/
Автор: Папалекси Н.Д. Андреев Н.Н. Ржевский С.Н. Горелик Г.С.
Теги: физика механика акустика молекулярная физика
Год: 1948
Текст
КУРС
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
академ ика
Н.Д.ПАПАЛЕ КСИ
том
I
о г и з•госте?.иа^лт*1948
КУРС
ФИЗИКИ
МЕХАНИКА. АКУСТИКА.
ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Составлен проф. Н. Н. АНДРЕЕВЫМ, проф. С. Н. РЖЕВКИНЫМ
и проф. Г. С. ГОРЕЛИКОМ
Под редакцией акад. Н. Д. П А П А Л Е К С И |
ТОМ I
Допущено Министерством высшею обра-
зования СССР в качестве учебного пособия
бля втузов и физико-математических
факультетов университетов.
огив
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1948 ЛЕНИНГРАД
Редактор Г. Н. Кольченко. Техн, редактор Н. А. Тумаркина. Подписано к печати 4/IX 1947 г.—
3/1 1948 г. А-06688. 37lz2 печ. л. 44,73 уч.-изд. л. 47 700 тип. зн. в печ. л. Тираж 25 ОСО экз.
Цена книги 18 р. Переплёт 1 р. Заказ № 788.
2-я типография «Печатный Двор» им. А. М. Горького треста «Полиграфкнига» ОГИЗа при
Совете Министров СССР. Ленинград, Гатчинская, 26.
Опечатки
Стра- ница Стр. Напечатано Должно быть По чьей вине
2 3 сн. 18 р. 16 р. Техреда.
181 2 св. (11.8) (7.11) Ред.
278 10 сн. справа слева >,
320 10 сн. (справа) (слева)
Курс физики под редакцией Папалекси, г. I
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................................................. 8
Часть первая
МЕХАНИКА
Глава I. Предварительные сведения. /7. Н. Андреев............ 11
§ 1. Основные измерения и единицы (11).—§ 2. Производные еди-
ницы. Системы единиц (14). — § 3. Система отсчёта. Координаты
(16). —§ 4. О точности измерений (19).— § 5. Теория векторов (21).
Глава II. Кинематика точки и неизменяемого твёрдого тела.
Н. Н. Андреев . .•...................................... 28
§ 1. Кинематика точки. Скорость (28). — § 2. Ускорение (33).—
§ 3. Графическое изображение расстояния, скорости и ускорения
(35). — § 4. Важнейшие виды движения (37). — § 5. Тангенциальное
и нормальное ускорения (47). — § 6. Степени свободы (50).—
§ 7. Поступательное и вращательное движения неизменяемого твёр-
дого тела (52). — § 8. Мгновенная ось вращения (54).
’лава III. Статика и динамика точки. Н. Н. Андреев........... 56
§ 1. Сила, её определение и измерение (56). — § 2. Второй и третий
законы Ньютона (59). — § 3. Примеры применения законов Нью-
тона. Движение в поле тяжести (63). — § 4. Колебательное движе-
ние (66).—§5. Теорема о количестве движения (69). — § 6. Вра-
щение по окружности под действием центральной силы (71).—
§ 7. Движение планет (72). — § 8. Несвободное движение точки. Дви-
жение по окружности (74). — § 9. Маятник (77). — § 10. Силы
трения (81). — § 11. Примеры движения с трением (86).—
§ 12. Работа (88). — § 13. Закон сохранения энергии в механике
точки (93). — § 14. Равновесие точки на связи (96). — § 15. Внешняя
баллистика невращающегося снаряда (97).
Глава IV. Относительные движения. Н. Н. Андр з.............. 104
§ 1. Относительное движение (104). — § 2. Пере . щение и скорость
при поступательном относительном движении (105). — § 3. Ускорение
в случае поступательного переносного движения (107). — § 4. За-
коны механики в системе, движущейся поступательно. Инерциаль-
ные системы отсчёта (108).—§ 5. Неинерциальная система отсчёта.
Силы инерции (111). — § 6. Центробежные силы инерции (112).—
§ 7. Силы инерции Кориолиса (113).
Глава V. Механика системы. Н. И. Андреев.....................116
§ 1. Система точек. Внутренние и внешние силы. Уравнения движе-
ния системы (Ц6), — § 2. Теорема о движении центра инерции
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
(119). — § 3. Теорема о количестве движения (122). — § 4. Теорема
о моменте количества движения (124). — § 5. Теорема о моментах
количества движения для системы точек (127). — § 6. Применения
теоремы о моменте количества движения (128).— § 7. Кинетическая
и потенциальная энергии системы точек. Закон сохранения энергии
(129). — § 8. Поток энергии (133).— § 9. Соударение тел (134).
Глава VI. Механика твёрдого тела. Н. Н. Андреев...............137
§ 1. Сложение сил, приложенных к твёрдому телу. Теория моментов
и пар сил (137). — § 2. Условия равновесия твёрдого тела (141).—
§ 3. Принцип отвердения (146). — § 4. Принцип возможных переме-
щений (147). — § 5. Динамика твёрдого тела. Вращение тела на оси
(150). — § 6. Физический маятник (154). — § 7. Машина Атвуда
(156). — § 8. Кинетическая и потенциальная энергии твёрдого тела
(157). — § 9. Гироскоп (158).
Глава VII. Механика упругих тел. И, Н. Андреев . . . .........162
§ 1. Деформации твёрдого тела (162). — § 2. Силы, действующие
в изменяемом теле. Объёмные силы (168). — § 3. Атомные силы.
Напряжения в деформируемом теле (171). — § 4. Растяжение, сжатие,
сдвиг (174). — § 5. Кручение и изгиб. Определение модуля Юнга и
модуля сдвига из колебаний (179). — § 6. Энергия упругой дефор-
мации (182). — § 7. Механические свойства кристаллов (184).
Глава VIII. Статика жидкостей и газов. Н. Н. Андреев..........187
§ 1. Введение (187). — § 2. Давление в жидкости (187). — § 3. Рас-
пределение давлений в жидкости (189). — § 4. Гидравлический пресс,
сообщающиеся сосуды, манометры и барометры (193). — § 5. Силы,
действующие на твёрдое тело в жидкости. Закон Архимеда (196).—
§ 6. Применения закона Архимеда (198). — § 7. Сжимаемость жидко-
стей и газов (202). — § 8. Получение разрежённых газов и вакуума
(207). — § 9. Работа деформации. Потенциальная энергия жидкости
(209).
Глава IX. Поверхностные явления. Г. С. Горелик................210
§ 1. Силы поверхностного натяжения (210). — § 2. Фигура равновесия
жидкого тела (214). — § 3. Краевой угол (217). — §4. Уровень жидко-
сти в капилляре (219). — §5. Плавание тяжёлого тела на лёгкой
жидкости (220). — § 6. Соотношение между давлением и кривизной
поверхности (221).
Глава X. Движение жидкостей. Н. Н. Андреев....................224
§ 1. Способы наблюдения движения жидкостей. Стационарное тече-
ние. Линии тока (224). — § 2. Стационарное течение идеальной жидко-
сти. Теорема Бернулли (225). — § 3. Применения теоремы Бернулли
(228). — § 4. Силы вязкости (232). — § 5. Силы сопротивления в ^вяз-
ких жидкостях. Число Рейнольдса (235). — § 6. Происхождение вяз-
кого сопротивления. Вихреобразование (244). — § 7. Пограничный
слой. Поверхность раздела (245). — § 8. Закон сохранения количе-
ства движения для стационарного течения жидкости. Турбины (246).
Часть вторая
АКУСТИКА
Глава XI. Колебания и волны. С. Н. Ржевкин....................249
§ 1. Колебательное и волновое движения (249). — § 2. Гармоническое
колебательное движение (251), — § 3. Простая колебательная система
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
без трения (256).— § 4. Крутильные колебания (261). — § 5. Про-
стая колебательная система при наличии трения. Затухающие
колебания (262). — § 6. Вынужденные колебания (265). — § 7. Резо-
нанс (270). — § 8. Мощность, затрачиваемая для возбуждения
колебаний (275).— § 9. Автоколебания (276). — § 10. Переходные
колебания (278).—§ 11. Сложение колебаний, происходящих по
одной прямой (279). — § 12. Биения (281). — § 13. Сложение колеба-
ний с кратными частотами и анализ сложных колебательных процес-
сов (283). — § 14. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
(287). — § 15. Нелинейные колебательные системы. Комбинационные
тоны (289). — § 16. Волновое движение (291). — § 17. Волны плоские,
круговые и сферические. Интенсивность волны (296). — § 18. Волны
в сплошных средах и телах различной формы (298). — § 19. Ско-
рость распространения упругих волн (300). — § 20. Сложение и интер-
ференция волн (305). — §21. Стоячие волны (309). — § 22. Прин-
цип Гюйгенса-Френеля (315). — §23. Отражение и преломле-
ние волн (316).— § 24. Диффракция волн (317).— § 25. Эффект
Допплера (321).
Глава XII. Акустика. С. Н. Ржевкин..........................325
§ 1. Предмет акустики (325). — § 2. Звуковое поле. Сила звука
(325). — § 3. Измерение интенсивности (силы) звука. Микрофоны
(329).—§ 4. Распространение звука. Скорость звука (332).—§5. Источ-
ники звука (340). — § 6. Резонанс в акустике (341). — §7. Волны
в трубах (344). — § 8. Струна (351). — § 9. Мембраны и пластинки
(352). — § 10. Акустика помещений (354). — § 11. Анализ звука
(358). — § 12. Голос и речь. Строение голосового аппарата (362).—
§ 13. Электро-акустические излучатели (365). — § 14. Слуховой
аппарат человека (366). — §15. Бинауральный эффект (368).—
§ 16. Частота и высота звука (369). — § 17. Сила (интенсивность) и
громкость звука (371). — § 18. Спектральный состав и тембр звука
(375). — § 19. Звукометрия (376). — § 20. Звукоулавливатели (378). —
§ 21. Эхолот (380). — § 22. Эхолот. Гидролокация (381).
Часть третья
ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Введение....................................................383
Глава XIII. Первый принцип термодинамики, Л. С. Горелик.....386
§ 1. Простейшая схема поршневого двигателя. Термодинамическая
трактовка состояния (386). — § 2. Исторические замечания (390).—
§ 3. Адиабатическая оболочка (391). — §4. Первый принцип тер-
модинамики (394). — § 5. Внутренняя энергия (396). — § 6. Пер-
вый принцип термодинамики и механика (399). — § 7. Темпера-
тура (401). — § 8. Уравнение состояния (405). — § 9. Идеальный
газ (407)..—§ 10. Температурная шкала по идеальному газу (410).—
§ 11. Калория. «Механический эквивалент тепла» (413). — § 12. Опыт
Гэ-Люссака-Джоуля (414). — § 13. Опыт Джоуля и Томсона (416).—
§ 14. Адиабатическое расширение и сжатие газа в цилиндре с порш-
нем. Уравнение Пуассона (418). — § 15. Количес1во теплоты (421).—
§ 16. Можно ли спрашивать, сколько теплоты содержится в теле?
(423). — § 17. Теплоёмкости. Соотношение Роберта Майера (424).—
§ 18. Круговые процессы, «Превращение теплоты в работу» (427),
6 * ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XIV. Элементарные сведения о теплопередаче. Г. С. Горелик. 429
§ 1. Поток тепла, теплопроводность (429). — § 2. Простейшие про-
цессы выравнивания температуры (430). — § 3. Периодические про-
цессы. «Тепловая инерция» (433). — § 4. Понятие об общей теории
теплопроводности (435). — § 5. Конвекция (437). — § 6. Стационар-
ная температура при отсутствии теплового равновесия (437). — § 7.
Терморегуляторы (439).
Глава XV. Основные молекулярно-кинетические представления.
Л. С. Горелик................................................442
§ 1. Тепловое движение (442). — § 2. Атомы и молекулы (443).—
§ 3. Первый принцип термодинамики с молекулярно-кинетической
точки зрения (446). — § 4. Молекулярные пучки (447). — § 5. Изме-
рение молекулярных скоростей. Опыт Штерна (448). § 6. О стати-
стических законах распределения (449). — § 7. Исследование стати-
стического распределения молекул по скоростям (451). — § 8. Кривая
распределения (454). — § 9. Распределение Максвелла (455). — § 10.
Средняя скорость и средняя кинетическая энергия поступательного
движения молекул (457). — § 11. Абсолютная температура как сред-
няя кинетическая энергия поступательного движения молекул
(458). — § 12. Молекулярно-кинетический вывод уравнения состояния
идеального газа. Закон Авогадро (459). — § 13. Смесь газов. Закон
Дальтона (463). — § 14. Распределение молекул в поле силы тяжести*
Закон Больцмана (464). — § 15. Измерение числа Авогадро (466).—
§ 16. Средняя длина свободного пробега (469). — § 17. Внутреннее
трение газов (471). — § 18. Теплопроводность газов (474). — § 19. Диф-
фузия (476). — § 20. Ультра-разрежённые газы (477). — § 21. Трение
и теплопроводность в ультра-разрежённом газе (480). — § 22. Вакуум-
ные насосы (481). — § 23. Уравнение Ван дер Ваальса (483).—
§ 24. Поверхностное натяжение как результат действия сил сцепле-
ния (487). — § 25. Внутренняя энергия газа (490). — § 26. Эффект Джо-
уля-Томсона (492).—§ 27. Теплоёмкость идеального газа. Равномер-
ное распределение энергии по степеням свободы (494). — § 28. Тепло-
ёмкость твёрдого тела (закон Дюлона и Пти) (495). — § 29. Критика
закона равномерного распределения энергии по степеням свободы
(496). — § 30. Степени свободы могут развиваться и атрофироваться
(498). — § 31. Закон Планка. Квантовая теория (499). — § 32. Кван-
товая теория теплоёмкостей. Тепловое движение -твёрдого тела как
суперпозиция упругих волн (502).
Глава XVI. Фазовые равновесия и превращения. Г, С. Горелик, . . . 506
$ I. Понятие фазы, предварительные замечания (506). — § 2. Равновесие
системы жидкость — газ. Равновесное давление (507). — § 3. Термины
«газ» и «пая» (510). — § 4. Энергия системы жидкость — газ. Теплота
испапения (511).— § 5. Испарение и конденсация с молекулярно-ки-
нетической точки зрения (513). — § 6. Кипение (516). — § 7. Почему
жидкость закипает при F(T) = P^ (519). — § 8. Почему, закипев,
жидкость перестаёт нагреваться? (521). — § 9. Перегрев (523).
§ 10. Конденсация на ядрах (524). —§ 11. Общая картина пове-
дения системы жидкость — газ (528). — § 12. Метастабильные со-
стояния (532). —§ 13. Критическая точка. Непрерывный переход из
газообразного в жидкое состояние (533). — § 14. Система жидкость —
газ и уоавнение Ван дер Ваальса (538). — § 15. Сжижение газов,
имеющих низкую критическую температуру (542). — § 16. Равно-
весие твёрдой и жидкой фаз, плавление, кристаллизация (541).
§ 17. Общий вид диаграммы Т, р для твёрдого, жидкого и газообраз-
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
ного состояний. Тройная точка (547). — § 18. Равновесие и взаимные
превращения твёрдых фаз (548).—§ 19. Фазовые превращения вто-
рого рода (551).
Глава XVII. Второй принцип термодинамики Г. С. Горелик..........552
§ 1. Проблема вечного двигателя второго рода (552).—§ 2. Возмо-
жен ли газовый двигатель с одним тепловым резервуаром?(553). — § 3.
Предельные случаи, когда нет превращения работы в теплоту (557). —
§ 4. Необратимые реальные процессы и предельные обратимые про-
цессы (558). — § 5. Недбратимость, вызванная трением (558). — § 6.
Квазистатические процессы (560). — § 7. Простейший тепловой двига-
тель с двумя резервуарами (561). — § 8. Цикл Карно (562). — § 9.
Общие утверждения о свойствах обратимых круговых процессов
(565). — § 10. Теорема Карно (566). — § 11. Термодинамическая шкала
температур (568). — § 12. Тождественность термодинамической и
идеально-газовой шкалы (570). — § 13. Приведённое количество
теплоты (572). — § 14. Второй принцип термодинамики (572). —
§ 15. Энтропия (574).—§ 16. Составление энтропийной карты (575).—
§ 17. Второй принцип термодинамики как орудие исследования
(577). — § 18. Применение второго принципа к расширению и сжа-
тию тел (578). — § 19. Внутренняя энергия вещества, подчиняющегося
уравнению Ван дер Ваальса (581). — § 20. Формула Клапе|)она-
Клаузиуса (582). — § 21. Теорема Максвелла (584). — § 22. Зависи-
мость равновесного давления системы жидкость — газ от кривизны
поверхности раздела (585). — § 23. Применение энтропийной карты
к исследованию необратимых процессов (587).— § 24. Коэффициент
полезного действия необратимых круговых процессов (588).—§ 25.
Изменение энтропии при установлении термодинамического равно-
весия. Неравенство Клаузиуса (590).
Указатель.................................................. 594
ПРЕДИСЛОВИЕ
Широкое использование физических явлений для разнообразных
технических применений привело в последние десятилетия не только
к созданию совершенно новых областей техники, как-то: радиотех-
ники, рентгенотехники, электронной техники, авиации, говорящего
кино и др., но также и к бурному развитию и расширению, а под-
час и полному обновлению уже существовавших областей (телегра-
фия и телефония, кинотехника, фототехника и др.).
Особенно сказалось это на развитии военной техники.
Совершенно естественно, что для понимания и правильного при-
менения современной техники, основанной на многообразном, подчас
очень тонком использовании.физических явлений, необходимо гораздо
более обширное и углублённое знание физики, чем это было раньше.
Поэтому в настоящее время к преподаванию физики во втузах не-
обходимо предъявить гораздо ббльшие требования, чем четверть
века назад. Этим требованиям, естественно, не могут удовлетворить
учебники физики, составленные несколько десятилетий назад, по
которым в последние годы, в основном, велось преподавание во
втузах. Попытки модернизовать такие учебники путём их перера-
ботки и дополнений не дали и, разумеется, не могли дать вполне
удовлетворительных результатов, так как происшедшее за последнее
время развитие физических знаний во многом совершенно изменило
как трактовку, так и характер изложения физических законов.
Ввиду этого, по предложению Гостехиздата, коллектив сотруд-
ников Физического института Академии Наук СССР (в несколько
изменённом составе) в 1940 г. приступил к составлению нового
учебника физики для втузов.
При составлении учебника коллектив авторов исходил из сле-
дующих соображений:
1. Ввиду указанного выше огромного значения чёткого знания
физических явлений и основных законов физики для понимания и
правильного использования современной техники и для её дальней-
шего развития, учебник физики для втузов должен излагать курс
физики достаточно полно и в то же время достаточно строго.
2. Объём курса физики и характер его изложения не может быть
один и тот же для втузов различных специальностей, причём наи-
большие требования в отношении объёма и полноты изложения
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
должны, естественно, предъявлять втузы политехнического типа. Авто*
ры настоящего учебника имели в виду втузы именно этого типа,
3. Курс физики для втузов должен быть рассчитан на студентов,
обладающих достаточными элементарными сведениями о физических
явлениях в объёме полной средней школы.
4. Курс физики для втузов не должен представлять собой со-
проводительного текста к лекционным опытам или являться подроб-
ным описанием разных физических и технических приборов, а
должен освещать зависимость между физическими явлениями и да-
вать точные формулировки принципиальных положений.
В соответствии с этим авторы и ставили себе цель дать в на-
стоящем учебнике достаточно полное изложение основных физических
законов, углубить знания, полученные студентами в средней школе,
более полно и чётко выявить взаимные связи между физическими
явлениями и развить умение пользоваться основными количествен-
ными закономерностями между физическими величинами.„ Вопросы
применения законов физики в других отраслях науки и в технике
рассматриваются поэтому, в основном, лишь в качестве примеров
для иллюстрации и пояснений. Мы считали — и с точки зрения
экономии места, и по существу — нецелесообразным останавли-
ваться подробнее на различных применениях физики в науке и
технике, имея в виду, что эти применения подробно излагаются
в специальных курсах.
Известное, весьма ограниченное место отведено также историче-
скому материалу.
В соответствии с программой прохождения курса физики во
втузах, в первых главах учебника не предполагается знание высшей
математики, и необходимые математические понятия и зависимости
выводятся попутно с изложением понятий механики и иллюстри-
руются на примерах. Однако, в дальнейших главах мы не сочли
возможным отказаться от использования высшей математики как
незаменимого способа точно и максимально экономно формулиро-
вать количественные зависимости между физическими величинами.
Курс физики распадается на два тома. Первый том содержит
механику (автор — член-корр. Н. Н. Андреев), теорию колебаний
и волн и акустику (автор — проф. С. Н. Ржевкин) и молекулярную
физику и термодинамику (автор — проф. Г. С. Горелик). В состав
второго тома входят: электричество и магнетизм (автор — проф.
С. М. Рытов), оптика и квантовые явления (авторы — проф.
В. Л. Левшин и проф. Е. Л. Фейнберг) и атомное ядро (автор —
проф. Л. В. Грошев).
При составлении курса авторы, естественно, пользовались мате-
риалами, известными из научной и учебной литературы. Так, значи-
тельная часть главы «Поверхностные явления» (гл. IX, часть пер-
вая, том I), а также параграфы, посвящённые кипению, конденсации
на ядрах, и некоторые другие представляют собой несколько пере-
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
работанные Г. С. Гореликом извлечения из превосходного курса
физики Пойнтинга и Томсона [A Textbook of Physics by T. H. Poynt-
ing and T. T. Thomson, vol. I (Properties of Matter) and vol. II (Heat)].
Составление современного большого учебника физики для втузов,
удовлетворяющего всем указанным выше научным и методологиче-
ским требованиям, представляет собой очень большую и трудную
задачу, которая в настоящее время вряд ли под силу одному автору,
так как он не в состоянии, ввиду чрезвычайно бурного развития
различных разделов физики, особенно теоретической, и её много-
численных весьма разветвлённых применений, охватить все области
физики и изложить их с нужными чёткостью и полнотой. Участие
в составлении учебника коллектива авторов, специализировавшихся
в различных областях физики и обладающих большим педагогиче-
ским опытом, конечно, позволяет несравненно лучше разрешить эту
сторону задачи и действительно обеспечить изложение каждого
отдела физики на требуемой высоте. Однако, это неизбежно ведёт
к неоднородности изложения различных отделов, которая едва ли
может быть вполне сглажена работой редактора книги.
Независимо от этого, может быть, главного недостатка, на-
стоящий учебник, разумеется, не свободен и от ряда других недо-
чётов и упущений. Деловая критика и всякие указания на недо-
статки и упущения будут с благодарностью приняты коллективом
авторов.
ОТ АВТОРОВ
В ночь на 3 февраля 1947 г. внезапно умер академик Николай
Дмитриевич Папалекси, под руководством которого составлялась
эта книга.
Н. Д. Папалекси был выдающийся исследователь и творец в обла-
сти радиофизики и радиотехники. Созданные им совместно с Л. И. Ман-
дельштамом радиоинтерферометрия и параметрическая электротех-
ника несомненно должны войти в курсы физики и лишь по скром-
ности Н. Д. не излагаются в настоящей книге.
Н. Д. Папалекси обладал громадной эрудицией во всех областях
физики и редкий разносторонностью научных интересов. Он понимал
очень глубоко, на основании своего более чем 40-летнего опыта,
связь между физикой и техникой, а также современные тенденции
развития той и другой.
Таковы вкратце качества, которые совершенно естественно поста-
вили Н. Д. Папалекси во главу нашего коллектива. Мы с благодар-
ностью вспоминаем многочисленные советы и указания, полученные
.нами ит него при работе над нашими рукописями..
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
МЕХАНИКА
ГЛАВА I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§ 1. Основные измерения и единицы. Основными физическими
измерениями являются измерения длины, времени и массы. Измерение
длин практически возможно потому, что в природе существуют
тела, которые можно с достаточным приближением считать неизме-
няемыми. Сравнение между собой нескольких линеек, изготовленных
из различных неизменяемых материалов, показало, что такие линейки
действительно сохраняют с достаточной точностью
неизменную длину. Развитие методов измерения Дд
сделало возможным весьма точное измерение длин. ___ г
Это обеспечивается прежде всего рациональным и/ U L1
выбором материала линеек; основные требования
к нему — неизменяемость в химическом и меха- Рис’ 1в
ническом отношениях и возможно малая зави-
симость длины линейки от температуры. Наилучшими в этом отно-
шении материалами оказались: сплав 90% платины с 10% иридия, —
из него и сделан так называемый архивный метр, хранящийся
в Севре, близ Парижа и являющийся, по международному соглаше-
нию, основным эталоном метра; инвар — сплав 64,4% железа и 35,6%
никеля— и платинит (58% железа и 40% никеля). Из инвара и плати-
нита делаются рабочие стандарты длины, употребляющиеся в точных
измерениях, особенно геодезических.
Образцовые единицы длины изготовляются обычно в виде стерж-
ней с формой сечения, изображённой на рис. 1, причём деления
наносятся на хорошо защищённую от случайных повреждений по-
верхность АВ. Такая форма обеспечивает малый прогиб при изме-
рениях. Длина эталона делается несколько больше 1 м, так что
крайние чёрточки, нанесённые на АВ и находящиеся на расстоя-
нии 1 м, расположены несколько поодаль от концов эталона. Кроме
таких «штриховых» эталонов употребляются и «концевые», расстоя-
ние между концами которых определяет единицу длины.
Вторым обстоятельством, обеспечивающим высокую точность
измерения длин, является сама методика измерения.
При сравнении какого-либо эталона с основным оба сравнивае-
мых стержня помещают в термостат, обеспечивающий одинаковость
12 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [ГЛ. I
их температуры. Стержни лежат на подставках так, чтобы прогиб
их был возможно меньше; сравнение производится наблюдением
через микроскоп.
Рабочие эталоны изготовляются с меньшей точностью. Уста-
новлено, что по сравнению с основным эталоном инварные и пла-
тинитовые эталоны с течением времени несколько изменяются — уве-
личиваются по длине. Например, для некоторых употребляемых
в СССР геодезических эталонов установлено, что они принимают
постоянную длину только по истечении 15—30 лет.
Вообще измерение физических величин имеет в своей основе
измерение длины; так, например, силу мы измеряем по удлинению
пружину, температуру — по длине столбика ртути, угол — по длине
дуги круга определённого радиуса. Нетрудно заметить, далее, одну
особенность, свойственную всем, без исключения, измерениям: всякое
измерение сводится к отметке совпадения двух точек; так, при
измерении длины мы отмечаем совпадение двух точек конечных
штрихов; при измерении масс — совпадение конца стрелки весов со
средней точкой шкалы и т. п.
К измерению углов и длины приводится также и измерение
времени. Во всяком физическом явлении мы имеем дело с измене-
нием состояния тела, иными словами, всякое физическое явление
происходит не только в пространстве, но и во времени. Поэтому
для определения характера протекания физического явления во вре-
мени необходимо иметь возможность точно измерять время. Такое
измерение практически возможно потому, что в природе наблю-
даются явления, протекающие с высокой степенью точности, равно-
мерно во времени, независимо от изменений, происходящих в других
телах. Чтобы правильно понять это утверждение, необходимо при-
дать совершенно точный смысл выражению «равномерно во времени»,
иными словами — указать опыт, определяющий, есть ли эта равно-
мерность в данном явлении или нет.
Рассмотрим, -например, колебание двух маятников — наиболее
существенной части точных часов. Изготовив два (а ещё лучше
несколько) возможно более одинаковых маятников, пустим их в ход
не одновременно, а по очереди; если мы тем не менее увидим, что
они качаются «одинаково» (например, наибольшие отклонения совпа-
дают во всё время опыта), то мы скажем, что маятники идут равно-
мерно. Конечно, при этом останется сомнение, не происходит ли при
этом во всех них одинаковых, а потому не обнаруживаемых сравне-
нием изменений; например, при существовании постоянного ослабле-
ния силы тяжести периоды качания маятников увеличивались бы
(по сравнению, например, с периодом вращения земли вокруг её
оси), но расхождения между отдельными маятниками не было бы.
Следовательно, наш опыт не полон: надо иметь возможность сравнения
колебаний маятника, например, с колебаниями пьезоэлектрического кри-
сталла кварца; колебания последнего управляются не силою тяжести, как
§ 1] ОСНОВНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ И ЕДИНИЦЫ 13
в обычном маятнике, а упругими силами. Но, может быть, и этот
опыт, даже в случае утвердительного результата, будет вызывать
некоторые сомнения, и тогда мы привлекаем к сравнению вращение
небесного свода или другое подходящее явление. Таким образом,
мы постепенно уточняем наше понятие равномерности, «сё более
приближаясь к овладению нужным нам явлением внешнего мира.
Конечно, по подобному пути следует и всякое изучение окружающей
нас природы.
Процесс измерения промежутка времени, за который происходит
изменение изучаемой величины (например, повышение температуры),
состоит в одновременной регистрации показаний часов и соответствен-
ных значений изучаемой величины. По двум отмеченным моментам
и мы устанавливаем промежуток времени Д/ = £3 — ti9 по двум
соответствующим и значениям qpt и измеряемой величины
мы устанавливаем её изменение Дф = фа— соответствующее
этому промежутку времени.
За единицу времени принимают «звездные сутки» — промежуток
времени между двумя прохождениями какой-либо удобной для на-
блюдения неподвижной звезды через меридиан. Физику чаще всего
приходится пользоваться в качестве единицы времени секундой, по
определению равной 1/86400 средних солнечных суток (длитель-
ность обращения земли вокруг солнца, делённая на число суток
в году). Так называемые звездные сутки содержат 86 164 сек. Для
обозначения часа, минуты, секунды употребляются знаки Л,',", на-
пример, 5Л 3'5,4".
В практике точного измерения времени применяются два вида
часов: маятниковые и пружинные. В последних маятником является
небольшое колёсико, совершающее вращательное колебание на оси
под действием спиральной пружинки.
Для маятников маятниковых часов употребляется инвар, коэф-
фициент расширения а которого весьма мал, именно а=1,2- 10—б
(тогда как, например, для латуни а= 19 • 10“-6). Для маятников
точных пружинных часов употребляются либо пружинки (волоски)
из элинвара (инвар12°/0 хрома), модуль упругости которого
весьма мало меняется с температурой, либо специальное приспосо-
бление, обеспечивающее такое изменение момента инерции колёсика
с температурой, которое так компенсирует изменение упругости
волоска с температурой, что период качания не зависит от темпе-
ратуры.
Однако, даже несмотря на компенсирующие устройства, часы
не показывают точно астрономического времени, принятого нами за
эталон. В тех случаях, когда требуется определить время с большой
точностью, приходится вносить в показания часов поправку на точное
время. Поправка эта определяется по астрономическим наблюдениям
и радиосигналам времени. Изменение этой поправки за некоторый
промежуток времени (например, сутки) называется ходом часов.
14
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
Ход часов не вполне равномерен, но у хороших часов эта нерав-
номерность хода очень незначительна. В хороших лабораторных
часах неравномерность хода не должна превышать 0,1 сек. в
сутки.
Единицей третьей основной величины—массы — является храня-
щийся в Севре, близ Парижа, цилиндр из того же сплава платины
с иридием, из которого изготовлен эталон метра. Объём этого ци-
линдра таков, что масса его приблизительно равна массе одного
литра чистой воды при температуре её максимальной плотности,
с ошибкой, не превышающей 3 • 10г. Единица эта получила на--
звание килограмм-массы. Тысячная доля её называется грамм-
массой.
Так как массы тел пропорциональны их весам, то способом
сравнения масс является взвешивание, причём принимается ряд пре-
досторожностей, обеспечивающих наименьшие ошибки: учитывается
потеря веса в воздухе, неравноплечность весов и т. п. Для разных
стран изготовлены с принятием этих предосторожностей 40 копий,
из которых № 12 хранится в СССР, во Всесоюзном институте мер
и стандартов (ВИМС), а № 26 — в Академии Наук СССР. Массы
их отличаются от эталона не более, чем на 0,07 мг.
§ 2. Производные единицы. Системы единиц. Единицы длины,
времени и массы называются основными единицами. Единицы, слу-
жащие для измерения всех других величин, проще всего образовать,
исходя из этих трёх основных единиц. Та^, единица площади мо-
жет быть выбрана в виде квадрата со сторонами, представляющими
единицы длины; за единицу скорости — отношение единицы длины
к единице времени и т. п. Подобные единицы называются произ-
водными.
Производные единицы иногда получают особые названия — «литр»,
«гектар» и т. п., однако некоторые из них остаются и без особого
наименования. Например, единица скорости особого наименования не
имеет, если не считать таким наименованием «сантиметр в секунду».
Можно было бы—как это предполагалось, но не вошло в упо-
требление — назвать единицу скорости «цель» (от латинского слова
celeritas).
До сих пор не установлено обязательной для всех стран единой
системы единиц; даже метрическая система основных единиц ещё
не принята окончательно в Америке и Англии. Кроме того, иногда
удобно пользоваться различными единицами. Например, при измере-
нии весьма малых длин, какими являются, например, расстояния между
атомами, длины световых волн и т. п., пользование 1 сантиметром,
как единицей, приводит к выражению этих величин в виде весьма
малых дробей.
Неудобно было бы далее пользоваться даже единицей в 1 км
для измерения расстояний между звёздами и землёй. В астрономии
для этой цели введены новые единицы: парсек — расстояние, с кото-
§ 21
ПРОИЗВОДНЫЕ ЕДИНИЦЫ. СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ
15
рого средний радиус земной орбиты виден под углом в Г', и све-
товой год — расстояние, пробегаемое светом за один год 1).
Так как при измерении одной-той же величины, но для раз*
ных целей, нередко употребляются разные единицы, то возникает
вопрос о способах перехода от одной системы единиц к другой.
При этом особенно полезным оказывается понятие размерности.
В результате всякого измерения получается отвлечённое число.
Например, при измерении расстояния между Москвой и Ленинградом
за единицу мы принимаем 1 км, и измерение устанавливается с
определённой точностью: отношение длины этого расстояния к дли-
не нашей единицы есть 653. Подобным же путём мы устанавливаем
и время поездки между этими пунктами в виде отношения промежут-
ка времени, необходимого для поездки, и единицы времени — часа —
и находим отвлечённое число 10.
Средняя скорость движения поезда определяется нами как ре-
зультат деления ~ = 65,3 и есть также отвлечённое число, полу-
ченное в результате двух измерений — длины и времени, дающих,
как выше сказано, отвлечённые числа, и одной математической
операции — деления, требуемой самим определением понятия ско-
рости.
Чтобы различать эти числа, расстояние, время, скорость, по их
происхождению, к ним прибавляются наименования: км, час и т. п.:
например, для скорости — производной величины — употребляется
обозначение км/час, указывающее происхождение этой величины из
уравнения, её определяющего,
Чтобы указать способ получения производной величины по основ-
ным определяющим её величинам, употребляют особое обозначение.
Основные единицы обозначаются: L — длина, Т — время, М —
масса; для обозначения производной единицы, например, единицы
скорости, буквенное обозначение этой производной величины берут
в квадратные скобки. Тогда выражение
М = й = ьт"1
14
называют размерностью скорости.
Знание размерности рассматриваемой величины сразу даёт про-
стую возможность найти тот множитель, который получает число,
определяющее эту величину при переходе к новым основным еди-
ницам.
*) Один парсек равен 3,259 светового года, а световой год равен
9,46 • 1017 см.
16
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
Пусть мы переходим от каких-либо единиц к новым, например,
к единице длины, в aL раз меньшей первоначальной, и к единице
времени, в ат раз меньшей первоначальной. Новая единица скорости
(при условии, что под новой единицей её мы подразумеваем новую
единицу расстояния в новую единицу времени) будет в
а1
ат
раз
меньшей, как это следует из определяющего уравнения, а также
из формулы размерности. Поэтому, чтобы найти числовое значение
скорости в новых единицах, надо помножить прежнее её Значение
на a>L и а?1, как указывает формула размерности.
Очевидно, существует теорема: размерности правой и левой
частей всякого уравнения, имеющего физический смысл, должны
быть одинаковы. В самом деле, две равные физические величины
не могут стать неравными, будучи измерены в других единицах.
Но множители обеих частей уравнения окажутся равными при
переходе к новым единицам, вообще говоря, только в том случае,
если размерности обеих частей равны.
Отсюда следует также, что все члены многочлена, входящего
в уравнение, имеющие физический смысл, должны иметь одинаковую
размерность.
Это замечание полезно, во-первых, для поверки, не сделали ли мы
при составлении физического уравнения грубой ошибки: если не
все члены этого уравнения имеют одинаковую размерность, то на-
личие ошибки очевидно. Во-вторых, как мы увидим ниже, рассмот-
рение размерностей позволяет устанавливать важные соотношения
между физическими величинами.
В настоящее время в физике и технике употребляются три системы
единиц. Система CGS (сантиметр, грамм, секунда) имеет в качестве
основных единиц 1 сантиметр, 1 грамм-массу и 1 секунду. Система
MKS (метр, килограмм-сила, секунда) применяется в технике; в ней
основными единицами являются метр, килограмм-сила и секунда. Под
килограмм-силой подразумевается притяжение к земле международ-
ного эталона килограмм-массы при ускорении силы тяжести g=
= 9,80665 м/сек* и при взвешивании в пустоте. Весьма удобная для
технических измерений, эта система имеет тот недостаток, что вес
эталона несколько изменяется в зависимости от места, где он нахо-
дится, так как ускорение силы тяжести зависит от широты места.
Третья система MTS (метр, тонна-масса, секунда) более совер-
шенна в этом отношении; как и система CGS, она имеет среди
основных единиц массу в 1 ш, а не силу; вместе с тем она удоб-
нее для технических целей, чем система CGS, единицы которой 1 см
и 1 гра^м-масса слишком малы для технических измерений.
§ Зу Система отсчёта. Координаты. Имея в своём распоряжении
измерительные инструменты и установив единицы измерений, мы
,можем приступить к измерению, лишь условившись о выборе системы
§ 3)
СИСТЕМА ОТСЧЁТА. КООРДИНАТЫ
17
отсчета. Чтобы выяснить, что подразумевается под этим названием,
рассмотрим, как изучается движение точки по прямой. Задача
состоит в том, чтобы найти и выразить математически закономер-
ность, характеризующую интересующее нас движение. Эта законо-
мерность состоит в определённом соответствии между положениями
точки и моментами времени, к которым эти положения отно-
сятся.
Прежде всего мы выбираем так называемую систему отсчёта
положения. В простейшем случае, когда точка движется по пря-
мой, система отсчёта положения состоит из этой прямой, выбранной
на ней определённой точки О, которую мы называем началом от-
счёта, й направления OR, кото-
рое мы считаем положительным |*------------х’..uirT1
(рис. 2). Положение движущейся _
точки М в момент времени г *
t мы характеризуем расстоянием £ | Л
г= ОМ—числом, получающимся О ’ * " й
в результате измерения длины ОМ рис
при помощи измерительной ли-
нейки, и считаем его положи-
тельным, если М лежит в положительном направлении от начала О,
и отрицательным — в направлении, противоположном положитель-
ному.
Кроме того, мы должны ещё выбрать систему отсчёта време-
ни. Для этого мы выбираем подходящие часы и условливаемся, с
какого положения движущейся точки (например, с точки О) мы
начнём отсчитывать время; таким образом, мы устанавливаем нача-
ло отсчёта времени.
Уже из этого простейшего примера видно, что для измерения
необходимо иметь: 1) неизменяемое «тело отсчёта», на котором
отмечена неизменная линия OR* 2) начало отсчёта расстояний, неиз-
менно расположенное на теле отсчёта; 3) линейку, также неизме-
няемую, для измерения расстояний; 4) часы; 5) начало отсчёта вре-
мени, так или. иначе отмечаемое на часах. Отсчёт времени мы
можем производить по секундомеру, пуская его в ход с нулевого
положения стрелки в тот или иной момент, — например, когда на-
чинается изучаемое движение, или когда движущаяся точка проходит
через начало О. Совокупность всех этих пяти элементов называется
системой отсчёта.
Самый процесс измерения состоит, по существу, в регистрации,
при помощи той или иной измерительной методики, события, состоя-
щего из совпадения движущейся точки с определённой точкой М на
линии OR в определённый момент времени t. Мы получаем в резуль-
тате каждого измерения пару чисел х, t\ число х характеризует
положение точки, число t — момент времени, соответствующий этому
положению.
2, Папалекси, т. I
18
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[рЛ. I
Результат наших измерений представляется в виде таблицы:
Для описания самого общего движения
точки, например, полёта пылинки в воздухе,
недостаточно одной координаты. В этом слу-
чае чаще всего пользуются прямоугольной
системой координат — тремя взаимно пер-
пендикулярными «координатными» плоско-
стями, пересекающимися по осям Ох, Оу,
Oz, на которых считаются положительными
направления, обозначенные стрелками. Таких
систем возможны две; они изображены на
рис. 3, и различаются по взаимному распо-
ложению осей х, у, z. Как легко убедиться,
Секунды Метры
0 0
1 5
2 15
3 25
4 35
5 45
. . . . . .
рассматривая рис. 3, эти две системы нельзя привести в совмещение
никаким способом, т. е. перенесением систем, как неизменяемых
твёрдых тел, нельзя совместить одновременно все три положитель-
ные (обозначенные сплошными стрелками) оси одной системы с од-
ноимёнными осями второй
системы.
В системе, изображён-
ной слева, положительное
направление оси z вы-
брано в направлении дви-
жения обычного(правого)
винта, ввинчиваемого в
неподвижную гайку в на-
правлении перехода от
положительной части оси
х к положительной ча-
сти оси у\ эта система
называется правой. В дру-
гой системе, получившей
название левой, направ-
ление оси z противопо-
ложно. В физике и механике используются обе системы; в дальнейшем
изложении мы пользуемся только правой системой.
Положение в пространстве какой-либо точки М мы можем опре-
делить следующим образом (рис. 4). Проведём через М три
плоскости, параллельные координатным плоскостям; при этом из
пространства будет вырезан прямоугольный параллелепипед; рёбра
этого параллелепипеда OX, OY, OZ измерим единицей длины, и по-
лученные в результате этих измерений числа х, у, z назовём ко-
ординатами точки М. Легко видеть, что задание этих координат
вполне определяет положение точки М в нашем пространстве; и
обратно, зная положение М, найдём' х, у, z. При изображённом
на рис. 4 положении М отрезки ОХ, ОУ, OZ лежат на положительных
§ 41
О ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
19
направлениях осей, и в этом случае условливаются считать числа
х, у, z, полученные в результате измерений, положительными; в
противном случае — той из координат, которая будет изображаться
отрезком, лежащим в отрицательном направлении оси,'приписывается
отрицательный знак. Вместо OX, OY, OZ можно брать и равные им
M'Y, М'Х, M'Z.
Изучение движения точки в этом общем случае состоит в нахо-
ждении из измерений таблицы чисел, например, следующего вида:
С екунды х (в м) У (в М) z (в м)
0 0 0 0
1 5 3 4
2 20 6 8
.... .... .... ....
Получив в результате наших измерений такую таблицу, мы ставим
себе задачей подыскать соответствующую ей формулу для вычис-
ления координат точки по времени. Например, как легко проверить,
значение координат х, у, z в любой момент
времени можно вычислить по формулам:
х = 5/2, y = 3t, z = 4t.
Имея эти формулы, т. е., зная, как принято
говорить, функциональную зависимость ко-
ординат от времени, мы тем самым имеем
удобное и полное выражение для изучаемого
нами движения в виде трёх функциональных
зависимостей вида
Рис. 4.
^=/1(0, У=№, г=Ш- (1.1)
Как мы увидим ниже, зная эти три зависимости, мы можем по
ним вычислить все интересующие нас характеристики рассматривае-
мого движения: траекторию точки, её скорость в любой момент вре-
мени и т. д.
§ 4. О точности измерений. Ввиду целого ряда причин — несовер-
шенства измерительных приборов, субъективных ошибок наблюда-
теля, возможных случайных обстоятельств—точность производимых
нами измерений ограничена. Это обнаруживается при повторении
измерений. Так, измеряя 100 раз вес или объём данного куска
металла, мы обычно получаем 100 различных чисел. Это может быть
вызвано тем, что при взвешивании мы пользуемся не всегда одними
2*
20
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[гл. I
и теми же разновесками, которые, разумеется, не могут быть изго-
товлены абсолютно одинаковыми, а также тем, что один раз мы
смотрим на стрелку весов несколько справа, а другой раз—несколь-
ко слева (так называемая ошибка параллакса), вследствие чего в ка-
ждом случае мы снимаем различные отсчёты; возможно также, что
при одном из взвешиваний одно плечо коромысла нагревается больше,
чем другое, отчего становится длиннее и т. д.
< Однако, рассмотрение этих 100 чисел, полученных в результате
взвешивания, показывает, что все они колеблются в небольших пре-
делах (если, конечно, приняты все нужные меры предосторожности
при взвешивании), а поэтому они всё же имеют ценность. Обычно
в этом случае !) пользуются средним весом тела, под которым под-
разумевается среднее арифметическое из этих ста наблюдений, т. е.
вычисляют вес р по формуле
юо
п — Р14~Р2+Рз+ . . . +Р100 _ 1
100 ~ 100 ’
где рь р*,...—веса, полученные при отдельных взвешиваниях. Раз-
ность между средним весом р и одним из результатов измерения
Pi называется абсолютной ошибкой отдельного измерения:
Ь=Р — Pi-
Величина ~ называется относительной ошибкой и нередко выра-
жается в процентах.
Теория вероятностей показывает, что при условии равноценности
отдельных измерений средняя величина р достаточно близка к истин-
ной; теория даёт правила для вычисления ошибки а, оценивающей
разность между истинным весом Р и средним весом р; результат
записывается так:
Р=р±а.
Принято выражать это словами: истинная величина равна средней
с точностью до±а.
Ошибка возможна и в сторону уменьшения, и в сторону увели-
чения истинного веса. Конечно, при этом должна быть уверенность,
что при взвешиваниях не было сделано систематических ошибок
(например, наблюдатель не заметил, что на взвешиваемое тело на-
липла посторонняя частица или что весы его неравноплечие) и
х) Если наблюдатель имеет основание полагать, что все его измерения
равноценны.
ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ.
21
§ 5]
ошибки обусловлены только случайными причинами, меняющимися
от наблюдения к наблюдению (случайные ошибки).
Таким образом, все наши измерения и выводимые нами из них
закономерности известны нам лишь с некоторой степенью точности.
Поэтому по мере появления новых, более совершенных способов
измерения установленные закономерности приходится поверять вновь.
Если такая поверка показывает, что при новой, повышенной точности
измерений закономерность, установленная на основе первоначаль-
ных данных, уже не соблюдается, её заменяют новой. Таким об-
разом, надёжность и точность нашего знания одних законов при-
роды по мере развития науки повышаются, другие законы оказываются
лишь приближёнными или имеющими ограниченные пределы примени-
мости. Так, например, закон Бойля-Мариотта при современных способах
измерения оказывается уже приближённым: объём газа не точно
обратно пропорционален давлению.
§ 5. Теория векторов. В дальнейшем изложении нам весьма
часто придётся пользоваться понятием вектора, а потому нам необ-
ходимо изложить основные свойства векторов. Простейшим векто-
ром является так называемое перемещение (или смещение) точки.
Рассмотрим (рис. 5) три положения М19 Л42, М3 некоторой точки
М и установим, какое положение мы считаем первым, какое — вторым
и т. д. Например, удобно нумеровать эти по-
ложения в порядке времён их прохождения дви-
жущейся точкой. Отрезки МГМ%, М2М3, на ко-
торых стрелкой отмечены направления, назы-
ваются векторами смещения. Таким образом,
смещение точки мы считаем вполне определён- (
ным, если заданы величина его и направление.
Естественно далее считать, что два смещения ^ис*
Afj/Ucj и дьух разных точек М и W равны,
если они выражаются равными по длине и одинаковыми по направ-
лению отрезками, хотя бы эти смещения и находились в разных
местах пространства. Мы видим далее, что два последовательные
смещения и М$М3 могут быть заменены одним М1М3, неза-
висимо от того, в каком порядке они происходили; например, мы
могли бы иметь сначала смещение равное смещению-
а потом смещение Л42'Л13, равное М%М3. Иными словами, два сме-
щения можно заменить одним по хорошо известному правилу парал-
лелограмма.
В механике и физике мы нередко встречаемся с величинами,
обладающими следующими свойствами:
1) Величина может быть вполне, охарактеризована некоторой
длиной и отмеченным на ней направлением (направленным отрезком).
2) Сложение этих величин, т. е. замена двух величин одной,
имеет физический смысл и подчиняется правилу параллелограмма.
Например, сила есть вектор, так как, как известно из элементарного
22
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[ГЛ. I
курса физики, она обладает свойствами (1) и (2). В отличие от век-
торов, будем называть скалярами такие физические величины, как
масса, температура и т. п. Величины эти характеризуются числом,
положительным или отрицательным; правило их сложения совпадает
с обычным правилом сложения алгебраических ве-
личин.
Не следует полагать, что всякая физическая
величина, которую можно изобразить направ-
ленным отрезком, есть вектор; для этого тре-
буется ещё, чтобы соблюдалось правило сложе-
ния. Рассмотрим, например, вращательное (рис.
6) перемещение точки М. Если твёрдое тело
вращается около оси AW, то некоторая точка его М
перемещается по окружности, имеющей центром
точку О; два последовательные положения, Af, и Af2, точки опре-
деляют её вращательное перемещение А^Л^. Это перемеще-
ние мы могли бы полностью охарактеризовать отрезком ОР, чис-
ленно равным углу поворота 0 = Л110М2 и расположенным по
оси вращения. Нетрудно заметить,
что, зная этот отрезок, мы можем пол-
ностью и единственным образом опре-
делить угол 0, если вдобавок усло-
вимся откладывать ОР в таком на-
правлении, чтобы вращение точки М,
рассматриваемое из точки Р, пред-
ставлялось происходящим против ча-
совой стрелки. Однако, ОР не есть
вектор. В самом деле (рис. 7,а),
представим себе последовательные по-
вороты точки (пунктирные линии)
сперва относительно оси Oz на прямой
угол с, затем относительно оси Оу
на прямой угол Ь; эти два пово-
рота можно заменить одним, около
оси Ох на прямой угол а; но направ-
ленные отрезки ОА, ОВ, ОС, выра-
жающие эти три поворота, очевидно
не удовлетворяют требованию (2), хотя
бы уже потому, что не лежат в од-
ной плоскости.
Однако, если угловые перемеще-
ния достаточно малы, то изображаю-
щие их отрезки достаточно точно под-
чиняются правилу сложения векторов, а потому могут приближённо
считаться векторами. В самом деле (рис. 7,Ь), пусть АВ, ВС суть
дза последовательные дуговые перемещения; очевидно, АС есть пере-
§ 5]
ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
23
метение, равноценное им. Соответственные угловые перемещения, из-
АВ ВС А С __я_____л D
меренные в радианах, суть — , -р-, — , где г— О А = ОВ = ОС.
Отрезки Оа, ОЬ, Ос, перпендикулярные к плоскостям этих дуговых
перемещений, приближённо лежат в одной плоскости, а их ве-
АВ ВС АС л D
личины равны — , —, —, следовательно, пропорциональны АВ,
ВС, АС. Если смотреть на перемещения в направлении, указанном
стрелкой, то мы увидим картину, изображённую на рис. 7,с. Но £±ОсЬ
имеет стороны Ос и ОЬ, перпендикулярные и пропорциональные сто-
ронам АВ и ЛС; на основании известных теорем ’геометрии отсюда
вытекает, что и сторона cb перпендикулярна и пропорциональна ВС,
следовательно, совпадает по величине и направлению с Оа. Итак,
Оа, ОЬ, Ос подчиняются правилу векторного сложения (прибли-
жённо), что и требовалось доказать.
В дальнейшем мы будем обозначать векторы буквами, набран-
ными жирным шрифтом; другой способ обозначения — помещение
стрелки над буквой обычного шрифта.
Проекции сектора на ось. Пусть имеем вектор R (рис. 8)
изображённый стрелкой АВ, и некоторую прямую MN, на кото-
рой считается положительным направ-
ление от М к N. Проведём через на-
чало А и конец В нашего вектора
плоскости Р и Q, перпендикулярные
к оси и пересекающие её в точках А'
и В'. Число, получаемое в результате
измерения отрезка А’В' условленной
единицей длины и снабжённое зна-
ком если В' находится в положи-
тельном направлении от А', и зна-
ком — в противоположном случае, назы-
вается проекцией вектора на ось;точки
А', В' называются проекциями точек
Компоненты вектора. Пользуясь
можем показать, что в прямоугольной
Рис. 8.
А, В на ось.
понятием проекции, мы
системе координат вектор
можно полностью охарактеризовать его тремя проекциями на три
оси координат; эти проекции получили название компонент век-
тора; они обозначаются той же буквой, что самый вектор (но
в отличие от вектора светлой буквой, а не жирной) и с обозначе-
нием той оси, на которую проицирован вектор. Например, ком-
поненты вектора R суть Rx, Rv, Rz. Чтобы получить, например,
Ру = А'В’ (рис. 9), мы можем провести перпендикуляры АА", В В"
к плоскости хОу и из точек А", В" пересечения их с хОу— перпен-
дикуляры А" А', В"В'. Точка А есть проекция точки А на ось
у, так как плоскость АА'А, определённая этими перпенди-
кулярами, перпендикулярна к оси Оу.
24
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[гл. I
Точки Л", В" называются проекциями точек А, В на плоскость
хОу\ вектор А" В" называется вектор-проекцией вектора АВ на ту
же плоскость.
Проведя 'через А и В три пары таких попарно параллельных
некоторый прямоугольный параллелепипед,
диагональю которого явится вектор /?, а
рёбра которого суть проекции вектора
на оси. Поэтому, на основании теоремы
о диагонали параллелепипеда, мы можем
написать
плоскостей, выделим
Т
AB = R=VR^^R^R^ (1.2)
Угол p между направлением вектора
и положительным направлением оси у
есть угол между АВ и ребром AM, па-
раллельным оси у. Так как угол АМВ —
прямой, то можем написать
AM = Ry = R cos p. (1.3)
углы вектора с осями, находим, таким
Обозначив через а, р,
образом, три формулы, одна из которых уже написана, а осталь-
ные две гласят
Rx = R cos a, Rz — R cos у.
Эти три формулы показывают нам,
что вектор вполне определён, если из-
вестны три его компоненты Rx, Ry, Rz-
В самом деле, формула (1.2) даёт нам
возможность вычислить модуль век-
тора по его компонентам, а последние три формулы
ность вычислить по тем же компонентам углы а, р, у, т. е. опре-
делить направление вектора.
Возведя последние три равенства в квадрат и сложив, найдём
после сокращения
cos’a 4- cos’P -f- cos’? = 1.
Рис.
10.
дают возмож-
(1-4)
Эта важная формула показывает, что углы а, 0, у связаны между
собой определённой зависимостью.
Переходим теперь к изложению правил действия с векторами.
Сложение векторов. Пусть даны (рис. 10) два вектора А,
В. Составим из них третий вектор по следующему правилу: из про-
извольной точки О отложим вектор, равный вектору А, а из конца
его — вектор, равный вектору В. Вектор С, представляющий собой
замыкающую ломаной АВ и направленный от начала первого век-
тора к концу второго, называется суммой векторов, а действие,
приводящее к его нахождению, называется сложением векторов.
§ 5]
ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
25
Вактврмее ележеяие ириняте записывать, как и в обычной алгебре:
А+Я = С.
(1.5)
Легко заметить тождество определённого нами сложения векторов
с правилом замены двух сил одной, известным из элементарного
курса физики под названием правила параллелограмма сил.
Сложение нескольких векторов определяется, как последователь-
вектора и векто-
Рис. 11.
ные сложения первого со вторым, третьего с суммой первого и
второго и т. д. Например (рис. 11), сложим векторы А, В, С, D, Е;
сперва найдём вектор А В, потом сумму этого
pa С и т. д. В результате получим
вектор F. Таким образом, мы видим,
что для нахождения суммы многих век-
торов надо к концу первого вектора
приставить второй, к концу второго —
третий и т. д. Вектор, соединяющий
начало О с концом последнего вектора,
и есть, как легко показать, искомая
сумма векторов.
Возможно, что конец последнего
вектора совпадает с началом О. В этом
случае сумма векторов есть
вектор, модуль которого есть
торов не зависит от порядка
стительности, существующее
нулевой
нуль. Легко доказать, что сумма век-
векторов-слагаемых (свойство переме-
и для алгебраических величин). На-
пример,
(1.6)
Вектор-сумма обладает и свойством сочетательности
(А-}-В) + С=А+ (« + <?). (1.7)
Вычитание вектора В из вектора А есть (по определению, сов-
падающему с определением вычитания алгебраических величин) на-
хождение такого вектора-разности С, который, будучи прибавлен
к вектору-вычитаемому В, даст вектор-уменьшаемое А.
Нетрудно видеть, что для нахождения вектора-разности надо к
вектору-уменьшаемому прибавить вектор, равный по модулю, но
обратный по направлению вектору-вычитаемому.
Из рис. 12 легко усмотреть теорему: проекция вектора-суммы
на ось равна алгебраической сумме проекций векторов-слагаемых.
Обозначив через Рд, Рв, ..., Рр проекции наших векторов на ось
абсцисс, можем записать эту теорему так: если A~\-B-\-C — D, то
Ра ' PB-\-Pc=PD. (1-8)
26
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[гл. I
Подобная теорема, очевидно, справедлива и по отношению к разно-
сти векторов.
Справедлива и более сложная теорема: если А-\-В—С = О, то
подобным же образом выглядят и соотношения между проекциями
векторов на оси координат
Ах 4“ Вх — Сх = DX)
Ay “I" By - Су ==:
&Z + --Сг= Dz,
(1.9)
Вообще сложение и вычитание векторов весьма похожи на соот-
ветствующие алгебраические операции.
Заметим, наконец, что, как это видно из рис. 4, всякий вектор
ОМ можно рассматривать как сумму трёх векторов:
ОМ = ОХ + ХМ + М'М;
векторы эти параллельны осям координат, а модули их равны абсо-
лютным величинам соответствующих проекций OX, OY, OZ. Векто-
ры эти называются вектор-компонентами рассматриваемого вектора;
их нахождение называется разложением вектора ОМ ' по осям ко-
ординат.
Сложение векторов не есть единственное действие, с которым
полезно иметь дело в геометрии и физике. Существует ещё три вида
векторного умножения, с одним из которых мы познакомимся в этой
главе, а с двумя другими — в дальнейших главах.
Умножение вектора на скаляр. Вектором-произведением век-
тора А на скаляр а называется вектор, модуль которого равен
произведению модуля А на скаляр а, а направление совпадает с на-
правлением А, если а положительно и противоположно, если а —
отрицательно. Нахождение такого вектора называется умножением
вектора на скаляр и обозначается
С — аА.
В частном случае а = — 1 мы можем, согласно этому определению,
написать
(—1).С = —С.
Легко показать, что если
а = b с,
то
аА = ЬА-\-сА (1.10)
ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
27
§ 5]
и что если
л=в+с,
то
аА = нВ аС*
(1.11)
т. е. наше умножение имеет свойство распределительности по отно-
шению к обоим множителям.
Нетрудно показать, что проекция Cs вектора-произведения аА
на какую-либо ось 5 равна произведению числа на проекцию век-
тора-множителя
Cs —
Поэтому имеем
C# —— (2/4..у, Су — аАу, С2 = (1.12)
ГЛ A BA II.
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА.
§ 1. Кинематика точки. Скорость. Часть механики, изучающая
движение тел с его геометрической стороны, безотносительно к
причинам, его вызывающим, называется кинематикой.
Мы изложим прежде всего кинематику точки. При рассмотре-
нии движения тела мы часто можем ограничиться рассмотрением
движения одной из его точек и оставлять без внимания взаимное
движение других его точек. Особенно
2 часто это будет иметь место в тех слу-
п чаях, когда размеры тел очень малы.
Одно и то же тело, в зависимости отце-
лей, с которыми мы изучаем его движе-
у ние, может считаться то точкой, то телом
конечных размеров. Так, при изучении
г. п кинематики снаряда мы считаем его за
точку, если интересуемся его траекторией
и дальностью полёта; но тот же снаряд
мы считаем телом конечных размеров,
если хотим изучать его вращение. В астро-
рис номии при изучении движений небесных
тел, например планет, мы во многих слу-
чаях рассматриваем их как точки.
В курсе элементарной физики мы ознакомились с несколькими
важнейшими и простыми видами движения и определениями ха-
рактеризующих его величин. Таких видов движения рассматрива-
лось четыре: прямолинейное равномерное движение, прямолинейное
равномерно ускоренное движение, круговое равномерное движение
и движение по параболе. Понятно, что существует множество раз-
личных движений точки, с которыми приходится встречаться;
возникает потребность в установлении единого способа описания
всех этих различных движений, и таким способом является приме-
нение координат, о которых уже говорилось в гл. I, а также
векторов.
К изложению кинематики точки этими методами мы теперь и
переходим.
§ 1]
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ. СКОРОСТЬ
29
Рассмотрим (рис. 13) какие-нибудь два последовательные поло-
жения и Л12 движущейся точки Ж, наблюдаемые в моменты
времени tt и /2.
Положения эти определяются координатами точки M(xlf у19
и М (х2, _у2, \г2); можно определить их и при помощи так называе-
мых радиусов-векторов ОЛ11—г1 и ОЛ12 = г2, идущих от начала
координат к рассматриваемой точке. Очевидно, проекции этих век-
торов на оси координат и суть координаты рассматриваемых точек,
а именно
(Г1)Ж = Х1, (Г1')у=у1, (^ = 2^,
(гх\=х,, (гу\=уг, (r,)2 = z3.
Вектор МГМ2, который мы обозначим через Дг, получил название
вектора перемещения. Мы видим, что
Аг = г3 —г,. (2.1)
Кривая представляющая совокупность точек простран-
ства, через которые проходит движущаяся точка М, называется тра-
екторией точки. Трассирующая пуля оставляет за собой светящийся
след в тех точках пространства, через которые она последовательно
пролетает, и, таким образом, траектория пули становится видимой.
На основании теоремы (1.3) мы можем написать
(Ar)x = Ax = x2 —хн
(Ar)> = Aj/=j/ss — у1г
(lf)z = bz = z3 — zv
(2.2)
Обратимся теперь к понятию скорости точки. Если бы точка
двигалась равномерно по прямой то мы вычислили бы вели-
чину её скорости по известной формуле
ММ
М —
а направлением её считали бы направление вектора МхМ^ = ^г,
В общем же случае непрямолинейного и неравномерного движения
мы прежде всего введём понятие средней скорости, которой дадим
такое определение:
Средней скоростью точки за промежуток времени Д£ называется
вектор
(2.3)
Такое определение средней скорости представляет целесообраз-
ное обобщение понятия средней скорости, известного из элементар-
30 КИПЕМАТИКа ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЁРДОГО тела [гл. II
ного курса; там мы определяли отдельно величину средней скорости,
деля длину пройденного пути на потраченный промежуток времени,
и отдельно указывали направление скорости; в формуле (2.3) обе
эти характеристики целесообразно объединены введением вектора я12.
Компоненты этого вектора мы можем определить на основании
формулы (1.12), причём-^ следует рассматривать как скалярный
множитель а, входящий в эту формулу. Мы найдём
= (2.4)
Легко заметить, что проекции средней скорости на оси коорди-
нат равны средним скоростям проекций движущейся точки на оси.
Это следует из того, что проекции М19 Л12 суть точки оси, на-
ходящиеся на расстояниях х19 х2 от начала, а Дх = х2—xt есть
перемещение проекции точки М по оси.
Рис. 14,
Перейдём теперь к
Будем теперь уменьшать рассматривае-
мый промежуток времени, сохраняя tY по-
стоянным, а /2 приближая к Очевидно,
ТИ2 при этом будет приближаться к и
направление вектора Дг будет прибли-
жаться к найравлению касательной к тра-
ектории в точке отношение же так-
же будет, вообще говоря, изменяться.
Отношение имеет, вообще говоря,
предел, который мы называем мгновенной скоростью (или, короче,
скоростью) точки в момент /; вектор ~ при уменьшении Д/ также
стремится к некоторому предельному вектору, который мы назы-
ваем вектором мгновенной скорости
vt = lim я12= lim ду . (2.5)
Геометрический смысл вектора <ot (значок у t мы можем отбросить,
так как, очевидно, наше рассуждение годится для любого момента
времени) очень прост и усматривается из рис. 14. По мере умень-
шения рассматриваемого промежутка времени точка Л42 оказывается
всё ближе к точке М19 хорда же выражающая перемещение
за время Д£, всё ближе совпадает по направлению с касательной к
траектории в точке Л419 вместе с тем уменьшаясь в размерах до
нуля. Но отношение ", различное для разного выбора точки 2И,
при умножении Д/ вообще говоря стремится не к нулю, а к некоторой
определённой величине Отсюда видно, что мгновенная скорость
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ. СКОРОСТЬ
31
§ 1]
есть вектор, направленный по касательной к траектории в той её
точке, в которой находится точка М в рассматриваемый момент
времени tt.
Переходя к пределу в формулах (2.4), найдём
^=lirnSF> = (2-6)
Отсюда видно, что проекции мгновенной скорости суть мгновен-
ные скорости движения проекций движущейся точки на оси.
Величину скорости мы могли бы определить и несколько иначе,
как это делается в элементарных курсах физики, назвав средней
скоростью движения точки отношение длины дуги к промежутку
времени
Вследствие различия длин перемещения и дуги мы по-
лучили бы несколько иную величину средней скорости, чем • при
нашем первоначальном определении. Однако, величина мгновенной
скорости при этом не изменилась бы. В самом деле, исходя из
нашего первого определения, мы можем написать
__Ar __ Ar As
Д/—As ’ АГ
Переходя к пределу и опираясь на известную теорему, утвер-
ждающую, что предел произведения равен произведению пределов,
можем написать
,. Аг ,. As
— lim v- • lim -7-..
* Af
Но отношение хорды к дуге стремится в пределе к единице, а
потому получаем
= (2.8)
Пределы подобных отношений, как известно из дифференциального
исчисления, получили название производных и обозначаются так;
Соответственно этому мы
ИтД? = ^ = 5-
будем писать
Все эти формулы позволяют вычислять скорость и её проекции на
оси координат для любого сколь угодно сложного Движения точки,
32 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА [гЛ. II
Чтобы это вычисление было возможно, надо, очевидно, знать, как
зависят величины Дг, Д$, Дх, Ду, Дг от времени. Рассмотрим, на-
пример, Дх = ха—xt; если мы знаем, как зависит от времени
координата х, т. е. мам дана функциональная зависимость, рассмо-
тренная в гл. I (1.1),
х=/(0,
то, давая в этой формуле t значения и = М, найдём
x1=/(/i), х2 =
откуда
Дх=/^1+Д/)-/(^
Следовательно, нам придётся искать предел отношения
Дх/(Ч + Д/)-/(Ч)
для заданного ti9 уменьшая Д/ до нуля. В дифференциальном исчи-
слении даются правила его быстрого нахождения. Таким образом,
мы можем сказать, что проекция скорости на ось х есть про-
изводная координаты х по времени
Чтобы показать, как ведётся вычисление скорости, если дан
закон изменения координаты движущейся точки со временем, рас-
смотрим известный из элементарного курса физики пример свобод-
ного падения тела в пустоте, когда
х = а/3.
В моменты времени t и находим
xt — at*9 xt 4- Ы = л (/ 4“ ДО2-
Вычитая первое из второго, имеем
Ах = 2atkt -4- а (ДО2-
Отсюда средняя скорость
Мы видим, что средняя скорость состоит из двух членов, пер-
вый из которых не зависит от Д/, второй пропорционален М. При
стремлении Д£ к нулю эти члены ведут себя по разному: первый
остаётся конечным, второй стремится к нулю. Поэтому второй член
называется малым первого порядка по отношению к Д£ 9-
Ч Вообще величиной малой n-го порядка по отношению к о называется
величина, отношение которой к о" ограничено сверху и снизу при о—• 0.
§ 2]
УСКОРЕНИЕ
33
Теперь перейдём к пределу при Д/—*0. Очевидно, второй член
будет стремиться к нулю вместе с Д^/и мы найдём
Размерность скорости есть длина, делённая на время:
О] = LT-1.
(2.9)
Обычно употребляемые единицы — 1 см в 1 сек (1 см/сек).
Измерение мгновенной скорости производится обычно лишь при-
ближённо и сводится к измерению средней скорости за возможно
малый промежуток времени. Так, например, скорость течения реки
в разных её местах определяют, фотографируя за короткий проме-
жуток времени плывущие по реке блестящие шарики. На фотопла-
стинке получаются чёрточки, по длине которых и по времени экспо-
зиции определяют среднюю скорость.
§ 2. Ускорение. Применяя те же рассуждения, которые мы при-
водили в § 1 для определения скорости, мы приходим к определе-
нию вектора ускорения. Назовём средним ускорением за про-
межуток времени от до /х-}-Д^ отношение
(2.10)
Отсюда совершенно таким же путём, каки выше, найдём, что мгно-
венное ускорение точки есть производная её скорости по времени
Далее, найдём
Так как величина ускорения есть производная по времени от
производной пути по времени, то мы можем написать
что в математике принято обозначать так:
d’s
а~ di*
3 Папалекси, т. 1
34 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА [гЛ. II
и называть второй производной пути по времени. Мы имеем также
d'2y d2z
а*~ dt*> аУ — ~dF9 йг~ dt*' (2.13)
Приведенные выше формулы представляют собой обобщение извест-
ного из элементарного курса понятия ускорения, пригодное для
движений любого вида.
Размерность ускорения согласно этим формулам такова:
[а] = [77] • Т’1 = LT-2.
За единицу ускорения принимают изменение за 1 секунду скорости
в 1 см{сек (1 см/сек*). Иногда эта единица называется галь (от имени
Галилея).
Годограф скорости. Вектору ускорения можно придать на-
глядный геометрический смысл. Пусть (рис. 15, a) vlf v2 суть
векторы скорости дви-
жущейся точки М в мо-
менты t2 и т. д.,
когда она находится в
положениях Mlt М2 и
т. д. Нанесём на особом
чертеже (рис. 15, д), на-
зываемом годографом ско-
рости, векторы скорости,
соответствующие разным
моментам времени, откла-
дывая их из точки О'.
Проведём кривую
образованную концами
этих векторов; эта кривая, очевидно, вполне характеризует скорость
нашего движения в любой момент времени, и по величине и по
направлению. Годограф скорости позволяет также получить уско-
рение точки. В самом деле, отметим скорости O,Nl = vl и O'N2 = v2.
Очевидно, вектор NkN2 равен разности скоростей, т. е.
Отсюда
NxN2 = v2 — Vi = Ат?.
а12— At ~ЬГ
Переходя к пределу, имеем
а = lim
dv
~ dt'
(2.14)
Д/-0
т. е. ускорение точки М есть скорость точки N годографа ско-
ростей. Ниже мы приведём примеры применения этого полезного
понятия.
§ 3]
ГРАФИКИ РАССТОЯНИЯ, СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ
35
§ 3. Графическое изображение расстояния, скорости и ускоре-
ния. Функциональная зависимость, характеризующая движение точки
по некоторой определённой траектории, может быть изображена
весьма наглядно графически. Пусть (рис. 16, а) движение точки М
совершается по траектории ОЛ^Л^, причём расстояния, на которых
находится движущаяся точка от постоян-
ной точки О, обозначены через s и отсчи-
тываются по траектории. Выберем систему
координат на плоскости, причём (рис. 16, Ь)
по оси абсцисс будем откладывать Z, по оси
ординат s. Тогда каждому моменту времени
и соответствующему ему расстоянию дви-
жущейся точки М от начала О будет со-
ответствовать на рис. 16,, b характеристи-
ческая точка Р (не смешивать с точкой М),
а совокупности всех положений движу-
щейся точки — характеристическая кривая
или график движения ОР^. Обратно, зная
положение точки Р в системе координат
графика, можно установить положение на
траектории точки М. Более того, график
можно использовать не только для харак-
теристики движения, но и для характеристики величины скорости
и ускорения движения точки М вдоль траектории.
Рассмотрим два последовательных положения Рх и характе-
ристической точки. Очевидно,
Отсюда
Д/ = /2—fl = PlQi
— QP2»
^=tg(P,P1Q),
т. e. средняя скорость за промежуток времени Д/ равна тангенсу
угла, составляемого хордой PjP2 с осью времён; при переходе к пре-
делу Д/_>0 хорда обращается в касательную к характеристической
кривой. Следовательно, в определённый момент времени /, скорость
движущейся точки равна тангенсу угла а, составляемого с осью
времён касательной к характеристической кривой в точке Pi9 соот-
ветствующей моменту времени
Для графического определения ускорения при движении вдоль
траектории найдём сначала из графика (рис. 16,Ь) зависимость
т/ = Г(О,
которую и представим новым графиком в системе координат (рис. 17).
3*
36 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА [гЛ. II
Изменение скорости &v есть, очевидно, Q^R, а среднее ускорение
есть
«n = ^ = tg ((?,(?,/?).
Переходя, как и выше, к пределу, найдём
a = tgp,
где р — угол, составленный касательной в точке с осью времени ’).
Весьма наглядно изображается на этом графике расстояние, на
которое передвинулась по траектории точка М за заданный про-
и
& fl , К
и
Рис. 18.
межуток времени. Если, например (рис. 18), мы имеем дело с равно-
мерным движением по траектории, то характеристическая кривая
скорости есть прямая расположенная на расстоянии v парал-
лельно оси времён. В этом случае изменение расстояния, на котором
’находилась точка М в действительном движении, за время — tx
равно
$2 — ^ = ^(/2 — ^),
т. е. численно равно площади прямоугольника
Если движение переменное (например, рис. 19), то мы можем
разбить рассматриваемый промежуток времени на малые промежутки
п
Для каждого такого промежутка перемещение As больше, чем площадь
затушёванного прямоугольника vt так как за время А^ скорость дей-
ствительного движения не остаётся постоянной, но возрастает;
As меньше, чем площадь г//-ид/*А/, т. е.
Af < As<C>/ + • At
1) Необходимо подчеркнуть, что мы, таким образом, находим лишь ве-
личину ускорения вдоль ^траектории, но не полное ускорение точки (см. § 5).
§ 4]
ВАЖНЕЙШИЕ ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ
37
Полное перемещение за время от tx до /2 больше, чем площадь
суммы меньших прямоугольников и меньше, чем площадь суммы
больших прямоугольников. Переходя к пределу Д/—►О, увидим, что
перемещение это выражается площадью ограниченной сверху
характеристической кривой. Величина этой площади S меньше суммы
площадей всех больших
прямоугольников и больше
суммы площадей всех мень-
ших прямоугольников.
Обозначим площади
меньших прямоугольников
через s2f s3,... , а их
сумму через Esz; площади
больших через S2,
53, ..., а их сумму — че-
рез ESZ. Тогда мы имеем
право написать
Уменьшая Д£, мы видим,
что сближается с поэтому S стремится к пределу. Следо-
вательно, можно положить
S = lim
но
s2 = х>2Д/, = vtM и т. д.,
поэтому
S = lim Ет^ДД
д/->о
Предел этой суммы называется определённым интегралом по dt
в пределах от tx до t2 и записывается так:
5= J vdt. (2.15)
h
Он даёт путь, пройденный точкой М по траектории за время от
tx до /2.
§ 4. Важнейшие виды движения. Применим теперь предыдущие
общие формулы к рассмотрению нескольких важнейших видов дви-
жения, хорошо известных из элементарного курса механики.
Равномерное движение по прямой. Систему координат в этом
случае удобно расположить таким образом, чтобы прямая, по кото-
рой движется наша точка, совпала с осью х. Легко видеть, что
тогда формулы, выражающие зависимость координат движущейся
точки от времени, примут вид
х =/(/), > = 0, 2 = 0.
38
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. И
Положим
f(t) = q+pt-
Величина q имеет простой смысл, который мы обнаружим, рас-
смотрев положение точки в момент времени / = 0. Тогда найдём
xt=^ = q, у = 0, z = 0,
т. е. q есть координата движущейся точки в начале счёта времени.
Координаты точки, определяющие положение точки в момент вре-
мени /=0, принято обозначать х0, у^,
Для нахождения скорости пишем для двух моментов времени
t и
•*2=9'+р(^4-д0
и вычитанием находим
Дх = рД/,
откуда
Дх
р=м>
а после перехода к пределу
P = VX.
Следовательно, р есть скорость движения точки по оси; в рассма-
триваемом случае она постоянна. Итак, наше движение есть прямо-
линейное равномерное движение.
Прямолинейное равнопеременное движение. Положим
x = q-\-pt-\-rt\ у = 0, z = 0.
Попрежнему видим, что д==х0 есть положение точки на оси х
в начале счёта времени.
Вычислим теперь скорость. Напишем
х4-Дх = ? + /7(/ + ДО + '-(^+д^-
Отсюда
Дх = р Lt -|- 2rt Lt -f- г (ДО3
и
— %t = Р + М 4- гДД
Переходя к пределу при Д/->0, находим
^ = р + 2гД
Кроме того, имеем
vy = 0, = 0.
При, t — 0 имеем
(®х)<-о = А (t'>)/=o = O, (^)/=о = О,
§ 4]
ВАЖНЕЙШИЕ ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ
39
т. е. р есть скорость нашей точки, направленная по оси х в на-
чале счёта времени.
Находим ускорение, для чего пишем
=Р + 2г/, vx + Дг>Л=р + 2г (/ 4- Д/).
Отсюда
kux = 2r
и
(а,)н = ^ = 2г.
В пределе
ах — 2г,
а кроме того, имеем
а^ = 0, я2 = 0.
Наше движение имеет постоянное ускорение а = 2г и равномерно
меняющуюся скорость; таким образом, это есть известное нам равно-
переменное движение.
Равномерное движение по кругу. Рассмотрим теперь плоское
движение, в котором точка Р движется по окружности радиуса
ОР (рис. 20, а) со скоростью, величина которой постоянна.
Если время одного
оборота есть Т, то
величина скорости
равна, очевидно, дли-
не окружности, делён-
ной на время,
т
Направление скорости Рис. 20.
в данный момент Z,
как мы знаем, совпадает с направлением касательной к траектории
в той её точке, где в этот момент находится движущаяся точка Р.
Зная величину и направление скорости в каждый момент времени,
мы в состоянии построить годограф скорости, который оказывается
окружностью радиуса v (рис. 20,#).
Рассуждая так же по отношению к движению точки Р' годо-
графа скорости, мы можем построить годограф ускорения (рис. 20, с),
причём величина ускорения есть, очевидно,
2tcv
а—-у.
Деля первую формулу на вторую, находим
v _ Я
a v ’
40
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. II
откуда
а=£. (2.16)
Так как вектор скорости v в рассматриваемый момент t, очевидно,
перпендикулярен к радиусу-вектору /?, а вектор ускорения в свою
очередь перпендикулярен к радиусу-вектору ф= О'Р\ то, очевидно,
он параллелен R и противоположен ему по направлению. Отсюда
вытекает следующая теорема:
Ускорение в равномерном круговом движении по величине опре-
деляется формулой (2.16), а по направлению противоположно
радиусу-вектору R.
___Угловая и векториальная скорость
6 равномерном круговом движении. Рас-
f 1 сматривая вращение вектора ОР, мы ви-
г пп.. о дим, что угол 9, отсчитываемый от неко-
> торого положения ОА, принятого за на-
чальное, соответствующее моменту/ = 0,
Рис. 21» равномерно возрастает, и за время Т
радиус-вектор ОР описывает угол в 2 тс
радиан. Естественно назвать угловой скоростью со отношение
Угловая скорость, определённая таким образом, есть, очевидно,
скалярная величина. Размерность её есть Т”1.
Площадь, описываемая радиусом-вектором, также равномерно воз-
растает с течением времени, и за время Т становится равной пло-
щади круга. Отношение
есть площадь сектора, описываемого за единицу времени радиусом-
вектором, и называется векториальной скоростью. Секториальная
скорость есть скалярная величина, имеющая размерность L*T“1.
Из сравнения обеих формул находим связь между секториальной
и угловой скоростями
0=^. (2.17)
£
Угловая и секториальная скорости любого плоского движения.
Данные нами определения могут быть легко обобщены на случай
любого плоского движения. Рассмотрим, например, плоское движение,
которое совершает земля вокруг солнца (рис. 21). Началом коорди-
нат выберем точку О, изображающую положение солнца; землю
изображает точка М. Угол а изменяется с течением времени, при-
§ 4]
ВАЖНЕЙШИЕ ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ
41
чём в два последовательных момента времени / и /-[-Д/ угол этот
будет иметь значения М0ОМг и ?И0СШ2; разность этих углов Да есть
угол а отношение
Да
называется средней угловой скоростью. Предел этого отношения
при Д/, стремящемся к нулю, называется
мгновенной угловой скоростью рассматри-
ваемого движения
,. Да da
Ш = 11Ш — = ^-.
д<-од< di
Подобным же образом мы определим сред-
нюю секториальную скорость как отношение
__ площ. (ЛГ1ОЛ48)
Xt ‘
а предел этого отношения назовём мгновенной векториальной ско-
ростью
О _ ут площ. (AfjOAfg)
д/-*о М
Обозначим OM1 = R9 OM* = R-}- &R*9 площадь МХОМ2 прибли-
жённо равна
у /? (/? + Д/?) sin Да.
Поэтому
= у Я (₽+ &К) ^1= 4 Я (/? + ДА?)
Переходя к пределу и замечая, что
lim(/?Д/?) ===/?, lim 11^1= 1,
находим
Да
hm ^ = ш,
Д/
е=1 <>/?»,
&
т. е. формула (2.17) сохраняет силу в любом плоском движении.
Прямолинейное гармоническое движение. Если радиус-вектор ОР
равномерно вращается (рис. 22), то проекция М конца его на
диаметр хх совершает, как легко видеть, колебательное движение
по этому диаметру. Очевидно, мгновенное положение точки Л1, т. е.
величина ОМ — х9 есть
ОМ = х — OP cos ср.
42 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. II
Будем считать, что при / = 0 радиус-вектор занимает положение ОР0,
составляя с положительным направлением оси х угол <р0. Тогда,
очевидно,
<р=р0ор4-?0.
Но вследствие равномерности вращения точки Р угол Р^ОР, прохо-
димый за время согласно сказанному выше, равен
Р0ОР= ш/,
где со — угловая скорость вращения. Поэтому, обозначая ОР через А,
можем написать
х = А cos (<о^ + ?0). (2.18)
Движение, выражаемое такой зависимостью, называется прямоли-
нейным гармоническим колебанием*, угол
<Р=ш/14-Фв
называется фазой колебания, а <р0—начальной фазой*, величина радиуса-
вектора ОР = А называется амплитудой колебания; <о называется
угловой (круговой) частотою колебания; величина х называется
смещением.
Из уравнения (2.18) видно, что при значениях t, при которых со/
обращается в нуль, х становится равным А, а это — наибольшее
возможное значение смещения х; при t, обращающем <^4~90в тг, х ста-
новится равным-Л. Таким образом, амплитуда есть наибольшая вели-
чина смещения вправо или влево.
Выражение (2.18) можно написать и так:
х = A cos(^ 4-<р0 (2.19)
где Т называется периодом полного колебания, причём под пол-
ным колебанием подразумевается совокупность перемещений точки М
за время полного оборота точки Р, проекцией которой является
точка 2И.
Величина
(2.20)
представляет число полных колебаний за одну секунду^ или так на-
зываемую частоту колебаний. Из последней формулы имеем
' 2тс
<о = у = 2^. (2.21)
Чтобы вычислить скорость точки, совершающей гармоническое
колебательное движение, мы должны продифференцировать уравне-
§ 4]
ВАЖНЕЙШИЕ ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ
43
ние (2.19). Но искомое выражение мы можем подучить и непосред-
ственно из рис. 22, применив теорему, гласящую, что проекция ско-
рости точки на ось есть скорость проекции. Согласно этой теореме
скорость смещения х есть проекция скорости, изображаемой радиу-
сом-вектором О’Р', т. е.
d4 = O’P' cos А'О’Р'.
Но
отсюда
п, 2пОР 2тсА .
ОР =—у- = -у = (0Д
и А'0'Р = <?4-у;
~ — ц>А cos ( у) = — о>А sin = шА sin (о)/-|~ ?о)- (2.22)
Подобным же образом, сравнивая рис.
выражение для ускорения
— <о3А cos (W + ф0). (2.23)
Эти же формулы можно написать и так:
g=®4cos(arf + ?0 + |),
d’x . <2-24)
др = <о«Л cos 4- ср0 я).
Из рис. 20 видим, что угол между век-
тором скорости и радиусом-вектором есть
тс
у, а между ускорением и радиусом-век-
тором есть тг; из сравнения (2.24) с (2.18) мы видим, конечно, то
же различие в фазах.
На рис. 23 изображены графики смещения х, скорости v и уско-
рения а прямолинейного колебательного движения, причём видно
и указанное выше различие в фазах. Из формул (2.23) и (2.24) видно,
что точка, проекция которой характеризует скорость, опережает
точку, характеризующую перемещение, на четверть периода. Очевидно,
для ускорения существует опережение на четверть периода относи-
тельно скорости и на половину периода относительно перемещения.
Из сравнения перемещения и ускорения находим важное соотно-
шение
а = — (2.25)
т. е. ускорение пропорционально смещению и противоположно ему
по знаку.
44 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. II
Многие встречающиеся в технике колебания весьма, близки по
своему характеру к рассмотренному прямолинейному гармоническому
движению, каким является, например, колебание маятника. Если по-
следний совершает колебания с малой амплитудой, то путь каждой
точки маятника можно считать прямолинейным. Зависимость от вре-
мени смещения этой точки от положения равновесия маятника весьма
точно выражается формулой (2.19). Весьма точно передаёт эта фор-
мула и колебания любой точки звучащего тела — гибкого стержня,
камертона и т. п.
Затухающие колебания. Однако легко заметить, что ампли-
туды А всякого колеблющегося тела с течением времени заметно
убывают, так что закон, выраженный фор-
мулой (2.19), передаёт действительное явление
лишь в течение нескольких, иногда весьма
немногих периодов колебания. Такие, уменьша-
ющиеся с течением времени колебания назы-
ваются затухающими.
Можно дать весьма простое описание за-
тухающих колебаний маятника, камертона и
т. п., если воспользоваться тем же, но не-
сколько изменённым наглядным способом.
** Представим себе (рис. 24а) попрежнему
Рис. 24а. равномерное вращение радиуса OPQ, но предпо-
ложим, что по меревращениярадиус этот убывает
по длине, тогда конец его Р опишет спираль, а проекция М этого конца,
очевидно, будет представлять колебание, размахи которого убывают
с течением времени. Колебание это выражается тем же законом
ОМ = х = А cos^^--|~9o
с тою только разницей, что амплитуда А теперь не будет постоян-
ной, но явится убывающей функцией време-
ни', если эта функция, убывает медленно (т. е.
за время одного периода А изменяется не-
много, например, на 5—10%), то колебания,
выраженные таким законом, называются за-
тухающими гармоническими колебаниями.
Наиболее часто встречаются l колебания,
для которых амплитуда А убывает по закону
А— Аое (2.26) Рис. 24b.
где е есть постоянная величина — основание
натуральных логарифмов (е = 2,71828...). Такие колебания назы-
ваются экспоненциально затухающими. Величина 3 называется коэф-
фициентом затухания.
Графически это убывание амплитуды изображено на рис. 24b.
Небольшое убывание амплитуды за период, как видно из этого
ВАЖНЕЙШИЕ ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ
45
§ 4]
рисунка, различно за первый, второй и т. д. периоды, но отноше-
ние двух амплитуд, соответствующих двум различающимся на
период моментам времени, есть величина постоянная. В самом
деле, из (2.26) видно, что если
At = A,e-*t,
то по истечении времени Т найдём
АМ=А^ V+D,
а их отношение
At
Л/+г
т. е. постоянная величина. Величина 8Т называется логарифмическим
декрементом затухания и обозначается буквой 0; по ней обычно судят
о величине затухания. Кроме того, о величине затухания нередко судят
по тому времени т, в течение которого амплитуда упадёт в е раз,
т. е. станет в 2,71828... раз меньше. Сравнивая две амплитуды, со-
ответствующие моментам времени t и имеем
Отсюда видим, что
5- = 1. (2.27)
Так как
8Т=&, (2.28)
то можем также написать
х = 4- (2.29)
Легко видеть, что размерности введённых нами величин таковы:
[т]=Т, [8]==Т-1, [8]=0.
Скорость и ускорение экспоненциально затухающего колебания мы
найдём обычным способом, вычисляя первую и вторую производ-
ные от х. В результате вычисления получим для х, v, а формулы
х — АЛе~ге cos + ф0) >
V — — Лое-г^8 cos 1^- + ?о) + sin + Фе ) ]>
а = Айе~ы [ + 8s) cos ф0) — sin + Фо)] •
Выражения эти показывают, что не только амплитуда смещения х,
но и амплитуды скорости v и ускорения а убывают по одному и
тому же экспоненциальному закону.
46
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. И
ВнесехМ в выражение для ускорения значения cos I -у- 1 и
sin I—) , вычисленные из первых двух формул. Мы придём
к формуле
а=-28г»- + (2.30)
говорящей, что ускорение в гармоническом экспоненциально зату-
хающем колебании состоит из двух членов, первый из которых
пропорционален скорости движения, авто-
‘ J рой смещению.
Движение по параболе. Рассмотрим
* теперь один простой случай криволиней-
ного движения, наблюдаемого при свобод-
Т\7 ном полёте пули, камня и т. п. Для всяко-
I/» го плоского движения (т. е. движения по
_Х _ р траектории, расположенной в плоскости)
° мы можем выбрать систему отсчёта так,
чтобы траектория лежала в плоскости yOz.
Рис. 25. Тогда уравнения движения будут иметь вид
х —0, j=/2(0. *=/з(0-
Рассмотрим (рис. 25) такое движение:
х = 0, y = vj, z = z0 — -^~.
Исключая из этих двух уравнений /, находим
Уравнение это определяет траекторию нашего движения, так как, зада-
вая в этом уравнении разные значения у и вычисляя соответствую-
щие им z, найдём пары чисел, выражающие координаты движущей-
ся точки, и по ним можем построить на чертеже положения нашей
точки, совокупность которых и есть траектория точки. В данном
случае эта кривая есть парабола, изображённая на рис. 25.
Вычисляя скорости и ускорения найдём
vx = o, vy = vQ, vx = —gt;
ах — 0, ау=0, аг = — g.
При / = 0 имеем
т. е. начальная скорость имеет направление, параллельное оси у.
§ 5] ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ И НОРМАЛЬНОЕ ' УСКОРЕНИЯ 47
Установим тот момент движения, когда движущаяся точка пере-
секает ось у. Для этого в исходных уравнениях надо положить
z = 0 и отыскать из них соответствующее значение t; тогда найдём
Формула эта даёт момент времени, в который точка упадёт на
плоскость z = 0. Так как t — t^ = t — 0 = /, то эта формула даёт
и промежуток времени полёта, если начало полёта совпало с нача-
лом счёта времени.
Из первого из исходных уравнений имеем теперь
ОМ =yt- /2^0 = V 2gz0.
ОМ есть расстояние от начала координат до места падения точки М
на плоскость z — О, иначе говоря, дальность полёта, интересую-
щая, например, артиллериста, который по начальной скорости опре-
деляет эту дальность полёта.
Можно вычислить и скорость в любой момент, в частности
в точке М. Для этого- нам нужно в формулы для компонент
скорости подставить Z = ]/2^0. Мы найдём
(^)ж = г»в, —g^2gz^
Скорость направлена вниз, как можно усмотреть из рис. 25. Мы
видим на примере параболического движения пользу и простоту
описания движения координатным методом. Подобным же образом
можно рассматривать любой вид движения. Поэтому этот метод и
является главенствующим в теоретической механике.
§ 5. Тангенциальное и нормальное ускорения. В тех случаях,
когда мы рассматривали движение по прямолинейной траектории,
мы видели, что вектор ускорения параллелен вектору скорости. В
криволинейном движении это не так. В самом деле, в этом случае
изменение скорости состоит не только в изменении величины, но и
в изменении направления скорости, а последнее может быть вызвано
только наличием ускорения, не параллельного скорости. Поэтому
в общем случае целесообразно рассматривать ускорение как
сумму двух векторов: тангенциального ускорения, направленного по
скорости, и нормального ускорения, перпендикулярного к ней. В част-
ном случае неравномерного прямолинейного движения ускорение, как
мы видели, параллельно скорости, т. е. не имеет нормальной сла-
гающей. В другом частном случае равномерного кругового движения
ускорение направлено по радиусу, т. е. нормально к скорости;
тангенциальная, параллельная к скорости слагающая при этом равна
нулю.
48 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. II
Перейдем теперь к рассмотрению более общего случая —
движения по плоской траектории. Пусть (рис. 26, а) щ и v* = 4
4-Av суть скорости в двух точках траектории, и М9, где на-
ходится движущаяся точка М в моменты и Как видно из
годографа скоростей рис. 26, b, &v = BC; разложим вектор Av на
две компоненты: BD — совпадающую по направлению со скоростью
и DC — перпендикулярную к ней. Легко заметить, что чем больше
DC, тем больше угол Дф между скоростями и v2 и, следова-
тельно, тем круче загибается в направлении DC траектория движе-
ния. Мы имеем векторную сумму
kv = BD-]-DC,
откуда, деля на А/ и переходя к пределу, находим
.. BD , .. DC
а = lim -гт 4- lim -Tj-.
Д/ 1 Дг
Первый член справа называется тангенциальным ускорением at и
указывает, как изменяется с течением времени величина скорости;
в самом деле, отрезок BD направлен по вектору vv а значит, также
BD
направлен и lim . Второй член справа направлен перпендикулярно
к vt и называется нормальным ускорением ап\ он указывает, как
быстро и в каком направлении поворачивается вектор Vj и как
круто загибается траектория; чем круче она загибается, тем больше
нормальное ускорение.
Чтобы придать точный смысл слову «круче», введём понятие кри-
визны траектории. Назовём средней кривизной на дугеМ^М^ отношение
Дер _____________________________Дер
м7м3 ’
а предел этого отношения при стремлении назовём кри-
визной траектории в точке и будем обозначать
8 = limj£ = £.
As ds
§ 5] ТАНГЕНЦИАЛЬНОЕ И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ 49
Если бы траектория наша была дугой круга с радиусом /?, то
нетрудно было бы показать, что
1_____1_
R *
4-4 А A As
В самом деле, если Дер измерять в радианах, то имеем Дср = -^—
или -т^- = -7г, и при переходе к пределу найдём
AS i\
В том случае, если траектория не является окружностью, мы можем
провести через три точки дуги т. е., например, через точки
N, окружность и в наших рассуждениях заменить траекторию
дугой окружности. Можно строго показать, что при стремлении длины
дуги к нулю форма траектории между точками стремится
к окружности. Это значит, что мы можем и в случае некруговой
траектории пользоваться последней из написанных выше формул,
понимая под R радиус такого круга: он получил название круга
кривизны, а величина R— название радиуса кривизны. Очевидно,
радиус кривизны, вообще говоря, различен в различных точках тра-
ектории, если последняя не является окружностью.
Перейдём теперь к нахождению пределов в формуле для
ускорения а. Заметим, что из годографа следует
BD = AD — АВ = v% cos Дер — vif
DC = р2 sin Дф.
Обозначим через Др (скалярная величина) разность между величи-
нами скоростей р2 и р^ тогда мы можем написать
BD = (pt Др) cos Дер — Vi = Др cos Дер — vx (1 — cos Дф)
и
DC — Vi sin Дер 4- Др sin Дер.
Деля на Д/ и переходя к пределу, находим
lim =at — lim • lim cos Д<р — vx lim
lim = an = vx lim — -f- lim • lim sin Дер.
4 Папалексй, т. I
50
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. II
Но
lim cosAq>= 1,
«. 1—cos Аф .. 2 sin’ Аф л sfnA®.. . А л
lim----——I- — lim т-—- = 2 • lim —lim sin Дф — 0,
А/ А/ А/ 1
sin Аф .. sin Аф A® ..As * vt
lim —= lim —т—i- • lim • lim -r— = 8^ = .
St Acp As St 1 R
Поэтому
.. At> dv d2s zn
at — dt — d? (2.31)
И
an = ^-. (2.32)
Значок 1 у vt можно и не писать, так как рассуждение можно
провести относительно любого момента времени.
Таким образом, получаем теорему: величина тангенциального
ускорения равна производной скорости по траектории, а величина
нормального ускорения равна частному от деления квадрата ско-
рости на радиус кривизны.
Как доказывается в механике, теорема эта сохраняет силу и для
неплоского движения, но к тангенциальному и нормальному ускоре-
ниям в этом случае прибавляется ещё третья слагающая.
§ 6. Степени свободы. Положение точки в любой момент вре-
мени вполне определяется, как мы видели выше, заданием радиуса-
вектора или трёх скалярных величин — его компонент. Число неза-
висимых данных, необходимых для полного определения положения
тела, называется числом степеней его свободы. Поэтому мы говорим,
что точка имеет три степени свободы; для полного определения её
положения в любой момент времени необходимо знание трёх
функций:
*==Л(0» y=fM г=Л(0.
Бывают, однако, случаи, когда движение рассматриваемой точки
стеснено определённым образом. Например, любая точка двери, вра-
щающейся на петлях, имеет возможность двигаться только по ок-
ружности, имеющей центр на прямой, проходящей через оси петель.
Очевидно, в этом случае положение рассматриваемой точки можно
определить всего лишь одной функцией времени, например, дугой
окружности, отсчитываемой от определённого начала отсчёта — хотя
бы от положения нашей точки при закрытой двери. В этом случае го-
ворят, что наша точка имеет одну степень свободы, а приспособления,
стесняющие движение точки и уменьшающие число функций, необ-
ходимых для определения положения точки, получили название
кинематических связей. Очевидно, точка может иметь или три, или
две (точка, принуждённая скользить по столу), или одну степень сво-
боды, или, наконец, ни одной.
§ 6]
СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
51
Удобным способом определения числа степеней свободы является
последовательное мысленное закрепление координат (необязательно
прямолинейных и прямоугольных), определяющих положение точки.
В нашем примере с дверью мы можем прежде всего представить
себе, что рассматриваемая точка обязана двигаться так, чтобы
расстояние её от пола (координата z) было неизменно. Этим число
значений, необходимых для определения положения точки, умень-
шается на единицу. Далее, потребуем, чтобы в плоскости движения
точка двигалась по кругу с радиусом /?. Этим налагается ещё одна
связь на координаты х и у, а. именно, в плоскости движения имеем
х9
Теперь число степеней свободы уменьшено ещё на единицу, так как
теперь достаточно знать только х (или у), чтобы из этого уравне-
ния определить у (или х), Следовательно, у нашей точки осталась
только одна степень свободы.
Подобное же рассуждение поможет нам определить число
степеней свободы неизменяемого твёрдого тела. Его можно рас-
сматривать как систему многих точек, скреплённых между собой
не имеющими массы неизменяемыми твёрдыми стержнями. Очевидно,
зная положение любых трёх не лежащих на одной прямой точек
такого тела, мы тем самым знаем и положение всех остальных то-
чек. Поэтому оно может иметь не более 3X3 = 9 степеней свободы.
Закрепим теперь одну из этих трёх точек, т. е. зададим три её
координаты. Легко видеть, что тогда и остальные две точки стес-
нены в своём движении необходимостью двигаться по поверхностям
шаров разных радиусов, имеющих общий центр в закреплённой
точке. Закрепим теперь и вторую точку, задав, например, меридиан
и широту её положения на шаре, т. е. ещё два данных. Очевидно,
третья точка может теперь двигаться только по кругу и, следова-
тельно, имеет одну степень свободы; для закрепления этой точки
достаточно задать одну координату — дугу круга; тогда и осталь-
ные точки тела станут неподвижными. Итого, следовательно, для за-
крепления его необходимо 3-|--2-|-1=6 данных; оно имеет шесть
степеней свободы. Этим достаточно отчётливо определяется и задача
кинематики неизменяемого твёрдого тела: необходимо найти 6 функ-
ций, наиболее удобно характеризующих положение неизменяемого
твёрдого тела, и уметь по ним вычислять положения, скорости и
ускорения каждой точки твёрдого тела.
Число степеней свободы системы п точек, не связанных между
собой кинематическими связями, есть Зп. Например, система Солн-
це—Земля—Луна имеет 9 степеней свободы, так как необходимо
9 независимых данных, чтобы определить положения всех этих трёх
тел (считаемых нами в этом случае за точки).
4*
52 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА [гЛ. II
§ 7. Поступательное и вращательное движения неизменяемого
твёрдого тела. Простым видом движения твёрдого тела является
так называемое поступательное движение, в котором все точки тела
за один и тот же промежуток времени получают одинаковые по
величине и направлению перемещения. Пример поступательного пе-
ремещения изображён на рис.
27. Здесь любые точки квадрата,
например точки С, D, переходя
за время Д£ в положение С', О',
имеют одинаковые и одинаково
направленные перемещения СС\
DD'. Рчевидно, траектории лю-
бых двух точек тела, движуще-
гося поступательно, совместимы
наложением и притом так, что
совмещающиеся точки траектории
относятся к одинаковым момен-
ис* там времени: дуга СС может
быть наложена на дугу DD’ все-
ми своими точками, причём все их точки, относящиеся к одина-
ковым моментам времени, совпадут.
Если известно, что движение неизменяемого твёрдого тела по-
ступательное, то, очевидно, достаточно знать три координаты од-
ной из его точек в зависимости от времени, чтобы знать движение
и всех остальных. Поэтому неизменяемое твёрдое тело, принуждён-
ное двигаться поступательно, имеет всего
три степени свободы.
Движение, при котором две опреде-
лённые точки твёрдого тела сохраняют
неизменным своё положение, называется
вращением около оси (например, дверь на
петлях). Все точки твёрдого тела движутся
в этом случае по окружностям, центры ко-
торых расположены на оси вращения, про-
ходящей через неподвижные точки. Рассмо-
трим (рис. 28), например, точку Р, не
лежащую на оси вращения MN. За вре-
мя Д/ она переместится в точку Р, по-
вернувшись на угол ДО. Вектор переме-
щения РР при сделанном нами пред-
положении будет по длине мало отличаться от дуги РР, а следо-
вательно, она может быть положена равной
РР = ОР • ДО = ДО • г sin а,
где г=МР, т. е. представляет собой величину радиуса-вектора
точки Р, если М считать за начало координат. Кроме того, РР
§ 7] ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 53
можно считать приближённо перпендикулярным к плоскости ОМР.
Выше (§ 5, гл. 1) мы видели, что Д9 при достаточной его малости
можно считать Дектором и откладывать его по оси поворота в
направлении оси правого винта. Таким образом, мы видим, что
вектор перемещения РР' точки вращающегося твёрдого тела вполне
определяется двумя векторами: вектором ДО, по величине равным
углу поворота, а по направлению совпадающим с осью вращения;
и радиусом-вектором г. При этом величина вектора РР численно
равна площади параллелограмма, построенного на векторах Д9
и г; так как площадь этого параллелограмма MM'QP есть
ДО г sin а. Что касается направления вектора РР', то из чертежа
видно, что он почти перпендикулярен к плоскости MM'QP и на-
правлен в такую сторону, что векторы ДО, г, РР' составляют пра-
вую систему координат.
Ниже мы увидим, что и в других вопросах механики мы встре-
чаемся с векторами, образованными из двух других векторов по
тому же правилу, по которому РР' образован из ДО и г. Такая
операция над двумя векторами А и В, дающая в результате вектор С,
направленный перпендикулярно к плоскости, содержащей вектор
А и В и равный по величине XZ?sina, где а есть угол между на-
правлениями А и В, носит название векторного умножения.
Название «умножение» здесь естественно потому, что в частном
случае, когда точка М совпадает с точкой О, угол а становится
равным прямому и площадь параллелограмма, т. е. величина РР',
равна обычному произведению величин векторов Д9 и г.
Векторное произведение принято обозначать прямыми скобками,
например, писать
РР'==[Д9-г]. (2.33)
При построении вектора РР' следует обращать особое внимание на
правильное определение его направления, которое, как мы только
что сказали, таково, что Д9, г, РР' составляют правую систему.
Из самого определения векторного произведения мы видим, что
величина векторного произведения пропорциональна величине любого
из векторов-множителей. Поэтому мы можем написать
РР _г Я
д/ д* т
Перейдём теперь к пределу при Д£->0. Очевидно, левая часть пред-
ставит тогда мгновенную скорость *о перемещения точки Р твёрдого
АЭ
тела, а — угловую скорость вращения 2, поэтому
Ф=[2.г]. (2.34)
54
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И НЕИЗМЕНЯЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. II
Эта формула даёт нам возможность найти скорость любой точки
вращающегося на оси твёрдого тела.
§ 8. Мгновенная ось вращения. Самое общее достаточно малое
перемещение неизменяемого твёрдого тела можно представить себе
состоящим, во-первых, из малого поступательного перемещения и,
во-вторых, из малого вращения около некоторой оси. Очевидно,
мы будем знать положение любой точки твёрдого тела, если знаем
положение некоторого отмеченного в теле треугольника АВС. Пусть
в результате малого перемещения этот треугольник переместился
в положение А'В'С. Плоскости АВС и А'В'С либо пересекаются,
либо параллельны, либо совпадают. Если они совпадают, то, как
легко усмотреть из рис. 29, перемещение (даже немалое) можно
осуществить одним вращением около оси, проходящей через точку Q
нормально к плоскости АВС и А'В'С'.
Рис. 29.
Чтобы найти эту точку, проведём пер-
пендикуляры к АА\ ВВ'; их пересечение
и даёт точку Q, причём, как легко видеть,
углом поворота является AQA'.
Таким образом, в этом случае доста-
точно одного поворота около оси Q, что-
бы переместить тело из одного положе-
ния в другое. Если же перемещение тела
таково, что АВС и А'В'С' оказываются
лежащими в параллельных плоскостях, то надо сперва придать телу
поступательное перемещение такой величины, чтобы плоскости АВС
и А'В'С' совпали, а потом указанным выше приёмом найти точку Q,
через которую проходит ось вращения.
Наконец, можно показать, что и в самом общем случае удаётся
найти такое поступательное и такое вращательное перемещения,
последовательное осуществление которых приводит твёрдое тело в
желаемое положение.
Но легко видеть, что всякое немалое перемещение можно рас-
сматривать как последовательное осуществление достаточно малых
поступательных и вращательных перемещений. Следует только иметь
в виду, что направление осей вращения и величина углов поворота
меняются от перемещения к перемещению. Таким образом, мы можем
рассматривать малое перемещение любой точки М твёрдого тела
как состоящее из суммы
где ДАГ—поступательное, а Д2г — вращательное перемещение. Пер-
вое— одинаково для всех точек твёрдого тела, второе — различно
для разных точек, однако с одинаковыми для них осями вращения
и углами поворота. Поэтому можем написать
Лгл1 = Д1Г + [Д9-Ги]>
§ 8] МГНОВЕННАЯ ось ВРАЩЕНИЯ 56
а, деля на Д/ и переходя к пределу, находим
«’лг = ®0+[2- ''•J- (2.35)
Таким образом, мы видим, что скорость любой точки М твёрдого
тела вполне определяется, если: 1) мы выберем в теле произволь-
ную точку О и определим её скорость vQ; 2) найдём вектор 2 —
угловую скорость вращения нашего тела около оси, проходящей
через О; 3) характеризуем положение точки М вектором ОМ = г,
проведённьнм в твёрдом теле.
Так как, вообще говоря, положение оси вращения не сохраняется
в пространстве, но постоянно меняется, то такая ось вращения
называется мгновенной.
Не следует смешивать мгновенную ось вращения с осью враще-
ния, понимаемой в обычном смысле этого слова. Для пояснения
рассмотрим колесо автомобиля, катящегося по дороге. Ось вра-
щения колеса сохраняет неизменное положение по отношению к
автомобилю; мгновенная же ось вращения в пространстве проходит
через точку соприкосновения колеса с дорогой и переносится со
скоростью движения автомобиля, параллельно самой себе, т. е. дви-
жется поступательно.
ГЛАВА III.
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ.
§ 1. Сила, её определение и измерение. До сих пор мы изу-
чали движение точки, не затрагивая вопроса, какими причинами
оно вызывается. Изучению этих причин посвящена эта глава, в кото-
рой излагаются статика и динамика материальной точки. Основное
понятие, которое лежит в основе этих частей механики, есть поня-
тие силы. Понятие это, как и вообще все научные понятия, созда-
лось на основе опыта. Уже грубый опыт устанавливает, что для
перемещения находящегося в покое тела нам необходимо совершить
мускульное усилие. Мускульное усилие мы совершаем, бросая камень,
т. е. приводя его из состояния покоя (относительно земли) в состоя-
ние движения, останавливая движущуюся с горы тележку и т. п.
Научное понятие силы развилось из подобных грубых представле-
ний путём уточнения опыта и построенных на его основе опре-
делений.
Первое заключение, получаемое нами из повседневного опыта,
говорит, что действие силы выражается в изменении состояния
равновесия или движения тела; второе заключение, — что сила,
действующая на тело, всегда исходит от какого-либо другого
тела.
При уточнении первого заключения мы должны установить,
в чём именно выражается изменение равновесия или движения тела.
При этом мы сначала будем рассматривать тело весьма небольших
размеров, так что в рассматриваемых нами опытах мы можем с до-
статочной степенью точности определить его положение, как поло-
жение геометрической точки, тремя координатами по отношению
к избранной системе отсчёта и пренебрегать его вращениями и изме-
нениями формы. Тогда понятие «изменение равновесия» такого тела,
которое принято называть материальной точкой, приобретает точ-
ный смысл. Если точка находилась в покое и с определённого
момента времени пришла в движение, то мы имеем нарушение равно-
весия. Несколько сложнее обстоит дело с понятием «изменение дви-
жения». Движение характеризуется и перемещением, и скоростью,
и ускорением, как функциями времени. Чем же именно характери-
зуется «изменение» движения? В законах Ньютона, являющихся основ-
§ 1] СИЛА, ЕЁ ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ 57
ными законами механики, имеется полный ответ на этот вопрос.
Первый закон Ньютона гласит:
Точка, на которую не действует сила, находится в состоянии
покоя или прямолинейного и равномерного движения.
Выше мы видели, что прямолинейное и равномерное движение —
единственное, ускорение которого равно нулю. Движение мы назы-
ваем изменяющимся, если есть ускорение*, в противном случае мы
говорим, что движение неизменно; при этом мы включаем в понятие
движения, как частный случай, и равновесие — движение со скоро-
стью нуль.
Не надо забывать, что ранее, чем мы можем из опыта устано-
вить, находится ли точка в покое или движется, нам необходимо
избрать систему отсчёта, по отношению к которой мы будем про-
изводить наши измерения. Ниже мы увидим, что выбор системы
отсчёта не может быть сделан совершенно произвольно; пока же
будем считать такой системой отсчёта систему, скреплённую с зем-
лею. Опыт (например, описываемые в элементарном курсе физики
опыты Галилея и* Атвуда) показывает, что в такой системе отсчёта, —
и до сих пор почти исключительно употребляемой в инженерном
деле, — законы механики Ньютона справедливы с значительной сте-
пенью точности.
Второе заключение, вытекающее из нашего повседневного опыта,
состоит в том, что всякая сила, действующая на тело, вызывается
каким-нибудь другим телом. Опыт говорит об этом с полной
ясностью: притяжение куска железа к магниту вызывается послед-
ним; чтобы привести в движение камень, надо давить на него рукой,
непосредственно его касающейся; сила, определяющая движение
земли, исходит от солнца и т. д. Действие на тело силы, «исходя-
щей» от другого тела, тем заметней, чем это тело ближе к пер-
вому. Но для уточнения этих утверждений и придания им научного
содержания, мы должны обратиться к уточнению самого определе-
ния силы.
Опыт говорит нам, что сила характеризуется величиной и направ*
лением и приложена к телу в определённом месте: например, мы
судим о величине силы, с которой мы поддерживаем за верёвку
камень в равновесии, по нашему ощущению усилия; направление
верёвки указывает нам направление, в котором действует сила нашей
руки; наконец, место соприкосновения камня и верёвки есть место при-
ложения силы к камню. Такое рассуждение, конечно, весьма гру-
бо; мы уточняем его, переходя к более тонкому опыту: берём тонкую
верёвку, применяем такой способ закрепления верёвки на камне, что
место прикрепления мы можем считать за точку, и т. д. Тогда
мы приходим к более строгому определению того, что мы понимаем
под выражениями: направление силы, точка приложения силы и т. п.
В других случаях, например, при давлении воды на дно сосуда,
понятие «точка приложения силы» становится неопределённым. Но
58 СТАТИКА И ДИНАМИКА точки [гл. III
тогда мы можем представить себе поверхность соприкосновения воды
и дна сосуда разделённой на достаточно малые площадки, которые
можно считать точками, и считать, что сила давления действует
на каждую такую площадку. Вообще, устанавливая в каждом иссле-
дуемом нами явлении понятие действующей силы, мы должны это
делать с должной отчётливостью, на основе опыта.
Для определения величины силы, более точного, чем даёт нам
наше мускульное ощущение, мы должны установить способ измере-
ния силы. Для измерения силы мы используем два явления: притя-
жение тел к земле — их весомость; и растяжение и сжатие — вообще,
изменение формы (деформацию) упругих тел, вызываемое дей-
ствием силы.
В первом явлении мы используем как основной прибор груз,
висящий на нити; во утором — так называемые пружинные весы,
состоящие в основном из спиральной пружины с приспособлением
для измерения её длины. При измерении мы принимаем следующие
определения:
а) Направление действия силы мы определяем по направлению
нити: (1) в сторону «действующего» тела, если только нить на-
тягивается или пружина весов растягивается} (2) от действую-^
щего тела, если пружина сжимается.
Ь) Две силы считаются равными и противоположными, если,
будучи одновременно приложены к одной и той же точке тела,
они не изменяют механического состояния тела. Если тело нахо-
дилось в покое (относительно избранной системы отсчёта) при отсут-
ствии этих двух сил, то оно продолжает находиться в покое и при
их наличии; если тело двигалось до приложения этих двух сил, то
и после приложения их оно сохраняет прежнее движение: по той же
траектории, с теми же скоростями и ускорениями отдельных его
точек.
Принято говорить, что две равные и противоположно направлен-
ные силы «взаимно уравновешиваются», в том именно смысле, что
их одновременное приложение к точке тела не изменяет его меха-
нического состояния; например, пружина не деформируется, точки
тела не изменяют своего ускорения.
с) Две силы называются равными и одинаково направленными,
если можно указать такую третью силу, которая уравновеши-
вает порознь каждую из них.
d) Нулевая сила есть такая, которая, будучи приложена
к свободному телу, не изменяет его состояния.
Эти четыре положения суть определения в том смысле этого
слова, какой известен нам, например, из геометрии, а потому не
требуют поверки их правильности на опыте; но целесообразны ли
они — может установить только опыт. Эти определения выбираются
так, чтобы соответствующие опыты были возможны и не бессмы-
сленны. Например, чтобы установить равенство и одинаковую на-
§ 2] ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ НЬЮТОНА 59
правленность сил действия двух магнитов на кусок железа — якорь,
мы будем уравновешивать их действие силой тяжести, подвешивая
к якорю разные грузы. На проведение этого опыта нужно время,
и мы должны убедиться дополнительными опытами, что во время
его выполнения наши магниты и сила тяжести не изменятся неизвест-
ным образом, так как в противном случае самый опыт теряет смысл.
Из этого примера видно, что установленные выше определения
имеют ограниченную применимость, а именно ещё не дают возмож-
ности определить силы, действующие на тело во время его движе-
ния. Возможность определения величины силы в этом случае откры-
вается лишь во втором законе Ньютона.
Остановимся пока на статических определениях; установим спо-
соб измерения величины силы и единицу силы. Основными статиче-
скими способами измерения силы являются уравновешение её либо
силой тяжести, либо силой растяжения пружины. Опыт устанавли-
вает, что при соблюдении несложных мер предосторожности растя-
жения пружины пружинных весов пропорциональны привешенным
к ним грузам и коэффициент пропорциональности для данной пру-
жины практически неизменен. Таким образом, опыт показывает, что
оба статические метода измерения сил согласуются между собой.
Такое согласие подтверждает разумность выбранных нами определе-
ний и, кроме того, открывает нам возможность измерять силы (ста-
тически) либо с помощью пружинных весов, либо сравнением
с силой тяжести. Пружинные весы позволяют измерять силы любого
направления; для измерения не вертикальных сил при помощи силы
тяжести мы пользуемся блоком, и нетрудно указать опыты, при
помощи которых мы устанавливаем, что применение блока не изме-
няет величины силы, приложенной к телу.
За единицу силы в статических опытах принято принимать при-
тяжение к земле на широте 45° цилиндра из иридистой платины,
хранящегося в Международном бюро мер и весов. Единица силы
называется килограмм-силой; она приблизительно равна силе1 притя-
жения к земле одного кубического дециметра воды при^-4°Ц; раз-
ница между килограмм-силой и этой силой притяжения меньше
0,003%.
На основе выбранных нами определений устанавливается опытом
правило параллелограмма двух сил, приложенных к одной точке,
известное из элементарного курса физики. Правило это, указываю-
щее, какой одной силой можно заменить совокупность двух дей-
ствующих на точку сил без изменения их действия, совпадает с пра-
вилом сложения векторов. Поэтому из всех наших опытов мы при-
ходим к следующему выводу: сила есть вектор.
§ 2. Второй и третий законы Ньютона. Если точка не нахо-
дится в покое или если движение её отклоняется от прямолинейного
и равномерного, то на неё действует сила. Действие этой силы
определяется вторым законом Ньютона: если на точку действует
60
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. ш
сила, то точка движется с ускорением, по направлению совпадаю-
щим с силой и по величине пропорциональным величине силы
и массе движущейся точки.
Первая часть этого закона состоит в утверждении: если в двух
разных опытах на одну и ту же точку действуют две силы,
величины которых суть Fx и F*, то величины ускорения at и av
вызываемые этими силами, удовлетворяют пропорции
Fi_ at
F2 а2'
(3.1)
Соотношение это впервые с полной ясностью было установлено до
Ньютона Галилеем в его знаменитых опытах с движением тел по
наклонной плоскости. Действующей силой являлась сила тяжести;
чтобы в разных опытах изменять её величину, Галилей изменял
наклон плоскости и силу тяжести разлагал на две, параллельную^
и перпендикулярную к плоскости, причём считал, что последняя уни-
чтожается !) сопротивлением опоры. Таким образом, он в скрытом
виде уже использовал третий закон Ньютона (см. ниже). Далее,
крупной заслугой Галилея является установление того факта, что
сила тяжести, измеряемая статически весом тела, и есть та
сила, динамическое действие которой проявляется в вызываемом
ею ускорении. Если бы мы не имели возможности измерять силы
статически и судили бы о них только по вызываемым ими ускоре-
ниям, то на соотношение (3.1) следовало бы смотреть как на
определение величины силц, и тогда оно не могло бы явиться
предметом опытной поверки. Величайшей заслугой Ньютона и является
открытие, что недоступная статическому опыту сила притяжения
небесных тел и есть та сила тяготения, которая действует
у земной поверхности на все тела и измеряется в статических
опытах их весом} иными словами, действие одного тела на другое
не завйсит от того, движутся ли эти тела или покоятся.
f Для обсуждения второй части закона Ньютона, где говорится
о массах, необходимо дать определение, способ измерения и еди-
ницу измерения массы.
Основными свойствами каждого вещества являются его свойство
занимать некоторый объём пространства и его весомость. Именно
весомость и кладут обычно в основу определения массы. О единице
массы мы уже говорили в гл. I. Чтобы определить массу т*
через массу т{, принятую за единицу, мы измеряем их веса Рх
и Р2 и находим пц из пропорции
Pi___mi____
Р2 т2 mF
(3.2)
*) Ниже, при изложении законов движения при наличии связей, мы уви-
дим, чю такое «уничтожение» нс всегда имеет место.
§ 2]
ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
61
Такое определение величины массы, одновременно указывающее
и на способ измерения её, как и всякое определение, требует обсу-
ждения его целесообразности. Последняя устанавливается многими
обстоятельствами, например, тем, что всякое отделение от тела
некоторого куска изменяет и его вес, что всякая деформация тела
(изгибание, сплющивание и т. п.) его веса не изменяет, и т. д.
После того как мы установили способ измерения массы, неза-
висимый от второго закона, мы можем формулировать и его вторую
часть, выражающуюся в утверждении, что если одна и та же сила
действует на две разные точки, то ускорения, ею вызываемые,
обратно пропорциональны массам этих точек
Hh — Ei
пц аС
В этой формулировке встречается новое понятие «масса точки»,
которому надлежит дать определение.
Как уже ^упоминалось выше, материальной точкой, или точкой,
обладающей массой, называется такое тело, размеры которого на-
столько малы, что в механических опытах можно пренебрегать его
вращением и положение его определять с достаточной для рассма-
триваемого опыта точностью — тремя координатами, но масса кото-
рого достаточно велика, чтобы действующая на него сила давала
конечное ускорение. Подобно тому как геометрическую точку можно
рассматривать как предел тела, размеры которого безгранич-
но уменьшаются,4- так и материальную точку можно рассматри-
вать как предел тела, размеры которого безгранично уменьшаются,
но масса (вес) которого при этом переходе к пределу остаётся
неизменной. То обстоятельство, что при этом удельный вес тела
стремится к бесконечности, не представляет затруднения, так как в
формулировку закона он не входит.
Поверка соотношения (3.3) в опытах Галилея осуществлялась
так: для нахождения равных сил, действующих на две разные дви-
жущиеся по наклонным плоскостям массы, подбирался разный
наклон плоскостей. Ещё более удобным прибором для опытной по-
верки (3.2) явилась хорошо известная из элементарного курса
физики машина Атвуда, в своё время (1784 г.) представлявшая
крупное научное достижение.
Совокупность (3.1) и (3.3) выражается в одной формуле
F—k*ma,
частными случаями которой они являются, где величина k есть
пока неопределённый коэффициент.
Наконец, надо 'заметить, что сила и ускорение суть векторы
одного направления, так что всегда можно написать:
F—k • та.
62 СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. III
Относительно точности, с которой соблюдается на опыте второй
закон, в особенности о постоянстве массы /п, следует сделать осо-
бое замечание. Во всех опытах и наблюдениях, в которых мы
имеем дело со скоростями, малыми по сравнению со скоростью све-
та (300 000 км/сек), даже в самых точных наших опытах масса тела
оказывается постоянной. Ниже (том II) мы увидим, однако, что при
скоростях, близких к скорости света, масса является величиной
переменной, зависимость которой от скорости может быть уста-
новлена опытом. В явлениях, рассматриваемых в механике, этой
зависимостью можно пренебречь.
Входящий в последнюю формулу коэффициент удобно выбрать
равным единице, т. е. условиться писать второй закон в одной из
форм
Е. (12Г dV /П
= = (3.4)
Эта форма соответствует выбору за единицу такой силы, которая,
действуя на массу в 1 г, вызывает ускорение 1 см/сек?*, такая сила
называется диной.
Из (3.4) получаем размерность силы
[F| = MLT“3.
Второй закон Ньютона указывает нам ещё на одно общее свой-
ство вещества — инертность. Именно, чем больше т, тем, согласно
формуле а — —, меньше ускорение, сообщаемое телу данной силой,
и наоборот — чем меньше т, тем больше получаемое телом под
действием данной силы ускорение. Мы говорим, что инертность
тела тем больше, чем меньшее ускорение вызывает действую-
щая на него сила, и наоборот. Таким образом, величина т яв-
ляется мерой инертности.
Сделаем, наконец, последнее замечание. Можно было бы (так
иногда и поступают) определять массу как коэффициент пропорцио-
нальности между силой и ускорением в (3.4). Тогда формула (3.4)
явилась бы определением массы, но формула (3.2) нуждалась бы
в опытной поверке, так как она содержала бы утверждение,
что определённая в (3.4) по её инертности масса притягивается к
земле с силой, пропорциональной её величине.
Формулируем теперь третий закон Ньютона, относящийся
к силам взаимодействия двух точек: если на точку действует
сила, исходящая от другой точки, то и обратно, на вторую
точку действует сила, исходящая от первой точки, причём обе
силы равны, противоположны по величине и направлены по прямой,
соединяющей обе точки.
Согласно этому утверждению, все механические силы суть силы
взаимодействия и притом центральные (т. е. направленные по
§ 3] ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА 63
линии, соединяющей взаимодействующие точки). Ньютон пришёл
к этому закону на основе, рассмотрения не только земных опытов,
но и астрономических наблюдений. Следует, впрочем, отметить, что
в электродинамике встречаются силы взаимодействия, хотя и рав-
ные и противоположные, однако не лежащие на прямой, соединяю-
щей взаимодействующие точки (том II, Электричество).
Механические силы взаимодействия распадаются на две различ-
ные по своим особенностям группы: конфигурационные силы и силы
трения. О последних мы будем говорить подробно ниже. Под кон-
фигурационными мы подразумеваем такие силы взаимодействия,
величина которых зависит только от расстояния между взаимодей-
ствующими точками (т. е. их взаимного положения — конфигурации),
но не от скоростей взаимодействующих точек. Прежде всего это
с несомненностью установлено для небесных тел. В самОхМ деле,
все выводы из закона Ньютона и вышесказанного положения соблю-
даются в астрономических явлениях с высокой степенью точности.
Другим важным примером конфигурационных сил являются силы,
действующие в упругих телах как в твёрдых, так и в жидких
и газообразных.
В дополнение к трём законам Ньютона в настоящее время вводят
ещё так называемый закон независимости действия сил: если на
точку действуют несколько сил, то получаемое точкой ускорение
есть векторная сумма ускорений, которые* имела бы точка под
действием каждой из этих сил в отдельности. Иными словами,
ускорение, вызываемое действием нескольких сил, равно ускорению,
вызываемому их равнодействующей.
Ньютон также принимал этот закон, но не выражал его в явной
форме.
§ 3. Примеры применения законов Ньютона. Движение в поле
тяжести. Перейдём теперь к рассмотрению ряда примеров примене-
ния законов Ньютона к определению движения точки. Основная
задача, которую приходится здесь разрешать, такова: известны
сила, действующая на точку, масса этой точки, её начальная ско-
рость и начальное положение. Найти все элементы движения точки,
т. е. в первую очередь найти функции
Х=/1(О, j=A(O, *=Л(0,
а по ним траекторию, скорость и ускорение.
В качестве первого примера рассмотрим движение точки под дейст-
вием силы тяжести у поверхности земли. Мы можем считать, что в этом
случае сила тяжести — вес — имеет постоянную величину во всех
точках рассматриваемого пространства и постоянное направление,
по вертикали вниз. Такое пространство, во- всех точках которого
действует некоторая известная сила, принято называть полем сил.
Кроме поля сил тяжести, можно ещё привести как пример поле
электрических сил, вызванное наличием электрического заряда, поле
64 СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. III
магнитных сил в пространстве, в котором находятся постоянные
магниты или проводники, по которым текут электрические токи.
Во всех этих случаях поле сил вполне определяется заданием силы,
действующей на единицу массы, заряда и т. п. в любой точке поля.
В поле силы тяжести должны быть заданы компоненты такой «силы
на единицу массы* в функции координат в виде уравнений:
Qx = ?i(x> У' *)’ 9у = М-*. .у> *)> Л *)•
Размерность величины Q, называемой также напряжённостью поля
тяжести, есть и> следовательно, совпадает с размерностью уско-
рения, LT“2. В рассматриваемом случае нам удобно выбрать систему
координат так, чтобы положительное направление оси z было пер-
пендикулярно к горизонтальной плоскости, причём положительное
направление оси z выберем вверх; остальные две оси располо-
жим в этой плоскости. Написанные выше уравнения примут тогда
вид:
(?л = °, ^ = 0, =
так как такова, согласно второму закону, сила, действующая на
единицу массы, причём g—ускорение силы тяжести есть постоянная
величина. Вектор Q есть сила, действующая на единицу массы;
если точка, о которой идёт речь, имеет массу т, то сила, на неё
действующая, есть mQ, а её компоненты суть
mQx=0, mQy — Q, mQz — — mg.
Применяя второй закон Ньютона, можем написать
mQ — ma,
а> сокращая на т и переходя к проекциям обоих векторов, найдём:
d2X л d2y А &Z /а
— ~Sp 0’ аУ dt* О’ a,s ИР & (3-5)
В этих «уравнениях движения» отсутствует масса т, потому что
силы тяготения пропорциональны массам.
Для нахождения x(t), y(t}, z(t), удовлетворяющих этим уравне-
ниям, которые называются дифференциальными уравнениями дви-
жения, имеются общие способы; самый процесс нахождения этих
решений называется интегрированием, а найденные решения носят
название интегралов движения. В нашу задачу не входит изложение
этих общих способов; но выше (стр. 46) мы видели, что этим урав-
нениям удовлетворяет движение по параболе, управляемое уравне-
ниями
х — 0, y = vt, Z — ZQ —
§ 3] ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА 65
В самом деле, составляя выражения для компонент ускорения, мы
нашли в § 4 главы II именно наши уравнения (3.5). Таким образом,
мы могли бы считать задачу изучения движения, управляемого диф-
ференциальными уравнениями (3.5), решённой, если бы* написанные
выше уравнения движения были единственными решениями урав-
нений (3.5). Однако, это не так. Легко дифференцированием про-
верить, что уравнения (3.5) удовлетворяются и системой функций
х — хй-\-ъ^, J = J0 + ^> z = z0‘~l-v3t — (3.6)
и при этом удовлетворяются при любых значениях входящих сюда
постоянных величин- х0, у0, 2r0, vJf ^2, v3. Движение же, рассмот-
ренное в § 4 главы II, есть только частный случай всех движений,
описываемых уравнениями (3,6); этот частный случай соответствует
значениям:
хо=о, л=°> 2'о=^о;
= 0, v2 = t, v3 = 0.
Таким образом, мы приходим к важному заключению, что зна-
ния одних дифференциальных уравнений движения недостаточно
для установления, какое именно движение совершает подчиняю-
щаяся в своём движении этим уравнениям точка. Так как .для
составления наших дифференциальных уравнений нам достаточно
было знать только действующие на точку силы, то заключение это
можно выразить и так: для полного знания движения точки недо-
статочно знать действующие на точку силы, но ещё необходимо
знать и значения шести написанных выше величин (которые назы-
ваются в математике постоянными интегрирования, а в физике
начальными условиями). Легко усмотреть физический смысл этих
величин. Положив в наших формулах / = 0, найдём
х/ = о = хо, = ^ = о=^о,
т. е. х0, у0, z0 определяют положение движущейся точки в момент
времени / = 0; они называются начальными координатами. Находя
дифференцированием уравнений (3.6) выражения для компонент ско-
рости, получим ,
^ = z/i, vy = v%9 vg=v3.
Полагая здесь f = 0, найдём
(ул)1 = 0 = ^, (vz)/==0=t»3.
Следовательно, vlf v2, v3 являются компонентами скорости точки
при £=0; они называются компонентами начальной скорости. За-
ключение, высказанное нами выше, можно с физической точки
5 Папалекси, т. I
г
Рис. 30.
по вниз по
66 СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. Ш
зрения формулировать так: движение точки вполне определе-
но, если, кроме действующих на них сил, мы знаем ещё на-
чальные координаты и начальную скорость, т. е. начальные
условия.
Эти заключения имеют силу, как это показывается в матема-
тике и механике, для всех дифференциальных уравнений механики.
Теперь ясно, какие наблюдения мы должны произвести для того,
чтобы иметь достаточное количество данных, позволяющих нам
предсказывать, как будет протекать то или иное движение; необхо-
димо и достаточно знание сил и начальных условий. Знать же, как
двигалась точка до момента t = 0 (который мы обычно определяем
как момент начала наших наблюдений), нет никакой нужды.
§ 4. Колебательное движение. Рассмотрим
теперь колебательное движение простейшего вида.
Пусть,например, мы имеем весомый шарик, висящий
на пружине (рис. 30). Под действием силы тяжести
пружина несколько растянется. Если мы толкнём
шарик, находящийся в положении равновесия, то
он вследствие противодействия пружины не
будет двигаться всё время в одном и том же на-
правлении, а будет совершать колебания.
Формулируем теперь данные нашей задачи.
Сила, действующая на шарик с массой т, скла-
дывается из силы тяжести и из силы деформи-
рованной пружины. Толчок, который мы даём
шарику, мы определим через задаваемую нами
начальную скорость, которую выберем вертикаль-
величине, равной zr0. Очевидно, тогда движение
должно происходить по вертикальной прямой, а потому при выборе
оси z по направлению движения функции
•*=/1(0. ^=/«(0
обращаются тождественно в нули, и мы можем заняться одним
третьим уравнением. Начало системы координат выберем в точке О,
где находился бы конец пружины, не нагруженной шариком. Ось z
направим вниз. Поскольку движение совершается по прямой, по ней
направлены и все интересующие нас векторы, а потому мы будем
оперировать с их величинами.
Сила тяжести в нашем случае есть mg. Сила, развиваемая пру-
жиной при её растяжении или сжатии, совершенно такая же, как
и в известных пружинных весах: она равна нулю, когда пружина
не деформирована, а при наличии деформации она направлена так,
что пружина стремится принять первоначальную форму. При малых
деформациях пружины удлинение или сокращение её вызывают в ней
пропорциональную им силу, направленную в сторону восстановле-
§ 4] КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 67
ния первоначальной формы пружины (закон Гука, гл. VII). Поэтому
мы можем положить
F— — qz.
Здесь q есть коэффициент пропорциональности, зависящий от
формы и материала пружины. Чтобы определить его из статиче-
ского опыта, необходимо навешивать на пружину разные грузы и оп-
ределять соответствующие им удлинения.
Кроме силы пружины, на шарик действуют ещё сила тяжести mg,
а также сила трения; этой последней силой, вызывающей затухание
колебаний, мы пренебрежём. Поэтому сила, действующая на шарик,
есть сумма только силы пружины и силы тяжести
F = mg— qz.
Приравнивая силу произведению из массы на ускорение, найдём
уравнение движения
d*z
или
Рассмотрим сперза случай, когда шарик находится в покое.
d^z
Тогда -^ = 0, и мы находим из (3.7) соответствующее значение z,
которое мы обозначим через z0,
т
Здесь Zq определяет то удлинение, которое получает пружина под
действием веса покоящегося шарика. Опыт показывает, что колеба-
ние совершается в нашем случае около этого «положения равновесия*.
Попробуем поэтому представить координату z в виде суммы:
г=*o + *i (0»
где zx—переменное отклонение нашей точки от положения равнове-
сия, прибавляющееся к постоянному отклонению z0. Внося это
в уравнение движения, замечая, что
^ = 0,
dt* '
и полагая, вдобавок, “ = получаем дифференциальное уравнение
d2zi 9
= ==-<> *i>
5*
68
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ. III
уже известное нам из кинематики колебательного движения. Оно
вытекает, как мы видели, из формулы
— A sin (оз/ 4“ 9),
которая, следовательно, и есть искомое решение написанного выше
дифференциального уравнения. Очевидно,
z = г* Л sin (ш/ 4- qp).
Мы снова встречаемся здесь с двумя постоянными интегрирования
А и ср. Для их определения мы должны использовать начальные усло-
вия нашей задачи. Составим выражение для скорости
dz
v = — = А(и cos (со/ 4“ ?)•
Согласно формулированным выше начальным условиям, мы должны
положить zt_Q=zQ и т^0 = т/0. Поэтому имеем
^i-0 = Zo + A sin ? = z№> v(_0 = A cos <p = v0.
Решения этих уравнений таковы:
<Р=О, А = -^>
а потому имеем окончательно
z = z0 + sin<0 = У (3.8)
По действующим силам и начальным условиям мы нашли, таким
образом, уравнение движения.
Вычисляя отсюда период колебания, находим
(3.9)
Если бы мы в нашем рассуждении пренебрегли силой тяжести
(т. е. положили бы £•=()), то оно сильно упростилось бы: урав-
нение (3.7) приняло бы вид, который мы нашли для z, и г0 оказа-
лось бы равным нулю; период колебания, перемещение относи-
тельно положения равновесия, скорость и другие особенности коле-
бания остались бы неизменными. Поэтому в теории колебаний
и акустике силой тяжести принято пренебрегать; иными словами,
принимается во внимание только инертность, но не весомость дви-
жущейся точки.
Следует также обратить внимание, что разложение z на z§ и zu
введённое нами выше, естественно вытекает из закона независи-
мости действия сил. В самом деле, на основании этого закона мы
§ 5] ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ 69
можем разбить полную действующую на точку силу на силу тя-
жести mg, вызывающую движение, определяемое уравнением
(PZq
^ = mg,
и силу упругости (Гукову силу), которая вызывает движение, оп-
ределяемое уравнением
d*Zi *
Складывая эти уравнения, мы получим (3.7). Поэтому можно в от-
дельности найти из них zQ и и сложить найденные величины,
что мы и сделали.
§ 5. Теорема о количестве движения. В рассмотренном выше
примере мы толчком привели нашу систему в колебание из поло-
жения равновесия и учли его действие, указав начальную скорость т/0,
которую получает от него точка. Определить величину даёт воз-
можность так называемая теорема количества движения. В эле-
ментарном курсе для частного случая прямолинейного равноперемен-
ного движения она формулируется следующим образом: приращение
величины импульса материальной точки за промежуток времени Д£
равно импульсу силы за этот промежуток времени, т. е.
тя* — mvi = F(t% — О — F
где тяъ mvi называются количествами движения в конце и начале
промежутка времени Д^, равного /2—а выражение назы-
вается импульсом силы.
Подобную теорему мы можем формулировать и в самом общем
случае движения точки, когда сила F зависит от времени, т. е.
когда в формуле (3.4)
Р=та
F и а суть векторы, вообще говоря, меняющие с течением времени
и величину, и направление. Разделим промежуток времени, в тече-
ние которого происходит толчок, на п малых промежутков величи-
ны Д/. Пусть силы, ускорения и скорости в начале каждого про-
межутка обозначены через Д, F2, F3i..Fn; alf аъ ..ал; vlf ф2, . . .,Фп.
Пусть промежутки времени настолько малы, что действующие на
их протяжении силы можно считать постоянными с точностью до
малых первого порядка: тогда будут постоянны и ускорения, с той
же степенью точности. Для каждого такого промежутка прибли-
жённо применимо написанное выше соотношение; мы можем, следо-
вательно, написать, исходя из второго закона,
Flbt = mal Ы, F^t^ma^t, ..., FnM = man^t.
Суммируя эти равенства, находим
2Л- Ы = т Д/.
1 i
70
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. III
По определению ускорения, как предела отношения д*, мы можем
написать
или
ДЯ/ I -
ai — "A7 + ®i>
где ех- — малая величина, в пределе обращающаяся в нуль. Поэтому,
принимая во внимание, что
Д^=ф3—Д^2=Ъ3 — и2,..
находим
ах Д/ = Д^ 4-= -|- М • Sj,
a2A/ = u, —и24-дг-е,, а„А/ = ггя+1—
Складывая эти равенства, получаем
= va+l — 4-Д^е,.
Здесь фп+1 есть, очевидно, скорость точки в конце последнего про-
межутка времени. Следовательно,
— mvn+x — тф^ -f-
При переходе к пределу Д£ -> 0 сумма, стоящая слева, стремится
к определённому пределу — интегралу, обозначаемому
l/dt,
где t, Т — моменты времени, отмечающие начало и конец всего рас-
сматриваемого промежутка времени. Сумма Д/Еей стоящая в правой
части равенства, стремится к нулю. Поэтому имеем, окончательно,
т
|F dt— mV — тф, (3.10)
причём через ф и V обозначены скорости в начале и конце всего
рассматриваемого промежутка времени. Это и есть теорема количе-
ства движения или теорема импульсов, так как величина, стоящая
слева, называется импульсом силы.
Формулу (3.10), содержащую векторы F, V и ф, можно написать
и в виде трёх формул по осям координат:
т т т
J Fx dt—mVx- mvx, jFydt = mVy— mvy, ^Fgdt — inV2—mv2.
§ 6]
ВРАЩЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ
71
В рассмотренном в § 4 случае толчка, сообщённого шарику, сила F
во время толчка сначала равнялась нулю при £ = 0, затем весьма
быстро нарастала до большой величины, после чего быстро убывала
вновь до нуля, сообщая ^лу за весь этот весьма малый промежу-
ток времени &t=T—t всё возрастающую скорость. Характер
этой зависимости силы от времени изображён на рис. 31. Прираще-
ние количества движения определяется только значением заштрихован-
ной площади, которую выражает наш определённый интеграл рис. 31.
Поэтому мы можем заменить этот интеграл произведением F
где F есть постоянная сила, действующая в течение промежутка
времени М—Т — t, и притом такой
численно равна нашему интегралу. Та-
кая сила называется средней за время
М. Конечная скорость V, наблюдаемая
при ударе по телу, и есть начальная
скорость рассмотренного выше ко-
лебательного движения (3.8). Так как
за весьма малый промежуток времени
Д/ = Т — t шарик практически не
переместили, то мы пренебрегли деталь-
ным рассмотрением движения в тече-
ние А/ и считали, что скорость V= v0
относится к моменту времени £ = 0.
величины, что площадь FA/
Таким образом, обосновывается «внезапное», т. е. возникшее за
практически весьма малый промежуток времени, изменение скорости
во всех случаях удара.
§ 6. Вращение по окружности под действием центральной
силы. Рассмотрим теперь движение шарика при несколько иных
предположениях. Именно, во-первых, пренебрежём влиянием силы
тяжести, во-вторых, в момент £ = 0 дадим нашему шарику толчок,
направление которого перпендикулярно к прямой, соединяющей точку
закрепления с шариком, и, наконец, будем считать, что сила, дей-
ствующая на шарик, подобно силе упругости пружины, есть так
называемая центральная сила, т. е. действует из некоторой постоян-
ной точки (притягивающего центра) и величина её есть функция
расстояния г от этого центра до шарика. В наших дальнейших
рассуждениях мы будем выбирать эту функцию в, самом общем
виде, а именно
F=/(r), (3.11)
где F—величина силы, действующей на точку и направленной
к центру.
Представим теперь себе, что мы растянули нашу пружину так,
что расстояние между шариком и центром есть R, и затем Дали
ему боковой толчок. Толчок этот и вызызаемая им начальная ско-
72
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
(гл. Ш
рость Vq нашего шарика могут быть различны. Пусть толчок этот
таков, что, получив его, точка будет двигаться по окружности
и притом равномерно. Тогда мы имеем, согласно § 4 гл. II, ускоре-
но с-
ние и, следовательно, сила г при условии равномерного
кругового движения должна быть равна *
Отсюда следует, что всегда можно подобрать такое х/0, что это
соотношение будет удовлетворено, а потому такое круговое рав-
номерное движение под действием притягательной центральной
силы возможно.
Сила F, действующая на нашу точку, называется центростре-
мительной] по третьему закону, на притягивающий центр действует
сила, равная и противоположная силе, действующей на шарик, и
называемая центробежной. Следует отчётливо уяснить себе, что
центробежная и центростремительная силы приложены к разным
точкам.
Если начальный толчок сообщает шарику иную скорость, чем
удовлетворяющая приведённому выше соотношению, то движение
шарика будет происходить не по кругу, а, вообще говоря, по не-
которой другой замкнутой кривой; примером является рассматривае-
мое в следующем параграфе движение планет. Однако отсюда
вовсе не следует, что движение планет произошло именно от толчка
подобного рода. Можно себе представить самые различные способы
возникновения некоторого движения, начальная скорость которого
(т. е. скорость в момент начала счёта времени или начала наблю-
дения) задана: до этого момента движение могло существовать
и определяться другими силами, которые к моменту / = 0 исчезли,
и т. п. Движение после момента £=0 будет протекать одинаково
во всех случаях, когда и действующие, начиная с момента t = О,
на точку силы одинаковы, безотносительно к предшествовавшей
истории движения точки.
Центральная сила может быть и отталкивательной; сила взаимо-
действия двух одноимённых электрических зарядов есть пример
такой отталкивательной силы. В этом случае движение совершается
по кривой, ветви которой уходят в бесконечность.
§ 7. Движение планет. Подобные же движения по замкнутым
эллиптическим траекториям совершают планеты. Силы, действую-
щие в этом движении, суть центральные силы. Согласно предполо-
жению Ньютона, зависимость силы взаимного притяжения двух то-
чек (планет) с массами тх и т^ от их взаимного расстояния г12
выражается формулой
ГК = Л (3.12)
г 13
§ 7Г
ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
73
Мы будем рассматривать движение одной планеты, например Земли,
около Солнца, предполагаемого неподвижным.
Ещё до Ньютона Кеплер (XVII ст.) вывел из весьма точ-
ных по тому времени наблюдений Тихо де Браге три кинематиче-
ские закона движения планет, сохранившие и до сих пор название
законов Кеплера:
1. Все планеты обращаются по эллипсам, в одном из фокусов
котЪрых находится Солнце.
2. Секториальная скорость всякой планеты есть постоянная
величина.
3. Квадраты периодов обращения любых двух планет пропор-
циональны кубам больших осей их орбит.
Покажем, что из этих законов с необходимостью вытекает за-
кон тяготения (3.12).
Так как эллиптические орбиты всех планет мало отличаются от
кругов, то, для простоты вывода, мы допустим, что все планеты дви-
жутся по окружностям, центром которых является Солнце. Кроме того,
будем считать, что на каждую планету действует только одна сила —
притяжение Солнца, а силами взаимодействия планет, малыми по
сравнению с нею, будем пренебрегать.
Для равномерного движения по окружности мы имеем
но
а поэтому
4тсаг
а— р .
Для двух планет мы имеем
Qi __ И . / V
га \ Г1)
Но по третьему закону Кеплера
Из последних двух соотношений имеем поэтому
<*1 *2
а2 г? *
т. е. ускорения планет обратно пропорциональны квадратам их рас-
стояний от Солнца. Помножив обе части последнего равенства
на —, найдём
т*
__Fi__mi . m2
r\ • q’
74
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ. III
Следовательно, мы можем положить вообще
г? т
F = q-^-.
Относительно коэффициента q Ньютон делал естественное предпо-
ложение, что он пропорционален массе Ж Солнца, а потому писал
закон тяготения в форме
с г,Мт
* — К •
Величина К не зависит от того, к какой паре материальных точек
относится закон, и есть универсальная постоянная. Астрономиче-
ские наблюдения и земные опыты показывают, что
/<• = 6,66 . 10~8 = |. 10-’.
о
Размерность К такова:
[Д'] = Г^-1 = L’T-’M"1.
1 1 | Ж/wj
Согласие астрономических и земных наблюдений, дающих одинако-
вую величину К. позволяет называть приведённый выше закон зако-
ном всеобщего тяготения. Сам Ньютон подтвердил всеобщность
найденного им закона, доказав тождество силы тяготения, удержи-
вающей Луну на её орбите, с силой притяжения любого камня
к Земле. Рассуждение его было приблизительно таково.
Астрономические измерения устанавливают, что расстояние R
Луны от центра Земли равно 60,2 земных радиуса, который равен
6355 км. Период Т обращения Луны равен 27,322 дня. Отсюда
ускорение Луны
_ Vs _ 4тс2/? __ 40 • 6366- 10е _ л 97 /2
р — (27,32)3- (24)2 . (3600)2 “ U,2/ см!сек •
Ускорение у земной поверхности, т. е. на расстоянии г = 6366 км
от центра Земли, есть 981 см/сек*. Легко проверить, что
М-Г
• ёе \Г )
В самом деле
•£№3,62. ю8,
ёе
а
3,61 • 10’,
т. е. совпадение весьма удовлетворительное.
§ 8. Несвободное движение точки. Движение по окружности.
Примером несвободного движения является колебание материальной
точки, подвешенной на гибкой нерастяжимой нити, закреплённой
§ 8]
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
75
своим верхним концом (математический маятник). Из опыта следует,
что при любом не слишком сильном и не направленном вверх
толчке движения материальной точки могут совершаться только по
траекториям, лежащим на поверхности шара, радиусом которого
является нить. Если отнести начало координат к точке закрепления
нити и длину нити обозначить через г, то три координаты точки
х, очевидно, связаны условием
= г2,
х2 .у*+z*
т. е. положение точки вполне определяется заданием двух коорди-
нат; третья же вычисляется из написанного выше соотношения. Сле-
довательно, в этом случае точка имеет две степени свободы.
Маятник часов, представляющий . собой груз, закреплённый на
стержне, вращающемся на неподвижной оси, представляет собой
систему, имеющую всего одну степень свободы.
В подобных случаях мы говорили, что на движение точки на-
ложены кинематические связи. Другой вид связей — динамические;
под последними подразумевается влияние соседних тел, хотя и из-
меняющее, вообще говоря, движение точки, но не устраняющее
совершенно возможности некоторых движений. Так, Земля, вра-
щающаяся вокруг Солнца, связана динамически с Луной; силу дейст-
вия Луны на Землю следует считать динамической связью, но она
никак не может помешать Земле уклоняться с её пути, например,
под действием близко проходящей тяжёлой массы.
Легко, однако, видеть, что в действительности всякая практи-
чески осуществляемая кинематическая связь представляет собой фи-
зически лишь особо сильную динамическую связь. В самом деле,
например, нить маятника, на которой привешена тяжёлая точка, не
является, строго говоря, нерастяжимой; под действием той или иной
силы, стремящейся вывести точку с поверхности шара вниз, она
растягивается, вследствие чего сила упругости начинает противо-
действовать смещающей силе и именно так сильно, что практически
достаточно уже незаметного растяжения, чтобы уравновесить сме-
щающую силу. Совершенно так же обстоит дело и во всех тех
случаях, когда в различных механизмах осуществляются кинемати-
ческие связи. Это и даёт нам право во многих расчётах упрощать
явление, пренебрегая малыми отклонениями точки от траекторий,
допускаемых кинематическими связями; но, конечно, мы должны
при расчёте учитывать силу действия связи или, как принято гово-
рить, силу реакции связи, приложенную к движущейся точке. Чтобы
выяснить принципы такого учёта, рассмотрим, например, тяжёлую
точку, принуждённую двигаться по заданной поверхности, которая
является поверхностью связи (дробинка на блюдце).
В этом случае (рис. 32), кроме приложенной к точке силы Р
(например, давление руки, сила тяжести, их равнодействующая
76
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ. III
и т. п.), мы должны принять во внимание ещё и приложенную
к ней силу реакции опоры R и определить её направление и ве-
личину. Мы предположим сперва, что силы трения между точ-
кой и поверхностью отсутствуют; опыт показывает, что тогда
сила реакции перпендикулярна к поверхности связи. Величи-
ну силы реакции мы можем определить из следующих со-
ображений. ।
Разложим ускорение а нашего движения на две компоненты:
одну ati направленную по вектору скорости движения, т. е. по
касательной к поверхности; другую ап — по нормали к поверхности.
Разложим также по этим двум направлениям и равнодействующую
всех сил, приложенных к точке М. Повторо-
\ му закону Ньютона, можем написать
ал\ Р
\ ma = mat-\-man = Pt-}-Pn-\-R. (3.13)
/ )&*** Проицируя все векторы на нормаль к поверх-
ности (положительное направление нормали
выбирается к центру кривизны), найдём
X man = Pn-±R, (3.14)
Рис 32 и пР°иЦируя на касательную, найдём
mat = Pt. (3.15)
Заметив, что величина ап= мы можем первое уравнение написать
в виде
~=Pn + Rn, (3-16)
откуда находим величину силы реакции: уравнение же (3.15) опре-
деляет движение точки по траектории, лежащей на связи.
Если точка движется по наклонной плоскости, то г=оо, и мы
имеем
^п+Яп=о,
т. е. сила реакции, приложенная к точке т, равна и противоположна
компоненте силы тяжести, нормальной к плоскости. В этом случае
мы можем сказать, что нормальная компонента действующей силы
«уничтожается» сопротивлением опоры.
В качестве первого примера несвободного движения рассмотрим
движение по закреплённой окружности некоторой материальной точки,
не подверженной действию внешних сил. Физически такое движение
может быть осуществлено различными способами. Так, например,
можно представить себе круглый горизонтальный канал, по которому
движется стальной шарик или вращающийся на вертикальной оси
тонкий стержень, перпендикулярный к этой оси и имеющий на конце
МАЯТНИК
77
§ 9]
большой шар, и т. п. Во всех этих случаях мы, строго говоря, не
имеем ни единственной материальной точки, ни идеальной (без трения)
связи, ни отсутствия сил, так как сила тяжести всегда существует.
Однако во многих случаях мы передадим с достаточной точностью
действительное явление, пренебрегая всеми этими обстоятельствами.
Итак, представим себе, что точка, принуждённая двигаться по
окружности, получила в результате толчка начальную скорость v0.
Так как, по нашему предположению, на точку действует только сила
реакции точки, то, согласно вышесказанному, можем написать
ma = R,
где Ускорение направлено по радиусу г, тангенциальное
ускорение равно нулю, так как нет тангенциальных сил; следова-
тельно, тангенциальная скорость остаётся постоянной, меняется только
её направление. Поэтому, так как в начальный момент времени вели-
чина скорости есть т/0, то она останется такой же и во все после-
дующие моменты времени.
§ 9. Маятник. Рассмотрим так называемый математический
маятник, т. е. точку с массой т, подвешенную на закреплённой
в точке О нерастяжимой гибкой нити длиной МО = 1
(рис. 33). В этом случае точка т принуждена к
двигаться по поверхности шара радиуса /. В зави- {X
симости от направления первоначального толчка
траектория точки различна. Мы рассмотрим два Г; у
наиболее важные случая: 1) маятник до удара ви- i \
сит вертикально, а скорость v0, получаемая от J
удара по точке т при / = 0, горизонтальная лежит
в вертикальной плоскости, проходящей через МО; । т \
в этом случае движение точки совершается в вер- р *
тикальной плоскости; 2) маятник до удара откло- $
нён от вертикали, а скорость горизонтальна и Рис> ’33*
перпендикулярна к вертикальной плоскости, про-
ходящей через МО и отклонённое положение точки т. В этом
случае, вообще говоря, маятник описывает не плоскую траекторию,
но мы представим себе, что подобрана так, что движение совер-
шается по горизонтальной окружности, проходящей через начальное
положение точки т и имеющей центр на линии МО. Опыт убеждает,
что такое движение можно легко осуществить.
В первом случае мы может выбрать скреплённую с землёй систему
координат так, что координатная плоскость zOx вертикальна и про-
ходит через тОМ. В ней и совершается движение. Разложим силу
тяжести mg на две составляющие; одну по касательной к траектории,
другую по нормали. Ускорение также разложим на нормальное и
тангенциальное.
78
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. Ш
За положительное направление траектории выберем направление
от М к длину дуги Мт обозначим через 5. Применяя изложен-
ные выше рассуждения, находим два уравнения:
d*s
mat = т^ = — mg sin а
или
d2s
d?- = -^sina.
Линейное перемещение точки т за Д/ есть /Да; отсюда скорость
есть I , а ускорение I . Внося это значение ускорения в наше
уравнение, находим
d2a g .
^ = -4 sin a.
Мы сделаем ещё одно допущение, положив, что имеем дело с ма-
лыми колебаниями. Тогда с точностью до малых второго порядка
мы можем положить sin a = а, а поэтому уравнение примет вид
^.= _£а,
d/2 I
Но такое уравнение нам уже встречалось (2.25) и было следствием
уравнения (2.18); следовательно, его решение имеет вид:
a= A cos ((of <р0),
где
Найти А и <р0 можно тем же приёмом, который изложен в гл. II.
2тс
Период колебания Т равен Т = — , и, таким образом, из приведён-
ного выражения для со следует, что
T = 2ic]/t. (3.17)
Уравнение (3.16) даёт нам возможность определить силу реакции R.
Согласно формуле (3.17), период колебания Маятника не зависит от
амплитуды колебаний А, или, что то же, от начального угла откло-
нения Oq, так как эти величины в нашу формулу не вошли. Кроме
того, из этой формулы следует, что Т не зависит от массы маятника.
Существенно также отметить, что величина периода колебания
обратно пропорциональна корню из ускорения силы тяжести; наблюдая
периоды колебания маятника в разных местах, мы обнаруживаем раз-
личие в периодах, а, следовательно, различия и в ускорениях силы
МАЯТНИК
79
§ 9]
тяжести. Колебания, период которых не зависит от амплитуды,
называются изохронными.
Мы получили изохронные колебания только потому, что допу-
стили, что размахи маятника малы. Как мы сейчас увидим, при не-
малых амплитудах колебания уже неизохронны.
Замечательно, что можно получить установленные нами свойства
маятника, не решая найденного нами дифференциального уравнения.
Это позволяет так называемый метод размерностей.
Вспомним, во-первых, что всякая формула, имеющая физический
смысл, должна состоять из членов, имеющих одинаковую размер-
ность, о чём уже сказано в § 2 rui. I. Во-вторых, заметим, что
в наше дифференциальное уравнение входит только одна постоян-
ная величина &, размерность которой есть
И] =т--
Наконец, мы видели, что явление вполне определяется, если, кроме
дифференциального уравнения, известны ещё начальные условия. За
такие начальные условия выберем при / = 0; а=а0, v = 0 (размер-
ность (а]=0). Очевидно, и искомый период колебаний может за-
висеть только от параметров -j- и а0; других параметров, отлич-
ных от нуля, в дифференциальном уравнении и начальных усло-
виях нет. Основным приёмом метода размерностей является пред-
положение, что интересующая нас величина — в данном случае
период — может быть изображена в виде ряда с численными (раз-
мерность нуль) коэффициентами
T=At (f f (<х0)* + Aa (f (аоу* +... = £ A (f (a,y,
каждый член которого представляет функцию от наших пара-
метров*, число членов ряда может быть конечным или даже беско-
нечным.
На основании сказанного выше мы можем утверждать, что все
члены ряда имеют одинаковую размерность с левой частью
(Л = [(f)*(«.?],
где х, у — показатели любого члена ряда. Но а0 — величина раз-
мерности нуль; следовательно, размерность первого множителя должна
иметь размерность [TJ, т. е.
[ =(p’r=т~2х—т*.
80 СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ [ГЛ. 1П
Отсюда вытекает уравнение — 2х = 1, или
1
х— 2 ’
Это относится к каждому члену ряда; следовательно, мы можем
написать
Таким образом, мы, не решая дифференциального уравнения, полу-
чаем ценное сведение, что период колебания всякого (а не только
с малыми размахами) математического маятника прямо пропорцио-
нален корню из его длины, обратно пропорционален корню из уско-
рения силы тяжести и, наконец, зависит от размаха (амплитуды).
Так как дифференциальные уравнения нередко весьма трудно решить,
то метод размерностей весьма ценен для физйки.
Иногда метод размерностей применяется не на основе знания диф-
ференциального уравнения движения, а на основе грубого, каче-
ственного опыта. Рассмотрим тот же пример маятника, но предпо-
ложим, что грубый опыт установил, что период маятника зависит от
его длины и от величины размаха. Предположим, далее, — что с пер-
вого взгляда кажется весьма естественным, — что период зависит и от
массы т маятника. Наконец, предположим снова, что период выра-
жается рядом, члены которого зависят от т, g, I и а0:
Сравнивая размерность любого члена справа с размерностью Т, на-
ходим v
m = [aS].
Слева масса не входит, и, следовательно, х = 0. Далее имеем
[^] • [П [«о] = [Л Т-2^ [/q [ag] = [Z^] Т-^ [aS].
Так как слева длина не входит, то г-|-_у=0; время слева вхо-
дит в первой степени, следовательно, —2^=1. Отсюда у= — у.
z = -[~ , поэтому для Т имеем
Т=2 а
т. е. прежний результат. Ниже, в гл. X, мы познакомимся с другими
весьма важными применениями принципа размерностей.
Формула (3.17) позволяет весьма точно и просто определить g.
Из неё имеем
4тс2/
-р •
§10]
СИЛЫ ТРЕНИЯ
81
Наблюдая большое число колебаний маятника за большое время /,
мы можем с большой точностью определить Г; так же легко опре-
деляется /, а по этим данным вычисляется и g.
Рассуждения наши относятся к математическому маятнику; физи-
ческие маятники имеют вместо невесомой нити I весомый стержень,
а, следовательно, расчёт для этого случая должен быть иным; он
приводится ниже (гл. VI, § 6).
Рассмотрим теперь маятник, тяжёлая точка которого получила
такой толчок, что она движется по горизонтальной окружности, так
называемый конический маятник. В этом случае скорость v точки т
направлена перпендикулярно к плоскости МОт, а ускорение а равно
а — — = -у-:—,
г I sin а 9
где г—расстояние от т до вертикали МО. Вектор ускорения на-
правлен к центру. На основании второго закона можем написать
та = Р R,
где P=.mg. Проицируя на плоскость траектории все векторы, вхо-
дящие в это уравнение, и замечая, что в этом случае проекция Р
равна нулю, имеем
а проицируя на вертикальную плоскость, перпендикулярную к уско-
рению, найдём, что проекция а равна нулю и
R cos а = mg.
Поэтому имеем
я3 ____________________________ sin а
/sin а ^cosa*
Но
2тс . .
v = wr=Y /sin а.
Определяя из этих двух уравнений Г, найдём для периода обраще-
ния маятника
Т=2куГ^^-. (3.18)
При малых углах а можно положить cos а равным единице с точ-
ностью до малых второго порядка, и тогда эта формула совпадёт
с (3.17). Заметим, что при выводе формулы (3.18) не сделано ни-
каких приближений; следовательно, круговые колебания конического
маятника строго изохронны.
§ 10. Силы трения. В отличие от конфигурационных сил, вели-
чина которых является функцией только взаимных расстояний, силы
6 Папалекси, т. I
82
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. ш
трения зависят от относительных скоростей. Мы различаем два
вида трения: сухое трение, наблюдающееся при перемещении одного
твёрдого тела по другому твёрдому же, которое может быть
либо трением скольжения (сани по снегу, ось без смазки в под-
шипнике), либо трением качения (колесо по рельсу, шарик по
обойме ? шарикоподшипнике), и вязкое трение, которое наблю-
дается при перемещении твёрдого тела относительно ч жидкости
или одного слоя жидкости относительно другого (ось со смаз-
кой в, подшипнике, движение снаряда в воздухе, подводной лодки
в воде).
Мы можем изучать силы трения с двух разных точек зрения.
В одних случаях мы интересуемся силами трения лишь постольку,
поскольку это необходимо, чтобы установить их величину в за-
висимости от скорости и затем иметь возможность по этим данным
установить все основные свойства (траекторию, скорость, ускорение)
интересующего нас движения. В других случаях мы интересуемся
происхождением сил трения, их природой в связи с молекулярным
строением тел и их более грубой структурой.
Первая точка зрения называется феноменологической (внешне
описательной) и имеет большое значение для инженерной практики,
так как позволяет* не тратя времени на детальное изучение явления,
разумно использовать его для наших целей. Вторая точка зрения
позволяет углублённым изучением установить зависимость наблю-
даемых величин сил трения от структуры тел, а нередко и подсчи-
тать ожидаемую величину сил трения по параметрам, определяющим
структуру тела; например, коэффициент вязкости газа можно под-
считать по размерам молекул, их числу в 1 см3 средней скорости
и т. д. Такую точку зрения можно назвать молекулярной. Иногда
эти точки зрения называют, соответственно, макроскопической и
микроскопической (от греческих слов макро- и микро-, — крупно- и
мелко- и скопейн — видеть). В механике мы придерживаемся в основ-
ном феноменологической точки зрения, но, конечно, не следует упу-
скать из виду и молекулярной точки зрения, имеющей ряд свойствен-
ных ей преимуществ, из которых главнейшее — указание путей,
позволяющих создавать тела с новыми свойствами.
Основной характеристикой сил вязкого трения является их зави-
симость от скорости. Рассмотрим, например, прямолинейное движение
тела в жидкости и будем обозначать через v скорость тела по отно-
шению к жидкости. Опыт устанавливает следующие основные свой-
ства сил трения этого рода:
1. Сила трения всегда направлена против направления движе-
ния тела относительно жидкости.
2. Сила трения возрастает при возрастании скорости v (в
некоторых случаях имеются исключения из этого правила).
Для примера приведём силу трения при движении цилиндра
длиной в 1 м и диаметром 0,3 м в воздухе (рис. 34). Здесь по оси
§ Ю]
СИЛЫ ТРЕНИЯ
83
абсцисс отложены скорости движения цилиндра относительно воз-
духа в м/сек, по оси ординат — силы сопротивления в кг. Опыт произво-
дился так: цилиндр, удерживаемый в определённом положении, обду-
вался широким потоком воздуха и одновременно измерялась удержи-
вающая сила. Как мы видим, в области малых скоростей (область а), си-
ла сопротивления приблизи-
тельно пропорциональна ско-
рости. При возрастании ско-
рости пропорциональность
нарушается (область Ъ),
и в этой области сила
сопротивления приблизи-
тельно пропорциональна
квадрату скорости. Зависи-
мость силы трения от ско-
рости в этих двух областях
выражается удовлетвори-
тельно законом
Рис. 34.
= —а-и — bv\ (3.19)
скорости, — в этом
р
_ jL___ *
__СТ. ИШ50СР—-Q
Рис. 35.
(обтекаемые формы). Подробнее о
Как мы видим, сила вязкого трения равна нулю при отсутствии
её существенное отличие от сил
сухого трения. Величина коэф-
фициентов а, b различна в зави-
симости от свойств обтекающей
тело жидкости, но зависит не от
свойств самого твёрдого тела, а
лишь от его формы и структуры
поверхности. В инженерной прак-
тике поэтому стремятся придать
телу форму, при которой коэф-
фициенты а и b возможно меньше
силах вязкого трения мы будем
говорить в гл. X.
При больших скоростях (область с) мы встречаемся с замечатель-
ным явлением: сила трения несколько уменьшается; при дальнейшем
же увеличении скорости (область d) она снова начинает возрастать.
Силы сухого трения имеют характер, существенно отличный от
характера вязких сил. Представим себе, например, такой опыт. Твёр-
дое тело (кирпич) лежит на плоскости; к этому телу мы прилагаем
постепенно возрастающую силу Q (рис. 35), величина которой может
быть измерена наблюдением растяжения пружины К. Тело наше при-
жимается к плоскости силой Р; этой силой может быть вес нашего
тела. При увеличении силы Q, движущей тело, мы замечаем следую-
щую последовательность явлений:
6*
84
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. III
1) При увеличении силы Q от нуля до некоторой величины тело
не двигается с места (область застоя, прилипания).
2) При дальнейшем росте силы Q мы наблюдаем срыв, а затем
сила трения F1) остаётся практически постоянной, несмотря на уве-
личение скорости волочения; только при сравнительно больших ско-
ростях мы замечаем некоторое увеличение силы F с увеличением
скорости; в инженерной технике с этим изменением, силы F обычно
не считаются. В этом случае с достаточной для инженерных целей
степенью точности справедливы законы Кулона*
1. Сила трения зависит от характера (шероховатости) тру-
щихся поверхностей.
2. Она пропорциональна силе прижатая Р одной поверхности
к другой.
3. Она не зависит в широких пределах от скорости волочения.
Графически зависимость силы -сухого трения от скорости изо-
бражена на рис. 36. При скорости нуль сила F имеет значения, ле-
жащие между —Fo и -4~F0; нео-
пределённость здесь только кажу-
щаяся, так как в этой области v = О
I и сила F вполне определяется вели-
чиной приложенной к телу силы Q
1 q ° из равенства
----------- л F+Q = 0.
Мы найдём физическое объяснение
F такого саморегулирования величины
Рис. 36. силы трения, если обратим вни-
мание на то обстоятельство, что
наше тело несколько деформируется, так как абсолютно неиз-
меняемых твёрдых тел не существует. Оно подобно несколько растя-
нутой под действием сил F и Q пружине, для которой силы, при-
ложенные по концам её, равны и противоположны, а величина их
зависит от степени растянутости пружины; такое представление сво-
дит и силы трения в покое к силам конфигурационным.
Математическое выражение закона Кулона в области сил, при
которых наблюдается движение, имеет вид
F = kP (3.20)
и определяет лишь величину силы трения F; направление её обратно
направлению скорости движения. Коэффициент k колеблется от 0,1
1) На нашем рисунке она условно изображена приложенной к некоторой
точке тела; на самом деле она распределена по всей поверхности сопри-
косновения обоих тел.
§ Ю]
СИЛЫ ТРЕНИЯ
85
до 0,7 для разных материалов, как это видно из нижеследующей
таблицы:
Материалы
Кирпич по кирпичу
Железо по камню .
Металл по металлу
k а
0,6 —0,7 0,3 —0,6 0,15—0,25 •— со слеп 1 1 ! — Со со Сл Сл ООО 1
Величина k зависит от характера обработки соприкасающихся по-
верхностей.
Простейшим практическим приёмом определения k является опре-
деление наименьшего наклона плоскости, при котором тело начинает
скользить по ней (рис. 37). Сила прижатия в этом случае равна по
величине влекущей силе Psina. Отсюда имеем
. Р sin а ,
k = „----= tg а.
Pcosa ь
Угол а получил название угла трения значения его приведены
в нашей таблице, в последнехм её столбце.
Трение качения подчиняется тем же законам, что и трение сколь-
жения, однако коэффициент трения качения много меньше коэффи-
циента трения скольжения. Положим круглый карандаш на доску
вдоль последней и будем наклонять доску по длине, пока карандаш
не начнёт по ней скользить; угол наклона, наблюдаемый в этот
момент, и есть угол а. Если же мы положим карандаш поперёк доски,
то, наклоняя её по длине, мы обнаружим, что качение по ней ка-
рандаша начинается при значительно меньшем угле а.
Трение качения всегда много меньше трения скольжения, что было
усвоено уже в глубокой древности и привело к одному из величай-
ших инженерных изобретений — изобретению колеса. Шарикоподшип-
ник является пока последним достижением в борьбе за уменьшение
трения в наших механизмах.
Трение качения связано с наличием скольжения между поверх-
ностью и катящимся по нему телом. Рассмотрим, например, случай
качения чугунного цилиндра по резине (рис. 38, а). Легко видеть,
86
Статика и динамика точки
[гл. III
что участок АВ плоской поверхности резины удлиняется при на-
жиме на неё цилиндра, принимая форму дуги, а потому между не-
изменяемым чугунным цилиндром и гибкой поверхностью резины
должно наблюдаться скольжение. Наоборот, в случае качения рези-
нового цилиндра по поверхности чугуна (рис. 38, Ь) поверхность
соприкосновения цилиндра от прижатия сокращается. Подробное
рассмотрение этих явлений, наблюдаемых при качении, выполненное
Рейнольдсом, показало правильность такого воззрения на природу
сил трения при качении и, в частности, дало объяснение того факта,
что употребление смазки в шарикоподшипниках иногда может уве-
личивать трение.
§ 11. Примеры движения с трением. Качающийся маятник встре-
чает при своём движении сопротивление воздуха. Так как сила тре-
ния приложена к маятнику в направлении, противоположном скорости
движения, то эта сила вызывает добавочное отрицательное танген-
циальное ускорение, уменьшающее' скорость; поэтому колебания
маятника постепенно затухают. В этом случае, так как скорости
маятника невелики, мы можем положить силу трения пропорциональ-
ной первой степени скорости; уравнение движения по дуге имело у нас
вид
mat = — mg sin а.
Теперь же, вследствие наличия силы трения, справа прибавляется
ещё член — kv, и мы имеем
mat — — mg sin а — kv.
При малых колебаниях sin а можем заменить на а; линейную ско-
da .
рость v можно определить через угловую скорость по формуле
.da
v = Принимая, как и прежде, во внимание, что
_d?S — f(Pa
at~dt*~~l dt*’
и внося эти величины в наше уравнение, находим
= (3.21)
dt* I т dt '
Это и есть искомое дифференциальное уравнение затухающего
колебания маятника. Сравнивая его с формулами (2.30), мы видим,
что обе формулы совпадут, если
8 = 4- и ^4-82 = -£
2т Т* г I
Согласно первой из формул (2.30), мы можем положить
a = Л е-8< cos j, (3.22)
§ П]
ПРИМЕРЫ ДВИЖЕНИЯ С ТРЕНИЕМ
87
где А и <р0 — две постоянные интегрирования, которые можно опре-
делить из начальных условий, т. е. из значений а и при / = 0.
Из (3.22) находим
у,__ 2тс
~1/X_______*!_’
Г I 2т3
fob <
Обычно в практически применяемых маятниках мало по срав-
o’ fa
нению с у. Для уменьшения на конце стержня маятника укре-
пляется не шар, а чечевица, оказывающая малое сопротивление обте-
кающему её воздуху (обтекаемая форма), имеющая большую массу.
Л2
Поэтому приближённо мы можем отбросить под корнем , и тогда
как у обычного маятника. Поэтому мы можем положить
а = * cos f/У! + ?о ) (3.23J)
Подчёркнутый множитель в этой формуле есть, как мы видели,
амплитуда затухающего колебания; чем больше протечёт времени
с начала процесса, тем больше затухнут колебания маятника. Хотя
теоретически, по (3.23), они продолжаются неопределённо долго, но
практически через некоторое конечное время маятник остановится,
так как всегда имеется сила сухого трения; последняя относительно
мала, когда амплитуда скорости велика, т. е. при не слишком ма-
лых амплитудах перемещения, но начинает сказываться, когда коле-
бания малы.
Другой пример движения при наличии трения — падение лёгкого
тела в воздухе, например комка ваты. Рассуждения, подобные изло-
женным выше, в предположении, что сила трения пропорциональна
скорости, приводят нас к уравнению движения
d2z k dz
а, = -—=—g----------(3.24)
£ dt2 6 т dt ’ v 7
в котором по сравнению с (3.5) имеется добЬлнительный член
k dz „
~'~mdi9 ^лен этот выражает ускорение, вызываемое силой трения.
Решать это уравнение подробно мы не будем; из этого решения
вытекает, что по мере того, как скорость комка ваты, выпущен-
ного нами из рук, увеличивается, левая часть (3.24) уменьшается,
88 СТАТИКА И ДИНАМИКА точки [гл. ш
т. е. ускорение уменьшается. Когда скорость настолько возрастёт,
k dz
что ускорение — станет равным g, ускорение аг станет равным
нулю, и движение перейдёт в равномерное; это мы и наблюдаем
при падении комка ваты. То обстоятельство, что движение стало
равномерным, есть иллюстрация к первому закону Ньютона: сила
тяжести и сила трения о воздух дают теперь равнодействующую,
равную 0{улю, а потому движение равномерно.
Явления, где при наличии сопротивления трения движение в конце
концов становится равномерным, встречаются весьма часто. Так,
поезд, начав двигаться со станции, сперва имеет ускоренное движе-
ние; но потом силы сопротивления, растущие по мере увеличения
его скорости, становятся равными силе, с которой колёса паровоза
отталкиваются от рельсов вперёд; дальнейшее движение совершается
равномерно. Силы сопротивления в этом случае довольно сложны:
в их состав входят и сила сопротивления качению по рельсам, по-
стоянная во время движения, и сила сопротивления воздуха, и,
наконец, сила скольжения осей в подшипниках. Последние две силы
вязкого характера, а, следовательно, величина их растёт со ско-
ростью.
Наконец, упомянем ещё о случае падения метеора из небесных
пространств на Землю. Сила тяготения, действующая на метеор,
растёт по мере его приближения к Земле: но ещё быстрее растёт
сила трения о воздух, так что и здесь, недалеко от Земли, метеор
имеет практически постоянную скорость около 11 км/сек.
Парашютист при спуске приобретает постоянную скорость па-
дения через небольшой промежуток времени после распускания па-
рашюта.
§ 12. Работа. Если под действием на точку силы F, исходя-
щей от какого-либо тела или системы тел, точка эта получает
малое перемещение Аг, мы говорим, что сила, исходящая от те-
ла, совершает работу.
Важнейшим случаем, детально рассмотренным в элементарном
курсе физики, является случай, когда сила и перемещение лежат на
одной прямой. В этом случае работа измеряется произведением
величины вектора силы на величину вектора перемещения. В том
случае, когда вектор силы составляет некоторый угол с вектором
перемещения, величина работы определяется произведением проек-
ции силы на перемещение
АА = (F Дг) • cos а = (пр (F) Дг). (3.25)
Это произведение принято обозначать
ДА = (ГДг) (3.26)
и называть скалярным произведением двух векторов. Таким образом,
к двум уже упоминавшимся выше видам произведения — вектора на
РАБОТА
89
§ 12]
число и векторного произведения двух векторов прибавляется ещё
скалярное произведение двух векторов.
Из определения (3.25) видно, что скалярное произведение под-
чиняется закону переместительности. В самом деле
(F • Дг) = F • Ar cos а = ДГ cos а = (Дг • F). (3.27)
Кроме того, оно следует и закону распределительности. Если из
двух перемножаемых векторов А, В один есть сумма двух других,
например,
A = C + D,
то
A B = (C-^D)B = CB^DB. (3.28)
В самом деле, по определению,
(C+D).£ = np(C4-D).R
Но проекция суммы векторов равна сумме их проекций; поэтому
пр (С+ D) • В = (пр С + пр D) • В= пр С • В + пр D • В = СВ +DB.
Считая вектор А за силу, вектор В — за перемещение, видим, что
работа равнодействующей двух сил на некотором пути есть
сумма работ тех же сил на том же пути.
Естественно спросить себя: какое отношение имеет изложенное
выше определение работы к обыденному представлению о работе?
До установления закона сохранения энергии работу иногда опре-
деляли как произведение силы на время — величину, которую мы
называем импульсом силы. Оба определения не противоречат нашему
обыденному опыту, но после установления закона сохранения энер-
гии выяснилось особое значение первого определения: именно так
определённая работа измеряет изменения энергии.
Работа считается положительной, если написанное выше ска-
лярное произведение положительно*, в этом случае говорят, что
сила совершает положительную работу. В противоположном случае,
когда это скалярное произведение отрицательно, говорят, что
сила совершает отрицательную работу.
За единицу работы принимают эрг — работу силы в 1 дину на
пути, совпадающем по направлению с силой, равном 1 см. Более
крупная единица работы, 1 джоуль, равна 107 эрг. В технике упо-
требляется также другая единица работы 1 кг-вес • м, т. е. за еди-
ницу принимают работу, совершаемую при подъёме груза весом в
1 кг на высоту в 1 м.
Размерность работы
[Л] =М1?Т-“.
90
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. Ш
Если путь, проходимый точкой, не прямолинеен, а сила не постоян-
на, то мы разделяем этот путь на малые, достаточно прямолинейные
отрезки Air, Д2г, Д3г, . . Длг и определяем работу как предел
суммы
F/AjF -f- Д2г 4- . • • 4- Fn knr = SF, ,
причём под силой Fi мы подразумеваем силу, действующую в на-
чале участка Дхг.
Если движущаяся точка перемещается из положения М в положе-
ние N, то, согласно этому определению,
Л------------------имеем
г о) \ Лилг = lim У М,г= [Frfr. (3.29)
. А-»
_________ U4
___________\Р' Рассмотрим движение точки в поле
___________\м* тяготения у поверхности Земли и оп-
рис мы рассматриваем движение в не слиш-
ком большом по высоте и протяже-
нию участке, мы можем считать, что по-
верхность Земли есть плоскость, а силы тяжести везде одинаковы
и перпендикулярны к этой плоскости. Вычислим теперь работу сил
поля (рис. 39). Пусть точка т передвинулась из М в N. Так как
сила поля, действующая на точку т, равна по величине mg и на-
правлена против направления оси z, а перемещение PQ составляет
с ней угол a — QPPlf то скалярное произведение Fir имеет отри-
цательную величину; иначе говоря, силы поля при подъёме точки т
совершают отрицательную работу. Так как Ar cos а = Р • Q cos а =
= — Аг, то для работы на пути PQ мы имеем
ДА == — mg bz.
Разбивая весь путь MN на малые участки и суммируя элемен-
тарные работы, найдём
Амы ^= — mg(h — Ло), (3.30)
где h = ОЛТ*, Ло = ОМ. Итак мы видим, что в поле тяготения рабо-
та сил поля не зависит от формы пути MN, а зависит только
от положений начальной и конечной точек этого пути.
Докажем ещё два положения: во-первых, работа сил поля при
движении точки по обратному пути NM равна и противополож-
на работе по пути MN. Во-вторых, работа сил поля тяготения
на замкнутом пути равна нулю. Для доказательства первого по-
§ 12]
РАБОТА
91
ложения достаточно заметить, что работа APq равна и противопо-
ложна по знаку работе AQP. В самом деле,
APQ=mg- PQ, AQP = mg> QP =— tng> PQ,
т. e.
Apq=:— AqP. (3.31)
Суммируя по всем элементам пути, найдём, что это утверждение
верно и для всего пути. Чтобы доказать второе положение, обра-
тимся к рис. 40. Пусть точка движется по пути MaNbM. Тогда,
л
Рис. 41.
принимая во внимание только что доказанное положение, можем
написать
АмаКЬМ = A-MaN 4~ ^NbM — &MaN — &MbN =0. (3.32)
Поле сил, в котором работа силы, действующей на точку, за-
висит не от пути, но только от начального и конечного положения
точки, называется потенциальным полем, а силы, в нём действую-
щие,— консервативными. Можно доказать, что всякое поле цен-
тральных сил, зависящих только от расстояний, потенциально.
Если, например (рис. 41), поле вызвано наличием точек М19 Л4а,
Ж3, . . ., действующих на точку М с силами Pt, Р9, . . ., причём
каждая из этих сил, например Pif зависит только от расстояния г
между точками и М, то равнодействующая всех этих сил Р=
= Рх + “Ь • • • есть сила консервативная, и поле, ею определяемое,
также консервативно. Примером может служить не только поле
земного тяготения, образованное притяжением всех точек Земли на
М, но и поле электрических зарядов, так как последние действуют
на точку Л1, если она имеет электрический заряд, с силами, удов-
летворяющими закону Кулона, т. е. центральными и зависящими
только от расстояния.
Во всяком потенциальном поле мы можем провести так называе-
мые поверхности уровня — поверхности, при движении точки М
по которым сила поля не совершает работы. Так, в рассмотрен-
ном выше случае пол i .у поверхности Земли поверхности уровня суть
92
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ. III
горизонтальные плоскости. В общем случае это кривые поверхности.
Выбрав (рис. 42) одну из таких поверхностей, отметим её цифрой О
и будем называть поверхностью нулевого уровня. Отметим, далее,
в поле поверхности уровня 1, 2, 3, ... на таком расстоянии одна
от другой, чтобы работа силы поля, действующей на точку с массой 1
(так называемая пробная точка) при передвижении с одного уровня на
другой, соседний, была равна единице работы. Тогда легко опреде-
лить из нашего чертежа величину работы силы поля при передвижении
пробной точки из любого положения М в любое другое N. Работа эта
просто равна разности номеров уровней, в нашем примере 3—1=2.
Проведём ещё в нашем поле семейство линий, нормальных к поверх-
ностЯхМ уровней и обозначенных на рис. 42 пунктиром. Нетрудно
показать, что эти линии указывают направление сил, действующих
в поле на точку; например, сила, действующая на точку ТИ, напра-
» N влена по касательной к линии ТИР в точке
' М. Чтобы показать это, рассмотрим (рис.
43) Две весьма близкие поверхности уро-
bhbSj, S2; работа силы X, действующей
Z 4ху у**на Т0ЧКУ М ПРИ переходе её из М в Р,
/ есть
г' %= тир • пр х,
1 п/ где пр X означает проекцию силы X
0 на путь ТИР. Работа же на пути МР1 есть
Рис- 41 SMP> = МР' . пРл1р, (Х) = МР. прМР (X).
Но наименьшая величина пути между и S2 равна, очевидно, ТИР;
следовательно, наибольшее значение проекции силы на путь есть
прмр (X), а проекция силы на прямую принимает наибольшее зна-
чение, если сила совпадает по направлению с этой прямой; следо-
вательно, ТИР и есть направление силы. Поэтому линии, нормаль-
ные к поверхностям уровня, и получили название силовых линий.
Рис. 43 даёт не только направление, но и величину силы, дей-
ствующей на единицу массы, или, как принято называть, напряжён-
ности поля (размерность напряжённости LT“2, т. е. совпадает с раз-
мерностью ускорения). В самом деле, работа силы X есть
5aip = S2—51==ТИР-Х
откуда
X = ~~—
_ МР
Формула эта — приближённая, так как отрезок ТИР конечен; пере-
ходя к пределу, найдём точное значение напряжённости
•* = “'" 7&М»- <3-33>
§ 131
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ ТОЧКИ
93
Здесь мы встречаемся с так называемой производной, взятой по опре-
делённому направлению, в данном случае по направлению нормали
п к поверхности уровня. Положительное направление этой нормали
условимся выбирать в сторону возрастания S. Например, в поле у
поверхности Земли величина S возрастает сверху вниз, соответст-
венно (2.15).
Формула (3.33) даёт возможность вычислить также и величину
силы А, если известна масса точек, на которую действует эта сила
с v dS
(3.34)
Величина 5 получила название потенциала,
§ 13. Закон сохранения энергии в меха-
нике точки. При перемещении точки в поле
сил, например, при поднятии камня с поверх-
ности Земли в поле сил тяжести на некото-
рую высоту, сила нашей руки совершает
работу. Представим себе, что мы произво-
дим такой подъём весьма медленно; тогда в
каждой точке пути
сила нашей руки равна и противоположна силе поля. В самом де-
ле, мы имеем
ma — F-{- Р,
где F — сила руки и Р — сила, с которой действует поле на нашу
точку. При весьма медленном (и даже при быстром, но прямоли-
нейном и равномерном) перемещении а = 0, а, следовательно,
F= — Р. Поэтому работа, совершаемая рукой, равна*и противопо-
ложна работе сил поля; например, в случае поднятия камня мы
имеем, согласно (3.30),
Ep = mg(h — h9).
Условимся отсчитывать Ер от поверхности Земли; тогда величина
ЕР ±= mgh
называется, как это известно из элементарного курса физики, по-
тенциальной энергией точки. Вообще под потенциальной энергией
точки в поле сил мы подразумеваем ту работу, которую дол-
жна затратить внешняя сила, чтобы переместить точку с ну-
левого уровня на данный. Так как выбор нулевого уровня зависит
от нашего произвола, то и величина Ер определена лишь по отно-
шению к избранному уровню. Выше (§ 12) мы видели, что работа
силы поля при перемещении точки с одного уровня на другой рав-
на разности номеров уровней; так как Ер есть работа силы, про-
тивоположной силе поля, то, очевидно, потенциальная энергия точки
94
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. Ш
(по отношению к нулевому уровню 80), находящейся на уровне Sn,
есть— (Sn—8в).
Введём ещё понятие кинетической энергии точки Ek, которую
определим
с ____________________________ /иг/’
Ek— 2 ’
Наконец, назовём
E = EP + Ek
полной энергией (короче—энергией) точки в данном поле. Можно
Рис. 44.
доказать следующую теорему:
Полная энергия точки, свободно или
со связями без трения движущейся в
поле консервативных сил, не изменяется
при движении. В такой простейшей форме
выступает в механике точки закон сохра-
нения энергии.
Сперва напомним, как доказывается
эта теорема в элементарном курсе физики
для свободного падения точки в поле
сил тяжести. Мы в этом случае имеем
(рис. 44)
та — — mg.
Пусть наша точка падает с высоты h на высоту hx. Помножив обе
стороны этого уравнения на (Л— hx), найдём
та (h — Л1) = —mgh -р mghx—Epx — Ер.
CL 11^ Х \
Но a = vt и h — hx=------~- = — . Далее,
t Ч ЯМ* ~
ma(h — —-----— — Ek.
Окончательно
Ер-{-Ek = mgh = E. (3.35)
Отсюда видно, что полная энергия точки равна mgh, т. е.
как раз работе внешней силы, необходимой для поднятия нашей
точки на высоту h.
Для доказательства теоремы в общем виде напищем уравнение
движения точки при наличии реакции связей
ma — F-\-R.
х) При нашем выборе направления оси z.
§13] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ ТОЧКИ 95
Помножив обе части на перемещение dr и проинтегрировав по все-
му рассматриваемому пути движения точки от М до Af, найдём
N N N
^madr = §Fdr-\- J* R dr.
м м м
Но силы реакции перпендикулярны к перемещению dr, так как при
наличии связи точка двигается по ней; следовательно, Rdr = Q, и по-
следний интеграл также равен нулю. ПервУй же интеграл слева есть
работа сил поля по пути между точками М и N. Если (Ер)м обозначает
потенциальную энергию на поверхности уровня, проходящей через
М, a (Ep)n — соответственно потенциальную энергию на поверхно-
сти уровня N, то правую часть нашего выражения можно, очевидно,
записать так:
(Ep)n (Ер)м.
Для вычисления левой части заметим, что
adr = ^.dr = d<o • = <оdv = \.
at at \ 2 /
Следовательно,
N N * N
j* ma dr = md(V—\— dEk = (Ek)N — (Ek)M.
мм м
Поэтому имеем окончательно
(£&)# == (^p)iV
или
(Ek + EP)N = (Ek + Ep)m, (3.36)
t. e. полная энергия точки одинакова в положении М и в поло-
жении N, т. е. при движении в консервативном поле не изме-
няется.
Формула (3.36) очень полезна для общей оценки движения точ-
ки в консервативном поле. Например, из неё видно, что маятник
при качании поднимается как раз на ту высоту, с которой он спу-
стился. В самом деле, выберем точки М и N так, чтобы они со-
впадали с положениями мгновенного покоя в двух разных положе-
ниях маятника. Тогда имеем
(Ek)M = (Ek)N = 0.
Следовательно,
(^р)л === (Ер)м,
т. е. точки М и N лежат на одном уровне.
96
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. 1П
Другой пример применения закона сохранения энергии для уста-
новления характера совершающегося движения представляет движение
материальной точки по связи в отсутствии других сил, кроме силы
/? реакции связи. В этохМ случае работа силы /?, перпендикулярной
к направлению движения точки, есть нуль, а потому энергия точки
постоянна. Но, так как единственной формой энергии, которой обладает
точка в этом случае, является энергия кинетическая, которая, следова-
тельно, постоянна, то скорость точки постоянна по величине.
Например, закрутихМ на верёвке камень настолько быстро, что по-
тенциальной энергией его можно пренебречь, по сравнению с энер-
гией кинетической, и считать, что сил поля нет. Дав верёвке накру-
чиваться на палец (траектория камня в этом случае будет пред-
ставлять собой спираль), мы должны будем, вследствие постоянства
кинетической энергии, иметь и постоянную линейную скорость V.
Угловая скорость должна, вследствие уменьшения радиуса враще-
ния, возрастать: камень представляется нам движущимся всё быст-
рее по мере накручивания верёвки.
§ 14. Равновесие точки на связи. Рассмотрим (рис. 45) точку
М, находящуюся на поверхности связи в поле сил (без трения).
Для состояния покоя, очевидно, необходимо, чтобы сила поля была
равна и противоположна силе реакции связи, а так как последняя
нормальна к поверхности связи, то равновесие может быть только
в той точке поверхности связи, в которой поверхность связи и по-
верхность уровня касаются. Но равновесие, если оно обеспечено
указанным выше условием, может быть ещё устойчивым, неустойчи-
вым или безразличным, что имеет большое значение в практике. Пред-
ставим себе, что рассматриваемая точка находится несколько в сто-
роне от положения равновесия, например, в точке М'. Отметим
поверхность уровня, проходящую через эту точку; пусть потенци-
альная энергия Ер, соответствующая нахождению точки S", боль-
ше, чем Ер. В этом случае сила поля, действующая на М", направ-
лена, как показано на рис. 45, а, и даёт вместе с силой реакции R”
равнодействующую, направленную в сторону положения равновесия.
Поэтому, если мы предоставим точке М" возможность движения, она
§15] ВНЕШНЯЯ БАЛЛИСТИКА НЕВРАЩАЮЩЕГОСЯ СНАРЯДА 97
направится к положению равновесия, перейдёт через него, вообще
придёт в колебание, и так как практически всегда имеется трение,
то, в конце концов, точка остановится в положении равновесия. Та-
кой тип равновесия называется устойчивым.
В случае, изображённом на рис. 45, Ь, картина будет другая:
точка под действием сил реакции и поля, в результате сколь
угодно малого толчка, начнёт двигаться от положения равновесия
и уйдёт от него. Равновесие подобного типа называется неустой-
чивым.
Наконец, представим себе случай, когда поверхность связи и
поверхность уровня совпадают. В этом случае сила поля и сила
реакции в любой точке связи равны и противоположны, а, следо-
вательно, точка находится в равновесии в любом месте связи. По-
добного типа равновесие называется безразличным.
Нетрудно представить себе и смешанные типы равновесия. •
Мы видим, таким образом, что расположение поверхностей
уровня по отношению к поверхности связи определяет характер
равновесия.
Так как Ер( Ер’, то, очевидно, условие устойчивости равно-
весия можно формулировать так:
Равновесие точки на связи неустойчиво, если она находится
на поверхности уровня, соответствующей наименьшей возможной
потенциальной энергии.
Аналогично приходим к заключениям:
Равновесие точки на связи устойчиво, если она находится на
поверхности уровня, соответствующей максимальной потенциаль-
ной энергии.
Равновесие безразлично, если поверхность связи совпадает с
поверхностью уровня.
§ 15. Внешняя баллистика невращающегося снаряда. Изло-
женные в этой главе сведения позволяют дать понятие о внешней
баллистике. Можно различать две стадии движения пули или снаряда:
движение в стволе под действием пороховых газов (внутренняя балли-
стика) и движение вне ствола (внешняя баллистика). К внешней бал-
листике относится и движение авиабомб, мин и т. п. В том случае,
когда снаряд вращается, движение не может рассматриваться как
движение точки. Некоторые сведения о влиянии вращения мы дадим
в гл. IV; здесь же мы рассмотрим только движение невращающих-
ся снарядов, причём будем считать их материальными точками.
Рассмотрим сперва случай движения снаряда в поле сил тяжести,
причём пренебрежём пока силой трения снаряда о воздух.Такое прене-
брежение возможно, если скорость снаряда невелика, так как тогда
и сила трения невелика по сравнению с силрй тяжести (стрельба
минами и из короткоствольных орудий, например, гаубиц).
В этом случае полёт снаряда ничем не отличается от уже рас-
смотренного движения материальной точки в поле сил тяжести, а
7 Папалекси, т. I
98
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
(гл. III
следовательно, вполне описывается дифференциальными уравнениями
(3.5). Решение последних (3.6)-мы напишем в несколько иной форме,
более удобной для рассмотрения интересующего нас случая. Пусть (рис.
46) орудие установлено в начале координат, ось z направлена вверх,
ось у — по направлению выстрела; наконец, пусть ствол орудия на-
правлен под углом а к горизонту (так называемый угол возвыше-
ния). Тогда начальная скорость движения имеет компоненты
— (®о)х = °> V2 — (vo)y = vo COS «, ^з = OoL = 'Z’osina-
Уравнения (3.6) принимают вид:
х = 0, j/ = /,u0cosa, z = taosina—(3.37)
Отсюда видно, что движение совершается в плоскости yz* чтобы
найти уравнение траектории движения, исключим из последних двух
уравнений в результате найдём уравнение параболы
z = и tg a
g У2
2 v% cos2 a
Чтобы ответить на вопрос, под
каким углом надо стрелять, чтобы
при начальной скорости снаряда т/0
поразить наземную цель, находя-
щуюся на расстоянии /, положим в
уравнении траектории z=0, у = 1
(координаты цели), откуда найдём
tg a = о 2 - .
ь 2^о cos2a
Решая это уравнение относительно
а, имеем
Пт/
2 sin a cos а = sin 2а = --2- . (3.38)
Таким образом, при начальной скорости, удовлетворяющей
неравенству
v^Vgl,
правая часть больше 1, и не существует такого угла возвышения
орудия, при котором выстрел мог бы достигнуть цели. Наибольшее
расстояние, которого можно достигнуть при данной начальной ско-
рости ^0, определяется из уравнения
т. е. 1 =
g
При этом sin2a=l, т. е. a =45°. Таков угол возвышения, соот-
§ 15) ВНЕШНЯЯ БАЛЛИСТИКА НЕВРАЩАЮЩЕГОСЯ СНАРЯДА 99
ветствующий наибольшей дальности выстрела; сама эта дальность
вычисляется из соотношения
4=i
т. е. равна
J — ^0
max g
То же уравнение (3.38) позволяет определить угол возвышения,
под которым надо направить орудие, чтобы снаряд достиг наземной
цели, находящейся на расстоянии I — конечно, если последнее не
превышает 1та,х- Решая (3.38) относительно sin а, находим
и (X
2
(3.39)
откуда видно, что существуют два угла возвышения, при которых
снаряд достигает данной наземной цели. В артиллерии используются
оба случая. Стрельба с использованием меньшего угла возвышения
называется настильной, другая — навесной} последняя применяется,
когда между целью и орудием имеется препятствие, мешающее
настильной стрельбе.
Нетрудно также вычислить наибольшую высоту, на которую
поднимается снаряд в своём полёте; Для этого заметим, что ско-
рость v в точке наибольшего подъёма имеет компоненту по оси
z, равную нулю (рис. 46). Вычисляя по (3.37) эту компоненту, на-
ходим
; dZ . , л
7й = 1М1П« — gt=Q,
откуда определяем момент времени, в который достигается наи-
большая высота:
__Vq sin а
Внося это в уравнение для z, находим
~ __ ^sin2a
Zmax — z •
о
При выборе в (3.39) знака -f~ находим большее а, а следовательно,
и большее zmaXi что соответствует навесной стрельбе. При выборе
знака — мы имеем угол возвышения для настильной стрельбы.
Скорость, с которой снаряд поражает цель, одинакова в обоих
случаях и равна v0. В самом деле, плоскость Земли есть, как мы
видели, поверхность уровня. Из (3.36) видно, что в точках О и I
7*
100
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. III
равны кинетические энергии, соответствующие в этой формуле точ-
кам М и N; следовательно, равны и скорости в этих точках. Конечно,
такое заключение верно лишь постольку, поскольку мы можем пре-
небрегать силой трения. Легко сообразить, что при учёте силы
трения скорость снаряда у цели меньше, чём у дула орудия; путь,
на котором действует сила трения, меньше при настильной стрельбе,
как это видно из рис. 46, чем при стрельбе навесной. Следовательно,
настильная стрельба имеет в этом отношении преимущество.
Учёт силы трения изменяет наши заключения и в других отно-
шениях. Дальность стрельбы при том же угле возвышения умень-
шается по сравнению с только что вычисленной; уменьшается и наи-
большая высота поднятия снаряда.
Вычисление траектории снаряда при наличии
сил трения представляет весьма сложную задачу,
решение которой не может быть здесь изложено.
Причиной этой сложности является непростая
зависимость силы трения от скорости снаряда.
При не слишком больших скоростях эта зависи-
мость может быть выражена формулой (3.37).
Какова эта зависимость при всех скоростях, вклю-
чая и те большие скорости, которые имеют
современные снаряды, мы будем говорить под-
робнее в гл. X. Пока же упомянем так называемый
квадратичный закон сопротивления, справедливый для скоростей,
не превышающих 250 м)сек\
F= — kv\
(/
Рис. 47.
где k—некоторый постоянный коэффициент, зависящий от формы
и диаметра снаряда. Сила тр.нля в этом случае пропорциональна
квадрату скорости снаряда.
К внешней баллистике относятся и вопросы метания авиабомб.
Пусть самолёт летит горизонтально со скоростью v и на высоте zQ.
Для описания его движения выберем систему координат, изображён-
ную на рис. 47, причём за начало координат возьмём ту точку на
поверхности Земли, над которой летит самолёт в момент выбрасы-
вания бомбы. Начальные координаты и компоненты начальной ско-
рости бомбы таковы: при / = 0, z — zQ, у — Q, vy = v, v2 = 0.
В самом деле, начальная скорость бомбы, очевидно, совпадает
со скоростью самолёта в момент t == 0. Уравнения движения и эти
начальные условия вполне совпадают с рассмотренным выше случаем
движения тела в поле силы тяжести, управляемым дифференциальными
уравнениями (3.5); решения их, как мы видели, имеют вид:
0/2
Основным вопросом бомбометания является определение того
угла а, под которым следует установить прицел, чтобы поразить
§ 15] ВНЕШНЯЯ БАЛЛИСТИКА НЕВРАЩАЮЩЕГОСЯ СНАРЯДА 101
точку I. Чтобы определить его, найдём сперва О/, положив в напи-
санных выше уравнениях у = I, Имеем
l=vt t = — 0—z—^ — z—gl‘2
4 r— v> u— zo— 2’ — W
Отсюда
i=vV^-
и, следовательно,
= i =
Для определения нужного угла прицела у лётчика имеются таб-
лицы, определяющие а по скорости v и высоте г0 полёта; при вычи-
слении этих таблиц учтено и влияние силы трения, которого мы
не принимали во внимание при нашем рассмотрении.
Пробивная сила бомбы тем больше, чем больше скорость бомбы
в момент падения. Для нахождения этой скорости имеем уравнения
vy = v, vs = ^ = —gt = — ^-=V2gza,
и искомая скорость есть
f — V + 2gz0 ,
т. е. тем больше, чем выше и чем быстрее летит самолёт. Однако
на практике, вследствие действия трения, скорость, с которой бомба
поражает цель, не растёт беспредельно с высотой. Чем больше эта
высота, тем больше сказывается влияние силы трения, так как
последняя растёт с увеличением скорости падения и, наконец, ста-
новится практически равной силе тяжести. С этого момента движе-
ние бомбы становится равномерным.
Пикирующий бомбардировщик сбрасывает бомбу в тот момент,
когда летит вертикально вниз. В этом случае нет нужды пользо-
ваться прицелом с переменнЫлМ углом,—лётчик видит цель прямо
под собой; это повышает точность бомбометания. При этих усло-
виях задача сводится к задаче о вертикальном падении тела с некоторой
начальной всргикальйой скоростью v; уравнениями движения будут:
z — z^ — vt у, V— gt.
Отсюда при г = 0, т. е. на земле/
Выражение это такое же, как и в разобраннохм выше случае гори-
зонтально летящего самолёта, но при пикировании скорость само-
102
СТАТИКА И ДИНАМИКА ТОЧКИ
[ГЛ. III
лёта больше, чем
и скорость бомбы
потому вырастает и её
Рис. 48.
Рис. 49.
при горизонтальном полёте; поэтому больше
в момент падения, а
пробивная способность.
Из всего изложенного видно, ка-
кие важные для баллистики величины
представляют собой начальная и ко-
нечная скорости снаряда или бомбы.
Поэтому разработаны многочислен-
ные способы измерения этих ско-
ростей, из которых мы опишем
только немногие.
Для определения скоростей лёг-
ких и тяжёлых пуль употребляется
баллистический маятник, описываемый нами в § 9 гл. V. Для той
же цели служит прибор, изображённый на рис. 48 и представляю-
щий собой два лёгких диска,
насаженных на быстро вертящу-
юся ось. Пуля, летящая в напра-
влении, указанном стрелкой,
простреливает сперва левый
диск, а потом через время
/=-
V
(I — длина оси, v — скорость
пули) простреливает и второй.
За это время диски несколько
повернулись, и точка поражения
лежит уже на радиусе второго
диска, отклонённом на угол 9
от радиуса, параллельного простреленному радиусу первого диска.
Обозначив через угловую скорость вращения, получаем
t
‘ ф
Сравнивая обе формулы, находим
I
v = —.
wcp
Для измерения скорости вращения со считают число оборотов за
несколько секунд, что не представляет затруднений; ошибки такого
способа не превышают 2—3%.
Для больших снарядов или больших скоростей такой способ
становится непригодным. В этом . случае заставляют пулю или
снаряд пролетать через две достаточно удалённые точки, где стоят
регистрирующие момент пролёта приспособления, отмечающие этот
момент на хронографе. Простейшим способом регистрации момента
пролёта является разрыв проволочки, по которой течёт электрический
§ 15]
ВНЕШНЯЯ БАЛЛИСТИКА НЕВРАЩАЮЩЕГОСЯ СНАРЯДА
103
ток. Вследствие такого разрыва прекращается ток в электромагните,
притягивающем перо хронографа, и последнее приходит в движение,
отмечаемое на вращающемся барабане хронографа (рис. 49). Перо
отмечает этот момент, а затем подобная же отметка делается вторым
пером. По расстоянию между образующими цилиндра, проходящими
через отметки, и времени поворота определяют время полёта снаряда
между проволочками, — а отсюда и из расстояния между ними перед-
нюю скорость снаряда. Для измерения времени на хронографе имеется
третье перо, питаемое переменным током известной частоты ср,
например, в 50 периодов в секунду (обычный городской ток). Суще-
ствует много вариантов этого способа, позволяющего измерять ско-
рости современных снарядов с точностью, превышающей 1%.
Обычно скорости современных снарядов (за исключением мин)
превышают скорость звука в 2—3 раза и больше (скорость звука —
около 340 м/сек).
Как мы уже говорили, скорость падения авиабомбы не растёт
беспредельно с высотой, вследствие противодействия силы трения.
Нетрудно рассчитать предельную скорость, которую приобретает
бомба, брошенная с достаточно большой высоты. Для этого будем
исходить из квадратичного закона сопротивления; уравнение дви-
жения будет иметь вид
ma = mg—kv*.
Когда вследствие увеличения, скорости полёта сила трения возрастёт
настолько, что сравняется с силой тяжести, то, как видно из этого
уравнения, ускорение а обратится в нуль, а следовательно, дви-
жение станет равномерным. Итак, предельная скорость определяется
из уравнения
mg — kv* = 0
и равна
т. е. тем больше, чем больше масса снаряда.
Обычные предельные скорости бомб равны приблизительно
200 м/сек.
ГЛАВА IV.
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ.
§ 1. Относительное движение. До сих пор для определения
положения движущейся точки мы пользовались системой отсчёта,
неподвижно связанной с Землёй. Иногда приходится, однако, вести
наблюдения движения на корабле, в поезде и т. п.; при этом есте-
ственно пользоваться системой координат, связанной с каютой
корабля или с вагоном поезда; кроме того Земля, как мы знаем,
не неподвижна. Поэтому, во-первых, возникает вопрос: может ли
система отсчёта выбираться произвольно или же существует «правиль-
ная» система отсчёта? Во-вторых, при помощи каких формул надлежит
переходить от одной системы отсчёта к другой? Например, как,
изучив движение точки по отношению к кораблю, предвычислить,
каково оно будет по отношению к Земле; для этого, конечно, нужно
ещё знать движение корабля по отношению к Земле.
Первый вопрос имеет большое принципиальное значение и связан
с так называемыми принципами относительности, о которых речь
будет ниже. Сначала мы рассмотрим второй вопрос. Будем пред-
ставлять себе две системы отсчёта, движущиеся одна относительно
другой; все числа и наблюдения, относящиеся к первой и второй,
будем обозначать значками ' и например, начала координат
обозначим О' и О". Предположил/ далее, что наблюдатели, ведущие
в О' и О" измерения, имеют одинаково идущие сверенные часы
и договорились одновременно производить определение положения
движущейся точки *), каждый по отношению к своей системе
координат.
Рассмотрим несколько типичных случаев. 1) Поезд идёт по пря-
молинейному участку- пути с постоянной скоростью; его движение
по отношению к Земле поступательное и равномерное. Система
отсчёта О", которую мы представляем себе скреплённой со стенами
одного из вагонов, движется относительно Земли, т. е., относительно
системы О', поступательно, прямолинейно и равномерно. 2) Воз-
1) Вопрос об определении одновременности не так прост, как это кажется
с первого взгляда. Он нами рассматривается ниже, при изложении принципа
относительности Эйнштейна.
§ 2] ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 105
душный шар летит, поднимаясь и уносясь ветром, но не вра-
щаясь, так что наблюдатель в его гондоле видит Солнце в неизмен-
ном направлении. Система О", скреплённая с гондолой шара, дви-
жется по отношению к Земле, вообще говоря, по прямолинейному
пути и с переменной скоростью, но всё же поступательно. 3) Си-
стема О" скреплена с каруселью, равномерно вращающейся. В этом
случае О" движется по отношению к О' так, что все точки её пере-
мещаются с постоянной угловой скоростью по кругам, центры
которых лежат на оси вращения. 4) Поезд идёт по закруглению.
В этом случае система О" перемещается неравномерно и непря-
молинейно, и движение её складывается из поступательного и
вращательного. 5) Пусть О' есть система, скреплённая с Солнцем
и неподвижными звёздами, а система О" скреплена с Землёй.
Земля перемещается поступательно по отношению к Солнцу,
а именно по эллипсридальной орбите, и вдобавок вращается около
оси, направление которой постоянно по отношению к системе О',
т. е. по отношению к неподвижным звёздам; угловая скорость вра-
щения Земли постоянна. 6) Самым общим случаем относительного
движения является тот, когда система О" движется по отно-
шению к О' поступательно и вращательно, причём поступательное
движение криволинейно и неравномерно, а вращательное непо-
стоянно ни по величине угловой скорости, ни по направлению оси
вращения.
Дадим правила перехода от одной системы отсчёта к другой,
т. е. укажем формулы, при помощи которых один из наблюдателей
может вычислить, что наблюдает другой. При этом, очевидно,
первый наблюдатель должен знать, как движется наблюдаемая
точка М и как движется система О" по отношению к систе-
ме О'.
Все наши рассуждения будем вести с точки зрения первого
наблюдателя', в частности, и все рисунки, изображающие движение,
мы будем давать, какими их видит первый наблюдатель.
Рассмотрим сперва случай, когда система О" движется по
отношению к О' поступательно.
§ 2. Перемещение и скорость при поступательном относи-
тельном движении. Оба наблюдателя установят за время А/ разные
перемещения одной и той же движущейся точки М. Пусть (рис. 50)])
в момент точка находится в М\, в момент t2— в Тогда
первый наблюдатель, очевидно, отметит в своей системе координат
перемещение М1М2. Но та отметка 7HJ, которую сделает второй
наблюдатель в своей системе О", будет за время /2 — £1 = А/пере-
0 На рисунке изображены только начала координат и оси х; но так
как система О" движется поступательно относительно системы О', то все
одноимённые оси сохраняют параллельность, и легко себе представить и^
положения.
106
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. IV
несена вместе с этой системой в новое положение (с точки
зрения первого). Поэтому второй наблюдатель найдёт в своей
системе координат перемещение М\'М'2- Следовательно, мы имеем (и
здесь, и ниже — с точки зрения первого!)
М'^'М2 = M[Mi 4-
Вектор ЛЦТИУ, определяющий перенос отметки М[, называется пере-
носным перемещением. Таким образом, мы имеем теорему: переме-
щение точки за AZ по отношению к О' равно сумме переносного
перемещения и перемещения по отношению к О".
Так как мы рассматриваем
, поступательное движение О" по
„ отношению к О', то, очевидно,
* ’ перемещение отметки М\ за вре-
—г." / мя А/ одинаково с перемещением
’ -------за то же вРемя начала коорди-
. 2 нат, т. е.
/Q' * —г —п—ъ
М\М' =О{О^
где О1С>2есть перемещение, каким
Рис* его измеряет первый наблюда-
тель.
Вектор Л41Л12 мы можем обозначить через А'г' = г2'— г[. Это
есть то изменение, которое первый наблюдатель находит для своего
радиуса-вектора г. Вектор мы обозначим через А'г^. Это —
то перемещение, которое находит первый же наблюдатель для
движения отметки М\, сделанной вторым наблюдателем в его
системе О". Наконец, М^АДэ мы обозначим через А "г". Это-—то
перемещение, которое находит второй наблюдатель, сравнивая свои
два радиуса-вектора: г'', за время А/ перешедший вместе с О" из
положения OiM'i в положение O'zM'z, и гъ т. е. О^М’ъ.
Последнее равенство напишется поэтому так:
А У = А/;А"г".
(4.1)
Деля (4.1) на А/ и переходя к пределу, найдёлМ
d'r1 d'r’ . d"r"
dt ~ dt ‘ dt ’
иди же
?’= У'е + V",
(4.2)
§ 3] ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ПЕРЕНОСНОЕ ДВИЖЕНИЕ 107
где v’ и v"— скорости движения точки М, какими их находят
первый и второй наблюдатели; и
V'e = lim — нт
м[м';
Д/
есть переносная скорость отметки М\, какой её находит первый.
Таким образом, имеем теорему: скорость перемещения точки по
отношению к О' равна сумме переносной скорости и скорости
точки по отношению к О". При этом переносную скорость мы
можем определить либо по скорости движения отметки ЛЦ, либо
по скорости движения О" по отношению к О'.
§ 3. Ускорение в случае поступательного переносного дви-
жения. При изучении ускорения в относительном движении рас-
смотрим сперва простейший случай, когда вторая система О" дви-
жется относительно первой прямолинейно и равномерно; траектория
этого движения (рис. 51) есть прямая MN. Каждый из наблюдателей
строит себе в своей системе годо-
граф скоростей для моментов tr
и = kt. Годограф первого
наблюдателя есть О'В[С\\ найден-
ное им изменение скорости есть
В£\ = Д V = ^2 — 01-
Второй наблюдатель, находящий-
ся в момент tr в точке О\, отметит Рис. 51.
себе скорость движущейся точки в
виде вектора t/j (не изображённого на рис. 50). Через промежуток Д/ его
система перенесётся в точку Оа, и вместе с ней (вследствие поступатель-
ности переносного движения) перенесётся параллельно самому себе от-
меченный им вектор который займёт положение Кроме
того, наблюдатель в О2 отметит и скорость v'2 в момент Д/,
изображённую на рис. 51 в виде отрезка O2D2. Но, как мы
видели выше, скорости v\ и ^2, найденные первым наблюдателем,
суть суммы переносной (в рассматриваемом случае постоянной)
скорости ver и скоростей, наблюдаемых вторым наблюдателем
О2С2 --V2 -- O2D2 -|- D2C2 == 02 *4“ 0£>
О2 = v’l = v'i 4- 0е-
Поэтому, вычитая, имеем
01 — 01 = Д'0' = (02 + 0г) — (0? 4“ 0^) = 02 — 07 = Ам0,г,
т. е. приращения скоростей, нахосимые обоими наблюдателями,
108
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ. IV
равны, а так как они, пользуясь тождественными часами, найдут
и одинаковые промежутки времени между своими наблюдениями, то
Д'®'_Д"®"
"дГ “дГ“ ’
а следовательно, переходя к пределу, найдём и равенство ускорений
а' = а”.' (4.3}
Несколько иначе пойдёт наше рассуждение, если переносное
движение, оставаясь поступательным, будет непрямолинейно и не-
равномерно. В этом случае скорости переносного движения в мо-
менты tv и будут различны, и хотя вектор попрежнему будет
переноситься параллельно самому себе, формулы наши примут
иной вид:
^2 = ^2 4“ = “Ь ^2»
®2 — v'i = (^2 —^1)4“ (^2 — ^1) =
Деля на А/ и переходя к пределу, найдём
а" = а" -\-а'е, (4.4)
т. е. ускорение точки, измеренное в первой системе отсчёта,
складывается из ускорения, измеренного во второй системе отсчёта,
и переносного ускорения второй системы относительно первой.
§ 4. Законы механики в системе, движущейся поступательно.
Инерциальные системы отсчёта. Изложенные выше рассуждения
были чисто кинематического характера. Возникает вопрос: какой
вид примут уравнения механики в системе О", если она движется
поступательно по отношению к системе О', наблюдатель которой
установил, что в его системе справедливы законы Ньютона? Такой
вопрос имеет, во-первых, чисто практическое значение. Мы знаем,
например, что по отношению к Земле мы со значительной степенью
точности установили справедливость законов Ньютона. Спрашивается,
будет ли сохраняться справедливость этих законов на летящем
дирижабле, самолёте, на лифте, в поезде и т. п. ? Ведь во всех
этих случаях наблюдатель будет производить все наблюдения по
отношению к стенам кабины самолёта, лифта и т. д., т. е. его
система отсчёта О" будет находиться в движении по отношению
к той, для которой в системе Земли установлена справедливость
законов механики Ньютона.
Пусть наблюдатель в О' установил, что в его системе отсчёта
справедливы законы Ньютона и все действующие силы зависят
только от взаимных расстояний. В такой системе уравнение движе-
ния точки будет иметь обычный вид
m'a' = R’, (4.5)
где R'— равнодействующая всех сил, действующих на данную точку.
§ 4] ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 109
*
Чтобы ответить на вопрос, какое уравнение движения найдёт
наблюдатель в О", первый наблюдатель будет рассуждать так:
1) Второй наблюдатель будет иметь ускорение, подчиняющееся
соотношению (4.4).
2) Второй наблюдатель будет находить действующие силы той же
величины, что и наблюдатель в О', так как силы зависят только
от расстояний, а расстояния оба наблюдателя измеряют в одно и
то же время линейками, предварительно сверенными между собой,
и получают одинаковые результаты. Третий закон Ньютона также
сохранится для обоих наблюдателей; например, для наблюдателя
в поезде пол вагона давит на предмет, стоящий на нём, с такой же
силой, как и этот предмет давит на пол.
3) Первый наблюдатель сделает естественное предположение,
что масса движущейся точки и для обеих систем отсчёта изме-
ряется одним и тем же числом т'.
Поэтому, так как
а'=а”-}-ае,
то, внося эти величины в (4.5), мы найдём, какое уравнение дви-
жения будет иметь силу для второго наблюдателя. Мы находим в
результате этой подстановки
т”а" = R" — т" de. (4.6)
Иными словами, уравнение движения точки для второго на-
блюдателя, движущегося вместе с О" поступательно, имеет иной
вид, чем для первого. И если бы второй наблюдатель пожелал со-
хранить обычную формулировку второго закона Ньютона, то он
должен был бы прибавить к действующим на точку силам R4 ещё
силу пГа’е, одинаковую для всех случаев движения и отличаю-
щуюся от сил R" тем, что она не исходит ни от какого другого
тела. Или же второй наблюдатель должен принять, что второй за-
кон Ньютона не соблюдается для его системы отсчёта. Единствен-
ный частный случай, когда в системах обоих наблюдателей будет
справедлив второй закон Ньютона, соответствует равномерному
прямолинейному поступательному движению О" относительно
системы О', так как в этом случае <4 = 0, причём, очевидно, без-
различно, какова переносная скорость движения.
Системы отсчёта, в которых справедливы законы Ньютона,
получили название инерциальных. Такова прежде всего система,
применяемая в астрономии; в ней началом координат служит центр
Солнца, а оси направлены к некоторым избранным «неподвижным»
звёздам. Что в этой системе отсчёта справедливы законы Ньютона,
показывают все астрономические наблюдения: движения всех планет
и подвижных звёзд, измеренные по отношению к этой системе,
ПО ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ [гл. IV
совпадают с большой степенью точности с движениями их, вычис-
ленными на основании законов Ньютона.
С меньшей степенью точности можно считать инерциальной си-
стему отсчёта, скреплённую с Землёю, так как Земля вращается от-
носительно системы небесного свода. Однако, те изменения, кото-
рые вносятся вращением Земли в законы механики, невелики, т. е.
те добавочные члены, которые надлежит внести в уравнения Нью-
тона, чтобы привести их в согласие с наблюдаемыми на Земле
явлениями, — невелики, по сравнению с силами R" в (4.6), а потому
ими можно пренебрегать во всех инженерных расчётах и почти во
всех физических наблюдениях, за исключением колебаний маятника
Фуко и нескольких других явлений, о которых речь будет итти
ниже. Поэтому, например, Галилей и мог установить справедливость
второго закона из своих опытов.
Изложенное выше приводит нас к заключению, что все инерциаль-
ные системы одинаково правомерны в том смысле, что для всех их
существует возможность пользования законами Ньютона.
Поставим теперь себе такой вопрос: как установить, что система
отсчёта, которую мы себе выбираем для опытов, есть правильная,
инерциальная система? Если, например, мы находимся на воздуш-
ном шаре в облаках, в подводной лодке и т. д., то какими опытами
мы установим, что применяемая нами система отсчёта инерциаль-
ная и мы имеем право применять к изучению наблюдаемых нами
явлений ньютоновы законы.
Если бы мы могли видеть из нашей системы Солнце и звёзды,
то вопрос мог бы быть решён непосредственным наблюдением дви-
жения их относительно нашей системы: если Солнце и звёзды по
отношению к нашей системе движутся прямолинейно и равно-
мерно, то наша система инерциальна. В самом деле, очевидно, в
этом случае система движется относительно системы небесного
свода прямолинейно и равномерно, а следовательно, она инерци-
альна.
Если же наблюдение небесного свода почему-нибудь невозможно,
то мы могли бы установить инерциальность или неинерциальность
нашей системы и внутри её, а именно наблюдением движения какого-
либо тела, свободного от действия сил, исходящих от других близ-
ких тел. По (4.6) такое тело в инерциальной системе должно
было бы двигаться прямолинейно и равномерно, так как R" в этом
случае должно равняться нулю. Но, очевидно, с другой стороны,
что таким образом установить величину и направление скорости
движения нашей системы относительно системы неподвижных
звёзд невозможно. Обобщая это замечание, мы приходим к выводу,
что нельзя установить, движется ли в пространстве система
отсчёта, связанная с «неподвижными звёздами». Более того,
вопрос не имеет и смысла, так как не установлено, по отношению
к чему в пространстве надо производить измерения для определения
§ 5] НЕИНЕРЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ОТСЧЕТА 111
скорости системы небесного свода. Таким образом, мы приходим
к так называемому принципу относительности Галилея^}, утвер-
ждающему, что наблюдениями внутри инерциальной системы нет
возможности установить, движется ли она прямолинейно и равно-
мерно относительно другой инерциальной системы и какова ско-
рость её движения относительно этой другой системы.
§ 5. Неинерциальная система отсчёта. Силы инерции. Рас-
смотрим теперь формулу
m”a" = R'' — т"ае. (4.6)
Как мы уже сказали, наблюдатель, находящийся в системе О", дви-
жущейся по отношению к инерциальной системе О', обнаруживает,
согласно этой формуле, кроме силы R", которую мы условимся
называть ньютоновой силой, ещё и новую силу — т"ае, которая
получила название силы инерции. Оба вида сил существенно раз-
личаются. Ньютонова сила обусловлена наличием соседних к точке
т' т^л, и наблюдатель в О" всегда может тем Или иным способом
установить это обстоятельство. Но он не найдёт никаких тел, вызы-
вающих силу — т"ае. Сила эта пропорциональна массе движущейся
точки, и в этом её сходство с силой тяготения, отличающейся от
неё только тем, что сила тяготения обусловлена наличием притяже-
ния определённого тела, например, Земли.
В качестве примера рассмотрим явления, наблюдаемые в лифте
(рис. 52). Пусть лифт свободно падает с ускорением g. Легко видеть,
что наблюдатель в лифте не будет испытывать дей-
ствия силы тяжести. В самом деле, сила /?" со-
стоит, вообще говоря, из двух сил: силы тяже-
сти, равной при выбранной на рис. 52 системе ко-
ординат — m"g, и силы инерции, равной mng,
так как ае = — g. Таким образом, имеем
т"а" = О,
т. е. точка т" либо будет находиться в покое
(относительно О"), либо будет двигаться пря- Рис. 52.
молинейно и равномерно. Наблюдатель в лифте,
подпрыгнув, будет двигаться вверх (относительно О") прямоли-
нейно и равномерно, вода не будет выливаться из опрокинутого
стакана, маятник либо будет находиться в покое, либо будет равно-
мерно вращаться около точки подвеса и т. п.
Но если лифт затормозить, т. е. сообщить ему добавочное уско-
рение вверх, то наблюдатель в йём тотчас же обнаружит наличие
*) Сам Галилей, как мы уже сказали выше, не обращал внимания на
используемую им систему отсчёта, приведённое выше название дано Эйн-
штейном, обобщившим этот принцип и пришедшим к так называемому
специальному принципу относительности,
112 ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ [гл. IV
добавочной силы тяжести, так как если ае направлены вверх, на-
пример, равно 4, то
т"а" — — tn"g 4~ т"А = — т" (g — 4),
т. е. точка т" испытывает силу «тяжести» g— А. В случае пере-
хода лётчика из пикирующего в горизонтальный полёт вертикальная
компонента ускорения g—А достигает иногда 10^; на массу т"
в этом случае действует громадная сила lOm'g, в 10 раз превы-
шающая силу земного тяготения и вызывающая весьма болезненные
ощущения. Подобные, но меньшие силы инерции испытывают па-
рашютист в момент распускания парашюта, пассажир во время рез-
кого торможения вагона и т. п. Все эти силы инерции играют в ме-
ханике ускоренной системы О" такую же роль, как и ньютоновы
силы тяготения. Уравнение (4.6) имеет вид обычных уравнений
Ньютона с добавлением лишь силы инерции, пропорциональной, как
и силы тяготения, массе.
§ 6. Центробежные силы инерции. Рассмотрим теперь случай,
когда система О” вращается относительно инерциальной системы О’.
Предположим, что угловая скорость этого вращения постоянна и
вращение совершается около оси z (рис. 53), направленной вверх
перпендикулярно к плоскости рисунка. Если точка т покоится по
отношению к вращающемуся вместе с системой О" наблюдателю,
то наблюдатель в инерциальной системе О' (с точки зрения ко-
торого мы изображаем явление) увидит, что точка вращается по
кругу радиуса ОМ. Чтобы осуществить такое движение, наблю-
дателю необходимо иметь нить, удерживающую точку т на окруж-
ности с силой R' = , направленной к центру (реакция связи);
©уравнение движения будет иметь вид
ш'а'= — /?',
как это вытекает из ньютоновской механики. Но
наблюдатель в О" найдёт, что точка т имеет
для него ускорение, равное нулю, и отсюда за-
ключит, что силы, действующие на т, уравнове-
шиваются. Но одну силу — натяжение нити — он,
Рис. 53. несомненно, может обнаружить по её растяже-
нию. Поэтому он придёт к заключению, что
в его системе на точку т действует ещё какая-то сила, равная по
величине натяжению нити и направленная от центра. Уравнение
движения, которое он напишет, желая сохранить ньютонову меха-
нику, будет иметь вид
та" = —R" /" = — /? +
причём /" = /?'= . ОЛШ*. (4.7)
Сила /" и есть центробежная сила инерции.
§ 7]
СИЛЫ ИНЕРЦИИ КОРИОЛИСА
113
Примером подобной силы может служить центробежная сила
вращения Земли. Известно, что тело на экваторе весит меньше, чем
в других широтах. Земля не есть инерциальная система, так как она
вращается по отношению к системе небесного свода О' с угловой
скоростью, равной одному обороту в сутки, т. е.
о/ = —= 7 3 • 10“б.
86 400 ’
Полагая, что мы находимся на экваторе, т. е. что 0/14 = 6,3 • 108,
найдём
Г = т • 6,3 • 108 • (7,3)2 • 10’10 = 3,36 /п.
По сравнению с силой земного тяготения т • 981 величина эта очень
мала и составляет от неё около Уз0/^ Земной наблюдатель скажет, что
на экваторе вес тела уменьшается на ^зУо п0 сравнению с его
весом на полюсе. Масса же тела, конечно, остаётся неизменной —
различие между понятием массы и веса в этом примере выступает
весьма ярко.
Та же центробежная сила инерции вызывает отклонение отвеса
от направления к центру Земли. В самом деле (рис. 54), для
точки Л4, находящейся на широте а, сила
и направлена по радиусу; центробежная
сила инерции MQ равна
MQ = 3,36 • т • cos а.
Нетрудно определить отсюда и угол SMP:
SMP^ 1,6 sin 2а.
тяжести равна т • 981
инерциальной системы
сила инерции,
§ 7. Силы инерции Кориолиса. Если
точка М не покоится во вращающейся си-
стеме О", но движется, то кроме центро-
бежной силы инерции, зависящей только от
угловой скорости системы О" относительно
О', наблюдается ещё и так называемая кориолисова
зависящая от скорости v" точки Л1 по отношению к О".
Сила эта, как показывает довольно сложный, а потому опущен-
ный нами расчёт, направлена перпендикулярно к оси вращения и ско-
рости v", отмечаемой вторым наблюдателем, находящимся во вра-
щающейся системе; величина кориолисовой силы есть
— 2/n[toV']. (4.8)
Она обращается в нуль в двух случаях: во-первых, когда точка
покоится по отношению к наблюдателю, находящемуся во вращаю-
щейся системе (v" = 0); во-вторых, тогда, когда движение точки
направлено для этого наблюдателя параллельно оси вращения
(»' II v").
8 Папалекси, т. J
114
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
[гл. IV
Для земного наблюдателя центробежная и кориолисова силы
инерции, вообще говоря, невелики. Какова центробежная сила, мы
указали выше; теперь определим приближённо величину силы Ко-
риолиса в том случае, когда она особенно велика, например, для
полёта пули и снаряда. Представим себе, что мы стоим на экваторе
и стреляем по направлению с востока на запад, причём начальная
скорость пули равна 800 м/сек. В этом случае т. е. вели-
чина вектора (<о' • ф"] равна произведению модулей а/ • v". В нашем
примере находим
9 • <о',и" = 2 • 7,3 • IO’3 - 8 - 104^ 11,6,
т. е. около 1°/0 от ускорения силы тяжести. Понятно, что при ско-
ростях автомобиля, поезда, летящего камня можно не учитывать
влияния этой силы, и тем более она не могла быть обнаружена
в опытах Галилея, который в пределах доступной ему точности
мог считать формулированный им второй закон механики верным.
Однако, артиллеристы уже должны учитывать ускорение и силу
Кориолиса, так как при больших дальностях полёта снаряда и ма-
лое ускорение даёт значительное смещение точки попадания. Согласно
правилу образования векторного произведения, мы видим, что в на-
шем случае выстрела в западном направлении снаряд должен от-
клоняться вниз (рис. 55); если бы выстрел был произведён с запада
на восток, то уклонение от параболического полёта было бы вверх.
Вторым важным примером действия силы Кориолиса является
размывание правых берегов рек, текущих с севера на юг и с юга
на север в северном полушарии. Здесь вектор [coV'], как это видно
на рис. 56, направлен на восток, а, следовательно, — 2 [coV']
имеет направление на запад. При реке, текущей в северном же
полушарии, но с юга на север вектор кориолисова ускорения будет
направлен на восток; но в обоих случаях с левого берега реки на
правый. В южном же полушарии будут размываться левые берега
рек; и, наконец, на экваторе ускорение Кориолиса равняется нулю
§ 7]
СИЛЫ ИНЕРЦИИ КОРИОЛИСА
115
потому, что to' и у" становятся параллельными для реки, текущей
по меридиану. Эти явления были открыты Бером, почему существо-
вание этого размывания и получило название
закона Бера,
Наконец, обратимся к важнейшему явле-
нию, открытому Фуко и подтверждающему
весьма наглядно, что, строго говоря, систе-
ма наблюдателя, связанного с вращающейся
Землёй, неинерциальна, именно главным об-
разом вследствие наличия этого вращения.
Представим себе маятник, качающийся на север-
ном полюсе Земли. Если бы Земля была непо-
движна по отношению к системе небесного свода,
то можно было бы, дав маятнику подходящий толчок, заставить
его качаться в неизменной плоскости, проходящей через любой ме-
ридиан. Совсем иное происходит во вращающейся системе; здесь,
как и в рассмотренном выше случае реки, текущей по меридиану,
наблюдается ускорение Кориолиса.
Пусть (рис. 57, вид сверху) v" есть направление движения
маятника при толчке, сообщённом ему в положении равновесия. Со-
гласно вышесказанному, ускорение Кориолиса будет направлено как
показано на чертеже, и несколько отклонит путь маятника вправо,
если смотреть сверху (рис. 57 изображён с точки зрения наблю-
дателя, вращающегося с Землёй!). В точке Q наибольшего удаления
маятника от положения равновесия сила Кориолиса также равна
нулю; плоскость качания маятника сохраняется по отношению
к инерциальной системе небесного свода, но поворачивается для
вращающегося наблюдателя; поэтому маятник в этой точке описы-
вает изображённую на рис. 57 петлю. Происхождение этой петли,
вращающейся с Землёй, наблюдатель мог бы попытаться объяснить
тем, что он неправильно толкнул маятник, если бы этот толчок
был дан не в положении- равновесия. Но такой толчок заставил бы
маятник двигаться в инерциальной системе по эллипсу, сохраняю-
щему неизменное положение (конический маятник), а не по розетке,
изображённой на рис. 57. Следовательно, никаким неудачным толч-
ком нельзя объяснить такую траекторию маятника; но она получает
полное объяснение, если принять во внимание силы инерции, обу-
словленные вращением Земли.
Мы видим, таким образом, что опытом на самой Земле мы
имеем возможность установить её вращение относительно инер-
циальной системы координат. Установить же величину и направле-
ние скорости её поступательного движения относительно инерци-
альной системы мы не имеем возможности.
8*
ГЛАВА V.
МЕХАНИКА СИСТЕМЫ
§ 1. Система точек. Внутренние и внешние силы. Уравнения
движения системы. Всякое тело или совокупность тел механика
рассматривает как систему материальных точек, связанных между
собой силами взаимодействия и кинематическими связями, нахо-
дящуюся под действием внешних сил. Например, неизменяемое твёр-
дое тело мы рассматриваем как систему точек, взаимное располо-
жение которых остаётся неизменным, какие бы большие силы ни
действовали на тело.
Выше (гл. III, § 8) мы уже пояснили, что кинематические
связи могут быть рассматриваемы как результат действия весьма
больших сил упругости, всегда появляющихся даже при весьма
малых деформациях тел. Вода, налитая в стакан, или газ, заклю-
чённый в замкнутом объёме, также является совокупностью ма-
териальных точек — молекул — связанных между собой силами
взаимодействия и подверженных ещё действию внешней силы —
силы тяжести, а также и других внешних сил, исходящих от моле-
кул, образующих стенки сосуда. Наконец, планеты, составляющие
нашу планетную систему, с Солнцем в центре её, мы почти всегда
можем рассматривать как материальные точки, образующие единую
систему и действующие друг на друга внутренними силами взаимо-
действия (тяготения) и, сверх того, подверженных действию внеш-
них сил, исходящих от других небесных тел.
Какие тела системы можно считать материальными точками —
зависит от характера рассматриваемого вопроса. Например, рассма-
тривая движение Луны вокруг Земли, мы считали Луну за матери-
альную точку, и это позволило нам установить существенные черты
движения Луны вокруг Земли, не прибегая к сложным вычислениям;
в других случаях и тело меньшего размера нам приходится считать
системой точек, например, когда мы рассматриваем изгиб стержня
или растяжение пружины.
В такой же мере условно и определение системы точек. Мы мо-
жем, например, рассматривать совокупность Земли и Луны как систему
двух точек, если нас интересует движение этой системы вокруг
Солнца. Но если мы захотим учесть движение Солнца под действием
§ И
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
117
притяжения планет, то и Солнце мы причислим к рассматриваемой
нами системе.
Таким^эбразсм, при рассмотрении той или иной механической
задачи мы должны прежде всего условиться, какие тела мы считаем
за точки и какие точки мы причисляем к нашей системе. При этом
все силы, действующие на любую точку нашей системы, мы разде-'
лим на две группы: силы внутренние, или силы взаимодействия,
обусловленное действием на рассматриваемую точку других точек
нашей системы, и силы внешние, обусловленные действием тел, не
входящих в состав нашей системы. Условимся нумеровать точки
нашей системы при помощи нижних знаков, например Мр, обозна-
чим равнодействующую внешних сил, действующую на эту точку
через Re, условимся, далее, обозначать внутреннюю силу, действую-
щую на нашу точку Mz со стороны точки Mk через Fik; наконец,
массу рассматриваемой точки /Mz обозначим через mif а ускорение,
получаемое ею под действием всех действующих на неё внешних
и внутренних сил, — через aL. Тогда, на основании второго закона
Ньютона, мы можем написать
mflt = Ri -Ь Fn + Fit + . .. + Fin,
где n — общее число материальных точек рассматриваемой системы.
Это же можно сокращённо написать так:
п
(5.1)
/2^1
причём только нужно помнить, что среди внутренних сил нет
силы Fa, т. е. силы, действующей на точку mz со стороны её са-
мой. Вспомним далее, что, по третьему закону Ньютона, сила, дей-
ствующая на точку со стороны точки Mk, т. е. Fik, равна и
противоположна силе, действующей со стороны точки Mk на
точку Mif т. е. силе Fki. Поэтому
Pik~eFki = 0 или Fik = — Fki, (5.2)
что выражает математически весьма важное свойство внутренних
сил.
Уравнение, подобное (5.1), мы можем написать и для любой
другой точки рассматриваемой системы, и тогда вместо одного
уравнения движения, которое у нас имелось в механике точки, по-
лучим п уравнений движения. Рассмотрим, например, движение си-
стемы Земля—Луна под действием их внутренних сил притяжения
и силы притяжения R, исходящей от Солнца. Обозначив массы
Земли и Луны через тг и т2, получаем два уравнения:
= R -J- F12, т2а2 — R --j- F2l — R — F12.
118
МЕХАНИКА СИСТЕМЫ
[гл. V
Если же мы причислим к системе ещё и Солнце, то сила R не
будет считаться заданной как внешняя сила, а явится силой внутрен-
ней. Обозначив массу Солнца через т3, получим теперь три урав-
нения:
=== ^*12 4" Лз, ^2^2 == ^21 4~ ^*23> ^3^3 === ^*31 4” ^*32,
причём
4“ ^21== о* ^23 4~ ^32=f3i4-f13 = o.
Подобным же образом пишутся уравнения движения в любом дру-
гом примере; при этом, конечно, предполагается, что система отсчё-
та, избранная нами, есть система инерциальная.
Очевидно, число векторных уравнений, которые мы можем таким
образом составить, равно числу точек системы. Если же мы каждое
такое уравнение запишем в координатах, то оно изобразится в виде
трёх уравнений; так, при числе точек системы равном п, мы будем
иметь всего 3/г уравнений. Поэтому мы говорим, что система п точек
имеет Зп степеней свободы. Чтобы иметь возможность решить
задачу, формулированную этими уравнениями, надо знать, во-пер-
вых, как выражаются в координатах компоненты равнодействую-
щей внешних сил, во-вторых, как выражаются в координатах
компоненты всех внутренних сил и, наконец, начальные условия,
т. е. координаты и компоненты скоростей всех п точек системы
в определённый момент времени, например, при / = 0. В меха-
нике показывается, что в этом случае уравнения движения имеют
решение и притом единственное.
Однако, нахождение решения представляет весьма трудную, а по
большей части и неразрешимую задачу. Поэтому весьма важно, что
существует ряд теорем механики, применением которых мы можем,
не решая задачи до конца, установить некоторые общие свойства
движений любой системы и, в частности, неизменяемого твёрдого
тела, которое, как было указано выше, можно рассматривать как
систему точек.
Когда мы наблюдаем полёт камня или палки, то мы замечаем, что
полёт этот напоминает полёт материальной точки, с той, однако,
разницей, что камень ещё и вращается. Подобное явление на-
блюдается и при полёте изменяемой системы; например, верёвка,
брошенная в воздух, хотя и изменяет свою форму в полёте, но
всё же можно заметить, что полёт её в общем похож на полёт
камня и палки. Такие наблюдения, естественно, приводят к выводу,
что имеется некоторая точка (может быть, и не являющаяся одной
из материальных точек системы, а чисто геометрическая), полёт
которой подчиняется законам полёта материальной точки в поле
силы тяжести. Те общие теоремы, о которых пойдёт речь ниже,
действительно устанавливают наличие некоторой точки, движение
которой таково, как если бы все силы, действующие на отдельные
§ 2]
ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ
119
точки тела, были сосредоточены в одной этой точке. Такая точка
называется центром инерции.
§ 2. Теорема о движении центра инерции. Рассмотрим про-
стейшую систему, состоящую из двух точек с массами ти на
которые действуют внешние силы Rv R* и которые ещё действуют
друг на друга с силой F12 (внутренняя сила). Для дальнейшего
нашего рассуждения безразлично, будут ли эти две точки связаны
кинематической связью (например, невесомым и неизменяемым стерж-
нем) или нет. И в этом случае мы, как было сказано ранее, можем
представить себе эту связь заменённой силами взаимодействия.
Уравнение движения первой точки может быть написано на основе
законов механики точки
^1^1 --“Т 12’
где F12 есть впутрог ия сила, действующая на
точку /.I со стероны точки ТИ2. Для второй
точки имеем
Складывая оба уравнения и замечая, что, на основании третьего за-
кона, внутренние силы равны и противоположны, т. е. что
найдём
т±аг = Ri + Я2.
Существенно отметить, что внутренние силы из этого уравне-
ния выпали. Но, по определению ускорения, имеехм
_____ __ rf2r3
ai — dt* ' ’ а‘2 — dt* ’
где г2 — радиусы-векторы точек Mlf в системе координат,
избранной нами для отсчёта. Поэтому наше уравнение можно на-
писать так:
/п1О1 + т3а2 = /И! —t- + /и3 ~ (mjy -f- m.ir.1)=Rl = R.
Уравнение это совершенно совпало бы с уравнением движения
одной точки 7И, если бы удалось подобрать такую массу М этой
точки и такое положение, т. е. такой радиус-вектор г, чтобы
было удовлетворено условие
т1г1 + ^2Г2 =
Положим, М = тх-\-т^, тогда предыдущее уравнение можно напи-
сать так:
d*Mr .. d*r п
(5.3)
120
МЕХАНИКА СИСТЕМЫ
[гл. V
Из рис. 58 видно, где лежит точка М, положение которой удо-
влетворяет написанному выше требованию. Выберем на отрезке
М1М<2 такую точку /И, чтобы.
MlM пи л. ....
или *т' =Л1Ж2'т*
Как видно из рисунка, векторы, входящие в это равенство, можно
написать так:
NlxNl = г — ЛШ2 = г2 — г.
Поэтому имеем
(г — rj тх = (г2 — г) ш2
или
__ 4- г2^з Г1/«1 + г2т2 /к л \
Г М mt-\-m2 ' \ • )
Итак, такая точка найдена: она получила название центра масс
или центра инерции. Мы приходим, таким образом, к теореме о дви-
жении центра инерции: центр инерции системы движется так, как
если бы в нём были сосредоточены все внешние силы, действующие
на отдельные точки системы, а масса его была бы равна сумме всех
масс системы.
Правило нахождения центра инерции системы из двух точек со-
вершенно совпадает с известным правилом нахождения центра тяжести
этой системы; нужно только представить себе, что на точки ЛЦ и Л42
действуют параллельные силы m}g и m^g. Поэтому и для вычисле-
ния положения центра тяжести можно применить формулу (5.4).
Надо, однако, отметить следующее обстоятельство. Если рассма-
триваемая система неизменяемая, то, согласно известному выводу
о сложении двух параллельных сил, действующих на твёрдое тело,
их действительно можно заменить одной R = Rr Действующей
в центре тяжести; если же речь идёт об изменяемой системе двух
точек, то такой замены в действительности сделать нельзя. Но это
не подрывает правильности нашей теоремы, так как в ней такого
действительного перенесения и не требуется. '
Нетрудно распространить нашу теорему на любое число точек.
Для этого надо дать сперва общее определение понятию центра
инерции. Условимся находить его так: найдя центр инерции Л1 первых
двух точек и ТИ2, найдём затем центр инерции точки М и третьей
точки 7И3. Мы имеехм
г + m2rs
пи
Новый центр инерции г найдётся, очевидно, по той же формуле
,_тг +
Г ~~ ~tn -f пц •
§ 2] ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ 121
Вставляя сюда значения т и г, находим
г> + W3r3
Отсюда видно, что и вообще центр инерции (и центр тяжести
системы) п точек находится по формуле
_+ + _IXf/_____^miri /5 лч
^1 + ^2 + ••• + тп £т. М * 1 }
где Л4, очевидно, масса всей системы. Формулу эту легко напи-
сать и в координатах х, у, z
x = у = ^р, z = (5.5)
М ’ м м v 7
Перейдём теперь к доказательству теоремы о движении центра
инерции для п точек. Для этого напишем уравнения движения каждой
из точек.системы
miai = 4~ 4- Л3 4" • • • + Лл,
/п2а2 == 4- Foi 4" -^23 4~ • • • 4"
тпап — Rn-\-Pnl + Л12 + • • • + п-V П-
Сложив все эти уравнения и заметив, что все внутренние силы
системы попарно уничтожаются (например f23 -j- ^32 — 0) > найдем
т1а1 + Н~ • • • ~Ь тпап = Ri + Rv • • + Rn’
или м J = R, (5.6)
чем и доказана теорема о движении центра инерции для системы
п точек.
Отсюда мы видим, что, действительно, камень, палка, клубок
верёвки летят в поле силы тяжести так, что движение их центра
тяжести совершается как движение точки с массой М = ^ть на
которую действует сила R—^Riy равная весу всего тела.
Заметим, что наша теорема получена только вследствие того,
что из выражения сил выпали все внутренние силы, по третьему
закону Ньютона равные и противоположные. Поэтому на согласие
теоремы о движении центра инерции с опытом надлежит смотреть
и как на лишнее подтверждение третьего закона.
Если внешние силы отсутствуют или взаимно уравновешиваются,
то ускорение центра инерции есть нуль, а, следовательно, он либо
122
МЕХАНИКА СИСТЕМЫ
[гл. V
находится в покое, либо движется прямолинейно и равномерно
(по отношению к инерциальной системе отсчёта). Это следствие на-
шей теоремы объясняет ряд известных явлений. Находясь на тележке,
которая стоит на весьма гладких рельсах, мы не можем никакими
своими движениями заставить её перекатиться на другое место на
сколько-нибудь значительное расстояние, так как равнодействующая
внешних сил—тяжести и сопротивления опоры — есть нуль. Наши
перемещения по тележке не могут изменить положение центра инер-
ции (в данном примере можно говорить-1-центра тяжести), всегда
находящегося посреди точек системы; они могут только перерас-
пределить расположение масс системы относительно центра инерции.
Поэтому, перейдя на один конец тележки, мы только несколько пере-
местим её по рельсам.
Однако, соскочив с тележки в одну сторону вдоль рельсов или
находясь на тележке, но бросив в эту сторону камень, мы приведём
тележку в движение в противоположном направлении: камень и те-
лежка начнут двигаться в противоположные стороны, но, конечно,
так, что центр инерции останется в покое, ибо мы действовали на
камень внутренними силами.
Теорема о движении центра инерции объясняет, почему справед-
ливо сделанное нами предположение о том, что летящий снаряд можно
рассматривать как точку. В самом деле, эта точка и есть центр
инерции снаряда. То же относится и к авиабомбе.
Когда снаряд зенитного орудия разрывается в воздухе, осколки
его разбрасываются внутренними силами пороховых газов, а, следо-
вательно, его центр инерции сохраняет в точности прежнее движение.
Отдача орудия при выстреле объясняется таким же образом.
Наконец, движение ракеты также становится понятным с точки
зрения закона о движении центра4 инерции: газы, вылетающие из неё,
выбрасываются внутренними силами; чтобы сохранилось движение
центра инерции, необходимо при наличии движения выбрасываемых
газов в одну сторону, чтобы тело ракеты двигалось в другую
сторону.
§ 3. Теорема о количестве движения. Так как ускорение точки
есть производная от её скорости, то (5.6) можно написать так:
= = R.
Величина V тру. есть вектор и называется количеством движения
системы точек; обозначив её через Q, мы можем написать
Q = ^ПЦЧ>1 = ( V/И^- ) .
Но последняя сумма есть, как мы видели,
Хт,г, — Mr,
§ 3]
ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ
123
а потому
~ dMr ,л dr
Q~~dT = Mdi
Так как^ есть, очевидно, скорость V центра инерции, то
Q = MV,
(5.7)
т. е. количество движения системы есть произведение массы тела
на скорость центра инерции.
Обращаясь к первой формуле этого параграфа, мы можем написать
% = « (5.8)
откуда dQ = Rdt, ^2 ^2 ^2 ]>=) J Я dt, ч tr
или tz Qi — Qi — ^Rdt, (5.9) h.
т. е. приращение количества движения системы за время Ы =
равно импульсу равнодействующей всех внешних сил системы.
Если внешние силы отсутствуют, то система точек называется
изолированной; тогда
Qt = Qi, (5.9')
т. е. количество движения изолированной системы не изменяется
со временем. Иначе говоря, в этом случае существует сохранение
количества движения.
В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим явление
удара неупругих шаров, движущихся по одной прямой. Опыт показывает,
что два неупругих тела, например, два свинцовых шара, сталкиваясь,
в дальнейшем движутся вместе. Само явление удара довольно сложно;
оба тела при соударении деформируются, и дать полное математи-
ческое описание самих явлений деформации весьма затруднительно.
Но теорема о количестве движения позволяет составить себе ясное
представление об общем характере удара. Пусть 2И, т, — массы
обоих тел, V, v, — скорости их центра инерции до соударения, w —
их общая скорость после соударения. Время, в течение которого
протекает при соударении деформация, весьма коротко; за это время
внешние силы (тяжесть и т. п.) дадут малый импульс, так как пре-
124
МЕХАНИКА СИСТЕМЫ
[гл. V
делы интеграции в (5.8) близки между собой. Поэтому мы можем
считать, что Q2=Qi- Итак,
М V-]- mv = (М + ni)w
или
т. е. мы определили скорость центра инерции после соударения, не
входя в детали явления.
На применении этой формулы основано определение скорости
снаряда при помощи баллистического маятника^ о котором упоми-
налось в гл. III. Баллистический маятник представляет собой тяжё-
лый ящик с песком, в стенку которого стреляют снарядом (рис. 59, а)\
Ф Ь)
Рис. 59.
ящик должен быть устроен так,
чтобы снаряд в нём застрял.
Подразумевая в последней фор-
муле под тг и массу и скорость
снаряда, под М — массу ящика, и
полагая, что выстрел производится
в покоящийся ящик (-и = 0), на-
ходим из этого уравнения
М + т
v = w • *—
т
Массы М и т определяются взвешиванием; остаётся определить ско-
рость w. Для этого определяют угол ср отклонения баллистического
маятника после выстрела. Если представить себе массу маятника со
снарядом, застрявшим в нём, сосредоточенной в его центре тяжести
и обозначить через I расстояние центра тяжести до точки опоры,
то высота поднятия центра тяжести есть (рис. 59, Ь)
h — l — I cos ср = Z(1 — cos 9)
и потенциальная энергия маятника при отклонении 9 равна
(М w) gh = (М 4- т) gl (1 — cos 9).
Кинетическая энергия его в момент после удара есть
= (М + tn) gl(y — COS <Р),
откуда _____________
•ш = У" 2gl (1 — cos ?),
а, следовательно, можно вычислить и v,
§ 4. Теорема о моменте количества движения. Наблюлая вра-
щение брошенного камня или палки, мы приходим к заключению,
§ 4]
ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
125
что вращение это сохраняется во время полёта. Теорема о моментах
количества движения даёт строгое выражение этому явлению и дру-
гим, ему родственным. Для формулирования её удобно ввести следую-
щие новые понятия.
Моментом силы F относительно точки О в элементарном курсе
физики называется произведение из величины силы на расстояние от
точки Одо прямой, на которой сила расположена, т.е. (рис. 60) OS • QR,
Легко видеть, что величина этого произведения есть модуль вектора
[OQ-CM?]. Поэтому, обобщая элементарное определение, мы можем
О
Рис. 60.
Рис. 61.
рассматривать момент силы как вектор, и даём ему такое опре-
деление:
Моментом силы F относительно точки О называется вектор-
ное произведение
из радиуса-вектора г, идущего от точки О к точке приложения
силы, и вектора силы F,
Нетрудно показать, что момент равнодействующей R двух сил
Р и Q равен сумме моментов этих сил относительно той же точки,
В самом деле (рис. 61), сумма площадей параллелограммов, построен-
ных на г,Р и r,Q, превратится в площадь параллелограмма, построен-
ного на г, Ry если перенести нижний заштрихованный треугольник на
место верхнего. Поэтому мы можем написать
[г • Я] = [г (Я-f- (?)] = [г • Я] -f~ [г- <?].
Очевидно, этим приёмом теорема доказана для любых векторов, ле-
жащих в одной плоскости с точкой, относительно которой вычи-
сляется момент.
Наконец, и в самом общем случае, когца эта точка лежит вне
той плоскости, можно доказать, что теорема остаётся справедливой.
Написанная выше формула показывает, что векторное произведе-
ние имеет свойство распределительности.
Подобно моменту силы, определим понятие момента количества
движения, подразумевая под этим вектор k, равный
k = [г • mv\.
126
МЕХАНИКА СИСТЕМЫ
[гл. V
Согласно закону Ньютона,
dv d(mv) п
dt dt
Составив векторные произведения
видим, что они равны. Но нетрудно показать, что вектор р*-—
есть производная вектора k. В самом деле, составим разность мо-
ментов количества движения для двух моментов времени t и Д/:
[(г — \г • mv\.
Первый член, согласно только что доказанной теореме, можно напи-
сать в виде
[(г Дг). Qnv Д/л^)] = [(г Дг). mv] -]~ [ (г ~Г ^г) *
Но легко видеть, что векторы Дг) • mv\ и [г* равны.
В самом деле (рис. 61), перемещение Дг за время St напра-
влено по вектору скорости, а, следовательно, по mv, а потому пло-
щади параллелограммов, определяющие величины, наших векторов,
равны. Итак, изменение вектора k есть
Sk = [(г • Д#^1 •
Отсюда, деля на St, находим
а после перехода к пределу
dk___________________________ Г dmv 1
dt — LГ ‘ dt ] •
Но вектор справа есть,, как мы видели [г£]; поэтому имеем
(5.Ю)
Таким образом, приходим к теореме:
Изменение момента количества движения точки равно моменту
равнодействующей всех сил, действующих на точку. Это и есть
теорема моментов количества движения для одной точки.
Применим эту теорему к движению точки под действием централь-
ной силы, исходящей из начала координат. В этом случае
[гЯ] = 0,
§ 5]
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТОЧЕК
127
так как сила направлена по радиусу-вектору к центру притяжения
з начале координат. Поэтому мы имеем
^ = 0 или & —const.
at
Но
k = [r-mv},
т. е. совпадает по направлению с вектором угловой скорости вра-
щения со и равен ему по величине, как это следует из (2.23):
k = may • г2 — mft,
где 0 — секториальная скорость. Таким образом, мы пришли ко вто-
рому закону Кеплера (гл. III, § 6); но видим, что он верен не только
для сил тяготения, обратно пропорциональных квадрату расстояния,
но и для всех центральных сил.
Вектор k постоянен в рассматриваемом случае не только по ве-
личине, но и по направлению; а так как он перпендикулярен к век-
тору г, то последний в своём движении должен оставаться в одной
плоскости. Таким образом, мы доказали, что движение планеты есть
движение в плоскости; астрономы называют эту плоскость неизме-
няемой.
§ 5. Теорема о моментах количества движения для системы
точек. Перейдём теперь к доказательству теоремы о моментах коли-
чества движения для системы точек. При этом ограничимся частным
случаем системы из двух точек; внешние силы, действующие на эти
точки, обозначим через и /?2, а внутренние силы взаимодействия —
через и F21.
Для каждой из точек можем написать
= [г./?.] + [г,/7,,], g2 = [Г.А1 + [Г4 •
Сложив левые части, найдём
dk. . dkz _ dK
dt ' dt ~ dt >
где
есть так называемый главный момент количества движения системы.
Складывая первые члены правой части, найдём сумму векторов, ко-
торую назовём главным моментом внешних сил системы и обозна-
чим через М:
M = [rlR1] + [riRi].
Сумма последних членов (пЛз! 1ГЛ11 Равна нулю. В самом
128
МЕХАНИКА СИСТЕМЫ
[гл. V
деле, площади параллелограммов, построенных на i\, F12, и r2, F2i
равны (рис. 62), так как у них равны основания F12 и F21, а
их высоты равны OQ. Но вследствие противоположности внут-
ренних сил, векторы F12 и F21 противоположны но направлению;
поэтому векторы [nF12] и [r2F21] равны и противоположны и
в сумме дают нуль. Таким образом, сложением написанных выше
Рис. 62.
равенств получаем
. *51‘)
В частном случае, когда внешние
силы отсутствуют
f =0, К—const, (5.12)
т. е. главный момент количества движения изолированной системы
есть величина постоянная. Например, если принять во внимание,
что влияние звёзд на тела нашей планетной системы мало по сравне-
нию с силами их взаимодействия, то солнечную систему можно счи-
тать изолированной,и следовательно, соблюдается закон (5.12), и в этом
случае можно установить по отношению к системе отсчёта неподвижных
звёзд существование неизменяемой плоскости, к которой перпендику-
лярен вектор К (Лапласова неизменяемая плоскость).
При рассмотрении земных явлений мы в большинстве случаев не
можем пренебречь внешней по отношению к рассматриваемой системе
силой тяжести; например, при полёте камня, снаряда, капли мы не
можем считать их изолированными системами. Но можно пока-
зать, что если точку, относительно которой определяются
моменты выбрать в центре инерции системы, то теорема
(5.П) сохраняет силу.
§ 6. Применения теоремы о моменте количества движения.
Теорема моментов позволяет легко объяснять многие явления. Из
теоремы количества движения следует, что человек, стоящий на совер-
шенно гладком льду, не может сдвинуться с места, вследствие отсутствия
внешних сил, позволяющих сообщить ускорение центру инерции си-
стемы; единственная сила тяжести уравновешивается реакцией опоры.
Подобно этому, из теоремы моментов следует, что человек, стоящий
на совершенно гладком льду, не может повернуться как целое во-
круг вертикальной оси, потому что трения в этом (воображаемом)
случае нет, т. ё. нет и момента внешних сил. В самом деле, как мы
видели только что, в данном случае момент количества движения
относительно центра инерции сохраняется неизменным и, если он
в определённый момент нуль, то останется нулём и в дальнейшем;
но это означает, что человек не может одними внутренними силами
создать поворот своего тела как целого относительно оси, прохо-
дящей через центр инерции. Однако, он может повернуться на любой
угол около вертикальной оси, если начнёт вращать в горизонтальной
§ -7] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 129
плоскости руку, поднятую над головой. В этом случае рука, как
часть рассматриваемой системы точек, очевидно, будет обладать
определённым моментом количества движения относительно центра
инерции. Для того, чтобы общий момент количества движения сохра-
нялся равным нулю, очевидно, необходимо, чтобы остальное тело
имело противоположный момент количества движения, т. е. враща-
лось бы в сторону, противоположную вращению руки.
Таким же образом объясняется умение кошки падать всегда на
ноги. Во время падения она вращает своим хвостом так, чтобы тело
её, поворачиваясь в сторону, противоположную повороту хвоста,
оказалось бы в нужном положении в момент падения на землю.
Используют теорему моментов и гимнасты, совершающие сальто-
мортале — прыжок с вращением через голову. Отталкиваясь от земли,
они не только придают своему центру инерции количество движения
вверх, но и сообщают своему телу некоторый момент количества
движения. Момент этот обычно недостаточен, чтобы совершить до
прикосновения с землёю несколько полных поворотов, и в полёте
гимнаст изменить его не может. Но, сжимаясь в полёте в комок, он
уменьшает радиусы-векторы точек своего тела относительно центра
инерции, вследствие чего должны увеличиться скорости вращения,
а с ними и число поворотов, которые он сделает до прикосновения
с землёй.
§ 7. Кинетическая и потенциальная энергии системы точек.
Закон сохранения энергии. Кинетическую энергию системы точек
мы определим как сумму кинетических энергий отдельных её точек.
Если, например, система состоит из Солнца, Земли и Луны, прини-
маемых за точки с массами tn?, т3) и в определённый момент
времени эти точки имеют скорости т/3, то кинетическая энер-
гия нашей системы в этот момент есть
р __ । m9vl
2 ‘ 2 • 2 *
При этом, однако, возникает вопрос, относительно какой системы
отсчёта надлежит определять скорости точек нашей системы, ибо,
очевидно, что величина кинетической энергии существенно зависит
от такого выбора. Конечно, во всех наших общих рассуждениях
мы пользуемся только инерциальной системой координат, иначе мы не
имели бы права пользоваться законами механики Ньютона в их обыч-
ной форме. Но и это ещё не вполне определяет величину кинети-
ческой энергии не только системы, но и точки. Пусть, например,
от инерциальной системы, где скорость точки т есть мы перешли
к другой, инерциальной же системе, скорость которой относительно
первой есть д, причём скорость и постоянна по величине и напра-
влению. Очевидно, скорость <о' нашей точки в этой новой системе
координат равна
v' — Ф — U,
9 Папалекси, т. I
130
МЕХАНИКА СИСТЕМЫ
[гл. V
т. е. кинетическая энергия есть
Е'к = • *'= у - «) - «) =
= - той = Е, + { - т*. }.
Таким образом, кинетическая энергия получила приращение
Очевидно, если такое рассуждение повторить относительно каждой
из точек нашей системы и сложить найденные приращения, то най-
дём общее изменение кинетической энергии всей системы
V и*Ууп: V Ми* V -
ir ~ 2 т^и=—г1 ~а2>=~2~ - «2^-
Если мы рассматриваем изолированную систему точек, то эта
поправка одинакова для всех моментов времени. В самом деле, по-
стоянны и, M = ^mh т. е. полная масса системы, и — на основании
теоремы количествадвижения—сумма Следовательно, изменения
кинетической энергии изолированной системы, происходящие в этой
системе вследствие изменения скоростей отдельных точек, не за-
висят от выбора системы координат, если только последняя инер-
циальна. Общая же величина кинетической энергии системы в раз-
ных системах координат различна, но это обстоятельство несуще-
ственно, так как мы видели, что для точки, а ниже увидим, что
и для системы точек теоремы, касающиеся кинетической энергии,
относятся только к её изменениям, а не её абсолютной величине.
Несколько иначе обстоит дело, если система не изолирована. Но
в этом случае можно доказать теорему: кинетическая энергия вся-
кой системы есть сумма кинетической энергии центра инерции
системы, которому приписывается полная масса системы, и кине-
тической энергии системы относительно центра инерции.
Покажем справедливость этой теоремы на примере двух точек
и /пв, со скоростями и относительно избранной системы
координат. Эти скорости, очевидно, можно представить как суммы
скоростей ф1, Ф2 наших точек относительно движущейся поступа-
тельно системы координат, связанной с центром инерции, и скорости и
центра инерции относительно избранной системы
^ = ^4-», ^2 = ^ + «•
Составляя выражение для кинетической энергии, находим
(«±5^ + + + „ +
4* £ 4
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
131
§ 7]
Но последний член равен нулю. В самом деле, выражение т^-^т.г'ъ,
как это видно из (5.4'), равно нулю, если, как это в данном случае
имеется, центр инерции совпадает с началом отсчёта векторов г{ и
а следовательно, равна нулю и производная этого выражения
("ЧП + =т1^ + т^= miv'i 4- т^.
Действительно, мы видим, что кинетическая энергия нашей системы
складывается из кинетической энергии точки, лежащей в центре
инерции, с массой т1-]-т2 и кинетической энергии системы отно-
сительно центра инерции.
Потенциальную энергию одной материальной точки мы опреде-
лили как запас работы, которую мы сообщаем точк$, перемещая
её в поле сил тяжести или в поле иных сил из одного места поля
в другое. При этом необходимо было условиться, в каком положе-
нии мы считали потенциальную энергию точки равной нулю; мы
полагали, что потенциальная энергия точки равна нулю на поверх-
ности земли. Выбрав другое условие (например, груз имеет нулевую
потенциальную энергию, лёжа на полу комнаты третьего этажа),
мы бы получили другое значение потенциальной энергии для того
же положения точки. Таким образом, собственно говоря* нами
измеряются лишь изменения потенциальной энергий, а не её абсо-
лютная величина. Кроме того, мы видели, что в поле сил тяжести
работа перемещающей силы не зависит от пути, по которому пере-
мещается точка, а следовательно, и потенциальная энергия её зависит
не от пути перемещения, а только от высоты местонахождения.
Подобными же свойствами обладает потенциальная энергия
системы точек, на которые действуют центральные силы. Рассмот-
рим прежде всего изолированную систему точек, в которой дей-
ствуют лишь центральные силы взаимодействия. Пусть это будет,
например, наша солнечная система. Чтобы определить потенциальную
энергию её, представим себе такой опыт. Удалим сперва одну точку
системы из её положения в рассматриваемый момент времени на
такое расстояние от точек системы, на котором притяжение точек
системы уже становится незаметным, а следовательно, дальнейшее
перемещение точки уже не будет требовать затраты работы. Для
случая центральных сил можно показать, что работа эта не зависит
от пути, по которому мы двигаем точку, лишь бы в результате
этого передвижения она была удЙлена за пределы притяжения дру-
гих точек. Затем проделаем то же последовательно со всеми
остальными точками. Общее количество работы, которую нам
необходимо будет совершить на такое разделение всех точек
системы, не зависит ни от путей передвижения, ни от того
порядка, в котором мы производим это передвижение, но опреде-
ляется только взаимными расстояниями точек в рассматривав-
9*
132
МЕХАНИКА СИСТЕМЫ
[гл. V
мый момент времени, т. е. от конфигурации системы. В теоре-
тической механике это положение доказывается совершенно строго.
Эту работу мы и назовём запасом потенциальной энергии
системы. Из только что сказанного следует, что потенциальная
энергия системы имеет одну и ту же величину в любой инерциаль-
ной системе отсчёта — в отличие от кинетической энергии. Но,
так же как кинетическая энергия, абсолютная величина потенци-
альной энергии зависит, очевидно, о? того, куда мы условились
удалять наши точки; мы "могли бы условиться удалять их не
в бесконечность, а в определённое конечное место для каждой
точки.
По отношению к изолированной системе механика доказывает
теорему: полная энергия изолированной системы, т. е. сумма
кинетической и потенциальной энергии её, не меняется во время
движения системы.
В том случае, если рассматриваемая система точек не изолиро-
вана от действия внешних сил (примером может служить полёт
любого твёрдого или нетвёрдого тела в поле сил тяжести), полная
энергия системы не остаётся неизменной во время движения её
в поле внешних сил. Но мы можем рассматривать тело, являющееся
причиной действия сил на рассматриваемую систему, как входящее
в эту систему. Тогда силы тяготения, бывшие внешними по отноше-
нию к первоначальной системе, станут внутренними по отношению
к новой большей системе, и снова закон сохранения энергии полу-
чит силу, так как силы тяготения — центральные силы. Таким обра-
зом, мы можем распространить закон сохранения энергии на всю
нашу планетную систему.
Кажущееся нарушение закона сохранения энергии наблюдается
при наличии в системе сил трения. Например, качания маятника
постепенно затухают, и в конце концов он приходит в состояние
покоя. Энергия системы земля — маятник уменьшилась, так как
потенциальная энергия, соответствующая положению равновесия
маятника и зависящая только от конфигурации нашей системы,
не изменилась, а кинетическая энергия исчезла. Однако, более
глубокое исследование показывает, что произошло нагревание
окружающих маятник тел. С точки же зрения кинетической теории
материи, блестяще подтверждаемой опытом (см. гл. XIV), теплота
есть кинетическая энергия молекул, и если учесть и её в общем
балансе энергии, то закон сохранения энергии не нарушится.
Все эти рассуждения показывают, что закон сохранения энергии
имеет универсальное значение, если только в общем балансе- энер-
гий учитывать'.
1) потенциальную энергию, однозначно определяемую конфигу-
рацией системы*,
2) видимую кинетическую энергию, определяемую скоростями
видимых движений частей системы',
§ 8]
ПОТОК ЭНЕРГИИ
133
3) другие виды энергии, к которым относятся и кинетическая
энергия беспорядочно колеблющихся частиц, т. е. тепловая энергия,
и энергия химическая, и энергия электрическая и т. д.
В этих первых главах курса, предметом которых являются меха-
нические движения, мы, естественно, останавливаемся только на
чисто механических видах энергии и условно рассматриваем переход
механической энергии в другие формы как потерю механической
энергии.
§ 8. Поток энергии. Одним из вопросов, важных принципиально
и технически, является вопрос о переходе энергии от одной меха-
нической системы к другой. Во всех механических установках мы
наблюдаем такой переход от системы, являющейся источником энер-
гии или дальнейшим передатчиком этой энергии — будем его называть
двигателем — к системе, являющейся потребителем, которую мы
будем называть приёмником.
Рассмотрим несколько примеров такой передачи энергии и уста-
новим, как надлежит измерять количество передаваемой энергии.
Одним из наиболее распространённых способов передачи энергии
от одной машины к другой является соединение их шкивов привод-
ным ремнём (рис. 63); здесь А есть двигатель, В — приёмник.
вить, каким образом мы разделим
нашу систему АВ на систему-дви-
гатель и систему-приёмник, чтобы
изучать передачу энергии от дви-
гателя к приёмнику. До сих пор
мы определяли состав системы, ука-
зывая те
относятся,
могли бы
точки, к которой они
В нашем случае мы
разделить двигатель и
приёмник, разрезав мысленно приводной ремень в точках 2V и ЛГ;
за малый промежуток времени Д/ точка N переместилась бы на
величину v kt влево, а точка ДГ — на величину v kt вправо. Так как
единственная внешняя сила, действующая на приёмник, есть тяга
ремня Р, направленная, как указано стрелкой, то работа кА, совер-
шаемая двигателем над приёмником за время kt, есть
кА = vP kt.
Следовательно, в единицу времени двигатель передаёт приёмнику
работу
W = ~=vP.
at
Величина работы, отдаваемой в единицу времени двигателем,
называется мощностью этого двигателя. В нашем расчёте мы
134 МЕХАНИКА СИСТЕМЫ [ГЛ. V
пренебрегали работой, передаваемой нижней частью ремня, так как
он практически провисает свободно.
Рассуждение наше могло бы быть проведено и с точки зрения
приёмника. Он действует на А с силой Р’ =— Р, почему работа,
им совершаемая, окажется равной
ДА = P'v М — — Pv- ht,
т. e. он получает работу.
В качестве другого примера рассмотрим поток энергии, проходя-
щий через определённое сечение реки или через трубу, подающую
воду к турбине гидростанции. Здесь более удобно рассматривать
поток энергии через определённое сечение трубы. Прежде всего
переходящая через это сечение масса воды имеет определённую
скорость, и, следовательно, она несёт с собой определённый запас
кинетической энергии. Если сечение трубы есть S, плотность жидко-
сти р (в данном случае р=1) и скорость v, то проходящий
в единицу времени через сечение объём жидкости есть Sv, его Majcca
есть St/p, а переносимая им за единицу времени кинетическая энер-
гия есть—— = р5у. Но, кроме того, надо учесть и потенциаль-
ную энергию, переносимую водой через рассматриваемое сечение;
если высота сечения над некоторьш нулевым уровнем, от которого
мы ведём отсчёт, есть h, то энергия, проходящая в секунду через
наше сечение, есть, очевидно, Svp-gh. И, наконец, кроме этих двух
потоков энергии, надо принять во внимание ещё и работу давления
воды, находящейся над сечением, на воду под сечением; расчёт про-
водится совершенно так же, как это сделано в первом примере.
Представим себе, что за время Д£ это сечение переместится на
величину v &t, а действующая сила есть давление на единицу пло-
щади, умноженное на площадь S; работа за это время есть PSv Д/;
через время . Д/ мы вновь вернёмся к первоначальному сечению
и повторим то же рассуждение. Таким образом, работа, переходя-
щая в единицу времени через сечение S, есть PSv, а полный поток I
энергии есть
Очевидно, если бы мы искали поток энергии, проходящий
через сечение, проведённое через определённые частицы жидкости
и двигающееся вместе с ними, как в первом примере, то этот
поток был бы равен vSP, так как через это сечение масса жидкости
не проходит.
§ 9. Соударение тел. Наконец, как последний пример обмена
энергиями, разберём соударение двух систем. В простейшем случае
это могут быть два упругих шара, движущиеся без вращения по
одной прямой. Но мы можем обобщить понятие соударения. Пред-
§ 9]
соударение тел
135
ставим себе две системы точек, находящихся сперва на таком боль-
шом расстоянии одна от другой, что силы взаимодействия этих двух
систем ничтожно малы и системы можно считать изолированными
друг от друга. В своём движении эти две системы подходят одна
к другой настолько близко, что действуют друг на друга с опреде-
лёнными силами, в результате чего между ними возникает поток
энергии; затем системы расходятся, но после такого соударения
каждая из них имеет, вообще говоря, энергию, отличную от той,
которую она имела до соударения. Если нет сил,'внешних по отно-
шению к системе, состоящей из этих двух систем, то полная энер-
гия её не изменилась.
Подобный случай наблюдается в планетной системе, когда в неё
попадает комета, которая затем вылетает из её пределов; столкно-
вение двух атомов или молекул есть пример того же рода, ибо
известно, что атомы и молекулы представляют собой довольно
сложные системы.
Рассмотрим подробнее удар двух упругих шаров, движущихся
по одной прямой без действия внешних сил и без вращения. По-
следнее обстоятельство позволяет нам рассматривать оба шара как
материальные точки; кинетическая энергия каждого из шаров равна
массе шара, умноженной на половину квадрата скорости его центра
инерции, совпадающего, очевидно, с его геометрическим центром.
Введём при расчёте следующие обозначения: vv v2— скорости
шаров до удара, v{, v2— скорости их после удара, т2— их
массы. Положим, что сумма кинетических энергий шаров до
удара равна сумме их после удара
। __mrv . m2v'$
2 2 — 2 ' *" 2 ’
Такое предположение можно сделать, если при ударе не было ни
потерь на трение, ни перехода энергии в какую-либо иную форму,
кроме кинетической энергии центра инерции: не возникло энергии
вращения, колебаний шаров как упругих тел и т. д. Кроме того,
предполагается, что время соударения настолько мало, что за это
время положение общего центра инерции не изменилось, а следо-
вательно, не изменилась и потенциальная энергия в поле сил
тяжести.
Кроме написанного выше уравнения, мы можем ещё написать урав-
нение сохранения количества движения
+ m2v2 = m2v2.
Эти два уравнения позволяют по данньш массам и скоростям
до удара вычислить скорости шаров и после удара. Вычисление
даёт
,__Zm2v2 + Vi (пи — т2) ,__2т+ v2(m2 — mJ
Vi — । « v9 - ’ ’ । •
mk + + zna
136
механика Системы
[гл. v
Интересно отметить несколько частных случаев удара двух ша-
ров равной массы. Если один шар покоится, а другой движется,
то после удара второй останавливается, а первый приобретает ско-
рость второго. Два шара равной массы вообще обмениваются ско-
ростями. Если один из шаров, например тъ имеет весьма большую
массу (т1 = сю) и покоится, то второй получает после удара ско-
рость, равную и противоположную той, которую он имел до удара.
Если два шара движутся не по одной прямой (косой удар), то
при соударении может возникнуть вращение, величина которого
зависит от характера удара, и это усложняет расчёт. Но если это
вращение не возникает, то формулы для расчёта остаются прежние,
только <oi и в них следует считать векторами.
Нередки, однако, случаи, когда после соударения одно или оба
тела приходят в колебания. В этом случае надо учитывать в обоих
уравнениях вызванные этими колебаниями количества движения и
энергии. Например, ясно, что камешек, ударивший по стакану или
оконному стеклу и т. п., отскакивая, получит меньшую скорость,
чем имел до удара: часть его энергии уйдёт на энергию коле-
баний стекла, выражающихся в звучании. Соударения подобного
типа не совсем удачно называют неупругими, хотя они происходят
между упругими телами.
ГЛАВА VI.
МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА.
эта сила лежит, не
§ 1. Сложение сил, приложенных к твёрдому телу. Теория
моментов и пар сил. Неизменяемое твёрдое тело имеет две ха-
рактерные особенности*. 1) точки его находятся на неизменных
расстояниях одна от другой} 2) точку приложения силы, дей-
ствующей на неизменяемое твёрдое тело, можно переносить в лю-
бую точку тела по прямой, на которой
изменяя её действия.
Используя это свойство, мы изве-
стными из элементарного курса физики
способами можем заменить две действу-
ющие на разные точки тела силы одною,
если только они параллельны или ле-
жат на пересекающихся прямых.
Подобное заключение справедливо
и по отношению к моменту силы от-
носительно некоторого центра О. Мо-
менты двух сил, лежащих на прямой (рис. 64) [^Р] и [г2Р], не только
представляют равные векторы, но и в смысле механическом они
равноценны: действие их на неизменяемое твёрдое тело одинаково.
Покажем теперь, что момент равнодействующей двух сил, ле-
жащих на пересекающихся прямых, или же сил, параллельных
механически, равноценен сумме моментов слагаемых сил относи-
тельно того же центра. Пусть векторы Р, Q—силы, располо-
женные на пересекающихся прямых, и JR—их векторная сумма
P+Q = R.
Мы знаем, что для неизменного твёрдого тела это равенство имеет
не только векторный, но и механический смысл, т. е. действи-
тельно существует такая сила /?, действие которой в механическом
смысле слова равноценно одновременному действию сил Р и Q.
Перенеся обе силы в одну точку и помножив наше равенство на
радиус-вектор г расстояния точки до центра О, имеем, на основа-
нии распределительности векторного умножения,
[Г/?] = [г • (/>+ Q)] = \гР\ 4- [г QJ.
138
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. VI
Теперь мы можем разнести наши силы по линиям их приложения в лю-
бые точки неизменяемого твёрдого тела, отчего изменятся радиусы-
векторы, но не величины этих векторных произведений. Обозначив
новые радиусы-векторы через rp) rQi гр, мы можем написать
[Гр^+[г<гО] = [г/гЛ], (6-1)
что и доказывает в механическом смысле нашу теорему для двух
сил, расположенных на пересекающихся прямых.
В случае параллельных сил мы можем известным
из элементар-
ной физики приёмом свести их на одну прямую; после этого дока-
зательство пойдёт прежним путём; поэтому
равенство (6.1) является верным и для па-
раллельных сил.
Очевидно, при наличии трёх и более
сил мы придём к той же теореме, склады-
вая сперва две силы, потом прибавляя
третью и т. д., если только при выполне-
нии этих операций мы не встретимся с не-
пересекающимися силами; для таких сил на-
ша теорема теряет механический смысл.
В этом случае оказывается весьма по-
лезным понятие момента пары сил, т. е.
двух равных и противоположных сил,
лежащих на разных параллельных пря-
мых. Под моментом пары сил подразу-
мевается сумма моментов этих сил. В приведённых ниже тео-
ремах показывается, какими механическими свойствами обладает это
векторное понятие.
Теорема. Момент Мр пары сил не зависит от выбора центра,
к которому он отнесён.
В самом деле, момент любой из сил, например, силы Р относительно О
(рис. 65, а), не изменится, если перенести центр О в точку О',
находящуюся на прямой, параллельной силе Р, так как останутся
равными площади параллелограммов, определяющих величину мо-
мента. Очевидно, далее (65, Ь), что перенесение центра О' в точку Ои
по прямой, соединяющей точки А и А', также не изменит мо-
мента пары, так как при этом площадь одного параллелограмма
уменьшится на столько же, на сколько увеличится площадь другого.
Производя же последовательно два таких перемещения, мы перемещаем
центр в любую нужную нам точку. Поэтому мы можем условиться
всегда выбирать за центр точку приложения силы Q; будем изобра-
жать Мр вектором, проведённым перпендикулярно к плоскости сил
пары именно через эту точку. Согласно правилу образования векторного
произведения, вектор этот в данном случае направлен под пло-
скость чертежа. Обозначив О'О вектором г (рис. 65, а) найдём, что
Мр =[гР]>
Рис. 67.
§ 1] СЛОЖЕНИЕ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ К ТВЁРДОМУ ТЕЛУ 139
так как момент Р’ относительно О равен нулю. Величина вектора г
называется плечом пары.
Кроме того, условимся ещё располагать силы пары на их пря-
мых так, чтобы векторы Р и Q были перпендикулярны к вектору г
(рис. 66).
Замечательные свойства мо-
мента пары выражены в сле-
дующих теоремах:
Теорема. Механическое
действие момента пары не из-
менится, если изменить плечо
пары, изменив соответственно
и силы так, чтобы сохранился
неизменным момент пары. Например, пусть плечо ОА момента РР*
требуется увеличить до размера ОВ (рис. 67). Разложим силу Р на
силы Q и Q', приложенные в точках В и О. Величины этих сил
удовлетворяют двум условиям:
Рис. 66.
С? + Q' = P, Q • АВ= Q' • АО.
Прибавив к обеим частям последнего равенства по Q • АО, найдём
V Q. AB+Q. AO = Q- ОВ =
_ —-д =Q'. АОQ АО = (QQ') АО =
х = РАО.
Но Q • ОВ и Р • АО суть величины
моментов Mq и Мр‘, поэтому теорема
л доказана.
/Г' Теорема. Пару сил можно по-
вернуть около момента её на любой
Рис. 68. угол и передвинуть в любую точку
в её плоскости, не изменяя её механи-
ческого действия. В самом деле (рис. 68), пусть требуется перенести
пару Мр в положение Мр. Проведём прямые, А, А, А*, А', на которых
лежат силы наших пар. Пересечение этих линий образует ромб с вер-
шинами S, S. В этих точках приложим четыре силы, равные по ве-
личине Р. Легко видеть, что эти силы взаимно уравновешиваются,
а потому и не изменяют действия пары Мр. Изменим порядок
сложения сил, сложив с силами пары Мр силы, отмеченные пунк-
тиром: эти силы и силы пары взаимно уничтожаются. Оставшиеся
две можно, очевидно, перенести в положение Мр, не изменяя их
механического действия.
Теорема. Пару сил можно перенести в любую другую плоскость,
параллельную плоскости пары, не изменяя тем её действия.
140
МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. VI
СКОСТИ S, В ПЛОСКОСТЬ Sp
Пусть (рис. 69) требуется перенести пару Мр, лежащую в пло-
Приложим по вершинам параллелограмма,
определяемого плечами обеих пар силы
Q, Q', Pv Р{, равные по величине
силе Р и направленные, как указано
на чертеже. Складывая Qf с Р{ и Q
с Р[, получим равные и противополож-
ные равнодействующие, приложенные
в центре параллелограмма, а потому
взаимно уничтожающиеся. Значит, при-
ложение этих сил не изменяет действия
пары на тело. Но, складывая силы в
ином порядке, а именно Q с Р, Q' с
Р', видим, что они уничтожаются и
остаются силы Р2, Р\, образующие искомую пару с тем же мо-
ментом, что и момент пары РР*.
Теоремы эти показывают, что все операции с парой сил, кото-
рые не изменяют её момента, не изменяют и её действия на
твёрдое тело. В этом значение этого механического понятия. Пока-
жем, наконец, что две пары сил с моментами Мр, Mq дейст-
вуют на твёрдое тело, как пара с моментом М = Мр-\-Mq (сло-
жение пар).
Если рассматриваемые пары лежат в параллельных плоскостях, то
мы можем уравнять и совместить
их плечи; если же они лежат в пере.-
секающихся плоскостях, то, уравняв
плечи пар, мы можем так повернуть
и перенести пары в их плоскостях,
чтобы плечи их совпали на линии
пересечения плоскостей. Удобно пред-
ставлять себе это перенесение, начер-
тив пары на рядом лежащих страни-
цах открытой книги. Рассмотрим поэтому этот
(рис. 70). На основании распределительности
жения мы можем написать ч
Рис. 70.
последний случай
векторного умно-
[г/>] + [г Q] = [г (/>+ Q)] = /?]
ИЛИ
и, следовательно, теорема доказана.
Покажем, наконец, что всякая сила, действующая на неизме-
няемое твёрдое тело, может быть заменена силой, приложенной
к любой точке, и парой. В самом деле (рис. 71), пусть на тело
действует сила Р; приложив к точке О' две равные и противопо-
ложные силы Р, Р', видим, что теперь имеем силу Р, приложен-
§ 2]
УСЛОВИЯ .РАВНОВЕСИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
141
ную к точке О', и пару Р, Р', момент которой есть
\&О •/>] = [/• Р].
Обратное не всегда возможно. Пусть (рис. 72) М есть момент
пары и R—сила. Так как пару можно переносить, то мы можем
совместить начала обоих векторов
направлении си: ы
плечо пары можем из-
менить так, чтобы си-
лы, её определяющие,
равнялись Но повер-
нуть /тару так, чтобы
её сила R' уравнове-
сила силу мы мо-
жем только тогда, когда
вектор М перпендикулярен
в одной точке О, лежащей на
пара и сила могут быть заменены одной силой.
к вектору /?ь и только в этом случае
§ 2. Условия равновесия твёрдого тела. Эти сведения позволяют
очень просто формулировать условия равновесия твёрдого тела.
Пусть на тело действуют силы Р2, Р3,..., Рп в точках
Оь О2, . .., Оп, положение которых определяется радиусами-векторами
rv=OOx, г2,..., гп- Все эти силы мы можем перенести в одну
точку О, употребив описанный выше приём. Сложив все силы, полу-
чим равнодействующую /?, равную
и пару, момент которой равен
м R=MPl +MPs +... = 2 MPi=[пл j 4-...=2 [r.-pj.
Если тело находится в равновесии, то, очевидно, /? = 0 и
Л1£ = 0. Наоборот, если R и М равняются нулю, то тело нахо-
дится в равновесии. Таким образом, необходимыми и достаточными
условиями равновесия неизменяемого твёрдого тела являются со*
отношения
2Л=А + р4 + ...+рп = о,
м = [Г.А] 4- [гЛ14- • • • + № = 2= о-
Как выбрана точка О, от которой отсчитываются радиусы-векторы rz,
при этом безразлично.
Так как векторы R и М определяются каждый тремя ком-
понентами Rx, Ry, Rz, Мх, Мг, то, приравнивая эти компоненты
нулю, получим шесть уравнений равновесия, что согласуется с на-
личием у неизменяемого твёрдого тела шести степеней свободы.
142
МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГД. VI
Если имеются кинематические связи, то число уравнений умень-
шается. Основными видами связи, встречающимися в механике твёр-
дого тела, являются:
1) Закрепление в точке. В этом случае у твёрдого тела остаются
только три степени свободы и соответственно этому три уравнения
равновесия.
2) Закрепление в двух точках. В этом случае тело может
только вращаться на оси, проходящей через эти две точки; поэтому
этот вид связи называется также закреплением на оси без скольже-
ния. В этом случае неизменяемое твёрдое тело имеет одну степень
свободы, и, соответственно этому, его равновесие определяется одним
уравнением. »
3) Закрепление на оси со скольжением. В этом случае неизме-
няемое твёрдое тело имеет две степени свободы и уравнений равно-
весия два.
Выведем формулы равновесия в этих трёх случаях; при этом
мы должны теперь к силам, действующим на тело, прибавить силы
реакции связей.
В первом случае выберем за центр точку закрепления. Равно-
действующая всех сил, перенесённых в эту точку, и реакция опоры
равны и противоположны, следовательно, первое из уравнений (6.2)
удовлетворяется при всяких силах Pt. Остаются уравнения
л1 = 2[гЛ1 = о
ИЛИ
Мх=0, Му=0, Mz=0, (6.3)
т. е. три независимых уравнения.
В случае закрепления на оси без скольжения уравнение сил
удовлетворяется тождественно по той же причине, что и выше.
Для рассмотрения уравнений моментов выберем такую систему
координат, чтобы ось z совпала с осью закрепления, и разло-
жим момент Af на сумму двух, один из которых перпендикулярен к
оси z, а другой M.z направлен по оси и, очевидно, представляет
векторную проекцию момента Л1 на ось z. Перпендикулярный к оси
момент уничтожится силами реакции оси. В самом деле, плечо
соответствующей ему пары можно совместить с осью, а тогда силы
пары будут проходить через точки оси и уничтожатся их реакциями.
Таким образом, последние два из написанных выше уравнений момен-
тов будут включать в себя такие силы реакции, что тождественно
обратятся в нуль, и условием равновесия явится одно уравнение
Мг = 0, (6.3')
не включающее в себе сил реакций, а потому особенно удобное
для вычисления условий равновесия.
§ 2] УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 143
Проекция момента вектора на ось, проходящую через центр
момента, называется моментом вектора относительно оси и имеет
ещё и другой геометрический смысл.
Рассмотрим (рис. 73) вектор V=AB, момент которого относи-
тельно О представлен вектором OQ. Проицируем вектор OQ= \r V]
на ось NN и одновременно параллелограмм OABD, определяющий
величину вектора [г V],—на плоскость S, проведённую через О пер-
пендикулярно к оси NN. В результате такого проицирования мы по-
лучим параллелограмм OAB'D’. Угол между плоскостями обоих парал-
лелограммов есть, очевидно, тот же угол а, который составляют
перпендикулярные к ним векторы OQ=[rV\ и вектор OQ'.
Поэтому
площ. (OAB'D’) = площ. (OABD) • cos а.
Но и
OQ' = OQ • cos а.
А так как
Оф=площ. (OABD),
то, следовательно,
OQ' = площ. {OA'B’D').
Отсюда видно, что
~OQ^={OA . Д'В'] .
Но ОА есть расстояние р точки приложения вектора V от оси NN,
а АВ' есть проекция вектора V на плоскость, перпендикулярную
к оси. Поэтому:
Момент некоторого вектора относительно оси есть векторное
произведение вектора-расстояния р этого вектора от оси на век-
тор-проекцию его на плоскость, перпендикулярную к оси.
В случае закрепления на оси со скольжением мы* найдём условия
равновесия, перенеся все силы в точку, лежащую на оси. Разложим
равнодействующую этих сил на две силы, одна из которых напра-
влена по оси, другая — перпендикулярна к ней. Последняя уничто-
жается сопротивлением опоры, а потому для равновесия необходимо,
чтобы сила, направленная по оси, равнялась нулю. Выбрав эту ось
за ось z, имеем, следовательно, условие равновесия
2Z,.= 0. (6.4)
Оставшуюся пару разложим на две, моменты которых направлены
по оси z и перпендикулярно к ней. Последняя пара уничтожается
сопротивлением оси скольжения, следовательно, для равновесия необ-
ходимо, чтобы момент пары, направленный по оси, — иначе говоря,
момент всех сил относительно этой оси — равнялся нулю. Таким
образом, сохраняется условие равновесия предыдущего случая
М, = 0 (6.3')
144
МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ.
Итак, мы имеем два уалоыы равновесия, что соответствует наличию
двух степеней свободы.
При наличии равновесия существенно ещё, устойчиво оно или
нет. Задача определения равновесия твёрдого тела в поле сил тяжести,
очевидно, сводится к соответствующей задаче устойчивости равно-
весия точки. Действительно, если мы выберем за центр моментов
центр инерции, то, согласно изложенному
выше, действие всех сил можно заменить
одной силой, а момент остающейся пары ра-
вен нулю. Рассмотрим, например, равновесие
треногого стола на гладком горизонтальном
полу (рис. 74). Равнодействующая всех сил
R приложена в центре тяжести (и инерции)
и уравновешивается равнодействующей сил
реакции пола Rb R%, R^ Мы определим
устойчивость равновесия, если представим
себе, как изменяется положение центра тяже-
сти при различных перемещениях стола.
Вращая стол около любой из трёх осей,
проходящих через точки опоры, АуА^А^А^,
А^Ац мы увидим, что при этом центр тя-
жести поднимается; если же двигать стол
по поверхности пола, то высота центра тяжести не изменится.
Поэтому равновесие по отношению к перемещениям последнего
вида — безразличное> по отношению к вращениям—устойчивое.
То обстоятельство, что центр тяжести оказывается не совпадаю-
щим с какой-либо действительной материальной точкой тела, несу-
щественно в наших рассуждениях. Он движется так, как если бы был
скреплён невесомыми неизменяемыми
стержнями с нашим телом.
Рассмотрим теперь условия равно-
весия рычажных весов (рис. 75). Суще-
ственной их частью является коро-
мысло (М рисунке изображено
схематически), имеющее острый тре-
угольный нож, опирающийся на пло-
скость ВВ, скреплённую со стойкой
весов; остриё ножа является осью
вращения. При равновесии коромысла
под действием двух неравных грузов — сил Plf Р2, приложенных
в концах коромысла О,, О2, и силы веса Р самого коромысла,
который мы можем представить себе приложенным в центре тяжести
Q, — весы несколько отклоняются на угол от своего положения равно-
весия при отсутствии нагрузок. Условие равновесия тела, вращаю-
щегося на оси (рычаг) под действием трёх сил, мы напишем,
согласно (6.3') или же непосредственно из условия равенства нулю
§ 2] УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 145
суммы моментов всех трёх сил относительно оси вращения, прохо-
дящей через О. Момент силы Р по величине равен OQ • Р и вращает
весы против часовой стрелки; обозначив расстояние центра тяжести
до точки опоры через Z, имеем
Мом (Р) — 1Р sin 9.
Далее, обозначим через травные длины ОО1 иОО2 и через р—
углы, составляемые этими длинами с осью симметрии коромысла OQ.
Тогда найдём
Мом (Р,) — b • Рх sin (р — 9), Мом (Ра) = — bPi sin (Р ?)•
Последний момент отрицателен, ибо он вращает коромысло против
часовой стрелки. Условие равновесия принимает вид
IP sin 9 4“ sin (P — 9) — bP2 sin (P —9) = 0.
Решая это уравнение относительно 9, находим
tg ф ==_________________
v IP+b(Pl + P2) COS ti ‘
Обычно чашки весов имеют равный вес Q; полагая, что на них
положены грузы и /?2, найдём
а, следовательно,
Р2 Р1 ~— Р% Pi А.
Полагая 9 малым, можем вместо предыдущего уравнения написать
Asin? лч
— ZP+^cosfl • (Л + Р2)‘ (6’4)
Отсюда видно, что для того чтобы при заданной разнице нагрузок А
угол отклонения оси симметрии весов от вертикали был возможно
больше, надо, чтобы cosp = 0, т. е. р = у. Другими словами, надо,
чтобы точки подвеса чашек совпадали с плоскостью, проходящей
через ось качания весов. Предыдущая формула примет тогда более
простой вид
(6.5)
Очевидно, чем большее отклонение весов наблюдается при данной
разнице нагрузки А, тем они чувствительнее. Принято называть
чувствительностью весов угол 9, соответствующий А = 0,001 мг.
Следовательно, чувствительность весов определяется по формуле
io-®
9 = ^(CGS).
10 Папалекси, т. I
146
МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. VI
Далее видно, что чем легче вес Р коромысла и чем ближе центр
тяжести его лежит к точке опоры, тем чувствительнее весы. Однако,
совпадение центра тяжести с точкой опоры сделало бы, как легко
видеть, невозможным всякое взвешивание. Из выражения для tgq>
видно, что тогда tgcp равнялся бы бесконечности (предполагается,
п Я \
что ₽ = у),
т. е. ср = у при любой сколь угодно малой, но конеч-
ной разнице нагрузок А ; кроме того, такие весы при отсутствии
грузов находились бы в любом положении в безразличном равно-
весии. Поэтому всегда оставляют центр тяжести несколько ниже
точки опоры, что сообщает весам устой-
чивость. я
Лучшие рычажные весы позволяют
устанавливать разницу нагрузок в 0,001 лег;
с такой точностью можно, следовательно,
взвешивать на таких весах. Однако, такие
чувствительные весы допускают взвеши-
вание грузов, не превышающих 15—20 г.
§ 3. Принцип отвердения. Выше мы
видели, что кинематические связи, дей-
ствующие между точками системы, мож-
рис 76. но заменять силами реакции, и такая воз-
можность объясняется физически, если при-
нять во внимание, что в действительности связь не вполне твёрдая, но
упругая и при весьма малых деформациях развивает силы упругости,
достаточные для уравновешения любых внешних сил. Но если дей-
ствие связей можно заменять подходящими силами (реакциями), то
естественно поставить себе и обратный вопрос: нет ли возможности
заменять силы кинематическими связями? Рассмотрим, например,
невесомую пружину, растянутую действием двух равных и противо-
положных внешних сил; это проще всего осуществить, если при-
весить груз к концу пружины, укреплённой другим концом на опоре.
Если при этом пружина колеблется, то расстояния между различ-
ными точками её изменяются, и внутренние силы взаимодействия
молекул, очевидно, невозможно заменить какими-либо кинематиче-
скими связями. Но если мы наблюдаем случай равновесия пружины
под действием груза, то, заменив внутренние силы между молеку-
лами кинематическими связями, мы не изменим условий равновесия.
Вообще, если система точек находится в равновесии под действием
внешних сил, то равновесие не нарушится, если система отвердеет
(можно представить себе, что точки её соединены невесомыми твёр-
дыми стержнями).
Этот простой принцип, высказанный впервые Стевином (1548—
1620), позволяет применять к покоящемуся деформированному
телу те же уравнения равновесия внешних сил на твёрдом
теле (6.3).
§ 4] ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 147
Принцип этот чрезвычайно полезен для решения задач о равно-
весии деформируемых тел. Представим, например, себе, что вода,
покоящаяся в стакане, отчасти отвердела, и именно так, что осталась
неотвердевшей незаштрихованная на рис. 76 часть. Мы получим два
сосуда, сообщающиеся отверстием Л, и можем теперь утверждать,
что вода в сообщающихся сосудах должна находиться на одном
уровне.
§ 4. Принцип возможных перемещений. Представим себе си-
стему точек, движение которых стеснено кинематическими связями
(например, цепь, звеньй которой связаны шарнирами, или же неиз-
меняемое твёрдое тело и т. п.) и на которые действуют заданные
" внешние силы; пусть система наша находится под действием этих
сил в равновесии.
Представим себе далее, что мы несколько передвинули все точки
системы. Вследствие существования кинематических связей, не все
перемещения точек системы возможны; например, любая точка не-
изменяемого твёрдого тела, вращающегося на оси, может двигаться
только по окружности. Мы именно и предполагаем в дальнейшем
только такие «возможные» перемещения и будем перемещение
точки mi обозначать через 8гг«, а силу, на неё действующую,—
через Работа, которую совершала бы эта сила, на пути* совпа-
дающем с 8rz, с точностью до малых второго порядка равна
8Л; = Fi 8rz = Eft cos aif (6.6)
где — угол между силой и возможным перемещением. Прибли-
жённость этого выражения обусловлена тем обстоятельством, что
при перемещении сила несколько изменяется, получая к концу
пути прибавку 8/*> поэтому написанное выше выражение несколько
отличается от 8Л;. Если бы мы полагали силу на всём пути 8rz
равной её конечному значению, то нашли бы
84, = (Fi + 8FJ 8rz = Fi 8r. + 8FZ 8rz,
т. e., очевидно, величину, несколько большую действительной работы.
Но если 8rz первого порядка малости, то и 8FZ по крайней мере
того же порядка малости, а может быть и меньшего. Поэтому вели-
чина 8Fz8rz по крайней мере второго порядка малости, а потому,
отбрасывая её, мы совершаем ошибку, малую по сравнению с вели-
чиной Ff8rz.
Существенно заметить, что перемещения 8rz отдельных точек при
наличии кинематических связей не являются произвольными, но между
ними существуют определяемые связями соотношения. Ниже выяснится
важность этого замечания.
Докажем теперь весьма удобный для решения задач о равновесии
принцип возможных перемещений*.
10*
148
МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. VI
Необходимым и достаточным условием равновесия тела под дей-
ствием сил является равенство нулю работы всех сил, кроме
реакций связей на пути возможных перемещений
S84z = £Fz8rz = 0. (6.7)
Сперва мы докажем необходимость этого условия, т. е. что если
система находится в равновесии, то указанное выше условие со-
блюдено.
Полная сила, действующая на точку mh есть сумма силы fz и
реакции всех связей /?z. Но так как точка znz находится в равно-
весии, то Fi + Ri = 0, а, следовательно,
(W)fr=0.
Суммируя пэ всем точкам, найдём
2 (F, + /?,-) 8г,- = S Л 8Г/ + £ /?,- 8г,.
(6-8)
Но последняя сумма равна нулю
£Z?.8rz = 0.
Покажем это для разных видов связей. Если, например, точка mL
принуждена двигаться по поверхности, то реакция этой связи пер-
пендикулярна к этой поверхности, а следовательно, и к возможному
перемещению 8rz, которое непременно совпадает с этой поверхностью.
Следовательно, в этом случае скалярное произведение Ri 8rt = 0. Другой
вид кинематической связи изображён на
рис. 77: две точки скреплены невесомым
твёрдым стержнем. После перемещения
стержень из положения АВ перейдёт в по-
ложение А'В', причём, вследствие неизме-
няемости длины стержня, АВ = А'В’. Но
ввиду малости перемещений мал и угол а,
причём он того же порядка малости, что
и 8rz, 8rfe. Но в этом случае cos а отли-
чается, как известно, от 1 на величину второго порядка малости.
Поэтому проекция MN отрезка А'В' на направление АВ, равная
MN— А'В' cos а = АВ cos а,
с точностью до малых второго порядка равна АВ. Отсюда видно,
что, с той же точностью, АМ = BN. Но
AM — 8rz cos pz и BN=8rfe cos
Составим теперь сумму работ реакций связей для обеих точек
brt 4- Rk 8rft = Rt 8r, cos 0, Rk Ъгк cos
Эти силы реакции, как всякие внутренние силы, равны и противо-
положны; следовательно, сумма этих работ действительно равна нулю.
§ 4] ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 149
Такое же доказательство можно провести для более сложных связей.
Следовательно, из (6.8) действительно вытекает (6.7), т. е. необхо-
димость этого условия доказана.
Докажем теперь обратное: если сумма работ (6.7) равна нулю,
то тело находится в равновесии. Предположим противное, а именно,
что условие (6.7) соблюдено, но система не находится в равновесии.
Тогда, если она и покоится в рассматриваемый момент времени, то
через малый промежуток времени она придёт в движение, т. е.
получит некоторую кинетическую энергию. Согласно закону сохра-
нения энергии, это требует положительной работы сил, действующих
на наши точки. Поэтому
£(^-]-/<) 8rz>0.
Но мы видели, что во всяком случае S Я/8/^ = 0; следовательно,
SFf.8rz>0,
что противоречит исходному предположению. Итак, нельзя допустить,
что система не находится в равновесии при условии (6.7).
Чтобы показать пользу от применения этого принципа к нахо-
ждению условий равновесия, рассмотрим условие равновесия весов.
Обращаясь к рис. 75, мы видим, что возможные перемещения точек,
где сосредоточены силы Q, Pv Р2, суть, соответственно, считая от
положения равновесия,
8rQ = 189, 8грх — Ъ 89, 8гр2 = Ъ 8ф.
Этими формулами и определяется зависимость между трем# переме-
щениями: только те перемещения возможны, для которых эти фор-
мулы соблюдаются.
Эти перемещения совершаются по окружностям, а потому пер-
пендикулярны к OQ, 00', ОО2; их проекции на силы суть Zsin ср,
b sin (Р + 9), Л* sin (р—9). Поэтому
8А — 2 = — Q sin 9 SrQ — Рх sin (j3 -j- 9) 8rp1 P2 sin (P —- 9) 8rp2.
Выражая перемещения по написанным выше формулам через 89, на-
ходим
8А = —- 89 [QZsin 9 + ^1 sin (? + 9) —^2sin (? — ?)] = 0.
Так как, согласно нашему принципу, 8А = 0, а 89 может принимать
любую величину, то должно быть
QI sin 9 + Л sin (р 9) “ ^2 sin (?"“ 9) = 0»
т. е. наше прежнее условие равновесия.
В качестве второго примера рассмотрим подъём груза Р любой
машиной — краном, полиспастом, лебёдкой и т. п. Во всякой такой
150
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. VI
машине груз висит на канате, а сила Q, подымающая груз, действует
на другой канат. Единственные силы, действующие в этой системе
(если пренебречь силами трения), суть Р и Q; остальные силы суть
силы реакций связей, так как такие машины состоят из твёрдых тел
и нерастяжимых (практически) канатов. Перемещения Ъгр и SrQ в этом
случае направлены по силам. Поэтому мы имеем скалярное уравнение
/>8rP+Q8rQ = O.
Но, вследствие нерастяжимости каната, ЪгР и 8rQ не являются неза-
висимыми; как известно из элементарного курса, одно из переме-
щений в п раз больше другого. Поэтому мы можем написать ,
n&rp = brQ.
Вследствие этого приведенное выше уравнение принимает вид
P + ^)^Q=0.
Отсюда, ввиду произвольности 8rQ, вытекает
P4-nQ = 0,
т. е. силы обратно пропорциональны возможным перемещениям.
Если машина такова, что 8rQ в 10 раз больше 8гр, то груз Р
можно удержать силой, вдесятеро меньшей.
§ 5. Динамика твёрдого тела. Вращение тела на оси. Выше,
в гл. V, мы уже видели, как движется система точек в поле сил
тяжести. Конечно и твёрдое тело как система точек подчиняется
тем же законам движения. Центры инерции брошенного камня, пули
и т. п., а также земного шара в поле силы тяготения Солнца
движутся, как материальные точки, вращаясь вместе с тем около
осей, проходящих “
стейшем^ случаю
креплённой оси.
через их центры инерции. Перейдём теперь к про-
несвободного движения тела — вращению на за-
Пусть на наше тело
действуют внешние силы
Fn F2,... ,Fn; к ним мы
должны прибавить силы
реакции Nif N(ii которые мы
представляем себе дейст-
вующими по концам оси —
например, ось укреплена в
двух подшипниках. В этом
случае, как мы видели, твёр-
дое тело имеет только одну
степень свободы, а потому
нам нужно найти только
одно уравнение движения.
Совместим ось вращения неизменяемого твёрдого тела с осью z (рис. 78,
а, где обозначена только одна из сил) и применим к нашему твёрдому
телу теорему моментов количества движения относительно оси z\
1₽Л1=21РЛ'1-
§ 5] ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА НА ОСИ 151
Здесь через pz обозначено расстояние точки до оси вращения,
через сь скорость этой точки, которая в нашехм случае лежит на
касательной к окружности, описываемой точкой mt, и через F/ -—
проекцию силы Ft на плоскость ху, перпендикулярную к оси вра-
щения.
Спроицируем все эти величины на плоскость ху, причём ско-
рость спроицируется без искажения. Так как в нашем случае
(/ф
все точки mt имеют одинаковую угловую скорость относительно
оси и vt j_ pz, то скорость точки mi есть по величине
а момент количества движения
= mpl (х? + yl) .
Момент силы F/ (не перпендикулярной к pz) равен
[г//].
Поэтому исходное наше уравнение при проицировании всех векто-
ров на плоскость ху принимает вид
{2 (X? +Ла)} g = пр. (2 (г//]). (6.9)
Это уравнение весьма напоминает уравнение Ньютона
с той разницей, что вместо линейного ускорения в нём стоит угло-
вое, вместо равнодействующей всех сил — сумма моментов всех сил
относительно оси и, наконец, место массы занимает так называемый
момент инерции
(6.10)
Как видно из этой формулы, момент инерции, как и масса тела
зависит от размеров и плотности тела, но не зависит от хара-
ктера движения. Формулу (6.9) можно написать так:
= (6.11)
Вследствие полной аналогии с законом Ньютона она позволяет решать
все задачи относительно вращения твёрдого тела совершенно так же.
152
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. VI
как формула Ньютона позволяет решать задачи движения точки по
прямой.
Формула (6.10) показывает, что величина момента инерции’зави-
сит от выбора оси вращения; он изменяется и при изменении напра-
вления оси вращения, и
Согласно (6.10), момент
точек твёрдого тела, но
'Рис. 79.
Рис. 80.
при перенесении её параллельно самой себе,
инерции можно вычислить по расположению
мы имеем также простую возможность опре-
делить момент инерции вся-
кого тела опытным путём,
если только ось вращения
проходит через центр тяже-
сти тела и если известен
момент инерции хотя бы
одного тела относительно
его центра тяжести. За та-
кое тело примем однородный
цилиндрический стержень
(рис. 79), центр тяжести ко-
на оси NN. Разобьём весь стержень на эле-
торого лежит посредине
менты Ах. Если обозначить массу единицы длины стержня через р,
то масса длины Ах есть рАх; момент инерции половины стержня есть
у = 2 рАх • х* = р£ х2Дх.
Переходя к пределу, имеем z
/= 2р j* x2dx.
о
Интеграл этот легко вычисляется, и мы находим
Z8
Но р2/ есть масса всего стержня. Поэтому / = у 2И/2, т. е. момент
инерции стержня относительно центра тяжести равен моменту инер-
ции точки, имеющей массу у Ж и находящейся на расстоянии полу-
длины стержня от оси.
Покажем теперь, как можно определить момент инерции любого
тела из опыта. Подвесим наше тело, например круглый диск, на
проволоке (рис. 80) и, закрутив его на некоторый угол 9, отпустим;
тело придёт во вращательное колебание относительно оси, прохо-
дящей через центр тяжести. Сила, вызывающая эти колебания, опре-
деляется закручиванием проволоки. Как мы увидим ниже (гл. VII),
момент силы, противодействующей закручиванию, прямо пропорцио-
нален углу закручивания 9. Поэтому мы можем положить
М = — ky.
§ 5]
ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА НА ОСИ
153
Уравнение (6.11) получает тогда вид
совершенно такой же, как у уравнения колебания маятника. Поэтому
в нашем случае мы должны иметь вращательное колебание с перио-
дом, вычисляемььм по формуле (3.17):
T=2nJ/rj-. (6.12)
Такой период легко измерить, подсчитывая число вращательных
колебаний за большой промежуток времени.
Проделаем теперь такой же опыт, подвесив на той же проволоке
стержень известного момента инерции Д; найдём другой период Tj
____________ m,
г'=21/т- , //
% 4
Решая систему этих двух уравнений относитель- / / *
но L находим £ у--*-!
л Ока
1=1^. (6.13) рис81
Если известен момент инерции относительно оси О', проходящей
через центр тяжести тела, то вычислить момент инерции относи-
тельно любой параллельной оси О позволяет теорема Штейнера.
Рассмотрим (рис. 81) одну из точек mi нашего тела, лежащую,
вообще говоря, не в плоскости чертежа; плоскость эту выберем
перпендикулярной к осям О и О'. Обозначим через R расстояние
в плоскости чертежа от оси О до оси О'; пусть, далее, /?/ есть
векторная проекция радиуса-вектора Ri от центра тяжести до нашей
точки mt и, наконец, р/ есть векторная проекция радиуса-вектора pi
от точки О до mt. Для каждой точки mt имеем
т= mt (/? + /?/)* = т^ + + т^.
Суммируя по всем точкам, находим
2 т^ + 2 2mRR? + 2
т. е. момент I инерции относительно оси О есть сумма момента
инерции Г = ^mtR^ относительно О’ и двух других членов, вто-
рой из которых, как мы сейчас докажем, равен нулю, а первый
2 mft* = R’* 2 Щ
равен моменту инерции /0, относительно оси О' точки О, имею-
щей массу, равную массе всего тела. Таким образом,
70 = W2 + V (6.14)
154
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. VI
Мы видим, что, определив из описанного выше опыта или вычис-
лением /0 — момент инерции относительно оси, проходящей через
центр тяжести, мы найдём момент инерции относительно любой
параллельной оси, прибавив ещё легко вычисляемое выражение
MR'\ Покажем теперь, что
У <2RmiRi = 0.
Действительно,
У tRinft- = 2R 2
и нам остаётся доказать равенство нулю выражения Согласно
изложенному в гл. III, %
J±mtRi___л
Е/п/
так как это есть радиус-вектор расстояния центра тяжести до этого
центра. Но, проицируя нулевой вектор У miRi на плоскость, перпенди-
кулярную к оси вращения, мы, очевидно, снова получим нулевой
вектор. Далее, мы видели, что /?/ есть векторная Проекция Ri на эту
плоскость, поэтому мы имеем, наконец,
2 т^[ = 0.
§ 6. Физический маятник. Под физическим маятником мы под-
разумеваем всякое неизменяемое твёрдое тело, вращающееся на гори-
зонтальной оси под действие1я сил тяжести. Для изучения его дви-
жения применим уравнение (6.2); в данном случае все внешние
силы, действующие на тело, имеют равнодействующую, приложенную
в центре тяжести
и равную по величине весу тела Mg, Рассматривая
рис. 82, мы видим, что момент Р равен
Р ——00' • Mg - sin 9 = — /? Mg sin 9,
где O' есть положение центра тяжести, а /? —
расстояние до него от оси вращения. Поэтому
мы имеем
= —RMgsmcp
или, предполагая угол ср малым,
= (6.15)
т. е. уравнение, не отличающееся от уравнения колебаний математи-
ческого маятника. Поэтому прежним способом можем вычислить
период и найдём
7'=2’i/S- ‘6-i6>
§ 6] ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 155
Какой же длины нужно взять математический маятник, чтобы
последний имел тот же период, что и рассматриваемый физический.
Обращаясь к формуле
Т=2«/|, " (3.17)
определяющей период математического маятника, найдём сравнением
этой формулы с предыдущей
‘=№- <617>
Величина I называется приведенной длиной физического маятника.
Если последний состоит из тяжёлого тела (чечевицы), подвешенного
на стержне, весом и моментом инерции которого можно пренебречь,
то, считая чечевицу за точку и замечая, что в этом случае
находим .
т. е. что математический маятник является частным случаем физического.
Обозначив через /0 момент инерции физического маятника отно-
сительно оси, проходящей через центр тяжести, можем написать,
согласно теореме Штейнера,
1=1* +MR*,
т. е.
т. е. приведенная длина физического маятника всегда больше, чем
расстояние центра тяжести до оси вращения. С уменьшением R
растёт приведенная длина, а следовательно, и период колебания.
Отметим в нашем маятнике точку О", определяющую длину I
приведенного математического маятника. Точка эта называется цен-
тром качания.
Перемещение оси подвеса изменяет период физического маятника;
но если переместить ось в центр качания, то период останется
прежним. В самом деле, согласно рис. 81, мы можем положить
l = R+R\ £ = l — R9
где через R’ = O’O" обозначено расстояние центра тяжести от
новой оси подвеса. Новая приведенная длина Г есть, согласно выше-
сказанному,
Г— 4-Р'— ;о + MR* + Mid-2R)
R’M'K ~ M(l — R)
Но
+MR* = 1= IRM.
Принимая это во внимание, найдём
Г = 1,
г. е. теорема доказана.
156
МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. VI
Она даёт возможность определить положение центра качания, а
следовательно, и приведённую длину; это, в свою очередь, позволяет
определить по знанию периода качания физического маятника и уско-
рение силы тяжести. Для
блока через /, а его радиус
»еделения центра качания употребляется
так называемый оборотный маятник
(рис. 83). В нём имеются две призмы
а, Ь, которые используются как точки
опоры, и два передвижных груза Р и
Q, положение которых подбирается
так, чтобы периоды качания маятника
на обеих призмах а и b были равны.
§7. Машина Атвуда. Наши фор-
мулы позволяют учесть влияние инер-
ции блока на ускорение движения
гирек в машине Атвуда, известной
из элементарного курса физики (рис.
84). Для этого надлежит рассматри-
вать блок как отдельную систему, на-
ходящуюся под действием внешних
сил Р и Q, вызванных грузами М и
М~\~т. Обозначив момент инерции
— через г, мы можем, согласно (6.11),
написать
^ = Qr-Pr=r(Q-P),
причём направление вращения, выбранное за положительное, указано
стрелкой. Ускорение некоторой точки на окружности блока есть
так как г<р есть перемещение этой точки. Поэтому предыдущее урав-
нение можно написать в виде
La = r(Q-P).
Но, очевидно, а есть ускорение груза 7И -f- т, на который дей-
ствуют сила веса (M-j-m)g и сила реакции блока, равная —Q.
Поэтому мы можем написать
(Л4 т) а = (М 4- т) g — Q,
причём за положительное направление движения выбрано движение
вниз. По тем же соображениям для уравнения движения груза М имеем
— Ма = — Р Mg.
§ 8] КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
157
Эти три уравнения содержат три неизвестных: а, Р, Q; опреде-
ляя а, находим
т*
---------т-
2M+m+^
В элементарном курсе при пренебрежении инерцией блока 'полу-
чается
a=g——
т. е. большая величина.
Так как а оказывается постоянным, то движение — равнопере-
менное.
§ 8. Кинетическая и потенциальная энергии твёрдого тела>
Если неизменяемое твёрдое тело вращается на оси мгновенной или
постоянной — безразлично, то все точки его имеют общую угловую
скорость. Обозначив эту скорость через — , а расстояние рассматри-
ваемой точки /п,- до оси — через г£, имеем
vi=rd
И
тр\__ mir\ (d®^
2 —
Суммируя по всем точкам, находим
т. е., принимая во внимание, что — Ц
I &Y
F _ W
Если, кроме вращений на оси, твёрдое тело ещё и перемещается,
причем скорость движения его центра тяжести есть г/, то к этому
выражению надо ещё прибавить кинетическую энергию центра
тяжести, и мы найдём
F _\dt) • Mv*
Ek—------2----*--2“~ ’ (6.18)
Потенциальная энергия неизменяемого твёрдого тела в поле силы
тяжести, очевидно, равна потенциальной энергии точки с массой М,
совпадающей с центром тяжести тела, т. е.
(6.19)
158
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. VI
Закон сохранения энергии неизменяемого твёрдого тела, движу-
щегося только под действием сил тяжести, имеет вид:
/й’
Е — Ек-\-Ер = - - + ^- + Mgh =const. (6.20)
Интересным примером применения этой формулы служит так
называемый волчок Максвелла (рис. 85) — диск, ось которого под-
вешена на двух нитях. Закрутив волчок, мы приподнимем его на
высоту Н над положением равновесия. Полная его энергия в этом
положении есть MgH (считая нулевым уровнем потенциальной энергии
положение равновесия)..Поэтому полная энер-
V///M
гия волчка на высоте h есть
Ek-\-Mgh — MgH.
7 \ Отсюда видно, что, спустившись до нулевого
(, -J ( . Ии-О уровня (h — 0), т. е. до наинизшего положе-
\ 1 ния центра тяжести (причём n=0), волчок
приобретёт кинетическую энергию Ek=MgH,
Рис. 85. откуда, зная момент инерции волчка, можно
определить его угловую скорость.
Вращение волчка на этом не остановится, но будет совершаться
периодически: он начнёт вновь подниматься, нить будет накручи-
ваться на ось; поднявшись до прежней высоты, волчок остановится
и снова начнёт опускаться.
Подобным же учётом энергии вращения можно определить и ско-
рость, которую приобретает шар, скатывающийся по наклонной
плоскости (опыт Галилея).
§ 9. Гироскоп. Гироскоп, или волчок, представляет собой при-
мер вращающегося твёрдого тела, находящегося под действием сил
тяжести и реакции опоры. Поэтому момент количества движения
гироскопа уже не является постоянным—ось его вращения изменяет
своё направление.
Мы будем предполагать в дальнейшем, что гироскоп предста-
вляет собой тело вращения, и ось его симметрии будем называть
материальной осью.
Простейшим случаем является такое вращение волчка, при кото-
ром его материальная ось вертикальна. В этом случае (рис. 86)
сила реакции R и сила тяжести Р, приложенная к центру инерции
волчка, равны и противоположны, и, следовательно, взаимно уничто-
жаются. Поэтому момент количества движения сохраняет постоянное
вертикальное направление, и ось вращения совпадает с материальной
осью волчка; такое положение вращающегося волчка всем хорошо
известно. Однако, вызывает удивление, почему такое положение
волчка устойчиво, тогда как при отсутствии вращения оно было бы
§ 9]
ГИРОСКОП
159
неустойчиво. Ответ на этот вопрос можно получить, используя
теорему моментов.
Известно, что вращающийся волчок, материальная ось которого
наклонена, не падает; но эта ось вращается около вертикальной оси
со скоростью, небольшой по сравнению со скоростью вращения около
материальной оси, причём описывает конус. Такое вращение оси
называется прецессионным. Здесь мы встречаемся с наличием двух
вращений: одного около материальной оси с .большой угловой ско-
ростью, вектор которой мы обозначим через (Dj, и вращением мате-
риальной оси около вертикальной оси, которое определяется неболь-
шим по сравнению с вектором <о2. Применяя правило сложения
векторов, находим действи-
тельную скорость вращения
(О = (Oi + (02.
Однако, вследствие малости
ш2 по сравнению с ш, мы
можем приближённо поло-
жить
(!) = (Ор
т. е. считать, что мгно-
венная ось вращения сов-
падает с материальной осью
волчка. Поэтому мы можем
положить, что момент ко-
личества движения может быть вычислен по отношению к ма-
териальной оси, и, согласно формулам (6.9), (6.10), написать момент
количества движения в такой форме:
~dt
= /(!>!,
где I—момент инерции волчка относительно его материальной
оси.
Но если вектор этот оставался постоянным при вертикальном
положении материальной оси волчка, то теперь он изменяется, так как
существует момент внешних сил. Величина этого момента усматри-
вается из рис. 87; рбозначив расстояние центра тяжести волчка от
его точки опоры через г и приняв во внимание, что момент силы
реакции равен нулю, находим для момента внешних сил выраже-
ние [гР], так что теорема момента получает вид
=[/•/>].
Заметим теперь, что изменение вектора (0t состоит только в из-
менении направления; величина же его не меняется, так как ско-
160
МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. VI
рость вращения волчка около материальной оси, как это показывает
опыт, практически неизменна. Поэтому конец вектора вращается
около оси по окружности, показанной на рисунке пунктиром, с угло-
вой скоростью <о2. Отсюда вид-
но, что
г
^=[<М>1Ь
и мы можем написать
/[C02C0J = [гЯ]. (6.21)
Формула эта даёт ответ на по-
ставленный нами вопрос. Мы видим,
что вектор [гЯ] направлен горизон-
тально, перпендикулярно к плос-
кости чертежа и за плоскость чертежа. Значит, так же направлен и век-
тор [<о2(01]; иначе говоря, ось волчка не увеличивает своего наклона
к вертикали, а наклоняется за плоскость чертежа. Направление век-
тора <о2, т. е. угловой скорости вращения материальной оси волчка,
однако, нельзя определить из (6.21),
так как нельзя определить векторный
множитель <о2 по векторному произве-
дению [(d2<oj и другому множи-
Рис. 89.
телю (0^ хотя мы и начертили <о2 по вертикали, однако из этого
рассуждения видно, что это — не единственный возможный вид дви-
жения волчка.
Совершенно такое же рассуждение объяснит и другой известный
опыт (рис. 88). Взяв в руки концы оси быстро вращающегося колеса,
придадим ей силами наших рук вращение около горизонтальной
оси MV. Оказывается, для этого нужно действовать с силами Р, Р,
расположенными в горизонтальной плоскости, так, чтобы момент
их 2 [гР} был направлен вертикально вверх; это и следует из фор-
мулы (6.21).
Теперь мы можем дать объяснение тому обстоятельству, что
вращающийся артиллерийский снаряд при своём полёте сохраняет
свою материальную ось приблизительно параллельной скорости, т. е.
материальная ось его приблизительно совпадает с касательной.
Если бы мы пренебрегли силой трения снаряда о воздух, то ось
ГИРОСКОП
161
§ 91
снаряда сохраняла бы постоянное направление в пространстве, как
это показано на рис. 89. Но сила трения /?, действующая на сна-
ряд (рис. 90), летящий по направлению V (скорость его центра
тяжести), не проходит через его центр тяжести О. Перенесём R
в центр тяжести, что можно сделать, только приложив пару сил, мо-
мент которой перпендикулярен к плоскости чертежа. Мы имеем тогда
только что разобранный случай, изображённый на рис. 88. Следо-
вательно, ось снаряда будет совершать прецессию, показанную на
рис. 90 окружностью со стрелкой, с малым углОлМ прецессии 9,
т. е. практически сохранять направление траектории. Для того что-
бы снаряд не совершал прецессии со слишком большим углом,
опытным путём подбирают наивыгоднейшее соотношение между
скоростью полёта снаряда и скоростью вращения его, задаваемой
нарезкой в стволе.
С гироскопическими явлениями мы встречаемся и во многих дру-
гих случаях, имеющих военное значение. На кораблях и самолётах
имеются вращающиеся части двигателей; поэтому при повороте
корабля или самолёта вследствие поворота руля создаются вращаю-
щие корабль моменты, как на рис. 88. Самолёт, например, при
повороте наклоняется носом вниз или вверх, смотря по направлению
винта и поворота.
Вращающийся в подвесах гироскоп служит компасом на железных
судах, где вследствие магнитного действия больших железных масс
обычный магнитный компас становится неприменимым.
11 Папалекси, т, I
ГЛАВА VII.
МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ.
§ 1. Деформации твёрдого тела. До сих пор мы рассматрива-
ли механику недеформируемого твёрдого тела. Мы переходим те-
перь к рассмотрению деформируемых тел, т. е. таких тел, форма
которых изменяется под действием приложенных к ним внешних
сил. Как уже сказано выше, все тела состоят из молекул и атомов,
между которыми существуют силы взаимодействия; поэтому и де-
формируемое тело можно рассматривать как систему материальных
точек, расстояния между которыми изменяются при их деформации.
Но во многих случаях более целесообразно рассматривать деформи-
руемое тело, как сплошное. Так можно поступать почти при всех
инженерных расчётах: прогиб балки, течение воды в канале, исте-
чение газа из крана. Вообще все те деформации,, для измерения
которых мы ограничиваемся сравнительно грубыми—макроскопиче-
скими— способами, можно рассматривать, как сплошные. Этой
макроскопической точки зрения мы главным образом и придержи-
ваемся в этой главе. '
Разделим мысленно деформируемое тело на малые объёмы. На-
пример, при проведении в нём трёх взаимно перпендикулярных
систем плоскостей на равных расстояниях, наше тело окажется
состоящим из мелких кубиков. Если под действием тех или иных
сил мы наблюдаем изменение расстояния хотя бы между двумя ка-
кими-либо отмеченными кубиками, то мы говорим, что тело деформи-
ровано, т. е. испытало деформацию. Взаимное расположение этих ку-
биков* при этом обычно не изменяется, т. е. любой отмеченный нами
до деформации кубик имеет тех же соседей и после деформации.
При деформации тела изменяется форма кубиков. Если два ку-
бика в некоторой части тела, совместимые до деформации, после
деформации, приняв, например, форму косых параллелепипедов, всё
же геометрически совместимы, т. е. имеют одинаковую форму, то
мы называем деформацию однородной в этой части тела. Примером
однородной деформации является деформация средней части слабо
растягиваемого стержня.
Однородная деформация имеет две важные геометрические осо-
бенности: 1) Все прямые линии и плоскости, отмеченные в теле
§ 1]
ДЕФОРМАЦИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА
163
Рис. 91.
до деформации, остаются прямыми и плоскостями и после дефор-
мации', 2) все параллельные прямые и параллельные плоскости
остаются параллельными и после деформации.
Существует наглядный способ судить о том, однородна ли дан-
ная деформация, и вообще, какова она. На поверхности тела нано-
сится сетка линий, представляющих пересечение с этою поверхностью
двух семейств взаимно перпендикулярных, равноотстоящих пло-
скостей. После деформации форма этой сетки искажается; по ха-
рактеру этого искажения мы получаем возможность судить о харак-
тере деформации. На рис. 91 изображён прямоугольный стержень,
растянутый при помощи заштрихованных захватов. В
результате деформации прямоугольная квадратная
сетка, нанесённая на поверхности стержня, исказилась,
и подробности деформации отчётливо видны на ри-
сунке—повсюду квадратики растянулись. В данном
случае деформация — неоднородная в области суже-
ния, наблюдающегося при сильных деформациях,
так как равные прежде квадратики теперь имеют
каждый свою форму; в областях, удалённых от
сужения, деформация—однородная.
При исследовании важнейшего в этой области
вопроса—установления связи между деформациями
и силами, их вызывающими, однородные деформации
играют важную роль. Опыт показывает, что одинако-
вые деформации частей однородного, т. е. имеющего
одинаковые свойства во всех своих точках, тела вызываются оди-
наковыми силами. Имея однородно деформированное и притом одно-
родное тело, мы получаем, таким образом, возможность произво-
дить измерения на больших частях тела, что повышает точность
измерений. В случае же неоднородно деформированного тела мы
имеем возможность мысленно разделить его на участки; настолько
малые, что в каждом из них деформацию можно считать однород-
ной.
Простейшим мыслимым видом деформации является растяжение
или сжатие тела в определённом направлении, например, в на-
правлении оси z. При этом каждая точка тела получит неко-
торое перемещение; выделив мысленно в теле небольшой кубик
(рис. 92,а), мы увидим, что после деформации нашего тела он не
только переместился, но и удлинились его рёбра, параллельные
оси z. Для сравнения недеформированного и деформированного
кубиков удобно представить их себе совмещёнными их основа-
ниями, как это сделано на рис. 92.
Мерой деформации принято считать удлинение единицы длины.
В нашем случае
(7-1)
J1*
164
МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ
[ГЛ. VII
Деформацию ezz мы обозначили буквой с двумя значками, чтобы
отметить то обстоятельство, что в данном случае точки всех пря-
мых параллельных оси z, получили перемещения, направленные по
той же оси z\ kzl есть удлинение по оси z ребра /ог, направленного
по той же оси z и имевшего первоначальную длину Zo.
Размерность деформации, как видно из (7.1), есть нуль; tzz
считается положительным, если имеется удлинение, и отрицательным,
если имеется сокращение длины loz.
Такого же характера деформацию мы можем себе представить
по оси х и оси У, а также одновременно по направлениям осей х
и z (рис. 92,Ь) или по всем трём
осям (рис. 92,с); деформации эти
мы обозначим так:
е —е —
xx~lQX ’ /оу *
Другой, часто встречающийся
вид однородной деформации —
чистый сдвиг, изображённый на
рис. 92, d. Такой сдвиг легко
наглядно осуществить на колоде
карт, несколько передвигая ка-
ждую лежащую выше карту отно-
сительно лежащей ниже соседней.
Такая деформация изменяет углы
тела: до деформации yronxOz—
прямой, после деформации он не-
сколько отличается от прямого.
Совокупность двух чистых сдви-
гов в двух взаимно перпендику-
лярных направлениях называет-
ся простым сдвигом (рис. 92, е,
/). Из сравнения рис. 92, d
и 92, / видно, что простой сдвиг можно (приближённо, при усло-
вии малости деформаций) рассматривать как чистый сдвиг, со-
провождаемый вращением кубика как твёрдого тела. При сдвиге,
изображённом на рисунках d, е, f, все точки, лежащие в пло-
скостях, параллельных xOz, лежат в тех же плоскостях и после
деформации.
Мерой деформации сдвига считают изменение прямого угла
xOz, т. е. -j- р2. Обращаясь к рисунку 92,d, мы видим, что точки
всех прямых, параллельных оси z, получают перемещения в направ-
лении оси х\ поэтому мы обозначаем такую деформацию симво-
лом ъгх. Но легко видеть, что, повернув без деформации наш кубик
около оси Оу на угол р, мы приближённо получим чистый сдвиг
§ 1]
ДЕФОРМАЦИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА
165
в направлении Oz, причём точки всех прямых, параллельных оси х,
получат перемещения, параллельные оси z. Такую деформацию мы
обозначаем Поэтому
==
и, следовательно, мы можем написать
zzx — вхг — Pl “F Ра- (7-2)
Такое определение с первого взгляда представляется резко отлич-
ным от определения (7.1). Однако, если мы заметим, что при чистом
сдвиге (рис. 92,d) и предположенной нами малости деформаций
угол р можно заменить его тангенсом, а последний равен j»
то различие это исчезает, так как и этом случае можно написать,
аналогично (7.1),
Нетрудно видеть, что сдвиги, сохраняющие неизменным направле-
ние прямых Ox, Oz, следует обозначать
егу == &ху == &ух*
Представим себе теперь, что мы производим в теле сперва одну
из описанных выше деформаций, затем деформированное тело под-
вергаем другой деформации и т. д. В результате мы получаем те>
ло, деформированное сложным образом. Если все простые дефор-
мации, образующие данную сложную, однородны, то, как легко за-
метить, эта последняя также будет однородной деформацией. Оче-
видно также, что если простые деформации малы, то и сложная
деформация мала. В случае наличия такой малости деформаций мож-
но по ним просто вести вычисления сложных деформаций. Пред-
ставим себе, например, что наш кубик испытал последовательно
две деформации и и покажем, что окончательная деформация
егг равна сумме
£Zz = еЛ Ч- Zzz = &zz Ч- Qzz (7.3)
и не зависит от порядка выполнения деформаций, В самом деле,
после первой деформации длина Zo обратится в длину I'
Z’ = /o+V.
а после второй длина 1’ обратится в длину I"
166 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ. VII
По определению имеем
f _____________________п ________
6«—V гг~~ ~v'
Окончательная же деформация е22 соответствует переходу длины
/0 в длину I", т. е.
причём, очевидно, AZ=A1Z-]-A2/. Из последнего равенства мы можем
написать
__AiZ । А2/ __ г ( Д21 I' । 11 Zo -]- AtZ________
ег*— -] Г “Г"— jr • 7~—^zz^T^zz * Т —
4о *о 4 *о 4о
= Zzz ~h $zz (1 Zzz) = Zzz ~h s'zz -J- &ZZ • S£Z«
Так как мы считаем, что деформации малы, то последний член мож-
но отбросить, вследствие чего мы и приходим к (7.3).
Подобным же способом мы можем подсчитать и объёмную де-
формацию, которая определяется формулой
где х>0 = /з — первоначальный объём нашего кубика. Мы имеем в
предположении, что кубиЛ испытывает- деформацию по всем трём
осям координат,
£ __Ые Р е ___
хх~ 10' l0' zz~lQ'
При этой деформации рёбра кубика обращаются в рёбра паралле-
лепипеда,'дайны которых равны
+ AiC1 ”1~ехЛ С1 “h^)’ АД1 +е^)-
Объём кубика после деформации равен
=/о С1 4“sxv) (1 4~е^) С1 4~егг)
или, принимая во внимание малость деформаций,
^0 + = V0 (! + QXX + evy + ezz)>
откуда
exx "j~ eyv 4*
(7.4)
§ н
ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
167
Легко видеть (рис. 92, d), что деформация чистого сдвига не
изменяет объёма тела. Вследствие предположенной малости дефор-
маций, это справедливо и.вообще для всех сдвиговых деформаций.
Поэтому формула (7.4) сохраняет силу и в самом общем
случае.
Вообще можно показать, что самая общая малая и однородная де-
формация получается в результате шести последовательных простых
малых и однородных деформаций: трёх растяжений по трём взаимно
перпендикулярным к осям направлениям и трёх сдвигов в трёх взаимно
перпендикулярных плоскостях. Такая общая деформация может быть
наглядно представлена, если взять за деформируемое тело шар
с радиусом 1. Легко видеть, что любой из рассмотренных выше
частных видов деформации или их совокупность, например, два
скашивания и одно сжатие и т. п.,
превращают такой шар в эллип-
соид, если только эти деформации
однородны. Вмятин и закручи-
ваний при однородной деформации
происходить не может. Прямые,
проходящие через шар в разных
направлениях, будут деформиро-
ваться по разному (рис. 93). Пря-
мая Oz сократится, примет вели-
чину 14" (считая радиус за
Рис. 93.
единицу), превратившись в Oz'
(ez — отрицательно). Прямая Оу удлинится до величины 1 -р
превратившись в Оу', чему соответствует положительное е^. Другие
прямые изменят и своё направление, например, On перейдёт в Оп\
что указывает на наличие скашивания. Вообще, очевидно, что имея
такой эллипсоид и зная для каждой точки шара (например, /г),
в какую точку п' она переходит, мы можем указать, в какую пря-
мую переходит радиус On после деформации, т. е. как изменяется
длина этого радиуса и его углы с осями координат. Легко далее
видеть, что одну и ту же общую однородную деформацию можно
по-разному рассматривать как совокупность различных простых
деформаций, в зависимости от выбора осей координат в шаре.
Очевидно, например, что при осях координат, выбранных как на
рис. 93, он изображает деформацию, состоящую из растяжения по
Оу и сжатия по Oz. Если же за оси мы выберем От, On, то ту
же деформацию можно рассматривать как сдвиговую.
Деформации, соответствующие направлениям трёх осей эллип-
соида, называются главными деформациями; три главные дефор-
мации вполне определяют и деформации во всех остальных на-
правлениях. Таким образом, мы видим, что деформации можно
вполне охарактеризовать совокупностью трёх векторов, по вели-
чине и направлению совпадающих с тремя полуосями эллипсоида.
168
МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ
[ГЛ. VII
Такие физические величины, которые характеризуются не одним,
а тремя взаимно перпендикулярными векторами, часто встречаются
в физике и получили название тен-
зоров.
Деформации в реальных случаях
не всегда оказываются однородны-
ми1). Два важных примера неодно-
родных деформаций представляют
собой изгиб и кручение. Kart дефор-
мируются малые кубы в разных ча-
стях изгибаемого стержня, видно
из рис. 94. Отмеченные косой штри-
ховкой верхний и нижний кубики,
мысленно вырезанные в стержне,
принимают после изгиба: верхний —
форму удлинённого, нижний — фор-
му сжатого в горизонтальном направлении параллелепипеда; при
этом несколько искажаются и их углы и искривляются рёбра. Од-
нако, как показывает расчёт, для малых кубиков этим можно прене-
бречь и считать деформацию внутри кубика однородной и состоя-
щей для разных кубиков только в различных
по величине и знаку растяжениях. Кубики же,
находящиеся у поверхности АВ, при изгибе
не деформируются; такая поверхность назы-
вается нейтральной. Другим примером является
деформация кручения (рис. 95). Все прямые,
параллельные оси цилиндра, после деформа-
ции превращаются в винтовые линии; все сече-
ния, перпендикулярные к оси, поворачиваются
на разные углы, сохраняя свою плоскость. То
обстоятельство, что такая деформация неодно-
родна, видно хотя бы из сравнения одного из ку-
биков, вырезанный у боковой поверхности ци-
линдра, с кубиком, вырезанным на его оси. По-
следний практически не деформируется, тогда
как первый претерпевает деформацию чистого
сдвига. Промежуточные кубики также претер-
Рис. 95.
певают чистый сдвиг, но меньших размеров.
§ 2. Силы, действующие в изменяемом теле. Объёмные силы.
Все тела состоят из частиц — атомов и молекул, связанных между
1) Следует заметить, что однородная деформация не делает деформи-
руемого тела неоднородным; плотность тела в различных его точках остаётся
одинаковой, хотя и отличной от плотности недеформированного тела.
Если же деформация неоднородна, то и тело, её испытавшее, становится,
очевидно, неоднородным; но при малых деформациях этой неоднородностью
можно пренебрегать.
ОБЪЕМНЫЕ СИЛЫ
169
§ 2]
собой центральными силами взаимодействия. Поэтому мы будем рас-
сматривать изменяемое тело как систему точек. Рассмотрим все
силы, действующие на него. Внешними силами, действующими на
точки нашей системы, являются силы тяжести; кроме того, внеш-
ними же силами являются действия атомов внешних тел, соприка-
сающихся с нашим изменяемым телом; внутренними силами являются
силы взаимодействия атомов нашего тела.
Однако, в условиях нашего обычного, особенно инженерного
исследования неудобно и нет необходимости обращаться к та-
кому воззрению. Например, при изучении растяжения проволоки
в зависимости* от приложенной к ней растягивающей силы мы,
естественно, рассматриваем растягивающую силу как одно целое,
а не как совокупность сил, действующи# на отдельные атомы, и
изучаем удлинение проволоки как целого, а не перемещение отдель-
ных её атомов. В результате мы получаем такой важный и удоб-
ный для практического использования закон, как закон Гука—рас-
тяжение пропорционально напряжению. Возможны, таким образом,
две точки зрения: «микроскопическая», когда мы ищем нужные
нам закономерности, рассматривая тело, как состоящее из атомов
и молекул; и «макроскопическая», когда мы рассматриваем тело
как сплошное. Конечно, обе точки зрения относятся к одной и той
же сущности, а потому их следует рассматривать именно только
как два способа рассмотрения, из которых иногда удобен один,
иногда другой. Конечно, между обеими точками зрения существует
и глубокая связь; в чём она заключается, мы лучше всего поймём
на простом примере.
Рассмотрим понятие плотности тела. Мы находим её, определив
массу Л4 рассматриваемого тела и его объём V, как частное
Но если тело неоднородное (в обычном смысле этого слова), то
р есть так называемая «средняя плотность». Вырезая из разных
мест рассматриваемого тела два малых куска, мы в этом случае
найдём, что плотности их различны. Если кусок настолько
мал, что для каждой его половины мы находим одну и ту же плот-
ность, то мы говорим, что нашли истинную плотность тела в той
его точке, около которой вырезан данный кусок. Ясно, что такое
утверждение будет тем более определённым, чем меньше вырезан-
ный кусок. Эти соображения позволяют нам дать такое определе-
ние истинной плотности:
р= или р = ^. (7.5)
При этом масса М есть, очевидно, сумма масс атомов в рас-
сматриваемом объёме
170
МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ
[ГЛ. VII
т. е. формулу (7.5) мы можем написать и так:
Однако, этот переход к пределу нельзя понимать, как это принято
в математике. В самом деле, последовательно уменьшая объём V,
мы придём к таким объёмам, которые заключают немного а, может
быть, один атом; при дальнейшем разделении таких объёмов попо-
лам может оказаться, что в одной половине, скажем, 3, в другой
5 атомов (потому хотя бы, что вследствие тепловых движений ато-
мы распределились по объёму на мгновение неравномерно). Очевид-
но, поэтому, что постепенное уменьшение V в формуле (7.5) на опы-
те сперва будет давать^? постепенное приближение к какой-то пре-
дельной величине р, а при дальнейшем делении разбросы значений
р будут расти, и формула (7.5) потеряет физический смысл. Поэто-
му для тех определений плотности, которые обычно нужны инже-
неру и физику, нам надо пользоваться не «математическим», а «фи-
зическим» пределом, т. е. предполагать уменьшение V не до нуля,
а до некоторого «разумного» предела. Для рассмотрения же весьма
малых объёмов пользоваться не «макроскопической», а «микроско-
пической» точкой зрения, для которой можно обходиться без ис-
пользования понятия плотности.
Сколь же малыми могут быть выбираемые объёмы, чтобы можно
было пользоваться понятием плотности? Если мы вспомним, что
в 1 см3 любого газа содержится круглым счётом 1019 молекул, то
легко обнаружим, что и куб ребром в 0,001 мм, содержащий
около 107 молекул, ещё настолько велик, что применение макроско-
пической точки зрения при рассмотрении, например, тех неоднород-
ностей, которые могут в нём возникнуть, скажем, при распростра-
нении через него взрывной звуковой волны, вполне законно, и
плотность в ряде случаев можно оценивать по формуле (7.5).
Подобные рассуждения относятся и к весьма многим другим фи-
зическим понятиям. Рассмотрим теперь удельный вес. Мы определяем
его как вес единицы объёма. Но вес отдельного атома с массой
т- есть n^g; следовательно, вес тела в объёме V есть
= g'£mi=gM. Поэтому средний удельный вес тела есть
& у
Переходя к физическому пределу, найдём
d=^-dV=S?- (7.6)
Величина d называется весом единицы объёма, или удельным весом',
размерность его есть
[fl = = МТ ~2 L ~ 2.
§ 3] АТОМНЫЕ СИЛЫ 171
Для.дальнейшего полезно заметить, что величины d V и dM третье-
го порядка малости по отношению к dl — элементу длины, при-
нимаемому нами малым первого порядка. В самом деле, dV={dCf
(в предположении, что рассматриваемый малый объём имеет фррму
куба). Согласно (7.4), и dM того же порядка, что и dV. !
Совершенно такое же рассуждение приложено не только к ска-
лярной величине d, но и к вектору силы тяжести Р. Мы можем
поэтому написать
г» dM
p==pgr=5r__, (7.7)
где снова подразумевается физический предел отношения^. Поль-
зуясь (7.5), мы можем написать и выражение для силы тяжести (и во-
обще для любой внешней силы):
dQ = PdV. (7.8)
Величина 'dQ есть вектор силы тяжести; величина же Р уже не может
быть названа силой, так как она имеет другую размерность.
Так как в данном случае сила dQ пропорциональна объёму dV,
то она и подобные ей силы получили название объёмных. Так как Р
есть величина конечная, то dQ есть величина третьего порядка
малости.
В результате наших рассуждений мы получили возможность за-
менять отдельные силы, действующие извне на атомы тела, некото-
рой одной суммарной объёмной силой.
§ 3. Атомные силы. Напряжения в деформируемом теле.
Перейдём теперь к вопросу, как описать с макроскопической точки
зрения микроскопические внутренние силы, действующие в дефор-
мируемом теле.
По современным представлениям, сила взаимодействия двух ато-
мов складывается из двух частей: притяжения, убывающего с рас-
стоянием г12 между атомами тг и тъ и отталкивания, также убы-
вающего в зависимости от г12, но по другому закону. Сила эта —
электрического происхождения. Строго говоря, кроме неё между
атомами действует ещё сила тяготения; но на близких расстояниях,
какие существуют между атомами, она приблизительно в 1040 мень-
ше, чем силы электрического происхождения и ею можно, следователь-
но, пренебречь. Зависимость силы взаимодействия двух атомов от их
взаимного расстояния в пределах тех весьма малых расстояний, на
каких эта сила ещё заметна, передаётся достаточно удовлетворитель-
но законом
Г А В
Г12—гД + 1 ’
где п различно для различных тел и обычно не меньше 3 и не
больше 11. Графически зависимость силы F12 от расстояния пред-
АВ
ставлена на рис. 96, где нанесены отдельные члены —— и--г
172
МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ
[ГЛ. VII
и сама сила Е12. Как видно, на
телах г0 — порядка 3»10~8 см),
расстояниях, меньших г0 (в твёрдых
преобладает отталкивательная часть
силы; при г12 = г0 обе части урав-
новешиваются; при г12^>г0 преобла-
дает притягательная часть. При рас-
стояниях от 2-10“’’ до 7‘IO"-7 (тол-
щина капиллярного слоя), т. е.
порядка 10г0, сила Fn становится
настолько малой, что ею уже можно
пренебрегать при учёте сил, вы-
зывающих движения, изучаемые в
механике деформируемых тел.
Если, растягивая тело внешними
силами, мы раздвинем два слоя атомов
на расстояние, большее г0, то даль-
нейшее растяжение потребует уже
меньших внешних сил, и наступает
разрыв тела; сила атомного взаимо-
действия практически исчезнет, и
между частями тела будет продолжать действовать только сила
тяготения.
Эти сведения позволяют сформулировать важное в механике де-
формируемого тела понятие напряжения. Представим себе, что вну-
три тела произведён разрез (рис. 97), настолько небольшой, что де-
формацию в области разреза можно счи-
тать однородной, например, поверхность
AS разреза порядка 0,01 мм. На такой
поверхности умещается ещё “громадное
число атомов; именно, если представлять
себе AS в виде квадрата со стороной
в 0,1 мм=10~* см, то при г=3-10“8 см
на таком квадрате уместится около 1011
атомов. Представим теперь себе, что мы
произвели в теле разрез АА и убрали
часть объёма с той стороны разре-
за, куда направлена нормаль п, внеш-
няя по отношению к оставшейся части
тела.
Подберём такую общую силу, AQ, которую надо будет прило-
жить со стороны нормали п, чтобы заменить такой' силой действие
всех убранных атомов. Сила эта действует только на атомы, лежа-
щие в тонком слое, не превышающем по вышесказанному 10г0;
такую силу можно назвать поверхностной.
Отметим основные свойства этой силы:
1) Она, очевидно, зависит от величины деформации. В самом
деле, деформация изменяет расстояния между атомами тела, а, еле-
АТОМНЫЕ СИЛЫ
173
§ 3]
довательно, вызывает силы взаимодействия, отличные от нуля, в
сумме дающие силу AQ.
2) Вообще говоря, она не перпендикулярна к поверхности раз-
реза, за исключением случая, когда она вызвана деформацией растя-
жения или сжатия, например, деформацией сдвига, или вообще
сложной деформацией.
3) Если мы уберём вещество со стороны внутренней нормали,
то сила, заменяющая действие убранного вещества, равна и про-
тивоположна силе &Qn, на основании третьего закона Ньютона.
4) Величина этой силы пропорциональна величине площади AS;
в самом деле, чём больше эта последняя, тем ббльшее количество
сил взаимодействия атомов определяет величину силы AQ.
Последнее обстоятельство позволяет охарактеризовать напряжён-
ное состояние тела у поверхности воображаемого разреза силой,
действующей на единицу площади. Положим
AS п
и назовём величину оп напряжением; при этом значок п указывает
направление наружной нормали, а, следовательно, вполне определяет,
как произведён разрез и с какой стороны его убрано вещество.
Совершенно подобным образом можно описать и внешние по-
верхностные силы. Например, на поверхность ВВ действует внешняя
по отношению телу сила AQn, происходящая от соприкосновения
с соседним телом. Переходя, как обычно, к пределу, получим ве-
личину напряжения в точке, определяемую формулой
«’=''« <’-9>
Величину эту условимся считать положительной, если она соответ-
ствует растяжению тела силой dQn, т. е. когда направление
силы dQn составляет тупой угол с внутренней нормалью п. Еди-
ницей напряжения служит сила в 1 кг приходящихся на площадь в 1 мм**,
размерность этой новой величины од есть
J [s]
Для пояснения этого нового важного понятия напряжения рас-
смотрим несколько примеров. Пусть (рис. 97) тело растягивается
силой AQ так, что деформация в разрезе однородна; в сечении АА
(внутренняя нормаль п) действует сила, также равная AQ. Имея
в виду выбранное нами направление оси г*мы можем написать
174
МЕХАНИКА ТВЁРДЫХ ТЕЛ
[гл. УП
Здесь первый значок внизу у а указывает направление нормали, опре-
деляющее направление разреза, а второй — направление компо-
ненты силы AQ. Во втором примере, при сдвиге тела, вызванном си-
лами PJ\, сила AQ направлена против оси х; поэтому проекция
на эту ось отрицательна, и, следовательно, напряжение
' ___^Qx
°zx~~ AS
отрицательно. Примеры эти показывают, что в общем случае сред-
нее напряжение в разрезе, определяемом нормалью п (рис. 97),
вполне определяется тремя величинами:
_ ___kQnx
пх ~ AS ’
п f ^Qny
Cny — ~^S ’
_' ^Qnz
°пг----AS-’
причём, например, величина AQnv есть компонента силы по оси у,
действующей на поверхность, определяемую нормалью п.
Переходя к пределу при AS—>0, найдём величины, называемые
напряжениями в точке
_____dQnx а ______dQny _ _______dQnz
пх dS ’ "У- dS ’ nz dS *
(7.Ю)
§ 4. Растяжение, сжатие, сдвиг. Под действием внешних объём-
ных или поверхностных сил (примером первых является сила тяже-
сти, примером вторых — прикосновение соседних тел) в теле возни-
кают деформации. В простейшем случае эти деформации однородны
на значительном участке тела, а из однородных деформаций про-
стейшими являются растяжения или сжатия, или же чистый сдвиг.
Посмотрим теперь, что говорит опыт о связи между этими простей-
шими деформациями и вызывающими их напряжениями.
При растяжении, которое можно осуществить, как показано на
рис. 98, исследуемый стержень закрепляют в специальные зажимы;
верхний зажим закрепляют, а к нижнему привешивают груз Р.
В средней части стержня АА'ВВ', которая и служит для измерений,
деформацию можно считать достаточно однородной, за чем можно
следить, как указано выше, нанеся на поверхность стержня квадрат-
ную сетку. Представим себе, что мы постепенно увеличиваем груз Р,
так что стержень не колеблется, и наблюдения происходят при его
равновесии. Об удлинении можно судить по изменению расстояния
между АА! и ВВ'. Результаты такого опыта изображены графически
на рис. 99 для стержней из стали и резины, причём по оси абсцисс
нанесены напряжения о2, измеряемые в килограммах на мм* и полу-
чаемые делением груза Р на площадь сечения стержня, а по оси
ординат — деформации е2.
§ 4]
РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ, СДВИГ
175
При напряжениях от нуля до 15—20 кг/мм* зависимость между
напряжением и деформацией удлинения для стального стержня пря-
молинейна и обратима, т. е. мы получаем одну и ту же функцио-
нальную зависимость, будем ли мы в ряде наших опытов переходить
от 0 до напряжения около 25 кг!мм\ или же уменьшать его от
этой величины до нуля
(«направление» опы-
та); также имногократ-
ные повторения этих
двух рядов опытов
дают тот же резуль-
тат. Этот случай и
рассматривается в эле-
ментарном курсе фи-
зики. Мы говорим, что
в этом интервале на-
пряжений тело под-
чиняется закону Гу-
ка: деформация про-
порциональна напря-
жению. Иначе это ещ
Рис. 98.
ё выражают словами:
в этом интервале напря-
жений тело обладает совершенной линейной упругостью.
Обозначив напряжение через с2, а деформацию через можем
выразить найденную из опыта закономерность так:
е
г — е'
(7.П)
Это и есть математическое выражение закона Рука. Величина Е
называется модулем Юнга и представляет собой материальную
постоянную, т. е. величину, зависящую только от материала стержня.
Мы можем взять длинный или короткий стержень, толстый или тон-
кий, можем увеличивать нагрузку Р весьма медленно или очень
быстро. Однако, вычисленная по (7.11) величина будет иметь во всех
этих случаях одно и то же значение.
Размерность модуля Юнга есть
[£]=MT"2L-1.
Размеры балок в инженерных сооружениях выбирают так, чтобы
напряжения в материале не превосходили определённой величины,
обычно в 2 раза меньшей, чем 25 кг!мм\ поэтому обычно в рас-
чётах можно пользоваться законом Гука.
При напряжениях, превышающих 15—20 кг/см* и до 25 кг) см*,
обратимость деформаций стального стержня сохраняется, но закон
Гука уже не соблюдается: отношение -2- не постоянно, но является
гг
в этих пределах функцией напряжения, хотя попрежнему, не
зависит от направления опыта. Такое явление мы относим к области
176
МЕХАНИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
[ГЛ. VII
совершенной, но нелинейной упругости. Наибольшее напряжение,
при котором ещё справедлив закон Гука, называют пределом линей-
ной упругости', напряжение же, при котором деформации уже пере-
стают быть обратимыми, называют пределом совершенной упругости
или, короче, пределом упругости (напряжение А на рис. 99).
Модули Юнга и пределы упругости для разных тел весьма раз-
личны, как это показывает прилагаемая таблица.
Материал е(в «П \ мм/ Предел упруго- сти Коэффи- циент Пуассона Модуль сдвига G
Сталь литая 12000 0,27 3000
Сталь пружин 22000 3,3 0,27 8000
Медь красная 11000 3 0,35 4700
Свинец 1700 0,25 0,4 600
Резина 500 0,5
Дуб (параллельно волокнам) 1000 —
При напряжениях, превосходящих предел упругости, наблюдается
повое явление: стержень получает деформацию, которая не вполне
исчезает и после снятия нагрузки. Самый процесс деформации
имеет здесь особый характер: при неизменной по величине нагрузке
стержень медленно удлиняется, как бы течёт. Такая деформация
называется пластической. Значение её в технике производства гро-
мадно: всякое волочение, прессование, ковка состоят в наложении
на материал таких напряжений, при которых тело становится плас-
тичным и принимает нужную форму. Простой опыт выпрямления
медного провода растяжением демонстрирует это явление: при ма-
лых растяжениях проволока, будучи освобождена от напряжения,
возвращается к прежнему виду; все её изгибы сохраняются. Но при
достаточно сильном напряжении она заметно удлиняется; после сня-
тия нагрузки она сокращается не до прежней длины, а все изгибы
её исчезают.
Примером пластической деформации является пробивание брони
снарядом. Последний должен иметь больший предел упругости, чем
броня. По третьему закону Ньютона в месте их соприкосновения
давления в снаряде и броне одинаковы; необходимо, чтобы это давле-
ние было таково, чтобы в броне оно вызвало пластическую дефор-
мацию, а в снаряде — только упругую. Вечный «спор между бронёй
и снарядом» и состоит в основном в борьбе за больший предел
упругости.
В ряде материалов, главным образом металлов, наблюдается после
пластической деформации упрочнение материала. На рис. 99 мы
видим, что участок кривой, выражающий пластическую деформацию,
§ 4]
РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ, СДВИГ
177
невелик. Пластическая деформация в конце концов приостанавли-
вается, и стержень удлиняется только при увеличении напряжения,
однако нелинейно — деформации растут быстрее, чем пропор-
ционально нагрузке. Наконец, наступает разрыв — разрушение ма-
териала, характеризуемое вертикальной и пунктирной частью кривой.
То обстоятельство, что после пластической деформации материал
оказывается упрочнённым, многообразно используется в технике:
отбивание острия косы молотком упрочняет материал её; прокатан-
ный материал жёстче, чем непрокатанный и т. п. Процесс упрочнения
материала холодной отковкой, прокаткой и т. д. носит название
гартования (hard — по-английски твёрдый). Интересным примером
является обработка орудийных стволов давлением. В закрытый ствол
нагнетается жидкость под таким большим давлением, чтобы нача-
лось пластическое раздувание ствола; после этого внутренняя поверх-
ность ствола упрочняется, и орудие выдерживает после такой обра-
ботки большее число выстрелов, чем могло бы выдержать без неё.
Во всех инженерных сооружениях не допускается напряжений,
близких к пределу упругости, чтобы случайные перенапряжения не
оставили после себя пластической деформации. Например, корпуса
военных судов рассчитываются таким образом, чтобы возникающие
в них под действием выстрелов, удара волн и т. п. напряжения не
превышали 60% от предела упругости.
Чтобы устранить весьма большие напряжения, возникающие
в стволе орудия при выстреле, употребляют особый приём, состоя-
щий в насадке на ствол широкого кольца, сильно перед тем нагре-
того. По охлаждении кольцо сжимает ствол и тем создаёт в нём
напряжения сжатия. При выстреле ствол раздувается меньше, чем
он раздулся бы без этого предварительного сжатия, а следовательно,
и возникающие в нём напряжения меньше, чем без такого сжимаю-
щего кольца.
Сказанное выше относится главным образом к металлам, особенно
техническим. Другие материалы имеют, вообще говоря, иные свой-
ства. Такие материалы, как резина, искусственный шёлк и многие
другие пластмассы, подчиняются закону Гука лишь при весьма малых
напряжениях, выше которых пропорциональность между деформацией
и напряжением отсутствует (нелинейная упругость). Кроме остаточ-
ной деформации, которая наблюдается в области нелинейных дефор-
маций, наблюдается ещё так называемое упругое последейст-
вие. Нагрузив, например, резиновый шнур, мы обнаруживаем не
только обычное быстро образующееся удлинение, но и дальнейшее
медленное удлинение, продолжающееся нередко много суток. Обратно,
сняв нагрузку, мы замечаем, что резиновый шнур быстро сократится
по длине, однако не до первоначального размера; затем наблюдается
медленное многосуточное сокращение. С этими явлениями, особенно
отчётливо наблюдаемыми при постоянной нагрузке (иногда и равной
нулю), родственны явления релаксации, состоящей в ослаблении
12 Папалекси, т. I
178
МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. VII
напряжения при заданной длине. Они между прочим наблюдаются
на жильных и шёлковых струнах музыкальных инструментов; такая
струна после быстрой натяжки, при которой ей придаётся опреде-
лённая длина, со временем несколько понижает тон вследствие умень-
шения натяжения.
Наконец, в пластических материалах наблюдается ещё гисте-
резис*. при постепенном медленном увеличении нагрузки резиновый
шнур ведёт себя несколько иначе, чем при постепенной разгрузке.
При одном и том же напряжении он имеет меньшую длину, если
предыдущие напряжения были меньше этого напряжения, чем если
этому напряжению предшествовали большие напряжения. Удлинение
зависит от направления'опыта. Это иллюстрирует рис. 100, на кото-
ром направление опыта указано стрелкой; деформации s вызываются
постепенным увеличением нагрузки до значения ат и последующим
уменьшением её до нуля.
Во всех материалах при натяжении наблюдается не только удли-
нение, но и сокращение поперечных размеров. Например, ширина и
е
а
Рис. 100.
толщина стержня, изображённого на рис.
98, уменьшаются, как это изображено
пунктиром. Вызываемая при этом дефор-
мация ех (и равная ей sv) всегда отрица-
тельна и притом меньше, чем деформация
удлинения ег, так что при растяжении
стержня грузом объём его всегда увели-
чивается. Отношение — называется коэф-
г2
фициентом Пуассона и обычно обозна-
чается буквой рь. Некоторые значения р.
приведены в нашей таблице.
Интересно отметить, что резина при деформациях ведёт себя,
как несжимаемое тело: её объёмная деформация равна нулю. При
удлинении е2 она приобретает поперечные сжатия гх = = — 0,5гг.
Отсюда ех-|-еу-|-ег = 0.
Рассмотрим теперь явления, происходящие при сжатии тела. Для
таких опытов употребляют обычно цилиндрические образцы, зажи-
маемые между двумя плоскостями или, лучше, между двумя поло-
гими конусами; в последнем случае бочкообразность деформирован-
ного образца можно сильно уменьшить, т. е. иметь больший участок
тела однородно деформированным.
Все явления, найдейные нами при изучении растяжения, наблю-
даются и при сжатии. При малых сжатиях наблюдается пропорцио-
нальность между деформацией и напряжением, причём остаётся спра-
ведливой форхмула (7.11) — остаётся прежней величина модуля Юнга
и коэффициента Пуассона. При больших сжатиях наблюдаются не-
пропорциональность, релаксация и гистерезис, несколько отличные по
величине от наблюдаемых при растяжении.
§ 51
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ
179
То же можнб сказать и относительно сдвига, с той, однако,
разницей, что модуль сдвига, G всякого материала всегда меньше его
модуля растяжения. Один из применяв-
мых методов осуществления сдвига
изображён на рис. 101. Два образца,
подвергающиеся сдвигу, закрепляются
симметрично (на рис. 101 заштрихо-
вано); нагрузка Р, разделённая на пло-
щадь АВ образца, определяет вели-
чину напряжения. Напряжение это мы
обозначаем через охг, так как нормаль
к поверхности АВ в данном случае
совпадает с осью х, а сила, дейст-
вующая на единицу поверхности АВ,
направлена параллельно оси z. Между деформацией sXjZ сдвига
и напряжением аХ2 существует соотношение
(7-12)
совпадающее по виду с (7.11). Значения модуля сдвига G ука-
заны в приведённой выше таблице.
Следует заметить, что модуль растяжения, модуль сдвига и
коэффициент Пуассона не представляют собой независимых мате-
риальных постоянных. Они связаны соотношением
которое мы приводим без доказательства.
§ 5. Кручение и изгиб. Определение модуля Юнга и модуля
сдвига из колебаний. Деформации кручения и изгиба представляют
собой примеры неоднородных деформаций. Теория упругости позво-
ляет рассчитать, как эти деформации связаны с производящими их
внешними силами. Для так называемой стрелы прогиба (величины
прогиба посредине) прямоугольной
балки, свободно лежащей на двух
опорах (рис. 102), мы находим сле-
дующее соотношение:
. 4PF
Eab*'
(7.14)
Рис. 102. Здесь f—стрела прогиба, Р—
нагрузка посредине балки, I — рас-
стояние между опорами, а — ширина, b — высота балки и Е—мо-
дуль Юнга. Формула эта пригодна для точного определения модуля
Юнга, так как соответствующий ей опыт весьма прост, а величина
стрелы прогиба без труда определяется непосредственньш измерением,
12*
180
МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. VII
либо вычисляется по углу наклона основания В. Последний же можно
очень точно измерить
груза велика. Но при
емого стержня будет
по отклонению луча света, отражённого от
прикреплённого к торцу балки зеркальца.
При кручении (рис. 103) под дейст-
вием пары сил, вызванной грузами Р, угол а
закручивания нижнего основания цилиндри-
ческого стержня определяется формулой
2Л4/
а itGr4’ (7-15)
где М—момент пары, I — длина стержня,
а г— радиус его сечения.
чЧрезвычайно простым и точным методом
для определения Е и G является наблюде-
ние медленных колебаний; если к упругому
стержню прикреплён достаточно тяжёлый
груз Р (рис. 104, а, Ь, с), то, дав толчок
такой системе, мы приведём её в колебания,
достаточно медленные, если масса М этого
медленных колебаниях состояние деформиру-
практически таково, что мы сможем считать,
Рис. 104.
что его деформации таковы же, как и при статических опытах,
к которым относятся предыдущие формулы. Последние можно в
этом случае применить к вычислению того коэффициента упру-
гости, который в гл. III входил у нас в выражение для периода
колебаний. Этот коэффициент, как мы там видели, есть отношение
перемещения колеблющейся точки (считая от положения равнове-
сия) к силе, вызывающей колебания.
В случае а имеем
z Р
I ’ °г~~ S ’
§ 5]
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ
181
где I — длина стержня, z — перемещение конца его от положения
равновесия, S — поперечное сечение. Согласно (11.8),
z__ Р_
I ~sE>
причём собственным весом и массой стержня можем пренебречь по
Р
сравнению с весом Р и массой груза т — —. Поэтому коэффициент
упругости есть
а период колебаний
z I
~ P~SE>
(7-16)
По этой формуле, определив из опыта /, S, Т, можно вычислить
и Е.
Для случая b имеем
а следовательно,
. (7.17)
Г ab^tnE 4 7
Наконец, в случае с имеем
, a 2Z
Ъ ——- — _____
М ’
Тело, состоящее из грузов Р и соединяющего их стержня, совер-
шает вращательные колебания, для которых, как мы видели выше
(гл. V), период колебаний определяется формулой
Т= ,
где I—момент инерции этого тела. Поэтому
т______________________2^1 Л 2/
1 “г2 V riG ’
(7-18)
Отсюда по известным Z, г, /, Т можно найти G. Заметим, что если
G известно, то можно, пользуясь этой формулой, найти опытным
путём момент инерции любого тела относительно его центра тяжести.
Формула (7.18) весьма полезна при изучении действия весов
Кулона, известных из элементарного курса физики, и вообще всех
приборов, где приходится иметь дело с крутильными колебаниями
(зеркальные гальванометры и т. п.).
182
МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. VII
§ 6. Энергия упругой деформации. Если мы деформируем тело
действием внешних сил, то при этом мы совершаем некоторую работу
и сообщаем телу запас энергии. Если опыт производится достаточно
медленно, чтобы можно было пренебрегать кинетической энергией
по сравнению с потенциальной, и если в теле при деформации не
действуют силы трения, превращающие часть вошедшей в тело энер-
гии в тепловую, то единственным видом энергии, запасённой в теле,
является потенциальная энергия. Как эта энергия выражается че-
рез деформации и напряжения в некоторых случаях, весьма легко
подсчитать.
Рассмотрим, например, простейший случай растяжения (рис. 105),
происходящего по оси z\ при этом будем, во-первых, предпола-
гать, что справедлив закон Гука. При удлинении тела от длины Zo
до длины 1Г тело проходит через ряд положений, в каждом из ко-
торых действует внешняя сила, равная силе напряжения. Чтобы найти
совершённую этой силой работу, мы долж-
Рис. 105.
ны разбить весь путь её на малые проме-
жутки AZ и составить сумму Е Q для
всех элементов от Zo до /Р В пределе эту
сумму мы можем заменить интегралом
/1
A = ^Qdl. (7.19)
, z°
Но, обозначив деформацию, соответствую-
щую длине тела Z, через ez, мы можем, со-
гласно формуле (7.1), написать
Деформация же, соответствующая длине тела Z-J-AZ, есть
ez-f- д/
_^Z-P AZ —ZQ
Zo
Отсюда вычитанием получаем
л AZ
де=г
*0
или
AZ=Z0 As.
Сила же, действующая на наше тело, когда оно имеет длину Z,
равна напряжению а • So, где So — площадь основания нашего куба.
Поэтому имеем '
Q ДZ = Z050 a As = IZoa As. (7.20)
При этом мы не учли изменения площади от поперечного сжатия,
так как эта величина второго порядка малости по сравнению с 50.
§ 6] ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ 183
Мы видим, таким образом, что элементарная работа на пути I
есть У0оЛе. Переходя к интегралу, находим
A—V^^ade, (7.21)
lo
т. е. работа внешней силы, а следовательно, и запасённая телом
потенциальная энергия вполне определяются деформациями и на-
пряжениями. Введя сюда зависимость между деформацией и напря-
жением
а
е~Ё ’
мы можем этот интеграл написать так:
е1 2
Л = V^E ^ede=VtE^)
О
где пределами интегрирования служат начальная и конечная дефор-
мации (т. е. ео = О и et). Т!
Обычно вводят понятие плотности потенциальной энергии,
г. е. потенциальной энергии единицы объёма. Вследствие ма-
лости деформации окончательный объём практически не отли-
чается от Йо. Обозначив плотность потенциальной энергии в теле,
растянутом до длины через f/j, имеем
Ле?
(7.22)
Заменяя е2 на а1? можем также написать
1 °?
(7.23)
Совершенно так же вычисляется плотность потенциальной энер-
гии и при сдвиге; в результате получаем формулы
8?
= (7.24)
/ = (7-25)
с тою лишь разницей, что в них под s и а надо подразумевать
деформацию и напряжение сдвига.
Наконец, и в общем случае сложной деформации плотность потен-
циальной энергии тела можно выразить через деформации или через
напряжения, причём они непременно входят в выражение плотности
энергии в виде квадратов или парных произведений. Это обстоятель-
ство вполне понятно. Растягивая или сжимая тело, мы всегда за-
трачиваем работу, а потому тело всегда запасает энергию. В этих
184
МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. VII
случаях деформации имеют различный знак, но их квадраты сохра-
няют положительное значение.
§ 7. Механические свойства кристаллов. До сих пор мы рас-
сматривали так называемые изотропные тела. Имея однородный кусок
стали, мы можем вырезать из него стержни одинаковой формы
в различных направлениях внутри куска. Определяя поведение
этих стержней при растяжении, кручении и т. п., мы найдём, что
модули их одинаковы и не зависят от направления, в котором стер-
жень вырезан из куска. Это выражают, говоря, что сталь — изотроп-
ный материал. Если кроме того стержни, вырезанные параллельно
из разных участков нашего куска, также ведут себя одинаково, то
мы называем кусок и однородным материалом. Кристаллы обычно
являются весьма однородными материалами, однако они анизотропны,
так как, например, модуль сдвига стержня, вырезанного из кристалла
цинка, гипса, алмаза, квасцов и т. д. параллельно одному из ребер,
иной, чем у стержня, вырезанного параллельно диагонали куба. Эта
анизотропность проявляется ещё и в явлениях разрушения, — кристалл
каменной соли колется, как известно, главным образом по плоско-
стям, параллельным граням куба. Оптические, электрические и теп-
ловые свойства кристаллов также различны по различным направ-
лениялм (за исключением кубических кристаллов).
Такие важные технические материалы, как железо, сталь и др.,
представляющиеся с первого взгляда изотропными, оказываются при
исследовании под микроскопом поликристаллическими, т. е. собра-
нием мелких различных по форме и различно расположенных кристал-
ликов. Многие важные свойства технических металлов находят себе
объяснение в свойствах кристаллов, из которых они состоят. Поэтому
изучение свойств металлических «монокристаллов» дало весьма важ-
ные сведения для техники. Монокристалл — это кусок любой формы,
но одинаковой кристаллической структуры по всему своему объёму;
атомы в нём расположены правильным образом. Монокристаллы по-
лучаются медленным охлаждением расплавленного весьма чистого
металла. Например, монокристаллы цинка легко получить, весьма
медленно охлаждая пробирку с расплавленным металлом, имеющую
оттянутый нижний конец, и притом так, чтобы затвердевание начи-
налось с нижнего конца.
Рост кристаллов всегда начинается с некоторой «затравки» —
мелких кристаллов, образующихся на стенках, на поверхности, на
пылинках и т. п. Для получения монокристалла необходимо, чтобы
такой затравкой явился один единственный кристаллик; если оття-
нутый конец пробирки достаточно узок, то очень часто в нём обра-
зуется всего одна затравка, которая, нарастая постепенно по мере охла-
ждения вверх, даётмонокристалл,занимающий всю пробирку. Затем про-
бирку осторожно разбивают и получают цилиндрический монокристалл.
Исследования подобных монокристаллов, а также естественных
кристаллов показали, что при весьма малых деформациях они подчи-
§ 7]
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
185
няются закону Гука, т. е. у них соблюдается пропорциональность
между напряжениями и деформациями. Однако, если для изотропного
тела достаточно знать его модуль Юнга и коэффициент Пуассона, т. е.
две материальные константы, чтобы можно было по внешним силам
подсчитать деформации и напряжения, для кристаллов необходимо
знание не двух, а многих материальных констант, число которых
иногда доходит до 21.
Но особенно существенны свойства кристаллов за пределом обра-
тимых деформаций. Так, например, монокристалл цинка (и других
металлов) настолько мягок, что его легко согнуть (что является не-
однородной пластической деформацией); это означает, что предел
упругости монокристалла весьма низок. Однако при сгибании кристалл
настолько упрочняется, что выпрямить его уже весьма трудно. При
растяжениях свежего монокристалла выше предела упругости на ци-
линдрической его поверхности замечаются полосы, представляющие
как бы следы разреза цилиндра наклонёнными параллельными пло-
скостями (рис. 106). При детальном исследовании было установлено,
что это — следы остаточных сдвиговых деформаций, совершавшихся
в этих плоскостях, и только в них. Естественно образованный кри-
сталл цинка имеет форму шестигранной призмы (рис. 107), и было
установлено, что основания этих шестиугольных призм в исследован-
ном монокристалле как раз совпадают с плоскостями остаточных
сдвигов. Отсюда вытекает заключение, что сдвиг в этой плоскости
имеет такой низкий предел упругости, что уже при небольших на-
пряжениях здесь начинается скольжение. В поликристаллическом
186
МЕХАНИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. VII
техническом металле отдельные кристаллики расположены весьма
неправильно (рис. 108); поэтому предел растяжения при макроско-
пическом исследовании и кажется одинаковым во всех направлениях,
Рис. 108.
т. е. не зависит от направ-
ления, в котором вырезан
к>б, подвергающийся растя-
жению. Однако под мик-
роскопом на каждом кри-
сталлике можно обнару-
жить своё направление пло-
скостей скольжения, опре-
деляемое направлением осно-
вания призмы для данного
кристаллика.
Опыт с монокристаллами
показывает, что в кристалле
имеются определённо направленные плоскости, по которым сколь-
жение совершается уже при весьма малых напряжениях. Таких плоско-
стей, расположенных в разных направлениях, несколько; например, в
кристалле каменной соли их три семейства, причём плоскости каждого
семейства параллельны одной из трёх граней куба; скольжения по
другим плоскостям имеют значительно более высокий предел упру-
гости. Именно по этой причине случайные напряжения, нередко весь-
ма сложного характера, например, напряжения, возникающие при
ударе, вызывают сдвиги почти исключительно в направлении легчай-
шего сдвига./Го же замечание относится и к разрушению: наимень-
шее напряжение, разрушающее кристалл каменной соли, наблюдается
при растяжении, перпендикулярном к одной из трёх граней куба.
Поэтому удар по кристаллу каменной соли вызывает его раскалыва-
ние не по случайным поверхностям, как в стекле, а главным обра-
зом по плоскостям, параллельным граням куба.
Явление упрочнения можно объяснить, исходя из этого представ-
ления о расположении плоскостей легчайшего скольжения. Если мы
имеем монокристалл, то скольжение не затруднено тем обстоятель-
ством, что скользящие части упираются в какие-нибудь препятст-
вия; так обстоит дело при сгибании монокристалла цинка. Но по
мере роста деформации правильная структура нарушается, и монокри-
сталл превращается в собрание многих мелких кристалликов. Плоско-
сти легчайшего скольжения каждого такого кристаллика упираются
в соседние кристаллики, а следовательно, сдвиг встречает сопро-
тивление последних и затруднён. Это обстоятельство и объясняет
упрочнение.
ГЛАВА VIII.
СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ.
§ 1. Введение. Как мы видели в предыдущей главе, в упругом
теле деформация его вызывает напряжение, противодействующее
деформации. Это наблюдается при всех видах деформации, при рас-
тяжении, закручивании, сдвиге и т. п. Жидкости и газы отличаются
в этом отношении от упругих тел. Деформация сдвига (например
скольжение одного слоя жидкости над другим) может расти не-
ограниченно без возникновения противодействия в виде упругих сил.
Но по отношению к деформациям объёмного сжатия жидкости и
газы ведут себя приблизительно так же, как и упругие тела.
Между жидкостями и газами также наблюдаются существенные
различия. Во-первых, газы во много раз более сжимаемы, чем жидко-
сти. Точнее говоря, если мы, как в гл.. VII, обозначим через объём-
ную деформацию, а через — напряжение при всестороннем сжатии,
то отношение & = —(коэффициент объёмной упругости) для жидко-
%
стей нередко в 109 раз больше, чем для газов. Второе существен-
ное отличие жидкостей от газов состоит в наличии у первых так
называемых капиллярных свойств (гл. IX). Наконец, жидкости при
отсутствии стенок сосуда, ограничивающих их, всё же сохраняют
конечный объём, тогда как газы в этом случае неограниченно рас-
ширяются и имеют неизменный объём только в том случае, если
газ заключён в сосуд.
Однако во многих отношениях жидкости и газы ведут себя ка-
чественно одинаковым образом. Эти случаи мы прежде всего и будем
рассматривать и под словом «жидкость» будем подразумевать и газ.
Части механики, занимающиеся изучением жидкостей и газов, полу-
чили название гидромеханики и аэромеханики. Они разделяются на
гидро- и аэростатику (равновесие жидкостей и газов) и гидро-
и аэродинамику (движение жидкостей и газов).
§ 2. Давление в жидкости. В жидкости, совершенно так же,
как и в упругом теле, мы можем мысленно произвести небольшой
разрез и, убрав вещество с одной стороны разреза, заменить дей-
ствие этого вещества на остальные части жидкости силами, которые
не изменят состояния этих частей. Рассмотрим прежде всего покоя-
188
СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[ГЛ. VIII
щуюся жидкость} в этом случае силы напряжения перпендикулярны
к поверхности разреза, чего может и не быть в упругом теле.
Если бы силы напряжения были не перпендикулярны к поверхности
разреза, то их тангенциальная компонента привела бы жидкость в
движение (сдвиговая деформация). Таких сил в покоящейся жидкости,
следовательно, не может быть.
Принято называть возникающее в жидкости напряжение давлением
и считать его положительным, когда сила давления направлена внутрь
жидкости и производит, следовательно, сжатие. Напряжения в упру-
гом теле считались нами положительными, если они растягивали тело.
За единицу давления принято считать техническую атмосферу
(сокращённо: атмосферу) — давление,
вызываемое силой в 1 кг на 1 см*.
Давление измеряется также в барах}
бар есть давление в 106 дин на 1 см*}
он равен 1,0102 атм, т. е. бар и
атмосфера — разные единицы. При из-
мерении весьма малых давлений, с
которыми приходится, например, иметь
дело в акустике, употребляют микро-
бар = 10“6 бар, иначе называемый
барией} впрочем, это название хотя и
утверждено в стандарте, употребляется
ещё мало, и в акустике более принято
Приборы, употребляемые для измерения
называть микробар — баром.
давлений, известны из элементарного курса физики.
Сила давления в данной точке жидкости не зависит от направления
плоскости разреза. Чтобы показать это, рассмотрим малую призму,
вырезанную в жидкости (рис. 109) с рёбрами OB = kz, OA = kx
и перпендикулярным к ним ребром Ду/, не изображённым на рисун-
ке. Силы давления Qo, Qb , Qa и две силы давления, действующие
на основания призмы, взаимно уравновешиваются по тем же при-
чинам, какие были изложены в § 6 гл. VII. Но силы Qo, Qb , Qa
лежат в одной плоскости; остальные же две силы к этой плоскости
перпендикулярны. Проицируя все пять сил на эту плоскость (при-
чём проекции последних двух сил оказываются равными нулю), мы
находим условие равновесия в форме
Qo “F Qb “Ь Qa = о,
т. е. векторы, изображающие эти силы, составляют треугольник.
Но мы видели, что силы эти перпендикулярны к поверхностям раз-
реза АВ, ОА, ОВ} следовательно, этот треугольник подобен тре-
угольнику ОАВ и стороны их пропорциональны
Qo __Qb __Qa
АВ ~ ОА~~ OB '
§ 3] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ В ЖИДКОСТИ 189
Давления, вызывающие силы Q, суть
____ Qo „ Qb ________________ Qa
р0~ АВ • Д> ’ рв ОА-Ьу ’ рА~ ОВ Ьу ’
Внося эти соотношения в предыдущую пропорцию, находим
Ро—Ра=Рв. (8.1)
Очевидно, в пределе, когда треугольник стягивается в точку, это
равенство из приближённого становится точным. Повторим наше
рассуждение, изменив направление разреза АВ, но сохранив направ-
ления разрезов О А и ОВ. Давления на эти последние, очевидно,
останутся прежними, рА, рв. Что же касается давления р на третью
грань, то оно, согласно (8.1), окажется снова равным рд. Таким
образом, наше утверждение доказано.
§ 3. Распределение давлений в жидкости. Рассмотрим теперь
давление в разных точках жидкости. Простейшим случаем является
распределение давления в покоящейся жидкости, не находящейся
под действием объёмных сил, в частности сил тяжести. В этом слу-
чае, как уже известно из элементарного
курса физики, давление во всех точках
такой жидкости одинаково (закон Паскаля).
Для доказательства этого положения рассмо-
трим (рис. 110) жидкость, на поверхность
которой действуют внешние поверхностные
силы Р и которая находится в равновесии.
Выделим в этой жидкости параллелепипед,
сечение которого весьма мало, а длина ко-
нечна; представим себе, что наш жидкий
параллелепипед отвердел (гл. VI, § 3), и
применим к нему условия равновесия твёрдо- рИс. ПО.
го тела. Сумма всех внешних сил в этом
случае равна нулю; этими внешними силами
являются, во-первых, силы давления Qt, Q2, действующие на осно-
вания параллелепипеда, во-вторых, силы Sz, действующие на все
элементы боковой поверхности. Спроицировав все силы на ось,
параллельную длинному ребру параллелепипеда, мы, вследствие
указанной выше перпендикулярности сил давления к поверхности,
найдём
Qj —Q2 = 0, (8.2)
где Qi и — суть проекции наших сил на ось, причём за поло-
жительное направление по оси принято направление силы Qu Но
Qi—Pi dS, Q2—P%dS,
190 СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ [ГЛ. VIII
w. 4
где dS — площади оснований нашего параллелепипеда. Подстановкой
в предыдущее соотношение находим
Pi=Pv
Это и есть выражение закона Паскаля.
Выбрав наш параллелепипед так, чтобы основания его упирались
в границы жидкости i
в областях A В, мы, конечно, придём к такому
же результату. Следовательно, давления на
поверхность покоящейся жидкости, свобод-
ной от действия объёмных сил, во всех
точках этой поверхности одинаковы.
В случае наличия объёмных сил, дей-
ствующих на покоящуюся жидкость, в урав-
нение (8.2) входит ещё и объёмная сила;
следовательно, давления рг и р2 в разных
местах жидкости различны. Но если равно-
действующая этой объёмной силы направ-
лена перпендикулярно к длинному ребру
параллелепипеда, то проекция её на ребро
равна нулю, а следовательно, Qi = Q2 и р1=р2. Располагая наш
параллелепипед по разным направлениям в плоскостях, перпен-
дикулярных к направлению объёмной силы, мы видим, что для всех та-
ких параллелепипедов это условие удовлетворяется: все точки давле-
ний, равных окажутся лежащими на некоторой поверхности, на-
зываемой поверхностью равных давлений, или изобарической поверх-
ностью. Сечения этой поверхности с плоскостью чертежа называются
изобарами*, такие изобары можно видеть на каждой метеорологи-
ческой карте, где они изображают сечения изобарической поверх-
ности (давление воздуха) поверхностью земли.
Построим (рис. 111) параллелепипед, основания которого перпен-
дикулярны к изобарической поверхности Ръ две боковые грани—па-
раллельны, остальные две — перпендикулярны (приблизительно) к
ней. На грани этого параллелепипеда действуют силы давления
Q2, Оз, О4, Os, Ов (Две последние нормальны к плоскости чертежа)
и, наконец, объёмная сила R. Рассматривая условия равновесия от-
вердевшего параллелепипеда, мы легко покажем, что объёмная сила
R нормальна к изобарической поверхности.
В самом деле, спроицируем все силы на направление Q1? а
затем на направление ф5. В первом случае имеем
Qi + Qi + пр- <?з + пр- Qi + пр- Qs + ПР- + пр. R=о.
Но Qi = — Q2, а проекции остальных сил давлений на Qi равны
нулю, так как они перпендикулярны к Q^, следовательно, проекция
силы R равна нулю, а сама сила перпендикулярна к Qx. Таким же
§31
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ В ЖИДКОСТИ
191
образом покажем, что она перпендикулярна к Q5; следовательно,
она нормальна к изобарической поверхности.
Следует заметить, что две изобарические поверхности не могут
ни пересекаться, ни касаться. В самом деле, в общей точке двух
изобарических поверхностей, если бы таковая существовала, должны
были бы одновременно существовать два различных давления, при-
надлежащих этим поверхностям, а это физически невозможно.
Из всех этих рассуждений вытекает возможность наглядно изобра-
жать распределение давлений в жидкости или, как принято говорить,
поле давлений. Надо представить себе в поле изобарические поверх-
ности; направление объёмной силы в любой точке поля определится
нормально к изобарической поверхности,
проходящей через эту точку. Если мы про- Г'
ведём линии ql9 ^2,... (рис. 111), орто- ---Г А
тональные к изобарическим поверхностям 'Пи 1
(т. е. линии, касательные к которым в лю- Ш |
бой из точек перпендикулярны к плоско- Т
стям, касательным к изобарическим поверх- \q9 *
ностям, проходящим через эти точки), то ’
мы получим полную картину поля давлений,
из рассмотрения которой можно найти и Рис-
величину объёмной силы, действующей в
любой точке поля. В самом деле, вырежем в нашем поле (рис. 112) не-
большой параллелепипед, ось которого направлена по такой линии,
а основания совпадают с изобарическими поверхностями с давления-
ми рх и р2. Силы Qj и Q2, действующие на основания этого парал-
лелепипеда, и объёмная сила R должны уравновешиваться. Пусть
Но Q1 = ASp1, Q2 = р2, где AS — площадь основания
нашего параллелепипеда; поэтому и Следовательно, объём-
ная сила R, уравновешивающая разность сил ф2 — Q1? направлена
от поверхности с давлением pt к поверхности с большим давлением
р2. Проицируя все' три силы на направление R, найдём
Я = Q2 — Qi = AS (А — Pi) = AS. Др.
Но сама сила 7?, как и всякая объёмная сила, пропорциональна
объёму. Обозначив через Д/z отрезок, лежащий между основаниями
параллелепипеда, найдём, что объём этот есть Д5 Д/г. Поэтому мы мо-
жем написать
R = kn &S-&n — hs»Ap,
откуда находим
При переходе к пределу получаем
& =
др
да
192
статика жидкостей и газов
[гл. VIII
Величина называется градиентом давления и имеет простой фи-
зический смысл: это есть изменение давления на единицу длины
вдоль по линии q; сами линии q получили название силовых линий.
Градиент есть вектор, так как он имеет величину и направление,
определяемое касательной к силовой ли-
нии.
В случае поля силы тяжести имеем
где 3 — плотность жидкости; следова-
тельно, в этом случае
grad р = 3g. (8.3)
Конечно, рассуждение наше не изменится, если вместо силы
тяжести мы будем рассматривать любую объёмную силу, пропор-
циональную плотности.
Приведённые выше рассуждения позволяют дать доказательство
двух, хорошо известных из опыта, положений:
Свободная поверхность тяжёлой покоящейся жидкости гори-
зонтальна.
Граница соприкосновения двух тяжёлых покоящихся жидко-
стей горизонтальна.
Свободной называется поверхность жидкости, если на эту по-
верхность не действуют никакие внешние поверхностные силы. Со-
гласно этому определению свободной поверхности, на ней р=0,
т. е. свободная поверхность есть изобарическая поверхность. Но по-
следняя повсюду нормальна к направлению объ|мной силы, а так как
последняя вертикальна, то изобарическая поверхность горизонтальна.
Для доказательства второго положения предположим, что гра-
ница MN двух соприкасающихся покоящихся тяжёлых жидкостей
(рис. 113) не горизонтальна. Если бы жидкости покоились, то дав-
ление на горизонтальной плоскости АВ было бы постоянно и, на-
пример, равно и также было бы постоянно и равно давление на
горизонтальной плоскости DC. Следовательно, средний градиент по
направлению AD, равный равнялся бы среднему градиенту
по направлению ВС, который равен, очевидно, = —*
Но это противоречит условию равновесия (8.3). В самом деле,
согласно (8.3), имеем в первой жидкости gradp = 81g, а во второй
grad р = 82g. Следовательно, нельзя допустить негоризонтальности
границы.
Уравнение (8.3) позволяет решить и вопрос о распределении дав-
лений в тяжёлой покоящейся жидкости. Рассмотрим сперва слу-
§ 41
ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ ПРЕСС
193
чай несжимаемой жидкости, для которой 3 не зависит от давле-
ния. Вода весьма близко подходит к этому случаю. Считая ось
z перпендикулярной к горизонтальной плоскости и направленной
вниз, имеем §g=^f откуда dp = igdz. Интегрируя от г = 0до
глубины z — h, находим, так как в несжимаемой жидкости 8 —
постоянная,
» h h
рп —р« = frgdz — bg §dz = Zgp.
о о
(8-4)
Формула эта написана в абсолютных единицах; вводя сюда давле-
ния в атмосферах и длины в метрах, находим
Ph~
причём g приближённо положено равным 10 м/сек*. Для волы
р0=1 и 8=1. Поэтому
Ph =Рй + 0,1 h.
Так, на глубине 1 км давление ph равно около 102 атм.
Давление воздуха на разных высотах над поверхностью земли
нельзя вычислять по (8.4), так как 8 зависит
от давления. Расчёт для этого случая дан ниже.
Рассмотрим ещё один пример — распре-
деление давлений в сосуде с тяжёлой жидко-
стью, вращающемся около вертикальной оси
NN (рис. 114). В некотором малом .объёме
ДУ, имеющем центром точку М, лежащую
на расстоянии г— ОМ от оси, действуют две
объёмные силы: вертикальная сила тяжести,
для которой & = £*8ДУ и горизонтальная цент-
робежная. сила, для которой £ = 8а>2 г ДУ (<о —
угловая скорость вращения). Их равнодей-
ствующая MQ не совпадает с Д/TV, вообще же составляет тем ббльший
угол с осью, чем дальше М отстоит от оси. Следовательно, изо-
барические поверхности имеют форму, показанную на рис. 113 пунк-
тиром. Свободная поверхность жидкости,
где р = 0, имеет вогнутую форму. Расчёт
показывает, что сечение этой поверхности
плоскостью, проходящей через ось, есть па-
рабола.
§ 4. Гидравлический пресс, сообщаю-
щиеся сосуды, манометры и барометры.
При расчёте гидравлического пресса (рис. 115) мы пренебрегаем
различием давления в разных точках жидкости, в нём заключённой,
Рис. 115.
13 Папалекси, т. I
194
. СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[ГЛ. VIII
так как предполагаем, что давления рх и р2, вызываемые силами Qi
(реакция сдавливаемого тела) и Q2 (рабочая сила), велики по сра-
внению с разностью р2—pi давлений. Кроме того, предполагается,
что движение поршней и ^жидкости совершается без трения и на-
столько медленно, что скоростями точек жидкости можно прене-
брегать. Поэтому формула (8.4) сохраняет силу. Полагая, что раз-
ность h уровней поршней не превышает 1 лс, имеем для воды
р2—pi ^0,1 атм. ,
Так, если производимые силами и Q2 давления порядка
100 атм, то р2—рх составляет меньше О,1°/о от р2. С этой раз-
ницей в технических установках можно не считаться и полагать
p^=pv Обозначив через и 52 площади сечений поршней, имеем
ных давлениях.
Отсюда следует известное соотношение
51=^.
В реальных гидравлических прессах наибольшее отклонение от этого
соотношения обусловлено наличием сил трения между цилиндром
и ходящим в нём поршнем, но с этим отклонением приходится счи-
таться только в редких случаях, когда пресс используется в опытах,
требующих точных измерений.
При исследовании сжимаемости жидкостей и газов опыт ведётся
всегда медленной в сравнительно небольших объёмах, при значитель-
Поэтому можно считать, что сжимаемая жидкость
или газ имеют одинаковое давление во всех точ-
ках, а следовательно, и одинаковую плотность.
Расположение жидкостей в сообщающихся сосу-
дах можно также рассчитать по формуле (8.4).
Рассмотрим, например (рис. 116), равновесие двух
жидкостей с плотностями 8Ь 82. Над ними нахо-
дится давящий на них воздух, но на основе та-
ких же соображений, какие мы только что приме-
няли к рассмотрению гидравлического пресса, дав-
ления воздуха на свободные поверхности обеих
жидкостей можно считать равными одной и той же величине р.
Согласно (8.4), имеем
Ph Ро= ^1^1 =
Отсюда получаем известное соотношение
6Х
Рис. 116.
§ 4] ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ ПРЕСС 195
Заметим, что наше рассуждение сохраняет силу при любых 8j и 83.
Однако, если 81^>82, то равновесие, определяемое приведённым
выше соотношением, неустойчиво. Является также неустойчивым
и такое расположение двух жидкостей в стакане, при котором более
лёгкая жидкость находится снизу, а более тяжёлая сверху, хотя
граница их раздела и была бы горизонтальна, в согласии с условием
равновесия. Жидкости эти придут в движение из-за всегда суще-
ствующих случайных толчков и примут новое положение равновесия,
уже устойчивое, при котором более тяжёлая жидкость расположена
ниже более лёгкой. Подобные кратковременные неустойчивые
равновесные распределения наблюдаются, например, в атмосферном
воздухе. Иногда оказывается, что вследствие нагревания земли
утренним солнцем нижний слой воздуха имеет более высокую темпе-
ратуру, а следовательно, меньшую плотность, чем слой, лежащий
над ним. Такое расположение неустойчиво, и поэтому в этих слу-
чаях начинается конвекция тёплых слоёв вверх, а холодных вниз.
Эти токи и обусловливают так называемые воздушные ямы, столь
неприятно ощущаемые при полёте на самолёте.
Обозначим через z вертикальное направление вверх. Легко видеть,
что тогда условие устойчивости горизонтальных слоёв воздуха
выразится неравенством
£<о.
dz
В самом деле, условие это означает, что в рассматриваемой точке
плотность убывает с высотой.
Формула (8.4) даёт также распределение давления воды на вер-
тикальную стенку сосуда или плотины. Она же позволяет объяс-
нить действие ртутного барометра (рис. 117, а). В самом деле,
согласно (8.4), разность давлений в точках
А и В есть gZh. Но давление в точке А
равно нулю, и, следовательно,
Рв = g*>h,
где рв — давление воздуха на свободную
поверхность жидкости.
В ртутном манометре (рис. 117, Ь), упо-
требляемом для изучения сжимаемости газа,
находящегося в объёме *р, имеем
РВ — PA = gM,
где рА— давление наружного, а рв— давление воздуха в v. Следо-
вательно, последний находится под давлением
Рв = ^+рА-
13*
196
СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[ГЛ. VIII
§ 5. Силы, действующие на твёрдое тело в жидкости. Закон
Архимеда. Известный факт, что тело, погружённое в жидкость,
теряет в весе, находит своё «объяснение в том обстоятельстве, что
силы давления на нижнюю, более глубокую часть тела направлены
вверх и по величине больше, чем направленные вниз давления на
верхнюю половину тела. Факт этот формулируется в так называе-
мом законе. Архимеда:
1. Совокупность сил давлений на поверхность тела, погружён-
ного в покоящуюся жидкость, может быть заменена одной силой,
приложенной в центре тяжести объёма жидкости, вы-
тесняемой телом.
2. Величина этой силы равна весу вытесненного
объёма жидкости', она направлена вертикально
вверх.
Следует заметить, что в движущейся жидкости
сложение всех сил давлений, действующих на по-
верхность тела, погружённого в жидкость, при-
водит к силе и паре. Закон Архимеда в вышеизло-
женной форме верен и для неоднородной поко-
ящейся жидкости (имеющей разную плотность в разных частях),
например, для двух жидкостей, налитых одна над другой, а также
при неполном погружении тела.
Для доказательства закона Архимеда воспользуемся принци-
пом отвердения. Представим себе (рис. 118), что имеем поко-
ящуюся, хотя бы неоднородную жидкость; в такой жидкости
слои равной плотности расположены горизонтально, причём бо-
лее плотные слои лежат ниже менее плотных. Пусть в нашей
жидкости отвердел малый кубик С1} что не нарушает равновесия.
Вынем его и заменим освобождённый объём каким-либо веществом,
причём для сохранения равновесия приложим к центру его подходящую
внешнюю силу Но для кубика справедливость закона Архимеда
почти очевидна: горизонтальные боковые давления взаимно уничто-
жаются, разность сил давления сверху и снизу равна 8^ДЛДхДу =
= §gДт/ = Др, где Д^ = ДЛДхДу есть, очевидно, объём кубика,
а Др — его вес. Таким образом, мы видим, что на тело в форме
кубика действует равнодействующая сил давления, равная весу выте-
сненной жидкости, приложенная в центре тяжести кубика. Вынем
затем соседний кубик жидкости, например, нижний С2; повторяя
наше рассуждение и приняв во внимание, что силы давления на
общих гранях кубиков взаимно уничтожаются, найдём, что и для
совокупности двух кубиков силы давления по всем её граням дадут
вертикальную равнодействующую
М +
где значками 1; 2 обозначены величины, относящиеся к кубькам Q
и С%. Очевидно, точка приложения этой равнодействующей лежит
ЗАКОН АРХИМЕДА
197
§ 5]
в’Центре тяжести двойного кубика. Продолжая рассуждение до тех
пор, пока не исчерпаем всего объёма, занимаемого телом, найдём
для равнодействующей
7? = £8zg-A/u.
Но это и есть вес вытесненной жидкости; силу 7? мы складывали
из параллельных, одинаково направленных сил, равнодействующая
которых существует.
Ничто не мешает повторить наше рассуждение и для тела, от-
части погружённого в жидкость. Наконец, введение нами подходя-
щей силы, удерживающей погружённое тело в положении равновесия,
несущественно: если её внезапно удалить, то равновесие, конечно,
не сохранится; но тогда все наши рассуждения следует относить к
первому моменту, когда жидкость покоится.
Точка, к которой приложена равнодействующая 7?, называется
центром давлений, а сама сила 7? может быть названа архимедовой
силой.
Рассмотрим теперь какое-нибудь неоднородное тело, погружённое
в жидкость и находящееся в ней в состоянии равновесия. Например,
это может быть подводная лодка в погружённом состоянии; очевидно,
центр тяжести лодки может и не совпадать с центром давлений.
Обозначив вес лодки через Р, имеем условие равновесия Р 4- 7? = 0;
однако, это равновесие может быть
разных видов. Но легко показать,
что:
а) равновесие устойчиво, если
центр давлений лежит выше центра
тяжести;
Ь) равновесие безразлично, если
центр давлений совпадает с центром
тяжести;
с) равновесие неустойчиво, если
центр давлений лежит ниже центра
тяжести.
Для доказательства предположим,
рот. Тогда, как видно из рис. 119, с:
расположатся по-разному, причём так,
пара, вращающая тело против часовой стрелки, т. е. возвращающая
тело к положению равновесия; в случае b пары не возникнет
и в случае с пара будет вращать тело, удаляя его от положе-
ния равновесия. Отсюда и вытекает правильность наших утвер-
ждений.
Надо заметить, что рассуждение это верно только в случае
погружения тела в однородную жидкость. Если бы жидкость была
неоднородна, то поворот тела сместил бы центр давлений по отно-
шению к телу.
R R #
a) 6) С)
Рис. 119.
что телу придан малый пово-
илы А и 7? в случаях а, Ь, с
. что в случае а возникнет
198
СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[ГЛ. VIII
Перейдём к рассмотрению случая тела, отчасти погружён-
ного в однородную жидкость (рис. 120). Но этот случай есть
частный случай тела, целиком погружённого в жидкость, плотность
которой выше ватерлинии есть нуль, а ниже—конечная величина.
Сравнивая положения а и Ь, видим, что при повороте корабля
штрихованный
по часовой стрелке центр давле-
ния А сдвинется также вправо.
В самом деле, положение его
совпадает с положением центра
тяжести вытесненной жидкости,
а последний переместился вправо,
так как в новом положении от-
сутствует левый заштрихованный
объём и присутствует правый за-
объём. 'Возникшая таким образом пара сил может
оказаться вращающей корабль и к положению равновесия и от
него, в зависимости от того, перейдёт ли при этом центр давлений
направо от силы Р или останется слева; а это будет, как легко ви-
деть, зависеть от высоты центра тяжести. Возможен, конечно, и
случай, когда центр давлений окажется лежащим на прямой, прохо-
дящей через центр тяжести. Следовательно, возможны все три вида
равновесия. Обычно в кораблях с полной нагрузкой центр тяжести
лежит выше центра давлений, но так, что должная устойчивость
обеспечена.
Изложенное выше объясняет также одно явление, известное из прак-
тики плавания подводных лодок. Иногда в море на глубинах несколь-
ких десятков метров наблюдается слой повышенной солёности, вслед-
ствие чего он имеет повышенную плотность, причём переход от
слоя, бедного солью, к слою, богатому солью,занимаетнесколькометров.
При подходящем среднем удельном весе (создаваемом накачкой
воды в резервуары) подводная лодка держится в равновесии в этом
слое настолько устойчиво, что моряки назвали его «жидким грунтом».
§ 6. Применения закона Архимеда. При точном взвешивании
необходимо принимать во внимание, что объём взвешиваемого в воз-
духе тела, вообще говоря, отличается от объёма уравновешивающих
гирек. Поэтому различны действующие на них архимедовы силы,
и равновесие весов наступает при некоторо.м неравенстве истинных
весов гирек и тела.
Пусть истинный вес тела (вес его в пустоте) есть Pt, истинный
вес гирек Р2. Обозначим объём тела через V\, объём гирек через
V2, а удельный вес воздуха через 8. Тогда сила, действующая на ту чашку
весов, где лежит взвешиваемое тело, есть Рг — 8 У1} а сила, действующая
на другую чашку, где лежат гирьки, есть Р2 — 6У2. Следовательно,
при уравновешивании чашек имеем
Л -8^=Р2 — 8Иг
§ 6] ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНА АРХИМЕДА 199
Но, обозначив через 8j удельный вес тела и через 82—:удельный
вес гирек, мы можем подставить в это равенство
Vt=^, У2 = &,
1 01 2 о2
откуда найдём
p1=ps1®*.
Так как удельные веса гирек и взвешиваемого тела (твёрдого
или жидкого) много больше удельного веса воздуха, то дроби
у и ~ много,'меньше единицы. Разлагая входящую в последнее равен-
ство дробь по степеням этих малых дробей и ограничиваясь чле-
нами первого порядка малости, получаем
Поправка Р28 -----исчезает, если удельный вес взвешиваемого
тела равен удельному весу гирек. Но и вообще она не велика.
В самом деле, обычно 8t и 82 порядка единицы, а удельный вес
воздуха около 1,3-10~3; следовательно, величина
порядка 10-3.
Подвешивая тело под чашкой весов и взвешивая его в воде и воз-
духе, мы можем на основании закона Архимеда определить плотность
тела. Если вес тела в воздухе равен Р, в воде Q, то потеря веса
в воде, равная весу воды в одинаковом с телом объёме, есть Р— Q,
и плотность тела
При более точных измерениях вводят по особым таблицам по-
правки на температуру воды. Именно, для того чтобы отнести плот-
ность вещества, измеренную при температуре t, к плотности воды
при 4°, следует полученный результат умножить на плотность воды
при означенной температуре t.
Если определяют плотность жидкости, то берут тело, на кото-
рое химически не действуют ни вода, ни исследуемая жидкость.
Если (Р—Q)— вес вытесненной воды, (Р—— вес вытесненной
тем же телом жидкости, то
200 СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ [гл. VIII
При взвешивании следует принять некоторые меры предосторожно-
сти. Так, ниточка или проволока, на которой тело подвешивается к ко-
ромыслу весов, должна быть тонка, чтобы капиллярные силы не
ввели при взвешивании значительной ошибки. При точной работе
необходимо принять во внимание вес нити, а также объём жидкости,
вытесняемой погружённой частью проволоки.
Для определения плотности часто употребляется пикнометр —
стеклянная колбочка, закрываемая хорошо притёртой пробкой
с впаянным в неё термометром. Находят вес пикнометра пустого,
с исследуемой жидкостью и, наконец, с водой. Отсюда определяют
вес жидкости и воды. Отношение этих весов представит плотность
жидкости. Пикнометром можно определить удельный вес и твёрдого
тела, если оно нерастворимо в воде. Для этого измеряют: Р — вес
твёрдого (например, порошкообразного) тела, W — вес пикнометра
с водой ир— вес пикнометра с телом, дополненного дестиллирован-
ной водой. Тогда, очевидно, вес воды, вытесняемой телом, равен
P-\-W—Q и приближённая (без поправок) плотность тела есть
й— Р
P+W—Q'
Более удобно, но менее точно определение плотностей посред-.
ством арёометра. Здесь мы имеем дело с применением закона Архи-
меда к плавающим телам. Ареометры бывают либо с постоянным
объёмом, т. е. погружающиеся всегда до одной и той же метки,
либо с постоянным весом, погружающиеся на различную глубину.
Ареометры с постоянным объёмом употребляются реже, но они чув-
ствительнее. Тем не менее практическое значение имеют только ареомет-
ры с постоянным весом, которые в разных жидкостях погружаются на
различные глубины. Первообразом такого ареометра служит волю-
менометр Гэ-Люссака. Это — строго цилиндрическая трубка, на
дне которой находится ртуть. Погружая трубку в воду, замечают,
на какой высоте она остановилась; - здесь ставят 100. Поставив на
нижний конец волюменометра 0, делят всю трубку от 0 до 100 на
100 равных частей. Затем погружают волюменометр в другую
жидкость, и если он погрузится в ней, положим, до черты 75, то это
значит, что вес 75-делений этой жидкости равен весу 100 делений
воды. Искомая плотность жидкости 8 = 100/75, так как плотность
обратно пропорциональна объёмам равного веса. Чтобы трубка не
была слишком длинна, её снабжают расширением в середине, за-
меняющим известное число делений цилиндра. Для жидкостей менее
плотных, чем вода, деления продолжают вверх выше 100. В этих
жидкостях ареометр погружается глубже чем в воде.
Так как плавающий ареометр всегда вытесняет объём жидкости
одного и того же веса, то вытесняемые объёмы, как было уже заме-
чено, обратно пропорциональны плотностям испытуемых жидкостей.
§ 6]
ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНА АРХИМЕДА
201
Поэтому, если на цилиндрическом стержне ареометра будут нане-
сены в точности равные'Деления, то эти деления никоим образом
не могут непосредственно указывать плотность жидкости. Они
показывают лишь условные «градусы», по которым, зная постоян-
ные прибора, можно вычислить плотность жидкости. К таким арео-
метрам с условными шкалами принадлежит, например, весьма рас-
пространённый ареометр Бомэ (рис. 121). Он состоит из полой
стеклянной трубки с вздутием посредине и шариком с ртутью или
дробью внизу. Если ареометр предназначен для жидкостей плотнее
воды, то в последней он должен погружаться почти до вершины
трубки; уровень воды отмечают на таком ареометре знаком 0. После
этого опускают ареометр в водный раствор поваренной п
соли, содержащей её точно 15% по весу. Против
уровня раствора ставят на шкале цифру 15 и делят
расстояние между 0 и 15 на 15 равных частей. Та- i_____________
кие же части откладываются и далее вниз. Если же
ареометр предназначен для жидкостей менее плотных, i
чем вода, то придают ему такой вес, чтобы он погру-
жался в 10%-ном растворе поваренной соли до осно- ( )
вания трубки, где и ставят знак 0. После этого опу- М
скают ареометр в чистую воду и уровень её отмечают
на трубке цифрой 10, а расстояние между 0 и 10
делят на десять равных частей, продолжая наносить Рис. 121.
такие же деления вверх до конца трубки.
Для того чтобы по отсчёту ареометра Бомэ вычислить плотность
8 испытуемой жидкости, пользуются следующим расчётом. Обозна-
чим через Р вес ареометра, выраженный в граммах. Очевидно, то
же число выражает в кубических сантиметрах объём воды, им выте-
сняемый (до черты 0 в ареометре для более плотных жидкостей).
Обозначим, далее, через а объём, вытесняемый каждым делением
ареометра, а через п — число делений, до которых он погружается
в испытуемой жидкости. Тогда объём вытесненной жидкости
Р — па для более плотных, Р-\-па для менее плотных, чем
и плотность испытуемой жидкости
р
а
ра£ен
вода,
А
8 = ^
А+п>
арео-
где А — число, показывающее, во сколько раз объём всего
метра до черты 0 больше объёма одного деления. Для ареометра
Бомэ при 17,5° С Л = 146,78 и, следовательно,
146,78 Л
---- для жидкостей с оз>1;
14о,/о — п
146,78 , .
-- > если 0 <С 1*
146,78 + /г
8
о
202
СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[ГЛ. VIII
В ареометре Брикса объём одного деления равен 1/400 объёма воды,
вытесняемого ареометром. Поэтому, если п • означает градусы по
Бриксу, то
л 400 St 1 St 400 St 1
6 = —----- если о>1 и o = :—, если 1.
400 —д’ 400 +л’
Подобным же образом для ареометра Бека имеем
st !70 5 170 „ .,
8 = 170^> если 8>: И 8 = 170+7> если 8<Е
Для непосредственного измерения плотностей жидкостей обыкно-
венно имеется целый набор ареометров, градуированных эмпирически
в известных пределах плотностей. На шкале непосредственно нано-
сятся числа, выражающие плотности жидкостей, в которых плавает
ареометр. Но все деления в этом случае должны быть различны,
так как равным приращениям плотностей соответствуют различные
приращения (или уменьшения) объёма. Это обстоятельство затруд-
няет точное нанесение делений. Такие ареометры иногда называются
денсиметрами. Заметим, что при точных измерениях необходимо
делать поправки на температуру, принимая во внимание расширение
стекла, т. е. изменение объёма ареометра.
§ 7. Сжимаемость жидкостей и газов. Все приведённые выше рас-
суждения предполагали, что плотность жидкости не зависит от дав-
ления. Это утверждение для жидкостей и в особенности для газов
верно лишь приближённо.
Приборы, служащие для измерения сжимаемости жидкостей,
называются пьезометрами. Пьезометр Эрстедта состоит из толсто-
стенного стеклянного цилиндра, наполняемого во время опыта водой,
под которую наливается немного ртути. Внутри цилиндра помещается
колбочка с капиллярной трубкой, снабжённой делениями. Колбочка
сплошь наполняется испытуемой жидкостью, и открытый конец
капилляра погружается в ртуть (рис. 122). Давление, оказываемое
на воду в цилиндре поршнем, передаётся ртути и через капиллярную
трубку — жидкости в колбочке. Поднятие ртути в капиллярной
трубке даёт возможность судить о степени сокращения объёма
жидкости. Измерения давления и температуры, при которых проис-
ходит опыт, производятся посредством манометра и термометра, поме-
щённых в цилиндре. Так как стенки колбочки также испытывают
дарение и снаружи, и изнутри, вследствие чего объём колбочки
изменяется, то повышение ртути в капиллярной трубке даст нам не
истинную величину изменения объёма жидкости, а лишь сумму изме-
нений объёмов жидкости и сосуда. Но вследствие наличия всесто-
роннего сжатия вместимость сосуда изменяется так, как изменялся
§ 7]
СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ И ГЛЗОЗ
203
бы сплошной кусок стекла. Для получения истинной величины сжа-
тия надо поэтому внести поправку на сжимаемость стекла. Такие
поправки дал Реньо.
Весьма полные и точные исследования сжимаемости жидкостей
принадлежат Амага. Он употреблял стеклянную пьезометрическую
колбу, подобную описанной выше, но помещал её в толстостенный
стальной цилиндр, наполненный глицерином и некоторым количе-
ствОхМ ртути на дне (рис. 123). Когда в цилиндре давление на глице-
рин увеличивали, испытуемая жидкость в колб£ сжималась, и ртуть
поднималась в капилляре. Но так как стальной цилиндр непрозра-
чен, то для измерения сжа-
тия потребовалось особое
электрическое приспособле-
ние, схематически изобра-
жённое на чертеже. В стен-
ку трубки, приблизительно
на одинаковых расстояниях,
впаян ряд платиновых про-
волочек, соединённых сна-
ружи (в глицерине) тонки-
ми платиновыми спиралька-
ми, каждая с сопротивлени-
ем в два ома. Верхняя (по-
следняя) проволочка соеди-
нена с изолированным про-
водом, проходящим сквозь
стенку стального цилиндра.
Полюсы гальванического
элемента Е соединены через
гальванометр с одной сто-
роны с этим проводником, Рйс 122 Рис 123
с другой — со стенкой ци-
линдра, а стало быть, и
с ртутью. До сжимания ток должен был проходить через все
спирали, и гальванометр показывал лишь малое отклонение. По мере
поднятия ртути в трубке, концы впаянных проволок погружались
в ртуть, сопротивление которой сравнительно ничтожно. Спирали
последовательно выключались одна за другой, и ток в гальвано-
метре возрастал скачками. По силе тока можно было точно судить
о числе покрытых ртутью проволочек, а следовательно, и об умень-
шении объёма испытуемой жидкости.
В своих исследованиях Амага доводил давление до 3000 атмо-
сфер. Ниже даны некоторые из чисел, им полученных. В результате
этих исследований установлено, что сжимаемость жидкостей довольно
точно подчиняется закону
v= V0[l - ₽(/>-A)l, (8.5)
204
СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[ГЛ. VIII
где Уо — объём единицы массы жидкости (удельный объём) под
нормальным давлением р0, равным одной атмосфере, р—так назы-
ваемый коэффициент сжимаемости. Отсюда имеем
□ J_ v-v.______ДГ
р— У*Р-Р~ У^Р'
В довольно широких пределах от 0 до 500 атм р постоянно,
а следовательно, приведённая выше формула показывает, что закон
сжимаемости в этих пределах линеен. При больших давлениях
Р уменьшается, т. е. наступают уклонения от линейности.
Приводим таблицу коэффициентов сжимаемости для нескольких
жидкостей по измерениям Амага и Реньо.
Предел измерения НО* Автор
Вода Эфир Спирт Ртуть
1 — 500 атм 47,5 107,2 76,9 3,5 Реньо
1000—15000 35,8 53,7 45,8 Амага
2500—3000 26,1 31,7 28,4 Амага
Для всех жидкостей, кроме воды, р возрастает с температурой;
для воды существует минимум сжимаемости при 50° С. Температура
. наибольшей плотности воды такова:
Давление 1 41,6 93,3 144,9
Температура наибольшей плотности V 4,0° 3,3° 2,0° 0,6°
Сжимаемость газов подчиняется, как известно, закону Бойля-
Мариотта. Обозначая через v объём единицы массы, через В —
плотность, можем написать закон Бойля-Мариотта в двух формах:
v0 р Ъ р
—— или — = —
Рс °0 Ро
Условимся считать р0 всегда равным одной атмосфере; тогда р, 80, vQ,
входящие в эту формулу, — постоянные величины; и из (8.6) следует
(8.6)
v= v*P*
Р
(8.7)
§ 7] СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 205
Формула эта не совпадает с известным выражением линейной функции
у = Ах В
ни при каких постоянных А и В, т. е. закон сжимаемости газа
нелинеен, чем он резко отличается от закона сжимаемости жидкости.
Для плотности 8 найдём
т. е. линейную зависимость.
Как известно, закон Бойля-Мариотта справедлив в предположении,
что изменения объёма газа происходят при постоянной температуре
(изотермическое сжатие). Для осуществления таких изменений необ-
ходимо производить опыт сжатия настолько медленно, чтобы газ,
который, как показывает опыт, при этом нагревается, успевал при-
нимать постоянную температуру окружающей среды. Но это как раз
неосуществимо, например, в звуковых волнах. Нагревания и охлажде-
ния газа, вызываемые сжатиями и разрежениями звуковых волн, не
успевают выравниваться, а потому явления в этом случае не изотер-
мические, а так называемые адиабатические (подробнее см. § 13
гл. XIII). Закон Бойля-Мариотта для адиабатических явлений не соблю-
дается, а соблюдается так называемый закон Пуассона:
8 = 4 р\ (8.8)
Pl
где 7 для воздуха у ^1,4.
При малых изменениях давления, какие наблюдаются в звуковых
волнах, этот закон может быть заменён другим, линейным, отно-
сящимся уже не к плотностям и давлениям, а к их изменениям.
Положим
8 = 8O + Si
И
где 80 и ро — плотность газа и соответствующее давление в отсутствии
звуковых волн, 8t, pY — те их избыточные плотность и давление,
которые возникают в звуковых волнах. Тогда имеем
80 + 8, = С (р0 +а)Т = Ср1 (1 4-
Считая р1 малым по сравнению с р0, мы можем разложить последний
множитель в ряд и ограничиться первыми двумя членами:
, \ го /
206 СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ [ГЛ. VIII
Из предыдущей формулы следует, что при отсутствии звуковых
волн (81 = 0, р! = 0) она принимает вид
Ч = Ср1
Внося это в нашу формулу, находим
8 = Т> (8.9)
Таким образом, при малых изменениях избыточное давление рх
связано с избыточной плотностью 8j простой пропорциональностью.
Изотермическая сжимаемость всех газов приблизительно одинакова;
в законе же адиабатической сжимаемости у для различных газов
различна (гл. VIII, § 7).
Исходя из закона Бойля-Мариотта, мы можем подсчитать рас-
пределение давления воздуха по высоте. Для этого воспользуемся
формулой (8.3); считая началом координат точку на поверхности
земли и направив ось z вверх, мы должны будем считать компо-
ненту ускорения силы тяжести по оси z равной—g. Поэтому (8.3)
примет вид
6 dz
Заменив здесь 8 из формулы (8.6), найдём
hpg _ dP
Ро dz>
откуда
Ро Р
и
h h
__ [ ^Р. = hl f dz=
J P Po J Po
0 C
Вычисляя интеграл слева, находим
где р^ — давление при h = 0, т. е. на поверхности земли, a ph —
давление на высоте h. Переходя от логарифмов к числам, находим
барометрическую формулу м
—
= Ро • (8.Ю)
Мы видим, что давление убывает с высотой по показательной
функции, обращаясь в нуль только на бесконечно большой высоте,
207
ПОЛУЧЕНИЕ РАЗРЕЖЁННЫХ ГАЗОВ И ВАКУУМА
§ 8]
Характер этого убывания показан на рис. 124, причём величины ph
отложены параллельно оси х и ОА = р0.
Формулу (8.10) нередко пишут несколько иначе, вводя так
называемую высоту однородной атмосферы} пс
разумевается толщина слоя воздуха, с одинаковой
повсюду плотностью 80. Очевидно, эта толщина
И равна
Н=-Р~, (8.10')
так как есть вес воздуха постоянной плотно-
сти, производящий на поверхность земли давление
Ро- Ф°РмУла (8.10) принимает теперь вид
— А
Рь = Рйе н. (8.11)
Расчёт наш был сделан в предположении, что температура воздуха
не изменяется с высотой. В действительности это не имеет места,
почему формула (8.11) оказывается грубо приближённой.
Изменение давления и плотности газа с высотой кладёт предел
высоте поднятия на воздушном шаре. Обозначая поднимаемый шаром
груз через Р, вес оболочки шара—через Q, удельный вес воздуха —
через 8П объём газа в шаре—через Й, а его удельный вес — через 8,
находим, согласно закону Архимеда,
P+Q4-8V=81V.
При этом предполагается, что, хотя бы приближённо, шар находится
в равновесии. Отсюда находим так называемую подъёмную силу
шара, равную и противоположную удерживаемому в равновесии грузуР:
V(81_8)_q.
При подъёме шара первый член не сохраняет неизменной величины:
понижение давления воздуха с высотой, во-первых, вызывает уменьше-
ние 8П что уменьшает первый член. Обычно, в особенности при
стратостатных полётах, шар заполняется газом только отчасти, так,
что оболочка не принимает максимального объёма. Но на некоторой
высоте понижение внешнего давления вызовет увеличение объёма
шара до максимально возможного. При дальнейшем подъёме V можно
считать постоянным, а, следовательно, первый член уменьшающимся
пропорционально 8j—8. Это и кладёт предел возможной высоте
поднятия.
В расчёте практического потолка стратостата приходится при-
нимать во внимание ещё ряд других соображений.
§ 8. Получение разрежённых газов и вакуума. В развитии
физики сыграли громадную роль так называемые воздушные насосы,
208
СТАТИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
[ГЛ. VIII
позволяющие получать газы в состоянии крайнего разрежения; в особен-
ности плодотворным оказалось изучение прохождения электрического
тока через весьма разрежённые газы. Поэтому техника получения их
(так называемая вакуумная техника) получила большое развитие.
В настоящее время существуют воздушные насосы весьма разнообраз-
ных типов, позволяющие получать весьма большие разрежения. Здесь
мы опишем только ротационный насос Гёде, получивший большое
распространение в технике и в научных лабораториях (рис. 125).
Насос этот состоит из бронзового или стального цилиндрического
кожуха А, внутри которого вращается эксцентрично массивный сталь-
ной цилиндр В, сопри-
касаясь наверху с по-
верхностью кожуха. Ци-
линдр снабжён двумя за-
движками s, которые,
плотно прижимаясь пру-
жинами к поверхности
кожуха, делят простран-
ство внутри кожуха на
объёмы и При вра-
щении цилиндра А в на-
правлении, указанном
стрелкой, объём уве-
личивается, а объём v2
уменьшается. В резуль-
Рис. 125. Рис. 126. тате этого газ из разре-
жаемого пространства Ог
поступает в объём vJf а затем при дальнейшем движении цилиндра
этот объём vt отделяется другой задвижкой s от входного канала,
и, сжимаясь, газ выталкивается из объёма v.2 в камеру О2 с маслом,
а оттуда наружу. Усовершенствованные насосы Гёде дают разреже-
ние до 0,00015 мм рт. ст;
Более высокие степени разрежения (10“6 — 10~7 мм рт. ст.)
получают при помощи диффузионных и конденсационных насосов.
Для измерения очень малых давлений употребляется манометр
Мак-Леода, основанный на законе Бойля-Мариотта. Когда резервуар
В со ртутью (рис. 126) опущен, колено Р открыто и сосуд А через
трубку b сообщается с пространством, из которого выкачивается газ.
Следовательно, в сосуде А устанавливается то остаточное (малое)
давление, которое мы хотим измерить. Тогда резервуар В медленно
поднимают, ртуть закрывает колено Р и затем постепенно загоняет
весь оставшийся ещё в А газ в тонкую калиброванную трубку а,
снабжённую ^шкалой. По этой шкале можно отсчитать как объём v
сжатого в этой трубке газа, так и разность уровней в трубках а и
Ь, которую обозначим через с. Трубочка Ьъ параллельная трубке
Ь, подбирается такого же диаметра, как и трубка а.
§ 9] РАБОТА ДЕФОРМАЦИИ 209
Если искомое малое давление обозначим через х, объём шара А
вместе с объёмом трубки а через V, то, по закону Бойля-Мариотта,
х • V = v (с ~[-х)
или, с достаточной точностью,
v
х = с-^.
Манометр Мак-Леода позволяет измерять парциальные давления
остающихся газов (т. е. действительные давления, за вычетом давле-
ния паров ртути) до десятитысячных долей миллиметра.
§ 9. Работа деформации. Потенциальная энергия жидкости.
Изменяя форму объёма жидкости или газа, мы совершаем работу.
Для вычисления её величины рассмотрим некоторый объём газа И,
на поверхность s которого действует внешняя сила. Полагая дефор-
мацию объёма медленной, можем считать, что давления на поверх-
ность S повсюду одинаковы. Пусть (рис. 127) fiAS
при такой деформации небольшая часть AS по- \
верхности переместилась из положения АВ —*
в близкое положение А'В'. Вследствие этого \
внешняя сила р AS совершила работу, равную \\ Ху —
скалярному произведению вектора силы на век- 8
тор перемещения АА'. Но проекция этого пере-
мещения на силу равна высоте 00'= Ы на- ?ис- 127.
шего косого цилиндрика АВА'В’. Поэтому со-
вершённая силой давления работа есть/? • AS • А/. Но AS • AZ есть объём
АЙ нашего цилиндрика. Поэтому эта работа есть р ДУ. Суммируя
работы сил давления, действующих на все элементы поверхности,
находим полную работу сил внешнего давления
ЕрДУ = рЕ ДУ.
Но ЕДУ есть, очевидно, общее изменение объёма нашего газа ДУ.
Итак, совершённая внешними силами работа ДА малой деформации
жидкости (но не упругого твёрдого тела) есть
АА=рДУ, . (8.12)
т. е. зависит только от изменения величины объёма* но не от изме-
нения его формы.
Полная работа изменения объёма от величины Vt до величины
У2 есть, очевидно,
Д== J pdV. (8.13)
Hi
14 Папалркси, т. I
ГЛАВА IX.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ.
§ 1. Силы поверхностного натяжения. В предыдущей главе мы
считали, что свободная поверхность покоящейся тяжёлой жидкости
строго горизонтальна, и в § 3 показали, что эта горизонтальность
обусловлена действием силы тяжести. Но во многих случаях, например,
в узких трубках, в местах соприкосновения свободной поверхности
жидкости со стенкой сосуда, в каплях и т. д., мы видим весьма
резкие отклонения от горизонталь-
ности. Отсюда мы должны заклю-
чить, что во всех этих случаях
проявляется действие новых, не
учитывавшихся нами сил, кото-
рыми можно было пренебрегать
по сравнению с силой тяжести
при рассмотрении свободных по-
верхностей большой протяжённо-
сти, но которые уже не малы по
сравнению с силой тяжести у кра-
ёв, в каплях, в узких трубках.
Эти силы изучаются в настоящей
главе; они называются силами по-
верхностного натяжения, так
как многие весьма простые опыты показывают, что во всех этих случаях
жидкости ведут себя так, как если бы они были заключены в тон-
кую натянутую оболочку.
Если, например, окунуть в мыльную воду проволочную рамку
с привязанной к ней гибкой нитью, то образуется мыльная плёнка,
изгибающая нить так, как показано на рис. 128. На рамке с двумя
нитями мыльная плёнка стремится сблизить нити (рис. 129). Если
сначала затянуть мыльной плёнкой проволочное кольцо, затем положить
на плёнку петельку из шёлковой нити и проткнуть плёнку внутри
петли иголкой, петля принимает форму окружности (рис. 130). Во
всех этих случаях мыльная плёнка ведёт себя так, как б) дтоеё поверх-
ность находится в состоянии натяжения («поверхностное натяжение»)
и стремится сократиться до возможно меньшей величины, допускае-
§ 11
СИЛЫ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
211
мой условиями опыта. Это особенно ясно видно в случае, изображён-
ном на рис. 130. Действительно, из всех фигур одинакового пе-
риметра круг имеет наибольшую площадь. Следовательно, когда
нить принимает форму окружности, площадь плёнки становится
наименьшей.
Другой метод демонстрации поверхностного
натяжения жидкости состоит в том, чтобы
следить за изменением формы водяной капли,
медленно образующейся на конце трубки, до
того момента, когда она отрывается. Наблю-
дение очень облегчается, если водяные капли
образуются в смеси парафинового масла и серо-
углерода (капли крупнее и образуются более
медленно). Форма капли в одной из стадий
процесса показана на рис. 131. Если мы теперь
для сравнения будем медленно
наполнять водой резиновую ХУ
мембрану, укреплённую на f
кольце, то мы заметим, что из- ) (
менение формы мембраны весь- / \
ма близко воспроизводит изме- I I
нение формы капли. Особенно X-Z
интересна та стадия изменения рис 131.
формы мембраны, которая
соответствует моменту* непосредственно предшествующему отрыву
капли. Нижняя часть мембраны принимает вид мешка, отделённого от
верхней части узкой «талией», и вода в мешке быстро падает, как
будто он собирается оторваться. (Однако, в отличие от капли, мем-
брана принимает другую равновесную форму, и, если вода в неё
больше не добавляется, она сохраняет вид, показанный на рис. 132.)
Эффектной иллюстрацией поверхно-
yft -—- - —стного натяжения является опыт, пока-
зывающий, что, вопреки ходячему мне-
нию, вполне можно «носить воду в
решете». Нужно только, чтобы петли
'----—-----У решета были мелкими. (Рекомендуется,
рис 1зз кроме того, слегка покрыть их пара-
фином.)
Поверхностное натяжение различно у различных жидкостей. Это
легко показать, покрыв дно белой плоской кюветки тонким слоем
окрашенной воды, и касаясь затем поверхности воды стеклянной палоч-
кой, предварительно окунутой в спирт. Вода уходит от места прикос-
новения, обнажая белое дно кюветки. Это показывает, что поверх-
ностное натяжение воды больше, чем натяжение смеси воды и спирта,
и жидкость оттягивается от мест, где натяжение слабее, к тем местам,
где оно сильнее (рис. 133).
14*
212
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[гл. IX
Рис. 134.
Есть, однако, и важное отличие между поведением резиновой или
всякой другой упругой мембраны и поведением поверхности жидкости.
Натяжение мембраны растёт с увеличением её поверхности^ подобно
тому как натяжение струны растёт с удлинением (гл. XII, § 8).
С поверхностным натяжением жидкости дело обстоит совсем иначе.
Это можно показать, затянув жидкой плёнкой проволочный прямо-
угольник ABCD (рис. 134), нижняя сторона которого может свободно
скользить (с возможно
меньшим трением).
Для того чтобы пере-
кладина была в рав-
новесии, нужно к ней
подвесить грузик, ина-
че плёнка её подни-
мает. В этом состоит
сходство жидкой плён-
ки с упругой мембра-
ной. Отличие заклю-
чается в следующем.
В случае упругой
мембраны каждому зна-
чению веса груза р со-
ответствовало бы опре-
делённое положение
Рис. 135.
‘устойчивого равнове-
сия перекладины, причём чем больше р, тем больше при равновесии пло-
щадь мембраны (рис. 135, а). Что касается жидкой плёнки (рис. 135, Ь),
то пока р меньше некоторой определённой величины Р, плёнка подни-
мает груз и целиком стягивается. Если р больше Р, то груз растягивает
плёнку до тех пор, пока она не разрывается. Для того чтобы CD
могло быть в равновесии, вес груза р должен иметь вполне опре-
делённое значение Р. При этом перекладина может находиться в равно-
весии в любом положении, по крайней мере до тех пор, пока её
толщина не становится чересчур малой.
Таким образом, мы видим, что натяжение поверхности жидкой
плёнки н& зависит от её величины, по крайней мере до тех пор,
пока толщина плёнки не становится весьма малой (как показывают
измерения — порядка 5»10-6 см).
Измерение показывает, что сила Р пропорциональна длине а от-
резка CD, или, так как Р равна по величине результирующей F тех
сил, с которыми плёнка тянет кверху перекладину,
F=2aa,
где a — некоторая константа, характеризующая вещество плёнки.
Она называется его поверхностным натяжением. Подчеркнём, что о. не
§ 11
СИЛЫ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
213
меняется при изменении поверхности плёнки. Для воды при 18° С
а равно приблизительно 73 дн/см. Поверхностное натяжение ртути
гораздо больше (около 460 дн/см при той же температуре).
Физический смысл а поясняет рис. 136, где изображён разрез
плёнки и рамки ABCD рис. 134 перпендикулярной к ним вертикаль-
ной плоскостью. Силы поверхностного натяжения действуют не в толще
плёнки, а только в густо заштрихованных слоях около её поверх-
р
ности. F есть равнодействующая двух равных сил -у = ая, с ко-
торыми тянут вверх перекладину два тонких поверхностных слоя,
примыкающих к каждой из поверх-
ностей мыльной плёнки, и сле-
довательно, а есть сила, с кото-
рой каждый из поверхностных
слоёв тянет вверх единицу длины
перекладины.
Согласно третьему закону
Ньютона, полоски шириной 1 см
каждого из слоёв плёнки, при-
мыкающие к перекладине (рис.
137), испытывают со стороны
последней силу а, направленную
вниз. Так как заштрихованная
часть поверхностной плёнки на-
ходится в равновесии, то на неё и
вверх (согласно второму закону
Рис. 136.
Ньютона) действует сила а.
Но, следовательно (по третьему закону Ньютона), заштрихован-
ная часть плёнки тянет ту часть плёнки, которая расположена над
ней с силой а, направленной вниз. Путём таких рассуждений (их
можно распространить на полоски любой ориентации) мы убеждаемся
в том, что любые две смежные части поверхностного слоя тянут
друг друга с силами, перпендикулярными к их границе, причём
абсолютная величина силы, приложенной к единице длины, равна а.
Если плёнка поднимает перекладину на х см, то силы поверх-
ностного натяжения совершают работу Fx. Эта работа равна уменьше-
нию потенциальной энергии плёнки U
Но
Fx — — HU.
Fx — 2а. • ах — — a. AS,
где HS = 2ax есть приращение внешней поверхности плёнки (обеих
сторон!), и следовательно, так как а от S не зависит,
AU = A (aS), откуда U=dS UQf
214
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. IX
где Uq — произвольная постоянная, которую можно положить равной
нулю, так как физический смысл имеет только разность потенциальных
энергий. Тогда
U = aS,
т. е. потенциальная энергия жидкой плёнки, связанная с наличием
сил поверхностного натяжения, пропорциональна поверхности плёнки S.
Её называют поэтому поверхностной энергией, тогда как потенциаль-
ная энергия однородного тела в поле силы тяжести, а также потен-
циальная энергия упругой деформации, рассмотренная в гл. VII, § 6,
должны быть названы объёмной энергией, так как они пропорциональны
объёму тела. Величину а можно рассматривать как энергию, отнесён-
ную к единице поверхности жидкости; поэтому её называют также
удельной поверхностной энергией жидкости. Поверхностной энергией
обладают и поверхности соприкосновения твёрдых тел с жидкостями
и газами. Это подтверждается, в частности, теми явлениями, которые
будут рассмотрены в следующих параграфах. Молекулярно-кинети-
ческая трактовка поверхностной энергии будет вкратце описана в
гл. XV.
§ 2. Фигура равновесия жидкого тела. При устойчивом равно-
весии механической системы её потенциальная энергия минимальна
(гл. VI, § 2). Применим этот закон для решения нескольких простейших
задач о форме, принимаемой жидким телом при устойчивом равно-
весии (короче: о фигуре равновесия жидкого тела).
1. Опыт Плато, Плато наливал прованское масло в смесь
воды и спирта, имеющую ту же плотность, что и масло (масло не
смешивается со смесью воды и спирта). Какую форму принимает
масло, когда устанавливается равновесие? #
Потенциальная энергия системы, состоящей из масла и смеси,
и=и^и^ип,
vjisUi, U%—потенциальные энергии масла и смеси, обусловленные их
тяжестью; — поверхностная энергия границы масла и смеси.Так как
плотность масла и смеси одинакова, обмен местами некоторой порции
масла и некоторой порции смеси не изменяет сумму следова-
тельно, Ui не изменяется при деформации объёма, занимаемого
маслом. Поэтому минимум U будет тогда, когда поверхностная
энергия примет наименьшее значение. Но пропорциональна
поверхности масла. Следовательно, равновесие наступит тогда, когда
поверхность масла, при заданном объёме, будет наименьшей, т. е.
масло примет форму шара. Это легко показать на опыте, особен-
но если подмешать к маслу небольшое количество красящего ве-
щества.
Шар является также фигурой равновесия мыльного пузыря. Вес
пузыря настолько мал, что его энергия тяжести ничтожна по срав-
§ 2]
ФИГУРА РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОГО ТЕЛА
215
нению с поверхностной энергией, и минимум полной потенциальной
энергии практически совпадает с минимумом поверхностной энергии.
2. Невесомая жидкость на твёрдой пластинке. Пусть неко-
торая порция жидкости положена на твёрдую пластинку. Будем
сначала пренебрегать энергией тяжести. Тогда потенциальная энергия
системы совпадает с её поверхностной энергией
2S12 ct23S23 Яз1^з1,
(9.1)
где а12, а23, а31 — удельные поверхностные энергии поверхности
раздела (1-2) (жидкость—воздух), (2-3) (воздух—пластинка) и (3-1)
(пластинка — жидкость); S12, S23, S31 —
величины соответствующих поверхностей.
Пусть в начальный момент жидкость
имеет форму, показанную на рис. 138,а;
все три величины 512, 523, 531 имеют при
этом конечное значение. Пусть затем про-
исходит отрыв части жидкости от пластин-
ки (рис. 138, Ь). При этом увеличива-
ются 512 и 523 и уменьшается 531:
Д^7 = (Х12 AS12 4" а23 а31 1^^311’
Если а12 и а23 малы, а а31 велико, т. е.
если удельная энергия поверхности пла-
стинка — жидкость велика по сравнению
с удельными энергиями-остальных поверх-
ностей, то отрицательно: по мере от-
рыва жидкости от пластинки общая
поверхностная энергия уменьшается.
Минимум U, а ^ледовательно, и фигура равновесия будут в
этом случае достигнуты тогда, когда 531 = 0, т. е. вся жидкость
находится в контакте с воздухом и, разумеется, имеет форму шара:
жидкость стягивается в сферическую каплю (рис. 138, с). В этом
случае говорят, что жидкость совершенно не смачивает пластинку.
Рассмотрим теперь другой интересный случай, когда а23 велико
по сравнению с а12 и а31. В этом случае стягивание жидкости в
каплю вызвало бы увеличение поверхностной энергии, и поэтому оно
не происходит. Но поверхностная энергия в этом случае уменьшается,
если из конфигурации а жидкость переходит в конфигурацию d. Дей-
ствительно, при этом 523 сокращается, 531 и 512 увеличиваются и
г Д^7 = а12Д512 —а23 |^^2з| “F ®31 ^*^31,
и так как, по условию, а23 много больше, чем а12, а31, величина Д£7
отрицательна. Теперь поверхностная энергия уменьшается по
216 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ [ГЛ. IX
мере сокращения поверхности соприкосновения воздух — пластинка.
Жидкость всё больше, растекается по пластинке. В этом случае
говорят, что жидкость вполне смачивает пластинку.
Если нет побочных явлений, растекание продолжается до тех
пор, пока слой жидкости не становится настолько тонким, что при-
меняемая здесь теория становится непригодной (толщина слоя жидко-
сти делается сравнимой с радиусом действия молекулярных сил
(ср. часть III, гл. XV, §§ 23 и 24).
3. Тяжёлая жидкость на твёрдой пла-
стинке. Если принять во внимание вес жидкости,
то помимо поверхностной энергии надо учиты-
Рис. 139. вать энергию тяжести. Она тем меньше, чем
ниже расположен центр тяжести жидкости.
Если жидкость смачивает пластинку, то по мере растекания
полная потенциальная энергия попрежнему может только уменьшаться,
так как кроме уменьшения поверхностной энергии происходит умень-
шение высоты центра тяжести жидкости, а следовательно, и энер-
гии тяжести. Поэтому здесь учёт силы тяжести не изменяет полу-
ченный выше результат.
Иначе обстоит дело, если жидкость не смачивает пластинку. По
мере того как жидкость собирается в сферическую каплю, её центр
тяжести поднимается и, следовательно, энергия тяжести растёт
по мере уменьшения поверхностной энергии. Поэтому полная энер-
гия обратится в минимум до того, как капля примет сферическую
форму и установится некоторый компромисс между «стремлением»
поверхности жидкость — пластинка сократиться и «стремлением»
центра тяжести опуститься возможно ниже. -Фигура равновесия капли
будет не сферической, а сплюснутой (рис. 139).
Если объём жидкости велик, то поверхностная энергия незначи-
тельна по сравнению с энергией тяжести, и жидкость сильно рас-
плющивается, несмотря на то, что это вызывает большое увеличение
поверхностной энергии. Если, наоборот, объём* жидкости очень мал,
потенциальная энергия тяжести играет ничтожную роль по срав-
нению с поверхностной энергией, и жидкость принимает форму поч-
ти сферической капли. Эти выводы идлюстрируются поведением
ртути на стекле х). Маленькие количества ртути, разлитые по стеклу,
образуют шарики, в то время как большие количества ртути на том
же стекле растекаются в «лужи». Большие массы жидкости прини-
мают сферическую форму только в таких условиях (как, например,
в опыте Плато), когда исключено влияние тяжести. Водяные капли
радиуса, меньшего чем 2—3 мм (например, дождевые капли, росин-
ки), имеют приблизительно сферическую форму. Другим примером
является изготовление сферических дробинок выливанием расплавлен-
ного свинца в виде капель.
1) Хотя и не имеет места полное несмачивание (ср. § 3).
§ 3]
КРАЕВОЙ УГОЛ
217
а силы поверхностного натяжения.
твердое тела
Рис. 140,
Разрежем пополам стеклянную трубку. В местах разреза стекло
образует острые края. Если мы теперь сильно разогреем и оплавим
эти края, их поверхность сократится под действием поверхностного
натяжения, и они закруглятся. Закруглённая форма краёв сохранится,
когда стекло остынет и снова затвердеет.
§ 3. Краевой угол. Более тщательное исследование задачи о
минимуме выражения (9.1), § 2, привело бы нас к важному поня-
тию краевого угла. Его можно получить и другим путём, рассма-
тривая не поверхностную энергию,
Выделим элемент вещества
(густо заштрихованный диск, по-
казанный в разрезе на рис. 140)
на общей границе трёх тел: жидко-
сти, газа и твёрдого тела. Так как
этот элемент содержит поверхно-
стные слои (косо заштрихованные
на рис. 140), то на его внешнюю
поверхность действуют, кроме
обычного давления, одинакового
со всех сторон, ещё силы поверх-
ностного натяжения, направлен-
ные, как показано на рисунке. Обозначим через 0 угол между по-
верхностью жидкость — газ и поверхностью твёрдого тела. Одним
из условий равновесия диска является равенство нулю векторной
суммы действующих на него сил — поверхностных натяжений a12/z,
а23й, а31й, где h — высота диска. Для компонент, параллельных по-
верхности твёрдого тела, это равенство даёт
«12 cos 9 — а23 -|- а31 = 0.
(9.2)
Так как а12, а23, а31 —постоянны, то из уравнения (9.2) следует, что
равновесие возможно лишь при определённом значении cos 6, а
именно:
cos 9
«23 ---«31
«12
(9.3)
Поскольку величина*^ по физическому смыслу заключена между 0
и к, условие (9.3) определяет, /если правая часть по абсолютной
величине не превышает 1, т. е.
I «23 «31 I
«12
(9.4)
одно определённое значение угла 0. Только при этом значении
возможно равновесие. Легко убедиться, рассмотрев как меняется
результирующая сила при небольшом отклонении, что равновесие
218
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. IX
устойчиво. Угол 0, определяемый равенством (9.3), называется крае-
вым углом. Каждая комбинация твёрдого, жидкого и газообраз-
ного тела, удовлетворяющая условию (9.4), характеризуется опре-
делённым краевым углом.
Если
(9.5)
«12 '
то уравнению (9.2) не удовлетворяет никакое действительное значе-
ние 6 (cos действительного угла не может быть больше 1 и меньше
— 1). Другими словами, ни при каком угле 6 не может установиться
равновесие, если
а2з > а12 + аз1 (9/6)
или если
а31 > а12 “Ь а23* (9-7)
Смысл этих условий легко понять. Если имеет место (9.6), то
как бы ни был остёр угол 6, поверхностное натяжение границы
твёрдое тело—газ перевешивает оба других, и жидкость неогра-
ниченно растекается по твёрдой поверхности (полное смачивание).
Если имеет место (9.7), то как бы ни был туп угол 0 поверх-
ностное натяжение границы твёрдое тело — жидкость перевешивает оба
других, и жидкость стягивается до тех пор, пока не отделится от
твёрдой поверхности (полное несмачивание).
Вернёмся к тем случаям, когда существует определённый краевой
угол. Если
а2з — ^31^0» (9-8)
то cos 0 0 й угол 6 — острый. В этом случае говорят, что имеет
место частичное смачивание. Если
®23 аз1 б, (9.9)
cos0<^O и угол 6 — тупой, имеет место частичное несмачивание.
Примерами полного смачивания являются соприкосновение со
стеклом этилового и метилового спиртов и бензина. Частично сма-
чивают стекло, например, эфир (0=16°) и керосин (0 = 26°). Для
воды на стекле краевой угол если и отличен от нуля, то настолько
мал, что с трудом поддаётся измерению. Для ртути на стекла-
Квинке получил значение 0 = 148° 55’ в случае свежей капли и
обнаружил, что 0 постепенно уменьшается и через двое суток рав-
но приблизительно 137°.
Если налить жидкость А на плоскость раздела другой жидкости
В с воздухом, то во всех исследованных случаях имеет место пол-
ное смачивание', жидкость А растекается по жидкости В, пока не
покроет всю свободную поверхность. Если последняя велика, то
может образоваться мономолекулярный слой, т. е. слой толщиной в
§ 4]
УРОВЕНЬ ЖИДКОСТИ В КАПИЛЛЯРЕ
219
1 молекулу. Кажущиеся исключения, как всегда оказывается, обус-
ловлены загрязнениями. Например, нерастекание кругов масла на
поверхности воды вызвано тем, что она уже покрыта тонким слоем
масла. Квинке показал, что чистая вода всегда растекается по по-
верхности чистой ртути.
§ 4. Уровень жидкости в капилляре. Применим полученный
результат к подсчёту уровня жидкости в узкой трубке — капилляре,
вставленном в сосуд с жидкостью. Ввиду наличия краевого угла на
поверхности раздела трубка — воздух— жидкость, поверхность послед-
ней не остаётся горизонтальной, а в зависимости от того, смачивает
ли жидкость трубку или нет, поверхность жидкости принимает
вогнутую или выпуклую форму (жидкость образует в трубке вогну-
тый или выпуклый мениск). Пусть между
жидкостью и стенкой капилляра существует
определённый краевой угол 6. Обозначим
через h устанавливающуюся при равновесии
разность уровней жидкости в капилляре и сна-
ружи (рис. 141), через г — внутренний радиус
капилляра. При равновесии потенциальная энер-
гия имеет минимум и, следовательно, малое изме-
нение уровня жидкости в капилляре не изменяет
в первой порядке потенциальную энергиюх).
Предположим, что высота жидкости увеличи-
лась на малую величину Дх. При этом поверх-
ность стекло — жидкость увеличится на 2кг Дх,
поверхность стекло—воздух уменьшается на
ту же величину. Общая поверхностная энергия
возрастёт при этом на 2кгДх(а31—а23).
Подсчитаем теперь приращение энергйи
тяжести. Подъём жидкости на величину Дх
Рис. 141.
можно себе представить происшедшим в следующие два этапа:
1) подъём заштрихованного объёма без изменения формы на высоту Дх
над первоначальной, что влечёт увеличение энергии тяжести на
$gv Дх, где v — заштрихованный объём; 2) заполнение жидкостью,
взятой на уровне 0, цилиндрического пространства между сече-
ниями А и В, что влечёт за собой увеличение потенциальной
энергии тяжести на yghw* Ах (произведение веса pgw2Ax на вы-
соту h). 4
Таким образом, общее приращение потенциальной энергии есть
ДU = 2яг Дх (а31 — а23) -|- р£Ч?Дх р£^ • №Дх
*) Если U(х) = min, то U (х + Ах) = U(х) U" (х)4-...; в разложе-
нии U (х) в ряд Тэйлора отсутствует член первого порядка относительно Ах,
так как U’(x) — 0. Отбрасывая члены порядка (Ах)2 и выше, т. е. в первом
порядке, имеем &U = 6/ (х 4~ Ах) — U (х) = 0.
220
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. IX
и так как при смещении из равновесия AJ7 = 0, мы имеем
h v _____________________________ 2 (а23 — д31)
' кг’ р£Г
или, на основании (9.3) § 3,
. . у 2 д12 cos 6
№г
Если капилляр узкий и h велико, то можно пренебречь объёмом v
по сравнению с объёмом остальной части столба жидкости
и писать
2 д12 cos 0
?gr
(закон Жюрена). h имеет тот жп знак, что и cos 9. Следовательно,
если краевой угол острый или равен нулю, то урозень жидкости
в капилляре выше, чем снаружи (например, вода); если краевой
угол тупой, то уровень в капилляре ниже (например, ртуть).
Физическое содержание вывода сводится к тому, что если
а23 ^>а31, то уменьшение поверхностной энергии достигается повы-
шением уровня жидкости, если «з3 <Саз1 —
его понижением.
§ 5. Плавание тяжёлого тела на
лёгкой жидкости. Совершенно анало-
гичен механизм плавания твёрдого тела на
жидкости, плотность которой меньше
____плотности этого твёрдого тела. Это яв-
! ление демонстрируют некоторые виды
насекомых, бегающих по поверхности во-
Рис. 142. ДЬ1 Легко также показать, что стальная
игла может лежать на поверхности воды.
Рассмотрим твёрдый цилиндр, соприкасающийся с воздухом и с
жидкостью (рис. 142, а). При погружении цилиндра поверхностная
энергия a12S12 a23S23 + аз1^з1 испытывает приращение (<х31 — а23) AS31,
так как AS12 = 0, AS23 = — AS31. Если а31—«зз?>0> т. е. если
жидкость не смачивает твёрдое тело (гл. IX, § 3), то поверх-
ностная энергия при погружении увеличивается, и если цилиндр
имеет такую форму, что уменьшение потенциальной энергии тяго-
тения сравнительно мало (небольшая высота, очень вытянутое осно-
вание), то возможно, как показывает более детальный расчёт, со-
стояние устойчивого равновесия, при котором цилиндр не погру-
жается.
Если, наоборот, а31—«аз^О» т* е- Цилиндр смачивается жидко-
стью (рис. 142, Ь)у то погружение связано с уменьшением поверх-
ностной энергии и цилиндр может не всплывать несмотря на то,
что он легче жидкости.
§ 6] СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДАВЛЕНИЕМ И КРИВИЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 221
Рассмотренные здесь явления лэжат в основе процесса флотации,
применяемого для обогащения руд.
§ 6. Соотношение между давлением и кривизной поверхности.
Давление на выпуклую сторону искривлённой натянутой мембраны
меньше давления на вогнутую сторону (при равновесии). Так же
обстоит дело с поверхностной плёнкой жидкости, если поверхность
искривлена.
1. Давление в мыльном пузыре. При равновесии мыльный
пузырь—шар (§ 2). Найдём соотношение 'между радиусом пузыря
при равновесии и разностью давлений с внешней и с внутренней
стороны.
Если бы радиус пузыря г возрос на небольшую величину Аг,
то общая поверхность соприкосновения жидкости и воздуха (обеих
сторон плёнки) 5=2 • 4кг2 возросла бы на Д5=16кгДг и против
силы поверхностного натяжения была бы совершена работа аД5,
равная приращению поверхностной энергии. При этом избыток р
внутреннего давления над внешним совершает работу, равную р,
умноженному на приращение объёма пузыря А кг3, т. е. на 4гсг2Дг.
о
Эта величина есть убыль потенциальной (упругой) энергии воздуха.
Если г есть радиус пузыря при равновесии, то общее изменение по-
тенциальной энергии равно нулю:
&U = (16кга — 4пг*р) &г— О,
откуда
Давление в пузыре превышает внешнее давление на величину, об-
ратно пропорциональную его радиусу.
2. Жидкая капля. Здесь можно повторить то же рассужде-
ние, что для мыльного пузыря, с той только разницей, что поверх-
ность соприкосновения жидкости и воздуха здесь, при том же ра-
диусе, вдвое меньше и равна 4кг2. Поэтому здесь
Р = ^- . (9.И)
3. Газовый пузырь в жидкости. Здесь опять поверхность сопри-
косновения равна 4кг2, следовательно, избыточное давление в пу-
зыре также даётся формулой (9.11).
4. Общий случай. Если элемент жидкой плёнки ABCD обра-
зует часть кривой поверхности, то, как известно из геометрии, мож-
но найти на нём две бесконечно малые линии АВ, ВС под прямым
углом одна к другой, обладающие тем свойством, что нормали в
А и В, а также нормали в В и С пересекаются. Обозначим точки
пересечения О, О'; АО и ВО' называются главными радиусами кри-
визны рассматриваемой поверхности (рис. 143). Для некоторых по-
222
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
[ГЛ. IX
верхностей (нащример, шара или эллипсоида) О и О' лежат по одну
сторону поверхности, для других поверхностей (например, поверх-
ности, образованной вращением PQ вокруг оси MN, рис. 144)
О и О' лежат по разные
Рис. 143.
Рис. 144.
стороны поверхности.
Тогда, обобщая рассу-
ждения, применённые для
случая шара, можно по-
лучить формулу
р=2а(±- + ^, (9.1 Г)
где 7? и 7?' — главные
радиусы кривизны, р —
разность давлений с од-
ной и с другой стороны
плёнки, причём 7? и 7?',
по условию, считаются
положительными или отрицательными, смотря по тому, нахо-
дятся ли соответствующие центры кривизны О, О' с той сто-
роны ^поверхности, где давление больше, или же с той, где оно
меньше.
5. Сцепление смоченных пластинок. Если смочить две хорошо
отшлифованные пластинки и привести в контакт смоченные по-
верхности, то очень трудно затем оторвать одну пластинку от
другой. (Их легко разъединить посредством скольжения.) Это явле-
ние теперь легко объяснить. Пусть d — расстояние между пла-
стинками и пусть для простоты площадь пластинок, смоченная
жидкостью, есть круг диаметра D (рис. 145). Радиусы кривизны сво-
ь*-------D '
Г~! --------------П |
Рис. 145.
бодной поверхности жидкости равны -у- (приблизительно) и---------и,
следовательно, давление внутри жидкости меньше атмосферного
на 2а -------, или, если d очень мало по сравнению с Z), на
Таким образом, снаружи на пластинки действует атмосферное
давление, а изнутри, со стороны жидкости, давление меньше атмосфер-
§ 6] СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДАВЛЕНИЕМ И КРИВИЗНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 223
кого на величину -у. Всё происходит так, как будто пластинки
притягиваются одна к другой с силой, равной —у, где о= -у.
Пластинки придавливаются одна к другой, и по мере сближения
«сила притяжения» увеличивается из-за уменьшения d и увеличения
D. Если, как это в действительности всегда имеет место, пластинки
не идеально плоские, то сближение пластинок прекратится тогда, когда
разность давлений воздуха и жидкости уравновесится давлением
стекла в местах соприкосновения пластинок. Если пластинки отшли-
фованы так, что высота бугров — порядка 10“4 см и смочены водой,
то они прижимаются одна к другой давлением порядка 1 апгм.
ГЛАВАХ.
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ.
§ 1. Способы наблюдения движения жидкостей. Стационарное
течение. Линии тока. Пылинки в воздухе, освещённые солнечным
лучом, позволяют проследить за движением тех частиц воздуха,
которые окружают каждую пылинку. Если пылинки весьма малы,
то вес пылинки мал по сравнению с силами трения, которые увле-
кают её; поэтому они движутся почти с той же скоростью, с какой
движутся окружающие пылинку частицы воздуха. При наблюдении
Рис. 145.
движения воды употребляют насыпанный по её поверхности или пла-
вающий внутри порошок алюминия. Движение пылинок алюминия
фотографируется при сильном освещении, причём выбирается время
экспозиции, достаточное для того, чтобы каждая пылинка дала на
пластинке короткую чёрточку; таким образом, получают возмож-
ность судить, в каком направлении движутся частицы воды с пы-
линкой, а по длине чёрточки судить и о скорости пылинки.
На рис. 146 приведён полученный таким образом фотоснимок,
изображающий обтекание водой цилиндра, имеющего сечение крыла
самолёта и поставленного перпендикулярно к направлению потока
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
225
§ 2]
воды. Картина относится к поверхности воды, но таково же тече-
ние и на разных глубинах, не слишком близких ко дну широкого
прямоугольного жёлоба, по которому течёт вода. Таким образом,
мы можем судить об обтекании воздухом крыла самолёта во всех
его участках, за исключением концов крыла, где сказывается нали-
чие потоков через боковые кромки.
Чёрточки на рис. 146 дают направление скорости частиц воды
в различных точках, а длина каждой из чёрточек пропорциональна
величине скорости.
Если мы в определённый момент времени отметим короткой
чёрточкой в каждой точке пространства направление скорости
жидкости в данной точке, то эти чёрточки составят систему так
называемых линий тока-, они и видны ца рис. 146. Если тече-
ние жидкости таково, что приходящая в любую точку простран-
ства частица жидкости имеет всегда одну и ту же по вели-
чине и направлению скорость, то линии тока сохраняют с тече-
нием времени неизменную форму. Такое движение называется ста-
ционарным. Стационарное движение ’ наблюдается, например, при
вытекании тонкой струи воды из крана или при переливании воды
через запруду.
Не следует думать, что при стационарном течении определённая
частица жидкости движется с постоянной по величине скоростью.
Частицы, проходящие через определённое место, имеют неизменную
по величине и направлению скорость; но данная частица при пере-
ходе из одного места в другое, вообще говоря, меняет скорость,
т. е. имеет ускорение. Вообще, изучение течения жидкости можно
вести с двух точек зрения: следить за течением в каждой точке
пространства — точка зрения Эйлера или следить за течением каж-
дой точки жидкости — точка зрения Лагранжа.
§ 2. Стационарное течение идеальной жидкости. Теорема Бер-
нулли. Выделим мысленно в определённом месте жидкости неболь-
шой прямоугольный параллелепипед и проследим изменение его фор-
мы в течение малого промежутка времени (причём он, конечно, не
только деформируется, но и перемещается). Это — точка зрения Ла-
гранжа. Так как выбранный нами промежуток времени мал, то фор-
ма параллелепипеда изменится ^немного (он не вытянется, например,
в изогнутую нитку). Оставаясь приблизительно параллелепипедом,
он может скоситься, сжаться, вытянуться и т. п.
Если жидкость несжимаема, т. е. сохраняет постоянный объём,
несмотря на действующие на неё силы, то и объём нашего паралле-
лепипеда не будет с течением времени изменяться. Если он вытя-
нется по длине, то он должен, следовательно, соответственно
сжаться в поперечном сечении и т. п. Вода в обычных опытах с тече-
нием может считаться несжимаемой жидкостью. Но и воздух для
тех сил давления, которые наблюдаются, например, при полёте
в нём самолета, имеющего небольшую скорость, оказывается, мо-
15 Напал •. f
226
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
[гл. X
жет с достаточной точностью считаться несжимаемым. Опыт пока-
зывает, что давление у крыла самолёта отличается от давления
вдали от него на величину порядка 0,05 ат. При этом плот-
ность его изменяется всего на 5%- Поэтому при рассмотрении
вопросов подобного рода, а также случаев не слишком быстрого
течения газа по трубам, можно считать газ несжимаемым. В этой
главе мы так и поступаем; в
Рис. 147.
акустике, наоборот, сжимаемостью
воздуха пренебрегать нельзя. При
изучении течения воздуха у крыла
современного скоростного самолёта
также приходится принимать во вни-
мание сжимаемость воздуха. Кроме
того, мы будем предполагать, что в
жидкости не действуют силы тре-
ния. (Такую жидкость, не подвер-
женную действию сил трения, при-
нято называть идеальной жидко-
стью.)
Выделим в жидкости небольшое
сечение S (рис. 147) и проведём че-
рез его контур линии тока; мы по-
лучим так называемую трубку тока. Если сечение S достаточно
мало, то и сечения S2 будут малы, хотя и будут отличаться по
площади от S. Эти сечения мы проведём перпендикулярно к одной из
линий тока; вследствие того, что S мало, все линии тока, проходящие
через контур сечения, будут почти параллельны; следовательно, сече-
ния и S2 будут -почти перпендикулярны ко всем пересекающим
их линиям .тока.
Вычислим теперь соотношение между скоростями жидкости
в обоих сечениях. Скорости движения частиц жидкости, лежа-
щих в каждом сечении, можно считать одинаковыми, но они
различны в разных сечениях. За время dt частица, лежащая
в пройдёт путь vxdt, частица же в 32 пройдёт путь v^dt.
Вследствие этого все частицы, лежавшие в передвинутся.,
в 5^ причём объём, лежащий между этими сечениями (мало
различающимися по площади), может быть положен равным dt.
Соответственно, объём между сечениями S2, S' окажется равным v^S^dt.
Но вследствие предложенной нами несжимаемости жидкости объём
её, расположенный в момент t между и S2, равен объёму её,
расположенному в момент t-\-Lx между сечениями S' и 5^. Вы-
читая из обоих объёмов заштрихованную на рис. 147 часть, находим
A/ = ‘u2S2 Lt,
а после деления на Lt и перехода к пределу при
(10.1)
§ 2] ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ 227
т. е. скорости жидкости в двух разных сечениях (неизменных в про-
странстве) трубки тока обратно пропорциональны этим сечениям.
Подобное же рассмотрение позволяет установить в случае ста-
ционарного движения жидкости соотношение между давлениями и ско-
ростями в сечениях и S2. Подсчитаем работу, совершаемую силами
тяжести и силами давления при перемещении за время dx некоторого
отрезка трубки тока, заключённого между сечениями и 52 (рис. 147),
в новое положение S' и S2. Для подсчёта работы сил тяжести за-
метим, что второе положение рассматриваемого объёма можно полу-
чить, полагая, что заштрихованный объём остался на месте, а объём SjSj
переместился в положение S25g. Работа силы тяжести равна про-
изведению веса тела на изменение высоты понижения его центра
тяжести. При малости рассматриваемых объёмов высоты, на которых
расположены центры тяжести, мало отличаются от высот /г2
(рис. 147), т. е. понижение центра тяжести есть hx—Л2. Величины
же рассматриваемых объёмов в обоих положениях равны, вслед-
ствие предположенной несжимаемости жидкости, и, как видно из ри-
сунка, равны S^. Поэтому вес их есть где — удель-
ный вес жидкости, а работа сил тяжести при понижении равна
(^1
Подсчитаем теперь работу сил давления. На боковых поверхностях
нашей трубки перемещения частиц жидкости перпендикулярны к на-
правлениям сил давления; работа последних равна, следовательно,
нулю. Работа силы давления на сечение Sj равна работа же
сил давления на сечение S2 отрицательна, так как направление дви-
жения обратно направлению давления, и равна —p%S2 • а% = — p^Stav
Сумма этих работ есть (pt—р2) • Sxav Силы трения мы предпо-
лагаем отсутствующими, а потому полная работа всех сил, внешних
по отношению к рассматриваемому объёму, есть
ад [р (*!—л2) -ад — р9]=ад [5^ — ht) + Pi —рг],
где 8 есть плотность жидкости.
В результате этой затраченной внешними силами работы возросла
кинетическая энергия нашего объёма. Чтобы подсчитать её изменение,
заметим, что кинетическая энергия заштрихованной части принадле-
жит одинаково и объёму и объёму Следовательно, при-
ращение кинетической энергии можно вычислить, сравнивая только
кинетические энергии Ех и Е% объёмов и S2a2. Но
р ___ • v* р • v*_ ^S^vl
g 11 2 — 2
Приращение кинетической энергии есть Е,2—Еи Таким образом, на
основании закона сохранения энергии можно написать
о ГА / 7 7 \ I 1 __ (V(,
ад [og- (hi — /?.,) ад - =--------------.
15*
228
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
[гл. X
Равенство это — приближённо, но, деляна и переходя к пре-
делу при AZ—>-0, находим точную формулу
г+т+^‘=г+т+^’ <10-2>
Vg
называемую формулой Бернулли и позволяющую сравнивать давле-
ния в двух разных сечениях трубки тока.
§ 3. Применения теоремы Бернулли. Рассмотрим истечение
жидкости из отверстия в сосуде (рис. 148), сечение которого много
больше площади отверстия. При этих условиях, как показывает опыт,
понижение уровня происходит достаточно медленно, и явление
можно считать стационарным, а скорость в сечении — близкой
к нулю. Давления в сечениях и равны дав-
--г—[ * лению примыкающего к ним воздуха. Применяя
I I формулу Бернулли, находим
х. \
' ёК = ghi +
или
Рис. 148. == V<lg(hx — h^. (10.3)
Формула эта, получившая название формулы Торичелли и очень
хорошо оправдывающаяся на опыте для жидкостей с малым трением,
т. е. близких к идеальным, как, например, вода, говорит нам, что
скорость истечения жидкости из сосуда не зависит от её удель-
ного веса и определяется только глубиной отверстия под уровнем
жидкости. Имея в виду полное соответствие формулы (10.3) с фор-
мулой для величины скорости при свободном падении, с которой
она имеет естественное родство, мы можем формулировать теорему
Торичелли и так: скорость истечения струи идеальной жидкости
равна скорости свободного падения её с высоты, равной глубине
отверстия под уровнем жидкости.
Для подсчёта по этой формуле количества жидкости, вытекающего
за единицу времени из сосуда, необходимо ещё знать сечение струи
и быть уверенным, что скорости во всех точках этого сечения пер-
пендикулярны к его плоскости и одинаковы по всему сечению. Если
эти условия соблюдены, то, обозначая через 5 площадь сечения,
находим вытекающий за единицу времени объём, равный Szl Однако
опыт показывает, что условие нормальности скорости к сечению
отсерстия, вообще говоря, не соблюдается. На рис. 149 показаны
линии тока для жидкости, вытекающей из отверстия в тонкой стенке.
Как мы видим, для правильного расчёта необходимо брать не сечение S
самого отверстия, а сечение S', где линии тока становятся нормаль-
ными к его плоскости. Сечение это несколько меньше, чем сечение
отверстия, а именно
0,61—0,64.
§ 3J
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ БЕРНУЛЛИ
229
Число это, найденное из опыта, получило название коэффициента
сжатия или контракции струи. Подходящим закруглением краёв
отверстия можно достигнуть полной перпендикулярности линий тока
к плоскости сечения отверстия (рис. 150), и тогда количество вы-
текающей за единицу времени жидкости можно считать равным Sv.
Силы трения несколько искажают распределение величины ско-
ростей по сечению—у краёв сечения, где сказывается задерживающее
влияние стенок, скорость меньше чем в середине. Но учёт этого
обстоятельства необходим лишь в случае очень узких отверстий;
например, для воды порядка 1 млг.
При не слишком быстром обтекании жидкостью тела линии тока
направлены как показано на рис. 151; перед телом они развет-
вляются, а за ним вновь смы-
каются (точка А и В). Теоре-
ма Бернулли позволяет нам
определить различие давлений
в разных точках поверхности
тела.
Условимся рассматривать
случай, когда поток, в кото-
рый помещено наше тело, в
достаточном от него удалении
Рис. 151.
равномерен, т. е. имеет повею- h
ду одинаковую скорость; жидкость будем считать несжимаемой и
силой тяжести пренебрегать. Это возможно, если вертикальные раз-
меры тела невелики, а потому влияние силы тяжести не вызывает
различия давлений на разных высотах у тела. Тогда (10.2) принимает
вид
г?!
6^2" о 2 '
т. е. pi=pi=p—давление вдали от тела повсюду постоянно. Чтобы
определить давление б какой-либо точке М поверхности нашего тела,
выделим трубку тока, прикасающуюся к поверхности тела и содер-
230
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
[гл. X
жатую точку Л4, и применим теорему Бернулли для сечения, прохо-
дящего через Л4, и сечения, достаточно удалённого от тела. Мы найдём
—------------_ Величина Др называется избыточным
~~-----------------------' давлением} легко видеть, что в точке
Л1 оно отрицательно, так как
Рис. 152. В самом деле, как видно из рис. 151,
в точке М трубка тока сужается по
сравнению с удалённой точкой, значит, согласно (10.1), скорость
увеличивается. Наоборот, в точках А и В, где сечения трубки тока
наибольшие, Др — положительно и принимает максимальное значение.
Как показывается в гидродинамике, скорость в этих точках нуль,
а, следовательно,
а
Вообще знание распределения линий тока позволяет на основе
теоремы Бернулли оценить силу, действующую на тело, погру-
жённое в текущую жидкость. Рассмотрим, например, крыло самолёта,
летящего с равномерной скоростью через неподвижный воздух. Со-
гласно принципу относительности Галилея, распределение давления не
изменится, если мы будем рассматривать явление относительно системы
координат, связанной с крылом, так как такая система координат
движется относительно первоначальной поступательно, прямолинейно
и равномерно. Поэтому мы можем вместо самолёта, летящего через
неподвижный воздух, рассматривать неподвижный самолёт, обтекае-
мый равномерным потоком воздуха с той же относительной ско-
ростью. Этим и пользуются для исследования распределения давле-
ний на модель крыла, закреплённого в трубе, где создаётся поток
воздуха (аэродинамическая труба). Распределение линий тока, наблю-
даемое в так$м опыте, изображено на рис. 152. Как видим, трубки
тока, имевшие перед крылом повсюду одинаковую толщину, над
профилем крыла сжимаются [что указывает, согласно (10.1), на воз-
росшую скорость], а под крылом утолщаются (скорость умень-
шается). Поэтому, согласно теореме Бернулли, давление на верхнюю
поверхность крыла меньше, чем на нижнюю. Измеренное распреде-
ление давлений представлено на рис. 153. Равнодействующая всех
сил давления направлена поэтому вверх; эта равнодействующая и
является силой, поддерживающей самолёт. Разлагая её на верти-
кальную и горизонтальную составляющие, мы видим, что, собственно
подъёмной силой является первая; она уравновешивается весом само-
§ 3]
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ БЕРНУЛЛИ
231
лёта. Вторая же представляет составляющую сопротивления крыла,
которое должно быть уравновешено силой тяги винта. Тогда движение
самолёта будет прямоли-
нейным и равномерным.
Вопрос о том, как
образуется распределение
скоростей, какое наблю-
дается вокруг крыла са-
молёта и вообще вокруг
тела, обтекаемого жидко-
стью, является одним
из важнейших вопросов
аэродинамики, так как
только его разрешение
открывает возможность
такого выбора формы
крыла, при котором его
подъёмная сила наиболь-
шая, а сопротивление —
наименьшее. В первона-
Рис. 153.
чальных расчётах распре-
деления скоростей жидко-
сти вокруг
погружённого в неё тела делалось предположение, что
в жидкости не действуют силы трения. Расчёты эти привели
к заключению, что тело любой формы не встречает никакого
сопротивления при равномерном движении его относительно не-
сжимаемой жидкости, что явно противоречит опыту (так называемый
гидродинамический парадокс, впервые установленный Эйлером).
Однако математическая строгость расчёта была безукоризненна.
Противоречие это разъясняется отсутствием учёта сил трения, и
к этому вопросу мы ещё вернёмся (см. § 4 этой главы).
Для измерения скорости текущей жидкости пользуются трубкой
Пито (рис. 154). Это — две концентрически расположенные трубки,
сообщающиеся с манометром. Трубка Пито помещается по направлению
линий тока концом А в точку, где желательно измерить скорость
жидкости. В точке А жидкость имеет скорость, равную нулю, как на
рис. 151; боковые отверстия Д4 расположены по линиям тока. Если
трубка тонка и сжатие линий тока незначительно, то можно считать,
что скорость v в точке М не отличается заметно от скорости потока
в отсутствие трубки Пито. На основании теоремы Бернулли, мы можем
поэтому написать
Ьр=рА — рМ
'^A_SvM
~~ 2 2 2 *
откуда
232
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
[гл. X
По разности h высот жидкости в манометре определим Ар
&р =
где — плотность жидкости, занимающей манометр. Поэтому
vm— у ь •
(10.4)
Измерив й, найдём и скорость потока у конца трубки Пито.
Другой прибор, позволяющий измерять скорость течения жидко-
участок ЛВС, имеющий сужение, и измеряется разность давлений
в Л и В. Согласно теореме Бернулли,
а о / 2 2 ч
^р=рА — Рв =
Но скорости va и Vb обратно пропорциональны сечениям Вд и Sb:
va___$в
VB SA *
Определяя из этих двух уравнений vA и приняв во внимание, что
Др = 8^, находим
§ 4. Силы вязкости. Все изложенные выше расчёты относятся
к таким случаям движения жидкостей и газов, когда силы вязкости
малы по сравнению с другими силами, действующими в жидкости
и газе. Во многих случаях, однако, пренебрежение силами вязкости
недопустимо. Рассмотрим, например, стационарное движение жидкости
в узкой трубке диаметра 2—5 мм. На рис. 156 изображён опыт,
позволяющий изучить распределение давлений по длине в такой трубке.
Жидкость вытекает из резервуара с уровнем жидкости й, причём мы
рассматриваем уже установившееся течение, когда в каждой точке
жидкость имеет неизменную скорость. Как видим из показаний ма-
нометров, расположенных вдоль горизонтальной выводящей трубки
силы вязкости
233
§ 4]
в сечении SJ} давление определяется столбом жидкости А; в сечении
оно равно атмосферному давлению. На основании теоремы Бернулли,
в сечениях S2, 53,..равных по площади сечению и находящихся
с последним на одной высоте, должны были бы наблюдаться одина-
ковые давления. Однако манометры, поставленные у этих сече-
ний, показывают равномерное спадение давления к выходу. Следо-
вательно, имеется ещё какая-то
сила, не учтённая нами при вы-
воде уравнения Бернулли. Ис-
следование распределения скоро-
стей течения в трубках разного
диаметра показывает, что у сте-
нок трубы скорость течения
всегда равна нулю — слой жидко-
сти, прилегающий к стенке тру-
бы, как бы прилипает к ней; к
центру же трубы скорость растёт.
На рис. 157 показано распределение скоростей в трубке при не
слишком больших скоростях течения. Стрелки дают величину и на-
правление скоростей на разных расстояниях от стенки (рис 157, а
относится к большей скорости; рис. 157, b — к меньшей). Такое
распределение вызвано тем обстоятельством, что скольжение одного
слоя жидкости над
Рис. 157.
другим встречает со-
противление, подобное
силе трения при сколь-
жении одного твёрдого
тела по другому, но
подчиняющееся друго-
му закону.
Представим себе
установившееся тече-
ние жидкости между
двумя параллельными плоскостями и выделим некоторый тонкий слой
жидкости толщиной dx (рис. 158). Распределение скоростей по высоте
слоя будет приблизительно равномерным. Обозначим через СК0‘
рость в плоскости S2, через vl — скорость в плоскости Танген-
циальная сила Т, действующая на единицу площади S2 верхнего
слоя со стороны лежащего ниже слоя жидкости, пропорциональна
отношению
^2 — ^1
Дх
Д^
Дх*
Таким образом, в пределе
~ dv
Т = u у-,
r dx9
(10.6;
234
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
[гл. X
лению х. Размерность
Рис. 158.
где у, — некоторый коэффициент пропорциональности, получивший
название коэффициента вязкостй. Это соотношение установлено
Ньютоном и отлично оправдало себя на опыте для различных скоро-
dv
стей течения. Величина т- показывает, как сильно изменяется ско-
dx
рость от слоя к слою, и называется градиентом скорости по направо
коэффициента вязкости найдём из (10.6):
Для определения величины коэффици-
ента вязкости мы пользуемся обычно те-
чением жидкости через тонкий капилляр.
Опыт ставится следующим образом (рис.
159). Исследуемой жидкостью наполняют
трубку ABCD выше метки А; затем в большой резервуар W нагне-
тают воздух до некоторого давления, измеряемого манометром, и
открывают капилляр у D; определяют время t, в течение которого
исследуемая жидкость вытекла от метки А до метки В. Вследствие
наличия значительного давления, создаваемого сжатым воздухом
в сосуде W, изменение уровня жидкости при вытекании через капил-
ляр не изменяет столько-нибудь значительно давления в С, и поэтому
за время опыта давление можно считать постоянным. При этом наблю-
дают установившееся течение жидкости, когда сила трения уравнове-
шивает силу давления, а, следовательно, скорость течения в трубке
постоянна.
Здесь (Р— р) — разность давлений в сосуде
W и атмосферного, R — радиус капилляра,
I — длина CD капилляра. Все величины справа
легко определяются, и поэтому" имеется возможность определить |л.
Для воды при 10° р. = 0,011, для воздуха при 0° р- = 0,0С18.
Чем больше тем более вязка жидкость, тем медленнее выте-
кание при определённой разности давлений. Смолы отличаются осо-
бенно большой вязкостью; для них и порядка 109. Поэтому нужны
громадные силы, чтобы вызвать в смоле достаточную скорость дви-
§ 5] СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ в вязких жидкостях 235
жения. Силы тяжести вызывает только весьма медленное течение
смолы. Поэтому кусок вара, положенный на стол, расплывается
в лепёшку лишь через несколько часов.
§ 5. Силы сопротивления в вязких жидкостях. Число Рей-
нольдса. Силы вязкости проявляются весьма ярко в течении жидкости
по трубам. Это движение имеет также большое практическое значение:
течение жидкости по трубам осуществляется во многих гидротехни-
ческих, теплотехнических и других устройствах (водопроводы, газо-
проводы, паропроводы, нефтепроводы и т. д.).
Для исследования течения жидкости по трубам было проведено
огромное количество экспериментальных работ. Оказалось, что суще-
ствуют две принципиально различные формы течения. В этом можно
наглядно убедиться, если проделать следующий опыт. В круглую
стеклянную трубу, по которой течёт вода из резервуара, вводится
с помощью тонкой насадки окрашенная струйка воды. Окрашенные
частицы движутся вместе с потоком в трубе и делают движение
видимым. При малых скоростях движения окрашенная струйка не
изменяет своей формы с течением времени, оставаясь на всём протя-
жении трубы параллельной оси, и с окружающей жидкостью не сме-
шивается. Помещая насадку в разные точки сечения трубы, мы можем
убедиться в том, что все струйки остаются параллельными оси и
между собой не перемешиваются. Такое движение жидкости назы-
вается ламинарным (или слоистым).
Однако эта форма движения жидкости пе единственно воз-
можная. Если увеличивать скорость движения жидкости в трубе,
то оказывается, что при скоростях, больших некоторой опреде-
лённой для каждого данного случая скорости, ламинарное движе-
ние становится неустойчивым. Окрашенная струйка совершает непра-
вильные колебания, размывается, и её частицы перемешиваются
с частицами окружающей воды. Это перемешивание обычно на-
столько интенсивно, что на некотором расстоянии от выхода струйки
из насадки вся вода в трубе окрашивается равномерно. Следова-
тельно, окрашенные частицы попадают во все_ слои, а, значит, дви-
жутся по всем направлениям, в Т0хМ числе и по направлениям,
перпендикулярным к оси трубы. Траектории частиц оказываются при
этом весьма сложными и запутанными. В каждой точке внутри трубы
скорость всё время изменяется: следовательно, течение нестацио-
нарно. Описанное движение жидкости называется турбулентным;
* оно наблюдается в водопроводах, вентиляционных каналах, реках
и т. п. Распределение скоростей по сечению трубы в случае турбу-
лентного течения иное, как при ламинарном (см. рис. 157, на кото-
рОхМ изображены средние скорости течения).
Английский учёный О. Рейнольдс, который впервые провёл этот
опыт, установил (1883), что переход движения от ламинарной формы
к турбулентной зависит не только от скорости течения, но также
и от диаметра трубы, и от природы жидкости. Рейнольдс показал,
236 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ [гл. X
что характер течения, т. е. будет ли оно ламинарным или турбу-
лентным, вполне определяется величиной отношения
vrp_____vr
где v — средняя скорость течения жидкости в трубе, г—радиус
трубы, v = y — отношение коэффициента вязкости жидкости к её
плотности, называемое кинематическим коэффициентом вязкости.
Отношение ~, как нетрудно проверить, — величина безразмерная: оно
получило название числа Рейнольдса и обозначается через Re, т. е.
начальными буквами фамилии этого учёного. В настоящее время
установлено, что значение числа Рейнольдса далеко выходит за пре-
делы его применений к вопросу о движении жидкости по трубам.
Число Рейнольдса получило в настоящее время широкое распро-
странение во всей теории движения жидкостей.
Метод размерностей, применённый нами в гл. III для определения
зависимости периода маятника от его длины и от ускорения силы
тяжести, позволяет объяснить происхождение числа Рейнольдса.
Будем рассматривать установившееся течение жидкости в круглой
трубе радиуса г. Обозначим через Др разность средних давлений
в каких-нибудь двух точках трубы по её длине, и через v—сред-
нюю по сечению скорость течения несжимаемой жидкости.
Сделаем, далее, естественные предположения, что Др зависит:
1) от средней скорости жидкости v, 2) от плотности р жидкости,
3) от коэффициента р вязкости жидкости, 4) от радиуса г трубы.
Мы предполагаем, следовательно, что
kp = F (r9 р, v, р) = У Арахг?гТ|л\
где А суть числовые коэффициенты.
Считая, как и в гл. III, что каждый член этого ряда должен
иметь размерность, одинаковую с размерностью Др, мы должны
положить
[Др] = [ра • г/3. г? • р8]. f
Но входящие сюда величины имеют следующие размерности:
[Др] = ML”1 Г"2; [t/]=LT-1;
[р] = ML"3; [г] = L; [р-] = ML"1 Т.
Вставляя эти соотношения в написанное выше уравнение размерно-
стей, находим после простых преобразований
ML"i Т"2 = Ма L"3a L3 Т"3 LV M5L”5 T"s =
= Ма+3 L'3a+3+T"6 Т"3’6.
§ 5] СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ в вязких жидкостях 237
Сравнивая показатели у М, Т, L, находим три уравнения:
а-Р=1, — За + Р4-Т-5 = -_ 1, =
Из этих трёх уравнений (которых недостаточно для определения
всех четырёх неизвестных) мы определяем а, [3, 7 через 8:
а=1— 8, [3 = 2 — 8, у = —8.
Поэтому мы имеем
Др = 2.4р‘-= рг»2 2 Л (^?)° = рг»2 2 л 5>
УГ гл V лл
где — есть число Рейнольдса. Окончательно мы можем, очевидно,
написать
Ap=p^.q>(/?e), (10.8)
где 9 (/?е) не может быть определена из соображений размерности,
но во всяком случае зависит только от численных коэффициентов А
и от числа Рейнольдса.
Так как в нашем выводе мы не делали никаких предположений
относительно того, ламинарно пли турбулентно течение жидкости,
то (10.8) должно относиться и любому случаю течения, — в част-
ности, и к течению в капилляре. Действительно, формулу (10.7)
можно написать в таком виде, что она явится частным случаем
(10.8). Обозначим Р— р = кр\ количество V выражается через v
соотношением
V — vR*vt.
Принимая это во внимание, найдём из (10.7)
— в согласии с формулой (10.8). Таким образом, в этом частном
случае
T<^) = 8B'(W'=W,
и мы вскрываем значение численного коэффициента В.
Для определения вида функции 9 в случае турбулентной формы
течения проще всего прибегнуть к опыту. Такие опыты были сделаны
многими исследователями и дали отличное подтверждение формулы
(10.8). Это указывает на правильность тех предположений, из
которых мы исходили при её выводе. На рис. 160 приведены дан-
ные обширных опытов Стантона и Паннеля; за абсциссы выбраны
238
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
[гл. X
1 I 000002 1 •^<Fo<°0^e . г * xj
♦Оо ” 'Н. *“5 £W /^
с
,g.S ।
3} 1 • ; ! * Зоздут . : Л , • ЗЩаш Пу>, I _ _ _ 1 $L ! I 1 WO v 25000 ') 2.8 2$ 3.0 Ц 3,2 33 3.4 3.5 3.6 3J 3.8 3.9 4.0 4J 4,2 4.4 4. / Оа Ld3-^ Рис. 160.
«Ч +4 <f ? *« * + ♦ ¥ 4 0! Ж । _
а 1 .Л Л **L с «J !• 1 <250- 2530 -J 1 д— 1
... т и 001
§>. U t- Ш 1- § к'»
§ 5] СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ в вязких жидкостях 239
lg (Re), ординаты же, обозначенные равны в нашем обозначении
2ф, так как формулу (10.8) нередко принято писать в виде
(10.9)
т
НссмЬтря на то, что эти опыты относятся к трубам разных
ргдиусов и были произведены для самых разнообразных давлений
и скоростей, все точки ложатся на одну единственную кривую, т. е.
действительно ф зависит только от Re.
Рассмотрение этой кривой показывает, что приблизительно до
Re^ 1000, согласно закону Пуазейля, ф, получившее название коэф-
фициента сопротивления, падает. Наблюдение же самого протекания
показывает, что оно ламинарно. Следовательно, мы можем сделать
заключение:
В области ламинарного течения, наблюдающегося приблизи-
тельно до Re = 1000, сопротивление определяется законом Пуа-
зейля, безотносительно к тому, будем ли мы иметь капиллярную
или широкую трубку.
В области 1000 2000 течение, как показывает опыт,
неустойчиво, чему соответствует разброс точек на этом участке
кривой. В зависимости от случайных толчков течение то лами-
нарно, то теряет ламинарный характер, становясь неправильным, то
вновь становится на отдельных участках ламинарным.
Наконец, в области Re >2000 течение становится турбу-
лентным, а зависимость ф от Re снова вполне устойчива, но другого
характера, чем в предыдущих случаях.
Распределение скоростей потока по сечению трубы при лами-
нарном и турбулентном течениях также весьма различно. При лами-
нарном течении скорость (не средняя, а истинная) убывает от оси
по параболическому закону (рис. 157, а). При турбулентном течении
скорость частицы жидкости непрестанно меняется, и поэтому мы пред-
почитаем рассматривать среднюю скорость в данной точке сечения.
Кривая (рис. 157, Ь) относится к распределению по сечению таких
средних скоростей.
Следует заметить, что средняя скорость, введённая нами при
выводе (10.8), отличается по определению от средней скорости,
о которой мы только что говорили. Там мы представляли себе,
что в данный момент времени отмечаются скорости в различных
элементах поверхности сечения, и находили среднюю из них. Здесь
же мы отмечаем в некоторой точке сечения скорости в различные
моменты (точнее, малые промежутки) времени и находим среднее их
значение. Обозначив через AS элемент сечения, общая площадь
которого есть S, мы в первом случае вычисляем
— Vi -j- V2 ^2*5 ... ^v AS
Vs ~ ~ + dSs"+7~ —
240
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
[ГЛ. X
или, переходя к пределу,
5
Во втором же случае мы вычисляем
— %vdt
Ч = —
или в пределе
т
vt — I [ v dt,
Q
причём Т есть тот промежуток времени, который мы выбрали для
вычисления среднего значения.
В физике весьма часто встречаются средние величины и, чтобы
предохранить себя от ошибок, весьма существенно в каждом отдель-
ном случае точно устанавливать, о каком именно виде средней
величины идёт речь.
Наличие градиентов скорости при течении жидкости в трубах
приводит к тому, что каждая частица, двигаясь вдоль трубы, в то
же время вращается. На рис. 157,а показаны две частицы, выде-
ленные штриховкой, которые вращаются в противоположные сто-
роны. Нижняя частица вращается по часовой стрелке, так как ско-
рость на верхней её стороне больше чем на нижней; верхняя частица
вращается против часовой стрелки, так как скорость на верхней её
стороне меньше чем на нижней. Следует отметить, что вращение
частиц присуще как ламинарному, так и турбулентному течениям
жидкости.
Формула (10.8) относится к трубам не только круглого, но
и любого сечения. В самом деле, если бы мы, например, рас-
сматривали квадратную или треугольную трубу и под г подразу-
мевали бы сторону квадрата или равностороннего треугольника, то,
очевидно, без всякого другого изменения в нашем рассуждении мы
снова пришли бы к (10.8). При этом, однако, следует принять во
внимание, что числовые коэффициенты А, входящие в выражения
ср и ф, были бы различны в различных случаях. Коэффициенты
эпги как раз и зависят от геометрической формы трубы. Более,
того, мы пришли бы к формуле (10.8) и для труб любой формы
сечения; только под г пришлось бы подразумевать какой-нибудь
характерный размер сечения.
Наконец, можно по тем же соображениям применять формулу
(10.9) и к случаю равномерного движения тела в покоящейся
жидкости. В самом деле, согласно принципу относительности Гали-
лея, силы, наблюдаемые в этом случае, такие же, какие наблюдались
бы при обтекании жидкостью покоящегося тела, если жидкость
§ 5]
СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ в вязких жидкостях
211
течёт вдали от тела с постоянной скоростью. Но в этом случае все'
рассуждения, приведшие нас к выводу (10.8), можно повторить без
существенных изменений, подразумевая под Ар разность давлений
иежду какими-либо двумя точками тела, например, между его перед-
ним (обращённым против направления потока) и задним концами.
При этом под г придётся подразумевать какой-нибудь характерный
размер тела; например, при изучении сопротивления снаряда — его
радиус.
Таким образом, формулу (10.9) можно применить к уста-
новлению сопротивления снаряда при полёте в вязкой среде —
воздухе. Ей удобно придать несколько иную форму, подразумевая
под А/? разность средних давлений на переднюю и заднюю части
снаряда. Тогда, очевидно,
F — Ьр • тсг2 = Ар 5.
Представим силу сопроти-
вления воздуха полёту сна-
ряда. Используя (10.9), на-
ходим
F=S^(/?e). (10.10)
Если учесть не только вяз-
кость, но и сжимаемость
воздуха, то оказывается,
что ф в этой формуле есть рис 161.
функция также от другой
безразмерной величины — v/a> где а есть скорость распространения
звуковых волн. Отношение v/a называется числом Маха и обозна-
чается Ма\ оно играет важную роль во всех явлениях, происходя-
щих при движении тела в сжимаемой среде.
Для снарядов средних размеров (около 75 мм диаметром) в раз-
личных странах были произведены многочисленные опыты, вполне
подтвердившие этот закон и установившие вид функции ф в зави-
симости от Re и Ма. В артиллерии формулу (10.10) принято писать
в таком виде:
F= 4,735S
численный коэффициент в этой формуле выбран так, что при ради-
усе в сантиметрах, скорости в метрах в секунду сила F выражается
в килограммах.
Значение коэффициента k в зависимости от Ма дано на рис. 161.
Как видим, при скоростях до 340 м/сек (скорость звуковых волн в
воздухе) коэффициент k практически постоянен. Поэтому для медлен-
ных снарядов (мины, гаубичные снаряды) можно принимать, что сопро-
тивление воздуха полёту пропорционально квадрату скорости полёта.
16 Пала л ей си, т. I.
242
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
[гл. х
При скоростях от 340 до v ^500 коэффициент k растёт,
сопротивление быстро возрастает; при ещё больших скоростях k
несколько убывает; сила F хотя и медленнее, но растёт, так как
она имеет ещё множитель тЛ
При весьма малых скоростях, измеряемых сантиметрами в секунду,
сопротивление воздуха движущемуся телу, — так же как это мы
Рис. 162.
видели для капиллярных
трубок, — можно считать
пропорциональным числу
Рейнольдса, т. е. пропорцио-
нальным скорости. Если тело
имеет форму шара, то зада-
чу определения вида функ-
ции ф для малых скоростей
можно решить строго.
Если из полученного ре-
шения определить скорость
установившегося падения
шарика в поле силы тяже-
сти (с учётом потери веса
в воздухе), то найдём так
называемый закон Стокса
9 г2
= (10.11)
<4 . 1
где г—радиус шарика, о—его плотность, й0—плотность воздуха.
Скорость падения
капелек тумана, диа-
метры которых поряд-
ка 0,1 мм, подчиняется
этому закону; она —
порядка 2—3 мм/сек.
Поэтому достаточно
восходящего с такой
скоростью тока воз-
духа, чтобы туман или
облако не падали.
Скорость падения
(установившаяся или
мало меняющаяся) ком-
ка ваты, камня и т. п.
в воздухе или воде под-
Рис. 163.
чиняется, очевидно,
зависимости, находи-
мой из той же формулы (10.10). Для вычисления скорости надо знать
вид функции который находится из специально поставленных
опытов для любой жидкости. На рис. 162 дана зависимость ф (Re)
§ 5]
СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ в вязких жидкостях
243
16*
Рис. 161.
244
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
[гл. X
для шара. Почти такова же она и для тел формы, мало отличаю-
щейся от шара — для камня, комка ваты и т. п.
§ 6. Происхождение вязкого сопротивления. Вихреобразование.
Причину такого сложного вида зависимости силы сопротивления от
числа Рейнольдса можно понять, рассматривая картину движения
частиц жидкости вокруг тела или внутри трубы. Метод, которым
Рис. 165.
при этом пользуются, описан в начале этой главы. На рис. 163—166
даны картины обтекания кругового цилиндра при разных числах
Рейнольдса. При весьма малых числах Рейнольдса (приблизительно
до Re = 10) или в начальный момент движения обтекание кругового
цилиндра плавное, как показано на рис. 163. Сопротивление проис-
ходит здесь только от трения струек о поверхность цилиндра. При
больших числах Рейнольдса частицы жидкости, заторможенные у по-
верхности цилиндра, сходя с него, образуют слой, который свёрты-
вается в виде двух противоположно вращающихся вихрей.. На
рис. 164, а), #), с) видно вызванное этим слоем последовательное
развитие вихрей, по мере увеличения скорости обтекания. За цилин-
дром заторможенные частицы тянутся в виде колеблющегося в попе-
речном направлении хвоста (рис. 165), который при дальнейшем возра-
стании чисел Рейнольдса становится неустойчивым, и движение жидко-
сти переходит в новое устойчивое состояние — отдельные вихри,
образующие так называемую «дорожку Кармана», по имени исследо-
вавшего её учёного; она изображена на рис. 166. Последовательные
отрывы вихрей с противоположных сторон цилиндра сообщают ему
периодические боковые толчки; подобные толчки ощущает гребец
на весле при достаточно быстром его движении в воде. Сопроти-
вление цилиндра при этом резко возрастает, так как на поддержа-
ние вихреотделення требуется значительная затрата энергии.
§ 7]
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ. ПОВЕРХНОСТЬ РАЗДЕЛА
245
Вихревое сопротивление является в технике весьма нежелатель-
ным явлением. Можно почти полностью устранить это сопротивле-
ние, изменив форму сечения цилиндра. Если заднюю часть цилиндра
плавно вытянуть в'направлении потока (см., напр., рис. 167), то место
отрыва вихрей сместится к хвостовой точке тела, ширина вихревой
области уменьшится, а вместе с тем уменьшится и вихревое сопро-
Рис. 166.
тивление. Такие формы называются удобообтекаемыми. Они широко
применяются; формы дирижабля, самолёта, скоростного автомобиля
дают примеры таких форм.
§ 7. Пограничный слой. Поверхность раздела. При течении жидко-
сти вдоль твёрдого тела слой, прилегающий к поверхности тела,
не движется, он как бы прилипает к телу.
Это создаёт распределение скоростей вбли-
зи обтекаемого жидкостью тела, изобра-
жённое на рис. 167- Возле поверхности тела
оно приблизительно такое же, как распре-
деление скоростей по радиусу трубы, в
которой течёт жидкость. Резкое измене-
ние скоростей (изображённых на рис. 167
стрелками) происходит только в некотором
тонком слое у самой поверхности тела.
Такой слой называется «пограничным»;
движение в нём может быть ламинарным или турбулентным. На
крыле самолёта этот слой имеет толщину около 10—15 см. Вне
этого слоя скорость изменяется при удалении от поверхности крыла
dv
медленно, т. е. градиент скорости мал, и, следовательно, силы
246
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
[гл. X
вязкости незначительны. Поэтому в областях вне пограничного слоя
силами вязкости можно пренебрегать, считая жидкость идеальной.
Это обстоятельство чрезвычайно облегчает расчёт расположения
линий тока вокруг крыла самолёта, а следовательно, и сил давления
на крыло.
Подобного же рода слой образуется и при скольжении одного
слоя жидкости над другим. Так, например, за крылом самолёта
в сечении АВ (рис. 168) встречаются два слоя жидкости с разными
скоростями, как показано на рис. 169. Поэтому у поверхности MN,
называемой поверхностью раздела, создаются громадные градиенты
скорости, а следовательно, и большие силы сдвига, выравнивающие
эти градиенты.
На рис. 163—166 также виден тонкий пограничный слой в виде
белого кольца, окружающего цилиндр. Следует особенно обратить
внимание на рис. 164, где видно важное явление отрывания погра-
ничного слоя от тела. Слой сперва утолщается, а затем, как это
видно на рисунке, отрывается от цилиндра; пограничный слой между
цилиндром и вихрями течёт навстречу первому и в том же месте
отрывается от цилиндра.
§ 8. Закон сохранения количества движения для стационар-
ного течения жидкости. Турбины. Рассмотрим стационарное течение
невязкой жидкости (рис. 147) и применим к объёму, лежащему
между сечениями и S2, теорему о количестве движения. За время
dt объём переместится и окажется между сечениями 5, и S2. Так
как мы предполагаем течение стационарным, то изменение коли-
чества движения за время dt мы можем подсчитать, как ,п выше,
сравнивая количества движения в объёмах и S^S'^ Разность
этих количеств движения есть
bS^dt • *и2— ZS^Vydt - Яр (10.12)
Но 81<и1 = 82т>2, а следовательно, эту разность можно написать в виде
8S2z>2 (z>2 — z>i) dt.
§ 8] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
247
Импульс внешних сил есть F* dt\ сравнивая оба выражения и сокра-
щая на dt, находим
— ^) = Г. (10.13)
Теорема эта позволяет дать расчёт сил, вызываемых движущейся
жидкостью, и мы рассмотрим несколько примеров её применения.
Во-первых, покажем, что сосуд, из которого вытекает жидкость,
испытывает силу со стороны жидкости в направлении, противопо-
ложном направлению струи. Будем рассматривать трубку тока,
совпадающую с объёмом всей жидкости. Силы F складываются
в этом случае из веса жидкости Р, направленного вниз, и сил
давления на всей поверхности жидкости и сечении струи. Но силы
давления на вертикальные стенки повсюду взаимно уничтожаются,
за исключением участка стенки, противоположного отверстию. Сила
давления на' свободную поверхность есть Sp, гд.е S — площадь
поверхности, р — давление воздуха; наконец, сила давления на
жидкость со стороны дна есть Sbg и направлена вверх. Силы Р и
взаимно уничто&аются, и поэтому, приняв во внимание, что = 0
(скорость на свободной поверхности очень мала по сравнению
с v2— скоростью в струе), из (10.13) имеем
Сила F действует на жидкость со стороны стенки, а следовательно,
по третьему закону Ньютона на сосуд действует со стороны стенки
сила — ^2^, направленная против скорости, и сосуд должен притти
в движение.
Очевидно, ракета движется струёй выбрасываемых газов по той
же причине. Двигатели такого типа носят название реактивных.
В современных самолётах струя выхлопных газов из мотора напра-
вляется назад, что создаёт реактивную силу, прибавляющуюся к тяге
винта и несколько повышающую скорость самолёта.
Другое видоизменение формулы позволяет рассчитать силу, дей-
ствующую со стороны жидкости на лопатки турбины Пельтона
(рис. 170). В этом типе турбины струя воды из сопла попадает на
248
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ
[гл. X
лопатку, изображённую на рис. 171, .причём скорость жидкости
меняет своё направление на прямо противоположное. Поэтому =
= — tf2, и формула получает вид
— 85^! • 2^ = F,
т. е. сила, действующая на лопатку, равна 4“ • 2tf1? т. е.
направлена так же, как струя из сопла, и пропорциональна квадрату
скорости струи. В этом расчёте не принято во внимание движение
самой лопатки, а потому он верен лишь приблизительно, и тем
точнее, чей меньше скорость лопатки по сравнению со скоростью
струи.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АКУСТИКА
ГЛАВА XI
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§ 1. Колебательное и волновое движения. Мы часто встре-
чаемся с движениями, характерной особенностью которых является
регулярное их повторение через определённые промежутки времени.
Так, маятник, висящий на нити, может совершать движения, точно
повторяющиеся через одинаковые промежутки времени (период дви-
жения), причём, в зависимости от направления начального толчка, его
движения в проекции на горизонтальную плоскость происходят либо
по окружности или эллипсу, либо по прямой линии. Движения
небесных тел, например планет, происходят также периодически —
по эллиптическим орбитам. Периодические движения играют очень
большую роль не только в явлениях природы, но и в технике.
Действие почти всех машин и механических устройств связано
с регулярно повторяющимися движениями (вращение валов, движение
поршней, шатунов и т. п.), представляющими собой примеры пе-
риодических движений. Характерной особенностью таких движе-
ний является то, что точки тела описывают при этом определён-
ные замкнутые орбиты, а проекции этих точек на оси координат со-
вершают колебательное периодическое движение. Математически
это выражается в том, что координаты точки представляют со-
бой конечные периодические функции времени с одним и тем же
периодом Т.
Могут существовать колебательные движения и непериодические.
Таковы, например, будут колебания, которые совершает конец не-
большого маятника, подвешенного к другому маятнику, если периоды
их относятся как несоизмеримые числа, например, как ]/2~ : 1 или
У 3 : У~2 (это будет при отношении длины, как 2:1 или 3 : 2). Не-
периодическим, вообще говоря, будет движение любого тела, совер-
шающего на земном шаре даже периодическое колебание, если рас-
сматривать это колебание в системе координат, связанной с цен-
тром тяжести солнечной системы. В этих случаях, хотя каждое из
слагающих колебательных движений рассматриваемого тела и яв-
ляется периодическим, однако, ввиду того, что периоды этих отдель-
250
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
ных колебаний несоизмеримы, результирующее движение тела не
будет периодическим.
Рассмотренные нами примеры колебательных движений отли-
чаются тем, что колебания продолжаются без изменений их ампли-
туды неопределённо долго. Такие колебания называются незатухаю-
щими. Однако возможны также колебания, постепенно уменьшаю-
щиеся со временем до окончательного их исчезновения. Колебания
такого рода совершает, например, реальный маятник, причём, в зави-
симости от величины трения в оси и трения самого маятника о воздух
или другую среду, в которой он движется, колебания его будут
затухать быстрее или медленнее. Такие колебания носят названия
затухающих.
Колебательные движения принадлежат к наиболее распространён-
ному виду движений как в природе, так и в технике. С колебаниями
мы имеем дело не только тогда, когда мы непосредственно наблю-
даем движение тела или ощущаем его вибрацию. Колебательное
движение, обычно невидимое, совершает всякое звучащее тело; тепло-
вое движение молекул твёрдого тела также является колебательным.
Особую форму колебательного движения представляет волновое
движение. В упругих средах — твёрдых, жидких и газообразных —
колебания, возникшие в одной точке, не могут существовать в ней
изолированно. В колебательное движение обязательно вовлекаются
благодаря силам взаимодействия всё новые и новые части среды.
Однако передача движения новым частям среды происходит не
мгновенно, а всегда с некоторым запаздыванием, так как благодаря
наличию инерции каждая новая частица среды приходит в движение
лишь постепенно, приобретая скорость под влиянием сил взаимо-
действия со стороны соседних, уже сместившихся из положения
покоя, частиц. Таким образом, ясно, что состояние колебательного
движения будет передаваться соседним частям среды с определённой
скоростью, зависящей от упругих и инерционных постоянных среды,
т. е., в конечном счёте, от её модуля упругости для данного типа
деформации и от её плотности. Такого рода колебательные движе-
ния в упругих средах называются волновым движением или просто
волнами.
Характер колебательного движения, сообщаемого волной точкам
среды, определяется как характером колебаний самого источника
волн, так и зависимостью сил взаимодействия среды от деформаций.
Так, если источник волн совершает гармоническое колебание, то
волны малой амплитуды (т. е. вызывающие малые смещения точек
упругой среды), когда силы взаимодействия пропорциональны дефор-
мации (закон Гука), возбуждают в точках среды также гармони-
ческие колебания того же периода. Если источник волн колеблется
по сложному закону, выражаемому суммой гармонических колебаний,
то и волновое движение точек среды является также суммой гармо-
нических колебаний тех же периодов (принцип суперпозиции см.
§ 2]
ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
251
ниже, § 6). Для волн большой амплитуды, для которых закон Гука
уже не соблюдается, эти положения не будут верны.
Непериодические колебания возбуждают также и волны неперио-
дического характера. В виде волн распространяются и такие дви-
жения среды, которые не носят колебательного характера, т. е. не
связаны с повторными движениями в ту и другую сторону от поло-
жения равновесия точек среды. Если, например, произвести в среде
внезапный сдвиг в одну сторону или быстрый односторонний сдвиг
и обратное движение к первоначальному положению, то такое воз-
мущение также' будет распространяться в форме волны. Волны этого
вида называют импульсами, или ударными волнами. Такой характер
имеют волны, возникающие при различного рода ударах и взрывах.
Учение о колебаниях и волнах служит основой акустики (учение
о звуке), сейсмологии (учение о колебаниях земной коры) и имеет
основное значение в целом ряде прикладных дисциплин (строительная
механика, теория машин, кораблестроение и др.)* Однако значение
учения о колебаниях гораздо шире, поскольку, как мы увидим ниже/
с теми же по существу законами колебаний и волн мы встречаемся
и в области других физических явлений — в оптике и учении об
электричестве. Техника переменных токов, а также радиотехника
основываются на общих законах теории колебаний. Отсюда вытекает
чрезвычайно общее значение основных законов теории колебаний,
почему их рассмотрение и выделено в особую главу.
§ 2. Гармоническое колебательное движение. Для выяснения
законов, которым подчиняется простейшая форма колебаний —
гармоническое колебательное движение,
мы воспользуемся приёмом проицирова-
ния движения, происходящего по окруж-
ности, на прямую линию.
Пусть некоторая вспомогательная точ-
ка А равномерно движется со скоростью
т>0 по окружности в направлении, указан-
ном стрелкой (рис. 172), совершая полный
оборот за время Г, называемое периодом.
Проицируем точку А на горизонтальный
диаметр ВВ'. За время одного оборота
точки А её проекция Р, очевидно, совер-
шит вдоль диаметра полное колебание.
Обозначим радиус
Угловая скорость
окружности через $0.
вспомогательной точки
А в радианах равна
Число колебаний в
<0_у.
1 сек будет равно
f—1 —
J 7 2ic "
(ИЛ)
(11.2)
252
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ, XI
Число колебаний в 1 сек называется частотой и измеряется в едини-
цах, называемых герц (гцУ). Например, 1 гц означает 1 колебание в 1 сек,
100 гц означает 100 кол. в 1 сек. Применительно к вопросам коле-
баний угловая скорость характеризует число повторений процесса
за время секунд, ввиду чего угловую скорость <о и называют
угловой частотой. Линейная скорость точки А и её центростре-
мительное ускорение, как известно из механики, будут равны
®0 = <050> ао = — °>Ч- (1ЕЗ)
Пусть в начальный момент времени £=0 движущаяся по окруж-
ности точка находится в положении Ло нЛ угловом расстоянии %
от правого конца горизонтального диаметра (точки В). Отметим угол,
описанный подвижным радиусом-вектором ОА с горизонтальным
диаметром в момент времени t, буквой ср. Очевидно,
<? = ®* + фо (И-4)
(заметим, что на рис. 172 угол <э0 отрицателен). Угол © характе-
ризует положение точки в данный момент времени и носит название
фазы колебания' фаза колебания выражается в радианах. Угол ср0,
характеризующий положение точки в начальный момент времени
/=0, носит название начальной фазы колебания. Угол <р0 может
быть, очевидно, как положительным, так и отрицательным.
Смещение колеблющейся точки Р находится из треугольника
АОР и равно s = s0 cos + (П-5)
Если ТС
то $ = sosin arf. (И.6)
Если <?о = °,
то s = s0 cos (11-7)
Такое колебательное движение, совершающееся по закону синуса
(или косинуса), называется прямолинейным гармоническим колеба-
нием. Очевидно, радиус окружности определяет величину макси-
мальных отклонений колеблющейся точки в ту и другую сторону;
эти максимальные отклонения называются амплитудой смещения ко-
леблющейся точки. Точка А начинает двигаться в момент t со ско-
ростью, выражаемой вектором -и0, в направлении касательной к
окружности, т. е. в направлении, составляющеАм с горизонтальным
*) В честь знаменитого физика Генриха Герца*
§ 2] ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 25J
диаметром угол <о/ % “F у • Перемещение проекции точки А
(точки Р) за весьма малый промежуток времени будет равно пере-
мещению точки А, умноженному на косинус угла <&t % у > а
скорость точки Р в момент времени t будет, очевидно, равна
® —v0 cos(®^4-<?o4--j) = — z>0sin(<o2f-f-?0). (11.8)
Точка А за весьма малый промежуток времени А/, кроме пере-
мещения в направлении касательной со скоростью т?0, испытает, оче-
видно, ещё дополнительное перемещение по направлению к центру,
определяемое вектором ускорения а0. Ускорение в точке А в мо-
мент времени t определится вектором tz0 = *D0(o, направленным к
центру, т. е. под углом (<о/ -ф- % 4~к) к горизонтальному диаметру.
Проекция точки А также испытает движение, соответствующее допол-
нительному перемещению по направлению к центру. Величина уско-
рения точки Р определится как проекция ускорения точки А и будет
равна
а = я0 cos (о/ -|- qp0 я) = — aQ cos (ш/ ^0). (11.9)
Величины 77O и а0 представляют собой максимальные значения мгно-
венной скорости и ускорения колебательного движения и называют-
ся амплитудой скорости и амплитудой ускорения колеблющей-
ся точки.
Заменив т/0 и а$ их выражениями из формул (11.8 и 11.9), мы
получим окончательные выражения для скорости и ускорения коле-
блющейся точки
v = <о50 cos (со/ -J- ф0 -|- -5^ = —со50 sin (ш/ -J- <р0), (11.10)
а = cos (со/ qp0 -j- ти) = — co2s0 cos (со/ Ц- ^р0). (11.11)
Заменяя в (11.11) 50 cos (со/%) через 5, получаем
а = — (11.12)
Формула (11.12) показывает, что ускорение колеблющейся точки
(а) прямо пропорционально смещению s и всегда направлено ему
навстречу. Это очень важное свойство гармонического колебатель-
ного движения.
Графическое изображение гармонических колебаний. Пусть началь-
ная фаза % = 0. и амплитуда смещения s0 = 1 см. Воспользовавшись
формулами (11.5), (11.10) и (11.11), можно рассчитать смещение,
скорость и ускорение точки Р в функции от времени и построить
соответствующие графики.
На графике рис. 173 для колебания вида s = s0cosa)/ отклады-
вается на оси абсцисс фаза си/, а на оси ординат в произвольных
масштабах величины s, v и а. Следует обратить внимание, что полу-
254
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
чившиеся кривые (две косинусоиды и одна синусоида) не изображают
траектории движения точки Р в пространстве; они только условно по-
казывают зависимость её смещения, скорости и ускорения от времени.
Рис. 173.
График смещения
можно легко получить
непосредственно на опы-
те. Для этого достаточ-
но приделать к колеб-
лющейся массе (рис. 174)
пишущее остриё (перо,
карандаш) и равномер-
но протягивать под ним
закопчённую бумагу.
Остриё автоматически
запишет на бумаге кри-
вую смещения в функции
времени.
Разность фаз. До
вали одно гармоническое колебание,
s = s0cos(a^-|“c?o)> где % (начальная
тельное состояние в момент времени
сих пор мы рассматри-
представленное формулой
фаза) определяет колеба-
/ = 0. Начальная фаза <р0
Рис. 174.
имеет определённое значение лишь при определённом выборе на-
чала счёта времени; если перейти к другому началу счёта времени,
то и начальная фаза, естественно, изменится.
При рассмотрении двух или больше йолебаний одной и той же
частоты начальные фазы их приобретают ещё и другое физическое
содержание. Для того чтобы уяснить его себе, обратимся снова к
рассмотрению равномерного кругового движения точек. Пусть три
точки Ло, At и Д2 (рис. 175) совершают равномерное круговое
движение с одной и той же угловой скоростью со, но различными
начальными фазами 0, и ср2. Проекции этих точек на горизон-
тальный диаметр будут совершать колебательные движения
scosoj/, 5 cos 4* ?i) и scos(W-|-?2)‘
§ 2]
ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЙ
255
Так как угловая скорость о> всех трёх точек одинакова, то угло-
вое расстояние меж^у ними будет одно и то же в любой момент
времени, независимо от выбора начала счёта времени. А именно:
точка Ао всегда будет отставать от на угол и от А2 на угол
<р2, а точка А2, в свою очередь, всегда будет опережать Ао на угол срх и
на угол ср2 — Таким образом, в случае колебаний одной и
той же частоты можно говорить о разности фаз двух колебаний,
которая равна разности начальных фаз и сохраняется постоянной
во времени, т. е. не зависит от выбора начала счёта Бремени.
Графически колебания точек Ао, А1 и А2 представлены на рис. 176.
Если принять за начало счёта времени не точку /0, когда вме-
щение Ао достигает
максимума, а точку
соответствующую
максимальному смеще-
нию Ар то косинусо-
ида колебания Ао, от-
стающего по^фазе от
Ах на угол 9t, будет
сдвинута вправо на
Рис. 176.
расстояние оси абс-
цисс, а косинусоида колебания А2, опережающего At по фазе на
угол ср2— 9р расположится слева от At на расстоянии <р2 — срР Раз-
ность фаз двух колебаний одной и той же частоты определяет рас-
стояние по оси абсцисс между двумя одинаковыми колебательными
состояниями для любого момента времени t. Мы будем говорить, что
колебание вида cos(co/~p 9i) опережает по фазе колебание вида
s0cosW на угол срп а колебание вида s0cos(o>/ — ф2) отстаёт от
него по фазе на угол ср21).
*) Для колебаний с различными частотами расстояние между двумя оди-
наковыми колебательными состояниями не остаётся постоянным, а непре-
рывно изменяется, в чём легко убедиться, построив графически хотя бы два
таких колебания:
Si sin -|- «рД и s2 sin (<о2/ + c?2).
Выбрав за начало счёта момент времени на величину — более ранний и
(1>2
обозначая через f ’время, отсчитываемое от нового начала, мы получим
= Z + — и можем представить обе синусоиды в виде
<о2
Si sin ( -|- cpi — — ©2) и s2 sin w2f.
\ W2 J
Если частоты и <o2 несоизмеримы, то легко видеть, что начальная раз-
ность фаз cpi----- ср2 никогда не повторится, так как в противном случае долж-
256
КОЛЕЗАПИЛ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
§ 3. Простая колебательная система без трения. Пусть мате-
риальная точка с массой т (рис. 177) помещена между двумя пру-
жинами (массой которых мы пренебрегаем) и может свободно
двигаться лишь в горизонтальном направлении в ту и другую сто-
рону (например, скользя вдоль прямолинейного стержня, не испы-
тывая при этом трения).
Описанная система, состоящая из пружин и материальной точ-
ки, образует простую колебательную систему с одной степенью
свободы. Если сместить точку т в сторону, а затем отпустить её
или если сообщить ей посредством удара начальную скорость, то
она начнёт колебаться около поло-
жения равновесия. Внешнее на-
чальное воздействие сообщает си-
' стеме некоторый запас потенци-
альной энергии (смещение) или
Рис. 177. кинетической энергии (удар), после
чего мы предположим, что система
не находится больше под действием внешних сил, она является
изолированной, т. е. свободной от внешнего воздействия; такого
рода системы называются консервативными. Колебательные движе-
ния, которые в ней совершаются под действием одних лишь внут-
ренних сил, называются свободными колебаниями. Период свободных
колебаний подобной системы определяется, как мы увидим ниже,
только свойствами самой системы.
Состояние рассматриваемой системы можно полностью описать,
если будут известны в каждый момент времени положение точки с
массой т, её скорость и ускорение. Поскольку система обладает
одной степенью свободы, для описания положения достаточно одной
координаты — смещения от положения равновесия (s).
В рассматриваемой колебательной системе сила упругости пру-
жин F, получающаяся в результате сжатия одной из них и рас-
тяжения другой, всегда направлена к положению равновесия и
но было бы существовать такое для которого = и 2£2тс=<п2/',
где и k2 суть целые числа, т. е. «ц и ш3 были бы соизмеримы. Отсюда
следует также, что в случае соизмеримости оч и <d2, когда т2 = т : п,
где тип суть целые числа, оба колебания можно представить в виде
sin (mv? + cpt — ~ ?з) и $2 sin па>?
т
и начальная разность фаз срх — — будет повторяться через промежутки
9^
времени Г = —, равные наименьшему кратному из периодов обоих ко-
лебаний. Величину ©I— ср2 называют разностью фаз двух колебаний с ра-
циональным отношением частот т : п.
ПРОСТАЯ КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА БЕЗ ТРЕНИЯ
257
§ 3]
в случае малых смещений по закону Гука будет прямо пропорцио-
нальна смещению $. Следовательно,
F= — ks, (11.13)
где k — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициент
том упругости или, просто, упругостью} он численно равен силе,
необходимой для сдвига пружин на единицу длины. Знак минус
надо взять потому, что упругая сила направлена противоположно
вектору смещения $.
В случае математического маятника (см. гл. III) тангенциальная
слагающая силы тяжести стремится привести отклонённый маятник
в положение равновесия, действуя так же, как упругая сила в рас-
смотренной нами системе. Таким образом, здесь сила тяжести вызы-
вает возникновение сил, которые имеют характер упругих сил. Такого
рода силы, подобные упругим, называют квазиупругими силами.
Характеризующие данную механическую систему величины —
масса т и упругость k — называются параметрами системы. Разные
механические системы отличаются друг от друга только своими
параметрами.
В нашей изолированной системе без трения упругая сила F будет
единственной действующей силой. Согласно второму закону Ньюто-
на, F—ma. Следовательно, мы получим уравнение движения про-
стой колебательной системы в виде: —ks — mat или
ma-\-ks — 0. (11.14)
Это соотношение представляет собой уравнение свободных колебаний.
Из (11.14) найдём ускорение
a = — ~s. (11.15)
Ускорение, как мы видим, прямо пропорционально смещениию,
но направлено в противоположную ему сторону (к положению
равновесия), совпадая с направлением упругой силы. Наибольшее
значение ускорения, очевидно, достигается в те же моменты вре-
мени, что и для смещения.
Аналогия между законом движения (11.15) и соотношением (11.12)
для гармонического колебания позволяет сделать заключение о том,
что свободные колебания в простой системе без трения будут гар-
моническими колебаниями, причём квадрат угловой частоты этих
k
колебаний следует положить равным —:
(11.16)
17 Пагалекси, т. 1
258
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
Таким образом, мы приходим к выводу, что решение уравнения
движения (11.14) будет иметь следующий вид:
s==s0cos(<o/-|-q)0). (П.17)
Нетрудно убедиться подстановкой, что это решение удовлетворяет
уравнению (11.14). Однако, в (11.17) остаются неопределёнными
две постоянные величины: амплитуда $0 и начальная фаза <р0. Пока-
жем, что эти величины будут вполне определены, если известно
состояние движения системы, заданное ей извне в начальный момент
времени / = 0. Пусть при /=0 точка с массой т имеет смещение
и скорость zip Разлагая правую часть (11.17) по формуле коси-
нуса суммы двух углов и полагая / = 0, найдём s1=s0cosqp0.
Скорость нашей системы выразится, очевидно, формулой (11.8),
в которой со — о)0. Разлагая (11.8) по формуле синуса суммы углов
и полагая f = 0, получим vl —— v(] sin 90. Из полученных условий
найдём, учитывая, что v0 = <o050,
(11.18)
Таким образом, из начальных условий, т. е. из величин и vl9 в
момент / = 0 мы находим амплитуду $0 и начальную фазу свобод-
ного колебания 90. Так как движение системы в дальнейшие момен-
ты времени вполне определяется значениями смещения и скорости
в данный момент времени и формой уравнения движения (11.14),
то мы заключаем, что (11.17) будет полным и единственным реше-
нием уравнения движения простой колебательной системы для слу-
чая свободных колебаний.
Если система выведена из состояния покоя первоначальным от-
клонением на величину и затем отпущена без начальной скорости
(tfj = 0), то, согласно (11.10) и (11.18), получим <ро = О, 50=^,и,
следовательно,
5 = 50со8(о^, v = — SjCOq sin (о0/. (11.19)
Если система выведена из положения покоя начальным толчком,
получив скорость v1 при смещении, равном нулю, то мы полу-
тс Vi
чим = — у, 50 = ~ и> следовательно,
s — sin = — sin <nQt9 v — Vi cos co0f. (11.20)
Время Положение системы Смеще- ние Скорость Ускорение Энергия
0 м F *— » + 50 v = 0 Наибольшее и отрицатель- ное, так как упругая сила направлена влево тт ^S0 2 £ = 0
Т 4 0 Наибольшая и отрица- тельная, так как дви- жение происходит влево 0 = 0, так как упругая сила равна нулю tn С: II II нг
Т 2 ip “Vi s0 v = 0 Наибольшее и положитель- ное, так как упругая сила направлена вправо гч с: II II |ок>
1 ОО t — P ® t 0 Наибольшая и поло- жительная, так как движение происходит вправо д = 0, так как упругая сила равна нулю мо| II II
т Прошёл целый период, всё вернулось в первоначальное по- ложение, начинается второе колебание, которое будет точно таким же, как и первое
ПРОСТАЯ КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА БЕЗ ТРЕНИЯ 259
260
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
В приведённой таблице пояснено состояние движения системы,
колеблющейся согласно уравнениям (11.19) в момент начала перио-
да, а затем в последующие моменты по истечении четверти, поло-
вины, трёх четвертей и целого периода.
Частота свободных колебаний в простой колебательной системе
без трения называется собственной частотой системы. Угловая
частота свободных колебаний, на основании (11.16), равна
= (11.21)
Собственная частота системы есть
(11-22)
1 о f fit,
Период свободных колебаний равен
7'0 = 2к]/^. (11.23)
При изучении механических колебаний, наряду с упругостью k,
удобно вводить обратную величину, называемую гибкостью системы
С=1. (11.24)
Воспользовавшись понятием гибкости, для периода свободных коле-
баний получим выражение х)
7'0 = ^ = 2it]/rmC. (11.25)
Полная энергия материальной точки, совершающей простое гар-
моническое колебание под влиянием упругих сил и при отсутствии
трения, всё время должна оставаться постоянной, так как наша
система консервативна, т. е. не получает ниоткуда энергии и не
отдаёт её. Нетрудно доказать, что сумма кинетической и потенци-
альной энергии в каждое мгновение всегда равна наибольшему зна-
чению кинетической энергии, которой обладает точка, когда она
проходит через положение равновесия 5 = 0 и когда вся её энер-
гия сосредоточена в форме кинетической, или наибольшему значе-
нию потенциальной энергии в момент максимального отклонения
($ = $0). В самом деле (см. гл. VII § 6), для любого значения откло-
нения 5 потенциальная энергия выразится так:
A?sa М cos* (<*></ + ?о) (1126)
*) В отделе электричества показывается, что частота собственных коле-
баний электрического контура выражается через ёмкость и индуктивность
совершенно аналогичной формулой, причём индуктивность играет роль цассы^
3 ёмкость-^-ГИбКРСТИг * ’
§ 4] КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 261
а кинетическая энергия выразится, если учитывать (11.16), так:
р___mv*__ sin2 (W + ф0) __ ks* sin2 (<»/ + %)
n~~ 2-----------2---------------2 *
Складывая эти два выражения, получаем полную энергию
д/—U [ j? ^^ps2 (11.28)
Мы видим, что энергия простого гармонического колебания пря-
мо пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату угловой частоты
(или обратно пропорциональна квадрату периода). Таким образом,
при данной амплитуде энергия будет сильно расти с увеличением
частоты колебаний.
Выражения для U и Е можно написать в виде:
^=^+V-cos(2^4-<p0) (11.29)
И ЬМ £8<г2
е=~ - Vcos (W+?о), (11.30)
откуда видно, что U и Е колеблются около одного и того же
среднего значения Понятно, поэтому, что при гармонических
колебаниях средние значения кинетической и потенциальной энергий
равны между собой. Отметим, что согласно (11.29) и (11.30), UnE
имеют частоту колебаний 2со0, в два раза ббльшую, чем частота коле-
баний точки. Это понятно, так как энергия имеет положительный знак
как при положительных, так и при отрицательных значениях 5 и v.
§ 4. Крутильные колебания. В качестве второго, весьма важного,
примера простой колебательной системы мы рассмотрим тело, вра-
щающееся на оси и упруго соединённое с какой-либо неподвижной
опорой, например, посредством спиральной пружины, как в подвижной
системе гальванометра или амперметра постоянного тока или, просто,
посредством некоторой проволоки или нити, на которой висит данное
тело и которая обладает упругостью при закручивании.
Из механики известно (гл. VI § 5), что при вращательном движении
подобной системы (имеющей момент инерции I ) справедлив закон, ана-
логичный закону Ньютона для прямолинейного движения,
где у — угловое ускорение, а М — момент сил, действующих на
тело. В нашем случае момент сил будет пропорционален углу за-
кручивания и направлен в противоположную сторону:
— (11.31)
где к есть момент упругих сил при закручивании на 1 радиан;
262 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [гл. XI
k носит название крутильной постоянной. Уравнение движения
примет вид
ZT-{-fop = O. (11.32)
Это уравнение совершенно аналогично (11.14), и его решение также
будет выражаться формулами типа (11.5), (11.10) и (11.11), где
под s, v и а придётся подразумевать угловое смещение 9, угловую
скорость и угловое ускорение. Под влиянием начального толчка
(или будучи выведена из положения равновесия и отпущена) наша
система начнёт совершать крутильные свободные колебания, период
которых мы найдём по аналогии с формулой (11.23):
7'0 = 2к]/'1. (11.33)
Крутильные колебания можно легко записать на фотобумаге.
Для этого к оси вращения прикрепляется лёгкое зеркальце и на
него направляется луч от источника света. После отражения от
зеркальца луч света даёт маленькое светлое пятно на барабане,
на который навёртывается фотобумага. Если барабан вращается,
то при колебаниях системы луч света запишет на фотобумаге сину-
соидальную линию, изображающую колебания системы. Измеряя
длину периода синусоиды, радиус барабана г и скорость его вра-
щения (п оборотов в секунду), легко найти период колебаний
системы
§ 5. Простая колебательная система при наличии трения.
Затухающие колебания. Рассматривавшаяся нами до сих пор коле-
бательная система не обладала потерями энергии, и энергия к ней
не притекала извне — это была система консервативная. Однако,
реальные колебательные системы никогда не являются консерватив-
ными — их энергия всегда расходуется на преодоление различных
сопротивлений внутри системы (трение и др.).
Рассмотрим движение системы, изображённой на рис. 177 в слу-
чае наличия силы трения. При небольших скоростях движения
можно считать силу трения FTp прямо пропорциональной скорости
и направленной против движения, т. е. /7Тр = — гу; буквой г здесь
обозначен коэффициент трения. Действующие на точку с массой т
силы будут: сила упругости (—ks) и сила трения (—rv). По вто-
рому закону Ньютона, сумма этих сил должна быть в любой момент
времени равна произведению массы на ускорение
та — — ks — rv,
ИЛИ
та -j- rv + #$ = 0. (11.35)
§ 5]
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
263
Полученное таким образом уравнение свободных колебаний при
наличии трения отличается от уравнения (11.14) добавкой члена ги,
обусловливающего собой потери энергии в системе. Коэффициенты г,
т и k являются параметрами системы. Можно показать мате-
матически, что уравнение (11.35) будет иметь решение, аналогичное
(11.17), с той лишь разницей, что в него войдёт множитель, убы-
вающий со временем. Для смещения 5 решение будет иметь вид
« = V5/cos(a>;/-|-<p0), (11.36)
где
8=^ и (П-37)
Таким образом, при наличии трения амплитуда свободных колебаний
постепенно убывает; такого рода колебания называют затухающими
колебаниями. Величина <о0 есть угловая частота свободных колеба-
ний без трения [формула (11.16)], а о>'—угловая частота свобод-
ных колебаний в системе с трением. Величина В называется ко-
эффициентом затухания. Величины s0 и <р0 находятся, как и в § 3,
если известны смещение и скорость в начальный момент времени.
Убедиться в том, что выражение (11.36) действительно является
решением уравнения (11.35), можно подстановкой значений s, v и а
в (11.35), причём v и а находят дифференцированием s по вре-
мени:
При этой подстановке выясняется, что 8 и а>^, чтобы удовлетворять
уравнению (11.35), обязательно должны иметь значения (11.37);
они определяются только параметрами данной системы и являются
её характеристическими постоянными. Величины $0 и % являются
произвольными и определяются только начальными условиями в мо-
мент / = 0; их нетрудно найти аналогично тому, как найдены выра-
жения (11.18), если задано состояние движения (например, смещение
и скорость) системы в момент /=0. Таким образом, решение (11.36)
является единственно возможным решением уравнения (11.35) и
вполне определяет движение системы при заданных начальных усло-
виях.
Если в начальный момент времени отклонение системы $ =
и скорость равны нулю, то в дальнейшем точка с массой т будет
совершать затухающие колебания по закону
$ = $Qe" cos (11.38)
График затухающего колебания для этого случая приведён на рис. 178*
264
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
Как мы уже отметили, множитель постепенно убывает и,
следовательно, размах затухающих колебаний становится со
временем всё меньше и меньше. Когда коэффициент затухания 8 мал,
то амплитуда убывает медленно; при большом 8 затухание идёт
быстрее. Малый коэффициент затухания получается в простой си-
стеме, как видно из формулы (11.37), при малом трении и'большой
массе. Зависимость от трения вполне понятна; что касается зависи-
мости от массы, то, очевидно, при одинаковых потерях энергии на
трение тело с малой массой, т. е. с малым запасом кинетической
энергии, быстрее его потеряет, чем тело с большой массой. Отсюда
понятно, почему коэффициент затухания обратно пропорционален
колеблющейся массе.
Рассмотрим два максимальных отклонения и $2 в моменты
времени / и отличающихся на один период. Из (11.36) полу-
чим и = + т>; от-
ношение будет равно
^ = е*т.
$2
Натуральный логарифм этого отно-
шения
Э = 1п-=87'. (11.39)
Произведение коэффициента затуха-
ния на период, равное натуральному
последующих максимальных отклоне-
ний, называется логарифмическим декрементом затухания. Обычно
именно эта величина применяется для оценки величины затухания.
Часто употребляют для той же цели промежуток времени, в течение
которого максимальное отклонение достигнет части от перво-
начальной его величины в момент / = 0. Эта величина, равная
Т
О >
(11.40)
носит название постоянной времени, или времени релаксации*) системы.
Легко убедиться, что отношение энергии колебания с максимальным
отклонением к энергии колебания с максимальным отклонением
будет равно, согласно формуле (11.28), е^Т, а натуральный логарифм
этого отношения будет равен 28Т=2&.
Приведём численные примеры, характеризующие затухание раз-
личных систем. Маятник часов обычно имеет постоянную времени
*) Релаксация означает расслабление; в более общем понимании — вос-
стгщовление некоторого первоначального состояния.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
265
§ 6]
порядка нескольких десятков секунд; следовательно, его декре-
мент затухания будет иметь величину порядка нескольких сотых.
Стальной камертон с частотой 1000 гц имеет постоянную времени
около 10 сек\ его декремент затухания будет равен примерно 10-4.
Но если тот же камертон поставить на резонансный ящик, то он
будет гораздо быстрее терять энергию и т будет порядка 1 сек,
т. е. декремент возрастёт до 10-3. Если к камертону прижать кусо-
чек ваты или войлока, то его декремент может возрасти ещё в десятки
или даже сотни раз.
Формула (11.37) указывает на то, что свободные колебания при
наличии затухания происходят с меньшей частотой ш'о, чем колеба-
ния такой же системы, но без трения. Увеличивая трение, мы будем
получать всё более медленные колебания. При достаточно большом
трении, которое можно осуществить, например, помещая систему
в очень вязкую жидкость, колебания вовсе не возникнут — откло-
нённая масса будет медленно возвращаться в положение равновесия,
не переходя на другую сторону. Из (11.37) следует, что при условии
8 — <о0 или т=-^- (11.41)
ш^ = 0. Таким образом, если постоянная времени составляет
часть периода, то частота свободных колебаний равна нулю, т. е.
колебательного процесса уже нет, а происходит лишь медленное дви-
жение отклонённой системы к положению равновесия, причём за
1 1
время т — у система будет находиться на расстоянии — части на-
чального отклонения от положения равновесия. Такого вида движе-
ние называется апериодическим. Если 8^><о0, то движение называют
суперапериодическим\ оно подобно апериодическому, но протекает
ещё медленнее.
§ 6. Вынужденные колебания. До сих пор мы рассматривали
свободные колебательные движения системы, совершающиеся под
действием одних внутренних сил колебательной системы. Внешние силы
прекращали действовать в начальный момент; они сообщали системе
определённый запас энергии, который либо сохранялся (незатухаю-
щие колебания консервативной системы), либо постепенно расходо-
вался (затухающие колебания неконсервативной системы). Предполо-х
жим теперь, что на систему всё время действует определённая внешняя
периодическая сила. Колебания, которые в этом случае система будет
длительно совершать, называются вынужденными колебаниями.
Пусть внешняя сила, действующая на простую колебательную
систему, изменяется по закону косинуса /7 = 770 cos где Fo— ампли-
туда внешней силы и о — её угловая частота, которая может иметь
произвольную величину. Случай действия постоянной силы мы можем
рассматривать как действие переменной силы с частотой <о = 0.
266
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
Кроме внешней периодической силы, на точку т в любой момент
движения действуют сила трения (—rv) и сила упругости (—ks).
По второму закону динамики, произведение массы на ускорение
равно сумме действующих сил
та = Fo cos — rv — ks.
Оставляв в правой части лишь силу FQ cos со/, мы получим уравнение
движения в следующей форме:
та-\- rv ks = FQ cos tot. (11.42)
Начальная стадия колебательного движения после приложения внеш-
ней силы протекает по довольно сложным законам и носит название
переходных колебаний, вопрос о которых разбирается ниже, в § 10.
Сейчас мы остановимся на рассмотрении вынужденных колебаний,
т. е. колебательного процесса, устанавливающегося через достаточно
длительный промежуток времени после начала приложения периоди-
ческой силы.
Совершенно естественно ожидать, что при длительном действии
периодической вынуждающей силы движение системы примет неко-
торый установившийся характер и будет совершаться так же перио-
дически, с постоянной амплитудой и с частотой действующей силы со.
Предположим, что скорость системы выражается законом
v = v0 cos (tot— ср), (11.43)
где -—неизвестная пока амплитуда скорости, а ср представляет
разность фаз между силой F и скоростью v. Покажем, что (11.43)
я ляется решением уравнения движения, и найдём vQ и ср из этого
уравнения.
Согласно § 2, ускорение опережает по фазе скорость на
~ , а смещение отстаёт от скорости *на у; следовательно, согласно
формула.м (11.10) и (11.11), мы можем написать
a = -u0ojcos (tot— 9 4" у) > (11.44)
s=^ cos (tot-cp-^\ (11.45)
Уравнение движения после подстановки величин (11.43) и (11.44) и
(11.45) принимает вид
mtoVy cos (tot — <Р 4" у) + гп0 cos — 9) "Г
-ф cos — ср — у^ = Fo cos tot. (11.46)
§ 6]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
267
Все три члена левой части этого уравнения являются проекциями
векторов a, v и s (рис. 172), характеризующих круговое движение.
Предположим, что вектор скорости v в данный момент времени t
имеет направление от точки О к точке А (рис. 179), составляющее
угол AOX=(i)t— ср с осью проекции ОХ. Отложим в этом же на-
правлении вектор ОА, абсолютная величина которого ОА = rv^.
Вектор ускорения в круговом движении повёрнут по отношению
к скорости на угол -4--^- (опережает её на угол , а смещение на
Z \ Z./
угол — " ^отстаёт от скорости на . Следовательно, вектор ОВ =
= та, совпадающий по направ-
лению с ускорением и имеющий
амплитуду мы должны про-
вести под углом <ог— 9 т у к
оси ОХ, а вектор OC—ks ^со-
впадающий с вектором смещения
точки, бегущей по кругу, и име-
„ kv0\
ющий амплитуду-^) —под уг-
ломо)/ — ср — Так как векторы
ОВ и ОС оказываются противо-
положными друг другу, то их сумма даст вектор OD = OB — BD,
где BD = OC, с амплитудой \т®— —J Складывая векторы OD
и' ОА, мы получим вектор ОЕ, равный сумме векторов та, rv
и ks в данный момент времени /. Легко видеть, что левая часть
соотношения (11.46) между силами получится как результат про-
йцирования на ось X суммы векторов ОА, ОВ и ОС или, что
то же, векторов ОА и OD. Уравнение движения в форме (11.46)
говорит нам, что векторная сумма ОЕ должна равняться силе
Fo coso)/, а значит, абсолютная величина суммарного вектора ОЕ
равна Fq; направление же его в данный момент времени t опре-
деляется углом <at= ЕОХ. Следовательно, сдвиг фазы между ско-
ростью и силой определяется углом EOA = wt— (со/—ср) = ср. Из
треугольника ODE имеем
Fo = КОЛ3 4- OD* = У Г^1 + (юш - ,
откуда
г>0 = . ---* =------------, (11.47)
1/ г2 4- — — Г - у'4о2ш-+ (<>’ —шУ2"
7 у cd / <D г
268
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
где
<> Г 2 k
8=2m и (П-48)
Кроме того,
Формула (11.49) показывает, что при условии ш^>о)0 разность фаз
между действующей силой и скоростью положительна, т. е. ско-
рость отстаёт по фазе от силы. При со = со0 она равна нулю, т. е.
скорость и сила находятся в той же фазе, а при <o<^cd0 она отри-
цательна, т. е. скорость опережает силу по фазе. Из формулы (11.47)
легко убедиться, что при <o = w0 величина будет наибольшей; по
мере удаления ш от ш0 в ту или другую сторону величина *и0 будет
падать. Эти соотношения справедливы независимо от момента вре-
мени /, так как треугольник, из которого мы получаем их и проек-
ция которого даёт нам уравнение движения (11.46), своей формы со
временем не меняет, — он лишь вращается с угловой скоростью <о
около точки О. Из соотношений (11.47) и (11.49) мы находим,
таким образом, величину амплитуды скорости vQ и разность фаз ф
между силой F и скоростью v. Для скорости v мы получаем выра-
жение
v в _ F. cos («*-?). (1 J.50)
Таким образом, мы убеждаемся, что предположенная нами периоди-
ческая функция (11.45) для скорости действительно удовлетворяет
уравнению движения (11.42), т. е. является его решением. Мы ви-
дим, что вынужденные колебания происходят с частотой выну-
ждающей силы (со). Зная v, мы легко найдём из формул (11.44) и
(11.45) также s и а.
Формула (11.47) говорит нам, что амплитуда скорости (а значит,
и амплитуды смещения и ускорения) прямо пропорциональна дей-
ствующей силе. Однако, скорость движения системы по фазе отли-
чается от силы на угол ф [формула (11.49)], который зависит от
частоты ш. Амплитуда скорости зависит от параметров системы /п,
k, и эта зависимость определяется входящей в знаменатель выра-
жения (11.48) величиной
z=]/ А)У 48V+ («,’-«»’.): (11.51)
Величина Z имеет простой физический смысл. Чем больше Z, тем
меньше скорость и наоборот, и величина Z характеризует, таким
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
269
§ 6]
образом, как бы то сопротивление, которое встречает переменная
сила F, приводящая систему в движение, поэтому она носит назва-
ние полного механического сопротивления или импеданса колеба-
тельной системы. Величина г (коэффициент трения) носит название
активного сопротивления, а величина [т<& — — реактивного со*
k
противления системы. Величина — называется упругим сопротив-
лением, а величина /»<о, зависящая от инерционных свойств систе-
мы, — инерциальным сопротивлением.
Размерность активного сопротивления равна
И=[у] = -^^ = МТ-1. (11.52)
k
Ту же размерность, как легко убедиться, имеют т<& и —, т. е. и весь
импеданс Z. Единицей механического сопротивления является вели-
чина, носящая, по аналогии с соответствующей электрической вели-
чиной, название механического ома. 1 механический ом — это такое
сопротивление, которым обладает система, совершающая под дей-
ствием гармонической силы с амплитудой в одну дину вынужден-
ные колебания с амплитудой скорости 1 см/сек.
Заметим, что для системы, способной совершать крутильные
колебания (§ 4), все выводы этого параграфа имеют полную силу.
Разница будет только в том, что вместо т в формулы войдёт мо-
мент инерции /.
Закон суперпозиции. Предположим, что на нашу систему дей-
ствуют две периодические силы с различными частотами о)х и со2,
Fr COS ((OjO и COS (<O20-
Решения уравнения движения (11.42) для вынужденных колебаний
при действии каждой из этих сил по отдельности мы найдём по
формуле (11.50) и получим две скорости vt и v% с частотами и
Нетрудно показать подстановкой, что выражение
v = vl-{-vl (11.53)
также будет являться решением уравнения (11.42), и, таким образом,
при действии двух сил с различными частотами решение уравнения
получается наложением или суперпозицией отдельных решений
вида (11.50). Это справедливо не только для двух, но и для любого
числа сил.
Таким образом, зная, как ведёт себя колебательная система,
характеризуемая уравнением вида (11.42) под действием различных
сил в отдельности, можно простым образом определить её поведе-
ние при одновременном воздействии на неё всех этих сил вместе.
270
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
Закон суперпозиции, вообще говоря, соблюдается лишь для таких
колебательных систем, для которых, как в рассматриваемой нами
системе, зависимость между перемещением 5, скоростью v и ускоре-
нием а выражается линейным уравнением, в которое s, v и а
входят в первой степени, т. е. для линейных колебательных
систем. Для колебательных же систем, для которых зависимость
между s, v и а выражается уравнением более высокой степени,
т. е. для нелинейных систем, закон суперпозиции не соблюдается
(см. дальше, § 15).
§ 7. Резонанс. Как видно чиз (11.51), полное сопротивление Z
колебательной системы зависит от частоты вынуждающей силы.
Вблизи собственной частоты системы (со0— реактивное сопро-
k .
тивление /по> — — становится малым, а при со = со0 обращается
в нуль; полное же сопротивление Z при этом делается равным г.
Вдали от со0 абсолютная величина реактивного сопротивления,
а, значит, и величина импеданса Z, сильно возрастает как при очень
малых, так и при очень больших частотах.
Проследим, как изменяется амплитуда скорости вынужденных
колебаний при изменении частоты внешней силы. При .очень малых
частотах Z, очевидно, будет чрезвычайно велико, так как велик
k
член — > и поэтому амплитуда скорости близка к нулю. С увели-
k
чением частоты упругое сопротивление ~ уменьшается, инерциаль-
ное же сопротивление /пш увеличивается; полное сопротивление
i/T
уменьшается, и амплитуда скорости растёт. При (о = со0—I/ —
k
мы имеем ты = — 9 и реактивное сопротивление становится рав-
ным нулю, а амплитуда скорости достигает наибольшего значения
(11-54)
а разность фаз 9 между силой и скоростью, как легко видеть
из (11.49), при этом становится равной нулю. С дальнейшим повы-
шением частоты инерциальное сопротивление ты делается больше
k
упругого —, полное сопротивление растёт, и амплитуда скорости
начинает снова уменьшаться. При увеличении частоты значительно
выше резонансной (со—>оо) полное сопротивление Z—>оо, а ско-
рость v—>0, т. е система остаётся почти неподвижной, не успевая
следовать за силой.
Явление сильного возрастания амплитуды вынужденных колеба-
ний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте соб-
ственных колебаний системы а>0 называется резонансом. Частота
§ 7]
РЕЗОНАНС
271
вынужденных колебаний при изме-
Рис. 180.
называется поэтому резонансной частотой. На рис. 180, а приве-
дены так называемые резонансные кривые^ т. е. кривые, изображаю-
щие, как изменяется амплитуда
нении частоты внешней
силы. Здесь по оси абс-
цисс отложена угловая
частота вынуждающей
силы, а по оси орди-
нат — амплитуда скоро-
сти вынужденных ко-
лебаний для случая че-
тырёх различных значе-
ний трения, причём
Г4^>Гз5>Г2^>Г1- Остро-
та максимумов этих кри-
вых существенно зависит
от величины сопротивле-
ния г. Большому трению
(г4) соответствует наибо-
лее пологая резонансная
кривая со слабо выражен-
ным максимумом, малому
трению (rj—самая острая
кривая с высоким макси-
мумом; при г= 0 макси-
мум кривой уходит в бес-
конечность.
Система с очень боль-
шим трением (например,
маятник в вязкой жидко-
сти) или система вблизи
резонанса, в которой
т®— ~оГ г’ будет
иметь импеданс, близкий
к величине г. Её колебания будут определяться только трением, и
потому в этом случае мы говорим о системе, управляемой трением.
Резонансные кривые для амплитуды смещения системы s0=-^-
(рис. 180, Ь) подобны аналогичным кривым для амплитуды ско-
рости в гом отношении, что вблизи резонансной частоты амплитуда
смещения также достигает значительных величин, причём максиму^м
тем выше и острей, чем меньше затухание (трение). Однако, как
нетрудно убедиться расчётом, максимум смещения для s0 получается
при несколько меньшей частоте % — Д<о, чем максимум скорости,
и разница в частоте До) возрастает с увеличением 8 (сравним, напри-
272
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
мер, кривые для г2 и г4). Кроме того, разница заключается в том,
у?
что при малых частотах все кривые для $0 стремятся к пределу -у,
равному отклонению системы при постоянной силе а не к нулю,
как это имеет место для vQ.
Явления резонанса играют большую роль как в различных об-
ластях физики, так в технике. Рассмотрим несколько примеров. На
самом простом опыте легко убедиться, что для того чтобы сильно
раскачать маятник (например, тяжёлый груз, висящий на верёвке),
надо давать ему ритмичные толчки в такт с его собственной ча-
стотой ^/0 = ^. При этих условиях [см. формулу (11.49)] ско-
рость и сила совпадают по фазе (9 = 0), что и приводит к передаче
в систему максимальной энергии и к установлению большой ампли-
туды колебаний. При резонансе в системе с малым затуханием
(малым г) достаточно малой силы для поддержания большой ампли-
туды колебаний [формула (11.54)].
На принципе резонанса основано устройство очень простого из-
мерителя частоты — так называемого язычкового частотомера.
В этом приборе имеется ряд стальных язычков, настроенных так,
что собственные частоты двух соседних язычков отличаются между
собой на одну и ту же небольшую величину (например, на 0,5 гц
при диапазоне частот прибора от 48 до 52 гц). Около каждого
язычка устанавливается маленький магнит с намотанной на него
катушкой. Если через катушки всех таких электромагнитов про-
пустить переменный ток от городской сети, то на язычки будет
действовать периодическая сила с частотой переменного тока, кото-
рая лежит около 50 гц, но может слегка меняться. Сильнее всего
будет колебаться тот язычок, частота которого будет равна частоте
тока, что можно наблюдать непосредственно глазом. Следовательно,
этим способом можно измерить частоту тока. Подобные частото-
меры можно устроить как на более низкие, так и на более высокие
частоты до нескольких тысяч герц.
Многочисленные проявления резонанса мы будем изучать в аку-
стике. Здесь мы отметим ещё некоторые случаи, когда механиче-
ский резонанс может привести к повреждению и даже разрушению
колебательных систем. Если, например, встать на доску, опёртую
с двух сторон, и начать ритмически приседать в такт собственных
колебаний такой системы (масса тела — упругость доски), то доска
легко может переломиться. Известно, что по этой же причине отря-
дам войск опасно переходить, шагая в ногу, через мало прочные
мосты, так как может наступить резонанс и мост может обрушиться.
При быстром вращении маховиков, насаженных на оси машины,
или роторов паровых турбин также могут возникнуть резонансные
колебания, частота которых определяется упругостью оси и массой
вращающейся системы. При этом ось изгибается под действием
РЕЗОНАНС
273
§ 71
центробежной силы, действующей на центр инерции ротора, лежа-
щий в реальных машинах всегда не совсем точно на оси. При ре-
зонансе (при так называемой критической частоте) машина мо-
жет очень легко подвергнуться разрушению, и поэтому рабочее
число оборотов выбирается всегда так, чтобы оно не совпадало
с критической частотой.
Вынужденные колебания в области частот выше и ниже резо-
нанса. Если частота вынуждающей силы значительно выше резо-
нанса, т. е. если со^>о)0 или> что то же,/псо >> —, и если, кроме
того, трение мало, т. е. г<^//гсо, то полное сопротивление сведёт-
ся практически к одному инерциальному
(11.55)
сдвиг же фазы 9 определится на основании (11.49) из соотноше-
ния большой положительной величине, т. е.
(11.56)
и мы будем иметь
Fj COS j . /’ll
2/ Fq sin W (11.57)
Таким образом, в области частот, лежащих значительно выше ре-
зонанса, скорость v по фазе отстаёт на 90° от силы и по вели-
чине обратно пропорциональна moo; величина vQm будет гораздо
меньше, чем при резонансе. Описанную систему можно назвать си-
стемой, управляемой массой.
В том случае, когда частота значительно ниже резонанс-
. / . k \
ной, со<^со0 (или, что то же, — \ и, кроме того, трение
k
мало: —, мы получим
щ-58)
tg 9 у = большой отрицательной величине, т. е.
(11.59)
и тогда
C0S (°* + т) _ «Р, sin «t (11.60)
v0ft— k ~ k '
Итак, в области частот, лежащих значительно ниже резонанса,
скорость обратно пропорциональна упругости и от массы системы
18 Папалекси, т. I
274
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
не зависит; мы можем назвать такую систему управляемой упру-
гостью. В этой системе скорость опережает силу на 90°, а это
значит (см. рис. 176), что сила совпадает по фазе со смещением 5.
Амплитуда смещения при ш<^о>0 будет незави-
сима от частоты и прямо пропорциональна ампли-
туде силы
Пере/чгнныи mqp
(11.61)
ш k
Амплитуда же скорости согласно (11.60) будет
близка к нулю, так как частота со мала. Как раз
такое соотношение между силой и смещением,
как мы знаем [см. формулу (11.13)], имеет место
для случая постоянной силы. Таким образом, мы
видим, что в случае системы, управляемой упру-
гостью, т. е. при частоте гораздо ниже резонанс-
ной (со со0), амплитуда приближённо опреде-
ляется соотношением (11.61), имеющим место для
постоянной силы.
Тот факт, что в системе, управляемой упругостью,
смещение s для вынужденных колебаний не зависит от
частоты, причём амплитуда смещения s пропорциональ-
на амплитуде действующей силы Fo, — позволяет при-
менить такую систему для записи кривой, характери-
зующей закон изменения переменной действующей
силы F. В качестве примера приведём прибор для за-
писи кривой силы тока, так называемый осциллограф,
в котором сила, действующая на колебательную систе-
му, пропорциональна силе тока. Колебательная система
осциллографа (рис. 181) устроена в форме петли, со-
стоящей из двух очень "гонких и туго натянутых па-
Рис. 181. раллельных металлических ленточек, к которым при-
* клеено зеркальце S, служащее для записи оптиче-
ским способом, как это показано на рис. 181. По петле' проходит перемен-
ный ток I, подлежащий исследованию. Собственный период такой системы
легко может быть сделан равным нескольким тысячам герц (до 20 000 гц)
и, следовательно, в области более низких частот система будет управляема
упругостью и позволит записать кривую силы тока без искажений. Из ска-
занного мы видим, что приборы, предназначенные для неискажённой записи
(регистрации) колебаний, должны иметь высокую собственную частоту, т. е.
работать в режиме системы, управляемой упругостью.
Системы, управляемые массой, находят широкое применение в устрой-
ствах, предназначенных для защиты от сотрясений, когда для какого-нибудь
прибора (или даже для целой комнаты) надо создать условия возможно
полной неподвижности по отношению к зданию. Для этой цели массу си-
стемы (например, плиты, на которой стоит прибор) делают очень большой
и помещают её на гибкие пружины (например, на резиновые баллоны, на-
дутые воздухом). Таким образом, получается типичная система, управляемая
массой (с очень низкой собственной частотой о>0), в которой амплитуда сме-
щения будет равна, как ясно из (11.57),
0/71 mu* kmv* k \ J \ )
§ 8] МОЩНОСТЬ, ЗАТРАЧИВАЕМАЯ ДЛЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ 275
Но выражает, согласно (11.61), амплитуду смещения системы, если её
масса очень мала (т. е. когда система управляется упругостью). Представим
себе, например, тяжёлую систему, стоящую на мягких пружинах (рессорах),
на фундаменте (рис. 182), подвергающемся сотрясениям. Предположим, что
в результате сотрясений на нижние концы пружин действует суммарная сила
f'ocoswt Так как верхние концы пружин, связанные с большой массой,
можно считать в первом приближении неподвижными, то амплитуда смеще-
ния нижних концов, равная амплитуде сотрясений фундамента, определится(как
для системы, управляемой только упругостью) из соотношения Малая же
\ ft
остаточная амплитуда смещения массы т, стоящей на пружинах, опреде-
/ <0 \ *
лится тогда из соотношения (11.62), т. е. будет уменьшена в I—1 раз по
сравнению с амплитудой смещения фундамента.
На этом принципе устраиваются приспособ-
ления для защиты от сотрясений измеритель-
ных приборов, рессоры для вагонов, автомо-
билей и т. п. Если, например’, сделать fQ = ~ =
= 1 гц, то при сотрясениях с частотами
/>10 гц амплитуда системы, стоящей на
пружинах, будет уменьшена более чем в 100
I I
*§ §*
Рис. 182.
раз.
Система, управляемая массой, применяется в сейсмографах — приборах
для записи сотрясений почвы. Сейсмограф для записи горизонтальных коле-
баний представляет собой очень тяжёлый маятник, перевёрнутый грузом
вверх и удерживаемый в равновесии очень слабыми пружинами (укреплён-
ными с боков). Это также типичная система, управляемая, массой. Тяжёлый
груз маятника при колебаниях почвы остаётся практически неподвижным,
и если к нему приделать записывающее остриё, то на движущейся бумаге,
связанной с колебляющейся почвой, будут записаны без всяких искажений
колебания почвы.
§ 8. Мощность, затрачиваемая для возбуждения колебаний.
Элементарная работа ДЛ силь? /7 = F0cosco/ при продвижении си-
стемы на отрезок As будет равна F As. Переходя в пределе к беско-
нечно малому отрезку ds и используя соотношение (11.50), получим
dA — Fds — F^ dt = Fv dt — cos W cos (W — 4>)dt. (11.63)
Развёртывая cos(<o/ — ф) и вводя синус и косинус двойного угла,
это выражение можно представить в форме
dA= r^^cos9 4“V"^cos(20^ — ?)]<#. (11.64)
[ Z Z Z /S J
При суммировании работы за целый период второй член даст
нуль, в чём легко убедиться геометрически, так как над осью
абсцисс всегда лежит такая же площадь кривой cos (2а>/— ф), как
и под ней, и сумма всех положительных и отрицательных отрезков
косинусоидальной функции, взятых последовательно через интервалы
18*
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
276
dt. даст нуль. Первый член в (11.63) не зависит от времени; он и
будет определять среднюю работу за один период Т
1 F2
ЛсР=2Тсо^-Г-
Средняя мощность за период будет равна
lFcp = ^- = y^-cos9==yF0i>0cos?. (11.65)
Таким образом, мощность, затрачиваемая силой F, зависит не только
от амплитуды силы и получающейся скорости, но и от разности
фаз между ними. В случае системы управляемой трением (т. е. при
резонансе или в случае очень большого трения) мы видели, что 9 = 0
и Z = r, и тогда
(1L66)
Здесь, мощность, затрачиваемая силой F, идёт на преодоление трения
при колебаниях и целиком превращается в тепло. Во всех случаях,
когда активное сопротивление г гораздо меньше реактивного (/псо —
— — 1, т. е. для системы, управляемой массой или упругостью,
а также при очень малом трении, cos ср, согласно (11.49), близок
к нулю. Следовательно, в этих случаях
Г ^0.
ср
За одну половину периода сила совершает положительную ра-
боту, увеличивая энергию системы, в другую же половину система
возвращает накопленную энергию обратно источнику силы, и в ре-
зультате полная затрачиваемая мощность близка к нулю.
§ 9. Автоколебания. Как мы видели, свободные колебания всякой
реальной системы, как не идеально консервативной и не совершенно
изолированной, постепенно затухают вследствие того, что запас энергии
частично расходуется на преодоление трения, частично же передаётся
в окружающее пространство. Возможно построить такие колебатель-
ные системы, в которых потери энергии непрерывно и автоматически
пополняются за счёт некоторого большого запаса (резервуара) энер-
гии. Такие системы называются автоколебательными, и в них воз-
можно получить незатухающие колебания, которые длятся, пока
не иссякнет запас энергии, из которого пополняются потери. Матема-
тически незатухающие колебания представляются, например, законом
синуса (косинуса) или более сложной периодической функцией вре-
мени (см. § 13).
В качестве примера механической автоколебательной системы,
дающей незатухающие колебания, приведём часы. В часах
§ 9]
АВТОКОЛЕБАНИЯ
277
имеется источник постоянной силы в форме упругости закрученной
пружины или веса гири. Механическая колебательная система со-
стоит из маятника, частота свободных колебаний которого составляет
для маятниковых часов 2 гц. Движение маятника происходит ббль-
шую часть периода свободно, и лишь в течение короткого проме-
жутка времени, когда он проходит положение равновесия и имеет
но они происходят в моменты
Рис. 183.
максимум скорости, он приходит в соприкосновение с храповым
колёсиком, на которое через систему шестерён действует сила пру-
жины (или гири), и получает от него короткий импульс. Эти им-
пульсы в отдельности очень слабы,
наибольшей скорости системы и с ре-
зонансной частотой, т. е. без сдвига
фазы (cos 9 = 1), и потому позво-
ляют передать энергию, достаточ-
ную для компенсации потерь. Они под-
держивают амплитуду маятника не-
изменной, пока не израсходуется за-
пас энергии пружины или гири.
Частота системы определяется часто-
той свободных колебаний маятника.
В других автоколебательных си-
стемах резервуаром энергии служат
очень часто электрические бата-
реи или ток от электросети; так,
например, работает электронно-лам-
повый генератор или электрический
водятся в незатухающие колебания за
того воздуха (мехи).
Как видно из этих призеров, для получения автоколебаний соз-
даётся при помощи источника запасной энергии некоторая постоян-
ная сила, действие которой на колебательную систему регулируется
путём воздействия самой системы и устройства, регулирующего
звонок. Органные трубы при-
счёт энергии резервуара ежа-
поступление энергии, в результате чего система получает периоди-
ческие толчки, поддерживающие её амплитуду колебаний на постоян-
ном уровне и компенсирующие то затухание, которое вызывается
рассеянием энергии.
Рассмотренные в качестве примеров автоколебательные системы
состояли из собственно колебательных систем, резервуара энергии
и устройства, регулирующего поступление энергии в колеба-
тельную систему в зависимости от её колебательного состоя-
ния. В этих системах частота автоколебаний определялась ча-
стотой собственных колебаний колебательной системы. Возможны,
однако, автоколебательные системы, не содержащие собственно
колебательных систем, т. е. систем, которые могут сами по
себе совершать свободные колебания. В качестве примера рас-
смотрим систему (рис. 183), состоящую из сосуда 1 с широкой
278
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
сифонной трубкой 2, в который сверху непрерывно течёт вода.
Как только вода в сосуде достигнет уровня Ь, трубка 2 заполнится
водой, начнёт действовать, как сифон, и вода через неё будет вы-
ливаться из сосуда 1 и, если поступление воды в него будет про-
исходить значительно медленнее, чем выливание через трубку 2,
то поверхность воды быстро достигнет уровня а и вода снова пере-
станет выливаться через трубку 2. Через некоторый промежуток
времени, когда сосуд опять наполнится до уровня Ь, процесс по-
вторится снова. Таким образом, в этой системе будут иметь место
регулярно повторяющиеся колебания уровня воды между значе-
ниями а и b с периодом, определяемым не собственными колеба-
ниями колебательной системы, а временем наполнения сосуда
от уровня а до уровня Ь, с поправкой на время опорожнения его
через сифонную трубку. Такие колебания, период которых . опреде-
ляется не периодом собственных колебаний системы, а временем
релаксации системы, получили название релаксационных (см. § 5).
Эти колебания широко распространены в природе. Сердце животных
совершает релаксационные колебания; скрип двери также является
релаксационным колебанием.
§ 10. Переходные колебания. Вынужденные колебания, рассмо-
тренные нами в § 6, устанавливаются в колебательной системе под
действием внешней гармонической силы или прекращаются при пре-
Рис. 184.
кращении внешнего воз-
действия не мгновенно, а
через некоторый проме-
жуток времени, в тече-
ние которого в системе
существуют так называе-
мые переходные колебания. Такие же переходные колебания возникают
в системе и при всяком изменении амплитуды, частоты или фазы
внешней силы.
При прекращении действия периодической силы явление проте-
кает наиболее просто: система остаётся в некотором состоянии
движения (момент / = 0), имея какую-то (начальную) скорость
и смещение. После этого движение должно, очевидно, происходить
в форме свободных затухающих колебаний с присущей им, харак-
терной для системы, частотой. На рис. 184, справа, видно, как про-
текают колебания после прекращения действия некоторой синусо-
идальной силы.
При начале действия синусоидальной силы явление более сложно;
система не может сразу притти в состояние вынужденных колеба-
ний с постоянной амплитудой, определяемой формулой (11.50); вначале
происходит некоторый процесс раскачки; внешняя сила лишь по-
степенно сообщает системе запас колебательной энергии. Наиболее
просто это явление протекает, если частота внешней силы равна
частоте свободных колебаний системы; в этом случае получается
§ 11]
СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
279
плавное нарастание амплитуды колебаний (рис. 184, левая часть).
На основании закона суперпозиции (§ 6) такой процесс можно
представить как наложение свободных колебаний типа, представлен-
ного формулой (11.36), возникающих под действием начального
толчка, и вынужденных колебаний со стационарной амплитудой.
Это пояснено на рис. 185. В начальный момент вынужденные (I)
и свободные колебания (II) имеют равные амплитуды и обратные
фазы, и потому они в сумме дают нуль. Далее, свободное колеба-
ние постепенно затухает, вы-
нужденные же остаются неиз-
менными. В сумме мы имеем
постепенное плавное нарастание
амплитуды (кривая III).
Если частота действующей
силы не совпадает с частотой
свободных колебаний, то пере-
ходные колебания могут приоб-
ретать весьма сложную форму.
Например, на рис. 186 показано,
Рис. 185.
как происходит нарастание колебаний в начале действия силы, частота
которой f немного меньше частоты /0 свободных колебаний. В дан-
ном случае вынужденные и свободные колебания имеют различную
частоту, и при сложении их возникает то увеличение, то уменьше-
ние амплитуды. Сущность этого явления, так называемых биений,
поясняется в § 12. Число биений в секунду оказывается рав-
ным f—fQ. Особенно важно отметить, что в те моменты,
когда вынужденное и свободное колебания совпадают по фазе
(точки А, В на рисунке), ампли-
р В £ туда переходного колебания до-
SAKS'S
у II • у (нарного вынужденного режима
(точка С и далее). При малом де-
Рис. 186. кременте затухания максимальные
амплитуды при включении дости-
гают почти двойной величины по сравнению с режимом установившихся
вынужденных колебаний. Этогорода явлениямогутпривести к поврежде-
нию разного рода механизмов или электрических аппаратов при внезап-
ном начале действия переменных сил или электрических напряжений.
Если, однако, такой же амплитуды силы включить в действие плав-
но, то опасность подобных явлений устраняется.
§ 11. Сложение колебаний, происходящих по одной прямой.
Представим себе следующий схематический механизм: кривошипно-
шатунный механизм А (рис. 187) может приводить в колебательное
движение стержень В и связанное с ним перо С. Весь этот меха-
низм в целом укреплён на подвижном стержне В', который может
280
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
приводиться в колебательное движение вторым, независимым криво-
шипно-шатунным механизмом Д'. Колебания пера могут записываться
на движущейся ленте Е. Можно
представить себе следующие
три случая (рис. 188):
1) Перо колеблется под
действием кривошипа А; кри-
вошип А' неподвижен. Перо за-
пишет некоторую синусоиду 7.
2) Кривошип А неподвижен;
кривошип А' приводит в коле-
бание стержень В' и вместе с
ним всю систему А'В'. Перо
запишет некоторую, другую,
синусоиду 2.
3) Вращаются оба кривошипно-шатунные механизмы А и Д'.
Перо записывает кривую сложного колебания, получающегося в ре-
зультате наложения двух простых колебаний 7 и 2 друг на друга, —
кривую 3.
Разберём, что происходит, если точка одновременно совершает
несколько простых колебательных движений по одной прямой,
которые складываются в одно сложное движение.
Рассмотрим частный случай, когда оба колебания совершаются
с одинаковой угловой частотой ш, но с различными фазами и %
и амплитудами $01 и $02:
51 =$01 sin (°^+ ?1)> $2 = $02 sin 4-?з)- (11.67)
Складывая смещения, вызванные обоими колебаниями, получим ре-
зультирующее смещение 5 для суммарного колебания
$ = $01 Sin (°^4~ ?1) + 502 sin + ?з) =
г
= ($01 C0S ?1 4" $02 C0S ?з) sin + (^01 sin ?1 + ^02 sin Ф2) COS 0)7.
БИЕНИЯ
281
§ 12]
Полагая выражения в скобках равными
^oicos9i +’502COS?2 = 50COS?> ^iSin^ -|- SoaSin ?2 = s0 sin ?, (11.68)
мы получим
$ = s0 sin со/ cos <р 4~ 5о cos sin ? = 5оsitl W ~Ь ?), (11-69)
т. е. выражение, совершенно аналогичное каждому из исходных
выражений (11.67).
Величины $0 и ? мы найдём из уравнений (11.68). Разделив
второе на первое, находим
= s01 sin sin у, (11 70)
& ‘ Soi COS <pi + Sos COS <ра 9 X * /
а возводя их в квадрат, складывая и извлекая корень, получим
5о = /< + -j- 2s01s02 cos <cpt — ?7)- (11.71)
Итак, движение, возникающее в результате сложения двух гармо-
нических колебаний (11.67) одного периода, является также гармо-
ническим колебанием того же периода.
Результат сложения существенно зависит от разности фаз ?! — ?2:
1. Если ?1=?а, то cos(?i — 9s) =л и
5 о = $01 4“5о2* (11.72)
В этом случае амплитуды складываются друг с другом, т. е.
одно колебание усиливает другое. Если $01=$02, то $0 = 2$01, т. е.
амплитуда удваивается, а энергия колебания, очевидно, учетверяется
[формула (11.28), § 3].
2 . Если ?j —?2 = -^, то cos (?! — ?2) = 0 и
= / + (П-73)
В этом случае энергия сложного колебания равна сумме энергий
двух первоначальных колебаний.
3 . Наконец, если ?2 — = то cos (?j — ?2) = — 1, а потому
$о = $о1 (11.74)
— амплитуды двух колебаний вычитаются одна из другой, и одно
колебание ослабляет другое. Если при этод! $01=$02, то $о = О,
т. е. в результате сложения таких колебаний амплитуда суммарного
колебания равна нулю: оба колебания полностью уничтожают или,
как часто говорят, гасят друг друга.
§ 12. Биения. Если периоды (частоты) двух колебаний очень
близки друг к другу, то сложение их за некоторый небольшой про-
межуток времени происходит почти так же, как в случае равных
282
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
периодов. Предположим, что два колебания равной амплитуды и
почти одинакового периода в некоторый момент времени совпадают
по фазе. В этом случае суммарное колебание будет происходить
с удвоенной амплитудой, как это мы видим, например, близ точки а
на рис. 189 (нижняя кривая).
Вследствие того, что второе колебание происходит несколько
медленнее, фазы колебаний начнут постепенно расходиться и через
некоторый промежуток времени разойдутся на величину -тг, т. е. ко-
лебания сделаются противоположными по фазе (точка Ь), В этот
момент два колебания будут взаимно уничтожать друг друга, и сум-
марное колебание будет
иметь амплитуду 0. Затем
снова фазы начнут при-
ближаться к совпадению,
и при разности фаз 2тс
получится снова двойная
амплитудаколебаний (точ-
ка с) и т. д. Колебание
как это видно на нижней
& 4 с
Рис. 189.
приобретает пульсирующий характер,
кривой рис. 189, для случая сложения колебаний с равными ампли-
тудами. Описанное явление периодического изменения амплитуды
при сложении колебаний, близких по частоте, носит название биений.
Если налагающиеся друг на друга колебания имеют неодинаковые
амплитуды, то при разности фаз тс получится колебание с ампли-
тудой, равной разности амплитуд складываемых колебаний, т. е.
суммарная амплитуда не будет равной нулю, а лишь будет достигать
некоторого минимума.
Если обозначить угловую частоту первого колебания о^, а вто-
рого— о>9, то можно написать для наших двух колебаний следующие
выражения:
=s0cos (<о^ + 91),
s2 = So cos (<о2/ -J- ф2) = $o cos 4- (coa — («О t -J- 92L
где 9i и 92 — начальные фазы колебаний.
Очевидно, условие совпадения фаз двух колебаний в некоторый
момент времени tv (максимум амплитуды) будет таково:
Следующее совпадение фазы произойдёт, очевидно, в момент вре-
мени определяемый условием
(<°2 — <°1) Ч = + 2Я;
Из этих двух условий получаем, вычитая первое из второго,
— tl) (“i — ®1) = 2®
§ 13]
СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
283
или
1 ____ <О8 —
ti 2тс
А-Л=/'.
(11.75)
где fi и ft — частоты колебаний.
Так как — tj есть промежуток времени между двумя после-
дующими максимумами биений, то величина f буд$т выражать ча-
стоту биений, а Т—~ — будет их период. Итак, мы пришли
J J2-----------------------J1
к выводу, что частота биений равна разности частот двух со-
ставляющих колебаний.
Явление биений очень часто наблюдается при звуковых и элек-
трических колебаниях и волнах. Так, например, две струны какой-
либо ноты фортепиано *), не точно настроенные на одну и ту же ча-
стоту, дают отчётливые биения, и это сразу показывает, что инстру-
мент расстроен.
§ 13. Сложение колебаний с кратными частотами и анализ
сложных колебательных процессов. Если частоты всех склады-
ваемых колебаний будут кратными частоте наиболее, медленного из
них, то, очевидно, более ча-
стые колебания будут укла-
дываться целое число раз в
периоде наиболее медленного
колебания. В сумме мы полу-
чим новое колебание того же
периода, что и медленное, но
форма его уже не будет си-
нусоидальной, а более сложной.
На рис. 190 изображены три
случая сложения двух синусо-
идальных колебаний, отноше-
ние частот которых равно 1 :2.
Складываемые колебания изо-
бражены тонкими линиями,
результирующее сложное ко-
лебание — более жирными.
Ординаты обеих кривых алге-
браически складываются. Так,
MPY + МР* = МР и т. д. В
случае 190,я начальнаяразность
фаз двух слагаемых колеба-
Рис. 190.
ний равна нулю. В случае
рис. 190, b более быстрое колебание отстаёт от основного по
фазе на у, в случае рис. 190, с — на к. Мы видим, что во всех трёх
На одну ноту (клавишу) фортепиано ставится две или три струны.
284
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
случаях получаются периодические кривые, имеющие , различную
форму, повторяющуюся через один и тот же промежуток времени,
равный периоду более медленного колебания. Ещё более сложные
кривые получаются, если складываются три и больше колебаний.
Естественно предположить, что если нам дано периодическое
колебание сложной формы, то его также можно разложить на про-
стые гармонические колебания с частотами, кратными частоте /,
соответствующей периоду (т=у-^ сложного колебания и называемой
основной частотой. Оказывается, что этого рода разложение, дей-
ствительно, всегда можно сделать, и притом для каждой формы
кривой существует только единственное разложение. Законы такого
разложения формулированы в теореме Фурье, согласно которой
периодическая функция произвольнойформы s=f(t) с периодом Г,
заданная в промежутке времени от t до t-\- Т, может быть разло-
жена в ряд, представляющий сумму гармонических функций с опре-
делёнными амплитудами и фазами, частоты которых кратны основной
частоте со
5 =f (/) — Ао Ar sin (со/ А% sin (2<о/ ^Рз) 4"
4" Az sin (Зсо/ 9з) 4" ••• 4“-А 4“ ^л) 4~ •••> (П-76)
где <o = 2ir/=y и п— 1, 2, 3, ...
Если известен вид функции /(/), то постоянный член До, а также
амплитуды Alt Д2, Д3, ... , Ап и фазы <р2, <р3, ... , срп всех про-
стых гармонических колебаний, дающих в сумме сложное колебание
вида f(t), можно вычислить единственным образом по формулам
Фурье.
Разложение произвольной периодической функции на. сумму гар-
монических функций называется гармоническим анализом. Колебания
с частотами nf называются гармониками основной частоты, или
обертонами. Колебание основной частоты (п=1) является первой
гармоникой. Колебания с частотами nf называются также компонен-
тами сложного колебания. Разложение в ряд Фурье широко при-
меняется во всех областях физики и техники, связанных с изучением
колебаний. Существуют вычислительные машины — гармонические
анализаторы, которые облегчают разложение в ряд Фурье.
Для каждой формы колебаний получается особый, лишь для этой
формы характерный, закон распределения амплитуд гармоник и их
фаз. Возможны такие периодические функции, для которых ряды
Фурье не содержат некоторых гармоник, т. е. соответственные коэф-
фициенты Ап равны нулю. Часто ряд (11.76) состоит из конечного
числа начальных членов; пример этого мы видим на рис. 190, а,
Ь, с, где каждая из трёх суммарных кривых, очевидно, выражается
рядом, состоящим только из двух гармоник. Кривая, приведённая на
§ 13]
СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
285
рис. 191, а, выражается рядом, члены которого очень просто вычи-
сляются аналитически, а именно:
$ = £sin W + у sin Зш£ у sin 5о>/ -[“•••]> (11 -77)
где А — высота плоской части кривой над осью t. Таким образом,
в этом ряде отсутствуют чётные гармоники. Кривая пилообразной
формы (рис. 191, Ь) выражается рядом
5 = ^ Fsin W 4~у sin 2cof-р у sin Зсо/ 4~'j‘s*n ...1,(1 1-77')
в котором налицо весь бесконечный ряд гармоник.
Соотношение между отдельными составляющими или компонен-
тами сложного колебания удобно изображать с помощью особой
диаграммы, называемой
спектром амплитуд
сложного колебания, в
которой по оси абсцисс
откладываются номера
(или частоты) гармоник,
а по оси ординат —
их амплитуды. Спектр
сложного колебания, по-
казанного на рис. 191, а,
изображён на рис. 191, с.
пропорционально их
В нём амплитуды гармоник спадают обратно
номеру. Для кривой 191, b спектр выразится подобной же диаграм-
мой, в которой будут лишь выкинуты чётные гармоники.
Спектр амплитуд не даёт представления о фазах отдельных со-
ставляющих, поэтому, например, спектр сложных колебаний, изобра-
жённых на рис. 190, во всех трёх случаях будет совершенно оди-
наков и будет состоять всего из двух линий. Во многих случаях,
например, при восприятии звука слухом (см. гл. XII, Акустика,
§ 19) фазы отдельных составляющих не имеют существенного зна-
чения, и в этих случаях для характеристики сложного звукового
колебания достаточно его спектра амплитуд.
Непрерывные спектры. Математический анализ показывает, что не-
периодические процессы (например, импульсы, затухающие колебания, ряд
гармонических колебаний, длящихся конечный промежуток времени, и т. п.)
могут быть также представлены как сумма гармонических колебаний, но
с той лишь разницей, что число колебаний, входящих в сумму, бесконечно
велико и их амплитуды непрерывно распределены по определённому закону
в функции от частоты. Непериодические колебания выражаются уже не
суммой ряда, а интегралом (интеграл Фурье).
Так, например, импульс очень малой длительности, представляющий со-
бой нарастание отклонения до некоторой величины, постоянное отклонение
А на короткий промежуток времени /и и затем спадание до нуля (рис. 192, а)
можно представить как сумму бесконечного числа колебаний (интеграл),
286
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[гл. XI
частоты которых изменяются от нуля до бесконечности. Затухающее коле-
бание (рис. 192, Ь) также можно представить в виде интеграла.
Пользуясь терминологией спектрального анализа, мы скажем, что непе-
риодические процессы могут быть представлены непрерывным спектром,
тогда как периодические выражаются линейчатым спектром. В линейча-
том спектре мы имеем ряд изолированных друг от друга—дискретных —
Компонент.
Колебания с дискретными частотами называются в оптике монохрома-
тическими, в акустике — монотоналъными. В непрерывном, или сплошном,
спектре распределение амплитуды (или энергии) также непрерывно и может
быть охарактеризовано некоторой спектральной функцией s(f) [или, соот-
ветственно, Величина амплитуды (или энергии) в интервале частот
от / до / + д/ выразится тогда законом
&<? = <?(/) или bE=E(f)bf. (11.78)
Импульс величины А и длительности т (рис. 192, а) характеризуется,
Рис. 192.
2Л
например, следующим распределением амплитуды в спектре: $(/) — —у sin тст /.
тс/
Вид спектральной функции показан на рис. 192, а; при /==^-, где п = 1, 2,
3,..., амплитуда спектра равна 0. При низких частотах, когда/<<—, $(/) =
= 2Л*с, т. е. не зависит от частоты. Например, при т = 0,001 сек, амплитуда
в спектре при /< 100 гц будет, практически, постоянна.
Спектр затухающего колебания (рис. 192, Ь, справа) выразится кривой,
подобной резонансной, максимум которой лежит при частоте затухающего
колебания, а в стороны от этой частоты амплитуда спадает, причём спадание
тем более резко, чем меньше коэффициент затухания S. Ширина кривой
спектра на высоте, равной половине максимальной, имеет величину порядка б.
Разложение как периодических, так и непериодических кривых в
спектры не является лишь чисто математической операцией — оно находит
себе полное подтверждение на опыте. Можно построить систему резонаторов,
частоты которых с возможно малыми промежутками изменяются в некотором
интервале частот, примерно по тому принципу, как мы это описывали, упо-
миная об язычковом частотомере (§7), или, как это имеет место,— в струнах
рояля. При воздействии на такое устройство периодических колебаний слож-
ного состава мы обнаружим возбуждение сильных колебаний отдельных ре-
зонаторов, соответствующих частотам компонент сложного колебания. Но и
§ 14] СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ 287
непериодический процесс возбудит подобную систему, причём амплитуды
отдельных резонаторов будут определяться как раз тем законом s(f), кото-
рым изображается спектр.
§ 14. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Перей-
дём теперь к сложению взаимно перпендикулярных колебаний. Дви-
жение этого рода можно осуществить тем же прибором (рис. 187),
если повернуть верхний колебательный механизм АВ вокруг оси D
на 90°. То же самое можно получить при помощи массивного физи-
ческого маятника, качающегося на некоторой оси, к нижней части
которого укреплена ось второго лёгкого маятника таким образом,
что он колеблется в плоскости, взаимно перпендикулярной колеба-
Рис. 194.
ниям главной части маятника. Прежде всего рассмотрим случай сло-
жений колебаний равного периода. При этом могут иметь место
следующие случаи:
1. Разность фаз равна нулю, т. е. колебания начинаются и кон-
чаются одновременно. Так как периоды равны, то отклонения по
осям Ох и Оу всё время остаются пропорциональными между собой
и при сложении (по правилу параллелограмма) дадут точки прямой
линии АА\ составляющей некоторый угол с направлениями склады-
ваемых колебаний (рис. 193). Очевидно, при равных амплитудах
этот угол равен 45°. Результирующее колебание будет происходить
по линии АА*.
2. Разность фаз равна тс. Когда точка по оси Оу будет иметь
наибольшее положительное отклонение (положительное считаем по
Оу вверх и по Ох вправо), по Ох она будет иметь наибольшее
отрицательное отклонение. Результатом сложения колебания будет
колебание по прямой ВВ', симметричной АА (рис. 193).
3. Разность фаз равна , амплитуды равны. Когда точка по оси
Оу (рис. 194) уже совершит четверть колебания, по оси Ох она
только выйдет из положения равновесия. Складывая графически
отклонения по осям Ох и Оу} мы найдём, что результатом будет
288
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
замкнутая кривая, обходимая точкой в направлении часовой стрелки.
Легко убедиться расчётом, что эта кривая есть круг. Действительно,
мы знаем, что если траектория точки есть круг, то проекции её на
оси Ох и Оу как раз совершают прямолинейные гармонические
колебания с разностью фаз у (см. § 2). То же самое можно по-
казать и иначе. Два складываемых колебания будут выражаться
формулами x = 50sinW и j = s0cosa)t Геометрическое место точек,
получающихся в результате сложения движений х и у, мы получим,
исключая время из этих двух уравнений; для этого возводим их
в квадрат и сложим. Мы получим соотношение $* = х3-|-.У2> которое
представляет собой уравнение окружности с радиусом $0.
4. Разность фаз равняется 3/2к, амплитуды равны. Движение,
являющееся результатом сложения колебаний, будет опять равно-
ф 12345678
2Й= 0 8888 8 I 8 8
/ow
Рис. 195.
мерным круговым, но
только в направлении
против часовой стрел-
ки. Результирующее
колебание в том слу-
чае, когда при равных
амплитудах разность
фаз имеет промежу-
точное между рас-
смотренными нами 'зна-
чение, будет происходить по эллипсу. В том случае, когда©!—ср2 =
= у, но амплитуды не равны, траектория составного колебания будет
также эллипсом. Всё это легко показать математически, выразив сме-
щения х и у по осям координат в функции времени t и затем
исключив t из этих двух уравнений.
Таким образом, при сложении двух взаимно перпендикулярных
колебаний равных периодов составное движение, смотря по разности
фаз, будет происходить по прямой, по окружности или по эллипсу.
Ряд подобных колебаний, соответствующих восьми различным зна-
чениям разности фаз <р, изображён на рис. 195, для случая неравных
амплитуд двух складывающихся взаимно перпендикулярных колеба-
ний. Если периоды складываемых колебаний близки друг к другу,
как это имеет место в случае биений, то одно колебание понемногу
отстаёт от другого, разность их фаз непрерывно изменяется, прини-
мая последовательно все рассмотренные нами значения, и траектория
составного колебания постепенно переходит через все возможные
для неё формы, изображённые на рис. 195.
Легко видеть, что прямолинейное колебательное движение можно
в свою очередь рассматривать как сумму двух круговых движений,
направленных в обратные стороны. Действительно, согласно сказан-
ному выше, круговые движения по часовой стрелке и против неё
§ 15]
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
289
Рис. 196 а.
J2
Рис. 196 b.
представятся следующими математическими выражениями для смеще-
ний по осям хну:
1. хх = a sin yt = a sin [vt — у) ;
2. х* — a sin со/, у* = a sin {&t — = — a sin {&t — у .
В суммарном движении мы получим
х = х, 4“ х* = 2а sin W, у —у14-^ = О,
т. е. прямолинейное колебательное движение 1).
На рис. 196 приведены формы кривых, получающихся при сло-
жении колебаний с от-
ношением частот 2:1
(рис. 196а), а такжеЗ:2
(рис.196t), при различ-
ных разностях фаз.
Кривые, получающие-
ся при сложении взаимно
перпендикулярных коле-
баний, носят название фи-
гур Лиссажу, по имени
французского учёного,
впервые их исследовав-
шего.
Отметим ещё суще-
ственный вопрос об энер-
гии суммарного колеба-
ния при сложении ко-
лебаний. Мы видели,
что при сложении колебаний, направленных по одной линии, энергия
суммарного колебания зависит от разности фаз. При сложении взаимно
перпендикулярных колебаний энергия каждого из колебаний совер-
шенно независима от другого, и потому суммарное движение имеет
энергию, равную сумме энергий составляющих колебаний.
§ 15. Нелинейные колебательные системы. Комбинационные тоны.
Выше мы рассматривали простую колебательную систему, в которой упругая
сила прямо пропорциональна смещению, т. е. для которой имеет место закон
Гука. Мы предполагали также (§ 5), что трение пропорционально скорости
и что коэффициент, характеризующий инертные свойства системы (для меха-
нических систем — масса), постоянен и не зависит от характера движе-
ния системы. При этих предположениях уравнение колебаний системы
(11.42) оказывается особенно простым: величины ускорения, скорости и сме-
*) Такой способ разложения прямолинейного колебания на два круговых
рассматривается в электродинамике и оптике. Колебательное движение
электрона можно, например, рассматривать как сумму двух круговых обрат-
но направленных движений электрона, т. е. как сумму двух круговых токов.
19 Падалей си, т. I
290
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
щения связаны друг с другом линейным соотношением. Рассмотренная иде-
ализированная картина в первом приближении является хорошим описанием
действительных колебательных движений, особенно тогда, когда амплитуды
колебаний малы. Однако при больших амплитудах оказывается, что соотно-
шение, определяющее колебательный процесс, значительно сложнее, чем это
предположено в этом простейшем случае. Так, например, упругая сила при
больших амплитудах оказывается уже не пропорциональной смещению и <
может быть выражена только более сложным законом. В случае маятника
s
квазиупругая сила зависит от величины у, где s — смещение, а I — длина
маятника. Упругая сила выражается здесь, как нетрудно видеть, синусоидаль-
ной функцией от s. В ряде случаев зависимость упругой силы от смещения
можно достаточно точно выразить многочленом третьей степени
F=z — ks + bs* + cs3, (11.79)
где k, b и с — постоянные, одна или две из которых в частных случаях
могут быть равны нулю. Упомянутый только что синусоидальный закон упру-
гой силы можно выразить (разлагая синус в ряд) с довольно большой точ-
ностью многочленом типа (11.79), в котором # = 0. Чем больше амплитудам,
- тем резче оказывается отклонение от линейного закона.
Сила трения в газах и жидкостях при больших скоростях оказывается
пропорциональной уже не первой степени, а квадрату скорости. При трении
твёрдых тел в первом приближении можно считать, что сила сухого трения
почти не зависит от скорости и лишь меняет свой знак при перемене знака м.
Таким образом, сила трения далеко не всегда прямо пропорциональна ско-
рости. „
Что касается массы [т в уравнении (11. 42)], то в ряде электрических
колебательных систем, где аналогичный коэффициент называется индуктив-
ностью или самоиндукцией, он зависит от амплитуды скорости системы
(от силы тока). Таким образом, мы приходим к ботее широкому классу ко-
лебательных систем, в которых величины ускорения, скорости и смещения
(или, говоря в более общем смысле, — смещение и её первая и вторая про-
изводные по времени) связаны нелинейным соотношением. Это так называе-
мые нелинейные колебательные системы.
Строго говоря, все колебательные системы при достаточно больших
амплитудах перестают быть линейными. Однако во многих случаях в зави-
симости от условий задачи и степени точности, с какой требуется определить
характер процесса в колебательной системе, мы можем с достаточным при-
ближением рассматривать систему как линейную. Так, например, при малых
амплитудах маятник — система линейная, при больших — система нелинейная.
Но есть, конечно, системы, которые остаются нелинейными вплоть до самых
малых амплитуд. Выводы предыдущих параграфов пригодны для нелинейных
систем лишь как первое^приближение при малых амплитудах.
При действии синусоидальной периодической силы с угловой частотой ш
на систему, упругость которой выражается нелинейным законом [например,
типа (11.79)], в них возбуждается не только колебание с частотой <о, но могут
возникнуть и колебания с гармоническими частотами п<о. Существуют си-
стемы, в которых коэффициенты т или k зависят от смещения s. Например,
натяжение струны, определяющее её упругость при колебаниях, не является,
как это считают в первом приближении, постоянной величиной — оно зави-
сит в небольшой степени от амплитуды колебаний и, следовательно, ме-
няется по периодическому закону. В таких системах при действии вынуждаю-
щей силы с частотой ш могут возникнуть колебания с частотами -%, у, ... ,
<t)
—— так называемые субгармоники или унтертоны.
ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
291
§ 16]
При действии на линейную колебательную систему [уравнение (11.42)]
двух синусоидальных сил с угловыми частотами cdj и <d2 в ней возникает
сложное колебание, состоящее из двух наложенных друг на друга колебаний
с частотами wj и <о2, причём каждое из этих колебаний происходит незави-
симо от другого, так, как будто бы другого и не существовало (суперпози-
ция колебаний, см. § 6). В результате получается простое сложение этих двух
колебаний по законам, разобранным нами в §§ 11 и 13. В нелинейных систе-
мах простая суперпозиция уже не имеет места, и процесс гораздо более
сложен. Анализ показывает, что при этом возникают вынужденные колебания
не только с угловыми частотами и <о2, но и с частотами
— <d2, <dx <d2, 2<*>1э 2<o2, 2(01 — <d2, 2<d2 — (ob Зшъ 3<o2,
и, вообще, яо)! ± p<o2 где пир — целые числа.
Такие добавочные колебания в нелинейных системах называются комби-
национными колебаниями (или частотами), а в акустике — комбинационными
тонами. Благодаря нелинейной упругости барабанной перепонки уха и дру-
гих частей слухового аппарата, при действии двух простых тонов большой
амплитуды ухо слышит так называемый разностный комбинационный тон
с частотой о)! — <d2, а также, более слабо, и другие комбинационные тона.
§ 16. Волновое движение. Представим себе цепочку, состоящую
из равноотстоящих друг от друга материальных точек, которые свя-
заны друг с другом пружинками и могут совершать движения в попереч-
ном направлении (рис. 197).
Благодаря упругой связи,
каждая точка, двигаясь, ув ле-
кает соседнюю точку и при- Q
водит её в движение. Если рис
мы приведём какую-либо
точку а в колебательное
прямолинейное движение в направлении, перпендикулярном к линии це-
почки, то все точки придут последовательно в такие же колебания. Рас-
пространение колебательного движения отточки к точке вдоль цепочки,
состоящей из точек, имеющих некоторую инертную массу, происхо-
дит с конечной скоростью, и каждая последующая точка в своих
колебаниях будет несколько запаздывать по фазе относительно пре-
дыдущей. Рассмотрим подробнее, как происходит распространение
колебательных движений вдоль такой цепочки.
Когда точка а займёт наиболее удалённое положение относительно
положения равновесия (рис. 198,1), точка b ещё не дойдёт до него;
ещё больше отстанет следующая точка, а начиная от некоторой точки g,
все последующие будут ещё находиться в покое, так как до них
колебательное состояние движения ещё не успеет передаться по
цепочке. Достигнув наиболее удалённого положения, точка а пойдёт
назад, а точка b буле? ещё удаляться; затем и она достигает наи-
более удалённого положения и начинает двигаться назад, всё время
отставая по фазе от а (рис. 198, II); точно так же отставая по фазе,
тем более, чем больше расстояние, будут двигаться и остальные
19*
292
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
точки, постепенно втягивая в движение всё большее число дальше
отстоящих точек. На рис. 198 изображены различные моменты рас-
пространения колебательного движения вдоль цепочки. Все точки,
втянутые в движение, совершают синусоидальные колебания, причём
движение каждой из них одинаково отстаёт по фазе от движения
предыдущей точки.
На рис. 198, III представлено расположение колеблющихся точек
в тот момент, когда точка а совершила полуколебание и достигла
положения своего равновесия, двигаясь вниз, после чего она уже будет
двигаться в противоположную сторону от положения равновесия. Рис.
198, IV представляет волну в тот момент, когда точка а достигла крайнего
нижнего положения и начинает итти обратно; через некоторое время,
равное периоду колебания Г, точка опять дойдёт до положения равно-
весия (рис. 198, V).
abed Все частицы будут со-
•H111W .....1..............вершать колебания,
f^flTTTTTTУ******......... * тождественные с точ-
I 11111111 ПТ............................• койа, но не одновре-
IH IT П1П11П1ТТг..............
..rtiinnnntr...........
..иппнпш,,.......
рЦЦЩЦШ1',._____________4
Рис. 198.
менно, а постепенно за-
паздывая по фазе. Ко-
гда точка а возвра-
тится в положение
равновесия, ряд точек
уже будет выведен из
положения покоя и рас-
положится по волнооб-
разной кривой, имею-
щей форму синусоиды.
Описанное нами движение называется волновым. Если точка а со-
вершит некоторое число полных колебаний, то состояние волнового
движения распространится на ещё большее расстояние, и, по аналогии
* с рис. 198, мы можем изобразить его более длинным отрезком синусоиды,
оканчивающимся в некоторой крайней точке, где движение ещё только
начинается. При движении такого рода мы обязательно будем встре-
чать через некоторое расстояние друг от друга точки, движущиеся
в данный момент совершенно тождественно (например, переходящие
через положение равновесия или достигающие крайнего положения
вверх или вниз). Фазы движения этих точек, находящихся в тожде-
ственных состояниях движения, отличаются на целое число полных
циклов: 2 it, 3 тг,..., п к. Расстояние между двумя ближайшими
частицами, совершающими в данный момент тождественные движения
(а, следовательно, и одновременно проходящими через положение
своего равновесия в одном и том же направлении) называется дли-
ной волны (А). Это расстояние X проходится волной, очевидно,
за то время, пока начальная колеблющаяся точка совершает одно
полное колебание (см. рис. 198).
ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
293
§ 16]
Так как для одного полного колебания требуется время Т (период),
то скорость распространения колебательного движения или ско-
рость волны будет равна
с = у или Х = сГ. (11.80)
Это соотношение является основным в теории волн.
Если период Т заменить частотой колебания /, то указанное со-
отношение можно написать ещё в следующей форме:
c=fk или = (11.81)
Определим зависимость между смещениями различных точек, при-
нимающих участие в волновом движении. Пусть первая точка колеб-
лется по закону $ = sosin<»/. Точка, расположенная от первой на
расстоянии х, будет двигаться по такому же закону, но её колебание
начнётся позднее. Поэтому смещение второй точки будет выражаться
формулой $ = sin <о (t — Здесь tt — время распространения вол-
нового движения от первой точки (х = 0) до точки на расстоянии х
от неё. Очевидно, ~. и следовательно,
1 с 9
. / , <юх \
s = sin ---------.
u \ с /
Величина^ и есть та разность фаз, на которую точка на расстоя-
нии х отстаёт по фазе от начальной точки. Так как скорость рас-
пространения волны с постоянна, то отставание по фазе растёт прямо
пропорционально расстоянию х. Разность — можно написать ещё
„ , «их 2кх 2тс . ~ 2и
и в другой форме, — = —х = ях. Отношение обозначенное
С 1С К Л
буквой А, называется волновым числом !). Оно показывает, сколько
длин волн укладывается в отрезке длиной 2к. Очевидно,
= Г = <1L82)
Вводя волновое число, получим уравнение волны в следующей
форме:
s = s0 sin — kx). (11.83)
*) В некоторых разделах оптики, особенно в спектроскопии, волновым
числом называют величину—, т. е. число волн, укладывающихся на длине
1 см.
294
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
Часто уравнение волны пишется также в форме
s = s0 sin 2к ( — у У (11.84)
Так как в начальной точке х = 0, начальная фаза колебательного
движения может быть не равна 0, как это имеет место в (11.83), то
для большей общности к аргументу всегда можно прибавить неко-
торый фазовый угол 9, т. е. в формуле (11.83) взять sin (W —- kx 4- ?).
Если, в, частности, 9=—, то волна выразится через косинусои-
дальную функцию от (о>/ — kx).
В аргументе синуса в формуле (11.83) стоят две переменные вели-
чины—время t и расстояние х—входящие в совершенно определённой
комбинации W — kx. Пусть время t постоянно, а координата х из-
меняется. Рассматривая такой случай, мы как бы делаем моментальный
фотоснимок с волны и рассматриваем, в каком положении находятся все
точки волны в данный момент времени. Уравнение (11.83) показывает,
что они расположатся в пространстве по синусоиде. Рис. 198 давал
нам пять таких мгновенных фотографий. Пусть теперь в (11.83) по-
стоянно х и изменяется t. Это значит, что мы сосредоточили вни-
мание на одной определённой точке и наблюдаем её движение. Урав-
нение (11.83) даёт в этом случае синусоидальный закон колебания
точки (с абсциссой х) в функции времени t.
Наконец, если в уравнении волны считать и /, и х переменными,
то формула (11.83) выражает собой сразу весь волновой процесс,
заключающийся, с одной стороны, в том, что каждая точка совершает
колебание около своего положения равновесия, а с другой — в том,
что это колебательное движение распространяется от точки к точке.
Волновой аргумент W — kx в уравнении (11.83) называется фазой волны.
Некоторая фаза волны характеризует определённое состояние колеба-
тельного движения — например, прохождение точкой максимума, ми-
нимума, нулевого положения или другие промежуточные состояния.
Фаза волны является функцией двух переменных: расстояния и вре-
мени, что соответствует существу волнового процесса. Действительно,
одно и то же колебательное состояние (фаза) наблюдается в различ-
ных точках пространства в разное время. Если соблюсти условие
X — kxr = <о/2 — kx^
то это значит, что данная фаза волны, т. е. данное волновое со-
стояние, наблюдавшееся в точке в момент времени будет на-
блюдаться в точке х2 в другое время f2. Из этого рассуждения сле-
дует, что скорость перемещения данного волнового состояния, т. е. ско-
рость с распространения некоторой фазы волны, будет равна
TZZ7i = T==T = c- (11'85)
*2 -К 1
ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
295
§ 16]
Поэтому скорость с, которую мы уже ввели ранее [формула (11.80)],
называют фазовой скоростью волны; она характеризует скорость
распространения данной фазы волны в процессе совершенно устано-
вившегося волнового движения. Если взять волновой аргумент в форме
(&t-[-kx, то путём аналогичных рассуждений мы придём к выводу,
что скорость распространения данной фазы волны будет равна с =
— — —7^= — с, т. е. волна будет распространяться с той же
— ti
скоростью в направлении отрицательной оси х. Следовательно, ура-
внение волны обратного направления будет иметь вцд:
s' = s0 sin (со/ kx) — Sq sin (11.85')
До сих пор речь шла о распространении волн, в которых смещение
отдельных колеблющихся частиц происходит перпендикулярно к на-
правлению распространения волны (рис. 198). Этого типа волны на-
зывают поперечными волнами. Могут возникнуть и другого типа
волны, называемые продольными волнами. В этих волнах смещения
колеблющихся частиц происходят вдоль той же прямой, по которой
распространяется волна. Цепочка (рис. 197) способна совершать также
и такие колебания, т. е. по ней могут распространяться и по-
перечные, и продольные волны. Однако скорости распространения
в этих двух случаях будут различны, так как будут совершенно
различны упругие силы, возвращающие точки в положение рав-
новесия.
Как и в случае поперечных волн, для продольных волн аналогич-
ным образом вводится понятие длины волны и скорости распростра-
нения волны. Уравнение волны (11.83) справедливо и для волн про-
дольных, с той лишь разницей, что под 5 будет пониматься смеще-
ние точек вдоль оси х, т. е. по линии распространения волны. Рас-
положение частиц в продольной волне в 25 последовательных мо-
ментов времени от 1 до 25 показано в 25 строках рис. 199. Положение
колеблющихся точек соответствует пересечению синусоид 1, 2,...,
18 с горизонтальными линиями I, II, III, ..., XXV. Из рисунка видно,
что в тех участках волны, где точки движутся вперёд, они распо-
лагаются гуще, в тех же, где они движутся назад — они распола-
гаются реже. Если говорить о волне в сплошной среде, то это
значит, что в участках волны с положительной скоростью происхо-
дит сгущение среды (увеличение плотности), в участках же с отри-
цательной скоростью — разрежение среды (уменьшение плотности).
Штриховкой указано положение зон сгущения в волне, причём ясно
видно их постепенное продвижение вперёд.
Необходимо особо подчеркнуть, что во всех случаях распро-
странения волн мы имеем дело всегда лиш\ с распространением
некоторого состояния движения, но не с потоком движущихся
частиц среды. Сама система (или вещество), через которую проходят
296
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
волны, остаётся в целом неподвижной, отдельные же её части со-
вершают лишь колебательное, но не поступательное движение.
Графически продольную волну можно изобразить такой, же си-
нусоидой, как на рис. 198, бегущей вдоль оси х с определённой
скоростью. Однако в этом случае синусоиду уже нельзя рассма-
тривать как форму волны (которая может быть в случае поперечных
XIX
XX
XXI
XXII
XXIII
XXIV
XXV
Mill
'll
!!!!!
XIX
XX
XXI
XXII
XXIII
XXIV
XXV
12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Рис. 199.
волн большой амплитуды непосредственно видима глазом), но лишь
как графическое изображение математического закона, выражающего
движение волны. Ординаты синусоиды следует понимать лишь условно,
как смещение точек вдоль оси х от положения равновесия. Область
среды, в которой происходят волновые движения, называется волно-
вым полем.
§ 17. Волны плоские, круговые и сферические. Интенсивность
волны. В уравнении волн у нас фигурировала только координата х.
Этому соответствовали случаи распространения поперечной или про-
дольной волны в одном определённом направлении (ось лг). Если
волновой процесс происходит совершенно одинаково в каждой точке
плоскости, перпендикулярной к направлению распространения, то,
§ 17] ВОЛНЫ ПЛОСКИЕ, КРУГОВЫЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ 297
о
очевидно, волна вдоль любой линии, параллельной направлению рас-
пространения (принятой за ось х), может быть выражена уравнением
(11.83) и весь процесс также может описываться уравнением (11.83);
такой процесс называется плоской волной.
Помимо плоских волн в сплошной среде могут распространяться
и более сложные волны. Условимся называть геометрическое место
точек, в которых фаза волнового движения одна и та же, волновой
поверхностью. В двухмерной системе, например, на поверхности
жидкости, возмущение, действующее в одной точке, вызывает круговые
волны, расходящиеся из этой точки. Если колебательное возмущение
создаётся в какой-либо точке трёхмерной сплошной среды, то из
этой точки волны расходятся одинаково во все стороны и образуют
сферическую или шаровую волну. Так, например, при взрыве не-
большого порохового заряда возникает шаровая волна, расходящаяся
из точки взрыва. Взрывные волны не могут быть, конечно, пред-
ставлены синусоидальным законом вида (11.83), а будут предста-
вляться своеобразным законом непериодического вида. Если же в не-
которой точке мы создадим пульсации маленького шарика, происхо-
дящие по синусоидальному закону, то из этой точки будет исходить
синусоидальная шаровая волна. В плоской волне волновые поверх-
ности будут, очевидно, параллельными между собой плоскостями,
в сферической же — концентрическими сферами.
При распространении волны в колебательное состояние приходят
всё новые и новые слои среды, и, следовательно, волновое движение
приводит к переносу энергии из одной части пространства в другие.
Если мы выделим в среде небольшой объём Дт> с массой Д/n и учтём
колебательную энергию по формуле (11.28), то мы можем вычислить
также полное количество колебательной энер-
гии в единице объёма, охваченного волновым j zr-----------j—
движением —гт* ' ~!J
Y с J
£— 2 —- — ре**-— (П 86)
Av 2 2 Цьзсу Рис. 200.
где р — плотность среды, v0 — амплитуда скорости объёма Av,
а — амплитуда его смещения. Величину Е называют плотностью
энергии волны.
Представим себе, что в бесконечной среде вырезан (мысленно)
цилиндрический объём (АВ на рис. 200), длина которого численно
равна скорости волны с, ось которого совпадает с направлением
распространения некоторой плоской волны, а сечение равно 1 ои9.
В тот момент, когда волновое движение распространится на расстояние
1 см за точкой А, в объём цилиндра войдёт энергия, равная Е. Через
единицу времени фронт волны пройдёт расстояние с и дойдёт до
точки В. В этот момент в объёме цилиндра будет, очевидно, со-
держаться волновая энергия Ес. Энергия /, протекшая за единицу
298 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ [гл. XI
времени через единицу площади фронта волны, нормально к его по-
верхности, называется интенсивностью волны. Очевидно,
1—Ес. (11.87)
Иначе говоря, интенсивность волны есть поток волновой энергии
за единицу времени через единицу площади фронта волны в нормаль-
ном к нему направлении. Поток энергии и интенсивность волны
являются векторами, направление которых совпадает с направле-
нием нормали к фронту волны. Учение о движении энергии в телах
впервые развито русским учёным Н. А. Умовым, и вектор потока
энергии носит название вектора Умова.
Понятия потока энергии волны и интенсивности волны приме-
нимы к волнам любого вида. В случае шаровой волны волновая
энергия U7, создаваемая за 1 сек. источником колебаний (мощность
источника), распределится через некоторый промежуток времени
на поверхность сферы радиуса г с площадью 4гсг2. Поток энергии
через любую сферу, описанную из центра возмущения, будет равен
мощности (W), испускаемой источником. Распространение волн про-
исходит в направлении радиусов или лучей, исходящих из точки
возмущения, поэтому говорят о радиации или излучении волновой
энергии от некоторого источника.
Интенсивность сферической волны будет, согласно сказанному
выше, равна <
/=-4^, (11-87')
т. е. интенсивность сферической волны убывает обратно пропорцио-
нально квадрату расстояния от источника; точно таким же обра-
зом будет убывать и плотность энергии.
В плоской волне (в среде без трения) амплитуда волны от рас-
стояния не зависит, но в сферической волне амплитуда будет убывать
по мере удаления от источника. Так как амплитуда колебаний прямо
пропорциональна квадратному корню плотности энергии (см. фор-
мулу (11.86)), то ясно, что в сферической волне амплитуда должна
убывать обратно пропорционально первой степени г, и уравнение
синусоидальной сферической волны можно написать в форме
s=ysin (со/— Аг), (11.88)
где А численно равно амплитуде волны на расстоянии 1 см от
источника.
§ 18. Волны в сплошных средах и телах различной формы.
Рассмотренные нами волны в цепочке (рис. 197) очень хорошо пред-
ставляют сущность волновых процессов во всевозможных телах (на-
пример, стержнях, струнах или мембранах) или в сплошных средах
§ 18] ВОЛНЫ В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ 299
(твёрдых, жидких или газообразных). В зависимости от характера
возбуждения и формы тела эти волны могут быть различны: они могут
быть плоскими, сферическими или более сложного вида, а также
продольными или поперечными. В жидких и газообразных телах, не
имеющих упругости формы (модуль сдвига равен нулю), поперечные
волны невозможны; в них возможны только продольные волны,
т. е. волны, передающиеся в виде сжатий и разрежений среды. Если,
например, в газе или жидкости колеблется некоторая большая по
размерам плоскость, то она возбудит перед собой плоские продоль-
ные волны. Пульсирующий по синусоидальному закону небольшой
шар возбудит, как уже было выше указано,
сферические продольные волны.
В твёрдых телах возможны как продоль-
ные, так и поперечные волны; если метал-
лический стержень (рис. 201) ударить по
концу молотком, то в нём возникнут про-
дольные волны. Но если тот же стержень
ударить сбоку, то в нём возникнут уже
не продольные, а поперечные волны типа, Рис. 201.
указанного на рис. 198. Роль пружин
в данном случае будет играть упругая сила, которая противодей-
ствует сдвигу одних частей стержня по отношению к другим, т. е. из-
менению его формы. Отсюда мы видим, что при поперечных волнах
будет играть роль упругость формы, и, следовательно, ход волно-
вого процесса должен быть тесно связан с величиной модуля сдвига.
В струне упругость формы обусловливается натяжением струны,
и волновой процесс в этом случае зависит от величины натяжения.
В твёрдых телах типа стержней (или проволок) могут распростра-
няться также особого типа волны — крутильные, возникающие при
деформации закручивания под действием сил, приложенных к концу
стержня. Распространение волн в данном случае будет, очевидно,
зависеть от величины модуля кручения и от момента инерции тела
(стержня) при вращении вокруг* оси.
Поляризация волн. При поперечных волнах колебательное состоя-
ние различно в различных направлениях, перпендикулярных к на-
правлению распространения волны. Особенно резко эта особен-
ность выявляется в случае плоских поперечных волн, когда колеба-
ния, как в рассмотренном нами выше случае, происходят по прямой
линии (такое волнообразное движение можно, например, осуществить,
сообщая поперечное гармоническое движение концу натянутой струны
или нити). В этом случае в плоскости, перпендикулярной к напра-
влению волны, проекции амплитуды колебаний в различных напра-
влениях различны. Максимум имеет место в направлении движения
частиц, в перпендикулярном же направлении проекция равна нулю.
Таким образом, направление движения частиц и направление волны
определяют собой две характерные плоскости: плоскость, проходящую
300
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[гл. XI
через направление колебаний и направление распространения волны —
так называемую плоскость колебаний и перпендикулярную к ней
плоскость, также проходящую через направление распространения
волны, получившую название плоскости поляризации. Волна, в которой
колебания происходят по прямой линии, носит название прямоли-
нейно-поляризованной волны.
Если концу нити сообщить одновременно два гармонических ко-
лебательных движения, взаимно перпендикулярных друг к другу, то,
согласно § 14, конец нити будет совершать, вообще говоря, *эллип-
тическое движение. Таково же будет и движение всех частиц нити,
вовлечённых в волновое движение. Волну подобного рода называют
эллиптически поляризованной волной. В частном случае, при равен-
стве амплитуд двух взаимно перпендикулярных колебаний и при раз-
ности их фаз, равной гс/2, получится волна, поляризованная по кругу.
Упомянем здесь, что электромагнитные волны (свет, рентгеновские
лучи, радиоволны) являются волнами поперечными, и потому им при-
суще свойство поляризации.
Продольные волны связаны с колебаниями частиц только в на-
правлении распространения волны, и потому они поляризованными
быть не могут.
§ 19. Скорость распространения упругих волн. Как мы видели
выше, тип волн, возникающих в результате колебательных движений,
происходящих в некоторой точке среды, определяется как харак-
тером деформации в точках, являющихся источником движения, так и
Рис. 202.
тем, какого рода упругие
свойства среды (или си-
стемы) играют главную
роль при возникающих
в волновом движении де-
формациях. Поэтому кон-
станты, характеризующие
упругие свойства среды
(модуль упругости, коэф-
фициент сжимаемости,
моду ль сдвига и др.), есте-
ственно, должны определять характер волнового движения и, в част-
ности, скорость его распространения. Скорость распространения волн
не может не зависеть также от констант, характеризующих инертные
свойства данной системы или среды, которые показывают, как быстро
изменяется движение частиц тела или частей системы под действием
приложенных сил. Скорость распространения должна зависеть, таким
образом, от массы частиц систем или, для случая сплошных сред,
от плотности среды.
Скорость распространения поперечных волн по струне (нити).
Пусть SS (рис. 202) — бесконечно длинная струна, натяжение которой
равно т и масса на единицу длины рР Предположим, что вдоль этой
§ 191 СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНВНИЯ УПРУГИХ волн 301
струны слева направо распространяется волна со скоростью с. Нам
будет более удобно для вывода считать, что волна неподвижна по
отношению к наблюдателю, для чего предположим, что струна движется
со скоростью с справа налево и без трения протягивается через
трубку, имеющую форму изгиба струны. Рассмотрим малый элемент
струны Дх, искривлённый (в очень малой степени) вследствие про-
хождения волны; пусть центр кривизны этой части струны будет О
и её радиус кривизны г. Согласно нашему предположению, элемент
струны Дх будет двигаться по дуге окружности радиуса г со ско-
ростью с справа налево и при этом трубка будет испытывать дей-
ствие центробежной силы F=^^-. Элемент струны Дх испытывает
силу, стремящуюся вернуть его в положение равновесия; эта сила
слагается из двух натяжений (величины т), приложенных к концам
элемента Дх в точках А и В и направленных под некоторым малым
углом 9 друг к другу. Перенеся точку приложения натяжений в точку
пересечения М векторов т и сложив эти два натяжения, мы получим
силу х , которую можем считать приложенной к центру элемента Дх.
Эта сила характеризует упругость формы струны и является мерой
упругости данной системы; если струна не деформирована, то, оче-
видно, т = 0. Угол между касательными в точках А и В равен ср и, так
как этот угол очень мал, то можно считать, что вектор т' будет
равен (приближённо) дуге круга с радиусом т, и тогда мы имеем
т =тф. Тот же угол 9 будет заключён и между радиусом О А и ОВ,
проведёнными из центра кривизны О к концам элемента Дх; следова-
тельно, Дх = гср. Упругая сила т' должна, по третьему закону Ньютона,
равняться центробежной силе F:
г
Представляя значение т' и Дх, выраженные через 9, получим
T9— , откуда найдём
c = (11.89)
Если ввести натяжение на единицу площади сечения струны т1= —,
где q— сечение струны, то формула (11.89) приобретёт вид
с = У^, (11-90)
где р = 11 — плотность материала струны.
Скорость распространения упругих продольных волн в стержне.
Пусть на поперечное сечение упругого стержня q начала дей-
302
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[гл. XI
ствовать деформирующая сила F, равномерно распределённая на
всё сечение q. За малое время Д/ часть стержня сместится на вели-
чину 5, и эта деформация передастся вдоль стержня на рас-
стояние Дх. Деформирующая сила по закону Гука должна быть
равна F—E^) где Е— модуль Юнга. Импульс силы за время Д/
будет равен
F Д t Esq М Esq
Ьх с 9
Ьх
так как есть, очевидно, скорость с распространения упругой
волны. В движение приведена масса стержня длиной Дх, с попереч-
ным сечением q и плотностью р. Значит, количество движения этой
части стержня будет
mv = Дх qf — cqps,
где v=-^- скорость движения частиц. Приравнивая импульс силы
и количество движения, найдём из полученного соотношения следую-
щее выражение для скорости продольных волн в стержне:
с = ]/Гу. (11.91)
Формулы (11.90) и (11.91) совершенно тождественны по виду.
Разница лишь в том, что в каждом данном случае берётся соответ-
ствующий модуль упругости (?! или Е). Формула найденного нами
вида (11.90) или (11.91) пригодна для определения скорости волн
любого типа и в любых телах. Под корнем в числителе следует всегда
понимать модуль упругости, соответствующий той деформации, кото-
рая происходит в теле при прохождении волны, а в знаменателе
следует поставить плотность среды р или, вообще, соответствующую
типу деформации инерционную константу. Например, для крутиль-
ных колебаний круглого стержня следует под Е разуметь модуль
кручения, а под р — момент инерции сечения стержня. Если сделать
расчёт модуля кручения и момента инерции сечения стержня и под-
ставить в (11.90), то оказывается, что скорость выражается фор-
мулой вида (11.90), где вместо Е стоит модуль сдвига G, в зна-
менателе же остаётся р, и мы получим для скорости распростра-
нения крутильных волн в круглом стержне выражение
с=]/у. (11.92)
Для системы, подобной цепочке, состоящей из материальных
точек и пружин (рис. 197) мы можем также пользоваться для
вычисления скорости продольных волн формулой вида (11.90), где
19] СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ волн 303
в числителе будет стоять упругость пружин, а в знаменателе масса
точек. В случае модели рис. 197 мы можем изменять скорость рас-
пространения волн в цепочке, беря различные массы и пружины.
В сплошных средах скорость распространения является некото-
рой константой, характерной для данной среды, изменить её мы
не можем.
Скорость продольных волн в газах и в жидкостях (скорость
звука). Формула (11.91) применима для вычисления скорости про-
дольных волн в газах и жидкостях. Действительно, мы можем
мысленно вырезать в направлении распространения плоских волн
цилиндрический канал (с произвольным сечением q) и приложить
к нему все рассуждения, применённые для вывода формулы (11.91).
При продольных волнах в газе и жидкости в среде возникают
сжатия и разрежения отдельных слоёв и связь между силой, дей-
ствующей на сечение q и деформацией $ элемента нашего цилин-
дрического канала, имеющего длину Дх, можно написать в сле-
дующем виде:
F=qLP=E^~,
4 Дх ’
или
ДР = Е-^- = Е-^, (11.93)
qkx &v ' '
где под ДР разумеется избыточное (положительное или отрицатель-
ное) давление, возникшее при прохождении волны, а под 8г/ —
весьма малое изменение объёма элемента Дг/ в результате смещения
частиц на величину 5.
Из формулы (11.93) ясно, что в данном случае Е есть не что
иное, как объёмный модуль упругости или обратная величина коэф-
фициента сжатия.
Когда речь идёт о волнах большой частоты, в частности о вол-
нах звуковых, то можно показать, что изменения температуры,
вызванные нагреваниями и охлаждениями, происходящими от сжатий
и разрежений в среде, не будут успевать выравниваться через тепло-
проводность за период колебания. Таким образом, в формулу (11.93)
должен входить модуль объёмной упругости для адиабатного процесса.
Найти эту величину для газов можно, исходя из уравнения состоя-
ния в адиабатных условиях, так называемого уравнения Пуассона,
(см. гл. XIII)
Plfl = const, (11.94)
где Р—постоянное давление внутри газа (например, атмосферное),
v — удельный объём, а у — отношение удельной теплоёмкости при
постоянном давлении к удельной теплоёмкости при постоянном объёме
304 КОЛЕБАНИЯ и волны [гл. у
/
(y = cp/cv). При малых изменениях давления ДР и объёма Дг> в зву-
ковой волне мы можем написать
(Р+ ДР) (у + Д*0т =
или
1 J_AP —Л 1ДР\~Т—1 -Ар I Т(т+О/Ду\2
Р v) 1 7 v + 2 •*’ ,
(разложение по биному Ньютона). Отбрасывая малые члены йыше
первого порядка и отбрасывая единицы в правой и левой частях,
получим I
др^-уР^. (11.95)
Величина изменений давления при прохождении звуковой волны
(ДР) носит название звукового или избыточного давления, В полу-
ченном выражении (11.95) величина ^Р, очевидно, представляет собой
модуль объёмной упругости для адиабатных колебаний, в газах.
Обратим внимание, что формулы (11.93) и (11.95) выражают закон
Гука; величины б^/Д-ц и &v\v в них имеют один и тот же смысл
относительной объёмной деформации. Разница в знаке в формулах
(11.93) и (11.95) обусловлена тем, что там ДР означает внешнее да-
вление, а в формуле (11.95) ДР есть внутреннее (избыточное) да-
вление в газе. Подставляя 7Р вместо Е в формулу (11.91), получим
(11.96)
Эта формула для скорости звука выведена впервые Лапласом.
Для воздуха и других двуатомных газов у = 1,41. Подставляя
в случае воздуха значения для р при 0° р0= 1,293 103 г/сл^3, и
для Р при 760 мм ртутного столба Ро= 1,013 106 дн/см\ полу-
чим для скорости звука с =332 лс/сел;=3,32 104 см)сек. Это значе-
ние до третьего знака совпадает с опытом. Если бы температурные
неоднородности в волне успевали выравниваться, то мы должны
были бы воспользоваться вместо (11.94) изотермическим уравне-
нием состояния газа, т. е. законом Бойля-Мариотта; этот закон
получится из уравнения (11.94), если положить 7= 1. Вычисление
скорости звука в воздухе даёт при этих условиях с = 280 м!сек —
величину, явно не совпадающую с опытом. Произведённый расчёт
убеждает, что в звуковых волнах мы имеем дело с процессом адиа-
батным.
Формулы (11.90),(11.91) и (11.96) выведены в предположении справедливости
линейного закона упругости в среде —закона Гука. При малых амплитудах
этот закон в первом приближении всегда выполняется, и потому указан-
ные выше формулы всегда справедливы для волн малой амплитуды в любых
системах. Если амплитуда волны не мала, то закон Гука заменяется более
сложной связью между силой и деформацией, которая выражается, вообще
§ 20] СЛОЖЕНИЕ И ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ волн 305
говоря, некоторым нелинейным соотношением. В случае распространения
волн в газе мы видели, что соотношение линейного вида (11.95) между
давлением и деформацией имеет место только при малых деформациях.
Поэтому для звуковых волн большой амплитуды, например, при сильных
взрывах вблизи от источника, формула (11.96) для скорости звука неприло-
жима; скорость в этом случае получается значительно (в несколько раз)
больше, чем это даёт формула. На расстояниях более 100 м от источника
взрыва скорость становится уже независимой от амплитуды и с большой
точностью выражается формулой (11.96). В колебательных системах (§ 15),
в сплошных средах и в волновых системах при больших амплитудах про-
цессы распространения волн описываются нелинейными уравнениями, тогда
как При малых амплитудах уравнения упрощаются и становятся линейными.
Для краткости мы будем называть системы и среды первого типа нелиней-
ными, второго же — линейными,
§ 20. Сложение и интерференция волн. Для волнообразных
движений в линейных средах или системах имеет место суперпози-
ция (см. § 6 этой главы), или наложение волн. Если в таких средах
или системах одновременно распространяются несколько волн, то
каждая волна распространяется независимо, так, как если бы других
волн не было. Простую суперпозицию волн легко наблюдать в ряде
случаев на опыте. Так, несколько различных систем волн на поверх-
ности воды или несколько звуков распространяются совершенно
независимо и нисколько не мешают друг другу.
Если в какой-либо линейной сплошной среде или системе рас-
пространяются несколько волн, то мгновенные смещения $8,...,
испытываемые некоторой частицей при распространении отдельных
волн,^являются величинами векторными. Вектор суммарного смеще-
ния частицы s находится путём геометрического сложения смеще-
ний, получаемых данной точкой в отдельных волнах
5 = • • • (11.97)
Сумма волн различных частот и направлений даёт, вообще говоря,
весьма сложную картину колебаний в отдельных точках среды.
Среди разнообразных случаев сложения волн мы выделим более
простые, когда складывающиеся волны обладают одинаковой часто-
той, но имеют различные фазы и направления распространения.
Волны, удовлетворяющие этим условиям, называются когерентными
волнами\ они дают в результате наложения явление интерференции,
заключающееся в том, что в определённых местах пространства про-
исходит усиление волнового движения, в других же — ослабление
или полное уничтожение его. Мы рассмотрим явление интерферен-
ции в простейших случаях.
Пример I. Положим, что мы имеем две системы плоских
поперечных волн, одинаковые по частоте колебаний, но различные
по фазе, распространяющиеся в одном и том же направлении и
поляризованные в одной и той же плоскости. Предположение о не-
одинаковости фаз равносильно предположению, что волны прошли
различное расстояние: одна, скажем, путь а другая—путь
20 Палалекси, т. I
306
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
от некоторой начальной точки, соответствующей точке х = 0 в фор-
муле (11.83). Уравнения двух наших волн можно представить так:
= $01 sin — & (Х-----Х1)Ь $2 = $02 sin -----&(х---Х2)], (11-98)
где $01 и $02 — амплитуды волн. Разность фаз двух наших волн
будет равна
Д<р =— &(х — х^ — [—k(x— х2)] = &(х1— х2). (11.99)
Величина (xt— х2) называется разностью ходов двух интерфери-
рующих волн J). В каждой данной точке сложение колебаний можно
произвести по формулам § 11. Суммарное смещение будет иметь
некоторую амплитуду $0 и ту же частоту со. Его амплитуда выра-
зится формулой (11.71), а начальная фаза — ф0 формулой (11.70),
причём в этих формулах придётся подставить = — k(x — хх) и
Ф2 =—k(x — х2). Величина амплитуды $0 и начальной фазы ф0 будет
зависеть только от разности фаз (разности ходов) и, следовательно,
будет во всех точках одинакова. Таким образом, в результате сло-
жения двух волн с частотой <о возникает суммарная волна той же
частоты и с амплитудой $0 и начальной фазой ф0. В зависимости от
разности фаз Дф амплитуда суммарной волны будет различна [фор-
мула (11.71)]. Если Дф = (2/г 1) я, или
Дх=(2л4-1)у, (11.100)
гдеп = 0, 1, 2,3,..., то получается наибольшее ослабление интерфери-
рующих волн и суммарная амплитуда $0=$01—$о2. Если Дф=2пъ, или
Дх = 2«у = лХ, (11.101)
то получается наибольшее усиление, и суммарная амплитуда
$о = $о14-$о2- В частности, при s01=s02 в случае (11.100) мы
получим волну с амплитудой всюду равной нулю — две волны
погасят друг друга. В случае (11.101) мы получим $0 = 2$01 = 2$о2,
т. е. амплитуда суммарной волны удваивается.
Таким образом, в первом случае энергия (интенсивность) волны
будет равна нулю, во втором же — она будет равна учетверённой
энергии каждой из составляющих волн, т. е. вдвое больше суммы
энергий обеих волн. Спрашивается, куда же девается энергия волны
в первом случае и откуда берётся удвоенная энергия во втором?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, надо принять во внимание
*) Если одна волна распространяется в среде с волновым числом ki — vlci,
а другая — в другой среде (k2 = ш/с2) и, затем, эти волны интерферируют, то
разность их фаз определится разностью
kiXt — k2x2 — kiXi — ki^-x2 = kpci — knx2t
где n = Ci/c2 — показатель преломления волн на границе сред 1 и 2. В этом слу-
чае разность ходов определится разностью величин xt и nx2t а не просто хк и х2.
§ 20] СЛОЖЕНИЕ И ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ волн 307
'действительные условия возбуждения волн. Возбудить две системы
плоских волн (11.98) можно в действительных условиях лишь по-
средством какого-то одного источника, которому сообщается одно-
временно два колебательных движения с разными фазами и ампли-
тудами. Это может быть, например, поршень в конце трубки или
колеблющаяся опора струны. Совершенно очевидно, что в рассмо-
тренном выше случае удвоения амплитуды волны учетверённая энер-
гия получается только потому, что источник совершает колебания
с двойной амплитудой и посылает в 4 раза больше волновой энер-
гии, чем при возбуждении каждой из двух волн. В случае полного
гашения двух волн дело объясняется тем, что источник в результате
двух колебательных движений остаётся в покое, т. е. не создаёт
никакой волновой энергии.
Все приведённые рассуждения и с теми же выводами справедливы
для случая сложения продольных волн.
Рассмотрим теперь сложение двух систем плоских поперечных
волн, одинаковых по частоте, но с различными амплитудами и поля-
ризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях. Волновое
движение в каждой точке будет в данном случае слагаться из двух
колебательных движений, происходящих под прямым углом друг
к другу. Из § 14 мы знаем, что при разности фаз, равной нулю
(или к), т. е. при разности ходов, равной нулю ^или целому числу
полуволн п , мы получим суммарное колебание по прямой. Сум-
марная волна будет, таким образом, иметь определённую ллоскость
поляризации, которая будет проходить под некоторым углом между
плоскостями поляризации двух составляющих волн. Если разность
фаз двух волн равна (2л-р)у, т. е. разность их ходов равна
Дх = (п -g-j у, то мы получим в любой точке колебательное дви-
жение по эллипсу. В этом случае волна называется эллиптически
поляризованной. При равенстве амплитуд двух волн эллипс превра-
щается в круг, и тогда волна называется поляризованной по кругу.
При промежуточных значениях разности фаз всегда получается
эллиптически поляризованная волна. Необходимо ещё обратить вни-
мание на то, что движение по эллипсу или окружности может про-
исходить либо по часовой стрелке, либо против неё, в зависимости
от того, будет ли п четным или нечётным.
Энергия суммы двух волн, поляризованных во взаимно перпен-
дикулярных плоскостях, независимо от их разности фаз, равняется
сумме энергий составляющих волн. Это происходит потому, что
колебания, вызываемые одной волной, не дают движений в направле-
нии колебаний, вызываемых другой волной. Волны распространяются
совершенно независимо. Чтобы создать такие волны, источник дол-
жен совершать также два независимых колебания под углом 90° и
20*
308
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
суммарная энергия колебаний должна равняться сумме энергий
составляющих колебаний. Если плоскости поляризации волн состав
вляют угол, не равный 90°, то одно из колебаний всегда можно
разложить на две компоненты — одну под углом 90° ко второму
колебанию, другую по направлению второго колебания. Эта вторая
компонента будет влиять на колебания в первой волне, и простой
закон суммирования энергий уже не будет иметь места.
Пример II. Пусть два источника А и В одинаковой интен-
сивности излучают с одинаковой фазой шаровые продольные волны
Рис. 203.
одинаковой частоты. Геометрическое место точек, удовлетворяющих
условию г2— ^ = 2/1— (л— целое число), где г2 и гг—расстояния
данной точки от середины линии АВ, представляет собой некото-
рую поверхность, на которой волны будут, очевидно, взаимно
усиливаться. Наоборот, геометрическое место точек, удовлетворяю-
щих условию г2 — г1 = (2д-[”0у» образует поверхности, на кото-
рых волны взаимно уничтожаются. Точки, удовлетворяющие как
одному, так и другому условию, лежат на поверхности гиперболо-
идов вращения, фокусы которых совпадают с источниками волн.
Сечение семейства этих гиперболоидов плоскостями, проходящими
через источники, даст ряд гипербол, по которым будут расположены
линии наибольшей амплитуды колебаний и линии полного покоя.
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
309
§ 21]
Явление интерференции легко наблюдать на волнах, на поверхности
воды, когда в воду в двух близких точках непрерывно капают
капли. На рис. 203 показан фотографический снимок интерференции
двух ультразвуковых волн, идущих из двух отверстий А и В1).
По линиям максимальной амплитуды плотность энергии колебаний
равна учетверённой энергии каждого из отдельных колебаний, вызы-
ваемых волной в данной точке. По линиям нулевой амплитуды
плотность энергии колебаний равна нулю. Если вычислить полную
энергию в слое волнового поля, лежащего между двумя сферами боль-
шого радиуса, проведёнными из точки, лежащей в середине линии
АВ и отличающимися по радиусу на 1 см, взяв достаточно большой
участок, охватывающий несколько максимумов и минимумов, и затем,
разделив на объём этого слоя, найти среднюю плотность энергии,
то ясно, что она будет равна сумме плотностей энергий, создавае-
мых каждым источником отдельно.
§ 21. Стоячие волны. Рассмотрим теперь важный случай интер-
ференции, когда две продольные волны или две поперечные волны
с одинаковой плоскостью поляризации, с равными периодами и с оди-
наковыми направлениями колебаний и амплитудой идут навстречу
друг другу. При встречном движении волн взаимное расположение
синусоид, изображающих мгновенное смещение точек, будет непре-
рывно изменяться. На рис. 204 волна, идущая вправо, показана
мелко-пунктирной линией, обратная волна — крупным пунктиром.
В некоторый момент (будем считать в этот момент / = 0) две сину-
соиды покрывают одна другую (рис. 204, А); для ясности рисунка
амплитуды синусоид взяты в этом случае немного разными. Про-
изводя сложение смещений, мы увидим, что точки, обозначенные
кружками [о], остаются в покое, остальные же точки в этот момент
достигают смещений вдвое больших, чем в каждом из составляющих
колебаний. Наибольшее смещение в точках, обозначенных крести-
ками [-]-], равно двойной амплитуде. Рис. 204, В показывает рас-
Т
положение прямой и обратной волны в момент / = у, когда волны
пройдут каждая в своём направлении расстояние и разойдутся
в общем на четверть волны; оказывается, что в результате сложе-
ния и теперь точки о остаются неподвижными. Рис. 204, С пока-
Т
зывает расположение синусоид в момент периода. В резуль-
1) Фотографирование осуществляется при помощи особого оптического
метода (шлиренметода, или метода свилей), позволяющего обнаруживать
небольшие неоднородности плотности среды, лежащие на пути света. В дан-
ном случае такие периодические неоднородности в плотности среды создают
ультразвуковые волны. Освещение при снимке даётся периодически один
раз за период волны, и потому волна представляется неподвижной (способ
стробоскопа).
310
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
тате сложения синусоид в точках о опять смещений не будет;
однако, в данный момент времени его не будет и в промежутках между
этими точками, так как в любой точке одна волна сообщает точке
такое же положительное
смещение, как другая,—
отрицательное. В этот мо-
мент все точки проходят
через положение свое-
го равновесия. Произво-
дя сложение волн в мо-
мент t — (рис. 204, D),
мы найдём, что точки,
обозначенные о, попреж-
нему неподвижны, а про-
межуточные точки Ц-,
имевшие наибольшее по-
ложительное смещение,
теперь будут иметь такое
же отрицательное смеще-
ние, как в момент /==
Т
= у. Продолжая сложе-
ние колебаний подобным
же образом дальше, мы
увидим, что ряд точек О
всё время остаётся в по-
кое; эти точки называют-
ся узлами. Промежуточ-
ные между узлами точки
колеблются с различной
амплитудой. Максимум
амплитуды находится по-
середине между узлами, в точках, обозначенных -|- и называемых
пучностями. Описанный волновой процесс называют стоячей
волной.
Выведем уравнение стоячей волны. Пусть прямая волна бежит
по направлению отрицательной оси х и изображается (для смещения
частиц) уравнением =s0 sin (ш/ kx). На рис. 204 эта волна
изобразится синусоидой, начерченной крупными штрихами. Для
обратной волны равной амплитуды, начерченной на рис. 204 мел-
кими штрихами, следует, как легко убедиться, взять уравнение
$2= — sosin(atf — kx). Начало координат мы выбрали так, что
при. х = 0 в момент £ = 0 обе волны имеют амплитуду, рав-
ную нулю. Выражение для суммарного смещения $а мы
преобразуем по формуле разности синусов двух углов и по-
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
311
§ 21]
лучим
$ = 4- $2 — $0 sin (arf -|“ &*) — 5osin № — &x) =
== s0 sin (<o^ -|- kx) -p 5osin (°^ — kx -\-ъ) =
= 2s0 sin kx cos cot (11.102)
Множитель sin kx указывает на то, что амплитуда колебаний
в стоячей волне изменяется вдоль оси х по закону синуса. В точках,
удовлетворяющих условию kx — пк или
х = (11.103)
где п = ± 0, 1, 2, 3,. . . получим смещения $, равные нулю (узлы);
при х = 0, таким образом, всегда s — О, т. е. лежит узел волны
смещения. В точках же, где kx = (2/г 4~ О у, или
х = + (11.104)
получим максимальные смещения $ = 2s0, т. е. пучности. Положение
узлов и пучностей, очевидно, зависит от разности фаз прямой и
обратной волн. Если бы мы взяли уравнение обратной волны в форме
s2 =5оsin (°^—&х), т- е- без сдвига фазы на к, то уравнение
стоячей волны имело бы вид 5 = 2s0 cos kx sin mt и на местах пуч-
ностей в стоячей волне получились бы узлы и наоборот.
Стоячие волны всегда получаются при падении волн на какие-либо
препятствия, как результат наложения отражённых волн на прямые.
Рассмотрим случай отражения плоских волн (безразлично—поперечных
или продольных), нормально падающих на плоскую границу, за пре-
делы которой волновое движение распространяться не может. Так
будет, например, при отражении упругих волн от совершенно непод-
вижной плоской стенки или от свободной поверхности тела, за пре-
делами которой находится вакуум. Амплитуда sr волны, отразив-
шейся от такой границы, должна остаться равной амплитуде
падающей волны, так как никакого поглощения энергии или про-
никновения её в другую среду не происходит, т. е. имеет место
полное отражение волны.
Рассмотрим колебание точки среды на границе. Она участвует
как в колебательном движении падающей справа волны, происходя-
щем, допустим, по закону
sin (mt 4- kx),
так и в колебательном движении отражённой волны, которое мы
можем выразить законом
sin (mt — kx 4“ ?),
где — некоторый, пока нам неизвестный, сдвиг фазы, возникающий
при отражении. Возьмём начало координат (х?=0) на границе;
312
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
тогда суммарное колебание точки на границе может быть преобра-
зовано [см. вывод формул (11.70) и (11.71)]. Таким образом,
$ = sino)^4'5osin (<0^+'?) = }/Г25о /l + coscpsin (^ + а), (11*105)
где
. sin ср
tg а= —-—.
ь 1 + cos ср
При отражении от неподвижной стенки граничная точка не может
двигаться, так как встречает непреодолимое сопротивление со сто-
роны стенки, и должна оставаться всё время в покое. Это может
получиться, как видно из формулы (11.105), только при условии
1 —I—cos ср = 0, откуда
ср = ~ьте. (11.106)
Если взять ср = — те, то отражённая от неподвижной стенки волна
выразится следующим образом:
sr = sQ sin (со/ — kx — те) = — sin (at — kx) =
/ । * \
Ii x+2 I
= s0 sin 2те^у — — — I. (11.107)
Таким образом, при отражении от неподвижной стенки волна
смещения частиц (а также и волна скорости частиц) меняет знак
или, иначе говоря, претерпевает отставание по фазе на угол те
или отстаёт на полволны (теряет полволны).
Некоторая волна
ух =yQ sin (со/ — kx)
при / = ^ выразится в функции от х кривой
У1 =у0 sin (со/х —kx).
Некоторая фаза процесса получится при x=xv Для волны
у^ =yQ sin (о/ — kx — 9)
та же фаза процесса в момент t = tx получится в точке с координа-
той х2, определяемой из условия равенства аргументов функций у t hj2:
Wj — kxY =(nti — kx3 — 7,
откуда
ф
^2=^1 —f-
Таким образом, кривая, изображающая волну j/2, будет сдвинута
на отрезок Дх =— влево; волна у% будет отставать от волны yt
§ 21] СТОЯЧИЕ волны 313
на отрезок Дх. Это равноценно сдвигу начала координат на отре-
зок (—Дх) или замене х на х-\~Ьх в выражении ух. Волна у^
(отстающая на Дх) выразится законом
Ух =yQ sin [со/ — k (х 4- Дх)] = у* sin (W — kx 4~ <р).
Если 9 = — it, то мы говорим об отставании по фазе на к, об отста-
вании на полволны (yj или потере полволны. Если взять ф = 4-те,
то х заменится на х — -~ = х— Дх, и мы получим опережение
волны yt волной у* на отрезок Дх.
Отставание или опережение на ~ даёт тождественную картину
волны и, потому, всё равно, возьмём ли мы знак -j- или — в (11.106);
обычно говорят об отставании на т. е. берут знак минус.
Как мы увидим при более детальном анализе волнового движения
в главе о звуке, волна звукового давления отражается от неподвиж-
ной стенки без изменения знака (без потери полволны) и на границе
образуется пучность волны давления. Для того чтобы изобразить
отражённую от неподвижной стенки волну смещения частиц s, на
чертеже нам надо прямую волну (крупно-пунктирная кривая) напра-
вить от границы в обратном направлении и сдвинуть её затем на
полволны против направления распространения. Для этого мы должны
перевернуть чертёж на 180° по линии аа (рис. 204) и сдвинуть
получившуюся синусоиду на у влево; после этого получится мелко-
пунктирная синусоида отражённой волны. Полученная в результате
сложения стоячая волна (жирная линия) имеет на границе всегда
узел смещения. На расстоянии ~ от границы образуется первая
пучность.
Иначе обстоит дело при отражении волны на свободной границе.
Пограничные точки колеблются в существенно отличных условиях,
по сравнению с точками внутри среды, так как с одной стороны
они не встречают никакого сопротивления своему движению. В ре-
зультате сопротивление движению уменьшается в два раза и ампли-
туда удваивается. Как явствует из формулы (11.105), это возможно
только при условии 1 4~ cos 9 = 2, откуда мы получим
cos ф = 1, т. е. ф = 0. (11.108)
Таким образом, отражённая от свободной границы волна смещения
частиц выразится законом
s = sQ sin (art — kx),
(11.109)
314
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
т. е. отражение происходит без изменения фазы (без потери пол-
волны). Графически .мы можем пояснить происходящий процесс на
том же чертеже 204, если перенесёхм границу (х’ = 0) на линию ЪЬ9
на отрезок — влево. Тогда падающая волна выразится уравнением
s, = $0 sin со/ k
а отражённая — уравнением
52---Sin
Отражённую волну мы получаем на чертеже в данном случае просто
посредством перегиба по линии bb без всякого сдвига.
В отделе акустики (гл. XII, § 4) мы более подробно разберём случай отраже-
ния звуковых волн на границе любых двух сред и увидим, что отражение волны
смещения ($) с потерей полволны происходит всегда, когда величина р2с2
(где р2 и са — плотность и скорость звука для второй среды) больше такого же
произведения р1С£ для первой среды.
При условии
Рз<’з>РЛ (11.110—1)
происходит отражение волны смещения (s) с потерей полволны. Наоборот
при условии
PsCs<piCi (11.110—11)
происходит отражение волны смещения без потери полволны.
В учебниках часто называют первый случай отражения отражением волн
от более плотной среды, а второй — отражением от менее плотной среды.
Как мы видим на примере звуковых волн, характер отражения определяется
не разницей плотностей среды (р2 и pj, а разницей величин р2с2 и pxCi, так
называемых волновых сопротивлений.
В случае стоячих волн каждая из составляющих волн переносит
одно и то же количество Энергии, но в противоположных напра-
влениях; результирующий поток энергии будет, очевидно, равен ну-
лю. Точно так же в закрытых помещениях с голыми стенами, где
многочисленные отражённые звуковые волны, движущиеся во всевоз-
можных направлениях, образуют сложные системы стоячих волн,
суммарный поток энергии может быть очень мал, несмотря на нали-
чие сильного звука; поток энергии обусловливается только неболь-
шим поглощением звука стенами и не характеризует интенсивности
волн (см. гл. XII, § 10). При стенах, сильно отражающих звук, почти
никакого потока энергии не было бы, и громкость могла бы достигать
огромных величин. В указанных случаях целесообразней всего приме-
нять понятие плотности энергии волн, которая всегда равна сумме
плотностей энергий отдельных волн и характеризует интенсивность
суммарного волнового поля лучше, чем понятие потока энергии.
§ 22] ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА-ФРЕНЕЛЯ 315
Образование стоячих волн легко наблюдать при отражении волн'
на поверхности воды от твёрдой стены, например, при отражении
морских волн от резко обрывающегося берега или мола. Отчётливо
получаются стоячие волны на натянутом резиновом шнуре (или
трубке), если один конец его закрепить, а другой ритмично раска-
чивать рукой. Многочисленные случаи возникновения стоячих волн
будут разобраны далее, в акустике и оптике.
Если отражённая волна по амплитуде sr меньше, чем падающая
то можно разбить падающую волну на две части: одна с ам-
плитудой, равной амплитуде отражённой волны sr, другая — с ам-
плитудой, равной разности амплитуд прямой и отражённой волны
— sr). Первая часть даст с отражённой волной стоячие волны
с узлами, в которых амплитуда равна нулю. На эту стоячую волну
налагается вторая часть падающей волны — бегущая волна с амплиту-
дой — sr. Поэтому колебательное движение в узлах уже не будет
равно нулю, а будет иметь амплитуду — sr. Резких узловых точек
с нулевой амплитудой в этом случае не будет, будут лишь точки
с минимальной амплитудой. В максимуме же смещение будет дости-
гать величины
§ 22. Принцип Гюйгенса-Френеля. Для понимания процесса
распространения волн большое значение имеет следующий принцип
(высказанный Гюйгенсом в 1690 г.): каждую частицу среды, при-
ходящую в колебание вследствие распространения
первичной волны, можно рассматривать как источ-
ник, излучающий вторичную элементарную шаро- ^08$
вую волну.
Каждая такая элементарная волна очень слаба,
и заметное действие получается лишь в результате §8;
наложения очень многих таких волн. Результирую- ----*•
щей таких элементарных шаровых волн, дающей
действительную волну, является, по Гюйгенсу, оги-
бающая этих вторичных волн.
Рассмотрим, как с точки зрения принципа Гюй-
генса следует представить себе беспрепятственное JjSo
распространение волн в однородной среде. Пусть
(рис. 205) в момент времени фронт плоской волны,
распространяющейся со скоростью с, достиг поло- Рис. 205.
жения I, тогда, согласно принципу Гюйгенса, все точки
плоскости I можно рассматривать как источники одинаковых вторич-
ных шаровых волн (с одинаковыми начальными фазами), которые
будут распространяться в среде с той же скоростью с. Огибающая
всех этих волн в момент времени /2 будет представлять собой пло-
скость II, отстоящую от плоскости! на расстояние, равное радиусу
вторичных шаровых волн. Так как этот радиус равен c(t^ — /t), то это
означает, что волновое движение будет передаваться, как плоская
волна, со скоростью с. Аналогичные рассуждения показывают, как
316
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
применение принципа Гюйгенса объясняет распространение шаровых
волн; для пояснения
Рис. 206.
даётся рис. 206.
Применяя принцип Гюйгенса в этой про-
стой форме, мы наталкиваемся, однако, на
следующее затруднение. Если точки среды
под действием первичной волны становятся
источниками вторичных шаровых волн, то
почему рассматривается огибающая этих волн
только спереди, в сторону распространения
первичной волны, а не сзади? Иными сло-
вами, как объяснить отсутствие обратной
волны при свободном распространении волн?
Объяснение это было дано Френелем, кото-
рый указал на необходимость учёта принципа
суперпозиции и явлений интерференции, а так-
же зависимости интенсивности элементарных
волн от направления. Таким образом, к приведённому выше основ-
ному положению Гюйгенса необходимо добавить, что: вторичные
волны когерентны и интерферируют друг с другом, а также что
интенсивность вторичных элементарных волн зависит от напра-
вления и притом таким образом, что она максимальна в направле-
нии нормали к фронту волны и уменьшается с увеличением угла
между этой нормалью и направлением, в котором рассматривается
действие вторичной волны, становясь равной нулю для всех углов,
равных или больших тс/2. Принцип Гюйгенса-Френеля находит своё
обоснование в строгой теории распространения волн.
§ 23. Отражение и преломление волн. Из принципа Гюйгенса
непосредственно вытекают законы отражения и преломления волн
(например, световых и звуковых). Пусть на отражающую плоскость
MN (рис. 207) падает плоская
волна ST (падающий луч лежит
в плоскости чертежа). Пусть
в некоторые моменты времени
фронт волны занимает положе-
ние АВ, CD, EF, QH,. ‘
сматривая АВ, CD, EF,
плоскости, в которых лежат
центры колебаний, мы видим,
что пока колебания распро-
страняются от точки В до
точки J, от точки D до точки J
и т. д., возникающие в точ-
ках А, С, Е, G,... вторичные
деляемые радиусами АР, CQ, ER,. ..
ства скоростей распространения падающей первичной волны и вто-
ричных волн, AP — BJ, CQ — DJ, ER = FJ и т. д. Если провести
Рас-
как
колебания
пройдут расстояния, опре-
При этом, ввиду равен-
§ 24]
ДИФФРАКЦИЯ ВОЛН
317
касательную плоскость к системе цилиндрических поверхностей с
центрами в А, С, Е, G,. . то эта плоскость будет фронтом отра-
жённой волны. Эта плоскость проходит через точку J, и нор-
маль к ней будет лежать в плоскости чертежа, т. е. направление
падающей волны и отражённой волны,
иначе говоря, луч падающий и луч отра-
жённый находятся в одной и той же пло-
скости, нормальной к отражающей поверх-
ности MN. Из построения очевидно, что
угол падения (равный углу BAJ) равен
углу отражения (равному углу KJA).
Аналогичное рассмотрение можно про-
вести и в случае перехода волн из одной
среды в другую, т. е. при преломле-
нии волн (рис. 208). При этом необ-
ходимо принять во внимание, что рас-
стояние AD, проходимое волной во вто-
рой среде, относится к расстоянию BJ,
проходимому за тот же промежуток вре-
мени в первой среде, как скорость с*
распространения волн во второй среде
Рис. 208.
к скорости q в первой.
Таким образом, = —
r AD са
= AJsina и i AD — AJsin
и т. д. для других лучей. Так как BJ=
р, то
sine BJ Ci
sin £ AD ca
(11.111)
Это значит, что отношение синуса угла падения к синусу угла
преломления есть величина постоянная, равная отношению ско-
ростей распространения волн в рассматриваемых средах. Вели-
чина называется показателем преломления волн на границе
двух сред.
На рис. 209 приведён фотоснимок отражения и преломления ультра-
звуковых волн на границе вазелинового масла (q = 1500 м/сек,
верхняя среда) и крепкого раствора NaCl (^q=1800 м/сек, нижняя
среда). Граница двух сред лежит на нижнем крае тёмной полосы,
вызванной тенью мениска, поднимающегося по стенке сосуда. Этот
снимок получен тем же способом, что и снимок на рис. 203.
§ 24. Диффракция волн. Пользуясь принципом Гюйгенса-
Френеля, можно объяснить явления, наблюдаемые при прохождении
волн мимо различных препятствий и выражающиеся в огибании вол-
нами этих препятствий. Эти явления носят название диффракции.
Мы поясним сущность диффракции на примерах волн на поверхно-
сти воды.
318
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
На рис. 210 и 211 показано (схематически) распространение
круговых волн, падающих в одном случае (а) на отверстие в стенке,
а в другом (Ь) на экран таких же размеров, как и отверстие.
Пусть сначала (рис. 210) размеры d отверстия (или экрана) малы
по сравнению с длиной волны X. Согласно принципу Гюйгенса,
точки фронта падающей волны у отверстия (рис. 210, а) являются
источниками вторичных волн и так как d<^X, то фазы волн, при-
шедших в данную точку из различных точек отверстия, будут от-
личаться значительно меньше, чем на я и, следовательно, во всех
Рис. 209.
направлениях вторичные волны будут усиливать друг друга. Таким
образом, можно ожидать, что отверстие явится источником, от ко-
торого волны будут распространяться одинаково во все стороны и
фронты волн примут на некотором расстоянии форму кругов. Всё
это в действительности и наблюдается, как схематически показано на
рис. 210, а. В случае малого экрана аналогичные рассуждения при-
водят к выводу, что при с/<^Х волны, распространяющиеся от краёв
экрана, должны полностью заходить (загибаться) за экран — в об-
ласть геометрической тени. На некотором расстоянии от экрана
волны, идущие с двух сторон, сольются и дадут общий сферический
фронт, как если бы экрана вовсе не было; это и наблюдается
в действительности (рис. 210,^).
§ 24]
ДИФФРАКЦИЯ ВОЛН
319
С увеличением размеров отверстия (или экрана), когда d
становится больше X, элементарные волны, пришедшие в данную
точку в области геометрической тени, от различных точек отвер-
стия могут отличаться по фазе больше, чем на it, и во всех
направлениях, лежащих в области геометрической тени, элемен-
тарные волны уже не только не будут усиливать, но даже будут
ослаблять друг друга. Следовательно, загибание в область геомет-
рической тени уже будет неполным и будет тем менее заметно, чем
больше d. Кроме того, с увеличением d возрастает интенсивность
в направлении распространения волн (так как увеличивается число
элементарных волн), поэтому при d^>\ явление диффракции (загиба-
ния волн) относительно менее резко выражено, чем в случае d<^A.
В случае d^>\ (рис. 211,а) волны сквозь отверстие в ограни-
ченном секторе (показанном пунктиром) распространяются беспре-
пятственно и слегка выходят за его границы; наоборот, в таком же
секторе за экраном (рис. 211,#) волн нет, а наблюдается тень
с довольно ясно выраженными границами. Распространение волно-
320
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
вого движения за границу геометрической тени имеет место и для
однако интенсивность его быстро падает. Вторичные волны,
вызванные возбуждением точек среды на крае геометрической тени
и распространяющиеся в область тени, будут, таким образом, замет-
ны на тем большем расстоянии от края, чем больше длина волны.
Рис. 212.
Явление диффракции, таким образом, существенно зависит от
отношения между размерами отверстий или экранов и длиной волны.
В области акустики явления диффракции проявляются весьма от-
чётливо. Ввиду того, что длина волны слышимых звуков сравнима
с размерами обычных препятствий, звуки легко их огибают и хорошо
слышны в области геометрической тени. Точно так же, благодаря
диффракции, щель в неплотно закрытой двери позволяет одина-
ково громко слышать во всём помещении звуки, издаваемые за
дверью.
В области световых волн, отличающихся малой длиной волны
(порядка десятитысячных долей миллиметра), границы геометрической
тени очень резки и загибание (диффракция) света на большие углы
наблюдается лишь от объектов чрезвычайно малых размеров.
На рис. 212 дан фотоснимок картины диффракции плоской
волны, падающей (справа) на тонкий цилиндр, размеры кото-
рого близки к длине волны. Мы видим, чтс^ в данном случае уже
нельзя говорить о какой-либо заметной тени цилиндра, так как
волны сзади цилиндра отчётливо видны; снимок, как и на
рис. 203, сделан путём фотографирования ультразвуковых волн.
Из снимка ясно, что здесь образуются в результате диффракции
круговые волны, расходящиеся во все стороны от цилиндра, в том
числе и назад. Вывод об отсутствии тени (см. рис. 210, Ь) вполне
подтверждается. Кроме того, виден ряд интерференционных полос,
возникающих при наложении диффрагированных и падающих волн.
ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА
321
§ 25]
Образование вторичных волн при падении волны на небольшие
препятствия представляет собой особый случай диффракции, назы-
ваемый рассеянием волн. В этом случае соблюдается условие
d<X. (11.112)
Именно таким образом рассеивают свет мелкие коллоидные ча-
стицы, благодаря чему их можно видеть при освещении сбоку. На
этом принципе устроен ультрамикроскоп. Рассеиваться могут и зву-
ковые волны, например, при падении на деревья в лесу; в сумме эти
рассеянные волны дают эхо от опушки леса, как от некоторой
твёрдой преграды.
Понятие о луче. При прохождении волн от некоторого то-
чечного излучателя через отверстие в непроницаемой для колебаний
перегородке, из сферической волны, как мы видели, выделяется не-
который конус, за, пределами которого колебания более или менее
быстро исчезают; там образуется тень. Края тени не резки; благодаря
диффракции граница тени оказывается размытой, причём ширина
области размытости уменьшается с длиной волны. При бесконечно малой
длине волны (X—>0) мы можем говорить о совершенно резкой гра-
нице тени и не считаться с явлениями диффракции. Волны такой
длины, пройдя даже через очень тонкое отверстие, будут распро-
страняться только внутри пространства, ограниченного конусом с
очень малым углом при вершине (волновой пучок), опирающимся на
периметр отверстия. Такой пучок называют лучом.
Понятие луча было впервые введено в оптике, и им особенно
широко пользуются в геометрической оптике. В акустике и радио-
технике, ввиду сравнительно больших длин звуковых и электро-
магнитных волн, понятием луча следует пользоваться лишь с боль-
шими ограничениями, главным образом в тех случаях, когда длина
волны значительно меньше размеров тел, на которые падают
волны.
§ 25. Эффект Допплера. Мы до сих пор рассматривали волно-
вое движение с точки зрения наблюдателя, покоящегося относитель-
но среды. Рассмотрим особенности волнозого движения в тех слу-
чаях, когда источник волнового движения или наблюдатель, воспри-
нимающий волны, движутся относительно среды, в которой
распространяются волны. Допплер (1842 г.) показал, что при
этих условиях частота волн (длина волны), измеряемая наблю-
дателем, изменяется; он же сформулировал законы изменения ча-
стоты.
Пусть в некоторой точке О покоящейся среды расположен ис-
точник волн, а в другой точке В — наблюдатель. Рассмотрим три
случая: первый, когда наблюдатель движется со скоростью -|-и
(или —и) относительно среды по направлению прямо на источник;
второй — когда источник движется со скоростью -j-u' (или —и')
21 Hani леней, т. I
322
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[гл. XI
прямо по направлению от наблюдателя, и, наконец, третий, когда и
источник, и наблюдатель имеют скорости ±и и ±и. Скорость
наблюдателя мы будем считать положительной в том случае, когда
он приближается к источнику; скорость источника будем считать
положительной, когда он удаляется от наблюдателя. Скорость волн
в среде мы будем считать независимой от движения источника и
наблюдателя. Это мы вправе сделать, безоговорочно, лишь для ме-
ханических волн в упругих телах.
Если наблюдатель и источник неподвижны относительно среды
(и = 0 и и' = 0), то мимо наблюдателя проходит в секунду число
волн /, определяемое из соотношения /=-у-. Если же наблюда-
тель движется со скоростью и навстречу волнам, то за время t он
проходит расстояние и/, на котором умещается волн. Это зна-
чит, что если мимо неподвижного наблюдателя за время t проходит
ft волн, то мимо движущегося пройдет за то же время на волн
Аг
больше. Таким образом, обозначая через число волн, проходя-
щих мимо движущегося наблюдателя, получаем За-
К
меняя X через -у-, сокращая на t и учитывая в окончательной фор-
муле (для общности) возможность скорости и любого знака (н- и),
мы можем написать
± “-) • (11.113)
Дело происходит, следовательно, таким образом, как будто ис-
точник, вместо волн частоты /, испускает волны частоты f ^1 »
т. е. при приближении наблюдателя к неподвижному источнику
измеряемая наблюдателем частота волн увеличена, а при уда-
лении — уменьшена.
Пусть теперь наблюдатель неподвижен, а источник, двигаясь со
скоростью li от наблюдателя, проходит за время одного периода
колебаний Т расстояние s — u'T. Если бы источник был неподвижен,
то за время Т колебания распространялись бы на расстояние Х = сТ,
равное длине волны. Но источник за время Т отошёл от точки О на
расстояние 5. Эффект будет такоз, как будто длина волны увеличи-
лась на 5 и сделалась равной
Х2 = Х + $ = сГ+и'Т= T(c-4-w').
Следовательно,
с=/Х=/2Х2=/2Т(г4-н'),
§ 25]
ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА
323
где /2 — частота, соответствующая длине волны Х2. Отсюда получаем
(снова учитывая возможность скорости любого знака z±z«')
с _____f с
Т{с±_ и'} * с ± и'
(П-114)
1 ——
с3
и
с
Таким образом, при приближении источника к неподвижному
наблюдателю (и' — отрицательно) мы будем воспринимать увели-
ченную частоту, а при удалении (и'— положительно)—умень-
шенную.
Сравнение формул (11.113) и (11.114) показывает, что относи-
тельная скорость источника и наблюдателя определяет знак эффекта
изменения частоты, причём в зависимости от того, двигается ли источ-
ник к наблюдателю со скоростью и или наоборот, количественно
изменение частоты будет неодинаково и разница тем больше, чем
больше отношение у; при одинаковой величине скоростей (к = ^)
в случае движения источника, согласно (11.109), величина у- будет в
^1----y-j раз больше, чем величина у- в случае движения наблю-
дателя.
Аналогичным путём легко вывести, что при движении наблюда-
теля и источника со скоростями и и и (далее мы считаем, что и и и*
могут иметь тот или иной знак):
р — f с + и — f с
' J I . и'
‘ с
и — и! ии’
с с2
и"г
с2
(11.115)
1
Обозначая относительную скорость наблюдателя и источника и — и*
через w, мы получим
с — w-{-u
(11.116)
Это значит, что эффект Допплера зависит не только от относитель-
ной скорости w, но и от самих скоростей и и и' по отношению к
среде, в которой распространяются волны.
В случае и и и , малых сравнительно с с, можно, разлагая
в (11.115) по формуле бинома Ньютона и отбрасывая
малые величины , -у- , ..., предыдущую формулу преобра-
зовать так:
(11.117)
21*
324
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
[ГЛ. XI
где w берётся с положительным знаком для случая сближения и с от-
рицательным— для случая удаления друг от друга источника и
наблюдателя.
Прекрасный пример эффекта Допплера даёт наблюдение гудка
движущегося поезда. При приближении поезда гудок имеет неко-
торую определённую высоту тона, затем при проходе поезда тон
свистка сразу понижается скачком. Скачок частоты будет равен,
как легко вывести из (11.114),
(11.118)
Если и' с, то . При приближении наблюдателя
на поезде к неподвижному гудку происходит то же самое явление,
причём скачок частоты по формуле (11.113) окажется равным (точно)
Д/=/^. (11.119)
С явлением Допплера мы встречаемся при всех видах волнового
движения. Необходимо, однако, заметить, что в случае световых
(вообще электромагнитных) волн, при больших относительных ско-
ростях, мы имеем дело с существенно отличными количественными
зависимостями. Это связано с тем, что законы относительного дви-
жения для скоростей, сравнимых со скоростью световых волн, су-
щественно отличаются от положенных в основу нашего рассмотрения
законов относительного движения в механике.
ГЛАВА XII. •
АКУСТИКА.
§ 1. Предмет акустики. Колебания и волны в упругих средах
и телах (твёрдых, жидких и газообразных), частоты которых лежат
в пределах восприятия органо^м слуха человека, называются звуком,
а учение о звуке — акустикой. По своей физической сущности аку-
стика является частью механики и основывается на теории механиче-
ских колебаний, гидромеханике и теории упругости. Однако наличие
у человека особого органа ощущения — органа слуха, позволяющего
воспринимать как звук механические колебания и волны определён-
ного диапазона частот, приводит к выделению акустики в самостоя-
тельную область с рядом особенностей, обусловленных сущностью
слухового восприятия. В связи с этим особое значение в акустике
приобретает изучение механических колебаний и волн, лежащих по
частоте в пределах, воспринимаемых слухом, т. е. примерно от 16 гц
до 20 000 гц. В акустике рассматриваются также быстро протекаю-
щие процессы непериодического характера (удары, импульсы), по-
скольку они воспринимаются слухом. Колебания и волны с часто-
тами, меньшими, чем частоты нижней границы слуха, называются
инфразвуками (инфраакустика), с частотами же большими, чем ча-
стота верхней границы слуха—ультразвуками (ультраакустика),
В акустике наиболее подробно изучены свойства звуковых волн в
газах (в особенности в воздухе) и те колебательные системы, кото-
рые служат для излучения звука в газовую среду. Это также про-
исходит вследствие того, что данная область учения о колебаниях
и волнах имеет большой интерес с точки зрения слухового восприя-
тия. Лишь с недавнего времени началось подробное изучение распро-
странения и излучения звука в воде; эта область носит название
гидроакустики,
В этой главе мы рассматриваем основные понятия о звуковом
поле и его измерении, различные источники звука и их анализ и,
наконец, вопросы восприятия звука слуховым аппаратом человека.
§ 2. Звуковое поле. Сила звука. На основании общих сведе-
ний о волновом движении, изложенных в предыдущей главе, мы
обратимся теперь к более подробному изучению звуковых волн в
жидкостях и газах (в частности в воздухе), представляющих собой
326
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
ад
Г
Дг
Рис. 213.
2
той
продольные волны. Та область среды, в которой происходят звуко-
вые колебания и распространяются звуковые волны, называется
звуковым полем. Звуковое поле может быть охарактеризовано в дан-
ной точке жидкой или газообразной среды одной из следующих
величин:
1) смещением ($) колеблющейся частицы данной среды из поло-
жения равновесия;
2) мгновенной скоростью (й) колеблющейся частицы;
3) звуковым (избыточным) давлением (р) [см. формулу (11.95)
гл. XI]; далее, заменим ДР просто через р.
Эти три величины не являются независимы-
ми. В случае плоских волн между и и р су-
ществует весьма простая зависимость, кото-
рую мы далее выведем. Формулы для смеще-
ния частиц 5 в сферической и плоской пери-
одической волне мы уже знаем (гл. XI, § 17).
Скорости и частицы в звуковом поле сфери-
ческой и плоской волн могут быть найдены
из уравнений (11.88) и (11.83) на основании
же главы. Для сферической волны будем иметь
s = -—sin(co/— Лг), й =- cos (со/— kr). (12.1)
Для плоской волны
5 = s0 sin (со/ — kx), и — ~ — cos0 cos (^t — kx) =
= Йо cos (co/— kx). (12.2)
Найдём, как связано звуковое давление р со скоростью частиц в
данной точке среды для случая плоской звуковой волны. Возьмём
цилиндрический канал с образующими, параллельными направлению
движения волны и с сечением q= \ см* (рис. 213). Возьмём малый
элемент объёма этого канала между двумя плоскостями 1 — Г, от-
стоящими на Дх, который будет, очевидно, численно равен v = \x.
Через некоторый промежуток времени частицы из положений 1 — Г
переместятся в положение 2 — 2'; прежний элемент объёма Дх те-
перь изменится, так как смещение 5 плоскостей 1 и Г будет раз-
ное. Пусть 5 в волне изменяется по закону (12.2). Составим выра-
жение для прироста Д$ при изменении х на Дх:
Д$ = s0 [sin (со/ — kx — k Дх) — sin (со/ — kx)] =
= s0 [sin (со/ — kx) cos Дх — cos (со/ — kx) sin kbx— sin (co/ — kx)].
При малости Дх величины sin бДх^ЛДх и cos йДх^1. Таким
образом, мы получим
As — kSfi cos (со/ — kx) Дх.
ЗВУКОВОЕ ПОЛЕ
327
§ 2]
Так как сечение q выбранного нами элемента объёма v равно
1 см\ то приращение объёма \v = q As будет равно численно As.
Относительное приращение объёма будет, таким образом, равно
~ ~ — ksQ COS (W — kx).
Мы знаем (§ 19 гл. XI), что звуковое (избыточное) давление
равно
ДР=Р = _7Р^. (12.3)
г, Ат/ As ..
Подставляя для величины — полученное выражение найдем
р = yPks0 cos — kx).
Подставляя из формулы (12.2) скорость частиц и, получаем
р = рсн или и=^с- (12.4)
Это соотношение между р и и справедливо в любой момент вре-
мени, в частности и в момент максимальной амплитуды; следова-
тельно,
р0 = рси0. (12.5)
Для воздуха при комнатной температуре рс№ 41, и формула (12.5)
примет вид
р0 = 41п0, (12.5')
При 0° рс^ 43. Звуковое давление измеряется в акустике обычно в
дн/см\ а скорость частиц в см)сек.
Если проделать те же вычисления для волны, распространяю-
щейся в отрицательном направлении, для которой волновой аргу-
мент будет равен то получится выражение вида (12.4),
но с обратным знаком в правой части. В общем случае можно
выражение (12.4) применять как для прямой, так и для обратной
волны, учитывая, что скорость волны с может быть положительной
или отрицательной (±с).
Поскольку р и и выражаются через функцию cos (cof — kx), из
(12.4) ясно, что звуковое давление и скорость частиц в плоской
волне находятся всегда в одной и той же фазе и что между ними
имеется прямая пропорциональность. Иными словами, в любой момент
времени в ^точках наибольшего звукового давления мы будем иметь
также наибольшую положительную скорость частиц; в точках наи-
меньшего звукового давления будет иметь место наибольшая отри-
цательная скорость колебательного движения частиц. Это обстоя-
328
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
тельство явствует также из рис. 199 гл. XI. Скорость частиц и,
получающаяся при звуковом давлении /?, обратно пропорциональна
величине ре, которая носит название акустического сопротивле-
ния среды !). В таблице на стр. 333 приведены величины рс для ряда
веществ. Формула (12.4), выведенная для плоской волны, для сфе-
рической волны заменяется более сложной, но на больших расстоя-
ниях от центра излучения она пригодна и для сферической волны.
Звуковая волна переносит энергию в направлении своего распро-
странения. Количество переносимой ежесекундно через единицу пло-
щади фронта волны энергии или поток энергии через 1 см* фронта
волны называется интенсивностью или силой звука (гл. XI, § 17).
Найдём выражение силы звука / через звуковое давление в про-
стейшем случае — для плоской волны. Выделим площадку в 1 см\
перпендикулярную к направлению распространения волны. Сила,
действующая на эту площадку в некоторый момент времени /, равна
звуковому давлению р. Пусть эта сила произвела смещение ds\ тогда
работа будет ра^на dA—pds. Но отрезок пути ds можно предста-
вить как произведение скорости частицы и на промежуток времени
dt\ тогда получим dA=pu dtt или, если выразить скорость колеба-
ний частиц и через давление р по формуле (12.4), dA—^-dt.
Если давление в плоской волне меняется по синусоидальному закону
с амплитудой р, то, как мы это уже показали (гл. XI, § 8, вывод
формул (11.63)—(11.65) при cosq>=l), работа за период будет
1 pQ
у — Т, а среднее значение работы за единицу времени будет равно
2рс ре
(12.6)
где pQ — эффективная амплитуда давления,
равная .
Эта
фор-
мула даёт среднее значение работы, затрачиваемой на образование
волны за единицу времени на площади фронта волны в 1 си2, т. е.
величину потока энергии через 1 см* фронта волны (вектор Умова).
Так как
р0 = рсп0 и Uq — VSq,
мы получим выражения силы звука / через п0 и s0
/=урси2 = 1рсо>’4 (12.7)
В системе CGS сила звука выражается в эрг1см*1сек.
В общем случае распространения волн в некоторой среде аналогич-
ная величина носит название волнового сопротивления.
§ 3]
ИЗМЕРЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ ЗВУКА
329
Принимая во внимание, что сферическая волна на больших рас-
стояниях приближается к плоской, мы можем применять в этом слу-
чае формулы (12.6) и (12.7). Амплитуда давления в шаровой волне
обратно пропорциональна расстоянию до источника звука, и потому
из формулы (12.6) можно заключить, что сила звука убывает с рас-
стоянием по закону обратных квадратов, как это и должно иметь
место по энергетическим соображениям (гл. XI, § 17).
Для большинства источников звука сила звука, излучаемая
по различным направлениям, различна. Найдя общий поток звуковой
энергии через замкнутую поверхность, окружающую источник, мы
получим полную излучённую им мощность, которая называется
мощностью источника и измеряется в единицах мощности (в эрг]сек
или в ваттах).
Из формул (12.6) и (12.7) легко подсчитать, что при равной
силе звука звуковое давление оказывается в воде (рс= 1,43-10й)
приблизительно в 60 раз больше, чем в воздухе (рс = 41) и, наобо-
рот, скорость частиц — в 60 раз меньше, чем в воздухе.
§ 3. Измерение интенсивности (силы) звука. Микрофоны. На
опыте наиболее просто измерять непосредственно не силу звука,
а звуковое давление, пли скорость колебания частиц среды. Изме-
рив р0 или н0, силу звука можно вычислить (в случае плоской
волны) по формуле (12.6) или (12.7).
Для измерения скорости частиц в
звуковом поле применяется диск Рэлея,
который представляет собой очень
тонкий слюдяной кружок диаметром
около 1 см, подвешенный на очень
тонкой кварцевой нити. При обтекании
диска потоком среды, возникающим при
прохождении волны, у краёв диска
тр} бки тока воздуха с одной стороны
диска сжимаются, а с обратной — рас-
ширяются (рис. 214). Давление в области сужения трубок тока будет
уменьшено, а в области расширения увеличено, и, в результате, возни-
кающие гидродинамические силы, как ясно из рисунка, дадут крутящий
момент, стремящийся повернуть диск так, чтобы его плоскость
стала перпендикулярной к направлению волны; в этом положении
все линии тока будут симметричны и крутящий момент стано-
вится равным нулю. Крутящий момент, как показывает теория, про-
порционален квадрату скорости частиц. Наблюдая с помощью свето-
вого луча, отражённого от зеркальца на диске, можно определить
угол поворота диска, пропорциональный крутящему моменту. Зави-
симость величины крутящего момента от скорости определяется
в постоянном воздушнОлМ потоке, имеющем известную скорость.
Таким образом, по углу поворота диска возможно вычислить ампли-
туду скорости частиц и по формуле (12.7) найти силу звука. При
330
АКУСТИКА
[гл. XII
измерении в стоячей волне диск даст отклонения в пучностях и будет
неподвижен в узлах, где скорость wo = O. Метод диска Рэлея
является абсолютным, но он обладает очень малой чувствительно-
стью и крайне подвержен действию ничтожных потоков воздуха
(конвекция, ветер) и поэтому пригоден лишь для измерения очень
сильных звуков и только в лабораторных условиях. Практиче-
ские способы измерения силы звука основаны на применении мик-
рофонов, абсолютная градуировка которых производится путёлМ
сравнения с диском Рэлея.
Микрофоны — это аппараты, позволяющие преобразовывать звуко-
вые колебания в электрические. Микрофоны применяются для записи
звука, передачи его на большие расстояния, а также для измерения
силы звука.
Простейшим микрофоном является угольный микрофон. В этом
микрофоне применяется угольная диафрагма, зажатая по краю
в круглой коробке (капсюле). Под действием звука эта диафрагма
приходит в колебание. Позади диафрагмы расположена ребристая
угольная колодка, изолированная от капсюля, а промежуток между
ней и диафрагмой заполнен угольныхм порошком. Микрофон вклю-
чается в цепь батареи, и ток от диафрагмы к колодке проходит
через слой угольного порошка. Под действием звуковых волн поро-
шок подвергается периодически меняющемуся давлению, вследствие
чего периодически меняется и электрическое сопротивление микро-
фона, а, следовательно, и сила протекающего через него тока, т. е.
возникает переменный ток звуковой частоты. Включая в цепь микро-
фона телефон, мы получаем возможность слышать звук.
Обозначим сопротивление микрофона постоянному току через г0; при
колебаниях диафрагмы мы получим некоторое колебание этого сопротивле-
ния, что можно учесть, прибавляя к сопротивлению г0 некоторую малую
величину as0 sin пропорциональную смещению диафрагмы s0 sin mt и меняю-
щуюся с частотой звука ш. Сила звука в цепи микрофона будет
_______Е
Го + zSq sin mt9
где Е—электродвижущая сила батареи. Разлагая это выражение по биному
Ньютона, мы получим
ЕЕ Е
asQ sin mt + Тз sin2mt + ... (12.8)
^0------------------------------Г0
E
Ток в цепи микрофона будет состоять из постоянной части —, из синусои-
Е '*
дального тока -5- as sin mt с частотой ш, передающего звуковые колебания,
и из ряда дополнительных членов, содержащих sin2 mt, sin5 mt и т. д. Высшие
степени синуса можно преобразовать по формулам тригонометрии в функ-
ции sin и cos кратных частот 2т, За> и т. д. Следовательно, в цепи микро-
фона возникают добавочные колебания с частотами, не имеющимися в перво-
начальном звуке, и, следовательно, дающими искажение формы кривой
§ 3]
ИЗМЕРЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ ЗВУКА
331
звукового процесса. Добавочные колебания возрастают с увеличением ампли-
туды быстрей, чем колебание основной частоты, так как их амплитуда про-
порциональна высшим степеням se. Это так называемые нелинейные иска-
жения, так как связь между i и $0 имеет нелинейный характер и выра-
жается через высшие степени s0 (см. гл. XI, § 15). Кроме искажений, уголь-
ный микрофон даёт шум, вследствие нерегулярного изменения сопротивле-
ния угольного порошка. Вследствие этих обстоятельств, а также вследствие
того, что резонансная частота угольной диафрагмы микрофона лежит обычно
в области около 1000 гц, угольный микрофон даёт дополнительные искажения
звука. Благодаря высокой чувствительности, которая позволяет осуществить
передачу речи по проводам на десятки километров, а также благодаря про-
стоте устройства, угольный микрофон имеет широчайшее распространение
в телефонной технике.
В настоящее время существует большое число типов высокока-
чественных микрофонов, практически не дающих искажений. Мы
опишем здесь кратко лишь электродинамические микрофоны: ленточ-
ный микрофон и микрофон с подвижной катушкой.
Ленточный микрофон (рис. 215) состоит из тонкой го-
фрированной алюминиевой ленты, подвешенной в щели
между продолговатыми полюсными наконечниками
магнита. Форма полюсных наконечников выбрана с
тем расчётом, чтобы обеспечить возможно свобод-
ное огибание ленты звуковыми волнами. Фаза зву-
кового давления при проходе звука от одной сто-
роны ленточки до другой немного изменяется, вслед-
ствие чего звуковое давление с двух сторон ленты
оказывается несколько различным — возникает не-
которая разница звуковых давлений. Благодаря
этой разнице давлений и появляется сила, пропор-
циональная звуковому давлению и вызывающая ко-
лебание ленты. При колебательном движении лента
пересекает магнитные силовые линии и на её зажи-
мах возникает электродвижущая сила, пропорциональная скорости
движения, которая затем может быть усилена при помощи усили-
теля с электронными лампами. Микрофон этого типа наиболее сильно
реагирует на звуки, падающие перпендикулярно к плоскости лен-
точки, и совершенно нечувствителен к звукам, падающим в плоско-
сти ленточки. Ленточный микрофон значительно (примерно в 100 раз)
менее чувствителен чем угольный, но зато его чувствительность
почти не меняется во всём диапазоне слышимых частот.
Микрофон с подвижной катушкой устроен на том же принципе.
Разница лишь в том, что проводник, в котором индуцируется электро-
движущая сила, навит в форме катушки К (рис. 216) на каркас,
жёстко прикреплённый к лёгкой (например, выдавленной из алюми-
ния) диафрагме D, приводимой в колебания переменным звуко-
вым давлением. Катушка входит в кольцевой зазор магнита NS
и при колебаниях пересекает радиальные магнитные силовые ли-
нии (идущие от центрального стержня магнита N к кольцевому
332
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
ободку SS), вследствие чего и возникает переменная электродви-
жущая сила.
В описанных двух типах электродинамических микрофонов
(равно как и в ряде других современных микрофонов, не упоминае-
мых здесь) весьма точно соблюдается пропорциональность между
давления р0 и амплитудой силы тока /0, возни-
кающего в цепи микрофона:
= (12.9)
В этих микрофонах, в противополож-
ность угольному, нелинейные искажения
практически отсутствуют, и их весьма целе-
сообразно применять для измерительных це-
лей. Микрофон в соединении с усилителем,
детектором и гальванометром даёт возможность измерить звуко-
вое давление или силу звука. По этому принципу строятся пере-
носные приборы для измерения силы звука, получившие в послед-
нее время широкое распространение. Практически удаётся измерять
звуковые давления, имеющие величину от 0,001 дн/см1 до несколь-
ких тысяч дн/см*. Такого рода приборы не являются абсолютными
и должны быть проградуированы, например по I показаниям диска
Рэлея.
§ 4. Распространение звука. Скорость звука. В гл. XI, § 19
мы вывели формулу (11.96) для скорости звука в газах
if.
(12.10)
Принимая во внимание, что р и Р при постоянной температуре
изменяются пропорционально друг другу (закон Бойля-Мариотта),
мы убеждаемся, что скорость звука не зависит от величины по-
стоянного давления в газе Р. Поэтому вместо Р можно ввести нор-
мальное атмосферное давление Ро, а под р понимать плотность газа
нри нормальных давлении и температуре. Зависимость плотности р
от температуры следует закону
Ро 273
р=тт^==р»-г>
где р0 — плотность газа при 0°, t — температура в градусах Цель-
сия, а 0 — абсолютная температура. Величина у почти не зависит
от Р и t. Таким образом, выражение для скорости звука в газе мы
можем написать в следующих формах:
= 02.11)
§ 41 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА 333
р
где = 27^------газовая постоянная для одного грамма вещества;
=, где М — молекулярный вес (см. гл. XIII, § 10).
Так как то из формулы (12.11) следует, что
с имеет температурный коэффициент, равный примерно -^-=-2- • 273;
скорость увеличивается примерно на 0,61 м/сек на 1°. При комнатной
температуре (20° С) скорость звука равна 343 м/сек, а при 0°С —
332 м/сек. Газовая постоянная R обратно пропорциональна молеку-
лярному весу газа. Следовательно, скорость звука должна быть об-
ратно пропорциональна квадратному корню из молекулярного веса
газа. Поэтому газы, в которых звук распространяется быстрее всего,
это — водород (с= 1263 м/сек) и гелий (с = 971 м/сек).
Измерение скорости звука в воздухе нетрудно произвести на
опыте. Для этого проще всего воспользоваться звуком выстрела.
Если на расстоянии в несколько километров наблюдать вспышку
света при выстреле и определить промежуток времени между при-
ходом вспышки света и звука выстрела, то этот промежуток можно
с достаточной точностью принять за время распространения звука,
так как свет проходит расстояние в несколько километров в нич-
тожные доли секунды. Деля расстояние на промежуток времени,
находим скорость звука.
Скорость звука в различных телах.
Газы (при 0°С и давлении 760 мм)
X с {см!сек) ре (г!см!сек)
Воздух 3,32-104 43
Водород 12,63-104 11
Углекислота 2,58-104 51
Жидкости ( при 17° С)
Спирт этиловый 14,4-104 11,4-Ю*
Вода 14,3-104 14,2-10*
Ргуть (при 20е С) 14,6-104 198-10*
Твёрдые тела (продоль .ные волны в стеря <нях)
Алюминий 52,5-104 139-10*
Сталь 50,5-104 393-10*
Стекло 45-104—56-104 112.10*—140-10*
Скорость звука в воде на опыте была впервые измерена анало-
гичным методом Штурмом и КолладонОхМ на Женевском озере
(1828 г.). При температуре воды в 8 С они нашли скорость звука
334
АКУСТИКА
[гл, ХИ
равной 1435 м/сек. В морской воде величина скорости звука лежит
в пределах от 1440 до 1550 м/сек, меняясь в зависимости от тем-
пературы и солёности воды. Скорость распространения звуковых
волн в твёрдых телах значительно больше, чем в жидкостях и газах,
по той причине, что их упругость несравненно больше.
Выше в таблице приведены значения скорости звука для некото-
рых газообразных, жидких и твёрдых тел (в твёрдых телах приве-
дены скорости продольных волн в стержнях), а также значения вели-
чины акустического сопротивления рс.
Переход звука аз одной среди в другую. Разберём предельный
частный случай преломления звука при угле падения, равном нулю. Пусть
Рь Ci и р2 и с2 — плотность и скорость звука в первой и второй средах
и пусть волна падает по направлению оси х слева на границу раздела, про-
ходящую по линии х = 0 (ось ординат). Волна скорости частиц слева от
границы составится из суммы падающей и отражённой волн, справа же от
границы получится одна проходящая волна по направлению положительной
оси х. Обозначая п0, аг и at амплитуды волн скорости частиц в падающей,
отражённой и прошедшей волне, а через срг и ср/ сдвиги фазы для отражён-
ной и проходящей волны, получим с двух сторон от границы следующие
выражения для волн скорости частиц:
х< 0 I х > 0
Ho sin (mt — kx) 4- Ur sin (mt 4- kx — cpr) I Ut sin (mt — kx — cp/).
Согласно § 2, для волны звукового давления будем иметь
IZoPl^i sin (mt — kx) — UrfiCi sin (mt 4~ kx — cpr) | UfaC2 sin (rnt — kx — cp/).
На границе, при x=0, должно получиться одно и то же значение и и р
с обеих сторон от границы, и мы получим
Uo sin mt 4~ Ur sin (mt — cpr) = щ sin (mt — ср/);
«opiCj sin mt — sin (mt — cpr) = n/p2r2 sin (<«>/ — <p/).
Разлагая sin (mt — vr) и sin (mt — ср/) по формуле синуса разности и при-
равнивая коэффициенты при sin mt и cos mt получим следующие четыре урав-
нения:
+ ur cos = utcos ur sin == ut sin
WoPiCi — wrpiCi cos cpr= и#2с2 cos ср/, sin cpr = — ut?2c2 sin ?/.
Введём обозначения
ur
au~~^------------коэффициент отражения волны скорости частиц,
Л ut
Ра = ------коэффициент проникновения волны скорости частиц.
ко
Тогда наши четыре уравнения можно привести к виду
1 + ?О C0S <Рг= ?и cos аа sin = ₽в sin
р2с2 р2с2 (12.12)
1 — att cos <рг = —— cos ?t, аа sin <рг = — — sin
rlcl г1с1
Из этих четырёх уравнений мы можем определить коэффициенты отра-
жения (аи) и проникновения (Зи), а также сдвига фазы срг и ср/. Вычитая друг
( л
из друга два правых уравнения, получим p^sin ф/ 4- — J = 0. Так как
§
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА
335
(Рз ^*2^
1 + ) существенно положительно, а $и, вообще говоря, не равно нулю,
то полученное условие может быть выполнено лишь при условии sin = 0;
отсюда вытекает, что cos«p/ = ztl и^ = {0. Из уравнения awsincpr =
==?aSin^, в рилу того, 4TOsin<p/ = 0, получим sin фг = 0 и cos tpr== zt 1,
т. е. <рг = {0’ Складывая два левых уравнения (12.12), получим
₽ucos?/ (1 + ^) = 2;
( р2Са\
так как и существенно положительны, то из двух возможных
значений cos®; может принять только одно
cos<f7==+l, т. е. ф/ = 0.
(12.13)
Итак, проходящая волна не претерпевает скачка фазы при переходе
границы; коэффициент проникновения волны скорости частиц будет равен
j 2 ?lC1
и PiCi +"p2cs ’
Вычитая два левых уравнения (12.12) друг из друга и учитывая
получаем
(12.13')
(12.13),
“и cos <рг =
/
Pigi РаС2
Pi^i 4~ Pa^s *
Так как аа существенно положительно, то отсюда вытекает, что
при piC1<p2c2 должно быть: cos —— 1, т. е. фг=±тс; (12.14-1)
при ра>?2с2 должно быть: cos <рг = 4-1, т. е. <рг = 0. (12.14-11)
В первом случае имеет место отражение с потерей (или добавлением)
полволны, и мы получим для коэффициента отражения
____иг P2g2 Plgl
U Pi С1 + Р2С2 ’
Во втором случае имеет место отражение без потери полволны и
“r
а
и
Р А — РА
Р1С1 4~ Р2С2 *
(12.15-1)
(12.15-11)
При условии р2с2 = pjCt, — 0, т. е. отражения не будет, и весь звук
перейдёт во вторую среду. Обратим внимание, что при Ci = c2, т. е. при
\ Ci
равенстве единице показателя преломления л = — и, следовательно, при
с2
отсутствии преломления в случае падения звука на границу раздела под
любым углом мы получаем, вообще говоря, p^t р2са. Таким образом,
аат5 0, а значит, при нормальном падении на границу двух сред с равными
скоростями звука будет происходить частичное отражение звука. Для волны
смещения частиц (s) получатся те же выражения для as и что и для аи
и так как амплитуда смещения пропорциональна амплитуде скорости
частиц. Величина ?с носит название волнового или акустического сопротив-
ления среды.
336
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
Для коэффициента отражения и проникновения волны давлений полу-
чается существенная разница. Выражение для отражённой волны давления
получается из выражения для отражённой волны скорости путёи умноже-
ния на (—PiCi), т. е. путём сдвига фазы на угол те. При о/ражении с
соблюдением условия (12.14-1) волна давления, сверх сдвига на я, происходя-
щего в волне скорости частиц, получит ещё дополнительный Ддвиг на те и
в результате будет иметь сдвиг на 2те, т. е. отразится без потери полволны.
Наоборот, при соблюдении условия (12.14-11) волна давления отразится с по-
терей полволны. Коэффициент отражения для волны давления^ в первом слу-
чае будет выражаться той же формулой: (12.15-11), а во втором—формулой
(12.15-1). Для коэффициента проникновения волны давления получим
g _ Ц/Р2С2 2p2g2
?р Mopi^i pi^i + Р2^2 ’
(12.16)
Таким образом,
Диффракция звука. В акустике мы имеем дело с длинами
волн от нескольких метров до нескольких сантиметров. Поэтому
вводить понятие о звуковых лучах, регулярно отражающихся и пре-
ломляющихся, мы имеем право лишь с большим ограничением
(см. гл. XI, § 24), только при достаточно больших размерах
предметов, на которые падают звуковые волны. При встрече с какими-
либо препятствиями и при прохождении через отверстия проис-
ходит диффракция звука — звуковые волны в очень сильной сте-
пени загибаются в область геометрической тени. Благодаря этому
мы можем слышать звуки источников, находящихся вне поля зрения
например, за углом дома, за высокой стеной или за рядом домов
в городе и т. п. При прохождении звука через щель можно легко
наблюдать расширение границ геометрической тени. Для демон-
страции этого явления можно взять свисток с частотой около
десятка тысяч герц (1^3,4 см) и щель шириной!—2 см, прорезан-
ную в экране, размером около 1 м. Маленьким микрофоном удаётся
обнаружить диффракционное загибание звука в область тени.
Отражение звука. Регулярное отражение звуковых волн по
законам, которые мы вывели в гл. XI, § 23, происходит при падении
звука лишь на очень большие по сравнению с длиной волны поверх-
ности, например, на стену большого здания или на скалу. Высокие
звуки (5000— 10 000 гц), имеющие малую длину волны, дают почти
регулярное отражение даже и от сравнительно небольших поверх-
ностей, порядка 0,5—1 м*. С такими звуками можно легко про-
делать опыты отражения от небольшой плоской поверхности или
от сферических зеркал. Так, например, удаётся слушать такой слабый
источник, как карманные часы, на расстоянии в несколько метров,
если идущий издали звук собрать в фокусе большого сферического
зеркала.
Отражение звука от больших поверхностей легко наблюдать
непосредственно ухом на расстояниях, больших 10—15 м, создавая
короткие звуковые импульсы. Если отражённый звуковой импульс
§ 4]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА
337
приходит через промежуток времени более */15 сек после прямого
(разность ходов ^>20 м), то ухо слышит отражённый звук раздельно.
Это явление носит название эхо и хорошо известно в обыденной
жизни; часто приходится слышать эхо от гор, от высоких сводов
и стен больших зданий и т. п.
При отражении от плоских поверхностей, малых по сравнению
с длиной волны, регулярное отражение под углом, равным углу
падения, становится мало заметным, и явления приобретают характер
рассеяния волн (см. гл. XI, § 24).
Преломление звука. При переходе звука из одной среды
в другую, в которой скорость звука иная, происходит преломление
звуковых лучей (см. гл. XI, § 23). Часть звука проходит во
вторую среду, часть же отражается обратно в первую. Преломлён-
ный, отражённый и падающий лучи лежат в одной плоскости. Отно-
шение синуса угла падания к синусу угла преломления равно отно-
шению скоростей звучав первой и второй среде и называется коэф-
фициентом преломления. Нетрудно подсчитать [по формулам (12.13')
и (12.16)], что из воздуха в воду (или обратно) проникнет при
нормальном падении всего примерно 0,1 °/0 падающей звуковой
энергии; остальной звук отражается. Из воды в сталь (и обратно)
проникает уже гораздо более — около 13% падающей энергии, так
как величины рс для этих сред не столь сильно отличаются друг
от друга. При падении звука на слои воздуха более нагретого (или
более холодного), чем окружающий их воздух, на границе проис-
ходит, благодаря незначительной разнице в величинах рс этих слоёв,
некоторое небольшое отражение звука, большая же часть его проходит
через границу. Если в атмосфере имеется ряд слоёв с различными
температурами (что часто бывает в жаркие дни, когда различные
участки земли нагреваются неодинаково), звук частично отражается
на границе многочисленных слоёв разной температуры и в результате
рассеивается. Таким образом, при распространении звук ослабевает
гораздо быстрей, чем в однородной атмосфере. Ночью над ровной
поверхностью степи или над озером температура воздуха очень
равномерна, и потому звуки весьма далеко слышны.
Регулярное преломление звука с малой длиной волны (частоты
порядка 10 000 гц) можно продемонстрировать с помощью большой
полой, двояковыпуклой чечевицы, сделанной из плёнки коллодия
и наполненной ватой или лёгким пухом, в которой скорость звука
уменьшается, в результате чего мы получаем собирающую линзу;
концентрацию звука в фокусе такой линзы без труда удаётся
заметить. Если такую же чечевицу заполнить водородом, то мы
получим рассеивающую линзу.
Рефракция звука. При постепенном изменении свойств среды
скорость звука также постепенно меняется и звуковой луч при этом
преломляется в каждой точке своего пути и описывает в результате
криволинейную траекторию. Это явление называется рефракцией.
22 Папалекси, т. I
338
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
Не останавливаясь здесь на теории рефракции, скажем лишь, что звук
отклоняется всегда в сторону более холодных слоёв воздуха или воды.
Благодаря тому, что скорость звука в некотором слое (на высоте
50—70 км> вследствие изменения преломляющих свойств /(изменение
температуры и состава атмосферы) больше, чем в нижних слоях,
звук, идущий под некоторым углом к земной поверхности, посте-
пенно загибается, описывает дугу и снова возвращается на землю.
В результате возникновения таких криволинейных / лучей звуки
сильных взрывов бывают слышны на чрезвычайно больших расстоя-
ниях в 200—300 км и более. Звуки же, идущие/ вдоль земли,
сильно поглощаются и рассеиваются благодаря неровностям поверх-
ности, неравномерности температуры воздуха и действию ветра,
в результате чего они слышны на расстояниях максимум до 20—
30 км. Далее, получается так называемая зона молчания, имеющая
ширину от 50 до 150 км, за которой появляется уже упомянутая
выше зона аномальной слышимости. В результате отражения от
земной поверхности звуковые лучи, падающие сверху, вновь уходят
в верхние слои атмосферы, и за первой зоной аномальной слыши-
мости появляется иногда снова зона молчания, а за ней вторая зона
аномальной слышимости. На рис. 217 показаны на карте зона мол-
чания и кольцевая зона аномальной слышимости при взрыве в Мо-
скве 9 мая 1920 г. Точки на рисунке означают пункты, где звук
взрыва был замечен различными наблюдателями.
Влияние ветра на распространение звука. При ветре слои
воздуха, ближайшие к земной поверхности, задерживаются бла-
годаря трению, и в результате скорость движения постепен-
но возрастает с высотой. Скорость звука складывается (геоме-
трически) со скоростью ветра, и потому звуковые лучи, исходящие
из какой-либо точки на земле под углом к горизонту и идущие
попутно с ветром, будут переходить в области со всё большей
попутной скоростью ветра, что приведёт к постепенному загибанию их
к земной поверхности, причём они опишут замкнутые дуги (рис. 218).
Наоборот, лучи, идущие косо вверх против ветра, будут попадать
в области со всё большей встречной скоростью ветра, что приведёт
к загибанию их кверху, и они будут уходить всё дальше от земли.
§ 4]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА
339
Таким образом, источник звука, находящийся на земной поверхности,
будет хорошо слышен для наблюдателя, находящегося также вблизи
земной поверхности, по ветру и плохо слышен или совсем не слышен
против венгра. Это обстоятельство используется охотниками, которые
всегда подползают к дичи против ветра. То же самое должны иметь
в виду военные разведчики. Однако следует учитывать, что на
некоторой высоте над земной поверхностью звуки, отклонившиеся
от земли, могут быть достаточно хорошо слышны.
Затухание звука. При рассмотрении сферической волны мы
видели, что уменьшение амплитуды колебаний с расстоянием объяс-
няется расхождением волны и распределением той же энергии
в большем объёме. Однако опыт убеждает нас в том, что сила
звука в сферической волне убывает быстрее, чем этого требует
закон обратных квадратов, вытекающий из указанных предпосылок.
Точно так же и при распространении звука в трубах амплитуда
колебаний убывает с расстоянием, хотя в плоской волне она
должна была бы оставаться неизменной. Затихание при распро-
странении звука в трубе объясняется наличием вязкости воздуха
(а также и других сред). Благодаря наличию вязкости и трения
в среде, амплитуда колебаний оказывается наибольшей в средней
части сечения трубы и постепенно убывает по мере приближения
к стенкам; слой же воздуха, непосредственно прилегающий к стенке,
как бы прилипает к ней, оставаясь неподвижным. Очевидно, соседние
цилиндрические слои воздуха перемещаются с различной колебатель-
ной скоростью и более медленные слои тормозят движение более
быстрых, и вследствие этого на преодоление трения затрачивается
часть энергии звуковой волны. Кроме трения, затухание звука
вызывается отдачей тепла стенкам трубы и передачей колебаний
через стенки во внешнюю среду. Вследствие указанных причин
амплитуда звукового давления уменьшается по мере распространения
волны в трубе по закону
р = р*е-^ (12.17)
где pQ—начальная амплитуда звукового давления (при х=0).
Амплитуда звукового давления, согласно закону (12.17), убывает на
единицу длины пути всегда в одинаковом отношении , независимо
от амплитуды звуковых волн. Величина р называется коэффициентом
затухания звука. В не слишком узких трубах (диаметра>1 см)
затухание звука очень незначительно, и поэтому посредством труб
удаётся громко передать речь на десятки метров.
Затухание звука в воде значительно меньше чем в воздухе. Это
даёт возможность вести подводную звуковую сигнализацию на очень
большие расстояния, достигающие десятков, а иногда и сотен кило-
метров. Наличие неравномерно нагретых слоёв воды здесь, как и в
воздухе, может вызвать отклонение и рассеяние звука, и в резуль-
тате дальность слышимости сильно убывает.
22*
340
АКУСТИКА
[гл. X11
§ 5. Источники звука. В дальнейших параграфах мы подробно
остановимся на свойствах некоторых простейших и характерных
источников звука (трубы, струны, мембраны), но предварительно
мы дадим общий обзор различных возможных видов источников звука
и их классификацию. Мы можем выделить три принципиально раз-
личных класса источников.
1. Источники, в которых получение звука осуществляется посред-
ством возбуждения свободных колебаний некоторой системы, спо-
собной излучать звук. Свободные колебания возникают, как мы
знаем, в результате некоторого начального толчка, сообщённого
системе. Они имеют характерную для данной системы частоту и через
некоторое, более или менее длинное, время затухают в результате
потерь энергии на трение и излучение звука. К этому классу отно-
сятся звуки камертонов, колоколов, пластинок или стержней, воз-
буждаемых ударом. Сюда же следует причислить зв^ки струн, воз-
буждаемых ударом (как это имеет место в рояле) или щипком (арфа,
гитара, цитра). Указанные выше звуки имеют малое затухание и при-
ближаются по своему характеру к периодическим звуковым про-
цессам. Периодические и близкие к периодическим звуки называют
музыкальными тонами. Однако, если скорость затухания колебаний
очень велика, то звуки этого рода теряют свой музыкальный характер
и приобретают характер удара, щелчка или импульса. Быстро
затухающие колебания сырой деревянной доски или ударяющихся
друг о друга камней ухо воспринимает, как удары, лишённые тональ-
ного характера.
2. Ко второму классу мы отнесём источники, в которых полу-
чение звука осуществляется путём возбуждения колебаний неко-
торой системы (способной излучать звук) при помощи постоянной
силы, действие которой на данную колебательную систему так регу-
лируется самими колебаниями, что система всё время получает
периодические толчки, поддерживающие колебания и компенсирующие
затухание, вызываемое рассеянием энергии. Такие системы, как мы
знаем (гл. XI, § 9), носят название автоколебательных. Они дают
незатухающие колебания, причём частота возбуждаемых колебаний
весьма близка к собственной частоте данной системы. К этому классу
источников звука мы отнесём, например, камертон, возбуждаемый
электромагнитом, ток в котором замыкается и размыкается в такт
колебаниям благодаря замыканию и размыканию контакта между
остриём, прикреплённым к камертону, и некотором неподвижным
контактом, совершенно подобно тому, как это делается в электри-
ческом звонке. Из музыкальных инструментов возбуждение авто-
колебаний имеет место в смычковых инструментах (скрипка, вио-
лончель — см. ниже, § 8), а также в органных трубах (см. ниже,
§ 7), свистках, духовых инструментах и голосе человека.
3. К третьему классу мы отнесём источники, в которых звук
получается путём возбуждения колебаний некоторой системы
РЕЗОНАНС В АКУСТИКЕ
341
§ 6]
(способной излучать звук), подвергающейся действию вынуждающих
внешних сил, причём эта система лишь воспроизводит (более или
менее точно) колебания, к которым её вынуждает приложенная сила.
Примером таких источников служит зубчатое колесо Савара, в кото-
ром звук производится частыми ударами зубцов колеса по краю7
упругой картонки. Здесь частота тона определяется частотой внешней
силы, определяемой числом ударов зубцов колеса о картонку за
1 сек, звучащая же поверхность картонки совершает лишь выну-
жденные колебания. Точно так же в сирене поток воздуха или пара
из резервуара ритмически прерывается быстро вращающимся диском
с рядом отверстий. Частота звука сирены зависит от скорости вра-
щения диска, сила же звука — от величины давления в резервуаре.
К третьему классу мы должны отнести также граммофон и все
важнейшие современные электроакустические излучатели, называемые
громкоговорителями. В граммофоне звук производится посредством
движения некоторой диафрагмы (мембраны), приводимой в колеба-
ния иглой, скользящей по бороздкам пластинки. Возникающий звук
соответствует форме кривой этих борЪздок и воспроизводит тот
звук, который был записан на пластинку. В громкоговорителях
(см. ниже, § 11) звук возникает под действием электрического тока
звуковой частоты, приводящего (посредством электромагнитных или
электростатических сил) в движение некоторую диафрагму, которая
и является излучателем звука; колебания диафрагмы должны возможно
точно передавать колебания возбуждающего её тока звуковой частоты.
§ 6. Резонанс в акустике. Мы уже видели (гл. XI, § 7), что
в случае действия на колебательную систему периодической силы,
частота которой близка к частоте свободных колебаний этой системы,
амплитуда вынужденных колебаний сильно возрастает. Это явление
называется резонансом.
Если взять два камертона на деревянных ящиках, усиливающих
звучание1), настроенных на одинаковую частоту, поставить их на
некотором расстоянии друг от друга и, возбудив сперва сильные
колебания одного из них смычком, внезапно заставить его замолчать
(зажать рукой), то окажется, что произошло возбуждение колебаний
второго камертона и он издаёт довольно сильный звук. Если частоту
второго камертона сделать немного отличной от частоты первого,
прикрепив добавочные грузы на его ножках, то оказывается, что
второй камертон возбуждается тем слабей, чем больше расхождение
частот. Звук, излучаемый первым камертоном, играет роль перио-
дической возбуждающей силы и вызывает наиболее сильные выну-
жденные колебания второго камертона, если частоты их равны (т. е.
при резонансе). По мере увеличения разницы частот двух камерто-
нов, возбуждение второго камертона ослабевает, и тем быстрей, чем
меньше его затухание.
1) О сущности их действия будет сказано ниже, в § 7.
342
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
Опыт показывает, что каждая воздушная полость с отверстием
(например, бутылка, колба) является акустическим резонатором.
Нетрудно рассчитать резонансную частоту такой полости. Пусть горло
резонатора представляет собой трубочку длиной I и с площадью сечения q.
При действии звука на резонатор воздух в полости объёма и будет перио-
дически сгущаться и разрежаться. Эти сжатия и разрежения (Av) будут
подчиняться адиабатному закону, и избыточное давление в полости можно
вычислить по формуле (12.3), § 2. В данном случае, очевидно, Av = qs, где
s — смещение частиц в горле резонатора. Упругая сила F, действующая на
всю площадь q, будет равна qpt и, следовательно, мы имеем
P=qP=-^ = -
Из этого выражения ясно, что упругость системы в данном случае будет
равна
й = . (12.18)
Кинетическая энергия системы определяется в основном колебаниями массы
воздуха в горле, так как по выходе из трубки скорости частиц сразу ста-
новятся малы; таким образом, можно считать, что массу системы составляет
масса воздуха в горле m = ql$.
Представим выражение для массы т в форме
2 /
m = -^ = ?Zp, где К—--. (12.19)
Л 4
Величина К носит в акустике название проводимости трубки (отверстия);
она, очевидно, обратно пропорциональна инертной массе т системы и характе-
ризует степень «подвижности» данной системы.
Резонансная частота системы <о0 (угловая) равна, как мы знаем (гл. XI,
§ 3), корню квадратному из упругости, делённой на массу. Подставляя т и k
в эту формулу, получим
-“/s'-VT <ri20>
В том случае, когда горло резонатора сильно укорачивается, формула
для массы колеблющегося в горле воздуха т = ^7р уже перестаёт быть
верной. В пределе, когда мы имеем просто отверстие в очень тонкой стенке,
можно считать длину трубки 7 = 0, и мы получили бы /и = 0, что, очевидно,
неверно, так как некоторая колеблющаяся масса остаётся и в этом случае.
Эта масса характеризует инерционные свойства воздуха в отверстии и носит
название присоединенной или добавочной массы; она не сосредоточена в
самом отверстии, в движении принимает участие также и воздух, приле-
жащий к отверстию, но наибольшие скорости имеют частицы воздуха в от-
верстии и близ него. Когда отверстие диаметра D сделано в бесконечно
протяжённой, очень тонкой стенке (7 = 0), можно показать, что для про-
водимости имеет место очень простое выражение
K—D. (12.21)
Но даже если диаметр стенки вокруг отверстия (фланца) всего в 2—3 раза
больше диаметра отверстия, формула (12.20) при D даёт очень хорошее
приближение.
Зная К по формуле (12.19), мы находим эквивалентную массу т, и тогда
расчёт частоты легко производится по формуле (12.20).
§ 6]
РЕЗОНАНС В АКУСТИКЕ
343
Резонаторы с воздушной полостью были применены Гельмголь-
цом в его классических работах по анализу звука. Гельмгольц по-
строил набор металлических резонаторов с резонансными частотами,
постепенно повышающимися от самых низких до самых высоких
тонов (рис. 219,а). Каждый резонатор Гельмгольца имеет, кроме
основного горла q (рис. 219,6), ведущего в объём V, ещё ма-
Ь)
Рис. 219.
ленькое отверстие q* с другой стороны для вкладывания в ухо.
Резонансная частота таких резонаторов довольно точно определяется
по формуле (12.20), причём К берётся, согласно формуле (12.21),
равным диаметру отверстия Z). Некоторый простой тон, имеющийся
в составе сложного звука, будет особенно сильно возбуждать тот
резонатор, собственная частота которого ближе всего к его ча-
стоте. Таким образом, все частоты, которые входят в состав
сложного звука, могут быть обнаружены при поочерёдном про-
слушивании звука через ряд резонаторов и оценены на слух по
громкости.
Звук с непрерывным спектром возбудит целый ряд резонаторов, и
интенсивность их колебаний будет характеризовать распределение энер-
гии в спектре данного звука. Это легко продемонстрировать на рояле
с нажатой педалью, у которого струны могут свободно колебаться
и, таким образом, служат набором резонаторов. Если вблизи рояля
издать звук со сложным спектром, то мы услышим хорошо изве-
стный отзвук рояля — будут звучать все струны, которые настроены
на частоты, входящие в состав спектра звука. Соседние струны почти
не возбуждаются, так как затухание струн мало и они обладают
344
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
Рис. 220. Рис. 221.
деляется поднятым языком на две
ота и заднюю — полость глотки.
очень острыми кривыми резонанса (гл. XI, § 7). Таким образом,
сложный звук возбудит резонансные колебания струн рояля в пол-
ном соответствии с составом спектра звука; По прекращении звуча-
ния источника струны рояля будут 'продолжать давать отзвук,
в точности воспроизводящий воздействовавший звук, например, глас-
ные человеческого голоса или звук музыкальных инструментов.
Полость рта человека при произнесении гласных является типич-
ным резонатором, настроенным для каждой гласной на определённый
характерный тон {форманту) (см. ниже, § 12). На рис. 220 пока-
заны, например, контуры полости рта при произнесении гласной О.
Резкий первичный звук, издаваемый голосовыми связками, содержит
десятки обертонов, и те из
них, которые попадают в
область резонанса полости
рта, резко усиливаются и
часто оказываются даже
сильнее основного тона,
придавая звуку своеобраз-
ный тембр. При произнесе-
нии большинства гласных
голосовой резонатор раз-
части — переднюю — полость
Образуется двойной резо-
натор, схема которого дана на рис. 221. Такой резонатор пред-
ставляет собой систему с двумя степенями свободы (две движу-
щиеся массы тх и т2 в двух сужениях и два объёма и v2,
обусловливающие определённую упругость) и имеет две различные
резонансные частоты. Многие акустические системы, с которыми мы
познакомимся в следующих параграфах, имеют не одну или две,
а многочисленные частоты собственных колебаний и потому могут
давать резонанс на ряде частот.
§ 7. Волны в трубах. Благодаря трению и передаче звука через
стенки трубы, происходит постепенное затухание волны, согласно
формуле (12.17). В широких трубах (диаметром более 1 см) с твёр-
дыми стенками коэффициент затухания р очень мал, и мы можем
с достаточной степенью точности вывести основные закономерности
для волн в трубах, полагая р = 0. Ввиду этого мы будем применять
для распространения волн в трубах формулы плоской волны (гл. XI,
§ 16), и для скорости частиц в волне примем выражение
u — sin (arf kx 4~ ?),
где знак (—) относится к прямой волне, а знак (-}-) — к обратной,
а 9 означает некоторую начальную фазу при х = 0 и f = 0.
Рассмотрим, что будет происходить при падении волны на закры-
тый или открытый конец трубы. Закрытый конец трубы равноценен
неподвижной стенке (гл. XI, § 21); следовательно, волна скорости
ВОЛНЫ В ТРУБАХ
345
§ 7]
частиц (как и волна смещения) отразится с потерей А . Если выра-
жение для волны скорости частиц, падающей справа на закрытый
конец (х = 0), мы возьмём в форме их — uQ sin (W 4~ kx), выбрав
с = 0 при х = 0 и / = 0, то для отражённой волны мы должны
будем принять (см. гл. XI, § 21) выражение
= uQ sin [<о/ — k (х 4- ] = «о sin — kx — к);
суммируя их и иъ получим выражение для стоячей волны:
и = uQ [sin (W-j~ kx) 4-sin (<ot — kx — к)] = 2 sin &xcos cd/. (12.22)
У закрытого конца (x —0) в любой момент времени и —0, т. е.
здесь должен образоваться узел стоячей волны. Узлы образуются,
как это легко видеть из (12.22), во всех точках, где х = п^ , а пуч-
ности в точках, где х = (п 4” у) у (л = 0, 1, 2, 3 .. .).
Иная картина получится для волны звукового давления. Согласно
сказанному выше в этом случае отражённая волна скорости частиц
потеряет , и, кроме того, знак с изменится на обратный. По-
этому для падающей волны давления мы имеем выражение
pr =w0pcsin((o/4~^)> а Для отражённой волны получим
= — wopc sin (<о/ — kx — y ) = «орс sin (W — kx).
Стоячая волна будет выражаться формулой
р = порс [sin (<о/ 4" 4“ s*n (°^— kx)\ cos kx sin W. (12.22')
При x = 0 мы получим и — 2w0pc sin <s>t, т. e. колебания давления
будут происходить у закрытого конца с удвоенной амплитудой.
Вообще максимумы давления получатся в узлах стоячей волны.
В пучностях давление будет в любой момент времени равно нулю.
На открытом конце звуковое давление сразу становится чрезвы-
чайно малым по сравнению с звуковым давлением внутри трубы,
так как воздух может свободно расширяться во все стороны. В пер-
вом приблйжении мы можем считать р = 0. Чтобы удовлетворить
этому условию, мы должны взять выражение для отражённой волны
давления с потерей т. е. с переменой знака. Стоячая волна
давления при отражении на открытом конце будет иметь вид
// = норс [sin (W-f- kx) 4- sin — k (*4“y) )] =
= nopc[sin(a^4~^x)4'sin(0^—kx—ъ)\—2и$с sin kx cos о/. (12.23)
346
АКУСТИКА
[гл. XII
Максимумы и минимумы в выражениях (12.22') и (12.23) взаимно
меняются местами. Напомним, что в § 4 мы уже пришли к заключению,
что волна давления теряет полволны при отражении от среды с
меньшим акустическим сопротивлением, для которой в
данном случае открытое пространство на конце трубы аналогично
среде с меньшим акустическим сопротивлением. Отражённая волна
скорости частиц получится из волны давления путём деления на
(—ре). Таким образом, она будет иметь тот же знак, как и пада-
ющая, иными словами, отразится без потери полволны. Стоячая
волна скорости частиц при отражении от открытого конца трубы
выразится следующим образом:
и’ =uQ [sin (coZ-f- kx) 4- sin (<о/ — kx)\ = 2rz0 cos &xsin (12.23')
Пучности в этой волне будут расположены на конце, и, кроме того,
в точках х — п~, где n = 0, 1, 2, 3, ...; амплитуда скорости
Давление-.
Закрытый
коней
СкоростЬ
Давление}
Открытый
конец
Рис. 222.
колебания частиц (а также и смещения) на открытом конце будет
удвоенная (2п0).
Распределение давления и скоростей частиц в закрытой и откры-
той трубах изображено на рис. 222; две пары кривых (жир-
ная и пунктирная) на каждом рисунке характеризуют давление и ско-
рость в моменты максимальных амплитуд.
Отчётливые стоячие волны в широкой стеклянной трубе, закры-
той с одного конца, легко вызвать, например, вводя в неё конец
металлического стержня, в котором путём натирания мокрым сукном
возбуждаются мощные звуковые колебания. При таком возбуждении
скорость частиц воздуха в трубе настолько велика, что в пучностях
он может сдуть лёгкий порошок 4 (ликоподий, мелкая пробка),
насыпанный в трубе, в узлах же порошок рстаётся неподвижным.
Таким образом, легко удаётся по расстоянию между кучками по-
рошка, лежащими в узлах, измерить длину волны звука в различных
газах; если, кроме того, измерить частоту, то можно найти скорость
звука по формуле c—fK. Этот метод измерения скорости звука
предложен Кундтом.
§ 7]
ВОЛНЫ В ТРУБАХ
347
В трубе, подобно простой колебательной системе, могут возник-
нуть свободные колебания, период которых определяется её раз-
мерами. Рассмотрим процесс возникновения свободных колебаний в
трубе, закрытой с обеих сторон. Волна смещения частиц, вышедшая из
какой-либо точки, доходит до конца и отражается с потерей пол-
волны, идёт обратно, доходит до второго закрытого конца, снова
отражается с потерей полволны и, наконец, возвращается в исходную
точку; далее, процесс начинается сызнова в том же порядке. В резуль-
тате в трубе устанавливается стоячая волна с узлами на концах.
С момента выхода волны из начальной точки до момента её воз-
вращения протекает, очевидно, один или более целых периодов
(ТЛ), или, иначе говоря, волна проходит за это время п длин
волн (Хп). Сдвиг на полволны при отражении происходит на двух
концах в различные стороны, и к длине хода волны в результате
двух отражений ничего не прибавляется; длина хода звуковой вол-
ны за это время равна удвоенной длине трубы 2Z. Цким образом,
мы имеем
9/
21 = п\п или К = (12.24)
где п = 1, 2, 3, ...
с
Принимая во внимание, что К —
, мы получим для частот собст-
венных тонов (свободных колебаний) трубы, закрытой с обеих сторон,
е с С
Я—Гп—П21
(12.24')
В трубе может образоваться, следовательно, бесконечно большое
количество собственных тонов, в отличие от колебательной си-
стемы с одной степенью свободы, где образуется свободнее колеба-
ние лишь с одной частотой.
Тон с частотой
(12.25)
имеет наименьшую частоту из всех собственных тонов и называется
основным тоном; при основном тоне на длине трубы уложится одна
полуволна, и волна за период пробежит длину трубы вперёд и назад
лишь один раз. Тона, выражаемые формулой (12.24'), имеют частоты,
кратные частоте основного ^тона, и являются, таким образом, гар-
моническими обертонами. Для n-го обертона волна проходит длину 2Z
за п — периодов, т. е. на длине 2Z укладывается п длин волны;
таким образом, на длине трубы I, закрытой с обеих сторон, всегда
укладывается целое число п полуволн.
Такие же формулы получатся и для трубы, открытой с обоих
концов, так как там также происходит полное отражение от обоих
концов, но только без потери полволны, причём в трубе образуется
348
АКУСТИКА
[гл. хп
стоячая волна с пучностями смещения у концов. Таким образом,
в трубах, открытых или закрытых с обоих концов, возможны сле-
дующие частоты и длины волн собственных тонов:
/ _ с 9 ~ о с л с 5
Jn~ 2Z’ z2Z ’ 6 21 9 *21 ’ ° 2/ * ‘ •’
— 9/ 1 1L — L И
* — 2Л' 2 ~L' 3 ’ 4 — 2 ’ 5 ’ ’ ’ ।
(12.26)
Для трубы, закрытой с одного конца и открытой с другого, обра-
зование стоячих волн происходит иначе: на открытом конце обра-
зуется пучность, а на закрытом — узел. К длине хода волны сме-
щения (или скорости частиц), прошедшей трубу один раз туда и
обратно (т. е. по завершении п целых периодов), мы должны при-
бавить полволны у, чтобы учесть потерю' фазы при отражении
от закрытопЛсонца. Таким образом, отрезок 2/ у Д°лжен быть
равен п целым длинам волн, т. е.
= или Xa=-2L-, (12.27)
л—2
где п = 1, 2, 3,. . .
Для частот собственных тонов трубы, закрытой с одного и от-
крытой с другого конца, мы получим
л=г.=('—<12.27':>
Из формулы (12.27') мы видим, что самый низкий из собственных
топов трубы (/г=1), закрытой с одного конца, называемый основным
тоном, бужт иметь частоту
Л = (12.27")
т. е. в два раза более низкую, чем для трубы, закрытой (или от-
крытой) с обеих сторон. Обертоны будут иметь частоты в 3, 5, 7
и т. д. раз более высокие, чем основной тон, т. е. труба, имеет
только нечётные обертоны. При свободных колебаниях в трубах,
закрытых с одного конца, укладывается п — полуволн по длине
трубы или, иначе говоря, нечетное число четвертей длины волны.
Частоты и длины волн собственных тонов в трубах, закрытых с одного
конца, будут иметь, таким образом, значения
С rj С С г-, с
“ 4Z’ 6 и ’ &4Z ’ Z4Z ’ • • •’
_ 4/ 4£ 4/ 4Z
л —з > 5 > 7 ’ * * *
(12.28)
ВОЛНЫ В ТРУБАХ
349
§ 7]
На рис. 223 схематически изображено распределение амплитуд
скорости частиц (а также и смещения) в стоячих волнах, образую-
щихся по длине трубы при различных собственных частотах. На
рис. 223, а показано распределение амплитуд скорости частиц в тру-
бах, открытых с обоих концов; на рис. 223, Ь то же дано для труб,
закрытых с обоих концов, а на рис. 223, с — для труб, закрытых
с одного конца и открытых с другого. Цифры у отдельных черте-
жей означают порядок соответствующих гармоник. Следует помнить,
что колебания в трубе — продольные, и потому чертежи на рис. 219
не изображают формы волны (подобной форме волн на поверхности
г)
воды), но лишь служат графическим изображением продольных сме-
щений в каждой точке. t
Резонанс в трубах. Если на трубу действует какая-либо внеш-
няя периодическая сила, то в трубе могут возбудиться вынуж-
денные колебания. При равенстве частоты внешней силы с частотой
одного из собственных тонов трубы наступает явление резонанса.
Из сказанного выше мы можем заключить, что труба имеет беско-
нечный ряд резонансных частот. Так, например, открытая с одного
конца труба резонирует на тона, четверть длины волны которых
укладывается по длине трубы нечётное число раз. Это явление легко
продемонстрировать, поднося камертоны к концу мензурки, в кото-
рую медленно подливают воду. Когда уровень воды точно удовле-
творяет условию, указанному выше, т. е., например, по длине воз-
душного столба в мензурке уложится J/4 или 3/4 длины волны, звук
камертона будет резко усиливаться благодаря резонансу. Опыт с ре-
зонансом камертонов, который мы описали в § 6, получает своё
полное объяснение лишь при учёте явления резонанса труб. Каждый
из камертонов, употребляемых для этого опыта, ставится на дере-
вянный ящик, открытый с двух противоположных сторон. Длина
350
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
этого ящика выбирается равной половине длины волны камертона
(резонанс трубы), и потому сравнительно слабые толчки ножки
камертона, вызывающие лёгкий изгиб верхней доски ящика, уже
достаточны для возбуждения сильных колебаний воздушного столба
внутри ящика. На концах этой трубы с прямоугольным сечением
образуются пучности скорости частиц. Оба конца трубы, имеющие
значительно большую площадь, чем ножки камертона и совершаю-
щие движение с большей амплитудой скорости, дают значительно
ббльшее излучение звука в ок-
ружающий воздух, чем даёт
сам камертон. Обратно, при
воздействии звука на такой же
камертон с резонансным ящи-
ком подобная система возбуж-
' дается в гораздо более силь-
ной степени, чем без ящика.
На этом примере мы видим,
что для увеличения излучения
(а также и поглощения) звука
колеблющаяся система должна
иметь возможно большую по-
верхность.
Возбуждение автоколебаний
трубы. Труба может быть легко
приведена в звучание при по-
мощи вдувания струи сжатого
воздуха, причём она издаёт тона,
очень близкие к собственным то-
нам. На рис. 224,а показано устрой-
ство так называемой лабиальной
органной трубы. Эта труба имеет
открытый верхний конец, в ниж-
нем же имеется довольно широ-
кий прорез, так что нижний конец также является в сущности открытым. Воз-
буждение автоколебаний такой трубы вызывается вдуванием струи воздуха
из мехов через отверстие Л; струя, выходя из нижнего отверстия, ударяется
в клин К. Эта струя находится в неустойчивом состоянии, и достаточно не-
большого изменения давления в нижнем конце трубы, чтобы струя перешла
с внутренней на внешнюю поверхность клина или обратно; первый же толчок
выходящей струи возбуждает свободные колебания трубы, и эти колебания
в дальнейшем смещают струю то внутрь, то наружу. При каждом отклонении
струя будет давать толчки колеблющемуся столбу воздуха и, таким образом,
будет поддерживать незатухающие автоколебания в трубе за счёт энергии
сжатого воздуха в резервуаре. При быстрых смещениях струи каждый раз
происходит отрывание вихря; эти вихри хорошо видны на рис. 224Д полу-
ченном путём фотографирования струи дымного воздуха, вдуваемого в трубу.
Увеличивая давление в резервуаре, удаётся возбудить вместо основного тона
второй, третий и другие обертоны.
При помощи органной трубы легко проверить на опыте распределение
давлений и скоростей при звучании на различных тонах. Если в середине
трубы (в положении В, рис. 224,а) сделать вдвижную перегородку, то при
звучании основного тона, когда в середине образуется узел скоростей, вдви-
СТРУНА
351
§ 8]
гание её не вызовет никакого изменения звука. Если же, увеличивая давле-
ние, возбудить вторую гармонику, когда в центре образуется пучность ско-
ростей, то мы получим при вдвигании перегородки резкое изменение высоты
тона; обычно в этом случае наблюдается перескакивание на третий обертон.
§ 8. Струна. В тонкой и совершенно гибкой струне натянутой
(силой F) могут, как мы знаем (гл. XI, §§ 18, 19), распространяться
поперечные волны. Модуль упругости в данном случае будет равен
натяжению на единицу поперечного сечения q струны. Скорость
распространения волн в струне мы уже вывели (гл. § 19).
При отражении на закреплённых концах струны для волны сме-
щений будет получаться потеря полуволны, как и в случае трубы,
закрытой с обеих сторон. Для длины волны и частоты собственных
тонов струны мы получим, аналогично (12.24) и (J2.24'), выражения
К = * и fn = %, (12.29)
где I — длина струны.
Частота основного тона струны будет равна
<12-29'>
гДе тх — масса на единицу длины струны, ар — плотность материала
струны. Эта формула была дана ещё в XVII веке Мерсенном. Распре-
деление узлов и пучностей на струне при основном тоне и оберто-
нах будет соответствовать рис. 223, Ь. В случае струны приведен-
ные рисунки будут изображать действительную форму изгибов струны
при колебаниях, так как волны в данном случае поперечные. При
возбуждении струны ударом или щипком в ней возникают свободные
колебания с различными собственными частотами, причём их частоты
определяются формулой (12.29), а амплитуда различных собствен-
ных тонов зависит от вида начального возбуждения.
При возбуждении струны смычком, как уже упоминалось (§ 5),
возбуждаются автоколебания. При равномерном движении смычка,
натёртого канифолью, струна то отрывается, то вновь прилипает
к нему, причём прилипание струны происходит в течение той части
колебания струны, когда её движение совпадает с направлением
движения смычка. Когда упругая сила струны, удаляющейся от поло-
жения равновесия, превысит силу трения, струна сразу отрывается
от смычка, быстро перескакивает на другую сторону от положения
равновесия и в момент наибольшего отклонения снова захватывается
движением смычка. В результате кривая колебания точек струны
(в функции времени) имеет пилообразную форму с пологими подъё-
мами по прямой и крутыми скачками от наибольшего положитель-
ного отклонения до наибольшего отрицательного. В зависимости от
характера возбуждения (скорости и положения смычка, силы нажима
и др.) получается различный состав гармоник, т. е. различный зву-
352
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
ковой спектр. Можно, например, возбудить струну только на л-й
гармонике, для чего следует коснуться её пальцем в соответствен-
ной узловой точке и возбуждать смычком; такие тона называют
флажолет. При колебаниях пилообразной формы спектр состоит
из наиболее сильного основного тона и постепенно убывающего по
силе ряда гармоник (см. рис. 191, гл. XI, § 13).
Излучение звука струной весьма незначительно по той причине,
что сама струна имеет очень небольшие поперечные размеры и не
может привести в сильные колебания окружающий воздух. Кроме того,
при колебаниях струны вблизи неё получаются замыкающиеся потоки
воздуха (рис. 225), которые ограничиваются ближней зоной и не
возбуждают сильных звуковых волн, уходящих вдаль. Для увеличе-
ния звуковой отдачи струн их укрепляют на деки или деревянные
ящики, о действии которых мы упомянем в следующем параграфе.
Рис. 225.
периодически меняется
При колебаниях струны её натяжение не
остаётся постоянным, но несколько меняется
в различные моменты периода, а именно: при
отклонениях от положения равновесия оно
увеличивается, причём независимо от знака
отклонения. Таким образом, максимум натя-
жения будет получаться два раза в течение
периода. Это значит, что натяжение струны
будет меняться с двойной частотой. На этом
основан известный опыт Мельде, в котором
один конец струны прикрепляется к ножке
камертона и камертон приводится в непрерыв-
ные колебания (например, при помощи смыч-
ка), благодаря чему натяжение струны
с частотой колебаний камертона, и струна
приходит в слабые колебания. Если частота колебаний камертона
в два раза больше частоты собственных колебаний струны (на
основном тоне или на какой-либо из гармоник), то изменения натя-
жения под действием камертона происходят синхронно с измене-
ниями натяжения под действием собственных колебаний, и струна
приходит в интенсивные колебания, как при резонансе. Так как в дан-
ном случае возбуждение резонансных колебаний происходит за счёт
периодического изменения параметра струны (её упругости), то опи-
санное явление носит название параметрического резонанса.
§ 9. Мембраны и пластинки. Упругие тонкие перепонки — мем-
браны (резиновые, коллодиевые, мыльные и др.) способны совершать
свободные колебания в том случае, если они находятся в состоянии
натяжения. Упругие и жёсткие (твёрдые) пластинки (диафрагмы)
способны совершать свободные колебания без всякого добавочного
натяжения, за счёт своей собственной упругости. Пластинки могут
колебаться, будучи закреплёнными по замкнутому контуру, подобно
мембране, но они могут, в противоположность мембране, колебаться
§ 9] МЕМБРАНЫ И ПЛАСТИНКИ 353
также, если их края свободно лежат на опоре, если они закреплены
в одной точке или в ряде точек или если они совершенно свободны
(например, в момент падения). При свободных колебаниях мембран
и пластинок они колеблются либо в одной фазе всей своей поверх-
ностью, либо разбиваются на зоны, отделённые друг от друга непо-
движными линиями—узловыми линиями, причём две соседние зоны
всегда колеблются в обратных фазах. При самом низком собствен-
ном тоне круглая мембрана (или пластинка), зажатая по краю, дви-
жется всей своей поверхностью в одной фазе — узловых линий в сере-
дине поверхности нет, — но амплитуда постепенно уменьшается от
центра к краю. При более высоких собственных тонах (обертонах)
поверхность разбивается узловыми линиями на зоны; при переходе
Рис. 226.
из каждой зоны в соседнюю фаза скачками меняется на я. Узло-
вые линии для свободных колебаний круглых мембран и пластинок
могут иметь форму концентрических кругов или прямых линий, про-
ходящих через центр (узловых диаметров). Чем больше число узло-
вых колец и диаметров, тем выше собственная частота. На рис. 226
показана форма узловых линий круглой, зажатой по краю мембра-
ны при ряде собственных частот, причём цифрами обозначено, во
сколько раз данный обертон мембраны имеет большую частоту, чем
самый низкий тон; в скобках такие же цифры приведены для пла-
стинки, край которой закреплён по окружности.
Если посыпать пластинки песком и затем возбудить их звучание
ударом или смычком, то песок собирается по узловым линиям,
а с пучностей сбегает. Получающиеся узоры носят название фигур
Хладни, по имени учёного, их открывшего.
Пластинки и мембраны являются очень важным элементом ряда музы-
кальных инструментов. В рояле, например, применяется плоская дере-
вянная пластинка больших размеров, так называемая резонансная дека,
которой передаются колебания струн, и в результате получается
усиленное излучение звука с большой поверхности деки. В .скрипке,
23 Папалекси, т. I
354
АКУСТИКА
[гл. XII
виолончели, гитаре, цитре и ряде других струнных инструментов
применяются деревянные тонкостенные корпуса той или иной формы,'
т. е. пластинки сложной формы. В барабане используется кожаная
мембрана. Во всех этих случаях излучение звука увеличивается
главным образом за счёт увеличения колеблющейся поверхности.
Действие резонансных дек и корпусов струнных инструментов можно
сопоставить с действием антенны радиостанции.
§ 10. Акустика помещений. Условия звучания в закрытом поме-
щении и на открытом воздухе существенно отличаются между собой.
Наблюдение показывает, что по прекращении действия источника
звук в помещении исчезает не сразу, а длится ещё довольно долгое
время, постепенно угасая. Это явление гулкости звука в помещениях
носит название реверберации. Для уяснения сущности этого явления
разберёлМ вопрос о свободных колебаниях замкнутого воздушного
объёма. Мы уже видели в § 7, что в трубе, закрытой с двух сторон,
могут возникать свободные колебания с частотами Д = /г^; при
этом на закрытых концах всегда образуются узлы стоячей волны
(рис. 223, Ь). В помещении, имеющем форму прямоугольного парал-
лелепипеда, с гранями Zn Z2 и Z3, могут возникнуть стоячие волны
между любыми двумя парами (из числа трёх) параллельных граней;
их собственные частоты будут определяться, очевидно, выражениями
с с с
П12Г1> П*2Ц’ Пз2Г3>
где пи пг и /г3— любые целые числа.
Более полная теория показывает, что, кроме указанных собственных
частот, могут возникать и другие, при которых направление колебаний уже
не параллельно граням. Общая формула для собственных частот (тонов) прямо-
угольногопараллелепипеда, которую мы даём без вывода, будет такова:
Г—.£1/Д.51
72 V II Г II ’
(12.30)
где п2> ^з = 0, 1, 2, 3, ... Частоты колебаний, параллельных граням, полу-
чаются Ч1з формулы (12.30), если положить равной нулю какую-либо пару из
трёх чисел п. Если положить п3 = 0 и п1 = л2=1, то мы получим собствен-
ные колебания в плоскости, параллельной грани Звуковые волны будут
при этом распространяться по направлению диагоналей грани Zi/2 (рис. 227,
траектории ABCD или A'B'C'D'). Частота собственного тона в этом случае
Первые, наиболее низкие, собственные частоты поме-
щения лежат на значительных интервалах друг от друга; в маленьком поме-
щении с гладкими стенами их легко возбудить независимо друг от друга при
помощи голоса или другого источника с плавно изменяемой частотой. После
прекращения действия источника собственные колебания медленно затухают.
Если две собственные частоты лежат близко друг от друга, то они будут
затухать с биениями (см. гл. XI, § 12)? Легко убедиться вычислением по фор-
муле (12.30), что в комнатах обычного размера самые первые собственные
§ Ю1
АКУСТИКА ПОМЕЩЕНИЙ
355
частоты лежат довольно низко и на больших интервалах друг от друга. Так,
например, в комнате размером 5х5х4л13 = 100 м3 мы получим следующие
первые собственные частоты: 34, 43,5, 48, 54,5, 64, 68, ... гц.
При возрастании чисел /г2, л3 количество собственных частот, при-
ходящихся на данный интервал частоты от / до/-4~А/, очень быстро растёт.
Оценим число собственных тонов, частота которых менее некоторого числа /.
Представим себе пространственную решётку (рис. 228), составленную из
прямоугольных ячеек — параллелепипедов с гранями и и с объёмом
2Z3
/ с \3 / г. \3
=—ту—, где V—объём помещения. Длина векторов, идущих из
/1/2/3 V
начала к дальней вершине той или другой ячейки, будет, согласно формуле
Рис. 227.
(12.30), давать одну из собственных частот помещения. Приведём сферу боль-
шого радиуса / так, чтобы в неё вместилось очень много элементарных
ячеек. Тогда можно приблизительно найти число /V собственных частот,
меньших чем /, деля объём одной восьмой части сферы радиуса /, равный
1 4
в которой лежат концы всех векторов, характеризующих соб-
8 о
ственные частоты, на объём одной ячейки. При этом мы, очевидно, делаем
некоторую ошибку, не учитывая углы крайних ячеек; при большом радиусе /
эта ошибка будет мала. Мы получим, таким образом,
3 с:
(12.31)
Число собственных частот, лежащих даже в небольшом интервале, будет
при значительной частоте / очень велико. Так, например, для помещения
с раз?лерами 5x5x4 л/3 мы получим в интервале от 1000 до 1001 гц около
30 собственных частот.
Не только объёмы прямоугольной формы, но и объёмы любой
другой формы также имеют ряд собственных частот, причём можно
показать математически, что для больших значений f число соб-
ственных частот, меньших данного /, для объёма любой формы вы-
ражается той же формулой (12.31).
Если в помещении ззучит какой-либо простой тон частоты /, то
он возбуждает ряд собственных частот, соседних с /, и притом тем
23*
356
АКУСТИКА
[ГЛ. ХП
сильней, чем они ближе к f (согласно закону возбуждения выну-
жденных колебаний, гл. XI, § 6). После прекращения звука собствен-
ные колебания начнут затухать, и так как все они будут иметь
очень близкие частоты, то в сумме они создадут для слуха впечат-
ление угасающего тона с частотой /. Так объясняется явление ре-
верберации. Очевидно, что любые звуки, сколь угодно сложного
состава, возбудят соответствующие своему составу собственные ко-
лебания помещения в соответственных областях частот. Возникающее
по окончании звука послезвучание будет воспроизводить первичный
звук.
Если стены помещения покрыты тканью или другим пористым
материалом, в котором воздушные колебания испытывают большое
трение и сильно затухают, то и затухание собственных колебаний
происходит гораздо быстрей. Вот почему закон затухания (ревер-
берации) звука в помещении выражается, аналогично закону затуха-
ния собственных колебаний простой колебательной системы (гл. XI,
§ б), экспоненциальной функцией времени, и для средней плотности
звуковой энергии в помещении мы будем иметь выражение
E=E^at. (12.32)
Закон затухания звука в помещений можно вывести из совершенно
других соображений. Если в помещении звучит некоторый источник
с мощностью излучения IF, то звуковые волны, исходящие от него,
доходят до стен, отражаются от них, затем отражаются от других
стен, пола или потолка, и в результате через сравнительно корот-
кий промежуток времени помещение оказывается наполненным слож-
ной системой наложенных друг на друга волн. Закон результирую-
щего колебания отдельных частиц воздуха может быть очень слож-
ным; фазы амплитуды и направления отдельных волн в данной точке
среды будут иметь самые разнообразные значения, и можно считать,
что, статистически, в данной точке одинаково вероятны любые зна-
чения фаз, амплитуд и направлений волн. Такого рода звуковое поле
называют диффузным. Несмотря на сложность этого звукового
поля, мы вполне можехм говорить о некоторой средней плотности
звуковой энергии Е в помещении.
После начала звучания источника в помещении средняя плотность
звуковой энергии Е постепенно возрастает, но лишь до тех пор,
пока не наступит равенство между энергией, излучаемой источником,
и энергией, поглощаемой различными объектами, в которых возможно
трение воздуха (пористые материалы, как-то: ткань, одежда людей,
ковры и т. п.). После выключения источника энергия диффузного
звукового поля, накопленная в объёме * помещения (она равна EV),
будет постепенно расходоваться по мере поглощения звука. Погло-
щение звуковой энергии некоторой поверхностью площади 5 может
быть охарактеризовано величиной А — «5, где а носит название
АКУСТИКА ПОМЕЩЕНИЙ
357
§ 10]
коэффициента поглощения звука в диффузном поле. Если в поме-
щении имеется открытое окно, то для него следует принять а== 1,
так как весь падающий на него ззук уходит из данного объёма,
т. е, как бы поглощается. Для совершенно твёрдой стены а = 0.
Поглощение ряда поверхностей 52, S3, ... с коэффициентами
поглощения а2, а3, ... в общем будет равно
А = «jSj a2S2 а353 -j- . .. = v (12.33)
* / = 1
Стационарная плотность звуковой энергии при длительном действии
источника с мощностью IF будет равна, как показывает теория,
„ 41F п .
д0 = —Процесс же реверберации выразится законом
Е= Ейе~™‘ . (12.34)
Отсюда нетрудно найти, что время То, в течение которого сила
звука ослабнет в 106 раз, будет равно
’'• = 5лЙ = °'162И- . <1235>
Здесь V выражается в .и3, а Л — в м2. Время То называется време-
нем реверберации.
Задавая начальную силу звука в 10° раз больше порога слышимости, что
соответствует примерно уровню громкости речи, и наблюдая время затуха-
ния до момента исчезновения звука, мы можем из формулы (12.35) опреде-
лить поглощение А материала. Этим методом найдены, например, для частоты
500 гц следующие величины коэффициента поглощения:
Войлок толщиной 1,25 см (на стене)..........0,17
„ „ 2,5 см „ .........0,54
Слушатели, сидящие сплошными рядами в зале
(средний коэффиц. на 1 м*).................0,95
Драпри из плотной ткани у стены............0,85
Бетонная стена............................0,015
При более низких частотах все пористые материалы поглощают гораздо
меньше. Существует большое количество специальных звукопоглощающих ма-
териалов с высоким коэффициентом а; они изготовляются из асбестового во-
локна, древесного волокна, пемзы, минеральной ваты и других веществ. Боль-
шое влияние на коэффициент поглощения имеют расстояние поглощающих
слоёв от стен, наличие отверстий и щелей в слоях материала и другие
детали устройства.
Время реверберации, определяемое формулой (12.35), является
важной константой, характеризующей акустическое качество по-
мещения (аудитории, театра, зала). Если время реверберации чрез-
мерно велико (несколько секунд), т. е. если помещение очень гулкое,
то произносимая в помещении речь звучит неразборчиво, так как
каждый новый слог (длительность слогов 0,1—0,3 сек) восприми-
358
АКУСТИКА
[гл. XII
мается слушателем на фоне целого ряда предшествующих слогов
ещё не успевших отзвучать; музыка также звучит невнятно, хотя
и громко. Если, напротив, время реверберации слишком мало и звук
затухает слишком быстро, то стационарная плотность звуковой
энергии j будет мала (так как велико А). Оратор в этом случае
должен форсировать голос, музыка же звучит слабо, глухо и без-
жизненно. Для небольших помещений наилучшее время реверберации
для частоты 500 гц составляет около 1 сек, при увеличении объёма
оптимальное время реверберации возрастает, доходя в больших залах
до 2 сск. Имея подробные таблицы коэффициентов поглощения,
можно заранее при проектировании зала предвычислить время ревербе-
рации и задать ему жела-
емую величину, выбирая
отделку в виде тех или
иных материалов, т. е.
задавая определённую ве-
личину поглощения.
§ И. Анализ звука.
Анализ звука или нахо-
ждение простых гармо-
нических тонов, входя-
щих в состав сложного звука, т. е. нахождение его спектра, может
быть произведён при помощи системы резонаторов Гельмгольца
(см. § 6), снабженных микрофонами для измерения силы звука или
при помощи языкового частотомера (гл. XI, § 7). Более точные
результаты, особенно для случая звуков, меняющихся по своей силе
и спектру, удаётся получить при помощи записи звука и последую-
щего анализа записанных кривых.
Запись звука может быть, произведена следующим образом. Звук кон-
центрируется при помощи рупора и приводит в колебание тонкую мембрану М,
например, слюдяную (рис. 229). Колебания этой мембраны передаются при
помощи тонкой коконовой нити очень лёгкой системе, вращающейся на оси;
колебания могут быть записаны на фотобумаге путём отражения света от
маленького зеркальца (3), укреплённого на оси. Возможно также зафикси-
ровать колебания на вращающемся восковом валике (фонограф) или плоском
диске (граммофонная запись). Весьма совершенная запись звука произво-
дится на фотоплёнке или фотобумаге посредством микрофона, усилителя и
осциллографа (гл. XI, § 7); при этом возможно совершенно равномерно и без
искажений передать все части спектра, от низких до высоких частот. Подоб-
ного рода запись применяется в звуковом кано.
После записи звука разложение его в спектр (гл. XI, § 13) производится
либо путём особых вычислительных методов, либо при помощи приборов,
называемых гармоническими анализаторами.
На рис. 230 и 231 приведена запись колебаний звука рояля на
частоте 128 гц и звука кларнета на частоте 275 гц. Под кривыми
приведены их звуковые спектры. В звуке рояля обнаруживаются
в данном случае гармоники до 18-й, в звуке кларнета—до 12-й;
§ П]
АНАЛИЗ ЗВУКА
359
интересно отсутствие 2-й и 4-й гармоник. Далее, в § 12 приводится
ряд записей звуков речи. Все эти звуки являются периодическими
процессами (музыкальные тоны).
На основании подробного анализа подобных записей составлены
атласы спектров различных музыкальных инструментов при различных
высотах тонов. Эти данные очень важны для звукотехники, так как
позволяют проводить расчёт аппаратуры для радиовещания, теле-
фонии, а также для записи звука на граммофонную пластинку или
киноленту. Установлено, что звуковой спектр музыкальных инстру-
ментов простирается в очень высокую область частот? Хотя основ-
ные ’гоны употребляемых в музыке инструментов не превышают
4500 гц, однако сильные обертоны встречаются у ряда инструмен-
тов до 10 000—12 000 гц (кларнет, гобой, барабан, металлические
тарелки). Ещё более высокие компоненты до 15 000 гц встречаются
в некоторых шумах (хлопание в ладоши, шуршание бумаги, шум
шагов и др.).
В приводимой ниже таблице мы даём значения максимальной (пи-
ковой) мощности, излучаемой музыкальными инструментами.
Источник звука Мощ- ность (ватт) Область наи- более сильных частот (гц)
Большой барабан 25 250— 500
Тромбон .... * . 6 1 500— 700
1 2000—2800
Орган 13 20— 65
Рояль .• 0,25 250— 500
Труба 0,30 250— 700
Кларнет 0,05 250— 500
Оркестр 75 чел., фортиссимо 66 250— 500
На основании рассмотрения формы кривой и спектра мы можем
выделить несколько различных типов звуков.
Музыкальные тоны (звуки), которые характеризуются пере-
одическим (или близким к периодическому) волновым движением
и представляются линейчатым спектром (рис. 230 и 231, также
рис. 236, ниже). При чисто синусоидальной форме колебаний звук
носит название простого тона. Музыкальные тоны мы можем харак-
теризовать: 1) спектром частот, 2) распределением амплитуд (или
интенсивности) в спектре и 3) формой колебания.
Звуковые удары или импульсы, представляющие собой крат-
ковременные возмущения, непериодического характера и имеющие
непрерывный спектр (см. гл. XI, § 15). Типичные звуковые импульсы
возникают при взрывах (выстрелах), при электрических разрядах
360
АКУСТИКА
[гл. хп
(искра), при ударах твёрдых тел, при щёлкании бича и т. п. На
рис. 232, а дана запись типичного импульса — звука выстрела тяжё-
лого орудия.
Шумы или длительные звуки, характеризующиеся беспорядоч-
ным, совершенно непериодическим протеканием колебательного дви-
жения. Шумы возникают
при наложении большого
количества импульсов или
беспорядочном смещении
их в общую массу с боль-
шим количеством различ-
ных простых звуков то-
нального характера. Шу-
мы имеют сложную фор -
му колебания, в которой
нельзя усмотреть пра-
вильной закономерности.
Характерные примеры шу-
мов: шумы на улице го-
рода (запись такого шума
дана на рис. 232, Ь), на
больших заводах, шум
водопада, шум ветра в
лесу и т. п. Распределе-
ние энергии Е звука или
ззукового давления р в
функции от частоты, т. е.
функции £(/) или р(/)>
является спектральной
характеристикой шума
(см. гл. XI, §13). Часто
шум сильно колеблется по
интенсивности и спект-
ру в течение времени (шум
на улице, на заводе), и
тогда Е (f) является также
функцией от времени. Но
в ряде шумов звуковое
давление и энергия остаются в среднем неизменными втечение длитель-
ного времени (шум водопада или горной реки, шум ветра и т. п.). Мно-
гие шумы отличаются сосредоточением энергии в определённой об-
ласти частот, например, в области низких частот (гром, рокот волн)
или высоких частот (свист пара, лязг металла).
Шум самолёта. Шум самолёта создаётся в результате действия ряда
источников звука: 1) звука выхлопа мотора; 2) звука, возникающего при
вращении винта; 3) звука, создаваемого ударами при посадке клапанов
to
If 0.5
I
о
Рис. 231.
о 500
Клацнет
1000 1500 2 000 гж жа аж
Частот»
§ П]
АНАЛИЗ ЗВУКА
361
в гнезде; 4) звука нагнетателя воздуха и др. механизмов; 5) шумт, созда-
ваемого трением корпуса самолёта о воздух. Наиболее сильны шумы 1 и 2;
они слышатся на расстоянии до 10 км и более, остальные же шумы слышны
лишь вблизи самолёта.
Звук выхлопа мотора имеет почти тональный характер, причём его ча-
стота определяется числом выхлопов в секунду; однако, г следствие некото-
рой неодинаковости силы отдельных выхлопов звук значительно искажается
и приобретает иногда неровный, пульсирующий характер. Если вал мотора
даёт N об/мин, то частота выхлопа одного цилиндра будет равна fY~N/2-60 гц
(один выхлоп за 2 оборота вала); при п цилиндрах частота выхлопов будет
f = -——-n=-nfi. Если один из цилиндров даёт выхлоп более сильный или
м 2 • 60
более слабый, чем все остальные, то в спектре звука должны появиться
частота j\ и её гармоники.
Частота n-й гармоники (/м)
будет особенно сильна. Если
выхлоп одной половины ци-
линдров объединён в общую
трубу, выхлоп же другой по-
ловины — в другую трубу,
то легко может возник-
нуть компонента с частотой
у —=7м
71 2 ~2 ’
На
близком
расстоянии звук мотора бо-
гат шумовыми призвука-
ми с непрерывным спектром, даваемым ударами клапанов, шумом зуб-
чатых передач и вспомогательными механизмами. В шуме обычно удаёт-
ся выделить низкие тоны с частотой nft (иногда которые прослу-
шиваются наиболее отчётливо с больших расстояний, тогда как высокочастот-
ные компоненты сильно поглощаются и рассеиваются в атмосфере. Возьмём
для примера пассажирский самолёт ПС-84 (тип Дуглас) с двумя моторами
по 9 цилиндров^ сдающими при нормальном режиме 2100 об/мин. Из этих
данных мы получим /м= 158 гц. При приближении или удалении со
скоростью 300 км/час^ S3 м/сек частота тона будет изменяться в
' 83 ( 1 25
отношении 1 ± 340^ { 9’75 вследствие эффекта Допплера (см. гл. XI, §25).
При приближении получим /м ^200 гц, при удалении /м 120 гц. Звук
мотора не имеет резко выраженной направленности и слышен примерно оди-
наково во все стороны.
Звук винта обусловлен в основном двумя различными причинами. Во
первых, действием периодических импульсов, производимых быстро вра-
щающимися лопастями винта. Этот так называемый звук вращения имеет
очевидно, частоту, равную числу оборотов винта, умноженному на число его
лопастей (т). Поскольку современные винты обычно имеют редукцию, т. е.
уменьшённую посредством зубчатой передачи скорость вращения, частота
N
звука вращения будет /в= km , где k — коэффициент редукции (0,40—0,70
для современных самолётов). Звук вращения наиболее силён в направлениях,
близких к плоскости вращения винта. Звук вращения резко усиливается при
увеличении окружной скорости винта, особенно когда эта скорость начинает
приближаться к скорости звука. При увеличении окружных скоростей уве-
личивается также сила звука обертонов по сравнению с основным тоном. Для
самолёта ПС-84, k ==; 0,69, т = 3 и мы получим /в = 72 гц.
362
АКУСТИКА
(ГЛ. XII
Вторая причина звукообразования при вращении пропеллера — это срывы
мощных вихрей сзади быстро движущихся лопастей винта. Этот вихревой
или турбулентный звук имеет характер шума с непрерывным спектром, рас-
пространяющимся в довольно высокую область частот, до нескольких тысяч
герц (для самолёта в полёте); он наиболее силён в направлении линии полёта.
На расстоянии вихревой звук быстро ослабевает и становится заметно сла-
бее звука вращения. На рис. 233 показан типичный спектр шума самолёта,
снятый на близком расстоянии; тональные компоненты в нём налагаются на
сплошной спектр. На расстояниях 1 км
и более в шуме самолёта остаются
лишь низкочастотные компоненты (в об-
ласти от 50 до 300 гц) звука враще-
ния и звука выхлопа, остальные же шумы
практически незаметны. Обычно наибо-
лее силён, особенно у военных самолё-
тов, звук вращения, слышимый, как
отчётливый музыкальный тон, резко
усиливающийся в плоскости вращения
пропеллера. Определение частот /ми/в
позволяет сделать заключение о типе
самолёта. У двухмоторных самолётов
наблюдаются обычно биения между то-
как числа оборотов удаётся поддерживать
Частота
Рис. 233.
нами /вдля двух моторов. Так
обычно с точностью до 1%, то» очевидно, возможно возникновение биений
с частотой 0,01 /в и меньше, т.е. порядка 1 гц и реже. У самолётов с хорошо
стабилизованными оборотами такие биения наблюдаются очень отчётливо.
§ 12. Голос и речь. Строение голосового аппарата. Голосовой
аппарат человека состоит из трёх главных частей (рис. 234):
1. Лёгких и мускульного аппарата, регулирующего их объём/лёг-
кие играют роль резервуара воздуха с повышенным давлением (меха).
2. Голосовых связок, расположенных в гортани и пред-
ставляющих собой два упругих мускульных валика. При голосо-
образовании связки туго натянуты и настолько плотно прижаты друг
к другу, что свободный проход из лёгких преграждается, и воздух,
чтобы выйти, должен раздвинуть их своим давлением; после этого
связки, вследствие своей упругости, вновь спадаются, затем воздух
вновь раздвигает их; в результате связки приходят в состояние
автоколебаний, а воздушный поток прерывается с частотой свобод-
ных колебаний связок — происходит фонация, т. е. возбуждается
звук голоса. 4
3. Воздушных полостей глотки, рта и носа, которые существенно
видоизменяют звук, порождаемый связками, благодаря возникнове-
нию резонанса и усилению тех обертонов звука, которые близки
к собственным частотам полостей (см. § 6, рис. 220).
Первичный звук связок имеет характер ряда коротких и резких
импульсов, периодически следующих друг за другом через проме-
жутки времени, равные периоду свободных колебаний упругих голо-
совых связок. Один раз за период связки раскрываются, про-
пускают небольшую порцию воздуха и дают короткий воздушный
толчок. Звук связок имеет спектр, состоящий из очень большого
§ 12]
ГОЛОС И РЕЧЬ
363
числа (десятков) гармонических обертонов, имеющих почти одина-
ковую силу. Резонансные полости (см. § 6) глотки, рта н носа
усиливают те или иные обертоны (в зависимости от положения
языка, широты раскрытия рта и глотки,
положения мягкого нёба). Таким обра-
зом создаются при достаточно длитель-
ной фонации (0,02 сек) звуки с ха-
рактерным тембром, называемые гласными.
Характерные для различных гласных обла-
сти усиления в спектре называются фор-
мантами. Каждая гласная имеет определён-
ные форманты, частота которых остаёт-
ся неизменной при любом изменении ча-
стоты основного тона связок; положение
формант одинаково для мужских и женских
голосов. Современная теория образования
звуков речи была впервые дана ГельМголь-
цом; им же найдено положение формант
гласных. В соответствии с тем, что резо-
нансные полости рта и глотки образуют все-
гда двойной резонатор, с двумя резонанс-
ными частотами (§ 6), все гласные имеют
по две форманты. У гласных у и о верх-
няя форманта не особенно резко выражена;
у гласной а обе форманты очень близки.
На рис. 235 указано
положение формант основных гласных; штриховкой показаны фор-
манты, менее резко выраженные у гласных у и о.
Резонаторы голосового аппарата
обладают большим затуханием бла-
годаря мягкости стенок полостей и
наличию большого выходного отвер-
стия (рот). Это приводит к тому,
что область резонанса становится
довольно широкой и в неё может
попадать целый ряд обертонов ос-
новного тона связок. На рис. 236
показаны спектры гласной и при
частоте основного тона 128 и 256 гц.
Мы видим, что наибольшее усиле-
ние обертонов происходит в обоих случаях примерно в тех же
двух областях — около 300—400 и 2200 — 2400 гц. Форму кри-
вой двух звуков, соответствующих ^‘этим спектрам, мы не при-
водим, но отметим лишь, что, несмотря на сходство спектров,
эти кривые по форме совершенно не походят друг на друга. Таким
образом, гласная характеризуется не формой кривой, а положением
формант, т. е. видом спектра. Если исключить из ззука гласных
364
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
область частот выше 1000 г/<, то в звуке гласных е и и останутся
только низкие форманты, и эти звуки начинают тогда походить на
у и о, форманты которых близки по положению к низким форман-
там е и и. Как возможно осуществить такой опыт, мы скажем ниже.
Чтобы дать пример формы кривой различных гласных, мы приводим
на рис. 237 запись звука гласных у, о, а, е, и, произнесённых муж-
ским голосом на низком тоне (около 128 гц). Основные частоты
гласных могут быть различны; они
для мужских голосов и от 150 до
Если создать искусственно ряд
т
о
а
лежат в области от 80 до 180 гц
300 гц—для женских.
обертонов, соответствующих по
распределению энергии спектру
какой-либо гласной, то их совме-
стное звучание даёт звук, подоб-
ный данной гласной. Такой син-
тез гласных осуществил впервые
Гельмгольц при помощи набора
камертонов, ззук которых усили-
вался резонаторами. При помощи
набора из нескольких органных
труб удаётся дать ещё лучшее вос-
произведение различных гласных.
Исключая камертоны или трубы
верхнего диапазона, можно глас-
ные е или и превратить в у или
о, о чём мы }же упомянули вы-
ше. Искусственное воспроизведе-
ние звука гласных возможно осу-
ществить также при помощи двой-
ных резонансных полостей (сделанных, например, из мастики,
рис. 238), размеры и форма которых подбираются на опыте; звук
возбуждается продуванием воздуха через пищик, состоящий из двух
резиновых полосок, натянутых в горле резонатора.
е
т
и
----г
Рис. 237.
§13] ЭЛЕКТРО-АКУСТИЧЕСКИЕ ИЗЛУЧАТЕЛИ 365
Согласные имеют весьма разнообразную и сложную структуру,
которая изучена пока гораздо* меньше, чем структура гласных. Мно-
гие согласные имеют в своём составе почти периодические компо-
ненты, вызываемые кратковременным звуком связок (полугласные л, лс).
Ряд согласных вызывается лишь высокими шумами, возникающими
при прохождении струи воздуха через узкую щель, образуемую теми
Гласная и
Рис. 238.
или иными частями голосового аппарата (f, ч, ш, щ, эти звуки
имеют очень малую мощность. Наиболее высокие компоненты, дохо-
дящие до 8000 г#, входят в состав звука согласной с.
Из всех звуков речи гласные имеют наибольшую мощность. Пол-
ная излучаемая на гласных мощность доходит для среднего голоса
до 700 микроватт (p.W), для очень сильных голосов она может быть
в десять раз больше. При пении у наи-
более сильных голосов мощность голоса
доходит до 105|tW. Средняя мощность
речи, учитывая паузы, составляет всего
10 jiW. Тихий шопот соответствует мощ-
ности 0,01 рДУ.
Для того чтобы обеспечить понятность
речи, достаточно воспроизвести область
частот от 300 до 2000 гц} в которой
лежат важнейшие форматы; такую область
частот обычно воспроизводит телефон.
Для высококачественной передачи речи
необходимо точно передавать всю об-
ласть частот от 80 примерно до 10 000 г#;
тогда получается точная передача тем-
бра каждого индивидуального голоса.
§ 13. Электро-акустические излучатели. Наиболее распространённым
и простым электро-акустическим излучателем является телефон — аппарат,
широко применяемый на практике. Устройство телефона общеизвестно и
описывается в учебниках для средней школы, ввиду чего мы не будем на
нём останавливаться.
Для получения мощных звуков применяются чаще всего электродина-
мические громкоговорители (динамики). Устройство электродинамического
громкоговорителя в принципе таково же, как электродинамического микро-
фона (рис. 216). Разница в конструкции состоит, в основном, в больших раз-
мерах и применении более сильного магнита. В диффузорном громкогово-
рителе (рис. 239) катушка, по которой пропускается ток звуковой частоты
(от усилителя), прикрепляется к вершине бумажного конуса — так называв-
366
АКУСТИКА
[ГЛ. ХП
мого диффузора; диаметр его делается у различных типов от 15 до 30 см.
В результате взаимодействия тока и магнитного тока на катушку, а через
неё на диффузор, возникает переменная сила с частотой, равной частоте
тока, проходящего через катушку.
При передаче широкого диапазона звуковых частот (от 30 до 10 000 гц}
посредством электроакустических излучателей глазные трудности заключа-
ются в равномерной передаче всей области частот и в передаче сложных зву-
ковых процессов с быстро меняющейся амплитудой или частотой. Подвижная
система громкоговорителя представляет собой систему с массой, упругостью
и трением, и ей присуща некоторая собственная частота, вблизи которой
амплитуда вынужденных колебаний становится больше, т. е. получается не-
правильная передача силы звука в разных частях звукового спектра. Кроме того,
при всяких изменениях а.шлитуды и частоты катушка с диффузором будет
давать переходные колебания, искажающие передачу. Чтобы избежать этого
недостатка, колебательную систему электро-
динамических звуковых излучателей констру-
ируют с таким расчётом, чтобы её собствен-
ная частота была возможно низкой (около
100 гц}у и увеличивают затухание системы;
тогда быстро затухающие свободные колеба-
ния динамика почти не ощущаются ухом. Со-
временные динамические громкоговорители
могут давать воспроизведение звука с значи-
тельно увеличенной мощностью по сравнению
с первичными источниками (речь, музыка).
Мощные динамические громкоговорители
снабжаются, для увеличения звукоизлучения
и концентрации его в определённом направле-
нии, рупором. Рупор представляет собой тру-
бу с твёрдыми стенками, поперечное сечение
которой постепенно изменяется и в некоторых конструкциях доходит до
размеров порядка 1 я? и более. Наиболее выгодны в смысле равномерно-
сти излучения на всех частотах экспоненциальные рупоры (рис. 240, а), в ко-
торых площадь поперечного сечения меняется по закону
S=zSQem\
(12.36)
где So — площадь начального сечения, т — коэффициент расширения, а х —
расстояние от начала.
Конический рупор (рис. 240,#) значительно менее выгоден, чем экспо-
ненциальный, так как при равных размерах он слабо излучает низкие частоты.
Посредством рупора удаётся: 1) при данной амплитуде излучающей диа-
фрагмы получить значительно большую излучаемую мощность звука и
2) направить звук концентрированным пучком по оси рупора.* Теория
показывает, что для получения указанных эффектов размеры выходного
отверстия рупора должны быть сравнимы с длиной волны и, кроме того,
рупор должен не слишком быстро расширяться (иметь небольшой коэффи-
циент расширения т). Всё это приводит к необходимости делать у громко-
говорителей рупоры больших размеров, так как в звуках речи и музыки
имеются низкочастотные компоненты с длинами волн в несколько метров;
обычно применяемые рупоры, с диаметром выходного отверстия порядка
метра на низких частотах дают уже сильно пониженный эффект.
§ 14. Слуховой аппарат человека. Слуховой аппарат, как
и зрительный аппарат, человека является парным органом. Строе-
ние слухового аппарата показано на рис. 241, а. В правой
и левой височных костях 1 черепа находится особый орган —
улитка 2, представляющий собой небольшую костную полости,
§ 141
СЛУХОВОЙ АППАРАТ ЧЕЛОВЕКА
367
наполненную жидкостью’ (лимфой), внутри которой вдоль гибкой пе-
репонки (основной мембраны} 3 расположены окончания слуховых
нервов; улитка имеет объём всего 0,2 сж3; с полостью улитки соеди-
нены три полукружных канала, в которых заложен орган равно-
весия. Улитка и полукружные каналы вместе составляют так называе-
мый лабиринт. Звук передаётся к улитке через слуховой канал;
в конце слухового канала стоит упругая мембрана — барабанная пере-
понка 4, которая связана, через систему маленьких косточек — ры-
чажков 5, с упругой перепонкой овального окна 6, ведущего в полость
улитки; в улитке имеется второе отверстие — круглое окно 7, также
закрытое перепонкой. Рычажки 5, при передаче движения, дают
уменьшение амплитуды колебаний при соответственном увеличении
силы давления, что обеспечивает передачу в жидкость улитки
большей энергии (см. § 2). Полость улитки в действительности не
прямая, как это схематически показано на рис. 241, а, а спирально
изогнутая (рис. 241, by она имеет 272 завитка и длину около 30 мм.
При вдавливании (или вытягивании) мембраны овального окна
жидкость внутри улитки (рис. 241, Ь) приходит в движение, увле-
кает за собой стоящую на пути узкую и длинную перепонку —
основную мембрану 1 с нервными элементами, заложенною в ней,
и затем выпячивает (или втягивает) овальное окно 4. Волокна основной
мембраны — так называемые органы Корти, прикреплённые с одной
стороны к костной спиральной перегородке 2, расположены поперечно
и имеют постепенно изменяющуюся от одного конца мембраны до дру-
гого длину и натяжение, в результате чего резонансные частоты воло-
кон постепенно убывают от овального окна к вершине улитки (3—4).
Такую настройку волокон основной мембраны можно уподобить на-
стройке струн фортепиано или арфы. При действии звуков определён-
Рис. 241.
ной частоты совершенно определённые волокна мембраны приходят
в резонансные колебания, и при этом благодаря испытываемым сотрясе-
ниям, возбуждаются соответствующие нервные окончания, передающие
раздражения в мозг. При действии сложного з ’>ука раздражение испы-
тывает ряд нервных волокон в разных частях основной мембраны,
и, благодаря этому, ухо может воспринимать все составляющие
368
АКУСТИКА
[ГЛ. ХИ
звуковых волн возникает
Рис. 242.
(компоненты) сложного звука раздельно. Ухо способно, таким обра-
зом, производить анализ сложных звуков подобно тому как его
производит язычковый частотомер (гл. XI, § 7).
Человеческий слух способен воспринимать тоны с частотами от
16 гц до 20 000 гц; у стариков предел восприятия высоких частот
постепенно падает и снижается до 10 000 г# и менее. Некоторые
животные (собаки, кошки и др.) слышат звуки большей частоты, чем
человек; летучие мыши слышат даже до 60 000 гц.
§ 15. Бинауральный эффект. Наблюдение показывает, что
человек способен определять направление распространения прохо-
дящих звуковых волн и, таким образом, оценивать, в каком напра-
влении лежит источник звука. Это свойство слуха обусловлено нали-
чием парного слухового органа и носит название бинаурального
(двуушного) эффекта; человек, глухой на одно ухо, почти теряет
способность определять направление звука. Ощущение направления
благодаря тому, что мозговые центры
способны учитывать разность времени
Д/ воздействия звука на два уха. Если
два звуков,ых импульса приходят к двум
ушам одновременно, Д/ = 0, то полу-
чается впечатление, что источник звука
лежит в средней плоскости головы. Если
разность времён прихода звука к обоим
ушам составляет Д/=3 • 10“б сек (раз-
ностьхода 1 см), то получаетсявпечатле-
ние, что источник сдвинут наЗ—4° в сто-
рону опережающего звука. При раз-
ности времён Д/ = 60*10-5 сек ка-
жется, что звук идёт сбоку (сдвиг 90°).
Из рис. 242 легко подсчитать (принимая
расстояние между ушами равным 21 см),
что при уклонении далёкого источника
на 3° от средней плоскости, мы как раз
должны получить разность времён Д/=
= а^^3.10-’ сек.
С
Наличие бинаурального эффекта
очень убедительно обнаруживается на
простом опыте. Если подвести к двум
ушам концы резиновой трубки, заки-
нутой за спину, и ударять по ней в
середине, то наблюдателю кажется, что источник звука точно распо-
ложен в средней плоскости головы; если сдвинуть место удара на
0,5 см (разность ходов 1 см), то уже ощущается сдвиг воображаемого
источника на 3—4°.
Разница амплитуд звука в двух ушах в случае прихода звука
ЧАСТОТА И ВЫСОТА ЗВУКА
369
§ 16]
сбоку, при частотах ниже 1000 г^(Х = 34 см), не может иметь
сколько-нибудь заметной величины, так как благодаря диффракции
звук с большой длиной волны свободно огибает препятствие и не
даёт «тени». Поэтому на низких частотах разница амплитуд не может
объяснять бинауральный эффект. При более высоких частотах го-
лова уже даёт значительную звуковую «тень», и сила звука будет
больше в ухе, обращённом к источнику. Таким образом, при высо-
ких частотах суждение о направлении звука уже может возникать
вследствие разницы амплитуд звука в двух ушах; по этой причине
человек, глухой на одцо ухо, может до известной степени опреде-
лять направление звука, поворачивая голову.
§ 16. Частота и высота звука. При постепенном изменении
частоты простого тона слух замечает совершенно определённое,
характерное изменение качества звука, являющееся одним из составных
элементов слухового восприятия.. Элемент слухового восприятия,
связанный с частотой колебания, называют высотой звука. Оказы-
вается, что музыкальный тон, обусловленный периодическим коле-
банием сложной формы, при оценке на слух всегда имеет такую
же высоту, как простой тон, частота которого равна основной
частоте данного музыкального тона. Если затухающее звуковое
колебание или даже постоянное по амплитуде звуковое колебание
длится очень короткое время, порядка нескольких сотых долей
секунды или менее, то высота его ухОхМ уже не улавливается, и он
воспринимается как удар или щелчок.
Основным свойством восприятия высоты звука является то, что
при изменении частоты тона в одинаковом отношении (независимо
от абсолютного значения взятых частот), т. е. при одинаковом при-
росте логарифма частоты, получается ощущение одинакового изме-
нения высоты. Например, при удвоении частоты нам кажется, что
высота тона изменяется на одинаковую величину, независимо от
того, изменяем ли мы частоту от 50 до 100 гц, от 500 до 1000 гц
или от 2000 до 4000 гц. Поэтому в музыке весьма существенную
роль играет отношение частот применяемых тонов, называемое интер-
валом. При удвоении частоты получается интервал, называемый
октавой, при отношении частот 5:4 — интервал большая терция,
при отношении 4:3 — кварта, при отношении 3:2 — квинта и т. д.
Простейшие интервалы воспринимаются и распознаются слухом неза-
висимо от частоты входящих в них тонов.
При совместном звучании тонов, отстоящих на интервалы, выра-
жаемые отношениями малых целых чисел (2:1, 3:2, 8:5, 5:4
и т. п.), слуховое впечатление имеет особый, благозвучный и гар-
моничный и, кроме того, чрезвычайно спокойный характер. Такие
интервалы носят название консонансов. При отклонении интерва-
лов от простых целочисленных отношений благозвучие и гармо-
ничность постепенно нарушаются; например, интервалы 13:9 или
11:7 уже нс дают гармоничности. Такие интервалы носят название
24 Попадемся, т. J
370
АКУСТИКА
[гл. XII
диссонансов. Диссонируют также интервалы, выражаемые иррацио-
нальным отношением (например, ]/2 : 1 и т. п.). Причиной диссо-
нанса следует считать образование между основными тонами и обер-
тонами биений, имеющих частоту в несколько десятков герц и дающих
весьма неприятное слуховое ощущение.
В музыке употребляются обычно наиболее простые интервалы. -В пре-
делах любой октавы можно включить добавочные тона с интервалами,
меньшими октавы, выражающимися простыми целочисленными отношениями
частот, и расположить их по некоторому закону, определяемому музыкаль-
ными соображениями в порядке возрастания величин интервалов; последо-
вательность таких тонов носит название гаммы. Ниже даются интервалы
и названия тонов одной, из наиболее широко применяемых в музыке гамм —
натуральной мажорной гаммы; она состоит из семи постепенно повышаю-
щихся тонов с определёнными интервалами между нйМи.
Натуральная мажорная гамма.
Обозначение
тонов . . . с d е f g a h c'
do (ut) ге mi * fa sol la si do' (ut')
Интервал тоном с с в 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2
чистом строе .... Величина ин- 1 тон 1 тон 1/2 тона 1 тон 1 тон 1 тон 1/2 тона
тервалов ме- жду тонами гаммы в чи- стом строе. 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15
Величина ин- 1,125 1,111 1,1067 1,125 1,111 1,125 1,067
тервалов ме- жду тонами гаммы в тем- перир. строе. 1,122 1,122 1,059 • 1,122 1,122 1,122 1,059
Интервалы между звуками гаммы е — f и h — с' приблизительно вдвое
(по величине логарифма) меньше, чем между всеми другими соседними
звуками. Малые интервалы между тонами гаммы носят название полутонов,
а большие — целых тонов.
Применение натуральной гаммы (так называемого чистого строя) в музыке
встречает трудности, так как при этом нельзя было бы играть одну и ту же
мелодию, начиная с любого тона октавы, из-за неодинаковости интервалов
между тонами (9/8, 10/9 и 16/15, см. табл. выше). Чтобы избежать этого неудоб-
ства и расширить музыкальные возможности, применяется темперированный
строй, в котором октава делится на 12 равных интервалов (полутонов), из
12________________________
которых каждый равен у 2 = 1,059; 5 добавочных полутонов вставляется
в промежутки, равные целому тону, но в гамме, начинающейся с do, они не
используются. Интервалы между тонами мажорной темперированной гаммы
оказываются тогда равными точно либо одному полутону (е— f, h — с'), либо
двум полутонам (т. е. целому тону), именно- 1,122= 1,059s (с — d,d— е, f—g,
g — а, а — h). Легко видеть из таблицы, что можно построит» мажорную гамму,
начинающуюся с любого из тонов, если использовать 5 добавочных полутонов
(чёрные клавиши на рояле). В темперированном строе чисто настроен только
интервал октавы, все остальные тоны гаммы получаются приближённо.
§ 171
СИЛА И ГРОМКОСТЬ ЗВУКА
371
Однако, небольшие отклонения от чистого строя для слуха мало заметны,
и потому темперированный строй в музыке широко используется.
На рис. 243 приведена шкала частот с разбивкой на октавы, как это
принято в музыке; рядом изображена клавиатура рояля, охватывающая
практически весь диапазон основных частот тонов, применяемых в музыке.
Частота отдельных тонов (нот) различных октав будет фиксирована, если
задать посредством камертона некоторый нормальный тон (например, do или
1а определённой октавы), который в музыке называют нормальным камер-
тоном. В СССР и во многих других странах в качестве стандарта устано-
влена частота нормального камертона 1а (а) первой октавы (la^, равной
440 гц. В так называемом физическом строе, используемом часто в научных
исследованиях и учебниках, принято 6/0! = 256 гц (lat = 426,67 гц).
' При совместном звучании двух тонов ухо различает по биениям
уже очень небольшую разницу в частоте—до 0,1 гц. При пооче-
рёдном звучании двух тонов едва заметной оказывается гораздо
большая разница’частот. Для высоких тонов едва заметным’является
в этом случае интервал 1,003; так, при
1000 гц заметна разница частот в 3 гц.
На низких тонах едва заметный интервал
брльше и доходит до 1,01 (1 гц при тоне
100 гц). Производя сравнения на слух
с некоторыми эталонами частоты (камер-
тонами, точно настроенными струнами),
легко можно измерить частоту с точ-
ностью до 0,5 гц.
§ 17. Сила (интенсивность) и гром-
кость звука. Сила различных звуков,
встречающихся в природе, меняется в
исключительно широких пределах. Едва
слышимый звук при 1000 гц имеет зву-
ковое давление около 2 • 10~4 дн/см*
или силу звука около 10“9 эрг/см* • сек.
Предельную силу звука при данной ча-
стоте, едва слышимую ухом, называют
порогом слышимости. Очень сильные
звуки вызывают ощущение осязания или
давления в ухе (порог осязания звука);
для таких звуков звуковое давление со-
ставляет около 200 дн/см*\ сила звука
около 104 эрг/см* •сек. При 1000 дн/см*
звуки дают уже болезненное ощущение
(порог болевого ощущения). Величина по-
рога слышимости сильно зависит от'ча-
стоты: она меньше всего для частот от
наиболее чувствительно в этой области. В обе стороны от этой области
порог слышимости очень быстро растёт. На рис. 244 представлена
вся доступная уху человека область слухового восприятия; пояснение
этого рисунка будет дано в этом параграфе, дальше. Нижняя кривая
24*
до 3000
т. е.
372
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
рис. 244, обозначенная 0, даёт величину порога слышимости; масштаб
ординат на этом рисунке логарифмический (в децибелах, см. ниже).
Для оценки силы звука весьма удобно применение логарифми-
ческого масштаба, так как в области слышимых звуков приходится
Рис. 244.
сравнивать интенсивности, разнящиеся друг от друга более чем в 1013раз,
и линейный масштаб был бы очень громоздок. Для установления
логарифмического масштаба силы звука условно избирается некото-
рый нулевой уровень*,
эрг/см* • тс=10~16 вт/см*. (12.37)
Этот уровень выбран несколько меньшим (в 2—3 раза), чем сила
звука для тона 1000 гц на пороге слышимости. Для всякой другой
силы звука /, независимо от частоты тона, мы получим величину,
характеризующую силу звука в логарифмическом масштабе, из выра-
жения
₽ = (бел). (12.38)
20
Эта величина носит название уровня силы. звука. Единица для изме-
рения уровня силы звука названа бел (в честь изобретателя теле-
фона А. Г. Белла). Определение уровня силы звука, даваемой форму-
лой (12.38), применимо как к простым тс^ам, так и к звукам
сколь угодно сложного состава.
Ухо нечувствительно к малым изменениям силы звука. Например,
относительный прирост силы звука =1,26 (на 26%) еДва
заметен для уха. Такой прирост соответствует изменению уровня на
lg10 1,26 = 0,1, т. е. на 0,1 бела. Если для измерения уровня силы
СИЛА И ГРОМКОСТЬ ЗВУКА
373
§ 17J
звука ввести в 10 раз более мелкую единицу чем „бел, то при таком
выборе едва заметный прирост будет соответствовать примерно
одной единице и практически будет несущественно давать значения
десятых и сотых долей единицы. Уровень силы всех звуков мы
сможем, практически точно (в отношении слухового восприятия),
выражать целыми числами без десятых долей. Одна десятая бела
носит название децибел (дб). Для уровня силы звука в децибелах
мы будем иметь выражение
p=101g10-^ (децибел). (12.39)
Звуки, с которыми приходится сталкиваться в акустике, лежат
по уровню в пределах от 0 до 140 децибел. Шкала децибел весьма
удобна на практике и в современной акустике получила весьма
широкое распространение. Так как сила звука пропорциональна
квадрату звукового давления (см. § 2), то
М 10 lg,o /- = 10 lg10 £.= 20 lg10 S-, (12.40)
20 Po Po
где Pq = 0,0002 дн/см2 — нулевой уровень звукового давления, соот-
ветствующий /о = 1О~16 вт/см2 при температуре 20°.
Разность уровней силы двух звуков мы можем выразить так:
= Ю lg10 7- - Ю lg10 £=10 lg10 £ = 20 lg10 £. (12.41)
•*0 20 22 P2
Так, если звук при прохождении через стену ослабляется по ампли-
туде давления в 103 раз или по силе звука в 106 раз, то это зна-
чит, что уровень силы звука уменьшился на 60 дб.
Тоны различной частоты вполне возможно сравнивать по их
субъективной громкости» Так, например, вполне возможно установить
одинаковую громкость тонов 100 гц и 1000 гц или 1000 гц и 4000 гц.
Оказывается, что равногромкими тоны различной частоты будут,
вообще говоря, не при одинаковой силе звука. Так, например, тон ча-
стоты 50 гц, имеющий уровень силы 78 дб, будет равногромким тону
частоты 1000 гц с уровнем 60 дб (рис. 244). Из наблюдений такого
рода можно построить кривые равной громкости, которые приведены
на рис. 244 для всей области слухового ощущения. Тон 1000 гц вы-
бран в настоящее время для сравнения громкостей всех других зву-
ков. Уровень силы тона 1000 гц, равногромкого с данным тоном,
сложным звуком (или шумом), называется уровнем громкости этого
звука (или шума). Все тоны, лежащие на одной и той же кривой
громкости, имеют один и тот же уровень громкости. Кривая с уров-
нем громкости 0 есть кривая порога слышимости. Уровни гром-
кости, по существу дела, должны выражаться в тех же единицах, что
и уровни силы (в децибелах), но, для того чтобы сразу дать понять,
что речь идёт об уровне громкости, а не об уровне силы, единицу
уровня громкости называют иначе: не децибел, а фон.
374
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
Следует различать понятия уровня громкости и громкости, как
субъективно воспринимаемой величины силы звучания. Громкостью
мы называем субъективное качество звука, характеризующее тот
элемент слухового ощущения, который изменяется в тесном соответ-
ствии с изменением силы звука. Мы видели выше, что высота тона
возрастает на одинаковую величину (интервал) при равных приростах
логарифма частоты. Громкость нарастает по более сложному закону,
причём равные приросты логарифмического уровня громкости уже
не отвечают равным приростам громкости *).
Отметим, что к низким тонам кривые равной громкости (рис. 244)
резко сближаются. Это значит, что при данном приросте силы звука
прирост громкости происходит на низких тонах гораздо быстрее,
чем на высоких. На самых высоких уровнях кривые равной гром-
кости идут почти параллельно оси абсцисс, т. е. на постоянном
уровне силы; в этом случае звуки разной высоты оказываются при-
близительно равногромкими при равенстве их силы.
Та область частоты и силы звука на рис. 244, где лежат звуки
речи, показана штриховкой. Если для глухого уха порог слышимо-
сти возрос до этой области, то речь воспринимается таким ухом
с большим трудом.
Уровень громкости различных звуков и шумов
Источник звука Расстоя- ние (в м) Уровень громкости (в фонах) Звуковое давление (в барах)
Шум в кабине самолёта-истребителя. . — 128—134 500—1000
Шум самолёта 50 120 200
В шумных цехах заводов — 100—110 20—64
Шум в вагоне метро (скорость
60 км!час) — 95 11
Шум в кабине пассажирского само- 90 6,4
лёта —
Шумная улица — 90 6,4
Оркестр фортиссимо 10 90—100 6,4—2,0
Громкий разговор 1 70—75 0,4—1,0
Шопот 1 30—40 0,062—0,020
Шелест листьев неск. м 15 0,0011
Порог слышимости при 1000 гц 0 0,0002
J) Психо-физический закон Вебера-Фехнера для силы ощущения был бы
вполне совместим с формулой (12.38), однако, опыт показывает, что изме-
нение ощущения громкости не выражается правильно этой формулой.
Опыт показывает, что громкость возрастает вдвое при увеличении
уровня громкости на 8—10 фон. Если бы громкость выражалась законом
Вебера-Фехнера, то удвоение громкости получилось бы всегда при удвоен-
ном числе фон.
§ 18] СПЕКТРАЛЬНЫЙ СОСТАВ И ТЕМБР ЗВУКА 375
Уровень громкости измеряется при помощи приборов, называемых
субъективными фонометрами. В простейшем фонометре применяется обыч-
ный зуммер (пружинный прерыватель тональной частоты), настроенный на
тон около 1000 гц, который даёт ток в телефон, причём силу тока можно
регулировать в широких пределах специальным реостатом, который градуи-
руется так, чтобы непосредственно можно было отсчитать на его шкале
уровень силы звука в ухе, к которому прижат телефон. Измерение сводится
к подбору такого положения реостата, при котором звук в телефоне был
бы равногромким с исследуемым звуком (например, каким-либо шумом). Так
как шкала проградуирована по уровню громкости тона 1000 гц, то при уста-
новке равногромкости мы получим уровень громкости источника в фонах.
Можно устроить и объективный фонометр, или шумомер. Для этой
цели используется измерительный микрофон, усилитель с электронными
лампами, выпрямитель и гальванометр. Отклонения гальванометра будут
пропорциональны силе звука, но при помощи особой электрической схемы
можно так скорректировать чувствительность прибора, что она при разных
частотах будет соответствовать кривым равного уровня громкости, и тогда
отклонения гальванометра будут пропорциональны уже не силе звука,
а уровню громкости в фонах.
§ 18. Спектральный состав и тембр звука. Музыкальные тоны,
т. е. звуки, характеризуемые периодическим (или близким к нему)
законом и имеющие одну и ту же высоту и громкость, могут быть
всё-таки в ряде случаев различаемы друг от друга на слух на
основании особого качества, которое называется тембром, а также
часто окраской или оттенком звука. Как показали классические
работы Гельмгольца, тембр звука зависит, в основном, от его спектра.
Фазы гармоник, которые, как мы видели выше (гл. XI, § 13), су-
щественно изменяют форму кривой сложного колебания, ухом не
воспринимаются и не оказывают влияния на тембр звука. Одинако-
вый тембр могут иметь звуки с совершенно различной формой кри-
вой. Независимость тембра от фазы гармоник объясняется тем, что
сила возбуждения отдельных нервных волокон, связанных с восприя-
тием тонов определённой области частот, зависит только от си-
лы гармоник (от состава спектра), но не от фазы их колебаний.
При одинаковой частоте звуки голоса, кларнета и рояля будут
иметь одинаковую высоту, но ввиду различия спектра (см. §§ 11 и 12)
их тембр будет отличен друг от друга. Чем сложнее форма кривой,
чем больше в ней обертонов, тем богаче тембр звука в музыкальном
отношении. Высокие обертоны придают тембру «блеск», «яркость»
и «металличность»; низкие дают характер «мощности» и «сочности».
Звуки простых тонов, даваемых камертонами, имеют очень «бледный»,
«бесцветный» тембр, мало интересный в музыкальном отношении.
Различение друг от друга отдельных гласных основано на способ-
ности человека оценивать тембр звука (см. § 12).
Тембр звука в очень сильной степени зависит также от характера
нарастания амплитуды в начальной части звучания и характера
спадания амплитуды в конце звучания. Так, хотя формы кривых
звука рояля, скрипки и кларнета значительно разнятся друг от друга,
однако» если сделать начальную часть звука неслышной, то после
376
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
того как звук начался, эти инструменты довольно трудно распознать
и отличить один от другого. Если же характерная для каждого
инструмента начальная и конечная части звука слышны уху, то
каждый инструмент узнаётся безошибочно. Если пустить граммофон-
ную пластинку в обратном направлении, то спектр звуков нс изме-
нится, так как частоты всех гармоник сохранят свою величину,
однако тембр звука резко меняется; например, звук рояля становится
похож на звук органа.
§ 19. Звукометрия. По звуку выстрелов удаётся определить
местоположение артиллерийских орудий, и этот способ широко при-
меняется в военной практике.
Звуковая волна, возникающая в результате взрыва пороховых
газов, выбрасываемых из дула орудия вслед за вылетающим снаря-
дом, представляет собой мощный звуковой импульс; она распростра-
няется во все стороны в форме сферической волны и носит назва-
ние дульной волны. Центр дульной волны лежит несколько спе-
реди (на 8—10 м) от дульного среза орудия. Скорость дульной волны
вначале несколько больше нормальной скорости звука, но уже на
расстоянии в 100 м от орудия она практически не отличается от
нормальной скорости.
Снаряды современных орудий летят со скоростями, доходящими
до 1000 м/сек, т. е. значительно большими, чем скорость звука
(сверхзвуковыми). Снаряд, летящий со сверхзвуковой скоростью,
порождает своеобразную звуковую волну ударного характера, назы-
ваемую баллистической волной. Это объясняется тем, что при дви-
жении снаряда со сверхзвуковой скоростью воздух перед ним не
успевает сжиматься, и снаряд в любой точке своего пути производит
как бы удар по воздуху, как по абсолютно твёрдому телу, в резуль-
тате чего и порождается сильный звук, имеющий характер импульса
(удара). Волны, возникающие в последовательно проходимых снарядом
точках траектории 1, 2, 3, 4, ..., показаны на рис. 245 в тот
момент, когда снаряд дошёл до точки А. Ввиду того, что снаряд
всё время обгоняет создаваемые им звуковые волны и пронизывает
их волновые фронты, сферические волны, исходящие из точек
1, 2, 3. .., могут иметь огибающую, имеющую форму конуса, угол
при вершине которого (ср), как легко видеть, будет определяться
из соотношения
sin ср = , (12.42)
где с — скорость звука, a v — скорость снаряда.
Таким образом, баллистическая волна имеет фронт в форме
конуса, по направлению нормали которого распространяется ударная
волна со скоростью звука. Наблюдатель, мимо которого пролетает
снаряд (или другое тело) со сверхзвуковой скоростью, услышит силь-
ный и резкий удар (подобный взрыву), причём кажется, что звук прихо-
§ 19]
ЗВУКОМЕТРИЯ
377
дит по направлению нормали к конусу проходящей баллистической
волны, где в момент слышимости уже нет никакого реального
источника ззука. Вблизи от пролетающего снаряда баллистическая
волна настолько мощна, что
производит контузию.
Кроме баллистической
волны, летящий снаряд воз-
буждает ещё своеобразный
свист (или визг), возбуждае-
мый обычно неровностями
на теле снаряда, а также
шипение, подобное слыши-
мому при вытекании пара
из котла. Высота звука, даваемого снарядом, значительно изме-
няется в результате эффекта Допплера (гл. XI, § 25) в зависи-
мости от направления скорости полёта снаряда относительно наблю-
дателя. Таким образом, снаряд, пролетающий в стороне от на-
блюдателя, даёт звук, постепенно изменяющийся по частоте.
Для определения положения стреляющего орудия можно опре-
делить на слух направление прихода дульной волны (см. § 15)
в двух точках наблюдения. Точка пересечения этих двух направле-
ний и укажет положение орудия. Этот способ недостаточно точен,
так как направление определяется на слух с точностью порядка 4°.
Кроме того, на слух можно смешать звук дульной и баллистиче-
ской волны. Практически применяется более совершенный способ
регистрации (записи) звука посредством ряда приёмников, распо-
ложенных в нескольких пунктах на значительном расстоянии (1—2 км)
друг от друга. Запись звука от всех приёмников производится
электрическим способом на центральной звукометрической станции
на движущейся ленте (см. Анализ звука, § И). По такой записи
определяют разности времён прихода звука в отдельные точки; по
этим данным, как мы покажем ниже, можно вычислить местополо-
жение источника звука.
Для того чтобы отличить дульную волну от баллистической,
используется то обстоятельство, что в спектре дульной волны очень
сильны инфразвуковые частоты (частоты ниже 16 г^), тогда как в
баллистической волне они гораздо слабей, а часто и совсем отсутству-
ют. Для выделения инфразвуковых колебаний при записи звука исполь-
зуется резонансный приёмник, настроенный на очень низкие частоты,
для чего берётся сосуд большого объёма с малым входнььм отверстием
(см. § 6), и звук регистрируется движением воздуха в его горле.
По разности времён прихода звука (Д/) в два пункта наблюде-
ния А и В (рис. 246) ещё нельзя найти местоположения источника
звука. Легко видеть, что при данном Д^ источник может лежать
в любой точке некоторой гиперболы D/f, фокусы которой находятся
в пунктах А и В, а вещественная полуось равна сДЛ Но если, кро-
378
АКУСТИКА
[ГЛ. XII
лить разность времён прихода звука в
сможем построить вторую гиперболу
ме точек А и В, прибавить запись звука в третьей точке С и опреде-
пункты В и С (Д/2), то мы
ЕК, и на пересечении двух
гипербол JJK и ЕК, в точке
Л", будет расположен источ-
ник звука Л". Практически
при больших расстояниях
до источника точка пересе-
чения гипербол будет весьма
близка к точке пересечения
их асимптот, что упрощает
решение задачи. Асимптоты
будут итти под углами 04 и
а2 к базам наблюдения АВ
и ВС, из средних их точек
ч . с
из соотношений sin
и sin а2 = С-^- • Для более точного определения положения источ-
ника звука применяется запись из многих (6—8) пунктов наблюде-
ния, а затем берётся среднее из многих определений положения
источников. В результате положение стреляющего орудия может
быть нанесено на карту с точностью до нескольких метров.
Звукометрический способ всегда даёт ошибку вследствие непрямо-
линейности распространения звуковых лучей в атмосфере, в результате
влияния рефракции, ветра и диффракции на встречных препятствиях.
Кроме определения положения неприятельских орудий, звукометри-
ческие станции позволяют также вести прйстрелцу к цели по звуку
разрыва своих снарядов.
§ 20. Звукоулавливатели. Мы видели, что слуховой орган челове-
ка позволяет определить направление на источник звука, причём наи-
меньший оцениваемый на слух угол отклонения от средней плоскости
головы составляет примерно 3°, что соответствует разности времён
Д£ = 3 • 10“8 сек. Если подвести звук к ушам от двух воронок по труб-
кам равной длины и расставить воронки на большее расстояние (а),
чем расстояние между ушами (21 см), то та же едва заметная разница
времён восприятия звука AZ получится при меньшем угле ср1 со сред-
ней плоскостью, чем при слушании невооружёнными ушами ср; из
чертежа, аналогичного данному на рис. 242, легко видеть, что
, с 21 см .
sin ср =---=------sin ср.
т а а т
Увеличивая базу наблюдения а до 2 м, мы увеличим чувствитель-
ность отсчёта угла почти в 10 раз и сможем оценивать отклоне-
ние от средней плоскости с точностью примерно в 0,5°. Укрепляя
воронки с боков некоторой планки, в центре которой имеется
вертикальная ось и установлен круговой лимб с градусными деле-
§ 20]
ЗВУКОУЛАВЛИВАТЕЛИ
379
ниями, легко определить, поворачивая всё устройство и доби-
ваясь, чтобы звук жазался приходящим прямо спереди (или прямо
сзади), направление на источник звука и нанести его на карту.
Угол, составляемый этим направлением с меридианом, называется
азимутом. Определение угла, составляемого направлением на источ-
ник звука с горизонтом (угол вы-
соты), непосредственно на слух
делается лишь крайне неточно.
Применяя вторую пару воронок,
укреплённую на планке, вращаю-
щейся вокруг горизонтальной оси,
и подводя трубки от воронок к
ушам, можно определить, вращая
всё устройство и приводя звук к
средней плоскости, угол высоты с
такой же точностью, как и азимут.
Если вместо воронок приме-
нить рупоры (см. § 13), то кроме
уточнения определения направле-
ния удаётся ещё увеличить и чув-
ствительность восприятия звука,
т. е. слышать слабые звуки на
ббльшем расстоянии. Описанная
схема представляет собой принци-
пиальную основу устройства зву-
коулавливателей, широко приме-
няемых в военном деле для опре-
деления ночью местоположения
летящих самолётов. На рис. 247 показано устройство звукоулавлива-
теля. Ввиду того, что звук самолёта на больших расстояниях содержит
только низкие компоненты (см. § 11), приходится делать длинные
рупоры с большим выходным отверстием, так как маленькие рупоры
для низких частот не обладают направленностью и мало чувствительны.
Звукоулавливатель обычно соединяется путём сложного автома-
тического привода с прожектором. Когда самолёт найден по звуку,
сейчас же даётся свет прожектора, который освещает самолёт, и тогда,
уже по видимой цели, ведётся артиллерийский обстрел самолётов про-
тивника. Следует иметь в виду, что вследствие больших скоростей совре-
менных самолётов (до 200 MfceK) мы слышим в данный момент времени
звук самолёта, соответствующий значительно более раннему его поло-
жению; истинное положение самолёта в небе может отличаться от поло-
жения, определяемого на слух, на угол в 20°—30° в сторону опережения.
Аналогичные способы применяются для определения направления
звука под водой. Приборы, построенные по этому принципу, носят
название шумопеленгаторов и служат для нахождения вражеских
подводных лодок.
380
АКУСТИКА
[гл. XII
§ 21. Ультразвук. Область ультразвуковых волн подробно изучена лишь за
последние двадцать пять лет. Для генерации ультраакустических волн пользу-
ются в основном пьезокварцевыми и магнитострикционными излучателями.
Превращение электрических колебаний в механические возможно при
помощи особого свойства некоторых кристаллов, называемого пьезоэлектри-
чеством. Кварц (горный хрусталь), сегнетова соль, турмалин и некоторые
другие кристаллы при деформации сдавливания или сдвига электризуются
(прямой пьезоэлектрический эффект) и наоборот, при электризации они пре-
терпевают деформацию (обратный пьезоэлектрический эффект). Прямой
пьезоэффект используется для устройства микрофонов, обратный же — для
устройства звукоизлучателей. Если вырезать из кристалла кварца, имеющего
шестигранную форму, пластинку, плоскость которой будет перпендикулярна
к электрической оси кристалла хх’ (рис. 248), то при наложении на её грани
обкладок с различными электрическими потенциалами толщина пластинки слег-
ка изменится, причём потенциал одного знака будет давать увеличение, потен-
циал же обратного — уменьшение толщины; таким образом, переменный
потенциал приведёт пластинку в колебания. Если частота переменного напря-
жения такова, что по толщине пластинки I укладывается полволны упругой
звуковой волны в кварце, то пластинка придёт по толщине в резонансные
колебания (аналогично трубе, открытой с двух сторон). При этом, очевидно:
/ = ™, где с — скорость звука в кварце, равная около 5000 м!сек. Для квар-
цевой пластинки толщиной в 2,5 мм резонанс наступит при частоте около
10е гц, т. е. при ультразвуковой частоте. Идея пье-
зокварцевого ультразвукового излучателя принадле-
жит французскому физику П. Ланжевену.
Если поместить в ванну с трансформаторным
маслом пьезокварцевый излучатель большой мощ-
ности, то давление звуковой радиации оказывается
столь велико, что на поверхности масла может об-
разоваться фонтан высотой в десятки сантиметров;
отдельные же капли могут выбрасываться на ещё
большую высоту. Прикосновение к пробирке, поме-
щённой в ванну, вызывает ощущение ожога — на-
Рис. 248.
столько велико выделение тепла вследствие трения в точке касания, хот-я тем-
пература всей пробирки в целом совсем невысока. Мелкие водяные насекомые,
рыбы и головастики, подвергнутые облучению ультразвуком, погибают в тече-
ние нескольких секунд. Ультразвуки вызывают интенсивное образование эмуль-
сий (например, эмульсии масла 'или ртути в воде), раздробляют (диспергируют)
даже твёрдые тела (свинец, олово и др. металлы), ускоряют течениенекоторых
химических реакций, вызывают усиленное испарение летучих жидкостей, уско-
ряют кристаллизацию растворов, вызывают свечение воды и других жидкостей.
Физико-химические и биологические эффекты объясняются особенностями
распространения звука в жидкости и, в частности, образованием так называе-
мых кавитаций при прохождении мощного ультразвука. Хотя амплитуда коле-
баний пьезокварцевой пластинки ничтожно мала (порядка 10~6слт),но возникаю-
щие при этом звуковые давления в жидкости весьма значительны. Произведём
простой расчёт. Пусть амплитуда в поле плоской ультразвуковой волны равна
so = 2‘10'^ см, при частоте 10е гц. Звуковое давление по формуле (12.5) будет
равно
р0 = рс80ш = 1,5 • 105 • 2 • 1• 2тс . 10е 2 • 108 дн!см2 2 ат.
Таким образом, ясно, что амплитуда звукового давления превышает постоян-
ное (атмосферное) давление в жидкости Р (близ её поверхности). В момент
фазы наименьшего давления давление в жидкости становится равным Р — pQ,
т. е. будет отрицательным. Эго может приводи!ь к разрывам сплошности
жидкости и образованию пустот — кавитаций. Полости кавитаций, вначале
микроскопически малые; постепенно увеличиваются, и жидкость как бы
§ 22]
эхолот
381
начинает кипеть при низкой температуре. В момент фазы наибольшего
давления небольшие кавитации сдавливаются, и разрывы исчезают; расчётом
можно показать, что при этом происходит очень сильное местное увеличение
давления, доходящее до десятков тысяч атмосфер. Такого рода местные
удары и производят указанные выше эффекты разрушений и физико-хими-
ческих действий. Образование кавитаций (при Р—1 ат) начинается при
р0>1 а/п=10° дн)см*\ излучаемая при этом мощность на 1 см2 [формула
(12.6)] получается J=0,3-107 дн]см2 • сек=. 0,3 вт!см2. Возникновение
кавитаций препятствует получению больших удельных мощностей. Однако
при кратковременных посылках звука, с длительностью меньшей 0,01 сек
пузырьки не успевают развиваться и удаётся излучать мощности 10 вт1см2
и более. Это обстоятельство очень важно для технической гидроакустики.
В технике ультразвуки применяются для целей определения морских
глубин (эхолот, § 22), для получения мелких эмульсий, для исследования
дефектов металлических изделий и др. целей.
Магнитострикционные излучатели основаны на том, что некоторые тела,
в основном ферромагнитные металлы, при намагничивании изменяют свои
размеры. Особенно сильный магнитострикционный эффект дают никель,
кобальт и их сплавы. Возбуждая переменным током, проходящим по обмотке,
стержень или кольцо, сделанное из никеля, мы получим колебания его
поверхности и можем создать в окружающей воде сильные звуковые волны.
§ 22. Эхолот. Гидролокация. Для измерения морских глубин ис-
пользуется отражение звука от дна. Аппараты, предназначенные для
этой цели, носят название эхолотов. Принцип устройства эхолота осно-
ван на том, что время
пробега звукового им-
пульса от поверхности
моря до дна и обратно
^время эхо), может слу-
жить мерой глубины
моря. На подводной
части корпуса судна
располагаются источ-
ник и приёмник звука
(гидрофон) (см. рис.
249). В качестве источ-
ника звука использует-
ся либо взрывнаяволна,
либо короткий звуко-
вой (или ультразвуко-
вой) импульс. Звук
отражается от дна,
приходит обратно и действует на некоторый приёмник звука. От-
мечая время t, протекшее между моментом излучения и приёма
звука, мы можем определить глубину моря по формуле
где Нх — глубина погружения излучателя и приёмника, а с — ско*
рость звука в воде.
382
АКУСТИКА
[гл. XII
Отметка времени t может производиться различными способами,
например, быстро вращающейся лампой, которая вспыхивает дважды
за один оборот: в момент посылки звукового импульса (один раз
за каждый оборот) — против нуля шкалы на диске — ив момент
приёма отражённого импульса — против некоторого деления шкалы
диска. При частой посылке импульсов, благодаря инерции зритель-
ного ощущения глаз получает впечатление непрерывно святящегося
штриха, указывающего на шкале диска глубину моря в метрах; при
изменении глубины, по мере движения корабля, этот штрих переме-
щается. Существуют приборы, дающие непрерывную запись глубин
при движении корабля по определённому курсу; запись произво-
дится пером или фотографически на бумажной ленте, движущейся
с постоянной скоростью. Такая запись непосредственно даёт профиль
дна моря по линии движения судна.
Метод эхолота, в случае применения взрывных волн, распростра-
няющихся от места взрыва равномерно во все стороны, может дать
иногда ошибочные результаты. Например, если имеется подводная
скала (рис. 249), то звук может отразиться от её склона (в точке В)
и дойдёт к приёмнику от точки В раньше, чем от дна (точка А).
От такого рода ошибок свободен эхолот с направленным звуковым
пучком, который удаётся осуществить, применяя плоский (поршневой)
ультразвуковой излучатель с длиной волны, меньшей чем размеры
излучающей поверхности (см. о диффракции гл. XI, § 22). Излучатели
ультразвука делаются пьезо-кварцевые (см. § 14) или магнитострик-
ционные с частотами 15—40 000 гц (Х = 10—4 см).
При направленном звуковом пучке возможно измерить не только
глубины моря, но и определить расстояние до всякого рода тел,
находящихся в воде на некотором расстоянии от корабля, например,
до крутого берега, до подводной скалы, до плавающих ледяных гор
(айсбергов), до кораблей и т. п. Для такого рода измерений приме-
няется специальный горизонтальный эхолот, снабжённый дополни-
тельно угломерным устройством для определения азимута тела, отра-
жающего звук. Подобного рода устройства применяются в военно-мор-
ских флотах для определения положения неприятельских подводных
лодок или для нахождения надводных судов с подводной лодки.
По аналогии с приборами для определения местоположения (ло-
кации) по наблюдению эхо на радиоволнах {радар), приборы для
подводной локации называют гидролокаторами или содарами.
Рядом исследований в последние годы выяснено, что акустиче-
ская локация используется летучими мышами при полёте ночью.
Эти животные испускают ультразвуковые волны с частотами в
40—60 тыс. гц короткими сериями, повторяющимися через несколько
сотых долей секунды, и, слушая отражённые сигналы, точно опреде-
ляют расстояния до окружающих предметов.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ВВЕДЕНИЕ
Изучая механику (часть I этой книги), мы встречались не только
с вопросами, касающимися перемещения одних тел относительно
других, но также и с такими, где речь идёт об изменении внутрен-
него состояния тел. Подобный вопрос мы вынуждены ставить,
например, если хотим понять, как можно сообщать различные уско-
рения буксируемому судну с помощью одного и того же троса.
При этом выясняется, что ускорение тем больше, чем сильнее трос
деформирован (растянут). В механике приходится изучать такие
изменения состояний тел, как растяжение троса, сжатие газа, сокра-
щение поверхности жидкой плёнки. При этом считается, что меха-
ническое напряжение в теле определяется его конфигурацией, что,
например, давление газа определяется его объёмом и т. д.
Наблюдение природы учит, что существует множество, других
видов изменения состояния тел помимо тех, с которыми мы уже позна-
комились’.испарение, конденсация, намагничивание, химические превра-
щения, аллотропические превращения (например, графита в алмаз)
и многие другие. С другой стороны, те изменения состояния, которые
мы уже рассматривали (например, растяжение и сжатие), в действитель-
ности много сложнее той схемы, которой пользуется механика.
При одном и том же объёме давление газа может изменяться
в широчайших пределах; длина стержня может увеличиваться и при
отсутствии натяжения. Изменения состояния тел (как те, которые
уже рассматривались в механике, так и остальные), например, удли-
нение стержня при отсутствии натяжения, испарение эфира, проли-
того на руку, сжатие воздуха в велосипедном насосе, перемагни-
чивание железного сердечника трансформатора, сгорание топлива,
имеют, вообще говоря, такую существенную сторону, которая
вызывает у нас специфические «тепловые» ощущения. Отсюда
становится понятным, почему одна из тех ветвей физики, кото-
рые стараются рассмотреть с единой точки зрения всевозможные
изменения состояния вещества, носит название термодинамики
(Оерр.со означает по-древнегречески греть)., Другая ветвь физики,
ставящая себе подобную же цель, называется молекулярно-кинети-
ческой теорией. Отличие между термодинамикой и молекулярно-кине-
тической теорией заключается в выборе тех точек зрения, из кото-
рых, они исходят, и в тех методах, которыми они пользуются.
384
ВВЕДЕНИЕ
Молекулярно-кинетическая теория исходит из того, что тела,
с которыми мы обычно имеем дело, состоят из громадного количе-
ства мельчайших частиц — молекул и атомов. Число молекул в одном
кубическом сантиметре атмосферного воздуха — около 30 миллиар-
дов. Если даже кажется, что тело находится в покое, его молекулы
и атомы совершают быстрые, хаотические движения. Молекулярно-
кинетическая теория ставит себе целью истолковать те свойства
тела, которые мы непосредственно наблюдаем на опыте (давление,
температуру, показатель преломления, намагничение), как суммар-
ный результат действия его частиц. При этом она пользуется ста-
тистическим методом, интересуясь не движениями отдельных частиц,
а лишь такими средними величинами, которые характеризуют движе-
ние громадной совокупности частиц. Отсюда термин статистическая
физика — другое название молекулярно-кинетической теории.
Термодинамика, наоборот, не ставит себе задачей выяснение
внутреннего механизма изменений состояния тел. Законы термодина-
мики служат для того, чтобы из установленных на опыте соотно-
шений между теми или иными макроскопическими величинами непо-
средственно выводить другие соотношения также между макроско-
пическими величинами, не вводя в рассмотрение молекулы и атомы.
(Макроскопическими величинами называют такие, которые характе-
ризуют свойства громадной совокупности молекул или атомов, как
целого; таковы скорость потока жидкости, деформация стержня,
температура, показатель преломления и т. п. Наоборот, такие вели-
чины, как скорость отдельной молекулы или размер атома, не явля-
ются макроскопическими; их иногда называют микроскопическими.)
Так, например, из опыта известно, что резиновый жгут удлиняется при
охлаждении; на основании термодинамики отсюда можно заключить,—
и это подтверждается на опыте, — что этот жгут нагреется, если мы
его натянем. Термодинамика не интересуется, как связан тот факт,
что резина удлиняется при охлаждении, а не при нагревании, с осо-
бенностями её молекулярной структуры. Этот вопрос относится к
молекулярно-кинетической теории.
Подходя к рассмотрению изменений состояний вещества с раз-
личных точек зрения, термодинамика и молекулярно-кинетическая
теория взаимно дополняют друг друга, образуя, по существу, одно
целое.
По поводу дальнейшего изложения необходимо сделать два заме-
чания.
1. Так как в настоящем курсе раздел «Термодинамика и молеку-
лярная физика» предшествует электромагнетизму и оптике, мы
вынуждены отказаться от иллюстрации этого раздела материалом,
связанным с электромагнитными и оптическими явлениями. (Такой
материал будет приведён в соответствующих разделах II тома.)
Тем более необходимо подчеркнуть, что приложения термодинамики
и статистики к электризации и намагничиванию тел, к процессам
ВВЕДЕНИЕ
385
в гальваническом элементе, излучению и рассеянию света не менее
важны, чем те приложения, которые относятся к расширению тел,
плавлению, испарению и т. п. Кроме того, мы не касаемся столь же
важных приложений термодинамики и молекулярной физики к хими-
ческим явлениям. Эти приложения излагаются в специальных курсах
физической химии или химической физики.
2. Характер изложения термодинамики существенно отличается
от того, который до сих пор является общепринятым в учебниках
физики. Нами сделана первая, насколько нам известно, попытка
элементарного изложения термодинамики, с учётом (хотя бы частич-
ным) тех достижений в отношении прояснения её логической струк-
туры, которые содержатся в известных работах Каратеодори (1909)
и Т. А. Афанасьевой-Эренфест (1928). Это выражается главным
образом в двух пунктах. Во-первых, понятие количества теплоты не
фигурирует в формулировке первого принципа термодинамики; оно
появляется дальше, как производное понятие. Во-вторых, проводится
резкое разграничение между свойствами симметрии обратимых про-
цессов, находящих своё выражение в существовании энтропии, и воз-
растанием энтропии при установлении термодинамического равно-
весия. Следуя Афанасьевой-Эренфест, мы называем вторым принци-
пом термодинамики не совокупность этих двух положений, логически
между собой не связанных, а только первое. Быть может, эти ново-
введения не сразу завоюют симпатию тех, кто привык к традицион-
ному изложению. Мы думаем, однако, что будучи проведены с
достаточным педагогическим тактом,— не нам судить, насколько это
здесь удалось, — они значительно облегчат действительное понима*
ние одного из наиболее трудных разделов курса физики.
25 Папалекси, т. I
ГЛАВА XIII
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 1. Простейшая схема поршневого двигателя. Термодинами-
ческая трактовка состояния. Разбор простейшей схемы поршневого
двигателя позволит легко понять, в чём отличие между термодина-
мической трактовкой изменения состояния тел и той упрощённой
трактовкой, которая является характерной для механики, и почему
во многих случаях необходим отказ от этой упрощённой трактовки.
Рис. 250.
Находящийся в цилиндре
(рис. 250) сжатый газ, расширя-
ясь, поднимает поршень и совер-
шает работу. Эта работа идёт
на то, чтобы сообщить кинети-
ческую энергию маховику.
При расширении газа его
давление изменяется. Это изме-
нение удобно изобразить на
«индикаторной диаграмме», от-
кладывая по оси абсцисс*объём
газа I/, а по оси ординат его
давление р (рис. 251). Работа
газа А при расширении от объ-
ёма Vt до объёма И2 вы-
разится площадью фигуры MABCN, где ОЛ1 =Vlf CW= V2, или
аналитически (глава VIII, § 7)
A = Jp(V)dV.
АВС
Индекс АВС указывает, что графиком подинтегральной функции
является кривая АВС и что пределами интеграции служат абсциссы
точек А и С.
Кинетическая энергия, приобретённая маховиком, равна (если
пренебречь трением) работе А.
Пусть объём V\ соответствует наинизшему положению поршня,
объём 1/2— наивысшему. Тогда при расширении от ]/\ до 1/2 махо-
вик совершает полаборота. После этого, благодаря приобретённому
§ 1] ПРОСТЕЙШАЯ СХЕМА ПОРШНЕВОГО ДВИГАТЕЛЯ 387
разгону, маховик продолжает вращаться и поршень начинает
опускаться.
Предположим сначала, что как при прямом, так и при обратном
движении поршня каждому значению объёма соответствует одно и
то же значение давления. В таком случае прямой и обратный ходы
поршня изображаются на индикаторной диаграмме одной и той же
кривой АВС.
Работа газа А' при его сжатии, соответствующем обратному
ходу поршня от У2 до Уп отрицательна, а её абсолютная величина
снов^ равна площади MABCN
А! = —Л = J p(V)dV.
СВА
Следовательно, приращение кинетической энергии за полный
оборот равно нулю, и маховик теряет при обратном ходе всю кине-
тическую энергию, приобретённую при прямом ходе. Если бы мы
учли ещё силы, тормозящие движение маховика (полезные сопро-
тивления и трение), то мы увидели бы, что если маховик и обла-
дает вначале некоторой кинетической энергией, то с каждым обо-
ротом она становится всё меньше, пока движение не прекратится.
Между тем в поршневом двигателе поочерёдное расширение и сжа-
тие газа в цилиндре должно поддерживать вращение маховика,
несмотря на наличие полезных и вредных сопротивлений.
Итак, если прямой и обратный ходы поршня изображаются на
индикаторной диаграмме одной и той же кривой, наше устройство
не может служить двигателем. Но оно будет являться двигателем,
если на индикаторной диаграмме обратный ход изображается кри-
вой, проходящей ниже чем АВС, например, кривой CDA, т. е.
если при одних и тех же значениях объёма давление при расшире-
нии больше, чем при сжатии.
Действительно, при этом работа, совершённая над газом во
время сжатия (площадь MADCAZ), меньше по абсолютной величине,
чем работа, совершённая газом во время расширения (площадь
MABCN), и в итоге полного оборота маховика получается выиг-
рыш в работе, измеряемый площадью заштрихованной замкнутой
фигуры (рис. 251).
Работу, совершённую над поршнем за полный оборот, можно
теперь записать следующим образом:
АА'= pt(V) dV — $p^V)dV.
ABC ADC
Под знаками обоих интегралов стоят различные функции p{(V)
и p2(V); они изображаются, соответственно, кривыми АВС и ADC.
Итак, если расширение происходит под большим давлением, чем
сжатие, то наше устройство работает, как двигатель.
25*
388
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. ХП1
Рис. 252.
Можно ли в действительности осуществить такие условия?
При механической трактовке упругих деформаций принимается,
что упругая сила однозначно определяется конфигурацией (гл. VII, § 2)
и что, в частности, давление жидкости или газа однозначно опре-
деляется их объёмом. Если бы это вполне соответствовало действи-
тельности, то условия, при которых устройство работает, как дви-
гатель, были бы неосуществимы. Но предположение об однозначной
зависимости между силой и деформацией
является лишь упрощением, идеализацией. Ино-
гда, например при определении периода соб-
ственных колебаний стальной пружины или
балки, оно не приводит к существенным ошиб-
кам. Но во многих случаях оно должно быть
отброшено и, в частности, тогда, когда мы переходим к рас-
смотрению поршневого двигателя. В действительности при одном и
том же объёме тела его давление может принимать самые различ-
ные значения и, наоборот, при данном давлении тело может зани-
мать различный объём.
Возьмём, например, термоскоп — стеклянный баллон, сообщаю-
щийся с горизонтальной трубкой, в которой находится в равнове-
сии небольшой водяной столбик (рис. 252). Прикоснёмся к баллону
рукой — столбик перемещается вправо до тех пор,
пока не приходит в новое положение равновесия. Как
в старом, так и в новом положении равновесия стол-
бика давление воздуха в баллоне равно атмосферному
давлению и, следовательно, одинаково. Таким обра-
зом, давление воздуха в баллоне не изменилось, а объ-
ём изменился.
Сделаем другой опыт. Опустим трубку в стакан с во-
дой (рис. 253). Обхватим баллон рукой. Часть воз-
духа при этом выйдет из него в виде пузырьков. Если
мы теперь уберём руку, вода в трубке поднимется. Рис. 253.
Разность уровней воды в трубке и стакане пропорци-
ональна разности между атмосферным давлением и давлением воздуха
в баллоне. Коснёмся теперь баллона пальцем. Для того чтобы поло-
жение мениска воды в трубке не изменилось, придётся слегка опу-
стить стакан. Следовательно, теперь при неизменном объёме воздуха
в баллоне его давление возросло.
Точно так же, если, закрепив поршень в определённом положе-
нии, окружить цилиндр, например, кипящей водой, давление воздуха
в нём возрастает. Если мы его поместим в тающий лёд, давление
понизится. Следовательно, расширение под большим давлением, чем
сжатие, можно осуществить, например, приводя цилиндр в сопри-
косновение с кипящей водой при подъёме поршня и со льдом при
его опускании. (Практически выгодные поршневые двигатели осу-
ществляются, конечно, иначе. Но расширение рабочего вещества
§ 1] ПРОСТЕЙШАЯ СХЕМА ПОРШНЕВОГО ДВИГАТЕЛЯ 389
под большим давлением, чем сжатие, характерно для всех поршне-
вых двигателей.)
Наблюдения, подобные описанным здесь, приводят к заключению,
что в действительности объём тела не определяет его давления и
давление тела не определяет его объёма; объём и давление тела
могут меняться независимо друг от друга. Учёт этого основного
факта характерен для термодинамики, в отличие от механики.
Во всех тех случаях, которые мы здесь будем рассматривать,
мы будем считать, если явно не оговорено обратное, что плотность и
давление тела всюду одни и те же (в отличие, например, от воз-
духа, наполняющего трубу, в которой р
распространяется звуковая волна, длина ко-
торой меньше длины трубы). Опыт пока-
зывает, что если объём V и давление тела
р поддерживаются постоянными, то тело
по истечении более или менее длительного
времени приходит в такое состояние, при
котором все макроскопические движения
(потоки, колебания) в нём прекращаются, а
все величины, характеризующие его макро-
скопически наблюдаемые свойства (напри-
мер, магнитные или оптические)
принимают вполне определённые
значения, зависящие от V и р. Такое состояние тела называется равно-
весным. Всюду, где не будет оговорено обратное, мы будем, говоря
о состоянии тела, иметь в виду равновесное состояние. Каждому
такому состоянию тела соответствует определённая точка на плоско-
сти У, р.
Тело может перейти из одного состояния в другое, например, из
состояния М в состояние W (рис. 254) по различным «путям», т. е.
через различные последовательности промежуточных состояний.
Кривые MAN, MBN, MCN изображают некоторые из таких путей.
Если задан определённый путь на плоскости V, р, то на этом
пути У, р уже нельзя рассматривать как независимые переменные:
вдоль заданной кривой р является определённой функцией V, Вид
функции различен для различных кривых. Ясно, что работа, совер-
шаемая телом при переходе из состояния М в состояние N, зави-
сит от того пути, по которому происходит переход.
Если мы имеем дело с системой (совокупностью) тел, то для
того чтобы описать её состояние, надо задать состояние (объём
и давление) каждого из тел этой системы.
Мы здесь умышленно избегали таких слов, как «более нагретый»,
«более холодный», «нагревать» и т. п. Эти слова служат в обы-
денной речи для выражения специфических «тепловых» ощущений.
Тепловые ощущения весьма неоднозначны, даже качественно. Пусть,
например, опустив руку в один, затем в другой сосуд с водой, мы
почувствовали, что вода во втором сосуде «немного холоднее», чем
390 ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ [гл. хш
в первом. Предложим другому наблюдателю опустить руку в пер-
вый сосуд, потом в снег, а затем во второй сосуд. Этот наблюда-
тель почувствует, что вода во втором сосуде «теплее» чем в первом.
Кроме того, тепловые ощущения весьма грубы и имеют весьма
ограниченный диапазон, за пределами которого наступают болевые
ощущения: вряд ли можно рекомендовать исследовать с помощью
тепловых ощущений жидкий воздух или расплавленную сталь.
В дальнейшем (§ 7), введя физическое понятие «температуры» посредст-
вом вполне однозначного определения, независимого от наших теп-
ловых ощущений, подобно тому как, например, высота звука имеет
определение (гл. XII, § 17), независимое от специфических звуковых
ощущений, мы сможем вложить вполне определённый физический
смысл в такие слова, как «более горячий» и «более холодный». Мы
будем тогда иметь логическое право так резюмировать содержание
этого параграфа: для того чтобы устройство рис. 250 работало, как
двигатель, необходимо, чтобы при расширении газ был в среднем
более нагрет чем при сжатии.
Ещё до того, как будет дано физическое определение темпера-
туры, мы будем иногда, для облегчения чтения, апеллировать к теп-
ловым ощущениям при описании опытных фактов, но не в рассуж-
дениях и не в ответственных формулировках.
§ 2. Исторические замечания. Согласно взглядам, господство-
вавшим ещё в первой половине XIX столетия, тепловые явления
вызываются особым веществом — «теплотой» или «теплородом»,
которое может смешиваться с обыкновенными телами. Считалось,
что, наряду с законом сохранения обычного вещества, имеет место
закон сохранения теплоты: как обычное вещество, так и теплород не
разрушаются и не создаются вновь.
Характерными для теории теплорода были такие представления.
Тело тем горячее, чем больше в нём теплорода (подобно тому, как
суп тем более солёный, чем больше в нём соли). Теплород перете-
кает из тел, более нагретых, в тела, более холодные; например, когда
греют воду на огне, теплород просачивается сквозь стенки сосуда
из пламени в воду. Перетекая из горячего тела в холодное, теплород
может совершать работу, подобно тому, как вода, перетекая из
верхнего бьефа плотины в нижний бьеф, может заставить вращаться
мельничное колесо или турбину.
Вера в теплород была подорвана внимательным изучением обще-
известных явлений нагревания трением. Теория теплорода объясняла
подобные явления тем, что благодаря трению теплород выжимается
из междуатомных промежутков в телах, как вода из губки. Считали,
говоря точнее, что теплоёмкость трущихся тел уменьшается, что и
приводит к нагреванию, несмотря на то, что количество содержаще-
гося в них теплорода не меняется. '
Против этого взгляда говорит, например, знаменитый опыт Дэви.
Он показал, что три трении двух кусков льда друг о друга, они
§ 3] АДИАБАТИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА 391
тают. В этом опыте лёд превращается в воду без участия более
нагретых тел, т. е. без «притока теплорода». Эта вода ничем не
отличается от той, которая получается, если расплавить лёд на
огне, и, в частности, обладает такой же теплоёмкостью. Но когда
лёд плавят на огне, он «поглощает теплород» (скрытую теплоту
плавления), и, следовательно, вода' «содержит больше теплорода»
чем лёд. Выходит, что в опыте Дэви количество теплорода, содер-
жащееся в теле, увеличилось без притока теплоты извне. Иначе
говоря, общее количество теплорода не остаётся постоянным. Но
тогда рушится основное представление теории теплорода.
Наряду с теорией теплорода давно существовал и совершенно
другой — молекулярно-кинетический взгляд на природу тепловых
явлений. Его отстаивали с большим блеском многие выдающиеся
учёные XVII и XVIII столетий: Бойль, Гук, Ломоносов, Бернулли
и др. Они утверждали, что тепловые явления вызваны не присут-
ствием особого вещества, а механическим движением мельчайших
невидимых частиц обыкновенной материи. Тело тем горячее, чем
интенсивнее движутся составляющие его частицы, подобно тому,
говорил Румфорд, как колокол звучит тем громче, чем сильнее он
колеблется.
В сороковых годах прошлого столетия благодаря, главным обра-
зом, работам Роберта Майера и Джоуля было окончательно уста-
новлено, что теплород или теплота, понимаемая как субстанция, не
существует. При этом был открыт первый принцип термодинамики,
изложению которого посвящены следующие параграфы. Значительно
позднее тщательный логический анализ первого принципа термоди-
намики показал (Каратеодори, 1909), что нет даже никакой необхо-
димости вводить особую физическую величину—«количество теп-
лоты». Правда, это не единичный случай в истории науки — терми-
нология отжившей теории оказалась более живучей, чем её физиче-
ское содержание. Мы и теперь употребляем слова: «количество
теплоты», «теплоёмкость» и т. п.
Гибель теории теплорода и открытие первого принципа термо-
динамики явились одним из больших переворотов в истории науки.
Он увенчался установлением всеобщего закона сохранения энергии,
охватывающего всю физику, химию, физиологию, и оказал глубокое,
влияние на развитие всего естествознания. Он в огромной степени
увеличил убедительность молекулярно-кинетических представлений,
окончательно восторжествовавших в начале XX столетия, после того
как были открыты новые мощные методы наблюдения.
§ 3.* Адиабатическая оболочка. Прежде чем говорить о первом
принципе термодинамики, нам необходимо ввести понятие адиабати-
ческой оболочки.
Будем рассматривать тела, заключённые в непроницаемые для
вещества «оболочки», например: жидкость в закрытом сосуде, газ
в цилиндре с плотно пригнанным поршнем и т. д. Как было сказано
392
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. XIII
(см. введение), мы не будем здесь рассматривать электромагнитные
явления. Поэтому мы будем считать, что исключено изменение
состояния тел, находящихся в оболочке, силами, действующими
непосредственно со стороны тел, расположенных вне оболочки,
например силы притяжения магнита и т. п.
Рис. 255.
Изменения состояния тел, заключённых в оболочках, можно раз-
делить на два класса:
1. Изменения, при которых происходит механическое перемеще-
ние частей оболочки.
2. Изменения, при которых не происходит механического пере-
мещения частей оболочки.
Когда газ в цилиндре двигателя расширяется, происходит пере-
мещение части оболочки, а именно — поршня. Это — изменение
первого класса. Закрепив поршень, мы можем повысить давление
газа в цилиндре, поднеся к нему снаружи пламя. Это изменение
принадлежит ко второму классу.
При изменениях второго класса происходит, как говорят, пользу-
ясь терминологией, сохранившейся от эпохи теплорода, только тепло-
обмен между телами, заключёнными в оболочке и внешними телами *)*
Быстрота изменений через теплообмен очень сильно зависит от
свойств оболочки. Если кусок льда заключён в тонкостенный сте-
клянный и особенно металлический сосуд, он быстро тает от кон-
х) Теплообменом могут сопровождаться и изменения первого класса,
см. § 15.
§ 3]
АДИАБАТИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА
393
Рис. 257.
такта сосуда с пламенем горелки. Иначе обстоит дело, если лёд
отделён от пламени водяной оболочкой. Закрепим, например, на
дне пробирки с водой кусочки льда, так, чтобы они не всплывали.
Поднеся верхний конец пробирки к пламени, мы заставим воду в
нём кипеть; тем не менее лёд ещё долго не тает (рис. 255).
Это же свойство водяной оболочки можно продемонстрировать,
видоизменив прибор рис. 253. Поместим баллон в воронку и нальём
в неё такое количество воды,
чтобы слой её над баллоном
имел толщину в несколько мил-
лиметров (рис. 256). Покроем
поверхность воды слоем бензина
и воспламеним его. Несмотря
на большой размер пламени,
уровень воды в трубке не ме-
няется заметно в течение несколь-
ких минут. Между тем без «водя-
ной рубашки», когда оболочкой
для воздуха служит только сте-
кло, уже прикосновения пальца
достаточно, чтобы уровень воды
в трубке заметно опустился.
Особенно медленно протекает
изменение через теплообмен, если
оболочкой служит сосуд Дюара (или просто «дюар»),
торого показан на рис. 257. Он состоит из двух стеклянных стенок,
между которыми воздух сильно разрежён (ср. гл. XV, § 21), при-
чём поверхность стекла, соприкасающаяся с разрежённым воздухом,
посеребрена. Этот сосуд был изобретён для хранения жидкого воз-
духа. (По принципу сосуда Дюара устроен «термос».)
Представим себе, что, совершенствуя постепенно сосуд Дюара,
мы добиваемся возможности хранить в нём жидкий воздух месяцами,
годами и т. д. Переходя медленно к пределу, мы приходим к поня-
тию о такой идеальной оболочке, которая совершенно не допускает
изменения состояния находящихся в ней тел посредством теплооб-
мена с окружающими телами в течение сколь угодно большого
времени. Такую оболочку называют адиабатической.
Итак, адиабатическая оболочка характеризуется следующим
свойством: если тело находится в адиабатической оболочке, то
его состояние может быть изменено только посредством механи-
ческого перемещения частей оболочки.
Изменение состояния тела, заключённого в адиабатическую обо-
лочку, называется адиабатическим изменением, или адиабатическим
процессом.
В ряде случаев можно считать, что реальный сосуд Дюара, во-
дяная рубашка или даже воздух, окружающий исследуемое тело,
разрез ко-
394
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. XIII
практически не отличаются от адиабатической оболочки. Это значит,
что в течение того времени, пока длится опыт, состояние тела,
заключённого в оболочку, может заметно измениться только в ре-
зультате механического перемещения частей оболочки. Одна и та
же оболочка при одних явлениях может рассматриваться как ади-
абатическая, при других — нет. Например, при очень быстром вдви-
гании поршня состояние воздуха в велосипедном насосе меняется
приблизительно так, как будто цилиндр насоса является адиабати-
ческой оболочкой; при медленном накачивании дело будет обстоять
совсем иначе. В акустике принимается (в первом приближении), что
при распространении звуковой волны в газе слой газа, окружающий
произвольный выделенный в нём объём, можно рассматривать как
адиабатическую оболочку. Перегородку между двумя телами, кото-
рую можно рассматривать как часть адиабатической оболочки, мы
будем называть «адиабатической перегородкой».
§ 4. Первый принцип термодинамики. Решающую роль в уста-
новлении первого принципа термодинамики сыграли опыты Джо-
уля (1843).
Общий вид установки, которой пользовался Джоуль в одной из
серий своих опытов, изображён на рис. 258. Водяной калориметр /С,
Рис. 258.
т. е. наполненный водой сосуд, который можно в первом приближе-
нии рассматривать, в условиях этих опытов, как устройство, нахо-
дящееся в адиабатической оболочке (её образуют окружающий
воздух, деревянная подставка и выходящий наружу вал), разделён
па четыре сектора латунными вертикальными перегородками с про-
резями (разрез калориметра показан на рис. 259). Сквозь прорези
§ 41
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
395
Рис. 259.
могут проходить лопатки, прикреплённые к валу. Грузы Г, опу-
скаясь под действиехМ своего веса, поддерживают вращение вала
посредством двух шкивов и двух проволок, разматывающихся с
противоположных сторон барабана Б, насаженного на вал. Лопатки,
вращаясь, приводят в движение воду, находящуюся в калориметре.
Благодаря перегородкам вода не приобретает большой скорости и
сильно нагревается из-за внутреннего трения. В начальном и конечном
состояниях вода находится в состоянии механического равновесия
(потоки в ней быстро затухают) и характеризуется одинаковым да-
влением, но различным объёмом. Практически изменение состояния
воды наблюдается косвенно с помощью
погружённого в неё термометра.
Изменение состояния воды в опытах
Джоуля происходит *в результате враще-
ния вала, т. е. механического перемеще-
ния одной из частей заключающей её обо-
лочки. И в той мере, в какой эту обо-
лочку можно рассматривать как адиа-
батическую, следует считать, чтов-опытах
Джоуля происходит адиабатическое изме-
нение состояния воды.
После учёта небольших поправок,
связанных с неполной адиабатичностью
оболочки, результат опытов Джоуля
может быть сформулирован следующим
образом.
Переход данного количества воды
из одного фиксированного состояния в
другое («более нагретое») фиксирован-
ное состояние можно осуществить посредством опыта Джоуля при все-
возможных скоростях вращения вала, при различной величине грузов,
при различных моментах сил, действующих на барабан, и т. д. Но есть
такая механическая величина, которая имеет при этом каждый раз
одно и то же значение: это— работа, произведённая над во-
дой. (Работа эта определяется из веса грузов и пройденного ими
пути; практически приходится вносить поправки на кинетическую
энергию, приобретённую грузами, и на работу сил трения в под-
шипниках шкивов.)
Варьируя опыт Джоуля, можно, например, нагревать воду по-
средством трения двух металлических поверхностей друг о друга
и т. д. При этом также оказывается, что работа, произведённая над
определённым количеством воды, при определённом адиабатиче-
ском изменении её состояния всегда имеет одно и то же зна-
чение.
Всевозможные опыты над адиабатическим изменением состояния
различных тел и сложных систем, состоящих из многих тел, приво-
396 ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ [гл. хш
дят к аналогичному заключению. Общий результат подобных опы-
тов можно сформулировать следующим образом.
Для адиабатического перехода системы из определённого на-
чального состояния в определённое конечное состояние всегда тре-
буется одинаковая работа, независимо от того, как осущест-
вляется адиабатический переход.
Это положение есть первый принцип термодинамики. К нему
надо добавить следующие пояснения.
1 . В опыте Джоуля происходит адиабатический переход из не-
которого начального в некоторое конечное («более нагретое»)
состояние. Опыт учит, что в данном случае обратный переход не
может быть осуществлён адиабатически. Как мы увидим дальше,
существуют и такие пары состояний, что возможен адиабатический
переход как из первого во второе, так и из второго в первое
(см. § 14). Вообще опыт учит, что если даны любые два состоя-
ния, то между ними всегда возможен адиабатический переход, хотя
бы в одном направлении.
2 . В § 1 речь шла о работе, совершаемой силами давления при
изменении объёма тела. Здесь работу надо понимать в более ши-
роком смысле. Это может быть не только работа упругих сил,
в частности давления, но также, например, как в опыте Джоуля,
работа сил трения.
§ 5. Внутренняя энергия. На первом принципе основано одно
из важнейших термодинамических понятий — понятие внутренней
энергии.
Как мы здесь покажем, из первого принципа вытекает следую-
щее замечательное свойство работы адиабатического перехода:
существует такая «функция состояния» U, т. е. величина, однозначно
определяемая состоянием рассматриваемого тела (или системы тел),
приращение которой при адиабатическом переходе из одного со-
стояния в другое равно работе Л*2, совершаемой при этом пере-
ходе над телом (или системой тел)
(13.1)
где Uv — значения, принимаемые этой функцией, когда тело
(система) находится соответственно в первом и втором состоя-
ниях. Эта функция U называется внутренней энергией тела (си-
стемы).
Здесь, в отличие от § 1, речь идёт о работе Д*, совершаемой
над телом (или системой тел), а не о работе Л, которую совер-
шает само рассматриваемое тело (или система). В опыте Джоуля
(§ 4) силы трения, возникающие при вращении вала, совершают над
водой положительную работу, и, следовательно, в результате опыта
Джоуля внутренняя энергия воды возрастает.
ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ
397
§ 5]
Так как, очевидно, А* =— А, то формулу (13.1) можно заме-
нить следующей:
A^=.UX — U^ (13.Г)
Это соотношение означает, что работа, совершённая телом (систе-
мой), при адиабатическом процессе равна убыли внутренней энергии
тела (системы).
Подчеркнём, что работа А12 вовсе не всегда может быть пред-
ставлена, как j* р dVt и изображена площадью индикаторной диа-
граммы (§ 1). Если, например, посредством трения совершают ра-
боту над газом, заключённым в сосуд неизменного объёма (предста-
вим себе, что в сосуде вращается пропеллер, приводимый в движе-
ние извне), то А* > О, А 0, между тем как J р dV — 0.
Существование функции (7, обладающей указанными свойствами,
доказывается следующим образом. (Мы будем для простоты гово-
рить об одном теле, но всё сказанное легко обобщается на систему
тел.)
Выберем произвольное, но фиксированное состояние тела, кото-
рое мы будем называть его нулевым состоянием О. Рассмотрим
произвольное состояние М, в которое возможен адиабатический
переход из /40. Работа А^, производимая над телом при адиабати-
ческом переходе из О в М, зависит, согласно первому принципу
термодинамики, только от состояния Ж, т. е. от характеризующих
его значений объёма V и давления р. Это можно записать следую-
щим образом:
Aom^U(V, р), (13.2)
где U—некоторая однозначная функция 17, р, которую мы назы-
ваем внутренней энергией тела в состоянии М. Возьмём теперь в
качестве состояния М один раз состояние Л41} для которого V==
pz=:piy другой раз состояние Л42, для которого V=V2} р—р^
и притом такие, что возможен адиабатический переход из состояния
ЛЦ в состояние М2.
На основании (13.2),
Аом^ = У(Уъ Pi), АОм2 — U(V^ />2)< (13.3)
Заметим теперь, что можно совершить адиабатический переход из
О в в два этапа: из О в Afx, затем из Afj в /И2. При этом
затрачивается работа Ао^1 -ф- Ам^щ. Но, согласно первому прин-
ципу термодинамики,
Аомк AmiM2 — Аол2,
398
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. XIII
откуда, подставляя (13.3), получаем
= PJ-U(Vit Pl). (13.4)
Уравнение (13.2) даёт определение внутренней энергии только
для таких состояний, в которые возможен адиабатический переход
из состояния О. Это определение, а также соотношение (13.3)
легко обобщить и на такие состояния Л4, в которые такой переход
невозможен. В этом случае (см. конец § 4) возможен адиабатиче-
ский переход из состояния М в состояния О, и работа Амо> со-
вершаемая над телом при таком переходе по первому принципу
термодинамики, опять зависит только от состояния М. Если мы
определим для таких М внутреннюю энергию £7 (У, р) посредством
уравнения
-4^(7, р),
то с помощью рассуждения, аналогичного проделанному выше, мы
снова придём к соотношению (13.4). Уравнение (13.1) есть не что
иное, как записанное более сжато соотношение (13.4).
Если тело или система тел заключена в такую адиабатическую
оболочку, которую можно считать, кроме того, абсолютно жёсткой,
то Л12 = 0, так как без перемещения частей оболочки не может быть
работы. В этом случае из (13.1) следует Ur— Z72 = 0 или
U — const.
(13.5)
Систему, заключённую в адиабатическую и абсолютно жёсткую
оболочку, мы будем называть изолированной системой. Уравнение
(13.5) означает, что даже если состояние изолированной системы
меняется, её внутренняя энергия остаётся постоянной.
За исключением тех случаев, когда приходится учитывать по-
верхностные явления (гл. IX), можно считать, что внутренняя энер-
гия U системы тел Л, В, С,... есть сумма внутренних энергий
. этих тел, взятых в отдельности,
u= U{A) -j- ЦМ 4- + ... ’
Если система изолированная и состоит из двух тел А, В, то, на
основании (13.5),
откуда
г/8л) — ^л)=— и?'. (13.5')
§ 6] ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ И МЕХАНИКА 399
При всяких изменениях состояния системы приращение энергии
одного из тел равно убыли энергии другого тела.
Для того чтобы можно было пользоваться функцией U при реше-
нии конкретных задач, надо сначала определить её вид для инте-
ресующей нас системы, т. е. узнать, как энергия системы зависит
от её состояния. Если речь идёт об одном теле, то нужно узнать,
какие значения энергии соответствуют различным точкам пло-
скости У, р. Узнать вид функции U (V, р) можно либо на основа-
нии определённой молекулярно-кинетической модели (см. гл. XIV),
либо на основании эксперимента, произведя систематический промер
тех работ, которые нужны для различных адиабатических изменений,
начинающихся или кончающихся в нулевом состоянии. Пользуясь
формулами (13.2) и (13.3), можно, на основании таких промеров,
указать энергии этих состояний. Подобно тому, как на географи-
ческой карте отмечают высоту различных точек над уровнем моря,
принимаемым за нулевой, мы можехм отметить различные точки пло-
скости V, р числами, указывающими энергии изображаемых этими
точками состояний. На полученной таким образом «энергетической
карте» мы можем затем, соединяя линиями точки, в которых энер-
гия U (V, р) имеет одно и то же значение, построить линии равной
энергии, напоминающие горизонтали на географической карте.
§ 6. Первый принцип термодинамики и механика. В каком
отношении находятся первый принцип термодинамики и основанное
на нём понятие внутренней энергии к механическому понятию энер-
гии и механической теореме сохранения энергии? Покажем это на
простом, но типичном примере.
1. Если пренебречь трением, второй закон Ньютона выражается
для груза, прикреплённого к пружине, уравнением
mx-\-kx — Q, (13.6)
откуда, умножая левую часть на х, легко вывести соотношения
d / тх* . kx* \ Л тх* . kx* ,
di{ — + — ; = °> —+ ^- = const, (13.7)
выражающие механическую теорему сохранения энергии. Здесь т —
масса груза, х — его смещение, k — жёсткость пружины, — кине-
kx*
тическая энергия системы, функция конфигурации ------её потен-
циальная энергия. Уравнение (13.6), а следовательно и (13.7), спра-
ведливы при следующей идеализации: груз — абсолютно жёсткий,
пружина лишена массы; вследствие этого кинетическая энергия при-
надлежит целиком грузу, потенциальная — целиком пружине.
400 ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ [гл. хш
Второе уравнение (13.7) можно представить в виде
mxl тх\_______________________kx* kx*
~2 Г"-“2“
где индексы 1 и 2 относятся к двум различным конфигурациям
пружины. Так как приращение кинетической энергии груза равно ра-
боте А силы, с которой на негр действует пружина, то
Z’Vo
А=^-~ ~L, (13.8)
Перейдём на язык термодинамики. Предположим, что груз, пру-
жина и окружающий их воздух заключены в замкнутую и жесткую
адиабатическую оболочку. Тогда справедливо уравнение
A = Ul — U^ (13.9)
где А имеет тот же смысл, что в (13.8), т. е. равно работе силы,
действующей на груз, a U есть внутренняя энергия системы, находя-
щейся в адиабатической оболочке. Сравнивая (13.8) и (13.9), мы ви-
дим, что в данном случае изменение внутренней энергии указанной
системы совпадает с изменением потенциальной энергии пружины,
т. е. сводится к изменению некоторой величины, определяемой исклю-
чительно геометрической конфигурацией пружины.
2. Будем теперь учитывать трение, испытываемое колеблющи-
мися пружиной и грузом:
тх -\-kx= — hx , (13.6')
где h — некоторый коэффициент вязкого трения. Это уравнение
описывает затухающие колебания (гл. XI, § 5). Умножая левую
и правую части на х, легко вывести из (13.6') соотношение
d (тх^ । kx*\_
dt\ 2 + 2 ) ~
или, интегрируя по времени,
. . в ^2
тх^тх\ kx\kxi Г hx4t. (13.7')
& L
h
Теперь энергия системы, понимаемая в механическом смысле, т. е.
4“ > не остаётся постоянной. За время /2— tv «теряется»
часть этой энергии, а именно:
t<~
W^^hx'dt. (13.10)
ТЕМПЕРАТУРА
401
§ 7]
Для работы, совершаемой над грузом, мы имеем теперь
Л= — W.
Эта работа не равна изменению потенциальной энергии пружины
и вообще не определяется теперь изменением геометрической конфи-
гурации пружины. Но и здесь остаётся справедливым термодинами-
ческое уравнение (13.9), т. е.
— ^1— W=Ur — (13.11)
Здесь изменение внутренней энергии системы не сводится к измене-
нию некоторой функции, зависящей только от конфигурации пружины.
Термодинамика обобщает механическое понятие энергии, так как
она нас учит, что не только работа упругой силы, но и работа
трения W есть изменение некоторой функции состояния тела, — но
состояния, понимаемого не как конфигурация, а в более широком
смысле (ср. гл. XIII, § 8).
Обозначим через t момент, когда х = 0. Когда пружина, после пол-
ного колебания, снова принимает конфигурацию х = 0, внутренняя
энергия системы, согласно (13.10), (13.11) оказывается возросшей
на величину
j hx^dt,
t
где т — продолжительность полного колебания. Термодинамическое
состояние системы теперь отлично от состояния в момент t — дав-
ление воздуха возросло, система «нагрелась из-за трения».
§ 7. Температура. Это фундаментальное понятие — совсем не
простое. Оно основано на ряде опытных фактов, определений и
рассуждений. Как показывает опыт, передача энергии от одного
тела другому возможна и не путём совершения работу одним телом
над другим. В таких случаях мы говорим о передаче энергии через
теплообмен (ср. § 3) или о теплопередаче. Опустим, например, в водя-
ной калориметр раскалённый кусок металла. Объёмы воды и куска
металла изменяются настолько мало, что работы, произведённые над
каждым из этих тел, совершенно ничтожны. Тем не менее вода
приходит из начального состояния в такое новое («нагретое»)
состояние, в которое её можно было бы перевести посредством
опыта Джоуля (§ 4), совершая над ней весьма значительную работу.
Значит, энергия воды сильно возросла. Согласно формуле (13.5'),
отсюда следует, что энергия куска металла уменьшилась на вели-
чину, равную приращению энергии воды.
Если между двумя телами, не разделёнными адиабатической пере-
городкой, нет передачи энергии через теплообмен, мы говорим: эти
тела находятся в тепловолм равновесии.
26 Папа леней, т. J
402
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. XIII
Приступим теперь к построению понятия температуры.
Рассмотрим сначала такую совокупность тел, имеющих одина-
ковые давления р = 1 ат\ А — кипящая вода, В — кипящий жидкий
воздух, С — плавящееся железо, D — 32 г кислорода, заполняющие
объём У=22415 слг3, Е— плавящийся лёд.
Их можно записать, как показывает опыт, в такой последователь-
ности, что при теплообмене между любыми двумя из них энергия
тела, записанного левее, возрастает, а энергия тела, записанного
правее, убывает. Эта последовательность такова:
В, % А, С,
С
(13.12)
D и Е записаны так, что ни одно не находится левее другого. Это
должно означать, что между ними нет теплообмена: они находятся
в тепловом равновесии.
Опыт учит, далее, что подобный порядок может быть установлен
в любой совокупности тел, находящихся в произвольных, но фикси-
рованных состояниях. Всякую такую совокупность тел можно раз-
бить на такие группы (подобные D, Е), что любые два тела одной
группы находятся в тепловом равновесии между собой, и затем рас-
положить группы (обозначим их а, Ь, с, ...) в такой последователь-
ности слева направо, что при теплообмене между любым телом
одной группы т и любым телом другой группы п энергия тела
группы т растёт, а энергия тела группы п убывает, если т
левее п.
Можно пометить каждую группу тел а, Ь, с, ... таким числом
6а, 6&, 6С, .. . , что чем правее расположена группа, тем больше
соответствующее число. Назовём числа 0а, 0&, 6С, ... температурами
тел, входящих в состав соответствующей группы. Мы можем теперь
сказать:
1) Тела равной температуры находятся в тепловом равновесии.
2) Передача энергии путём теплообмена происходит от тела с
большей температурой к телу с меньшей температурой.
Мы можем теперь вложить вполне определённый физический
смысл в такие утверждения, как: «тело А теплее или более нагрето,
чем тело 5»; «тело В холоднее или менее нагрето, чем тело Л».
Эти утверждения будут означать: «температура тела А больше темпе-
ратуры тела В».
При теплообмене, как показывает опыт, происходит выравнивание
температур: температура более нагретого тела уменьшается, темпе-
ратура менее нагретого увеличивается до тех пор, пока не наступает
тепловое равновесие.
Выбор чисел 9 содержит ещё громадный произвол. Действительно,
можно последовательно пометить тела В, D и Д, А, С, например,
числами 0, 1, 2, 3, 4 или —5, —2, 0, 5, 15 и т. д. и считать
числа любой из этих последовательностей температурами соответ-
§ 7]
ТЕМПЕРАТУРА
403
с/вующих тел. Такой произвол, конечно, нетерпим. Нужно устано-
вить однозначный способ приписывания температур.
Для этого нужно условиться о двух вещах:
1) о выборе «термометрического тела», 2) о выборе «темпера-
турного признака».
Термометрическим телом может быть любое тело 0,
достаточно легко воспроизводимое в любом количестве
тождественных экземпляров. Температурным признаком
может быть любая физическая велична х, для которой
заранее указан однозначный рецепт измерения, однозначно
определяемая состоянием термометрического тела и удо-
влетворяющая следующему требованию: она должна моно-
тонно расти с ростом температуры тела, т. е. х должно
расти, если состояние термометрического тела меняется
так, что оно переходит из группы а в группу bt причём
b правее а.
Термометрическое тело, снабжённое приспособлением
-а
Рис. 260.
для измерения температурного признака, называется тер-
Рис. 261.
мометром. Термометр показывает не только
свою собственную температуру, но, согласно
сказанному выше, также и температуру
тех тел, с которыми он находится в тепло-
вом равновесии. Например, термометр в тени
показывает по истечении некоторого вре-
мени температуру окружающего воздуха.
(О том, что показывает термометр, непо-
средственно освещённый солнцем, см. гл.
XIV, § 6.)
Приведём несколько примеров термо-
метров.
1. Ртутно-стеклянный термометр. Он
общеизвестен. В нём термометрическое тело:
стеклянный баллон с капилляром и налитая
в него ртуть (рис. 260); температурный
признак: расстояние мениска ртути от произ-
вольной фиксированной точки О. Опыт
показывает, что эта величина, понимаемая
алгебраически (расстояние положительно,
если мениск выше О, и отрицательно, если он
ниже О), удовлетворяет поставленному тре-
бованию.
2. Газовый термометр. Термометри-
ческое тело: некоторая порция газа (воздуха, водорода, гелия),
заключённая в баллоне с отростком (рис. 261). Температурный
признак: давление этой порции газа при некотором фиксированном
объёме. Давление измеряется по разности уровней ртути h. Посто-
26*
404 ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ [гл. XIII
янство объёма достигается тем, что перемещением правой трубки
мениск ртути в левой трубке доводится перед каждым отсчётом до
одной и той же метки О.
3. Термометр с платиновым сопротивлением. Термометрическое
тело: платиновая проволока; температурный признак: её электриче-
ское сопротивление (сопротивление металла растёт с температурой).
4. Термопара. Термометрическое тело: спай двух различных
металлов (рис. 262); температурный признак: электродвижущая сила
в спае (при неизменной температуре остальных частей цепи она
растёт с ростом температуры спая).
В случае рис. 260 можно было бы заменить ртуть спиртом,
а также многими другими жидкостями, но не водой; объём воды не
есть температурный признак, так как с повышением температуры он
сначала уменьшается, а затем растёт.
Пусть выбраны определённое термометрическое тело 0 и опреде-
лённый температурный признак х. Тогда, по определению, полагают, что
равным приращениям х соответствуют равные
гприращения 6, т. е. 0 есть линейная функция х:
OQ = ax + b, (13.13)
где а и Ъ — постоянные.
Но температура 0 всё ещё не вполне опре-
делена, так как а и b произвольны. Произвол
Рис. 262. здесь устраняется при помощи условия, осно-
ванного на существовании «постоянных точек».
Опыт показывает (гл. XV, §§ 7, 8, 16), что чистый лёд, тающий
при атмосферном давлении (для краткости: тело Л), всегда имеет
одну и ту же температуру (т. е. любые два экземпляра чистого
льда, тающего при атмосферном давлении, находятся в тепловом
равновесии). То же самое относится, при известных предосторож-
ностях, к чистой воде, кипящей при атмосферном давлении (для
краткости: тело К).
Полагают, по определению, 1
0Л = О°, 0Я=1ОО°:
т. е. температуру тела Л считают равной 0 «градусов», а темпера-
туру тела К—равной 100 «градусам». Это даёт два уравнения для
определения а и Ь:
0° = axQ + b, 100° = ах1Э0 + Ь, (13.14)
где х0, х100 — значения х при тепловом равновесии термометра
соответственно с Л и К.
Из (13.13) и (13.14)0 однозначно определяется:
6 = 100°. (13.15)
X100 х0
§ 8]
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
405
В термометрах типа рис. 260 значение 6 непосредственно отме-
чается по шкале против соответствующего уровня ртути.
Определённую уравнением (13.15) величину 0 мы назовём эмпири-
ческой температурой по шкале Цельсия по термометрическому телу 6
и температурному признаку х.
Различные эмпирические температуры по шкале Цельсия не совпа-
дают между собой. Согласно определению, если два термометриче-
ские вещества меняют своё состояние, оставаясь в тепловом равно-
весии между собой, любой температурный признак одного растёт
при росте любого температурного признака другого. Но они, вообще
говоря, растут не пропорционально друг другу.
Пусть, например, эмпирическая температура тела X по давлению
воздуха равна 50°. Это значит, что при равновесии с X данная
порция воздуха при данном объёме имеет давление, равное среднему
арифметическому из её давлений при равновесии с Л и К. Ниоткуда
не следует, что ртуть при равновесии с X установится на уровне,
являющемся как раз средним арифметическим между уровнями х0
и х100. И действительно, опыт показывает, что эмпирическая темпе-
ратура тела X по уровню ртути меньше, чем по давлению воздуха.
Отличие порядка 0,1°. Гораздо большие отличия между двумя рас-
смотренными здесь эмпирическими температурами обнаруживаются
при0^>1ОО°, а также между температурой по давлению воздуха
и по сопротивлению платины и т. д.
Необходимо также отметить, что при прецизионных измерениях
выбор стекла в ртутно-стеклянном термометре не безразличен. В зави-
симости от сорта стекла могут получиться расхождения порядка
десятой доли градуса около 50° С и нескольких градусов около 300° С,
так как разные стёкла по-разному расширяются с увеличением тем-
пературы. Наконец, эмпирические температуры по объёму и давле-
нию одного и того же газа также не совсем совпадают между собой.
Так как каждый выбор 0 и х даёт свою, отличную от других,
эмпирическую температуру, целесообразно взять одну эмпирическую
температуру в качестве основной, стандартной, и по ней градуиро-
вать все термометры. В качестве стандартной эмпирической темпе-
ратуры берётся температура по идеальному газу (§ 10).
§ 8. Уравнение состояния. Каждому состоянию тела соответ-
ствует определённая температура: температура, как и внутренняя
энергия, является функцией состояния тела. При этом так же, как
и определённой внутренней энергии, определённой температуре
соответствует бесконечное множество состояний тела, характеризуе-
мых различными объёмом и давлением. Можно непрерывно менять
состояние тела так, чтобы его температура при этом не менялась.
Подобно тому, как чертят метеорологические «изотермы», соединяя
линией на географической карте все точки, где температура в дан-
ный момент одинакова, можно строить из плоскости р термо-
динамические изотермы, соединяя все состояния, в которых темпе-
406
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. XIII
ратура имеет одно и то же значение. В качестве меток на изотермах
ставят соответствующие температуры, измеряемые по определённой
шкале. На рис. 370 (гл. XVI, § 13) изображена сеть изотерм СО2.
Сеть изотерм с нанесёнными на неё
метками служит «температурной кар-
той»: по ней видно, какая температура
соответствует любому состоянию V, р.
Объём v единицы массы (v = —,
\ Р
где р — плотность^ называется удель-
ным объёмом.
Уравнение
Q = F(v, р), (13.16)
определяющее температуру как функ-
цию удельного объёма и давления, на-
зывается уравнением состояния ве-
щества. Разумеется, для данного ве-
щества вид уравнения состояния зависит от выбора температурной
шкалы.
Уравнение состояния можно разрешить относительно v или р
-У = Ф(6, р), /? = Ф(6, 77), (13.17)
где Ф, Ф— некоторые новые функции. Очевидно, объём V тела
массы т в т раз больше при тех же 0 и р, чем объём единицы
массы того же вещества:
V=m<b (0, р).
(13.18)
Рассекая сеть изотерм (рис. 263) прямой р = const, и сравнивая
метки, соответствующие разным v, можно проследить, как меняется
объём в зависимости от температуры при заданном давлении. Изме-
нение удельного объёма (Лт7)р, соответствующее малому изменению
температуры Д0 при постоянном давлении !), определяется соотно-
шением
или
(Дт7)р = а^Д0, (13.19')
если ввести обозначение
_ _1_ /дФ\
а р>
где — удельный объём при рассматриваемом давлении и при
0 = 0° С.
Индекс указывает, что соответствующая величина остаётся постоянной.
§ 9]
ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
407
Величина а называется температурным коэффициентом объёма
или объёмным коэффициентом теплового расширения.
Аналогично на прямой v = const, можно проследить за измене-*
нием давления с температурой при постоянном объёме. Здесь малому
изменению температуры ДО соответствует
(13.20)
или
(VL = ?Ро Д9>
где р0— давление при рассматриваемом объёме и при 6 = 0° С, а
Величина р называется температурным ко-
эффициентом давления.
Температурные коэффициенты объёма и
давления, вообще говоря, зависят от 0 и v
(или, что то же, от 6 и /?).
§ 9. Идеальный газ. В XVII веке, изу-
чая с помощью имевшихся в то время гру-
бых экспериментальных средств сжатие и раз-
режение газов, Бойль и независимо от него Мариотт пришли к выводу,
что при неизменной температуре произведение давления газа на его
объём остаётся постоянным. Если верен этот закон Бойля-Мариотта,
то произведение pv должно зависеть только от температуры
рг>=?(6), (13.21)
откуда
0=/(рт7), (13.22)
где f—функция одного аргумента pv, являющаяся обратной функ-
цией по отношению к q>.
При этом для объёма V массы газа т имеем
pV=my(^. (13.23)
Изотермами являются гиперболы
pv = const. (13.24)
Сеть изотерм, соответствующая закону Бойля-Мариотта, изобра-
жена на рис. 264.
Более точные опыты показали, однако, что в действительности
ни один газ не подчиняется уравнению состояния (13.22). Если бы
оно было справедливо, то при изотермическом изменении давления
произведение pv не менялось бы и зависимость pv от р при раз-
408
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. хш
личных фиксированных температурах изображалась бы горизонталь-
ными прямыми. Измерения над газами показывают, однако, что произ-
ведение pv изменяется с давлением. Результат измерений для воздуха
представлен на рис. 265. Произведение pv при низких температурах
сначала убывает с ростом р (т. е. объём при сжатии уменьшается
быстрее, чем по закону Бойля-Мариотта), а затем начинает возра-
стать. При высоких температурах произведение pv растёт с ростом р,
объём при сжатии уменьшается
слабее, чем по закону Бойля-Ма-
риотта. Для многих других газов
отклонения от этого закона вы-
ражены ещё резче, например, для
СО2 (рис. 266).
Газ, подчиняющийся закону
Бойля-Мариотта, называют иде-
альным газом. Такого газа в
действительности не существует,
он является, как видно на осно-
вании только что приведённых
экспериментальных фактов, вооб-
ражаемым веществом. Тем не ме-
нее, понятие идеального газа иг-
рает большую роль в физике, и
вот по какой причине.
Обратим внимание на ход кри-
вых на рис. 265 в области ма-
лых давлений. Когда р—*0, про-
изведение pv стремится к конеч-
ному пределу. Это значит, что
когда газ достаточно разрежён
(при малых р и больших v), огромным относительным измене-
ниям давления соответствуют ничтожные изменения pv, т. е. при
достаточно больших разрежениях произведение pv делается почти
постоянным, и чем больше разрежение, тем с большей точностью
выполняется, при изотермическом изменении состояния, уравнение
(13.21). Так же обстоит дело для любого газа.
Следовательно, в пределе, при больших разрежениях любой газ
неотличим от идеального. Для различных газов степень разрежения,
нужная для того, чтобы ошибка при замене действительного ура-
внения состояния уравнением (13.21) не превышала, скажем,
О,1°/о, различна. Для СО2 при обычных температурах она гораздо
больше, чем для воздуха, а для воздуха — чем для водорода. Во-
дород ближе к идеальному газу, чем воздух, а воздух ближе
чем СО2.
При расчётах, не требующих особой точности, можно пользо-
ваться при не очень больших давлениях и не очень низких темпера-
§ 9]
ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
409
турах законом Бойля-Мариотта, т. е. рассматривать газ как идеаль-
ный. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить: «газ в таком
состоянии, в котором его можно с достаточным приближением рас-
сматривать как идеальный газ», мы для краткости будем говорить
просто: «идеальный газ».
Изучение зависимости pv от температуры (она видна , на рис. 265
и 266) показывает, что
свойством: функции ср (9)
для всех идеальных газов
пропорциональны друг
другу, т. е. для любых
двух порций идеальных
газов отношение произ-
ведений pV не зависит
от температуры. Так
может быть сформулиро-
ван закон Гэ-Люссака.
Если, например, у некото-
рой порции воздуха и не-
которой порции водорода
при некоторой температу-
ре произведения pV оди-
наковы, то, пока оба га-
за ведут себя как идеаль-
ные, их произведения/?!7
остаются равны друг дру-
гу и при любой дру-
гой температуре. Закон
Гэ-Люссака можно ил-
люстрировать сравнени-
ем температурных меток
на кривых рис. 265 и
266 и их начальных ор-
динат.
При увеличении тем-
пературы идеального газ;
няется, как показывают измерения, в отношении
. ^^0°.= 1,36608, (13.25)
Рис. 266.
от 0°С до 100° С произведение pV изме-
откУда (pV)i^PYh = 0,36608 (13.25')
\Р У/о Z /о, 10
Для массы тд идеального газа А, массы тд идеального газа В
и т. д. имеем, согласно (13.23),
Ра Уд = /ид?д(9д), рв Уи — тв^в^в},- .. (13.26)
410 ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ [гл. XIII
Коль скоро функции Фд (6), ?в(6), • • • пропорциональны друг другу,
можно подобрать массы /яд, , ... так, чтобы
тА^А^) = тв^в{^ = ... =ср(6). (13.27)
Тогда, если газы Л, В имеют одинаковую температуру 0д =
= 9В= ... =6, из (13.26) и (13*27) следует
PaVa=PbVb= ... =<?(0). (13.28)
Одну из масс тА, тв,. . . , фигурирующих в уравнении (13.27),
можно выбрать произвольно, после чего все остальные массы одно-
значно определяются этим уравнением. Возьмём, например, 32 г кисло-
рода. Опыт показывает, что для выполнения равенства (13.27)
и (13.28) надо взять в этом случае 2,016 г водорода, 18,016 г воды,
44 г двуокиси углерода (СО2) и т. д. Указанные здесь порции назы-
ваются грамм-молекулами, или молями соответствующего вещества.
Ниже будет выяснено (гл. XV, § 12), что грамм-молекулы «всех
веществ содержат одинаковое число молекул и что, следовательно,
отношение масс (а следовательно, и весов) грамм-молекул различных
вещестз равно отношению средних масс самих молекул х). Оставаясь
в пределах чистой термодинамики, т. е. не прибегая к молекулярным
представлениям, можно дать следующее определение: грамм-молеку-
лой вещества называется такая его порция, для которой произ-
ведение pV имеет при одинаковой температуре такое же значение,
как для 32 г кислорода, при условиях, когда даннэе .вещество и
кислород можно рассматривать как идеальные газы.
Вес грамм-молекулы в граммах называется «.молекулярным весом».
Он равен среднему весу одной молекулы, умноженному на число
молекул в грамм-молекуле. Для грамм-молекулы любого идеального
газа имеет место одно и то же уравнение состояния
р1/=Ф(9). (13.29)
Измерения дают для грамм-молекулы идеального газа при 0° С
(pV)Q = 22,415 л-ат. ' (13.30)
§ 10. Температурная шкала по идеальному газу. В уравне-
нии (13.29) 0 есть температура, измеренная по любой эмпирической
шкале. Опыт показывает, что функция Ф (9) — монотонная и возра-
стающая, т. е. что произведение pV всегда растёт с ростом тем-
пературы. Оно, следовательно, может служить температурным при-
знаком.
х) Различные молекулы одного и того же химически чистого вещества
могут иметь различную массу. Эго следует из существования изотопов
(см. т. II).
§ 10]
ТЕМПЕРАТУРНАЯ ШКАЛА ПО ИДЕАЛЬНОМУ ГАЗУ
411
Возьмём в качестве термометрического тела некоторое количе-
ство любого идеального газа, а в качестве температурного признака х
произведение pV, Согласно определению температуры (§ 5),
§ = apV+b, (13.31)
где 0 — новая эмпирическая температура, а, b — постоянные. Накла-
дывая на а, b обычное условие (13.14) § 7, имеем
е = JpYI—юо°.
(рЮюо-(РЮо
(13.32)
Так как произведения pV для всех идеальных газов пропорциональны
друг другу, то 6 не зависит от выбора идеального газа. Мы получили
температурную шкалу в градусах Цельсия по произведению pV иде-
ального газа.
Уравнение (13.32) можно представить в виде
или, на основании (13.25),
pV= (рV)o (1 + 0,0036608 6). (13.33)
Словами: при увеличении температуры на 1° С по идеально-газо-
вой шкале произведение р V любого идеального газа растёт на 0,003660)3
или его значения при 0°С.
273,1о г
Из (13.33) следует (мы округляем, оставляя лишь первые три
значащие цифры), что при постоянном давлении (p=pQ)
V= (1 + 0,00366 6),
(13.34)
а при постоянном объёме (У=У0)
р=р0(1 4-0,00366 0). (13.35)
Из (13.34) и (13.35) мы получаем, сравнивая с (13.19), (13.20) § 8,
температурные коэффициенты объёма и давления идеального газа
а = 0,00366, р = 0,00366. (13.36)
Они не зависят от температуры и равны друг другу. Равным измене-
ниям идеально-газовой температуры соответствуют равные изменения
объёма (при постоянном давлении) или давления (при постоянном
объёме). Изменение идеально-газовой температуры на 1° влечёт из-
менение каждой из этих величин на 0,00366 их значения при 0 = 0.
На рис. 267 по оси абсцисс отложим давление, по оси ординат —
измеренные значения аир для различных газов. Пока давление велико,
а отлично от р для^саждого газа и как а, так и р для различных
412
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. хш
газов различны. Но по мере уменьшения давления все а и р стре-
мятся к общему пределу (13.36).
На рис. 268 изображена зависимость идеально-газовой темпе-
ратуры 6 от произведения pV для идеального газа. По соображениям,
часть которых относится к кинетической теории (гл. XV, § 11),
а часть связана со вторым принципом термодинамики (гл. XVII, § 12),
целесообразно перенести начало координат в точку пересечения
прямой, изображающей тем-
пературную зависимость, с
осью 0, т. е. взять в ка-
честве температуры вместо
6 величину
7'=6 + 60,
где 0О измеряется отрезком
00*. Из рис. 268 имеем
W=t3®»"2'7316(13-37>
и, следовательно,
Т = 6 4-273,16°. (13.38)
Температура . Т назы-
вается абсолютной идеально-
газовой температурой, или
просто абсолютной темпе-
ратурой, точка О* —абсо-
лютным нулём температуры
(в ней 0 = —273,16°). Пере-
ход от идеально-газовой
шкалы Цельсия к абсолют-
ной идеально-газовой шкале
сводится к тому, чтобы заменить условие (13.14) §7 условием Ь — 0
и требованием, чтобы разность температур кипящей воды и таю-
щего льда была, как и в шкале Цельсия, при р — 1 ат равна 100°.
Так как произведение pV для идеального газа всегда положи-
тельно, абсолютная температура Т тоже может принимать только
положительные значения.
Подставляя (13.38). в (13.33), получаем
pV=
(рУ)о т
273,16
Для гра!им-молекулы любого идеального газа, на основа-
нии (13.30) § 9,
pV=RT, (13.39)
§ 11]
КАЛОРИЯ
413
где /? — универсальная газовая постоянная
Я = 0,082054 = 8,3143 • 107-^. (13.40)
’ град ’ град v 7
Для массы т
pV=^RT, (13.41)
где М — масса грамм-молекулы. Удельный объём удовлетворяет
уравнению
= <13-42)
плотность — уравнению
р = (13.43)
т- I М\
Если л — число грамм-молекул 1п = -^к
pV=nRT.
В дальнейшем, говоря об идеально-газовой
температуре, мы будем всегда иметь в виду,
если не оговорено обратное, абсолютную
температуру. Для неё применяется символ °К
(К — начальная буква фамилии Kelvin, ср. гл.
XVII, §§П и 12). Так например 0° С =
= 273,16° К, или, грубо, 273° К.
Осуществить термометр, позволяющий отсчитывать непосред-
ственно идеально-газовую температуру, можно, в принципе, с помощью
любого газа, взяв его в достаточно разреженном состоянии. На
практике приходится пользоваться не очень разреженным газом (на-
пример, газом, имеющим давление р =1000 мм ртути при 6 = 0° С)
и вносить соответствующие поправки. Наименьших поправок требует
гелиевый термометр. На практике пользуются также водородным,
воздушным и другими термометрами. Обычно температура измеряет-
ся в газовом термометре по изменению давления при постоянном
объёме газа.
§ 11. Калория. Механический эквивалент тепла» Наряду
с единицами, введёнными в механике, можно взять в качестве еди-
ницы энергии или работы разность энергий двух определённых со-
стояний определённого тела. В качестве единиц такого рода в физике
и технике употребляются малая и большая калории. Прежде чем
определить эти единицы, необходимо сделать некоторые пояснения.
Внутреннюю энергию тела можно рассматривать не только как
функцию независимых переменных V, р, но и как функцию незави-
симых переменных Г, р. Действительно, на основании уравнения
состояния объём V можно рассматривать, в свою очередь, как функ-
цию Тир
У=тФ(Т> р).
414 ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ [гл. XIII
Подставляя это выражение в U=U{V, р), мы выразим внутреннюю
энергию как функцию температуры и давления. В частности, если
давление почему-либо остаётся постоянным, внутренняя энергия U
является функцией одной только температуры.
В опыте Джауля (§ 4) вода находится при постоянном (атмосфер-
ном) давлении. Как уже указывалось в § 5, внутренняя энергия воды
в этом опыте растёт в результате работы сил трения. Термометр,
погружённый в калориметр, показывает, что температура воды при
этом также растёт. Следовательно, внутренняя энергия воды есть
возрастающая функция её температуры.
Малая калория {кал) есть, по определению, приращение внутренней
энергии одного грамма воды при нагревании от 14,5° С до 15,5° С
по идеально-газовой шкале при постоянном давлении, равном 1 ат.
Большая калория {к кал) равна 1000 малых калорий. Опыты, анало-
гичные опыту Джауля (гл. XIII, § 4), позволяют сравнить калорию
с единицами работы, введёнными в механике. Согласно наиболее
точным измерениям, которыми мы теперь располагаем, для того
чтобы адиабатически нагреть (посредством трения) 1 кг воды при
атмосферном давлении от 14,5° С до 15,5° С по идеально-газовой
шкале, требуется работа А = 4,1855° 1010 эрг. Следовательно, 1 ма-
лая калория = 4,1855° 107 5/72 = 0,427 кгм.
По историческим причинам числа, выражающие отношение кало-
рии к килограммометру или эргу, называют «механическим эквива-
лентом тепла».
Пользуясь в качестве единицы энергии калорией, получаем для
газовой постоянной значение
R — 1,9864^.
* град
При грубых подсчётах можно считать R = 2 .
§ 12. Опыт Гэ-Люссака-Джауля. Можно рассматривать внут-
реннюю энергию тела не только как функцию от V и р или Тир,
но и как функцию от V и Т. Действительно, на основании урав-
нения состояния давление р можно рассматривать в свою очередь
как функцию от V и Т. При фиксированном объёме внутренняя
энергия газа растёт с ростом температуры. Это ясно хотя бы из
того, что можно нагреть газ в замкнутом сосуде тем же способом,
каким нагревается вода в опыте Джауля (§ 4), т. е. посредством
трения; при этом работа, совершаемая над газом, положительна, и его
внутренняя энергия увеличивается. Труднее решить вопрос о том,
как зависит внутренняя энергия газа от объёма при фиксированной
температуре. На этот вопрос, очевидно, можно будет ответить, если
удастся построить энергетическую карту газа на плоскости Г, V*
Её можно получить посредством опытов, идею которых поясняет
схема рис. 269.
§ 12]
ОПЫТ ГЭ-ЛЮССАКА-ДЖАУЛЯ
415
Жёсткий адиабатический сосуд разделён на несколько отделений
жёсткими адиабатическими перегородками. В каждой перегородке
есть дверца, которая может открываться и закрываться, скользя без
трения в своей плоскости. Пусть вначале первое отделение напол-
нено газом, в остальных отделениях — пустота; все дверцы закрыты.
Газ имеет температуру 7\, объём Vt и энергию U(Tlt V^). Откроем
дверцу между первым отделением и вторым. Через неё вырвется
струя газа, начнутся сложные аэродинамические явления, появятся
разности температур, но через некоторое время движения газа пре-
кратятся, температура выравняется, и газ придёт в равновесное со-
стояние, характеризуемое новым объёмом 1/2 и, вообще говоря, новой
температурой Г2. Но энергия J) газа такая же,
как вначале:
и(1\, VJ = U(1\, V.).
Действительно, при открывании двери
мы никакой работы не произвели и, следова-
тельно, не изменили энергии системы. Но после
того как дверь открылась, газ находился в жёсткой адиабатической
оболочке, образованной стенками отделений первого и второго. Сле-
довательно, он работы не произвёл, и так как в начале и в конце
опыта газ находится в равновесии и изменение — адиабатическое,
внутренняя энергия газа, согласно (13.5), в начальном и конечном
состояниях одна и та же. Откроем следующую дверцу и опять до-
ждёмся наступления равновесия. Теперь оно характеризуется объёмом
V3 и температурой Т3, причём
Рис. 269.
U(7\, V3) — U(Tit Ve).
Продолжая дальше, мы получим серию различных состояний, харак-
теризуемых одинаковой энергией. Измерив Tlf Т%, Г3,... и зная
Vi, V2, IZ3,..., мы сможем построить на плоскости V,T кривую
U(T, V) = const. Наполнив вначале первое отделение более нагретым
газом, мы построим другую кривую одинаковых энергий и т. д.
Действуя таким способом, можно получить полную энергетическую
карту. »
Эта идея осуществляется в опыте Джауля (рис. 270), являю-
щемся видоизменением более раннего опыта Гэ-Люссака.
В опыте Гэ-Люссака в определённый момент открывается кран
в трубке, соединяющей баллон со сжатым воздухом А с другим бал-
лоном В, откуда воздух был предварительно выкачан. Через неко-
торое время в баллонах устанавливаются одинаковые давления, причём
сначала в А газ холоднее чем в В. Происходящее затем выравнива-
1) Всюду, где это не может привести к недоразумениям, мы для кратко-
сти, вместо «внутренняя энергия??, пишем просто «энергия».
416
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. хш
ние температуры длится так долго, что стенки баллонов нельзя
считать адиабатическими.
Эту трудность Джауль обошёл, поместив баллоны (он работал
с металлическими баллонами, выдерживавшими большое давление)
в большой водяной калориметр и следя за температурой воды по
термометру. Зная зависимость энергии воды (при постоянном дав-
лении) от её температуры, можно, если нужно, по изменению энер-
гии воды узнать изменение энергии газа и сделать соответствующий
пересчёт. Но в таком пересчёте даже нет необходимости, так как
в опыте Джауля температура воды в начале и в конце оказы-
вается одинаковой. Следовательно, энергия воды не изменилась. Так как
энергия всей системы, заключённой в
калориметр, постоянна, то энергия газа
также не изменилась. Но, с другой
стороны, температура воды равна, ко-
гда наступило равновесие, температуре
воздуха в каждом из баллонов. Следо-
вательно, температура воздуха в начале
и в конце опыта одна и та же.
Итак,
где V\ — объём до и 1/2 — после рас-
ширения. Следовательно, кривые оди-
наковых энергий совпадают с изотер-
мами Т — const.
Иначе говоря, опыт Джауля приводит к выводу, что внутренняя
энергия газа при данной температуре не зависит от объёма, она есть
функция только температуры: U —U (Т). Как будет ясно из даль-
нейшего, утверждение о независимости внутренней энергии газа от
объёма при фиксированной температуре является лишь первым
приближением и объясняется малой чувствительностью опыта Джа-
уля: так как масса воды в калориметре очень велика, происходящее
в действительности небольшое изменение внутренних энергий газа и
воды не может дать заметных изменений температуры.
По энергетической карте на плоскости V, Т можно построить,
зная уравнение состояния, энергетическую карту на плоскости V, р.
Для газа кривые одинаковой энергии совпадают (в первом при-
ближении) с изотермами и, следовательно, на плоскости V, р эти
кривые совпадают с гиперболами, изображёнными на риса 264.
§ 13. Опыт Джауля и Томсона. Гораздо более тонким, чем
опыт Джауля, является следующий опыт, осуществлённый впослед-
ствии Джаулем и В. Томсоном (лорд Кельвин).
В трубе с адиабатическими стенками находится пробка из ваты
или другого пористого материала (рис. 271). Эта пробка позволяет
поддерживать перепад давления (давление газа слева намного
§ 13]
ОПЫТ ДЖОУЛЯ И ТОМСОНА
417
Рис. 271.
больше давления справа р2), благодаря которому газ через неё мед-
ленно просачивается. Термометры позволяют сравнить температуру
газа Тх слева и справа от пробки.
Пусть установилось стационарное состояние, т. е. давление и тем-
пература в каждой точке пространства со временем не меняются,
и пусть скорость течения газа настолько мала, что можно пре-
небречь его кинетической энергией. Рассмотрим порцию газа, огра-
ниченную в некоторый
момент сечениями Д, В,
а через промежуток вре-
мени Af — сечениями Д',
В'. Обозначим vlf v2
удельные объёмы, п2
удельные внутренние энер-
гии (внутренние энергии
единицы массы) слева и
справа от пробки. Рассуждение ведётся так же, как при вы-
воде теоремы Бернулли (гл. X, § 2). Приращение энергии
рассматриваемой порции газа за время равно zn(w2 —uj, где
m — масса, заключённая между сечениями А и Д’ (или В и В’). Оно
вызвано 1) работой сил давления, действующих на рассматриваемую
порцию газа, и 2) обменом энергией с пробкой. Но при стационар-
ном" состоянии энергия пробки не меняется со временем (нагревание
пробки из-за трения в точности компенсируется охлаждением через
теплообмен с протекающим газом), и, следовательно, второе слагае-
мое отпадает. Работа сил давления, действующих слева, положи-
тельна и равна
ptS • AAf ==p1vlm.
Работа сил давления, действующих справа, отрицательна и равна
—S • ВВ' — — р^гт
(5—площадь сечения). По первому принципу термодинамики
т — Mi) —Pivi т — Р&ъ т>
откуда, сокращая на т, получаем
«I + Pivi = u2 +Р№> (13.44)
Опыт Джоуля-Томсон^ даёт такой результат: при некоторых
условиях 7\ — газ нагревается, при других условиях Тг—газ
охлаждается (ср. гл. XIV, § 26). Наличие разности температур —Tt
называется эффектом Джоуля-Томсона, В случае, когда газ охлаж-
дается говорят: «имеет место положительный эффект
Джоуля-Томсона»; когда газ нагревается (r2>Tt), говорят об от-
рицательном эффекте Джоуля-Томсона. Здесь для нас важно сле-
дующее: по мере того, как условия опыта приближаются к тем, когда
27 Пшгалекси, т. I.
418
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. XIII
рр
справедливо уравнение pv — —, эффект Джоуля-Томсона делается
всё менее, заметным. Поэтому можно утверждать, что в предельном
случае идеального газа эффект Джоуля-Томсона отсутствует: 7\ —
и, следовательно, так как при этом p1vi мы имеем н1=н2
или, подробнее,
«(Л. ^^'=11(7^, v2),
или ещё
U (7',г>1) = и (T.vJ,
так как в данном случае 7\ = и начальная температура может
быть какой угодно.
Итак, в предельном случае идеального газа подтверждается неза-
висимость внутренней энергии от объёма при данной температуре.
Как показывает более детальный анализ эффекта Джоуля-Томсона
(см. гл. XIV, § 25—26), при тех условиях, когда газ заметно отличается
от идеального, его внутренняя энергия растёт с увеличение^м объёма.
§ 14. Адиабатическое расширение и сжатие газа в цилиндре
с поршнем. Уравнение Пуассона. Пусть газ находится в цилиндре,
снабжённом поршнем. Будем считать, что они образуют адиабати-
Рис. 272.
ческую оболочку и что трение меж-
ду поршнем и цилиндром практи-
чески отсутствует. Здесь, в отличие
от процесса Гэ-Люссака-Джоуля,
газ в результате расширения со-
вершает работу. Согласно первому
принципу термодинамики, его внут-
ренняя энергия при этом умень-
шается. Если газ близок к идеаль-
ному, то его внутренняя энергия мо-
жет уменьшаться лишь за счёт умень-
шения температуры (см. §§12, 13),
и ясно без всяких расчётов, что
при расширении газ должен охлаж-
даться. При сжатии, наоборот,
внутренняя энергия газа растёт за
счёт работы, совершаемой над газом, и он должен нагреваться. Это
можно продемонстрировать, надавливая и отпуская слегка смазанный
вазелином для уменьшения трения поршень стеклянного шприца,
закупорив предварительно отверстие, предназначенное для иглы
(рис. 272). В шприце находится термопара, соединённая со стрелоч-
ным гальванометром проводами, выведенными через пробку. При
быстрых нажатиях и отжатиях стекло ведёт себя, как адиабатическая
оболочка, термопара показывает нагревание при вдвигании поршня,
и охлаждение тогда, когда мы отпускаем поршень и газ, расширяясь,
выталкивает его обратно.
§ 14] АДИАБАТИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ И СЖАТИЕ ГАЗА 419
Кривые, изображающие адиабатическое изменение состояния рас-
сматриваемого здесь типа (в отличие, например, от адиабатических
изменений, рассмотренных в §§ 12 и 13, где существенную роль
играет трение), Называются адиабатами1 * *).
Найдём уравнение адиабат идеального газа. Так как, по предпо-
ложению, сила трения отсутствует, изменение внутренней энергии
газа вызывается только работой сил давления:
dU=— pdV, (13.45)
где pdV—работа, совершаемая газом при элементарном расшире-
нии dV. Для идеального газа:
р = ' (13.39')
(рассматривается одна грамм-молекула) и, кроме того, внутренняя
энергия зависит только4 от температуры U — U (Т), откуда
dU = CdT, (13.46)
где С — производная функции t7(T):
C=U'(J)> (13.47)
Эта величина называется теплоёмкостью при постоянном объёме.
Происхождение этого термина станет понятным дальше. Подставляя
(13.39') и (13.46) в (13.44), получаем
С __dV
R Т~ V’
или, интегрируя,
JL С 9Л — _ СЁК
R J Т ~ J V
Для одноатомных, а также с достаточным приближением для
двухатомных газов в не очень больших интервалах температуры
С можно считать постоянной; при этом энергия — линейная функция
температуры (см. гл. XIV, § 27). В этом случае интеграл в левой
части легко берётся, и мы получаем
gin Т- — In V4-a,
где а—произвольная постоянная или, полагая а = 1п[3, где £ — новая
произвольная постоянная
(13.48)
(13.49)
1) Или, лучше, изэнтропами, т. е. кривыми одинаковых энтропий (см. гл.
XVI, § 16).
27*
420
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. XIII
откуда
(13.50)
Таково уравнение адиабат идеального газа на плоскости V, Т. Оно
показывает, как изменяется температура при изменении объёма. Ука-
зываемое уравнением (13.50) охлаждение при увеличении объёма
применяется для сжижения газов (см. гл. XV, § 15).
Давая константе (3 различные значения, мы получаем семейство
кривых (рис. 273).
Если вначале У=И0, Г = То, то р=Тос/;?Уо, и изменение со-
стояния идёт по той адиабате, на которой
T<W=7'0<W0. (13.51)
Подставляя (13.39') в (13.50), получаем уравнение адиабат на
Уравнение (13.52) называется уравнением Пуассона.
На рис. 274 показан ход адиабат на плоскости Vtp. Для срав-
нения пунктиром проведены изотермы. Адиабаты всюду идут круче,
чем изотермы: газ труднее сжать адиабатически, чем изотермически,
т. е. при постоянной температуре. Это легко понять физически.
Давление газа растёт как при уменьшении объёма, так и при уве-
личении температуры. Изменение давления Apt по изотерме (рис. 275)
вызвано только уменьшением объёма — ДЙ, изменение давления по
адиабате Др2 вызвано уменьшением объёма — ДИ и, кроме того, уве-
личением температуры ДТ.
Из уравнения (13,39') следует при Т = const.
Из уравнения адиабаты (13.52)
Др2 = -^ДИ
§ 15]
КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ
421
Величина V |^| есть модуль сжатия (гл. VII, § 4). Изотерми-
ческий модуль сжатия идеального газа
его адиабатический модуль сжатия
^2 = 1Р-
Отношение адиабатического модуля сжатия к изотермическому
k,~С
всегда больше единицы. Для воздуха оно
равно 1,4 (см. § 17).
Отличие между адиабатическим и
изотермическим модулем сжатия газа иг-
рает важную роль в акустике (гл. XI,
§ 19).
Оно существует также у жидких и
твёрдых тел, хотя у них оно далеко не
так значительно, и во многих случаях
Рис. 275.
им можно пренебрегать.
§ 15. Количество теплоты. Вернёмся к обмену внутренней энер-
гией в калориметре (адиабатической оболочке) между водой и опу-
щенным в неё раскалённым куском железа (§ 7). Пусть U—энергия
металла, U—энергия воды.
Пренебрегая работой расширения воды и работой сжатия металла
(эти величины очень малы по сравнению с изменением U и U’), имеем,
согласно § 5, А (£7 —U') — 0, или
At/' = — At/.
Происходит увеличение энергии воды на | At/1 и уменьшение энер-
гии металла на | At/| или, как удобно выражаться, передача коли-
чества энергии | At/| от металла воде. Это количество энергии, пере-
даваемое без совершения работы, называют также количество те-
плоты Q. Если t/0, — значения энергий металла и воды в начале
t/n U[— в конце опыта, мы можем написать:
t/1 = t/0-Q, t/;=t/; + Q.
Рассмотрим другой пример. В калориметре находится металли-
ческий цилиндр с поршнем. Цилиндр содержит определённое коли-
чество газа, который мы будем рассматривать как идеальный. Следя
за температурой газа, мы будем знать, как меняется его внутренняя
энергия. Проделаем следующий ряд экспериментов. В начале каждого
422
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. ХШ
эксперимента газ приводится в одно и то же состояние (рис. 276)
затем дают газу расшириться, поднимая поршень. Скорость подъёма
поршня в каждом из экспериментов различна. При каждом экспе-
рименте записывается соответствующая индикаторная диаграмма
(рис. 276).
Когда поршень поднимается быстро, газ сильно охлаждается,
и убыль его энергии оказывается равной работе, затраченной им на
подъём поршня. Это — случай расширения по адиабате. Здесь
U.-U^A
(кривая а). При более медленном расширении, как показывает опыт,
работа расширения делается больше, убыль энергии — меньше. Теперь
U.-U.CA
(13.54)
(кривая Ь). Наконец, когда газ расширяется
очень медленно, он практически не охлаж-
дается (изотермическое расширение), его энер-
гия остаётся постоянной. Между тем, как сви-
детельствует индикаторная диаграмма (кри-
вая с) его работа оказывается наибольшей.
Здесь
UQ — Ui = Ot Д>0. (13.55)
Результаты (13.54), (13.55) не противоречат первому принципу
термодинамики: ведь цилиндр не является адиабатической оболочкой.
Первый принцип утверждает в данном случае, что работа газа равна
убыли энергии UU' всей системы, состоящей из газа и воды,
заключённой в калориметр:
X=(t70 + t7o)-(^i + ^) (13.56)
(через U' обозначена энергия воды). Убыль энергии газа
U.-l\ = A — (U'Q — U[)
меньше совершённой им работы на величину уменьшения энергии
воды. Газ совершает работу не только за счёт своей энергии, но
и за счёт энергии воды.
Называя опять количеством теплоты Q энергию, переданную од-
ним телом другому (в данном случае водой газу) не путём совер-
шения работы:
Q = lfQ— (13.57)
можно представить уравнение (13.57) в виде
A — Uq — t/j+Q (13.58)
и толковать его так: работа произзодится частично за счёт внут-
ренней энергии газа, частично за счёт получаемой газом теплоты.
§ 16] СКОЛЬКО ТЕПЛОТЫ СОДЕРЖИТСЯ В ТЕЛЕ 423
Такой способ выражения целесообразен, если^мы следим специально
за состоянием газа и не интересуемся состоянием воды. Если же мы
нс желаем разбивать систему газвода на части, то мы должны
сказать, согласно (13.56), что работа совершается целиком за счёт
внутренней энергии этой системы.
Общее определение количества теплоты таково: пусть система
совершает работу А и её энергия меняется при этом от значения
иц до значения Uv Величина
Q=U1 — Uq^A (13.59)
называется количеством теплоты, полученным системой при пере-
ходе из состояния, обозначенного индексом 0, в состояние, обозна-
ченное индексом 1. Словами: количеством теплоты, полученным
системой, называется сумма приращения внутренней энергии си-
стемы и произведённой ею работы.
Если процесс адиабатический, то UQ — Ur=A и, соответственно,
Q = 0.
Измерение количества теплоты сводится к измерению приращения
энергии Ux — Uq и работы А. Количество теплоты измеряется в тех
же единицах, что энергия и работа: в эргах, килограммометрах,
джоулях, калориях.
Можно доказать, что при любом взаимодействии двух тел, заклю-
чённых в адиабатическую оболочку, количество теплоты, отданное
одним телом, равно количеству теплоты, полученному другим телом.
Это справедливо и в том случае, когда учитывается работа, про-
изведенная каждым телом.
Рассмотренное свойство играет основную роль во всех тепловых
измерениях.
§ 16. Можно ли спрашивать: сколько теплоты содержится
в теле? Утверждение «тело содержит количество теплоты Q»
могло бы иметь только такое содержание: мы можем приписать этому
телу тогда, когда оно находится в некотором произвольно выбран-
ном нулевом состоянии 0, некоторое количество теплоты Qo, после
чего тело в интересующем нас состоянии 1 характеризуется опреде-
лённой величиной
Q = Q0 + Q0i, • (13.60)
где Q01—количество теплоты, получаемое им при переходе из состоя-
ния 0 в состояние 1 и не зависящее от способа перехода.
Такое мнение составляло основу теории.теплорода. Оно ошибочно.
Достаточно это показать на одном примере. Возьмём два состоя-
ния тела, Л40 и (рис. 277), причём <С UQ. При переходе из
Mq в энергия тела уменьшается. По определению
Qoi =
где Д01—работа, совершённая телом при переходе 0—
424
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[ГЛ. XIII
в состоянии
Р
Рис. 277.
if
При заданной величине UQ можно сделать переход при
столь высоких давлениях (кривая 6), что Л01 ПРИ этом
Q0i^>0, т. е- «тело содержит в состоянии 1 больше тепла, чем
можно провести переход при столь низких давле-
ниях (кривая а), что Л01 < t/0 — при этом^
Qol< 0, т. е. в состоянии 1 тело содержит
меньше тепла, чем в состоянии 0. Мы при-
шли к противоречивым высказываниям и убе-
дились в том, что величина Q зависит от того,
как происходит переход в рассматриваемое
состояние. В этом её сходство с работой А
при неадиабатических процессах и отличие от
давления, энергии и температуры, которые
являются функциями состояния.
Можно говорить: тело содержит такую-то
внутреннюю энергию, имеет такую-то температуру, но бессмысленно
говорить: тело содержит такое-то количество теплоты.
§ 17. Теплоёмкости. Соотношение Роберта Майера. В цилиндре
находится 100 г воздуха, его объём 10 л, давление 10 ат. На-
сколько повысится температура воздуха, если ему сообщить ко-
личество тепла 1 кал!
Вопрос неправильно поставлен, и на него нельзя дать опреде-
лённого ответа.
Действительно, если поршень закреплён и, следовательно, по-
поглошение тепла не сопровождается перемещением поршня, газ не
совершает работы, и тепло идёт на увеличение внутренней энергии.
С ростом энергии растёт и температура газа. Если же поршень
свободен, то, как было указано в примере § 15, расширение может
происходить, например, изотермически, при этом поглощение теплоты
газом не приводит к повышению его температуры !). В других случаях
расширение с поглощением теплоты сопровождается нагреванием
(например, если регулировать процесс расширения так, чтобы дав-
ление газа оставалось постоянным). Возможны, наконец, случаи, когда
поглощение теплоты сопровождается понижением температуры: одно-
временно с поглощением тепла происходит столь сильное расши-
рение, что. совершаемая газом работа больше получаемого коли-
чества тепла.
Но возможно изменить постановку задачи так, чтобы она при-
обрела смысл и допускала определённый ответ.
Изображающая точка может уходить из любого заданного началь-
ного состояния М в разных направлениях (рис. 278): по изохоре
(кривой постоянного объёма 1/= const), если тело заключено
9 Здесь уместно подчеркнуть, что возможно также нагревание без по-
глощения тепла (при адиабатических процессах).
§ 17J
ТЕПЛОЁМКОСТИ
425
в жёсткую оболочку; по изобаре (кривой постоянного давления
ре= const.), если давление поддерживается постоянным; по изотерме
Г = const.; по адиабате и т. д., и вопрос следует ставить так: на
температура тела, если оно получило
Р
какую 'величину изменится
количество теплоты Q
и если дана кривая К,
по которой изобра-
жающая точка поки-
дает исходное состоя-
ние М? На этот воп-
рос существует одно-
значный ответ. Дей-
ствительно, опреде-
лённому изменению
температуры ДГвдоль
кривой PC (рис. 279) соответствует переход в определённую точку
N, т. е. вполне определённое изменение внутренней энергии UN—UM
и вполне определённая работа давления I р dV, а, следова-
MKN
тельно, согласно § 14, поглощение вполне определённого коли-
чества тепла:
Q = UN-UM+ pdV.
MKN
(Такому же повышению температуры А Г при изменении состояния
вдоль другой кривой К1 соответствовало бы поглощение другого
количества тепла:
Q’ = Un,-Um+ ^pdV.
MK'N'
Точки N' и N лежат на одной и той же изотерме Т = TN.)
Предположим теперь, что АТ—малое приращение температуры
и что при изменении состояния вдоль кривой К приращение темпера-
туры АГ сопровождается поглощением количества теплоты AQ^.
Отношение
_ Ч36П
ДГ ДГ ' ' }
мы будем называть теплоёмкостью вдоль кривой К. Согласно сказан-
ному выше, эта величина зависит от выбора кривой ТС, и, следова-
тельно, тело характеризуется бесчисленным множеством различных
теплоёмкостей Ск. Особенно часто приходится иметь дело с тепло-
ёмкостью вдоль изохоры Cv или теплоёмкостью при постоянном
объёме и теплоёмкостью вдоль изобары Cpi или теплоёмкостью при
постоянном давлении.
426 ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ [гл. XIII
Теплоёмкость газа при постоянном давлении больше, чем его
теплоёмкость при постоянном объёме. Действительно, если газ
нагревается по изохоре, он работы не производит, и его энергия
растёт только за счёт повышения температуры. Если же газ нагре-
вается по изобаре, он, расширяясь, совершает работу, и, кроме
того, энергия его растёт и за счёт повышения температуры, и за
счёт увеличения объёма (последнее обстоятельство существенно
только, если газ заметно отличается от идеального). Отсюда следует
на основании (13.61), что AQ вдоль изохоры меньше, при одном
и том же ДТ, чем вдоль изобары.
Подсчитаем разность Ср— Съ для одной грамм-молекулы идеаль-
ного газа. Для идеального газа
Д(7=СДТ. (13.62)
где С — производная функция U(T) (§ 12), и так как вдоль изохоры
Д 17=0, то, на основании (13.61),
(теплоёмкость при постоянном объёме равна производной от энергии
по температуре).
Для одной грамм-молекулы на основании (13.39) (гл. XIII, § 10),
имеем при р = const.
рД17 = /?ДТ. (13.63)
Подставляя (13.62) и (13.63) в (13.61), получаем
с-=(4Я=с+'г-
и, следовательно,
Cp~Cv = R. (13.64)
Это важное соотношение называется соотношением Роберта Майера.
На основании результатов этого параграфа отношение у адиаба-
тического модуля сжатия к изотермическому равно отношению тепло-
ёмкости при постоянном давлении к теплоёмкости при постоянном
объёме:
C + R _ Cv+R _СР
1 С — Cv Cv'
Величину у можно найти из измерения скорости* звука (гл. XII,
§ 4), а затем вычислить Ср и Съ на основании только что выведенных
соотношений. Для всех одноатомных газов опыт даёт с большой сте-
пенью точности одно и то же значение
т=1,66 = |,
§ 18]
КРУГОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
427
откуда
Ст> — 2
Ср — 2 /?.
Для воздуха и для многих других двухатомных газов опыт даёт
при обычных температурах с большой степенью точности
т ==1,4 = 1,
откуда
CV = ^R, Cp = ^R.
Как показывает молекулярно-кинетическая теория (см. гл. XV,
§ 27), тот факт, что у в обоих указанных здесь случаях можно
выразить с большой степенью точности как отношение малых целых
чисел, имеет глубокий физический смысл.
§ 18. Круговые процессы. «Превращение теплоты в работу».
Если некоторое тело (мы будем называть его здесь «рабочим
веществом») возвращается после ряда изме-
нений в исходное состояние, то говорят,
что это тело совершает круговой процесс, / А
или цикл. При круговом процессе точка, f \
изображающая состояние рабочего вещества, I I
пробегает на индикаторной диаграмме за- \ /
мкнутую кривую, площадь которой равна
работе Л, произведённой рабочим веществом
за полный цикл рис. 280 (ср. гл. XIII, § 1). i __g
Так как при круговом процессе конеч- рис _
ное состояние рабочего вещества совпадает
с его начальным состоянием, то его энергия
в начальном и конечном состояниях одинакова t7, — UQ и, следова-
тельно, на основании (13.59), A — Q, где Q — полное количество
тепла, полученное рабочим веществом при круговом процессе. Если
Q^>0, то Д^>0, рабочее вещество получает теплоту и совершает
работу, происходит, как принято говорить, «превращение тепла в ра-
боту». (Цикл обходится при этом по часовой стрелке.) Если Q<^0,
то Л<^0, рабочее вещество отдаёт тепло и над ним совершается
работа, происходит, как говорят «превращение работы в тепло».
(Цикл обходится при этом против часовой стрелки.)
Нужно ясно понимать, что термин «круговой процесс» относится
только к рабочему веществу. Для системы тел, состоящей из рабо-
чего вещества и тех тел, с которыми оно обменивается теплом
(в примере § 1 этими телами служат кипящая вода и лёд), процесс
не является круговым.
В этом легко убедиться посредством следующего рассуждения.
Представим себе, что система S, состоящая из рабочего вещества
и тел, с которыми оно обменивается теплом (мы их назовём тепло-
428 ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ [гл. хш
выми резервуарами), заключена в адиабатическую оболочку, причём
тепловые резервуары работы не совершают. Тогда работа системы S
сводится к работе А рабочего вещества. Она равна убыли внутрен-
ней энергии системы:
где U(R\ U\R)— значения суммарной внутренней энергии тепловых ре-
зервуаров в начале и в конце кругового процесса, совершаемого
рабочим веществом, или, так как Ц = £/0,
A = U(R)-U(R\
Работа, совершаемая рабочим веществом при круговом процессе,
равна, следовательно, убыли внутренней энергии тепловых резервуа-
ров. Поэтому, если А -ф 0, состояние тепловых резервуаров в начале
и в конце кругового процесса, совершаемого рабочим веществом,
различно и, следовательно, тепловые резервуары, а также система S
в целом, не совершают кругового процесса.
Если мы хотим рассматривать А как работу, совершаемую си-
стемой S в целом, мы не должны говорить о превращении теплоты
в работу или наоборот. Мы должны сказать, при Л>0, что когда
рабочее вещество совершает круговой процесс, происходит превра-
щение в работу части внутренней энергии системы; при Л<^0 внутрен-
няя энергия системы растёт за счёт произведённой над ней работы.
Выражения «превращение теплоты в работу» или «превращение
работы в теплоту» можно употреблять не только в применении
к круговым процессам.
Вернёмся ко второму примеру § 15. Если расширение газа проис-
ходит изотермически: UQ = UV то уравнение (13.58) даёт
A = Q.
Мы можем сказать: при изотермическом расширении идеальный газ
полностью превращает в работу тепло, заимствованное им у теплового
резервуара.
Рассмотрим другой пример. Происходит сверление металлической
детали с применением масляного охлаждения, и благодаря тепло-
обмену с маслом деталь заметно не нагревается; здесь происходит пре-
вращение работы в тепло: работа, совершаемая силой трения, «превра-
щается в теплоту», отдаваемую деталью маслу. В отсутствии масля-
ного охлаждения деталь сильно нагревается. Но при этом неправильно
говорить о превращении работы в тепло. Процесс — практически
адиабатический, происходит увеличение внутренней энергии детали
за счёт совершаемой над ней работы.
ГЛАВА XIV
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ
§ 1. Поток тепла, теплопроводность. Пусть два тела А, В от-
делены друг от друга неадиабатической неподвижной перегородкой
(рис. 281). Если температуры этих тел различны, между телами про-
исходит теплообмен. Опыт показывает, что во многих случаях (при
не слишком большой разности температур и некоторых других
условиях, о которых будет сказано в § 4) количество теплоты AQ,
передаваемое телом А телу В за такой малый промежуток времени
А/, за который Тд, Тв не успевают заметно измениться, можно
считать с достаточным приближением
пропорциональным А/ и разности темпера-
ТУР тх~ Тв:
^Q = k(TA-TB) М
или, переходя к пределу А/—>0,
W- = k(TA-TB). (14.1)
« dQ
Величина называется потоком тепла через перегородку.
В рассматриваемом случае он пропорционален разности температур
по ту и другую сторону перегородки. Коэффициент пропорциональ-
ности k зависит от физических свойств геометрической формы и
размеров перегородки. Опыт показывает, далее, что если перегородка
является пластинкой площади S и толщины 8, то
* = (14.1')
Где х — коэффициент, зависящий только от вещества перегородки;
он называется его теплопроводностью. Теплопроводность данного
вещества зависит от его состояния (его температуры и давления).
Ниже приводятся значения теплопроводности некоторых материа-
лов, выраженные в ------(температура дана в градусах
см * сек • 2рии
Цельсия; давление равно 1 ат).
430
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ
[ГЛ. XIV
Вещество , Темпе- ратура Теплопро- водность
Асбест 100 0,00028—0,00060
Латунь 18 0,26
Железо 18 0,14—0,17
Лёд 0 0,005
Вода 20 0,00143
Водяной пар 100 0,000055
Воздух 0 0,000056
Тела с большой теплопроводностью (например, металлы) называются
хорошими проводниками тепла; тела с малой теплопроводностью
(например, асбест, воздух) — плохими проводниками тепла или
«теплоизоляторами». Эти названия не надо понимать абсолютно: одно
и то же вещество может в одних условиях играть роль проводника
тепла, в других — теплоизолятора. Вода в опытах, изображённых на
рис. 255 и 256, выступает в роли плохого проводника тепла или «тепло-
изолятора». Но если опыт длится очень долго, так что температура
успевает выравняться, нужно рассматривать воду как проводник тепла.
Адиабатической перегородке соответствует предельный случай & = 0.
§ 2. Простейшие процессы выравнивания температуры. Пусть
тела А, В, о которых шла речь в § 1, заключены вместе с разделяю-
щей их перегородкой в адиабатическую оболочку, т. е. не обмени-
ваются теплом ни с какими другими телами. Будем считать, кроме
того, для определённости, что процесс происходит при постоянном
давлении.
В этом случае (см. гл. XIII, § 17)
dQ = - С. dT, = CR dTR (14.2)
A A D th 4
где Сд, Св — теплоёмкости тел А, В при постоянном давлении, и, на
основании (14.1) и (14.2), мы можем написать
dT л dTn
С„^ = + *(7-д-Г,). (Н.З)
Эти дифференциальные уравнения выражают прежде всего тот
факт, что со временем происходит выравнивание температур. При
Тл > TR они дают
А D
dTA ЛТв
__-<^0. —-^>0
dt dt
температура более нагретого тела убывает, более холодного тела —
растёт; при Тд — 7^=0 они дают
d7\ dTB
-ЙГ = °> = °
dt dt
т. е. температуры остаются постоянными.
§ 2]
ПРОСТЕЙШИЕ ПРОЦЕССЫ ВЫРАВНИВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
431
Складывая уравнения (14.3), получаем
dTA . dTB
CA~dF'lrCB~dr — Q’
откуда, интегрируя,
С, Т. -4- CRTR — const.,
А А । а о 1
или, если обозначить Тд, Т*в температуры в некоторый начальный
момент £ = 0,
СаТа + Св ТВ=СаГа+СвГв. (14.4)
(Это уравнение выражает первый принцип термодинамики для системы
тел Д, В.)
Общий предел Т, к которому стремятся температуры тел, мы
найдём, подставляя в (14.4) ТЛ = Т„ = Т\
х 7 А п
т _ с+ сВГВ
СА + Сп •
Уравнения (14.3) позволяют выяснить количественно, как идёт
во времени процесс выравнивания температур.
а) Предположим сначала, что теплоёмкость одного из тел, скажем
Д, очень мала по сравнению с теплоёмкостью другого (СЛ<?Св).
В этом случае приближённо ТВ=^ГВ, т. е. Тв практически ос-
таётся постоянной, происходит лишь изменение ТА. Полагая в (14.3)
ТВ=.ТВ = Т величиной постоянной, обозначим 6 разность темпера-
ТУР ТА~ Т:
h=TA — Т—ТА тв.
Так как
dTA _d(TA~T) _
~dT~ Tt —~dt>
то первое из уравнений (14.3) можно переписать в виде:
Это дифференциальное уравнение решается очень просто. Его
можно представить в виде
(«разделение перемейных»). Интегрируя, получаем
1п6 — 1па = — 7^- Л
432
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ
{ГЛ. XIII
где а — произвольная постоянная, или
___
6 = ае са'
а есть значение разности температур при / = 0. Выравнивание
температур идёт по экспоненциальному (показательному) закону
(рис. 282), и тем быстрее, чем больше отношение т. е. чем
- больше теплопроводность и поверх-
ность перегородки и чем меньше её
толщина и теплоёмкость тела А.
Ь) Пусть теперь теплоёмкости Сд,
I Св— одного порядка величины, и, сле-
довательно, происходит заметное изме-
| нение температур обоих тел.
Введём разности 6Д, 6Д между
Рис. 282. температурами Т Тв и значением
Т, к которому они обе стремятся при t—>оо:
^, = ТЛ-Т, 4t = TB_T.
Имеем
(!«’)
Складывая оба уравнения, имеем
откуда, интегрируя
. C46a + CA = COtlSt.
Подставляя сюда значения 0д = 0, Ов = 0 соответствующие, как мы
знаем, Z = oo, получаем const. = 0, откуда
и, следовательно, каждое из уравнений (14.3') эквивалентно следую-
щему :
dO л
САСв~ЗГ = -k(CA + Св) 0Д, (14.3")
откуда, вычисляя так же, как в случае (а), получаем
- Ч-t -±t
6л==але С , — с ,
§ 31
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
433
где а и b характеризуют начальные температуры, а
1 — 1 -L 1
<;-С-А + 7Гв-
Здесь также температуры меняются
(рис. 283). Выравнивание идёт тем
чем меньше теплоёмкость каждого из
тел Л, В,
§ 3. Периодические процессы.
«Тепловая инерция». Пусть по тем
или иным причинам температура тела В
периодически изменяется со временем
около среднего значения по заданному
закону, например, синусоидально:
Тв= Го + Tmcos<of. (14.5)
по экспоненциальному закону
быстрее, чем больше k и
Как будет изменяться при этом температура тела А?
Воспользуемся первььм из уравнений (14.3). Подставляя (14.5),
имеем
dTA
CA-^ + kTA = kT9 + kTmco^t. (14.6)
Обозначим через 6 отклонение температуры тела А от средней темпе-
ратуры тела В:
Та = То4-0. (14.7)
Подставляя (14.7) в (14.6), получаем
-^-^- + 6 = 7'mcosoj/- (14.8)
Решение уравнения (14.8) таково (что легко проверить подста-
новкой):
- Д- i
h — A<x^(<bt — <р)4~А0е сл , (14.9)
где Ао — произвольная постоянная, а А и я определяются формулами
л = —
Г к А /
Физически величина Ао определяется заданием температуры
7'^ = 7'о_|_0° в начальный момент t = 0, т. е. из уравнения
6° = A cos q> Ао. (14.9')
28 Папе леней, т. I.
434 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ [ГЛ. XIV
С течением времени (при £->со) второй член формулы (14.9) стре-
мится к нулю, и устанавливается «стационарный режим», при котором
6 = Л cos (orf— 9).
Это означает, что температура тела А изменяется синусоидально с
тем же периодом, что температура тела В, но с другими амплиту-
дой и фазой.
Интересны прежде всего два крайних случая:
ч СА k
а) ^<4, т. е. —> частота, с которой изменяется тем-
k сд
гч k
пература тела В, мала по сравнению с величиной характе-
ризующей быстроту выравнивания температур тел А и В, в том слу-
чае, когда Тв постоянна (§ 2). В этом случае имеем приближённо
A—Tm> tg? = °- ? = 0,
— температуры тел А и В в каждый момент равны друг другу, темпера-
тура второго «следует» за температурой первого, тела находятся
в каждый момент времени в тепловом равновесии друг с другом.
Сд
b) —т-ш ;> 1, т. е. со —, частота изменения температуры
* сл
велика по сравнению с быстротой выравнивания -74—. В этом случае
имеем приближённо
ts<P==O0’ ?=т-
’V<“
Температура тела А отстаёт по фазе на ~ от температуры тела
В, амплитуда её изменения обратно пропорциональна частоте, с кото-
рой меняется температура тела В. С ростом <о амплитуда А—>0;
при очень больших частотах изменения температуры тела В темпера-
тура тела А практически не меняется.
Между крайними случаями существует плавный переход. Его
изображают графики рис. 284 и 285, построенные по формулам
(14.10).
За исключением предельного случая (а), температура тела В не
следует за температурой тела А. Она отстаёт от неё по фазе и её
амплитуда меньше амплитуды изменения Тв. Это иногда выражают
словами: тело обладает «тепл вой нерцией». Термин «инерция» имеет
здесь совсем другой смысл, чем в механике. Когда мы говорим
в механике, что груз имеет инерцию, то мы этим выражаем, напри-
мер, следующий факт: если груз подвешен к пружине и перво-
§ 4] ПОНЯТИЕ ОБ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 435
начально отклонён от положения равновесия, он приближается к нему
благодаря упругости пружины и затем «по инерции» проскакивает
дальше. Ничего подобного, как мы знаем, не происходит при вы-
равнивании температур. Так, в примере § 2 температура Тд не
переходит через равновесное значение Т, а монотонно к нему при-
ближается.
Быстрота установления температуры в обыкновенном ртутно-стек-
лянном термометре — порядка минуты. Ясно, что такой термометр
имеет слишком большую тепловую инерцию, чтобы обнаружить, напри-
мер, колебания температуры окружающего воздуха, вызванные тем, чго
в последнем распространяется звуковая волна даже весьма низкой
частоты.
Подчеркнём, что, как видно из формул (14.10), одна и та же пере-
городка ведёт себя при очень медленных процессах
так,
как будто её теплопроводность бесконечно велика (через неё про-
ходит конечный поток тепла при нулевой разности температур),
а при очень быстрых ( со так, как адиабатическая перего-
\ са/
родка (ср. конец § 3, гл. XIII).
§ 4. Понятие об общей теории теплопроводности. До сих пор
молчаливо предполагалось, что температуры каждого из тел А, В
можно считать одинаковыми во всех его точках, а теплоёмкость
перегородки равной нулю. В действительности, конечно, если тело
А более нагрето, чем тело В, те слои тела А, которые расположены
ближе к перегородке, холоднее, чем его внутренние слои, а в теле В —
положение обратное. Кроме того, при теплообмене часть теплового
потока, покидающего более нагретое тело, идёт на увеличение внут-
ренней энергии перегородки.
Ясно поэтому, что выводы §§ 2 и 3 нельзя понимать буквально.
Они относятся к некоторым средним температурам тел А, В (имеется
в виду среднее значение температуры по объёму каждого из тел,
взятое для каждого рассматриваемого момента времени).
Трактовка, при которой вводятся только две температуры Тд, 7д,
приближённо передаёт ход явлений лишь в том случае, когда:
28*
436 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ [ГЛ. XIV
1) теплоемкость перегородки мала по сравнению с Сд, Сд, 2) тепло-
проводность тел А, В очень велика по сравнению с теплопровод-
ностью перегородки. Только при выполнении первого условия мо-
жно пренебрегать изменением внутренней энергии перегородки. Вы-
полнение второго условия необходимо для того, чтобы температуры
внутри каждого из тел выравнивались гораздо быстрее, чем раз-
ность между средними температурами обоих тел.
В практических задачах указанные условия редко выполняются.
Кроме того, весьма часто приходится исследовать теплообмен между
двумя телами, непосредственно соприкасающимися друг с другом,
без перегородки, например, непосредственный теплообмен между
нагретым телом и окружающим его воздухом. Во всех этих случаях
трактовка, данная в §§ 2, 3, не годится: необходимо учитывать
распределение температуры внутри рассматриваемых тел. Такая более
общая постановка задачи приводит уже не к обыкновенным диффе-
ренциальным уравнениям типа (14.3), а к дифференциальному уравне-
нию в частных производных — так называемому «уравнению тепло-
проводности». Оно исследуется и применяется к решению конкрет-
ных задач в специальных курсах математической физики и теории
теплопередачи.
В основе уравнения теплопроводности лежит допущение, хорошо
подтверждаемое опытом, что при произвольном непрерывном распреде-
лении температуры в рассматриваемом теле уравнение (14.1) и соот-
ношение (14. Г) можно применять к теплообмену через любую доста-
точно малую площадку, если понимать под Тв температуры в двух
близких точках Д, В по ту и другую сторону от площадки, под 8 —
расстояние между ними, под S — величину площадки.
На этом основании можно написать, введя ось г, перпендикулярную
к площадке, и обозначив через zv Tl9 Т2 координаты точек
Д, В и температуры в этих точках: «*
или
или ещё
где
есть количество тепла, передаваемое за одну сек через 1 см-\ эта
величина называется потоком тепла.
Упрощённое рассмотрение §§ 2, 3 даёт всё же некоторую ориенти-
ровку и для тех более сложных случаев, когда температура в раз-
§ б]
СТАЦИОНАРНАЯ ТЕМПЕРАТУРА
437
потоки вещества — оолее нагретые
В
) д ..Z2
Рис. 286.
личных точках рассматриваемых тел’существенно различна. Так, от
сказанного в § 3 легко перейти к объяснению явления «вечной
мерзлоты». Температура земли у её поверхности колеблется на
протяжении суток и ещё сильнее в течение года, но по мере углуб-
ления в толщу земли, колебания температуры около среднего зна-
чения имеют всё меньшую амплитуду и всё больше отстают по
фазе от колебаний температуры на поверхности. На большой глу-
бине амплитуда не только суточных, но и годовых колебаний темпе-
ратуры ничтожно мала. В тех местах земного шара (на большой
широте), где средняя температура значительно ниже 0° С, темпера-
тура почвы на некоторой глубине не поднимается выше 0° С даже
летом, когда температура на поверхности значительно превы-
шает 0° С.
§ 5. Конвекция. В тех случаях, когда в теплообмене участвуют
жидкости или газы, обычно возникают явления конвекции: одновре-
менно с потоком тепла возникают
части жидкости или газа, имею-
щие меньшую плотность, всплы-
вают кверху, более холодные
опускаются. Такое перемешива-
ние в громадной степени уско-
ряет процесс теплообмена. Напри-
мер, если котёл с водой подогре-
вается снизу, то в соприкосновение
с нагретой нижней поверхностью котла непрерывно вступают свежие хо-
лодные порции воды. Так как тепловой поток тем больше, чем значитель-
ней разность температур, эти свежие порции поглощают больше тепла,
чем его поглощали бы уступившиеим место уже разогретые порции.
Конвекция, очевидно, отсутствовала бы, если бы котёл подогревался
сверху — в этом случае вода в целом нагревалась бы гораздо мед-
ленней.
В случае, когда твёрдое тело помещено в обтекающий его поток
жидкости или газа (рис. 286), теплообмен между последним и твёр-
дым телом также носит конвекционный характер. Благодаря тому,
что в соприкосновение с твёрдым телом вступают всё новые порции
жидкости или газа, теплообмен идёт быстрее, чем если бы они оста-
вались неподвижными — тем быстрее, чем больше скорость обтека-
ния. При этом существенно, является ли поток ламинарным или
турбулентным (гл. X, § 5). При прочих равных условиях, во вто-
ром случае теплообмен происходит гораздо быстрее, чем в первом,
благодаря дополнительному беспорядочному перемешиванию жидко-
сти в направлении, перпендикулярном к поверхности твёрдого тела.
§ 6. Стационарная температура при отсутствии теплового
равновесия. Пусть тело А находится в тепловом контакте с телом
В и пусть, кроме того, его внутренняя энергия непрерывно попол-
няется за счёт совершаемой над ним работы или тепла, поступа-
438
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ
[ГЛ. XIV
ющего к нему от некоторого третьего тела. Пусть Р— мощность,
полученная таким образом телом А (работа или количество тепла,
получаемые за 1 сек). Здесь баланс энергии тела А даётся урав-
нением
CA-^-=-k(TA-TB)-\-P, (14.11)
если между А и В имеет место простейший процесс теплопровод-
ности типа, рассмотренного в §§ 1, 2, 3. Если теплообмен междуЛ, В
происходит путём конвекции или если А есть твёрдое тело, В — об-
текающие его жидкость или газ, а температуры тел Л, В можно
попрежнему считать во всех их точках одинаковыми, то можно
в первом приближении сохранить уравнение (14.11), но только коэф-
фициент k имеет другое значение. Он зависит, например, от ско-
рости жидкости или газа: он растёт с ростом скорости и при-
том в случае турбулентного потока быстрее, чем в случае ла-
минарного.
Будем считать, кроме того, что Тв практически постоянна (в слу-
чае теплопроводности— вследствие того, что Св^Сд; в случае, если
В — жидкость или газ, обтекающие твёрдое тело Л — вследствие
того, что в контакт с Л вступают всё новые порции свежей жидко-
сти или газа, имеющие одинаковую температуру Тв)-
Уравнение (14.11) показывает, что температура тела Л растёт,
если она меньше того значения Т *, при котором
k(T*—TB) = P,
и уменьшается, если она превышает Т *. Таким образом, при"любых
начальных условиях тело Л постепенно принимает стационарную
температуру Тд = Г* такую, что
Т*=Тв+~. (14.12)
При этом нет теплового равновесия между телами Л и В.
Пример 1. При сверлении металлической детали её темпера-
тура повышается до некоторого значения Т*, определённого форму-
лой (14.12), где теперь Р—мощность, затрачиваемая на сверление,
k — коэффициент, учитывающий теплообмен с окружающей средой.
Если сверление происходит в воздухе, k мало, деталь сильно на-
гревается. Если сверление происходит в текущей жидкости, k велико,
Т* лишь не намного превышает температуру жидкости Тв (жидкост-
ное охлаждение).
Пример 2. По проволочке, обдуваемой потоком воздуха, про-
пускается электрический ток. При этом по закону Джоуля (см.
том II) в ней выделяется некоторая мощность Р, опять можно
применить формулу (14.12). Температура проволоки, а, следовательно,
ТЕРМОРЕГУЛЯТОРЫ
439
§ 7]
сё сопротивление (оно растёт с температурой) являются убывающи-
ми функциями k, а, следовательно, так же и скорости потока воз-
духа. Сопротивление проволоки легко измерить. По нему можно
судить о скорости потока. В этом идея электрических термо-ане-
мометров. Анемометр с очень тонкой проволокой (ничтожная тепло-
вая инерция) позволяет регистрировать быстрые пульсации скорости
потока. В этом случае температура проволоки в каждый момент
определяется уравнением (14.12), где теперь k — заданная функция
времени.
Пример 3. Термометр (тело Д) выставлен «на солнце», Тв— тем-
пература окружающего воздуха. Р есть мощность, полученная не-
посредственно от солнца через излучение (энергия солнечного из-
лучения, поглощаемая за 1 сек). Она зависит от свойств термо-
метра: в случае обычного спиртового термометра Р зависит, например,
от того, в какой цвет окрашен спирт (см. том II).
Согласно (14.12), температура 7д=Т*, которую имеет, а сле-
довательно, и показывает термометр, когда он приходит в стацио-
нарное состояние, выше температуры окружающего воздуха и зави-
сит от окраски спирта, а также от формы и размеров термометра
(от них зависят Р и k). При наличии ветра k больше, чем если
воздух неподвижен и термометр будет показывать более низкую
температуру. Нельзя, следовательно, с помощью термометра изме-
рить температуру воздуха «на солнце». Но в тени, где Р=0, тер-
мометр будет правильно показывать температуру воздуха. Здесь
Т* = ТВ,
независимо от скорости ветра и устройства термометра.
Пример 4. Наше ощущение «тепла» или «холода» определяется
температурой внешних слоёв тела, где находятся окончания чувстви-
тельных нервов. Здесь также можно (чиста схематически) рассуждать
с помощью уравнения (14.11), понимая под Тв температуру воздуха,
под Та — температуру этих внешних слоёй, под Р поток тепла, по-
лучаемый ими от обогревающей их крови, под Ь(Тд—Тв) — коли-
чество тепла, отдаваемое внешними слоями тела окружающему воз-
духу. На ветру k больше, чем в спокойном воздухе, Т* понижается, и
нам становится холоднее.
§ 7. Терморегуляторы. Если резервуар, содержащий жидкость
или газ, нагревается пламенем, электрическим током или любым другим
способом, то можно применить уравнение (14.11), понимая под
А — резервуар, В — окружающий воздух, Р—мощность, получаемую
резервуаром от нагревателя. В резервуаре устанавливается темпера-
тура Та = Г*, зависящая, согласно (1 4.12), от температуры Тв окру-
жающего воздуха. Во многих технических и лабораторных уста-
новках (например, в термостатах) необходимо, чтобы в резервуаре
поддерживалась вполне определённая температура 7дг, не зависящая
440
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ
[ГЛ. XIV
от Тв. Это достигается с помощью дополнительных устройств
автоматического регулирования (терморегуляторов). На рис. 287
показана схема одного из простейших терморегуляторов.
Биметаллическая пластинка П играет роль термометра (она со-
стоит из двух сваренных пластин из различных металлов — обычно
латунь и железо; из-за различия коэффициентов теплового расши-
п
Рис. 287.
пластинки достигает значения
рения пластинка с ростом темпера-
туры изгибается всё сильнее в сто-
рону металла, имеющего меньший
коэффициент расширения — в дан-
ном случае железа). Контакт К
срабатывает тогда, когда темпе-
ратура биметаллической пластинки
достигает значения Tn- Пока кон-
такт замкнут, электрический нагре-
ватель Н включён, температура в
резервуаре повышается и стре-
мится, согласно уравнению (14.11), к
стационарному значению (14.12).
Система отрегулирована так, что
Т* заметно превышает Tn. Тогда
в некоторый момент tx температура
Tn, нагреватель выключается (Р=0),
и резервуар начинает охлаждаться, в согласии с первым уравнением
(14.3). Вследствие тепловой инерции вещества, наполняющего резер-
вуар, температура пластинки
достигает значения 7\тогда,
когда температура около
нагревателя уже слегка пре-
вышает Tn- Поэтому в те-
чение некоторого времени
после размыкания темпера-
тура пластинки ещё продол-
жает повышаться, затем до
пластинки «доходит» пони-
жение температуры, насту-
пившее около нагревателя, и
пластинка начинает охла-
ждаться. Внекоторыймомент,
когда температура около
нагревателя уже несколько Рис. 288.
меньше Tn, температура
пластинки проходит обратно через значение Tn- В этот момент кон-
такт снова замыкается, и процесс начинается сначала. Происходят
тепловые автоколебания (ср. ч. XI, § 9) — периодические колеба-
ния температуры около Tn-
§ 7] ТЕРМОРЕГУЛЯТОРЫ 441
Примерный вид осциллограммы процесса показан на рис. 288.
На нём виден «сдвиг фаз» между температурой Та около нагрева-
теля и температурой пластинки Тп (мы пишем «сдвиг фаз» в ка-
вычках, потому что колебания не синусоидальны и имеют различную
форму). Для простоты мы не говорим о тепловой инерции самого
нагревателя и пластинки. Они приводят к увеличению периода и
амплитуды автоколебаний. Амплитуда колебаний температуры дол-
жна быть достаточно мала, чтобы температуру в резервуаре можно
было считать, с требуемой точностью, постоянной и равной пред-
писанному значению Это можно достигнуть целесообразной
конструкцией всего устройства (вводя, например, специальные
органы для компенсации тепловой инерции).
ГЛАВА XV
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§ 1. Тепловое движение. В сосуде, куда только что была на-
лита жидкость, или в баллоне, куда только что под давлением был
впущен газ, циркулируют сильные потоки, между различными местами
существуют заметные разности температур, а также — в случае газа —
и плотностей. Но, благодаря трению и теплообмену, потоки посте-
пенно прекращаются, разности температур и плотностей постепенно
сглаживаются. Наступает равновесное состояние (ср. гл. XIII, § 1),
когда механические движения отсутствуют, температура и плотность
всюду одинаковы — так, по крайней мере, представляется при гру-
бом («макроскопическом») наблюдении. Однако, изучая равновесное
состояние при помощи более чувствительных методов, мы обнару-
живаем совсем другую картину.
Будем, например, наблюдать в микроскоп очень маленькие ча-
стицы постороннего вещества — например, шарики гуммигута диа-
метра порядка 1 микрона, взвешенные в воде. Мы заметим, что
они совершают беспорядочные движения: идут вперёд, останавли-
ваются, уходят в сторону, поворачиваются, внезапно ускоряются.
Не вызваны ли эти движения тем, что вода ещё не пришла в равно-
весное состояние? Это предположение опровергается тем, что если,
поддерживая внешние условия неизменными, ждать час, два часа,
сутки, месяц... движение частичек нисколько не успокаивается. Быть
может, условия опыта таковы, что равновесное состояние не может
наступить и в воде извне постоянно поддерживаются какие-то потоки,
происходит конвекция? Это опровергается тем, что даже очень близко
расположенные частицы движутся совершенно независимо одна от
другой: две такие частицы могут сначала итти навстречу друг другу,
а затем внезапно разойтись. Если бы причиной движения были по-
токи, то близкие частицы увлекались бы в одном направлении, рисуя
форму потоков, как пылинки в солнечном луче (ср. также гл. X, § 2).
Быть может, наконец, всё дело просто в том, что здание, где мы
работаем, трясётся из-за уличного движения? Поставим установку
на массивный фундамент или перенесём её за город; движение части-
чек останется (при той же температуре) столь же оживлённым, как
и раньше.
АТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ
443
§ 2]
Мы приходим к выводу, что броуновское движение (так назы-
вается беспорядочное движение мелких взвешенных частиц, в честь
открывшего его в 1827 г. английского ботаника Броуна; сами частицы
называют броуновскими частицами) является неотъемлемым свойством
эмульсии, находящейся в равновесном состоянии. Наблюдение
показывает, что броуновское движение тем оживлённее, чем выше
температура эмульсии и чем меньше масса взвешенных частиц.
Броуновское движение сигнализирует о том, что и в термодинами-
чески равновесном состоянии вещество движется, а не покоится. Но
при термодинамически равновесном состоянии движение вещества
настолько беспорядочно, что не приводит к значительному переме-
щению больших объёмов вещества как целого, а поэтому его невоз-
можно обнаружить с помощью обычных грубых методов наблюдения.
Для обнаружения движения вещества, существующего при равно-
весном состоянии (его называют тепловым движением), нужно иметь
возможность следить за очень маленькими объёмами вещества. Вве-
дение в жидкость броуновских частиц как раз и даёт такую воз-
можность.
По оживлённости движения броуновских частиц можно судить
о степени интенсивности теплового движения вещества подобно тому,
как если мы смотрим ночью на море, то, не видя волн, можно
судить о их силе по покачиванию огней небольшого корабля.
То, что с повышением температуры движение броуновских частиц
делается более оживлённым, означает, что при нагревании вещества
тепловое движение в нём усиливается.
Существование броуновского движения явилось одним из наибо-
лее убедительных подтверждений молекулярно-кинетического взгляда
на природу тепловых явлений.
Одним из многочисленных других подтверждений является моле-
кулярное рассеяние света (том II, глава XVI, § 9), свидетельствующее
о том, что и при равновесном состоянии происходят небольшие бес-
порядочные изменения плотности вещества (флуктуации плотности).
Голубой цвет неба является следствием флуктуаций плотности атмо-
сферного воздуха.
§ 2. Атомы и молекулы. Когда мы смотрим на кусок железа,
нам кажется, что вещество непрерывно заполняет весь его объём,
что какой бы маленький объём мы ни выделили внутри этого куска,
он окажется заполненным железом.
Однако, экспериментальные данные, которыми в изобилии распо-
лагает современная физика, и прежде всего диффракционные картины,
получающиеся при рассеянии рентгеновских лучей кристаллами (т. II,
гл. XVI, § 8), не оставляют никакого сомнения в том, что действи-
тельность — совершенно иная. Если бы мы могли выделить в куске
железа кубики с ребром порядка 10~9 см, то содержимое различных
таких кубиков было бы весьма различно. Многие из этих кубиков
оказались бы пустыми.
444
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [гл. XV
Вещество не заполняет весь объём тела, а образует электрически
заряженные сгустки, разделённые пустым пространством: положи-
тельно заряженные ядра и в тысячи и в десятки тысяч раз более
лёгкие, отрицательно заряженные электроны. Из электронов и ядер
в земных условиях (в звёздах дело может обстоять совсем иначе!)
образуются устойчивые комбинации — электрические нейтральные
атомы, где положительный заряд ядра в точности компенсирован
отрицательными зарядами электронов, или электрически заряженные
ионы, где нет такой полной компенсации. Химические элементы со-
стоят из атомов с одинаковым зарядом ядра, но не обязательно оди-
наковой массой. У различных химических элементов заряд ядра раз-
личен. Сами ядра в свою очередь имеют сложную структуру. (Обо
всём этом подробно говорится во втором томе).
Твёрдые тела (кристаллы) характеризуются правильным располо-
жением атомов или ионов, образующих в них «кристаллическую ре-
шётку». На рис. 289 изображено расположение атомов в кристалле
каменной соли (NaCl), белые шарики схематически изображают атомы
Na, заштрихованные — атомы С1. На рис. 290 изображено расположе-
ние атомов в кристалле графита. Здесь все атомы являются атомами С
(углерода). Под рисунками дан масштаб в онгстремах [Онгстрем (А)
есть единица длины, равная 10~8 см.}
Рис. 290.
Положения атомов кристалла, показанные на рисунках, суть поло-
жения равновесия; тепловое движение кристалла состоит в том, что
его атомы беспорядочно колеблются около этих положений.
В газах атомы либо движутся независимо друг от друга (напри-
мер в гелии, ртути), либо образуют молекулы — группы из несколь-
ких атомов, тесно связанных между собой. Изолированные атомы
(например, атомы гелия) можно рассматривать как «одноатомные
молекулы».
§ 2]
/ХТОМЫ И МОЛЕКУЛЫ
445
Молекулы газа не имеют фиксированных положений равновесия,
их движение носит совершенно хаотический характер. Они описы-
вают чрезвычайно сложные пути, перемещаясь в пределах всего объ-
ёма, предоставленного газу.
Наконец, в жидкостях атомы сильно связаны друг с другом, но,
в отличие от кристаллов, не колеблются около определённых поло-
жений равновесия, а могут перемещаться с места на место. Тепловое
движение жидкости и состоит в этом беспорядочном движении её
атомов.
Учение о том, что вещество является не сплошным, а дискретным,
что оно состоит из отдельных
уже в древней Греции, около
2500 лет тому назад Демо-
критом и другими филосо-
фами. При этом к идее дис-
кретности вещества присоеди-
нялась идея неделимости его
мельчайших зёрен, почему они
и были названы атомами (что
означает—неразрезаемый). Это
название возродилось в XIX
веке для обозначения тех наи-
более мелких — и, как тогда
казалось, тождественных и
неделимых, — зёрен вещества,
которые ещё несут в себе его
химическую индивидуальность.
Мысль о существовании таких
атомов прочно вошла в химию
с тех пор, как были открыты
лежащие в основе этой науки
мельчайших зёрен, проповедывалось
закон постоянства состава и Рис. 291.
закон кратных отношений
(Дальтон, 1808). Эта мысль получила замечательное развитие также
и в физике, и прежде всего в кинетической теории газов, разрабо-
танной Максвеллом, Клаузиусом и Больцманом во второй половине
XIX столетия. Наконец, в XX веке, с тех пор как развитие экспери-
ментальной техники сделало возможным наблюдение отдельных ато-
мов и молекул, их существование стало так же достоверно, как,
скажем, существование планет или звёзд. Но при этом, как видно
из всего сказанного выше о ядрах и электронах, от идеи о «недели-
мости» атома не осталось и следа (см. подробнее том II, гл. XXV).
Разработанный в последние годы электронный микроскоп по-
зволяет получить на фотопластинке изображение отдельных осо-
бенно крупных молекул, более совершенное, чем изображения звёзд,
даваемые самым мощным телескопом. На рис. 291 воспроизведена
446 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [гл. XV
фотография молекулы органического вещества гемоцианина, получен-
ная Вильямсом и Уайкофом при помощи электронного микроскопа.
Масштаб даётся длиной чёрточки под фотографией, соответствующей
1 микрону, т. е. 0,001 мм. Таким образом, диаметр молекул гемо-
цианина порядка сотой доли микрона. Это — громадные молекулы:
число атомов в них порядка миллиона.
§ 3. Первый принцип термодинамики с молекулярно-кинети-
ческой точки зрения. Классическая молекулярно-кинетическая тео-
рия принимает, что атомы и молекулы подчиняются тем же законам
механики, что и макроскопические тела.
Внутренняя энергия тела U с точки зрения кинетической теории
равна сумме кинетической и потенциальной энергий его молекул
(или атомов).
Если, например, молекула движется поступательно, то она Обла-
дает кинетической энергией (т— масса молекулы, w — её ско-
рость); если молекула вращается, то она обладает кинетической
энергией -у (/ — момент инерции молекулы, ю — её угловая скорость).
Молекула обладает также потенциальной энергией, обусловленной си-
лами взаимодействия между её атомами. Если существуют силы взаимо-
действия между молекулами, то в состав U входит и потенциаль-
ная энергия, связанная с этим взаимодействием.
Согласно механике, изменение U равно полной работе А всех
сил, действующих на молекулы рассматриваемого тела (гл. V, § 7):
= (15.1)
Мы будем называть Ат работой в молекулярном смысле, а ту ве-
личину Л, о которой шла речь в гл. XIII, — работой в термодинамиче-
ском смысле. Из механической теоремы (15.1) непосредственно следует
первый принцип термодинамики, если принять, что адиабатический
процесс есть такой процесс, где Ат=А, т. е. работав молекуляр-
ном смысле совпадает с работой в термодинамическом смысле.
При неадиабатических процессах (общий случай)
U*- Ut = A + Q. (15.2)
Сравнивая (15.1) и (15.2), получаем
Am = A-\-Q,
т. е. работа сил, действующих на молекулы рассматриваемого тела
со стороны молекул взаимодействующих с ним тел, может быть пред-
ставлена как сумма двух слагаемых: работы в термодинамическом
смысле А и количества теплоты Q.
Физическое толкование этого разложения заключается в следую-
щем: слагаемое А связано с макроскопическими перемещениями обо-
!) В отличие от квантовой теории, см. том И, а также §§ 31 и 32 т. I.
§ 4]
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ПУЧКИ
447
лочки или её частей (поршня, лопаток в опыте Джоуля) и может
быть измерено с помощью обычных макроскопических методов из-
мерения работы (например, с помощью динамометра и масштаба).
Слагаемое Q обусловлено таким «беспорядочным» взаимодействием
молекул, при котором не происходит макроскопических перемещений
тела и поэтому оно может быть не измерено непосредственно динамо-
метром и масштабом, а только косвенно (как разность — Ux — А).
Например, когда газ нагревается, находясь в контакте с раска-
лённой металлической проволокой, молекулы последней вследствие
соударений с молекулами газа увеличивают кинетическую энергию
последних и совершают над газом работу (в молекулярном смысле).
Если проволока как целое при этом не перемещается и не дефор-
мируется, то эта работа в точности равна тому, что называется в
термодинамике количеством теплоты получаемым газом от прово-
локи.
§ 4. Молекулярные пучки. Кинетическая теория принимает
(в первом приближении), что молекулы газа описывают зигзагообраз-
ные пути. На каждом прямолинейном отрезке такого пути происхо-
дит движение по инерции. Прямолинейные отрезки кончаются там,
где молекула испытывает соударение с другой молекулой или со
стенкой сосуда. Одним из непосредственных подтверждений этой
картины являются опыты Дюнуайе (1911).
Стеклянная трубка разделена на три отделения Д, В, С, диа-
фрагмами (перегородками с маленькими отверстиями). После откач-
ки воздуха из трубки натрий, находящийся в отделении А, испа-
ряется благодаря нагреванию.
Через некоторое время на стенках
отделений В и С появляется на-
триевый налёт, распределённый,
как показано на рис. 292: в от-
делении В налёт покрывает стенку
трубки и стенку, отделяющую
В от С, в отделении С налёт
образуется только около продолжения прямой, соединяющей
центры отверстий Olt О2.
Толкование этого результата очевидно. Молекулы^ подлетающие
слева к отверстию проникают в отделение В. Молекулы газа
подлетают из А к по всевозможным направлениям и сохраняют
эти направления в отделении В, так как там ввиду малой плотности
практически не испытывают соударений. В отделение С попадают
молекулы не с любыми направлениями скоростей, а только с такими,
которые соответствуют прямым, проходящим через точки обоих
отверстий. Можно наблюдать «тени» и «полутени», как если бы
опыт делался со светом. Отверстие О2 выделяет узкий молекуляр-
ный пучок. Помещая на пути пучка различные препятствия, можно
заметить образование соответствующих «теней».
448
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
Опыт Дюнуайе служит демонстрацией того, что молекулы газа
движутся по всевозможным направлениям и что в отсутствии соуда-
рений их движение равномерно и прямолинейно.
Если ухудшить вакуум в трубке, т. е. уменьшить степень раз-
режения воздуха, то налёт размывается: заметная доля молекул пучка
сталкивается теперь с молекулами воздуха и отскакивает в сторону.
§ 5. Измерение молекулярных скоростей. Опыт Штерна. Ско-
рость каждой молекулы пучка совпадает с той скоростью теплово-
го движения, которую она имела, под-
летев к отверстию Поэтому, измерив
скорость молекул в пучке, мы тем са-
мым измерим скорость их теплового дви-
жения.
Такое непосредственное измерение мо-
лекулярных скоростей впервые осуществил
Штерн (1920). Схема опыта показана на
рис. 293. В центре эвакуированного ци-
линдрического сосуда V радиуса I на-
ходится наполненный газом цилиндр О,
из которого через 5, вырываются моле-
кулы газа. Вторая щель52, выделяет моле-
кулярный пучок, который, если прибор покоится, достигает стенки со-
суда У в точке Р. Весь аппарат приводится во вращение (например, по
часовой стрелке) вокруг оси, проходящей через За время
t = —, нужное для того, чтобы молекула, имеющая скорость w,
прошла путь I от до стенки сосуда V, каждая точка этой стен-
ки опишет дугу длиной s —2kvZ/, где v — число оборотов прибора
в секунду. Таким образом, молекула, которая попала бы в точку
Р, если бы прибор покоился, попадает, при его вращении, в точку А,
смещённую относительно Р назад, т. е. в направлении, противопо-
ложном направлению движения, на расстояние
5 = 2itv —.
Мы принимаем для простоты, что щель находится очень близко
от Sj. Однако, для достижения ббльшей резкости пучка приходится
делать расстояние сравнимым с SaP; в этом случае расчёт
немного усложняется. Если прибор вращается с угловой скоростью
2тсу против часовой стрелки, то место попадания Р" на стенку ци-
линдра молекул скорости w будет смещено относительно Р на
расстояние з по часовой стрелке. Заставив вращаться прибор сна-
чала в одну, затем в другую сторону, измерив Р'Р" = 2s и v и зная
Z, можно вычислить w.
В дальнейших своих опытах Штерн заменил цилиндр О посеребрён-
ной платиновой нитью. Нить раскаливалась пропусканием по ней
§ 6]
О СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
449'
электрического тока, благодаря чему серебро испарялось, и возни-
кал молекулярный пучок.
Следы пучка молекул серебра, полученные Штерном в двух из
его опытов, показаны на рис. 294. Левый снимок был получен при
2400, правый — при 2700 об/мин. Расплывчатость следов показы-
вает, что различные молекулы пучка
имеют различную скорость. Более бы-
стрым молекулам соответствует мень-
ший угол отставания, более медленным—
больший. Наиболее медленные моле-
кулы образуют внутренние края, наи-
более быстрые — внешние края поло-
сок. Если понимать под 25 расстоя-
ние между серединами полосок, то
изложенный выше подсчёт даёт неко-
торую среднюю скорость молекул. Ри-
сунку 294 соответствует средняя ско-
рость, равная приблизительно 650 м/сек.
По порядку величины скорости молекул
при обычных условиях близки к ско-
Рис. 294.
рости ружейной пули.
§ 6. О статистических законах распределения. Развивая опыт
Штерна, можно установить экспериментально статистический закон
распределения молекул по скоростям.
Понять этот термин нам поможет доска Гальтона (рис. 295).
В верхнюю часть вертикальной доски вбиты штырьки, располо-
Рис. 295.
женные правильными рядами. Нижняя часть до-
ски разделена вертикальными планками на же-
лобки одинаковой ширины. Через отверстия
можно выпускать дробинки (или зёрна крупы
и т.п.). Для того чтобы они оставались в
приборе, доска спереди закрыта стеклом.
Выпустим через воронку одну дробинку.
Произойдёт, например, такое движение: дро-
бинка ударяется о средний штырёк первого
ряда, отклоняется влево, затем, ударившись о
штырёк второго ряда, отклоняется снова влево,
затем ударяется о штырёк третьего ряда и от-
клоняется вправо и т. д. Выпустим вторую
дробинку. Вообще говоря, она пойдёт по дру-
гому пути. Она отклонится, например, сначала
вправо, затем влево, затем вправо... или, напри-
мер, три раза подряд влево... и т. д. Наблюдение падения какой-
нибудь дробинки ничего не говорит о том, как будет падать следую-
щая. Дробинки, выпущенные одна за другой, попадают, вообще
говоря, в различные жёлобы (рис. 296, а). Мы будем говорить: траек-
29 Папалекси, т. I
450 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ (гл. XV
тория дробинки случайна, сё попадание в тот или иной жёлоб —
случайное событие.
Что же получится при «массовом» явлении, когда через воронку
высыпают большое число — скажем, тысячу — дробинок? Жёлобы
заполняются дробинками неравномерно. В центральном жёлобе их
окажется больше всего. Чем дальше жёлоб от середины, тем меньше
в нём будет дробинок, причём в жёлобах, симметрично расположен-
ных по отношению к центральному, будет примерно одинаковое число
дробинок (рис. 296, Ь).
Повторим опыт с высыпанием тысячи дробинок. На основании
того, что было сказано о случайности попадания дробинки в тот
или иной жёлоб, может явиться мысль, что повторный опыт даст
результат, совершенно отличный от результата - первого, что, ска-
жем, теперь больше всего дробинок окажется в каком-нибудь бо-
коволм жёлобе. На деле,
однако, происходит нечто
совсем другое: повтор-
ный массовый опыт даёт
приблизительно тот же
результат, что и пер-
вый. Получается (рис.
296, с) такое же (с точ-
ностью до весьма малых
отклонений) число дро-
бинок в каждом из жёло-
бов, как и в первый раз.
Проделаем опыт в третий, в четвёртый раз. Мы ’будем получать
приблизительно всё тот же результат. Таким образом, при массо-
• вом падении дробинок по доске Гальтона результат опыта не слу-
чаен. Случайны только маленькие отклонения между результатами
отдельных массовых опытов, в основном же результат получается
каждый раз один и тот же. Чем больше число высыпанных дроби-
нок, тем меньше оказывается относительная величина этих неболь-
ших случайных отклонений; при достаточно большом числе высы-
панных дробинок она может быть сделана сколько угодно малой.
Итак, массовое явление —падение очень большого числа дро-
бинок — подчиняется вполне определённому закону: дробинки рас-
пределяются между жёлобами в определённой пропорции. Если об-
щее число брошенных дробинок N очень велико, то можно без за-
метной относительной погрешности утверждать, что в
окажется дробинок, в жёлобе № 2 дробинок
чём числа
жёлобе № 1
и т. д., при-
(15.3)
(v — общее число жёлобов) — вполне определённые. Числа (15.3)
указывают, как дробинки распределяются между жёлобами при мае*
§ 7] ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЛЕКУЛ 451
совом бросании. Они выражают закон распределения дробинок по
жёлобам (рис. 296, d).
Существование определённого закона распределения дробинок
по жёлобам нисколько не противоречит случайности попадания
отдельной дробинки в тот или иной жёлоб. Пусть одна из дроби-
нок окрашена в красный цвет. При повторных массовых опытах
распределение дробинок по жёлобам будет практически одно и то
же, но красная дробинка (жирная точка на рис. 296, с) ока-
зываться в различных жёлобах.
То, что закон распределения (15.3) относится к случайным со-
бытиям— попаданию дробинок в тот или иной жёлоб—выра-
жают словами: закон распределения (15.3) есть статистический
закон.
Возможны и не статистические законы распределения. Пусть, на-
пример, наборщику предложили рассортировать типографский шрифт.
Он кладёт каждую букву в соответствую-
щее ей отделение наборной кассы. По окон-
чании работы получается определённое рас-
пределение букв по отделениям кассы. Но г- —i
это распределение не статистическое (если 4 [| ||—।
набортрик работает без ошибок): если сно- 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ва смшЬать шрифт и повторить всю опера-
цию, каждая буква снова попадёт в преж- Рис. 297.
нее* отделение.
Статистический закон распределения дробинок по жёлобам удоб-
но изобразить графически при помощи «диаграммы распределения»
(рис. 297). Номера прямоугольников соответствуют номерам жёло-
бов на рис. 295. Ширина прямоугольников одинакова, их высоты,
а следовательно, и площади, пропорциональны соответствующим
числам (15.3).
Статистические законы распределения играют очень важную
роль в физике, во многих отраслях техники (например, при проек-
тировании автоматических телефонных станций), в биологии (гене-
тика), в общественных науках.
§ 7. Исследование статистического распределения молекул по
скоростям. Представим себе, что цилиндр V (рис. 293) разделён на
полоски, параллельные образующим и занумерованные числами 1,
2, 3,... (рис. 298). Если при вращении цилиндра молекула
попадает в полоску номера /, то это значит, что её ско-
рость заключена между определёнными значениями и wz+1, где
соответствует попаданию молекулы в границу i-й и (/‘4-1)-й поло-
сок, wM — в границу (Z-f- 1)-й и (Z2)-й полосок.
Если бы можно было следить за попаданием на цилиндр каждой
отдельной молекулы (подобно тому, как можно наблюдать попадание
на экран отдельных а—частиц см. том II, гл. XXVI, § 26), то мы
заметили бы, что одна молекула попадает, скажем, в полоску 2,
. 29*
452 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
следующая — в полоску 7, следующая — в полоску 4 и т. д.,
причём попадание молекул в ту или иную полоску так же случайно,
как попадание дробинок в тот или иной жёлоб доски Гальтона.
Попадание молекулы в ту или иную полоску определяется её ско-
ростью. Следовательно, скорости молекул в пучке случайны: раз-
личные молекулы имеют самые различные ско-
рости и чередование скоростей молекул, вылетав-
ГГТТГ—ших из щели» также не может быть предсказано,
j как чередование траекторий дробинок, скатыва-
1111---------ющихся по доске Гальтона.
Опыт Штерна является массовым опытом; оса-
док, наблюдаемый на стенках цилиндра, образуется
V громадным числом молекул. И если только темпе-
ратура серебра в цилиндре О поддерживается по-
стоянной, этот опыт всегда даёт, как и массовый
опыт на доске Гальтона, одинаковый результат:
_____________Z степень почернения различных полосок (при оди-
наковой продолжительности экспозиции) каждый
Рис. 298. раз одна и та же. В частности, максимум почер-
нения всегда приходится на одну и ту же
полоску. Это означает, что при данной температуре ДУше-
ствует вполне определённый статистический закон распределения
молекул пучка по скоростям: из очень большого числа N вылетаю-
щих молекул всегда одна и та же доля имеет скорость w, за-
ключённую между Wi и w2, одна и та же доля N* имеет скорость
w', заключённую между и и т. д. При изменении температуры
в цилиндре. О вид осадка меняется, причём закон распределения мо-
лекул по скоростям зависит только от температуры (например, от
давления газа в О он совершенно не зависит).
Для того чтобы узнать статистический закон распределения мо-
лекул пучка по скоростям, достаточно было бы сравнить интенсив-
ность осадка (степень почернения) различных полосок. Но практи-
чески гораздо удобнее другие методы исследования, например, ме-
тод, разработанный Ламмертом (1929).
По идее прибор Ламмерта напоминает демонстрационную уста-
новку для измерения скорости пули (см. рис, 299), состоящую из
§ 7] ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЛЕКУЛ 453
картонных дисков, насаженных на быстро вращающуюся ось. Стре-
ляют параллельно этой оси. Пуля пробивает диски в точках 4, А',
одинаково отстоящих от оси, и застревает в ящике с песком. Когда
диски остановлены, обнаруживается, что радиусы ОА. ОА' образуют
некоторый угол 9. Это — угол, на который успели повернуться
диски за то время Z, пока пуля пролетала расстояние Z:
ср = в)/=(о (15.4)
где — угловая скорость дисков, w— скорость пули. Измерив
9, о и /, вычисляют W.
Представим себе теперь, что параллельно 00' летит поток пуль
с самыми разнообразными скоростями, что диски на рис. 299 не-
проницаемые для пуль (скажем,
стальные) и что Л, А'— отвер-
стия, просверленные в них за-
ранее.
Тогда прибор будет выделять
из всего потока пуль те, скорости
которых удовлетворяют уравне-
нию (15.4): только такие пули
будут проходить через оба отвер-
стия и застревать в ящике с пе-
ском. Меняя угол 9, можно бу-
дет выделять из потока пули с раз-
личными скоростями. Если раз-
меры отверстий больше диаметра
пуль, то прибор будет выделять
не только пули, имеющие одну
вполне определённую скорость,
но пули, скорости которых нахо-
дятся в некотором интервале
Величины w* легко подсчитать, зная <о, Z, ширину отвер-
стий и угол <р между радиусами, проходящими через центры от-
верстий.
Схема прибора Ламмерта показана на рис. 300. В вакууме
(пространство 5) на шарикоподшипниках вращается (под дей-
ствием магнитного поля, создаваемого статором St) ротор — полый
железный цилиндр /? (диаметр 5,7 см. длина 6 см). основаниями
которого служат диски ZZ с большим числом прорезей, расположен-
ных радиально (одной прорезью нельзя обойтись, не уменьшая чрез-
мерно интенсивности молекулярного пучка). На уровне прорезей
находится печка О. откуда вылетают изучаемые молекулы. Угловая ско-
рость вращения ротора измеряется стробоскопически. Меняя угловую
скорость и угол между прорезями обоих дисков, можно выделять с их
помощью молекулы, скорости которых заключены в различных интер-
454
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [гл. XV
валах. Добавочная щель В служит для того, чтобы налёт, наблю-
даемый в камере Д, образовывался только молекулами, летящими парал-
лельно оси прибора. В Р находится посеребрённая мишень, охлаждае-
мая жидким воздухом, находящимся в дюаре (гл. XIII, § 3) вто-
рой дюар /<2 охлаждает пространство S.
На рис. 301 показан результат одного из опытов. В нём иссле-
довалось распределение по ско-
ростям молекул ртути в пучке,
вырывавшемся при температуре
100° С. Измерялись относитель-
ные числа молекул пучка, ско-
рости которых заключены между
90 и 140 м/сек, 140 и 190 м/сек,
...,340 и 390 м/сек. Полученные
числа (в процентах) изображены
высотами соответственных сплош-
§ 8. Кривая распределения,
зывает, сколько молекул имеют
ных прямоугольников *).
На рис. 302 диаграмма (а) пока-
скорости, заключённые
и w2, между w2 и w3 и т. д., причём ^2 — wt = w3— w2
между w,
Но мы можем спросить, например, какая часть молекул имеет ско-
f I Ь
рость, заключенную между Wj и = , а какая часть —
между w' и w2 2).
Для того чтобы ответить на этот вопрос — и на такой же во-
прос для остальных интервалов, — придётся построить более под-
робную диаграмму распределения (Ь), где площади прямоугольников
изображают числа молекул, скорости которых заключены между
Wi и и w2, w2 и и т. д.
Но нас может не удовлетворить и такое более подробное
задание закона распределения. Мы можем пожелать указать, сколь-
ко молекул имеет скорость между и и сколько между
t ff I Ъ гу, ..
и где и т. д. Тогда нам придется построить
диаграмму распределения (с) с ещё вдвое более узкими прямоуголь-
никами, чем на диаграмме (Ь). Такую детализацию диаграммы рас-
пределения можно продолжать ещё дальше.
Ясно, однако, что её нельзя продолжать беспредельно, так как, в
конце концов, число прямоугольников станет больше числа молекул,
и тогда в рассматриваемом интервале скоростей может не оказаться
ни одной молекулы. Между тем, для того чтобы можно было го-
ворить о статистическом законе распределения, нужно брать такие
интервалы скоростей, в которых ещё заключены огромные коли-
х) Смысл пунктирных отрезков разъяснён ниже (§ 9).
2) Здесь речь идёт об абсолютных величинах скорости.
§ 9|
распределение максвелла
455
чества молекул. Поэтому мы прекратим попытки детализировать
закон распределения заблаговременно, пока каждый интервал ещё
настолько велик, чтобы содержать очень большое число молекул.
Но так как общее число молекул колоссально, то при этом интер-
валы могут быть всё же настолько малы,
что ломаная линия, ограничивающая сверху
прямоугольники, практически неотличима
от плавной кривой (рис. 302, d). Эга кри-
вая, дающая детальное изображение стати-
стического закона распределения, называется
кривой распределения.
Уравнение кривой распределения моле-
кул по скоростям мы запишем в виде
причём /(W) есть, очевидно, приближённая
величина высоты тех весьма узких прямо-
угольников, которые соответствуют скоро-
стям, близким к w. Поэтому число молекул
kN, скорости которых заключены в весьма
малом интервале w, w-j-kw, может быть
записано так:
§ 9. Распределение Максвелла. Теоре-
тическое исследование распределения по ско-
d)
Рис. 302.
кривой распределе-
ш
ростям молекул вещества, находящегося в
термодинамически равновесном состоянии,
приводит к следующему результату. Уравнение
ния, о которой шла речь в § 8, имеет вид
(15.5)
W2
у — Ае w2,
причём
з
Л==4^ \
\2.nkTj
2kT
tn
(15.5')
Здесь ДА—общее число молекул, Т—абсолютная температура,
т — масса одной молекулы, k—универсальная постоянная. Она
называется постоянной Больцмана,
456
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ (гЛ. XV
У
Рис. 303.
Закон распределения
венных подтверждений,
Распределение, описываемое уравнением (15.5), называется рас-
пределением Максвелла.
График уравнения (15.5) показан на рис. 303.
Согласно теории, каково бы ни было начальное распределение
скоростей молекул в теле, если оно предоставлено самому себе
(т. е. заключено в жёсткую, адиабатиче-
скую оболочку), в результате взаимодей-
ствия между молекулами (в частности,
соударений) постепенно установится рас-
пределение Максвелла. Выражаясь точнее,
если вещество предоставлено самому себе,
то в нём с течением времени устанавливает-
ся такое состояние, при котором распре-
деление молекул по скоростям обнаружи-
вает лишь очень малые случайные откло-
нения (флуктуации) от распределения Мак-
свелла.
Максвелла получил уже давно много кос-
но впервые возможность подвергнуть его
непосредственной экспериментальной проверке дала методика моле-
кулярных пучков. Опыты с молекулярными пучками, в частности
описанный выше опыт Ламмерта, целиком его подтвердили. (Пунк-
тирные отрезки на рис. 301 дают
относительные числа молекул в со-
ответствующих интервалах скоро-
стей, вычисленные на основании
закона распределения Максвелла.
Как видно, расхождение с опытом
весьма мало.)
Формула (15.5) указывает, что
вид кривой распределения должен
меняться для данного вещества с
температурой и что при одной и
той же температуре кривая рас-
пределения молекул по скорости
различна для различных веществ
(т. е. различных т).
Если температура растёт, то, как показывает рис. 304, кривая
распределения меняется; число молекул, имеющих небольшие ско-
рости, уменьшается, число молекул, имеющих большие скорости,
растёт1). Максимум кривой перемещается в сторону больших ско-
J) Рис. 304 относится к молекулам кислорода. По оси ординат отложена
(в процентах) доля общего числа молекул, скорости которых заключены
между w м/сек и (w 10) м/сек.
§ 10]
СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ
457
ростей чем выше температура, тем больше вероятнейшая, т. е.
наиболее часто встречающаяся скорость. Вероятнейшая скорость
соответствует ey = max, т. е. определяется из уравнения ^- = 0 и
равна
(15.6)
Площадь, заключённая между кривой распределения и осью
абсцисс, равна общему числу молекул: она, очевидно, должна оста-
ваться постоянной при повышении температуры. Поэтому по мере
смещения в сторону больших скоростей максимум кривой распре-
деления опускается.
Кривые рис. 304 можно также толковать, как кривые максвел-
ловского распределения, соответствующие одной и той же темпе-
ратуре, но различным массам молекул: кривая а соответствует
наименьшей массе, b — наибольшей. Например, при одной и той
же температуре у кислорода большие скорости молекул встречаются
реже, а малые — чаще, чем у водорода. Вероятнейшая скорость,
согласно (15.6), обратно пропорциональна у"т. Опыты с мо-
лекулярными пучками целиком подтверждают все эти выводы
теории.
§ 10. Средняя скорость и средняя кинетическая энергия
поступательного движения молекул. Если среди W молекул, ДЛ^
молекул имеют скорость, близкую к молекул — скорость,
близкую kw2, ..., ДЛ/^ молекул—скорость, близкую кич, то среднюю
скорость всех N= ДЛ\ + ••• молекул можно вычис-
лить по формуле
w —
&N* + — +
+ + + № .
__AN
~ N~ \
(Числитель есть сумма скоростей всех молекул, знаменатель—общее
число молекул.)
Для средней кинетической энергии тех же W молекул имеем
аналогичную формулу
^__2~ДЛГ» + ~ д№ + -+ Т
ДМ4-Д^ + .„ + Д№ ~~2 N
2
Пусть молекулы подчиняются закону распределения j=/(w).
Тогда (см. § 8) число ДД^ молекул, имеющих скорости, заключённые
между и Wj-j-Aw, равно приближённо /(wjAw, число ДДГа
458 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
молекул, имеющих скорости, заключённые между w.2 = w1-{- Aw и
w2-^Aw, равно приближённо f(w2)Aw и т. д., откуда
— f(wi)wi Д w + / (^2) ^2 Дг0 + ...4-/(«%)*гчД«г
да2 т f (Wi)Wj^w+f (w2)w^w+ ...+/Лт
2 2“ N.
Суммы, стоящие в правых частях, можно приближённо заменить
интегралами
= у j f{‘w)'wd'w, = f('K>)wid‘w.
о о
Если закон распределения молекул по скоростям есть закон Макс-
велла, то, на основании (15.5), эти формулы принимают вид
00 W2 --- ?? W2
?2 w3 dw, ^- = -^г7-Ге ~$rw*‘deW\
NJ ’2 2N J
о о
Как доказывается в курсах анализа,
о° СО w2 /—
J е ?2 w*dw— у, J е Р2 w4 dw = —£5.
о о
Следовательно, принимая во внимание (15.5'),
w = —— I/ ----,
Г m
з hT
(15.7)
(15.8)
Последнее соотношение играет в молекулярно-кинетической теории
исключительно важную роль.
§ 11. Абсолютная температура как средняя кинетическая
энергия поступательного движения молекул. Согласно (15.8),
средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул
отличается от температуры, измеренной по идеально-газовой шкале,
только на некоторый множитель, являющийся универсальной по-
стоянной.
Таким образом, температура по идеально-газовой шкале есть
не что иное, как измеренная в определённом масштабе средняя
ЗАКОН АВОГАДРО
459
§ 12]
кинетическая энергия поступательного движения молекул. Масштаб
задаётся постоянной Больцмана.
Утверждение «тела А и В имеют одинаковую температуру» озна-
чает, следовательно: средние кинетические энергии поступательного
движения молекул тел А и В одинаковы. Утверждение «тело А
более нагрето, чем тело В» означает: молекулы тела А имеют
в среднем большую кинетическую энергию поступательного движения,
чем молекулы тела В.
С точки зрения кинетической теории теплообмен между двумя
телами заключается в том, что суммарная кинетическая и потен-
циальная энергия беспорядочного движения молекул одного тела
уменьшается, а другого — увеличивается (§3). При этом, как теперь
выяснилось, направление обмена энергией определяется величиной
средней кинетической энергии поступательного движения одной мо-
лекулы. То тело, у которого она больше, делится энергией с тем
телом, у которого она меньше, пока соедние кинетические энергии
поступательного движения молекул обою: тел не сравняются.
Как было сказано в § 2, каждый атом и каждая молекула являются
сложной системой. Они обладают большим числом степеней свободы
(гл. II, § 6). Поступательному движению молекулы как целого
соответствуют 3 степени свободы. Остальные степени свободы соот-
ветствуют вращению молекулы как целого, перемещениям атомов
внутри молекулы, перемещениям электронов и ядер внутри атомов
и т. д. На каждую поступательную степень свободы приходится
в среднем % средней общей энергии поступательного движения
молекул, т. е. кинетическая энергия
Если два тела находятся в тепловом равновесии, то вследствие
равенства средних кинетических энергий поступательного движения
молекул равны и средние энергии на каждую поступательную степень
свободы молекул того и другого тела. Мы пришли, таким образом,
к заключению, что в результате теплообмена устанавливается равно-
мерное распределение энергии между поступательными степенями
свободы молекул обоих тел.
Подставляя в уравнение состояния одной грамм-молекулы идеаль-
ного газа (13.39) выражение (15.8), получаем
= (15.9)
Таким образом, с точки зрения молекулярно-кинетической теории
уравнение состояния идеального газа выражает тот факт, что произ-
ведение pV пропорционально средней кинетической энергии поступа-
тельного движения молекул, причём множитель пропорциональности
один и тот же для грамм-молекулы любого идеального газа.
§ 12. Молекулярно-кинетический вывод уравнения состояния
идеального газа. Закон Авогадро. Уже самая простая модель позво-
ляет получить на основании молекулярно-кинетических соображений
460
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
соотношение (15.9) между произведением р V идеального газа и средней
кинетической энергией его молекул.
Решим предварительно две механические задачи.
1. На неподвижно укреплённую броневую плиту, перпендику-
лярно её плоскости, падает град пуль одинаковой массы т, отска-
кивающих от неё по закону абсолютно упругого удара. Найти
среднее давление, испытываемое плитой.
Пусть w2, ... — скорости пуль, ударяющихся о плиту. Если
удар абсолютно упругий, а плиту можно считать неподвижной, пули
отскакивают от неё со скоростями ——w2, ... Следовательно,
приращения количества движения пуль при взаимодействии с плитой
равны соответственно
— т<щ — (/zzwj) = — 2т®/1э — тю* — (mw^) = — 2mwit ...
Общее приращение количества движения всех пуль, ударившихся за
некоторое время т о броню, равно
/—1
где v — число пуль, ударившихся за время т. Согласно гл. III, § 5>
эта величина равна импульсу за время т силы f, с которой броня
действует на пули,
— 2me\= J fdt.
i«=l о
по третьему закону Ньютона (гл. II, § 2),/'=—/,
Но так как,
где f—сила, с которой пули действуют на броневую плиту, мы
имеем
Рис. 305.
J^2/nw£== f fdt.
о
продолжительность удара
среднего промежутка вре-
Если
* меньше
мени между ударами, то сила f ме-
няется со временем, как показы-
вает рис. 305; она равна нулю в промежутке между ударами пуль
о плиту и принимает ббльшие значения во время ударов.
Среднее значение f силы / за время т определяется уравнением
т
/т = J f dt, откуда
о
У 2mwi
§ 12]
ЗАКОН АВОГАДРО
461
Среднее давление мы получим, разделив f на площадь плиты S
_ — Zj 2mwi
P~~S~ si
(a)
2. Между двумя укреплёнными параллельными броневыми пли-
тами движутся, не испытывая сопротивления и взаимных стол-
кновений, п пуль. Начальные скорости пуль перпендикулярны плитам,
удар пули о плиту — абсолютно упругий. Найти среднее давление,
испытываемое плитами.
Будем исходить из формулы (а) и подсчитаем У, принимая
во внимание, что каждая пуля теперь многократно ударяется о каждую
из плит.
Пусть Z — расстояние между плитами. Пуля, имеющая скорость w
(абсолютная величина скорости не меняется при ударах о плиты),
пролетит за время т это расстояние раз, и, следовательно, уда-.
рится о каждую из плит раз.
Сумму ^2zwwz мы теперь подсчитаем следующим образом:
V
У ZmWj — 2mw2v2 - j-...,
где Vj — число ударов об одну из плит за время т пули, имеющей
скорость Wp- и т. д.
7 Im^i = 2/nWf-Ty -|-2znw2
ra
откуда
2 * I...*... ।
m^i = у
— mw2
Р = ^-п.
Введя объём V= SI пространства, в котором движутся пули, получим
pV = 2n,~. (15.10)
При данной средней кинетической энергии пуль произведение pV
постоянно. Среднее давление растёт с уменьшением объёма, потому
что каждая пуля чаще ударяется о плиты. Оно растёт квадратично
с увеличением скорости пуль, потому что 1) растёт импульс, дей-
ствующий при каждом ударе, и 2) растёт число ударов.
Перейдём теперь к основной задаче.
462
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ (гл. XV
Представим себе абсолютно жёсткий сосуд, содержащий одну грамм-
молекулу газа. Будем считать, для простоты, что сосуд имеет форму
куба. Молекулы газа мы будем рассматривать как очень маленькие
пули, стенки сосуда — как непроницаемую для этих пуль неподвиж-
ную броню, от которой они отскакивают по закону упругого удара.
Молекулы газа летят в среднем равномерно по всем направлениям.
Для вычисления давления на стенки можно заменить это распреде-
ление направлений таким: одна треть молекул движется параллельно
ребру АВ, одна треть — параллельно ребру АС, одна треть — парал-
лельно ребру AD. Тогда среднее давление газа можно определить
по формуле (15.10), понимая под п одну треть общего числа молекул N,
заключённых в грамм-молекуле,
pV=y/V-2-. (15.11)
Давление р, которое показывает манометр и о котором идёт речь
в термодинамике, есть среднее значение по времени р давления мо-
лекул на стенку сосуда. Действительно, пусть, например, мы поль-
зуемся мембранным манометром (гл. VIII, § 4). Удары молекул газа
о поверхность мембраны следуют так часто друг за другом, что
мембрана, обладая инерцией, не успевает реагировать на каждый
удар. Устанавливается тайкой прогиб мембраны, что возникающие
в ней упругие напряжения уравновешивают среднюю силу, с которой
молекулы газа толкают мембрану.
Отождествляя в формуле (15.11) р с макроскопическим давле-
нием р, получаем
pV=^N^~. (15.12)
Это соотношение совпадает с (15.9), если положить
(15.13)
ИЛИ
R = Nk. (15.13')
Таким образом, мы получили из молекулярно-кинетической теории
уравнение состояния идеального газа и, кроме того, пришли к тому
фундаментальному результату, что число N молекул, содержащихся
в грамм-молекуле, является универсальной постоянной, так как равно
отношению двух универсальных постоянных. Иначе говоря, число
молекул, содержащихся в грамм-молекуле любого вещества, одина-
ково (закон Авогадро),
Число N называется числом Авогадро. (Об измерении числа
Авогадро см. гл. XV, § 15, а также том II.)
§ 13]
СМЕСЬ ГАЗОВ
463
Мы можем теперь дать новое определение грамм-молекулы: грамм-
молекула есть количество вещества, содержащее такое же число
молекул, как 32 г кислорода. Отношение масс грамм-молекул двух
веществ равно, очевидно, отношению средних масс их молекул. Мы
говорим: средних масс потому, что различные молекулы одного и
того же вещества могут иметь различную массу (см. том II, гл. 26,
§ 8, Изотопы), под т нужно всюду понимать именно такую среднюю
массу.
§ 13. Смесь газов. Закон Дальтона. Как показывает теория
в смеси газов Л, В, ..., для каждого из них имеет место распре-
деление Максвелла. Так как массы молекул различных газов раз-
личны, то различны и соответствующие w, w2, wm. Но применяя
к каждому из газов вычисление § 10, мы приходим к выводу, что
средние кинетические энергии поступательного движения молекул
всех газов, составляющих смесь, одинаковы
mAwA _3’
2 — 2 ~ 2 ’
(15.14)
где индексы Д, Bt ... относятся к соответствующим веществам.
Подсчитаем давление смеси газов, исходя из той же картины,
что и в § 12. Теперь
2 2/я^ = 2/Ид WA1V41 + 2тA wA2vA2 + 2mBwB1vBt -f-
<«= 1
+ 2otbWb2Vb2 4-. . = X-^tiAmA‘wA-\-x-^-nBmBw1B-\-...,
где Пд, /zb, ... — числа грамм-молекул соответствующих газов, со-
держащихся в смеси и, следовательно,
pV — ^(пАтА мА-\-Пв тв™2в-\-...)
или, на основании (15.13'),
pV = (nA^nB-^...)RT. (15.15)
Если бы каждый из газов Я, В, ... находился один в сосуде,
то соответствующие давления pAi рв, ... (они называются парциаль-
ными давлениями) удовлетворяли бы соотношениям
PAV=^nA^ РВУ=ПВ%Г> ••• <15.16)
Сравнивая (15.16) и (15.15), получаем
464 основные молекулярно-кинетические представления [гл. xv
Это равенство выражает закон Дальтона: давление смеси га-
зов равно (если см.съ ведёт себя, как идеальный газ) сумме их
парциальных давлений. Этот закон хорошо оправдывается на
опыте.
В основе вывода закона Дальтона лежит выражаемое уравне-
нием (15.14) равномерное распределение энергии между поступатель-
ными степенями свободы различных сортов молекул, составляющих
смесь.
§ 14. Распределение молекул в поле силы тяжести. Закон
Больцмана. Переведём на молекулярно-кинетический язык баро-
метрическую формулу
_ Mgz
р = Ро* RT (15.18)
(гл. VIII, § 6), указывающую, как меняется с высотой плотность
газа, находящегося в поле силы тяжести. Здесь М— масса грамм-
молекулы. Плотность есть произведение среднего числа молекул п,
находящихся в 1 см* на массу молекулы т:
р — пт. (15.19)
На основании § 12,
M = Nm> R—Nk. (15.20)
Подставляя (15.19) и (15.20) в (15.18), получаем
_ mgz
n = nQe kT (15.21)
— уравнение, показывающее как меняется с высотой число молекул,
находящихся в 1 см* газа. Рассмотрим вертикальный столб газа
сечением в 1 см\ Число молекул, приходящихся в среднем в этом
столбе на слой, заключённый между уровнями z, ^-j-Дг, равно
mgz
bn=nQe кГ &z. (15.22)
График функции (15.21), изображённый на рис. 306, есть кривая
статистического распределения молекул газа по высоте. Если бы
отсутствовала сила тяжести (g*=0), мы имели бы, согласно (15.21),
n = nQi молекулы были - бы равномерно распределены по вы-
соте. Если бы отсутствовало тепловое движение (Т=0), мы
имели бы, согласно (15.21), п = 0 всюду, кроме уровня z=0, все
молекулы покоились бы на дне сосуда. Распределение (15.21) есть
компромисс, который устанавливается между тепловым движением,
стремящимся равномерно разбросать молекулы по всему предоста-
§ 14]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЕКУЛ
465
влениому им пространству, и действием тяжести, стремящейся со-
средоточить их внизу.
Рис. 307 показывает кривые распределения молекул по высоте,
, mg
соответствующие различным значениям и одному и тому же
общему числу молекул. Чем больше это отношение, т. е. чем ниже
температура или чем больше вес молекул, тем большее число молекул
оказывается внизу и тем меньшее число наверху. Наглядное сравни-
Рис. 308.
тельное распределение по высоте молекул водорода, гелия, кисло-
рода при одной и той же температуре дано на рис. 308. (Этот
рисунок может также служить сравнительным изображением рас-
пределения по высоте молекул одного и того же газа при аб-
солютных температурах Г, относящихся, как
16:2:1).
Введя потенциальную энергию z — mgz, кото-
рой обладает в поле тяжести молекула, находя-
щаяся на уровне z, мы можем переписать урав-
нение (15.21) в виде:
п — п^^7. (15.23)
Формула (15.23), как показывает теория, спра-
ведлива не только для распределения в поле
тяжести молекул идеального газа, но и для
распределения молекул любого вещества в любом силовом поле.
Выражаемый ею статистический закон распределения называется
законом Больцмана.
ДО Папале^си, т. JL
466 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. kv
§ 15. Измерение числа Авогадро. Статистическая теория, при-
водящая к законам распределения Максвелла (§ 9) и Больцмана (§ 14),
применима не только к молекулам, но и к любым частицам.
Поэтому можно ожидать, что если мы введём в газ или жидкость
посторонние частицы, даже настолько большие, что их можно обна-
ружить и следить за их движением с помощью микроскопа, эти
частицы благодаря соударениям с молекулами будут наряду с по-
следними участвовать в тепловом движении и также придут к равно-
весному распределению скоростей, выраженному уравнением (15.5).
Таким тепловым движением зёрен эмульсии как раз и является
броуновское движение (§ 1). Как уже указывалось, их диаметр
порядка одного микрона. Средние» кинетические энергии броунов-
ской частицы и молекулы должны быть равны друг другу. При
этом из-за того, что масса броуновской частицы гораздо больше
массы молекулы, её средний квадрат скорости гораздо меньше сред-
него квадрата скорости молекулы. Кроме того, взаимодействие
броуновских частиц с молекулами приведёт к тому, что броуновские
частицы не соберутся все внизу, а распределятся по высоте, согласно
уравнению (15.21). При этом из-за того, что вес броуновской ча-
стицы гораздо больше веса молекулы, концентрация броуновских
частиц будет убывать с высотой гораздо быстрее, чем концентра-
ция газа.
Эти соображения целиком подтверждаются на опыте и лежат
в основе двух методов, позволяющих определить важнейшую кон-
станту молекулярно-кинетической теории — число Авогадро N. Оба
эти метода были разработаны Перреном (1909).
Первый метод Перрена основан на наблюдении распределения
броуновских частиц по высоте.
С помощью центрифугирования была получена эмульсия, состояв-
шая из зёрен практически одинаковой массы. Последняя определя-
лась, например, по плотности и объёму, найденному, с учётом
закона Стокса (гл. X, § 4), на основании измерений скорости
падения зерна в жидкости. Перрен помещал каплю эмульсии в пло-
скую кюветку глубиной 0,1 мм> находившуюся под объективом
микроскопа большого увеличения с малой глубиной поля (т. е. с очень
резкой фокусировкой) (рис. 309), благодаря чему в микроскоп видны
были одновременно лишь зёрна, находившиеся в слоях &z толщины
порядка микрона, и можно было сосчитать соответствующие Д/г.
Фокусируя на различные уровни z, можно было снять кривую рас-
пределения.
Наблюдение показало, что распределение зёрен по высоте, одно-
родное в начале опыта, постепенно изменяется, число молекул, нахо-
дящихся на большей глубине, возрастает. Затем (через несколько
часов) наступает стационарное состояние. Подсчёт чисел частиц,
находящихся в различных слоях Дг, показывает, что при этом рас-
пределение действительно аналогично распределению молекул газа
§151
ИЗМЕРЕНИЕ ЧИСЛА АВОГАДРО
467
по высоте, и при изменении температуры эмульсии и массы зёрен
изменяется так, как этого требует формула (15.22), § 14. Можно
было, таким образом, считать установленным, что эмульсия подчи-
няется закону распределения вида (15.22), § 14.
В этом случае числа зёрен в слоях Дг на высоте zv z% равны,
соответственно,
(/п —m0)gzi
Дп1 = пое kT ~bz, (15.24)
(/77 — 777o)g22
Д/г2 = /г0е kT bz, (15.25)
где т—масса зерна, w0 — масса вытесняемой им воды (действие
архимедовой силы эквивалентно уменьшенному весу зерна на вели-
чину mQg). Деля (15.24) на (15.25)
и логарифмируя, получим
1П Лп1 _ (лг — m0) g (z2 — zd
Дл2 — kT'
или, на основании (15.13),
Рис. 309.
= (15 26)
Здесь все величины, кроме ДГ, известны, и, следовательно, уравне-
ние (15.26) позволяет вычислить N. Перрен пояучил результаты,
колебавшиеся между 65 • 1022 и 72 • 1022.
Второй метод Перрена основан на наблюдении броуновского
движения.
Простейший по идее способ определения числа Авогадро из
броуновского движения заключался бы в следующем. Средние кине-
тические энергии зерна и молекулы равны. Поэтому, измерив сред-
ний квадрат скорости зерна и зная его массу, мы узнаем среднюю
кинетическую энергию не только самого зерна, но и молекулы. Но
на основании (15.8) и (15.13) средняя кинетическая энергия моле-
3 ВТ
кулы равнаоткуда, зная/? и Т, можно определить N. Однако,
такой метод практически неосуществим из-за невозможности усле-
дить за всеми подробностями движения зерна, без чего нельзя опре-
делить для него средний квадрат скорости.
Но можно воспользоваться другим статистическим законом, кото-
рому подчиняется броуновское движение. В его основе также лежит
равенство средней кинетической энергии броуновских частиц и
молекул.
Будем отмечать на координатной сетке положение определённого
зерна эмульсии через равные промежутки времени т. Результат
зо*
468 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
нескольких таких наблюдений показан на рис. 310. Положения
зёрен показаны точками. Соединяющие их отрезки прямых не имеют,
конечно, ничего общего с действительной траекторией зерна, кото-
рая неизмеримо сложнее. Длина этих отрезков случайна. Среди них
попадаются длинные и короткие.
Но, как показали теоретически Эйнштейн (1905) и Ланжевен (1908),
этих отрезков на любое направле-
ние должен удовлетворять соот-
ношению
(15-27)
где а — радиус зерна и т] — вяз-
кость жидкости. Зная эти вели-
чины и выбрав определённое т,
можно, найдя из достаточно боль-
шого числа наблюдений х2, вычи-
слить АС
Варьируя т, Т, а, т), Перрен
убедился в правильности закона
Эйнштейна (15.27), причём на-
шёл для Af значения, близкие к
тем, которые дал его первый
метод.
Справедливость формулы Эйн-
штейна является косвенным под-
тверждением равенства средних
кинетических энергий поступа-
тельного движения зёрен эмуль-
сии и молекул. Это замечательный случай равномерного распределе-
ния энергии между степенями свободы.
В томе II будут изложены более точные способы измерения
числа Авогадро. Согласно наиболее надёжным измерениям,
W=6,02 • 1023.
Постараемся составить себе наглядное представление об этом
числе. Грамм-молекула воды (18 г) занимает примерно Vio обыч-
ного стакана. Предположим, что мы вылили в океан стакан воды,
предварительно как-то отметив содержавшиеся в нём молекулы, а
затем равномерно размешали их по всем океанам и морям земного
шара. Зачерпнём теперь из океана стакан воды. В нём окажется
около тысячи отмеченных молекул!
Грамм-молекула газа занимает при 0° С и р= \ am около 22 л\
1 см3 содержит при этом около 3 • 10 19 молекул. Понизим давление
до одной миллиардной доли мм ртутного столба, что соответствует
§16]
СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО ПРОБЕГА
469
самому лучшему достижимому современными средствами вакууму.
При этом в 1 см3 содержится ещё более 30 миллионов молекул.
Зная Af, можно из соотношения т — (/И — масса грамм-моле-
кулы) найти среднюю массы молекул. Так, для водорода она равна
3,34* 10~24 г, для кислорода 53,13 • 10-24 г.
Из сопоставления значений N и /? мы находим по формуле (15.13)
значение постоянной Больцмана:
k— 1,38 •
’ град
§ 16. Средняя длина свободного пробега. Скорость теплового
движения молекул — порядка сотен метров в секунду (гл. XV, § 5).
Можно подумать поэтому, что если, например, мы открываем газо-
вый кран, светильный газ должен распространяться по всей комнате
за сотые доли секунды. Между тем, если нет потоков воздуха, прой-
дёт значительное время, пока мы почувствуем запах газа, даже на
расстоянии 1 м от крана. Дело в том, что условия здесь совсем иные,
чем при истечении газа в пустоту (например, в опыте Дюнуайе):
там молекулы движутся со скоростями порядка нескольких сот
метров в секунду прямолинейно, здесь же, при одинаковых величинах
скоростей, молекулы описывают чрезвычайно сложный зигзагообраз-
ный путь из-за столкновений с молекулами воздуха. Такие же слож-
ные пути описывают вокруг нас и молекулы самого воздуха.
Расстояние, пробегаемое молекулой от столкновения до столкно-
вения, называется длиной свободного пробега. Среднее значение этого
расстояния называется средней длиной свободного пробега. Как мы
увидим, в воздухе при атмосферном давлении средняя длина свобод-
ного пробега Л — порядка 10“8 см, а среднее число столкновений за
1 сек — порядка Ю9. Таким образом, молекула воздуха меняет на-
правление своего движения миллиарды раз в секунду, двигаясь по-
чти одинаково часто то вперёд, то назад, то вверх, то вниз, то
вправо, то влево. Различные перемещения в большой мере компенси-
руют друг друга и поэтому даже за большой промежуток времени моле-
кулы уходят в среднем на очень небольшое расстояние от своего перво-
начального положения.
Будем исследовать среднюю длину свободного пробега с по-
мощью такой модели: мы примем, что в отношении соударений
молекулы ведут себя, как упругие, твёрдые шары диаметра d,
между которыми взаимодействие происходит только при непосред-
ственном соприкосновении.
Предположим для упрощения, что все молекулы, кроме одной
«чёрной», остановились в тех положениях, которые они занимали
в некоторое мгновение. Опишем, взяв за ось прямую АВ, по кото-
рой летит центр чёрной молекулы, цилиндр радиуса d (рис. 311).
Очевидно, чёрная молекула может задеть только такую молекулу,
470
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
центр которой лежит внутри этого цилиндра. Как только встре-
тится такая молекула, произойдёт уДар, и направление движения
чёрной молекулы изменится; она пойдёт, скажем, по направлению ВС,
пока снова не произойдёт удар, и т. д. Построим цилиндр радиуса d
около каждого отрезка зигза-
гообразного пути, описывае-
мого центром молекулы. Полу-
чится нечто вроде коленчатой
трубы. Рассмотрим зигзагооб-
разный путь, соответствующий
очень большому числу столк-
новений V. Тогда длину пути
можно считать равной Av;
объём трубы равен га/* 2 Av. Так
как молекулы распределены в
пространстве совершенно слу-
чайно, отношение объёма тру-
бы к объёму сосуда V можно
считать равным отношению числа молекул, центры которых оказа-
лись в трубе, к числу молекул nV в сосуде (я — число молекул
в 1 см3). Но число молекул, центры которых оказались в трубе,
равно числу столкновений v, испытанных чёрной молекулой. Следо-
вательно,
откуда
1
nnd*
(15.28)
Но в действительности движутся все молекулы, а не только «чёрная».
Учёт их движения приводит к замене (15.28), исправленной фор-
мулой
1
14 2 nnd*
(15.29)
Как мы видим, средняя длина свободного пробега обратно про-
порциональна плотности газа.
Не следует думать, что молекулы в действительности являются
твёрдыми шарами, имеющими определённый диаметр. Как уже под-
чёркивалось, молекулы имеют сложную структуру (ср. § 2). Введе-
ние величины d — её называют эффективным диаметром молекулы —
имело лишь целью упростить подсчёт А. Как показывает опыт, при
данной плотности газа А несколько увеличивается с ростом темпе-
ратуры. Это можно выразить так: при больших скоростях молекулы
более «проницаемы» друг для. друга, чем при малых; эффективный
диаметр молекулы уменьшается с ростом её скорости.-Величину А,
а следовательно, и d, можно определить на основании измерения вяз-
кости газа (§ 17).
§17] ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ ГАЗОВ 471
§ 17. Внутреннее трение газо^. Мы можем теперь дать моле-
кулярно-кинетическое истолкование сил внутреннего трения, кото-
рые возникают в газе при скольжении одного слоя по другому
(гл. X, § 4) и величина которых; отнесённая к единице площа-
ди, определяется формулой
где — скорости течения
газа на близких уровнях zu в
г2, т) — коэффициент внутрен- Рис. 312.
него трения (или вязкость).
Скорости и t^2 — скорости упорядоченного движения газа. Их
нельзя смешивать со скоростью w теплового движения молекул.
Начнём опять с механической задачи (рис. 312).
По двум параллельным путям рядом катятся по инерции два
поезда А и В, составленных из платформ. Пассажиры беспрерывно
перепрыгивают из А в В и наоборот, причем прыгают они пер-
пендикулярно к направлению движения поездов. Как повлияет эта
игра на скорости поездов?
Пусть в момент /0 скорости поездов равны и Wb, пусть из
А в В и из В в А за 1 сек перепрыгивает одинаковое число людей V,
имеющих все одинаковую массу т. Найдём скорости поездов в мо-
мент
Примем (для простоты подсчёта), что у А/ человек одновременно
выпрыгивают при l = tQ из А и из В, а затем через время Ы попа-
дают, соответственно, в В или А. При выпрыгивании пассажира из
поезда скорость последнего не меняется, так как пассажир полу-
чает дополнительное количество движения, перпендикулярное к
направлению движения, и следовательно, никакой отдачи вдоль
направления своего движения поезд не испытывает. Количества дви-
жения поездов после выпрыгивания уД/ пассажиров равны соответ-
ственно (М — mv&f)WA, (М — m^6kt)WBi где М — масса поезда
с пассажирами в начальный момент.
Зато при «впрыгивании» пассажиров скорости поездов изменяются.
Когда пассажир попадает из более медленного поезда в более быстрый,
то, прикрепляясь к последнему (например, схватившись за руки уже
находящихся там людей, неупругий удар!), он приобретает ббльшую
скорость, и, по закону сохранения количества движения (гл. V, § 3),
скорость поезда уменьшается. Точно так же, когда пассажир пры-
гает с более быстрого поезда на более медленный, скорость послед-
него увеличивается.
Напишем для этой стадии процесса закон количества движения
(М — шуД/) мд 4“ mv &Iwb = М (мд 4* Д^а)>
ту Mwa 4“ Д/) ™в — М 4“
472 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
где — общие скорости поездов и прикрепив-
шихся к ним новых пассажиров в момент t-y&t, откуда
Awa Awn
М = пы (Юв— wa), М = — mv {<wb — te/д).
Слева стоят произведения масс поездов на их средние ускорения.
Эти уравнения можно записать в такой форме:
где
F=/nv(WB — ^д)> (15.30)
и толковать следующим образом. Обмен пассажирами, эквивалентен
действию на каждый из поездов некоторой силы. Силы F и —F,
действующие на поезда, равны по величине и противоположны по
направлению. Их величина пропорциональна произведению массы mv,
которой обмениваются поезда в единицу времени, на разность их
скоростей. Направление их таково, что происходит выравнивание
скоростей поездов.
Механизм внутреннего трения газов аналогичен механизму взаимо-
действия поездов в рассмотренной модели. Роль поездов играют две
части газа, обозначенные А, В на рис. 313, роль пассажиров — мо-
лекулы газа, которыми эти части беспрерывно обмениваются бла-
годаря тепловому движению.*
Примем, что если молекула, попав в некоторый слой газа, испы-
тывает в нём соударение, то в отношении обмена скоростями упо-
рядоченного движения всё происходит так, как б}дто бы она застре-
вает в этом слое. Таким образом, если молекула испытывает удар
на высоте г, а следующий удар на высоте z', то в отношении ско-
ростей упорядоченного движения дело происходит так, как будто
молекула застревает в слое z', влетев в него со скоростью упоря-
доченного движения, соответствующей слою z.
Если бы во всей части газа А (или В) скорость упорядоченного
движения была одинакова и равна wa (или w#), то можно было бы
непосредственно применить формулу (15.30), понимая под tn массу
молекулы, а под v— количество молекул, ежесекундно пересекающих
1 см* границы снизу вверх (или сверху вниз). Это число можно
положить равным
п —
о
считая, как и в § 12, что J/e всех молекул летит снизу вверх (или
сверху вниз) со средней скоростью w. Действительно, в этом слу-
§ 171
ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ ГАЗОВ
473
чае 1 см* границы за 1 сек пересекают Ve общего числа л-йГмолекул,
заключённых в цилиндре высоты w и с площадью основания 1 глс*.
Таким образом, если бы части газа А и В имели определённые
скорости -Шд, упорядоченного движения, силы взаимодействия
между ними, отнесённые к единице площади, были бы равны
(15.31)
Но дело обстоит сложнее: скорость упорядоченного движения
меняется с высотой непрерывно, и формулой (15.31) можно поль-
зоваться только, если
понимать под ша и *wb
те средние скорости упо-
рядоченного движения,
которые несут с собой
молекулы, пересекающие
границу, соответственно,
сверху и снизу. Они оп-
ределяются средней высо-
той Za и ZBt на которой
произошло последнее
......J
Рис. 313.
столкновение молекулы
перед переходом ею гра-
ницы (средней высотой,
с которой молекулы
«прыгают» из А в В или из В в А). Мы считаем, что при ударе
молекула совершенно «забывает» свою прежнюю скорость упорядо-
ченного движения и принимает ту, которая господствует в месте
удара.
Вычисление показывает, что средние высоты za, zb отличаются
от высоты zQ границы между А и В как раз на величину средней
длины свободного пробега молекул
гл = г0 + А, zB = z^ — А,
где z^ — высота, на которой проходит граница раздела между
А и В.
Можно, таким образом, пользоваться формулой (15.31), понимая
под wA и Wb скорости’ упорядоченного движения на высотах z0±A.
Будем теперь считать, что w меняется линейно в интервале порядка Л,
т. е. что на протяжении нескольких длин свободного пробега йзме-
нение скорости упорядоченного движения можно считать пропорцио-
нальным изменению высоты (рис. 313). Тогда
WA — WB — Wi Аш
‘ 2Л — zt fa '
(15.32)
474
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
Подставляя (15.32) в (15.31), получаем
о п — Aw
F=-5- ш Д-г- = 7]-т—
3 Аг * Az
Мы пришли к тому закону внутреннего трения, который прини-
мает гидродинамика,
и, кроме того, раскрыли смысл коэффициента
внутреннего трения газа iq:
т] = у /nw А,
(15.33)
или, введя плотность газа p = /z/n,
т) = у pwA.
(15.33')
его плот-
вычислить
известными
пробега А.
Измерив вязкость _газа тд и
ность р, можно, зная w (её можно
по формуле (15.7), пользуясь
значениями т и k), найти среднюю длину свободного
Так, для водорода при 0° С и р= 1 ат получаем
А=1,18. ИГ3 см.
Из формулы (15.33') следует тот замечательный вывод, что
вязкость газа не зависит от его плотности. Действительно, длина
свободного пробега А обратно пропорциональна плотности (§ 16),
w от плотности не зависит (§ 10), и следовательно, при изменении р
произведение рА остаётся постоянным.
Когда этот результат был получен теоретически Максвеллом, он
казался весьма странным. Тем большим триумфом кинетической тео-
рии газов было его экспериментальное подтверждение.
Максвелл измерил т] по затуханию крутильных колебаний диска,
подвешенного на проволоке над параллельным ему неподвижным
диском (рис. 314). Это затухание обусловлено силами внутреннего
трения в воздухе между дисками. В согласии с теорией, затухание
не уменьшается при уменьшении плотности воздуха.
Физическое толкование независимости вязкости от плотности
заключается в следующем. При уменьшении плотности обмен моле-
кулами между А и В делается более редким, и если бы остальные
факторы не менялись, вязкость уменьшилась бы. Но при уменьше-
нии плотности растёт А, т. е. средняя высота, с которой молекулы
«прыгают» из А в В и из В в Л, вследствие чего каждый прыжок
вызывает в среднем ббльшее изменение количества движения. Этим
компенсируется уменьшение числа прыжков.
§ 18. Теплопроводность газов. Молекулярно-кинетическое объ-
яснение механизма теплопроводности газа аналогично объяснению
§ 18]
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ГАЗОВ
475
механизма внутреннего трения. Представим себе, что на различных
высотах z температура газа различна. Это значит, что на различных
уровнях молекулы имеют различную среднюю кинетическую энергию
поступательного движения и, как мы покажем ниже (§25),—различ-
ную среднюю полную энергию. Пусть Т растёт с высотой. Разделим
опять газ горизонтальной плоскостью на две части Л, В. Между
А и В происходит непрерывный обмен молекулами (§ 17), причём
молекулы, перелетающие из А в В, имеют в среднем ббльшую энер-
гию, чем молекулы, перелетающие из В в Л. Поэтому в результате
обмена общая энергия молекул, заключённых в А, будет расти,
в В — убывать. Это и означает, что происходит теплообмен между
А и В, (Здесь теплообмен, в отличие от теплообмена через твёрдую
оболочку, связан с обменом веществом.)
Как мы знаем, поток тепла, т. е. количество тепла, передаваемое
за 1 сек через 1 см* границы раздела, есть
__ч 7g— Т\ _* АТ*
L = X Д-, (15.34)
Т\, — температуры на близких уровнях zi9 z2i X — коэффи-
циент теплопроводности (гл. XIV, § 4).
Согласно кинетической теории, q есть отнесённый к 1 сек и 1 см*
избыток энергии, вносимой в А молекулами, перелетающими из
В в А, над энергией, уносимой из А молекулами, перелетающими
из А в В:
9=-^wsa—(15.35)
где ~ w, как и в § 17, есть число молекул, пересекающих 1 см* границы
за 1 сек:, ед, ев—средние энергии молекул, покидающих соответ-
ственно Л, В.
Рассуждая так же, как и в § 17, мы будем считать, что
ед, ед — средние кинетические энергии на уровнях zQ-^Xt z^-K,
откуда
где Sj, е2 — средние кинетические энергии на уровнях zif zr
Для идеального газа, внутренняя энергия которого есть сумма
энергий отдельных молекул (нет энергии взаимодействия, ср. § 25),
1 имеем, на основании (13.46),
e=S=rr’ (15-36)
где Cv — теплоёмкость при постоянном объёме 1 моля, W—число
Авогадро, откуда
____ Т1 А Су 7g ---------------- 7\
476
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
где j
X = = (15.37)
3 TV г 3 М v '
(М — масса одного моля).
Мы вывели, таким образом, из кинетической теории макроскопи-
ческое соотношение (15.34) и, кроме того, получили молекулярную
интерпретацию коэффициента теплопроводности газа.
Сравнивая с (15.33'), мы видим, что между теплопроводностью
газа и его вязкостью существует простое соотношение
Как и вязкость, теплопроводность в пределах применимости
формулы (15.37) не зависит от плотности газа.
Отметим непоследовательность в изложенном здесь подсчёте. Мы
рассуждали так, как будто средняя скорость молекул, перелетающих
из А в В и из В в Л, одинакова, хотя их средняя энергия различна.
Этой непоследовательности можно избегнуть при более строгом
рассмотрении.
§ 19. Диффузия. Пусть в сосуде находится смесь двух газов,
имеющая всюду одинаковое общее давление (так что не могут воз-
никнуть гидродинамические течения), но пусть в различных местах
концентрации с этих газов различны (концентрацией вещества назы-
вается его масса, содержащаяся в единице объёма). Тогда каждый
газ постепенно распространяется из мест, где его концентрация
велика, в места, где она мала, и если выждать достаточно большое
время, то концентрация каждого из газов оказывается одинаковой
во всех частях сосуда.
Ограничимся простейшим (одномерным) случаем, когда концен-
трации газов зависят только от высоты z.
Как показывает опыт, для каждого из газов имеет место соотно-
шение вида
и = (15.38)
где р — масса рассматриваемого газа, проходящая за 1 сек* через
1 см* границы раздела двух слоёв, Дс — изменение его концентрации
на протяжении Az, D — коэффициент диффузии. Знак минус выражает
то, что каждый из газов распространяется туда, где его концентрация
меньше.
Перейдём к молекулярно-кинетическому толкованию.
Будем опять считать, что 76 всех молекул движется сверху
вниз и х/б СНИЗУ вверх с средней скоростью w. Разделим мысленно
газовую смесь горизонтальной плоскостью на две части Л, В.
§ 20] УЛЬТРА-РАЗРЕЖЁННЫЕ ГАЗЫ 477
Если бы в Л и в В концентрации рассматриваемого газа были
всюду одинаковы и равны сд, Сд> то мы бы имели, так как с — пт,
р =-i-(/гл— пв) пг = ~ w (сА — ед). (15.39)
Но в действительности концентрации 'в различных слоях А и В
различны. Рассуждая так же, как в § 17, мы будем понимать под сА
св значения концентрации на расстояниях А по обе стороны от плоско-
сти раздела. Считая, что на протяжении порядка А концентрация
меняется линейно, имеем
са св Ас
2А Аг
или, подставляя в (15.39),
Это соотношение совпадает с (15.38), если положить
D = ^А.
о
Таким образом, коэффициент диффузии пропорционален произзе-
дению тепловой скорости молекул на среднюю длину пробега.
Он уменьшается с увеличением плотности (так как уменьшается А)
и растёт с увеличением температуры (так как растёт w).
§20. Ультра-разрежённые газы. Сказанное в §§ 17—19 относи-
тельно внутреннего трения, теплопроводности и диффузии относится к
тем наиболее часто встречающимся условиям, когда средняя длина
свободного пробега молекул газа А очень мала по сравнению с ли-
нейными размерами сосуда. Если вследствие уменьшения плотности
газа или размеров сосуда длина свободного пробега станет больше
линейных размеров сосуда, то явления примут совершенно иной харак-
тер. Например, если А мало по сравнению с длиной прибора
Дюнуайе (рис. 292), то молекулы, попадающие в отделение С, медлен-
но распространяются по всем направлениям, описывая запутанные
зигзагообразные траектории (диффузия). Если же А велико по
сравнению с длиной прибора, то в нём образуется молекулярный пучок.
51олекулы летят по прямолинейным путям, оканчивающимся на стен-
ках. Такое истечение называется эффузией.
В тех условиях, когда А больше линейных размеров сосуда,
говорят: в сосуде достигнут вакуумj), или: в сосуде находится
ультра-разрежённый газ.
1) Буквально vacuum означает «пустота».
478
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
А д
Рис. 315.
Для воздуха при р = 1 ат и 0° С длина свободного пробега
порядка 10~3 см. Так как, на основании (15.29), А обратно пропорцио-
нальна плотности, а, следовательно (при постоянной температуре),
давлению, в сосуде, линейные размеры которого порядка 10 см,
вакуум наступает, если воздух откачан до давления порядка 10-7 ат
(т. е. порядка 10-4 мм ртути). При этом в 1 см? содержится ещё
громадное число молекул — порядка 3 • 1012 (ср. § 15). То, что не-
смотря на такую тесноту молекулы «не задевают» друг друга, даёт
хорошее представление о малости их сферы действия (сферы диа-
метра d).
При линейных размерах «сосуда» порядка 10“5 см (например,
в полостях некоторых пористых веществ) воздух можно считать
ультра-разрежённым уже при атмосферном давлении.
Поясним на примерах особенности поведе-
ния ультра-разрежённых газов.
1. Встречная изотермическая эффузия
двух газов. Пусть (рис. 315) в А находится
водород, в В — кислород, причём число моле-
кул водорода па вдвое меньше числа моле-
кул кислорода пв. Объёмы А и В равны.
Температуры обоих газов одинаковы.
Для давления ультра-разрежённого газа на
стенку сосуда остаётся справедливым всё, сказанное в § 12 (так
как в отношении ударов молекул о стенку нет никакого отличия
между ультра-разрежёнными газами и обычными). Поэтому в началь-
ный момент, независимо от того, являются ли газы ультра-разре-
жёнными или нет, pB=<lpA, рА, рв—давления, испытываемые
стенками отделений А, В.
Откроем отверстие в перегородке, отделяющей А от В. Если
длина пробега мала по сравнению с размерами прибора, молекулы
кислорода оттесняют посредством соударений молекулы водорода,
и возникает струя газа, текущая от большего давления к меньшему,
т. е. из В в А, вследствие чего давления в А и В сразу начинают
выравниваться. После этого начинает сказываться гораздо более
медленный процесс диффузии, приводящий к равномерному перемеши-
ванию тазов в сосуде.
Если же длина пробега велика по сравнению с размерами при-
бора (случай ультра-разрежённого газа), начинается эффузия водо-
рода из А в В и кислорода из В в А: оба процесса происходят
совершенно независимо, так как молекулы водорода и кислорода
практически не сталкиваются друг с другом.
Числа молекул водорода и кислорода, проходящих за 1 сек
через 1 см* отверстия, равны соответственно
кг 1 — 1 —
Na = у па ®а, Ыв=-§пв'Юв.
§ 20]
УЛЬТРА-РАЗРЕЖЕННЫЕ ГАЗЫ
479
Согласно (15.7), (так как тв= 16/Пд). Кроме того, по
условию, пв—^пд. Следовательно,
№=22VB,
число молекул в А уменьшается, а число молекул в В возрастает.
Это приводит к тому, что рА уменьшается, рв возрастает и раз-
ность давлений рв— рА увеличивается.
В случае ультра-разрежённого газа тоже в конце концов давле-
ния выравниваются. Это происходит следующим образом. Сначала
устанавливается равенство концентраций водорода в Л и В, причём
кислород ещё почти весь сосредоточен в В, затем уже наступает
также равенство концентраций кислорода и равенство давлений. Но
здесь характерно то, что в начале процесса разность давлений
в объёмах А и В возрастает,
2.. Тепловая эффузия. Как распределится газ между сообщаю-
щимися сосудами Л, В, стенки которых имеют различные темпера-
туры: Тд>Тв?
Будем исходить из соотношений
Рд пА?А
Рв Рв?в пвТв 9
которые вытекают из формул (13.43) и (15.19). При обычных усло-
виях газ распределится так, что
п „ Рд __ Тв
р*-рй' ?в~ТА‘
(Только при равенстве давления соударения молекул не будут при-
водить к выталкиванию газа из одного сосуда в другой.)
Иным будет поведение ультра-разрежённого газа. При равновес-
ном распределении эффузионный поток из А в В равен эффу-
зионному потоку из В в А, т. е. па^а—^в^в* Будем счи-
тать, что ударившиеся о стенку молекулы газа принимают
в среднем кинетическую энергию, соответствующую температуре
стенки. Так как w пропорциональна Г, то плотность в холодном
. - Г Ра
сосуде больше, чем в горячем, только в отношении I/ , откуда
Ра Рв
т. е. давление в горячем сосуде больше, чем в холодном. (Если
в начале давления рА и рв равны друг другу, то вследствие разности
температур плотность в А настолько меньше плотности в В, что
480 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ представления [гл. XV
несмотря на большую скорость молекул в Д, эффузионный по-
ток из холодного сосуда в горячий превышает обратный поток.
Вследствие этого плотность и давление в горячем сосуде воз-
растают.
В обоих примерах поведение ультра-разрежённого газа противо-
речит законам гидродинамики. Газ подчиняется этим законам только
тогда, когда длина свободного пробега очень мала по сравнению
с размерами, характерными для рассматриваемого явления (ширина
трубы, длина звуковой волны и т. п.).
§ 21. Трение и теплопроводность в ультра-разрежённом газе.
В ультраразрежённом газе нельзя выделить отдельные слои, между
которыми происходит обмен количеством движения и энергией, так
как молекулы пролетают сквозь весь сосуд, не испытывая соударе-
ний. Поэтому для ультра-разрежённого газа теряют смысл понятие
внутреннего трения (§ 17) и то понятие
теплопроводности, которое было введено
в § 18. В случае ультра-разрежённого
8
Рис. 316.
газа нельзя также говорить о давлении
внутри газа, т. е. о давлении одной
части газа на другую. Но молекулы
ультра-разрежённого газа сталкиваются
со стенками сосуда или находящимися в
нём твёрдыми телами. Поэтому можно го-
ворить о давлении ультра-разрежённого
газа на стенку сосуда, о силе трения, испытываемой пластинкой, дви-
жущейся в ультра-разрежённом газе, о теплообмене между двумя
твёрдыми телами, находящимися в ультра-разрежённом газе.
Пусть в ультра-разрежённом газе движутся параллельно друг
Другу со скоростями -и/д и wb две пластинки А и В (рис. 316). Будем
считать, что молекулы газа, ударившись о пластинку, отскакивают
от неё со средней скоростью (скоростью упорядоченного движения),
равной скорости пластинки. Тогда взаимодействие пластинок через
посредство ультра-разрежённого газа совершеннр аналогично взаимо-
действию поездов через ^посредство перепрыгивающих пассажиров
(§ 17). Сила трения, действующая на 1 см* поверхности пластинки,
непосредственно даётся формулой (15.31)
F mw (^д — Wb)9
и коэффициент трения (коэффициент пропорциональности между си-
лой трения и разностью скоростей) равен т/ш. Он пропорциона-
лен плотности газа и, следовательно (что вполне естественно),
обращается в нуль, если газ совершенно отсутствует,' т. е. /г = 0.
Полученный результат находится в согласии с экспериментом.
Если в опыте Максвелла (§ 17) воздух настолько разрежён, что А
§ 22]
ВАКУУМНЫЕ НАСОСЫ
481
не мало по сравнению с расстоянием между дисками, затухание коле-
баний убывает с уменьшением плотности.
Пусть теперь в ультраразрежённом газе находятся две параллель-
ные твёрдые пластинки, имеющие различные температуры Та и 7д.
Будем считать, что молекулы газа, ударившись о пластинку, отска-
кивают от неё со средней энергией, соответствующей температуре
пластинки. Тогда для теплообмена между пластинками непосредствен-
но применима формула (15.35), которая в сочетании с (15.37) даёт
q=±WCv(TA-TB).
Коэффициент теплопроводности здесь равен WCV или -g- w ~ . Он
пропорционален плотности газа. Этот результат также находится
в согласии с опытом: если постепенно уменьшать плотность газа,
то теплопроводность сначала остаётся постоянной (§ 18), затем,
после того как А становится сравнимо с расстоянием между пла-
стинками, начинает убывать.
В сосудах Дюара (гл. XIII, § 3) малая теплопроводность дости-
гается тем, что А в пространстве между внешней и внутренней стен-
ками больше расстояния между ними.
§ 22. Вакуумные насосы. На свойствах ультраразрежённых га-
зов основан излагаемый здесь принцип действия насосов, употре-
бляемых для получения высокого вакуума. Как мы увидим, для трго
чтобы эти насосы могли работать, необходимо создать предваритель-
ное разрежение порядка р = 10-2дси. Этот
«форвакуум» создаётся с помощью вращаю-
щихся масляных насосов (см. Механика, гл. VIII,
§ 8) или водоструйных насосов (гл. X, § 3).
1. Вращающийся молекулярный насос.
Рассмотрим сначала такую упрощённую схему
(рис. 317): верхняя пластинка, скреплённая с
перегородкой, неподвижна, а нижняя движется
вправо с большой скоростью w, причём за-
зор между пластинками меньше А. Тогда,
согласно § 21, молекулы, отразившиеся от верхней
дают только тепловым движением, отразившиеся
упорядоченным движением вправо со скоростью
зом, газ в зазоре между пластинками частично
в
А
W
рис. 317.
пластинки, обла-
от нижней — ещё
w. Таким обра-
увлекается ниж-
w
ней пластинкой и движется слева направо со средней скоростью
Если вначале плотность газа в пространствах А, В одинакова, газ
будет перекачиваться из А в В. Плотность в В будет расти, в А —
уменьшаться до тех пор, пока отличие в скорости эффузии из В
в А и из А в В не компенсирует поток, создаваемый движением
пластинки. Этим теоретически лимитируется достижимое разрежение.
31 Папалекси, т. I
482 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ (ГЛ. XV
Практически используется, конечно, не поступательное, а враща-
тельное движение (рис. 318). Откачка происходит через зазор 1
между быстро вращающимся цилиндром А и неподвижной пласти-
ной В. Вращение цилиндра компенсирует действие разности давле-
ний в точках 1 и 2. Для того чтобы насос начал работать, необходимо
сначала при помощи «форвакуумного» насоса уменьшить плотность
газа в зазоре настолько, чтобы ширина зазора стала меньше А.
При форвакууме, характеризуемом давлением 0,1 мм ртутного
столба, можно достигнуть откачки до 10~7 мм при скорости откачки
порядка 2500 см?)сек.
2. Диффузионный на-
сос. Он очень дёшев,
легко может быть изго-
товлен квалифицирован-
ными стеклодувами и по-
этому наиболее распро-
странён.
Пусть вначале воздух
в А и В (рис. 319) име-
ет одинаковую плотность.
Можно создать поток
воздуха из А в В, про-
пуская по широкой тру-
бе С быструю струю по-
стороннего газа (напри-
6
Рис. 319.
мер, ртутного пара), настолько плотного, что попадающие в С моле-
кулы воздуха испытывают там очень частые соударения, т. е. диф-
фундируют в струе.
Благодаря своему быстрому упорядоченному движению ртутный
пар будет уводить воздух, диффундирующий из А в С, и отбрасы-
вать почти целиком назад воздух, диффундирующий из В в С.
Плотность воздуха в А будет уменьшаться. Стационарное состояние
(прекращение откачки) наступит теоретически тогда, когда плотность
газа в А будет настолько мала, что количество молекул, диффун-
дирующих из А в С, уже не будет превосходить ту небольшую
долю молекул, которым удаётся продиффундировать из В в А
вопреки потоку ртути. Для того чтобы эта доля была мала по
абсолютной величине, необходимо создать в В достаточное предва-
рительное разрежение (форвакуум).
Мы рассуждали сейчас так, как будто ртуть в А совсем не про-
никает. В действительности благодаря тепловому движению часть
молекул ртути попадает в А, что мешает созданию вакуума. Этот
вредный эффект устраняют: 1) создавая между А и выходным отвер-
стием трубки сильно охлаждённый участок, где ртуть конденсируется
(гл. XVI), и 2) подбирая размеры выходного отверстия так, чтобы
в него попадало возможно меньше молекул ртути.
§ 23]
УРАВНЕНИЕ ВАН ДЕР ВААЛЬСА
483
Один из широко применяемых диффузионных насосов — насос
Лэнгмюра — схематически изображён на рис. 320. Ртуть, налитая в А,
подогревается электрической печкой и испаряется через трубку В.
На стенках трубки С, охлаждаемой водой, текущей по пути KJN,
ртуть конденсируется, после чего стекает в А, Таким образом, под-
держивается непрерывная циркуляция ртути. Роль выходного отвер-
стия играет щель Е; через неё молекулы
воздуха, откачиваемые из Л, попадают в
струю. На пути из Е в А стоит охла-
ждаемая жидким воздухом ловушка Gs
служащая для конденсации ртутного пара,
проникшего через Е.
Лабораторные стеклянные насосы в
промышленных установках теперь боль-
шей частью заменяются металлическими.
Вместо ртути часто применяются спе-
циальные органические жидкости, пары
которых легче вымораживаются. Предель-
ный вакуум достигает 10~7—10~^мм ртути,
а скорость откачки доходит до несколь-
ких сотен и даже тысяч метров в се-
кунду.
§ 23. Уравнение Ван дер Ваальса. Качественный характер отли-
чия между поведением реального и идеального газов (оно имеет
аналогичный характер для всех веществ)
показывает рис. 321, где сплошная кривая —
изотерма реального газа, пунктирная ги-
пербола — изотерма идеального газа. В об-
ласти малых плотностей обе кривые со-
впадают. При «средних» плотностях да-
вление реального газа меньше, при «боль-
ших» плотностях — больше, , чем в случае,
если бы газ вёл себя, как идеальный (ср.
гл. XIII, § 8).
Замечательное модельное объяснение та-
кого поведения газов дал Ван дер Ваальс
(1873). По Ван дер Ваальсу, силы взаимодей-
ствия двух частей газа А и В, границей которых является вообра-
жаемая плоскость F (рис. 322), можно рассматривать как состоящие
из двух слагаемых:
1. Силы, обусловленные соударениями молекул. Эти силы дейст-
вуют лишь в очень тонком слое вещества, порядка длины свобод-
ного пробега, так как в этом слое молекулы, пересекающие F слева,
успеют столкнуться с молекулами, входящими в состав В, а молекулы,
перелетающие/7 справа, успеют столкнуться с молекулами, входящими
в состав А. Поэтому эти силы можно считать приложенными к за-
31*
481
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
штрихованным на рис. 322 тонким пограничным слоям толщины А.
(поверхностные силы). Они изображены на рис. 322 светлыми стрел-
ками. Их величина, отнесённая к 1 см2, есть некоторое давление рг
так как эти силы направлены внутрь той части тела, к которой
они приложены. Давление рТ, обусловленное тепловым движением,
называется тепловым давлением.
Рис. 322.
2. Силы притяжения или сцепления между молекулами. Эти силы
настолько быстро убывают с расстоянием (гораздо быстрее, чем обрат-
ный квадрат расстояния), что можно
принять следующую идеализацию. Каж-
дая молекула притягивает только те
молекулы, которые находятся от неё
на расстоянии меньшем, чем некоторая
величина 8; последняя называется ра-
диусом действия сил сцепления. Тогда
силы притяжения действуют со сторо-
ны молекул, входящих в состав А,
только на те из молекул, входящих в
состав В, которые находятся в очень
тонком слое толщины 8Г примыкающем
справа к F, а силы притяжения, исходя-
щие от молекул, принадлежащих к
В, действуют только на те из молекул
части А, которые находятся в очень
тонком слое толщины 8, Примыкающем
слева к F.
Поэтому силы взаимодействия между А и В, обусловленные при-
тяжением молекул, можно также рассматривать как поверхностные
силы, приложенные к дважды заштрихованным на рис. 322 тонким
пограничным слоям толщины 8. Величина этих сил, отнесённая
к 1 см2 плоскости F, есть некоторое натяжение q, так как они
направлены наружу по отношению к той части тела, к которой
они приложены (чёрные стрелки на рис. 322). Мы назовём q натя-
жением сцепления.
Полным давлением газа р мы будем называть отнесённую к 1 см2
поверхности раздела суммарную силу, с которой А давит на В или
В давит на А. (Эти силы равны между собой по третьему закону
Ньютона.) Полное давление, тепловое давление и натяжение сцепле-
ния связаны, очевидно, соотношением
p=pr-q.
(15.40)
То давление, которое показывает манометр, т. е. давление газа
на стенку сосуда, равно полному давлению р. Действительно, выде-
лим в газе цилиндр, одним из оснований которого служит часть
стенки, другим — параллельная ей площадка внутри газа. Так как
§ 23]
УРАВНЕНИЕ ВАН ДЕР ВААЛЬСА
485
цилиндр (заштрихованный на рис. 323) находится в равновесии, пол-
ное давление стенки на его правое основание равно полному давлению
газа на его левое основание. Но, по третьему закону Ньютона, давле-
ние стенки на газ равно давлению газа на стенку. (Равенство
полного давления газа на стенку полному давлению одной части
газа на другую может показаться непонятным с точки зрения карти-
ны междумолекулярных сил: ведь силы взаимодействия молекул
газа между собой отличны от сил взаимодействия между молекула-
ми газа и молекулами стенки. Как показывает более детальный
анализ, плотность газа около стенки отлична от плотности в толще
газа, и притом как раз на такую величину, что отличие в тепловом
давлении у стенки и в толще газа компенсирует отличие в натяжении
сцепления. Именно благодаря этому давле-
ние на стенку равно давлению внутри газа.)
Предельный случай идеального газа по-
лучается, если положить # = 0, т. е. пре-
небречь силами сцепления (при этом р = рт,
полное давление совпадает с тепловым дав-
лением), и положить (для 1 моля)
(15.41)
Рис. 323.
Посмотрим сначала, что даст учёт сил сцепления, если сохра-
нить для теплового давления выражение (15.41). Подставляя
(15.41) в (15.40), получаем
Р = (15.42)
Натяжение сцепления должно, конечно, зависеть от V. Действи-
тельно, представим себе, что плотность возросла в п раз. Тогда
каждую молекулу пограничного слоя толщины 6 притягивают наружу
(т. е. в сторону В) в п раз большее чйсло молекул. Кроме того,
в 1 см2 этого пограничного слоя находится в п раз больше моле-
кул, чем раньше. Поэтому общая сила притяжения, действующая на
вещество, приходящееся на 1 см2 пограничного слоя, возрастает
в п2 раз. Следовательно, натяжение q пропорционально квадрату
плотности р или, так как р обратно пропорционально V,
а
я— у-2
(15.43)
где а — некоторая константа, характерная для данного вещества
(первая константа Ван дер Ваальса). При больших разрежениях
(V велико) натяжение сцепления ничтожно мало (идеальный газ).
486
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНОКИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
На основании (15,42) и (15.43),
Р
_RT а
V V2 '
(15.44)
Уравнение (15.44) качественно правильно отображает то отличие
между поведением реального и идеального газов, которое имеет место
в области средних плотностей: определённое им полное давление
меньше, чем если бы газ вёл себя, как идеальный.
Но, как уже было сказано, в области больших плотностей давление
газа больше, чем если бы он себя вёл, как идеальный. По Ван дер Вааль-
су это объясняется тем, что молекулы нельзя рассматривать как мате-
риальные точки (§ 16). Они имеют конечные размеры, и поэтому
объём, в котором может двигаться каждая молекула, есть не общий
объём V, занимаемый газом, а только его часть V — Ь, гд,е Ь —
некоторая величина (вторая константа Ван дер Ваальса), характер-
ная для рассматриваемого вещества и определяемая размерами его
молекул. (Всё рассмотрение ведётся здесь для 1 моля.) Поэтому
вместо (15.41) нужно писать для теплового давления исправленное
выражение
(15.45)
Определяемое им тепловое давление больше при том же V, чем
если бы молекулы были материальными точками (при больших раз-
режениях, когда объём, занимаемый самими молекулами, ничтожно
мал по сравнению с V, вступает в силу прежнее выражение).
На основании (15.40), (15.43) и (15.45),
n— RT а
р~ V—b V2
(15.46)
или
(p+$i)(v-b}=RT.
(15.46')
Уравнение (15.46) или (15.46') есть уравнение Ван дер Ваальса.
Оно правильно передаёт (качественно) характерные отличия ре-
ального газа от идеального. Однако полного количествен-
ного согласия с экспериментом оно не даёт. Поэтому было пред-
ложено много других, более сложных уравнений состояния, по-
зволяющих в некоторых случаях получить лучшее согласие с
опытом.
Лежащая в основе уравнения Ван дер Ваальса физическая карти-
на даёт также ключ к пониманию поверхностных явлений на границе
жидкости и газа (§ 24), а также переходов из газообразного состо-
яния в жидкое и наоборот (гл. XVI, § 5).
§ 24]
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
487
§ 24. Поверхностное натяжение как результат действия сил
сцепления. В жидкостях, вследствие малости среднего расстояния
между молекулами, силы сцепления, с которыми мы познакомились
в § 23, играют особенно важную роль. Наличие этих сил объясняет,
в частности, существование поверхностной энергии и позволяет дать
молекулярное толкование поверхностного натяжения (гл. IX). (
Рассмотрим слияние двух столбиков жидкости М и N, находя-
щихся в стеклянной трубке, достаточно широкой для того, чтобы
можно было пренебречь кривизной менисков (рис. 324). При слия-
нии столбиков поверхность жидкости уменьшается на S, где S —
удвоенное поперечное сечение трубки.
Силы сцепления между молекулами жидкости, находящимися
вблизи поверхностей столбиков Л4 и N, начинают действовать, как
только расстояние между этими поверхностями становится меньше
радиуса действия 8. Эти силы совершают положительную работу,
так как направлены в сторону перемещения.
Подсчитаем полную работу А сил сцепления при слиянии стол-
биков. Будем считать, что столбик М неподвижен. Тогда А сво-
дится к работе сил сцепления, действующих со стороны М на N.
При сближении столбиков в поле сил сцепления, исходящих от
молекул столбика Л4, попадают только те молекулы столбика N,
которые находятся в слое NqNi толщины 8 (рис. 325). Над ка-
ждой молекулой плоскости эти силы совершают работу /8, над
каждой молекулой плоскости —работу, равную нулю. Здесь.
f—среднее значение результирующей силы сцепления /, действую-
щей со стороны всех молекул столбика М на какую-нибудь моле-
кулу, помещённую в примыкающий к нему сверху слой Л10М1 тол-
щины 8. В среднем над каждой молекулой слоя совершается
488
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ (ГЛ. XV
при сближении столбиков работа . Всего в этом слое находится
лЗу молекул (п— число молекул в 1 см3); следовательно,
A=f^n^ = ~ftfnS = aS, (15.47)
где
a = ^n/82.
Рис. 326.
Таким образом работа, совершаемая силами сцепления, пропор-
циональна уменьшению поверхности жидкости. Эта работа совер-
шается, очевидно, если процесс происходит адиабатически, за счёт
внутренней энергии жидкости: при сокращении поверхности жидкости
на 5 её внутренняя энергия умень-
шается на aS, т. е. жидкость обла-
дает поверхностной энергией aS.
Мы пришли к тому выводу, который
был сделан в гл. IX, и можем ото-
ждествить введённую здесь величину
а — работу, совершаемую силами
сцепления при уменьшении поверхно-
сти жидкости на 1 см2, — с коэффици-
ентом поверхностного натяжения 1).
В рассмотренном случае поверх-
ность жидкости уменьшилась и
силы сцепления совершили положительную работу. Если же, напри-
мер, происходит раздробление жидкого тела на капли, то совер-
шается работа против сил сцепления (она идёт на то, чтобы «ото‘-
драть» одну каплю от другой), чем вызывается связанное с увели-
чением поверхности возрастание поверхностной энергии.
Работа против сил сцепления совершается также, если поверх-
ность жидкости увеличивается не путём раздробления, но путём
непрерывной деформации, как, например, при растяжении жидкой
плёнки (рис. 134). Для того чтобы это себе наглядно уяснить, по-
смотрим, что происходит, когда молекула выходит из толщи жидко-
сти и попадает в область, близкую к её поверхности (рис. 326).
Опишем вокруг рассматриваемой молекулы, как центра, сферу
радиуса 8. На молекулу действуют силы сцепления только со сто-
роны молекул, находящихся в этой сфере. Если расстояние z от
молекулы до поверхности жидкости превосходит 8 (рис. 326, а), то
1) В случае, если процесс происходит не адиабатически, работа, о кото-
рой здесь идёт речь, совершается за счёт внутренней энергии жидкости и
поглощаемого ею тепла, т. е. за счет внутренней энергии системы, состо-
ящей из жидкости и окружающих её тел.
ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ
489
§ 21]
сфера разномерно заполнена веществом и равнодействующая прило-
женных к ней сил сцепления ввиду симметрии равна нулю. Когда z
становился меньше 8 (рис. 326, #), действие молекул, заключённых
в редко заштрихованной части сферы, из-за симметрии равно нулю,
но некомпенсированным остаётся действие молекул густо заштри-
хованной части сферы. Оно даёт равнодействующую, направленную
внутрь жидкости. По мере уменьшения z эта равнодействующая
возрастает и принимает максимальное значение тогда, когда молекула
попадает на границу жидкости (рис. 326, с). После того как моле-
кула пересекла эту границу (рис. 326, J), на неё действует только
заштрихованная часть сферы, что снова даёт равнодействующую,
направленную внутрь жидкосъц. Эта равнодействующая обращается
в нуль, когда сфера целиком выходит из жидкости (рис. 326, е).
Отсюда ясно, что для того чтобы вытащить молекулу из толщи
жидкости в её пограничный слой, нужно затратить определённую
работ}' на преодоление сил сцепления, и следовательно, такое пе-
ремещение молекул связано с увеличением энергии жидкости.
Но когда поверхность жидкости увеличивается, число молекул,
находящихся в пограничном слое, растёт. Эти молекулы попада-
ют в пограничный слой из глубины жидкости, и следовательно, для
увеличения поверхности требуется затратить работу на преодоление
сил сцепления. Так как число молекул, попадающих в пограничный
слой, пропорционально приращению поверхности жидкости, то за-
трачиваемая работа, а следовательно, и увеличение энергии жидкости
также пропорциональны этому приращению.
Равнодействующие сил сцепления, действующих на молекулу
в положениях, симметричных по отношению к границе жидкости,
одинаковы (это ясно из рис. 326, b и d). Следовательно, среднее
значение этой равнодействующей в слое толщины 8, примыкающем
к границе жидкости снизу, такое же, как сверху, и равно /
Следовательно, работа, которую надо затратить, чтобы выта-
щить одну молекулу из глубины жидкости на поверхность, равна
/8. Такая же работа должна быть затрачена на то, чтобы удалить
молекулу от жидкости на расстояние, превышающее 8. Следователь-
но, на то, чтобы перевести п молекул из толщи жидкости в толщу
окружающего её газа, должна быть затрачена «работа выхода»
р = 2д/8. (15.48)
Из (15.47) и (15.48) следует
а о
Следовательно, вычислив работу выхода из данных о давлении пара
(гл. XVI, § 5) и измерив поверхностное натяжение, можно оценить
радиус действия сил сцепления. Он того же порядка, что и радиус
молекулы (10~8—10~7 си).
490 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
§ 25. Внутренняя энергия газа. Второй принцип термодинамики
(гл. XVII) позволяет, зная уравнение состояния, найти выражение
для внутренней энергии вещества как функции температуры и объёма.
Если принять уравнение Ван дер Ваальса, то, как показывает вы-
числение, основанное на втором принципе термодинамики,
U=F(T) — ^r, (15.49)
где F(Т) — некоторая функция температуры и а — первая константа
Ван дер Ваальса (см. гл. XVII, § 19).
С молекулярно-кинетической точки зрения (§ 3) внутренняя
энергия тела есть сумма кинетической и потенциальной энергии его
молекул, понимаемых в обычном механическом смысле.
Второй член выражения (15.49)^----есть, очевидно, та часть
внутренней энергии, которая обусловлена силами сцепления между мо-
лекулами. Его алгебраическая величина растёт с увеличение^м объёма,
что вполне понятно. Для увеличения объёма нужно увеличить сред-
нее расстояние между молекулами, т. е. совершить работу на пре-
одоление сил сцепления. Эта работа равна приращению внутренней
энергии (подобно тому как работа, затраченная извне на растяже-
ние пружины, фавна увеличению энергии последней). Первый член
выражения (15.49) должен быть истолкован как сумма кинетиче-
ской энергии поступательного движения молекул, кинетической энер-
гии вращательного движения молекулы, а также кинетической и по-
тенциальной энергии, связанной с движением атомов и электронов
в молекуле.
Слагаемое F (Т) мы будем называть энергией теплового движе-
ния, слагаемое (-^) — энергией сцепления. (То, что внутренняя энер-
гия может быть представлена как сумма энергии теплового движё'-
ния, зависящей только от температуры, и энергии сцепления, зави-
сящей только от объёма, есть результат идеализации, лежащей в
основе ван дер ваальсовой модели газа. Если бы мы пользовались
более сложной моделью, внутренняя энергия не могла бы быть
представлена как сумма функции от Т и функции от 17.)
В предельном случае идеального газа (17 очень велико или а
очень мало) энергия сцепления равна нулю и U = F{T), т. е. в
согласии с гл. XIII, § 12, внутренняя энергия идеального газа зави-
сит только от температуры.
Производная F'(Т) функции F(Т) есть теплоёмкость газа при
постоянном объёме Cv. Действительно,
(AU)V —F(Т— F(Т) — F'(7^)
откуда
• c.=(r"),=F'W-
ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ ГАЗА
491
§ 25]
Величина Cv всегда положительная, откуда следует, что энергия те-
плового движения всегда растёт с увеличением температуры. Как пока-
зывают измерения для одноатомных газов, а также в не слишком
широких интервалах температур, для других газов, величину Cv
можно считать постоянной и писать F(T) = CI>7, откуда
и=сг,т--^.
При этом для идеального газа
U=CVT.
Пусть газ расширяется в таких условиях, что его внутренняя
энергия остаётся постоянной (гл. XIII, § 12). Тогда
(15.50)
о
(индекс 1 относится к исходному состоянию, индекс 2 — к состоя-
нию после расширения), откуда
47= Л-Г, =^(1-1).. (15.51)
Эта величина отрицательна, так как V\, т. е. газ охлаждается.
Это происходит потому, что при рассматриваемом процессе часть
энергии теплового движения тратится на увеличение энергии сцеп-
ления.
В предельном случае идеального газа уравнение (15.50) пере-
ходит в
(15.50')
откуда
ДТ=Т2- Л = 0, (15.51')
температура в результате расширения не меняется (ср. гл. XIII, § 12).
Здесь энергия теплового движения остаётся постоянной, так как
расширение не требует работы против сил сцепления.
Рассмотренное здесь охлаждение газа вследствие расширения —
совсем другой природы, чем охлаждение при расширении в усло-
виях, о которых шла речь в гл. XIII, § 14. Здесь охлаждение имеет
место вследствие того, что газ не является идеальным и его
внутренняя энергия не меняется. Там охлаждение имеет место и
для идеального газа; оно происходит в результате работы, совер-
шённой газом над поршнем, и соответствующего уменьшения внут-
ренней энергии газа.
492 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [гл. XV
§ 26. Эффект Джоуля-Томсона. Эффект Джоуля-Томсона (из-
менение температуры газа, продавливаемого через пористую перего-
родку, гл. XIII, § 13) можно рассматривать как результат наложе-
ния двух эффектов: увеличения энергии сцепления газа, вследствие
расширения, за счёт энергии теплового движения, и изменения внут-
ренней энергии каждой порции газа, вследствие того что над ней
совершает работу p^i сжатый газ, толкающий её сзади, и она сама
совершает работу толкая разрежённый газ, находящийся спе-
реди. Первый эффект всегда ведёт к уменьшению температуры, вто-
рой эффект также ведёт к уменьшению температуры, если p2v2 ^>PiVlt
и к увеличению температуры, если р^з Отрицательный
эффект Джоуля-Томсона означает: р^ настолько превосходит
/?2т?2, что приращение внутренней энергии превышает приращение
энергии сцепления, вследствие чего энергия теплового движения
растёт. Положительный эффект Джоуля-Томсона означает: либо р^
не намного превосходит /?2х/2 и приращение внутренней энергии
меньше дтриращения энергии сцепления, вследствие чего энергия
теплового движения убывает; либо /?2т/2 превосходит/?^— одновре-
менно с увеличением энергии сцепления происходит уменьшение
внутренней энергии, и энергия теплового движения тратится как на
преодоление сил сцепления, так и на совершение работы над осталь-
ным газом.
Проведём расчёт эффекта Джоуля-Томсона для ван дер ваальсовой
модели газа. Помножив на массу одного моля М уравнение (13.44),
получаем
t/1+AV1 = t72+A^. (15.52)
На основании (15.46),
= + (15.53)
Внутренняя энергия одного моля газа до расширения, на основании
(15.36), равна
= (15.54)
Будем считать, что газ после расширения является идеальным
(У2 очень велико). Тогда
p2V2 = /?T2, (15.55)
= (15.56)
Подставляя (15.53), (15.54), (15.55) и (15.56) в (15.52), имеем
(Cv + /?) T^R Tt ^--b - = (Co + R) Tit
ЭФФЕКТ ДЖОУЛЯ-ТОМСОНА
493
§ 26]
откуда
* /рт b _____
+ Я Г21 v.-ъ Vj-
Изменение температуры имеет тот же знак, что и выражение в скоб-
ках. Кривая 7t
2g
bR
лГ>о
ij
ь
Рис. 327.
на плоскости VUT\ (рис. 327)
отделяет незаштрихованную об-
ласть, где АТ^>0, от заштри-
хованной, где АТ<^0.
Мы видим, что если начальная температура выше чем Т° = |^ , то
при любом начальном объёме происходит нагревание. Если же на-
чальная температура ниже чем 7'° = |^
, то при малых начальных
Рис. 328.
объёмах также происходит нагревание, а при больших — охлажде-
ние. Величина этого охлаждения очень мала около границы заштри-
хованной области, а также при очень больших V19 что вполне по-
нятно, так как в пределе для идеального газа эффект Джоуля-
Томсона равен нулю. Зависимость АТ от V, при фиксированной
начальной температуре показана на рис. 328. Тот начальный объ(?м,
при котором получается максимальное охлаждение, мы найдём из
условия максимума = т. е. из уравнения
494 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [гл. XV
Зависимость ДГ от начальной температуры 1\ при фиксирован-
ном объёме показана на рис. 329. Охлаждение тем сильнее, чем
ниже начальная температура.
§ 27. Теплоёмкость идеального газа. Равномерное распреде-
ление энергии по степеням свободы. Сделаем относительно внут-
ренней энергии идеального газа простейшее предположение, заклю-
чающееся в том, что она сводится к кинетической энергии посту-
пательного движения молекул, т. е. что молекулы ведут себя, как
материальные точки, и обладают, следовательно, только тремя (по-
ступательными) степенями свободы.
Тогда внутренняя энергия одного моля на основании (15.8), § 10 и
(15.12), § 12,
U=N-^~ = — NkT—-^R7\
откуда, согласно § 25,
г —dU____ 3 п__о ос кал
dT~- 2 Н~2'град'
Такой теплоёмкостью при постоянном объёме должен обладать один
моль любого газа, удовлетворяющего сделанной гипотезе.
Полученный результат прекрасно оправдывается на опыте для
всех одноатомных газов. Некоторые экспериментальные данные при-
ведены в табл. 1.
Таким образом, в отношении внутренней энергии одноатомный
газ ведёт себя так, как будто бы его молекулы имеют только 3
поступательные степени свободы, на каждую из которых приходит-
kT
ся в среднем энергия
Другие газы ведут себя иначе, как видно, например, из табл. 2,
где выписаны некоторые из полученных из опыта значений Cv для
двуатомных газов.
Таблица!. Таблица 2.
Газ Темпера- тура Cv Газ Темпера- тура
Аргон 90—3000 К 2,98 Водород 34,8° С 4,950
Кислород 31,6° 5,006
Гелий 90—290° К 2,98 Азот 33,6° 4,959
Атмосферный воздух . . . 22° 4,958
Ртуть 550—630° К 2,98 Окись углерода (СО) . . . г 18° 5,006
Здесь уже нельзя считать, что внутренняя энергия газа сводится
к кинетической энергии поступательного движения его молекул.
§ 28]
ТЕПЛОЁМКОСТЬ ТВЁРДОГО ТЕЛА
495
Заметим, что все указанные в таблице измеренные значения Cv
для двуатомных газов близки к4,96.
4W &UH \J
Если мы примем, что для двуатомных газов Cv = -^ R, то, со-
гласно § 25,
U=^-RT=N^kT,
т. е. средняя энергия молекулы двуатомного газа в 5 раз больше,
kf
чем средняя кинетическая энергия приходящаяся на каждую из
её поступательных степеней свободы. Этот результат можно истол-
ковать следующим образом: в отношении внутренней энергии указан-
ные в таблице двуатомные газы ведут себя так, как будто их
молекулы имеют 5 степеней свободы, причём на каждую степень
kT
свободы приходится в среднем одинаковая энергия •
Мы получим наглядный (хотя заведомо упрощённый) образ дву-
атомной молекулы, обладающей пятью степенями свободы, если пред-
ставим себе её состоящей из двух материальных
точек (схематически изображающих атомы), &
жёстко скреплённых между собой (рис. 330).
Действительно, такая модель имеет 3 степени
свободы, соответствующие перемещению цен-
тра тяжести молекулы О, и 2 степени сво- s'
боды, соответствующие вращениям прямой АВ
вокруг двух взаимно перпендикулярных осей,
проходящих через О. Внутренняя энергия одного Рис. 330.
моля двуатомного газа состоит, таким образом, из
3 2
энергии -^RT поступательного движения молекул и энергии -^RT их
вращательного движения.
В случаях, рассмотренных в этом параграфе, подсчёт энергии
приводит к согласию с опытом, если заменить реальные атомы
материальными точками и считать, что в равновесном состоянии на
каждую степень свободы полученной таким образом схематизирован-
ной модели приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия
kT
~2~. Это правило называется законом равномерного распределения
энергии по степеням свободы.
С замечательными частными случаями равномерного распределе-
ния энергии по степеням свободы мы познакомились уже в §§ И,
13 и 15, причёлМ мы видели, что и брауновскую частицу при под-
счёте энергии можно уподобить молекуле.
§ 28. Теплоёмкость твёрдого тела (закон Дюлона и Пти).
Применим закон равномерного распределения энергии по степеням
496 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
свободы к задаче о теплоёмкости твёрдого тела. Представим себе
твёрдое тело как совокупность атомов, которые могут колебаться
около некоторых положений равновесия под действием квазиупругих
сил (§ 2). Каждый атом имеет 3 степени свободы, следовательно,
грамм-атом твёрдого тела имеет 3W степеней свободы. (Грамм-атомом
называется порция вещества, состоящая из А/" атомов, где N—число
Авогадро. Вес одного грамм-атома в граммах называется атомным
весом.) На каждую из них приходится в среднем кинетическая энер-
kT
гия-у, и, кроме того, если, как мы будем предполагать, квазиупру-
kT
гие силы подчиняются закону Гука, потенциальная энергия-у, так
как при гармоническом колебании средняя кинетическая энергия и
средняя потенциальная энергия равны друг другу (гл. XI, § 3).
Следовательно, общая энергия одного грамм-атома твёрдого тела
/ьт ЬТ\
U = ЗАГ + -у j =ZNkT= 3RT,
откуда теплоёмкость
С= 37? = 5,97 —
град
Грамм-атом любого твёрдого тела обладает одинаковой тепло-
ёмкостью, равной приблизительно .6 кал/град (закон Дюлона и Пти).
Это высказывание часто довольно хорошо оправдывается на опыте,
как показывает следующая таблица, где приведены теплоёмкости
грамм-атомов различных металлов, измеренные при температурах
15—100°С.
Тело Атомный вес С
Алюминий 26,96 5,83
Железо 55,84 6,14
Медь 63,57 5,92
Серебро 107,9 6,03
Платина 195,2 6,21
Золото 197,2 6,10
Свинец 207,2 6,43
§ 29. Критика закона равномерного распределения энергии
по степеням свободы. В § 28 закон равномерного распределения
высказан в качестве правила, которое в ряде случаев приводит
к результатам, хорошо согласующимся с опытом. Было, однако,
время, когда в закон равномерного распределения вкладывалось дру-
гое содержание и ему придавалось гораздо большее значение. Он
возник в качестве одного из основных положений классической
статистической физики и утверждал следующее. На любую степень
§ 29] КРИТИКА ЗАКОНА РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 497
свободы вещества, находящегося в равновесном состоянии, прихо-
kT
дится в среднем одинаковая кинетическая энергия ; на каждую
степень свободы, которой соответствует сила, подчиняющаяся закону
kT
Гука, приходится потенциальная энергия -%-. Кроме того, указыва-
лось, какая средняя потенциальная энергия приходится на те степени
свободы, которым соответствуют силы другого типа.
Показать, почему закон равномерного распределения не мог
сохраниться в этой первоначальной форме, можно, даже не привле-
кая нового экспериментального материала.
1. Если принять для двуатомных молекул модель рис. 330, то
теплоёмкость 1 моля двуатомного газа должна равняться в точно-
5
сти у??. Закон равномерного распределения не может удовлетво-
ряться даже очень хорошим приближённым совпадением Cv с у /?,
так как число степеней свободы равно целому числу (в данном
случае 5) не приближённо, а точно. Поэтому всякое, даже неболь-
шое, но выходящее за пределы ошибки измерения отклонение изме-
5
ренного значения от у/? представляет для закона равномерного
распределения а грозную опасность. Между тем в табл. 2, § 27
легко обнаружить такие небольшие отклонения, выходящие за пре-
делы ошибок измерения (например, для кислорода).
2. Атом имеет весьма сложную структуру. Как показывает, на-
пример, изучение оптических спектров, в нём могут смещаться друг
относительно друга ядро и электроны (том II, гл. XXV). Следова-
тельно, число степеней свободы атома равно не 3, а по крайней
мере 3(п-|-1), где п — число электронов в атоме. Если верен
закон равномерного распределения, на каждую степень свободы
kT
должна приходиться средняя энергия, равная по крайней мере -у,
и, следовательно, теплоёмкость 1 моля одноатомного газа должна
равняться по крайней мере у (п -f-1) /?. На самом же деле, как
мы видели (§ 27), она равна только у??. Таким образом табл. 1,
которая могла казаться триумфом закона равномерного распреде-
ления в его первоначальном смысле, в действительности находится
с ним в кричащем противоречии.
3. Если даже забыть про деформации, связанные с движением
электронов, атом нельзя рассматривать как точку (ср. §§ 16, 23).
Но если атом есть маленькое твёрдое тело, то он имеет не 3, а 6 сте-
пеней свободы (гл. II, § 6) и Cv должно равняться для одноатом-
3
ного газа не у/?, а 37?. Для двуатомного газа нужно учитывать
32 Папа лекси, т. I
498 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [гЛ. XV
ещё вращение вокруг прямой АВ, и мы также получаем 6 степеней
свободы (вместо 5).
4. Допустим даже, что атомы можно рассматривать как матери-
альные точки. Однако и это не спасает положения. Действительно,
теория теплоёмкости двуатомного газа, приводящая к значению
5
С0=у/?, основана на предположении об абсолютной жёсткости
молекул. Но ведь абсолютно жёстких тел не существует! А допу-
щение малейшего отклонения от абсолютной жёсткости разрушает
всю теорию. Сразу возникает 6 степеней свободы; из них «внеш-
ние» (поступательные движения и вращения) имеют только кине-
тическую энергию, 6-я «внутренняя» (колебания атомов) имеет
и кинетическую, и потенциальную энергию, и (если принять закон
7
Гука) теплоёмкость должна равняться у R. Между тем, опыт часто
даёт у/? (табл. 2, § 27).
Во всех рассмотренных случаях степени свободы делятся на
«привилегированные», которые делят поровну между собой весь
запас энергии (3 степени свободы центра тяжести атома, 5 «внеш-
них» степеней свободы двуатомных молекул табл. 2, § 27), и на
«обездоленные», которым ничего не достаётся (вращение атома, вра-
щение молекулы вокруг прямой АВ рис. 330, колебания атомов
в молекулах табл. 2, § 27, электронные движения в атоме). Закон
равномерного распределения верен лишь для привилегированных
степеней свободы. Но такое «исправление» противоречит самой сути
закона: ведь он как раз утверждает, что все степени свободы равно-
правны.
§ 30. Степени свободы могут развиваться и атрофироваться.
Обратимся теперь к некоторьш новым экспериментальным фактам.
1. Согласно закону равномерного распределения, теплоёмкость
не должна зависеть от температуры. В действительности же для газов,
приведённых в табл. 2, § 27, Cv близка к у R лишь при комнат-
ной температуре. При нагревании Cv увеличивается и при очень
высоких температурах приближается к значению у/?.
Это означает, что при комнатной температуре^происходит равно-
мерное распределение энергии между 5 «внешними» степенями сво-
боды, при высоких температурах — между 6 степенями свободы
(«внешними» и колебательной). Постепенный переход от одного
случая к другому абсолютно чужд закону равномерного распреде-
ления, согласно которому степень свободы или существует, и тогда
kT
ей причитается сполна кинетическая энергия у (и соответствующая
потенциальная энергия, в частности, нуль), или не существует вовсе.
Между тем всё происходит так, как будто с повышением темпера-
§ 31]
ЗАКОН ПЛАНКА
499
туры колебательная степень свободы постепенно развивается, заби-
рая себе всё большую долю энергии, и только при достаточно
высокой температуре овладевает той энергией АТ, которую она дол-
жна была бы иметь с самого начала, если бы был верен закон
равномерного распределения. При уменьшении температуры колеба-
тельная степень свободы постепенно атрофируется.
Для молекул различных веществ это явление происходит в раз-
личных областях температур.
2. На рис. 331 показан температурный ход теплоёмкости водо-
рода в области низких температур. При понижении температуры
водород начинает вести себя, как одноатомный газ, и его теплоёмкость
приближается к-^R: постепенно атрофируются, помимо колебательных,
ещё и вращательные степени свободы. (Сг — избыток теплоёмкости
над значением 3/2/?, т. е. теплоёмкость вращательных степеней сво-
боды. Различно обозначенные точки — измерения различных авторов.)
3. Вопреки закону Дюлона и Пти, при понижении температуры
теплоёмкости всех твёрдых тел уменьшаются и вблизи абсолютного
нуля становятся исчезающе малыми. Здесь опять с понижением
.температуры колебательные степени свободы атрофируются и не
могут набрать энергию, причитающуюся им при комнатной темпера-
туре по закону равномерного распределения. У различных твёрдых
тел эта атрофия происходит в различных интервалах температуры.
Некоторые твёрдые тела не подчиняются закону Дюлона и Пти уже
при комнатной температуре. Так, для грамм-атома бора (атомный
вес 11,0) и углерода (атомный вес 12,00) при комнатной темпера-
туре теплоёмкости равны соответственно 2,86 и 2,60.
§31. Закон Планка. Квантовая теория. Правильным законом
распределения для колебательных степеней свободы является знамени-
тый закон Планка. Планк открыл этот закон в 1900 г., исследуя вопрос
32*
500 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [гл. XV
v о распределении энергии в спектре теплового излучения (см. том II),
тесно связанный с вопросом о теплоёмкостях. К вопросу о теплоёмко-
стях закон Планка был впервые применён Эйнштейном (1907).
По закону Планка различные колебательные степени свободы
неравноправны: средняя энергия, приходящаяся на определённый тип
колебаний, зависит не только от температуры, но и от собственной
частоты этих колебаний, и причём так, что чем выше частота, тем
меньше при данной температуре средняя энергия. Закон Планка
выражается формулой
, ekT~l
Здесь е — средняя энергия колебания частоты у при темпера-
туре Г, k — постоянная Больцмана, h—универсальная постоянная,
получившая название «постоянной Планка» и играющая фундамен-
тальную роль в современной физике,
A = 6,62-10_27 эрг*сек
(см. том II, глава XXII).
Отказ от закона равномерного распределения в пользу закона
Планка был связан с коренной ломкой основных представлений
классической физики. В основе классической теории лежало допу-
щение, считавшееся очевидным, что в зависимости от начальных
условий энергия колебательного движения может принимать непре-
рывный ряд значений (так же, как кинетическая энергия поступа-
тельного движения молекул, § 7). Это допущение приводило к тому
результату, что средняя энергия любого типа гармонических колеба-
ний равна kT. В основе теории, приводящей к формуле Планка, —
она называется квантовой теорией, — неизбежно лежит допущение,
сначала казавшееся чудовищным, что энергия колебательного дви-
жения может принимать только дискретный ряд значений, образую-
щих арифметическую прогрессию с разностью Лу, где у — частота
осциллятора и h—постоянная Планка. Иначе говоря, энергия колеба-
тельного движения меняется только на величины, кратные элемен-
тарной величине Лу, подобно тому как электрический заряд любого
тела может меняться только на величину, кратную заряду электрона.
Величина Лу называется квантом энергии частоты у. Чем выше
частота, тем больше соответствующий ей квант энергии.
Формулу Планка удобно исследовать графически, представив её
в виде
1
-г—> (15.57)
где е* —1
kT е
hi 9 ki
§ 31]
ЗАКОН ПЛАНКА
501
График уравнения (15.57) изображён на рис. 332; х есть отно-
шение величины kT—средней энергии колебательного движения,
соответствующей закону равномерного распределения, — к кванту
энергии колебаний частоты v; у есть отношение средней энергии
рассматриваемого типа колебаний к той, которую они имели бы по
закону равномерного распределения.
Когда х мало по сравнению с 1,
у также мало по сравнению с 1;
у растёт с увеличением х, и когда х
стремится к со, у стремится к 1.
Физически это означает следую-
щее: пока kT мало по сравнению
с квантом энергии Av рассматривае-
мого типа колебаний, их средняя
энергия s гораздо меньше «класси-
ческого» значения kT. Когда квант
ftv сравним с kT, средняя энергия также становится сравнимой
с kT, и, наконец, когда kT гораздо больше чем квант hv, средняя
энергия принимает то значение kT, которое указывает закон равно-
мерного распределения.
При одной и той же температуре s тем больше, чем меньше Av, т. е.
средняя энергия колебаний тем больше, чем меньше их частота. При лю-
бой температуре Т могут найтись такие быстрые колебания
средняя энергия которых ничтожно мала (е<^АТ), и такие медлен-
ные средняя энергия которых близка к kT*
Формула Планка указывает критерий деления колебательных
степеней свободы на «привилегированные» и «обездоленные» (§ 29).
Они принадлежат к тому или другому классу, смотря по тому, мал
или велик их квант Av по сравнению с «классической» средней
энергией kT. При повышении температуры все «обездоленные» ко-
лебательные степени свободы переходят в разряд «привилегиро-
ванных», и притом тем раньше, чем меньше их частота. При
понижении температуры «атрофируются» сначала наиболее бы-
стрые колебательные степени свободы, а затем всё более и более
медленные. с
Формула Планка указывает на те условия, при которых закон
равномерного распределения сохраняется как приближённый закон:
он справедлив для тех колебаний, квант энергии которых мал по
сравнению с kT. Грубо говоря, закон равномерного распределе-
ния есть закон, приблизительно верный при высоких температурах
(AT^>Av). При низких температурах (AT<^Av), наоборот, должны
особенно резко сказываться квантовые явления.
Сказанное о колебательных степенях свободы нельзя применить
к вращательным: они не характеризуются определёнными собствен-
502
ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ‘ [ГЛ. XV
ными частотами. Однако, согласно квантовой теории, положение
с вращательными степенями свободы во многом напоминает положе-
ние с колебательными степенями свободы: при данной температуре
средняя энергия вращательных степеней свободы тем меньше, чем
меньше соответствующий момент инерции. При данном моменте инер-
ции средняя энергия вращательного движения при низких темпера-
kT kT
турах мала по сравнению с -%- и приближается к с повышением
температуры. Квантовая теория утверждает, далее, что при тех темпе-
ратурах, о которых шла речь в §§ 27, 28, электронные степени
свободы имеют ничтожную среднюю энергию. Они содержат замет-
ную долю запаса энергии теплового движения тела лишь при таких
высоких температурах, когда тело светится.
Что касается поступательных степеней свободы, то для них
kT
квантовая теория сохраняет значение средней энергии -у (лишь при
очень низких температурах и больших плотностях здесь наступают
квантовые эффекты).
§ 32. Квантовая теория теплоёмкостей. Тепловое движение
твёрдого тела, как суперпозиция упругих волн. Вернёмся к тепло-
ёмкости газов и твёрдйх тел, исходя из квантовой теории (§ 31).
1. Одноатомный газ. Вращательные степени свободы атомов
имеют в среднем ничтожно малую энергию из-за малости момента
инерции атома; электронные движения также имеют в среднем нич-
тожно малую энергию. Остаются 3 поступательные степени свободы,
для каждой из которых средняя энергия равна ~ . Следовательно,
cv=n.^ 4=4^.
2. Двуатомный газ. При температурах, которые соответ-
ствуют табл. 2, § 27, вращение вокруг осей, перпендикулярных
к прямой, соединяющей атомы, уже удовлетворяет закону равномер-
ного распределения, так как молекула имеет относительно этих
осей большой момент инерции. Но момент инерции относительно
прямой АВ (рис. 330) очень мал, и поэтому это вращение имеет
в среднем ничтожную энергию. Наконец, колебательная степень сво-
боды имеет энергию, определяемую формулой Планка. Таким образом,
4 RT+ 4 RT + АГ ,
?г-1
откуда
hv
„ dU 5 „ , „/Ь\2 /-1* sei
= = -----4. (15.58)
1/
§ 32] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЁМКОСТЕЙ
503
При^<1 Cv = %?#, при^> 1 Cv=Zr. Переход от Сф =
fC 1 £ R1 £
5 7
= y R к Сх>=у R происходит при тем более высокой температуре,
чем выше частота v колебаний атомов в молекуле, т. е. чем жёстче
и легче молекула.
Частоты v можно определить из оптических данных (см. том II)
и построить теоретически по формуле (15.58) зависимость Cv от Т.
Вычисленные таким образом значения теплоёмкости находятся в хоро-
шем согласии с тем, что дают непосредственные измерения.
При сильном понижении температуры средняя энергия вращатель-
ного движения должна, согласно квантовой теории, стать значи-
тельно меньше kT, и, в конце концов, молекула должна начать вести
себя как система с 3 (поступательными)
степенями свободы. Это как раз то, что
показывает для водорода рис. 331.
Таким образом, общий ход изменения
теплоёмкости двуатомного газа с темпе-
ратурой имеет вид, показанный на рис. 333.
При очень низких температурах мо-
лекула ведёт себя так, как будто она
имеет только 3 поступательные степени
свободы. Первый подъём кривой соот-
ветствует вступлению в игру вращательных степеней свободы,
второй подъём — колебательной.
3. Твёрдое тело. Эйнштейн дал в 1907 г. простую кванто-
вую теорию теплоёмкости твёрдого тела, рассматривая последнее
как совокупность атомов, привязанных «квазиупругими» силами
к определённым положениям равновесия. Каждый атом имеет при
этом три колебательные степени свободы, так как может независимо
колебаться по трём взаимно перпендикулярным направлениям.
Считая, что частоты всех колебаний одинаковы, Эйнштейн
применил к ним формулу Планка, что даёт для энергии одного моля
значение
U=3N
hv
hy
(15.59)
откуда теплоёмкость
ЙУ
г _AU_9r>lh^
а — dT~ K\kTf I *!. V
\екТ-1)
(15.60)
Согласно формуле Эйнштейна, при достаточно высоких темпе-
ратурах (hv^kT), CV — 3R, т. е. имеет место закон Дюлона
и Пти. С понижением температуры теплоёмкость уменьшается и стре-
504 ОСНОВНЫЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. XV
мится к нули? при Т->0. Чем выше собственная частота колебаний
атомов, тем раньше при понижении температуры нарушается закон
Дюлона и Пти.
Формула Эйнштейна правильно передаёт общий характер измене-
ния теплоёмкости с температурой, но при низких температурах не
получается количественного согласия.
Квантовая теория теплоёмкости твёрдых тел была усовершен-
ствована на основе замечательной идеи о связи между тепловым
движением атомов кристалла и его акустическими собственными
колебаниями. Эта идея, лежащая в основе работ Дебая (1912),
а также Борна и Кармана (1912), перекликается с образным выска-
зыванием Румфорда, приведённым в гл. XIII, § 2. Она оказалась
весьма плодотворной для выяснения всей картины физических явле-
ний, разыгрывающихся в твёрдых телах, в частности рассеяния
света (том II). Вкратце эта
j Ъ идея заключается в следующем.
л X уаалаааааал*дН/ Атомы твёрдого тела (кри-
> .ьгТ сталла) не колеблются изоли-
у. f рованно, как это было принято
Т i Т I g | Эйнштейном. Они связаны ква-
I i | I i | зиупругими силами не с непо-
1 движными точками, а друг с
I | 1 другом (рис. 334). Кристалли-
aw ческая решётка образует, таким
образом, связанную колебатель-
< < ную систему, имеющую ЗМсте-
рис пеней свободы (речь идёт об од-
ном грамм-атоме). Но, как изве-
стно изакустики(гл.XI), движе-
ние такой системы можно рассматривать как суперпозицию 3Af «нор-
мальных колебаний», в каждом из которых участвует вся систе-
ма. Эти нормальные колебания суть не что иное, как упругие
стоячие волны. Различные нормальные колебания имеют, вообще
говоря, различные частоты, перекрывающие громадный диапазон.
Наиболее медленные из них совпадают с теми стоячими звуковыми
волнами, которые изучаются в акустике. Их длины волн того же
порядка, что линейные размеры тела, их частоты лежат в области
слышимых звуковых частот (сотни герц). Затем идут более корот-
кие волны, попадающие в ультразвуковую область. Наконец, наибо-
лее быстрые нормальные колебания имеют частоты того же порядка,
что частоты инфракрасного света, т. е. порядка 1013 гц. Тепловое
движение атомов, образующих кристалл, есть суперпозиция всех
этих упругих стоячих волн, причём амплитуды их и фазы случайны.
С ростом температуры амплитуды этих стоячих волн в среднем воз-
растают. В этой картине олицетворением степеней свободы кри-
сталла являются его 3W нормальных колебаний.
§ 32] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ 505
Эта картина сама по себе никак не связана с квантовой теорией.
К ней можно применить закон равномерного распределения энергии
по степеням свободы, и тогда снова получится закон Дюлона и Пти:
имеется 3W нормальных колебаний, все нормальные колебания имеют
одинаковую среднюю энергию kT, и поэтому U = 3NkT = 3RT. При
этом значения частот нормальных колебаний не играют никакой
роли.
Иначе обстоит дело при применении к этой картине квантовой
теории. Нормальным колебаниям различных частот соответствуют
теперь различные средние энергии, тем меньшие, чем выше их частота.
Применяя закон Планка к отдельным нормальным колебаниям, имеем,
вместо (15.59),
ЗУ
(is.ei)
где V; — частота z-ro нормального колебания. Здесь для вычисления
U нужно сначала вычислить нормальные частоты, а затем найти
значение суммы, стоящей в правой части (15.61):
Эти трудные задачи были решены Дебаем и Борном-Карманом раз-
личными методами. Не вдаваясь в подробности, укажем лишь, что
замена упрощённой модели Эйнштейна картиной упругих волн и свя-
занной с ней формулой (15.61) позволила достигнуть хорошего согла-
сия с экспериментальными данными.
Флуктуации плотности (см. § 1) происходят не только в газах,
но и в жидкостях и твёрдых телах. Они являются одним из проявле-
ний теплового движения атомов. В твёрдых телах флуктуации плот-
ности следует рассматривать как результат наложения уплотнений
и разрежений, из которых состоят стоячие упругие волны, образую-
щие тепловое движение кристаллической решётки.
Идея о тождестве флуктуаций плотности в твёрдом теле с сово-
купностью этих упругих волн была основной идеей Л. И. Мандельштама
в исследованиях, приведших его к открытию изменения спектраль-
ного состава света при рассеянии (см. тохм II, гл. XXII).
ГЛАВА XVI
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
§ 1. Понятие фазы, предварительные замечания. Пусть в зам-
кнутом сосуде находится жидкая вода, а над ней смесь воздуха и
газообразной воды, т. е. водяного пара. В этом случае говорят,
что в сосуде находятся две фазы, одна жидкая (вода), другая газо-
образная (смесь воздуха и газообразной воды). Если бы жидкой
воды в сосуде не было, то в нём была бы только одна фаза.
Если бы отсутствовал воздух, то было бы опять две фазы: жидкая
и газообразная вода. Если, кроме жидкой воды и газообразной
фазы, в сосуде находится кусок льда или кристалл каменной соли,
то мы говорим о трёхфазной системе: она состоит из твёрдой,
жидкой и газообразной фазы. Если бы в сосуде находились вода,
лёд и каменная соль (без газообразной фазы), то это содержимое
было бы также трёхфазной системой.
Из этих примеров ясно, в каком смысле в термодинамике упо-
требляется слово «фаза». Фазой называют область пространства,
где физические свойства во всех точках одинаковы. (Разумеется,
это определение следует понимать в макроскопическом, а не в мо-
лекулярно-кинетическом смысле.)
Туман, т. е. система, состоящая из капель жидкой воды и смеси
воздуха с газообразной водой, является двухфазной системой: водя-
ные капли, вместе взятые, образуют одну фазу, остальная часть
пространства — другую. Вода, содержащая пузырьки газа, также
является двухфазной системой.
В противоположность тем изменениям состояния, которые
рассматривались в предыдущих главах (при которых, например, газ
остаётся газом), те изменения состояния, при которых жидкость
превращается в газ и т. д., называются изменениями агрегатного
состояния вещества. Не следует думать, что две различные фазы
одного и того же вещества обязательно характеризуются различным
агрегатным состоянием. Алмаз и графит — две различные твёрдые
фазы одного и того же вещества — углерода. Твёрдое железо может
существовать в четырёх различных твёрдых «модификациях» (a-, (3-,
7- и 8-железо). Существует несколько разновидностей льда, т. е.
твёрдой воды (§ 18). Жидкий гелий имеет две различные модифи-
§ 2] РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ЖИДКОСТЬ—ГАЗ 507
нации.. Системы, состоящие из алмаза и графита, или а-железа
и у-железа, являются двухфазными.
Переход вещества из конденсированной (т. е. твёрдой или жид-
кой) фазы в газообразную называется испарением, обратный пере-
ход — конденсацией', испарение твёрдого тела называется также су-
блимацией. Интересный пример сублимации: снег исчезает, не ра-
стаяв, под действием холодного сухого ветра. Переход вещества
из твёрдой фазы в жидкую называется плавлением, обратный пере-
ход— замерзанием или кристаллизацией.
§ 2. Равновесие системы жидкость—газ. Равновесное да-
вление. Пусть одна часть замкнутого сосуда (объём которого
остаётся постоянным) занята веществом в жидком состоянии, другая
часть — тем же веществом в газообразном состоянии (рис. 335).
При каких условиях такая двухфазная система находится в равно-
весии, т. е. состояние не меняется со временем? "
Если бы жидкая фаза была отделена от газообраз-
ной фазы перегородкой, непроницаемой для вещества,
но не адиабатической и не жёстко закреплённой (во-
образим идеально пригнанный металлический поршень),
то равновесие обеспечивалось бы выполнением следую-
щих условий:
а) т. е. равенством давления жидкости рх
и давления газа р2 (если рх ф рг, то одна фаза бу-
дет сжиматься, а другая расширяться); Рис. 335.
Ь) = Т2, т. е. равенством температуры жидко-
сти 7\ и температуры газа Т2 (если 7\ ф 72, одна фаза нагре-
вается, другая охлаждается).
Независимо от того, выполнены ли эти условия или нет, масса
жидкости /7Z1 и масса газа оставались бь! постоянными.
Но в интересующем нас теперь случае фазы не разделены не-
проницаемой перегородкой. Здесь для равновесия опять необходимо,
чтобы выполнялись условия (а) и (Ь). Но теперь они уже не являются
достаточными: если даже они выполнены, массы обеих фаз, вообще
говоря, не остаются постоянными. Либо растёт, а тп% умень-
шается (конденсация), либо, наоборот, тх уменьшается, а /п2 растёт
(испарение), причём (закон сохранения материи)
т1-}~т^ = const.
Существует, однако, условие, при котором и в отсутствии не-
проницаемой перегородки между фазами масса каждой из них
остаётся постоянной. Опыт показывает, что если при определённой
температуре плотность газа р меньше некоторой величины р, то масса
газообразной фазы увеличивается, происходит испарение. Если р
больше чем р, то масса газообразной фазы уменьшается, происходит
конденсация. В том случае, и только в том случае, когда р = р,
508
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
нет перехода вещества из одной фазы в другую, р называется равно-
весной плотностью газа.
Если, не меняя температуры двухфазной системы, мы будем
менять предоставленный ей объём, равновесие каждый раз будет
осуществляться при одной и той же плотности газа. Чем больше
объём, тем больше при равновесии и
| при данной общей массе системы масса
—1— газообразной фазы (рис. 336).
i Wv-i Будем теперь изменять температуру.
Опыт показывает, что равновесное зна-
,.г чение плотности газа растёт — и ра-
ggfcf 2^=0^' стёт чрезвычайно быстро — с ростом
L—— “—— температуры. Откладывая по оси абс-
Рис. 336, цисс температуру, а по оси ординат—.
ч соответствующую равновесную плот-
ность газа (рис. 337), мы получим очень круто поднимающуюся
кривую («кривая равновесия»). Её уравнение мы запишем так:
р=/(Л.
Итак, для равновесия в двухфазной системе необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялись условия (а), (Ь) и, кроме того, условие (с)
р = р, где р=/(Г), т. е. плотность газа должна иметь определён-
ное значение, зависящее только от темпе- р
ратуры.
Так как при данной температуре газ,
находящийся в равновесии с жидкостью,
имеет вполне определённую плотность, не
зависящую от его объёма, то, следовательно
(гл. XIII, § 7), его давление также имеет
вполне определённое значение р, также не
зависящее от объёма, но являющееся функ-
цией температуры:
p=F(T).
При равновесии газа с жидкостью давле- Рис. 337.
ния их равны [условие (а)]. Поэтомур = F(T)
можно называть также равновесным давлением двухфазной системы
жидкость—газ-
График функции p = F(T) называется кривой равновесия лмух-
фазной системы (рис. 338). Равновесными двухфазными состояниями
могут быть только состояния, изображаемые точками этой кривой.
Остальным точкам плоскости Г, р соответствуют неравновесные
состояния двухфазной системы, при которых происходят испарение
(заштрихованная часть плоскости, р F (Т), или кон“
денсация (незаштрихованная часть плоскости, р^>/(Г), р> F (Т)).
§ 2]
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ЖИДКОСТЬ ----ГАЗ
509
Будем менять объём V двухфазной системы, поддерживая её
температуру постоянной: Будем делать это настолько мед-
ленно, чтобы установление равновесия поспевало за изменением
объёма. Тогда давление не будет меняться, и зависимость давления
от объёма изобразится горизонтальной прямой (рис. 339). Она
является изотермой двухфазной системы. Увеличивая температуру,
мы получим всё более высокие изотермы jT2, Т3,...
Однофазные системы (жидкость, газ) «пружинят»: они реаги-
руют на увеличение (уменьшение) объёма понижением (повышением)
давления. Равновесная двухфазная система не «пружинит»; она реаги-
рует на изменение объёма не изменением давления, а переходом ве-
щества из одной фазы в другую.
Рис. 340.
Независимость давления двухфазнойлсистемы, находящейся в рав-
новесии, от* объёма можно продемонстрировать при помощи баро-
метрических трубок (рис. 340). Понижение уровня ртути, вызванное
присутствием в запаянном конце трубки находящихся в равновесии
друг с другом жидкого и газообразного эфира, не зависит от
объёма этой двухфазной системы.
Если бы мы откладывали по оси абсцисс не объём всей двух-
фазной системы, а объём газообразной фазы, мы получили бы
такие же горизонтальные изотермы, как на рис.' 339.
Равновесная плотность, а следовательно, и равновесное парци-
альное давление (см. гл. II, § 13) не зависят (при не очень боль-
ших плотностях) от присутствия посторонних газов. Так, например,
равновесная плотность газообразной ртути в помещении, т. е. в при-
сутствии воздуха, такая же, как в предварительно эвакуированном
сосуде (при одинаковой температуре).
В отличие от самих величин равновесной плотности и давления
быстрота, с которой они устанавливаются, очень сильно зависит от
510
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
величины поверхности соприкосновения фаз и от концентрации по-
сторонних газов.
Испарение жидкости в пустоту — очень быстрый процесс. Испа-
рение жидкости в сосуде, содержащем воздух при атмосферном
давлении — очень медленный диффузионный процесс (гл. XV, § Г9).
Чем больше поверхность соприкосновения фаз, чем шире «фронт
испарения» или «фронт конденсации», тем быстрее протекают эти
процессы и тем быстрее достигается равновесная плотность.
На рис. 341 показана плотность газа как функция времени для
различных величин поверхности испарения. Кривая а соответствует
большей поверхности испарения, b — меньшей, с—ещё меньшей.
Все эти кривые имеют
общую асимптоту, изоб-
ражающую равновесную
плотность газа, но чем
меньше поверхность испа-
рения, тем позднее соот-
ветствующая кривая сли-
вается (практически) с
этой общей асимптотой.
Если, например, в за-
крытом помещении в од-
ном случае разлита лужа
ртути, а в другом случае находится капля ртути1), то в обоих
случаях установится, в конце концов, одинаковая концентрация газо-
образной ртути.
Из сказанного следует, что в закрытом помещении маленькое ко-
личество ртути, не заключённой в герметически закрытый сосуд,
не менее опасно, чем большое (присутствие газообразной ртути
вредно для человеческого организма). Иначе обстоит дело, если
помещение вентилируется. Действительно, если через промежутки
времени, равные т, воздух в помещении обновляется, то ясно, что
капля ртути (кривая с) менее опасна, чем лужа ртути (кривая а).
Во втором случае средняя плотность ртутного газа ра за время т
почти равна р, в первом случае средняя плотность рс очень мала.
§ 3. Термины «газ» и «пар». Мы писали: газообразная вода,
газообразная ртуть и т. д. Чаще употребляют термины: водяной пар,
ртутный пар. Термин же «газ» употребляют, говоря о воздухе, водо-
роде, гелии. Двойственность такой терминологии не имеет физиче-
ского оправдания: между свойствами водяного или ртутного пара
и свойствами воздуха нет отличий более существенных, чем, напри-
мер, между свойствами воздуха и гелия. В частности, любой «пар»
при достаточном разрежении удовлетворяет уравнению состояния
1) Речь идёт о не слишком малых кагиях, ср. § 10. Если капля очень
мала, равновесная плотность увеличивается.
§ 4] ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЖИДКОСТЬ —ГАЗ 511
идеального газа (гл. XIII, § 9) pV = RT с такой же степенью
точности, как и воздух или любой другой «газ». Двойственность
терминологии сохранилась с того времени, когда считали, что
«пары» могут, а «газы» не могут быть превращены в жидкость.
Она потеряла смысл с тех пор, как известно, что нет такого
газа, который не может быть сконденсирован (см. § 13).
Если мы хотим характеризовать свойства тел, то термин «пар»
излишен и даже вреден, так как внушает неправильное представле-
ние о каком-то принципиальном отличии между «парами» и «газами».
Термин «пар» не может вызвать возражений только в том случае,
когда он употребляется в другом, более скромном, смысле. Мож-
но говорить: «газ Н2О есть водяной пар». Здесь свойство тела
характеризует слово газ, слово пар указывает лишь на то, из
какой жидкости он может быть получен путём испарения. Всякий
газ есть «чей-то пар»; например, воздух — пар жидкого воздуха.
Если некоторое пространство содержит газ температуры Т и
плотности р = /(Т), то говорят, что это пространство насыщено
паром. Величины р=/(Т) и p = F(T)— равновесные плотность
и давление газа при температуре Т—называют соответственно плот-
ностью и давлением насыщающего пара при температуре 74). Если
р<^р, говорят: пространство не насыщено паром; если р^>р —про-
странство пересыщено паром.
Было бы грубым недоразумением утверждать, сопоставляя изо-
термы насыщающего^ пара (рис. 339) и обычные газовые изотермы,
например, гл. XV, рис. 321, что между свойствами газа и свой-
ствами насыщающего пара существует то отличие, что давление пер-
вого зависит, а второго не зависит от объёма. Ведь рис. 339 отно-
сится к такому случаю, когда масса газа является переменной и
растёт пропорционально объёму (так как плотность постоянна).
Если бы по оси абсцисс откладывался объём данной массы насы-
щающего пара, то получилась бы обычная газовая изотерма и,
в частности, гипербола, если, вследствие низкой температуры, на-
сыщающий пар настолько разрешён, что с достаточным приближе-
нием удовлетворяет закону Бойля-Мариотта.
§ 4. Энергия системы жидкость — газ. Теплота испарения.
Если мы откроем кран, отделяющий жидкость от эвакуированного
пространства (рис. 342), произойдёт быстрое испарение. Здесь,
так же как в опыте Гэ-Люссака-Джоуля (гл. XIII, § 12), веще-
ство, распространяясь в пустоту, не совершает работы. Следо-
вательно, если,, кроме того, процесс происходит адиабатически
(равновесная плотность пара достигается так быстро, что не успе-
вает произойти заметный теплообмен с окружающим воздухом),
энергия U двухфазной системы остаётся постоянной. При этом, как
*) Говорят также «насыщенный пар».
512
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
Рис. 342.
показывает опыт, температура падает. Для вещества, у которого
равновесная плотность пара при условиях опыта очень велика (на-
пример, эфир при комнатной температуре), охлаждение очень
велико.
Охлаждение из-за адиабатического испарения легко почувствовать,
если смочить кожу эфиром. Его можно продемонстрировать, заста-
вляя усиленно испаряться эфир, находящийся вместе с водой на дне про-
бирки, продувая над ним воздух (рис. 343).
Охлаждение будет настолько сильное,
что вода замерзает и на стенках про-
бирки появляются кристаллики льда. Эти
опыты несколько отличаются от опыта
рис. 342. Здесь эфир, испаряясь ади-
абатически, преодолевает атмосферное
давление и, следовательно, совершает ра-
боту, что вызывает небольшое добавоч-
ное охлаждение.
Изобразим качественно результат фазового превращения жидкость —
пар, протекающего при постоянной энергии, на диаграмме х,
Т, где х = есть отношение массы m± газообразной фазы
к массе т всей двухфазной системы. (Если всё вещество находится
в жидкой фазе, то х = 0; если всё вещество ис-
парилось, х=1.) Мы получаем семейство из —Дутье
энергетических кривых рис. 344: чем большая । fa
доля вещества испарилась, тем сильнее при
, заданной энергии понижение температуры. Бо-
лее высокие кривые соответствуют большим
значениям энергии (при фиксированном х энер-
гия системы тем больше, чем выше темпера-
тура).
Рассмотрим теперь испарение при постоян-
ной температуре. Представим себе (схематиче-
ски), что исследуемое вещество находится в
цилиндре с поршнем, помещённым в термо-
стат температуры Т, и что х постепенно ра-
стёт. При этом объём увеличивается, поршень
поднимается, давление не меняется (см. § 2).
Теперь изображающая точка на рис. 344 перемещается вправо по
изотерме, т. е. по горизонтальной прямой. Она поочерёдно пересе-
кает кривые, соответствующие всё большей энергии: по мере того
как вещество изотермически испаряется, его энергия растёт; сле-
довательно, при одной и той же температуре и давлении тело в
газообразном состоянии обладает ббльшей энергией, чем в жидком.
Так как при изотермическом испарении происходит увеличение
энергии и, кроме того, совершается работа расширения, этот про-
t
Рис. 343.
\ Вода
§ 5]
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ
513
цесс происходит с поглощением тепла:
(16.1)
где Q — количество теплоты, полученное двухфазной системой
(в рассматриваемом случае из термостата), AZ7 и ДУ—соответствую-
щие приращения её энергии и объёма.
Пусть х изменяется от 0 до 1, т. е. некоторое количество ве-
щества целиком переходит из жидкого в газообразное состояние, и
пусть в начальном и конечном состояниях температура и давление
одинаковы. Тогда
At7= U2 - Ulf &V = - Vif
где Ui — энергии, V2, Vt —
объёмы при давлений p и темпе-
ратуре Т соответственно в газооб-
разном и жидком состояниях. Обо-
значим L количество теплоты, по-
‘ глощённое при рассматриваемом пре-
вращении. Согласно (16.1),
Z=^-t/1+p(y2-lA).
Рис. 344.
Эта величина всегда положительна, так как (см. рис. 344)
и, кроме того, Она называется теплотой испарения рас-
сматриваемого количества вещества (а также скрытой теплотой
испарения).
§ 5. Испарение и конденсация с молекулярно-кинетической
точки зрения. Молекулярное толкование возникновения газообраз-
ной фазы, например, в опыте рис. 342, довольно очевидно: моле-
кулы жидкости находятся в тепловом движении и некоторые из них,
вырвавшись из жидкости через возникшую свободную поверхность,
образуют над ней газ. Но почему по достижении некоторой плот-
ности р наступает равновесие, количество молекул газообразной
фазы перестаёт расти?
Наполняя стакан, мы закрываем кран, как только замечаем, что
стакан «насыщен» водой, т. е. что вода подошла к краю. Происходит ли
нечто похожее в случае испарения? Прекращается ли вылет моле-
кул из жидкости, когда пространство над ней насыщено её паром?
Такое представление неприемлемо, так как предполагает, что моле-
кулы жидкости, подошедшие к её границе, могут «узнать», насы-
щено ли уже пространство над жидкостью или нет, и на осно-
вании этого «решить», что им делать: выходить или повернуть
обратно.
Правильна такая модель: вода льётся из крана в воронку
(рис. 345). Сначала уровень во^ы быстро растёт, но, по мере его
г-г ’
33 Папалекси, т. I 4
514
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[гл. XVI
повышения, вода вытекает из воронки всё быстрее и быстрее, и при
определённом уровне воды может наступить «насыщение»: расход
воды становится равным приходу, и количество воды в воронке
перестаёт увеличиваться. Установление равновесия жидкости и её
пара также является результатом наложения двух встречных про-
цессов: переходом молекул из жидкости в газ и переходом молекул
из газа в жидкость. Эти два процесса происходят независимо, они
«ничего не знают» друг о друге: число молекул, вылетающих за
плотности жидкости, а число
молекул газа, попадающих
за 1 сек в жидкую фазу,
пропорционально плотности
газа.
Плотность жидкости вви-
ду ничтожной сжимаемости
очень мало меняется при
изменении давления, вызван-
ного изменением плотности
газа: можно приближённо
считать, что изменяются
объём и масса жидкой фазы,
но не её плотность.
Отложим по оси абсцисс
плотность газа р, по оси ор-
динат Л^гж — число молекул, проникающих за 1 сек из газа в жидкость.
Мы получим прямую, проходящую через начало координат (рис. 346).
Число молекул Л/^, вылетающих за 1 сек из жидкой фазы в газо-
образную, не меняется с изменением р; оно изображается горизон-
тальной прямой. Пока р мало, ^жг^>^гж, и для газообразной фазы
«импорт» молекул превышает «экспорт», р растёт. Но с увеличе-
нием р «экспорт» растёт, между тем как «импорт» остаётся неиз-
менным; возрастание плотности газа становится всё медленнее. По
достижении той плотности, которая соответствует пересечению обеих
прямых, «экспорт» сравнивается с «импортом», изменение плот-
ности прекращается. Эта плотность и есть равновесная плотность р.
Если бы вначале плотность газа была больше р', «экспорт» превы-
шал бы «импорт» и р уменьшилось бы до значения р.
Если бы в равновесной системе жидкость — газ мы могли в не-
который момент, образно выражаясь, выкрасить все молекулы газа,
скажем, в красный цвет, мы заметили бы через некоторое время,
что газ побледнел, а жидкость покраснела: при равновесии происхо-
дит постоянное обновление состава газа1).
*) Воображаемый опыт с выкрашенными молекулами не так уж далёк
от действительности. В связи с открытием искусственной радиоактивности
§ 51
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ
515
Молекулярно-кинетическая теория (гл. XV, §§ 23, 21) о’трпь
просто объясняет быстрый рост разновесной плотности газа при
повышении температуры. Когда молекула жидкости приближается
к её границе с паром, силы сцепления тормозят её движение и
стремятся вернуть её обратно в толщу жидкости. Вырваться из
жидкой фазы в газообразную (испариться) могут только молекулы,
имеющие достаточно большую скорость для того, чтобы преодолеть
эти силы сцепления, т. е. молекулы,, кинетическая энергия-которых
превышает работу выхода; для
ни*
-^>2/8. (16.2)
А
Когда молекула пара прибли-
жается к его границе с жидкой
фазой, силы сцепления стремятся Рис. 347.
втянуть её в толщу жидкости.
Поэтому конденсируются все молекулы газа, подлетающие к границе
с жидкостью.
В качестве иллюстрации представим себе яму глубиной h
(рис. 347). Для того чтобы шар, пущенный* по дну ямы, мог из неё
выйти, он должен иметь (трением пренебрегаем) кинетическую
энергию, равную, по крайней мере, «работе выхода» gh (g— уско-
рение силы тяжести). Шары с мень-
шей энергией скатываются обратно в
яму. Шар, приближающийся к яме сна-
ружи, скатывается в неё, как бы ни
' была мала его скорость.
Так как по мере роста температуры
число быстрых молекул, удовлетво-
ряющих условию (16.2), очень быстро
растёт (гл. XV, § 9), AW есть бы-
стро растущая функция температуры.
Величина же Мж> соответствующая
данной плотности газообразной фазы р,
растёт с температурой очень медленно
(пропорционально w, т. е. К Г).
На рис. 348 построение рис. 346 повторено для трёх разных тем-
ператур: Tt < Tt < Г/
Абсцисса точки пересечения прямых NriK и ?/жг тем больше,
чем выше температура: чем больше молекул вылетает из жидкости,
получил широкое применение метод «меченых частиц», который позволяет
осуществлять опыты, в принципе подобные нашему воображаемому опыту,
(см. том II).
зз*
516
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
тем больше та плотность газа, при которой поток может ском-
пенсировать поток ЛАЖГ.
Если каким-нибудь способом уменьшить работу выхода, то при
заданной температуре Л^жг возрастёт, и равновесие наступит при
повышенной плотности газа. Если же работа выхода станет больше,
равновесная плотность газа уменьшится (ср. § 10). На основании
распределения Максвелла можно получить формулу, связывающую
равновесную плотность газа с работой выхода.
§ 6. Кипение. На первый взгляд существуют два типа превраще-
ния жидкости в газ: спокойное испарение, о котором шла речь
до сих пор, и бурное кипение, хорошо известное из повседнев-
ной жизни. Жидкость испаряется из открытого сосуда при лю-
бой температуре. Кипит она, в том же открытом сосуде, только
при определённой температуре. Испарение есть поверхностное яв-
ление; оно происходит на поверхности раздела жидкой и газо-
образной фазы. При кипении бурлит вся толща жидкости.
Но в действительности нет
отличия между механизмами фазо-
вого превращения при кипении и
при спокойном испарении. При
кипении фазовое превращение про-
исходит путём испарения, но со-
провождается сложными механи-
ческими явлениями, не имеющими
по своей природе ничего общего
с фазовым превращением.
Механизм фазового превраще-
ния при испарении и кипении ка-
жется различным тогда, когда
считают — по недоразумению, — что перед кипением в сосуде суще-
ствует «сплошная» жидкая фаза (рис. 349, а). На самом деле, в такой,
системе кипения быть не может. Кипение может происходить
только в том случае, если под мениском жидкости заранее суще-
ствует, в виде пузырьков (рис. 349, Ь), образовавшаяся путём испа-
рения газообразная фаза. Пузырьки сначала могут быть очень малы и
даже невидимы глазом, но они принципиально необходимы для кипения.
Будем нагревать воду в открытом стеклянном сосуде так, что-
бы видно было всё, что происходит. С верхней поверхности воды
происходит испарение, на что указывает туман, образующийся над
сосудом: водяной пар смешивается с холодным воздухом и конден-
сируется. При повышении температуры на стенках сосуда стано-
вятся заметными многочисленные маленькие пузырьки. Их размеры
постепенно растут. На этой стадии процесса они состоят главным
образом из посторонних газов, изгоняемых из воды (чем выше тем-
пература, тем меньшее количество примеси может оставаться раство-
§ 6]
КИПЕНИЕ
517
пузырьков выходит из
Рис. 350.
рённым в жидкости), и частично из водяного пара, так как вода
испаряется на всей границе с пузырьками. Эти пузырьки существовали
и раньше, но не были видны вследствие своей малости. По мере
увеличения размеров пузырьков их пловучесть возрастает, и, нако-
нец, они отрываются и всплывают. В этот момент бывает слышно
«пение», предшествующее кипению.
После этого первого «разряда» на стенках сосуда остаются ма-
ленькие «остаточные» пузырьки, которые в свою очередь растут при
дальнейшем нагревании. Но .теперь уже пузырьки почти целиком
наполнены водяным паром и содержат очень мало посторонних
газов. Вскоре вода закипает: из определённых точек на стенках со-
суда всплывают пузырьки, быстро следуя «гуськом» друг за дру-
гом (рис. 350). Каждая последовательность
определённой точки на границе жидкости.
(Если иногда и кажется, что пузырьки воз-
никают внутри Жидкости, то всегда при
более тщательном наблюдении обнаружи-
вается, что там есть инородная частичка.)
Итак, пока не наступило кипение, двух-
фазная система жидкость — пузырьки нахо-
дилась в состоянии механического равнове-
сия. Кипение состоит в том, что это меха-
ническое равновесие разрушается. Кипение
есть не рождение двухфазной системы, а
переход двухфазной системы от спокойного
существования к бурному, при котором пу-
зырькц быстро растут, отрываются и всплы-
вают. Рост пузырьков происходит путём
обыкновенного испарения.
В результате длительного кипения в чистом стеклянном сосуде
число точек, откуда выходят пузырьки, сокращается, затем образо-
вание пузырьков совсем прекращается, и жидкость перестаёт кипеть,
не израсходовавшись. Остаётся лишь испарение с верхней поверх-
ности.
Как показывает количественное исследование, кипение наступает
тогда, когда равновесное давление пара делается равным гидросташ-
ческому давлению в жидкости Р:
F(T) = P. (16.3)
Когда наступает кипение, температура жидкости перестаёт повьь
шаться, несмотря на продолжающийся подвод тепла. Эти утвержде-
ния, как мы увидим в §§ 8 и 9, верны лишь приближённо.
Можно выполнить условие кипения (16.3), не только нагревая
жидкость, но и понижая давление при постоянной температуре.
Выкачивая воздух из колбы с водой (рис. 351), мы замечаем
при понижении давления сначала рост пузырьков на стенках, а за-
518
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
тем кипение, хотя вода сохраняет комнатную температуру. Ещё более
эффектный опыт изображён на рис. 352. Пространство над водой
в колбе насыщено водяным паром; вода в колбе не кипит, так как
находится под давлением, равным сумме парциальных давлений воз-
духа и пара, т. е. превышающим F(T). Если облить колбу холодной
водой, пар конденсируется, и гидростатическое давление делается
равным парциальному давлению воздуха. Так как вода не успела
остыть, она закипает.
Конечно, вода, кипящая под пониженным давлением, не обладает
привычными свойствами «кипятка»: белок свёртывается в воде, кипя-
щей при нормальном давлении, не потому, что она кипит, а потому,
что она горяча.
По наблюдению точки кипения можно определить высоту над
уровнем моря. Для этого применяются специальные приборы — гип-
сотермометры. Уменьшение температуры кипения воды от 100° до
99° С соответствует понижению давления приблизительно на 27 мм
ртутного столба или подъёму по вертикали на 297 м от уровня
моря.
Когда после долгого кипячения в чистой стеклянной посуде ки-
пение прекращается или (§ 9) изменяет свой характер,* температура
повышается до 105—106° С. (Этот «перегрев» не имеет ничего
общего с нормальным кипением воды при температуре выше 100° С
под давлением выше атмосферного.)
Особенно ярким подтверждением того, что кипеть может только
жидкость, содержащая пузырьки, является опыт Дюфура, наблю-
§ 7]
ПОЧЕМУ ЖИДКОСТЬ ЗАКИПАЕТ?
519
давшего капли воды, взвешенные в смеси масел, плотность которой
подбиралась равной плотности воды. Смесь нагревалась до 178° С
(при атмосферном давлении), тем не менее вода не закипала.
§ 7. Почему жидкость закипает при F(T) = P? Рассмотрим
(сильно схематизированное) поведение отдельного пузырька.
Условия равновесия пузырька распадаются на две части:
1. Пузырёк должен иметь неизменный объём (равновесие по
объёму).
2. Пузырёк не должен всплывать (равновесие по высоте).
Первое условие требует, чтобы силы, действующие на поверхност-
ную плёнку пузырька изнутри и снаружи, были равны друг другу.
Снаружи действуют гидростатическое давление Р (атмосферное дав-
ление -ф- давление лежащего выше столба жидкости) и капиллярное
давление
"к г у1/
где г—радиус, V—объём пузырька, а — поверхностное натяжение
(гл. IX, § 6) м
р = 2а
45Г\1/'8
.3J ’
Изнутри на поверхность пузырька действует сумма равновесного
давления пара рассматриваемой жидкости р — р(Т) и давления воз-
RT
духа где п — число молей воздуха в пузырьке (разу-
меется, я<^1).
Условие равновесия по объёму:
JL
(16.4)
Второе условие требует, чтобы подъёмная сила пузырька pgV, где
р — плотность воды, g— ускорение тяжести, была меньше той пре-
дельной силы сцепления F, которая возможна между пузырьком и
стенкой сосуда (весом пузырька можно пренебречь): fgV<^F или
V<V*, (16.5)
Р
где V* = — есть то значение объёма, при котором пузырёк отры-
вается и всплывает.
Равновесие пузырька по высоте (подобно равновесию по высоте
привязного аэростата) всегда устойчиво. Устойчивость равновесия
по объёму требует специального рассмотрения. Равновесие по объёму
520
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
устойчиво в том случае, если пузырёк «пружинит», т. е. если при
сжатии (расширении) пузырька давление изнутри делается больше
(меньше) чем снаружи. В этом случае после случайного отклонения
автоматически восстанавливается равновесный объём. Если при сжа-
тии и расширении равенство давлений снаружи и изнутри нарушается
в другую сторону, пузырёк в результат^ малейшего случайного откло-
нения лопнет или будет раздавлен.
Равновесие по объёму удобно исследовать графически. Пред-
положим сначала, что F(T)<^P. В эТом случае кривые, изобра-
жающие левую и правую части уравнения (16.4) как функции V,
имеют вид, показанный на рис. 353. Равновесный объём Vo равен
абсциссе точки пересечения
обеих кривых. Кривая внутрен-
него давления поднимается кру-
че при уменьшении V, чем кри-
вая внешнего давления (так как
V растёт быстрее чем У1/з).
Поэтому при Vo внешнее
давление больше внутреннего,
а при VVo — внутреннее
давление больше внешнего: рав-
новесие по объёму устойчиво.
Посторонний газ необходим
для существования пузырька: если п = 0, то при F(T)<^P внеш-
нее давление при любом V больше внутреннего и пузырёк, кон-
денсируясь, сжимается до 1/=0. Для того чтобы выполнялось
условие равновесия по высоте (16.5), кривые должны пересекаться
левее точки У* (как на рис. 353).
Как меняется равновесный объём при повышении температуры?
Кривая внешнего давления мало зависит от температуры; можно
считать, что она не смещается. Кривая же внутреннего давления очень
сильно зависит от температуры. С увеличением температуры, как мы
знаем, равновесное давление F (Г) быстро возрастает: горизонтальная
асимптота поднимается. Кроме того, благодаря выделению из воды
растворённого в ней воздуха может возрасти п, что приводит к подъёму
кривой внутреннего давления над асимптотой. Поэтому при повыше-
нии температуры точка пересечения обеих кривых скользит вправо,
и Vo растёт; по мере роста температуры пузырёк раздувается, нахо-
дясь в каждый рассматриваемый момент времени в устойчивом рав-
новесии по объёму и по высоте. Так продолжается до температуры
Т*, при которой принимает значение V*. В тот момент, когда до-
стигается эта температура, нарушается равновесие по высоте; пузырёк
отрывается и всплывает.
Если в пузырьке сравнительно мало воздуха (как это имеет место
после первого разряда с «пением») и V* велико, т. е. для отрыва
пузырька требуется большая подъёмная сила, Г* почти равна той
§ 8] ПОЧЕМУ, ЗАКИПЕВ, ЖИДКОСТЬ ПЕРЕСТАЁТ НАГРЕВАТЬСЯ? 521
температуре, при которой сливаются асимптоты кривых внутреннего
и внешнего давлений, т. е. Р(Т*) = Р (приблизительно). Отрыв пу-
зырька наступает при такой температуре, когда равновесное дав-
ление пара делается практически равным гидростатическому (рис. 354).
Пузырёк отрывается не целиком; он оставляет маленький оста-
точный пузырёк (рис. 355), подобно тому как при отрыве водяной
капли остаётся «зародыш» следующей капли.
Пусть остаточный пузырёк имеет объём У'. Температура слегка
превосходит Т* и равновесный объём Уо слегка превосходит V*.
Пузырёк объёма V не
находится в равновесии
по объёму. Внутреннее
V” давление в нём немного
” f превышает внешнее, и он
Рис. 355.
Рис. 354.
быстро раздувается, стремясь принять равновесный при данной
температуре объём Уо. Но прежде чем наступает равновесие по
объёму, нарушается равновесие по высоте, так как, достигнув
объёма V*, новый пузырёк, как и его. предшественник, отрывается
и всплывает, оставляя в свою очередь новый остаточный пузырёк
объёма V', который так же быстро раздувается до объёма У* и
всплывает и т. д.
Таким образом, когда температура переходит через значение Т*,
устойчивое равновесие пузырька сменяется периодическим явлением,
быстрым поочерёдным раздуванием и отрывом пузырьков из опреде-
лённых мест на стенках сосуда. Это периодическое явление и есть
кипение. 7* есть температура начала кипения при давлении Р.
§ 8. Почему, закипев, жидкость перестаёт нагреваться? Пусть
Q — количество теплоты, получаемое за 1 сек двухфазной системой
жидкость — пар от пламени. Q делится на две части: одна идёт на
нагревание, другая — на испарение (см.-§ 4).
Пока не началось кипение, количество жидкости, испарившейся
за 1 сек, мало, Q идёт почти целиком на нагревание, температура
постепенно повышается. Положение совершенно меняется, когда на-
ступает кипение. Каждый раз, когда пузырёк раздувается от V до У*,
в него испаряется определённая масса жидкости т. За 1 сек испа-
ряется масса mvN, где v — частота отрыва пузырьков, т. е. число
пузырьков, отрывающихся из одного места за 1 с^с, N—число мест
на стенках сосуда, откуда происходит испускание пузырьков, на что
522 ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ [ГЛ. XVI
расходуется количество теплоты Q' — mvNl (I — теплота испарения
1 массы, см. § 4). Если N и v велики, то на испарение теперь идёт
гораздо большее количество теплоты, чем до кипения.
Но всё же ещё непонятно, почему Q' = Q и температура совсем не
растёт. Почему на испарение идёт не 90% и не 99%, а ровно 100%
всей поступающей энергии? Казалось бы, при кипении температура
должна всё же рас^и, хотя гораздо медленнее, чем до кипения. Здесь
возникает такой же вопрос, как при исследовании механизма равно-
весия жидкость — пар (§ 5). Как может теплота «знать», что нача-
лось кипение и что ей «нужно» теперь целиком итти на испа-
рение?
Мы получим простой ответ, если примем во внимание, что v быстро
растёт с температурой: если температура поднимется выше Т*9 пу-
зырьки начнут отрываться чаще,
h (fivNlm так как избыток внутреннего дав-
I ления над внешним станет больше,
J чем при Т = Т*, и они будут бы-
; ..гг . ..г. х £ —w-r.,-Q стрее раздуваться от объёма V
I до объёма V*. Следовательно, Q'
R есть функция температуры, практи-
р чески равная нулю при ТТ* и
|i очень круто растущая при Т ^>7*
___J1 гГ (Рис. 356).
т*т В начале кипения (при Т—Т*)
рис 25g Q — Q'> 0 и кипящая жидкость дей-
ствительно слегка нагревается вы-
ше Т*. Но уже при очень малом по-
вышении температуры над Т* (при Т—Т) Q' делается равным Q
и, следовательно, устанавливается постоянная температура Т.
Если случайно температура окажется выше чем 7, то Q' сде-
лается больше чем Q, и температура снова упадёт до Т.
Прекращение нагревания при кипении получает, таким обра-
зом, объяснение, аналогичное объяснению установления равновесия
жидкость—пар (§ 5). Оно наступает автоматически в результате взаим-
ной компенсации двух независимых процессов: постоянного притока
тепла из пламени и растущего с температурой расхода тепла на
испарение.
Разность Т— 7*, как видно из рис. 356, тем меньше, чем меньше Q,
т. е. чем медленнее подводится теплота извне и чем больше число
мест N, где происходит отрыв пузырьков. Если тСплсад подводится
достаточно медленно и число «центров кипения» достаточно вели-
ко, температура кипения жидкости сколь угодно мало отличается
от Т*. Если, кроме того, объём У*, при которо1и происходит от-
рыв пузырьков, достаточно велик, Т* сколь угодно мало отличается
от той температуры Г, при которой F(T) = P. Именно в этом смысле
§ 9]
ПЕРЕГРЕВ
523
можно говорить о том, что жидкость обладает при данном давлении
определённой точкой кипения.
§ 9. Перегрев. После длительного кипения «внутренний фронт
испарения» сокращается: W уменьшается, так как в воде остаётся
очень мало растворённого воздуха, в большинстве пузырьков п де-
лается очень мало, и следовательно, эти пузырьки опять сильно
сдавливаются гидростатическим давлением и не могут всплыть (их
равновесный объём Vo снова делается меньше V*). Кипение пре-
кращается или почти прекращается. Вследствие уменьшения N тем-
пература жидкости становится заметно выше нормальной температуры
кипения (перегрев, см. § 6), равновесное давление napaF(T) значи-
тельно больше гидростатического давления Р. Если при этом коли-
чество воздуха в оставшихся
пузырьках остаётся очень
малым, мы получаем диа-
грамму рис. 357.
Здесь кривые внешнего и
внутреннего давления пере-
секаются в двух точках,
обе соответствуют малым
объёмам пузырька. Таким
образом, для пузырьков с
малым содержанием возду-
ха, которые уцелели при
перегреве, существуют два состояния равновесия по объёму.
Но лишь то, которое соответствует меньшему значению объёма
устойчиво. Действительно, вблизи объёма V'o кривая внутреннего
давления идёт круче, чем кривая внешнего давления, вблизи У9' круче
идёт кривая внешнего давления.
По мере уменьшения М жидкость нагревается. При этом «устой-
чивая» и «неустойчивая» точки
пересечения кривых внутреннего и
внешнего давления сближаются и
при некоторой температуре сли-
ваются (кривые имеют общую
касательную, рис. 358). Здесь
остаётся только одно положение
равновесия, и притом неустойчи-
вое, так как при увеличении объ-
ёма внутреннее давление делается
больше внешнего. Физически это
означает, что при некоторой тем-
пературе пузырёк, находившийся
до того в устойчивом равнове-
сии как по объёму, так и по
высоте, теряет устойчивость равновесия по объёму: он внезапно раз-
дувается (лопается), а затем уж всплывает.
524 ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ [гл, XVI
В согласии с этим, опыт показывает, что при достаточном пере-
греве жидкости выше нормальной точки кипения, соответствующей
данному давлению, кипение носит необычный характер — происхо-
дит «кипение со взрывами». Его легко наблюдать в воде, в значи-
тельной мере очищенной от воздуха предварительным кипячением:
при кипении пар образуется в небольшом числе пузырей, кото-
рые перед тем, как всплыть, лопаются, издавая характерные щёл-
кающие звуки. Если теперь насыпать в воду песок или другое ве-
щество, из которого легко выделяется воздух, то W резко возрас-
тает, «внутренний фронт испарения» расширяется, температура опу-
скается до нормальной температуры кипения, и начинается бурное
нормальное кипение. Щёлканье прекращается, так как теперь пу-
зырьки всплывают, не лопнув. *
§ 10. Конденсация на ядрах. Конденсация, как и испарение,
есть поверхностное явление. Для того чтобы происходила конденса-
ция, необходимо, чтобы существовала конденсированная фаза, поверх-
ность которой могла бы улавливать подлетающие к ней молекулы.
Между тем известно, что при достаточно сильном охлаждении «во
всём объёме» сосуда, насыщенного паром, образуется туман, пред-
ставляющий собой двухфазную систему жидкость—газ. На первый взгляд
кажется, что здесь происходит не конденсация на поверхности раз-
дела двух фаз, о которой шла речь в § 2, а какое-то другое, объём-
ное явление.
Как и в случае кипения, такое представление о двух типах фазо-
вого превращения неправильно. На самом деле, система является
двухфазной ещё до того, как образовался туман. Внимательное иссле-
дование показывает, что в сосуде заранее имелись маленькие вкрап-
ления конденсированной фазы: пыдинки, капельки жидкости, очень
маленькие взвешенные кристаллики и т. д. Эти вкрапления служат
ядрами конденсации-, газ конденсируется на их поверхности.
Подобно тому как вода, тщательно очищенная от пузырьков,
не закипает, газ, тщательно очищенный от ядер конденсации, не будет
конденсироваться, по крайней мере при обычных условиях (ср. § 12).
Это можно показать при помощи такого опыта (рис. 359). Сте-
клянная колба сначала наполнена комнатным воздухом (содержащим
огромное количество инородных вкраплений, например, взвешенных
пылинок, наиболее крупные из которых можно увидеть в солнеч-
ном луче, входящем в тёмную комнату через узкую щель). По стен-
кам разбрызгивается вода, чтобы колба была насыщена водяным
паром.
Сначала при закрытых кранах и С2 насос откачивает резер-
вуар /?. Если затем на мгновение открыть кран С2, воздух в колбе,
быстро расширяясь, охлаждается (так как быстрое расширение —
почти адиабатическое). При новой температуре он пересыщен водяным
паром, так как плотность пара в колбе уменьшается гораздо меньше,
чем равновесное значение плотности. Избыток водяного пара конден-
§ 10]
КОНДЕНСАЦИЯ НА ЯДРАХ
525
сируется и образует туман, который виден непосредственно и может
быть показан ещё лучше посредством цветных диффракционных колец
(см. том II), образующихся, если пропустить сквозь колбу пучок
белого света. Кольца тем крупнее, чем мельче капли.
Этот опыт может служить моделью образования облаков: они
образуются благодаря адиабатическому расширению воздуха, насы-
щенного паром (а не как думали раньше, смешение его с более хо-
лодным воздухом). Диффракционные кольца — той же природы,
что сияние вокруг луны, наблюдающееся в туманную погоду.
Откроем теперь оба крана и С2 и будем медленно засасывать
в прибор воздух через ватный фильтр. Затем закроем краны, снова
откачаем резервуар и произведём новое расширение воздуха, открыв
на мгновение кран С2. Теперь . образуется менее густой туман, но
отдельные капли — крупнее, чем при первом расширении. Это про-
исходит от того, что через ватный фильтр вошёл очищенный воздух
и ядер для конденсации меньше, чем при первом опыте. То же избы-
точное количество влаги собирается в меньшее число капель.
Если этот процесс повторить несколько раз, то, в конце концов,
получаются капли настолько редкие и крупные, что их можно раз-
глядеть. Они падают со значительной скоростью, наподобие дождя.
После того как капли упали, воздух очищен от ядер конденсации,
и при повторении расширения никакой конденсации, несмотря на
сильное пересыщение колбы водяным паром, не наблюдается. Если
воздух очень тщательно очищен от вкраплений, то конденсация не
наступает даже при относительной влажности 4ОО°/0. (Относительной
влажностью называется отношение парциального давления пара к
равновесному давлению пара при той же температуре.)
Айткен, первый исследовавший конденсацию на ядрах, считал, что
капли образуются на всякой «пылинке». Но, как показали более
поздние исследования, ядрами конденсации могут быть далеко не
всякие вкрапления. Повидимому, особенно активными ядрами кон-
денсации для водяного пара являются вкрапления, содержащие аммиак
526 ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
(NH3) и NaCl (взвешенные кристаллики NaCl встречаются в большом
количестве над морем).
Опыт показывает, что в отличие от конденсации при наличии
сравнительно большой жидкой поверхности (случай, который имелся
в виду в § 2), конденсация на ядрах начинается не сразу после того,
как изображающая точка, находившаяся вначале в заштрихованной
области рис. 338, пересекает кривую равновесия и попадает в область
конденсации, а лишь при некотором конечном пересыщении, т. е.
тогда, когда изображающая точка заходит достаточно далеко в неза-
штрихованную область. При адиабатическом охлаждении пара кон-
денсация на ядрах начинается не в состоянии М (на пересечении
адиабаты АВ с кривой равновесия р = F(T), рис. 360), а в некото-
ром состоянии N, где температура и давле-
ние ниже чем в М. Положение точки 7V (сте-
пень пересыщения, нужная для конденсации)
зависит от характера ядер. Ключ к понима-
нию этих замечательных явлений даёт теория
равновесия жидкости и её пара, разделён-
ных кривой поверхностью, разработанная
лордом Кельвином на основании второго
принципа термодинамики (см. гл. XVII, §22).
Согласно этой теории, равновесное да-
вление пара зависит от кривизны поверх-
ности раздела между жидкой и газообразной
фазами. Если поверхность жидкости — вы-
пуклая (её радиус кривизны г мы будем
при этом считать положительным), равновесное давление больше,
чем над плоской поверхностью, и тем больше, чем меньше г. Если
поверхность жидкости — вогнутая (г мы будем считать при этом
отрицательным), равновесное давление меньше, чем над плоской
поверхностью, и тем меньше, чем меньше |г|. Следовательно, если
пар находится в равновесии с каплей, то чем меньше капля, тем
больше давление пара, если жидкость находится в равновесии с пу-
зырьком пара, то чем меньше пузырек пара, тем меньше давление.
Равновесное давление пара над поверхностью жидкости, имеющей
радиус кривизны г, мы обозначим p = Fr(T), сохранив обозначение
p — F(T) для случая плоской поверхности (г=оо).
С молекулярно-кинетической точки зрения результат Кельвина
объясняется тем, что работа выходаЦ§ 5) молекулы из жидкой фазы
через выпуклую поверхность жидкости меньше, а через вогнутую
больше чем через плоскую.
На рис. 361 проведены пунктиром кривые р = Fr (Т) для различ-
ных положительных г. Чем больше г, тем ближе соответствующая
кривая к кривей p = F(T). Пусть состояние\нара в сосуде, где на-
ходятся одновременно водяная «лужа» (г = оо) и водяные капли ра-
диуса ги изображается точкой /И. Капли испаряются (для них плот*
§\10]
КОНДЕНСАЦИЯ на ЯДРАХ
527
4
носгь пара меньше равновесной), между тем
«лум» происходит конденсация (по отношению
ство пересыщено паром): происходит перегонка
в «лужу». Точно так же возможна перегонка
жидкости из мелких капель радиуса rt в круп-
ные капли радиуса г2.
Вернёмся к конденсации на ядрах. Для про-
стоты уподобим ядра конденсации шарикам
радиуса г. Если p<^Fr(T), конденсация на
ядре происходить не будет: если на ядре обра-
зуется капля, она тотчас же испаряется. Для
того чтобы наступила конденсация, нужно,
чтобы давление пара р было по крайней мере
равно Fr(T). Чем мельче ядра, тем боль-
шее пересыщение р — F(Т) по отношению к
как на поверхности
к «луже» простран-
жидкости из капель
плоской поверхности нужно для конденсации. Рис. 361.
Состояние N, в котором наступает конден-
сация при адиабатическом расширении АВ (рис. 360), есть, оче-
видно, пересечение адиабаты АВ с кривой равновесия, соответствую-
щей наибольшему радиусу ядер, имеющихся в сосуде.
Опыт над конденсацией пара привёл Вильсона к замечательному
открытию, давшему физике наиболее прямой метод исследования
движения атомных ядер, электронов и других заряженных элемен-
тарных частиц. Вильсон обнаружил, что если пар очень тщательно
очищен от всяких частиц постороннего вещества, конденсация на-
ступает при вполне определённом пересыщении, — тогда, когда отно-
р
сительная влажность равна 420%- При этом возникают очень
редкие капли, заряженные отрицательным электричеством. Пользуясь
Р
формулой Кельвина (гл. XVII, § 22), по величине ущ можно
оценить г. Получается г=8*108 см, т. е. величина порядка
молекулярных размеров. Естественно было считать, что здесь яд-
рами конденсации служат не вкрапления постороннего вещества,
а отрицательные ионы (см. том II). Действительно, если создать
в камере Вильсона — сосуде, где происходит внезапное (адиабатиче-
ское) расширение воздуха, насыщенного паром (подробно в томе II) —
электрическое поле, то ионы уводятся, и можно дойти без конден-
сации до пересыщений, ббльших чем 420%.
Заряженные частицы, вылетающие из ядер радиоактивных эле-
ментов, разбивают пронизываемые ими молекулы и усеивают свой
путь огромным количеством обломков этих молекул — ионов. По-
этому, если сразу после пролёта такой частицы через камеру Виль-
сона, наполненную насыщенным паром воды или спирта, произвести
внезапное расширение, то вдоль всего пути частицы образуются
капли жидкости, и путь становится видимым. Этими скромными кап-
528 Флзовые равновесия и превращения
[гл. Xvi
лями написаны многие из самых блестящих страниц новейшей физпки.
Им мы обязаны, в частности, открытием позитрона, нейтрона и
мезотрона (том II).
Конденсацию на ионах иллюстрирует опыт Р. Гельмгольца: че-
рез стеклянную трубку со впаянными электродами (рис. 362)'выхо-
дит водяной пар, обра-
зующийся в кипятильнике.
К- Пока нет разряда, пар,
смешиваясь с воздухом,
конденсируется в виде
редкого тумана. При про-
пускании разряда между
электродами туман сразу
делается очень густым:
появляющиеся многочи-
сленные ионы увеличива-
ют в огромной степени
число ядер конденсации.
§ 11. Общая картина поведения системы жидкость—газ.
1. Система не очищенная от посторонних вкраплений. Система,
содержащая посторонние включения, никогда не является строго
однофазной. При тех состояниях, когда одна фаза представлена
только небольшими вкраплениями, мы будем называть систему квази-
однофазной. Примерами могут служить ещё не кипящая вода с очень
маленькими пузырьками и газ, содержащий очень малые пылинки или
кристаллики. В остальных слу-
чаях мы будем говорить о двух-
фазной системе.
Поддерживая температуру по-
стоянной, будем менять объём си-
стемы, находящейся вначале в
двухфазном состоянии А (рис.
363). Пока система остаётся двух-
фазной, давление не меняется, изо-
бражающаяся точка движется
на плоскости V, р по горизон-
тальной прямой MN (ср. § 2).
Когда система Становится квази-
однофазной вследствие испарения
жидкости (при увеличении объёма,
точка N) или конденсации пара (при уменьшении объёма, точка 7И),
дальнейшее увеличение (уменьшение) объёма сопровождается умень-
шением (увеличением) давления.
Пусть теперь исходным состоянием системы является В. Будем
уменьшать объём. Благодаря наличию ядер конденсации (мы предпола-
гаем, что они достаточно крупные, см. § 10), когда будет достиг-
§ \L1] ОБЩАЯ КАРТИНА ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ЖИДКОСТЬ—ГАЗ 529
нутб состояние N, начнётся конденсация, дальнейшее уменьшение
объёма не сопровождается изменением давления, изображающая
точка перемещается влево по прямой MN.
Пусть, наконец, исходным состоянием является С. Будем увели-
чивать объём. Благодаря наличию пузырьков, когда будет достиг-
нуто состояние М, начнётся кипение, образуется газообразная фаза
и дальнейшее увеличение объёма — независимо от того, продол-
жается ли кипение или же жидкость, изгнав все воздушные пузырьки,
испаряется в дальнейшем только с поверхности, — происходит за
счёт превращения жидкости в пар и не сопровождается уменьшением
давления. Изображающая точка перемещается вправо по прямой MN.
Таким образом, при наличии пузырьков воздуха и ядер конден-
сации система при расширении проходит в обратном порядке ту же
последовательность состояний, что и при
сжатии. Состояние системы однозначно опре-
деляется заданием температуры и объёма,
независимо от её предыдущей «истории».
При p>F(T) возможны только жидкие,
при p<^F(T) только газообразные состоя-
ния. Поэтому на диаграмме Т, р неочищен-
ной системы можно назвать область, лежа-
щую ниже кривой равновесия, областью
газа, а область, лежащую выше этой кри-
вой, — областью жидкости (рис. 364).
На рис. 363 показано несколько изотерм
~ того же вида, что CMANB. Чем выше тем-
пература, техМ выше расположена соответ-
ствующая изотерма.
Будем подводить тепло, поддерживая
Пусть начальное состояние — жидкое (точка F). Изображающая точ-
ка смещается. пошизобаре—горизонтальной прямой FG. Левее точки
М. происходит нагревание (изображающая точка пересекает изотер-
мы, соответствующие всё более высоким температурам), и система
остаётся в жидком (квазиоднофазном) состоянии. Когда достигается
изотерма CMfiNB, горизонтальный участок которой совпадает с
изобарой FG, начинается кипение. При» дальнейшем изобарном рас-
ширении температура не меняется. Так продолжается до полного
превращения жидкости в пар (точка N). Дальнейшее расширение
опять связано с повышением температуры, причем система снова
квазиоднофазная.
При изобарном уменьшении объёма нужно сначала уменьшать
температуру (участок GN). Затем начинается конденсация и т. д.
Здесь также последовательность состояний FMANG может быть
пройдена как в прямом, так и в обратном порядке.
2. Система, очищенная от посторонних вкраплений. Си-
стема, тщательно очищенная от пузырьков, пылинок, кристал-
34 Папалекси, т. I
P^F(T)
Рис. 364.
давление постоянным.
530
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[гл. xvi
ликов солей, ионов и т. п., может быть либо двухфазной, либо
чисто однофазной.
Будем нагревать жидкость при постоянном давлении p = Z(r2).
Пока температура растёт до Т2 (участок FM), нет существен-
ных отличий от неочищенной системы (рис. 365). Но теперь мо-
мент, когда изображающая точка придёт в 7И, не будет отмечен
никакими особыми явлениями: жидкость, очищенная от пузырьков,
кипеть не может. Так как нет испарения, для дальнейшего увеличе-
ния объёма надо повысить температуру жидкости. Мы знаем (§ 6),
что при отсутствии пузырьков температура жидкости может быть
поднята много выше точки кипения, соответствующей выбранному
давлению. Жидкость при дав-
лении p = F(T2) может иметь
температуру более высокую чем
Т2, например, температуру Т3
(перегретая жидкость). Это ука-
зывает на то, что для очищен-
ной системы изотерма Т=Т3 пе-
ресекает изобару p = F(l\) не
только в области газообразных,
но и в области жидких состоя-
ний и имеет, следовательно, ветвь
вида, изображённого пунктиром
на рис. 365. Такие же ветви име-
ют и остальные изотермы. Опыт
Дюфура (§ 6) указывает, что на
изотерме воды для 178° С, гори-
зонтальный участок которой соответствует р = 1181 мм ртути
(равновесное давление водяного пара при 178°), ветвь, изобража-
ющая жидкое состояние, опускается по крайней мере до изобары
р = 7ЪЪ мм.
Итак, ветви изотерм, изображающие жидкие строго однофазные
состояния, не оканчиваются на двухфазных «площадках^ а опускают-
ся гораздо ниже.
Опыт показывает, что при достаточно низких температурах эти
ветви даже пересекают ось объёмов (изотерма 1\ на рис. 365).
Участок изотерм, расположенный ниже оси V, изображает состоя-
ния, в которых р отрицательно, т. е. в жидкости имеет место не
давление, а натяжение^ если . мы разделим мысленно жидкость
плоскостью на две части А и В, то А не давит на В (и В на А),
как обычно, а А тянет В (и В тянет А). Рассуждая так же, как
в гл. XV, § 23, мы приходим к выводу, что в этом случае
жидкость не давит на соприкасающиеся с ней твёрдые тела, а тянет их.
Состояние натяжения можно осуществить на опыте в жидко-
сти, тщательно очищенной (кипячением) от пузырьков воздуха.
Если осторожно опрокинуть барометрическую трубку, наполненную
§11] ОБЩАЯ КАРТИНА ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ЖИДКОСТЬ—ГАЗ 531
ртутью, можно достигнуть того, что ртуть прилипает ко дну трубки
и не вытекает из неё при вертикальном положении, несмотря на то, что
длина ртутного столба намного больше такой, которая может
удерживаться атмосферным давлением. Столб ртути В (рис. 366)
находится в равновесии под действием своего веса mg, атмосферно-
го давления и натяжения [р|, действующего со стороны стол-
ба А. Можно осуществить условия, когда вода не разрывается при
натяжениях, измеряемых сотней атмосфер.
Будем теперь охлаждать газ при постоянном давлении р —
= F(T2) (начальное состояние О, рис. 365). Пока температура
выше нет существенных отличий от поведения неочищенной
системы. Но теперь, в тот момент, когда изображающая точка при-
дёт в М, жидкая фаза не появится, так как
отсутствуют ядра конденсации. Переход че-
рез состояние N не будет отмечен ника-
кими особенностями, система может быть
подвергнута дальнейшему изобарному охла-
ждению, оставаясь однофазной и газооб-
разной. Это значит, что возможен газ, име-
ющий температуру более низкую, чем та,
при которой под существующим давлением
он находился бы в равновесии со своей
жидкостью («переохлаждённый газ»). Для
очищенной системы изотерма Т=7\ пересе-
Рис. 366.
кает изобару p = F(T%) не только в области
жидких состояний, но и в области газообразных и, следовательно,
имеет ветвь, изображённую пунктиром на рис. 365.
Итак, ветви изотерм, изображающие газообразные, строго одно-
фазные состояния, также не оканчиваются на двухфазных «площад-
ках», а поднимаются гораздо выше (мы внаем из § 10, что возмож-
ны пересыщения порядка 4ОО°/о).
Если, исходя из двухфазного состояния А, изменять объём изо-
термически, то система, дойдя до состояния М (или N), превращается
в однофазную. Если теперь мы будем изменять объём в обратную
сторону, то, пройдя состояние М (или Af), система не станет сно-
ва двухфазной. Изображающая точка пойдёт по однофазной ветви
MR (или MS). Таким образом, очищенная система, в отличие от
неочищенной, не проходит в прямом и обратном порядке одну и ту
же последовательность состояний. При заданных температуре и объёме
возможны различные состояния, в зависимости от «истории»
системы.
Здесь при p>F(T) возможны как жидкие, так и газообразные
состояния. То же относится к p<^F(T). Для очищенной системы
нельзя разделить плоскость Т, р на две неперекрывающиеся области,
граничащие вдоль кривой равновесия, из которых одна соответст-
вует только жидким, другая — только газообразным состояниям.
84*
532
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[гл. XVI
§ 12. Метастабильные состояния. Что произойдёт с однофаз-
ной системой, если в неё внести вкрапление другой фазы? Будем
считать для определённости, что температура и объём поддержи-
ваются постоянными.
Рассмотрим все возможные^случаи.
1. Давление в исходном состоянии меньше равновесного дав-
ления, соответствующего плоской границе между фазами'.
р<Р(Т)-
а) Исходное состояние вещества газообразное (например,
рис. 367).
Внесённая жидкая капля испарится, так как, если то
подавно p<^Fr(T), т. е. для капли давление меньше равновесного,
каков бы ни был её радиус г (г^> О,
см. § 10); вещество вернётся в ис-
ходное газообразное состояние
b) Исходное состояние жидкое
(например, Aft).
При внесении пузырьков газо-
образной фазы произойдёт одно
из двух: либо радиусы пузырьков
г(г<^0) настолько малы по аб-
солютной величине, что /7(Т)<^
<^p<^F(T), для них давление р
больше равновесного: пар, образу-
Рис. 367.
ющий такие пузырьки, сконденси-
руется, и вещество вернётся в жидкое состояние; либо г настолько
велико по абсолютной величине, что p<^Fr (T)<^F (Т), т. е. для
них давление р меньше равновесного. Жидкость начнёт испаряться
в пузырьки, они будут раздуваться, и начнётся кипение со взрыва-
ми (§ 9). Система перейдёт в двухфазное состояние
2. Давление в исходном состоянии больше равновесного давле-
ния, соответствующего плоской границе между фазами".
Р>Р(Т).
а) Исходное состояние вещества — газообразное (например, Af2).
При внесении жидких капель произойдёт одно из двух: либо ра-
диусы капель г(г^>0) настолько малы, что F(T)<^p<^Fr(T), для
них давление р меньше равновесного, и исходное газообразное
состояние восстановится; либо г настолько велико, что р^> Fr{T)^y>
^>F(T), т. е. для них давление р больше равновесного. На таких
каплях газ будет конденсироваться, и вещество перейдёт в двухфаз-
ное состояние N[.
b) Исходное состояние вещества жидкое (например, ЛГ2).
Внесённые в него газообразные пузырьки сконденсируются, так как
если pZ>F(T), то подавно p>Fr(T) для любого г<0, т. е. для
§ 13]
КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА
533
разрушаются при внесении
Рис. 368»
любого пузырька давление р больше равновесного, и исходное
жидкое состояние восстановится.
Итак, состояния, изображённые на рис. 365 пунктирными вет-
вями изотерм, разрушаются при внесении достаточно крупных
вкраплений другой фазы. Эти состояния называются метастабильными.
Наоборот, те однофазные состояния, которые изображены на рис. 365
сплошными ветвями изотерм, не разрушаются при внесении вкрап-
лений другой фазы, а восстанавливаются, «рассасывая» эти вкрап-
ления. Такие состояния называются стабильными. Двухфазные со-
стояния являются стабильными, так как не
небольшого добавка любой фазы.
Стабильная часть изотермы очищенной
системы (рис. 365) совпадает с изотермой
неочищенной системы (рис. 363). Для
очищенной системы кривая .равновесия
делит плоскость Т, р (рис.
368) на область стабильности жидких
состояний и область стабильности газо-
образных состояний.
По мере продвижения вверх по мета-
стабильной ветви TW2 уменьшается мини-
мальный размер капли, способной конден-
сировать на себе газ. При достаточно
большом давлении р конденсацию может
вызвать уже «капля», состоящая из нескольких молекул. Но такие
капли самопроизвольно образуются время от времени в результате
случайного сближения молекул (флуктуации плотности, см. гл. XV,
§ 1). Поэтому при достаточно больших давлениях однофазное
газообразное состояние будет разрушаться самопроизвольно, без
внесения зародышей конденсации извне. Отсюда ясно, что метаста-
бильная ветвь AW2 должна иметь конечную протяжённость. Анало-
гичное рассуждение показывает, что конечную протяжённость должна
иметь и метастабильная ветвь
На диаграмме Т, р (рис. 368) в области, отмеченной косой
штриховкой, возможны газообразные состояния, в горизонтально
заштрихованной области — жидкие. Эти области частично перекры-
ваются. Густая штриховка указывает стабильность, редкая — метаста-
бильность соответствующего состояния.
§ 13. Критическая точка. Непрерывный переход из газообраз-
ного в жидкое состояние. Проводившееся некогда различие между
«парами» и «газами» или даже, более подчёркнуто, «постоянными
газами» основывалось на том, что для одних веществ (например,
воды, эфира, спирта) были известны только изотермы типа, пока-
занного на рис. 363, а для других веществ — только .однофазные
изотермы типа, показанного на рис. 321, гл. XV (например, воз-
дух, кислород, водород).
534
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
Ещё Фарадей, опираясь на некоторые наблюдения, высказал
мысль, что это различие — кажущееся и появляется только потому,
что исследованы недостаточно широкие интервалы температур. При
повышении температуры с веществом, описываемым рисунком 363,
должно обнаружиться то, что показано на рис. 369: двухфазные пло-
щадки будут делаться всё короче и, наконец, совсем исчезнут,
после чего поведение вещества ничем не будет отличаться от пове-
дения «постоянного газа». Если же исследовать «постоянный газ» при
достаточно низких температурах,
то должны обнаружиться двух-
фазные площадки.
Опыт блестяще подтвердил эту
догадку. Для всех веществ полная
сеть изотерм действительно имеет
вид, изображённый на рис. 369 (для упрощения метастабильные ветви
опущены).
Большую роль в выяснении этой картины сыграли исследо-
вания Эндрюса, снявшего подробную карту изотерм СО2. Резуль-
таты Эндрюса показаны на рис. 370.
'Таким образом всякий газ может конденсироваться, но только
при достаточно низкой температуре.
Вершина К двухфазной области (рис. 369) называется критиче-
ской точкой, соответствующие ей значения температуры, давления
и объёма — критическими температурой) давлением и объёмом. Кри-
тическая температура есть та температура, выше которой не суще-
ствует двухфазных состояний и, следовательно, конденсация и ис-
парение невозможны.
Для того чтобы сконденсировать газ, его нужно охладить до
температуры ниже критической и, кроме того, подвергнуть доста-
точно большому давлению. Таким способом были получены жидкий
воздух (одновременно и независимо друг от друга Кайте в Париже
§ 13]
КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА
535
и Пиктэ в Женеве, 1877), жидкий водород, жидкий гелий
(Каммерлинг-Оннес, 1908). О том, как достигаются низкие темпе-
ратуры, необходимые для сжижения этих газов, см. § 15.
Критические константы некоторых веществ.
Вещество Критическая температура Pk (ат) dkl) (г/см3)
Воздух — 140,7° С 37,2 0,35
Н2 — 239,9 12,8 0,0310
О2 — 118,8 49,7 0,43
Не — 267,9 2,26 0,0693
Hg >1550 >200 4—5
НоО 374,0 217,7 ' 0,4
СО2 31,1 73,0 0,460
Рис. 371 даёт трёхмерное изображение состояний системы
жидкость—газ — твёрдое тело (о переходе в твёрдое состояние см.
Рис. 371.
ниже, § 16). Кривая равновесия жидкой и газообразной фаз на пло-
скости Г, р оканчивается в точке ТС, являющейся проекцией критиче-
ской точки на плоскость Т, р (рис. 372).
Из существования критической точки следует, что можно пре-
вращать газ в жидкость без конденсации и жидкость в газг—без
испарения (в частности, без кипения). Конденсация и испарение — по-
верхностные явления, происходящие на границе двух фаз. Они воз-
l) dk есть критическая плотность, т. е. плотность в критической точке.
536
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
можны поэтому только в двухфазной системе. Утверждение сводится
к тому, что можно перевести вещество из состояния А (однофаз-
ного и газообразного) в состояние В (однофазное и жидкое) таким
способом, чтобы в течение всего превращения оно оставалось одно-
фазным. Действительно, можно пройти из Л в В (рис. 369, 372)
по таким непрерывным путям, которые минуют двухфазною область:
достаточно обогнуть критическую точку сверху.
Пусть вначале вещество находится в газообразном состоянии А.
Можно, например, сначала нагреть вещество при постоянном объёме
до температуры более высо-
кой, чем критическая (участок
АР), затем подвергнуть его
изобарному сжатию (участок
PR) и, наконец, охладить «его
при постоянном объёме до
первоначальной температуры
(участок RB). При таком
переходе из А в В система
всё время остаётся однофазной.
Если процесс происходит в
стеклянном сосуде и веще-
ство, превращаясь из газооб-
разного в жидкое, остаётся
Рис. 373.
прозрачным, то переход остаётся незаметным, и непредупре-
ждённый наблюдатель может подумать, что вещество осталось в
газообразном состоянии. Его можно в этом разубедить, например,
уменьшив давление при постоянной-температуре. Когда мы дойдём
до точки С (рис. 369), начнётся кипение (если не принять специ-
альных мер для очистки, см. § 6).
Возможность превращения газа А в жидкость В без конденсации
аналогична возможности перейти с одного берега реки на другой
без переправы: для этого нужно обогнуть по суше истоки реки.
Аналог реки — двухфазная область, истока — критическая точка
(рис. 372).
Рис. 373 поясняет отличие между переходом из Я в В по изо-
терме (посредством конденсации) и в обход критической точки
(без конденсации). Состояния отмечены теми же буквами, что на
рис. 372.
Переправа через двухфазную область (рис. 373, а). Ме-
няются только количества той и другой фаз. Физические свой-
ства каждой из фаз (вязкость, показатель преломления и т. п.)
совершенно одинаковы во всех состояниях. Отличие между свой-
ствами жидкой и газообразной фаз не сглаживается в процессе
превращаения.
Наблюдатель, следящий за определённой точкой жидкой или га-
зообразной фазы, не заметит никакого изменения, пока через эту
КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА
537
§ 13]
точку не пройдёт граница между фазами. В этот момент физические
свойства вещества в рассматриваемой точке изменяются скач-
ком.
Обход критической точки (рис. 373, Ь). В каждый момент
свойства вещества во всём объёме одинаковы, но в процессе превра-
щения они постепенно меняются. Это схематически изображено по-
степенным превращением точек, обозначающих газообразное состо-
яние, в длинные чёрточки, изображающие жидкое состояние. Не
существует определённого момента, когда можно сказать: вещество
перестало быть газообразным, оно стало жидким. Имеет место яе-
прерывный переход из газообразного состояния в жидкое.
Рассмотрим ещё изохорное изменение состояния при объёме,
равном критическому (опыт Каньяр де ла Тура, 1822). Запаянная
стеклянная ампула содержит эфир; количество его подобрано так,
чтобы объём ампулы был критическим объёмом. При комнатной
температуре эфир в ампуле распадается на жидкую и газообразную
фазы, разделённые резкой границей. Начнём нагревать ампулу. Изо-
бражающая точка будет совершать восхождение по «критической» изо-
хоре JKL (рис. 369). Система остаётся двухфазной, пока температура
ниже критической. Начиная с критической температуры, она становится
однофазной. Это происходит так: граница между жидкой и газооб-
разной фазами (она смещается лишь очень немного) делается всё
менее резкой и в момент достижения критической температуры
совершенно исчезает. При этом наблюдается сильное помутнение во
всём объёме ампулы («критическая опалесценция»).
Размытие границы фаз при приближении к критической точке
легко объяснимо (относительно критической опалесценции см. том II).
На рис. 369 точки горизонтального участка MN изображают
состояния двухфазной системы. Но при этом состояния жидкой и
газообразной фаз, взятых в отдельности, на всём участке одинаковы
и, следовательно, могут быть изображены точками М, N (напри^
мер, удельный объём жидкой и газообразной фаз изображается для
любого состояния участка MN соответственно абсциссами точек
М, N).
Когда температура приближается к критической, исчезает отличие
между удельными объёмами (и плотностями) в состояниях /И, W и,
следовательно, отличие между их оптическими свойствами (показате-
лями преломления). Но ведь мы видим границу фаз только благо-
даря отражению света от неё, вызванному отличием показателей
преломления (см. т. II).
Поверхностное натяжение обусловлено отличиями в плотностях
жидкой и газообразной фаз (гл. XV, § 24) и, следовательно,
исчезает при приближении к К- Поэтому граница фаз делается не
трлько всё менее видимой, но и всё менее устойчивой: она колы-
шется; случайно возникающие складки (флуктуации) разглаживаются
всё более вяло.
538
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
Превращение двухфазной системы в однофазную путё^м сглажи-
вания отличий между фазами иллюстрирует рис. 374, где точки и
чёрточки имеют тот же смысл^
что на рис. 373.
Если объём ампулы меньше
критического (точка Н рис. 369),
то по мере нагревания происхо-
дит конденсация, и мениск жидко-
сти, не расплываясь, достигает
верха ампулы. Если объём ампулы
больше критического (точки G,
Г), то по мере нагревания проис-
ходит испарение, и мениск, не
расплываясь, опускается до дна.
§ 14. Система жидкость—газ и уравнение Ван дер Ваальса.
Уравнение состояния Ван дер Ваальса (гл. XV, § 23)
(р + т») (V-b)=RT (16.6)
или (по умножении на У2)
v3-(b+~)v*+
+ tv~T=0 (16-6'}
не только передаёт ряд харак-
терных черт газообразного со-
стояния, но позволяет также ка-
чественно отобразить те свой-
ства вещества, которые описаны
в §§ 11 — 13.
Рассматривая (16.6') как урав-
нение между V и р, содержащее
Т как параметр, можно построить
обычными методами семейство
кривых Т — const, (изотермы).
Получается картина, изображён-
ная на рис. 375. Температурам Г,
ббльшим некоторого значения Tk, соответствует тот вид изотерм,
о котором шла речь в гл. XV, § 23. Вдоль этих изотерм V моно-
тонно убывает с ростом р. При Т= Tk получается изотерма,
в точке перегиба которой К касательная горизонтальна. При Т,
меньших чем Tk, изотермы имеют горб и впадину и состоят из
двух участков, где объём убывает с ростом давления
§ 14]
УРАВНЕНИЕ ВАН ДЕР ВААЛЬСА
539
соединённых участком, где объём растёт с ростом давления
('^"^>0^. На этих изотермах, в определённом интервале значений
р, каждому значению р соответствуют три значения V. С уменьшением Т
горб и впадина становятся всё резче выраженными, и при достаточно
низких температурах впадина опускается ниже оси объёмов: некото-
рому интервалу объёмов здесь соответствует отрицательное р.
Только те участки изотерм, где <^0,» могут претендовать
на отображение физически осуществимых состояний вещества.
Действительно, рассмотрим, например, равновесие поршня в ци-
линдре, наполненном веществом температуры Т<^Тк. Результирую-
щая сила, действующая на поршень,
F=P — pS, (16.7)
где Р—вес, S — сечение поршня (рис. 376, a). (F^>0 соответст-
вует результирующей силе, направленной вниз.) При равновесии
F=0> т. е. состояние равновесия изображается пересечениями изотер-
. Р
мы с изобарой р = -^~,
о
При (рис.
376, Ь) возможны три со-
стояния равновесия:
о
5
\у///////л/м\
нит
I р
р
а)
Mlf М2 (где -d- <0 J
и Жо(где-^->0)-
Пусть произошло не-
большое отклонение пор-
шня \вверх (вниз) из со-
стояния равновесия
или М2. Тогда V увеличивается (уменьшается), р уменьшается (уве-
личивается) и, согласно (16.7), появляется положительная (отрицатель-
ная), т. е. направленная вниз (вверх) результирующая сила F. Она
возвращает поршень в состояние или ТИ2: состояния Л4Х и
Л1.2 устойчивы. Иначе обстоит дело при небольшом отклонении из
состояния /Ио. Если V увеличивается (уменьшается), то появляется
положительная (отрицательная) результирующая, толкающая поршень
вверх (вниз), т. е. стремящаяся удалить поршень из состояния рав-
новесия, и происходит дальнейшее увеличение (уменьшение) объёма.
Эта результирующая исчезнет лишь тогда, когда система придёт в
одно из устойчивых состояний или ЛГ2. Таким образом, состояние
равновесия Мо неустойчиво.
В реальных условиях всегда происходят небольшие случайные
отклонения из состояния равновесия хотя бы из-за флуктуаций
540
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
(гл. XV, § 1). Если равновесие устойчиво (АЦ или Л42), эти отклонения
остаются малыми, и ими обычно можно пренебречь. Если же рав-
новесие неустойчиво (2И0), то система, первоначально находившаяся
в этом состоянии, перейдёт под действием таких отклонений в одно
из устойчивых состояний Mi или М2. Таким образом, состояние MQ
не может быть физически осу-
ществлено.
Дело не изменится, если пор-
шень закреплён. Наше рассужде-
ние можно применить не толь-
ко к давлению вещества на пор-
шень, но и к давлению одной
части вещества на другую. Как
только произойдёт неизбежное
случайное уплотнение одних ча-
стей (назовём их Л), а следова-
тельно, разрежение других ча-
стей (5) вещества, находившегося
в состоянии 7И0, то объём частей
А будет продолжать сокращаться
до состояния М19 объём частей В
увеличиваться до состояния 2И2,
и вещество распадётся на более
плотную фазу и менее плот-
ную фазу Л12.
Сотрём на рис. 375 участки
изотерм, соответствующие физиче-
ски заведомо неосуществимым со-
стояниям. Мы получим (рис. 377,
стёртые участки показаны пунктиром) картину, совпадающую (по
крайней мере качественно) с той, к которой приводят для одно-
фазных состояний опытные данные §§ 11—13. Изотерму T=Tk
следует отождествить с критической изотермой, точку К—с кри-
тической точкой, состояния, подобные (рис. 376, Ь) — с жидкими,
состояния, подобные ТИ2 — с газообразными.
Найдём связь между положением критической точки и молеку-
лярно-кинетическими константами а, Ь. Будем рассматривать (16.6')
как уравнение относительно У, т. е. уравнение, определяющее V
при заданных Тир.
Ниже критической точки оно имеет три действительных корня
Vi, Vo, V2 (рис. 376). В критической точке эги корни сливаются
между собой, образуя один трёхкратный корень V — Vk. Следова-
тельно, уравнение Ван дер Ваальса при р = р^ T—Tk
V3 - f b 4-
у___ _ Q
Рк ) 1 Рк Рк
(16.8)
§14] УРАВНЕНИЕ ВАН ДЕР ВААЛЬСА 541
может быть представлено так:
(V-Vft)3 = 0. (16.9)
Развёртывая левую часть (16.9) и сравнивая с (16.8), получаем
__ 8 а < г q 1 __ 1 Д
URb’ Vk 27 b- '
Критические температура и давление тем ниже, чем меньше силы
сцеплениями чем больше объём, занимаемый молекулами.
Согласно модели, приводящей к уравнению Ван дер Ваальса,
возможность существования двух фаз при данных Т и р (состояния
Л4Х, Ж2, рис. 376) объясняется тем, что один и тот же избыток
р (р' <р<^р") теплового давления рт над натяжением сцепления q
может устойчиво осуществиться при температуре T<^Tk при двух
различных объёмах: большом объёме V2, когда рт и q оба малы
(газообразное состояние), и малом объёме У19 когда рт и q оба
велики. 1 моль воды (18 г) занимает в жидком состоянии объём
18 см\ что в 1000 с лишним раз меньше объёма 1 моля идеального
газа при р=1 атп и 0°С. Следовательно, при 0° С тепловое
давление в жидкой воде, если даже пренебречь- второй поправкой
Ван дер Ваальса, превосходит 1000 am. (В действительности, оно ещё
намного больше.) Вода не разрывает водопроводные трубы потому,
что этому давлению противостоит на 1 ат меньшее натяжение
сцепления.
Состояние натяжения в веществе (р<^0) означает, что pj <^q,
т. е. тепловое давление меньше натяжения сцепления. Естественно,
что такое положение вещей наступает при низких температурах и
тех больших плотностях, которые характеризуют жидкое состояние.
Большая плотность приводит к тому, что натяжение сцепления очень
велико, низкая температура (малость кинетической энергии молекул) —
к тому, что, несмотря на большую плотность, тепловое давление
достаточно мало (при ещё больших плотностях тепловое давление
снова перевешивает натяжение сцепления и /?^>0 благодаря тому,
что эффективный объём V — Ь, предоставленный молекулам, стано-
вится очень малым).
Само уравнение Ван дер Ваальса ничего не говорит о равновес-
ном давлении p — F(T). Но из лежащей в его основе модели вы-
текает существование работы выхода и возможность подсчитать эту
работу, а следовательно, найти вид функции F (Z)1). Эта модель
позволяет также дать простое Толкование сказанного в § 4.
Когда вещество испаряется, энергия сцепления увеличивается вслед-
ствие увеличения среднего расстояния между молекулами (ср. гл. XV,
х) Второй принцип термодинамики позволяет вывести вид функции
F (Г} из уравнения состояния без всякой молекулярно-кинетической модели
(см. гл. XVII, § 21).
542
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
§ 25). Если при этом U— const., то увеличение энергии сцепления и
работа на преодоление внешнего давления совершаются за счёт энергии
поступательного движения молекул и энергии внутримолекулярных дви-
жений. Но уменьшение энергии поступательного движения молекул
есть не что иное, как уменьшение температуры. Если же при ис-
парении Т = const., то энергия, необходимая для преодоления сил
сцепления и внешнего давления, поступает извне: это и есть теплота
испарения.
§ 15. Сжижение газов, имеющих низкую критическую темпе*
ратуру. Сжижение газов возможно только при температуре ниже
критической (§ 13). Если последняя ниже температуры доступных
нам тел, то такое охлаждение нельзя осуществить посредством те-
плообмена с более холодным телом и необходимо пользоваться
охлаждением посредством адиабатического процесса.
На. практике пользуются эффектом Джоуля-Томсона (гл. XIII,
§ 13, гл. XV, § 26) и охлаждением при расширении по адиабате
(гл. XIII, § 15). Схема установки, использующей эффект Джоуля-
Томсона (машина Линде), показана на рис. 378. Для того чтобы
эффект Джоуля-Томсона АТ был положителен, начальная температура
Т должна быть достаточно низка; для того чтобы он был значи-
телен, начальный удельный объём должен быть достаточно мал
(гл. XV, § 26). Малость достигается предварительным сжатием
газа компрессором, достаточно низкая Tt— предварительным охла-
ждением газа в холодиль-
нике С.
Для воздуха Т° лежит
в области комнатных тем-
ператур. Поэтому перед
сжижением воздуха его
сжимают до давления
200 am и охлаждают толь-
ко до комнатной темпера-
туры. (Охлаждение здесь
нужно потому, что в ком-
прессоре воздух разогре-
вается вследствие сжатия
по адиабате, см. гл. XIII,
• § 14). Для водорода
Г=189°К(т.е.—84° С),
его охлаждают, например,
Рис. 378.
и поэтому перед сжижением водорода
жидким кислородом (при атмосферном давлении температура кипе-
ния кислорода равна 183° С; жидкий кислород, налитый в сосуд
Дюара, кипит и сохраняет эту температуру, ср. § 8).
После холодильника газ поступает в спираЛь S, откуда вытекает
через узкое отверстие N, играющее ту же роль, что и пористая пере-
городка в § 13, гл. XIII, и расширяется до атмосферного давления.
§ 15]
СЖИЖЕНИЕ ГАЗОВ
543
При этом происходит охлаждение, но оно ещё недостаточно для
сжижения. Газ, вышедший из N, поднимается по трубе 7?, охлаждает
через теплообмен спираль S и находящуюся в ней следующую пор-
цию газа (спираль S вместе с трубой R образует так называемый
«теплообменник»). Следующая порция газа расширяется при более
низкой исходной температуре, чем первая, и эффект Джоуля-Том-
сона для неё сильнее выражен, чем для первой порции (гл. XV,
§ 26, рис. 329). Расширившись, вторая порция газа охлаждает
третью и т. д.
В конце концов газ начинает поступать в 7V при такой низкой
температуре Т\, и эффект Джоуля-Томсона становится для него
настолько сильным, что температура Т2 делается ниже равновесной
температуры системы жидкость — пар при атмосферном давлении,
газ конденсируется и стекает в сосуд Дюара V.
Охлаждение посредством расширения по адиабате можно осуще-
ствить в цилиндре с поршнем (поршневой детандер). Поступающий
в цилиндр сжатый газ, расширяясь, совершает работу н^д поршнем
и охлаждается, после чего выходит из цилиндра. Пользуясь тепло-
обменником, можно довести до ещё более низр&Й температуры сле-
дующую порцию газа, расширяющуюся в детандере, и т. д. Поршне-
вой детандер используется в установках для сжижения воздуха Клода
и Гейланда. Но, в силу ряда трудностей, он позволяет понизить
температуру воздуха только до —150° С. Дальнейшее охлаждение
(до —192°) приходится вести, опять пользуясь эффектом Джоуля-
Томсона.
Главная трудность, мешающая осуществить выгодный поршневой
детандер, заключается в том, что не существует жидкостей, обла-
дающих смазочными качествами при низких температурах. Поэтому
при низких температурах невозможно осуществить плотно пригнан-
ный поршень, движущийся в цилиндре с малым трением.
В последние годы П. Л. Капица разработал замечательный при-
бор для сжижения воздуха — турбодетандер, в котором реализует-
ся идея холодильной турбины, высказанная лордом Рэлеем ещё в
1898 г.
Турбодетандер представляет собой турбину, приводимую во
вращение расширяющимся в ней воздухом, поступающим из ком-
прессора. Вращение турбины поддерживается за счёт внутренней
энергии воздуха, поэтому воздух расширяется в ней по адиабате и
охлаждается. Охладившийся воздух охлаждает в теплообменнике
следующую порцию воздуха, поступающего в турбодетандер, ит. д.,
в результате чего получается жидкий воздух без специального исполь-
зования эффекта Джоуля-Томсона. В турбодетандере отпадает труд-
ность, связанная со смазкой при низкой температуре, так как под-
шипники, в которых вращается ось ротора турбины, можно отнести
от холодной части ротора на расстояние, достаточное для того,
чтобы они работали в нормальных условиях.
544
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
Установки П. Л. Капицы для сжижения воздуха являются весьма
выгодными. Этого удалось достигнуть выбором целесообраз-
ной конструкции турбины и тщательной разработкой режима всей
установки. Приведём некоторые данные, характеризующие одну
из установок: предварительное сжатие — только 6—7 ат, про-
пускная способность — от 500 до 600 м3 в час (приведённых
Рис. 379.
к нормальной температуре 0° С и давлению 1 ат),
диаметр ротора — только 8 см, вес ротора — 250 г,
число оборотов — 40 000 в минуту.
. На рис. 379 показана общая схема уста-
новки Капицы.
§ 16. Равновесие твёрдой и жидкой фаз,
плавление, кристаллизация. Равновесие твёрдой
и жидкой фаз во многом напоминает равновесие
жидкой и газообразной фаз. При данной тем-
пературе система, состоящая из кристаллов (твёр-
дая фаза) и их «расплава» (жидкая фаза), мо-
жет находиться в равновесии лишь под опреде-
лённым давлением (равновесное давление систе-
мы твёрдое тело — жидкость). При любом дру-
гом давлении происходит переход вещества из
одной фазы в другую. Например, при температу-
ре 0°С вода и лёд находятся в равновесии толь-
ко при давлении р=1 ат.
Равновесное давление системы твёрдое тело—
жидкость есть функция только температуры. От
внутренней энергии, объёма, распределения веще-
ства по фазам оно не зависит.
Пусть система кристалл — жидкость находится в равновесии
при температуре Т и давлении р. Будем увеличивать её энер-
гию, подводя тепло. При этом кристалл плавится, растёт масса
жидкой фазы, температура же остаётся практически постоянной
(происходит*^автоматическое регулирование температуры, как при
кипении). После изменения объёма и изменения распределения веще-
ства по фазам- фазы опять будут находиться в равновесии, если
температура не изменилась, при прежнем давлении р.
Для большинства веществ плотность жидкой фазы при той же
температуре меньше плотности твёрдой фазы, и при рассматриваемом
процессе объём увеличивается. Но возможно и обратное, например
в случае воды: при одинаковых температуре и давлении жйдкая
фаза плотнее твёрдой (лёд плавает на воде), и поэтому, когда
часть льда плавится, объём двухфазной системы вода—лёд умень-
шается.
х) Вода есть расплав льда, жидкое железо — расплав твёрдого железа
и т. д.
§ 161
РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОЙ И ЖИДКОЙ ФАЗ
545
Зависимость между равновесным давлением системы кристалл —
жидкость и температурой изображается графически кривой равно-
весия на плоскости Г, р (рис. 380). Кривая равновесия кристалл —
жидкость идёт гораздо круче, чем кривая равновесия жидкость—газ.
Даже для малого изменения температуры равновесия твёрдой и жидкой
фаз нужны огромные изменения давления.
Температура равновесия воды и льда уменьшается с увеличе-
нием давления, что качественно изображено на рис. 381. У боль-
шинства веществ, наоборот, температура равновесия между твёр-
дой и жидкой фазами повышается с повышением давления (как на
рис. 380). Для того чтобы изменить температуру равновесия льда
и воды на 1°, необходимо изменить давление на 132 ат, между
тем как температура равновесия воды с её паром (точка кипе-
ния) падает от 100° С до 99° С уже при изменении давления
на 27,25 мм ртути.
Пока не видно никакой связи между двумя аномалиями воды:
уменьшением плотности при кристаллизации и уменьшением темпе-
ратуры равновесия твёрдой и жидкой фаз с повышением давления.
На основании второго принципа термодинамики одна аномалия есть
следствие другой (гл. XVII, § 20).
Будем охлаждать при постоянном давлении вещество, находя-
щееся первоначально в жидком состоянии А. Изображающая точка
движется справа налево по изобаре АВ (рис. 380). Если жидкость
очищена от посторонних вкраплений (система строго однофазная),
при пересечении кривой равновесия не произойдёт ничего особен-
ного: вещество будет оставаться однофазным и жидким. Можно
понизить температуру далеко за кривую равновесия, и тем не менее
вещество останется жидким (переохлаждённая жидкость). Такое
35 Паиалскси, т. I»
546
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
состояние метастабильно (§ 12): если внести в переохлаждённую
жидкость небольшой кристаллик, жидкость кристаллизуется, и всё
вещество переходит в твёрдую фазу.
Если же охлаждать жидкость, не очищенную от вкраплений,
способных играть роль зародышей твёрдой фазы, то кристаллиза-
ция начинается тогда, когда температура опускается до равно-
весного значения (точка кристаллизации, точка замерзания). Мы
здесь несколько упрощаем действительное понимание вещей: как
и точка конденсации, точка кристаллизации зависит от характера
зародышей.
До последнего времени считалось, что твёрдая фаза не может
существовать выше равновесной температуры, и что как бы вещество
ни было очищено, всегда на поверхности начнётся плавление, как
только при нагревании температура дойдёт' до равновесного зна-
чения (точка плавления). Однако, С. Э. Хайкину удалось, повиди-
мому, наблюдать в монокристаллах некоторых металлов при спе-
циальных условиях твёрдую фазу при температурах, более высоких,
>чем точка плавления, т. е. показать, что твёрдая фаза может
существовать и правее кривой равновесия рис. 380 (перегретое
твёрдое тело).
Изотермическое повышение давления вызывает (разумеется, при
наличии зародышей) у веществ, кривая равновесия которых накло-
нена так, как на рис. 380, переход из жидкого состояния в твёрдое
(путь CD на рис. 380). В случае воды, наоборот (путь CD на
рис. 381), повышение давления вызывает переход из твёрдого со-
стояния в жидкое. Лёд можно расплавить при температуре ниже 0° С,
подвергая его достаточно большому давлению.
Скорость, с которой кристаллизуется-переохлаждённая жидкость
при - наличии в ней зародышей, сильно зависит от температуры.
Характер зависимости каче-
ственно показывает рис.382.
При понижении температуры
за точку кристаллизации
•скорость кристаллизации
сначала растёт, затем дости-
гает максимума и спадает;
при очень больших пере-
охлаждениях скорость кри-
сталлизации делается прак-
тически равной нулю.
При достаточно боль-
ших переохлаждениях начи-
нается самопроизвольное образование зародышей (подобно тому, как
в сильно пересыщенном паре самопроизвольно образуются зароды-
ши конденсации, § 12). Скорость самопроизвольного образования
зародышей сначала растёт с уменьшением температуры, а затем,
§ 17] ОБЩИЙ ВИД ДИАГРАММЫ Т, р 547
при очень больших переохлаждениях, практически спадает до ну-
ля. Обычно максимум скорости образования зародышей соответ-
ствует более низкой температуре, чем максимум скорости кристал-
лизации.
Такие тела, как стекло, можно рассматривать, как очень сильно
переохлаждённые жидкости. Переохлаждение в них настолько силь-
ное, что практически нет ни образования зародышей, ни кристалли-
зации на существующих зародышах. В некоторых стёклах, содер-
жащих свинец, когда их нагревают для обработки, происходит
кристаллизация. Это объясняют тем, что при нагревании происходит
сначала образование зародышей, а затем быстрое распространение
кристаллизации.
§ 17. Общий вид диаграммы Т, р для твёрдого, жидкого и газо-
образного состояний. Тройная точка. Относительно равновесия
твёрдой и газообразной фаз можно повторить многое из того, что
было сказано о равновесии жидкой и газообразной фаз. При данной
температуре равновесие твёрдого тела с его паром возможно лишь
при вполне определённой плотности последнего, а, следовательно,
лишь при определённом давлении двухфазной системы (равновесное
давление). Когда давление меньше равновесного, происходит испа-
рение (сублимация); когда давление больше равновесного — конден-
сация. Как и равновесное давление системы жидкость—пар, давление
равновесия твёрдого тела с его паром является у всех веществ
возрастающей функцией температуры.
Рассмотрим теперь вещество, которое в некотором интервале
значений температуры и давления может образовывать три различные
фазы: твёрдую, жидкую и газообразную. Соответствующую часть
плоскости Т, р можно разделить на 3 области: Т, Ж, Г. В первой
области наиболее устойчивой является твёрдая фаза, во второй —
жидкая, в третьей — газообразная. Иначе говоря, система, не очи-
щенная от зародышей остальных фаз, может существовать в области
Т только в твёрдом состоянии, в области Ж — только в жидком,
в области Г — только в газообразном. Границами между областя-
ми Т, Ж, Г служат кривые равновесия соответствующих фаз. По-
добно тому, как три государства, каждое из которых граничит с
двумя другими, обязательно имеют общую точку, где сходятся три
границы2), вещество имеет тройную точку S, где сходятся кри-
вые равновесия твёрдой фазы с жидкой, жидкой с газообразной, газо-
образной с твёрдой. В этой точке все три фазы находятся в рав-
новесии между собой.
Равновесие (пребывание в неизменном состоянии) каждой фазы
в отдельности возможно даже при наличии зародышей других фаз,
в некоторой двумерной области плоскости Г, р. Равновесие любых
двух фаз возможно только вдоль определённой линии на плоскости
*) Предполагается, чго морских границ не существует.
35*
548
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. XVI
Т, р. Наконец, равновесие между тремя фазами — «мирное сожи-
тельство» твёрдого, жидкого и газообразного состояний — возможно
только в определённой точке плоскости Т, р 1).
На рис. 383 показана часть диаграммы Т, р для воды, охваты-
вающая температуры, близкие к 0° С, и небольшие давления. При
выбранном масштабе нельзя показать наклон кривой равновесия
твёрдой и жидкой фаз по отношению к оси р, поэтому не видно
отличия между температурой в тройной точке и температурой пла-
вления при атмосферном давлении. В действительности такое отличие
существует.
Граница между областями Ж
а оканчивается в критической
Рис. 383.
из жидкого состояния в твёрдое приводит к выводу, что существо-
вание такой критической точки принципиально невозможно.
Кривая равновесия жидкой и газообразной фаз имеет продолжение
в области Т (пунктирная кривая на рис. 383). Это продолжение
изображает метастабильную двухфазную систему, состоящую из
переохлаждённой воды и её пара. При внесении зародышей кристал-
лизации она превращается целиком в лёд.
§ 18. Равновесие и взаимные превращения твёрдых фаз. Две
твёрдые фазы какого-нибудь вещества, так же как твёрдая и жидкая,
или твёрдая и газообразная фазы, могут находиться в равно-
весии, т. е. не обмениваться веществом, лишь вдоль определённых
и Г не полностью их отделяет,
точке. Существует ли вторая
критическая точка, где окан-
чивается граница областей Т
и Ж? Существование такой
точки означало бы, что воз-
можен непрерывный переход
из.твёрдого состояния в жид-
кое, при котором твёрдое тело
постепенно, во всей своей
толще, приобретает свойство
текучести. Хотя эксперимен-
тальными исследованиями ох-
вачена очень большая область
температур и давлений (Бридж-
мэн дошёл в своих опытах до
давлений порядка 100 000 ат),
ни у одного вещества не уда-
лось обнаружить критическую
точку границы твёрдого и
жидкого состояний. Теорети-
ческое рассмотрение перехода
г) Это высказывание представляет собой частный случай чрезвычайно
ражного «правила фаз» Гиббса,
§ 181
ТВЁРДЫЕ ФАЗЫ
549
кривых на плоскости Т, р. При заданном давлении равновесие между
двумя твёрдыми фазами возможно лишь при определённой темпера-
туре.
Если вещество имеет несколько твёрдых фаз (или, как их назы-
вают, полиморфных, или
аллотропических моди-
фикаций), то плоскость
Т, р разбивается не на
три области, как в § 17,
а на большее число об-
ластей, граничащих вдоль
кривых равновесия соот-
ветствующих фаз. Теперь
на плоскости Т, р имеет-
ся не одна, а несколь-
ко тройных точек, в
каждой из них в равно-
весии могут находиться
какие-нибудь три фазы.
«Четверных точек», где
сходились бы четыре кривые равновесия, не существует, так же как на
географической карте нельзя найти такие точки, где сходятся четыре
границы четырёх государств *). Четыре фазы никогда не могут быть
в равновесии друг с другом.
На рис. 384 показана пло-
скость Г, р для серы. На
ней отмечены области так
называемой моноклинной (твёр-
дой), так называемой ромби-
ческой (твёрдой) и жидкой
фаз, их границы (кривые рав-
новесия) и тройная точка, со-
ответствующая равновесию
обеих твёрдых и жидкой фаз.
Применение высоких дав-
лений позволило обнаружить
MUD 2 4 б 8 ю 12 14 16 18 го полиморфные превращения
р ^/смг ю3 е< взаимные переходы
Рис. 385. твёрдых фаз) у многих ве-
ществ. На рис. 385 воспроиз-
ведена диаграмма Т, р для
льда, полученная Бриджмэном. На ней видны границы областей
различных твёрдых фаз и многочисленные тройные точки. (Лёд j
Ч Такие точки можно было бы создать только «искусственно», между
тем как точки, где сходятся три границы, обязательно возникают «сами по
себе».
550
ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
[гл. XVI
есть «обыкновенный» лёд.) Полиморфные превращения во многом
напоминают те фазовые превращения, которые были рассмотрены
выше. Например, кривая равновесия льда VI и льда III проникает
в область льда V, заходя за тройную точку. Это означает, что
в отсутствие зародышей льда V можно получить лёд VI и лёд III
при таких температурах и давлениях, при которых «нормальной»,
наиболее устойчивой, модификацией является лёд V. (Аналогичный
л заход кривых равновесия за тройную точку виден на рис. 384.)
Роль зародышей в полиморфных превращениях можно иллю-
стрировать явлением, известным под названием «оловянной чумы».
Существуют две модификации твёрдого олова — белое олово (обыч-
ное) и порошкообразное серое олово. Серое и белое олово при
атмосферном давлении находятся в равновесии при 18° С. Выше 18° С
более устойчиво белое олово, ниже 18° С — серое. На морозе
оловянные’предметы могут, если в них попадает подходящий зародыш,
заразиться «оловянной чумой» и рассыпаться в порошок. Это явление
редкое, так как обычно таких зародышей нет. Но иногда после су-
ровой зимы наблюдали эпидемии «оловянной чумы». Их объясняют
тем, что скорость превращения белого олова в серое (при наличии
зародыша. последнего) максимальна около 0° С и быстро спадает
при более низких температурах (ср. сказанное в § 17 о скорости
кристаллизации переохлаждённой жидкости) и что при очень низких
температурах происходит самопроизвольное образование зародышей.
Последние недейственны ввиду ни-
чтожной скорости превращения,
пока стоит сильный мороз. Они
дают о себе знать при потеплении,
когда скорость превращения (око-
ло 0°) делается значительной.
Полиморфное превращение, про-
исходящее при определённых тем-
пературе и давлении, сопровож-
дается выделением или поглоще-
ниехМ определённого количества те-
плоты (теплота полиморфного пре-
вращения). Так, например, при превращении 1 г а-жслеза в у-же-
лезо при температуре равновесия (около 900° С), соответствующей
р=\атП) поглощается 6,7 кал.
Если мы отложим по оси абсцисс количество теплоты, сообщён-
ное железу, а по оси ординат — температуру, мы получим при
медленном нагревании и наличии зародышей фазового перехода
кривую рис. 386. Как и при кипении, по достижении некоторой
температуры,'близкой к равновесной, повышение температуры прекра-
щается: вся подводимая энергия идёт на фазовое превращение.
Повышение температуры возобновляется тогда, когда всё железо уже
перешло в новую модификацию.
ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ВТОРОГО РОДА
551
§ 19]
§19. Фазовые превращения второго рода. В последнее время
физики уделяют большое внимание «фазовым превращениям второго
рода». Такое название получили превращения, при которых фазы
отличаются между собою, при равновесии, не. самими значениями
своих удельных энергий и объёмов, а производными этих величин
по температуре. Иначе говоря, при переходе из одной фазы в дру-
гую здесь происходит не выделение или поглощение тепла (в отли-
чие от рассмотренных выше фазовых превращений «первого рода»),
а изменение на конечную величину («скачок») теплоёмкостей. Общая
теория фазовых превращений второго рода была недавно разрабо-
тана Л. Д. Ландау. Многие переходы сплавов из одной твёрдой
фазы в другую относятся к превращениям второго рода.
Замечательным примером фазового превращения второго рода
является превращение «обычного» жидкого гелия («гелий I») в «гелий
II», также жидкий, происходящее, если давление равно 1 ат> при
7,= 2,19°К, т. е. весьма близко от абсолютного нуля температу-
ры. Гелий II обладает поразительным свойствОхМ сверхтекучести,
открытым в 1938 г. П. Л. Капицей в СССР и Алленом и Майене-
ром в Англии. Это свойство состоит в том, что гелий II может про-
текать, не встречая никакого сопротивления, то-есть абсолютно без
трения, через самые тонкие капилляры и самые узкие щели. У него
совершенно отсутствует вязкость. Это явление родственно открытой
ранее сверхпроводимости (см. т. II). Его теорию, основанную на
квантовой механике, дали независимо друг от друга Л. Д. Ландау
и Тисса.
ГЛАВА XVII
ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 1. Проблема вечного двигателя второго рода. В применении
к тепловому двигателю первый принцип термодинамики утверждает
(гл. XIII, § 5), что двигатель совершает работу за счёт внутрен-
ней энергии некоторой системы тел, т. е. что он не может быть
«вечным двигателем» (удачнее было бы выражение даровой двига-
тель), позволяющим получать работу из ничего.
Ограничимся рассмотрением таких двигателей, где можно счи-
тать, что рабочее вещество совершает круговой процесс (гл. XIII,
§ 8). Такой процесс изображается на плоскости V, р замкнутой
кривой с обходом по часовой стрелке. Такой процесс легко осуще-
ствить, располагая двумя тепловыми резервуарами различной тем-
пературы. Такими двумя тепловыми резервуарами мы пользовались
в рассуждениях гл. XIII, § 1.
Но можно ли получить расширение под большим давлением,
чем сжатие, располагая только одним тепловым резервуаром?
Такая возможность нисколько не противоречила бы первому
принципу термодинамики: если рабочее вещество, совершающее
за полный цикл работу А, обменивается при этом теплом только
с одним резервуаром R, то первый принцип будет удовлетворён,
если Q = A, где Q — количество теплоты, взятое у резервуара /?.
Это значит, что двигатель, который работал бы с помощью только
одного теплового резервуара, на протяжении одного цикла полностью
превращал бы в работу энергию, почерпнутую в этом резервуаре.
Двигатель, довольствующийся одним тепловым резервуаром, был
бы практически не менее заманчив, чем такой двигатель, где работа
создавалась бы из ничего. Ведь окружающие нас воздух, вода мо-
рей и океанов, даже снег и лёд обладают практически неисчерпа-
емыми запасами даровой внутренней энергии. Если бы такой двига-
тель был осуществим, то можно было бы поднимать грузы, приво-
дить в движение корабли и электрические генераторы за счёт да-
ровой внутренней энергии, заключённой в атмосферном воздухе,
воде океанов или даже полярных льдах. Экономически такой дви-
гатель не отличался бы от двигателя, совершенно не потребляющего
топлива, т. е. позволяющего получать работу из ничего. Поэтому
его называют вечным двигателем второго рода.
ГАЗОВЫЙ ДВИГАТЕЛЬ С ОДНИМ РЕЗЕРВУАРОМ
553
§ 2]
Термодинамика утверждает, что вечный двигатель второго рода не-
возможен. Это высказывание не вытекает из первого принципа тер-
модинамики. Оно связано с другим важнейшим физическим зако-
ном— вторым принципом термодинамики.
Открытие второго принципа термодинамики было подготовлено
замечательной работой Карно «Размышления о движущей силе
огня» (1827). В этой работе Карно ещё придерживался теории тепло-
рода. Впервые второй принцип термодинамики был сформулирован
Р. Клаузиусом и В. Томсоном (лордом Кельвином).
Рассмотрим сначала вопрос о вечном двигателе второго рода на
возможно более простом примере. Вернёмся для этого к элементар-
ной модели газового двигателя (гл. XIII, § 1).
§ 2. Возможен ли газовый двигатель с одним тепловым ре-
зервуаром? При наличии только одного теплового резервуара
также возможно повести расширение по одному пути, а сжатие —
по другому и получить круговой процесс, индикаторная диаграмма
которого охватывает площадь, отличную от нуля.
Вопрос в том, может ли круговой процесс, осуществляемый
при таких условиях, итти по часовой стрелке?
Напишем для рабочего вещества уравнение (13.58) (гл. XIII, § 15)
Д£/= — рДУ-рДф. (17.1)
Здесь AQ— количество тепла, получаемое рабочим веществом из
теплового резервуара при изменении объёма ДУ и изменении энергии А 67.
Пусть Т—температура рабочего вещества, То — резервуара.
(Мы будем считать, что он обладает настолько большой теплоём-
костью, что его температура не меняется заметно в результате рас-
сматриваемых процессов. При наличии теплообмена рабочее ве-
щество заимствует энергию из теплового резервуара, если оно
холоднее последнего, и отдаёт ему энергию, если оно горячее. Это сле-
дует непосредственно из определения температуры, гл. XIII, § 7.)
Если же рабочее вещество отделено от теплового резервуара адиа-
батической перегородкой, обмена энергией между ними нет. Итак,
AQ^O, если Т0>Т, AQ^O, если TQ<^T.
Знак равенства имеет место тогда, когда рабочее вещество отделено
от теплового резервуара адиабатической перегородкой.
Для простоты будем считать рабочее вещество идеальным газом.
Тогда (гл. XIII, §§ 9, 13 и 17)
* рАИ-4-УАр = ЯД7’, (17.2)
Д67 = ^АГ. (17.3)
Из (17.1), (17.2) и (17.3) следует
= AQ. (17.4)
к v
554
ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. XVII
(17.4')
Если бы изменение объёма А У происходило адиабатически (AQ = 0),
ему соответствовало бы изменение давления
Д/>о = -^-ДГ.
Проведём на плоскости V, р (рис. 387) изотерму Т = TQ и се-
мейство адиабат (пунктирные кривые). Как мы знаем (гл. XIII, § 14),
адиабаты идеального газа в точках их пересечения с изотермой Т=
= Го идут круче, чем последняя.
Рассмотрим сначала элементарный процесс, при котором объём
газа меняется от значения V до весьма близкого значения V-j-AV.
Пусть М—начальное состояние газа, /V—состояние после эле-
ментарного расширения. Если бы не было теплообмена с резервуа-
ром, этим состоянием было бы NQ,
расположенное на адиабате, прохо-
дящей через М. N и NQ имеют
одинаковую абсциссу V-|- А V. Раз-
ность ординат точек N и М ра^на
Др, разность ординат и М рав-
на Ар0. Точка N расположена вы-
ше NQ, если Ар^>Др0, и ниже
если Ар<^Др0.
Будем различать 4 случая.
1. Элементарное расширение га-
за, находящегося при более низкой
температуре, чем резервуар.
Здесь Л1/>0, Т<Т0,
Ар> Ар0. Новое состояние изо-
бражается точкой, лежащей над NQ
(рис. 387). Если AQ не очень велико
(расширение произошло настолько
быстро, что резервуар не успел отдать газу много тепла, или теплопро-
водность стенки, отделяющей газ от резервуара, мала), то мы прихо-
дим в точку Nl9 лежащую ниже, чем М: давление падает при рас-
ширении, но не так сильно, как если бы оно происходило адиаба-
тически. Если AQ велико (расширение происходит медленно или
теплопроводность велика), мы приходим в точку N^, лежащую
выше М: давление растёт при расширении. При адиабатическом
расширении работа поднятия поршня совершается целиком за счёт*
внутренней энергии газа. При наличии же теплообмена с ре-
зервуаром последний возмещает частично или даже с избытком
расход энергии на расширение. Поэтому в результате расширения
внутренняя энергия, а, следовательно, температура и давление ока-
зываются больше, чем если бы процесс шёл по адиабате.
2. Элементарное сжатие газа, находящегося при более низкой
температуре, чем резервуар.
§ 2)
ГАЗОВЫЙ ДВИГАТЕЛЬ С ОДНИМ РЕЗЕРВУАРОМ
555
Здесь A 0, и попрежнему ТТо, AQО, Ар Др0. Точка Af
(рис; 388) опять выше точки NQ) давление растёт при сжатии силь-
нее, чем по адиабате.
Будем называть адиабату более высокой, если она правее пере-
секает изотерму Т—1\. Мы убе-
дились в том, что если газ холод-
нее, чем резервуар, то как при
элементарном расширении, так и
при элементарном сжатии изобра-
жающая точка переходит с более
низкой адиабаты на более высо-
кую (рис. 387 и 388).
3. Элементарное расширение
газа, находящегося при более вы-
сокой температуре, чем резервуар.
Теперь ДУ>0, Г> То, AQ<0,
Ар<^Ар0. Здесь N ниже, чем NQ
(рис 389), давление падает сильнее,
чем по адиабате.
4. Элементарное сжатие газа,
находящегося при более высокой
температуре, чем резервуар.
В этОхМ последнем случае АО, Го, AQ<^0, Др<^Ар0. N
опять ниже, чем NQ (рис. 390). Давление в конечном состоянии
больше, чем в начальном, если |AQ| мало (конечное состояние NJ
и меньше, чем в начальном, если |AQ| велико (конечное состояние Д^2)
Рис. 389.
Мы видим, что если газ имеет более высокую температуру, чем
резервуар, то как при элементарнОхМ расширении, так и при элементарном
сжатии изображающая точка переходит с более высокой адиабаты
на более низкую.
556
ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. XVII
Итак, при наличии теплового контакта с резервуаром изобра-
жающая точка в результате каждого элементарного расширения
или сжатия отклоняется от той адиабаты, на которой она находится,
вначале в сторону изотермы Т = То.
Теперь нетрудно себе представить, что произойдёт при полном
обороте маховика. Пусть газ при этом сначала расширяется от
Предположим для определённости, что точка М19 изображающая
начальное состояние, находится под изотермой Т= TQ (рис. 391).
Разбивая расширение на элементарные процессы и применяя к каж-
дому из них сказанное выше (случай 1), мы получаем кривую рас-
ширения пересекающую всё более высокие адиабаты. В
начинается сжатие. Разбивая его на элементарные сжатия и приме-
няя к ним сказанное выше (случай 2), мы видим, что сжатие не мо-
жет пойти назад по кривой для этого изображающая точка
должна была бы пересекать всё более низкие адиабаты, что невоз-
можно при Т То. Кривая сжатия будет также пересекать всё
более высокие адиабаты и, следовательно, пойдёт выше той адиа-
баты, на которой находится точка поворота Л12. Пусть в точке
кривая сжатия пересекает изотерму Т = То. При дальнейшем сжа-
тии газ будет горячее резервуара, и изображающая точка будет
пересекать (случай 4) всё более низкие адиабаты. В М3 объём
снова принимает значение V\, начинается новое расширение. Теперь
имеет место случай 3, изображающая точка пересекает всё более
низкие адиабаты, пока снова температура газа не сделается ниже
температуры резервуара (после точки Р2). Тогда опять происходит
расширение при ТГо (случай 1) и т. д.
Мы видим, что сжатие происходит под более высоким средним
давлением, чем расширение. Очевидно, можно подобрать такие уело-
§ 3]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАЙ
557
вия, чтобы установился круговой процесс, например, такой, как
на* рис. 392; второе сжатие происходит по кривой, сливающейся
с /Hj/kTo, после чего весь процесс каждый раз повторяется
по Из построения ясно, что круговой процесс обяза-
тельно идёт против часовой стрелки, происходит превращение ра-
боты в тепло.
§ 3. Предельные случаи, когда нет превращения работы
в теплоту. Будем улучшать условия теплообмена, увеличивая теп-
лопроводность стенки, отделяющей газ от резервуара, или делая
движение поршня очень ме-
дленным. В том и другом
случае количество теплоты,
которым газ успевает об-
меняться с резервуаром за
время, пока происходит из-
менение объёма ДИ, будет
расти. По мере улучшения
условий теплообмена кри-
вые расширения и сжатия
всё меньше отклоняются от
изотермы Т= То (рис. 393,
а и b)f и в предельном слу-
чае бесконечно малой скоро-
сти перемещения поршня
температура газа постоянно
равна температуре резервуа-
ра. Сжатия и расширения
происходят по одной и той
же кривой, а именно — изо-
терме Т=Тц (рис. 393, с);
работа, превращаемая в теп-
ло за полный оборот, рав-
уменьшая тепло-
Рис. 393.
на нулю.
Будем теперь ухудшать условия теплообмена,
проводность стенки между газом и резервуаром или увеличивая
быстроту хода поршня: количество теплоты, которым газ успевает
обменяться с резервуаром за время, пока, происходит изменение
объёма ДУ, будет становиться всё меньше. Процессы расширения
и сжатия будут всё больше приближаться к адиабатическим
(рис. 394, а и Ь), и в предельном случае полного отсутствия те-
плообмена обе ветви цикла сольются с одной из адиабат и одна
с другой (рис. 394, с). Работа, превращаемая в тепло за полный
оборот, равна нулю вследствие равенства нулю работы, превращённой
в тепло при каждом элементарном изменении Д1/.
Резюмируем содержание §§ 2 и 3. Газовый двигатель с одним
тепловым резервуаром невозможен. Если газ может обмениваться
558 второй принцип термодинамики [гл. xvii
теплом только с одним резервуаром, то ни при каком круговом
процессе нельзя получить полезного эффекта — превращения тепла
в работу. В лучшем случае можно приблизиться к таким предель-
ным условиям, когда нет вредного эффекта: превращения работы
в тепло.
§ 4. Необратимые реальные процессы и предельные обрати-
мые процессы. Мы видим, что если в системе, состоящей из од-
ного теплового резервуара и газа, давление последнего при измене-
нии его объёма от до 1/2 меняется по некоторой кривой
(рис. 391), то при обратном изменении объёма от до V\ состоя-
ние меняется по другой кривой (например, 7И27И3); при фиксирован-
ной температуре Го теплового резервуара изображающая точка
может перемещаться по кривой только в одном направлении.
Это выражают словами: процесс, изображаемый кривой Л/11Лк2, яв-
ляется для рассматриваемой системы необратимым процессам. Оче-
видно, в случае, разобранном в § 2, всякий реальный процесс рас-
ширения или сжатия как при Т^> То, так и ТTQ является необра-
тимым процессом.
Мы познакомились также (§ 3) с предельными, идеальными, про-
цессами, протекающими по изотерме Т = Го и по адиабатам. Эти
идеальные процессы обладают замечательным свойством: изотерма
Т— То, а также любая адиабат! являются общим пределом, к
которому стремятся при определённых услдвиях пути, по которым
изменяется состояние газа как при увеличении, так и при уменьше-
нии объёма. Это выражают так: указанные предельные процессы яв-
ляются обратимыми процессами.
Все реальные термодинамические процессы являются необрати-
мыми. Тем не менее предельные обратимые процессы — с дальней-
шими примерами мы познакомимся ниже — играют в термодинамике
фундаментальную роль, подобно тому, как в механике фундамен-
тальную роль играют движения консервативных систем — идеальных
систем, лишённых трения.
§ 5. Необратимость, вызванная трением. При выводе уравне-
ния адиабат идеального газа (гл. XIII, § 14) мы пренебрегали тре-
нием. Процессы, изображаемые адиабатами, являлись идеализирован-
ными адиабатическими процессами. Мы будем понимать под реаль-
ным адиабатическим процессом адиабатический процесс, сопрово-
ждаемый трением.
Будем считать, что силы трения, действующие на поршень,
а также силы внутреннего трения в газе пропорциональны скорости
расширения V=~(t— время). Так как перемещения трущихся
частиц пропорциональны изменению объёма AV, то работа каждой
из сил трения, действующих в различных местах, при изменении
объёма на AV, пропорциональна произведению V &V. Поэтому сум-
марная работа сил трения, сопровождающая расширение А У, также
.§ 5]
НЕОБРАТИМОСТЬ, ВЫЗВАННАЯ ТРЕНИЕМ
559
пропорциональна VAV и может быть записана в виде hVДУ, где
h — некоторая постоянная, характеризующая данное устройство.
Как в опыте Джоуля (гл. XIII, § 4), так и в примере гл. XIII, § 6 ра-
бота сил трения идёт на увеличение внутренней энергии системы.
С другой стороны, при расширении ДУ силы давления газа на пор-
шень совершают за счёт его внутренней энергии работу р ДУ. Сле-
довательно, для элементарного расширения ДУ первый принцип тер-
модинамики должен быть записан так:
Дб7=— р bV-YhVtW. (17.5)
Ограничиваясь для простоты случаем идеального газа, восполь-
зуемся уравнениями (17.2) и (17.3). Получаем, решая их совместно
с (17.5),
= (17.6).
Если газ расширяется ДУО, У^>0, последний член положителен;
если газ сжимается ДУ<^0, У<^0, он также положителен: работа
силы трения увеличивает внутреннюю энергию газа, а следовательно,
его температуру и давление как при расширении, так и при сжатии.
Пренебрегая, работой сил трения, мы возвращаемся к уравнению
= (17-7)
определяющему изменение давления вдоль адиабаты.
Пусть дано начальное состояние /И (объём У). В результате
элементарного изменения объёма ДУ мы придём в состояние W
(объём У4~ДУ). В отсутствии трения мы пришли бы в состояние 2У0,
лежащее на адиабате, проходящей через М. Сравнение уравне-
ний (17.6) и (17.7) показывает, что как при расширении, так и при
сжатии Др^>Др0,2V всегда вышеЛ^: кривая реального процесса всегда
отклоняется от адиабаты вверх (рис. 395 и 396). При расширении
охлаждение вследствие работы, совершаемой давлением газа, ком-
пенсируется нагреваниехМ из-за работы трения; при сжатии к нагре-
ванию из-за работы, совершённой против давления газа, прибав-
ляется нагревание вследствие работы трения.
Разбивая конечное расширение от V\ до У2 на элементарные
расширения ДУ, мы заключаем, что реальное адиабатическое рас-
ширение идёт по кривой спадающей более полого, чем пере-
секаемые ею адиабаты (рис. 397), если трение не очень велико,
или даже поднимающейся, если трение достаточно велико.
Пусть теперь газ, находившийся в состоянии М2, начинает адиа-
батически сжиматься. Пойдёт ли изображающая точка обратно по
пути
560
ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. XVII
Разбивая процесс на элементарные сжатия А У’, мы заключаем,
чго он идёт по кривой 7И2Л43, поднимающейся более круто, чем
церссекаемые ею адиабаты.
Меняя V, можно повести расширение и сжатие по различным
путям. Но ясно, что всегда кривая, изображающая обратный ход
поршня, проходит выше, чем кривая, изображающая прямой ход, и
что эти кривые не могут иметь двух общих точек. Таким образом,
изображающая точка может двигаться
по кривой М{М.2 только слева направо,
по кривой ТИ2ТИ3 — только справо нале-
во. Реальные адиабатические процессы
необратимы.
Очевидно, Ар тем меньше отличает-
ся от Ар0 и, следовательно, реальный
процесс тем ближе к обратимому про-
цессу, "идущему по адиабате, чем меньше
сила трения hV. Следовательно, реаль-
ный процесс можно приблизить к обра-
тимому, уменьшая коэффициент трения
h, а также, при фиксированном коэффи-
v циенте трения, делая процесс всё более
медленным, т. е. уменьшая V,
§ 6. Квазистатические процессы.
Если поршень движется очень медлен-
но, то состояние системы в каждый момент очень мало отли-
чается от состояния механического равновесия, при котором кине-
тическая энергия равна нулю. При этом, несмотря на то, что
h мы получаем в пределе обратимый процесс.
§ 7]
ПРОСТЕЙШИЙ ТЕПЛОВОЙ ДВИГАТЕЛЬ
561
Мы видели (§ 3), что и при наличии теплообмена с ре-
зервуаром неизменной температуры 70 очень медленное расширение
является обратимым изменением. В последнем случае состояние
системы в каждый момент очень мало отличается как от состояния
механического равновесия, так и от состояния теплового равнове-
сия между газом и резервуаром. При достаточно медленном про-
цессе температуры газа и резервуара практически остаются равными
между собой. В обоих случаях расширение производится так мед-
ленно, что в каждый момент состояние системы ничтожно мало
отличается от термодинамически равновесного.
Такие процессы, при которых в каждый момент состояние си-
стемы ничтожно мало отличается от термодинамически равновесного,
называются квазистатическими.
1Аъ\ убедились, что в наших примерах квазистатичность является
достаточным условием обратимости процессов и что, наоборот,
наличие заметных отклонений от равновесных состояний (заметное
отличие между Т и TQ при наличии теплообмена, заметная скорость
при наличии трения) приводит к тому, что процессы делаются
ощутительно необратимыми.
Этот важный результат может быть широко обобщён. Так, на-
пример, если изотермическое изменение объёма системы жидкость —
пар происходит настолько быстро, что возникает заметное нару-
шение фазового равновесия (испарение не поспевает за расширени-
ем, конденсация не поспевает за сжатием), то процесс является необра-
тимым. Однако, если изменение объёма происходит квазистатически,
т. е. так, что в каждый момент плот-
ность газа не отклоняется заметно от
равновесного значения, то процесс
становится обратимым.
§ 7. Простейший тепловой дви-
гатель с двумя резервуарами. Для
осуществления теплового двигателя
достаточно, как мы знаем, располагать
двумя тепловыми резервуарами раз-
личной температуры (гл. XIII, § 1).
Проведём на плоскости V, р семей-
ство адиабат и изотермы Т= 1\ и
Т — Т2, где Т.2 — температуры
тепловых резервуаров Т?2. Пусть
7\^> (рис. 398). Предположим,
что автоматическое приспособление
устанавливает при подъёме поршня
тепловой контакт!) газа с
резервуаром и прерывает теплозой контакт его с резервуа-
х) Мы говорим «тела находятся в тепловом контакте» в том случае,
когда граница между ними не является адиабатической перегородкой.
36 Папалекси, т. I,
562 ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ [гл. XVII
ром /?2, а ПРИ опускании поршня устанавливает тепловой контакт с
и прерывает тепловой контакт с Пусть в начальный момент
температура газа Т заключена между 7\ и Т2 и начинается расши-
рение. Имеет место случай 1, § 2: процесс, изображаемый кри-
вой, идущей от более низких адиабат к более высоким. При сжатии
будет иметь место случай 4, § 2: процесс по кривой, идущей от более
высоких адиабат к более низким.
Можно подобрать такие условия, чтобы кривая сжатия
шла ниже, чем кривая расширения (хороший тепловой кон-
такт с каждым из резервуаров), и чтобы Д43 совпало с Мг. Полу-
чается круговой процесс по часовой стрелке; устройство работает,
как двигатель.
Какие обмены энергией происходят при таком круговом процессе?
Во время расширения рабочее вещество получает из резервуара
положительное количество теплоты так как оно холоднее по-
следнего. Во время сжатия рабочее вещество отдаёт положительное
количество теплоты Q2 резервуару Г2, так как оно горячее послед-
него. При этом (гл. XIII, § 18),
Д = Qi Q>,
Q!=X+Q2>X. (17.8)
Таким образом, положительная работа при наличии двух тепло-
вых резервуаров получается вовсе не так, что рабочее вещество
снабжается энергией из двух источников. Только один резервуар —
более горячий — снабжает энергией рабочее вещество, другой — бо-
лее холодный — отнимает энергию у рабочего вещества. Вследствие
этого только часть энергии, забираемой рабочим веществом у резер-
вуара превращается в работу. Другая часть её идёт на беспо-
лезное, с точки зрения практической цели — получения работы, уве-
личение энергии резервуара А?2.
Резервуар называют нагревателем, резервуар /?2 — холодиль-
ником. Холодильник позволяет провести сжатие при более низкой
температуре, чехМ расширение, и, таким образом, не расходовать при
обратном ходе всю работу, полученную при прямом ходе. За эту
услугу холодильник взимает определённый энергетический налог,
забирая при каждом цикле часть энергии, добытой рабочим веще-
ством у нагревателя.
Как мы увидим, такое положение вещей не является особенностью
разбираемой здесь простейшей модели. Так же обстоит дело в любой
тепловой машине. Основная задача, которая возникает при создании
тепловой машины, заключается в том, чтобы добиться превращения
в полезную работу возможно большей доли той энергии, которая
затрачивается нагревателем.
§8. Цикл Карно. Круговой процесс, описанный выше, необратим,
так как каждый из процессов и /И2/И1 необратимы (§ 4).
§ 8]
ЦИКЛ КАРНО
563
Большой теоретический интерес представляет такая идеальная машина,
которая, вступая поочерёдно в теплообмен с двумя резервуарами,
совершает обратимый процесс.
Для того чтобы круговой процесс был обратимым, необходимо
и достаточно, чтобы каждая его часть была, обратимой. Для полу-
чения положительной работы нужно, очевидно, как и в § 7, поль-
зоваться при расширении нагревателем а при сжатии холодиль-
ником /?2. Единственный способ получить обратимый процесс при
наличии теплообмена с резервуаром — вести процесс изотермически
при температуре резервуара. Поэтому искомый обратимый процесс
должен содержать расширение по изотерме Т=Т1, во время кото-
рого рабочее вещество находится в тепловом контакте только с на-
гревателем, и сжатие по изотерме Т = Г2, во время которого ра-
бочее вещество находится в" тепловом контакте только с холодиль-
ником. Единственный способ обеспечить обрати-
мое замыкание цикла заключается в том (см. § 4),
чтобы изолировать на время перехода рабочее
вещество от обоих тепловых резервуаров и за-
ставить его изменять своё состояние по адиаба-
там. Получается круговой процесс, состоящий из:
а) изотермического расширения, Ь), расширения
по адиабате, с) изотермического сжатия и, нако-
нец, d) сжатия по адиабате (рис. 399).
Этот идеальный
круговой процесс на-
зывается циклом Кар-
но. Можно себе пред-
ставить его осущест-
вление следующим об-
разом (рис. 400):
а) Рабочее веще-
ство расширяется, бу-
дучи отделено от
теплопроводящей пе-
регородкой, аот/?2—
адиабатической.
Ь) Рабочее веще-
ство продолжает расширяться, но теплопроводящая перегородка,
отделявшая его от заменяется адиабатической.
с) Рабочее вещество сжимается, причём адиабатическая перего-
родка, отделявшая его от Т?2, заменяется теплопроводящей.
d) Рабочее вещество продолжает сжиматься, но теплопроводящая
перегородка между ним и Т?2 заменяется адиабатической.
Условия подобраны так, чтобы последнее сжатие возвращало
рабочее вещество в исходное состояние, после чего всё начинается
сначала.
36*
564 ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ [гл. XVII
Так как цикл Карно обратим, то изображающая точка может ’
обходить его как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Для осуществления второго случая надо взять другой порядок смен
теплопроводящих и адиабатических перегородок. Мы получим обход
цикла Карно против часовой стрелки, обменяв местами в каждом
из рис. 400 перегородки, отделяющие цилиндр от резервуаров и /?2.
Теперь происходит:
с') расширение при тепловом контакте рабочего вещества только с/?2,
Ь') адиабатическое сжатие,
а') сжатие при тепловом контакте только с
d') адиабатическое расширение.
При обращённом процессе Карно рабочее вещество отбирает тепло
у более холодного резервуара /?2 и отдаёт тепло более горячему
резервуару Устройство работает, к^к холодильная машина: ре-
зервуар Ла постепенно охлаждается, отдавая энергию не более
холодным телам, как при обычном теплообмене, а более нагретому
резервуару 7^. Теперь резервуары уместно называть не нагревателем
и холодильником, а нагреваемым телом и охлаждаемым телом. Так как
цикл при этом обходится против часовой стрелки, то на каждый
оборот требуется затрата работы извне: для поддержания движения
холодильной машины необходим двигатель.
Применим к циклу Карно основное уравнение
A^-Q^. (17.9)
Здесь А — работа, совершаемая за один цикл рабочим веществом,
— количество теплоты, получаемое от Q2— количество теп-
лоты, отдаваемое резервуару Л2-
А. Прямой цикл КарноЗдесь Alf Qlf Q2— положительны. Мы
имеем
Qi — А Q2 > Л.
Как и в необратимой машине» (§ 7), теплота заимствованная
из нагревателя, только частью превращается в работу А, другая
часть идёт на «бесполезное» увеличение внутренней энергии холо-
дильника. Мы видим, что неполное превращение в работу энергии,
затрачиваемой нагревателем, не имеет ничего общего с необратимостью
реальных процессов: энергетический налог взимается и при обрати-
мом круговом процессе.
. В. Обращённый цикл Карно, Введём обозначения:
A = -A,i Q1 = ~Q; Q2 = -Q', (17.10)
где А' есть работа, затраченная извне для проведения цикла против ча-
совой стрелки, Q' — количество тепла, полученное резервуаром
Q2' — количество тепла, отданное резервуаром А?2. Здесь A', Q'p Q2
положительны.
Из (17.9) и (17.10) следует, что
§ 9] ОБРАТИМЫЕ КРУГОВЫЕ ПРОЦЕССЫ .565
Это неравенство показывает, что нагреваемое тело получает больше
теплоты, чем её отнимается у охлаждённого тела.
Полезным эффектом холодильной машины является отдача тепла
холодным телом /?2. И здесь за осуществление полезного эффекта
взимается определённый налог: при каждом цикле происходит беспо-
лезное с точки зрения практической цели превращение в тепло ра-
боты А. Приходится приплачивать горячему резервуару работой А
за то, что он принимает энергию от более холодного резервуара.
Разумеется, это превращение работы в тепло не имеет ничего общего
с необратимостью реальных процессов.
§ 9. Общие утверждения о свойствах обратимых круговых про-
цессов. Мы убедились в том, что с помощью устройства, совершаю- '
щего цикл Карно, можно превратить в работу некоторое количество
теплоты. При этом, как показало исследование, получается дополни-
тельный эффект: переход некоторого количества тепла от более на-
гретого тела к более холодному.
Термодинамика утверждает, что наличие такого дополнительного
эффекта является основным свойством не только исследованного
выше простейшего обратимого кругового процесса, совершаемого
газом, но и всякого другого, сколь угодно сложного обратимого
кругового процесса, совершаемого какими угодно веществами, какими
угодно системами тел: не существует такого обратимого кругового
процесса, в результате которого происходит превращение теплоты
в работу без того, чтобы некоторое количество теплоты перешло от
более нагретого тела к менее нагретому.
Это утверждение мы примем за аксиому. Это значит, что мы не
будем выводить его логически из других утверждений, а будем счи-
тать его непосредственным выражением физических фактов. На эту
физическую аксиому мы будем опираться при дальнейшем изложении,
которое приведёт нас к формулировке второго принципа термоди-
намики.
Мы пришли бы к тому же окончательному результату, заменив
эту аксиому в качестве исходного звена рассуждений другими, экви-
валентными ей утверждениями, обобщающими другие, типичные для
всех обратимых круговых процессов, свойства цикла Карно. Так,
например, мы видели, что с помощью устройства, совершающего
цикл Карно, можно переносить теплоту от более холодного тела
к более нагретому, причём обязательно получается дополнительный
эффект: превращение работы в теплоту. Обобщением этого свойства
цикла Карно является следующее утверждение, которое также можно
было бы принять в качестве исходной аксиомы: не существует такого
обратимого кругового процесса, в результате которого происходит
перенос тепла от менее нагретого тела к более нагретому без того,
чтобы некоторое количество работы превратилось в тепло.
Из утверждения, принятого нами в качестве аксиомы, вытекает,
в частности, что нельзя осуществить, даже в предельном случае^
566 ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ [гл. XVII
обратимых процессов, вечный двигатель второго рода. Действительно,
для того чтобы перенести некоторое количество тепла от более на-
гретого тела к более холодному, рабочее вещество должно вступить
в теплообмен по крайней мере с двумя другими телами, а не с одним,
как это требует по определению вечный двигатель второго рода.
§ 10. Теорема Карно. Коэффициентом полезного действия двига-
теля, в котором рабочее вещество совершает круговой процесс, всту-
пая в теплообмен с двумя резервуарами, называют отношение
__ Q1 (?2
4 — Qi ~ Qi
— работы Л, произведённой за один оборот, к поступающему за один
оборот из нагревателя количеству теплоты Это определение
вполне естественно: двигатель практически тем выгоднее, чем боль-
шая доля энергии, расходуемой нагревателем, превращается в
работу.
Работа Д, получаемая от двигателя за один цикл, изображается,
в случае цикла Карно, площадью ABCD (рис. 399). Она зависит от
температур тепловых резервуаров, от размера цилиндров и размаха
колебаний поршня, от выбора рабочего вещества.
Фундаментальную роль в термодинамике играет теорема Карно.
Она утверждает: коэффициент полезного действия цикла Карно за-
висит только от температур нагревателя и холодильника.
Согласно теореме Карно, если, например, два двигателя совер-
шают цикл Карно при одних и тех же температурах нагревателя
и холодильника и первый двигатель вдвое мощнее второго, то пер-
вый двигатель заимствует у нагревателя вдвое больше тепла чем
второй. Увеличение размеров цилиндра или смена кривошипного меха-
низма (изменение размаха колебания поршня) не изменяет коэффициента
полезного действия при неизменности температур нагревателя и хо-
лодильника.
Теорему Карно можно сформулировать и так: коэффициент по-
лезного действия цикла Карно при заданных тепловых резервуарах
не зависит от конструкции двигателя и от выбора рабочего ве-
щества.
Теорема Карно доказывается на основе аксиомы, принятой нами
в § 9, при помощи следующих рассуждений («мысленного экспери-
мента»). Рассмотрим любые два двигателя D и D', совершающие цикл
Карно между одними и теми же тепловыми резервуарами, а в осталь-
ном — произвольные.
Предположим, что коэффициент полезного действия двигателя
D больше чем коэффициент полезного действия двигателя D':
§ 10]
ТЕОРЕМА КАРНО
567
или, согласно уравнению (17.9),
Штрихованные величины относятся к D', нештрихованные — к D.
Воспользуемся обратимостью двигателя D' и заставим его обхо-
дить свой цикл Карно против часовой стрелки, т. е. обратим его
в холодильную машину (§ 8). Восполь-
зуемся для поддержания её движения
двигателем D, сочленив оба устройства
(рис. 401). Пусть, кроме того, тело /?2,
охлаждаемое холодильной машиной, и те-
ло которому она отдаёт энергию,
служат соответственно для двигателя хо-
лодильником и нагревателем.
В единицу времени Т?2 получает от дви-
гателя количество теплоты yQ2 и отдаёт
холодильной машине y'Q' (v — число обо-
ротов в единицу времени). Подберём пе-
редаточное число так, чтобы
vQ2 = v'q:, (17.12)
Рис. 401.
т. е. чтобы холодильная машина отнима-
ла в единицу времени у /?2 ровно столько энергии, сколько ему
уступает двигатель.
Мощность двигателя есть
чД == v (Qi — Q2) = vQ2 ,
мощность, потребляемая холодильной машиной, —
Вследствие (17.11) и (17.12) мы имеем
У'А' _ 7]' 1 —\ 1
"iA V) 1 --7]' ’
т. е. холодильная машина потребляет только часть мощности дви-
гателя. Остальной частью vX — у'Д'^>0 можно воспользоваться, на-
пример, для подъёма грузов (рис. 401).
Этот результат противоречит аксиоме § 9.
Действительно, в сложном устройстве, состоящем из двигателя
и холодильной машины, рабочее вещество (совокупность рабочих
веществ двигателей D и D') совершает круговой процесс: по исте-
чении достаточно большого времени т = у = -^-> где а, а' — некр-
568
второй принцип термодинамики
[гл. XVII
торые целые числа, оба рабочие вещества возвращаются в исходное
состояние1). При этом круговом процессе наше сложное устройство
совершает положительную работу без переноса энергии с более
горячего тела на более холодное. Следовательно, предположение
ошибочно.
Предположим теперь, что Обратив D в холодильную ма-
шину и рассуждая, как выше, мы должны будем признать ошибоч-
ным и это предположение.
Остаётся только одна возможность: — Теорема Карно до-
казана.
§ 11. Термодинамическая шкала температур. Отношение =
1
= у—как и т], зависит только от температур нагревателя и хо-
лодильника: в цикле Карно отношение количества теплоты, взятого
у нагревателя, к количеству теплоты, отданному холодильнику, за-
висит только от температур нагревателя и холодильника.
Рассмотрим всевозможные вещества 7И, 2И', Л1", . . . , совершаю-
щие циклы Карно между одними и теми же резервуарами. Пусть
6 и 90 — температуры резервуаров, измеренные по произвольной эмпи-
рической шкале.
Из теоремы Карно следует
Q__^_QL
Qo
Q”
Qo
=/(e, 60).
Qb
где Q, Q', Q",... — количества тепла, взятые соответствующими
веществами у резервуара температуры 6; Qo, Q'o, Q",... — коли-
чества тепла, отданные соответствующими веществами резервуару
температуры 60; /(6, 60) — некоторая универсальная (т. е. одинаковая
для всех веществ) функция эмпирических температур 6 и 60 2).
Пусть циклы Карно таковы, что
Qo=q;=Qo=..-
В 'гаком случае
Q = Q’=Q" = ... = Q0/(6,e0). (17.13)
Будем менять 6, оставляя 60 и Qo постоянными, т. е. будем ме-
нять температуру одного из резервуаров, дав температуре другого,
а также отдаваемому ему количеству тепла, фиксированные значения.
Пусть, кроме того, Qq положительно. Мы получаем для каждого из
веществ циклы Карно, расположенные «лестницей» (рис. 402); одна
из изотермических частей цикла соответствует фиксированной сту-
*) Мы считаем, что и соизмеримы, что физически всегда допустимо.
2) Разумеется, функции f будут различны для различных эмпирических
.шкал температуры,
§ 11] ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ШКАЛА ТЕМПЕРАТУР
569
пеньке CD этой лестницы, другая изотермическая часть цикла может
итти по различным ступенькам А^, А2В2, и т. д.
Так как Qo и 0о фиксированы, то правая часть уравнения (17.13)
зависит теперь только от 6:
Q = Q' = Q'' = ... = F(0). (17.13')
При выбранных условиях количество теплоты, отдаваемое резер-
вуаром с температурой 6, одинаково для
всех веществ /14, /14', /14",... Оно является
универсальной функцией эмпирической
температуры 6. Эта функция обладает
следующими свойствами.
1. Q = F(9) положительна при любой
температуре 6.
Действительно, по условию Q0^>0.
Если цикл проходится по часовой стрел-
ке, то» A = Q — Q0^>0, откуда Q^>
Q0^>0. Если цикл проходится про-
тив часовой стрелки, то, воспользовав-
шись его обратимостью, изменим направ-
ление обхе ;^. Тогда резервуар с темпера-
турой 60 будет отдавать количество теп-
лоты Qo, а резервуар с температурой 6 по-
Рис. 402.
лучать количество теплоты Q. Так как работа положительна, вели-
чина Q положительна в силу аксиомы § 9.
2. Q = /7(0) растёт с увеличением температуры 0.
Действительно, пусть Проведём между изотермами 02 и
цикл Карно по часовой стрелке. Имеем
Q% Qi — ^21»
где все величины положительны. Отсюда следует
Q‘2=Q1 +
До сих пор мы брали в качестве температурного признака уро-
вень ртути, давление газа, электрическое сопротивление и т. д.
(гл. XIII, § 7). При этом получались температурные шкалы, зави-
сящие от выбора термометрического вещества. Лорд Кельвин пред-
ложил взять в качестве температурного признака величину Q. Она
удовлетворяет требованиям гл. XIII § 7, и, следовательно, такой
выбор температурного признака допустим. Он, кроме того, весьма
замечателен, так как приводит к универсальной температурной шкале,
не зависящей от термометрического вещества.
Шкала, где температурным признаком служит величина Q, назы-
вается термодинамической температурной шкалой, или шкалой Кель-
вина. Обозначим термодинамическую температуру буквой т.
570
второй принцип термодинамики
[ГЛ. XVII
По общему рецепту (13.13),
z — aQ-^-b.
Здесь целесообразно положить 6 = 0 (ср. § 12). Тогда
x = aQ. (17.14)
Произвол в выборе а устраняется требованием, чтобы разность тер-
модинамических температур тающего льда и кипящей воды (при р =
= 1 ат) была равна 100°, как и на эмпирических шкалах. Эго
даёт для определения а уравнение
lOO° = a(QIeo-Qo). (17.15)
Как мы видели, Q всегда положительно. В силу условия (17.15)
величина а также положительна, так как, согласно доказанному выше,
Qioo—Q0^>0. Следовательно, согласно (17.14), т также положительно:
температура любого тела, измеренная по термодинамической шкале,
положительна.
Коэффициент полезного действия цикла Карно является весьма
простой функцией термодинамических температур нагревателя и хо-
лодильника. На основании (17.14),
(17.16)
1 Qi
При данной температуре нагревателя коэффициент полезного
действия цикла Карно пропорционален разности термодинамических
температур нагревателя и холодильника.
§ 12. Тождественность термодинамической и идеально-газовой
шкал. Для того чтобы пользоваться на практике термодинамической
шкалой, обычно нет необходимости строить особые термометры, где
измерялась бы величина Q. Как мы здесь покажем, термодинамиче-
ская температура т совпадает с температурой Т по идеальному газу.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим цикл Карно,
совершаемый идеальным газом, и выразим его коэффициент полезного
действия через температуры 7\, Т2 нагревателя и холодильника, изме-
ренные по идеально-газовой шкале. Сделаем цикл настолько малым,
чтобы его можно было рассматривать как параллелограмм (ABCD,
рис. 403; АВ, CD— изотермы, ВС, AD — адиабаты). Работа цикла из-
меряется площадью ABCD, равной площади ABKL. Воспользуемся тем
отличительным свойством идеального газа, что его внутренняя энер-
гия — функция только температуры и поэтому при изотермическом
процессе не меняется (гл. XIII, § 12). Из этого следует, что теплота,
поглощённая идеальным газом при изотермическом расширении АВ,
целиком превращается в работу расширения и измеряется поэтому
площадью ABNM. Коэффициент полезного действия цикла
площ. ABKL
площ. ABMN
BG _Рр Pg
PH ~ рр
PfYf~Pqvq
PfVF
§ 12]
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ И ГАЗОВАЯ ШКАЛЫ
571
где FH—изохора, равноотстоящая от AM и BN, а индексы указы-
вают, к каким состояниям относятся соответствующие давления р
и объёмы V(Vf—Vq).
По определению (возможному благодаря
свойству идеального газа: произведение
pV есть функция только температуры)
идеально-газовая температура пропорци-
ональна произведению pV\
Рг ?F Ti
Po^G ?g ’
следовательно,
Сравнивая это выражение с (17.16),
мы видим, что
__ ^2
Л Ч ’
другому отличительному
Рис. 403.
т. е. термодинамическая и идеально-газовая температуры пропорци-
ональны друг другу, что можно записать в виде Г=хт, где х—
постоянная. Отсюда следует
Tt— — — га).
Пусть теперь нагреватель — кипящая вода, холодильник — тающий
лёд (оба при р— 1 ат). Тогда, согласно § 11 и гл. XIII, § 10,
Т\ — = 100°, т, — т2 = 100°,
откуда х= 1 и Т=х, что и требовалось доказать.
Особый символ т для обозначения термодинамической темпера-
туры становится излишним. В дальнейшем мы будем .её обозначать
буквой Т.
Близ абсолютного пуля (при температурах порядка 1° по Кель-
вину) все газы ведут себя как идеальные лишь при очень больших
разрежениях, и поэтому становится затруднительным пользоваться
даже гелиевым термометром. Для измерения таких низких темпера-
тур применяется на практике рецепт, лежащий в основе определения
термодинамической шкалы: проводятся* циклы Карно и измеряется^
них Q. При этом пользуются магнитным циклом Карно — круговый*
процессом, состоящим из двух изотермических и двух адиабатиче-
ских изменений магнитного состояния парамагнитного вещества
(см. т. II).
572 второй принцип термодинамики [гл. xvii
§ 13. Приведённое количество теплоты. Пусть при некотором
изотермическом процессе, протекающем при температуре Т (по термо-
динамической шкале), тело получает количество теплоты Q. Тогда
говорят: тело получает приведённое количество тепла
D __ Q
Так как Т всегда положительно, В имеет тот же знак/ что Q.
Пусть теперь тело сначала совершает изотермический процесс
при температуре 7\ и получает при этом количество теплоты
затем переходит адиабатически к температуре Г2, затем совершает
изотермический процесс при температуре Т.2 и получает при этом
количество теплоты Q2 и т. д. Тогда приведённым количеством
тепла, полученным телом, называют алгебраическую сумму
в= + % + -
Если эта сумма состоит из большого числа малых членов, то
удобна такая запись:
т •
При адиабатических процессах получаемое приведённое количе-
ство тепла равно нулю.
§ 14. Второй принцип термодинамики. Рассмотрим два простей-
ших обратимых процесса, при которых некоторое тело К перехо-
дит из произвольного состояния А в другое произвольное состоя-
ние С (рис. 404).
1. Тело К приводится в тепловой контакт с резервуаром, тем-
пература которого Т равна температуре тела в состоянии А и про-
цесс ведётся обратимо по изотерме до её пересечения D с адиабатой,
проходящей чер^з С. Затем резервуар отключается, и процесс про-
должается по адиабате до конечного состояния С.
2. Процесс идёт сначала по адиабате до её пересечения D'
с изотермой Т = Т', проходящей через С, после чего К приводят
в тепловой*контакт с тепловым резервуаром температуры Г2, и про-
цесс продолжается обратимо и изотермически до состояния С.
Полученные телОхМ при обоих переходах количества тепла Q
и Q', разумеется, различны (ср. гл. XIII, § 16). Но мы утверждаем,
что приведённые количества тепла, полученные при обоих переходах,
одинаковы:
В = В’, (17.17)
где
В=^г, В'—^-. (17.18)
Действительно, так как путь AD'C обратим, мы можем сначала
перейти из А в С по пути ADC, а затем вернуться из С в А по
§ 14] ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
573
пути CD'А, При этом К совершает цикл Карно; оно получает коли-
чество тепла Q от нагревателя, имеющего температуру Г, и отдаёт
количество тепла Q' холодильнику, имеющему температуру Г.
Согласно определению термодинамической температуры,
V = T' (17.19)
откуда, принимая во внимание (17.18), получаем (17.17).
Мы покажем теперь, что телу К потребуется сообщить такое же
приведённое количество тепла, для того чтобы перевести его из
состояния А в состояние С посредством любого другого обратимого
процесса.
Рассмотрим для этого два произвольные обратимые процесса
АМС и АМ'С. Они состоят (§ 4) из участков изотерм, соответ-
ствующих температурам, тех тепловых резервуаров, с которыми тело К
поочерёдно вступает в теплообмен и из участков адиабат (рис. 405).
Пусть В, В'— приведённые количества тепла, получаемые телом К
при процессах АМС и АМ'С. Так как процесс АМ'С обратим, то
его можно провести в обратном направлении, при этом тело К полу-
чает приведённое количество тепла (—В'). Следовательно, при кру-
говом процессе АМСМ'А тело К поглощает приведённое количество
тепла
В0 = В —В'. (17.17')
Заметим теперь, что адиабаты, отрезки которых входят в состав
ломаного замкнутого цикла АМСМ'А, делят его на некоторое коли-
чество смежных циклов Карно. Перенумеруем эти циклы от 1 до N.
Обозначим через
AQ2i Tit Tt, . TN
574
ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. XVII
количества тепла, получаемые телом К на верхней изотерме каждого
цикла Карно, и соответствующие температуры. Обозначим через
aq;, aq;, ..., aq„; т„ ra, rN
количества тепла, получаемые телом К на нижней изотерме каждого
цикла Карно, и соответствующие температуры. Если циклы Карно
совершаются по часовой стрелке, то нештрихованные AQ положи-
тельны, штрихованные — отрицательны.
Мы можем написать
в ... (17.17")
Л 12 71 1N
Уравнения, аналогичные (17.19), для наших циклов Карно таковы:
AQt * &Qn _ tn
-AQ[— г; ’ • • • ’ —— T'N ’
откуда
= ... , + = (17.19')
Подставляв (17.19') в (17.17"), получаем Во = О, откуда, на
основании (17.17'),
В = В\
При этом обратимые пути ДЛ4С, АМ'С взяты совершенно произвольно.
Более общее рассмотрение показывает, что аналогичный результат
справедлив и для обратимых процессов, происходящих в произволь-
ной системе тел. (Обратимость процесса предполагает, конечно,
что тела находятся в термодинамическом равновесии между собой.)
Мы можем поэтому утверждать следующее: для обратимого пере-
хода произвольной системы тел из определённого начального со-
стояния в определённое конечное состояние всегда требуется оди-
наковое приведённое количество тепла, независимо от того, по \
какому пути осуществляется обратимый переход.
Это положение есть второй принцип термодинамики.
§ 15. Энтропия. Подобно тому, как из первого принципа термо-
динамики вытекает существование функции состояния — энергии,
изменение которой равно работе, получаемой системой при адиаба-
тическом процессе, из второго принципа термодинамики вытекает
существование другой функции состояния — энтропии, изменение
которой равно приведённому количеству тепла, поглощаемому си-
стемой при обратимом процессе.
Выберем какое-нибудь состояние системы в качестве нулевого.
Приведённое количество тепла В, получаемое системой при обрати-
мом переходе из нулевого состояния в состояние V, р, зависит
§16] СОСТАВЛЕНИЕ ЭНТРОПИЙНОЙ КАРТЫ 575
только от конечного состояния V, р\ оно есть некоторая функция
конечного состояния:
B = 3(V, р). (17.20)
Для нулевого состояния <9 = 0; функция S есть энтропия.
Рассуждая так же, как в гл. ХШ, § 5, мы убеждаемся, что при-
ведённое количество тепла поглощаемое при любом обратимом
процессе, приводящем тело из состояния V\, р! в состояние V2, р2,
равно разности энтропий этих состояний
Bn=S(V2)p.2)-S(y1>P1) (17.21)
или, короче,
B12 = S2-Sp (17.21')
Уравнение (17.21) остаётся в силе, если нулевому состоянию
приписывается произвольное значение энтропии So, отличное от нуля.
Тогда энтропия в любом другом состоянии
S = S0 + ^, (17.20')
где В — приведённое количество тепла,' поглощаемое телом при
обратимом переходе в это состояние из нулевого. Уравнение (17.20)
соответствует частному выбору So = 0.
Существование функции £ является математическим выражением
того замечательного свойства симметрии обратимых процессов, кото-
рое утверждает второй принцип термодинамики. Существование энтро-
пии было открыто Р. Клаузиусом.
Так как энтропия есть функция состояния, то в начале и в
конце всякого (обратимого или необратимого) кругового процессу
совершаемого телом ЛГ, его энтропия одна й та же. Отсюда следует,
на основании (17.21), что при любом обратимом круговом процессе
поглощённое телом приведённое количество тепла равно нулю. Это
мы уже установили, впрочем, до введения понятия энтропии (§ 14).
При адиабатическом процессе Т?12 = 0. Если адиабатический
процесс обратимый, то мы имеем, на основании (17.21'),
= *$2-
При любом адиабатическом обратимом процессе энтропия системы
остаётся постоянной.
§ 16. Составление энтропийной карты. Если мы на плоскости V, р
какого-нибудь тела выберем достаточно густую сеть точек и пометим
их соответствующими значениями функции S, то мы получим «энтро-
пийную карту» этого тела. Для нанесения каждой метки нужно осу-
ществить какой-нибудь обратимый переход из нулевого состояния
в исследуемое, измерить поглощённое при переходе приведённое
количество тепла В и нанести в качестве метки величину So
576 второй принцип термодинамики [гл. xvii
Всем точкам одной и той же адиабаты соответствуют (§ 15) оди-
наковые значения энтропии: линиями уровня на энтропийной карте —
линиями одинаковых энтропий — являются адиабаты. Вот почему
адиабаты называются также изэнтропами.
Начертим для газа семейство адиабат и одну произвольную
изотерму (рис. 406). Для обратимого изотермического расширения
нужно сообщить газу положительное приведённое количество тепла.
Следовательно, передвигаясь по изотерме слева направо, мы пере-
ходим из состояний с меньшей энтропией к состояниям с большей
энтропией. Поэтому чем правее адиабата пересечёт изотерму, тем
больше на ней значение энтропии. Возрастающим индексам на рис. 406
соответствуют возрастающие значения энтропии. Более высоким
адиабатам соответствует большая энтропия.
На рис. 407 проведена изэнтропа S = В заштрихованной
области S?>Sj, в незаштрихованной
Для идеального газа несложное вычисление позволяет найти фор-
мулу, выражающую энтропию как функцию объёма и температуры
или объёма и давления. Здесь, на основании определения энтропии
и уравнения состояния идеального газа, имеем для одного моля
Д$=-£
MJ+pbV
откуда для дифференциала энтропии получаем
= (C„lnT+flln V).
Интегрирование даёт
S = In (7’Ст l/R) -J- const,
§ 17] ВТОРОЙ ПРИНЦИП КАК ОРУДИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 577
или, если воспользоваться ещё раз уравнением состояния:
5 = Cv In (р V1) т)- const, у = .
Вспомнив уравнение адиабат (гл. XIII, § 14), легко проверить, что
адиабаты являются кривыми одинаковой энтропии—изэнтропами.
Полученное выражение для энтропии показывает, что она растёт
при постоянном объёме с ростом температуры, а при постоянной
температуре с ростом объёма — и вообще при переходе с более
низкой адиабаты на более высокую.
§ 17. Второй принцип термодинамики как орудие исследования.
Симметрия обратимых процессов, выражением которой является
второй принцип термодинамики, позволяет, зная из опыта одни
свойства тел, предсказывать качественно другие и находить соот-
ветствующие количественные соотношения между величинами, на
первый взгляд никак не связанными между собой. Например, на
основании второго принципа термодинамики тот факт, что лёд пла-
вится при повышении давления (гл. XVI, § 16), является следствием
того факта, что он легче воды. Если из опыта известно, что неко-
торое тело расширяется при нагревании, то второй принцип по-
зволяет утверждать, что это тело нагреется при адиабатическом
сжатии; если же тело при нагревании сжимается (например, резина
или вода ниже 4° С), то при адиабатическом сжатии оно охла-
ждается. Если из опыта известно, что тело размагничивается при
нагревании, то второй принцип предсказывает, что оно охлаждается
при быстром (адиабатическом) выключении магнитного поля, в кото-
рое оно было предварительно помещено1). Второй принцип термо-
динамики устанавливает количественную связь между изменением
точки плавления с давлением и отличием в свойствах твёрдой и
жидкой фаз, между коэффициентами теплового расширения и нагре-
ванием при адиабатическом процессе и т. д.
Количество подобных примеров «взаимности» физических свойств,
устанавливаемой вторым принципом термодинамики, можно было бы
неограниченно увеличить. Эта взаимность всегда подтверждается на
опыте, что является наиболее убедительным доказательством пра-
вильности второго принципа. В §§ 18—22 этой главы будут рас-
смотрены некоторые примеры указанного типа.
В курсах термодинамики, предназначенных для более подгото-
вленного читателя, применяется математический аппарат, позволяю-
щий выводить следствия из второго принципа термодинамики
посредством некоторых стандартных аналитических операций 2).
Здесь мы будехМ пользоваться более элементарными, но зато и
Э Этот магнето-калорический эффект даёт один из наиболее эффектив-
ных методов для приближения к абсолютному нулю температуры.
2) Они основаны на теории так называехмого «интегрирующего мно-
жителя».
37 Паиалекси, т. I
578
ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
* [гл. XVII
более искусственными методами. В частности, мы будем пользо-
ваться для вывода интересующих нас соотношений свойствами сим-
метрии специально подобранных циклов Карно. Эти свойства выра-
жаются уравнением
= (17.22)
/1 /2
(частный случай второго принципа). В сочетании с соотношением
*X=Q1_q2 (17.23)
уравнение (17.22) даёт
ИЛИ
' = (17.24)
если произвести замену обозначений:
Q1==Q, Т1=Т, Tl—Т^ЬТ. (17.25)
§ 18. Применение второго принципа к расширению и сжатию
тел. 1. Докажем сначала следующее утверждение. Если при нагрева-
нии под постоянным давлением тело расширяется, то при изотер-
мическом расширении оно
Рис. 408.
поглощает тепло. Если же при нагрева-
нии под постоянным давлением тело сжи-
мается, то его изотермическое расшире-
ние сопровождается выделением тепла.
Пусть объём увеличивается изотер-
мически на малую величину (AV)t (путь
АВ на рис. 408). Будем рассматривать
АВ как часть малого цикла Карно (па-
раллелограмм ABCD, ср. § 12). Пусть
Т—температура на АВ, Т—&Т—тем-
пература на CD. Работа на этом цикле
A = (bV)T(bp)v,
где (Ap)i/ = AA1 есть изменение давления
при изохорном нагревании на АТ. На
основании (17.24),
Q^=(bV)T(Ap)v.< (17.26)
Здесь Q — теплота, поглощённая рассматриваемым телом при изотер-
мическом расширении АВ. Проведём через М и В изобары MQ, ВР.
Из подобия треугольников AMQ, АРВ имеем
(ДУ)Т (Др)и = - (Ар)? (А Юр» (17.27)
§ 1®] ПРИМЕНЕНИЕ К РАСШИРЕНИЮ И СЖАТИЮ 579
где (А/?)т'= АР есть изменение давления при изотермическом рас-
ширении АВ, (АУ)Р — изменение объёма при изобарном расшире-
нии 7I4Q. Согласно определению объёмного коэффициента теплового
расширения а (гл. XIII, § 8),
(ДУ)р = аИ0ЛГ. (17.28)
Подставляя (17.27) и (17.28) в (17.26), имеем
Q=-aV0T(Ap)r. (17.29)
При изотермическом понижении давления (Др^^О все тела, нахо-
дящиеся в устойчивом состоянии (ср. гл. XVI, § 17), расширяются.
Теплота Q, поглощаемая при изотермическом расширении, имеет тот же
знак, что а, что и требовалось доказать.
Формула (17.29) даёт количественную зависимость теплоты, по-
глощаемой при изотермическом процессе от изменения давления.
Нетрудно получить другую формулу, выражающую эту же величину
через изменение объёма. Согласно определению изотермического
объёмного модуля упругости ет (см. гл. VII, § 5),
а (дЮг
(Ар)г= — откуда Q = aeTT (AV)T.
Чем жёстче тело и чем больше оно расширяется при нагревании,
тем больше тепла оно поглощает при изотермическом расширении.
2. У всех веществ адиабаты круче изотерм (на плоскости V, р).
Доказательство (от противного). Пусть изотерма ВС идёт круч^,
чем адиабата ADC. Проведём изобару АВ (рис. 409).
а) Пусть тело при изобарном нагревании расширяется. При рас-
ширении АВ тело поглощает количество тепла Ср(Тв—Та). Это
количество тепла положительно, так как у всех тел Ср^>0 и, кроме
того, по предположению Тв— Та^>®* Согласно теореме 1, тело по-
глощает положительное количество тепла и при изотермическом рас-
ширении ВС. Так как Т всегда положительно, тело получает на
пути АВС некоторое положительное приведённое количество тепла.
Такое же положительное приведённое количество тепла должно по-
лучить тело, согласно второму принципу термодинамики, на пути
ADC, что противоречит предположению о том, что ADC — адиабата.
Ь) Пусть тело при изобарном нагревании сжимается. Тогда
Ср{Тв— Та) отрицательно, так как Ср^>0, Тв—Та<^®- Согласно
теореме 1, на изотерме ВС тело также получает отрицательное коли-
чество тепла. Следовательно, на пути АВС тело получает некото-
рое отрицательное приведённое количество тепла, что противоречит
тому, что ADC—адиабата.
3. Итак, адиабата всегда пересекает близкие изотермы Тх, так,
как показано на рис. 410. Здесь видно, что если Т^^Т^, т. е. если
при изобарном нагревании тело расширяется, то при обратимом
37*
580 ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ [гл. xvn
адиабатическом сжатии оно нагревается; а если T*<^Ti9 т. е. если
при изобарном нагревании тело сжимается, то при обратимом
адиабатическом сжатии оно охлаждается.
Газы всегда расширяются при изобарном нагревании; следова-
тельно, они охлаждаются при обратимом адиабатическо.м расширении.
Большинство тел ведёт себя так же, но, например, резина, а также
вода ниже 4° С при изобарном нагревании сжимаются. Груз, висящий
на резиновом шнуре, поднимается, когда шнур подогревают. Следо-
вательно, если внезапно увеличить давление (так, чтобы не успел
произойти заметный теплообмен), вода, имевшая вначале температуру
........... . у
Рис. 410.
ниже 4° С, должна охладиться. Если такой же опыт проделать при
более высокой начальной температуре, то вода должна нагреться. Эти
выводы были подтверждены экспериментально Джоулем. Легко также
проверить, внезапно растянув резиновую ленту и приложив её к губе,
что она при этом нагрелась.
4. Перейдём к количественному рассмотрению. При переходе АВС
по изобаре и адиабате (рис. 409, где теперь ВС — адиабата, АС —
изотерма) тело получает приведённое теЪло
В^ — Ср
где ДТ=Т2— 7\, Т— некоторая средняя температура на пути АВ.
При переходе ADC по изотерме тело получает, на основании (17.29),
количество тепла Q = — аУцТ(Др)т, а следовательно, приведённое
количество тепла В,2 — — (хУ0(кр)т- Согласно второму принципу
термодинамики, В1=В2, откуда
(Л7% _ _ W
<Лр)т Ср 9
§ 19] ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ ВЕЩЕСТВА 581
или, так как изменение температуры (ДТ)р на отрезке изобары АВ
равно взятому с обратным знаком изменению температуры (ДТ)$ на
отрезке адиабаты (изэнтропы) ВС, а изменения давления — (Др)г и
— (&p)s на отрезке изотермы ADC и на отрезке изэнтропы ВС равны
друг другу,
/АЛ _ aV0Tf
\bpjs Ср ’
В пределе, когда Др—>0, 7"'—>7\ мы получаем
/<Ш _ аУ0Г
\dpjs Ср
Таким образом, при обратимом адиабатическом процессе температура
техМ сильнее меняется с давлением, чем больше коэффициент теплового
расширения и чем меньше теплоёмкость при постоянном давлении.
§ 19. Внутренняя энергия вещества, подчиняющегося уравне-
нию Ван дер Ваальса. Второй принцип термодинамики позволяет, зная
уравнение состояния вещества, сделать определённое высказывание о
зависимости внутренней энергии от объёма. При этом не требуется
никакой молекулярно-кинетической модели. Покажем это на примере
вещества, подчиняющегося уравнению Ван дер Ваальса (гл. XV, § 23).
Применим формулу (17.24) к бесконечно малому циклу Карно
рис. 403. Так как теперь газ не идеальный, то
Q = площ. ABNM + (ДС)Г, (17.30)
где (ДС)г—приращение внутренней энергии при изотермическом
расширении (A V)r = MN. Но
площ. ZBW = (p-^)(AV)T-=p(AV)r (17.31)
(Д/>)Г(ДК)7
(малую величину второго порядка --------g---- можно отбросить
ввиду предстоящего перехода к пределу). Как и в § 18,
Л = (АУ)г(Ар)и. (17.32)
Подставляя (17.30), . (17.31), (17.32) в (17.24), имеем
[р (А Юг + (AU)t] = (A V)T &P)v>
или
W -Т№\ -р
\AV)t \ЬТ)у р
Переходя к пределу (AlZ)r->-0, (А7')и->0, мы получаем соотношение
(0U\ _ т1дР\
(ОИ/г \PTjv
582
ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. XVII
определяющее зависимость U от V при постоянном Т, если дана
зависимость р от Т при постоянном V.
На основании уравнения Ван дер Ваальса
_ а
P~v — b И2’
имеем
Ж *
\дт) v V — b ’
и следовательно,
_ RT ( RT а \ _ а
\dVlT~V~b — b
откуда, интегрируя,
+ (17.33)
где F— постоянная интеграции, т. е. величина, не зависящая от У.
Но от Т она зависит, так как в пределе при V= сю выражение (17.33)
должно перейти в выражение U = C^T внутренней энергии идеаль-
ного газа и, следовательно,
F = CVT, (17.34)
Подставляя (17.34) в (17.33), мы получаем выражение
U=CVT—,
которым пользовались в гл. XV, §§ 25, 26.
§ 20. Формула Клаперона-Клаузиуса. Будем рассматривать
участок АВ изотермы Т для 1 г вещества, изображающий обратимое
фазовое превращение (давление на нём
постоянно и равно равновесному да-
влению при температуре Г), как часть
очень узкого цикла Карно ABCD (рис.
411). Работа на этом цикле
А = (г»2 —
где Др — разность давлений на АВ и
CD, А' — разность заштрихованных
площадей (А изображается площадью
ABCD), vJf v2 — удельны^объёмы обе-
их фаз при температуре Т. Количество
теплоты, поглощённое на АВ, Q = l,
где I — теплота фазового превращения
одного г при температуре Т, Пусть
ДГ—разность температур на АВ и CD, На основании (17.24), имеем
• АГ , ч А . IЬТ . А'
I -Т =^2 — У1)^Р+А ИЛИ Тду=^2 —
§ 20]
ФОРМУЛА КЛАПЕРОНА-КЛАУЗИУСА
583
Пусть теперь Др->0. Тогда ^->0, так как А' = Ар(С(У— DD'),
причём СС и DD' оба—>0 вместе с Др, и мы получаем
или
I dT
T~ = V.y — v<
Т dp - 1
dp ___ I
dt T (v2 — vk) *
Это — формула Клаперона-Клаузиуса, одно из наиболее важ-
ных термодинамических соотношений. Она выражает наклон ~
кривой фазового равновесия на
плоскости Т, р (гл. XVI, §§ 2,
16, 17, 18) через теплоту превра-
щения, разность удельных объё-
мов фаз и температуру. Если
-------3>0 (с поглощением тепла
v2 — v^ v
образуется менее плотная фаза),
равновесное давление растёт с тем-
пературой; если-----—<^0 (с по-
глощениехМ тепла образуется более
плотная фаза), равновесное давле-
ние при нагревании уменьшается.
Так как изотермическое испаре-
ние всегда происходит с поглоще-
нием тепла (/^>0) и газообразная
фаза всегда менее плотна, чем кон-
денсированная (^2^>^i), для си-
стемы жидкость—пар или твёр-
до л .
дое тело — пар всегда равновесное давление систем, со-
стоящих из конденсированной и газообразной фаз, всегда растёт
с температурой.
Для равновесия твёрдой и жидкой фаз возможны два случая.
При плавлении всегда Z^>0. Но жидкая фаза для некоторых ве-
ществ является менее плотной, для других — более плотной, чем
твёрдая фаза при той же температуре. В первом случае (он встре-
чается наиболее часто) 0, и равновесное давление растёт
с температурой. Во втором случае (например, для воды: она расши-
ряется при замерзании) равновесное давление убывает при нагревании.
В первом случае кривая равновесия наклонена так, как на рис. 380,
во втором случае — так, как на рис. 381 (см. гл. XVI, § 16).
В применении к твёрдой и жидкой фазам качественное содержа-
ние формулы Клаперона-Клаузиуса может быть сформулировано ещё
584
ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
[гл. XVII
в следующем виде: если твёрдое тело плавает в своём расплаве, то
достаточно большое изотермическое повышение деления вызывает
кристаллизацию.
Лёд плавает в воде, отсюда следует, что он должен плавиться
ниже 0° С при достаточно большом давлении. Это иллюстрирует опыт,
изображённый на рис. 412. Проволочная петля, на которой висит
гиря, оказывает на лёд громадное давление. Лёд под ней плавится,
хотя он находится при температуре ниже 0°С, и проволока входит
в лёд. Над ней давление — атмосферное, и лёд смерзается. Проволока
постепенно опускается, через некоторое время груз вместе с прово-
локой падает на пол, но кусок льда остаётся неразрезанным.
§ 21. Теорема Максвелла. Уравнение состояния ничего не гово-
рит о том, как расположена двухфазная ветвь АВ изотермы (рис. 413).
Например, из уравнения Ван дер Ваальса нельзя определить равно-
жидкость—пар при заданной температуре.
весное давление системы
Но его можно найти, если известна од-
нофазная изотерма, с помощью второго
принципа термодинамики.
Представим себе, что при переходе
из А в В по двухфазной ветви изотермы
АВ система поглощает приведённое
тепло
а при переходе по однофазной ветви
APQB той же изотермы приведённое
тепло
(Для того чтобы представить себе последний переход, нужно предпо-
ложить, что при помощи каких-то внешних сил мы не даём про-
явиться нестабильности состояний, находящихся на участке PQ.) На
основании второго принципа термодинамики
В = В\
откуда
Q = Q'-
Следовательно, на основании первого принципа термодинамики
А=А\
где А — работа на пути АВ (площадь AqAMCNBBq), А' — работа
на пути APQB(площадь A^APCQBB^). Следовательно, взаимное рас-
положение однофазной и двухфазной ветвей изотермы таково, что
заштрихованные площади одинаковы (теорема Максвелла).
§ 22] РАВНОВЕСНОЕ ДАВЛЕНИЕ И КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ 585
Может показаться, что аналогичное рассуждение применимо к про-
цессам АМС и АРС, что приводит к абсурдному результату, что
площади А0АМСС0 и А0АРСС0 одинаковы. Но такое утверждение
ошибочно, так как точка С на ветви APCQB и точка С на ветви AMCNB
изображают различные состояния: однофазное и Двухфазное. Это
становится особенно наглядным, если начертить (рис. 414) трёх-
мерную диаграмму V, р, у — х(1—х), где х — доля газообразной
фазы (у можно назвать «степенью двухфазности»).
§ 22. Зависимость равновесного давления системы жидкость —
газ от кривизны поверхности раздела. Рассмотрим следующий
«мысленный эксперимент», придуманный лордом Кельвином.
Капилляр А (рис. 415) сообщается снизу с широкой трубой В.
Наверху А и В соединены трубой С, в которой может ходить пор-
шень. Поршень снабжён клапаном Ь, другой клапан а помещён в со-
единении Л с С. В устройство налита жидкость, смачивающая веще-
ство стенок (гл. IX, § 3). Её уровень в капилляре А выше, чем
уровень N в трубе В. В пространстве над жидкостью, в частности
в С, находится её пар. Около М и N он имеет равновесное да-
вление F (Г), соответствующее температуре системы Т. С высотой его
давление уменьшается (гл. VIII, § 6).
Пусть сначала клапан а открыт, клапан b закрыт. Давление пара
на поршень слева рА больше, чем давление справа рв, так как слева
высота над уровнем жидкости меньше чем справа. Под действием
избйтка давления рв—рА поршень будет двигаться вправо, и устрой-
ство совершает положительную работу. Когда поршень приходит в край-
нее правое положение, а закрывается, b открывается. Давления на
поршень слева и справа выравниваются. ВернёхМ теперь поршень
в исходное положение. Это происходит без затраты работы. Итак,
586 ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ [гл. XVII
мы получили положительную работу, причём рабочее вещество
(жидкость и пар) вернулось в исходное состояние и, следовательно,
совершило круговой процесс, находясь в тепловом контакте только
с одним тепловым резервуаром (окружающим воздухом). Мы полу-
чили вечный двигатель второго рода, что указывает на ошибку в одном
из исходных положений.
Как указал Кельвин, ошибочным является допущение о равенстве
равновесного давления пара около 714 и N. В действительности же равно-
весное давление около М меньше равновесного давления около W
как раз на такую величину, что PS—PA, и никакого избыточного
давления на поршень не возникает.
Очевидно, равновесное давление пара может лишь косвенно зави-
сеть от уровня жидкости. Непосредственно оно может зависеть только
от формы мениска (его кривизны). Найдём вид этой зависимости.
Пусть р и рй—равновесное давление пара, соответственно, около
М и N. В силу рА—рв имеем, согласно (8.10'),
Po=P — Pogh, (17.35)
где р0 — равновесная плотность пара в В, h — разность уровней 714, N.
Давление жидкости непосредственно под поверхностью 714, согласно
(9.11), равно р---где а — поверхностное натяжение, г—радиус
кривизны мениска. Следовательно, давление жидкости непосредственно
под поверхностью N
2d ,
PN=P —
(рж — плотность жидкости). Но в N кривизна поверхности равна
нулю, и поэтому давление пара непосредственно над N равно pN*.
Р — bgh =р — ~ — рж£*,
откуда
2d z ч .
— г- = (рж—Po)^A>
Таково равновесное давление пара над вогнутой поверхностью
жидкости. Мы получим формулу для равновесного давления пара над
выпуклой поверхностью (например, капли), изменив знак г:
р=р*+у^- (17-37)
Здесь давление пара больше, чем над плоской поверхностью (ср.
гл. XVI, § 10).
§ 23] ПРИМЕНЕНИЕ ЭНТРОПИЙНОЙ КАРТЫ 587
Формулы (17.35), (17.36), (17.37) пригодны лишь для не слиш-
ком малых | г|. При очень малых | г|, когда h настолько велико, что
плотность пара заметно меняется с высотой, надо заменить (17.35)
барометрической формулой (гл. VIII, § 6). При этом вместо (17.36),
(17.37) получается бол'ее точная формула
1пР=2а^о
Ро г Рж~ Ро
причём г принимается положительным, если поверхность жидкости
выпуклая, и отрицательным, если она вогнутая.
§ 23. Применение энтропийной карты к исследованию необра-
тимых процессов» Энтропия есть функция состояния. В частности,
энтропия тела в данном (равновесном) состоянии совершенно не
зависит от того, пришло ли оно в это состояние из другого, исход-
ного, посредством обратимого или необратимого процесса. Поэтому,
когда уже составлена (при помощи идеальных обратимых процессов)
энтропийная карта, ею можно пользоваться для исследования изме-
нений энтропии, происходящих в результате реальных необратимых
процессов. Поясним это на двух примерах.
1. Изменение энтропии газа в результате адиабатического рас-
ширения в пустоту.
Об этом явлении говорилось в гл. XIII, § 12: газ из состряния 1
переходит в состояние 2 с гораздо большим объёмом (рис. 269).
При этом, как мы знаем, в предельном случае температуры идеаль-
ного газа в начальном и конечном состояниях одинаковы. Следова-
тельно, 2 находится на изотерме, проходящей через 1. Достаточно
взглянуть на энтропийную карту (рис. 406), чтобы видеть, что энтро-
пия в состоянии 2 больше, чем в состоянии 1. Итак, в результате
адиабатического расширения в пустоту энтропия возрастает.
Это не противоречит постоянству энтропии при обратимых адиа-
батических процессах (§ 15); расширение в пустоту есть процесс
необратимый.
Здесь необходимо небольшое разъяснение. На энтропийной карте
могут быть изображены начальное состояние 1 и конечное состоя-
ние 2, но не промежуточные неравновесные состояния, при которых
имеются потоки, температура и плотность газа в различных местах
неодинаковы. Когда начинается процесс расширения газа’ в пустоту,
изображающая точка исчезает с плоскости V, р и снова появляется
на ней (в другом месте) лишь тогда, когда система приходит в конеч-
ное равновесное состояние. Мы можем говорить об энтропии в на-
чальном и в конечном состояниях, но без расширения понятия энтро-
пии нельзя говорить о том, как меняется энтропия в течение самого
процесса перехода из 1 в 2.
2. Адиабатическое расширение и сжатие газа в цилиндре под
поршнем с учётом трения.
588 второй принцип термодинамики [гл. xvii
Пусть сначала газ расширяется. При этом давление спадает по
кривой И41/И2, более пологой, чем адиабата изображаю-
щая точка переходит от более низких адиабат к более высоким
(рис. 397). Более высоким адиабатам соответствует большее значение
энтропии (§ 16). Следовательно, при расширении энтропия увели-
чивается.
Пусть теперь газ сжимается. Произойдёт ли уменьшение энтро-
пии? При адиабатическом сжатии с трением давление растёт по кри-
вой, более крутой, чем адиабата (рис. 397), и изображающая
точка снова переходит с более низких адиабат на более высокие.
Следовательно, здесь также происходит увеличение энтропии. Итак,
меняется ли объём в одном или в другом направлении, энтропия из-
меняется всегда в одну и ту же сторону — в сторону возрастания.
Сказанное иллюстрирует также рис. 395 и 396. Кривые MN
изображают на них расширение и сжатие, начинающиеся из одного и
того же начального состояния Ж. Оба процесса заводят в область,
где энтропия больше, чем в начальном состоянии М,
Разобранные примеры являются типичными. Энтропия возрастает
в результате любого необратимого адиабатического процесса.
§ 24. Коэффициент полезного действия необратимых круговых
процессов. Коэффициент полезного действия реальной машины, совер-
шающей круговой процесс, всегда меньше при заданных температурах
нагревателя и холодильника, чем коэффициент полезного действия
идеальной машины, совершающей цикл Карно.
Снижение коэффициента полезного действия вызывается теми же
причинами, из-за которых реальный процесс является необратимым.
Это — прежде всего: 1) наличие конечной разности температур между
рабочим веществом и резервуаром во время теплообмена,
2) трение.
Мы не будем доказызать высказанное здесь утверждение в общем
виде, а ограничимся тем, что проиллюстрируем отдельно механизм
снижения коэффициента полезного действия из-за конечной разности
температур и из-за трения.
Случай 1. Трением можно пренебречь, но теплообмен проис-
ходит при заметной разности температур рабочего вещества и
резервуаров. Цикл имеет, например, вид, показанный на рис. 416;
ВС и DA — отрезки адиабат.
Пусть Т\9 Т2— средняя температура рабочего вещества на
участках АВ, CD: Т\<^Т19 Т'2>Т%. Цикл ABCD эквивалентен
циклу A'B'C’D', состоящему из двух отрезков адиабат и двух отрезков
изотерм Т=Т\, Т = Т'2, на которых для рабочего вещества всё
происходит так же, как будто оно совершает цикл Карно с резер-
вуарами, имеющими температуры T'lt Т2. Поэтому коэффициент полез-
ного действия
г; — Г2
Т, -т,
С '
§ 241
НЕОБРАТИМЫЕ КРУГОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
589
Здесь необратимость понижает коэффициент полезного действия по-
тому, что она эквивалентна сближению температур нагревателя и холо-
дильника. При улучшении условий теплообмена температуры 7\', Т'
стремятся к Тх, Тъ разность температур нагревателя и холо-
дильника используется всё эффективнее* коэффициент полезного
Т________________________________________Т
действия увеличивается и стремится к —
Случай 2. Не адиабатические части цикла протекают настолько
медленно, что их можно считать обратимыми, адиабатические части
цикла — настолько быстро, что трением в них нельзя пренебречь.
Здесь цикл состоит из двух отрезков изотерм Т=ТХ и Т = Т9
(АВ и CD), соединённых кривой ВС, более пологой, чем адиабаты
ВС$ и В^С, и кривой DA, более крутой, чем адиабаты AD^ и Ао£>
(рис. 417). Количество тепла забираемое у нагревателя, такое
же, как в цикле Карно ABC^D^A*, количество тепла Q%, отдаваемое
холодильнику, такое же, как в большем цикле Карно A^B^CDA^,
т. е. больше, чем количество тепла Q20, отдаваемое холодильнику
в цикле Карно ABC^D^A. Следовательно, та часть количества тепла
которая превращается в работу, меньше, чем в цикле Карно ABC^D^A
(то, что площадь цикла ABCDA больше ’площади цикла ABC^D^A,
этому не противоречит, так как работа, получаемая от двигателя,
меньше работы давления ABCDA на величину работы трения). По-
этому коэффициент полезного действия меньше, чем в цикле Карно
ABC^DqA (т. е. чем во всяком цикле Карно между температурами Тх, Т2).
Если адиабатические части цикла будут протекать всё медленнее,
точки С, А будут стремиться к Со, Ао, количество тепла, забираемое
у нагревателя, растёт, количество тепла, отдаваемое холодильнику,
590 ВТОРОЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ 1гл. XVII
убывает, их разность — работа цикла — растёт. Коэффициент полез-
ут _________________________________j*
ного действия снова стремится к ———- .
11
§ 25. Изменение энтропии при установлении термодинамиче-
ского равновесия. Неравенство Клаузиуса. Мы знаем, что в изо-
лированной системе (гл. XIII, § 5) с течением времени устана-
вливается состояние термодинамического равновесия: если отвлечься
от флуктуаций и ограничиться макроскопическим рассмотрением
явлений, то, как мы уже неоднократно указывали (например, гл. XIII,
§ 7, гл. XIV, § 1), механические движения затухают, температуры и
давления выравниваются и т. д. Это происходит вследствие односторон-
ности тех взаимодействий, которые возникают в изолированной системе,
находящейся в состоянии, отличном от термодинамического равнове-
сия. При скольжении одного слоя жидкости или газа по другому
ускоряется более медленно движущийся слой, а тормозится более
быстрый, т. е. передача количества движения происходит от более
быстрого! слоя к более медленному. При тепловом контакте между
двумя телами теплообмен происходит в определённую сторону; именно
поэтому можно ввести понятие большей и меньшей температур.
Исследование таких процессов приводит к следующей совершенно
общей формулировке: по мере того как изолированная система при-
ближается к состоянию термодинамического равновесия, её энтропия
возрастает. При этом под энтропией системы понимается сумма
энтропий составляющих её тел.
Если S (^0) — энтропия изолированной системы в момент времени
/0, 5(0— энтропия этой же системы в более поздний момент t, то
5(0 - 5(Q^0, (17.38)
причём знак равенства имеет место только тогда, когда система уже
в момент времени /0 находится в состоянии термодинамического
равновесия.
Весьма важное неравенство (17.38) называется неравенством
Клаузиуса.
Иллюстрируем его несколькими примерами.
1. Теплообмен между двумя телами.
Пусть более нагретое тело А (начальная температура Та) отдало
более холодному телу В (начальная температура Тв) некоторое малое
количество тепла AQ, вследствие чего система, состоящая из тел
А, В, приблизилась к состоянию термодинамического равновесия.
Пусть при этом тело А перешло из состояния А1 в близкое состоя-
ние А2, а тело В — из состояния Bt в близкое состояние В2. Пред-
положим для определённости, что изменение состояния обоих тел
происходит при постоянном давлении. Тогда рассматриваемый процесс
изобразится на плоскостях VA, рА и VB, рв отрезками изобар А2А2,
ВХВ^ (рис. 418).
§ 25]
НЕРАВЕНСТВО КЛАУЗИУСА
591
Для того чтобы узнать изменение энтропии тела А в результате
изменения А^, представим себе, что мы переводим его из состоя-
ния At в состояние А2 посредством обратимого процесса, для чего
приведём его в контакт с резервуаром температуры Та, сожмём
изотермически до состояния Ао и затем дадим ему расшириться по
изэнтропе А0А2. При этом энтропия тела А испытывает приращение
ГА ’
где AQa — количество теплоты, отданное телом А при изотерми-
ческом процессе AjA0.
Рассмотрим теперь круговой процесс А^АфАр Согласно (17.8),
AQ— AQa = площ. А0А{А2.
AQ— малая величина порядка (AV)p = AjA2, площ. А^А^ — малая
величина порядка (AV)p. Поэтому, если (АУ)р достаточно мало,
мы имеем право пренебречь
отличием между AQ и AQa и
писать
Д5а = -4^-
На основании аналогичных со-
ображений мы можем написать
Рис. 418.
7В
Определим, согласно
занпому выше, энтропию
с темы, состоящей из тел
ска-
S си-
А и
В, как сумму
их энтропий Sa и S/i:
S — Sa Sjj.
Приращение энтропии системы
AS = ASa 4- ASb = AQ f-l- — -T~
\ 1 В 7 A.
Так как AQ О, Та T в, то величина AS положительна; при тепло-
обмене приращение энтропии более холодного тела превосходит по
абсолютной величине убыль энтропии более нагретого тела. Если
бы было Та<^Тв, то мы имели бы AQ<^0 и величина AS была
бы снова положительна. Увеличение энтропии системы тем меньше,
чем меньше отличие между температурами Та и
592 второй принцип термодинамики [гл. xvii
2. Затухание механического движения.
Пусть, например, в вязкой жидкости находится шарик, висящий
на пружине. Пусть в начальный момент пружина натянута, затем предо-
ставляется самой себе. Шарик начнёт колебаться. Его колебания
затухнут, система, состоящая из жидкости, шарика и пружины, на-
греется, её внутренняя энергия возрастает. Но систему можно было
бы перевести из начального состояния в это конечное состояние,
сообщив ей некоторое положительное количество тепла с помощью
более нагретого тела. Следовательно, на основании сказанного
в связи с примером 1, в результате затухания колебаний энтропия
системы возросла. Этот вывод легко распространить на затухание
любого макроскопического механического движения.
Если каким-нибудь искусственным путём (с помощью посторон-
него приспособления) раскачать шарик за счёт внутренней энер-
гии жидкости, произойдёт охлаждение последней, и энтропия
системы уменьшится. Но теперь уже система не является изолиро-
ванной. *
3. Выравнивание плотности газа.
Пусть замкнутый сосуд разделён на 2 части Л, В, имеющие одинако-
вый объём и наполненные одним и тем же идеальным газом. Газ в А мВ
имеет одинаковую температуру, но плотность рл в А больше плот-
ности рв в В. Если мы уберём перегородку, отделяющую А от В,
во всём сосуде установится одинаковая плотность р, температура
останется прежней. Вычисление, основанное на выражении для энтро-
пии идеального газа, полученном в § 16, показывает, что при этом
энтропия возрастает.
Если бы мы искусственно (с помощью посторонних тел, не изоли-
рованная система) создали разность плотностей между частями газа,
находящимися в А и В, энтропия системы уменьшилась бы.
Как и первый принцип термодинамики, второй принцип термоди-
намики и все связанные с ним высказывания о свойствах обратимых
процессов целиком остаются в силе и при молекулярно-кинетическом
подходе к исследованию изменений состояния вещества. При этом
энтропию нужно понимать кЗк величину, характеризующую опреде-
лённым образом вероятность рассматриваемого состояния (подробнее
об этом говорится в курсах статистической физики).
Иначе обстоит дело с неравенством Клаузиуса. В согласии с тем,
что было разъяснено в начале гл. XV, высказывание о том, что
в системе, предоставленной самой себе, происходит затухание меха-
нических . движений, выравнивание плотностей и т. д., выражает
только результат грубых макроскопических наблюдений. В дей-
ствительности, благодаря тепловому движению молекул и без вся-
кого вмешательства извне, скорость частицы, взвешенной в спокой-
ной жидкости, может внезапно возрасти, между отдельными частями
газа может возникнуть разность плотностей и т. д. Такого рода
§ 25]
НЕРАВЕНСТВО КЛАУЗИУСА
593
флуктуационные явления происходят и при термодинамическом равно-
весии. Их существование находится в полном согласии с молеку-
лярно-кинетическими представлениями: если, например, в начальный
момент молекулы газа распределены поровну между двумя полови-
нами сосуда, в следующий момент это равенство из-за случайности
их движений, обязательно слегка нарушится в ту или другую сто-
рону. Ясно, на основании сказанного выше, что во всех подобных
случаях энтропия изолированной системы уменьшается. Следова-
тельно, флуктуационные явления находятся в противоречии с нера-
венством Клаузиуса.
До открытия флуктуаций считалось, что неравенство Клаузиуса
выполняется при всех изменениях состояния изолированной си-
стемы. Как мы здесь видим, оно имеет в действительности го-
раздо более ограниченное значение. Оно справедливо лишь в каче-
стве грубого описания процесса приближения адиабатически изоли-
рованной системы к состоянию термодинамического равновесия, но
совершенно не характеризует ни детальную картину этого процесса,
ни детальную картину самого термодинамического равновесия — ту
картину, которую открывает перед нашим взором наблюдение броу-
новского движения или голубого цвета неба.
Папалекси, т. I
УКАЗАТЕЛЬ
Авогадро закон 462, — число 463,
456 и сл.
Автоколебания 276 и сл., 340, воз-
буждение — 350, — тепловые 442
Адиабата 420 и сл., 426
Адиабатическая оболочка 392,394 и сл.
— сжимаемость газов 205 и сл.
Адиабатический процесс 394, 396 и
сл., 416, 423
Азимут 380
Айткен 525
Аллен 551
Амага 203 и сл.
Анизотропный материал 184
Ареометр 200 и сл.
Архимеда закон 196; — сила 197
Атвуда машина 61, 156; — опыты 57
Атмосфера техническая 188
Атомный вес 498
Афанасьева-Эренфест 386
Аэродинамическая труба 231
Баллистика внешняя и внутренняя 97
Бар 188
Барабанная перепонка 368
Бария 188
Барометрическая формула 206 и сл.,
464 и сл.
Бел 373
Бера закон 115
Бернулли 392, — формула 228 и сл.
Биения 279, 282 и сл.
Бинауральный (двуушный) эффект
368, 369
Бойль 392, 408
Бойля-Мариотта закон 204 и сл„ 408
и сл., 511
Больцман 446, постоянная—456, 459,
465, 469
Борн 504 и сл.
Броун 443
Броуновские частицы444, 466 и сл., —
движение 443 и сл., 466 и сл.
Бриджмен 519 и сл.
Вакуум 475 и сл.
Ван-дер-Ваальса константа вторая
486,------первая 485, 490, — модель
газа 490, 492, — уравнение 486, 490
Векторы 21 и сл. 53, 88,125
Вентури трубка 232
Весомость тела 60
Вечная мерзлота 438
Вечный двигатель второго рода 552
и сл.
Взвешивание точное 198 и сл.
Вильсон 527, камера — 527
Вихри 244
Волны баллистические 377 и сл., —
взрывные 297,377; — вторичные 315
и сл., — давления 336;-----звуко-
вого 313, 334,345 и сл., — дульные
377 и сл.; — звуковые 205 и сл.; —
когерентные 305, — круговые 297; —
крутильные 299, 302 — отражён-
ные 311 и сл., 314;—плоские 297,
326 и сл.; — поляризованные 300,
307; — поперечные 295, 300, 307; —
продольные 295, 301 и сл , 307 и
сл.; — скорости частиц 333 и сл.,
344 и сл.; — стоячие 310, 314, 504
и сл.; — сферические 297, 326; —
ударные 251; — ультразвуковые
309, 317, 320
Волюменометр Гэ-Люссака 200
Вращение относительно инерцион-
ной системы 112
Второй принцип термодинамики 386
Высота звука 370; — однородной ат-
мосферы 207
Вязкость газа 471, 474, 476
Газ идеальный 409 и сл.; — одноатом-
ный 494; — двуатомный 494; — уль-
траразрежённый 477 и сл.; 480
и сл.
Газовая постоянная 415
Галилей 57, 60, 158,— принцип отно-
сительности 111, 230, 240
УКАЗАТЕЛЬ
595
Гальтона доска 449 и сл.
Гамма 371 и сл.
Гармонический анализ 284; — анали-
затор 284;—обертон 347
Гармоники 284 и сл.
Гартование 177
Гелий I и II, 551
Гельмгольц 363 и сл., 376, 528; резо-
натор — 343
Герц Г. 252
Гибкость системы 260
Гидроакустика 325, 383
Гипсотермометр 518
Гироскопический компас 161
Гистерезис 178 и сл.
Главный момент внешних сил 127
и сл.;-----количества движения 127
и сл.
Гласные 363 и с л.
Годограф скорости 34, 39; — ускоре-
ния 39
Голосовой аппарат ,человека 362
и сл., — связки 362 ’
Градус 405
Грамм-атом 496;------масса 14; —
— молекула 411, 413 и сл., 463, 468
и сл.
Граммофон 341
Громкоговоритель 341; — диффузор-
ный365;— электродинамический 365
Громкость 375
Гук 392; закон — 67, 169, 175 и сл.,
250 и сл., 257
Гэ-Люссака волюнометр 200; — закон
410; — опыт 416
Гюйгенс 315 и сл.
Давление 188 и сл.; —в капле и
мыльном пузыре 221 и сг.;— пар-
циальное 463 и сл.; — тепловое 484
и сл.
Дальность выстрела 99
Дальтон 445 и сл.; закон — 464
Движение апериодическое 265;—броу-
новское 443 и сл., 466 и сл.; —в
поле консервативных сил 94 и сл.; —
колебательное 66; — материальной
точки по связи 96; — параболиче-
ское 46; — под действием силы тя-
жести 63; — по наклонной плоско-
сти 60 и сл.; — равномерное по
кругу 39;-------прямолинейное 37
и сл.; — стационарное 225; — супер-
апериодическое 265; — тепловое
444 и сл., 490, 504
Двухфазности степень 585
Дебай 504 и сл.
Демокрит 445
Денсиметр 202
Деформации главные 167; — кручения
168; — нелинейные 177;— неодно-
родные 168; — объёмные 166; — од-
нородные 162;—пластические 176;—
упругие 389
Деформируемые тела 162
Децибелл 374
Джоуль 89, 392, 424, 580
Джоуля и Гэ-Люссака опыт 416 и сл.
Джоуля и В. Томсона опыт 417 и с л.
Джоуля опыт 415 и сл., 395 и сл., 447
Джоуля-Томсона эффект 418 и сл.,
542 и с л.
Диафрагма 352
Дина 62
Диссонанс 371
Диффракция волн 320; — звука 336
Длина волн 292; — свободного про-
бега 469 и сл.
Допплер 321
Дюара сосуд 394, 481
Дюлона и Пти закон 496, 499, 503
и сл.
Дюнуайе опыт 447 и сЛ., 469; — при-
бор 475
Дюфура опыт 518; 530
Дэви опыт 391 и сл.
Закон Авогадро 462; —Архимеда 196;
— Бера 115; —Бойля-Мариотта 204
и сл., 408 и сл., 511; — всеобщего
тяготения 74; — Гука 67, 169, 175
и сл., 250 и с л., 257; — Гэ-Люссака
410; —Дальтона 464; —Дюлона и
Пти 496, 499, 503 и сл.; — Кеплера
57, 127; — квадратичный сопротив-
ления 100; независимости действия
сил 63, 68; Ньютона второй 59
и сл.;-----первый 57;— —третий
60, 62; — Паскаля 189 и сл.;— План-
ка 499 и сл., 505; — Пуазейля 234,
239; — Пу ассона 205; — равномерно-
го распределения энергии по степе-
ням свободы 495 и сл., 504; — рас-
пределения 451 и сл.,455;-Макс-
велла 456, 458, 463, 465; — сохране-
ния количества движения 123; —
— энергии 94, 132, 158; — Стокса
242;— суперпозиции 250, 269 и сл.;
— трения Кулона 84
Замерзание 507, точка—546
Звук вихревой 362, — вращения 361,
— выхлопа мотора 361, запись—358,
затухание — 339, 356 и сл., измере-
ние скорости— методом Кундта 346/
38*
596
УКАЗАТЕЛЬ
отражение —336, преломление —
337, — пропеллера 361, распростра-
нение — 338
Звуковое давление 304, 326, 374; —
импульс 359; — поле диффузное
326, 356
Звукоулавливатели 380 и сл.
Зона аномальной слышимости 338;
— молчания 338
Излучатель магнитострикционныйЗбб,
368; — электроакустический 366
Изобара 190, 426 и сл.
Изотерма 408, 417; — двухфазной си-
стемы 509; — идеального газа 483;—
критическая 541; — реального га-
за 483; — термодинамическая 406
и с л.
Изотермическое расширение 423,
429, — сжимаемость газов 206
Изотропный материал 184 и сл.
Изохора 426 и сл.
Изоэнергетические кривые 400, 512
Изэнтропа 577
Импеданц 269 и сл.
Импульс 70, 251; — силы 69 и сл.
Индикаторная диаграмма 387, 398, 423
Инертность 62
Инерциальные системы отсчёта 109
Инерция тепловая 435 и сл.
Интенсивность волны 298; — звука 328
Интервал 371
Интерференция 305, 309
Инфраакустика 325
Инфразвуки 325
Искажения нелинейные 331
Испарение 507, 509, 511 и сл.
Кавитации 367
Кайте 534
Калориметр 395 и сл.
Калория 414 и сл., 424
Камерлинг-Оннес 535
Камертон нормальный 372
Каналы полукружные 368
Каньяр де ла Тур 537
Капица П. Л. 543, 551
Каратеодори 386, 392
Карман 504 и сл., дорога — 244
Карно 553; — цикл 564
Квант энергии 500 и сл.
Кварта 371
Квинке 219
Квинта 371
Кельвин (В. Томсон) 417, 510, 526, 553,
585 и с л.
Кеплера законы 57, 121
Килограмм-масса 14
Килограммометр 89, 424
Килограмм-сила 59
Клаперона-Клаузиуса формула 583
Клаузиус 446,553,575, неравенство —
590 и с л.
Клода и Гейланда установка 543
Колебания, амплитуда — 42, 252 и сл.,
258, вынужденные — 265; — гармо-
нические 250 и сл., 260 — затухаю-
щие 44 и сл., 250, 263 и сл., 401; —
звучащего тела 44, — изохронные
79; — комбинационные 291; компо-
ненты— 284; — маятника 44, 95; —
монотональные 286, —незатухаю-
щие 250, — непериодические 249,
285; — нормальные 504, — переход-
ные 248, 266; плоскость — 300; —
релаксационные 278, — свободные
256, 258 и сл., — собственные тру-
бы 347
Конвекция 438
Конденсация 507, 524 и сл., 547
Консонанс 371
Концентрация вещества 476 и сл.
Корти органы 368
Коэффициент внутреннего трения га-
за 471, 474, — давления темпера-
турный 408, 412, — диффузии 474
и сл., — затухания 44, 263, 339,—
кинематической вязкости 234, 236,—
объёма температурный 408, 412, —
отражения волн 334 и сл., — погло-
щения звука 357, — полезного дей-
ствия двигателя 566, — преломления
337, — проникновения волн 334 и
сл., — поверхностного натяжения
488, — Пуассона 178 и сл., — сжатия
струи 229, — сопротивления 239, —
теплового расширения 408,—тепло-
проводности 475,------газа 476, —
-----ультраразрежённого 481,—
трения в ультраразрежённом газе
480, — упругости 257
Кривизна, круг — 49, радиус — 49, —
траектории 48
Кристаллизация 507, 546 и сл.
Кристаллическая решётка 444 и сл.,
504 и сл.
Кристаллы 444 и сл.
Критическое давление 534, — объём
534, — опалесценция 537, — темпе-
ратура 534, — точка 534 и сл.
Крутильная постоянная 262
Кулона законы трения 84
Купдта метод измерения скорости
звука 346
УКАЗАТЕЛЬ
597
Лабиринт 368
Лагранжа точка зрения 225
Ламинарное течение 235, 239 и сл.,
244
Ламмерта опыт 456; — прибор 453
Ландау Л. Д. 551
Ланжевен П. 367, 468
Лапласа формула 304; — неизменяе-
мая плоскость 128
Линде машина 542
Линии тока 225
Лиссажу фигуры 289
Логарифмический декремент затуха-
ния 45, 264
Ломоносов М. В. 392
Луч 321
Майснер 551
Майер Р. 392, уравнение — 427
Максвелл 446, 474, волчок —158; за-
кон распределения — 456, 458, 463,
465; опыт — 480; теорема — 584
Мандельштам Л.' И. 505
Манометр Мак Леода 208 и сл.,—
мембранный 462; — ртутный 195
Мариотт 408
Масса, единица —14; измерение — 60
и сл.
Маятник, баллистический — 124; ко-
нический — 81; — математический—
77,81, оборотный — 156; физическо-
го — приведённая длина 155, — Фу-
ко ПО, 115
Мгновенная ось вращения 55, 159, —
угловая скорость 41
Мельде опыт 352
Мембрана основная 368
Мениск 219
Мерсенна формула 351
Метастабильная двухфазовая систе-
ма 548
Метр, эталон 11
Механический эквивалент тепла 415
Микробар 188
Микрофон 330 и сл.
Модификации аллотропические 519,—
олова 550, — полиморфные 5 U
Модуль растяжения 179; — сдвига
179; — сжатия адиабатического 422;
------изотермического 422;— Юнга
175, 179 и сл.
Молекула, вероятнейшая скорость —
457; средняя скорость — 449; эффек-
тивный диаметр — 470
Молекулярный вес 441, — пучок 448
и сл., 452 и сл.
Моль 411
Момент вектора 143; — инерции 151
и ст.; — количества движения 125
и сл.; —пары сил 138 и сл.; — си-
лы 125
Монокристалл 184 и сл.
Мощность голоса 365; — двигателя
133; — источника звука 329
Насос диффузионный 208, 482 и сл., —
— Лэнгмюра 483; — конденсаци-
онный 208, — молекулярный вра-
щающийся 481 и сл., — ротацион-
ный Гёде 208
Напряжение 72 и сл., — в точке 174
и сл.
Напряжённость поля 64, 92
Натяжение поверхностное 210 и сл.;
213, 487 и сл.; — сцепления 484
и сл.
Неизменяемая плоскость 127
Несмачивание 215 и сл., 218
Ньютон 72, 74, 234; законы — 57 и сл.
Обертоны 284
Обтекаемая форма тела 245
Однородный материал 184
Окно круглое 368; — овальное 368
Октава 371
Ом механический 269
Осциллограф 274
Охлаждение при адиабатическом ис-
парении 512
Ошибки абсолютные 20; — отно-
сительные 20; — параллакса 20;
— систематические 20; — случай-
ные 21
Ощущение тепловое — 390
Параметры системы 257, 269
Пара сил 138
Пар насыщенный 510 и сл.
Парсек 14 и сл.
Паскаля закон 189 и сл.
Первый принцип термодинамики 386,
392, 397, 432, 447
Перемещение возможное 147; — пе-
реносное 106
Период колебания 42/68, 251, 258
Перрен 466 и сл.
Пикнометр 200
Пиктэ 535
Пито трубка 231 и сл.
Плавление 507
Планк 499 и сл., закон — 499 и ст.,
505; постоянная — 500
Плато опыт 214
Плечо пары сил 139
598
УКАЗАТЕЛЬ
Плотность 169 и сл., 199 и сл., 414; —
газа 205, 474, 508;—потенциаль-
ной энергии 183; — энергии волны
297;------стоячих волн 314
Поверхность раздела 246; — связи 75
и сл.; — уровня 91 и сл.
Пограничный слой 245 и сл.
Показатель преломления волн 317
Поле давлений 191;—консервативное
91; — потенциальное 91; — сил 63
Поликристаллический материал 184
Полиморфные превращения 549 и сл.
Полутоны 372
Поляризация волн 299 и сл.
Порог болевого ощущения 373; —
слышимости 373
Поршневой двигатель 387 и сл<
Постоянная Больцмана 456, 459, 465,
469, — Планка 500
Потенциал 93
Потенциальная энергия 93, 132, 183,
-----деформируемого тела 182
Поток тепла 437, — энергии 134; —
— волновой 298;-------в системе
стоячих волн 314
Процессионное вращение оси 159
Прилипания область 84
Проводимость (акустическая) трубки
342
Процесс квазистатический 561; —
круговой 428 и сл., — обратимый 386
Пуазейля закон 234, 239
Пуассона коэффициент 178 и сл.; —
уравнение 421; —закон 205
Пучность 310
Пьезокварцевый излучатель 366
Пьезометр 202 и сл., — Эрстеда 202
Пьезоэлектрический эффект 367
Пьезоэлектричество 366 и сл.
Работа силы 88 и сл., — сил поля
тяготения 90 и сл.
Рабочее вещество 428 и сл.
Равновесие 97,197; — двух жидкостей
194 и сл., — тепловое 403 и сл., 459
Равновесия кривая 508
Равновесная плотность 509 и сл.,— со-
стояние 390; -----двухфазной си-
стемы 508 и сл.
Размерность 15, метод — 79 и сл., 236
Разность хода волн 306; — фаз 254
и сл.
Разрыв 172, 177
Рассеяние волн 321, 337; — света мо-
лекулярное 444
Растяжение тела 163
Реактивные двигатели 247
Реверберация 354 и сл., 357
Резонанс 270 и сл., 349, — параметри-
ческий 352, — полости голосового
аппарата 352 и с л.
Резонансная дека 353; — кривая 271;
— частота 271
Резонатор акустический 342; — Гельм-
гольца 343
Рейнольдс 86, 235, число — 237, 244
Релаксация 177, 179, 264
Реньо 203 и сл.
Румфорд 392, 504
Рупор 366
Рэлей 543, диск —329 и сл.
Савара колесо 341
Санары 383
Сверхтекучесть 551
Световой год 15
Свободная поверхность жидкости 192
и с л.
Связи динамические 75; — кинема-
тические 75
Сдвиг 179;—простой 164 и сл.,—
чистый 164 и сл.
Сейсмограф 275
Секунда 13
Сера моноклинная 549; — ромбиче-
ская 549
Сжатие 163, 205 и сл.; —струи 229
Сжимаемость газов 204 и сл.
Сила 56 и сл., 62 и сл., 117 и сл.; —
Архимеда 197; — атомная оттал-
кивания 171 и сл.; — звука 328,373,—
инерции 111; — квазиупругая 257,
— консервативная 91; — конфигура-
ционная 63, 81, 84; — кориолисова
133 и сл.; — поверхностная 172
и сл.;—подъёмная воздушного шара
207;— —самолёта 231; — реакции
связи 75; — сцепления 484; 487
и сл.; — трения 63, 82 и сл., 132, 262,
290; — — при стрельбе 100; — упру-
гая 290; — центральная 57; — цен-
тробежная 72;------вращения Зем-
ли 113;——инерции 113 и сл.;
— центростремительная 72
Силовые линии 92, 192
Система автоколебательная — 276 и
сл., 340, двухфазная — 506 и сл.; —
— метастабильная 548; — единиц
CGS 16;------MKS 16;----MTS 16;—
изолированная 399; — квазиодно-
фазная 528; — колебательная ли-
нейная 270, 305;-----нелинейная
270, 305;---простая 256; — кон-
сервативная 256, 262; — однофазная
УКАЗАТЕЛЬ
699
509; — отсчёта времени 17;— —пе-
ремещения 57, 104 и сл.;----по-
ложения 17;—управляемая массой
273;----трением 271;-----упру-
гостью 274; — трёхфазная 506 и сл.
Скаляр 22
Скорость волны 293; — звука 303, 333,
346; — кристаллизации 546; — мгно-
венная 30 и сл., — начальная 65 и
сл. — распространения колебатель-
ного движения 293; — секториаль-
ная 40 и сл.; — снаряда 102 и сл.; —
средняя 29 и сл.; —угловая 40 и
сл., 251; —фазовая 295
Слоистое движение жидкости 235
Слухового восприятия область 373
Смачивание 216, 218
Собственная частота колебаний 260,
500
Согласные 365
Сопротивление активное колебатель-
ной системы 269 и сл., — акусти-
ческое 335, — волновое 335, — вяз-
кое 245, — инерциальное 269 и сл.,—
крыла 231; — полное механическое
269, — реактивное 269 и сл., — сна-
ряда 241 и сл., — упругое 269 и сл.
Спектр амплитуд 285
Стабильные состояния 523
Стантона и Паннеля опыты 237 и сл.
Стевин 146
Степени свободы 50, 75,118, 141, 144,
256, 459, 504;------вращательные
499 и сл.;----колебательные 499
и сл.;— —поступательные 494,
502 и сл.;----электронные 502
Стокса закон 242
Стрела прогиба 179
Стрельба навесная 99; — настильная
99
Строй темперированный 372; — физи-
ческий 372; — чистый 372
Субгармоники 290
Сублимация 507, 547
Суперпозиция 250, 269 и сл., 305
Сутки звёздные 13; — солнечные 13
Сцепление смоченных пластинок 222
и сл.
Твёрдое тело перегретое 546
Тембр звука 376
Температура 391, 403 и сл., 406; —
абсолютная 413 и сл.; — идеально-
газовая 406, 412, 458; — стационар-
ная 439, — эмпирическая 406, 111
и сл.
Температурная карта 407, — термоди-
намическая шкала 570, и сл.
Температурный признак 404 и сл.,
411 и сл.
Тензоры 168
Теорема импульсов 70; — количества
движения 69 и сл., 128 и сл.; —
Максвелла 584; — моментов 128 и
сл.; — Фурье 284; — Штейнера 153
Теплоёмкость водорода 499; — газов
420, 426 и сл., 490 и сл., 494 и сл., 497
и сл., 502, — твёрдого тела 496, 503
Теплоизоляторы 431
Теплообмен 393 и сл., 402 и сл., 438
и сл., 459, 475
Теплопроводность 430 и сл., 437
Теплота испарения 513; — полиморф-
ного превращения 549 и сл.
Теплород 391 и сл., 424, 553
Теплоты количество 424 и сл.
Термоанемометр 440
Термометр 404 и сл^ 414, 436
Термометрическое тело 404 и сл., 412
Термопара 405
Терморегулятор биметаллический 441
Термоскоп 389
Терция 371
Тисса 551
Тихо де Браге 57
Томсон В. (лорд Кельвин) 417, 510,
526, 553, 586
Тон комбинационный 291;—музыкаль-
ный 340,359, —основной 347 и сл.,—
простой 359; — целый 372
Торичелли формула 228
Точка кристаллизации 546; — плавле-
ния 546,— приложения силы 57 и сл.,
тройная — 547
Точки постоянные 404
Трение вязкое 82 и сл., — качения
82, 85; — скольжения 85; — сухое
82 и сл., 290, угол — 85
Труба аэродинамическая 231, ор-
ганная* лабиальная 350; — Вентури
232; — тока 226
Турбина Пельтона 247 и сл.
Турбодетандер 543
Турбулентное течение 235, 239 и сл.,
245
Углекислота 409
Угол возвышения 98 и сл., — высоты
380; — краевой 217 и сл., — отра-
жения 317; —падения 317
Удар упругих шаров 135 и сл.
Удельный вес 170; — объём 407, 413
Узловые линии 253, 353
600
УКАЗАТЕЛЬ
Узлы 310
Улитка 368
Ультраакустика 325
Ультразвуковые волны 309, 317, 320,
325
Умова вектор 298
Унтертоны 290
Упрочнение материала 176 и сл.; —
монокристалла 185 и сл.
Упругое последействие 177
Упругости линейный предел 176,—
совершенный —176
Упругость 257, — нелинейная 177,—
при закручивании 261, — совер-
шенная линейная 175 и сл.,-------
нелинейная 176
Уравнение Ван-дер-Ваальса 486,490,—
волны 293, — движения 64 и сл., —
затухающего колебания маятника
86, — колебательного движения 67,
257, — Майера Р. 427;—Пуассона
421, — равшщесия твёрдого тела
141, — состояния 407, 459 и сл.,510
Ускорение затухающего колебания
45 и сл., — мгновенное 13, — нор-
мальное 48, 50; — прямолинейного
колебательного движения 43;— рав-
номерного кругового движения 40;—
среднее 13; — тангенциальное 48,50
Фаза волны 42, 252,294; — начальная
42, 252,258, — (термодинамическая)
506 и сл.
Фазовые превращения второго рода
551
Фарадей 534
Флажолет 352
Флотация 221
Флуктуации 456; плотности — 444,505
Фон 375
Фокация 362
Фонометр 376
Форвакуум 481 и сл.
Форманта 344, 363 и сл.
Френель 316
Фуко ПО, 115, маятник—ПО, 115;
явление — 115
Функция состояния 397, 406 и сл.
Фурье, интеграл — 285; теорема — 284
Центр давлений 197; — инерции 119
и сл., — — системы 128; — масс
120; — тяжести 121
Цикл 428, 563 и сл.
Частота 252, — колебаний 42, 260,—
— круговая 42; — основная 284,—
угловая 42, 252
Частотомер язычковый 272
Часы 13
Чувствительность весов 145
Шкала идеально-газовая абсолютная
413; — Кельвина 569; — температур-
ная термодинамическая 570;— Цель-
сия 406 и сл., 412 и сл.
Штейнера теорема 153
Штерна опыт 448 и сл.
Штурма и Колладона опыт 333
Шум 360, — самолёта 360 и сл.
Шумометр 376
Шумопеленгаторы 382
Эйлера гидродинамический парадокс
231; — точка зрения 225
Эйнштейн 468, 500, 505; формула —
503 и сл.
Электронный микроскоп 446
Эндрюс 534
Энергетическая карта 400, 415 и сл.
Энергия 574, — внутренняя 397 и сл.,
406, 414 и сл., 422,446, 490 и сл., —
волны 306, — кинетическая 94, 129
и сл. — объёмная 214,—поверхност-
ная 214, 487 и сл., — полная 94.132,
— при сложении колебаний 289,—
суммы двух волн 307, — сцепления
490, 492, — теплового движения 490
и сл.
Энтропия 386, 574 и сл.
Эрг 89, 424
Эффузия 475 и сл.
Эхо 337
Эхолот 382 и сл.
Ядра конденсации 524 и сл.
Цена 17 руб.