Распространение миллиметровых и субмиллиметровых волн в облаках - Айвазян Г.М.

Автор: Айвазян Г.М.
Теги: электромагнетизм электромагнитное поле электродинамика теория максвелла справочник биофизика радиоволны метеорология электромагнитные волны
ISBN: 5-286-00554-3
Год: 1991
Похожие
Распространение лазерного излучения в атмосфере
Электромагнетизм. Электромагнитные колебания и волны
Магнитные колебания и волны
Электродинамика и роспространение радиоволн
Текст
                    П М. АЙВАЗЯН
миллиметровых и
СУБМИЛЛИМЕТРОВЫХ
ВОЛН
СПРАВОЧНИК
Под общей редакцией
д-ра физ.-мат. наук,
проф. Г. Г. Щукина
ЛЕНИНГРАД ГИДРОМЕТЕОИЗДАТ 1991

УДК 537.876 : 551.576 : 551.593
Редколлегия: д-р физ.-мат. наук, проф. Г. Г. Щукин (главы 2, 3, 4,
6), д-р физ.-мат. наук, проф. А. П. Наумов (глава 1), канд. физ.-мат. наук
С. П. Погосян (глава 5).
Настоящая книга — справочник и одновременно практическое руководство
по расчетам на ЭВМ по теории дифракции Ми. Рассматриваются
существующие расчетные алгоритмы по теории дифракции на сферической частице.
Проводится их анализ, определяются области применения.
Освоен универсальный алгоритм, который пригоден и для экстремальных
условий расчета — больших значений безразмерного параметра дифракции
и комплексного показателя преломления. Приводятся таблицы средних,
минимальных и максимальных значений спектральных коэффициентов. Таблицы
позволяют судить о физическом состоянии капель в облаке и процессах,
происходящих в конвективных облаках.
Книга рассчитана на научных сотрудников и инженеров, специалистов по
оптике мутных сред: метеорологов, радиометеорологов, радиофизиков, физиков,
биофизиков; специалистов по радиолокации, связи, навигации, атмосферной
оптике и коллоидной химии.
This book is a guide and, at the same time, a manual in machine computation
pertaining to Mie's diffraction theory. Existing computing algorithms concerning
the theory of spherical particle diffraction are considered, as well as their analysis
and possible fields of application.
The author has mastered an universal algorithm that is fit also for extreme
computing conditions, that is, for high values of both non-dimensional diffraction
parameter and complex refraction index. This algorithm was used for arranging
the tables included in the book.
The book is intended for research workers and engineers; specialists in the
field of turbid media optics such as meteorologists, radiometeorologists, radiophy-
sicists, physicists and biophysicists; as well as for specialists in radioreflection,
communication, navigation, athmosphere optics and colloid chemistry.
A ^05040400-118 г м дйвазян %т ^
069(02)-91
ISBN 5-286-00554-3

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Предлагаемая читателю монография представляет собой
обобщение многолетних, в том числе авторских, исследований
дифракции электромагнитного излучения на дискретных
сферических частицах и возможностей восстановления физических и
динамических свойств реальных облачных систем. В ней подробно
представлены как экспериментальные исследования по
микроструктуре облаков, так и теория распространения миллиметровых и
субмиллиметровых волн в их среде.
К книге систематизированы современные методы и новые
алгоритмы расчета на ЭВМ характеристик взаимодействия
излучения с дисперсной средой, приводятся универсальная программа
вычислений, пригодная для любых значений безразмерного
параметра дифракции и комплексного показателя преломления
вещества, и большой современный справочный материал по
физическим характеристикам облаков. Представлены обширные таблицы
спектральных коэффициентов ослабления, рассеяния, поглощения
и радиолокационного отражения в облаках основных типов,
весьма полезные для исследователей, занимающихся проблемами
переноса электромагнитного излучения в различных средах и
задачами дистанционного зондирования системы Земля—атмосфера.
Наряду со справочным материалом в книге отражены
результаты проведенных автором исследований физических процессов
в конвективных облаках с применением дистанционных методов
зондирования в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах
длин волн. Обоснованы рекомендации по использованию для
таких исследований «окон» прозрачности воды в инфракрасном
диапазоне и льда в субмиллиметровом. Рассмотрена задача раннего
обнаружения начала градообразования в облаке на основе
закономерностей аномального радиолокационного отражения
субмиллиметровых волн при фазовом переходе вода—лед.
В целом книга Г. М. Айвазяна вносит весомый вклад в область
исследования метеорологических характеристик облаков
радиофизическими методами и представляет несомненный интерес для
специалистов.
Г. Г. Щукин
1*

Невинным жертвам стихийного
бедствия — землетрясения в Армении
(7 декабря 1988 г., 7 ч 41 мин 23 с
по Гринвичу) посвящается
ПРЕДИСЛОВИЕ
О диапазонах коротких миллиметровых (ММ) и
субмиллиметровых (СБММ) волн стало известно вскоре после открытия
электромагнитных волн, однако вплоть до недавнего времени
исследования в этом диапазоне длин волн не проводились. Это связано
с тем, что только в последние десятилетия в связи с развитием
лазерной и полупроводниковой техники удалось создать
генераторы и приемники, работающие в этом диапазоне. Причем если
вопросы поглощения ММ и СБММ волн в чистой атмосфере все
же исследовались, как теоретически, так и экспериментально, то
по распространению этих волн в облаках работ практически нет.
Как показали наши первые теоретические расчеты по
распространению ММ и СБММ волн в облаках, этот диапазон волн
может оказаться весьма ценным в вопросах исследования
физических процессов, происходящих в облаках. В последние годы
безымпакторные методы исследования микроструктуры облаков
позволили обнаружить не известные до этого крупные и
сверхкрупные капли радиусом от 20 до 1500 мкм и более. Хотя их
концентрация мала и они вносят очень малый вклад в водность,
из-за больших размеров они оказывают существенное влияние на
распространение ММ и СБММ волн. В связи с тем что размеры
сверхкрупных капель соизмеримы с длинами волн СБММ
диапазона, резонансные свойства таких капель и частиц должны
проявиться наиболее ярко, что позволит исследователю получить
информацию относительно физического состояния капель и частиц
в облаках.
При выполнении расчетов коэффициентов ослабления,
рассеяния, поглощения и радиолокационного отражения в настоящей
книге использовалась теория дифракции электромагнитных волн
на сферической частице — теория Ми. Несмотря на то что
классическая теория дифракции электромагнитной волны на
сферической частице (теория Ми) была разработана в конце XIX —
начале XX века, ее широкое применение в практических расчетах
началось в 50-е годы в связи с развитием вычислительной
техники. За прошедшие почти 40 лет разработаны различные
алгоритмы расчетов на ЭВМ для отдельных интервалов изменения
безразмерного параметра дифракции и комплексного показателя
преломления капель или частиц. Однако в настоящее время
результаты расчетов по терии Ми еще не нашли широкого
практического применения, хотя их необходимость не вызывает
сомнений.
4

Заметим, что настоящая книга справочником в обычном
понимании этого слова не является. Отлично известно, что
исследования по распространению ММ и СБММ волн в облаках только
начинаются и настоящее издание практически является первым
В этой области. Однако то, что в книге в систематизированном
виде рассматривается весь комплекс проблем, связанных с
вопросами распространения ММ и СБММ волн в облаках, а также
приводится обширный справочный материал по узкому разделу
распространения волн в облаках, а именно интегральным
характеристикам распространения волн — коэффициентам ослабления
и радиолокационного отражения электромагнитных волн в
облаках, позволяет считать это издание справочным.
В первой главе настоящего издания обсуждается уровень
развития техники ММ и СБММ волн — существующие и
проектируемые генераторы и приемники этих диапазонов. Рассматриваются
типы генераторов и приемников, их мощность и диапазон
излучения и приема, частотные зависимости КПД генераторов, а также
спектральные характеристики и чувствительность приемников
излучения.
В этой же главе рассматривается поглощение ММ и СБММ
волн чистой атмосферой. Известно, что основными поглотителями
в безоблачной атмосфере для ММ и СБММ волн являются
водяной пар и молекулярный кислород. В Справочнике приводятся
формулы для расчета поглощения этими компонентами
атмосферы. Многочисленные наблюдения показали расхождение
между результатами теоретических расчетов и данными
наблюдений. Для устранения этого различия и облегчения расчетов
разработаны инженерные, эмпирические и полуэмпирические методы.
В Справочнике приводятся все эти методы для расчета
поглощения водяным паром и молекулярным кислородом в чистой
атмосфере, а также отдельно рассматривается поглощение внутри
облака.
Вторая глава Справочника посвящена вопросам
распределений капель (мелких, крупных и сверхкрупных) в облаках.
Рассматриваются формулы плотности распределений капель по
размерам отдельно для каждой из фракций. Приводятся таблицы
параметров распределений для 14 основных типов облаков,
которые используются в расчетах. Особое внимание уделено
сверхкрупным каплям в облаках (радиусом от 85 до 1500 мкм и
более), обнаруженным в последние годы в облаках почти всех типов,
В третьей главе Справочника рассматриваются теоретические
вопросы распространения электромагнитного излучения через
дисперсные среды. Приводятся основные формулы дифракции
электромагнитных волн на сферической частоте — теория Ми.
Рассматриваются только интегральные характеристики:
коэффициенты ослабления, рассеяния, поглощения и радиолокационного
отражения излучения облаком. Здесь же приводятся
приближенные формулы Рэлея для сравнения результатов расчетов по
точным и приближенным формулам.
5

Во всех рассматриваемых проблемах важнейшим является
выбор комплексного показателя преломления воды в ММ и СБММ
диапазонах. Если в ММ диапазоне для положительных
температур значения комплексного показателя преломления воды не
вызывают сомнения, то для отрицательных температур (для
переохлажденной воды), а тем более в СБММ диапазоне при их
определении возникали затруднения. В третьей главе подробно
обсуждается этот вопрос и приводится окончательная таблица значений
комплексного показателя преломления воды в ММ и СБММ
диапазонах.
Здесь же приводятся алгоритмы расчетов на ЭВМ по теории
Ми. Обсуждаются границы их применимости и погрешности.
В справочных таблицах приводится полученный нами большой
объем данных: специальные функции, логарифмические
производные от специальной функции, коэффициенты Ми и факторы
эффективности в широком диапазоне изменения безразмерного
параметра дифракции, а также большие и малые значения
комплексного показателя преломления. Отсутствие подобного справочного
материала сильно ограничивает возможности практического
применения теории Ми.
Поскольку теория Ми связана исключительно со сферической
формой капель или частиц, то в Справочнике она используется для
теоретического расчета взаимодействия электромагнитного
излучения с каплями и частицами реальных облаков строго сферической
формы в приближении однократного рассеяния. Капли и частицы
представлены жидкокапельной фракцией реальных облаков
(в теплом и переохлажденном состоянии — от 20 до —20 °С) и
твердой фракцией (сферические переохлажденные капли,
покрытые ледяной коркой, или же сферические переохлажденные капли,
превратившиеся непосредственно в лед — почти сферические
ледяные непрозрачные частицы). Кристаллическая составляющая
смешанных облаков — ледяные пластинки, диски, палочки и
т. д. — предмет исследования еще окончательно не разработанной
теории взаимодействия электромагнитного излучения с
несферическими частицами, поэтому здесь она не рассматривается.
Освоен универсальный алгоритм, который можно
использовать для расчетов в экстремальных условиях задания
параметров — при изменении безразмерного параметра дифракции от
Ю-3 до 400 и более, а также при изменении комплексного
показателя преломления веществ от весьма малых значений до 10—1 Of
(программа ORION).
Четвертая глава Сравочника содержит конкретные расчеты
на ЭВМ справочных таблиц: функций Риккати—Бесселя первого
и второго рода, логарифмической производной от функции
Риккати—Бесселя первого рода, коэффициентов эффективности и
коэффициентов Ми ап и Ьп. Таблицы охватывают широкий
диапазон изменения безразмерного параметра дифракции — от 10~3 до
400 (всего около 20 значений) и значений пу примерно в 1 —1,5
раза превышающего величину безразмерного параметра дифрак-
6

ции. Вычисления выполнялись различными методами — прямой
и обратной рекурсией, а также непрерывными дробями.
Основные специальные функции вычислялись с высокой точностью
(32 знака после запятой). Весь этот справочный материал
необходим исследователям для отладки программ при вычислениях по
теории Ми. В приложении к главе приводится готовая программа
вычислений по теории Ми ORION на языке PL/1.
В пятой главе Справочника содержатся таблицы
коэффициентов ослабления, рассеяния, поглощения и радиолокационного
отражения для трех фракций капель (мелкие, крупные и
сверхкрупные), 14 основных типов облаков, 19 значений длин волн и 5
значений температуры.
Шестая глава Справочника посвящена анализу
распространения ММ и СБММ волн в реальных облаках на основе данных
таблиц, представленных в пятой главе. Выявлены основные
закономерности селективности спектральных коэффициентов
ослабления, рассеяния, поглощения и радиолокационного отражения
в диапазонах ММ и СБММ волн. Показано, что по спектральным
изменениям этих коэффициентов можно судить о физических
процессах, происходящих в реальных облаках, включая и
установление начала градообразования в конвективном облаке.
В настоящем Справочнике представлены готовые программы
расчетов на ЭВМ по теории Ми, эталонные таблицы,
практические советы, что позволяет использовать Справочник в качестве
практического руководства для расчета по терии Ми в широком
диапазоне изменения длины волны, размера частиц и
комплексного показателя преломления вещества. Эти программы (при
подробном ознакомлении со Справочником) может использовать
любой научный сотрудник и инженер в любой области знаний,
лишь бы задача требовала применения теории Ми.
Научное редактирование Справочника выполнили: д-р физ.
мат. наук, проф. Г. Г. Щукин (главы 2, 3, 5, 6); д-р физ.-мат.
наук, проф. А. П. Наумов (глава 1); канд. физ.-мат. наук
С. П. Погосян (глава 4). Всем им автор выражает искреннюю
признательность. Особо благодарен автор д-ру физ.-мат. наук,
проф. К. С Шифрину, который внимательно ознакомился с
рукописью Справочника и сделал ряд ценных замечаний.
В заключение автор пользуется возможностью выразить
признательность руководителю ВЦ ИРФЭ АН АР Б. М. Гюрджяну
и заместителю директора по научной работе ВЦ АН АР Г. Б. Ма-
ранджяну за содействие в многочисленных экспериментах при
расчетах на ЭВМ и предоставление неограниченного расчетного
времени. Автор благодарен программистам-операторам ЭВМ
научным сотрудникам ИРФЭ АН АР В. А. Гукасяну и С. В. Суляну,
а также старшему научному сотруднику ВЦ Госплана АР
Н. П. Арутюняну за многолетнюю совместную работу по
вычислениям на ЭВМ, результаты которой изложены в настоящем
Справочнике.
Г. М. Айвазян
7

Наука есть наилучший путь для того,
чтобы сделать человеческий дух
героическим.
Д. Бруно
ГЛАВА I
ГЕНЕРАТОРЫ И ПРИЕМНИКИ ММ И СБММ ВОЛН.
ПОГЛОЩЕНИЕ МИКРОРАДИОВОЛН
БЕЗОБЛАЧНОЙ АТМОСФЕРОЙ
ВВЕДЕНИЕ
Миллиметровые (ММ) и субмиллиметровые (СБММ) волны
в настоящее время нашли широкое применение в науке, в
промышленности и в медицине. Достаточно указать на следующие
области применения: радиоастрономия, лазерная техника,
молекулярная спектроскопия, биологические исследования, исследование
материалов и атмосферы, применение в военной технике,— чтобы
представить важность этого диапазона длин волн. ММ и СБММ
волны начали широко использоваться только в последнее
десятилетие, несмотря на то, что их открытие относится к периоду
обнаружения электромагнитных волн, т. е. к началу нашего
столетия. Указанный факт связан с объективными причинами. Дело
в том, что ММ и СБММ волны являются пограничными между
СВЧ и ИК диапазонами волн, где используются диаметрально
противоположные методы как генерации, так и усиления
электромагнитных волн. ММ и СБММ волны — уже та область СВЧ, где
размеры волноводов и СВЧ узлов становятся соизмеримыми
с длиной волны электромагнитного излучения. Изготовление
узлов столь малых размеров, причем с высокой точностью,
является делом нелегким, а в некоторых случаях и невозможным.
Кроме того, на высоких частотах увеличиваются потери в линиях
передач и в диэлектриках. Иначе говоря, это тот диапазон, где
использование традиционных генераторов, узлов и приемников
СВЧ диапазона с уменьшением длины волны электромагнитного
излучения уже становится невозможным.
В то же время продвижение в сторону длинных волн со
стороны ИК диапазона ограничивалось отсутствием в СБММ
диапазоне мощных генераторов теплового излучения, а также
чувствительных оптических приемников излучения. Только с изобрете-
8

нием и изготовлением когерентных источников излучения —
лазеров этого диапазона (70-е годы) — открылась широкая
возможность интенсивных исследований в ближнем ММ и СБММ
диапазонах длин волн. Естественно, что отсутствие генераторов и
приемников этого диапазона привело к существенному отставанию
экспериментальных и теоретических исследований
распространения ММ и СБММ волн как в безоблачной атмосфере, так и в
облаках.
В настоящей главе, во-первых, рассматривается современный
уровень генераторов ММ и СБММ волн. Каковы сейчас
мощности различных типов генераторов, диапазоны генерации и
возможности их практического использования? Во-вторых,
обсуждается современный уровень приемников ММ и СБММ волн,
принципы усиления, чувствительности и наиболее распространенные
типы. В-третьих, рассматриваются вопросы поглощения ММ и
СБММ волн в безоблачной атмосфере, в частности поглощение
водяным паром и молекулярным кислородом атмосферы.
Приводятся методы расчета поглощения электромагнитных волн
безоблачной атмосферой в зависимости от содержания водяного пара
на различных высотах от поверхности Земли, при различных
давлениях и температурах. Рассматриваются также вопросы
поглощения микрорадиоволн водяным паром и молекулярным
кислородом внутри облака.
Для экспериментальных исследований в безоблачной
атмосфере требуются сравнительно небольшие мощности генераторов
излучения и сравнительно малые чувствительности приемников.
Этим прежде всего и следует объяснить достаточно большое
число работ, как у нас, так и за рубежом, по поглощению ММ и
СБММ волн в безоблачной атмосфере.
Без обсуждения рассмотренных выше вопросов невозможно
перейти к основному содержанию настоящего Справочника —
к рассмотрению теоретических вопросов ослабления, рассеяния,
поглощения и радиолокационного отражения ММ и СБММ волн
в облаках. Очевидно, что из-за отсутствия мощных генераторов
и чувствительных приемников в этих диапазонах
экспериментальные исследования по распространению коротких ММ и СБММ
волн в естественных облаках еще долго проводиться не будут.
Однако, по-видимому, без предварительного общего
теоретического осмысления, определения предельных уровней затухания и
радиолокационного отражения ММ и СБММ волн в облаках
невозможны дальнейшие экспериментальные исследования в этих
диапазонах длин волн.
1.1. ГЕНЕРАТОРЫ ММ И СБММ ВОЛН
В настоящее время в ММ и СБММ диапазонах используются,
в основном три группы генераторов [12, 28, 37]: 1)
твердотельные источники излучения или полупроводниковые генераторы:
генераторы на лавино-пролетных диодаах (ЛПД), диодах Ганна,
9

тунельно-пролетных диодах (ТПД), тунельно-лавино-пролетных
диодах (ТЛПД) и генераторы гармоник; 2) вакуумные
электронно-волновые генераторы, такие как клистрон и магнетрон, и
последние разновидности этих разработок — генератор с
распределенным взаимодействием (ГРВ) и его усилительный вариант
(УРВ), генератор на лампе бегущей волны (ЛБВ), генератор на
лампе обратной волны (ЛОВ) или карцинотрон, гиротрон,
0,5 Я. мм
Рис. 1.1. Спектральная
зависимость достигнутой выходной
мощности Рвых генераторов ММ и
СБММ волн [28].
/ — ЛОВ «О», 2 — отражательный
клистрон, 3 — генераторы дифракционного
излучения, 4 — генераторы на лавино-
пролетных диодах (импульсный режим),
5 — генераторы на диодах Ганна
(импульсный режим), 6 — генераторы на
лавино-пролетных диодах (непрерывный
режим), 7 — генераторы на диодах
Ганна (непрерывный режим), 8 — прямо-
пролетные клистроны, 9 — лампа
бегущей волны, 10 — магнетрон
(импульсный режим), // — мазеры на
циклотронном резонансе.
а также ладатрон и устройство на релятивистских электронных
пучках (РЭП); 3) лазерные источники излучения:
электроразрядные газовые лазеры и лазеры с оптической накачкой. На рис. 1.1
приводятся мощности и частоты генерации для основных типов
генераторов [28]. Рассмотрим характеристики различных
генераторов не останавливаясь на физических принципах работы и
конструктивных особенностях отдельных генераторов. Подробное
описание различных типов генераторов можно найти в
многочисленных обзорах.
1.1.1. ТВЕРДОТЕЛЬНЫЕ ИЛИ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ
ГЕНЕРАТОРЫ
Рассмотрим генераторы на ЛПД. Лавинно-пролетные диоды
бывают двух типов: однопролетный и двухпролетных — в
зависимости от конструкции диода. Считается, что однопролетный диод
лучше работает на высоких частотах. Режим работы подобных
10

источников излучения может быть импульсным или
непрерывным.
Согласно недавно опубликованному обзору [37], генераторы
на ЛПД (импульсный режим) реализованы до частоты 200 ГГц
и на этой частоте получена мощность порядка 1 Вт (рис. 1.2).
На частотах 20—30 ГГц мощность составляет 30—40 Вт. Как видно
Р Вт
Рис. 1.2. Частотная зависимость
импульсной мощности генераторов на
ЛПД [37].
Точки на графике соответствуют данным
для реально разработанных и работающих
генераторов.
ГГГи,
из рисунка, изменение мощности от частоты подчиняется закону
I//2. На рис. 1.3 приводится частотная зависимость мощности
излучения генераторов ЛПД для непрерывного режима генерации
[37]. В непрерывном режиме достигнута частота 200 ГГц при
мощности излучения порядка 0,01 Вт. В зависимости от частоты
мощность излучения изменяется по закону I//2 на высоких
частотах и по закону l/f — на низких. Независимо от частоты
излучения КПД генераторов ЛПД находится в пределах 8—12%.
КПД несколько лучше для двухпролетных диодов.
Генераторы на диодах Ганна, как известно, работают на
объемных эффектах, поэтому у этих диодов лавинный пробой не
наблюдается. Указанное обстоятельство является причиной того,
что уровень шумов генераторов на диодах Ганна меньше, чем
уровень шумов генераторов ЛПД. В табл. 1.1 и 1.2 приводятся
выходные мощности и КПД генераторов на InP — диодах Ганна.
Из таблиц видно, что по сравнению с генераторами ЛПД здесь
в непрерывном режиме и мощность мала, и КПД ниже.
Одновременно у этих генераторов очень низок уровень шумов.
11

Генераторы на ТПД и ТЛПД в настоящее время находятся
в стадии разработок. Эксперименты показывают, что они будут
иметь те же параметры, что и ЛПД, однако малый уровень
шумов, как генераторы на диодах Ганна. Согласно работам [73, 96,
^вых Вт
10'
/0е
10''
ю~-
р
-
-
^ f
•
•
•
"г2
•
10 20 50 100 200fffu,
Рис. 1.3. Частотная зависимость
выходной мощности генераторов
на ЛПД в режиме непрерывной
генерации [37].
Точки на графике соответствуют
данным для работающих генераторов.
98], КПД этих генераторов будет порядка 5% на частоте
500 ГГц, а работать указанный генератор будет эффективнее
в диапазоне 100—800 ГГц. В настоящее время реализован
генератор ТЛПД с выходной мощностью 3 мВт на частоте 150 ГГц
[73].
Таблица 1.1
Выходная мощность и КПД генераторов на InP-диодах
Ганна в непрерывном режиме генерации [75]
Частота, ГГц
Выходная мощность,
мВт
КПД, %
85,5
89,6
90,1
93,1
93,2
94,5
94,8
94,9
100,5
125
107
100
91
79
71
68
63
44
3,3
3,5
2,8
3,0
2,8
2,5
2,5
2,4
1,5
12

Таблица 1.2
Выходная мощность и КПД генераторов на InP-диодах
Ганна в импульсном режиме [75]
Частота, ГГц
Выходная мощность,
мВт
кпд. %
89,8 240 2,7
92,0 215 2,7
90,0 248 2,7
89,8 255 1,4
90,3 236 4,3
89,8 195 3,5
93,7 155 3,3
Генераторы гармоник — твердотельные умножители частоты
на скрещенных волноводах — могут дать достаточно высокие
мощности на частотах порядках 600 ГГц [37]. На рис. 1.4 приводится
зависимость выходной мощности генератора на скрещенных дио-
Р мВт
12
8
4
Рис. 1.4. Частотная зависимость
мощности умножителя частоты на скре- q
щенных волноводах [37]. 94- 102 110 118 126ГГГи,
дах от частоты умножителя при КПД во всем частотном
диапазоне, равном 20 %. На частоте 100 ГГц выходная мощность
данного генератора составляет около десятка милливатт. Основной
недостаток указанных генераторов — малый диапазон
перестраиваемых частот.
1.1.2. ВАКУУМНЫЕ ЭЛЕКТРОННО-ВОЛНОВЫЕ
ГЕНЕРАТОРЫ
Отражательный клистрон в основном используется для
генерации излучения в ММ диапазоне. С повышением частоты из-за
уменьшения размеров отдельных узлов его трудно использовать
на высоких частотах. На рис. 1.5 приводится частотная
зависимость выходной мощности отражательного клистрона [37]. Легко
видеть, что на предельной частоте 220 ГГц достигнута мощность
порядка нескольких милливатт. На низких частотах (~50—
90 ГГц) мощность излучения ~250 мВт. Магнетрон используется
в основном на низких частотах — примерно 70—95 ГГц. Здесь,
*ч
^и
> »
^А
" \1
1
13

как и в случае с клистроном, ограничения связаны с размерами
объемного резонатора, который невозможно выполнить очень
малых размеров.
Генераторы типа ЛОВ в СБММ диапазоне впервые выполнены
в нашей стране [16, 17]. Эти генераторы наиболее универсальны
Рис. 1.5. Частотная зависимость
выходной мощности отражательного
клистрона [37].
/ — диапазон перестройки 2 ГГц, 2 —
6—8 ГГц.
из-за своей широкополосности. Характеристики отечественных
ЛОВ СБММ диапазона приведены в табл. 1.3. В настоящее
время в Советском Союзе разработаны ЛОВ на частоту 1200 ГГц
[54]. Из зарубежных современных разработок следует отметить
генератор на 300 ГГц [95] с выходной мощностью 1 Вт и с диа-
Таблица 1.3
Характеристики некоторых типов ЛОВ, разработанных в СССР [12]
Найменов
ние прибо
ЛОВ-1
ЛОВ-0,5
Диапазон
длин волн
мм
1,2—0,8
0,49—0,62
я
Диапазон
частот, ГГ
250—375
610—485
«г
«и
Диапазон
напряжени
замедляю
системы,
1500—4000
2000—4000
<Я
Ток катод
мА
50
50
Выходная
мощность,
мВт
2—20
1—7
Д о 5!
Сечение в
ХОДНОГО В
новода, м
Перепады
мощности
дБ
о
Величина
магнитног
поля, кГс
0,8-1,6 10 6
1,8-3,6 20 8
иазоном перестройки 10%. Основной недостаток указанных
генераторов в необходимости использования высокостабилизирован-
ного высоковольтного питания.
Генераторы на лампе бегущей волны (ЛБВ) используются как
на высоких, так и на низких частотах. В настоящее время
верхняя рабочая частота ЛБВ составляет 95 ГГц при выходной
мощности в режиме непрерывной генерации 100 Вт и в импульсном
режиме 1,5 кВт. Прогнозируется получить ЛБВ с солиноидом на
частоте ~30 ГГц до 100 кВт и на частоте 100 ГГц порядка
20 кВт в импульсном режиме и соответственно 40 и 10 кВт в
непрерывном режиме. ЛБВ с периодически-постоянным магнитным
полем могут дать мощности, уступающие вышеуказанным.
Генераторы типа гиротрон являются генераторами ММ волн
высокой мощности и работают на принципе индуцированного цик-
14
! i
i
2\
\
!
—
/
2
50
100
150
Г ГГи,

лотронного излучения электронов. В Советском Союзе получена
мощность 22 кВт на волне 2 мм в непрерывном режиме генерации,
210 кВт на волне 2,4 мм в импульсном режиме, а также 1,2 кВт
на волне 0,9 мм при КПД, равном 30 % [51, 86]. За рубежом
в непрерывном режиме [37] получена выходная мощность 205 кВт
на волне 5 мм.
Рис. 1.6. Частотная зависимость выходной
мощности ГРВ в непрерывном и импульсном
режимах [37].
1 — импульсный режим, 2 — непрерывный режим,
3 — данные для реально работающих генераторов.
101
т°
.... _. f
7
• J
\ \
\ \
\
\
\
ю1
10z
Г Г Ги,
Другим генератором этого типа является ледатрон, которому
не свойственны недостатки остальных типов генераторов.
Резонатором здесь служит интерферометр Фабри—Перо. Этот тип
генератора можно использовать для генерации СБММ волн с очень
малой длиной волны. В настоящее время в СБММ диапазоне
ожидается выходная мощность 1 Вт при диапазоне перестройки
30%.
Генераторы типа РЭП из-за больших габаритов этих устройств
могут работать только в лабораторных условиях и только в
импульсном режиме. На таких генераторах получена мощность
порядка 1 МВт [37].
Генераторы ГРВ работают как в непрерывном, так и в
импульсном режимах. Можно утверждать, что в настоящее время
это наиболее мощные генераторы на высоких частотах [74]. На
рис. 1.6 приводится частотная зависимость мощности излучения
генераторов ГРВ в непрерывном и в импульсных режимах. Как
видно из рисунка, в непрерывном режиме получена мощность
~10 Вт на частоте 150 ГГц, а в импульсном режиме — порядка
200 Вт на частоте 400 ГГц.
Усилитель с распределенным взаимодействием (УРВ)
является умножительным вариантом ГРВ и рассчитан на гораздо
15

большую мощность излучения. УРВ непрерывного режима
излучения пока еще не создан. В импульсном режиме разработаны
генераторы до частоты 75 ГГц [37].
1.1.3. ЛАЗЕРНЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ ММ И СБММ ВОЛН
После создания первого лазера ММ диапазона (1970 г.) [62]
на CH3F появилось очень много других лазеров этого диапазона
как с электронной, так и с оптической накачкой. Для ММ и СБММ
волн используются в основном лазеры с оптической накачкой на
ю1
10°
10~
10'J\-
т
I i
—J
._j
\\\*
-_J
i—1
г-1
1200
I
250
1000
800
300
375
600
400
I
500
Ш
2-Юг
1,2-102
10'
6-Ю1
200 7. мкм
1_ I
750 1500 Г ГГи,
Рис. 1.7. Гистограмма линий генерации СБММ лазеров и
их мощности излучения [28].
/ — число линий генерации N* лазеров с оптической накачкой в
каждом интервале длин волн, 2 — достигнутая максимальная
мощность в стационарном режиме для данного интервала длин волн.
СОг. Существуют лазеры основанные на взаимодействии и других
молекул. На рис. 1.7 [28] и в табл. 1.4 [46] приводится перечень
наиболее сильных линий генерации лазеров и соответствующие
мощности для диапазона частот 100—1000 ГГц. Наблюдается
увеличение мощности генерации с увеличением частоты. Согласно
рис. 1.7, на частотах 200—300 ГГц мощность излучения
составляет Ю-3—Ю-4 Вт, на частотах 600—750 ГГц —порядка Ю"1—
Ю-2 Вт, а на частотах 2000—3000 ГГц —порядка 1 —Ю"1 Вт.
Численные данные приводятся в табл. 1.4. Как видно из таблицы,
полученные мощности находятся в пределах десятков и сотен
милливатт. На линии 118 мкм СН3ОН в непрерывном режиме
получена мощность излучения 800 мВт [92], где в качестве на-
16

Таблица 1.4
Линии генерации непрерывных лазеров с оптической накачкой в диапазоне
100—1000 ГГц [46]
К мкм
308,0
311,1
325,9
326,6
370,0
373,4
382,6
384,3
393,5
418,6
432,6
435,4
447,1
460,6
470,1
478,1
488,5
496,1
505,8
513,0
516,4
554,4
659,0
662,8
691,3
699,6
747,0
358,3
389,0
925,5
954,5
1135,0
1222,0
1254
f ГГц
973,4
963,7
919,9
917,9
810,3205
783,0615
780,0615
761,6077
716,1568
692,9514
692,8950
688,503
670,463
650,928
637,7685
627,0865
613,6653
604,2973
592,6758
584,3882
584,3729
580,5629
540,7829
455,6191
452,3015
433,6958
428,4976
349,306
337,2767
337,1919
323,9
314,0943
264,1181
245,3507
239,1189
Поляризация
II
±
±
и
II
и
у
и
II
и
II
II
II
1
II
II
±
±
II
и
±
±
II
II
II
и
II
II
и
Давление,
мТор
95
90
103
75
40
150—200
104
150
150
150
57
200
246
75
210
150
190
70
73
60
ПО
190
178
Мощность
накачки, Вт
<40
<40
<40
16
<40
13,5
70
75
25
<30
80—90
19
30
19
65
9
10
15
13
Мощность БММД-
излучения, мВт
8,5
5,8
4,5
7,6
9
23
10
6
12
25
32
10
18
48
38
6
100
8
6
10,4
12
16
3,1
10
17
1,5
4,5
3
7
3
5,3
3
6,2
4
3
1
4,7
2,5
2,0
2 Заказ № 124
17

качки используется СОг-лазер с мощностью излучения 110 Вт.
Таким образом, в ближнем ММ и СБММ диапазонах перспектива
принадлежит этому типу генераторов. Особенно это касается
СБММ диапазона, где другие источники излучения пока
малоэффективны. Тем не менее и здесь имеются свои трудности,
связанные с громоздкостью аппаратуры. Однако в последнее время
в качестве накачки используются волноводные СОг-лазеры,
которые намного компактнее своих предшественников.
Резюмируя рассмотренное по генераторам ММ и СБММ волн
можно утверждать, что наиболее подходящими для исследования
распространения коротких ММ и СБМ волн в замутненной
атмосфере могут быть генераторы ГРВ, которые уже сейчас позволяют
получить следующие значения мощности: в непрерывном режиме
на частоте 70 ГГц — 103 Вт, на 100 ГГц ~102 Вт, на 200 ГГц
~ 10 Вт; в импульсном режиме на 100 ГГц ~ 104 Вт и на 300 ГГц
~102 Вт. Генераторы ЛБВ дают: на частоте 60 ГГц ~5 Вт и на
100 ГГц ~1 Вт. Согласно [37], совершенствование ЛПД уже
привело к созданию радиолокационного передатчика на частоте 90 ГГц,
а современная технология позволяет создать передатчик с
полезным уровнем мощности на частоте 140 ГГц. Как будет показано
в дальнейшем, полученные в настоящее время мощности
генераторов могут обеспечить только исследования поглощения ММ и
СБММ волн в безоблачной атмосфере, причем на коротких
трассах. Вызвано это сильным поглощением электромагнитных волн
водяным паром и молекулярным кислородом в приземном слое
атмосферы, на чем остановимся позже. Таким образом, на
современном этапе исследований пока еще нет мощных генераторов ММ
и СБММ волн, которые можно было бы использовать для
экспериментов в естественных условиях по ослаблению и
радиолокационному отражению электромагнитного излучения облаками,
содержащими жидкие капли или гидрометеоры.
1.2. ПРИЕМНЫЕ УСТРОЙСТВА ММ И СБММ ВОЛН
Приемные устройства ММ и СБММ волн можно разбить на две
основные группы: 1) малошумящие гетеродинные приемники:
с волноводными и квазиоптическими смесителями на диодах Шот-
ки, с квазичастотным тунельным переходом — СИС-структурой
(сверхпроводник — изолятор — сверхпроводник),
сверхпроводниковые диоды Шотки, а также смесители на джозофсоновских
переходах; 2) баллометрические приемники. Рассмотрим каждый
из указанных приемников в отдельности, не останавливаясь на
физических принципах работы и конструктивных особенностях.
1.2.1. МАЛОШУМЯЩИЕ ГЕТЕРОДИННЫЕ ПРИЕМНИКИ
Гетеродинные приемники с волноводными смесителями на
диодах Шотки хорошо работают при комнатной температуре в
диапазоне частот 100—230 ГГц, а охлаждаемые — и на более
высоких частотах. Современные приемники с квазиоптическими сме-
18

жителями на диодах Шотки позволяют получить хорошие
приемники до частоты порядка 2500 ГГц. Пересчет данных табл. 1 и 2
работы [9] в значения чувствительности в ваттах показывает,
что на охлаждаемых диодах Шотки в настоящее время можно
реализовать следующие чувствительности: на 113 ГГц — 2,76 X
Таблица 1.5
Современные приемники со смесителями на СИС-переходах [9]
Тип перехода
Частота
гетеродина,
ГГц
Усиление при
преобразовании, на ОБП,
дБ
ОБП
т к
смесит ^
т к
приемы ^
Sn—О
РЬ—О
РЬ—О
РЬ—О
РЬ—О
РЬ—О
РЬ—О
Pb—SM
Pb—SM
РЬ—О
РЬ—О
Pb—SM
Pb—SM
36
46
47
75
94
105
115
115
115
115
150
230
388
+4,0
—
—6,3
—2,0
—8,7
+ 0,4
—7,0
—8,0
—
—11,5
—3,5
—10,5
—
9,0
—,
14
100
—
38
20±10
80
—
50
—
—
—
55
140
—
160
40
80
130
140
—
200
350
2100
Примечание. Sn— О — непосредственное покрытие на основе олова,
РЬ — О — на основе сплава свинца, РЬ — SM — теневая маска на основе сплава
свинца.
ХЮ-17 Вт, на 150 ГГц—Ю-16 Вт, на 270 ГГц—1,8-10~15 Вт и
на 692 ГГц— Ю-15 Вт. Как и следовало ожидать, с увеличением
частоты чувствительность приемников уменьшается.
Приемники со смесителями на СИС-переходах [9] обладают
одновременно свойствами диодных смесителей СВЧ диапазона и
гетеродинных фотодетекторов ИК-дйапазона. Эти приемники могут
регистрировать даже отдельные фотоны, так как обладают очень
низким уровнем собственных шумов. Одновременно гетеродинные
приемники потребляют очень малую мощность. В табл. 1.5
приводится перечень современных приемников со смесителями на
СИС-переходах. Пересчет данных табл. 1.5 позволяет получить
следующие значения чувствительности: на 115 ГГц—1,38Х
X Ю-17 Вт и на 230 ГГц—1,8-10~16 Вт. Следует отметить, что
приемники на смесителях с СИС-переходом можно реализовать
до частот не выше 300 ГГц.
Приемники на сверхпроводящих диодах Шотки находятся
в стадии разработок, и в настоящее время этот диод
использовался только на частоте 31 ГГц. Температура смесителя на одной
боковой полосе (ОБП) составила —12 К, а потери
преобразования— 9 дБ [66]. При переходе к высоким частотам наблюда-
2*
19

ются большие потери, для продвижения в область высоких частот
необходимо понизить сопротивление и емкость перехода.
Приемники со сверхпроводящими смесителями на эффекте
Джозефсона [85, ПО] используют гетеродины малой мощности.
С помощью этих смесителей в настоящее время реализованы
следующие значения чувствительности [33, 71, ПО]: на 1151 ГГц —
2,76- Ю-17 Вт, на 300 ГГц—1,38-10"16 Вт и на 450 ГГц— 1,53 X
ХЮ-16 Вт (см. табл. 1.6).
Таблица 1.6
Современные приемники с джозефсоновскими смесителями [33]
ГГц
Потери
преобразования, f£/ дБ
Шумовая температура,
TNK
TN/Ts<b
36
115
130
300
315
450
—1,2 (усиление)
0
5,2
8,0
9,5
5,0
54
120
180
300
220
350—1000
22
15
20
15
10
12—33
Следует отметить, что на 1000 ГГц квантовый предел
реализации чувствительности равен 10~12 Вт. В настоящее время на
этой частоте имеются приемники с чувствительностью Ю-11 Вт.
1.2.2. БОЛОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЕМНИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
В СБММ диапазоне в настоящее время наиболее широко
применяются болометрические приемники. Подобные приемники
отличает высокая чувствительность и малые шумы в указанном
диапазоне. Как известно, уровень шумов болометра определяется по
формуле [33]
NEP = (4kT2Q)4\
(1.1)
где Т — температура в Кельвинах, k — постоянная Больцмана
(1,38-Ю-23 Дж/К), Q — теплопроводность (Q = Ct/t), Ст — полная
теплоемкость, т — постоянная времени. Для заданного т
предельная чувствительность болометра повышается с уменьшением Су.
Характеристики современных болометров приводятся в табл. 1.7
[33]. Данные NEP пересчитаны нами в чувствительность в
ваттах при полосе 1 МГц и также приводятся в табл. 1.7. Хотя
значения чувствительности находятся на уровне и ниже уже
рассмотренных значений для других типов приемников, однако из-за
того что в ИК и СБММ диапазонах невозможно пока реализовать
подобные чувствительности иным способом, вышеуказанные
приемники пока являются незаменимыми.
20

Кроме того, болометры InSb могут применяться в качестве
смесителей в приемниках СБММ диапазона при установке в
волновод и охлаждении до температур жидкого гелия [8]. Подобные
смесители могут использоваться в коротком ММ и СБММ
диапазонах до длины волны порядка 0,5 мм. Недостатком указанных
приемников является очень малая мгновенная ширина полосы
используемых частот — около 1 МГц. С помощью этих болометров
Характеристики современных болометров [33]
Таблица 1.7
Тип болометра
(вид
термочувствительного
элемента)
ТЕВ
SNS
SIN
ТЕВ
Ge
Ga—Ge
In—Sb—Ge
NEP
Эксперимент
Вт/Гц'/г
1,7-Ю-15
5- Ю-15
—.
ью-14
7-Ю-13
5-Ю-15
6-Ю-16
Вт
1,7-Ю-12
5-Ю-12
—
ью-»
7-Ю-10
5-Ю"12
6-Ю-13
Теория
Вт/Гц'/г
1,3-Ю-15
1,1-Ю-15
2,5-Ю-15
2,5-Ю-15
4,2-Ю-13
2,2-Ю-15
3,4-Ю-16
0,08
3
—
0,13
0,0003
0,025
0,006
т К
1,27
1,5
—
1,5
4,2
1,2
0,35
получены приемники с шумовой температурой 150 К при 115 ГГц
и 350 К при 500 ГГц [48, 118]. При пересчете получим значения
чувствительности: 2-Ю-15 и 5-Ю-15 Вт соответственно. По
сравнению с данными табл. 1.7 смесители на болометрах при охлаждении
до гелиевых температур дают повышение чувствительности
приемников более чем на два порядка.
Подводя итоги, видим, что в коротком ММ и в дальнем СБММ
диапазонах чувствительность современных приемников находится
на уровне Ю-15—Ю-16 Вт. Эти значения очень близки к
теоретическому пределу чувствительности в указанных диапазонах.
Поэтому ожидать здесь дальнейшего увеличения чувствительности не
следует.
Как убедимся позже, незамутненная и особенно замутненная
атмосфера оказывают очень сильное влияние на ослабление
СБММ волн. Поэтому, забегая несколько вперед, отметим, что
для осуществления реальных экспериментов по распространению
СБММ волн в замутненной атмосфере остается единственный
выход— идти по пути увеличения мощности генераторов СБММ
волн.
1.3. ВЛИЯНИЕ БЕЗОБЛАЧНОЙ АТМОСФЕРЫ
НА ПОГЛОЩЕНИЕ ММ И СБММ ВОЛН
ММ и СБММ радиоволны ослабляются как при ясном небе,
так и в облачной атмосфере. Ослабление в безоблачной
атмосфере обусловлено поглощением электромагнитной энергии
21

газами, молекулы которых обладают электрическими или
магнитными дипольными моментами, а ослабление в замутненной
атмосфере связано, кроме того, с рассеянием и поглощением
радиоволн каплями облаков и туманов, а также гидрометеорами:
дождевыми каплями, снегом, градом и кристалликами льда.
Представление о том, как влияют различные вышеуказанные поглотители
0,1мм
10 мкм 1мкм
Рис. 1.8. Основные компоненты поглощения атмосферы на длинах волн
от 0,5 мкм до 4 см [6].
/ — молекулярное поглощение при нормальных условиях в атмосфере, 2 —
ослабление в дожде с интенсивностью 10 мм/ч, 3 — поглощение в сухом снеге с
интенсивностью 1 мм/ч, 4 — поглощение в тумане при метеорологической дальности
видимости 100 м, точки — результат измерений, заштрихованная
область—ослабление в тумане.
на распространение ММ, СБММ и оптических волн, можно
получить из рис. 1.8 [6]. Как видно из рисунка, поглощение водяным
паром является постоянно действующим фактором во всех
рассмотренных диапазонах. Это поглощение вызвано главным
образом вращательными квантовыми переходами молекул Н2О из
одного энергетического состояния в другое. Интенсивность
молекулярного поглощения зависит от структуры молекул и величины
дипольного момента. Молекула НгО обладает сравнительно
большим электрическим дипольным моментом, и в силу того, что она
является асимметричным волчком, вращательный спектр НгО
сильно развит: вращательных линий достаточно много и они
тесно расположены по диапазону (особенно в СБММ области).
Отмеченные обстоятельства приводят к интенсивному
поглощению.
32

Относительная роль различных физических факторов
ослабления в нижниях слоях атмосферы изменяется по диапазону:
— ослабление в ММ диапазоне волн вызывается в основном
молекулярным поглощением в парах Н20 и в молекулярном
кислороде; существенный вклад в ослабление ММ волн вносят также
облака и дожди;
Г дБ/км
10 6
Ил*
Ш
I
^^*^^^
LA
А
*~ || -
!
! I
\2300 \160L
У
1
щ
У-
тпт
щ
12001
7
—ft r-l
■ДО]
ш
и
4 111 II "М J U/ | |
О 200 400 600 800 Г Г Га,
Рис. 1.9. Нормализованное спектральное поглощение воды
в пяти состояниях в диапазоне длин волн от 5 до 1000 ГГц
[89, 91].
1 — вода (1 мм), 2 — дождь (20 мм/ч), 3 — взвешенные гидрометеоры
(облачная вода), 4 — влажный воздух (при давлении 101,3 кПа),
5 — чистый водяной пар, 1 г/м3, 1 мм/км, Т =■ 300 К; числа у
спектральных линий показывают поглощение Ы20.
— основным фактором ослабления в СБММ диапазоне
является молекулярное поглощение в водяном паре, к которому
добавляется ослабление в облаках и туманах;
— в оптическом и ИК диапазонах ослабление в основном
связано с ослабляющими свойствами облаков и туманов.
Молекула Ог обладает магнитным дипольным моментом. На
ММ диапазон приходится спин-вращательный спектр поглощения
Ог, который состоит из полосы поглощения, центрированной
к длине волны К = 5 мм, и изолированной линии X = 2,53 мм.
Высокое относительное содержание молекулярного кислорода в
атмосфере (~21 %) приводит к заметному поглощению
электромагнитной энергии в указанных спектральных областях.
На рис. 1.9 [89, 91] приводится нормализованный спектр
поглощения водой в диапазоне от 5 до 1000 ГГц в слоях
поглотителя одинаковой толщины (1 мм) для пяти состояний воды: вода,
дождь, суспензия из гидрометеоров, влажный воздух и чистый
23

водяной пар. Как видно из рисунка, в ММ диапазоне основной
вклад в поглощение вносит дождь. Начиная примерно с 200 ГГц
и выше основной вклад в поглощение вносит суспензия из
гидрометеоров— это или капельные, или смешанные облака, а в
приземном слое атмосферы — туманы. Для вышеуказанных состояний
воды поглощение по спектру — непрерывное. Что касается
водяного пара и влажного воздуха, то здесь поглощение по спектру —
селективное с обилием «окон» прозрачности между интенсивными
.линиями поглощения. Как отмечалось, линии поглощения обязаны
многочисленным вращательным переходам молекулы НгО. Этим
и объясняются трудности точного теоретического расчета
поглощения водяным паром. Интенсивность линий поглощения в
большой степени зависит от температуры, давления и от содержания
водяного пара в единице объема. Содержание паров НгО в
атмосфере зависит от погодных условий, оно очень изменчиво в
пространстве и во времени и трудно прогнозируемо.
Выше указывалось, что уровень развития техники генераторов
и приемников ММ и СБММ волн позволил в последнее время
детально исследовать только поглощение безоблачной
атмосферой. В литературе приведены сведения о результатах изучения
поглощения молекулярным кислородом и водяным паром при
сравнительно небольшом содержании последнего в атмосфере
(далеком от насыщения). Одновременно с экспериментальными
исследованиями интенсивно развивались и теоретические расчеты
поглощения водяным паром и молекулярным кислородом. В
настоящее время разработана в определенных предположениях
квантово-механическая теория расчета поглощения водяным паром
атмосферы в ИК, СБММ и ММ диапазонах длин волн. В кванто-
во-механических расчетах учитывается большое число
вращательных переходов молекул и поэтому такие расчеты являются весьма
громоздкими.
Первые же сравнения теоретических коэффициентов
поглощения НгО с экспериментальными значениями показали превышение
последних в окнах прозрачности в среднем примерно в 3—4 раза,
а на некоторых длинах волн и в 5—10 раз(«аномалии
поглощения»). Было предпринято множество попыток уточнением
расчетов устранить отмеченное несоответствие, однако и до настоящего
времени нет полного совпадения теоретических результатов с
данными экспериментов. Превышение экспериментальных данных над
теоретическими значениями в окнах прозрачности примерно
в 1,5—2 раза все еще сохраняется. Улучшение описания
молекулярного поглощения достигается в настоящее время широким
привлечением экспериментального материала для внесения
корректив в теоретические расчеты. Были разработаны
приближенные способы расчета коэффициентов молекулярного поглощения:
эмпирические, полуэмпирические и инженерные [27, 90, 91].
В указанных методах строго учитывается небольшое число
основных квантовых переходов, а влияние других спектральных
линий на коэффициент поглощения учитывается приближенно
:24

с помощью выражений нерезонансного типа, в которые вводятся
экспериментальные поправки. Таким образом достигается
достаточно точное (с погрешностью ~5—10%) описание поглощения
радиоволн водяным паром атмосферы.
В Справочнике рассматриваются как квантово-механическая
теория, так и инженерные, эмпирические и полуэмпирические
методы расчета поглощения радиоволн водяным паром.
Рассматривается также зависимость поглощения водяным паром от высоты
над поверхностью Земли.
Немаловажным фактором, влияющим на распространение ММ
и СБММ волн в облаках, является поглощение водяным паром,
который содержится в самом облаке. В настящей главе описана
методика расчета поглощения водяным паром облака.
Другой фактор, который оказывает влияние на
распространение ММ и СБММ волн, как отмечалось выше, это поглощение
молекулярным кислородом атмосферы. Ниже подробно
рассмотрены квантово-механический и приближенные методы расчета
поглощения молекулярным кислородом. Особое внимание уделяется
высотному распределению коэффициента поглощения
молекулярного кислорода и поглощению молекулярным кислородом облака.
Полученные данные составляют основу для расчета полного
поглощения ММ и СБММ волн в атмосфере.
1.3.1. ПОГЛОЩЕНИЕ ММ И СБММ ВОЛН ВОДЯНЫМ ПАРОМ
1.3.1.1. Теория молекулярного поглощения ММ и СБММ
волн водяным паром
Как отмечалось выше, одним из основных поглотителей
излучения ММ и СБММ волн в атмосфере является водяной пар,
Впервые квантово-механическая теория молекулярного поглощения
СМ и ММ волн водяным паром была создана Ван-Флеком
[115, 116], а в дальнейшем на основе указанной теории были
выполнены расчеты поглощения в диапазоне ММ и СБММ
радиоволн [102].
Молекулы водяного пара, взаимодействуя с электромагнитным
полем излучения, поглощают энергию, переходя при этом с
нижних энергетических уровней на верхние. Для теоретического
расчета молекулярного поглощения водяным паром необходимо
учесть всевозможные разрешенные переходы молекулы водяного
пара с вращательными квантовыми числами / ->- /' (правила
отбора Д/=0, ±1). Поглощение на любой частоте / можно
рассчитать по формуле [12]:
4п2М V* I l2l -WiikT -WilkT\%n *ч /1 оч
^вп= 3hcG(T) Z/ft/lH't/l 'в "в \f(f> ftlh (1-2)
где увп — коэффициент поглощения; Д-/ — частота перехода; h —
постоянная Планка; с — скороть света; N— число молекул в еди-
25

нице объема; G(T)—вращательная функция распределения Wi
и Wj — энергии вращательных уровней i и /; \\лц\2— квадрат
матричного элемента дипольного момента перехода £->/;
о
f(/» fii) —функция, характеризующая форму линии, которая
формируется вследствие соударения молекулы НгО с молекулами
No, 02 и Н20.
о
В качестве формы линии /(/, /«•/) можно использовать
следующие разновидности [82]:
по Лоренцу
f{f' fii) = l^rl U-fij)2 + WijV (f + htr + Wn)1 У (L3)
по Ван-Флеку—Вейскопфу
f{f' fil)= uf{, L (f-hri' + i&fti)* + (f + hi)2 + (Mij)2 У (L4)
по кинетическому уравнению
4f2bfii
hf, fn)= _u* Л :l,lt2,At 42i • (i-5)
В работе [117] содержались критические замечания по поводу
модели молекулярных соударений, которая использовалась при
выводе формы линии (1.3) и была предложена форма линии
(1.4). В свою очередь, на неточность формы линии (1.4) было
обращено внимание в работе [19] и было предложено
использовать для расчетов форму линии по кинетическому уравнению.
В работах [19, 24] для расчетов коэффициента поглощения
водяным паром использовалась следующая формула:
I г 2лЪ.с р 2nftc
_ 0,26085 - 105 _J_V_l_ft
Yen— Q(T) Рп %2 /у kij {iil
e fi kT _ e fi kT | у
X
4
1,045 Щ1с)^°~^ (Т/300)~П{! (P/760)
[(lAt7)2- (lA)2]2 + 4 [l,045 W/c)$*>-N* (77300) "'/' Р/760]2 (1Д)2 '
(1.6)
где
Pi/=[2-(-l)'^]SFEg|0^|2(
G(T)=T, I (2J+l)[2-(-l)ix*]e-W(,-x)lkT.
Здесь увп — в дБ/км, рп — плотность водяного пара в г/м3, rtq.—
температурный коэффициент полуширины линии поглощения.
Подробно о том, как выбирались параметры в формуле (1.6) и
относительно обозначений в формулах для р,/ и G(T) можно
найти в [19, 20, 24].
26

На рис. 1.10 приводится спектральная зависимость
поглощения водяным паром, вычисленная по формуле (1.6), в диапазоне
10—0,16 мм для двух видов форм линий: по кинетическому
уравнению и по Ван-Флеку—Вейскопфу при нормальных атмосферных
условиях. На рис. 1.11 и 1.12 приводятся спектральные кривые
поглощения водяным паром для диапазона длин волн от 32 до
Г дБ/км
1
1 1
1
А.
и
\к
г
й
J
г
и
1
!
< 1 Ц
i
lAi
W
&
Kn
|
i i
! 1
li
li
ft,
Iwv
il
и
r
r
*
0 10 20 JO 40 501/k см1
2 1 0,6 0,4 0,3 0,26 0,22 0,20 X мм
Рис. 1.10. Спектральная зависимость поглощения
водяным паром в диапазоне длин волн 0,16—10 мм [19].
/ — вычисление с формой линии по кинетическому уравнению,
2 — вычисление с формой линии по Ван-Флеку—Вейскопфу (Т0 —
293 К, Ро = 1013 гПа, Р0П=7,5 г/м3).
0,085 см для тех же двух форм линий [21]. На рис. 1.11 видны
сильные полосы поглощения мономеров водяного пара при к=
= 1,35 см; 1,63; 0,92 мм и 0,789 мм. На рис. 1.11 и 1.12 заметна
существенная разница в кривых, вычисленных двумя различными
способами. На рис. 1.12 приводятся экспериментальные данные
(обзор их см., например, в [21]), которые хорошо совпадают
с теорией в резонансе поглощения (Х= 1,35 см) и заметно
расходятся вне резонанса.
На рис. 1.13 приведена спектральная зависимость
коэффициента поглощения водяного пара, полученная в [10, 13]. Эта зави-
27

Г дБ/км
5-Ю2
5-Ю1
5-Юс
5-Ю'1
5-Ю~'
5-Ю''
/;
Я
//
*^
//
1/
у
Л
Г
i
1 1
\\
i
/v
*
—
1\
— 1
-2
Я
J_
_L
10
12 1/1 см'1
_|_
5 1 0,5 0,3 0,2 0,15 СР. 0,10 0,085 1. см
Рис. 1.11. Спектральная зависимость поглощения водяным
паром в диапазоне волн 0,085—5 см [21].
Усл. обозначения см. рис. 1.10.
Т дБ/км
по
10е
510'
10'
5-10
10''
5-Ю''
10'-
5-10"
10"
5-10~
1 \
II
II
II
1
1
1
II
11
||
1
Чг-^Т^-"
•
"^^*1 ~~ -
i-v*
—-
•
.^-^""'^ ***
*^S
'2
1
_L_
_L
j L_
/ 0,7 0,5 0,4
0,3
5 //А см
I
,-/
0,2 А см
Рис. 1.12. Спектральная зависимость поглощения водяным
паром в диапазоне волн 0,2—3 см [21]. Точки —
экспериментальные данные различных авторов (см. [21]).
Усл. обозначения 1 и 2 см. рис. 1.10.

симость была получена также по формуле (1.6) для ширины
спектральных линий по Бенедикту—Каплану. При расчетах
использовалось следующее соотношение между числом молекул
в единице объема и плотностью водяного пара:
N=10~* Мо
Лп
Рп,
(1.7)
где No — число Авогадро, т]п— молекулярная масса молекулы
воды.
60 //А. см'1
0,18 А. мм
Рис. 1.13. Спектральная зависимость поглощения водяным
паром при нормальных атмосферных условиях с формой линии
по кинетическому уравнению и с полушириной линий по
Бенедикту и Каплану [10, 13].
Для устранения расхождения между теорией поглощения
радиоволн в водяном паре и результатами эксперимента, которое
имеет место в ММ и СБММ окнах прозрачности атмосферы (см.
выше), был предпринят ряд попыток.
Как показали дальнейшие исследования [1, 2], повысить
точность теоретических значений коэффициента поглощения за счет
уточнения полуширины спектральных линий НгО можно лишь на
несколько процентов. Учет нежесткости молекул и вклада слабых
линий также не дал существенных результатов. В работах [14,
16, 24] рассматривается влияние на поглощение димерных
молекул водяного пара. Существенного улучшения положения в связи
с этим получить не удалось. На рис. 1.14 [4] приводятся
теоретические данные о поглощении димерными молекулами водяного
29

пара, скорректированные на экспериментальные сведения [42],
и суммарное поглощение мономерами и димерами водяного пара.
Здесь же приводятся экспериментальные данные, полученные
различными авторами (см. [4]). Как видно из рисунка, теория
хорошо совпадает с результатами эксперимента в области
спектральных линий поглощения при Х=1,63 и 0,92 мм и
наблюдается существенное различие на крыльях спектральных линий, т. е.
в окнах прозрачности между линиями.
Г дБ/км
60 120 180 240 МОГГГи,
Рис. 1.14. Поглощение в воздухе при нормальных
условиях в диапазоне частот 15—340 ГГц [4].
/ — поглощение в димерах водяного пара, скорректированное
согласно [42]; 2 — поглощение в мономерах водяного пара
с формой линии по Ван-Флеку (см. [4]); 3 — суммарная
кривая мономеров и димеров водяного пара; точки —
экспериментальные данные различных авторов (см. [4]).
Таким образом, до настоящего времени не удалось полностью
устранить различие между теоретическими и экспериментальными
значениями коэффициента поглощения водяного пара в окнах
прозрачности, хотя положение здесь существенно улучшилось:
значения, полученные в соответствии с теорией, теперь лишь
в 1,5—2 раза меньше экспериментальных данных. Исходя из
этого все-таки нельзя считать, что исследователи в настоящее
время располагают завершенной теорией молекулярного
поглощения радиоволн водяным паром.
Отметим и содержательные работы зарубежных
исследователей [57, 58, 63, 69, 70, 101, 108] в рассматриваемом научном
направлении. Выводы зарубежных авторов близки к тем выводам,
которые сделаны выше. Вместе с тем ряд авторов обращает
внимание на необходимость тщательного учета тонких механизмов
взаимодействия молекул водяного пара для более полного
описания молекулярного поглощения во всех спектральных областях.
Теперь сравним теоретические и экспериментальные
результаты в СБММ диапазоне. В работе [25] выполнен теоретический
расчет поглощения мономерами НгО аналогично тому, как это
сделано в [19]. Однако в [25] учитывается более точное значе-
30

ние дипольного момента молекулы НгО согласно [88], а значения
полуширины спектральных линий взяты согласно [56], т. е.
увеличены на 11 % по сравнению со значениями из [55]. Результаты
расчетов приводятся на рис. 1.15. Кривые 2 и 3 соответствуют
расчетам для димеров водяного пара. Теоретические данные для
мономеров (кривая 1) хорошо совпадают с экспериментом как
для спектральных линий, так и в некоторых окнах прозрачности.
Гдб/км
10*
ю2
10°
10'2
f0-+l 1 1 J 1 1 L_—I
0 5 10 15 20 25 30 1/K см"1
I I I I I I
20 2 1 0,7 0,5 OA \ мм'
Рис. 1.15. Молекулярное поглощение ММ и СБММ
волн мономерами и димерами водяного пара [25].
/ — поглощение мономерами водяного пара, 2 — димерами
водяного пара с полушириной линии димера (Д//с),-. = 1,6 см-1,
3 — димерами водяного пара с полушириной димера (Af/c) =
=0,8 см-1.
Для окна прозрачности при Х=0,647 мм наблюдается точное
совпадение теории и эксперимента, а для Х=0,35 мм и Х=0,45 мм
различие составляет 40 и 20 % соответственно.
Экспериментальные исследования поглощения водяным паром
в окнах прозрачности СБММ диапазона выполнены в работах
[4, 39, 41, 42, 47]. На рис. 1.16 [4] приводятся теоретические
расчеты для мономеров водяного пара и суммарная кривая для
мономеров и димеров водяного пара. Авторы экспериментальных
результатов, представленных на рис. 1.16, указаны в обзоре [4],
из которого взят данный рисунок. Как видно из рисунка,
наблюдается различие теоретических и экспериментальных данных в
окнах между спектральными линиями при Х=0,87; 0,73; 0,45; 0,36
и 0,29 мм.
Из рис. 4 работы [41] видно расхождение между
теоретическими и экспериментальными значениями коэффициентов
поглощения водяного пара в коротковолновой части ММ и в
длинноволновой части СБММ диапазонов.
В табл. 1.8 приводятся теоретические и экспериментальные
результаты по поглощению водяным паром в атмосфере для длин
31
kir*^
/\
ь
-Ы
I I

волн от 61,2 до 645 мкм [47]. В 4-м столбце таблицы приводятся
теоретические расчеты по [19], в 5-м — экспериментальные
данные Н. Г. Ярославского и А. Е. Станевича, полученные в 1959 г.
В 6-м столбце представлены результаты измерений [47],
а в 7-м—результаты полевых измерений, выполненных
Г дБ/км
10*
103
ю2
ю1 ■ - —
300 450 600 750 900 f ГГц,
Рис. 1.16. Поглощение в воздухе при нормальных
условиях в диапазоне 300—1150 ГГц [4].
/ — поглощение в мономерах водяного пара, рассчитанное по
формуле (1) [4]; 2 — суммарное поглощение мономеров и ди-
меров водяного пара; точки — экспериментальные данные
различных авторов (см. [4]).
В. Я. Рядовым и Г. А. Шароновым. Последний столбец таблицы —
отношение экспериментальных (уэкс из столбца 6 [47]) и
теоретических (утеор из столбца 4 [19]) коэффициентов поглощения.
Как видно из таблицы, в длинноволновой части ИК диапазона
отношение 7экс/7теор составляет 1,23—1,65. Для коротких СБММ
волн это отношение равно примерно 1,24—1,45. В средней части
СБММ диапазона различия большие и находятся в пределах 1,67—
2,27. Что касается экспериментальных результатов, приведенных
в столбцах 5—7, то их совпадение между собой достаточно
хорошее.
Следует отметить, что в вышеуказанных теоретических
расчетах число учитываемых линий водяного пара достигало
нескольких сотен, а иногда и тысяч [1, 2]. Однако и это обстоятельство
не привело к желаемым результатам, т. е. к полному устранению
расхождений между теоретическими и экспериментальными
значениями коэффициентов поглощения. Необходим, по-видимому,
корректный учет в расчетах крыльев спектральных линий. Однако
постановка и решение задачи о форме спектральных линий для
реальных условий взаимодействия молекул весьма
затруднительны из-за неопределенности выбора адекватных физических
моделей, а также из-за очень большого объема вычислений.
Учитывая вышеуказанные трудности исследователи пошли по иному
32
. ,
:dJ
1 \
•
> 1 к
J\ 2/
\£у
\Цн2?
Л
iA

Таблица 1.8
Поглощение водяным паром в атмосфере по [47]
К мкм
1
V СМ-1
2
Av см—1
3
^теор
дБ/км
4
7ЭКС дБ/км
5 | 6 | 7
•экс/^теор
8
61,2
69,44
87,34
91,57
118,8
142,3
151,3
163,9
200
222
232
292
321
336
360
450
645
163,4
144,0
114,5
109,2
84,20
70,25
66,1
61,0
50,0
45
43,1
34,2
31,1
29,7
27,8
22,0
15,5
1,8
1,45
0,9
0,95
0,55
0,50
0,43
0,50
0,55
0,52
0,44
0,40
0,47
0,58
0,47
0,37
0,53
420
650
407
840
660
640
360
760
186
205
209
205
79
45
42
37
35
800 ±20
1120+18
630+15
1160+22
940 ±18
830+27
537 ±8
1010±27
270 + 6
280+13
340+13
280 ±8
113±7
80+5
77+8
84+10
89+9
690 ±34
1000 ±35
610±16
1030 ±39
900 ±23
790+30
522+10
940 ±35
267+6
265+14
310±16
270+9
106 ±7
75+6
75+8
84+10
79 ±10
1,254 ±24
263+25
62±6
65±5
1,65
1,54
1,5
1,23
1,36
1,24
1,45
1,24
1,44
1,29
1,48
1,32
1,34
1,67
1,79
2,27
2,22
пути. Разработаны инженерные, эмпирические и
полуэмпирические методы расчета поглощения водяным паром, где
существенную роль играют экспериментальные поправки.
1.3.1.2. Инженерный расчет
молекулярного поглощения водяным паром
В основе инженерного метода расчета поглощения водяным
паром [27] лежит учет сравнительно небольшого числа основных
спектральных линий молекулы воды. К расчету также
привлечены установленные на опыте различные зависимости поглощения
от метеопараметров. В расчетах коэффициента молекулярного
поглощения водяным паром учитывается сумма двух
составляющих поглощения 71 и 72. Причем 71 — это вклад всех основных
спектральных линий поглощения, а 72=7э — уи где 7э —
экспериментально определенный коэффициент поглощения.
Коэффициент поглощения 71 (дБ/км) рассчитывается по квантово-меха-
нической формуле [27]
Yl = 7,89. 106 Т^Т) X
X £ TtK'g*' (T) Av,7{[(Wi*' ~ W2^f - v2]2 + 4v(Av*02}, (1.8)
к'
где 5 — относительное объемное содержание водяного пара:
S = e/p\ е — парциальное давление водяного пара (гПа); р —
3 Заказ № 124
за

давление влажного воздуха (гПа); Т — температура (К);
v=l/X — волновое число (см-1); G°(T)—статистическая сумма,
полученная при аппроксимации результатов работы [72]:
G°(r)=3,397-10~2 Tl2\ к' — порядковый номер линии, gK'(J) —
функция населенности: gv (Т) = | exp (—b'W\K'IT) —
—ехр(—bfW2K'IT) |, b'= 1,4388; WiK>, Ww—энергии уровней;
Av«'—полуширина спектральных линий в воздухе, которая
определяется через парциальную полуширину Av^2°- N2 и
вычислена в [55] по соотношению
Av^ = /'[l + (<л- l)5](P/P0)(r/300)"rt/c,Av^°-N2, (1.9)
где V — коэффициент, полученный по критерию максимального
согласия с экспериментом для всех измеренных линий (в
среднем V = 1,02... 1,03), а пК' —температурный коэффициент
полуширины, взятый по данным расчета из [55], С\ — параметр само-
уширения (близок в среднем к 5 [45]). В величине к,г учтены:
квадраты матричных элементов дипольного момента, взятые по
модели жесткого волчка [105], статические веса уровней и
резонансные частоты переходов. Коэффициент 7,89-106 в формуле
(1.8) получен при значении дипольного момента |ы0=1,884Х
X Ю-18 CGSE [88]. Значения величин WХк; W2K>, Av£2°~N\ nK*
и х«' приведены в табл. 1.9.
Таблица 1.9
Параметры для расчета поглощения инженерным методом [27]
к'
V- СМ""1
WlK, см-'
Ww см-'
AvH2o-iv2cM_,
пк,
кк/ см-»
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0,74
6,12
10,69
10,88
12,67
14,53
14,63
14,74
15,0
15,68
15,8
16,3
16,7
18,58
20,7
21,6
25,1
28,89
30,21
30,4
32,3
32,94
36,6
446,5
136,15
1283,02
315,73
212,16
1045,09
742,09
1045,09
285,4
742,09
488,2
602,7
1394,9
23,79
488,1
1789,1
70,07
2225,57
1050,2
285,3
383,9
37,13
136,76
447,24
142,27
1293,71
326,61
224,83
1059,62
756,72
1059,83
300,4
757,77
504
586,4
1411,6
42,37
508,8
1810,7
95,17
2254,46
1080,41
315,7
416,2
70,07
173,36
0,09019
0,096
0,07652
0,09292
0,0948
0,05
0,0636
0,05023
0,08247
0,0629
0,069
0,0861
0,0424
0,1111
0,07606
0,038
0,1044
0,036
0,0798
0,08638
0,08262
0,1032
0,09944
0,626
0,649
0,42
0,619
0,63
0,29
0,37
0,332
0,51
0,38
0,38
0,57
0,32
0,645
0,6
0,4
0,69
0,47
0,51
0,676
0,56
0,66
0,701
0,1226
0,6230
2,584
0,9741
4,671
1,232
4,331
3,753
5,922
1,617
1,839
0,6458
4,962
83,61
7,408
5,707
52,08
6,87
3,661
4,901
8,476
24,87
239,8
34

В качестве значений уэ были взяты усредненные результаты
измерений, приведенные к нормальным условиям (S0=0,01, ро=
= 1013 гПа, Г0=293 К). После тщательного исследования
зависимостей поглощения от температуры, давления и относительного
объемного содержания водяного пара в [27] приводится
окончательная формула для расчета уг (дБ/км):
у2 = ехр (2,33 In v - 4,34) (p/p0f (Г/Го)"3'3 (S/S0) X
X [1 + (а2- l)S]/[l +(a2- l)So], (1.10)
где g2 — параметр самоуширения. Вблизи от резонансной частоты
а2 = 5, а вдали от частоты перехода сг2 = 13... 14.
г дб/км
0 1 2 J U 5 6 7 8 9 10 1/К см'1
I I I I
10 5 2 1 К мм
Рис. 1.17. Коэффициент поглощения в атмосферных парах
воды при нормальных условиях [27].
/ — результаты расчета по методике инженерного расчета; 2 — по
квантово-механической формуле; точки — экспериментальные данные
(см. [27]).
При заданных 5, р и Т расчет поглощения сводится к
расчету 7i по формуле (1.8), 72 по формуле (1.10) и к их
суммированию.
С использованием вышеизложенной методики инженерного
расчета в [27] выполнен расчет коэффициентов поглощения в
воздухе при нормальных условиях для X > 0,8 мм и cti = 5, V = 1,025.
Результаты расчетов приводятся на рис. 1.17. Здесь же
представлены экспериментальные данные [3] и данные, вычисленные по
квантово-механической формуле [3]. Как видно из рисунка,
существует хорошее согласие теоретических и экспериментальных
данных при расчетах по предложенной методике инженерного
расчета в диапазоне волн от 0,6 до 15 мм. Особенно хорошее
3*
35

совпадение наблюдается в спектральных линиях поглощения
при а=13,5, 1,63 и 0,92 мм. В заключение отметим, что
вышеуказанную методику можно использовать для расчетов в
диапазоне длин волн от 0,28 до 10—20 мм.
Другой метод инженерного расчета поглощения радиоволн
водяным паром предложен в работе [119] (см. также [114]),
однако им можно пользоваться до частот, не превышающих 300 Гц.
Формула для расчета коэффициента поглощения имеет
следующий вид:
ю
W(f) = 2f2pn(300/r)s/' ZA^l!T[{n_f2J+4f4]- (1-H)
В табл. 1.10 приводятся значения Л/, &i и fi для 10 линий
(/=1... 10). Параметр у* (ГГц) вычисляется по формуле
yi = yi0 (р/1013) (300/7У [ 1 + 10~2ai -2sL], (1.12)
где Yi-o, Q>t и х также приводятся в табл. 1.10. В формулах (1.11)
и (1.12) давление р выражено в гектопаскалях, температура Т —
в Кельвинах, а рп — в г/м3.
Таблица 1.10
Параметры для расчета поглощения по 10 линиям молекулы воды [114, 119]
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fi ГГц
22,23515
183,31012
(323)
325,1538
380,1968
(390)
(436)
(438)
(442)
448,0008
*\ (к-1)
644
196
1850
454
306
2199
1507
1070
1507
412
At
1,0
41,9
334,4
115,7
651,8
1270
191,4
697,6
590,2
973,1
У to гг*
2,85
2,68
2,30
3,03
3,19
2,П
1,50
1,94
1,51
2,47
' ai
1,75
2,03
1,95
1,85
1,82
2,03
1,97
2,01
2,02
2,19
X
0,626
0,649
0,420
0,619
0,630
0,330
0,290
0,360
0,332
0,510
На рис. 1.18 приведены результаты расчетов спектральных
коэффициентов поглощения водяного пара по формулам (1.11) и
(1.12) для нормальных условий в атмосфере: Го = 300 К, Ро =
= 1013 гПа, рп0 = 7,5 г/м3 в диапазоне частот от 10 до 300 ГГц.
Здесь же приводятся две другие кривые: одна, рассчитанная при
форме линии по Ван-Флеку—Вейскопфу, а другая —
экспериментально скорректированная К^0 (/). Последняя кривая
представляет сумму двух кривых:
/Снк> (f) = /Сн,о (f) + А/С (f). (1.13)
36

Функция ^Сно(/) определяется формулой (1.11), а
скорректированная кривая А/С(/) была получена эмпирически (см. [114])
при сравнении теории с экспериментом и описывается
соотношением
AK(f) = 4,69 • 10~6рп(300/Г)2'1(р/1000)/2. (1.14)
На рис. 1.18 результаты эксперимента хорошо согласуются со
скорректированной кривой ^Ср10(/) в резонансных линиях погло-
дБ/км
Гн2о Дб/км
J L' гн п иеп/см
/40 180 ГГи, "2U
-Л10'°
250ГГГи,
Рис. 1.18. Измеренные и рассчитанные кривые поглощения
водяным паром [114].
J — форма линии по кинетическому уравнению с коррекцией на
эксперимент; 2 — форма линии по Ван-Флеку—Вейскопфу; 3 — форма линии по
кинетическому уравнению (без коррекции на эксперимент); точки —
экспериментальные данные, полученные при условиях: в диапазоне 20—40 ГГц
при Г=318 К, р= 1013 гПа, РП = Ю г/м3; в диапазоне 10—220 ГГц при
Г-300 К, р-1013 гПа, рп-7,5 г/м8.
щения водяного пара при 22 и 180 ГГц. Наилучшее совпадение
наблюдается для теоретической кривой, рассчитанной с формой
линии по кинетическому уравнению и с коррекцией на
эксперимент.
1.3.1.3. Эмпирические и полуэмпирические методы расчета
поглощения водяным паром
Обращение исследователей к эмпирическим и
полуэмпирическим методам расчета поглощения водяным паром было вызвано
в основном двумя причинами:
37

— потребностью с помощью упрощенных расчетов оперативно
и с учетом текущих метеорологических условий получать
достоверную информацию относительно коэффициента поглощения
водяного пара;
— необходимостью устранить расхождение между
теоретическими и экспериментальными коэффициентами поглощения в
окнах прозрачности ММ и СБММ диапазонов с помощью
привлечения экспериментальных результатов в отдельных областях
спектра.
В соответствии с первым обстоятельством для получения
эмпирической или полуэмпирической формулы выбирались 30—40
основных спектральных линий из исследуемого диапазона длин волн.
Вклад этих линий в коэффициент поглощения учитывался по
квантово-механическим формулам, и к ним добавлялись поправки
по результатам натурных экспериментов. В результате получались
формулы, которые учитывали спектральные особенности
поглощения и влияния метеопараметров атмосферы. По указанной схеме
получены все эмпирические и полуэмпирические формулы,
которые рассматриваются ниже.
Вторая причина связана с учетом «избыточного» поглощения
водяным паром, которое наблюдается при сравнении эксперимента
с теорией. Исследованию этого вопроса посвящены
многочисленные работы последних 15—20 лет. Естественно, что в
эмпирических и полуэмпирических формулах должно учитываться
упомянутое избыточное поглощение. В рассмотренных ниже эмпирических
и полуэмпирических формулах отражены следующие физические
механизмы, которые оказывают влияние на значения
коэффициента поглощения:
— уширение линий поглощения мономеров водяного пара при
соударениях с молекулами других газов и с молекулами РЬО
(эффект самоуширения);
— поглощение димерами водяного пара;
— поглощение молекулами Ог и N2, обусловленное
индуцированными при соударениях с молекулами НгО дипольными
моментами на молекулах азота и кислорода (которое также зависит от
влажности);
— влияние крыльев далеких линий,
— учет возможного различия между реальной шириной линий
и теоретической, вычисленной Бенедиктом и Капланом [78].
Остаточная часть измеренного поглощения, которая не
интерпретируется в рамках указанных механизмов, учитывается с
помощью экспериментальных поправок. Ниже рассматриваются
эмпирические и полуэмпирические формулы для расчета
коэффициентов поглощения ММ и СБММ волн в водяном паре, полученные
в 80-х годах.
В работах [90, 91] предложена эмпирическая формула,
которую можно применять для расчетов поглощения водяным паром
при частотах, не превышающих 1000 ГГц. Однако использовать ее
в том виде, в каком она приводится в этих работах [90, 91], не-
38

удобно, поэтому мы приводим ее в виде, предложенном в работе
[11]:
у = (0,397ераГ-2'5 + 4605е2Г-3'5) f2, (1.15)
где Y* — приближенное значение коэффициента поглощения
(дБ/км), в —парциальное давление водяного пара (кПа), ра —
давление сухого воздуха (кПа), / — частота (ГГц). Кривая 2 на
рис. 1.19 [90] соответствует результатам расчета по эмпирической
формуле (1.15). Как видно из рисунка, в области до 300 ГГц
расчеты по (1.15) хорошо совпадают с точными расчетами в области
Гп дБ/км
10*
102
10°
'" 0 100 Ш 600 800 1000 ГГГи,
Рис. 1.19. Коэффициент поглощения атмосферы на
горизонтальной трассе при нормальных условиях [11]
(1) и расчет по приближенной формуле (1.15) (2).
Положение линий молекулярного кислорода отмечено
стрелками.
континиума (кривая /). Некоторое отклонение наблюдается в
области выше 300 ГГц. Данные на рис. 1.19 соответствуют
нормальным атмосферным условиям на уровне моря. В работе [90]
приводятся теоретические спектральные кривые поглощения и для
высоты 4 км над поверхностью Земли. Интересно отметить, что
для частот более 300 ГГц расчеты по формуле (1.15) дают
хорошее совпадение именно с кривой для высоты 4 км из [90].
Полуэмпирическая формула для расчета поглощения водяным
паром предложена в работе [64]:
Kc = Wvth(hcv/2kT)\(^)cs(v, r)+(-JL)cf(v, Г)], (1.16)
Здесь Кс — оптическая толщина атмосферы в зенитном
направлении; W — плотность отдельных типов поглощающих молекул; v —
волновое число (см-1); ns/no и я//я0 — отношение плотностей
соответственно рассмотренной и посторонних компонент; Cs и С/—
спектральные коэффициенты соответственно для рассмотренной
39
02
/ 1
Г/
\1
J-~~
и
у
""2~
у\
±У
\

и посторонних компонент ((см-1-моль/см2)-1); ns — плотность
поглощающих молекул и fif — плотность всех других типов молекул;
по — эталонная плотность газа при р = 1013 гПа и Г = 296 К.
В отличие от формулы (1.15) здесь эмпирически задаются
коэффициенты Cs и Cf. Подбор коэффициентов Cs и Cf в различных
1,0
0,8
■о
(о
§ 0,6
0,2
О ' 2 1 6 8 7д ~мГ1
Рис. 1.20. Спектральная прозрачность атмосферы
в диапазоне 0—13 см-1 [64].
/ — результаты расчета по формуле (1.16); 2 —
экспериментальные точки по работе [100].
областях спектра (ММ, СБММ, ИК диапазоны) осуществляются
с помощью четырех параметров по экспериментальным данным.
Располагая набором параметров для различных участков спектра,
с помощью формулы (1.16) нетрудно рассчитать спектральную
кривую поглощения водяным паром для любых температур,
отношений плотностей и волновых чисел из диапазона от 0 до
20 000 см-1. В работе [64] разработана специальная программа
расчетов и приведены параметры Cs и С/ для водяного пара и С/
для углекислого газа в вышеуказанном диапазоне волновых чисел.
В работе также учитывается влияние молекулярных соударений
НгО — N2 на поглощение радиоволн водяным паром.
На рис. 1.20 приводится пример поглощения водяным паром
в спектральном интервале от 0 до 13 см-1. Экспериментальные
данные (точки) получены в работе [100]. Как видно из рисунка,
наблюдается очень хорошее совпадение результатов расчета по
формуле (1.16) с данными эксперимента как в окнах
прозрачности, так и в полосах поглощения.
Аналогично работе [64] в [58, 59] приводится
полуэмпирическая формула для расчета поглощения водяным паром в конти-
ниуме, т. е. в промежутках между спектральными линиями.
Оптическая толщина в этом случае выражается соотношением
A = ALL = 3,19 • \022L(p2C0s + ppNC°N)/T, (1.17)
где р — парциальное давление Н2О, Pn — парциальное давление
N2, Т — температура в кельвинах, С0 и С^ — нормализованные
40

коэффициенты уширения линий соответственно для соударений
Н20 — Н20 и Н20 — N2.
Как и в работе [64], коэффициенты С0 и C°N имеют
эмпирический характер. Эти коэффициенты формально подбираются из
уже известных экспериментальных данных без привлечения
каких-либо сведений о физических механизмах, определяющих
молекулярное поглощение. В работах [58, 59] рассматриваются
следующие спектральные диапазоны: 2400—2800, 1250—2200, 800—
1250, 333—825 см"1 и, наконец, ближний ММ и СБММ диапазон —
от 3,3 до 33 см-1.
Для каждой из вышеуказанных областей спектра построены
экспериментальные кривые С0 (v), C°N(v), а также функции
коэффициентов самоуширения и уширения континиума °С° (v) и
°С°у(\) при различных температурах. По графикам находятся
параметры коэффициентов, которые затем используются в формуле
(1.17).
В заботах [58, 59] приводится еще одна эмпирическая
формула, учитывающая избыточное поглощение водяным паром,
предложенная Гоутом и Рейфенштейном. Для удобства эту
приближенную формулу для коэффициента ослабления мы приводим
в обозначениях работ [58, 59]:
4L = 4,26 • lO-3pn[300/T]2Apv\ (1.18)
где AL — в дБ/км, рп — в г/м3, р — в атмосферах, v — в см-1. Эта
формула выведена для формы линии поглощения по
кинетическому уравнению (см. табл. 1 из [59]) и, естественно, отличается
от формулы (1.15), в которой использовалась форма линии
поглощения по Ван-Флеку—Вейскопфу (см. табл. 1 из [59]). Обе
формулы—(1.15) и (1.18)—не содержат членов, учитывающих
самоуширение линий. При расчетах по формуле (1.18) следует
соблюдать осторожность в отношении температурной зависимости
коэффициента поглощения Аь. При температурах, существенно
отличающихся от 7=300 К, показатель степени 2,1 может оказаться
неточным. Это замечание вызвано тем, что измерения
температурной зависимости коэффициентов поглощения выполнялись
в сравнительно узком интервале температур.
Прежде чем перейти к описанию следующих эмпирических
формул, остановимся на одном немаловажном обстоятельстве.
Зарубежные исследования последних лет по поглощению водяным
паром привели к обнаружению «аномального» поглощения в ряде
областей спектра, в том числе и в диапазоне волновых чисел 3—
30 см-1. Подобные аномалии не могут быть объяснены
существующей теорией молекулярного поглощения. С целью детального
исследования «аномалей» поглощения и в диапазонах 11,0—12,2 и
13,0—14,3 см-1 (которые соответствуют атмосферным окнам
прозрачности с центрами на Я = 0,88 и 0,73 мм) в работе [78]
проведено лабораторное исследование. Исследования, основанные на
41

надежной экспериментальной базе, показали отсутствие аномалий
в указанных областях спектра. Кроме того, в работе [78] были
получены несколько завышенные результаты по поглощению
мономерами водяного пара (±(1—7) дБ/км в зависимости от частоты
и других условий) по отношению к результатам [90, 91] и хорошее
согласие с теоретическими расчетами для димеров водяного пара.
В дальнейшем авторы [90, 91] признали неточность своих
результатов (см. исправления в [11]). Их результаты в настоящее время
находятся в согласии с результатами советских исследователей
[76, 78].
К работе [78] непосредственно примыкает работа [76], в
которой выполнены экспериментальные исследования по поглощению
мономерами и димерами водяного пара в атмосферном окне к =
= 1,3 мм при изменении температуры от 255 до 272 К. И здесь,
в диапазоне волновых чисел 6—9 см-1 не было обнаружено
аномального поглощения. Коэффициент поглощения в этом диапазоне
не превышает 2 дБ/км. Результаты исследований [76] оказались
близкими к результатам [78]. Авторы [76] предложили
следующие эмпирические формулы для коэффициентов поглощения
мономерами (хт) и димерами (х^) водяного пара:
*m(pn, T9 p) = ym(T0i p0)pn(^o)~2,5p/po(l+3,46 • 10~3аэфрп —),
*rf(pn, Г, p) = yd(TQ, po)pn(^o)'11'17, (1.19)
где уш и Yd — удельные коэффициенты поглощения соответственно
для мономеров и димеров водяного пара; Г0 = 293 К, ро = 752 мм
рт. ст.; аЭф = 5,5 — эффективное отношение полуширин,
обусловленных соударениями НгО—НгО и НгО— воздух; рп — плотность
водяного пара (г/м3). В расчетах использовались средние значения
уш и уа из [35]. Согласно [35], ут в 1,3 раза больше уа и в 2,5 раза
меньше, чем теоретические значения (речь идет о значениях в
атмосферном окне прозрачности Л =1,3 мм).
Завершая рассмотрение существующих эмпирических и
полуэмпирических формул, следует остановиться на следующих
положительных аспектах этих методов: Во-первых, тесная связь
расчетов с экспериментальными результатами в каждой отдельной
области диапазона длин волн; во-вторых, использование
ограниченного числа спектральных линий в расчетах, что намного ускоряет
скорость счета и, в-третьих, использование в расчетах измеренных
метеопараметров атмосферы, что весьма удобно для практических
приложений.
К недостаткам рассмотренных методов можно отнести
существование различных подходов к исходным данным (используются
различные формы спектральных линий и отсутствует
единообразие в наборе параметров, включаемых в аппроксимационные
формулы). К тому же авторы не всегда указывают области
применимости по диапазону установленных соотношений, и
рассмотрение носит излишне формализованный характер.
42

1.3.1.4. Зависимость поглощения водяного пара от высоты
Поглощение водяным паром микроволнового излучения на всем
пути прохождения в атмосфере (здесь мы пренебрегаем
рефракцией радиоволн, что вполне оправдано для зенитных углов 0^83°)
определяется известным законом Бугера (3.4).
Согласно этому закону, интенсивность излучения определяется
соотношением
{-jjlWQrf/],
/=/0exp^-JrnHjO(/)d/j, (1.20)
где U и k — координаты расположения приемника и источника
излучения, ГпН0(/)—текущее значение коэффициента поглощения
водяного пара. На зенитных углах 0<,83°, dl = secQdh, где dh—
элемент высоты. В дальнейшем рассматривается ослабление
радиоволн в зенитном направлении (0 = 0°).
Согласно [26], высотную зависимость коэффициента
поглощения можно представить в виде
Гн2о(Л) = Г?,2оф1(Л), (1.21)
где Г°н 0 — коэффициент поглощения водяным паром на уровне
моря, ф1(Л)—некоторая функция высоты, которая удовлетворяет
следующим условиям: ф!(0) =1, cpi(oo) =0.
Полное поглощение водяным паром в атмосфере в зенитном
направлении обозначим через
с»
rSto=5rHto(ft)rfft. (1.22)
о
После подстановки (1.21) в (1.22) получаем
оо
Г&2о = \ Г°н2оф1 (h) dh = Г^оЯв, (1.23)
о
где
с»
HB=\^(h)dht (1.24)
о
#в — эквивалентная длина пути радиоволн в атмосферном
водяном паре.
Определим явное выражение для функции cpi(h). Согласно [26,
40], коэффициент поглощения водяным паром можно представить
в очень упрощенном виде:
Гн2о = Гн2о + Гн2о, (1.25)
где Гн2о — вклад в коэффициент поглощения наиболее
длинноволновой линии Н20 — А, = 1,35 см, а Г^о —аналогичный вклад всех
других вращательных линий НгО.
43

Вне резонанса Я= 1,35 см выполняются зависимости
Г&2о ~ (1/Г2)рпрехр[-280/Г]. (1.27)
В сухой стандартной атмосфере [49] приняты следующие
закономерности изменения р, Т и рп с высотой [26]:
р = р0ехр[-А/8], (1.28)
Г = Г0ехр[—0,023А], (1.29)
Рп = Роп ехр — /г/Я0], (1.30)
где Го^293 К, роп—абсолютная влажность на высоте /г = 0, Но —
характеристическая высота абсолютной влажности (км).
Значения параметров р, Т и рп для стандартной атмосферы, согласно
[65, 114], приводятся в табл. 1.11, 1.11а.
После подстановки формул (1.28) — (1.30) в выражения (1.26)
и (1.27) при #о = 2,2 км получаем
Гннр2оф1(/г)-ехр[-/г/2,1], (1.31)
Г&я0ф1 (Л)-ехр [-А/2,01], (1.32)
или вследствие того, что различия характеристических высот в
выражениях (1.31), (1.32) малы
ф1 (Л) = ехр [—/г/2,1] = ехр [—/г/#в]. (1.33)
Как известно, Г°н 0 удобно представить в виде
Г°н2о = ароп, (1.34)
где а — удельный коэффициент поглощения водяного пара.
Подставив формулы (1.33) и (1.34) в соотношение (1.21),
получим окончательное выражение для зависимости поглощения
водяным паром от высоты:
Гн2о (А) = Г°н2о ехр [ JJT-] = ароп ехр [ — -^. (1.35)
Наряду с характеристической высотой коэффициента
поглощения #в, часто рассматривают и эквивалентную длину пути
радиоволн Нв которая определяется соотношением Ган =
= TJ Яв. Сравнивая это выражение с формулой (1.23), можно
заметить, что в случае экспоненциального изменения с высотой
коэффициента поглощения НВ = НВ.
Исследованию значений Нв посвящено большое число как
теоретических, так и экспериментальных работ ([23, 26, 30, 32, 34] и
др.). Так, в работе [26] при экспоненциальной зависимости рас-
44

Таблица 1.11
Стандартная атмосфера [114]

Геометрическая
высота, м
Т К
t °с
р гПа
рв кг/м3
Скорость
частиц,
м-с-1
—5 000
—4 000
—3 000
—2 000
—1000
0
1000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
10 000
11000
12 000
13 000
14 000
15 000
16 000
17 000
18 000
19 000
20 000
21000
22 000
23 000
320,676
314,166
307,659
301,154
294,651
288,150
281,651
275,154
268,659
262,166
255,676
249,187
242,700
236,215
229,733
223,252
216,774
216,650
216,650
216,650
216,650
216,650
216,650
216,650
216,650
216,650
217,581
218,574
219,567
47,526
41,016
34,509
28,004
21,501
15,000
8,501
2,004
—4,491
— 10,984
— 17,474
—23,963
—30,450
—36,935
—43,417
—49,898
—56,376
—56,500
—56,500
—56,500
—56,500
—56,500
—56,500
—56,500
—56,600
—56,500
—55,569
—54,576
—53,583
1,77762+3
1,59598
1,42973
1,27783
1,1391
1,01325+3
8,98762+2
7,95014
7,01211
6,16604
5,40482
4,72176 + 2
4,11052
3,56516
3,08007
2,64999
2,26999 + 2
1,93994
1,65796
1,41704
1,21118
1,03528 + 2
8,84971 + 1
7,56522
6,46748
5,52930
4,72893+1
4,04749
3,46686
1,9311+0
1,7697
1,6189
1,4782
1,3470
1,2250+0
1,1117+0
1,0066
9,0925 — 1
8,1935
7,3643
6,6011 — 1
5,9002
5,2579
4,6706
4,1351
3,6480 — 1
3,1194
2,6660
2,2786
1,9475
1,6647—1
1,4230
1,2165
1,0400
8,8910 — 2
7,5715 — 2
6,4510
5,5006
484,15
479,22
474,23
469,19
464,09
458,94
453,74
448,48
443,15
437,76
432,31
426,79
421,20
415,53
409,79
403,97
398,07
397,95
397,95
397,95
397,95
397,95
397,95
397,95
397,95
397,95
398,81
399,71
400г63


Геометрическая
высота, м
24 000
25 000
26 000
28 000
30 000
32 000
34 000
36 000
38 000
40 000
42 000
44 000
46 000
48 000
50 000
52 000
54 000
56 000
58 000
60 000
62 000
64 000
66 000
68 000
70 000
72 000
74 000
76 000
78 000
80 000
85 000
90 000
т к
220,560
221,552
222,544
224,527
226,509
228,490
233,743
239,282
244,818
250,350
255,878
261,403
266,925
270,650
270,650
270,650
267,560
263,628
259,699
255,772
251,046
243,202
235,363
227,529
219,700
211,876
204,057
196,24
188,43
180,65
180,65
180,65
t °с
—52,590
—51,598
—50,606
—48,623
—46,641
—44,660
—39,407
—33,868
—28,332
—22,800
— 17,272
—11,747
—6,225
—2,500
—2,500
—2,500
—5,590
—9,522
—13,451
—17,378
—22,104
—29,948
—37,787
—45,621
—53,450
—61,274
—69,093
—76,91
—84,72
—92,50
—92,50
—92,50
р гПа
2,97174
2,54922
2,18837+1
1,61619
1,19703
8,89063 + 0
6,63412
4,98522+0
3,77138
2,87143
2,19967
1,69496
1,31340 + 0
1,02296
7,97790—1
6,2283
4,84917
3,76572-1
2,91373
2,24606
1,72457
1,31504
9,94067-2
7,44483
5,52047
4,05013
2,93758
2,1045 — 2
1,4877
1,0366
4,1250 — 3
1,6438
Рв кг/м3
4,6938
4,0084
3,4257 — 2
2,5076
1,8410
1,3555
9,8874 — 3
7,2579 — 3
5,3666
3,9957
2,9948
2,2589
1,7141 —3
1,3167
1,0269
8,0097 — 4
6,3137
4,9762 — 4
3,9086
3,0592
2,3931
1,8837
1,4713 — 4
1,1399
8,7535 — 5
6,6593
5,0151
3,736 — 5
2,750
1,999
7,955 — 6
3,170
Скорость
частиц,
м-с~1
401,53
402,43
403,33
405,12
406,91
408,68
413,35
418,22
423,03
427,78
432,38
437,13
441,72
444,79
444,79
444,79
442,24
438,98
435,70
432,39
428,38
421,63
414,78
407,82
400,74
393,54
386,21
378,7
371,1
363,4
363,4
363,4

ж
Я"
к
•e-
•e-
О
5
is
«7
о
* V
к .
н к
я н
О) О
as «
s 2
*£
° I
OS
3£
~> ей
я о s
2 °7
™ о
35 а) О
О у CJ
U-. И
CD CD
СО
I
СО
ОООООЮСОСОСО—<00 OOOlOC^C^t^t^t^t^r-t^t^^t^TfT^TtHCO
CD^COONCOOOCOC005(NCO,*'*^^'-i^^^'-"^^0000
ОМОСООООЮГОО Г>-ЮС^05СОСОСОСОСОСОСОСОСОСООООСЧт^
^и<1>1- CS) -^ СО О^ОО СО^Ю^т^С^^О^О^^СО^СО^СО^СО^СО^СО^СО^СО^СО^СО^^
СО*" СО" СО" СО" СО" СО" ю" ю" ю" ю" ю" ю" ю" ю" П«~ tJ<" t^ rf" rf" tJ<~ rf" rf~ rf" rf~ rf~ т**"" т**"" т^" rf" Tt<"
Tf Ю CO
ЮСО —•
СОЮт^
оосоююсо^со^ооюосч^^^^оот^ю^ю^счсоос^со^юсо
WO(N(N^O'H^(NSrH(DCDT)*lOl000N(Nai050)O00S00'*OC0^
ОООСОЮЮСООО^СОС^^^н^ОО)<^0)ЮСОСОО)СОО)СО(00)ООС^^Ь.
О О ^н О^СО Tt< Ю ^ 00 О C^rf СО СГ> ^Ю^ОО^Ю^СО СЧ OJ lO О^^СО^ОО^СО^О^
^н" —Г ^ ^-Г ^ ^ ^ ^-Г ,-Г oi csf см" of csf со" со" со" rt-" ю" со" г>-~ оо" of ~ ~ ~ ~ <м" csf со"
I I
СЧСООЮСО^О^ОООСЧС^СЛСЧ^СО^СОСОСОСОСОСОСОСОСОСОГ^СЧСОО
CS|(N(^^Oa5t^COCO^OO'^l--'t^CSlt^CSl^H^^--.^^^^H^COCSlt^.cO
^^ООЮСЧ100ЮСЧ10>СОСЧ1а5СОСЧа5ЮСЧСЧСЧ1<^СЧ1СЧСЧСЧСЧС^
O^O^OOOOCOt^t^^^COCOCOЮ»OЮ^^^^^^^^^,^,*,^,*,*'^l'^l
СОт^Ю00^^Ю<^СОО>ЮСЧСОЮ00С^^О>а>а>а>а>О>О>а>О>С^
ООСЧСЧОО^СГ)СОсОООООт^ЮООт^СОЮСОсОСОСОСОСОСОСОСООГ>-^СЧ
O^CO^CO^OO^CS) rt* Ю Ю1ЛЮ "^сЯ^°0к1Я *^С^О О СОО О^О О О^СО ©^
оо" ю" ~" ^" "*" о" со" см" оо" т^ о" со" of oo" со" of ю" ю" ю" ю" ю" ю" ю" ю" ю" ю" ю" со" t^T г^-"
ююют^т^^сососчсчс^^^ооа^а^а^а^а^а^а^а^а^а^о^а^а^а^а^
COCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOOJOJOJOJOIOIOJOJOJOJOJOJOIOIOI
СОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСО
о\ о^ о^ о^ о^ ст^ о^ о^ о^ ст^ о^ о^ о^ о^ ст^ о^ о^ с\ оъ с\ о^ о^ о^ о^ о^ о^ о^ ст^ о^ о^
оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо" оо"
OJOJOJOJOJOIOIOIOIOIOIOIOJOJOIOIOIOIOIOIOIOIOIOIOIOIOIOIOIO)
00 00 00 t^t4- t^. t^. Г- CO
I II I I I I I I
юсча>оооооосо^сосоа>^сосоа>со^^о>ооооосоо^^юсчо
1^^00С00^0^0>О1С0С0С0О^Ю0>т^^т^^ЮО1О0>0>С000С00>Г^--'
00)^01СОООО^СО-<ОСО^^СО(ОСЧО'*СО^ОООЬ-нСОЬ.ЮЬСО
CN^IO CO т^О^СО^СО^О^О^О^^СЧ COi^SOi C^i^ О.Ю.^^^сС10С1^с1сЧ'^11>^
^f" Tt<~ Ю" ю" CO" СО" Г*»" ОО" ОО" О) ^ ~ ~ ~S ^ ^ <м" С^Г со" со" т^" т^" ю" со" 1^-" О) ~ ~ »-Г ~
о
+ +
t^oooo
О СО ОО
OiOi <J> СГ> ОО00 °°
+ + + +++ +
сост^соо^ оо^^со^соа^со^счоо^осососооюсосою^со
lOCOCT^t4^ ЮО^^ОО^ООООЮЮ^^ЮСОООСОО^ООСОт^СОСОСЧО^
СО С7^ *-< О ЮЮгн^сОЮООЮЮООСЧО^<Х)ЮСОЮО)Ю^Ьгнгн
lO СО^О^<М^ "^О^т^О^^О^СО^СО О^Г^Ю W ^1Л ^О^О^О C0^t^»-j>t^CO4
оо"^со"со" ю ^" ^ со" со" со" сч"оГсч"^-^'-^^с7^"оо" со" ю"ю ^" со" со" csf of
ооооо oooooooooooooooooooooooo
ооооо^оооооооооооооооооооооооо
ооооо^оооооооооооооооооооооооо
Ю Tf СО OJ ^^ ^^ СЧ СО rf Ю СО ^ 00 СТ) О ^^ СЧ СО Tf Ю СО Г>- 00 ^ О -н <М СО Tt<
I I I I I »-* —• -^ »-* —I —I —. ^- ^- ^ СЧ СЧ (М <М СЧ

<X) О
к *
со S
О eg
схл
к и
Ч о
55
so
IT о
« a ь
S <u о
о с о
CD
CD
Ol О Ь» СО 00 ~-> Ю СО Ю О 00 ~ rf rf rf Ol Is* 05 О) ~ CD Ol CD O rf l>- ' '
ООО^О^ар^^^ОЭГ^СОО^^^О^Оо^СООэЮО^СОЮСО^СОЮЮЮ
С000^1О0^ОСЧСЧ(^С0^ЮСЧСЧСЧС0С0^С0г^(Х)С0^СЧС0Ог^С0СЧСЧСЧ
t^ t^ СО_ СО_ 00^ О^ ^ О^ СО "^ Ю^ СО t^ 1>._ 1>-^ «О Ю^ Ю^ т^ СО_ ^ О^ СО_ 1>^ Ю^ rf C^ О^ О^ О^ О^
rj<" tJ*~ tJ*~ rj<~ tJ*" ю" ю" Ю~ Ю~ ю" ю" ю" ю" Ю~ Ю~ ю" ю" ю" ю" Ю~ ю" Ю~ rj<~ rj<" tJ*~ r^" rfrT Tj«~ CO CO CO
со со о со
CD^CN^» O^
l l
CSJ CN rf
CD -^CO
05 CO CN
О Ю —i
CO Ol
О
+
СЛ^ОЬОС00)Ь^С000"*^СЧ^0500Ю rj< 05 00 Ю 05 l>-
CNOTfCOC005lOOJ^-lO--'(NOOC005^*l0505050000CNCO
°1 °„ "^ °Я °°.. °Ч <Я ~i <Я °Я °Ч °Я *Ч °Я °~ СЧ <Я °«<Я "*.ю~ °„ю„ °°_
of "*" ю" i>-" of -^" ^ ем" of со" тр" ю" со" 00" *-<" ~ ~ of csf со" rf" cd" ~ со"
rt^oo соооо^ососоо^сосо^^^^сосо^г^юсюсооососою
00CO трЮЮтрСОО}005^ЮСОСОСОООСЮСЮ<Х)трсо01000Ю*-<1>.01СОСОСО
^Ю С0^<Х)^т*<1>.ОО|1000ООО00С0т*<сдОСОО100С005ЮОС0^*-'~-<
rfrf тртртрЮЮЮСОСОСОС01^1^1^СОСОСОСОСОЮЮтртрСОСОС001010101
о> со со о> ю о>05Ю0501со*-'а50505^о1оосооооа)1>-050|_о
<х>юсооо10005сосо^^о^о>о>а}^05юосоо}^оосоососо«)тг'т*<тг'
ОО^О^СО^О^ O^CD —^СО^—I Ю^^^^О^т^О^СО^СО СО^Ю^СО^^ОО^СО 00 ~"1 "^ "^ "^
оо" of о" ~ч~ со" со" о" со" i>-~ o" rj<~ i>." of c$ of i>-" ю" со" о" i>.~ of i>-" of i>-~ *-<" со" о" ю~ of of of
0>0>0000~<^^01010101010|0)СЧ0101~<»-нООа)0}00001>-СОСОСО
oioqoocococooocooocococococococococooocococ^
COCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOcO
O) O^CJ5 CJ5CJ50i05050505050505 O^Oi 05 05 O^O^O^O^O^O^O^O^O^O^O^O^O^Qi
00" 00" 00" 06 00" 00" 00" 00" 00" 00" 00" 00" 00" 00" 00" 00" 00" 00" 00" 00" 00" <xf 00" 00" 00" 00" 00" <xf <xT <xf <xT
СЧ CM CO
+
Ю Ю
+ +
Ю
+ + + + -r -r-r , ,,
СОЮСОГ^ООСО^^О<^»а^'*1>.ЮЮа50^-05^СОСОт^СО
ЮОО05СЮО^^С0^,10^<^^^г^С0001000'^^,'^'^1ч^>ЛС0^^С0О0000
»ОЮ^^СОС005005^^0СЧ»СО»о^с^СО^^С^^СЧ»г^Ю'*Ю'-<
0^l>- CN C^00 О t>-„l>- ^^^^^^^^^0^^^^^^^^^^C4i0iu^r*l
—Г ^-Г ^-Г of со" ю~ со" of of —<" —Г of t^T ю" rf" со" of of ^" —Г of i>T ю" т}<~ со" of —Г ^" со" со" —^"
ooooooooooooooooooooooooooooooo
ooooooooooooooooooooo oooooooooo
0000000000000000000000000000000
lO^OOOtN^tOOOOCS^CDOOOfN^CDOOOCvJ^CDOOOC^'tCDOOOlOO
C^WC^rOCOCOCOCO'^^^^^iOiOlOb'DiCtOCDCDCOCDh-NNNNOOOOOi
48

пределения массовой доли водяного пара с высотой и Яо = 2,2 км
получено: Яв = 2,1 км. В соответствии с другими теоретическими
расчетами [32] значения Яв изменяются от 1,5 до 2 км. В работе
[34] по данным, полученным с помощью шаров-зондов, найдено,
что в зависимости от времени года Яв может меняться в интервале
от 1,8 до 2,2 км. Исследования сезонных изменений Яв в [23]
показали, что для лета Яв=1,56 км, а для зимы Яв=1,48 км,
в среднем для года в целом можно брать значение Яв=1,5 км.
В работе [30] был исследован вопрос о зависимости самой
эффективной длины пути водяного пара от высоты над уровнем
Земли, которая вычислялась по формуле:
Яв (h) = J™ J ф1 (A) dh. (1.36)
НгО ^ ' fa
Исследования показали, что в среднем до высоты порядка 8 км
коэффициент поглощения водяного пара убывает с высотой по
экспоненциальному закону (см. рис. 5 из [30]). Затем с увеличением
высоты эта закономерность нарушается. Измеренные
радиоастрономическим методом поглощение в СБММ диапазоне на волне
0,87 мм [43] и поглощение на наземной трассе [44] находятся в
хорошем согласии, если в качестве Яв взять значение 1,5 км. Оно
соответствует параметру ао~0,48 км-1 в экспоненциальной
зависимости распределения массовой доли водяного пара с высотой
q(h) =q0exp [—aoh] и верно для высот /г^О. .. 16 км. При
изменении ао в пределах 0,4—0,6 км-1, Яв в окнах прозрачности
меняется от 1,66—1,72 км до 1,25—1,28 км [32]. В резонансных
областях Яв существенно зависит от длины волны.
Из изложенного видно, что характеристические высоты
коэффициентов поглощения водяного пара в средних широтах мало
изменяются от сезона к сезону. Расчеты величины Яв для 30—
75° с. ш. показали [38а], что здесь характеристические высоты
изменяются в пределах Яв=1,8±0,4 км, где вариации 0,4 км и
характеризуют широтный ход рассматриваемых величин.
В последнее время, наряду с экспоненциальной зависимостью
коэффициента поглощения от высоты используются и методы
статистической экстраполяции приземных коэффициентов поглощения
для оценок полного вертикального ослабления радиоволн. Так,
в [38а] показано, что численное интегрирование по высоте
статистически экстраполированных коэффициентов поглощения
Гн2о= \v3H2o{h)dh
приводит к уточнению значений Г^0. Статистически
экстраполированные значения Гэно(/г) вычисляются по формуле
Гэн2о (hm) = Гн2о (hm) + *гг<*0' hhm\ [ГН2о (йо) - ГНго (йо)],
4 Заказ № 124 49

где черта обозначает средние значения, а Вгг
—автокорреляционная функция коэффициента поглощения на указанных высотах.
Средние значения T(hm) и корреляционные функции Вгг можно
вычислить заблаговременно, используя результаты
аэрологического зондирования атмосферы. Таким образом, измерив лишь
приземные значения метеорологических величин (ро, Го, роп) и
определив по ним текущие значения Гно(Ло), можно
воспользоваться формулой статистической экстраполяции для Г°(Лт) и
путем численного интегрирования получить значения Г" .
1.3.1.5. Поглощение водяным паром облака
При обсуждении вопроса поглощения электромагнитных волн
водяным паром облака следует четко разграничить два отдельных
случая:
1) облако образовалось там, где ведется исследование
поглощения электромагнитных волн (случай кучевого облака или
условие насыщения водяного пара в облаке);
2) облако образовалось где-то в другом месте и перенесено
ветром в пункт исследования поглощения (случай фронтального
облака и условие неполного насыщения водяного пара в облаке).
В первом случае, при насыщенном водяном паре (е = Е), и
расчет поглощения проводится при влажности воздуха 100 %. По
физическому характеру поглощения, указанный случай аналогичен
случаю распространения СБММ волн в облаке. Действительно,
в СБММ диапазоне основным поглотителем является водяной пар,
а поглощением молекулярным кислородом можно пренебречь.
Во втором случае относительная влажность не равна 100%.
Кроме того, по характеру поглощения этот случай более близок
к случаю распространения волн ММ и длинноволновой части
СБММ диапазонов. Поглощение здесь обусловлено присутствием
водяного пара и молекулярного кислорода.
Учитывая вышеизложенное, поглощение газовой составляющей
облака мы рассмотрим отдельно для первого и второго случаев.
Для первого случая — при влажности воздуха 100 % —расчет
приводится ниже. Второй случай будет рассмотрен в п. 1.3.2.3, где
обсуждается вопрос поглощения молекулярным кислородом
атмосферы.
Как известно, поглощение электромагнитных волн в атмосфере
прямопропорционально абсолютной влажности или плотности
водяного пара атмосферы [19, 24]. Указанная пропорциональность
позволяет переходить от значения поглощения волн при
известном значении абсолютной влажности, например, при роп = 7,5 г/м3,
к любому другому значению абсолютной влажности по формуле
Гпн2о = Гн2о = -тг~ Гн2о, (1 -37)
50

где рп — абсолютная влажность, или плотность водяного пара,
парциальное давление которого равно е.
В атмосфере в качестве количественных характеристик
водяного пара приняты следующие величины [50]:
1) парциальное давление водяного пара е (гПа);
2) парциальное давление насыщенного водяного пара Е над
плоской поверхностью чистой воды; величина Е зависит только
от температуры и рассчитать ее можно по формуле [50]
7,6326f
£(0 = 6,Ю7 - 10 241'9 + * , (1.38)
где t — температура в градусах Цельсия. Парциальное давление
насыщенного пара над водой в зависимости от температуры
приводится в табл. 1.12, согласно [50];
Таблица 1.12
Парциальное давление насыщенного водяного пара над водой
в зависимости от температуры [50]
t°c
—50
—45
—40
—35
—30
—25
Е гПа
0,06354 1
0,1111
0,1891
0,3138
0,5087
0,8068
t°C
—20
— 15
— 10
—5
0
Е гПа
1,2538
1,9114
2,8622
4,2142
6,1070
ГС
5
10
15
20
25
Е гПа
8,7181
12,271
17,042
23,371
31,668
t°C
30
35
40
45
50
Е гПа
42,427
56,233
73,773
95,85
123,39
3) относительная влажность s (%) отношение е к Е:
* = -%- 100%,
(1.39)
показывающая насколько воздух близок к насыщению;
4) абсолютная влажность рп (г/м3) — масса водяного пара
в единице объема:
0,2167- 103е
Рп =
(1.40)
Итак, рассмотрим случай, когда водяной пар в облаке
насыщен, т. е. е = Е, поэтому парциальное давление водяного пара
в облаке (см, формулу (1.38)) зависит только от температуры
облака. Согласно [50] и (1.40), для условий внутри облака имеем
Е
рп— RUT \
(1.41)
где Rn — газовая постоянная для водяного пара:
*.*^=*.-отв4в1'51 Дж/(кг • К)«
(1.42)
51

Таблица 1.13
Парциальное давление и плотность насыщенного водяного пара под водой
и надо льдом [50]
t°c
Е гПа
Qs г/м3
t °С
Е гПа
Qs г/м3
t °С
Е гПа
Qs г/мэ
—25
—24
—23
—22
—21
—20
— 19
— 18
—17
— 16
— 15
— 14
— 13
— 12
— И
—10
—9
—8
—7
—6
—5
—4
—3
—2
— 1
0
0,807
0,883
0,965
1,054
1,150
1,254
1,366
1,487
1,618
1,759
1,911
2,075
2,251
2,440
2,644
2,862
3,096
3,348
3,617
3,906
4,214
4,544
4,897
5,274
5,677
6,107
0,704
0,767
0,836
0,909
0,988
1,073
1,165
1,263
1,369
1,483
1,604
1,735
1,875
2,025
2,185
2,357
2,540
2,736
2,945
3,168
3,405
3,658
3,928
4,215
4,520
4,844
1 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Над водой
6,565
7,054
7,574
8,128
8,718
9,345
10,01
10,72
11,47
12,27
13,12
14,02
14,97
15,98
17,04
18,17
19,36
20,63
21,96
23,37
24,86
26,43
28,08
29,83
31,67
5,189
5,555
5,943
6,355
6,791
7,254
7,744
8,262
8,810
9,390
10,00
10,65
11,33
12,05
12,82
13,62
14,46
15,35
16,29
17,27
18,31
19,40
20,55
21,75
23,01
Надо льдом
—50
—49
—48
—47
—46
—45
—44
—43
—42
—41
-40
—39
—38
—37
—36
—35
—34
0,039
0,044
0,050
0,057
0,064
0,072
0,081
0,091
0,102
0,114
0,128
0,144
0,161
0,179
0,200
0,223
0,249
0,038 1
0,043
0,048
0,054
0,061
0,068
0,077
0,086
0,096
0,107
0,119
0,133
0,148
0,165
0,183
0,203
0,225
—33
—32
—31
—30
—29
—28
—27
—26
—25
—24
—23
—22
—21
—20
— 19
—18
— 17
0,277
0,308
0,342
0,380
0,421
0,467
0,517
0,572
0,632
0,698
0,771
0,850
0,937
1,032
1,135
1,248
1,371
0,250
0,277
0,306
0,338
0,374
0,413
0,455
0,501
0,552
0,607
0,668
0,733
0,805
0,883
0,968
1,060
1,160
— 16
— 15
-14
— 13
— 12
— И
1 —10
—9
—8
—7
—6
—5
—4
—3
—2
— 1
0
1,505
1,651
1,810
1,983
2,171
2,375
2,597
2,837
3,097
3,379
3,684
4,014
4,371
4,756
5,173
5,622
6,106
1,268
1,386
1,514
1,652
1,801
1,963
2,138
2,327
2,531
2,751
2,988
3,244
3,519
3,815
4,134
4,476
4,844
52
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
33,61
35,65
37,79
40,05
42,43
44,92
47,55
50,30
53,20
56,23
59,42
62,76
66,26
69,93
73,77
77,80
82,01
86,42
91,03
95,85
100,9
106,2
111,6
117,4
123,4
24,34
25,73
27,19
28,72
30,33
32,00
33,76
35,60
37,53
39,54
41,65
43,85
46,14
48,54
51,05
53,66
56,39
59,23
62,19
65,28
68,50
71,85
75,33
78,96
82,74

*» = ljr= 8,32843964103 = 287>05 ДЖДКГ * К). (1.43)
Здесь R— универсальная газовая постоянная: /? = 8,31432х
ХЮ3 Дж/(моль-К), RB— газовая постоянная для сухого воздуха,
т]в = 28,964 и г|п= 18,016 — относительная молекулярная масса
сухого воздуха и водяного пара соответственно. В табл. 1.13
приводятся значения плотностей рг- и p,s, а также парциального давле-
Таблица 1.14
Значения отношений рп/роп при роп = 7,5 г/м3
t° с
ЯгПа
Рп г/мз
РП/Роп
20 23,371 17,270 2,30266
10 18,271 9,390 1,25200
0 6,1070 4,520 0,60266
— 10 2,8622 2,357 0,31426
—20 1,2538 1,073 0,143066
ния насыщенного пара надо льдом и над водой согласно работе
[50].
Для вычисления Г 0 в облаке по формуле (1.37) необходимо
знать отношение рп/роп и значения Г^0 в окнах прозрачности
атмосферы в СБММ диапазоне. Для того чтобы вычислить рп/роп
Таблица 1.15
Поглощение водяным паром облака в СБММ диапазоне в дБ/км
t °с
20
10
0
— 10
—20
0,87
24,178
13,146
6,327
3,300
1,502
0,73
43,751
28,788
11,450
5,971
2,718
л
0,6
126,65
68,86
33,146
17,284
7,869
мм
0,45
138,16
75,12
36,160
18,856
8,584
0,36
138,16
75,12
36,160
18,856
8,584
0,29
575,7
313
150,67
78,565
35,766
использовались значения Е и рп из табл. 1.12, 1.13 и формула
(1.41), а в качестве роп взято значение 7,5 г/м3, соответствующее
условиям на уровне моря: Го=293 К и 50 = 760 мм рт. ст.
Результаты расчетов приводятся в табл. 1.14.
На рис. 1.14 и 1.16 представлены теоретические и
экспериментальные данные по поглощению водяным паром при нормальных
условиях в атмосфере (70=293 К, ро=760 мм рт. ст., р0п=7,5 г/м3)
во всем интересующем нас диапазоне волн — от 15 до 1150 ГГц
[4]. Согласно экспериментальным данным (рис. 1.16) и обзору
[3], в [27] были рассчитаны усредненные значения коэффициентов
5а

поглощения Г°но водяным паром в окнах прозрачности
атмосферы 0,87; 0,73; 0,6; 0,45; 0,36 и 0,29 мм — они получились
равными соответственно 10,5; 19; 55; 60; 60 и 250 дБ/км.
С использованием рассчитанных выше значений рп/роп и Г°но
по формуле (1.37) вычислялись коэффициенты поглощения
электромагнитных волн водяным паром облака для пяти значений
температур (от 20 до —20 °С, через 10 °С) для окон прозрачности
атмосферы 0,8; 0,73; 0,6; 0,45; 0,36 и 0,29 мм. Результаты расчетов
Гн?0 приводятся в табл. 1.15.
1.3.2. ПОГЛОЩЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНЫМ КИСЛОРОДОМ
В ММ И СБММ ДИАПАЗОНАХ
1.3.2.1. Теория поглощения молекулярным кислородом
Как известно, в ММ диапазоне поглощение молекулярным
кислородом вызвано взаимодействием магнитного момента молекулы
кислорода с магнитным полем проходящей волны. В результате
этого взаимодействия в микроволновом диапазоне наблюдаются
две полосы поглощения на частотах 50—70 и 115—125 ГГц, или
на длинах волн 4—6 и 2,4—2,61 мм, т. е. с центрами поглощения
на Х = 5 мм и ?t = 2,53 мм. Поглощение в диапазоне 4—6 мм
обусловлено большим числом линий поглощения О2, а в области
спектра 2,53 мм — одиночной линией.
Теория молекулярного поглощения кислородом была впервые
разработана в работах [77, 87, 104], а в радиодиапазоне
применительно к атмосферному кислороду — Ван-Флеком [115]. Полный
коэффициент поглощения молекулярным кислородом состоит из
резонансной и нерезонансной составляющих и, согласно [22, 23,
38], описывается выражением
Г02 = AlPT-3f £ {fk+\&+ + FkJkJ\ Ак+Тн&(рП (1.44)
где
: 2,6742, FK+=-
(f2K±-fJ+*P*l%± '
2 _ K(2K + 3) 2 (K + l) (2/C— 1)
и*+ — K+l , и*_ — K
AK = exp [-2nBhcK (K + l)/kT].
Переходам K-=J— 1 ->/ и K+=J + 1 ->/ соответствуют
резонансные частоты fK _ и fK+ и полуширины поглощения Л/\йг_ и
А/к+; К — квантовое число азимутального момента импульса
ядра; / — квантовое число полного момента импульса молекулы;
/ — частота внешнего поля в ГГц; р и Т — давление (мм рт. ст.)
54

и абсолютная температура; В = 1,44 см-1 — вращательная
константа молекулы О2; ft— постоянная Планка; k — постоянная
Больцмана.
Полуширина спектральной линии атмосферного кислорода
описывается выражением [23]:
Д/*± =<*к±Р (0,21 +0,78р) (Г/300) ±. (1.45)
Согласно [83, 107], р =90, а ях4.=0,85. Учитывая перекрытие
спектральных линий Ог в области / = 60 ГГц, в среднем для этих
линий можно принять следующие значения [23]: (а^ )ср =
= 0,00117 ГГц (мм рт. ст)"1 при 270 ^ р ^ 760 мм рт. ст.,
,(ая±)сР = 0,00195 — 0,312- 10"5 (р — 20) при 20 ^ р ^ 270 мм
рт. ст., (ax_Jcp = 0,0195 ГГц (мм рт. ст.)-1 при р < 20 мм рт. ст.
Вне резонанса, т. е. в областях /=40... 55 и /=65... 100 ГГц,
поглощение в кислороде в выражении (1.44) можно рассчитать по
формуле [23]
Г£р2 (р, Т) = rSS] (P/760)3 (300/Г),/а, (1.46>
где для нормальных условий в атмосфере в диапазоне 40—100 ГГц
имеем [23]
Гоо2 = 0,022+ 1,02 • Ю-3 (/-40). (1.47)
В области резонанса Г^р(р)~р^ а вне резонанса Г£Р(р)~р3.
Как и в теории поглощения водяным паром, расчеты можно
проводить и с формой линии по Ван-Флеку—Вейскопфу, и с
формой линии по кинетическому уравнению. В работе [22] приводятся
вышеуказанные расчеты по двум формам линий (рис. 1.21 и 1.22).
Сравнение теории с экспериментом показало, что лучшее согласие
наблюдается, когда расчеты проводятся с формой линии по
кинетическому уравнению. На рис. 1.21 представлены расчеты в области
сильной полосы поглощения молекулярного кислорода при К =
=5 мм с формой линии по кинетическому уравнению при
различных (а/<+)ср. Экспериментальные данные (см. [22]) дают лучшее
согласие с теорией, когда (ах4_)ср = 0,9 ГГц. На рис. 1.22
приводятся теоретические расчеты для двух полос поглощения
молекулярного кислорода при Х = 5 и 2,5 мм с обеими формами линий.
В крылях линии X = 2,5 мм теория лучше совпадает с
экспериментом при расчетах с формой линии по Бен-Флеку—Вейскопфу.
Проводились многочисленные исследования, прежде чем были
подобраны соответствующие параметры теории в формуле (1.44).
Обзор указанных исследований можно найти в работах [22—24,
38]. На рис. 1.23 из [4] приводится теоретическая кривая
поглощения молекулярным кислородом в ММ диапазоне для частот от 0,2"
до 110 ГГц [22, 23, 38] и соответствующие экспериментальные
данные, полученные разными авторами (см. [4]). Как видно из
рисунка, в отдельных областях спектра имеется неплохое согласие
5S

теории и эксперимента, однако для ряда спектральных областей
стоит проблема теоретического описания поглощения в
молекулярном кислороде.
В работе [111] показано, что во вращательном спектре
молекулярного кислорода разрешены переходы с А/С=±2 (К — вра-
Г дБ/км
1,2'Ю
8-10
&10
4-10
4,5 X мм
Рис. 1.21. Сопоставление теоретических и
экспериментальных кривых поглощения с формами линий по
кинетическому уравнению при различных значениях (а^±)ср [22].
1 ~ (а*±)сР=0>81 гг^ ^-(aк±)Cp=0>9 гг^ 3-(а^)ср=1,35 ГГц;
4 — (а^±)ср=0,75 ГГц; 5 — (а^)ср=0,60 ГГц. Экспериментальные
данные— см. [22].
щательное квантовое число), а частота этих переходов приходится
на СБММ диапазон. Расчет молекулярного поглощения
кислородом в СБММ диапазоне выполнен в [32] по формуле
(iA0)2exp[-0,0069K(/(+l)]Xl s*l2
Го2 = 2,68. 1(Г4(1А)2£,
м
[(1Д(У)*-(1Д)*]* + 4(1Д)»(а/)
(1.48)
S6

Г дБ/км
102-
101
10L
10'
10'
— -
>v
^уь*
4-
/1
ft
//
0
*v ^7
\Ч
\ '— —■
-
2
1
20
J L
5
I
5 4
2,5
6 1/Х см'1
J
/,7 X мм
Рис. 1.22. Сравнение вычислительных коэффициентов
поглощения с формой линии по кинетическому
уравнению (/) и по Ван-Флеку—Вейскопфу (2) [22].
Точками указаны экспериментальные данные [22].
Г ДБ/КМ
10
10
10
10
10
/
о\
-/
-2
•
<
1) 1
1
I*
• 1 1
I
1
•
it
!г
V
/
10
JO 50 100 Г ГГи,
Рис. 1.23. Поглощение молекулярным кислородом
атмосферы [4].
Экспериментальные данные см. [4].

где А/ — полуширина линии поглощения, |SZ|2 — квадрат диполь-
ного момента перехода, Хц — длина волны перехода i->j. В
формуле (1.48) использовалась форма линии по кинетическому
уравнению:
hfy, f)=4
4 Af
02„-?Г+ч2(мГ
(1.49)
а значения для сил осцилляторов взяты из [111].
Результаты расчетов поглощения в СБММ диапазоне для
нормальных условий в атмосфере, выполненные по (1.48), приводятся
Г дБ/км
Рис. 1.24. Спектр поглощения
молекулярного кислорода в
2400 f ГГи, СБММ диапазоне [32].
на рис. 1.24 [32]. Подробные сведения о выборе параметров в
формулах (1.48) и (1.49), в частности сведения о выборе Л/, можно
найти в [32]. Как видно из рис. 1.24 [32], в приземном слое
атмосферы при нормальных условиях поглощение в молекулярном
кислороде мало по сравнению с поглощением в водяном паре.
Исключение составляют отдельные области спектра (0,71; 0,62;
0,36 и 0,2 мм), где расположены линии поглощения молекулярного
кислорода и где поглощение сравнительно велико.
В [103] Розенкранцем развита теория поглощения в
молекулярном кислороде, учитывающая в первом приближении перекры-
58

тие спектральных линий в полосе К = 5 мм. Коэффициент
поглощения в [103] вычисляется по формуле (в обозначениях [114]):
Гоя(/)= 1.61 • 1(Г2/2(р/1013) (300/Г)2 F', (1.50)
где/ — частота (ГГц), р — давление (гПа), Г— температура (К).
Функция F' характеризует силу линий и вместе с квадратом
частоты /2 определяет форму спектра поглощения. Величина F'
является суммой членов с нечетными значениями вращательного-
квантового числа К для К ^ 39:
39
F' = -7ГГГ + Y ф* [Sk+ U) + ё*+ i-f) + 8к- (f) + 2к_ (f)],
/ "Г YB К = 1
К — нечетное,
(1.51)
где
8к±\1) = rf—}—^ГТ2 ' lleW'
(I—IK + ) "TIK
Фк = 4,6 • 10~3 (300/Г) (2К + 1)ехр[—6,89 • 10~3/С(/С+ 1)(300/Г)].
(1-53)
Согласно теории взаимного столкновения молекул, в атмосфере
параметр ширины изолированной линии ул пропорционален
парциальному давлению кислорода:
Yл = YoPo2, (1-54)
где р0—парциальное давление кислорода, уо — параметр линии
кислорода при давлении р0 = 1 гПа.
Параметры ук и ув описывают соответственно резонансную и
нерезонансную составляющую ширины линий и определяются
выражениями
ук= 1,18 (р/1013) (300/Г)0'85, (1.55)
ув = 0,49 (р/1013) (300/Г)0'89. (1.56)
Величины с!к+ и йк_ характеризуют амплитуду линий fx
и fK_ и описываются выражениями
*«+.-[ (/c+l)(2/C+l) J • С1'57)
, Г (/С+1)(2/С-1) Т/.
^--[ *(2* + 1) J * (L58)
Величины Кя+ и Кк_—интерференционные параметры.
В табл. 1.16 приводятся вышеуказанные параметры для К от 1
до 39. На рис. 1.25 представлена спектральная кривая (1)
поглощения молекулярным кислородом, рассчитанная по формуле
59-

Таблица 1.16
Частота и параметры для приближенного расчета поглощения
молекулярным кислородом атмосферы [114]
К
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
Частота, ГГц
fK+
56,2648
58,4466
59,5910
60,4348
61,1506
61,8002
62,4112
62,9980
63,5685
64,1278
64,6789
65,2241
65,7647
66,3020
66,8367
67,3694
67,9007
65,4308
68,9601
69,4887
fK-
118,8503
62,4863
60,3061
59,1642
58,3239
57,6125
56,9682
56,3634
55,7838
55,2214
54,6711
54,1300
53,5957
53,0668
52,5422
52,0212
51,5030
50,9873
50,4736
49,9618
Интерференционные коэффициенты,
(гПа)-1
V
4,51—4
4,94 — 4
3,52 — 4
1,86 — 4
3,30 — 5
—1,03 — 4
2,23 — 4
3,32 — 4
4,32 — 4
—3,76 — 4
—6,13 — 4
—6,99 — 4
—7,74 — 4
8,61—4
—9,11—4
—1,03 — 3
—9,87 — 4
—1,32 — 3
—7,07 — 4
—2,58 — 3
\-
—2,14 — 5
—3,78 — 4
—3,92 — 4
—2,68 — 4
—1,13 — 4
3,44 — 5
1,65 — 4
2,84 — 4
3,91—4
4,93 — 4
5,84 — 4
6,76 — 4
7,55 — 4
8,47 — 4
9,01—4
1,03 — 3
9,86 — 4
1,33 — 3
7,01—4
2,64 — 3
(1.50) для нормальных условий (Г0=300 К и р0= 1013 гПа) [114].
Кривая 2 соответствует результатам расчетов по формуле (1.59).
Как видно из рисунка, имеется некоторое различие в результатах
расчетов в низкочастотном диапазоне / < 50 ГГц.
50 /СО 150 200 250 Г ГГц
Рис. 1.25. Поглощение
молекулярным кислородом при
нормальных условиях
атмосферы [114].
/ — результаты точных расчетов
по формуле (1.50), 2 — по
приближенной формуле (1.59).
Для расчета поглощения молекулярным кислородом в
нерезонансной области спектра — на частотах менее 40 ГГц можно
использовать формулу, где линия поглощения 117,75 ГГц уже
60

несущественна и поглощение определяется комплексом линий
вблизи 60 ГГц [114]:
г02=1,1 • io~2f (р/ю13)(зоо/г)2Ул Г (f _/o1)2_v2 +-рт^-]»
(1.59)
где f0 = 60 ГГц. Параметр ширины линии выражается
соотношением [94]
Ул = уо(р/Ю13)(300/Г)0'85, (1.60)
где
Г 0,59, р > 333 гПа,
7о= \ 0,59 1+3,1 • 10~3(333-р), 25 гПа<р<333 гПа, (1.61)
[ 1,18, р<25 гПа.
На рис. 1.25 приведены результаты расчетов по формулам
(1.59) —(1.61).
1.3.2.2. Высотное распределение поглощения
молекулярным кислородом
Установление высотной зависимости коэффициента
поглощения 02 имеет наибольшее практическое значение для спектральных
областей, лежащих вне полос поглощения. Представим
коэффициент поглощения Ог, согласно [26, 40], в следующем виде:
Го2 = £ — [ [(2 —//с)2 + 62] + (2 + //с)2 + б2 + (//с)2 + б2 J' (1#62)
где D — постоянная, зависящая от магнитного момента молекулы
кислорода и частоты, N— концентрация молекул, 6=Af/c, где
Af — ширина линии поглощения. В формуле (1.62) считается
также, что линии поглощения полосы К = 5 мм сконцентрированы
на одной частоте (fo = 60 ГГц, волновое число fo/c = 2 см-1). В СМ
диапазоне 1,5 см ^ К ^ 10 см первые два члена в формуле (1.62)
малы по сравнению с третьим. Поэтому из (1.62) находим
Го2~-рД/. (1.63)
Нетрудно убедиться (см. [26]), что
N ~p(h)/RT(h)y (1.64)
Af~p(h)WT(h), (1.65)
где R — универсальная газовая постоянная.
По аналогии с выражением (1.21) для водяного пара,
подставив формулы (1.64) и (1.65) в (1.63), получим:
Го2ф2(/г)-р2(/г)/Г(Л)6/2. (1.66)
61

Одновременно, подставив в выражение (1.66) значения p(h}
и T(h) для стандартной атмосферы из (1.28) и (1.29), найдем:
<p2(A) = exp[--A-]f (L67)
или по аналогии с (1.21)
Го2(/г) = Го2ф2(/г), (Кб8)
Го2 (А) = Го2 ехр [-/г/5,3], (1.69)
Го2 (А) = Т°о2 ехр [-А/Як], (1.70>
где Як — характеристическая высота коэффициента поглощения
кислорода (см. п. 1.3.1.4), Г°0 —коэффициент поглощения
кислородом атмосферы на уровне моря.
Во всем ММ диапазоне, за исключением резонансной области.
N
0,45—0,55 см, поглощение также пропорционально ~^гМ- В узкой
полосе резонанса поглощение иное:
Го2 ~ — -др. (1.71)
Поэтому здесь будет наблюдаться возрастание поглощения с
высотой. Таким образом, в нерезонансной части ММ диапазона
поглощение будет описываться формулой (1.70).
Определению характеристических высот коэффициента
поглощения кислорода посвящено большое число работ. Значение Як
вычисляется по формуле [34]
оо оо
Як= J <pa(h)dh = \ -JEJgL-dh. (1.72)
о о (у/уо;
Как выяснилось позже, в реальной атмосфере из-за сезонных
изменений р и Т изменяется сезонно и Як от 5+0,2 км летом до
3,9 + 0,4 км зимой, при 4,6 + 0,2 км весной и осенью [34]. Вне
резонанса для модели атмосферы ВСА-60 в [23] получено: Як^
^4,3 км зимой и Як~4,8 км летом. Для политропной модели
атмосферы в работе [22] получено значение Як = 5,1... 5,2 км. Легко
видеть, что указанные значения очень близки к определенному
выше значению Як = 5,3 км (1.67). Согласно последним данным
[38а], Як зимой на 30° с. ш. равно 5,7 км, на 79° с. ш. — 4 км;
летом на 30° с. ш. — 6 км, на 79° с. ш. — 4,9 км. Следует помнить,
что эти значения относятся к нерезонансной области спектра. В
резонансной области спектра величина Як достигает 10—20 км [22,
30].
С целью выяснения вопроса изменения эквивалентной высоты
кислорода с удалением от поверхности Земли в [30] получена
формула зависимости коэффициента поглощения молекулярным кис-
62

лородом от высоты как функции метеопараметров атмосферы (см.
формулу (11) из [30]). В работе [30] получена зависимость ф2 от
к (см. рис. 2 в [30]): в области от 0 до 6—8 км зависимость щ{Н)
является экспоненциальной, а затем, с увеличением высоты <$г{Н)
возрастает быстрее, чем по экспоненте. Из этого делается вывод
[30] о том, что формулой (1.70) можно пользоваться до высоты
примерно 6—8 км.
Завершая обсуждение вопроса о поглощении молекулярным
кислородом атмосферы, следует отметить следующее. Общая
картина поглощения молекулярным кислородом в диапазоне длин
волн от 1,5 мм до 10 см [4] (см. рис. 2 [23]) показывает, что в
нерезонансной части спектра (Х=3... 15 см) получено хорошее
согласие вычисленных и измеренных коэффициентов поглощения [52,
68, 80, 84, 93, 97, 99]. Плохо совпадает теория с экспериментом
в коротковолновой части ММ диапазона (А,= 1... 3 мм) [18, 67].
В резонансной области Х = 5 мм теоретические расчеты [22]
приведены в соответствие с экспериментом [53, 81, 112, 113] путем
надлежащего подбора полуширины спектральных линий
молекулярного кислорода. Измерения при А, = 2,68; 2,41 и 2,36 мм [18]
показали расхождение с результатами расчетов в 5—10 раз, а для
^=2,75 мм и Х = 3 мм [109] в 1,5—1,8 раза. Следует отметить, что
в этом диапазоне длин волн уже сильно сказывается поглощение
в водяном паре. Поэтому очень трудно экспериментально измерить
поглощение в молекулярном кислороде при сильном фоне
поглощения водяным паром.
С увеличением высоты над уровнем моря начинают
различаться отдельные спектральные линии кислорода в области
резонанса Х = 5 мм. Хотя поглощение в резонансах большое, но
образуются глубокие минимумы поглощения шириной ~0,25 ГГц, где
поглощение уменьшается до Г0 — 0,01 —0,03 дБ/км.
Что касается поглощения молекулярным кислородом в СБММ
диапазоне, то этот вопрос еще детально не исследован. Имеются
сведения о лабораторных исследованиях в камере при давлении
1,75 атм, где идентифицированы шесть линий в диапазоне 0,17—
0,40 мм [32, 79].
1.3.2.3. Поглощение молекулярным кислородом облака
Несмотря на то, что предметом обсуждения настоящего
раздела является поглощение молекулярным кислородом облака,
руководствуясь результатами, изложенными в п. 1.3.1.5, ниже мы
рассмотрим совместное поглощение — смесью водяного пара и
молекулярного кислорода облака.
В п. 1.3.1.5 уже отмечалось, что поглощение
электромагнитного излучения пропорционально плотности водяного пара облака
(см. формулу (1.37)). Аналогично, поглощение каждой другой
газовой компонентой атмосферы пропорционально плотности
соответствующей компоненты. Для сухого воздуха можно записать
Рв = Рк + Ргаз, (1-73)
63

а для влажного воздуха
Рвв = Рв + Рп = Рп + Рк + Ргаз, (1.74)
где рв, рк, ргаз — плотности водяного пара, молекулярного
кислорода и прочих газов атмосферы соответственно.
Однако на уровне моря основной вклад в молекулярное
поглощение вносит водяной пар и молекулярный кислород, а
поглощение примесными газами атмосферы может проявляться только
в средних и верхних слоях. Поэтому для нижних слоев атмосферы
справедливо соотношение (см. (1.37):
Гп г = Гп н2о + Гп о2 + Гп газ = —г^- Гн2о + * к Го2. (1.75)
Роп Рок
Значения Г°но и Г°0 подробно обсуждались в п. 1.3.1.5 и
1.3.2.3. Поправки в коэффициентах поглощения на текущие
значения плотностей рп и рк определяются соотношением (1.75). Ниже
суммарное поглощение газов в облаке выражается через
приземные значения поглощения и метеорологические параметры облака
(давление, виртуальную температуру, парциальное давление
водяного пара.
Из уравнения состояния влажного воздуха [50] следует:
PV = RV (l+0,378 ^L) г, (1.76)
pv = RvTv, (1.77)
Tv = T (l +0,378—), (1.78)
где V—объем, a Tv — виртуальная температура, т. е.
температура, при которой сухой воздух будет иметь ту же плотность, что
и влажный воздух при температуре Т и давлении р.
Для плотности насыщенного водяного пара уже приводилась
формула (1.41). Теперь с учетом других газовых компонент эта
формула запишется в виде
Рп = -ггу . (1.79)
An' v ср
Здесь Tv ср — среднее значение виртуальной температуры по
высоте облака. Таким образом, в отличие от облака, где для
определения плотности насыщенного пара требовалось знание только
температуры облака, здесь необходимо знать виртуальную
температуру. Как известно, виртуальная температура зависит от трех
величин: р, Т и е. Следовательно, необходимо уже вместе с
абсолютной влажностью знать температуру и давление.
Вышеуказанное усложняет расчет поглощения водяным паром облака.
64

Рассмотрим теперь поглощение молекулярным кислородом
облака. Согласно (1.74) имеем
рв = Рк + Ргаз = 0,21
>-е-+0979^—?-
(1.80)
A V* V Cp At>/t>cp
где рСр — среднее по высоте облака давление. Коэффициент
0,21 обусловлен тем, что в общем газовом составе атмосферы
содержание молекулярного кислорода составляет 21 %.
Таблица 1.17
Газовый состав атмосферы [114]
Газ
Азот
Кислород
Аргон
Двуокись углерода
Неон
Гелий
Криптон
Ксенон
Водород
Метан
Окись азота
Озон
Двуокись серы
Двуокись азота
Аммиак
Окись углерода
Иод
Обозначение
N2
о2
Аг
С02
Ne
Не
Кг
Хе
н2
СН4
N20
03
S02
N02
NH3
СО
и
Объемное содержание, %
78,084
20,9476
0,934
0,0314
0,001818
0,000524
0,000114
0,0000087
0,00005
0,0002
0,00005
Летом 0 — 0,000007
Зимой 0 — 0,00002
0 — 0,001
0 — 0,000002
от 0 до незначительного
количества
от 0 до незначительного
количества
0 — 0,000001
Относительная
масса
28,0134
31,9988
39,948
44,00995
20,183
4,0026
83,80
131,30
2,01594
16,04303
44,0128
47,9982
47,9982
64,0628
46,0055
17,03061
28,01055
253,8088
Таким образом, для поглощения газовой компонентой облака,
когда присутствует смесь из водяного пара и молекулярного
кислорода, коэффициент поглощения следует считать по формуле
^гЛср^О , 0,21(pcp-g)//?orocp
ГП]
-1 н2о
Роп Рок
Газовый состав атмосферы представлен в табл. 1.17.
■Т°о,
(1.81)
1.3.3. ПОЛНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ БЕЗОБЛАЧНОЙ АТМОСФЕРОЙ
В ДИАПАЗОНАХ h\h\ И СБММ ВОЛН
Выше были рассмотрены значения коэффициентов поглощения
водяного пара и молекулярного кислорода на уровне моря, их
высотные зависимости, полное (через толщу атмосферы)
поглощение, обусловленное указанными компонентами.
5 Заказ № 124
65

В реальной атмосфере вклад отдельных компонент в суммарное
поглощение радиоволн суммируется. Ниже приводятся справочные
материалы по полному поглощению электромагнитных волн ММ и
СБММ диапазонов в безоблачной атмосфере.
На рис. 1.26 приводится частотная зависимость поглощения
атмосферой, рассчитанная для нормальных условий. Теоретиче-
Гп Дб/км
О 100 200 300 Г ГГи,
Рис. 1.26. Микроволновое поглощение газами
атмосферы [114].
/ — результаты расчетов по формулам (1.13) и (1.50); 2 —
эмпирическая коррекция по формуле (1.14); 3 —
экспериментальные данные (см. [114]); р=1013 гПа, Г=293 К, Р=7,5 г/м3.
екая кривая представляет собой сумму двух спектральных кривых:
поглощения водяным паром, рассчитанного по формуле (1.13), и
поглощения молекулярным кислородом, рассчитано по формуле
(1.50) или (1.59) (кривая 1) [114]. Кривая 2 — эмпирическая
коррекция по формуле (1.14).
Экспериментальные результаты различных авторов см. [114]. На
рисунке отчетливо видны полосы поглощения водяным паром и
молекулярным кислородом в диапазоне длин волн от 0 до 350 ГГц
и результаты экспериментальных исследований.
На рис. 1.27 приводится частотная зависимость полного
поглощения атмосферой в направлении зенита. На рис. 1.27 приводится
66

фактически продолжение рис. 1.26, поскольку в его расчетах
использовались те же исходные данные. Экспериментальные
результаты хорошо совпадают с теоретическими данными в окнах между
спектральными полосами поглощения для частот / < 150 ГГц.
Гораздо хуже совпадение в окне 220—300 ГГц.
То ДБ
Ю~2\ ! J I 1
0 100 200 ЗООГГГи,
Рис. 1.27. Микроволновое поглощение газами
атмосферы в направлении зенита (оптическая
плотность to) [114].
/ — теоретические результаты; 2 — экспериментальные
данные (см. [114]).
В работах [29, 61] приводятся рассчитанные отдельно для
молекулярного кислорода и водяного пара частотные зависимости
поглощения волн от 1 до 350 ГГц при температуре 20 °С и
абсолютной влажности 7,5 г/м3 (рис. 1.28). Эти же данные
использовались для расчета поглощения при однократном вертикальном
прохождении радиоволн через сферически-слоистую атмосферу на
частотах от 1 до 300 ГГц (рис. 1.29). Предполагается, что на
трассе нет облаков и дождевых капель. Буквой R0 обозначена
область тонкой структуры при широком спектре поглощения
молекулярным кислородом на частоте 60 ГГц.
5*
67

В работе [19] приводится расчет поглощения атмосферой в
диапазоне от 10 мкм до 7 мм для нормальных условий (7о = 293 К,
/?о = 760 мм рт. ст. и роп = 7,5 г/м3). Расчет кривых для водяного
Гп дБ/км
101
10L
и
10''
.
1
г*
Н20 1
02
п
|
о2\\
Н20|
}
10 20
50 100 200ГГГи,
Рис. 1.28. Коэффициент поглощения
молекулярным кислородом и водяным паром для частот
от 1 до 350 ГГц при нормальных атмосферных
условиях [29].
пара и молекулярного кислорода проводился по точным формулам
(см. выше, а также [19, 24]). Результаты расчетов приводятся на
рис. 1.30.
0 50 100
250ГГГО,
Рис. 1.29. Полное поглощение при
однократном вертикальном
прохождении радиоволн через
атмосферу в функции от частоты [29].
А — умеренная влажность (7,5 г/м3);
В — сухая атмосфера (водяной пар
отсутствует).
68

На рис. 1.31 представлены кривые поглощения водяным паром
в ММ и СБММ диапазонах длин волн: мономерами и димерами
водяного пара для нормальных условий атмосферы [7]. Здесь же
приводятся экспериментальные данные. Как видно из рисунка,
в длинноволновых окнах прозрачности димеры водяного пара
могут дать заметный вклад в общее поглощение. Подобное нельзя
Г дБ/км
1
02
п
\х
V/
1
\Ш
1 \Щ
1!
' i I
ИЙМ
и
"
V
\
1
2 5 10 2-0 50 100 200 500 1/К см~1
5000 2000 1000 500 200 100 50 20 X мкм
Рис. 1.30. Коэффициент поглощения мономеров водяного пара
и кислорода в атмосфере Земли для длин волн 10 мкм —
7 мм при нормальных условиях [24].
Г=293 К, р = 1013 гПа, рп=7,5 г/м3.
сказать относительно СБММ диапазона, где влияние димеров
несущественно.
На рис. 1.32 приводится частотная зависимость поглощения
в приземном слое атмосферы для января на 60° с. ш. отдельно для
паров воды, молекулярного кислорода и суммарная кривая
поглощения [5, 6]. Отчетливо виден вклад молекулярного кислорода
в поглощение для длин волн I > 2 мм. В области I < 2 мм
основной вклад в поглощение вносит водяной пар, поэтому переход от
зимы к лету будет сильно сказываться на поглощение волн в
вышеуказанном диапазоне. На рис. 1.33 [5, 6] приводятся
спектральные зависимости вертикального поглощения всей атмосферой на
60° с. ш. для января и июля. Отчетливо заметно различие в
поглощении в окнах прозрачности для января и июля, доходящее до
3—4 раз. Эквивалентные длины для водяного пара в окнах
прозрачности ММ диапазона для зимы и лета равны 2,2 и 1,9 км
69

Г дБ/км
Ю5
10*
ю2
ю1
10°
10
10''
10'3
Л_Тл
и/
/2
] \*jA^^^
^^
I ,
' 1
|
w
Г, \ 1
/! \
i I I
i
i
1
!
j
20 5
1 0,8
0,6
0,4 К мм
Рис. 1.31. Коэффициент поглощения: мономеров (7) и ди-
меров (2) водяного пара [14, 15] в атмосфере при
нормальных условиях [7].
7=213 К, р== 1013 гПа, рпа7,5 г/м3. Точки — экспериментальные
данные (см. [14, 15]).
Г дБ/км
5 3 2
Рис. 1.32. Зависимость
коэффициента поглощения от длины волны
в приземном слое атмосферы для
■_-' / ■ _г января [6].
1/ 1/К СМ 1 _ суммарНое поглощение; 2 — погло-
1 /7 7/7 7 ммщение водяным паром; 3 — поглощение
7 и,/Э NMM молекулярным кислородом.

соответственно, а для молекулярного кислорода — порядка 5 км
[5, 6].
На рис. 1.19 из [11] приводятся рассчитанные по методике
работы [90] спектральные коэффициенты поглощения в диапазоне
от 1 до 1000 ГГц для нормальных условий атмосферы: Го = 288 К,
10 дБ
~1 -у- -] г
I ! 1 1 1
!
1
У ■ г
!
i
i
! 1
| 1
• т
11J
м
У
Г
1 : 1
1
А \
'
1
[г |
1
1
1 1
! 1 А
1 Ку\
1 \ У
• i j
' ' ]Г f
1
1 "1
i\
'/
V \
1 /
17
\У
1 l
it
I
I
1 \
1 "-^
У
1/
1 '
j
1 i
L L 1
1
|1
м
V \
k\
\ \
n i
\ \
I1
I
i
' \\
\ч
'
■/I / 1 J L I I I 1 ,
0 2 U 6 8 10 12 1/Ксм1
L__J L I L_
5 3 2 1 0,75 К мм
Рис. 1.33. Зависимость вертикального ослабления
от длины волны в безоблачной атмосфере [6].
/ — январь; 2 — июль.
давлении сухого воздуха ра=1013 гПа и парциальном давлении
водяного пара е=1,7 кПа. Рассмотренные параметры
удовлетворяют условию насыщения на горизонтальной трассе вблизи уровня
моря. Кривая 2 соответствует приближению, полученному при
расчетах по эмпирической формуле. Стрелками на рисунке показаны
положения линий поглощения молекулярного кислорода, который
является более слабым поглотителем, так как его молекула не
имеет электрического дипольного момента. Большая интенсивность
поглощения получается за счет высокой концентрации кислорода
в атмосфере при слабом магнитном моменте молекулы. Молекулы
воды, наоборот, обладают большим электрическим дипольным
моментом и дают сильное поглощение в СБММ диапазоне. Как видно
71

из рисунка, большой вклад в поглощение между линиями вносят
крылья полос от сильных резонансных линий молекул воды.
В последнее десятилетие большое внимание уделяется
поглощению электромагнитных волн в окнах прозрачности атмосферы
в диапазонах ММ и СБММ волн. Центр окон, их ширина и опти-
Та блица 1.18
Окна прозрачности и предельные значения
оптической толщины в диапазоне 0,5—4 мм [31]
Центр „окна".
см-1
Ширина
„окна", ГГц
Оптическая толщина
I 1970 г.
VII 1970 г.
2
7,648
11,283
13,487
14,703
15,333
15,704
16,031
16,8
30
100
30
42
7
13,8
6
26,4
18
0,031
0,73
2,83
5,71
24,93
19,36
20,64
19,41
34,21
0,218
4,577
23,93
71,51
249,4
166,88
200,76
170,18
292,14
ческая толщина приводятся в табл. 1.18 [31]. Исследования
показали, что на поглощение в окнах, кроме водяного пара большое
влияние оказывают теллурические линии молекул Оз, N2O, СО,
NO, N02 и другие. Число линий и их интенсивность приводятся
Таблица 1.19
Поглощение различными газовыми составляющими атмосферы [31]
Газ
Озон
Закись
Окись
Окись
HDO
азота
углерода
азота
Число линий
215
21
5
34*
22
Полная
концентрация молекул, см-2
(6—8) -1018
101в
2-1018
1017
1,5-1019**
Интенсивности
линий, неп
10-4-
2-Ю-3
2-10-3-
10-3 —
10-3 — 4
-1
— 1
-ю-1
ю-1
• ю-1
* Для Я>1 мм.
** Для влажности роп = 7,5 г/м3.
в табл. 1.19 [31]. В табл. 1.20 представлены данные наблюдений
теллурических линий в период с 1966 по 1974 г. [31]. На рис. 1.34
приводятся частотная зависимость поглощения всей атмосферой
в диапазоне длин волн 0,5—4 мм для Оз, N2O и СО [31]. Как
видно из рисунка, с увеличением высоты над поверхностью Земли
вклад в поглощение Оз, N2O и СО увеличивается. Таким образом,
на больших высотах вклад теллурических линий в общее
поглощение становится существенным. На это обстоятельство следует
72

Таблица 1.20
Поглощение различными газовыми составляющими атмосферы [31]
Газ
Оз
Оз
Оз
СО
СО
N20
N20
NO
NO
f Мгц
76 535
214 957
231 276
115 271
230 538
125 614
150 735 ^
150 210±35 >
150 510+150 )
A fa Мгц
70
80
80
400
17
80
17
400
Коэффициент поглощения,
Г неп
0,076 ±0,056
0,076±0,014
0,094 ±0,030
0,1+0,02
0,25 ±0,05
0,039±0,025
0,071+0,048
0,027±0,017
0,05+0,01
обратить особое внимание при учете полного поглощения
атмосферой в отмеченном диапазоне.
В работе [36] выполнены расчеты полного вертикального
поглощения в атмосфере озоном в диапазоне длин волн от 1 до
0,5 мм (в неперах) (рис. 1.35). Полученные результаты хорошо
совпадают с экспериментальными данными [60, 106]. Как видно
из рисунка, в ММ диапазоне пики поглощения озоном имеют
порядок 1 непера. Результат этот сопоставим и даже несколько пре-
15 17 /Д см1
Рис. 1.34. Оптическая толщина атмосферы для высот h = 0 км (/)
и h=3 км (2) в диапазоне волн от 0,5 до 4 мм.
Без обозначений — линии озона, стрелки — линии N20 [31].
73

восходит величину оптической толщины, обусловленную водяным
паром в этом диапазоне. Поэтому при рассмотрении вопроса
поглощения атмосферой в указанном диапазоне учет вклада озона
в общее поглощение обязателен.
19 /Д см"1
Рис. 1.35. Полное вертикальное поглощение атмосферным озоном
в диапазоне 10—20 см-1 [36].
а —в диапазоне 10—15 см-1; б —в диапазоне 15—20 см-1.
Рассмотрим теперь вопрос эквивалентной высоты, или
эквивалентной длины пути всей атмосферы (ЭДП). Если Г^ — полное
поглощение атмосферой в направлении зенита (дБ), а Т°А—
полный коэффициент поглощения атмосферой на уровне моря при
нормальных условиях (дБ/км), то:
ГА = ГАЯА,
оо
ЭДП = НА = j ф (/г) dh,
(1.82)
(1.83)
где ЭДП = #а — эквивалентная длина поглощения атмосферы (км)
(см. также п. 1.3.1.4).
74

В п. 1.3.1.4 и 1.3.2.3 приводились численные значения
характеристических высот коэффициентов поглощения водяного пара и
молекулярного кислорода. Зависимость от высоты суммарного
коэффициента поглощения представится в виде
ГА(/г) = аропехр( ^-) + Г?)2ехр( А-). (1.84)
Для интервала высот, где суммарный коэффициент поглощения
уменьшается экспоненциально с высотой, можно записать:
ГА(/0 = ГоАехр( щ~у (1.85)
В тех спектральных интервалах, где суммарное поглощение
в существенной степени определяется водяным паром,
характеристическая высота близка к величине Яв, а в спектральных
интервалах, в которых суммарное поглощение определяется
молекулярным кислородом, #А ^ Як. В общем случае
ЯВ<ЯА<ЯК. (1.86)
В работах [30, 34] отмечается, что поправку в значения Як на
текущие значения температуры вблизи поверхности Земли можно
вносить с помощью соотношения
Як = Я°к + МГ-290), (1.87)
где Н°к — среднесезонное значение характеристической высоты
коэффициента поглощения Ог, а коэффициент 6К = 0,022... 0,026.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аганбекян К. А. Расчет коэффициентов поглощения в атмосферных
парах воды.— Труды IX Всесоюзной конференции по распространению радиоволн.
Ч. 2.—Харьков, 1969, с. 119—122.
2. Аганбекян К. А. Исследование поглощения радиоволн
субмиллиметрового диапазона в атмосферных парах воды.— Автореф. канд. дисс.— М.: Изд.
ИРЭ АН СССР, 1970.
3. Аганбекян К. А. и др. Исследование распространения
субмиллиметровых, инфракрасных и оптических волн в земной атмосфере.— В сб.:
Исследование в области радиотехники и электроники, 1954—1974 гг.— Изд. ИРЭ АН
СССР, 1974, ч. 1,—с. 93—139.
4. А г а н б е к я н К. А. и др. Распространение субмиллиметровых,
инфракрасных и оптических волн в земной атмосфере.— В кн.: Распространение
радиоволн.—М.: Наука, 1975 с. 187—227.
5. Аганбекян К. А., Зражевский А. Ю., ИсхаковИ. А., Попе-
л ы ш е в а Н. С. Поглощение радиоволн водяным паром и кислородом в толще
земной атмосферы на волнах 0,75—20 мм.— Труды XII Всесоюзной конференции
по распространению радиоволн. Ч. 2.— М.: Наука, 1978, с. 58—59.
6. Андреев Г. А. и др. Распространение миллиметровых и
субмиллиметровых волн в тропосфере.— В кн.: Проблемы современной радиотехники и
электроники.—М.: Наука, 1980, с. 139—163.
75

7. Андреев Г. А., Жевакин С .А., Соколов А. В.
Распространение миллиметровых и субмиллиметровых радиоволн в земной атмосфере и
возможные области практического применения этих волн.— Труды XII
Всесоюзной конференции по распространению радиоволн. Ч. 2.—М.: Наука, 1978,
с. 62—65.
8. Араме Ф., Аллен К., Пей тон Б., Серд Э. Смешивание и
детектирование в миллиметровом диапазоне с использованием объемных эффектов
в InSb.—ТИИЭР, 1966, т. 54, № 4, с. 183—194.
9. А р ч е р Д ж. У. Малошумящие гетеродинные приемники ближнего
миллиметрового диапазона для радиоастрономических наблюдений.— ТИИЭР,
1985, т. 73, № 1, с. 119—142.
10. Б а б к и н Ю. С. и др. Исследование поглощения ебмм радиоволн
в атмосфере в диапазоне 850—960 мкм.— Труды VIII Всесоюзной конференции
по распространению радиоволн.— М.: Наука, 1972, с. 4—16.
11. Боландер Р. А., Макмиллан Р. У., Га л а хер Дж. Дж.
Влияние атмосферы на распространение электромагнитных волн ближнего
миллиметрового диапазона.—ТИИЭР, 1975, № 1, с. 54—67.
12. Балитов Р. А. и др. Техника субмиллиметровых волн.— М.:
Советское радио, 1969.— 477 с.
13. Введенский Б. А., Колосов М .А., Соколов А. В.
Исследование распространения метровых, дециметровых, сантиметровых и
субмиллиметровых радиоволн.— Радиотехника и электроника АН СССР, 1967, т. 12,
с. 1867—1890.
14. Викторова А. А., Жевакин С. А. Поглощение микрорадиоволн
в воздухе димерами водяного пара.—ДАН СССР, 1966, т. 171, № 6, с. 1061—
1064.
15. Викторова А. А., Жевакин С. А. Поглощение микрорадиоволн
димерами водяного пара атмосферы.— ДАН СССР, 1970, т. 194, № 3, с. 540—
543.
16. В иногр а д ов Е. А., Дианов Е. М., Ирисова Н. А.
Интерферометр Фабри—Перо короткого миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов
с металлическими стенками, имеющими период меньше длины волны.— ЖЭТФ
(письма в редакцию), 1965, т. 2, вып. 7, с. 323—326.
17. Го л ант М. Б. и др. Серия широкодиапазонных генераторов малой
мощности миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов волн.— Приборы
и техника эксперимента, 1965, № 4, с. 136—139.
18. Дрягин Ю. А. и др. Измерение атмосферного поглощения радиоволн
в диапазоне 1,36—3,0 мм.— Изв. вузов, сер. «Радиофизика», 1966, т. 9, № 6,
с. 1078—1084.
19. Ж е в а к и н С. А., Наумов А. П. О коэффициенте поглощения
электромагнитных волн водяными парами в диапазоне 10,и — 2 см.— Изв. вузов,
сер. «Радиофизика», 1963, т. 6, № 4, с. 674—694.
20. Ж е в а к и н С. А., Н а у м о в А. П. Поглощение электромагнитного
излучения парами воды на волнах 10 мкм — 2 см в верхних слоях атмосферы.—
Геомагнетизм и аэрономия, 1963, т. 3, № 4, с. 666—678.
21. Жевакин С. А., Н а у м о в А. П. Поглощение сантиметровых и
миллиметровых радиоволн атмосферными парами воды.— Радиотехника и
электроника, 1964, т. 9, № 8, с. 1327—1337.
22. Ж е в а к и н С. А., Н а у м о в А. П. К расчету коэффициента
поглощения сантиметровых и миллиметровых радиоволн в атмосферном кислороде.—
Радиотехника и электроника, 1965, т. 10, № 6, с. 987—996.
23. Ж е в а к и н С. А., Наумов А. П. Поглощение электромагнитных
волн в диапазоне Змм — 7,5 мм в земной атмосфере.— Изв. вузов, сер.
«Радиофизика», 1966, т. 9, № 3, с. 433—450.
24. Жевакин С. А., Наумов А. П. Распространение сантиметровых,
миллиметровых и субмиллиметровых волн в земной атмосфере.— Изв. вузов, сер.
«Радиофизика», 1967, т. 10, № 9—10, с. 1213—1243.
25. Жевакин С. А., Рядов В. Я., Фурашов Н. И. Молекулярное
поглощение миллиметровых и субмиллиметровых радиоволн водяным паром.—■
Труды XI Всесоюзной конференции по распространению радиоволн, ч. 2. Казаны
Изд. Казанского университета, 1975, с. 5—8.
76

26. Ж е в а к и н С. А., Т р о и ц к и й B.C. Поглощение сантиметровых волн
в слоистой атмосфере.— Радиотехника и электроника, 1959, т. 4, № 1, с. 21—27,
27. 3 р а ж е в с к и й А. Ю. Методика расчета поглощения в атмосферных
парах воды в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах.— Радиотехника
и электроника, 1976, т. 21, № 5, с. 951—957.
27а. Зражевский А. Ю. Методика инженерного расчета в атмосферных
парах воды.— Труды Всесоюзной конференции по распространению радиоволн.—
Казань: Изд. Казанского университета, 1975, с. 20—22.
28. И з м е р е н и я на миллиметровых и субмиллиметровых волнах. Методы
и техника/Под ред. Р. А. Валитова, Б. И. Макаренко.— М.: Радио и связь,
1984.— 296 с.
29. Ипполитов Л. Д. Влияние условий атмосферного распространения
радиоволн на космические системы связи.— ТИИЭР, 1981, т. 69, № 6, с. 29—58.
30. К и с л я к о в А. Г. Эффективная длина пути и средняя температура
атмосферы.— Изв. вузов, сер. «Радиофизика», 1966, т. 9, №3, с. 451—461.
31. Кисляков А. Г. и др. Исследование распространения волн
миллиметрового и субмиллиметрового диапазона сквозь всю толщу атмосферы.—
Труды IX Всесоюзной конференции по распространению радиоволн.— Казань,
Изд. Казанского университета, 1975, с. 9—13.
32. К и с л я к о в А. Г., Станкевич К. С Исследование тропосферного
поглощения радиоволн радиоастрономическими методами.— Изв. вузов, сер.
«Радиофизика», 1967, т. 10, № 9—10, с. 1244—1265.
33. К о ш е л е ц В. П., Овсянников Г. А. Криогенные СВЧ
устройства.— Зарубежная радиоэлектроника, 1983, № 6, с. 31—50.
34. К у з о в л е в В. В., С т а н к е в и ч К. С. Об эффективной высоте
поглощения радиоволн сантиметрового диапазона в атмосферном кислороде и
водяном паре.— Изв. вузов, сер. «Радиофизика», 1964, т. 7, № 1, с. 175—176.
35. К у к и н Л. М. и др. Определение вклада мономеров и димеров
водяного пара в атмосферное поглощение по данным измерений в диапазоне Х =
= 1,15—1,55 мм.— Радиотехника и электроника, 1975, т. 20, № 10, с. 2017—2025.
36. К у л и к о в Ю. Ю., Р ы с к и н В. Г. Спектр поглощения атмосферного
озона в дециметровом диапазоне волн.— Труды XI Всесоюзной конференции
по распространению радиоволн.— Казань: Изд. Казанского университета, 1975,
с. 23—25.
37. М а к м и л л а н Р. У. Источники излучения ближнего миллиметрового
диапазона.—ТИИЭР, 1985, т. 73, № 1, с. 96—119.
38. Н а у м о в А. П. О миллиметровом спектре поглощения молекулярным
кислородом.— Изв. вузов, сер. «Радиофизика», 1965, т. 8, № 4, с. 668—678.
38а. Наумов А. П., Зиничева М. Б. К определению вертикального
поглощения радиоволн в окнах прозрачности микроволнового диапазона.—
Радиотехника и электроника АН СССР, 1980, т. 25, № 5, с. 919—929.
39. Поваров А. В., Свердлов Б. А., Рядов В. Я.,
Фурашов Н. И. Экспериментальное исследование окон прозрачности атмосферы
в диапазоне 300—700 мкм.— Изв. вузов, сер. «Радиофизика», 1976, т. 19, № 4,
с. 529—536.
40. Распространение ультракоротких волн.— М.: Советское радио, 1954.
41. Рядов В. Я., Фурашов Н. И. Измерение атмосферного поглощения
электромагнитных волн в диапазоне 0,76—1,15 мм.— Изв. вузов, сер.
«Радиофизика», 1966, т. 9, № 6, с. 859—866.
42. Рядов В. Я., Ф у р а ш о в Н. И. О ширине спектральной линии
поглощения водяного пара Х = 0,92 мм.— Изв. вузов, сер. «Радиофизика», 1966,
т. 9, № 6, с. 1073—1077. 42а. Рядов В. Я., Фурашов Н. И. К вопросу
о поглощении микрорадиоволн в атмосфере димерами водяного пара.— Изв.
вузов сер. «Радиофизика», 1968, т. 11, № 8, с. 1138—1146.
43. Р я д о в В. Я., Фурашов Н. И., Шаронов Г. А. Измерение
прозрачности атмосферы на волне 0,87 мм.— Радиотехника и электроника, 1964,
т. 9, № 6, с. 943—949.
44. Р я б о в В. Я., Ш а р о н о с Г. А. Экспериментальное, исследование
прозрачности земной атмосферы для длин субмиллиметрового диапазона.—
Радиотехника и электроника, 1966, т. 11, № 6, с. 1037—1045.
77

45. С в е р д л о в Б. А., Ф у р а ш о в Н. И. Исследование некоторых линий
поглощения водяного пара в диапазоне 0,1—0,6 мм. Труды X Всесоюзной
конференции по распространению радиоволн.— М.: Наука, 1972, с. 52—56.
46. Т о б и н М. С. Лазеры ближнего миллиметрового диапазона с
оптической накачкой.—ТИИЭР, 1985, т. 73, № 1, с. 67—95.
47. Ф у р а ш о в Н. И. Исследование поглощения длинноволнового
инфракрасного излучения атмосферными парами воды от 55 до 1000 мкм.— Оптика
и спектроскопия, 1966, т. 20, № 3, с. 427—435.
48. Ф и л л и п с Т. Г., Д ж е ф ф е р т с К. Б. Низкотемпературный баломет-
рический гетеродинный приемник для астрономических исследований в
миллиметровом диапазоне.— Приборы для научных исследований, 1973, т. 44, № 8,
с. 81—88.
49. Хргиан А. X. Физика атмосферы.—М.: ГИТТЛ, 1953.—456 с.
50. Хргиан А. X. Физика атмосферы. Изд. 2-е.— М.: Гидрометеоиздат,
1978, т. 1 и 2.
51. Acker A. E. In terst in MM waves spurs tube growth.— Microwaves,
1982, v. 21, p. 55—74.
52. Altenhoff W. et al. Mebprogramme bei der wellenlange 11 cm am
rsm radioteleskop stoekert, Veroffentl. Univ. Sterniwarte zu Bonn, 1960, N 59,
p. 975.
53. Artman J. O. and Gordon J. P. Absorption of microwaves by oxygen
in the millimeter wavelength region.— Phys. Rev, 1954, v. 96, p. 1237—1247.
54. В a i г d J. M. Survey of fast wave tube development.— IEEE IEDM
Tech. Dip., 1979, p. 156—161.
55. В e n e d i с t W. S. and Kaplan L. D. Calculation of line widths in
H20—N2 collisions.—J. Chemical Phys., 1959, v. 30, N 2, p. 388—399.
56. Benedict W. S. and Kaplan L. D. Calculation of time widths in
H20—H20 and H20—02 collisions.—JQSRT, 1964, v. 4, p. 453—469.
57. В о h 1 a n d e r R. A. et al. Excess absorption by water vapor and
comparison with theoretical dimer absorption.— In: Atmospheric Water Vapor/A. Deepak,
J. D. Wilkerson and L. H. Ruhnke. Eds.—Now York, Academic Press, 1980,
p. 241—254.
58. В u г с h D. E. Continuum absorption by atmospheric H20.— Proc. SPIE
(Atmospheric Transmisson), 1981, v. 277, p. 28—39.
59. В u г с h D. E. and Gryvnak D. A. Continuum absorption by H20
vapor in the infrared and millimeter region.— In: Atmospheric Water Vapor/
A. Deepak, J. D. Wilkerson and L. H. Ruhnke. Eds.— New York, Academic Press,
1980, p. 47—76.
60. С a ton W. M., Mannella G. G., Kalaghan P. M., Barring-
ton A. E. and Ewen H. I. Radio measurement of the atmospheric ozone
transition at 101,7 GHz.—Astrophysical J., 1968, v. 151, N 3, part 2, L153—L156.
61. CCIR Report "Attenuation by atmospheric gases".—Recommendations
and Reports to the CCIR. 1978, v. 5, p. 97—102. International Telcommun. Union,
Geneva.
62. Chang T. Y. and Bridges T. J. Laser action at 452, 496 and 541
in optically pumped CH3H.—Opt. Commun. 1970, v. 1, p. 423—426.
63. С h e m e n t i E. and H a b i t z P. A new two-body water-water
potential—J. Phys. Chem. 1983, v. 87, p. 2815—2820.
64. С 1 о u g h S. А., К n e i z у s F. X., R о t h m a n L. S. and G a 11 e г у W. O.
Atmospheric spectral transmittance and radiance.— FASCOD18. Proceedings of
SPIE —The International of Optical Engineering, 1981, v. 277, p. 152—166.
Atmospheric Transmission, Washington D. C.
65. С о 1 e A. E., G о u r t A. and К о n t о r A. J. Model Atmospheres in
Handbook of Geophysics and Spacee Environment/S. L. Valley, ed. Office of
Aerospace Research, USAF Cambridge. Res. Labs., 1965.
66. Coll Me M. et al. The super-Schottky diode at 30 GHz.—IEEE
Transactions on magnetics, 1979, v. MAG-15, N 1, p. 468—470.
67. С о h m M., W e u t w о r t h R, GarberW. A.— Proc. IEEE, 1966, v. 54,
p. 449. (Гоффман М., Уинтроуб Ф., Гарбер В. А. Изучение
распространения радиоволн длиной 3,2 мм/Пер. с англ. Труды Института по
электротехнике и радиотехнике, 1966, т. 54, № 4, с. 7—12.)
78

68. С о s t e 11 i J. P., A a r о n s J., Casey J., F e r i о 1 у С. Absorption,
refraction and scintillation measurement at 4700 Mc/s with a Traveling-Wave Tube
Radiometer.—Planetary and Space Sci., 1959, v. 1, N 1, p. 50—56.
69. Da vies R. W., Tipping R. H. and С lough S. A. Dipoll
autocorrelation function for molecular pressure broadening: A quantum theory which
satisfies the floctuation-disspation theorem.—Phys. Rev. A., 1982, v. 26, p. 3378—3394.
70. Dyke T. R., Mack K. M. and M u e n t e r J. S. The structure of water
dimer from molecular beam electric resonance spectroscopy.— J. Chem. Phys. 1977,
v. 86, Jan. 15, p. 498—510.
71. Ed rich J., Sullivan D. B. and M с D о n a 1 d D. G. Results,
potentials and limitations of Josephson-Mixer receivers at millimeter and long submil-
limeter wavelengths.— IEEE Transaction, Microwave theory and techniques, 1977,
v. MTT-25, N 6, p. 476—479.
72. E 1 s a s e r W. M. Far infrared absorption of atmospheric water vapor.—
Astrophys. J., 1938, v. 87, N 5, p. 497—507.
73. Elta M. E., Fetterman H. R., Marcopulos W., Vand
Lambert J. J. 150 GHz CaAs MITATT source.—IEEE Electron Device Lett, 1980,
v. EDL-1, p. 115—116.
74. Extended interaction oscillators selection guide.— Varian of Canada,
45 Rever Drive, Georgetown Ont., 1982.
75. F a n к F. B. and G г о w 1 e у J. D. Gunn effect devices more up in
frequency and become more versatile.— Microwave J., 1782, v. 25, p. 143—147.
76. Fed о see v L. I. and Konkin L. M. Comparison of the results of
summer and winter measurements of atmospheric water wapor absorpton of
wavelenghts 1,15 to 1,5 mm.— Int. J. Infrafed Millimeter Waves, 1984, July, v. 5,
p. 953—963.
77. F1 e с к van J. H. (Van Vleck J. H.). The theory of electric and
magnetic susceptibileties.— Roy. 8vo, 3os, net (Clarendon Pr), Oxford,
U. P. Apr., 1932.
78. Furashov N. L, К a t к о v V., Yu. and R у a d о v V. Va. On the
anomalies in submillimeter absorption spectrum of atmospheric water wapor.— Int.
J. Infrared Millimeter waves, 1984, v. 5, July, p. 971—984.
79. Gebbie H. A., Burroughs W. J., Robb J. A. and Bird G. R.
Observation of the magnetic dipol rotation spectrum of oxygen.— Nature, 1965,
v. 212, N 5057, p. 66—67.
80. Grasse De R. W., Hogg D. C, Ohm E. A. and Scovel H. E. D.
Ultra-lownoise measurements using a horn reflecter antenna and a traveling-wave
maser.— J. Appl. Phys., 1959, v. 30, N 12, p. 2013.
81. Grawford A. B. and Hogg D. C. Measurement of atmospheric
attenuation at millimeter wavelengths.— The Bell System Technical J., 1956, v. 35,
N 4, p. 907—916.
82. G г о s s E. P. Shape of collision-brodened spectral lines.— Phys. Rev.,
1955, v. 97, N 2, p. 395—403.
83. H i 11 R. M. and G о г d у W Zeeman effect and line breadth studies of
the microwave lines of oxygen.— Phys. Rev., 1954, v. 93, N 5, p. 1019—1022.
84. Hogg D. S. and Semplak R. A. The effect of rain and water vapor
on sky noise at centimeter wavelengths.— The Bell System Technical J., 1961,
v. 40, N 5, p. 1331—1348.
85. J о s e p h s о n B. D. Possible new effects in superconductive tunnelling.—
Phys. Lett, 1962, v. 1, July, N 7, p. 251—253.
86. К а г r i g a n P. R. RF sources for millimeter wave systems presented at
IEEE Southeon, 81, Atlanta. G. A, 1981, Jan., p. 112.
87. Kramers H. A. Zur struktur der multiplett-s-zustande in zweiatomigen
molekulen. 1.—Zeitschrift fur Physik. 1929, v. 53, N 5—6, p. 422—428.
88. Lie h tens te in M., Derr V. E. and Gallagher J. J. Millimeter
wave rotational transitions and the Stark effect of the water molecule.—J.
Molecular spectroscophy, 1966, v. 20, N 4, p. 391—401.
89. Liebe H. J. Atmospheric EHF window transparencies near 35, 90, 140
and 220 GHz.—IEEE Transaction. Antennas and propagations, 1983, v. AP-31,
N 1, Jan., p. 127—135.
79

90. L i e b e H. J. Atmospheric Water Vapor: A. Nemesis for millimeter wave
propagation. Atmospheric Water Vapor/A. Deepak et al., eds.—New York:
Academic Press, 1980, p. 143—202.
91. Liebe H. J. The atmospheric water vapor continuum beloww 300 GHz.—
Inter. J. Infrared and Millimeter waves, 1984, v. 5, N 2, p. 207—227.
92. Mansfield D. K., Johnson L. C. and С h о u i n r d A. 750 mW high
power laser operating at 119 ]im. Conf., Dig. 8th In., Conf. Infrared and
Millimeter waves.—Miami Beach, 1983.—IEEE Cat. N 83 CH, 1971—4, paper W. F. 4.
93. Medd W. J. and F о г t D. N. Total atmospheric attenuation at 3,2 gega-
hertz —J. Geophys. Res., 1966, v. 71, N 20, p. 4749—4753.
94. M e e к s M. L. and Lilly A. E. The microwave spectrum of oxygen in
the Earths atmosphere.—J. Geophys. Res., 1963, v. 68, p. 1683—1703.
95. Millimeter-wave and submillimeter-wave O-type backward-wave
oscillators.— Thomson-CSF Publ. NTH, 6148.— Thomson-CSF, Boulogne—Billancord,
France, 1978.
96. N i s h i z a w a J., M о t о у а К. and О к u n о Y. Submillimeter wave
oscillation from CaAs.— TUNNETT diode presented at the 9th European
Microwave Conf., Brighton, England, 1979.
97. Ohm E. A. Receiving System.—The Bell System Technical J., 1961,
V. 40, N 4, p. 1065—1094.
98. Pan D. S. and Lee N. CaAs abrupt junction MTTTATT and TUNNETT.—
Presented at the 6th Int. Conf. on Infrared and Millimeter Waves.— Miami Beach,
FL, 1981, peper M-5-3.
99. P e a z i a s A. A. and Wilson R. W. A measurement of exess antenna
temperature at 4080 Mc/c—Astrophysical J., 1965, v. 142, N 1, p. 419—421.
100. Rice D. F. and A d e P. A. R. Absolute measurements of the atmospheric
transparency at short millimeter wavelengths.—Infrared Phys., 1979, v. 19,
p. 575—584.
101. Prengel A. J. and Cor nail W. S. Roman scattering from colliding
molecules and van der Waals dimers in gaseus methane.— Phys. Rev. A., 1976,
v. 13, p. 253—262.
102. Rodgers T. F. Calculated centimeter-millimeter water vapour
absorption of ground level.— Proc. Conf. on Radio. Meteor. Univ. Texas, 1953, p. 1—4.
103. Ro s e n к r a n z R. W. Shape of the 5 mm oxygen Band in the
atmosphere—IEEE Trans. Ant. and Prop., 1975, v. AP-23, p. 498—506.
104. S с h 1 a p p R. Fine structure in the 32 ground state of the oxygen
molecule and the rotational intensity distribution in the atmospheric oxygen band.—
Phys. Rev., 1937, v. 51, N 5, p. 342—345.
105. Schwendeman R. H. and Laurie L. W. Tables of line strengths
for rotational transitions of asymmetric rotor molecules.— Pergamon Press, 1958.
106. S h i m a b u к u г о F. I. and Wilson W. J. Observations of atmospheric
ozone at 110,836 GHz.—J. Geophys. res., 1973, v. 78, N 26, p. 6136—6139.
107. Stafford L. F. and Tolbert С W. Shapes of oxygen absorption
lines in the microwave frequency region.— J. Geophys. Res., 1963, v. 68, N 11,
p. 3431—3435.
108. Stogryn D. E. and Hirschfelder J. O. Contribution of bound
metastable and free molecules to the second virial coefficient and same properties
of double molecules.—J. Chem. Phys. 1959, v. 51, p. 1531—1546, Errata, 1960,
v. 33, p. 942—943.
109. S t r a i t о n A. W. and T о 1 b e r t С W. Radio propagation measurements
in the 100 to 118 kMc spectrum.—IRE Wescon Convention Record, 1959, v. 3,
part 1, p. 56—64.
110. Taur Y. and Kerr A. R. Low-noise Josephson mixers at 115 GHz
using recyelable point contacts.—Appl. Phys. Let., 1978, v. 32, N 11, June 1,
p. 775—777.
lll.Tinkham M. and Strandberg M. W. P. Theory of the fine
structure of the molecular oxygen ground state.—Phys. Rev., 1955, v. 97, N 4,
p. 937—951.
112. Tolbert С W. and Straiton A. W. Experimental measurement of
the absorption of millimeter radio waves over extended ranges.— IEEE Trans,
on Antennas and Propagation, 1957, v. AP-5, p. 239—241.
80

113. Tolbert С. W. and Straitin A. W. An analysis of recent
measurements of atmospheric absorption of millimetric radio waves.— Proc. IRE, 1961,
v. 49, N 3, p. 649—655.
114. U 1 a b у I. T., Fung A. and Moore R. Microwave remote sensing:
Active and passive (in 2 volums).— New York: Addisson—Wesliy. Pub. Co.
Advanced Book Program World Science Divison, 1981.
115. Van Vleck J. H. The absorption of microwaves by oxygen.— Phys.
Rev., 1947, v. 71, N 7, p. 413—424.
116. Van Vleck J. H. The absorption of microwaves by uncondensed
water vapor.—Phys. Rev., 1947, v. 71, N 7, p. 425—433.
117. Van Vleck J. H. and Weisskopf V. F. On the shape of collision
broadened lines.—Rev. Modern Phys., 1945, v. 17, N 2 and 3, p. 227—236.
118. Vanvlict A. H. F., Degraauw J., Lidholm S. and Van-
d e s t A. H. A low noise heterodyne receiver for astronomical obserwations
operating around 0,63 mm wavelenght.— Int. J. Infrared and Millimeter Waves, 1982,
v. 3, N 6, Nov, p. 817—823.
119. Waters J. W. Absorption and Emission of microwave radiation by
atmospheric gases, in Methods of Experimental Physics.— Mecks M. L. Ed.
v. 12. Part B. Radio Astronomy.—Academic Press. 1976, Section 2, 3, p. 345.
6 Заказ № 124

Крохотный факт стоит целой кучи
несбыточных грез.
Р. Эмерсон
ГЛАВА 2
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАПЕЛЬ ПО РАЗМЕРАМ
ВВЕДЕНИЕ
В современной литературе для описания распределений капель
по размерам в облаках используются либо вид плотности
распределения, либо отдельные числовые характеристики, которые
хорошо описывают те или иные свойства распределений.
Для того чтобы не загромождать Справочник, в него включены
только основные понятия и обозначения теории вероятностей и
математической статистики, которые необходимы исследователю
для понимания и использования содержания книги в
непосредственной работе. Это прежде всего относится к теоретическим
параметрам математической статистики и к числовым
характеристикам случайной величины. Краткие сведения об этом приводятся
в п. 2.1 и 2.2. Подробное изложение вопроса можно найти в
работах [1, 10, И, 13,16, 27, 29, 30, 32].
Опыт показывает, что основное время исследователя уходит
на освоение практических методов получения параметров,
входящих в формулу для плотности распределения. Для облегчения
этой работы в Справочнике большое место уделяется
практическому определению вышеуказанных параметров на примере
гамма-распределения.
Как известно, долгие годы исследователям для изучения был
доступен лишь диапазон мелких капель — от 1 до 20 мкм. В
настоящее время этот диапазон размеров капель продолжает
оставаться определяющим при описании водности и других
физических характеристик облаков. В этой главе рассматриваются все
известные разновидности функций плотностей распределения
мелких капель по размерам, которые встречаются в реальных
облаках.
В 60-х—70-х годах в облаках почти всех форм были
обнаружены не известные до этого крупные (20—100 мкм) и
сверхкрупные (100—1500 мкм и более) капли. Хотя их концентрация
в облаках невелика и они вносят весьма малый вклад в водность
82

облака, однако они оказывают существенное влияние на
распространение ММ и СБММ волн в облаках. В этой главе представлены
•современные сведения о плотности распределений и концентрации
крупных и сверхкрупных капель в облаках основных форм.
Наконец, в этой главе приводятся реальные распределения
капель по размерам отдельно для трех фракций размеров капель
(мелкие, крупные и сверхкрупные), которые используются для
расчетов в настоящем Справочнике.
2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
К числу теоретических параметров математической статистики
относятся: случайная величина, вероятность, функция
распределения, плотность распределения и моменты распределения
(начальные и центральные). Подробное описание этих параметров и их
свойств можно найти в любом учебнике и книге по теории
вероятностей и математической статистике. В Справочнике приводятся
лишь определения этих параметров.
Случайная величина. Радиус капель или частиц г следует
рассматривать в качестве случайной величины.
Вероятность. Обозначим вероятность того, что случайная
величина г принимает значения из интервала ? ^ г ^ ? + Аг через
Р(г<г<г + Дг), (2.1)
где г — конкретное значение г.
Функция распределения. Функция распределения F(r)
описывает вероятность того, что случайная величина г примет значение
меньше какого-то заранее известного значения ?:
F(f) = P(r <f). (2.2)
Иначе функцию распределения случайной величины называют
интегральной функцией распределения.
P(r1<r<r2) = F(r2)-F(r1). (2.3)
Плотность распределения. Важнейшей характеристикой закона
распределения случайной величины является плотность распреде-
ления f(r):
f(r)= hm — Лг > (2-4)
ИЛИ
f (r) = lim F(' + *r)-F(n = F> (,). (2.5)
6*
83

Таким образом, плотность вероятности является первой
производной интегральной функции распределения и показывает
плотность, с которой случайная величина распределена в данной точке
(рис. 2.1). Между рассмотренными параметрами существует
следующая связь:
г2 г2
P(rl<r^tr2) = F(r2)-F(rl) = $F'(r)dr=\f(r)dr. (2.6)
f(r)
Рис. 2.1. Пример гистограммы
Р мкм плотности распределения
частиц по размерам.
Моменты распределения — начальные и центральные.
Начальным моментом s-ro порядка для непрерывной случайной величины
или s-м моментом распределения случайной величины называют
величину
Ms
j rsf(r)dr.
(2.7)
В общем случае вместо начальных моментов рассматривают
момент относительно какой-то точки, например с:
M(r — c)s= \ (r — c)sf(r)dr.
(2.8)
Наибольший интерес представляют моменты относительно
среднего значения распределения, т. е. когда с=М\ — математическое
ожидание. Эти моменты называются центральными, а s-й
центральный момент описывается выражением
W
s = M{r-Ml)s= \ (r -M{)sf (r) dr.
(2.9)
84

Центральные и начальные моменты связаны соотношениямиг
Hi=0, (2.10)'
li2 = M2 — M2u (2.11)
цз = М3 - ЗМ2М{ + 2Мь (2.12)
щ = М4 — 4M3Mi + 6М2М? — ЗА!*. (2.13>
2.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Во многих практических задачах не всегда удается получить
закон распределения случайной величины, а иногда в этом нет и
особой необходимости. В этом случае достаточно знать
приближенные величины, характеризующие то или иное свойство
распределения. Такими величинами являются числовые характеристики
случайной величины: математическое ожидание, мода, дисперсия
и среднеквадратическое отклонение, коэффициенты асимметрии
и эксцесса.
Математическое ожидание — среднее значение. Математическое
ожидание, или среднее значение случайной величины вычисляется
по формуле
м _ гхРх + г2Р2 + ... + rtP,
Е пЪ
Р, + Р2 + ... + Pi ^ Pl
(2.14)
или
S rf(r)dr
S t(r)dr
— СЮ
Однако, как известно,
сю
j f(r)dr=l, (2.16)
—сю
поэтому окончательно имеем
сю
Af,= j rf{r)dr (2.17)
—сю
при условии, что рассмотренный интеграл сходится.
Мода распределения. Мода распределения гш — то значение
случайной непрерывной величины, при котором плотность
распределения принимает максимальное значение. Таким образом, мода
8S

распределения характеризует наиболее вероятное значение
случайной величины.
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Для
дискретных и непрерывных случайных величин дисперсию можно
вычислить соответственно по формулам
lx2 = D=£(ri-M1)2P<, (2.18)
i
оо
^2 = D = J (г — М,)2 f (r) dr. (2.19)
—оо
Поскольку дисперсия характеризует рассеяние случайной
величины около его центра группирования — математического
ожидания, то напомним, что чем меньше дисперсия, тем в более узком
интервале сосредоточены значения случайной величины. Удобнее
вычислять дисперсию по формуле
D = M2— Mi (2.20)
Среднеквадратическое отклонение случайной величины о связано
с дисперсией соотношением
o = <y/D. (2.21)
Значение о имеет размерность случайной величины.
Коэффициент асимметрии. Представление о том, симметрична
.ли функция плотности распределения, дает третий центральный
момент:
SK = \xJo\ (2.22)
Величину SK называют коэффициентом асимметрии.
Коэффициент эксцесса. Представление о виде кривой
плотности распределения в окрестности моды распределения дает
четвертый центральный момент. Коэффициент эксцесса Еп вычисляется
по формуле
Ек = щ/а4 — 3. (2.23)
Среднеквадратический и среднекубический радиусы
распределения. Среднеквадратический радиус распределения гС2
рассчитывается по формуле
i
я среднекубический радиус распределения гс3 по формуле
(2.24)
/■«,= ,/ ' ' Д „ =Л/М3, (2.25)
i
где £ Ni = N — общее число капель в выборке.
i
m

Размер капель, дающих максимальный вклад в сечение. В
атмосферной оптике большое значение имеет такой параметр
распределения, как радиус капель, дающий максимальный вклад в
геометрическое сечение, — rs. Для определения этой величины
необходимо рассмотреть функцию r2f(r)idr, т. е. подынтегральное
выражение для второго начального момента, взять производную от
этого выражения и приравнять ее к нулю. В результате решения
полученного уравнения можно найти связь rs с известными
параметрами распределения.
Г(г)
1
Р б гт rc1rc2rcJ rs rq г
Рис. 2.2. Графическое изображение числовых
характеристик гамма-распределения.
Размер капель, дающих максимальный вклад в водность.
В метеорологии важным параметром является размер капель,
который дает максимальный вклад в водность облака,— rq. Для
получения этой величины необходимо обратиться к
подынтегральному выражению третьего начального момента — r3f(r) dr.
Берется производная от этого выражения и приравнивается к нулю.
Из решения полученного уравнения находится связь rq с
параметрами распределения.
На рис. 2.2 на примере плотности гамма-распределения
приводится приблизительное расположение на оси абсцисс числовых
характеристик в зависимости от возрастающего значения
радиуса капель распределения. В связи с тем, что распределение
несимметричное, среднее значение гс\ не совпадает с модой rm
распределения. Наименьшее значение приходится на а, а
наибольшее— на rq. Последовательностью величин числовых
характеристик на рис. 2.2 можно грубо оценить правильность вычисленных
значений характеристик распределения.
2.3. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
МЕЛКИХ ОБЛАЧНЫХ КАПЕЛЬ
РАЗМЕРОМ ОТ 1 до 20 мкм
Образование облаков — формирование капель и их
полидисперсной структуры — результат различных физических процессов,
происходящих в облаке. До настоящего времени теоретически эти
87

-процессы еще не обоснованы и нет теоретических формул,
позволяющих предсказать то или иное распределение капель по
размерам в облаках. Правда, были попытки на основе описания тех
или иных физических процессов получить приближенные формулы
[2, 8, 14, 31, 46]. Однако к успеху они пока не привели. Поэтому
исследователи экспериментально получают полидисперсные
спектры капель по размерам и подбирают эмпирические функции,
способные удачно аппроксимировать то или иное распределение.
Из-за несовершенства техники эксперимента до 60-х годов
исследователям был доступен диапазон размеров капель радиусом от
1 до 20 мкм. Этот диапазон мелких капель явился предметом
детального изучения. Обзор эмпирических функций для аэрозолей
проведен в [35], а неполный краткий перечень для капель в
облаках— в [20]. Результаты зарубежных и отечественных
исследований по микроструктуре облаков до 1960 г. обобщены в [7, 24].
Исследования показали, что гистограммы распределений облачных
капель (см. рис. 2.1) в основном одномодальные и асимметричные
с положительным коэффициентом асимметрии. Ниже
рассматриваются основные типы эмпирических формул, предложенные для
описания распределения мелких облачных капель по размерам,
наиболее характерные параметры плотностей распределения и их
численные характеристики.
2.3.1 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСТА
Анализируя многочисленные данные наблюдений зарубежных
исследователей по распределению капель дождя по размерам
в 1950 г. Бест предложил простую формулу распределения [41].
Оказалось, что указанное распределение хорошо аппроксимирует
известные до этого распределения Лауса—Парсона и Маршалла—
Пальмера. Далее, обработав многочисленные экспериментальные
данные Мазура, Дима, Фрита и Хегемана по распределению
капель по размерам в слоисто-кучевых облаках, в 1951 г. Бест [42]
показал, что им получено очень удобное распределение, которое
можно свободно использовать для описания распределений капель
по размерам в облаках. Однако для облачных капель
потребовались уже другие значения параметров, входящих в формулу.
Распределение Беста, куда входит интегральная функция водности
F(d), описывается выражением
F(d) = l-exp[-(4-r], (2.26)
где
d
F{d) = -%- ( d3f(d)dd. (2.27)
dmin
Функция F(d) характеризует часть массы воды, приходящуюся
на капли, диаметром не более d> в единице объема; аят0 — пара-
88

метры распределения. Перейдя в формуле (2.26) от интегральной
функции распределения к дифференциальной, получаем:
fw=-t<
m0dm°-4
exp
[-(4-У
(2.28)
или
т0 — 4
f(d) = A(T'-*exp
[-(4-Л
(2.29)
Как показали исследования, нет определенной зависимости
между параметром то и формой облака. Среднее значение т0 для
40 г мкм
Рис. 2.3. Типичные кривые распределения капель
по размерам в облаках [24].
/ — кучевые облака хорошей погоды; 2 — мощные
кучевые; 3 — слоисто-кучевые; 4 — высокослоистые; 5 —
слоисто-дождевые; 6 — слоистые.
различных форм облаков составляет 3,27. Что касается параметра
а, то он резко меняется в зависимости от формы облака.
Обнаружена корреляция между величиной а и водностью q облака: q =
= 1,1 • КНа1,79, где q выражено в г/м3 [24]. Типичные кривые
распределений капель по размерам в облаках, согласно [24],
представлены на рис. 2.3.
2.3.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ХРГИАНА—МАЗИНА
Используя многочисленные отечественные экспериментальные
данные по исследованию микроструктуры облаков различных
форм [5], в 1952 г. А. X. Хргиан и И. П. Мазин [33, 34] предло-
89

жили использовать для описания плотности распределения капель
по размерам простую формулу:
f(r) = Ar2exp(-br), (2.30)
где Л — нормировочный множитель, а Ь — параметр распределения
с размерностью, обратной размерности г. Для облаков слоистых
форм (слоистых, слоисто-кучевых и слоисто-дождевых)
коэффициент корреляции между данными наблюдений и значениями,
рассчитанными по формуле (2.30) достигает примерно 0,993—0,997.
Параметр b меняется в этих облаках от 0,537 до 0,327 мкм-1 [33].
Позже мы увидим, что формула (3.30) является частным случаем
гораздо более общего гамма-распределения с параметром а = 2
(см. п. 2.3.5).
Сравнение формул (2.30) и (2.55) показывает, что параметр b
распределения Хргиана—Магина связан с параметром р гамма-
распределения соотношением fe = l/p. Для среднего значения
гамма-распределения имеем rci=(a+l)p (см. табл. 2.5). Однако
в случае распределения Хргиана—Мазина а = 2. Поэтому для
распределения Хргиана—Мазина получим rci =(2+1)Р=ЗР.
Следовательно, параметр b распределения Хргиана—Мазина равен: 6 =
= 3/гС1. Таким образом, плотность распределения
Хргиана—Мазина зависит только от одного параметра — математического
ожидания, или среднего размера rci распределения.
Как показали дальнейшие исследования, формула (2.30)
удобна для описания размеров капель крупнокапельной фракции
(d^lO... 30 мкм) облаков [20]. Для сравнительно малых капель
(dtt4... 10 мкм) формула (2.30) не дает удовлетворительных
результатов. Кроме того, эта формула не пригодна для
использования, если облако характеризуется узким спектром размеров
капель. Одновременно удобством формулы (2.30) является то, что
для характеристики спектра распределения капель по размерам
в облаке достаточно знать всего лишь один параметр
распределения— средний радиус капель распределения.
Как показывают многочисленные исследования микроструктуры
облаков, само облако весьма неоднородно по отношению к
распределению капель по размерам. Имеется огромная разница между
вершиной, серединой и нижней кромкой одного и того же облака.
Более того, расположенные буквально рядом два или три импак-
тора капель показывают совершенно различные спектры
распределения капель по размерам. Для того чтобы как-то характеризовать
распределение капель по размерам в облаке, приходится осред-
нять не только показания различных импакторов, но и брать
среднее по всей толщине и ширине облака. Ясно, что чем меньше
параметров входит в формулу плотности распределения, тем
удобнее найти характерный параметр распределения. В этом
отношении формула (2.30) удобна, так как она характеризуется лишь
одним параметром. Ясно, что такая грубая характеристика, как
средний размер капель, может использоваться только для
характеристики сравнительно однородных облаков, например облаков
90

слоистых форм. Однако когда речь идет о конвективных облаках,
тем более в стадии развития, то использовать эту возможность
следует с большой осторожностью. Это можно делать в крайнем
случае, когда других характеристик облака нет. Тем не менее
в настоящее время в результате многочисленных исследований
микроструктуры различных форм облаков была получена сводка
данных для умеренных широт СССР по среднему размеру ка-
Таблица 2.1
Средний радиус распределения для облаков различных форм
(распределение Хргиана—Мазина)
Форма облаков St Sc Ns Ac Cu hum. Си med. Си cong.
Гс1 . . 4,5 5,0 5,5 4,7 3,0 4,0 6,0
пель — как бы стандартные данные для того или иного облака.
Эти значения гс\ приводятся в табл. 2.1 [23, 28]. Число капель
в единице объема определяется из следующего соотношения: N»
~ 1,1 • 105-g/rci, где q — средняя водность в г/м3, а гс{ — в
микрометрах [28].
2.3.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЛЕВИНА —
ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
В 1952—1953 гг. в Эльбрусской экспедиции ИПГ АН СССР
использование разработанных там же поточных ловушек облачных
капель [17, 21, 22] позволило накопить обширный
экспериментальный материал по микроструктуре облаков. Анализируя
полученные распределения, Л. М. Левин пришел к выводу [18] о том, что
эти распределения хорошо аппроксимируются логарифмически:
нормальным законом распределения [14]:
где ое — среднеквадратическое отклонение логарифма радиуса
капель, го—медиана распределения (редко используемая
характеристика распределения)—такое значение на оси г (см. рис. 2.2),
для которой одинакого вероятно г > г0 и г < го. В случае
симметричного распределения значение г0 совпадает с гт и rci.
Для того чтобы установить, удовлетворяет ли рассматриваемое
распределение логарифмически нормальному закону, существует
простая методика, описанная в [32]. Необходимо по оси абсцисс
отложить логарифм радиуса капель, а по оси ординат [20]
у =ф-1 [#(/■)], (2.32)
9В

где H{r)—функция распределения выборки, т. е. относительное
число капель в пробе радиусом меньше г, а Ф-1 — функция,
обратная нормированной функции нормального распределения:
Ф(г) =
У2л _{
e-t2l2dt.
(2.33)
Если при нанесении графика использовать
вероятностно-логарифмическую сетку (рис. 2.4) ([32], с. 115), то в этих координатах
логарифмически нормальное распределение изобразится прямой
о)
mrJ(5 лъг20 тгб тя1 mf+6 лг1+2б гп^Зб
| j
I У
6)
j
/
г
и^
Г
0 1 2 3 4 5 6 7 в 9 10 11 12 13 /4 15
Шкало интервалов группировки
I I i I i I i I i ! . I i I i I
10
15
20
25
30
35 v мкм
Рис. 2.4. Вероятностная бумага [32].
92

линией. В [20] приведены примеры выпрямленных накопленных
диаграмм распределений облачных капель по размерам (рис. 2.5).
Причем пересечение прямой с осью абсцисс дает In г0, а тангенс
угла наклона прямой с осью абсцисс дает значение ае. Здесь же
показано, что в реальных облаках ое меняется от 0,25 до 0,52 и
Ф~>[Н(2г)]
Рис. 2.5. Выпрямленные накопленные диаграммы логарифмически
нормального распределения [20].
Номера кривых соответствуют смещенным по вертикали началам координат.
что распределение Хргиана—Мазина в большом диапазоне
размеров капель хорошо аппроксимируется логарифмически
нормальным законом распределения. Одновременно следует отметить, что
логарифмически нормальное распределение является аналитически
не простым, поэтому оно редко используется, тем более в
теоретических исследованиях (например, сложен процесс его
интегрирования совместно с другими функциями).
2.3.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ШИФРИНА
Для описания функций распределений дождевых и облачных
капель в 1953—1954 гг. К. С. Шифриным [26, 36, 37] предложена
четырехпараметрическая формула плотности распределения:
93

О, г < О,
(2.34)
Yo» Po> M-o — параметры распределения, а Г — гамма-функция.
Если уоФ\у то выражение (2.34) называется обобщенным гамма-
распределением. Величины |Ыо и у0 принимают положительные или
отрицательные значения, но обязательно одного знака; Ло и (Зо —
положительные. Распределение (2.34) — несимметричное. Слева
от моды кривая ведет себя как парабола вида х»\ а справа —
как ехр (—(Зо*70), т. е. справа распределение характеризуется
длинным медленно спадающим «хвостом». Относительная ширина
распределения Ае зависит только от параметра \хо:
Де = 2,48/У|^> (2.35)
а параметры jli0 и р0 просто выражаются через Де и гт:
|^о = 6,15/(Де)2, р0 = [6,15/(Де)2](1/гт). (2.36)
В работах [38, 40] разработана методика определения
параметров этого распределения. С помощью общей формулы,
вытекающей из
°С v R rVo r(v+l)/Yo
JA0rve-^ =A0 ^v + 1)/To , (2.37)
могут быть вычислены любые моменты распределения и другие
его характеристики. В частности, с помощью выражений (2.34) и
(2.37) легко можно найти число частиц в единице объема N,
водность q, средний гс\ и среднеквадратическии г& радиусы капель
распределения:
N — А Г ((M.Q+ D/Vo) /2 38\
N — Л° -o(Ho+D/Vo ' ^'М>
_^„ Л Г((и0 + 4)/уо)
УЖ
?— 3 Р°Л° vR(Ho + 4)/Vo ' ^'dy>
Г (([Яр + 2)/уо
YoPo
R(|Lio+2)/7o
Г((ио + 3)/у0)
_ - rnHo-t-dJ/yoJ /94n
;—Л° q(Ho + 3)/Yo * ^Л1'
Если имеется экспериментальный материал по микроструктуре,
то для определения параметров распределения в вышеуказанных
работах предлагается «метод совмещения». Он позволяет по
совмещению теоретических и экспериментальных кривых в некоторых
характерных точках п, г2 и гш распределения (рис. 2.6) опреде-
94

лить параметры Ло, М-о, Yo и р0. Для четырех параметров требуются
четыре условия [37]:
м_л Г(0ю + 1)/уо)
_ ° R(Ho+l)/Vo
YoW
Ро =
Цо
Yor.
.Yo
ИЛИ
г _/ 1*о У/У»
Гт V, PoYo / '
г л #.^/>— M-o/Vo
L-rm — /10' m^ »
Lj2 = AorVe
.Vo
Рис. 2.6. Характерные точки четы-
рехпараметрического распределения
Шифрина.
(2.42)
(2.43)
(2.44)
(2.45)
Этих условий вполне достаточно для определения всех
четырех указанных параметров. Если е = г/гш> то
_Ji2. (i_eYo)
f{r) = Lm^e Vo , (2.46)
и для определения двух параметров [io и у0 получим уравнения
N _ Г((Мо + 1)/уо)в^о/Уо
Гт^гг
1/2 = еГе
Yo Wvo)(,io+1)/V»
£.(,-70
(2.47)
М-0Л Vo
(2.48)
Из этих трансцендентных уравнений и можно определить \х0 и
Yo. Заметим, что ei = ri/rm и е2 = Г2/гт. Для простоты
воспользуемся не интегральным условием (2.42), а конкретным условием,
когда f(r)=Lm/2. В этом случае решение задачи сводится к
решению системы уравнений
/(е„ Yo) = /(ea, Yo). (2.49)
(l/2)1Mo = f(eb yo), (2.50)
где f(&u Yo) — функция двух переменных следующего вида:
/(ei, Yo) = e^
l/Vo (l-eVo)
(2.51)
Таким образом, задача заключается в нахождении величины yo,
которая удовлетворяет уравнению (2.49) при заданных ei и е2,
95

а затем вычислению jj,0 по уравнению (2.50). В [38] показано,
что если обозначить
lne, = fe0> ln(l/e2) = 50, (2.52)
то решение уравнения (2.49) можно представить в виде
*-ТГ+"'(-&-)■ (2"53)
Значения функций ty~l(x) =i|>~1 (~т—) из [38] приводятся
в табл. 2.2. Теперь, получив ty~l(x) по формуле (2.53), можно
определить у0 по формуле (2.50) и значение \х0 по формуле
In 2
lnf (бЬ Yo) '
Функция г|?-1(#) распределения Шифрина [38]
(2.54)
Таблица 2.2
яр-»
Ч>-
*-
Ч>-
00
,02
,04
,06
,08
,10
,12
,14
,16
,18
,20
,22
,24
,26
,28
,30
,32
,34
0 36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
-284
-121,0
—72,6
—49,9
—37,2
—29,0
—23,6
— 19,4
—16,5
— 14,2
— 12,3
—10,8
—9,62
—8,53
—7,63
—6,93
—6,23
—5,70
—5,16
—4,73
—4,33
—3,97
—3,65
—3,31
—3,08
—2,82
—2,57
—2,40
—2,18
—2,04
— 1,84
— 1,70
— 1,49
— 1,43
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
1,34
1,36
1,38
— 1,30
— 1,18
— 1,05
—0,96
—0,83
—0,74
—0,67
—0,55
^0,48
—0,42
—0,33
—0,27
—0,19
—0,12
—0,06
0,000
0,061
0,12
0,18
0,23
0,28
0,33
0,37
0,41
0,45
0,49
0,55
0,57
0,61
0,65
0,69
0,73
0,77
0,81
0,84
1,40
1,42
1,44
1,46
1,48
1,50
1,52
1,54
1,56
1,58
1,60
1,62
1,64
1,66
1,68
1,70
1,72
1,74
1,76
1,78
1,80
1,82
1,84
1,86
1,88
1,90
1,92
1,94
1,96
1,98
2,00
2,05
2,10
2,15
2,20
0,87
0,90
0,93
0,96
0,99
1,02
1,05
1,07
1,09
1,11
1,13
1,16
1,19
1,21
1,23
1,25
1,27
1,29
1,31
1,33
1,35
1,37
1,39
1,41
1,43
1,45
1,47
1,49
1,51
1,53
1,54
1,58
1,62
1,66
1,70
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
3,10
3,20
3,30
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
4,00
4,10
4,20
4,30
4,40
4,50
4,60
4,70
4,80
4,90
1,74
1,77
1,80
1,83
1,86
1,89
1,92
1,95
1,98
2,01
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,19
2,24
2,28
2,32
2,36
2,40
2,44
2,48
2,52
2,55
2,58
2,61
2,64
2,67
2,70
2,73
2,76
2,78
2,81
5,00
5,10
5,20
5,30
5,40
5,50
5,60
5,70
5,80
5,90
6,00
6,50
7,00
7,50
8,00
8,50
9,00
9,50
10,0
11,0
12,0
13,0
14,0
15,0
16,0
17,0
18,0
19,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
50,0
2,84
2,87
2,89
2,91
2,93
2,95
2,97
3,00
3,02
3,04
3,06
3,17
3,27
3,36
3,44
3,52
3,59
3,66
3,72
3,84
3,94
4,04
4,13
4,21
4,29
4,37
4,44
4,51
4,57
4,84
5,06
5,25
5,41
5,55
5,67
96

Используя таблицу f (ei, у0) из [37] (табл. 2.3), авторы [38]
составили таблицу для определения \х0 по формуле (2.54) (табл. 2.4).
Зная ei и ег, параметры уо и \х0 можно определить из табл. 2.2 и
2.4. Параметр А0 является параметром нормировки. Если норми-
Таблица 2.3
Функция f(s\lyo) распределения Шифрина [37]
Vo
0,0
0,2
0,4
0,5
0,6
0,8
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
оо
Vo
0,0
0,2
0,4
0,5
0,6
0,8
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
оо
ei
0,3
1,000
0,8746
0,7804
0,7408
0,7082
0,6499
0,6041
0,5252
0,4729
0,4387
0,4135
0,3993
0,3844
0,3000
1,6
1,000
0,9754
0,9531
0,9418
0,9286
0,9040
0,8731
0,8058
0,7334
0,6538
0,5763
0,4762
0,3994
0,0000
0,5
1,000
0,9549
0,9161
0,8980
0,8826
0,8511
0,8243
0,7710
0,7275
0,6949
0,6673
0,6513
0,6320
0,5000
1.8
1,000
0,9635
0,9284
0,9083
0,8885
0,8503
0,8087
0,6975
0,5873
0,4723
0,3652
0,2488
0,1674
0,0000
0,6
1,000
0,9745
0,9523
0,9419
0,9326
0,9122
0,8951
0,8591
0,8263
0,8003
0,7774
0,7643
0,7462
0,6000
2,0
1,000
0,9514
0,9002
0,8736
0,8456
0,7922
0,7358
0,5876
0,4464
0,3106
0,1984
0,1004
0,0470
0,0000
0,8
1,000
0,9949
0,9909
0,9879
0,9859
0,9810
0,9771
0,96S4
0,9578
0,9492
0,9398
0,9360
0,9276
0,8000
2,2
1,000
0,9357
0,8697
0,8373
0,8012
0,7330
0,6626
0,4831
0,3225
0,1859
0,0910
0,0302
0,0081
0,0000
1,0
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
I 2,5
1,000
0,9150
0,8267
0,7817
0,7352
0,6470
0,5577
0,3455
0,1810
0,0715
0,0200
0,0025
0,0002
0,0000
1,3
1,000
0,9924
0,9845
0,9825
0,9767
0,9708
0,9630
0,9412
0,9207
0,8970
0,8758
0,8406
0,8174
0,0000
3,0
1,000
0,8784
0,7551
0,6939
0,6315
0,5160
0,4059
0,1803
0,0549
0,0087
0,0054
0
1,5
1,000
0,9835
0,9660
0,9571
0,9469
0,9291
0,9097
0,8560
0,8026
0,7431
0,6849
0,6045
0,5431
0,0000
4,0
1,000
0,8100
0,6272
0,5412
0,4581
0,3156
0,1988
0,0364
0,0020
0
ровать распределение (2.34) к iV-числу частиц в 1 см3, то
получим формулу (2.38). Если под f(r) понимать плотность
распределения, то в формулах (2.34) и (2.38) необходимо принять N
равным единице. Изменение параметра А0 эквивалентно изменению
масштаба по оси ординат.
Как показывают наблюдения, чем больше параметров имеет
плотность распределения, тем с большей точностью и гибкостью
она может описать экспериментально полученное распределение.
7 Заказ № 124
97

Таблица 2.4
Значения величин ц0 распределения Шифрина [38]
Vo
8
0,3
0,5
0,6
0,8
1,0
1.3
1,5
1,6
1,8
2,0
2,2
2,5
3,0
4,0
0,0
0,2
0,4
0,5
0,6
0,8
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
со
со
5,17
2,80
2,31
2,01
1,61
1,38
1,08
0,926
0,841
0,785
0,755
0,725
0,576
со
15,0
7,90
6,51
5,55
4,30
3,59
2,67
2,18
1,90
1,71
1,62
1,51
0,999
со
26,9
14,1
11,6
9,93
7,54
6,26
4,57
3,87
3,11
2,75
2,58
2,36
1,36
со
136,8
75,2
56,8
48,5
36,3
29,8
21,7
16,1
13,3
11,2
10,5
9,23
з,и
со
со
со
со
со
со
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
оо
91,2
44,3
39,1
29,2
23,5
18,4
11,4
8,38
6,38
5,22
3,99
3,44
0
оо
41,8
20,1
15,8
12,7
9,41
7,32
4,46
3,15
2,34
1,83
1,38
1,14
0
оо
27,9
14,4
11,6
9,35
6,87
5,33
3,21
2,24
1,63
1,26
0,934
0,755
0
оо
18,6
9,32
7,20
5,86
4,28
3,26
1,92
1,30
0,924
0,688
0,498
0,388
0
оо
13,9
6,61
5,14
4,13
2,98
2,26
1,30
0,859
0,593
0,428
0,302
0,227
0
оо
10,4
4,96
3,90
3,13
2,23
1,68
0,953
0,612
0,412
0,289
0,198
0,144
0
оо
7,80
3,64
2,82
2,25
1,59
1,19
0,652
0,406
0,263
0,177
0,116
0,084
0
оо
5,34
2,47
1,90
1,51
1,05
0,769
0,405
0,239
0,146
0,133
0
0
0
оо
3,29
1,49
1,49
0,889
0,601
0,429
0,209
0,112
0
0
0
0
0

Однако в то же время увеличение числа параметров приводит
к усложнению формул и ограничению их применения.
Рассмотренное распределение характеризуется оптимумом параметров, что
позволяет при простоте самой формулы с достаточной степенью
точности описать любую одномодовую кривую распределения,
а при рассмотрении суммы нескольких функций (2.34)—и
полимодальные распределения. Вместе с гамма-распределением
распределение (2.34) широко используется в оптике мутных сред
для описания дисперсных сред.
2.3.5. ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
В математической статистике плотность распределения вида
[13]
О, г < О,
Г М ^ п (2-55)
-ехр[ p-J, r>0,
принято называть гамма-распределением. Это распределение
в свое время было подробно изучено К. Пирсоном (1894 г.).
Согласно классификации Пирсона, гамма-распределение относится
к III типу по Пирсону [39].
В 50-х годах автор этих строк в Эльбрусской экспедиции ИПГ
АН СССР руководил научными исследованиями распространения
видимых волн в естественных облаках. Микроструктурные
измерения для этих целей обеспечивал отдел микроструктурных
измерений, которым руководил Л. М. Левин. Во время совместных
обсуждений, сопоставляя спектральные кривые ослабления,
полученные экспериментально, с теоретическими кривыми, которые
получались с использованием данных измерений микроструктуры,
Л. М. Левин пришел к выводу, что вместо логарифмически
нормального распределения (см. п. 2.3.3) для целей атмосферной
оптики удобнее и проще использовать гамма-распределение.
Удобство заключается в том, что в интеграл для вычисления
спектрального коэффициента ослабления
Г» (Я) = \ nr2Nf (г) Ко (т, р) dr (2.56)
входит плотность распределения. Теперь, если Ко(т, р) —фактор
эффективности ослабления одной каплей — представить в
аналитическом виде и иметь простое выражение для f{r), то интеграл
(2.56) можно вычислить и представить в аналитическом виде.
Тогда можно проанализировать, каким образом Г0 зависит от X и
параметров распределения. Было ясно, что нормально
логарифмическое распределение для этих целей непригодно. Тогда Левин для
решения вопроса вынужден был привлечь гамма-распределение.
В то время еще не была опубликована монография Г. Ван-де-
Хюлста [9] и не было известно, каким образом сложную функцию
/(Ф
7*
99

Ko{rn, p) от бесселевых функций можно представить в
аналитически простом виде.
Л. М. Левин впервые представил функцию К0(т, р) для воды
при п= 1,333 в виде несложной формулы, в качестве f{r)
использовал гамма-распределение и, проинтегрировав уравнение (2.56),
получил аналитическое выражение для Г0(А,) [19]. Расчеты по
аналитической формуле Г0 (А,) [19] спектральных коэффициентов
ослабления в видимой области спектра для облаков различных
типов в то время хорошо совпали с нашими результатами:
во-первых, с экспериментально измеренными спектральными
коэффициентами ослабления, во-вторых, со спектральными кривыми
ослабления, которые были рассчитаны нами на основе микроструктуры
облаков, полученных экспериментально отделом Левина.
С этого времени (1957 г.) все микроструктурные данные в Эль-
брусской экспедиции ИПГ АН СССР обрабатывались по методике
обработки данных гамма-распределения, которые подробно
разработаны Левиным [20]. В настоящее время гамма-распределение
является наиболее универсальным из распределений, применяемых
исследователями для описания микроструктуры не только
облаков различных форм, но и для характеристики микроструктуры
туманов, дождей и града. Понимая важность этого распределения,
ниже мы приводим подробное описание гамма-распределения и
разработанного метода обработки экспериментального
микрофизического материала.
Гамма-функция распределения, или интегральная
гамма-функция описывается выражением
^«.р(г) =
{ rae-r^dr
г >0,
0J Г(«+1)Ра + 1 ' ^ * (2.57)
О, г < О,
где Г(а+1) —Г-функция, которая определяется с помощью
интеграла Эйлера:
оо
Т(а+1)=\е-ЧаМ. (2.58)
о
При целом положительном а:
Г(а+ 1) = о!=о(а— 1)(а — 2) ... 2 • 1,
Г(а+ 1) = оГ(о), Г(а) = (а—1)Г(а-1), (2.59)
оо
Г(2)=1 • Г(1), r(l)=je-'df=l.
о
Существуют различные методы вычисления интеграла (2.57).
Остановимся на одном из них.
Рассмотрим выражение
1 - Fa, р (г). (2.60)
100

Легко видеть, исходя из (2.60), что интеграл (2.57) можно
записать с другими пределами интегрирования:
Fa 9(t)=i — \ —Lf ££_. (2.61)
%* l Г(а+1)ра+1 V '
Применив к уравнению (2.61) последовательное
интегрирование по частям, получим:
F., „>-1 -[. +f+Мт)'+тг(т)' +тг (тЛ •""••
(2.62)
Этим выражением можно пользоваться для практических
расчетов Fa, р(г) При Г > 0.
Кроме того, функцию (2.57) можно записать в следующем
виде:
'-.w-JWnr(T)*'"'"-T- <263)
Введем новую переменную zo = t/$. Тогда из формулы (2.63)
получим:
г° zae~~Zodz
0 ^ ' /
Функция
1° ф"г°
Ya (г0) = \ Г(ц+1) dz0 (2.65)
носит название неполной гамма-функции. Функцию Fa>p(r) =
= Ya(^o) иначе называют «накопленной» функцией. Значения
функции (2.65) затабулированы и приводятся во многих справочниках.
Если fa, р(0—плотность гамма-распределения согласно
выражению (2.55), то
оо
Fa.t(r)=\fa.t{r)dr=l. (2.66)
о
Проверим, так ли это. Для этого рассмотрим интеграл
оо
В(а)=$—^A^dr (2.67)
о Р
и сделаем замену переменных: zo = r/p, dr = $dzo. Тогда из (2.67)
получим
оо оо
В (a)== j (2оР)Д<рР ^ = j g^2a rf2() = r (а + ]} (2>68)
0 Р 0
7* 101

Используя выражения (2.55) и (2.66), находим:
оо
Fep(r)= l a + l \e-r/*radr= * (°> =1, (2.69)
a'p w T(a+l)pa + 1 0J Г(а+1) v
что и требовалось доказать. Таким образом, для всех
действительных значений а>—1, р>0 выражение (2.55) описывает
плотность гамма-распределения. Кривые плотности
гамма-распределения приводятся на рис. 2.7 при р = 1 и a = 0,1 и 3. Как видно,
Рис. 2.7. График плотности рас-
J пределения — гамма-распределение
6 г мкм при Р = 1, а = 0,1 и 3.
из рисунка, все кривые fa, р(0 асимметричны с положительным
коэффициентом асимметрии. Подобные кривые характерны для
всех встречающихся кривых распределений облачных капель.
Кроме того, положительным является и эксцесс распределений,
т. е. вблизи максимума кривая плотности гамма-распределения
проходит круче, чем в случае нормального распределения.
Значения основных характеристик гамма-распределения можно
вычислить согласно п. 2.2, однако мы их воспроизводим из [201
(табл. 2.5).
Теперь обратимся к следующему вопросу: если имеется
экспериментальный материал по микроструктуре облака, т. е.
распределение капель по размерам, то каким образом обработать его для
получения параметров гамма-распределения? С этой целью
Л. М. Левиным разработана специальная методика [20], основные
положения которой мы приводим ниже.
Эта методика основана на выпрямлении накопленной
диаграммы экспериментального материала. Точно так же, как и при
использовании вероятностной сетки, при выпрямлении
логарифмически нормального распределения (см. рис. 2.2) по оси ординат
откладывается z = y~1 [Н(г)], а по оси абсцисс — г. (Здесь Н(г) —
относительное число капель в выборке радиусом менее г Hf1 —
функция, обратная неполной гамма-функции с индексом а; см.
формулу (2.65).) Если Н(г) близко к распределению Fap(r) =
= Ya(>7P) (см. выражение (2.64)), то в указанных координатах
получится прямая z0=r/p, которая пройдет через начало
координат. Для того чтобы удобно и быстро осуществить это, следует
заранее подготовить линейки. Для каждого значения а готовится
отдельная линейка, на которую в соответствующем масштабе
102

Таблица 2.5
Основные числовые характеристики гамма-распределения [20]
п/п
Числовые характе ристики
Значения величин
1 Мода распределения гт
2 Радиус капель, дающих
максимальный вклад в
геометрическое сечение, rs
3 Радиус капель, дающих
максимальный вклад в водность, rq
4 s-й начальный момент М,
5 Средний радиус ге\=М\
6 Среднеквадратический радиус
Гс2= Л/ М2
7 Среднекубический радиус
гс3= <tfMs
8 Дисперсия распределения
D = o2 = M2 — Ml2
9 Коэффициент асимметрии S&
10 Коэффициент эксцесса Eh
Ра
Р(а + 2)
Р(а + 3)
Г(а + *+1)
1 Г(а+1)
Р(а+1)
Рл(а+1) (а+ 2)
р^(и + 1) (а + 2)(а + 3)
Р2(а+1)
2(а+1)"1/2
l£[H(r)\
Р б ^ . ^с; ^с2 Ъг ^ rq r
Рис. 2.8. Схема определения основных
характеристик распределения по выпрямленной
накопленной диаграмме [20].
103

Таблица 2.6
Значения функции z=yal[H(r)] гамма-распределения [20]
Н{г)
—1
v0
—1
Vl
1
v2
_1
v3
_1
v4
1
v5
—1
v6
_1
ь
_1
v8
—1
^9
—1
*10
0,002
0,005
0,01
0,02
0,05
0,1
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
—
—
0,011
0,022
0,051
0,106
0,164
0,224
0,288
0,358
0,432
0,511
0,598
0,693
0,799
0,917
1,051
1,204
—
0,102
0,141
0,213
0,353
0,531
0,683
0,824
0,261
1,098
1,235
1,376
1,527
1,678
1,844
2,023
2,219
2,440
0,233
0,333
0,432
0,564
0,817
1,102
1,330
1,535
1,727
1,914
2,098
2,285
2,476
2,674
2,883
3,106
3,348
3,616
0,292
0,656
0,828
1,014
1,364
1,742
2,038
2,295
2,534
2,763
2,988
3,211
3,439
3,673
3,918
4,176
4,456
4,763
0,862
1,077
1,277
1,528
1,968
2,432
2,785
3,089
3,368
3,633
3,892
4,148
4,406
4,671
4,946
5,238
5,550
5,893
1,257
1,526
1,775
2,078
2,606
3,150
3,533
3,903
4,218
4,517
4,806
5,091
5,379
5,671
5,974
6,293
6,633
7,008
1,696
2,023
2,319
2,679
3,278
3,891
4,345
4,736
5,081
5,410
5,727
6,039
6,352
6,670
7,000
7,344
7,712
8,113
2,183
2,763
2,896
3,297
3,978
4,651
5,152
5,573
5,956
6,311
6,654
6,991
7,328
7,670
8,023
8,392
8,782
9,212
2,716
3,116
3,495
3,948
4,688
5,431
5,972
6,426
6,836
7,220
7,586
7,947
8,306
8,670
9,043
9,436
9,851
10,303
3,241
3,697
4,127
4,604
5,420
6,144
6,799
7,289
7,725
8,133
8,522
8,905
9,284
9,730
10,062
10,477
10,916
11,387
3,801
4,908
4,756
5,300
6,159
7,018
7,638
8,152
8,620
9,048
9,462
9,864
10,265
10,670
11,084
11,515
11,976
12,474

^ «О -^ т-' CM CD 00 О "tf СЛ CM CM СЛ Ю 00 Ю 00 СЛ CM h-
CMOO-^h-'-'CMCMh-CDOOOOOOOOTFCD^OO 00 h^^-.
O05t^Q5t^Q5CS1005^O00C0^10t^cS tF СЛ CO
оого^тРюююююь-оо^оо^аэоо-^см -^ —< со
слооо^оооосм^ослюсоо^ю^о oo о см
—•CMlOOOOOOOO'-'lOOO^lOOOOOOh- 00 h>- CD
СЛЮСМГ>.СМГ>-О00Г>-'-'Г>-ЮОГ>.^О00 tF СЛ ^
^HCNOOCO'^'^lOlOlOCD'4CD'4r>-00000500 О 0~ 00
CMOOCMOOtFIO'-OO^OOCDCDOCMO^ ^ ^ О
О000000СЛГ>-ЮГ»-00Г>-СМГ>-СЛОСЛГ>-О 00 CD О
COOOO^aiTfh^O^OOTf^cOTfh-.lOTf TfOiO
O* ^ W W W И CO тГ тГ tJ" Ю <C tf> S N 00 Oi" СЛ СЛ~ CO
r>-00O05C0O00'-'CN00r>-00OCD0000O Ю 00 00
ОООООООЬ-ООСЛОЮСОСЛСМСМОСОСМСО 00 CD CM
«ОСМСЛООЬ-СМ^ОО^ЮОООООООО-^СЛ tF СЛ 00
Q5o"o^-^CMCNCN0000^T^i0CDSCD4r>-r>- 00 00 CM
^OOCDOiOOO^CMCDOOh-OOh^aiOiCDh"- CO 00 CD
CDh-OCDCOh-CN^TFTHTFcO^CDtNh'-lO °° ю "^
IQOh^'^lOOiCNlOOOCNh^TfOilOOiCDTf rf СЛ CD
at**»***»»»»*»****
ООСЛСЛООО^^^СМСМООООтРт^ЮСО Г>- h>- CM
TFOOh-COCDOOOO^COCDCOOOCMOilOOOO -^ CM СЛ
СМОСЛООЬ-ООСМО'-'СЛЬ-СМОО^ЮЮСЛ 00 Ю ^
т^СЛ^СЛСМСОСЛСМЮОООООт^^т^^ОО tF СЛ tJ«
^h^OOOOOiOioToOo'^CNcicOCO^T^ CD~ CD~ CM
L0CMCil0l0OTf<OCD00CDh>-00^OOh>. r>-TfCD
h>-CMCDh>-ai00OCDl0^CD00»-*OCMOCM Г>- Tf CO
СМЬ-СМС0СЛ00О00т-«ЮСЛЮОС0СЛС000 tJ« СЛ CM
<Ос0Г>-Г>.Г>-000000СЛСЛСЛО^^^СМС0 ю Ю* <N
^CD^CDt^cOt^cSCD0505CO^COOIOO CM CM О
^_^^000000т^00Ю00О0005т^юг>.Ю t>- CO О
^lOO00CDOCMTfh-Ol0O'«t,O00aiCD rf СЛ О
L0lOCDCDCDr>-t^tCr>.00000505OOO'^ Tf Tf CM
_
CM
о
о
00
CM
"tf
CM
^
h-
Ю
О
CM
00
00
Ю
"tf1
о
r^
ел
CM
ел
ел
Ю
00
00
СЛ
,_)
CM
Ю
ел
00
00
00
T*«
CM
ел
CD
ел
r^
CM
CD
ел
**?
CD
T*«
Ю
СЛ
CM
00
^
lOlOlOlOCDcDCDcD
00 00 СЛ СЛ
00
a>
CD
ю
ел
ел
00
r^
00
о
CD
CD
О
СЛ
00
ел
CD
^
ТГ
00
00
00
CM
Ю
ТГ
ТГ
^
CD
о
Ю
Ю
00
Ю
00
00
_,
r^
r^
00
CD
_
о
СЛ
Ю
00
T*«
Tt<
о
00 ^
00 -*
CM CM 00 00 00
CD CD CD
CM ~ ~
Ы
00
00
о
со
00
СЛ
00
_
CM
*—'
00
о
00
1^
CM
Ю
^
CD
CD
ТГ
00
CD
СЛ
ел
о
CM
CM
1^
о
Ю
о
ел
о
о
см
о
о
CD
ю
см
00
"tf h- О
^ У—I О
т*« 00 О
^ ^ ^ СМ
смсмсмсмсмоооооо
ю
^
о
00
ю
00
00
00
о
ел
см
СЛ
00
СЛ
CD
СЛ
1^
ел
00
ел
00
ел
ел
ел
ел
ел
ел
ел
ел
ел
105

наносятся по оси ординат значения z=y^1 [Н(г)]у а по оси
абсцисс— значения г. Располагая набором таких линеек, легко
подобрать такое а, при котором экспериментальная прямая проходит
через начало координат. Имея подобный график, теперь очень легко
найти все числовые характеристики гамма-распределения.
Действительно, ординате 2=1 будет соответствовать параметр р
распределения, значению z= У (а+1) (а + 2) будет соответствовать на
[Н(2г)}%
сз
<о
сз
* ZJ
Qj
а;
99
98
95
90
во
.70.
50
30
10
2
1
:»
— 10
8
6
- 4
2
f81W2r)] /
'- /
/i
/ \\
/ !!
/1 !'
- / f2rc2=H,2MKM '' 2гс3=11,7мкм
/ I ! i l \\\/ I I I I I
О
2
6 д 10 12 14 16 18 2гмкм
Рис. 2.9. Пример построения выпрямленной
накопленной диаграммы распределения облачных капель
по размерам при а = 8 [20].
оси абсцисс гС2 и т. д. (рис. 2.8). Для облегчения нахождения
параметров гамма-распределения по предложенной методике мы
воспроизводим из [20] таблицы значений Н(г) и z=y^ [H(r)] для
десяти значений а — от 1 до 10 (табл. 2.6). В этом интервале
значений а находятся реально встречаемые распределения капель по
размерам в облаках и туманах. В табл. 2.6 приводятся значения
22, 2з и г* (где г2=У(а+1)(а + 2), £з = У (а+ 1) (а + 2) (а+3) и
2а=У(а+1))> которые связывают гС2, гсз и среднеквадратическое
отклонение о с параметром распределения Р : rC2 = Z2$, гсз = £зР
и а = гр.
Используя табл. 2.6, можно легко построить вышеуказанные
линейки для каждого значения а. Пример построения
гамма-распределения по экспериментальным данным из [20] приводится на
рис. 2.9. За основу построения взята табл. 2.7 — т. е. исходные
данные из [20]. Из рис. 2.9 получены следующие параметры гамма-
распределения: а=8; Р = 1,18; jV=1035. Для проверки
правильности полученных параметров в табл. 2.8 приводится пример расчета
106

гамма-распределения по этим данным. Сравнение табл. 2.7 и 2.8
указывает на хорошее согласие данных. Различие в значениях
Л/Гэкс = 1035 (см. табл. 2.7) и МТеоР=1026 (см. табл.
2.8)—результаты допущенного приближения в расчетах.
Обработанные в Эльбрусской экспедиции [20] по этой методике
микроструктурные данные по облакам и туманам показали, что
Таблица 2.7
Исходные данные примера построения гамма-распределения [20]
Интервал
диаметров, мкм
N
r1{d) %
Интервал
диаметров, мкм
Н (d) %
4—6
6—8
8—10
10—12
12—14
2#
94
155
222
234
156
1035
9,1
24,1
45,5
68,1
83,2
14—16
16—18
18—20
20—22
22—24
102
41
22,3
7,3
1,2
93,1
97,0
99,2
99,9
100,0
как в естественных условиях, так и в камере туманов
распределения с индексами а = 0 и а = 2 встречаются редко (табл. 2.9).
Наиболее часто встречаются распределения с а = 8. Дальнейшие
исследования показали, что гамма-распределение очень хорошо
описывает и распределение капель дождя (а=1... 3) и твердых
осадков с малыми значениями а. Следует еще раз напомнить, что
распределение Хргиана—Мазина является частным случаем гамма-
распределения при а = 2, а само гамма-распределение является
частным случаем четырехпараметрического распределения —
обобщенного гамма-распределения Шифрина.
В табл. 2.10 сопоставлены параметры двух распределений:
гамма-распределение — а и логарифмически нормальное
распределение— ое [20]. Согласно рис. 2.5, облачным каплям
соответствуют значения ае = 0,27... 0,36. В этом случае табл. 2.10 лишний
раз подтверждает вывод, полученный Л. М. Левиным в ранних
исследованиях: облачным каплям должны соответствовать гамма-
распределения с большими значениями а. Таким образом, для
облачных капель должно быть <х«6... 10, а не а=2, как это
принято в распределении Хргиана—Мазинав
В настоящее время в нашей стране наблюдается упрощенный
подход к описанию микроструктуры облаков. Большинство
исследователей предпочитают иметь дело с простым случаем гамма-
распределения—распределением Хргиана—Мазина, где, как
известно, для характеристики распределения достаточно иметь один
параметр — средний радиус распределения. Все встречающиеся
в облаках распределения стараются описать и включить в
широкий спектр распределения Хргиана—Мазина. Однако известно, что
распределение Хргиана—Мазина пригодно для облаков слоистых
107

Таблица 2.8
Пример расчета параметров гамма-распределения [20]
Интервал
диаметров,
мкм
d
мкм
d»
d/P
e-dlb
d*e-dlb
fid)
f (d) dd,
dd=2 мкм
Nf(d)dd =
4—6
6—8
8—10
10—12
12—14
14—16
16—18
18—20
20—22
22—24
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
3,9062-105
5,7648-106
4,3046-107
2,1436-108
8,1573-108
2,5629-109
6,9757-109
1,6983-1010
3,7823-1010
7,8311 -1010
4,2373
5,9321
7,6270
9,3219
1,1016-Ю1
1,2711 -101
1,4406-101
1,610b101
1,7796-10J
1,9491-101
1,4446-10-2
2,6529-10-3
4,8712-10-4
8,9443-10-5
1,6436-10-5
3,0177-10-6
5,5405-10-7
1,0172-10-8
1,8676-10-8
3,4290-10-9
5,6428-103
1,5293-104
2,0968-104
1,9173-104
1,3407-104
7,7341-103
3,8649 -103
1,7275-103
7,0638-102
2,6852-102
3,1561-Ю-2
8,5514-10-2
1,1725-10-1
1,0721-10-1
7,4968-10-2
4,3246-10~2
2,1611-10-2
9,6597-10-3
3,9498-10-3
1,5015-10-3
6,3122-10-2
1,7103-10-]
2,3450-10-]
2,1442-lO"1
1,4993-10-1
8,6492-10-2
4,1222-10"2
1,9319-10-2
7,8996-10-3
3,0030-10-3
2 = 0,9909
65,33
177,01
242,70
221,92
155,18
89,52
42,66
20,00
8,18
3,11
2 = 1026
Примечания: 1. В столбце 2 для расчета f(d)=dse~ ^[Г(а+1)ра+ ]~1 необходимо брать среднее значение интервала
(5, 7, 9 мкм и т. д.), при расчетах F(d) следует брать конец интервала (6, 8, 10 мкм и т. д.). 2. В столбце 8 окончательное
значение 2 должно равняться 1; отличие полученного значения (0,9909)—результат приближения в расчетах. 3. В столбце 9
получено значение 2 = Ю26 вместо 2 = Ю35— результат приближенного расчета.

форм и узкие распределения они описывают плохо. Кроме того,
как показано в [20], для подавляющего большинства облаков а =
= 6... 8, а облака с а = 2 встречаются очень редко (см. табл. 2.9).
Тем не менее в настоящее время и для кучевых, и для кучево-
Таблица 2.9
Сравнение повторяемости значений а, определенных в камере туманов
и в облаках [20]
а 0 2 4 6 8
Повторяемость, %
камера 0 3,2 15,4 17,4 64,0
облако ... 1,0 2,6 12,5 12,5 71,4
дождевых облаков стараются применить распределение Хргиана—
Мазина, поскольку работать с ним гораздо легче, чем с
гамма-распределением. Однако ради повышения точности результатов ис-
Таблица 2.10
Сопоставление величин а и ае (для гамма- и логарифмически нормального
распределений) [20]
а 0 1 2 3 4 6 8 10 14
ое 0,92 0,63 0,52 0,45 0,41 0,35 0,30 0,28 0,24
следований и информативности материала следует шире
использовать гамма- и обобщенное четырехпараметрическое распределения
в практике микрофизических исследований облаков.
2.3.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕРМИДЖЯНА *
Независимо от разработанного и опубликованного в нашей
стране распределения Шифрина Дермйджян предложил и
использовал в своих работах четырехпараметрическое распределение для
описания широкого диапазона распределений [12]:
f (r) = A{rai exp [-VVl], 0 < г < оо. (2.70)
Распределение (2.70) Дермйджян назвал модифицированным
гамма-распределением в отличие от гамма-распределения, которое
получается из выражения (2.70) при yi=1- Постоянные Аи ai, fei
и yi — положительные и вещественные числа, причем ai — целое
число. Параметры распределения (2.70) можно найти следующим
образом. Проинтегрировав уравнение (2.70), получим:
оо
N = Ai\ra'exp[-blry']dr=AlyTlbT{ai + l)ly'T(^±±-), (2.71)
* Диран Дейрменджан во время встреч и частных бесед с автором этих
строк в СССР сетовал на то, что в Америке и в СССР неправильно
транскрибируют его фамилию. Отдавая дань уважения памяти маститого ученого и
коллеги, в настоящем Справочнике мы приводим его фамилию в том виде,
в котором он считал нужным.
109

откуда, зная общее число капель в единице объема N, можно
определить постоянную величину Аи Если продифференцировать
уравнение (2.70), то получим:
JW- = Airat -' («i - уФггъ) ехр [-ЬУ]. (2.72)
Уравнение (2.72) имеет три корня: два из них при г = 0 и г =
= оо, а третий корень находится из условия (c&i — yibiryi) =0.
Отсюда можно определить моду распределения:
'»=Ш'". -» »--^-. <2-73>
f(rJ = M,rSexp(—2|-). (2.74)
Таким образом, если зафиксировать c&i и Yi» то постоянная
будет определяться только значением «модального» радиуса гт.
Можно найти и другие числовые характеристики этого
распределения.
Основной заслугой Дермиджяна является то, что из обширного
разнообразия распределений капель и частиц, встречающихся
в атмосфере, он выделил наиболее характерные, отличительные
особенности тех или иных распределений и предложил как бы
классификацию — стандартизацию распределений: для облаков,
туманов, дождей, кристаллов, града и вообще аэрозолей.
Подробное описание характерных признаков, по которым отобраны
распределения, читатель может найти в [12]. Здесь же приводится
таблица параметров некоторых распределений из [12] (табл. 2.11)
и кривые распределения (рис. 2.10 и 2.11) [12]. Отметим, что
дымка М характерна для морских и прибрежных аэрозолей.
Изменив длину волны и увеличив размеры капель до миллиметров
при одновременном уменьшении N, получим распределение
дождевых капель по размерам. Дымка L характерна для аэрозолей
континентального происхождения и распределений дождевых
капель по размерам в слабом и умеренном дожде. Дымка Н
описывает распределения высотного и стратосферного аэрозоля.
Увеличив размер и длину волны до сантиметров, получим распределение
града по размерам (см. рис. 2.10, табл. 2.11). Из кривых
распределений, представленных на рис. 2.11, модель С.1 характеризует
кучевые облака умеренной толщины, модель С.2 — облака,
дающие венцы (распределение почти симметричное и узкое). Модель
С.З характерна для размеров капель в перламутровых облаках.
Это распределение используется для исследования колец Бишопа
в облаках. Модель С.4 на рис. 2.11 не приводится, но ее легко
получить из Модели С.З при перемещении оси абсцисс влево на две
единицы. Это распределение характерно для облаков, дающих
двойные венцы. Все распределения Дермиджяна подобраны таким
образом, что с их помощью можно описать любое распределение,
110

Таблица 2.11
Модели распределений капель по размерам [12]
Тип
распределения
Vi
f(rm)
-—[dlnf(r)]>\
>4
Объем частиц,
см3 [12]
Дымка М
Дождь М
Дымка L
Дождь L
Дымка Н
Град Н
100 см-3 5,3333-104 0,05 мкм
100 м"3 5,3333-105 0,05 мм
100 см"3 4,9757-106 0,07 мкм
1000 м-3 4,9757-107 0,07 мм
100 см-3 4,0000-105 0,10 мкм
10 м"3 4,0000-104 0,10 см
Кучевое облако С.1 100 см~3 2,3730
4,00 мкм
Облако С.2
Облако С.З
Облако С.4
100 см"3 1,0851-Ю-2 4,00 мкм
100 см-3 5,5556 2,00 мкм
100 см"3 5,5556 4,00 мкм
1 0,5 8,9443 360,9 см-3-мкм-1 г^ 1,25 мкм 4,948-Ю-11
1 0,5 8,9443 3609 м^-мм"1 г^1,25 мм 4,948-10~7
2 0,5 15,1186 446,6 см-3-мкм-1 г^0,63 мкм 1,167-10-"
2 0,5 15,1186 4466 м-3-мм-1 г ^s 0,63 мм 1,167-Ю-7
2 1 20,0000 541,4 см-3-мкм-1 г^0,30 мкм 3,142-Ю"12
2 1 20,0000 54,14 м-з-см-1 г^0,30 см 3,142-Ю-7
6 1 3/2 24,09 см-3-мкм-1 г^6,67 мкм 6,255 10~8
8 3 1/24 49,41 см-3-мкм-1 г ^4,58 мкм 3,016-Ю"8
8 3 1/3 98,82см-3-мкм-1 г^2,29 мкм 3,770-Ю"9
8 3 1/3 98,82см-3-мкм-1 г^4,29 мкм

и, что очень важно, сложением и вычитанием данных из табл. 2.11
в любой желаемой пропорции можно получить дополнительные
«композиционные» модели, характеризующие то или иное
распределение частиц по размерам.
N(r) см~^
10~2 Ю'1
, ,,,| Рис. 2.10. Функция распределения ча-
10й г мкм
стиц дымок по Дермиджяну [12].
Рис. 2.11. Функция распределения
облачных частиц по Дермиджяну
[12].
N(r) cm'j
п2 СЗ
г мкм
2.4. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ОБЛАКАХ
СВЕРХКРУПНЫХ КАПЕЛЬ РАЗМЕРОМ ОТ 85
ДО 1500 мкм И БОЛЕЕ
До конца 50-х годов в нашей стране и за рубежом в основном
применялись ловушки [20] или импакторы [44] для непосредст-
112

венного улавливания капель облаков с целью дальнейшего изучения
микроструктуры. В этом случае объем, из которого осаждались
капли на подложку, не превышал 1 см3. Ясно, что сверхкрупные
капли (радиусом от 85—100 до 1500 мкм и более),
концентрация которых в облаке мала, не могли регистрироваться
ловушками и импакторами. В 60-х годах в связи с развитием безымпак-
торных методов изучения микроструктуры облаков открылась
возможность изучения крупных (радиусом от 20 до 85—100 мкм)
и сверхкрупных капель. В последние годы высокого уровня
развития достигли оптико-электронные анализаторы спектра
размеров капель. Современный обзор зарубежных анализаторов и
техники, используемой при этом, приводится в работе [45]. В нашей
стране подобные приборы, разработанные в ЦАО [25],
использовались для изучения микроструктуры облаков на специальных
самолетах-лабораториях Ил-18 в ГГО и ЦАО. В настоящее время
с помощью вышеуказанных приборов установлено [3, 4, 47, 48],
что крупные и сверхкрупные капли присутствуют в облаках
любых типов. Несмотря на то, что концентрация указанных капель
в облаке мала, как показывают исследования, при малом вкладе
в водность они существенно влияют (через рассеяние) на
радиационные свойства облаков.
За короткое время накоплен большой объем данных
наблюдений по распределениям сверхкрупных капель радиусом от 85 до
1500 мкм и более в облаках различных форм. Установлено, что
в этом диапазоне размеров капель распределение подчиняется
степенному закону [23, 28]:
fir) = JLil^(JLft (2.75)
C=lj$f(r)dr9 (2.76)
где С — нормировочный множитель, Pi— параметр распределения
(принимает значения от 3 до 10 в зависимости от формы облака),
г — радиус капель (мкм). Соотношение (2.75) справедливо до
значения радиуса капель rmax, при котором число капель в
единице облака N = 0,2 м-3. Тогда rmax в облаке определяется из
соотношения
/-тах = (5Л^1)Р1-185, (2.77)
где Ni — число капель радиусом более 85 мкм в единице объема
(м-3). Практически считается, что капли радиусом г > rmax в
облаке отсутствуют. Если распределение в облаке начинается не
с г=85 мкм, а, например, с 100 мкм, то в формулах (2.75) и
(2.77) вместо 85 необходимо подставить 100 мкм. Как показали
исследования, в различных облаках разброс параметров Pi и Ni
очень велик, причем Ni не зависит от толщины облака. Типичные
8 Заказ № 124
113

осредненные значения Pi и N± для отечественных облаков
различных форм согласно [23, 28] приводятся в табл. 2.12. Таким
образом, можно дать следующую характеристику сверхкрупным
каплям в облаках [28]. В облаках St и Sc величина Л^ меняется от
О до 103, причем в тонких облаках Ni = 0. Величина Pi меняется
от 3 до 12. Для облаков St в среднем Pi = 3, а для Sc Pi = 5.
Значение Гщах при этом не превосходит 500 мкм для St и 400 мкм
Таблица 2.12
Характерные параметры распределений
сверхкрупных капель в облаках [23, 28]
Форма
облаков
Sc
St
Ns
Си hum.
Си med.
Си cong.
Picp
6,3
7,6
5,0
10,0
4,0
5,0
Ni м-3
2 103
103
103
20
102
4 102
rmax MKM
500
400
1000
300
600
1000
для Sc. В облаке Си hum. значение N± мало (почти равно нулю),
а в Си med. Л/^i = 100 м~3. В облаках Си cong. и Ns значение Ni =
= 102... 103 м-3, pi = 4... 5, a rmax~ Ю3 мкм.
0.6
Диаметр капель
! \ \ | Рис. 2.12. Функция распределения сверх-
10 12 /4 мм КРУПНЫХ капель по размерам [48]
(верхняя кромка кучевого облака).
1) 2450—3350 м; 2) 3350—4150 м; 3) 4150 м.
Зарубежные данные по сверхкрупным каплям обобщены в
работах [47, 48], причем особого внимания заслуживают данные по
микроструктуре мощных кучевых и тропических ливневых облаков
(рис. 2.12 и 2.13). Распределения эти также подчиняются
степенному закону, а параметры распределений будут рассмотрены ниже,
в п. 2.7.
114

Рис. 2.13. Функция распределения
сверхкрупных капель по размерам [48] для
тропического ливневого облака.
Кривая
N м-
q г/м3
А
В
С
D
2 • 102—3
3 • 103—2
3 • 103—8
1 • 103—3
103
104
103
103
1,0—33,1
32,0—213
33 -163
3,3—116
. ю-з
Ю-3
Ю-3
ю-3
Е — измерение во время выпадения осадков.
200 400 600 мкм
Диаметр капель
2.5. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ОБЛАКАХ
КРУПНЫХ КАПЕЛЬ РАЗМЕРОМ ОТ 20 ДО 85 мкм
Как указывалось выше, в связи с развитием оптических
методов исследования микроструктуры капель в последние годы
расширился традиционный диапазон исследования капель размером
от 1 до 20 мкм. Наблюдения показали, что в диапазоне г от 20 до
10 30 50 мкм
Диаметр капель
Рис. 2.14. Функция
распределения крупных капель по
размерам для мощного кучевого
облака [48].
25 50 75 мкм
Диаметр капель
Рис. 2.15. Функция
распределения крупных капель по
размерам для тропического
ливневого облака (фиг. 3 [48]).
8*
115

85 мкм плотность распределения капель по размерам описывается
гамма- или степенным законами распределения [23, 28].
Распределения по размерам капель этого диапазона еще недостаточно
хорошо изучены, поэтому и точных сведений очень мало. Укажем
лишь, что для мощного кучевого и тропического ливневого
облаков [48] приводятся распределения, которые воспроизведены на
N см~"
10 г мкм
Рис. 2.16. Обобщенная диаграмма возможного
распределения капель в облаках умеренных
широт СССР [28].
1 — максимальные концентрации; 2 — распределение
при а=2, 4=0,4 г/м3, гс = 4,5 мкм, Р = 6, ЛГ10о=Ю2 м-3,
rmax = 400 мкм; 3 — область наиболее вероятных
концентраций.
рис. 2.14 и 2.15. Эти распределения описываются
гамма-распределениями, а параметры будут рассмотрены ниже, в п. 2.7. В других
работах (см., например, [23]) распределение крупных капель в
облаках описывается степенным законом:
f(r)-
С(р,-1)
20
W •
(2.78)
где С — нормировочный множитель, a Pi — параметр
распределения. Выше указывалось, что для характеристики микроструктуры
реальных облаков следует пользоваться осредненными данными.
Обобщая многочисленные данные по микроструктуре облаков
умеренных широт СССР, авторы [6] приводят обобщенную диаграмму
распределений, которая включает в себя максимальную, среднюю
и минимальную кривые распределения капель по размерам в
облаках (рис. 2.16) [23, 28]. Заштрихованная область — это область
наиболее вероятных распределений капель в облаках. Сплошные
кривые, ограничивающие заштрихованную область,— это
распределения, которые объединили надежно известные данные по двум
116

диапазонам — от 1 до 20 мкм и от 85 до 1500 мкм и более. Эти
кривые позволяют сделать вывод и о распределении крупных
капель диапазона от 20 до 85 мкм. Штриховая кривая на рис. 2.16 —
средняя кривая распределения, характеризующая облака
умеренных широт СССР (в дальнейшем мы будем называть ее
«стандартной» кривой — Medi). Сплошная кривая, ограничивающая
заштрихованную область справа,— максимальная кривая для
распределения капель в облаках умеренных широт СССР
(«максимальная» кривая — Maxi). Как показали расчеты, распределения
крупных капель на рис. 2.16 для кривых Medi и Maxi
подчиняются степенному закону (см. уравнение (2.78)) со следующими
параметрами: Medi — Pi = 6, #i=l,54 м~3; Maxi — Pi=4, Ni =
= 20 м-3. Очевидно, дальнейшие наблюдения позволят накопить
достаточный материал для получения надежных характеристик и
этого диапазона размеров капель.
2.6. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАПЕЛЬ
ПО РАЗМЕРАМ ДЛЯ ОБЛАКОВ, ДАЮЩИХ ОСАДКИ
Как показали совместные исследования советских и
американских ученых по программе АТЭП в восточной зоне тропической:
Атлантики [3, 4, 49], размеры сверхкрупных капель несколько
больше в облаках, дающих мелкокапельные осадки и морось.
Конденсация и турбулентность при наличии мощных облаков приводят
к увеличению скорости роста крупных капель и к появлению
бимодального распределения. При сильных восходящих потоках
могут иметь место и многомодальные или полимодальные
распределения [49]. Исследования показали, что бимодальные
распределения [49] описываются модифицированным гамма-распределением
с различными значениями модального радиуса гт [15, 49]:
'«-^■ч-г-ш
(2.79)
Параметры распределения Л2, аг, уг, rm, q и N для каждого из
распределений приводятся в табл. 2.13 [15, 43, 49] по классифика-
Таблица 2.13
Параметры распределения капель по размерам в дождящих облаках [15, 43, 49]
Тип
распределения
С.5
С.6
Дождь L
Дождь U
Дождь 10
Дождь 50
А2
0,55066-Ю-2
0,50705-Ю-3
0,69346-Ю-2
0,69346-Ю-2
0,41535-Ю-11
1,38927-Ю-17
а2
1,0
1,0
0,5
0,5
1,0
1,0
V2
4,0
2,0
2,0
2,0
4,0
6,0
гт
6,0
20,0
70,0
70,0
363,3
600,0
N см-1
ю2
1
10"3
10"2
10"3
10"3
q г/м3
2,977-Ю-1
2,541-Ю-1
1,00-ЛО-1
1,000
5,089- Ю-1
2,101
117

ции Дермиджяна [12]. Бимодальное распределение получается
путем комбинации облака С.5 (г от 1 до 30 мкм) с каким-либо из
облаков, представленных в табл. 2.13, у которого мода находится
в области сверхкрупных капель.
2.7. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАПЕЛЬ ПО РАЗМЕРАМ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В НАШИХ РАСЧЕТАХ
Для наших расчетов отобраны распределения капель по
размерам для основных форм облаков. Микроструктурные данные
включают три вышеуказанных диапазона размеров капель: от 1
Таблица 2.14
Параметры распределения мелких капель (от 1 до 45 мкм) в облаках
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
Тип облаков
Sc
St
Ns
Ac
As
Medi
Maxi
Cu hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong.
Cu cong.
Cb (max)
Cb (min)
(max)
(min)
MKM
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
MKM
20,0
20,0
20,0
20,0
20,0
20,0
20,0
20,0
20,0
20,0
35,0
35,0
45,0
45,0
P
1,566
1,5
2,166
1,566
1,833
1,500
3,333
1,000
1,333
2,000
1,666
1,666
3,500
3,500
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
6
5
5
N см-3
188
248
117
155
116
472
1000
1987
1,677
925
247
247
55
55
q г/м3
Источник
2,140-10-1
2,085-10-1
2,682-10-1
1,477-10-1
1,724-10-1
3,968-10-1
5,159
4,990-10-1
9,953-10-1
1,735
2,404
2,404
2,965
2,965
'23,
'23,
[23,
23,
23,
23,
23,
23,
23,
23,
:47,
'47,
47,
:47,
28]
28'
28
28
28:
28:
28:
28:
28^
281
48
48
48
48
до 20, от 20 до 85 и от 85 до 1500 мкм и более. Осредненные
значения по многочисленным экспериментальным данным
представлены в табл. 2.14—2.16. Таблица 2.14 включает распределения
мелких капель (от 1 до 20 мкм), и они подчиняются
гамма-распределению. Для случая a = 2 имеем дело с распределением
Хргиана—Мазина (см. п. 2.3.2). По табл. 2.1, зная значение rci,
можно определить р (по формуле rci=(a+l)p) и N (см. п. 2.3.2),
которые и приводятся в табл. 2.14 для всех облаков с а = 2.
Данные для кривых Medi и Maxi определены на рис. 2.16. Параметры
для Cu cong. и Cb облаков рассчитаны нами по кривым
соответственно на рис. 2.12 и 2.13. Таблица 2.15 включает параметры
распределений крупных и сверхкрупных капель в облаках.
Параметры кривых Medi и Maxi рассчитаны нами по кривым на
рис. 2.16. Параметры облаков 3—7 и 10—12 в табл. 2.15
соответствуют табл. 2.12, а для конвективных облаков вычислены
автором: Cu cong. (max)—в соответствии с кривой 3 на рис. 2.12;
Cu cong. (min)—в соответствии в кривой / на рис. 2.12;
118

Таблица 2.15
Параметры распределения крупных и сверхкрупных капель в облаках
п/п
Тип облаков
мкм
Pi
N м-з
q г/м3
Источник
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Medi
Maxi
Sc
St
Ac
As
Medi
Maxi
Cu hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong. (max)
Cu cong. (min)
Cb (max)
Cb (min)
20
20
85
85
85
85
85
85
85
85
200
200
100
100
85
85
500
400
1000
500
1000
300
600
1000
1200
1100
700
400
6
4
6,3
7,6
5,0
6,3
5,0
10,0
4,0
5,0
2,7
2,3
3,0
3,0
1,54 • 106
2 • 107
2 • 103
1 • 103
1 • 103
2- 103
1 • 103
20
1 • 102
4 • 102
1 • 103
1 • 102
2- 104
3 • 103
1,21-10-1
2,909
1,165-10-2
4,698-10-3
9,415-10-3
1,165-10-2
9,415-10-3
7,713-10-5
1,512-10-3
3,766-10-3
4,265-10-1
4,929-10-2
1,026
8,042-10-2
[23, 28]
23, 28]
23, 28]
[23]
[23, 28]
[23, 28]
23, 28]
[23]
[23]
[23]
47, 48]
47, 48]
47, 48]
[47, 48]
Cb (max) —в соответствии с кривой В на рис. 2.13 и Cb (min) —
в соответствии с кривой А на рис. 2.13. Табл. 2.16 включает в себя
данные табл. 2.13. Из всех рассмотренных таблиц легко видеть,
что довольно плохо представлен диапазон размеров капель от 20
до 85 мкм из-за отсутствия надежных данных по этому диапазону.
Таблица 2.16
Параметры распределения капель по размерам в дождящих облаках [15, 43, 49]
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
Тип
распределения
С.5
С.5/10
С.6
Дождь L
Дождь U
Дождь 10
Дождь 50
Г\
мкм
г2
мкм
1,0 30,С
1,0 30,С
1,0 150
20,0 400
20,0 400
80 1000
80 2000
А2
I 0,55066-Ю-2
0,55066-Ю-2
0,50705-Ю-3
0,69346-Ю-2
0,69346-10"2
0,41535-Ю-11
1,38927-10-17
V2
1,0
1,0
1,0
0,5
0,5
1,0
1,0
а2
тт
N
см~3
4,0 6,0 102
4,0 6,0 10
2,0 20,0 1
2,0 70,0 10~3
2,0 70,0 10~2
4,0 383,3 10~3
6,0 600 10"3
q г/м3
2,977-Ю-1
2,977-Ю-2
2,541-Ю-1
uo-1
1,00
5,089-Ю-1
2,101
Все остальные данные — результаты многократного осреднения и
рекомендуются исследователями в качестве средних
характеристик того или иного облака.
Водность облака q (г/м3) вычисляется по формуле
q = ^-\r^Nf(r)dr,
(2.80)
119

Числовые характеристики распределений капель по размерам
Таблица 2.17
№
п/п
Тип облаков
[г =М\ мкм
ГС2 = <у/М2
o=Vd
Время счета
на ЭВМ, мин
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
1
2
Sc
St
Ns
Ac
As
Medi
Maxi
Cu hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong.
Cb (max)
Medi
Max*
Мелкие
(max) и (min)
и (min)
капли,
3,177
3,177
4,365
3,177
3,573
3,177
6,740
1,990
2,781
3,969
9,854
17,96
r=l.
. 20 мкм, r=\...
4,802
4,613
6,480
4,802
5,563
4,613
9,079
3,198
4,135
6,029
11,66
20,65
Крупные капли, г = 20.
24,99
28.74
35 мкм и г-
6,485
5,266
7,383
5,485
6,358
5,266
10,10
3,604
4,708
6,884
12,46
22,14
.. 85 мкм
25,70
30,52
= 1... 45 мкм
7,028
6,452
12,52
7,028
9,480
6,452
19,55
2,756
5,067
11,03
19,35
63,82
36,26
105,3
2,651
2,540
3,539
2,651
3,079
2,540
4,422
1,660
2,251
3,321
4,399
7,989
6,022
10,26
3—4
3—4
3—4
3-4
3—4
3-4
3—4
3—4
3—4
3-4
3—4
3—4
4
4

Сверхкрупные капли, /-=85... 1500 мкм
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Sc и Medi
St
Ns и Maxi
Си hum.
Си med.
Си cong.
Си cong. (max)
Си cong. (min)
Cb (max)
Cb (min)
104,8
100,2
113,7
95,67
125,4
113,7
364,6
389,5
175,1
160,0
107,9
101,9
120,2
96,42
136,7
120,2
411,7
437,8
199,4
172,0
602,7
324,4
1513
144,0
2 957
1513
36 557
39 920
9 103
3 973
24,55
18,01
38,9
12,00
54,38
38,9
191,2
199,8
95,41
63,03
17,23
13,25
35,00
13,01
17,31
34,54
46,52
42,34
24,15
13,25
Сверхкрупные капли в дождящих облаках, г = 85... 1500 мкм и более
1
2
3
4
5
6
7
С.5
С.5/10
С.6
Дождь L
Дождь U
Дождь 10
Дождь 50
6,135
6,135
20,40
33,85
33,85
381,9
610,0
7,504
7,504
30,00
57,17
57,17
464,9
699,6
8,217
8,217
33,15
63,99
63,99
502,5
747,7
11,25
11,25
299,3
825,9
825,9
36 328
69 485
3,350
3,350
17,30
28,74
28,74
190,6
263,6
2,28
2,39
3,4
15,00
15,00
34,20
76,00

или
Г2
9 = 4,18878- 1(Г6 j r3Nf(r)dr, (2.81)
где г — радиус капель (мкм), N— число капель в 1 см3, р0 —
плотность капли, равная 1 г/см3 при t = 4°C.
Числовые характеристики всех рассмотренных выше
распределений приводятся в табл. 2.17, которая дополняет данные
табл. 2.14—2.16.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ар л ей Н., Б у х К. Р. Введение в теорию вероятностей и
математическую статистику.— М.: ГИИТЛ, 1951.— 248 с.
2. Беляев В. И. О распределении по размерам капель в облаке,
находящемся на конденсационной стадии развития.— Изв. АН СССР, сер. геофиз.,
1961, № 8, с. 1209—1213.
3. Биненко В. И., Милентьев В. В. Некоторые результаты
одновременных самолетных измерений радиояркостной температуры и
микроструктуры осадков в период проведения АТЭП.— Труды ГГО, 1976, вып. 371, с. 144—
150.
4. Б и н е н к о В. И., Невзоров А. Н. Результаты измерений
микроструктуры облаков и осадков с самолета-лаборатории ГГО ИЛ-18 в период
проведения АТЭП.—Труды ГГО, 1977, вып. 393, с. 51—54.
5. Боровиков А. М. Некоторые результаты изучения облачных
элементов.—Труды ЦАО, 1948, вып. 3, с. 3—64.
6. Боровиков А. М., М а з и н И. П. Микрофизические характеристики
■облаков. В кн.: Авиационно-климатический атлас-справочник СССР.— М.:
Гидрометеоиздат, 1975, вып. 3, т. 1, ч. 2, с. 127—148.
7. Б о р о в и к о в А. М. и др. Физика облаков/Под ред. А. X. Хргиана.—
■Л.: Гидрометеоиздат, 1961.— 459 с.
8. Буйков М. В., Дехтяр М. И., Д у х и н С. С. К теории
крупнокапельной части спектра облачных капель.— Изв. АН СССР, сер. геофиз., 1963,
№ 4, с. 637—647.
9 Ван-де-Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами.— М.: Изд-во
иностр. лит., 1961.— 536 с.
10. Венце ль Е. С. Теория вероятностей.— М.: Наука, 1969.— 576 с.
11. Гурский Е. И. Теория вероятностей с элементами математической
статистики.— М.: Высшая школа, 1971.— 328 с.
12. Дейрменджан Д. Рассеяние электромагнитного излучения
сферическими полидисперсными частицами.— М: Мир, 1971.— 165 с.
13. Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В. Теория
вероятностей и математическая статистика в технике.— М.: ГИИТТЛ, 1955.— 556 с.
14. К о л м о г о р о в А. Н. О логарифмически нормальном законе
распределения размеров частиц при дроблении.— ДАН СССР, 1941, т. 31, № 2,
с. 99—101.
15. К о н д р а т ь е в К. Я., Биненко В. И. Влияние облачности на
радиацию и климат.— Л.: Гидрометеоиздат, 1984, с. 240.
16. Крамер Г. Математические методы статистики.— М.: Мир, 1975.—
648 с.
17. Левин Л. М. Об осаждении частиц из потока аэрозоля на
препятствие.—ДАН СССР, 1953, т. 91, № 6, с. 1329—1332.
18. Левин Л. М. О функции распределения облачных и дождевых капель
•по размерам.—ДАН СССР, 1954, т. 94, № 6, с. 1045—1048.
122

19. Левин Л. М. О функции распределения облачных капель по
размерам. Оптическая плотность облака.— Изв. АН СССР, сер. геофиз., 1958, № 10,
с. 1211-1221.
20. Л е в и н Л. М. Исследования по физике грубодисперсных аэрозолей.—
М.: Изд. АН СССР, 1961.—267 с.
21. Левин Л. М., Старостина Р. Ф. Некоторые результаты
исследования структуры облаков.—ДАН СССР, 1953, т. 93, № 2, с. 253—256.
22. Л е в и н Л. М., Старостина Р. Ф., Чудайкин А. В.
Аэрозольные ловушки, применяемые в работах Эльбрусской экспедиции. В сб.:
Исследование облаков, осадков и грозового электричества.— Л.: Гидрометеоиздат, 1957,
с. 192—196.
23. М а з и н И. П., Ш м е т е р СМ. Облака, строение и физика
образования.— Л.: Гидрометеоиздат, 1983.— 279 с.
24. Me йс он Б. Д ж. Физика облаков.— Л.: Гидрометеоиздат, 1961.— 542 с.
25. Н е в з о р о в А. Н. Измеритель спектров размеров крупных частиц для
высотного герметизированного самолета.— Труды ГГО, 1972, вып. 276, с. 189—
195.
26. П о л я к о в а Е. А., Ш и ф р и н К. С. Микроструктура и прозрачность
дождей.—Труды ГГО, 1953, вып. 42, с. 84—96.
27. П у г а ч е в В С. Введение в теорию вероятностей.— М.: Наука, 1968.—
368 с.
28. Радиация в облачной атмосфере/Под ред. Е. М. Фейгельсон.— Л.:
Гидрометеоиздат, 1981.— 280 с.
29. Р о м а н о в с к и й В. И. Математическая статистика. Кн. 1. Ташкент:
Изд. АН Уз. ССР, 1961.—637 с.
30. Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории
вероятностей и математической статистики для технических приложений.— М.: Наука,
1969.—511 с.
31. Смолуховский М. Опыт математической теории кинетики
коагуляции коллоидных растворов.— В сб.: Коагуляция коллоидов/Под ред. А. И.
Рабиновича, П. С. Васильева.—М.: ОНТИ, 1936, с. 9—39.
32. X а л ь д А. Математическая статистика с техническими приложениями.—
М.: Изд-во иностр. лиг. 1956.—664 с.
33. Хргиан А. X. Физика атмосферы.—М.: ГИТТЛ, 1953.—456 с.
34. X р г и а н А. X., М а з и н И. П. О распределении капель по размерам
в облаках.— Труды ЦАО, 1952, вып. 7, с. 56—61.
35. Фукс Н. А. Механика аэрозолей.—М.: Изд. АН СССР, 1955.—352 с.
36. Шифрин К. С. К теории радиационных свойств облаков.— ДАН СССР,
1954, т. 94, № 4, с. 673—676.
37. Ш и ф р и н К. С. О вычислении радиационных свойств облаков.— Труды
ГГО, 1955, вып. 46 (108), с. 5—33.
38. Ш и ф р и н К. С О расчете микроструктуры.— Труды ГГО, 1961, вып.
109, с. 168—178.
39. Ш и ф р и н К. С. Введение в оптику океана.— Л.: Гидрометеоиздат,
1983 — 278 с.
40. Ш и ф р и н К. С, Богданова Н. П. К теории влияния тумана на
радиационный баланс.— Труды ГГО, 1955, вып. 46 (108), с. 67—79.
41. Best А. С. The size distribution of raindrops.— Quart. J. Roy. Meteorol.
Soc. 1950, v. 76, N 327, p. 16—36.
42. В e s t A. C. Drop size distribution in cloud and fog.— Quart. J. Roy.
Meteorol. Soc, 1951, v. 77, N 333, p. 418—426.
43. Cox S. K. Radiation characteristics of clouds in the solar spectrum.—
In: Clouds their formation, optical properties and effects/Ed. by. R. V. Hobbs and
A. Deepak.—Academic Press, 1981, p. 241—278.
44. F u с h s N. A. Aerosol impactor (a reviw). Fundamentals of aerosol
science/Ed. by Shaw D. Т.—Publ. by John Wiley &sons. Ins., 1978, p. 1—83.
45. Knollenberg R. G. Techniques for probing cloud microstructure. In:
Clouds, their formation, optical properties and effects/Ed. by Hobbs R. V. and
Deepak A.—Academic Press, 1981, p. 15—93.
123

46. Mason В. J. The evolution of droplet spectra in stratus cloud.— J. Me-
teorol., I960, v. 17, N 4, p. 459—462.
47. P r u p p а с h e r H. R. The microstructure of atmospheric clouds and
precipitation.— In: Clouds, their Formation, optical properties and effect/Ed. by
Hobbs P. V. and Deepak A.—Academic Press, 1981, p. 93—186.
48. P r u p p а с h e r H. R. and К 1 e 11 J. D. Microphysics of clouds and
precipitation.—D. Reidel Publish. Co., 1978. 714 p.
49. Welch R. M., Cox S. K. and Davis J. M. Solar radiation and
clouds.—AMS Meteorol. monog., 1980, v. 17, N 39, p. 1—96.

В научном мышлении всегда
присутствует элемент поэзии. Настоящая
наука и настоящая музыка требуют
однородного мыслительного процесса.
Л. Эйнштейн
ГЛАВА 3
ОСЛАБЛЕНИЕ И РАДИОЛОКАЦИОННОЕ ОТРАЖЕНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
КАПЛЯМИ И ЛЕДЯНЫМИ ЧАСТИЦАМИ ОБЛАКОВ
ВВЕДЕНИЕ
Электромагнитная волна при распространении через облако,
состоящее в основном из жидких капель различных размеров,
рассеивается и поглощается этой полидисперсной средой.
Рассеивающие и поглощающие свойства среды прежде всего зависят от
того, из какого вещества состоит конкретная среда, т. е. каков
комплексный показатель преломления т = п — Ы водяных капель
или ледяных частиц (здесь п — показатель преломления и х —
показатель поглощения). Можно рассмотреть простой случай, когда
т = const, т. е. когда т не зависит от длины волны i излучения
а также от температуры t° воды или льда. Однако в
действительности каждое вещество характеризуется дисперсией и величина т
является сложной функцией длины волны падающего излучения.
В микроволновом диапазоне т также является сложной функцией
температуры капель воды.
Для расчета коэффициентов ослабления и радиолокационного
отражения ММ и СБММ волн облаками необходимо знать
значение т для воды при каждой длине волны и при различных
температурах. Если в сантиметровом (СМ) и в дальнем ММ диапазонах
значения комплексных показателей преломления воды хорошо
известны для любых температур, то этого нельзя сказать
относительно ближнего ММ и СБММ диапазонов. Поэтому в настоящей
главе подробно рассматриваются экспериментальные данные и
теоретические методы расчета п(Х) и к (к) воды в СБММ
диапазоне при различных температурах. В результате анализа данных
для различных длин волн и температур сделан выбор методов и
125

выполнены расчеты п(%) и и(Х) в СБМЛ1 диапазоне для
переохлажденной воды и ледяных сферических частиц при изменении
температуры от 0 до —20 °С через каждые 10 °С. Для тех длин
волн и температур, для которых выполнены экспериментальные
измерения, т. е. имеются конкретные значения величин /г (А,) и
и и(Х), в качестве расчетных данных используются усредненные
значения.
В то же время поскольку облако в основном состоит из
дискретных капель различных размеров, то коэффициент рассеяния
или поглощения зависит от отношения радиуса отдельной капли
к длине волны падающего излучения. Взаимодействие излучения
с веществом дискретной капли в этом случае является предметом
изучения классической электродинамики — строгой теории
дифракции электромагнитных волн на сферической частице. Согласно
этой теории, дифрагирующее свойство сферической капли зависит
и от величины безразмерного параметра р = 2ягД, который
называют параметром дифракции. Таким образом, рассеивающая и
поглощающая способности облака зависят одновременно то
величин р и т дискретных капель из состава облака.
Если пока не учитывать величину т, то в теории дифракции
волн на сферических каплях в зависимости от параметра р
различают три случая: 1) p<Cl или г<С^, 2) р^1 или %ж%у 3) р^>1
или г^>%. В первом случае, когда радиус капель мал по сравнению
с длиной волны падающего излучения, расчеты коэффициентов
ослабления и радиолокационного отражения необходимо
проводить по приближенным формулам. Этот случай называют
приближением Рэлея, и для расчетов используются формулы Рэлея. Во
втором случае радиус капель соизмерим с длиной волны
падающего излучения или несколько превышает ее. В этом случае
расчеты коэффициентов рассеяния, поглощения и радиолокационного
отражения необходимо проводить по формулам точной теории —
теории дифракции волн на сферических частицах (теории Ми).
Наконец, в третьем случае, когда радиус капель велик по
сравнению с длиной волны падающего излучения, расчеты необходимо
проводить по формулам геометрической оптики. Следует
отметить, что строгая теория дифракции на сфере — теория Ми —
практически включает в себя все три указанных случая. Однако в
современных условиях расчеты по теории Ми даже при
использовании современных ЭВМ связаны с определенными математическими
трудностями. Поэтому в тех случаях, когда это возможно, следует
использовать приближенные методы расчета. Если принять во
внимание и величину т, то приближенными формулами Рэлея следует
пользоваться, когда р|т|^ 1. Во всех остальных случаях
применение строгой теории Ми обязательно.
В настоящей главе рассматриваются дифракция волн на
сферических частицах — теория Ми, а также приближенные формулы
Рэлея. Приводятся основные расчетные формулы интегральных
характеристик теории дифракции: коэффициентов ослабления, рас-
126

сеяния, поглощения и радиолокационного отражения. Учитывая
предназначение Справочника, в этой главе автор приводит лишь
основные положения теории и обозначения, без которых
невозможно дальнейшее изложение и понимание материала.
Значительное внимание уделено существующим алгоритмам
расчетов по теории Ми. Рассматриваются их особенности, границы
применимости и погрешности. Все это сделано с уклоном в
сторону применимости алгоритмов для расчетов ослабления и
радиолокационного отражения электромагнитного излучения облаками
в ММ и СБММ диапазонах.
3.1. ЗАКОН ОСЛАБЛЕНИЯ БУГЕРА
Закон Бугера можно встретить почти в любой книге или
учебнике, где затрагиваются вопросы рассеяния или поглощения света
замутненной средой. Однако поскольку указанный закон является
^ I(x+dx)
Рис. 3.1. К выводу закона ослабления Бугера.
основой всех расчетов настоящего Справочника, то автор счел
необходимым еще раз напомнить читателям физические основы
закона.
Рассмотрим столб воздуха в виде цилиндра с площадью
основания 1 см2, в котором взвешены полностью поглощающие
частицы одинакового размера. Обозначим площадь поперечного
сечения частиц через о. Выделим в этом цилиндре тонкий слой
между х' и x' + dx' (рис. 3.1). Пусть в единице объема воздуха
содержится N частиц; тогда в рассеиваемом слое будет содержаться
Ndx' частиц, а общая площадь всех частиц этого слоя будет равна
oNdx'. Предположим, что параллельный пучок электромагнитных
волн с плотностью потока энергии / падает слева на слой dx'.
Тогда доля энергии, поглощенной при прохождении
электромагнитными волнами слоя dx', будет равна dE=IoNdx'
(предполагается, что длина электромагнитных волн % много меньше радиуса
г частиц). Следовательно, поток энергии уменьшается на
величину поглощенной слоем энергии. Если обозначить через I(x')
плотность потока энергии до входа в слой dx\ а через I(xr + dx') —
после выхода из слоя dx\ то получим:
/ (*') — l(x' + dx') = IoN dx'. (3.1)
l(x)
I dx
x
x'-dx
127

Пусть /(*' + dx')—l(x') = dl, тогда из формулы (3.1) находим:
/о О
In/ — In/0 = —NoL, / = /0exp [—аЛ/Х],
/ = /0ехр(-ВД, (3.2)
где ^ = (7^ — полное сечение поглощения всеми частицами в
единице объема, a L — длина пути, пройденного электромагнитной
волной в дисперсной среде.
В формуле (3.2) вместо поглощения можно рассмотреть
рассеяние частицей электромагнитной энергии. Рассуждения,
приведенные для случая поглощения, приемлемы и для рассеяния.
Поэтому если общее сечение рассеяния всеми частицами в единице
объема обозначить через Гр, то выражение (3.2) можно
переписать в виде
/ = /0ехр(-ВД, (3.3)
где Гп и Гр — в см-1. Обычно в общем случае можно записать:
/ = /0exp(-lU), (3.4)
где Г0 = Гп + Гр — сечение ослабления. Сечения Г0, Гр и Гп обычно
называют коэффициентами ослабления, рассеяния и поглощения
соответственно. Формула (3.4) носит имя известного ученого
XVIII века Бугера (1698—1768 гг.), а закон (3.4) называется
законом ослабления Бугера.
Закон Бугера можно использовать только для определенных
условий замутненной среды, т. е. он имеет определенные границы
применимости, о чем следует помнить при его использовании.
1. Закон ослабления Бугера выполняется только в случае
однократного рассеяния, т. е. замутненная среда должна быть
сравнительно прозрачной. Это означает, что плотность частиц в
дисперсной среде должна быть такой, чтобы наблюдался только один
акт рассеяния или поглощения, прежде чем излучение выйдет из
мутной среды. Поэтому достаточно, чтобы для оптической
толщины облака выполнялось условие x = Y0L ^ 0,1. Таким образом,
закон ослабления Бугера неприемлем в случае многократного
рассеяния.
2. Предполагается, что каждая частица рассеивает и
поглощает электромагнитное излучение независимо от окружающих его
других частиц. Таким образом, для того чтобы рассеянное
излучение одной частицы не влияло на рассеяние другой, достаточно,
чтобы расстояние между двумя частицами было больше суммы их
диаметров. В этом случае складываются интенсивности рассеян-
N
ных волн, а сечение рассеяния системы частиц Гр= £ avi склады-
г=1
128

вается из отдельных сечений. Это положение верно и для
коэффициента поглощения.
3. Длина волны падающего излучения должна совпадать с
длиной волны рассеянного излучения. Речь не идет о малом
изменении длины волны, которое может наблюдаться при актах
рассеяния или поглощения и которым можно пренебречь.
4. Закон ослабления Бугера приемлем только для строго
параллельного пучка электромагнитного излучения. Незначительное
угловое расхождение пучка приведет к дополнительному
ослаблению электромагнитного излучения и к появлению зависимости от
расстояния по закону 1/ZA
Если дисперсная среда, например облако, является
полидисперсным, т. е. состоит из сферических капель различных размеров,
то для расчета коэффициентов ослабления, рассеяния и
поглощения (дБ/км) следует пользоваться формулами
Г0 = 1,346439 • 1(Г2 j r2Nf(r)K0(m, p)dr, (3.5)
r2
Гр = 1,346439 • 10"2 \ r2Nf (r) Kp (m, p) dr, (3.6)
Гп = Го-Гр, (3.7)
где г — радиус капли (мкм); N — число капель в 1 см-3; f(r) —
плотность распределения капель по размерам; Ко(т, р) —фактор
эффективности ослабления одной капли, равный отношению
сечения ослабления к площади геометрического сечения капли;
Кр(т, р)—фактор эффективности рассеяния одной капли,
равный отношению сечения рассеяния к площади геометрического
сечения капли.
3.2. ФОРМУЛА РАДИОЛОКАЦИИ
И ЗАКОН РАДИОЛОКАЦИОННОГО ОТРАЖЕНИЯ
Рассмотрим радиолокатор, который имеет направленную
антенну. Тогда за счет диаграммы направленности антенны на
единицу поверхности цели достигнет мощность излучения PtAo/4nRz
[2, 3, 28], где Pt — импульсная мощность излучения, Л0 —
коэффициент направленности.
Для объемной цели (распределенной цели), какой является
облако с хаотическим распределением капель в элементе объема
R2dRdQ, при условиях
Л-п 2, '2 2,/2
л> А* . /о я £ г, я/г
4я • О'ср' ' 32 In 2
в [2] получено:
PtFAeh,Y
р _L2fJ_pfL (3.8)
9 Заказ № 124
129

где G — коэффициент усиления вдоль оси диаграммы
направленности антенны относительно изотропного излучателя (Ao=G, если
для приема и излучения используется одна и та же антенна), 0'
и q/—ширина диаграммы направленности антенны соответственно
для горизонтальной и вертикальной плоскости на уровне 3 дБ;
k' — безразмерный множитель (при &' = 1 F = 0,445) и hi —
пространственная протяженность импульса. Выражение (3.8)
представляет собой формулу радиолокации без учета ослабления
излучения атмосферой и облаком.
Допустим теперь, что радиолокационное излучение ослабляется
атмосферой и облаком. Пусть соблюдаются следующие условия
распространения: в облаке капли и частицы рассеивают и
поглощают излучение независимо друг от друга, т. е. имеет место
однократное рассеяние. Этим условиям удовлетворяет закон
ослабления Бугера (см. п. З.1.), поэтому можно записать:
Рг = РГоехр -2 J Г (/?)<*/? , (3.9)
где T(R) —полный коэффициент ослабления, учитывающий
влияние атмосферы и облака, а множитель 2 перед интегралом
указывает на двойное ослабление на пути распространения волны туда
и обратно; Рт — средняя мощность излучения, регистрируемая
радиолокатором после ослабления, а РТо—определяется по
формуле (3.8).
В ММ и СБММ диапазонах условия распространения
радиолокационного излучения отличаются от традиционно известных для
диапазонов сантиметровых и дециметровых волн. В интересующих
нас диапазонах активной помехой является как атмосфера, так
и облако. Поэтому следует отдельно рассмотреть влияние
атмосферы и облака. На рис. 3.2 представлена схема трассы работы
радиолокатора, когда отражателем является облако, содержащее
капли воды, ледяные частицы, ледяные кристаллы и снежинки.
Из рисунка видно, что
R = L + 1'9 /'«L,
Г(Я) = Т(Ь) + Т(П,
где L — длина трассы в атмосфере, Г — длина трассы в облаке,
Г (L) —коэффициент ослабления на трассе в атмосфере, Г(/') —
коэффициент ослабления в облаке. Учитывая рассмотренные выше
условия и подставив формулу (3.8) в выражение (3.9), получим:
с'Я/Грл ехр [-2$ Г {L)dL- 2 $Г (/')<*/']
Рг= °—Г2 ~, (ЗЛО)
130

где
с =■
FAjh
8я
l">\
Это и есть закон радиолокационного отражения распределенной
по объему цели с учетом ослабления.
Передатчик (^j ,'
Приемник \ у ^
Рис. 3.2. К выводу закона радиолокационного отражения.
В безоблачной атмосфере основной вклад в ослабление ММ и
СБММ волн, как известно (см. главу 1) вносят водяной пар и
молекулярный кислород. В случае ослабления в облаке картина
несколько усложняется. В облаке присутствуют теплые и
переохлажденные капли радиусом от 1 до 20 мкм (I) и от 85 до 1500 мкм
и более (II); сверхкрупные сферические ледяные частицы
радиусом от 85 до 1500 мкм и более; водяной пар; молекулярный
кислород, а также в верхней части облака снежинки и ледяные
кристаллы. Причем в облаке на различных высотах в зависимости
от температуры, присутствуют те или иные фракции капель,
частиц и кристаллов. Таким образом, для случая распространения
излучения в облаке коэффициент ослабления описывается
выражением
Г0 (/') = Го в I (/') + Го в II (О + Го л II (О +
+ ГпН2о (/') + Гп02 (/') + Го л. к (/'), (ЗЛ1)
где Говт(П=Гпв1(//) +rpBi(//) —коэффициент ослабления
каплями воды размером от 1 до 20 мкм, Гп—коэффициент
поглощения, Гр — коэффициент рассеяния; ГОВп(П—коэффициент
ослабления сверхкрупными каплями диапазона размеров II — от 85 до
1500 и более мкм; Голи(П — коэффициент ослабления
сверхкрупными ледяными сферическими частицами диапазона размеров II,
9*
131

Aih2o (/')—поглощение водяным паром облака,
Гпо2(П—поглощение молекулярным кислородом облака: Гол. к
(/')—коэффициент ослабления крупными снежинками или ледяными
кристаллами.
Если с определением длины трассы в атмосфере до облака L
все обстоит сравнительно благополучно, то этого нельзя сказать
относительно величины V в облаках. Нет четкой определенности
в вопросе, на какую глубину проникает излучение радиолокатора
в реальное облако. Точнее, если принять за основу
продолжительность импульса радиолокатора, то в случае однократного
рассеяния глубина проникновения излучения в облако будет
определяться как V = с%", где с — скорость света, т" —
продолжительность импульса. Тогда при т"=1 мкс получим Г=300 м. Однако
если плотность облака достаточно велика и начинает играть роль
многократное рассеяние, то глубина проникновения будет
зависеть не только от продолжительности импульса радиолокатора.
Значительное поглощение, которое имеет место для воды в СБММ
диапазоне, сократит эффективную глубину проникновения
радиации в облако и величина е' станет неопределенной.
В настоящее время вопрос этот недостаточно изучен как в
случае радиолокации облаков, так и в случае световой локации
облаков с помощью лидаров. В наших расчетах мы предполагаем, что
величину /', рассчитанную по импульсу радиолокатора, можно
принять за фактическое, когда оптическая толщина облака еще
составляет несколько единиц.
Весьма грубой является оценка глубины проникновения
излучения на уровень 1/е (здесь е — основание натурального логарифма).
Если ослабление подчиняется закону Бугера (см. формулу (3.4)),
то условие Г0//= 1 дает возможность определить V как путь, на
котором интенсивность излучения уменьшается в £ = 2,718 раза.
Оценка это весьма грубая, но если нет других методов, то и его
можно использовать в качестве реального приближения.
Для определения коэффициента радиолокационного отражения
облака Грл (м-1) следует использовать формулу
г2
Грл= 3,14163 • Ю"» j r*Nf(r)Kpn(m, 9)dr, (3.12)
где /СРл(^, р) —фактор эффективности радиолокационного
отражения одной капли, равный отношению сечения
радиолокационного отражения назад к площади геометрического сечения капли.
Более точное определение К^л(т, р) будет дано позже.
3.3. ОПТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕЩЕСТВА
3.3.1. ОПТИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Оптические свойства вещества характеризуют либо
комплексным показателем преломления m{rk)=n('k)—/%(А,), либо ком-
132

плексной диэлектрической проницаемостью е = е —te , где е —
действительная, а е"— мнимая части диэлектрической
проницаемости вещества. Для описания процессов распространения волн
удобнее пользоваться комплексным показателем преломления.
Как можно судить по литературе [35, 36], в решении уравнения
Максвелла показатель преломления характеризуется изменением
фазы волны, а показатель поглощения — амплитуды волны. В
теории дифракции или в теории Ми также используется
комплексный показатель преломления. В то же время при рассмотрении
микроскопических свойств вещества, например во время изучения
оптических свойств твердого тела, в качестве оптических
постоянных используются величины г' и г".
У парамагнитных и диамагнитных веществ, какими являются
вода, лед и снег, магнитные свойства выражены очень слабо,
поэтому в дальнейшем будем считать, что магнитная проницаемость
этих веществ равна единице: \х=1.
Вещественные и мнимые части величин т и е связаны между
собой соотношениями
е =п — у.-,
е" = 2йи; (3.13)
' е' + V
—е' +
'WY
2
V7F
!+Ю2
t
)2 + (е")2
(3-14)
Во время рассмотрения вопроса о величинах т и t; вещества
следует обязательно указать, к какой длине волны они относятся.
В оптике мутных сред используются либо значения т и е для
одной длины волны, либо спектральные функции п(к) и п(оз);
могут использоваться х(А,) и х(со), для которых спектральная
зависимость выражена через со = 2я/— круговую частоту, а /— частота
излучения в (ГГц). Расчет частотной зависимости я (со) и х(со)
для каждого вещества связан со сложными вычислениями.
Требуется учет внутренних структур ионов и молекул вещества.
Поэтому исследователи в основном используют экспериментально
полученные функции п(к) и х(^).
Следует отметить, что между функциями я (со) и х(со)
существует строгая причинная связь — они связаны интегральными
соотношениями — дисперсионными соотношениями Крамерса—Кро-
нига [16, 36]:
оо
~ ( '\ 1 / 2 \[ к (со) cod<o
о \а — о)0;
133

На вид очень простые соотношения (3.15) оказываются весьма
сложными во время конкретных вычислений. Ведь для
определения значения х лишь для одного значения со0' необходимо знать
спектральное изменение п(со) во всем диапазоне частот от О
до оо. Правда, во время реальных вычислений пределы частот
конкретизируются и ограничиваются, а для удобства диапазон частот
делится на отдельные интервалы. Однако вычислительные
трудности сохраняются. Как показал опыт автора, дисперсионные
соотношения (3.15) следует использовать лишь для качественных
оценок спектральных функций п(К) и х(д) вещества.
3.3.2. ФОРМУЛЫ ДЕБАЯ И ВОЗМОЖНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОПТИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ ВЕЩЕСТВА
Вода и лед являются диэлектриками, причем полярными
диэлектриками. Это означает, что при воздействии внешнего
электрического поля на молекулы воды они приобретают постоянный
дипольный момент, т. е. диэлектрик поляризуется [6]. Диэлектрик
поляризуется и при воздействии электромагнитного поля на
вещество. Поляризуемость диэлектрика существенно зависит от
температуры вещества и частоты падающего на диэлектрик
излучения. Дебаем [6, 24] получена формула диэлектрической
проницаемости е вещества, когда среда полярна, и вещество находится под
воздействием переменного электромагнитного поля с частотой (о:
где NM — число молекул в единице объема, а' — поляризуемость
молекулы, Рм — дипольный момент, k — постоянная Больцмана,
Т — абсолютная температура, то — время релаксации молекулы,
е(°) — абсолютная диэлектрическая постоянная. Как видно из
выражения (3.16), величина е зависит от температуры вещества и
частоты падающего излучения. Если в формуле (3.16) положить
со—>-0, т. е. рассматривать случай низких частот, то величина е
будет действительным числом. Это предельное значение е
называют статистической относительной диэлектрической
проницаемостью среды es. Таким образом, из выражения (3.16) при со=0
получим
На высоких частотах, т. е. когда со—>-оо, величина е будет
опять действительным числом. Это предельное значение е назы-
134

вают оптической диэлектрической проницаемостью среды е0. При
о) = оо из выражения (3.16) получим
£0 — 1 __ NMa' /о ]0\
Подставив выражения (3.18) и (3.17) в формулу (3.16), получим:
£s — £о
8 = 80 +
1 + шт' '
е* + 2
£о + 2
то, (3.19)
где т'— время релаксации диэлектрической проницаемости.
Учитывая, что е = е' — is", из соотношений (3.19) находим
+ (u)T')2
„// (£s — £q) ъп' /о ()л\
ь - 1 + (сот')2 • (d-2U)
В практических расчетах вместо со и т' удобнее использовать
выражения через длину волны:
X = 2яс/а>, д5 = 2лст', (3.21)
где с — скорость света. Подставив выражения (3.21) в формулу
(3.20), окончательно получим:
(3.22)
р _|
Ьо П^
(<*-
е5 — ро
1 + (>^А)2 »
-Со) (As/^)
(W>0a
Это полуэмпирические формулы Дебая, в которых сохранена
прежняя связь между величинами, однако для расчетов
целесообразнее использовать значения величин, полученные
экспериментально. Эти формулы успешно используются в СВЧ диапазоне для
расчета е' и е" вещества в широком диапазоне частот в области
релаксационного максимума co^I/t'. С увеличением частоты,
когда о)>>(отах ^ 1/т'', уже начинает сказываться инерционность
молекул-диполей (при высокой частоте ориентация диполей
молекул не сохраняется) и эти формулы невозможно использовать
для расчетов е' и е". В этом случае следует привлечь иные
механизмы поляризации, например резонансную поляризуемость,
которая обусловлена поглощением воды в ИК области спектра. Таким
образом, формулы (3.22) можно использовать для расчетов е'
и е" воды и льда в дециметровом, сантиметровом и в ММ
диапазонах [24]. Для воды в СБММ диапазоне разработаны
специальные методы расчета г/ и е", которые рассматриваются ниже.
135

3.3.3. РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ ВОДЫ
В СБММ ДИАПАЗОНЕ
Ослабление и радиолокационное отражение СБММ волн
каплями воды можно рассчитать по теории Ми, если известны
комплексные показатели преломления воды во всем спектральном
интервале СБММ волн в виде функции от температуры. Следует
отметить, что СБММ диапазон исследователями только осваивается
и для этого диапазона практически отсутствуют сведения
относительно зависимости комплексного показателя преломления воды
от температуры. Большинство опубликованных работ касается
экспериментальных исследований отдельных ограниченных
участков спектра и выполнены для отдельных значений температур,
причем в основном положительных. Для выхода из создавшегося
затруднительного положения исследователи пошли по иному пути.
Разработаны отдельные теоретические методы расчета
зависимости комплексного показателя преломления воды от температуры
в широком спектральном интервале СБММ волн. Расчеты эти
касаются как положительных, так и отрицательных температур.
Естественно, что в основу этих методик положены
экспериментальные данные, полученные на данном этапе исследования
комплексного показателя преломления воды. В настоящее время
в литературе описаны три метода расчета е' и е" в СБММ
диапазоне. Ниже будет рассмотрен каждый из предложенных методов
расчета. В результате сравнения с экспериментальными данными
выбраны методы расчета и вычислены комплексные показатели
преломления для отдельных длин волн СБММ диапазона и
различных температур с целью их дальнейшего использования
в расчетах по теории Ми спектральных коэффициентов
ослабления и радиолокационного отражения ММ и СБММ волн
облаками.
3.3.3.1. Первый метод теоретического расчета — Т1
Как отмечалось выше, для расчетов е' и е" в СБММ
диапазоне нельзя пользоваться только формулами Дебая. Наряду
с релаксационной поляризуемостью, необходимо учесть и явление
резонансной поляризуемости молекул, т. е. учесть линии
поглощения воды в ИК области спектра. Поэтому следует так
видоизменить формулы (3.22), чтобы они описывали и резонансную
поляризуемость молекул. В диапазоне длин волн от 10 до 300 мкм
выделяются четыре основные полосы поглощения воды: 14, 20,
65—70 и 200 мкм [6]. Расчеты показали, что основной вклад в
изменение комплексного показателя преломления воды вносит
полоса 65—70 мкм, ее-то и следует учесть при расчетах (подробнее
см. [20]). Таким образом, суммарная диэлектрическая
проницаемость воды ег в СБММ диапазоне будет складываться из дебаев-
ской релаксационной поляризуемости и резонансной
поляризуемости, которую представим в виде е* = в'—*е™ • Видоизменен-
136

ная формула Дебая (с учетом резонансной поляризуемости) имеет
вид [20]:
es ерез \гг)
6s = ерез (Тг) +
•"рез \
■ /(ОТ
деб
или после преобразований
ес — е
62 = £рез +
рез
£2
+
,М)
1 + (Я5Д)2 ' ^ ~~ "рез ^ 1 + (XsM2
В формулах (3.24) отброшены члены малых порядков:
(3.23)
(3.24)
•^рез
(V*)
«ю-
°рез
10"
l + (A*A)2 ^tv 1 + (Я5Д)2
Из сравнения формул (3.20), (3.22) и (3.24) видно, что по
виду они аналогичны, но формулой (3.24) можно уже
пользоваться для расчетов г' и е" в СБММ диапазоне. Резонансные
составляющие поляризуемости е' и е" можно считать по Фре-
лиху [33]. Тогда, согласно [20], формулы приобретают следующий,
вид:
ьрез
= 1,8 +
Ае Г
2 I
1 + со0 ((о + со0) х\ 1 — со0 (со — со0) тг
2 П
1+(оэ + со0)2т^ 1+(о)-о)0)2т2
с-рез
2
сотг
1+(со + оз0)2т2 + !+(■
сотг Л
\2 2 I 1
а-°>о) Тг J
(3.25)
где тг — характеристическое время затухания амплитуды
резонансных колебаний, собственные частоты которых — соо; К — длина
волны резонансной линии поглощения; Ден2° = ео— п2опт =4,9 —
— 1,8=3,1; а)о=7,793-1012 [45, 92]; со = 2лс/к и %г=Хг/2пс. Для
расчетов г' и е" по вышеуказанным формулам следует
использовать постоянные из табл. 3.1, где значения для температур от 30
до —10 °С взяты из [20], а для —20 °С и ниже — из работы [24].
Используя формулы (3.24) и (3.25), а также постоянные из
табл. 3.1, мы рассчитали величины е' и е" для воды в СБММ
Таблица 3.1
Постоянные для расчетов е' и е" для воды в СБММ диапазоне
Я5 мм
Яг МКМ
t°c
—40
105,85
209,7
57,59
—30
101,19
123,5
58,26
—20
96,7
75,8
58,95
—10
0
92,3 88,2
49,0 33,2
59,65 60,40
10
84,2
23,9
61,15
20
80,4
18,0
61,94
30
76,7
13,9
62,74
137

Таблица 3.2
Зависимость комплексного показателя преломления воды т = п — /х
в СБММ диапазоне (метод Т1)
Л мм
20
10
t °С
0
-10
-20
1
0.9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
2,53—0,82i
2,42—0,87/
2,38—0,80i
2,35—0,72t
2,32—0,64*'
2,29—0,56/
2,26—0,49/
2,24—0,43/
2,20—0,39/
2,08—0,44/
2,47—0,67/
2,35—0,72/
2,32—0,65/
2,30—0,59/
2,28—0,53/
2,26—0,45/
2,24—0,41/
2,22—0,37/
2,19—0,35/
2,08—0,42/
2,42—0,52/
2,30—0,56/
2,28—0,51/
2,27—0,46/
2,25—0,42/
2,24—0,37/
2,23—0,33/
2,21—0,31/ •
2,19—0,31/
2,07—0,39/
2,38—0,37/
2,26—0,42/
2,25—0,38/
2,24—0,35/
2,23—0,32/
2,23—0,29/
2,22—0,27/
2,21—0,26/
2,18—0,27/
2,07—0,37/
2,36—0,25/
2,23—0,30/
2,23—0,28/
2,22—0,26/
2,22—0,24/
2,22—0,22/
2,21—0,21/
2,20—0,21/
2,18—0,24/
2,07—0,36/

диапазоне от 1 до 0,1 мм через 0,1 мм и для 5 значений
температур из интервала 20... —20 °С через 10 °С. Затем с помощью
формул (3.14) вычислялись п и х, которые приводятся в табл. 3.2.
Первый метод расчета разработан авторами работы [20]. В
дальнейшем этот метод мы назовем методом Т1.
3.3.3.2. Второй метод теоретического расчета — Т2
В методе Т1 расчеты проводятся по обобщенным формулам
(3.25) для е' и е" воды в СБММ диапазоне, в которых
учитывается одновременно вклад релаксационной и резонансной
составляющих поляризуемости. В методе Т2 [89] расчеты проводятся
раздельно: сначала вычисляется дебаевская составляющая
поляризуемости, а затем к нему добавляется резонансная составляющая.
Таким образом, в методе Т2 показатели преломления и
поглощения описываются выражениями
п (I) = hD (А,) + Яр (А), (3.26)
x(A,) = xD(A,) + *p(A,), (3.27)
где nD(X) и KDCk)—дебаевские составляющие, а п?(Х) и хр(А,) —
резонансные составляющие поляризуемости. Для расчета дебаев-
ских составляющих [89] использовались модифицированные —
обобщенные формулы Дебая [89]:
е/ = е i (е* — ер) [1 + (ks/k)l ~ а° sin (aoJt/2)] ,g 2g,
°~1" l+2(As/A)1-aosm(a0n/2) + (VX)2(1-ao) ' '
r, = (£s —e0) (^A)1~aocos(a0jt/2) . ^ П W\
\+2(ks/k)l-^sm(a0n/2) + (ks/k)2^-^ 18,8496- 1010 • {°' >
Легко убедиться, что при ая и ао, равных нулю, формулы
(3.28) и (3.29) преобразуются в обычные формулы Дебая (3.20).
В формуле (3.29) ая= 12,5664 • 108 (согласно [93]). Параметры,
входящие в формулы (3.28) и (3.29), зависят от температуры.
В [89] при сравнении с экспериментом получены следующие
эмпирические формулы:
£s = 78,54 [1 -4,579 - 10~3 (t - 25,0) + 1,19 • 10~5 (t - 25,0)2 +
+ 2,8 • 10-8(*-25,0)3], (3.30)
е0 = 5,27137 + 0,0216474* - 0,00131 198*2, (3.31)
a0 = —16,8129/(f + 273) + 0,0609265,, (3.32)
Xs = 0,00033836 exp [2513,98/(f + 273)], (3.33)
где t — температура в градусах Цельсия.
Таким образом, с помощью формул (3.28) — (3.33) можно
рассчитать п (А,) и х (к) воды в СБММ диапазоне.
139

Резонансные составляющие показателей преломления и
поглощения в (3.26) и (3.27) рассчитываются для п?(к) по формуле
п (X)-(l+r3)|a0/+/L К._(10000Д)Т + у/(10000д)2 }. (3-34>
где o)oj = 10000Aoj; К — в мкм; aoj, Pj и Yi — параметры, которые
для каждого спектрального интервала приводятся в табл. 3.3
[89], Тэ определяется эмпирически после сравнения с
экспериментальными данными по формуле
Тэ = 0,0001 (t — 25,0) ехр [X (и)/4]ч\ (3.35)
Таблица 3.3
Параметры для расчета п (X) воды в СБММ диапазоне (метод Т2)
А, мкм
ао/
wo/
*/
v/
7,00—340,0 1,83899 1639,0 52 340,4 10 399,2
688,24 346005,0 259 913,0
161,29 43319,7 27661,2
100—340 п (Я)=ЯР(Я)
>1000 Я(Я)=Я°(Л)
Здесь Х(и) вычисляется для каждого спектрального интервала
X0j = 10000/o)oj при подстановке значений cooj из табл. 3.3.
Например, для диапазона 7,0—340,0 мкм в табл. 3.3 указаны три
значения ©оj. Таким образом, каждому значению t будут
соответствовать три отдельных значения ТЭ) а Тэ определяется по формуле
(3.35) и представляет собой среднее значение из указанных трех
значений Тэ.
Резонансная составляющая показателя поглощения
вычисляется по формуле
Nt v.
*Р (Ь) = S Р/ ехр - | lg (ХАо/)М/ I ' (3.36)
/ = i
при Л. < 3000 мкм, где Pj, А/ и yj — параметры, которые
приводятся в табл. 3.4, а Xoj — центр /-й полосы (см. табл. II [89]),
Nj — число членов в сумме, равное числу Xoj.
С помощью формул (3.26) — (3.36) были вычислены
комплексные показатели преломления воды в СБММ диапазоне от 100 до
1000 мкм, через каждые 100 мкм для пяти значений температур из
140

интервала 20... —20 °С, через 10 °С. Данные расчетов приводятся
в табл. 3.5.
Сравнение табл. 3.2 и 3.5 позволяет сделать вывод о большом
различии полученных данных для показателей преломления и
поглощения при различных температурах. Критерием правильности
той или иной методики расчетов является совпадение результатов
Таблица 3.4
Параметры для расчета поглощения воды в СБММ диапазоне (метод Т2)
А, . мкм
17,0
62,0
300,0
17,0
62,0
300,0
Р/
0,39
0,41
0,25
0,39
0,41
0,25
А/
0,45
0,35
0,40
0,45
0,35
0,47
v/
1,3
1,7
2,0
1,3
1,7
3,0
с данными эксперимента. Поэтому пришлось обратиться к
экспериментальным данным по комплексным показателям преломления
воды в СБММ диапазоне. Для ясности рассмотрим третий метод
расчета.
3.3.3.3. Третий метод теоретического расчета — ТЗ
В методе Т1 подтверждена и конкретизирована зависимость
диэлектрических постоянных воды в СБММ диапазоне от
температуры:
е' = е' (*0) + k' (t0) (t - t0)f (3.37)
е" = е" (t0) + k" (U) (t - to). (3.38)
Таким образом, наблюдается почти линейное изменение
действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости воды
в зависимости от X и t. Здесь to—начальное, а / — неизвестное
значения температуры. В работе [20] приводится график
функций k' (К) и k" (К) (см. рис. 4 [20]), т. е. зависимость
коэффициентов в формулах (3.37) и (3.38) от длины волны в СБММ
диапазоне (рис. 3.3). Из рис. 3.3 видно, что обе функции k' (к) и k" (X)
почти линейные. Теперь, зная г'(U) и е' (U) для определенной
температуры, можно вычислить е' и е" для любой неизвестной
температуры.
В работе [25] использовались формулы (3.37) и (3.38),
функции k' (к) и k" (к) из рис. 3.3, а также начальные
экспериментальные данные п и х из [12] и вычислены е7 и е" для температур 30,
10, 0, —16 и —32 °С и длин волн 100, 200, 337 — 500 мкм. Поскольку
141

£ Таблица 3.5
Зависимость комплексного показателя преломления воды в СБММ диапазоне От температуры (метод Т2)
А, мм
t °С
20
10
0
— 10
-20
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
2,48—0,91 i
2,39—0,86t
2,30—0,82i
2,23—0,77i
2,17—0,73*
2,11— 0,68i
2,07—0,62;
2,04—0,55;
2,03—0,47/
1,95—0,48;
2,44—0,73;
2,35—0,69;
2,28—0,66/
2,21—0,63;
2,14—0,61/
2,08—0,58;
2,03—0,54;
2,00—0,49;
1,99—0,43;
1,91—0,45;
2,37—0,58;
2,30—0,56;
2,23—0,54;
2,16—0,52;
2,10—0,51;
2,04—0,50;
1,99—0,47/
1,96—0,44/
1,95—0,39/
1,87—0,44/
2,26—0,46/
2,20—0,45;
2,15—0,44;
2,09—0,44/
2,04—0,44/
1,99—0,43/
1,94—0,42/
1,91—0,40;
1,91—0,37;
1,83—0,42;
2,10—0,37;
2,06—0,37*
2,03—0,37;
1,99—0,37;
1,96—0,38;
1,92—0,39;
1,89—0,38;
1,87—0,37;
1,87—0,35;
1,79—0,41;

в [12] пик измерены при температуре 25 °С, то в [25] сначала
п и х были приведены к 20 °С, а только затем с помощью формул
(3.37), (3.38) рассчитаны е' и е" для остальных температур.
Указанный способ был использован в третьем методе расчета
зависимости комплексных показателей преломления воды в СБММ диа-
Рис. 3.3. Зависимости k'(t) и k"{t)
от длины волны в СБММ диапазоне
[20].
l — k'(t) при *<40°С; 2 — k'{i) при
t > 40 °С; 3 — k"(t).
0,2 Л. ММ
пазоне от температуры и длины волны. Как отмечалось выше,
имеется очень мало сведений относительно зависимости п(К) и х(^)
от температуры в СБММ диапазоне. В табл. 3.6 собраны все
основные данные, которые удалось найти в литературе для ri(h)
и х(^) в СБММ диапазоне, поэтому автор не претендует на
полноту сведений. Однако объем экспериментальных данных,
собранных в табл. 3.6, по-видимому, достаточен для уверенных выводов
относительно комплексных показателей преломления в
интересующем нас диапазоне.
Из табл. 3.6 мы отобрали значения из четырех наиболее
заслуживающих внимания работ: [12] — при / = 25 °С, [38] — при t =
= 19°С, [39] — при /=30 °С и [96]—при /=25 °С.
Экспериментальные значения п(Х) и х(Х) в каждой из вышеуказанных работ
в отдельности приводились к температуре 20 °С и пересчитывались
к 10 значениям длин волн — от 100 до 1000 мкм, через 100 мкм.
Сравнение значений п(К) и к (К) четырех авторов показало, что
наблюдается большой разброс данных для каждой длины волны
143

Таблица 3.6
Экспериментальные данные по комплексному показателю преломления воды в СБММ диапазоне
№ пп
Источник
t °С
К мкм
е'
1 Дж. А. Сакстон [80, 92]<
25
2 А. Е. Станевич,
Н. Г. Ярославский, [27]'
3 Дж. Е. Чемберлен,
Г. В. Шантри и др. [47]
4 Д. А. Дрегерт,
Н. В. Стоун и др. [56]
В. М. Ирвин, Дж. Пол-
20
10
0
25
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
337
337
337
100
111
125
143
166
200
2,150
2,135
2,130
0,50
0,46
0,50
0,58
0,67
0,74
0,80
0,85
0,92
1,00
0,517
0,495
0,568
0,653
0,720
0,788
0,864
0,915
0,983
1,017
0,547
0,537
0,537
0,532
0,512
0,504
0,541
100
1,878
0,529

SH
fZ\ 6jsr еенсе
01
я
E
ss
00 >
о
fa
pi
*o? Г"* от po
"S год
to* '
>£ „
Я П>
CD H
W CO
•S *
Я S
Я
я о
со о
со
Oi Ol 4^ CO tO tO tO ►-* •— •— •— •— Ю •—•—•—•— — •—•—•— —•— O OO OOltOtO»—— tO •— н-
Ol tO OO 4^> OO 4^> O Oi 4^> tO ^-O O CD OO -<J Oi Ol 4*. CO tO ►— O OO О О Ol O Ol О О Ol •—
O O O0j<jjDj<| O^OijSOOij—O OOOOOOOOOOO OO OOOOOO О О "<!
"to Ъо "oi'to о "ел о Vi Ъо ~^-
Ь0ЬЭЪЭЪЭЬЭ$ОЬЭ*О^ J—J—J— ^tOtO^tOjSO tO tOjSS^tOJSD ^-^— J0„*O J^J^J^tOjOj— N3^—J—
ЪоТо1о^- о о о о "со "со "со "со "h-MMobbbbbbb "со "to Ъэ^"*—~^-о~со о~со~со
Ol-<|tOOlCDOiC0O-vlOi4^C0 OO^-OCDOOOiOlOOOOiOl ^- OO 0> О Ol tO *<1 OO tO CO 4*.
O^^vJ^^-cDOiOi^Oi*^ 4*. OO 00CD^JO4^Oi OlOltO
oooooooooooo ooooooooooo о о j— ooooo pop
VjVj'oi oi oi oi^^^^^^ oi'aiT^.^^^ oi oi oi 01Ъ1 ~соЪо Ъ^"слсл^сл "oi^oi
*/">> i_t tfS- rV\ . rv i_i ^) Г.-. K»\ i_i . . Г|1 f~S /—"\ */">> fl""» Г<""\ f/"\ /~\ i_i K»\ Г.-> Г.-\ /-*•> /T\ K»\ .1^ Г.-1 /—"\ CV4 K-~> i i f/"\ /~\
«> <w> V_»> ^-»» V_»> V^ J—S S-»» S-»» J—' V_»> V_»> J—»' S-»» V_»> S-»» S-»» S-»» S-»» S-»» '
v^Vi'oi oi oi oi^^^^^^ oi'aiT^.^'^^ oi oi\^. w. w. w ч^
CD ^- 4^> OO 4*> ^- ^| CO tO ^- ^- CO О О CD CD CD CD О ^- tO CO OO Q> Q>
D tOOO OiCO tO О OO»—OOQi OO 4^ и- CD-J Oi Ol О 4^ Oi — tO tO -J
4_l ^V| Wl Ul T- W » W » M-» W »
tO4^C0O00tO и- CD О
OOOiOCnsl CD tO tO

Ю^СОО^<^^СЛСЛт^ЮО^СТ><^1^1^^т^СОСОСЛ^^<
^^^^-^c^l^ютt'ю<^ю^^^ю^^o^-cDOютt<cжD-^c^lcDaD^^cDcs^coют-чcDтt<
^^СМ^СМ^СМ С^СОл^Юл^СТ)лСО^О О^О^СХ^оОлО^С^^СОлО
~^ ^ ^ -^ ^ ^ ^ ^ ^ ~S ^ см" со" ^" ^ ^ ~ ~ см" см" см" со" со" rt*" ю" см" см" см" со" со" т^Г ю" tC
аэосо^о^т^аэ^аэсоаэаэ^ос^^^ютг'юсмаэс^
t4^ ОО^ 0\ Г^ t4^ t^ t4^ ОО^ О^ ^ СО^ Ю^ 0\ t>-^ t^ ОО 0\ О^ О^ О^ СМ^ СО^ Ю^ ОО^ СО^ ОО ОО ОО^ О^ О^ ^ т^ СМ^
со<г$съсо?осососъо$^^^^<ъсосъсосо со" Th" Th" "*" rj*" Th" ю" со" со" со" со" ^ ^ ^~ to*
cdo аэсососооосмсмсососососоо^сосо^^юсмсооооаэтг'г^^юслс^
CDCD CЛ<^O^^CM^CD<^CMCDCOCDCЛ^-CDЮCD^OOCMOOCЛ^ЮЮOЮ^^CT)—■ ОО СМ
СТ> О СМ,СМ СО СО^СО СО СО СО СО^ "^Ю СО^ "^^ ^ rf Ю Ю СО СП N О) ^Ю^СО^СО^t^- t^O^COCO
о" —Г o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" o" —Г о" о" о" о" о" о" —<" -Г
(^t^^CDCMcOOCOOCOCDJCMCDr^^CO^O^COThCMCN
t*^ CO СОООСЛСОСОЮ^СЛсО^-СМО) —lOOOCMCOlOCDO'^fO^CDt^-C^'^flOt^^^CDCOt^lO
^ю^ o^o^c^o^o^o^o^o^o^o ^^со 0^0,0 о о о ~ ~* ^iсч°Яю^°л^>°л^1 "^^°Я^
см" см" —<" ^" ^ —<" ^ ~ ~ —Г см" см" см" см" см" ~^ см" см" см" см" см" см" см" см" см" см" см" см" см" см" см" см" см" см" см"
со^о^ о^со^см^ t^co^ со^ О"!^ 1^СЯ ^ ^ ^"-Я ^
|>."о о ~н ю cm"cd"cm"o ю"со"о о cd"o о-ю cm"cd"o ю"со"о о cd"ocm"o ю"со"о о cd"c>
СО "tf1 O^CM^CDCMlOaDCOOOCDOO-^CMTt«CDlOOOCOOOCDOCMlOOOCOOOCDO
ооо ^^^ — — смсмсмсот^юсоо^ — ^^^смсмсо^юсоосмсмсмсотг'юсоо
оооооюоюоюоюоооооооюоюоюоюоюоюоюо
OOJOD^CDrt'rt'COCOCMCM^^O^aDt^CD^COCOCMCM^-^^^COCOC^
со

N (N Ю ЮСО О (^ •* (D О
o^^^r^o^t^co^oi 01
of см" of со" of of of со" —Г of
ajiomt^oo^co^ft^-co
CD^ —^ l> 0| CD^ —114^ O^ CD^ -^
CO" Th- т^" ю" СО" ^" Th" ю" CO" "«Ф~
Ю^-^t^OO Tfa501CDOa5iOt^-t^O'^lOOCDlOTtlCD'^t,OOlOlTf
—'OOiCO^Ol CO OO CO CD ^ —' CO Ol rf CD О 05 05 CD —"* OO Ю О CD t^- Ol l>- —' Ol Ol t^- О О О Ol
/»—ч /—-\ /»—Г /»—s /»—s Г /»—s /»—s /»—s /—-\ /—-\ l"~s /—\ /»—ч /—-\ ^—Г /»—ч /»—s /»—s /—\ /•"""> /—-\ /—4 /»—s /—\ . , /—\ l"~s /•"""> l"~s l"~s /•"""> /—-\ /—-\ /»—ч /—\
•—' v—' U) CTJ "T1 CN <-TJ UU <-TJ yj "^Г •—' CJ 'w , . .
Ю i^rf lONO Ю ^ ^ ^ ^ Ют^ ю ^Ю d_, ^ ^ ^ * ^ ^ -v^ ■ %.—'«- .,—„-v~ -%.
^" ^" л" О" О" —Г О" О" О" О" О" О" О" О" О" о" О" О" О" О" О" о" О" о" О" —<" —<" О" О" О" О" О" О" О" О" О" О"
о" о о" о
Ol CD CO l> Ol t^
Ю Ь- t^- t^ 05 СО Ю CD Tt4 Ю CD Ol (Л О Ю OJ CD Ю Г- Ь- -ч Ol CD СО Ь- Ol t^
ОО Ю 05 Ю О CD ОО t^- CO OJ Ь- ОО t^- Ю Ol -ч Ol Ю 05 CD СО Ю О ОО СО CD Ю Oi -hCD О ОО-н Ю Oi ОО О
—" of of of of of —" —h" of of of of of of of of of of of of of of of of of of of —" of of of —Г of of of —Г of
о ю t^."o о о со" ~-? оо" TtT со со"—*"о"т*< —"of о of со" г- -ч о"оГсо"о t^ оо^ооог-ооо
О Ol CD Ю О О 05 О-^ rf CD ОО 05 Ol Ю ОО 05 СО t^ О-ч t^ t^ 05 ^f 05-^ О О СО О О О СО О О О
--'^МЮО -ч -ч -ч ~ч -ч ~ч Ol Ol Ol Ol СО СО Th rf rf Ю CD IS- ОО Ol -ч Ol CO Ю -ч Ol CO Ю -ч Ol
m со
Q.—
Л ТН
ь S
о s
4 S
О <L>
OOfcJ
s<
CQPQ
SS!
m
о
Q.
•С
я
8 о
S Я
s s
. .CD
«I
10*

CM CD COO CM Th O00 Tt< CM Th CO COO Ю 00 О О О 00 О О О Ю О О О СО О ОООО
^OO^OO^O^Th t^- CO LO t^m 00 — О^ СО^СМ rhCOCO^ONO t^CO^O qq J_| _L| и и ±\
с*ся~е*с*е*~~~^^~~^ ^см~^оГою"ю^1р"ю~ со^см" 0 lo ^! ^1 oo
ъ rt« CO 00 CM
CMCOCOCOCOCOCOCOCOCO
CO
Ю rf CO CO
(N^CCXNOOO^ONfNCOOiinai Ю О 00 О О "*■ О О О 00 О О О
^СМ^СО^^^^СО^СО^СОО^СО^О^ CO^CO^Tf СО СМ^СО^О О^ОО^О^О^О^
V Ю~ СО" V Tt<" Ю" со" Th Th lO CO" V ^ ю" СО*" Th lo" О" О)" О)" О" —" »-н" О" СО" СО" СМ"
СМ^СМСОСОСОСО"*,СОСО
т*< — t^OOOOCMCO-«t^OOOCOt^CM
LO^CO^Tf Th r^LO ThTfCOCO'^COCNCM
о" о" о" о" о" о" о" о" о" о" о" о" о" о"
rfCOt^-OJCMThCOt^OJOJiOLOt^l4^
CMCOOiOCMCOOiO^CMOiO'—' СМ^
см" csf —Г cm" csf cm" —Г см" см" см" —«" см" см" см"
ю
о
ю о
СО
см
юююю
оооо
оооо
+1 +1 -fl +I
О ОО) СМ
LO ^ СМ СМ
см см см см
«^ ОО О Is* О О О Is- О О О t^- О Oi h- О О *-н СМ О) — Oi *-* ^Oi О
СО О О О СО О О О СО О О О СО О *-< СО О ~н О О Oi CM CO rf СО СМ О
СО Ю ^ CM CO LO ^^ СМ СО Ю ^ СМ СО Ю ^ СО О Ю СО rf LO СО СО 00 "* h» О
—*0000СМСМСМСМСМСТ>'-<СМ
«О00 О СМ СО О
—н -^ —н СМ
о
см
о
:>
. CU
t^co
О • W
PQ
«I—I
cu s
ХО ХО
SO
cu cu
148

О ОО N'-н О) 00 Ю
—1 °- °- —1 °~ °- —1
оооооооЧ -*t*-
'I "R. *-< 'I *-< "R. —1
o"o"o"o"o"o"o"^ *-* ^ OOOSlOTfTtOOCDNO-HN'HTfOOiO^OCD^COTMOfNOON
-LI -LI _L| _L| .LI J.I _|_| CD O^O^ ^С^Ю^О^^^Г^т^Ю^^^н СОСООЮСМООЮО *-^CO Tt^LO^Q'h- C^CT^
-? о! £ О CSI 3 -и *-<~CN"of ^^Ю~т£т}Г^сО СО СО Г^^<0~Ю~т/т^т^с^
^Г S^J 41_> v«^> l*N ^Г '—'
a^cD.10 со см о^г-н
of of of of of of of
-н-нЮО)-мюЮМСОсСООЮЮЮО^^МООЮОСО-нСО(МСОЮ
4 "4 CO^ O^ O^ —^ O^ O^ 00^ t^ Ю^ ЮмСО —i —^ O^ C^ O^ O^ 00^ CO^ CO O^ —<_ —^ —10\
lo"ю"ю"ю"ю" to" to 10 -** to ю"ю'ю*4to"ю"ю"tf"lo"со"lo"ю"to"lo"ю"ю"lo"ю"
^с>с>с>оюс>сог^о^оооо)^-.~-н10со1010сос>о)соооо1
C0-HOO)O)00SSST|<r0iM'HOO>0000NW^C0(NOOO)0000
,— ,-, — 000000*
-OO О О •
LO Ю Tf Tf Tf Tf Tf
О O^ O^ O^ O^ O^ O^
o"o"o O'o'o'o't^ f^CO СМ^-нСООСОСМООСОсО^ОЮ
I J.I -LI 4.1 _li 11 4.1 О CD о ScoimnTHT+<(nrnms.s-to
GO LO CO —н О 00 00
—1*1—1—1—1° °
of см of of of of of
o"o"o"o"o"o"©"t^ ^-CO (N-HCDOCO(NOOCDcoNOWtDOOO)-HNCD^Oq(N(NCOa)CDCOW
-L| 4-| -LI J l 1 1 1 I 11 O^O^O^ ^CO^LO^LO^tJ* CO^CO CO t4- ^ ^„Ю T*1T*1'4*< CO ^CT^OO^^CO Ю Tf Tf t£"1
00 LO CO —н О 00 00 C^^^ Of of Of Of of Of of of of of Of Of of Of of Of Of of of Of of Of of Of of Of Of
000000000
OOCOOOCOCMCOLOOCO
NtTW-hOCDOONN
TtOOOLOOLOOOOO
М(МС0С0^^ЮЬ00О
00^ 00^ 00^ r^ t^ t^ t^ r- co^ 00^ 00^ 00^ t^ t^ ^ ^ t^ co^ 00^ oo^ oo^ r^ r^ t^ i> t^ cq
Lo" со" r--" oo" о" о" -^ of со" Lo" со" r**"" oo" o" o" -^ of со" Lo" co"r--"oo"o"o"*-<"of со"
>»2
k^ O-,
иОоТ
X .Ю
t*8t=t
t^

сл
о
№ пп
Источник
t °с
18 Д. Бертомени, М. Кас-
сетари, Г. Сальветти [42]
32,35
17,6
14,15
10,25
6,85
3,5
1,75
—0,7
—3,05
—6,1
-11,6
-16,25
-18,0
-18,2
-19,65
-20,0
-21,35
65,8±0,7
60,3 ±0,6
57,9 ±0,6
55,2 ±0,5
51,7±0,5
48,4±0,4
45,7±0,35
43,1 ±0,3
39,8±0,25
35,6±0,2
31,8±0,2
27,7+0,2
21,7±0,2
19,5±0,15
19,2±0,15
17,6
17,0
15,4
е"
25,0±0,7
33,1±0,7
35,9±0,7
37,9 ±0,7
38,7±0,6
40,7±0,6
41,0±0,5
41,8±0,5
42,2±0,4
41,6 ±0,4
40,8±0,4
39,1 ±0,3
34,7±0,3
32.4 ±0,3
32.5 ±0,3
31,5
30,8
29,0

как для п, так и для к. Отдать предпочтение данным какого-либо
из авторов оказалось невозможным. Наиболее разумным было
взять среднее из результатов четырех авторов для величин пик
отдельно для каждой длины волны. Полученные таким образом
значения пик пересчитывались затем в е' и в" и использовались
в качестве начальных значений при температуре 20 °С.
В табл. 3.7 приводятся полученные вышеуказанным способом
начальные значения е' (К) и в"(X) во всем СБММ диапазоне при
температуре 20 °С. Нет сомнения, что указанные начальные
значения в'(А,) и г//(Х) намного точнее отражают действительные
экспериментальные данные, чем, например, значения, приведенные
авторами [25], которые в качестве начальных данных
использовали лишь результаты работы [12].
Начальные значения в' (К) и г"(Х) при / = 20 °С из табл. 3.7
вместе с формулами (3.37), (3.38) и k'(k) и k"(К) из рис. 3.3
были использованы автором для расчетов комплексных
показателей преломления воды в интервале температур 20... —20 °С для
10 значений длин волн СБММ диапазона. Результаты расчетов
приводятся в табл. 3.8.
3.3.3.4. Экспериментальные значения
комплексного показателя преломления воды
в СБММ и в дальнем ИК диапазонах
Во время обсуждения метода ТЗ отмечалось, что при расчетах
в качестве начальных данных использовались экспериментальные
значения г' и в" или п и к из табл. 3.6. Здесь рассматриваются
экспериментальные результаты в виде графиков. Эта информация
также используется в расчетах, представленных в Справочнике.
Следует отметить исключительную важность
экспериментальных исследований в СБММ диапазоне. Во-первых, возможности
проведения экспериментов в СБММ диапазоне ограничены из-за
отсутствия приборов для этого диапазона длин волн. По мере
развития и освоения новой техники эксперимента становятся
доступными все более короткие волны СБММ диапазона.
Во-вторых, весьма сложна сама техника эксперимента с
переохлажденной водой. Этим объясняется тот факт, что лишь в 1982 г.
[42] был выполнен первый надежный эксперимент с водой,
переохлажденной до температуры —16 °С. Длина волны при этом
составляла около 3 см. Таким образом, результатов для
переохлажденной воды мало и поэтому рассматриваемые ниже
экспериментальные данные относятся к воде только при положительных
температурах.
На рис. 3.4 приводится зависимость коэффициента
преломления воды от волнового числа в диапазоне от 20 до 100 см-1 при
температуре 22 °С [48]. Точками нанесены экспериментальные дан-
151

со
о
о.
о
X
3
3
x
X
cd
J9
О
О
О
cd
X
CO
со ^f
h- CD
oo a>
—i О
о см
NO
co"^"
LO ^f
CM CD
CO t^.
•cjfcjT
LOCJ>
CM CM
CM^LO
^< —«
CM CO
cm^co^
со" со"
I I
00 tJ«
CM tJ«
^ CD CM ^f
OO^CM^—<^
co"^^"^
I I I I
00 CM CT> h-
LO CO 00 CM
O^CM^LO^
to to to to
со о —• о
Tf CM LO CO
ООт^СП
см" см" см" см"
II I I
LO -^ CJ> CO
CD Tf LO -^
CD^ СМЕЮСЬ
о см
Tf О
со" со"
I I
— 00
CM^CO^
lo"lo"
CM CM CJ> CO
00 I4- <J> 00
со" tj<" tj<" tj^"
I I I I
CO h- О CJ>
LO CM -^ Oi
LO^t^LO^CJ^
lo"lo"lo"lo"
CO —< ~*~* 00
OO О О Tf О
^" см" см" см" со"
Mill
Tf -^ LO О CD
CD 00 СО t^ 00
cd^o^—<„^iq
co"co"'^"'^"'^'
00 ^
CO t4-
^^
со" со"
ii
oo^ a>
-^•"^'
t^- О Tf
о см lo
см. oq. см.
4*<"tJ<"lo"
I I I
lo a> cd
CO 00 CD
lo" tJ<" lo"
LO CO
I4- CM
ooq
cd a>
т^ LO
со" со"
t4- CD ^f Tf
CO ^f CM LO
CM^CD —«^
см" см" со" cm"
I I I I
a> Tf со cm
О —"CD О
-^ co^ ^ G\
тр тЦ "^ ^
00 LO CD LO
CD CO h- 00
Со"^"^"ьо"
I I I I
OO I4- 00 CO
OCDWN
T^"Tf"to"LO"
CD^ G\ CO^ t4-^ -^ LO^ CJ^ т}^ 00^ CM
^ ^ CM" CM" CO" CO" со" V tJ<~ LO"
II I I I I I I I I
COOOCMCMOCDOcOt4-
LO^ G\ ^ tJ^ CD^ 00^ O^ ^ CM^ CO^
CO" со" ^" Tf" tJ^ tJ<" tJ<" lo" lo" lo"
^ CM^ CO^ ^ LO^ CD^ t4-^ 00^ О O^
o" o" o" o" o" o" o" o" o" *-*
CO
H
I
о
^TfOOC7iCDCOOC7iCJ>00
CO^ CO^ CM^ CM^ CM^ CO^ CO^ CM^ CM^ CO
o" o" o" o" o" o" o" o" o" o"
I I I I I I I I I I
CDCMCOCMOt^COt^CMCD
см. см. °i °Ч. °i ~L *1 °„ °„ °1
cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" ^
CO-^TfcOOOCOOCD'^O
LO^ LO Tt^ tJ^ CO^ ^ CO^ CO^ CO^ tJ^
o" o" o" o" o" o" o" o" o" o"
I I I I I I I I I I
cooooolocoolooococd
со. cm. cm. cm. cm csiT^° ° °^
cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" —<"
ог^о^сВслсм^смоосо
t4-^ CD^ LO^ LO^ т}^ LO Tt^ т}^ СО_ ^
o" o" o" o" o" o" o" o" o" o"
I I I I I I I I I I
OTfCOCftCDCMt^Cr)^1^
^co^co^cM^CM^CM ^o^o a^
cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" —<"
CDCM^O$^CMLOC7>COLO
00^ 00^ t4-^ CD^ CD^ CD^ LO^ tJ^ т}^ ^
o" o" o" o" o" o" o" o" o" o"
I I I I I I I I I I
OOOOi^OLOOi^LOOO
Tj^Tf CO^CO^CO^CM^^^O^CJ^
cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" —<"
o^cj^oo^oq^t^t^ СЯЬЯ'^.Т*1
—<" о" о" о" о" о" о" о" о" о"
I I I I I I I I I I
CDt^LOQiTfcJ>CMCOCD00
Ю- ^ ^ °Я ^ CM CNL ^ °л°^
см" см" см" см" см" см" см" см" см" *-ч"
О^ <Л^ 00^ t4-^ CD^ LO^ rt^ CO^ CM^ ^
Т-Г o" O" o" o" o" O" o" o" 0~
152

ные, полученные различными авторами (см. [48]). Две кривые —
это результаты двух независимых серий экспериментов. Как
видно из рисунка, экспериментальные данные различных авторов
удовлетворительно совпадают с результатами [48].
п
2,5
2,0
to
~щ
Ь°^
►<7**<^-
—
X
.—£*е
1
20
J0
40
50
во
70
вО 90 ■) см'1
Рис. 3.4. Зависимость коэффициента преломления
жидкой воды при температуре 22 °С от волнового
числа в СБММ диапазоне [48].
Кривые — результаты двух независимых серий измерений,
кружки и крестики — экспериментальные данные.
На рис. 3.5 представлена зависимость коэффициента
преломления воды от волнового числа при температуре 25 °С [105].
Интересна спектральная зависимость коэффициента
поглощения, представленная на рис. 3.6 [105]. Здесь по оси ординат
отложены значения а = 4л\к> где % — показатель поглощения.
тъ
2,5
2,0
W,
XI
1, х х-
20 30
40
50 60
70
80
90^ см'1
Рис. 3.5. Зависимость коэффициента преломления
жидкой воды при £ = 25°С от волнового числа
в СБММ диапазоне [105].
Кривые — результаты двух независимых серий измерений,
кружки и крестики — экспериментальные данные.
20 30 40 50
70 80 90 ^ СМ~1
Рис. 3.6. Зависимость коэффициента поглощения
жидкой воды при t = 2b °C от волнового числа
в СБММ диапазоне [105].
153

Спектральные зависимости коэффициентов преломления и
поглощения воды при температуре 20 °С в дальнем ИК и СБММ
диапазонах измерены в работах[40, 46]. Кривые n(v) и x(v)
приводятся на рис. 3.7 для v от 20 до 200 см-1.
ть
2Л
2,2
2,0
1,8
1,6
1А
^
^- •—
^s
^bv
/^&
^"4
N^
I
J
• j
а неп-cm'1
1000
800
600
400
200
20
60
100
140
180 ~Ъсм-1
Рис. 3.7. Спектральная зависимость коэффициентов
преломления и поглощения в дальнем ИК и СБММ
диапазонах [40, 46].
На рис. 3.8 [62] изображено представление Коле-Коле
комплексной диэлектрической проницаемости воды — зависимость в'
от в" при температуре 20 °С. Цифры на рисунке — значения
волновых чисел (см-1). Кривая — результаты расчетов по формуле
Коле-Коле [62]:
е (со) = ео + (es - е<>)/[ 1 + (/сот')1" а°],
Рис. 3.8. Коле-Коле-представление
реальной и мнимой частей относительной
комплексной диэлектрической
проницаемости воды при ^ = 20 °С [62].
Сплошная кривая — расчеты по формуле
Коле-Коле [62], точки и крестики — данные
эксперимента из работ [62] и [38]
соответственно.
154

где б (со) — комплексная диэлектрическая проницаемость,
описывающая основной релаксационный процесс; es — статистическая,
а ео — предельная проницаемость при высоких частотах; %'—
основное время релаксации; а0 — параметр, описывающий эффект
малого распределения времени релаксации относительно основного
значения т [62]. В работе [62] значение е0 равно 4,86. Легко ви-
f,90 20 40 60 t°0
Рис. 3.9. Зависимость коэффициента преломления
воды от температуры для волновых чисел 29,7 и
84,3 см-1 [105].
деть, что формула Коле-Коле — это модифицированная формула
Дебая, описывающая релаксационный процесс. Из рисунка видно,
что значения е' и е" резко отклоняются влево от кривой. Для
малых значений волнового числа релаксационный процесс
удовлетворительно описывает явление поляризации диэлектрика. Для
больших значений v необходим учет резонансной поляризуемости.
На рис. 3.9 и 3.10 приводятся температурные зависимости п
и х для одной длины волны при изменении температуры от 5 до
70 °С [105]. Верхние две кривые на рис. 3.9 соответствуют
волновому числу 29,7 см--1, а нижняя кривая — 84,3 см-1. Для
волнового числа 29,7 см-1 отчетливо видно влияние релаксационной
поляризуемости, поэтому п зависит от температуры. Для v = 84,3 см-1
величина п почти не меняется с изменением температуры. Это
явный признак того, что при большом значении волнового числа
поляризуемость обусловлена уже резонансной поляризуемостью.
Аналогичная картина наблюдается и для зависимости
коэффициента поглощения от температуры, представленная на рис. 3.10.
Однако здесь градиент изменения а от температуры для v =
29,7 см-1 несколько больше и для v = 84,3 см-1 наблюдается
155

зависимость а от температуры. Таким образом, коэффициент
поглощения более чувствителен к изменению температуры, чем коэффи-
диент преломления.
а неп-см~1
600
550
500
300
250
200
150
^
^
29J см1
I
I
л?'
*
<г>Л"
84,3 СМ'1
I ^л
1-
20
40
60
t °С
Рис. 3.10. Зависимость коэффициента поглощения
воды от температуры для волновых чисел 29,7 и
84,3 см-1 [105].
100
30
10
&(0)
~°-*Ъ
N
[
\
\
VV
ем
0,3 13 10 30 100 300 ГГи,
Рис. 3.11. Спектральная зависимость реальной
части комплексной диэлектрической
проницаемости воды при / = 30 °С в микроволновом
диапазоне (0,5—1000 ГГц) [71].
На рис. 3.11 [71] представлена зависимость реальной части
диэлектрической проницаемости воды от частоты в диапазоне от 0,5
до 1000 ГГц. Сплошная кривая — расчет по формуле Дебая,
а точки — экспериментальные данные различных авторов (см.
[71]). Эта кривая приводится для уточнения значений es и е0 для
156

воды при температуре 30 °С. Так, по сравнению с данными,
приведенными в [62], необходима небольшая коррекция величины ео
от 4,89 до 4,73, которая, естественно, изменит результаты
расчетов в дальней ИК области спектра.
300 ГГиц
Рис. 3.12. Спектральная зависимость мнимой
части комплексной диэлектрической проницаемости
воды при £=30 °С в микроволновом диапазоне
(0,5—1000 ГГЦ) [71].
На рис. 3.12 [71] приводятся аналогичные данные для мнимой
части диэлектрической проницаемости воды при температуре 30 °С.
Сравнение результатов теоретических расчетов с данными экс-
Рис. 3.13. Спектральная зависимость
реальной части комплексной
диэлектрической проницаемости воды при
^=19°С в дальнем ИК и СБММ
диапазонах [72].
1 — результаты расчета по
экстраполированной теории Дебая; 2 — степень
неопределенности теоретического расчета по
Дебаю; 3 — экспериментальные данные
из [38].
к-
ZT^»"~- »
•
•
/
2
• 3 |
* ,,
г^»-;
-•«.
>
о
•
•
•
0,1
0,3
3 ГТГи,
периментов для дальней ИК области спектра и СБММ диапазона
изображено на рис. 3.13 и 3.14 при ^=19°С, а на рис. 3.15 и
3.16 — при t = 24°С [72]. Обозначения на всех рисунках одинако-
157

вые. Реально наблюдаются отклонения экспериментальных точек
от теоретических кривых по мере увеличения частоты
электромагнитного излучения.
\ф
оооо
©
о о ооо1
2
• J
о 4
•dq^o ооос
\
0,1
0,3
3 Г ТГи,
Рис. 3.14. Спектральная зависимость
мнимой части комплексной
диэлектрической проницаемости воды при
*=19°С в дальнем ИК и СБММ
диапазонах [72].
Усл. обозначения 1—3 см. рис. 3.13; 4 —
различие между измеренными и
теоретическими значениями е".
Рис. 3.15. Спектральная зависимость
действительной части комплексной
диэлектрической проницаемости воды
при / = 24 °С в дальнем ИК и СБММ
диапазонах [72].
Усл. обозначения см. рис. 3.13.
X
Л
^^
— -^^d
•
•
•«...
* i
•
» • ••
- 2
з
——
0,2 0,3 0,5
2'ТГи,
\\
Q.
\
1
_J
V
ч
) О О
v^* •.
о о оо
- /
- ?
• J
о 4
• • * •
ОЙ^ОЦ.^
i
о ° 1
0,2 0,3 0,3
2fTru,
Рис. 3.16. Спектральная зависимость
мнимой части комплексной
диэлектрической проницаемости воды при
/ = 24 °С в дальнем ИК и СБММ
диапазонах [72].
Усл. обозначения см. рис. 3.14.
158

3.3.3.5. Измерение диэлектрической проницаемости
переохлажденной воды
в микроволновом диапазоне
В настоящее время физические свойства переохлажденной воды
изучены существенно хуже, чем свойства воды при положительных
температурах и льда. Получение и изучение воды при больших
переохлаждениях— одна из серьезнейших проблем, стоящих перед
экспериментаторами. Тем более это относится к определению
величин е' и е" для переохлажденной воды в микроволновом
диапазоне, и особенно для ММ и СБММ волн, где дополнительные
технические трудности связаны с отсутствием соответствующей
измерительной аппаратуры для этих диапазонов.
До начала 80-х годов были выполнены только отдельные,
эпизодические, измерения е' и е" переохлажденной воды в
микроволновом диапазоне, причем до температуры —12 °С. Однако запросы
исследователей намного опережают возможности эксперимента.
Поэтому возникла необходимость обратиться к теоретическим
расчетам. В основу теоретических расчетов е' и е" переохлажденной
воды был заложен следующий принцип: методы расчета е' и е"
для положительных температур приемлемы и для расчетов при
отрицательных температурах, т. е. и для переохлажденной воды.
Правомочность данного принципа основана на экспериментах Сак-
сона [80, 92], который показал и обосновал, что при непрерывном
изменении температуры воды от 0 до —8 °С все константы,
используемые в расчетах е' и е" по формулам Дебая, изменяются
непрерывным образом (es = 92,3 при ^=—10 °С в [92], в то время
как по теоретическим расчетам [24] es = 92,37).
Другим доказательством правильности расчетов е' и е" по
формулам Дебая при отрицательных температурах служат
приведенные в работе [4] результаты экспериментально измеренного
времени релаксации молекул переохлажденной воды при
температурах от 3 до —12,5°С (см. табл. 4.26 [24]). Вычисленные на
основе этих данных значения Xs (см. табл. 4.27 [24]) также
показывают непрерывность изменения параметров от положительных
к отрицательным температурам и хорошее совпадение
(расхождение— несколько процентов) с результатами теоретических
расчетов (табл. 3.9).
Руководствуясь этим принципом, авторы [24, 25] и в других
многочисленных работах выполнили теоретические расчеты е' и е"
по формулам Дебая для отрицательных температур до —40 °С.
В методе Т1 параметры для расчетов е' и е" приводятся до
—10 °С, т. е. того значения температуры, данные для которого
известны из эксперимента. В методе Т2 расчеты ограничены
значением температуры —20 °С, т. е. если ошибка и присутствует, то
она достаточно мала. Этого принципа придерживаемся и мы при
выборе значений п(Х) и х(Я) для переохлажденной воды в СБММ
диапазоне при температурах —10 и —20 °С.
159

Первая фундаментальная работа по диэлектрическим
свойствам переохлажденной воды появилась только в 1982 г. [42]. В
работе экспериментально получены е'и в" для частоты 9,61 ГГц и
б0 для частоты 27,5 МГц для 15 значений температур из
интервала 32,35... —18,2 °С (точнее, для 8 значений отрицательных
температур). Косвенные измерения позволили вычислить е' и в"
до значения температуры —21,35°С. Сравнение результатов [42]
Таблица 3.9
Значения Xs, вычисленные на основе данных из работы [4]
t °с
40
30
20
10
0
— 10
—20
—30
—40
по [50]
3,54
5,21
7,88
12,29
19,82
hs мкм
по [4]
1,04
1,35
1,79
2,41
3,30
по [24]
1,12
1,40
1,79
2,39
3,34
4,90
7,58
12,35
20,97
с измеренным временем релаксации при / = —20 °С [88] показало,
что значение, приведенное в [88], примерно на 9 % больше
полученного в работе [42]. Тот же результат получили и мы, когда
сравнили теоретические расчеты в' и в" по формулам Дебая
(см. [24], таблицы в приложении) с полученными
экспериментально в работе [42] в^ и в^'г
t°C f —0,7 —10 —18,2 —20
ет>еэ % 1 1 5 8
ет>е'э % 1 2 3 6
Таким образом, с уменьшением температуры различие
результатов эксперимента и теоретических расчетов возрастает. Следует
помнить, что все рассмотренные результаты относятся к
релаксационной поляризуемости молекул переохлажденной воды.
Указанная работа [42], а также работы, проведенные до этого
по исследованию физических свойств переохлажденной воды (см.
42]), привели к коренному пересмотру структуры воды и
релаксационной теории Дебая. Для того чтобы понять необходимость
такого пересмотра, следует обратиться к гипотезе Ванга [42],
согласно которой
тТ/т1 = Л, Dsx' = B, Dsy]/T = C,
где т' — время релаксации молекулы, г\ — вязкость, Ds —
собственный коэффициент диффузии, Т — температура и Л, В, С —
160

постоянные. Первое и третье уравнения являются соответственна
уравнениями Дебая и Стокса—Эйнштейна. Согласно гипотезе
Ванга, все три уравнения сохраняются при уменьшении
температуры и при переходе через температуру Гт, где Тт — температура
плавления.
В работе [42] при сравнении с экспериментальными данными
получено, что когда Т < Гт, первое и третье уравнения не
выполняются. При t = — 20 °С величины тТ/т) и Dsy)/T на 8% меньше
соответствующих значений при ^ = 0°С. При t<—30 °С
отношение DsT/т) принимает постоянное значение, которое на 20 %
меньше его значения при ^=0°С. При этом второе уравнение точно
выполняется для всего диапазона изменения температуры (от 40
до —20 °С) с точностью ±1,5%. Таким образом, гипотеза Ванга
о едином механизме для величин т', ц/Т и D~l для воды в
нормальном или метостабильном состоянии не соответствует
результатам эксперимента, когда анализируется состояние воды при
Т<ТТ.
В свете полученных разногласий теории и эксперимента были
рассмотрены предложенные ранее различные модели структуры
воды [58, 60, 70, 98], из которых, по мнению авторов [42],
наиболее приемлемой является модель, предложенная в работе [98].
Указанные авторы рассматривают структуру воды в виде сетки
из водородных связей с определенными группирующими
свойствами. Атомы кислорода и молекулы воды могут быть связаны 0,
1, 2, 3 и 4 водородными связями, и подобные связи
рассматриваются в свете теории просвечивания [42]. Несмотря на то, что
теория еще не совершенна и предусматривает идею двух
характеристических времен, расчеты [42], выполненные по этой теории, дали
удовлетворительное согласие с данными эксперимента [42].
Вместе с тем и другие исследования с переохлажденной водой [41, 78]
приводят многих ученых к заключению о том, что релаксационная
теория Дебая является относительно «сырой» — она удивительно
хорошо подтверждается для температур выше Гт и не совпадает
с результатами эксперимента при температурах ниже Гт.
Особый интерес представляет работа [78], где исследуется
Роман-спектр переохлажденной воды до t = —20 °С для наиболее
важного диапазона волновых чисел (20—320 см-1). Ранее
выполненная работа [101], в которой измерения проводились до t =
= —4°С, показала увеличение интенсивности полосы при 190 см"1
с уменьшением температуры. Детальные исследования [78]
показали, что наряду с полосами при 60 и 190 см-1, при низких
температурах в переохлажденной воде, обнаруживается плечо —
полоса при 260 см"1, которое можно интерпретировать как
результат воздействия полосы 310 см-1 льда.
Исследования показали, что с уменьшением температуры
интенсивность полосы 60 см-1 увеличивается незначительно; для
полосы 190 см-1 интенсивность увеличивается в 4 раза; а для
полосы 260 см-1 — в 10 раз. Одновременно с этим при понижении
температуры уменьшается ширина полос поглощения. Так, для
И Заказ № 124
161

полосы 190 см i при t=45 °C ширина полосы составляет
-120 см"1, при t = 5°C — Av = 96 см"1, а при t = — 25 °С — Av^
^93 см-1. В то же время с уменьшением температуры смещается
в сторону увеличения волнового числа положения пиков полос при
190 и 260 см-1. Последнее обстоятельство находится в хорошем
согласии с сеточной моделью воды [94]. Аномальное увеличение
интенсивности полос с переохлаждением согласуется с идеей
о том, что существуют маленькие группы сильно связанных
молекул, глубоко врезаемых в водородную сеть переохлажденной
воды [98].
Последние исследования проливают свет и на резонансную
составляющую поглощения в СБММ диапазоне. Действительно,
поскольку, как мы убедились, с увеличением переохлаждения
меняются интенсивность, ширина и положение полос поглощения, то
будут происходить и динамические изменения в' и е" в СБММ
диапазоне, однако какие — пока неизвестно. Данных фактических
измерений в' и в" в СБММ диапазоне для низких температур
пока нет.
Теперь оценим реальное воздействие переохлаждения на
комплексный показатель преломления для низких температур в СБММ
диапазоне. Вернее, как могут измениться в' и в" или пик
в свете последних сведений о переохлажденной воде.
Что касается релаксационной поляризуемости, то новые
данные показывают, что расчеты по формулам Дебая дают
завышенные значения вг и в" при монотонном понижении температуры до
значения t = —20 °С (при котором завышение составляет около
10%). Таким образом, коррекция должна идти в сторону
уменьшения имеющихся в настоящее время значений вг и г".
Теперь относительно резонансной поляризуемости. Как
убеждают результаты работы [78], с понижением температуры
основные видоизменения претерпевают полосы 190 и 260 см-1.
Одновременно с повышением интенсивности полос поглощения
происходит уменьшение ширины этих полос. Если интенсивность
возрастает, то при понижении температуры от 0 до —20 °С
полуширина полосы уменьшается не столь резко. Поэтому общая
тенденция будет направлена в сторону увеличения общей площади
полосы поглощения, т. е. к увеличению е", или, может быть, даже
к увеличению в''.
Однако поляризация молекул воды является суммой
релаксационной и резонансной поляризации. В данном случае обе
поляризации оказывают противоположное воздействие на изменение в/
и е" с понижением температуры. Насколько превалирует
воздействие той или иной поляризации, пока еще не известно. Может
оказаться, что влияние обеих поляризаций скомпенсирует друг
друга и каких-либо поправок к значениям в' и в" вводить не
понадобится. Неопределенность связана с резонансной
поляризацией, тогда как с релаксационной поляризацией на сегодня
все ясно.
162

Пока нет экспериментальных данных о в' и е" для
переохлажденной воды, устранить эту неопределенность невозможно.
Однако в настоящее время ясно, что руководствуясь только
экспериментальными данными по релаксационной поляризуемости,
следует скорректировать е' и е" в сторону уменьшения их значений
с понижением температуры.
3.3.3.6. Комплексный показатель
преломления воды в СБММ диапазоне
Теоретические методы расчта Tl, T2 и ТЗ были разработаны
в 70-е годы, когда отсутствовали экспериментальные значения г'
и е" в СБММ диапазоне при положительных и отрицательных
температурах. В последние годы появилось много экспериментальных
работ по диэлектрическим постоянным воды только для
положительных температур. Естественно, появилась возможность
сравнить эти экспериментальные данные с теоретическими расчетами
Tl, T2 и ТЗ с тем, чтобы выяснить, какой из методов для каких
длин волн и температур лучше совпадает с экспериментом.
Вопрос весьма важен, поскольку для отрицательных температур нет
измеренных значений г' и г" в СБММ диапазоне и, следовательно,
необходимо выбрать метод теоретического расчета, который ближе
всего к эксперименту.
В табл. 3.10 сравниваются п и х, полученные экспериментально
и методами расчета Tl, T2 и ТЗ. Сравнение проводится отдельна
для температур 20, 10 и 0 °С для 10 значений длин волн СБММ
диапазона.
В качестве экспериментальных значений при / = 20°С
используются результаты осреднения четырех работ [12, 38, 39, 96],
которые мы уже использовали в качестве начальных данных в
методе ТЗ и которые приводятся в табл. 3.6. Полужирным шрифтом
выделены значения п и х, которые ближе всего к результатам
эксперимента. Как видно из сравнения данных при ^ = 20 °С (см.
табл. 3.10), почти для всех длин волн СБММ диапазона метод Т1
лучше использовать для расчетов п(Х)у а метод Т2 — для расчетов
к (К). При ^=10°С в качестве экспериментальных данных для
сравнения использовались данные наблюдений [62, 105]. Как
видно из табл. 3.10, одинаково хороши методы Т1 и ТЗ для
расчетов к (К) и методы Т2 и ТЗ для расчетов х(А,). При температуре
0°С использовались данные наблюдений [39]. Табличные данные
показывают, что здесь следует использовать метод Т2 для
расчетов Я (а) и метод Т1 для расчетов х(^).
Таким образом, проведенный анализ, а также обсуждение
наблюдательного материала, изложенного в п. 3.3.3.5, приводит
к выводу о том, что целесообразно для отрицательных
температур —10 и —20 °С во всем СБММ диапазоне использовать метод
Т2 для расчетов п(К) и метод Т1—для расчетов х(А,).
11*
163

Таблица 3.10
Сравнение значений п и х, полученных различными методами, t = 20 °С
к мм
п
Эксперимент
[12, 38, 39, 96]
Теоретический метод
Т1
Т2
ТЗ
X
Эксперимент
[12, 38, 39, 96]
Теоретический метод
Т1
Т2
ТЗ
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
2,56
2,47
2,45
2,39
2,34
2,29
2,22
2,13
2,06
2,98
2,53
2,42
2,38
2,35
2,32
2,29
2,26
2,24
2,20
2,08
2,48
2,39
2,30
2,23
2,17
2,11
2,07
2,04
2,03
1,95
1,01
0,96
0,87
0,81
0,71
0,71
0,62
0,55
0,48
0,47
0,82
0,87
0,80
0,72
0,64
0,56
0,49
0,43
0,39
0,44
0,91
0,86
0,82
0,77
0,73
0,68
0,62
0,55
0,47
0,48
/ = 10 °С
к мм
п
эксперимент
[62, 105]
метод
Т1
метод
Т2
метод
ТЗ
X
эксперимент
[62, 105]
метод
Т1
метод
Т2
метод
ТЗ
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
2,45
2,40
2,36
2,32
2,28
2,24
2,19
2,12
2,05
1,97
2,47
2,35
2,32
2,30
2,28
2,26
2,24
2,22
2,19
2,08
2,44
2,35
2,28
2,21
2,14
2,08
2,03
2,00
1,99
1,91
2,48
2,40
2,39
2,34
2,30
2,25
2,19
2,11
2,05
1,98
0,89
0,83
0,74
0,75
0,70
0,65
0,58
0,53
0,51
0,47
0,67
0,72
0,65
0,59
0,53
0,45
0,41
0,37
0,35
0,42
0,73
0,69
0,66
0,63
0,61
0,58
0,54
0,49
0,43
0,45
0,86
0,82
0,74
0,69
0,61
0,62
0,55
0,49
0,43
0,45
/ = о°с
к мм
п
эксперимент
[39]
метод
Т1
метод
Т2
метод
ТЗ
X
эксперимент
[39]
метод
Т1
метод
Т2
метод
ТЗ
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
2,28
2,24
2,20
2,18
2,15
2,П
2,05
1,93
1,93
1,96
2,42
2,30
2,28
2,27
2,25
2,24
2,23
2,21
2,19
2,07
2,37
2,30
2,23
2,16
2,10
2,04
1,99
1,96
1,95
1,87
2,40
2,34
2,33
2,29
2,26
2,22
2,17
2,09
2,04
1,97
0,58
0,54
0,51
0,48
0,44
0,43
0,38
0,35
0,30
0,30
0,54
0,56
0,51
0,46
0,42
0,37
0,33
0,31
0,31
0,39
0,58
0,56
0,54
0,52
0,51
0,50
0,47
0,44
0,39
0,44
0,70
0,67
0,59
0,56
0,49
0,52
0,47
0,42
0,38
0,43

CO OO
rf CM
см см о
Oh-'*1
o" o"
о
I
I I I I I I
— о о oo h- oo r-
°i "1. °l °°^ *4 °°„ ю„
со" со" см" см" см" см" см" см см
Ю О СО CD
см ~ —■
с\ со см^ см^ см^ см^ см^ см^ см^
_ о" о" о" о" о" о" о" о" о"
I I I I I I I I I J
— OCDCOOCDCMOh-t-
tf —ноооослоо^оооо^
CM CM CM
X
cd
X
о
см о
СМ^ —^ О^ 00^ С£
см" см" см" ^-н" ^ ^ ^ ^ч о
I I I I I I I I I
mococoocoi^—ноо
t"^ U^ т^ CM^ —^ &l t^ CD^ r^
со" со" со" со" со" см" см" см" см"
—н 1>.СМСОЮСМО>1>-С01>-1>-
со
о"
со^ со^ со^ см^ см^ см^ см^ со^
о" о" о" о" о" о" о" о"
I I I I I I I
Ю О) ^ О) rf ^. —«СО
ол о_
см" см см" см" см"
Q) ff) О) О) 0О
£
%
3
«с
с
с
ч
«
с
«Я
3
X
с
о
OOh-CMlOlO'-H—• Ю
CD^ Ю^ СО СМ^ ©^
см" см" см" см" см"
оо_ cd^ со а>
о"
^ и со со
.111
—' 00 "* —■
ю см о^ оо^
со" со" см"
00 ^
о" о"
00 rf —'
ir^ ю^ ю
о" о" о"
I I I
оо ^
см^ см^
см" см" см" см" см*
со оо ю о о
■* со ее со со
о" о" о" о" о"
О 00 Ю —'
ю со со со
О С> О) О)
см см" — — —"
О СМ СО
00^ t4^ CD^
см" см" см"
ю со —* о
о о
СО СМ
о со
00 00
см см см —■ — —■
СО »-н rf CD CO CD
ю" ^
t4- ю см о со со
о
I
Ю
rf Ю О
is. t^ ^
o" o" o"
I I I
CO CM 00
Ю 00 CO —' h-
CD Ю
о" о
a>
Ю Ю -*
o" o" o"
rf CO" CO CO CO CM
CO CM CM —• —'
I
cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" cm" ^"
—HCOh-lOOOlOrt'CM
CO^ Ю^ CO^
cm" cm" cm" cm" cm"
I I I I I
CO Ю ч*1 CM h-
О .-. -,
*°- ^ °-
ю" ю" ю"
_ 00^
см" —Г
I I
о —■ _
^ °°~ °1
со" со" см"
I
о
_ СО
о о
—н" О"
t-. _н _н
СЛ 00 N
о" о" о"
—I СМ Ю 00 Ь»
t^ СО^ 1Г^ т^ rt«
о" о" о*4 о" о"
■'III
СО СО 00
ю„ Ч Ч м °° ^ ci *~i °- °\
см" см" см" см" см" см" см" см" см" —<"
ooooooooo oooooooooo
.ooooooooo oooooooooo
2 OOOOOOOOO OOOOr-COLOTfCOCM'-'
^ |оа>оо1^сою^сосм —■
165

Таблица 3.11 представляет собой итоговую таблицу, где
приводятся численные значения комплексных показателей
преломления в диапазоне длин волн от 0,1 до 10 мм для пяти значений
температур: 20, 10, 0, —10 и —20 °С, которые в дальнейшем
используются для расчетов. Для длин волн от 2 до 10 мм и всего
рассматриваемого диапазона изменения температур (от 20 до
—20°С) значения п(Х) и к(К) взяты из работы [24]. Для длин
волн от 0,1 до 1 мм в качестве функций п(К) и х(Х)
использовались: при t = 20°С — осредненные данные наблюдений из работ
[12, 38, 39, 96], при ^=10°С — данные наблюдений из работ [62,
105], при ^=0 °С — данные наблюдений из работы [39], при
температурах —10 и —20 °С результаты теоретического расчета п(к)
по методу Т2 и х(А,) по методу Т1.
3.3.3.7. Точность определения значений
комплексного показателя преломления
в 1Л1Л и СБММ диапазонах
В дальнейшем для установления точности расчетов
коэффициентов ослабления и радиолокационного отражения ММ и СБММ
волн облаками существенно с какой точностью получены п(л) и
к(Х) для определенных температур и длин волн, которые
представлены в итоговой табл. 3.11.
В таблице 3.11 приводятся значения п(Х) и х(А,), которые
представляют собой данные наблюдений различных авторов и
результаты теоретических расчетов. Поэтому следует разобраться,
какова точность определения п(Х) и к(К) в разных диапазонах
длин волн и при различных температурах.
1. В диапазоне от 2 до 10 мм при температуре от 20 до —20 °С,
как отмечалось выше, использовались п(к) и к (К) из работы
[24]. Сравнение значений п(К) и к (К) из [24] с данными
теоретических работ других авторов показало, что они согласуются в
пределах ~5 % [24]. Сравнение с экспериментальными данными
показало, что погрешность не превышает для 7г(Л,) — 5 % и для
х(А,)~3%. Все это относится к положительным температурам.
Для отрицательной температуры —10°С различие для х
составляет при % = 6 мм и 12,4 мм 1,7 и 0,7 % соответственно. Согласно
анализу, который был проведен в п. 3.3.3.5, видно, что для
отрицательных температур результаты расчетов по [24] не совпадают,
с уменьшением температуры погрешность монотонно увеличивается
и при —20 °С составляет ~7 %.
2. Для длин волн от 0,1 до 1 мм:
166

а) t = 20 °C. Согласно табл. 3.11, n(K) и к (к)—результат
осреднения данных наблюдений четырех авторов [12, 38, 39, 96].
Точность, с которой определены п(К) и к(к) в каждой из работ
существенно меньше точности, с которой осреднены результаты
различных авторов, поэтому здесь мы указываем погрешность
осреднения: для е' не более ±3 % и для е" не более ±3 %;
б) ^=10°С. В табл. 3.11 приводятся экспериментальные
данные двух авторов [62, 105]. Неопределенность в определении е'
составляет ±0,05, а для е"— между ±0,05 и ±0,1 (по работе
[105]); в соответствии с работой [62] точность определения п
±1,5%;х±3%;
в) ^ = 0°С. В табл. 3.11 приводятся экспериментальные
данные по работе [39]. Для величины х в диапазоне волновых чисел
от 20 до 200 см-1 погрешность находится в пределах от ±0,62
до ±2 %; для величины п в диапазоне волновых чисел от 20 до
200 см-1 погрешность находится в пределах от ±0,03 до ±0,05;
г) t = —10 °С и t = —20 °С. Согласно табл. 3.11, используются
результаты теоретических расчетов. Как известно,
экспериментальных данных пока нет, поэтому не с чем сравнить, чтобы
определить погрешность. Погрешность мы определили для методов Т1
и Т2 при температуре 0 °С по результатам, приведенным
в табл. 3.10. Величины п(к) определяются по методу Т2, поэтому
погрешность (^ = 0°С) составляет ~±2%. Величины х(к)
определяются методом Т1, поэтому погрешность (^ = 0°С) составляет
~±1 %.
3.3.4. РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ ЛЬДА
В ММ И СБММ ДИАПАЗОНАХ
В ММ и СБММ диапазонах диэлектрическая проницаемость
льда, как и воды, определяется суммой двух видов поляризуемо-
стей: релаксационной Дебая и резонансной — результат влияния
полос поглощения льда в ИК области спектра. В работе [89] с
помощью анализа многочисленных экспериментальных данных
предложена методика, формулы и постоянные для расчетов п(а) и
ус (К) льда в ММ и СБММ диапазонах. Экспериментально
установлено, что во всем микроволновом диапазоне действительная
часть комплексного показателя преломления льда постоянна и
равна 1,78. Таким образом, нам остается рассчитать к(к) льда
в ММ и СБММ диапазонах. Согласно [89], к(к) льда описывается
формулой (3.27), т. е. представляет собой сумму kd(1) и хр(Х).
Дебаевская составляющая поляризуемости — kd(\) —так же,
как и для воды, вычисляется с помощью формулы (3.29) [89].
В уравнении (3.29) зависимость параметров ао и е, от темпера-
167

туры подобрана таким образом, чтобы при Я = 3,2 см и п=1,78
ус(Х) совпало бы с экспериментальными данными [52]:
е0 = 3,168, (3.39)
а0 = 0,288 + 0,0052* + 0,00023*2, (3.40)
Xs = 9,990288 • 10~4exp{13200/[(* + 273) . 1,9869]}, (3.41)
оя,= 1,26 ехр{—12500/[(< +273) • 1,9869]}, (3.42)
es = 203,168 + 2,5* + 0,15*2. (3.43)
Теперь, если подставить (3.39) —(3.41) и (3.43) в (3.29)
(последнее слагаемое в (3.29) в нашем случае мало), то, используя
соотношение (3.13), получим дебаевскую составляющую для льда
хР(к) как функцию от температуры.
Резонансную составляющую хр(Х) можно рассчитать по
формуле (3.36) [89]. Параметры р7-, А/, ^ и Yj из [89] и приводятся
в табл. 3.12.
Таблица 3.12
Значения параметров для расчета хр(Я) льда
для Я>62 мкм
Л,0 . мкм
Р/
л/
у1
44,8 0,581 0,055 1,0
62,0 0,242 0,23 1,6
Таким образом, нами рассчитаны функции хр(А,) для льда
для длин волн от 0,1 до 10 мм (в диапазоне 10—1 мм — через
1 мм, а в диапазоне 1,0—0,1 мм — через 0,1 мм) для трех
значений температур: 0, —10 и —20 °С. Результаты расчетов х(А,) для
льда приводятся в табл. 3.13 и на рис. 3.17. Как и следовало
ожидать, дебаевская составляющая показателя поглощения льда
резко зависит от температуры и с переходом из ММ диапазона
в СБММ величина xD(X) постепенно уменьшается и стремится
к нулю. Наоборот, резонансная составляющая поглощения хр(А,)
не зависит от температуры, она имеет максимум в ИК диапазоне,
при переходе в СБММ диапазон постоянно уменьшается и опять
стремится к нулю. Сложение этих двух кривых (xD(l) и хр(Я))
приводит к тому, что у функции х(Х) льда в области 0,3—0,8 мм
образуется «окно» по показателю поглощения. Поглощение
в «окне» на Ю-4—Ю-2 меньше, чем на соседних длинах волн
как со стороны ИК, так и со стороны ММ диапазонов. В
дальнейшем мы убедимся, что это удивительное свойство «окна» льда
можно использовать в качестве индикатора появления льда в об-
168

Зависимость поглощения льда х(Я) от температуры в ММ и
диапазонах
Таблица 3.13
СБММ
К мм
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
t °С
0
1,06-Ю-3
9,87
9,08
8,25
7,39
6,50
5,54
4,52
3,38
2,07
1,92
1,77
1,63
1,52
1,57
2,43
8,75
6,95
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-3
1,05-Ю-1
-10
3,35-Ю-4
3,10
2,84
2,58
2,30
2,01
1,70
1,37
1,02
6,11
5,65
5,26
4,85
5,01
6,70
1,66
8,12
6,90
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-5
ю-5
ю-5
ю-5
ю-5
ю-5
ю-4
ю-4
ю-3
1,05- Ю-1
—20
2,34-Ю-4
2,16
1,99
1,80
1,61
1,41
1,20
9,77
7,28
4,43
4,10
3,85
3,48
3,89
5,73
1,58
8,05
6,90
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-4
ю-5
ю-5
ю-5
ю-5
ю-5
ю-5
ю-5
ш-5
ю-4
ю-4
ю-3
1,46- Ю-1
лаке при радиолокационном отражении излучения в СБММ
диапазоне. На рис. 3.17 видно различие в спектральной зависимости
к(к) при различных температурах — результат влияния
релаксационной полярности в длинноволновой части спектра.
ю~

ютит
ю-"
10~
\
0°С
-10
-20
10
-2
10~
10й
Ю1 Л мм
Рис. 3.17. Спектральная зависимость
показателя поглощения льда к в ММ и
СБММ диапазонах.
169

3.3.5. ВЛИЯНИЕ АЭРОЗОЛЬНОЙ КОМПОНЕНТЫ АТМОСФЕРЫ
НА КОМПЛЕКСНЫЙ ПОКАЗАТЕЛЬ
ПРЕЛОМЛЕНИЯ ОБЛАЧНЫХ КАПЕЛЬ
Показатели преломления и поглощения воды и льда в ММ и
СБММ диапазонах определены для дистиллированной воды в
лабораторных условиях. Однако эти данные используются в качестве
характеристик воды и льда облачных капель и частиц. Возникает
вопрос, насколько правомочна подобная замена и к каким
погрешностям она может привести.
В настоящее время атмосфера планеты загрязнена
промышленными выбросами в атмосферу, интенсивно развивается авиация и
ракетная техника в связи с космическими исследованиями,
поэтому невозможно оставить без внимания воздействие указанных
загрязнителей на естественные образования в атмосфере — на
облачные капли. Результаты исследования показывают, что
воздействие идет в следующих направлениях: во-первых, аэрозоли
атмосферы сами являются ядрами конденсации, на которых
непосредственно зарождается капля, т. е. загрязнение с самого же начала
присутствует в капле: во вторых, газовые составляющие
атмосферы растворяются в жидкой капле, образуя различные
химические соединения: в-третьих, в каплях при этих условиях могут идти
различные химические реакции. Указанные процессы могут с
течением времени приводить к изменению показателей преломления
и поглощения уже загрязненных облачных капель.
Естественно, все эти процессы приведут к тому, что параметры
п(Х) и х(Я) для капель и кристаллов в облаках будут отличаться
от лабораторно измеренных. Интересно, что эти процессы
привлекли внимание исследователей лишь в последние 15—20 лет.
В настоящее время основные исследования относятся к
диапазонам видимых и ИК волн. Сделаны первые попытки оценить
влияние примесей на капельную структуру облаков и на комплексный
показатель преломления облачных капель. Что касается
диапазонов ММ и СБММ волн, то здесь исследования даже еще не
начаты. Поэтому исследователям будет интересно ознакомиться
с работами, выполненными в диапазонах видимых и ИК волн,
с тем, чтобы легче было определить, в каком направлении
необходимо развивать исследования в диапазонах ММ и СБММ волн и
провести уже сейчас предварительные оценки результата
воздействия загрязнений.
После первых же исследовательских работ в диапазонах
видимых и ИК волн в литературе появились утверждения о том, что
аэрозоли, загрязняющие облачные капли, по своему объему
составляют не более 1 °/о объема жидкокапельной составляющей
облаков. Такое ничтожное количество загрязнений не может
существенно изменить значения пик облачной воды. Вклад
загрязнителей может привести к изменениям п и х, находящимся в преде-
170

лах погрешностей, которые допускаются при определении пик
воды в лабораторных условиях. Возможно, это и так, но,
согласно последним исследованиям, уверенности в этом нет.
Следует с большой осторожностью и ответственностью
подходить к этому вопросу и продолжить исследования в диапазонах
видимых и ИК волн. Одновременно необходимо начать
исследования в диапазонах ММ и СБММ волн, ибо теперь уже ясно, что мо-
гуть быть допущены большие погрешности, если не учитывать
условий реальной атмосферы.
Первые попытки учета аэрозольной компоненты атмосферы
были сделаны в работах [67, 90], когда для объяснения различия
между результатами теории и эксперимента по ослаблению
радиационного потока в атмосфере было высказано предположение
о влиянии атмосферного аэрозоля. Благодаря большой
поверхности, аэрозоли, несмотря на малую массу, играют косвенно важную
роль, влияя на микроструктуру облаков и изменяя
характеристики поглощения и рассеяния водяных капель [26, 32, 57].
В чем же проявляется влияние аэрозольной и иных компонент
атмосферы на облачные капли?
1. Аэрозоли являются активными центрами зародышей капель,
т. е. служат ядрами конденсации. В этом случае аэрозоли
выступают как нерастворимые включения в водяные капли.
2. В облаке, наряду с каплями воды, присутствует аэрозольная
компонента, которая под воздействием воздушных потоков
захватывается каплями, и образуется поверхностный слой капли.
3. Газовая компонента облаков, в результате диффузии и
различных активных процессов может растворяться в каплях,
образуя различные химические смеси.
4. Между растворенными в капле различными соединениями
могут идти химические реакции. Они могут изменять
первоначальные растворы капель, способствуя изменению со временем п
и х капель облаков.
5. Аэрозольные примеси могут изменять комплексный
показатель преломления водяных капель в видимом и ИК диапазонах
длин волн.
Ниже мы обсудим каждый из указанных пунктов в
отдельности. Теперь кратко рассмотрим природу образования, типы и
химический состав аэрозолей, особенности распространения и
механизм воздействия на жидкокапельную фракцию облаков.
3.3.5.1. Источники аэрозолей в атмосфере
По механизму образования аэрозоли подразделяют на два вида
[34]: дисперсионные и конденсационные. Дисперсионные аэрозоли
образуются в результате дробления или измельчения твердых тел
и распыления жидкостей. Конденсационные аэрозоли образуются
в результате конденсации пересыщенных паров различных газов.
171

Подробное описание дисперсионных и конденсационных
аэрозолей можно найти в работах [14, 23]. Здесь мы приводим лишь
краткую сводку данных.
В атмосфере встречаются аэрозоли размером от г~\ мкм
(кластеры) до пылевых частиц с г ж 20 мкм и более. По
размерам аэрозоли подразделяют на три фракции: мелкодисперсную
(г<0,1 мкм), среднедисперсную (/-«0,1... 1 мкм) и грубодис-
персную (/•> 1 мкм).
1. Для дисперсных аэрозолей характерны rm«0,5. .. 10 мкм
и соответственно модальная концентрация N«0,15 см-3.
Преобладающим является следующий химический состав (в процентах):
SO2"—18; СО3" —8; C1"
N0:
NH+-
4
Fe3+—1; Na+-
1; Са2+ — 9 и К+—1. Эффективная длина пути
дисперсионных аэрозолей — #ад=3 км. Это означает, что высотное
распределение этих аэрозолей подчиняется закону
ЛГад(А) = ЛГоад(0)ехр[-й/3],
(3.44)
где Л^оад(О) —концентрация капель, размерами характерной моды,
при Л = 0, т. е. на уровне моря.
2. Для конденсационных аэрозолей rm«0,02. .. 0,10 мкм и
среднее значение N«200 см-3. Они имеют следующий состав
(в процентах): S — 25; NH+ —8; СО2"; NO" — 2; Fe3+—1;
Са2+— 10; С1- —8; Na+ — 8; К+— 1; Mg2+— 1. Высотное
распределение конденсационных аэрозолей описывается формулой
NaK (h) = ЛГоак (0) exp [-Й/2], (3.45)
где М)ак(0) — концентрация капель при й = 0.
По району образования аэрозоли делятся на фоновые, морские
и континентальные, имеющие следующий химический состав
(в процентах) [14]:
Морской аэрозоль
NaCl — 78
MgCl2—11
CaS04 —6
Na2S04 —4
K2SO4 — 1
Континентальный аэрозоль
Si02 — от 40 до 50
А120з—15
Fe — от 5,4 до 6,0
СаО — от 0,9 до 2,4
Na20 —от 1,5 до 2,0
К20 — от 1,1 до 1,9
MgO —от 1,5 до 5,0
Ti — от 0,2 до 1,0
МпО — от 0,05 до 0,08
Состав фонового аэрозоля зависит от района, поэтому
конкретные данные не приводятся.
Аэрозоли антропогенного происхождения могут быть двух
типов: промышленная пыль и фотохимический (конденсационный)
аэрозоль [14, 23]. Для промышленной пыли характерны rm = 3..-
172

4 мкм и Л/^1 см~3; для фотохимического аэрозоля — rm = 0,08. ..
0,15 мкм и N^ 100 см-3 (h~3 км).
Плотность аэрозольных частиц находится преимущественно
в пределах 1,0—3,3 г/см3 [23]. Однако могут наблюдаться и
тяжелые аэрозоли [23] (плотность — в г/см3): SiCb — 2,65; Fe2Cb —
5,24; Fe04 —5,18; Fe2(S04)3 — 3,09; MnO — 5,03; ZnO —5,61;
ZnS04 — 3,54; CuO — 6,0; CuS04 — 3,6.
По месту своего происхождения аэрозоли можно разбить на
две основные группы [23]: а) аэрозоли, генерируемые с
подстилающей поверхности; б) аэрозоли, возникающие непосредственно
в воздухе. Рассмотренные выше аэрозоли преимущественно можно
отнести к первой группе аэрозолей. Как почвенный, так и морской
аэрозоль очень сильно зависят от ветрового режима региона и от
скорости седиментации частиц. Подробные сведения относительно
почвенных и морских аэрозолей можно найти в [23].
Рассмотрим аэрозоли, образующиеся непосредственно в
воздухе. Это самый тонкодисперсный аэрозоль, который образуется
в результате конденсации аэрозолеобразующих паров в
дисперсную фазу путем [14, 23]: 1) гомогенной конденсации паров одного
вещества, 2) гомогенной гетеромолекулярной конденсации паров
нескольких веществ, 3) абсорбции молекул на кластерах, 4)
гетерогенной конденсации [9, 10]. Каждому из этих источников
аэрозолей посвящены многочисленные исследования, которые можно
найти в [14, 23]. Отметим лишь, что в основе образования
полученных в этой группе аэрозолей лежат фотохимические процессы.
Основное вещество, которое образуется в атмосфере при этом —
сульфатный аэрозоль.
На аэрозолеобразование в атмосфере могут влиять такие
процессы, как турбулентная коагуляция, термофарез и диффузиофо-
рез, электростатическая коагуляция и т. п. [23].
Согласно [22], в трех районах СССР (Ленинград, север
европейской части СССР, Киев) в каплях облаков и в осадках
обнаружены преимущественно следующие ионы: S04", СГ, НСОэ, N03, NH4r
Na-, К', Mg" и Са". Соответственно для трех указанных
районов содержание этих ионов составило: для облаков—11,0; 13,0 и
15,1 мг/л и для осадков— 13,7; 14,6 и 37,1 мг/л.
Теперь, когда уже рассмотрены различные виды атмосферных
аэрозолей и источники их образования, можно перейти к вопросу
влияния аэрозолей на микроструктуру, состав облачных капель и
на оптические постоянные капель в различных диапазонах длин
волн. В дальнейшем изложении материала мы будем
придерживаться последовательности, в которой они приводятся в п. 3.3.5
(п. 1-5).
3.3.5.2. Конденсационный рост облачных капель
Согласно [23], до размеров ~20 мкм конденсационный рост
капель идет намного быстрее, чем коагуляционный. Конденсаци-
173

онный рост капель за счет увеличения влажности можно выразить
формулой [23, 73]
rI = ri(l-sr,9 (3.46)
где г^ — радиус влажной капли, г\ — радиус сухой капли и s —
относительная влажность. В зависимости от типа аэрозоля /
меняется в интервале от 0,18 до 0,255. Сведения относительно влияния
пересыщения, плотности и химического состава частиц аэрозоля
на конденсационный рост капель можно найти в работах [17, 23,
63—65, 73, 81].
Однако в облаке должны присутствовать зародыши
аэрозолей— частицы, на которых затем будет идти конденсационный
рост капель. Вопрос взаимодействия аэрозолей с каплями облаков
во время воздействия динамических воздушных потоков на облако
рассмотрен в [18]. Воздушные потоки, пронизывая облако,
приносят с собой большое число аэрозольных частиц. Часть из них
становятся центрами конденсации новых капель, а остальные
захватываются каплями облаков. Облако как бы служит фильтром для
воздушного потока. В каплях собираются растворимые и
нерастворимые аэрозольные частицы. Растворимые аэрозольные
частицы или концентрируются в центре капли, формируя ядро
определенного диаметра, или образуют в капле промежуточный
сферический слой различной толщины.
В результате этих процессов атмосфера очищается от
аэрозолей и в облаке образуются крупные примесные капли. Облако
становится крупнокапельным, а счетная концентрация капель в
облаке уменьшается.
В работе [15] исследовались оптические свойства облаков,
которые содержали аэрозоли в виде включений в капли двух
видов, рассмотренных выше. Исследования позволили сделать
следующие выводы.
1. Малые поглощающие ядра (например, сажевые ядра)
радиусом от 0,1 гк до 0,01 гк оказывают сильное влияние на
оптические свойства капель вне полос поглощения воды. Они играют
существенную роль в формировании рассеянного назад поля, и
доля относительной энергии, излученной в направлении назад,
увеличивается. Кроме того, в интервале углов 10—20°
наблюдаются нерегулярности в индикатриссе рассеяния. Следует помнить,
что все это относится к видимой и ИК области спектра.
2. Аэрозольные однородные включения, образующие
промежуточный слой капли, в среднем на два порядка увеличивают
поглощение облаков для видимых волн. Наибольшее поглощение имеет
место, когда аэрозольные включения находятся примерно на
половине расстояния между ядром и поверхностью капли. Наличие
ядра и промежуточного слоя приводят к повышению коэффициента
обратного рассеяния на 2—4 %. Исследования также показали,
что сажевые включения в капли более чем на три порядка
увеличивают удельное поглощение капель облаков. Следует иметь
в виду, что вопрос о поглощении сажевыми аэрозолями недоста-
174

точно изучен и имеющиеся в литературе данные весьма
противоречивы [15].
3.3.5.3. Поверхностный аэрозольный слой
Согласно работам [7, 18], воздушные потоки приносят в облако
и несмачиваемые аэрозольные частицы, которые также
поглощаются каплями облаков. В результате этого формируется тонкий
поверхностный (4—15 мкм) слой из несмачиваемых аэрозолей.
В зависимости от толщины поверхностного слоя и вида аэрозолей,
поверхностный слой капель оказывает различное воздействие на
оптические свойства капель.
Результаты расчетов, проведенных в [15], показали, что
наличие поверхностного слоя облачных капель приводит к уменьшению
отраженной назад радиации на 1—2 %.
3.3.5.4. Влияние газовой компоненты атмосферы
на облачные капли
Растворимость газов в воде описывается известным законом
Генри [7]: в условиях равновесия парциальное давление газа над
раствором пропорционально концентрации газа в растворе.
Типичные значения констант Генри для различных газов приводятся
в табл. 3.14 [7] в единицах моль/(л • атм). Чем больше константа
Таблица 3.14
Значение констант Генри для некоторых атмосферных
следовых газов при 15 °С [7]
№ п/п
Газ
Константа
Генри,
моль/(л-атм)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Пероксид водорода
Диэльдрин
Линдан
Аммиак
Альдрин
ДДТ
Диоксид серы
Формальдегид
Ртуть
Диоксид углерода
Ацетилен
Оксид диазота
Озон
Оксид азота
Метан
Кислород
Азот
Моноксид углерода
2-Ю5
5800
2230
90
85
28
5,4
1,7
0,093
0,045
0,05
0,034
0,02
0,0023
0,0017
0,0015
0,001
0,001

Генри, тем лучше газ растворяется в воде. Следует помнить, что
константа Генри применима только для простого растворения газа
в воде, когда газ не реагирует с водой. Случай когда газ
реагирует с водой, т. е. реакцию гидролиза, мы рассмотрим позже.
Переход газа в каплю облака происходит как двухступенчатый
процесс [7]. Первая ступень — это перенос газа на поверхность
капли, а вторая — перемешивание газа внутри капли. Если капля
падает, то указанный процесс будет происходить путем
конвективного перемешивания и равновесие между поверхностью капли
и газовой фазой, наступает быстро.
Как видно из табл. 3.14, наибольшей растворимостью из
атмосферных газов отличается переоксид углерода, и он в больших
количествах растворяется в каплях. Несмотря на то, что в
атмосфере больше двуоксида углерода, чем двуоксида серы, из-за
большей растворимости двуоксид серы является более эффективным
в отношении закисления капель воды. Он легко окисляется до
серной кислоты и оказывает влияние на рН раствора капель.
Кислота капель будет обусловливать понижение растворимости
кислотного газа, тогда как щелочи — ее повышение [7]. Интересно
отметить, что единственным щелочным газом атмосферы является
аммиак. Нейтрализуя кислоту капель, он способствует
образованию сульфата аммония.
Теперь несколько слов относительно реального количества
газа, растворимого в облачных каплях. Если взять отношение
объема воды капель к объему воздуха, то получим значение
порядка 10~6. Поэтому, несмотря на хорошую растворимость, очень
малая часть двуокиси серы атмосферы растворится в каплях. В то
же время основная часть пероксида водорода растворится в
каплях. Хорошая растворимость будет наблюдаться и для аммиака
при условии, если среда капель будет хорошо закислена [7].
3.3.5.5. Химические процессы,
происходящие внутри капель
Из-за малого объема капель растворение газов в каплях воды
будет приводить к образованию концентрированных растворов
того или иного вещества. Наличие определенных катализаторов,
поступающих в каплю в виде аэрозольных включений, будет
способствовать ускорению химических реакций в каплях.
В настоящее время наиболее изучена реакция окисления
диоксида серы в жидкой капле, приводящая к образованию серной
кислоты. Катализаторами в этом случае выступают железо и
марганец. Окислителями могут быть и пероксид водорода, и
озон [7].
Оксиды азота также могут окисляться в каплях до азотной
кислоты [7].
В случае когда газ реагирует с водой, может наблюдаться
реакция гидролиза. Так, формальдегид растворается в жидкой капле,
а затем путем гидролиза превращается в метиленгликоль. Поэтому
176

растворимость формальдегида в капле увеличивается и не
подчиняется закону Генри [7].
Достаточное количество света в облаках приводит к
образованию там гидроксильных и гидропероксидных радикалов. Эти
радикалы могут захватываться каплями, и там могут протекать
фотохимические реакции окисления неорганических соединений,
окислов азота и соединений серы. К изучению этих реакций
исследователи только приступили. Радикалы обеспечивают протекание
некоторых реакций с участием органических веществ, особенно
окисление природных спиртов и альдегидов. В осадках
обнаружены органические кислоты, и нет сомнения в протекании сложных
органических реакций с участием радикалов [7].
Мы не приводим здесь формул химических реакций, чтобы не
загромождать Справочник. Заинтересованный читатель может
найти подробное изложение вопроса в [7] и ряде других
монографий.
3.3.5.6. Влияние относительной влажности
на комплексный показатель преломления
и поглощения воды
в ИК области спектра
Указанное влияние связано с субмикронной фракцией аэрозоля
(л«0,1... 0,3 мкм) в облаках. Два процесса могут играть при
этом основную роль [21]: 1) изменение комплексного показателя
преломления аэрозольных частиц за счет увеличения содержания
воды из-за повышения влажности; 2) изменение содержания
аэрозольных частиц. Первый процесс связан с конденсацией водяного
пара на аэрозольных частицах при изменении относительной
влажности, что приводит к увеличению количества воды в аэрозольной
частице. Второй процесс связан с различными превращениями
газа, приводящими к образованию новых аэрозольных частиц,
т. е. к увеличению содержания «сухого» аэрозольного вещества
в атмосфере. Во втором случае основным процессом является
гетерогенная нуклеация, рассмотренная нами выше. Обсудим
каждый из указанных процессов в отдельности.
1. Показатели преломления и поглощения необходимо
представить в виде, удобном для описания двухкомпонентной смеси
[21]:
ii = (nc-nB)Vc/V + nB, (3.47)
х = (хс — хв) VJV + Хв>
где пС} хс и пв, хв — оптические постоянные для «сухого» вещества
и воды соответственно, Vc и VB — факторы заполнения для
«сухого» вещества и воды соответственно, причем V=VC + VB—
общий объем дискретных частиц.
При оценке влияния аэрозольной субмикронной фракции на
ИК излучение рассматривается в основном поглощение радиации,
12 Заказ № 124
177

т. е. изучается влияние на мнимую часть комплексного показателя
преломления. Размер субмикронных аэрозольных частиц
пренебрежимо мал по сравнению с длиной волны ИК излучения, поэтому
в качестве коэффициента поглощения можно взять его выражение,,
согласно приближенной формуле Рэлея [21]:
ап (А,) = ЗблйхУ [(/г2 — х2 + 2)2 + 4/г2х2Г' А-1, (3.48)
где V — удельный объем аэрозольного вещества (фактор
заполнения).
Как влияет увеличение относительной влажности на
постоянные Я и х для аэрозольных частиц и на поглощение ИК радиации
[21]? Известно, что в ИК диапазоне 8—12 мкм для «сухого»
аэрозоля параметры имеют следующие значения: лгс= 1,6 и х=1, а для
воды: Лв=1,2 и х = 0,1. Увеличение содержания воды в
аэрозольных частицах приведет к уменьшению пик субмикронной
фракции аэрозолей. Если допустить, что в этом диапазоне хв~0, то
из формулы (3.47) получим k = kcVc/V. При увеличении
содержания воды в аэрозольной частице в несколько раз х становится
намного меньше единицы. Поэтому, пренебрегая в формуле (3.48)
членами с х2, находим:
ап (А,) = ЗблйхсУ с/(/г + 2)2 X. (3.49)
Согласно сделанному предположению, хсУс = const, поэтому
в выражении (3.49) ап(^) зависит только от величины п.
Таким образом, увеличение относительной влажности приводит
к увеличению количества воды в аэрозольной частице и к
уменьшению п частицы. Согласно формуле (3.49), это приводит к
увеличению истинного поглощения ИК радиации в этом диапазоне
длин волн. Даже при независимости п и х от А, в определенном
спектральном интервале спектральный ход Оп(А,) будет отличаться
от зависимости А-1 (см. формулу (3.48)) и тем больше, чем
больше воды будет накапливаться в субмикронной фракции
аэрозолей.
Экспериментальные данные [21] показали, что в
рассматриваемом диапазоне ИК длин волн ап(^) возрастает в 1,5 раза при
изменении относительной влажности от 50 до 90 %; одновременно
изменяется и спектральный ход ап(А,), существенно отличаясь от
хода А-1.
2. Как отмечалось выше, увеличение относительной влажности
приведет к накоплению «сухого» вещества субмикронной
аэрозольной фракции за счет гетерогенной конденсации. В [21]
приводится эмпирическая формула, связывающая прирост «сухого»
вещества аэрозоля, т. е. увеличение общей поверхности
аэрозольных частиц, с увеличением относительной влажности. Расчет,
проведенный по этой формуле за 5 суток, показал прирост общей
массы «сухого» вещества аэрозолей ~40 мкг/м3. На этом осно-
178

вании в [21] делается вывод о том, что периодическое увеличение
поверхности аэрозольных частиц за счет увеличения
относительной влажности может привести к накоплению значительного
количества «сухого» вещества аэрозоля. А это, в свою очередь, будет
способствовать увеличению или, вернее, дополнительному
поглощению ИК радиации субмикронной фракцией аэрозоля.
Завершая рассмотрение данного вопроса отметим, что
изменение относительной влажности приводит к существенному
изменению микроструктуры и концентрации субмикронной фракции
аэрозолей атмосферы. Если первый из рассмотренных выше
факторов приводит к уменьшению действительной части
комплексного показателя преломления аэрозольных частиц в ИК диапазоне
и соответствующему увеличению истинного поглощения ИК
радиации в атмосфере, то второй фактор приводит к
непосредственному увеличению «сухого» вещества аэрозолей в атмосфере и
также к увеличению поглощения ИК радиации теперь уже
субмикронной фракцией аэрозоля.
3.3.5.7. Влияние относительной влажности
на комплексный показатель преломления воды
облачных капель
и на ослабление ММ и СБММ волн в облаках
Теперь, после того как мы рассмотрели влияние
относительной влажности на комплексный показатель преломления воды
в ИК области спектра, есть возможность по аналогии обратиться
и к диапазонам ММ и СБММ волн. Однако прежде необходимо
уточнить некоторые особенности диапазона ИК волн. Легко
видеть, что для ИК волн был выбран наиболее удобный участок
спектра — от 8 до 12 мкм. В связи с этим задача несколько
упростилась допущением того, что в «окне» прозрачности 8—12 мкм
х —0. Если бы рассматривался другой участок спектра, где, как
мы знаем, имеются сильные полосы поглощения воды, то
справиться с задачей было бы не так просто. Кроме того, ИК
диапазон и выбранное «окно» удобны тем, что действительная часть
комплексного показателя преломления здесь мала по сравнению
с п для аэрозольной компоненты аэрозолей (л«1,8. .. 2,0).
Поэтому любое увеличение влажности или количества воды в
аэрозольной частице приводит к уменьшению величины п смеси и
к абсолютному увеличению поглощения. Все очень просто и
наглядно.
Иная картина наблюдается в диапазонах ММ и СБММ волн.
Здесь велики как действительная, так и мнимая части
комплексного показателя преломления. Кроме того, здесь велики п и %
для «сухой» фракции субмикронного аэрозоля. Поэтому
неизвестно в каком направлении пойдет изменение пик смеси при уве-
12*
179

личении абсолютной влажности атмосферы. Облегчающих
положений, которые бы позволили упростить задачу, нет. В связи
с этим для каждого спектрального интервала длин волн требуется
проведение эксперимента или точный расчет. Необходимо выявить,
как влияет увеличение относительной влажности на комплексный
показатель облачной воды в ММ и СБММ диапазонах.
Теперь относительно влияния «сухой» субмикронной фракции
в диапазонах ММ и СБММ волн. Поскольку размеры
аэрозольных субмикронных частиц пренебрежимо малы по сравнению
с длинами волн ММ и СБММ диапазонов, то «сухая» фракция
влияет прежде всего как суммарная поглощающая масса.
Поэтому увеличение общей массы «сухого» вещества приведет к
дополнительному увеличению рэллевского поглощения. Это означает,
что будет наблюдаться монотонное уменьшение коэффициента
поглощения с увеличением длин волн в ММ и СБММ диапазонах
по закону Аг1.
Оба рассмотренных выше фактора существенны при
значительном вкладе как влажности, так и «сухого» вещества
субмикронной фракции аэрозолей. Те оценки, которые выше приводились
для ИК диапазона, не могут быть использованы для ММ и СБММ
волн. Требуются детальные исследования этого вопроса именно
в диапазонах ММ и СБММ волн. В недавно опубликованной
работе [95] приводится многообразие органических и неорганических
веществ, для которых исследованы спектральные особенности п
и х в ближнем ММ диапазоне. Многие из этих веществ можно
найти в приведенном нами (см. п. 3.3.5) перечне органических и
неорганических аэрозольных частиц, присутствующих в атмосфере
и обусловливающих загрязнение облачных капель. Поэтому
недалеко то время, когда кропотливые исследования ответят на
затронутые вопросы. Теперь ясно, что аэрозольная фракция
атмосферы влияет на микроструктуру капель, а также на величины п
и х облачных капель, т. е. на распространение ММ и СБММ волн
в облаках. Остается выяснить, насколько это существенно и для
каких длин волн ММ и СБММ диапазонов.
3.4. ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ НА СФЕРЕ (ТЕОРИЯ МИ)
Электромагнитная волна при взаимодействии с дискретной
сферической частицей возбуждает в частице внутренное поле,
которое затем переизлучается частицей в виде вторичных волн, а часть
излучения поглощается самой частицей. В зависимости от
величины отношения радиуса частицы к длине волны падающего из-
лучения в частице возбуждается дипольное, квадрупольное поле
или волны высших порядков. Вторичные волны составляют
дифрагированное поле частицы. Следовательно, взаимодействие
падающего излучения с частицей приводит к дифракции
электромагнитной волны на сфере, что является предметом изучения
классической электродинамики.
180

Строгая теория дифракции на сфере впервые была
разработана и опубликована Лявом [84] в 1899 г. и независимо Ми
в 1908 г. [86]. Однако в свое время исследование Лява не было
замечено, и сейчас это решение повсеместно известно как
решение Ми.
Современное, классическое рассмотрение дифракции
электромагнитной волны на дискретной сферической частице приводится
в известной монографии К. С. Шифрина [35]. Там
рассматриваются уравнения Максвелла в сферических координатах,
составляющие полей и их решения при выполнении соответствующих
граничных условий.
Строгая теория дифракции на сфере подробно рассмотрена и
в работе Стреттона [30], где электромагнитные поля разлагаются
по векторным сферическим гармоникам четного и нечетного
порядков.
В монографии Ван-де-Хюлста [8] приводится формальное
решение Ми и окончательные выражения для падающего,
внутреннего и рассеянного полей.
В монографии Дермиджяна [11] также рассматривается
формальное решение Ми.
В недавно опубликованной книге Борена и Хафмена [5], так же
как и в [30], подробно рассматривается теория дифракции на
сфере с разложением плоских волн по векторным сферическим
гармоникам четного и нечетного порядков.
Так как в настоящем Справочнике обсуждаются вопросы,
связанные только с интегральными характеристиками
распространения микрорадиоволн — с сечениями ослабления, рассеяния,
поглощения и радиолокационного отражения электромагнитных волн,
то отпадает необходимость в подробном изложении строгой теории
дифракции на сфере. Читатели, интересующиеся подробностями,
могут обратиться к работам [5, 30, 35].
Ниже приводится лишь постановка задачи и те основные
параметры теории дифракции Ми, без которых невозможно составить
правильное физическое и математическое представление о тех па-
раметрах и величинах, которые рассчитываются нами на основе
теории Ми.
3.4.1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА
Решением уравнения Максвелла, как известно, является
плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в
определенном направлении, например в направлении оси z'. Электрическая
и магнитные составляющие волны взаимно перпендикулярны,
изменяются по закону синуса или косинуса и при единичной
амплитуде выражаются:
£паД> #пад = ехр (Ш* — ivtuz'), (3.50)
где (o = cv — круговая частота, с — скорость света, v = 2n/X —
волновое число, t* — время, т=п — Ы — комплексный показатель
181

преломления. p = vr=2nrX — безразмерный параметр дифракции.
В формуле (3.50) выбор знака i при со/* произволен. В данном
случае он взят положительным. Следует на это обратить особое
внимание, поскольку от выбора знака при i зависят окончательные
решения Ми. Поэтому с самого же начала необходимо знать,
каким взят знак при i в формуле (3.50). Если знак при i ясен, то
этим определяется и выбор выражения для комплексного
показателя преломления. Так, для положительного знака при i
выражение для т необходимо взять в виде т = п — ix, а при
отрицательном— в виде m = n + in. Действительно, если в формулу (3.50)
подставить значение т=п — ix, то получим:
ехр [Ш* — ivzf (Ft — ix)] = exp [i (co^* — vnzf)] exp [—vxz'], (3.51)
т. е. первый сомножитель в правой части выражения (3.51)
показывает смещение фазы волны при взаимодействии излучения с ча-
Направление
распространения
волны
Т t t t
M(r,Q,y)
Рис. 3.18. Координатная
система в работах [35, 36].
*-д?
Направление
распространения
волны
Рис. 3.19. Координатная система
в работе [8].
стицей, а второй — поглощение волны — изменение амплитуды
волны. Следовательно, получаем плоскую волну с длиной волны к=
= 2n/vn, а амплитуда волны уменьшается в ехр [—2пг/к/Х] раз при
перемещении на единицу длины. Из формулы (3.51) одновременно
следует, что при выборе отрицательного знака при i для
получения аналогичных физических явлений следует брать значение т
в виде т=п + ы.
В основных классических монографиях по оптике мутных сред
[8, 11, 24, 35, 36] знак при i взят положительным, поэтому и
выбор соответствует классической форме представления: т = п — Ы.
В монографиях [5, 30] знак при i взят отрицательным, поэтому и
182

т необходимо представить в виде m=n + ix. Следует отметить, чта
отрицательный знак при i встречается в основном в современной
литературе по физике твердого тела.
Другим немаловажным фактором в оптике мутных сред
является выбор сферической системы координат и направления распро-
Рис. 3.20. Координатная система в работе [И].
странения электромагнитной волны. Дело в том, что различными
исследователями этот выбор сделан по-разному, поэтому следует
обратить внимание и на этот фактор при использовании решений
М(г,е,Ф)
Рис. 3.21. Координатная система в работе [8].
Направление
распространения
волны
Ми. Так, в монографиях К. С. Шифрина [35, 36] принята
координатная система (рис. 3.18), где падающая волна распространяется
в отрицательном направлении оси z'. Выбор же углов 6 и <р — -
классический. В монографии Ван-де-Хюлста [8] рассматривается
система координат, представленная на рис. 3.19. Падающая волна
распространяется в положительном направлении оси z'\ а углы и
оси координат отличаются от приведенных в [35, 36]. В
монографии Дермиджяна [И] выбрано положительное направление рас-
185

пространения волны по отношению к оси z\ а угол рассеяния 0
совпадает с выбранным в [8] (рис. 3.20). В. недавно
опубликованной книге Борена и Хафмена [5] рассматривается координатная
система (рис. 3.21), где падающая волна имеет направление,
совпадающее с осью z'y а выбор углов 9 и ф — классический. Во всех
рассмотренных координатных системах центр системы координат
совпадает с центром сферической частицы. В работе [36]
приводятся выражения для перехода от системы координат [35] к
системе координат, принятой в [8]. Это очень важно, поскольку
взаимосвязь двух основных координатных систем, принятых в оптике
мутных сред, облегчит сравнение параметров Ми, полученных
отдельно в каждой из этих систем.
3.4.2. СЕЧЕНИЯ ОСЛАБЛЕНИЯ,
РАССЕЯНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ
Основными интегральными характеристиками теории
распространения волн в дисперсных средах являются сечения
ослабления, рассеяния и поглощения. Эти величины получаются из
решений основанных уравнений Ми, и существуют два способа
получения этих величин. Результат взаимодействия электромагнитной
волны со сферической частицей описывается шестью уравнениями
Максвелла в сферических координатах (для каждой из Е- и Я-со-
ставляющих полей по г\ ф и 9), откуда получаются явные
выражения для компонент £гчр, £е, £Ф и НГ', #е, #ф для внутреннего и
дифрагированного полей [35]. Используя эти решения, легко
получить интересующие нас соотношения для сечений. Однако
прежде определим, что именно следует понимать под сечениями
поглощения, рассеяния и ослабления. Под сечением поглощения оп
будем подразумевать отношение энергии, которая поглощается
частицей, к интенсивности падающего потока. Сечение рассеяния —
сгр представляет собой отношение суммарного потока энергии,
рассеянной частицей, к интенсивности падающего потока. Наконец,
сечение ослабления является суммой: сг0=сгп + сгр. Все
рассмотренные сечения имеют размерность площади.
Известно, что поток энергии характеризуется вектором Пой-
тинга:
n = -^-Re[EH*]. (3.52)
Обозначив поля падающего излучения через Е°, Н°, а
дифрагированные через Еа, На, с учетом приведенных выше определений
сечений получим [35]:
ap = -7L-Re j-^[EaHa]rV2dQ, (3.53)
а0 = - -1- Re j -£- {[E°Ha*]r> + [E*H**]r'} r'' dQ. (3.54)
184

Подставив теперь в выражения (3.53) и (3.54)
соответствующие решения указанных составляющих полей, находим [35, 36]:
ор = лг2Кр (т, р), /Cp(m, р) = -^- S (U*P + \b*f), (3.55)
а0 = лг2К0(т, р); Ко(т, р) = -^ Z / (/ + 1)(сГ + Ъ]\ (3.56)
ап = а0 —ар, ап = яг2/Сп (т, р), /Сп(т, р) = /С0(т, р) — /Ср (т, р),
(3.57)
где /(о, /Ср и /Сп — безразмерные эффективности соответственно
ослабления, рассеяния и поглощения одной частицей; ct и ft* —
коэффициенты Ми, которые определим в дальнейшем, а I —
порядок парциальных волн — целые положительные числа.
Второй способ получения вышеуказанных сечений
рассматривается в работах [8, 11] и заключается в вычислении сг0, сгр и
сгп через комплексные амплитудные функции. Как показано в этих
работах, поле рассеянного излучения можно выразить через две
скалярные компоненты Ах и Л2—амплитуды вектора
электрического поля Лрас. Компоненты А\ и Л2— соответственно
перпендикулярны и параллельны плоскости рассеяния, в которой находится
угол 6. Решение уравнений Ми выражается через комплексные
амплитуды Ах и Л2, которые представляются в виде сходящихся
рядов [11]:
оо
vA = S, (m, p, 6) = Yj n(tX\) {апЛп + КХп)' (3-58)
оо
v^ = S2 (m, р, 9) = £ п(п++\) {ЬпПп + UnXn)' (3*59)
где S\ и 52 — безразмерные комплексные амплитуды, п —
положительное целое число, ап и Ьп — коэффициенты Ми, лп и тп —
угловые коэффициенты. Как и ранее, определив дифференциальное
сечение рассеяния [И] в виде
П.
dop =
'рас
пп
Я2 dQ, (3.60)
где R — расстояние, a dQ— единичный телесный угол, получим:
т — — А А*
1 *
dop = — АрасАРас dQ, (3.61)
или
ар= j dop=-±- \ (A{A* + A2A*2)dQ, (3.62)
й=4л й=4л
КР(т, р) = ар/яг2. (3.63)
185

Подставив выражения (3.58) и (3.59) в формулы (3.62) и
(3.63), окончательно находим:
оо
КР(т, P) = -Jr £ (2«+1)(]а„|2 + |6„|2). (3.64)
Для фактора эффективности ослабления в [8] с
использованием оптической теоремы квантовой механики получено
выражение
оо
Ко(т, p) = -£-Re{S(m, р, б)}=-£- £ (2л+1) Re(a„ + &„).
П~ 1
(3.65)
Здесь, как и выше, эффективность поглощения вычисляется по
формуле
Кп{т, р) = Ко(т, р)-/Ср(/п, р). (3.66)
Следует отметить, что в [8] принято иное обозначение для
факторов эффективности ослабления, рассеяния и поглощения —
соответственно Qocn, Qpac и Qnoi\n> а для сечений соответственно
Сосл, Срас и Сдогл. Одновременно следует отметить, что величины
си bi и Си в\ из [35, 36] связаны с величинами ап = щ, bn = Ъ\ Ван-
де-Хюлста [8] соотношениями
b] = i2l + xbl = bl{2l+\)l[l{l+\)). (3.67)
Напомним, что коэффициенты Ко{т, р), Кр(т, р) и Ки{т, р)
из выражений (3.55) — (3.57) или (3.64) — (3.66) являются
основными параметрами, входящими в формулы (3.7) — (3.9).
3.4.3. СЕЧЕНИЕ РАДИОЛОКАЦИОННОГО ОТРАЖЕНИЯ
Сечение отражения назад, или радиолокационное отражение
требует особого рассмотрения. Дело в том, что исходя из понятия
усиления в радиотехнике для величины сечения отражения назад
принята несколько странная величина обычно принимаемая в
оптике мутных сред, которая на самом деле в 4я раз больше
величины сечения (подробности см. [5, 8, 11]). Таким образом, за
сечение отражения назад принимается величина энергии, рассеянная
назад в единичном телесном угле 6, умноженная на 4я и деленная
на энергию падающего потока [8, 11]. Согласно выражениям
(3.58) и (3.61), находим:
аРл(т, p^J^IS^lSO0)!2, (3.68)
но из [11] при 6= 180° следует:
я„(я) = -т„(я)=-(-1Г П(П+Х) ■ (3.69)
186

Поэтому из формулы (3.58) при условии (3.69) получим
оо
-S,(180°)=S2(180°)=^(-1)" (2w+'> (an-bn). (3.70)
П= 1
Фактор эффективности рассеяния назад из (3.68) определяется:
Крл(т, p)=-^ = -±-|S,(180°)|2. (3.71)
Подставив значение Si (180°) из (3.70) в (3.71), окончательно
получим:
|2
Крл(т, Р)=-^-
£ (-l)n(2n+l)(an-bn)\ . (3.72)
\п= 1 I
Для предельно большой частицы, когда р->оо, величина
KVn{mf p), описываемая формулой (3.72), стремится к своему
асимптотическому значению:
/<ГРл_(т, p) = j-^=J_j2 при 1т{т}ф0. (3.73)
Последнее выражение есть коэффициент отражения Френеля
в случае нормального падения излучения и, как убедимся позже,
может служить для проверки точности используемых программ
при вычислениях на ЭВМ.
3.4.4. ПОЛУЧЕНИЕ ЯВНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ Ми
Теперь, когда уже выписаны факторы эффективности
ослабления, рассеяния, поглощения и радиолокационного отражения,
необходимо получить коэффициенты Ми в явном виде.
Коэффициенты с, h% [35, 36] и ап> Ьп [8, 11] определяются из условия
непрерывности тангенциальных составляющих электрического и
магнитного полей на поверхности сферической частицы [35, 36]:
EaQ = El Нае=Н1ву (3.74)
Е(р = Е(р, Нср = //ф, (3.75)
где индекс i относится к внутреннему полю частицы, а индекс а —
к полю вне частицы. Как показано в [35], составляющие полей
(3.74) и (3.75) можно выразить через соответствующие
потенциалы: щ(г\ 0, ф)—потенциал электрических колебаний и
U2(r\ 0, ф) — потенциал магнитных колебаний. Тогда условия (3.74)
и (3.75) приводят к непрерывности на поверхности сферической
частицы следующих четырех величин:
m2r'ul9 -^р- {r'ux)
187

Т'Щ, -эрг{г'и2).
(3.76)
Решение волнового уравнения для потенциалов по методу Фурье
приводит к следующим выражениям для составляющих внешнего
и внутреннего потенциалов полей [35]:
а
4-г- У' С£(v^)Pilose) cosФ,
var i = \
oo
«2 = tgr- YB&(var')P\l) (cos0) sin ф,
V 1=л
oo
u\— 2_, 2]clt|)/(vir,)p|1)(cos0)cos9,
vir / = i
oo
V- ^B!%(vir')P/1)(cose)sin9,
(3.77)
(3.78)
«| =
mi
v?r
"i' / = 1
при составляющих потенциалов падающего поля
oo
"?. = -^г- Г. *'"' fftXW %(vr')Pi0(cos6)cosф,
«2-^-||;'/-,-j|^-+«(vr')Pi,>(cose)sinv.
Как видно из формул (3.77) и (3.78), решения потенциалов
выражаются через цилиндрические функции:
(3.79)
ЫР) = д/^г-^+'/2 (Р),
(3.80)
где if>n(p) и £п(р) —функции Риккати — Бесселя первого и
третьего рода: /я+1/2 (р) —функция Бесселя первого рода с полуцелым
индексом, а Н{п\^2 (р) —функция Хенкеля второго рода.
Действительно, из всех цилиндрических функций только /я+»/2 (р) конечна
в нуле и может быть использована для представления решения
внутри сферической частицы. В то же время поскольку временной
множитель, характеризующий волну в выражении (3.50), взят
в виде ехр [ш( *], то только функция #я + i (p) дает расходящуюся
от источника волну. Так, асимптотическое значение Нп\ »/2 (р) ПРИ
больших vr' описывается выражением
^2)(vr')~^-Uxp[-*V], (3.81)
188

где hn^vr')—сферическая функция Хенкеля второго рода,
которая вместе с множителем expftco^*] характеризует расходящуюся
волну, как это требуется для рассеянной волны. В формулах
(3.77) — (3.79) Pi (cos6)—полиномы Лежандра, d и Bt—
коэффициенты Ми для дифрагированной волны, а Сi и В/—
коэффициенты Ми для внутреннего поля.
В соответствии с выражением (3.76) на поверхности
сферической частицы радусом г должны выполняться следующие
равенства:
П1а {г (и? + Щ)}г' = г = ГГЦ {/н[}г' = г,
д ( >( о , а\\ д < > i\ (3.82)
{/ (г/2 + И2)}г'=г = {r'u2}r*=r>
д < ' ( о , а\\ д ( > i\ (3.83)
Подставив соотношения (3.77) — (3.79) в (3.82) и (3.83),
получим две системы уравнений для двух пар коэффициентов: Си Ci
и Bi, Bi. Из первой системы при Ci=iCt и Ь\=—ilB\ находим
., 14/ + i 2/ + 1 Ф/(Р) Ь(тР) — тЬ (р) "Ф/ (тР)
i(i + \) ^(р)^(^р)-<(р)Ф/(^р) '
,* ., 1Ч, 2/ + 1 Ф/'(р) Ф/("Ф) — ""Мр) Ф/ (тр)
bi = i (—1)6/= . ' ,, ; 7 . (3.84)
/(/ + 1) ^(^^(m^-m^i^^imp)
Это и есть окончательные явные выражения для коэффициентов
Ми, входящие в (3.55) и (3.56).
В монографии Ван-де-Хюлста [8] коэффициенты Ми CLn И On
как указывалось выше, также определяются из условия
непрерывности тангенциальных составляющих на поверхности сферической
частицы (см. формулы (3.74) и (3.75)). И здесь составляющие
полей Е и Н можно выразить соответственно через скалярные
решения и и vy которые для различных областей сферической частицы
описываются следующими выражениями [8]:
внешняя падающая волна
« = Л'*со8Ф £ (-;Г^^(со8е)1яИ,
п= 1
v = еш* sin Ф }_; (-0" д%+' РР (cos6) /„(vr'), (3.85)
(n + 1)
189

внешняя рассеянная волна
«-«'•"cos, £ [-an{-if] -^^РУ {cost)h?{vr'\
* = *"""• slnq>!; [~bn(-if] я^+'1} P^Ccose)^2'(v/), (3.86)
внутренняя волна
oo
u = e''a'*cos<p J] [mc„(-0"] /"Д',) ^"(cose^v/m),
oo
v = еш* sin <p £ [md„ (-01 n^ + 1) pn] (cos e) /»(vr'm)« (3-87>
В формулах приняты следующие обозначения:
■ф/t (Р) = Р/'« (Р) = Д/ -^ ^ + >/2 (р),
С. (Р) = 9h{n] (р) = д/-^ Я£°+.,, (р), (3.88)
vr = 2лгД = р, z/ = mvr = mp,
где /п(р) —сферическая функция Бесселя первого рода.
Аналогично условию (3.76) и здесь граничные условия
приводят к непрерывности четырех функций, обозначенных ниже
квадратными скобками. В обозначениях (3.88) получим четыре
линейных уравнения для коэффициентов ап и Ъп:
[ти]: г|?я (р) — ап1п (р) = тсп% (у),
[~7£ дг' ] : *"(р) "~ а^п (р) = Сп^'п ^>
М: -фп (р) — ЬпЪп (р) = dn^n (у),
[ ° %? ] : Чь (р) - 6ЯЬ(Р) = ""ЬЧь (у). (3.89)
Штрих над функциями означает производную по аргументу.
Исключив сп из первой пары уравнений и dn из второй,
окончательно получим:
^п (У) Уп (р) — т^п (У) % (Р)
ап = -
% (У) £п (Р) - т^п (У) С (Р)
/m|?n (*/) г|?я (р) - 1>п (г/) -ф„ (р)
0п = т т . (3.90)
тУп(у)1п(9)-Уп(У)Ьп(9)
Аналогичным образом могут быть определены коэффициенты
Ми внутренних полей сп и dny однако в этом нет необходимости,
190

так как в дальнейшем они нам не понадобятся. Переход от
коэффициентов с * и bi к коэффициентам ап и Ьп определен формулой
(3.67).
3.4.5. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ Ми
ЛО РАЗЛИЧНЫМ АЛГОРИТМАМ НА ЭВМ
Теперь, когда уже выписаны формулы для различных видов
сечений и явные выражения для коэффициентов Ми, можно перейти
к рассмотрению трудностей, связанных с конкретными
вычислениями параметров оптики мутных сред. Эти трудности долгое
время не позволяли исследователям конкретизировать возможности
теории Ми в вопросах исследования таких объектов оптики
мутных сред, как атмосфера Земли и других планет, коллоидные
среды и просторы океана.
Во-первых, как видно из выражений для сечений, при расчете
лишь одного значения фактора эффективности, требуется сумма п
членов ряда от 1 до оо. Безусловно, бесконечность в пределе взята
условно, однако необходимо взять сумму достаточного числа
членов ряда, чтобы обеспечить сходимость ряда с той точностью,
которая требуется в расчетах. Как показали первые же
исследования, ряды Ми сходятся очень плохо и для получения точного
значения необходимо просуммировать число членов ряда, примерно
равное величине р = 2лгД [8, 35].
Таким образом, все определяется отношением размера
сферической частицы к длине волны падающего излучения. Чем больше
р, тем больше членов необходимо брать в сумме для получения
точных выражений для сечений. Кроме того, оказалось, что число
рассмотренных членов зависит и от величины комплексного
показателя преломления, поэтому ориентировочно число членов ряда
увеличивается до |/^|р. В связи с этим различные авторы
используют разные критерии и предлагают разные формулы для
вычисления максимального числа членов, которые необходимы для
точных вычислений. Вопрос этот мы обсудим позже, во время
вычислений для конкретных алгоритмов.
Во-вторых (к этой же проблеме тесно примыкает вопрос
расчета специальных функций, входящих в коэффициенты Ми), как
видно из формул (3.84) и (3.90) и как убедимся позже,
исследователями предлагаются различные видоизменения коэффициентов
Ми с целью облегчения расчетов. Однако в этих формулах
основной является проблема расчета цилиндрических функций:
функций Бесселя с полуцелым индексом первого и второго рода, расчет
логарифмической производной бесселевой функции первого рода
и т. д. от первого до очень больших порядков. Нет проблем, если
число р мало. Однако когда р велико и составляет, например, 100,
то получение цилиндрических функций всех порядкоз от 1 до 100
представляет собой трудную задачу. Обычно для получения
специальных функций высших порядков применяются рекуррентные
191

соотношения, позволяющие по значениям, например, функций
первого, второго порядка, вычислить значение функций третьего ч
высших порядков. Такой способ вычислений цилиндрических
функций любого порядка называется расчетом прямой рекурсией.
Наоборот, можно задать значение цилиндрической функции для
предельного высшего порядка и с помощью рекурентных
соотношений рассчитать все цилиндрические функции низших порядков.
Такой способ расчета называют расчетом обратной рекурсией.
Оказывается, если считать, например, функцию Бесселя первого
рода прямой рекурсией, то с увеличением порядка я, в результате
использования рекуррентной формулы накапливается ошибка, и
она будет тем больше, чем больше членов ряда рассчитывается и
чем больше конечное значение величины п. В результате при
больших п может накопиться такая ошибка, что сами расчеты могут
потерять смысл. Для того чтобы накопление ошибки было малым,
приходится брать сами начальные цилиндрические функции с очень
высокой точностью (от 9 до 16 знаков после запятой). Даже в этих
условиях в результате накопления ошибки конечный результат
для сечений можно получить с достоверной точностью до 4—5
знаков после запятой. Таким образом, при расчетах прямой
рекурсией с высокой точностью счета удается получить надежные
результаты факторов эффективностей лишь до р^50. Поэтому для
получения точных результатов при больших р и при расчетах
цилиндрических функций исследователи используют обратную
рекурсию. Процедура эта несколько уступает по скорости счета
прямой рекурсии и требует большего объема памяти ЭВМ. Однако
этот способ можно применять для расчетов при больших р при
условии малости комплексного показателя преломления частицы.
Оказывается, что при больших значениях аргумента и больших к
в т применяемая асимптотика для цилиндрических функций опять
приводит к некоторым ошибочным результатам. Здесь требуется
иной подход к вычислению цилиндрических функций, например,
расчет по алгоритму Ленца, на чем мы остановимся позже.
Таким образом, ясно, что для каждой задачи важно знать: во-
первых, границы изменения параметров р и т\ во-вторых, каким
способом необходимо считать те или иные цилиндрические
функции, чтобы ошибки были минимальными. Поведение отдельных
цилиндрических функций в зависимости от изменения значений р
и т порой столь неожиданны и неопределенны, что иногда и
опытному исследователю могут встретиться неожиданные трудности.
Поэтому дать рецепты точного счета на все случаи практики
невозможно. Однако задачу можно несколько облегчить, если
рассмотреть наиболее характерные алгоритмы, применяемые в
расчетах коэффициентов Ми, обсудить их преимущества и недостатки
и дать некоторые практические рекомендации при расчетах для
наиболее характерных случаев изменений параметров р и т.
Отчасти эти вопросы рассматриваются и в следующей главе. Во всех
обсуждаемых ниже алгоритмах используется единое обозначение
цилиндрических функций и различных параметров (см. табл. 3.15).
192

В табл. 3.15 приводятся обозначения, принятые в алгоритмах
различных авторов, и соответственно обозначения, используемые в
настоящем Справочнике.
3.4.5.1. Алгоритм Шифрина
Алгоритм Шифрина является первой советской программой,
с помощью которой выполнены расчеты обширных таблиц по
оптике мутных сред [31] и многочисленные исследования в СССР,
когда р не превышает 100, Я^ 1,60 и х^0,5.
Расчеты коэффициентов Ми ci и bi выполняются с помощью
формул (3.84). Вычислению подлежат цилиндрические функции
действительного и мнимого аргументов: функция Риккати —
Бесселя первого рода г|^(р) и функция Риккати — Бесселя второго
рода %z(p), поскольку функция Риккати — Бесселя третьего рода
&(р) (функция Хенкеля второго рода #(f+i/2(p)) выражается че*
рез сумму этих двух функций:
ь (р)=V^ я<+■/•(р)=* (р> +i%i (р)) (3-91)
Х,(р) = (-1)'д/-^-/_(/ + ./,)(?). (3.92)
Функции i|5z(p) и %i{p) для высших порядков / вычисляются
прямой рекурсией по рекуррентному соотношению, которое
выполняется для всех цилиндрических функций:
% + 1(p)=^±J-x|)/(p)-^-,(p) (3.93)
с использованием значений функций нулевого и первого порядков:
-фо (р) = sin p, i|?i (p) = sin'p/p — cos p, (3.94)
Х0 (р) = cos р, X, (р) = cos p/p + sin p. (3.95)
Производные цилиндрических функций выражаются через сами
цилиндрические функции и вычисляются по формуле, пригодной
для всех цилиндрических функций:
iMp) = ^_i(p)-^iMp). (3.96)
При расчетах с комплексным аргументом y=x0±iy0
используются соотношения
sin у = sin (x0 ± iy0) = sin x0 ch у0 ± / cos x0 sh y0,
cos у = cos (x0 ± iy0) = cos x0 ch у0 й= / sin x0 sh y0. (3.97)
Число слагаемых в суммах при вычислении факторов
эффективности Ко, /СР, /Сп и /Срл взято равным — 1,2 р. При этом
учитываются все парциальные колебания с амплитудами, превышаю-
13 Заказ № 124 193

щими Ю-7. Для значений х=0 и р<100 факторы эффективности
К0(т9 р)=/Ср(т, р) определяются с точностью до четвертого знака
после запятой по формуле (3.93), когда начальные значения
функций грг(р) и хг(р) задаются с точностью до девятого знака.
Функция Риккати — Бесселя второго рода %i(p) вычисляется
весьма просто прямой рекурсией. Наибольшая ошибка
накапливается при расчетах tyi(tn, p) прямой рекурсией. Как показали
расчеты [31] на ЭВМ М-20 с максимальной точностью (18 точных
знаков), ошибка в окончательных значениях сечений может иногда
составлять 100%. Поэтому в этой программе для вычислений
^z(^p) используется метод «прогонки», когда р0 > 40... 50, пж
«1,1 и х«0,2. Подробное описание метода приводится в [31]
(т. 3, 1968). Здесь лишь укажем, что это комбинация прямой
рекурсии с обратной, поэтому в окончательных формулах для
вычислений г|^(р) и г|)л^+1(р) присутствуют коэффициенты обеих
рекурсий. При этом сравниваются расчеты г|)^(р), ^^ + 1(p) с расчетами
аналогичных функций, которые получаются, если сдвинуть Nk на
единицу вперед или назад. Совпадение всех значений tyNk (p) при
этом до девяти значащих цифр (как для вещественной, так и
мнимой частей) считается критерием правильности расчетов. Для
экономии машинного времени функции tyi{m, p) для малых I
рассчитывались прямой рекурсией до значения /*. Затем, начиная с /*,
расчеты проводились с привлечением метода «прогонки».
Правильность выбора /* контролируется совпадением значений -ф/* (р),
вычисленных по формуле (3.86), со значениями, вычисленными по
обобщенной формуле обратной рекурсии. Вычисления показали
[31], что если при расчетах tyi(m, p) использовать прямую
рекурсию (3.93), то до р0~20, Я«1,1... 1,26 и х«0,4... 0,5 расчеты
поперечных сечений можно проводить с точностью четырех значащих
цифр. С увеличением значения показателя преломления h —
увеличивается значение р0, при котором расчеты еще можно
производить прямой рекурсией. Так, для Я= 1,60 и х=0,5 расчеты
i|?z(m, p) с достаточно высокой точностью можно проводить до
Ро=40.
В заключение можно сделать следующие выводы:
1) алгоритм удобен при расчетах для малых значений тир
без использования метода «прогонки» при следующих условиях:
до ро —20 при максимальных Я—1,1... 1,26 и %~0,4... 0,5;
до р0~40 при максимальных Я= 1,6 и %=0,5;
2) когда ро > 20... 40 и до 100 следует использовать метод
«прогонки», что связано с затратой большого количества машинного
времени;
3) рекуррентными соотношениями рассчитываются как функции
Риккати — Бесселя первого и второго рода, так и их производные,
в то время как в других алгоритмах функций действительного
аргумента значительно меньше;
4) здесь рассчитываются функция Бесселя первого рода и ее
производная комплексного аргумента — функции, сложные в рас-
194

четах, тогда как в других алгоритмах непосредственно
рассчитывается логарифмическая производная этой же функции;
5) для ро > 100 и больших значений к использовать данный
алгоритм нецелесообразно из-за увеличения ошибок в связи с
принятыми схемами расчетов функций Риккати — Бесселя первого и
второго рода.
3.4.5.2. Алгоритм Дермиджяна
Из зарубежных программ наибольшей популярностью у нас
пользуется алгоритм Дермиджяна [11]. Коэффициенты Ми ап и
Ьп в этой программе используются в виде, предложенном Ван-де-
Хюлстом (см. формулы (3.90)), однако с некоторой корреляцией,
удобной для вычислений на ЭВМ. В частности, после введения
понятия логарифмической производной от функции Риккати —
Бесселя первого рода
^=w=^rln^ (3-98)
(здесь r/=mp, р=2ягД), коэффициенты Ми ап и Ьп можно
представить в виде
Ai (У) ^п (Р) - т% (Р)
ап = -
К (У) In (Р) - т^п (Р)
тЛп(0)гЫр)-гМр) /Q onv
оп = т . (о.99)
mAn(y)t>n(p) — tn{p)
В основном коэффициенты ап и Ьп выражаются через функции
Риккати — Бесселя реального аргумента, а мнимый аргумент
входит только в Ап(у). Следует отметить, что впервые понятие о
логарифмической производной при расчетах ап и Ьп введено Инфель-
дом [68]. Учитывая, что [11]
| Ыр) = л/я^/*+./Лр),
I Мр) = У«р/2[/»+■/,(р) + (-1)"*/-»-•/,(р)];
■Фп (Р) = — Л/Ч>/2[/-« +1/, (р) + -£• /_„_./, (р)],
b,(p) = V^{//.-'/,(p)--J-/»+v,(p)- (з-ioi)
-(-1)п/[/_ге+1/!(р) + ^-/_п_1/2(р)]}
и подставляя формулы (3.100) и (3.101) в (3.99), после
преобразований получаем:
йп={[-^-+т]Jn+,/Лр) ~ ,п-1'Мх
X P^+f ] ['- v. (Р) + (-1)""_„_,/,(Р)] - (ЗЛ02>
-[/„-./, (Р) - (-1Г>_„+./2(р)]}_1 ,
13* 195

bn = {[mAn (у) + л/р] Jn + чЛр) - Jn-iiAp)) X
X{[mAn(y) +n/p][Jn + 4Ap)+ (-!)" U-n-чЛр)]-
-[Jn-4t(p)-(-l)niJ-n + 4*{p)]}~1.
Функции Бесселя, входящие в формулы (ЗЛ02), можно
выразить через круговые функции соп, которые вычисляются с помощью
рекуррентной формулы:
2п 1
ю«(р)= —р (*n-i(p)-~ o)n-2(p), (ЗЛОЗ)
где при расчетах прямой рекурсией начальные значения
описываются выражениями
о)0 (р) = sin р + i cos р = л/пр/2 [/./2 (р) + И-ч* (р)]>
co_i (р) = cosр — i sin p = д/лр/2 [/_./2 (р) — U4i(p)],
Из формулы (ЗЛОЗ) находим
coi (P) = -^ о_, (р) = V^2 [/.,, (р) - //-з/2 (Р)],
0)2 ^ = Т °)1 ^ ~~ Щ ^ = V"P/2 [/5/2 (р) + iJ_sh (p)],
или в общем случае соп выражается через функции Бесселя:
b(p) = <*n(p) = j^[Jn + *iAp) + (-l)niJ-*-4*(p)l (ЗЛ04)
Используя введенные выше обозначения, коэффициенты ап и
Ьп окончательно можно записать в виде
[^7^-+ "f] Re «- (р)> - Re {^-» (р)>
ГтЛя (у) + -£-] Re й„ (Р)} - Re {£„_ , (р)}
ьп = ±—= ^4п • (ЗЛ05)
I тАп (у) + — I In (Р) — £п-1 (р)
Для вычисления прямой рекурсией функций Ап(у) высших
порядков п используется рекуррентное соотношение
А»(у) = -1Г+[-у—Ап-Лу)]~\ (злое)
причем начальное — нулевое значение (А0(у)) вычисляется по
формуле
Ао(у)= 'т^м =С{£У- (ЗЛ07>
Если обозначить у=тр=р0 — iq, р0=Яр, q=%p (здесь учтено,
что т=п—fx), то начальное значение А0(у) можно выразить
196

через тригонометрические и гиперболические функции
вещественного аргумента:
А0(у)= slnp.cosp. + fshg.chg. (ЗШ8)
UVi;/ sin2p0 + sh2^o '
Таким образом, в настоящей программе функции Риккати —
Бесселя первого и второго рода, а также логарифмическая
производная Ап(у) рассчитываются прямой рекурсией. Результаты,
изложенные в п. 3.4.5.1, позволяют сделать вывод о том, что
настоящая программа имеет определенные ограничения в применении.
Так, с одинарной точностью расчеты по указанной программе
можно производить до р^40 для малых й и х, а с двойной
точностью— до р порядка 60—70. В критической области, когда
в Ап(у) величина п стремится к {тр} или при 1т{т, р}^30,
расчеты Ап(у) необходимо обязательно производить с двойным
контролем точности.
С увеличением мнимой части комплексного показателя
преломления, когда пик соизмеримы (металлические частицы или вода
в микроволновой области спектра), ошибки при вычислении Ап(у)
сильно возрастают. Действительно, при р = 62, т=1,28—1,37 i из
соотношения (3.108) видно, например, что A0(y)=i, а при малых
п в Ап(у) имеем Ап(у)=0 + i. Известно, что ЭВМ очень плохо
считает в области нуля, а тем более для мнимых значений
величин. Это сильно сказывается на вычислении мнимой части Ап(у)9
а следовательно, неверными оказываются и величины ап и Ъп.
Поэтому в целях устранения этой неточности в некоторых
зарубежных программах Ап(у) рассчитывается обратной рекурсией.
В заключение отметим следующее:
1) из-за некорректности счета Ап(у) при малых значениях р
данный алгоритм нецелесообразно использовать для расчетов при
р<1;
2) функции Риккати — Бесселя и логарифмическая
производная рассчитываются прямой рекурсией, поэтому ею можно
пользоваться для расчетов с одинарной точностью до р~40, а с
двойной точностью при Im{p, m}^30 — до {m, р}^60, когда п и х
сравнительно малы;
3) для больших значений р и соизмеримых с ними или
больших п ошибки могут быть значительными из-за неточности счета
Лп(у);
4) ограничения, приведенные выше, могут быть несколько
смягчены, если Ко(т, р), К?{т> р) и /Сп(^, р) рассчитываются для
х^О;
5) особое внимание следует обратить на расчеты /Срл(^, р),
поскольку (см. формулу (3.72)) в этом случае все операции
производятся для комплексных значений величин ап и Ьп и лишь в конце
вычисляется квадрат модуля комплексного числа. Поэтому
неточность расчета ап и Ьп в большой степени зависит от точности
расчетов комплексных чисел.
197

3.4.5.3. Алгоритм Адена
Коэффициенты Ми ап и Ьп Аденом [37] взяты в виде,
полученном Стреттоном [30], с той лишь разницей, что временной
множитель Аденом взят в виде ехр[цо/*] (см. выражения (3.51) и (3.81))
в отличие от ехр[—/со/*] у Стреттона:
а =_ in (mp)[p/„ (р)]' — jn (p)[mpjn (mp)Y
in(mp)[ph^ (p)}' -h^ (p)[mpjn(mp)\ '
и = in (P) [mpjn (mp)]' — mjn (mp)[pjn (p)]' (~ Q
h%4p)[mpin{rnp)\~m}n(mp)[phV{P)]' ' ( >
Поэтому в формуле (3.109) вместо hn{) (р) фигурирует hn] (p) —
сферическая функция Хенкеля второго рода. Штрихи в (3.109)
означают производные по аргументу. В этом алгоритме опять
используется понятие логарифмической производной, впервые
введенное Инфельдом [68] при исследовании антенн, а в дальнейшем
развитое в работах [97, 100]:
An(9)-^M9Jn(9)] = ^ln[9{lh% + lh(^ (ЗЛЮ)
Я»(Р) = ^1П[Р^Р^ (ЗЛ11>
Подставив эти значения в выражения (3.109), получим:
а — — Ь(Р) f An (P) — тЛп (у) 1
42>(Р) I Dn(9)-mAn(y) Г»
А _ /я (Р) J Ап (У) — тАп (Р) 1 (<\\\0\
_ 42) (р) i Ап (у) ~ mDn (p) '"
Последние выражения значительно проще, чем (3.109). Поскольку
р — действительное число, то /п(р)/^2) (р) можно получить
непосредственно из таблиц сферических функций. Логарифмическая
производная действительного аргумента также может быть
вычислена с помощью формул (3.110), (3.111). Однако для расчета
логарифмической производной реального аргумента гораздо проще
использовать следующие соотношения:
Ап (р) = !пг1}У 5L (3.113)
П^' /л (Р) Р '
п / \ 42-i(P) п (Ч mv
D«(p)=-^r~- (ЗЛ14)
Поэтому и здесь для определения Лп(р) и £>п(р) можно
использовать таблицы сферических функций. Однако вычисления
осложняются, когда аргумент логарифмической производной —
комплексов

ный. Речь идет о расчете только функции Ап{т, р), для которой
Инфельдом [68] предложена следующая формула:
Ап(у)= У2 + пуАп l{y)-n^ . 5
*\У> пу — уАП-х{у) у '
Используя данное рекуррентное соотношение, можно
рассчитать все Ап(у) высших порядков, зная, например, нулевое
значение А0(у):
[yio(y)] = siny, (3.116)
[Уjo (У)У = cos у. (3.117)
В результате имеем
Если у— комплексное число, например */=ро— Щъ, то получим:
л„(у)=ctg(Ро-/,.) = Т£±£% ■ <зл 19>
Таким образом, Ап(у) высших порядков легко определить по
формуле (3.115), используя выражение (3.119) подобно тому, как
это делалось в алгоритме Дермиджяна.
Данный алгоритм использовался для исследования обратного
рассеяния на волне 16,23 см для водяных и металлических частиц
до р = 6.
Относительно возможностей применения данного алгоритма
можно сделать следующие выводы:
1) как и следовало ожидать, основная ошибка в расчетах с
помощью данной программы связана с расчетами логарифмической
производной комплексного аргумента. Поскольку Ап(у)
рассчитывается здесь прямой рекурсией, то этот алгоритм можно
использовать почти так же, как алгоритм Дермиджяна;
2) сравнивая с алгоритмом Дермиджяна, отметим, что здесь
в расчетах используются стандартные табличные данные, в то
время как в [11]—рекуррентные соотношения;
3) в этой программе дополнительно вычисляется
логарифмическая производная реального аргумента. Однако затруднений тут
нет, так как в расчетах для сферических функций используются
табличные данные.
3.4.5.4. Алгоритм Каттавара—Пласса
Этот алгоритм [74] можно использовать в расчетах для
поглощающих частиц, у которых велики как значения Я, так и
значения х в т, достигающие 10. Программа позволяет считать при
малых и больших р (в [74] максимальное расчетное значение р =
199

= 10). Коэффициенты ап и Ьп заимствованы из работы Ван-де-
Хюлста [8] с сохранением всех обозначений:
_ % (У) Уп (р) — т^п (У) %, (Р)
% (У) С» (Р) - т% (У) С (Р)
, nvtin (У) ^п (Р) - Фя (У) ^п (Р) /Q « om
0« = -, т . (3.120)
m?n(p)^ (0) -чЫ0)£я(р)
Так же как и в алгоритме Адена, здесь введены понятия
логарифмических производных:
Ап(у) = [1п^п(у)У = ^^-, (3.121)
А,(р) = [1пМр)]' = -^-, (3-122)
где штрихи означают производные по аргументу. Подставив
формулы (3.121) и (3.122) в (3.120), получим:
= *МР) \ Ап{у)—тАп(9) 1
U (9) 1 An(y)-mDn(p) Г
и _ \Мр) \ тАп (у) — Ад (9) 1 /о i9q\
*я_ТГ(рГ1 mAn(y)-Dn(9) V ( Л '
Логарифмическая производная Лп(*/) удовлетворяет
рекуррентному соотношению, которое аналогично выражению (3.106),
однако используется для расчетов обратной рекурсией:
A.-.(JO=y-[Л.(У) + 'ЧГ,Г,. (3.124)
Обычно в других программах Ап(у) рассчитывается прямой
рекурсией. Однако для больших р, когда п> |гар| > у, прямая
рекурсия приводит к нестабильности и к ошибкам. Поэтому в данной
программе для расчетов Ап{у) используется обратная рекурсия.
Как показано в [74], с каждым шагом вниз ошибка расчетов
уменьшается. Начальное значение Ап(у) равно 0,0—0,0 i, а счет
начинается с некоторого значения n=Ns^>y. Что касается
функции Dn(p), то она всегда имеет реальный аргумент, но сама
функция— комплексная. Считать ее можно по рекуррентному
соотношению (3.106) с начальным значением £)0(р) =—i.
Отношение i|)n(p)/£n(p) B формулах (3.123) можно выразить
через сферические функции Бесселя первого и второго рода:
Ф.(Р) = Р/»(Р). (3.126)
Up) = pMp)-'pyn(p). (3.126)
Как и в других программах [51, 104], здесь функция /п(р)
—рассчитывается обратной рекурсией, а уп{р) —прямой рекурсией. Ре-
200

куррентные соотношения для расчетов прямой и обратной
рекурсиями уже нами рассматривались.
Отметим основные особенности данного алгоритма.
1) это первая программа, в которой все цилиндрические
функции, входящие в ап и Ьп, рассчитываются по правилам
рациональной математики, т. е. с наименьшими ошибками при расчетах на
ЭВМ: Ап(у)—рассчитывается обратной рекурсией,
бп(р)—прямой рекурсией, /п(р) —обратной рекурсией, а уп{р) —прямой
рекурсией;
2) программу можно использовать для расчетов как малых,
так и больших значений показателей преломления и поглощения,
а также для непоглощающих частиц;
3) программа, однако, имеет ограничение, которое связано
с применением в расчетах для очень больших значений р. На этом
вопросе мы остановимся в следующей главе во время обсуждения
конкретных расчетов коэффициентов Ми в случае воды в ММ и
СБММ диапазонах.
3.4.5.5. Алгоритм Дейве
Указанный алгоритм [53, 54] можно использовать для
расчетов ап и Ьп при больших значениях р~3000 при отсутствии
поглощения, а также для поглощающих частиц со значением х~1.
Коэффициенты Ми ап и Ьп так же, как и в предыдущем алгоритме,
взяты в виде, полученном в [8] (3.120). Как в алгоритмах из
работ [11, 37, 74], здесь вводится понятие логарифмической
производной. Поэтому здесь, как в [11], получено:
{ Ап(Шт Р) +1Г)«*<bi(p))-Regf».,(p)>
tfrt(P, m) = — т—г—t г*— ^ ,
f Лп(ту р) , п\ . , ,
( т + 7"1Ся(р)"Ся-|(р)
\тАп(ту p)+-llReK«(p)}-Re{U-r(P)}
MP. т) = ^— tl— . (3.127)
ЬпАп (т, р) + — j In (р) — In-1 (p)
Впервые здесь проведены детальные исследования расчетов
функции Ап(у) прямой и обратной рекурсией. Для этого были
составлены две программы расчетов коэффициентов Ми в формулах
эффективностей ослабления, поглощения и углового распределения
рассеянной интенсивности. В первой программе все входящие
в ап и Ьп специальные функции вычисляются прямой рекурсией.
Во второй программе функция Ап(у) вычисляется обратной
рекурсией, а все остальные функции — прямой рекурсией.
Функция £п(р)=р[/п(р)—Ч/п(р)] рассчитывается прямой
рекурсией по соотношению (3.103) с начальными значениями
£-i (p) = cosp — isinp; £o (p) = sin p + / cos p. (3.128)
201

При расчетах прямой рекурсией Ап(тф) определяется, как и
в [11], соотношением (3.106), а начальное значение А^[т, р) —
соотношением (3.108). Если представить (3.108) в явном виде, то
получим:
sin (Яр) cos (Яр) +<sh (xp) ch (xp)
ux r/ sin2 (яр) + sh2 (xp) v 7
Исследования показали, что если %р = 0 или Яр кратно
величине я, то любое из этих условий приводит в формуле (3.129)
к делению на нуль или к неправильным результатам и остановке
ЭВМ. В расчетах может возникнуть ситуация, когда 2ягД есть
целое число. Тогда расчеты по формуле (3.129) также могут
привести к определенным ошибкам, причем это зависит и от типа
применяемой ЭВМ. Таким образом, равенство 2ягД целому числу
также нежелательно, и его необходимо исключить из расчетов
Ао(У)- Кроме того, если кфО, то расчет с помощью А0(т, р)
будет проходить с ошибками, когда хр^90 или больше этого
значения. Для больших значений хр функция sh(x, p)~ch(x, p) ~
~ 1/2е(х'р), поэтому можно использовать следующую
аппроксимацию:
А0(т, р) = 0,0+ 1 • L (3.130)
Однако расчет Ап(тр) с этим начальным значением прямой
рекурсией при больших п приводит к росту ошибки. Во избежание
этих тревожных моментов не следует считать прямой рекурсией.
Поэтому во втором алгоритме Дейве, как и в алгоритме Каттавара
и Пласса [74], используется обратная рекурсия. Функция Ап{т,р)
вычисляется с начального значения 0,0 + 0,0 i для ANd(m, p),
начиная с некоторого Nd^>\m, p|. После долгих испытаний в [54]
предложена формула для определения Nd, с которого начинается
счет обратной рекурсией:
Л^=1,1(Я2 + *2)'/2Р+1. (3.131)
В работе [54] приводится анализ зависимости результатов
расчетов, выполненных прямой и обратной рекурсией, от величин Я,
х и р, а также ошибок в конечном результате при вычислениях
сечений рассеяния и поглощения. Большой объем исследований
посвящен угловым функциям рассеяния больших поглощающих
частиц до х~ 1 и Я= 1,342.
Можно отметить следующие характерные черты
рассматриваемого алгоритма:
1) цилиндрические функции: Re{£n(p)}=^n(p) и £п(р)
рассчитываются прямой рекурсией, а логарифмическая производная
Ап{т, р) —обратной рекурсией;
2) рассчитывая с точностью \ап(т, р) |2+ \Ъп{т> р) |2^Ы0-14,
можно получить окончательный результат по сечениям для
больших непоглощающих сфер с р^ЗООО с точностью четыре-пять
точных знаков после запятой, а для малых р — шесть точных знаков
после запятой;
202

3) для поглощающих частиц расчеты можно проводить с
достаточно высокой точностью до к« 1 и/2« 1,342;
4) эта программа несколько уступает алгоритму Каттавара и
Пласса — здесь опять наблюдается ограничение, связанное с
большими значениями р и х.
3.4.5.6. Алгоритм Ленца
Рассматриваемый алгоритм [82, 83] коренным образом
отличается от всего того, что до этого было предложено по расчету
коэффициентов Ми ап и Ьп. Это универсальный алгоритм, и
применять его можно для расчетов как с малыми, так и большими
значениями р одновременно с малыми и очень большими
значениями пик. Новшество заключается в том, что цилиндрические
функции или их отношения, входящие в ап и Ьп действительного
или мнимого аргументов, рассчитываются не по рекуррентным
соотношениям, а непрерывной дробью отдельно для любого
избранного значения п. Расчет выполняется с высокой заранее
заданной точностью, и устраняются все проблемы, связанные с
расчетными цилиндрических функций прямой и обратной рекурсиями.
Как показывают расчеты, проблема эта становится особо
актуальной, когда исследователь сталкивается с сильно поглощающими
частицами при больших значениях р.
Как известно, в подавляющем большинстве программ
используется прямая рекурсия для расчетов бесселевых функций первого
и второго рода. Однако расчет прямой рекурсией связан с
ошибками, которые возникают в следующих четырех случаях [83]:
1) когда аргумент функции мал [99]; 2) когда значение п, от
которого зависит аргумент, очень велико [11]; 3) когда мнимая часть
комплексного показателя преломления больше действительной ее
части [11]; 4) для определенных аномальных значений р и т [5].
Использование прямой рекурсии для расчета последовательных
порядков функций Бесселя есть классический пример
нестабильных численных методов расчета [66].
Другой способ расчета функций Бесселя или логарифмической
производной от бесселевых функций — это различные вариации
обратной рекурсии, которая предложена Миллером [44, 91]. Точность
расчетов обратной рекурсией возрастает, если модуль функции
увеличивается на несколько порядков при переходе от высшего
порядка к низшему. В некоторых расчетах рост функции может
превысить экспоненциальный. Кроме того, при расчетах обратной
рекурсией, в память ЭВМ должны быть введены значения всех
порядков рассчитываемых рядов Ми для их дальнейшего
пересчета— корректировки и окончательного суммирования. Следует
также помнить, что сечения ослабления и рассеяния
рассчитываются для распределения капель по размерам, а для ЭВМ с огра*
ничейной памятью — это уже проблема. Прямая рекурсия не
требует очень большого объема памяти, однако, она имеет свои
203

недостатки. Алгоритм расчетов по Миллеру может быть несколько
улучшен с помощью нового метода (алгоритма Ленца) получения
точных начальных данных для функций Бесселя, который ослабит
требование к памяти ЭВМ. Обратная рекурсия может быть
реализована различными способами, каждая из которых имеет свои
особенности и недостатки. К этому вопросу мы возвратимся в
следующей главе.
Учитывая вышеизложенное, Ленц предложил алгоритм
расчетов цилиндрических функций с помощью непрерывных дробей [59>
83], описание которого приводится ниже.
Коэффициенты Ми ап и вп [8] после соответствующих
преобразований можно записать в виде [59]
_ % (р) Wn imP)l^n (mP)] — т% (Р)
С* (P) Wn (тР)/% (rap)] - mln (p)
b = ^я(р)[^(тр)/гря(тр)]-ф^(р) (3 132)
mln (p) [tyn (тр)/фп (тр)] - 1п (р)
Согласно Ленцу [83] отношение ty'n [rnp) l^n{mp) можно
представить в виде
л , ч ^n(rap) n /n-«/2(rap) /q 10QV
Лп(ту р) = ——т—г-= ? ^-т—г-« (3.133)
пк '^ Фп(тр) mp /n+1/2(mp) v '
Отношение бесселевых функций комплексного аргумента
можно выразить через непрерывную дробь:
7п-у2 (У) 2( , 1/2) -, , 1 1
Jn + 4Jy) ~ -2(п + 3/2)у-> +2(п + 5/2)у-> "'
(3.134)
Поясним запись непрерывной дроби (3.134). Как известно,
непрерывная дробь записывается следующим образом:
С +-5-J- 1 , <ЗЛ35>
#2 -f" ■
аз +-T-4--L
а4
+
аб +.
Перепишем формулу (3.135) в виде
а* "*" +а2 +аз +«4
где каждый член определяется по формуле
а« + ^-^ГТ5ГТ5Г + --- (ЗЛ36>
^^(-lr' + ^C/z + m'-l^)^/-1. (3.137)
Выражение (3.136) можно записать следующим образом:
1 1 1
+а2 +аг +а4 ' ' ' +ап
а{а2аз ... ат* | = а{ + -j^- —j^- -j^t" •• • "Х^-• (3-138>
204

Тогда соотношение (3.134) примет вид
/«_./, (У) __ |ai|-|a2ail4a3a2ai| •••
Jn+4* (у) I «2 I • | а3а2 | ... I ag_ 1 ... a21 • | ag ... a21 '
(3.139)
где g определяется с той точностью, которую заранее задает
исследователь.
Подробная схема расчетов по формуле (3.139) описана в
четвертой главе. Здесь же укажем, что расчет по этой формуле
ведется последовательно по дробям | аг^1 |/|а2|; | a3a2a! | /1 а3а21 и т. д.
Каждый раз для каждой дроби вычисляется отношение числителя
к знаменателю и сравнивается со значением той точности, которую
мы заранее задали. Если для какой-то дроби получена указанная
точность, то расчет по формуле (3.139) прекращается. Если же
точность еще не достигнута, то считаются последующие дроби до
достижения необходимой точности. Таким образом, если для
конкретного значения п точность достигнута при g, то результатом
расчета 1п-Чг(У)№п+Чг(У) по формуле (3.139) является
произведение g—1 дробей на множитель \а\\.
Расчет каждого значения Ап(у) не зависит от предыдущих
вычислений и для каждого отдельного значения п вычисление по
формуле (3.139) производится заново.
Алгоритм Ленца можно использовать и для вычислений
отдельных функций -фп(р), гЫр), £п(р) и £я(р).
Для того чтобы не считать каждое значение Ап(у)
непрерывной дробью, можно избрать иной путь. Можно весьма точно с
помощью непрерывных дробей рассчитать начальное или конечное
значение, например Jn(y)fjn-\(y), а затем использовать прямую
или обратную рекурсию для определения всех низших или высших
значений отношений бесселевых функций по формуле:
/».,(*) =_^ZJ Ш . (3.140)
Ы-х(У) У Jn-i(y) V J
Поскольку начальное значение Ап{у) будет определено весьма
точно, то рекурсия только облегчит получение точных значений
функций других порядков.
Удобный метод расчета бесселевой функции реального и
комплексного аргументов предложен Ленцем [83] через непрерывные
дроби, соответственно для нулевого и очень высокого порядка:
, (.$.Н4)>(.+.) ,/(4„(„+„,
1пКУ> 1 +1-^/(4- l-(v0+l)) ...+
</2/(4 •/с0 (у0 +/с0)) ,гу ып
••• +l-//2/(4./C„(vo + /Co)) ...+ ' \о.^Ч
; (.л_ (У)"/(2Я+1)И j/2/(4-l-(Vo+l))
1пУУ' 1 +1-//2/(4- 1 • (vo+1)) ••• +
</2/(4 • /Со (ур + /с0)) ,о 140\
••• +l_//2/(4./Co(v0 + /Co)) ...+ ' К '
205

Упрощения, связанные с расчетами по этим формулам, можно
найти в работе [83].
Особенности расчетов с помощью алгоритма Ленца мы
рассмотрим в следующей главе. Теперь только укажем, что
коэффициент Аюо(у) был рассчитан непрерывной дробью [83] на
шестиразрядной ЭВМ с точностью три знака после запятой, тогда как
прямой рекурсией с данной точностью можно вычислить только
Аю(у). Как убедимся позже, чем больше аргумент функции, тем
при меньших значениях g сходится непрерывная дробь.
Ценные сведения об алгоритме Ленца содержатся в работах
1102, 103].
Отметим следующие основные особенности данного алгоритма.
1. Алгоритм Ленца обеспечивает очень высокую точность счета.
Однако расчет даже одного значения логарифмической
производной комплексного аргумента Ап(у) высокого порядка отнимает
достаточно большое время, поскольку применяются не
рекуррентные соотношения, а считается Ап(у) отдельно для каждого
отдельного значения п. Правда, с помощью программных разработок
можно уменьшить расчетное время, но все равно проблема
времени является основной для данного алгоритма. В связи с этим
можно комбинировать в программе и использовать отрывочные
расчеты непрерывными дробями. Например, в общей программе
для расчетов сечений, только функцию Ап(у) можно считать
непрерывной дробью, а остальные цилиндрические функции
рассчитывать с помощью других алгоритмов, но с сохранением высокой
точности счета. Можно также использовать непрерывные дроби
для точного расчета только бесселевых функций нулевого или
высшего порядка, а затем использовать рекуррентные соотношения
для получения точных конечных результатов.
2. Данный алгоритм универсален, и им можно пользоваться
для расчетов практически во всех интересующих нас пределах
изменений значений комплексного показателя преломления и р. Для
примера укажем, что по данной программе в [59] рассчитаны
сечения прямого и обратного рассеяния в интервале от т=1,33—
— 10~4i до т=1,33—105 i при р = 8. Для действительного значения
/п=1,33 расчеты выполнены при изменении р от 1 до 600.
3. Удобством алгоритма Ленца является то, что точность
расчетов задается заранее и программа гарантирует получение данных
именно с необходимой точностью. Ни один из вышерассмотренных
алгоритмов не отличается этим ценным качеством.
3.4.5.7. Алгоритм Борена—Хафмена
Алгоритм этот описан в недавно опубликованной книге [5] и
существенно не отличается от алгоритмов, рассмотренных выше
(кроме алгоритма Ленца). Это обычная программа, где
коэффициенты ап и вп представлены не в традиционном виде [8], а в виде,
полученном Стреттоном [30]. Временной множитель (см. формулу
(3.51)) здесь взят в виде ехр.[—Ш*]9 поэтому комплексный пока-
206

затель преломления должен рассматриваться со знаком «плюс»,
т. е. т=п-\-1к. Кроме того, функции Риккати — Бесселя
записываются следующим образом:
ЫР) = Р/Я(Р), (3.143)
In (Р) = Фп] (р) = р/я (Р) + ipyn (Р) = яря (р) - iXn (р), (3.144)
поскольку в формуле (3.144) асимптотическое представление
сферической функции Хенкеля имеет вид
^■>(vr')~ ^>"«Pt^^ (3.145)
и вместе с множителем ехр[—mt*] дает расходящуюся волну
(аналогично формуле (3.81)).
Коэффициенты ап и Ьп в [5] описываются следующими
выражениями:
"*l*n ("*,P,) % (Pi) - Фя (Pi) % (mlPl)
a« =■
"ЧФя (^iPl) In (Pi) - £rc (Pi) *n (mlPl)
^(^iPi)^ (pi)-^i^m(Pi)^ (wiPi)
Ф/i (mlPl) £n (Pi) - m\ln (Pi) ^n (^iPl)
(3.146)
Здесь р1 = 2я/*т2Д, mi = m/m2, где т и т2 — комплексные
показатели преломления частицы и среды соответственно.
Введя в выражения (3.146), как и в алгоритмах [11, 37],
понятие логарифмической производной
Ап (WiPi) = -^- In г|?л (т,р,) (3.147)
и применив рекуррентные соотношения
^(рО=^-1(ро-^!^, ш=ъ-м-^&^,
(3.148)
для коэффициентов ап и 6П окончательно получим:
\ап (mip,)/mi + -~- Un(Pi) — "Фл-i (Pi)
^Лл (mipi)/m, + — \ln (Pi) —£/i-i (Pi)
I mii4rt (m,pi) +-^- Un (Pi) — фп-i (Pi)
ья = Jf ^H • (ЗЛ49)
\mxAn (mipi) + -—U«(pi) — £n_i (Pi)
Логарифмическая производная Лп(т1р1) рассчитывается в этом
алгоритме обратной рекурсией, рекуррентным соотношением,
аналогичным приведенному Каттаваром и Плассом [74]:
Ап (mlPl) = —- 2-р ^— . (3.150)
207

Рекурсия начинается со значения ;4nmx = 0,0 + 0,0£, где NMX —
начало расчетов обратной рекурсией: NMX= (NSTOP, | т{р{ |) +15,
где, в свою очередь, NSTOP вычисляется по формуле [102, 103]
Ni = NSTOP = pi + 4р;/з + 2. (3.151)
Фактически это есть то максимальное значение я, до которого
необходимо считать цилиндрические функции и рассчитывать суммы
при определении значений сечений, когда используется прямая
рекурсия. Как отмечалось выше, в алгоритме Шифрина это значение
равно 1,2 р.
Функции if)n(pi) и En(pi) реального аргумента рассчитываются
прямой рекурсией по формулам
Цп + 1 (Pi) = —^ Я|?я (Р2) — % - 1 (Pi),
Mp.) = V(P.)-<MPi) (3.152)
с начальными значениями
-ф_1 (pi) = cos р,, Х__, (р.) = —sin p„
-фо (Pi) = sin р,, Х0 (р,) = cos p,. (3.153)
При этом функция if)n(pi) рассчитывается с двойной точностью,
а Xn(pi) —с одинарной.
В работе [5] приводится также готовая программа BHMIE,
написанная на фортране, с помощью которой можно вычислить
элементы амплитудной матрицы рассеяния, факторы
эффективности ослабления, рассеяния и обратного рассеяния.
Относительно рассмотренного алгоритма можно отметить
следующее.
1. В этом алгоритме логарифмическая производная
рассчитывается обратной рекурсией, а сферические функции Риккати —
Бесселя — прямой рекурсией. Читатель уже знакомый с
возможностями предыдущих алгоритмов, может самостоятельно сделать
вывод относительно данного алгоритма: это алгоритм со средними
возможностями, который можно использовать при небольших
значениях р~80 и малом поглощении.
2. В этой программе наиболее уязвимым местом является
расчет if)n(pi) прямой рекурсией. Даже использование двойного
контроля точности, как рекомендуют авторы, не позволяет
существенно расширить сферу использования данного алгоритма. По
своим возможностям данная программа сходна с алгоритмом Дер-
миджяна [11].
3. Удобством этого алгоритма является наличие готовой
программы расчетов BHMIE, которую можно использовать, правда,
с осторожностью, не выходя за пределы реальных возможностей
данного алгоритма.
208

3.4.5.8. Алгоритмы Вискомба и других
Из обсуждения предыдущих алгоритмов видно, что нами
рассмотрены наиболее характерные и удобные для расчетов на ЭВМ
выражения для коэффициентов ап и Ъп. Одновременно довольно
полно описаны известные на сегодня методы расчета функций Ри-
катти — Бесселя первого и второго рода, а также логарифмической
производной, входящие в коэффициенты ап и Ьп. Последующие
разработки и исследования касаются исключительно вопросов
усовершенствования и корректировки, увеличения скорости счета или
повышения точности рассмотренных данных, накопленных и
представленных выше в перечне основных алгоритмов.
Из исследований последних лет следует особо отметить два
алгоритма, которые разработаны Вискомбом [102, 103]. Эти
работы содержат исследования относительно расчетов Ап(у) потрем
известным алгоритмам—прямой и обратной рекурсии, а также по
алгоритму Ленца. Подробно результаты исследований мы
обсудим позже — в четвертой главе. Ниже приводится лишь перечень
основных выводов этих исследований.
Во-первых, Вискомбом решен весьма важный вопрос [103]
о том, в каких случаях можно безопасно считать Ап(у) прямой
рекурсией. Оказывается, для фиксированных р и п прямая
рекурсия теряет смысл каждый раз при определенном значении х. При
этом с возрастанием р, произведение хр стремится ассимптотиче-
ски к пределу, а предельное значение зависит от величины Я.
В [ЮЗ] приводится эмпирическая формула, характеризующая
границу применимости прямой рекурсии для Ап{у) в зависимости
от п.
Во-вторых, в [103] исследуется важный вопрос о числе членов
в суммах Ми, удовлетворяющем критерию точности |ап|2+ |6П|2^
^10-14 [54]. Несмотря на то, что данные, полученные Вискомбом,
близки к результатам [53, 54, 77], в [103] приводится перечень
формул для вычисления N в зависимости от величины
безразмерного параметра дифракции и пределов изменения р. Одновременно
это и есть важный выбор N для определения предельного
значения п в расчетах функций Риккати — Бесселя и логарифмической
производной при расчетах прямой и обратной рекурсиями.
В-третьих, исследования Вискомба позволили решить и
проблему фактора времени при расчетах коэффициентов ап и Ьп.
Экономическая сторона вопроса расчетов по теории Ми на ЭВМ —
одна из актуальнейших задач. Вискомбу удалось создать новый,
быстрый алгоритм [102], время счета по которому в 30—40 раз
меньше, чем по алгоритму Дейве [53, 54]. Основной выигрыш во
времени получен за счет усовершенствования и использования
одинарной точности счета при двойной точности счета у Дейве [54],
а также в результате использования алгоритма Ленца в
комбинации с разработанным Вискомбом критерием прямого рекурент-
ного счета. В [103] приводится сравнение времени счета при
использовании нового, быстрого алгоритма Вискомба и алгоритма
14 Заказ № 124
209

Дейве [54] для расчета эффективных сечений и угловых
функций.
В-четвертых, Вискомб исследовал вопрос о числе итераций при
расчетах Ап(у) по алгоритму Дейве [54] и по алгоритму Ленца.
В [103] приводится таблица сравнения числа атераций при
расчетах Ап(у) по алгоритму Дейве (обратная рекурсия) и по
алгоритму Ленца для различных значений р и т. Исследования
показали, что чем больше значение к в т, тем меньшее число дробей
требуется при расчетах Ап(у) алгоритмом Ленца. С уменьшением
величины х число итераций по алгоритму Ленца резко
возрастает и приближается к значению числа итераций для алгоритма
Дейве.
В работе [102] приводится описание двух алгоритмов Вис-
комба: 1) нового, быстрого, рассмотренного выше; 2) более
медленного, разработанного для использования абсолютного
минимума объема памяти. Кроме того в [102] приводятся и листинги
указанных двух программ.
Следующий алгоритм, который достоин внимания и может
вызвать интерес,— алгоритм, опубликованный в [59].
Примечательным является то, что, возможно, эта одна из первых программ, где
все без исключения функции Риккати — Бесселя, их производные,
а также логарифмическая производная рассчитываются по
алгоритму Ленца. Здесь получено рекордное значение интервала
изменения мнимой части комплексного показателя преломления.
Разработанная программа SUPERMIDI позволила рассчитать
факторы эффективности ослабления, рассеяния и обратного рассеяния
до р=800 при Л =1,3... 1,4, а также для р=8 при х от Ю-4 до 105,
и Л =1,33.
3.4.5.9. Заключительные замечания по алгоритмам
Подбирая алгоритмы для настоящего Справочника, автор
старался охватить алгоритмы основных типов и все то новое, что
способствовало улучшению техники счета по теории Ми на ЭВМ.
Одновременно автор попытался отразить в Справочнике все
разнообразие значений комплексных показателей преломления и
безразмерного параметра дифракции, которые встречаются в
практических расчетах, насколько это позволил ограниченный объем
книги. Следует учесть и то, что на выборе алгоритмов сказались и
интересы автора, связанные с экстремальными условиями
задачи— большими значениями величин р и т.
Перечень работ, связанных с расчетами по теории Ми до 1962 г.,
приводится в [87]. Расчеты проводившиеся по теории Ми
отражены также в [8, 75]. В работе [75] приводится перечень
обозначений, которыми пользовались различные авторы при расчетах по
теории Ми. В табл. 3.15 приводятся обозначения параметров в
различных алгоритмах в соответствии с обозначениями, принятыми
в настоящем Справочнике.
210

Таблица 3.15
Обозначения, принятые в алгоритмах различных авторов
№ п/п
Автор
Шифрин [31, 35, 36]
Ван-де-Хюлст [8]
ПН
iIV
*VI
aVII
10
11
12
13
14
15
16х
VIII
IX
г,+./,(*)
V"ir'' + '/•(z)
'« + '/«
(г)
*»+-/,<*>
Я®+1/, (z) =/„+./, (z)~
-W,
n+'/s
(г)
Л<2> (2)
Ф/ (г) = Д/
Х,(2) =
= (-1)гд/^7-<'+'/2)(2)
Mz) = V"IT/,,+'/'(z)
«»(«)= V"^"iV"+,/'(Z)
A<2)(z)
■ф„ (2) = 2у'„ (2) =
Хя (2) — Z/lrt(z) =
VltF /оч С» (z) = 2/г<2) (г) =
ро =
2ла
', Р =
2лата
ert(z)==i|?n(z) + /X„(z)
2яа _ 2пат2
Я. Авак
л Авак
~~ т2
17
18
19
20
т = rriilma = п — Ы
(т*—частицы, та—среды)
п
X
тр
т = mi/m2 = я — т'
(mi—частицы, т2—среды)
/г
/г'
у = тх
14*
211

№ п/п
i1
2П
gill
4IV
5V
Автор
Дермиджян [11]
Аден [37]
Jn + чЛ2) Лг + '/Л01)
Nn+4i{z)
"&'/,<*> = "<%»
= Jn+,h(z)-iNn+4Jz)
Д/^j-/„ + ,/,(*) /»(«) = V'lr/" + ,/'(a>
V-s-^-+•/.<*)
VI
а VII
9
10
11
12
13
14
VIII
15IX
16х
17
18
19
20
W (г)
= Re{co„(z)}
+ (-l)rt//_rt + ,/2(2)] = ^(2)
Crt(z)=^(2) + ^rt(2:)
(Qn-i (x) n
i|?n (a) =ayrt (a)
co„(x)
jc = 2na/X
tn = v — Ы
V
и
y = mx
X
an(a) = -^-ln[a/n(a)l
a =■ 2na/X
N
Ma
212

№ п/п
Автор
Каттавар и Пласс [74]
Дейве [53, 54]
*Ш
ilV
VI
DVII
/n+«/,(Z)
»n(z)=V"£"1'B+,/«(2)
■tyn(z) =ZJn (Z) =
==VJ2£/n+,/=(2)
9
10
11
12
13
14viii
—
—
—
£„(z) = z/42>(z) =
= V¥ "&'/■<*>
£„ (z) = z/„ (z) — izyn(z)
Dn(y) = [\nVn(y)Y
15IX
16х
17
18
19
20
Ai(*) = [iniM*)]'
G„(x) = [In £„(*)]'
jc = 2яа/A
tn — п{ — m2
«i
/i2
*/ = mx
/„+«/, (z>
(z)
П+Ч:
hf (z)
1J)„(z)=Re{Cn(z)} =
= VJ2£/n + '/j(Z)
S»(*)=V_T"l/'* + ,/'(z) +
+ (-1)"'/_„_,/2(z)]
£„ (Z) = Zjn (2) — t'ZI/„ (Z)
An (mx) =
rf[lg^n(mA:)] _
d (mx)
i|)„ (mx)
2яг
m = ni — m2
n2
mx

№ п/п
Автор
Ленц [59, 82, 83]
Борен и Хафмен [5]
jIH
iIV
VI
0VH
9
10
11
Уп(*)="\/^-Уп + Ч,(г)
h^{z)
^п (Z) = Zjn (Z) =
JtZ
W (z)
^n(z)=ZJn(z) =
= V"2"/*+,/2(2)
-V
Хл (2) = —Z*/„ (2)
£„(z)=z/#> (2) =
= z/« (2) + izyn (z)
ln(z)=^n(z) — iXn(z)
12
13
14vi"
151*
16х
17
18
19
20
U^-V-IT^h-'/
+ (-1)я//„-.,, (г
£n (2) = Z/„ (2) — izy,
A (to *»(P)
Лг(р) = ■ /ft^
—
a = 2кг /К
m
—
—
P = ma
(*) +
)]
r(z)
—
—
Dn(z) = ^r\n^n(z)
—
x = 2naNIX
m=. N\/N = n + iK (A/1—частица,
А/—среда)
n
к
mx
214

Пояснения к таблице
Обозначения, принятые в Справочнике
I Функция Бесселя первого рода с полуцелым индексом:
1- J/i+«/2(Pb
II Функция Бесселя второго рода с полуцелым индексом:
2- У„ + ./,(Р)-
ш Функция Хенкеля первого и второго рода:
з. #<%», //$..,, (р)-
IV Сферическая функция Бесселя первого рода:
4- /»(Р) = Д/"ё"/»+,/.(р>-
v Сферическая функция Бесселя второго рода:
VI Сферическая функция Бесселя третьего рода или сферическая функция
Хенкеля:
6. А^(р)=/Я(р)+^„(Р).
7. А^(Р)=/«(Р)-^„(Р).
vii функции Риккати—Бесселя:
8. *n(p) = P//i(p).
9. Х„(р)=— руп(р).
10. Ея(р)=рЛУ)(р)=^/-^-Я^1/1(р).
И. bi(p)=*/i(p)-tt„(p).
12.Sn(P)-P^(p)-V-f-^'/.(P)-
13. Сп(р)=*я(р) + «я(р).
VI11 Логарифмическая производная от функции Риккати—Бесселя
первого рода:
14. Ап(у)=^'п(У)/%(У).
1Х Логарифмическая производная от функции Риккати—Бесселя второго рода:
15. Dn(9)=£(9)/Zn(9).
х Другие обозначения:
16. Безразмерный параметр Ми:
р=2ягД.
17. Комплексный показатель преломления:
т=Я — ix.
18. Показатель преломления: п.
19. Показатель поглощения: х.
20. Аргумент: # = тр.
215

3.5. ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ МИ
В СЛУЧАЕ МАЛЫХ ЧАСТИЦ
3.5.1. СЕЧЕНИЯ ОСЛАБЛЕНИЯ,
РАССЕЯНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ
В оптике мутных сред понятие малости размера частиц рас-
обходимо считать цилиндрические функции и рассчитывать суммы
ния. Вспомним определение предельного перехода к малым
частицам:
р<1, |т|р]<1. (3.154)
Ранее мы отмечали, что теория дифракции Ми включает
в себя случай как предельно малых, так и предельно больших
частиц. Поэтому ниже будет рассмотрен предельный переход
к малым частицам в теории дифракции Ми на основе прежде
всего работ [35, 36].
Если разложить цилиндрические функции в формулах (3.84)
для ci и bi в ряд по малому аргументу (см. (3.154)) и
ограничить число членов (не ниже р6) для первых — электрической и
магнитной — парциальных составляющих, то получим:
сх = р3 (т2 - \)/(т2 + 2); с2 = р5 (т2 - 1)/[ 18 (2т2 + 3)];
61 = —р5(т2 — 1)/30; 62 = 0(р7). (3.155)
Остальные, высшие порядки с\ и Ъ\ не рассматриваются,
поскольку при p<Cl они весьма малы.
Рассмотрим сечения и эффективности ослабления, рассеяния
и поглощения для условий (3.154) и (3.155). Указанный случай
впервые был рассмотрен Рэлеем, поэтому в настоящее время
предельный переход к малым частицам называют приближением
Рэлея независимо от того, какие это частицы — рассеивающие
или поглощающие. Если удовлетворяется условие (3.154), то из
соотношения (3.155) видно, что коэффициент С\ значительно
больше остальных коэффициентов, поэтому для малых частиц
все определяется этим коэффициентом. Теперь, если в формулы
{3.55) — (3.57) подставить значения (3.155), то получим [35, 36]:
128я5г6 I т2 — 1 I2 /0 1СЛЧ
8я2г3 т / т2 — 1 \ /0 1 С7\
оп= j—lm^--^-^), (3.157)
о0 = 4лг2р1т[-<7*(1 +-Lpy=_J-_2_p3(7*) +
+ Ж^<"' + 2)--^(т5Йт)]. <ЗЛ58>
где
m = n — iK р = 2ягД; <7*= т2 + 2 -
216

Соответственно для эффективных сечений имеем:
К — qp — 128я4г< I m2~х I2— 8 41 m2—l
Ар— яг2 ~ ЗЛ4 I т2 + 2 | ~ 3 Р | от2+ 2
(3.159)
*■--т^Ч—йгт)- <ЗЛ60>
Ко = -^г = 4р 1т [-<?* (l + -f pV - i -§- pV) +
+ ^_,*K + 2)_^,*(^+^)]. (3.161)
Следует отметить, что формулы (3.158) и (3.161)
характеризуют ослабление и в качестве решений содержат ар и ап или /Ср
и /Сп. Действительно, если в формулах (3.158) и (3.161) велика
величина х в га, то из этих формул непосредственно вытекают —
соотношения (3.157) и (3.160). Наоборот, для малых значений
и из общих формул вытекают соотношения (3.156) и (3.159). При
этом, если величина к соизмерима с р3, то расчеты необходимо
Проводить с помощью формул-(3.158) и (3.161).
Можно отметить следующие характерные особенности
рассмотренных формул:
1) коэффициенты ослабления или поглощения изменяются
пропорционально 1/А, (см. формулу (3.160)), в то время как
коэффициент рассеяния — пропорционально 1Д4 (см. формулу
(3.159)) при условии, если сами величины пик малых частиц
не зависят от X;
2) сечение ослабления малой частицы пропорционально
объему частицы, в то время как сечение рассеяния — квадрату
объема частицы.
Перефразируя сказанное, можно отметить, что если имеется
среда из малых частиц, то при прохождении света через эту
среду, сечение ослабления будет пропорционально количеству
вещества на пути света, а поглощение малой частицы будет
значительно превышать рассеяние.
В работе [5] приводятся выражения для Ко и /Сп в
приближении малых частиц с точностью до членов р4:
Следует помнить, что здесь га=Я+/х. Если |га|р <С 1, то
коэффициент в квадратных скобках в первом члене выражения
(3.162) приближенно равен единице, тогда из этого выражения
получим [5]:
^-^'"•ШИ'-^^Ш!]' <ЗЛ63>
217

Для достаточно малых р, второй член в квадратных скобках
(3.163) существенно меньше единицы и, следовательно,
Яп = 4р1т{-^1-}. (3.164)
Выпишем теперь значения коэффициентов ослабления,
рассеяния, поглощения и радиолокационного отражения в случае
приближения для малых частиц. Согласно (3.161), для Г oi
{дБ/км) получаем выражение
г>1= 3,42905-Ю- lmlm^Nf{r)r.drt
Im [. .. ] = Irn Г - q* (1 + 3/5pV — /2/ЗрV) +
+ ^q4m> + 2)-^q*(-g£k)\; (3.165)
А га2 — 1 2яг
Из формулы (3.162) для Г02 (дБ/км) получим:
3,42905- 10-1 jm[...] ]Щ{Г)ГЫГ +
+
5,67049 • Ю-1
Re[(-^)1!w<r>r'rfrl. (ЗЛ66>
X
т г 1 т f ^2 — 1 Г1 i Р2 / т2 — 1 \ га4 + 27га2 + 38 "II
т = PL + m.
Для формулы (3.159) находим
-п* 5,67049 • 101 I га2 — 1 I2 Г ... , ч 6 - /о 1^т\
И, наконец, согласно выражениям (3.160) и (3.163), имеем
соответственно
-г,* 3,42905-Ю-1 т / га2— 1 \ Г АТ£/ ч 3 л /0 1Ш
ГП1 = —! ^ Im {— m2 + 2 J J #/ (г) г3 dr, (3.168)
П
3,42905 • 10
-i
Гп2 = —■ ^ Im
ra2— 1
[1+4/ЗрЧт[^-]
X
r2
ra2 + 2 J[
xS^V/(r)r3dr, m = n + in. (3.169)
В литературе широко пользуются формулами (3.159) и (3.160)
218

иногда без учета того, применима ли данная формула в
рассчитываемой области изменения р и т. В работе [76], например,
показано, что в области изменения р от 0,01 до 0,11 с увеличением
\т\ точность расчета по приближенным формулам Рэлея резко
падает. Особенно это касается воды в микроволновой области
спектра, где резонансные эффекты могут существенно повлиять
на расчет коэффициента ослабления в приближении Рэлея [8].
Поэтому во время приближенных расчетов необходим тщательный
выбор формул для расчетов. Во время расчетов по точным
формулам Ми подобный вопрос не возникает, так как при расчетах
коэффициентов ап и Ъп автоматически учитываются особенности
резонансов. Резонансные эффекты проявляются при расчетах
радиолокационного отражения.
Вопрос резонансов исследовался многими авторами.
Достаточное место уделено резонансам в работе [8]. К этому вопросу
мы возвратимся ниже при обсуждении сечения
радиолокационного отражения.
3.5.2. СЕЧЕНИЕ РАДИОЛОКАЦИОННОГО ОТРАЖЕНИЯ
В п. 3.4.4 отмечалась причина необычности выбора выражения
для сечения радиолокационного отражения. Отметим, что согласно
этому выбору в [8] приводится следующая формула для
эффективности радиолокационного отражения в приближении Рэлея:
КРЛ = ^- =3/2КР = 4р* |-g^l f , (3.170)
ИЛИ
„ 64nV4 | га2 — 1
Крл X4 \ т2 + 2
(3.171)
Получается парадокс: из выражения (3.170) следует, что
^Срл > Др, т. е. сечение обратного рассеяния, малое по
сравнению с длиной волны частицы, больше полного сечения
рассеяния— часть больше целого. Объяснение парадокса приводится
в [8]. Здесь же укажем, что выбор этой неудобной величины
для описания сечения радиолокационного отражения связан с
понятием усиления в радиотехнике.
Подставив значение /Срл из формулы (3.171) в (3.18),
получим:
т.* 1Л-6Г 2Лгг/\ 64п5г4 I га2 — 1 I2,
Грл=10 \r2Nf(r)—JF-\—rfr\dr^
10~6 —
га2— 1
г2
га2+ 2
64 \Nf(r)r6dr=\0-6-^r
га2 — 1 I2
га2+ 2 |
• 64Z,
(3.172)
219

где
' 2
Z = j Nf (г) г6 dr.
(3.173)
Величину Z называют радиолокационной отражаемостью.
Иногда вместо Z за радиолокационную отражаемость принимают
величину, которая в 64 раза больше Z, и записывают ее в виде
Z* = 64Z=X>,d?, (3.174)
где d — диаметр капли, Ni — число частиц диаметром du Следует
иметь в виду, что Z выражается в см-1, мм6/м3 или дБZ. При пе-
Таблица 3.16
Значения радиолокационной отражаемости Z (см-1) [19]
q г/м3
0,1
1,0
гс1 мкм
3
8-Ю-18
8-Ю"17
5
4-Ю-17
4-Ю-16
7
10"16
ю-15
реходе от размерности см-1 к мм6/м3 необходимо значения
умножить на 1012. Если вычислить величину lOlgZ, то получим
значения Z в jxbZ. Так, 1 мм6/м3=10-12 см-1 = 0 jxbZ (например,
0,1 мм6/м3=10-13 см-1 = —10 A&Z).
Таким образом, формулы (3.173) и (3.174) показывают, что
радиолокационная отражаемость пропорциональна шестому
моменту распределения капель по размерам в облаках. Если f(r)
описывается плотностью распределения Хргиана—Мазина (2.41)
со средним радиусом гс\ в микрометрах, то радиолокационную
отражаемость можно представить в виде [19]
28?
7 *иЧ -3
(3.175)
где q — водность облака (г/м3) и рд — плотность воды (г/см3).
Характерные значения Z в см-1, вычисленные по формуле
(3.170) согласно [19], приводятся в табл. 3.16. В табл. 3.17
приводятся значения повторяемости градаций радиолокационной
отражаемости Z, в облаках различных типов. Как видно из
таблицы, в различных облаках Z меняется от —30 до 40 дБZ.
Рассмотрим теперь вопрос о точности при расчетах по
приближенным формулам Рэлея. Как видно из рис. 3.22 и 3.33 [8],
до р^1 еще сказывается влияние резонансов воды в
микроволновой области спектра. Эффективность ослабления в области
р<1 (см. рис. 3.22) имеет максимум для больших т при гораздо
меньших значениях р, чем радиолокационное отражение (см.
220

Таблица 3.17
Повторяемость (%) радиолокационной отражаемости для различных типов
облаков
Z rBZ
St
Sc
Ns
As
Ac
Cb, Cs, Cc
Cu cong.
Cb
—70..
—60..
—50..
—40..
—30..
—20..
—10..
0..
10..
20..
30..
40..
—60
—50
—40
—30
—20
— 10
0
. 10
20
30
40
50
20,2
60,0
19,8
0,6
26,8
32,2
29,6
10,8
0,6
0,5
21,1
26,5
18,9
16,5
13,0
3,5
12,0
28,0
38,0
18,0
2,5
1,5
8,5
23,0
28,0
29,5
9,5
1,5
2,6
32,6
52,8
10,0
3,0
6,4
20,7
34,0
20,4
12,5
2,7
10,5
32,8
35,6
16,8
1,6
рис. 3.23). При т->оо (см. рис. 3.23) коэффициент
эффективности радиолокационного отражения может быть больше 4.
Наиболее полно относительно ошибок при расчетах по приближенным
формулам Рэлея для р<1 можно судить по рис. 3.24 [8], на
Рис. 3.22. Кривые эффективности
ослабления, обнаруживающие
резонансные пики [8]. 0
котором приводится отношение радарного сечения водяных
капель к сечению, рассчитанному по приближенной формуле Рэлея
для трех длин волн ММ и СМ диапазонов. Для К=3 мм, т =
= 3,41—1,94/ при р<0,93 (см. рис. 3.24) отклонение результатов
приближенных расчетов от данных на рис. 3.23 не превышает
20%. Максимальное отклонение наблюдается (см. рис. 3.24) для
221

Х=3 см (m=8,18—1,95/), а значения, рассчитанные по
приближенным формулам, почти в два раза меньше радиолокационных
сечений. В [8] приводится объяснение причин возникновения ре-
Рис. 3.23. Коэффициент эффективности
радиолокационного отражения для рассеяния
каплями воды при ^=3 мм [8].
зонансов, а также рассматриваются возможности их учета. Одно
ясно, что резонансный эффект велик, когда мало х. С ростом
температуры резонансные эффекты возрастают. Действительно,
для ^ 3 см с возрастанием температуры к сильно
уменьшается, а резонансные эффекты увеличиваются.
б/бр
/
г-
!
1
\1
'^7
\
\
3 \
■--—\\
\
\
о
222
0,5
1,0
Рис. 3.24. Отношение радарного
сечения водяной капли а к сечению,
рассчитанному в приближении Рэлея,
<Ур [8].
/) А,=3 см, m=8,l&-l,96 i; 2) А,= 1,25 см,
т=6,41—2,86 i\ 3) А,=3 мм, т=3,41—1,94 L

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. An лет а лин В. Н., М е р и а к р и В. В., Ч и грей Е. Е. Измерение
поглощающих и отражающих свойств воды на волнах от 2 до 0,8 мм.—
Радиотехника и электроника, 1970, т. 15, № 7, с. 1502—1503.
2. Атлас Д. Успехи радарной метеорологии.— Л.: Гидрометеоиздат,
1967.—111 с.
3. Б а т т а н Л. Д ж. Радиолокационная метеорология.— Л.: Гидрометео-
издат, 1962.— 196 с.
4. Б а ш а р и н о в А. Е., К у т у з а Б. Г. Исследования радиоизлучения
и поглощения облачной атмосферы в миллиметровом и сантиметровом
диапазонах волн.— Труды III Всесоюзного совещания по радиолокационной
метеорологии.— М: Гидрометеоиздат, 1968, с. 96—106.
5. Б о р е н К., X а ф м е н Д. Поглощение и рассеяние света малыми
частицами.—М.: Мир, 1986.—660 с.
6. Б р а у н В. Диэлектрики.— М.: Изд. иностр. лит., 1961.— 326 с.
7. Бримблкумб П. Состав и химия атмосферы.— М: Мир, 1988.— 351 с.
8. Ван-де-Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами.— М.: Изд.
иностр. лит., 1961.— 536 с.
9. Веретенников В. В., Кабанов М. В., Панченко М. В.
Микрофизическая интерпретация однопараметрическои модели поляризационных
индикатрис (дымка прибрежного района).— Изб. АН СССР, ФАО, 1986, т. 22,
JMb 10, с. 1042—1049.
10. Горчаков Г. И., Емиленко А. С, Свириденков М. А. Одно-
параметрическая модель приземного аэрозоля.— Изв. АН СССР. ФАО, 1981, т. 17,
JMb 1, с. 39—49.
11. Дейрменджан Д. Рассеяние электромагнитного излучения
сферическими иолидисперсными частицами.— М.: Мир, 1971.— 165 с.
12. Золотарев В. И., Михайлов Б. А., Альперович Л. И.,
Попова СИ. Дисперсия и поглощение жидкой воды в инфракрасной и
радиоволновой области спектра.— Оптика и спектроскопия. 1969, т. 27, вып. 5,
с. 790—794.
13. Золотарев В. И., Демин В. А. Оптические постоянные воды в
широком диапазоне длин волн 0,1 А—1 м.— Оптика и спектроскопия, 1977, т. 43,
вып. 2, с. 271—279.
14. И в лев Л. С. Химический состав и структура атмосферного аэрозоля.—
Л.: Изд. ЛГУ, 1982.—368 с.
15. И полито в И. И., Креков Г. М., Л оп а сов а Т. А.,
Рахимов Р. Ф. Оптические свойства облаков. Эффект неоднородной
диэлектрической структуры капель.— В кн.: Оптико-метеорологические исследования земной
атмосферы.— Новосибирск: Наука, 1987, с. 53—63.
16. Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред.—
М.: Гостехиздат, 1957.— 620 с.
17. Локтионов А. Г. Конденсационное укрупнение частиц атмосферного
аэрозоля.—Изв. АН СССР ФАО, 1935, т. 21, № 6, с. 614—620.
18. Мази н И. П. О взаимодействии облаков с окружающей их
аэрозольной средой.— Метеорология и гидрология, 1982, № 1, с. 54—61.
19. Мази н И. П., Ш мет ер СМ. Облака, строение и физика
образования.— Л.: Гидрометеоиздат, 1983.— 279 с.
20. М а л ы ш е н к о Ю. И., В а к с е р И. X. Расчет диэлектрической
проницаемости воды в субмиллиметровом диапазоне радиоволн.— Украинский
физический журнал, 1970, т. 15, № 9, с. 1496—1503.
21. Оптические свойства прибрежных атмосферных дымок/Под ред.
Г. М. Крекова.— Новосибирск: Наука, 1988.— 201 с.
22. П е т р е н ч у к О. П., Дроздова В. М. О химическом составе
облачной воды в некоторых районах ETC.— Труды ГГО, 1966, вып. 185, с. 117—125.
23. Пространственная изменчивость характеристик атмосферного аэрозоля/
Под ред. Ю. Д. Копытина.— Новосибирск: Наука, 1989.— 152 с.
223

24. Р о з е н б е р г В. И. Рассеяние и ослабление электромагнитного
излучения атмосферными частицами.— Л.: Гидрометеоиздат, 1972.— 348 с.
25. Розен б ер г В. И., Воробьев Б. М. Ослабление
электромагнитных волн диапазона 100 мкм— 17 см в «теплых» и переохлажденных облаках
и туманах.—Изв. АН СССР ФАО, 1975, т. 11, № 5, с. 526—528.
26. Сед у нов Ю. С. Физика образования жидкокапельной фазы в
атмосфере.— Л.: Гидрометеоиздат, 1972.— 208 с.
27. Станевич А. Е., Ярославский Н. Г. Поглощение жидкой воды
в длинноволновой области инфракрасного спектра (42—200 мкм).— Оптика и
спектроскопия, 1961, т. 10, вып. 4, с. 538—540.
28. Степа не н ко В. Д. Радиолокация в метеорологии.— Л.:
Гидрометеоиздат, 1973.—343 с.
29. С т е п а н е н к о В. Д. Радиолокационное наблюдение атмосферы.—
В кн.: Радиолокационные методы исследования Земли.— М.: Советское радио,
1980, с. 223—251.
30. Стреттон Дж. А. Теория электромагнетизма.— М.: Гостехиздат,
1949.—539 с.
31. Таблицы по светорассеянию/Под ред. К. С. Шифрина, И. Л. Зельмано-
вича. Т. 1, 1966. Т. 2, 1958. Т. 3, 1968. Т. 4, 1971. Т. 5, 1973.—Л.:
Гидрометеоиздат, 1966—1973.
32. Физические основы теории климата и его моделирование.— Л.:
Гидрометеоиздат, 1977.— 272 с.
33. Ф р ё л и х Г. Теория диэлектриков.— М.: Изд. иностр. лит., 1960.—
251 с.
34. Фукс Н. А. Механика аэрозолей.—М.: Изд. АН СССР, 1955.—351 с.
35. Шифрин К. С. Рассеяние света в мутной среде.— М.: ГИИТЛ, 1951.—
288 с.
36. Ш и ф р и н К. С. Введение в оптику океана.— Л.: Гидрометеоиздат,
1983.—278 с.
37. A d e n A. L. Electromagnetic scattering from spheres with sizes
comparable to the wavelength.—Appl. Phys., 1951, v. 22, N 5, p. 601—605.
38. A f s a r M. N. and Hasted J. B. Measurement of the optical constants
of liquid H20 and D20 betwen 6 and 450 cm"1.— JOSA, 1977, v. 67, N 7,
p. 902—904.
39. Afsar M. N. and Hasted J. B. Submillimeter wave measurements of
optical constants of water at various temperatures.— Infrared Phys., 1978, v. 18,
p. 835—841.
40. Afsar M. N., Hasted J. B. and Chamberlain J. E. New
techniques for dispersive Fourier transform spectrometry of liquids.— Infrared Phys.,
1976, v. 16, p. 301—310.
41. A n g e 1 1 С. А., О g u n 1 M. and S 1 с h i n a W. J. Heat capacity of water
at extremes of supercooling and superheating.— J. Chem. Phys., 1982, v. 86, N 6,
p. 998—1002.
42. В e r t о 1 i n i D., С a s s e 11 a r i M. and S a 1 v e 11 i G. The dielectric
relaxation time of supercooled water.— J. Chem. Phys., 1982, v. 76, N 6,
p. 3285—3290.
43. Bottreau A. M., Morean J. M., Laurent J. M. and Marzat C.
A method analiyzing the dielectric relaxation spectra of mixtures by decomposition
into Debye elementary domains. Application to the stady of the water spectrum.—
J. Chem. Phys., 1975, v. 62, N 2, p. 360—365.
44. British Association for the Adwacement of Science. Mathematical Tables.
v. 10. Bessel Functions. Part 2, Functions of Positive Integer Order.—Cambridge
(U. P. London), 1952.—255 p.
45. С a r t w r i g h t C. H. and E r r e r a J. Extreme infra-red dispersion of
polar and non-polar liquids.—J. Proc. Roy. Soc, 1936, v. A154, 881, p. 138—157.
46. С h a m b e r 1 a i n J. E., A f s а г M. N., H a s t e d J. В., Z a f а г М. S. and
D a v i e s G. J. Dispersion of alcohols and water in the submillimeter waveband.—
Nature, 1975, v. 255, May 22, p. 319—321.
47. Chamberlain J. E. et al. Submillimeter absorption and dispersion of
liquid water.—Nature, 1966, v. 210, N 5038, p. 790—791.
224

48. Chamberlain J. E., Z a f a r M. S. and Hasted J. B. Direct
measurement of refraction spectrumo of liqid water at submillimetre wavelengths.—
Nature, phys. sci., 1973, v. 243, p. 116—117.
49. С о 1 e К. S. and Cole R. H. Dispersion and absorption in dielectrics.
1. Alternat ing-current characteristics.— J. Chem. Phys., 1941, v. 9, p. 341—35L
50. Collie С H., H a s t e d J. B. and Reston D. M. The dielectric
properties of water and heavy water.—Proc. Phys. Soc, 1948, v. 60, Part 2, N 338,
p. 145—160.
51 Corbato F. J. and Uretsky J. H. Generation of sphecical Ressel
functions in digital computers.— J. Association for computing machinery, 1959,
v. 6, N 3, p. 366—375.
52. С u m m i n g W. A. The dielectric properties of ice and snow at 3,2
centimeters.—J. Appl. Phys., 1952, v. 23, N 7, p. 768—773.
53. Dave J. V. Scattering of visible light by large water spheres. Applied
Optics, 1969, v. 8, N 1, p. 155—164.
54. D a v e J. V. Scattering of electromagnetic radiation by a large absorbing
sphere.—IBM J. Res. and Development, 1969, v. 13, N 3, p. 302—313.
55. Da vies M., Par doe G. W. F., Chamberlain J. E. and Geb-
bie H. A. Submillimeter and millimeter wave absorptions of same polar and
non-polar liquids measured by Fourier transform spectroscopy.— Trans. Faraday
Soc, 1970, v. 66, N 566, Part 2, p. 273—292.
56. Draegert D. A., Stone N. W., Curnutte B. and Williams D.
Far-Infrared spectrum of liquid water.— JOSA, 1966, v. 56, N 1, p. 64—69.
57. E i d e n R. and Eschelbec G. Des Atmosphaische aerosol und seine
Bedeutung fur den Energichaushalt der Autmosphere.— Z. Geophys., 1973, Bd 39.
S. 188—228.
58. G 1 a r u m S. H. Dielectric relaxation of polar liquids.— J. Chem., Phys.,
1960, v. 33, N 5, p. 1371 — 1375.
59. Grahan G. and Gouesbet G. Mie theory calculations: new progress,
with emphasis on particle sizing.—Appl. Optics, 1979, v. 18, N 20, p. 3489—3493.
60. H a g g i s G. H., Hasted J. B. and Buchann T. J. The dielectric
properties of water in solutions.— J. Chem. Phys., 1952, v. 20, N 9, p. 1452—
1465.
61. Hale G. M. and Qucrry M. R. Optical constants of water in the
200-nm to 200-,um wavelength region.—Appl. Optics, 1973, v. 12, N 3,
p. 555-563.
62. Hasted J. В., H u s a i n S. K., F r e s с u r a F. A. M. and Birch J. R.
Far infrared absorption in liquid water.— Chem. Phys. Let., 1985, v. 118, N 6,
p. 622—625.
63. H a n e I G. The properties of atmospheric aerosol particles as functions
of the relative humidity at thcrmodynamice equilibrium with the surrounding moist
air.—Adv. Geophys., 1976, N 19, p. 73—188.
64. Hanel G. Influence of relative humidity on aerosol depossition by
sedimentation.—Atmos. Environ., 1982, v. 16, N 11, p. 2703—2706.
65. H a n e 1 G. and Z a n к 1 В. Aerosol size and relative humidity: water
uptake by mixtures of silts.—Tellus, 1979, v. 31, N 6, p. 478—486.
66. H i 1 d e b r a n d F. B. Introduction to Numerical Analysis.— New York,
1974.—30 p.
67. Hinzpeter H. Einfache Rechrungen und Measungen zur Global and
Himmelsstrahhung. 3.—Z. Meteorol., 1957, Bd 11, S. 1 — 10.
68. Infeld L. The influence of the width of the gap upon the theory of
antennas.—Quart. Appl. Math., 1947, v. 5, N 2, p. 113—132.
69. Irvine W. M. and Pollack J. B. Infrared optical properties of water
and ice spheres.— Icarus, 1968, v. 8, p. 324—360.
70. Jon zc her A. K. Physics of Thin Films/Ed. by M. H. Fracombe and
G. Hass (Academic, London, 1980), v. 11, p. 205.
71. Kaatze U. The dielectric spectrum of water in the microwave and near
millimeter wavelength region.—Chem. Phys. Let., 1986, v. 132, N 3, p. 291—293.
72. Kaatze U. and Uhlendorf W. The dielectric properties of water at
microwave frequencies.— Zeitschrift fur Physikalische Chemie Neue Folge by
Akademishe Verlagsgesellschaft, Wiesbaden, 1981, Bd 126, S. 151 — 165.
15 Заказ № 124
225

73. К as ten F. Visibility forecast in the phas of precondensation.— Tellus.
1969, v. 21, N 5, p. 631—635.
74. К a 11 a w a r G. W. and P 1 a s s G. N. Electromagnetic scattering from
absorbing spheres.—Appl. Optics, 1967, v. 6, N 8, p. 1377—1382.
75. Kerker M. The scattering of light and other electromagnetic radiation.—
New York: Academic Press, 1969.—666 p.
76. Kerker M., Scheiner P., Cooke D. D. Range of validity of Ray-
leigh and Thomson limits for Lorenz-Mie scattering.—JOSA, 1978, v. 68,
p. 135—137.
77. К h a r e V. Short-wavelength scattering of electromagnetic waves by
homogeneous dielectric sphere.—Thesis (Ph. D), Univ. of Rochester, 1976.—319 p.
78. Krishnamurthy S., Bansil R. and Wiafe-Akentan J. Low-
frequency Raman spectrum of supercooled water.— J. Chem. Phys., 1983, v. 79,
N 12, p. 5863—5870.
79. Lane J. A. Far-infrared spectrum of liquid water.—JOSA, 1966, v. 56,
N 10, p. 1398—1399.
80. Lane J. A. and Saxton J. A. Dielectric dispersion in pure polar
liquids at very high radio-frequencies. 1. Measurements on water, methyl and ethyl
alhohols.—Proc. Roy. Soc, Ser. A., 1952, v. 213, N 1114, p. 400—408.
81. Lehman M. and Hanel G. New results abaut the size of atmospheric
aerosol particles as functions of the relative humidity.— J. Aerosol. Sci., 1980,
v. 11, N 3, p. 253—254.
82. L e n t z W. J. A method of computing spherical Bessel functions of
complex argument v/ith tables.— Research and development technical rept. Rept no
ECOM-5509, AD-767223/1GA, 1973.—160 p.
83. L e n t z W. J. Generating Bessel functions in Mie scattering calculations
using continued fractions.— Applied Optics, 1976, v. 15, N 3, p. 668—671.
84. Love A. E. H. The scattering of electric wave by a dielectric sphere.—
Proc. Lond. Math. Soc, 1899, v. 30, p. 308—321; 1900, v. 31, p. 439.
85. Ma gat M. Dielectric dispersion of liquid water.— J. Chem. Phys., 1948,
v. 45, p. 93—100.
86. Mie G. Beitrage zur Optik truber Medien speziell kolloidaler Metallo-
sungen —Ann. Phys. 1908, v. 25, p. 377—445.
87. Penndorf R. Bibliography of numerical computations on scattering and
absorption of electromagnetic radiation for spectral particles based on the Mie
theory. Reasarch and Advanced.— Development Division. AVSO. Corporation We-
lington, Massachusetts, 1962.— 50 p.
88. P r u p p а с h e r H. R. Self-diffusion coefficient of supercooled water.—
J. Chem. Phys., 1972, v. 56, N 1, p. 101 — 107.
89. Ray P. S. Broadband complex refractive indices of ice and water.—
Appl. Optics, 1972, v. 11, N 8, p. 1836—1843.
90. R о а с h W. T. and Goody R. M. Absorption and emission in the
atmosferic windov from 770—1250 cm-1.—Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 1958,
v. 84, p. 319—333.
91. Ross W. D. Computation of Bessel functions in light scattering studies.—
Appl. Optics, 1972, v. 11, N 9, p. 1919—1923.
92. Saxton J. A. Dielectric dispersion in pure polar liquids at very high
radio-frequencies. 2. Relation of experimental results of theory.— Proc. Roy. Soc,
Ser. A., 1952, v. 213, N 1115, p. 473—492.
93. Saxton J. A. An electrical properties of water.—Wireless Engineer,
1949, v. 26, N 312, p. 288—292.
94. Sceats M. G. and Rice S. A. The water — water pair potential near
the hydrogen bonded equilibrium configuration.—J. Chem. Phys., 1980, v. 72,
N 5, p. 3236—3247.
95. Simonis G. J. Index to the literature dealing with the near-
millimeter wave properties of materials.— International J. Infrared and Millimeter
wave, 1982, v. 3, N 4, p. 439—469.
96. Simpson O. A., Bean B. L. and Perkowitz S. Far infrared
optical constants of liquid water measured with an optically pumped laser.— JOSA,
1979, v. 69, N 12, p. 1723—1726.
226

97. Smith P. D. P. The conical dipole of wide angle.—J. Appl. Phys., 1948,
v. 19, N 1, p. 11—23.
98. Stanley H. E. and Teixeira J. Interpretation of the unusual bela-
vior of H20 and D20 at low temperatures: Tests of a percolation model.— J. Chem.
Phys., 1980, v. 73, N 7, p. 3404—3422.
99. Stephens J. J. and Gerhard J. R. Absorption cross-sections of water
drops for infrared radiation.—J. Meteorol., 1961, v. 18, N 6, p. 818—822.
100. Та i С A study of the e.m.f. method —J. Appl. Phys., 1949, v. 20,
p. 717—723; 1948, v. 19, N 12, p. 1155—1160; 1949, v. 20, N 11, p. 1076—1084.
101. Wa Ira fen G. E. Roman spectral studies of water structure.— J. Chem.
Phys., 1964, v. 40, p. 3249—3256.
102. Wis com be W. J. Mie scattering calculations: Advances in technique
and fast, vector — speed computer codes. NCAR/TN-140 STR.— National Center
of Atmospheric Research, Boulder, Colo, 1979.
103. Wi scorn be W. J. Improve Mie scattering algorithms.— Appl. Optics,
1980, v. 19, N 9, p. 1505—1509.
104. Wyatt P. J. Scattering of electromagnetic plane waves from inhomo-
geneous spherically symmetric objects.— Phys. Rev., 1962, v. 127, N 5,
p. 1837—1843.
105. Z a f a r M. S., H a s t e d J. B. and Chamberlain J. E. Submillimeter
wave dielectric dispersion in water.—Nature, phys. sci., 1973, v. 243, p. 106—109.
16*

Пределы науки походят на горизонт:
чем ближе подходят к ним, тем более
они отодвигаются.
П. Буаст
ГЛАВА 4
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОСЛАБЛЕНИЯ,
РАССЕЯНИЯ, ПОГЛОЩЕНИЯ
И РАДИАЦИОННОГО ОТРАЖЕНИЯ НА ЭВМ
ВВЕДЕНИЕ
Из обзора различных алгоритмов в главе 3 видно, что
коэффициенты ап и Ьп представлены в различных модификациях, куда
входит различное число специальных функций разных видов
с действительным или мнимым аргументом. Руководствуясь
условиями нашей задачи (см. ниже), мы отобрали такие выражения
для ап и ЬПу куда входит минимальное число специальных
функций: i|)n(p) и %тг(р) действительного аргумента, Лп(т, р) мнимого
аргумента.
Прежде чем выбрать алгоритмы расчетов для каждой из
указанных трех специальных функций, пришлось выполнить
предварительную кропотливую исследовательскую работу по
определению точности счета рассматриваемых функций. Ее необходимость
была обусловлена тем, что в работах других исследователей не
приводятся цифровые данные промежуточных расчетов — точные
значения специальных функций. В связи с этим не с чем было
сравнить результаты предварительных расчетов по специальным
функциям.
Как показали расчеты, начальные значения функций г|)п(р) и
%п(р) должны иметь 12—13 точных знаков после запятой, чтобы
в результате потери точности счета на рекурсиях и
суммировании получить конечную точность для /Со, Kv, Ки и /СРл — 4—5
точных знаков после запятой. Это требование к расчетам средних
значений параметров тир. Если значения тир велики
(сверхкрупные капли воды в ММ диапазоне), то соответственно
возрастают и требования к точности начальных значений функций.
В то же время даже в наиболее полных таблицах специальных
функций [12] приводятся данные об /п(р) и уп(р) лишь с
точностью 9 знаков после запятой, причем для значений р, не пре-
228

вышающих 100. Кроме того, нет ни одной работы, где бы
параметры ап и Ьп приводились с точностью, например, 12 или 13
знаков после запятой. Единственная монография, где приводятся
данные для аП1 Ьп и Ап(у)у— это работа Держиджяна [8],
причем данные приводятся в основном в виде графиков. В [8]
можно найти лишь таблицу для а,\ и Ь\ с точностью 5 знаков
после запятой. Надеяться на то, что в ЭВМ можно задать
одинарную (15 точных знаков после запятой) или двойную (31
точный знак) точность вычислений и получить хорошую конечную
точность, бессмысленно, ибо заранее не известно, с какой
начальной точностью взяты исходные функции и как ведут они
себя в широком диапазоне изменений тир. Так или иначе,
любой исследователь, прежде чем приступить к своей программе
расчетов, должен проверить ее и установить точность счета. Для
этого необходимы контрольные — эталонные — значения
специальных функций с необходимой точностью.
Поскольку мы не имели эталонных данных, нам пришлось
затратить очень много времени на их получение. Чтобы другие
исследователи потратили минимум времени для проверки своих
программ и на определение точности счета, в настоящей главе
мы приводим рассчитанные нами с высокой точностью эталонные
таблицы для специальных функций i|)n(p), %n(p) и Ап(у),
а также для значений ап, Ьп и Ki(m, p) (см. табл. 4.3; 4.5; 4.9;
4.12; 4.14). Выбор эталонной точности — 31 знак после запятой —
для функций г|)п(р) и %п(р) вызван большими значениями р и т
в нашей задаче. Подробно этот вопрос обсуждается также
в п. 4.1.2 и 4.1.3. Вопрос эталонной точности для Лп(у)
(^знаков после запятой для действительной и мнимой частей числа)
обсуждается в п. 4.1.4.3 (см. также табл. 4.8). Значения ап и
Ьп приводятся с точностью 15 знаков после запятой как для
действительной, так и для мнимой частей комплексного числа.
Точность задания эталонных значений для /G(m, p) (8 точных знаков
после запятой) связана с необходимостью сравнения наших
результатов с результатами расчетов других авторов (см. п. 4.2.1
и табл. 4.15).
Новшеством настоящего Справочника является то, что для
каждой специальной функции приводятся численные таблицы
значений, рассчитанных по различным алгоритмам (прямая,
обратная рекурсии, алгоритмы Ленца) и главное — значения
функций в таблицах для отдельных значений р и п представлены
с различным числом знаков после запятой. Здесь число знаков
после запятой определяет меру точности счета — это то число
точных цифр, которое получается после сравнения данных
расчета по указанному алгоритму с эталонными значениями
соответствующих функций из наших таблиц. Поэтому каждая таблица —
это своеобразный «рентгеновский снимок» точности счета
каждого алгоритма в координатах р и /г, причем в эталонных
таблицах и в таблицах для отдельных алгоритмов значения
специальных функций приводятся для одних и тех же значений р и п.
229

Это намного облегчает сравнение таблиц и определение точности
счета.
Теперь несколько слов относительно объема эталонных таблиц.
Каждая из специальных функций рассчитывается по формулам,
параметры которых, обеспечивающие точность счета, подбираются
раздельно — для больших и для малых значений аргумента.
Поэтому, имея эталонные значения, например, для малых значений
аргумента, нельзя гарантировать работу программы и для
больших значений аргумента, и, наоборот. В то же время точность
разных алгоритмов также неодинакова в широком диапазоне
изменения аргумента. В приведенных здесь таблицах,
по-видимому, избран разумный оптимум интервалов изменения
значений р и п. Сокращение объема каждой из таблиц приведет к
невозможности четкой отладки программ и обеспечения
соответствующих гарантий безошибочного получения результатов новых
исследований.
Исходя из рассмотренных результатов исследований
точностей счета специальных функций различными алгоритмами, автор
пришел к выводу (и он совпадает с мнением большинства
исследователей) о том, что для параметров тир нашей задачи
функцию г|)п(р) следует считать обратной рекурсией, функцию
%п(р)—прямой рекурсией, а функцию Ап(ту р) по алгоритму
Ленца. В нашей программе ORION используются именно эти
алгоритмы.
В главе подробно рассматривается точность расчетов величин
Го (Я), ГР(Х), ГП(М и Грл(Х) по программе ORION в связи с
точностью задания величин пике комплексном показателе
преломления водяных капель. В приложении к этой главе приводится
программа ORION на языке PL/1 и разъяснения по ее
использованию.
4.1. РАСЧЕТНАЯ СХЕМА КОЭФФИЦИЕНТА
ДЛИ (In У\ On
ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ р И т
4.1.1. ВЫБОР КОЭФФИЦИЕНТОВ ап И Ьп
ДЛЯ РАСЧЕТОВ
Для решения рассмотренных задач требовался обзор всех
имеющихся алгоритмов расчетов на ЭВМ по теории Ми. Этому
вопросу посвящена глава 3. Обзор был необходим для выбора
выражений для ап и ЬПу а также для выбора алгоритмов расчета
специальных функций, которые бы позволили с минимальными
ошибками вычислить Г0(^), ГР(Х), ГП(М и Грл(^) для водяных
капель и ледяных частиц в микроволновой области спектра.
Табличные данные значений Я(Х) и и(Х) воды в ММ и СБММ
диапазонах (см. табл. 3.11) показывают, что в интересующем нас
диапазоне длин волн 0,1—10 мм показатель преломления п меня-
230

ется от 1,79'до 5,60, а показатель поглощения к— от 0,21 до
2,84. В то же время для льда в диапазоне от 0,1 до 10 мм
w(b)=const=l,78, а к{%) меняется от 1,46- КН до 3,68-10"5.
Легко видеть, что основная проблема и трудности расчетов по
теории Ми связаны с большими значениями п и к для воды.
Табличные данные по микроструктуре облаков, используемые нами
в расчетах (см. табл. 2.14—2.16), показывают, что радиусы капель
облаков изменяются от 1 до 2000 мкм и более. Это означает, что
параметр р = 2пг/К изменяется от 10~3 до 300 и более. В теории
дифракции на сферической частице (см. введение к главе 3)
принято, что при условии |т|р<1 расчеты сечений ослабления и
рассеяния следует проводить с помощью приближенных формул
Рэлея. В диапазоне ММ и СБММ волн комплексный показатель
преломления достигает величины т=10—10/. Поэтому если
в видимом и ИК диапазонах расчеты специальных функций в ап
и Ьп по теории Ми можно проводить до нижнего предела
р~ 10-1, то для ММ и СБММ диапазонах этот предел
необходимо опустить до Ю-2—Ю-3. Этим и объясняется взятый нами
нижний предел значений р=10_3.
Таким образом, наши расчеты связаны с экстремальными
условиями задачи: это расчеты при больших пик (вода) и
малых пик (лед), а также при больших (—300) и малых
(~ 10~3) значениях р. Поэтому требовался гибкий алгоритм и
по возможности с малым числом рассчитываемых специальных
функций в ап и Ьп- Мы остановили свой выбор на
коэффициентах ап и Ьп в том виде, в каком они используются в алгоритме
Дермиджяна [8], а также в [22] и [2] (см. формулы (3.105),
(3.127) и (3.149)):
\Ап (тр)/т + ft/pi -фп (р) — -фп- 1 (р)
[Ап(тр)/т +n/p\U (p)-U-i (P) '
h __ \т^п (тр) +гс/р]яЫр) — -фя-i (р) ,д п
°п— [m4n(mp)+n/pK«(p)-C«-i(p) V*'i}
(обозначения см. табл. 3.15). Легко видеть, что при таком
представлении ап и Ьп необходимо считать только три функции —
Лп(т, р), tyn{p) и ^п(р). При этом комплексный аргумент имеет
только одна функция — Ап(т, р), а остальные две являются
функциями реального аргумента. Расчет этих специальных
функций по различным алгоритмам — основная тема настоящей главы.
4.1.2. РАСЧЕТ ФУНКЦИИ фп(р)
РИККАТИ—БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА
4.1.2.1. Расчет \\'п |р) прямой рекурсией
Во всех ранних программах, связанных с расчетами
дифракции Ми, функция tyn(p) рассчитывалась прямой рекурсией и
231

в большинстве случаев с начальными значениями (см., например,
[2, 8, 23])
i|>_,(p) = cosp, i|50(p) = sinp (4.2)
по известной для всех цилиндрических функций рекуррентной
формуле
*п + « (Р) ?^^=J- *n (Р) — *п- . (Р). (4.3)
Дело в том, что и теперь при малых р и п следует
пользоваться прямой рекурсией при расчетах г|)п(р). Однако при
расчетах по формулам Ми нередко приходится иметь дело с большими
значениями р и соответственно п. Поэтому последовательное
применение формулы (4.3) для получения tyn(p) высших порядков
п приводит к ошибочным конечным результатам даже при
использовании расчетов с двойной точностью на ЭВМ. Двойная
точность счета требует соответственно увеличения расчетного
времени с возрастанием значений р. Поэтому для больших
величин р и /2, если даже согласиться с большим временем счета,
наступает предел, когда разумное увеличение точности яК(р) не
может обеспечить конечную точность значений /С0(р), Яр(рЬ
/Сп(р) и /(рл(р) порядка четырех-пяти знаков после запятой.
В связи с этим пользоваться прямой рекурсией уже невозможно
и следует искать другие пути расчета tyn(p), о чем пойдет речь
ниже.
Для тех исследователей, которых устраивает прямая рекурсия
для расчетов ^п(р), полезно знать точность, с которой
рассчитывается г|5п(р) при одинарной и двойной точности счета. С этой
целью мы приводим расчеты прямой рекурсией по формулам
(4.2) и (4.3) для большого диапазона изменения р — от 0,001 до
400 — и соответственно широкого диапазона изменения п с
одинарной и двойной точностью (табл. 4.1). Максимальное значение /г,
до которого необходимо считать ап и Ьп для каждого
конкретного р рассчитывается по уже рассмотренной выше формуле
(3.151). Приведенные в таблице данные сравниваются с
результатами наших эталонных расчетов (см. п. 4.1.2.4). В табл. 4.1
число знаков после запятой для разных значений различно. Это
точные значения, полученные после сравнения с эталонными
(подробно см. введение).
Результаты расчетов, представленные в табл. 4.1 и их анализ
позволяют сделать следующий вывод: следует уточнить, какая
точность счета на ЭВМ необходима при расчетах tyn{p) прямой
рекурсией. Результаты сравнения данных табл. 4.1 с эталонными
значениями показывают, что для малых значений р < 1 нет
существенной разницы, с какой точностью считать — одинарной
или двойной. С увеличением значения р картина не меняется.
Выигрыш возможен для очень больших значений р и п
(например, для р=200 и /г=150, 200 и 225). При этом точность
увеличивается на два-три знака после запятой и использовать прямую
232

Таблица 4.1
Функция Риккати—Бесселя первого рода грп(р) для р от 0,001 до 400
и различных п
п
Одинарная точность
1 3,33333
2 6,6
1 8,33331
2 8,333
1 3,3333000001
2 6,66661
1 8,331250186
2 8,3318453
3 5,951
1 3,330001190255
2 6,661906084
3 9,518517
1 8,126851531803322
2 8,185553303996
3 5,8701772193
4 3,26948030
5 1,48873
1 3,01168678939756
2 6,2035052011373
3 9,00658111711
4 1,0110158084
5 9,2561158
€ 7,15693
7 4,790
1 1,03
2 8,95
3 4,5
4 1,6
5 4
6 Неправильное число
7 То же
8
Двойная точность
р = 0,001
—07
—И
3,33333
6,6
р = 0,005
—06
-09
8,333312
8,333
р = 0,01
—05
—08
3,3333000001
6,66661
р = 0,05
—04
—06
—08
8,33125018600
8,3318453
5,951
р = 0,1
—03
—05
—07
3,330001190255
6,661906084
9,518517
р = 0,5
—02
—03
—04
—05
—06
~ 1
р=1
—01
—02
—03
—03
-05
—06
—07
р = 3
00
—01
—01
—01
—02
8,12685153180332
8,185553303996
5,8701772193
3,26948030
1,48873
3,01168678939756
6,2035052011373
9,00658111711
1,0110158084
9,2561158
7,15693
4,790
1,03
8,95
4,5
1,6
4
Неправильное число
То же
—07
— 11
—06
—09
-05
—08
—04
—06
—08
—03
—05
—07
—02
—05
—04
-05
—06
—01
—02
—03
—03
—05
—06
—07
00
—01
—01
—01
—02
233

n
Одинарная точность
1 —4,75447040395853
2 6,73656050425626
3 1,1491030908214
4 9,3508827672444
5 5,3405580728252
6 2,3983449929710
7 8,951389088994
8 2,87071733727
9 8,0904985773
10 2,036721221
11 4,63730551
12 9,643931
13 1,84660
1 7,84669417987515
2 7,79421936285624
3 —3,9495844984470
5 —5,55345116214521
10 6,4605154492564
15 1,0635427146
20 2,30837
1 —1,8
5 —6,1
10 —4,3
15 —9,6
20 —4,4
30 8
40 Неправильное число
54
1 —9,70213525566191
10 —7,5196107317329
15 —5,6454226925936
20 —7,89251494913464
30 —7,473367268025
40 —1,30316847609319
50 9,414553684641
60 Неправильное число
64 3,859446
1 —8,6738252869878
5 —9,2901489349075
10 —1,956578597134
20 1,010767128387305
30 8,7006285144475
50 5,797140882277
75 —2,547403855591
100 1,0880477011438
120 1,04493
р = 5
—01
—01
00
—01
—01
—01
—02
—02
—03
—03
—04
—05
—05
р=1С
—01
—01
—01
—01
—01
—02
—05
р=ЗС
—01
—01
—01
—01
—01
—01
р = 50
—01
—01
—01
—01
—02
+ 00
—01
—04
р=10(
—01
—01
—02
+ 00
—01
—02
—01
+ 00
—04
Двойная точность
—4,75447040395853
6,73656050425626
1,14910309082148
9,350882767244459
5,34055807282522
2,39834499297103
8,9513890889947
2,8707173372738
8,09049857736
2,03672122124
4,637305518
9,6439317
1,8466034
7,84669417987515
7,79421936285624
—3,94958449844703
—5,55345116214521
6,46051544925642
1,063542714614
2,308371
— 1,8
—6,1
—4,3
—9,6
—4,4
8,2
Неправильное число
—9,70213525566191
—7,5196107317329
—5,6454226925936
—7,89251494913464
—7,473367268025
— 1,30316847609319
9,414553684641
Неправильное число
3,8594463
)
—8,6738252869878
—9,2901489349075
— 1,956578597134
1,0107671283873054
8,7006285144475
5,797140882277
—2,5474031855591
1.08804770114383
1,044935
—01
—01
00
—01
—01
—01
—02
—02
—03
—03
—04
—05
—05
—01
—01
—01
—01
—01
—02
-05
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—02
00
—01
—04
-01
—01
—02
+ 00
—01
—02
—01
+00
—04
231

n
Одинарная точность
Двойная точность
1 —4,91554161493075
5 —5,5136054686723
10 7,0863457806284
25 —8,47914691608577
75 7,25172208519403
ЮО —3,8721944724951
150 —9,120221543589
200 1,249106316056
225 1,35618
1 1
5 —2
10 9,87
25 —8,7
50 —4,6
75 Неправильное число
100 3
150 Неправильное число
200 —8
250 1,1
300 1
1 5,23
5 4,9
10 9,1
25 —2,5
50 —8,7
75 Неправильное число
100 —9
150 Неправильное число
200 —9
250 Неправильное число
300 —1
350 —1,4
400 Неправильное число
р = 20С
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
+00
—04
р = 30С
—02
—02
—01
—01
—01
—01
—01
+ 00
+00
)
—4,91554161493075
—5,5136054686723
7,0863457806284
—8,47914691608577
7,25172208519403
—3,8721944724951
—9,12022154358935
1,249106316056808
1,3561887
)
1
—2
9,876
—8,727
—4,67
Неправильное число
3
Неправильное число
—8
1
1
р = 400
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
+ 00
+ 00
5,23
4,9
9,1
—2,57
—8,73
Неправильное число
—9
Неправильное число
—9
Неправильное число
—1
— 1.4
Неправильное число
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
+ 00
—04
—02
—02
—01
—01
—01
—01
—01
+00
+00
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
+00
+ 00
рекурсию для расчета г|)п(р), как показывают наши
исследования, вообще не имеет смысла.
Таким образом, можно сделать следующий вывод: там, где
можно считать фп(р) прямой рекурсией, расчеты необходимо
проводить с одинарной точностью счета на ЭВМ, поскольку
двойная точность особого выигрыша при этом не дает.
Для исследователей, которых устраивает прямая рекурсия,
полезно знать точность счета г|)п(р). Как показали наши
исследования, при одинарной точности счета на ЭВМ для значений р из
интервала 0,001 <р<С0,1 точность мала и составляет: ~10~6—
10-9 для /г=1, ~Ю-5—Ю-8 для п=2 и ~1(Н—10"3 для п=3.
Для значений р из интервала 0,5<Ср<5 при п=\ точность
составляет Ю-13—Ю-14, а при п=2 имеем ~10-12—Ю-14. По мере
235

увеличения значении п точность постепенно уменьшается и для
/1^9 составляет 10~10. Далее, с увеличением значения р до 100
картина стабилизируется и точность составляет Ю-13—10~14 для
всех значений п до /г«р. В области 100 <С р <С 200 точность
несколько уменьшается и составляет Ю-12—10~13. Начиная
с р^ 200, точность резко уменьшается для всех значений п и
при ря^ЗОО составляет Ю-1—10~2 при любых п до п«р.
Использование двойной точности счета на ЭВМ дает увеличение точности
на 10~2—10~3 по сравнению с данными при одинарной точности.
Однако уже при р > 200 пользоваться прямой рекурсией для
расчетов if>n(p) невозможно.
В случае расчетов прямой рекурсией я|)п(р) следует
остерегаться скачкообразного изменения величин ifn(p) для отдельных
значений р, т. е. резкого уменьшения точности счета г|)п(р).
Явление это связано с близостью значений р к целому числу, к числу
я/2 или к кратному л. Согласно формуле (4.2) г|эп(р) зависит
от sin p и cos p, поэтому при р, близком к я/2 или к я, sin р или
cos p близки к нулю, где ЭВМ считает с ошибками. Это может
привести к непредсказуемым результатам, на что в свое время
обратил внимание Дейве [22].
Действительно, при р = 3 и 30 (см. табл. 4.1) для малых
значений п точность расчета составляет 3—4 точных знака после
запятой, а для больших значений п для ^п(р) вообще получаются
случайные значения. Поэтому авторы, использующие прямую
рекурсию для расчетов г|)п(р), должны исключить из расчетов
подобные отклонения точности счета. Как видно из табл. 4.1 такая
лроблема не возникает, когда р ^ 1.
Этому вопросу посвящен п. 3.4.5.5; более подробно см. [22, 23].
Кроме того, расчеты показывают, что чем меньше величина п
по сравнению с р, тем выше точность счета г|эп(р). Точность счета
резко уменьшается, когда п ^> р. В области м«1,3р точность
счета ^п(р) еще велика, и это ориентировочный предел /г, до
которого точность сходимости рядов Ми достаточно высока. Вместе
с тем следует остерегаться чрезмерного увеличения конечной
величины n = N* при суммировании рядов Ми. В работе Виском-
ба [38] приводятся предельные значения N* в зависимости от р
в широком диапазоне изменения величины р:
п = N* =
р + 4р,/з+1, 0,02<р<8,
р + 4,05р'/з + 2, 8 < р < 4200, (4.4)
р + 4р'/з + 2, 4200 < р < 20 000.
Наши исследования показали, что формулу (4.4) можно
применить в широком диапазоне изменения р Ю-3 — 400. В
частности, эта формула применяется в программе ORION для
вычислений %п(р). Эта же формула нашла применение в работе {2].
При расчетах tyn(p) прямой рекурсией следует также
обратить внимание на следующую особенность счета: чем точнее
236

взяты начальные значения ifn(p) при п= — 1 и п=0, тем точнее
получаются значения tyn(p) при м=2, п=3 и т. д. при расчетах
с помощью рекуррентного соотношения (4.3). При этом, чем
меньше величина р, тем больше накапливается ошибка при
расчетах tyn(p) при п=2, 3 и т. д., поскольку точность счета зависит
от разницы между величинами р и п. При одном и том же
значении р, чем больше п9 тем с меньшей точностью рассчитывается
Фп(р).
Для получения конкретного значения ifn(p) имеет также
значение, каковы начальные значения tyn(p), т. е. с чего начинается
рекурсия — с /2=1 и м=0 или же с п=6 и п=\. Правда, в обоих
случаях число точных цифр в ^n(p) будет одинаковым, а за
точными цифрами в зависимости от начальных условий будут
совершенно разные цифры. Поэтому это свойство прямой рекурсии
можно использовать для определения конкретной точности счета
-фп(р). Достаточно пока принять за начало счета п= — 1 и п=0,
а затем п=0 и л=1; расхождение при сравнении этих двух
значений г|ь(р) позволяет определить точность счета it>n(p), не
прибегая к табличным данным.
4.1.2.2. Расчет ^п[р) обратной рекурсией
Выше (см. п. 3.4.6.6) подробно рассматривались причины
неприемлемости прямой рекурсии в расчетах функции Риккати—
Бесселя первого рода и обосновывалась необходимость
использования обратной рекурсии. Результаты, приведенные в
предыдущем параграфе — наглядное тому доказательство. Дополнительно
укажем, что обратная рекурсия математически оправдана для
функций, которые обращаются в нуль при безграничном
увеличении аргумента, поскольку ЭВМ считает некорректно в области
нуля. Функция tyn(p) есть классический пример подобного типа
функций, так как при р и п-^оо функция г|)п(р)->0.
В теории Ми при расчетах прямой рекурсией i|)n(p) с
увеличением п, последующие tyn(p) сразу же можно использовать в
расчетах ап и Ьп и нет необходимости хранить эти числа в памяти
ЭВМ. При расчетах обратной рекурсией, наоборот, в памяти ЭВМ
необходимо сохранить все последовательности г|эп(р) для
различных п с тем, чтобы после введения нормировочного множителя
получить все действительные значения tyn(p). Только после этой
процедуры можно использовать it>n(p) всех п порядков. Как
известно, для больших значений р величина п — порядка р.
Поэтому не удивительно, что при расчетах обратной рекурсией
для больших р потребуется значительно больший объем памяти,
чем при расчетах прямой рекурсией. Однако для современных
ЭВМ это уже не проблема, лишь бы расчеты обеспечили
необходимую точность при р > 100.
В математических расчетах обратная рекурсия впервые была
предложена Мюллером [20, 26]. Хотя на необходимость
использования обратной рекурсии для вычислений г|)п(р) указывали
237

давно многие исследователи, автору, однако, не удалось
обнаружить в литературе ни одну программу счета if>n(p) обратной
рекурсией. Даже в опубликованной недавно работе [2] по
дифракции электромагнитного излучения в случае расчетов по теории
Ми, где рассматриваются необходимые обоснования
использования обратной рекурсии для it>n(p), приводится программа
расчетов BHMIE, где it>n(p) рассчитывается прямой рекурсией.
Напрасны были поиски и конкретных реализаций схем обратной
рекурсии. Так, в работе [12] приводится краткое описание метода
без математических выкладок, а в [10] предложено пространное
и с первого взгляда непонятное изложение метода обратной
рекурсии.
Изложение метода обратной рекурсии мы приводим по
работам [19, 24]. Сферическая функция Бесселя первого рода /п(р)
при изменении аргумента в интервале 1 ^ р ^ 750 вычисляется
следующим образом. По заданному значению аргумента р
определяется несколько завышенное значение максимального числа
членов при суммировании для получения коэффициентов Ми
N=N*{p):
alp2+bip + cl, если 1<р<100,
(4.5)
^2Р+&2, если 100 ^ р ^ 750,
где
а! = -0,2308 • 10~2, а2 = 0,Ю45 . 101, 61 = 0,1437 • 101,
&2 = 0,36 • 102, ci = 0f14 • Ю2.
Задаются исходные начальные значения функций:
^+{/г'}(р) = е, /^+1 + К}(р) = 0, (4.6)
где значение п' — полуцелое. По рекуррентной формуле
(обратная рекурсия):
^_1 + 1„ч(р)= 2(* + <Я,)) FK+lnri(p)-Fk+l + ln'}{p) (4.7)
вычисляются значения вспомогательных функций:
Ftf-l + {ii'}(p), fV-2+{/i'}(p), . . ., ffn'jfo).
В дальнейшем с помощью этих функций рассчитываются
коэффициенты
yV/2
^= Z 6/^2/ + «/2 (Р).
/ = о
где
а —*/^Гп Л - (2/ +1/2) (2/- 1) ( „
60_V*/2p, 6/ — (2/-3/2.2/) * <4*^
А^*(Р)=|
238

Действительные значения ;V (p) вычисляются по формуле:
А
при условии
/п'(р)=4-Л.'(р) (4.9)
|/^-,(р)|>е, |/«'(р)|<е для n'^zN.
В программе расчетов ORION изложенный метод обратной
рекурсии несколько видоизменен. Сферическая функция Бесселя
обозначена BJ(N), тогда в соответствии с соотношениями (4.6)
£/(Л0=1(Г30, BJ(N+\) = Q. (4.10)
Использовать значения е меньше Ю-30 невозможно из-за того,
что применяемая система ЭВМ типа ЕС-1045 при определенных
значениях р сообщает о переполнении разрядов.
Несколько завышенное значение N получается при
использовании формулы (4.5). Вспомогательные функции
BJ(N- 1), ..., fl/(0) (4.11)
вычисляются по рекуррентной формуле (4.7). В дальнейшем
рассчитывает [В J (О)]2 и с помощью формул
В(Ф) = [В1(0)]2 + £ 2(к+1)[В1(к)]*9 (4.12)
р=1/д/В(ф) (4.13)
вычисляется нормировочный множитель Р, когда к меняется от
1 до N. Действительные значения /п(р) вычисляются по формуле
/я,(р) = £/(*) = P. BJ(N), (4.14)
где для расчета BJ(N) применяется формула (4.11).
В работах [19, 24] утверждается, что область использования
обратной рекурсии ограничена снизу значением р=1. Однако
наши исследования показали, что расчеты if>n(p) обратной
рекурсией можно распространить и на область р<1. Кроме того,
первые же расчеты на ЭВМ ЕС-1045 показали, что при е=10_3(>
достаточно проводить расчеты с одинарной точностью. В табл. 4.2
приводятся рассчитанные автором по вышеописанной программе
функции Риккати—Бесселя первого рода it>n(p) обратной
рекурсией для избранных значений р и п в диапазоне 0,001 ^ р ^ 400.
Эти данные сравниваются с результатами наших точных
расчетов (31 точных знаков после запятой, см. п. 4.1.2.4).
Наши исследования показали, что при расчетах if>n(p)
обратной рекурсией при одинарной точности счета на ЭВМ в области
от 0,001 до 0,5 точность составляет Ю-14—Ю-15 независимо от
величины п. В области 0,5 ^ р ^ 10 точность составляет Ю-13—
239

Таблица 4.2
Функция Риккати—Бесселя г|)п(р), рассчитанная обратной рекурсией
п
1
1
1
3
1
3
1
3
1
3
5
1
3
5
7
1
3
5
7
9
1
3
5
7
9
11
13
1
3
10
20
*Л(Р)
3,333333000000011
8,333312500018
3,33330000011904
9,52375661387686
8,33125018600329
5,951554279775430
3,330001190255756
9,518519720865567
8,1268515318033
5,87017721933778
1,48873343772872
3,011686789397567
9,00658111711251
9,25611586112581
4,79013419873949
1,03703249928706
4,56154986091
4,91924428679973
2,47452975965290
7,26440969188916
—4,7544704039585
1,149103090821480
5,3405580728252
8,95138908899476
8,0904985773648
4,63730551873864
1,846603498850087
7,84669417987515
—3,9495844984470
6,46051544925642
2,30837196131
п
р = 0,001
—07 2
р = 0,005
—06 2
р = 0,01
—05 2
— 11
р = 0,05
—04 2
—08
р = 0,1
—03 2
—07
р = 0,5
—02 2
—04 4
-06
р=1,0
—01 2
—03 4
—05 6
—07
р = 3,0
+ 00 2
—01 4
—02 6
—03 8
—05 10
р = 5,0
—01 2
+ 00 4
—01 6
—02 8
—03 10
—04 12
—05
Л in
р —
—0
—0
—0
—01
1 2
1 5
1 15
*я (Р)
6,66666619047620
8,33331845239128
6,66661904775132
8,331845341431270
6,66190608445568
8,18555330395
3,26948030761948
6,203505201137386
1,011015808413752
7,15693631008708
8,9591249122720
1,68449142986532
1,192314752945774
4,4950126880678
1,05780116795257
6,7365605042562
9,3508827672444
2,3983449929710
2,87071733727389
2,03672122124730
9,64393173724730
7,79421936285624
—5,5534511621452
1,06354271461442
— 11
—11
—08
—06
—05
—03
—05
—02
-03
—06
—01
—01
—02
—04
—05
—01
—01
—01
—02
—03
—05
—01
—01
—02

*/|<р>
1
10
20
40
1
10
20
40
64
1
10
30
75
120
1
10
50
100
200
1
10
50
100
200
300
1
10
50
100
200
300
400
— 1,8718583735734
—4,3588939211693
—4,4134780060287
1,636410705910725
—9,7021352556619
—7,51961073173
—7,8925149491346
— 1,303168476093191
3,8594463213983
—8,6738252869878
— 1,95657859713
8,700628514447
—2,547403185559
1,044935577
—4,915541614930
7,086345780628
8,183618720219
—3,87219447249
1,2491063160568
1,87640998123
9,8732876809508
—4,600907913353
3,089994140929
—8,248317842442
1,3508878773436
5,231690402433
9,150493656590
—8,79708769045
—9,252681822864
—9,033318018451
— 1,0701196254703
1,4268106448590
р = 30
—01 5
—01 15
—01 30
—03
р = 50
—01 5
—01 15
—01 30
+ 00 50
—04
р= 100
—01 5
—02 20
—01 50
—01 100
—04
р = 200
—01 5
—01 25
—01 75
—01 150
+ 00 225
р = 300
—02 5
—01 25
—01 75
—01 150
—01 250
+ 00 328
р = 400
—01 5
—01 25
—01 75
—01 150
—01 250
+ 00 350
+ 00 431
—6,1512026210482
—9,66147792238889
8,4150748641483
— 1,002415028183243
—5,6454226925937
—7,4735672680251
9,4145536846413
—9,2901489349075
1,01076712838730
5,79714088227
1,08804770114383
—5,513605468672
—8,479146916085
7,25172208519
—9,120221543589
1,356188730
—2,7901398158
—8,748579945564
— 1,057118555486
6,785947507917
1,16922339587147
1,953515411
4,93047740404
—2,57061293073
3,079434144557
— 1,02464173467958
7,349986188659
— 1,4400164826390
1,93476148
—01
—01
—01
+ 00
—01
—02
—01
—01
+ 00
—02
+ 00
—01
—01
—01
—01
—04
—02
—01
—01
—01
+ 00
—04
—01
—01
—01
+ 00
—01
+ 00
—04
Ю-14 и с увеличением п постепенно уменьшается. В области
10 ^ р ^ 100 точность 10~п—Ю-13, а при больших /г~120
точность составляет Ю-9. В области 200 ^ р ^ 400 точность
стабильна и составляет Ю-10—10~п, и лишь для случаев, когда
п > р, точность может составлять Ю-9.
Отметим, что в расчетах по теории Ми впервые обратная
рекурсия использовалась в [29], а затем в [22, 23]. При расчетах
16 Заказ № 124
241

а|)п(р) прямой и обратной рекурсиями следует особое внимание
обратить не только на точность счета i|)n(p), но и на то, какое
число членов г|)п(р) берется в расчетах, т. е. на значение Af*,
которое используется в расчетах коэффициентов Ми ап и Ьп. Из
исследовательской практики известно, что чем больше брать членов
^i(p), ^2(р), ..., ^п(р), тем точнее, казалось бы, можно получить
ап и Ьп. Может быть для других функций это положение и
приемлемо, однако при расчетах i|)n(p) при малых р первые два
члена рассчитываются точно, а г|)з(р) при п = 3 уже резко
отличается и от значений i|)i(p) и я^2(р), и вообще от точного значения
г|)3(р). Значение получается настолько отличным от истинного,
что при расчетах ап и Ьп ЭВМ сообщает о переполнении
разрядов и далее не считает. Необходимо быть очень осторожным, так
как выявить подобную ошибку ЭВМ весьма сложно. Следует
проследить, чтобы при малых р ЭВМ правильно округляла величину
N* в формуле (4.4).
4.1.2.3. Расчет \\п [{) по алгоритму Ленца
В работе [33] предложено использовать непрерывные дроби,
т. е. алгоритм Ленца для расчета сферической функции Бесселя
первого рода. По сравнению с расчетами г|)п(р) обратной
рекурсией расчет непрерывной дробью — более медленная процедура,
так как при этом расчет i|)n(p) проводится не по рекуррентной
формуле, а отдельно для каждого значения п. Не известно пока
преимущество расчета непрерывной дробью перед обратной
рекурсией в смысле точности счета. По табл. 4.2 легко судить об
эффективности и равномерной точности расчета обратной
рекурсией.
В п. 4.1.2.1 говорилось о том, что точность счета i|)n(p) прямой
рекурсией зависит от начальных значений г|)п(р) при п=—1 и
п=0. В тех случаях, когда исследователь ограничен объемом
памяти ЭВМ и не может использовать обратную рекурсию для
расчета г|)п(р), можно предложить следующую схему расчета:
с помощью алгоритма Ленца с очень высокой точностью
(например, 10-20—Ю-25) рассчитать два начальных значения i£>i(p) и
и яро(р), а затем с помощью рекуррентного соотношения (4.3)
вычислить все интересующие нас г|)п(р) для последующих
значений п. Для исследователей, которых устраивает подобная схема
счета г|)п(р), в [33] приводится формула точного счета:
(р)" (2/1+1)" р2/(4- 1 (v' + l))
h (Р):
где v'=n + 1/2.
1 +1-р7(4. i(V + l)) * ' '
р2/(4**' (у'+к'))
+ 1—р2/(4 -к' (v' + «')) '
(4.15)
Члены этой формулы могут быть представлены в виде (3.136)
с помощью следующего преобразования [17]:
242

, ,0 , c\a\ clc2a2 c2c3a3 CK'-\CK'ak' (Л 1Лч
Го = Ь0 + ж +4b» +4bl ... +w , (4.16)
где cK' выбираются из условия: c\CL{ =1, c\C2(i2 =1 и т. д. так,
чтобы с° = 1/а°, с\=\/с{\а{[ и т. д. Поэтому формулу (4.15)
можно переписать в следующем виде:
1 1
(2/i+l)l!//n(p) X +■ л,/р*-Я, +С,-р2/),
1 1
(4.17)
*•• +Л5р2-Я5 +С5-р2Я5 '
где
41 = 4(v'+l), В1 = 1, CI=2(v42)(v'+l), A=lMi,
Ss=l/C5-1, 05=1/Л5, 45 = fl54(2s-l)(v' + 2s-l),
С5 = D5 • 8 • 5 (v' + 25).
Напрашивается естественный вопрос, насколько можно
улучшить точность счета г|)п(р), используя алгоритм Ленца и
насколько при этом ухудшится временной показатель счета?
Подобная постановка вопроса может заинтересовать тех
исследователей, которых не устраивает точность, полученная нами при
расчетах обратной рекурсией и заинтересованных в еще большем
повышении точности счета г|)п(р).
4.1.2.4. Расчет \[п (р) с высокой точностью
(31 знак после запятой)
Во время работ при отладке программ расчетов на ЭВМ очень
большое значение имеет наличие банка справочных данных для
определения точности счета отдельных функций на ЭВМ. Чем
больше точность счета, тем больше потребность в такого рода
материале. При расчетах Г0, Гр, Гп и Грл в микроволновой области
спектра, т. е. для больших значений р, п(%) и к(к), потребность
в точных справочных данных еще больше возрастает. В этом
случае необходимо иметь справочные данные с точностью 15 или
31 знак после запятой. Вопрос прежде всего касается функций
Риккати—Бесселя первого и второго рода. Поэтому точные
данные г|)п(р) и %п(р) хотя бы с точностью 15 или 31 знак были бы
весьма полезными в расчетах по теории Ми. Однако ни в
классической литературе по бесселевым функциям [3, 6, 7, 10, 16], ни
в справочниках [4, 9] нельзя встретить подобных таблиц.
Имеется единственный справочник [12, 19], где функции /п(р) и
уп{р) даны для отдельных избранных значений р и я, причем
для значений р и п не более р=100 и я=100. Ясно, что этот
справочник не мог полностью удовлетворить нас. Поэтому
сотрудники ВЦ АН Армении И. Г. Халатян, А. П. Сагателян и А. А. Пет-
росян под руководством канд. физ.-мат. наук Г. Б. Маранджяна
16*
243

Таблица 4.
Функции Риккати—Бесселя первого рода я|)п(р) с высокой точностью счета
Ф„ (Р)
р = 0,001
1 3,33333300000001190476168430335347 —07
2 6,66666619047620370370350328683854 —11
р = 0,005
1 8,33331250018601181864530665189374 —06
2 8,33331845239128637174698466710983 —09
р = 0,01
1 3,33330000011904739858931577662306 —05
2 6,66661904775132255090607694761514 —08
3 9,52375661387686372269718450266448 —11
р = 0,05
1 8,33125018600329334429205753285692 —04
2 8,33184534143127088734435165122230 —06
3 5,95155427977543052294118365380224 —08
р = 0,1
1 3,33000119025575697257999630234997 —03
2 6,66190608445568705856906598772248 —05
3 9,51851972086556704536691511266310 —07
р = 0,5
1 8,12685153180332844302942878273131 —02
2 8,18555330399670630847779174830735 —03
3 5,87017721933778654483629656750445 —04
4 3,26948030761948542930234323388776 —05
5 1,48873343772872279079212633935215 —06
р= 1,0
1 3,01168678939756789251565714187322 —01
2 6,20350520113738611021948209316681 —02
3 9,00658111711251625940839047101854 —03
4 1,01101580841375271366391236546162 —03
5 9,25611586112581635668208181360573 —05
6 7,15693631008708557111663403500801 —06
7 4,79013419873948857695424319046871 —07
Р = 3,0
1 1,03703249928706786463848772900063 + 00
2 8,95912491227200642537742926192521 —01
3 4,56154986091599872924417147986903 —01
4 1,68449142986532394285897085776921 —01
5 4,91924428679973099332741093438594 —02
6 1,19231475294577421361079818172301 —02
7 2,47452975965290598986047853080472 —03
8 4,49501268806787813194410836793410 —04
9 7,26644096918891618241182877691271 —05
10 1,05780116795257689997473885846433 —05

ф„ (Р)
р = 5,0
1 —4,75447040395853958245270052744756 —01
2 6,73656050425626093945992374509140 —01
3 1,14910309082148005219126242725389 +00
4 9,35088276724445979121775023646314 —01
5 5,34055807282522710227932615309469 —01
6 2,398344992971039833 79676730034519 —01
7 8,95138908899476465592268827802802 —02
8 2,87071733727389562980039183063213 —02
9 8,09049857736480485398643946121229 —03
10 2,03672122124730214714455164628538 —03
11 4,63730551873864164020677453186330 —04
12 9,64393173724730073505646383717319 —05
13 1,84660349885008727321457386723296 —05
р=10
1 7,84669417987515470918389181638927 —01
2 7,79421936285624454680264416343055 —01
3 —3,94958449844703243578256973467399 —01
5 —5,55345116214521809088282894525812 —01
10 6,46051544925642642714010293091966 -01
15 1,06354271461442134004358418219051 —02
20 2,30837196131946871670998922823266 —05
р = 30
1 —1,87185837357346110384920443524025 —01
5 —6,15120262104824749079887885115978 —01
10 —4,35889392116934030081539761625909 —01
15 —9,66147792388897548814736649161926 —01
20 —4,41347800602872670308613568033438 —01
30 8,41507486414832386572729190610249 —01
40 1,63641070591072510347573605581779 —03
р = 50
1 —9,70213525566191849787244931839269 —01
10 —7,51961073173298029110767786113748 —01
15 —5,64542269259368052186231094007699 —01
20 —7,89251494913464882770469031453447 —01
30 —7,47336726802556119687341589273486 —02
40 — 1,30316847609319152552339173086877 + 00
50 9,41455368464130868354073290837127 —01
64 3,85944632139838705664242273161417 —04
р= 100
1 —8,67382528698 781522038504090055440 —01
5 —9,29014893490757176634399310790584 —01
10 — 1,9565785971342900596243 7280814565 —02
20 1,10767128387305409169971918132995 +00
30 8,70062851444757581862843068068725 —01
50 5,79714088227742731998149909396871 —02
75 —2,54740318555912058117273634090193 —01
100 1,08804770114383365394114060932111 +00
120 1,04493557743141895627767055722227 —04
245

1|>„ (р)
p = 200
1 —4,91554161493075883263412993440278 —01
5 —5,51360546867235010602445638666020 —01
10 7,08634568062848988068744191188949 —01
25 —8,47914691608577652653895459840681 — p 1
50 8,18361872021958785300691453422120 —01
75 7,25172208519403170458048089998611 —01
100 —3,87219447249511359548064665927753 —01
150 —9,12022154358935555409356096618310 —01
200 1,24910631605680866445230732027498 + 00
225 1,35618873061387488212940224236150 —04
p = 300
1 1,87640998123467776516825276249298 —02
5 —2,79013981588774459276592191694629 —02
10 9,87328768095089746971349885518389 —01
25 —8,74857994556406414513533421242920 —01
50 —4,60090791335352666449456792283922 —01
75 —1,05711855548623217241157561127093 —01
100 3,08999414092995369429760843027076 —01
150 6,78559475079179216276488175668370 —01
200 —8,24831784244228080885773621374458 —01
250 1,169223395871461112364609861696317 +00
300 1,35088787734305727123354356757309 +00
328 1,95351541153653495418928539348871 —04
p = 400
1 5,23169040243438036090377455413314 —01
5 4,93047740404424976740210407823831 —01
10 9,15049365659030767079235858655440 —01
25 —2,57061293073688377085280429396997 —01
50 —8,79708769045786465214189458336361 —01
75 3,07943414455755443684059899208440 —01
100 —9,25268182286423169181904532223577 —f) 1
150 — 1,02464173467958121098670099676769 + 00
200 —9,03331801845156142174869818219661 —01
250 7,34998618865920959696984836137454 —01
300 — 1,07011962547030411976902674209244 + 00
350 — 1,44001648263900866830591644403535 + 00
400 1,42681064485907552312952985648377 + 00
431 — 1,93476148490820008355747414625700 —04
разработали программу счета функций /п(р), Уп{р) и,
следовательно, г|)п(р), %п(р) с очень высокой точностью — порядка 200
действительных знаков после запятой. Ясно, что на данном этапе
развития науки подобная высокая точность не нужна. В
настоящее время мы использовали только 31 точный знак после
запятой.
Коротко остановимся на алгоритме этой точной программы
расчета бесселевых функций. И здесь для точного счета г|)п(р)
используются прямая рекурсия и начальные данные согласно
246

формулам (4.2) и (4.3). Расчет ведется с точностью 350 знаков
после запятой до р = 400 и п порядка 500. В результате счета
по рекуррентной формуле (4.3) теряется около 150 знаков после
запятой и для больших значений р и п достоверными
оказываются 200 знаков после запятой. При этом с увеличением различия
между р и п (см. п. 4.1.2.1) точность счета уменьшается при
любых р и я, но особенно при больших р^ЗОО. .. 400. Например,
уже при я ^400 теряется еще 10—15 неточных знаков после
запятой. Однако несмотря на это, высокая точность счета
сохраняется.
Следует отметить, что эта особенность ухудшения точности
при превышении п над р не влияет на расчеты по теории Ми,
где п может быть больше р не более, чем в 1,3—1,5 раза [13].
Для того чтобы исследователи могли использовать наши
точные расчеты в качестве справочного материала, в табл. 4.3
(точность— 31 знак после запятой) приводятся рассчитанные по
вышеизложенной программе величины г|)п(р) для отдельных,
избранных значений аргумента из диапазона 0,001 ^ р ^ 400. Для
каждого р максимальное значение п определено по третьей
формуле (4.4), т. е. это есть то максимальное значение N*, которое
необходимо в расчетах Ми.
4.1.3. РАСЧЕТ ФУНКЦИИ %п(р)
РИККАТИ—БЕССЕЛЯ ВТОРОГО РОДА
4.1.3.1. Расчет функции >сп(р) прямой рекурсией
Во всех до сих пор выполненных расчетах функция %п(р)
рассчитывалась прямой рекурсией. Это обусловлено характером
самой функции %п(р), которая представляет собой возрастающую
функцию от порядка пир. Поэтому по сравнению с другими
цилиндрическими функциями %п(р) наиболее проста в расчетах,
если вычисляется прямой рекурсией. Таким образом, наиболее
целесообразен расчет %п(р) прямой рекурсией. Этой точки зрения
придерживается и автор. В качестве начальных значений
использовались величины %п(р) при п=—1 и я = 0 [2]:
X_j = — sin p, X0(p) = cosp. (4.18)
Расчет ведется по рекуррентной формуле (4.3) с одинарной
точностью, поскольку, как мы убедимся в последующем, двойная
точность особого выигрыша в расчетах не дает, кроме
ухудшения временных параметров расчета на ЭВМ.
Для тех, кого интересует гораздо высокая точность, чем та,
которая получена у нас (табл. 4.4), могут воспользоваться
следующей схемой расчета, предложенной в [19, 24]. Речь пойдет
о вычислении уп(р). Как и в п. 4.1.2.2, вычисляется /п(р) обрат-
247

Таблица 4.4
Функция Риккати—Бесселя второго рода х^(р)» рассчитанная
прямой рекурсией
х„ (Р)
р = 0,001
1 1,00000049999987500000694444427083 + 03
2 3,0000005000001249999791666675347 + 06
р = 0,005
1 2,000024999843 75021701375325525677 + 02
2 1,200005000031249869 79180230027940 + 05
р = 0,01
1 1,00004999875000694442708335813489 + 02
2 3,0000500012499791667534 7204861131 +04
3 1,50001500012500208330729175347207 + 07
р = 0,05
1 2,00249843 77170003260052281223975 + 01
2 1,20050031236980522935657400262739 + 03
3 1,20030006252603352932397347981515 +05
Р = 0,1
1 1,00498750694270858132624340764493 + 01
2 3,00501247917534548631777460305675 + 02
3 1,5015012508073003457756105812073 +04
р = 0,5
1 2,2345906623849484325058511004232 +00
2 1,25299614124193178789188250199355 +01
3 1,230650234 61808230356682399098932 + 02
4 1,71038036705289590711463476236511 +03
5 3,06637815834903180977067433234 73 + 04
р = 1,0
1 1,38177329067603622405343892907327 + 00
2 3,6050175661599689547593801797768 + 00
3 1,66433145401238085497434619698109 +01
4 1,12898184214 706690893444853608899 + 02
5 9,9944034339223640949126022051028 + 02
6 1,08809455930998938135104175720042 + 04
7 1,4045285236690638316614416821554 + 05
Р = 3,0
1 —1,88877490806947930323112795435643 —01
2 8,01115005793497526948459999295617 —01
3 1,52406916712944380857054612759500 + 00
4 2,7550463841752046930494809650927 +00
5 6,7410699853961702705778967676831 +00
6 2,1962210228944086299069473849745 + 01
7 8,842850767336153702538982324788 +01
8 4,201803281378635988278796423 +02
9 2,292593351774532189665928150293 + 03
10 1,4099577566434173602389665309469 + 04
248

** (p)
p = 5,0
1 —9,02191837570493215999826571853282 —01
2 —8,2497728800552219406653511462552 —01
3 7,721454956497102193329145722775 —02
4 9,3307765739648162477314315474438 —01
5 1,60232523374869590265836622131213 +00
6 2,5920378568506493361075262532142 +00
7 5,1369731940629924361373163622578 +00
8 1,2818881725338327947336686554631 +01
9 3,8447224672087322584607417923488 + 01
10 1,3328057202859349787493150155462 +02
11 5,213311778480053684899048886059 + 02
12 2,2648428460722311971786309860326 +03
13 1,0802883052513150617403250041557 +04
p=10
1 —6,27928263797015058630634056633783 —01
2 6,506930499373479346696737308339 —01
3 9,53274788765689025965470922050748 —01
5 —9,38335416786918080809930598909313 —01
10 1,72453672088057848851792518547470 + 00
15 3,992071745238868654281443160358 + 01
20 1,21122106053526033011457770696374 +04
p = 30
1 —9,82889909096608988297126835740651 —01
5 —7,99181714897099907071817409503140 —01
10 —9,3658773194264806223251167354376 —01
15 —4,8341507441805243482716415785151 —01
20 +1,08234100819841684356720008059809 +00
30 1,96292042354 40858733262280987001 + 00
40 3,376460402284445175815126167303 + 02
p = 50
1 —2,43075533134086520433014505734602 —01
5 3,485565982292683083193683641683 —02
10 —6,76234375557938002987497961641597 —01
15 —8,5615986238731700573316424084042 —01
20 —6,8797656512706080491581109133398 —01
30 1,1206134060251059677879683673386 +00
40 —2,489398610365860447430218036 —03
50 2,0950000752303875047991418242996 + 00
64 1,591897637160132857598107285477 +03
p=100
1 —4,9774245238688195431553822532027 —01
5 —3,72067848627489619494664074469419 —01
10 — 1,00257773 73636153866740240900543 + 00
20 —5,6317293788333956628055383917 —03
30 5,412929348870571854886498206823 —01
50 — 1,0747822973682464871632574942320 + 00
75 1,20803970058240614697075546322 + 00
100 2,298385049156228108900337819296 + 00
120 7,12374731460897319134359975901 +03
249

Кп (Р)
р = 200
1 —8,70861358838959552181244681644136 —01
5 —8,34491907888710334 75014228650765 —01
10 —7,06551360620344119234415675415 —01
25 5,3783430323048040023663621267681 —01
50 —6,031311101792294519765764819314 —01
75 —7,44324724806433391800112138294 —01
100 1,003333648395461182011184474426 + 00
150 8,28502539598773022727883955189 —01
200 2,532259921844171194815706773522 + 00
225 7,08571149372504104250422190788 +03
р = 300
1 —9,9982949529874512436021946806599 —01
5 —9,99694061973451372581555876293670 —01
10 —1,60603752549802849080983578118970 —01
25 —4,8811291467799700991358565047565 —01
50 8,95986161149143 75453201862827772 —01
75 —1,0109793432765467731892990391733 + 00
100 —9,827724440360321564949072907760 —01
150 —8,339600134618794223954854833263 —01
200 8,14835781740348975517112020986 —01
250 6,70767860429706804707672858129 —01
300 2,6844747694137508181095334997373 + 00
328 5,74320112854682742118637116342 +03
р = 400
1 —8,52232600485782820572093065114516 —01
5 —8,70056140710653507439265031719246 —01
10 4,0376798105441216934036417445080 —01
25 —9,6744867165786492391343724069905 —01
50 —4,8391909165697434669562600720755 —01
75 9,6097537788187689244402548971465 —01
100 —4,207355694769467215374757190497 —01
150 —1,715134530199750652084163097842 —01
200 5,82797171215343563999593236011 —01
250 8,616483930591217751694303764004 —01
300 —6,08200734058916220991381125674 —01
350 3,367141660421553460660997335 —02
400 2,799850265044969661709854519618 +00
431 6,3938787038980235769075977813 +03
ной рекурсией, т. е. рассматриваются значения /_i+i/2(p) и
./«г+'/Лр)- Это означает, что определены начальные значения:
/«/. (Р) = —7-1 + «/. (Р)> Г1 + '/. (Р) = 7-2+ ' /. (Р). (4Л9)
а затем по рекуррентной формуле (прямая рекурсия):
y^ + 1+./f(p)= 2(*' + 1/2) Г^ + 1/2(р)-Г^-1+1/2(р) (4.20)
вычисляются значения У' п bi/2 (p), где к'= 1, 2... fi и 0<р< 700.
250

Другой метод более точного определения %п(р), чем у нас,
предложен в работе [7]. Следует использовать уравнение
сферических функций Бесселя из [12]:
h (р) Уп-1 (р) - jn-1 (Р) Уп (р) = Р"2. (4.21)
Отношение /n(p)//n-i(p) можно вычислить, используя
непрерывные дроби — алгоритм Ленца (3.139). В этом случае в
точности можно и выиграть при очень больших рил, однако будет
проигрыш во времени счета. Известно, что, какую бы точность ни
использовать — одинарную или двойную,— прямая рекурсия
может привести к неточности счета. Согласно исследованиям [33],
подобная нестабильность в расчетах уп{р) может наблюдаться
в 19-м порядке числа, когда т=\0—10 i, где после некоторого
провала наблюдается опять переход к стабильным результатам
еще в 99 порядке числа, когда т=100—100 /. Поскольку
подобные значения в наших расчетах не встречаются, нет оснований для
опасения при расчетах уп(р) или %п(р) прямой рекурсией.
В табл. 4.4 приводятся значения %п(р), рассчитанные нами прямой
рекурсией для избранных значений риле двойной точностью. Эти
данные сравниваются с результатами наших расчетов с высокой
точностью (31 знак после запятой).
Наши исследования показали, что с какой точностью считает
ЭВМ (одинарной или двойной), такая же точность получается
для %п(р)' 10~15 или 10~31 соответственно. С превышением п над
р точность расчетов %п(р) постепенно уменьшается. В нашей
программе ORION используется одинарная точность, поскольку
точность Ю-14—Ю-15 нас вполне устраивает.
Только одно затруднение возможно при расчетах %п(р)
прямой рекурсией, которое возникало и при расчетах 'фп(р).
Поскольку %п(р) разных порядков п зависят от sin p и cos p, то при
близости р к я/2 или к значению, кратному я, а также при
равенстве р целому числу, может возникнуть ошибка из-за
близости %п(р) к нулю (ЭВМ плохо считает в области нуля).
4.1.3.2. Расчет функций %п{р) с высокой точностью
(31 знак после запятой)
В п. 4.1.2.4 подробно рассмотрены причины, побудившие нас
выполнить расчеты бесселевых функций первого и второго рода
с высокой точностью, и дано описание алгоритма нашего точного
расчета. Укажем здесь только, что %п(р) рассчитывалось прямой
рекурсией количеством цифр в ряду 350 с начальными
значениями по формулам (4.18). Ниже в качестве справочного
материала (табл. 4.5) приводятся полученные нами для избранных
величин р и п значения %п(р) с точностью 31 действительный
знак после запятой. Значения р изменялись в интервале
0,001 ^р<400, а соответствующие максимальные значения п
определялись по формуле (4.4) для каждого значения р.
251

Таблица 4.5
Функция Риккати—Бесселя второго рода Хя(Р)» высокая точность счета
*„ (Р)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
р = 0,001
1,00000049999987500000694444427083 + 03
3,00000050000012499997916666753472 + 06
р = 0,005
2,00002499984375121701375325525677 + 02
1,20000500003124986979180230027940 + 05
р = 0,01
1,00004999875000694442708335813489 + 02
3,0000500012499 7916675347204861131 +04
р = 0,05
2,00249843771700032600522812239759 +01
1,20050031236980522935657400262739 + 03
1,20030006252603352932397347981515 +05
Р = 0,1
1,00498750694270858132624340764493 + 01
3,00501247917534548631777460305675 + 02
1,50150125208073003457756105812013 +04
Р = 0,5
2,23459066238494843250585110042323 +00
1,25299614124193178789188250199355 +01
1,23065023461808230356682399098932 + 02
1,71038036705289590711463476236511 +03
3,06637815834903180977067433234731 + 04
р= 1,0
1,38177329067603622405343892907327 + 00
3,60501756615996895475938017977685 + 00
1,66433145401238085497434619698109 +01
1,12898184214706690893444853608899 + 02
9,99440343392236409491260220510288 + 02
1,08809455930998938135104175720042 + 04
1,40452852366906383166144168215545 + 05
Р = 3,0
— 1,88877490806947930323112795435643 —01
8,01115005793497526948459999295617 —01
1,52406916712944380857054612759500 + 00
2,75504638417520469304948096509273 + 00
6,74106998539617027057789676768318 +00
2,19622102289440862990694738497456 + 01
8,84285076733615370253898232478811 +01
4,20180328137863598827879642389660 + 02
2,29259335177453218966592815029352 + 03
1,40995775664341736023896653094693 + 04

X„ (P)
p = 5,0
1 —9,02 В1837570493215999826571853282 —01
2 -Д24977288005522194066535114625526 —01
3 7,72145495649 710219332914572277556 —02
4 9,33077657396481624773143154744384 —01
5 1,60232523374869590265836622131213 +00
6 2,59203785685064936107526253214231 + 00
7 5,13697319406299243613731636225788 +00
8 1,28188817253383279473366865546313 +01
9 3,84472246720873225848074179234886 + 01
10 1,33280572028593497874931501554625 + 02
11 5,21331177848005368489904888605938 + 02
12 2,26484284607223119717863098603269 +03
13 1,08028830525131506174032500415575 + 04
p=10
1 —6,27928263797015058630634056633783 —01
2 6,50693049937347934669673730833929 —01
3 9,53274788765689025965470922050748 —01
5 —9,38335416786918080809930598909313 —01
10 1,72453672088057848851792318547470 + 00
15 3,99207174523886865428144316035816 +01
20 1,21121060535260330114577706963749 +04
p = 30
1 —9,82889909096608988297126835740651 —01
2 —2,52540440797244949548374830188275 —01
3 9,40799835630401496705731030709271 —01
5 —7,99181714897099907071817409503140 —01
10 —9,36587731942648062232511673543761 —01
15 —4,83415074418052434827164157851514 —01
20 1,08234100819841684356720008059809 + 00
30 1,96292042354408587332622809870017 +00
40 3,37646040228444517581512616730324 + 02
p = 50
1 —2,43075533134086520433014505734602 —01
2 —9,7955056048015846529493 7929245093 —01
3 1,45120477086070673903520712810092 —01
5 3,48556598229268308319368364168382 —02
10 —6,76234375557938002987497961641597 —01
15 —8,56159862387317005733164240840422 —01
20 —6,87976565127060804915811091339828 —01
30 1,12061340602510596778796836733863 + 00
40 —2,48939861036586044743021803639645 —03
50 2,09500007523036750479914182429966 + 00
64 1,59189763716013285759810728547796 +03
p=100
1 —4,97742452386881954315538225320277 —01
2 —8,77251145859290392731404660710450 —01
3 4,53879895093917434678967992284754 —01
5 —3,72067848627489619494664074469419 —01
253

10 — 1,00257773736361538667402409005437 + 00
20 —5,63172937883339566280553839177207 —03
30 5,41292934887057185488649820682367 —01
50 — 1,07478229736824648716325749423208 + 00
75 1,20803970058240614697075546322403 + 00
100 2,29838504915622810890033781929628 +00
120 7,12374731460897319134359975901726 +03
p = 200
1 —8,70861358838959552181244681644136 —01
2 —5,00250595389590303637466571559186 —01
3 8,58355093954219794590308017355157 —01
5 —8,34491907888710334750142286507659 —01
10 —7,06551360620344119234415675415411 —01
25 5,37834303230480400236636212676814 —01
50 —6,03131110179229451976576481931452 —01
75 —7,44324724806433391800112138294603 —01
100 1,00333364839546118201118447442650 + 00
150 8,28502539598773022727883955189216 —01
200 2,53225992184417119481570677352244 + 00
225 7,08571149372504104250422190788112 +03
p = 300
1 —9,99829495298745124360219468065996 —01
5 —9,99694061973451372581555876293670 —01
10 — 1,60603752549802849080983578189709 —01
25 —4,88112914677997009913585650475652 —01
50 8,95986161149143754532018628277726 —01
75 —1,01097934327654677318929903917338 + 00
100 —9,82772444036032156464907290776030 —01
150 —8,33960013461879422395485483326368 —01
200 8,1483578174034897551711202098644 J —01
250 6,70767860429706804707672858129632 —01
300 2,68447476941375081810953349973717 +00
328 5,74320112854682742118637116342472 +03
p = 400
1 —8,52232600485782820572093065114516 —01
5 —8,70056140710653507439265031719246 —01
10 4,03767981054412169340364174450805 —01
25 —9,67448671657864923913437240699057 —01
50 —4,83919091656974346695626007287556 —01
75 9,60975377881876892444025489714658 —01
100 —4,20735569476946721537475719049758 —01
150 —1,71513453019975065208416309784230 —01
200 5,82797171215343563999593236011657 —01
250 8,61648393059121775169430376400451 —01
300 —6,08200734058916220901381125674512 —01
350 3,36714166042155346066099733531539 —02
400 2,79985026504496966170985451961831 +00
431 6,39387870389802357690739778132010 +03
254

4.1.4. РАСЧЕТ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
яЫ/пр) ИЛИ ФУНКЦИИ Ап (у)
Как известно, логарифмическая производная функции Рик-
кати—Бесселя первого рода Ап(у) =^п (mp)/tyn{mp) впервые
была введена в практику расчетов Инфельдом [27] и затем сразу
же нашла применение в работах [34, 36]. В работе [18] (см.
п. 3.4.5.3) рассматривались две логарифмические производные —
реального и мнимого аргументов, а в [8, 23] (см. п. 3.4.5.2 и
3.4.5.5) использовалась только одна функция мнимого аргумента
Ап(у) для расчетов коэффициентов Ми ап и Ьп. Введение в
практику расчетов теории Ми логарифмической производной Ап(у)
явилось прогрессивным шагом, намного ускорившем расчеты по
теории Ми. Действительно, вместо расчетов по алгоритму [8,
23] производной и самой функции Риккати—Бесселя мнимого
аргумента на смену пришла функция Ап(у), очень удобная в
расчетах по рекуррентной формуле с простыми начальными
значениями.
Первые же расчеты Ап(у), выполненные прямой рекурсией,
дали удовлетворительные результаты для не очень малых
значений р, т и п. Правда, как показали дальнейшие исследования,
функция Ап(у) не так уж проста в расчетах. Она избирательно
ошибочна при расчетах прямой рекурсией для малых р и я, при
больших значениях т и вообще для больших р и п. В этом
отношении функция Ап(у) резко отличается от функций фп(р) и
3Cn(p)i для которых трудности связаны только с расчетами при
больших р и п.
Первое подробное исследование функции Ап(у) выполнено
в [8]. Автор приводит характеристики Ап(у) для различных р
и т в виде графиков и эти исследования можно характеризовать
скорее как качественные, но не количественные. Использовать эти
данные для сравнения с численными расчетами невозможно,
поскольку незначительная неточность при снятии результатов с
графика, может привести к грубым ошибкам в расчетах , ап и ЬПу
а следовательно, и к ошибкам в расчетах коэффициентов
Ко(тр) —/(рл(^р). Однако графическое представление
материала не повлияло на фундаментальные исследования функций
Ап(у), которые приводятся в [8]. Результаты эти обсуждались
нами в п. 3.4.5.2 вместе с данными других авторов.
Для выявления точности счета в различных областях р и при
конкретных тип требовались дополнительные численные
расчеты для конкретных значений Ап(у). Потребность в численных
расчетах диктовалась еще и тем, что в настоящее время в
литературе нет численных справочных данных по Ап(у) с высокой
точностью. В то же время исследователю, занятому численными
расчетами, известно, как трудно отладить программу точного
счета на ЭВМ без наличия справочного материала по
исследуемому вопросу. Все это побудило нас, во-первых, получить эталон-
255

ные значения для Ап(у). Это было сделано с привлечением
алгоритма Ленца [33] (см. п. 3.4.5.4), на чем мы остановимся позже,
в п. 4.1.4.3. Далее мы рассчитали Ап(у) прямой и обратной
рекурсиями с одинарной и двойной точностью, для избранных
значений р, т и п.
4.1.4.1. Расчет функции Ап\у) прямой рекурсией
При расчетах Ап(у) прямой рекурсией использовалась
формула (3.106) и начальное значение А0(у) согласно формуле
(3.108). Для удобства при обсуждениях напомним эти формулы:
(4.22)
= sinpocospo + ishqochqo (4 23)
где y = mp = po — iqo, ро = йр, qo = Kpy m = fi—m.
Расчеты на ЭВМ проводились с одинарной и двойной
точностью для р в интервале 0,001 ^ р ^ 400 для избранных
значений п до максимального, которое вычислялось по формуле (4.4).
Результаты расчетов представлены в табл. 4.6. В каждом
значении таблицы указано правильное число цифр для Ап(у). Этим
объясняется неравномерное число знаков после запятой, которое
является следствием сравнения данных из табл. 4.6 с эталонными
значениями Ап(у) по табл. 4.9, в которой представлен результат
наших вычислений Ап(у) по алгоритму Ленца (см. ниже).
Для определения точности счета Ап(у) прямой рекурсией мы
сравнили результаты расчетов, представленные в табл. 4.6 и 4.9.
Наши исследования показали, что при одинарной точности счета
на ЭВМ для малых значений х в т (т=1,78—0,h) при р из
интервала 0,001 ^ р ^ 0,05 точность счета А\(у) составляет
~ Ю-10 как для действительной, так и для мнимой части Ах(у)у
а для А2(у) —примерно Ю-3—Ю-5. С увеличением р точность
расчетов А{(у) увеличивается до Ю-13 для 0,05 ^ р ^ 3, а для
А2(у) и т. д. уменьшается почти на Ю-1 при уменьшении п на
единицу. Для значений р >> 3 и до ря^50 точность
стабилизируется и составляет Ю-10—Ю-11 для всех значений я~р. В области
р^ЮО. .. 400 точность составляет Ю-8—Ю-10 для любых я^р,
причем с увеличением п точность несколько ухудшается. Для
п>р точность составляет примерно Ю-6—Ю-7. Все сказанное
относится как к действительной, так и к мнимой части Ап(у).
Точность счета Ап(у) сильно меняется для больших значений
х в т (т=1,28— 1,37 i). При одинарной точности счета на ЭВМ
для р из интервала 0,001 ^ р ^ 0,01 точность счета А[(у)
составляет Ю-7—10~10, а для А2(у)—примерно Ю-3—10~6. Для
интервала 0,01 ^ р ^ 0,5 точность для А{(у) равняется Ю-10—
10~13 и с возрастанием п постепенно уменьшается, составляя при
Ап(у)=--у+\^-Ап-1(у)
256

Таблица 4.6
Функция Л п(у), рассчитанная прямой рекурсией
п
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
б
7
1
2
3
4
5
б
7
8
9
10
Ап <*>
Одинарная точность, у = пгр =
1,1200600517
1,680
2,2401030154
3,3601
1,1200248074
1,6800651
2,238340416342
3,35890963
4,47925
1,11649721114957
1,6775464867
2,23814241
2,0579879803938
3,231422366275
4,38055849272
5,518944811
5,6516235
7,2698626412321
1,41202004332898
2,035720549085
2,6346422113
3,2209906476
3,800051716
4,3745003
7,8250854486831
— 1,45844280720538
— 1,8790904208857
2,9950944063072
6,2867961007491
9,0134071676429
1,1465877227193
1,376159876231
1,5958076232
1,8087203969
р = 0,001
+ 03
+ 03
р = 0,005
+ 02
+ 02
р = 0,01
+ 02
+ 02
р = 0,05
+ 01
+ 01
+ 01
р = 0,01
+ 01
+ 01
+ 01
Р = 0,5
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
Р—1.0
—01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
Р=3,0
—01
+ 00
—01
—01
—01
—01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
(1,78 — ОЛОр
+ 6,292476200
+ 9,43
+ 1,2585048402
+ 1,8877
+ 6,2926742062
+ 9,43885
+ 1,25949551879
+ 1,88845681
+ 2,5175
+ 6,312528586081
+ 9,45301857
+ 1,25960701
+ 1,36569494885034
+ 1,961956998580
+ 2,573907881
+ 3,19245838
+ 3,8144
+ 8,9949506731032
+ 1,1116169831812
+ 1,381307336464
+ 1,67047304551
+ 1,968597538
+ 2,2716099
+ 2,577594
+ 4,7886412399792
+ 1,19335854863405
+ 1,82742204990758
+ 1,15654251014773
+ 1,03348983646008
+ 1,0336911377479
+ 1,078771247991
+ 1,14485368452
+ 1,2224066381
+ 1,306913074
+ 01/
+ 01/
+ 01/
+ 01/
+иш
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
—01/
—01/
+ 00/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—02/
—01/
—(Ш
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
+ 00/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
17 Заказ № 124
257

An(V)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
5
10
15
20
1
5
10
15
20
30
40
50
60
66
1
5
10
20
30
50
75
100
120
1
5
10
25
50
75
3,286433175456
—6,1843568265688
— 1,19413428010324
7,6816241663026
—8,96593534490031
—2,5917588272290
1,327371927283
3,9133528576825
5,961692784355
7,735933903127
9,348374263620
1,085576500579
1,229030772865
2,735732708650
—2,4981158477814
2,583256146561
8,83064090507
—2,3038387761129
1,313506865809
6,618817989782
—6,60801214892
1,289071923
6,8706634519
1,64871996457
2,78866399578
6,2435623991
1,175202989335
1,92051456281
3,110918146046
3,83009037211
3,353274971
5,02714126
1,8452968018
7,0786094150
1,57956443565
4,44243323618
1,04758221639
2,0231630339815
3,23103101631
8,5923263
1,2889
4,727726489506
2,799430626
1,1063220340
2,5038173249
p = 5,0
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
+ 00
+ 00
p=10
—01
—01
—01
—02
—01
—02
—01
p = 50
—05
—04
—04
—03
—03
—03
—02
—02
—02
—02
p=100
—06
—05
—04
—04
—03
—03
—02
—02
—02
p = 200
—07
—05
—05
—04
—03
—03
+ 5,1689498269973
+ 1,88848960079907
+ 4,054142217205924
+ 7,8980615030259
+ 1,1948288634644
+ 2,6678482649361
+ 1,51694263464972
+ 1,2060240515488
+ 1,097683026619
+ 1,063957171139
+ 1,065013701484
+ 1,08489458708
+ 1,1160649700
+ 1,076958216306
+ 9,0691049990536
+ 9,0632107167815
+ 7,1760591208594
+ 6,4423954550512
+ 2,2717245583690
+ 1,13162429416
+ 9,999200785837
+ 9,981877248862
+ 9,92990962821
+ 9,848476757064
+ 9,7344013924854
+ 9,401121944078
+ 8,913296986008
+ 8,255033519273
+ 7,3672985850071
+ 6,675189470089
+ 9,999687091893
+ 9,99530504645
+ 9,982774410877
+ 9,934070312647
+ 9,85342492018
+ 9,592804206872
+ 9,064848812417
+ 8,2719445845869
+ 7,391915414787
+ 9,999921802651
+ 9,998826976241
+ 9,99569824701
+ 9,97455392825
+ 9,89980214667
+ 9,774626203531
—Olt
+ 00t
—Olt
—Olt
+ 00i
—Oli
—Olt
—Olt
—Olt
—Olt
—Olt
—Oli
—Olt
+ 00t
—Olt
—Olt
—Olt
—Olt
—Olt
—Oli
—Olt
—Olt
—Oli
—Olt
—Olt
—Oli
—Olt
—Olt
—Olt
—Olt
—Olt
—Olt
—Olt
—Oli
—Olt
—Oli
—Oli
—Olt
—Olt
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Olt
258

n
100
150
200
225
1
5
10
25
50
100
150
200
250
300
328
1
5
10
25
50
100
150
200
250
300
350
400
431
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
4,5165385754
1,069904529082
2,0744445380
2,793213243
3,85106394
5,776872333
2,118476185
1,2529840403
4,931626998
1,9792430003
4,5406222313
8,3344149967
1,363313174
2,09127976
2,6156352
2,17529161
3,263025617
1,196535130
7,07412383
2,7803433181
1,1093887561
2,5192056599
4,5525482292
7,28015111
1,080859895
1,52983032
2,0996489
2,530150
Ап(у)
—03
—02
—02
—02
p = 300
—07
—06
—05
—04
—04
—03
—03
—03
—02
—02
—02
p = 400
—07
—06
—05
—05
—04
—03
—03
—03
—03
—02
—02
—02
—02
Одинарная точность, y = mp =
7,2824484
1,092
1,4564774000
2,18472
7,28219500283
1,092349
1,4552105650993
2,1838211593
2,912269
7,2568802346331
1,09054023810
1,45506855
p = 0,001
+ 02
+ 03
p = 0,005
+ 02
+ 02
p = 0,01
+ 01
+ 02
p = 0,05
+ 01
+ 01
+ 01
P = 0,1
+ 00
+ 01
+ 01
+ 9,597076863754
+ 9,07184548745
+ 8,2826533119
+ 7,76561490699
+ 9,9999652509
+ 9,99947875171
+ 9,99808862493
+ 9,9887002660
+ 9,95559757435
+ 9,822968559321
+ 9,59850219594
+ 9,275627932499
+ 8,84375692535
+ 8,28623508
+ 7,90975626
+ 9,9999804551
+ 9,9997068235
+ 9,99892497829
+ 9,99364594126
+ 9,97504960269
+ 9,900812570336
+ 9,776180010225
+ 9,599215056377
+ 9,3669
+ 9,07535050
+ 8,718436198
+ 8,28802812
+ 7,9792889
(1,28—1,37/) P
+ 7,79450107
+ 1,169
+ 1,55891336719
+ 2,33835
+ 7,7947723382
+ 1,1691943
+ 1,560269964338
+ 2,3393281901
+ 3,11856
+ 7,8219220733049
+ 1,17113283599
+ 1,5604223
—Olf
—OK
—OK*
—OK
—01/
—Olt
—01/
—OH
—OH
—OK*
—OK*
—OK*
—OK*
—OK*
—OK*
—OK*
—OK*
—OK*
—OK*
—Oli
—Olt
—Olt
—OH
—OK
—01/
—OH*
—Olt
—OK*
+ 02*
+ 03/
+ 02/
+ 02/
+ 0K
+ 02/
+ 01t
+ 01/
+ 0K
+ 00/
+ 01/
+ 0K
17*
259

n
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
5
10
15
20
1,3322397219792
2,0947788782805
2,84259402007
3,583452928
4,3204932
5,03944457975074
9,2176348460177
1,3202335317047
1,707593312481
2,0883347338
2,464883997
2,838630
3,519481979832
1,1065489722143
2,223740058021
3,5395695996674
4,929420221872
6,33244847485
7,72477940493
9,0990302665
1,045438214
1,17923589
1,2300682213690
3,700174967383
7,41620257251
1,235958667524
1,842504485867
2,5398137565712
3,3014340054191
4,103198315274
4,92679964736
5,75994072
6,595020386
7,427654377
8,2555059
2,9566128364994
8,870280337755
1,774047589318
4,432490480621
1,604262719696
3,3335799161
5,341859
An (У)
p = 0,5
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
n 1
—01
—01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
p = 3
—02
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
+ 00
p = 5
—02
—02
—02
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
p=10
—03
—03
—02
—02
—01
—01
—01
+ 1,69871899969780
+ 2,4373511330685
+ 3,19448294740
+ 3,959848080
+ 4,7295944
+ 1,07207296624786
+ 1,37315515498979
+ 1,7154169833549
+ 2,075666375112
+ 2,4453071224
+ 2,82046067
+ 3,1991260
+ 9,975299617000
+ 9,962944493846
+ 1,01381094990910
+ 1,05696687753782
+ 1,1221743429335
+ 1,203592541325
+ 1,296432970198
+ 1,39733700488
+ 1,5040371682
+ 1,61499942
+ 9,998632515733
+ 1,00012271872615
+ 1,0018560572132
+ 1,00678704703420
+ 1,01710531750454
+ 1,0346080737748
+ 1,06004753079469
+ 1,0931798708036
+ 1,133178613075
+ 1,1790188095
+ 1,22970399166
+ 1,284362907
+ 1,342272445
+ 1,00008880687593
+ 1,0002948003201
+ 1,0006748747366
+ 1,0023276580721
+ 1,0186516503500
+ 1,06956124169
+ 1,1631707
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
—01/
—01/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
—01/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
260

n
1
5
10
15
20
30
40
50
€0
66
1
5
10
15
20
30
40
50
60
70*
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
* Д/
1,144688764180869
1,716882181856
6,293561121075
1,372484057666
2,40003173370
5,299891587
9,2977874
1,43302
2,0
8
7,93830035529
1,1906696247055
4,36496795513
9,52044732909
1,66524792361
3,6810963960
6,4717343
1,0012694
1,426
Неправильное число
Лп
р = 50
—04
—03
—03
—02
—02
—02
-02
—01
—01
—01
р = 60
—05
—03
—03
—03
—02
—02
—02
—01
—01
Двойная точность, у = пгр
1,120060051752296
1,680090357342765
2,24010301546475
3,360168508955435
1,120024807433103
1,68006518293038
2,23834041634211
3,358909636310385
4,47925266373810
1,11649721114957
1,6775464867189
2,23814241041913
1я значений р>70 значен
р = 0,001
+ 03
+ 03
р = 0,005
+ 02
+ 02 '
р = 0,01
+ 02
+ 02
р = 0,05
+ 01
+ 01
+ 01
р = 0,1
+ 01
+ 01
{у)
+ 1,0000069405962
+ 1,0001055033098
+ 1,000401438825
+ 1,0009274970457
+ 1,0017477685877
+ 1,004643884021
+ 1,0100406479
+ 1,0191294
+ 1,0
+ 6
+ 1,0000049113375
+ 1,000074338688
+ 1,0002795748920
+ 1,00063476204
+ 1,001170732761
+ 1,002965673580
+ 1,0061326316
+ 1,01128726
+ 1,0191
= (1,78 — 0,10Р
+ 6292476200
+ 9,4387127298553
+ 1,25850484023897
+ 1,887749403140789
+ 6,29267420628173
+ 9,43885416057965
+ 1,25949551879578
+ 1,888456815201171
+ 2,51754536913
+ 6,31252858608133
+ 9,453018576048
+ 01 +1,25960701791898
ия An (у) неверны.
+ 00i
+ 00i
+ 00i
+ 00*
+ 00i
+ 00*
+ 00i
+ 00*
+oo;
—Oli
+ 00*
+ 00*
+oo;
+ 00*
+ 00*
+ 00i
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 01*
+ 01*
+ 01*
+ 01*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
—Oli
—Oli
+ 00*
261

ЛП(У)
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
5
10
15
20
2.05798798039382
3,2314223662752
4,38055849272063
5,51894481114873
6,6516235008022
7,2698626412321
1,41202004332898
2,03572054908540
2,63464221137036
3,22099064767807
3,80005171688776
4,37450036725395
7,8250854486831
— 1,45844280720538
— 1,87909042088576
2,9950944063072
6,2867961007491
9,0134071676429
1,14658772271934
1,37615987623150
1,5958076232292
1,8087203969396
3,286433175456
—6,1843568265688
— 1,1941342801032
7,68162416630226
—8,965935344900314
2,59175882722905
1,327371927283
3,9133528576825
5,961692784355
7,7359339031274
9,3483742636200
1,08557650057926
1,2290307728653
2,735732708650
—2,4981158477814
2,5832561465618
8,83064090507
—2,3038387761129
1,313506865809
6,6188179897823
Р = 0,5
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
р= 1,0
—01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
Р = 3,0
—01
+ 00
—01
—01
—01
—01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
Р=5,0
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
+ 00
+ 00
р= 10
—01
—01
—01
—02
—01
—02
—01
+ 1,36569494885034
+ 1,96195699858028
+ 2,5739078810870
+ 3,19245838650165
+ 3,8144198926194
+ 8,9949506731032
+ 1,11161698318121
+ 1,38130733646421
+ 1,67047304551475
+ 1,968597538359294
+ 2,2716099318485
+ 2,57759482835599
+ 4,7886412399792
+ 1,19335854863405
+ 1,82742204990758
+ 1,15654251014773
+ 1,03348983646008
+ 1,03369113774792
+ 1,07877124799151
+ 1,14485368452491
+ 1,22240663814300
+ 1,30691307440498
+ 5,1689498269973
+ 1,8884896007990
+ 4,0541422172059
+ 7,898061503025921
+ 1,1948288634644
+ 2,6678482649361
+ 1,51694263464972
+ 1,2060240515488
+ 1,097683026619
+ 1,06395717113974
+ 1,06501370148460
+ 1,0848945870843
+ 1,11606497004065
+ 1,076958216306
+ 9,0691049990536
+ 9,0632107167815
+ 7,1760591208594
+ 6,442395455051
+ 2,2717245583690
+ 1,1316242941670
—он
—ОН
—ОН
—ОН
—ОН
—02*
—Oil
—ОН
—ОН*
—ОН
—ОН*
—ОН*
—ОН*
+ 00/
—ОН*
—ОН'
—ОН*
—ОН
—ОН*
—он*
—он
—он
—ОН*
+ 00t
—ОН*
—Oli
+ 00/
—ОН*
—ОН*
—он
—ОН*
—он
—ОН'
—ОН*
—он
+ 00*
—он*
—ОН*
—ОН*
—ОН
—он
—он*
262

An(y)
1
5
10
15
20
30
40
50
60
66
1
5
10
20
30
50
75
100
120
1
5
10
25
50
75
100
150
200
225
1
5
10
25
50
100
150
200
250
300
328
1
5
10
25
50
—6,608012148927
1,289071923
6,8706634519
1,64871996457
2,78866399578
6,2435623991
1,175202989335
1,92051456281
3,110918146046
3,83009037211
3,35327497
5,02714126
1,8452968018
7,0786094160
1,57956443565
4,44243323618
1,04758221639
2,02316303398
3,23103101631
8,5923263
1,2889
4,7277264895
2,79943062
1,1063220340
2,5038173249
4,5165385754
1,069904529082
2,07444453805
2,7932132433
3,85106394
5,776872333
2,118476185
1,2529840403
4,931626998
1,9792430003
4,5406222313
8,3344149967
1,363319174
2,0912797620
2,61568527477
2,17529161
3,263025617
1,196535130
7,07412383
2,7803433181
p = 50
—05
—04
—04
—03
—03
—03
—02
—02
—02
—02
p= 100
—06
—05
—04
—04
—03
—03
—02
—02
—02
p = 200
—07
—05
—05
—04
—03
—03
—03
—02
—02
—02
p = 300
—07
—06
—05
—04
—04
—03
—03
—03
—02
—02
—02
p = 400
—07
—06
-05
—05
—04
+ 9,999200785837
+9,981877248862
+ 9,92990962821
+ 9,848476757064
+ 9,7344013924854
+ 9,401121944078
+ 8,913296986008
+ 8,255033519273
+ 7,36729858500713
+ 6,675189470089
+ 9,999687091893
+ 9,99530504645
+ 9,982774410877
+ 9,934070312647
+ 9,85342492018
+ 9,592804206872
+ 9,064848812417
+ 9,27194458458
+ 7,391915414787
+ 9,999921802651
+ 9,99882697624170
+ 9,99569824701
+ 9,97455392825
+ 9,899802146677
+ 9,774626203531
+ 9,597076863754
+ 9,07184548745
+ 8,282653311938
+ 7,765614906997
+ 9,9999652509
+ 9,99947875171
+ 9,99808862493
+ 9,9887002660
+ 9,95559757435
+ 9,82296855932
+ 9,59850219594
+ 9,275627932
+ 8,843756925353
+ 8,286235085972
+ 7,909756269915
+ 9,9999804551
+ 9,9997068235
+ 9,99892497829
+ 9,99364594126
+ 9,97504960269
—OH
—Oli
—Oh*
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—OH
—Oli
—Oil
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—0,li
—0,li
—Oli
—0,1 i
263

n
100
150
200
250
300
350
400
431
1,1093887561
2,5192056599
4,5525482292
7,2801511179
1,0808598958
1,52983032301
2,09964895388
2,53015052837
лп (у)
—03
—03
—03
—03
—02
—02
—02
—02
+ 9,900812570336
+ 9,776180010225
+9,599215056377
+ 9,36699528
+ 9,07535050188
+ 8,718436198124
+ 8,288028122732
+ 7,97928893163
—0,11
—0,1/
—0,1/
—0,1/
—0,11
—0,1/
—OH
—Oh"
Двойная точность, */=mp=(l,28— l,37/)p
p=0,001
I
2
J
2
1
2
1
2
,3
1
2
3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
7,282448439914950
1,092367467130067
1,456477400019432
2,18472615713173
7,2821950028347
1,0923493643887
1,4552105650993
2,1838211591300
2,91226936055390
7,25688023463315
1,0905402381083
1,45506855154621
1,33223972197923
2,09477887828054
2,842594020076
3,583452928301
4,32049328261191
5,03944457975074
9,2176348460177
1,32023353170473
1,7075933124819
2,08833473382217
2,46488399725532
2,83863010426237
+ 02
+ 03
p=0,005
+ 02
+ 02
p=0,01
+ 01
+ 02
p=0,05
+ 01
+01
+ 01
P=0,1
+ 00
+ 01
+ 01
P=0,5
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
p=l
—01
—01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 7,794501075846
+ 1,16917494609121
+ 1,55891336719896
+ 2,3383592864799
+ 7,79477233822456
+ 1,1691943218998
+ 1,56026996433842
+ 2,3393281901314
+ 3,1185605038342
+ 7,82192207330490
+ 1,17113283599026
+ 1,5604223561968
+ 1,69871899969780
+ 2,43735113306850
+ 3,19448294740
+ 3,95984808078864
+ 4,72959443699033
+ 1,07207296624786
+ 1,37315515498979
+ 1,71541698335491
+ 2,07566637511246
+ 2,44530712244433
+ 2,8204606769021
+ 3,1991260540994
+ 02/
+ 03/
+ 02/
+ 02/
+ 01/
+ 02/
+ 01/
+ 01i
+ 0U'
+ 00i
+ 01i
+ 0Ц
+ 00t
+ 00i
+ 00/
+ 00/
+ 00t
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
264

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
5
10
15
•20
1
5
10
15
20
30
40
50
60
66
1
5
3,5194819798326
1,1065489722143
2,22374005802118
3,53956959966747
4,9294202218729
6,3324484748539
7,7247794049336
9,0990302665921
1,0454382147994
1,17923589859331
1,2300682213690
3,700174967383
7,41620257251
1,2359586637524
1,842504485867
2,53981375657126
3,3014340054191
4,1031983152741
4,9267996473618
5,75994072944
6,5950203864957
7,427654377908
8,255505961158
2,956612836499
8,870280337755
1,774047589318
4,432490480621
1,6042627196965
3,3335799161525
5,341859958529
1,14468876411808
1,716882181856
6,293561121075
1,372484057666
2,400031733707
5,299891587894
9,297787413650
1,4330231023919
2,0290731890286
2,425184518877868
7,93830035529
1,1906696247055
An
p = 3
—02
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
+ 00
+ 00
p = 5
—02
-02
—02
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
p=10
—03
—03
—02
—02
—01
—01
—01
p = 50
—04
—03
—03
—02
—02
—02
—02
—01
—01
—01
p = 60
—05
—03
(У)
+ 9,9752996170005
+ 9,962944493846
1,01381094990910
+ 1,05696687753782
+ 1,12217434293353
+ 1,203592541325
+ 1,2964329701982
+ 1,39733700488478
+ 1,5040371682593
+ 1,6149994282627
+ 9,998632515733
+ 1,00012271872615
+ 1,0018560572132
+ 1,00678704703420
+ 1,01710531750454
+ 1,03460807377488
+ 1,060047530794
+ 1,0931798708036
+ 1,133178613075
+ 1,17901880957004
+ 1,22970399166560
+ 1,2843629072903
+ 1,34227244593096
+ 1,00008880687593
+ 1,0002948003201
+ 1,0006748747366
+ 1,0023276580721
+ 1,0186516503500
+ 1,0595612416915
+ 1,16317073219053
+ 1,0000069405962
+ 1,0001055033098
+ 1,000401438825
+ 1,00092749704572
+ 1,0017477685877
+ 1,004643884021
+ 1,0100406479154
+ 1,0191294862053
+ 1,0331470227838
+ 1,04436516883688
+ 1,0000049113375
+ 1,000074338688
—Olt
—Oli
+ 00i
+00/
+ 00t
+ 00i
+ 00i
+ 00t
+ 00i
+ 00t
—Olt
+ 00i
+ 00i
+ 00i
+ 00i
+ 00i
+ 00/
+00t
-+00i
+ 00i
+ 00f
+ 00i
+ 00i
+ 00Й
+ 00t
+ 00t
+ 00f
+ 00i
+oo;
+00i
+ 00i
+ 00t
+ 00i
+ 00i
+00i
+ 00i
+ 00i
+ 00i
+ 00i
+ 00i
+ 00i
+ 00i
265

A„(y)
10
15
20
30
40
50
60
70*
78
4,36496795513
9,520447329097
1,66524792361
3,681096396014
6,471734320894
1,001269424956
1,4261955749555
1,9156269694500
2,34802575978
—03
—03
—02
—02
—02
—01
—01
—01
—01
+ 1,0002795748920
+ 1,00063476204
+ 1,001170732761
+ 1,0029656735807
+ 1,0061326316472
+ 1,011287269202
+ 1,0191369184910
+ 1,0303938743562
+ 1,0422694726747
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+00/
+00/
+ 00/
* Для значений р>70 значения Ап(у) неверны.
n=5 примерно Ю-6—Ю-7. Для интервала 1 ^ р ^ 50 точность
стабилизируется и для А\(у) составляет Ю-13—Ю-14. С
увеличением п точность постепенно уменьшается до Ю-10—10-11 для
р~п. Для р~70 точность счета резко ухудшается при любых п
и пользоваться формулой Ап(у) при расчетах прямой рекурсией
уже невозможно. Применение двойной точности счета на ЭВМ
несколько повышает точность счета, но не намного — на Ю-1—
Ю-2. Одновременно несколько расширяется верхняя граница
значений р, для которых расчеты функции Ап(у) можно выполнить
с достаточно высокой точностью.
Таким образом, наши исследования с наглядностью показали
зависимость расчетов Ап(у) прямой рекурсией от величины к
в т. Еще в работе [29] показана нестабильность прямой
рекурсии с возрастанием мнимой части комплексного показателя
преломления х. В последнее время выполнено исследование [38],
которое позволяет внести ясность в этот вопрос. В работе [38]
сравниваются результаты расчетов Ап(у) прямой и обратной
рекурсиями для определения границ применимости прямой
рекурсии. Исследования показали (рассматривалась область изменения
р от 1 до 10 000 и п от 1,05 до 9,25), что для фиксированного
значения ft выражение %*р (здесь х* — значение, при котором
прямая рекурсия уже нестабильна) приближается к
асимптотическому значению при возрастании р. Математическое выражение
этого условия имеет вид
х*р = f (Я).
Для каждой пары (р, п) находилось значение х, при котором
рекурсия вверх теряет смысл. В работе [38] были получены
средние значения %* как функция f(n) и предложена
эмпирическая формула для расчета f(n):
и*р = / (Я) = —8 + 26.22Я2 — 0.4474Я3 + 0,00204Я6 — 0,000175Я7.
266

В [38] приводится график (см. рис. 1 а [38]) зависимости
f(n) от п для факторов эффективностей Q0, Qp, из которого
можно сделать вывод скорее квадратичной зависимости f(n) от п.
Таким образом, кривая дает возможность определить х, п и р,
для которых применима прямая рекурсия.
Сравнить данные наших расчетов с результатами [38]
невозможно, поскольку в [38] вычисления выполнены не для
изолированного значения Ап\у). В [38] формула получена для расчетов
коэффициентов эффективностей Q0 и Qp. Однако можно получить
зависимость >с*р = /(й) и для изолированного значения Ап(у).
Кроме того, в наших расчетах получена четкая зависимость
неприменимости прямой рекурсии от %. Так, при одинарной
точности счета на ЭВМ для т=1,28—1,37/ считать прямой
рекурсией уже нельзя при р = 60. При двойной точности счета на ЭВМ
границы чуть расширяются — до р = 70. Для m=l,78—0,h*
считать прямой рекурсией можно (с одинарной и двойной
точностью) в широком диапазоне изменения р — до р^400 со средней
точностью ~10-9. Наши расчеты показали, что эта точность
меняется одновременно и в зависимости от п. Поэтому исследования
[38], по-видимому, следует продолжить и получить конкретные
зависимости для Ап(у)у включая изменение точности счета от р
и п.
В настоящее время ясно, что чем меньше мнимая часть
комплексного показателя преломления, тем для больших значений р
и п правомочно использование прямой рекурсии для Ап(у),
однако при условии, чтобы п не на много отличалось от р.
4.1.4.2. Расчет функции Ап [у] обратной рекурсией
Расчет функции Ап(у) по схеме обратной рекурсии мы
выполнили согласно алгоритму Борена—Хафмена [2]. При этом
использовалась формула (3.150) и начальное значение ANMx=
= 0,0—0,0/ [2]. В наших обозначениях эта формула запишется
в виде
Д,-,(у) = — , , }, . . (4.24)
vy/ У Лп(у)+п/у v '
Конечное значение n = N* = NMX (по программе ORION),
с которого начинается счет Ап(у)у вычисляется по формуле
N* = NMX = р + 4р,/з + 2+15. (4.25)
Легко убедиться, что формула (4.25) — это видоизмененная
формула (4.4) для очень больших значений р с добавлением
числа 15. Дело в том, что 15 — это число неверных цифр,
которое сопровождает расчет формулы Ап(у) обратной рекурсией
(см. ниже).
С помощью формул (4.24) и (4.25) мы рассчитали Ап(у)
обратной рекурсией с одинарной точностью для р из диапазона
0,001 ^ р ^ 400. Результаты расчетов приводятся в табл. 4.7.
267

Таблица 4.7
Функция Ап(у), рассчитанная обратной рекурсией
АпШ
у = тр = (1,78 — 0,10 Р
р = 0,001
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1,120060051752296
1,680090357342765
2,24010301546475
3,36016850895543
1,12002480743310
1,68006518293038
2,23834041634211
3,35890963631038
4,47925266373810
1,11649721114957
1,6775464867189
2,23814241041913
2,05798798039382
3,2314223662752
4,38055849272063
5,51894481114873
6,65162350080229
7,2698626412321
1,41202004332898
2,03572054908540
2,63464221137036
3,22099064767807
3,80005171688776
4,37450036725395
7,8250854486831
-1,45844280720538
-1,87909042088576
2,9950944063072
6,2867961007491
9,0134071676429
1,14658772271934
1,37615987623150
1,5958076232292
1,8087203969396
+ 03
+ 03
р=0,005
+ 02
+ 02
р=0,01
+ 02
+ 02
р=0,05
+ 01
+ 01
+ 01
Р—0.1
+ 01
+ 01
+ 01
Р=0,5
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
р=1
—01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
р=3
—01
+ 00
—01
—01
—01
—01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 6,292476200856320
+ 9,4387127298553
+ 1,25850484023897
+ 1,887749403140789
+ 6,29267420628173
+ 9,4388511605796
+ 1,25949551879578
+ 1,888456815201171
+ 2,51754536913765
+ 6,31252858608133
+ 9,453018576048
+ 1,25960701791898
+ 1,36569494885034
+ 1,96195699858023
+ 2,5739078810870
+ 3,19245838650165
+ 3,8144198926194
+ 8,9949506731032
+ 1,11161698318121
+ 1,38130733646421
+ 1,67047304551475
+ 1,968597538359294
+ 2,2716099318485
+ 2,57759482835599
+ 4,7886412399792
+ 1,19335854863405
+ 1,82742204990758
+ 1,15654251014773
+ 1,03348983646008
+ 1,03369113774792
+ 1,07877124799151
+ 1,14485368452491
+ 1,22240663814300
+ 1,3069130 7440498
+ 0U
+ 01i
+ 01i
4-0,1*
+ 00i
+ 00i
+ 00Г
+ 01i
+ 00Г
—Oli
—OU*
+oo;
—Oli
—Oil
—Oil
—Oli
—Oli
—02i
-Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
+ 00i
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
—Oli
-Oli
—OU

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
1
2
3
5
10
15
20
1
2
3
5
10
15
20
25
30*
40
1
2
1
2
1
2
3,286433175456
—6,1843568265688
— 1,19413428010324
7,6816241663026
—8,9659353449003
—2,5917588272290
1,327371927283
3,9133528576825
5,961692784355
7,7359339031274
9,3483742636200
1,08557650057926
1,22903077286531
2,7357327086505
—2,498115847781
2,58325614656
8,83064090507
—2,303838776112
13135068658
6,6188179897
—3,1456
2,8166
—2,47980
—7,3696
—3,40769
— 1,61836
7,71311
—3,7334
—8,6345
5,964
у = тр
7,282448439914950
1,09236746713006
1,456477400019
2,1847261571317
7,28219500283477
1,0923493643887
* Для значений р>30 значени
Ап
р = 5
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
+ 00
+ 00
р=10
—01
—01
—01
—02
—01
—02
—01
р = 20
—02
—02
—02
—03
—02
—02
—02
—02
—02
—01
= (1,28 —
р = 0,001
+ 02
+ 03
р = 0,005
+ 02
+ 02
р = 0,01
(У)
+ 5,1689498269973
+ 1,88848960079907
+ 4,0541422172059
+ 7,8980615030259
+ 1,1948288634644
+ 2,6678482649361
+ 1,51694263464972
+ 1,2060240515488
+ 1,097683026619
+ 1,06395717113974
+ 1,06501370148460
+ 1,0848945870843
+ 1,11606497004065
+ 1,076958216306
+ 9,069104999053
+ 9,06321071678
+ 7,176059120859
+ 6,44239545505
+ 2,27172455836
+ 1,1316242941
+ 1,0187430
+ 9,74248
+ 1,02329970
+ 1,025930
+ 9,746045
+9,4478122
+ 8,113639
+ 7,62270
+ 5,635149
+ 1,204
l,37i) p
+ 7,79450107584639
+ 1,169174946091218
+ 1,55891336719896
+ 2,3383592864799
+ 01 +7,794772338224666
+ 02 +1,1691943218998
я Ап (у) неверны.
—Oil
+оо/
—Olt
—Oil
+ 00/
—он
—он
—Olt
—ОН'
—он
—он
—01/
—он
+ 00/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
+ 00/
—01/
+ 00/
+ 00/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
+ 02/
+ 03/
+ 02/
+ 00/
+ 01/
+ 02*
269

n
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1,4552105650993
2,1838211591300
2,91226936055390
7,25688023463315
1,090540238108
1,45506355154621
1,3322397219792
2,09477887828054
2,842594020076
3,583452928301
4,32049328261191
5,03944457975074
9,2176348460177
1,32023353170473
1,7075933124819
2,08833473382217
2,46488399725532
2,83863010426237
3,5194819798326
1,1065489722143
2,2237400580211
3,53956959966747
4,9294202218729
6,3324484748539
7,7247794049336
9,0990302665921
1,0454382147994
1,17923589859331
1,2300682213690
3,7001749673836
7,41620257251
1,2359586637524
1,842504485867
2,5398137565712
3,3014340054191
4,1031983152741
4,9267996473618
5,759940727944
6,5950203864957
7,427654377908
8,255505961158
An
p = 0,05
+ 01
+ 01
+ 01
p = 0,l
+ 00
+ 01
+ 01
P = 0,5
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
p=l
—01
—01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
p = 3
—02
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
+ 00
+ 00
p=5
—02
—02
—02
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
(У)
+ 1,56026996433842
+ 2,3393281901314
+ 3,1185605038342
+ 7,82192207330490
+ 1,17113283599026
+ 1,5604223561968
+ 1,69871899969780
+ 2,43735113306850
+ 3,19448294740
+ 3,95984808078864
+ 4,72959443699033
+ 1,07207296624786
+ 1,37315515498979
+ 1,71541698335491
+ 2,07566637511246
+ 2,44530712244433
+ 2,8204606769021
+ 3,1991260540994
+ 9,975299617000
+9,962944493846
+ 1,01381094990910
+ 1,05696687753782
+ 1,12217434293353
+ 1,203592541325
+ 1,2964329701982
+ 1,39733700488478
+ 1,5040371682593
+ 1,6149994282627
+ 9,998632515733
+ 1,00012271872615
+ 1,0018560572132
+ 1,00678704703420
+ 1,01710531750454
+ 1,03460807377488
+ 1,060047530793
+ 1,0931798708036
+ 1,133178613075
+ 1,17901880957004
+ 1,22970399166560
+ 1,2843629072903
+ 1,34227244593096
+ 0U
+ 01i
+ 01;
H-OOt
+ 01i
+ 0H
+ 00;
+ 00;
+ 00;
+ 00i"
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+ 00i
+oo;
—oi;
—Oli
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
—Oil
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;

An(y)
1
2
3
5
10
15
20
1
5
10
15
20
30
40
50
60
66
1
5
10
20
30
50
75
100
120
1
5
10
25
50
75
100
150
200
225
1
5
10
25
50
75
100
2,956612836499
8,870280337755
1,774047589318
4,432490480621
1,6042627196965
3,3335799161525
5,34185995852
1,144688764180
1,716882181856
6,293561121075
1,372484057666
2,400031733707
5,299891587894
9,297787413650
1,43302310239
2,02907318
2,425184
2,849927068
4,274785983473
1,5673105375405
5,98256039703
1,324028128181
3,623201854755
8,055849635830
1,412608924
2,0035
7,1100929870
1,06650708490
3,91045386507
2,3104302299918
9,05969380338
2,023312796405
3,57999178677
7,985181743079
1,4024781071908
1,760
3,157861188
4,736778011
1,73680415836
1,0262353218298
4,02517580298
8,994220435
1,592847984768
p=10
—03
—03
—02
—02
—01
—01
—01
p=50
—04
—03
—03
—02
—02
—02
—02
—01
—01
—01
p=100
—05
—04
—03
—03
—02
—02
—02
—01
—01
p = 200
—06
—04
—04
—03
—03
—02
—02
—02
—01
—01
p = 300
—06
—05
—04
—03
—03
—03
—02
+ 1,00008880687593
+ 1,0002948003201
+ 1,0006748747366
+ 1,0023276580721
+ 1,0186516503500
+ 1,0695612416915
+ 1,1631707321905
+ 1,0000069405962
+ 1,0001055033098
+ 1,0004014388257
+ 1,0009274970457
+ 1,0017477685877
+ 1,0046438840215
+ 1,0100406479154
+ 1,019129436205
+ 1,033147022
+ 1,044365
+ 1,0000018334008
+ 1,0000275866802
+ 1,0001020483772
+ 1,0004029001785
+ 1,0009403289430
+ 1,0029949205734
+ 1,0084637248680
+ 1,01914902868142
+ 1,03303
+ 1,00000047
+ 1,00000706249936
+ 1,0000259514130
+ 1,0001555661131
+ 1,000640843404
+ 1,0015452035508
+ 1,0030149715422
+ 1,0084950057441
+ 1,01915573366093
+ 1,027162
+ 1,0000002108886
+ 1,0000031643756
+ 1,0000116136626
+ 1,000069062934
+ 1,0002769631043
+ 1,0006413799287
+ 1,001191487282
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*'
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
+ 00*
271

An(y)
150
200
250
300
328
1
5
10
25
50
100
150
200
250
300
350
400
431
3,565628443074
6,30845173506
9,79722007565
1,3991123250536
1,66252
1,77568393
2,663521448
9,7661992748
5,7707515534
2,26365161441
8,96151638151
2,007880348028
3,55845425776
5,5422509668597
7,949969259104
1,0767392362091
1,397431514189
1,61461
—02
—02
—02
—01
—01
p = 400
—06
—05
—05
—04
—03
—03
—02
—02
—02
—02
—01
—01
—01
+ 1,003021301908
+ 1,006215445571
+ 1,0113664517062
+ 1,0191575210933
+ 1,02493
+ 1,0000001191263
+ 1,000001787226
+ 1,000006556623
+ 1,000038881683
+ 1,0001544398981
+ 1,0006416175587
+ 1,0015499169343
+ 1,0030244014328
+ 1,0052630666940
+ 1,0085098260267
+ 1,0130429675852
+ 1,0191583314941
+ 1,02387
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
Данные этой таблицы мы сравнили с нашими точными расчетами
Ап(у) по алгоритму Ленца (табл. 4.9). Наши исследования
показали, что точность счета Ап(у) опять сильно зависит от х в т,
а также от р и п. Для малых значений х в т (т=1,78 — 0,h'):
для малых значений р — от 0,01 до 5 — точность счета весьма
стабильна и составляет 10~14—Ю-15 как для мнимой, так и для
действительной части Ап(у) (при одинарной точности счета на
ЭВМ). Для р^Ю точность несколько уменьшается и составляет
10~10—Ю-13. Для р ^ 30 пользоваться предложенной схемой
расчетов Ап(у) уже невозможно из-за резкого ухудшения точности
счета.
Для больших значений х в т (т=1,28—1,37/) при малых
р^0,001 и до р^З точность счета Ап(у) очень высокая и
составляет Ю-14—Ю-15. Начиная с р = 3 с возрастанием р точность счета
Ап(у) постепенно уменьшается. Так при р = 5 точность
составляет Ю-13—Ю-14, при р = 50 —примерно 10~7—10"13, а при р =
= 100 точность равна Ю-5—Ю-9, когда пжр. При п>р точность
счета Ап(у) резко уменьшается независимо от величин р и п:
при р —200 точность составляет Ю-3, при р —300—Ю-5, а при
р —400—10~4 при условии п>р, но не намного. Для этих же
р, но при я<р, точность составляет 10~9—Ю-10.
Из рассмотренных результатов можно сделать следующий
окончательный вывод. Прежде всего как для малых, так и для
больших значений пик обратной рекурсией Ап(у) следует
пользоваться с большой осторожностью, особенно когда речь идет
о расчетах Ап(у) в области р^ЗО при малых п и х. Здесь,
в отличие от других схем расчетов обратной рекурсией [23, 29],
272

не предусмотрена коррекция по формулам (4.7) — (4.9). Этим,
по-видимому, можно объяснить уменьшение точности счета
Ап(у) для больших значений р, полученных в результате нашего
исследования по схеме обратной рекурсии, предложенной Боре-
ном и Хафменом [2].
Некоторую ясность внесла работа [22], где для конкретных
значений т= 1,342 — щ проведены расчеты Ап(у) обратной
рекурсией при изменении х от Ю-5 до 1. В другой работе [29]
рассматриваются изменения коэффициентов эффективностей
рассеяния и поглощения, когда п меняется от 1 до 10, ах — от Ю-4 до
10 при изменении р от 0,1 до 10.
Однако, как показывают наши вычисления, этого явно
недостаточно для всестороннего рассмотрения проблемы, тем более, когда
основные трудности возникают при р>10. Здесь требуются
дополнительные исследования. Возможно, в схеме расчетов
обратной рекурсией Ап(у), предложенной в [2] и представленной
в программе BHMIE, слишком упрощенно трактуется вопрос
расчета Ап(у) обратной рекурсией. По-видимому, в эту схему
расчета следует вложить смысл расчета обратной рекурсией,
разработанной в работах [19, 20, 24, 26], которая используется нами
при расчетах 'фп(р) (см. п. 4.1.2.2.). О том, что это именно так,
можно судить по работе [38], где приводятся расчеты Ап(у) по
методу Дейве — обратной рекурсией до р= 10 000. В этом случае
программа расчета Ап(у) намного усложнится, поэтому следует
разобраться — не проще ли для расчетов Ап(у) использовать
алгоритм Ленца (см. п. 4.1.4.3). Преимущество алгоритма Ленца
очевидно и еще раз подтверждено сравнением двух методов,
приведенных в работе [38]. Последнее обстоятельство явилось
основной причиной того, что для расчетов Ап(у) мы не применили
схему точного счета обратной рекурсией (коррекция по
формулам (4.7) — (4.9)), которая использовалась нами при расчетах
^>п{у)• Те, кто интересуется точной обратной рекурсией Ап(у),
могут обратиться к п. 4.1.2.2.
В конечном счете все зависит от того, какая задача стоит
перед исследователем. Если его интересуют малые значения р^
« 10. . . 20 и большие значения пик, можно для расчетов
использовать рассмотренную выше схему обратной рекурсии без
особых его усложнений. Если же значение р велико, то следует
обратиться к точной схеме расчетов Ап(у) обратной рекурсией.
При расчетах Ап(у) прямой рекурсией имеет большое
значение максимальное число членов я=М*, которое обязательно
в суммировании коэффициентов эффективностей. Для обратной
рекурсии не важно, каково истинное значение Л/*. Основное
требование, которое должно соблюдаться, заключается в том чтобы
п ^> p = N*. Значение Л/* должно содержать на 10 или 15 членов
больше, чем принятое строгое значение п для расчетов прямой
рекурсией. Указанное условие является основным принципом
обратной рекурсии — все высшие члены Ап(у) оказываются
неверными и не учитываются в расчетах. В работе [2] в дополнение
18 Заказ № 124
273

к счету при прямой рекурсии рассматривается еще 15 членов (см.
формулу (4.25)). В работе [31] предложено начинать обратную
рекурсию со значения /г, большего чем М* = р + ср1/з. В [23] за
основу счета предложено использовать W* = 1,1 |mp| + U а затем
N*=(l,l|m|—1)р—4р1/з. Во всех случаях следует помнить, что
значение n = N* начала обратной рекурсии не должно быть
меньше я, принятого для прямой рекурсии.
В работе [28] предложено простое рекуррентное соотношение
для вычисления Ап(у) обратной рекурсией
АЛУ) = ^~ [(1+я)/р/+^,(,). (4-26)
когда велика мнимая часть комплексного показателя
преломления. Начальное значение Ам* + м(у)у с которого начинается
рекурсия, для существенно больших значений N* определяется по
формуле
Л/* + М+ 1
iyV*+ M
(У) = -
Р
которая получается непосредственно из выражения (4.26) при
больших n = N*9 когда п^>р, а величина М описывается
формулой
М
J_ Г Jgeyv* __ - ]
2 L lg(p/2tf*) Ч'
где 8yv* — время вычислений, принятое в [28] равным 10-8.
Интересный алгоритм расчета Ап(у) обратной рекурсией
предложен в [1]. Стартовые значения Ап(у) рассчитываются с
высокой точностью по алгоритму Ленца [33], а затем по формуле
обратной рекурсии (4.24) получаются все значения Ап(у) низших
порядков.
4.1.4.3. Расчет функции Ап[у) по алгоритму Ленца
В нашей программе ORION, как отмечалось ранее, для расчета
логарифмической производной Ап(у) используется алгоритм
Ленца [32, 33]. Ниже подробно рассматриваются способы
расчета этим алгоритмом, возможности ускорения программы,
а также исследуется вопрос точности счета. Для удобства
обсуждения мы повторяем основные формулы Ленца. Согласно
выражению (3.133), формула для вычисления Ап(у) по Ленцу имеет
вид
-ф'п(У) _ j^^_ Jn->/2(y)
где у — комплексное число: у=тр= [п — Ы] р,
Jfi-'/.M = Ы Ч gagi H «Wi I ---|flg-i ■.■fl1|-|flg..-fl1|
Jn + i/i(y) \a2\ - \ аъа2 | ... I аё_ , ... а2 | • \ag ... а21
274
Лга(У) = -^Г---+ , ' ", , (4-27)
(4.28)

am, = (-l)m' + l2(n + m'- \/2)y-\ (4.29)
Kl = ai = (-l)2-2(Az+l-l/2)rT\
I a2ax \ = a2 + — ,
| аъа2ах \ = az + —- , J_ (4.30)
a2 ^ a{ '
| а<а,а2а{ \ = a4 + — _j L 1
и т. д.
Как видно из формулы (4.27), основным в алгоритме Ленца
является расчет отношения /n_i/2/(r/)/ Jn+^hiy) по формуле (4.28),
который можно проводить по последовательной схеме (4.30).
Сначала рассматривается первая дробь и вычисляется отношение
числителя к знаменателю дроби. При этом получается значение,
которое необходимо сравнить с точностью расчетов Ап(у),
задаваемой нами заранее. Если они совпали, то расчет по формуле
(4.28) прекращается. Если совпадения нет, то дается команда
ЭВМ, и она считает следующую дробь: |a3a2ai |/|a3a2|.
Полученное значение опять сравнивается с заданной точностью
вычисления Ап(у). В случае их совпадения расчет по формуле (4.28)
прекращается. Если же нет, то ЭВМ считает следующую дробь и
т. д., до тех пор пока в расчетах не будет достигнута та точность,
которую мы заранее задали. Интересным является то, что с
расчетом каждой последующей дроби отношение числителя к
знаменателю дроби постепенно уменьшается. Поэтому чем меньше
заданная нами точность вычисления Ап(у), тем большее число
дробей необходимо рассчитать, чтобы достигнуть необходимой
точности.
Используя данную—(4.30) схему расчета (4.28), мы
составили программу расчета на ЭВМ—1-НД (см. приложение) для
вычисления только одного любого значения Ап(у). «Медленной
программой» мы будем называть программу 1-НД.
Как показали первые же вычисления, программа 1-НД
оказалась очень медленной и практически непригодной для массовых
расчетов. Например, при т=1,78 — 0,1/ и г>=100 для расчета
122 значений Ап(у) от п=\ до п=122 при точности
непрерывной дроби (4.28) Ю-9, ЭВМ ЕС-1045 (600—800 тыс. операций
в секунду) тратила на вычисление достаточно большое время —
93 мин. (Следует в дальнейшем четко различать две точности,
о которых идет речь: 1) точность счета на ЭВМ — одинарная
(15 точных цифр после запятой) и двойная (31 точная цифра
после запятой); 2) точность вычисления непрерывной дроби
(4.28) — точность, которую заранее задает сам исследователь
исходя из необходимой точности расчета Ап(у) непрерывной дробью
(4.27).)
18*
275

Как показали расчеты, на скорость счета сильно влияет
точность, с которой вычисляется непрерывная дробь (4.28). Поэтому
необходимо было выяснить, какую минимальную точность следует
использовать при расчетах Ап(у) непрерывной дробью, чтобы не
уменьшить точность вычислений факторов эффективности
К0(т, р), /Ср(т, р), Кп(т, р) и /Срл(т, р). С этой целью была
составлена программа 2-НД (см. Приложение). Результаты
расчетов по этой программе приводятся в табл. 4.8.
Первое, что бросается в глаза при ознакомлении с табл. 4.8,
это резкое уменьшение точности счета всех четырех указанных
коэффициентов (от Ю-15 до Ю-6) с уменьшением точности
вычисления непрерывной дроби (от Ю-18 до Ю-5). Особенно мала
точность счета /Срл(яг, р) как для малых, так и больших значений
Я и х с увеличением параметра р.
Данные табл. 4.8 убедили нас в том, что для получения
окончательных данных для Г0, Гр, Гп и Грл с точностью Ю-4—10~5
при изменении р от 0,001 до 400 точность непрерывной дроби
должна быть не меньше 10~9, т. е. 9 точных цифр после запятой.
Следует отметить, что в табл. 4.8 указано время счета для
двух значений р = 0,01 и р= 100, а также для четырех факторов
эффективностей. Причем для больших значений х в т (т =
= 2,58 — 0,95/) время счета почти в 2—3 раза меньше, чем для
малых значений х в т (m=l,78—0,h'). Как видно из табл. 4.8,
даже при точности счета непрерывной дроби 10~9 время,
затраченное на вычисление четырех коэффициентов эффективностей и
двух значений р, опять велико (при т=2,58 — 0,95/ время счета
составляет 7 мин 39 с). Это побудило нас искать пути
сокращения времени счета по формуле (4.28).
Исследования показали, что основное время ЭВМ
затрачивается в связи с неправильной организацией алгоритма счета, на
сравнение числителя и знаменателя каждой дроби в формуле (4.28)
и т. д.
1. Действительно, при расчетах по формуле (4.28) нет
необходимости использовать лестницу счета (4.30); можно
воспользоваться упрощенной схемой вычисления:
1^1 = ^ + -^,
|а3ад| = аз+Т^, (4.31)
и т. д., т. е. для каждой последующей скобки использовать
результат предыдущего счета.
2. Кроме того, определенный выигрыш времени можно получить
благодаря правильному заданию численных данных в программу
ЭВМ. Поскольку все операции ЭВМ производит с числами с пла-
276

Таблица 4.8
р=100
р = 0,01
р= 100
р = 0,01
р=100
р = 0,01
р = 100
р = 0,01
о=100
р = 0,01
р=100
р = 0,01
о = 100
Р = 0,01
р= 100
р = 0,01
Точность расчета факторов эффективности
т=1,78 — 0,It; точность Ю-18; время 28 мин 0,1 с
Ко = 2,090606194995517 +00
/Сп = 9,167317087551664 —01
К0 = 1,597997435078713 —03
Кп= 1,597992661900562 —03
КР = 1,173874486240351
КР л = 7,991591074793126
Кр = 4,773178150974207
Л'р л =7,159388952571740
т=1,78 — 0,Н; точность Ю-15; время 27 мин 37
Ко = 2,090606194995517
Кп = 9,16731708755166
Ко =1,597997435078713
/Сп = 1,597992661900562
+ 00 /СР = 1,173874486240351
—01 Крл = 7,991591074793
_03 КР = 4,773178150974207
—03 КР л = 7,159388952571740
т=1,78 — 0,It; точность Ю-8; время 14 мин
Ко = 2,0906061949 +00
Кп = 9,16731708755 —01
Ко = 1,597997435078713 —03
/С„ = 1,597992661900562 —03
КР =
Крл =
1,173874486
= 7,9915910
/Сг = 4,773178150974207
Крл = 7,159388952571740
■1,78 — 0,It; точность Ю-7; время 13 мин 35 с
Ко = 2,09060619 +00
Кп = 9,167317 —01
Ко = 1,59799743507870 —03
Кп = 1,5979926619005 —03
КР= 1,17337448
Крл = 7,9915910
КР = 4,773178150974
КРл = 7,1593889525717
т = 1,78 — 0,1/; точность Ю-6; время 13 мин 22 с
Ко = 2,09060619 +00
Кп = 9,1673170 —01
Ко = 1,5979974350787 —03
Кп = 1,5979926619005 —03
Кр =
Крл :
1,173874486
= 7,9915
Кр = 4,773178150974194
КрЛ = 7,1593889525717
-1,78 —0,li; точность Ю-5; время 12 мин
Ко = 2,090606
Кп = 9,16731
Ко = 1,5979974350787
Кп = 1,5979926619005
+ 00 КР= 1,173874
—01 КРл = 7,991
—03 КР = 4,773178150974
—03 КР л = 7,1593889525717
т = 2,58 — 0,95г, точность 10~18; время 15 мин 25 с
Ко = 2,098363238400355 + 00
Кп = 7,727062938926572 —01
Ко = 6,991550506845471 —03
Кп = 6,991535729656181 —03
Кр = 1,325656944507698
Крл =2,477623953544781
КР= 1,477718929084420
Крл =2,216425128146395
т = 2,58 — 0,95г, точность Ю-9; время 7 мин 39 с
Ко = 2,098363238 +00
Кп = 7,72706293892 —01
Ко = 6,99155050684547 —03
Кп = 6,991535729656181 —03
КР = 1,325656944
Крл =2,477623953
КР= 1,47771892908442
Крл =2,216425128146395
+ 00
—02
—09
—09
+ 00
—02
—09
—09
+ 00
—02
—09
—09
+ 00
—02
—09
—09
+ 00
—02
—09
—09
+ 00
—02
—09
—09
+ 00
—01
—08
—08
+ 00
-01
—08
—08
277

m = 2,58 — 0,95t; точность 10~8; время 6 мин 46 с
р =
р =
р =
р =
р =
р =
р =
р =
= 100
= 0,01
= 100
= 0,01
= 100
= 0,01
= 100
= 0,01
Ко = 2,098363238
Кп = 7,7270629389
Ко = 6,99155050684547
Кп = 6,991535729656181
+ 00
—01
—03
—03
т = 2,58 — 0,95i; точность Ю-7
Ко = 2,09836323
Кп = 7,72706293
Ко = 6,99155050684547
Кп = 6,991535729656181
+ 00
—01
—03
—03
га = 2,58 —0,95i; точность 10~6;
Ко = 2,098363
Кп = 7,727062938
Ко = 6,991550506845
Кп = 6,99153572965
т = 2,58 — 0,95/;
Ко = 2,09836
Кп = 7,7270629
Ко = 6,991550506845
Кп = 6,99153572965
+ 00
—01
—03
—03
ТОЧНОСТЬ 10"
+ 00
—01
—03
—03
КР = 1,325656944
#рл =2,4776239
#р = 1,47771892908442
/СРл = 2,216425128146395
; время 5 мин 52 с
КР = 1,32565694
КР л =2,477623
КР= 1,47771892
КР л =2,216425128146395
время 4 мин 56 с
КР = 1,32565
/(рл =2,47762
Кр= 1,4777189290844
КРл =2,2164251281463
-5; время 4 мин
КР = 1,32565
КР л =2,4776
Kv = 1,477189290844
Kv л =2,2164251281463
+ 00
—01
—08
—08
+ 00
—01
—08
-08
+ 00
—01
—08
—08
+ 00
—01
—08
-08
вающей запятой, то и начальные численные данные в программу
следует записать в виде чисел с плавающей запятой. В этом
случае ЭВМ не тратит лишнее время на преобразование чисел.
С учетом положений 1 и 2 была составлена новая программа
для вычислений Ап(у) по формуле (4.28) —программа 3-НД (см.
приложение). Эта программа оказалась очень быстрой по
сравнению с программой 1-НД.
3. Как показали исследования, ЭВМ тратит очень много
времени на операцию сравнения числителя и знаменателя каждой
дроби в формуле (4.28). Когда число дробей при вычислениях по
формуле (4.28) мало, на это уходит мало времени, но когда g
велико, например 100—200, то счет на ЭВМ следует
организовать по-иному. Если число дробей в формуле (4.28) велико, то
можно для начальных дробей не сравнивать числитель и
знаменатель. Механизм сравнения числителя и знаменателя следует
вводить тогда, когда до конца счета остается, допустим, пять
шагов (т. е. пять дробей). Таким образом, вся программа счета
(4.28) состоит из двух частей: 1) программа быстрого счета без
сравнения числителя и знаменателя дроби; 2) уже разработанная
нами программа 3-НД со сравнением числителя и знаменателя
каждой последующей дроби до получения заранее заданной
точности расчета непрерывной дроби.
Исходя из вышеизложенного мы составили программу 4-НД
(см. приложение). Для облегчения описания алгоритма расчета
Ап(у) программой 4-НД одновременно рассмотрим конкретный
пример расчета, когда т=1,78 — 0,1/ и р=100. Для определения
278

одного из значений Ко(т, р), /Ср(т, р), /Сп(т, р) или KVn(m, р)
по третьей формуле (4.4)
п = N* = XS = р + 4р1/з + 2 (4.32)
при условии р= 100, вычисляется максимальное значение п=
= N* = XS=l22y т. е. необходимо вычислить 122 значения n=N*r
и п меняется последовательно от 1 до 122 (обозначения мы
приводим согласно программе 4-НД).
При точности непрерывной дроби 10~9 ЭВМ первым долгом по
программе 3-НД вычисляет только два значения — А\(у) и
А\22(у) и одновременно определяет величины NMX и NMN.
Здесь NMX — число дробей, которое необходимо подсчитать для
получения Ai(y); оно оказалось равным NMX=178; NMN— число
дробей, которое необходимо для расчета конечного значения
А\22(у)> оно оказалось равным NMN=67. Затем в зависимости от
значений NMX и NMN ЭВМ вычитает из них пять дробей, если
NMX и NMN больше или равно 25; отнимает три дроби, если
NMX и NMN меньше 25; ничего не отнимает, если NMX и
NMN'=NMN — 5. После этого по формуле
MN = NMX>- Н™Х'-™»')ЫЮ (4.зз>
для каждого отдельного значения п (от п = 2 до /г= 121)
определяется число дробей MN, до которого ЭВМ считает «быстрой»
программой — без сравнения числителя и знаменателя дроби —
и начиная с которого подключается программа 3-НД для
сравнения числителя и знаменателя. Здесь NN принимает
последовательно значения п от 2 до 121. Так, для NN=n=2 значение
MN, рассчитанное по формуле (4.33), равно МЛ^=173. Это
означает, что 173 дроби ЭВМ будет считать «быстрой» программой,
а начиная с 174 дроби будет подключена программа 3-НД
сравнения числителя и знаменателя до достижения точности Ю-9. На
следующем шаге рассматриваются м = 3, 4 и т. д., 121 до тех пор,
пока не будут определены MN для всех значений п. Легко
видеть, что программа 4-НД весьма эффективна для больших
значений g в (4.28), где NMX и NMN велики и можно ожидать
большого выигрыша во времени.
4. Следующая проблема, требующая рассмотрения,— это выбор
точности счета непрерывной дроби. Однако прежде необходимо
разобраться, с какой точностью следует считать на ЭВМ
величину А п (у).
Для малых значений р^0,001... 0,1 и т=1,78 — 0,1 i
фактически не имеет значения, с какой точностью — одинарной или
двойной — считать на ЭВМ, которая тратит очень мало времени
на эти вычисления. Однако с увеличением р это уже
небезразлично. Например, при двойной точности счета для расчета 66
значений Ап(у) и р=50 ЭВМ ЕС-1045 тратит более 3 мин, в то
279

время как при одинарной точности и точности непрерывной дроби
Ю-20 на вычисление требуется около секунды. Ясно, что большое
время счета нас не устраивает. Поэтому было решено двойную
точность счета на ЭВМ при расчетах Ап(у) не использовать,
а ограничиться одинарной.
Однако, если мы выбрали одинарную точность, то теперь
время счета Ап(у) зависит исключительно от выбора точности
расчета непрерывной дроби. Поскольку мы имеем большой
выигрыш во времени из-за использования одинарной точности, то
для получения Ап(у) с высокой точностью мы решили выбрать
точность непрерывной дроби Ю-20. Из табл. 4.8 видно, что при
использовании точности непрерывной дроби Ю-20 вместо 10~9 мы
проигрываем во времени почти в два раза. Это время намного
меньше выигрыша во времени при использовании одинарной
точности вместо двойной.
5. Некоторый выигрыш во времени для р >> 10 можно
получить, если, наряду с одинарной точностью, использовать и
оптимизирующую программу ЕС-1045. Расчеты показали, что
применение этой процедуры ускоряет время счета при больших р
более чем в два раза.
С учетом всего вышеизложенного была составлена программа
4-НД. С помощью- этой программы мы рассчитали (табл. 4.9)
значения Ап(у) для двух значений комплексного показателя
преломления: т=1,78 — 0,1 и т=1,28—1,37/, и следующих
значений р = 2ягД; 0,001; 0,005; 0,01; 0,05; 0,1; 0,5; 1; 3; 5; 10; 30;
50; 100; 200; 300; 400 с с точностью 15 точных цифр после
запятой. Эти значения можно использовать в качестве эталонных.
Как уже отмечалось в расчетах других специальных функций,
одновременно с р необходимо рассмотреть и диапазон изменения п.
В табл. 4.9 выбор интервалов рассмотренных п аналогичен
выбору в других наших таблицах. Таблиц, подобных табл. 4.9, в
литературе нет, и они будут весьма полезны исследователям в
процессе отладки программ счета Ап(у).
В табл. 4.10 приводится хронометраж расчета значений Ап(у)
по программе 4-НД. Следует помнить, что в табл. 4.10 приводится
время расчета всех п значений Ап(у)у определенных согласно
формуле (4.32).
В табл. 4.11 приводятся результаты сравнения расчетов Ап(у)
по методу Дейве [23], Ленца [33] и нашей программой 4-НД.
Сравнивается число дробей или операций при расчетах Ап(у)
обратной рекурсией [23]. Как видно из таблицы, при расчете
методом Ленца дробей меньше, чем при расчете обратной рекурсией.
В нашей программе 4-НД также используется метод Ленца.
Однако в ней число дробей почти вдвое больше, чем при
использовании метода Ленца. Это объясняется тем, что точность счета
(Ю-20) у нас намного превосходит точность счета [33] (Ю-8).
Как уже отмечалось, использовать подобную высокую точность
нам дала возможность упрощенная схема счета Ап(у),
рассмотренная выше. Окончательный выигрыш во времени счета коэффи-
280

Таблица 4.9
Функция An(y)i рассчитанная непрерывной дробью
-число дробей при расчете каждого из значений Ап(у)
1 1,120060051752296
2 1,680090357342765
1 2,240103015464752
2 3,360168508955435
1 1,120024807433103
2 1,680065182930386
1 2,238340416342113
2 3,358909636310385
3 4,479252663738104
1 1,116497211149570
2 1,677546486718969
3 2,238142410419131
1 2,057987980393824
2 3,231422366275209
3 4,380558492720638
4 5,518944811148738
5 6,651623500802293
1 7,269862641232165
2 1,412020043328986
3 2,035720549085403
4 2,634642211370366
5 3,220990647678074
6 3,800051716887763
7 4,374500367253955
1 7,825085448683136
2 —1,458442807205384
3 —1,879090420885766
4 2,995094406307218
5 6,286796100749158
6 9,013407167642919
7 1,146587722719346
8 1,376159876231507
9 1,595807623229278
10 1,808720396939669
= тр=(1,78 — 0,1/)р
р = 0,001
+ 03 +6,292476200355318
+ 9,438712729855311
+ 03
р = 0,005
+ 02 +
+ 02 +
р = 0,01
1,258504840238977
1,887749403140789
+ 02
+ 02
р = 0,05
+ 01
+ 01
+ 01
+ 6,292674206281732
+ 9,438854160579658
+ 1,259495518795784
+ 1,888456815201171
+ 2,517545369137651
р = 0,1
+ 01 +6,312528586081330
+ 01 +9,453018576048799
+ 01 +1,259607017918985
р = 0,5
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
р=1,0
—01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 1,365694948850344
+ 1,961956998580281
+ 2,573907881087090
+ 3,192458386501654
+ 3,814419892619458
+ 8,994950673103200
+ 1,111616983181211
+ 1,381307336464212
+ 1,670473045514752
+ 1,968597538359294
+ 2,271609931848539
+ 2,577594828355992
Р = 33
—01
+ 00
—01
—01
—01
—01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
о
+ 4,788641239979237
+ 1,193358548634052
+ 1,827422049907582
+ 1,156542510147737
+ 1,033489836460082
+ 1,033691137747921
+ 1,078771247991511
+ 1,144853684524912
+ 1,222406638143005
+ 1,306913074404984
+ 01/
+ 01/
+ 01/
+ 01/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
-01/
—01/
+ 00/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—02/
-01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
+ 00/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
5
5
6
5
6
6
7
7
7
S
7
8.
11'
10-
10
10
9
14
13
12^
12
12
11
11
22-
21
19
19
17
16
16
15
15
15

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
5
10
15
20
1
2
3
5
10
15
20
25
30
40
48
1
2
3
5
10
15
20
25
30
40
50
59
1
2
3,286433175456788
-6,184356826568820
-1,194134280103249
7,681624166302650
-8,965935344900314
-2,591758827229054
1,327371927283597
3,913352857682519
5,961692784355883
7,735933903127449
9,348374263620011
1,085576500579264
1,229030772865315
2,735732708650585
-2,498115847781418
2,583256146561884
8,830640905073978
-2,303838776112916
1,313506865809650
6,618817989782354
-3,145648146652694
2,816662369656357
-2,479800032855505
-7,369603820270964
-3,407694635128190
-1,618364986186458
7,713110104824129
-3,733487971958256
-8,634538087797503
5,964420630055706
9,515497947450266
-8,204770963408415
5,8802161376952.06
-8,435164899741861
-2,142861855525229
6,665866036138306
1,007064035141974
1,451983370987590
1,342646383640685
7,834463145181533
5,918025503970920
1,112864966440455
5,362960153960427
6,043817909230425
-5,460586483451764
An
(V)
P=5,0
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
+ 00
+ 00
+ 5,168949826997335
+ 1,888489600799074
+ 4,054142217205916
+ 7,898061503025921
+ 1,194828863464488
+ 2,667848264936149
+ 1,516942634649724
+ 1,206024051548869
+ 1,097683026619198
+ 1,063957171139740
+ 1,065013701484601
+ 1,084904587084329
+ 1,116064970040655
p=lU
—01 +1,076958216306395
—01
—01
—02
—01
—02
—01
+ 9,069104999053608
+ 9,063210716781559
+ 7,176059120859418
+ 6,442395455051271
+ 2,271724558369034
+ 1,131624294167088
p = 2U
—02 +1,018743042878120
—02
—02
—03
—02
—02
—02
—02
—02
—01
+ 9,742480981417219
+ 1,023299709277612
+ 1,025930622923428
+ 9,746045400011834
+ 9,447812224152656
+ 8,113639101083477
+ 7,622708085168639
+ 5,635149773356160
+ 1,204147701252952
—01 +1,104720558411161
{J OK
—05
—04
—04
—03
—03
—02
—02
—02
—03
—02
—01
+ 9,946990882718102
+ 1,003926485894133
+ 9,930198416774010
+ 9,904205103558412
+ 9,781406516756479
+ 9,585575768212346
+ 9,233711010362061
+ 8,707603687936776
+ 8,290141642545014
+ 6,684762441018512
+ 2,591985749069438
—01 +1,274475139632962
r. A(\
P — 4
—04
—04
+ 1,000134641235845
+ 9,991141468484563
—01
+ 00
—01
—01
+ 00
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
+ 00
—01
—01
—01
—01
—Ob
—Oh
+ 00
—Ob
+ 00i
+ 00
—Oh
—Oh
—01
—Oh
—Oh
—Oh
—Oh
—Oh
+ 00i
—Oh
—Oh
—Oh
—Oh
—Oh
—Oh
—Oli
—Oli
—oh
—Oil
+ 00i
—oh
n
i 26
i 27
i 26
i 24
i 22
i 22
i 20
I 20
; 20
• 18
; 18
' 17
i 17
40
39
i 38
• 36
30
26
21
69
60
58
56
52
47
• 42
37
33
25
21
81
80
79
77
72
67
61
57
53
43
33
27
101
100
282

n
3
5
10
15
20
25
30
40
50
60
71
1
5
10
15
20
30
40
50
60
66
1
5
10
20
30
50
75
100
120
1
5
10
25
50
75
100
150
200
225
1
5
10
25
50
7,456986487099906
9,700777796059628
6,806733135301945
1,608375300101397
3,644018931208595
5,875937607576806
8,475806718081180
1,960018046786257
2,908633654943154
6,059096999550476
2,708403169238175
-6,608012148927137
1,289071923783044
6,870663451976899
1,648719964576994
2,788663995782033
6,243562399137508
1,175202989335613
1,920514562813921
3,110918146046580
3,830090372116975
3,353274970934252
5,027141268958666
1,845296801829430
7,078609415052533
1,579564435655100
4,442433236184511
1,047582216391697
2,023163033981527
3,231031016315156
8,592326302010993
1,28896551836821
4,727726489506343
2,799430626851673
1,106322034004389
2,503817324927354
4,516538575417255
1,069904529082055
2,074444538056334
2,793213243359512
3,851063948176426
5,776872333862134
2,118476185082075
1,252984040364226
4,931626998297272
An
—04
—04
—04
—03
—03
—03
—03
—02
—02
—02
—01
(У)
+ 9,990716443259504
+ 9,971416693968757
+ 9,897820742566662
+ 9,759806769564792
+ 9,572964414334270
+ 9,334738539967397
+ 9,045664175243655
+ 8,219641902054795
+ 7,044985612522598
+ 5,183037557703939
+ 1,843766668595006
p = 5U
—05 + 9,999200785837493
—04
—04
—03
—03
—03
—02
—02
—02
—02
+ 9,981877248862528
+ 9,929909628215987
+ 9,848476757064399
+ 9,734401392485405
+ 9,401121944078856
+ 8,913296986008851
+ 8,255033519273252
+ 7,367298585007100
+ 6,675189470089499
p=10u
—06 +9,999687091893197
—05
—04
—04
—03
—03
—02
—02
—02
+ 9,995305046457933
+ 9,982774410877536
+ 9,934070312647677
+ 9,853424920181851
+ 9,592804206872838
+ 9,064848812417355
+ 8,271944584586949
+ 7,391915414787377
p = 20u
—07 +9,999921802651034
—05
—05
—04
-03
—03
—03
—02
—02
+ 9,998826976241029
+ 9,995698247017649
+ 9,974553928258594
+ 9,899802146677453
+ 9,774626203531611
+ 9,597076863754186
+ 9,071845487456824
+ 8,282653311938577
—02 +7,765614906997899
—07
—06
—05
—04
—04
+ 9,999965250949261
+ 9,999478751715146
+ 9,99808862493259
+ 9,988700266019448
+ 9,955597574357584
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
z
i 99
i 97
i 92
i 87
i 80
i 76
i 72
i 62
i 52
i 44
i 32
i 119
i 114
/ 110
i 105
/ 100
i 90
/ 81
i 72
i 62
/ 56
/ 208
i 204
/ 199
i 187
i 176
/ 160
/ 135
/111
i 93
i 370
i 362
/357
i 346
/321
i 296
/271
/ 224
i 181
i 159
i 506
/498
/ 493
/486
i 459
283

n
100
150
200
250
300
328
1
5
10
25
50
100
150
200
250
300
350
400
431
1,979243000331060
4,540622231318722
8,334414996751166
1,363313174699483
2,091279761208449
2,615685274770512
2,175291612230333
3,263025617699678
1,196535130505195
7,074123836958972
2,780343318110611
1,109388756107096
2,519205659948259
4,552548229250150
7,280151117947830
1,080859895885570
1,529830323012490
2,099648953885255
2,530150528374282
An
—03
—03
—03
—02
—02
—02
(У)
+ 9,822968559321451
+ 9,598502195947738
+ 9,275627932499880
+ 8,843756925353033
+ 8,286235085972402
+ 7,909756269915217
p = 40u
—07 +9,999980455169195
—06
—05
—05
—04
—03
—03
—03
—03
—02
—02
—02
—02
+ 9,999706823589304
+ 9,998924978293282
+ 9,993645941260348
+ 9,975049602691053
+ 9,900812570336209
+ 9,776180010225321
+ 9,599215056377236
+ 9,366995285814049
+ 9,075350501882853
+ 8,718436198124060
+ 8,288028122732620
+ 7,979288931631688
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
g
i 405
i 361
i 321
/ 284
i 234
i 211
i 677
i 626
i 668
i 625
i 594
i 578
i 494
i 447
i 425
i 343
i 315
i 278
i 254
0 = mp=(l,28— l,37i) p
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
5
7,282448439914950
1,092367467130067
1,456477400019432
2,184726157131737
7,282195002834776
1,092349364388788
1,455210565099338
2,183821159130079
2,912269360553904
7,256880234633152
1,090540238108307
1,455068551546214
1,332239721979236
2,094778878280540
2,842594020076595
3,583452928301296
4,320493282611911
+ 02
+ 03
+ 7,794501075846395
+ 1,169174946091218
p = 0,005
+ 02
+ 02
+ 1,558913367198962
+ 2,338359286479929
p = 0,01
+ 01
+ 02
+ 7,794772338224666
+ 1,169194321899879
p = 0,05
+ 01
+ 01
+ 01
p = 0,
+ 00
+ 01
+ 01
p = 0,£
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 1,560269964338426
+ 2,339328190131469
+ 3,118560503834289
+ 7,821922073304906
+ 1,171132835990265
+ 1,560422356196869
>
+ 1,698718999697806
+ 2,437351133068500
+ 3,194482947408999
+ 3,959848080788643
+ 4,729594436990333
+ 02;
+оз;
+02;
+ 02;
+oi;
+02;
+ 01/
+ 01i
+oi;
+oo;
+oi;
+ 01/
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
+oo;
5
5
5
5
6
6
7
7
7
8
7
7
11
10
10
9
9
284

Ап (у)
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
5
10
15
20
1
5
10
15
20
30
40
50
60
66
5,039444579750742
9,217634846017735
1,320233531704731
1,707593312481949
2,088334733822173
2,464883997255322
2,838630104262375
3,519481979832646
1,106548972214382
2,223740058021185
3,539569599667471
4,929420221872903
6,332448474853933
7,724779404933653
9,099030266592104
1,045438214799428
1,179235898593313
1,230068221369015
3,700174967383651
7,416202572513951
1,235958663752436
1,842504485867697
2,539813756571261
3,301434005419175
4,103198315274141
4,926799647361809
5,759940727944366
6,595020386495730
7,427654377908162
8,255505961158868
2,956612836499458
8,870280337755456
1,774047589318679
4,432490480621192
1,604262719696536
3,333579916152557
5,341859958529581
1,144688764180869
1,716882181856263
6,293561121075486
1,372484057666398
2,400031733707068
5,299891587894038
9,297787413650842
1,433023102391968
2,029073189028641
2,425184518877854
p=i,c
—01
—01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
p = 3,C
—02
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
+ 00
+ 00
p = 5,C
—02
—02
—02
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
p=10
—03
—03
—02
—02
—01
—01
—01
p = 50
—04
—03
—03
—02
—02
—02
—02
—01
—01
—01
)
+ 1,072072966247860
+ 1,373155154989790
+ 1,715416983354913
+ 2,0756666375112461
+ 2,445307122444330
+ 2,820460676902157
+ 3,199126054099458
\
+ 9,975299617000580
+ 9,962944493846791
+ 1,013810949909101
+ 1,056966877537821
+ 1,122174342933530
+ 1,203592541325699
+ 1,296432970198258
+ 1,397337004884784
+ 1,504037168259369
+ 1,614999428262757
+ 9,998632515733849
+ 1,000122718726152
+ 1,001856057213246
+ 1,006787047034202
+ 1,017105317504541
+ 1,034608073774884
+ 1,060047530794698
+ 1,093179870803669
+ 1,133178613075895
+ 1,179018809570041
+ 1,229703991665600
+ 1,284362907290375
+ 1,342272445930961
+ 1,000088806875931
+ 1,000294800320106
+ 1,000674874736614
+ 1,002327658072105
+ 1,018651650350003
+ 1,069561241691556
+ 1,163170732190530
+ 1,000006940596208
+ 1,000105503309844
+ 1,000401438825890
+ 1,000927497045712
+ 1,001747768587700
+ 1,004643884021493
+ 1,00040647915429
+ 1,019129486205305
+ 1,033147022783862
+ 1,044365168836882
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
—01/
—01/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
—01/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
13
12
12
11
11
11
10
19
18
18
17
16
15
15
14
14
14
23
23
22
21
20
19
19
18
18
17
16
16
16
32
32
31
29
25
22
20
71
70
65
60
57
50
43
39
34
30
285

Лп(у)
1 7,938300355297966
5 1,190669624705540
10 4,364967955134677
15 9,520447329097347
20 1,665247923618803
30 3,681096396014017
40 6,471734320894733
50 1,001269424956398
60 1,426195574955581
70 1,915626969450065
78 2,348025759783060
1 5,826488970543837
5 8,739316136452254
10 3,203966743019100
15 6,988797927564890
20 1,222604393422178
30 2,704057891493852
40 4,759008370844969
50 7,376434680828853
60 1,053752982693250
70 1,421332775937300
80 1,836326923263820
91 2,341368606366598
1 4,457615513639174
5 6,686174156952913
10 2,451333870847022
15 5,347377253149515
20 9,355431900741092
30 2,069797514463965
40 3,644874581175397
50 5,655172824476320
60 8,091305719176873
70 1,093879270719767
80 1,417693292063330
90 1,777819048725624
104 2,336385930652166
1 3,520045220097977
5 5,279910124971988
10 1,935799207694521
15 4,222948783305854
20 7,388610252757915
30 1,634937304867124
40 2,880210729013631
50 4,471410388124645
60 6,403464409824933
70 8,668534137199083
80 1,125535587526387
90 1,414867075984248
р = 60
—05
—03
—03
—03
—02
—02
—02
—01
—01
—01
—01
р = 70
—05
—04
—03
—03
—02
—02
—02
—02
—01
—01
—01
—01
р = 80
—05
—04
—03
—03
—03
—02
—02
—02
—02
—01
—01
—01
—01
+ 1,000004911337507
+ 1,000074338688684
+ 1,000279574892032
+ 1,000634762045986
+ 1,001170732761098
+ 1,002965673580753
+ 1,006132631647242
+ 1,011287269202093
+ 1,019136918491028
+ 1,030393874356286
+ 1,042269472674706
+ 1,000003656108451
+ 1,000055201066060
+ 1,000206167447882
+ 1,000463148739873
+ 1,000842750672229
+ 1,002067449715623
+ 1,004135318374071
+ 1,007389210730579
+ 1,012241147833727
+ 1,019141662974513
+ 1,028537139569543
+ 1,042219799144764
+ 1,000002826548543
+ 1,000042608279652
+ 1,000158429974702
+ 1,000353457443618
+ 1,000637406222664
+ 1,001529305172779
+ 1,002984292421822
+ 1,005206579948730
+ 1,008447254651162
+ 1,012992290543744
+ 1,019144914824238
+ 1,027202829251666
+ 1,042182502077821
р = 90
—05 +1,000002250079780
—04 +1,000033882017667
—03 +1,000125604106074
—03 +1,000278899468010
—03 +1,000499823771666
—02 +1,001180280506753
—02 +1,002260932048126
—02 +1,003870413364362
—02 +1,006168934093201
—02 +1,009343102286607
—01 +1,013598135561123
—01 +1,019147263311701
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
+ 00/
286

n
100
ПО
117
1
5
10
20
30
50
75
100
120
1
5
10
25
50
75
100
150
200
225
1
5
10
25
50
75
100
150
200
250
300
328
1
5
10
25
50
100
150
200
250
300
350
.400
431
1,732894170615663
2,077248863720414
2,332516530740931
2,849927068519916
4,274785983473475
1,567310537540531
5,982560397031238
1,324028128181302
3,623201854755346
8,055849635830033
1,412608924827149
2,003577798988237
7,110092987071769
1,066507084904336
3,910453865073274
2,310430229991809
9,059693803387835
2,023312796405263
3,579991786774955
7,985181743079838
1,402478107190819
1,760228355400706
3,157861188390074
4,736778011231370
1,736804158360867
1,026235321829813
4,025175802987322
8,994220435199123
1,592847984768362
3,565628443074272
6,308451735061999
9,797220075656968
1,399112325053611
1,662582544803558
1,775683893997885
2,663521448809623
9,766199274876055
5,770751553418485
2,263651614415961
8,961516381510797
2,007880348028664
3,558454257760944
5,542250966859719
7,949969259104484
1,076739236209166
1,397431514189615
1,614673776610509
An
—01
—01
—01
У)
+ 1,026198736013359
+ 1,034941634025280
+ 1,042153467580489
p=10U
—05 +1,000001833400861
—04
—03
—03
—02
—02
—02
—01
+ 1,000027586680273
+ 1 „000102048377239
+ 1,000402900178536
+ 1,000940328943044
+ 1,002994920573408
+ 1,008463724868053
+ 1,019149028681421
—01 +1,033037262661058
n OHO
[J ZU
—06
—04
—04
—03
—03
—02
—02
—02
—01
+ 1,000000470479016
+ 1,000007062493604
+ 1,000025951413038
+ 1,000155566113140
+ 1,000640843404683
+ 1,001545203550825
+ 1,003014971542246
+ 1,008495005744161
+ 1,019155733609378
—01 +1,027162010384230
p — о и
—06
—05
—04
—03
—03
—03
—02
—02
—02
—02
—01
+ 1,000000210888646
+ 1,000003164375633
+ 1,000011613662638
+ 1,00069062934791
+ 1,000276963104335
+ 1,000641379928759
+ 1,001191487282517
+ 1,003021301908196
+ 1,006215445571195
+ 1,011366451706223
+ 1,019157521093321
—01 +1,024934371507816
n — ДОС*
—06
—05
—05
—04
—03
—03
—02
—02
—02
—02
—01
—01
—01
+ 1,000000119126353
+ 1,000001787226196
+ 1,000006556623089
+ 1,000038881683677
+ 1,000154439898148
+ 1,000641617558694
+ 1,001549916934318
+ 1,003024401432864
+ 1,005263066694060
+ 1,008509826026760
+ 1,013042967585231
+ 1,019158331494124
+ 1,023873303089200
+ 00
+ 00
+ 00
s
i 40
i 37
i 37
+ 00/ 102
+ 00
i 99
+ 00/ 94
+ 00/ 87
+ 00
+ 00
i 80
i 70
+ 00/ 57
+ 00/ 44
+ 00/ 37
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
i 144
i 140
/ 135
i 127
i 116
i 104
i 93
i 70
i 48
i 41
i 179
i 175
i 170
i 163
i 153
i 143
i 133
/ 113
i 93
i 72
/ 52
i 46
i 212
i 208
i 203
i 196
i 187
i 168
1 149
/ 130
/ 110
I 91
i 72
i 53
i 46
287

Таблица 4.10
Время счета всех п значений Лп(у) по программе 4-НД
р
0,001
0,01
0,1
1,0
10
50
100
200
300
400
Время счета, с
т = 1,78—0,1/
0,11
0,11
0,11
0,14
0,40
2,89
8,91
28,53
57,03
97,31
т= 1,28-1,37*
0,11
0,11
0,11
0,14
0,35
1,64
3,74
9,39
16,74
25,49
Примечания: 1. При р = 400 ЭВМ считают более 400 значений Лп(у)
(Л/* = 400 по формуле (4.32)). 2. Расчеты проводились на ЭВМ ЕС-1022 —
100 тыс. операций в секунду.
циентов эффективностей будет рассмотрен при обсуждении
результатов, приведенных в табл. 4.17.
Очень редок, однако возможен случай, когда конкретное
значение \ат>... а\\ равняется нулю с точностью вычислений. В этом
случае ЭВМ остановится или возникнет погрешность в расчетах.
Программа расчетов Ап(у) должна содержать возможность
обхода подобного случая в расчетах. В работе [33] приводится
математическая модель обхода нуля, которая используется в нашей
Таблица 4.11
Сравнение результатов расчета Лп(у) по различным алгоритмам
100
,,
,
1000
,,
,,
,,
,,
м
»
1,05 — /
1,50 — /
1,95 — /
1,05 — 0,01/
1,05—0,1/
1,05 — /
1,50 — 0,1/
1,50 — /
1,95 — 0,1/
1,95 — /
41
80
122
115
121
555
613
943
1108
1370
16
22
31
53
32
20
135
28
254
42
30
41
55
87
67
41
298
59
744
86
Примечание. Дейве [22, 23] — обратная рекурсия; Вискомб [37, 38] —
алгоритм Ленца [33], точность 10-8; 4-НД — алгоритм Ленца [33], точность Ю-20.
288

программе ORION (см. приложение). Идея обхода нуля
заключается в следующем. Пусть
| ат'_2 .. . а\ | = а,
\атг-х ... ai| = a,
| ат> ... ail = p.
Если допустить, что значение р равно машинному нулю:
\атг ... а\ | = Р = ат< + 1/а = О,
то возникнет погрешность:
| ат> + { ... ai|=Ti = am' + i + 1/р-*оо,
| am'+ 2 ... ai\=6=amr + 2+ 1/л-
Для обхода в расчетах члена р вычисления следует
продолжить следующим образом. Пусть
атг_{о + \
1 = аа = а = am/ - ia + 1,
где %ф\. Тогда новый член ряда рн будет равен
am,l + o amr(amr_lo+\) + o
Рн = 1 am. + l/a = (flm,_ig+1) •
Здесь в расчетах рн используется не выражение \а т'—\ ••. Q>\ U
а величина а и только отдельный элемент am'-i, что и
обеспечивает обход расчета члена р прямым способом.
В нашей программе ORION предусмотрена подобная
процедура, и в комментариях приводится название «обход нуля».
Работа подпрограммы «обход нуля» заключается в
следующем. Весь приведенный выше математический аппарат включен
в программу расчетов Ап(у) и не мешает обычным расчетам
значений Ап(у). Однако если при расчетах какого-либо из
выражений |am'_i... a\\ получим нуль, то включается подпрограмма
«обход нуля» и расчет возвращается обратно на два значения от
т' назад, т. е. снова рассматривается значение |am'-2... a\\=o.
Затем ЭВМ считает значения g и рн по приведенным выше
формулам. Расчет члена б и последующих членов продолжается
уже обычным способом. Ясно, что при этом допускается
погрешность (см. член г|).
Когда программа «обход нуля» была уже в рабочем
состоянии, мы вычислили реальную погрешность подпрограммы «обход
нуля». Сначала вычислялась последовательность значений
отдельных выражений \ат'... а\\. Затем одно из средних выражений
приравнивалось к машинному нулю. Тогда срабатывала
подпрограмма «обход нуля» и ЭВМ считала новую последовательность
19 Заказ № 124 289

значений указанных выражений. Сравнение данных старых и
новых выражений \ат'... а\\ показало, что при одинарной точности
счета на ЭВМ погрешность в расчетах отдельных выражений не
превышала одного или максимально двух последних знаков как
для действительной, так и мнимой части комплексного числа.
Таким образом, подпрограмма «обход нуля» не влияет на
точность расчета отдельных из указанных выражений и одновременно
позволяет обойти неприятный случай в расчетах значений Ап(у).
Завершая рассмотрение вопроса расчета Ап(у) непрерывной
дробью, следует еще раз отметить высокую точность расчета по
алгоритму Ленца, которую задает сам исследователь. Вместе
с тем применение различных математических приемов уменьшило
время счета Ап(у), и оно теперь намного меньше времени счета
с использованием рекуррентных соотношений. Особенно большой
выигрыш во времени наблюдается при расчетах Ап(у) для
больших значений р и т по методу Ленца, когда ЭВМ считает малое
число дробей.
4.1.5. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ Ми ап И Ьп
Вычисление коэффициентов Ми ап и Ьп является важным
звеном в расчете факторов К0{т, р), /Ср(т, р), Кп(т,р) и /Cpn(^,p)-
В работе [8] подробно рассматриваются особенности поведения
коэффициентов ап и Ьп на комплексной плоскости для различных
типов металлических поглощающих и диэлектрических частиц —
в основном графические функции ап(р) и bn(f>) для различных
комплексных величин т. Указан метод проверки точности расчета
коэффициентов ап и Ьп для частиц, не поглощающих излучение.
В настоящем Справочнике мы проявили иной подход к
изложению материала относительно коэффициентов ап и Ьп. Здесь не
рассматривается и не обсуждается вопрос качественного
поведения коэффициентов ап и Ьп в зависимости от величин р и т.
Приводятся лишь конкретные численные данные для ап и Ьп
с высокой точностью в широком диапазоне изменения параметров
р, т и я. Подобных сведений в литературе нет, и они весьма
необходимы исследователям при проверке правильности программ
расчетов по теории Ми.
Расчет коэффициентов ап и Ьп проводился по нашей
программе 5-НД. В табл. 4.12 представлены коэффициенты ап и Ьп,
рассчитанные нами по формуле (4.1). Функции Ап(у), ^п(р) и
и £п(р), входящие в формулу (4.1), рассчитывались по
описанным выше алгоритмам (см. п. 4.1.2—п. 4.1.4) для двух значений
т: т=1,78 — 0,1/ и га=1,28—1,37/ в широком диапазоне
изменения р — от 0,001 до 400. Расчеты коэффициентов ап и Ьп
выполнены на ЭВМ с одинарной точностью.
У многих исследователей укоренилось мнение, что чем больше
брать членов п в суммировании рядов Ми, тем точнее можно
получить конечный результат. Это утверждение может быть и
верно для других рядов, но не для рядов Ми — нерегулярных и
290

Таблица 4.12
Коэффициенты Ми ап и Ьп для различных значений р
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
ап--
nb--
ап--
Ьп:
ап
Ьп
ап
Ьп
ап
Ьп
ап
Ьп
т
= 2,663094548061358
1,359146315336466
= 7,911113233478271
2,260317643366918
= 3,328907256476126
4,247331258486484
= 2,472238802872814
1,765876580573755
= 2,663227292356295
1,359145026388832
= 7,911323357751586
2,260335712463660
= 3,334031511015581
4,247232286592512
2,705634692701929
= 2,473883935380010
1,766229849691946
7,007804698876205
= 2,683540086748304
1,359026408416569
3,461818990799677
= 7,932533699456825
2,262150042008186
3,588570186086685
= 4,990022774600069
4,274811540666286
2,671614595249597
9,930242892113771
2,408979804869373
= 2,697379455189310
1,805531934452339
7,049024293743107
1,768626562218824
3,0822949234277418
= 1,78 — 0,
р = 0,001
— И
— 18
— 18
—25
р = 0,005
—09
— 15
— 14
—20
Р = 0,01
—08
—13
— 13
— 18
р = 0,05
—06
—10
— 14
—09
— 13
— 18
р = 0,1
—05
—08
— 12
—08
— И
— 15
р=0,5
—03
—05
—07
— 10
— 12
—04
—06
—09
— 11
— 14
It
+ 2,807874801764100
+ 1,554836793790562
+ 4,796444730322499
+ 1,370412669747106
+ 3,509854763040369
+ 4,858856033935675
+ 1,498891029327669
+ 1,070634444653107
+ 2,807911878854753
+ 1,554824983225461
+ 4,796471842449487
+ 1,370410260490432
+ 3,510993223192589
+ 4,857934202239871
+ 3,198875792064475
+ 1,499103740754183
+ 1,070587390791061
+ 4,248165083732716
+ 2,811465308840497
+ 1,553648490523745
+ 4,092025220156532
+ 4,799226357312430
+ 1,370170757397265
+ 2,174468141884692
+ 3,580568401221690
+ 4,773882415338124
+ 3,134901985388850
+ 1,190368145695449
+ 2,924743948473246
+ 1,527984517669248
+ 1,066837306179183
+ 4,211246475866221
+ 1,062037133324838
+ 1,856514674243818
— 10/
— 17/
— 17/
—24/
—08/
—14*
— 13*
—19/
—07/
— 12*
— 12/
—17/
—05/
—09/
— 13/
—08/
—12/
— 17/
—04/
—07/
— 11/
—07/
— 10/
— 14/
—02/
—04/
—06/
—08/
— 11/
—03/
—05/
—08/
— 10/
— 13/

n
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
an = 1,085628770808944
1,631778693911636
3,333542925462724
4,880939639679171
4,735632852296081
3,230133296305617
1,628634294665032
bn = 1,529074625566515
2,560040488323212
3,704434721083766
3,628457770823205
2,503528326727553
1,275699025363748
4,987481936596758
an = 4,408240296925012
7,322084499234534
4,437579391128143
1,656320273033286
7,003914681314866
3,722884665199311
1,661580286905129
5,849286646944276
1,641657830629637
3,742621209374661
bn = 7,785266096232762
6,527670676715398
5,117529244375322
1,409504629309561
4,697250545919926
1,777789856321689
5,779564808632136
1,549735438786608
3,433194500002304
6,349360148995846
an = 5,542760863300497
4,027843196554592
2,327279883868921
2,726727057229717
4,156279820286319
1,286140705075232
4,041266063250802
2,461969756531980
1,680140779217516
1,028802686416612
5,387706474101478
2,401115022309920
9,157576501708232
««•*
P=1,0
—01
—03
—05
—07
—09
— 11
— 13
—02
—04
—06
—08
— 10
— 12
— 15
p = 3,0
—01
—01
—01
—02
—04
—05
—06
—08
—09
— 11
—01
—01
—01
—02
—04
—05
—07
—08
— 10
— 12
p=5,0
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—03
—04
—05
—06
—08
—09
— 11
n
+ 2,546169355120133
+ 1,469187429116532
+ 3,787784068095265
+ 5,768299581785925
+ 5,700011201115568
+ 3,932134489701275
+ 1,997937343780127
+ 5,387812395145307
+ 1,368327696374785
+ 2,107539656396339
+ 2,112893724436884
+ 1,475815653436564
+ 7,575656938908327
+ 2,975963655089763
—2,914534511669463
—7,108127721301666
+ 3,472024469580687
+ 7,542376306906633
+ 6,357593861831100
+ 4,003225075962912
+ 1,890988263061308
+ 6,854946884663485
+ 1,959120563988571
+ 4,521300042352634
— 1,799930381692951
—3,416028845899834
+ 4,215252373400985
+ 3,560199568492838
+ 1,894903597632400
+ 8,337269155821164
+ 2,920338753624915
+ 8,189271905228926
+ 1,868545960348843
+ 3,527788247452971
+ 2,632467020315657
+ 3,943125360043956
+ 4,820049981555972
—6,920977514557141
—1,639044637465221
+ 1,744562389715113
+ 2,134925196596582
+ 2,047756575172516
+ 1,652760491082155
+ 1,096662581583865
+ 6,014661550078682
+ 2,760544483268288
+ 1,074112263471537
—01/
—02/
—04/
—06/
—08/
—10/
— 12/
—02/
—03/
—05/
—07/
—09/
— 12/
— 14/
—01/
—02/
—01/
—02/
—03/
—04/
—05/
—07/
—08/
— 10/
—01/
—01/
—02/
—02/
—03/
—05/
—06/
—08/
—09/
— 11/
—01/
—02/
—02/
—02/
—01/
—01/
—02/
—03/
—04/
—05/
—07/
—08/
—09/
292

n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
5
10
15
20
1
2
3
5
10
15
20
1
5
10
15
20
30
40
50
60
€4
1
5
10
15
20
30
40
50
60
64
bn =3,461792301260001
3,997141971169161
5,007178377912348
3,524557300345550
2,213094175984252
2,148820021796935
7,187833765887946
2,917717873574239
1,421298388379998
6,557365111980933
2,697493378986053
9,739954061794554
3,091422590012858
an = 5,199126681019869
5,450398137283052
6,379074680438678
5,616532540246925
4,196148562917455
6,656659757109526
1,512209498506299
bn = 6,038697044350351
5,723957886382925
4,524011424296736
4,079693995819397
2,837119267988070
1,740756980310652
1,084779386270630
an= 3,820372903411168
3,596626982993206
4,980488560982794
5,634697453954422
4,943519118425374
5,985850391883786
4,589862673279888
3,157530336088150
5,878611485418226
1,990330774408491
bn = 6,181056649938313
6,422828063548810
5,022500825873567
4,291381607485315
5,077783983997765
3,244005683125385
7,300542537653449
2,295108628399599
4,675687231215755
2,049930378929093
V*
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—03
—04
—05
—07
—08
— 10
— 11
p=10
—01
—01
—01
—01
—01
—05
—10
—01
—01
—01
—01
—01
—04
— 10
p = 50
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—05
—07
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—05
—07
n
+ 6,148308708722083
+ 2,893360028025390
+ 3,670563515441200
—3,228998554279454
—2,736114789647618
—7,476641762642477
+ 1,384196958708586
+ 9,228976899819296
+ 5,527899603660509
+ 2,859246004757321
+ 1,264489550554997
+ 4,797622572908758
+ 1,573053737038875
— 1,219673124842233
+ 1,622607267953475
—6,149381445898972
+ 1,649075373490566
+ 1,071725802560995
+ 3,013568668315791
+ 1,350854573420696
+ 1,511966565550180
— 1,239106517268254
+ 1,581544874380793
—7,127348256315538
—2,080807668875293
+ 2,240992046246250
+ 4,299260894936077
+ 7,773536456486498
+ 3,117940902532145
+ 1,377571142203816
+ 1,170914977531745
+ 1,260883152897310
—2,248106038798218
+ 1,623966122046398
— 1,293492601690115
+ 3,016872110893300
+ 1,601030047170003
—7,777951988862789
—3,077090458906192
— 1,448852433966340
— 1,315499771916366
— 1,560061395718142
+ 3,810420311380064
— 1,683716248968351
—2,789684234654711
—3,318411407844689
—8,842726523777349
—02/
—01/
—02/
—01/
—01/
—03/
—02/
—04/
—05/
—06/
—07/
—09/
—10/
—01/
—01/
—02/
—01/
—02/
—04/
—09/
—01/
—01/
—01/
—02/
—01/
—04/
— 10/
—02/
—03/
—01/
—01/
—01/
—02/
—03/
—01/
—05/
—07/
—02/
—03/
—01/
—01/
—01/
—02/
—02/
—01/
—05/
—08/
293

*„. К
1 а п = 4,401469073027732
5 4,072414432675150
10 6,402714212979031
20 3,625376277796341
30 4,524522171285997
50 6,141995762097991
75 5,549502458428656
100 3,100686470906956
120 1,373828575104891
1 Ъп = 5,598677038990006
5 5,930864845624828
10 3,579722775807003
20 6,443042082379465
30 5,537865387949966
50 3,377035729175091
75 3,124076787007658
100 2,322520725657959
120 1,104304967148076
1 ап = 5,837966609137259
5 5,670687157845472
10 4,866740307047628
25 4,289328118978006
50 4,477903377180463
75 4,910092353933954
100 5,782789005150501
150 4,845664750856840
200 3,038556410570754
225 1,974197561536561
1 Ъп = 4,161989565589190
5 4,328799950553024
10 5,133458773499387
25 5,722760890726618
50 5,557518412269634
75 5,093581566935903
100 3,873700820286100
150 5,345046991152565
200 2,349212900450212
225 1,190785837298057
1 ап = 6,401668675244092
5 6,412278474430959
10 3,625014554702733
25 4,373520551508912
50 5,702567401471119
75 6,351979104324501
100 6,003504732850651
150 5,120163464047527
200 4,881305165751415
250 4,939803898584727
300 3,000978540542706
328 3,560858690107815
р= 100
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—08
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—08
р = 200
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—08
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—08
р = 300
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—08
+ 1,280289792232791
+ 1,063338841851785
—7,403663607335022
+ 1,118920269988420
+ 1,247044259351875
—2,385214048179204
—3,274770494422106
— 1,745120695037118
+ 6,863295765557931
— 1,280571215938893
— 1,066795935844737
+ 7,422677514391052
— 1,145252999219930
— 1,391172252195516
+ 3,140679388416954
+9,890466690497158
—3,063088340487571
—8,046954622183287
— 1,138213096930614
+ 1,243514575367440
— 1,404958507899328
— 1,206710740488106
— 1,256434097470605
— 1,284810312445245
—8,691163709701138
—6,304466707207760
—2,153668405982050
+ 3,500296285047702
— 1,138279157116376
— 1,244588017492063
+ 1,409321861279344
+ 1,229776341520553
+ 1,355810786273316
+ 1,534213193568910
+ 1,206141569310848
+ 2,085101194101513
—3,294564079255417
— 1,365050560555176
—1,819455885238772
—5,052105901371850
—3,232756570879540
+ 1,260610506761615
—1,200019875831131
+ 1,560805859579870
—8,528254877638985
— 1,164502129703370
—8,836005465658601
+ 2,658957053977121
—2,371000921309994
+ 1,118720921170902
—on*
—Olt
—03i
—02i
—Olt
—02i
—02i
—Olt
—09i
—Oil
—Oli
—03*
—02i
—on*
—02£
—02i
—Oil
—09i
—01Г
—Oil
—Oil
—01Г
—01Г
—Oil
—02i
—02i
—Oil
—09i
—Oil
—01/
—Oil
—Oh*
—Oli
—Oil
—Oil
—01Г
—Oli
—08f
—02Z
—03i
—02i
—Oli
—Oli
—02i
—02i
—Oli
—02i
—02i
—Oil
— lOi
294

1 6n = 3,598296196884068 —01
5 3,587192964809191 —01
10 6,376848123772860 —01
25 5,632124353676590 —01
50 4,272263883598558 —01
75 3,54472827156547^ —01
100 3,843264279899415 —02
150 4,799488579269161 —01
200 5,164234433937655 —01
250 6,096876018353798 —01
300 2,363898182948499 —01
328 1,860601718585389 —08
p=400
1 an = 4,465101055520224 —01
5 5,612331199022523 —01
10 4,147057251989888 —01
25 6,283161446815338 —01
50 4,361957321460391 —01
75 6,196239865328665 —01
100 4,204978068165726 —01
150 3,827486259636789 —01
200 4,410743567257596 —01
250 5,264858148682158 —01
300 4,756029810913287 —01
350 5,032410030930618 —01
400 2,974186029884441 —01
431 3,145740407242628 —08
1 bn = 4,478194011152123 —01
5 4,387526093548763 —01
10 5,853645839014814 —01
25 3,711111107305706 —01
50 5,650867774672211 —01
75 3,755433160553502 —01
100 5,860619139753089 —01
150 6,403526538372502 —01
200 5,801515266338841 —01
250 4,575263771636640 —01
300 5,954998800251663 —01
350 7,640047083992798 —01
400 2,373771325589854 —01
431 1,520667671625659 —08
+ 1,819483268984014
+ 5,051284298295835
+ 3,238158298012397
— 1,270636147514767
+ 1,238255276035296
— 1,737086213461848
+ 9,687931181601891
+ 1,637068476113537
+ 1,897434019142766
—2,156946639429742
—3,412120255593886
—2,658411089794771
+ 1,308292093123745
— 1,273758160096995
+ 1,126400725737698
+ 5,849941243958532
+ 1,246924381622893
—6,970614488479070
+ 1,104829324789495
+ 5,352131930389568
— 1,012164514305147
+ 9,446782393494881
+ 6,068045606532177
+ 7,695782760222738
—2,515341914504443
—3,253823009102489
+ 1,313611622232214
+ 1,274019002970879
— 1,127234387457230
—5,879789685056105
— 1,269007487995599
—7,288419360370044
— 1,186083995309728
—6,244135772035186
+ 1,440903487184551
— 1,774293819163823
-1,881162744701325
— 1,447958162053665
—3,488185715313938
—2,468143431432033
—02/
—03/
—02/
—01/
—01/
—02/
—02/
—01/
—01/
—01/
—01/
—08/
—01/
—01/
—01/
—02/
—01/
—02/
—01/
—02/
—01/
—02/
—02/
—03/
—01/
—09/
—01/
—01/
—01/
—02/
—01/
—02/
—01/
—02/
—01/
—01/
—01/
—03/
—01/
—08/
m=l,28— 1,37/
,4=0,001
an = 4,553823171392421
2,103874028210955
bn = 7,793774824641128
2,226793158124971
-10 +4,379498432449109
-17 +2,576593530079611
-17 —2,752224098569265
-24 —7,863494217132609
—10/
— 17/
— 17/
—25/
295

an* bn
1 an = 5,692395209623335
2 6,574618645178606
1 bn =2,435532493002708
2 1,739672919245416
1 an = 4,554206701214568
2 2,103890274782668
1 bn = 7,793482570460511
2 2,226744393936219
1 an = 5,704355593856803
2 6,575891221486765
3 4,009258426218760
1 bn =2,433247577025291
2 1,738720394824466
3 6,900822805153309
1 an = 4,592322477167677
2 2,105532504214786
3 5,131277927033090
1 bn = 7,764166523938620
2 2,221865929931708
3 3,529105997661433
1 an = 6,585266646313432
2 6,737017030216736
3 3,997233904569431
4 1,444138178226298
5 3,443600354437966
1 bn =2,186384214133838
2 1,642515036113696
3 6,635948437945122
4 1,691570002257464
5 2,974481377648262
1 an =3,959410530014039
2 2,397547675746002
3 5,119647815651995
4 7,214936026653718
5 6,840467804827088
6 4,597655013273120
7 2,294618629388681
p = 0,005
—08
— 14
— 13
— 19
p = 0,01
—07
— 12
— 12
— 17
p = 0,05
—05
—09
— 13
—08
— 12
— 17
P=0,1
—04
—07
— 11
—07
— 10
— 14
P = 0,5
—02
—04
—06
—08
— 11
—03
—05
—08
— 10
— 13
p=l,0
—01
—02
—04
—06
—08
— 10
— 12
+ 5,474340537094706
+ 8, 051834286886827
—8,600841743951254
—6,143395443840512
+ 4,379389206343847
+ 2,576566477114427
—2,752410764211544
—7,863708502956648
+ 5,470408063251245
+ 8,049720495359903
+ 5,360944640997736
—8,615415479834481
—6,147577772088705
—2,438660178751633
+ 4,364592119399804
+ 2,573859148847649
+ 6,857380730236266
—2,771027174124565
—7,885077882309577
— 1,249853080534705
+ 4,318711331286453
+ 7,823881704231498
+ 5,241928160055174
+ 2,000773025353882
+ 4,926071601023783
—9,904297808400778
—6,536897727383286
—2,515259984328717
—6,260575206784681
— 1,086102686751790
+ 6,909719927336934
+ 2,143770682489343
+ 6,244395245308955
+ 9,651517934752909
+ 9,580952830510427
+ 6,622387885163428
+ 3,368170969020922
—08/
— 14/
— Hi
—20/
—07/
— 12*
— 12/
—18*
—05*
—09/
— 13/
—09/
— 13/
— 17/
—04/
—07/
— 11/
—07/
— 11/
— 14/
—02/
—04/
—06/
—08/
— 11/
—04/
—06/
—08/
—11/
— 13/
—02/
—02/
—04/
—06/
—08/
— 10/
— 12/
296

a . b
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6n = 4,455727703344736
1,718687584482596
2,991148966414664
3,153037053648040
2,260840196624525
1,178762849225358
4,677405587686359
an = 2,904378849743061
6,087291492048833
4,567108502837939
1,197527600582412
9,695323240674025
5,494975510942956
2,434617995929354
8,466360830611343
2,350550065446133
5,310909100243202
bn = 7,663195617225945
3,438448076951741
8,514513467972309
1,445966116442962
1,359058275723288
7,884819951982963
3,218920906164516
9,924981624292154
2,412441809914855
4,761525028832176
an = 7,520309538208001
3,530981826951448
4,073053906716877
6,149951783003757
4,628322102229512
1,919907119554775
3,045312731789699
2,918831002233865
2,252387467750281
1,435326685898408
7,616741937181398
3,404326626947506
1,296568797411974
bn = 2,32457711117437
6,475764020894796
7,327659754780172
3,314124455576110
9,764497254490261
2,370712398599267
4,045417271594235
4,596726290805488
3,768432872641122
—02
—03
—05
—07
—09
— 11
— 14
P = 3,0
—01
—01
—01
—01
—03
—04
—05
—07
—08
— 10
—01
—01
—02
—02
—03
—05
—06
—08
—09
— 11
P = 5,0
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—02
—03
—04
—05
—07
—08
—09
—01
—01
—01
—01
—02
—02
—03
—04
—05
—3,377199766797831
—9,375730057849588
— 1,377226961560136
— 1,332001548701232
—9,085135564717379
—4,589132972421317
— 1,782563312587268
+ 1,095570090562903
+ 1,189722296334356
— 1,125695190515324
+ 5,029310396264960
+ 8,701746643930589
+ 6,229934337159345
+ 3,061901143756458
+ 1,129582285654392
+ 3,257812943095709
+ 7,557452510737193
— 1,096211968864377
—3,087318532786477
— 1,140332213280778
— 1,619238394570361
— 1,173545779830156
—5,639636561426053
—2,013803332782795
—5,622626643349636
— 1,266867311980971
—2,356567058389922
+ 3,202434286720189
— 1,824894264248311
+ 1,742605909593095
+ 5,655014165034494
—4,769679146063455
+ 2,749563056650604
+ 1,78085736136618
+ 2,575039065328813
+ 2,381023192549437
+ 1,680969380414100
+ 9,533625439723890
+ 4,463482255725388
+ 1,758598211431583
—4,643029594966205
+ 2,500413616934996
—2,227948011148239
—3,298611929714476
— 1,529771457426151
—3,636179492451454
—5,023302847110652
—4,697640494394272
—3,307601174213815
—02/
—04/
—05/
—07/
— 10/
— 12/
— 14/
—01/
—01/
—03/
—02/
—03/
—04/
—05/
—06/
—08/
—10/
—01/
—01/
—01/
—02/
—03/
—05/
—06/
—08/
—09/
— 11/
—02/
—01/
—01/
—02/
—02/
—02/
—02/
—03/
—04/
—05/
—07/
—08/
—09/
—02/
—01/
—01/
—01/
—01/
—02/
—03/
—04/
—05/
297

10
11
12
13
1
2
3
5
10
15
20
1
2
3
5
10
15
20
1
5
10
15
20
30
40
50
60
64
1
5
10
15
20
30
40
50
60
64
1
5
10
20
30
50
75
100
120
2,379440996943842
1,205831458374382
5,044436180791983
1,778535104011862
an = 2,731418357792145
6,586505007114420
4,798040913998996
7,257682588407924
4,586804004599462
3,616723782519815
1,694220372672596
bn = 7,286423947902067
3,425265995569882
4,986308131536998
2,226314752648720
1,136636125661903
5,887275477154576
3,113829564500109
an = 4,346330231892208
3,108870684504513
6,741421440940382
7,419724274389819
6,699419209068100
5,868173422493453
4,702865268722223
4,210618501232395
1,220969022654298
4,229110322048266
bn = 5,655604863685384
6,924729586462456
3,268937604733462
2,465625800358157
3,367125361183335
2,866101766723308
8,077775329248373
1,507642446735966
1,332363002790157
5,48627395603789
an = 5,775051671264352
5,053414232142162
6,836354903308420
3,260685537355394
6,008581240552243
6,149186192866402
4,768367321784318
3,998942489970514
2,863819078844868
—06
—07
—09
— 10
p=10
—01
—01
—01
—01
—01
—04
—09
—01
—01
—01
—01
—01
—05
— 10
p=50
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—04
—07
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—05
—08
p=100
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—08
— 1,851215018078446
—8,505269518075338
—3,280763729678513
— 1,080662283280735
— 1,286335730675342
+ 2,016328102838215
—2,491241641095956
+ 2,922701426743608
— 1,089776088768765
+ 2,867117478969325
+ 2,019820989941503
+ 1,337773993142084
—2,182196996920568
+ 2,756447049071614
—1,068026543704216
—2,005662926718383
—7,398834626263807
—2,605927162915927
+ 2,545097930330935
+ 1,808621004930715
+ 1,910489960355742
+ 7,455026576350365
+ 1,771882914830098
—2,037989072537240
+ 1,824320755812112
—2,298584435837236
+ 2,430449253507531
+ 1,790746730016339
—2,546205902295515
— 1,807208921994933
—2,035327204001105
— 1,001599833469390
—2,277570774338299
+ 2,178882697944587
— 1,673132416034792
—2,874548754542754
—3,128949537716726
— 1,073191532066545
+ 2,511409003961115
+ 2,625037898482688
— 1,865698054143198
+ 1,915557734674543
+ 2,326693182914845
—2,061427432944551
— 1,963198159240907
—2,701182961848071
+ 5,879435586510288
—06/
—08/
—09/
— lOf
—Oil
—OK
—01/
—02/
—01/
—04/
—09/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—05/
— 10/
—01/
—01/
—01/
—02/
—01/
—01/
—01/
—OK
—05Г
—07/
—01/
—Oil
—01/
—Olf
—01/
—01/
—01/
—Olf
—05/
—07i
—01/
—Olt
—01/
—01/
—0*1/
—01Г
—Oil
—01/
—09/
298

п* п
1
5
10
20
30
50
75
100
120
1
5
10
25
50
75
100
150
200
225
1
5
10
25
50
75
100
150
200
225
1
5
10
25
50
75
100
150
200
250
300
328
1
5
10
25
50
75
100
150
200
bn =4,225221274891000
4,952554078645520
,3132738352472440
6,859176629396340
4,110360380415040
3,037505379316196
3,101065245741590
1,656489231662765
3,169611091468242
ап = 7,576252575782948
7,477922925984604
3,058538239025733
2,500880564468560
2,652985980575080
3,108421956184713
4,715667275629768
3,048402184134691
3,786892817749899
3,907657078906525
bn = 2,423673436921896
2,521226773758167
6,941588018855722
7,519141077474889
7,402402693609088
6,877599569311130
4,672810500019983
7,013261208043007
1,792162826945418
3,727465038840847
an = 6,703585935887139
6,882289895677434
2,702045735714676
5,719360633433771
4,439080331260930
7,049644891923999
5,213676355899846
3,387108334324794
3,066179008576160
6,389313386626909
3,667855212959259
6,600426498496775
b n =3,296351894644327
3,116777161058318
7,301215968463867
4,291109341225452
5,514558642798653
2,771093925424119
4,512674915322788
6,429755320416753
6,866963920253321
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—09
p=200
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—08
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—09
p=300
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—08
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—2,511896966730725
—2,630946216978700
+ 1,865028471064891
— 1,915784609285814
—2,571746694797426
+ 2,135150763934783
+ 2,748935198884576
—3,154026138252562
—7,628275209165238
+ 5,211184548595658
+ 8,746449192440324
— 1,767972006041513
—7,622477091706836
— 1,037024761802332
—1,611388487566061
—2,347455279777771
—3,964819239746056
—3,033476846361186
—3,926243897231484
—5,212372895689752
—8,765656132029050
+ 1,775680325523240
+ 8,035049190705014
+ 1,212749491218007
+ 2,040373451624705
+ 2,877411726463980
+ 2,654121828433012
—3,384374593620378
—1,170627119708238
—2,001643620570253
—1,834174890035316
+ 1,273630265208224
+2,520901465543952
—2,539832080658753
—1,544490529235257
—2,507622206052400
—1,731196710877151
—9,081925953573501
+9,955845418373432
—3,198113110604807
— 1,944931382196126
+ 2,001646710677392
+ 1,834134079754906
— 1,272583506558008
—2,538294972826955
+ 2,605618918501274
+ 1,507176289384319
+ 2,697002734004598
+ 2,516836134658727
+ 2,532088728558836
—01/
—OH
—OH
—OH*
—OH
—OH
—OH*
—OH*
—09*
—02/
—02/
—Oh'
—02/
—Oh*
—OH*
—Oh*
—02/
—01/
—09/
—02/
—02/
—01/
—02/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—08/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—01/
—02/
—02/
—01/
—08/
—Oli
—01/
— 01/
—01/
—01/
—01/
-01/
—01/
—01/
299

a . b
250 5,235178867280591 —01 —3,565624370735204 —01/
300 1,864434047437077 —01 —3,499022767221234 —01/
328 6,100030506998197 —09 —2,246566000998416 —08/
p = 400
1
5
10
25
50
75
100
150
200
250
300
350
400
431
1
5
10
25
50
75
100
150
200
250
300
350
400
431
an = 4,077838511470056
4,252132297072053
5,232810295742735
7,499240782928603
5,695545149731745
7,530152466577231
5,350135446704415
4,152465364413565
2,676259095430965
7,071289897462418
6,344861879111573
5,239589341481318
3,586852605992591
5,525523031677891
6n = 5,922145991541815
5,747602159104632
4,768472487790255
2,490798482414788
4,328205219968605
2,386811963825018
4,769526496846254
6,252073203103552
7,636176894393166
2,774957989400477
4,942953630597802
8,493119793464437
1,912377031511324
5,119158319450960
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
-01
—01
—01
—01
—01
—01
—08
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—01
—09
—2,461391780518190
—2,519651561066591
+ 2,617484967554424
—8,013725839384227
+ 2,518845242128619
—5,715815643967269
+ 2,542675473493101
+ 2,337309089986068
—4,496891280382784
+ 7,497448454138921
+ 1,478581624717405
+ 1,853264900429608
—3,302846107153816
—2,328386791090048
+ 2,461423187398541
+ 2,520105284074607
—2,618922754125896
+ 7,958179954995983
—2,557072558818086
+ 5,130538713726156
—2,680510740732925
—2,472575531509721
+ 1,191646749600214
—2,115497056068739
—3,325868631523960
— 1,312542910854320
—3,572307793607664
—2,083925450192248
—Ob
—Ob
—Oh
—02/
—Ob
—02
—Ob
—Ob
—02*
—02
—01
—01
—01
—08*
—Oh
—01*
—01
—02
—01
—02
—Ob
—01
—Oh
—Oh
—Oh
—Oh
—01
—08
очень плохо сходящихся. Поэтому следует еще раз обратить
внимание на предупреждение, сделанное в работе [2] о том, что
в расчетах по теории Ми нельзя использовать больше членов пу
чем это требуют интересы расчета. Определению необходимого
числа учитываемых членов при расчетах коэффициентов Ми
посвящено достаточно много работ (см., например, [23, 31, 38]).
Особое внимание следует обратить на формулу (4.4). Поэтому
указанных строгих правил следует придерживаться каждому
исследователю, выполняющему расчеты по теории Ми. В табл. 4.12
для каждого значения р количество п вычислено по третьей
формуле (4.4) и последнее значение соответствует этому расчету.
Интервалы для п соответствуют интервалам в других таблицах,
а обоснование выбора см. выше.
Кроме численных значений ап и Ьп, исследователь должен
располагать математическим аппаратом проверки правильности
рассчитанных коэффициентов ап и Ьп для любых значений т.
300

В работе [8] приводятся условия проверки точности расчета ап
и Ъп для непоглощающих сферических частиц:
|а„-1/2|2=1/4, |&„-1/2|2=1/4, (4.34)
а также для металлических и неметаллических, но умеренно
поглощающих сферических частиц:
lim [Mp) + Mp)]=U (4.35)
Р -> оо
lim
Р -> оо
an (p)—4"
= lim
Р -> оо
1
1 I т — 1
*.(р)—s-H^-I-^hFT-I- <4-36>
Левая и средняя части формулы (4.36) позволяют определить
радиусы предельных асимптотических окружностей на комплекс-
Таблица 4.13
Проверка достоверности формулы (4.35)
и точности расчета ап и bn] m = l,28—1,37/
р = 400
^ + ^ = 0,99999844 + 0,0000314/» 1
05 + 65 = 0,99997343 + 0,0004537/» 1
а10 + &ю= 1,0001285 —0,001437/» 1
р = 300
а2ъ + Ь25 = 1,001047 — 0,0173935/ ~ 1
«so + &5о = 0,99536389 + 0,657869/ ~ 1
р = 200
а75 + Ь75 = 0,99860214 + 0,428985 / ф 1
р=100
аюо + 6юо = 0,56554316 — 0,5855209/ Ф 1
ной плоскости для коэффициентов ап и Ъп [5, 8]. Согласно [8],
при больших р, когда р—>-оо и ft^p, значения ап(р) всегда
должны находиться внутри предельной асимптотической
окружности, а значения Ьп(р)—вне предельной окружности для
любых значений р и п. Используя значения ап и Ъп из табл. 4.12,
проверим правильность этого утверждения и справедливость
формул (4.35) и (4.36).
Проверим пока достоверность формулы (4.35). Результаты
расчетов по формуле (4.35) для отдельных больших р, различных п
и значений ап и Ъп из табл. 4.12, представлены в табл. 4.13. Легко
видеть, что для больших р (р = 400) и малых значений п сумма
ап и Ьп очень близка к единице. С увеличением значения п
равенство суммы ап и Ьп единице постепенно становится все менее
точным. Аналогичная картина наблюдается и для р = 300, 200 и
301

100. При р= 100 и п=100 сумма ап и Ьп существенно отличается
от единицы. Таким образом, результаты проверки показывают,
что формулу (4.35) можно использовать в качестве проверочного
теста точности вычислений ап и Ьп, однако при этом по
возможности для больших значений р и как можно меньших значений п.
Проверим теперь достоверность формулы (4.36). Согласно
правой части формулы (4.36), радиус предельной окружности
для га=1,78 — 0,h' равен 0,14135, а для т= 1,28—1,37/ он
составляет 0,26285. Тогда на комплексной плоскости коэффициентов
1т{аЛ,ЬЛ}
0,5
-0J
0,8 Ре{аЛ,ЬЛ}
Рис. 4.1. График действительной и мнимой частей
коэффициентов Ми ап и Ьп.
1) /71=1,78—0,1 i; 2) т = 1,28—1,37 L
ап и Ьп (рис. 4.1) будем иметь две окружности: 1) для т = 1,78 —
— 0,1/; 2) для т=1,28— 1,37г. Согласно условию (4.36), при
р-+ ооип^ при р т = 1,78—0, И все коэффициенты ап должны
находиться внутри предельной окружности 1, а коэффициенты Ьп —
вне этой предельной окружности. Таким образом, действительная
часть ап должна удовлетворять условию 0,36866 < ап < 0,64136,
а мнимая —условию ап <— 0,14134/ и ап<0,14134/. Аналогично
для коэффициентов Ьп будем иметь: 0,64136 < Ьп < 0,35866;
6П> 0,14134 г и Ьп>— 0,14131/ (см. рис. 4.1). Проверим с
помощью табл. 4.12, так ли это на самом деле.
302

p=100
Коэффициенты ап. Все коэффициенты ап < аюо находятся
внутри окружности /; а\00 и а\2о находятся вне окружности /.
Условие (4.36) для всех ап выполняется.
Коэффициенты Ьп. Коэффициенты &зо<&п<&12о находятся
вне окружности 1; Ьп < &зо — находятся частично попеременно
внутри окружности 1. Условие (4.36) для Ьп выполняется не
полностью— для п<30 оно не выполняется.
р = 200
Коэффициенты ап. Все коэффициенты ап<.а2оо находятся
внутри окружности 1\ а20о и а225 находятся вне окружности 1.
Условие (4.36) для всех ап выполняется.
Коэффициенты Ьп. Коэффициенты Ь50<.Ьп<СЬ225 находятся вне
окружности 1\ bn<ib50 находятся частично попеременно внутри
окружности 1. Условие (4.36) для Ьп выполняется не
полностью— для /г<50 оно не выполняется.
р=300
Коэффициенты ап. Все коэффициенты ап<азоо находятся
внутри окружности 1\ азоо и а328 находятся вне окружности 1.
Условие (4.36) для всех ап выполняется.
Коэффициенты Ьп. Коэффициенты &юо<&п<6з28 находятся
вне окружности 1, коэффициенты Ьп<.Ь\00 находятся попеременно
внутри нее. Условие (4.36) для Ьп выполняется частично.
р=400
Коэффициенты ап. Все коэффициенты ап<^4оо находятся
внутри окружности 1\ а4оо и а431 находятся вне окружности 1.
Условие (4.36) для всех ап выполняется.
Коэффициенты Ьп. Коэффициенты &i5o<6n<&43i находятся
вне окружности 1, коэффициенты 6n<6i5o — частично внутри
окружности 1. Условие (4.36) для Ьп выполняется не полностью.
Аналогичная картина наблюдается при т=1,28—1,37г.
Подводя итоги проверки формулы (4.36), приходим к
следующим выводам:
1) для всех коэффициентов ап условие (4.36) выполняется
при всех больших р и произвольном п\
2) условие (4.36) для коэффициентов Ьп выполняется не
полностью. Для всех больших р имеется нижняя граница по п —
значение, начиная с которого, условие (4.36) удовлетворяется
частично, т. е. определенная часть значений Ьп находится внутри
предельной окружности, а некоторая часть — вне предельной
окружности. Нижняя граница п невыполнимости условия (4.36)
зависит от величин р и т. Если не брать очень малые по
сравнению с р значения я, чтобы однако выполнялось я^р, то и для
коэффициента Ьп условие (4.36) удовлетворяется.
303

Таким образом, полученный нами результат несколько
отличается от того, что утверждается в [8], в том, что и для Ьп
формула (4.36) действительна для любых п. Уточнение, полученное
нами, следует учесть, иначе могут получиться противоречивые
данные для очень малых по сравнению с р значений п. В целом
метод, предложенный в [8], можно, безусловно, рекомендовать
как еще один метод проверки точности расчета коэффициентов
Ми ап и Ьп-
4.2. РАСЧЕТ ФАКТОРОВ ЭФФЕКТИВНОСТИ
ОСЛАБЛЕНИЯ, РАССЕЯНИЯ, ПОГЛОЩЕНИЯ
И РАДИОЛОКАЦИОННОГО ОТРАЖЕНИЯ
Факторы эффективности ослабления, рассеяния, поглощения и
радиолокационного отражения одной каплей рассчитываются
соответственно по формулам (3.65), (3.64), (3.66) и (3.72) нашей
программой 5-НД (см. приложение). Обсуждать особенности
каждого из коэффициентов в зависимости от р и т мы не будем.
Они подробно изложены в монографиях [5, 8, 14, 15, 30]. Здесь
рассмотрим лишь проблему расчета и факторы, влияющие на
точность вычисления этих коэффициентов. Безусловно, точность
расчета каждого из факторов: /C0(m, p), /Cp(m, р), Кп(т, р) и
^Срл(^, р) — зависит от точности вычисления коэффициентов ап
и Ьп, которая, в свою очередь, зависит от точности расчета
логарифмической производной и функций Риккати—Бесселя первого
и второго рода. Этим вопросам посвящены отдельные параграфы
настоящей главы. Отметим лишь, что если речь идет
относительно малых значений р, то при расчетах факторов
эффективности точность расчета будет мало отличаться от точности
исходных начальных функций. Однако, когда р велико, то приходится
суммировать большое число комплексных величин ап и Ьп
различных знаков и порядков. Поэтому порой очень трудно заранее
предсказать, какой будет окончательная точность вычисленных
значений факторов эффективности. Неизбежны ошибки, которые
могут исказить истинный результат. Поэтому необходимо иметь
еще и дополнительные условия контроля правильности
вычислений факторов эффективности. Эти правила негласно выработаны
практикой многолетних исследований и частично нашли
отражение в книге [2]. Придерживаясь в основном работы [2], выпишем
эти условия в виде следующих обязательных правил:
1) факторы /С0(/п, р), /Ср(/и, р), Кп(т, р) и /Срл(/п, р) не
могут быть отрицательными величинами;
2) фактор Ко(т, р) должен быть всегда больше фактора
tp(m> P) (часто из-за неточности программы расчета бесселевых
функций рекуррентными соотношениями для больших значений р
фактор /Cn(m, p)=/(0(m, р)—Kv{m, p) может оказаться
отрицательным). Это первый признак неточности программы расчета;
3) в случае непоглощающих частиц Ко{т, р)==/Ср(т, р);
304

4) для больших значений р фактор Ко{т, р) асимптотически
стремится к значению 2;
5) для больших значений р фактор Кп{т, р) асимптотически
стремится к единице;
6) для больших значений р фактор /Срл(^, р) удовлетворяет
условию
Дт^Д-рлСт, p) = |^i-j2. (4.37)
Многолетний опыт наших расчетов на ЭВМ показал, что
условия 1—5 — первые, самые простые признаки правильности
расчетов факторов эффективности. Что касается признака высокой
точности расчета, то ее определяет лишь условие 6. Это очевидно из
следующего: при расчетах по формулам (3.65) и (3.64) ЭВМ
производит операции с действительными числами, в то время как
сами величины ап и Ьп — комплексные. Действительно, в обеих
формулах либо рассматривается модуль комплексного числа ап и
Ъп, либо вычисляется реальная часть суммы ап и Ьп> а затем
суммируются члены для получения /С0(^, р) и /Ср(т, р). Таким
образом, здесь основные действия ЭВМ выполняет с
действительными числами, что не представляет особой сложности.
Совершенно иное наблюдается, когда вычисляется функция /Срл(^, р).
Все операции, как видно из формулы (3.72), ЭВМ выполняет
с комплексными величинами ап и Ьп (причем с числами с
различным количеством знаков после запятой и разным порядком) —
они суммируются, затем уже вычисляется квадрат модуля
полученного комплексного числа. Задача несколько облегчится, если
р мало. Однако для больших значений р может накопиться
значительная ошибка. Поэтому, если исследователь желает
убедиться в высокой точности своей программы, он должен прежде
всего обратиться к условию 6, поскольку другого, более верного,
индикатора точности программы, чем этот, он не найдет. Если
условие 6 выполняется с высокой точностью, то, несомненно, и
остальные факторы — Ко{т, р) и /Ср(т, р)—ЭВМ вычислит
также с высшей точностью. Сказанное подтверждается нашими
предварительными расчетами (см. табл. 4.8), где основные ошибки
связаны с вычислением фактора /Срл(^, р). Поскольку основные
трудности связаны с расчетом /Срл(^, р), то, естественно, следует
более высокие требования предъявить к вычислению именно этого
коэффициента. Все вышерассмотренное объясняет наш
повышенный интерес к условию 6. В связи с этим возникла наша
следующая рекомендация исследователям: каждый раз, приступая к
расчетам по неизвестной программе, следует проверить ее на
точность по формуле (4.37) для заранее известных значений р и т.
После того как будет достигнута заданная — известная —
точность счета, можно приступать к расчетам по неизвестным
параметрам.
Используя программу 5-НД, мы рассчитали факторы
эффективности /Co(m, p), /Cp(m, р), Ки{т, р) и К?л(т, р) для широкого
20 Заказ № 124
305

Таблица 4.14
Значения факторов Ко(т> р), A'p(m, p), Кп(т, p) и /Срл(т, р)
т=1,78 —0,П
р = 0,001
Ко = 1,597857339 —04 КР =4,773048986 —13
Кп = 1,597857335 —04 /Срл = 7,159569698 —13
р=0,005
/Со = 7,989453739 —04 КР =2,983175206 —10
Кп = 7,989450755 —04 Kv л = 4,474703704 — 10
р = 0,01
Ко = 1,597997435 —03 Kv = 4,773178151 —09
Кп = 1,597992662 —03 Kv л = 7,159388952 —09
р = 0,05
Ко = 8,009312699 —03 Kv = 2,985176107 —06
Кп=8,006327523 —03 Крл = 4,471853064 —06
Р = 0,1
/Со = 1,616245346 —02 Kv = 4,785827263 —05
/Сп= 1,611459519 —02 А'рл = 7,140898770 —05
Р = 0,5
tfo= 1,280318319 —01 tfp = 3,143371024 —02
/Сп=9,659812171 —02 #рл = 4,119721807 —02
Р=1,0
Яо = 7,625276749 —01 Кр = 4,807205962 —01
Кп = 2,818070787 —01 Kv л = 3,641072242 —01
р = 3
Ко=3,902455789 +00 Kv=2,735230942 +00
Кп = 1,167224847 +00 К? л =4,057600757 —01
р = 5
Ко = 2,329928331 +00 К? = 1,059665376 + 00
Кп = 1,270262955 +00 КР л = 3,634258561 —01
р=10
tf о=2,402006546 +00 К? = 1,241914088 +00
Кп= 1,160092459 +00 Kv л = 7,414082347 —02
р = 50
tfo = 2,142444593 +00 Kv = 1,186792869 + 00
Кп = 9,556517245 —01 /Срл = 7,993763718 —02
р=100
Ко=2,090606194 +00 Kv = 1,173874486 +00
tfn=9,167317083 —01 Д-рл = 7,991591307 —02
306

p = 200
Ко = 2,057505499 +00 ^ = 1,162930406
/Сп = 8,945750932 —01 Ярл = 7,991387946
р = 300
/Со = 2,044027857 +00 К? = 1,157583605
Кп = 8,864442520 —01 /Ср л = 7,991346823
р = 400
Ко =2,036412103 +00 КР= 1,154257386
Кп = 8,821547169 —01 КРя = 7,99133487
т = 1,28— 1,37 i
р = 0,001
Ко = 2,732294580 —03 /СР = 2,395038720
Кп =2,732294578 —03 Ярл =3,592557032
р = 0,005
Ко = 1,366183325 —02 Яр =1,496922421
/Сп = 1,366183176 —02 /Ср л =2,245367259
р = 0,01
Ко = 2,732591821 —02 КР = 2,395190910
Кп = 2,732589425 —02 /СР л = 3,592681579
р = 0,05
Ко = 1,369892449 —01 Kv = 1,499161093
Кп= 1,369742533 —01 /Срл = 2,247103321
Р = 0,1
Ко = 2,762160459 —01 КР=2,408350590
Кп = 2,759752109 —01 /Срл =3,602022073
р = 0,5
Ко = 1,660770907 +00 Kv = 1,490217351
/Сп= 1,511749172 +00 Ярл =2,071622552
р=1,0
Ко = 2,907655003 +00 К? = 9,984092981
Кп = 1,909245705 +00 Ярл =9,357032145
р = 3
Ко =2,903165014 +00 Kv = 1,519548544
Кп= 1,383616470 +00 /Срл = 2,709976322
iP = 5
/Со = 2,720368715 +00 /Ср = 1,537984395
/Сп = 1,182384320 +00 /Срл = 2,218902457
р=10
Ко = 2,489669906 +00 К? = 1,509580256
Кп = 9,800896500 —01 /СР л = 2,858790298

p = 50
tfo=2,171029943 +00 tfp = 1,419777899 +00
^ = 7,512520441 —01 /Срл = 2,763972442 —01
p=100
#0=2,105668158 +00 #p= 1,393104839 +00
#n = 7,125633193 —01 Kv л=2,763706457 —01
p = 200
#o = 2,065114025 +00 #p = 1,373834720 +00
#n=6,912793054 —01 #рл =2,763594639 —01
p = 300
#o = 2,049084611 +00 #p= 1,365338754 +00
#n = 6,837458563 —01 #рл = 2,763573809 —01
p = 400
#o=2,040189438 +00 #p = 1,360328465 +00
#n = 6,798609717 —01 #рл =2,763567303 —01
диапазона изменения р — от 0,001 до 400 и двух значений т:
т=1,78—0,И и т=1,28—1,37 L Результаты расчетов приводятся
в табл. 4.14 с одинарной точностью счета на ЭВМ, поскольку
более высокая точность здесь не требуется.
Теперь рассмотрим действительную точность расчета
факторов Ко{т, р), /Cp(m, p), Kn{tn, p) и /Срл(т, р) по программе
5-НД. Сделать это можно с помощью табл. 4.8, где приводятся
все четыре коэффициента, вычисленных при различных точностях
счета Ап(у) непрерывной дробью для т=1,78—0,1 i и т=
= 2,58 — 0,9 i. Укажем, что функции Риккати—Бесселя первого и
второго рода, входящие в ап и Ьп, а затем во все коэффициенты,
рассчитываются с точностью до 14 точных цифр после запятой,
а логарифмическая производная Ап{у) —с точностью до 20
точных цифр после запятой. Все это позволяет не сомневаться, что
данные табл. 4.14 гарантированно верны с точностью Ю-9, т. е.
9 точных цифр после запятой.
4.2.1. РЕЗУЛЬТАТЫ СРАВНЕНИЯ РАСЧЕТОВ АВТОРА
С ДАННЫМИ ДРУГИХ АВТОРОВ
Насколько бы точно ни вычислялись факторы эффективности
по программе 5-НД, необходимо сравнить их с результатами
расчетов других авторов. Большинство исследователей предпочитают
не публиковать результаты промежуточных расчетов, тем более
в виде таблиц. Поэтому значения факторов эффективностей в
основном представлены в виде графиков. Это обстоятельство весьма
затрудняет сравнение результатов. Использовать графики для
получения численных результатов удается с точностью не более двух
точных знаков после запятой. Ясно, что этого недостаточно для
численных сравнений с нашими результатами. Однако имеется не-
308

сколько работ, где приводятся численные значения факторов
эффективности. Так, в работе [11] приводятся табличные данные
о Ко(т, р), /Ср(га, р) и /Срл(^ р) для льда с точностью 10~6—10'7
при широком диапазоне изменения х в m=l,78—10_m' i, причем
т' изменяется от 0 до 10.
В табл. 4.15 сравниваются данные из работы [11] с
результатами наших расчетов по программе 5-НД для двух значений
комплексного показателя преломления: т=1,78—0,1 i и т=1,78—
—0,01 L Как видно из таблицы, наши результаты хорошо
совпадают с результатами работы [11] —с точностью Ю-7.
Исключение составляют только значения Kv{m, p) при р = 0,01, которые
существенно различаются. В остальном при малых значениях р
расхождение результатов незначительное (примерно 10~4—Ю-5),
а для больших значений р — расхождения данных вообще нет.
Сравним теперь данные из работы [21] для воды в
миллиметровой области спектра (табл. 4.16) при т = 2,58—0,95 i с
результатами наших расчетов. Из таблицы видно незначительное
расхождение расчетных данных как для малых, так и для больших
значений р. Расхождение несколько больше для малых значений р,
но с увеличением р постепенно уменьшается и для больших р
наблюдается только в третьем знаке после запятой.
Подводя итоги сравнения наших вычислений с результатами
других авторов, следует отметить удовлетворительное согласие
расчетов факторов эффективности К0(т, р), Kv(m, p), Кп(т, р) и
KVn(m, p).
В табл. 4.17 приводятся для сравнения времена счета одного
из значений факторов эффективности, выполненных по различным
алгоритмам: [23], [38] и по нашей программе 5-НД.
Отметим, что Дейве [23] выполнял расчеты на ЭВМ
IBM 360/50—360/91, время счета которых точно установить не
удалось. Вискомб [38] считал на ЭВМ (Сгау-1) с известной
скоростью ~ 1 млрд операций в секунду. В работе [38] указывается,
что скорость расчета Дейве была в 100 раз меньше. Поэтому
можно полагать, что у Дейве скорость счета составляла^ 10 млн.
операций в секунду. Наши расчеты по программе 5-НД
выполнялись на ЭВМ ЕС-1045 со скоростью 800—1000 тыс. операций в
секунду. Таким образом, в табл. 4.17 данные столбцов 4 и 5
рассчитывались со скоростью, в 10 раз меньшей, чем данные,
представленные в столбцах 2 и 3.
Из табл. 4.17 можно сделать следующие выводы. Во-первых,
время расчета по программе 5-НД в 3—15 раз меньше, чем
расчетное время в работе [38]. Во-вторых, по сравнению с программой
[23], программа 5-НД считает быстрее почти в 100—400 раз.
Указанные преимущества программы 5-НД достигнуты за счет,
во-первых, использования алгоритма Ленца при вычислениях Ап{у) и,
во-вторых, благодаря модернизации и усовершенствованию самого
алгоритма расчета Ап(у) (см. п. 4.1.4.3), а также ряда
усовершенствований в программах расчета г|)п(р) и х™(р)- При расчетах по
программе 5-НД были использованы скрытые возможности самой
309

Таблица 4.15
р
Сравнение расчетов факторов эффективностей по программе
*о (m. P)
Согласно [111
табл. 5—9
Программа
5-НД
*р (т. р)
Согласно [llj
табл. 5—8
Программа
5-НД
5-НД и [11]
*рл <ш- Р)
Согласно [11]
табл. 5—7
Программа
5-НД
0,01
0,1
1,0
5
10
50
00
0,01
0,1
1,0
5
10
50
00
1,5979343-Ю-3
1,616241 ЬЮ-2
0,76252767
2,3299283
2,4020065
2,1424445
2,0906061
1,561994Ы0-4
1,6599668-Ю-3
0,53089276
2,1095440
2,4120246
2,1258394
2,0958077
1,5979974-10-3
1,6162453-Ю-2
0,76252767
2,3299283
2,4020065
2,1424445
2,0906061
1,599429 МО"4
1,6599678-Ю-3
0,53089276
2,1095440
2,4120246
2,1258394
2,0958077
ш=1,78
4,1129218-
4,7858265-
0,48072059
1,0596653
1,2419140
1,1867928
1,1738744
/п=1,78-
4,6945828-
4,7073822-
0,5012970
1,6826263
2,0093241
1,3089814
1,1984944
—
ю-
10
-
ю-
10
0,1£
-9
-5
3,0 И
-9
-5
4,773178-Ю-9
4,785827-Ю-5
0,48072059
1,0596653
1,2419140
1,1867928
1,1738744
4,694834-Ю-9
4,7073822-Ю-5
0,5012970
1,6826263
2,0093241
1,3089814
1,1984944
7,159385-
7,140899-
0,364107
0,363425
0,074141
0,079938
0,079916
7,041872-
7,023801-
0,389894
8,559040
6,020235
1,976196
0,110814
ю-9
ю-5
ю-9
ю-5
7,159388-Ю-9
7,140899-Ю-5
0,364107
0,363425
0,074141
0,079938
0,079916
7,041878-Ю-9
7,02380Ы0-5
0,389894
8,559040
6,020235
1,976196
0,110814

Таблица 4.16
Сравнение расчетов факторов эффективности по программам [21] (числитель)
и 5-НД (знаменатель) при т = 2,58—0,95
р
0,1
0,3
0,7
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
К0 (т. р)
0,070
0,0714
0,260
0,260
1,444
1,449
3,128
3,131
3,024
3,023
2,808
2,807
2,690
2,690
2,608
2,608
Кр (т, Р)
1,5-10-4
1,488-10-4
0,0130
0,0127
0,433
0,434
1,378
1,382
1,459
1,459
1,443
1,441
1,436
1,436
1,428
1,429
*рл <т' Р)
2,2-10-4
2,217-10-4
0,0180
0,0179
0,477
0,455
1,021
1,027
0,473
0,473
0,213
0,213
0,161
0,162
0,195
0,196
Таблица 4.17
Время расчета (приведенное к скорости 10 млн. операций в секунду)
одного из значений фактора эффективностей различными алгоритмами
р
0,05
од
1
10
100
400
1000
Дейве
122, 231*
0,7
1,1
3,7
22
—
194
Вискомб
137, 381 **
0,018
0,036
0,098
0,54
—
4,56
Время
расчета, с
т= 1,78-0,
0,0057
0,0057
0,0059
0,0071
0,045
0,45
—
5-НД***
i
т =
= 1,28-1,37 1
0,0059
0,006
0,0062
0,0071
0,023
0,361
—
* Расчеты выполнены на ЭВМ IBM 360/50—360/91 (~10 млн. операций-
в секунду).
** Расчеты выполнены на Сгау-1 (1 млрд операций в секунду).
*** Расчеты выполнены на ЕС-1045 (0,8—1,0 млн. операций в секунду).
31t

ЭВМ в отношении уменьшения времени расчета вплоть до
мелочей. Однако нельзя сказать, что мы при этом исчерпали все
возможности ЭВМ.
4.3. РАСЧЕТ СПЕКТРАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ОСЛАБЛЕНИЯ, РАССЕЯНИЯ, ПОГЛОЩЕНИЯ
И РАДИОЛОКАЦИОННОГО ОТРАЖЕНИЯ
Спектральные коэффициенты ослабления (Г0(Я)), рассеяния
(ГР(А,)), поглощения (ГП(А,)) и радиолокационного отражения
(Грл(А,)) рассчитывались нами соответственно по формулам (3.5),
(3.6), (3.7) и (3.12) по программе ORION (см. приложение) в
единицах дБ/км (формулы (3.5) —(3.7)) и в единицах м-1 (формула
(3.12)). Расчеты коэффициентов выполнены для 19 значений длин
волн: 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; 0,5; 0,4; 0,3; 0,2;
0,1 мм, перекрывающих диапазон от 0,1 до 10 мм, и пяти значений
температур облака: 20, 10, 0, —10 и —20 °С (см. главу 5).
В качестве значений комплексных показателей преломления
в расчетах Ко(т, р), Kv(m, p), Кп(т, р) и Крл{т, р)
использовались данные табл. 3.11 (для воды) и табл. 3.13 (для сферических
ледяных частиц).
Поскольку каждое облако характеризуется широким спектром
размеров капель и невозможно весь спектр размеров капель
описать одним распределением, то ниже мы рассматриваем три
отдельные фракции размеров капель: мелкие капли — радиусом от
1 до 20 мкм, крупные капли — радиусом от 20 до 85 мкм,
сверхкрупные капли — радиусом от 85 до 1500 мкм и более.
Разделение спектра размеров капель на отдельные фракции связано с
исторической последовательностью исследования спектра капель.
Действительно, в 40-х—50-х годах интенсивно исследовался спектр
размеров капель от 1 до 20 мкм, а затем в 60-х—70-х годах — две
остальные фракции размеров капель. В соответствии с принятым
разделением спектра капель по размерам в наших исследованиях
сохраняется эта последовательность изложения материала таблиц,
представленных в пятой главе. Таким образом, мы выполнили
расчеты для трех фракций капель: размером от 1 до 20 мкм (12
типов облаков); от 20 до 85 мкм (2 типа облаков); от 85 до 1500 мкм
и более (10 типов облаков) и для облаков, дающих осадки (7
типов облаков) (см. табл. 2.14, 2.15 и 2.16). Наименьшее число
типов облаков рассматривается для фракции от 20 до 85 мкм. Зто
объясняется, как отмечалось выше, малым пока объемом данных
наблюдений. Другие две фракции капель — от 1 до 20 и от 85 до
1500 мкм — представлены сравнительно полно. Как показывают
расчеты, наиболее важным для распространения ММ и СБММ
волн является диапазон размеров от 85 до 1500 мкм. Как будет
показано позже, наличие сверхкрупных капель является причиной
селективного поглощения или радиолокационного отражения
312

в спектральных коэффициентах Г0(А,), ГР(А,), ГП(А) и Грл(А,) в
диапазонах ММ и СБММ волн.
В качестве плотностей распределений капель по размерам
в формулах (3.5) — (3.7) и (3.12) использовались: для капель
размером от 1 до 20 мкм — гамма-распределение (формула (2.57));
для капель размером от 20 до 85 мкм — степенной закон
распределения (формула (2.78)); для капель размером от 85 до
1500 мкм — степенной закон распределения (формула (2.75)); для
облаков, дающих осадки,— формула (2.79). Параметры всех
распределений /(/*), рассмотренных выше, приводятся в табл. 2.14,.
2.15 и 2.16. Подробные характеристики плотностей распределений
и пояснения к таблицам даны в п. 2.7. Укажем лишь, что в
расчетах использовались распределения для 14 основных типов облаков,
включая Medi — среднюю — и Maxi — максимальную — кривые
распределения капель по размерам в облаках. Подробные
сведения относительно выбора параметров распределений капель по
размерам для каждого из типов облаков, а также для Medi и
Maxi кривых распределений можно найти в п. 2.4—2.7.
Обсудим теперь вопрос расчета на ЭВМ интегралов, входящих
в формулы для Го (А,), ГР(А,), ГП(А,) и Грл(А,). Интегралы в
формулах (3.5) — (3.7) и (3.12) рассчитывались методом Гаусса с
разбиением интервала размеров капель от г\ до г2 на 24
подынтервала. Предварительно была предпринята попытка рассчитать
интеграл с разбиением на 48 подынтервалов. Однако расчеты
показали, что особого выигрыша в точности счета при этом не
достигается. Поэтому было принято решение независимо от фракции
капель использовать разбиение на 24 подынтервала.
Теперь несколько слов относительно времени счета интегралов
на ЭВМ. В табл. 4.18 приводятся два значения времени расчета
на ЭВМ: первый столбец — это время, затраченное на расчет только
лишь одного из коэффициентов: Г0, Гр, Гп или Грл, а второй
столбец— это время, затраченное на расчет всех четырех
коэффициентов для одного типа облака. Таким образом, во втором столбце —
время, затраченное на расчет 285 значений коэффициентов: три
коэффициента Г0, Гр и Грл, 19 значений длин волн и 5 значений
температуры. На расчет коэффициента Гп время не тратится, так
как в этом случае ЭВМ выполняет просто операцию вычитания.
Из табл. 4.18 видно, что время расчета одного интеграла для
сверхкрупных капель в облаках не превышает 10 с.
Максимальное время затрачивается на расчет интеграла при г2=2000 мкм
(дождящие облака типа Д-50) и составляет 16 с. На расчет
интеграла для капель размером от 1 до 20 мкм уходит очень мало
времени— около секунды. В литературе нет сведений относительно
времени счета интеграла для одного из значений Г0, Гр, Гп и Грл,
поэтому мы не можем сравнить наши данные с данными других
авторов.
Результаты расчетов указанных спектральных коэффициентов
Г0(А,), ГР(А,), ГП(Я) и Грл(А,) приводятся в пятой главе с точностью
10~3. Следует отметить, что расчеты всех коэффициентов проводи-
313;

Таблица 4.18
Время расчета коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл программой ORION *
№
п/п
Тип облаков
Время
расчета (с)
одного
из значений
Гп, Г,
рл
Время расчета (мин)
всех значений
Г0(А,). Гр(М. Тп{К) и
Грл(к) при различных
температурах
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
*
Sc
St
Ns
Си hum.
Си med.
Си cong.
Си cong. (max)
Си cong. (min)
Cb (max)
Cb (min)
C-5
C-5/10
C-6
Дождь L
Дождь U
Дождь Д-10
Дождь Д-50
Расчеты проводились н
85—500
85—400
85—1000
85—300
85—600
85—1000
200—1200
200—1100
100—700
100—400
1—30
1—30
1—150
20—400
20—400
85—1000
85—2000
а ЭВМ ЕС-1022
03,63
02,79
07,37
02,74
03,64
07,27
09,79
08,91
05,08
02,79
00,53
00,50
00,85
03,00
03,00
07,20
16,00
(100 тыс.
17,23
13,25
35,00
13,01
17,31
34,54
46,52
42,34
24,15
13,25
2,28
2,39
3—4
15
15
34,20
76,00
операций в секунду).
лись на ЭВМ с одинарной точностью, однако на печать выведены
лишь три знака после запятой. Эти три знака гарантированно
верны для всех рассмотренных р и /п, включая сложный для
расчета коэффициент Грл(^).

ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРОГРАММЫ РАСЧЕТОВ НА ЯЗЫКЕ PL/1
Приводимые программы расчетов на ЭВМ — подлинники
«листингов» рабочих программ. Опубликование «листинга» программы
исключает возможность какой-либо ошибки и смело может быть
использована исследователями при условии точного
воспроизведения программы на своих ЭВМ.
//N1H0 JOB {1 ,9| , | |С> | 'ГУКАСЯН в,А , ' ,REG!0N =256К
//ST1 EXEC PLJXCG
/if***********************************•*****+***+*****•***/
/* ПРОГРАММА 1НД */
/* РАСЧЕТ ФУНКЦИИ ANY НЕПРЕРЫВНО* ДР'ОБЬЮ - +/
/* «МЕДЛЕННАЯ» ПРОГРАММА, + /
/♦****** ****и*и»*м**^**м*** ^****н*****нн/
ALOGBpjPROC OPTIONS(MAIN)i
DCL (Z ,HA ,HHA ,HHB ,8RJ) CPLX FLOAT BpM53)J
OCL (RO»NlVfKAPA) FLOAT в I N ( 5 3 ) J
DOL (NN,KK,Mh) BIN FIXEOJ
DCL ANY(40) CPLX FLOAT ( 1б) I
hha=i;hhb = 0 ;
r о = з0;
NIV=1,28{KAPA=-1,37;
Z»R0*CPL.X (N1 V,KAPA) ;
nn,kk,mm=j;
CALL ANVK0T(NN,KK,MM,2,HA};
В R J с H A J
00 MM=2 BY 1 HHJLE(ABS<HHA-HHB)>lE-20>J
KKrJJCALL ANVKOT(NN,KK,MM,ZiHHAj;
KK = ?',CALL ANvKnTlNN,KK,MMl7,HH8) ',
BPJ= (HMA/HHp) +BRJ;
end;
ANY(NN)s-MN/Z«-BR J i
PUT SKIP DATA fANY (NNJ ,NNj ;
ANVK07|PROC(NAfKA,MA,ZA,HH);
OCL ( Z A , H H ) CPLX FLOAT В I N ( 5 ?) i
OCL (SA(0|300),A(3?0)) CPLX FLOAT BlN(53);
DCL ( К A f N A , К А ) BIN FIXED;
S A ( К A - 1 J r 0 ;
A{MA) = (4,1)**(nA4lJ*2*(NA*MA-r,5)/ZA;
SA(HA)sA(MA);
IF MA^rKA THEN DO;
00 I^KA TO M A - i |
An) = (-l)«"4H-l)*2-T<'A*I-?,5)/ZA5
ЗА (I ) = 1/(A( I )+5A ( 1-1) ) J
CNDJ
HH = SA (MA j +SA(MA- 1 ) ;
EN0{EL.c-E HH = SA (MA) j
End anvkot;
End alogbr;

//N2N0 JOB ( 1 ,9| , цС) i ТУКАСЯН В,A , ' , R E G I ON г 2 5 6K
7/ST1 EXEC PLIXCG,T!4t=60
/t ПРОГРАММА 2НА, */
/* РАСЧЕТ ФУНКЦИЙ «О, KR, KP, KRL С ФУНКЦИЕЙ ANY» ' */
/ * ФУНКЦИЯ ANY -НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ, * /
/ * »МЕДЛ£ННАЯ» ПРОГРАПМА, */
/***ш*************ь*******************************+4+**+***/
(N0UNOE4FUOW) ;
AR*C;PROC OPTIONS{f1AlN);
DCL (ANY(»i;50«»n c p L X В J N F L С A T ( 5 .3 } »
(N1V ,KAPA ,RJ ,RO , XS) BIN FLOAl{53),
(MN|NN,|) 3\U FIXED (31 у 5
DCL (M.XIiXllfANjBN'jKRLiAM.AMM) CPLX FLOAT В I N ( 5 3 } ,
( (BJ,BKM*1I5?3) |DBJ(5^5) ,KRiKO|KP) BIM FL0AT{53),
(PtB5? ,EV1 ,ЕУ2 ) BIN FLOAT(53)>
KK BIN FJXED (31),
( J , К , N ) BIN F j x F. D ( 3 1 ) J
ON OVERFLOW;
N I V = 1 , 7 6 ; К A P A s 0 , 1 i
MrCPLX(NlV,-KApA) J
DO R0=1E-2|U2J
>S = RO*4E0*RO* + 3,3333E-U2Er;
DO NU=1,XS; /* идсЧЕТ ANY */
'ALOCBp {BFCIN I
DCL <Z|HA,HHA,HHBtBRJ) С о L X FL'JAT 3 J M ( 3 3 J ;
DCL ( К К , M M ) BIN FIXED',
ина= 1 ;ннв = я;
r о = з к;
N]Vcl t28{KAPAr-l ,37}
2 = R0*CPLX(NIV,KApA) ;
kk,mm=i ;
call anvk0t(nn,kk7mm,ztha);
н R J - H A J
DO MM = 2 BY 1 KHILE(ABS(HHA-HHB)>lE-20) I
kk=i;call anvkot(Nn,kk,mm,z»hha);
KK = 2JCALL ANVKOT (NN.KK ,Mm,ZiHHBJ ;
bpj=(hha/hhb)*4rj ;
end;
ANY (NN) s-NN/ZtBRJ *.
PUT SKIP D A T А Г A N Y {N N) ,N N) ;
anvkOt|proc(na,ka,ma»zaiHH);
DCL ( Z A , 4.4 ) CPLX FLOAT В i N ( 5 T J ;
DCL' (SA(^;3e-^)iA(300)) С f> L X FLUAT 3 I N ( 5 T ) ;
DCL MA ,NA,KAJ BIN F IXFO\
SA (KA-r 1 } r0;
A(rA) = (-l)t*MA*l)*2+(NA+4A-0f5)/ZA;
5 A (MA)=A (MA) ;
J F M A - = Ц A THEN DO',
DC I=KA TO MAwlJ
A(I)a(M)**(I*U*2*(NA*I-0,5)/ZA;
SA(I)=1/(A(IJ+SA(I-1)K
EN9J
HH=SA(MA)+SA(MArl);
end;else hh = sa(мл) ;
"End an yк о т ;
End ai.оgpr;
End;
if po>0^rc<j then do; jhai-3; n = i ?;
en о j else
316

IF ro> = i.sro<*i3p then oo;
JHAI=?!|NS'»0,2 3P8?-2*t*Ot*?*l|437*RO + l4J
ENDJ?L5fc"
IF Po>ien*RO<=75« гнем do;
она 1 = 1 i'nsi ,91^5*^0*36;
end; fuse do?
jhai=2| goto hn] с n э ?
BOlNJslE-OCJBJtN+ljse»
by *i то i;
j-j)s((2*j*u/R0)*Bj(j)-BJ(J*i);
BJ<3)**2;
TO N|
P?*(2*K4-l)*B0(K)+*2;
00
J = N
p J(
ENPJ
B* =
DO K = l
end;
P' = l
00 K = P!
peo
6J(
end;
KR ,
PK (
/*
/*
00 0=1
PJ =
PK (
EV1
xi =
AN =
AN =
PN =
PN =
KR-
K0 =
KRL
tNi.M
KR =
KRU
KP =
PUT
F I Vt KOK = f?
END|
FNy ARAG;
/S9RTMP) 5
TO NJ
( K) s P 19 J ( K. J {
K|sP3J(K)|
К 0 , К RI = 0 5
•-l)s*SIN(!<0) J0K(0jsCoS («O) ♦
+ + *4,* + * + + + + 4+ + * + ** + + + t*t + + + t*b + iit + iilL4. + +*1t,**. + **.*4Si(bM/
ВЫЧИСЛЕНИЕ КПЗФФИиЕНгОВ An, 0N И. ФуНКиИЛ
KQ, к R i Kp (1 KRL
♦ f*******t******** + *** + *t**t** ** + *** + *** *+♦**•**♦***/
py i то xs;
Ji
J) = (2*«J-»n*4K(J-ri)/^Oi-UK(J-3!)»
=Rn*9JCJ)|EV??R0*8J(3nlJj
CPLX(FVl,BK(jJj;xilr-PLX(Ev2i9'<(J*nj;
(ANY(J)/f1*RJ/P0J*EVUEv2{
AN/((ANY(J)/rURJ/RO)*Xl-xn);
(M*ANY(J^*fJ/R0)*EVUFV2j
BM/((M*ANY(J)4>RJ/R0)*Xr-Xll);
KP+f2*«J*l)*(AHS(AN)**2*ADbfR\' ) * * 2 ) >
K0+(2*R0«-l)*REAL(AN.fVJ) ;
= KRL*(-1)**J*(RJ + 5F^|) * ( A N - f3 N ) 5
<2/ROt+?)*KPSKOr(2/Ro**2)*KO&
=4*(ABS(KRL))++2/R0**?;
KO-KR{
SK I P DATA (KO.KRt KP,KRU) J
317

//N1N
//STt
/*
/♦
/**♦
(NOU
AUOC
P JOB (1,9,f||A)i'АРУТЮНЯН Ч,П.'»&ECJ0N52564
EXEC PLIXCG
4 *******»+******t
РАСЧЕТ
4 ***#**
MoERFl.0
6r;pkoc
DCu
NlUr
DO R
ENC
End
1 ,76Рй;
0a2EJ,3
*=RO*4E
*RO*CPL
Q NNs 1
BR0 = 2
S В p ( «
S A r S В
DO ! =
Ac
S A
END i
A N Y ( N
Nn;
I
alocbr;
*****
n:
OPTI
(7|A
CRO |
(NN,
KAPAs
E Л » A E
0*RO*
X (N J U
TO X5
ЕЙ* f N
2E0) ♦
+ JE0/
3 BY
(rlE0
cA*!E
♦ У H К U
*****
CNS(ri
,BRJ"f
О*********************************.****/
ПРОГРАММА 7НЧ */
ИИ ANY НЕПРЕРЫВНОЙ ДРОэЬ'О - */
СТРАЯ» ПРОГРАММА, **/
*****♦******** + *** *•***♦*********** + ***/
Nt >
I S В , А N Y ( 8 ?' 0 > ) OPLX FLOAT В I N « 5 3 )' ,
A',XS)FLOAT BIN < 53) ♦
FIXEDOJ j \
N)c-NN/Z+BRO J
//МцР
//ST 1 E
/*
/*
/*
/**** *
(nouMd
AnARO I
NIV.J,
00 RP =
Xb =
o9
JOB (1,9М;,АГ,'АРУТЮНЯН H,nt ',RF.GI0N"2 56K
XtC PLIXCIG
+«***++*+*+♦*+*+***+***************+***+*****+***#***/
ПРОГРАММА Ar-HjX */
расчет функции any непрерывной д * 0 s ь *) - */
•супер-ёустрар» программа. * /
***************** ********«******+*************** *****/
ERFUOW)J
PROC 0 P T I 0 N 5 ( M A J N ) 1
DCL (7,A,RRJ,SA ,SB,ANY(8efi) ) UPL.X FLOAT В I N < 53 ) t
(RO,NIV,KAPA,XS)FLOaT В 1 N t 5 3 ) ,
(mn,mn,i,nmx,nmn) bin fiх е о ( з i ) j
28EPi;KAPA = i-l,37E0{
1F-3,5E-3,1E-.2 4 5E-2,1E-1,5E-U
RO*4Ee»RO**3,3333E-l*2E0i
0*CPUX(NIV,KAPAJJ
nnci ,xs;
BHC»?F(?* 1NN+5E-1) /Zi
Sec U2E?) ♦(NN*Jl5E«n/Z,l
SAPSe+lEP/PRO;Bwj=PRj*{5A/SB)5
DO 1=3 BY 1 WHILE (ABS (SArSB ) >lE-2(5) J
Ar(^iE0j#*(i*n*2E0*(NN+!-5E-'l)/Z5
/♦ РАСЧЕТ ANY ( 1[ И ANY (XS) */
/* В МЕДЛЕННОМ ВАРИАНТЕ, */
318

IF
IF
$A = A+lE0/$A*)SB = A+lE0/$3iPKJ3"RJ*fSA/SB);
ENOJ
ANY(N4=-.NN/Z + BRJ; PUT SKjP OATA (ANY (NN) ,i j J
IF NNrl THEN NHX=I-J{ELSE NMNcfMI /*ЗАПОМИНАНИЕ КОЛИЧЕСТВА*/
Ej40J /-ПРОБЕ* ДЛЯ ANY(l) В N>1X*/
NMx<5 THEN GOTO ll) '* ANY(XS) В N«S ♦/
NMY<2 5 THEN OOiN^XsNMXrSJNMN-NMNrSiEWOiELSF DC I
NMx = NMX-5iNMN = NrN*.4; END;
Do NN=2 TO X5«1J /^-РАСЧЕТ ПЕРВЫХ NN ДРОБЕЙ ДЛЯ*/
rM=NhXr( (NriX-Nf1N)*NN)/X5; /*ANY<2) , ,,,, ,ANY (X$«"l) i БЕЗ </
BF J=(?E^) + (MN*5E-n/Z; /* ПРОВЕРКИ ТОЧНОСТИ, ♦/
se=(-2Ee>*(NN+i,5b^)/z;
SAsSF + lE0/BRJi9PO = BRJ*{SA/5;9)i
oo 1=3 to ^n;
Ar(-lE0)**H + lt*2Ee*(NN + l-5fc-n/Zl
SAsA + lE0/5A',$B*A*lEPVsB|
BRJ = BRJ*(SA/S«M
end;
00 I=MN+l BY J ^HlLE(ABS{5A-sB;>lE-2^)J/*pAC4ET ОСТАВШИХСЯ*/
As (-pJE0)**( 1*1) *2E0* (NN*I-5fc-l)/Z ?/*ДРОВЕй ДЛЯ ANY(2H,*/
SArA*lEH/5A;SBBA4-lE^/sR 5 /*. , |ANY(XS-1) С ПРО»*/
PRJ=BRJ*(SA/5PJ}
END J
any(nn*)=-nn/z + 9rj»
End;
ENDJ
end лиарс;
/* реркой точности, */
P'JT SKIP DATA(ANY(NN ) , I ) f
//N5Hp JOE?
//ST 1 EXEC
/******+* *
/*
/* РАСЧЕ
/*
/*
/***•***« *
(NOUf DE«Ft
A R a C* | P R С С
CW
0
DCL (Z,
U(
MN
M,
FJ
<1|9,,||А),'АРУТЮНЯН Htn,'|KFCI0\'5256K
P L I X С G , T I И E = 6 *
**w*******>f** * * * * * *********************
ГРОГрАПРА 5 H Д ,
К U И й КО, К К , К Р , KRL С ФУНКЦИЕЙ AN
Н К Ц И Я ANY - Н Ер р Е Р М R И А Я fl P 0 5 Ь ,
•БУСТРАР» ПРоГРА^ГА,
******** **********
(I
DCL (f
(Е
(
{
OW OVER
ON F|XE
ФУН
ty
***
) t
pti
A ,B
0!6
i N N
XI
(-!
PP. ,
PI
(-1
K,N
CW
VER
1|7
LX (
*******
Y.
***************
***********
***/
*/
+ /
*/
*/
/
(53),
FLOW ,
5( KARA = ?!<J.;
N I V , - К А Р Д > J
319

DO PC = 5Er2,lFrl,iEPiiEl7lE2,4F.?;
X$pR0 + 4EP*RO**?,3333&-H?.C<5;
7=P0*M|
ПО MN=l',XS; /* РАСЧЕТ ANY(l) И ANY(XS) */
BRO = 2Ed«(NN*5E^U/2i /* В МЕДЛЕННОМ ЯАРИАНТЕ. +/
$8=(~2E0)* (NN+i ,.4E0)/Z;
SAsSB*JEr/BRJjeRO=BRO*(sA/SB)i
DO Is? PY 1 WHILE(ABS(SArS3)>lF-ZP) i
* = (-lEe)**(I*n*2E0*(N'N4l-.5r^D/Z;
SApA + lEe/SA'iSRcA-flEf/Sp'BRJsBKjiiitsSA/SB)',
EMO{
/'NY (NN) srNN/Z + fRJJ
IF fNc] THEN NMX = I»i;ELSE nMN=I"M /* ЗАПОМИНАНИЕ КОЛИЧЕСТВА */
FNC4 /* NMX И NMN ДЛЯ ANY.(NN) */
if ммх<5 thfn кото li.;
IF MM>'<2 5 THEM 0 0 J
N M У - N Ц X « 3 5 N П N = N M N r 3 J
ENDJELSE PC;
N м у - n м x - 5 ; N и n - n m n - 5 ; f. m q;
00 MN-7 TO У 5-1 i /+PACMET ПЕРВЫХ" MN ДРОБЕЙ ДНЯ*/
NM-NHXp ( (NM*«NMN > *NN) /X«J J / * A N Y ( 2 ) ♦ , . , . , * N Y ( XS » 1 ) БЕЗ ПРО*» *
BRJ= (2F0) *(NN*.bF>l )/ZJ /*РЕРКИ ТОЧНОСТИ. +/
5В -{-.? E и } * { NN♦ j p 5Г- ij) / Z |
5A-SO*lEO/B«J»BRO=BRO*<sA/S0)|
no !=:• тп hn;
A-(~U"fcM**{I-M) ♦2fc0+(NN*If5E-l)/Z;
SArA*tE0/SAJ5BrA + JE«»/SP;
В r 0 = В R J * ( S A / 5 H ) ]
END? '
ПО I=MN*J BY 1 WHIUE(ABS (M-30),> 1Гг?У) 5
A=(-1E0)*,*(I + 1;*?E01'(NN*Iw5e"-1)/Z',
5A = A4.1E0/SA;SBbA + 1E0/5B5
(noijn0crflow) ; #
у r j = в r j * ( 5 a / 5 r ) ;
end;
any(nn)=*nn/z+brj;
end;
IF RO>F.»RO<=100 THEN DOi
4lHAI=^|Na4.0l23eee-2*RO**2 + i(S4^7 + RO+l4;
ENOJEI.sE
IF PO>1O0*RO< = 7 5H THEN 00 J
JHA I = 1 1 N= 1 ,<345*R0 + 361
ENOlf^SE 00}
JHAT=2J END;
BJ(N) = 1K-30{BJ(N+1} = «5»
DO vl = N" BY M TO i;
hj(j-1)=((2*0+1)/r0)*bj(j)-rj(j+u;
end;
Rfl=BJ(0)**2;
0 0 K=l TO Ni
l<fl = B{W (2*K+1 ) *B0 (K)"*f 2 5
end ;
r=3,/saRT(B0);
DO K-0 TO N{
pbo(K}=p^aj(Kj j
В ,5 f K) = P 3 J< К ) i
end;
UnKR|KO,KRU = 0J
В К (-l)3r,SIN(R0) JBK(0)=CO$ (RO) »

/*************** * Л J**.***********.*** 1С ********* ************/
/* • 8МЧМСЛЕНИЕ КОЭ^ФИЦЕНтОВ AN, BN И ФУНКЦИЯ */
/* КО, KR, КР и KRU ^ л/
/**********ж****+********. к ******** ******** Л *****4*.*******/
по л= 1 by l то хs;
rj = j ;
eK(j) = (2*HJ-i)*BK(j-u/r*o-9K{J-;>H
FV1 = R0*3J(J) »EV2=R0*HJ(j-l) ;
XI-CPLX([:Vl,HK(j>);xilrCplTX{Ev2,3K(0-.l)JJ
A N - ( A 4 Y ( J)/M + MJ/R0)*EVt,EV2;
A N - Л N / ( ( A N Y ( J ) / П ♦ R ,1 / R 0 ) * X I - X I I ) ?
RN=(M*ANV(J)+^J/R'l)*FVU£y2j
ON-R4/ { (1*m.,'Y (J) +RJ/RO) +XI-XI 1) i
KR = KR> (2*HJ*U* (AGS (AN) **г + АЯЗ (RM) * + 2) •
К 0 ~ < О + ( ?. * 4 J + I.) * R £ AI ( A N + з N ) ;
KRL = KRL^(-l)**J*(.4J + 5E-.i)*(AN-DH)J
ENOl
KR=(2/RO^*2J*KR;KO=(2/Ro**21*KOi
KRU=4*(ABS(KRL))**2/RO**2J
KP = KO^Ri
PUT SKIP DATA (KO»KR|KP,KRU)5
end;
END J
ENc л Rag;
ПРОГРАММА ORION
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОСЛАБЛЕНИЯ,
РАССЕЯНИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ
И РАДИОЛОКАЦИОННОГО ОТРАЖЕНИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
ОБЛАКАМИ ПО ТЕОРИИ Ми
Программа ORION предназначена для расчетов спектральных
коэффициентов ослабления Г0(Х), рассеяния ГР(Х), поглощения
Гп(Х) и радиолокационного отражения Грл(Х) ММ и СБММ волн
в облаках по формуле
Ti (X) = 1,36439 • 10—2 J r2Nf(r)Ki(m, p)dr,
где
оо
Ко (т, р) = -|- £ (2га + 1) Re (ап + Ьп),
V П= 1
оо
Р
21 Заказ № 124
321

Кп(т, р) = Ко(т, р) — Кр(т, р),
Kvll(m, Р) = 4-
£(-\)п(2п+\)[ап-Ьп]
П= 1
Программа ORION написана для 14 типов облаков, где
размеры капель изменяются от ri=l мкм до г2=45 мкм, а плотность
распределения капель по размерам f(r) подчиняется
гамма-распределению (2.55).
В предпоследней таблице программы ORION приводятся
параметры гамма-распределения для 14 типов облаков: Г\ и г2, затем
значения |3 и а и, наконец, значения N в см-3.
В программе ORION вычисления проводятся для 19 значений
длин волн ММ и СБММ диапазонов из интервала 10—1 мм, через
1 мм и для 1—0,1 мм через 0,1 мм. В последней таблице программы
ORION приводятся значения пик для 5 значений температур: 20,
10, 0, —10 и —20 °С и всех 19 значений длин волн.
Коэффициенты Г0(Х), ГР(Х) и Гп(^) вычисляются в дБ/км, а
коэффициент Грл(^) —в м-1.
Подпрограмма JXQG— 24 предназначена для вычисления
интегралов в вышеуказанных коэффициентах. Здесь же приводится
подпрограмма вычислений гамма-функции.
Подпрограмма вычислений Ki{m, p) включает расчет
специальных функций: функции Риккати — Бесселя первого рода обратной
рекурсией, функции Риккати — Бесселя второго рода прямой
рекурсией и логарифмической производной от функции Риккати —
Бесселя первого рода алгоритмом Ленца.
На печать выводятся данные отдельно для каждого из 14
типов облаков (см. раздел под комментарием «вывод результатов»).
Каждый тип облака включает четыре отдельных массива — для
коэффициентов Г0(А,), ГР(Х), ГП(А,) и Ггр(А,). Каждый массив
включает 19 строк — по числу длин волн — и пять столбцов — для пяти
значений температур.
Данные для коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл выводятся на
печать с точностью три знака после запятой.

/*
/*
/*
/*
/*
/й**************
ввод
исходних
Я А Н Н И X
//ORION JOB < 11 9f i f f A)t 'АРУТЮНЯН Н ,П , '»REC!0Na256K
//STl EXEC PLIXCC,TIMEel20 '
/* ?= УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПРОГРАММА »0 R J О N» " «/
/* РАСЧЕТ КОЭ#»ИЧБНТОВ ОСЛАБЛЕНИЯ! РАССЕЯНИЯ, ПОГАШЕНИЯ */
/* И РАДИОЛОКАЦИОННОГО ОТРАХеНиЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН */
/* ДИСПЕРСНО* СРЕЧОР1. *'
/г************************************************************/
(NOUnDERFLOW)\
A I VP I PROC OpT!ONS(MA|NU /*! - ВАРИАНТ */
DCL (C8|R«,C»AA,BB,;A7,a7lRM} R I M FL0AM33)",
АЦР BIN FIXE0O1) 5
OCL ((CbG2|G3|C4l53)(14J|(CCl,CC2|CC3,'CC4){2)i
( SUMQ < 14) i (SUMSO,SUMSR,SUMSP,SUMSRU ( 14, 19f5f) »
(Ct,C2|C3|C4) ( 14) ) BIN FLOAT(53);
DCL (Qai(AB|AC)(19|3),AL(l9)iS0iSR|SPtSRUiaJ|S0J,SRJ,
SPJ,SRLJ|(ACl,AC2)(6),QK.HAVQ(14j,S0Kf$RKl
SPK.SRLK) BIN FU0ATC5D J
DCL (NIV,KAPA,LAM,R1,R2iR,EN) BIN FL0AT(53)I
DO L=l TO 14;
GET LIST(GKL) |G2(L) ,G3(L| iG4(L) ,G5(L) ) J /*** + ***********
ENDI
oo Kt=i то i9;
GET L1ST(AL(K1)J ',
00 I1*1 TO 51
GET LISTf ABfKL I 1 } \ А С (К Ы 1 ) ) I
end;
ENDI
IGsU
AA*4,ie878E*6|BB=i,36439E42|
/********************************************************
/* НЫЗОВ ПОДПРОГРАММ РАСЧЬТА ИНТЕГРАЛОВ ДЛЯ
/* КОЭФФИЦЕНТОВ ОСЛАБЛЕНИЯ, РАССЕЯНИЯ, ПОГЛАИЕНИЯ И
/* РДДИОЛОКАЦцННОГО ОТРАЖЕНИЯ,
/**********.*********************************************
DO L«l TO 14{
RlaGUU)iR2 = (52(L);R(5 = G3(L)JALF534(L);EN = G3(L);
I I «= t I С ALL 0QC2 4(RliR2»4Q)',a4[eEN*AA*aa,i
5UMQ(L)=Q^i;
DO К1 = 1 TO 194
LAMsAL(M) \
DO ИМ TO 5J
NIVsAB(Kl,ll) JKAPasaC(KX,I 1) \
I I=2 ICALL DRG24|RllR2,sO)i50=EN*BB«SO;
S'JMSO < L • К 1*! J DsSOj-
1 I=3;CALL D«G24|R1?R2,SR);5R = EN*RB*5R;
SyriSR ( L • К l1! I 1)*$R|
IIc4|SP350r.54|SUMSP(L,Kl,Il)=SP|
II=5| OALL UfJG24(Rl,R2,sRL);SKL = EN*iB*SRL;
SUMSRL|L,KbIl)sSRL*l,flE*3/4,34294E<3|
END»
END J
ENDJ
/**♦***********************♦**********************«****/
/* ВЫВОД РЕЗУЛЬТАТОВ */
У*********************,********************************/
DO L«l TO HI
PUT SKJP(4) EDIT{ 'QQs' ,SUnftj (А (З) »E (22 , 15)) |
PUT SKJP(2) EOITJ 'ЗНАЧЕНИЯ »S0»' ,L) (COL (ЗЯ) ,A { 15) ,X (5) ,F (2) ) I
DO К 1=1 TO I 9 i
PUT SKIP EDIT(ALlKi) ,SUMSo(LiKl, + ) ) (E(7,l) , (5)(^(2) ,E(U,5) ) U
ENDI
PUT SKJP(3) EOITf 'ЗНАЧЕНИЯ »SR» ' ,L) ( COL ( 30) , A ( 1 5) tX ( 5) , F ( 2j) I
**/
*/
*/
*/
*/
*/
**/
**/
*/
*f
**/
21*
323

,L) (COL(30) fA(15) tX (5) ,F (2) ) J
►) ) СE ( 7 , 1 ) , (5) ( X ( 7) ,E(11,9) ) J J
DO Kl=l TO J9»
PUT SKIP EDIT(AL(K1) :SUMSR(L.K1 ,*) ) (E (7, 1) , (5) (X (7) ,E (11 ,5) ) j ;
end;
put skip(3) edit j 'значения »рр»«
DO Klrl TO 191
PUT SKIP EPJTfAL(KI) ,SUMSp<LiK1i«
end;
put skip(3) edit( 'значения »sru',d (col (30) .a (15) ,x (5) ,f (7) ) ;
DO Kisl TO 19}
krq pidk гфоц(ьи(1у),ррйрми(и,1у,*))(г(2,у),(0)(5()«?|г(уу,0)|;
end;
end;
/* ПОДПРОГРАММА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛ* */
OQ(324|PROC(XL|XU|YN) ;
DCL (XLiXUiYN^.H.C)
BIN FLOAT (53)»
LY BIN FLOAT (53) ,
XV(24) HIN FLOAT (5?) STATIC PIT
(4,9739360999851(4 7E-си, 6,170614899993600E-03,
A
В
LY
00
4,873642779856547Е-;и
4,69137276W013664F.* 1
4.432077635022005E-O 1
4 , 10(90^9929аб9515Е-О 1
3,700620957Й92772Е-СЧ
3,24046e25968487BE-0 1
2.727107356944198E.01
2,1689 67538130226E-01
1 .575213398480817E-P\
9.555943373680815E.-0?
3, 202844643130281E.0?
: ,5*(XU + XL) ',
: x и - x l ;
n 0 ;
li= 1 то 23 вy '2;
XV(LM*B {
1 LY4.XV (L 1*1 )
1 ,42б5б94314466вЗЕ-02|
2 ,2 13B71940670990E-02i
^,964929243771839E-02,
> ,667324070554015E-02,
^.309508076597664E-0 2,
4,3 80 9^2б052й5б94Е-02|
5.372213505798282E-02,
^,7752«3402б8628ИЕ-02,
6, 08352364639017 0 E - <? 2 ,
6.291872Л17341415Е-02 »
6.3 969И9767337608Е-02)
(undInTia + c)*unP^'T(a-c));
С а
LY
ENOJ
YNa ly + b;
end DQC24;
/» подпрогранмаяфункция Вычисления коэффицеитов */
/* КО, KR И KRL, */
/* + + *** + + + + + + + * + ** + + * + * + *** + *** + + + ** + + * + * + * + ********* + *,. + /
UNDINTIPROC(R) RETURNS(FLOAT BIN(53)>;
DCL (7, A,NA,BRJ,SA,NSA,NSN|SB, ANY(800) ) CPLX BIN FL0AT(53)|
(U(0J600) ,RJ,RO,XS) BIN FlOAT(53),
(MNiNNiI |NMX,NMN) BIN FIXE0I31M
DCL (M ,XI ,XI 1 tAN t BN ,KHL) CPLX FLOAT В I N ( 53 ) •
(BO(-H600) fPBJ(800) iKR,KO) BIN FL0AT(53),
(S$,NR,R,PI ,A8,P,B0,Evl ,Ev2) BIN 4GAT«53)i
KK BIN F IXED(31) ,
(BK(-tJ800) ) BIN FL0AT453) ,
(J,KfN|NO) 3JN FIXED (31) \
qn overflow ;
on fixedoverflow ;
p1=3,141592653589793233^f^;r0=2*pi*r/lam;
MsCPLXfNIVi-KAPA) »
IF iCxl THEN
NR=(R**ALF*D^AMMAi(ALF*l)/R^**(ALF-H))*EXP(-R/RC);
ELSE
IF ICs2 THEN NRa( (B*l)/20)* (2?«/K)**e;EL$E
324

IF ICO THEN NRs(fcUU*(85/R)**8/85»ELSE
IF ICs<d THEN NHs(H«1)*(C/8.,5)*{8I>/R)**3;ELSE
IF I G = 5 THEN 00}G8o;B(AlPF*R) /(G7*RM) {
MHnA7*R*«ALF+EXP{f:0MEND}
IF I 1 я 1 THEN GOTO FIT1
XS5R0+4EH*R0**l<3333E-i+?Ep;
Z з R 0 * M ;
00 NN>=i,XS; /* РАСЧЁТ ANY */
BRJ=2E0*(NN+5E^1)/Z;
SB"(-2E0)*(NN+ij5E»)/Z;
na = sr; n s n = 9 r j ;
SA=SB*lE0/BRJ; flRJ=BRJ*(SA/SH); NsAsSA;
DO Ie 3 BY 1 WHILE(ABS(SA-sB)>lE-2*M
Ав(т1ЕИ)**(1*1}+2Ей*(Мм*|-«5Е-1)/7;
SAsA + lEfl/SAiSB4A4-lE0/S8;
IF SAe?0 THEN /* 0БХ0Л НУЛЯ
SA=(A+(NA*NSN+l)*NSN)/(NA*NSN+l);
na = a; n s n = n s a ; nsa = sa;
BRJsBRJt(SA/SBJ J
ENOI
ANY(NN)=-NN/Z+4RJ;
IP NN»1 THEN N1X=I-ljELSE N M N = I - Ц
end;
IF NMX«3 THEN GOTO LLI
IF NMX<25 THEN DO»
NMXeNMX-3 INflNsNMN-V,
enu;else do;
NMXnNMx=5;NMNSNHN-5; end;
UL|DO NN=2 TO XS-lf
MN = NMX«((NriX-NMN)*NN)/xS;
BRJ*f2E0)*(NN*5E-1)/ZJ
SBn(_2E0> *(NN*U5E0) /1\
NAnSBJ NSN=0RJi
SAoSB+lE(5/BR0| BRJ = BRJ* ( SA/5t) ) ; NSA = SA;
DO 1=3 TO fINJ
AB(-.JE0)**(I*l)t2E0*(NN*I'-5e-'l)/Z5
SAeA+lE0/SA;SB = A*lE0/Sf?;
IF SAcfl THEN /* ОБХОД НУЛЯ
SA»(A*(NA»NSN+1)*.NSNJ/(NA*N5N + 1);
naoa; nsn = nsa; n s a = s a ;
brj=brj*(sa/sb)i
end;
DO I я М N♦ 1 BY 1 WHILE(ABS(sA-SFU>lE-20);
A=(^iF(i)**(I*lJ«2E0+(NN+I-^E-l)/Z;
SA = A*1E0/SA;SB = A+1E0/St3',
IF SA»0 THEN /* ОР1ХОД Hy/)H
SAs(A*(NA*NSN*n*NSN)/(NA*MSN+l);
na = a; n s n = n s a ; nsa = sa;
(NOUNDERFLOW) j HRJsBRJ*(SA/SW) *,
eno;
ANY(NN)a«NN/Z-fcHRJ;
end;
IF RO>0ARO<=100 THEN DO;
JHAI=0{N = «0i23flflE.,2*RO**2*lf'>37*ROM.4;
ENDJF.L3E
IF ROM00aRO<3750 THEN DO;
JHAIsljN=l,045*40+36?
endjelse du;
JHAI32JG0T0 FI N I End;
BJ(N)3lE-30;BJ{N+l)=0;
PO JpN BY -J TO \\
Bj(Ji4i)s((^*j*u/R0j*Bj(j),BJ{j*i);

80=BJ(a)**2J
OQ к«ч то n;
B0aB0*(2*K*iJ*RJ(K)**2;
END|
Pst/SQRTIB.II ?
DO Кая то n;
PBJ(K)=P*3J(*} \
8J(K)4Pt3J(KH
END»
UIIKRiKQiKRLsi?;
BK(wl)s4S!NfRO);BK(0)sGOS(ROM
/«ft***************************************!* ******
/* ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЗФФИЦЕнТОв AN, ЯЦ Л ФУНКЦИИ
/* КО, К.Ч И KRU
/««г*.***!*************************************
DO Jsi BY I TO XSJ
Rvi = j;
BK(J) = (2*RJ-U*BK(J-l)/RO-RK(J..2M
EVl = R0*3J(JMEV25RO*BJ(J-i)i
Xl5CPUX(EVl7BK(J))5X!laOPUX(eV2i'4K(J-l))i
AN={ANY(J)/n+RJ/R0)*EYl-EV2i
ANsAN/((ANY(J)/M+RJ/RQj*Xl-Xll){
8N=(M4.ANy(J)+R0/R0)nEVl-EV2;
BN=BN/( (M*ANY( J)*RJ/RO)*XI-,Xl 1) \
KR3KR*(2*RJtU*(ABS(ANj**2*At»S(BN)**2)J
KOaKO*(?,«RJ*l)*REAL(AN + BN) J
KRUsKRU+(ill**J*(RJ*5E-rl)*(ANn3N);
END J
KR5(2/R0**2)*KRiKO?(2/RO**2)+KO',
KRU34*(ABS(KRL)h**2/R0**2?
/************************************************4«*
/* РЕЗУЛЬТАТЫ ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ бЫЧИСЛЕНИД В
/* ПОДПРОГРАММЕ OQC24,
И**************************************************
F X Т I IF X G-1 THEN DO:
IF 1141 THEN SSsNR*R**3JEUsE
IF IJ»2 THEN SS3R**2*NR*K0;ELSE
IF I I S3 THEN SSsR**2*NR*KR;ELSE
IF MiS THEN SS=R**a*NR*KRu}END|KUSE
IP IG»2 THEN DO;
IF J J a 1. T И Е N SSBNR + R**3tElisE
IF JJ=2 THEN SS»R**a*NR*KO;ELS£
IF ООчЗ THEN SSsR**2*NRtKR;ELSE
IF gj = 5 THEN SSs4**2*NRtKRi.}EN0jCUSE
IF IGx3 THEN SSsNRjeUSE
IF IGa4 THEN DOl
IF KK«J THEN SS»NR*R**3JEUSE
IF KK*2 THEN SS«R**2*NRfKO;ELSE
IF KK*3 THEN SS = R**2*NR*KR;ELSE
IP KKs5 THEN SSsR«*2*NR«KRi;iENDiELS5
IF IGa5 THEN DO; '
IF MM=1 THEN SS=NR*R**3JELSE
IF ММз2 THEN S5*NR**2*NR*K0?ELSE
IF MMs3 THEN SSbNR**2*NR*Kr;eLSE
IF ММрЗ THEN S5pNR**2*NR*KrLJEnD»
RETURN(SS)|
FJN| END UNOJNTJ
/ft************************************************
/* ПОДПРОГРАММАпФУНКЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГАММА ФУНКЦ
/***************j^**********+*********************
OGAMMAIjPROCfG) RETURN5(BJn FLOAT(53»)l
OOL fC,XZ,Y*) BIN FLOAT(33)i
XJJsGJYZMEfli
***«**«*«.*
*/
*/
***/
****
****

DO WHILE(XZME3IJXz = XZ-lt:-0jYZ3rz/XZiENDJ
OQ W4!LE(XZ<-lE0)|YZ=YZ*XZiXZBXZ+tE0;ENOj
IF XZ-»=1E0 THEN
YZ = YZ*( (((((((((((((((({((((((К
1E-16*XZ+14E-16)«XZ-54I;-16)«XZ-206E-16)*XZ
♦ 5l0fle-16)-*XZ*3696*E4,l6)*XZ + 7782 3E-16)*XZ
tl043427E4U)*XZ-ll8i2 746E«l6)*XZ4.5002/07 5E-16)*XZ
♦ 6ll63950EM6)*Xz-20563384l7e-l6)*XZ
^1133027 2 3 20E-16j*X^-,12 504934fl2lE-l6)*XZ
-2,Я1349547307Е-5)*Х7ф12|8Я5Я2в238Я2Еч5),'»Хг
-21,5241674 Ц49Е-. 5 )+XZ->lt6,5l6759l859it-,5)*XZ
♦72i,e9432466630E-5)*X^-962.l9715278770E-5)*XZ
-4,2lV773 4-5 555443E-2)-iXZ*l6t6538AH38229l5E-2)*XZ
-4,2H026350340952E-2)*XZ^6,55873^7 15202538E-1)*XZ
♦5,772156649015329E-1)*XZ*1E0)*XZ)1
RETURN(YZ)5
ENO OGAMMAI J
END AJVPJ
//* ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ HJ, R2 , R0 - H МКП, AlF, EN - В 1/КУб,С*
у/* исходные данные uam - в мкм, niv и кара для температур
//* СООТВЕТСТВЕННО 4-20, *1й, 0, „Цц, .20 Г" Д , ЧЕ ЛЬСиЯ ,
//со,
1 2 0
1 20
1 20 '
1 20
\ 2 0
1 20
1 2И
1 20
X 20
SYSJN
1 ,666
1,500
2,166
1.366
1,833
1.500
!,?33
1 , 000
L.333
1 20 2.000
Д 35
1 35
1 45 -
1 45 ^
10000
9000
800Л
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
1,666
L ,666
5,500
J.900
5,60
5,33
5,05
4,74
4,42
4,07
3,70
3,31
2,90
2,56
2,47
2,45
2,39
2,34
2,29
2,22
2,13
2,06
1,98
0D *
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
6
5
5
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
0
0
0
в
0
0
0
0
0
188
248
11?
<5Г
Ш
472
102
0
1987
1677
925
247
247
55
55
84
,81
76
,67
59
,38
,15
,84
,42
1*1
,99
,87
,81
,71
.71
.42
.55
,48
.47
5,0 0
4,76
4,51
4,24
3,96
3,66
3,36
3,04
2,73
2,45
2,40
2,36
2,32
2,28
2,24
2,19
2,12
2,05
1.97
2, ЯЗ.
2,72
2,63
2,3^
2,35
2,15
1,91
1,60;
1,23
0,89
0,83
0,74
и,75
0,70
0,6?
0,58
0,53
0,51
0,47
4,37
4,16
3,95
3,73
3,51
3,28
3,04
2,81
2,59
2,28
2,24
2,20
2,18
2.15
2.И
•2,05
!|93
1^3
1.96
2,60
2,50
2,37
2.22
2»*5
1.85
1,61
1.31
0.95
0.58
0,34
0,51
0.48
0,44
0.43
0.38
0.35
0,30
0,30
3,
3
3
3
3
г
г
2
2
2
2
2
2
2
X
1
1
1
1
75
59
(43
, 26
110
|93
|77
,61
,48
.26
|20
115
109
,04
|99
,94
1*1
К91
,63
2,26
2.14
2.01
1.85
1.68
1,49
1.27
1.2»!
0.71
0.37
0.42
0.38
*.*5
0.32
0,29
0,27
0,26
0.27
0.37
3.21
3,10
2,99
2,88
2,77
2,88
2,57
2,48
2.41
2,10
2,06
2,03
1,99
1.96
1.92
1.89
1,87
1,87
1,79
1,82
1,70
1,57
1,43
1,23
1,43
0,92
0,72
0,49
0,25
0,30
0,28
0,26
0,24
0,22
0.21
0,21
0,24
0.36
327

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акулинин А. А. К алгоритму расчета оптических характеристик
рассеяния по теории Ми.— Деп. в ВИНИТИ 02.09.87, № 6442—В87, 1987—19 с.
2. Б о р е н К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми
частицами.— М.: Мир, 1986.— 660 с.
3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2.
Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные
многочлены.—М.: Наука, 1974.—295 с.
4. Б р у н о в а И. М. Справочник по математическим таблицам.
Дополнение № 1.—М.: Изд. АН СССР, 1969.— 183 с.
5. Ван-де-Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами.— М.: ИЛ,
1961.—536 с.
6. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций.— М.: ИЛ, 1949.
7. Г р е й Э., Мэтьюз Г. Б. Функции Бесселя и их приложения в
физике и механике.—М.: ИЛ, 1953.—372 с.
8. Дейрменджан Д. Рассеяние электромагнитного излучения
сферическими полидисперсными частицами.— М.: Мир, 1971.— 165 с.
9. Лебедев А. В., Федорова Р. М. Справочник по
математическим таблицам.—М.: Изд. АН СССР, 1956.—549 с.
10. Люк Ю. Л. Специальные математические функции и аппроксимации.—
М.: Мир, 1980.—608 с.
11. Розенберг В. И. Рассеяние и ослабление электромагнитного
излучения атмосферными частицами.— Л.: Гидрометеоиздат, 1972.— 348 с.
12. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и
математическими таблицами/Под ред. М. Абрамовича и И. А. Стигана.— М.: Наука,
1979.—830 с.
13. Таблицы по светорассеянию Под ред. К. С Шифрина, И. Л. Зельмано-
вича.—Л.: Гидрометеоиздат, 1966 (т. 1), 1958 (т. 2), 1968 (т. 3), 1971 (т. 4),
1973 (т. 5).
14. Шифрин К. С. Рассеяние света в мутной среде.— М.: ГИИТЛ, 1951.—
288 с.
15. Шифрин К. С. Введение в оптику океана.— Л.: Гидрометеоиздат,
1983.—278 с.
16. Янке Е., Эмде Ф., Л ё ш Ф. Специальные функции, формулы, графики,
таблицы.— М.: Наука, 1968.— 344 с.
17. Ab r a m о wi t z M., Olver F. W. and Antosiewicz H. A.
Handbook of Mathematical Functions/Abramowitz M. and Stegun I. A. eds.— Applied
Mathematical Series 55 (U.S. Covt. Printing Office. Washington. D. С 1965.)
Chaps. 3.9.10.
18. Aden A. L. Electromagnetic scattering from spheres with sizes
comparable to the wavelength.—J. Appl. Phys., 1951, v. 22, N 5, p. 601—605.
19. Allen E. E. Polynomial approximations of same modified Bessel
functions.—MTAC, 1956, N 55, p. 162—169,
20. British Association for the Adwacement of Science. Mathematical Tables.
V. 10. Bessel Functions. Part 2. Functions of Positive Integer Order.— Cambridge
(U. P. London) 1952.—255 p.
21. Chu Chu-M. Scattering and absorption of water droplets at millimeter
wavelength.— Adissertation for the degree Doctor of Philosophy.—Univ.
Michigan, 1952.
22. D a v e J. V. Scattering of visible light by large water spheres. AppL
Optics, 1969, v. 8, N 1, p. 155—164.
23. Dave J. V. Stattering of electromagnetic radiation by a large absorbing
sphere.—IBM J. Res. and Development, 1969, v. 13, N 3, p. 302—313.
24. Goldstein M. and Thaler R. M. Recurrence techniques for the
calculation of Bessel function.—MTAC, 1959, v. 13, N 66, p. 102—108.
25. Grehan G. and Gouesbet G. Mie theory calculations: new progress»
with emphasis on particle sizing —Appl. Optics, 1979, v. 18, N 20, p. 3489—3493.
328

26. H i 1 d e b г a n d F. B. Introduction to numerical analysis.— New York,
1974.—261 p.
27. I n f e 1 d L. The influence of the width of the gap upon the theory of
antennes.—Quart. Appl. Math., 1947, v. 5, N 2, p. 113—132.
28. Jones A. R. Calculation of the ratios of complex Riccati-Bessel functions
for Mie scattering.—J. Phys. D: Appl. Phys., 1983, v. 16, N 3, L49—L52.
29. К a 11 a w a r G. W. and P 1 a s s G. N. Electromagnetic scattering from
absorbing spheres.—Appl. Optics, 1967, v. 6, N 8, p. 1377—1382.
30. Kerker M. The scattering of light and other electromagnetic radiation.—
New York: Academic Press, 1969.— 666 p.
31. Khar e V. Short-wavelength scattering of electromagnetic waves by
homogeneous dielectric sphere.— Thesis (Ph. D), Univ. of Rochester, 1976.— 319 p.
32. Lentz W. J. A method of computing spherical Bessel functions of
complex argument with tables.— Research and development technical rept.— Rept. no
ECOM-5509, AD-767223/1GA, 1973.—160 p.
33. Lentz W. J. Generating Bessel functions in Mie scattering calculations
using continued fractions.—Appl. Optics, 1976, v. 15, N 3, p. 668—671.
34. Smith P. The conical dipole of wide angle.— J. Appl. Phys., 1948, v. 19,
p. 11—23.
35. Stephens J J. and Gerhard J. R. Absorption cross-sections of wate<
drops for infrared radiation.—J. Meteor., 1961, v. 18, N 6, p. 818—822.
36. Tai С A study of the e.m.f. method.—J. Appl. Phys., 1949, v. 20, (July),
p. 717—723; 1948, v. 19, N 12, p 1155—1160; 1949, v. 20, N 11, p. 1076—1084.
37. W i s с о m b e W. J. Mie scattering calculations: Advances in technique
and fast, vector-speed computer codes.—NCAR/TH-140 STR. National center of
atmospheric research, Boulder Colo, 1979.
38. Wi scorn be W. J. Improve Mie scattering algorithms.—Appl. Optics,
1980, v. 19, N 9, p. 1505—1509.

Если отнять у человека способность
мечтать, то отпадает одна из самых
мощных побудительных причин,
рождающих культуру, искусство, науку
и желание борьбы во имя
прекрасного будущего.
К. Паустовский
ГЛАВА 5
ТАБЛИЦЫ СПЕКТРАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ОСЛАБЛЕНИЯ, РАССЕЯНИЯ, ПОГЛОЩЕНИЯ
И РАДИОЛОКАЦИОННОГО ОТРАЖЕНИЯ ММ
И СБММ ВОЛН ОБЛАКАМИ
ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
ВВЕДЕНИЕ
В главе 4 подробно рассматривались вычислительные
особенности расчетов на ЭВМ спектральных коэффициентов: ослабления
Го (А), рассеяния ГР(А,), поглощения ГП(А,) и радиолокационного
отражения — Грл(А,) (в таблицах они обозначены соответственно
ГО, ГР, ГП и ГРЛ) ММ и СБММ волн в облаках. Поэтому прежде
чем приступить к знакомству с содержанием таблиц, желательно
восстановить в памяти условия, точность и параметры,
характеризующие распределение капель по размерам в облаках и
относящиеся к расчету настоящих таблиц.
Сейчас же, конкретизируя вычисления, отметим, что настоящая
глава состоит из четырех основных таблиц спектральных
коэффициентов, в каждой из которых содержатся данные для
определенной фракции капель в облаках: в табл.1 — для мелких капель
(радиусом от 1 до 20 мкм), в табл. II — для крупных капель
(радиусом от 20 до 85 мкм), в табл. III — для сверхкрупных капель
(радиусом от 85 до 1500 мкм) и в табл. IV — для мелких и
сверхкрупных капель дождящих облаков (радиусом от 1 до 30 и от 85
до 2000 мкм).
Таблица I включает данные для следующих 12 основных типо.^
облаков:
Тип облака . .
Водность, г/м3
Тип облака . .
Водность, г/м3
Тип облака . .
Водность, г/м3
Sc
2,14- КГ1
As
1,72 • 10"1
Си cong.
1,74
St
2,09- 10"
Medi
3,97
Си cong.
Ns
1 2,68- КГ1
Maxi Си hum.
5,16 4,99 • КГ1
(max) и (min)
2,40
Ac
1,48- lO"*
Си med.
9,95- 10"*
Cb
2,97
330

При этом данные для Си cong. (max) и Си cong.(min) в таблице
одинаковы, т. е. повторяются. Сделано это для удобства при
рассмотрении суммарного распределения мелких и сверхкрупных
капель в облаках, где для фракции сверхкрупных капель
присутствуют два распределения — Си cong. (max) и Си cong.(min).
Аналогично приведены данные для Cb(max) и Cb(min)—их
значения также повторяются.
Табл. II содержит данные лишь для двух типов облаков:
Medi(q=l,22-КН г/м3) и Maxi(q = 2,91 г/м3). Как отмечалось
выше, это обусловлено малой изученностью в настоящее время
указанной фракции размеров капель. Поэтому результаты,
приведенные в этой таблице следует рассматривать как
предварительные, ориентировочные. Они могут служить лишь для оценки
возможных средних и максимальных значений коэффициентов,
связанных с крупными каплями в облаках. Данные по отдельным
типам облаков в дальнейшем будут уточняться. Теперь же, чтобы
восполнить пробел перехода от мелких капель в облаках к
сверхкрупным необходимо привести оценки результатов исследований
отечественных авторов.
Зарубежные исследователи считают, что облака почти всех
типов характеризуются бимодальным распределением капель по
размерам (см. главу 2) с первым максимумом в мелкокапельной
фракции и вторым — во фракции сверхкрупных капель. Область же
крупных капель — переходная — отсутствует. В связи с этим
диапазон мелкокапельной фракции у них несколько расширен и
достигает 30—45 мкм, и соответственно граница фракции
сверхкрупных капель сдвигается и эта фракция начинается с 75—85 мкм.
Советские исследователи считают, что все три фракции — мелкие,
крупные и сверхкрупные капли — связаны единым распределением.
В этом случае фракция крупных капель выступает как отдельная
фракция, объединяющая фракции мелких и сверхкрупных капель.
Этим положением руководствовались и мы при определении
средних и максимальных параметров крупных капель (см. главу 2).
Фракция крупных капель в настоящее время является предметом
интенсивного исследования. Поэтому только дальнейшие
исследования позволят установить, позиция каких исследователей верна.
Теперь же следует рассматривать результаты табл. II лишь с целью
грубой оценки.
Таблица III содержит наиболее интересные сведения
относительно влияния неизвестных до этого сверхкрупных капель в
облаках на ослабление, рассеяние, поглощение и радиолокационное
отражение ММ и СБММ волн. Здесь приводятся коэффициенты
для 10 типов облаков (вернее 12 типов облаков, поскольку Medi
облако совпадает с облаком Sc, a Maxi облако — с Ns):
Тип облака ... Sc, Medi St Ns, Maxi Cu hum.
Водность, г/м3 . 1,17 - 10"2 4,70- 10"3 9,42 • 1(T3 7,71 • 10"e
Тип облака ... Cu med. Си cong. Си cogn. (max) Си cong. (min)
Водность, г/м3 . 1,51 • 10"3 3,77 • 1(Г3 4,27 • lO"1 4,93 • lO"2
331

Тип облака . . . Cb (max) Cb (min)
Водность, г/м3 . 1,03 8,04 -КГ2
- В табл. IV представлены коэффициенты для дождящих
облаков, для фракций мелких и сверхкрупных капель: 1) фракция
мелких капель — облако С—5 (<7=2,98-Ю-1 г/м3), облако
С—5/10(2,98.10-2 г/м3) и облако С-6(2,54-10"1 г/м3); 2) фракция
сверхкрупных капель — дождь L (1,00 • 10-1 г/м3), дождь U(1,00 г/м3) >
дождь Д-10(5,09- Ю-1 г/м3) и дождь Д-50(2,10 г/м3).
В начале каждой таблицы (для каждого типа облака)
указывается водность Q (г/м3).
Таким образом, для каждого типа облаков приводится четыре
отдельных массива численных коэффициентов — Г0(^), ГР(А,),
ГП(А,) и Грл(А,), причем значения Г0, Гр, Гп в дБ/км, а Грл — в м-1.
Числа в таблицах расшифровываются следующим образом:
например— число 1,355—03 означает 1,355-Ю-3; число 1,355 + 0,0
означает 1,355 и, наконец, число 1,355 + 05 означает 1,355-105.
Следует иметь в виду, что для каждой фракции капель, кроме
значений коэффициентов, для известных основных типов облаков
приводятся коэффициенты для среднего и максимального
значений распределений капель по размерам в облаке — Medi и Maxi.
Эти данные весьма важны, поскольку для каждой фракции капель
позволяют знать средние и максимальные значения
коэффициентов: Го, Гр, Гп и Грл. Они могут быть полезны и найдут
применение при проектировании технических средств связи и навигации,
а также при проектировании генераторов и приемников ММ и
СБММ волн.
В настоящей главе также подробно обсуждается вопрос
реальной точности представленных таблиц спектральных
коэффициентов. Вопрос важен для оценки того, насколько близки
рассчитанные данные таблиц к значениям Г0, Гр, Гп и Грл в реальных
облаках.
5.1. РЕАЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ ТАБЛИЦ
СПЕКТРАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОСЛАБЛЕНИЯ,
РАССЕЯНИЯ, ПОГЛОЩЕНИЯ
И РАДИОЛОКАЦИОННОГО ОТРАЖЕНИЯ
Вопросы точности расчета коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл на
ЭВМ подробно рассматривались в главе 4. Здесь же речь пойдет
о том, насколько точно данные представленных в настоящей главе
таблиц отражают реальную действительность, т. е. фактические
значения коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл в облаке.
Согласно формулам (3.5) — (3.7) и (3.12), точность расчета
коэффициентов зависит от точностей задания плотности
распределения капель по размерам f(r)y числа капель в единице объема TV и
факторов эффективности /С/(т, р). Таким образом, задача сводится
к определению того, насколько точно f(r)y N и /Cr(m, p), исполь-
332

зуемые в наших расчетах, совпадают с параметрами реальных
облаков или насколько точно показатели преломления (Я) и
поглощения (х) соответствуют Лих воды в реальных облаках.
Рассмотрим пока вопрос точности задания f(r). Предположим,
что плотность распределения капель по размерам характеризуется
распределением Хргиана—Мазина (формула (2.30)). Тогда
определяющим для этого распределения является средний радиус
распределения гс1. Поэтому важно, с какой дисперсией определено
гС1 для каждого типа облаков, или насколько точно гс\ совпадает
с гср реального облака.
Следует отметить, что гс\ является результатом осреднения
данных многочисленных наблюдений. Кроме того, определению гс\
предшествовали многотысячные измерения в различных областях
одного и того же облака. Полученное таким способом значение для
гс1 наиболее точно и полно характеризует определенный тип
облака. Результаты измеренных указанным путем значений гс\ для
отдельных типов облаков представлены в табл. 2.1. Легко видеть,
что разброс абсолютных значений гС\ для различных типов
облаков невелик и находится в интервале от 4 до 6,5 мкм.
Следовательно, гС1 определена с очень малой дисперсией. Поэтому
точность гС1 определяется тем, насколько точно уже определено гс\
реального облака.
Теперь рассмотрим вопрос точности, связанный с
концентрацией капель N в облаках. Заметим, что в пределах одного типа
облаков концентрация N может изменяться. В расчетах
представленных в этой главе таблиц использовалось точно известное
значение N, и рассчитанные значения коэффициентов ослабления и
радиолокационного отражения относятся к этому конкретному N.
Если обратиться к формулам (3.5) — (3.7) и (3.12), то убедимся,
что интегралы линейно зависят от N и вообще величина N может
быть выведена за знак интеграла. Поэтому для другого значения
N коэффициенты ослабления и радиолокационного отражения
можно получить простым линейным пересчетом. Таким образом,
любая дисперсия в определении N не может сказаться на
результатах, представленных в наших таблицах. Чем точнее будет
определено N для реального облака, тем ближе будет значение в
таблице к фактическому.
Рассмотрим теперь точность, с которой задаются коэффициенты
Ki(my p). Вопрос в том, насколько точны значения п и х,
используемые при расчетах Ki{m, p), т. е. насколько точно они
соответствуют значениям для реальной воды в облаках. В п. 3.3.5 мы
подробно обсудили вопросы, связанные с соответствием п и х воды,
измеренных в лабораторных условиях, и п и х воды в каплях
облаков. Сейчас ясно, что вопрос этот не простой и для его
окончательного решения потребуется время. Поэтому речь может идти только
об учете реальных факторов, влияющих на точность.
В п. 3.3.3.7 приводятся значения точности, с которой
определены Я и х воды в лабораторных условиях различными
исследователями для различных температур и длин волн ММ и СБММ диа-
333

С/5 С/5 С/5 С/5 С/5 С/5 С/5 С/5 С/5
ооооооооо
ОЭ 03 03 03 03
^^?????????^^!7^^^^^ZC/5C/5C/5C/5C/5C/5C/5C/5C/5
К^^^^р.р.р.р.р.р.сяслсясяи)«)сясяся ~~~~г>С)00 о
ооооооооо
ооооооосдел
ю То "^ ^ ~оо Ъо ~оо
3» X 3» X 3i 3» X 3i
ооооооослслооооооослслооооооослслооооооослс
ю ю ^ ^ оо оо оо ю ю ^ *ь ооЪо ~оо ю ю ^ ^ оо оо оо ю ^ оо оо ю ^ оо
X 3» X 9) X 3i 3i S 3i X 3i X »} X ?si 3» X 3i S 3» X 3i £ 3» 3i S 3i X X 3i 3» 3i 3» X X
СО
3. ■§
3
ооооо — оо —
ОО — ООСО — ОО
С1>
о
— ОС0 05000)СОн-
^00 — ОООЭООО^Ю
ооо — о — — о—о — о^-ою^-о^-^-^-о^-о^-^-о^-оою^-^-^-оо^-
OOOOOOOiboO^^loCDCD'cD^OOOOOOCD^cDO^CD^OO^D^D^-CDCDOOOCDOOOOOO^-CD
С»05^СОСН^ООЮСО^^ОСН- Ю^ООСНЮ<»СН<^СОЮ-^СООС»ОЮСО СЛ-^ -^
О— О— О — — О Ю О Ю О — ОЮ- О— О — МмОЮмОО О О МмммООм
ю Ъ со ^ ^ со о со ю со оЪо ^ ^ о — со со То со ^ ^ ^ о о — со со о — оо~*ь ^ со со
00СОО5СОСО- ^СОСН^<^^ООСОСООСОЮСЛ^СЛОСОЮСОЮ ^СОСООООООСОСОСО
о
ОООООЮОО—
СО—О — >£ьСО — Ю^
05СЛ05Ю СЛн-005*.
О— О — О — — О — О— О— ОЮ- О — О — О — ОЮ>—О — ООЮ — — — ОО —
союТо^оососоюсо — ел ооЪоЪо о со — сосо^ооооооосо—сосоооооослоооо — со
енО5Ю00<^СО- ОЮ- ОЭ^ОСН- 00^О>СН- ОООенО^^СООЭСЛЮ^Ю СЛ "^ "^
о—о — ою-оо
со-^-сослслслсло
оэсосооосооосо^
О — О — ОЮ — ООО — О — ОЮ-—' О О OCO О — ОЮ — О— ООЮ — — — ОО^
сооосо^^оосо
^^-^^^юоосл
СОСЛео— ^*>OW<DWWOO"vJ*>*>WO
слсл^^союоосооослсо — ооо^юсо .

Тип
облаков
t °С
А мм

Коэффициент,

изменяющийся
на 1 %
Изменение коэффициента, %
го
ГР
Гп
г
х рл
Ns
Ns
Ns
Ns
Ns
Ns
Ns
Ns
Cu cong.
(max)
To же
>»
»»
»>
»»
Cu cong.
(min)
To же
„
w
Cb (max)
To же
>}
»
10
10
10
—20
10
10
10
10
10
10
10
—20
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
—20
10
10
5
5
0,8
0,8
0,8
0,4
0,2
0,2
5
5
0,8
0,8
0,8
0,4
0,4
0,2
0,2
5
5
0,8
0,4
0,2
0,8
0,8
0,4
0,2
Я
X
Я
Я
X
Я
я
X
Я
X
Я
я
X
Я
X
Я
X
Я
X
X
Я
Я
я
я
X
X
0,74
0,17
0,66
1,53
0,18
0,27
0,08
0,26
0,09
0
0,42
0,16
0
0,08
0
0
0
0,08
0
0,07
0,10
0
1,00
0,76
0
0
0,14
0,23
1,25
2,04
0
0,49
0,04
0,11
0,07
0,22
4,05
0,70
0,07
0,23
0,23
0,17
0
0,06
0,20
0,06
0,23
0,17
1,76
0,18
0,10
0
0,96
0,15
1,28
0,45
0,30
0,07
0,05
0,93
0,22
0,38
4,7
1,61
0,08
0,62
0,25
0,24
0
0,05
0,22
0,08
0,28
0,26
0,10
0,72
0
0
0,39
0,49
1,78
3,01
0,47
2,84
1,18
0,20
0,39
0,44
1,87
4,07
0,30
1,50
0,97
1,78
0
0,38
0,45
0,31
1,25
1,79
3,74
3,58
0,25
0,15
пазонов. Теперь если по нашим таблицам определить, на сколько
процентов изменяются коэффициенты Г0, Гр, Гп и Грл при
изменении Я или х на 1 %, то можно оценить реальную точность этих
коэффициентов. Для этого будет достаточно увеличить уже
полученные нами изменения коэффициентов при изменении Я или х на
1 % в число раз, соответствующее точности измерений Я и х воды
в ММ и СБММ диапазонах для лабораторных условий.
Учитывая вышеизложенное, мы выполнили расчеты,
результаты которых представлены в табл. 5.1. По возможности здесь
учтены наиболее характерные случаи. Из-за большого объема
материала введены следующие ограничения: во-первых,
рассматриваются только отдельные слоистые и конвективные облака, а
также облака со средним и максимальным параметрами
распределения капель по размерам; во-вторых, учтены обе фракции размеров
капель — от 1 до 20 и от 85 до 1500 мкм; в-третьих, для каждой
из рассмотренных длин волн ММ и СБММ диапазонов
исследуются точности обоих показателей — Я и х. Диапазон изменения
температуры невелик (10 и —20 °С).
335

Таблица 5.1 составлялась следующим образом. Для каждого
отдельного значения длины волны и температуры воды из табл. 3.11
отбиралось известное значение т = п—ix. Затем в одном случае
изменялось на несколько процентов значение Я, а в другом — х и
вычислялись коэффициенты: Г(), Гр, Гп и Грл для нового значения
га. Полученные значения сравнивались со значениями
коэффициентов из наших таблиц для неизменных значений т, и в каждом
случае вычислялось различие в процентах. Теперь, зная в каждом
случае изменение Я или х на 1 %, можно легко рассчитать, на
сколько процентов при этом изменились значения коэффициентов.
Эти значения коэффициентов и приводятся в табл. 5.1. Поскольку
в п. 3.3.3.7 приводятся значения лабораторной точности
определения п их (%) для каждой длины волны и температуры,
то по табл. 5.1 легко определить конечную точность
коэффициентов Го, Гр, Гп и Грл, представленных в наших таблицах.
Располагая табл. 5.1, рассмотрим основные закономерности
изменения точностей определения рассматриваемых коэффициентов
при изменении Я или х на 1 %. Обсудим сначала закономерности
изменения, связанные с изменением показателя Я, а затем —
показателя х.
5.1.1. ТОЧНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ Г0, Грг Гп И Грл,
СВЯЗАННАЯ С ТОЧНОСТЬЮ ЗАДАНИЯ п
1. Капли радиусом от 1 до 20 мкм. При изменении Я на 1 %
для различных типов облаков, коэффициенты Г0 и Гп меняются
при Х=5 мм и Х=0,8 мм от 1,67 до 2,03 %, а коэффициенты Гр и
Грл — при Х=5 мм от 0 до 4-10~2%, а при Х=0,8 мм примерно
на 1 %.
В одном и том же облаке с уменьшением длины волн величины
изменения Г0 и Гп постепенно уменьшаются. Так, для облака Maxi
(температура 10°С), когда Я меняется на 1 %, значения Г0 и Гп
изменяются следующим образом: при А,=5 мм — на 1,92 и 1,92%
соответственно; Х=0,8 мм — на 1,67 и 1,99%; Х=0,4 мм — на 1,69
и 1,78 %; Л=0,2 мм —на 0,86 и 1,26 %.
Для коэффициентов Гр и Грл, наоборот, с уменьшением длины
волны, значения изменений постепенно увеличиваются. Так, для
облака Ns (при 10 °С), при изменении Я на 1 %, значения Гр и Грл
меняются: при Х=5 мм — на 0 и 1,98-Ю-2 % соответственно; Х=
= 0,8 мм —на 1,09 и 1,08%; Х=0,4 мм —на 1,40 и 1,14%; Х=
= 0,2 мм —на 1,94 и 3,55 %.
Рассмотрим теперь изменение коэффициентов для одной и той
же длины волны, но для различных типов облаков. При А,=5 и
0,8 мм особого различия в изменении коэффициентов для всех
рассмотренных типов облаков нет. Для А,=0,4 мм различие уже
наблюдается, однако оно незначительно. Для Х=0,2 мм имеет место
существенное различие (см. табл. 5.1) в изменении всех
коэффициентов, причем для всех типов облаков.
336

Подводя итоги, приходим к выводу, что для различных типов
облаков и рассмотренных длин волн ММ и СБММ диапазонов при
изменении Я на 1 % коэффициенты Г0 и Гп изменяются, в
основном, на 1—2%, а коэффициенты Гр и Грл — на 0—2% в СБММ
диапазоне и почти не меняются в ММ диапазоне.
2. Капли радиусом от 85 до 1500 мкм. При изменении п на 1 %
коэффициенты Г0 и Гп изменяются значительно меньше, чем для
капель размером от 1 до 20 мкм. Так, для облаков Sc и medi
(при 10 °С) коэффициенты Г0 и Гп изменяются при А, = 5 мм —
на 1,44 и 1,44% соответственно; ^ = 0,8 мм — на 0,64 и 10%;
Я=0,4 мм —на 0,41 и 0,12 %; ^=0,2 мм — на 0,10 и 0,15%.
Таким образом, с уменьшением длины волны точность постепенно
повышается, т. е. изменения уменьшаются, причем аналогичная
картина наблюдается и для конвективных облаков Си cong. (max)
и Си coug. (min).
Для слоистых облаков в случае коэффициентов Гр и Грл,
особенно Грл, с уменьшением длины волны точность понижается. Для
конвективных облаков определенной закономерности в изменении
спектральных коэффициентов не наблюдается.
Рассмотрим теперь точность коэффициентов для одной и той же
длины волны, однако для различных типов облаков. Для Х=5 мм
(при 10 °С) наибольшие изменения всех коэффициентов
характерны для слоистых облаков (для коэффициентов Г0 и Гп~ 1,44 %).
В конвективных облаках Си cong. (max) и Си cong. (min)
изменение всех коэффициентов существенно меньше ~0,05—0,22%.
Здесь сравнительно сильно меняется лишь коэффициент Грл
(0,39%).
В СБММ диапазоне наиболее существенно изменяется
коэффициент Грл (1,25—1,90%), причем весьма стабильно для всех
типов облаков. Остальные три коэффициента изменяются
незначительно— от 0 до 0,25%: несколько меньше в слоистых облаках
при ^=0,2 мм и несколько больше в конвективных облаках при
Я=0,4 мм.
Подводя итоги, приходим к выводу, что при изменении п на
1 % коэффициенты Г0 и Гп в ММ и СБММ диапазонах изменяются
в пределах 0,2—1,44%. Изменение коэффициентов: Г0, Гр, Гп и Грл
для капель радиусом 85—1500 мкм мало по сравнению с их
изменением для фракции г=1... 20 мкм. В СБММ диапазоне (Х=
= 0,4... 0,2 мм) наиболее значительно изменяется коэффициент
ГРл (в пределах от 1 до ~3 %) почти для всех типов облаков.
5.1.2. ТОЧНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ Г0, Гр, Гп И Грл,
СВЯЗАННАЯ С ТОЧНОСТЬЮ ЗАДАНИЯ х
1. Капли радиусом от 1 до 20 мкм. При изменении х на 1 %,
коэффициенты Г0, Гр, Гп и Грл изменяются значительно меньше,
чем при аналогичном изменении п. Все коэффициенты для всех
типов облаков изменяются от 0,12 до 0,35 %. С уменьшением длины
волны точность определения коэффициентов уменьшается, т. е. из-
22 Заказ № 124
337

менение возрастает и в СБММ диапазоне (Я=0,2—0,4 мм) уже
составляет 0,9%. Разброс значений точности находится при этом
в интервале от 0,35 до 0,9 %.
Как меняется точность вышеуказанных коэффициентов для
одной и той же длины волны, но различных типов облаков? В ММ
диапазоне (Я=5 мм) наблюдается высокая стабильность и
независимость величин изменения коэффициентов от типа облака.
Хорошая стабильность наблюдается и для диапазона СБММ волн.
Таким образом, можно утверждать, что изменение всех
коэффициентов существенно меньше, чем в случае изменения Я на 1 %,
и составляет примерно от 0,12 до 0,35 % в диапазоне ММ волн и
от 0,35 до 0,9 % в СБММ диапазоне.
2. Капли радиусом от 85 до 1500 мкм. Для указанной фракции
изменение коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл значительно меньше,
чем при аналогичном изменении п. Для всех длин волн ММ и
СБММ диапазонов наибольшее изменение наблюдается для
коэффициента Грл независимо от типа облака (0,35—0,55%).
Остальные коэффициенты изменяются мало — в интервале от 0 до 0,25 %.
В СБММ диапазоне в случае конвективных облаков коэффициенты
Го, Гр и Гп меняются не более чем на 0,1 % (при изменении х на
1%).
Таким образом, наблюдается существенное различие поведения
всех рассмотренных коэффициентов в зависимости от фракции
размеров капель (от 1 до 20 мкм или от 85 до 1500 мкм).
Можно ли связать малую величину изменения коэффициентов
Го, Гр, Гп и Грл при изменении х на 1 % по сравнению с их
изменением при аналогичном изменении Я с абсолютными значениями
самих Я и х? Решительно нет, и вот почему. Как видно из табл. 5.1,
для Х=5 мм (при 10 °С) га=3,66—2,15 г, т. е. величины Я и х
одинаково велики и почти соизмеримы; при Я=0,2 мм (при 10 °С)
т = 2,05—0,51 г, т. е. Я намного превосходит х. Согласно же
табл. 5.1, для облака Medi при Я = 5 мм (й=3,66) Г0 изменяется
на 1,98%, а при ^=0,2 мм (й=2,05) изменение Г0 составляет
1,94 %, т. е. значения изменений очень близки. В то же время при
Х=5 мм (х=2,15) Г0 изменяется на 0,33%, а при Я = 0,2 мм
(х=0,51) изменение Г0 составляет 0,34%, т. е. различие опять
почти не наблюдается.
Приведенный пример с наглядностью показывает, что данные,
представленные в табл. 5.1,— исключительно результат
индивидуальных особенностей показателей Я и х в структуре формул Ми.
Приведенный анализ, хотя и обнаружил определенные
закономерности изменения точности коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл, однако
не позволил установить причины этих закономерностей. Ясно,
однако, что проведенные расчеты позволили сделать основательный
вывод о том, с каким из показателей — Я или х — связана точность
рассматриваемых коэффициентов. Расчеты с убедительностью
показали, что большие ошибки при расчете коэффициентов связаны
с показателем Я, а не с х. Поэтому при расчетах по формулам Ми
следует особое внимание обратить на точность задания показа-
338

теля Я в т. Показатель поглощения можно брать с гораздо
меньшей точностью (почти на порядок грубее, чем Я), поскольку, как
мы убедились выше, влияние точности задания х весьма мало и
не сказывается сильно на значениях коэффициентов. Исключение
составляет лишь коэффициент Грл, при расчетах которого в
большинстве случаев должна соблюдаться одинаково высокая точность
задания показателей пик.
Второстепенное значение при анализе точности имеют длина
волны, температура и тип облаков. Основные особенности и
тенденции изменения точности коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл можно
определить из табл. 5.1. Для случаев, не предусмотренных
в табл. 5.1, можно легко расширить объем таблицы с помощью
дополнительных расчетов.
Окончательно подводя итоги по вопросу о точности задания
коэффициентов Го, Гр, Гп и Грл можно заключить, что даже в
наиболее неблагоприятных условиях (погрешность определения Я —
порядка 5 % (см. п. 3.3.3.7)) точность их определения не превзойдет
10 % (здесь учтено, то, что при изменении Я на 1 % максимальное
изменение одного из четырех коэффициентов равно ~2%). Это
значение ошибки находится в пределах удовлетворительного
современного эксперимента по распространению электромагнитного
излучения в облаках. Ошибки, связанные с заданием показателя
х, почти на порядок меньше. Поэтому даже совместный учет
точностей задания п и х в т не намного изменит приведенное выше
значение максимальной погрешности теоретических оценок
коэффициентов. Правда, следует быть особенно внимательным и
осторожным при расчетах коэффициента Грл, поскольку, как показали
расчеты в СБММ диапазоне и при отрицательных температурах
(—20 °С) изменение Грл может достигать порядка 4% при
изменении Я на 1 %. Эту особенность можно связать с
исключительным характером, как отмечалось выше, расчета коэффициента Грл
по формуле (3.12) (все расчеты коэффициентов Ми ап и вп
различных порядков и знаков, включая и суммирование, ЭВМ
выполняет с комплексными числами и лишь в конце расчетов
вычисляется модуль окончательно полученного комплексного числа).
22*

5.2. ТАБЛИЦЫ
ТАБЛИЦА I
ВЛИЯНИЕ ФРАКЦИИ МЕЛКИХ КАПЕЛЬ РАДИУСОМ
ОТ 1 ДО 20 МКМ В ОБЛАКАХ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
НА ОСЛАБЛЕНИЕ, РАССЕЯНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ
И РАДИОЛОКАЦИОННОЕ ОТРАЖЕНИЕ tAtA И СБММ
ВОЛН

ОЯЛАКп
яУс
им \
10.0
9.В
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0. 5
0 . 4
0.3
0.2
0. 1
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
З.Я
2.5»
1.0
0.9
0 .8
0.7
0.6
0*5
0 . 4
0.3
0»2
0*1
10. Я
9*?
8 ,3
7;я
6.0
5.0
4#0
3.0
2 i0
1 /0
0.9
0.6
0.7
0i6
0<5
0.4
0|Э
0<£
*»1
SC
1,
1,
1.
2,
2 ,
3 ,
f. (
8 .
1 ,
1 ,
3 ,
4 ,
4 ,
4,
6,
7 ,
9 ,
1 ,
4 ,
3 ,
5,
8 ,
1 ,
2 ,
5,
1,
3(
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
7,
1,
2,
6,
1 .
а,
1.
1,
1.
1,
2,
2,
3,
5,
з
1,
3,
3,
4,
4 ,
4
V
7
9
1
3
+ 20
, *1 3 Е-01
,2475-01
,5645-01
,0215-01
,6935-31
, 7 6 5 Е г; е 1
,5755-31
,912Ет01
, 5705+00
,2855+00
, 7315+00
,^155+03
,5615+00
,9855+00
,2895+20
,5075+00
. 9925 + 00
, 5 4 2 Е + 6 1
, 8985+0 1
,5405-07
.3395-07
•592Е-07
.455Е-.26
.666Е-06
, 432Е-06
.286Е-05
,331Е-,05
, 705Ei24
.213Е-03
.217Ег03
.897Е-03
,932Ei-03
365Е-02
.774Е-32
,214с-, Л2
, 7 9 г Е - 3 1
, ЗЗЗЕ-0 1
, 122Е + П
, 0 1 3 Е - Ъ \
.247Е-Д1
f564E-31
.021Е-01
.693Е-01
.764Е-01
,575Еч01
,91lE«3t
.570E+00
.233E+00
.777E+00
, 0 10E+00
, Э54Е+20
.972E+30
.262E+00
.445E+00
» 9 13 E + 0 0
.458E+01
•776Б+0Ц
0 = ?., HE-
+ 1С
-01
0
ЦАЧЕИИЯ »Г0» - P
1,27^-01
1,5655-01
1 , 9 4 П г. - Я 1
2,4985-01
3 , 3 0 2 Е - 0 1
4 , 55 3Е-0 1
6 , 5 3 3 5 - 7> 1
1 ,0е45+03
1,6125+0?
3,255с+00
3 . 5 6 7 »-" + 0 *■
3 , 7 7 6 с + 2 0
4,526 ^ + 00
5 , 1 7 0 = + 0 0
6 , Я 6 Г' Г; + 0 0
7 , 2 3 8 с ♦ 3 0
9 , 7 3 1 с + д ?
1 , 6 4 0 Г. + 3 1
4,8955+01
1.6555-01
2 . 0 1 5 5 - ? 1
2 . 4 9 ; 5 - е 1
3 . 1 5 1 5 - ? 1
4 . 0 7 7 с - ?■ 1
5.4465-01
7.5465-01
1 . 0 6 6 Е + С 0
1 . 5 2 ? 5 ♦ С 0
2 . 5 8 9 Е + 0 Я
2.7 ЯрЕ +00
3 . 0 3 2 5 + С С
3.3945+0 0
3.75 75+бе
1.5965+00
"i , 4 4 1 Е + 3 0
7 . 5 9 7 Б ♦ 0 ?>
1 . 0 8 о 5 + ? 1
3 . 5 6 * Ё + Z 1
ЗпАЦРИИЯ »ГР» - В
3,5 2-7 5-0 7
5,34 35-07
8 , 4 9 51= - a 7
1 , 4J25-06
2,610 «=.-06
5 , 2 6 * 1: - 2 6
1,23^-05
3,583 5-05
i , 5 4 5 ~ - 2 4
2 , t52 15-03
2,9315-дЗ
4,4 0 8 г: - 0 з
7,439 Г:-33
1.3165-32
2 , 6 2 2 Р. - 3 2
5 , 9 4 J 5 - .5 2
1 , 7 5 2 Ь* - ,И
8, 4855-41
1,10 7 5+01
3 , 4 7 я 5 - 0 7
5.2405-07
8.2775-07
1 . 3 В 5 5 - 0 6
2.4975-06
4.9705-06
1. 1365-05
3.2UE-05
1.3495-04
1.5815-03
2*2995-0 3
3 . 5 2 5 Е - 0 5
5.8315-03
1.0345-02
2 . ч 6 8 5 - 0 2
4 . S 5 3 5 - <ч 2
1 , 2 7 6 £ * 0 1
6. 4015-01
1,0255+01
ЗНАЧЕНИЯ »ГП» - В
1 ,2795-01
1 , 5 6 3 Е - -И
1 , 9 4 8 Е - 0 1
2.498Е-01
3,3026-01
4,5535-Jl
6,553*;-. И
1, е 0 4 5 + 0 *
1 1 6 П с ♦ Я Я
3,2534+00
3,564^+0 0
3 , 7 7 U + 0 0
4 , 5 1 9 £ + 0 0
5j 1575 + 00
6,034>>00
7,1795+00
9^5б* + <П
1,5556+01
3.78ве+31
1,5555-01
2.0155-01
2. 19 lc-0 1
3. l5i£-01
4 . 0775-01
5.4445-0 1
7, 5455-01
1 , 0 6 6 5 + 0 0
1.5225+00
2.5 676*00
2.7865+00
3.07 8 5+00
3. 3 8(}5+ 2 *
3.747с*0?
4.5765+00
5.3945+00
7.4 705+00
1.Я10Е+01
2.5415+01
-10
AG/KM
2 ,
2,
3 ,
3 ,
4 ,
6 ,
8 ,
1 ,
1 ,
1 ,
? ,
2 ,
2 ,
3 ,
3 ,
4 ,
5 ,
9 ,
4 ,
,1885-01
,6225-01
, 1835-01
, 9 3 6 Е - 0 1
,9165-01
,282Е-01
,0835-0 1
, 0455 + 00
,ЗИЕ +00
, 7225+00
, 275Р + 0-Ч
,4295+30
, 7 0 3 5 + 00
, 0 2 6 5 + 0 Я
.4655+00
,2635+00
, 7875 + 00
, 9225 + 00
,0585+01
n fs / К :1
3,
5 ,
7 ,
1 ,
2,
4 ,
9 ,
г,
Г,
1,
i,
з,
5 ,
8 ,
1
з!
г,
6,
8 ,
ЯБ/:<
2,
2 ,
3,
3,
4 ,
6 ,
О,
1 ,
1 ,
1 ,
? ,
2 ,
2 ,
3
з,
4 ,
5
9
3
,3415-07
, я 0 7 F - 0 7
.8415-07
,29^5-06
,2925-06
,4655-06
,9605-06
.7525-05
. 1665-I04
. 1095-03
. U5E-03
, 156Е-Г03
,0185-03
7085-03
,6845-32
, 3415-02
, 172Е-01
, 111Е-01
, 4 79Е + 0 0
(М
, 1885-01
,*22Е-01
,1ВЗЕ-0 1
,93iE-0l
,9165-01
,2325-01
. 083Е-01
.0455+00
,3105*00
.721Е+00
,2735+00
►426Е+00
,6935*00
, й 1 8 Е + 0 0
,446Е*00
.224Е+00
,^70Е+00
.310Е+00
.210Е+01
2 ,
} ,
3 ,
4 ,
5
6 ,
7 ,
8 ,
9,
1 ,
1 ,
1 ,
2 ,
2,
2 ,
-f
л ,
9 ,
ч ,
7 ,
4 ,
7 ,
1
1
4
а
2 ,
1
1
1
2 ,
4 ,
7,
1 ,
3 ,
1 .
5 ,
7,
? ,
3 ,
3
4 ,
^ ,
6
7 ,
8 i
9,
1 ,
1 ,
1 .
2
2
2
3
4
8
3
-20
,82 65-0 1
,2905-7 1
,9575-01
.553Е-01
,4125-01
,3 755-0 1
,5 32е -.0 1
, 8 2 1 Е - Л 1
.89 4 F-? 1
.М11*00
.8465+00
,9935*00
,1965+00
,43^5+00
,7945+00
,4665+00
.8445 +00
. Я 9 3 5 + 0 0
.9615+01
,3ei5-07
. 5505-»07
.^035-07
.13 6 5-06
,9745-06
♦ 3645-^6
.2755-06
.3125-05
.С2 3Е-0 4
. 1595-Г03
. 7315-03
,6605-03
.2925-03
,5 975-0 3
,4835-02
,4685-02
,0745-01
,6535-01
,8535+00
.8265-01
,2905-01
,6575-01
,5535-01
,4125-01
.3755-01
.532Е-01
.3215-01
,8935-01
,3405+00
,3445+00
,9915+00
, 1925+00
.4305+00
, 7 8 0 Е + 0 0
.4315+00
.737Е+00
.532Е+00
. 176Е + 01
341

ЗНАЧЕНИЯ »ГРЛ» - В 1/М
10.0
9.0
8.0
7.?
6.С
5.е
4 .0
3.0
2.0
1.0
0.9
0.6
0.7
0.6
0. 5
9). 4
я.з
0.2
0. 1
ОБЛАКО
1.226Е-10
1.Ч61Е-10
2.967Е-10
Ъ , 0 2 4 Е * 1 0
9.207Е-10
1 . 8 7 6 Е - 0 9
4.440Е-09
1.322Е-08
5ЙЯ79Е~08
7.603Е-07
1. 104Е-06
1 ,676Е-06
2 . 7 1 2 Е - 0 6
4.650Е-06
9.399Е-06
2,084Е-05
5.876Е-05
2.585Е-04
2.363Е-03
ST1
li
1,
2,
4,
9,
1 ,
4,
1,
5,
6,
1.
1 ,
2,
4,
8,
1<
5,
2,
2
.218Е-10
рй45Е-10
, 9 3 4 Е - 1 0
» 9 4 5 Е - 1 0
, 0 1 3 Р. - 1 0
, 8 1 8 Е п 0 9
, 7 4 8 L - 0 9
, 2 3 7 Е - 2 8
, 3 2 8 Е п й 8
, 9 4 5 Г: - 0 7
, 0 0 7 t - 0 6
,5115-06
,544^-06
, 4 Я 6 Е - 0 6
r 8 2 I» E - 0 A
, ? 9 3 E - 0 5
, 7 5 з fc - 0 5
,617d-04
,33^-03
Ь
L
2,
4,
8,
1.
3,
1 .
4,
5 «
7,
1,
1 .
3,
7,
li
4,
1 ,
2
С = 2 , И 9 E - 0 i
, ! 90E-lfi
, С 1 0 E - 1 «"■
, 859E-10
,783E-1^
,623E-1«
, 716^-09
, 9 2 4 E - 0 9
, I В 9 E - С 8
, 6 6 я E - 0 В
, 4 3 3 E - 0 7
,893Ет07
, 2 0 0 E •» 0 6
, 996E-06
► 5 2 6 E - 0 Л
.012E-06
, 5 6 5 £ - f» 5
,207.E-05
,9826-04
, 1 0 5 E - 0 3
1 ,
1 ,
2 ,
4 ,
7 ,
1 ,
3 ,
V ,
4 ,
4 ,
7 ,
1 ,
1 ,
2 ,
*5
1 ,
3
1
1
. 155E-10
.729E-10
•708E-10
.466Е-1Яv?
.915E-10
.542E-09
, 439E-09
, 4 9 9 E - 0 9
. й 2 2 E - 0 8
.843E-07
, 193E-07
, 0 0 2 E - Я 6
.717E-06
.971E-06
.716E-06
, 2 9 2 E - 0 5
. 8.6 0E-P5
.894E-04
.844E-03
1 ,
1 ,
2 ,
3,
6 ,
1 ,
2 ,
7 ,
3,
3
5,
9
1;
2 ,
e>
1
3
l
l
. 0 6 4 E - 1 0
. 5 7 2 E - J. 0
.419E-10
.923E-10
.818E-J0
.507E-09
.857E-09
,980E-09
•528E-08
, 9 8 5 E - 0 7
.947E-07
.122E-07
i469E-06
.593E-06
, 0 3 4 E - 0 6
, 167E-05
.541F-05
.755E-04
.727E-03
MM \
10.0
9.0
Я . 0
7.0
6.0
5.0
4 .0
3.0
2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0<6
0. 5
0 .4
0.3
0.2
0. 1
9
. 1
1
1
2
3
5
8
1
3
3
3
4
4
6
7
9
1
4
+ 20
.870E-02
.215E-01
.523E-01
.969E-.01
.623E-01
.667E-01
,430Er01
.679E--01
,529E+00
,196E+00
.677E+00
,903E->00
, 4 3 2 E -> 0 0
, Я40Е+00
.097E+00
.259E+00
,609E+00
,459E+01
.417E+01
1
1
1
2
3
4
6
9
1
3
3
3
4
5
5
7
9
1
4
+ P
0
ЗНАЧЕНИЯ »ГО» i R
,?«6E-0l
.522E-01
, 8 9 a fc - 0 1
.433E-01
.216E-01
435E-0J
383E-01
,761fc-0l
4 6 9 E ♦ 0 0
I 6 7 t * 0 0
,469E+00
, 6 7 I E + 0 0
, 3 9 8 E ♦ J 0
, 020E+0O
, 876E + 00
, 0 0 Я Е + 0 0
, 3 5 9 Б ♦ 0 P
5 5 3 E + 0 1
42ПЕ+01
1
1
2
3
3
5
7
1
1
2
2
2
3
3
4
5
7
1
3
A13E--01
9 6 3 E - 0 1
4 2 6 E - 0 1
069E--01
971E-01
305E~01
350E--01
0 3 9 E ♦ 0 0
4 8 3 6+00
519E+G0
7 1 3 E «■ 0 0
99RE+00
3 0 0 E * 0 0
650E+00
459E+00
2 6 5 E ♦ 0 0
32lE+00
0 2 5 E +"0 1
15RE+01
-10
А15/КП
2
2
3
3
4
&
7
1
r
1
2
2
2
2
3
4
5
9
,5
. 132E-01
, 554E-01
. 501E-01
.9-34E-01
.789E-01
П9Е-01
Q74E-01
018E+00
275E+00
S76E+00
,2 14E+0O
.363E+00
,628E*00
940E+00
«361E+00
1 2 7 E + 0 0
574E+00
3 9 Я Е -> 0 0
593E+01
2
3
3
4
e,
6
7
8
9
1
1
1
2
?
a
3
4
8
3
-20
, 7 5 3 E f 0 1
.206E-0 1
.758E-01
,435E*0l
•272E-01
2l0E*r0l
337E-01
593E-01
637E-01
3 0 6 E ♦ 0 0
, 7 9 6 E + 0 0
, 93 9E+0 0
, 135E*00
3 6 9 E + 0 0
.712E+00
.356E+00
, 6 6 5 E ♦ 0 0
622E +00
fel9E+0l
ЗНАЧЕНИЯ »ГР» - 3 ДБ/КМ
10.
9 ,
8,
7 ,
6,
5,
4 (
3,
2,
1 ,
0,
0,
0,
«.
^,
0,
0,
0,
0,
,0
, 0
, 0
, 0
. 0
► 0
. 0
. г
. 0
.0
, 9
.8
.7
.6
,5
f4
.3
.2
. 1
2 ,
4,
6<
1,
2,
4(
9,
2 ,
1,
1 ,
2,
3,
6,
■ 1,
2,
4
1,
6,
•8
.698E-07
.098E-07
.533E--07
, 106Ei06
.027E-06
, 130E«-06
,778Еч06
,913E^05
,296E-04
,681Er03
.444E--03
.720E--03
.024E-03
.036E-02
. 105E-02
,7l2E-,02
,356E».01
.343E-01
.753Е+0Я
2
4,
6,
1.
1.
«i
9,
2,
1,
1,
2,
3,
5,
9,
1,
4,
1,
6,
e;
,6825-07
,062E-37 •
f 4 5 9 E r- 0 7
,089E-,06
, 9 8 4 E - 0 6
,004E-06
.354E-06
,724E-05
, 174E-04
,535En03
,2?9E-03
,349E--03
r650E-03
,994E-03
,975^-02
, 5 0 6 E - 0 2
.327E-01
.41RE--01
,6386+00
2i
3,
6,
1 i
1<
3,
3,
2,
1,
1.
1.
2.
•1,
7,
1 ,
3.
9,
4,
7.
, 638E-07
, 984E-.07
,293E-07
f 0 5 3 E " О 6
, 898Еч06
, 77OE-06
, 6 4 0 E - 0 6
,44lE-05
,027E^04
, 201E--03
, 747E-P03
, 67pE--03
.437.E-03
, 654E-03
, 570E-I02
,535E-32
,674E-^^>
,845E-r01
,925£+00
2,
5 (
5 ,
9 ,
1,
3,
7 ,
2 ,
8 ,
1 ,
I
2,
3
6,
1
2
8
4
6
.542E-07
.807E-07
.961E-07
.832E-07
.743E-06
.395E-06
.572E-06
.Л92Е-05
.363E-05
, 0 7 J E - 0 3
.592E-03
..398E-03
.313E-03
.614E-03
.279E-02
.9i6E-02
.885E-02
,626E^0t
.610E+00
? ,
3,
5,
8 ,
1 ,
3 ,
ft.
1 ,
7,
8,
1 ,
7 ,
3,
5
1
2
8
4
6
.343E-07
.460E-07
.325E-07
■636E-07
Л01Е-06
.318E-06
.291E-06
.758E-05
,774E-05
.809E-04
.316E-03
.021E-03
.261E-03
■ 771E-.03
,126E-02
,632E-?02
,147E-02
,281Er.0l
.127E+00
342

значения »гл» -. е лб/км
9
1,
1,
1,
2,
3
5,
8,
t ,
3
3,
3,
4,
4,
6 ,
7,
9,
1.
3,
,870Е>-02
.215Е-01
,523Ег-01
.969Е-01
.623Е-01
.667Е-01
.430Е-01
.679Е-01
.529Е+00
, 194Е+0Я
,675Е«-0Э
.900Е+00
, 426Е + 00
.830Е+00
,076Е«-00
«212Е+Я0
,474Е*00
,396Е*01
,541Е*0 1
1,24бЕг,01
l,522=-3i '
1,8 9 PP.-0 1
2,433E-0l
3.2 16Е-0 1
4,435Е-01
6 , 7 8 3 E n 0 t
9,7615-01
1,5695*00
3, 16SE + 00
3,467fc+00
3 , 6 6 Ч Ь ♦ 0 0
4 , 3 9 3 E ♦ 0 0
5 , Я 1 Я E ♦ 0 0
5,p!>6E*0e
6,955t>?0 •
9,2271*00
i, 489E+01
3, !>56F:*0l
1 * 613E-0 i
1.963Е-0Г
2.426E-01
3.069E"fcl .
3t97l£-01
S , 3 0 5 E.- 0 1
7.350E-01
1.039E+0O
1 , 4 8 3 E ♦ 0 ?,
2 • 5 1 8 E ♦ 0 0
2 ♦ 7 1 1 £ * 0 0
2 » 9 9 5 E ♦ 0 г
3 , 2 9 f> £ ♦ 0 г
3,642o*0?
4 . 4 4 3 E ♦ 0 0
5,230.!*0Я '
7 • ? 2 5 £ ♦ 0 Я
9 , 7 6 4 E ♦ 0 0
2 » 3 6 6 E ♦ 0 t
2
2 ,
3
3
4,
6 ,
7 ,
1,
1,
1 ,
2 ,
2,
2 ,
2 ,
3 (
4 ,
5,
0 ,
3,
,132E*01
,554Fri31
. 101Er01
,834E^0;
, 789Err01
. 119E-01
, в 7 4 E - 0 1
.018E+00
,274E*00
.675E+00
.212E+00
.360E+00
,624E*00 ,
.934E + 00 '
, 348E+00
.0 99E+0 0
, 485E*00
,935E*00
, 0 3 2 E ♦ 0 1
7
3
1
4 ,
5
ft
7 ,
P ,
9
1
I
1
7
2,
7 (
-»
4 ,
»* ,
3 ,
.753E-01
,70ftF«0l
.754F-01
.435E-01
.272E-01
.21ИЕ-01
.337E-01
.592E-01
. 6 3 6 E - 0 1
, 3 0 5 E ♦ 0 0
.795E+00
.937E+00
■132E+0&
.363E+00
, 701E+00
.329F+00
, 5 8 4 E ♦ 0 '*
. 194E+00
f007E+0l
ЗНАЧЕНИЯ »ГРЛ» - Ч 1/М
9,
1,
п
3 ,
7,
1,
3 ,
1 ,
4 ,
5,
8 ,
1 ,
2 ,
3,
7 ,
1,
4 ,
1,
1
,318Е«П
.415Е-10
,?Ь6Е-10
.819Е-10
.000Е-10
, 4 2 6 Е - 0 9
, 576Е-09
, 0 0 5 Е - 0 8
, 470Е-08
«781Е-07
,395Е^07
•276Е-06
.062Е-06
«536Е-06
, 148Е-06
, г) 8 6 Е - 0 Ь
, 476Е-05
.980Е-04
.971Е-03
NSJ
9 , 7 6 1 Е т 1 1
1,4 е з z •* 1 о
2.231ЕМ0
3, 76C1F-10
6,8Ь2Е-10
1,3838^09
3,23^Е-09
9 , 4 0 3 Е г- 0 9
4 , Я 5 1 Е - 0 0
5,?8иЕ-07
/ . 6 Я 9 b ,. в 7
1 , 1 49О06
1 . 9 3 5 Е - 0 6
3,М1Б"06
6 f 7 р Н г: гт у 6
1 , Ч 1 6 Е г- 0 5
4,307£-05
2 , И 0 s t - 0 4
1 , 9 5 ^ Е - 0 3
Q = 2 , 6 Я Е ,
9,
1.
2 ,
3,
6 ,
1.
2,
3,
3,
4,
6,
9,
1 .
2,
5.
. 1 .
3 ,
li
1.
-01
, 1 1 ? Е - 1 1
,37ftE-K
, 173Е-П
, 6 3 л Е - 1 0
, 'jSfcE-lo
, 305Е-09
, 9 8 3 Е -I 0 9
, 4 2 7 Е - 0 9
, ? 4 3 Е -. 0 Л
, 131Е-07
, И 0 2 F. - 0 7
, 1 8 9 Е - 0 7
, 5 1 8 £ ■" 0 ft
, 682Е-06
, 334E-0ft
, 1 9 1 Е ч й 5
, 2 0 3 Е г 0 ?
, 5 1 Q Е - 0 4
, 7 4 9 Е «• И S
8
1
2
3
6
1 ,
2 ,
7
3 ,
3 ,
Ъ\
0 ,
1,
2 ,
4 ,
9 ,
2
1
1
,78ЯЕ-1 1
,315Е-10
,^59Е«г10
. 3 9 5 Е - 1 0
. '*\ 8 Е - 1 0
. 172F-09
, 6 1 5 Е •- 0 9
. 12 2 Е « 0 9
, -Л 5 8 Е -г 0 8
. ■> 8 2 Е - 0 7
, 469Е-07
,?28E"07
, 306Е-Г04
■259Е-06
► 349Е--06
,932Е^06
. 9 4 2 Е " 0 5
. 452Е-04
, 531Е-Г0 5
8
1
1
^
s
1
2
6
2 ,
Л (
4 i
л,
1 ,
1
3 ,
м
2
1
1
.091Е-11
, 195Е-10
.8 39ЕМ0
. 9 9 3 Е - 1 0
, 1 84Е-10
. 1 4 Л к - 0 9
.172Е-09
,0686 -09
. ft 0 2 Е - 0 8
, 0 3 0 Е - 0 7
,522Ет07
.937Е-07
.1 17F-06
. 9 7 2 Е ч 0 ft
.8318-0ft
. 8 8 1 Е ч 0 6
,699Е-^^
. 3 4 5 Е - 0 4
. 4 3 2 Е - ? 3
1 ,
1,
1,
2 ,
3,
4,
6,
1 ,
1 ,
4,
4,
5,
5,
6,
7,
9,
1.
2,
7,
+ 2 0
.270Е-01
.564Е-01
.961Е-01
, 535Е-0 1
.377Е-01
.721Е-01
,991Ег.01
, 1 18Е + 00
,970Е + Я0^
, 134Е + 00
, 7 6 0 Е ♦ 0 0
,06 1Е + 00
, 758Е*00
«307Е+00
,988Е*00
, 600Е + 00
,296Е*01
,084Е401
,307Е*01
* J Я
ЗНАЧЕНИЯ >
1 ,604£^0 1
1 , 9 5 9 Ь ~ 0 1
2,443Е-01
3 , 1 3 1 Е г 0 1
4, 140Ew0t
5,7095-^1
8,217Ет01
1 „259Е + 00
2 , 0 2 2 fc" ♦ 0 0
4,0 94Е+00
4.469Е+0 0
4,757Е+00
5 , 7 1 Я Е * я <?
б,537Е*00
7,697Е*0 0
9 , 2 5 1 Е ♦ 0 0
1,262Е*01
2 „ 7 1 2 L ♦ 0 1
7,283Е>01
2
2i
3 ,
3
5,
6 .
9 ,
1 -
1 ■
3,
з,
3,
4,
4.
5,
6,
9,
1<
5,
0
»Г0» г R
, 0 7 5 Е - 0 1
,f526Ei01
, 1 2 2 Е г е 1
, 950Е-0 1
, 1 10Е-01
, 8 2 8 Е - 0 1
, 4 6 0 Е - 0 1
, 3 3 7 Е> 0 0
, 9 10 E * 0 0
, 254Е+00
, 5 0 7 Е ♦ 0 0
, 8 8 0 Е ♦ 0 г
t 2 7 9 Е * 0 0
, 7 4 7 F. ♦ 0 П
, R27E+00
, 9 4 1 Е + 0 0
, 803Е*00
, 4 5 8 Е ♦ 0 1
f *55бЕ=: + 0 1
-10
л в / к м
2 ,
3 ,
3
4
6
7(
1,
1 ,
1 ,
2 ,
2,
5,
3,
3(
4,
5,
7,
ь
5,
.743Е-01
.287Е-01
. 99ЯЕ"01
. 933Е-е 1
. 162Е"01
. ^5 7 5Б-0 1
,0 13Е + 00
, Ч0Е + 00
,642Е*00
, 165Е*00
,662Е*00
, 0 5 8 Е + 0 0
, 406Е + 00
,Я21Е*00
,387Е*00
.432Е+00
,48ЯЕ-»,00
,339Е*01
|951Е*Я1
3
4
/1
S
Л
7
9
1
•
1
2
2 ,
п
3 ,
3,
4,
6,
1 ,
5,
-20
.S42F-01
.124Е-01
,835Е"01
,70ftE-0 1
.783Е-01
,992Е^01
. 442Е^.01
.10ftE*00
. 2 4 1 Е ♦ 0 0
. 6 3 6 Е + 0 0
.320Е*00
, 508E+0fe>
. 7 6 6 Е ♦ 0 0
,077Е*00
.539Е+0Э
.417Е+00
,264Е+00
.226Е+01
,757E*0t
343

10,
9.
8.
7.
6.
5 ,
4 .
3,
2 ,
1 ,
0 ■
0,
Г' ,
7 ,
0 ,
0,
0 ,
0,
0 ,
-10,
9,
8 ,
7,
* .
5,
4 ,
3 ,
2 ,
1 ,
0,
0 ,
0,
0.
0 ,
? ,
/г
0 ,
0 ,
10,
9,
Р ,
7,
6,
5
«
3,
2,
1 ,
р (
0 ,
0,
0,
0,
0,
0,
0
0
,0
,0
,0
,д
, 0
,0
,0
, 0
» 0
> 0
, Р
, е
. 7
► Л
, «=;
, /}
.3
, ?
► 1
■ С
,0
к С*
. 0
. 0
. 0
.0
, ?
. Р
. 0
, 9
, Р
,7
,6
, 5
, 4
.3
.2
. 1
2
. г
, 0
, 0
. 0
^
Э
, 7>
, ?
. 0
. 9
. 8
.7
.6
.5
.4
,3
.2
. 1
7,
ii
i,
2i
5,
1.
2,
7,
3,
4 ,
6 ,
1.
1 ,
2 ,
5,
1 ,
з,
1 ,
2,
i.
1 ,
1,
2,
3(
4 ,
6,
1 ,
1,
4,
4,
5 ,
bt
6 ,
7,
9 ,
1,
1 .
5,
2,
7 ,
6 ,
1 ,
1.
3 ,
9,
/ (
1,
t ,
? ,
3
5 ,
9,
I
/ 4
1
5
3
,252Er07
, 101E»-06
,756E-06
,973E-06
,449E~06
,097E-05
, 628E-05
,830E-05
, 4 8 4 E -r 0 4
, 527E-03
, 5 8 3 E - 0 3
, 0 0 ? E - 2 2
, *24E-?2
.797E-02
. * 9 0 E - г 2
,?76E*71
.486E-01
.732E+00
, 149E + 01
,270E-01
, 5 6 4 E - 0 1
,°61E-01
.535E-01
,377E-01
.721E-01
,991Ew01
, J 18E+00
.970E+03
, 129E + 00
.753E+00
.Я51Е+00
, 7 4 1 E ♦ 0 0
.279Е+Э0
, 9 3 1 E + 0 0
, 4 7 2 E ♦ 0 0
,75<>E*<4
,9i 1E+01
, 157E+01
, 504Em 1И
.803E-10
.063E-10
, л 2 7 E - Й 9
,881Ew09
,877E - 49
, ? 7 3 t'~ 0 9
.702E-08
.701E-37
.554E-06
.257E-06
,429Er06
.542Е-Я6
, 499E-06
,9??E-35
» 2 :> 2 E - 3 5
, 196E-04
, I95Ef04
.866E-03
ЗНАЧЕНИЯ »ГР» - R
7,208E-07
1.092E-06
1.736E-06
2 , Q 2 6 К - 3 6
? , 3 3 4 Г. г 0 6
1 , Я 7 6 £ - 0 Ч
2 , 5 1 4 Е - а 5
7,323глп05
3 , i 5 « Е т 0 4
4 , 1 3 4 Е - 0 3
6,004 F.-07
9,0226-03
1,52?Е-,32
7,697Е-02
5.337Г-??
1 , ? 2 О р - 0 1
7 ,60pF-,tf 1
1 , 7 ? 1 г ♦ 0 0
2,4^+01
7,Я 92Ет0 7
1 , 0 7 1 Е " 0 6
l,*9iE-fl'.
2 • 3 3 п Е - Р 6
5 , 1 0 7 Е п 0 6
1 , 0 1 6 Е - Р *
2, 322Е**05
6 ♦ 5 6 7 Е •» 0 *»
2,7МЕ-04
3, 237Е-^3
4 , 7 0 7 E - 0 3
7 , 2 i 3 Е - ? 3
1, 194Е-02
2, ИзЕ-02
4. ?.3BEi-6f2
9,? 5 9 Е- fiJ 2
? ,Л21Е-СЧ
1 . 3 1 9 Е + t.10
2 . 009Е ♦(? 1
ЗНАЧЕНИЯ »Щ» !- В
I,6C!4E«-01
1 . 9 5 9 Е - 0 1
2 , 4 4 * К -»31
7,171^-01
4 , 1 4 Г! г: - 0 1
5 , 7 0 9 F: -«0 1
8 , 2 1 7 Е - 0 1
1,75с?Е + 0*
2,^22Е*00
4, 09 0 С+ 0 С.
4, 4 8 3F>3fl"
4,7 4 8Е+00
5, Г: 958*0?
6 , 5 J 0 Е ♦ 0 5»
7 , 6 3 9 Е ♦ 0 Я
9, 12<?Е + 0С
1.226Е + М
2 , 0 3 7 F. ♦ 0 1
3, 164Е+01
2,O7?C-0t
7.526E-ei
3, 122Е-01
7 , 9 50E-iM
5, 1 10Е-01
6 , Я 2 7 Е - ^ 1
0 , 4 6 9! 1 - £ \
1 , 7 3 7 E * 0 0
1 , 9 1 0 E «• 7: G
7f25lE+00
7,^07E+0O
7,8738+0 0
4, 267E+CC
4|726E+00
4,785E+F0
6,846E+£0
9 ^5 41E + 0 С
1,326E*0J
7 , 5 4 7 E ♦ ?• 1
ЗНАЧЕНИЯ »ГРЛ» - й
2.489ЕМ0
3 , 7 7 1 f * 1 0
5,995Е-10
1,01 1Е-09
1 , Я 4 2 Е - 0 9
3 , 7 1 6 Е - г 9
8 , (, 6 " Е.т 0 9
2,С>27Е~08
1,^89Ег07
1.4J9E-06
2 , 0 5 * Е * 0 6
3, 0 8 7 Е г 0 6
5, 199Е-,0б
9, 164Е*.36
1 , 8 0 t E n 0 S
4,ебоЕ-05
1, 171Е-*04
5,?6-^Ет.04
3t8?.8E-03
?, 4 4 9 e -10
7.Л98с-10
5,S4lEM0
9,774E-1^
I ,762G*09
7.5 07E-09
8,018E"09
2.26 5E-0P
9,522E^03
1, 11^E^0^
1 , 613E-06
2,46oE-»0 6
4,076E-g6
7 , 2 0 0 E - 0 6
I , 4 3 l E 1- 0 K-
7 , 1 9 0 E " 0 r?
8. 54IE-C5
3 , 9 8 2 £ * 0 4
7,467E-G3
АБ/КМ
6.833E-07
1.023E-06
1 . * 0 2 E " 0 6
2,64 3E-06
4,6 84E^06
9.126E-06
2.036E-05
5',6?.4E-05
2.3ЯЗЕ-04
2.Я82Е^03
4,285E"03
6.4 5 7E-03
1 . И 2 7 E - 0 2
1 .737P-02
3 , 4 5 0 E - 0 7
7 , Я77Е-0?
2 .407F-01
1 .259E + 00
I ,63JE*0l
ДБ/КМ
2.747E-01
3,287E-01
3 . 9 9 Д E - 0 1
4,^37E-0l
^ . 162E-01
7,H74E-01
1 . С 1 3 E * 0 0
1 , 3 1 0 E + 0 0
1 ,<S4 1E+00
2,16 2 e + e e
? , 857E + 00
3,05 1E*00
3,396E+00
3 фв07Е*00
4.753E*00
S . 7 5 4 E + e 0
7,74^E400
1 .213F+01
4.719E+01
I'*
? . 3 6 0 E - 1 0
3.534E-10
5,537E-10
9. 126E-10
1 .M7E-09
3 . 1 5 1 E - 0 9
7.028E^09
1,94 ie-08
<J.218E-08
9.394E-07
1 .469E-06
2 t2l0E-06
3 , 507E-06
6 .065E-0 6
1 . 166E-05
2.633E-05
7.845E-05
3 .806E-04
3.^57E-03
6,
9,
1 ■
2,
4 ,
8,
1,
4,
2,
2 ,
3,
^ (
8,
1 ,
3,
7 ,
2 ,
I ,
! ,
7 (
Л ,
4
s ,
6 ,
7 ,
9 ,
1 ,
1 ,
! ,
? ,
2 ,
i. ,
1 (
3 ,
/1 (
Л ,
! ,
2
3 ,
4 ,
8
i
3
5
1
7
8
1
)
4
5
i
2
7
3
2
.297E-.07
>299E-07
, 4 2 9 E * 0 6
.321E-06
,035E*06
,919Ei06
,691E^05
,725E^05
, 0 9 4 E - 0 4
«370E-03
,541E-»03
.441E-03
, 7 8 2 E - 0 3
, 555c-0<?
,Д37Еи02
. 1 0^E-07
, 7 0 6 F - 0 1
.150E +00
,50OE♦? 1
,54?Er0l
,124En0l
,.°-35Ew0l
,706E^0l
■783E-01
,992E«0l
, 14 IE-PI
. 10ЛЕ + 00
,24 1E+00
, 485E + 00
,317E*00
, r> 0 7 E «■ (r 0
, 7 5 f? E * 7 0
, 0 6 1 E ♦ 0 ?
, ^ 0 8 Z * 0 0
, 3 4 6 E + 0 0
, 0 4 3 E * 0 0
, П 1E*01
,24flE+0l
.175E-I0
.211E-10
. 9 4 2 E - 1 0
• ^ HE-IP
.797E-09
. Ъ 8 0 E - 0 9
.838E-09
. 6 3 1 F - 0 8
, 2 08E-0 8
. 141E-07
.215E-06
.363E-06
, 0 0 0 E - 0 6
,292E-0^
,027E-0,5
.377E-05
, 196E-05
,526E»64
,877E*03
344

сй ^шшшинишьгшшшшшилкшшши
HWN'Or.riA^^O.r- - — "thCNK^<CC>(
UJ LuUIUJUJlijUJliJlLUlIilL'WaJUJlLlDUILJ
с*, кл r-- о- ir< о o^ r« е. к- in p- cc кч. v а со ел >о c?j
CM О «Si Г^ О U^ C% *» IT, CO vC G: <£. ^T K^. СЧ U-» ^ <• K>
«~ + о >© «s г*ч «х- »r« cc—- cs. <ч <o r~ --, "? f\ «~ со «^. о
о ••••>••.■•.«•>•-•••«
« * 00 И «и *t CM ri "О »• Сч1 CS' C\' Ю М V Л «С «^ 1Л
I- I I f I I I I I I • I » Г I I » Г t +
ш а' ш ui n.' ш u) ш ш ш ш ш ш ы il ш ш а? ш
ft<-lfiCM«V44x*4(N^tflCOO K\ <0 1 ч 6. Л
С^Г^КЛ«ЛЮС>Г^ГкС^С01ПГ^«54СОСОКЛЮСМСч1С>
Ш Г- Г* Г* Г« чО ЧГ- MO If. 1Л Ki K\ K\ K\ 1Л N C>) «^ ^ Ь.
jsfj5.sQt5>os<a«atS)Qii, is ca is <s. *s> ts>
<1Г»-1ГГ1-1Г1-Г1>С1>1-> +
I U.' LI Ш Ш U 111 U: Ш Ш Ш Ш UJli' UJ U." U' U« U» in
Ix' Ш Ц1 Ui Ш llJ U1 Ш III Ш Ш Ш Ul 111 III Ш Ш U) ID
♦и -^ Л' cm ui с n) с^ <о см n •-< ^ u"i w <o о m
1Л f~ ЧЭ М" КЧ. IS! О Ю CM 9 Г~-1>-»-«Г»»-«чО»Г1Г«Л1Л
0(М«^Г>Ч-^С1ГММ^1Г, vCOnCM©»*
— ГМ CM K. K\ «Г ITi <■. \fi О «4 ^t .-, ^ч —1 СЧ ГЛ \Г\ CM
~-» —« «-• «-• —*—«—••«-♦«mssjcjiqsis.isiisiis!**"*'
•S S Я s Юч tS»r5«S:lS>Sf<aiE:e?vSi«S!«Sa»S»«S»
IIS 1*1 • •! + •♦ + ♦+■*>■•'♦♦ +
Ш UJJJ U/lbiulilUJli'liJIjJli/LIUJUIllJUJUJUJ
--i *-«o "•"•о^г^^тоочог-човог-сао-чог-
N. _i _ {ч4 ГчЛ^1ЛГ*Гл»н-'г4г*СМСЧГ>!^ if'N
ci — ~ ~ ,- ^-. »ч -* ^«itatscsoeaecti/PM.c*'^
»bj <3v *5j rjj -S# t%j S» r^<biCiiC5»<vC^C»OCJ«Sl«o»raJ
Г I I I I f. Г * I + + + + + + + + ++ +
in ш ш 41 in ii' li' a» a» a: ai а» а* а- а» а; ш шш
ft N «-" O- IT. 1Л dhN l>&TCMIO\OCMNNK16r-
CZ 4-0>«-fhwtnN|f,(no3cMCNl^«>«n4K\4)IS
шшшшшши-шшшшышшшшшшш
1"Л Г- О «Л О- Cc Г» О- fl 1 и^ ИЛ Сл i/-, —' »-• <. О О
Objr^O.unCK'C ^ C0O<SJMjr\C4«-«<Niniri4J
о- чг & «л а ич.сс'«-«с£сччо«>--ч*?кч*-->г»0^1Г.
ОХ. и^гчмП(Оисл1лсМЮПЧ-Щ«ОМ
(S.tb.CSiCWtb.t^Kci Сц^ОчСОГ^чОИЛТЮСМ»*
4S.osx.r^\0in^rK\CM»-»es:G.«iJis.CiCb;«5its»vS

ЗНАЧЕНИЯ »ГРП* - В 1/И
\щ.ъ
9. г
8с9
7. 0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1«0
С.9
е.е
е .7
0.6
0.5
0.4
0. 3
0.2
0. 1
ОБЛАКО
7.332Е-Ц
ЫНЕ-И
1.775Б-1Я
3.006E-J0
5,5096-10
1. 122Е-09
2.657F-09
7,912Е-09
3.503Е-С8
4.5 49Е-07
6.606Е-07
1 .004Е-06
1.673Е-06
2.782Е-0'.
5.А25Е-06
I , 2 4 7 Е - 0 5
3.570Е-05
1.553Е-04
1 . 4 9 3 Е - 0 3
AS!
7,
1.
1,
2,
Ь ,
1.
2,
2.
3,
4,
6,
9,
1,
2,
5,
1,
3,
1,
1,
,788Е-П
,! е - Е -1 я
, 7 5> ч Е г 1 я
, 9 5 9 Е - 1 0
, ЗР2Е-Г10
, 0 и я Е - 0 9
, 5 4 1 Е - я 9
, 9 7 я Е - 0 2
, 188Е-08
. 155Е-07
> 0 2 7 Е - 0 7
, 039Е-Я7
, 5 2 2 Е - 0 6
, 6 8 4 Е - Я 6
,?7ЯЕ-<?6
, 1 9 3 Е - 0 5
, 4 4 А Е - ff 5
, !^73Е-04
, /1 7 я F - ? т
С = 1 . 7 2 Е г
7,
1.
1.
2,
5,
1.
2,
6,
2.
3,
4,
7,
1<
?.,
4,
9,
2.
I,
1,
-01
, 171П-И
, 083Е-10
,71зе«»10
, Я62Е-10
,159Е-10
.027Е-09
.З^бЕ-09
,A3lE-07
, 7 8 8 Е - 0 0
,251Е-07
.723Е-07
, 2 3 1Е - е 7
} 194Е-г^
r 110E-06
, 197Е-06
, 3 6 7 Е - Я б
.51ОЕ-05
, 191Е-С4
, 3 2 8 Е - 0 3
6,
1,
1
2 ,
4 ,
9,
2,
*,
2,
2,
4 ,
6 (
1,
1 ,
3
7,
2,
1,
1,
.909F-U
,Я35Е-1Я
,620p-tfli
.672E-U
.736Е-10
.22АЕ-10"
, 14 5 я е ^ 0 g
,684E-99
,4»бЕ-0е
.89ДЕ-07
.304Е-07
, 4 7 4 Е - 0 7
.О28Е-06
.778F-06
, 4 2 1Е - 0 6
.733Е-06
.313Е-05
, 139Е-04
. 162Е-03
6.367Е-П
9.4§ЗЕ-11
1.447Е-10
2»347ЕМ*
4,С79Е-1?
9.017Е- 1»
1.709Е-09
4,77«Е-С$9
?,111Е-0В
2.384Е-07
3,558Е-07
5.45РЕ^07
6.792Е-07
1.552Е-06
З.О13Е-0*
6.98 5Е-0 6
2 . 1 2 2 Е - «г 5
1 . 055F-M
1 . 0 П « Е г С' 3
л'
\*°с
ММ \
10,
9,
В .
7,
6,
5.
4 .
3.
2,
1.
0,
0.
0.
0.
0.
0,
0,
0,
0.
10
. 0
. 0
, 0
.0
,0
. 0
■ 0
. 0
,0
,9
, 8
.7
.6
. 5
,4
,3
,2
, 1
8,
1 ,
1,
1,
7 ,
3 ,
4 ,
7 ,
1 ,
2,
3 ,
з,
з(
4 ,
5 ,
6,
я ,
1,
4(
4 70
, 1 6 4 Е - 0 2
,005F-0 I
, 7 6 0 Е - 0 1
.629Е-01
, 1 7 0 Е г- 0 1
.033Е-СЧ
, 497Е-0 1
,1В7Е-01
,766Е+00
,650Е+00
, 0 5 1 Е ♦ 0 0
.741Е+00
.Л84Е+00
,Я30Е+00
,09 1F + 00
, Я97Е+00
. 151Е+00
.277Е+01
, 2 2 3 F * 0 1
1,
1,
1 ,
2 ,
2,
з,
5,
8.
J ,
2,
7,
3,
3,
4,
4 ,
5,
7.
1 ,
1,
♦П
0
1НАЧЕНИЯ »Г0» - П
,0? 1Е-01
, 7 5 9 Е ~ 0 1
,570^-01
.0 12Е-3 1
, f 6 0 Г - -7 1
,*fc9F-0l
, 2 8 п Г - 0 1
, Г: ? 7 С - 0 1
, 799Е + 0Я
, f 2 *,: ♦ 0 0
, 8 7 8 Е ♦ 0 0
, я 4 8 Е> 0 0
,6^Е + 00
, 1 7 я Е * 0 0
, 9 о«? я * а я
, 8 7 ч Е + 0 0
, 9 3 8 е. * 0 0
, 3 5 7 Е + 0 J
, 7 j ft e ♦ 01
I.
1.
п t
7,
3,
4.
6<
я,
1.
2i
2,
9 ,
2,
3,
3,
4.
Л,
я.
3,
, 3 3 4 Е - 0 1
, f24E-01
>007E-0t
, 5 3 9 Е - С 1
, 2 8 4 Е - 0 1
.зерЕ-01
, Я й С Е - Г 1
, 5 9 3 Е - ? 1
, 2 2 7 Е т ?■ 0
, 0 8 8 Е ♦ t' /
.249Е-Р0
, 487Е*00
> 740Е+00
г03бЕ+ея
, 7 18Е + 00
, 412Е + П0
, 186Е + 0*
, 9 5 0 Е ♦ 0 0
, J26E + 01
-10
ДБ/КМ
1 ,
2,
2 ,
J (
3 ,
5,
6 ,
« .
1 ,
1 ,
1 ,
1,
7 ,
2 ,
2 ,
3 (
4 ,
g
' ,
.763Е-01
, 113F-01
, 5 6 5 Е ** 0 1
, 1 7 1Етй1
.961Е-01
i Я61Е-01
. "51 ЗЕ-0 1
.118Е-01
, И 5 5 F + 0 0
,ЗО9Е*00
, Р. 3 5 Е ♦ 0 0
, 960F + 00
, 182Е*00
, 4 4 5 Е + 0 0
► Р- 0 1F + 0 0
.455F+00
,715Е^С0
,?Л1Е*00
, 4 7 4 Е * 0 1
2
2
3 ,
з (
4
5,
/^ ,
7 ,
7
1
1
1
1 ,
1
7
2
3
7
3,
-20
. 2 7 7 Е - 0 1
.651Е-01
, 108Е-01
. 6 6 8 Е - 0 1
, 3 6 0 Е - 0 t
.136Е-01
к 0 6 8 Е ^ 0 1
. 107Е-0 1
. 9 7 4 Е - ^ 1
»082F*00
,4fl9E*t0
. <*> 0 Я Е + 0 0
.772Е+00
,96<>F + 00
, 2 6 Я F + 0 0
, 8 0 9 F> 0 0
, 9 4 7 F. ♦ 0 0
,52.6E*«0
,379Е+£«1
ЗНАЧЕНИЯ »ГР» - Р Л.Б^КМ
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0,6
0.5
0.4
0.3
0,2
0.1
3,
5,
8<
1,
2 ,
5,
1 ,
3,
1.
2,
3,
4,
7,
1,
2,
6,
1,
Я.
1,
,493Е-07
.304Е-07
, 456Е-07
.432Е-06
(Л24Е-06
.346Е-06
.266Е-05
.771Е-05
,678Е-04
, 179Е-03
, 168Е-03
.823Е-03
«813Е-03
.345Е-02
.734Е-02
, 12РЕ-02
.767Е-01
,?91Е-01
,077Е*01
3.471Е-07
5 , 2 ? я г - 0 7
8,360Е>07
1 , 4 0 9 Е • 0 6
2.5 6 9Е-06
5. 163»:-0б
1,?11Г:-05
3.526С-05
1.52СЕ-04
1,99^г-03
2 , 8 6 9 Е - 0 3
4,341Е-03
7.327F-03
1 . 2976-02
2,565Е-02
5,859Е-02
1, 73ОЕ-01
8,384E^0l
1,063Е*01
3,
5,
3 ,
li
2,
4.
1.
3,
1,
1.
о
3,
5,
1,
2,
4,
li
6,
о ,
,415Е-^7
, 157F-07
, 146Е-07
, 3 6 3 Е - 0 *
,457Е-06
, я 9 1 Е - 0 6
, 1 13Е-С «5
, 1 6 ? С - с .«=;
.330Е-0.4
.556Е-03
.263Е-03
.471Е-03
,7455-03
,МРЕ-Г2
, Я37Е-02
, 592F-02
«258Е-01
,321Е-Г1
, 934?*00
3 ,
4,
7
1 ,
2 ,
4,
9,
2,
1 ,
1,
2,
3 ,
4 (
8
1
3
1 ,
6
8,
, 2 9 1 Е - 0 7
.928Е-07
. 7 16Е- »7
,2 УЗЕ«0 6
.256Е-06
.395Е-06
,802Е-(?6
.708Е-05
.14 А--04
,387Е-03
, 0 6 2 Е - 0 3
, 107Е-03
.942Е-03
.576Е-03
.659Е-02
.7R6E-02
. 156E-0I
.035Е-01
. 155Е + 00
3,
л,
6,
1 ,
1 (
4 (
в,
2,
1 ,
1 ,
1 ,
2
4
7
1
3
1
5
7
.033Е-О7
.478Е-07
.892Е-07
, 1 18Е-06
, 9 4 3 F. - 0 *
,295Е-С6
, 144Е-06
.275Е-05
,С07Е-04
, 1 4 1Е-03
.704Е-03
.618Е-03
,22^Е-03
.482Е-03
,4б0Е-02
.417Е-02
.059Е-01
,581Е-01
.549Е+00
346

я з / =»
awHH-^.j)4j,>owH»-.'>.
Ы I4J N) t—
O'»44>iO3J»-*«fl'0aiW,4)fOVjrf43L»*QD>0NJ'O
то m m то гл m rn то гл rn «л то то то то то гп то то
♦ ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦J ♦ 14 I *
cj s> м ^ ^) «-a a 5J о r>j -a .-s» м » cj <a s ел s
_I <0'OVJII>0'ObN**n'
. fO — •—
in >J О \Л
^ ,\3 —
^ 'J Ni %- •— «— a»
>-» VJ1 -J ^ Ю Л *>S b>J'
о* м >i ui л vj о \я оэ а> о ^
mmrnrnmmrnmTimmr
ы л -а о о л м
; vl Ь О Ь ГО VjI Sl
-S> СЛ *- Jk <SJ N3 О
i m m m m m m m
»~» k-^ >0 S Э aCSW3(>N)-A,3>*>iO'5H.
7>feb.>-»ikvl->J>a) Т) 'Л ►* N) ^ ^ О в 'J) Ь
ТОТОТОТОТОТОТОТОТОП1ТОТОГПТОТОГПГПТОТО
i9 <a a a •■» s ч -"з Q s !S .э >q s тз о «: a q
*- ♦— ?a s s s >s ^ ca^a sj •— «-»•—•— >■* ,-.,-. fo
vj> Ю *-» *- к
•о с» о о о ;о •— ♦— «
Ф ^ ^ N М
к-» > ,— КЗ '_» £» »— --J l*J -J si W Ul г- ГО ^ М «J W OJ
in гп то то in .ii то то 1Л in n n »r, rn m m rr, то m x
♦ + + ♦
<SJ '
+ ♦
«■ + ♦ ♦ *
J «
»— \Я > О >■ *>. ЛЛ4'ЛММ»*ч|00'ЛЛЛ^
►- 1П 'Л О --J ♦— Q О» 1-» Ы tk ♦- <X O~-JO0B*-»43
■> -о м 'л s и л» -J ы -г* >« ->j о -ч -a ^j »j <> о
то то то то л то то m то то то то то то то то то то то
\4 »» «^ ЛйЛ^\(1ММн.1ВЛ^ММимм
►--O-J30J»— .> -a 1>>оч'0>'>Э(л,\)у
^ •> J» *■• О > О > Jt ^ ОЧЗТ О^.чЗ -Э -О »-» ^
то n то то то m л то (-л л то ."л m "л то п .л то то -х
3
J I
♦ ♦ ♦ ♦
ca ч» <a s I
•— ь- -SJ S»
♦■♦♦♦♦ J
'J О М "Л й О .VJ -4 ►— -^1 'Л О Ы Л vjl -JD •> -J CJt ТО
b»u\vota<Dba'aa'ON>si4)*-uib>-'Woo»
|-»51Ылз'>!>'а'лыом^ч)13оомоз>а<) *
m m m m rn rn m то :n rn то m то то m in m rn rn
•-» »— .-» J* ►-» «> Vj4 ^- »-» ^i '•
Ah^i
J A M г-ч h»
♦- +
♦ ♦ ♦
♦ ♦ 4
I J J
fi о «i is a о » 'з ^ ^ о о 4> та о rj о а -a
>--ыкзыю<>осоо .ьаэооооа>о*-а>
ч1» OB >l QD СО Ю lk«>J>04-HOCh>JWH'
ТОТОГЛТОТОГПТОТОТОТОГЛТОТОГПТОТОТОГП1
.— \> -a >j* > "i> -J л tvj о <o iji -a •> »o vj> a o \^J
и>*ооч)го^а1 tkiBM-oiowai'jisfo^
иао>а>1ли^(>^ыэовд(з>1 лл
m то то то то то то то то то то то то то то то то то то
i
4 4
1 1
*•♦♦♦♦!
''i ^ S » О ГЗ tS S»
a» ^4
Ю CO
09 4»
' -«J О U» \Г -C» X»
iNmhh 43 •
»— *-^»t»-»VJ>!\J>-»— *J^'
■CO.« sJU NJ^H
N»4U 1ЛО W Ml
ь- — <X v> w/i ■
ri>oowuitiAiMMA^iiM^M4)«<a2 i
H>UiOO(v>4Ui30>>i<0U1A«JMN}^ ta
гптотогпглтогптотогпгпгпгптототото
<s» ea <a <a '
<jv ♦— OQ О VJ1 £k Г» '
(и«ом^««,-.а>1а>'л
О) О* О U ** Ul Э '?• й* Л О Wt- S «hh«N
чз ••— лонспди^'л ь и> i> w ы*- «о ♦— к»
m то rn m rn m m rn то in то то rn rn rn то то rn m
♦ ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦J 4 3 4
> i) si W О 0>4a^^WWJIv4W>^Jf
-4'лоч|(ОК)>о>^(>\лда)моч)оаи
TO TO TO ГП ТО ТО ТОТОТОТОТОТОГПТОГПГПГПТОГП
— «-ijii-bMbia^Vn^ji^N) — >'^ro-» —
ij»vii»*4)ui-b'OT)4)ua) л & -vi сэ <j« 'Л s
rn rn то rn 1Л m то m rn rr, nrj rn то rn .л rn 1Л i n -n
гпгпто'лглглгпгпглгпгпглгппагпгп mm r
+ ♦
♦ ♦ l
i ^
i I 4 < f
»-'S-s'S"S'a<s»-3-a5as»-»—»-.«-».»-»i»»-»-».i-».
t> о j nj vj с >j > i'ao»-*SM^>»*o>o
л. s >— о л ^ о ^ vi >- j -g .s > а э j>>* >j
(П 1Л Г\ Л .Л (Л .Л .Л Л ТО 1П ТО ТО ТО 'Л ГЛ ТО ТО ТО
♦ ♦♦*-♦♦-♦■■♦•♦♦« I fliJJJi
со
^1

10,
9,
Я,
7,
6,
5,
4,
3,
2,
1,
0 ,
0,
0,
0 ,
0 ■
0,
0,
0 ,
? ,
, *
,0
,0
. г
. 0
,0
,0
.0
. 0
. 0
,9
,9
. 7
.6
, 5
. 4
. 3
.2
. 1
5 ,
7 ,
1 ,
2 ,
3,
7,
1.
5 ,
2 ,
3,
4,
7,
1,
1,
4 ,
8 ,
2,
1 ■
1,
,135Е-07
«799Е-07
,243Е-06
, 105Е*06
, 8 5 8 Е - 0 6
,860Е-06
, 3 6 1 Е m Ъ 5
, 5 4 3 Е - 0 5
.466Е-04
.200Е-03
.651Е-03
, 080Е-03
, 147Е-02
, 9 7 2 Е - а 1
,007Ет02
.968Е-32
.581Е-01
«207Е+00
«666Е + П
5,
7,
1,
2,
3,
7,
li
5.
2,
4 (
6,
Ь
1,
3,
3 1
2 ,
1,
1.
.ЗНАЧЕНИЯ х
, i м е г а 7
, 7 3 11; - 0 7
,??9Е-36
, 072П-06
, 7 7 7 Е - 0 6
,62^L--06
, 7 а 0 F:«. ? 5
, 1 6 4 Е - г 5
, 2 3 5 Е.- 7 4
, 9 2 2 Е - ?, 3
, 2 4 3 Е - 0 3
i373E-03
. 075Е-02
.902Е-02
, 7 5 9 Е - 0 2
, 5 7 6 Р - S 2
.526Е-01
, 2 2 1 С ♦ 0 0
, б 4 1 С ♦ 0 1
ц ,
7,
1 ,
2,
3,
7,
1.
4,
t ,
2.
3,
5,
я ,
1,
2,
6 ,
1.
о.
li
>гр» -» в
, 022Е-07
, 6 8 3 Е - 0 7
, 1 9 Я Е - 0 *
, 3 0 4 Е - 0 6
, М 3 Е - 0 6
, 1 92Е-06
.644Е-05
, 6 4 6 Е - 0 5
, 9 5 5 Е - 0 4
.286Е-03
.325Е-03
.097Е-03
, 434E-F3
, Л95Е-02
, CJS8E-02
,727Е-02
.MlE-01
, ? 20 Е-01.
, Ч03Е + 0 1
ЛБ/КМ
4.838Е-07
7.245Е-07
1 . 135Е-06
l,37lF-06
5.317Е-06
0. 46 1Е--06
U441E-05
3.982Е-05
1 «667Е-04
2.Э38Е-03
3.0 30Е-03
4, S63E-03
7 , 2 5 6 Е - 0 3
1 .259Е-02
2.434Е-02
5.549Е-02
1 .691Е-01
5 , 805Е-Г0 1
J . 2 5 Я Е * 0 1
4 ,
6 ,
1,
1,
2 ,
6,
1 ,
3 ,
1 ,
1
7
3
6 ,
1 ,
2 ,
5 ,
1 ,
5
1 ,
. 4 5 9 Е ^ 0 7
,58^-07
■013Е-06
,644Е-0б
«857Е-06
,3 ИЕ-06
, 197Е-05
. 3 45Е-05
, 4 8 0 Е - 0 4
.677Е-03
, 4g^F -I p 3
.846Е-03
. 2 Я 6 Е - 0 3
.098Е-02
. 143Е-02
.01СЕ-02
. 55ЯЕ-0 1
, 147Е-С 1
, 1 6 6 Е + 0 1
14 АчЕНИ Я »ГП» - В ДБ'КМ
10,
9 ,
8 ,
7 ,
6,
5 ,
4 ,
3,
7,
1 ,
0,
0,
F ,
0,
0,
0 .
0 i
0,
0 ,
, Ъ
• *
, 0
, 0
■ 0
, я
, 0
. я
. я
, и
,9
,8
,7
,6
, 5
, 4
i 3
, 2
. 1
1 ,
2 ,
2 ,
3 ,
4 (
6 ,
1 ,
1,
2 ,
л,
6,
7 ,
я.
9 ,
1 ,
1,
1,
2,
л ,
.879Е-01
.312Е-01
, 899ЕВ-2 1
.747Е-01
.993Е-01
.979Е-01
, 0 3 3 Е *• 0 0
.652Е+00
, 9 1 Р! Е + 0 0
,^79Е+00
.994Е430
,422Е+00
,474Е+00
,t92E*00
,156Е+01
.373Е+01
,803Е*01
,657Е*01
.740Е+01
■>
2,
Ч,
4,
*1
8 ,
1,
1,
9 ,
О i
6,
6,
8,
9,
1,
1,
1,
2,
6,
,37?Е-М
,^97^-01
,6l2E-0t
, 6 3 1 Е т с 1
, 12 2 G-0 1
,44 1Е-0 1
, 2 1 *5 Е ♦ 0 0
, Я 6 1 Е + 0 0
, <?В7Г: + 00
,024Е*00
, 5 9 9 с ♦• (9 0
,?е 1^*00
, 3 6 J F * 0 0
, 5 3 5 Е * 0 0
, u^F + ei
, 37.4Е + 01
, 7 5 6 Н * 0 1
,834Е*01
,7676*01
3,
3,
4,
5,
7,
1.
1.
1.
2,
4,
5,
• 5,
6,
6,
«.
9,
1,
1,
4,
, 0 6 9 Е - 0 1
, 737Е-С1
t618E-01
, 842Е-01
, 5 5 8 Е ■* С 1
г я 10Е + 00
,399Е*00
, ^77Е*70
, 822Е + 00
|793Е-*00
, 16ОЕ*00
, 700Е*00
, 2 7 1 Е «■ 0 0
,93lE*70
.456Е+00
,954Е+00
,375Е*01
,Я58Е+01
,5035+01
4 ,
4 ,
5 (
7 ,
9 ,
1 ,
1,
1,
2,
3 ,
'4,
с t
4 ,
5,
6,
7,
1,
t,
5
, 057Е-01
► Я 6 2 Е - 0 1
,9028-01
.297Е-01
, И4Е-01
, 165Е + 00
, 499Е + 00
.937Е+00
.426Е+00 -
, 188Е + 0Я
,2 10Е + 00
.492Е+00
►994Е+00
,583Е+00
.372Е+00
,799Е*00
.044Е+01
.701F+01
.770Е+01
*> ,
6 ,
7 ,
0 ,
1 .
1 ,
1 ,
1 .
1 ,
/. i
3,
3,
4 ,
4 ,
5
«.
5
1
5
,24йЕ-0 1
. 101Е-01
, 152Е-01
.441Е-01
, ^03Е*00
. 182Е*00
. 3 96Е +00
. 63 5Е+0 0
. 8 3 4 Е + 0 0
, 483Е+00
, 4 i|5 E ♦ 0 0
.687Е+00
,?58F *{*P»
. 4 9 7 Е + 0 0
, 1 4 ". Е +. 0 0
.336Е*0Э
, 723Е+00
,560Е*01
.723Р+01
ЗНАЧЕНИЯ »ГРЛ» - 9 1/М
10,
9 ,
8 ,
7,
6,
5,
4,
3,
2 ,
' 1,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
, Я
, 0
,0
.0
► 7
. 0
, Ч
. 0
,0
» Я
,9
.Я
, 7
,6
,5
,4
,3
,2
, Г
1,
2
^
7 ,
1 ■
7,
6,
1.
8 ,
1 ,
I.
7 ,
3,
6,
1,
3,
б,
3,
3,
,773Е«10
,693Ет10
.294Е-10
>?69Е*10
,332E^0v
.714Е-09
,425Е*0О
.913Е-08
.507Е-08
, 1 0 0 Е * 0 6
.598Е-06
.428Е-06
.925Е-.06
,730Е-06
.360Е-05
.018Е-05
,319Е«05
,768Еч04
,751Е«03
1.763Е-10
2 , 6 7 0 E * 1 0
4 , 2 4 3 Е - 1 0
7,155Е-10
1 , ^4Е«я9
2,63 1Е^Я9
6. 147Е-09
X , 7 9 1 Е - 0 8
7,71*Е-0С
1.Яй 1Е-06
l,458r;-06
2,186Е-06'
3,667Ег0б
6.492Ew06
1,277Е*05
2,8856-05
• 8,340Е^05
3 « 8 1 6 Е - 0 4
3.7125*03
1 , 7 3 А Е - 1 0
2.619Е-10
4, 136Е-10
6,°21Е-10
1.24RE-09
2.483Е-0"
5.678Е-09
1,604Е-08
•б.74зЕ-ее
7.862Е-С7
t, 142E-06
I .749E-G*
2.888Е-06
5. 104Е-06
1,^15Е-05
2,2ббЕ^0е!
6.096Е-0 5
2.Я91Е-04
З.ЗЗЯЕ-03
1 ,
2,
3 ,
* ,
1,
2
4,
1 ,
5 ,
7
1
1
2,
4 ,
В ,
1,
5,
2 ,
2 ,
. 67 IE- 10
.502E-U
.918Е-10
, 462Е«10
. 145Е-09
.231.Е-09
.976Е-09
,375Е«08
.820Е-08
.ЯЯ8Е-07
.041Е-06
,566Et-06
,486Е«06
,30ЯЕт06
.276Е-06
,971Е-05
,600Е^05
,763Е-04
.913Е-03
1 ,
7 ,
3,
5 ,
9,
7 ,
4
1 ,
5,
5
8
1
2
3
7
J
.5,
2
7
.543Е-10
,774Е-»10
, 5 0 ■? Е - 1 0
.676Е-10
.866Е-10
. 131Е-09
.134Е-09
. 155Е-08
, 105Е-08
, 767Е.07
.606Е-07
,32«EW06
.127Е-.06
.753Е-.06
.290Е-06
,690Ег»е5
.138Е-.05
, 5 6 1Е - 0 4
,725Р,?3
348

+ + + + + 4 + + + + + -I'-». 4 4 + 444
С^ LU U' LLl 'JLI U> l'_l tSJ U' U_« IX' tt» Ul U' IIS lit L.» LL' U' LU
cv Krs:o-crirr^<;cco-,^-«Nr<cincs<s>coc>
I —<г*\ооьак>--«<мсс»г. coinir\r-CiOir\eoo>
ССО>(МК»К"'1ЛО>-• ^ M 4 X ГЛ О ОЮ M Ifi ГЧ
IU UJ U, til U.« U.» IU Ш U' OJ Ш Ul U It! Ш UJ Ш U> U.»
5.0№4)SO'm-«CMt^r^OOr^t&O C^ K\ vO О CO *»
L (MD tO l^ CO P*l B. tf\ ^ К h IT ?S C< " Г. Os «3 KN
CI.. О О (B G Gi »-•< •—• «-. w w r, « »j гч л tv t\ N Ci
»: 444444444 + 444444444
UL' Ш Ш U' Ul UJ Ш LI Ut Ш Ш U.' Ш L> Ш Ш 111 U U.'
L 0< С G 1Л Ш К\ ОЭ L' vCfN' N ^Г CN - —> fi С? «£ Г-
шилишшша'.шш^шшшшшшшшы
4JOK\r--Oin'OCM»riC&Or>l^«Sjr-0Cr^bJir»
«T«s*r-r^ocovu^or^or*»'«-ic4*»-moocf:'
^«5йГ-СО«? b> K~> •—• Г~- С* —. p^ —'МЛС 4 OO
CNK,f^ «noo'^cs^hcbo „-<_,-._, ^ ^ rt
R. vV IS> Ci- C> K>tN}pCvC'^tPN«C»r4-^N»-(
косог««с1Г\'«гю«м—«G.G.KSKiSaS'etCH

' Ul Ш U' lit
e> О сб се со ос К i
Сы «и ь. с ь. q t;
Vlll-lllirt
UJ Ul U. lb Llf U! U* U- U' U<
CMC—<0>ЧГдЛи1Г<ГГО'чг«'Г^СИГГ'
1П»С'«ГЧ-СМСМ1>0»-*7чСчС ЫГ & " и С Г-
О ^ •- «Ч О — *Г СЧ СМ К\ IT, О •»-< r^. f> CM »- «C
Ш Ш Ш U, Ul Ш Ul Ul Ul Ul U' Uj Uj UJ UJ UJ U' Ul Ul
r^-w^co^ir^^orc r^ec^r см f*\ \c
ecr^o«o>Ococnu'iS,'-»oocMcocMC>iOcC'-'»-«
ir-ca js. сч ^ r» t» к\ •-• см о is. о ^ er с c« c>
b-wscisscj.^ fc. is. b.b.e^c».ft-e-.is.tsjc>:
Г I I Г Г f t I I » I t » I I I Г Г 4
UJ UJ U.I Ш Ul U1 U> L I Ul U> Ut Ul LU Ul Ui U ' U> Ul Ul
c? it г- ее см ■<: ее от и it ct"0 ir, it ос r; en см
r^ >o is> -o «-« ir. а к\ о r^ г-j ir. «г т >c c- ■—■ см ex
^ - - Cn (N Г,
%r a- m о r~ --• »-• r^
•-» CN ч < —« см '
■mo ^«M'
ь w с i^ m
oeccoeoeoeor^r^>ow»ir»if. ч-т^г'гг^счсч
i!aS'®SG;SQOSG.5l«SiS(SGISriS>G'
Г I I I I I
t
till
ниилии.'и.'ыинии.шшшцлиши1
csxcsj^ccer^r^isirfor-cocc ««гк^^ coo
СЧ«МЛЮВ^1ЛСССС^Ч>»ЛМ^М1Г(М1Л
i
i +
♦ +
Ч> »• *-lnN^O»(Vtf\NNCO-t .-• «
r^- cm
Ш Ul Ш Ш til Ш Ш Ш Ul UJ U.' Ш Ш Ul Ш
1£^смг^^ч>ескч.*тс>г-с*1псС1П
r -* —<^r—f—< т» it * s ск м >c w о с
• IS »-• ~* -*
I p; CS- P£ £?■
4 4 4 4
Ш UJ UJ UJ
-« m -* r^
—• о ее in
О CM tv *:.
I I
I I
I
Ш U) Ш Ш 1.1 Ul U.1 U.I Ul Ш Ul Ul Ш LI Ш Ш Ul
n(\iifi>chir, и|го>7о чг «о со г^ см »с
ШСМГ^'ГК>К;«-'1ГЭО-1^ —i |Л чю О CM f
О С* Iя, tfv Г <• СГ Ч" Г- CM c< СГ ©• I*; f^ СМ. Г»
*-»
•s.
1
Ul
K\
CO
Cm
Ci
4
Ш
CO
~*
\ ITI «П
■ r> — .
i w CM «П '
Ш iTl < sC Г* О —■ CM Г*
■ ci <
и N^i
> *> ec ^ -
CM ST. О CM О ^П ITV
I I I I
I- I
ft U! Ш Ш U,' Ш U) U Ul U; Ш Ul Ш III Ш Ul Ш Ш U' U]
Q. 0*-«Ч>Ч«^1Л«-»?'\1^'»ОЧ N f4-« IS» Ч> СО О
i_»n-"'г^огочта: со к\ со ^т см *-* »*". >c »f\ *-* о-
IS- «i rj rs' C- «.■ IV О 5) Гй S О С. «i
I I » t I »444444444
UJ U' U' U» Ul U» ll» UI UJ Ш U« Uf UI Ul
я о с ir т — a со tfi if, о «i «s о- м
ЬСШОЬСГЕЧХГ, CO *3" в О 1 T О
t_ a> ч. от г. tr, ri h ^ '.' Г:. *r —' cc <
IS>
4
Ul
«f\
»n
(S.
О
4
Ш
r^
ТП
CM
О CS
4 4
Ul UJ
IS Г5
CSi Г*
Г- CM
ID
4
Ul
со
»-•
IT-
и.- и и.1 ш ui u' uj u.» ui uj и» и» иj u.f uj и* ш uj ш
IT, (С Г; и h о 5. Г. Is CM ОС С Г. М С »-« Ki Ю СЧ'
CM»Ar^C0vrilS>K4r-r-t»lH-\tr\OIS)OO"^4C0
г: с cr e с O' < or or ^ г г г с ^ <; г с г
i CM IT, —« CM «T> CN» »П '
• CM ** О CV «-1 »■ »-*
к\ ^г m г- о »н «-« <м j
<>>ОГ-Г^СО»-1»-"-^СМ1Г»
СМ К\ Т ОТ --• СМ ЧГ
< Г- С» ■»-» СМ К vO «-« CV' Г- jr\ о
и: о со со си ее г-~ г- г- >л ir. it- in *г •ч- *i к. г. см см
Т ft^ft^lS5IS>l5aC>OIS>irjlSilN''«S>rQ^'^»CS«S>r>.l?w
<rr. tfciinitttitrirrtri
X" и; иг ш ui иг ui uj ui и: иг ui iv in ч.! и.- и« и; uj uj
г? »f со о о r^ •-« о- *t? »г- см —' •*"■ e~- *» ^ it, г- с- r>-
»-«I^C>^^CMl-^«C^Ct.CO-^''-»4>>OKVCM«-»inC3
»П —» CC C-v IT. —< vC. <J CM CN' ГЧ" KN U"\ Г*- «■ CN UN I/-- CO
Г 4
4 4
1 X U» U' Ul Ui U' UI Ul Ul Ui Ui
И Г Г" ГМ CM ■»-• —• IT —• Г» C> —« »ч
C* —* C*TMO>4'Nlr\^li'>
4 a «f1 'Я CO <j f, i^ «Л l^ m
IRtSC>iftSIS>l5JI5?ISi«S»
444444444
и» и? ui ui u: uj ui и? ш
vT, О 1П tSj CC' CV CM jr Cfi
ч.-^^тесс'^ч)»*4 r-
I
I
I
U* a. U' U' U< Uf UJ U' Ul UJ 1"Л Li: U' 11 UJ U I Ul u: UJ
С Ct Г- О jr. K\ С С" чГ О г» f j С ^ IT IT ^* CN С
L^ ч Ш 1П М Г> f^ ^ Б. Г- «Ч, Ч> — Ю «У N Ь. »-• 4J
С —' С Р- in IT. ~* «5? * ^ Г^ Ш К- 'С Ш чт If. a-' "S-
' »* к\ in --«- см г~ г\«г *оо *-• с^иг» ■
, —' со
чМ Г* '
ч -- f >' t
г- cc ai «^ ■
N ГЛ ^ Of «-ПГ-СМО
its'trhwt/^TTh
Е Г
I Г
Г Г Г I I
lliLUUJUIUIUiUJUJUlUlUJUJUIUJUIUJUiUJUl'
г^соор»г*ч1ссч in о> «> 1Г( (s ir о —• кч «s. m
•Л V N С> МЛ К1, Ш. CMCC-^Kvr^^COCC. ОТСС
if- »-чс р ^с-»-»г-»-»<»ососх^сгг~смт»г. or
^.^^w^^fj^K CUTIS' «-• «-1 -ч —г —•—«»-•
^i P-w ГЭ GO IS» К» C5J t. ft"J C"> 15> l<j *x IS- IS QF. Ь Я
— Г**1*Ё4444444444444
37 UJ Ul Ul UJ Ul Ui Ul Ul Ш Ui Ul Ul UJ Ш UI Uf UJ Ul Ul
D S «O^SinSCMnfNK^I^hO.'-rc^OCO
хсм >©<s>*r—•r»r*-ar-in'-«ir\c4ir, ч- к> c$ ^ •-« к\
4 Г»4. О 45 Г» CM Г- CM Pj \C чС Г» С С *ч "Г Г- CM Ci —
I С F » t I
Г I
r t
■ »*«^if>r«Ncr\': <r —» '
► «м Ш -* jr\ —• CO
см см m ■
О ОТ -i CM I
a- cv^^^^cMf^Qr;
erRSRSCirnKrxrMCirfl^N'H
SCNCOI>41iniriOCV«<QIS;SISiE»IStKe(S
о о y
*z ' s:
to f<,x: егоесг^чешм ww-BsisREiiRSKie]
UI Ul Ul Ul Ul Ul Ul Ul UJ U' Ul Ul Uj Ul Ul Ul U!
■Н1П9(0<,(М^1Л(ОГ-МЛЧ «н Т IS IT. KV CM
hT->ccir.4)isK>r(E,r44 tfj^^cseocMinm
C^'DVir, -mcJC CJCCcr vO О 45 IT. С Г» *~»
csmtr»o:i»-«mr~cy4f>«-«—<см^г»«-г1,П"-«чгг-
«s.oeor^v3in^rK>cM»-»Fsc5Sfi&istS.ec2e:
о
Ю
CO

ШШШШШШШШЦ.;Ш Ш Ш U.' L.I U IU Ш U.i U
-*|^»-*1Г\<'>*Гч*чГГ--«СГ-Г>-'-*СОГ^С*«"С'С>1Г.
j-^^r^w^eCT&o ^ «о гг о <>■ vi r- V; tr
X ...... .............
Sin^N^^rtHNirir Г, «Г ч! О Г*. > —• С\: Л
ш
d Ш U> Ш UI Ш Ш Ы Ш Ш L1 ID (L1 Hi 1)1 Ш U Ш Ы U:
о шшшиши.'ишшишшшшишшшш
ITCNS «-» с> »"^ 0> СП 1Лач-0>С\1П1ПчБа«Г|СМЧ5Г1
<. ^у е г= с е- г 5>еч5-е к о «г г» >о и* f н4» сч -*
сг/i:

ЗНАЧЕНИЯ »ГР» • я ДБ^КМ
10,
9,
8,
7,
6.
5,
4,
3,
2,
1.
0,
0<
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
,0
,0
,3
.Я
,0
.9
,0
,0
• я
.Я
."
» 8
,7
,6
, 5
.4
,3
,2
. 1
9,
1.
2,
3,
7,
1,
3,
1.
4,
5,
8,
1.
2,
3,
7,
1 ,
4,
2,
3,
,459Е*07
,436Е<-06
.290Е-06
, в 7 7 Е,. ij 6
, 106Е-06
, 4 4 8 Е - 3 5
.428Е.-Я5
.Ч21Е..04
.541Е-04
,890Ew03
,560Е»23
.303Е-02
, 109Е-02
, 6 2 7 Е w 0 2
,364Е*02
.647Е-01
,732Ei-M
«209Е+Р0
, 150Е+01
9,401^07
t •424C-.0A
2,2645-06
3 . 3 1 7 Е - 0 Л
6,956^ -.06
1 , 404Е«0?
3,279Ет0*
9,544**35
4, 1 J 6^-r 04
5.379С-.ЙЗ
7.81^-03
1 . 1 7 31: - 0 2
1 . ^ 7 0 Е ■» Л 2
3 , 4 9 ^ Е « 0 ?
6,90?E-.02
1.575Е,Я1
4,633^-01
2,23ч-*0&
3 , 11 "ч Е + 0 1
9,
1.
2,
3 ,
6,
1 <
3 ,
3,
3,
4 ,
6,
9,
1 .
2,
5 ,
1 ■
3
li
2 ,
, 2 5 0 Е • 0 7
, 397«;*06
,20бЕ-06
, 69iF»0^
, 6 5 5 Е -• 0 6
,32 55.-0 5
, *2QE-!05
,557Е-*0*
, 5О9Е-04
, 2 0 8 Е « Л 3
, 12яЕ-<?3
^eie-03
, 552Е-0?
,75яЕч0?
,493Е-02
,236E-G1
, з а я е - о 1
, 6 8 ч £ ♦ с {1
, 8 22Е + 01
в,
1 ,
2,
3 ,
6 ,
1 ,
2,
7 ,
3,
3
5 ,
S ,
J (
2 ,
4
1
3
1
2
,912Е*07
.335Г-06
, 0 9 * Е ч 0 6
, 447Е-06
, 109Е^06
, 19ЯЕ^Э5
.654Е-05
.334Е-05
, 1 Ъ 7 Е * в 4
.752Е-03
,577Рг03
,399Fr03
. 335Е-02
.316Е"02
.476ЕЧ02
. 0 2 3 Е -»0 1
. 1 0 5 Е -! 0 1
. 6 1 3 Е + 0 0
.373Е*0 t
8,
1,
1 <
3,
5,
1 ,
2 ,
6 ,
2,
3 ,
4 ,
7 ,
1 ,
2 ,
3
9
?
1
7
,?13Е*07
,213Е^0б
.867Е-Г06
.024F-.06
•262Е-06
ЛбЗЕ^.05
.205Е-Г05
, 1 6 1 Е щ 0 5
,725Ei04
,?87Е-»03
,5ИЕ ^03
,0ВЯЕт03
.142Е-02
. 0 2 1Е - 0 2
.942Е-02
.2ИЕ-02
, 3 4 7 Е - Р 1
,493Е*00
.207Е+01
ЗНАЧЕНИЯ »ГП» - R ДВ/КМ
10,
9,
8,
7,
6,
5,
4 ,
3 ,
2,
1,
0,
0,
0,
0,
0,
0 ,
0 ,
0,
0,
.0
. 5"
. 0
.0
.0
.0
.0
. Я
. я
, ^
.9
■ 8
.7
.6
, 5
, 4
, 3
,2
. 1
4.
5 ,
7,
9,
1,
1,
2 ,
4,
7,
1,
1,
1,
2,
2 ,
2 (
3,
4,
6 ,
1,
.711Е-01
, 7 9 8 Е т 0 1
.770Е-01
,397Е.01
.252Е+00
, 7 5 0 Е ♦ 0 0
,591Е*00
.142Е+00
,294Е*00
.523Е+01
,751Е*01
,858Е*0'1
,108Е*01
,798Е*01
.А89Е+01
,422Е*01
,480Е*01
.Я43Е+01
.620Е+02
5,9 4 ? ? -i0 1
7 у 2 6 MI-01
9,'*5*Е-г?1
1 , 161Е*00
1,53^=*3?
2 , И 7 Е + 0 С
3 . 0 4 6 г> 0 0
4,66^Е*00
7, ^ече+эсч
1.509Е+01
1 .653Е + 01
1, 7 4 8 Е ♦ 0 1
2 , 0 9 2 Е + 0 1
2.385С*01
2 , 7 8 5 Е + 0 1
3,301Е*01
4,364Е*01
6,?91Е*01
1 .628Е + 02
7,
Q ,
1 .
1 .
1 .
2,
3.
4,
7,
1 .
1,
1,
1,
Ь
2.
2,
3,
4,
1,
.697Е-01
, 3 7 1 Е - г 1
, 15вЕ*00
, 465Е + 00
, 8<?5Е + ?0
, 5 3 2 Е «■ 0 0
,50РЕ *6С
, <Э57Е*00
, ^7зЕ*Э0
, 201Е + О1
, 2^3Е*01
,427Е*01
, Ч70Е*?1
,734E*0t
, ЦЛЕ*01
, 484Е*е1
, 423Е + 01
, S84E + 01
, 0 7 5 Е ♦ С 2
1 ,
1
1
1
2
2
3
4 i
6
7
1 '
1
1
1 ,
1
1
2,
4
1 ,
.017Е*00
.219Е+00
, 480Е>00
,83(1Е*00
.236Е+00
.92 1Е + 00
.758F+00
, 857F + 00
, 2 8 2 Е * 0 0
,988Е*00
; ^5Я(г*0 1
. 125Е*01
, 2 5 d Е + 0 1
.397Е+01
.393Е+01
, 9 4 Я F + 0 1
, 399Е + 01
, 2 0 0 Е ♦ 0 1
. 396Е + 02
1 ,
1 ,
1 ,
2 ,
7
2,
3 ,
л (
-5,
6
Р
9 ,
1 ,
1 ,
1
1 ,
2 ,
3 ,
1 ,
,314Е*00
.530Е +00
.794Е+Г0
. 1 17Е+00
,5 16Е+00
,964Е*00
,502Е*00
. 101Е+Г0
, 5 9 Я Е ♦ 0 0
.223Е+00
. ? 5 8 Е ♦ 0 0
.236Е+00
.016Е+01
. 126Е + 01
. 2 8 6 Е + 0 1
.58ЧЕ + 0 1
. 1 73Е+01
,854E*0l
. 3 9 0 Е ♦ 0 ?.
ЗНАЧЕНИЯ »ГРЛ» -'В 1/М
10.0
9.^
8.0
7,0
6.0
5.0
4.Я
3.0
2.0
1.0
0,9
0.8
0.7
0 .6
0,5
0.4
0.3
0.2
0.1
3,
4,
7 ,
1,
2,
4,
Ь
3,
1.
2,
2,
4,
7,
1 ,
2,
5,
1,
7,
7,
,267Е*10
, 9 6 1 Е п i 0
.909Е-10
,339Ег09
,454Е*09
, 9 9 9 Е * 0 9
,183Ея08
,524Е^08
,567Е»07
,026Е«06
.943Е-06
.473Е-36
.729Е-06
,240Е*05
«507Е-05
, 5 6 3 Е w 0 5
, 5 7 3 Е п 0 4
,000Ei»04
,628Е«03
3.247Е-10
4 ,9 1ЧЕ- 1<"
7 , 8 1 9 Е - 1 0
1.318Е-09
2 . 4 0 2 Е *■ 0 9
4.847Е-Г09
1, 132Е-08
3.296Е-08
1,42^Е^07'
1.851Е-06
7 , 68^-06
4,^275-06
Л.782Е-06
1, 196Е^05
2,3'5 2Е*0 5
5.321Е*05
1,54ПЕг04
7,090Ег04
7,549Е-»03
3,
4,
7.
1.
2,
4,
1 ■
2<
1.
1,
2,
3,
5,
9.
1<
4,
1 ,
5,
6,
, 194Ег10
, Я24Е«10
.619Е.10
.275Е-09
, 298Е-09
, 5 7 4 Е • 0 9
, 0 46£г08
, 954Е-*08
,242Е-»е7
, 44ЛЕ*06
r 104Et-0A
, 2 2 ?. Е - 0 6
, 3 2 2 Е - С 6
г 404Е-06
,871£г.?5
. 179Е^05
,'126Е'04
, 373Е-04 ,
,740Е-С^
3 ,
4 (
7 ,
1,
2,
4,
9 ,
2 ,
1 ,
1 ,
1 ,
2 ,
в (
.7 ,
•1,
3,
1,
.S ,
5,
,*73Е~10
, 609Е-10
.217Е-10
, 190F"09
, 1НЕ»09
, 110Е-09
. t66E-09
.532Е-08
.072Е-07
.291Е-06
.918Е-06
,Ч35Еп-06
, '580Е'-06
.925Е-06
,526Е-05
,4.52Е-05
>С35Е-04-
,' 13 4Е-04
.896F-03
2,
4 ,
ь,
1 ,
1 ,
4 ,
7 ,
7 ,
9 ,
1 ,
1 ,
7 ,
з,
6 ,
1
3
9
4 ,
ц
,*37ЕМ&
, 1 8 9 Е 11 0
.447Е-10
, «МАЕ» р9
.R17E-.09
,0 17Е-09
.615Е-09
, J27E-08
,40-»F-p8
.062Е-06
,586Е»?6
.43^Е-0б
.9 1^Е^С6
.917Е-.06
.344Е-05
,1 18Е-05
.493Е-05
.760Е-.04
.512Е-03
352

ОБЛАКО
MM \
10.0
9.3
8.0
7.?
6.г
5.-P
4.0
3.55
2.a
1.0
0.9
0*3
0.7
0.6
0,5
0.4
0,3
0,2
0.1
CU CONG!
♦ 20
3.216E-01
1.011E+00
i,76RE + <30
1 .639E+00
? . 1 8 4 E ♦ 0 0
Э,Я53Е+20
4.521E+00
7.22BE+00
1.274E+01
2.67ЛЕ+01
3,<*74E + 0l
3.267Е*01
3.7J6E*01
4 , •? 6 Я Е ♦ 0 1
5. J46E+01
6. 171Е*01
3.296Е+01
1 .318Е+02
4.S02E+02
Q=1,74E-
•и J«
♦■00
0
ЗНАЧЕНИЯ »ГО» - :»
l,fl37t< + 00
1.267S+00
1 . ?6i»c + 0^
2|'?г,ьц>0Г'
2. 477К + 00
3. 6 9 2E + 00
5.3 J ЛР + 00
9И44Е*й0
1.307E+01
7 . 6 4 5 E + 0 1
2, 9pae+0 i
2 . ?9?: 4 г 1
3 , 6 Я 6 r- + 0 l
4,217E*^1
4 , 9 5 Л 1 + 0 1
5 , 9 4 3 P. + 0 1
8.079Е+Л1
1 , 4 £ '* Г + g 2
4 . 4 9 t F + я ?
1.342E+0*
1, А34Е+Г.-1'
2 , 1 1 9 E ♦ С 1
2 , S54E+0^
3 . 3 0 5 E + 0 4
4 . 4 1 5 E ♦ ? ?»
6 , 1 18Е+0Г
a, <s4flE*0f
1 , 2 3 5 E * 0 1
2 . 1 ^ 6 F. + 0 1
2 , 2 6 6 F + 0 1
2 . 5 0 6 E * 0 1
2 . 7 6 3 F + С 1
3 . 0 Л .5 E * 0 1
3.756E+01
4 , 4 6 S E * fi 1
6.205Е+Г1
9 , 2 2 8 E ♦ f 1
3 . 3 6 l E * 0 7
-•Iff
ДБ/КМ
1 ,
2,
7. i
3 ,
3,
5,
6,
n,
1 ,
J ,
1 ,
J ,
7- ,
7- ,
7 ,
3 ,
Л
H ,
3
.774E+00
, 126E+00
, «S8 1E + 00
, t^ 1E + 00
,9850*00
. Я 9 3 e « 0 0
, 553E + 00
.471E+00
, 0 6 1E * 0 I
,399F*01
,849E*01
,975E*fll
, 199F+01
,466E+01
, 323E+0!
,496E*01
.793E+01
, 4^.Qr: +01
, 6 3 3F+02
2,
2,
3,
3,
Л ,
«5 ;
6 ,
7
8
1-
t
1
1 ■
1 .
7.
7.
г
7
3i
-7.0
.291E+00"
.667E+00
, 127E+00
,69lE*00
.387E+00
. t 6 Я E ♦ 0 0
. 106E+00-
. 152E*0&
.025E+00
,089E+0l
, 499E+01
.62ЯЕ+2 1
,786E+0t
.9Я6Е+М
.787E+01
, П 4 2 E + 0 1
«я13Е +01
, 7 5 '3 E * e 1
• 3 7 1E + 0 2
ЗНАЧЕНИЯ »ГР» " В 1Б/КМ
10.0
9.0
3,0
7.0
6.P
5.0
4.0
3.0
2.И
1.0
. 0.9
0.0
0.7
0.6
0.3
t .4
0.3
0.2
f: i
4 ,
6,
9,
1.
3,
6,
1,
4,
Ь
2,
з,
5,
9,
1,
3 ,
7,
2,
9,
1,
, 125E*.06
, 2 6 5 E - 0 6
,9B8E-26
,691E-?5
,099E*05
, 315E-r0S
r495E*04
, 454E«04
► 9 0 2 E - 0 3,
,574E*02
,743E-02
,700E«02
.7.35E-02
,*90Е-.01
,?33E-01
.251E-01
.092E+00
.П25Е+00 •
.246E+02
4, 107)6-06
6,2J 1=^06
9 , P. 7 4 t - 0 6
i, 6 6 м: - 0 5
3 , 0 3 4 E - 0 5
6, 1?7Fr-0S
l,430E-04
4, 165>E-04
1 , 79f-Fr03
2 , 3 5 J R - 0 2
3,4i4Er.fl7
.•5 4 1 3 П p - 3 2
8 , 6 6 1 F, - 0 2
1..533Е-Г01
3,O33F-,01
6,?32P-01
2. -.-и а и ♦ 0 о
9,93^^+00
1.Я2РЕ*И?.
4,
6 ,
9,
li
7.
5,
1 ,
1 ,
t.
1.
2,
4,
6,
1 .
2,
5 ,
1.
7,
Ь
, 034E"06
, 09?;I-?y?6
,А??Р-СЛ
f6l^F.-fr>
, о Ъ 3 E •» 0 r>
, 7 7 fl P - 0 «i
, 3 2 1 E - ? 4
, 733E->^4
,57lEr-04
,0396.-'??
, 6 7 4 E - С 2
, 101Е-Г02
,79flE-07
, 2 3 4 F. i. 0 1
, 40OC"01
, 431E-01
, 489E+00
, 43 7E-H?!1
, 1 5 7 E + 0 7
3 (
5 (
V (
J,
7 ,
ъ (
1 ,
3 ,
\,
1,
2 ,
5 ,
5,
1 ,
\ ,
4
1
7(
9
, 837E-06
, П20ЕТ06
. 1 l4Fr06
,503F-<0?5
.564F-05
. 1 9 JF-.0*3
, J5>8E-04
, 199F^04
.ЗЯ^Е^рз
.43OE-.02
. 4 3 7 E - 0 2
. 6 72F-02
, П4ЯЕ"0?
.014L-01
.961C-0J
.477Е-Г01
. 3 6 7 E «■ 0 P
. 148E*00
. 4 4 f? E + 0 1
;^ (
r? ,
8
1 ,
7 ,
5 (
9
7 ,
1 ,
1 ,
2
3 ,
4
8
1 ,
4
1
6
8
. 5 8 2 E - 0 6
,?89F*06
, 14tF*06
, 32PE-P*
, 7 9 S Г - 0 !5-
|073Г-»0'>
,6l9E-0^
, 6 8 8 E ~ 0 4
, lH9E^fl3
, 3 4-8Err0 7
. 3 1 4 E - 0 2
«094E-02
,994Er»fl2
.П42Ег02
,726En0l'
.04!lE40l
. 2 Ь 3 E * 0 0
, 6 0 3 E +. 0 0
. 7 3.5 E > 0 1
ЗНАЧЕНИЯ »ГП» - 3 ЛЬ/КМ
U.0
9.0 ■
в . 0
7.<V
6.Я
5.0
4.0
3.0
2.0
1 .0
0.9
0.8
0.7
Я.6
£.3
0,4
0.3
ff.2
*л
8,
1.
1.
1.
*>
з!
4 ,
7(
1,
2,
3,
3,
з (
4,
5,
6,
8,
Ь
3,
.716Е-01
,^ПЕ*О0
12 6 е е ♦ 0 0
.639E+00
, 184Е + Я<Э
.053Е+00
,^2 1Е + 00
■227Е+00
,774Е*01
, 6 6 С Е * 0 1
,<?71Е*01
,762Е*01
.707Е+01
,052Е<01
,113Е*«1
,099Е*01
,087Е*01
.220Е+02
,757Е*02
1.
1,
1,
2,
2,
3,
е>,
3,
1,
2,
2.'
2,
3,
*,
4,
5,
7,
1,
3,
, 0 3 7 Е + 0 0
. ?.*6 7 Г > о 0
, 3 8 0 Е + <.) 0
.025F+00
,б 7 7F *0Г
,6975+00
,313Е+3^
, 1 4 3 Е + и 0
,3^7E+0t
,643^+01
,896E+0l
,?92=*Z1
, 6 7 7 Е + 0 1
.201Е+01
,9 2 6Е + 0 1
,8795+01
,?74Е + 0 1
,30^5*02
, 2 £ 3 Е + 0 7
1.
•1.
*. 1
2.
3,
4 ,
6,
3,
1 .
2,
2i
2 ,
2,
3,
3,
4 i
6,
3,
2,
, 3 4 7 Е + я fi
,634Е*0Р
( 0 1 о С * 0 я
, 5 5 4 с ♦ 3 Я
f 3055*???
, 4 15 Е ♦ 0 0
, 1 1 -3 F * ? *
|647Е+0Р
, 735Е + 01
, 1 г Г» Е + 0 1
,263С*С1
, 502E*'Pt
, 7 5 6 Е ♦ С 1
,ГЫЕ + Г'1
,732e*f?.
, 4 1 1 F. + Р 1
, 136Е + 01
, 4 в я е * ? i
, 7.2 4 Е * / 2
1 ,
2,
2
3 ,
з (
ь,
6,
f\
1,
1,
1,
1,
2 ,
2 ,
2,
3 (
4 (
l\
2,
, 774Е + 0О
. 1 2 6 Б + 0 О
,58 1F + 00
, 191Е*00
, 98.riF.*00
.093Е+00
, 553Е*00
. 4 7 1 Е ♦ 0 0
, П 6 1Е «■ 0 1
, 3 9 7 Е ♦ 0 1
,О46Е*01
,97U*0l
, 194Е*01
, 4 5 6Е + 01
,Я09Е*?1
.45 16*01
,656Е*01
.754F. + 01
.739Е+02
7 ,
2 ,
X
Ь
4 ,
^,
6
7,
8
1 ,
1
1
1
1
7
2
л
7
2,
,791E+0ft
,667Е*00
. I27E+00
.691Е+00
.387Е+00
, 168Е+00
, 1 0 6 Е * 0 »
, 157Е+00
,024Е+^0
. 0 8 3 Е + 0 1
.497Е+01
.617E*ffl
.7В1Е+01
.977Е+01
. 2 6 4 Е + Р' 1
, 3 0 2 Е + С 1
,Я83Е+Р t
.097Е+01
.693Е+02
23 Заказ № 124
353

F Г
г г
Ui и и.' ш ш ы Uj ш и и; u hi ш u.1 ai ш ш uj uj
r^f^—i ^ 1П f\ «-< >Г Г ^-«-«'rir^^-tir^Otn^j
см en cc if- о r- »*-. сч — ^c a о r^ t, ev *"> <s. с r»
»4N Ч Г> *-* K> О .^r ^
> f> 1Я
• см —
44*444444 '4 444444444
ю со »r г-* r- cc о »г ir ir ю ci »г> ее «-« к- к\ о* сг
Г- О* Ю —• СС >0 ЧГ- CV —iCMfSCOCNCNOSJt^-aDPi
•-• >о к\ —• jj; —«то T«i«-«MiPC(\wcvK,<'
К'ПЧ-кРМ^Г^ССО-^-чсЧСЧСЧО»"*4.^ <.— О
r»FFrfr*»**rr»+444
•UJUJlUlllliill.tUJU«U_UJUJUJU.,UJUJUJUJLU
i к •f. IT M IT Г К О О ТГГ'ОП'ГО«»ЛЮО
— см к\ х. с*
-• .г. «г со-нсч»^г-«-«псАсч
ООО1>ОС0С0Г-'Г'>©'С>»Г. WilT, 1Л Т ^П N
fe Г. Г L t » I I Г k I Г I I I- I fc I. ►
ШЫШШШШШШШШШШШШШШШШ Hi
СМГ. C^^Nh^l^lC'Cbriri^r^OC^l^N
^S^^'NhT'^'C'C^r'O *r M"t *T *r — CO
«- fM «Л l/i 0* •-* *"\ «-« Ч" 1Л С H к Л * »< ^" .'V .-<
Б S Si S>
c- or»
IT. ЧГ
UllulU
<C K\ ~*
IT» © S>
*N Г^ О .
+ 44444444444
HI ^| . tit Ik' HI Hi tl' 1?! Ill 111 Hi Ml
4i ir\ •«■* -<o см ev ir cv *r« e\» см со
г* г» <о о со -* —nee h n»
•~»чГО«»ЛГ-—«1ЛГ --* 4 VT\ V
is <s< e> «s. esi ca cj i
t i l- t
> S <S> IS '
t t L t К Г
iCK>SSB>«
ШьЬШШШШШШШШШШШ
юч>^смо»г.г-«с»г\емтсм'>с
|-^ lb> CM Г» -«Г Ю СТ. Г» ^ О lf\ СЛ l»"V
Ш
■»-«
«-Ч
ЧГ
UJ
СЭ
<fl
IT
Ш
CM
>o
о
UJ
>c
CM
et-
tu u;
•»-»
CK
«•
^r
г»
»e
И н N N <f\ 'i
"Ч ч N 1Ц Л
I rs/ '
Г>. Г- •-»»-« Г\! ЧГ ОТ» —► <>
iirrttrittFrf/tFirit
II' U.' Il Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ш Ul ID U Ul Ш f li'
Ki t П Г; Mf. ^ CC h «Г ^ 4- О <C IT <) <. ^ с
OSW^BO'^eC-» »-« r~ О •-« ^ *3" —'ЮГ- Kj
K\ »-■ Г\ V\ С. О IT, N « Г -и Ч К. F. ч If ff Г' и
*~* CM KN 1Г>
I ^- ЧГ —« 1Л <C CK «
■ «O •"! ^ C* CV
t *
I
L I
X Ut П/ UJ U' UJ W til UJ U' UJ Ut U» Hi It' UJ Ul til Ul u.)
f.. ч.1' ir, с с со «г cc a: «^ ►-> —i vc r^ к\ ir, ч* r^ vo «n
r*V»4<I<T^K|K\t>rvMAlO^«-H4;iS CM
Ч «Ч Г-<^—•0Ч«Т»-»«О'«-,Г-СКСМТ. *" «С Pj К"
и г: г. 1Л и n «r —« о со -
< Ci m •
' CM МГ Г. CM
Ь bllS N6 Sfi&0 6.&IS^C;biCi(SlU©
^4444444444444444 444
iu ш ш u: it' u (j ui ш tu и ui ui и u u; ш Hi ш
151 О ЧЭ >С Б> *Х COW^S^VtO^^M^N^intfi
1_«С-емсС1Г. If>-«*fcs Г^О- «н Ifi О» Г Ч- 4J Г- « -*
s or
4 S
Ш ЗГ.
Cw UIKlS5tSe>5.GHH»*w»4»-с •—. —< —• CM CM CM
чг 7"»s^!Pac>r»»s>e&eac2csK>ct»C5«rs«s>^e»»
« <44*4444444444444444
CV J IL Ш \±\ UJ It.' UJtL' U) U.' Ui U.» U *-L» U_« U' Ш U» U' U.
I1 t; г, о cc ~ т ir. *r r- —i о■ f. —• a tn с ^ — —■ r^ —
4 T S - CC f^.—•^^-СГГ*-5 1^Г4вчСМвГ. «v-TH-
—♦-^сч'сч1 rv ir, r»w-t^n4-vir.<vr-cc^csco
r. r
etc» t r » i
F 4 4
. Ш Ш U1 U» LI Ш U! Ш Ш Ш UJ HI HI Ш Ш U4
tNVi^meoosMnir.Mnfintrnni
.<;»-»С*СЧ^ГЧ>>С>Г*-0>'-«1>-О>СМ^ Г^1Г. I
« NIT «С *4CV«TN—r«f^w—I CM ITi
• «>/> K> Г
I
r
Г 4
UJ U' U1 U Ш liJ U U. Ш LJ U' Ш Uf IU UJ Ш Ш Ш Ц1
ir чг c^ f^ ч; -о «-• »г, г- c^ —* о-- cn! r- »-• сч ■—• к~. л
-О N U"i Ч? б.1 К1, С О Т —« СО СЧ Г"4 О» ГЛ О CS If. 1Л
г- ч-. о/ —' к> o-^'^r~r-^' rv г» <» *л ■£. —I <ч- ем
—»<NJ«rr~»-»CSfVN—«Г--^»-»СМКЛМ?—«Ю l> f К\
UJUJlUHIHJUJUJUJLiJUJUJUJ HJ Ш Ш Ш Ш Ш UJ
V »* V * F- ^ ч If. в." Ь ^ О »< С С С Г СЬ Г
о ^is> к> K-s»ea—<—«—«--«-^»—•—»—«—семем ем
siS'fxsi^GSGGf&ssoefuK'Soe;
4444444*44444*44444
KK\Cilf, CS»>IS,lfi4CCNKi'0MN»«>O4-CS
^Г^Ч^Г^К\»^.СОС5>Г^1Л»*ЛСМеОК>С>>Сче5;>ОХ
Ш %■ 4 4
4 4
шшшшшшшшшш111и1ШШШ1ии11|;н)
«с^кчлаьо r<<cifioiftS4r^'^<cs
r^CbCbtCOKi—«4f -»m-<C4r*CMIftlNI5ISMR
Г^ЧЭКЧСМК>Г^^О» IT. «-» >C ^ 6i O* V CM Г^. CM I*'.
'"M^. T<0*-<—I F» V 9 Ifl tf\ Г- Ch
■ см a-
•1CN4- г-«^смч>-*а;'
■^NC ^C «H I
о «г r»
о Съ: в* tS» <s» к ec e^es-evo ccr^^c. шчгюсч*-
<sM>eco«#ir. ч-ям«-« с «& 6i 6i e> «p ^.«^«ы
IX r^ZZ
«SI&KSSt&SStSCVOCCr^^irVK4. CM*4
S>0«C-r^Oir\^-r\{N<^«SIS>erf(5iC2CS(S.ISS
KK.s&«s.K.e?es^oecr-y>ifNVK\c,M-<
1Л
to

С: Г-j Г > Г; С «^ G. С"» Ы В t- R К Ь Ь' Q 6. ^6*
-*444 + 4 + *444444 4 4 4 4 ■#
LJ U U_! U» U-. Uj U_ U- U' Lil £Li UJ U' U( U-' Ш U.I LU U »
vO CI- f. r^ *"\ «Г Сл ■с*»ЛОТ^Г-г^:'^-, if •< ^ O1
~i %c *^\ —■ ^.-.-i^rO'^-ivr-ccvirr-'CMsr- —» —»
!*". I*4! V U"- чГ Г» CO O-- -~ *~> Г, CM СЧ tN( f*\ «*■ IT. *~ *T
SSObSSS'-tw-^-'--''-1 —t — CM Сч •
NGSiSS'KRSSOG'G^SGe «> СЭ C4.
4 + 4 + 4*-44 + 4444 + 444+4
nj ш и.1 ш а. ш ui u.' il< uj u и; ь ui ш ш uj ll» u.
Р'Г«(г>тг<сГ''ч;1Г1^>с^^-♦ г- о о г*4 «г
1Л^Г-СчСЧ»ЧЭС>Г>»Г"-1ЛССМ>ССГ-С>'£>МЭ--»МЬ
2Г чг О 1Г. V U- С; IS/ «->■ <Г О V Г- Р?. тг О С» <3j C*> Сч-
чг ...•••.........•«..
Ч Г* ^ ^ С IT. N о rirHWCSNinn^r^^T
(t С. С t. t С С. С — — — — -" — —• «-- -' ~-> СЧ Сч)
р: с^ ~> о <l г. t сч. :i ■.. с; е»- ti u n n s is. r>«
I 4444 + -I44 + 4 + 44444 + 44
XI U' LL' Ul U U? U' U* Ш U' UJUIUUl ШШи' 1Г U'
a «-• >£• c: ;<-, "С иг о »-< г^ ее «ч к. r- Cs' с cv с о- *т
■Z "С vC IT- T ОС CS' CC СТ. '-' K". ^ —« CC CM CM CO 1Л CM О
L_ О. M cr if tr—< *Г Сч Г^ Сч — m ее Г" Г1 ■"' £- »"~ Г-
Я •«..«•»•••■.•»•*•«*•'
—« Г J СЧ К". 4- < Г, и н fj K\ K> К. ЧГ «" чГ» О —• КЧ
^ovtceitecM^otri/Sr. (Л т ^ ^ cS к>, (si
» * rtrtv» rrrrrr»»rr-*
uj uj u.r ui uj u' tiJ ui и: ш и.: и.' и: ш Li ш ш ш ш
(Л г cr n - t? i^ it, e: со <> со г: г^ см >c ••-*
МОт<0^^|Г\^'00>>07 «-• CO О »-< О Ю *Г
•л о: (n o> i ifi «з-ог~оо»гюсччгг*о*Г|-^
IT\ r- •-<«-< K~ Г- — K< — —«• CN Tt Г"» —» CM IT* •«-••,*» CM
r
L I I t I I fr t: Г. 6 I
шшшши'и'Шшишшшшшшшшшш
ССК^иЛ1Г»^Ч.'^*ГСч:С£СМС;сСГ~С£«Г, U>l*\ О
1^Ч}^СМС>Г^Г^Г^С>^^^и-\*Га>1*%еО«г>еС;
"Ч 1Л С w N "i Г» ■
i -Ч- N Г* К\ Г. D »* N «О •"' Ю СМ
» I I I I I Г Г I I t I Г Г I I I Г I-
и» и» и» uj и.' и1 и и' и' uj и1 и ui ш и и ш ш ш
Г^ Ю Г> Г" к" О Т Г*- СЧ «С <?• *Г К4. kMt, О. < fj W
ft-^КЧО. neD^^^-^J К\»ПтГ^СОБ:'1ЛСЧ
О- Ь. -«Г к^ К\ 1Г С ОЛ KN Г* О* С. С Г- «У </ С К\ CN
IT О. ч С- V С ^ 1Г. N С Г ^ С» w г. h N «Г1 Ю
CteiCi&MQSOGtaElG' etSt Б S S & &.
44444444 4-4444 + 44444
IS» lL'UJUJlliUlU.tUJLJll/U.lllJUJUIUJUIL)UIUlU)
I г^-^г\<^ео>о>осх»-«смв.сосхо*о»в>г«а/в«
■^-» *0 m —« О -< <T О —' Ifi w C4 tf, «:• N N С* Г1 <•
П !^ Ч* IT; О f^- » О —t w p/ (\ WN^«T^O«4)
Си 5> О b» <S <& C£ -*^w*Hr^w.w^4^<.^csie4
4-44-444444444444444 +
•н 1Л5Г1*-СЧСМООГ**Г-*%СО«С~*—»СОМЭГ-СМО
at: ••«••■•••■«.-•..•..••»>.
I г. с e «• № s t; *« -+ —• ~* -» ~< ~« ** -* ~ см сч
4-4444*444444 4 4 4 4 4 4 4
UJ UJ Ш lit U» U.I U5 U? Ш Ш U.' U.«. LU Ul Ш Ш Ш Ы Ш
|>ОЧ)О1Ю{маОг<5Т001Л»<МПМ»<1Л(Л
. со <v <Г. «*. «О ■»•« ^ CM l> О" -^ 1Л О- Г, < <C l> 4J **
4nni«\4 >oirHHMoi«\^v^>ca^h
1Л
Ю
CO
U. й. t. С Г, СГ. К^и-^^^^иис^г;
7 r> r s ■з ": т; i^ ^' r ^ f •. s- •$ f5 ^' ri с ^ г
<Г44 + 4+-»* + 4 + 4*444 + -»- + Ч
Г U/ U ^i U! :jl- •)» U' U Ui l'.< U U L. U' 11.1 li' U" I'.» U'
Г C^ CX/ — -. l<- f\ \T« -^-: С) -г, Г- Г~ Г^- К- Г~ СЛ tT Cv »T.
Г", U-\ о ^ ^ CS' h 1Л ^ С. 43—»Ot^4>sOC04>t>
т-г-^чаг r« w г, », aa г^ ь ^ ч о ^ ^ —• т. г
—' -* с-ч сч* г^ ir. i> —• —• к*. «^ *т \г, »n f~ ее •-•• см «г.
С' В tv 5? К S' Gt ^ -,Wrtww^»4^CMNM
ел к; с p.. «s.> ts: ri ci сэ с t; is ^ & s fj «j e ь.
44-f*4-*4-»*4444444444
ш ш и.1 ш ш ш ш ш и ui uj ш ш ш и; и) ш и; и
S.K\CjU',CNOOTK\K-, "СО'ЧЗСБ.Б.^СЧСм
*-<Ч*Г^СЧССЧОй.Г^Г"К 4ПСЧГ-К. C-CV.O С
-t « «mo v ^.^^.^ чгч-irsir r^ со — -* m
esc>5,-«se6.i£c5.e:c>^a.r^«cir«*K'. см —•
I Г I
Г Ь Г I I Г »
f Г » f Г
т и. ш и J uj u: u; lii и U' it L' и1 и: ш ш uj иг ш
г- ил к\ cr ^ e: о>ге. мг. o. c\«cin<'ca»4'
о к. <. r^- —• о см ел ч» t>- к\ ir» r> Kk а* см о ее а
г сч чэ хт \г г. »-» -< >г чт с^ ir. «v г: »^ т- г- с-, м:
Ю Os —• CJ '
О-СМОГМГ-. ШГ-^СМ'ГОСМ^нгр
ооа. сососгг^г^м)«г, ia m ч- тт к\ к\ nn
rtfeiittr
» i
UJUiUiUJUiUJUJtUUJLUUJUjUJUJUJUJUJUiUJ
(4 (\ IT, M МПСЦЬЮФМГ, <OSMD«a«C*i
r\ -~i ю г-»с^сссч«-|^геасмо>Г1Смг-смсмГ'К\
—■ K\ *T IT \C Г> CS' <• С !• If' Г. К' 1^ < «S CC e *
м; о
' с ■; ч э> h ii л r. it r
с CM '
-« CM —• Ю
«г- и.< а с rv к с is» 5> -н ^< ^ ^ w •< ^ ^ ^ сч n «
<Т ГгОСО»0!П'ЗчК>СЗО«5!С*Ггз^>^С>'. C5«5>^«S4ta
- <Г4444444444444 4 4444 4
CM X. Ui U; Ш Ы U Ш Ш Ul U< U» Ul U! -J U» UJ" Uf Ul О.» U>
ir it г о. е-' « с «• ^ h »н см^> ^ а. 1Л к. с; —s ^- r- ^
с* —• к\а\<л>^—•счг-ю^-«сог^п^е;г*г>'а>|*'»
4 ЧГ О ^ tt О ^ Г. »•' *1> Г. Г. CV S- N ff' W Т I»
•^ —» см см и^ »г, г- —I ~< r\ v ^r rs <■. г»- ас- *-• см tr»
—' »racsre>'K.-«Sors.tJ?bc>irsicsiGi<s>cacvcac1»«ri
19 4444444444444444444
2 шшшшшшшшшшшыильшшшшш
с- сй . eji*\eja»r, cn о> ып 9 v mti м^г^см'-^м^'ч-см
с_з см ^ebM3r^K4Ktoo«Sji>»r»K^rsi«r>K«c>cMCSM30
4 •^^r^cMes<s*c>ic?ir^i>i^<ccvco-«icMKsr*r'
:э -..----..-..••-«-••«
° ° •
ч/^Г - #. . .*.«-«•••
LO ^2ZeiOCCI^<*ir>VKNC4!—«CJCSIS:GitS.S(, в 6ir «
ь

10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5*0
4.Я
З.Р
2.0
U*
0»9
0.В
0.7
P.6
CI.5
€1.4
0.3
е.?
0» 1
1.776En05
7.6V7E-05
4,3.чЕЕ*05
7.281Е.-05
t,335Е«Я4
2,719Е*04
6, 440Е«Й4
1.919Е»03
Р.551Ег03
! . Ц6Еп01
1.675Е-01
7.479Е-01 •
4,.1?5Егг01
6.950Е-01
1.4?1Е+00
3.2F7F+00
9 , 3 01 Е * 0 Я
4.776Е+01
3.300F. + 02
ЗНАЧЕНИЯ »ГР» - В
1.76SE-35
2f674C-05
4,25?Е-05
7 , 1 6 7 Е - 0 5
1,ЗР*Е-0«
7,63б£-:14
<S • 1 6 U: -»J 4
l, 7 q г. е ч а з
7,747Е-03
l.f 19Е-Г01
1 . ^ р 1 F" - (3 1
2,??.9Е-01
3.772Ет01
6 . 6 9 7 Р - ^ 1
1 , 3 3 1 L" + 0 0
3,Г67.Е*(5Я
9 , U 1 Е ♦ 0 0
4 , 2 5 3 Е «■ 0 1
3 , 7 5? 5г ■•■ 0 2
1,7376-05
2 • 6 7 3 Е » ? Г*
/1, i 4 3 Е г Я 5
4 , о 3 ? Е 10 ^
1 , 2 5 ^ F - 0 Л
2 . 4 Б 81 - 0 4
5.б9^г, -04
1 . Л Р 0 Е - 0 3
6.7740F3
7 • 9 5 9 Е •? ?■ ?
1, 159Е-101
1 . 779Е-01
2 „ 952Е--0 !
f> , ?4«Е-0 1
1,Я54Е"00
2.369Е+00
6,5 54Е*П0
3 . 2 3 3 Е * 0 1
3 « 3 6 5 Е + £ 7.
ДБ/КМ
1.573Е-05
2, 506Е-05
J.924E-05
6,47?_Е-05
1 . 147Е-04
2.235Е-Я4
4 . ? 8 7 Е - 0 4
1 .378Е-03
5.84 5Е-03
7.397Е-02
1 .«55Е-01
1 . 59?р~01
2 , 5 3 6 Е - 0 1
4.41 1F-01
Н . 5 6 п Е - 0 1
1 . 9 6 7. Е ♦ 0 0
л.02 6Е+00
3 , 0 9 1 Е ♦ 0 1
2 . 634F+P2
1 ,
7 ,
э',
5,
9 ,
2,
4 ,
5,
5 ,
П
1 ,
? ,
3
7 ,
1
5 ,
7
2
.542Е-05
•277Е-05
,.505Е-05
.685Е-05
, 88?E-0S
, 1R5E-04
, 143Е-04
, t5*E-03
, 124Е-0 3
,829Е-02
, 7 И Е - 0 2
, 3 4 * F - 0 1
. 166Е-01
, *4 5Е-01
. 5 ? 4 Е - 0 1
, 769Е+С0
, 5 1 *i E ♦ 1? 0
.Ч53Е+М
. 4 4 9 г ♦ 0 7
ЗНАЧЕНИЯ »ГП» -. Р Л 5/КМ
10.р
9. В
R . <*
7.0
6 .0
5.я
4.Я
З.Р
7.0
1.W
0.9
0.R
0.7
0.6
0.S
0. 4
0.3
0.2
й. 1
1 ,
1 ,
1,
7 ,
3 ,
4 ,
6,
1,
1.
3,
4 ,
4,
5,
5,
7,
«>
1 ,
1,
•>,
, 14Р>Е*00
, 4 0 3 £ ♦ 0 0
,760Е*00
,775Е*00
, 0 3 2 Е ♦ 0 0
.739Е*О0
,779Е+Я0
, й Р 4 Е * Я 1
, 7 7 3 Е + 0 1
. 7^3Е*01
,3}6E+ffl
t «;qoc + ^ i
,?46E*01
.768E+01
. V*0E*0l
,90PE+0 i
, 7 1 3 F + 0 2
, 9 4 2 E ♦ ? 2
, 0 P 2 E ♦ 0 2
1 , 4 3 9 F 4- 0 «
1 ,75!? E^ 0 0
2 , I 9 1 E * 0 0
2 . P. 1 0 E ♦ 0 0
3 . 7 1 5 Г, ♦ 0 0
5 , J 7 3 E * 0 ?■
7 , 3 7 С F 4 я 0
1. 13lE«-0l
1 , p 1 ч F «■ Я I
3 , 7 0 3 1 «■ iH
4 , Pi 6 7 E •»- T 1
4,317E*«1
5 , 1 9 7 E ♦,J 1
5 , 9 7 3 Ё «■ Д 1
7 t И 6 7 С ♦ 0 1
3 , 5 6 5 Е ♦ 0 1
L 1 8 0 E *■ 0 7.
2.067E*02
5,17?С*02
1 , 9 6 1 Г ♦ Г М
7 , 2 6 6 Г. * 0 0
2,с?РпЕ + Г0
*,543Е*С0
4 , 5 В 4 Е + 0 0
<>, 125Е*00
0 , 4ООЕ*00
1, 7.2ЧЕ + Р1
U717E + 01
2 , 9 3 П Г. + 0 t
3, 171Е*«Т1
3,^13Е*0 1.
3 . Г> 6 4 Е + 0 1
4,327Е+01
5 » 3 7 9 Е * 0 1
6,3 0?Е+Р1
9, 0 5ЯЕ + 01
1,329Е*02
3,794Е*0 7
7,
2 ,
3
4 ,
с,
7
9 ,
1 ,
1 ,
1 ,
2 ,
2 ,
3
з
3
4 ,
ft,
1,
4 ,
. 459Е + 00
.947Е+00
.57OF-»-00
, 474F. + 00
, 526Е + 00
, 0 6 3 Е ♦ 0 0
,091£ *й^
. 176Е + 01
, 4 7 5 F. ♦ 0 1
, 1Р Г» 4 F ♦ 0 1
, ^ 3 6 Е ♦ 0 i
.766Е+01
,'fJR7E*0 1
.-171Е + 011
.997Е+0 1
,Q69E"»-0 1
. Я69Е+01
.717F4-02
. 1 6 4 E ♦ 0 2
3 ,
-*
4 ,
5,
6 ,
7 (
«,
<p
1 ,
1 ,
7. ,
'?. ,
'i
2 ,
5 ,
4 ,
Ъ ,
1 ,
4 ,
. 17AF+00
,69^F «-Г0
, 33 5F+0V"
,1 17F +pfl
. P 8 3 E + 0 0
, 168E+0 0
, 4 6 9 F ♦ c* 0
, 924E +00
. 1 1 * E + 0 1
, s i g f * 9i 1
, я 9 4 E * 0 1
,266E*01
, r> 0 3 F ♦ ci 1
, 7 9 0E+01
. 2 16E+-M
, 0 2 6 E ♦ 0 1
.72 IE *0 1
. 1 0 4 F. * 0 2
, 1 59E+?2
ЗНАЧЕНИЯ vrF/1» 1- 4 l/M
10.0
9. И
В.й
7.0
6.0
5.0
4.Я
3.0
2.0
l.e»
0.9
0.9
0.7
0.6
0e5
0,4
0.3
0.2
0.1
6.137E-09
9,312E~09
1.48?E»0O
7 . 5 1 4 F. 1- 0 8
4.607E-38
9.Ч85Е-08
2,222F.W07
6.618E-07
2.943F..-06
3,«06E-05
5.527E-05
8.395E-05
1.356E-04
2.320E-C4
4,677ErC4
1.028E-03
2.870E-03
1.076E~02
3,639E»H3!l
А,09?Е-Я9
9.233E-0 9
1 . 4 6 Я Е - 0 8
2.474Е-0Я
4,?1ПЕт08
9 , %?' ? ? Г - 0 8
7 , 12^»E-07
<S, 190E-07
2 , 6 6 7 F - Я 6
3.475Е-Я*
5,?3?Е-«5 "
7.557F-05
1,?71Ен04
2.238Е-04
4,385Е*04
9,82бЕ*й4
2.760Е-Г03
1,РР0Ете2
3 t Ь г- 4 Е г 0 7.
5,
9 «
1.
7,
4,
8,
ii
5,
2.
2,
з,
6
0 ,
1
3,
7,
2
8
3
,997Е-09
, С .5 ft E ч 0 9
, л 3 р Е • fl 8
,393Е-0С
.315Е-С8
, 5 8 9 Е - 0 6
,964Е*07
, 5 47Е-С7
,332Е*06
,71бЕ-05
.944Е-05
.034Е-Г05
.953Е-05
, 7 5 5 Е •? Я 4
f478F-e4
, 6Р9Е-04
, 006Е»03
,350Ег03
i222E-02
_«j
8 ,
1 ,
2 ,
3 ,
7 ,
1
4,
2
2
3
5
8
1
7
fc
1
8
г
.778Е-09
,653E-0Q
.355Е-0 8
, 735Е-0Р
,96lE-08
, 7UE-0A
.721Е-07
.754Е-07
.012Е-06
, 42ЯЕ-Г05
,592Ег05
. 40С1Ег»05
,558Егт05
,477Е-»04
,830Ег04
.335Е-04
. 845Е^03
.003Е-03
,'3 99Ег0 2
? t
7 ,
1 ,
1 .
3 ,
7,
1 ,
■«« (
1 ,
1 ,
2 ,
4
7
1
2
5
1
7
2
, 3 2 Ч Е - 0 9
, Я 6 4 F • 0 9
, ? 1 0 Е - 0 8
,963Етр8
.4 1?Еч08
, 5 4 1 Е - Я Я
, 4 3 0 Е - И 7
,Q93E-07
,76^Е-г0б
. 9 9 0 Е - 0 5
,96RE<r05
,549Е-?5
,31*E,(V5
.288Е-04
,490Е-!04
,717F^04
,Л92Е-03
.436Е-РЗ
,741Е^07.
356

...... ..- 3/2»
о о

з
\J»
9
1
7
с
1
4
1
2
3
ч
я
1
2
Ь
1
?,
1
,803Е-»08
,775Е-08
207Е*08
559Е*07
857Е-07
Я22Е-07
379Е-06
1 0 о Е - 0 *
828Е-05
Ч62Е-Я4
427F-04
193Е-04
ч 5 7 Е - 0 4
4J9F-03
820Е-.03
*>29Ег03
386Е-02
660Е-02
820Е*02
CR(М 7 N » ?
1
1
2
2
3
5
7
1
2
4
5
*
7
3
1
1
2
5
1
1
1
2
4
8
1
4
1
5
7
1
1
2
4
9
2
J5
1
4
470
,413Е*00
,740Е*00
, 167Е + 00
,844Е+0Я
763Е*00
,266Е*00
812Е+00
?53Е*01
227Е+01
9 0 0. Е * 0 1
705Е+01
193Е+01
19«E*01
274Е*01
, 122Е+02 .
,514Е*0?.
,479Е+*2
, 15ГЕ*^»2
, 0 14Е*03
102Е-.04
Л74Е1-04
,ft69F-04
.519Е-04
. 2 8 б£ - г 4 •
, 6 8 9 Е -. 0 3
, 0 0 3 Е - 0 3
, 195Е-?2
«339Е-02
Р)69Е*01
«032Е+0Я
, 5Э2Е + 00
,533Е*РЯ
>493Е*0Я
.267Е+00
.098E+0J
,Ч24Е*Й1
,968Е*02
,867Е*Я?.
3 .
5.
9,
1.
о #
5.
Ь
з,
1.
5" •
-' !
4 (
Л
1.
2,
5,
li
2,
1,
«
*
2
2
3
й
л
9
1
2
4
5
5
7
*
1
1
2
•ч
t
1
1
2
4
8
1
3
1
1
6
9
1
2
4
8
1
5
1
4
? И А Ч Е Н1
7 8 ^ fc - 0 Р
7 2 <: С - 0 П
iecE-08
53ft^07
7СоС-Я7
ft 4 6 Е - 0 7
М Q £ - 0 л
Я4 ?r^(^(N
'•5 3 г- - 0 5
1 R 1E-74
1 1 9 F. - Й 4
f 6 *> г - й 4
Я 2 '« с - 2 4
* 6 «> - о 3
63ге-йТ
<S6"E-03
357F-P2
6 о ^ - л ?
7 9 к Е - 0> 2
Q = 7 , 9 7 F 4
41^
Я » Г Р Л » - 3
3
3
3
1
2
Я
1
5 ,
1 .
1
I
3
6
1
2
4
9
7
1
00
72сЕг.?я
М7Е-0Г
8 7 3 Е - 0 л
4Р5Е-07
««.77Е-С7
Ч 2 9 ? - И 7
7 1 8 Е - 0 '
4 4 7 E - 0 л
4 4 7 Е - f■ Ч
Л 7 9 Е - 0 4
4 3 4 Е - 0 '
7 1 4 С - р. 4
107 Е-С /-
Р6«Е-Гт
чвЗ^-Р7
4 2 0 Е - f 3
9 9 1 Е - 0 3
123Е-07
*44Е-0?
0
-янлчеииг »го» - р
78 1Е + 0Я
17*Е+00
7 1 3 Е ♦ 0 С
4 8 я 5 * 0 Г
*0 <Е>9С
* 5 2 Е ♦ 0 0
157Е*00
4 ? я Е ♦ 0 1
?7ДЕ>01
821Е>01
ч 5 ? Е + ? 1
775Е+01
1 2 0 ? ♦ М
49 i<L>0 1
* 7 ? г. * 0 7
, 4 4 9 Н ♦ 0 2.
л j », L' ♦ ? 9
2 «; 9 Li 4 <ч 7
7 С " Е ♦ 0 7
2
2
3
4
5
7
1
1
2
3
4
4
5
6
7
1
1
3
1
.1UA чРН!1Я
1«е Г г-04
^ С 0 Г - ,4 4
, 63qE-04
, 4 4 ? Е - 0 4
,И! Е-Я4
,537-1-03
, 8 2 ч ^ - 0 3
, 117^-02
, Я 3 г> £ - 0 7
, 441Е-Я1
. ч 9 4 Е -, л 1
,419Е4^0
, 4 1 5 Е 4 я я
, 3 1«- г ♦ ^ с
, IS 5 '> Е ♦ 0 в"
,('9*ЭН>01
, 7 0 4 5 4 з 1
,?44Е*02
, я ? Я Г: 4 fl ?
1
1
2
4
7
1
3
1
4
5
7
1
1
3
/,
1
4
1
3 0ЯЕ+0Р
, Р 0 1 Е + 0 0
, 4 6 7 Е * 0 <*
, ч 8 7. Е + £ Я
6 7 ? г 4 с /я
, «584Е + 00
057Е+01
49JF401
137Е*01
7 90Е+Й1
142Е+01
, 658Е^01
276С+01
, 101С+01
,983Е+01
, 0 6 5 E + 0 2
,75QE*0?
, 8 5 1 Г 4 р 2
, <* 3 г» Е •♦ 0 ^
» Г Р » - Я
. 073Е-О/1
,<27Е-0л
. 5 71F>C*
, 3 0 2 Е - С 4
,759Е-С4
,545F-C3
,536Е-СЗ
,001ЕгС7
.225Е-02
.М5Е-01
■ Т21С-С 1
, 128Е^00
,880Е+00
. 3 6 5 Е ♦ 0 0
, 807Е + 0<1
, ч 4 я Е * 0 !
. Ь 7 1 Е ♦ 0 1
,626Е^02
5И59Е + 02
1/М
3
«>
8
1 .
7 ,
4 ,
1 ,
7 ,
1 ,
1
? ,
3
i>
F
1
з
с
? ,
J
584F-08
ч 6 я Г. - 0 8
405Е-»0г1
3 8 /. F - 0 7
457Е-07
787Е-07
*68F-06
949F-06
-? 4 я £ - 0 5
О94Е-04
215F-04
32£ЯЕ-04
1 3 8 Е - 0 4
968F-04
691Е-03
^4ПЕ*03
3 1 л F - 0 3
?5ЯГ-02
368Е-07
-10
Л5/К^
3
з
4
5
/,
Р
1
1
1
2
3
3
С
л
5
н
1
3
9
<' 3 7 Е ♦ 0 0
^ 4 Я Е ♦ 0 0
4 2 ^ Е ♦ 0 0
167Е+00
^ ч 1 F + 0 0
7 3 5 Е + 0 Я
125F+01
450СГ4Й1
•3 4 1 F ♦ 0 1
' 5 3 1 е.- 4 е 1
3 7 8 F ♦ 0 1
*> 7 * с ♦ 0 1
1 84Г401
8 7 2 Е ♦ 0 1
, 9 5 7 Е ♦ 0 1
,736Е*01
, 10й£402
,г^13Е + 07
327F*02
ЛБ'КМ
1
1
2
4
7
1
3
в
3
4
6
1
1
7
S
1
3
.1
4
0 3 Я F - 0 4
.555Е-04
, 435Е-04
,^17Et04
. 122Е-04
.388Е-03
. 0 9 8 Е - 0 3
,571Е-03
, 6 4 3 г - 0 2
.46SE-01
,662Ет01
. я Я 8 £ ♦ С И
.611Е*00
, 8МЕ + 00
,495Е*00
.7.63Е+01
,787Е*01
.57?Е+02
.561Е*0?.
3
4
7
1
7
4
Р
7
1
1
J
2
4
7
1
3
8
1
1
3
4
Ч
*
7
8
1
1
1
1
2
ч
ч
з
а
*
1
3
о
9
J
2
3
А
1
7
7
3
з
5
8
1
2
4
1
3
1
Л
303Е-0*
878Е-08-
508Е-0*
218F-T07
116Е-.07
*79Е-07
869Е-07
477Е-0Л
^94Е-05
228Е*04
q2 ^Е-04
793Е^04
471Е^04
Я 21 QF -Г 4
486F„e3
287Е«03
6 0 3 Е - 0 ч
95fE»07
78*Е"07
-20
, 9 2 я Е 4 0 0
, 56^Е*00
,352Е>00
,3 19F400
, 5 1 4 Е * 0 0
. 864Е + 00
,f48E*Pl
230Е+01
,391Е*01
.9МГ+0Д
.724Е+01
.994Е+01
,397Е*01
.914Е*'1
, 8 0 4 Е ♦ ■? i
.751Е+01
, 19 0Е4?2
,301Е*02
.033F+02
.368Е-05
.413Е-04
. 1 7 5 Г г с 4
.52SH-04
f 134Е-Г04
.357Е-03
.573Е-03
, 193Е-Г03
И94Р„Я7.
.662Е»01
.486Е-01
.461Е^01
,372Е+00
.446Е+00
,8 13Е*00
, 136Е + Р1
#471Е*01
.465Е+02
.374Е^02

Ui IU Ш Ш ' 'lJ U Ш Ш Ш UJ Ui Ш UJ Ш UJ U' LI Ш Ш
K\ О» С% Г, C\(^ Щ MNO'M IT. *-* V\ Cb IT t M K,
ft Ы U.' U 'Х Ш L' Ul Ш UJ Li U.» Ш Ш U UL' Ul UJ tL' ll'
с: с; г-» к4 tr. r-^ a cc> c\i г- о> ч 4(s!ocrG»^t^v
L_r-<C<r^r»fr*-cv^*^r«0'5 r- «~ e~ rv т c^ —• «c
ft ••••••••-«••••••«»••
(X

ТАБЛИЦА II
ВЛИЯНИЕ ФРАКЦИИ КРУПНЫХ КАПЕЛЬ РАДИУСОМ
ОТ 20 ДО 85 МКМ В ОБЛАКАХ РАЗЛИЧНЫХ
ТИПОВ НА ОСЛАБЛЕНИЕ, РАССЕЯНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ
И РАДИОЛОКАЦИОННОЕ ОТРАЖЕНИЕ ММ И СБММ
ВОЛН

t& Ш Ш Ш Ш Ш Ш UJ Ui LO Ш UI Ш Ш U! LJ U' Ui U.' LU
r*00«r««-«»-iCVK\ir\OOJC«J<vr'4«**\,,J «О »< СМ *»
UJ 11,' LI Ь U, II Ш к U.' Ш IL UJ Ы lb Ы Ui IL1 UJ Ш
or-cror* v v о г* ^ о: cn s г. —* ^г кг N г,
ЗГ -в" О •"* ^ -« О •'Л У£ О *ГСЭ15>С5«ЛеЧСМ1ГчГ~*
v t\ •? с rs » и1 о ч? it. с К\ «г г- о» к-, гь «з- с: о-
«Г» «-•«-»—•СМГМ«Л«'«©Г» KWrt^HNnC «G»-«-
m
fJ ,, „ „ ^ r, ^ ^ „ s ь R s ь lc t, ь С5 ^
I "z:- rr. г„ r:.' r-.c с к g с ci «s к, t; ^ Су ts с» с с.
t » • t ! f Г1 !< + ♦ + ♦ + + ♦♦♦
л и; uj u> uj u.: l. ir и." и.1 '.'.! ll- i_j ui l.' ш а1 ш и u.i
С *r f it к\ l'i cv к\ >c >o r^ r» u-i г- ю г: с сч см v\
t__ с и4, w n ю л ^ v 1Л ю а -• in -о >ri с in v со

*0,
9,
8,
7,
6,
ч ,
4,
3,
2,
1 ,
0 ,
0,
0,
0,
0 ,
0,
0 ,
0
0
.0
<0
.0
► 0
,0
,0
,0
, PI
,0
,0
► 9
► 8
► 7
. ft
. 5
»4
. 3
.2
. 1
2,
4.
6,
1.
2,
4,
t,
3,
1.
1 ,
2 ,
3 (
5 (
9,
1 ,
2,
5 ,
1,
5,
,863E«09
,348E*09
.933E-09
i 174E*08
, 152E-03
,387E«08
,Я39Е*07
,5199Em07
.380E-06
, 7 6 6 E«. 0 *5
.54.4E-05
, 7 9 9 E « 0 5
.953E-05
, 470F-0'?
.705E-04
.934E-04
,274E«04
,020E*03
, "543E-04
ЗНАЧЕНИЯ
2,847rN09
4,313E^09
6.8J8E-09
1, 156E-.08
2. 108E-08
4(25*Е-08
9,946F,-08
2,89«P-07
1,249E-36
1 , 40^E-,05
2.306 6'i05
3,397F-.05
3 , * а л £ „ о _s
9 . ? j i F. - 0*
1,49?F~04
2 , 79*>En01
5, 16lEr.04
1,03ЛР*<5 3
Ч,4 5бСг-04
2,
4.
A,
1.
2.
4,
9.
2.
1.
1.
1<
2.
4,
7,
1.
2 .
3,
8,
4,
»ГрЛ» * В
,*02E-09
,232C-i09
,68?Е*>09
, 119Е-0е
■ 017F.-0A
, 0 16 E - 0 8
, J 8*E-08
, !5 9 6 E - 0 7
, 09OE-06
, ?44F.-05
,789E-0p;
, 693E^0"5
, 319F-0?
, 19вЕ-гО«5
, 2 6 3 E - 0 4
, 191E-M
, 8 0ПЕ-С4
t i 47P *{* 4
, Л 3 4 F. - 0 4
1/M
2 ,700рп09
4.И4Е-09
«S.333E-09
1 ,045[>08
1 .852E-08
3.608E-08
»,048F-0P
2 ,2225-07
9.339E-07
1. 107E-05
1 .627E-05
2 ,40fl[>05
3,710!>Я5
ft . 0 7 2 F. - 0 5
1 .041E-24
1 .839E-04
3 , S46E-04
7 ,766E"04
4 , 0ЯЗЕ-04
2,
3,
5,
9,
1,
3,
ft,
1,
8 ,
9 ,
1 ,
2,
3(
s,
9
1
3
7
3
,489E-09
,67!5E-09
.A57E-09
,175E-0*
.595E-0»
.52AE-0*
.6B1E-08
.865E-07
■224E-07
.078E-06
.340E-05
.023E-05
, 16 8E-05
,309E-05
. 2 5 2 E - 0 5
■6O7E-04
.300E-04
.302E-04
.795E-04
MM \
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
■>.0
4 .0
3.0
2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0 . 5
0.4
0.3
0.2
0. 1
1P.0
9.0
8 . 0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0 .0
0 . 8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0. 1
С
I,
1 ,
2 ,
2 ,
^,
•5 ,
7,
1.
2,
5 .
6,
7 ,
9,
L
1.
2,
3 ,
5,
7,
5 ,
7 ,
1,
2,
3 ,
7,
1 ,
5 ,
2,
3,
5 i
7,
1,
2,
4,
7,
*.
2,
3,
♦ 20
, 4 0 2 E * 0 0
,728E*00
, 169E*^0
, *09E*00
,751E*00
, 2 5 9 E ♦ Я 0
,*29E*00
,?64E*01
,289E*CJ
, 6 0 0 E * 0 1
,A84E*01
.597E+01
.Ч47Е+01
, 154E + 02
,66PE*02
.322E+02
■359E+02
, 150E + 02
,39?E*02
,034E«04
,64RE«04
,°20F-23
,067En03
«794E-03
.746E-03
,841E*02
.S23E-02
.50PE-01
.466E+00
.081E+00
,*37E*00
■?74E*01
,165E*01
.043E+01
,270E*01
.262E+02
,773E*02
.S97E+02
♦ 10
0
ЗНАЧЕНИЕ »Го» - ?
J,761E*00
2, 153F4.00
2,6B7E+00
3,449E+00
4,56*E+00
*,314Е+00
9, i3'if:*0 0
1 , 4 1 2 E + 0 1
2.325E+01
5, 438E*01
6 , 2 0 6 E * 0 1
6.97 6E+0 1
9, Я4 3Е + 0 1
1. 157E*02
t,376F+02
2,234E*02
3,306fe'*02
3,175E+02
7,369 F,+ 02
2#269E*00
2.764E+00
3,4leE*00
4,^29E*00
5,609F*00
7, 5ИЕ + 00
1,0458+01
1.490E+01
2. t80E>01
4 , ?. 15 E * 0 1
4.72SE+01
5.5HE*0l
6.618E+01
8,296E*0t
1 , 1 8 5 E ♦ 0 2
l,72lE*02
2.A02E+02
4.462E+02
7.639E+02
ЗНАЧЕНИЯ »ГР» т В
5,003Ег04
7 , 5 8 1 F. - 0 Л
l-,206E-03
2.035Е-03
3,7135-03
7.3 07Er,03
1,760Еп02
5, 159Er,02
2,259Er,0l
3, 136E + 00
4,5988*00
6 . 97/SF + 00
I,182E+01
2 , 0 K 9 E + 0 1
3.787E+01
7.027Б+01
1,254E*02
2.229E+02
3,578E*0?
4,922F-!04
7,436E-04
1, 175Е-П03
1,968E«03
3.532E-03
7,033E-03
1.624E-02
4.617E-02.
J .969E-2JI
7,4 15E + 00
3.543C+00
5.478E+00
9, 142E + 0G
1.613E+01
3.054E+01
5.R71E+01
1.037F+02
2i229E+02
4,090E*02
-10
Л°/^^1
2.990F+00
3.Ч8 5Е*00
^ , 3 5 «5 E ♦ 0 0
5 .388E + 00
6.739E+00
8 «630E + 00
1. И5Е + 01
l,4S2E*0l
X «864Е+И1
2,е30Е*01
3.A67E+01
4 ,371E*0t
5 .239F + 0 1
ft.570E+01
8.869E+01
1.354E+02
2 , 3 1 2 E ♦ 0 2
4 .333E + 02
7, Я6ВЕ*02
ДВ/ЧМ
4.742E-04
7, 104E-04
1.1 13E-03
1.837E-03
3,2S9E^03
6.36ИЕ-03
1.422E-02
3,9i50E-02
1 . 6 9 4 E " 0 \
2 , J 5 2 E ♦ 0 0
3.220E+00
^,891E*00
7 ,8 00E*00
1,343E*01
2,487E*01
4,946E+0l
1.053E*02
2.740E+02
3.439E+02
-20
3,854F*0»
4 .48°E*00
3 ,265E*00
A t 2 1 9 E * 0 0
7,402E*00
8.754E+00
1 .036E+01
1.223E*0l
i .407E*0t
2.192E+01
3,0B6E*0l
3,532E*0l
4,213E*0l
5,290E*0i
7,222F*01
I ,143E*02
2.079E+02
".121E*02
6.925E+02
4.370E-04
6.455E-04
9.939E-04
t .613E-03
2.806E-03
6.215E-03
! . 1 8 Я Е - 0 2
3.313E-02
1 .483E-01
1,749E*00
2,627E*00
4,067E*00
6.591E+00
l,162E+0l
2,l85E*0i
4,538E*ffl
1,0168*02
2.193E+02
3.399E+02
362

UJUJLULUlllUJUJIJJUJUJU.llJUlJj UJ Ш UJ LU Ш UJ
f-»0>©r*«>>C00j*"\f*\ С IS R »« Г, ^T CD <T О
S (N N 1Л Ш 1^ T CN Г^ OJ КЛ О К4» Ч) № >C (S CO О
ITiCN^lftO — u »< О 9 t> -ЧО O- h О» »*Л 1Л
«н СЧ "' IT. О (V 4 ~- T IT. Г» —■ —♦ tN f \0 Оч »s «O
r^
Q
»
a.1
m
K\
>e>
r<
r-
c^
»
U.
o
ЧТ
*r
rj
t^ l>
es> «sj
l l
LU Uj
<. r-
Ki <N
<X> K\
K\ О
4i
»
1
UJ
CSJ
cv
—
-r
ч;
СЬ
t
UJ
>c
CD
~
СЧ'
Ю
ts
г
UJ
m
r^
CO
«3-
1Л
ts
1
UJ
>c
•«»■
>^
~
tf\
«s
1-
Ш
СГ
ОС
о
\f\
T
ts>
r
Ш
«
~t
•c
л
4?
о
If
UJ
P-
r~*
>o
о
K\
ca
1
UJ
<c
—»
<3
,~
r^i
к:
r
Ui
•"«
T
*-
ГМ
K\
«s
г
UJ
Of
r^
f\
•o
K\
«5»
t
Ш
ec
a»
CM
«Г
KI
«a
к
ut
r^
45
T
r^
K\ СЧ
О «52
I1 t
UJ UJ
<* e
-■« ч>
r- r>
О —i
K»i
«s
r
UJ
—-•
ITN
*s
r»
I Г- Г^ Г> |-~ ЧО -«C >t L- IT ^ K> К К Г Г. Г> MM"
* I Г I I Г Г 1- t t t I » I С I- I I I I
«C li! U U: U' U! ll' Ш II ID Ш Ш Ш Ш UJ Ш Ui L. Ы ll1

ТАБЛИЦА lit
ВЛИЯНИЕ ФРАКЦИИ СВЕРХКРУПНЫХ КАПЕЛЬ
РАДИУСОМ ОТ 85 ДО 1500 МКМ И БОЛЕЕ В ОБЛАКАХ
РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ НА ОСЛАБЛЕНИЕ, РАССЕЯНИЕ,
ПОГЛОЩЕНИЕ И РАДИОЛОКАЦИОННОЕ ОТРАЖЕНИЕ
ММ И СБММ ВОЛН

ОБЛАКО SC!
10. Я
9.0
е.*
7.0
6.0
5.0
4. й
З.й
2.0
1.0
в».9
0 .Я
0,7
0.6
f .5
0.4
л. з
• ..2
0. 1
С +20
6.6Я6Е1-03
fl.341F-.03
1 . 0 6 4 Е ~ 0 2
1 . 4 0 2 Е • 0 2
1.920Е«02
2.787Е-02
4.38ВЕ-02
7.758Е»02
1,М9с»01
5,125Е-Я1
5.935Ег01
6 . 3 в 3 Е » 0 1
7.986Е-01
9,0Я9Е-»01
9,Я60Е<т01
9,Ч99Е-0 1
9.662Е-01
Я.734Е-01
7.Р80Е-0 1
'3,
°.
1.
1.
2,
^.
4.
*«
1.
4 ,
5,
6,
7,
В,
9,
9,
9,
е.
7,
Je.0
9.И
8 .Я
7.0
6.0
5.0
4 .0
3.0
2.я
1.*
в.9
0,8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
9.2
0. 1
7 ,
1 ,
1 ,
3,
6,
1 ,
3,
9,
3,
1 ,
2,
2,
э,
4,
4 ,
4,
4,
4 ,
4,
.604Е-05
, 167Е*04
, ЯЯ7Е-04
.252Е-04
, 140F-C4
,298E-*03
, 184Е-.03
, 0 5 8 Е ■» 0 3
.Р23Е-02
■754Е-01
, 142Е-01
,7 05Е»0 1
.355Е.01
. 119Е-01
,674Ft.01
.847Е-01
.657Е-01
, 1Г9Е-Я1
.035Е-91
7,
1»
1.
з,
5,
1,
з.
*•
2,
1.
?.
2,
з»
з,
4,
-•
«1
4,
«.
10.0
9.0
8 . 0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1*0
0.9
9. Ш
0.7
*.*
«•9
0.4
0.3
0.2
0. 1
6.610Ег03
Р.224Е-03
1 ,045Е«02
1 ,369Е^02
1 ,Я5ВЕ*02
2.657Ег02
4,069Ег02
л.Я?2Е«02
1.317F.01
3 . 3 7 1 Е г 0 1
3.794Е-01
4.179Е-01
4.632Е-01
4,<>71Е-01
5, 185F.^01
5,й?2Е»01
3,005Е*01
4.606Е-01
3.«4?Е^01
7,
%
1.
! .
2,
т
- 1
*.
7,
It
3,
з,
3,
4,
4,
'|
5 ,
5,
4.
х,
0 = 1, 17Г-02
♦ 10 3
ЗНАЧЕНИЯ »Г0» - В Д
я 0 3 Б » 0 3
Я72Е-03
246Е-02
623F-02
195Е-07
13 ^F-02
777F^02
я 7 2 Е - 0 ?
«5 «5 7 F - Г» 1
я 2 3 F - я 1
571F-P1
4 2 3 Е - 0 1
667Е-0 1
Я66Е-01
75 ^F-0 1
927Е-0 1
7 fl 0 Г; - £ 1
725F-el
еаег-01
9,
1.
ь
t,
2.
3,
5 ,
8,
1,
3,
4,
5,
6,
7,
9,
1 .
9,
9,
7 ,
, Я 9 Г) Е - 0 3
,213Е-02
.513Е-02
, 9 3 9 Г. - 0 2
, 5 6 0 К ч 0 ?
.529Е-02
, 157Е-02
, 0 4 9 F - 0 7'
,412С-?1
, 902Е-01
, 5 4 5 Е - 0 1
,402г:^^1
, 559С-01
►93lEn01
,3 32 е-«1
, Я06Е + 00
, 985Е-01
,*73E-ei
.915Е-01
ЗНАЧЕНИЯ »ГР» - Р Д
«540L-
153К-
я^ее-
1Р9Е-
^62Е-
244Е-
ярцЕ,
354Е-
746F-
624F-
0 J 5 F. ■
533F.
204F-
962Е-
633Е-
9 9 Р. к •
693fc-
137F-
<91 4 F -
-05
-04
-04
-04
-М
-03
*tf3
-03
-я7
-01
-01
-01
-01
-01
-0 1
-01
-01
-01
-01
7,
1.
1 i
3 ,
5.
1 ,
2,
7,
2,
1 ,
1,
2,
2 ,
3,
4 ,
5,
5,
4,
*.
, 403Е-0?
, 12бЕг04
, Р03Е-04
, <*65Е«04
.65JF-04
, 15ЯЕ-03
.718Е-03
, 402^-03
, 444Е-02
, 391Е-*1
,753Е*01
,237Е*01
,93рЕ-е!
, S2cEr£ l
,703 Е-0 1
.351Е-С1
,206Е^01
, 393Е-01
,«24E-01
?НАЧРНИЯ »ГП» - В С
929F-93
757Е-0?
27PF-02
9 9 1 £ - 0 2
1 3 5 Е - С 2
Г 0 5 Е - С 2
477Е-Я2
237Е^02
282F-01
199Е-01
556Е-01
я 8 о Е - 0 1
4АЧЕ-?1
904Е-С1
12 U-C4
П2<'Ег01
Я 0 7 F. - ^ J
591Е-Я1
я?0Р-0 1
9 ,
1 ,
1 i
1 ,
2,
3,
4,
7,
1 ,
2 ,
2,
3,
з,
4,
л ,
4 I
4,
4,
3,
, р. 21 е *■ о з
> 202RtP2
, 495Е-е2
, 9 0 9 Е ■» 0 7
, 5 0 3 Е - 0 2
, 4 1 3 Е t 0 7
, Я 8 5 Е - 0 7
, 3 0 Г» Е ■» 7 7
, 1 6 5 F - 0 1
, 5ЦЕ-П
,793Е^01
, 164E^01
, 6 2 1 Е п 0 1
, 102Р"0 1
,629Е«?1
,709Е^01
, 7 7 9 F. r f. 1
.680Е-01
,911Е-»01
-10
/кн
1 ,
1 ,
1 ,
2 ,
2,
5 ,
5,
7,
1 ,
3 ,
л
4 ,
5 ,
7 ,
6 ,
9 ,
1 ,
9 ,
7 .
■264F-02
.524Е-02
, а 6 ч z - 0 2
.430F-02
t962E-02
.891Е-02
.265F-02
.51OF-02
.207Е-01
.247Е-01
.081E-0J
.817Е-01
.770С-01
.024Е-01
Л15Е-01
.826Е-01
,035Е*00
, 182Е-01
,О75Е-»01
1
1
2
2
3
3
4
л
9
7
1
й
4
6 ,
7 ,
9 ,
1
9,
7 ,
-20
,598Е»02
.870Е-02
.207E-0Z
«630Е-02
И74Е-07
.926Е-02
,760Е-02
.723Е-Р2
.472Е-0?
♦592Е-С1
,355Е-01
.061Е-01
.974Е-01
.259Е-01
.Я55Е-0.1
,А36Е-0 1
. 0 4 9 Е * 0 0
.364Е-01
.Я66Е-71
/кч
7 ,
1 ,
1 ,
2 ,
5,
1 ,
2 ,
6 ,
2 ,
1 ,
1 ,
2,
2 ,
3 ,
4 ,
t> ,
5 ,
с {
3 ,
, 113Е-05
, ^ 7 4 Е - 0 4
, 699Е-04
,^41Е-04
. 1 22F-04
.022Е-03
,^29С-01
.279Е-03
. 185F-02
,- 4 0 4 Е - 0 1
.713Е-01
, 190F-01
, 7 9 5 Е - 0 1
,$3flE-01
.667Е-01
, 623F-01
.846Е-01
, 5 2 3 Е - е 1
.917Е-С1
6
9
1
2
4
9
1
5
2 ,
1
1
1
2
з
4
5
6
4
?
,534Е«05
.7ЦЕ-05
.507Е-04
.477Е-04
.334Е-04
,963Е«04
.899F-03
.288Е-03
.032Е-02
, 7 3SE-0 1
.513Е-01
.974Е-01
.585Е-01
.479Е-К1
.6ЦЕ-01
.Я77Е-01
.296Е-01
.75ЯЕ-01
.Я84Е-01
/Км
1
1,
1
2
7
X
5 ,
6 ,
9 ,
1 ,
2
2 ,
2 ,
3 ,
3,
4 ,
4 [
4 (
3 ,
, 2 5 7 Е '- С 2
. 5 13Е->02
.«4SE-02
. 3 02F><0 2
. 9НЕ"02
. 788F-02
.332Е-02
. S 9 (1Е - 0 2
,Ь38Е-02
.Р4-5С-01
,368E-0^
, 627F-»0 t
,976Ег01
,394Е"0*
.848Е-01
,203E»0i
. 5 0 7 Е п 0 1
.659Е-01
■"ЗАЕ-01
1
1
2
2
3
3
4
5
7
1
1
2,
2,
2
3
3
д,
4,
3,
,591Еч02
,860Е«02
, 192Е*02
,606F»02
.131Е-02
,R26Er02
,570Еп,0?
,694Е*07
,440Еw02
♦ 358Е..01
,842E*el
,087Fp0t
.389Е-01
.78ЙР-01
,243E»0l
.759Е-.01
,19tFi»01
,606F»0l
,981E*0l
365

10.0
9.0
8.0
7.0
6.3
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
■0 .9
0.8
0 .7
0.6
tf.5
Я.4
0.3
0.2
0. 1
ОБЛАКО
MM \
10 .0
9.0
0.0
7.0
6.0
5.0
4.0
З.Я
2.0
1.0
P.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0 . 4
0.3
0,2
0. 1
10.0
9.0
8.0
7.0
6 . 0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0,6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
2.4B6E-08
?tM0ErP4
6. J56Er0«
1 .063E-07
2, 003F-07
4,?22Еп07
1 . 0 1 7 E - 0 6
2.717En06
7.794E-06
3,^59f«05
3 , 817Е~05
4,27ПЕ^05
4.539En05
4.2MEr,05
3.320E-05
1.70BE«05
1,561E~03
L04flE,05
9.820Ен06 .
sSTI
С + 20
2.506E-03
3, 1J0E-03
3,94lEm03
5, 154E<,03
6.964E-.03
9.995E-03
1"', 539E-02
2.65 3E«02
5,545Е*02
1.«67Ep01
2,34ПЕ*01
2,ft02Ew0t
3,36flEw01
3.96JE-01
4.426E-01
4.482E*0t
4,412Ei.H
3,965E*0l
3.559E-01
1.325E-05
2.321E-05
3.741E*05
5.535E-05
l,*27E-04
2, 135E-04
5.211E-04
l,A09E-03
6,863E-03
6,*39E-02
7.780E^02
l.038E*0l
1.362E-01
1 .760E-01
2,087E-01
2,205E*01
2, 130E-01
1.858E-01
i,808E~01
.1ИЛЧЕНИЯ »ГРЛ» « В
2,49 6F-0P
3, 8?5E-04
6, 109C-06
1 , « 4 3 E - Я 7
1 , 9 3 7 P - Я 7
4 , 9 8 9 E - 0 7
9,348F-07
?,424E-0 6
6 , 7 7 1 E - 0 6
2 , 9 ft fl F - 0 5
3 , 1 Я 9 E - 0 3
3 , 7 3 1 F - 0 ч
4 , 1 Л 4. E - 0 *
3,9fl7F-0<;
3,^4^^,-0^
l, 6 a 7 f - о :>
1.53ГЕ-0Г
1 , 0 3 3 E - 0 5
9,726F-06
Q.-4,70E<
♦ 10
2 , 470Ert0A
3.749F-0P
S , 9 5 7 E - Г Р
1 . «7 0 5 F - 0 7
1 , f? 2 8 E - P 7
3.6 67F-07
8,263Е"07
2.0б2С^рЛ
5,^87Ft06
? .7 ЦЕ-7*
2,54TF-g«
2 , 8 7 9 П -. 0 *
3 , 1 4 4G -P *>
2 . 992Frr0'->
2.7 17F-GS
1 , 2 4 2 F 10 ?
1 . Я29Е-05
1 , 146F.1-05
8.457E-0 6
•03
0
ЗНАЧЕНИЯ »Г0» - В
3.062E-0 3
3,762E-03
4,723Eir03
* , П 2 Е «• 0 3
8, 189*103
l.i52F-02
1,71?F.«02
2,Л2лЕ-д2
5.371E-02
1,836C-01
2, 176Fn<01 •
2й575Е-01
3,2jeE-0l
З.Ч43Е-Я1
4.361E-01
4,49lE-0l
4,43lEr0l
3.961E-01
3.559Е-И1
3, 85JE-03
4.707E-03
.Ч.849Е-??
7, 454E-03
9.756Е-0Ч
1,327E»P2
1 . 898Er(??
2."67E-02
4,P7?E'"07
1,428E-01
1.703E-01
2 . 088E-.01
2. 634E-01
3,32lE-pi
4,088E-01
4.520E-01
4, s43E:r£l
4 , ! 5 6 E т г 1
3. *7<?Е-0 1
ДМАЧННИЯ »ГР» - P
1,3168-05
2 , 0 0 2 r - v) 5
3,70lF-35
5,439Е-Я5
1,*03F-H
2,06iE-04
*,940E-*)4
l,4e6F.-03
6, 164Ei03
5.5J5E-02
7,2l5F-02
9.561E-07
i, 2 e 8 f. - 01
1 , 6 8 3 E - 0 1
2 , 0 5 91 - г 1
2,?2*F-0l
2, 15f?E-01
1 ,56lEr0t
1 , 806Е-Г01
1.294E-05
1 , 9 6 2 E - 0 5
3 . 1 15 E - 0 5
5 , ?. 5 7 F. ■« 0 *
9,*67F*05
1.935E-04
4,5 2ЛЕ»04
1.312E-03
5.372E'03
4,5Ц5*й2
5.995E-0?
8. 1 HE-02
1. 134E-01
1 .572E-01
2,048E-01
2 . 427E-01
2,398E-ei
2.023E-.01
1.798E-01
I'M
2
3
5
9
1
3
6
1
4
1
2
2
2
2
1
8
1
\
7
Д5/
ДЕ'
.386E-08
.584F-0B
,^31E»0P
,268E-08
.654F-07
.2 10E-07
, 940E-07
.682F-06
,756E-06
. 963E-0 5
.309E-05
.580E-05
.722E-05
.553F-05
.766E-05
.«93P-06
, 0 8 I F - 0 5
, 2 5 2 E - 0 5
.864E-06
"10
KM
.983E-03
.991E-03
.307E-03
. ?90E-03
. 147E-07
. 189Г--02
.973F-02
.715E-02
i я 9 9 E - 0 2
. 122F-01
.487E-01
. 80 5E-0 1
.244E-01
.851E-0J
.621E-01
.354E-01
.712E-F1
.2MF-01
. 5 5 f, F - 0 1
<4
.246E"05
,872F^05
. 946E-05
. 389Е-Я5
,744E?-05
, 726E-04
.927E-04
. 10еЕ-0з
.^55F-03
,368Еч02
.717F.-02
.723E-02
.?45E»01
. M3E^0J
.972E*G1
. 5 1 1E»0|
.71ЯЕ-01
,: ^ 9 7 e * 01
•T34E-01
2
3
5
e
l
5
5
1
4
1
1
2
2
7
1
в
1
1
7
6
7
8
1
1
1
1
2
3
8
1
1
1
7
3
4
4
4
3
1
1
2
4
7
J
3
9
4
3
4
л
9
1
1
2
2
2
1
19ЛЕ-0»
,249E~tf8
002E-08
,l09E-0«
4 0 4 E - 0 7
124E-07
579E-07
363F-06
087E-06
М7Е-Я5
, 92 9E-05
.717E-05
,40f>E-05
,343E»05
.664E-0?
.260E-06
,139E^05
.329E-05
.508E-06
-20
.350E-03
.414E-03
.726E-03
.036E-0?
.249E-02
, 50 6E-0 2
, 8 0 4 E - 0 2
.254E-02
, 130E-07
,640E-?2
. 184E-01
.475E-01
.876F-01
►469E-01
.263E-01
.224E-01
f755E-0 1
.312E-01
551F-01
, 147E-05
,698E^05
, 6 2 4 E - 0 5
.278Е»г-5
.491F-05
.685E-04
«224E-04
,725E-f4
. 1 44E-03
, 6 6 6 E «■ 0 2
.847E-07
,711F,02
, 3 4ЯЕ-0 7.
«344E-01
.902Е.Г1
.594E-01
.914E-.01
.225En0l
,738E^el
366

СО
rrirfctttrfctirrFCrCF
LLi UJ LU U» U» LLl L l LLt U.' LU UJ tU UI LU LU U.1 LL Lb* LU
ir<;iSj---«m»-t<cmoc^cr>ir>rJCs'iri>ccc -^C;
СГ-^IT (V MCS'^'-'^O nejIfiMdNlAr^
—' «-< CSJ (N» K\ *? if Г» —• Г-. Сч К\ КЧ ^T If I <. <j lf\ 4"
t
I » С к f к
& r t i- i.
juaiuJiL'uju-'iijaJUJijJujaJUiLuujUiLL'u
\ «Г, С) С IS ОС ^ О Г r-O^CCN^iriflCCtblTi
[•*К*0>ОМО(ЛМ^1П1Л\ОЛЧ'>0'СО>
• « «S <S. *i- Ci tS. C5-IS. GitalCJ
LU Ul U; Li U! U' LJ U lil UJ >U UJ U» LU LU LL' LJ UJ LU
со со c- in «-« c: ее \С ст. сч '. г k^ ifi c\ г «-• и с<
?; ю <с ^ о w с яг-, «г с. «г <^ «с> сч а. <?■ а ^т со
Л" О (S 14 G W С, fi G Ь; & Ь. 5» 5* ГМ t-. S G Ci S
<■ I I t I t I I I I I I I I I I I I I I-
jTii.' u.» U.' t_J 1Л> VU. Ll_- L'l U' a. L^." U.» ^J VU LU UJ LU U.« UJ
' Г, vC СГ К> 1Л iT t> О Ci K- f-- Г- ГЧ i/i <"J О С* Г- Cn- Г»
сч!Ч/С-ог'лссг'лгц-«г-~ —« «i, ч" is 1ч ч, ее (С i*- О»
Ki»-<irc-r-err^K и-', r^ •- «r —» ч: о о* r» cv r-
CN »-i w ^ CS K> tf- О •»-< Ki ^Г V IT. «1 tf. IT IT »Г <Г
I I I
■ » (s. G' Cj «.. 6. 6j fa N e*
* r
liiUJUiLuluLuLJaJajUjLJiUUiUllIU; LJ
«3 s? CC Г-Л Г- К\ <3 и К\ н |гцп ^ МП К. P.
Сч С О 4J4>rvCSP^KvOCO»4i>OtOQ4?4i
<: с с, cc li « if с- <• €Г сч г* <ч г- е. о- г-
КГ СО
г»- сь
см г»
—<<^сч;**\и"\ео«~«к\'т 91лт<с«1Л1Л1л<г
чг -н
2Г - . . . « • « « « • •
t«accr^<om4-nw^is<si5i5iscss
CS -«
G: б>

t I I I I I 1 tlltllllll»!
tl> Ш lb' U U.I Ш ID U til Ш Lb U( tu UJ UI Ш (U Ш UJ
мг«о>1РЧ'№к\е«с^«гчСчс1г;о'(гч)
m w ^ к к\ ^ o> *c an rj v г» is, tr. g к >o ^ ^J
Г^Г^^КГ-Ч5^0*»ГЧ1Г11Г. IT. tfi ^ « « \u ^
Ш Ui Ш Ui U Ш LL Uj UlUjUkJUIUiLbUJUjUJUJ
и vO Ю tO S 1П Г, vCC4r^r-^»f^r^Of^K«O0C
ir. or — cn f\ -c со »-< к. «-* T-«
i Г» СЧ I*'i !Л ^i Г» М
—» -« —с CN CM К. <Г .Г. Г- —.,-.-♦.-»,
N (4 N N Г»
I
t I t К
E Г ► К Г Г
UjUJliJUJU/UJlUUiUUtiJL.iU:U.lli)U.'UjLJlL
«C —-itiOOeor^—•НЛО^ГК. ЧС ■—« vC K> l*"i f*N »-♦
s Биле ш ч \о»к\ттк>,«сг»гч»к"»г*т,сг
Г^1Г\Г-чО»Г\1ЛГ-»»-* —' N K\ Г> N K^ IS «C vC W
' О О О О ^
it •
V. «О
t l l l l k I i i « i ; 4 t г а . : t
w ^ e »f\ s o> о о е со r > is. ms, мп n ir.
NOSSONCM^O CN UJ KN ч$" CM <C Г-- CO CN
^ т г a « t: г» (Г ю u\ a: •* in is: л (л \с ч
I
»
t
I I
I I
IUJUUjUJUiluUiUJU.U!UJU:iUU.ULJU;UI
rJlfHSSTIU«WW4VN«-iH4)(0<C'N
V h NlO О Q) 4 OlAlOO'^^in^hMfl
st'»ss,stas.tss;spi<ae;(s<s<siKiaG
I
r- v »
» I I
Ui LU Ш 1L Ш Ш uJ Ui UJ Ul UI Uj lb Ш Ш Ш Ш UJ Ш
О •<) *? «S Г»Ч3 1Г. IT\»^nO>0>M(Si»-itOO >0 •**
>0Г^*-сг^С*1Е;>О1Г."Э-Г-С0Ч-К\е0еРЧЭ»С>е»Г\
cs о- *> «~ о >c cs in с»- ,«-\ т ir it. гл сэ гч ее с: to
О «^ N I
;W>'i^rtrtNNlOK\K\MN
4»-<^»-<NNft4>0£b
чп jg N N N И I
<ч
■Tl —«-«-- «
*-» ON (О I
со <з-
(С T »<i С', Г'.-К, I', MCNfM^-'»H-<^^w»4^w
UJ UJ U1 Ш 'oJ Ш 1L' L!li' UJ Ш Ш U) UI Ш UI Ш U U
* ило*~>со--«**чсм-чаэе*о-*г-»ог^г^>с»->1.г.
О, 1Л Si ч CM L r-»«TG.'C-CS.'^t>mCOVCCvrvK%r-
L. »Ti Ь Ч. О К, О —* C~. ^ 1П (Л Г- « IT. С>-н Е «С Т
k 1^ L I t I Г
tV G- Ci Ci. Cv
С 1 I
t
r
ш u.' ш ш ш ш ш ш ш ш ш ш u: u: L' iu u.* u; \x>
ft IS CD^N -1 tb >C V. Б; Л Т V nC С ил МЛ & (N
снл»сзпл^^м2Г^^«а1п«з-*ог^очС5<слсь->т
L «• МГ О 1Л 4- h ft С; С «Г СЧ V «С ОТ О О Г^ У"\
%0 •«-» »t СМ <
«О ^ N V ^ »н .
СМ СМ СЧ »Л (О CV Csl
О^ _ ^ _, Сч; ^ ,; 0<
I <N CM CM t4 IN i4 CN» CV CM
ш ш и» и uj u: uj in u- 'j' и и и.: ш uj ш ы ш и*
: n if» is; ч) v о ао ki г» ч r% k-i -ч- «г о г* cn г* •-«
u)sjoo>&vmtinp;hN'C —• «-• кч со г- тг
— К\ Ki Ю К, О . Г^ — .-• tf\ *5 Г~ Г~ ч? Г. О СО О К"
ГчК\1Г. СС'»н^С\Ч-Г-»-<нг1<н- t —« p- sC Г^ IT
X' UJ U.' U, О. U
чо ч» г- st cn
Г- С С 1^ «Г»
I
L 1
I I I
UJf Ui UJ UJ LLi U» U» lAJ Ui U- UJ U: U» «J .
If, ^ О M5 Ь Г» MI ч и С С CN
Ь K\ й О» M U't Cj Ч Л 43 T •« Cl C>
ч-см—''с-'«чзоеч1Г»соосс1Г*г
г t t t
I
I
t
I
.a-U'LuUlOjUlbulU'^iulLbU U.'
K>tf\^K\Cr*v^ С MP Г Ч (Г С Г* СЧ Ч~
» <i к> wo ч с си см aj u\ *■* r- *r Си чт г» cn t>.
IS.. Kv Г- Oi -- IT. <Г т« (M С * Ю С —' (S О Г- I*"
Ч? ч »<Сч T Г>
. сч -с- •»-••«-» •
' (S CM W N Сч С\ М
С©.-»*-*-*СМ?Л«ГО-~*СМСч:СМСМ»
к\ г\ см сч- см
lu ^ r^ г^ f>. >с с ч) vr чг ir ir» ir, х ил ir \о ч. о о
«X » I 1 I I V 1 t I I I I I I I I I I I
I Ш Ш UJ li. UI U u( Ш UJ k, U. U iLHiJ l: UJ U_ Ut U'
r.< c- сч o- a: ir. к. r» r^ гл f\ и —• *o г> о г~ и, к. г:
in о •* r- ui о '-'сч—'чгг^г^сч^ек-сми-г^сч
ir» >с ос сч чг ^* см о «л б —♦ сч к- —• >т- а- о- f^ ст.
CV f» «Л О "< О К\ «■ СГ- С» CW Сч СЧ- W —• О О О 1Г
I» К О ^
VmiOn^nNNNWH^nw,
Ш U Ш UI UJ Ui Ш Ш Ш IU Ul Ы (L' UJ Ш UJ UJ U! UJ
м>«сг*ч;мо^с.м »^inKMfiirt!>.\oif\ir
—• «С в* О СЧ IT. ОС СЧ Ч »^ CS' »■» Сч чО Г^ —«СЛЧ-С-
ot>Nf*4;<oc4rff(f ms> № о с о мг, ч
i i I
to r г с f
V Г
<_- ts> к la
r r r i-
t X
Ш Ui Ш U LJ Ш Ш U) Ш lb U! Ш IJJ !U !D UJ Ш LU Ш
MCKK,<Tf«C4Jir сьс-^сч,е:г»смс»%С1Локч
JO^>CVJCOC?itS:i^l^r<r>£jr^«nM-r^K>vr-C4G.
•^es v r^ «
счч- -^в^смсчсмсмсчсчсчсч;
f- О — -
CSCN'O- <,-^C4JC4JC4JCN«(OrirOC4JCJC4
UI U U) U» Ш Ш Ш UI UI Ш UJ Ul U' U' 'JJ Ui U UJ UP
чл^гм>мг^см&мьк\ой ^ ь
CLOcr'«o»r>r^*rr^m«-*rrvip. к\ ч- ч; ^ «г ч- cc
ir, с - со ir, r ir. »r cc r> т v. it. c; r^ Kfhr
СЧК-. 4:0 »-*t>Jnin OC4CNCNWCV*4«r<OV. «ГЛ
51 O- » h О lf> 4 lAMtSiGGKGibGSiR
с s e о с ь 6) ь к t. ^ с/ h « it fft л и
Ь (Mt' Г> « IT 4 KiWwCitiliC>C 15. il>. bi «Ь.
ь о «о i> 4j it. 1 гл сч «-fc s б s is es: к Б. ь

ORflAKO
MM \
10. Я
9 .0
8.0
7.Я
6.С
s.e
4.0
3.0
2.a
t.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0. 5
P . 4
0.3
0 .7
7. 1
10.0
9.3
8.0
7.Я
6.0
5.Й
4 .0
3.0
2.0
1 .0
0.9
Л.В
Й.7
0»6
0.5
Я. 4
0.3
0.2
(5. 1
l0.i
у.в
8,0
7.0
6,0
*•*
4.-0
3.0
2,0
U0
0.9
0.8
в.7
И,*
0.5
0,4
0*3
0.2
0.1
CU HUM!
С +20
3.973Е-Э5
4 ,о 1РЕ-0 5
6,7 1 1Е-05
8.P93F-05
1.091F-04
J . Ч 4 9 Е - 0 4
2.354Е-04
3.964Е-04
7,984Е*04
?,927Е*-33
3.S99E-T03
4 , 4 18Еп03
5,!?34Eit,03
6 . 786Е-03
7.909Е--3 3
«.Я97Е-ЯЗ
8,0^8Ечг(?3
7 , ? 2 1 Е ч 0 3
6,43 8Е-Я3
1 . 154Е-07
1.7S5E-07
2.В0 5Е-07
4.764Е-07
8,775Е«.07
1.802Е-06
4 , ч 2 4 Е •» 0 6
1 . 3 2 J Е * 0 5
6 , 1 4 6 Е 10 Ч
7,737Е«-04
1 . 0 6 0 Е -р 0 3
1 . 5 0 7 Е - 0 3
2, 120Е-ЭЗ
7,Q28F^03
3.693Ег.03
4.C09Ei-03
3.913Е-03
З.ЗбЗЕ^З
3.246Е-СЗ
3.961Е-05
4,90СЕ«05
6. 182Е*05
*.045E-fl5
1.Т82Е^04
1 , 5 3 1Е т 0 4
2.3 1 1Е-104
3.832Е-04
7,369Е-»04
7, 1 5 3 F. - С? 3
Р.ЯЗЗЕ-ЯЗ
2.911Е-03
3.415Е-03
З.П58Е-03
4.717Е-03
4.088Е-ЯЗ
4. 155Е-03
3.858Е-03
3. 192Е-03
4,
6,
7,
9,
1.
1 1
2,
4.
• 7,
2,
з,
з,
5,
6,
• 7,
«1
8,
7 ,
Л,
1.
i
2,
4,
«,
1,
4,
1,
V
*.
9,
1 ,
1
2
5
4
3,
з,
3,
4,
5,
7 ,
«,
1.
1,
2,
4,
7,
2,
2,
2.
3,
^
4,
4,
4,
з,
з,
Q=7,71E-
+ 1И
3HA4F4H
, 9 Г К - 3 5
^lPt-^S
531Е-Л5
, 7 1 4 F - ■ J 5
, 2 9 6 Г- - ) 4
, В 1« Р. - И
, б 6 >'• Е - > 4
,7**F-34
,« 7 4 р - г 4
I719F-23
,7055-3^
f999E-33
,74^-43
, ^ 6Г>е - я ?
, 7 4 Р с - * 3
, 10бЕ-*3
, 1Р5?-зч
, 7 1 " Р - ■* 5
, 1 ч q Е - ,> 3
сз
Г
Я »Г0» - R
6 . 2 1 5 Е * 0 5
7. «587Е-0*
9 , 4 1 1 F - 0 «5
1 , 196Е-Й4
1,?6(яР-г4
? » 1 09Е-04
2.Р84Е-04
4, 1 0 9 Е -»0 4
7. HjE-f 4
2 , П49Е^0^
2 , 482Е-0Ч
3. 12АЕ-03
4.089Е-04
*S , 407E-04
7,ч57£-еЗ
Ч,Чб?Е->03
8.731Е-03
7.655Е-(?3
6.4ОЗР-03
3 »■: А ч р Н И Ч »гр» - з
, 147?- 9 7
, 74^F-^7
, 7 7 7 Е - Л 7
, Лр «^F - 17
, *?e4E-^7
, 7 4 S с - я 6
, ! 2 7 t - 0 6
, 2 ? 9 С - ,Э 5
, 5 1 Я с . ,, j;
, 97 7F-04
,*77Е-,$4
, 3 6 ? Е - 0 3
, 9 Я 4 Е - 3 3
, 7 Я я Е - 0 3
f M6E-03
9049F-03
, 9 5 4 t - 0 3
, -^б^Е-гз
,? 4 1 * - 0 3
ЗНАЧЕНИЯ
,89^-35
, 9 9 3 г - 0 5
, *5 0 4 Е: - 0 5
, 6 6 7 Е - 0 5
i 2 8 7 Е - 0 4
, 7 9 3 F. - 2 4
,6275-04
, 163Е-Э4
,273Е-04
,0?7Е-03
, 3 2 8 Е - 0 3
,6376-03
,261^-33
.785Р-03
, 1 3 2 F - Я 3
, ^ 5 6 Е - 0 3
, 1 5 1 F - 0 3
, я /5 5 г. - 0 3
, 1?*£-03
1 . 128Е-07
1,706Е-07
?,7И0Е-е7
4,53lE-f7
ч,205С-37
1 , 6Л4Е-0*
3,В00Е-0б
1,?95Е-05
4,77ЯГ-0?
5,453Е-04
7,6 67Е-0 4
1, 10«5Е-03
1 , 660E-I03
2 . 4 7 7 Е - Я 3
3.434Е-03
4,358Ei»03
4f4-,0£"'(,',
3,773!:^^3
3 , 2 3.5 F. - 0 3
• 10
дв/км
8,
9,
1 ,
1,
1.
2 .
з,
*,
6 (
1 ,
2,
2 ,
3,
4 ,
5 ,
7,
9 ,
7 (
6 ,
.092Е-05
,719Е-г05
, 184Е-04
, 4 7 0 Е п 0 4
,848Е-'04
,387Ег04
, 13?Е-»04
,219F:*04
,^13Е^04
Л20Е-03
, 106Е-03
,6 13Е-03
,366Е^03
,477Е-03
•017Е-03
,йЗЗЕч>03
,512F^03
, 78 9Е-0 3
. 4 3 7 Е - 0 3
а б / к «
1,
1
2 ,
4
7
1 ,
3
9,
С
Ъ ;
7
J,
1
2
3
4
4
3,
з,
»ГП» -г R Д Б /К*1
6,2?3Er05
7с57(?.Е-е5
9,4S4Ew0S
1 . 192Е^04
L552E-04
2.?93Еч04
2.94бЕтС14
4,300Е-04
6.6б4£г0 4
1,503Ег0Т
1#71бЕт^З
2»(521Е-03
7,4 30Е-7 3
2 , 9 3 1 Е - 0 3
3,5 73С-»Э*
3 , 7 11 Е - Р 3
3 . 8 3 1 F. - 0 3
3,982Е-0 3
3,248Е-03
8 ,
9,
\t
1 ,
1,
2 ,
з,
4 (
5 ,
1 ,
1 ,
1 ,
1,
2 ,
2,
3 ,
3 ,
3 ,
3,
,^87Е-07
, 6 2 9Е-07
,.,»56Е'"07
.227Е-07
.521Е-07
.474Е-06
«317Е-06
,3i6E-06
, ? 8 4 Е " 0 5
;?3S£-04
. U3E-04
.0 19Е-0 3
,475Е-»03
, 187Е-03
„2UE-03
. 403F-03
, 9 3 4 Е - 0 3
t ^»4сте -03
, 144Е-03
. ^8 1Е-05
, 703Е-05
, 1Э1Е-Й4
, 465Е-04
,8 40?-04
,372Е-04
, л 9 р. г. - 0 4
. 1 2 6 Е - 0 4
, 6 0 5 Е - 0 4
.017Е-03
.3 955-03
.S94F-03
«О97Е-03
.789Е-03
.796Е-03
,23?Е-03
,528Е^03
, *^49Е-03
■288Е-03
1.
Ь
- 1,
1 ■
2,
2,
7,
3,
4 ,
1,
1,
2,
2,
3,
5 (
^ ,
8 ,
7 ,
6
1
1
2
3
6
1
2
7
■ч
4
5
Л
1
1
3
4
5
4
? |
1,
t_ ,
1 ,
1 .
2
2
2,
3
4 ,
7 ,
1 ,
1,
1
1,
2
2
3,
3
з,
-20
,035Еп04
,20ПЕ-10^
» 4 2 0 F - Р 4
.6 62Е-0 4
(012Е-04
i4 16E-04
, 8 8 0 Е п 0 4
,518Еп04
►Я41Е^04
» 1 4 о Е 1- Р 3
.642Е-03
,08ЛЕ-|(«3
.734Е-04
.761Е-03
.265Е-03
,298Е-03
,531Е*03
,99^F -03
«421Еш03
.001Е-07
,48ЯЕч>07
• 2 8 11 - Р 7
« 70ЯЕ-0 7
. 4 6 5F. «0 7
, 4 4 0 Е - 0 6
.7 4 4Е- 0 6
, 7 8 3 Е - 0 6
. 5 6 ПЕ »,?f»
, ? 6 3 Е пг •? 4
,824Е«04
, 5 6 3 F. - 0 4
.275Е-ПЗ
. 9 7 t L •. 5 3
. 7 1 1 Г. -• 0 >
, 471s:-03
. 3 2 6 с - Г 3
» 2 1 3 Е * ^ :
. 1 ПЕ-СЗ
, 0 3 1Е •> Л 4
, 2 0 6 F - 2 *J
,417^-0^
, 6 7 9 Е - 0 4
, п е 5 Е - ?■ 4
. 4 г 2 Е • 0 -5
,AS3E-^<»
, 4 4 Л Е - 2" 4
, 1 8 4 S - М
, 3 8 3 Е - 0 4
.060С-2 3
,7 23Е-0 3
,459F-i?3
. 7 9 ^ Г: - 0 3
,254»!-{!3
•927Е-03
«205Е-03
.777Е-03
.307Е-03
24 Заказ № 124
369

10,
9,
8,
7,
6,
5,
4 ,
3,
7,
1,
0,
0,
0,
0 ■
0 ■
0,
0 ,
0 ,
0 ,
.0
.0
.0
.0
.0
. 0
. 0
.0
.0
. я
, 9
.3
.7
. 6
.5
.4
,3
.2
. 1
3,
5,
9,
1 ,
. 2,
6,
1 ,
4 ,
1 ,
1 ,
2 ,
3,
3 ,
3 ,
э,
1,
J,
7 ,
«,
,940Е»И
, 966Ег. 1 1
.55PE-U
«619Е-10
,*73F-U
,^76р-10
, 4 4 ft F. - 0 9
.337F-.J?
, о и f. - :п
, Я 9 6 F -. 7; 7
, 4 4 ? z - 0 7
, Л95Е-07
, 74 1Е-07
.901Е-07
,365Е^07
.522Е-07
, *78F-07
.048Е-08
,flflRF»08
3,
5,
9,
1.
2,
5,
1,
4,
1,
1,
7,
2 i
5,
з,
з,
Ь
1,
6,
я,
ЗНАЧЕНИЯ »ГРЛ» - В
,92^.-11
.949L-H
,467Г-Ц
,?9^F-10
,017F.-1P
,9?SF-10
, 3 ? "< 5 - 0 9
, "1 4 •"• Е - 0 9
, 7 1" F - 0 в
,49^-37
г 1 7 4 F- - г 7
, 7 КЕ-07
, 143П-^7
, 711 е - г 7
, * 5 6 Е - 0 7
, 45 1F-07
,я4 4 F- 0 7
, 9 9 3 Е - Я 8
,*2 1Е-08
3,
5i
9.
1 .
? ,
Я,
1.
з ,
1.
1.
1.
2,
7,
2,
2,
9,
6,
5,
7,
,8695-11
, е 4 6 б -11
,?4рР-1 1
.54РЕ-10
, 794-:- I*
,^773-10
^ 9 7ft1: -09
, 5 9 я £ - 0 9
, 4 7 .S Е - 0 8
, °77Ei07
► ft5?.E-07
, 12PF-07
, Л30Е-07
, «0ЛЕ-07
, 1 7 5 Е - 0 7
, 972£-08
, 2 8 ft Е - 0 8
,MlE*0«
, 115F-08
1/м
з,
ц
Р. ,
1 ,
2 ,
4 (
1 ,
3 ,
1,
1,
1
1,
2 ,
7 ,
1 ,
ft ,
б,
9
ft
.732Е-11
, 59 IF- 11
.760Е-П
, 446Е-10
, 464F-10
, 9 9 8 F. - 10
, 1 14F-09
, 064.Е-09
, 26ЯЕ-0Я
. 137Е-07
.S06E-07
.910Е-07
.301Е-07
, 449Е-07
, 7 7 7 F - а 7
, 120E-08
.364E-08
, 702F-08
.730F-.08
3
5,
7,
1 ,
2
4
Q (
2 ,
1 ,
9 ,
\
1
7 ,
2 ,
1 ,
4 ,
6 ,
1
ft
,440E-lt
.081E-11
, П 2 2 F. - 1 1
.769E-10
.2 06F-1?
, *? 3 "^ E - 10
► 7 2 l F - 1 0
, з 6.,«-: - 0 <>
, /»99E ~0*
. 439F-08
. ? 5 ft E - 0 7
, ft 4 0 F - 0 7
.^3ft!7-07
, ? 6 я F - 0 7
, "* 0 2 E - 0 7
, 86 7E-08
.969E-08
.060E-07
, 4 4 9 E ., ? 8.
0 S Л Л К о
мм \
10.0
9.0
8.0
7 .0
6.0
5.0
4.0
3.0
7.Я
1.0
0.9
0 . 8
0. 7
0.6
0 . 5
0.4
0.3
0.2
0. 1
10.0
9. 0
8 .Я
7.0
6 . 0
5.0
4 . 0
3.0
7.0
1.0
0.9
0.8
0,7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
% 1
CU МЕР!
С
1 ,
1 .
2,
3,
4 ,
7,
1 ,
1 .
3,
•» ,
6,
6 ,
7 ,
7,
7,
7 ,
7 ,
6 ■
6 ■
7 ,
1,
1,
3 ,
6 ,
1 ,
3,
6,
1,
2 ,
2,
2 ,
3,
з,
3,
з(
3,
3i
■ж
+ 70
.436Е-03
,А34Е*03
, 407F-03
, 2 5 4 Е - 0 3
> 5 2 5 Г - 0 3
.037С-03
, 1 4 7 Е - 0 2
, 9 0 4 Е - 0 2
, 17*F-02
,389F*02
.274F-02
, 707F mr»?
, 122Е-02
,<1Р6Е*02
«623F-02
, 499Е-02
,21ftF-02
.672E-02
. 171F-02
.712E-05
, 2 0 1 F - 0 -1
,976E*04
, 483E-04
, 6 8 5 E * 0 4
, 403E-03
s07lE-03
, 182E-03
, 146E-02
, 5 0 1 E - 0 2
,704E^02
,9895*02
,260F»02
,?44E-02
,Ae6Ew02
,680E^02
,534E^02
.295E-02
.235E-02
1.
1.
2|
3|
4,
7,
1.
li
3.
•5,
6,
*,
6 ,
7,
7,
7,
7,
6 ,
6,
7,
1<
1,
3,
6,
1,
2,
5,
li
2,
' 2,
2,
3,
3,
3,
3,
3,
3 ,
3,
Г. г 1 , 5 1 E i
-• 1 0
-03
с»
ЗНАЧЕНИЯ »Г0» - P
, b 2 7 f- - 0 3
,^21F-03
, 49ft^-03
, 3 6 5 F - 0 3
,77lEr03 .
, 7 7 0 F - a 3
, I64E-07
,897F-0?
. 0 6 9 F. - jj ?
.709E-37
,09^-0?
,4?7F-a7
,9975-0?
, 3 9 1 F. r 0 7
, ft 0 7 E - 0 2
,^2l£-07
, 7 3 3 P. - 0 7
, 6 7 Л Б - Ъ 7
, 121F-2?
1 ,Л85Е-0Ч
2 , 1 0 9 Е - 0 ?
? , 7 0 Ч F - С 3
3.3 99С-0Ч
5 , 3 12 Б " 0 3
7.415С-03
1. 163Е-0?
1 , 8 3 3 Е - 0 7
2.П87Е-0?
5, 197Е-07
5 . 5 9 1 Е - 0 7
ft,П46Е-07
6.5 94Е-07
7, 14зЕг(57
7,56lF-e?
7.673Е-07
7,4176-07
6,787Е-07
6,J32E-02
ЧНАчЕНИЯ »ГР» - В
.596Е-05
, 177F--04
, 92 8 F'-0 4
, 3 7 4 F - 0 4
, 4 2 5 F - 0 4
,ЗЗ^Г-03
, 90 5F-03'
,813Е-03
, •"" 7 8 Е - 0 7
.398Е-02
,ft76F-02
.90U-02
, 1P4F-02
,4ft9fc-07
, 673Е-02
,699Ет02
,543F-02
, 3 0 2 Е - 0 7.
,?3 J E-02
7 , 115 Е » 0 5
I , I 4 т F - 0 4
I,853E-04
3.706E-04
6.M0E-04
Ь228Е-03
2,635F.-03
5.3HE-03
1 ,013E^02
2.271E-02
2.515E-02
2.7 92E-02
3, 146F-02
3.527E-07
3,792E-e2
3.O39E-0?
3,74ЯЕ-07
3,326E-07
3, 19PE-0 7
-10
AB/KM
1.967E-03
2 .417E-03
3,«37F-03
3.f?3lE-03
5 ,?7(1F-03
7 ,<*5 tF-03
i. 10 e e - 0 2
1 .^B9F^02
2 .-6 4 7 F - 0 2
4 .929F-02
3.385E-02
«5.816E-0?
6.286E-0?
6,?28E-02
7 , 3 6 5 E - 0 ?.
' . 6 9 P. F - 0 2
7.M3F-02
6 , 8 2 6 E - 0 2
6 , 1 1 6 E - 0 2
Л Б / К И
7,^88Е-05
1 .^80F-04
1 ,73*Е-04
2.933Е1-04
З.^бЗЕ-04
1 .Л6ЛЕ-03
2.2 62Е-03
4,729Е^03
9,765Е>03 .
2.445Е-02
7,571Ег02
2.Я73Е-02
3, 18бЕт02
3,566Е*02
3.953F1-02.
4;)Я9Е«-02
4.046Е-02
Э,364Б-г02
3.148Е-*02
2 ,
2 ,
3 ,
4 ,
f5 ,
7,
9 ,
1 ,
7 <
4 ,
4,
5
5 ,
^ (
7 ,
7 ,
7 ,
ft ,
6 ,
Л ,
9 ,
1 ,
7 ,
4
1 ,
1 ,
4 ,
9
2,
7
2
3
3,
4
4 ,
4,
3
3
-20
.338В-03
.782Е-03
,360?-03
, 141Е-03
.252Е-05
«419Е-03
,6lftE-03
.457F-P2
, 3 8ftE-02
.457Е-02
.925Е-02
«392Р-02
, 9 0 ? Е - 0 ?
.538F-02
, 175Е-02
.712Е-02
.72<Е-02
.894Е-02
. 1 12Е-02
.469Е-05
,ft9?iE-05
.518F-04
,515Ея04
.475Е«!?4
.035Е-03
,8б1Ет03
.275Et03
,990Е»03
,436Е«02
,526F*02
.«43Е-02
. 198E«02
,642Fi02
,094E<»02
, 4 3 4 E ^ 0 2
.295E-02
,442F,02
,126E^02
370

ЗНАЧЕНИЯ »ГП» - В Л Б/КМ
10..
9,
8.
7,
ft «
5.
4 ,
3,
2,
1.
0 ,
А.
0 ,
0 ,
а,
0,
и,
я,
0
,0
, 0
■ 0
,0
,0
,0
,0
,0
. 0
. 0
, 9
,8
, 7
• ft
.5
.4
т
,2
. 1
1,
1,
2,
2,
3,
5,
в,
1.
2,
3,
з,
3,
3 ,
з,
3 ,
3
*,
3
2
,359Е-03
,7НЕ-03
.204Е-03
,О0*Ег,03
,95<£.F^03
.А29Е-03
,39RE-03
.2О6Е-02
,024Е-02
, з а я е - 0 г
.57ЯЕ-.Я?.
, 717Е-А2
,Ч62Е-«!»2
, 9 4 1 Е «* 0 2
, 9 3 7 Е - 0 2
. Я 1 П Е - 0 2
. Л Я 3 К » 0 2
, 3 7 7 Е - 0 2
, ярЛГ-02
1.
li
2,
з,
4,
г><
%
1(
1»
3,
з,
ч,
з,
3,
з
3
з,
3
2
, 4 4 ft E - 0 3
,80 U-03
,зГ*Е-03
, 0 2 Р- £ -. 0 3
i ! 2 р t. г 0 3
, я р 4 Е - 0 7
,732^07
,31«5Р-И?
, 9 9 1 с- - Я ?
, 3 1 1 Г - 0 2
, 1 7 3 F - И ?
, Л 0 7 Ь - Я 2
■ я 1 *'.-п?
,°21Г-Я7
,93^С.0Г
, з ? 1С - й ?
^flOf-L^
, * 6 Ч Г. - И ?
, П 9 Г F - -Ч 2
и
11
/.«
3,
4,
Л,
Я,
1-.
1 .
2<
з,
3,
3 ,
3.
3,
3,
3,
3 ,
2 ,
iMtE-03
,994Е-03
, 5 2 0 Е - 0 3
, 2 7 и Е п 0 7
, 4 U Е - 0 3
, 18RE-07
,993Е-0 3
р502Е-Р2
, Т74Е-С2
, 92ЛЕ-{я?
, ч 7 5 [Т - 0 2
.953Е-.02
, 4 4 ,ч Е - 0 2
,А1АЕгр?
,769F:-02
, 7 3 4 Е - 0 2
, ft 6 Я Е - 0 2
, "61Г-02
, о 3 4 С г 0. 2
1 ,
2,
?. ,
•3 ,
4 (
Л (
9 ,
1 ,
1 ,
2 ,
2
? ,
3 ,
з
5
3
3
з
?
,В97Е-03
/50VE-03
,86dF-33
,<>3BF-03
, 73^F-03
, з а л е - 0 з
. 8 U Е - 0 3
.2НЕ-02
, 6 7 1 F - 0 2
. 493Е-02
, Ч И F - 0 2
, 947Р--02
.09SF-02
. 2 6 7 Е - 0 2
, 4 l^F-02
. 5 0 9 Е -* 0 ?
, 5А7Е-02
.461F-02
. о 6 Р F - 0 2
2.,
2,
3,
з,
•4,
л,
7,
1,
1 ,
2
2 ,
2 ,
2
2
3
ч
3
т
2
.273Е-03
.685Е-03-
•20ОЕ-03
.890Е-03
, Я 0 4 Е - 0 3
, з е з е - е з
, 7 5 5F-03
, 0 2 9 Е - 0 2
, 3 8 7 F - 0 2
, 0 2 0 Е » Р 2
, 399F ^рч2
,54<?Е-02
. 7 1 и F - 0 7
.Я97Е-02
.0Р1Е-02
.278F-07
.42ЯЕ-02
, 4 5 3 F - 0 2
t«8ftr,.02
*» к- ■» чF н и я » г р п » w з 1 / м
10,
О (
я,
7 ,
А,
5,
4,
3,
? ,
1,
0,
0 ,
0,
0,
0,
0,
0 ,
0,
0,
,0
.0
. 0
. 0
. 0
.0
, 0
. 0
• 0
.0
,9
. я
.7
. 6
, 5
, 4
. 3
,2
. 1
2 ,
3,
А,
1 ,
2,
4 ,
9,
i,
2 ,
3 ,
з,
3 ,
2,
2,
I.
1,
1,
P,
7,
, 4 3 5 Г. r. 0 8
, R3PF-08
, 424Е-0Я
, 1 5 2 E - 0 7
,240г>ч07
, A * ft E - 0 7
.633E-07
,ft49E-06
, 1 l*E-06
,П8ЛЕ^06
,154E«06
,027E«06
,R51E-0A
,455E-06
,935^06
,286E*0A
, 176Е-Ч06
,А42Еч07
.A53E-07
2,
^,
ft,
1.
2,
^,
8 ,
1 ,
1 ,
о
2 ,
2,
2,
2,
1.
1.
li
«i
1 у
, 4 3 4 £ - 0 В
, 7 7 7 L: - 0 8
, ? 0 ?': - 0 я
r ■" Р. о r - 0 7
, " 7 Я t. - 0 7
, 2 1 * Г -, 0 7
, ft 0 3c; T|!7
,45 1 L-106
, Я 2 H. - 0 6
, 7 7 '>r - 0 ft
, 7 3 3 «■ - 0 6
, ft 6 1 E - Я ft
, л о лF - и ft
,323Er0ft
, 7 9 Я Е - 3 ft
, 2 4 2 К - 0 ft
, 1 5 ч Е - 0 ft
, ft .ь ft p. - И 7
,5ПЕ-Я7
2.
3,
.5 ,
1 .
1 i
3 ,
7,
1.
1<
2 ,
2,
2,
2,
I i
1.
1 .
8,
Я ,
6,
,-395F.-i?P
, ft 7 4 E r 0 P
, OI3E-PP
, Я 1 2 E - 0 7
, Яб2Ег07
, -ft72En07
t269EnC7
,2l2En0C
, 5 2 2 E г 0. ft
, r« 6AE^0ft
, « 8 2 E - 0 ft
, 0 7 8 E - 0 ft
,"3lC-0ft
, 6 lftE-06
,4l5Er.pft
, ■? 2 9 E - 0 ft
, *4вС-07
r38lEr0"7
, Я 8 Я E - 0 7
?,
3
5
У ,
1,
.4
5 ,
9
J
J
1 ,
1 ,
1 ,
1 ,
1 ,
6 ,
9 (
« ,
•3 ,
.700E-08
. 471E-0P
. 4 8 3 E - 0 Я
, 1 0 0 E - 0 R
. M ч Е - fl 7
, 024E-07
, 7ЛЗЕ-07
. ft 4 4 E - 0 7
.26SE-06
. 9 2 r> E r 0 ft
, 9 2 3 E - 0 ft
.'90 IF-0ft
, 769E-0ft
, ?76E^06
.207F-06
.922E-07
, 499E-07
.832E--07
.CS^F-O?
2 ,
3
a
7
1 ,
? ,
4 ,
7 ,
1 ,
1
1 ,
I ,
1 ,
1 ,
1 ,
9 ,
1 ,
9 ,
r.t
. 103E408
, 1ПЕ^08
,787Ei08
,722E-C!B
,3 17E-07
,917Еч07
,382Е*07
,r>75E-»07
, « 8 * E ■» 0 6
, ft76E-.0ft
,ft29E T0ft
,ft665-06
,ft2 tE-06
, ft 0 0 E - 0 6
, 192Е-Я6
.48ЯЕ-07
, 0 4 5 E - 0 6
«249E-07
, 706E -07
ОЕЛАКп
AXi"
mm\
10.0
9.0
8 .0
7.0
6 . 0
5 . 0
A .0
3.0
2.0
J .0
0.9
0,8
0.7
0.6
0.5
.0.4
0.3
0.2
0.1
с и с nнп j
С +20
3 , 450E-03
6,Я66Е*03
«i, S93E..03
7,4.5 3Еч03
i,Я27Е-02
1 .469E-02
2.210Еп02
3.5 88E-02
6.533Е.Г02
l.«552E-0l
1.717E-01
1.906E-.01
2, 106Ff-01
2,?95Ei-0l
2.402E-01
2,385E«0l
2.308Fr.0t
2.И0Е-01
1.O19F-.01
3,
*<
*i
7,
1.
1 ,
2,
3,
ft,
1,
1.
li
2,
2,
2,
2,
2,
2,
1,
0 = 2.77E.
+ 10
■ 0T
0
ЗНАЧЕНИЯ »Г0» -» P
,73lE-07
,ft72F-43
, ^1 U-03
,^C.lE-03
, * 9 4 F. - 0 2
, ft 5 2 E - 0 2
,29ftE-02
,ft2PE-02
, 29 lb-102
, 4 R 4 F. - 2 1
,ft4 И-01
,PJ7E-0l
, ч 5 С F - 0 1
,253E-01
,3RPE-:0l
.393C-01
, 3 1 5 F - 0 1
, 1C9P-01
,9l9Fr^l
4,
5,
6,
Я <
1.
1 ■
2,
3,
5,
1.
1 .
1,
1 ,
2
2
2,
2,
2,
I.
, 194E-03
,234E-=C3
, ft 8 2 E - 0 7
.780E-03
, 1 8 4 E т 0 2
, 644E-02
r367E-02
, 3 Ь 0 E - 0 2
r816E-02
.281E-01
, 4 2 9 E « 0 )
.614E-0J
, R4oFt01
, 10ftEr;0J
.337E-01
, 437E-01-
,38-3Fr0l
, 16RE-01
,925E«T01
-10
Л5/К^1
4 (
6 ,
7 ,
9(
1 ,
1 ,
2 ,
3
b ,
1,
1,
1 ,
1
1
2
2
2,
2
1
.931F-33
.060E-03
, ft 0- I E - 0 3
, 7 6 0 E - 0 3
,2 7ftF-02
, 707Е-Э2
.329E-02
,30ftF-fl2
. 171Е-Я7
.151F-01
.776F-01
.502E-01
.701F-0H
.946E-01
.214F-01
. 4 19E-&*
,464E-0i
. 18ЯР-01
. ^ iae-« 1
5,
ft.
Д (
1,
1,
1,
2 ,
2,
4 ,
9 ,
1 ,
1
1
1
2
2
7
2
1
-20
,860E-03
,9азЕ-ез
, 440E-03
, 0 3 6 E - 0 2
.294E-02
, 708E-02
,0945-02
,Я46Е-02
.425E-02
.R37F-02
, 163F.-01
,334E-r0l
.S37E-01
.Я05Е-01
, 10AE-01
.402E-01
«503P-01
.221E-01
.91AE-.01

ПГЛПГППГПГПЛПГПГПГПГПГПтГГ. ГПГЛГПГП
О 9 'Л Д vl ^ A.-o*03»OeiSt-»^WJ»Q JO
> i- >0 \Я - кЛЛ\»\л-4ЫЭ0В ^ .£» О «» *S» v^
-л m гл п гп i"n гл /л /л гл 1*л гп rn (л m ti гп ,-n m
i i i i « i i i i i i i i i j i i i a

ОБЛАКО
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0. v
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
' 0.2
'0. 1
10.0
9.0
8.0
7.0
6 . 0
5.0
•4.0
3.0
2.0
1.0
0.9
0,а
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0. 1
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
9.9
Я,Я
0.7
• .б
0.3
0*4
*иэ
.*•*
• .*
CU CONC(MAX
С *20
1,485Е*00
1.843Е+00
2.316Е+00
2.900Е*00
Э,552Е*0Я
4.243Е+00
5.020F. + 00
5.П67Е*00
6.618Е+00
6,444Е*00
А.Ч5ЧЕ+Я0
6.254Е+00
6.138Е*00
5.998Е+00
.5.Я61Е+00
5,706Е*00
5.533Е+00
5 , 3 2 9 Е ♦ 0 0
5,P79E*30
4,229Е*-01
6. 14ВЕ*Р1
8 , Я 5 R Е - 0 1
1 , 2 3 4 Е + 0 0
1 , 6 3 0 E * 0 0
2.036Е+00
2.46 5Е+00
2.921Е*00
3.326Е+00
3,358Е*00
3 , 3 0 Ь Е *0 0
3.238Е+00
3.209Е+00
Э ш 1 4 0 Е * 0 0
3. ЦРЕ*Р0
3,060Е*00
3.003Е+00
2.943Е+30
2.682E+Z5
i .062Е+00
J,?28Е*«0
1 . 4 3 0 Е ♦ g 0
1 , 6 6 5 Е * 0 0
1 .922Е+00
2,207Е*00
2 ■ 5 5 5 Е * 0 0
2.946Е+00
3.792Е+03
3 «* 8 6 Е * 0 0
3,03СЕ*00
2,996Е+00
2,929Е*00
2.Я5Р.Е + 00
2 , 7 4 4 Е + 0 0
2.645Е+00
2,530Е*00
2 ,386 Е + 00
2, J97E + 00
):
1.
1.
2,
2,
з.
«.
з,
■5.
*i
6,
*i
6,
6,
6,
с
-' 1
5
5
5
5
4
Л
8
1
1
1
2
2
3
з
з
з
з
з
з
•»
2
2
2
1
1
1
1
а
*'•
1
3
3
з
3
2
2
2
2
2
2
2
О = 4.?.7Е-01
+ 10
ЗНАЧЕНИЯ »
472Е+00
Р 4 9 fe + 0 *
3 4 3 Г * 0 й
о ^ 3 Е + 0 0
6 0 3 Е + Я Я
793р*00
0 5 6 Е + 0 0
-у Л 5 С + 0 "1
*■ 7 '»F * 0 Я
^ 6: f + 0 р
7- 6 7 * * Я *
2 7 * F + 0 0
<4г>Е + 00
0 0 1 С ♦ 0 0
*6"Е+00
7Я4Р+ЯЯ
5 3 ? Е + 0 0
13 ч F ♦ 0 0
?7qE+00
1.
1 i
2,
2.
3.
4 ,
5,
5 ,
6 ,
6.
6,
6
6,
6,
с
«5
5
5
5
0
ГО» - В
471Е+С0
865Е+00
37ВЕ+00
969Е+00
6 4 (. Е ♦ 0 0
3 17Е + 0О
* 4 я Е +v0 3
р 0 0 Е + 0 С
г 0 4 е ♦ 0 <з
S44EM 0
4 4 с Е ♦ С 0
3 3 Я Е ♦ 0 С
2 0 5 F ♦ 0 0
0 3 я Е + 0 *
8 6 6 Е + С С
г>97Е+00
5 2 7 Е * 0 0
3 2 5 Е + 0 е
f 7 fi E ♦ С 0
ПЯАЧЕНИЯ »ГР» •» Г
197^-01
129Е-01
8 3 4 Е - 0 1
2 2 5 Г + 0 0
6 0 5 Е + й Р
986F+00
3 8 6 Е + Я £
В03Г. + 00
1 9 8 Е ♦ 0 0
30 4Я+'я0
2 5 6 Е * 0 0
2 0 6 Е + 0 0
176Е+0О
J26F+00
, П84Е + 0Р
0 3 9 F + 0 0
9 9 .S Е «■ 0 0
9 4 8 Е + 00
Ч7ОЕ+00
4
6
8
1
1
1
2
п
3
3
3
3
3
з
1
7
7
2
2
0 9 9 Е 1 0 !
0 С 3 Е «- С 1
6 4 7 Е г- 0 1
!93Е*0О
550Е+С^
? 0 2 Е * 0 Г'
2 6 6 Е » 0 е
6 5 6 Е + 0 f?
0 8 2 Е ♦ 0 0
2 6 з Е ♦ 0 г
2 2 2 Е * к« 0
170Е*О0
116 Е + 06
0 '18 2*0 0
9 в 0 Е + 0 0
о 3 7 Е * ? 0
8 8 6 С + С 0
86f^E + re
fi 4 2 С + Р С
ЗНАЧЕНИЯ »ГГЬ -. Р
, 0 5 2 Е + 0 0
»237Е>0Я
s*5?F+00
, 7 1 Р С ♦ 0 0
, 9 9 л Е + 0 0
, VE + 00
,^7^Е*00
, я с 1 Е + 0 0
г 3 7 •'> F + Я 0
, 1 5 7 F + 0 0
, М 1 Е ♦ 0 й
, 0 6 4 Е + Я С
в 9 6 9 F + 2 ^
,?7 7.Е + 0 0
, 7 7 6 Е + 0 0
, 6 6 5 Е + 0 ч
, 538Е+00
.ЧВ7Е+00
, 7 0 •", Е + 0 0
1
1
1
1
2
2
4
3
3
3
1
3
3
2
2
2
2
7
2
п 6 ? г + е f 1
. 2б5Е*?г0
5 13 Е + 0 0
.796Е+00
, P95E+0S
, 4 16Е + ЙС
. V 8 1 Е * й 0
. 1 4 4 Е + 2 0
, 4 2 7 Е ♦ Г- 0
.281Е+Г0
, 2 26Е + 0С
, 1 6 8 Е ♦ 0 0
, я«оЕ*00
,990Е*0Р
,878С*ЯС
,760Е + ^.С
, 6 4 1 Я + 0 0
, 4 6 Р, Е + 0 0
,23?Е*00
ЯБ/И
1.
1 ,
2,
2,
3,
4 ,
4 ,
5
6
л
6
6
*
б
Гэ
5
5
5i
5
-10
М •
477Е+00
878Е*00
392Е+00
995Е+00
630Е*00
266Е+00
949Е+00
6 6 4 Е ♦ 0 0
426F*00
699F*00
52?F*O0
4 U E * 0 Я
2 В 7 E * 0 0
109E+00
91 1E + CP
704E*00
5 2 8 E * 0 0
, 3 2 6 E ♦ 0 0
0 7 3F*f0
д в / к,у.
-к
5
е
1
1
:
2
2
3
3
5
5
3
."
2
?
i
<:
7
. 8 6 P r i» 0 i
I 5 2 E - 0 1
)36Ev.0i
1 1 9 С ♦ -7' 0
4 5 С f * 0 0
7 7 ;> E + v 0
I 1 9 r + 0 3
5 1 7 E * fc Л
0 3 2 E ♦ С- Л
4:9»-- * г 0
2 7 9 F + v> fl
. 2 2 7 г.- 0 0
«: s я e + e 0
Г 7 0- F * J ■?
, > 6 ^ ;: * £ 0
, 3 8 ? F ♦ i' ?,
, 6 6 4 * * Ci 0
, о з 31 * г 0
С ! £ £ * :? 0
Л Б / К М
:
*
1
1
2
2
7
ч
5
3
3
з
3
3
2
7
2
2
2
* 0 9 0 f »■; л
. 3 1 3,- + Z 0
. Г» 7 9 с ♦ 0 0
, 8 7 6 Е + 2 0
«18ЯЕ+00
,493Е*00
,229Е*00
,147F+00
,396С*00
«2О1Е+00
,742Е*00
♦ J 89E + 00
.129Е+00
.П39Е+00
,943Е*00
. 8 2 2 F ♦ 0 0
.663Е+00
.471F+00
, 7 58Е*00
1,
1
2,
7,
3,
4
4,
5
6
*
6
6
6
л
5
5
3
5
5
з
4
7
с
1
1
2
2
7
3
3
з
2
2
2
2
1
1
1
5
2
2
7
з
3
3
3
з
3
3
2
л
2
7.
2
«■20
465Е+00
841Е+0Я
317С+0<5
Я78Е+00
476Е+00
246F+0P
745Е+00
5 0 3 Е * 0 0
393Е+00
815Е*00
628E+0^
3 1 Л Е * 0 0
386Е+00
199Е+00
9 6 4 Е * 0 0
718Е+00
S2 5E+00
, 3 2 9 Е + ? 0
Z 7 2 Е * 0 0
•«МЕ*01
9£АЕ«0 1
126Е^Г1
8 97Е-Р1
т- 0 4 Е <• 0 0
' •; v е ♦ п 0
Г; 0 S Е ♦ 0 0
4 7 7 Е * ? 0
ц:..4С0
6 Г' 5 Г * 0 0
, А 0 9 Е + 0 0
, 3 4 Б Е: * 0 0
, ? 6 8 Е * И 0
1 5 8 F ■» 0 0
* 0 15»: «00
, 8 6 ? Е * 0 0
а^ 1Е+00
,839F*00
8геЕ*0 0
,122Е*0^
.344Е+00
.605Е+00
.889Е+00
. 1 7 2 Е * 0 0
.497Е+00
.737Е+00
.027Е*00
.277Е+00
. 19 If+00
.718F+00
, 168Е+.00
. 118Е+00
.041Е*00
. 9 4 8 Е + 0 0
,836Е.*00
,68"'5Е*00
.490Е+00
.272Е+к)0
Э73

CO
5!
W U U VI 'gt U u< '^ ^ '
W\>V»<M^«— "Oa>ft
>^ ^ j< fr Л Л > > >1 >J Л A 'J Л 4} & >1 J) <j<
UlN>0>M'JI!0'3IOIOyCD!U'S(MOslN)0
ШГПГПГПГП_ПГПГП1"ПГПГПГТ|ГПГПГПГЛГППГ1ГП
I J i i
i a
t Я А 9
ГПГПГГ|ГПГПГП."Т1ГПГПГПГПГПГП."ПГПГПГПГПГП
>> ^J iB-Ohimvi-mmI
ллллл^м^
s>as!9QGi«is^ssosa s en s is s
J 1
< a i -i
4 1
О О чП :> О >-> .N> Ы jl 'Jl iki ^Л-ОЛ*-\)Ы>
!S» »- ОЫ^^^кЮ^мЫЫ ЛЧХМОАУ1
mrn mmm mrnmm/nrnrnrnmmrnmrnrn
4 4 1 1 1 * 4 4 4 41114 1J13 4
sfa»3s<a<3is»«93»ias>aQ'-2a"a"if4is>
V* '.* 'ui \A v4 '^ Ы \M
m '^ -.* nj ю «-» »— «о о ft
•ti it» rn m m m
>-^i:>.j<.OftOft--J *»'.><
о о ос чд ft ►-» ota-oo »j о »-*
«л iti .t» л r\ гг .t> jt» ,п п> .n m гп
i«a?ariasjis5<sjc;2,3ri,s»'s»^sts>csicijsjaj x
чЛ \> О О О ■> О». ^J -vl ^1 -J > >> V,l ft Ы N) М i-
Ю V.^ U Л > Л vl ^ vfl - .^ui-v|vj^M>->UlOlU<
.л ;n .n iti -л )л «Ti m m -ti m m гп m .y> —i ,n -л «л х :
О -«J JOOmhmi
>M wl ft ft ft Ч Ы -O .—
1
I I
I I
w а» м ft «j у »* oa>'^oiUiM440>>4w«
iTI ГП "! "П Hi ,Tl -T П ГГ. .TJ iH .T5 ГГ. .TI .-", ГП :П Л1 I
I I
■^sssaQstjos-a^sasss^juJi
I I I
о •'Sj са с<а сй
уЛ Л 'Л 'Л Л
i i i
i
i
V* VI
\si*i\A\j4^.rt\ji>jt\jirOfs»*^+~ О О ft
*--V^Ob0^4Vj4'S>V7llS»,J>04<X'>ft-«J-vJOQ0v>
гп n tj rn rn ti rn m .n ;n ~n m m m m m m m m
4 4
I
114 1
I 1
••sssia^srjs'SJ^^-'jraM^^;
«а га
.JI^O0»».><><>~J^J»J«»iOOm ft \^l N> JO .-»
M'C>-«'9'Ovlb'OMMO»Vn>IOvN)ftAiaftO
^ vj 4) sj S м О i, «Э CD >0 CD \Л Ф ft S3 О О «
rn m rn m n rn m m rn "n m m rn m m n m :n rn
Ji Л ■>
I j» vo •- •— •-• i
■ M \> \>4 ft ft Vjl ^ ,N> I-»
O43^*t-4Q'Si9»-JlNftQ»*O0a Sift
aiODbWMat-acDOiflsi^uift^iNJ'j»^
o>iMjivOft3oiaftGi3iH4300o> о
m .Ti m m m rn m m .-n rn m m .ti m m m m ,-n m
i i
i з
1
•чпл'чпх'чч^^п^'Ч'Ч'ао
4
J J
\Д VJI Л '.Л VH sfl ft ft ft
114 1 I 4 4 J 4 I
D О ^ Q S» Q ^ ."=» 5» »B
ft ft ft ft ft tb ft ft ft ft
V>'j*V>\>\jl\j4Vj<Ot
. У Vd M N м i
CD Ul \Л S
us \я > •> г*, о ->i •
^j -*j
I О U* VT
. \j< N N •- N
••• W .<0 О ^1 i» У1 О > >J 'Л С» \Л ь» ч) .'О CS в СО IT
a>*0'>*4 0ft^N>4i лсв1-ы«о*а»м>м.
Мч|'ОЫн>ч1ы&аи^ю^'^о^мз)л
?лгппгп,"П"пглтт:Т1*лттт|тт"птгт1гп
i i
1
I
i J
>IOS)JkOvCb^t- ,0 ft ft «>J О .'О \Л U1 ^ .-» О ZI
N)<O(OH-iOVjlMO0D>J^UvJ5l4)IOU(aii I
Ma^yi.TiuiH.jig.-oAswtO'O'OaH »—
ГПГЛГПГПГЛГПТ|ГПГПГТ)ГП.'Т(|ЛГПГТ1ГПГПГП'Л Q
1 I I I
I
I
SS^IS Э S S<
fa^-as»s'3Qss>5JSisja3«,S(
4 t
s «a
w -j о si ->j м о ^i q to ^. ooo\^.4n<s>ft^jo
OU»VnMO^UIS-JCDO>OCM3)>»-OftNJAi
mm mmm гп то m m "пттттттгп rnm
I 1 f 4 « I 4 4 4 I
1 1
s -s *a s s i
tso-sossocutaotasi.
\j* 'jj \il У J W >j! '^ W -»< '
W M N3i
^ VT. \^J
«ы\лч)^л^>^чз'>а ft — vji ►—;>.-» ft
>Ot-U»NjiaH«4)OCOI3p-'4jOVn-fON)C>
члоо ллАС>и>^'аао^Хкамолн.л
wi rn m rn rn m m «л m ,-п /л m rn rn rn rn m m m
41444111444414Я1111
<Л->> >>OsJ«JvJ>JvJ^W^U^MlS3i-»
«j~»»^jft.> c>-N>wvflft3^»j»--v>i>a!>
,oas3w>i»-M»0'OMQft>JvJuiuwfo
V» 5» *->• £* 00 ft VJ1 ft \JI 4) S W (B s( h» >l'i Ni&
<Т1ГПГТ1ГПГЛ|Т|ГП|Т|,Т|ГПГП"ПГПГП|"ПГПГПГПГП
Я <Ч "5 »S 4 "J Я '
«4114
^ "л 'Л >j a о оои^^мюумми-м
"S> О* ЧЭ ^ О О J»0D-SJNJS».4>NJf4)^Jft.OftlSJ
»u»ftiosaH»oiH»4jhJvi^>uiHSis^
o^^ca^\n>*M«JW»*oo ль*ол^э
■n m rn rn гп то гп m то m m m m га гп то m то m
, «a ^ -a «a «a ^» <
14 14 11
1 1
ft ft ft ft
i 15» -a *si si з» 5Si
к ft ft ft ft ft ft

ЗНАЧЕНИЯ >ГП» - С ДЬ^КМ
If.Si
9.TD
8,fl
7,Й
6.0
5.0
4<0
3,*
2.0
i.0
0.9
е.в
e.7
0*6
0,5
0.4
0,3
0.2
a.i
I,257fc-0t
Ы37Е-01
l,709E-0*
Sf01iE-0i
S,336E-*t
2,A64E-0t
З.Л25Е-Й1
3.418E-01
3.718E-01
3.444E-01
3.402E-01
3.341E-01
3.266E-01
3.185E-IM
3.063E-01
2.956E-01
2.832E-01
7.A75E-01
7.471E-01
l,235E-0l
Jit45c«^-01
t|73CE-0I
2,<?73E-01
?.|43«K-0l
2t78PE-01
3,1685-01
3t562E-0l
3,83^01
3,526E-0!
3,472E*01
3t4J7F-01
3,ЗЦЕ-01
3t?.10F.-01
3.099E-01
2.97ЯЕ-01
2 , P 4 0 E - 0 1
2,67?F.-0l
2.474E-01
1.232E-01
l,480E-ei
1.793E-01
га i6te-ei
2»547E-01
2p920E-01
3,307E-01
3|675E-C1
3,903E-0*
3,A74E-01
3|6i0E-01
3t5396-01
3i447E-0!
3.336E-01
3,2l2E-0t
3,083E-01
2.754E-C1
?,75BE»Pi
?.t3ice»-0i
1.26ЯЕ-01
J.521C-01
t,R57E-0l
2.247E-01
2.644F-01
3.012E-01
3.373E-01
3„702E^01
3.907E-01
3.688E-0JI
3,6366-01
3.571E-01
3.498E-01
3.398E-01
3,287E-01
3.152F-01
2„982E-0l
2.771Е-И
2.340E-0»
1.273E«-0t
L540E-01
1.867E-01
2,?4lE-0l
?,A19E-0l
3,«47E-0t
3.774E-01
3 . 5 9 1E - e 1
3.S12E-01
3.620F-01
3.A33E-01
3.56ЯЕ-01
3.502E-01
3 .409E-0L
3.304E-01
3.172E-01
3.005E-01
2.797.E-01
7.555E-01
ЗНАЧЕНИЯ >ГР/1» - В l/М
10.
9,
ft ,
7,
6 ,
5 i
4,
3,
2
1 ,
fl .
/4
0,
0,
0,
0.
V.
1*.
Э
,0
.0
,0
. с
,0
>0
.0
»0
.0
. 0
.9
.6
.7
.6
, 5
, 4
.3
.2
. 1
1,
2 ,
3,
4 ,
6,
6,
5,
4,
"5 ,
1 ,
1,
1,
X.
1,
1,
I,
о
Я ,
7,
►715E-05
.516E-05
.637E-05
.989E-05
.707E-05
,*39E-03
,514E-05
«91ИЕ-05
. 6 5 9 E - 0 5
, 7 4 A E - 0 5
.567E-05
,48OE-05
.431E-05
.301E-05
, 1A8E-05
, 080E-05
.460F-06
,53OF^06
.М1Е-.0Л
lf603F-05
2|374E-05
3,45?Е.~05
4,734C-05
5,83?E-05
6,*55E-05
5 я 0 1 1 F - 0 5
4,375E-05
3,211*40?
1.597F-05
l4437E-f?5
1, 3 4 0 F. - 0 5
1 , 3 4 2 F" - 0 5
1.252F-05
1,^98^-105
l,03'?E-05
9 , 7 7 3 H - 0 6
T,62OG-06
7 , 7 3 3 *" - 0 6
Ь451Е-05
2.157E-05
3, l42E-?5
4.303E-05
5.763E-05
5,384E-05
4.347Е-Я5
3.745Е-Л5
2.757Е-Я5
1.320E-05
Ь200Е-05
1.J24E-05
1, 1ЮЕ-05
L&67E-05
9,087E-S6
3,507E-36
6.9J5F-06
6,б4вЕ-0б
6,878f!-06
1.255E-05
1.847Е-Я5
2.679E-05
3.642Е-Й5
4.432E-05
4.490E-05
3,577E-05
3, 105Б-05
2.397E-05
U41OE-05
1, IO6F-05
t, 108E-05
1.041E-05
9.991E-06
8.514E-06
7.759E-06
6,570F-06
6,353E-06
5.101E-0A
1,026E«05
1.466E-05
2.075E-05
2.003E-05
3.425E-03
4.334E-05
2%838E-05
2.623E-05
2.259E-05
l,449E-05
Ы19Е-05
l,O76E-03
1.024C-05
1.131ЭЕ-05
9,137E-06
7.950E-06
6f3llE-06
5.880E-06
5.732E-06
ОБЛАКо
MM \
1^.0
9.0
ft , 0
7 ,0
6.Я
5 . Ъ
4 . 0
3.0
2.0
1.0
0.9
з.«
?.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
9.1
св(м*х) I
с
1,
7 ,
2,
3,
5,
7 ,
1,
1 ,
2,
3,
*.
з,
5 ,
3,
з,
2,
2,
2,
2,
+ 70
.615Е+00
, Л60Е + 00
,693F*00
,649Е*00
«2Р9Е+00
, 830Е + 00
, 176Е + 01
, 6 5 71 ♦ 0 1
,754Е*01
, 004Е + 0 1
,058Е*01
, Ц4Е + 01
, 136Е + 01
, 12ПЕ + 01
, 0 5 3 Е + 0 1
.964R+01
.834Е+01
,678Е*01
►502Е+01
1,
2
7,
з(
5,
7,
1 ,
1,
2,
2,
ч.
3,
з,
з.
з,
2,
2,
2,
2,
а=1,озг
4-10
*00
л
ЗНАЧЕНИЯ »ГО» - Q
, 5 7 4 Е + 0 Я
, 0 1 1 Е + 0 0
, 648Е + 0Я
, А 2 6 Е ♦ 0 И
, 2 2 5 Е + 3 0
^вЗЕ + ИС1
, 1 8 1 р. ♦ 0 1
, 6 4 О Е + 0 1
,21?Е+01
f 9 6 з г-: + я 1
, 0 2 б Е ♦ 0 1
,086Г*01
, 1 7 0 Е ♦ 0 1
, 11 5Е + ъ 1
, 0 5 9 F. ♦ Ъ 1
,971Е*01
,83AF*0l
,А79Е*01
,502Е+01
1,595Е+00
2.034F. + G0
2, б72Я*+00
3.657F+00
5,75l£*f!0
7 , 860Е+О0
1, 165Е+01
1 # А06Е + 01
2, 143Е + 01
2 • Л63Р+01
? , 944Е+01
ЗИ20Е + 0 1
3, '79АС+01
3. 13оЕ*01
3. 136Е + 01
3,025Е*01
2.385Е+С1
2,682Е*01
2,501с+01
"10
ЛБ/КМ
1 ,"70АЕ*00
2, 143Е + 00
7,772Е*00
3.718Е+00
5.202Е+Й0
7,.(382Е + 00
1.104Е+01
1.М8Е + 01
2.66ЯЕ+01
7,850Е+01
2.923E+0t
3,0t0SE*0i
5,071Е*01
3, 126Е + 01
3 Л4«Е*в1
3,073Е*01
2.928Е+01
г;б84Е*01
2.500Е+04
-7.0
1 .886Et00
2,295Е+00
2,856Е*0Й
3.661Е+00
4,882Е+0Й
7,497Е*00
9.759Е+00
1,390Е*01
1,989Е+01
2.739Е*01
2,fi25E*0l
2.927Е+01
3.019Е+С1
3,t07E+0l
3,151E*0l
З.Ц0Е+01
2.965Е+01
Й,690Е+01
S.499E-V01
375

1».
9t
8.
7.
6.
5.
4.
3 .
2,
1 .
0.
0 .
0«
0
0
0
0
0
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
f!
Я
7)
0
0
0
0
Ъ
10
9
0
7
*.
5
4
3
7
1
0
0
0
0
0
9
9
e
*
*
0
0
0
0
Я
0
0
0
;i
9
8
7
6
5
4
3
2
1
{1
0
0
0
0
,0
0
0
0
0
9
Й
7
6
5
4
3
7
1
0
Я
3
0
0
P
. 0
. я
. 0
. и
.9
. я
. 7
. 6
. 5
. 4
. 3
.2
Л
1.
2
. з,
6,
1.
2 ,
4
Гз
9
1
*
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
7
3
5
7
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
7
1
2
4
Я
1
1
1
1
1
1
8
7
5
4
4
3
3
521Е-01
389Е-01
9591:-501
976Е-Я1
309Е+00
5 2 1 Е + 0 0
5 2 2 Е + 0 0
956Е+00
*4?Е*Я0
М7Е + 01
Л52Е+01
5 И 1 Е ♦ 0 1
530Е+01
547Е+0 1
526Е+01
488Е*01
436Е*01
391Е*01
3 6 е С * 0 1
.463Е+00
,«21Е+00
,?97Е*00
, " Л 1 с ♦ 0 0
,9r0F + 0f*
, 308Ef00
,?43Е*00
,4 17F*00
,?70Е*01
, 5 8 7 Е ♦ 0 1
. А07Е + 0 1
. М 3 Е * Э i
, 6 0 6 F + 0 1
5 8 1 Е * Я 1
0 2 7 F * е 1
-3 7 6 Е ♦ 0 1
3 ? а Е + 0 1
, 7 f 7 Е ♦ Я 1
, 1345*01
. 937Е-05
,977Е-05
» ?60Е-04
, 4 3 0 Е - 0 4
. 5 6 7 F - 0 4
„ 432Е-04
. 3 5 1 Е - 0 3
, 5 7 4 Е т 0 3
.417Е-03
.• ? 1 5 Е г» 0 3
. 1 2 5 Е * 0 3
. ? 2 3 Е п «5 3
, Р 9 В Е « 0 4
.751Е-04
. ?44Еа04
,9ПЕ-.04
, 4 4 4 F -. 0 4
.686F-04
♦201Е-04
1.
2,
з,
*,
1.
2.
4,
А.
*ч
1,
1.
1.
li
1
1,
1
1
1
1
1
1
2
2
3
5
7
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
7
1
2
А
7
1
1
1
1
1
9
8
6
5
4
4
3
3
ЗНАЧЕНИЯ
486Е-01
324Е-01
836F-01
738^-01
7* 1 F + 00
4?4Е+0Л
3JPE+00
* 2 3 Е ♦ 0 Г
393F+00
3 7 7 Е ♦ 0 1
424Е+01
474F+01
51 "Е + 01
531^*01
52 1Е + 01
4p7F + (M
434Г401
* 9 4 R ♦ 0 1
367F+01
»ГР» г 3
1,441Е*.01
2.240Е-01
3.663Е-01
6.363Е-01
1 , i 7 7 Е ♦ С й
2.247 F.+ 00
4 , 02CJE + 00
6 # 1 9 9 Е + 0 0
9.013Е+00
1.342Е+01
1 .40РЕ + 01
1,456Е + 01
1 , 5 1ОЕ*0 1
1,565С*01
1.557Е+01
1,523Е+01
I , 4 4 4 Е ♦ 0 1
1.353Е+01
1,349Е*01
ЗНАЧЕНИЯ »ГП» - В
4 2 Л Е + Ъ я
, 77ЧЕ*00
2 ft 5 F. + 0 0
° * 2 Е + 0 0
, 9ft 1F>00
, 16 1 f. ♦ 0 0
47 /»E*00
п.^Г + йР
, 2 7 3 E ♦ 0 1
, 5 P '• E ♦ 0 1
, A 0 4 I ♦ 0 1
M?E*0l
ft 1 "F + 0 1
•56 5E + 0 1
4 3 7 ь ♦ 0 I
4 p 4 F + 0 1
4 ? 9 F «■ 0 1
7 * 5 F. + 0 1
1 3 1. F * 0 1
1 ,451Е*00
1 , 8 1ЯЕ + 00
2,305Е*00
Ъщй'ггЕ + QZ
4,j?74F+0C
5 • 6 1 3 Е + 0 0
7,632Е*00
9.857Е+00
1 , 2 4 2 Е * 0 1
1,521Е*«1
1 , 543Е*01
1 ,^64Е*01
1 , 579Е*01
1 ,574Г+0 1
1, 549Е + 01
1 в 502Е + 01
1 , 4 4 1 г * Z 1
1.32ЯЕ*01
1, 15 3 Е * 2 i
3 ПАЧЕ НИ Я »ГРЛ» ~ Э
, 7 9 9 F - 0 5
, 5 9 -Г 1 - 0 5
,?7?Е-04
, ? £ ? F - g 4
е 161Е-Э4
, 6 3 6 F - 0 4
, 7 1 г р - 0 3
с 3 9 2 Е - 0 3
, 2 3 ^ С г- з 3
, * р ц р - q з
t ? i '• г - 0 3
, 1 0 с» £ - 0 4
t 7 4 * г - 0 4
,^77F-04
,5? !»" -04
, 7Й7Г-04
, ? М Е - Я 4
, 7 1 0 Е - 0 4
, U ? F - 0 4
А , 6 17 Е г 0 5
7, 168Е^05
1 ♦ 167Е^04
2 , 008Е-0^
3.б35Ег04
6, 573Е^04
1.^ 3 7 С - 0 3
1.176Е-03
1,046Е-03
8.4 25Е^04
7 , 9 5 5 Е - 0 л
7.264F-0 4
6,f0f)E-04
5 , Л34Е-0Л
4.А75Е-0 4
4 , 1 0 1Е - 2 л
3,*9?Е-04
3.707Е-04
2.8 10F-04
ДБ/КН
1 . 369Ечг01
2.102Е^01
3.389E-0I
5 ,763F-»0l
1.043Е+00
1 , ?60Е*00
3 , 5 6 6 F * 0 0
5,750F*00
8 ,922Е*0О
1 .442F + 01
1 ,439Е*01
1 ,507F.*0i
1.56lF*0t
1 .610Е + 0 Jl
J .636E*0l
I,597E*01
1 , 492F*01
1 ,351E*01
1 .334E + 01
Д6/КМ
1 .569E + 00
1 .^33^ + 00
2 ,434F*00
3, 142E + 00
4 . 15OF + 00
5,622E*00
7. 472F*00
9,42 9^+00
1 . 1 6 8 E * 0 1
1,408E*0l
1,483E*01
1,'497F.*01
1 .M1E+01
1.316F*01
1 , 504E + 01
i .476E*01
I .436E*0t
1,333F*01
1 . 166E*01
J/1
4.357F-05
Л.609Е-05
1 .049F-04
1 .737E-04
3.012E-04
5,?.52E-04
8.729E-04
9.523F-04
8,в92Е-04
8 в354Е-04
7.53 6E-0 4
б ,901Е«Я4
6.023Е-04
5.053F-04
^.269F-0^
3 .О84Е-04
3, 33.SE-04
3.234FT-04
?,518Е-04
\
1
2
4
8
1
3
5
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7
2
3
4
5
6
6
1
1
1
1.
1
1
1
1
1
1
1
3
5
8
1
2
5
6
7
7
7
6
6
5
5
4
4
4
з
2
242Е-01
8 69Е-01
9425-01
884Е-0 1
617Е-01
905F*00
068Е+00
5ИЕ+00
426F*00
495E*0l
4*6E*0l
54lE*0l
61PE + (?1
677E+01
715E+01
678E*0^
,^45E*0l
,351E*0t
.32ЛЕ+Я1
,762E*00
. 1 0 8E+00
. 5 6 7. E ♦ 0 0
,173E*00
.020E+C0
.592E+00
.691E+P0
,387E*00
.0 46E*iJl
,244E*Pl
. 35OE*0l
. 386E*0l
. 409E*0t
, 430E*0l
.436E*0^
.432E*0l
. 42PE+01
.340E+01
, 173E*01
.934E-05
.S17E-03
.923E-09
.425E-04
. 364E-04
,034Fw{j4
Л62Е-04
.Л59Е-04
.945E-04
.998E-04
.699E-04
.375E-04
.779E-C4
♦^87E-04
.463E-04
.319E-04
♦?87F-04
.256E-04
, 369F-04
376

влако се
мм \
0.0
9.0
Я.0
7. 0
6 . 0
5.0
4 . Я
0.0
9.0
Р.0
7.Я
6.0
5.0
4 .0
3.0
2.0
1 .0
0 .9
0 . Я
0 . 7
0 .6
0. 5
* . 4
0. 3
0.2
0. 1
9 .0
Я .0
7 , 0
Л .Р
5 . 0
4 . С
3 .0
7 . 0
1 . 0
0.9
0 .а
0.7
0.6
0. 5
0. 4
0. 3
0.2
0. 1
6.
Я .
1 .
1.
2.
3,
5
1 .
7.
(MIN) I
+ 20
441Е-02
7.02Е-02
062Е-01
4 5 5 F. » 0 1
Я71Е-»01
166Е-01
380Е-01
*52Е + 00
Я49Е + 00
3 5 4 Е + 0 0
4 6 0 Е + 0 0
570Е + 00
630Е+00
644Е+00
554Е+00
445Е+0Я
7 8 0 Е + 0 0,
0 7 я Е + 0 0*
Р52Е+00
2.277Е-03
3.420Е-03
5.543Е-03
9 , 403Е-03
1 ,В20Ет02
3 . «93Е-02
9.826Е-*02
2,949Fw0l
7 «П4РЕ-Г01
J .M4E + 00
1 . 578Е+00
1 .665Е+00
1 . 720Е + 00
1 , 7 5 Р Е + 0 0
1 , 730F400
1 .684F+00
1 . 6 1 5 Е + 0 0
1 , г» 5 7 Е ♦ 0 0
1 .^35Е+00
6.7 1
7 . >»6
t . 00
1.35
1 ,*А
7. 77
4 . ^9
7 . с-4
) ,7Л
1 , Я 4
1 , ^8
1 . 90
1 .90
1 ."8
I ,«2
1.76
1 .66
1.52
1,31
4 Е - 0 2
0Е-02
6Е<-01
9Е-01
9Е^01
7Е«01
7F-01
РЕ-0 1
5 Е ♦ 0 3
•1Е + 00
2Е*00
6F + 00
9Е*0Я
6F + 00
4Е + 00
4Е+00
5 г. ♦ 0 0
0Е + 00
РЕ*00
Гч = У
+ 10
ЛН
7, 11"Е
«,°25р
1, 151fc
2 , 1 ««> ? -
3 ,74^Е
5,4?3£
1,Я?7£
1,97ЛЕ
3,291е.
3 , М 4 Е
3.52ЯЕ
3 , 6 0 5 г
3 . 6 7 « F
3,^64с:
3 , 4 5 9 Е
3 , 2 г, з F
3 . 0 7 П с
2 , 8 5 2 Е
? , 2 0 7 Р
3,36 1С
5", 4 50г.
9,397£
1,76 ft'
3,721^;
?,199Г
2,690е
7,3?2Е
t , 4 7.0 Е
1 ,5?,0Е
t,639r;
1 ,697Г
1 , 7 3 7 F
1,7з;с--
1.686F
I, 6HF
1,561Е
1.533Е
зн
6 , 8 9 7 Е
я, s e 7 с
1,^974
1 ,444Е
1,9ртЕ
2.Я76Е
4,483Е,
7 , 5 Р 0 Е
1,73-ТЕ
1 f Ч 2 7 Г:
1 , Р 6 3 Е
I, я я о к
1,9?7Е
1,887Е
l,«34fc
1.777С
1 . *5 J 7 R
1 • 3 1 V F
, 0 4 Е - 0 2
АЧЕН
-32
-02
-01
01
-01
-01
-01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 0Р
♦ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
АЧЕН
-03
-03
-03
-03
-02
-0?
-G2
-01
-01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
♦ 00
♦00
+ 00
♦•00
И Я »Г0
8 • 1"
1.<Ч
1 ,?Р
1,*7
7,31.
3,37
«5,^7
9,64
1."3
3.13
3,26
3,4?
3 , 56
3,66
3, 63
3.5 4
3.3 6
3,00
2.65
ИЛ »ГР
2, 16
3,30
5, 79
9, 02
1*67
3,4.5
8.U
2.34
6,77
1.45
1.55
1.64
1.73
1.01
1.60
1.76
1,65
1.51
1.М
Р
0Е-07
5- Е - 0 1
PF-P1
6 F. - 0 1
^Е-01
2Е-М
6F-01
16*21
6Е+.Р0
5 Е + 0 0
4Е +00
6Е + 00
7 F. ♦ 0 О
0Е+00
PF +00
4 Г ♦ 0 0
1 Е + Я0
4Е + 00
2Е + С0
- R
7Е-03
6 F - 0 3
5Е^03
9Е-03
?Ет0?
бСгО?.
1Е^07
8Е-01
6 F - 0 1
3 Е + 0 0
0Е + Г0
0F+00
ЛЕ+00
3F +00
7 Г ♦ 0 0
ЗЕ+00
2 С + (5 0
5 F. + Р 0
3 Е ♦ С С
-10
ДБ/КМ
9, B23F-T02
, 19РЕ1-01
.47РЕ-01
. 907Е-01
. 500Е-Й1
.45OE-.0J
. 116Е-Т01
.528Е-01
.659Е+00
. 127F + 00
>,254Е*00
, 404Е + 0С
. ^28F + 00
. 637Е + 00
, 6 8 6 Е ♦ 0 0
.6 18F+00
.427Е+00
.08BF+00
. С5ор + 00
АчЕНИЯ
-02
-»07
-01
-01
-01
-01
-01
-01
+ 00
+ 00
+ 00
+ 00
♦ 00
+ 00
+ 33
+ 00
+ 00
♦ 00
♦00
» Г П »
, е84
.ei6
,235
, ^36
. 1 4Я
,077
, 565
,7.93
.159
,683
,7 34
,785
,831
,847
,831
,781
.710
,569
.330
ДБ
- В ПБ
Е -j 0 2
-и?
С -.0 1
Е-0 1
Е-0 1
E-.pl
Е * 0 1.
Е-01
Е+00
Е+00
Е+00
Е + 00
Р + 00
Е + 00
Е + 00
С + 00
Е + 00
Е + 00
Е + 00
км
.082Е-03
.147Е-03
.98РЕ-03
. ? 0 ? F - 0 3
.516Е-07
.С43Е-02-.
.041F-02
.961F-01
.341Е-Я1
'.632Е*00
.625С*00
.735Е+00
.Р.20Г + 00
. О 9 Я F * 0 0
.947F+00
•891F+00
,73 1Г+00
. 5 1 3 F + 0 0
.495F+00
КМ
.М5Е-02
. 166Е-01
.42ЯЕ-01
, 8 2 я F - 0 1
.349F-0!
,154Е-01
.412F-01
. 567E-»01
.025Е+00
.4В9Е+00
.628Е+00
,66^Е + 00"
,709Е*00
. 7 3 9 Е + 0 0
.74^F+00
. 727Е + 00
.697Е+00
,574F*00
.354Е+00
'^20
1 .192Е
1 .409Е
1 ,6Я7Е
7.^5?Е
2.553Е
3.456F
4.412Е
^.917Е
J ,459F
7 .933F
? . 0 9 7 Е
3 ,?ОЯЕ
3 . 4 5 2 Е
-*.607Е
5.699Е
3 .673Е
3 . 485F
3 . 1 9 В Е
7 . 349Е
-01
-01
-01
*0 1
-01
-<?1
-01
-01
+ 00
+ 00
+ 010
+ 00
+ 00
+ 00
+ (»0
*?0
♦ 00
+ 00
00
1 .9ИЕ
7 . р> 4 4 Е
й % t 2 *>Е
7.767Е
1 .78(SE
2 .964С
5.70ЯЕ
1 .631Е
6 , 2 0 .? Е
1 .71 IE
1 .687Е
j . я 0 9 р
1 ,915Е
2 ,012Е
7. .0 6PF
7 .0 20Е
) .Я1ЯЕ
1 . ^ 1 7 F.
1 .486Е
-03
-03
-03
-03
-02
-02
-02
-01
-01
♦0»
♦ 00
♦00
♦ 00
♦00
+ 00
+ 00
♦ 00
♦ 00
+ 00
1.173Е-01
1..388Е-01
1 .642Е-01
1 ,979Е-01
2.424Е-01
3. 16 3R-01
З.В42Е-01
5.285Е-01
8.384Е-01
1 .2'21Е+00
1.415С+00
1 .479Е+00
! .537Е+0Й
1.*>95Е + 0Я
1.631Е+00
1»651Е+00
1 .667F+00
1 .5fltE+0O
) .362Е+00
377

10,
9,
a,
7,
6,
5,
4,
3,
2,
1,
•0,
•Я ,
0,
0,
■0,
0,
-0,
«<
Я,
.0
, 0
.С*
>0
>0
• 0
i0
.0
.0
. 0
.9
► a
.7
.6
,5
.4
,3
► 2
. 1
7,
1.
1 .
3,
^,
1.
4 ,
p,
1,
1,
1,
1,
J,
9,
6,
5,
5,
4,
3
, 175E-07
, 0 9 9 F - 0 6
, 77«*E-0*
, C65E-06
.790E-06
.233F.-05
, ?6PE-05
.46BF-05
.769E-04
,425E-04
, 470E-04
.321E-04
, J54E-04
.017E-05
.99BE-05
.715E-0S
.316E-P5
,320E-0i5
,658Е-Я5
7,
1 i
i.
5<
*.
1 .
*.
?<
1,
I,
ll
1,
ll
я.
«i
5,
5,
«i
3.
ЛНЛЧЕНИ
,?ЯРпЯ7
, 1гзЕ-яб
, 7 7 1 F - д 6
, 1 ? 4 E -» 0 Л
, *>?*E-06
, U Г> F - 0 5
, 7 8 r> E - 0 «5
P 4 7 3 F - 0 5
, 5 1 Ь К - 0 4
, 1 4 0 P. - 0 4
, *?^E-04
, 1 74F-04
, ?■ 6 P E w 0 4
, ? 2 7 F> 0 5
,Л?7Е-05
.533E-05
, 4 »; 7 F. r 0 5
, * 3 Л E - 0 Я
, 6 2 2 E - 0 5
Я »ГРЛ» -г Э
7, 177Е-07
1 . ? 9 ?, F. - 0 6
I . 73?Е-«Г6
? , 9 ?. 3 E - 0 'л
5, 327E-T0*
1 . 0 7 2 E - 0 г>
*> • 4 3 9 E • 0 Г'
6. 134Е^0Г>
I .249E-01
1, 120Е«04
l,030E*04
9,326Е~05
6.605F-0 5
7, Я45Е-»С 5
5 , 6 9 5 Е - 0 5
4 , 9 4 6 Е ч С! 5
4,36ЧЕ-0С-
-3t,'3ie-0?
3,202005
I'M
^,
1 ,
1 ,
2 ,
4 (
9,
2 ,
4 ,
1,
1 ,
9 ,
8 ,
7,
6,
5,
4 ,
4 ,
4
2
.944Е-07
,Я43Е-06
.640Е-0Л
.715F-06
,^26E-06
.350Е-06
.Я36Е-05
. *, 6 8 F - 0 5
.010Е-04
,*99F-04
.699Е-05
,763Е-05
.926Е-05
."362Е-05
.268Е-05 .
■B79F-05
.372Е-05
,020Е-05
.•363Е-05
6,
о (
. 1 ,
п
Л ,
8,
\ ,
з,
У,
9,
в,
7 ,
7,
6,
Ь,
5,
5,
4,
2
•39ПЕ-07
,46aF-07
,457E-0ft
. 3 6 3 Е - 0 Ь
,0935-06
.129Е-06
, 6 2 9 Е - Я 3
, 9 0 ? Е - 0 5
.241Е-05
, р 9 2 Е - 0 3
.229Е-05
, *? 6 Я Р - 0 $
,489Е-05
, 4 0 1 Е - 0 ."5
.669Е-05
• 626F.-05
.354Е-05
,07tE-05
.697Е-05

ТАБЛИЦА IV
ВЛИЯНИЕ ФРАКЦИИ КАПЕЛЬ РАЗМЕРОМ ОТ 1 ДО
1500 МКМ И БОЛЕЕ ДОЖДЯЩИХ ОБЛАКОВ
НА ОСЛАБЛЕНИЕ, РАССЕЯНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ
И РАДИОЛОКАЦИОННОЕ ОТРАЖЕНИЕ ММ И СБММ
ВОЛН

: *20
1.410E-01
1.735E-01
2, J76E-01
2.813E-01
3.748E*01
5.239E-31
7 , 76FE-0 1
1 , 2 4 1 E + 0 0
2, 1Э7Е+00
4,590E*0 0
5.28 6E+00
5.622Б+0 0
6.397E*00
7,M! E*00
8 , 886E+00
1,0695+01
1 , 4 4 8 E ♦ ? 1
2 , 3465+01
p , <*8PE*-0 1
8 . «58E*07
1 . 345E-T06
2 . 1 4 5 E » 0 6
3.6315^06
6 , 656E*06
1. J56E-05
3.211 E-(?3
9, 566E*05
4 , 258E-04
5.538E-03
8 ,*3*E-03
1 ,227E*02
1 .989E-0?
3, 427E-02
6 , 979E-02
1 .568E-.01
4 . 5 3 2 E « 0 i
2. 1 16E+00
2 . 391E+01
0^2
+ 10
.v-<
I , 7 * С Е
? , 174E
? • 7 1 1 R
3,47^Г
4 , я 9 4 F
6 , 3 3 '-1
9,11 -> i:
1 , 3 9 « E
?.,: 4 4 p
4 , о p * F
5,?83E
6,344»:
7 , 76*1:
8 , ^ 5 6 F
1 ,*3^E
1 , л Г Е
2 , 4 p 7 E
8 ,«64P
.98Е-Г01
-10
ЛЧЕЬН
-0 1
-?1
-0 1
-31
-01
-■3 1
-31
+ 00
♦00
+ 0 0
+ (11}
+ 00
+ 0P
+ 00
+ 00
+ 01
+ 01
01
01
1fl »rJ»
2 ♦ * -"M F
2 . Я " 4 Г
3 . 4 6 я F.
4 . 3* 5E
5,672c
7 , 5 7 7 1
1 , 0*50^
1 , 4 fi 4 F
2 , 1 2<*E
3,6135
3.895E
4 , Ч09Е
4,7541:
5.276E
6 . 4 8 0 E
7,72.95
1 .0*45
1 .641"
6,2j07E
- P
-0 1
-0 1
-01
-0 1
-0 1
-Г0 1
+ 00
♦00
+ 00
♦ 00
+ 00
♦00
+ 00
+ 0J?
♦00
♦00
+ 01
♦01
♦01
fl Б ' К 1
3.04
3
4
5
6
В
1
1
1
г
з
8 , й Г * Е -
1 , т 3 * г- -
2,12 f-Е -
3.574Е-
6,^15?-
1.315Г;-
3,*72F-
8 , 0 4 6 Е .
3 , 8 5 8 F -
5 , * 5 *> Е -
7,3467-
1 , 1 ? 1 г. -
1,86^5-
3 , 504Е-
6,545г-
1 , 49^5-
4,436?-
2, 137" +
2 , 3 5 8 Е +
ЧЕНИЯ
07
06
0 6
06
06
05
05
0 5
04
03
03
02
0 2
02
02
01
01
00
0 1
Г Р» - В
6 6 2 Е - 0 7
3 ъ а Е - 0 6
я 6 6 Е - ? 6
457Е-06
2 3 3 Е - 0 '.
24 1Е-05
837Е-05
0 1 7 Е - 0 5
3 7 4 Е -, С 4
9 5 3 Е - 0 3
752с-03
8 2 3 Е -10 3
46 IF.-О?
593 Е-02
194Е-02
1735-01
217Е-01
613с+00
267Е+01
3.3 9
3.7 8
й .24
,87
,04
,35
.50
,62
4Е-01
8F-01
8F-01
5Е-01
9F-01
9F-0J
5F + 30
4Е + 00
2Е>00
4Е*00
8Е + 00
АГ*00
4F + 00
6Е*00
8Е*00
8 Е ♦ 0 0
2Е + 00
7 Г + 0 1
4F+01
6.34
1
1
3
5
1
2
2 5
95
22
72
11
43
6 , 87
2.9 1
3,'52
5.24
7.89
1 .25
2.18
4.22
9,65
2.95
1.*Ч
1 .чз
6Е-07
0F-06
7Б-06
8F-06
1Е-06
5F-05
6 Е - 0 5
1Е-05
2Е-04
4F-03
0Е-03
ЗЕ-03
7Е-0?
2Е-02
6F-02
7Е-02
5Е-01
^♦00
ЗЕ + 01
-20
3 , V 3 1 Е - р 1
4,577Ст01
5. ^65F-0 1
6.333Е-01
7 ,528F^0i
8,B69E-.0l
1 .G48F + 00
1 , 2 2 7 Е ♦ 0 я
1 .37 7Е + 00
1.872F+00
2.5 76Е+00
2 .736Е+00
3,073Е*00
3.41 ТЕ *00
3.935Е+00
4.918Е+00
6.995F+00
1 . 3*3 0 Е ♦ 0 1
6.4 11F+01
7.691Е-07
1 , 1 36Е-.06
1 . 7 4 8 Е - 0 6
2 .835Е-06
a t о 2 ? Е - # 6
1 .Я89Е-05
2.066Ет05
5.772Е-05
2 .554Е-04
2.8 98Е-03
4. 330?: -03
6,654Е-03
1 ,0745-02
1 .903Е-02
3 ,7 18F-P2
8.7135-02
2 .707Е-01
1 . 4 2 3 Е + 0 0
1 .698Е+01
1 , М0Е-01
1 .735Е-31
2. 176Е-01
2.813Е-Г01
3.748Е-.01
5.239Е-01
7 ,759Е*01
1 .241Е + 00
2, 187E*Z0
4 , S85E*00
5.278Е+00
5. 609Е + 00
6, 377Е^00
6 . 977Е*00
8, 816Е*00
1 ,^54Е*01
1 .402Е + 01
2, 134Е+01
5,698Е*01
1 , 7 8 р Е
2, 174Е
2 , 7 i 1 Г
3,475Е
4.594Е
А,336Е
9, 119F
1 ,398с
2,244Е
4,541Е
4,<>7ЯР
5,272L
6,326 =
7 , ? 3 3 Е
8, 490Е
1.365Е
2,271F
5,706Е
АЧЕН
-01
-01
t<5l
-01
-01
-0 1
-01
♦00
♦00
♦00
♦00
♦ 00
♦ 00
+ 00
♦ 00
♦ 0 1
♦01
♦01
♦01
и я »гп
2.^0
2.е^
3.46
4,38
5.67
7.57
1,05
1,48
2. 12
3,60
3.88
4 , 30
4.73
5,25
6, 42
7,61
1..06
1.48
3,94
В
ЗЕ-0 1
4Е-01
5Е-01
3 Е - 0 1
1Е-31
7F-01
0Е+00
4 Е ♦ 0 ^
0Е + 00
9Е+00
9Е + 00
0Е + 0С
9Е + 00
0Е+С0
8Е +00
2 Е ♦ 0 0
2Е^01
0Е+01
«£♦01
Д Б / К м
3,04
3,64
^.42
5.47
6,83
6.73
1 . 12
1 , 45
1 .82
2,40
3.17
3,33
3.77
4.22
4,33
5.95
8,05
1.35
4,79
4Е-01
8Е-01
8Е-01
5Е-01
9Е-01
9Е-01
5Е + 00
4 F + Я 0
2Е*00
1Е + 00
2F*00
ЗЕ + 00
1Е*00
5Е*00
6Е*00
1Е*00
6F + 00
ЗЕ*01
3.931Е-01
4.5 77Е-0 1
5,365P-el
6.333Е-01
7.528E-0i
6.Я69Р-01
1.048Е+00
1 . 2 2 7 Е ♦ 0 0
1 .377E + 0C4
1.869Е+00
2.572Е+00
2 . 7 7 9 Е ♦ («' 0
3,062Е *00
3,40ЯЕ *00
3.898Е+00
4,830Е*00
6.724Е+00
1,237Е*01
4.713E-f0t

!trrtrf»ttrrittCF-f*
К. Ш UJ UJ l!J IIJ Uj Ш IU UJ UJ Ll> U.I U-: U. Ш U.' IXi UJ LlJ
Uj lb Ul Ш U Ш U-r UJ IL LL UJ Lb Ш Ш UJ Ш Ш IL' UJ
П К4. СЧ' £> О»- Г- —• чг СГ О" IT CN ОТ О.' -^ CS 4i С »П СГ.

ЧЧАчЕНИЯ »ГП» - Р ДБ/КМ
10,
9 ,
Я ,
7 ,
Л ,
5 ,
4,
3,
2 ,
1 .
0 ,
0 ,
й ,
С ,
0 ,
0
(?
0
0
.0
, 0
.0
. 0
.0
.0
. 0
► 0
► 0
, 0
, 9
.8
.7
. л
.5
. 4
, 3
.2
. 1
1,
1.
2,
2 ,
3,
5,
7,
1.
2,
4 ,
5,
5,
6,
6 ,
Я ,
1 ,
1 ,
2,
5,
,410Ew02
,735Е«02
,176E«02
.«13Е-32
Р 7 4 8 £ - ? 2
.239Е-02
.759Е-02
,?41En0t
, 1 8 7 Е - й 1
, 5 В 5 Е - Ъ 1
.278Е-01
.609Е-Э1
.377Е-31
,977Е-01
. я i<sE-e 1
,054F+00
. 4 0 2 Е + 0 0
,134Е*03
,698Е+00
I.
2 )
?,
з,
4,
6,
9,
1,
?.
4,
4|
5,
*i
Л
«1
li
li
2,
5,
, 7г?г-02
, 174Е-Я2
, 7 j t -: - л 2
, 47S2-^2
,r>?4-:-.^?
, 3 3 6 С - 3 2
, Ц95-02
, 7 9 1 К - 0 1
, 2 4 4 Е - с 1
, 5 4 1 Р - Я 1
,97ЯГ,-.з1
, 2 7 2 F - 0 1
,з?*е-ял
, 2 3 3 '3 - 3 1
, 49^-0 1
, ? 1 * Е + С О
, Зб^Е + 00
,27^ + 00
, 7 0 6 'J + 0 0
2.
2,
3.
4 i
* ,
7 ,
1 .
1 .
2.
3 ,
3,
4 ,
4,
5,
6
7,
1,
1 ,
3,
,3036-02
, Я 0 4 Е - 0 2
, 465Е-02
, 7 8 3 Е - г 2
,^7iE-22
.S77E-02
, ^50€-3 1
,434^-* \
, 1 2 Э Е - Я J
, 6 0 9 с - Л 1
, Я 8 9 £ - я 1
. ^00Е-01
.73QE-C1
. 2 5 0 Е - 0 1
.428G-01
,6l2E-0t
, ,1б2Е*00
, 4Я0Е+00
, о 4 0 F «- 0 0
3 ,
3 ,
4 ,
5 ,
6 ,
6 (
1 ,
1 ,
1 ,
2 ,
3 ,
3 ,
з,
4
4
5
Я
1
4
, 044F-02
.44ЯЕ-02
.428Е-02
.475Е-02
.839Е-02
.739Е-02
, 125Е-01
.454Е-01
. 8 2 2 Е - 0 1
► 40 1F-01
. 172Е*01
,79flF-01
г771Е-01
.225F-01
.876F.-01
.951F-01
,056Е*01
,353Е*00
.791р*00
3,
4,
5,
6,
7,
8,
1 ■
1.
1 ,
1 ,
9 (
2 ,
3 ,
3
3
4
б
1
Л
,931Е»0?
,577Е*02
.363Е-02
.ЗЗЗЕ-02
.528Е-02
.869Е-02
.048Е-01
,227Е-»01
.377Е-.01
.869Е-01
Л72Е-01
.779Е-01
.062Е-01
,40CEw0l
.89ЯЕ-01
.*3<?E-0t
.724F-01
.237Е+00
.713Е*00
ЗНАЧЕНИЯ »ГРЛ» - 8 1/М
10,
9 ,
Я
7,
6 ,
5,
4 ,
3,
2 ,
1 ,
0 ,
0 ,
0,
0,
0,
0,
0.
0.
0.
. 0
. 0
. 0
. 0
. 0
. 0
. 0
.0
.0
. 0
.9
,8
,7
.6
,5
, 4
,3
,2
. 1
3 ,
4,
7,
1,
2 ,
4,
1 ,
3,
1,
1,
2,
4 ,
6<
1,
2,
5,
1 ,
6.
4,
,<*59Е-11
.645Е-11
.406Е-11
.254Е-10
.298Е-1Э
.68 IE- 1^
,J08E-09
.301Е-09
.468Е-08
.Я98Е-07
.756Е-07
,18ЯЕ-07
.767Е-07
,160Е-06
.342Е-06
,181Е-06
.450Е-05
.136Е-05
,164Е-04
3,040к-1 1
4 , 6 0 5 L" - 1 1
7|322Г-Ц
1,23^-10
2 . 2 5 И Р - 1 0
4.539Е-10
1,060Е-09
3,087^-09
:,ззде-^8
l,733F-27
2,5145-37
3,77'ЭЕ-07
6,34«Е-07
1« Ц9Е-06
2, 197Е-06
4 , 9 5 3 Е - 0 6
1.419F-05
6,7*06-05
4 , 1 2 3 С - 0 4
2.991Е-Ц
4.517Е-1 1
7. 135Е-11
1, 194Е-10
2, 152E-J0
4,284Е-10
9, 793Е-10
2.767Е-09
Ь 163Е-08
Ь35бЕ-07
1,969F-07
3.014Е-07
4.976Е-07
8.786Е-07
1« 745С-06
3.884Е-06
1.034Е-05
4.716Е-Г5
3.713F-04
2 . в 8 2 Е - 1 1
4.3 1 6Е- 1 1
6 .76ЯЕМ 1
1. 115Е-10
1.976FM0
3, 949ЕМ0
Я . 5 8 4 Е - 1 0
2.371F-09
1.004Е-08
1 .208F-07
1 «794F.-07
2.698F-07
4.280Е-07
7.399F-07
X,422F-06
3.2 0 4F-06
9.503Е-06
4,510Е-05
3.271E-04
2
3
6
9
J
3,
7
)
&
9,
1 ■
2 ,
3,
6,
li
2,
в,
* ,
3,
.656Е-И
.922E-11
• 037Е-Ц
.791Е.Ц
,702Е»1в
.761E-10
. niR-fl»
.992E-09
,804E»»09
.940E-08
.483E-07
.274E-07
.661E-07
,456E«07
,252E-06
.893F-06
.716E-06
•181E-05
.O71F-04
СБЛАКо
10.0
9.0
8,0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
i.0
0.9
в.в
2.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
С-6Г
С *20
1.242E-01
1.532E-0J
1.927E-01
2.496E-01
3,342E-01
4,699E-0t
7.026E-01
1.145E*00
2И24Е + 00
5t888E*00
7, 131E*00
8.377E+00
1.Я48Е+01
ЬЗИЕ + 01
1.826E+01
2.437E*01
3t278E*01
4,276E*01
4,671E*0*
0=2e54E.
♦ lfc
-01
0
ЗНАЧЕНИЯ »Г0» - D
l,555F-0l
l,902E-j5l
2.375F.-Q1
3t-352E-01
4, 048E-01
5 , 6 0 8 E - 0 1
3, 142E-01
l|27flc+00
2,139E+00
5,624E*00
6,575E+00
7,63U + 00
1|Я05Е+Я1
1#297E+01
1,736^+01
2,360E+0l
3f244E+01
4,259E*01
4|<655*01
1.996E-01
2. 433E-01
3,^i0E-01
3f315E-01
4.950E-01
6t642E-01
9,272^-01
lf332E*09
Ь992Е + 00
4,299E*0^
4.957E+00
5.970E+00
7,456E+00
9.661E+00
1,368E^01
1#917E*01
2,683E*01
4#0llE*0l
4.799E*01
-10
Л5/КМ
2.623E-01
З.И6Е-01
3.324E-01
4.735E-01
5.929E-01
7И06Е"01
9,356E-01
1.293E+00
1,597E*00
2»974E*^0
4,?l90E + 00
4.797E+00
5.955E*00
7.735E+00
1,062E*0J
l,573E+0t
2.495E+01
3.95OE*0t
4,526E*01
-20
3.376E-0$
3,934E-0l
4.616E-01
5.456E«0t
6,500E^0l
7,7l2E«0t
9.139E-01
1 .08ЛЕ+00
1 ,28tE + 00
2.269E+00
3.230E+C0
3.345E*00
4,783E*00
64304Е*00
8,859E+00
I.777E*0l
5,307E*0t
3,839E*0l
4,589E*0t
382

10.0
9.0
в .0
7.0
^,0
5»0
4,0
3.0
2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0*6
0.5
0.4
0.3
0.2
0. 1
10.0
9.0
8.0
7.0
«.0
5.0
4.0
3«0
2.0
Ь0
С.9
0.8
в.7
0,6
0.5
0.4
0.3
0.2
0. 1
10.0
9.0
8.0
7.0
6.2
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0*9
«•в
0.7
0*6
0*5
0,4
0*3
01*
0Л
1 .023Е-04
1.555Е.-04
2 . 4В2Е->04
4,209Е*04
7.73?Ег04
1. 582Е-03
3.777Е*03
1. 139Е-02
5.230Е-02
7 , 2 В ?. F. • 0 1
1,040Е*00
1.550Е*0Э
2.356Е*0Э
3.652Е+00
5.Ч99Е+00
9 . 2 7 0-Е ♦ 0 Я
1 . 409Е+0 X
2 . 0 2 6 Е ♦ 0 1
2 . 7. 4 2 Е ♦ 0 1
1 .?41Ег-01
*.531Ег0*
1.924Е-01
2.494Е-01
З.ЗЭ4Е«г01
4.683Е-01
6.98*Е-01
1. 134Е+00
2.071Е+0Э
5, 160Е+00
6 . Я 9 1 е * 0 0
Л.827Б+00
8.128Е*00
9.460Е+00
1.736Е+01
1.510Е+0*
1.В69Е+01
2,250Е*01
2.429Е*01
3.513Е-08
5.336Е-08
8.509Е-08
1.441Е-07
2.644Е-07
5.394F.1-07
1.280Ег06
3.825Е-06
1.705Е-05
2.019Е-04
2.768Е-04
3.831Е-04
5.343Е-04
7.215Е-04
1.005Е-03
1.201Е-03
1.216Е-03
9.869Е*04
6.699Е-04
ТИАЧКНИЛ »ГР» - В
1,М7Е-04
1 , 5 4 2 Г. - 0 4
2 , * 5 4 F, - Я 4
4 , 1 4 Ч Е - 3 4
7«569Е-04
1 ,533Е-*3
з , г» 0 •; е -ч з
1 , •А 6 i t - \4 7
4 , 7 Ц Е - 0 ?
6 , *• 5 8 F. - 0 1
9 И 3 .1 Е - G 1
i, * 8 ; г. •■ з и
2 , 1 9 31 ♦ Л Р
3 , 4 7 ч Г: ♦ 0 0
5 , 6 р гт Е * Л 0
9 , :М 7 F. + д 0
1 , 1 0 f> Е + 0 1
1,981Е+01
?., 2 3 7 Е ♦ 0 1
1,00 4£-04
1 . 5 12 fi - г 4
2.39U-04
4.-?0с*Е-0Л
7 . 2 3 г- Е - 0 4
1.*4бЕ-е?
? . 3 2 5 Е - г 5
9. Ц97С-03
4.194E-G?
5 . Я 4 Г> £ - г 1
7 , 3 0 5 с - Р 1
i, 10 vf f ♦ г 7
1 , 7 5 5 Е ♦ 0 Й
2 , е 7 3 г. + 0 ?
4. 81;. с * г я
б.045Е*0Я
1 .23?Е*Р1
2. 12?с*01
2.443Е+01
ЧИАЧЕНИЯ *ГП» - Р
l.s* ;e*0i
1 , 9 в й Е - 0 I
2,37^-01
3 , и А И С - 0 1
4, П4ЧЕ-01
3,59^,-01
8 , 1 С Л Е - 0 1
J , 959Е>30
7. ♦ И 9 2 Е ♦ 0 0
4 , 9 6 П Е + 0 0
5 , «S 3 2 Е ♦ 0 р
6,?4 4Е«-00
7, «56F. + 00
9,<*$/,Е + 00
1 , 1 7 5 Е ♦ 0 1
1 в 4 5 3 Б *■ 0 1
1,83УЕ+01
2 , 2 7 В Е ♦ 0 1
2,42?Е+01
1 . 9 9 0 Е - С J
2 . 4 3 1 Е -. 0 !
3.C08E-0J
3.6UE-01
4.943Е-01
6.627Е-01
9. 239Е-01
1 .322t*0?
1. . Q 5 1 F ♦ 0 Я
3.79 5Е+00
4 . 226£ + fi0
4 . Ч 7 С. Е * 0 Я
5.7 0р.Е + ге
6.786F. + 00
а.об^Е-йо
1.1 isc + ei
1,451Е*С1
1.887Е+С1
2.3565*8:1
ЗНАЧЕНИЯ »ГРЛ» - 3
Э,49А6-08
5,?97ti-08
8,4256-03
1,421Е-07
2,5925-07
5.235Е-07
1,225Е-0б
3,575с-0 6
1,5371-05
l,81ffc-04
2,4845-04
3«38б£-04
4,9536-04
А,?14е-04
9,3295-04
1,1416-03
1,1885-03
9,913Е-04
6,6^85-04
3 . 4 4 3 Е - 0 8
5.200Е-28
3.217Е-С6
1.375Е-07
2.48lE-07
4.943E-e7
1. 131Е-06
3» 197Е-06
1,3365-05
I . 390E-04
1.907Е-Я4
2.666F-04
3.811С-г4
5.345Е-М
7.3ll£-i54
9.859Е-04
8.631Е-04
7.632Е-04
7.246Е-Я4
ГБ/КМ
V.638E-05
1.144Е-04
2.264Е-04
3.739Е-04
ft ,64f«E-04
1.29ЯЕ-03
2.908Е-03
■ч, 110 F - а з
3.515Е-02
fl. 538E-01
6.67РЕ-01
9.934Е-01
1 .* 5 2 1Е * 0 0
2 . 454Е*00
4, 121Е + 00
7 , 1 4 9 Е ♦ 0 0
1,236Е*01
?. 161Е + 01
2 .257Е+01
Я р / К М
2.622Е-01
3. 145Е-01
J.822E-01
4 .732Е-01
5.922Е-01
7.593Е-01
9.327Е-01
1 .285Е^00
1 .662Е + 00
2 .520Е + 00
3,'421Е-»-00
3 ,804Е*00
4 .434Е>20
5 . 2 в 1Е * 0 0
6 ,50 4Е*0 0
8.573Е*00
1 .210Е + 01
1.797Е+01
7.369Е+01
1/П
3.319Е-08
4.971Е-08
7,787Е-08
1 .285Е-07
2.278Е-07
4.439Е-07
9.902Е-07
2.732Е-06
1.147Е-05
1 «239Е-04
1.73ЭЕ-04
2,394Е"04
3.299Е-04
4.556Е-04
6.088Е-04
7.525Е-04
9. 133Е-Г04
7.402Е-04
5.174Е-Й4
Р.
J ,
2 i
ч
с.
j!
? {
(• (
3 ,
3 ,
г^
Г-,
),
7,
ж
6.
1,
7 ,
2 ,
7 ,
3 ,
4 ,
5,
6,
-»
9 ,
1 ,
1,
1 ,
? ,
■г
•* <
з (
4 ,
5,
6,
1 ,
1 ,
2,
3,
4 ,
6,
1 .
1 ,
4 ,
8,
2,
1
1
1
2
2
4
5
7
7
6
4
.880Е-05
• 312E-J34
► 0 2 1 Е - 0 4
.2Э2Е-0*
, 714Е-04
,26«Е-03
,41 1Е-е?
.7 9Г.Е-0 3
,'-^72Е-02
.665Е-01
, 4 2 7 Е - 0 1
,756Е-01
,793Е*00
. 1 5 0 Е + 0 0
. 7 1 5 Е ♦ в 0
.781Е*00
,77ОЕ*-01
, 15АЕ+01
.239F4.01
.375Е-.01
, 933Е-0 1
.614Е-01
.453Е-01
, 194Е-01
.599Е-01
► 1 15Е-01
»080Е*00
,250Е-»-00
.902Е+00
,687Е^00
.019Е+00
.490Е+С0
,146Е*00
,143F>00
.986Е+00
.Я37Е+01
,681Е*01
,350Е*й1
,059Е-08
.518Е-08
.955Е-08
.126Е-07
.96JE-07
.338Е-07
.210Е-07
.2 88Е-06
.0035-05
.В21Е-04
.441Е-04
.034Е-04
.861Е-Я4
,054Е-04
.513Е-04
•020Е-04
«724Е-04
•975Е-04
,785Е-04
383

ОБЛАКО
10.0
9.0
a,0
i. 0
6.0
5.5»
4,0
3.0
2.0
1.0
0.9
fl.a
0.7
1*6
3.5
^. 4
3.3
4.2
3.1
10.0
9.0
ft .0
7.0
4.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
3.9
0.8
0.7
0.6
(3.5
0.4
0.3
0.2
0. 1
10.0
9,0
8 . 0
7.0
6.0
5.0
4 .0
3.0
2.0
1 .0
0.9
0.B
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
a. i
лочль Ul
С +20
5,245E*02
6«^01E"02
9,?24E.,02
1.Я74Г..31
1 , 4 5 2 с » 0 1
2,^7-^-01
3. 5775^01
5,423E-»01
1 , 1305+00
3«896E*30
4, 5605*00
5,2965*3 0
6,?.0 3E*0 0
7, 185E*00
3.432Е+0Я
9,499E*0 0
1 ,534E*01
l ,чб<*5*31
9.779E+30
2.257E-04
3,43PE»04
5, 502E-04
9. 369Ет04
1.732E-T03
3.578E-03
9,6695„03
2.6895-02
1 . 2 5 5 5 * 0 1
1,169E*00
1 . 458E+00
1.873E+00
2,3575*00
2,9685*00
5,63?E+00
4,3315*00
4, 878E+00
5, 131E*00
4 . 827E*00
5.7225-07
6.4665-02
8, 1695-02
1,0655-01
19434E-01
2.035E-01
3„085F-01
5 „ 1 5 л e'„ 0 l
1 O*04E*00
2,7285*00
3, 1075*00
3.4235*00
3.846E*00
4,217E*00
4.80 0 5*00
5,1685*00
5. 459E+00
5,513F*00
4.95 3E*00
01=1,00E-
♦ 1«
•01
0
З'ЦЧЕНИЯ »Г0» - R
4 , 4 3 0 с - 4 2
7,9n2t;-!j2
9,9HE-^2
1 i ? В 1 С - J 1
1,71ЭЕ-<И
2,4016-01
3,56*5-41
5,80.5;-01
1 ,3975*00
3,6635+00
4,2625*00
4,92 4 5*00
5,9745+30
7,038С+30
3,7275+30
9,39^5 и0е
1,0335*01
1 , * 5 9 1; * 0 1
9,77 7**00
5 . 1 2 8 Е - 0 2
9.<533Е-Л2
1 , ? 3 3 Е - Ъ 1
1 , 5 6 9 Е - й 1
2,л50Е-Р1
2 * 761С-01
3. 958Е-0 1
5.925Е-01
9,945E«tf;l
2, 8385*00
3.3985*00
4,0785*00
4,995 5*00
6,0795*00
7.4395*00
3 , 7 8 6 Е ♦ 0 ?■
9,79^5*00
1,0795+0 1
9 , 8 9 1 5 * fl 0
ТЕЧЕНИЯ »Г0» - R
2,2435-04
3,4075-04
5,4375-04
9,2165-04
1 ,6955-03
3,460 с-ЯЗ
8,2565^0 3
2,491Р-Э2
l,U9i--0l
1 , 0 7 2 5 ► 0 0
1,3655*00
! , 7 л о Я + 0 0
2,2495*00
2,8555+00
3,563^+00
4,3t9'=*00
4, 89*5*00
5,07tf5*d0
4, 82 15*30
2.2055-СМ
3.340Е-04
5,2о*Е-04
3,9045-04
1.6175-03
3.2565-03
7,5815-03
2,2075^07
9 . 6 4 9 5 ч Я 7
8.881Ет01
1. 1605+00
1,5245*00
2•0505*00
2.7325*00
3,5025*00
4,3935*00
4,0685+00
5,5705*00
4,894С *00
ЗНАЧЕНИЯ »ГП» г R
6, М^-02
7,86*5-07
9т8бПс2-02
1,272^-01
1,6965-01
2, 5675-31
3, 1816-01
5, 5565-31
9, «347^-0 1
2,5915+00
2,897Е+00
3,1755*00
3,7245*00
4,1835*00
1, 6 6 3 6 + -3 0
5,079!^* -3 0
5,427 5*00
5, 52 3 г *■ 0 0
4,9565*00
3. 1065-02
<?,89бГ-02
1 ,2275-01.
1,5605-01
2,0345т01
2,749Ет*01
3, 8835-01
5 , 7 0 4 Е - 0 1
9.9805-01
2,0005*00
2,?3я5*00
2.5545*0 0
2.9355*00
3,3475*00
3,9365*00
4,3875*00
4.8295*00
5,7175+00
4,9975+00
-10
ДБ/КМ
1 (
1 ,
1 ,
1
г,
з,
4 (
5,
8 ,
2,
2 ,
3 ,
4 ,
5,
6,
■9,
9 ,
1 ,
9 ,
•055Е-01
/'бЯЕ-'Я*
,545Е-01
, 9 2 0 Е«- 0 1
, 4 1 9 Е » 0 1
, 133Е-01
, 133Е-01
; 6 з 6 е г. 01
,353Е«01
,283Е*00
,985Е*00
, 560Е*00
.312Е+00
«304Е+00
.562Е+00
, 106Е*00
,«245+00
,083Е*01
.7985*00
ЛК/КЧ
2 ,
5 .
Ь ,
8 ,
) ,
2 ,
b ,
1 ,
8 (
8,
1 ,
1 ,
1 .
Z ,
з (
4 г
5,
5,
а (
, 124Е-04
, 189Е^04
,010Е'!'04
, 3 0 0F.-04
,481Ег-03
,9125^03
.5955*03
,*69F'-02
.2515-102
►702Е-01
. 1175*00
.4765*00
.9335*00
.5735*00
,417Е*00
, 41ВЕ*00
,4485*00
,724Е*00
, 781Е*00
ДБ/'КМ
1 ,
1,
* i
1,
2,
3 ,
У
5,
7,
1 ,
1
2 ,
2 ,
2
3
3
4
5
5,
.•^53Е^01
,2655-01
, 540Е-0 1
,9175-01
, 404Е^31
. 104E^0J
,067Е«0)1
,449Е-01
. 52 8Е^0 1
,413Е*00
.8675*00
,0845*00
, 379F+00
. 731Е*00
. 145F*00
,688Е*00
,377Е*00
. 11 1Р*00
.017Е+00
1 ,
1,
1,
2 ,
7 ,
3 ,
3 ,
4 ,
6,
1 ,
7 ,
2 ,
3,
4,
s ,
7 ,
9 ,
i ,
? ,
1 ,
7 ,
4 ,
7 ,
1 ,
2 ■
5 ,
1 ■
7 ,
7 ,
9 ,
1 ,
1,
7 ,
3 ,
А ,
К,
5 ,
4 ,
1,
1 ,
1,
2
2
3
3
А
5
1
1
1
1
р
2
?
3
4
5
-20
.347Е-01
.572Е-01
.849F-,?1
. 1.935-01
.6275-01
. 170Fn0l
.791Е-01
, 6 8 7 Е - 0 1
,3365-01
,7495*00
,3855+00
,°35Е*00
,6515+00
.658С+00
.9515+00
,6995+00
,6765+00
,083Е*01
,7875*00
.^565-04
,8955-04
.467F-04
.7735-04
.2715-03
,8445-03
,4385-03
.5565-02
.7235-02
.2345-01
,4955-01
,7955*00
,7595*00
,4455*00
,Ч4'35*00
,5 19Е*00
.7065*00
,8825+00
. 768Е*00
.3455-01
,5бор„01
.•3455-С1
, 186Е-01
,6145-01
.142ЕчЬ?1
.7355^01
.5315-01
.6МЕп01
.0265*00
.4365*00
, 639Е*00
.8925*00
.?13F*00
,603Р*00
, 1805*00
, Q 7 1 5 * 0 0
.9475*00
,0205*00
384

la. 0
9.0
6.(9
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
W0
0 .9
9.8
0.7
0.6
0.5
3.4
•3.3
5! .2
3.1
ОбЛАКо
ПИ \
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.9
3.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4 .0
3.0
2.0
*.*
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
P. 4
0.3
0.2
0*1
7.645E-08
1,162E-07
1.855E-07
Э.149Е-07
3,795E-07
I.188E-06
2.842E-06
8.56ЙЕ-06
3.676E-35
2.444E-0 4
2.*08E-04
3,174E-04
3.448E-04
3,48*E-04
3.493E-04
2.997E-04
2.329E-04
1.761E-34
1 . 5 2 6 E - 0 4
ДСМЛЬ l'|
С + 20
5.245E-01
6,501^-01
8.224E-01
1 .074E + 00
1.452E+00
2,070E+00
3. 172E + 00
3.423E+00
t, 130E*01
3.896E+-01
4.560E+01
5,29*E*0i
6.203E+01
7. 185E + 01
S.4 3 2E+01
9,499E+01
1 .Я34Е + 02
1,064E*02
9.779E+01
2.257E-03
3.43 8E-03
5.502F-03
9.369E-03
1.732E-02
3.57PEm02
fi,6 6 9E«02
?.APOFfw01
1 , ? 5 5 E ♦ 0 0
1 , 1 6 9 F. ♦ Я 1
1.45PE+01
1,P73E*01
2.357E+01
2.968E401
З.Л32Е+01
/1. 33 1 E*0 1
4.P7PE+01
5. J31E + 01
4.827E+01
ЗНАЧЕНИЯ >:
7.630E-03
1, 157C-07
1,842^-07
3, 112F.-07
5,691^-07
1, 154E-06
2,7136-06
7,924E-J6
3,236E-05
2, 15ЛЕ-04
2 , 4 9 * c. - г 4
2 , 7 6 7 r; - } 4
з, u^c-34
4,3115-34
3,231E-04
2,84<э£-04
2,284Е-Э4
l,744c-04
1,515^-04
7.
1,
1*
3.
5,
1.
2.
7,
2.
1,
1.
2i
2,
2s
2.
2,
1.
1 •
1.
й=1,Я0Е+03
+ 13
ЗНАЧЕНИЙ )
6,4385-01
7.902E-01
9 , 9 l 4 t" - 0 1
1,2814+00
1 , 7 1 3 С ► 0 0
2,40 1F + 00
3,563E*0 0
5 , 9 й 5 F ♦ -,J Я
1 ,<*97E + 0l
3.663E+01
4 , 2 6 2 E + 0 1
4,924^*01
5,w74fc'+0l
7 , 0 3 8'~ + 3 1
3 , 2 2 7«: ♦ 0 1
9 , 3 9 8 E + 0 1
1 , 0 3 3 5 + 3 2
l,059E+02
9,777Е+01
8,
9,
1.
1 i
? i
2,
3.
5,
9,
2 (
3,
4,
4,
6,
7,
8 .
9,
1 ,
9.
>ГРЛ» - 3
, 53pE-08
, 138E-07
, 800E-07
.017E-07
,452E-07
, 0 8 8 E - 0 6
, 494E-0*
, 0 0 6 * - 0 6
.755Е-Д5
, 59ЯЕ-04
, 8 5 8 E - 0 4
, 122E-04
,379E-C4
, 5 0 4 E - ? 4
, 4 8 5 E - 0 4
, 179F.-04
, 6 4 l E - 0 л
. 5 7 0 E - 0 4
, 832Е-Э*
(4
»ro» - в
, 128c -fO 1
,Q30En01
,233E*0fi
, 5 6 9 E + 0 0
,050E+00
,78lE+20
, 9 5 В Е * 3 0
, 9255 + 00
, 9 4 5 E ♦ л й
, P 5 8 С ♦ 0 1
. 398E + 01
. 078S + 01
,985E*01
.079Е+Э1
. 4 3 9 E + 3 1
.786E+01
»796E+01
,079E+^2
, 8 9 1 E ♦ 0 1
ЗНАЧЕНИЯ »ГР» - R
2.243K-03
3,407 с-03
.5,437E-3^
9 , 2 J 6 E - 0 3
l,693F-02
3 , 4 6 0 E - 0 2
8 , 2 5 6 L - 0 2
2 , 4 v 1 F - 0 1
1. Ц9Е + 00
1 ,072E + 01
I t 3 6 5 F + 3 1
1 ,749c + 0i
2 , 2 4 9 *■> 0 1
2,P55FnU
3 , ч 6 4 F ♦ 0 l
4 , 3 1 9 E ♦ 0 1
4,89^ + 01
5 , я 7 0 E ♦ 0 1
4,82lE+01
2,
3 .
5,
n (
1.
3 ,
7,
2,
9.
я ,
1 ,
1 ,
2 ,
2 ,
x :
4,
4,
5,
4.
.206E-03
. 3 4 J4«~ - 0 3
, 2 9 4 F. - ? 3
, 904E-03
.617E-02
, 2 5 6 E - 0 ?
.5BJE-02
.207F-01
, 6 4 9 E - ■?■ 1
, 881E+00
, 1 6ЯС + 01
, b 2 4 E ♦ 0 1
, 0 5FE+01
, 732E+01
, ??2E*?1
.398E+P1
, 9 6 J? С + 0. 1
, «5 7 Я Е * 0 1
, 8 94E + 01
I'M
7.268E-08
1 , 189E-07
1.707E-07
2.818E-07
Ь.Я01Е-07
9,75iF-07
i* 172E-06
5.929E-06
2.335Е-Й5
1,404E-04
1 .679F-04
t .8 87Е-Э4
2.03 5E-0 4
2 , 100E-04
Ч.П22Е-04
1 . я 0 7 E - 0 4
1.623E-04
1 , .4 в 7 E - 0 4
J .322E-04
-10
Д Б ' « M
1 .055E + 00
1 .26 3Г + 0 0
1 .545E + 00
1,920E*00
2.419E+00
3. 133E + 00
4 . 133F+00
5.636F+00
8.35 3E+00
2 , 2 8 3 E ♦ 0 1
2.985F*01
3.560E+0J
4 «312F + 01
5 , 3 0 4 E + 0 1
6.562E+01
3 . 106E + 01
9 , 8 2 4 E + 0 1
I ,083E + 02
9.798E+01
ДБ/КМ
2, 124E-03
3. 189E-03
5, 010E-03
8.300E-03
1.481E-02
2.912E-02
6.595F-02
1 ,869E-01
^.25lF-0l
8.7P2E+00
1 . 117E + 01
1 .476E + 01
1 .933E+0^
?.?7?E+0J
3.417F+01
^.418F*0J
^.448E+01
5 . 7 2 4 F. * 0 J
^ .781E + 01
6,
9,
1.
2,
«.
9,
1 ,
4 ,
2,
1 ,
1 (
1 ,
1 ,
1 ,
J ,
1 ,
1 ,
1 ,
1 ,
1
1
1
2
?
3
•*
A
h
1
2
2
3
4
5
7
(;
1
9
1 ,
2
4,
7
1
2
5
1
7
7
9
)
1
2
3
4
r.
5
4
,700E-08
»898E-08
■524E-07
.472E-07
,297E-07
.524E-07
.791F-06
.''32E-06
i 0 3 1 E - 0 5
, 17ЧЕ-04
> 40f E-.04
►618E-04
,779E«04
, 880Er04
► Л 4 3 E - 0 4
>72<*E-04
.582E-04
.528E-04
,707Ett04
-20
.347E+00
•572E+C0
.849E+00
.193E+00
,627E*00
. 170E + 00
.790E+00
.^87Е*00
, 336E+00
,74^*01
, 3 8 5 E «■ 0 I
.935E+01
.Л51Е+01
,65«E+0l
.951E+01
. (S9QF + 01
.676E+01
.083F+02
.787E+01
.956E-03
.P95E-03
,467F*03
.273E-03
.271E-02
.844E-02
.438E-P2
.556E-01
.223E-01
.234Е+0Я
.495E+00
.295E+01
.759E+01
,44SF+0l
. 3 4 3 E + 0 t
,5i9E+0t
, 7 0 <• E ♦ 0 1
.882E+01
.768E+?!
25 Заказ № 124
385

* и; ш uj uj iL? tb uj ш lj lu \jj uj uj uj uj u; uj in uj.
=T ti CC- С Г> С С2 ^T <; IP ОС © СЧ О* ^Г «Л О. —t С: CJ
а. «л *\ к -^ if. сс<*с£.тои"1счг-с*сог~*гг--к\
ft «••••..•..•>•«•«••>
f^, ^ч ^, к*. \p rt M h ^ ч «-• N f < N (Ч К Н й и
Ci UJ Ш UJ U.I Ш Ш U. Ш Ш Ш Ll UJ U) IU U.' Ш U.I Ш Ш
^•-•c4p^\^krivrr*ct.r-r>-r>-r^>co^o«o»ciuv
CiSlSISSSGISGISlSSSGQCllSiaC)
«> СЭ <S> CJ Si S S K; (S S CS <S S Q SIS G Q GJ
+ + ♦ + 4-f4-k + -f4*-f* + 44 + +
S; шшшши:ш1иШ1ьши.|шшшшышши
— CN» О К4. Ч-. •-• —' «£ CS* С* »Г\ ir\*OknCNR-*\C. IT.
с 4 ро«т1Лсча>^<»сч<.сМ'«с><&М'00> cioc«-«
ITiOlfi 4 tTi ^ <и О^ С Tf4 —' 4w О Г» lf\ ^T —* O-
-*^fvii<\*rtf>r~r^a:>i>r^r-r~>c>£)*o>c>©ir.
<st шши^шшшишшшшшшшшыишы
_ОСч N«CiK\^V<Db.&0^*OWO№ISMncMN
CO

ЗНАЧЕНИЯ »ГР» - В ДЬ/КЧ
И/,
9 ,
6 (
7 ,
А
Г
4 ,
3,
7 ,
1 ,
0,
Г ,
0 ,
0,
0
0
0
е
0
. л
• и
, 0
■ 0
, 0
1 Я
,0
. 0
1 0
, я
( о
. ч
.7
»Л
, 5
. 4
.3
.2
. 1
3 ,
4 ,
7 ,
1 ,
1 ,
2,
3 ,
4 ,
4 ,
3,
3 (
5 ,
3,
3 ,
3 ,
3 ,
"5 ,
5
ч
, 1 56Е-3 t
,^6fiEn3l
, 7 0 Q Е i 0 1
,230E*Z0
, ° 0 е Е 4 о я
, 749Е4Я0
, 545С400
, 1Л8«л4.?д
, 1 5 0 Е ♦ 0 0
,9 13Е*30
, 9 5 В Е + 3 Я
, т 0 * Е ♦ 0 0
, 7 «5 2 Е ♦ Г Я
, Л В 7 Е + 0 0
,65ОЕ*00
, г* 9 8 Е 4 0 э
.М6Е400
, 446Е + 00
.?73Е400
3.
'Ь
7,
Ь
1,
2,
3,
TJ
4!
3,
з,
3,
3,
з,
3,
3,
3,
з,
3,
f'Wf>-r.t3 1
,762 г. - Л 1
, s 7 л L - а 1
, 2 1 ?. Г + 0 0
, 8 7 7 В + 0 0
, 6 9 4 F. 4 /з| pi
, 4 3 7 Е + 0 0
• ° 2 5 fc ♦ 0 0
, 0 17Е + 0 0
,829E*<J0
» 7 Р К, ♦ Л 0
г 7 ? «> F * 0 Я
,7Р6Г-4О10
, 6.63Е + 00
, 5 2 0 F + 0 0
, Ч6'?£' + 0С
, 5 й 7 Г-: ♦ Я Я
,4^1^430
, 370Г+а«?
2 «
4.
7,
1.
Ь
2.
3,
3,
3.
3,
3,
3,
3,
3<
3,
з.
3 ,
3,
3,
, <?б1г -(> 1
, 5 9 .7 Е -»* 1
, г 7 л е - 0 i
, 1 6 ? С + 0 0
, 796Е + 0Г!
, 5 5 9 Е + 0 0
•265E+Z0
, 7 5 «5 Е + V 0
, 9 12 Е + 0 0
, 6 7 9 Е ♦ й В
,639Е*00
, 6 ? 1 Е ♦ ?. 0
p57iE+00
,537^*РЙ
, 15 0 6 Е ♦ 0 Я
,457Е*20
,3 862*0 0
, 3 5 5 E * -0 ft
,Ч27£+*£
2,
4 (
6 ,
1 ,
1 ,
2,
3,
3,
3 ,
з(
3,
з
3
3
3
3
3
3
3
.775Е-01
,254Ет01
,703Е^01
«062F+00
. 6 3 8 Е ♦ 0 0
.34 5Е+00
,*И45Е40й
,' 6 1 7 Е + 9 0
.911Е+00
.479Е+30
• ft 1 9 С * Й 0
.I574E + 00
.526Е+00
.4*2Е*00
.439F+00
, 3 9 6 Е ♦ 0 0
.363Е+00
, 3 4 2 F. ♦ 0 0
, 2«5 6Е + 00
2 ,
3,
5 ,
9 ,
\ ,
2,
2,
3 ,
4
3
3
3
3
я
3
з
ч
ч
з
. 4 7 1 Е - 0 1
.715Е-01
.742Е-01
, 0 1 8 Р - 0 1
, 4 0 2 Е 4 с 0
. 3 0 3 Е 4 р ъ
,85ВЕ4^0
,*54Е+00
.115Е+Я&
,789F*00
, 6 3 7 Е * 0 0
. 577Р 4fxp
.5? 1F4PI0
,47lE+(Jf»
. 4 2 3 Е + ? 0
. 3 7 9 Е: 4 е 0
.343Е+00
.321Е+00
. 2 7 9 Е * 0 Р
ЗНАЧЕНИЯ »ГЯ» - В ДБ/КМ
10,
9,
й,
7,
6 ,
5,
4 ,
3,
2,
1 ,
0,
0 ,
0,
0 ,
Я,
0 ,
0,
0 ,
0 ,
. 0
.0
.0
. 0
. 0
• 0
. 0
. 0
. С
. 0
,9
• 8
,7
,6
,5
. 4
|3
.2
, 1
1 ,
1,
1 ,
7 ,
2,
3,
3 ,
з,
3 ,
3,
3 ,
3,
3,
3 ,
3,
3 ,
2,
2 ,
2 ,
, 2 8 7 Е ♦ 0 0
,М2Е*00
,«02Е+00
, 179Е+00
,636Е*00
, 119Е4Г30
,^35Е+00
, 8 2 1 Е 4 0 0
, я 8 9 FX3 0
,506F*00
, 4 5 8 Е ♦ 0 Э
,388Е+00
, М2Е + 00
.733Е+00
, 11 1Е*00
,00^ + 00
, 8 8 8 Е * 0 0
.737Е40Я
.539Е400
li
1,
1,
2,
2,
з(
з.
4(
4,
з,
з,
3,
.3,
з,
з,
з,
2,
2,
2,
,?27Е400
, 4736+00
,794Е+00
,21 5Е + 30
, 7 2 -Л Е * Я 0
, 2 5 4 F 4 л а
, 70зе+0«
,^04l430
,■'"46^ + 00
, 5 9 Ч F ♦ г 0
, 5 3 3 Е ♦ 0 0
i 4 6 7 Е ♦ v5'/
, 3 5 9 Е 4 я 0
, ? 5 9 Е ♦ Ъ 0
, 1 4 7 Е 4 з 0
, р з * е 4 г с*
, 8 9 7 Г- 4 -з 0
, 7 3 3 Е ♦ 0 0
, 5 4 ? F 4 g о
1,
1.
1.
2,
2.
3.
3.
4 ,
4 ,
3 .
3 ■
3,
3 ,
3 1
3 ,
3 ,
3 ,
2.
2 .
. 189с + 00
,455Е+Я0
.808Е+0И
.267E+0U
, .8 18 S * г 0
.за^Е*^
, 8 3 8 Е + 0.0
, t 6 1 £ ♦ 2 0
, 1 8 5 Е ♦ Г 0
. 7 7 4 Е ♦'/ 0
f 6 9 7 Е •»■ v" ?
, Л 0 8 Е ♦ Я *
, «5 0 0 Е ♦ 0 0
, 3 8 7 Е ♦ 0 С
, 2 5 9 Е * 0 0
, 1 3 4 Е ♦ 2 0
, ч 1 1 Е ♦ /< ^
, ? 21 е ♦ г г
, ч 7 9 F 4 ;; о
1 ,
1,
1 ,
2,
2,
3 ,
3,
4 (
л (
3 |
3 ,
3 ,
3 (
3 ,
3 ,
3 (
3 ,
2 ,
2 ,
. 184Е + ее
, 463Е + 00
,ЯЗЗЕ+00
.ЗИ9Е+Р0
,373F+00
. 446F + 00
, 915Е^00
, 7 2 5 F ♦ 0 0
, 7.6 8Е*00
, ?26Е*00
.746F+00
, Л 6 2 Е ♦ 0 0
, 57 1Р + 00
, 463F*00
, 343Е + 00
►204F+00
, 038Е*00
, '3 3 4 F ♦ 0 0
, /.09F-»-00
1 ,
1 ,
1
2
2
ч
ч
4 ,
4 ,
з
3 ,
3,
з,
з,
3 ,
з (
3,
2 ,
? ,
.205Е*0»
.469Е+С0
. 8 12 Е ♦ 0 ^
.25ЛЕ+0Р
,77tE+00
, 44 1F4{»0-
, 760Е *00
, 1 2 7 F ♦ Я О
,753Е*00
. Я з 7 Е ♦ 0 0
.803Е+00
.712Е+00
,Л 14Е 4С*0
, 498Е+00
,т77Е-»-00
, 2 3 7Л * 0 0
, ^63Р+00
,85(SE*00
, ^ 2 5 F 4 р. 0
3uA4FHMfl »ГРЛ» - R 1/М
10,
9,
8 ,
7,
6.
з
А ,
з,
2,
1 ■
0,
0,
0,
0,
0
0,
0
0,
0
• 0
>
I 0
. 0
, Р"
.0
.0
,0
, 0
, г
,9
,8
,7
.6
,5
,4
,3
.2
. 1
1 ,
1 ,
2 ,
4 ,
6 ,
е,
6,
«; (
3 ,
1 ,
1,
1,
1,
I.
1,
\
.9
8
8
, 19РЕ-04
, ^44Е^04
, ч 8 8 Е - 0 4
, 445Е-04
, 448Ет04
t 190F-04
.099Е-04
,<S81E»r04
,220Е*04
,7В4Е»04
,640F*04
.318Е-04
, 402Е-04
, 7 7 7 Е * 0 4
.22.1Е..04
,098Е»04
,693Е^0Э
«809Е-05
. 101Е-Я5
1, 101Ь-^4
1 . 7 J " Г - г 4
2 , 6 9 / Г- ^ 4
4t 157Fi~c»/l
f , 0 ) 8 F - -Ч 4
7,56lE-^4
7,371^-04
5,лзЗЕ-04
2tЯ72Е-04
1 , <S 2 0 Е - 0 4
1,*99Е-04
1,3586-04
1,317Е-04
1 ,7265-04
1,14АЕ-04
1,Я51Р-04
9, 507Е-0е!
8,893с-05
? t 07ЯЕ-С5
9,
1 .
2,
3,
5 .
6,
6,
4 ,
2 ,
1 ,
1,
1 .
1,
9,
9,
8,
7,
6,
7,
, О7ЯЕ-05
, 5 41 е -»: 4
, 4 ЦЕ-Л4
,713Е-'»4
(34ВЕ^04
, лббЕ-г4
, 387Е^04
, 3 81? Е - Г- 4
, 5 3 я Е - С 4
, 3 2 (?) Е - 0 4
г 2 2 3 £ - М
, 127Е-Г^
, 0 6 1 Е г f 4
,914Е-е-5
.264E-Z5
, 4 9 8 Е - 0 5
, 069Е-05
,3823-05
, 133Е-05
8 ,
1 ,
т
з,
<; (
5 (
5 ,
• 3 ,
? ,
1 ,
1 ,
1 ,
9 ,
8 ,
8 ,
7
6
6
6
, 786Е-05
, ^29Е-04
, 0 4 7 Е - 0 4
, Я9ЛЕ-04
, 4 1 1Е-04
, 4 5 5 Е -1 0 4
,225Ет04
, 6 3 4 Е - 0 4
, 2 8 R Е - 0 4
,38оЕ-04
► 1 9 1 F . 0 4
, 084F-04
. р- 7 2 Е - 0 5
,897Е^05
,045Erj05
,4^5Е'05
,643F«05
. 6 0 2 Е « 0 5
.328ЕГ705
7 ,
1 ,
1 ,
7 ,
3 ,
5 ,
4 ,
3,
? ,
1 ,
1,
1 ,
9,
8 ,
7,
7,
6,
/S
3
,447Е*05
, 087Е -Г04
.612Е-04-
,376Е»04
,337Е*04
,?43Е^04
,Я89Е..04
, -1 2 4 Е » 0 4
.305Е-04
.624Е-04
,178Е^04
,095Е^04
,944Е-.05
,990Е Ч05
,889Еп05
. 139Е-05
,1в2Е-05
Л32Е-.05
.945Е-05
25*
387

С 5 /1А К 0
ММ \
1(9.0
9.0
8.3
7.0
А.Я
5.0
4.0
3.0
2 .Я
1.3
0 . 9
0.8
0 .7
0.6
0.5
0. 4
0.3
Я.2
0. 1
10.0
9.0
Я. Я
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
Я . 9
0 . 8
0.7
0.6
0.5
0 . 4
0.3
0 .2
0. 1
10.0
9.0
5.0
7 . 0
6 . 3
5.0
4.0
3.*
2.0
1 . 0
0 .9
0. 8
0.7
0.6
Я. 5
0.4
0.3
0.2
0.1
зо*дь 50;
9,
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
6
8
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
9
Q
6
6
7
ц
9
<?
9
i
<;
3
я
8
я
8
8
7
7
7
7
♦20
793Е+33
170Е+01
398Е+01
654Е+01
906Е+0 1
112Е+01
231Е+31
251Е+01
174Е+01
983Е+31
958Е+31
927Е+01
897Е+Я1
362Е+01
828Е+31
783Е *3 1
745Е+0 1
695Е+01
6345*0 1
7 0 1 Е ♦ 0 0
,919Е*0Э
437Е*0Я
, 1 8 7 Е * 0 3
, 9 8 2 Е * 0 Э
148Е*01
,2355*31
, 2 4 4 Е * 0 1
, 1835*31
, « 9 3 Е * 0 1
. 0 7 8 Е ♦ 3 1
, 0 6 3 Е * 0 1
,0485*0 1
, 0 3 ? Е * Я 1
. 0 2 2 Е * 3 1
.0035*3 1
.8275*00
.6315+00
. 1745*33
, 10 2 Е ♦ Я Я
.7855*00
, 5 4 8 Е ♦ 0 0
. 35 15 + 00
. 0 7 8 Е ♦ 0 Я
, 6 4 0 Е * 3 Я
, 967F+03
. <^Я75*0 1
.91-5*03
.900Е+ЯЯ
. 8 0 0 Е * Р 0
.6435*30
,4645*0*
, 3 2 ? Е * Я 0
.0625*00
. 8 5 7 F * 0 0
.6 195 + 00
,3145+00
. Н8Е + 0Я
9.
1,
li
1.
U
2,
2,
2,
2,
li
li
li
li
1,
1.
li
1,
li
li
'-*>
4
6
в
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
9
9
9
6
А
7
8
9
1
1
1
1
9
8
8
8
3
8
7
7
7
7
Q=2.10E+00
+ 10
ЗНАЧЕНИЯ »
822Е+0?
15йЕ+01
4225+21
6 8 i 5 + 0 1
9 4 2 5+01
J 475 + 01
2 6 я Е + 3 1
2 7 0 5+01
1 6 S t + 0 1
9 Я 3 5 + .3 1
9555+01
9255+01
8965 + 0 1
86 35*3 1
3 2 7 5*01
7 8 7 5+01
7 4 4 5 ♦ <э 1
6955+01
5 3 4 5+01
9 .
1.
1.
1 .
1 .
2 ,
2.
2,
2,
1 .
1 .
1 .
1.
1.
1 .
1 .
1 ,
1
1
0
ГО» - В
897Е+00
2005*21
1475+21
7 155+01
9715*01
1715+01
2795+3 1
2835+01
1865+01
9 8 0 5+01
9525*01
9245 + 0 1
3925 + 0 1
3 5 9 5+01
6245+01
-7 Э 5 С + Э 1
7 4 2 5+01
6 9 2 5 + г 1
6335+01
ЗНАЧЕНИЯ *ГР» - В
7 0 0 5+00
9Ц5 + 00
41 1Е + 00
1 175 + 00
8 4 15+00
1 2 о 5 + 0 1
2 0 15+31
, 2 0 3 F. + 3 1
1 435 + 0 1
, * 7 0 Е + 3 1
,0575+01
14 15+01
, 0 3 ft 5 + 0 1
,0245+01
, 0 125 + 01
,9635+00
,8015+00
, 6 4 65 + 1? 0
, 1 7 1 Е + 0 Я
ЗНАчЕНН
, 12 2 5 + 00
, 9 3 0 5 + 0 Я
, 8 125 + 00
, 7405 + 00
,5735+00
,0235 + 0 1
,0595+01
, 0575 + я 1
, 0375 + 0 1
,12 5 5+30
,9665+00
, 8435 + ЛЯ
,6025+00
,3905+00
,15 3 5+00
,9115+00
,64 15 + 00
, 3045 + 00
, 1 4 {? 5 + Я Я
3
4
6
7
9
1
1
1
1
1
1
1
9
0
9
9
9
9
9
Ч >
6
7
8
9
1
1
1
1
1
?
9
1
ч
8
3
8
7
7
7
6 5 3 5+0Я
8 3 Р 5 + 0 0
° 8 4 5 + 0 Я
9 10 5*00
5 2 6 5+0Я
0 82 5+01
13?.Е + Й1
. 1545 + 01
,10 3 5+01
, И 2 1 5 + 0 1
.0126+01
, Я035 + 01
, о 6 9 5 + 0 Я
, R84E+00
. «05Е + 0Г.
. 6715 + 00
, 4-78 5 + 20
, ^555+ЯЯ
.1745+0Я
> Г 1» - В
, ? 4 5 с * 0 Я
. 1 645 + 00
, 1 3 8 F + 0 0
, Г. 3 8 с + 0 Я
.0135+01
. «895+01
.1275+Я1
.12 9 5+01
, С 8 3 5 + Г 1
. 59ЯГ + 2Г
, Л 0 5 F + С £
. 2 й 3 Е + Я Я
,9545*00
, 7 0 Q С + 1 0
. 4 3 ? 5 ♦ 0 f
.1775+ЯГ
,°3я5 +C0
. г, 3 9 F + е f .
. 1 4 р 5 * 7. 0
-10
Д5/КМ
9.9435*00
1 .209Е+01
1.456Е+01
1 , 720Е + 01
1,97ЯЕ + 01
2. 16 85*31
2 . 2 3 1Е + 0 1
2.2945+01
2. 199Е*01
1 .932Е + 01
1 .953Е+01
1 .925Е + 01
1 .8945 + 01
1 .861Е + Э1
1 ,82 45*0 1
1.7855+01
1.7425*31
1 .6 925*01
1 .6335+01
Д 5 / '< '1
3 ,5065*00
4 .6195 + 00
5*9695+00
7 .4665*00
8 ,9655*00
1 .020Е+31
1 ,0965 + 01
1 , 1 145 + 01
1 , 0 7 7 Е + 3 1
1 ,006Е*01
9.9945+00
9 . Я*2Е♦30
9 ,7395 + 00
9.69J5*00
9.5915+00
?, 49ЯЕ+00
9.4375*00
9.3405+00
С.1745+33
ав/чч
6 . 4425+00
7 .4505+03
8 .5335+00
9 , 7 2 о F + 0 0
1.0745+01
1 , 1 Л 8 Г + 0 1
1 . 18Sf*0i
1 . 132Е+01
1 . 1225 + 01
9,7585+00
V , 5 4 О 5 + 0 0
9.3 55Е+00
9 . 1 475 + 00
ч . 7 1 а 5 + 0 0
^ . А 5 3 Е + 0 0
^.3625+00
8 , Я С ? 5 + 0 0
7.5745+00
7. 14*5 + 30
9
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
5
6
8
1
1
1
1
9
9
0
9
9
9
9
9
9
9
6
7
0
о
1
1
1
1
1
9
9
9
0
г;
р
8
8
7
7
-2<я
788Е+00
182Е+01
4145+31
663Е+01
908Е+01
1635*01
2715+01
3265+01
2265*01
9895+01
961Е+01
9295+01
3975+01
8635+01
8265*01
786Е+01
7425+01
6925+31
,6325+01
, 182Е+00
, 1675+03
.366Е+00
.7405 +00
.1345+00
,0085+01
,0625+01
, 1 165+01
.0795+01
,9245+00
, 3 1 2 Е + 0 3
,7265+00
,6545+03
.5805+00
. 4935+00
.4 145 + 03
,3425+00
.2915+00
, 1745+00
.6055+03
.6435+00
.7715+03
. 3945+00
.09Я5+0 1
. 1555+01
.2085+0 1
.? 115+31
. 1475+01
.9705+03
. 79Р5 + 00
, 5595+00
. 3205+00
,0525+03
,7715+03
. 4 5 С Е + 0 3
.076Е+0Я
,6315 + <?0
,1485+03
388

Ю.
f;,
8.
7,
6,
5,
4 ,
3 ,
2 ,
1 .
Я i
0 ,
0,
F ,
Г,
P.
0.
&i
«,
.0
, 0
, 0
,0
.0
. Й
. Р
, и
, ?
,е
,9
,8
,7
,6
,5
, 4
рЗ
► 2
.1
1,
1 ■
2 ,
2,
2,
2 ,
1 ,
1 ,
7,
4,
4 ,
4 ,
3,
3,
з,
з,
2,
2,
2,
, "* 0 4 Е ~ 0 3
.753Е-ЙЗ
, 1 4 4 Е - fl J
, 4 6 6 Е - 3 3
, 5 7 9 Е - 0 3
, 52RE-kJ3
, 7 3 1 Е - Я 3
, 1 19Е-03
, 1 6 ? Е - 0 4
, 6 3 с Е - Z 4
.325Е-04
, 1СЧЕ-Э4
.896Е-04
.613Е-04
.394Е-Э4
,068Е-04
«727Е-04
.487Е-04
,279Е-04
ЗНАЧЕНИЯ »ГРЛ» - 0
1 i 3 ? V Е - 3 3
1 , 6 1! 1 Е - Я 3
2 , Я М Е - 0 3
2 , 3 4 3 Е - Л 3
2 , 4 ? 9 £ - 3 3
2 , 1 6 3 Г: - Ъ 3
1,587E-J3
1 , Я о 9 Е - «а 3
ле, з с 4 е - я 4
4 , 1 9 8 Е - Я 4
3,927 Г-34
3,6?.7Е;-^4
3,63П€-.34
3 ,' 4 7 Ч Е - 0 4
5 , 1 М Е - 0 4
2,93 7 5-34
2,674Е-34
2,51 1Е-..Н
2,257Е-04
1«
1 ,
1.
о (
2 ,
1.
1 .
6.
б,
3.
3 ,
3,
2.
2,
2,
2 .
1.
1.
2.
,239003
, 5 6 3 С - И 3
.091Е-ЙЗ
. HjE-03
, 193Г.-ПЧ
, 9 Л 1 Е - С 3
«396Е-СЗ
, Р Р 9 Е г iM
f573E-04
. 3 1 2 Е - 0 4
.071F-?'
, 0 4 5 г - Z Л
. 0 2 4 Е - 3 .5
,742Е-Я4
. 5 6 3 F. г Z 4
, 3 3 f) Е - 0 4
, 9 7 5 Е - ? 4
, 94рЕ-04
,007Ег^4
1/м
1 ,
1 ,
1 ,
1 ,
1
1
1 ,
7 ,
5,
3 ,
? ,
2 ,
2 ,
7 ,
2 ,
1 ,
1 ,
1 ,
1 ,
.097Е-03
.372Г-03
.М6Е-ЭЗ
. П 3 7 Е - Ъ 3
, а 5 р е - 0 з
.616Е-03
. 173Е-03
, 5 2АЕ-0 4
, 0 1 0 Е - 0 4
.079F-04
, О63Е-04
.В97Е-04
, 3 0 5 Е - 0 4
. 3 8 2 Е - 0 4
, 1 3 9 Е - 0 4
.930Е-04
.919Е-04
. в 5 9 Е г 0 4
,780Е'-04
В ,
1
1
1
1
1
о
с*.
«^
3 ,
о
?
1
7
1
1 ,
1,
1 ,
.969Е-«И
. 1 0 6 Е - 0 3
.307Е-03
. 4 4 6 Е - 0 3
. 4 5 9 Е - ? 3
.563Е-03
.565Е-04
,63!)Е-0 4
. й 3 7 Е - 0 4
.23ПЕ-04
.691Е-Р4
, 3 5 '> Е - 0 4
.ЧЗЗЕ-04
. 2 7 «5 Е - 0 4
, 9 5 1 Е - 0 4
.737Е-04
, Л 6 6 Е - 0 4
, 732Е-0 4
.Л73Е-04

Из всех услуг, какие могут быть
оказаны науке, величайшая —
введение в ее обиход новых идей.
Д. Томсон
ГЛАВА 6
ОСЛАБЛЕНИЕ, РАССЕЯНИЕ, ПОГЛОЩЕНИЕ
И РАДИОЛОКАЦИОННОЕ ОТРАЖЕНИЕ
ММ И СБММ ВОЛН В ОБЛАКАХ
РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих главах настоящего справочника мы
неоднократно отмечали, что электромагнитное излучение ММ и СБММ
диапазонов распространяется через полидисперсные облака.
Полидисперсное облако включает в себя три фракции капель: 1)
радиусом от 1 до 20 мкм, 2) от 20 до 85 мкм и 3) от 85 до 1500 мкм
и более. Капли всех фракций одновременно находятся в облаке
при температуре от 20 до —20 °С.
Напомним, что фракция капель радиусом от 1 до 20 мкм
исследовалась давно и плотности распределения этих капель по
размерам известны достаточно хорошо. Этого нельзя сказать
относительно двух других фракций. Для капель радиусом от 85 до
1500 мкм и более некоторый наблюдательный материал еще
имеется, и можно обобщить результаты исследований последних
десяти лет. Изучение капель размером от 20 до 85 мкм находится
в начальной стадии и окончательных данных еще нет.
Исходя из сложившегося положения с исследованием
микроструктуры облаков, следует рассмотреть материал по
распространению ММ и СБММ волн в облаках отдельно для каждой
фракции капель. Кроме того, имеются и физические предпосылки для
подобного подхода к изложению материала распространения
электромагнитного излучения в облаках. Они заложены в изложенной
выше теории дифракции излучения на сферической частице и
заключаются в следующем:
1) фракция капель размером от 1 до 20 мкм при
распространении ММ и СБММ волн подходит под случай дифракции
электромагнитных волн для условия г<С^; как отмечалось выше, этот слу-
390

чай относится к рэлеевскому ослаблению и описывается
формулами Рэлея;
2) фракция капель размером от 20 до 85 и от 85 до 1500 мкм
и более при распространении ММ и СБММ волн относится к
случаю г «Я, т. е. подходит под описание теории дифракции и здесь
применима только строгая теория Ми.
С точки зрения дифракции и распространения
электромагнитных волн через полидисперсное облако это два совершенно
различных случая; смешивать их нельзя, и требуется их раздельное
рассмотрение. Поэтому ниже раздельно рассматривается
распространение ММ и СБММ волн через три отдельные фракции капель
одного и того же облака. В дальнейшем с учетом вклада каждой
фракции в общую концентрацию облака можно судить
относительно распространения ММ и СБММ волн через облако в целом.
Следует одновременно напомнить, что, хотя вся водность
облака определяется первой фракцией капель (1—20 мкм), а
водность, обусловленная двумя другими фракциями, ничтожно мала
по сравнению с первой, вклад двух последних фракций в
коэффициенты рассеяния и отражения в ММ и СБММ диапазонах
намного превосходит вклад первой фракции. В этом и заключена
-основная суть проблемы. Селективность в распространении,
которая присуща фракции сверхкрупных капель в облаках, и
предопределяет специфические особенности ММ и СБММ волн при
распространении в реальном облаке.
Поскольку в главе рассматривается взаимодействие ММ и
СБММ волн со сверхкрупными каплями размером от 85 до
1500 мкм, то, учитывая важность проблемы градообразования,
в одном из параграфов рассматривается вопрос фазового перехода
вода — лед в переохлажденных сверхкрупных каплях и
аномальное радиолокационное отражение в диапазоне СБММ волн,
которое сопровождает этот переход.
Как отмечалось выше, мы выполнили расчеты и по
приближенным формулам Рэлея. В этой главе рассматривается точность
расчетов по приближенным формулам Рэлея и границы
применимости этих формул при расчетах в ММ и СБММ диапазонах.
В заключение рассматривается вопрос, связанный с
многократным рассеянием ММ и СБММ волн в облаке. Определяются и
уточняются границы применимости формул однократного
рассеяния при распространении электромагнитных волн ММ и СБММ
диапазонов через облака различных типов.
6.1. ОСЛАБЛЕНИЕ
И РАДИОЛОКАЦИОННОЕ ОТРАЖЕНИЕ ММ И СБММ ВОЛН
КАПЛЯМИ РАДИУСОМ ОТ 1 ДО 20 мкм В ОБЛАКАХ
Отличительной особенностью рассматриваемого расчетного
материала является то, что в отличие от всех других до этого
выполненных расчетов, здесь вычисления выполнены по точным форму-
391

лам Ми как в ММ, так и в СБММ диапазонах. Это сделано, во-
первых, с целью получения точных сведений в ММ диапазоне и,
во-вторых, для возможности сравнения этих результатов с
результатами расчетов по приближенным формулам Рэлея и определения
точных границ расчетов по теории Ми. Вопросу сравнения точных
расчетов с приближенными посвящен отдельный параграф.
Следует заметить, что в длинноволновой части ММ диапазона
ожидать существенных различий не следует. Основное различие
расчетов по точным и приближенным формулам может наблюдаться
в средней и коротковолновой части ММ диапазона, и особенно для
конвективных облаков.
Наши расчеты в СБММ диапазоне не с чем сравнить, поскольку
все вычисления выполнены только по точным формулам Ми.
Расчеты в СБММ диапазоне в таком объеме и с такой высокой
точностью выполняются впервые. Весь наш расчетный материал, для
основных типов облаков представлен в главе 5. Поэтому выводы по
распространению ММ и СБММ волн в облаках основных типов,
приводимые ниже, основаны на исследованиях вышеуказанного
материала.
Первое, на что следует обратить внимание,— это поведение
основных четырех коэффициентов: Г0, Гр, Гп и Грл — для различных
типов облаков (имеются в виду их абсолютные значения).
Используя таблицы, приведенные в главе 5, мы выписали максимальные
и минимальные значения коэффициентов для 12 основных типов
облаков при изменении температуры в облаке от 20 до —20 °С
отдельно для ММ (от 1 до 10 мм) и СБММ (от 0,1 до 1 мм)
диапазонов (табл. 6.1). Из таблицы видно, в каких пределах
изменяются значения всех четырех коэффициентов отдельно для каждого
из типов облаков. Данные таблицы позволили также обнаружить,,
что для всех четырех коэффициентов минимальное значение в ММ
диапазоне соответствует значению при К=10 мм; максимальное
значение в ММ диапазоне соответствует значению при Х=1 мм;
минимальное значение в СБММ диапазоне соответствует значению
при Х=1 мм и, наконец, максимальное значение в СБММ
диапазоне соответствуют значению при Х=0,1 мм. Тогда из табл. 6.1
следует, что для всех типов облаков коэффициенты Г0, Гр, Гп и
Грл зависят от длины по закону Рэлея. Это означает, что для
каждого отдельного типа облаков значения коэффициентов в
длинноволновой части диапазона всегда меньше, чем в коротковолновой,
независимо от того, какой это диапазон — ММ или СБММ. Кроме
того, для всех коэффициентов наблюдается общая характерная
тенденция: в ММ и в СБММ диапазонах максимальное значение
коэффициентов для слоистых облаков почти всегда на
порядок меньше, чем для конвективных. Кроме этой отличительной
черты, каждый из коэффициентов имеет свои специфические
особенности.
Коэффициент ослабления Г0. Из табл. 6.1 видно, что из всех
типов облаков наименьшее значение Г0 наблюдается в случае Ас
и As, а максимальное — в случае Св(тах). Максимальное значе-
392

Таблица 6.1
Максимальные и минимальные значения Г0, Гр, Гп и Грл Для диапазонов ММ и СБММ волн при изменении
температуры облака от 20 до —20 °С для различных типов облаков (мелкие капли)
Тип облаков
Г0 дБ/км
ММ волны
минимум
максимум
СБММ волны
минимум
максимум
Гр дБ/км
ММ волны
минимум
максимум
СБММ волны
минимум
максимум
Sc
St
Ns
Ac
As
Medi
Maxi
Cu hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong. (max)
Cb (max)
CO
CD
1,013-10-1
9,870-Ю-2
1,270-10-1
6,993-10-2
8,164-10-2
1>879-10-1
2,444
2,361-10-1
4,711-10-1
8,216-10-1
1,140
1,413
3,285
3,196
4,134
2,265
2,650
6,082
7,992-
7,617
1,523-
2,670-
3,754-
4,900-
101
101
101
101
101
3,285
3,196
4,134
2,265
2,650
6,082
7,992-
7,617
1,523-
2,670-
3,754-
4,900-
101
101
101
10i
lQi
4,898-101
4,420-101
7,307-101
3,230-101
4,223-101
8,411-101
1,686-103
8,138-101
1,939-Ю2
4,502-102
8,382-102
1,014-103
3,081-10-7
2,343-10-7
6,297-10-7
1,844-10-7
3,033-10-7
4,459-10-7
1,900-10-5
1,798-10-7
8,213-10-7
3,582-10-6
1,542-10-5
9,568-10-5
2,213-10-3
1,681-10-3
4,527-10-3
1,323-10-3
2,179-10-3
3,200-10-3
1,368-10-1
1,287-10-3
5,890-10-3
2,574-Ю-2
1,116-Ю-1
7,069-10-1
2,213-Ю-3
1,681-Ю-3
4,527-Ю-3
1,323-Ю-3
2,179-Ю-3
3,200-Ю-3
1,368-10-1
1,287-Ю-3
5,890-Ю-3
2,574-Ю-2
1,11610-1
7,069-Ю-1
1,122-101
8,753
2,149-101
6,816
1,077-101
1,666-101
6,004-102
7,152
3,150-101
1,246-102
3,300-№
4,867-102

ние Г0 в ММ диапазоне для всех слоистых облаков, а также для
Ас имеет порядок нескольких дБ/км, а для конвективных
облаков— порядок десятков дБ/км. В СБММ диапазоне эти
показатели на порядок больше: для слоистых облаков и Ас Г0 имеет
порядок десятков дБ/км, а для конвективных облаков Г0 — порядок
сотен и даже тысяч дБ/км. Следует помнить, что Г0 представляет
собой сумму: Г0=Гп + Гр, поэтому для каждого отдельного типа
облака Г0>ГР и Г0>ГП. Это отчетливо видно из таблицы.
Коэффициент рассеяния Гр. Для всех типов облаков
минимальное значение Гр в ММ диапазоне очень мало, поскольку в этом
диапазоне Г0~ГП и на рассеяние приходится Ю-5—10~7 дБ/км.
Максимальное значение Гр в ММ диапазоне также мало и
составляет Ю-1—Ю-3 дБ/км. Однако с переходом в СБММ диапазон
доля рассеянной компоненты постепенно увеличивается. В средней
части СБММ диапазона уже почти 50 % приходится на Гп и
50 % — на Гр.
Как видно из табл. 6.1, наименьшее рассеяние дают облака Sc
и Ас, а наибольшее — Св(тах). Почти для всех типов облаков
минимальное значение Гр в ММ диапазоне — порядка 10~7 дБ/км.
Исключение составляют конвективные облака: Си cong., Си cong.
(max) и Св(тах). Максимальное значение Гр в ММ диапазоне
в основном — порядка 10_3дБ/км. Исключение составляют те же
конвективные облака, для которых Гр может достигать Ю-1—
Ю-2 дБ/км. Максимальное значение Гр в СБММ диапазоне почти
для всех типов облаков — порядка 101—102 дБ/км.
Коэффициент поглощения Гп. Коэффициент Гп для всех типов
облаков ведет себя аналогично рассмотренному выше
коэффициенту Г0. Для слоистых облаков и Ас Гп имеет порядок единиц
дБ/км (макс. ММ диапазона), а для конвективных облаков —
порядка десятков дБ/км. В СБММ диапазоне в слоистых облаках и
Ас Гп имеет порядок десятков дБ/км, а в конвективных облаках
Гп — сотен дБ/км.
Коэффициент радиолокационного отражения Грл. Для
коэффициента Грл (см. табл. 6.1) нельзя провести четкую границу между
слоистыми и конвективными облаками. В основном значение
коэффициента Грл колеблется от 10~10 до Ю-11 м-1 для минимального
(мин.) значения ММ диапазона, причем для всех типов облаков.
Исключение составляют облака Си cong., Си cong. (max) и
Св(тах), для которых ГрЛ~10-8—Ю-9 м-1. Для многих типов
облаков максимальное (макс.) значение Грл в ММ диапазоне —
порядка 10~6—10~7 м-1. Исключение составляют облака Си cong.
(max) и Св(тах), для которых Грл~10-4—Ю-5 м-1. Почти для
всех типов облаков максимальное значение Грл в СБММ
диапазоне— порядка 10~2—Ю-3 м-1, т. е. разброс значений Грл здесь
очень мал. Если обратить внимание на общее изменение Грл от
мин. ММ диапазона до макс. СБММ диапазона, то можно
заметить, что оно составляет девять порядков (от Ю-11 м-1 до Ю-2 м-1).
Ни один из вышерассмотренных коэффициентов Г0, Гр и Гп не
изменяется в таком широком диапазоне. Однако следует напомнить,
395

что и ослабление при переходе от ММ в СБММ диапазон
увеличивается существенно (до порядка 103 дБ/км).
Как показывают расчеты, и в этом убедимся позже,
непосредственно в облаке радиолокационное отражение СБММ волн
существенно больше ослабления. Это можно использовать для
получения ценной информации как о физическом состоянии
облачных капель или частиц, так и об их микроструктуре. Реализовать
эту возможность в настоящее время трудно из-за отсутствия
мощных генераторов излучения СБММ диапазона.
Следующий вопрос, который необходимо обсудить,— каким
образом изменяются коэффициенты Г0, Гр, Гп и Грл в зависимости
от температуры в облаке для различных типов облаков. Здесь для
анализа опять используются данные из таблиц, приведенных
в главе 5. Для характеристики температурной зависимости
вышеуказанных коэффициентов мы использовали их значения только
для двух длин волн: для среднего значения ММ диапазона (К=
= 5 мм) и среднего значения СБММ диапазона (^=0,5 мм).
Ранее отмечалось, что расчеты 1\ мы проводили для пяти значений
температур — от 20 до —20 °С через каждые 10 °С. Поэтому
результаты приведенного ниже анализа относятся ко всему
указанному диапазону изменения температуры.
В табл. 6.2 приводятся значения коэффициентов: Г0, Гр, Гл и
Грл для основных типов облаков, двух значений температуры (20
и —20°С) и двух значений длины волны (Х=5 и 0,5 мм).
Основное свойство, которое обнаружено для всех четырех
коэффициентов,— монотонное возрастание коэффициентов при изменении
температуры от 20 до —20 °С или, наоборот, монотонное уменьшение
коэффициентов при изменении температуры от 20 до —20 °С.
Отдельные коэффициенты имеют свои отличительные особенности
температурного изменения, поэтому удобно их отдельное
рассмотрение.
Коэффициент ослабления Г0. В ММ диапазоне (Х=5 мм) для
всех типов облаков (см. табл. 6.2) значения Г0 при температуре
20 °С всегда меньше, чем при температуре —20 °С. В СБММ
диапазоне (Л=0,5 мм) изменение Г0 с температурой имеет обратный
ход: с уменьшением температуры величина Г0 уменьшается. Этот
переход от ММ диапазона к СБММ имеет место приблизительно
при Х=3 мм — явление, подмеченное впервые в работе [10] (см.
рис. 14 [10]). По данным табл. 6.2 можно судить о градиенте
изменения функции T0(t) отдельно для каждого из типов облаков»
Так, если для слоистых облаков при изменении температуры от
20 до —20 °С величина Г0 при Я=5 мм изменяются на десятые
доли дБ/км, то для конвективных облаков это изменение
составляет единицы дБ/км. В СБММ диапазоне (1=0,5 мм) при
изменении температуры от 20 до —20°С для облаков слоистых форм
изменение Г0 составляет единицы дБ/км, а для конвективных
облаков десятки единиц дБ/км.
Коэффициент рассеяния Гр. В ММ диапазоне (Х=5 мм) при
изменении температуры от 20 до —20°С величина Гр для всех ти-
396

Таблица 6.2
Температурные изменения коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл для длин волн Х = 5 мм и Я=0,5 мм для различных типов
облаков (мелкие капли)
Тип облаков
А,=5 мм
20 °С
—20 °С
А,=0,5 мм
20 °С
—20 °С
Гр дБ/км
Я=5 мм
20 °С
-20 °С
Я = 0,5 мм
20 °С
-20 °С
Sc
St
Ns
Ac
As
Medi
Maxi
Cu hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong. (max)
Cb (max)
3,765-10-1
3,667-10-1
4.721-10-1
2,598-10-1
3,033-10-1
6,979-10-1
9,085
8,770-10-1
1,750
3,053
4,239
5,266
6,375-10-1
6,210-10-1
7,992-10-1
4,400-10-1
6,068-10-1
1,182
1,537-101
1,486
2,964
5,168
7,168
8,864
6,289
6,097
7,988
4,328
5,091
1,160-101
1,564-102
1,439-101
2,896-101
5,146-101
7,492-101
1,122-102
2,794
2,712
3,539
1,924
2,260
5,161
6,902-
6,423
1,290-
2,282-
3,291 •
4,804-
101
101
101
101
101
5,432-10-6
4,130-10-6
1,097-10-5
3,250-10-6
5,346-10-6
7,860-10-6
3,350-10-4
3,169-10-6
1,448-10-5
6,315-10-5
2,719-10-4
1,689-10-3
4,364
3,318
8,919
2,611
4,295
6,315
2,691
2,546
1,163
5,073
2,185
1,357
ю-6
ю-6
ю-6
0-6
ю-6
ю-6
ю-4
10-6
ю-5
ю-5
ю-4
ю-3
2,774.10-2
2,105-10-2
5,690-10-2
1,658-10-2
2,734-10-2
4,007-10-2
1,723
1,604-10-2
7,364-10-2
3,233-10-»
1,421
9,267
1,483-10-2
1,126-10-2
3,037-10-2
8,865-10-3
1,460-10-2
2,143-10-2
9,183-10-1
8,605-10-3
3,942-10-2
1,726-10-1
7,524-10-1
4,813

1
о
^
со
о
ю
1
о
^
со
оо
со
1
о
t^
OJ
о
^
1
о
со
о
со
1
о
^
1Л
ел
Tf
1
о
о
СЛ
CN
t-
1
о
^
ел
о
со
1
о
ел
^
(Л
сч
1
о
^
^
со
^
1
о
ю
^
оо
ю
1
о
о
ел
^
СЧ
1
о
CD
оо
^
^
1
о
(Л
<л
со
ел
1
о
00
^
^
1
о
о
сч
ел
^
1
о
ю
сч
CD
ю
1
о
00
^
. сч
(Л
1
о
о
CD
со
^
1
о
(Л
оо
г^
ю
1
о
^
ст>
^
ю
1
о
г-
о
ю
сч
1
о
сч
ел
о
^
1
о
t-
t^
CD
^
1
о
о
СЧ
00
с^
I
о
I
о
I
о
I
о
I
о
I
о
t-
о
ю
^
CD
^
^
О
оо
о
со
t-
о
(Л
ел
Ю^ CD^
r^." ^"
I
о
I
о
I
о
I
о
I
о
I
о
I
о
CD CO C^ CD ^ CD Ю
C^ CO C^ ^ —< Ю СЛ
^f 00 —< OO t^ ~н о
—Г со" —«" —" сч" —Г —Г
I
о
00 СЧ
ел" ю"
о
оо
t-
_Ч
о
^
о
о
ю
ю
о>
о
Tt«
ю
^
00
CD
^
^
CD
CD
ОО
СЧ
^
^
CD
С^
СЧ
CD
СЧ
СО
СО
СЧ
СО
^
сч
CD
СЧ
CD
CD
t^
О
CD
^
СО
СЛ
t^
^
со
^
^f
CD
О
Ю
CD
Ю
*^
t—
^
ю
^
^ —« —« сч
о
со
ю"
О СЛ
со о
I
О
I
о
I
о
I
о
о
ГМ
CD
О
СМ
CD
СЧ
СЛ
СЛ
t-
о
о
Tj«
^
CD
СО
1Л
СЧ
ОО
^
Г^
со
ю
~^
CD
00
Tj«
^
^
CD
СЛ
сч
оо
CD
Ю
ОО
CD
t^
сч
CD
00
ОО
1
О
3,764-
i
о
3,667-
i
о
4,721-
i
о
2,598-
i
о
3,033-
1
о
6,979-
9,085
i
о
8,770-
1,750
3,053
4,239
с
о
S £
3
и
398

пов облаков уменьшается. Аналогичная картина наблюдается и
в СБММ диапазоне (Я=0,5 мм). При этом для облаков слоистых
форм изменение величины Гр почти на порядок и даже на два
меньше, чем для конвективных облаков. Для одного и того же
типа облаков абсолютные значения Гр при уменьшении
температуры от 20 до —20 °С изменяются очень мало для всех типов
облаков (из-за малости самих Гр) и это изменение колеблется в
пределах 10~3—Ю-5 дБ/км.
Коэффициент поглощения Гп- Изменение коэффициента
поглощения в зависимости от температуры аналогично изменению Г0.
Коэффициент радиолокационного отражения Грл. В ММ
диапазоне (Х=5 мм) для всех типов облаков Грл уменьшается с
переходом от положительных температур (20°С) к отрицательным
(—20 °С). При этом для облаков слоистых форм Грл изменяется на
Ю-10 м-1, а для конвективных облаков — это изменение имеет
порядок Ю-8 м-1. В СБММ диапазоне (^=0,5 мм) также с
изменением температуры от 20 до —2.0°С величина Грл уменьшается: для
облаков слоистых форм изменение Грл имеет порядок Ю-6 м-1,
а для конвективных облаков—Ю-4 м-1. Как видим, различие
очень большое — более двух порядков. На такое значительное
изменение Грл для конвективных облаков следует обратить внимание
при исследовании радиотеплового излучения облаков. Особенно
важно это иметь в виду при исследовании коэффициента
поглощения облака по его радиотепловому излучению.
Перейдем теперь к сравнению результатов наших теоретических
расчетов для фракции капель радиусом от 1 до 20 мкм (см. главу
5) с экспериментальными результатами других исследователей.
Сразу же отметим, что речь пойдет только о коэффициенте
поглощения.
У внимательного читателя может возникнуть вопрос: почему
в теоретических и экспериментальных результатах будут
сравниваться только фракции размеров от 1 до 20 мкм. Ведь речь пойдет
как о слоистых, так и о конвективных облаках, где присутствуют
капли размером более 20 мкм (т. е. крупные и сверхкрупные).
В подавляющем большинстве экспериментальных работ,
выполненных, как в нашей стране, так и за рубежом, используется
метод собственного радиоизлучения облака для исследования
ослабления или, точнее, поглощения микроволнового излучения
облаком. Известно, что собственное излучение облака
пропорционально его поглощению, а последнее полностью определяется
водностью облака. Однако крупные и сверхкрупные капли во всех
облаках из-за малой концентрации вносят ничтожный вклад в
водность облака. Поэтому при использовании метода собственного
излучения для определения поглощения облака вкладом крупных
и сверхкрупных капель можно пренебречь. В связи с этим ниже
будут обсуждаться результаты только для фракции капель
радиусом от 1 до 20 мкм.
Следует сразу же отметить, что в настоящее время существует
очень мало исследовательских работ по экспериментальному оп-
399

ределению поглощения микрорадиоволн в облаках. Основные
эксперименты касаются сантиметровых и ММ волн, причем они
выполнены для отдельных длин волн и типов облаков. Особого
внимания заслуживают работы [16, 17], где для большинства типов
облаков приводятся экспериментальные данные о средних и
максимальных значениях поглощения всей толщиной облака для длин
волн: 4,0 и 4,1; 3,5; 2,0; 1,25 и 1,3; 0,73 мм. Данные эти
представлены в табл. 6.3 а. В табл. 6.5 приводятся средние и
максимальные значения коэффициентов поглощения для тех же типов
облаков и тех же длин волн, что и в табл. 6.3 а.
Таблица 6.5 составлена следующим образом. В качестве ГПСр
из таблиц I—IV (см. главу 5) отобраны средние значения для
зимы (0... —20 °С) и для лета (0—20 °С); в качестве максимального
значения Гптах отобраны максимальные значения Гп для лета
(0—20 °С) и зимы (0... —20 °С). Для определения поглощения
всей толщей облака необходимо знать толщину облаков
различных типов. Эти данные мы взяли из работы [15], в которой они
определены для средней полосы европейской части СССР
(г. Москва) (табл. 6.4). Значения ГПСр и Гптах из таблиц (см.
главу 5) умножались на соответствующие значения А//из табл. 6.4
для каждого типа облаков. В результате в табл. 6.5 представлены
средние и максимальные значения поглощения излучения всей
толщей облака, рассчитанные согласно нашим таблицам.
Если теперь сравним данные табл. 6.3а и 6.5 для различных
типов облаков, то придем к выводу об удовлетворительном
согласии данных для слоистых облаков. Для конвективных облаков
различие существенное. Значения, полученные в результате
теоретических расчетов, превышают значения, определенные
экспериментально, причем с уменьшением длины волны это расхождение
возрастает. Для длины волны примерно 1 мм теоретическое значение
почти в 10 раз больше, чем экспериментальное. По-видимому, это
можно объяснить неправильным выбором в теоретических
расчетах толщины интенсивно развивающихся конвективных облаков.
Для слоистых облаков вопрос определения толщины облака
решается сравнительно просто, а определить мощность
конвективного облака крайне трудно и, кроме того, мала точность метода
собственного излучения для определения коэффициента
поглощения. Из-за большой толщины конвективного облака весьма
проблематичен выбор средней температуры облака, который, как мы
убедились выше, имеет большое значение. Невозможность пока
точного расчета указанных характеристик, по-видимому, и является
основной причиной столь больших расхождений теории и
эксперимента.
В работе [19] приводятся средние и максимальные значения
полного поглощения для слоистых и конвективных облаков, из
которых в табл. 6.36 представлены значения для ^=0,41 см и Х=
= 0,81 см. Очень трудно сравнить эти данные с нашими расчетами,
поскольку существует большая неопределенность, во-первых, в
определении толщины облаков, во-вторых, в процессе осреднения и
400

to
o>
Таблица 6.3а
Среднее Гср (дБ) и максимальное Гтах (дБ) ослабление в облаках на длинах волн Х = 4,0... 0,73 мм [14]
Форма облаков
Время года
4,0
Гср
г
max
3,5
Гср
г
max
К мм
2,0
ГсР
г
max
1,25; 1.3
ГсР
г
max
0,73
Гср
г
А max
Ас
As
Sc
St
Си hum.
Си mid.
Си cong.
Cb
Зима
Лето
Зима
Лето
Зима
Лето
Зима
Лето
Зима
Лето
Зима
Лето
Зима
Лето
Зима
Лето
0,2
0,3
0,2
1,2
0,4
2,5
0,3
0,2
1,5
0,4
1,7
3,7
0,7
0,7
0,3
3,0
0,8
3,5
—
0,8
2,7
0,8
5
7,0
0,2
0,3
0,4
0,6
—
0,6
1,5
8,4
0,3
0,8
1,6
2,3
—
2,5
3,5
8,2
0,1
—
—
1,9
—
—
3,3
—
0,2
3,2
9,1
0,4
0,1
3,7
0,7
0,9
0,4
5,2
1,7
0,6
2,1
0,5 0,7 1,0 2,4
0,2
1,8
8,7
1,5
11,0
0,6
5,5
14,1
2,6
18,9
6,7
11,6
—
10
27
—

Таблица 6.36
Средние Г (числитель) и максимальные Гтах (знаменатель) значения
полного поглощения (неперы) в облаках различных форм [17]
А, мм
Си med.
—5... 0°С
0-5 °С
St, Sc
Зима, —10 °С
Лето, 5 °С
4.1 0,4 1,1 ОДЗ 0,20
2,0 3,3 0,24 0,46
8.2 0,14 0,40 0,05 0,06
0,73 1,21 0,09 0,14
Примечание. Для кучевых облаков z=60°, для слоистых облаков 2 = 0.
выборе максимального значения и, в-третьих, в выборе значений
которые следует приписать зенитному углу 60°. Ориентировочные
расчеты показывают, что для облака Си cong. значения
коэффициента поглощения в наших таблицах (см. главу 5) почти в два
раза превышают значения приведенные в табл. 6.36 (по
максимуму поглощения) для Х=4,1 мм и почти совпадают для Х=
8,1 мм. Для слоистых облаков (Sc и St) совпадение данных
сравнительно хорошее для обеих указанных длин волн. Однако
непонятно, почему коэффициент поглощения в табл. 6.36 для лета
(5°С) больше, чем для зимы (—10 °С) для St и Sc и обеих длин
волн (Я=4,1 мм и Я=8,1 мм). Интересно, что подобное
наблюдается и в табл. 6.3а.
Согласно теоретическим расчетам, конкретно для
рассмотренного случая должна наблюдаться обратная картина. Если
обратиться к таблице I (см. главу 5), то обнаружим следующее: для
облака St (q = 2,14-10-1 г/м3) при 10°С для Х=4 мм ГП=6,383Х
ХЮ"1 дБ/км, а при —10°С для Х = 4 мм Гп=7,84- КН дБ/км, т. е.
коэффициент поглощения летом (10°С) меньше, чем зимой
(—10 °С). Аналогичная картина наблюдается для длины волны
Х=8 мм и облака Sc.
Представленный выше объемный анализ поведения
коэффициентов Гп и Го в зависимости от температуры в облаке с
наглядностью показал большое разнообразие спектрального хода
поглощения. Поэтому при строгом подходе к вопросу следует
руководствоваться теоретическими данными таблиц. Только
конкретизация типа облака и температурного режима внутри облака
позволяет реально предопределить характер поглощения в облаке.
В работе [16], где рассматривается именно этот вопрос, особое
внимание уделено экспериментально установленным фактам:
зимой в облаках поглощение значительно меньше, чем летом; в
облаках одной и той же формы ослабление в холодные дни
значительно меньше, чем в теплые; в тех случаях, когда температура
воздуха у земной поверхности ~0°С, ослабление в 3—10 раз.
402

Таблица 6.4
* Высота нижней (#нг) и верхней (#вг) границы и толщина (Л#) облаков различных типов для средних широт СССР
(Москва) по [15], а также температура на уровне нижней и верхней границы облаков
Тип облаков
#НГ км
Зима
Лето
#вг км
Зима
Лето
АН км
Зима
Лето
'нг°с
Зима
Лето
'вг°с
Зима
Лето
Sc
St
Ns
Ac
As
Cu hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong.
Cu cong.
Cb (max)
Cb (min)
(max)
(min)
0,85
0,25
1,55
3,50
3,70
1,30
0,30
1,55
3,60
4,15
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
0,5
0,5
1,15
0,55
3,15
3,75
4,70
1,62
0,60
3,15
3,85
5,05
2,0
3,0
5,5
6,0
2,0
14,5
5,5
0,30
0,30
1,60
0,25
1,00
0,32
0,30
1,60
0,25
0,90
1,0
2,0
4,5
5,0
1,0
14,0
5,0
—8
—5
—9
—17
— 18
8
18
5
—2
—5
10
10
10
10
10
15
15
—12,1
—10,1
—19,8
—20,1
—28,3
7
12
0
—4
—10
0
-3
—10
—17
—3
—25
— 10
о
CO

о
Таблица 6.5
Средние и максимальные значения Гп (дБ) для четырех длин волн и различных типов облаков
Тип облаков
Время года
А,=4 мм
Ln ср
Х = 2 мм
п ср
Х=1 мм
Ln ср
Д,=0,7 мм
п ср
Ас
As
Sc
St
Си hum.
Си med.
Си cong.
Cb
Зима
Лето
Зима
Лето
Зима
Лето
Зима
Лето
Зима
Лето
Зима
Лето
Зима
Лето
Зима
Лето
0,1
0,5
0,25
0,2
0,25
0,2
1,5
7,0
6,0
26,0
24,0
45,0
0,2
0,6
0,25
0,25
0,25
0,25
1,7
7,0
7,0
26,0
28,0
55,0
0,25 0,25
0,5
60,0
0,5
60,0
0,53 0,57 0,72 0,79
2,20 2,40 3,04 3,30
0,55
0,89
7,08
0,71
0,94
7,62
17,5
28,2
107
142
214
24,02
30,46
120
187
241
39,4
152
—
42,0
167
—

меньше, чем при температуре >15°С Все это в работе [16]
объясняется тем, что: 1) зимой почти не бывает мощных облаков, 2)
в облаках разных типов агрегатное состояние воды и
соотношение объемного содержания капель воды и кристаллов льда
различается.
Таблица 6.6
Поглощение микроволновой радиации на длинах волн X=0,41 см и X=0,82 см
для различных типов облаков по [11]
Тип облаков
Си hum.
Си med.
Си cong.
St, Sc, зима
St, Sc, лето
t °c
0—5
0-5
0—5
—10
0
z°
60
60
60
0
0
Л=0,41 см
Г
0,4
1,1
0,13
0,20
rmax
2,0
3,3
0,24
0,46
Л=0,82 см
Г
0,01
0,14
0,40
0,05
0,06
rmax
0,01
0,73
1,21
0,09
0,14
Таким образом, можно заключить, что теория поглощения
излучения облаками не объясняет экспериментальные результаты
сезонного изменения поглощения облаков, разобраться в которых
еще предстоит исследователям.
Внимания заслуживает, кроме того, работа [11], в которой
также приводятся значения Г и Гшах для отдельных длин волн и
Коэффициент ослабления облаков различных типов для А,=4 мм и X
согласно нашим таблицам из главы 5
Таблица 6.7
8 мм,
Тип облаков
t°C
Гп ДБ
X=4 мм
Я=8 мм
ДЯ км
Си hum.
Си med.
Си cong.
St, зима
Sc, зима
St, лето
Sc, лето
0
0
0
— 10
— 10
10
10
1,76
7,0
27,5
0,23
0,24
0,19
0,20
0,58
1,3
9,4
0,1
0,1
0,06
0,06
1,0
2,0
4,5
0,30
0,30
0,32
0,30
различных типов облаков. Результаты для Я=0,41 см и Я=0,82 м
из этой работы приводятся в табл. 6.6. Аналогично результатам,
представленным в табл. 6.5 и 6.6, в табл. 6.7 приводятся значения
Г0 для Х=4 мм и Х=8 мм. Сравнение табл. 6.6 и 6.7 показывает,
что опять для слоистых облаков средние теоретические значения
поглощения хорошо совпадают с результатами эксперимента. Для
кучевых облаков наши расчеты дают гораздо большую величину
405

поглощения, чем эксперимент. Это расхождение мы опять
связываем с неопределенностью выбора АН в теоретических расчетах
поглощения конвективным облаком. Следует напомнить, что
выбор значений АН для облаков различных типов выполнен по ра-
Таблица 6.8
Вертикальные ослабления (дБ) для ММ и СБММ волн в облаках по данным [27]
при / = 10°С
,Тип облаков
Высококучевые
Кучевые
Мощные кучевые
0,45
1,5
17,5
51
к
0,73
0,6
10,0
27
мм
1,2
0,35
1,16
19
2,0
0,16
9,0
боте [15], и эти данные мало отличаются от значений,
приводимых в других работах, например в [9].
В работе [27] приводятся результаты исследования
вертикального поглощения в облаках в ММ и СБММ диапазонах для
кучевых облаков. Данные эти представлены в табл. 6.8. В табл. 6.9
Таблица 6.9
Значения Г0 и вертикальное ослабление для различных типов облаков
Тип облаков
Ас
Си hum.
Си med.
Си cong.
Ас
Си hum.
Си med.
Среднее кучево*
Си cong.
К мм
0,50
4,17
13,88
27,95
49,56
Верт
1,05
13,88
55,84
; 34,86
223
0,7
1,0
Го дБ/км
3,12 2,25
10,45 7,55
20,94 15,10
36,86 26,45
гикальное ослабление дБ
0,78 0,56
10,45 7,55
41,88 30,20
26,17 18,87
161 119
2,0
1,11
3,75
7,49
13,07
0,28
3,75
15,0
9,37
58,8
АН в км
0,25
1,0
2,0
4,5
приводятся результаты наших расчетов по данным таблиц (см.
главу 5) для тех же условий, что и данные табл. 6.8, при
температуре в облаке 10 °С. Сравнение данных табл. 6.8 и 6.9 по
вертикальному поглощению показывает удовлетворительное согласие
данных для высококучевых и кучевых облаков. Однако суще-
ственное различие наблюдается для мощных кучевых облаков как
в ММ, так и в СБММ диапазонах.
406

Отдельные эпизодические экспериментальные результаты
получены и в других работах, например в [26, 28, 31, 32, 33], где
представлены исследования для отдельных длин волн
коротковолновой части ММ диапазона и отдельных типов облаков.
Подводя итоги, следует заметить, что данные, представленные
в таблицах I—IV в главе 5 — это теоретические расчеты, в основе
которых лежат весьма осредненные параметры распределения
капель по размерам, характеризующие тот или иной тип облаков.
Поэтому эти данные можно сравнивать с очень богатым по
статистике экспериментальным материалом и желательно для
широкого спектрального интервала длин волн. Только в этом случае
можно говорить о строгом сравнении теории с экспериментом.
Легко убедиться в том, что таких экспериментальных данных в
настоящее время еще нет ни для ММ, ни для СБММ диапазонов.
Таким образом, основательное сравнение теории с
экспериментом — вопрос будущего.
6.2. ОСЛАБЛЕНИЕ
И РАДИОЛОКАЦИОННОЕ ОТРАЖЕНИЕ ММ И СБММ ВОЛН
ФРАКЦИЕЙ КАПЕЛЬ
РАДИУСОМ ОТ 20 ДО 85 мкм В ОБЛАКАХ
В настоящее время наименее изучена фракция капель
радиусом 20—85 мкм. Эта фракция оказалась средней между уже давно
великолепно изученной фракцией мелких капель (1—20 мкм) и
обнаруженной в облаках в 60-х—70-х годах фракцией сверхкрупных
капель (от 85 до 1500 мкм и более) [14, 20, 22]. Естественно
предположить, что весь спектр размеров капель в облаках —
мелкие, крупные и сверхкрупные — объединены единым законом
распределения, т. е. продолжением распределения мелких капель
является распределение крупных капель, а продолжением
распределения крупных капель является распределение сверхкрупных
капель. Так и трактуют весь спектр распределения капель в облаках
советские исследователи [14, 20, 22]. Это распределение
приводится на рис. 2.20. Таким образом, распределения крупных и
сверхкрупных капель являются продолжением гамма-распределения
мелких капель и хотя несколько отличаются от
гамма-распределения, но близки к нему.
Иной подход принят у зарубежных исследователей, которые
считают, что распределение капель в облаках имеет бимодальную
[18, 30] структуру: первый максимум приходится на область
мелких капель радиусом от 1 до 40 мкм, а второй — на область
сверхкрупных капель радиусом от 85 до 1500 мкм и более. Таким
образом, казалось бы крупные капли отсутствуют в облаках. На
самом деле область мелких капель у зарубежных исследователей
простирается до радиуса 30—40 мкм (особенно при изучении
микроструктуры капель в конвективных облаках; см. рис. 2.14 и
40?

2.15), а сверхкрупные капли изучаются с размеров капель 85—■
100 мкм. Поэтому средняя область размеров капель — крупные
капли размером от 20 до 85—100 мкм — в настоящее время
недостаточно хорошо изучена. Она находится на крыльях кривых
распределений то мелких, то сверхкрупных капель. Со временем
подробно будет изучена и эта фракция. В настоящее время для того
чтобы как-то оценить возможный вклад крупных капель (20—
85 мкм) в общую оценку величины коэффициентов Г о, 1 р, 1 п И
Грл, мы использовали микроструктурные данные отечественных
исследователей.
Этот параграф является исключительно ориентировочным и
может пока в некотором отношении считаться предварительным.
Для крупных капель рассматриваются два распределения по
размерам: «стандартная» или «средняя» (Medi) и
«максимальная» (Maxi) кривые распределения по работам [14, 20, 22] на
рис. 2.16. Значения параметров этих распределений приводятся
в табл. 2.15 и в п. 2.5.
Расчеты коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл по микроструктуре
(п. 2.5 и табл. 2.15) приводятся в таблицах главы 5, для Medi
и Maxi кривых распределений. Необходимо обратить внимание на
то, что размеры капель от 20 до 85 мкм еще не соизмеримы
с длинами волн СБММ диапазона, поэтому никаких селективных
особенностей в спектральных кривых коэффициентов Г0, Гр, Гп
и Грл не наблюдаются. Поэтому, как и следовало ожидать, в ММ
и СБММ диапазонах ослабление и радиолокационное отражение,
вызванные крупными каплями, подчиняются закону Рэлея.
В табл. 6.10 приводятся максимальные и минимальные
значения всех четырех коэффициентов в ММ и СБММ диапазонах.
Данные в табл. 6.10 приводятся аналогично данным табл. 6.1, т.е.
охватывают диапазон температур от 20 до —20 °С; максимальное
значение ММ диапазона соответствует значению коэффициента
при Х=1 мм и минимальное значение СБММ диапазона также
соответствует значению коэффициента при Х= 1 мм и т. д. (см.
подробно п. 6.1). Из табл. 6.10 видно, что как и для фракции
капель радиусом от 1 до 20 мкм, минимальное значение ММ
диапазона для всех коэффициентов всегда меньше максимального
значения коэффициентов СБММ диапазона и это изменение
коэффициентов с длиной волны монотонно. Поэтому спектральное
изменение всех коэффициентов подчиняется закону Рэлея.
Если сравнить распределения мелких (1—20 мкм) и крупных
(20—85 мкм) капель по водности, то обнаружим следующее: для
Medi кривой распределения мелким каплям соответствует q =
= 0,397 г/м3, а крупным — ^ = 0,121 г/м3, т. е. водность крупных
капель в три раза меньше. Для Maxi кривой распределения
водность мелких капель составляет q = 5,159 г/м3, а водность
крупных капель ^=2,910 г/м3, т. е. водность крупных капель почти
в два раза меньше. Теперь, учитывая такое соотношение водно-
стей, проследим, как изменяется каждый из коэффициентов, т. е.
сравним данные табл. 6.10 и 6.1.
408

Коэффициент ослабления Г0. Для Medi кривой распределения^
согласно табл. 6.10 и 6.1, в ММ диапазоне вклад крупных капель
в общее ослабление в три раза меньше, чем вклад мелких капель,
как для минимального, так и для максимального значений Г0.
Иначе говоря, сохраняется закономерность вклада этих размеров
капель в водность облака. В СБММ диапазоне для максималь-
Таблица 6.10
Максимальные и минимальные значения Г0, Гр, Гп и Грл при изменении
температуры от 20 до —20 °С для Medi и Maxi облаков (крупные капли)
Тип облаков
Medi
Maxi
Medi
Maxi
Medi
Maxi
Medi
Maxi
MM волны
Минимум
5,82-10-2
1,402
7,213-Ю-6
4,370-Ю-4
5,820-10-2
1,401
2,489-Ю-9
1,577-Ю-7
Максимум
Го дБ/км
2,088
5,608-101
Гр дБ/км
5,564-10-2
3,466
Гп дБ/км
2,033
5,261-101
Грл М-1
1,766-Ю-5
1,063- Ю-3
СБММ
Минимум
2,088
5,608-101
5,564-Ю-2
3,466
2,033
5,261-Ю1
1,766-Ю-5
1,063-Ю-3
волны
Максимум
4,205-101
7,639-102
2,006-101
4,09-102
2,101-101
3,796-1О2
5,543-10-4
9,606-Ю-3
ного значения Г0 вклад крупных капель в два раза меньше, чем
мелких, т. е. закономерность почти сохраняется. Для Maxi
кривой распределения в ММ и СБММ диапазонах для минимального
и максимального значений Г0 наблюдается почти одинаковый
вклад мелких и крупных капель. Исключение составляет
максимальное значение Г0 в СБММ диапазоне, где вклад крупных
капель почти в два раза меньше, чем мелких.
Коэффициент рассеяния Гр. Из сравнения данных табл. 6.10
и 6.1 для Medi кривой распределения видно, что в ММ диапазоне
для минимального и максимального значений Гр вклад крупных
капель почти на порядок больше, чем вклад мелких капель.
В СБММ диапазоне это различие с уменьшением длины волны
постепенно уменьшается, и для максимального значения Гр
вклад мелких и крупных капель становится одинаковым. Для
Maxi кривой распределения в ММ диапазоне значение Гр для
крупных капель в 20 раз больше, чем для мелких. В СБММ
диапазоне (Я = 0,1 мм) вклад мелких капель в Гр почти в два раза
больше вклада крупных капель. Причем в основной части ММ
409

диапазона и частично в СБММ диапазоне Гр крупных капель
почти на порядок больше, чем мелких.
Коэффициент поглощения Гп. Ведет себя аналогично Г0.
Коэффициент радиолокационного отражения Грл. Для Medi
кривой распределения в ММ диапазона максимальное и
минимальное значения Грл для крупных капель на порядок больше, чем для
мелких. В СБММ диапазоне минимальное значение Грл для круп-
лых капель почти на порядок больше, чем для мелких, а макси-
Таблица 6.11
Температурные изменения коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл для Medi и Maxi
облаков (крупные капли)
Тип облаков
А,=5 мм
20 °С
—20 °С
А,=0,5 мм
20 °С
—20 аС
Medi
Maxi
Medi
Maxi
Medi
Maxi
Medi
Maxi
Го дБ/км
2,173-Ю-1
5,259
1,276-Ю-4
7,746-10-3
2,171-10"1
5,252
4,387-10-8
2,656-10-6
4,313-10-1
8,754
ГР дБ/км
1,025-Ю-4
6,215-Ю-3
Гп дБ/км
3,647-Ю-1
8,747
Грл м-1
3,526-Ю-8
2,136-Ю-6
5,149
1,668-102
6,861-Ю-1
4,043-101
4,463
1,263-102
1,705-Ю-4
8,509-Ю-3
2,213
7,222-101
3,633-101
2,185-101
1,849
5,037-101
9,252-10-9
4,753-Ю-3
мальное значение Грл для крупных капель в 6 раз меньше, чем
для мелких. Для Maxi кривой распределения в ММ диапазоне
минимальное и максимальное значения Грл для крупных капель
в 20 раз больше, чем для мелких. В СБММ диапазоне
минимальное значение Грл для крупных капель тоже почти в 20 раз больше,
чем для мелких, а вот в СБММ диапазоне максимальное
значение Грл для крупных капель в 4 раза меньше, чем для мелких.
Следует опять заметить, что в основной части СБММ диапазона
Грл крупных капель всегда больше, чем мелких. Все это
закономерно, так как чем больше размер капель по сравнению с длиной
волны падающего излучения, тем больше вклад рассеянной
компоненты. По мере приближения к коротковолновой части СБММ
диапазона вклад рассеянной компоненты должен уменьшаться,
что и видно из сравнения табл. 6.10 и 6.1 (здесь г>Я).
Теперь несколько замечаний относительно температурной
зависимости коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл для вышеуказанных двух
типов облаков. Таблица 6.11 по содержанию аналогична представ-
410

ленной ранее табл. 6.2 для мелких капель (1—20 мкм). В ней:
приведены данные для средних значений ММ диапазона (А,=
= 5 мм) и СБММ диапазона (^ = 0,5 мм), а также максимального
(20 °С) и минимального (—20 °С) значений температур.
Подробным разбором этих таблиц мы заниматься не будем, поскольку
данные, приведенные в таблице, — предварительные. Здесь они
приводятся лишь для составления общего представления
относительно изменения четырех коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл в
зависимости от температуры. Средние и максимальные оценки будут
весьма полезны до получения гораздо более достоверных данных:
по микроструктуре этой фракции капель в облаках.
6.3. ОСЛАБЛЕНИЕ
И РАДИОЛОКАЦИОННОЕ ОТРАЖЕНИЕ ММ И СБММ ВОЛН
ФРАКЦИЕЙ КАПЕЛЬ РАДИУСОМ
ОТ 85 ДО 1500 мкм В ОБЛАКАХ
6.3.1. ОБНАРУЖЕНИЕ СВЕРХКРУПНЫХ КАПЕЛЬ
В ОБЛАКАХ И ИХ ВЛИЯНИЕ
НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ h\h\ И СБММ ВОЛН
Обнаружение в последние десятилетия в облаках сверхкрупных
капель радиусом от 85 до 1500 мкм и более явилось большой
неожиданностью. Был восполнен пробел, который существовал и
остро обсуждался в атмосферной оптике в связи с большой
разницей между теоретическими расчетами и тем, что давал
эксперимент при исследовании ослабления радиации облаками.
Сверхкрупные капли оказывают существенное влияние на
распространение ММ и СБММ волн в облаках. Это связано с тем, что размер
сверхкрупных капель уже соизмерим с длинами волн ММ и СБММ
диапазонов и здесь явно проявляются дифракционные особенности
ММ и СБММ волн, что приводит к селективности в спектральных
коэффициентах Г0(А,), Гр(^), Гп(К) и Грл(^). В связи с этим
особую важность приобретает реальный расчет взаимодействия
излучения ММ и СБММ диапазона со сверхкрупными каплями на
основе точной теории дифракции — теории Ми. Расчеты эти в полном
объеме впервые выполнены и публикуются в настоящем
Справочнике. На основе микроструктурных данных о распределении
сверхкрупных капель по размерам в облаках из табл. 2.15 и 2.16 нами
рассчитаны спектральные коэффициенты Г0(^), ГР(Я), ГП(Я) и
Грл(^) для основных типов обычных и дождящих облаков при
изменении температуры в облаке от 20 до —20 °С, через каждые
10 °С. Данные эти для длин волн ММ и СБММ диапазона
приводятся в таблицах главы 5.
Уже во время предварительных расчетов [2, 3] выяснилось,
какой огромный вклад вносят сверхкрупные капли в рассеяние и
радиолокационное отражение ММ и СБММ волн по сравнению
41L

с мелкими каплями размером от 1 до 20 мкм. В табл. 6.12 из [3]
приводятся данные относительного вклада двух фракций капель
(1—20 и 20—1500 мкм) в коэффициенты Г0, Гр и Гп для трех
типов облаков. Расчеты относятся к А, = 0,8 мм и t = —40 °С. Из
таблицы видно, что из-за неучета капель размером от 20 до
1500 мкм мы теряем: в облаке Maxi более 40 % величины Гп
и порядка 99 % величины Гр, а в облаке Си cong. (max) — около
40 % величины Г0 и 25 % величины Гп. Для X < 0,8 мм доля
неучтенной части Г0,.ГП и Гр еще больше.
Таблица 6.12
Относительный вклад (%) фракций мелких и сверхкрупных капель в облаках
в общее ослабление, поглощение и рассеяние для А,=0,8 мм
Тип облаков
Medi
Maxi
Си cong. (max)
Коэффициент
Го
г„
Гр
Го
Гп
Гр
Го
Гп
Гр
г г
1—20
70,87
74,35
4,04
51,86
59,93
0,33
57,46
75,64
3,61
лкм
20—1500
29,13
25,65
95,96
48,14
40,07
99,67
42,54
24,36
96,39
Поскольку речь пошла о влиянии фракций сверхкрупных и
мелких капель в облаках на коэффициенты Г0, Гр и Гп, то стоит
напомнить, что водность сверхкрупных капель, весьма мала по
сравнению с водностью мелких капель. Согласно табл. 2.15, водность
сверхкрупных капель колеблется в основном от 10~2 до Ю-5 г/м3.
Мала и концентрация сверхкрупных частиц, однако велик их
размер. Поэтому с уменьшением длины волны излучения (от ММ до
СБММ волн) при неизменности распределения сверхкрупных
капель по размерам постепенно будет увеличиваться доля
рассеянной компоненты в общем ослаблении. Особенно сильно растет
радиолокационное отражение (здесь г>^).
Концентрация сверхкрупных капель в облаках обычно мала,
и для них коэффициенты Г0, Гр, Гц и Грл могут быть малы по
сравнению с соответствующими коэффициентами для мелких
капель в облаках. Поэтому селективные особенности коэффициентов
Г0(Я), ГР(Я), Тп(К) и ГрЛ(А,) из-за наличия сверхкрупных капель
в обычных облаках могут и не проявиться и существенно не
повлиять на распространение ММ и СБММ волн. На это не следует
пока обращать серьезного внимания. Главное—выявить все
особенности селективности коэффициентов, связанные со сверхкруп-
412

:ными каплями. В конвективных облаках концентрация
сверхкрупных капель велика по сравнению с концентрацией в обычных об-
лаках, и, кроме того, при развитии облака капли укрупняются и
число сверхкрупных капель возрастает. Поэтому здесь
селективные особенности Г0(^), Гр(^), ГП(Я) и Грл(^) могут проявиться
намного ярче. Влияние сверхкрупных капель в конвективном
облаке будет преобладающим, и весь режим ослабления и
радиолокационного отражения будет контролироваться каплями
сверхкрупной фракции. В связи с этим, изучая распространение ММ и
СБММ волн в конвективных облаках, можно реально судить
о происходящих в этих облаках физических процессах, прежде
всего, изменении микроструктурных особенностей конвективных
облаков и агрегатного состояния частиц в облаках. Анализ
данных, представленных в таблицах главы 5 показал, что, изучая
спектральные особенности коэффициентов Г0(Я), Гр(^), Гп(^) и
Грл(^), можно обнаружить: 1) возрастают или убывают размеры
сверхкрупных капель в облаке; 2) момент перехода сверхкрупных
капель из жидкого состояния в переохлажденное; 3) момент
непосредственного перехода сверхкрупных капель из
переохлажденного состояния в ледяную крупу. Впервые эти вопросы кратко
рассмотрены в работе [6]. Следует отметить, что процесс градообра-
зования и методы борьбы с градом не входят в круг вопросов,
обсуждаемых в настоящем Справочнике. Однако исходя из новизны
метода и его перспективности стоит несколько коснуться и этой
проблемы.
Для мелких и крупных капель в облаках мы приводили
таблицы максимальных и минимальных значений коэффициентов Г0,
Гр, Гп и Грл (см. табл. 6.1 и 6.10) и исходили из условия
отсутствия селективности спектральных коэффициентов Г0(А,), ГР(А,),
ГП(Я) и ГрЛ(^) в случае выполнения закона Рэлея. Для
сверхкрупных капель эти же данные приводить нецелесообразно, так
как определяющим для этой фракции размеров капель является
спектральный ход коэффициентов Г0(^), ГР(Я), Тп(Х) и Грл(Я),
который имеет максимумы при определенной длине волны,
поэтому максимальные и минимальные значения коэффициентов
мало что характеризуют. Однако некоторых исследователей могут
интересовать и эти характеристики распространения ММ и СБММ
волн, поэтому мы приводим табл. 6.13, аналогичную табл. 6.1 и
6.10. Сразу же оговоримся, что минимальные и максимальные
значения коэффициентов будут относиться к различным длинам
волн ММ и СБММ диапазона и различным температурам облака.
Поэтому в табл. 6.13 приводятся только минимальные и
максимальные значения коэффициентов без указания условий, при
которых они наблюдаются. Анализом таблицы мы заниматься не
будем. Однако представляет определенный интерес сравнить, какой
вклад в коэффициенты Г0(^), Гр(^), Гп(^) и Грл(А,) по
абсолютной величине вносят отдельно фракции мелких и сверхкрупных
капель в облаках. Для этого необходимо обратиться к табл. 6.1
и 6.13 и сравнить их отдельно для каждого из коэффициентов.
413

Таблица 6.13
Максимальные и минимальные значения Г0, Гр, Гп и Грл для ММ и СБММ волн при изменении температуры облака
от 20 до —-20 °С для облаков различных типов (сверхкрупные капли)
Тип облаков
Г0 дБ/км
ММ волны
мин
макс
СБММ волны
мин
макс
Гр дБ/км
ММ волны
мин
макс
СБММ волны
мин
макс
Sc и Medi
St
Ns и Maxi
Си hum.
Си med.
Си cong.
Си cong. (max)
Си cong. (min)
Cb (max)
Cb (min)
6,686-10-3
2,506-10-3
8,624-10-3
3,973-10-5
1,436-10-3
3,450-10-3
1,465
1,620-10-1
1,574
6,441-10-2
5,125-10-1
1,967-10-1
3,881-10-1
2,927-10-3
5,889-10-2
1,552-10-1
6,815
7,554-10-J
3,004-101
3,354
5,125-10-1
8,640-10-2
2,459-10-J
1,146-10-3
4,457-10-2
9,837-10-2
5,072
5,720-10-1
2,499-101
2,849
7,880-10-l
4,755-10-1
4,812-10-1
6,483-10-3
6,132-10-2
1,919-10-1
6,815
7,599-10-J
3,151 -101
3,660
6,534-10-5
1,147-10-5
5,527-10-4
1,001-10-7
6,469-10-5
2,211 -10-4
3,431-10-1
3,464-10-2
1,242-10-1
1,911 -10-3
1,754-10-1
6,039-10-2
1,514-10-1
7,737-10-4
2,501-10-2
6,054-10-2
3,625
3,835-10-1
1,417-101
1,711
1,235-10-1
3,666-10-2
1,288-10-1
4,08-10-4
2,436-10-2
5,150-10-2
2,800
3,165-10-1
1,326-101
1,486
4,035-10-l
1,808-10-1
2,495-10-1
3,246-10-3
3,235-10-2
1,448-10-1
3,625
3,980-10-J
1,715-101
2,068

Тип облаков
ММ волны
СБММ волны
Грл »-
ММ волны
СБММ волны
Sc и Medi
6,610-Ю-3 3,371-Ю-1 1,358-Ю-1 3,981-Ю-1 2,193-10~8 3,359-10"5 7,508-10"6 9,539-10~5
St
2,493-Ю-3 1,363-Ю-1 4,975-10-2 1,813-10"1 3,914-10"9 1,312-10"5 6,432-10~6 2,098-10~5
Ns и Maxi
7,932-Ю-3 2,367-Ю-1 1,172-10"1 2,384-10"1 1,706-10~7 2,310-10"5 1,159-10"5 2,550-10"5
Си hum.
3,961- Ю-5 2,153-Ю-3 7,383-Ю-4 3,307-10"3 3,440-10-" 1,896-10~7 9,439-10"8 3,901-10"7
Си med.
1,359-Ю-3 3,388-10-2 2,020-Ю-2 2,986-10"2 2,103-10"8 3,086-10"6 1,085-10~6 3,027-10"6
Си cong.
3,173-Ю-3 9,470- Ю-2 4,686-Ю-2 1,252-10"1 6,823-10~8 9,240-10"6 4,637-10"6 2,352-10~6
Си cong. (max) 1,062
3,422
2,197
3,281
1,010-Ю-4 4,953-Ю-4 5,069-Ю-5 1,565-10"4
Си cong. (min) 1,232-Ю-1 3,907-Ю"1 2,471-Ю"1 3,688-Ю-1 1,026-10-5 6,539-10~5 5,732-10-6 1,746-10~5
Cb (max) 1,426 1,587-101 1,124-101 1,613-101 3,934-10"5 1,215-10"3 2,369-10~4 1,215-10~3
Cb (min) 6,214-Ю-2 1,841 1,318 1,909 6,398-10~7 1,625-10"4 2,697-10"5 1,625-10"4

Коэффициент Г0(Я). Для слоистых облаков вклад мелких
капель в мин. ММ диапазона почти на два порядка больше, чем
вклад сверхкрупных капель. В то же время для конвективных
облаков вклад обеих фракций почти одинаков. В макс. СБММ
диапазона для слоистых облаков вклад мелких капель на три-чатыре
порядка больше, чем вклад сверхкрупных капель. Для
конвективных облаков вклад мелких капель в общее ослабление почти на
три порядка больше.
Таким образом, при рассмотрении макс. СБММ диапазоне
вкладом сверхкрупных капель можно пренебречь. При оценке
мин. СБММ диапазона следует учитывать влияние сверхкрупных
капель только в случае слоистых облаков, для конвективных
облаков их влиянием можно пренебречь.
Коэффициент ГП(Я). Анализ данных показывает, что
коэффициент ведет себя аналогично коэффициенту Г0(^).
Коэффициент Гр(^). Для слоистых облаков в мин. ММ
диапазона вклад сверхкрупных капель на два порядка больше вклада
мелких капель. Для конвективных облаков вклад сверхкрупных
капель на 2—4 порядка больше, чем вклад мелких. В макс. СБММ
диапазона для слоистых облаков вклад мелких капель почти на
2—3 порядка больше, чем сверхкрупных. Для конвективных
облаков вклад мелких капель на 1—2 порядка больше, чем
сверхкрупных. Для макс. ММ и мин. СБММ диапазонов для слоистых
и конвективных облаков вклады обеих фракций мало
различаются.
Таким образом, очевиден существенный вклад сверхкрупных
капель в Гр(^) ММ диапазоне и в длинноволновой части СБММ
диапазона.
Коэффициент Грл(^). В мин. ММ диапазона вклад
сверхкрупных капель для слоистых облаков почти на 3—4 порядка, а для
конвективных облаков на 1—4 порядка больше вклада мелких
капель. Для макс. ММ и СБММ диапазонов для слоистых и
конвективных облаков вклад сверхкрупных капель на 1—2 порядка
больше вклада мелких. В СБММ диапазоне и в слоистых, и в
конвективных облаках мелкие капли вносят вклад почти на 2
порядка больший, чем сверхкрупные капли. Таким образом, для
коэффициента Грл(^) существен вклад сверхкрупных капель в ММ
диапазон и в длинноволновую часть СБММ диапазона. При этом
сверхкрупные капли оказывают большее влияние на коэффициент
а рл (Я), чем на ГР(Я).
Проведенное сравнение таблиц показывает, насколько
важен учет влияния сверхкрупных капель в облаках на рассеяние
и радиолокационное отражение в различных спектральных
участках ММ и СБММ волн. Анализ выявил неоднозначное и
селективное влияние сверхкрупных капель на рассеяние и
радиолокационное отражение. Поэтому для каждого конкретного
распределения сверхкрупных капель по размерам требуется отдельное
рассмотрение, иначе, как показывают таблицы, в соседних
спектральных участках, различие коэффициентов рассеяния и радио-
416

локационного отражения может изменяться на несколько
порядков. В вопросах распространения ММ и СБММ волн подобные
колебания коэффициентов рассеяния и радиолокационного
отражения весьма важны, и необходим строгий учет возможных
изменений этих коэффициентов.
Завершая рассмотрение этого вопроса, следует отметить
важность полученных количественных данных о вкладе отдельных
фракций капель в облаке на каждый из четырех коэффициентов.
Оказывается, для отдельных типов облаков в зависимости от
вклада отдельных фракций капель из-за малости коэффициентов
некоторые из них можно и не считать.
6.3.2. УСТАНОВЛЕНИЕ ПРОЦЕССА КОАГУЛЯЦИИ
ИЛИ ИСПАРЕНИЯ СВЕРХКРУПНЫХ КАПЕЛЬ
В КОНВЕКТИВНЫХ ОБЛАКАХ
Анализ данных таблиц из главы 5 показывает, что увеличение
или уменьшение среднего размера распределения сверхкрупных
капель по размерам (конденсационный, коагуляционный рост или
испарение капель) резко отражаются на спектральном ходе
коэффициентов Г0(^), ГР(Я), Гп(^) и Грд(^). Поэтому для точного
определения структурных изменений спектральных кривых
целесообразно каждый из коэффициентов рассмотреть в отдельности.
Все приведенные в данной главе рисунки составлены с
использованием данных таблиц из главы 5.
Коэффициент ослабления Гп. На рис. 6.1 приводятся
рассчитанные нами для облаков Ns и Си cong. (min) кривые Г0(^) для
различных температур в ММ и СБММ диапазонах. Обе серии
кривых имеют максимумы Г0(^) при определенном значении Я.
Так, для облака Ns максимумы лежат в области 0,3—0,7 мм,
а для облака Си cong. (min) — в области 1—3 мм. Различие в
положении максимумов Г0(^) обусловлено различием средних
размеров сверхкрупных капель для облаков Ns и Си cong. (min).
В настоящее время очень трудно установить, с какой из числовых
характеристик лучше коррелирует максимум Г0(^)—это вопрос
дальнейших исследований. Теперь следует сделать некоторое
отступление для того, чтобы разобраться, как связаны положение
максимума Г0(^) и вид распределения сверхкрупных капель по
размерам.
Если рассматривается одна капля, то положение максимума
Г0(Я) определяется исключительно кривой К0{т, р), т. е.
положением первого максимума Ко{т, р) вдоль оси р. Например, для
воды в оптическом диапазоне при га = 1,33 первый максимум
K0(fny p) приходится при ртах = 6,1 [24]. В соответствии с этим
положение максимума Г0(^) определяется из условия 6,1=2ягД>
т. е. >чпах = 2яг/6,1, или чем больше радиус капель, тем при
большем Ятах наблюдается максимум Г0(^). Теперь, если взять произ-
27 Заказ № 124
417

вольное значение показателя преломления п, то, согласно [13, 24],
максимум Г0 (Я) будет определяться из условия
2р(Я — 1)~4. (6.1)
Отсюда для распределения частиц по размерам с модой гт для
положения максимума Г0(Я) получим:
^тах = Гт [Я (Я — 1)]. (6.2)
Г0 дБ/км
10°
10'
10
-2
гттм
III Т*^я
и
!
I I I I
• •"
"
1
■ I J
! 111 4
ефт-Т
**-?*Uck»
№
I I I
11 U- —
И
til
№
\\ш
i
hi
^-w
^5
с.
\\'.\
V
ы
^•\Ы
N4
N1
'
*\
ч\1 1
>х
ми
й
I 1 у
\}
и
1 1
11
W
1
1
Hill I
10"
10й
101 X мм
Рис. 6.1. Зависимость спектральных коэффициентов
ослабления от температуры для облаков Ns (а) и Си cong. (min) (б).
1) — 20 °С; 2) —10 °С; 3) 10 °С; 4) 20 °С.
418

Формула (6.2) получена при условии пж\. В наших расчетах
величина т — комплексная и, главное, велики по сравнению
с единицей показатели п и х. Поэтому неизвестно, сохранит ли
свой вид формула (6.2) для наших условий, т. е. при %3>1. Из
рис. 6.1 видна связь Г0(Л) со средним размером распределения
капель по формуле, аналогичной (6.2), однако, какая из
числовых характеристик — гт или другое среднее значение — должно
быть в формуле, аналогичной (6.2), нам пока не известно.
Дальнейшие исследования помогут разобраться в этом. Теперь же
можно констатировать факт, что чем больше rci распределения,
тем при больш их Ятах наблюдается максимум Го(^). Параметр /*ci
взят исключительно из условия, что распределение сверхкрупных
капель описывается степенным законом, который не имеет
характеристики гт. Первой же числовой характеристикой степенного
закона является rci.
Для кривых на рис. 6.1, согласно табл. 2.17, имеем: для
облака Ns rci = 113,7 мкм, а для облака Си cong. (min) rcx =
= 389,5 мкм. В соответствии с этим максимум Г0(^) для облака
Си cong. (min) смещен по сравнению с максимумом Г0(^) облака
Ns в длинноволновую область спектра и находится на ^тах~1...
3 мкм.
Аналогичная закономерность наблюдается на рис. 6.2 для
облаков Си cong. (max) и Cb (max). Согласно табл. 2.17, средние
значения rci для облаков Си cong. (max) и Cb (max) равны
rci = 364,6 мкм и rci= 175,1 мкм соответственно. Поэтому
максимум Г0(^) для облака Cb (max) смещен в коротковолновую
область спектра и приходится на ^тах = 0,6... 0,9 мм, тогда как для
облака Си cong. (max) Имеем ^max = 1. . . 2 MM.
Таким образом, положение максимума кривых Г0(7)
однозначно характеризует среднее значение радиуса распределения
сверхкрупных капель по размерам в облаке. Поэтому по
смещению максимума Т0(%) в коротковолновую или длинноволновую
области спектра можно судить о том, какой процесс происходит —
укрупнение капель (т. е. увеличение rci распределения) или,
наоборот, уменьшение размеров капель. Иначе говоря, смещение
максимума Т0(Х) по длине волны будет характеризовать и
физический процесс, происходящий в облаке — конденсационный или
коагуляционный рост капель или, наоборот, испарение и
уменьшение размеров капель. Важно то, что смещение кривых Т0(Х)
вдоль оси длин волн не будет сопровождаться изменением формы
самой кривой Г0(^). Подчеркнем это, чтобы не спутать
рассмотренный случай со случаем, который будет рассмотрен ниже:
изменением положения и формы кривой Г0(^) в связи с изменением
температуры облака.
Таким образом, подводя итоги, следует отметить, что с
увеличением среднего размера капель в облака, максимум Т0(Х)
смещается в длинноволновую область спектра, и, наоборот, при
27*
429

уменьшении среднего размера капель облака будет происходить
смещение максимума Г0(Х) в коротковолновую область спектра
ММ и СБММ диапазона. Поведение максимума Г0(Я) со
временем является своеобразным индикатором направления физических
процессов, происходящих в облаке: конденсационный или коагуля-
Г0 дБ/км
10~1 10° 101 \ мм
Рис. 6.2. Зависимость спектральных коэффициентов
ослабления от температуры для облаков Си (max) (а) и Cb cong.
(max) (б).
Усл. обозначения см. рис. 6.1.
ционный рост капель в облаке, т. е. развитие конвективного
облака, или испарение, т. е. разрушение облака.
Коэффициент поглощения Гц. На рис. 6.3 приводятся
спектральные кривые Гп(Я) для облаков Ns и Си cong. (max). Как
видно из рисунка, поведние кривых Гп(^) аналогично поведению
кривых Г0(^). В случае облака Си cong. (max), для которого
A*ci = 364,6 мкм (см. табл. 2.17), максимум Гп(^) смещен в длинно-
420

волновую область спектра и приходится на А,тах=1... 3 мм,
тогда как в случае облака Ns (rci = l 13,7 мкм) и максимум ГП(А,)
приходится на Хтах = 0,2. .. 0,7 мм.
Все, что говорилось относительно кривых Г0(А,), можно
отнести и к кривым ГП(А,). Однако для того чтобы оценить степень со-
Гп ДБ/км
f0f
I ?=5?^
т?*^
ТТЛ 1
\
.ц
г 4. г
фгР-——
41
^^
ч
Njx
^
--
*§^
^j Г
Ы
m
\*\
•HI
lir
N
ттт
10~1 10° 101 А мм
Рис. 6.3. Зависимость спектральных коэффициентов поглощения
от температуры для облаков Си cong. (max) (а) и Ns (б).
Усл. обозначения см. рис. 6.1.
впадения и несовпадения спектральных кривых Г0(К) и Ти(К) на
рис. 6.4, они приводятся для облака Си med. для различных
температур в облаке. Из рисунка видно, что в длинноволновой части
спектра почти нет никакого различия в ходе кривых Г0(А,) и
ГП(А,). Это естественно и объясняется тем, что в ММ диапазоне
рассеянная компонента очень мала и Г0^ГП. В дальнейшем, с
переходом в СБММ диапазон рассеянная компонента постепенно
увеличивается, но не настолько, чтобы имело место существенное
различие кривых Г0(1) и ГП(А,). Максимумы у обеих кривых
приходятся почти на одно и то же значение А,тах. В то же время в ко-
421

ротковолновой части СБММ диапазона кривые Г0(А) и ГП(А) уже
различаются. Максимум ГП(А) шире и гораздо более пологий, чем
максимум Г0(А). Эти особенности максимумов Г0(А) и ГП(А).
Гдб/км
КГ'
Г0'
W
-2
-Jl I
м7
ILffrf^
'
^
1
111
1
i
1
_^^*&
7
«
Г ]N£
1П
1 '
1
1 1 1
1 ! ;
II ! i
. 1! 1 ' ' : ;'
т- !! ! ' 1 1
СШ ! .ill
»
№'•
J \\ \.
11N W
i Км
4 \ Ч
1
T I i
! !
i , i , |
A hi"
\\\
Mil'
ш
' \4 i
^ M\ 1 I
1 1 ! 'Ot\\ ] I
1 '
i
\
\\\
' i i 1 PL
1 I ! 1 ' л
MR
N ! M ■
11 ч > i 'II'
l|! ! ! !i!
Ш ! ! M
| j 1 : ; |
' 1
1 I
1 1
1
Л\
1
1*1 1
t1
/0~
ПТ
101 \ мм
Рис. 6.4. Зависимость спектральных коэффициентов
ослабления (а) и поглощения (б) от температуры для облака Си med.
Усл. обозначения см. рис. 6.1.
следует учитывать при оценке изменения среднего радиуса
распределения или деформации кривых за счет изменения
температуры в облаке.
Аналогичная картина наблюдается на рис. 6.5, где приводятся
кривые Го (А,) и ГП(А,) только для облака Cb (min). Однако здесь
422

различие кривых в коротковолновой части СБММ диапазона
увеличивается. Это свидетельствует о том, что в коротковолновой
части СБММ диапазона нельзя отождествлять кривые Г0(к) и Гп(Х)
из-за увеличивающейся в этой области спектра компоненты
рассеянного излучения.
Г дБ/км
4
а^*
А
f&
1
"- -1
4
А\
L4t
г\
т
1
№
Ш
\1"
\V\
№
Ш \\
Ш\ V
к \ '
11 П\ \
1 \ >
"
f
Ш
\r
^
/0"
/0°
/0* X мм
Рис. 6.5. Зависимость спектральных коэффициентов
ослабления (а) и поглощения (б) от температуры для облака
Cb (min).
Усл. обозначения см. рис. 6.1.
Коэффициент радиолокационного отражения Грл. На рис. 6.6
приводятся рассчитанные нами спектральные коэффициенты
радиолокационного отражения Грл(Я) для облаков Sc и Си cong.
(max). Здесь, как и в случае Т0(Х) и Гп(^), чем больше гс1
распределения сверхкрупных капель по размерам, тем на более
длинные волны смещаются максимумы кривых Грл(Я). Однако в
отличие от кривых Г0(Х) и Гп(^) максимумы кривых Грл(Я) смещены
423

на более длинные волны ММ диапазона. Так, для Си cong. (max)
максимумы расположены на А,тах = 4. .. 7 мм, а у облака Sc —на
А,тах = 0,5... 0,8 мм. Выше отмечалось, что для кривых Г0(А,)
Аопах= 1. . . 2 ММ.
10~1 10° 101 Хмм
Рис. 6.6. Зависимость спектральных коэффициентов
радиолокационного отражения от температуры для облаков Си cong.
(max) (а) и Sc (б).
Усл. обозначения см. рис. 6.1.
На рис. 6.7 приводятся аналогичные кривые для облаков
Cb (max) и Си cong. (min). Максимумы Грл(А,) для этих облаков
приходятся на А,тах=1,0... 3,0 мм и Ятах = 3... 8 мм
соответственно. Таким образом, максимумы Cb (max) смещены в более ко-
424

ротковолновую область спектра (rci мало (см. табл. 2.17)) по
сравнению с максимумами Си cong. (min).
На рис. 6.8 представлены рассчитанные нами кривые Грл(А,)
для дождящих облаков с интенсивностью осадков 10 мм/ч (Д-10)
и 50 мм/ч (Д-50). Как видно из табл. 2.17, для дождящих облаков
2-Ю "
10'
10
10
~Jrr
~Vr
s\\
...
. . • х*мА
\л^
1 1
•i
V&~
1 ''
rK
r/XfC
—-•*
\ '11
1 III
11 ;
-н —J
4
i
i
1 Ui
1 U
! i '
УГ
1 / 4
1 • •<
11 \Yj7
• • • •
«■
~4
-m
NJ \vl
\rl
»
14*
In'
i
«V
•i Г-
""" Ы\Ь
-i/T\
I*
1
не
№
и
1
•11
LI
LTJ
Mill 1
14
10~
10u
101 А мм
Рис. 6.7. Зависимость спектральных коэффициентов
радиолокационного отражения от температуры для облаков
Cb (max) (а) и Си cong. (min) (б).
Усл. обозначения см. рис. 6.1.
rci больше, чем для облаков, не дающих осадков. Для облака
Д-Ю гС1 = 464,9 мкм, а для облака Д-50 rci = 699,6 мкм.
Соответственно максимумы для облака Д-50 несколько смещены в
длинноволновую область спектра по сравнению с максимумами Грл(А,)
для облака Д-10.
Таким образом, для того чтобы определить, увеличивается или
уменьшается размер сверхкрупных капель в конвективных
облаках, проще всего использовать смещение максимумов кривых
Г0(А,) и ГП(А,) (из-за слабой зависимости коэффициентов от
температуры). Однако недостатком этого метода является то, что
425

максимумы Г0 (А,) и ГП(А,) находятся в труднодоступных в
настоящее время частях (в средней и длинноволновой) СБММ
диапазона. С учетом того, что максимумы Грл(А) расположены в ММ
диапазоне, использование кривых Грл(Я) для этих целей намного
реальнее в современных условиях. В дальнейшем все будет опре-
Грл М
10'
,-1
10-
4-W-
- ;
•44-н ^
I и-.-^г---'
**"*
I —■?*■!■• •-■
Ы- шш —
I
*-'■
7^
г\ Г
~7&Г\
III •
•*
' "r" J
Lfcx
"I \\4^
7\\ ■'/
1 ••'//
! м
.-У
.'У •
f' '
/>
л/.
' /У
•^
г/
i
^т
/"*'
/У
■/
.1 *Г .1
/til
bi_L[
у.
1 *Ч 1
а?
N
I
1
л i
hi
•ll
1!
N
III !_
10'
10°
X мм
Рис. 6.8. Зависимость спектральных коэффициентов
радиолокационного отражения от температуры для дождящих
облаков Д-50 (а) и Д-10 (б).
Усл. обозначения см. рис. 6.1.
деляться техническими возможностями приема и генерации ММ
и СБММ волн.
Кривые Грл(А,) резко меняются в зависимости от температуры.
Эта зависимость явно ощущается в ММ диапазоне
(релаксационная поляризуемость сильна в ММ диапазоне) и может явиться
помехой выявлению фактора увеличения или уменьшения
размеров капель в облаках. Таким образом, функция Грл(А,) более
универсальна, чем T0(h) и ГП(А,). Однако из соображения простоты
для установления факта увеличения или уменьшения размеров
капель удобнее использовать кривые Г0(А,) и ГП(А,). Дальнейшие
исследования покажут, какую из спектральных кривых—Го^),
ГП(Я) или Грл(^)—следует использовать для определения
физических процессов, происходящих в конвективном облаке.
426

6.3.3. УСТАНОВЛЕНИЕ МОМЕНТА ПЕРЕХОДА
СВЕРХКРУПНЫХ КАПЕЛЬ
В ПЕРЕОХЛАЖДЕННОЕ СОСТОЯНИЕ.
ЗАВИСИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ
На рис. 6.1—6.5 приводятся кривые Г0(^) и Тп(К) для
четырех значений температуры: 20, 10, —10 и —20 °С. На всех
кривых, как и следовало ожидать, температурные изменения
незначительны в коротковолновой части СБММ диапазона. Основные
изменения наблюдаются в ММ диапазоне, и особенно в
длинноволновой ее части. Обусловлено это, как отмечалось выше, дебаев-
ской релаксационной поляризуемостью молекул. Резонансная
поляризуемость не зависит от температуры. На всех рисунках
наблюдается смещение положений максимумов кривых Г0(А-) и
ГП(1) в зависимости от температуры, обратное тому, что мы
наблюдали при изменении положения максимумов этих же кривых
в зависимости от rci: с уменьшением температуры положение
максимумов Го(А-) и Гп(А-) смещается в коротковолновую область
спектра [6]. Одновременно меняется и форма кривых T0(k) и
Гп(а). Таким образом, наблюдая со временем за изменением
спектральных кривых Го(А-) или Гц(А-), можно легко обнаружить,
какой из процессов происходит в облаке: изменение rci
распределения капель по размерам облака или же изменение температуры
капель облака. Еще раз напомним, что понижение температуры
облака приведет к смещению максимумов Г0(А-) и ГП(А-) в
коротковолновую область спектра, т. е. перемещение максимума в
сторону, обратную росту размеров капель. В результате можно легко
установить момент перехода жидких капель в переохлажденное
состояние.
Теперь обратимся к рис. 6.6—6.8 — к спектральным
изменениям кривых ГрЛ(Я) от температуры. Как отмечалось выше,
максимумы ГрЛ(А-) в зависимости от rci расположены в средней или
длинноволновой части ММ диапазона. В ММ же диапазоне из-за
дебаевской составляющей поляризации велико изменение
спектральных кривых Грл(^) в зависимости от температуры. Поэтому
для кривых Грл(^) смещение максимумов в коротковолновую
область спектра с понижением температуры будет отчетливее, чем
для кривых Го(А-) и Гп(А-), т. е. для обнаружения момента
перехода жидких капель в переохлажденное состояние
целесообразнее анализировать именно спектральные изменения кривых
Гр„(Л).
Только экспериментальные исследования позволят
определить какую из спектральных кривых — Г0(^), Гп(^) или Грл(^) —
следует использовать для установления момента перехода
сверхкрупных капель в переохлажденное состояние.
Прежде чем перейти к рассмотрению изменения абсолютных
величин Го (А,), ГР(Я), Тп(К) и Грл(^) в зависимости от темпера-
427

туры сверхкрупных капель, заметим, что сравнение табл. 6.1
и 6.13 позволило установить отсутствие влияния сверхкрупных
капель на коэффициенты Г0 и Гп, когда рассматривается облако
из мелких и сверхкрупных капель. Наоборот, в облаке из мелких
и сверхкрупных капель доля рассеянной и отраженной радиации
от сверхкрупных капель намного превосходит долю мелких
капель. Поэтому необходимо рассмотреть влияние сверхкрупных
капель на абсолютные значения коэффициентов Гр и Грл.
Известно, что радиотепловое излучение облака не зависит от
Гр и Грл, а излучательная способность обла ка зависит от i п-
Поэтому для обычных облаков сверхкрупные капли не будут
вносить свой вклад в радиотепловое излучение облака.
Иное дело, когда рассматривается бурно развивающееся
конвективное облако. Здесь концентрация сверхкрупных капель уже
велика, поэтому сверхкрупные капли будут оказывать влияние
на Г0(^) и Гп(Х) и температурное изменение будет оказывать
влияние на Г0 и Гп. Намного сильнее в этом случае изменение
температуры облака будет влиять на коэффициенты Гр И 1 рл>
поэтому учет влияния температуры сверхкрупных капель на
коэффициенты Г0(А,), ГР(Я), Гп(^) и Грл(^) обязателен. Таблиц
изменения Го, Гр, Гп и Грл от температуры и типа облаков для
сверхкрупных капель мы приводить не будем. Результаты
расчетов показывают, что для сверхкрупных капель изменение Г0, Гр,
Гп и Грл в зависимости от температуры намного меньше, чем для
мелких. С уменьшением длины волны намного раньше, чем для
мелких капель, проявляется влияние релаксационной
поляризуемости— стремится к нулю различие коэффициентов при 20 и —20 °С.
Особенно это заметно для конвективных облаков: Си cong. (max ),
Си cong. (min), Cb (max) и Cb (min), где уже при Я < 0,5 мм
значения Г0 и Гп при 20 и —20 °С почти одинаковы. Для
коэффициентов Гр и Грл эта граница приходится на длину волны
несколько менее 0,3 мм.
Рассмотрим изменения в зависимости от температуры
абсолютных величин каждого из коэффициентов.
Коэффициент ослабления Г0. При Я = 5 мм изменение
температуры от 20 до —20 °С приводит в случае слоистых облаков
к изменению Г0 порядка 10~2 дБ/км, в случае кучевых облаков —
порядка Ю-1 — 10~2 дБ/км. При Я=0,5 мм в случае слоистых
облаков изменение Г0 имеет порядок Ю-1 дБ/км, а в случае
кучевых — от 1 до Ю-1 дБ/км.
Коэффициент поглощения Гп. Изменение Гп при понижении
температуры от 20 до —20 °С идентично изменению
коэффициента Г0.
Коэффициент рассеяния Гр. При А, = 5 мм изменение
температуры от 20 до —20 °С в случае слоистых облаков приводит к
изменению Гр порядка Ю-3— 10~4 дБ/км, а в случае конвективных
облаков — порядка Ю-1—Ю-2 дБ/км. При Я=0,5 мм для
слоистых облаков изменение имеет порядок Ю-2—10~3 дБ/км, а для
конвективных — порядок Ю-1— 10~2 дБ/км.
428

Коэффициент радиолокационного отражения Грл. При А, = 5 мм
изменение температуры от 20 до —20 °С в случае слоистых
облаков приводит к изменению Грл порядка 10~6—10~7 м-1, в случае
кучевых облаков — порядка 10~4—10~5 м-1. При А, = 0,5 мм
изменение для слоистых облаков составляет 10~5—10~6 м-1, а для
конвективных облаков— 10~4— Ю-5 м-1.
Проведенный анализ выявил разнообразие изменений
коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл от температуры капель в облаке,
содержащем как мелкие, так и сверхкрупные капли. Обнаружение
сверхкрупных капель в облаках привело к усложнению
зависимостей коэффициентов от температуры капель. Во всех случаях
для определения изменения коэффициентов в реальных облаках
требуется четкая информация как о распределении мелких и
сверхкрупных капель, так и о температуре капель в облаке.
6.3.4. ОБНАРУЖЕНИЕ МОМЕНТА ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА
ВОДА—ЛЕД
В СВЕРХКРУПНЫХ КАПЛЯХ
Известно, что у льда нет полосы поглощения в микроволновой
области спектра. Имеется только полоса от 1 до 100 км, которую
трудно использовать для целей обнаружения льда в облаке. Этим,
в частности, можно объяснить неудачи исследователей при
разработке методов борьбы с градом. Однако у льда имеется
великолепное «окно» по показателю поглощения в СБММ диапазоне,
которое, согласно предварительным расчетам [1], можно
использовать для этих целей. Многочисленные исследования показывают,
что борьбу с градом следует начинать тогда, когда градины
находятся в зачаточном состоянии, когда последовательно
наблюдаются процессы: интенсивный рост сверхкрупных капель, переход
этих капель в переохлажденное состояние и, наконец, постепенное
замерзание переохлажденных капель с образованием прозрачных
ледяных частиц или же непосредственный переход этих капель
в лед — ледяную крупу. Оказывается, все эти процессы можно
проследить, если исследовать распространение ММ и СБММ волн
в облаках. Использовать ММ и СБММ волны целесообразно и
потому, что размер сверхкрупных капель соизмерим с длиной
волны излучения и здесь наиболее ярко проявляются резонансные
свойства капель. Относительно того, как обнаружить рост
сверхкрупных капель в конвективных облаках и установить момент
перехода капель в переохлажденное состояние, говорилось в п. 6.3.2
и 6.3.3. Ниже речь пойдет об обнаружении момента фазового
перехода вода — лед в сверхкрупных каплях, находящихся в
переохлажденном состоянии, или непосредственного превращения
капель в ледяную крупу [4, 5, 7, 8].
Как известно, во всем микроволновом диапазоне
действительная часть комплексного показателя преломления постоянна: п =
429

= 1,78, а вопрос о ее мнимой части подробно изложен в п. 3.3.4.
Так, по методике работы [29] мы рассчитали спектральные
функции к(К) льда для трех значений температуры: 0, —10 и —20 °С
в СБММ диапазоне. Результаты расчетов представлены на
рис. 3.17, где отчетливо видно окно прозрачности льда в области
0,3—0,8 мм.
Используя значения п = 1,78 и к(к) льда из табл. 3.13 и
рис. 3.17, мы рассчитали спектральные коэффициенты Г0(Я), Гр(Я),
Тп(Х) и Грд(^) в диапазоне ММ и СБММ волн для сверхкрупных
капель из табл. 2.15 и 2.16 для облаков основных типов и дождя-
щих облаков. Таким образом, мы предположили, что жидкие
сверхкрупные капли, находящиеся в естественных облаках,
превратились в лед, и рассчитали спектральные коэффициенты для
указанных распределений. На рис. 6.9 сравниваются
спектральные кривые Грл(^) для конвективных облаков Си cong. (min) и
Cb (min), когда сверхкрупные капли, находящиеся в
переохлажденном состоянии при t = —10 °С (кривые 2), превращаются
в лед при t = —10 °С (кривые 1) [4, 5]. Данные, по которым
построены кривые 2, взяты из таблиц (см. главу 5). Как видно из
рисунка, кривые Грл(^) для льда имеют максимум в области
0,3—0,8 мм и этот максимум более чем на два порядка больше,
чем для переохлажденных капель воды. Если сравнить этот
результат с подобным переходом в сантиметровом диапазоне [23],
то там это различие не превышает одного порядка. В отличие от
сантиметрового диапазона здесь Грл(^) имеет явно выраженный
максимум. Аналогичное различие в радиолокационном отражении
наблюдается и для дождящих облаков Д-10 и Д-50 (рис. 6.10), где
размеры сверхкрупных капель несколько превышают размеры
капель, распределение которых представлено на рис. 6.9. Поэтому
максимумы здесь смещены в длинноволновую область спектра.
Как показывают расчеты [1], наибольшее различие
коэффициентов при фазовом переходе вода—лед будет иметь место, когда
максимум распределения сверхкрупных капель по размерам (или
средний параметр распределения) совпадет со значением X окна
прозрачности льда — функции %(Я).
В отличие от существующего представления относительно
радиолокационного отражения от ледяных частиц облака при
фазовом переходе вода—лед, нами получен иной результат, который
требует основательного разъяснения.
Теоретические и экспериментальные исследования показывают,
что для метеорологических радаров, работающих в сантиметровом
и дециметровом диапазонах длин волн, существуют следующие
закономерности радиолокационного отражения от водяных капель
и ледяных частиц облаков [23]:
1) для мелких водяных капель, диаметр которых
удовлетворяет условию dtt*<0,5X (здесь d — диаметр частиц, X — длина
волны излучения радиолокатора), при фазовом переходе вода —
лед коэффициент радиолокационного отражения Грл уменьшается
430

не более чем в 5 раз, или на 7 дБ (см. рис. 6.28 в работе [23]);
2) если размер больших ледяных частиц удовлетворяет
условию d^>0,65^, то при фазовом переходе вода—лед коэффициент
радиолокационного отражения этих частиц не более чем в 10 раз,
или на 10 дБ, превосходит коэффициент радиолокационного
отражения от водяных капель аналогичных размеров.
Грл м
3-10 "
10
10
10
10'
10
"Jbt
гЯХ-
-slL
~sHz
1-7 1
/
н
"\
WTP~
щ п
1 II
Ё
ffiF
у / -
W г
W
Г™1—м "*""
■S^ ,
4
HL
—пт
1 \\
I И
U
1 |Л
щ
HI
1^
\ \
м \
ш
fN
/
/
1Ш
*—
Л 1
\\ ^
' \\
—_
k UrL
Л"Т I Г
\| 11
\ |t]S
\ \
\ 1
|\ 1
J
Це
1 I
2
и
Г
1тп >^1
\ W
м
(jfv^1
м "И
N /
II
10~
10й
101 \
мм
Рис. 6.9. Спектральные кривые радиолокационного отражения
для облаков Си cong. (min) (а) и Cb (min) (б) при t = —10 °С.
/ — для ледяных частиц; 2 — для переохлажденных капель воды.
431

^Автором получен результат, полностью противоположный
первой закономерности: в субмиллиметровом диапазоне 0,3—0,8 мм
при фазовом переходе вода—лед коэффициент радиолокационного
г к/Г1
•рл м
10 '
10
10'
10
10
-21
Г
ч|
-5
Г7
г™ — "*"
/
• —
—• "
в0т -*
^.
*
*•*•
L±j
\ [^
Л\
'
II \ S
in
1
1
11
1
1
1 i
/
/
\^
_/\
Г \
/
/
--
1 Г
VK
NN
>
\
\
X
\\
№
1
-- 2
к
\
\
\
V
6
1
1
11
\\
П4
4
4
>
у
W
10й
Ю1 X мм
Рис. 6.10. Спектральные кривые радиолокационного отражения
для дождящих облаков Д-10 (а) и Д-50 (б) при t= —10 °С.
Усл. обозначения 1 и 2 см. рис. 6.9.
отражения увеличивается более чем на два порядка, или на 20 дБ,
при условии d^X.
Физическую сущность обнаруженного нами аномального
явления легко понять и объяснить, если обратиться к рис. 33 из
работы [34], на котором рассматривается влияние мнимой части
комплексного показателя преломления вещества на факторы эф-
432

фективности ослабления и поглощения, когда т~1. В работе [34]
используются следующие обозначения для факторов эффективно-
стей: Ко(т9 p)=Q0, /CP(m, p)=QP, Кп(т9 p)=Qn и Крл(т, р) =
Прежде чем объяснить явление, необходимо вспомнить три
основополагающих положения теории Ми, которые связаны с
изменением факторов эффективностей в зависимости от п и х,
отчетливо изображенные на рис. 33 из [34]:
1) если длина волны зондирующего излучения соизмерима
с диаметром сферической частицы, то Грл описывается первым
максимумом функции Q0(p), т. е. находится в области главного
резонанса частицы, где в зависимости от изменения х велик
градиент изменения QP(p) или QpJi(p), а не Qn(p) в общем
коэффициенте ослабления Q0(p);
2) абсолютное значение Q0 или QVJl в первом максимуме
зависит от величины показателя поглощения х в т: чем меньше
х, тем больше абсолютное значение Q0 или (2РЛ в первом
максимуме функции Q0(p);
3) расположение первого максимума функции Q0(p) по оси
изменения р зависит от величины показателя преломления п в т;
чем больше /г, тем на меньшие значения р приходится первый ма-
симум QP(p), и, наоборот.
Обнаруженный выше аномальный коэффициент
радиолокационного отражения в окне прозрачности льда 0,3—0,8 мм является
результатом сложения трех рассмотренных выше основных
положений теории Ми:
1) увеличение абсолютного значения Q0 или (2рл в первом
максимуме функции Q0(p) для льда по сравнению с водой при
условии соизмеримости d^X и за счет различия значений т для
льда и воды;
2) увеличение абсолютного значения Q0 для льда по сравнению
с водой за счет окна прозрачности льда в СБММ диапазоне, т. е.
благодаря минимуму функции к (к) льда (см. рис. 3.13) в СБММ
диапазоне;
3) смещения положения первых максимумов функции Q0(p)
по оси изменения р для льда и воды за счет различия в величинах
п для льда и воды.
Рассмотрим каждый из этих факторов в отдельности.
1. Как видно из рис. 59 работы [24], расположение первого
максимума функции K(p)=Qo(p) вдоль оси изменения р зависит
от величины п согласно формуле (6.1), а для полидисперсного
облака со средним диаметром распределения dci = 2rci описывается
формулой (6.2) (здесь ^тах— значение длины волны, на которой
будет расположен максимум функции Г0(^) или Грл(^) (см.
формулу (3.12) при фиксированном значении dci распределения
капель по размерам).
28 Заказ № 124
433

От величины п частицы зависит и абсолютное значение Q0
в первом максимуме: чем больше (п—1), тем больше Q0 в
первом максимуме (см. рис. 59 из [24] и рис. 33 из [34]).
При соизмеримости dci~^ (а это на самом деле имеет место,
поскольку мы рассматриваем распределение сверхкрупных капель
по размерам, dci которых находится в средней части СБММ
диапазона (см. табл. 2.17)), функция Q0(p) или <2РЛ(р) будет иметь
максимум при ртах или Ятах, согласно (6.1) и (6.2). Известно, что
Qo = Qp + Qn, а в свою очередь, Qp пропорционально Qpn, т. е.
в первом максимуме Q0(p) или Qp(p) будет максимальным и
значение Qpn(p).
При /\, = 0,6 мм комплексный показатель преломления воды
равен т = 2,04 — 0,32/, а льда — т= 1,78 — 5,01 • 10"5/. Таким
образом, величина х = 0,32 воды больше, чем х = 5,01 • Ю-5 льда,
поэтому общая кривая Q0(p) воды будет расположена ниже кривой
Q0(p) льда (см. рис. 33 из [34]). Тогда в первом максимуме
функции Q0(p) будем иметь Q0n>QoB или <2РЛ>(2Рв (здесь
индекс л — лед, а индекс в — вода). Следовательно, в области
максимума Ртах ИЛИ Ащах — вследствие того, что Qv£zQVJIy
абсолютное значение Qpn льда будет превосходить Qpn воды, т. е.
<2Рлл><2Рлв. В свою очередь, это означает, что ГрЛл>Грлв
в области ртах. Это и есть первый фактор, обеспечивающий
превосходство 1 Рл л над 1 Рл в в максимуме функции Грл(Х) в
области значения Хшах.
2. Второй фактор, обеспечивающий превосходство Qpn л над
Ррл в в области ртах, тоже связан с поведением Q0fl и Q0B в
зависимости от к в т. Однако, в данном случае определяющим
является то, что в СБММ диапазоне у функции к (к) льда имеется
минимум при определенном значении К (см. рис.3.13), а у функции
т(Х) воды в этом же диапазоне наблюдается плавное
изменение х(Л).
Для минимального значения х функции к (К) льда, абсолютное
значение Q0 в первом максимуме функции Qo(p), будет
максимальным (см. выше пункт 2 основных положений теории Ми). Для
соседних длин волн — Х>Хтт или A<Xmin — из-за минимума
х(А) имеем x>xmm. Поэтому для этих функций Q0(p),
абсолютное значение Q0 будет всегда меньше, чем для случая хтт-
Аналогичная картина будет наблюдаться и для функции <2РЛ(^, р) =
= KvAm, р).
Теперь если обратиться к формуле (3.12) для вычисления
Грл(^), то убедимся, что для каждого значения К интегрируется
функция /Срл(я, х, р) для соответствующего значения х. Пределы
интегрирования и спектральный диапазон X постоянны и
охватывают область главного максимума функции Kv^{m, р). Поэтому
Грл для каждого значения К будет пропорционален абсолютному
значению /Срл в главном максимуме функции /Срл(т, р). Однако
выше отмечалось, что величина х и абсолютное значение /Срл
в главном максимуме функции Крл(т, р) обратно пропорцио-
434

нальны. Поэтому спектральный ход Грл(Х) в точности повторяет
спектральный ход абсолютных значений /Срл в главном
максимуме или спектральный ход, полностью противоположный
спектральной кривой х(Х). Таким образом, наличие в функции х(^)
минимума при определенном значении X обусловливает наличие
максимума спектрального коэффициента радиолокационного
отражения на той же длине волны. Здесь не оговариваются другие
условия, при которых достоверно это утверждение.
Для наших условий благоприятным фактором является еще
и то, что минимум функции х(Х) льда совпадает со значениями
dci распределений сверхкрупных капель по размерам. Таким
образом, увеличение QpJi л за счет распределения капель по
размерам и различия в величинах т для воды и льда (первый фактор)
совпадает с увеличением QpjI л за счет наличия минимума функции
к(Х) льда (второй фактор). Наложение двух этих факторов и
приводит к аномальному радиолокационному отражению в окне
прозрачности льда 0,3—0,8 мм при фазовом переходе вода—лед.
3. Поскольку при Х = 0,6 мм п льда (м=1,78) меньше, чем
воды (м = 2,04), то, согласно формуле (6.1), для монодисперсного
облака, будут различными значения р(1) г для льда и воды: для
льда Р(тах = 2,58, а для воды Рт)ах==Ь92, т. е. будет наблюдаться
достаточное смещение максимумов функций Qo(p) для льда и
воды друг относительно друга. Для полидисперсного
распределения со средним диаметром dci максимумы кривых Qo(p) будут
находиться (см. формулу (6.2)) для воды на ^max~2dci, для льда
на A-max^ l,5dci- Таким образом, при условии dci = const максимум
кривой Qo(^) или (2РЛ(^) =/Срл(^) для водяных капель будет
смещен в длинноволновую область спектра по сравнению с
соответствующим максимумом для ледяных частиц.
Именно такая закономерность положения максимумов кривых
Грл(^) для воды и льда наблюдается на рис. 6.9 и 6.10:
максимум ГрЛ(Х) для льда находится в области 0,3—0,8 мм, а для
воды — в области 4—10 мм. Если внимательно посмотреть на
рис. 6.9 и 6.10, то видно, что именно смещение максимума кривой
ГрЛ(л) для воды в длинноволновую область спектра по сравнению
с положением максимума Грл(Х) для льда приводит к
существенному различию абсолютных значений Грл для льда и воды в
диапазоне 0,3—0,8 мм — более чем на два порядка, или на 20 дБ.
Это и есть третий фактор, обеспечивающий возникновение
аномального радиолокационного отражения от частиц льда при
фазовом переходе вода—лед.
Таким образом, расчеты показали, что если в конвективном
облаке имеются сверхкрупные капли в переохлажденном состоянии
и они непосредственно переходят в лед, то коэффициент
радиолокационного отражения увеличивается более чем на два порядка.
Этого вполне достаточно для уверенной фиксации момента
перехода жидких капель в лед и момента начала градообразования
28*
435

в облаке. Существовавшие до сих пор методы, основанные на
наблюдениях в сантиметровом диапазоне, позволяли при таком
переходе наблюдать изменение Грл не более чем на один
порядок. Более того, различие в сантиметровом диапазоне можно
наблюдать при больших размерах градин, что неблагоприятно
сказывается на возможности получения должного положительного
эффекта при воздействии на градовое облако.
В настоящее время имеются затруднения с использованием
предлагаемого окна прозрачности льда в СБММ диапазоне для
обнаружения начала градообразования, связанные с большими
потерями в этом диапазоне на поглощение водяного пара в
приземном слое атмосферы. Эти трудности можно устранить, если
радиолокатор поместить [7, 8] на спутник или в
самолет-лабораторию, который будет зондировать конвективное облако с
близкого расстояния.
Таким образом, существует ряд вопросов, требующих
дополнительных расчетов, которые невозможно было осуществить без
наличия расчетного материала, представленного в таблицах из
главы 5. К подобным вопросам относятся следующие:
1) поглощение радиолокационно отраженного излучения в
безоблачной атмосфере на трассе от радиолокатора до облака для
двух случаев зондирования: а) наземное расположение
радиолокатора (зондирование снизу), б) расположение радиолокатора на
самолете или спутнике (зондирование сверху);
2) ослабление и поглощение радиолокационно отраженного
излучения всеми фракциями размеров капель облака (мелкие и
сверхкрупные капли в жидком и переохлажденном состоянии и
ледяные частицы);
3) учет рассеянной компоненты излучения при
распространении радиолокационно отраженного излучения внутри облака в
прямом и обратном направлениях;
4) расчет полного поглощения радиолокационно отраженного
излучения в атмосфере и в облаке для выяснения возможностей
использования аномального радиолокационно отраженного
излучения при фазовом переходе вода — лед в качестве индикатора
начала градообразования в конвективном облаке.
Этим вопросам и посвящен следующий параграф.
6.4. ОСЛАБЛЕНИЕ, РАССЕЯНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ
АНОМАЛЬНОГО
РАДИОЛОКАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ОБЛАКОМ
И АТМОСФЕРОЙ
6.4.1. РАДИОЛОКАЦИОННОЕ ОТРАЖЕНИЕ
ОТ КАПЕЛЬ И ЧАСТИЦ ОБЛАКА
В п. 6.3.4 обсуждалось аномальное радиолокационное
отражение от сверхкрупных ледяных частиц в облаке при фазовом пере-
436

ходе вода — лед в окне прозрачности льда 0,3—0,8 мм.
Одновременно отмечалась необходимость в детальном рассмотрении
ослабления и поглощения этого аномального излучения в облаке
и на трассе в атмосфере от радиолокатора до края облака.
Немаловажным фактором является и то, что антенна
радиолокатора имеет угловое разрешение, т. е. определенную диаграмму
направленности (ширину диаграммы в угловых единицах).
Находясь на близком расстоянии от облака, антенна радиолокатора
может улавливать не только отраженную строго назад (в
единичном телесном угле) от капель или ледяных частиц компоненту
излучения, но и излучение, рассеянное каплями и частицами под
малыми углами: назад (при распространении излучения в прямом
направлении в облаке) и вперед (при распространении излучения
в обратном направлении). Неучет малоуглового рассеяния, как
показали расчеты, может привести к ошибочным результатам,
вплоть даже до исчезновения феномена аномального
радиолокационного отражения. Этой части расчетов по строгой теории Ми
посвящена значительная часть настоящего параграфа.
С использованием достаточно большого объема
экспериментальных данных ниже выполнены следующие теоретические
расчеты: поглощения водяным паром атмосферы в окнах
прозрачности атмосферы в СБММ диапазоне при зондировании облака
радиолокатором, расположенным на поверхности Земли (снизу) и
на самолете или спутнике (сверху); ослабления, рассеяния и
поглощения излучения всеми фракциями капель, входящими в
облако— мелкими каплями и ледяными частицами размером от 1
до 45 мкм и сверхкрупными — размером от 85 до 1500 мкм и
более.
Кроме того, с использованием результатов всего объема
выполненных расчетов определено суммарное ослабление и поглощение
облаком и атмосферой аномального радиолокационно
отраженного излучения во всем СБММ диапазоне.
Мощность радиолокационно отраженного излучения от
распределенной объемной цели, каковой является облако, с учетом
ослабления и поглощения облаком и атмосферой описывается
формулой (3.10). В безоблачной атмосфере основной вклад в
поглощение СБММ волн, как известно, вносит водяной пар, а
влиянием поглощения молекулярного кислорода можно пренебречь.
Случай ослабления радиолокационного излучения в облаке
рассмотрен нами в п. 3.2 (см. формулу (3.11)). Если пренебречь
влиянием снежинок и бесформенных кристаллов, то коэффициенты
ослабления излучения для водяной и ледяной фаз облака (до и
после фазового перехода вода — лед) будут описываться
следующими выражениями:
для воды
2Г0 (Г) = 2Г01В (/') + 2ГП Н2о (/') + 2ГП „ в (Г) +
+ Q1BrpIiB(0 + Q.BrpIlB(r), (6.3)
437

для льда
2Г0 (/') = 2Г0 j в (/') + 2ГП н2о (П + 2ГП „ л (Г) +
(Г). (6.4)
где То1ъ(1') = ГП1в(//)+ГР1в(П —коэффициент ослабления
каплями воды диапазона размеров I — от 1 до 20—45 мкм; Гопв(/') —
коэффициент ослабления сверхкрупными водяными каплями
диапазона размеров II — от 85 до 1500 мкм и более;
Гопл(/')—коэффициент ослабления сверхкрупными ледяными сферическими
частицами диапазона размеров II; ГпН0 —коэффициент
поглощения водяным паром облака; QiB и QiB — коэффициенты
индикатрисы рассеяния водяных капель при распространении
электромагнитной волны в прямом и обратном направлениях
соответственно; (2зл и (24л — коэффициенты индикатрисы рассеяния
ледяных частиц при распространении электромагнитной волны
в прямом и обратном направлениях соответственно.
6.4.2. ПОГЛОЩЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
БЕЗОБЛАЧНОЙ АТМОСФЕРОЙ И ВОДЯНЫМ ПАРОМ ОБЛАКА
Нас интересует вопрос полного поглощения водяным паром
атмосферы излучения радиолокатора на трассе от радиолокатора
до границы облачности. В реальных условиях это наклонная
трасса. Однако для простоты задачи предположим, что
радиолокатор зондирует облачность в направлении в зенит. В этом случае
задача сводится к известному случаю определения полного
поглощения водяным паром атмосферы в зенит (см. п. 1.3.1.4). Из
формул (1.22) и (1.35) окончательно, для полного поглощения
водяным паром в направлении в зенит получим:
Г?,2о = Г°н2о]ехр[~-^-]^.
Используя эту формулу и Гн2о из п. 1.3.1.5 мы, рассчитали
полное поглощение водяным паром атмосферы в зенит для окон
прозрачности атмосферы в СБММ диапазоне для двух случаев
зондирования облака: а) снизу—наземное расположение
радиолокатора и б) сверху — радиолокатор на самолете или на
спутнике. Нижняя или верхняя кромки облака находятся при этом на
различных высотах соответственно: а) от поверхности Земли
(зондирование снизу) и б) от границы 16 км до поверхности Земли
(зондирование сверху). Для значения Нв в формуле выше взято
значение 1,5 км (см. п. 1.3.1.4).
Результаты расчетов представлены в табл. 6.14 для трасс
различной длины.
438

Таблица 6.14
h км
0—1
0—2
0—3
0—4
0—5
0—6
0—7
0—8
0—9
0—10
0—16
Полное
поглощение
водяным паром атмосферы в зенит Г
А, мм
0,87
10,5
Зондиров
7,654
11,592
13,624
14,656
15,183
15,162
15,601
15,674
15,711
15,730
15,750
0,73
Г°
хн2о
19
0,6
дБ/км
55
ание с поверхности Земли
13,851
20,976
24,653
26,520
27,474
27,979
28,230
28,363
28,430
28,464
28,500
40,095
60,720
71,363
76,769
79,530
80,993
81,719
82,104
82,297
82,396
82,500
0,45
60
43,740
66,240
77,850
83,750
86,760
88,356
89,148
89,568
89,778
89,886
90,000
h км
16-10
16—9
16—8
16—7
16—6
16-5
16—4
16—3
0,87
10,5
Зондирование
0,020
0,038
0,076
0,150
0,288
0,567
1,094
2,126
н2о (ДБ)
к
0,73
Г°
1н2о
19
мм
0,6
дБ/км
55
с самолета или спутника
0,036
0,070
0,137
0,270
0,521
1,026
1,980
3,847
0,104
0,203
0,396
0,781
1,507
2,970
5,731
11,14
0,45
60
0,114
0,222
0,432
0,852
1,644
3,240
6,250
12,15

1) В случае зондирования снизу результаты представлены для
слоев от 0 до 1 км (0—1), от 0 до 2 км (0—2) и т. д.Полное
поглощение для всей атмосферы и для всех окон прозрачности
атмосферы в СБММ диапазоне соответствует значению Гно#в и
наблюдается при прохождении излучением расстояния от
поверхности Земли (0 км) в зенит до уровня 16 км (0—16).
Данные таблицы с убедительностью показывают, что основное
поглощение излучения радиолокатора (при зондировании с
поверхности Земли) приходится на первые несколько километров
трассы. Поэтому даже использование мощного генератора СБММ
волн не разрешит проблему использования окна прозрачности
льда 0,3—0,8 мм для раннего обнаружения градовых зародышей
в облаке (см. п. 6.3.4).
2. Расчеты полного поглощения атмосферой в направлении
в зенит Гано, когда радиолокатор установлен на самолете или на
спутнике и зондирование облака осуществляется сверху, т. е.
отсчет расстояния в данном случае ведется с уровня 16 км
(например, если излучение распространяется от 16 до 10 км—(16—10)
или от 16 до 8 км— (16—8) и т. д.).
Известно, что высота верхней границы конвективных облаков
может составлять примерно от 5 до 10 км. Из табл. 6.14 видно,
что даже для уровня верхней границы облака — 5 км — полное
поглощение в окне прозрачности 0,6 мм может составить 2,97 дБ.
Это сравнительно малое поглощение, и при наличии
радиолокатора СБММ диапазона, с мощностью порядка нескольких ватт
можно легко осуществить зондирование конвективных облаков
радиолокатором, расположенным на самолете или на спутнике.
В табл. 1.15 приводятся рассчитанные нами для окон
прозрачности атмосферы, значения поглощения водяным паром облака
в СБММ диапазоне для пяти значений температуры: от 20 до
—20 °С через 10 °С. Из таблицы видно, что для теплых облаков
поглощение водяным паром во всех окнах прозрачности в СБММ
диапазоне велико. Сравнительно слабое поглощение наблюдается
при отрицательных температурах в основном в окнах 0,87; 0,73
и 0,6 мм. По-видимому, именно на эти окна прозрачности следует
ориентироваться при выборе длины волны из окна прозрачности
льда в СБММ диапазоне для реального осуществления
предложенного нами метода обнаружения ранней стадии градообразова-
ния в облаке по аномальному радиолокационному отражению
СБММ волн.
6.4.3. УЧЕТ РАССЕЯННОЙ КОМПОНЕНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
ВНУТРИ ОБЛАКА
Настало время объяснить смысл коэффициентов QiB, Q2B, Qs^
и (24л в формулах (6.3) и (6.4) и учесть влияние малоуглового
рассеяния в общем коэффициенте ослабления. По-видимому, если
бы рассматривалось наземное расположение радиолокатора, то
440

задача учета рассеянной компоненты излучения не стояла бы
вообще. Действительно, при расстоянии от радиолокатора до облака
порядка 3—5 км и угловой разрешающей способности
современных радиолокаторов в антенну радиолокатора попадает излучение,
рассеянное каплями и частицами облаков строго назад в
единичном телесном угле. Таким образом, угол раскрыва антенны —
диаграмма направленности антенны — настолько мал, что антенна
способна уловить ту часть отраженного обратно излучения,
которая строго рассчитывается по формулам Ми как
радиолокационное отражение строго назад в единичном телесном угле. Однако
если поместить антенну радиолокатора вблизи облака, например
на самолет, то в диаграмму направленности антенны может
попасть излучение, рассеянное каплей или частицей под малыми
углами: назад (при распространении волны в прямом направлении)
и вперед (при распространении волны в обратном направлении).
Это рассеянное излучение вносит дополнительный вклад в
интенсивность радиолокационного отражения, и в зависимости от
углового распределения интенсивности рассеяния самой капли или
частицы (т. е. индикатрисы капли или частицы), от угловой
разрешающей способности антенны и расстояния от антенны до
облака доля этой дополнительной интенсивности, попадающей в
антенну радиолокатора, будет различной. Поэтому прежде всего-
требуется расчет индикатрис рассеяния жидких капель и ледяных
частиц в СБММ диапазоне по строгой теории Ми. Задача эта не
простая, поскольку для СБММ диапазона подобных расчетов
еще нет. Кроме того, при наличии сверхкрупных капель и частиц,
размеры которых соизмеримы с длиной волны зондирующего
излучения (СБММ диапазон), велика рассеянная компонента
излучения, а различие в комплексных показателях преломления воды и
льда в этом диапазоне свидетельствует о существенном различии
в индикатрисах рассеяния водяных капель и ледяных частиц.
Для анализа рассмотренных вопросов и конкретных выводов были
выполнены теоретические расчеты по строгой теории Ми:
во-первых, были рассчитаны индикатрисы рассеяния — угловые
распределения интенсивности рассеянного излучения дискретными
сферическими частицами воды и льда для углов рассеяния от 0 до 180°
для отдельных длин волн СБММ диапазона; во-
вторых, были рассчитаны суммарные интенсивности малоуглового
рассеяния для дискретных малых углов вперед или назад (от 0
до 10° и от 180 до 170° через Г); в-третьих, были определены
суммарные интенсивности углового рассеяния для общего рассеяния
вне малых углов, т. е. доли истинной рассеянной компоненты,для
расчета истинного коэффициента ослабления.
Все эти расчеты явились предпосылкой для вычисления
коэффициентов, входящих в формулы (6.3) и (6.4) и связанных с
учетом дополнительного малоуглового рассеяния водяных капель
и ледяных частиц.
Интенсивность излучения, рассеянная дискретной сферической
частицей в единичном телесном угле и в произвольном направле-
441

нии угла 9, определяется, согласно известной монографии Дерми-
джяна (см. [8] в списке литературы к главе 4), по формуле
j /0ч _ h (6, m, р) + /2 (8, /я, р) .g g.
где и(9, m, p) =k*AiAf = SiS*; i2(6 m, p) = k2A2A*=SiS* а
величины Л1, А2 и Л* Л* — сопряженные комплексные значения,
определяемые формулами (3.58) и (3.59); А(9, ту р) и £2(9, m, р) —
параметры безразмерной интенсивности; k = 2n/X — волновое
число; А, — длина волны; т = п — Ы — комплексный показатель
преломления вещества; п — показатель преломления; х —
показатель поглощения; р = 2лг/Х — безразмерный параметр дифракции;
г — радиус капель. Формулы, связывающие и (9, т, р) и /2(9, /л, р)
с Si и S2 — безразмерными компонентами комплексных амплитуд
рассеяния в теории Ми, а также связь Si и S2 с коэффициентами
Ми ап и Ьп [24] и яп, тп подробно рассматриваются в указанной
монографии Дермиджяна.
Вопросы, связанные с дополнительной, малоугловой рассеянной
компонентой излучения сферических капель или частиц, удобно
разделить на два отдельных случая: 1) излучение радиолокатора
распространяется в облаке в прямом направлении, 2) излучение
радиолокатора распространяется в облаке в обратном
направлении. Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
6.4.3.1. Распространение излучения радиолокатора
в прямом направлении
Случай этот графически представлен на рис. 6.11а. Излучение
радиолокатора падает на отдельную дискретную сферическую
каплю под углом 9 = 180° и распространяется вдоль направления
9 = 0°. Часть излучения, рассеянная прямо назад строго по
направлению угла 9 = 180° в единичном телесном угле, и составляет
радиолокационное отражение, а коэффициент радиолокационного
отражения рассчитывается по известной формуле (3.12), входящей
в любую монографию по оптике мутных сред. Излучение,
рассеянное под различными углами от 9 = 179° до 9 = 0°, представляет
собой рассеянную компоненту излучения и является предметом
нашего повышенного интереса. В данном случае излучение,
рассеянное под малыми углами от 179 до 170°, может также войти
в раскрыв антенны и быть зафиксировано радиолокатором.
На рис. 6.Не изображена диаграмма направленности антенны
радиолокатора с главным лепестком, направленным вдоль оси z
[25]. В качестве меры угловой разрешающей способности
антенны радиолокатора нами, как и в работе [25], принята ширина
луча по уровню половинной мощности (или по уровню 3 дБ, см.
рис. 6.11 в). Сравнение мер ширины луча [25] с шириной диаграмм
направленности, принятых другими авторами, можно найти
442

в табл. А.28 в работе [25]. Угол 0а — ширина диаграммы
направленности по уровню половинной мощности в плоскости,
содержащей ось х, 0в — ширина диаграммы направленности антенны по
уровню половинной мощности в плоскости, содержащей ось у. При
равномерно круглом амплитудном распределении излучения
Эа = в<?. Этот случай мы и рассмотрим в дальнейшем.
Прямое распространение Обратное распространение
волны волны
Рис. 6.11. Угловые распределения рассеянной интенсивности (индикатрисы
рассеяния).
а) прямое распространение радиолокационного излучения: 1) 0—179°; 2) 0—177°; 3) 0—175°;
4) 0—170°; б — обратное распространение радиолокационного излучения: 1) 1—180°;
2) 3—180°, 3) 5—180°, 4) 10—180°; в) диаграмма направленности антенны радиолокатора:
х, у, z — направление координатных осей, z — направление оси антенны 9 = 0°, h° — высота
антенны, 1° — ширина антенны. Qe и 9а —угловая ширина диаграммы направленности
антенны по уровню половинной мощности в плоскостях, содержащих оси у и х.
Из рис. 6.11 в можно видеть, что если 1/206? = 1/28а больше
единичного телесного угла в направлении 0=180° рассеяния частицы,
то излучение, рассеянное под малым углом 9М, например в
пределах 180—170°, и удовлетворяющее условию V26e>6M (здесь
Эммера малого угла рассеяния капель или частиц в градусах),
также войдет в раскрыв антенны, т. е. в диаграмму
направленности антенны и также будет зарегистрировано радиолокатором.
Легко видеть, что в проблеме дополнительной рассеянной
компоненты излучения необходимо рассмотреть две отдельные доли
рассеянного излучения:
1) долю рассеянной компоненты излучения, которая
направлена под малыми углами рассеяния и увеличивает интенсивность
радиолокационно отраженного излучения (см. рис. 6.11а, 9 от 179
до 170°);
44а

2) долю рассеянной компоненты излучения, которая
рассеивается вне малых углов рассеяния и составляет истинный
коэффициент рассеяния, входящий в общий коэффициент ослабления и
характеризующий ослабленное излучение (см. рис. 6.11а, 9 от
170 до 0°).
Первая доля должна добавляться к коэффициенту
радиолокационного отражения Грл в формуле (3.10). Вторая должна
учитываться в ослаблении, т. е. выражаться через коэффициенты QBi
и Рлз в формулах (6.3) и (6.4).
6.4.3.2. Распространение излучения радиолокатора
в обратном направлении
Излучение радиолокатора при распространении в облаке
проходит, как известно, двойной путь. Особенности прохождения
излучения в прямом направлении рассматривалось выше.
Аналогичная картина наблюдается в случае, когда отраженное от
сферических капель или частиц излучение распространяется в обратном
направлении (см. рис. 6.116). Различие состоит только в том, что
во втором случае в угловой раскрыв антенны попадает
дополнительное малоугловое рассеянное излучение теперь уже из
передней части индикатрисы рассеяния капель или частиц, т. е.
излучение, рассеянное под малыми углами вперед—Г, 2° и т. д. Здесь,
как и в первом случае, необходимо различать две доли
рассеянной компоненты излучения:
1) долю рассеянной компоненты излучения капли или частицы,
рассеянную вперед под малыми углами, приводящую к
увеличению интенсивности радиолокационного отражения, эту долю
необходимо просуммировать с Грл в формуле (3.10) (см. рис. 6.116,
6мот 1 до 10°);
2) долю рассеянной компоненты, которая рассеивается вне
малых углов рассеяния и учитывается в общем коэффициенте
ослабления (см. рис. 6.11 б, 9 от 10 до 180°).
Таким образом, в результате прохождения радиолокационным
излучением в облаке двойного пути в угловой раскрыв антенны
попадает дополнительное рассеянное излучение — рассмотренные
выше две доли рассеяния. Поэтому окончательные значения
коэффициентов радиолокационного отражения, входящие в формулу
(3.10), примут следующий вид:
для водяных капель
1 рл в === А рл в г Ч:5вА р в г Ч:6вА р в> \в.о)
для ледяных частиц
Грл л = Грл л + Q/лГр л + ОвлГр л. (6-7)
Здесь Q$B и QeB — коэффициенты индикатрисы малоуглового
рассеяния водяных капель при распространении волны в прямом и
444

обратном направлении соответственно; Q7n и Qsn — коэффициенты
индикатрисы малоуглового рассеяния ледяных частиц при
распространении волны в прямом и обратном направлении
соответственно.
6.4.4. РАСЧЕТ РАССЕЯННОЙ КОМПОНЕНТЫ ИЗЛУЧЕНИЯ
Учитывая положения, изложенные в п. 6.4.3, мы прежде всего
рассчитали индикатрисы рассеяния — интенсивности 7(0) —по
формуле (6.5) для двух полидисперсных распределений
сверхкрупных капель по размерам в облаке — Д-10 и Д-50 (см.
табл. 2.16 и 2.17).
При строгом расчете 7(0) для полидисперсного распределения
капель по размерам следовало придерживаться следующей схемы.
Полидисперсное распределение необходимо было разбить по г на
отдельные малые интервалы со средним значением ri для каждого
интервала. Затем для одного значения п, одной определенной
длины волны из СБММ диапазона и известного т следовало
рассчитать 7(0, т, р) в интервале углов 0 от 0 до 180°. Такую же
функцию 7(0, т, р) следовало рассчитать для всех / значений г,
тех же А, и т. Умножив каждую из индикатрис (всего i
индикатрис) на весовой коэффициент плотности распределения f(r) и
просуммировав £Л(0, га, р) для каждого отдельного значения
угла 0, в итоге мы бы получили полидисперсную индикатрису
рассеяния.
Как видим, расчеты эти сложны и трудоемки, поэтому для
наших расчетов мы использовали приближенные вычисления, по
точности ничуть не уступающие указанным расчетам. Вместо
полидисперсного распределения мы использовали его среднюю
характеристику— среднее значение радиуса распределения гс\.
Если разобраться в проблеме, то /(0, га, р) для среднего
значения гс1 вполне точно характеризует полидисперсную
индикатрису.
Для расчетов мы использовали следующие средние значения
распределений: для Д-10 — rci = 0,465 мм и для Д-50 — rci = 0,7 мм.
Расчеты /(0, га, р) проводились нами отдельно для водяных
капель и ледяных частиц в интервале углов от 0 до 180° через Г
для окон прозрачности атмосферы в СБММ диапазоне: 0,87; 0,73;
0,6; 0,45; 0,36 и 0,26 мм, или округленно для длин волн: 0,9; 0,7;
0,6; 0,5; 0,4 и 0,3 мм. В качестве комплексных показателей
преломления для воды и льда использовались данные из табл. 3.11
и 3.13. Если учесть значения гс\ для Д-10 и Д-50 и длины волн
СБММ диапазона, то легко убедиться, при этом значения р
меняются в интервале от 1 до 5. Для этих значений р великолепно
работает алгоритм Дермиджяна (см. п. 3.4.5.2). Поэтому для
расчетов угловых функций 7(0, га, р) мы использовали алгоритм
Дермиджяна. Дальнейшая обработка расчетного материала
проводилась следующим образом.
445

6.4.4.1. Углы рассеяния вперед
Складывались значения 7(0) (для одного значения rci и одной
длины волны из СБММ диапазона) для всех углов 0 от 1 до
180° (всего 180 значений), и это значение суммарной
интенсивности принималось за 100 %. Затем рассматривалось значение /(8)
при 9=1° и вычислялось, какую долю (в процентах) суммарной
интенсивности составляет данная интенсивность. Эта доля
рассеянной интенсивности приписывалась углу от 0 до Г.
Следующим рассматривалась сумма 7(Э) для углов 9 от 1 до 2° и опять
вычислялась доля /с(9), которая теперь уже приписывалась углу
9М = 2°, т. е. рассеянная интенсивность, заключенная в угле от 0
до 2°. Следующей рассматривалась сумма £ Н®) Для углов от 1
до 3° и т. д. Таким образом, составлялись два столбца для случая
рассеяния вперед:
№ п/п
I столбец
II столбец
ем==1°; (/) е% для е=г s/ (е) % для е от 2° до iso°
б.* = 2°; 2 (/) 6 % для 9=1+2° 2 ' (в) % Для 0 от 3° до 180°
10 Ом =10°; 2/(6) % для 9 =
= 1 + ... +10°
2/ (9) % для 9 от И до 180°
Таким образом, в первом столбце представлены доли
рассеянной интенсивности по отношению к полной интенсивности для
малых углов вперед при 9М=1, 2, 3° и т. д. до 10°. Во втором
столбце представлены суммарные интенсивности полного
рассеянного излучения без доли малоуглового рассеяния для каждого
конкретного малого угла, т. е. сумма 7(9) (%) I и II столбцов,
каждой строки 9М равна 100 %.
6.4.4.2. Углы рассеяния назад
Аналогичные расчеты выполнены для углов рассеяния назад
в области углов 9 от 179 до 170°:
№ п/п
III столбец
IV столлец
1 9*= Г; / (9) % для 9=179° 2/ (9) % для 9 от 9 до 178°
2 9^ = 2°; 2/ (9) 96 для 9=179+ 2/ (9) % для 9 от 0 до 177°
+ 178°
3 9М = 3°; 2/ (9) % для 9=179+ 2/ (9) % для 9 от 9 до 176°
+ 178 + 177°
19 9М =19°; 2/ (9) % для 9 =
= 179+... +179°
2/ (9) % для 9 от 0 до 169°
446

Как и в случае со столбцами I и II, здесь для каждого
значения 6М (каждой строчки) сумма 7(Э) (в %) III и IV столбцов
равна 100 %.
Теперь имеется возможность отождествить коэффициенты QiB,
Q2B, <2зл, <24л, QbBy QeB, Qm и Q8n с соответствующими столбцами I,
II, III и IV (если значения £ 1{&) в столбцах приводятся в
процентах, то соответствующие коэффициенты следует учитывать
в долях от единицы, например, 100 % =1; 99,6 % =0,996...): QiB—
IV столбец; Q2B — II; Qsn — IV; Q4Ji — II; Q5B —III; QeB —I;
Q7JI — III; Q8„—I.
В табл. 6.15 и 6.16 приводятся рассчитанные нами значения
всех столбцов для длин волн окон прозрачности атмосферы: 0,87;
0,73; 0,6 и 0,45, для облака типа Д-10 при rci = 0,465 мм при
температуре— 10 °С для водяных переохлажденных капель
(табл. 6.15) и ледяных частиц (табл. 6.16).
6.4.5. ВЛИЯНИЕ ОСЛАБЛЕНИЯ, РАССЕЯНИЯ
И ПОГЛОЩЕНИЯ В ОБЛАКЕ
НА АНОМАЛЬНОЕ РАДИОЛОКАЦИОННОЕ ОТРАЖЕНИЕ
После того как коэффициенты QiB, Q2B, (Ззл и Q^ малоуглового
и общего рассеяния (см. табл. 6.15 и 6.16) вычислены, можно
рассчитать компоненты второго интеграла в формуле (3.10) с
учетом формул (6.3) и (6.4).
В формулах (6.3) и (6.4) для расчетов коэффициентов
ослабления и поглощения мелкими и сверхкрупными каплями и
частицами облаков в окнах прозрачности атмосферы в СБММ
диапазоне использовались точные формулы Ми по разработанной нами
программе ORION. Расчеты проводились для длин волн окон
прозрачности атмосферы: 0,87; 0,73; 0,6 и 0,45 мм. Комплексные
показатели преломления воды и льда взяты из табл. 3.11 и 3.13
соответственно для длин волн: 0,9; 0,7; 0,6 и 0,5 мм. Для расчетов
Г01в использовалось распределение по размерам капель радиусом
от 1 до 20 мкм облака С-5 (см. табл. 2.16). В расчетах Гппв,
Грив, Гпил и Грид использовались распределения сверхкрупных
капель по размерам облаков Д-10 и Д-50 при температуре —10 °С.
Для Г „п использовались рассчитанные нами значения из
табл. 1.15 при температуре —10 °С.
Для учета рассеянной компоненты излучения рассматривались
четыре отдельных случая для малых углов Эм рассмотренных
выше:
1) QiB = Q2B = Q3ji*=Qbji = 1 (без учета рассеянной компоненты);
2) Qib, Q2B, Q3ji и Q4n при 6М=1° (см. табл. 6.15 и 6.16);
3) QiB, Q2B, С2зл и Qbn при Эм = 3° (см. табл. 6.15 и 6.16);
4) QiB, Q2B, <3зл и Q4n при Эм=5° (см. табл. 6.15 и 6.16).
В табл. 6.17 приводятся рассчитанные нами значения
коэффициентов ослабления по формулам (6.3) и (6.4) для распределений
447

fc Таблица 6.15
00
Функция 7(0) для малых углов рассеяния вперед и назад (Ом от 1 до 10°), а также 7(0) для дополнительных углов
рассеяния до 180° в случае водяных капель для облака Д-10 при t =—10 °С, r0i = 0,465
ем
Интервал 9°
А, ММ
0,87
0,73 0,60
0,45
Интервал 0°
А мм
0,87
0,73
0,60
0,45
Обратное распространение радиолокационного излучения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1°
21 + -.
21 + ..
21 + ..
21+.-
21 + -.
21 + .-
21 + .-
21 + .-
21 + .-
I столбец: 2 / (0) 96
3,96
. +2° 7,90
. +3° 11,82
. +4° 15,70
. +5° 19,54
. +6° 23,32
. +7° 27,04
. +8° 30,69
. +9° 34,26
. +10° 37,75
5,02
10,02
14,97
19,85
24,65
29,34
33,92
38,37
42,67
46,82
5,81
11,58
17,27
22,87
28,34
33,66
38,81
43,77
48,52
53,04
6,93
13,79
20,54
27,12
33,49
39,63
45,81
51,05
56,27
61,15
2 2+..
23+..
24+..
2 5+..
2 6+..
27+..
2 8+..
29+..
2 Ю + .
2 11 + .
+ 180°
+ 180°
+ 180°
. +180°
+ 180°
+ 180°
. +180°
+ 180°
.. +180°
.. +180°
II столбец
96,04
92,10
88,18
84,30
80,46
76,68
72,96
69,31
65,74
62,25
2/(0)
95,98
89,98
85,03
80,15
75,35
70,66
66,08
61,63
57,33
53,18
%
94,19
88,42
82,73
77,13
71,66
66,34
61,19
56,23
51,48
46,96
93,07
86,21
79,46
72,88
66,51
60,37
54,51
48,95
43,73
38,85
Прямое распространение радиолокационного излучения
III столбец:
.. +178°
.. +177°
.. +176°
.. +175°
.. +174°
.. +173°
.. +172°
.. +171°
.. +170°
2/(0)
0,07
0,15
0,22
0,30
0,37
0,44
0,51
0,58
0,65
0,72
%
0,03
0,07
0,10
0,13
047
0,20
0,23
0,26
0,29
0,32
0,01
0,03
0,04
0,05
0,07
0,08
0,09
0,11
0,12
0,13
0,01
0,03
0,04
0,05
0,07
0,08
0,09
0,11
0,12
0,13
2 178+..
2 177+..
2 176+..
2 175+..
2 174+..
2 173 + ..
2 172+..
2 171 + ..
2 170 + ..
2 169 + ..
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
IV столбец
99,93
99,85
99,78
99,70
99,63
99,56
99,49
99,42
99,35
99,28
•2/(0)
99,97
99,93
99,90
99,87
99,83
99,80
99,77
99,74
99,71
99,68
%
99,99
99,97
99,96
99,95
99,93
99,92
99,91
99,89
99,88
99,87
99,99
99,97
99,96
99,95
99,93
99,92
99,91
99,89
99,88
99,87
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
179°
2 179 +
2 179 +
2 179 +
2 179 +
2 179 +
2 179 +
2 179 +
2 179 +
2 179 +

Таблица 6.16
Функция /(0) для малых углов рассеяния вперед и назад (Эм от 1 до 10), а также 7(0) для дополнительных углов
до 180° в случае ледяных частиц для облака Д-10 при / =—10 °С, гс\ = 0,465 мм
ем
Интервал 6°
Я, мм
0,87
0,73
0,60
0,45
Интервал 0°
Я, мм
0,87
0,73
0,60
0,45
Обратное распространение радиолокационного излучения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1°
2 1+2°
21 + ..
21 + ..
21 + ..
21 + ..
21+..
21 + ..
21 + ..
21+..
I столбец:
+3°
+4°
+5°
'+6°
+ 7°
+8°
+9°
+ 10°
2 / (0) %
3,38
6,74
10,09
13,42
16,71
19,96
23,17
26,33
29,43
32,46
3,62
7,23
10,79
14,30
17,74
21,10
24,36
27,62
30,56
33,47
3,23
6,43
9,58
12,64
15,61
18,45
21,17
24,73
26,13
28,37
Прямое распространение
4,43
8,83
13,17
17,45
21,63
25,70
29,66
33,47
37,14
40,66
2 2+..
2 3+..
24+..
2 5+..
26+..
2 7+..
2 8+..
2 9+..
2 Ю+.
2 Н + .
+ 180°
+ 180°
+ 180°
+ 180°
+ 180°
+ 180°
+ 180°
+ 180°
. +180°
. +180°
II столбец
96,62
93,26
89,91
86,58
83,29
80,04
76,83
73,67
70,57
67,54
радиолокационного излучения
2/(6)
96,38
92,77
89,21
85,70
82,26
78,90
75,64
72,48
69,44
66,53
1
2
3
4
Ь
6
7
8
9
10
179°
2 179+.
2 179 + .
2 179 + .
2 179 + .
2 179 + .
2 179 + .
2 179 + .
2 179 + .
2 179 + .
III столбец: 2 / (6)
.. +178°
.. +177°
.. +176°
.. +175°
.. +174°
.. +173°
.. +172°
.. +171°
.. +170°
0,17
0,35
0,52
0,69
0,86
1,03
1,19
1,34
1,50
1,65
%
0,57
1,14
1,70
2,25
2,79
3,31
3,81
4,29
4,75
5,19
1,22
2,42
3,61
4,77
5,89
6,97
8,01
9,00
9,94
10,82
0,94
1,86
2,76
3,61
4,62
5,17
5,87
6,49
7,05
7,54
2 178 + ..
2 177 + ..
2 176+..
2 175 + ..
2 174 + ..
2 173+..
2 172+..
2 171 + ..
2 170 + ..
2 169+..
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
. +0°
IV столбец
99,83
99,65
99,48
99,31
99,14
98,97
98,81
98,66
98,50
98,35
•2/(6)
99,43
98,86
98,30
97,75
97,21
96,69
96,19
95,71
95,25
94,81
%
98,78
97,58
96,39
95,23
94,11
93,03
91,99
91,00
90,06
89,18
99,06
98,14
97,24
96,39
95,58
94,83
94,13
93,51
92,96
92,46
96,77
93,57
90,42
87,36
84,39
81,55
78,83
76,27
73,87
71,63
95,57
91,17
86,83
82,55
78,37
74,30
70,34
66,53
62,86
59,34

по размерам капель (2Г„(/')) и ледяных частиц (2ГЛ(/')) для
облака Д-10 при температуре —10 °С. Из таблицы видно, что
значения 2ГВ(/') и 2ГЛ(0 без учета малоуглового рассеяния для
всех рассматриваемых длин волн почти не отличаются друг от
друга. Учет малоугловой рассеянной компоненты при различных
значениях 9М также почти не влияет на коэффициенты ослабления
для каждой отдельной длины волны.
Таблица 6.17
Коэффициенты ослабления, рассчитанные по формулам (6.3) и (6.4)
для водяных капель и ледяных частиц в случае облака Д-10 при —10 °С
%
К мм
0,87
0,73
0,60
0,45
Без учета малоуглового
рассеяния
1
3
5
10
Без учета малоуглового
рассеяния
1
3
5
10
2ГВ(
6,34-Ю-3
6,30- Ю-3
6,24-Ю-3
6,17-Ю-3
6,02-Ю-3
2ГЛ
1,31-10-2
6,52-Ю-3
6,39-Ю-3
6,23-Ю-3
5,99-Ю-3
п
(П
м-1
6,98-Ю-3
7,56-Ю-3
7,48-Ю-3
7,41-Ю-3
7,22-Ю-3
м-1
1,32-Ю-2
7,63-Ю-3
7,49-Ю-3
7,31-Ю-3
7,04-Ю-3
7,6Ы0"3
1,31-10-2
1,30-10-2
1,29-10-2
1,27-Ю-2
1,43-Ю-2
1,31-10-2
1,29-10-2
1,27-Ю-2
1,25-10-2
7,70-Ю-3
1,42.10-2
1,4Ь Ю-2
1,40-10-2
1,38-Ю-2
1,44-Ю-2
1,43-Ю-2
1,41-10-2
1,39-10-2
1,36-Ю-2
Таким образом, основной вывод, который позволяет сделать
анализ табл. 6.17, заключается в том, что независимо от величины
угла малоуглового рассеяния и от фазового состояния
сверхкрупных частиц облака (частицы льда или водяные капели)
коэффициент ослабления в каждом конкретном случае для каждого окна
прозрачности атмосферы в СБММ диапазоне является практически
постоянной величиной.
Обнаруженную выше закономерность следовало ожидать,
поскольку концентрация сверхкрупных капель в облаках мала (мал
их вклад в водность облака) и, следовательно, вклад их в общее
ослабление незначителен. Иная картина наблюдается, когда
рассматривается отдельно рассеянная компонента излучения. Размер
сверхкрупных капель соизмерим с длиной волны зондирующего
облако радиолокационного излучения, поэтому рассеянная
компонента велика и играет важную роль.
В табл. 6.18 приводятся данные расчета коэффициентов
радиолокационного отражения для тех же условий, что и в табл. 6.17.
Различие заключается только в том, что здесь рассматривается
450

влияние малоуглового рассеяния на коэффициент
радиолокационного отражения в формуле (3.10) по формулам (6.6) и (6.7). Из
таблицы видно, что во всех окнах прозрачности за исключением
Я=0,87 мм значения Грл в почти на два порядка меньше
соответствующих значений Г* . Это различие и составляет основу
Таблица 6.18
Коэффициенты радиолокационного отражения, рассчитанные по формулам (6.6)
и (6.7) с учетом малоуглового рассеяния в формуле (3.10) для водяных капель
и ледяных частиц, облако Д-10 при —10 °С
Без учета
рассеяния
Без учета
рассеяния
0м
малоуглового
1
3
5
10
малоуглового
1
3
5
10
0,87
г*
1,19-10-4
1,52-10-4
1,99-10-4
2,85-10-4
4,40-10-4
я
0,73
в М"1
4,25-Ю-3
1,39-10-4
2,20-10-4
2,99-10-4
4,80-10-4
Грлв М"1
8,9-Ю-5
4,32-Ю-3
4,44-Ю-3
4,56-10-3
4,87-Ю-3
5,15-Ю-3
5,15-Ю-3
5,29-Ю-3
5,42-Ю-3
5,73-Ю-3
мм
0,60
9,82-Ю-5
1,36-10-4
2,28-10-4
ЗЛ7-10-4
5,16-10-4
8,05-Ю-5
5,22-Ю-3
3,33-Ю-3
5,50-Ю-3
5,78-Ю-3
0,45
5,08-10-*
1,36-10-*
2,43-Ю-4
3,45-10-4
5,64-Ю-4
6,92-10-*
7,00-Ю-3
7,18-Ю-3
7,34-10-*
7,58-Ю-3
обнаруженного нами аномального радиолокационного отражения
СБММ волн при фазовом переходе вода — лед (см. п. 6.3.4).
Рассмотрим теперь, как влияет малоугловое ^ассеяние на Г*лв
и Г*лл С увеличением угла 9М значения Г*чв увеличиваются
одинаково во всех окнах прозрачности. Значение Г*лв при
изменении угла 9м от 1 до 10° существенно возрастает — в 5—10 раз
для различных окон прозрачности. Для коэффициента Г*
наблюдается та же картина, что и для Г* , однако при изменении
6М от 1 до 10° он возрастает значительно меньше — в 0,5—1 раза.
Этот эффект приводит к тому, что с увеличением 9М уменьшается
различие между коэффициентами Г* и Г* почти во всех
р л в р л л
рассматриваемых окнах прозрачности. Например для угла 9М =
= 10° различие в величинах Г*ч ч и Г*^ во всех окнах
прозрачности уже составляет не два порядка, а всего лишь один. Это
означает, что под влиянием малоуглового рассеяния сводится на
29*
451

нет эффект аномального радиолокационного отражения при
фазовом переходе вода — лед. Превышение Г* над Г* при
фазовом переходе вода — лед на один порядок наблюдается и в
сантиметровом диапазоне, однако реализовать его для эффективной
борьбы с градом пока не удалось.
Из всего изложенного можно сделать вывод о том, чтобы для
того чтобы иметь возможность использовать предложенный нами
метод аномального радиолокационного отражения в целях
раннего обнаружения начала градообразования в облаке, необходимо
использовать антенну радиолокатора с узкой диаграммой
направленности, т. е. с малым значением 9е, и зондировать облако
с большого расстояния. Таким образом, следует исключить
влияние малоуглового рассеяния на регистрацию радиолокационного
отражения от водяных капель и ледяных частиц облака.
6.4.6. РАСЧЕТ ПОЛНОГО
РАДИОЛОКАЦИОННОГО ОТРАЖЕНИЯ
Выше мы рассчитали почти все необходимые составляющие,
входящие в формулу (3.10). Чтобы иметь возможность сравнить
полученные данные с результатами, изложенными в п. 6.3.4, мы
рассчитали значения Г не по формуле (3.10), а по упрощенной
формуле, не связывая расчеты с аппаратурными параметрами и
конкретным расстоянием L:
Г = г;л вл ехр -2 J Г (L) dL - 2 j Г (/') dV . (6.8)
Расчеты по формуле (6.8) проводились для распределения
Д-10 сверхкрупных водяных капель и ледяных частиц. В качестве
данных для вычисления второго интеграла в формуле (6.8)
использовались данные табл. 6.17. Расстояние V распространения
излучения в облаке взято равным 300 м, что соответствует
длительности импульса радиолокатора 1 мкс. В качестве значений
Г* использовались данные табл. 6.18. Для вычисления первого
интеграла в (6.8) использовались данные табл. 6.14 при условии
зондирования сверху, когда верхняя кромка конвективного облака
находится на высоте 7 км (строка 16—7 табл. 6.14).
Результаты расчетов значений Г (м)-1 для воды и льда для
трех значений 9М=1, 3 и 5°, а также без учета малоуглового
рассеяния для воды и для льда приводятся на рис. 6.12. Как видно
из рисунка, для всех длин волн без учета малоуглового рассеяния
значения для воды Гв почти на два порядка меньше значений для
льда Гл. С увеличением значения 0М различие это постепенно
уменьшается. Уже при 9М = 5° в отдельных окнах это различие не
превышает одного порядка, т. е. 10 дБ. Поэтому только
радиолокаторы СБММ диапазона с малым угловым раскрывом антенны,
расположенные на достаточно большом расстоянии от кромки об-
452

Гм''
10 '
10
10'
10
10
-5
-в
-7
-8
-9
0м=5°
J°
1°
^
1
о
х
-I '
i
i
—I q
j
| /
—I
I
.
'
i
i j
/
V '
-y ■
^1 /
-J J-
i / >
1 У '
У /
'\ /
1 •
A
i
i
i
L-
1
\J
W
i
JJ
-Hbr-
мr '
iin
ill 1
ml 1 ■
1/ \/
ml / >
Ш
i [/'
1 ' ' V/
\ ll'f
у /
1 J /'.
/Z/'1
n 11
iii\
flu-
'>■'' 1
llff '
"l. 1
»" '
'' 1
« 1
1
M ■
1—r-
1
1
1
1
1
1
1
1
^
0m/ 5U
/ 1
' '1J°
•/Г
"l8
I
10 0,1 0,2 0,4- 0,6 0,8 1,0 \MM
Рис. 6.12. Спектральные зависимости коэффициентов
радиолокационного отражения с учетом ослабления и поглощения
излучения волн СБММ диапазона облаком и атмосферой в случае
облака Д-10.
/ — функции Гл(^) для ледяных частиц при f=»—10 °С, кривая Л —
функция Гл(^) без учета малоуглового рассеяния; 2 — функции ГВ(А,) для
водяных капель при t=—10 °С, кривая В — функция Гв (к) без учета
малоуглового рассеяния.

лака, могут реально использоваться для раннего обнаружения
начала градообразования в облаке.
Остается определить суммарное влияние поглощения в
атмосфере и ослабления в облаке на коэффициент аномального
радиолокационного отражения из п. 6.3.4. Для этого достаточно
сравнить две кривые для облака Д-10: Грл(^) на рис. 6.10 без учета
поглощения и ослабления и Г(Х) на рис. 6.12. Результаты
сравнения для окон прозрачности атмосферы в СБММ диапазоне
приводятся в табл. 6.19.
Таблица 6.19
Сравнение спектральных коэффициентов радиолокационного отражения (м-1)
без учета (Грл(^)) и с учетом ( Т(Х)) поглощения атмосферой
и ослабления облаком
рл
рл
X мм
0,87
Лед,
4,3-10"3
4,8-10"5
Вода,
1,15.1СГ4
1,35-1СГб
0,73
—10 °С
5.10-3
2,8-10~5
—10 °С
МО"4
5,8-10"7
0,60
6-Ю"3
4-10"7
3-Ю"5
1-Ю"8
0,45
8-10-3
3-Ю"7
8.10"5
2,75-10-»
* См. рис. 6.10.
** См. рис. 6.12.
Из табл. 6.19 видно, что для окон Х = 0,87 мм и ^ = 0,73 мм
атмосфера и облако уменьшают коэффициент радиолокационного
отражения почти одинаково для водяных капель и ледяных
частиц— на два порядка, т. е. на 20 дБ. В окне ^ = 0,6 мм
наблюдается аналогичная картина, только здесь суммарное ослабление
составляет примерно четыре порядка, т. е. ~40 дБ. Для окна
А, = 0,45 мм ослабление радиолокационного отражения для воды и
льда одинаково велико и несколько превышает 40 дБ. Окно
прозрачности Х=0,6 мм достаточно широкое в сторону длинных
СБММ волн, и в этом окне может работать радиолокатор до Х =
= 0,67.. . 0,68 мм. В этом случае можно надеяться на суммарное
ослабление радиолокационного сигнала атмосферой и облаком
примерно до 25—30 дБ.
Данные табл. 6.19 весьма важны, и их можно реально
использовать для конструирования приемо-передающей аппаратуры
454

в СБММ диапазоне, когда помехой для генерируемого излучения
являются облако и атмосфера.
Подводя итоги, отметим, что последний параграф явился
логическим завершением п. 6.3.4 относительно предложенного метода
раннего обнаружения начала градообразования в облаке по
радиолокационному отражению в СБММ диапазоне. По-видимому,
выяснено основное: меры поглощения атмосферой и ослабления
облаком в интересующем нас СБММ диапазоне позволяют
реализовать предложенный метод. Получены также требования к
радиолокационной аппаратуре в зависимости от метода
зондирования конвективного облака.
Принятые приближения не повлияли на конечный результат
исследования. Вопрос касается, во-первых, полидисперсной
индикатрисы рассеяния: она не рассчитывалась нами строго. Мы
использовали индикатрису для среднего радиуса полидисперсного
распределения. По-видимому, это не вносит большой погрешности.
Учитывать полидисперсную индикатрису следовало, если бы стоял
вопрос четкой связи значений 9М и ве радиолокатора. Однако
перед нами подобная конкретная задача не стояла.
Во-вторых, в расчетах поглощения излучения атмосферой нами
рассматривалась не наклонная трасса, а направление в зенит.
Распределение влажности по высоте в течение года и ото дня ко
дню меняется столь резко, что порой трудно в теоретических
расчетах учесть это. Эффективная высота водяного пара
атмосферы— Яв=1,5 км — характеристика средняя и вполне
оправданная. Учет наклонности трассы при этих условиях (зондирование
сверху) сейчас вряд ли необходим и целесообразен. При
зондировании облака с поверхности Земли, учет наклонности трассы
обязателен и для сантиметровых волн уже рассматривался в
литературе. При необходимости выполнить аналогичные расчеты в СБММ
диапазоне не представит особого труда.
6.5. РАСЧЕТЫ ПО ПРИБЛИЖЕННЫМ ФОРМУЛАМ РЭЛЕЯ
И СРАВНЕНИЕ С РАСЧЕТАМИ ПО ТОЧНЫМ ФОРМУЛАМ Ми
В п. 3.5.1 рассматриваются различные приближенные формулы
Рэлея для расчета коэффициентов ослабления, рассеяния,
поглощения и радиолокационного отражения. Мы выполнили расчеты
по всем указанным приближенным формулам для тех же типов
облаков и распределений капель по размерам, что и по точным
формулам Ми. Ниже приводятся результаты расчетов по
приближенным формулам и их сравнение с результатами точных
расчетов, представленных в таблицах в главе 5.
Коэффициент ослабления Г*. Как указывалось выше, в п. 3.5.1
приводятся две формулы для коэффициентов ослабления —
(3.165) из [24] и (3.166) из [12]. В табл. 6.20 приводятся точные
Г0 и приближенные Г*4 и Г*2 значения коэффициентов
ослабления для 12 типов облаков и фракции капель от 1 до 20 мкм при
455

Таблица 6.20
Значения коэффициентов ослабления и поглощения (дБ/км)
по точным и приближенным расчетам в случае / = 10°С при Я =10 мм
(числитель) и %=2 мм (знаменатель)
Тип
облаков
Sc
St
Ns
Ac
As
Medi
Maxi
С u hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong.
(max)
Cb (max)
Го
1,279-Ю-1
1,612
1,246-10-1
1,569
1,604-10-1
2,022
8,830-10-2
1,112
1,031-10-1
1,299
2,372-10-1
2,987
3,086
3,894-101
2,982-10-1
3,751
5,949-10-»
7,488
1,037
1,307-101
1,439
1,819-101
1,781
2,278-101
^
1,278-10-1
1,607
1,245-10-1
U565
1,601-10-1
2,014
8,821-10-2
1,109
1,629-10-1
1,294
2,369-10-1
2,980
3,078
3,873-101
2,981-10-1
3,747
5,944-10-1
7,474
1,035
1,302-101
1,434
1,805-101
1,764
2,227-101
*
Г02
1,275-10-1
1,610
1,243-10-1
1,568
1,596-10-1
2,019
2,809-10-2
1,111
1,027-10-1
1,297
2,367-10-1
2,985
3,064
3,886-101
2,980-10-!
3,750
5,939-10-1
7,484
1,033
1,305-101
1,421
1,812-Ю1
1,672
2,238-101
Гп=Гп1
1,278-Ю-1
1,607
1,245-Ю-1
1,566
1,602-Ю-1
2,014
8,825-10-2
1,109
1,030-Ю-1
1,295
2,371-Ю-1
2,980
3,082
3,874-101
2,981- Ю-1
3,748
5,946-Ю-1
7,475
1,036
1,302-101
1,436
1,806-101
1,772
2,227-101
Гп
1,279-Ю-1
1,611
1,246-Ю-1
1,569
1,604-Ю-1
2,022
8,830-10-2
1,112
1,030- Ю-1
1,299
2,372-Ю-1
2,987
3,086
3,893-101
2,982-Ю-1
3,751
5,949-Ю-1
7,488
1,037
1,307-101
1,439
1,818-Ю1
1,781
2,273-101
температуре облака 10°С. Сравнение расчетов показывает, что
формула (3.165) (Т*х) дает лучшее совпадение с точными
расчетами (Г0) в длинноволновой части ММ диапазона (Х=10 мм),
а формула (3.166) (Г^ в коротковолновой части ММ диапазона.
Различие формул (3.165) и (3.166) заключается в степени р, на
котором ограничивается ряд при расчетах /С0(т, р). Так, в [24]
ряд ограничен членом р3 (см. формулы (3.165)), а в [12] —
членом р4. Поэтому в коротковолновой части ММ диапазона
формула (3.166) точнее отражает действительное значение К0(гп, р)>
456

и, следовательно, этой формуле необходимо отдать предпочтение
при расчетах.
В табл. 6.20 также приводятся результаты расчета Г* по
формулам (3.168) и (3.169) и значения коэффициента поглощения Гп
по нашим точным расчетам из таблиц в главе 5. Поскольку в ММ
диапазоне рассеяние мало, то следует ожидать, что значение
коэффициентов Г0 и Гп будут равны, что и видно из табл. 6.20.
Значения Г^ почти в точности совпадают со значениями Г*.
Таким образом, формулы (3.165) и (3.168), (3.169) в ММ
диапазоне, как и следовало ожидать, идентичны.
Для каждой приближенной формулы важно знать пределы ее
применимости и ошибки, которые можно допустить в различных
областях спектра и для различных фракций капель. В расчетах
мы использовали в основном две фракции капель: мелкие капли
радиусом от 1 до 20 мкм и сверхкрупные капли радиусом от 85
до 1500 мкм.
Рассмотрим пока фракцию капель от 1 до 20 мкм (мелкие
капли). Результаты расчетов отношения Г0/Г*2 в ММ диапазоне
представлены в табл. 6.21 для основных типов облаков для
температуры облака 20 °С и —20 °С. Расчеты показывают, что в ММ
диапазоне от 2 до 10 мм формулы (3.165) и (3.166) можно
использовать для расчетов Г*, допустив максимальную
погрешность не более 9 %, если облако состоит только из мелких капель.
Для слоистых облаков и всех рассмотренных длин волн ММ
диапазона погрешность расчетов по приближенным формулам
составляет доли процента. Основная погрешность наблюдается для
конвективных облаков. Так, для облака Си cong. (max) погрешность
не превышает 2 %, а для облака Cb (max) при положительных
температурах (20 °С)—меняется от 2 до 8,4%, а при
отрицательных температурах (—20 °С) —от 1,5 до 2,3 %. Следовательно,
если облако не мощное кучевое или кучево-дождевое, то можно
смело пользоваться приближенными формулами Рэлея для
расчетов коэффициента ослабления во всем ММ диапазоне до К =
= 2 мм. Следует помнить, что речь идет только о
мелкокапельной фракции облака.
Рассмотрим опять фракцию размеров капель от 1 до 20 мкм
(мелкие капли), но уже для СБММ диапазона (см. табл. 6.21)
при X от 1 до 0,1 мм. Как видно из таблицы, для всех типов
облаков с уменьшением длины волны погрешность при
использовании приближенных формул постепенно увеличивается. Градиент
изменения погрешностей с длиной волны для всех типов облаков,
кроме Си cong. (max) и Cb (max), почти одинаков. От длинных
ММ волн до волн длиной порядка 0,4—0,5 мм расчеты по
приближенным формулам можно проводить, допустив погрешность,
не превышающую 1 %. Для длин волн 0,2—0,4 мм погрешность
меняется от 1 до 12,5 %. Основные погрешности для слоистых
облаков наблюдаются для Л, = 0,1 мм и могут достигать 31,6 %.
457

Таблица 6.2f
Значения отношения Г0/Г02 в ММ и СБММ диапазонах
для мелких капель при / = 20 °С (числитель) и / = —20 °С (знаменатель)
Тип облаков
Sc
St
Ns
Ac
As
Medi
Maxi
Cu hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong.
(max)
Cb (max)
Тип облаков
Sc
St
К мм
10
8
6
1,003 1,003
1,001 1,001
1,003 1,002
1,000 1,001
1,006 1,005
1.002 1,001
1.003 1,002
1,002 1,001
1,004 1,003
1,001 1,001
1,003 1,002
1,001 1,001
1,009 1,007
1,003 1,002
1,001 1,001
1,000 1,000
1,002 1,002
1,000 1,000
1,005 1,004
1,001 1,001
1,016 1,013
1,004 1,003
1,084 1,066
1,023 1,019
1,002
1,001
1,002
1,001
1,004
1,001
1,001
1,001
1,003
1,001
1,002
1,000
1,005
1,002
1,001
1,000
1,000
1,000
1,003
1,001
1,010
1,002
1,049
1,016
4
2
1,001 1,000
1,001 1,000
1,001 1,000
1,000 1,001
1,002 1,000
1,001 1,000
1,001 1,000
1,000 1,000
1,002 1,000
1,000 1,001
1,000 1,000
1,000 1,000
1,004 1,002
1,001 1,001
1,000 1,000
1,000 1,000
1,000 1,000
1,000 1,000
1,002 1,000
1,001 1,001
1,007 1,004
1,003 1,000
1,033 1,020
1,015 1,019
k MM
1,0
0,8
0,6
1,001 1,002 1,021
1,001 1,002 1,004
1.001 1,001 1,002
1.002 1,002 1.003
0,4
1
1
1
1
0,2
0,1
,045 1,053 1,217
,010 1,062 1,155
,006 1,042 1,188
,008 1.050 1,136
458

Тип облаков
Ns
Ac
As
Medi
Maxi
Cu hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong.
(max)
Cb (max)
К мм
1.0
1,002
1,002
1,001
1,001
1,001
0,928
1,001
1,001
1,003
1,004
1,000
1,001
1,001
1,001
1,002
1,002
1,006
1,007
1,027
1,038
0,8
1,003
1,003
1,002
1,002
1,002
1,002
1,001
1,002
1,004
1,004
1,000
1,000
1,001
1,001
1,002
1,002
1,008
1,009
1,037
1,042
0,6
1,005
1,006
1,003
1,003
1,004
1,005
1,002
1,003
1,008
1,009
1,001
1,001
1,002
1,003
1,005
1,005
1,014
1,016
1,068
1,079
0,4
1,003
1,017
1,007
1,009
1,010
1,013
1,007
1,008
1,020
1,160
1,002
1,003
1,005
1,006
1,012
1,014
1,036
1,045
1,165
1,209
0,2
1,065
1,101
1,047
1,055
1,064
1,076
1,042
1,050
1,125
1,149
1,014
1,016
1,031
1,037
1,074
1,088
1,194
1,240
1,383
1,659
0,1
1,274
1,201
1,199
1,145
1,241
1,175
1,188
1,136
1,316
1,235
1,082
1,059
1,154
1,112
1,259
1,190
1,174
1,148
0,537
0,625
Для конвективных облаков Cu cong. (max) и Cb (max) ошибки
велики уже при %=\ мм. Для остальных длин волн X < 1 мм
СБММ диапазона погрешности опять велики — увеличиваются
с уменьшением длины волны и при Х=0,1 мм погрешность
составляет 45 %.
Для фракции капель от 85 до 1500 мкм расчеты значений
Г0/Г^ в ММ диапазоне выполнены в нашей ранней работе [3].
Эти данные представлены в табл. 6.22. Здесь приводятся
средние (для интервала температур от 30 до —40 °С) и
максимальные значения величин Г0/Г*. Как видно из таблицы, для всех
облаков слоистых форм, включая и Medi, можно пользоваться
приближенными расчетами в ММ диапазоне (до 4 мм) с ошибкой
~1 %. Для Х=1 мм ошибки уже велики и составляют для
средних значений ~6,4 %, а для максимальных ~9,82 %. Для
конвективных облаков пользоваться приближенными формулами Рэ-
лея вообще невозможно из-за больших ошибок: для А, = 4 мм
ошибка ~60—80%, а для Х=1 мм ~ 100-^300%. Таким обра-
459

зом, из-за наличия в конвективных облаках сверхкрупных капель
расчет по приближенным формулам Рэлея выполнить невозможно
во всем ММ диапазоне волн. Для фракции капель от 85 до
1500 мкм и более расчеты Г* в СБММ диапазоне по
приближенным формулам Рэлея проводить нельзя для любых облаков.
Размер сверхкрупных капель реальных облаков уже соизмерим с дли-
Таблица 6.22
Значения отношения Гп/Гп и Г0/Гп (%) при Я = 4 мм (числитель)
и Ы1 (знаменатель) в случае сверхкрупных капель
Тип облаков
Medi
Maxi
Си cong. (max)
Cb (max)
Гп/Г*п
сред.
0,40
3,04
1,10
8,10
20,12
10,21
30,04
44,03
макс.
1,04
6,48
2,11
10,70
28,32
14,00
54,31
89„74
Го/Гп
сред.
0,66
6,40
1,57
17,39
61,19
43,52
71,64
160,9
макс.
1,13
9,82
2,62
27,44
78,35
116,1
105,6
353,8
ной волны электромагнитного излучения или близок к ней, а это
основное условие невозможности расчетов по приближенным
формулам.
Коэффициент поглощения Г*. В п. 3.5.1 приводятся две
формулы для расчета коэффициента поглощения: формула (3.168) из
[24] и формула (3.169) из работы [12]. Расчеты показали, что
практически нет различия между этими двумя формулами.
Числовые данные совпадают с точностью до пятого знака после запятой.
Сравнение же расчетов по формуле (3.168) с точными расчетами
(см. табл. 6,20) показывает различие как для Х=Ю мм, так и для
Я = 2 мм, причем, как и следовало ожидать, различие для длины
волны К = 2 мм (см. Гп и Г* в табл. 6.20) больше, чем для
Я= 10 мм.
Теперь обратимся к точности расчета коэффициента
поглощения приближенным формулам Рэлея. В табл. 6.23 приводятся
рассчитанные нами для фракции капель радиусом от 1 до 20 мкм
значения Гп/Г*. Напомним, что значения Гп — это результаты наших
расчетов по точным формулам Ми, а Г* — расчета по
приближенной формуле (3.168).
460

Таблица 6.23
Значения отношения Гп/Гп в ММ и СБММ диапазонах для мелких капель
при 20 °С (числитель) и —20 °С (знаменатель)
Тип облаков
Sc
St
Ns
Ac
As
Medi
Maxi
Cu hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong.
(max)
Cb (max)
А мм
10
1,000
1,000
1,001
1,000
1,000
1,000
1,001
1,000
1,001
1,000
1,001
1,001
1,002
1,000
1,000
1,000
1,001
1,000
1,001
1,000
1,003
1,001
_ 1,007
8
1,001
1,000
1,000
1,000
1,002
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,002
1,000
1,000
1,000
1,001
1,000
1,000
1,000
1,003
1,001
1,008
6
1,001
1,000
1,000
1,000
1,002
1,000
1,000
1,000
1,001
1,000
1,001
1,000
1,002
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,003
1,001
1,009
4
1,002
1,000
1,001
1,000
1,002
1,001
1,001
1,000
1,002
1,000
1,000
1,000
1,001
1,000
1,000
1,000
1,001
1,000
1,002
1,001
1,004
1,002
1,012
2
1,003
1,002
1,003
1,001
1,004
1,002
1,003
1,002
1,003
1,014
1,002
1,002
1,006
1,003
1,015
1,000
1,002
1,001
1,004
1,002
1,008
1,014
1,024
1,001
1,002
0,843
0,850
0,765
Тип облаков
Sc
St
A MM
1,0
1,001
1,005
1,007
1,005
0,8
1,000
1,008
1,010
1,006
0,6
1,000
1,013
1,015
1,010
0,4
1,037
1,026
1,031
1,021
0,2
1,124
1,099
1,104
1,084
0,1
1,388
1,285
1,335
1,249
461

Тип облаков
i
Ns
Ac
As
Medi
Maxi
Cu hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong.
(max)
Cb (max)
Я. мм
1,0
1,012
1,007
1,007
1,005
1,010
1,006
1,007
1,004
1,017
1,010
1,003
1,001
1,006
1,004
1,011
1,007
1,023
1,014
1,070
1,043
0,8
1,017
1,010
1,010
1,007
1,013
1,009
1,010
1,006
1,023
1,015
1,005
1,003
1,008
1,005
1,016
1,009
1,033
1,021
1,099
1,062
0,6
1,026
1,018
1,016
1,010
1,022
1,014
1,016
1,010
1,032
1,024
1,007
1,005
1,012
1,009
1,024
1,016
1,052
1,034
1,157
1,103
0,4
1,053
1,036
1,033
1,023
1,043
1,029
1,032
1,022
1,074
1,051
1,015
1,010
1,025
1,018
1,048
1.033
1,104
1,071
1,312
1,212
0,2
1,218
1,143
1,112
1,090
1,143
1,114
1,105
1,084
1,244
1,195
1,049
1,039
1,086
1,068
1,161
1,127
1,333
1,266
1,770
1,706
0,1
1,511
1,372
1,349
1,263
1,435
1,318
1,336
1,248
1,654
1,469
1,170
1,130
1,410
1,210
1,608
3,347
1,662
1,498
1,400
1,361
В MM диапазоне от 2 до 10 мм для мелких капель различие Гц
и Г* составляет доли процента для всех типов облаков слоистых
форм. Следует отметить, что здесь различие между Гп и Г*
сравнительно мало по отношению к погрешностям коэффициента
ослабления. Основные ошибки наблюдаются для длины волны 2 мм
и конвективных облаков Cu cong. (max) и Cb (max). Погрешность
мала по сравнению с расчетами Г0 для всех типов облаков, кроме
Cb (max), где при отрицательных температурах (—20°С) в
коротковолновой части ММ диапазона погрешность достигает 25 %.
Характерной для коэффициента поглощения является явно
выраженная частотная зависимость погрешности, что не наблюдалось при
расчетах коэффициента ослабления. Таким образом, наши
расчеты показывают, что для различных коэффициентов в различных
диапазонах длин волн и для разных фракций капель погрешности
при использовании приближенных формул Рэлея различны.
Реальное представление о том, какие формулы, с какой точностью и
для каких условий можно использовать, намного упростит рас-
462

четы по точным формулам Ми. Можно сберечь время и получить
необходимые коэффициенты с достаточно высокой точностью.
Для фракции капель радиусом от 1 до 20 мкм (мелкие капли)
в СБММ диапазоне погрешность расчетов Г* по приближенной
формуле (см. табл. 6.23) превосходит погрешность при
аналогичных расчетах коэффициента Г* (см. табл. 6.21). Для некоторых
слоистых облаков теперь уже при Л, = 1,0 мм погрешность
превышает 1 %. Для Хж 1,0. .. 0,6 мм погрешность может достигать 3 %.
Максимальная погрешность при Я=0,1 мм (без учета облаков
Си cong. (max) и Cb (max)) составляет 65,4%. Для
конвективных облаков Си cong. (max) и Cb (max) ошибка для всех длин
волн СБММ диапазона одинаково велика и изменяется в
пределах от 10 до 80 %.
Как видим из табл. 6.23, погрешность расчетов Г* в несколько
раз превосходит погрешность расчетов Г*. Как известно, Г*
является суммой Г* и Г*, поэтому с переходом в СБММ диапазон
следовало ожидать, что, наоборот, погрешность расчетов Г*
будет больше погрешности расчетов Г*. В данном случае Г* и
Г* рассчитываются по совершенно различным, не связанным
между собой формулам, поэтому нельзя связывать между собой и
погрешности расчетов Г* и Г* Следует просто принять во
внимание, что структурные особенности этих двух приближенных
формул различны и они по-разному реагируют на уменьшение длины
волны СБММ волн при расчетах для фракции мелких капель.
В табл. 6.22 приводятся отношения Гп к Г* из работы [3] для
фракции капель радиусом от 85 до 1500 мкм. Для слоистых
облаков, включая Medi, приближенными формулами Г* можно
пользоваться для расчета в ММ диапазоне от Х=10 мм до Х = А мм.
Для Х=1 мм погрешность превышает 3 %. Для конвективных
облаков минимальная ошибка для Х = 4 мм составляет примерно
20 %, а для Х=1 мм — примерно 10—15 %. Для облака Cb (max)
ошибка еще больше и составляет 30—90 %. Таким образом, для
коэффициента поглощения так же, как и для коэффициента
ослабления расчет Гп невозможно проводить по приближенной формуле
Рэлея для длин волн меньше 8—10 мм из-за присутствия
сверхкрупных капель в конвективных облаках..
Для фракции капель радиусом от 85 до 1500 мкм и более
рассчитывать Г* в СБММ диапазоне по приближенным формулам
Рэлея нельзя, поскольку размеры сверхкрупных капель настолько
велики, что уже соизмеримы с длиной волны падающего
излучения.
Коэффициент рассеяния Г*. В п. 3.5.1 приводится формула
(3.167) для расчетов коэффициента рассеяния Г* в приближении
Рэлея. По этой формуле были выполнены расчеты Г* для длин
463

волн ММ диапазона (мелкие капли) и основных типов облаков
аналогично расчетам, результаты которых представлены в
таблицах 6.21 для Г* и 6.23 для Г*. Расчеты показали, что для всех
рассмотренных длин волн и типов облаков значения Гр и Г*
совпадают с точностью до 4—5 знаков после запятой. Исключение
составляет облако Cb (max), для которого погрешность для длин
волн Х = 6 мм составляет 0,1 %, для X = 4 мм — 0,2 — 0,3 % и для
% = 2 мм — 0,8—1 %. Для слоистых облаков незначительное
различие наблюдается при Х = 2 мм — для отдельных облаков оно
составляет 0,1—0,2 %. Этим объясняется, почему мы не приводим
расчетные значения Гр/Г* для ММ диапазона^
Таким образом, для коэффициента рассеяния наблюдается
удивительно высокая точность совпадения расчетов по приближенной
формуле с расчетами по точным формулам Ми. Даже для
конвективных облаков Си cong. (max) и Cb (max) сохраняется высокая
точность расчетов по приближенным формулам. Как известно,
коэффициент ослабления является суммой коэффициентов
поглощения и рассеяния. Поэтому большую неточность расчетов Г*
следует связать с неточностью расчета коэффициента Г^, а не с Г*
Это с наглядностью продемонстрировали расчеты, результаты
которых приводятся в табл. 6.23. Практически расчеты Г* по
формуле (3.167) можно проводить во всем ММ диапазоне для всех
типов облаков, если вопрос касается фракции мелких капель
в облаках.
Данные расчетов отношения Гр/Г* для СБММ диапазона и
мелких капель приводятся в табл. 6.24. Указанная таблица
аналогична табл. 6.21 и 6.23 для отношений Г0/Г*2 и Гп/Г*. Из
табл. 6.24 видно, что для всех типов облаков и длин волн
погрешность расчетов Г* мала по сравнению с погрешностью расчетов
Г* и несколько превосходит погрешность расчетов Г*2.
Следовательно, погрешность расчетов Г* занимает среднее положение
между погрешностями расчетов Г*)2 и Г*. Впервые здесь
наблюдаются значения отношения Гр/Г* меньше единицы, правда, только
для А,=0,1 мм. Для слоистых облаков и всех рассмотренных длин
волн погрешность расчетов Г* по приближенной формуле не
превосходит 10 %.
Для конвективных облаков и длин волн 0,6—1,0 мм
погрешность также не превышает 10 %. Только для интервала длин волн
0,1—0,4 мм погрешность довольно велика, однако не превосходит
70%.
В СБММ диапазоне для сверхкрупных капель (85—1500 мкм
и более) рассчитывать Г* по приближенным формулам нельзя
из-за больших погрешностей. Размер сверхкрупных капель
соизмерим с длиной волны электромагнитного излучения, и расчет Гр
464

Таблица 6.24
Значения отношения Гр/Гр в СБММ диапазоне для мелких капель
при 20 °С (числитель) и —20 °С (знаменатель)
Тип облаков
Sc
St
Ns
Ac
As
Medi
Maxi
Cu hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong.
(max)
Cb (max)
К мм
1,0
1,006
1,003
1,005
1,003
1,007
1,004
1,004
1,003
1,006
1,004
1,005
1,004
1,008
1,005
1,002
1,002
1,004
1,003
1,007
1,004
1,014
1,009
1,035
1,022
0,8
1,008
1,005
1,007
1,004
1,009
1,006
1,008
1,005
1,009
1,005
1,007
1,004
1,012
1,007
1,003
1,003
1,007
1,004
1,010
1,006
1,020
1,012
1,049
1,030
0,6
1,013
1,008
1,011
1,007
1,016
1,010
1,012
1,007
1,014
1,009
1,012
1,007
1,018
1,011
1,006
1,004
1,010
1,006
1,015
1,009
1,031
1,019
1,074
1,045
0,4
1,025
1,015
1,022
1,013
1,030
1,019
1,023
1,015
1,026
1,017
1,022
1,013
1,035
1,022
1,012
1,008
1,019
1,012
1,029
1,018
1,057
1,035
1,115
1,072
0,2
1,065
1,047
1,060
1,043
1,077
1,044
1,062
1,045
1,070
1,051
1,059
1,043
1,086
1,063
1,034
1,025
1,053
1,038
1,073
1,053
1,073
1,057
0,806
0,875
0,1
0,966
0,929
0,991
0,953
0,905
0,874
0,981
0,943
0,942
0,908
0,991
0,953
0,838
0,813
1,055
1,022
1,017
0,980
0,923
0,889
0,568
0,579
1,350
1,668
необходимо проводить только по точным формулам Ми для всех
типов облаков.
Коэффициент радиолокационного отражения Г*т. В п. 3.5.1
приводится формула (3.172) для приближенного расчета
коэффициента радиолокационного отражения Г* . Аналогично тому, как
рассчитывались данные табл. 6.21 и 6.23, нами были выполнены
расчеты отношения Грл/Г*д для ММ волн (мелкие капли) и всех
30 Заказ № 124
465

основных типов облаков. Расчеты показали исключительную
точность совпадения результатов расчетов Грл и Г*л для всех
рассмотренных длин волн и типов облаков. В данном случае точность
превзошла точность расчетов, рассмотренного выше коэффициента
Г* Этим объясняется, почему мы не приводим таблицу
указанных расчетов. Для всех длин волн и типов облаков отношение
Грл/Г* равно единице с точностью до трех знаков после
запятой.
Таким образом, из сравнения табл. 6.21, 6/.23 можно сделать
вывод о том, что из всех приближенных формул Рэлея наиболее
точной является формула для Г* Не следует забывать о том,
что речь идет только о фракции капель радиусом от 1 до 20 мкм.
Для этой фракции формулой (3.172) можно пользоваться до
длины волны Х=1,0 мм с весьма высокой точностью. Присутствие
сверхкрупных капель в облаках нарушит эту закономерность.
Поэтому необходимо с осторожностью относиться к расчетам по
приближенным формулам.
В табл. 6.25 приводятся результаты расчетов отношения
Грл/Г* для СБММ диапазона, мелких капель и основных типов
облаков. Расчет этот аналогичен описанному выше расчету
табл. 6.24. Отличительной особенностью данных табл. 6.25
является то, что здесь значения Грл/Г* в большинстве случаев
меньше единицы. Это означает, что расчеты Грл по приближенной
формуле дают завышенные значения по сравнению с расчетами по
точным формулам. Это несколько отличает Г* от остальных
коэффициентов, когда для всех длин волн СБММ диапазона и
основных типов облаков результаты теоретических расчетов по
точным формулам всегда превышают результаты расчетов по
приближенным формулам.
Сравнение данных табл. 6.25 с аналогичными значениями
в табл. 6.21, 6.23 и 6.24 показывает, что формула (3.172) является
наиболее точной из всех рассмотренных приближенных формул
для расчета Грл. Для всех типов облаков, кроме Cb (max), и длин
волн из интервала 0,4—1,0 мм погрешность расчетов по Г* не
превышает 1 %. Погрешность велика для Ж 0,4 мм, особенно для
облака Cb (max). Причем для коротких волн СБММ диапазона
погрешность рекордно велика по сравнению с данными,
приведенными в табл. 6.21, 6.23, 6.24. Для отношения Грл/Г* характерны
очень малая погрешность в длинноволновой части СБММ
диапазона и рекордно большие погрешности в его коротковолновой
части.
Таким образом, результаты обсуждения данных всех четырех
табл. 6.21, 6.23, 6.24 и 6.25 свидетельствуют о разнообразии
погрешностей для различных коэффициентов, длин волн и типов
облаков. Поэтому прежде чем использоваться приближенными
466

Таблица 6.25
Значения отношения Грл/Грл в СБММ диапазоне для мелких капель
при 20 °С (числитель) и — 20 °С (знаменатель)
Тип облаков
Sc
St
Ns
Ac
As
Medi
Maxi
Cu hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong.
(max)
Cb (max)
1,0
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,999
1,000
0,999
1,000
0,998
1,000
0,999
1,000
0,998
1,000
1,000
1,000
1,000
1,001
0,999
1,001
1,000
1,001
0,992
0,8
1,000
0,998
1,000
0,998
1,000
0,997
1,000
0,998
1,000
0,998
1,000
1,000
1,000
0,997
1,000
0,999
1,000
0,999
1,000
0,999
1,000
0,995
0,997
0,985
A j
0,6
1,000
0,996
1,000
0,996
0,999
0,995
1,000
0,996
0,999
0,995
1,000
0,996
1,000
0,994
1,000
0,998
1,000
0,997
0,999
0,995
1,000
0,988
0,983
0,966
ЛМ
0,4
0,996
0,989
0,996
0,990
0,994
0,986
0,996
0,989
0,995
0,988
0,996
0,990
0,992
0,984
1,000
0,995
0,997
0,992
0,995
0,987
0,982
0,968
0,912
0,898
0,2
0,951
0,942
0,958
0,949
0,935
0,925
0,955
0,946
0,945
0,936
0,958
0,950
0,919
0,909
0,983
0,976
0,966
0,958
0,940
0,930
0,791
0,797
0,315
0,338
0,1
0,589
0,592
0,646
0,645
0,472
0,482
0,622
0,623
0,541
0,547
0,646
0,645
0,359
0,376
0,857
0,846
0,714
0,708
0,504
0,511
0,181
0,188
0,146-10"2
0.146-10"2
формулами, следует иметь конкретное представление о том, для
каких условий они применяются и каковы при этом конкретные
погрешности.
В СБММ диапазоне для размеров капель от 85 до 1500 мкм и
более пользоваться формулой Г* для приближенных расчетов
нельзя. Здесь соизмеримы длина волны и размеры сверхкрупных
капель. Наблюдается селективность в спектральных кривых
Г*л(^ и ясно, что в этих условиях расчет Г* по
приближенным формулам не имеет смысла.
30*
467

Подводя итоги, заметим, что поскольку в любом облаке
присутствуют сверхкрупные капли, то расчет по приближенным
формулам может привести к заведомо неправильным результатам.
Можно, конечно, ввести поправки как на спектральный диапазон»
так и на сверхкрупные капли, но лучше по возможности
проводить расчет по точным формулам Ми. Безопасно применение
приближенных формул Рэлея с учетом и фракции размеров капель
от 85 до 1500 мкм для диапазона длин волн более 10 мм, где
погрешность Г0, Гр, Гп и Грл за счет присутствия сверхкрупных
капель не превышает 1 %. Речь идет как о слоистых, так и о
конвективных облаках.
Радиолокационная отражаемость облака
В п. 3.5.2 приводится формула радиолокационной
отражаемости (3.174). По указанной формуле мы выполнили расчеты
радиолокационной отражаемости Z* для рассмотренных в Справочнике
типов облаков и двух фракций капель: радиусом от 1 до 20 и от
85 до 1500 мкм и более (см. табл. 2.14 и 2.15). Результаты
расчетов приводятся в табл. 6.26, в которой указаны также
соответствующие значения водности облаков. Если сравнить отдельна
вклад мелких и сверхкрупных капель в общую радиолокационную
отражаемость, то обнаружим, что сверхкрупные капли, несмотря
на очень малый вклад в общую водность облака, вносят на
несколько порядков больший вклад в радиолокационную
отражаемость, чем мелкие капли. Поэтому при рассмотрении
радиолокационной отражаемости основное внимание следует обратить на
присутствие сверхкрупных капель в облаках.
Если теперь сравнить данные табл. 6.26 с данными других
авторов (см. табл. 3.16 и 3.17), то следует отметить хорошее
совпадение данных. Данные табл. 3.16 великолепно совпадают с
данными табл. 6.26 для фракции мелких капель. Этого и следовала
ожидать, так как средние радиусы распределений капель по
размерам в табл. 3.16 и 6.26 хорошо совпадают. Сравнение
конкретных значений радиолокационной отражаемости в табл. 6.26 и 3.17
для мелких капель показывает, что для всех типов облаков
результаты совпадают с первой или второй строчкой табл. 3.17 по-
вторяемостей (%) со стороны отрицательных значений
радиолокационной отражаемости. Следовательно, мелкие капли вносят
основной вклад в минимальный предел повторяемостей со стороны
отрицательных значений радиолокационной отражаемости. Таким
образом, если в облаке нет сверхкрупных капель, то мелкие капли
дают такой минимальный вклад в радиолокационную
отражаемость, который обеспечивает повторяемость малых
(отрицательных) значений радиолокационной отражаемости.
Наличие в облаке сверхкрупных капель приводит к
увеличению радиолокационной отражаемости облака и повторяемости
положительных значений Z*. Если теперь сравнить данные табл. 6.26
для сверхкрупных капель с данными табл. 3.17, то обнаружим хо-
468

Таблица 6.26
Значения радиолокационной отражаемости для различных типов облаков и двух фракций размеров капель
4^
Тип облаков
Sc
St
Ns
Ac
As
Medi
Maxi
Cu hum.
Cu med.
Cu cong.
Cu cong.
(max)
Cu cong.
(min)
Cb (max)
Cb (min)
r = \... 20 мкм
Z* mm6/m3
4,384-10-3
3,333.10-3
8,959-10-3
2,623-10-3
4,314-10-3
6,343-10-3
2,703-10-1
2,558-Ю-з
1,169-10-2
5,096-Ю-2
2,194-10-1
1,361
Z* aBZ
—23,58
—24,77
—20,47
—25,81
—23,65
—21,97
—5,68
—25,92
— 19,32
—12,92
—6,58
+ 1,33
q г/м3
2,140-10-1
2,085-10-1
2,682-10-1
1,477-10-1
1,724-10-1
3,968-10-1
5,159
4,99-10-1
9,953-10-1
1,735
2,404
2,965
r=85... 1500 мкм
Z* mm<7m3
8,981-10-1
1,607-10-1
6,634
8,981-10-1
6,634
1,415-Ю-з
8,489-10-1
2,654
3,77-103
3,836-102
1,568-10s
2,61 MO1
Z* AbZ
—0,47
—7,94
+ 8,22
—0,47
+ 8,22
—28,49
—0,71
+4,24
+35,76
+25,84
+31,94
+ 14,17
q г/м3
1,165-10-2
4,698-Ю-з
9,415-Ю-з
1,165-10-2
9,415-10-3
7,713-10-5
1,512-Ю-з
3,766-Ю-з
4,265-10-1
4,929-10-2
1,026
8,042-10-2

рошее совпадение данных теперь уже с первой или второй строкой
повторяемостей со стороны положительных значений
радиолокационной отражаемости. Следовательно, повторяемость для
положительных значений радиолокационной отражаемости
обеспечивается сверхкрупными каплями облаков. Поэтому чем больше
размер сверхкрупных капель и их концентрация, тем шире диапазон
повторяемостей и значений радиолокационной отражаемости
облаков со стороны положительных значений Z*. Расчеты,
приведенные в табл. 6.26, вместе с тем позволили выявить и физическую
сущность результатов экспериментальных наблюдений за
повторяемостью Z* в облаках различных типов, представленных
в табл. 3.16 и 3.17.
6.6. МНОГОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ
И ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ОДНОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ
Результаты расчетов, представленные в таблицах в главе 5
для коэффициентов Г0(А,), ГР(А,), ГП(А,) и Грл(А,), — лишь первый,
начальный этап более общей и близкой к реальным условиям
проблеме распространения ММ и СБММ волн в облаках. В
реальных облаках ослабление и радиолокационное отражение не
подчиняются закону Бугера. Из-за того, что реальные облака имеют
определенную толщину и значение рассеянной компоненты
в СБММ диапазоне достаточно велико, имеет место многократное
рассеяние излучения. Немаловажную роль здесь играет и сам
диапазон исследуемых волн, когда в коротковолновой части ММ
и СБММ диапазонах из-за присутствия в облаках сверхкрупных
капель, становится существенной рассеивающая компонента
излучения. Поэтому данные, приводимые в Справочнике по Г0(Я),
ГР(А,), ГП(А,) и Грл (А,), являются первыми основными и
необходимыми результатами исследований по общей проблеме. Без
выполнения этой части программ расчетов было бы невозможным
перейти к проблеме учета многократного рассеяния в реальных
облаках. Следовательно, учет многократного рассеяния — это
естественное дополнение к материалу, который приводится в
настоящем Справочнике. Представляет большой интерес грубо оценить,
для каких типов облаков и для каких длин волн необходим учет
многократного рассеяния. Для этого можно использовать данные
настоящего Справочника или привлечь результаты наших ранних
исследований. При учете многократного рассеяния все зависит от
величины рассеянной компоненты излучения, вернее, от альбедо
со° = Гр/Г0 и реальной толщины облака. Принято считать, что при
значении со°^1,5... 3% уже необходим учет многократного
рассеяния. Кроме того, должно выполняться основное условие учета
многократного рассеяния: оптическая плотность облака /'Г0 (где
V—длина пути, пройденная излучением в облаке) должна быть
больше единицы.
В нашей ранней работе [3] приводятся значения альбедо для
четырех типов облаков и длин волн от 4 до 0,1 мм при изменении
470

температуры облака от 30 до —40 °С (табл. 6.27). Из табл. 6.27
видно, что для всех слоистых облаков, включая Medi облако,
учет многократного рассеяния необходимо начинать с X = 0,8 мм
(со°>3%). Для Maxi облака этот предел смещается в
длинноволновую область — на Х~1 мм. Для конвективных облаков
Таблица 6.27
Альбедо (о0 (%) для различных типов облаков и длин волн [3]
Температура
облака
30
—40
30
—40
30
—40
30
—40
К мкм
4,0
1 13,17
1 П,77
1 57,20
1 38,32
1,0
1 3,00
1 13,14
9,23
38,78
1 19,53
| 59,19
0,8
0,6
Medi
1,50 1 3,15
4,98 | 10,50
Maxi
I 4,92 1 9,53
1 14,26 | 27,21
Си cong. (max)
7,19 1 • 6,48
25,24 1 21,38
Cb (max)
I 17,03 1 16,99
[ 46,54 I 45,37
0,4
8,36
24,15
20,52
47,92
7,65
20,27
1 21,54
1 44,35
0,2
23,73
39,01
34,30
50,91
1 23,41
1 35,99
1 44,01
1 58,30
0,1 мм
32,13
39,71
42,08
48,33
I 42,31
1 49,33
1 49,52
| 59,75
Си cong. (,max) и Cb (max) учет влияния многократного
рассеяния необходимо начинать с X = 4 мм, а может быть даже с еще
больших длин волн. Тех, кого интересуют подробные данные о
границах применимости и учета многократного рассеяния для
отдельных типов облаков, могут обратиться к таблицам в главе 5 и по
значениям Гр и Г0 легко определить необходимые значения
альбедо облаков для различных температур в облаках.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Все, что изложено в настоящем Справочнике, — пример
классической постановки задачи — фундамент знаний об оптике облаков,
без которого невозможно представить исследование физики и
микроструктуры облаков при получении данных с помощью
зондирования электромагнитным излучением микроволнового диапазона.
Как убедился читатель, в Справочнике не рассматриваются
вопросы угловых характеристик рассеянного излучения —
индикатрисы рассеяния, а также поляризация излучения, которая
сопровождает акт рассеяния отдельными каплями и частицами
облаков. Рассмотрение этих вопросов не требует специального
математического аппарата и алгоритмов. Угловые зависимости
рассеянной интенсивности можно легко рассчитать по тем же
алгоритмам, что и коэффициенты ослабления, поглощения и
радиолокационного отражения. Однако здесь требуется кропотливый труд
по выявлению тонких механизмов рассеяния, связанных с
параметрами Стокса, при взаимодействии вещества дискретных частиц
с микроволновым излучением. Описание этих вопросов составило
бы книгу, по своему объему ничуть не уступающую настоящему
Справочнику.
Следующий вопрос, требующий детального рассмотрения,—
это вопрос учета несферичности крупных жидких капель и
ледяных кристаллических частиц, также присутствующих в облаке.
Всем исследователям стало очевидным, что невозможно
скорректировать классическую теорию Ми с целью описания
несферических частиц (эллипсоиды вращения с большой величиной
отношения осей), как это было сделано в начальной стадии
исследования несферических частиц.
Важность проблемы побудила исследователей создать
совершенно новые теории и математические аппараты для описания
рассеяния, ослабления и радиолокационного отражения по
аналогии с теорией Ми только для одной несферической частицы. В
настоящее время разработаны около 10 различных методов и
отличных друг от друга математических аппаратов для расчетов
ослабления и рассеяния несферическими частицами. Все эти теории
несовершенны, сложны и громоздки. В конце семидесятых годов
исследователи поняли, что путь, избранный для описания
несферических частиц, не приведет к желаемому результату. Большинство
исследователей сходится на том, что для описания несферических
частиц требуются иные — статистические, групповые или
интегральные методы решения с привлечением нового математического
аппарата.
Другой вопрос, которого не коснулся настоящий Справочник,—
это учет многократного рассеяния в реальных облаках. Этот
вопрос по сложности и важности не уступает проблеме
несферичности частиц. Ведь облако — классический образец мутной среды
с многократным рассеянием, поэтому для отдельных типов обла-
472

ков его неучет может привести к грубейшим ошибкам как в
интегральных характеристиках оптики мутных сред, так и в угловых
распределениях рассеянного излучения. Здесь применяются инте-
гродифференциальные уравнения переноса излучения и не каждая
из задач получила свое окончательное решение. В этой области
наиболее перспективным является метод Монте-Карло —
инструмент расчета весьма сложный, тонкий и до конца еще не
разработанный. Поэтому более сложные задачи, например
одновременный учет рассеянной и поглощенной компоненты излучения
дискретными частицами различных фракций с учетом поглощения
газами в спектральных линиях для некоторого спектрального
интервала, до настоящего времени не имеют решения.
Перечень того, что предстоит сделать, является еще одним
доказательством необходимости сделанного первого шага —
рассмотрения классической теории Ми, чему и посвящен настоящий
Справочник.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айвазян Г. М. Влияние спектрального изменения коэффициентов
преломления и поглощения на спектральный коэффициент ослабления.— Оптика
и спектроскопия, 1986, т. 61, вып. 3, с. 577—581.
2. А й в а з я н Г. М. Влияние крупных и сверхкрупных капель в облаках
на радиолокационное отражение и поглощение миллиметровых и
субмиллиметровых волн — Тезисы VII Всесоюзного совещания по радиометеорологии.—
Суздаль, 1986, с. 29.
3. А й в а з я н Г. М. Влияние крупных и сверхкрупных капель в облаках
на ослабление миллиметровых и субмиллиметровых волн.— Изв. АН Арм. ССРГ
сер. «Физика», 1987, т. 22, вып. 5, с. 280—283.
4. А й в а з я н Г. М. Обнаружение начала градообразования — перехода
жидких капель в лед в облаках по радиолокационному отражению
субмиллиметровых волн.—ДАН Арм. ССР, 1988, т. 86, № 4, с. 166—169.
5. А й в а з я н Г. М. Аномальное радиолокационное отражение от частиц
льда в облаках в «окне» прозрачности льда 0,3—0,8 мм.— Изв. АН Арм. ССР,.
сер. «Физика», 1989, т. 24, вып. 1, е. 42—46.
6. Айвазян Г. М. Применение радиолокационных измерений для
исследования процессов градообразования в облаке.—Изв. АН СССР, ФАО, 1991г
т. 27, № 3, с. 304—316.
7. Айвазян Г. Г., Айвазян Г. М., Гулян А. Г.,
Мартиросян Р. М. Спутниковая система раннего обнаружения начала
градообразования в облаке.— Тезисы Всесоюзной конференции по использованию спутниковой
информации в исследованиях океана и атмосферы.— М.: 1989, с. 81.
8. Айвазян Г. Г., Айвазян Г. М., Гулян А. Г.,
Мартиросян Р. М. Применение пассивной и активной радиолокации в
субмиллиметровом диапазоне для обнаружения начала градообразования в облаке.— Изв. АН
Арм. ССР, сер. «Физика», 1990, т. 25, вып. 2, с. 98—101.
9. Аквиланова А. Б., Кутуза Б. Г. Радиотепловое излучение
облаков.—Радиотехника и электроника, 1978, т. 23, № 9, с. 1792—1806.
9а.^А к в ил а н о в а А. Б., Кутуза Б. Г. Определение параметров
облачной атмосферы по его радиотепловому излучению.— Радиотехника, 1979,
т. 34, № 4, с. 36—42.
10. Андреев Г. А. и др. Распространение миллиметровых и
субмиллиметровых волн в тропосфере.— В кн.: Проблемы современной радиотехники и
электроники.—М.: Наука, 1980, с. 139—163.
473

11. Башаринов А. Е., Кутуза Б. Г. Исследование радиоизлучения
и поглощения облачной атмосферы в миллиметровом и сантиметровом
диапазонах волн.—Труды ГГО, 1968, вып. 222, с. 100—110.
12. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми
частицами.—М.: Мир, 1986.—660 с.
13. Бор н М., Вольф Э. Основы оптики.—М.: Наука, 1970.—855 с.
14. Б о р о в и к о в А. М., М а з и н И. П. Микрофизические характеристики
облаков.— В кн.: Авиационно-климатический атлас-справочник СССР.— М.:
Гидрометеоиздат, 1975, вып. 3, т. 1, ч. 2, с. 127—148.
15. Дубровина Л. С. Облака и осадки по данным самолетного
зондирования.— Л.: Гидрометеоиздат, 1982.— 216 с.
16. 3 а б о л о т н ы й В. Ф. и др. Экспериментальное исследование
ослабления миллиметровых волн в облачной атмосфере.— Изв. вузов, сер.
«Радиофизика», 1980, т. 23, № 9, с. 1020—1025.
17. Исхаков И. А., Сухо ни н Е. В., Чернышев В. И. Измерение
вертикального ослабления излучения на волне 4,1 мм в земной атмосфере.—
Радиотехника и электроника, 1980, т. 25, № 10, с. 2043—2046.
18. К о н д р а т ь е в К. Я., Б и н е н к о В. И. Влияние облачности на
радиацию и климат.— Л.: Гидрометеоиздат, 1984.— 240 с.
19. Кутуза Б. Г. Поглощение миллиметровых и сантиметровых волн
в облачных образованиях и его зависимость от температуры.— В кн.:
Электромагнитные волны в атмосфере и космическом пространстве.— М.: Наука, 1986,
с. 180—192.
20. М а з и н И. П., Ш м е т е р С. М. Облака, строение и физика
образования.— Л.: Гидрометеоиздат, 1983.— 279 с.
21. Наац И. Э. Вопросы интерпретации спектрального хода аэрозольного
коэффициента рассеяния.— В кн.: Вопросы лазерного зондирования атмосферы.—
Новосибирск: Наука, 1976, с. 74—83.
22. Радиация в облачной атмосфере/Под ред. Е. М. Фейгельсон.— Л.:
Гидрометеоиздат, 1981.— 280 с.
23. Розенберг В. И. Рассеяние и ослабление электромагнитного
излучения атмосферными частицами.— Л.: Гидрометеоиздат, 1972.— 348 с.
24. Ш и ф р и н К. С. Рассеяние света в мутной среде.— М., Л.: ГИТТЛ,
1951.—288 с.
25. Barton D. К. and Ward H. R. Handbook of Radar Measurement.—
Prentice-Hall, INC Englewood Cliffs, New Tersey, 1969.
26. G i b b i n s С J. Troposperic emission and attenuation statistic at
1100 GHz.—Electron Letters, 1974, v. 10, N 12, p. 241—243.
27. Iskhakov I. A., Sokolov A. V., Sukhonin E. V. and Cherny-
shov V. I. Inpepers presented at Anglo-Soviet seminar on atmospheric
propagation at millimeter and submillimeter wavelength.— Moscow, IRE, 1977, Jl—J6.
28. L о L a i - L u n, F a n i n В. M. and S t r a i t о n A. M. Attenuation of 8,6
and 3,2 mm radio waves by clouds.— IEE Transactions on Ant. and propagation,
1975, v. AP-23, N 6, p. 782—791.
29. Ray P. S. Broadband complex refractive indices of ice and water.—
Appl. Optics, 1972, v. 11, FT8, p. 1836—1843.
30. Welch R. M., Cox S. K., and D a v i s J. M. Solar radiation and
clouds.—AMS. Meteorol. monographs, 1980, v. 17, N 39, p. 1—96.
31. Wrixon G. T. Measurement of atmospheric attenuation on an Earth
space path at 90 GHz using a sun tracner.—Bell System Tech. J., 1971, v. 5,
N 1, p. 103—114.
32. Wrixon G. T. Measurement of atmospheric attenation on an earth part
at 90 GHz using a sun tracker.—Bell syst J., 1971, v. 50 (1), p. 103—112.
33. Wrixon G. T. and McMillan R. W. Measurements of Earth-Space
attenuation at 230 GHz.—IEEE MICR. T. 1978, v. 26, N 6, p. 434—439.
34. Van de H u 1 s t H. С Light Scattering by small Particles.—John Wiley
& Sons. Inc, London, Chapman & Hall, Ltd, 1957. (Ван де Хюлст Г. Рассеяние
света малыми частицами/Пер. с англ.— М.: Изд-во иностр. лит., 1961.— 536 с.)

ПРЕДМЕТНЫЙ
УКАЗАТЕЛЬ
Алгоритм
Адена 198
Борена—Хафмена 206
Вискомба 209
Дейве 201
Дермиджяна 195
Каттавара—Пласса 199
Ленца 203
Шифрина 193
Атмосфера
газовый состав 65
„окна" прозрачности 72
оптическая толщина 38
стандартная 45
Аэрозоль
континентальный 172
морской 172
фоновый 172
Аэрозольная компонента атмосферы 170
Аэрозольные источники в атмосфере 171
Бесселя функция
первого рода с полуцелым индексом 188
второго рода с полуцелым индексом 190
Бесселя сферическая функция 190
Бугера закон ослабления 127
Виртуальная температура 64
Вискомба окончательное число членов 236
Влажность
абсолютная 51
воздуха, газовая постоянная 53
относительная 51
влияние на комплексный показатель
преломления воды 177
влияние на комплексный показатель
преломления
облачных капель 179
распределение по высоте 49
уравнение состояния воздуха 64
Водность облака 119
Водяной пар
молекулярная масса 53
„окна" прозрачности атмосферы 54
относительное содержание 33
парциальное давление 51
плотность 64
Волновое число 34
Время затухания резонансных колебаний
137
Газовая постоянная 53
Генераторы
гармоник 10
лазерные 16
на диодах Ганна 9, 11
на лавино-пролетных диодах 9, 11
на отражательном клистроне 10, 13
твердотельные 9, 10
типа тиратрон 10, 14
типа ГРВ 10, 15
типа лидатрон 10, 15
типа ЛБВ 10, 14
типа ЛОВ 10, 14
типа РЭП 10, 15
типа ТЛПД 10, 12
типа ТПД 10, 12
Двойная точность счета 197
Дебая формула 134
полуэмпирическая 135
модифицированная обобщенная 139
Коэффициенты Ми ап и Ъп 186
расчет на ЭВМ 290
таблицы 291
Коэффициенты ослабления (рассеяния,
поглощения и радиолокационного
отражения) облачными каплями 129, 132
расчет на ЭВМ 304, 312, 321
таблицы для мелких капель 340
таблицы для крупных капель 359
таблицы для сверхкрупных капель 362
таблицы для облаков, дающих осадки
376
макс, и мин. значения для облаков
из мелких капель 389
из крупных капель 405
из сверхкрупных капель 410
температурные изменения
для мелких капель 393
для крупных капель 405
для сверхкрупных капель 408
точность таблиц 332, 336, 337
расчет по формуле Рэлея 452, 461
Коэффициенты поглощения водяным
паром 25
автокорреляционная функция 50
,,аномальный" 41
атмосферы 33
в зенит 43
в резонансных линиях 43
высотная зависимость 43
димерами 29, 42
инженерный расчет 33
корреляционная функция 50
мономерами 42
на уровне моря 43
облака 50
параметр самоуширения 34
при нормальных условиях 35
для приземных метеоэлементов 50
по квантово-механической формуле ЪЪ
полуширина спектральной линии 34
спектральная зависимость (мономеры к
димеры) 69
статистический вес уровня 34
температурный коэффициент
полуширины 34
теория 25
удельный 42, 44
форма линии 26
характеристическая высота 44
эквивалентная длина пути 43
эмпирический метод расчета 37
энергии уровней 26
Коэффициент поглощения молекулярным
кислородом 54
атмосферы 62
вращательный спектр 56
высотное распределение 61
для нормальных условий 58
нерезонансного 54
облака 63
полуширина 54
параметр ширины изолированной линии:
56
резонансного 54
спектральная кривая 57
теория 54
форма линии 58
характеристическая высота 62
эквивалентная высота 62
Коэффициент
самоуширения 41
нормализованный 41
уширения 41
Коле-Коле формула 154
Крамерса—Кронига соотношение 133
Логарифмическая производная от функции
Риккати- Бесселя
первого рода 195
расчет прямой рекурсией 256, 257
расчет обратной рекурсией 267, 268
расчет алгоритмом Ленца 274, 281
второго рода 198
Ми теория 180
475

Многократное рассеяние и границы его
применимости 466
Облачные капли
конденсационный рост 173
влияние газовой компоненты атмосферы
175
химические процессы внутри 176
Параметр дифракции безразмерный 182
Переохлажденное состояние капель 423
Плотность
капли 122
водяного пара 64
молекулярного кислорода 64
поглощающих молекул 40
потока энергии 127
прочих газов 64
эталонная газа 40
Поглощение
газовой составляющей атмосферы 65
газовой компонентой облака 65
полное атмосферой
ла уровне моря 65
вертикальное 75
безоблачной 65
в зенит — частотная зависимость 67,
435
частотная зависимость 69
эквивалентная длина пути 75
мономерами и димерами водяного пара,
спектральная зависимость 69
Поляризуемость
диэлектрика 134
молекулы 134
релаксационная 135
резонансная 135
составляющая 137
Показатель
поглощения 132
преломления 132
комплексный 132
воды 165
льда 169
Приемники
болометрические 20
гетеродинные малошумящие 18
на диодах Шотки 19
на СИС-переходах 19
на эффекте Джозефсона 20
с джозефсоновскими смесителями 20
Проницаемость
диэлектрическая абсолютная 134
время релаксации 135
комплексная 133, воды 159, льда 167
действительная часть 133
мнимая часть 133
статистическая 134
магнитная вещества 133
Процесс коагуляции или испарения капель
413
Радиолокационное отражение
аномальное 426 поглощение и
ослабление 432
расчет 441
учет рассеянной компоненты 436
учет малоуглового рассеяния 438
закон 129, 130
средняя мощность 130
расчет по формуле Рэлея 465
Распределение облачных капель
по размерам 82
бимодальное 117
вероятность 83
гистограмма 84
дисперсия 86
дифференциальная функция 89
интегральная функция 88
коэффициент асимметрии, эксцесса 86
математическое ожидание 85
мода 85
моменты начальные, центральные -84
плотность 83
мелких капель 87
Беста 88
гамма 99, 103
выпрямление накопленной
диаграммы 93
числовые характеристики 85
модифицированное 109
Дермиджяна 109
Левина 91
нормально-логарифмическое 91
Хргиана-Мазина 89
Шифрина 93
четырехпараметрическая формула 94
дождящих облаков 117
крупных капель 115
максимальная кривая 116
сверхкрупных капель 112
средняя—стандартная кривая 116
полидисперсный спектр 87
размер капель, дающих максимальный
вклад в сечение, в водность 87
средний радиус 85
средне-квадратический радиус 86
средне-кубический радиус 86
средне-квадратическое отклонение 86
случайная величина 83
функция 83
Рекуррентная формула или соотношение
232
Рекурсия счета
прямая 232
обратная 237
Риккати—Бесселя функция
первого рода 190
расчет прямой рекурсией 231, 233
расчет обратной рекурсией 237, 240
расчет алгоритмом Ленца 242
расчет с высокой точностью 243, 244
второго рода 190
расчет прямой рекурсией 247, 248
расчет с высокой точностью 252
третьего рода 190
Рэлея формулы
коэффициенты
ослабления, поглощения, рассеяния 217
радиолокационного отражения 219
сечения
ослабления, поглощения, рассеяния 216
радиолокационного отражения 219
факторы эффективностей
ослабления, поглощения, рассеяния 217
радиолокационного отражения 219
расчеты коэффициентов ослабления 451
поглощения 456
рассеяния 459
радиолокационного отражения 461
радиолокационной отражаемости 464
таблицы коэффициентов ослабления 452,
454
поглощения 452, 456, 457
рассеяния 461
радиолокационного отражения 463
радиолокационной отражаемости 465
Фазовый переход вода—лед в
сверхкрупных каплях 425
Формулы Ми
коэффициенты
ослабления, поглощения, рассеяния 129
радиолокационного отражения 132
сечения
ослабления, поглощения, рассеяния 128,
185
радиолокационного отражения 186
факторы эффективностей
ослабления, рассеяния, поглощения 186
радиолокационного отражения 187
таблицы 306
точность расчета 277
Хенкеля функция первого и второго рода 188
476

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 3
Предисловие 4
Глава 1. Генераторы и приемники ММ и СБММ волн.
Поглощение микрорадиоволн безоблачной атмосферой
Введение 8
1.1. Генераторы ММ и СБММ волн 9
1.1.1. Твердотельные или полупроводниковые генераторы 10
1.1.2. Вакуумные электронно-волноводные генераторы 13
1.1.3. Лазерные генераторы ММ и СБММ волн 16
1.2. Приемные устройства ММ и СБММ волн 18
1.2.1. Малошумящие гетеродинные приемники —
1.2.2. Болометрические приемники излучения 20
1.3. Влияние безоблачной атмосферы на поглощение ММ и СБММ волн 21
1.3.1. Поглощение ММ и СБММ волн водяным паром 25
1.3.1.1. Теория молекулярного поглощения ММ и СБММ волн
водяным паром —
1.3.1.2. Инженерный расчет молекулярного поглощения водяным
паром 33
1.3.1.3. Эмпирические и полуэмпирические методы расчета
поглощения водяным паром 37
1.3.1.4. Зависимость поглощения водяного пара от высоты .... 43
1.3.1.5. Поглощение водяным паром облака 50
1.3.2. Поглощение молекулярным кислородом в ММ и СБММ
диапазонах 54
1.3.2.1. Теория поглощения молекулярным кислородом —
1.3.2.2. Высотное распределение поглощения молекулярным
кислородом 61
1.3.2.3. Поглощение молекулярным кислородом облака 63
1.3.3. Полное поглощение электромагнитного излучения безоблачной
атмосферой в диапазонах ММ и СБММ волн 65
Глава 2. Распределение капель по размерам
Введение 82
2.1. Теоретические параметры математической статистики 83
2.2. Числовые характеристики случайной величины 85
2.3. Плотность распределения мелких облачных капель размером от 1
до 20 мкм 87
2.3.1. Распределение Беста 88
2.3.2. Распределение Хргиана—Мазина 89
2.3.3. Распределение Левина — логарифмически нормальное
распределение 91
2.3.4. Распределение Шифрина 93
2.3.5. Гамма-распределение 99
2.3.6. Распределение Дермиджяна 109
2.4. Плотность распределения в облаках сверхкрупных капель размером
от 85 до 1500 мкм и более 112
2.5. Плотность распределения в облаках крупных капель размером от
20 до 85 мкм 115
2.6. Плотность распределения капель по размерам для облаков, дающих
осадки 117
2.7. Распределения капель по размерам, используемые в наших расчетах 118
477

Глава 3. Ослабление и радиолокационное отражение
электромагнитных волн каплями и ледяными частицами облаков
Введение 125
3.1. Закон ослабления Бугера 127
3.2. Формула радиолокации и закон радиолокационного отражения . . 129
3.3. Оптические характеристики вещества 132.
3.3.1. Оптические постоянные —
3.3.2. Формулы Дебая и возможность определения оптических
постоянных вещества 134
3.3.3. Расчет оптических постоянных воды в СБММ диапазоне .... 136
3.3.3.1. Первый теоретический метод расчета — Т1 —
3.3.3.2. Второй метод теоретического расчета — Т2 139
3.3.3.3. Третий метод теоретического расчета — ТЗ 141
3.3.3.4. Экспериментальные значения комплексного показателя
преломления воды в СБММ и в дальнем ИК диапазонах 151
3.3.3.5. Измерение диэлектрической проницаемости переохлажденной
воды в микроволновом диапазоне 159
3.3.3.6. Комплексный показатель преломления воды в СБММ
диапазоне 16&
3.3.3.7. Точность определения значений комплексного показателя
преломления воды в ММ и СБММ диапазонах 166
3.3.4. Расчет оптических постоянных льда в ММ и СБММ диапазонах 167
3.3.5. Влияние аэрозольной компоненты атмосферы на комплексный
показатель преломления облачных капель 170
3.3.5.1. Источники аэрозолей в атмосфере 171
3.3.5.2. Конденсационный рост облачных капель 175
3.3.5.3. Поверхностный аэрозольный слой 175
3.3.5.4. Влияние газовой компоненты атмосферы на облачные капли —
3.3.5.5. Химические процессы, происходящие внутри капель 176
3.3.5.6. Влияние относительной влажности на комплексный
показатель преломления и поглощения воды в ИК области спектра . . 177
3.3.5.7. Влияние относительной влажности на комплексный
показатель преломления воды облачных капель и на ослабление ММ и
СБММ волн в облаках 179
3.4. Теория дифракции на сфере (теория Ми) 189
3.4.1. Электромагнитная волна 181
3.4.2. Сечения ослабления, рассеяния и поглощения 184
3.4.3. Сечение радиолокационного отражения 186
3.4.4. Получение явных выражений для коэффициентов Ми 187
3.4.5. Расчет коэффициентов Ми по различным алгоритмам на ЭВМ 191
3.4.5.1. Алгоритм Шифрина 193
3.4.5.2. Алгоритм Дермиджяна 195
3.4.5.3. Алгоритм Адена 19в
3.4.5.4. Алгоритм Каттавара—Пласса |99
3.4.5.5. Алгоритм Дейве 201
3.4.5.6. Алгоритм Ленца 203
3.4.5.7. Алгоритм Борена—Хафмена 206
3.4.5.8. Алгоритмы Вискомба и других 209
3.4.5.9. Заключительные замечания по алгоритмам 210
3.5. Приближенная теория Ми в случае малых частиц 216
3.5.1. Сечения ослабления, рассеяния и поглощения
3.5.2. Сечение радиолокационного отражения 219
Глава 4. Расчет коэффициентов ослабления, рассеяния,
поглощения и радиолокационного отражения на ЭВМ
Введение 228
4.1. Расчетная схема коэффициентов Ми ап и Ьп для больших значений
р и m 230
4.1.1. Выбор коэффициентов ап и Ьп для расчетов —
4.1.2. Расчет функции if>n(p) Риккати—Бесселя первого рода .... 231
478

4.1.2.1. Расчет г|)п(р) прямой рекурсией 231
4.1.2.2. Расчет ^n(p) обратной рекурсией 237
4.1.2.3. Расчет 1|)п(р) по алгоритму Ленца 242
4.1.2.4. Расчет г|)п(р) с высокой точностью (31 знак после запятой) 243
4.1.3. Расчет >сп(р) Риккати—Бесселя второго рода 247
4.1.3.1. Расчет функции хп(р) прямой рекурсией —
4.1.3.2. Расчет функций хп(р) с высокой точностью (31 знак после
запятой) 251
4.1.4. Расчет логарифмической производной г|)п(тр) или функции Лп(у) 255
4.1.4.1. Расчет функции Ап(у) прямой рекурсией 256
4.1.4.2. Расчет функции Ап{у) обратной рекурсией 267
4.1.4.3. Расчет функции Лп(у) по алгоритму Ленца 274
4.1.5. Расчет коэффициентов Ми ап и Ьп 290
4.2. Расчет факторов эффективностей ослабления, рассеяния,
поглощения и радиолокационного отражения 304
4.2.1. Результаты сравнения расчетов автора с данными других
авторов 308
4.3. Расчет спектральных коэффициентов ослабления, рассеяния,
поглощения и радиолокационного отражения 312
Глава 5. Таблицы спектральных коэффициентов ослабления, рассеяния,
поглощения и радиолокационного отражения ММ и СБММ волн облаками
при различных температурах
Введение 330
5.1. Реальная точность таблиц спектральных коэффициентов ослабления,
рассеяния, поглощения и радиолокационного отражения 332
5.1.1. Точность коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл, связанная с
точностью задания п 336
5.1.2. Точность коэффициентов Г0, Гр, Гп и Грл, связанная с
точностью задания 337
5.2. Таблицы 340
Глава 6. Ослабление, рассеяние, поглощение и радиолокационное
отражение ММ и СБММ волн в облаках различных типов
Введение 390
6.1. Ослабление и радиолокационное отражение ММ и СБММ волн
каплями радиусом от 1 до 20 мкм в облаках 391
6.2. Ослабление и радиолокационное отражение ММ и СБММ волн
фракцией капель радиусом от 20 до 85 мкм в облаках 407
6.3. Ослабление и радиолокационное отражение ММ и СБММ волн
фракцией капель радиусом от 85 до 1500 мкм в облаках 411
6.3.1. Обнаружение сверхкрупных капель в облаках и их влияние на
распространение ММ и СБММ волн —■
6.3.2. Установление процесса коагуляции или испарения сверхкрупных
капель в конвективных облаках 417
6.3.3. Установление момента перехода сверхкрупных капель в
переохлажденное состояние. Зависимость коэффициентов от температуры 427
6.3.4. Обнаружение момента фазового перехода вода—лед в
сверхкрупных каплях 429
6.4. Ослабление, рассеяние и поглощение аномального радиолокационного
излучения облаком и атмосферой 436
6.4.1. Радиолокационное отражение от капель и частиц облака . . —
6.4.2. Поглощение излучения безоблачной атмосферой и водяным
паром облака 438
6.4.3. Учет рассеянной компоненты излучения внутри облака 440
6.4.3.1. Распространение излучения радиолокатора в прямом
направлении 442
6.4.3.2. Распространение излучения радиолокатора в обратном
направлении 444
6.4.4. Расчет рассеянной компоненты излучения 445
479

6.4.4.1. Углы рассеяния вперед 446
6.4.4.2. Углы рассеяния назад —
6.4.5. Влияние ослабления, рассеяния и поглощения в облаке на
аномальное радиолокационное отражение 447
6.4.6. Расчеты полного радиолокационного отражения 452
6.5. Расчеты по приближенным формулам Рэлея и сравнение с
расчетами по точным формулам Ми 455
6.6. Многократное рассеяние и границы применимости однократного
рассеяния 470
Заключение 472
Предметный указатель 475
Монография
Айвазян Грачья Михайлович
РАСПРОСТРАНЕНИЕ МИЛЛИМЕТРОВЫХ
И СУБМИЛЛИМЕТРОВЫХ ВОЛН В ОБЛАКАХ
СПРАВОЧНИК
Редактор О. В. Лапина
Художник Г. Б. Бурмистров
Художественный редактор Б. А. Бураков
Технический редактор Н. И. Перлович
Корректор И. Б. Михайлова
ИБ № 2016
Сдано в набор 10.06.91. Подписано в печать 27.08.91. Формат бОХЭО'Де. Бумага офсетная № 1.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Печ. л. 30. Кр.-отт. 30. Уч.-изд. л. 34,56. Тираж
1300 экз. Индекс МОЛ-34. Заказ № 124. Цена 5 р. Гидрометеоиздат. 199226. Ленинград,
ул. Беринга, д. 38.
Ленинградская типография № 8 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского
объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Государственного комитета СССР
по печати. 190000, Ленинград, Прачечный переулок, 6.