'DF и В'ЕG с равными гипотенузами A'D
и В'Е будут равны и, Значит, FD=GE, A'F=B'G. Поскольку в

§ 5. Предельная линия и предельная поверхность 197
прямоугольных треугольникам ADF и BEG катеты равны, тоа' = (5'.
Из равенств A'F = B'G, A'A = B,B следует равенство
прямоугольных треугольников AAF и BB'G\ поэтому а = (5. В том же стиле
доказывается и обратное, что каждое из равенств а' = (У, а = (5
влечет равенство /_ А'АВ = £ В'ВА.
Те.шрь уже нетрудно доказать и нашу теорему.
Действительно, пусть а, Ь, с—проекции прямых AA't BB\ СС
(попарно лежащих в плоскостях) на плоскость треугольника ABC, a
а, (5, 7 — Углы прямых АА\ ВВ\ СС с плоскостью треугольника ABC.
Если £ А'АВ= /. В'ВА, то, согласно лемме, а = |5; по той же
причине из £ В'ВС = £ С'СВ следует* (3 = 7 и, следовательно, а^=
= р = -у. Но, в силу этой же леммы, из а = ? следует, что Z. А'АС =
= £ ССА% что и требовалось доказать.
Теорема справедлива независимо от того, сходятся щ прямые
АА\ ВВ\ СС, расходятся или параллельны.
§ 5. Предельная линия и предельная поверхность.
Пучки прямых в плоскости Лобачевского.
В плоскости Лобачевского существуют три типа пучков прямых;
эти типы соответствуют трем типам пар прямых:
1) центральный (или эллиптический) пучок—совокупность
прямых, проходящих через некоторую точку О (черт. 103, а)
В) о b с
щ в\ с\
Q) Окружность
6)Эк б и Оист о нт а
Черт. 103.
6)Предельная линия
2) гиперболический пучок — совокупность прямых,
перпендикулярных к некоторой прямой / (черт. 103, б), называемой базой
пучка; ,
3) параболический пучок — совокупность прямых, параллельных
данной прямой / в одном и том же направлении к ней1) (черт.
103, в).
1) 1ем самым все прямые пучки параллельны друг другу в определенном
направлении на каждой из них (так что в качестве прямой / может быть
выбрана любая прямая пучка).

198 Глава IV. Геометрия Лобачевского
Очевидно, во всех трех случаях через каждую точку плоскости
проходит одна и только одна прямая пучка. Нас будут
интересовать ортогональные траектории этих пучков, т. е. линии,
пересекающие прямые пучка под прямыми углами. В первом случае
ортогональной траекторией будет окружность — геометрическое место
точек Л,, Ву С, ..., равноудаленных от центра — точки О; а во
втором — эквидистанта — геометрическое место точэк Л, В> С,...,
равноудаленных or „базы"—прямой /.
Заметим, что в плоскости Лобачевского эквидистанта — кривая
линия (в отличие от плоскости Евклида, где она — прямая).
Действительно, если долустить, что эквидистанта — прямая линия, т. е.
ввести постулат Посидония, то мы придем к 5-му постулату (см.
теорему 8 на стр. 157), противоречащему постулату Лобачевского.
Пр причине, которая выяснится в дальнейшем, для нас
наибольший интерес представляет ортогональная траектория парабо ги-
ческого пучка прямых — так называемая предельная линия или
орицикл. Для развития теории, относящейся к этой линии, нам
необходимо предварительно остановиться на одной важной теореме.
Теорема 26. Перпендикуляры к сторонам треугольника в их
серединах или все три сходятся в одной точке, или все три
расходятся, или все три
параллельны между собой (в одном
направлении).
Случай 1. Пусть DD\ ЕЕ' —
перпендикуляры соответственно к
сторонам АВ, ВС треугольника ЛВС в
их серединах D, Е — сходятся в точке
О (черт. 104). Так как эта точка
одинаково удалена от • вершин нашего
треугольника, то она будет лежать и
на перпендикуляре FF\ восставленном
к стороне АС в ее середине F.
Следовательно, если два перпендикуляра к сторонам треугольника
в их серединах сходятся, то в
той же точке с ними сходится и
перпендикуляр к третьей стороне
в ее середине.
Случай 2. Пусть прямые
DD' и ЕЕ' расходятся (черт. 105).
Мы утверждаем тогда, что
с каждой из них расходится и
FF'. Как было показано выше,
любая пара расходящихся прямых
имеет общий перпендикуляр
(теорема 12). Пусть поэтому D'E'—
общий перпендикуляр
расходящихся прямых DD' и ЕЕ'. Опустим на D'E' из вершин
нашего треугольника перпендикуляры АА\ ВВ\ СС.
£'
D
Черт
\°
V
»
. 104.
bfl
F' D'C'E'
Черт юЬ.

§ 5. Предельная линия и предельная поверхность
199
Рассмотрим четырехугольник А'В'ВА. В нем DD'— общий
перпендикуляр к противоположным сторонам АВ и А'В\ причем AD =
= DB. Вращая четырехугольник A'D'DA около DD' до совмещения
с плоскостью чертежа, мы легко убеждаемся, что точка А упадет
в точку В, а А' — в В'\ поэтому АА' = ВВ' и четырехугольник
А'В'ВА — четырехугольник Саккери. В четырехугольнике С'В'ВС
прямая ЕЕ' перпендикулярна к противоположным сторонам СВ,
С В', причем СЕ = ЕВ. По той же причине, что и выше, ВВ' =СС,
т. е. и этот четырехугольник — четырехугольник Саккери.
Обращаемся теперь к четырехугольнику А'С'СА. Поскольку, как
Мы только что обнаружили, АА' = ВВ\ а ВВ' =СС\ то в нем
боковые стороны АА' и СС равны: АА'=СС. Так как, кроме
того, ути стороны перпендикулярны к А'С\ то он —
четырехугольник Саккери. Замечая, что в нем, во-первых, FF' _]_ АС в середине F,
а во-вгорых, его средняя линия (соединяющая середины оснований
АС и А'С) перпендикулярна к основаниям и, в-третьих, к прямой
из точки можно восставить только один перпендикуляр, мы
приходим к выводу, что прямая FF'
перпендикулярна к А'С в
середине F'.
Таким образом, FF'
перпендикулярна к D'E' — общему
перпендикуляру! к DD' и ЕЕ'. По
теореме 12 (стр. 188), FF' расходится
с DD' и ЕЕ'.
4 Случай 3. Пусть DD' 1| ЕЕ
(черт. 106). Мы утверждаем, что
тогда каждой из этих прямых
параллелен и третий перпендикуляр
FF' и притом в, том же самом
направлении.
Прежде всего замечаем, что FF'
расходиться ни с одним из
тельно, в противном
1 JHf 04
1/ \ D
" "M
E"
Ы, в'
r4^ ]
r
D
Черт. 106.
не может ни сходиться, ни
перпендикуляров D'D\ EE\ Действи-
случае (как мы только ,что показали) DD' и
ЕЕ' были бы соответственно или сходящимися, или расходящимися.
Значит, FF' параллелен как DD\ так и ЕЕ'.
Таким образом, остается убедиться, что все они параллельны
в одном и том же направлении.
Поскольку в равностороннем треугольнике перпендикуляры к его
сторонам в серединах пересекаются, наш треугольник — не
равносторонний. По той же причине треугольник ABC не может быть
и равнобедренным, если у него боковая сторона больше основания.
Оставляя в стороне условия, кдторым должны удовлетворять
стороны треугольника, чтобы для него имел место рассматриваемый
случай, мы, не сужая общности, допустим, что сторона АВ —
наибольшая. A priori возможны два случая: 1) Е и F лежат по разные
стороны от DD' и 2) £, F лежат по одну сторону от DD'. Как будет
сейчас показано, второй случай невозможен.

200
Глава IV. Геометрия Лобачевс<ого
Из вершин треугольника ABQ опускаем на среднюю линию BF
перпендикуляры АА', ВВ' СС. Как было показано в доказательстве
теоремы 13, АА' = ВВ' = СС'\ поэтому четырехугольник ABB'А' —
четырехугольник Саккери. По теореме 13 прямая DD\
перпендикулярная к его основанию АВ в середине Ь, будет также служить
перпендикуляром и к основанию А'В' в середине D".
Пусть Е, F лежат по разные стороны от D"D. Так как перлен-
дикуляр к ВС, восставленный в середине £, параллелен прямой
DD' или. что то же самое, прямой DD'\ a ED" _l_D"Dt то либо
/, D'EE1 есть угол параллельности, отвечающий отрезку ED'\ либо
это угол D"EE"^ Так как угол параллельности острый, то острым
и является угол D"EE\
Следовательно, перпендикуляр ЕЕ'
параллелен D' D в сторону от D1'
к D. Совершенно аналогично,
рассматривая перпендикуляр FF'
к АС в середине F, мы
убеждаемся, что он параллелен DD'
в на травлении от D" к D, т. е.
в том же самом направл лии, в
котором параллельны ЕЕ* и DD'.
Итак, в этом случае наша теорема
доказана.
Теперь нетрудно видегь, чго
случай, когда середины Е и F
от DD\ противоречит попарному
Действительно, пусть
сторону от D"D (черт. 107); тогда острые
- ,/ D"EE" и Z. D"FF\ образованные пря-
с ED", FD", лежат по разные сто-
параллельна DD' в направлении от
по одну сторону
всех трех перпендикуляров
расположены
параллелизму
Е> F лежат по одну
углы параллельности
мыми ЕЕ', FF' соответственно
роны от А'В'\ поэтому FF'
D" к Д а ЕЁ" параллельна DD' в обратном направлении.
По известной теореме точка F0 прямой FF' неограниченно
приближается к DD' в сторону от *D" к D, а точка Е0 прямой ЕЕ'
в этом направлении неограниченно удаляется от DD'. В силу
непрерывности, в некоторой точке О наступит пересечение ЕЕ" с FF\
что невозможно.
Заметим, что в первом случае через точки Л, 5, С проходит
окружность, во втором — эквидистанта, а в третьем —
предельная линия, к" изучению которой мы переходим.
Предельная линия (орицикл).
Определение. Прямая АВ называется секущей равного
наклона к прямым АА' и ВВ'У если она образует с ними по одну
сторону равные углы.
Теорема 27. Через каждую точку А прямой АА' можно
всегда провести одну и только одну секущую А В равного наклона
к прямой В В'.

$ 5. Предельная линия и предельная поверхность 201
Из точки А опустим на ВВ' перпендикуляр АС (черт. 108).
Пусть М — точка отрезка АС, перемещающаяся по нему от А к С.
Тогда ее удаление' MP от АА' будет расти'до значения CQ, а
удаление МС о г ВВ' будет убывать от значения АС до нуля. В силу
непрерывности и монотонности изменения MP и МС наступит
единственный момент, когда MP = МС. Пусть это происходит в
некоторой точке О, т. е. CC = OD (CD ± AA').
Проведем биссектрису 00' угла DOC. Ясно, что прямые АА',
ВВ' будут симметричны относительно 00'. Соединяя точку А с
симметричной ей точкой В на прямой ВВ', получим секущую АВ
равного наклона, т. е. ^ А'АВ = /_ В'В А.
Допустим теперь, что существует вторая секущая АВ0 равного
наклона к ВВ', /. А АВ, — /, В'В0А и А В лежит внутри угла А'А80,
т. е.' /_ A}AB<d L А'А30. Тогда угол В'В А будет внешним >глом.
Черт. 108. - Черт. 109
к треугольнику BABQ и, по известной теореме абсолютной геометрии
/, B'BA^Z. B'B0A. Так как /. B'BA = Z. А'АВ, L B'B^A^L A'ABor
то последнее неравенство противоречит первому.
Случай, когда /, А'АВ^> ± А'АВ0, рассматривается совершенно
аналогично.
Таким образом, мы показали и существование секущей равного
наклона нее единственность. Заметим, что наша теорема справедлива для
люэой пары прямых (сходящи-хся, параллельных или расходящихся).
Определение. Кривая А называется предельной линией (или
орициклом), если для нее можно указать' параболический пучок прямых
такой, что любая хорда А Л^ривой А есть секущая равного наклонак
прямым АА\ ВВ' пучка (черт. 109;, проведенным через концы хорды АВ~
Если С — любая точка предельной линии, то луч СС,
принадлежащий пучку и направленный в сторону параллельности,
называемся осью, а точка С — вершиной предельной линии.
Вопрос о существовании предельной линии решается следующей*
теоремой.
Теорема 28. Точка А и выходящий из нее луч АА' опре-
дгляют только одну предельную линию А, которая проходит
через точку А и имеет луч А А' своей осью.
Луч АА' определяет параболический пучок прямых как
совокупность прямых ВВ\ СС\ ..., параллельных лучу АА'. Введем

202
Глава (V. ГеЪмегПрия Лобачевского
кривую Л, образованную концами хорд АВ, АС, ... равного наклона,
проведенных из точки А к лучам ВВ', СС\... (черт. ПО).
Мы утверждаем, что" Л есть предельнаi линия.
В соответствии - с определением предельной линии, нам нужно
показать, что любая ее хорда ,ВС является секущей равного наклона
к лучам ВВ', СС. х
Рассмотрим треугольник ABC. В нем стороны АВ, АС являются
секущими равного наклона. Пусть DD' — луч, перпендикулярный
к АВ в середине D. Лучи АА',
ВВ' относительно этого луча
DD' будут, очевидно,
симметричны (DB = DA, ^DAA—
= L DBS'); поэтому DD' с
АА' и ВВ' не пересекаются.
По геореме 4 луч DD'
параллелен как с АА\ так и с ВВ'.
На этом же основании луч ИИ',
перпендикулярный к стороне
АС в ее середине Н,
параллелен с АА' и СС. Из DD')\ АА
и НИ' || АА' следует DD' || ИИ'
Но, как мы видели выше
(теорема 26), если лучи DD', НИ,
перпендикулярные к сторонам АВ, АС в их серединах, между собой
параллельны, то с ними будет параллелен и луч FF1',
перпендикулярный к третьей стороне ВС в ее середине F: FF1 || DD\ FF' || НИ'
Так как DD' || ВВ', ИИ' || СС, го FF' \\ ВВ', FF \\ СС
Поскольку CF = FBf то углы параллельности, /. B'BF и £ CCF,
им соответствующие, будут равны, т. е. ВС — секущая равного
наклона и, значит, Л — предельная линия.
Существование предельной линии доказано
Пусть существует вторая предельная линия Л0 с той же осью
А А' и вершиной А. Тогда на каком-нибудь луче ВВ' того же самого
параболического пучка будут существовать две точки В, В0 такие,
что АВ, AB^ будут секущими равного наклона. Согласно теореме 27,
через точку А к лучам АА' и ВВ' проходит только одна секущая АВ
равного наклона: поэтому В0 совпадает с 5, а значит и Л0
совпадает с Л. Таким образом, через точку А проходит только одна
предельная линия с заданной осью АА' и^вершиной А
Черт. ПО.
Обозначим через ш • угол ВАА', образованный хордой АВ
предельной линии А с осью АА' (черт. 111). Так как перпендикуляр
DD' к АВ в середине D параллелен с АА', то
. . = п(£).
Зная функцию П (она будет установлена позже), можно построить
линию А, как геометрическое место концов Р хорд АВ, образующих

§ 5. Предельная линия и предельная поверхность 203
с осью АА' острый угол ш, соответствующий отрезку
параллельности AD = -2 АВ.
Когда ш—►О, то АВ —► оо (теорема 8); поэтому луч, ЛЛ', в
который в пределе переходит луч АВ, другой общей точки с Л,
отличной от Л, не имеет. Так как в этом рассуждении луч АА' не
играет особой роли, то мы имеем следующее следствие:
На каждом луче параболического пучка, связанного с
предельной линией, (уществует одна и только одна точка, принадлежащая
этой предельной линии^
Теорема 29. Предельная линия — ортогональная траектория
соответствующего ей параболического пучка.
А С
Черт. 112.
Пусть Л — произвольная точка предельной линии А, а АА* —
соответствующий ей луч параболического пучка, с которым связана эта
предельная линия (черт. 111). Как мы только что видели, если В —
любая точка предельной линии, то '
<*=/.ВАА' = П (^).
Пусть точка В предельной линии по ее дуге стремится к точке Л,
АВ-+0. По свойству функции Лобачевского (теорема 8) при этом
ш—►у. Это означает, что касательная Л Г, как предел секущей А В,
когда В -> Л, ортогональна к лучу ДЛ'. Поскольку Л —
произвольная точка предельной линии, то теорема доказана.
Теорема 30. Все предельные линии между собой конгруентны.
Пусть АА* т- ось предельной линии A, a AQA0' — ось предельной
линии А0'). Совместим луч А{)А0' с лучом АА' и плоскость линии
Л0—с плоскостью линии А. В результате этого движения
предельная линия А0 займет новое положение, при котором она будет иметь
осью луч АА*. Так как теперь А0 имеет с А общую ось и общую
вершину Л, то (по теореме 28) они совпадают.
1) Не приводим чертежа вследствие его простоты.

204
Глава IV Геометрия Лобачевского
В частности, мы можем, совмещая луч АА' с лучом ВВ' одной
и той же предельной линии, наложить ее самое на себя. Это
выражают следующими словами: предельная линия (так же как
окружность и эквидистанта) может скользить сама по себе.
Нетрудно доказать, что через каждые две точки А и В проходят
ове предельные линии.
Определение. Высотой h дуги АВ предельной линии Л
называется перпендикуляр ВС (AD)% опущенный из ее конца В (А) на
луч АА' (ВВ') параболического пучка (черт. 112); стрелкой дуги АВ
называется отрезок AC (BD) луча АА1 (ВВ') ' до высоты ВС (AD).
Теорема 31. Равным дугам предельной линии
соответствуют равные высоты (соответственно — стрелки) и наоборот —
равным высотам (соответственно — стрелкам) соответствуют
равные дуги.
Эту теорему предлагаем доказать читателю.
Теорема 32. Предельное положение окружности К,
постоянно проходящей через фиксированную точку А с неограниченно
Черт. 113.
удаляющимся по лучу АА' центром 5, есть предельная линия
с вершиной А и осью АА'.
Ради краткости наметим только идею доказательству.
Каждый раз, когда центр 5 выбран определенным образом,
окружность К есть ортогональная траектория центрального пучка
с центром S (черт. 113). При AS -+ оо центральный пучок переходит
в параболический. Поскольку в этом процессе окружность является
ортогональной траекторией центрального пучка, то в пределе она
перейдет в линию Л, которая будет служить ортогональной траекторией
параболического пучка. А эта траектория и есть предельная линия.

§ 5. Предельная линия и предельная поверхность 205
Связки прямых в пространстве Лобачевского.
Определение. Связкой прямых в пространстве называется
совокупность прямых, каждая пара которых лежит в одной
плоскости. Эта плоскость, вообще, меняется при переходе от одной-пары
к другой.
Теорема 33. Существует только три типа связок,
соответствующих трем типам пар прямых:
1) центральная связка — совокупность прямых, проходящих
через некоторую точку S (черт. 114, а);
о)
2) гиперболическая связка — совокупность прямых,
перпендикулярных к некоторой плоскости ш (черт. 114, б);
3) параболическая связка — совокупность прямых,
параллельных между собой в одном направлении (черт. 114, в).
Пусть a, b — пара произвольных прямых связки.
Возможны следующие' три случая: 1) прямые a, b сходятся в
некоторой точке S\ 2) прямые а, b расходятся и 3) прямые a, b —
параллельны.
Пусть с — третья произвольная прямая
связки. Обозначим плоскости пар (a, b), (£, с),
(с, а) соответственно буквами у, а, |5. Тогда
прямые а, Ь, с можно рассматривать как
пересечения пар плоскостей ((5, у), (у, а), (а, (5).
Случай 1. Если прямые a, b
пересекаются в одной точке S (черт. 115), то 5,
являясь общей точкой прямых а, b, a значит
и плоскостей а, (5, у [поскольку а —
пересечение пар (|5, y)> a b — пересечение пар (а, у)],
будет принадлежать пересечению плоскостей
а, |}э т. е. прямой с. Иначе говоря, прямая с пройдет через точку 5.
Итак, если a, b пересекаются в S, то через S пройдет и любая
прямая с связки, не лежащая с ними в одной плоскости 1).
Такая связка прямых называется эллиптической.
Черт. 115.
1 Нетрудно сообразить, что через «S пройдут и те прямые, которые
лежат с прямыми а, Ь в одной плоскости.

206
Глава IV Геометрия Лобачевского
Случай 2. Пусть aj b расходятся; тогда, по теореме 12, они
имеют общий перпендикуляр АВ (черт. 116). Проведем через АВ
плоскость со _i_ 7- Поскольку a _j_ АВ, b \_АВ (т. е. a, b
перпендикулярны к ребру прямого двугранного угла), то alco, b j_ ш. В
таком случае плоскости аир будут перпендикулярны с плоскостью co,v
и поэтому прямая с, являясь пересечением плоскостей а и |5, будет
тоже перпендикулярна к плоскости со.
Итак, все лучи этой связки,
называемой гиперболической, оказываются
перпендикулярными к плоскости ш.
Черт. 116.
Черт. 117.
Случай 3. Если а и b параглельиы (черт. 117), то, по
теореме 16, с ними будет параллельна и всякая прямая с нашей
связки (ибо с—пересечение плоскостей а, (5, проходящих через
параллельные между собой прямые).
Такая связка называется параболической.
Так как других возможностей в расположении пары прямых
a, b в плоскости нет, то не существует других типов связок,
отличных от рассмотренных.
Трем типам связок отвечают три типа поверхностей, их
ортогонально секущих; именно — сфера, эквидистантная поверхность
и предельная поверхность.
Остановимся кратко на сфере и эквидистантной поверхности и
более подробно — на предельной поверхности.
Сфера и эквидистантная поверхность.
1. Сфера с центром в 5 может быть определена обычным
способом, как геометрическое место точек Л, удаленных от S на одном
и том же расстоянии. Из этого определения вытекают следующие
ее два свойства: 1) сфера пересекает ортогонально лучи
центральной связки прямых, центр которой находится в центре сферы,

§ 5. Предельная линия и предельная поверхность ' 207
и 2) каждая хорда АВ сферы является секущей равного наклона
к лучам SA, SB эллиптической связки (черт. 115).
Заметим, что каждое из этих предложений может служить
определением сферы. \
На поверхности сферы, в системе „точек" (точек сферы) и
„прямых" (больших окружностей сферы) имеет место так
называемая сферическая геометрия — та же самая, как мы увидим ниже
(стр. 234), что и на сфере в евклидовом пространстве. Сферическая
геометрия во многом отличается от евклидовой. Здесь же каждая
пара „прямых" всегда пересекается в двух диаметрально
противоположных точках, и поэтому параллельных линий здесь не
существует; расположение точек на „прямой" имеет другую природу,
поскольк} „прямая" замкнута; сумма углов треугольника (стороны
которого ограничены „прямыми" — дугами больших окружностей)
больше двух прямых, подобие фигур отсутствует и т. д.
2. Эквидистантная поверхность — геометрическое место точек А\
отстоящих на одном и том же расстоянии h от плоскости о>
(черт 116) Из этого определения эквидистантной поверхности легко
выводятся следующие ее свойства:
1) каждая хорда А'В' эквидистантной поверхности является
секущей равного наклона к лучам АА' ВВ\ перпендикулярным
к плоскости <о;
2) эквидистантная поверхность пересекает все прямые
гиперболической связки (перпендикуляры к плоскости ai) под прямым углом;
3) через каждую пару точек А\В' этой поверхности проходит
одна и только одна эквидистантная линия А'В'—линия пересечения
плоскости, проходящей через прямые АА\ ВВ' (А и В —
проекции А' и В' на плоскость ш) с эквидистантной поверхностью;
поэтому проекция эквидистанты А'В на плоскость о> есть прямая АВ.
С помощью нормалей к плоскости ш между точками и прямыми
этой плоскости и точками и эквидистантными линиями
эквидистантной поверхности устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Будем говорить, что: 1) точка А' эквидистантной поверхности
„инцидентна" эквидистанте В'С нашей поверхности, если
соответствующая ей в плоскости ш точка А лежит на прямой ВС> 2) точка В'
эквидистанты лежит „между" ее точками А', С, если
соответствующая ей точка В в плоскости ш лежит между точками Л, С>
отвечающими точкам А' и С, и 3) „движение1* Г' на
эквидистантной поверхности — такое сопряжение точек и эквидистант, которое
соответствует движению Г, как сопряжению, удовлетворяющему
аксиомам 111 соответствующих точек и прямых в плоскости о>.
Принимая эти соглашения, мы можем легко проверить, что
в системе точек и эквидистант на эквидистантной поверхности
осуществляются все аксиомы геометриш Лобачевского, а значит
и геометрия Лобачевского.
Наприме'р, на эквидистантной поверхности осуществляется
аксиома Лобачевского: через каждую точку С эквидистантной
поверхности проходит бесчисленное множество эквидистант CD' % не пере-

208 Глава IV. Геометрия Лобачевского
секающихся с А'В\ погбму что через точку С— проекцию С на
<о—проходит бесчисленноеч множество прямых CD, не
пересекающихся с АВ.
Столь же просто проверяется выполнимость и всех других аксиом
■геометрии Лобачевского.
Предельная поверхность.
Теория предельной поверхности может быть развита таким же
путем, что и теория предельной линии.
Определение. Предельной поверхностью (или ори сферой)
называется такая поверхность, с которой можно связать
параболическую связку прямых таким образом, что любая хорда АВ этой
поверхности является секущей равного наклона к прямым АА'} ВВ'
этой связки, проходящим через концы хорды АВ (черт. 118).
Каждый луч АА' параболической связки, направленный в
сторону параллельности и проходящий через точку А предельной
поверхности, называется осью предельной поверхности, а точка А —
ее вершиной.
Существование предельной поверхности устанавливается
следующей теоремой:
Теорема 34. Точка А и выходящий из нее луч АА'
определяют одну и только одну предельную поверхность, которая
проходит через А и имеет луч А А' своей осью.
Заданием луча АА' определяется параболическая связка прямых,
как совокупность всевозможных прямых ВВ', СС\ ... пространства,
параллельных лучу АА'. На каждой прямой ВВ' этой связки мы
введем точку В такую, что АВ ячляется секущей * равного наклона
к прямым АА\ ВВ' (черт. 118, где £ А'АВ = £ В'ВА). Мы
утверждаем, что множество всевозможных точек В> включая и
точку Л, образует предельную поверхность.
В самом деле, если В, С — какая нибудь пара точек нашей
поверхности, то АВ — секущая равного наклона к прямым АА\
ВВ'У а АС — секущая равного наклона к прямым АА'> СС.
.Поскольку прямые ВВ\ СС лежат в одной плоскости (как
параллельные между собой), то ВС будет служить для них
секущей равного наклона (теорема 25). Таким образом, любая хорда ВС
нашей поверхности является секущей равного наклона к t прямым
ВВ\ СС параболической связки, что и показывает (в соответствии
с определением), что эта поверхность — предельная.
Единственность предельной поверхности следует из того, чго
из точки А луча АА' к лучу ВВ\ параллельному с лучом АА\
можно провести только одну секущую АВ равного наклона
(теорема 27). ^
Очевидно, что каждую точку В предельной поверхности можно
принять за ее вершину, а соответствующий луч ВВ'—за ось.
Точка В и луч ВВ' определяют ту же самую предельную
поверхность, которую определяют точка А и луч АА'. Очевидно также,

§ 5. Предельная линия и предельная поверхность 209
что через каждую пару точек предельной поверхности проходит
предельная линия и притом только одна.
Нетрудно видеть далее, что сечение предельной поверхности
плоскостью, проходящей через ее ось, есть предельная линия;
поскольку последние перпендикулярны к оси, то предельная
поверхность — ортогональная траектория параболической связки;
так как все предельные линии конгруентны, то предельную повзрх-
ность мооюно образовать вращением предельной линии вокруг
любой ее оси. Отсюда же и следует, что все предельные
поверхности между собой конгруентны так, что в пространстве
существует только одна предельная (с точностью до конгруснтыосги)
поверхность.
Предельную поверхность можно рассматривать еще как
предельное положение сферы, касающейся плоскости в одной из ее
точек, когда центр этой сферы неограниченно удаляется от
плоскости.
Теорема 35. На предельной поверхности в системе
предельных линий осуществляется предложение Плейфера.
Пусть С — точка, АВ— предельная линия, лежащие на
предельной поверхности, причем С не лежит на АВ. Проведем через точки
А, В, С лучи АА\ ВВ\ СС параболической связки, связанной
с нашей предельной поверхностью. По теореме 23 через луч СС\
параллельный плоскости а лучей АА' и ВВ\ проходит только одна
плоскость у, не пересекающаяся с плоскостью а; поэтому через
луч СС проходит только одна предельная линия, не
пересекающаяся с предельной линией АВ9 проходящей через точки А и В.
Таким образом, на предельной поверхности имеет место
предложение Плейфера.
Доказанная теорема может навести на мысль: не является ли
геометрия на предельной поверхности в системе точек и предельных
линий геометрией Евклида?
Теорема 36. На предельной поверхности в системе точек и
предельных линий осуществляется плоская геометрия Евклида.
Для доказательства этой теоремы нам необходимо показать, что
в системе точек и предельных линий на предельной поверхности
осуществляется не только постулат Плейфера, как мы это уже
сделали, но и все остальные аксиомы, лежащие в основании плоской
геометрии Евклида.
Как всегда в таких случаях, нужно сначала установить
соглашения в выборе содержания аксиоматических терминов—точка,
прямая, инцидентность, между и движение, а затем проверить
выполнимость всех аксиом плоской евклидовой геометрии.
Введем следующие соглашения:
Соглашение 1. „Точка"—точки орисферы £.
Соглашение 2. „Прямая" — предельная линия орисферы V.
Соглашение 3. „Инцидентность"—точка А „инцидентна"
„прямой" а, если А лежит в обычном смысле на предельной
линии а.

210
Глава IV Геометрия Лобачевского
Соглашение 4. „Между" — точка В лежит „между" точками
Л и С, если точки Л, В, С лежат на предельной линии и луч ВВ'
лежит между л>чами АА' и СС '), где АА', ВВ', СС— лучи
параболической связки орисферы va
Соглашение 5. „Движение" — преобразование точек и
предельных линий орисферы £, индуцируемое таким евклидовым
движением в пространстве, которые точки и проходящие через них
лучи параболической связки орисферы £ переводят соответственно
в точки орисферы £ и лучи соответствующей ей связки.
Аксиомы I, и U выполняются потому, что через каждую пару
точек на предельной поверхности проходит только одна предельна»
линия.
Аксиома 13 выполняется потому, что на каждой предельной линии
существует бесконечное множество (континуум) точек.
Аксиома 14 — выполняется потому, что в параболической связке
лучей существует бесчисленное множество троек лучей АА\ ВВ\
СС, не лежащих в одной
плоскости.
Выполнимость остальных
аксиом группы I мы не
рассматриваем, поскольку речь идет о
плоской геометрии.
Аксиомы II, и И3
выполняются потому, что если Л, В,
С — три точки некоторой
предельной линии орисферы £. то
из трех соответствующих лучей
АА', ВВ', СС связки только
один лежит между двумя другими.
В Так как в плоскости, прохо-
Черт. 118. дящей через лучи АА', ВВ'
нашей связки, существует
бесчисленное множество лучей СС таких, что ВВ' лежит между АА
и СС, то выполняется и аксиома И2.
Пусть ABC — треугольник орисферы, т. е. криволинейный
треугольник, сторонами которого служат дуги предельных линий АВ,
ВС, С А, и Л — какая-нибудь „прямая" (предельная) линия, которая
пересекает сторону АВ во внутренней точке Я и не проходит
через вершины треугольника (черт. 118). Мы утверждаем, что
тогда Л пересекает либо ВС во внутренней точке Q, либо АС во
внутренней точке /?.
Действительно, рассмотрим треугольник ABC с прямолинейными
сторонами и плоскость а, которая содержит предельную линию Л
Эта плоскость не совпадает с плоскостью прямолинейного
треугольника ABC (в противном случае, как нетрудно видеть, все три луча
1) Т. е. если лучи АА\ СС лежат в разных полуплоскостях относительно
луча ВВ'

§ 5. Предельная линия и предельная поверхность 214
ЛЛ'у ВВ\ СС лежали бы в общей плоскости, что невозможно).
Поскольку они имеют общую точку Р0— точку встречи луча РР'
нашей связки со стороной АВУ — они пересекаются по некоторой
прямой у- Так как для прямолинейного треугольника ABC и прямой
7 аксиома Паша выполняется, то 7 встречает либо сторону ВС во
внутренней точке Q0, либо сторону АС во внутренней, точке R0.
Поскольку луч параболической связки, проходящей через Q0
(соответственно /?0), пересекает сторону ВС (соответственно АС)
орисферического треугольника ABC во внутренней точке Q(AJ),
которая в то же время лежит и на А, то аксиома Паша
выполняется и для треугольника ABC орисферы.
Пусть М и М' — какая-нибудь пара точек орисферы, а ЛШ0 и
М'М0' — пара соответствующих им лучей параболической связки
(черт. 119). Возьмем какие-нибудь
примыкающие к ним
полуплоскости X и X'. По аксиоме Ш8
существует единственное движение Г,
которое точку М переводит в
точку АГ, луч ЛШ0 — в луч М'М0',
а полуплоскость X — в полупло
скосгь X'. Поскольку в плоскости X
(соответственно X') точка М (Af)
и луч ММ0 {М'М0') определяют
единственную „прямую" —
предельную линию 7 U) как пересечение
Х(Х') с орисферой 2» т0 наше дви- Черт. 119.
жение Г преобразует 7 B т'> ПРИ"
чем 7х — часть 7» которая лежит в X, переходит в часть 7х', которая
лежит в"Х'. Так как, наоборот, каждой „ полу предельной" 7х (У* )»
выходящей из точки М (Ж'), на V отвечает единственная
полуплоскость X (X'), то всегда существует движение Г, которое точку М
орисферы £ и выходящий из нее „луч" — полупредельную линию
7х—переводит в любую данную точку М' на £ и в выходящий из
нее „луч" — полупредельную 7'*'-
Эго свидетельствует о выполнимости аксиом Illj и Ш2; аксиома Ш3
выполняется потому, что отношение „между" для лучей плоскости X
при движении сохраняется.
Выполнимость аксиом 1П4_6 для точек и предельных линий
непосредственно вытекает из выполнимости их для реперов 91 (ММ0, X),
31' (М'Ж0, X') и, значит, движения на £ образуют группу.
Прежде чем установить выполнимость остальных аксиом
движения, рассмотрим одно специальное движение в J— „симметрию".
Пусть 7 — какая-нибудь предельная линия с вершиной М и осью
МЛ1Г Рассмотрим два репера 3t0 и Щ'0 с общей вершиной Ж, общим
лучом ЛШ0 и взаимно дополнительными полуплоскостями Х0 и Х0',
перпендикулярными к плоскости X предельной линии 7- По аксиоме Ш7
существует единственное движение Г, которое переводит 3t0 в 3t0'.

212 Глава IV. Геометрия Лобачевского
При этом плоскость X остается неподвижной, а п полу плоскости"
Х0 и Х0' меняются местами. Такое движение Г называется
симметрией относительно плоскости X. Ему соответствует на £
„движение"— симметрия относительно f.
Перейдем к аксиоме Ш8. Пусть sJt — „репер" на предельной
поверхности £ с вершиной М, „лучом" fx и „полуплоскостью" X
(одна из „полуорисфер"—ее частей, на которые разбивает ори-
сферу любая предельная линия 7), а 9Г — другой какой-нибудь репер
с вершиной М\ „лучом" ?'х' и „полуплоскостью" X'*. Мы утверждаем,
что ^всегда существует единственное движение Г, которое
переводит )Ч в Si', т. е. что в геометрии на орисфере выполняется
аксиома 1П8.
Поставим этим реперам в соответствие реперы sJt (MM0, X) и
sJt' (M'AV()i X'). По аксиоме Ш8 для внешнего к £ пространства,
существует движение 1\ которое переводит 31 в 9?'; при этом М — М\
7х — т'х'. Так как при движении Г аксиомы I,_4, II^^ IIIj_6 в системе
„ точек" и „прямых" выполняются, то „полуплоскость" X переходит либо
в „полуплоскость" X', либо в дополнительную к ней „полуплоскость"
X". В первом случае мы имеем выполнимость аксиомы Ш8. Но и
второй приводит к тому же результату, если рассмотреть
дополнительно движение Г' — симметрию пространства относительно
плоскости X'.
Так как движения образуют группу, то существует движение Г,
которое заменяет последовательное производство движений Г и Г'}
Г = ГГ. _
Единственность Г вытекает из единственности Г и
единственности Г'. Таким образом, на Е существует единственное движение Г,
которое переводит Ht в W.
Выполнимость аксиомы П17 на орисфере устанавливается в
принципе так же, как была установлена выполнимость этой же аксиомы
r аналитической интерпретации плоской геометрии Евклида (гл. III,
§ 2, стр. 121).
Выполняется и аксиома 1П9. Для этого нужно рассмотреть
симметрию относительно плоскости, перпендикулярной к хорде АВ
предельной линии АВ в ее середине.
Для выполнимости аксиомы HIlft следует взять симметрию
относительно биссекторной плоскости двугранного угла, образованного
плоскостями связки, проходящими через ее стороны.
Поскольку (в силу соглашения 4) порядок точек на дуге АВ
предельной линии можно с помощью лучей связки, проходящих
через точки дуги, свести к такому же порядку для
соответствующих им точек на стягивающей хорде, то аксиома непрерывности
IV выполняется и на дуге АВ.
Выполнимость аксиомы V проверена выше.
Наша теорема доказана полностью.

§ 5. Предельная линия и предельная поверхность 213
Таким образом, отказавшись с самого начала от геометрии
Евклида, мы, следуя Лобачевскому, обнаруживаем ее на предельной
поверхности.
Используя евклидову геометрию предельной поверхности, мы
в следующей главе развернем тригонометрию в плоскости
Лобачевского и увидим, что эта тригонохметрия, тригонометрия
евклидовой плоскости и тригонометрия на сфере могут быть объединены
в одну общую — абсолютную тригонометрию. '

Глава V.
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО И АБСОЛЮТНАЯ
ТРИГОНОМЕТРИЯ.
§ 1. Основная формула метрики Лобачевского.
Поскольку, согласно последней теореме предыдущей главы, на
предельной поверхности имеет место геометрия Евклида, причем
предельные линии исполняют роль прямых евклидовой геометрии,
то мы вправе воспользоваться теоремой 77 абсолютной геометрии
(гл. II, стр. 95) для измерения дм ны дуги предельной линии. Это
будет означать, что каждая дуга АВ предельной линии Л имеет
длину (в смысле определения 36 на стр. 94), если предварительно
некоторому отрезку дуги предельной отнесена единичная длина.
Определение. Радиусом кривизны пространства
Лобачевского называется число р, измеряющее длину дуги АВ предельной
линии, высота h которой, как
отрезок параллельности, соответствует
углу параллельности 45° (черт. 120).
Поскольку данному (фикс-ирован-
}t ному) углу параллельности отвечает
постоянный отрезок параллельности
/г, а последнему, как высоте дуги
предельной линии, отвечает постоянная
дуга (теорема 31 гл. IV на стр. 204),
то радиус кривизны р — величина по
' стоянная.
Теорема. Длина s дуги О А предельной линии Л связана
с высотой этой дуги, h, равенством
s = pctg П(/г),
(1)
где р — радиус кривизны пространства.
* Возьмем на предельной поверхности V прямоугольный треугольник
ОАВ, образованный дугами предельных линий А (ОА), А, (АВ),

§ /. Основная формула метрики Лобачевского 215
К2{ОВ) так, чтобы катет О А был равен s, а катет АВ — радиусу
кривизны р (черт. 121).
Поскольку на предельной поверхности в системе предельных
линий реализуется геометрия Евклида, то
5 = р • ctg(AOB).
Докажем, что £ АО В = П (/г), где h — высота дуги 5 = О А .
Пусть ОО9, АА' ВВ' — лучи параболической связки, отвечающие
поверхности £.
Проведем через точку А
плоскость со,
перпендикулярную к лучу
ОО1. В сечении с
поверхностью L
образуется окружность К,
центр которой Р
лежит на ОО', а радиус
h = PA будет служить
высотой дуги ОА. Мы
утверждаем, чго луч
PR, лежащий на
прямой пересечения
плоскости со с плоскостью
а лучей ОО' и ВВ' и
направленный в то
полупространство,
определяемое плоскостью
Р лучей 00\ АА, в
котором лежит ВВ',
параллелен лучу AQ,
касательному к К в точке
пространство. Действительно
Черт. 121.
А и идущему в то же самое полу-
поскольку Л, перпендикулярна к
линиям Л и АА*, лежащим в плоскости |5, го луч AQ, касательный
к А, в точке Л, будет перпендикулярен к плоскости (5 и
значит AQ±AP. Поскольку, далее, AQ.± |5, a (i, как плоскость,
проходящая через перпендикуляр ОО' к ш, перпендикулярна к ш, то
AQ лежит в плоскости со. Так как плоскость со, в которой лежит
AQ, перпендикулярна к плоскости а, то PR — проекция AQ на
плоскость а.
Далее, из того, что дуга АВ равна радиусу кривизны р, следует,
что луч AQ параллелен лучу В'В, и поскольку последний лежит
в плоскости а, то AQ || а. Но луч PR есть проекция луча AQ;
следовательно, PR \\ AQ. Учитывая, что AQj_AP, заключаем, что
AP—h есть отрезок параллельности угла APR, /_APR = Tl(h).
Но угол АОВ, как линейный угол двугранного (а, (5), равен
линейному углу APR] поэтому /_ АО В = П (/г).
Следовательно,
$ = p.ctgII(A). (П

216
Глава V. Тригонометрия Лобачевского
Эго—основная формула для измерения длин на предельной
поверхности; на ней будут основачы все формулы тригонометрии
Лобачевского.
Поскольку в геометрии Евклида на предельной поверхности
длина С окружности криволинейного радиуса s равна 2tts, a s
выражается через плоский радиус h формулой s = р • ctg П (k)> то
длина С окружности радиуса h в плоскости Лобачевского
определяется формулой:
С = 2по ctg П (/г).
Так как дуга а окружности пропорциональна центральному углу а,
то в плоскости Лобачевского они связаны равенством:
а = р • ctg П (/г) • а.
§ 2. Формулы тригонометрии прямоугольного треугольника.
Пусть ЛВС — прямоугольный треугольник плоскости
Лобачевского с вершиной прямого угла в точке С; at b, с —
противолежащие вершинам стороны (черт. 122).
Восставим к плоскости
треугольника в вершине острого угла А
перпендикулярный луч АА', а через
вершины В и С проведем к нему
параллельные лучи ВВ' и СС: ВВ' \\ АА'\
СС || АА'.
№ Вершина В с выходящим из нее
лучом ВВ1 определяют предельную
поверхность 2» проходящую через
вершину В и имеющую луч ВВ' своей
осью. В сечении этой поверхности V
с плоскостями a, (J, у, проходящими
соответственно через три пары лучей
(ВВ9, СС), (СС\ АА'), (АА', ВВ9),
образуется треугольник BDE,
состоящий из дуг предельных линий BE,
ED и DB.. Нетрудно видеть, что в
этом треугольнике угол при
вершине Е, /_ BED, — прямой.
Действительно, плоскость (5 проходит через нормаль АА' к
плоскости о> треугольника ABC] поэтому двугранный угол, образованный
этими плоскостями, — прямой. Так как сторона ВС
перпендикулярна к ребру СА этого двугранного угла, то ВС служит
нормалью к плоскости (5. Поскольку плоскость а проходит через
нормаль ВС к плоскости (5, то она образует с ней прямой двугранный
угол, Р_[_а. Поэтому угол BED, как угол, измеряющийся линейным
углом прямого двугранного угла (a, (i)—также прямой.

§ 2. Формулы тригонометрии прямоугольного треугольника 217
Кроме того, в прямоугольном треугольнике BDE угол при вершине
D(/mBDE) равен углу А при вершине Л, как линейные углы одного
и того же двугранного угла (|5, у), /. BDE = £ А. Поскольку на
предельной поверхности имеет место геометрия Евклида, то
BE = BD • sin Z BDE.
(1)
Замечая, что катет ВС есть высота дуги BE, поскольку ЕС
перпендикулярна к плоскости (5 и, следовательно, к СС\ а гипотенуза ВА—
высота дуги BD(BA±AA' по построению АА')У мы, на основании
теоремы предыдущего параграфа, будем иметь:
BE = р • ctg П (a), BD = р • ctg П (с). (2)
Припоминая еще, что /mBDE=Z.A мы из равенства (1)
получаем одно из уравнений прямоугольного треугольника:
i1)
ctg П (а) = ctg П (с) • sin A.
(И,)
Совершенно аналогично (восставляя с самого начала перпендикуляр
к о) в вершине В и проводя такие же рассуждения) получаем и
вторую формулу:
ctg П (b) = ctgП (с) • sin В.
(Па)
Так как прямоугольный треугольник определяется заданием любой
пары элементов из пяти а, Ь, с, Л, В (не исключая случая задания
двух углов А и В, поскольку в
геометрии Лобачевского подобие фигур
отсутствует), то для решения
треугольника нам нужно найти еще одну
формулу, независимую от формул Hj
и II,.
Пусть, как и в предыдущем случае,
АА' 1 ш, ВВ9 || АА\ СС || АА\ но
предельная поверхность 2' проходит
через вершину С и имеет луч СС своей
осью (черт. 123). В сечении
предельной поверхности £' с
плоскостями а, (} и 7 образуется треугольник
FCD, в котором угол С будет
прямой, а /,0=/.Л(по гой же
причине, что и выше).
Между прочим, так как сторона ВС (прямолинейного
треугольника) и сторона FC (криволинейного) перпендикулярны к СС
в точке С, то они касаются друг друга в этой точке.
1) Читается так: „котангенс пи от катета равняется котангенсу пи от
гипотенузы, умноженному на синус противолежащего угла".

218
Глава V. Тригонометрия Лобачевского
Прибегая опять к евклидовой геометрии на предельной
поверхности, мы из прямоугольного треугольника FCD имеем:
FC = CD • tg £ D.
Здесь £ D = £ Л, a CD = p • ctg П (b) (по формуле I), поскольку
С A — высота дуги CD (С А _\_АА'). Что же касается FC, то она
может быть выражена через катет а. В самом деле, опуская из С на
ВВ' перпендикуляр CG, который будет служить высотой дуги С/7,
мы (по формуле I) будем иметь:
FC=p.ctgII(CG). (3)
Далее, замечая, что /mCBG= П (а), и применяя к прямоугольному
треугольнику CBG формулу II, [заменяя в ней а на CG, с на а, А
на II (а)], получим:
ctg П (CG) = ctg П (а). sin П (а) = cos П (а). (4)
Вследствие этого формула (3) нам дает, по сокращении на р:
cos П (а) = ctg П (Ь) • tg Л.
(Ил)
Совершенно так же может быть получена аналогичная формула:
cosII(£) = ctgII(a).tg£. (H4)
Впрочем, она может быть получена из первых трех путем
исключения элементов с и А. Действительно, путем деления равенства
(Н.2) на (II,), имеем:
esc А = с,° „ )JX • esc Bt
а из формулы (Н3):
" ctg IT (a)
ctg4 =
ctg П (Ь)
cos П(а)
Учитывая, что esc Л, ctg А связаны тождеством
esc*2 А — ctg*'А = 1,
мы, после несложных преобразований, получаем (Н4).
Таким же приемом могут быть выведены и следующие б
формул:
(И.)
(Н.)
sin
П(с) =
sin
П(а)
■ sin
П(*).
cos П (а) = cos П (с) • cos В,

§ 3. Формулы сложения в тригонометрии Лобачевского 219
cos П (Ь) = cos П (с) • cos A, |
sin Л = sin П (Ь) • cos В,
sin В = sin П (а) • cos Л,
sin П (с) = tg A • tg £.
(Нп)
(II.)
(II.)
(II»)
Последние три формулы дают возможность, если известна
функция II (#), определить стороны а, Ь, с по углам Л, В.
Формула (Цв) есть аналогия теоремы Пифагора, поскольку она
связывает катеты а и b с гипотенузой с.
§ 3. Формулы сложения в тригонометрии Лобачевского.
Так называются формулы, которые выражают тригонометрические
функции от II (х it у) через тригонометрические фикции от
П(лг), ПСУ). Основываясь на них, мы в следующем параграфе
выясним вид функции Лобачевского.
Формулы сложения таковы:
тт / , ч СО* П (X)± COS П (у)
COS П (X НЬ у) = —— -тт-— гг
V у> 1 ± COS И (X) . COS il (у)
sin П(л: ±У)
sin П (х) • sin П (у)
1 ±. cos И (jc) • cos 11 {у)
ctgll(x±y) =
cos П (jc) ±: cos U(y)
sin II (x) • sin II (3/)
an,)
(IIU)
(in,)
Выведем их.
Через концы отрезка АВ = 2х проведем предельную линию Л так,
чтобы луч СС\ перпендикулярный к АВ в середине С, был ее осью
(черт. 124). Отложим на АВ отрезок CD = y(<^x) и проведем
через точку D луч DD' \\ СС.
Прямая DD' встретит Л в некоторой точке G, лежащей на Л
между А и В\ поэтому
AG+GB = AB.
(1)

220 Глава V. Тригонометрия Лобачевского
Так как х — высота ЛС0 (половины дуги АВ), то с помощью
формулы (I) мы получим:
A6 = 2p.ctgn(A:); (2)
с помощью той же формулы мы можем выразить дуги AG, GB
через П(л:), ПО/). Действительно, опуская из точек А, В на
прямую DD' перпендикуляры АЕ и BF, мы получим:
AG = р . ctg П (АЕ), GB = р • ctg П (BF). (3)
Но, по формуле (II,), из прямоугольного треугольника ADE мы
имеем:
ctg П (АЕ) = ctg П (AD). sin £ ADE. (4)
Поскольку AD = x-\-y> a £ADE = H(y)> как угол параллельности
отрезка у, то
ctg П (АЕ) = ctg П (х -f з>) • sin П СУ). (5)
Черт. 124. Черт. 125.
Совершенно аналогично, применяя формулу (II,) к
прямоугольному треугольнику DBF, найдем:
ctg П (BF) = ctg П (* — у) • sin П СУ) (6)
и, следовательно,
AG = р • ctg П (* +.У) • sinll СУ),
GB = р • ctg П (л:— у) • sinll (у). (7)
Учитывая (2) и (7), мы из (1) получаем:
ctg П (х +у) + ctg Il(x-y)= ffi^ff . (8)
Теперь возьмем отрезок АВ = 2у и проведем через его концы
А и В предельную линию А так, чтобы луч СС, перпендикулярный
к АВ в середине, служил ее осью (черт. 125). Отложим от С в
сторону В отрезок CD = x. Так как у<^х, то В лежит между С и D.
Проведем через точку D луч DD' \\ СС. Он встретит, А в точке О
такой, что В будет лежать между Ли О.
Поэтому
AB + BG = AG. (9)

§ 4. Аналитическое выражение функции Лобачевского 221
Так как у— высота АСЦ (половины дуги АВ)У то по формуле (I);
ЛЯ = 2р • ctg П СУ). (10)
Опуская на DD' из точек А и В перпендикуляры АЕ и BF>
которые будут служить высотами дуг AG и BG, мы по формуле (I)
будем иметь:
AG = p-ctgTl(AE), BG = p.ctgIl(BF). (Ш
В прямоугольном треугольнике ADE гипотенуза AD = х-\-у> а угол
ADE=Ii(x)t поскольку DD' || CC ± CD. По формуле (I1J
ctgn(^^) = ctgn(Ar-^3/).sinn(Ar). (12)
Точно так же из прямоугольного треугольника BDFt в котором
гипотенуза BD = х — у, а угол BDF =\[{х)> найдем:
ctg- П (BF) = ctg П (х — у) • sin П (дг). (13)
Вследствие этого равенства (11) принимают вид:
AG = p-ctgll (x +j) • sin П(д:),
£G = р • ctg П С* — .у) • sin П (х).
Учитывая (10) и (14), мы из (9) получаем:
ctg'n (х+у) - ctg Щх-у)= 25^ПП(У ■ (15)
Из равенств (8) и (15) мы (путем сложения, а затем вычитания)
получаем формулу (1П3).
Зная выражение синуса и косинуса через котангенс, найдем
формулы (111,) и (Ш2).
§ 4. Аналитическое выражение функции Лобачевского.
Покажем сначала, что функция f(x) = ctg-^- Л(х) удовлетворяет
функциональному уравнению
f(x+y)=f(x)-f(y). (1)
Подставляя в известную тригонометрическую формулу
4 - 1 rr / i , ' 4-cosn Гг4- v)
2 ' ^ 1 — cos 11 (jc -f- у)
вместо cos 11 (х -\-у) его выражение через cosII(a;), cos П (у) по
формуле < 111, > предыдущего параграфа, мы будем иметь:
ctg' 2 11 (a: -f-Я— , _ cos п (дг) _ cos п {у) + cos п (JCj . cos jj ^ —
] -4- 60S 11 (JC) I 4" COS II (V) -i 1 -rr / ч Ч I 1-х . ч
= Т^ГЩЗ • 1-со»П(у = Ct- 2 П <*> ' Ct* T П У>-

222
Глава V. Тригонометрия Лобачевского
1 к
Учитывая, что ctg у П (л:) :>= 1, поскольку у^П(л;)>0, при
0=^х<^оо (см. стр. 183), мы после извлечения квадратного корня
получим:
ctg i П (х+у) = ctg 1 П (х) • ctg j П СУ).
Это и есть уравнение (1).
Отсюда следует, что вопрос об определении функции
Лобачевского сводится к вопросу об отыскании решения функционального
уравнения (1) при условии, что искомая функция/(л:)
непрерывна и монотонно возрастает от значения 1 (которое она
принимает при л: = 0) до оо (когда л;-*оо) *).
Полагая в (1) y = (k— 1)л, где k — целое число, имеем:
f(kx)=f[(k-l)x].f(x).
Давая здесь k значения 2, 3,..., ту получим:
f(mx)=[f(x)]m.
Отсюда, по извлечении корня /г-ой степени и замены х на — %
т 7
имеем:
/®-[/wf-/(**MH*.
где т и п — любые целые числа. Полагая х=1 и обозначая/(1)
через а, которое должно быть ^>1, поскольку искомая функция
/С*)^>1 при л:^>0, имеем:
/(Й-
т
а
Это означает, что для рациональных значений аргумента х искомая
функция /(х) имеет вид:
f(x) = a*9 а>1.
Пусть х — иррациональное число; тогда для целого т можно
всегда подобрать такое целое я, что.
Так как это справедливо для любого т и
1
ТО
«„.' —aw=^ —0 при w— оо/
х= lim aw= lim am\
m -*oo m -»oo
*) Непрерывность и монотонность f(x) — ctg -у Последует из теоремы8
§ 3 гл. IV и непрерывности и монотонности функции котангенса.

$ 4. Аналитическое выражение функции Лобачевского 223
Функция/(л:) — монотонно возрастающая; поэтому
• f{iz)<^x)</{4r)ИЛИ «^ </(*)< «^.
откуда при т—+6о получаем:
п- н« ±
f(x) = lim ат = а т = а*.
Итак:
ctgyll(*) = a*f (2)
или, полагая а = ес> где с^>0 (поскольку а^>1):
ctg\jl(x) = ecx. (3)
Таким образом, функция П(лг) установлена почти до конца;
остается только выяснить геометрический смысл постоянной с.
Для этого мы примем, что дуга s предельной линии эквива-
лентна стягивающей ее хорде х, lim — = 1 (это — положение, ле-
*-о х
жащее в основе измерения кривых линий).
Так как s = 2р • ctg Ш у),
то
8 ■ С,2П(т)
lim — = p.Hm \ ' = \. (4)
Ы
Зная, что
ctgjU(x) = ecx,
мы, с помощью формулы
2tg -J-П (л:)
tgnW = ij
получаем:
откуда
l-tg=yll(.r)
gCX g-CX
ctg П (х) = ^ = sh (cx) =
= « + ljf + --Д (5)
ctgJHr) _ c8jc2 ,
3!
!) ch x— гиперболический косинус, sh jc — гиперболический синус, thjc —
гиперболический тангенс

224
' Глава V. Тригонометрия Лобачевского
и, следовательно,
, „т<*£ПМ.
(6)
л: —О л
Поэтому из (4) мы находим:
Таким образом, постоянная с оказывается равной обратной
величине радиуса кривизны р. Мы, наконец, получили основное
уравнение Лобачевского:
(IV)
откуда явное выражение функции Лобачевского:
n(A:)=2arcctg^
Полагая в (5) с= —, имеем формулу:
г
ctg П (х) = sh
х
Из формул, выражающих sin и cos через ctg, найдем:
sinn(A;) =
ch^
Р
cosIIU) = th -. h
р \
(IV)
(IVi)
(IV,)
(IV,)
') Из формул (III) и (IV) вытекают следующие формулы сложения для
гиперболического косинуса, синуса и тангенса:
сп (л ± у) = сп л* • ch v ± sh х ■ sh у.
sh(x ±. у) = sh A--ch у ±. chx-sh у,
th к ± th у

§ 4. Аналитическое выражение функции Лобачевского
225
Таким образом, тригонометрические функции угла П (д:) выражаются
через гиперболические функции от х. Учитывая формулы (IV^g),
мы представим уравнения (II) прямоугольного треугольника в
гиперболической форме:
sh
a
= Sh-<-.
P
sin Л,
sh-
b
p
= 8h-5-.
P
sin By
th
a
P
= sh—
P
• tgA>
th
b
P
= sh —
P
• tgB>
ch
с
T
= ch —
P
•
и b
•ch —
P
№')
(П,')
«,-^-=«1-1
p p
• sos B,
ch — = ctg A-ctg B.
(V)
(".о*)
Поскольку мера угла П (х) не зависит от линейной меры,
формула (IV) показывает, что при увеличении линейного масштаба
(единичного отрезка) в k раз (х при этом уменьшается в k раз)
радиус кривизны р уменьшается в k раз, а при уменьшении его в
k раз р увеличивается в k раз. Это означает, что с помощью
изменения единицы масштаба можно всегда радиусы кривизны двух
любых пространств Лобачевского сделать одинаковыми. С этой
точки зрения существует только одна плоскость Лобачевского,
подобно тому как с помощью изменения единицы измерения на одной
сфере (например в евклидовом пространстве) можно всегда измерения
на ней сделать такими же, как и измерения для соответствующих
образов на любой другой сфере. Иное дело, если будет допущено
вмешательство жителя (т. е. аксиоматики) трехмерного,
объемлющего пространства, который, подойдя к измерениям на них с общим
масштабом, заметит, что радиусы этих сфер неодинаковы и что
длины окружностей больших кругов, лежащих на них, будут
различны.

226
Глава V. Тригонометрия Лобачевского
§ 5. Формулы тригонометрии косоугольного треугольника.
Косоугольный треугольник может быть определен заданием трех
любых элементов из шести: трех сторон и трех углов. Так как
при задании трех элементов остаются неизвестными три, то должны
существовать три независимых уравнения, с помощью которых
определяется треугольник.
Покажем, что стороны а, Ь, с и углы А, В> С произвольного
треугольника в плоскости Лобачевского связаны уравнениями:
р
sin Л
_ Р
sin В
sh^_ |
— Р
sin С
(аналог теоремы синусов),
\ 1 а , b , с , b . с
ch — = ch ch sh — • sh — •
p P P P P
(аналог теоремы косинусов),
.a cos A + cos В • cos С
p sin В •• sin С
cos A\
')
(V)
(V,_s)
(V4-6)
Формула (V) может быть получена так. Опустим из вершины С
треугольника ABC на сторону АВ высоту CD (черт. 126). Не-
Черт. 126.
зависимо от того, будет ли точка D лежать внутри стороны АВ
или вне ее, мы на основании формулы (II/) будем иметь:
1) Каждая из этих формул считается за три (путем круговой замены
букв А, В, С и а, Ь, с).

§ 5. Формулы, тригонометрии косоугольного треугольника 227
sh — = sh — • sin В для треугольника CBD,
h h
sh — = sh — • sin А для треугольника ACD.
Исключая Л, получаем:
sh —:sh — — sin A : sin B. (1)
Опуская теперь высоту из вершины А на сторону ВС и рассуждав
таким же образом, найдем:
sh — : sh — = sin В : sin С. (2)
Р Р ,
Объединяя эти два отношения, получим „теорему синусов* —
аналог известной теоремы синусов евклидовой геометрии.
Для доказательства формулы (V3), опустим также из вершины С
на сторону АВ высоту CD. Здесь могут быть два случая: или
основание D. будет лежать внутри стороны АВ, или вне ее.
Обозначим длины отрезков AD и DB соответственно буквами
сх и с2. Ясно, что с* = £+£,, где знак „—" соответствует первому
случаю, а знак „-(-"—второму. Применяя к прямоугольным
треугольникам ADC и CDB формулу (П5), получаем равенства:
ch A = ch JL .ch-^-, ch--=ch— -ch-^-. (3)
P P P P P P
Исключая из них высоту h> найдем:
ch ?- = P-ch-^. (4)
P
p ch-± p
Так как с2 = с -t-clt то
ch^- = chc-^=ch — ch -'-qrsh -- sh *-. (5)
P 2 P P P P
Учитывая на основании (Н6'), что
th —= ±th — cos Л -f- при A <^ ~, —приЛ>-^-1, (6)
мы из (4) получаем формулу (Vj). Меняя в круговом порядке буквы
а, Ь, с и А, В, С, получим еще две формулы (V2), (V3).
Для вывода формул (V4_6) поступим следующим образом. Как
и в предыдущих случаях, из вершины С опускаем на сторону АВ
высоту CD. Так как с=с2±Сц то

228
Глава V. Тригонометрия Лобачевского
Из прямоугольных треугольников ADC и CDB на основании
формулы (Н8') и (II,') будем иметь равенства:
Ch^:
cos Cj . с2 cos C8
sin A ' р sin 5
, с, b . ^ .с* , а • j^-
sh —- = sh — sinC«, sh —- = sh — • sin C2,
P P 1 P P 2
(8)
(9)
где С, = Z. ЛСД a C2 = Z #£#•
Внося отсюда значения sh —-исп —lb равенство (7),
получим:
cos d cos C> :± sh — sh — • sin A • sin 5 • sin d • sin C-
ch^ = p . * . „ .(10)
p sin Л -sin # v 7
Так как по формуле (II/)
sh — sin В = sh — , sh — sin A = sh —
P P p P
TO
cos d • cos C* ± sh- — sin d • sin C2
ch — = -
sin Л sin В
Учитывая, что
s\p— = ch2 — — UC^r^zbC,, ch —sinC,=cosA
ch — sin C2 = cos 5 (см. II8'),
(H)
(12)
получим формулу (V6). Меняя здесь в круговом порядке стороны
и углы, придем к формулам (V4) и (V5).
Формулы (V4_6) интересны в том отношении, что дают
возможность определить стороны треугольника через его углы (в сумме
не превышающие тс).
Используя формулы (IV,_3), мы можем уравнениям косоугольного
треугольника (V), (V,_3), (V4_6) придать следующий вид:
(V)
1
|si
ctgll(a) _ ctgll(£) _ ctgll(c)
sin A sin В sin С
(аналог теоремы синусов),
пПЫ_ sin П (^)sin II (с)
к ' 1 — cos И (b). cos И (с)- cos A
(V,.,)
(аналог теоремы косинусов),

§ 6. Абсолютная тригонометрия
229
sin П (а) = -
sin Б-sin С
cos Л + cos В -cos С
(v'i_j
§ 6. Абсолютная тригонометрия.
Умножая равенства (V), выражающие теорему синусов в
пространстве Лобачевского, на величину 2тгр, мы придадим им вид:
0(a)
sin А
_0_(b) = 0(c)
sin В sin С
(VI.)
где О(х) = 2кр - ctg Щх) — длина окружности радиуса х1). Таким
образом, теорема синусов в геометрии Лобачевского может быть
выражена так: отношение длины окружности радиуса, равного стороне
треугольника, к синусу противолежащего угла -г- постоянная
величина,
В такой форме теорема синусов носит уже абсолютный характер:
она приложима и к треугольникам в геометрии Евклида.
Действительно, полагая в (VIj)O \х) = 2ъху получаем теорему синусов
евклидовой геометрии:
а b с
sin A sin В sin С'
Стало быть, формула (VIj), будучи справедливой как в геометрии
Евклида, так и в геометрии Лобачевского, не зависит от аксиомы
о параллельных линиях.
Под абсолютной тригонометрией и понимается совокупность
таких формул, выражающих связь между метрическими элементами
треугольника, которые справедливы независимо от аксиомы о
параллельных линиях. Следовательно, формула (VIj), указанная впервые
Иоанном Больяи,—формула абсолютной тригонометрии. Для
прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С она дает
О (а) = О (с) • sin Д О (Ь) = О (с)-sin В
или
Sln Л — Ojcy Sln b — О (с)
(vg
(VI2')
Отсюда следует интересный вывод: синус угла А допускает
определение, не зависимое от аксиомы V: это — отношение длины
0(a) окружности радиуса а, равного противолежащему катету
а = ВС, к длине 0(c) окружности радиуса с, равного гипотенузе
с = АВ.
1) См коней § 1.

230
Глава V. Тригонометрия Лобачевского
Что же касается всех остальных тригонометрических функций,
то они выражаются известным образом через синус. Вследствие
этого, все выведенные выше формулы геометрии Лобачевского имеют
содержание, не зависящее от аксиомы V (в этом их можно
заподозрить из-за того, что они были получены апелляцией к
евклидовой геометрии на орисфере, где синус определяется как
отношение противолежащего катета к гипотенузе,).
В геометрии Евклида острые углы А и В прямоугольного
треугольника ABC связаны равенствами
cos A = sin /?, cos В = sin A.
В геометрии же Лобачевского они
связаны равенствами (П8), (П9), или
равенствами
cos Л = r(a)-sin В,
cos В — r(£)-sin Л,
(VV
где Т (х) — так называемая функция
Тилли:
Т(х) = . |г / v.
v ' sin II (а-)
Эта функция имеет простое геометрическое значение: Т(х) равна
пределу отношения верхнего основания ММ' четырехугольника Сак-
кери МРР'М' к нижнему РР\ когда последнее стягивается в точку,
если при этом боковая сторона РМ все время остается равной х
<черт. 127):
.. ММ' _,, ч ,v
lim -р-р, = Т(х) l).
р—+р ^^
Функцию Тилли можно определить и как отношение
дуги s = ММ' эквидистантной линии к ее проекции s0 = РР' на
базу РР', если определить 5 как предел вписанной ломаной, длина
наибольшего звена которой стремится к нулю.
В геометрии Евклида четырехугольник Саккери — прямоугольник,
в котором противоположные стороны равны; поэтому мы можем
считать, что функция Тилли в евклидовой геометрии равна 1,
и формулы (VI3) принимают вид:
cos A = sin В, cos B = sin A.
Таким образом, формулы (VI3) вслед за формулами (Vl2)
выражают также формулы абсолютной тригонометрии прямоугольного
треугольника.
Формула (И5) с помощью функции Тилли принимает вид:
Т(с)=Т(а).Т(Ь).
(VIJ
1) Доказательства этого мы не приводим.

. § 7. Тригонометрия центральной связки
231
Формулы (VI2), (VI3), (VI4) представляют собою 5 основных формул
абсолютной тригонометрии прямоугольного треугольника. Все другие
формулы абсолютной тригонометрии могут быть получены из них !).
Например, исключая из них углы Л, В, получим формулу:
[О (a)Y • [ Г (а) + Г (ft) • Г (с)] + [О (ft)]2 • [ Г (ft) +
+ Т(а) • Т(с)] = [0 (*)]* • [T(c)-j-T(a) . Г (ft)],
аналогичную теореме Пифагора в евклидовой геометрии.
Заметим, наконец, что все эти формулы приложимы также
и к сферическому прямоугольному треугольнику.
Действительно, полагая в них
О (л:) = 2тгг • sin — , Т (х) = cos —,
где г — радиус сферы, мы получим известные в сферической
тригонометрии формулы прямоугольного треугольника:
а с . я b с . п
cos — =cos sin A cos — =cos— • sin By
r r ' r r
coSi4=cos sin B. cos£=cos—• sin Л,
с a b
cos — = cos — • cos — .
r r r
При этом О (х) и Т(х) имеют такой же самый геометрический
смысл: О (х)—длина лежащей на сфере окружности криволинейного
радиуса х, а Т(х)-^- отношение дуги эквидистантной окружности,
отстоящей по большим кругам от окружности большего круга на
расстоянии Ху к соответствующей ей дуге большого круга.
Формулы абсолютной тригонометрии показывают, что
тригонометрии на плоскости Евклида, на плоскости Лобачевского и на
сфере являются, в некотором смысле, родственными друг другу.
Это станет еще яснее, если мы несколько подробнее рассмотрим
геометрию на сфере.
Этому посвящен следующий параграф.
§ 7. Тригонометрия центральной связки. Взаимоотношение
тригонометрии Лобачевского со сферической.
С каждым трехгранным углом, как тройкой лучей ОД ОВу ОС,
выходящих из произвольной точки О в пространстве, можно связать
шесть углов: трл плоских угла а = /_ ВОСу |$ = Z. СОАу ч — Z. АО В
1) Между прочим, формулы абсолютной тригонометрии были известны и
Гауссу. См. „Gauss Werke", VIII Band, 1900, S. 255—265.

232
Глава V. Тригонометрия Лобачевского
и три двугранных угла: /_А, /_В, £С, образованных соответственн
парами полуплоскостей (ОАВ, ОАС), (ОВА, ОВС), (ОСА, ОСВ
Описывая из точки О, как из центра, сферу некоторого радиуса
мы в сечении получаем сферический треугольник ABC. Его стор<
нами служат дуги АВ, ВС, С.
окружностей больших кругов, з;
ключенные внутри углов a, р,
(черт. 128). Так как касател,
ная к окружности перпендик;
лярна радиусу в любой точк
то стороны линейных углов а
В, С с вершинами в вершин;
треугольника служат касательш
ми к сторонам треугольник
S зависимости от тбГб, в ШС<Ж "
пространстве производится
построение, стороны сферического
треугольника связаны с соответ-
Черт.
ствующими им центральными углами равенствами:
а = га, b = r$, с = г*{ — в геометрии Евклида
и
а = р • ctg П (г) • a, b = р • ctg П (г) . (5, с = р • ctg II (г) • у —
в геометрии Лобачевского.
Мы утверждаем, что тригонометрия трехгранного угла не
зависит от аксиомы о параллельных линиях, т. е.. каждое предложение,
относящееся к трехгранному углу в пространстве Евклида, будет
справедливо также и в пространстве Лобачевского.
Докажем это с помощью сопоставления формул, возникающих
в предположениях допустимости то аксиомы V, то аксиомы V'.
Установим это сначала для прямого трехгранного угла.
Итак, пусть С = -у- • Из произвольной точки В луча ОБ опустим
на ОС перпендикуляр BD, а на О А — перпендикуляр BE. Так как
угол С прямой, то D есть проекция В на плоскость О АС и,
следовательно, BD _LDE, а по теореме о трех перпендикулярах, DE J_ OE.
В случае евклидового пространства мы будем иметь:
cos 7
sin a
OE OE OD А
ОБ
DB
ОБ
OD ОБ'
ОБ £В
ЕВ' ОБ'
: sin A • sin 7-
(о
(2)
Меняя в последней формуле а на р, А на В, получаем третью
формулу: *
sin Р = sin В • sin 7. (3)

§ 7. Тригонометрия центральной связки
233
В случае пространства Лобачевского, из рассмотрения той же
самой фигуры мы получаем:
cos П (ОЕ) cosU (ОЕ) cosU(OD) А ,_,.
cost — —п /^вч-г и ,^г>\' -^~ггтттот = cos p-cosa, (1 )
1 cos П (OB) cos 11 (OD) cos П (OB) r ' v '
cin a Ctg П (DB)- Ctg П iDB) Ctg П (EB) - cin Л cin г (Г)
Sin a - ctg П (OB) — ctg П (EB) ctg П (OB) — Sin Л Sln ?* ^ '
(3')
ctgll(0£)~~ ctgU(EB) ctg П (OB)
Меняя a на |3, А на В, имеем формулу:
sin (5 = sin В • sin 7.
Итак формулы (1), (2), (3) прямого трехгранного угла не
зависят от аксиомы о параллельных линиях. Они дают возможность по
любым двум элементам из пяти определить все остальные. Их можно
рассматривать как основную группу формул прямого трехгранного
угла. На практике могут оказаться полезными еще 7 формул,
вытекающих из наших трех путем сочетаний; мы .выпишем эти
формулы вместе с основными в следующем порядке:
tga =
= tgT-cos By
*g|b
= tg7-COSi4,
tga:
= sin Ji-tg Л,
| tgf P
= sin a-tg£,
cos 7
= cos a-cos (5,
(VII.)
(VII2)
(VII,)
(VII*)
(VH,)
cos
T =
= ctg^-
ctg
B>
cos
A
= cos a
•sin
B,
COS
В
= cos (5
•sin
A,
sin a
= sin 7-
sin
A,
sin
P
= sin 7-
sin
B.
(VII.)
(VII,)
(VII,)
(VII,)
(VH10)
Опираясь на эти формулы прямого трехгранного угла, мы можем
тем же приемом, что и в геометрии Лобачевского (§ 5), получить
следующие формулы для произвольного трехгранного угла:
(VHi_.)
(VHI4-6)1)
Итак, формулы (VIII) — формулы абсолютной тригонометрии трех
гранного угла.
Полагая в формулах (VIIj.^) и (VIIl,_6)a=-£-, Р = — Л = 7 »
мы получаем следующие формулы прямоугольного и косоугольного
треугольников сферы радиуса г в евклидовом пространстве:
cos a = cos (5- cos 7 -f- sin P • sin 7 • cos Л,
cos A + cos В • cos С
cos a = г-2-^—:—T. A
sin В • sin L
l) Каждая из этих двух формул считается за три (путем круговой замены
букв Л, В% С и а, р, 7).

234
Глава V. Тригонометрия Лобачевского
а j. с о
(VU'O
. £ .с
sin — = sin —
sin В.
а Ь
cos — = cos —
г г
с , . b
COS г- Sin —
sin
cos Л,
a cos Л + cos В • cos С,
cos — = —. -D— . ~ -
r sm В • sin С
(VH'l0)
(VIII',_8)
(VIH'4_.)
Сопоставим теперь эти формулы с тригонометрическими
формулами (H'i_io)> (Vi-e) прямоугольного и косоугольного треугольников
геометрии Лобачевского. Как известно, тригонометрические функции
аргумента z выражаются через гиперболические с помощью равенств:
sin z = — sh (iz\ cos z = ch (iz), tg z = — th (iz),
x
откуда при 2: = —г имеем:
X \ , X X , X , X 1 ,. *
% sin —г = — sh — , cos — = ch — , tg — = — th — .
Полагая в формулах (VH'j.^) и (VIiriH.) радиус г мнимым: г= pi,
(/= yf— 1), и учитывая связь тригонометрических функций с
гиперболическими, мы из каждой формулы (VII'), (VIII') сферической
тригонометрии получаем соответствующую формулу треугольника
в плоскости Лобачевского. Таким образом, тригонометрические
формулы Лобачевского вытекают из тригонометрических формул
сферическое геометрии, если в них радиус г заменить на pi.
Геометрия сферы, в которой роль основных объектов исполняют
точки и окружности больших кругов, может быть рассматриваема
как интерпретация геометрии центральной связки. Дело в том,
что между точками сферы и лучами связки с центром в центре
сферы, с одной стороны, и между окружностями больших кругов
и плоскостями связки, с другой, устанавливается взаимнооднозначное
соответствие. Так, отрезку большого круга отвечает центральный
угол, треугольнику (соответственно многоугольнику) —
трехгранный угол (соответственно многогранный угол) и т. п. Каждое
понятие и предложение сферической геометрии, в котором участвуют
точки, большие круги, отрезки, треугольники и т. п., сохраняют
силу и для соответствующих им образов в связке и наоборот.
Поскольку геометрия связки оказывается абсолютной, то и
сферическая геометрия — абсолютная геометрия; она не зависит от
аксиомы о параллельных линиях. Другими словами, геометрия на

§ 7. Тригонометрия центральной связка 235
сфере в пространстве Лобачевского точно такая же, как и
геометрия на сфере в пространстве Евклида.
В целях дальнейшего заметим, что известная из аналитической
геометрии евклидового пространства формула
cos2 a -[- cos2 p -f- cos2 7 = 1»
связывающая направляющие косинусы углов а, (}, 7 луча ОМ с лучами
тройки взаимно перпендикулярных лучей ОА, ОВ, ОС, носит тоже
абсолютный характер и будет справедлива также и в центральной
связке в пространстве Лобачевского. Точно так же абсолютный
характер носит и формула
cos 9 = cos a • cos а' -f- cos (5 • cos (5' -f- cos -у • cos 7',
выражающая косинус угла 9 между лучами ОМ, ОМ' через их
направляющие косинусы.
Понятие об эллиптической геометрии.
В известном смысле геометрия Евклида характеризуется аксиомой
Евклида в форме Плейфера: через точку С, лежащую вне прямой АВ,
в плоскости ABC, проходит только одна прямая, не пересекающая АВ,
а геометрия Лобачевского — аксиомой: через точку С проходят по крайней
мере две прямые, не пересекающие АВ. В связи с этим может возникнуть
вопрос — не существует ли геометрии, характеризующейся т р е т ь е й
априорной возможностью поведения прямых в плоскости, когда через точку С,
не лежащую на прямой АВ, в этой плоскости нельзя провести ни одной
прямой, не пересекающей АВ, т. е. когда любые прямые плоскости всегда
пересекаются. Вспоминая поведение „прямых" сферы — окружностей
больших кругов, — мы замечаем, что от воображаемого случая это поведение
отличается тем, что каждая пара „прямых" сферы всегда пересекается не
только в одной точке, как мы того желаем, а в двух. Это расхождение
можно ликвидировать, если условиться каждую пару диаметрально
противоположных точек сферы рассматривать как одну;тогда каждая пара „прямых*
будет всегда пересекаться и притом только в одной точке.
Элементарная геометрия, в которой любая пара прямых всегда
пересекается (и притом в одной точке), была рассмотрена Риманом в его
знаменитой работе „О гипотезах, лежащих в основании геометрии*1).
Впоследствии эта геометрия была подвергнута детальному изучению, в частности
Клейном, который предложил называть ее эллиптической геометрией Ри-
мана, иногда ее называют также геометрией Римана в узком смысле.
Заметим, что аксиома Римана о пересечении любой пары прямых
плоскости связана с новым порядком точек, отличным от порядка точек
в абсолютной геометрии. Действительно, если каждая прямая пучка с
центром в точке С всегда пересекает данную прямую АВ, не проходящую через
точку С, то (в силу устанавливаемой таким образом взаимной однозначности
прямых пучка с точками прямой АВ) порядок точек прямой АВ будет
таков же, как порядок прямых в пучке. В качестве основного понятия,
заменяющего понятие „между*4, связанного с тремя точками, здесь
принимается понятие разделения двух пар точек прямой. Понятно, что в этой
геометрии аксиомы порядка будут отличаться от аксиом порядка
абсолютной геометрии.
1) См. сборник „Об основаниях геометрии", Казань, 1893.

236 Глава V. Тригонометрия Лобачевского
В силу замкнутости прямой аксиома непрерывности и аксиомы движения
(или конгруентности) имеют тоже иной вид.
Как было уже сказано, сферическая геометрия является прототипом
эллиптической геометрии Римана. Вопрос об их взаимоотношении был изучен
Клейном.
Желающих познакомиться с аксиоматическим обоснованием и
построением эллиптической системы Римана мы отошлем к книге С. А. Богомолова
„Введение в неевклидову геометрию Римана" (ОНТИ, 1934).
§ 8. Геометрия Лобачевского в малом.
В § 4 мы видели, что радиус кривизны р пространства
Лобачевского определяется выбором единичного отрезка. Когда единичный
отрезок неограниченно уменьшается, р неограниченно растет, и
наоборот.
Допустим, что мы имеем дело с достаточно малой областью 2)
плоскости Лобачевского, диаметр d которой !) сравнительно мал
с радиусом кривизны р так, что в наших вычислениях мы можем
отбрасывать члены порядка ( —1 при &^>2, сохраняя лишь члены
( d\k
порядка! — ] при k^2.
В этом предположении справедлива следующая теорема.
Теорема. В достаточно малой области геометрия
Лобачевского неотличима от геометрии Евклида.
Для доказательства этой теоремы, очевидно, достаточно показать»
что в достаточно малой области сумма углов треугольника (при
сделанном соглашении о точности вычислений) равна к. Чтобы это
сделать, напишем разложения в ряды гиперболических функций
sh — = — -f- отЦ- + * * *' ch — = 1 + ^Ц- А
р р ' 3! р3 ' р ' 2! р2 '
Отсюда следует, что при x<^d мы можем принять:
sh — = — , ch — = l-fsT.
Р р р ' 2р-
Полагая в формулах (1Г,) и (Н\2) на стр. 223 для прямоугольного
треугольника области 2)
, а, а , b b , с с
sh — >= — sh — = — , sh — = — ,
Р р, Р Р Р р
мы получим (по сокращении на р) равенства:
а = с • sini4, b = с • sin£,
известные в геометрии Евклида.
1) 1. е. верхняя грань расстояния между двумя любыми точками этой
области

§ 8. Геометрия Лобачевского в малой
237
Отсюда еще нельзя сделать заключения о сумме углов прямо-'
угольного треугольника ABC. Для этой цели привлечем на помощь
формулу (1ГВ), связывающую катеты а и b с гипотенузой с. Полагая
в ней
ch — = 1 4- т^г-, сп — = 1 + ~-г , сп —
р ' 2р- р ' 2р- р
1+5?
и учитывая наше соглашение, получаем теорему Пифагора:
а* + Ь* = с\
Подставляя сюда выражения катетов через гипотенузу и сокращая
на с2, будем иметь:
sin2 Л-f sin2 £ = 1.
Учитывая, что сумма углов треугольника не может быть больше я,
приходим к равенству:
Отюда следует, что сумма углов прямоугольного треугольника
равна тт. В таком случае она будет равна тс и во всяком
треугольнике, лежащем в достаточно малой области, и мы будем иметь
геометрию Евклида.
Между прочим для достаточно малой области из формул (V)
и (Vj) (стр. 226) вытекают соответственно теорема синусов и теорема
косинусов:
а __Ь_ с
sin A sin В sin С '
а* = Ь* + с* — 26с cos Л.
Предположим, что в нашем реальном
пространстве осуществляется геометрия
Лобачевского. Подсчитаем, какова должна бьггь
величина радиуса кривизны пространства, чтобы
геометрия Лобачевского согласовалась с
данными астрономического опыта'). К числу этих
данных мы относим величины наибольших
годовых параллаксов звезд (наибольший угол,
под которым из данной звезды виден диаметр
земной орбиты). Заметим, что об абсолютной
точности вычисленных параллаксов (если бы
даже евклидова геометрия и была абсолютно истинной геометрией
мироздания) в силу неизбежной погрешности и наблюдений не может
быть и речи.
Итак, мы ставим вопрос о величине радиуса кривизны р простран-
Черт. 129.
1) Опирающегося на гипотезу Евклида.

238
Глава V. Тригонометрия Лобачевского
ства Лобачевского, требуя, чтобы в пределах известного нам
астрономического опыта величины годичных параллаксов звезд, вычисленные
с помощью геометрии Лобачевского,- совпадали с известными нам
параллаксами, вычисленными при помощи геометрии Евклида.
Пусть d — диаметр АВ земной орбиты, а 5 — неподвижная звезда,
выбранная так, чтобы угол BAS был прямым; для этого нужно во
время прохождения земли по орбите фиксировать положение звезды
5, чтобы £BAS = j (черт. 129).
Проводя из точки В луч В В' \\ АС, имеем:
П (d) > Z ABS.
тс
Поскольку (в силу допущения) /_ ABS -f- /, ASB = -_-, то
П (tf)>|-ZAS£.
Так как, далее, угол ASB меньше наибольшего годового
параллакса звезды S, который мы обозначим через 2р, то
П(«о>£-2/>.
1 ---
Вспоминая, что ctg -к- П (d) =e t , находим:
или
d
Итак,
<2tg^(l+tgV+tg4p + ...) = r^ = tg2^
ч1п, 4
P ^ 1 — tgp
или
7<tg2/>
Астрономические наблюдения дают для самых близких звезд
параллаксы 2/?<^1". Поэтому
P>t~pr-rf>200000rf.
Итак, ответ на поставленный вопрос таков: радиус р должен
йать больше диаметра земной орбиты более чем в 200 000 раз.
*) Эти рассуждения взяты из сочинения Лобачевского .О началах
геометрии", 1829.

§ 8. Геометрия Лобачевского в малом 239
Это показывает, что доступные нам расстояния чрезвычайно малы
по сравнению с радиусом кривизны р.
Между прочим, нетрудно показать, что сумма углов такого
большого треугольника, как прямоугольный равнобедренный с
катетом, равным диаметру земной орбиты, недостает до двух прямых
на величину 8 <^ 0,000003 • 1", практически неощутимую.
Все сказанное показывает нам, что не только в малых областях,
но и в таких больших (с нашей точки зрения), как области видимых
звезд, мы с равным практическим успехом вместо евклидовой
геометрии можем пользоваться геометрией Лобачевского: для этого
нужно только выбрать соответствующий радиус р. Поэтому с
практической точки зрения обе геометрии одинаково истинны. Евклидова
геометрия в данном отношении выделяется только тем преимуществом,
что она проще по своей вычислительной технике.
Допустим теперь формально, что радиус р пространства
Лобачевского стремится к бесконечности: р—► оо, а единичный отрезок
остается фиксированным1).
Что происходит при этом с геометрией Лобачевского? Ответ на
этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Когда радиус кривизны р пространства Лобачевского
неограниченно возрастает, геометрия Лобачевского вырождается
в геометрию Евклида.
Проще всего к этому можно прийти, отправляясь от основного
уравнения Лобачевского:
ctgr-^n(x) = e7. (IV)
Оно показывает, что когда радиус кривизны р стремится к
бесконечности, угол параллельности П (л:) при любом фиксированном
(конечном) значении х стремится к постоянному значению -у . Это
означает, что в пределе через точку вне прямой будет проходить
только одна прямая, не пересекающаяся с данной, т. е. мы будем
иметь предложение Плейфера, а значит и геометрию Евклида.
Путем перехода к пределу при р — оо из формулы (Цв) получается
георема Пифагора, а из (V) и (VJ — теоремы синусов и косинусов.
У читателя естественно может возникнуть вопрос: какова практическая
ценность геометрии Лобачевского — не осуществляется ли она в тех
пределах мироздания, которые видимы всовременные телескопы? На этот
1) Эти два допущения явно противоречивы, поскольку, как мы видели
в § 1 настоящей главы, р —оо только в случае неограниченного умаления
единичного отрезка; поэтому наша теорема имеет лишь формально
алгебраический смысл. Другое дело, если геометрия Лобачевского рассматривается
как геометрия поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны
К = j- ; тогда изменение р можно не связывать с изменением единицы
масштаба всего (трехмерного объемлющего) пространства.

240
Глава V. Тригонометрия Лобачевского
вопрос современная космология — учение о происхождении и современном
состоянии мироздания — отвечает отрицательно.
Оставляя в стороне историю вопроса, укажем, что и в наши дни он
находится в начальной стадии развития. Ясно, что вне данных
астрономического опыта вопрос об устройстве вселенной не может быть решен Хотя
в наше время эти данные неизмеримо ценнее по сравнению с теми,
которыми обладали до Гершеля (первая половина ХГХ века), но и их недостаточно,
чтобы ответить на поставленный вопрос. Наша галактика — Млечный путь,
к которому принадлежит и наше Солнце, — лишь одно из огромного
множества таких образований. В настоящее время число галактик, доступных
нашему наблюдению, достигает 108. Полагать, что их число ограничено, у
нас нет никаких оснований, поскольку наиболее мощный телескоп —
стодюймовый рефлектор на горе Mount — Wilson — охватывает, правда, огромное
расстояние в 3 • 108 световых годов, но все же не проникает дальше.
Под влиянием идей, исходящих из теории относительности, вопрос о
геометрической структуре мира должен находиться в тесной связи с
распределением плотности материи и законом тяготения. Оказывается, что
гипотеза о евклидовости мира находится в противоречии с допущениями,
что плотность материи в различных участках вселенной имеет
произвольное распределение, и что закон тяготения Ньютона имеет всеобщее
значение. Только в случае, когда средняя плотность материи вселенной ничтожно
мала так, что ее можно считать равной нулю, пространство может быть
евклидовым. Если же плотность считать отличной от нуля (что более
правдоподобно), то геометрия мира будет уже неевклидовой. Эйнштейн
склоняется к тому, что геометрия мироздания эллиптическая. Таковы выводы,
к которым приходит Эйнштейн и некоторые ученые *). Однако эти выводы
не обшепризнаны — существуют серьезные возражения.
Трудность решения поставленного вопроса состоит в бедности сведений
о состоянии космоса, о происходящих в нем движениях, о силах,
действующих в нем, о распределении масс, содержащихся в галактиках, о темной
материи и др.
*) См. Эйнштейн. Геометрия и опыт.
Список важнейших работ, посвященных приложениям неевклидовой
геометрии к механике, физике и космологии можно найти в книге
В. Ф. Каган, Лобачевский. Издательство АН СССР, М —Л., 1944,
стр. 343.

Глава VI.
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО.
§ 1. Полнота аксиоматики геометрии Лобачевского.
В соответствии с определением понятия полноты *), нам
необходимо показать, что любые две интерпретации /, и 72 аксиоматики
Лобачевского (I — V) изоморфны, т. е. показать, что основные
одноименные объекты (точка, прямая, плоскость) интерпретаций Iv 1г
могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие так,
что любым объектам, связанным каким-либо из основных отношений
(инцидентность, между, движение) в интерпретации 7, соответствуют
объекты, связанные тем же самым отношением в интерпретации /2.
Наша цель будет достигнута, если мы покажем это в отношении
произвольной интерпретации системы аксиом Лобачевского 7, и
интерпретации 7о Бельтрами-Клейна, рассмотренной в главе IV, § 2 (стр. 166),
потому что изоморфность—свойство транзитивное.
Прежде всего заметим, что все предложения, выведенные нами
выше как следствия аксиом lt_w II,„4, III1_10, IV, V, начиная с
теории параллельных и кончая тригонометрическими уравнениями
треугольника, будут справедливы в любой интерпретации этой
аксиоматики. Вопрос, как и при рассмотрении полноты аксиоматики
евклидовой геометрии, заключается в том, будет ли какое-нибудь
предложение, выведенное в какой-нибудь интерпретации (не без
использования специфической' природы этой интерпретации, например,
евклидовой — в случае интерпретации Бельтрами-Клейна),
обязательным для каждой другой интерпретации? Иными словами, полнота
означает независимость следствий, вытекающих из аксиоматики, от
характера области интерпретации.
Доказательство полноты аксиоматики геометрии Лобачевского
может быть проведено аналогично доказательству полноты
аксиоматики двумерной геометрии Евклида. Как и там, мы введем систему
особых, так называемых координат Бельтрами и с помощью ее
установим изоморфизм с интерпретацией Бельтрами-Клейна.
1) См. стр. 139.

242 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
Декартовы и бельтрамиевы координаты.
Возьмем в пространстве Лобачевского какую-нибудь тройку
попарно перпендикулярных лучей 0£, Otq, ОС с общей вершиной О
(чо£т. 130). Принимая их за положительные полуоси, мы установим
декартовы координаты на каждой из прямых 0$, 0% ОС так, что,
например, между точками Р
прямой OJ и действительными
числами будет установлено
взаимно однозначное
соответствие, причем £ равна длине
отрезка ОР со знаком „-f-*
или „—а, в зависимости от
того, лежит ли точка Р на
положительной полуоси Oir
или на отрицательной.
Аналогично определяются
числа тг) и С для точек Q и /?„
лежащих на прямых Ог\ и ОС
Опуская теперь из произвольной точки М на координатные
прямые 0£, От], ОС перпендикуляры МР> MQ и MR, мы отнесем точке М
три числа £, тг], -С — ее декартовы координаты.
Между прочим, точки Р9 Q, 7? служат одновременно точками
пересечения координатных прямых с плоскостями, проходящими через
точку М перпендикулярно к этим прямым. Координатные плоскости
Юу\у tqOC, COS разбивают все точки пространства на 8 частей —
октантов, соответствующих тройкам лучей (05, Otq, ОС), (05, Оч\, ОС),
(Ol Or), ОС) и т. д.
Знаки этих чисел — декартовых координат точек пространства
Лобачевского—"в этих октантах распределяются следующим образом:
Черт
Декартовы
координаты
5
Ч
С
1
+
+
+
11
+
—
+
III
-
ч —
+
IV
—
+
+
V
+
+
—
VI VII
+
—
VIII
+
Бельтрамиевы
координаты
X
У
z
Координатами Бельтрами (иначе — бельтрамиевыми
координатами) точки называются числа х, у, z> которые связаны с
декартовыми координатами £, % С той же точки равенствами:
или равенствами:
х = cos П (S), у = cos П (1)), z = cos П (С),
(1)
(П

§ L Полнота аксиоматика геометрии Лобачевского 243
-если понятие функции Лобачевского П (h) распространить и на
отрицательные значения А, полагая по определению:
П ( — Л) = 71 — П [h).
Поскольку функция th — меняется монотонно от—1 до -f- 1,
когда Е меняется от — оо до -\- со, то для точек пространства
координата х меняется в интервале (—1, -f- 1), никогда не достигая
граничных значений ±1 (в пространстве нет бесконечно удаленных
точек).
Точно так же и координаты у и z меняются в этих пределах.
Знаки бельтрамиевых координат по октантам распределяются
таким же образом, как и знаки декартовых координат. Так как
гиперболический тангенс — функция монотонная, то каждой тройке бель-
трамиев_ых координат а', у, z отвечает единственная тройка
декартовых координат £, yj, С
В отличие от пространства Евклида, здесь в пространстве
Лобачевского не каждой тройку декартовых координат £, yj, С. отвечает
точка. Это объясняется тем, что не каждая тройка плоскостей,
перпендикулярных к координатным прямым, имеет общую точку
пересечения.
Действительно, если, например, П (|£|) -)-П (|yj|) =-9-, то, как
нетрудно видеть, плоскости, перпендикулярные к прямым ОЕ и Ог\ в
точках Р (£, 0, 0), Q (0, y), 0), параллельны, а если П (|5|) -f П (|y)|) <-|,
то они расходятся. Числа £, yj, С будут служить декартовыми
координатами одной точки только тогда, когда
П(|«|) + П (|т)|) >|, П (|Ч|) + II (|С|) >|, П (|С|) + П (|||) >|.
Мы можем получить интересующее нас условие и в виде одного
неравенства.
Пусть а, р, у — углы, образуемые лучом ОМ с положительными
полуосями Оё, Oyj, ОС (черт. 130). Тогда, независимо от положения
точки М в пространстве, справедливы равенства:
cos П (£) = cos П (г) • cos a, cos П (yj) == cos П (г) • cos (5,
cos П (С) = cos П (г) • cos у, т (2)
где г — длина отрезка ОМ.
В самом деле, из прямоугольного треугольника ОМР имеем
cos П (OP) = cos П (ОМ) • cos ^ МОР. Замечая, что при а <|-,
£ МОР=% OP=Z, a при <t>j, L МОР=ъ — а, ОР= — J,
получаем первую формулу (2). Аналогично доказываются и другие.
В предыдущей главе (§ 7, стр. 234) мы отмечали, что метрика
углов в центральной связке не зависит от аксиомы параллельных;

244 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
поэтому известные нам из аналитической геометрии евклидового
пространства формулы для углов центральной связки будут
справедливы и для центральной связки в пространстве Лобачевского.
В частности, направляющие косинусы луча ОМ будут всегда
удовлетворять равенству
cos2a -|- cos2(5 -|- cos'2? = 1.
(3)
Вследствие этого равенства (2) дают формулу:
cos*II (&) + cos*II < yj) + cos2n (С) = cos2II (г), (4)
позволяющую вычислять расстояние г = ОМ точки М от. начала О
через ее координаты. Из нее и следует искомое условие: чтобы три
числа £, yj и С могли служить декартовыми координатами, они должны
удовлетворять неравенству
cos2n (£) + соэШ (y|)-f cos2n (C)< 1, (5)
так как cos2II (r) для любой точки пространства меньше единицы.
В бельтрамиевых координатах это неравенство принимает более
простую форму:
*а+У+ *"<!• (6)
Если рассматривать числа х, у> z как декартовы координаты
точки М в евклидовом пространстве, отнесенном к некоторой
прямоугольной системе координат, то мы приходим к выводу, что
формулы (1) или (1') устанавливают взаимно однозначное
соответствие точек М пространства Лобачевского с точками М'
внутренней области сферы 2 единичного радиуса евклидового пространства.
Будем называть эту сферу абсолютной сферой или просто
абсолютом.
Покажем, что из этого точечного соответствия следует взаимно
однозначное соответствие прямых и плоскостей пространства
Лобачевского с хордами и круговыми сечениями сферы £ и что при этом
сохраняются все основные отношения между ними — „инцидентности",
„между" и „движению" Лобачевского отвечают „инцидентность",
„между" и автоморфная коллинеация и наоборот. Ины'ми словами,
установим, что рассматриваемое точечное множество внутри абсолюта есть не
что иное/ как интерпретация Бельтрами-Клейна.
Уравнение плоскости.
Пусть X — какая-нибудь плоскость (черт. 131). Опустим на нее
из начала координат перпендикуляр ОР. Пусть р—длина этого
перпендикуляра, а а, (5, у — углы, образованные лучом ОР с полуосями
ОЕ, Oy|, ОС
Мы утверждаем, что декартовы координаты произвольной точки М
плоскости X удовлетворяют уравнению

§ 1. Полнота аксиоматики геометрии Лобачевского 245
cos П (£) • cos a -h cos П (г\) • cos ji -f- cos П (С) • cos 7 = cos П (/?). (7)
По формуле абсолютной геометрии для угла 9 между лучами ОР
и ОМ в центральной связке мы имеем:
cos 9 = cos a • cos а' -(- cos (5 • cos ji' ~\~ cos 7 • cos 7'. (8)
Полагая здесь на основании формул (2) ,
cos П (О
cos a =
cos ji' =
cos 7 =
cos II (г) '
cos П (у\)
CuS 1J (/*) *
cos П (С)
cos П (г)'
Черт. 131.
(7')
где г==ОуИ, и учитывая, что
cos П (р) = cos П (г) • cos 9,
получаем формулу (7). Наоборот,
если координаты точки М (£, т), С)
удовлетворяют (7), то она лежит
в плоскости X, определяющейся
так называемыми „нормальными
параметрами" a, |5, 7» Р-
Уравнение (7) в координатах Бельтрами принимает вид
х • cos a -f- у • cos ji -J- г • cos 7 = cos П (/?),
где а, р, 7 удовлетворяют равенству (3) а ху j/, z — неравенству (6).
В пространстве Евклида уравнение (7') при условии (6) изображает
круг, как сечение абсолюта xl -f- у'2 -f- z* = 1 с плоскостью (7),
отстоящей от начала на расстоянии, равном cosП (/?)<[ 1.
Наоборот, каждому такому кругу евклидового пространства в
пространстве Лобачевского отвечает плоскость. Действительно, круг X'
в евклидовом пространстве, как сечение плоскости с абсолютом,
задается уравнениями:
1) Ax + By + Cz + D = Ot \ (q.
2) *а + у+г* —1=0. / ^
Чтобы это сечение было действительным, необходимо, чтобы
плоскость отстояла от начала координат на расстоянии d<^\. Умножая
уравнение (9Х) на нормирующий множитель N = ± (A2 -f- В* ~{-С2) 2
(знак N противоюложен знаку свободного члена D), мы приведем
его к так называемому нормальному виду:
х • cos а' -\-у • cos ji' -\-z • cos 7' —d = 0, (10)
где
соза= AN, cosp' = 5A/, cosy'=C7V, d = DN>0 (11)
Если d = DN <^1, т. е. в случаях, когда А* -\- В* -\-С* <^D*, мы,
определяя р из уравнения
cosn (p) = d, (12)

246 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
придадим уравнению (10) вид (7'). Так как при этом х*-{-у*-\-z2 <^ *»
то оно в пространстве Лобачевского определяет плоскость.
Итак, при А2-|-Z?2 + С2 <С D2 кругу (9) абсолюта £ отвечает
в пространстве Лобачевского плоскость (7). Будем круг абсолюта и
плоскость пространства Лобачевского считать соответствующими,
если для них
i = a', (3 = (5\ т = т\ созП (p) = d. (13)
Так как cos П (р) = th — — функция монотонная, то каждому d отве-'
чает только одно (действительное) значение /?. Поскольку при этом
уравнения (7) и (10) (или 9) становятся тождественными, то
точке М {ху у), лежащей на плоскости X, отвечает точка М' (х\ у'),
лежащая на круге (9у (при A2 -j- #2 + С2 <С £)2)> и наоборот.
Очевидно, что установленные нами здесь соответствия точек и
плоскостей сохраняют отношение инцидентности точки с плоскостью:
точке My лежащей на плоскости X в .пространстве Лобачевского,
отвечает точка М\ лежащая на круге X. внутренней области
абсолюта V,
Уравнение прямой.
По аксиоме 18 каждая прямая / инцидентна по крайней мере двум
точкам: М1(хи уи zx) и Л42 (лг2, Уъ zz)- Мы утверждаем, что бель-
трамиевы координаты произвольной точки М этой прямой
удовлетворяют отношениям:
I — т — п ' KiV
где
/ : т : п = (х<2 — х1) : (у^—ух) : (г2 —?i)-
Опустим на прямую / из начала координат О перпендикуляр О Р.
Как установлено выше, уравнение плоскости X, перпендикулярной к
ОР в точке Р, имеет вид (7), где р — длина ОР, а а, р, у—углы
луча ОР с положительными полуосями. Так как прямая /
перпендикулярна к нормали РО к плоскости X и имеет с ней общую точку Р,
то и любая точка прямой / лежит на плоскости, и мы имеем:
(15)
Вычитая из первого и третьего равенств второе, получим:
(* —хх) cos a + СУ —У\) cosp-f(2 — zx) cos 7 = 0, j _
(х2 — лгО cos a-|-(Л — ух) cosj5-}-(22 — zx) cos 7 = 0. / l '
Возьмем теперь плоскость ja, проходящую через начало О и прямую /:
ее уравнение имеет вид:
х • cos a' -\-у • cos (5' -\-z- cosy' = 0, (17)
х . cos а-{-.У .•
хг • cosa-j-j^i ■
xq . cosa-\-y<t
cos p -f- z • cos y = cos П (p\
• cos ^-\-zx • cos y = cos П (/7),
• cos P + ^2 * cos T = cos П (/?)•

§ 1. Полнота аксиоматики геометрии Лобачевского 247
где а', Р', y' — углы луча OP', перпендикулярного к плоскости р. с
положительными полуосями. Поскольку точки Ж, Mlt Ж2 лежат на /,
они будут удовлетворять уравнению (17), т. е. мы имеем равенства:
х • cos а -\-у • cos Р' -f- z • cos y' = 0, \
хх • cos a -\-ух • cos P' -f- z\ • cos y' = 0, \ (18)
Xi • cos а -\-Уъ • cos P' + 22 • cos y' = 0. /
Из них, как в случае (15), вытекают равенства:
(х — хх) cos а + (у —ух) cos Р' + С* — 2t) cos y' =0, \ ng
(х2 — хх) cos a' -}- CV2 — Л) cos P' -f- (z2 — 2,)cos y' = 0. / ^ '
•Рассматривая первые, а затем вторые равенства (16) и (19),
получаем отношения:
(л: — хх) : (у—ух) : (z — z1) =
cos P cos y
cosP' cosy'
:
cos y cos <x
cosy' cos a'
= (*2 — *i) : CV2 —Ух) : (^2 — 2i)
и, следовательно, равенства (14).
Система равенств (14) называется нормальным уравнением
прямой. Пусть Ж,' (*/, у/, гД М2' {х2\у2\ *2') —какая-нибудь другая
пара точек прямой /; тогда •
*i'—*1 __ У1—У1 __ Zi' — Zi Xj—Xi __ Уг'—yj Zj'—Zj
t m n ' / m n '
откуда вычитанием получаем отношения:
{x2' — xxr) : (у2'—У1') : (zt' — z1') = l: m : я.
Они говорят, что отношение разностей соответствующих
координат Бельтрами любой пары точек прямой / не зависит от выбора
пары точек Ж, и М2 и что поэтому в нормальном уравнении вместо
координат хи у1У zx точки Ж, можно подставлять координаты любой
точки примой. Итак, если точка Ж (х, у, z) лежит на прямой, то
•ее координаты должны удовлетворять уравнению (14).
Наоборот, если точка Ж удовлетворяет уравнению (14), то она
лежит на прямой /, проходящей через точки Мх и Ж2.
Действительно, введем в рассмотрение, как мы только что делали,
две плоскости — X с уравнением (7') и \i с уравнением (17). Тогда
<будут справедливы равенства (152), (153), (182), (183) и,
следовательно, равенства (1б2) и (192). Поскольку они однородны
относительно разностей х2 — х1У у2 —ylt z2 — zu а разности х -*■ *„ у —- у19
* — *i, где х, у, z—координаты точки Ж, удовлетворяющей урав-
«ению (14), — им пропорциональны, то х, у, z будут удовлетворять
уравнениям (16j) и (19х). В силу (152) и (182), мы получаем из
cos a cos P
cos a cos P'

248 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
них (15^ и (18,), т. е. точка М лежит на плоскостях X и ц, а
значит и на прямой / их пересечения.
В пространстве Евклида уравнение (14) при условии (6)
изображает хорду /' абсолютной сферы £, т. е. прямой I пространства
Лобачевского отвечает хорда £ абсолютной сферы £. Прямая /
определяется парой точек Мх (xt), М2 (х2)'), а хорда /' — парой
точек Мх (л:/), М2 0*2')• Будем прямую / и хорду /' считать
соответствующими, если координаты этих точек удовлетворяют отношениям:
(*,' — хх) : (ух — ух) : (гх — zx) = ,
= (х9 — хх) : (у2 —ух) : (z2 — г,) =
= (*2'-*i') = (У2—У1) : (*а'—*i')- (2°)
Уравнение прямой / имеет вид (14), а уравнение хорды /' —
вид
*' —аУ _/— -У/ _ z' — z,' 14».
/' m' ri ' '
где
Г = х2' — хх', т' =Уъ —ух\ n' = z2' — zx.
Аналитическое выражение инцидентности.
Равенство (20) показывает, что точка Мх (хх) внутренней области,
абсолютной сферы, соответствующая точке Мх (л:,), лежит на
прямой (14). На основании сказанного выше, уравнение хорды /' можно
переписать в эквивалентной форме:
*' —*i = у'—У\ = z' — Zj 4„
/ т п ^
Так как по условию (20) / : т : п=^=Г : т : п\ то уравнение (14")
хорды /' эквивалентно уравнению (14), т. е. каждой точке М' (л;'),
лежащей на хорде /' в пространстве Лобачевского, отвечает точка М (л:),
лежащая на хорде /, и наоборот. Это означает, что, во-первых,
установленное нами соответствие прямых / и хорд /' — взаимно
однозначное, и, во-вторых, оно сохраняет отношение
инцидентности (точка, лежащая на прямой в пространстве Лобачевского,
отображается в точку, лежащую на хорде абсолютной сферы евкли-
дового пространства).
Итак, установленное с помощью бельтрамиевых координат
взаимно-однозначное отображение пространства Лобачевского на
внутреннюю область абсолютной сферы J? сохраняет отношение
инцидентности точки М с плоскостью X (переходят в точку М' круга X'
сферы £) и точки М с прямой / (переходят в точку М' хорды 1')т
Что же касается инцидентности прямой с плоскостью (см.
определение 1 гл. II на стр. 44), то она следует из аксиомы 18 и сохранения
инцидентности точки с плоскостью.
*) Для краткости записи отмечаем только первую координату точки
вместо всех трех.

§ 1. Полнота аксиоматики геометрии Лобачевского 249
Аналитическое выражение отношения „между".
Мы утверждаем, что если точка М2 (х2) лежит между точками
!\АХ (л:,) и М3 (дг3), то
_ X* — Хх _ у2—уг __ _Z,— Zl
>i
(21)
*з — х* . Уя—У* Z3 — Z.
и наоборот.
Прежде всего, замечаем, что справедливость этих равенств (не
говоря пока о знаке общего значения отношений) следует из того,
что точка С лежит на прямой М1М2. Наоборот, если эти равенства
имеют место, то М3 лежит на прямой МХМ2. Значит, остается только
показать, что Х123^>0, если М2 лежит\между Мх и Мъ и наоборот.
Пусть Pv P2i Р.л— проекции точек Ми М2, Мъ на прямую оси 01
(черт. 132). Легко видеть, что точка Р2 лежит между точками Рх и PZt
если М2 лежит между точками Мх и Mv Через перпендикуляры М1Ри
Черт. 132.
М2Р2> МЪРЪ проведем плоскости p.,, ^2, fi8, перпендикулярные к пря-
мой 0£. Так как из точки на прямую можно опустить только один
перпендикуляр, то эти плоскости не пересекаются.
• Поскольку точка М2 лежит между точками Ж, и Мг, то но
теореме 29 главы II (стр. 68) точки Мх и Mz лежат в разных
полупространствах относительно плоскости ji2.
Предположим, что точки Р1 и Ръ лежат в том же
полупространстве, что и точка Ж3. Тогда точки М1 и Рх лежат в разных
полупространствах, и поэтому отрезок М1Р1 пересекает плоскость
р2 в некоторой точке 5 (см. на черт. 132 отрезок МХРХ').
Поскольку отрезок М]Р1 лежит в плоскости р.,, то ц.,, jx2 имеет общую
точку 5, что невозможно. К тому же противоречию мы приходим
допуская, что Рх и Pz лежат в полупространстве, в котором лежит
точка Mv
Значит, точка Р2 лежит между точками Р,, Я3. Если так, го, как
было установлено в § б гл. Ill (стр. 142), декартовы координаты
точек Ри Р2 и Рг удовлетворяют неравенству:
М > <»2 > с3«
(22>

250 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
Так как функция х= cos П (6) = th монотонная, то бельтра-
миевы координаты xv x2K xz этих точек удовлетворяют
неравенствам
xi > х2 > хг* (22 )
Следовательно, Х123^>0. Наоборот, если ^i23]>0, то мы имеем (22')
и, значит (22), т. е. точка Р2 лежит между точками Р, и Рг. Вводя
плоскости [ij, fx2, jx3, как выше, и рассуждая таким же образом,
убеждаемся, что точка М2 лежит между точками Мх и М3, что и
требовалось доказать.
Замечая, что Х123^>0 является критерием, расположения точки М2'
между точками Мх\ Мг' в евклидовом пространстве и, что
установленное выше соответствие основных объектов пространства
Лобачевского с объектами внутренней области абсолютной сферы взаимно
однозначно, заключаем, что точке М2, лежащей между точками М19
MZt в пространстве Лобачевского отвечает точка М2, лежащая
между точками Mt\ M3' внутренней области абсолютной сферы £,
и наоборот.
Аналитическая форма движений.
Поскольку каждое движение Г устанавливает. между точками
пространства Лобачевского взаимно однозначное сопряжение, то бель-
трамиевы координаты х\ у\ z' точки Ж, в которую с помощью
движения Г переходит точка М (х, у, z), можно рассматривать как
функцию х, zy у и Г:
*'=/(*, у, z; Г), / = <р (х, у, z; Г), z' = ty (*> У> Ъ Г). (23)
Для выяснения вида этих функций, кроме свойства взаимной
однозначности отображения, отметим еще следующие их три
свойства:
1) они преобразуют уравнение (7') в уравнение
х' cos а -J-/ cos (У + z' cos i = cos П (/>'), (7")
поскольку движение Г переводит плоскость в плоскость;
2) искомые функции непрерывны, поскольку, в силу сохранения
отношения „между", дедекиндова точка переходит в дедекиндову;
3) если х*-{-у*-\-z2 ^ 1, то л:'2 4-У * + г'* г^ 1 и наоборот.
По известной теореме Мёбиуса, взаимно однозначные
непрерывные преобразования (23), переводящие плоскость [уравнение (7')] в
плоскость [уравнение (7")], — проективные преобразования. Поэтому
мы имеем:
, _ Lx (х, у, z) , _ L* (х, у, z) , __ Lt(x, y,z) 9ql
Х -L<(xty9zy У _L4 (*,**)' * - L,(xtytzy ^* >
.где Lt (х, у, z) = atx -f by + ctz -+- dt (i = 1, 2, 3, 4); al9 bl9 ciy dt —

§ 1. Полнота аксиоматики геометрии Лобачевского 251
некоторые постоянные. Требуя, чтобы преобразования (23') удов'
летворяли свойству 3), мы найдем «условия, когорым удовлетворяют
параметры а,-, Ь-0 cit d0 a именно:
(а, Ь) = ахЬх + a2b2 -f афъ — а4й4 = 0, (6, г) = 0, (с, d) = О I
(rf, а) = 0, (а, с) = 0, (ft, d) = 09 \ (24)
(а, a) = (ft, *) = (с, *) = — (</, </). J
Поскольку уравнения (23') и условия (21) однородны
относительно 16 параметров и условия (24) содержат 9 независимых
параметров, то число независимых параметров, управляющих
движениями в пространстве Лобачевского, равно 6.
Обращаясь теперь к построенному выше взаимно однозначному
отображению пространства Лобачевского на внутреннюю область
сферы 2, мы легко усматриваем, что движениям Г в пространстве
Лобачевского отвечают такие преобразования Г' в евклидовом
пространстве, которые точку внутри абсолютной сферы £ переводят в
точку внутри £, хорду — в хорду, круг — в круг; при этом
сохраняются отношения инцидентности и „между". По той же теореме
Мёбиуса преобразования Г' имеют вид (23') с параметрами а/, Ь/,
сп d/> удовлетворяющими условиям (24).
Проективное преобразование (23') при -условии (24) называется
автоморфной коллинеацией.
Как было показано в § 2 (стр. 167—172) главы III, каждое
такое преобразование обладает всеми свойствами, указанными в.
аксиомах Ш1_10. Будем преобразования движения Г в пространстве
Лобачевского и преобразования Г', как автоморфную коллинеацию,
называть соответствующими, если а/ = ар b/ = bi9 ct' = ciy d- =dt.
В таком случае, каждому движению Г отвечает вполне определенная
автоморфная коллинеация Г сферы £ и наоборот.
Резюмируя все сказанное, мы приходим к выводу, что с помощью
введения бельтрамиевых координат между основными понятиями
(точка, прямая, плоскость, инцидентность, между, движение)
произвольной интерпретации геометрии Лобачевского и одноименными
понятиями интерпретации Бельтрами-Клейна устанавливается взаимно
однозначное соответствие, при котором объектам (точка, прямая,
плоскость), связанным одним из основных отношений (инцидентность-,
между, движение)^ интерпретации Бельтрами-Клейна отвечают объекты,
связанные тем же самым отношением.
По определению полноты, аксиоматика геометрии Лобачевского —
полная аксиоматика.
Нетрудно видеть, что аксиоматика абсолютной геометрии I — IV —
неполная.
По "смыслу термина „неполнота", противоположного термину „полнота",,
достаточно обнаружить существование неизоморфных интерпретаций
аксиоматики абсолютной геометрии. Но примером таких интерпретаций могут
служить любая интерпретация /t евклидовой геометрии и лю ая
интерпретация /2 геометрии Лобачевского, так как они в то же время являются и
интерпретациями аксиоматики абсолютной геометрии.

252 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
В первой из них справедливо предложение V, а во второй оно
несправедливо— его место замешает предложение V» противоречащее V.
Уже этого достаточно, чтобы отрицать невозможность изоморфизма этих
интерпретаций. Однако со всей отчетливостью невозможность изоморфизма
интерпретаций /, и /«. выступает при рассмотрении топологических свойств
пространства Евклида и пространства Лобачевского, дополненных
несобственными (бесконечно удаленными) элементами. В то время как в первом
случае прямая становится замкнутой — топологически эквивалентной
окружности, во втором случае прямая становится эквивалентной отрезку (с
присоединенными концами).
§ 2. Метрика в интерпретации Бельтрами-Клейна.
Измерение отрезков.
Доказанная в § 1 теорема о полноте аксиоматики геометрии
Лобачевского позволяет сделать вывод, что геометрию Лобачевского можно
излагать в любой ее интерпретации, так что любое предложение,
доказанное в, одной ее интерпретации, будет справедливо и в
каждой другой. Устанавливая в § 2 главы IV непротиворечивость
аксиоматики, мы по существу начали построение геометрии Лобачевского
в интерпретации Бельтрами-Клейна *). Поскольку, однако, полнота
аксиоматики может быть установлена только на пути синтетического
построения геометрии, мы провели это
построение.
Желая теперь выяснить, как измеряются
длины и углы в интерпретации Б.-К., мы
можем поступить двояко: либо получать
соответствующие формулы с помощью
отображения пространства Лобачевского на
пространство Евклида (круг Б.-К.), либо решать вопрос
самостоятельно, продолжая построение в
интерпретации Б.-К., начатое в § 2 главы IV.
ерт* * Мы последуем здесь второму пути.
В абсолютной геометрии было показано
(теорема 77), что существует единственное (в смысле определения
36) измерение длин отрезков, если некоторому отрезку приписать
единичную длину. Пусть АВ — отрезок, лежащий на хорде PQ
абсолюта (черт. 133). Как выражается его длина через концы Л,
В и точки Ру .Q?
Искомая длина d (AB) должна сохраниться при каждом движении,
т. е. при каждом проективном преобразовании, переводящем
абсолют в абсолют, а его внутреннюю область — во внутреннюю. Как
известно из проективной геометрии, таким свойством обладает
ангармоническое отношение
о
W(A, В; Р, Q) = g:g. (1)
!) В дальнейшем эту интерпретацию будем сокращенно обозначать
первыми буквами; Б.-К.

§ 2. Метрика в интерпретации Бельтрами-Клейна 253
Между прочим, оно сохраняется не только при г. движении, но и
при любом проективном преобразовании. Мы увидим, что этЬ
отношение W играет главную роль в решении поставленного врпроса.
Имея это в виду, вспомним два его свойства:
1) если отрезок АВ имеет направление, противоположное
отрезку PQ (т. е. если АВР, QAB\ то Г>1;
2) если Л, В, С — три различные точки хорды PQ, то
W (Л, B;P,Q.W {В, С; Р, Q)= W (Л, С; Р, Q).
Логарифмируя последнее равенство, имеем:
In W (А В\ Р, Q) + ln W (В, С; Р, Q) = ln W (А, С; Р, Q).
Это показывает, что функция
9 = 1п W (А, В; Р, Q)
обладает аддитивным свойством. Так как W — инвариант
относительно движений, то и 9 будет инвариантом (как, впрочем, и любая
функция от W).
Итак, функция 9 удовлетворяет первым двум свойствам длины.
Умножая ее на произвольное постоянное с, мы получим функцию
d=cy = c-\n W (Л, £;Р, Q), (2)
удовлетворяющую тем же самым свойствам.
Чтобы величина d> определяемая по формуле (2), была
положительной, необходимо условиться в следующем:
1) несобственные точки прямой АВ обозначать буквами Р, Q так,
чтобы отрезок PQ имел направление, обратное отрезку АВ (т. е.
чтобы АВР, QAB\ тогда W>1);
2) учитывать только действительную часть многозначной
функции In (IF) при И7>1;
3) полагать с^>0.
Так как в выборе единичного отрезка имеется произвол, то мы
будем считать, что с—какое-то постоянное положительное число;
точно его указывать не будем. Изменение с следует рассматривать
как изменение масштаба: возрастанию с соответствует уменьшение
единицы масштабного отрезка и наоборот. Действительно, величина
с — -,—w А ц. р П) возрастает в случае, когда W уменьшается, т. е.
когда уменьшается отрезок АВ. Наоборот, если отрезок АВ
уменьшается, W тоже уменьшается; поэтому In W уменьшается, а с =
= -—^ возрастает. При неограниченном уменьшении единичного
отрезка величина с неограниченно возрастает.
Для удобства дальнейших выкладок, вместо с введем р = 2с.
Итак, гиперболическая длина отрезка АВ выражается формулой:
rf=|ln W(A, B\P, Q),
(3)

251 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
где величина р^>0 называется радиусом кривгзны гиперболического
пространства; точки P,Q— несобственные точки г. прямой АВ —
обозначены так, что отрезок PQ имеет направление,
противоположное отрезку АВ) In W обозначает только действительную часть
значения этой функции1).
Когда один из.концов отрезка АВ (например В) стремится к
точке абсолюта (например к Р), то W —► оо, а потому-и
расстояние d неограниченно возрастает. Имея это в виду, говорят, что
г. расстояние от любой г. точки до любой точки абсолюта
бесконечно. Хотя для нашей ближайшей цели достаточно было бы
ограничиться рассмотрением только внутренней области абсолюта, мы
рассмотрим и явления во внешней, идеальной области. Дело в том,
что, с одной стороны, рассмотрение полной е. плоскости
интерпретации г. геометрии помогает иногда отчетливее выяснять свойства
фигур внутренней области, а с другой—изучение внешней области
представляет самостоятельный геометрический интерес, поскольку в
ней имеет место новый тип геометрии.
Распространяя формулу (3) на случай любой пары точек А и В
евклидовой плоскости, мы будем иметь следующую картину
изменения расстояния:
1) d положительно, как мы уже только что отметили, для
любой пары внутренних точек.
2) d комплексно, если один конец отрезка находится внутри
абсолюта, а другой — вне.
В самом деле, в этом случае ангармоническое отношение
отрицательно. Если, в частности W (Л, В\ Р, Q) = — 1, т. е. АВ^ PQ*)t
и мы положим In (—1) = м, i = Y—!> то Длина d отрезка АВ.
будет равна
3) Если точки А и В лежат во внешней облает11, причем е.
прямая АВ пересекает абсолют в двух действительных точках, то d
действительно.
4) Если точки А и В лежат во внешней области и е. прямая АВ
не пересекается с абсолютом, то d мнимо.
Можно показать, что г. длина всей такой е. прямой A3 равна тср/.
5) Когда е. прямая АВ касается абсоюта, то d = 0. Если,
в частности, AD касается абсолюта и точка D лежит на
абсолюте, то d неопределенно (Ц7 = — ].
*) К формуле (3) можно было прийти, требуя, чтобы d как функция от:
резка с концами в точках А(ки 0), В (к*, 0), лежащий на оси ОХ, была
аддитивным инвариантом относительно группы трансляций оси ОХ:
2) Символ о~ означает гармоническое разделение пар точек.

§ 2. Метрика в интерпретации Белътрами-Клейна 255
Все эти случаи представлены на чертеже 134, где расстояние от
точки А до любой точки (В, В\ В") заштрихованной области
действительно, расстояние от точки А до любой точки (В0, В0\ В0")
незаштрихованной области мнимо, расстояние до любой точки (С) на
любой из касательных AD и АЕ равно нулю, а расстояния AD и АЕ,
где Е и D — точки прикосновения, неопределенны. Так как г. Длина d
любого отрезка касательной, подсчитываемая по формуле (3), равна
нулю, то и касательные AD и АЕ называются линиями нулевой
длины в метрике (3) или изотропными линиями.
Черт. 134.
\ Что же касается термина „метрика", то мы под ним будем
понимать всякий способ, устанавливающий измерение длин (в смысле
приведенного в*ыше определения длины или в каком-нибудь другом —
безразлично). Будем иногда вместо термина „метрика" употреблять
в том же смысле термин „мероопределение"1).
Найдем теперь формулу, выражающую г. длину отрезка АВ через
координаты его концов.
Пусть
х*+у*—1=0 т (4)
— уравнение абсолюта, (л^, у{)— координаты точки Д а (лг2, у>2)—
координаты точки В. Выразим ангармоническое отношение (1) через
эти координаты. Обозначим простые отношения АР: РВ и AQ: QB
соответственно через tv t?:
PB ~ v QB ~tcL%
l) Поступая таким образом, мы выходим уже за рамки возможностей
аксиоматики геометрии Лобачевского, поскольку последняя осуществляется
лишь внутри абсолюта, так что образы, лежащие вне абсолюта, с
установленной указанным способом для них метрики, уже не удовлетворяют
аксиоматике I — V.

256 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
Пусть (лг3, Уз) — координаты Я, а (л:4, у±) — координаты Q
(черт. 135). Выражая х3, у3) х4, yi через xv у1У хъ уъ tu Ьъ
получим равенства:
W+2 "
_ Хх + tjX«
Ум- x+ti • ' —w*
Так как точки P, Q лежат на абсолюте (4), то tt удовлетворяет
уравнению
(*, +tlXi)* + СУ, + ^,)« -(1 + *,)»= О
или уравнению
где
Черт. 135.
г* = 1 - X,2 - J/Д *,* = 1 - *,» —y%\
z\i =1 — ^1-^2 —У\У*
Решая это уравнение относительно tt и учитывая, чго t1:ti должно
быть больше 1 для внутренней пары точек, получаем:
W(A9 В; Р% Q) =
i + Ki-
1-/Г-
где
У\—хх* — _у,а- V\—x?—yf
Формула (3) принимает вид:
с
Потенцируя (3'), имеем:
\—xlxi—y1yi
. р . l + l/l—а*
V\-c
(з1)
l + j/Г
1
Ух-
Id
--е р
Решая это алгебраическое относительно о уравнение, получаем:
1 — XiXt— ytyt
d_ _ J_
-yi*.y\-Xi*—yS
(5)
Рассматривая здесь различные случаи относительного положения
точек А(хи ух), В (лг2, уг) и абсолюта (4), мы можем прийти к тем
же самым случаям, что были перечислены выше. Если, например,
AB^PQ (пара точек А и В гармонически разделяют точки Р и Q
пересечения прямой АВ с абсолютом), то, как известно, полярная
форма левой части уравнения (4) для точек А и В должна обра»
титься в нул>, т. е.
l — xtxi — y1yq = 0.

§ 2. Метрика в интерпретации Бельтрами-Клейна 257
Формула (5) в этом случае дает нам ch— = 0.
Вспоминая известную связь гиперболического косинуса с
тригонометрическим (ch х = cos —, I = ]/ — 1), получаем для d
значение d = -<y-i которое выше было указано из других соображений.
Для дальнейшего отметим форм/лу, связывающую г. длину d
отрезка АВ, один из концов которого, например Л, лежит в
середине хорды PQ, проходящей через АВ, с евклидовой длиной d0 эгого
отрезка. Обозначая через / е. длину полухорды PQ и подсчитывая
W(A, В] Р, Q), получаем:
W(A, В; Р, Q) = 1±^l;
подставляя это в формулу (3), будем иметь:
или
выражая
отсюда
*о
d =
через
d0 =
l\nl±EL
2 1П l-d,
d:
= /th*-.
P
Если, в частности, отрезок АВ начинается в центре абсолюта,
то его гиперболическая длина d будет связана с евклидовой d0
равенством
d=VnT=£ или d° = thJ'
Ортогональность.
В абсолютной геометрии мы определили прямой угол (см
определение 21 гл. 11 на стр. 80) как угол, равный одному из своих
смежных. В соответствии с определением 16 (стр. 73) термин
„равный" применительно к г. углам для нас имеет только следующий
смысл: г. угол (а, Ь) равен г углу (а\ Ь')> если существует г.
движение, переводящее луч а в луч а\ а луч b— в луч Ь' (или а в Ь\
а Ь — в а). Значит, если г. угол (а, Ь) — прямой, то существует
движение, переводящее его в один из смежных углов (между собою
конгруентных).
Теорема. Необходимое и достаточное условие г.
ортогональности г. прямых а и b состоит.в том, чтобы соответствующие
им евклидовы прямые в интерпретации Б.-К* были полярно
сопряжены относительно абсолюта (т. е. чтобы каждая из них
проходила через полюс другой).
Докажем сначала необходимость этого условия.
Пусть а — луч, дополнительный к лучу а (черт. 136). Так как
по. допущению г. угол (а, Ь)—прямой, то. существует движение,

258 Глава VL Интерпретация геометрии Лобачевского
преобразующее луч а в луч а и оставляющее луч Ь неизменным.
Пусть S—полюс ED, a S' — полюс ВС. Так как точки Е и
D неподвижны, то касательные ES и DS переходят сами в себя, а
потому точка 5 будет неподвижной. Каждая прямая пучка с
центром S преобразуется сама в себя. Вследствие этого
соответствующие точки нашего преобразования будут лежать на прямых
пучка 5, и поэтому прямая ВС пройдет через S. Так как проективное
преобразование, отличное от тождественного, не может иметь
неподвижных точек, отличных от точек прямой ED и точки S, то
соответствующие прямые нашего преобразования будут пересекаться
Е
Черт. 136.
на прямой I*D. Значит, наше преобразование — гомология с осью
ED, центром 5 и парой соответствующих точек В и С.
Итак, если ^ (я, Ь) — прямой угол, то сторона ВС проходит
через полюс S стороны ED; как известно, тогда и ED пройдет через
полюс S' стороны ВС.
Необходимость условия доказана. Докажем теперь его до ста
точность.
Пусть стороны а и b угла (а, Ь) полярно сопряжены относительно
абсолюта (черт. 136). Гомология с осью ED, центром S и нарой
соответствующих точек В и С входит в состав г. движений. При
этом она преобразует луч а в луч а, а луч b оставляет неподвижным.
В согласии с определением прямого угла заключаем, что г. угол
(а, Ь) — прямой угол.
Теорема доказана полностью.

§ 2. Метрика в интерпретации Бе л ьтр а ми-Клейна 259
Пусть сторона b г. прямого угла (а, Ь) проходит через центр О
абсолюта (черт. 137). Так как потю: S' стороны а должен лежать
на Ь, то стороны а и b будут ортогональны и в евклидовом смысле
Соответствующее гиперболическое движение — гомология—в этом
случае выглядит как обыкновенная симметрия относительно прямой Ь.
Итак, гиперболическая
ортогональность прямых совпадает с евкли-
Черт. 138.
довой, если одна из прямых проходит через центр абсолюта.
Это же относится и к г. прямому углу, вершина которого лежит
в центре О.
Используя теорему о г. ортогональности г. прямых, заключаем,
что все г. перпендикуляры, восставленные в различных точках к
прямой я, проходят через ее полюс 5 (черт. 138). На основании
этой же теоремы просто решается задача на построение прямой,
проходящей через точку Сиг. перпендикулярной к данной прямой а.
Мы находим сначала полюс 5 прямой а, а затем соединяем его с
точкой С; прямая SC и будет г. ортогональной к прямой а.
В евклидовой геометрии параллельные прямые имеют общий
перпендикуляр. Здесь же в геометрии Лобачевского, как мы уже видели,
только'сверхпараллельные (расходящиеся) пары прямых Ь, Ь' имеют
общий перпендикуляр. Чтобы его построить (черт. 139),
находим точку пересечения прямых b и Ь\ а затем проводим ее поляру а;
последняя и будет общим перпендикуляром к b и Ь'.
Измерение углов.
Согласно определению 37 гл. II (стр. 102), мера г. угла (а, Ь)
есть функция а его сторон а и Ь, удовлетворяющая следующим
требованиям: v
1) а (о, Ь) — инвариант относительно группы г. движений;
2) ос (a, b)-\-a(bt с, —а(а% с), если луч b лежит внутри угла (а, с)
(аддитивность).

260 У Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
Для внесения однозначности в измерение углов потребуем еще,
чтобы
3) ос (а, Ь) = у для прямого угла (а, Ь), т. е. угла, стороны а и b
которого полярно! сопряжены относительно абсолюта.
Поставим в соответствие каждой стороне угла, как поляре, ее
полюс. Пусть Л, Ву С будут полюсы сторон а, Ь> с углов с общей
Черт. 139. Черт. 140.
вершиной 5 (черт. 140). Точки Л, В, С будут лежать на одной
прямой — поляре вершины 5.
Так как полярные свойства абсолюта инвариантны относительно
проективных преобразований (поляра и полюс переходят
соответственно в поляру и полюс), то инвариант а (а, Ь) пары лучей a, b
будет в то же время инвариантом соответствующей пары
полюсов Л, В. Поскольку искомый инвариант лучей должен
удовлетворять трем предыдущим условиям, то ос, как инвариант пары точек,
будет удовлетворять следующим условиям:
1) ос(Л, В)—инвариант относительно группы гиперболических
движений:
2) а (Л, В)-^-а(В, С) = а (Л, С), когда В лежит между Л и С
[при Ь, лежащем внутри угла (а, г,)];
3) а (Л, В) = y для пары точек Л и В} гармонически
разделяющих пару точек Р и Q пересечения прямой АВ с абсолютом (по-4
скольку стороны а и b прямого угла полярно сопряжены
относительно абсолюта).

§ 2. Метрика в интерпретации Бельтрами-Клейна 261
Мы видели,ч чго единственная функция, удовлетворяющая этим
трем требованиям, имеет вид; \
<%(Л, В) = с-\п W(Ay B;P}Q), (2')
где W(A, В\ P, Q) — ангармоническое отношение пары точек Л, В
с парой точек Р, Q пересечения прямой АВ с абсолютом, а с —
произвольная постоянная. Там* постоянную с мы оставили
произвольной. Здесь же она определяется вполне однозначно в
результате третьего требования. В самом деле, пусть г. угол /_ (а, Ь)
прямой. Тогда, как известно, W (Л, В\ Ру Q) = — 1. Так как в этом
к 1
.случае а (Л, В)=-^, a In (—1)=ш, то c = iy-, и мы имеем для
искомой меры угла а (а, Ь) формулу: а (а, Ь) = ^ In W (Л, В\ Р, Q}.
Вспоминая, что ангармоническое отношение W(a, b\ р, q)
четверки лучей а, b, p и q,
mi* h- * п\ sin <a» P) . sin «*> Я)
равно ангармоническому отношению W (Л, B\ P, Q)
соответствующей четверки полюсов Л, 5, Pt Q, мы для г. меры г. угла а
получаем формулу:
cc=i-.ln IF (a, £;/?, ?),
(6)
где а, £— стороны угла, а /7 и ^ — касательные из вершины угла
к абсолюту (поскольку точки Р, Q суть точки абсолюта, полярами
которых служат касательные к абсолюту в этих точках). Если
вершина г. угла находится внутри абсолюта, р и q будут изотропными
прямыми; тем не менее формула (6) дает для угла а действительное
значение. Сравнивая формулу (6) с формулой (3) для г. расстояния d
между точками Л, В, находим формулу: ос = —, выражающую
зависимость г. угла а и г. расстояния d между полюсами его сторон.
Она показывает, что когда d действительно, а мнимо и наоборот. Для
углов с вершиной внутри абсолюта эта формула дает
действительное значение.
Найдем теперь формулу, выражающую г. угол а через
координаты полюсов его сторон. Пусть хи у, — координаты полюса Л
стороны а, а х2, у2 — координаты полюса В стороны Ь. Расстояние d
между полюсами выражается формулой (5):
сП = г 1^££l=** . (7)
Р |^l_x;l__yil.^l_jfti_y,l ^
Полагая здесь d = api и учитывая связь гиперболического косинуса

262 Глава VI: Интерпретация геометрии Лобачевского
с тригонометрическим, ch z= cos — , получаем следующую |формулу
для г. меры г. угла а:
cos а = l—XitjjzJW* (8)
или
• ' cos а=-== XlXt\yiy;—.. ■ (8')
У*19+У1*-Л-ух* +yt* - 1
Если стороны угла будут полярно сопряжены, то
1— xtx2— У ^2 = 0 (9)
и угол а= тт, как и следовало ожидать. Наоборот, если равенство (9)
выполняется, то а= U . Поэтому равенство (9)—условие
перпендикулярности прямых.
Пусть теперь уравнения:
ulx-\-vly-\-wl = 0) u^x-^v^y -\-w2 = О, (10)
где uiy viy wi — однородные координаты прямых — будут
уравнениями сторон угла. Как выражается г. угол а через однородные
координаты ui9 v£t wt этих прямых?
Легко видеть, что координаты xv yx\ х2, у2 полюсов этих
прямых выражаются через однородные координаты сторон так:
**==—-. Л- = — Щ > '=1.2.
Подставляя эти значения в формулу (8'), находим:
UiU.-^V{V, — WtWs 1Л 1Ч
cosa = '_' " __: . (И)
у u^v^—w^ у u£-\-Vf—wf
Когда вершина угла находится в начале координат, wl = 0,
w2 = 0y и мы отсюда получаем формулу:
UiUs + Vtf*
cosa —
Vut + Vx* Vu** + v*'
совпадающую с формулой для евклидового угла между этими
прямыми. Значит, г. мера г. угла с вершиной в начале координат
совпадает с евклидовой мерой угла с теми же сторонами.
Найдем условия г. ортогональности и г. параллельности наших
прямых. Если прямые образуют между собою г. прямой угол, то из

§ 3. Интерпретация Пуанкаре
^263
формулы (11) следует, что однородные координаты этих прямых будут
удовлетворять равенству:
u1u2-{-v1v2 — wlw2 = 0 (12)
и наоборот. Поэтому (12) есть условие ортогональности прямых-
Чтобы отыскать условие параллельности прямых, найдем точку М
их пересечения. Решая уравнения (10) относительно хну, получим:
VjW» — VzWj UjWj — UyWt '
ulvi — u.1vx ' У uxvt — н2г/,
Если для этих координат х, у мы будем иметь X = х2 -f- У2—1 =• 0»
то точка пересечения будет лежать соответственно внутри абсолюта,
на абсолюте и вне абсолюта. Подсчитывая это выражение, получим:
) _(ц'и* + pip«~u>\W*Y — (и* + У\- + ^ia) (Ц2а + ^аа — w*)
Поэтому если мы будем иметь
(и,и, + vtv2 — wxw2f = (и,* + vf — wx*).(uf + V — ^23)> •
то Прямые будут соответственно сходиться (пересекаться внутри
абсолюта), параллельны (пересекаться* на абсолюте) и расходиться
(пересекаться вне абсолюта).
Если прямые г. параллельны, то числитель и знаменатель
формулы (И) между собою равны, а потому cos а= 1 и ос = 0, т. е.
параллельные прямые образуют между собою г. нулевой угол,
Г. угол обращается в нуль всякий раз, когда вершина находится
на абсолюте, в то время как соответствующий евклидов угол может
быть даже близок к двум прямым.
§\3. Интерпретация Пуанкаре.
В главе III § 4 (стр. 127) мы познакомились с интерпретацией
Пуанкаре двухмерной евклидовой геометрии (опирающейся на
аксиомы 1!_4, IIj.4, IIIг_10, IV, V) в образах и отношениях евклидовой
геометрии. Теперь мы остановимся на аналогичной интерпретации
Пуанкаре двухмерной геометрии Лобачевского (основывающейся на
аксиомах Ij_4, II^, IIIm ^0э IV, V) также в образах и отношениях
евклидовой геометрии.
Будем, как и раньше, основные интерпретационные понятия
Пуанкаре называть именем Пуанкаре: точка Пуанкаре, прямая
Пуанкаре и т.|Д., и писать: точка П. (или П. точка), прямая П. и т. д.
, Интерпретация Пуанкаре геометрии Лобачевского определяется
следующим словарем:
Соглашение 1. Точка П. — любая евклидова точка
внутренней области абсолюта — круга К радиуса R с центром О. Точки
абсолюта, не принадлежащие к.точкам Пуанкаре, будем называть
несобственными или бесконечно удаленными.

264 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
/
Соглашение 2. Прямая П. — либо дуга окружности,
ортогональная к абсолюту и лежащая внутри абсолюта, либо диаметр
круга. (В силу соглашения 1 концы окружностей и диаметров не
принадлежат к прямым П.)
Соглашение 3. Инцидентность П. — обыкновенная
инцидентность.
Соглашение 4* Между П. — точка В лежит между
точками Л и С, если А, В и С лежат на прямой П. и луч О В лежит в
обычном смысле между лучами ОА и ОС; если же точки Л, В, С
лежат на прямой П., которая является диаметром, то В лежит
между Л и С в смысле П., если она лежит между ними в обычном
смысле.
Соглашение 5. Движение П. — точечное преобразование,
переводящее абсолют в абсолют, а прямые П.—в прямые П.
Мы утверждаем теперь, что в системе образов и отношений
Пуанкаре осуществляются все аксиомы системы Лобачевского.
Желая с самого начала убедиться
в возможности этой интерпретации,
мы покажем, что при введенных нами
соглашениях аксиома Лобачевского V
выполняется.
Пусть АВ — прямая П., а С — не
лежащая на ней точка (черт. 141).
Проведем через С прямые П., которые
с АВ имеют общие несобственные
концы Л0, В0. Так как П. прямая СА^
должна быть дугой окружности,
ортогональной к К, то центр этой
окружности лежит как на касательной
к'К в точке Л0, так и на
перпендикуляре к отрезку А0С в его середине;
значит, S находится на их пересечении.
Описывая из 5 как из центра
радиусом SA0 дугу окружности, внутреннюю
к К, получим П. прямую СА0. Таким
ерт' * ' же образом проводим и П. прямую
СВ0. Рассматривая теперь пучок П.
прямых с центром в С, убеждаемся, что все П. прямые,
проходящие внутри П. угла А0СВ0> пересекаются (сходятся) с АВ> а П.
прямые, проходящие в смежной паре (заштрихованных) углов, не
пересекаются (расходятся) с АВ. Поскольку П. прямые СА0) СВ^
не пересекаются с АВ (точки Л0, В0 не идут в счет, как
несобственные), то они параллельны с АВ в смысле Лобачевского: СА0 \\ АВ
в на давлении от В0 к Л0, а СВ0 \\ АВ в противоположном
направлении, от Л0 к В0. Таким образом, параллельные прямые в смысле
Лобачевского в интерпретации Пуанкаре изображаются дугами
ортогональных окружностей с общей точкой на абсолюте К.
Итак, аксиома V выполняется.

§ 3. Интерпретация Пуанкаре
265
Что же касается всех остальных аксиом, то проверка
выполнимости их при непосредственном участии прямых П. (как дуг
ортогональных окружностей к К) не столь очевидна (в особенности
проверка аксиом движения) и отняла бы много времени. Мы
последуем другому, более быстро ведущему к цели пути: покажем, что
междуосновнымиинтерпретационнымипонятиями Пуанкаре и
основными интерпретационными понятиями Белътрами-Клейна
существует взаимно однозначное соответствие с сохранением всех
основных отношений. Тогда аксиомы плоской геометрии Лобачевского,
выполняющиеся в интерпретации Бельтрами-Клейна, будут также
выполняться и в образах Пуанкаре.
Введем в плоскости интерпретации Пуанкаре прямоугольную
декартову систему координат с началом в центре О абсолюта К.
Таким образом, мы каждой точке
М плоскости отнесем взаимно
однозначную пару чисел х, у (декартовы
координаты). Поставим теперь в
соответствие точке М {ху у) нашей
интерпретации, точку М' (х\ у'),
координаты которой х\ у1
выражаются через координаты ху у
точки М с помощью формул:
2R к
_ 2Ry
X'+y2 + R-'
(1)
Черт. 142.
Нетрудно видеть, что это преобраование обладает следующими
свойствами:
1) оно сохраняет лучи с вершиной в О, т. е. переводит точку
М луча ОМ в точку М' этого же луча (черт. 142);
2) переводит абсолют К в окружность К' единичного радиуса
с тем же центром, причем внутренняя область 35 абсолюта
(л;2 -f-У <С^?2) переходит во внутреннюю область 35' окружности К*
(х'2 +У2<С 1); (соответствие точек этих областей взаимно
однозначное); '
3) переводит точки, удаленные от начала О, в точки, менее
удаленные от него;
4) переводит прямую П. в хорду окружности К';
5) сохраняет инцидентность;
6) сохраняет отношение „между".
В самом деле, из формул (1) следует, что у': х' =у: ху т. е.
соответствующие точки М (а:, у\ М' (х\ у') лежат на прямой»
проходящей через начало координат. Поскольку, кроме того,
одноименные координаты этих точек имеют одинаковые знаки [см. (1)],
то они лежат на одном луче с вершиной О.

.266 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского,
Из формул (1) имеем:
г =
2Rr
(2)
тде г= |/*2 + .у2> г'= j/л;'2 +У'2 —удаления соответствующих
точек от начала О. Отсюда следует, что при r=R г'=1, т. е.
абсолют К переходит в окружность К' единичного радиуса с
центром в О. 1
Далее, нетрудно видеть, что г', как функция от г, монотонно
возрастает от 0 до 1, когда г растет от 0 до R (г'= 1 есть
наибольшее значение этой функции; при возрастании г от R до оо,
У монотонно убывает от 1 до 0). Поэтому внутренняя область ф
переходит во внутреннюю область ЗУ.
Решая уравнение (2) относительно .г, в котором г' взято из
интервала (0,1), мы найдем однозначно г, лежащее в интервале (0, /?),
Поэтому каждая точка М' области £)' переходит в точку М
области D. Поскольку, в силу свойства 1), она лежит на луче ОМ\
то она будет единственной.
Это означает, что формулы (1) устанавливают взаимно
однозначное сопряжение точек наших областей.
В силу монотонности функций г' относительно г, точки,
наименее удаленные от О, переходят в точки, наименее удаленные от О,
т.?. если (Ж, Ж') и (Ж0, Ж0')— две пары соответствующих точек
■и ОМ%<ОМ01 то ОЖ'<ОЖ0'.
Уравнение прямой П., т. е. окружности, ортогональной к К, с
центром 5 (а, Ь) имеет вид:
х* + У — 2ах — ЪЬу -\-R* = 0
.(где для П. прямой *a-f У = г* </?*).
Полагая здесь, на основании уравнений (1),
(?)
а: = (х2 + У + /?2)
2/?!
3> = (*2+У + #2)^
'и -сокращая на х*-\~ у*-{-R* (в действительной области
изменения х, у), получаем уравнение
ах -{-by' + /? = 0,
(jc'2-f /2 = г'2<1).
<■')
Это уравнение—первой степени; значит, прямая П. переходит в
хорду окружности К'. Что же касается прямых П., проходящих
через центр О, то их уравнение имеет вид:
PX+qy = 0. (b)
В силу (1), оно перейдет в уравнение:
рх' + qy =0. (b')
Значит, эти П. прямые преобразуются в диаметры абсолюта.
5-е свойство вытекает из. того, что, если точка Ж (а:, у) удовле-

§ 3. Интерпретация Пуанкаре 26/
творяет уравнению (а) или (Ь), т. е. точка П. лежит на прямой П.,
то соответствующая ей точка М' (х\ у') лежит на обыкновенной
прямой (а') или (Ь').
Выполнимость 6-го свойства для точек П., лежащих на прямой
П., проходящей через О, следует из свойств 1), 4), 5) и
соглашения 4), а для прямой П., проходящей через О — из соглашения 4)
и из того свойства преобразования (1), что они отображают менее
удаленные от О точки ближе к О, чем более удаленнь^
В силу отмеченных свойств отображения (1), в нем движениям
П. будут соответствовать такие преобразования Г, которые
переводят К' в К', его внутреннюю область — во внутреннюю так, что
хорды К' преобразуются в хорды К'. Как мы видели выше, такие
преобразования — гиперболические движения.
Таким образом, преобразрваиия (1) переводят точку, прямую,
инцидентность, между, движения Пуанкаре соответственно в
обыкновенные— точку внутренней области окружности К, хорду,
инцидентность, между, гиперболические движения, — и наоборот. Как
известно, в этой -второй системе образов выполняются все аксиомы
геометрии Лобачевского. В силу взаимной однозначности
отображения и инвариантности при этом основных (аксиоматических)
понятий, мы заключаем, что в системе образов и отношений Пуанкаре
выполняются все аксиомы геометрии Лобачевского,
Метрика в интерпретации Пуанкаре.
На основании только чго сделанного вывода мы должны за
П. длину П. отрезка АВ принять г. длину d соответствующего отрезка
А'В' в интерпретации Б.:К, а за П. угол а между П. прямыми
А1В1 и ActBq — г. угол а между соответствующими г. прямыми
Л/Я,', Л27?.2\
Пусть А\ В' — пара точек интерпретации Клейна,
соответствующих точкам Д В интерпретации Пуанкаре. Как известно, длина d
отрезка А'В' выражается формулой (3) предыдущего параграфа
(стр. 253):
d = £\n W (А', В'; Р\ Q'), W=^, :Щп
где Р\ Q' — несобственные точки прямой А' В\ отвечающие в
преобразовании (1) несобственным точкам Р, Q П. прямой АВ (так
обозначенным, что отрезок P'Q' имеет направление,
противоположное отрезку А'В'). Поскольку ангармоническое отношение четверки
точек А\ В'; Р\ Q' всегда равно ангармоническому отношению
четверки лучей, проектирующих их из любого центра, то, принимая
за последний начало О, мы будем иметь:
W (А, В; Р\ Q)= W (а, Ь\ р, а)=^—.—у-Ч^ : ——г2-^^
v ' ' ' ^ ' v ' ' r* *' sin (p, Ь) sin (q, bf

268 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
где a, by ру q — суть соответственно лучи ОА\ ОВ\ ОР\ OQ' или
соответственно лучи ОД OB, OP, OQ. Итак, длина П. отрезка АВ
выражается формулой:
d = ±\n W (а, Ь\ ру q), (3>
где W (a, b\ py q,) — ангармоническое отношение четверки лучей,
проектирующих точки А и В П. прямой АВ и ее несобственные
точки Р и Q (обозначенные таким образом, что направление от Р
к Q противоположно направлению* от Л к В).
Нетрудно видеть, что d неограниченно растет, когда точка В
стремится к несобственной точке Р абсолюта. Имея это в виду,
говорят, что расстояние от любой П. точки до несобственной
точки бесконечно. По этой причине эти точки называются также
бесконечно удаленными.
Пусть теперь
** +У — 2(*iX — 2b^y + R* = О,
х* +У — 2a*x—2b9y -\-R* = 0
суть уравнения какой-нибудь пары П. прямых. Уравнения их
гиперболических образов (т. е. образов в интерпретации Б.-К.) будут:
a1x' + by + R = 0>
aqx' + b9y9 + R = 0.
На основании известной формулы для гиперболического угла между
прямыми имеем:
cos а — ' ' ' ' * , . (4)
V "** + *!*—R* -VaJ + bS-R*
Этот угол а мы и примем за П. угол 'между П. прямыми.
Подсчитывая евклидов угол а' между П. прямыми, находим, что он
совпадает с углом а, определяемым формулой (4). Таким образом,
мера угла по Лобачевскому (или П. мера угла) в интерпретации
Пуанкаре совпадает с евклидовой мерой того же самого угла.
Между прочим, отсюда следует, что сумма внутренних углов
треугольника ABC, образованного дугами окружностей,
ортогональных к окружности К и лежащих внутри К (т. е. прямыми Пуанкаре),
меньше к. Дело в том, что сумма этих углов равна сумме углов
соответствующего треугольника в геометрии Лобачевского, которая
меньше к. Следовательно, предложение о сумме евклидовых углов
криволинейного треугольника можно рассматривать как другое
выражение предложения о сумме углов треугольника в плоскости
Лобачевского. Точно так же предложение евклидовой
геометрии „через две точки, лежащие внутри окружности, можно всегда
провести только' одну окружность, ортогональную к К«, можно
рассматривать как другое выражение — модификацию предложения
„две точки в плоскости Лобачевского определяют только одну
прямую, с ними инцидентную4'.

§ 3. Интерпретация Пуанкаре
269
'Аналитическая форма неевклидовых движений
в интерпретации Пуанкаре.
Движения Н. должны абсолют К переводить самого в себя, а
окружности, ортогональные к нему,— в ортогональные Как известно из теории
функций комплексного переменного, преобразования, обладающие круговым
свойством (переводящие окружность в окружность), имеют вид:
s = *JZ+± - (5)
cz 4- flf v '
где z = x-\- iy, z' = x'-{-iy' — соответствующие пары точек, а а, Ь, с, d —
некоторые комплексные числа (параметры преобразования). Когда точка z
описывает окружность, точка z' описывает тоже окружность. Требуя, чтобы
преобразования (5) переводили абсолют К
x*-{-y* = R* или zz = R~
самого в себя, т. е. чтобы это равенство всякий раз влекло за собой
равенство _
x,0~+y'2 = R* или z'z'=R\
мы получим уравнение искомых движений в форме:
*=фе !~*° , (6)
**о-Я*
1
где z0 = x0-\-iy0 — точка, переходящая в начало координат (инверсная с ней
точка R-: z0 при этом переходит в бесконечно удаленную), а © —
скалярный параметр. Как видим, движения П. зависят от трех параметров х0, у0, ср.
*) Подробное изложение гиперболической геометрии в этой частной
интерпретации Пуанкаре имеется в книге С. А. Богомолова „Основания
геометрии*.
\
Черт. 143.
Отображая с помощью преобразований типа (5) внутреннюю область
абсолюта К на полуплоскость X, прилегающую к прямой а, получим частный
случай интерпретации Пуанкаре. В этой интерпретации роль П. точек
играют точки полуплоскости X, роль П. прямых — полуокружности с
центром на прямой а, которая здесь будет исполнять роль абсолюта (черт. 143).
Как будут выглядеть здесь постулат Лобачевского, окружность,
предельная линия и пр. -

270 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
В заключение отметим наглядную геометрическую связь
интерпретации Пуанкаре с интерпретацией Бельтрами-Клейна, идущую
через ортогональную и через стереографическую проекции.
Пусть 2 — сфера единичного радиуса, касающаяся плоскости
а интерпретации Б.-К. в- центре О абсолюта К', S' — полюс сферы,
диаметрально противоположный точке О (черт. 144). Проектируя
гиперболические образы Б.-К. ортогонально на нижнюю
полусферу, ограниченную горизонтальным экватором К0, мы г. точку М'
переведем в точку М0 полусферы, К' — в К0, а г. прямую А В'—
" Д
Черт. 144.
в полукруг A0BQi ортогональный к К0. Проектируя теперь из S'
отображенные образы с нАкней полусферы обратно на плоскость а,
мы переведем точку М0 в точку Ж, экватор К0 — в окружность К
радиуса 2 с центром О.
Поскольку эта стереографическая проекция обладает
конформным свойством, то она полуокружность A0BQi ортогональную к К0>
переведет в дугу АВ окружности, ортогональной к К.
Таким образом, в результате последовательного выполнения
ортогональной, а затем стереографической проекций, образы
интерпретации Б.-К. переводятся в образы интерпретации Пуанкаре. Так как
в интерпретации Пуанкаре мера угла 9 совладает,с евклидовой, а
стереографическая проекция сохраняет углы, то П. угол ср равен
е клидозу углу 9о: Учитывая, что П. угол 9 равен г. углу 9.' в
интерпретации Б.-К., мы получаем, что г. угол 9' равен сферическому
углу 9о> т- е- гипербълическая мера угла в интерпретации Б.-К.
совпадает с евклидовой мерой проектируемого сферического угла 1).
1) Подробное развитие этого можно найти в книге Ф. Клейна
„Неевклидова геометрия".

§ 4. Геометрия Лобачевского и теория поверхностей 27Г
§ 4. Геометрия Лобачевского и теория поверхностей.
В интерпретации Пуанкаре П. угол между г. прямыми совпадал с
евклидовым углом между ними, а П. расстояние между точками не совпадало
с евклидовым расстоянием между ними В связи с этим можно поставить
следующий вопрос.
Существует ли в евклидовом пространстве такая поверхность £, что
между ее точками М' и точками М плоскости Лобачевского можно
установить взаимно однозначное соответствие, в котором евклидова длина
ds' элемента дуги была бы равна длине ds соответствующего ему элемента
в плоскости Лобачевского?
Прежде чем дать ответ на этот вопрос, нужно установить, *как
измеряются длины дуг в плоскости Лобачевского.
Измерение длин дуг.
Пусть в плоскости Лобачевского каждому значению переменного t из.
интервала a^t^b отвечает одна и только одна точка М (t).
Многообразие этих точек будем называть кривой С. В зависимости от закона
соответствия (вообще говоря, не взаимно однозначного) кривые могут быть весьма
разнообразными 1). Возьмем на кривой С п-\-\ точек
Мп = М(а), М, (*!), М2 (t2),..., Mn.t (/„_,), Мп (tn = b),
соответствующих различным значениям /: *
fe = e<*i<>t<... </n.1</n = ^
и введем ломаную
МММ*... Мп_хМп.
Будем говорить, что она вписана в кривую С. Может случиться, что суще-
п — 1
ствует предел S периметра Sn= У MiMi+l этой вписанной ломаной, когда
« — о
число точек деления п стремится к бесконечности так, что длина
наибольшего звена ломаной стремится к нулю и притом независимо от способа
разбиения интервала (я, Ь). 1огда этот
предел 5 называется длиной С, а
кривая С — спрямляе мой.
Введем в плоскости полярную
систему координат Для этого фиксируем
в ней какой-нибудь луч ОХ с вершиной
О (черт. 145). Как известно, прямая луча
ОХ разбивает плоскость на две
полуплоскости, одну из них назовем
верхней, а другую — нижней. Отнесем
произвольно точке М пару чисел г, ср, из
которых г — расстояние от точки М до Черт 145
полюса Ог а ср — мера угла ХОМ, когда
М лежит в верхней полуплоскости и ср = 2гс минус мера угла ХОМ, когда
М лежит в нижней полуплоскости, причем ср = О для точек луча ОХ и
ср = п для точек дополнительного луча. Очевидно, что для всех точек
нашей плоскости г и ср будут меняться в границах: 0 ^ /' < оо, 0 ^ ср <«2ги,
и между точками и парами чисел л и ср из этих интервалов устанавливается
взаимно однозначное соответствие. Числа г, ср называются полярными
координатами точки М
1) В частности — кривыми Пеано, заполняющими двухмерные области.

272 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
Пусть С—кривяя плоскости Лобачевского. Поскольку каждому
/ (а ^ / ^ Ь) отвечает только одна точка М (t) на С, а точке М отвечает
только одна пара чисел л, ср (полярные координаты), то последние можно
рассматривать как функции t:
. r=r(t), cp = cp(f).
Эти равенства называются параметрическими уравнениями линии С.
Исключая из них t, когда это возможно, ^получим уравнение в форме л= г (со) —
явное уравнение (в потярных
координатах), или в форме F (л, ср) = 0 — неявное
уравнение. Очевидно, что всякое
уравнение г=л(?) изображает в плоскости
кривую (в смысле приведенного выше ее
определения). д
Покажем, что если г = г (?) — дифе-
ренцируемая функция, то кривая С
спрямляема и длина любой ее дуги в плоско-
сти Лобачевского выражается формулой:
* г
ЧУ
Г- +
sh
db (I)
<Ро
В самом деле, пусть / — длина хооды ММ', отвечающая приращению Дер
угла ср (черт. 146). Применяя к треугольнику ОММ' теорему косинусов
(стр. 226), получим:
ch — = ch
/
ch
г + Дл
г и г + Дг
sh — . sh —!
cos Дер.
Разлагая ch — , cos Дер в ряды Маклорена, a ch
Э ряды Тейлора, будем иметь:
л+Дг
sh
г А- ^r
ch
sh
r+bt
Р
г + Дг
= sh
-Р Р
т
Пбдставляя эти разложения в теорему косинусов и отбрасывая, в виду
предстоящего интегрирования, бесконечно-малые выше второго порядка
относительно Дер, / и Дг, находим:
/2 = (дг)*+ fp -sh Л" (Д*)2.
Суммируя / и переходя к пределу, поаучаем указанную выше формулу (I).
Между прочим, формула квадрата диференциала дуги
ds2 == dr2 + i p
sh -) dy*
(2)
инвариантна относительно полюса и полярной оси. Основываясь на ней,
можно подсчитывать длины различных линий в геометрии Лобачевского.

§ 4. Геометрия Лобачевского и теория поверхностей 273
Переходим теперь к решению вопроса, поставленного в начале этого
параграфа. Заметим, прежде всего, что если в евклидовом пространстве
такая поверхность £ существует, то ее гауссова кривизна постоянна и
1
равна £:
К = — ~»
р-
?
где р—параметр геометрии Лобачевского, который выше мы называли
радиусом кривизны пространства Лобачевского. В самом деле, по
определению поверхности, ее линейный элемент должен иметь вид:
ds2 = rfr2 + (р • sh-r-V d<p«
Как известно из диференциальной геометрии, гауссова кривизна
квадратичной формы
Ж?2 = Е du* + 2F du dv + G dv* (3)
выражается через ее коэфициенты £, F, G (по формуле Фробениуса) так:
1
К
FF F
GGJj-
2W\dv \ W J du\ W }V { '
где W=YEG — /*.
Сравнивая (2) и (З) и полагая в (4)
u = r, tf = <p, £=1, F= 0, (7= (р • sh —
мы получаем К = $. Так как гауссова кривизна не зависит от пара*
метризации и, v, то К= Г% и во всякой другой параметризации
(координатной системе). Итак, если первая квадратичная форма поверхности £
евклидового пространства имеет вид (2), то она имеет постоянную
отрицательную гауссову кривизну К'= г. Вследствие этого наш основной
вопрос сводится к вопросу: будет ли первая квадратичная форма
поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны в некоторой системе
координат иметь вид (2)?
Справедливо следующее утверждение: если поверхность £ с линейным
элементом (3) в некоторой системе координат имеет постоянную
отрицательную гауссову кривизну, то в достаточно малой окрестности
каждой неособой точки этой поверхности ее линейный элемент может
быть приведен к виду (2).
В самом деле, как известно из диференциальной геометрии, линейному
элементу поверхности в окрестности любой неособой точки можно придать
в полярно-геодезической системе координат г, <р следующий вид:
ds- = dr* + G(r, cp) dy\ , (5)
причем
о»'>-» №),_.->• <•>
Это справедливо в предположении, что через каждую точку
рассматриваемой Ьбласти в произвольном касательном к поверхности направления

274 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
проходит только одна геодезическая линия и что точка Я, выбираемая в
качестве полюса полярной геодезической системы, — неособая. Что же
касается этой системы координат, то она выбирается так: через точку Я
проводим какую-нибудь геодезическую
линию (черт. 147); тогда положение
любой точки М нашей поверхности
в окрестности Я может быть
определено длиной г геодезической линии
РМ и углом ср, образованным
геодезической РМ с линией 7-
Несколько слов относительно
условий (6) для функции G. Для диферен-
циала дуги ds окружности Гаусса
(геометрическое место точек поверхности,
удаленных по геодезическим, исходящим из полюса Я, на одном и том же
расстоянии л), из формулы (5) имеем: ds= j/(/(/\cp)dcp. Если угол dy
между криволинейными радиусами мы оставим постоянным и заставим г
стремиться к 0, то длина дуги гауссовой окружности, заключенная между
ними, будет тоже стремиться к 0; поэтому и ds стремится к 0.
Требуя, чтобы в равенстве ds = Уй (r, ср) rfcp ds стремилось к 0, когда
г—* 0, a dcp= const, получаем: G(0, ср) = 0
Черт. 147
Появление второго условия
т.
—— . = 1 объясняется тем, что в
дг 1г — о
достаточно малой окрестности неособой точки Я поверхности ее геометрия
с точностью до бесконечно-малых высшего порядка есть геометрия Евклида.
В таком случае при достаточно малом г ds эквивалентно г rfcp, ds s=^s r dy
Сравнивая это с равенством ds= j/G (г, ?)*/?, получаем ]/ G (r, cp)s^j r или
У G (г, ср)=л+члены высшего порядка малости относительно г, откуда »
следует, что
[дУ G (г, ср)\
\ дг /г-с>
Заметим, что в теореме о приведении формы (3) к виду (5) оговорка
,в достаточно малой окрестности* имеет существенное значение. Дело в том,
что в противном случае может оказаться, что через точку М и полюс Р
может пройти несколько геодезических линий, как это имеет, например,
место на сфере для точки М, диаметрально противоположной с Я, и мы
тогда не сможем между старыми и, v и новыми г, ср координатами точки
установить взаимно однозначного соответствия.
Итак, пусть гауссова кривизна формы (3) некоторой поверхности 2
отрицательна и равна -, /С= $. Мы утверждаем, что тогда в
достаточно малой окрестности каждой неособой точки этой поверхности ее
линейный элемент (3) может быть приведен к виду (2). На основании только
что упомянутой теоремы мы можем окрестность неособой точки Я отнести
к полярно-геодезической системе координат г, ср- Тогда в этой окрестности
линейный элемент поверхности примет вид (5). Так как гауссова кривизна
не зависит от арифметизации (системы координат и, v)t то гауссова
кривизна формы (5) будет тоже равна 5. Подсчитывая по формуле (4)
гауссову кривизну формы (5), получаем:
К
= 1 &YG
уд w •
(7>

§ 4, Геометрия Лобачевского и теория поверхностей 275
Полагая здесь /С= г, находим для функции G диференциальное
Р
уравнение:
*ур yg„o
дг* р2 ~
Решение этого уравнения имеет вид:
L _ —
\/~G = схе р + с2е ? > (8)
где сь с2 — функции от ср» Используя условия (6), находим ct
а потому
г^ г
._ е Р — <? р <г
/G = P 2 =P«shy-
Подставляя отсюда значение G в (5), получаем:
cfss= rfr8 + f p • sh — J rfcp2,
что совпадает с формулой квадрата линейного элемента гиперболической
плоскости в полярной системе координат. Итак, по крайней мере
достаточно малая окрестность неособой точки поверхности постоянной
отрицательной гауссовой кривизны может быть отображена на плоскость
Лобачевского с сохранением длины линейного элемента.
Учитывая оговорку „по крайней мере достаточно малая окрестность",
поставим следующий вопрос: не существует ли в евклидовом
пространстве поверхности, которая целиком отображается на плоскость
Лобачевского с сохранением длин соответствующих линий? Оказывается, что
это 'невозможно, и дело заключается в том, как показал в 1901 г.
Гильберт, что в евклидовом трехмерном пространстве не существует
поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны, не имеющей
особенностей (в виде ребер возврата или каких-нибудь других). В этих
особенностях и можно усмотреть причину, почему плоскость Лобачевского
нельзя целиком отобразить на эти поверхности с сохранением длины
(имеющиеся ребра возврата ставят, так сказать, непреодолимую преграду).
Но что нам дает локальное изометрическое (с сохранением длин
соответствующих линий) отображение окрестности неособой точки поверхности
постоянной отрицательной кривизны на плоскость Лобачевского? Ответ на
этот вопрос дается следующей теоремой.
Теорема. В окрестности любой неособой точки говерхности
постоянной отрицательной гауссовой кривизны в системе точек и
геодезических линий реализуется геометрия Лобачевского.
Как известно из диференциальной геометрии, квадратичная форма (3)
однозначным способом устанавливает измерение длин, углов и площадей
на поверхности. Поскольку линейный элемент поверхности £ постоянной
отрицательной гауссовой кривизны /С= — в окрестности любой не-
Р"
особой точки в полярно1 системе координат принимает в точности такой же
вид, какой имеет линейный элемент в полярной системе координат в
плоскости Лобачевского, то все метрические соотношения, относящиеся к
какой-нибудь фигуре F на поверхности с К= «~ (в окрестности
неособой точки), будут совпадать с метрическими соотношениями
соответствующей фигуры F' в плоскости Лобачевского и наоборот. Фигуры F и F*
= — с2
_i_
(7')

276 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
мы здесь называем соответствующими, если соответствующие
точки М, М' этих фигур имеют одинаковые полярные координаты г, ср.
Возьмем, например, геодезический треугольник ABC, т. е. треугольник,
образованный дугами геодезических линий (черт. 148).
В плоскости Лобачевского ему соответствует, очевидно, прямолинейный
треугольник А'В'С. Так как рассматриваемое отображение изометрично и
конформно, то соответствующие стороны и углы этих треугольников будут
равны д = д\ b = b\ с — с\ А=А\ £ = £', С=С; поэтому
тригонометрические формулы треугольника в
плоскости Лобачевского будут
распространяться и на геодезический треугольник.
Длина окружности, площадь
геодезического треугольника здесь будут
выражаться теми же формулами, что и в
геометрии Лобачевского.
Черт. 148. Связь геометрии Лобачевского с
геометрией поверхности постоянной
отрицательной гауссовой кривизны по существу была установлена Мандин-
гом в 1839—1840 гг.
В 1837 г. в 17 томе немецкого журнала Крелля были опубликованы
исследования Лобачевского по „воображаемой геометрии". В 1839 и 1840 гг.
в 19 и 20 томах этого же журнала Миндинг поместил две работы,
содержащие исследования геометрии поверхностей, обладающих постоянной
гауссовой кривизной. В этих*работах Миндинг установил 3 типа поверхностей
вращения постоянной отрицательной гауссовой кривизны — он показал, что
они налагаются друг на друга, и нашел тригонометрические уравнения
геодезического треугольника этих поверхностей. Миндинг обнаружил также
следующий интересный факт: если в тригонометрических формулах
сферического треугольника стороны умножить на мнимую единицу, /=1/^—1,
и углы оставить без изменения, то получающиеся соотношения совпадают
с тригонометрическими соотношениями элементов
геодезического'треугольника поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны. Долгое
время никто не подозревал, что работа Миндинга имеет тесную связь с
„Воображаемой геометрией" Лобачевского, помещенной на 2 года раньше
на страницах того же самого журнала. И только через 28 лет, в 1868 г.,
Белътрами в работе „Опыт интерпретации неевклидовой геометрии"
установил связь между этими исследованиями Лобачевского и Миндинга.
Занимаясь картографией, Бельтрами обнаружил, что только поверхности
постоянной гауссовой кривизны могут быть отображены на плоскость так, что
геодезические линии изобразятся прямыми линиями. Поскольку поверхности
нулевой гауссовой кривизны (развертывающиеся поверхности — конические,
цилиндрические и поверхность касательных к любой пространственной
кривой) и постоянной положительной гауссовой кривизны (сфера и изгибания
ее частей) были достаточно изучены, то Бельтрами сосредоточил свое
внимание на исследовании поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой
кривизной. Занявшись этим, он обнаружил, что геометрия таких
поверхностей совпадает с геометрией Лобачевского. Таким образом, геометрия
Лобачевского, построенная абстрактно, чисто логически, получила свое
подтверждение на поверхностях постоянной отрицательной кривизны*).
*) Впрочем, связь геометрии поверхности постоянной гауссовой кривизны
с геометрией Лобачевского была известна еще Риману в 1854 г., о чем
свидетельствует его знаменитая диссертация .О гипотезах, лежащих в
основаниях геометрии".
я

§ 4. Геометрия Лобачевского и теория поверхностей 277
Поверхности, на которых осуществляется
геометрия Лобачевского.
Следуя Миндингу, найдем поверхности вращения постоянной
отрицательной гауссовой кривизны, на которых локально осуществляется
геометрия Лобачевского. Отнесем евклидово трехмерное пространство к
некоторой декартовой прямоугольной
системе координат х, у, z. Уравнение
поверхности вращения около оси
OZ возьмем в форме *
* = /(г), г= У**+у*,
где г—расстояние от точки
поверхности до оси вращения OZ. Выберем
на искомой поверхности гауссову
систему координат следующим
образом: положим и = г, a v = ©, где
ср —угол, образованный плоскостью
меридиана, проходящего через точку
М, с плоскостью XOZ; тогда
семейство а = г =^ const — семейство
параллелей, a t/ = cp =
const—семейство меридианов (черт. 149).
Выражая декартовы координаты х\ у, z
текущей точки поверхности через ее
гауссовы координаты, будем иметь:
х = г cos ср, у = г sin ср, z = Дг).
Черт. 149.
Выражая отсюда dx, dyy dz через
г, ср, dr, rfcp и подставляя в формулу
ds\=.dx%-\-dy*-\-dz*t получим линейный элемент поверхности вращения:
rfs2 = {I -f- Г/'(г)12} rfr2 + r^cp2.
Полагая в формуле Фробениуса (4) u = r, v = ср, Е= 1 -f- [?' (г))2, F=0,
G = г\ находим для гауссовой кривизны поверхности вращения выражение:
iC=-JLA. ( ' ] \
2r dr [ 1 + |/'(г)1» )'
Чтобы получить уравнение поверхности вращения постоянной
отрицательной гауссовой кривизны, положим в найденном выражении К= '—
тогда для функции /(г) мы будем иметь уравнение:
- ( Х \—2г
dr [ l+f/'C)|2 )- p> *
Интегрируя его, найдем:
TTlTW^f + Сили [ /Чг) Г = -4^>
где положено
а« = р«(1-С).
Интегрируя еще раз это уравнение, получим:

278 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
— искомое уравнение поверхности вращения постоянной отрицательной
гауссовой кривизны К= — •
Р"
Для выяснения вида этой поверхности, очевидно, достаточно выяснить
характер какого-нибудь меридианального сечения. Возьмем м'еридианальное
сечение, лежащее в плоскости XOZ; его уравнение будет:
~*sv
аа — х1
х- -j- р* —
; dX-
(9')
(для точек плоскости XOZ г=х).
Здесь возможны три следующих случая.
Случай 1. д = р. При а = р уравнение (9') принимает вид:
-*/
У?-<
-dx.
(10)
Полагая ,v = psin^ и интегрируя, найдем уравнение меридиана в
параметрической форме.
х = р sin tt z = ± р In tg -s- + cos t .
Постоянному интегрирования, дающему при
изменении сдвиг поверхности в направлении оси OZ,
а потому не изменяющему ее вида, мы придали
значение 0. Поскольку в правой части выражения z
возможны оба знака, то наша кривая симметрична
относительно оси ОХ. Когда t меняется в пределах
-~-^tf^=0, расстояние г текущей точки кривой
до оси OZ монотонно стремится к нулю от
значения г=р при t = — (черт. 150). Что же
касается z, то, как нетрудно видеть, при этом z от
значения 0 монотонно стремится к оо. Точка Л, со-
ответствующая значению t = -~- , есть точка
возврата кривой (10). В самом деле, для углового ко-
эфициента касательной к нашей кривой с осью ОХ
Черт. 150. имеем:
dx ~~ х
При х—*р мы отсюда получаем:
t. dz
x-+?dx
= 0,
что и означает, что ось ОХ касается нашей кривой и, следовательно,
точка Л — точка возврата.
Кривая (10) называется трактрисой, а поверхность, образованная ее
вращением вокруг оси OZ% — псевдосферой. Она имеет вид, изображенный на
чертеже 151,а.

$ 4. Геометрия Лобачевского и теория поверхностей 279
Случай 2. д < р. Чтобы подкоренное выражение в интеграле (9) было
положительным, х должно меняться в пределах 0^х^.а. Выбирая
постоянные интеграции так, чтобы 2 = 0 при х=а, мы получим уравнение
Г1 f а* — х%
-dx.
(П)
Эта кривая симметрична относительно оси ОХ. Точка А(х = а, 2=0) для
нее —точка возврата [поскольку (-j—) =0]. Когда х—+ 0, точка М
\dx J х=а
Черт. 151.
стремится к точке Я, лежащей на оси OZ и находящейся от начала
координат на расстоянии t
о
h = SV/l?-a*dx-
Кривая имеет вид, изображенный на чертеже 152. При вращении ее около
оси OZ получается поверхность, представленная на чертеже 151, б.
Случай 3. а > р. Чтобы избежать мнимости в интеграле (9), мы
должны х рассматривать изменяющимся в интервале \^а2 — р*^х^а.
Полагая 2 = 0 при х = а, будем иметь уравнение нашей кривой:
-*№&**<-
(12)
Как и в предыдущих случаях, эта кривая симметрична относительно оси
ОХ и имеет вид, изображенный на чертеже 153. Касательная в точке

280 Глава VI. Интерпретация геометрии Лобачевского
А (х = а, z = О)4 совпадает с осью ОХ, а в точке М (х = У а2 — р£, z <=■ h}
J-. Г а* xi
У * \ 2 г *Хт Вращая эту
г
.. о,
1
Уа~у
, а
М
\
i /
i /
i/
А
\
\
t
1
Черт. 152.
Черт. 153.
кривую вокруг оси OZy получим, третий тип поверхности вращения,
изображенный на чертеже 151, в.
Итак, мы видим, что все три типа поверхностей вращения постоянной
отрицательной гауссовой кривизны имеют особенности, именно — ребро
возврата.
Справа от поверхностей 151 а\ б), в) изображены те части плоскости
Лобачевского в интерпретации Бельтрами-Клейна, которые взаимно
однозначно отображаются на соответствующую поверхность. В случае а)
отображающейся областью служит область плоскости, ограниченная
параллельными (сходящимися на абсолюте) и предельной линией, ортогональной с
ними; в случае б) — сектор круга с центром в произвольной точке (на
чертеже — в центре абсолюта), а в случае в) — парой расходящихся прямых
(пересекающихся вне абсолюта) и парой дуг ортогональных с ними экви-
диста*нт. Во всех случаях прямолинейные границы переходят (отображаются)
в один диаметр соответствующей поверхности; отрезки прямых пучка с
центром в соответствующей точке (на абсолюте, внутри и вне его)
переходят в меридианы поверхности, а ортогональные к ним дуги линий
(предельной окружности и эквидистанты) переходят в параллели поверхности.

Глава VII.
ТЕОРИЯ ПЛОЩАДЕЙ.
В этой главе мы рассмотрим вопрос о площадях плоских
фигур как в плоскости Евклида, так и в плоскости Лобачевского.
По определению, будем называть площадью многоугольника
положительное число, обладающее следующими свойствами:
1) конгруентные многоугольники имеют одинаковые площади,
2) площадь суммы двух многоугольников равняется сумме
площадей этих многоугольников\
Аксиомам параллельности V и V соответствуют различные
способы измерения площадей; поэтому нам придется рассмотреть их
раздельно.
§ 1. Площадь многоугольника в геометрии Евклида.
В школьных руководствах по евклидовой геометрии
последовательно выводится ряд следующих теорем:
Если площадь (в смысле приведенного определения) существует
и квадрату со стороной, равной /, отнесена площадь, равная
единице^ то:
Теорема 1: площади двух прямоугольников с равными
основаниями относятся как их высоты;
Теорема 2: площади двух прямоугольников относятся как
произведения соответствующих измерений;
Теорема 3: площадь прямоугольника равна произведению
двух"его измерений;
Теорема 4: площадь параллелограма равна произведению
основания на высоту;
Теорема 5: площадь треугольника равна половине
произведения (любой) стороны на (соответствующую) высоту.
Так как обычные доказательства перечисленных теорем
сохраняют силу и теперь, то мы приводить их не будем 1).
Площадь многоугольника в школьном курсе геометрии подсчи-
тывалась как сумма площадей треугольников, на которые его
разлагают, и на этом теория площадей многоугольников заканчивалась.
') См., например, Ж. Адамар, Элементарная геометрия. Перевод с
французского под ред. проф. Д. И. Перепел кина, Учпедгиз, 1936, стр. 215—219..

282
Глава VII. Теория площадей
Нетрудно понять, что с логической точки зрения эти рассуждения
недостаточны для обоснования измерения площадей. В самом деле,
где гарантия того, что, разлагая другим способом данный
многоугольник на треугольники и подсчитывая площадь как сумму
площадей таких треугольников, мы не получим другой результат? Кроме
того, нужно еще показать, что определенная таким образом
величина удовлетворяет нашему определению.
Чтобы уточнить это, проведем нижеследующие рассуждения.
Пусть ABC — произвольный треугольник, а О — любая точка
плоскости. Соединяя эту точку с вершинами А, В, С, мы получим
три треугольника с вершиной О: ОАВ, ОВС и ОСА. Условимся
треугольник ОАВ (соответственно ОВС, ОСА) называть положи-
тельным, если точка О лежит с точкой С (соответственно А, В)
в одной и той же полуплоскости относительно прямой АВ
(соответственно ВС, С А), и отрицательным — в противном случае.
Теорема 6. Для трех треугольников ОАВ, ОВС, ОСА
разность между суммой площадей положительных треугольников и
суммой площадей
отрицательных треугольников не
Черт. 154.
зависит от положения точки О на плоскости и равна
площади исходного треугольника ABC.
Вся плоскость треугольника ABC разбивается его сторонами
АВ, ВС и С А на 7 областей (черт. 154): одну внутреннюю (/), три
области (2, 3 и 4), каждая из которых отделена от внутренней
области одной стороной и продолжением двух других сторон, и три
области (5, 6, 7) — области углов, вертикальных к углам треугольника.
В зависимости от положения точки О относительно
треугольника ABC, мы будем иметь 5 существенно различных случаев,
которые и рассмотрим по очереди.
1. Точка О лежит на одной из сторон. Пусть, например,
точка О лежит на стороне АВ (черт. 155). В таком случае
треугольник ОАВ вырождается в двойной отрезок АВ. Если h—высота CD,
опущенная из верш.ины С на сторону АВ, то сумма площадей
треугольников ОВС, О АС будет равна
-iАО • h + уОВ • h = j(AO + OB)-h= \ АВ - h,

§ 1. Площадь многоугольника в геометрии Евклида 283
что выражает площадь треугольника ABC. Поскольку треугольники
ОАС, ОВС положительные, то в этом случае теорема доказана.
2. Точка О лежит на продолжении одной из сторон. Пусть О
лежит на продолжении стороны АВ, причем А лежит между О и В,
(черт. 156). Тогда Д ОАВ исчезает, Д ОВС положителен, а Д ОСА
отрицателен. Так как
S{OAB) = 0, S(OCA) = ±OA. h, S(OBC) = I OB-h,1)
то
S(OBC) — S(OCA) = ^OB-h — ±OA.fi = ±;(OB — OA)-h.
= ^AB-h = S(ABC).
Случай, когда точка В лежит между точками Л и О,
рассматривается совершенно так же.
3. Точка О лежит внутри треугольника. Все три треугольника
положительны. Продолжим отрезок СО до пересечения в точке О'
со стороной АВ (черт. 157). Тогда треугольник ОАВ будет состоять
из треугольников ОАО', ОО'В и, согласно случаю 1, мы будем
иметь:
5 (ОАВ) = S (ОАО') -f 5(ОО'В);
поэтому
5 (ОАВ) -f 5 (ОВС) -f 5 (ОСА) =
= 5 (ОАО') -f 5 (ОСА) -f 5 (ОО'В) + 5 (ОВС).
Но, по первому случаю, сумма двух первых слагаемых даст 5 (АО'С),
а сумма двух последних есть S(0'BC). Опять, на основании
случая 1,
5 (АО'С) -f 5 (О'ВС) = S (ABC),
что и требовалось доказать.
*) 5 (ОАВ) — обозначение площади треугольника ОАВ и т. д.

284
Глава VII. Теория площадей
4. Точка О лежит вне данного треугольника, но внутри одного
из его углов. Пусть О лежит, например, внутри угла АСБ и вне
треугольника АБС (черт. 158); тогда треугольники ОСА и ОБС
будут положительными, а треугольник ОАБ — отрицательным.
Обозначая буквой О' точку пересечения отрезка СО со стороной АБ>
на основании случая 1, как и выше, имеем равенства:
5 (ОСА) = S (АОО') + S (АО'С),
S (ОБС) = S (00'Б) + 5 (О'ВС),
S (ОАБ) = S (АОО') + ^ (QO'B),
Откуда
5 (ОСА) + S(OBC) — S(OAB) = S(AO'C) -\-S(0'J]C),
что, по случаю 1, равно S(ABC).
Черт. 158. • Черт. 159.
5. Точка О лежит внутри угла, вертикального одному из углов
треугольника. Пусть О лежит внутри угла, вертикального углу АСБ
(черт. 159). В таком случае точка С лежит внутри треугольника АБО
и, согласно случаю 3,
S(ABC)-{- S(OCA) + S(OBC) = S(OAB)
или
S (ОАБ) — S (ОСА) — S (ОБС) = S(ABC),
что и требовалось, поскольку треугольник ОАБ положителен, а
треугольники ОСА, ОБС отрицательны.
Теорема 7. Сумма S площадей треугольников, полученных
от разложения данного многоугольника МХМЧ... МпМх, не зависит
от способа разложения.
Возьмем в плоскости многоугольника Р какую-нибудь точку О
(черт. 160). По предыдущей теореме площадь произвольного
треугольника АБС, входящего в наше разложение, можно представить
в виде
S(ABC)=erS(OAB) + srS(OBC) + e^S(OCA),

§ 1. Площадь многоугольника в геометрии Евклида 285
где et. = -f-l или—1, в зависимости от того, будет ли
соответствующий треугольник положительным или отрицательным. Если
сторона АВ лежит внутри многоугольника, мы можем считать, что
на ней лет вершин других треугольников. Действительно, если бы
на стороне АВ существовала вершина О' какого-нибудь
треугольника, то, учитывая, что
S(0'AC)-\-S (О'ВС)^
= S(ABC) (см. случай 1
в доказательстве
предыдущей теоремы) и что
в теореме речь идет о
сумме площадей, мы могли
бы треугольники О1 АС,
О'ВС заменить одним
треугольником ABC.
Итак, будем полагать,
что в нашем разбиении
никакой отрезок АВ,
лежащий внутри
многоугольника, не содержит
вершин треугольников.
В таком случае каждому
отрезку АВ
соответствует только два
треугольника ABC и ABC,
для которых АВ — общая сторона.
Поскольку их вершины С и С лежат по разные стороны от
АВ, то в сумме
5 (ABC) = s/ • 5 (ОАВ) + s2' • 5 (ОВС) + е3' • 5 (ОСА),
е/= — ev и поэтому сумма площадей треугольников ЛВС и ABC
будет равна
s2 • 5 (О ВС) + е3 • 5 (ОСА) + е2' • 5 (О ВС) + s'3 • 5 (ОСА).
Таким образом, в сумму площадей всех треугольников,
являющихся разложениями нашего многоугольника, площадь треугольника
ОАВ входить не будет.
Мы утверждаем теперь, что сумма площадей всех треугольников
нашего разложения, представляемых по теореме б как разность между
суммой площадей положительных треугольников и суммой площадей
отрицательных треугольников с вершиной О, не зависит от вершин
треугольников, лежащих внутри многоугольника.
В самом деле, пусть точка А, не лежащая* на контуре
многоугольника, служит вершиной треугольников ABC, ACD, ADE, АЕС\
АС В. Поскольку отрезки АВ, AC, AD, AE, АС являются общими
сторонами соответствующих пар треугольников, то, как только что
установлено, площади суммы этих пяти треугольников не содержат
площадей треугольников ОАВ, О AC, OAD, ОАЕ, О АС; поэтому
Черт. 160.

286
Глава VII. Теория площадей
з общую сумму площадей всех треугольников точка А входить не
будет.
Итак, сумма площадей всех треугольников нашего разложения
не зависит от вершин треугольников, лежащих внутри
многоугольника. В этой сумме уцелеют только те члены ±S(OQR), которые
отвечают треугольникам OQR с вершинами Q, R на контуре
многоугольника. Как только что было установлено, эти вершины не могут
лежать на разных сторонах; в противном случае звено QR лежало
бы или внутри многоугольника, и тогда член S(OQR) в сумлТе
площадей исчезает, или вне многоугольника, что противоречит
характеру разбиения, так как звенья нашего разбиения не выходят
из внутренней области многоугольника. Поскольку каждый член
±S{OQR) остался от рассмотрения треугольника QRU, вершина U
которого лежит внутри многоугольника, то перед S(OQR) нужно
взять знак „-{-", если О лежит от прямой QR с той же стороны,
чго и точка U, или знак „—*, если О лежит с другой стороны
от QR. Так как точка U лежит в той полуплоскости, отределяемой
прямой QR или соответствующей стороной многоугольника (на
чертеже МХМ^)У в которой лежит область многоугольника,
непосредственно примыкающая к этой стороне, то выбор знака у S(OQR)
можно произвести, не зная вершины ' U. Именно, перед S(OQR)
нужно взять знак я-)-а, если О лежит в той полуплоскости
относительно прямой QR, в которой лежит область многоугольника,
непосредственно примыкающая к отрезку QR, и знак „—* в
противном случае. Если на какой-нибудь стороне MkMk+l нашего
многоугольника лежит несколько отрезков (на нашем чертеже сторона
МХМ2 состоит из отрезков MtT, TQf QR, RM2), то площади, им
соответствующие, будут, очевидно, входить в сумму с одинаковым
знаком; согласно случаю 1 в доказательстве предыдущей теоремы,
мы можем их заменить площадью S(OMkMk+l) с тем же самым
знаком.
Итак, сумма площадей треугольников, являющихся разложениями
данного многоугольника, представляется в виде
S = ex-S {ОМхМ2) + е2 . 5 (OM2Mf + .. . + еп . S (ОМяМх),
где £^. = 4-1 или —1, в зависимости от того, лежит ли точка О с
той стороны от отрезка М;ММ9 к которой непосредственно
примыкает внутренняя область многоугольника, или с противоло-
ложной.
Поскольку сумма S площадей треугольников, как показывает
полученная формула, не содержит треугольников разложения, то она
не зависит от характера разложения многоугольника, что и
требовалось доказать.
С другой стороны, поскольку площади треугольников нашего
разложения не зависят от точки О (теорема 6) то 5, как сумма
этих площадей, от точки О не зависит (наше равенство — тождество
относительно точки О).

§ 2. Равновеликоеть и равносоставленность многоугольников 287
Определение. Назовем значение S площадью многоугольника.
Теорема 8. Конгруентные многоугольники имеют
одинаковые площади.
Это сразу вытекает из того, что конгруентные многоугольники
можно разложить на попарно конгруентные треугольники.
Теорема 9. Площадь S(P) суммы Р многоугольников Рх и Р2
равняется сумме площадей многоугольников, S(P) = S(P,) -f- S (Р2)>
Пусть S(Pt) и S(P2) получены в результате каких-либо
разложений многоугольников Plt P2 на треугольники. Ясно, что эти
разложения вместе образуют разложение многоугольника Р на треугольники.
Сумма этих треугольников образует S(P). Объединяя слагаемые
этой суммы, отвечающие треугольникам, входящим в многоугольник Р„
в одну группу, а остальные составляющие — в другую, получим SiPx)
и S(P2\ т. е. S(P) = S(Pi) + S{P2).
Теоремы 8 и 9 показывают, что так определенная площадь
многоугольника удовлетворяет и определению площади треугольника.
Умножая все эти площади на произвольную постоянную
положительную величину k, получим измерение площади многоугольника,
удовлетворяющее определению. К нему мы могли бы, очевидно,
прийти, следуя указанному пути, если бы с самого начала отнесли
квадрату со стороной, равной 1, площадь, равную k единицам.
Итак, наше определение, площади устанавливает измерение
многоугольников однозна'чно с точностью до произвольного постоянного
множителя.
Теорема 10 (предложение Децольта). Никакой
многоугольник невозможно разложить на такие части, которые, будучи
расположены иначе, составили бы новый многоугольник, целиком
лежащий внутри многоугольника.
Допуская противное, мы будем в многоугольнике иметь части,
имеющие нулевую площадь, что, очевидно, невозможно.
§ 2. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.
Определение. Два многоугольника с одинаковыми площадями
называются равновеликими. Многоугольники называются равносо-
ставленными, если их можно разложить на попарно конгруентные
многоугольники.
Очевидно, что многоугольники, состоящие из суммы равносо-
ставленных многоугольников, между собой равносоставлены.
Теорема 11. Два многоугольника, равносостав ленные с
третьим, равносоставлены между собой.
Пусть многоугольники Р, и Р2 равносоставлены с
многоугольником Р. По определению равносоставленности, это означает, что,
с одной стороны, многоугольник Р можно разложить на такие
части /?„ р2,..., рт, которые составляют многоугольник Pv а с
другой— на многоугольники р1, /?2, ...,/?й, составляющие
многоугольник Р2. Общая часть р/ многоугольника pt 1-ой группы, и
многоугольника pi 2-ой группы есть либо многоугольник, либо нуль (т. е.

288
Глава VIL Теория площадей
не существует). Совокупность многоугольников р/ (/=1, 2, . ..,/я;
у==1, 2,...,/г) образует, очевидно, новое разложение
многоугольника Р. При изменении индекса j многоугольники р/ образуют
многоугольник рь, а при изменении / — многоугольник /Л По условию,
при изменении индекса / многоугольники р. образуют
многоугольник Рх, а при изменении / многоугольники pJ составляют Р2.
Выходит, таким образом, что, комбинируя разложения р/
многоугольника Р одним способом, мы получаем многоугольник Рх, а другим
способом — Р2. Так как в каждый из них непременно входит р/9
то Рх и Р± равносоставлены.
Теорема 12. Равновеликие треугольники равносоставлены.
Разобьем доказательство на три случая.
Случай 1. Пусть треугольники ABC, CBD — „смежные", т. е.
имеют общую сторону ВС,.г. стороны АВ и BD лежат на одной
прямой (черт. 161).
Из равновеликости смежных треугольников следует, что АВ =
=t BD. Проводя BF || AC, BE \\ CD, мы разобьем треугольники на
части 1, 2, Г, 2\
Так как АВ = BD и BE \\ CD, то, по теореме о средней линии
треугольника, AE = EC = BF и на том же основании DF = FC =
= BE. Следовательно,
Черт. 161. Черт. 162.
Случай 2. Пусть теперь равновеликие треугольники ABC и
А1 В'С имеют по одной равной стороне, например АВ = А1 В'.
Совместим их так, чтобы равные стороны совпали, а вершины С
и С лежали по разные стороны от прямой АВ. Так как площади
треугольников ABC и А'В'С равны, а основание АВ общее, то
высоты СЕ и СЕ', опущенные на АВ из вершин С, С, будут равны.
Пусть точка D пересечения СС с АВ лежит между А и В (черт. 162).
Поскольку треугольники ADC и A'DC имеют общее основание AD
и равные соответствующие высоты СЕ, СЕ*, то они равновелики.
По предыдущему случаю они будут смежны, а значит и
равносоставлены. По той же причине будут равносоставлены и треугольники DBC
и DB'C. Так как точка D лежит между точками А и В, то
треугольники ABC, А'В'С состоят из равносоставленных треугольников
и поэтому будут тоже равносоставлены.

§ 2. Равновеликость а равносоставленность многоугольников 289
•Если D лежит вне стороны АВУ как указано на чертеже 163,
где В лежит между А и D, то поступим следующим образом. На
прямой АВ построим ряд отрезков АВ, ВВХ, ВХВ2,..., Вп_1Вп так,
чтобы точка В лежала между точками А и Вх, Вх — между В и В2,...,
Вп_х — между Вп_2 и Вп и чтобы ВВХ = ВХВ2 = ...= Вп_хВп = АВ.
По теореме 73 (стр. 91 — предложение Архимеда) найдется такое я,
*
что точка D (ABD) будет лежать между А и Вп. Если отрезок AD
не кратен отрезку АВ, возьмем п таким, чтобы D лежала между ВЯ_А
и Вп. Соединяя точки С, С с точками Bv В2,..., Вп, получим два
ряда треугольников:
1) Л ABC, Л BBfi, Д ВХВ2С, ..., Л Вп__хВпС,
2) &АВС\ &ВВХС, &BtB2C',..., &Вп_хВпС.
Так как треугольники BkBk+tC, ВшВк+2С имеют равные
основания BkBM, ВЫВМ, лежащие на прямой АВ, по разные стороны
от точки Вш и общую
сторону ВШС, го, согласно
случаю 1, они равнососта-
влены. В силу
транзитивности свойства
равносоставленности (теорема 11)
треугольники любой пары
первой группы будут между
собой равносоставлены,
например, Д ВПтт1ВпС равно-
составлен с Д ABC. По той
же причине Д Вп_хВпС
равносоставлен с Д АВС\ Поскольку точка D лежит между точками
Вп_х, Вп и треугольники равновелики (имеют общее основание и
равные высоты), то, по случаю 1, они равносоставлены. Учитывая, что
они порознь равносоставлены соответственно с треугольниками
ABC, ABC', на основании теоремы 11 заключаем, что треугольник
ABC равносоставлен с треугольником ABC*.
Если отрезок AD кратен АВ, AD = п • АВ (D—B^), то
треугольники Вп_2Вп_хС и Вп_2Вп_хС смежны; по случаю 1 они будут
равносоставлены. Так как (на том же основании, что и выше)
&Вп_2Вп_хС равносоставлен с Д ABC, а Д Вп_2Вп^С
равносоставлен с Д АВС\ то, по теореме 11, треугольник ABC
равносоставлен с треугольником ABC, что и требовалось доказать.
Случай' 3. Пусть, наконец, мы имеем любую пару
равновеликих треугольников ABC, A'B'C (черт. 164).
Проведем через вершину С прямую CD \\ АВ, а через С —
прямую С'С || А'В'. Возьмем затем на этих прямых точки D и D* так,
чтобы AD = A'D\ что, очевидно, можно сделать всегда и притом
бесчисленным множеством способов. Соединяя точку D с В, a D* с В9,
получим между собой равновеликие треугольники ABD, A'B'D*.
Поскольку в них стороны AD и A'D' равны, то, согласно случаю 2,
С
Черт. 163.

290
Глава VII. Теория площадей
они равносоставлены. По той же причине они равносоставлены с
треугольниками ABC, A'B'C. На основании теоремы 11 заключаем,
что наши треугольники равносоставлены.
Теорема доказана полностью.
Теорема 13. Всякий многоугольник равносоставлен с
некоторым равновеликим ему треугольником.
Пусть Д i> Д2,..., Дш суть т треугольников, на которые
разлагается данный многоугольник. Подберем число h и числа а, а2,...,
ат так, чтобы а, • h = 2S(AX), и на какой-нибудь прямой а отложим
ряд отрезков AAV АХА2,...,
Ат-\Ат <черт. 165),, длины
которых соответственно
равны а„ а2, ..., ат. Вне прямой
а возьмем любую точку С из
тех, которые удалены от
прямой на расстоянии h. Ясно, что
треугольники ЛЛ,С,Л,Л2С,...,
Ат_1АтС будут равновелики
соответственно с
треугольниками д1э Д2
Аг
D Ат2»Л„
Черт. 165.
в силу предыдущей теоремы
они будут и равносоставлены с ними. Значит, треугольник ААтС
состоит из треугольников, равносоставленных с соответствующими
треугольниками, служащими разложениями данного многоугольника.
Отсюда следует, что наш многоугольник равносоставлен
треугольнику ААтС.
Теорема 14 (Больяи-Гервина). Равновеликие многоугольники
равносоставлены.
Если многоуюльники Pv P2 равновелики, то по теореме 13
существуют греугольники Д„ Д2 равновеликие и равносоставленные
с ними. По теореме И многоугольники Р1 и Я2 равносоставлены.
Об измерении объемов многогранников.
Теория измерения многогранников может быть развита в основном по
тому же плану, что и приведенная выше теория измерения
многоугольников. Следуя этому порядку, мы должны были бы определить сначала объем
как число, удовлетворяющее требованиям: 1) конгруентные многогранники
имеют одинаковый объем, 2) объем суммы многогранников равен сумме
объемов его составляющих многогранников.

§ 3. Измерение площадей в геометрии Лобачевского 291
Допуская затем существование объемов многогранников и приписывая
кубу со стороной, равной 1, объем, равный 1, мы можем вывести теорему
об объеме прямоугольного параллелепипеда, призмы и пирамиды; объем
последней оказывается равным одной трети произведения площади
основания на соответствующую высоту.
Определяя объем V многогранника как сумму объемов тетраэдров, на
которые он разлагается, мы можем показать, что эта величина V не
зависит от способа разложения и обладает всеми свойствами объема.
Чрезвычайно интересно, что в пространстве теорема об
эквивалентности равно великости с равносоставленностью для многогранников
несправедлива. Как доказали Ден и Каган, существуют равновеликие, но не
равносоставленные тетраэдры и что, например, методом разложения
правильный тетраэдр не может быть преобразован в равновеликий ему
прямоугольный параллелепипед.
Хотя равновеликие многогранники вообще и нельзя разложить на равно-
составленные тетраэдры, но, как показал Зюс, они всегда могут быть
разложены на равновеликие тетраэдры.
В курсах элементарной геометрии при выводе формулы объема пирамиды
прибегают к методу пределов — явление, которое мы не встречаем в
изложенной выше теории измерения многоугольников. Это явление не
случайное; оно объясняется тем, что равновеликие тетраэдры, вообще, не равно-
составлены1).
§ 3. Измерение площадей в геометрии Лобачевского.
Допуская в геометрии Лобачевского существование площади
многоугольника, удовлетворяющей формулированному выше
определению, мы выведем ряд теорем, обнаруживающих связь площади 5
треугольника с его „угловым дефектом* Ъ = ъ — а — р — *у, где
а, (i, 7 — углы треугольника; покажем, что площадь пропорциональна
угловому дефекту о, а затем определим площадь многоугольника,
как и выше, и докажем, что она удовлетворяет нашему определению
площади.
Теорема 15. Четырехугольники Саккери с одинаковыми
верхними (или с одинаковыми нижними) основаниями и равными
острыми углами имеют одинаковые площади.
Пусть два четырехугольника Саккери ABCD и A'B'C'D'
удовлетворяют условию теоремы. Наложим A'B'C'D' на ABCD так, чтобы
верхнее основание CD' совпало с СД а полуплоскость,
определяемая прямой CD' и точками А\ В\ совпала с полуплоскостью,
определяемой прямой CD и точками А, В (черт. 166). В силу равенства
острых углов при верхних основаниях, сторона С В' пойдет по
стороне СВ, а сторона D'A' — по стороне DA. Мы утверждаем, что
CB' = CBt D'A*=DA.
Действительно, если бы этого не было, то четырехугольник
ABB'А' был бы прямоугольником, что невозможно. Итак, наши
четырехугольники конгруентны; поэтому они имеют одинаковые площади
(1-е свойство площади).
1) По затронутым здесь вопросам рекомендуем обратиться к книжке
В, Ф. Кагана „О преобразовании многогранников", ГТТИ, 1933.

292
Глава VII. Теория площадей
Совершенно аналогично доказывается конгруентность
четырехугольников Саккери по одинаковым нижним основаниям и равным
острым углам при верхние основаниях.
Теорема 16. Площадь треугольника равна площади
четырехугольника Саккери, у которого верхнее основание равно одной
из сторон треугольника, а сумма острых углов при нем равна
сумме углов треугольника.
Опустим из концов какой-нибудь стороны, например АВ,
треугольника ABC на среднюю линию ЕЙ (соединяющую середины Е
D С D'
С9
СА%
\(В')
'а *\
В Д'
Черт. 166.
Черт. 167.
и Н сторон АС и ВС) перпендикуляры AG и BF (черт. 167). Мы
утверждаем, что четырехугольник ABFG — четырехугольник Саккери,
имеющий одинаковую площадь с треугольником ABC, причем
£mBAG + LABF = lmBAC+ £ABC + LACB.
Действительно, опустим из вершины С на GF перпендикуляр СК.
Замечая, что прямоугольные треугольники AEG и СКЕ имеют равные
гипотенузы, АЕ = ЕС и равные острые углы £AEG и /_СЕК, как
вертикальные, заключаем, что они конгруентны. По той же причине
конгруентны и треугольники BFH и СКН. Из этих конгруентностей
следует AG = CK> BF = CK и, следовательно, AG = BF, т. е.
четырехугольник ABFG—четырехугольник Саккери.
Предположим теперь, что точка К лежит между точками G и F.
По свойству угла, СК встречает сторону АВ в некоторой точке К'.
Значит, СК лежит между СЕ и СН\ поэтому треугольники ЕКС,
КНС образуют в сумме треугольник ЕНС. Так как К лежит между
точками G, Н и GE = EK, то Е лежит между G и /С; по теореме
о нумерации четырех точек (стр. 53), Е лежит между G и Н\
поэтому отрезок АЕ лежит внутри угла BAG, и треугольник AGE
составляет ча>сть четырехугольника Саккери. Точно так же и
треугольник BFH входит в состав этого четырехугольника. Поскольку
четырехугольник АВНЕ входит как в треугольник, так и в
четырехугольник Саккери, a AGE = EKC и BFH = CKH, то
четырехугольник Саккери состоит из тех же частей (только иначе
перегруппированных), что и треугольник ABC. По второму свойству площади
(см. определение, стр. 281) заключаем, что площадь образованного
нами четырехугольника Саккери равна площади треугольника ABC.

§ 3. Измерение площадей в геометрии Лобачевского • 293
Черт. 168.
Так как Z.ОАЕ = £КСЕ, /_FBH = LKCH и АЕ, ВН проходят
внутри острых углов BAGy ABF нашего четырехугольника, то
/_ВАО= LBAE + LEAG= /_ВАС-\- /_ЕСК> #
LABF= LABC+ £HBF= ЛАВС+ £НСК.«
Поскольку СК лежит между СЕ и С/У, то
£ЕСК +- LKCH= £ECH= £АСВУ
и мы будем иметь равенство:
£BAG+£ABF =
= £ВАС + £АВС+£АСВ.
Аналогично рассматривает
ся случай, когда точка К
лежит вне отрезка EF, причем
здесь следует различать два
подслучая, изображенные на
чертежах 168 и 169.
Т-еорема 17.
Треугольники с парой
равных сторон и
одинаковыми суммами q
углов имеют
одинаковые площади. .
Пусть в двух
треугольниках ABC и Д
А'В'С
АВ = А'В' и о=£А+£В+£С равна о' =£А' + £В' +£С\
% На сторонах АВ и А'В\ как и в доказательстве предыдущей
теоремы, построим четырехугольники Саккери, равновеликие этим
треугольникам. Как нам уже известно, сумма острых углов каждого
из этих четырехугольников равна сумме углов треугольника.
Поскольку, по условию, наши треугольники имеют одинаковые суммы
углов, углы при основаниях АВ, А'В' наших четырехугольников
будут между собой равны. Таким образом, в наших
четырехугольниках Саккери основания АВ и А'В' равны и равны острые углы
при них; по теореме 15 они конгруентны и, значит, имеют
одинаковые площади; поэтому и „равноплощадные" с ними треугольники
имеют тоже одинаковые площади.
Теорема 18. Треугольники с одинаковой суммой углов имеют
одинаковые площади.
Пусть в треугольниках ABC и А'В'С с одинаковой суммой углов
АС<^А'С. На основании АВ построим, как выше, четырехугольник

294
Глава VII. Теория площадей
Саккери ABHG (черт. 170). Затем окружностью радиуса Л1 = уЛ'С
из центра А засекаем в точке L среднюю линию ЕF и продолжаем AL
на отрезЪк LM = AL. Соединяя точку М с В, получим новый
треугольник АВМ. Мы утверждаем, что его угловой дефект равен
угловому дефекту треугольника ABC.
Опустим из точки М на GH перпендикуляр МК'.
Прямоугольные треугольники LK'M и AGL имеют равные гипотенузы AL, LM
и острые углы ALG и MLK\ как вертикальные; поэтому МК =
= AG. Пусть О — точка пересечения ВМ с GH. Так как BH=AGt
a AG =^ МК\ то прямоугольные треугольники ВНО и OK M, имею"
щие, кроме того, равные углы ВОН и КОМ, будут равны;
поэтому ВО = ОМ, т. е. О — середина стороны ВМ. Выходит,
таким образом, что GH—средняя линия треугольника АВМ. По
предыдущему, отсюда следует, что сумма углов этого треугольника
равна сумме острых углов четырехугольника Саккери ABMG. Так
как последняя в свою очередь равна сумме углоб треугольника ABC,
то сумма углов тре>гольника АВМ равна сумме углов
треугольника ABC.
Ясно, что площадь треугольника АВМ равна площади
треугольника ABC. Так как треугольники АВМ и А'В'С имеют пару
равных сторон, AM = А'С, и одинаковые суммы углов, то по теореме 17
они имеют и одинаковые площади; поэтому будут равны и площад^
треугольников ABC, А'В'С, что и требовалось доказать.
Эта теорема показывает, что площадь треугольника зависит от
суммы его углов, а не от каждого угла в отдельности.
Переходим теперь к основной теореме, о которой было сказано
в начале настоящего параграфа.
Теорема 19. Площадь треугольника пропорциональна его
угловому дефекту.
Возьмем произвольный треугольник ABC. Любая трансверсаль CD,
соединяющая вершину С с некоторой точкой D стороны АВ,
разбивает наш треугольник на треугольники ADC и DBC (черт. 171).
Между угловыми дефектами Ьх и 82 этих треугольников и угловым
дефектом 8 треугольника ABC существует связь:
6 = 8,+ 82.

§ 3. Измерение площадей в геометрии Лобачевского 295
Действительно,
81 = 7г— /_DAC— Z.ADC—Z.ACD,
82 = тг — /.DBC— £BDC—£DCB.
Складывая 8, и 82 и учитывая, что ^ADC -\-£ВОС = те, £ACD-\-
-\-^mDCB = /mACB> получим:
bt -f 8, = тг — Z. ВАС — £ ABC— £АСВ = 8.
Очевидно, что, когда точка D описывает отрезок АВ в
направлении от точки А к точке В, 8j растет непрерывно от 0 до 8,
принимая значение 0, когда D совпадает q
с Л, и значение 8, когда D совпадает
с В, а 89 при этом убывает от значения
8 (при D = A) до нуля (при D = B).
Так как площадь S треугольника
зависит от суммы его углов, а
последняя равна разности между тг и угловым
дефектом 8, то мы можем искать 5 как
функцию / от углового дефекта 8:
S (ABC) = /(8).
Поскольку, с одной стороны, для
трансверсального разложения, как мы
только что видели, 8 = 8t ~f- 80, а с другой, по 2-му свойству
площади, S(ADC) + S(DBC) = S(ABC), то искомая функция /(S)
удовлетворяет функциональному уравнению
/(8,+8,) =/(8,)+/(»,).
Полагая ср(Ъ) = е/$\ мы будем иметь для qp(8) функциональное
уравнение:
9(8, + 82) = 9(8i)-9(8»).
Как было показано в § 4, гл. V, его решением является только
функция <p(8) = £*6.
Поэтому /(8) = &8, что и требовалось доказать.
Соединяя произвольную точку О плоскости треугольника ABC
с его вершинами, получим три треугольника: АОАВ, &ОВС>
&ОСА. Будем, как и выше, треугольник ОАВ называть
положительным, если точка О лежит с той же стороны от АЁ, что и
точка С, и отрицательным — в противном случае.
Теорема 20. Относительно площадей треугольников в
плоскости Лобачевского справедлива теорема 6 (стр. 282).
Доказательство теоремы 20 вполне аналогично доказательству
теоремы б в плоскости Евклида; поэтому мы его опускаем.
Теорема 21. Относительно суммы площадей треугольников,
являющихся .разложениями данного многоугольника, справедлива
теорема 7 (стр. 284).

296
Глава VII. Теория площадей
Так как доказательство теоремы 7 применимо и в нашем случае,
то мы его тоже опустим.
. Называя сумму площадей треугольников, на которые разлагается
данный многоугольник, его площадью, мы как и раньше, легко
докажем теоремы 8 и 9 (стр. 287) для плоскости Лобачевского.
Приведенные рассуждения показывают, что в геометрии
Лобачевского измерение площадей многоугольников существует и
определяется с точностью до произвольного постоянного множителя k
однозначно. Чтобы установить целесообразно значение этой
постоянной, вспомним, что в достаточно малых областях пространства
Лобачевского справедлива геометрия Евклида. Поэтому естественно
потребовать, чтобы в бесконечно-малой области площадь 0(F)
фигуры F, определенная по Евклиду, была эквивалентна площади S(F)
Лобачевского, т. е. чтобы
1- S(F) -
lim —тъ£= 1,
когда F стягивается в точку М.
Возьмем за фигуру F внутреннюю область прямоугольного
треугольника с катетами а, Ь> противолежащими им углами Л, В и
гипотенузой с. Как известно, эти элементы связаны равенствами:
«Д , Ь . b . а . а . b
sh — sh — sh — • ch — sh — • ch —
sinA = —*-, sin£ =—£-, cosA = —9-—-—£-, cosB =—p g p,
sh — sh — ch — sh —
P P P P
ch_i = ch_iL.chA
p p p'
откуда находим
cos (A-f-В)-.
sh — • sh —
1 + ch.i-
P
Если I — дефект треугольника, то А-\- В = -х- — 8, откуда
cos (Л-f-2?) = sin 8; поэтому
и а -и Ь
sh — • sh —
• «N P P
sino = E f-
1 + ch-
p
Так как S(F) = k-bt a(F) = ^ab) lim^=l, когда a-*0,
b-+0 (тогда и с->0 и S->0), то

§ 3. Измерение площадей в геометрии Лобачевского 297
*. а и b
rs, r^ L • * sh — • sh —
Hm^-iim^-^-lim^-i £. .
s:S0() %z% \ab %z% (i+chf)o*
Поскольку
и X
sh —
lim —p- = —, lim ch — = 1,
*_>0 * P' лг-O P
To
Требуя, чтобы этот предел был равен 1, мы получим для k
значение р\
Итак, площадь треугольника в геометрии Лобачевского
выражается формулой:
В = ?{ъ — А — В — С).
Отсюда следует, что в геометрии Лобачевского площадь
треугольника ограничена; именно, она не превосходит значения тгр*,
которое достигается для треугольника с нулевыми углами. Между
прочим, эта ограниченность площади характеризует геометрию
Лобачевского; справедлива следующая теорема:
Теорема 22. Если к аксиомам абсолютной геометрии
присоединить, как аксиому у требование, чтобы существовало
измерение многоугольников, при котором площадь треугольника
оставалась ограниченной, то справедлив постулат Лобачевского,
После всего изложенного в этой главе, доказательство ее
становится очевидным.
Отметим теорему, аналогичную теореме 14 (стр. 290) и
устанавливающую эквивалентность равнодефектности многоугольников
с их равносоставленностью.
Назовем дефектом многоугольника сумму угловых дефектов какой-
нибудь системы треугольников, представляющих его разложение.
Теорема 23. Равнодефектные многоугольники равнососта-
влены.
Справедливость этой теоремы для случая треугольника следует
из рассуждений, приведенных в доказательствах теорем 16, 17, 18,
где *речь шла о преобразовании треугольника в равносоставленные
(а потому и равновеликие с ним) четырехугольники Саккери.
Пусть мы имеем два многоугольника Рх и Р9. Предположим, что
первый из них разбит на т треугольников, а второй — на п
треугольников.
Если т = п и все треугольники многоугольника Р1 равноде-
фектны с соответствующими треугольниками многоугольника Р> то
теорема справедлива.

298 Глава VIL Теория площадей
Пусть, вообще, тф п и треугольники попарно не равнодефектны.
В таком случае в одном из этих многоугольников существует
треугольник о, с угловым дефектом большим, чем угловой дефект
треугольника хи взятого из второго многоугольника. Проводя через
вершину треугольника о, надлежащую трансверсаль, мы разобьем
его на два треугольника, у одного из которых, tu угловой дефект
совпадает с угловым дефектом треугольника х1# Выбрасывая из этих
многоугольников, содержащих в общей сложности т-\-п
треугольников, треугольники tx и ть мы получим два равнодефектных
многоугольника, в которые вместе входит самое большее т-\- п — 1
треугольников. С этими новыми многоугольниками поступаем так же;
тем самым мы из совокупности треугольников выделяем
треугольники t2, т2 равного дефекта, и тогда останется самое большее т -\-
-j- n — 2 треугольников. Продолжая этот процесс выделения
соответствующих треугольников с равными дефектами, мы в конце
концов получим пару треугольников tk, ik с равными дефектами. Таким
образом, оказывается, что многоугольник Рх состоит из треугольников
t\* t2, ..., tki а многоугольник Р2— из треугольников х,, х2,..., xfe,
причем дефект треугольника tt равен дефекту треугольника xt.
Отсюда и следует, что наши многоугольники равносоставлены.
Определяя площадь круга как предел
площади вписанного в него
многоугольника, наибольшее звено которого
стремится к нулю, докажем теорему.
Теорема 24. Площадь S круга
радиуса г выражается формулой:
5 = 27rp2(ch-— 1).
Соединяя центр О круга с верши*
нами Ж, М\ . .. я-угольника, вписанного
в круг, мы разобьем многоугольник на п
равнобедренных треугольников (черт. 172).
По теореме 21 мы можем площадь многоугольника получить как
сумму площадей этих равнобедренных треугольников. Обозначим
через ф угол между ОМ и некоторым фиксированным лучом ОМ0,
а через Аф — угол MOM'. Опуская из О на ММ' перпендикуляр ОР%
получим два равных прямоугольных треугольника, из которых
находим:
ctg Z. OMP= ch у • tg ~ Дф.
Угловой дефект 8 треугольника О MP равен ^— ^ ОМР — -^- А<р;
c\g£OMP—tg-Fj-A?
l+ctgZ.OAfPtgyAcp'
Черт. 172.
поэтому
tg8 = ctg(ZOMP + ^-A9) =

$ 4. Развитие понятая о площади
299
и следовательно,
l + chj-tg*^)'
В целях интегрирования отбросим в правой части члены
порядка (Дф)*, &^>1, а в левой заменим tgfi эквивалентной
величиной 8; мы будем иметь:
5=I[ch-£--l] Дер.
Так как площадь &S треугольника ОММ' равна 2р28, то
A5=rp2(ch-A —1) Дер.
Суммируя по Дф и переходя к пределу, получим площадь круга:
5 =2*р* (ch|-l) = 4^sh2^.
§ 4. Развитие понятия о площади.
Пусть D — односвязная область, ограниченная замкнутым себя не
пересекающим контуром С, Р— простой многоугольник, содержащий
область D, р — простой многоугольник, с о д е р ж'а щ и й с я в области Д
S(P) — площадь многоугольника Ру S(p) — площадь многоугольника р.
Ясно, что каковы бы ни были многоугольники Р ичр, S{P) >S(/?); поэтому
числа S(P) имеют нижнюю границу S± а числа S(p) — верхнюю границу 5,
причем 5j^ 5.
Если эти границы совпадают, 5 = 5, то их общее значение и принимают
за площадь области D. В таком случТе область D называется квадрируемой.
Таким образом, по определению, площадью S(D) односвязной области D
называется общее значение совпадающих границ — нижней 5 и верхней 5
площадей S(P) и S(p).
Из определения нижней и верхней границ множеств следует теорема:
Для того чтобы область D была квадрируемой, необходимо и
достаточно, чтобы для всякого положительного числа е можно было найти
такой многоугольник Р, содержащий D, и такой многоугольник р.
содержащийся в D, чтобы разность S(P)—S(p) площадей многоугольников Pupt
была меньше г.
Если теперь под площадью двухсвязной многоугольной области,
ограниченной многоугольниками Р и р, из которых р лежит внутри Р, мы будем
понимать разность 5(PJ — S{p), to условие существования площади S(D)
области D, ограниченной контуром с, можно выразить так: *
Чтобы область D была квадрируемой, необходимо и достаточно,
чтобы границу С области D можно было заключить в многоугольную
область со сколь угодно малой площадью.
Под площадью многосвязной области — области, ограниченной
несколькими замкнутыми линиями, — понимается сумма площадей односвязных
областей, на которые ее можно разложить

300 Глава VII. Теория площадей
По смыслу этого определения, многосвязная область не имеет площади,
если ее нельзя разложить на односвязные так, чтобы каждая из них имела
площадь1).
Сказанное справедливо как для площадей в пространстве Евклида, так
и для площадей в пространстве Лобачевского. Вводя в евклидовой
плоскости декартову прямоугольную систему координат х, у, мы площадь
области D с границей С представим в виде двойного или криволинейного
интегралов:
S(D) = с j j dx dy = 1. &ydx-xdyy (e)
D С
где с — площадь квадрата со стороной 1.
Отсюда, между прочим, и видно, что геометрический вопрос о
существовании площади S(D) сводится к аналитическому вопросу о
существовании этих интегралов. Они обладают тем весьма замечательным свойством,
что остаютсй инвариантными относительно группы собственно евклидовых
движений, т. е.
с \\dx dy = c № dx' dy\ -g <f) ydx — xdy = у £ y'dx* — x'dy\
D D' С С
где D\ С — область и контур, в которые преобразуются соответственно
область D и контур С с помощью движений:
х* = тх — пу + а, у* = пх -f- my + b, /я = cos <р, n = sin «р. (?)
Наоборот, только интеграл а из множества интегралов I \f(x,y)dxdy
обладает свойством неизменяемости относительно преобразований ф).
Действительно, если интеграл J = I I f(x,y) dx dy инвариантен относи-
D
тельно каких-либо преобразований х' = ср (х, у), у' = & (х> у), т. е.
J J fix, У) dx dy= J J f(x\y')dx'dy', (T)
D D'
где D' — обла'сть переменных, в которую преобразуется область Д то,
относя второй интеграл к переменным х% у, будем иметь равенство:
D
'где
£>(*'. У)
D (х, у)
\дх'
\дх
дУ
\дх
дх'\
dv ;
.д?\
ду \
1) Специально по вопросу об измерении площадей и измерению вообще
см. Лебег .Об измерении величин", перевод с французского под редакцией
академика А. Н. Колмогорова, Учпедгиз, 1939.

§ 4. Развитие понятия о площади
301
Так как оно должно иметь место для всякой области Д то
Пх, у)-П*, ?)Dfy*2 =0. (»)
Таково функциональное уравнение, которому должна удовлетворять функция
Цх* У)* чтобы интеграл J= I I f(x,y)dxdy был инвариантен относи-
D
тсльно преобразований х' = ср (х, у), у' = Ф(аг, зО» Поскольку для
преобразований (Р) JS^ff =1, то / (*', у') =/ (*, _у).
Учитывая далее, что наша группа 3 транзитивна, — переводит любую точку
(jc, у) в любую другую (У, у'),— имеем / (х, у) = const, что и требовалось.
Интеграл (а) называется интегральным инвариантом группы евклидовых
движений (£).
Таким образом, при построении, например, евклидовой геометрии в духе
эрлангенской программы Клейна на основе группы движений ({J), для площади
двухмерной области необходимо принять определение.
Площадью области D называется интегральный инвариант группы
движений пространства, т. е. интеграл J= I 1 / (х, у) dx dy, который от-
D
1Юсительно движений сохраняет свою форму (свойство (т)| *).
Опуская выкладки, укажем, что в случае геометрии Лобачевского
в основе имеющей группу
х, __ alx+bly + cl __ а2х + Ьцу + с%
агх + Ььу + с3* у аьх + Ьгу + с3'
где
(я, *) = вА+лА —лЛ = 0, (а, с) = 0, (*, 0 = 0,
(л, a) = (b, *) = —(с, с)=р*,
площадь, как интегральный инвариант, существует и имеет вид
dx dy
: С
я
(1— х1 — y-)V2
Д
* Требуя, чтобы площадь Лобачевского в бесконечно-малой области была
эквивалентна евклидовой, мы для с найдем значение, равное р3 (р — радиуч:
кривизны плоскости Лобачевского). Используя этот интеграл, можем найти
илощадь треугольника, круга и т. п.
Интегральный инвариант группы движений плоскости Лобачевского
может быть получен из рассмотрения двух движений:
х'=х coscp-j-J' sin <р, у' = — х sin cp + ycos<p
(вращение около центра абсолюта);
(параллельный перенос с сохранением оси ОХ).
1) Подробнее и шире о площади как интегральном инварианте см. книгу
И. Г. Чеботарева .Теория групп Ли", ГТТИ, 1940, стр. 164 и дальше.

302
Глава VIL Теория площадей
Первое движение дает
F(x9y) = F{r)9 г^Ух^Т~У\
а второе
Наконец, проверяем, что эта функция удовлетворяет равенству (Ь) для
любого движения.

ЛИТЕРАТУРА
Ф. Петрушевский, Евклидовых "Начал" 8 книг, СПБ, 1819.
Ф. Петрушевский, Евклидовых „Начал" 3 книги, СПБ, 1835.
М. Е. Ващенко-Захарченко, Начала Евклида, Киев, 1889.
И, Цейтен, История математики в древности и в средние века, ГТТИ, 1932.
И. Л. Гейберг, Естествознание и математика в классической древности,
ОНТИ, 1936.
,Г. Вилейтнер, Хрестоматия по истории математики, ГТТИ, 1932.
М» Я» Выгодский, Математика древних вавилонян, „Успехи математических
NjayK", вып. VII, 1940, и вып VIII, 1941.
A. М. Legendre, Elements de geometrie, Paris, 1794.
B. Буняковский, Параллельные линии, 1853.
F. Engel a P. Stuckel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss,
Leipzig, 1895
A. А. Васильев, Лобачевский, „Русский биографический словарь", СПБ,
1914, стр. 529 — 565.
Празднование Императорским Казанским университетом столетней
годовщины дня рождения Н. И. Лобачевского, Казань, 1894.
Празднование Казанским университетом столетия открытия
неевклидовой геометрии Лобачевским, Казань, 1927
„Николай Иванович Лобачевский". Сборник статей к 150-летию со дня
рождения, Изд. Академии наук СССР, 1943.
B. Ф. Каган, Лобачевский, Изд. Академии Наук СССР, 1944.
B. Ф. Каган, Великий ученый Н. И Лобачевский и его место в мировой
науке, изд Академии наук СССР, 1943.
„Николай Иванович Лобачевский". Статьи /7. С. Александрова и
А.Н.Колмогорова (к 150-летию со дня рождения), Гостехиздат, 1943.
Д. Гильберт, Основания геометрии, изд. „Сеятель", Петроград, 1923.
Р. Бальдус, Неевклидова геометрия, ГТТИ, 1933.
Т. Б. Гуревия, Основания геометрии Литографированный курс лекций,
читанных в МГПИ им. К. Либкнехта, 1941.
Я. Успенский, Введение в неевклидову геометрию Лобачевского-Больяи,
Петроград, 1922.
Ф. Клейн, Неевклидова геометрия, ОНТИ, 1935.
Ф. Клейн, Элементарная математика с точки зрения высшей, ОНТИ, 1934.
C. А. Богомолов Основания геометрии, ГИЗ, 1923. ,
К. Reidemeister, Grundlagen der Geometrie, Berlin, Springer, 1926.
M. Simon, Nichteuklidische Geometrie, Leipzig, 1926.
M. Pasch und M.Dehn% Vorlesungen uber neuere Geometrie, Berlin, Springer, 1926.
M. Pasch, Vorlesungen fiber neuere Geometrie, Leipzig, 1882. ч
H. Liebman, Nichteuklidische Geometrie, Leipzig, 1912.
F.^chur, Grundlagen der Geometrie, Leipzig und Berlin, 1909.
Veronese, Elementi di Geometria, 1897.
H. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений по геометрии, т. I — И,
Казань, 1883 т-1886.
Н. И Лобачевский, Геометрические исследования по теории параллельных
линий, Изд Академии Наук СССР, 1945.
В. Ф. Каган, Исторический очерк развития учения об основаниях геометрии,
Одесса, 1907.

304
Литература
В, Ф. Каган, Очерк геометрической системы Лобачевского, Одесса, 1907.
Гаусс, Бельтрами, Рижан, Гельмголъц, Ли, Пуанкаре, Об основания*
геометрии, изд. Казанского физико-математического общества к столетнему
юбилею Н. И. Лобачевского, Казань, 1893.
Р. Бонола, Неевклидова геометрия (критико-историческое исследование
ее развития), СПБ, 1910.
Ф. Энриквес, Вопросы элементарной геометрии, СПБ, 1913.
Вебер и Вельштейн, Энциклопедия элементарной геометрии, т. П,
Одесса, 1909.
Н. В. Ефимов, Высшая геометрия.
Сборник статей по философии математики оод ред. проф. С. А. Яновской,
Москва, Учпедгиз, 1936.
Вейль, Философия математики.
Гейтинг, Исследования по основаниям математики.
А Пуанкаре, Наука и гипотеза, Москва, 1924.
А Пуанкаре, Наука и метод, СПБ, 1910.
Hilbert unci Ackerman. Grundzuge der theoretisdien Logik, Berlin 1928.
D. Hilbert und P. Bernayes, Gfundlagen der Mathematik, B. I, Berlin, 1934.

-~>
\
Д > ■•',
г* <•
Г С
Н.И.ЛОБАЧЕВСКИЙ
(1793—1856)