е
Сборник задач
и упражнений
по дифференциальной
геометрии
Под общей редакцией
канд. физо-мат. наук
доц. В. Т. ВОДНЕВА
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования БССР
в качестве учебного пособия
для математических специальностей
университетов и пединститутов

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА». МИНСК 1970
517.4
С23
УДК 513(075.8)
2-2_-3
29-70
Предисловие
Настоящий сборник соответствует ныне действующей програм-
ме по курсу «Дифференциальная геометрия с элементами тео-
рии поля», изучаемому на механико-математических факульте-
тах университетов Он может быть использован также студен-
тами и преподавателями физических факультетов университетов
и физико-математических факультетов педагогических инсти-
тутов.
Данная книга является существенной переработкой «Сборника
задач по дифференциальной геометрии», изданного в 1963 г.
Отметим основные изменения, внесенные в книгу. Во «Введе-
нии» даны определения и вытекающие из них различные спо-
собы аналитического задания линий н поверхностей. В отдель-
ную главу выделены задачи, относящиеся к векторным функ-
циям одного и нескольких скалярных аргументов. Добавлен
ряд новых разделов. Отдельный параграф посвящен различным
отображениям одной поверхности па другую. Учитывая важ-
ность метода подвижного репера в дифференциальной геомет-
рии, авторы сочли целесообразным включить в сборник задачи
па применение метода подвижного репера в теории поверхно-
стей. В ранее изданных задачниках излагался лишь метод
подвижного репера в теории линий Чтобы сохранить преем-
ственность с курсом аналитической геометрии, отдельную
главу авторы посвятили изучению групповых свойств линии и
поверхностей. Для основных понятий и свойств линий и по-
верхностей выясняется, к какому классу они принадлежат:
метрическому, аффинному или проективному. В связи с тем
что в новую программу входят элементы теории поля, отдель-
ная глава сборника посвящена задачам, относящимся к ска-
лярному и векторному полям.
Зачастую при формальном аналитическом решении залами
ускользает геометрическая сущность исследуемого вопроса
Имея это в виду, авторы включили в сборник большое коли-
чество задач и упражнений, способствующих выяснению гео-
метрической сущности исследуемых объектов Общее количест-
во задач в новом издании сборника увеличено более чем в три
раза.
В конце задачника помещен предметный указатель
4 ПРЕДИСЛОВИЕ
При составлении сборника авторы использовали большое коли-
чество учебников и сборников задач по дифференциальной
геометрии советских и зарубежных авторов. Многие задачи
составлены авторами сборника.
Мы выражаем глубокую благодарность профессору Киевского
государственного университета II. И. Ковапцозу и доцен-
ту Минского государственного педагогического института
А. А. Дадаяну, которые внимательно прочитали рукопись
сборника и сделали ряд ценных замечаний. Мы благодарим
также лаборантов математического факультета Белорусского
государственного университета, принимавших участие в подго-
товке рукописи к печати.
В Т [Заднее
Введение
Основными объектами, изучаемыми в курсе дифференциальной
геометрии, являются линии и поверхности в трехмерном веще-
ственном евклидовом пространстве.
Линия и ее уравнения
Множество U точек пространства называется открытым, если
для каждой точки М этого множества можно указать такое
положительное число 8, что все точки пространства, расстояние
которых от М меньше 8, тоже принадлежат U. Множество V
точек пространства называется связным, если не существует
открытых множеств Ui и U2, разбивающих множество V на
два непустых подмножества, одно из которых принадлежит
только Ui, другое — только U2.
Пусть U—произвольное множество точек. Говорят, что задано
отображение f множества U в пространство, если каждой точке
M(=U поставлена в соответствие некоторая точка f(M) —образ
точки М. Множество всех точек f(M), гл? M<=U, называется
образом множества U и обозначается f(U). Отображение на-
зывается взаимно однозначным, если образы различных точек
различны. Для взаимно однозначного отображения f сущест-
вует обратное отображение которое точке f(M) сопостав-
ляет точку М.
Пусть 8 — положительное число. Назовем ^-окрестностью точ-
ки М множества U множество всех точек, принадлежащих U,
расстояние которых от точки М меньше 8.
Отображение [ множества U называется непрерывным, если
для любой точки M^U и любого положительного числа 8 най-
дется такое число 6>>0, что образ 6-окрестности точки М при-
надлежит 8-окрестности точки f(M). Взаимно однозначное
и непрерывное отображение f множества U называется тополо-
гическим, если отображение f~l также непрерывно; множества
U и f(U) называются в этом случае гомеоморфными.
Элементарной линией называется множество точек, гомеоморф-
ное открытому отрезку (интервалу) прямой. Так, элеменгар-
ными линиями являются открытый отрезок прямой, прямая,
парабола, одна ветвь гиперболы, синусоида и т. д. Пусть U —
элементарная линия и АВ — открытый отрезок, образом кото-
6 ВВЕДЕНИЕ
рого при отображение f является эта линия. Введем на отрезке
АВ декартову координату t, а<Л<.Ь, и рассмотрим в прост-
ранстве декартову прямоугольную систему координат Oxyz
Тогда отображение f каждому значению t поставит в соответ-
ствие точку на линии U, и координаты этой точки будут не-
прерывными функциями t:

(1)
Эти соотношения называются параметрическими уравнениями
линии U.
Аналогично можно ввести параметрические уравнения для то-
чечного множества, гомеоморфного окружности
Простой линией называется топологический образ открытого
отрезка или окружности.
Отображение f множества U в пространство называется ло-
кально топологическим, если у каждой точки M^U есть е-окрс-
стность, в которой отображение f является топологическим
Линией (или кривой) называется образ простой липни при
локально топологическом отображении се в пространство Пусть
U — образ простой линии О\ при отображении ft и пусть это
же множество U является образом простой липни U2 при ото-
бражении /*2- Будем считать, что отображения fi и /2 опреде-
ляют одну и ту же линию, если между точками простых линий
Ui и И2 может быть установлено топологическое соответствие,
при котором образы соответствующих точек этих линий на
линии U совпадают.
Пусть линия f(U) является образом простой линии U. Окрест-
ностью точки f(M) линии f(U) будем считать образ любой
окрестности точки М в множестве U. В окрестности любой
своей точки линия может быть задана уравнениями (1). Мы
будем считать, что функции fi(l), и /з(0 в уравнениях (1)
непрерывно дифференцируемы столько раз, сколько требуют
условия задачи. Если при некотором значении t f' (/) то
в окрестности соответствующей точки линию можно задать
уравнениями:
y = q(x), г = ф(х).
(2)
Если ввести в рассмотрение радиус-вектор г произвольной точ-
ки М и единичные векторы координатных осей i, j, k, то па-
раметрические уравнения (1) можно представить в векторном
виде е
(3)
ВВЕДЕНИЕ
7
Мы также будем использовать запись
г'={Л(0, Ь(0, Ю)}	(4)
пли, короче,
Г=Г(О-	(5)
Линия называется плоской, если все ее точки принадлежат
некоторой плоскости. Считая эту плоскость совмещенной с пло-
скостью Оху, мы получим уравнения линии в следующих видах-
y=f2(t);	(6)
y = <f(x);	(7)
'=fi(O‘+b(O/-	(8)
Поверхность и ее уравнения
Элементарной поверхностью Ф называется образ открытого
круга при сю топологическом отображении в пространство.
Введем в плоскости круга декартовы координаты и, v, а в про-
странстве — декартову прямоугольную систему координат Oxyz.
Тогда координаты х, у, z точки поверхности Ф будут функ-
циями и, v
x=fi(u, v), y = f2(u, V), z=f3(a, v).
(9)
Эти соотношения называются параметрическими уравнениями
поверхности (1), а величины и, v — криволинейными координа-
тами на ней. Линии
и — const, v = const
на поверхности Ф называются координатными.
Простой поверхностью называется связное множество точек,
каждая из которых имеет окрестность, являющуюся элементар-
ной поверхностью.
Общей поверхностью или, короче, поверхностью называется
образ простой поверхности при локально топологическом ее
отображении в пространство Считают, что отображение f4
простой поверхности Ф1 и отображение простой поверхно-
сти Ф2 определяют одну и ту же общую поверхность Ф, если
между точками поверхностей Ф1 и Ф2 может быть установлено
топологическое соответствие, при котором образы соответст-
вующих точек этих поверхностей на поверхности Ф совпадают.
В окрестности любой своей точки поверхность может быть за-
дана уравнениями (9). Мы будем считать, что функции fi(u, и),
8 ВВЕДЕНИЕ
f2(«, v), f3(u, v) непрерывно дифференцируемы достаточное
число раз. Если в точке М поверхности Ф
дЦ dj->
ди	ди
dfj	df2
dv	dv
#=0,	(10)
то в некоторой окрестности точки М поверхность может быть
задана уравнением
2=1(х, у).	(И)
Вместо уравнений (9) можно рассматривать векторное уравне-
ние поверхности
r=fi(u, v)i+f2(u, v)i+f3(u, v)k	(12)
или, короче,
r — r(u, и).	(13)
О неявном задании линий и поверхностей
Пусть задано уравнение
у)-О	(14)
и на плоскости выбрана декартова прямоугольная система
координат Оху. Множество всех точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют уравнению (14), часто называют ли-
нией. Однако это множество не всегда является линией в смыс-
ле данного выше определения. Так, уравнение
х2—z/2 = 1
задает гиперболу, которая состоит из двух линий (ветвей),
а уравнение
х2+^2+1==0
не задает никакой линии.
Если функция F(x, у) непрерывно дифференцируема и в точке
М, координаты которой удовлетворяют уравнению (14),
dF
~ =#0,
е
то в некоторой 8-окрсстпости точки М. множество всех точек,
ВВЕДЕНИЕ
9
координаты которых удовлетворяют уравнению (14), является
элементарной линией, которая может быть задана уравне-
нием (7).
Наряду с декартовыми прямоугольными координатами мы
будем пользоваться также полярными координатами г, ср.
В этом случае линии мы будем задавать уравнением вида
F(r, <р)=0.
(15)
Множество всех точек, координаты которых удовлетворяют
уравнению
f (х, у, z) =0,
(16)
часто называют поверхностью. Однако это множество не всегда
является поверхностью в смысле данного выще определения.
Если функция F (х, у, z) непрерывно дифференцируема и в точ-
ке М, координаты которой удовлетворяют уравнению (16),
dF
— =#0,
дг
то в некоторой е-окрестпосгн точки М множество всех точек,
координаты которых удовлетворяют уравнению (16), является
элементарной поверхностью, которая может быть задана урав-
нением (11).
Линия может быть задана системой уравнений
F(x, у, z) =0, 1
Ф(х, у, z) =0. /
(17)
Однако и здесь следует иметь в виду, что множество всех
точек, координаты которых удовлетворяют системе (17), не
всегда является линией в смысле данного выше определения.
Задание линий и поверхностей с помощью уравнений (14) — (17)
называется неявным.
Глава
Вектор-функция скалярных аргументов
Пусть U — множество точек на прямой, плоскости
или в пространстве. Говорят, что на множестве U
задана вектор-функция, если с каждой его точкой М
сопоставлен вектор г(Л1). Длина этого вектора яв-
ляется скалярной функцией г(Л1).
Вектор а называют пределом вектор-функции г(Л4)
в точке Mq и пишут
Игл г(Л4) =а,
м-+м0
если для любого положительного числа 8 найдется
такое 6>0, что из неравенства |7ИоЛ1| <6 будет
следовать
|г(Л1) — а\ <8.
Вектор-функция г(М) называется непрерывной в
точке ТИо, если
lim r(M)=-r(Mo).
М->М0
Функция, непрерывная в каждой точке множества
U, называется непрерывной на множестве U.
Выберем в пространстве декартову прямоугольную
систему координат Oxyz. Тогда вектор-функцию
г(Л1) можно представить в виде
г(М) =х(Л1)Г+1/(Л1)7+г(М)1
Задание одной вектор-функции г(7И) равносильно
заданию трех скалярных функций х(М), у(М) и
г(Л1).
Пусть U — множество точек на прямой. Если па
этой прямой ввести декартову координату Z, то век-
тор-функция, заданная на множестве U, является
вектор-функцией одного скалярного аргумента г(/).
I ЛАВА 1 ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНЫХ АРГУМЕНТОВ
11
Производной вектор-функции г(/) называется
7(/+Л)-7(/)
11 m ------------.
л->о h
_	dr
Эта производная обозначается символом —- или
/-(0.
Дифференциалом вектор-функции г(/) называется
вектор-функция
dr=r' (t)dt.
Производные высших порядков определяются сле-
дующим образом:
P'(/) = (F(0);7-(0 = (Pz(0)^	, >>(0 =
= (/«(/))'.
Для п раз дифференцируемой вектор-функции г(£)
имеет место формула Тейлора
7(/+А0=7(/)+д/?(0 + -^17"(0+ ... +
/ДМп _	_
+ 3J_(r(»)(0+e(Z, Д/)),
где
lim e(Z, AZ) =0.
AZ-*O
Будем откладывать значения вектор-функции г(/)
от фиксированной точки О, т. е. при каждом значе-
—>
нии t построим направленный отрезок ОМ, изобра-
жающий вектор г(/). Множество всех так построен-
ных точек М называется годографом вектор-функции
г(i). Если вектор-функция r(f) определена и имеет
производную г'(/) на интервале (а, 6), причем ни
при каком значении Ь) эта производная не
12 ГЛАВА 1 ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНЫХ АРГУМЕНТОВ
обращается в ну Ль, то годограф вектор-фупкции г(/)
является линией. Если в некоторой точке М(/о)
'''(б)) =#0,
то вектор г'(/о) коллинеарен касательной к годогра-
фу в точке М. Если
г'(/0)=г"(/0) = ...	rW(/o)^O,
то касательная к годографу в точке Мо(/о) коллине-
арна вектору г<'^(/о).
Пусть U — множество точек на плоскости. Если на
этой плоскости ввести декартову систему координат
Ouv, то вектор-функция, заданная на множестве (7,
является вектор-функцией r(u, v) двух скалярных
аргументов и, v. Частные производные и полные
дифференциалы функции г(u, v) определяются сле-
дующим образом:
dr - г	v) — г (и, v}
= Г и = 1 im------------—-----------
du	у->о	h
dr - г (и, у-ф/г)—r(u, v)
— =rv=\im---------------—•--------
dv	h->o	h
dr=rudtt-\-rvdv,
d2r - d - 4
=Гт‘= dU (fu)’
e
d2r=rUudu2-^2ruvdudv-^rvvdv2 и т. д.
I ЛАВА 1 ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНЫХ АРГУМЕНТОВ
13
Для п раз дифференцируемой вектор-функции г (и, и)
имеет место формула Тейлора
г(и4~Ди, v-\-&v)=r(u, v)-\-dr(u, у) +
d2r(u, у) +
п\
п
dnr(u, ц) + (Д^24-Ду2) 2 8 (u, v, du, dv),
где
du = ku, dv = Av
и
lim &(и, v, &u, Ду)=0.
(Au2+Av2)->0
Аналогично тому, как говорилось выше, для вектор-
функции г(u, v) также можно построить годограф.
Если в некоторой точке Мо(ио, Vo)
ru(uQ, vo)J^rv(uo, Vq),	(1)
т. e. векторы ru(uo, Vo) и rv(uo, ^o) неколлинеарны,
то в окрестности этой точки годограф является эле-
ментарной поверхностью.
Мы всегда будем считать, что условие (1) выпол-
нено.
1—5. Доказать, что если
lim Гг(М)=аг, i=\, 2, 3, lim f(M)=a,
то имеют место формулы:
(1)	lim (r< (7И) -hr?.(M)) =6Zj-h6Z?.;
M->M0
(2)	lim (f(M)H(M))=aai;
(3)	lim (ri(Af)r2(Al)) ==a1a2;
(4)	lim [ri(Af)r2(M)] — [«ia2];
14 I ЛАВА 1 BI КТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНЫХ АРГУМЕНТОВ
(5)	lim (ri(M)r2(M)r3(M)) = (aia2a3).
м-+м0
6—	Доказать, что если функции гДМ) и f(M) непре-
10. рывны в точке Мо, то в этой точке непрерывны сле-
дующие функции:
(6) 71(М)±72(М);	(7) f(M)n(M);
(8) 7i(M)r2(M);	(9) |7ДЛ1)72(М) J;
(10) (71(M)72(M)^(M)).
И— Доказать, что если функции гД/) и /(/) дифферен-
15. цируемы, то имеют место следующие формулы:
(И) (71(0±72(0)'=<(0±7'(0;
(12)	Ц(/)Г(/))'==Г(О^(О+/:(О^(О;
(13)	(й(072(0)'=ДС)г2(0+пСК (0;
(14)	Г1(/)^(/)]'=Ц'(0^(0] + [71(0?(0];
(15)	(7, (о 72(о 73 (о) '= (7; (о7 (0й (0) +
+ (й (0 ^(0й (0) + (й (0й(0 й (/)).
16—	Найти производные по t от следующих функций:
22.
(16) г2;
(18) [77"];
(20) |[Р7']7"'];
(22) У [77] \
где г—г(/).
(17) г'2;
(21) ]/72;
23— Найти частные производные первого и второго по-
25. рядка от следующих функций:
I ЛАВА 1 ВЕКТОР ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНЫХ АРГУМЕНТОВ
15
26.
(23) г2;	(24) [/wd;
где r=r(u, v).
26.	Можно ли утверждать, что
(25) (rrurv),
б)	rr'=rr'7
27.	Доказать равенство
dr=np-dr.
28.	Используя результат предыдущей задачи, доказать
биссекториалы-юе свойство касательной к эллипсу:
касательная к эллипсу в произвольной его точке М
является биссектрисой угла, смежного с углом меж-
ду фокальными радиусами точки касания.
29.	Доказать биссекториальное свойство касательной
к гиперболе (см. предыдущую задачу).
30.	Отрезок постоянной длины скользит концами по
линиям г=г(и) и р = р(у). Найти направление ка-
сательной к линии, описываемой серединой отрезка.
31.	Доказать, что если производная вектор-функции
г=г(/) равна нулю при всех t из некоторого про-
межутка, то r=const в этом промежутке. Верно ли
обратное утверждение?
32.	Доказать, что если ru = rv=Q в некоторой области
изменения параметров и и v, то в этой области
r = const.
33.	Доказать, что если в некотором интервале
|r| =const, то Верно ли обратное?
34.	Доказать, что если
|r(u, v) | =const
в некоторой области изменения параметров и и v,
то r_Lru и r_Lrv.
16 ГЛАВА 1. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНЫХ API УМЕНТОВ
35.	Для того чтобы вектор г(0 имел постоянное направ-
ление, необходимо и достаточно, чтобы в интервале
изменения t r(t) и rz(/) были коллинеарны. Дока-
зать.
36.	Для того чтобы вектор r(u, v) имел постоянное на-
правление, необходимо и достаточно, чтобы в неко-
торой области изменения параметров и и v r\\ru и
r\\rv. Доказать.
37.	Для того чтобы вектор г(/) был параллелен неиз-
менной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы
в интервале изменения t выполнялось условие
(rr'rz/)=0. Доказать.
38.	Векторная функция
е(ф) =cos ф f+sin ср /
называется векторной круговой функцией.
Доказать, что имеют место соотношения:
а) е(ф+а) = е(ф)соз a+g’((p)sin а;
где g(qp) =е	.
39.	Вектор-функция r—r(t} определена на сегменте
[6, и имеет на нем непрерывные производные
rz, rzz, rzzz, которые при всех /2] компланарны,
но	Доказать, что годограф вектор-функции
r=r(Z) есть плоская линия. Верно ли обратное?
40.	Доказать, что если на некотором сегменте [/±, Z2]
вектор-функция г(/) непрерывна вместе со своей
производной rz, причем г||г', но г'=т^0 и г^О, то
годограф вектор-функции г = г(/) есть отрезок пря-
мой линии.
ГЛАВА 1 ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНЫХ АРГУМЕНТОВ
17
41.	Доказать, что если на некотором сегменте [Л, /2]
вектор-функция г = г(/) непрерывна вместе с произ-
водными г' и г", которые отличны от нуля и колли-
неарны при всех	/2], то годографом вектор-
функции г —г(/) является отрезок прямой линии.
42.	Доказать, что годограф вектор-функции
г =	2^2,
где Го, П, ^2 — постоянные векторы, есть парабола,
если векторы /ц и г2 неколлинеарны. Что будет в слу-
чае коллинеарности векторов /ц и г2?
43.	Доказать, что годограф вектор-функции
^ = Го4~Г1 cos /4-Г2 sin t
есть эллипс, если и г2 нсколлипеарны. Что будет
в случае их коллинеарности?
44.	Доказать, что годограф вектор-функции
r=rQ-\-ri ch t-\-r2 sh t
есть гипербола, если векторы r4 и г2 неколлинеарны.
45.	Для того чтобы годографом вектор-функции г (u, v)
была некоторая область плоскости, необходимо и
достаточно, чтобы векторы ги и rv были параллельны
некоторой фиксированной плоскости. Доказать.
46—	Выяснить, что является годографом следующих
49. вектор-функций:
(46)	г=го4-^н+^2Г2-|-^гз;
(47)	r=r0-|-cos un+sin ur2-\-vr^
(48)	г = го+ ( «+ — ) п+( и-------— )
х и 1 х и '
(49)	г = г0Д-и cos yri+tZ^in^r24-u2r3j
18 ГЛАВА 1 ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНЫХ АРГУМЕНТОВ
где Го, ^2, гз — постоянные векторы, причем векто-
ры и, Г2, гз некомпланарны.
50,	Найти линии, определяемые дифференциальными
51.	уравнениями:
(50)	г'=[(ог], где со = const; (51) г'= [е[ге] ],
где е — постоянный единичный вектор.
52.	Доказать, что если в пространстве движутся две
материальные точки, расстояние между которыми
постоянно, то проекции скоростей этих точек на на-
правление прямой, их соединяющей, равны.
53.	Доказать, что материальная точка под действием
центральной силы описывает плоскую линию.
Глава Л
Плоские линии
§ 1. Уравнения линии
54.	Написать уравнение геометрического места точек,
произведение расстояний которых до двух данных
точек Fi и Т2 (Fi/?2—2b) есть величина постоян-
ная, равная а2 (овалы Кассини).
55.	Дана окружность диаметра ОА=2а и касательная
к ней в точке А. Через точку О проведен луч ОС
и на нем отложен отрезок ОМ, равный отрезку ВС,
заключенному между окружностью и касательной.
Если луч ОС вращается вокруг точки О, то точка
М описывает линию, называемую циссоидой Дио-
клеса. Составить уравнение линии.
56.	Произвольный луч ОЕ пересекает в точках D и Е
окружность
/ CL \2 а2
и касательную к ней, проходящую через точку С,
диаметрально противоположную О. Через точки
D и Е проведены прямые, параллельные соответ-
ственно осям Ох и Оу, до пересечения в точке М.
Составить уравнение геометрического места точек
М (локон Аньези).
57.	Точка М равномерно движется по прямой ON,
равномерно вращающейся вокруг точки О. Соста-
вить уравнение траектории точки М (спираль
Архимеда).
58.	Прямая OL вращается около точки О с постоянной
угловой скоростью со. Точка М движется по пря-
мой OL со скоростью, пропорциональной расстоя-
нию ОМ. Составить уравнение линии, описываемой
точкой М (логарифмическая спираль).
59.	Отрезок постоянной длины 2а своими концами
А и В скользит по осям прямоугольной системы
координат. Из начала координат на отрезок АВ
опущен перпендикуляр ОМ. Составить уравнение
20 1ЛАВЛ2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
геометрического-места точек М (четырехлепестко-
вая роза).
60.	На окружности радиуса а дана точка О, вокруг
которой вращается луч, пересекающий окружность
в переменной точке А. На этом луче по обе стороны
от точки А откладываются отрезки AMi=AM2=2a.
Написать уравнение линии, описываемой точками
Mt и Л12 (кардиоида).
61.	На произвольном луче О А от точки А пересечения
его с окружностью r=2^coscp по обе стороны от-
ложены отрезки AMi=AM2=2b. Составить урав-
нение геометрического места точек All и М2 (улитка
‘ Паскаля). Какая линия получается при а = Ы
62.	Прямая х=а пересекает ось Ох в точке А, произ-
вольный луч ОВ — в точке В. На луче по обе сто-
роны от точки В отложены отрезки BMi и ВМ2,
равные АВ. Написать уравнение геометрического
места точек Mt и М2 (строфоида).
63.
Через точку Е
, заданную полярными ко-
ординатами, проведена прямая, параллельная по-
лярной оси. Произвольный луч ОК пересекает эту
прямую в точке К. На луче по обе стороны от точ-
ки К отложены отрезки KMi = КМ2=1. Составить
уравнение геометрического места точек Mi и М2
(конхоида Нико мед а).
64.	Концы отрезка АВ = а скользят по осям прямо-
угольной системы координат. Прямые АС и ВС,
параллельные осям координат, пересекаются в точ-
ке С, из которой на АВ опущен перпендикуляр СМ.
Написать уравнение геометрического места точек
М (астроида).
65.	Составить параметрические уравнения развертки
окружности, т. е. траектории конца туго натянутой
нити, сматываемой с неподвижной круглой плос-
кой катушки.
66.	Круг радиуса а катится по прямой без скольжения.
Составить параметрические уравнения линии, опи-
санной точкой М граничндй окружности круга
(циклоида).
§ 1 УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
21
67.	Круг радиуса а катится по прямой без скольжения.
Составить параметрические уравнения линии, опи-
сываемой точкой М, жестко связанной с кругом и
находящейся на расстоянии d от его центра (при
d<ia — укороченная циклоида, при d^>a — удли-
ненная циклоида).
68.	Круг радиуса г катится без скольжения по кругу
радиуса R, оставаясь вне его. Составить парамет-
рические уравнения линии, описываемой точкой М
граничной окружности катящегося круга (эпици-
клоида). Какая линия получается при r=R? “
69.	Круг радиуса г катится без скольжения по кругу
радиуса R>r внутри его. Составить параметриче-
ские уравнения линии (гипоциклоида), описанной
точкой М граничной окружности катящегося кру-
га. Какая линия получается при /? = 4г? при
/? = 2г?
70.	Пусть дана линия
x = t3—2t, y = t2—2.
Проверить, лежат ли на ней точки М( — 1, —1),
N(4, 2), Р(1, 2). Найти точки пересечения линии
с осями координат. Найти точку линии с минималь-
ной ординатой. Записать неявное уравнение линии.
71.	Составить параметрические уравнения окружности
х2-\-у2~2ах=0,
приняв за параметр:
а)	угловой коэффициент прямой, проходящей че-
рез начало координат и точку линии;
б)	угол между осью Ох и прямой, проходящей
через центр окружности.
72—	Указать, какие линии изображаются параметриче-
79. скими уравнениями:
(72)	x=t2-t+\, z/ = /2+z+1;
(73)	x = t2-2t+3, y = t2—2t-\-\;
(74)	x=asin2/, y = b cos21;
22 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
(76) х=3*+3~*,
(78)
a—t	t
a-\-t ’	a-\-t ’
а /	1 \
(79)
г/=6-|-/?
80.
Параметрические
взять в виде
уравнения гиперболы можно
а
У =
Как движется точка по гиперболе, когда параметр
t растет от —оо до оо? Какое преобразование па-
раметра нужно сделать, чтобы параметрические
уравнения гиперболы приняли вид
x = ach(p, у = 6 sh ср?
81. Показать, что
1-Н2	, 2t
х = а---у = Ь--------
!— /2’	1— /2
параметрические уравнения гиперболы. Как дви-
жется точка по гиперболе при изменении пара-
метра в пределах —оо<7<оо, /^±1?
82. Показать, что уравнения
x=acos0, y = b sin 0
и
I-/2	, 2t
х — а-----, и = Ь-----
1+/2’	14-/2
представляют одну и ту же линию. Как движется
§ 1 УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
23
точка по линии, когда параметр t растет от —оо
до оо?
S3— Указать, какие линии задаются уравнениями в по-
94.	лярных координатах:
(83.),. Г-4;	(84)
(85)	r=2acos<p;	(86)
(87)	г=—(88)
sin ср
(39)	г= —;	(90)
3—5 cos ср
(91)	г2соз2ф=а2;	(92)
(93)	г —sec2-у;	(94)
&
л
а
COS ф’
16
5—3 cos ф ’
_ 2
1—COS ф
r = b sin ф;
? СР
r = cosec2 —.
95.	Линии, декартовы координаты точек которых могут
быть выражены рациональными функциями неко-
торого параметра, называются у нику реальными.
Показать, что линия С, уравнение которой в де-
картовых координатах имеет вид
фп(х, у) +фп-1 (х, у)—0,
где фр(х, у) — однородный полином степени р, есть
упикурсальная.
96—	Показать, что линии являются уникурсальными и
100. записать их параметрические уравнения:
(96) х2+у2—2ах=0;
(98) (%24^2)%—2ш/2=0;
(97) х3+р3—Заху = 0;
(99) г=а(14~созф);
(100) (х2-[-у2')х-\-а(х2—у2') — 0.
24 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
101. Показать, что линия, уравнение которой в поляр-
ных координатах имеет вид
r=f(sin<p, coscp),
где f — рациональная функция, есть упикурсальная
линия.
§ 2.	Касательная и нормаль
Уравнения касательных к линиям, заданным урав-
нениями (5) — (7), (14) введения, имеют соответ-
ственно вид:
P = r+V',
X—х_ Y—y
х' ~ у' '
У—у = <р'(х) (Х—х),
(X—x)Fx+(Y—y)Fy=0,
где X, Y — текущие координаты точки на касатель-
ной, р — радиус-вектор этой точки, х, у — коорди-
наты точки касания.
Уравнения нормалей соответственно имеют вид:
(р—г)г'=0,
(X-x)x'+(Y-y)y'=0,
Х-х+(У-г/)Ф'(х)=0,
X—х Y—y
~FT~ Fy ’
Если в точке касания
7(0=7"(/) = ... =7(^-i)(/)=0, 7ft)(0
то касательная задается уравнением
р=7+х7ч
Если в общей точке двух линий
§ 2 КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ
25
при S —So
- - drt dr2 dhri dhr2
f2’ ds ds dsk dsk’
dh^ri
dsli]1
dh'\ lr2
dsb+l ’
то эти линии в указанной точке имеют соприкосно-
вение k-го порядка.
Если одна линия дана в параметрическом виде
х=х(/), y=y(t),
а другая — в неявном виде
Е(х, у)=0,
и в точке, принадлежащей обеим линиям,
dF	dhF
/ЩО, Щ0]=0, — =0, ....
d^F
-----=7^ 0
dt^ ’
то линии имеют соприкосновение &-го порядка.
102— Составить уравнения касательной и нормали
119. к следующим линиям:
(102) у=х24-4х+3 в точках Л, В, С с абсциссами —1,
0, 1;
(ЮЗ) у — х3 в точках Л, В с абсциссами 0 и 1;
jt
(104)	у — sin х в точках Л, В, С с абсциссами 0, —, л;
л*
л
(105)	у = tgx в точках Л, В с абсциссами 0, —;
(106)	х=/3—2/, z/=/24-l в точке Л (/=1);
(107)	х —acos3/, у = a sin3/;
26 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
(Ю8)
(Ю9)
х—а cos /,
а / ч

x3-|-z/3—Zaxy = Q в точке
(%2+//2)х—ау2=0 в точке А
(х2-\-у2)2—2а2(х2—у2) = С;
х2
2
а \
с» / ’
У2
У2
(117) у2 = 2рх;
(118) г=атр;
(119) r = 2a cos ср в точке Л, для которой ф=
120.	В какой точке касательная к параболе у=х2 обра-
зует с осью Ох угол в 45°?
121.	Может ли угол наклона касательной в некоторой
3
точке линии у=х3 к оси Ох равняться -^-л?
122.	Показать, что угол ф наклона касательной в про-
извольной точке линии
z/ = %5-|-2%34-x— 1
к оси Ох заключен в пределах
123.
Найти касательную к параболе у=х2, параллель-
ную прямой
у = ^х—5.
524. В какой точке касательная к параболе
у = х2—§х-}-Ь
§ 2 КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ
27
перпендикулярна прямой
х—24/4-8 = 0?
125.	В уравнении параболы
у=х2—bx-J— с
постоянные b и с определить так, чтобы парабола
касалась прямой
у = 3х—5
в точке с абсциссой х = 2.
126.	В уравнении параболы
у = ах2-}-Ьх-\-с
постоянные а, Ь, с определить так, чтобы парабола
касалась прямой
у=4х— 1
в точке с абсциссой х=1 и проходила через точ-
ку А (0, 1).
127.	Написать уравнения касательной и нормали к ли-
нии
у = х3+Зх2—1
в точке ее пересечения с параболой
у = Зх2.
128.	Написать уравнения касательных к линии
1
в точках ее пересечения с гиперболой
1
129.	В каких точках с одной и той же абсциссой каса-
тельные к линиям
у~х2 и у = х3
параллельны?
28 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
130.	Доказать, что только одна нормаль линии у = хп
(п — целое положительное число) проходит через
начало координат.
131.	Найти касательные к линии
x=t2 — \, г/ = /3+1,
параллельные прямой
2х—г/-}-3 = 0.
132.	Найти касательные к линии
x=t3, y=t\
проходящие через точку М (—7, — 1).
133.	Показать, что линии
х
у = а sin —,
а
у=.а In
х
а
пересекают ось Ох под одинаковым углом незави-
симо от величины а.
134.	Найти наиболее удаленные от начала координат
касательные к астроиде
2	2	2
х 3 -\-у 3 == а 3.
135.	Доказать, что для любой точки М равносторонней
гиперболы
х2—у2=а2
отрезок нормали от точки М до точки пересечения
с осью Ох равен отрезку ОМ.
136.	Доказать, что все нормали к развертке окружности
x=a(cos t-\-t sin /), y = a(sm t—t cos /)
одинаково удалены от начала координат.
137.	Показать, что если все нормали плоской линии
проходят через фиксированную точку, то линия
есть окружность или некоторая ее часть.
138—	Найти точки пересечения и углы, под которыми
143. пересекаются следующие линии:
'5 > КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ
29
(138)	l/2=4x, х2=4у;
(139)	х2+у2=9, х2ф-у2—6х=9;
(140)	х2+у2+2х=7, у2 = 4х;
(141)	х2+//2=8, у2 = 2х;
(142)	х2-\-у2 — 8х, у2(2-х)=х^
(143)	у—sin х, y = cosx.
144—	Доказать, что следующие линии пересекаются под
146.	прямым углом:
(144)	у = х-~%2, у=х‘'—х\
(145)	//2 = 2ax+a2, у2=— 2ftx+62;
(146)	х2~у2=а, ху=Ь.
147.	Найти угол пересечения двух парабол с общей
осью, если фокус каждой из них помещается в вер-
шине другой.
148.	Показать, что тангенс угла, образованного каса-
тельной к линии г = г(<р) с радиус-вектором, про-
веденным в точку касания, определяется по фор-
муле
149.	Показать, что угол между касательной и радиус-
вектором в произвольной точке кардиоиды равен
половине полярного угла.
150.	Доказать, что касательные к кардиоиде
/'=2а(1-—cos ср),
проведенные в концах хорды, проходящей через
полюс, взаимно перпендикулярны.
151.	Доказать, что угол между касательной к спирали
Архимеда г= ау и радиус-вектором, проведенным
из полюса в точку касания, стремится к 90° при
ф—>оо.
30 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
152.	Доказать, что угол ц, составленный касательной
в произвольной точке логарифмической спирали
г—са®, я>0,
с радиус-вектором точки касания, постоянный.
153.	Доказать, что только логарифмические спирали и
окружности обладают свойством, указанным в за-
даче 152.
154.	Доказать, что угол ц, составленный касательной
в произвольной точке лемнискаты Бернулли
г2—2а2 cos 2ср
. л
с радиус-вектором точки касания, равен 2ф-|
л*
где ср — полярный угол точки касания. На основе
этого свойства указать способ построения каса-
тельной и нормали в произвольной точке лемни-
скаты.
155.	Пусть даны две линии в полярных координатах:
г=г(ф) и Г1 = н(ф).
Показать, что они пересекаются под прямым углом,
если
гпф-г'п =0.
156—	Доказать, что следующие линии пересекаются под
158. прямым углом:
(156) г=ае^, /=Ье^;
(157) г == а(1-]-cos ф), r = a(l — cos ф);
159. Пусть касательная к линии у = у(х) в точке М
пересекает ось Ох в точке Г, а нормаль—в точке N,
и пусть Р — проекция точки М на ось Ох. Дока-
зать, что длины касательной МТ, нормали MN, под-
касательной РТ и поднормали PN выражаются
формулами:
§ 2 КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ
31
МТ=
,2
У
У
PN=\yy'\.
НИ),
Найти
длины касательной, подкасательной, нор-
мали, поднормали
линии:
y = tg х в точке М
с абсциссой
произвольной точке.
162.	Найти линии, у которых длина поднормали посто-
янна и равна k.
163.	Найти линии, у которых длина подкасательной
постоянна и равна k.
164.	Показать, что единственными линиями, у которых
длина нормали есть величина постоянная, являют-
ся окружности с центрами на оси Ох.
165.	Найти линии, у которых длина касательной есть
постоянная величина а.
166.	Показать, что площадь S, ограниченная трактрисой
(см. ответ задачи 165) и осью абсцисс, конечна.
167.	Пусть касательная к линии г=г(ср) в точке М пе-
ресекает прямую, проходящую через полюс и пер-
пендикулярную к радиус-вектору точки касания,
в точке Т, а нормаль — в точке N. Доказать, что
длины полярной касательной /И7\ полярной нор-
мали MN, полярной подкасательной ОТ и поляр-
ной поднормали ON выражаются формулами:
от=
МТ=
MN=)I
г2
ON=\r'\.
168.	Найти линии, у которых длина полярной подкаса-
тельной постоянна и равна k.
169.	Найти линии, у которых длина полярной поднор-
мали постоянна.
32 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
170.	Найти линии, у которых длина полярной нормали
постоянна и равна /г.
171.	Через фокус параболы проведена хорда, перпенди-
кулярная ее оси. Доказать, что касательные к па-
раболе, проведенные в точках пересечения этой
хорды с параболой, взаимно перпендикулярны.
172.	Доказать, что касательная к линии
х = а(1 — cos Z), у = а([ — sin Z)
образует вместе с осями координат треугольник,
периметр которого не зависит от точки касания.
173.	Показать, что касательная к циклоиде в произволь-
ной точке проходит через высшую точку произво-
дящего круга, а нормаль — через низшую. Поль-
зуясь этим свойством, указать способ построения
касательной и нормали в любой точке циклоиды.
174.	Показать, что проекция ординаты произвольной
точки цепной линии
у = а ch
х
а
на нормаль в этой точке является величиной по-
стоянной, равной параметру а цепной линии.
Указать следующий из этого свойства простой спо-
соб построения касательной и нормали цепной
линии в произвольной точке.
175.	Доказать следующий способ построения касатель-
ной к цепной линии: на ординате MN точки М, как
на диаметре, строим полуокружность, обращенную
выпуклостью к оси ординат; находим на этой полу-
окружности точку Р, такую, что NP = a; прямая
МР — касательная к цепной линии в точке М.
176.	Показать, что касательная в произвольной точке
Afo(xo, t/o) цепной линии
у=а ch
а
параллельна одной из касательных, проведенных
из точки Т оси Оу, ордината которой уо, к окруж-
ности радиуса а с центром в начале координат.
§ 2 КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ
33
177.	Показать, что касательная к цепной линии в точке
о/гэ, */о) перпендикулярна прямой ЛК, где А —
вершина цепной линии, а К — точка на оси Ох,
находящаяся по ту же сторону от оси ординат, что
и точка Р, и АК—Уо. Получить отсюда геометри-
ческий способ построения касательной.
178.	Доказать, что длина отрезка касательной к астро-
иде
2	2	2
X 3 А~У * =Я 3 ,
заключенного между осями координат, равна а.
179.	Показать, что касательные к лемнискате Бернулли
r2=2a2 cos 2<р,
проведенные в концах хорды, проходящей через
полюс полярной системы координат, параллельны.
180.	Доказать, что каждая касательная пересекает
астроиду в двух точках, касательные в которых
пересекаются в точке, лежащей па описанной около
астроиды окружности.
181.	Если па всех нормалях линии С отложить по одну
сторону от нее постоянный отрезок а, то геометри-
ческое место концов таких отрезков образует новую
линию С*, которая называется параллельной по
отношению к данной.
Доказать, что нормаль линии С будет также нор-
малью линии С*.
182.	Доказать, что для того, чтобы две линии в общей
точке имели соприкосновение порядка не ниже
первого, необходимо и достаточно, чтобы они име-
ли общую касательную.
183.	Доказать, что линия
y = ehx sjn пгх
касается каждой из линий
y = ehx и y = —ekx
во всех общих с ними точках.
> Зак 214
4
34 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
184,	Найти порядок‘соприкосновения в начале коорди-
185. нат следующих линий:
(184	) y = sin х и y = tgx;
(185	) у=х3 и у = х sin х.
186.	Доказать, что линии
Z/ = Sin х и z/=x4-~х3-\-х
6
имеют в начале координат соприкосновение треть-
его порядка.
187.	Выяснить, какой порядок соприкосновения имеют
линии
*2+#2—6х~6г/+10 = 0 и х-\~У у—2 = 0
в точке А (1, 1).
188.	Найти уравнение параболы вида
y — x2A-ax-{-^f
касающейся окружности
х2±у2=2
в точке М (1, 1).
189.	Найти уравнение окружности, имеющей в начале
координат с параболой
г/=х2
соприкосновение второго порядка.
190.	Доказать, что линия
(х2—Зу2)х—3(х2+у2) =0
касается окружности
x2-j-y2=9
в трех равноотстоящих одна от другой точках.
Найти эти точки.
191.	Составить уравнение параболы, имеющей с линией
z/=ln х
§ 3 АСИМПТОТЫ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
35
в точке (1, 0) наивысший порядок соприкоснове-
ния.
192.	Найти гиперболу, касающуюся вершиной линии
У= 1— COS X
в начале координат и имеющую наивысший поря-
док соприкосновения.
193.	Найти линию
у = a0+aix4-a2*2+ ... -\-апхп,
имеющую с данной линией y = f(x) в точке
А (0, f(0)) соприкосновение n-го порядка.
194.	Найти уравнения эллипса, гиперболы и параболы,
вершины которых совпадают с вершиной А (л/?, 2R)
циклоиды
x=R(t~sin /), r/=/?(l—cos /)
и которые имеют с циклоидой наивысший порядок
соприкосновения.
§ 3. Асимптоты. Особые точки. Исследование
и построение линий
Если линия
%=%(/), y=y(t)	(1)
допускает асимптоту при t-+t0, уравнение которой
Y—kX-\-b,
< -
то
z/(Z)
fe=lim——, b —	— kx(f)').
Если линия (1) допускает вертикальную асимпто-
ту, то уравнение последней имеет вид
х=а,
где a=lim %(/), lim y(t) =<х>,
t-Ио
36	] .ЛАНА 2 ПЛОСКИ] ЛИНИИ
Точка М линии называется обыкновенной, если
в окрестности этой точки линия может быть задана
уравнением
7=7(0,
где функция г(7) непрерывно дифференцируема,
и в точке М г'У=0. В противном случае точка на-
зывается особой.
Пусть — первая отличная от нуля производная
в точке М и № — первая из производных, неколли-
неарных вектору Тогда возможны следующие
случаи:
1)	р — нечетное,
2)	р — нечетное,
3)	р — четное,
4)	р — четное,
q — четное;
q — нечетное;
q — нечетное;
q — четное.
В первом случае линия в окрестности точки М
имеет такой же вид, как и в окрестности обыкно-
венной точки. Во втором случае точка М является
точкой перегиба. В третьем случае точка М назы-
вается точкой возврата первого рода. В ее окрест-
ности линия ведет себя так, как показано на рис. 1.
В четвертом случае точка М называется точкой
возврата второго рода. В ее окрестности линия
имеет такой вид, как на рис. 2.
Точка линии, заданной уравнением
е
F(x, z/)=0,	(2)
СНМНГО1Ы ОСОБЫЕ ТОЧКИ
37
называется обыкновенной, если в ес окрестности
линия может быть представлена уравнением
y=f(x). В противном случае точка линии (2) на-
зывается особой. Особыми могут быть только те
точки, в которых
Fx(x, у')=0, Fv(x,y)=0.
Особая точка М линии (2) называется двойной
особой точкой, если в ней по крайней мере одна из
вторых частных производных от функции F(x, у)
отлична от нуля.
Если через двойную особую точку Л4 проходит эле-
ментарная линия, принадлежащая линии (2), и
в этой точке Fyyy=0, то угловой коэффициент k
касательной к этой элементарной линии опреде-
ляется из уравнения
F хх+2 F Xyk+F у yk2 ~ 0.
Если в двойной особой точке выполняется условие
Fxy—FxxFyyX),
то в окрестности этой точки можно выделить две
элементарные линии, проходящие через нее. Такая
точка называется точкой самопересечения.
Если в точке М
2
XX1 у у
О,
то в некоторой ее окрестности, кроме самой этой
точки, не существует-дру-
гих точек, удовлетворяю-
щих уравнению (2). Та-
кая точка называется
изолированной.
Если в точке М
Fxy—FXxFyy = O,
Рис
то она может быть точкой возврата первого или
второго рода или точкой самоприкосновения.
В последнем случае в некоторой окрестности точки
линия имеет вид такой, как на рис. 3.
38 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
Если в особой точке М все частные производные
от функции F (х, у) до (k—1)-го порядка включи*
тельно обращаются в нуль, а среди производных
&-го порядка есть хотя бы одна отличная от нуля,
то М называется особой точкой k-го порядка.
Исследовать линию — значит выявить совокуп-
ность важнейших свойств линии, позволяющих
достаточно точно построить ее график. К важней-
шим свойствам можно отнести наличие или отсут-
ствие особых точек, точек перегиба, асимптот, точек
самопересечения, точек, в которых касательные
параллельны осям координат и в которых линия
пересекает оси координат.
195— Найти асимптоты линий, заданных уравнениями
200. в явном виде:
<195>!'=Лз:	<196)
<197”=^	(198)	«=
X2	, .	*3-Н
(199>	2000=-4--
Л
201 Найти асимптоты линий, заданных уравнениями
203.	в параметрическом виде:
2/	/2
(201)	х—	у=	;
(202)	1 .	,
4 7	/2—1	/—Г
/2	t
(203)	х=-----, «=------.
v ’ t— Г у /2—1
204— Найти асимптоты линий, заданных неявными урав-
206. нениями:
(204)	9х2-|-4у2=х2у2;
(205)	(х2-4)у2=х4;
(206)	а2х2= (лог/2)#2.
§ 3 АСИМПТОТЫ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
39
207,	Найти асимптоты линий, заданных уравнениями
208.	в полярных координатах:
а
(207)	г=—-------(конхоида Никомеда);
sin ср
z ч ч 2а sin2 ф z
(208)	г—----------- (циссоида Диоклеса).
cos ф
209.	Показать, что если существует предельное поло-
жение касательных к линии, когда точка касания
стремится по линии в бесконечность, то это пре-
дельное положение есть асимптота.
210—	Найти асимптоты линий, исходя из определения,
212. приведенного в задаче 209:
(210	) х3-\-у3—Заху = 0 (декартов лист);
(211	) у3+Зу2—х2=0;
(212	) (2а—х)у2=х(х—а)2 (строфоида).
213.	Предположим, что в уравнении алгебраической
линии n-го порядка выделено произведение п ли-
нейных относительно х и у множителей, группа же
остальных членов содержит х и у в степени не
выше п~2, так что уравнение линии может быть
написано в виде
(у—ai%—&i) (у—a2x—62) . . . {у—апх—6П) +
+&п-г(х, у)=0.
Показать, что в таком случае каждое из уравнений
у~щх—bi = 0 (i= 1, 2, ... , ri)
будет изображать одну из асимптот данной линии.
214.	Найти асимптоты линии
ху^—у2) 4-anx24-2ai2xz/-|-a22z/24-2ai%4-2a2f/4-a=0.
215—	Найти особые точки линий:
222.
(215) у2=х3+х2\
(217) у2=х3—х2;
(216) х2=у2+х\
(218) у2(х2—9)=х^
40 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
(219) z/2 = x(%-3)2; -	(220) х2=у{у—2')2’
(221) %2//2=*2+//2;	(222) 4z/2 = x5+5x4.
223— Найти особые точки и написать уравнения каса-
229.	тельных в них для следующих линий:
(223)	(х2+^/2)х—2ау2=(} (циссоида Диоклеса);
(224)	(х2+//2) (у—а)2—12у2—0 (конхоида Никомеда);
(225)	(2(7—%)у‘2 = х(х— а)2 (строфоида);
(226)	(х2+//2)2 —2<72(%2—у2) (лемниската Бернулли);
(227)	(х2+у2—2ах)2=4а2(х2-]-у2) (кардиоида);
(228)	х~acos3t, у = а sin31 (астроида);
(229)	x = a(t—sin /), у~- а (1 — cos /) (циклоида).
230—	Существуют ли касательная и нормаль в указан-
235.	ных точках у следующих линий? Если существуют,
то написать их уравнения:
(230)	х = /2Ц-1, У = №—t5 в точке / —0;
(231)	у—х sin-- в точке х=0;
X
X
(232)	у =-------- в точке х=0;
1 -|-в х
(233)	у= --------— в точке х=1;
(234)	v3-f-z/3—х2—у2 = ^ в точке О (0, 0);
/ 1 \2
(235)	ач/2-}- \ I / в точке А (2, 0).
236.	Показать, что если поместить начало координат
в особой точке кратности k, то разложение функции
F(x, z/)“0 в ряд по степеням х и у начинается
с членов /г-го порядка, и уравнения касательных
в этой точке получим, приравнивай! пулю группу
членов наинпзшего /его порядка.
I АСИМПТОТЫ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
41
237.	Показать, что алгебраическая линия /г~го порядка,
имеющая особую точку кратности п—1, является
уникурсальной.
238.	Показать, что координаты точки перегиба линии,
заданной уравнением F(х, z/) =0, удовлетворяют
уравнению
FxxFy —2FxyFxFy-}-FyyFx =0.
239.	Найти уравнение, которое определяет точки пере-
гиба линии, заданной уравнением г=г(ф) в поляр-
ных координатах.
240—	Исследовать и построить линии, заданные уравне-
247. пнями в явном виде:
у 2	уЗ
,24|,)’=^ <241>’=^
f242) !'=	<243)	1^1 ;
(->44) S=V‘5p!;	(245)
’ оХ	X
1
(246) у=е~х2;	(247) у = ех.
248— Исследовать и построить линии, заданные пара-
263. метрическими уравнениями:
(248) х=——, у= —— (декартов лист);
1-|~/	1—|-г3
,	х	12	/(1-/)
249) х=--------, у= —v-------
7	7	1-|-Z2	J 1+/2
p	/3
(250)	X —------, w—--------;
V 7	14-/2’ J 14-/2’
/2	/(1— /2)
(251)	x=-------y=------------
7	14-/2’ y 14-/2 ’
(252)	x=/2,	—/(3—/2);
3
42 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
(253)
(254)
(255)
(256)
(257)
(258)
(259)
(260)
(261)
(262)
(263)
264—
299.
(264)
(265)
(266)
(267)
(268)
(269)
(270)
(271)
t2	t3
У=^Г2’
__ /2	_ /3
Х= 1—/2’	= 1—/2’
Х = 4/2, t/ = 3/(/2+l);
X=t\ y = t2—t5\
x=z 10(1-0 ’ у=/3;
_ t _ /(1-2/2) .
Х ~ 1—/2’ У ~	1—/2 ’
Х=/2, у= /4 + /5;
_ 5/2	_ 5/3
х— 1+/5’ у~ 1+/5’
(/+2)2	(/-2)2
Х=-Т+Г’ у=^=г;
4/	4/2
1—/4’	1— /4’
л ,	2 cos21
% = 2siiU, У=—-------
2+cos t
Исследовать и построить линии, заданные неявны
ми уравнениями:
^3-//2+1=0;
ху2—у2—4х=0;
X(x2+z/2)_ y2_^x==Q.
5
ху2 = х2-[-2х—
д4.
X4—4x2y2—QX2—4y2— Q-
(х2—у2)2^2х;	е
(л'2—1/2) (х—у) = 1;
§ I АСИМПТОТЫ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
(272)	ху(х—у) -\-х-\-у = 0;
(273)	xv+//=i;
(274)	х3+ху2—х2—г/2=0;
(275)	х2+у2=х2у2;
(276)	х'1—у4-[-х24-2у2=0;
(277)	х3—ху2+х2-\-у2=0;
(278)	(х2-у2)2=а2(х2+у2);
(279)
2
(280)	х(х2—Зу2)— 4(х2+у2)=0;
(281)	х4+у4=х2+у2;
(282)	х3+ху2+х2—у2=0;
(283)	х4+у4+х2—у2=0;
(284)	ху2=(х— I)2;
(285)	x4+y4-2xy=0;
(286)	х2=у24-х4;
(287)	(х+1)(х+2)у2=х2;
(288)	у2=х3—2х2+х;
(289)	(х2+у2)2—ху;
(290)	х34-у3—х2=0;
(291)	х3—27(х—у)2=0;
(292)	х3—ху24-ау2=0;
(293)	х5—х4-(-4х2у—4у2=0;
(294)	х4—х2у4-У3=0;
(295)	х4+х2у2—18х2у+9у2=0;
(296)	х44-у4=8ху2;
(297)	хв—х4+у2=0;
(298)	х4—у4-|-ху=0;
(299)	(х2+у2)3=27х2у2.
44	1 ЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
300— Исследовать и построить линии, заданные уравне-
306. ниями в полярных координатах:
(300)	r=tg
(301)	г2=а2ф,	(спираль Ферма);
(302)	r2q=a2, а^б (жезл);
(303)	г2 — б/2ф4, а---/~() (спираль Галилея);
I
(304)	г~а-\-----, а^0, />0, <р>0;
<Р
(305)	r = a sin а>0;
(306)	r = a sin Зср, я>0 (трехлепестковая роза).
§ 4. Семейство линий. Огибающая
Пусть задано уравнение однопараметрического се-
мейства линий
F(x, у, С) =0,
(1)
где С — параметр. Множество всех точек, удовле-
творяющих системе уравнений
F(x, г/, С)=0, Fc(x,//, С)=0,
(2)
называется дискриминантной линией семейства (1).
Это множество может не удовлетворять определе-
нию линии, данному во введении; например, для
семейства у—С%~0 системе (2) удовлетворяет
лишь одна точка О (0, 0).
Если Fx и Гу в точках дискриминантной линии
одновременно в нуль не обращаются, то дискрими-
нантная линия совпадает с огибающей семейства,
т. е. такой линией, которая в каждой своей точке
касается некоторой линии семейства. В противном
случае дискриминантная ли«ния может не быть оги-
бающей. Этот случай требует дополнительного
исследования.
§ 1 СЕМЕЙСТВО ЛИНИЙ ОГИБАЮЩАЯ
45
307—
309,
(307)
(308)
(309)
310.
311.
312.
313.
314.
315.
Дискриминантная линия семейства, заданного
уравнением в векторном виде
7=7(/, С),
определяется системой уравнений
r=r(t, С), [rz, гс] =0.
Исследовать семейства линий и сделать рисунки:
С2х2+#2=Сх;
x24-2Cz/ = 2xz/;
x=cos и ch v, y^sin и sh v
при a) L’ = const, 6) u = const.
Доказать, что любая линия семейства ф(х, у)=а
ортогональна к любой линии семейства ф(х, у}=Ь
в их общей точке, если выполняется условие
дф (Эф <Эф (Эф
дх дх ду ду
Показать, что семейство линий, ортогональных
к линиям семейства ф(х, у)=а, определяется диф-
ференциальным уравнением
dx dy
(Эф (Эф*
дх ду
Найти семейство линий, ортогональных к пучку
прямых.
Найти семейство линий, ортогональных к семейству
окружностей, касающихся оси Ох в начале коор-
динат.
Найти семейство линий, ортогональных к семейству
парабол
у^=2ах.
Найти семейство линий, ортогональных к семейству
46 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
окружностей, проходящих через две фиксирован-
ные точки.
316— Найти огибающую следующих семейств линий:
324.
(316	) (х-С)Н//2=^2;
(317	) (х-С)Ч-(г/-С)2 = С2;
(318	) х cos С-\-у sin С—р = 0;
(319	) у=(х-С)3;
(320	) f/2_(x_C)3=0;
(321	) //3-(%-С)2 = 0;
(322	) 3(у-С)2~2(х-С)з=0;
(323	) (1 — С2)х-\-2Су—а=0;
(324	) С2(х—а)—Су—а=0.
325.	Найти огибающую семейства прямых, образующих
с осями координат треугольники постоянной пло-
щади S.
326.	Окружность
x2+y2=R2
является огибающей семейства прямых
Ах+Ву+С=0.
Какому соотношению должны удовлетворять коэф-
фициенты Л, В, С?
327.	Найти уравнение огибающей семейства прямых,
на которых лежит отрезок постоянной длины а,
если его концы скользят по осям прямоугольной
системы координат.
328.	Найти огибающую семейства прямых, являющихся
сторонами прямого угла, перемещающегося на
плоскости так, что одна из его сторон проходит
через фиксированную точку F, а прямой угол опи-
сывает: а) прямую; б) окружность.
329.	Прямая вращается с постоянной угловой скоро-
стью вокруг точки, равномерно движущейся по вто-
§ 4 СЕМЕЙСТВО ЛИНИЙ. ОГИБАЮЩАЯ
47
рой прямой. Найтй\ огибающую этого семейства
прямых.
330.	Найти огибающую семейства окружностей радиу-
са г, центры которых описывают окружность ра-
диуса Я
331.	Найти огибающую семейства окружностей, постро-
енных, как на диаметрах, на фокальных радиус-
векторах данной параболы.
332.	Найти огибающую семейства окружностей, постро-
енных, как на диаметрах, на фокальных хордах
параболы
Z/2 — 2рх.
333.	Дан эллипс
х2 у2
—• 4- — =1.
а2 Ь2
На хордах, параллельных одной из осей симметрии,
как на диаметрах, строятся окружности. Найти
огибающую каждого семейства окружностей.
334.	На хордах гиперболы
х2 у2
=1,
параллельных одной из осей координат, строятся,
как на диаметрах, окружности. Найти огибающую
каждого семейства.
335.	Найти огибающую семейства окружностей, постро-
енных, как на диаметрах, на хордах параболы
у2=2рх,
перпендикулярных к ее оси.
336.	Дано семейство парабол параметра р, оси которых
параллельны оси Ох, а вершины описывают пара-
болу
у2 — 2qx.
Найти огибающую этого семейства.
48 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
337.
338.
Манти условия,., которым должны удовлетворять
точки огибающей семейства линий
F(x, у, z, а, Р) =0,
где аир связаны соотношением <р(а? р)=0.
Найти огибающую линий
339.
где p-\-q=\.
Найти огибающую прямых
340.
341.
зная, что параметры а, р связаны соотношением
a = const.
Отметить случаи m = 2, 1, —2.
Из данной точки под разными углами к горизонту
в одной вертикальной плоскости с одной и той же
начальной скоростью l»o выбрасываются материаль-
ные точки. Найти огибающую их траекторий (пара-
бола безопасности).
Радиусы окружности
х2-\-у2=а2
проектируются па оси координат. На проекциях,
как на полуосях, строятся эллипсы. Найти огибаю-
щую этого семейства эллипсов.
§ 5.
Длина дуги. Кривизна. Формулы Френе
Длина дуги (натуральный параметр) линии, задан-
ной уравнениями (6), (7), (15) введения, вычис-
ляется соответственно по формулам:
<2
s = J ]/ х/2-\-у'- clt,	•
о
§ 5 ДЛИНА ДУГИ КРИВИЗНА ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
49
х2
s = J у 1 -\-у'2 dx,
Xi
<Р2
s — J у r2-]-r2 dtp.
<₽1
Кривизна линии, заданной уравнениями (6), (7),
(15) введения, вычисляется соответственно по фор-
мулам:
(1+г2Й
[Г2_|_Г2] 2
Соприкасающейся окружностью линии в заданной
точке называется окружность, имеющая с линией
соприкосновения не ниже второго порядка. Центр
соприкасающейся окружности, который называется
также центром кривизны линии в заданной точке,
расположен на нормали, проведенной в данной
точке, с той стороны от касательной, где располо-
жена линия. Ее радиус, называемый также ради-
усом кривизны линии в заданной точке, находится
по формуле /?=	. Круг, ограниченный соприка-
/ V
сающейся окружностью, часто называют кругом
кривизны линии.
Формулы Френе линии имеют вид
dt —
=kn,
ds
dn
ds
50 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
где t — единичный вектор касательной, п — еди-
ничный вектор нормали линии.
342— Вычислить длину дуги между двумя точками Mi
349. и М2 следующих линий:
(342) у=хэ/>;
(344) у==1пх;
(346) у = ех\
с(343) у=х*\
(345) r/ = ach—;
а
(347) у=1п-^±р;
(348) x=a(cos t-[-t sin t), y = a(sin t—t cos t);
/ t \
v (349) x=a ( In tg— 4-cos t ) , y = a sin t.
350—
355.
(350)
(351)
(352)
(353)
(354)
Вычислить длину дуги между указанными точками
следующих линий:
y=lncosx; Xi — 0, х2= —;
У=
У—
In х;
Xi ——
sh 2/,
точки пересечения с осью Ox;
Xi=l,
(355	) х=8аР, у=3а(2/2—/4); /1=0, /2=У 2.
356.	Найти длину дуги линии
у2=х3,
отсеченной прямой х=5.
357.	Найти длину дуги параболы
Ф
r=a sec2—-
2
отсекаемой осью Оу.
§ 5 ДЛИНА ДУГИ. КРИВИЗНД ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
51
358.	Найти длину одной дрки циклоиды.
359.	Найти длину одной ветви эпициклоиды (гипоцик-
лоиды).
360—	Найти длину всей линии:
364.
2	2	2
(360) х34-#3=аз.	. (361) x=acos5/, у=а sin51\
(362) г=а (1 +cos ср);	(363) r = a cos4-^-;
(364) r=asin3-y.
365.	Найти длину дуги первого витка спирали Архи-
меда
г=аф.
366.	Показать, что длина дуги логарифмической спи-
рали
г=саФ
от произвольной точки до полюса равна длине
полярной касательной, проведенной к спирали
в этой точке.
367.	Найти уравнение линии, длина дуги которой, от-
считываемая от некоторой фиксированной точки А
до произвольной точки Л4, пропорциональна угло-
вому коэффициенту касательной, проведенной
в конце дуги.
368.	Доказать, что длина дуги цепной линии
, х
у = а сп —
а
от ее вершины до некоторой точки равна проекции
ординаты этой точки на касательную, проведенную
в этой точке.
369.	Показать, что площадь, ограничиваемая цепной
линией, двумя ординатами ее точек и осью абсцисс,
пропорциональна длине соответствующей дуги,
причем коэффициентом пропорциональности слу-
жит параметр цепной линии а.
52 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИЙ
370.	Доказать, что произведение длин дуг, отсчитывае-
мых от вершины цепной линии до точек касания
двух взаимно перпендикулярных касательных, яв-
ляется величиной постоянной.
371.	Составить параметрические уравнения окружности,
взяв за параметр длину дуги.
372.	Составить параметрические уравнения цепной
линии
у = a ch
х
а ’
приняв за параметр длину дуги, отсчитываемую от
вершины в сторону положительных абсцисс.
373—	Найти кривизну следующих линий:
386.
(373) 4/ = sinx;	(374) y = ach—;
CL
(375) z/2=2px;	(376) x = t2, y = t*;
(377)	x = acosZ, y = b sin /;
(378)	x=a ch/, y-~bsht\
(379)	x = a(t—sin/), y — a(\ — cos /);
(380)	x=a(l-|-m)cos mt—am cos (1 -\-m)t,
у = a(14-m)sin mt—am sin(14-m)/;
(381)	%=acos3Z, y = a sin3t;
(382)	x= a(cos t-\-t sin /), r/ = a(sin t—t cos Z);
(383)	r=a<p;	(384) r = aeh^
(385) r = 4z(l+cos <p);	(386) r2 = a2 cos 2cp.
387. Найти кривизну линии, заданной
^(х, у) =0.
уравнением
388— Найти кривизну следующих линий:
390.
(388)
') ДЛИНА ДУГИ КРИВИЗНА ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
53
(389)
%2	у2
а2	Ь2
(390	) х3 = у2(<2а—х).
391.	Вычислить кривизну линии
z/=x4
в точке О (0, 0).
392.	Вычислить кривизну линии
(а:—у)2—%5
в точке О (0, 0).
393.	Линии даны своим дифференциальным уравнением
Р(х, y)dx+Q(x, y)dy=0.
Найти их кривизну.
394.	Доказать, что в произвольной точке линии
, г 2fl
k = hm —
As->0 A»S
где h — расстояние от точки линии при значении
параметра s+As до касательной, проведенной
в точке линии при значении параметра $.
395.	Доказать, что в соответствующих точках парал-
лельных линий С и С* имеют место соотношения:

где /?, s и /?*, $*— радиус кривизны п длина дуги
соответственно линий С и С*.
396.	Доказать, что кривизну линии можно найти сле-
дующим образом:
где do — дифференциал дуги параллельной линии.
54 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
397.	Доказать, что радиус кривизны кардиоиды
r=2a(l—cos ср)
в любой точке равняется 2/3 длины полярной нор-
мали в той же точке. Указать построение центра
кривизны для любой точки кардиоиды.
398.	Доказать, что радиус кривизны параболы
х2
равен
cos3 а
где а — угол наклона касательной к оси абсцисс.
399.	Доказать, что радиус кривизны логарифмической
спирали
г=саУ
в любой точке равен длине полярной нормали для
этой точки. Используя это свойство, дать построе-
ние соприкасающейся окружности в любой точке
логарифмической спирали.
400.	Вычислить радиус кривизны и указать способ по-
строения центра кривизны в произвольной точке
трактрисы
401.	Доказать, что отрезок, соединяющий произвольную
точку циклоиды с центром кривизны, соответствую-
щим этой точке, делится базой циклоиды пополам.
Указать вытекающий отсюда способ построения
центра кривизны для любой точки циклоиды.
402.	Показать, что ордината люб^рй точки цепной линии
есть средняя пропорциональная между ее пара-
метром и радиусом кривизны в этой точке.
§ 5 ДЛИНА ДУГИ. КРИВИЗНА ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
55
403.	Показать, что радиус кривизны лемнискаты Бер-
нулли
r2=2a2 cos 2ф
в любой ее точке в три раза меньше длины поляр-
ной нормали в этой точке. На основании этого
свойства указать способ построения центра кри-
визны в произвольной точке лемнискаты.
404.	Дать геометрический способ построения центров
кривизны, соответствующих вершинам эллипса.
405.	Написать уравнения соприкасающихся окружно-
стей в вершинах Л (а, 0), В(0, Ь) эллипса.
406.	Написать уравнение соприкасающейся окружности
линии
у = sin %
в точке А
407.
Найти соприкасающуюся окружность равносто-
ронней гиперболы
•Ч/=1,
радиус которой имеет минимальное значение.
408—	На следующих линиях найти точки, в которых кри-
411. визна принимает экстремальное значение:
(408)	у = ех;
(409)	x = at—dshxt, у = а—d cos t\
(410)	fx+lXj==fa-,
(411) r=asin3
412.	Показать, что разность между длиной дуги и хор-
дой, соединяющей две бесконечно близкие точки М
и М' линии, третьего порядка малости относительно
дуги и равна *
ММ'—ММ'=
(As)3
24г2
где г — радиус кривизны.
56 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
413.	Доказать, что для того, чтобы две линии в общей
точке имели соприкосновение порядка не ниже
второго, необходимо и достаточно, чтобы они имели
общую касательную и равные кривизны.
414.	Пусть линии и /2 имеют в общей точке М касание,
в окрестности этой точки расположены по одну
сторону от касательной I и	где &i, й2—
кривизны линий /1 и /2 в точке М. Доказать, что
в окрестности точки М линия li объемлет линию /2.
415.	Пусть С — окружность, расположенная относи-
тельно касательной к линии в заданной точке с той
же стороны, что и соприкасающаяся окружность
С* линии. Если радиус г окружности С больше ра-
диуса г* окружности С*, то в окрестности точки
касания окружность С объемлет данную линию.
Если то окружность С объемлется этой ли-
нией. Доказать.
416.	Показать, что в точке линии, в которой радиус кри-
визны имеет максимум или минимум, линия имеет
с соприкасающейся окружностью соприкосновение
не ниже третьего порядка.
417.	Найти координаты центра и радиус соприкасаю-
щейся окружности параболы
ip=2px.
В какой точке параболы окружность имеет с ней
соприкосновение третьего порядка?
418.	Доказать, что если в окрестности точки А кривизна
линии меняется монотонно, то в направлении воз-
растания радиуса кривизны линия выходит из кру-
га кривизны, а в направлении убывания радиуса
кривизны — входит в него.
419.	Если в точке А радиус кривизны имеет максимум,
то линия в окрестности точки А лежит внутри круга
кривизны. Доказать.
420.	Если в точке А радиус кривизны имеет минимум,
то линия в окрестности точки А лежит вне круга
кривизны. Доказать.
421.	Найти параболу	в
у=ах^ЬхА-с,
' Ь ЭВОЛЮТЫ И ЭВОЛЬВЕНТЫ
57
имеющую с синусоидой у=sin х в точке А
общие касательную и кривизну.
422.
Окружность
л
Р
х2+у2=5
является соприкасающейся в точке /1(1,2) к па-
раболе, ось которой параллельна оси Ох. Найти
уравнение этой параболы.
423.	Окружность
х2+у2=5
является соприкасающейся в точке Л (1, 2) к па-
раболе, ось которой параллельна оси Оу. Найти
уравнение этой параболы.
6.	Эволюты и эвольвенты
Эволюта, т. е. геометрическое место центров кри-
визны линии, заданной уравнениями (6) введения,
имеет уравнения
Эвольвентой данной линии L называется линия L*,
по отношению к которой L является эволютой.
Если линия L задана уравнением r=r(s), то урав-
нение семейства ее эвольвент имеет вид
р —/'+ (ос—s) /,
где I — единичный вектор касательной линии L,
а а — произвольный параметр.
424.	Что представляет собой эволюта окружности?
425—	Составить уравнения и начертить графики эволют
434. следующих линий:
(425) х=a cost, y = b sin t;
(12G) A' = tzch/, y = b sh t;
58 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
(427)	у=х2;
(428)	y=x2h, k — натуральное число, большее единицы;
(429)	y—x2h+i, k — любое натуральное число;
(430)	у=1пх;
(431)	t/ = sinx;
(432)	i/=tgx, -у<х<у;
(433)
у=а sin /;
(434)	г— (1 +cos ф).
435.
436.
437.
Доказать, что эволюта циклоиды есть циклоида,
конгруэнтная данной.
Показать, что эволюта астроиды есть астроида,
подобная данной, с коэффициентом подобия 2,
повернутая относительно данной на угол
л
Т'
Показать, что эволютой логарифмической спирали
г=сс№
является логарифмическая спираль, полученная из
данной поворотом вокруг полюса на некоторый
угол.
438. Найти такое условие для параметра а логарифми-
ческой спирали
г=саУ,
чтобы эволюта спирали совпала с самой спиралью.
439. Составить уравнения эвольвент окружности
X2-|-Z/2—-а2
и сделать рисунок.
440. Составить уравнение и сделать рисунок эвольвенты
цепной линии
у = а ch
%
>
а
проходящей через ее вершину.
ПЛЮРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
59
111.
142—
144.
(442)
(ИЗ)
(144)
§ 7.
Составить уравнения эвольвент параболы
% = /,	Ц=--^2.
4
Найти длины дуг нижеперечисленных линий, пред-
ставляя эти линии в виде эволют некоторых других
линий:
астроиды
х = а cos3 /, у = а sin31\
одной арки циклоиды
х=a(t—sin /), у = а(1— cos /) ;
кардиоиды
Г = ^(14-С03ф).
Натуральные уравнения
В этом параграфе будем приписывать кривизне
линии определенный знак, вычисляя ее по формуле
А 1 da
= ~R=~W’
где а — угол, который образует касательная к ли-
нии с осью Ох.
Натуральными уравнениями линии называют урав-
нения вида:
k = k(s')f '
F(k, s) ===0,
k = k(t), |
s = s(/). J
Если заданы натуральные уравнения линии, то
уравнения линии в параметрическом виде будут:
х= J cos a(s)ds, у= J sin a(s)ds,
60	1 ЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
445—
449.
(445)
(447)
(448)
(449)
450—
454.
(450)
(452)
(454)
455.
Составить натуральные уравнения следующих
линий:
з
У=х*;	(446) у = 1пх;
x=a(cos l-^-l sin /), у—a(sin t—t cos /);
/ t	\
x=a (In tg — +cos t I, y—a sin /;
r=a(14-cos ф).
Какие линии определяются следующими натураль-
ными уравнениями:
k = a;	(451) R = as\
6/2—1— с 2
7?=—^ ;	(453) s2+/?2=16a2;
a
Пусть I — некоторая линия, касающаяся в начале
координат оси Ох, и F(k, s)=0 — ее натуральное
уравнение, причем s отсчитывается от точки каса-
ния. Если покатить линию I по оси Ох и для каж-
дой точки касания на нормали в сторону вогнуто-
сти линии I отложить отрезок, равный радиусу
кривизны линии в этой точке, то геометрическое
место этих центров кривизны будем называть раз-
верткой эволюты данной линии. Доказать, что
уравнение развертки эволюты имеет вид
456.
457.
Найти развертку эволюты логарифмической спи-
рали
r=cav.
Показать, что разверткой эволюты астроиды
2	2	2	е
X 3	3 — а 3
S РЛ nibii: ЗАДАЧИ
61
является эллипс
/ 3 \2
4х2+г/2= ( — а) .
&
458.	Показать, что развертка эволюты циклоиды есть
окружность, радиус которой в четыре раза больше
радиуса производящей окружности.
459.	Доказать, что развертка эволюты цепной линии
есть парабола.
460—	Составить параметрические уравнения линий, для
464. которых:
(460) R sin3 а = а\	(461) R = aea;
(462) R = aa;	(463) s=atga;
(464) s = acosa, а — постоянная.
§ 8. Разные задачи
465. Подэрой данной линии С относительно данной
точки Р называется геометрическое место основа-
ний перпендикуляров, опущенных из точки Р на
касательные к линии С. Составить уравнение подэ-
ры линии r=r(t) относительно точки с радиус-
вектором г0.
466— Найти подэры следующих линий:
470.
(166) эвольвенты окружности
x~6z(cos t-\-l sin /), у = ci (sin t—t cos t)
относительно начала координат;
(167) астроиды
2	2	2
х 3 -\-у 3 = а 3
относительно начала координат;
( 168) параболы
у2=2рх
62 ГЛАВА 2 ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
относительно ее вершины;
(469) эллипса
относительно начала координат;
(470) окружности
*2+//2—-2ах=0
относительно начала координат.
471.	Найти линию, для которой парабола
t/2=2p*+p2
служит подэрой относительно фокуса параболы.
472—	Катакаустикой данной линии называется огибаю-
474. щая лучей, отраженных этой линией. Найти ката-
каустику следующих линий:
(472)	окружности
х2-\-у2—=а2,
когда лучи параллельны оси абсцисс;
(473)	окружности
х2+у2=2ах,
когда лучи исходят йз начала координат;
(474)	параболы
у2=2рх,
когда лучи параллельны оси ординат.
475.	Найти траекторию, описываемую полюсом лога-
рифмической спирали
г=сач
при ее качении по прямой.
476.	Найти траекторию фокуса параболы
х2=2р«/
при качении параболы по оси абсцисс.
§ 8 РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
63
477.	Доказать, что циклоида является изохронной ли-
нией. Это означает, что если арку циклоиды рас-
положить в вертикальной плоскости вершиной А
вниз, то время, затрачиваемое материальной точ-
кой на передвижение по циклоиде под действием
силы тяжести Земли из некоторого начального по-
ложения М до вершины Л, не зависит от началь-
ного положения материальной точки.
478.	Через некоторую точку А плоскости проведены
всевозможные касательные к логарифмической
спирали
г=саф.
Показать, что все точки касания лежат на окруж-
ности, проходящей через полюс спирали и точку А.
Найти диаметр этой окружности.
479.	Найти длину всей эволюты эллипса с полуосями
а и Ь.
480.	Выразить радиус кривизны k данной линии и ее
дугу s через радиус кривизны р и дугу а эволь-
венты.
481.	Зная натуральное уравнение
_ s2
R = а-\--
а
цепной линии, составить натуральные уравнения ее
эволюты и эвольвенты.
482.	Выразить кривизну линии, описываемой концом
единичного вектора касательной t линии
r=r(s),
через кривизну k этой линии.
483.	Найти линии, проекции радиуса кривизны R кото-
рых на ось ординат постоянны и равны а.
Глава 0
Пространственные линии
§ 9. Уравнения линии
484.	Точка М вращается равномерно вокруг некоторой
прямой и равномерным движением переносится
параллельно этой прямой. Линия, описываемая
точкой 7И, называется винтовой. Приняв указанную
прямую за ось Ог, написать параметрические урав-
нения винтовой линии. Найти се проекции па ко-
ординатные плоскости.
485.	Точка М движется вдоль образующей прямого
кругового цилиндра со скоростью, пропорциональ-
ной пройденному пути; при этом цилиндр вращает-
ся вокруг своей оси с постоянной угловой скоро-
стью. Найти параметрические уравнения траекто-
рии точки М.
486.	Поверхность сферы радиуса R пересечена круглой
цилиндрической поверхностью, диаметр которой
равен радиусу сферы, и одна из образующих про-
ходит через центр сферы. Линия пересечения ука-
занных поверхностей называется линией Вивиани.
Составить ее уравнения в неявном и параметриче-
ском видах.
487.	Прямая OL, не перпендикулярная оси Ог, равно-
мерно вращается вокруг нее с постоянной угловой
скоростью со. Точка М. движется по прямой OL\
а) со скоростью, пропорциональной расстоянию
ОМ подвижной течки до точки О; б) с постоянной
скоростью. В первом случае точка М описывает
коническую спираль, во втором — коническую вин-
товую линию. Написать параметрические уравне-
ния этих линий.
488.	Оси двух цилиндров с радиусами а и Ь пересекают-
ся под прямым углом. В пересечении цилиндров
образуются две замкнутые линии, совокупность
которых называется бицилиндрикой. Записать не-
явные уравнения бицилиндрики, указать одно из
параметрических представлений. Какие линии по-
лучаются в случае а=Ь?
§ 9 УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
65
489.	Показать, что линия
аЧ2
x=atcost, u = at sin /, z = —-—
y	2p
лежит на параболоиде вращения и что ее проекция
на плоскость хОу является спиралью Архимеда.
490.	Найти проекции линии
x=t, y = t2, z=t3
на координатные плоскости.
491.	Показать, что линия
x=ach /, y=bsht, z=ct
лежит на гиперболическом цилиндре. Найти ее
проекции на координатные плоскости.
492.	Найти проекцию на плоскость хОу линии пере-
сечения гиперболического параболоида
z=x2—y2
и плоскости
х+у—г~1 =0.
493.	Найти проекцию на плоскость yOz линии пере-
сечения эллиптического параболоида
х=y2^z2
и плоскости
х—2//+4г—4 — 0.
494.	Доказать, что проекцией на плоскость yOz линии
пересечения эллиптического параболоида
Х = Г/2_|_г2
и плоскости
х~ 2y+4z—4 = 0
является окружность радиуса R = 3 с центром
в точке М (0, 1, —2).
<лк 214
66 ГЛАВА 3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
495.	Доказать, что проекцией на плоскость хОу линии
пересечения эллиптического параболоида
z=x2-}-2y2
и плоскости
2х—4y+z—1=0
является эллипс. Найти параметры этого эллипса.
496.	Найти проекцию на плоскость xOz линии пересе-
чения конуса
yt=xz
и плоскости
х— //+^+1=0.
497.	Показать, что линия
x=atg/, y=bcost, z=b sin i
расположена на гиперболическом параболоиде.
Найти проекции этой линии на координатные пло-
скости.
498.	Написать векторные уравнения проекций линии
на координатные плоскости.
499.	Показать, что линия
x=acos3/, у = а sin31, z=a cos 2t
лежит на ограниченной части цилиндрической по-
верхности, направляющая которой — астроида,
а образующая параллельна оси Oz.
500.	Линию
x=t, y = t2, z=el
представить как пересечение двух поверхностей.
501.	Показать, что линия
е
x = sin2<p, у~\~—cos 2ф, z=2cos(p
§ 10 СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК. ДЛИНА ДУГИ
67
лежит на сфере и является линией пересечения
параболического и кругового цилиндров.
502.	Показать, что
х — а sin 0 cos ср, у = а sin 0 sin ф, z=acos0,
где 0 = 0 (ф), есть линия, лежащая на сфере.
503.	Показать, что линия
х=а sin21, y = b sin t cos t, z=ccost
лежит на эллипсоиде.
504.	Показать, что линия
(о, 4-. °)
&
лежит на сфере с центром в точке С
Найти радиус этой сферы.
505.	Показать, что линия
x=/cos£, y = /sinZ, z=ct
лежит на круговом конусе.
506.	Что получается в пересечении однополостных
гиперболоидов
х2—y2-\-z2= 1 и z/2-|-z2—х2= 1?
§ 10. Сопровождающий трехгранник. Длина дуги
Пусть линия задана уравнениями
7=7(0
или
х=х(/), z/=y(O, z=z(/).
Запишем уравнения ребер и граней сопровождаю-
щего репера Френе.
Уравнения касательной
7?=7-|-ХР,
68 ГЛАВА 3 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
где — радиус-вектор текущей точки касательной,
или
Х—х   У—у	Z—z
х'	у'	z' ’
где X, У, Z — координаты вектора R.
Уравнения главной нормали:
/? = г+А[[г'г"]г']
или
Уравнения бинормали:
R = r-|-% [г'г"]
или
X—х
У' г'
y"z"
У-у
z' х'
Z—z
х' у'
х"у”
Уравнение соприкасающейся плоскости:
(/?—г, г', г") =0
или
X—-х У—у Z—z
х' у' г'
х” игг г"
Уравнение нормальной плоскости:
(^-F)P=0
§ 10 СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК. ДЛИНА ДУГИ
69
ИЛИ
(Х-х)х'+ (Y—y) у'+ (Z~z) г'=0.
Уравнение спрямляющей плоскости:
(/?—г, г', \г' г"]) =0
или
X—х
х'
у' %'
y"z"
Z—z
z'
xr yr
X"y"
iV
Единичные векторы касательной, главной нормали
и бинормали находятся по формулам:
Длина дуги линии, или натуральный параметр,
определяется формулой
t
s = Jу x'2-Yy'2-\-z'2 dt.
to
507— Составить уравнения касательных к следующим
509. линиям в указанных точках:
л
(507) x=sec/, i/ = tg t, z—at при t— —;
(.508) х—е*, y—e-t, z—t2 при/==1;
(509	) x — etQost, у — sin tf z~e* при t~Q.
510.	Составить уравнения касательной к линии
I
x=a(t—sin 0, у=а(1—cos/)> z=4asin —
л
в точке t= Какой угол образует эта касатель-
ная с осью Oz?
70 ГЛАВА 3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
511.	В каких точках* касательная к линии
x=3t—/3, y = 3t2, z=3t+t3
параллельна плоскости
3x+y+z+2 = 0?
512.	Составить уравнения касательной прямой и нор-
мальной плоскости винтовой линии
x=2cos/, y = 2sin/, z=4t'
в точке t=0.
513.	Задана линия
x=t, y=t2, z—t3.
Написать уравнения касательной прямой и нор-
мальной плоскости в точке t=\. Какая линия
получается в пересечении картельных с плоско-
стью хОу?	у
514.	Найти геометрическое место точек пересечения
касательных к линии
x=acos/, r/ = —-asin/, z=bet
с плоскостью хОу.
515.	Составить уравнение касательной к линии
x—acht, y = asht, z=ct
в ее произвольной точке.
516.	Доказать, что линия
t	i	t
У 2	у 2	у~2
х=е cos/, у = е sin/, z=e
лежит на конусе
Х2_|_у2=г2
и пересекает его образующие под углом 45°.
517.	Написать уравнения касательной прямой и нор-
мальной плоскости к лийии Вивиани (см. зада-
чу 486).
II) СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК. ДЛИНА ДУГИ
71
518.	Определить наименьший угол, образуемый линией
Вивиани с осью цилиндрической поверхности, на
которой она взята.
319.	Сферической индикатрисой линии называется гео-
метрическое место концов единичных векторов
касательных, отложенных от начала координат.
Найти сферическую индикатрису винтовой линии.
320.	Показать, что если все нормальные плоскости про-
странственной линии проходят через фиксирован-
ную точку, то линия лежит на сфере (такие линии
называются сферическими).
521.	Составить уравнения касательной прямой и нор-
мальной плоскости линии, заданной пересечением
двух поверхностей:
^(х, у, z) =0, Ф(х, у, z) =0.
522.	Записать уравнения касательной прямой и нор-
мальной плоскости линии
х2 = 2яг,
в произвольной точке.
523.	Найти уравнение нормальной плоскости в произ-
вольной точке линии
%2+f/2—22= 1,	X2—f/2—Z2 = 1.
524.	Найти уравнение нормальной плоскости в произ-
вольной точке линии
*ЧН/2=1, </2+г2=1.
525.	Показать, что нормальные плоскости линии
x=asin2/, у = a sin t cos t, z=acost
проходят через начало координат.
526.	Доказать, что соприкасающуюся плоскость линии
1 в заданной точке Мо можно определить одним из
следующих условий:
а)	плоскость векторов г'(/о) и г"(/о), если они не-
коллинеарны;
72 ГЛАВА 3 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
б)	предельное Положение плоскости, проходящей
через три бесконечно близкие точки Л10, Mi, М2
линии, когда точки Mi, М2 стремятся к точке Л40;
в) предельное положение плоскости, проходящей
через касательную М0Т и точку Mi, которая, оста-
ваясь на линии, стремится к точке Л40;
г) плоскость, имеющая с линией в точке Мо каса-
ние не ниже второго порядка (определение касания
линии с поверхностью см. в § 14).
527.	Доказать, что если все соприкасающиеся плоско-
сти некоторой линии проходят через фиксирован-
ную точку, то эта линия плоская.
528.	Найти соприкасающиеся плоскости линии
x = t, у — t2, z=t3,
проходящие через точку MQ (2,---— — б) .
о
529.	Показать, что прямая, проведенная из произволь-
ной точки М линии
х = t, y=t\ z=t3
I
параллельно плоскости z=0 до встречи с осью Oz,
лежит в соприкасающейся плоскости точки М.
530.	Написать уравнение соприкасающейся плоскости
линии
x=cos31, y = sin3t, z = cos2Z
в ее произвольной точке.
531.	-. Составить уравнение соприкасающейся плоскости
линии
x=tcost, у= — £ sin £, z=at
в начале координат.
532.	Написать уравнение соприкасающейся плоскости
линии
x=acos^, y = bsin/, z^e1
в точке t—0.
•; К) СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК ДЛИНА ДУГИ
73
533.	На бинормалях линии
x = cosacos/, z/ = cos a sin t, z=/sina
в положительном направлении отложены отрезки
постоянной длины, равной единице. Написать
уравнение соприкасающейся плоскости новой
линии.
534.	Составить уравнение соприкасающейся плоскости
линии пересечения сферы
x24-z/2-|-z2=9
и гиперболического цилиндра
X2 — у2 = 2
в точке М (2, 1, 2).
535., Доказать, что линия
%=e*cos/, ty = ef sin t, z=2t
расположена на поверхности
x2-f-y2-—ez = 0
и ее соприкасающаяся плоскость совпадает с каса-
тельной плоскостью поверхности.
536— Составить уравнения главной нормали и бинор-
539. мали следующих линий в указанных точках:
(536	) х=/, у = /2, z=e* при / = 0;
(537	) х = /, y = t2, z—t2 при /=1;
(538	) х = у2, x2=z в точке М (1, 1, 1);
(539	) xy = z2, x2-\-y2 = z2-\-l в точке М (1, 1, 1).
540.	От каждой точки линии
x — a(t—sin /), у — а(\— cos Q, z = 4asin —
t	2
на главной ее нормали отложен отрезок длины
а у 1+sin2
74 ГЛАВА 3 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
Доказать, что геометрическое место концов этих
отрезков есть синусоида.
541.	Найти точки на линии
в которых бинормаль параллельна плоскости
_^_|_8г+2 = 0.
542.	На бинормалях винтовой линии отложены отрезки
равной длины. Доказать, что концы этих отрезков
лежат на другой винтовой линии.
543.	Найти единичные векторы касательной, главной
нормали и бинормали линии
x=/sinf, y = tcost, z = tet
_ в начале координат.
544—	Найти единичные векторы касательной, главной
547. нормали и бинормали в произвольной точке сле-
дующих линий:
(544	) x=cos3/, f/ = sin3t, z=cos2/;
(545	) x=a(t—sin/), y=a(l—cos/), z=4acos—;
(546	) x = e*cos/, y=sin/, г=ег;
(547	) x3=3a2y, 2xz=a2,
548.	Доказать, что векторы /, n, b линии
x = t, y = t2, z=t3
в точке О (0, 0, 0) совпадают с единичными векто-
рами координатных осей.
549.	Составить уравнения касательной, нормальной
плоскости, бинормали, соприкасающейся плоско-
сти, главной нормали и спрямляющей плоскости
винтовой линии
х = a cost, у=а sin t, z^=bt.
Доказать, что главная нормаль пересекает ось
II) ( ОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК. ДЛИНА ДУГИ
75
винтовой линии под прямым углом, а бинормаль
образует с ней постоянный угол. Найти векторы
репера Френе.
550.	Написать уравнения касательной, главной нор-
мали, бинормали и плоскостей сопровождающего
трехгранника линии Вивиани. Найти векторы и, b
репера Френе.
551.	Написать векторные уравнения линий, описывае-
мых точками пересечения касательных, главных
нормалей и бинормалей линии r — r(s) с плоско-
стью хОу.
552.	Найти длину винтовой линии
x = acost, у = а sin t, z = bt
от точки пересечения с плоскостью хОу до произ-
вольной точки М.
553.	Показать, что длина соответствующей дуги винто-
вой линии пропорциональна длине направляющей
окружности цилиндра, на котором лежит винтовая
линия.
554.	Написать параметрические уравнения винтовой
линии, приняв за параметр длину дуги.
555.	Найти длину дуги одного витка линии
t
x=a(t—sin t), y = a(\— cost), z=4acos —
&
между двумя ее точками пересечения с плоскостью
xOz.
556.	Найти длину дуги линии
х3=3а2г/, 2хг=с£
между плоскостями
а
У = V’ У=9а-
о
>57. Показать, что замкнутая линия
% = cos3/, z/ = sin3Z, z=cos2/
имеет длину 10.
76 ГЛАВА 3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
558.	Найти длину дуги линии
x = ach/, (/ = ash/, z = at,
г	7	7
заключенной между точками, соответствующими
значениям параметра 0 и t.
559.	Найти длину дуги линии
—	с
x = ct, y=c^2\nt, z=
I/
между точками /=1, /=10.
560.	Найти выражение дифференциала длины дуги
линии в цилиндрических координатах.
561.	Найти выражение дифференциала длины дуги
линии в сферических координатах.
§ 11.	Формулы Френе. Кривизна и кручение.
Натуральные уравнения линии
Формулы Френе имеют вид:
dt —
— =kn,
dn -	-
— =—
db
— -xn
/, n, b — единичные векторы касательной, глав-
ной нормали, бинормали, s — натуральный пара-
метр, k — кривизна, х — кручение линии.
Соприкасающейся окружностью линии в заданной
точке М называется окружность, которая лежит
в соприкасающейся плоскости, проведенной в этой
точке, и центр которой расположен на главной нор-
мали в положительном направлении на расстоянии
R = от точки М.
k
с
Центр соприкасающейся
ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
77
окружности называется центром кривизны, a R —
радиусом кривизны линии в заданной точке.
Кривизна линии вычисляется по формуле
или
(Х'2+^/'2+И’2
Формула для вычисления кручения
В частности, если в качестве параметра взят на-
туральный параметр $, то
k = | г |,
&= j/x24-z/2+z2,
X— (г г г) :г2,
• • •
X у Z
X у Z
X у Z
к —----------------.
х24-1/24-г2
78 ГЛАВА 3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
Уравнения
k = k(s), x = x(s)
называются натуральными уравнениями линии.
562.	Проверить, что для линии r=r(s) выполняются
следующие соотношения:
Г2=1, ;2 = £25 |7|3 = ^4_|_^2х2_|_^
г г —0, rr=—k2, rr = k k.
563.	Написать разложения приращений Д/, Д/г, ДЬ век-
торов /, n, Ь по самим этим векторам, ограничи-
ваясь членами третьего порядка.
564.	Доказать, чдю формулы Френе
_____ — — —
t = kn, п=—kt-\-ub, b = —х/г
можно записать в виде
Z—[со /], /г=[со/г], Ь=[сой].
Найти вектор со (вектор Дарбу) и выяснить его
кинематический смысл.
565.	Доказать, что
2) &&&=х5
х
566.	Для того чтобы линия была прямой, необходимо и
достаточно, чтобы й = Доказать.
567.	Для того чтобы линия была плоской, необходимо
и достаточно, чтобы п = 0. Доказать.
568.	Доказать, что в точке А40 кривизна линии L равна
кривизне проекции L* лийии L на ее соприкасаю-
щуюся плоскость в точке УИо.
'} II ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
79
569,	Доказать, что для следующих линий кривизна и
570.	крушение равны:
(569)	x = a\ht, y=asht, z=at;
(570)	x = 3t-^t\ y=3t2, z=3t-\-t3.
571.	Найти кривизну и кручение винтовой линии
х= a cost, у = а sin t, z=bt,
572.	Найти кривизну конической винтовой линии
x = tcost, y=ts\nt, z = at
в начале координат.
573—	Найти кривизну и кручение следующих линий:
578.
(573)	% = ach/, у = а sh t, z=at;
(574)	х=е*, у=е~^ z=ty 2;
(575)	x = 2t, y = lnt, z=t2;
(576)	x = cos3t, z/ = sin3/, z=cos2/;
(577)	y2 = x, x2 = z-
(578)	x3=3a2y, 2xz=a2.
579. Найти, при каких а и b кручение линии
x=ach/, r/ = ash t, z=bt
во всех точках равно ее кривизне.
580. Найти точки на линии
x=cos3t, r/ = sin3/, z=cos2/,
в которых кривизна имеет минимальное значение
(локальное).
381. В каких точках радиус кривизны линии
t
x = a(t—sin/), у = а(\ — cos /), z=4a cos —
достигает локального минимума?
382. Доказать, что радиус кривизны конической спи-
рали
80 ГЛАВА 3 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
х=а cos cp-efe(₽, * у = а sin ф-е^ф, z=bek^
пропорционален расстоянию точки спирали до оси
конуса.
583— Доказать, что следующие линии плоские, и соста-
585. вить уравнения плоскостей, в которых они распо-
ложены:
(583	) х = ——, у = —-—, z= —-—;
k 7	1—Г у 1—/2	1+Г
(584	) Х =	у = 622^4“
?=а3/2-|-&3ф3;
(585	) х= a^+bitP-^Ci, z/ = a2^l4-62^p+^2,
z=a3/n+^3^p+^3 (ft — натуральные числа).
586.	Доказать, что линия
x2=2az, y2=2bz
целиком лежит в двух пересекающихся плоскостях.
Составить уравнения этих плоскостей.
587.	Найти такую функцию /(/), чтобы линия
%=acos/, z/=asin /, z=f(t)
была плоской.
588.	Обобщенной винтовой линией называется про-
странственная линия, касательные к которой обра-
зуют постоянный угол с фиксированным направле-
нием.
Доказать, что линия будет обобщенной винтовой
тогда и только тогда, когда выполняется одно из
следующих условий:
а)	главные нормали перпендикулярны фиксиро-
ванному направлению;
б)	бинормали образуют постоянный угол с фикси-
рованным направлением;
в)	отношение кривизны к кручению постоянно.
589.	Показать, что условие
е
(r7r(4)) =0
§ II ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ	81
-----\ . ------------------------------------------
необходимо и достаточно для того, чтобы линия
была обобщенной винтовой.
590.	Доказать, что линия
х2=3у, 2xy = 9z
является обобщенной винтовой.
591.	Показать, что линия
х=2/, г/=1п/, z = l2
является обобщенной винтовой линией, лежащей
на цилиндрической поверхности, образующие кото-
рой параллельны вектору а (0, 1, 1).
592.	Найти условия, при которых линия
x=at, y = bt2, z=ct3
будет обобщенной винтовой линией.
593.	Доказать, что если все нормальные плоскости
линии содержат постоянный вектор е, то данная
линия плоская.
594.	Доказать, что если все соприкасающиеся плоско-
сти линии перпендикулярны некоторой фиксиро-
ванной прямой, то линия — плоская.
595.	Доказать, что если различные линии имеют в со-
ответствующих точках общие бинормали, то они
плоские.
596.	Если между точками двух линий можно установить
такое соответствие, что в соответствующих точках
касательные параллельны, то отношения кручения
к кривизне в этих точках одинаковы по абсолютной
величине. Доказать.
597.	Линией Бертрана называется такая линия, главные
нормали которой являются одновременно главны-
ми нормалями некоторой второй линии, отличной
от первой.
Доказать, что линии Бертрана характеризуются
зависимостью
АЛД-цх = 1,
где X, ц — const.
/
82 ГЛАВА 3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ	/
/
598.	Показать, что угол между касательными в соот-
ветствующих точках линий Бертрана постоянен.
599.	Доказать, что расстояние между двумя соответ-
ствующими точками линий Бертрана постоянно.
600.	Доказать, что линия с постоянной кривизной яв-
ляется линией Бертрана. Показать при этом, что
соответствующая линия имеет ту же кривизну и
что каждая из этих линий есть геометрическое
место центров кривизны другой. Показать, что
в соответствующих точках касательные перпенди-
кулярны.
601.	Между точками двух линий установлено взаимно
однозначное соответствие таким образом, что ка-
сательные, главные нормам и бинормали в соот-
ветствующих точках параллельны. Доказать, что
ds х*
k ds* х’
где k, х, s — кривизна, кручение и длина дуги од-
ной линии, k*, х*, s* — соответствующие величины
другой линии.
602.	Назовем эвольвентой неплоской линии r=r(s)
линию р = г—st. Выразить кривизну и кручение этой
• линии через кривизну и кручение линии r = r(s).
Доказать, что если линия r=r(s) обобщенная вин-
товая, то линия р — г—st — плоская.
603.	Вывести формулы для кривизны и кручения линии,
заданной уравнениями
t/=t/(x), z=z(x),
и найти ее векторы t, п, Ь.
604.	Показать, что если кривизна и кручение линии
постоянны, то линия является винтовой.
605.	Зная кривизну k и кручение х винтовой линии,
составить ее параметрические уравнения.
606.	Показать, что из всех линий Бертрана только для
винтовой линии существует бесконечное множество
линий с общими главными нормалями.
§ 12 РАЗНЫЕ задачи
83
607, Составить натуральные уравнения следующих
608. лиций:
(607) x=ach/, у — ash/, z=at\
(608) x=ct, у = с^ 2 In/, z=c/-1.
609. Линия задана натуральными уравнениями
k = k(s) , X = X (5) .
Показать, что натуральные уравнения линии, сим-
метричной данной относительно начала координат,
будут
Z^ = /e(s), х==—х($).
§ 12. Разные задачи
(ИО. Говорят, что две линии
r=rl(s') и r=r2(s)
имеют в общей точке соприкосновение порядка не
ниже п, если в этой точке
Л(<$) = r2(s), r’i(s) =r2(s),
rOO(s) =/<«)($
Найти геометрический признак соприкосновения
линий не ниже второго порядка.
611.	Доказать, что в случае соприкосновения двух ли-
ний не ниже третьего порядка кручения в их об-
щей точке равны. Верно ли обратное?
612.	Найти порядок малости кратчайшего расстояния
между касательными линии относительно расстоя-
ния между точками касания. Решить аналогичную
задачу для главных нормалей и бинормалей.
613.	Доказать, что линия и ее соприкасающаяся окруж-
ность в данной точке имеют соприкосновение не
ниже второго порядка.
614.	При каком условии центр кривизны винтовой ли-
нии лежит на том же цилиндре, что и сама винто-
вая линия?
84 ГЛАВА 3 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЛИНИИ
615.	Сфера, имеющая с линией в данной точке касание
порядка не ниже третьего, называется соприкасаю-
щейся сферой в этой точке (определение касания
линии с поверхностью см. в § 14).
Доказать, что если линия задана уравнением
r=r(s), то радиус-вектор центра соприкасающейся
сферы задается формулой
ts = t+/?п-|---Ьу
х
а радиус соприкасающейся сферьГ^-,ч
я8=У Rz+-^
616.	Найти радиус соприкасающейся сферы линии
х = 1, у—t2, z=t3
в точке 1 = 0.
617,	Найти радиус соприкасающейся сферы в произ-
618. вольной точке следующих линий:
(617	) х = е*у у = е~^ z=^2t;
(618	) x = ef sin ty r/ = e*cos/, z=el.
619.	Показать, что две линии, имеющие в точке сопри-
косновение не ниже третьего порядка, имеют
в этой точке одну и ту же соприкасающуюся сферу.
620.	Если радиус соприкасающейся сферы постоянен,
то линия является сферической (лежит на сфере)
или имеет постоянную кривизну. Доказать.
621.	Найти геометрическое место центров соприкасаю-
щихся сфер винтовой линии
x = acos/, r/ = 6zsin t, z=bt.
622.	Доказать, что соприкасающаяся плоскость линии
пересекает ее соприкасающуюся сферу в той же
точке по соприкасающейся окружности.
623.	Огибающей семейства пространственных линий
§ 12 РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
85
называется линия, которая в каждой своей точке
касается некоторой линии семейства.
Найти условия, которым удовлетворяют точки оги-
бающей однопараметрического семейства линий,
заданного системой уравнений
F(x, у, z, С)=0, G(x, у, z, С)=0.
624.	Найти условия, которым удовлетворяют точки оги-
бающей однопараметрического семейства линий,
заданного уравнением
г=7(/, С).
625.	Найти условия, которым удовлетворяют точки оги-
бающей семейства прямых
Г = Го (С) -\-ta (С).
626.	Подэрой пространственной линии по отношению
к точке О называется геометрическое место осно-
ваний перпендикуляров, опущенных из точки О на
касательные к этой линии.
Найти подэру линии
х=х(/),	z=z(t)
относительно начала координат.
627.	Найти подэру винтовой линии
x = acos/, у=а sin t, z=bt
относительно начала координат. Показать, что она
лежит на однополостном гиперболоиде
%2	у2	Ь2
----L _------г2— ]
а2	а2	cP
Глава
Поверхности
§ 13. Уравнения поверхности
628.
629—
635.
(629)
(630)
(631)
(632)
(633)
(634)
(635)
636.
637.
638.
В плоскости xOz задана линия
x=f(u), г=ср(и).
Написать параметрические уравнения поверхности,
полученной при вращении этой линии вокруг оси Oz.
Написать параметрические уравнения следующих
поверхностей вращения второго порядка:	\
сферы;
эллипсоида вращения;
однополостного гиперболоида вращения;
двуполостного гиперболоида вращения;
параболоида вращения;
кругового цилиндра;
кругового конуса.
Написать уравнения тора, который получается при
вращении окружности
x = a-|-6cosu, f/ = 0, z=6sinu, b<Za,
вокруг оси Oz.
Написать уравнения катеноида, который получает-
ся при вращении цепной линии
. и
х = асп—, ц=0, z—u
а
вокруг оси Oz.
Написать уравнения псевдосферы, которая полу-
чается при вращении трактрисы
x=asinw, г/ = 0,
4-cos и
вокруг оси Oz.
639-
644.
Написать параметрическйе уравнения следующих
поверхностей второго порядка:
§ 13 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
87
(639)	эллипсоида;
(640)	однополостного гиперболоида;
(641)	двуполостного гиперболоида;
(642)	эллиптического параболоида;
(643)	эллиптического цилиндра;
(644)	конуса.
645.	Написать параметрические уравнения гиперболи-
ческого параболоида
х2 у2
— — — —2г
а2 Ь2
приняв за координатные линии его прямолинейные
образующие. Как запишутся эти уравнения, если
уравнение поверхности взято в виде z=xy?
646.	Написать параметрические уравнения цилиндриче-
ской поверхности, образующие которой параллель-
ны оси Ог, а направляющая задается уравнением
x=f(u), г/=ф(ц), г=0.
647.	Написать параметрические уравнения гиперболи-
ческого и параболического цилиндров.
648.	Написать уравнение цилиндрической поверхности,
для которой линия р = р(ц) является направляю-
щей, а образующие параллельны вектору е.
649.	Написать параметрические уравнения цилиндриче-
ской поверхности, образующие которой параллель-
ны вектору а (1, 2, 3), а направляющая которой
х=и, у = и2, z=u3.
650.	Записать неявное уравнение цилиндрической по-
верхности с направляющей линией
x = cosw, f/ = sin и, z=Q
и прямолинейными образующими, параллельными
вектору а (—1, 3, —2).
651.	Доказать, что уравнение цилиндрической поверх-
88 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
ности, направляющие которой параллельны векто-
ру а (I, т, п), имеет вид
f(nx—lz, ny—rnz) = 0.
652.	Найти уравнение цилиндрической поверхности,
направляющая которой есть линия
г=0, х2А~У2=ау,
а образующие параллельны вектору а (I, т, /1).
653.	Дана поверхность
x=3u4-l>2_|_	y = 2u-}-v2— 1, z =—u-\-2v.
1.	Показать, что эта поверхность цилиндрическая.
2.	Записать какую-нибудь ее направляющую ли-
нию.
3.	Найти прямолинейную образующую, проходя-
щую через точку М (и = 2, г» = 3).
654.	Задана точка М (а, Ь, с) и линия L
x=f(u), у=<р(ц), z=i|)(u).
Написать в параметрическом и неявном виде урав-
нения конической поверхности с вершиной в точ-
ке М и с направляющей линией L.
655.	Составить уравнение конической поверхности, об-
разуемой прямыми, проходящими через точку
М (а, Ь, с) и пересекающими параболу
у^ = 2рх, г=0.
656.	Составить уравнение конической поверхности,
имеющей вершину в точке М (—1, 0, 0) и описан-
ной около параболоида
2z/24-z2=4x.
657.	Дана поверхность
y = U—-V, z=uv.
Проверить, принадлежат* ли ей точки А (4, 2, 3),
В (1,4, -2).
§ В УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
89
658.	Какая поверхность задается уравнениями
x = u+sint/, y=u+cos^, z=u-\-a?
659.	Найти неявное уравнение поверхности, заданной
параметрическими уравнениями
х=хо-}-а cos и cos v, y = y0-\-b cos и sin v,
z = zo-\-c sin u.
660.	Показать, что уравнения
и	V	1
u2^-v2 J u2+v2	u2+v2
и
% = UCOSL», y=usiny, z = u2
задают одну и ту же поверхность.
661.	Задано уравнение конической поверхности
r=ue(v), |е| = |е'| = 1.
Какой геометрический смысл имеют параметры
и и V?
662—	Выяснить вид координатных линий на плоскости:
664.
(662	) х = и, y = v, г=0;
(663	) x = ucosv, у = и sin v, z=0;
(664	) х = cos и ch v, y = sinashv, z=0.
665.	Показать, что параметрические уравнения одно-
полостного гиперболоида можно представить
в виде
uv+1 . и—v	uv—1
х = а------, у = Ь------, z =  ----—
u-\-v	u-\-v	u-\-v
Каковы координатные линии поверхности при ука-
занной параметризации?
666.	Написать параметрические уравнения кругового
цилиндра таким образом, чтобы координатными
линиями служили: а) винтовые линии и окружно-
90 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
сти; б) винтовые линии и прямолинейные образую-
щие; в) два семейства винтовых линий.
667.	Написать параметрические уравнения поверхности,
образованной касательными к данной линии
р = р(и), и выяснить характер координатной сети.
668.	Написать параметрические уравнения поверхности,
образованной касательными к винтовой линии
x=acosu, у = а sin и, z—bu.
По какой линии эта поверхность пересекает плос-
кость 2 = 0?
669.	Написать в параметрическом и неявном виде урав-
нения поверхности, образованной касательными
к линии
х=и, у = и2, z=u\
670.	Геликоидом общего вида называется поверхность,
образованная некоторой линией {профилем), вра-
щающейся около оси и одновременно поступатель-
но движущейся в направлении этой оси, причем
скорости этих движений пропорциональны. Соста-
вить уравнения геликоида общего вида.
671.	Геликоид, профилем которого служит прямая,
пересекающая ось, называется прямым, если пря-
мая перпендикулярна оси, и косым, если прямая
не перпендикулярна оси. Написать уравнения этих
поверхностей, принимая за ось вращения ось Oz.
672.	Найти уравнение поверхности, образованной глав-
ными нормалями винтовой линии.
673.	Прямым коноидом называется поверхность, обра-
зованная вращением прямой линии вокруг оси,
пересекающей ее под прямым углом, и одновре-
менным переносом прямой вдоль оси. Написать
уравнение коноида, ось которого совпадает
с осью Oz.
674.	Написать в неявном виде уравнение прямого коно-
ида, у которого перемещение вдоль оси Oz опре-
деляется формулой
z=asin2t>,	*
где v — угловая скорость вращения прямой.
§ 13 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
91
675.	Написать параметрические уравнения поверхности
x2z2=a2(x2-\-y2).
Доказать, что это прямой коноид.
676.	Окружность радиуса а перемещается так, что ее
центр движется по заданной линии p = p(s), а плос-
кость, в которой она расположена, является в каж-
дый момент нормальной плоскостью этой линии.
Составить уравнение поверхности, описываемой
окружностью (трубчатая поверхность).
677.	Поверхностью переноса называется поверхность,
описываемая некоторой линией L при ее поступа-
тельном перемещении.
Пусть г — г\(и) —уравнение линии L, а г=г2(у)—
уравнение линии, описываемой некоторой точкой
линии L при переносе. Тогда уравнение поверхно-
сти переноса имеет вид
г=п(и)+г2(у)
и, обратно, любое такое уравнение задает поверх-
ность переноса. Доказать.
678.	Показать, что поверхность, являющаяся геометри-
ческим местом середин отрезков, концы которых
принадлежат двум данным линиям, есть поверх-
ность переноса.
679.	Доказать, что часть прямого геликоида
x=t>cosu, y = v sin w, z=au
для v^c (где с — некоторое положительное число)
является поверхностью переноса.
680.	Показать, что эллиптический и гиперболический
параболоиды являются поверхностями переноса.
Написать их уравнения в виде
г = г1(ц)+г2(у).
681.	Доказать, что координаты х, у, z произвольной
точки поверхности второго порядка можно всегда
выразить рациональными функциями двух пара-
метров и и V.
92 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
§ 14. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Линейчатые поверхности. Касание линии
с поверхностью
Уравнения касательной плоскости, соответствую-
щие заданиям поверхности (9), (11), (13), (16)
введения, имеют вид
Хи	У и	% и
XV	Уи
где хг( =
дх
xv= ~
OV
Z—z=p(X—x) (У—у),
dz	dz
где р =	q— -z-;
дх	ду
(R г, Гц, Гщ) —0;
(X-x)Fx+ (У-у)ГУ+ (Z-г) Fz = 0;
уравнения нормали
Линейчатую поверхность можно задать векторным
уравнением	в
(1)
\ И КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
93
где r=r(u) —направляющая линия, a Z(u) —на-
правляющий вектор прямолинейной образующей.
Линейчатая поверхность называется развертываю-
щейся, если во всех ее точках
(гД — 0.
В противном случае поверхность называется косой
линейчатой поверхностью.
Уравнение горловой (или стрикционной) линии
линейчатой поверхности (1) имеет вид
____ W
Единичный вектор нормали m к поверхности
г—г (и, у) находится по формуле
m= [rur«]: I [rur„] |.
Пусть линия
x=x(Z), t/=y(Z), z=z(Z)	(2)
имеет с поверхностью
Е(х, у, z) =0	(3)
общую точку 7И(/о).
Рассмотрим функцию
ф(/)=/Дх(0, у(0, г(/)).
Когда точка M(t) стремится по линии (2) к точке
А1(£о), Ф(0 будет бесконечно малой величиной.
Если порядок малости этой величины относительно
t—to равен &+1, то говорят, что линия (2) имеет
с поверхностью (3) касание k-го порядка,
ЬК2. Если через точку М поверхности проходит прямая,
лежащая на поверхности, то касательная плоскость
в точке М к поверхности содержит данную прямую.
Доказать.
94 ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ
683.
684.
685.
686.
687.
(688.
На поверхности
х = t/-|-cos f, у = и—sin у, z=='ku
дана точка М I и
л
v = —
л
—- в точ-
а)	написать уравнения касательных прямых и нор-
мальных плоскостей к линиям и— 1, v =
ке
М;
л
к линии
б)	найти угол между линиями и—\, v =
в)	показать, что касательная в точке М
u = sin v является касательной к линии и= \ в той
же точке.
Показать, что нормаль в произвольной точке по-
верхности, образованной касательными к винтовой
линии, образует постоянный угол с осью линии.
Написать уравнение касательной плоскости к по-
верхности
х=2и—v, y=u2-[-v2, z=u3—v3
в точке М (3, 5, 7).
Написать уравнения касательной плоскости и нор-
мали к поверхности
X = U-\-Vf y = U~V, z = uv
в точке М (и = 2, у=1).
Написать уравнения касательной плоскости и нор-
мали в точке М (1, 3, 4) поверхности
х=и, y — u2—2v, z — u3—3uv,
} Дана поверхность
x=ucosv, у = и sin V, Z — U.
В ее точке М и~2, v = — ) написать уравнения
„	е
касательной плоскости, нормали к поверхности и
касательной к линии и = 2.
II КЛСЛ1ГЛЫ1ЛЯ плоскость И НОРМАЛЬ к ПОВЕРХНОСТИ
95
689 — Написать уравнения касательной плоскости и нор-
692. мали к следующим поверхностям в указанных
точках:
(G89) г = х3+у3 в точке М (1, 2, 9);
(690) *2+у2+г2= 169 в точке М (3, 4, 12);
((»<)!) х2—2у2—Зг2—4 = 0 в точке М (3, 1, —1);
Н---- = 1 в точке М (%о, уо, £о).
С
693.	Написать уравнение касательной плоскости к псев-
досфере
х = а sin и cos v, у = а sin и sin v,
694.	Составить уравнения касательной плоскости и нор-
мали к прямому геликоиду
x = ucosf, у = и sin v, z=av.
Исследовать поведение нормали при смещении ее
вдоль координатных линий.
695.	Написать уравнение касательной плоскости к тору
х= (1+5 cos u)cos v, у= (1+5 cos и) sin v,
г = 5 sin и
в точке М (и, l>), для которой
cos и= , cos v= —
696.	К поверхности
хуг= 1
провести касательную плоскость, параллельную
плоскости
х+у+z—3 — 0.
96 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
697.	Доказать, что* касательные плоскости к поверх-
ности
xyz = a3
образуют с плоскостями координат тетраэдр по-
стоянного объема.
698.	Показать, что касательная плоскость в произволь-
ной точке конической поверхности проходит через
ее вершину.
699.	Показать, что все плоскости, касательные к поверх-
ности
Z = X3-lry3
в точках М (а, —а, 0), образуют пучок плоскостей.
700.	Найти точки тора
х= (а^-Ь cos u)cos v, у= (a-\-b cos u)sin v,
z=b sin a,
в которых нормаль перпендикулярна плоскости
Ax+By+Cz+D = Q.
701.	Дана поверхность
x^+yn+zn — dn = 0
и точка М (а, Ь, с) на ней (а, 6, с, d — положитель-
ные). Показать, что если А, В, С — точки, в кото-
рых касательная плоскость в точке М пересекает
оси Ох, Оу, Oz, то
702.	Показать, что касательная плоскость в произволь-
ной точке поверхности
f(x—az, y—bz)—Q
параллельна фиксированному направлению.
703.	Показать, что касательная плоскость в произволь-
ной точке поверхности
и I V Ml ЛЫ1АЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
97
л'3 -{-у 3 -\-z3 —-а 3
отсекает на осях координат отрезки, сумма квад-
ратов которых есть величина постоянная.
704.	Доказать, что касательная плоскость к трубчатой
поверхности (см. задачу 676) параллельна каса-
тельной к направляющей линии, а нормалями к
поверхности являются нормали направляющей
линии.
705.	Показать, что касательные плоскости поверхности
проходят через начало координат.
/()(>. Доказать, что касательные плоскости поверхности
переноса
r=zzr1(u)+r2(y)
вдоль каждой линии переноса (w —const или
v = const) параллельны некоторой прямой.
707. Поверхность S' называется параллельной поверх-
ности S, если она является геометрическим местом
концов отрезков постоянной длины, отложенных на
нормалях поверхности S от точек этой поверхности.
Будем считать соответствующими точками поверх-
ностей S и S' концы отрезков, о которых идет речь
в определении.
Показать, что
а) касательные плоскости в соответствующих точ-
ках параллельных поверхностей S и S' парал-
лельны; б) свойство параллельности взаимно
(т. е. если S' параллельна S, то S параллельна S').
/08. Написать уравнение касательной плоскости в про-
извольной точке поверхности, образованной каса-
тельными к линии r=r(s). Исследовать ее пове-
дение при смещении точки касания вдоль прямо-
линейных образующих поверхности.
• ’ । к ’ 14	.
98 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
709. Доказать, что поверхности
z=tgxy и х2~у2=а
ортогональны вдоль линии их пересечения.
710— Доказ ать, что следующие семейства поверхностей
712. попарно ортогональны (u, v, w — параметры се-
мейств) :
(710	) 4x-\-y2-\-z2=u, y = vz, y2-\-z2 = wex;
(711	) x2-\-y2-}-z2=ux, x2-\-y2-\-z2=vyi x2-}-y2-\-z2 = wz;
(712	) xy=uz2, x2-\-y2-\-z2=v, x2-\-y2-lrz2=w(x2—y2').
713.	Показать, что касательная плоскость, проведенная
в любой точке линии v — с на поверхности
x=wcosf, у = и sin у, z=f(v')-\-aui
проходит через фиксированную прямую.
714.	Доказать, что если все нормали поверхности про-
ходят через одну точку, то эта поверхность есть
сфера или область на сфере.
715.	Доказать, что нормаль поверхности вращения со-
впадает с главной нормалью меридиана и пересе-
кает ось вращения.
716.	Если все нормали поверхности пересекают одну и
ту же прямую, то поверхность будет поверхностью
вращения. Доказать.
717.	Доказать, что линейчатая поверхность является
развертывающейся тогда и только тогда, когда
каждая касательная плоскость касается ее вдоль
прямолинейной образующей.
718.	Доказать, что поверхность, параллельная развер-
тывающейся, есть также развертывающаяся по-
верхность.
719.	Доказать, что любая развертывающаяся поверх-
ность есть либо цилиндрическая, либо коническая,
либо состоит из касательных к некоторой простран-
ственной линии. В последнем случае указанная
линия называется ребром возврата.
II К ХСМГЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ к ПОВЕРХНОСТИ
99
720.	Доказать, что соприкасающаяся плоскость ребра
возврата развертывающейся поверхности совпа-
дает с касательной плоскостью этой поверхности.
/21. Поверхность, образованная касательными к линии
х = и, ц=и2, z=u3,
7 ъУ	7	7
пересечена плоскостью х=0. Найти уравнение ли-
нии, полученной в сечении.
Найти уравнение линии пересечения развертываю-
щейся поверхности и нормальной плоскости ребра
возврата в некоторой его точке. Доказать, что точ-
ка ребра возврата является для этой линии особой
(точкой возврата первого рода).
723.
Доказать, что линия пересечения развертывающей-
ся поверхности с соприкасающейся плоскостью
ребра возврата имеет в точке возврата кривизну,
3
равную
кривизны
ребра возврата в данной
4
точке.
724.
725.
Доказать, что линия пересечения развертываю-
щейся поверхности и спрямляющей плоскости реб-
ра возврата имеет в точке ребра возврата точку
перегиба.
Поверхностью Каталана называется косая линей-
чатая поверхность, все образующие которой парал-
лельны некоторой плоскости, называемой направ-
ляющей.
Доказать, что необходимыми и достаточными усло-
виями того, чтобы линейчатая поверхность
r=p(u) -\-ие(и)
была поверхностью Каталана, являются условия
(ее'е")=0, е"У=0.
/26— Найти горловую линию следующих поверхностей:
/29.
। /26) прямого геликоида;
i/27) однополостного гиперболоида вращения;
100 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
(728	) поверхности, образованной бинормалями простран-
ственной линии;
(729	) поверхности, образованной главными нормалями
пространственной линии.
730.	Доказать, что поверхность, образованная норма-
лями, проведенными в точках одной образующей
косой поверхности, есть гиперболический парабо-
лоид.
731.	Показать, что линия
yz=x, xz=y-\~\
имеет с поверхностью z=xy в точке М (0, — 1, 0)
касание второго порядка.
732.	Найти порядок касания линии
у===/з+2/, 2= fl
с поверхностью
xz+y*=x(y+z)
в начале координат.
733.	Прямая, имеющая с поверхностью второго порядка
касание не ниже второго порядка, целиком лежит
на этой поверхности. Доказать.
734.	Если линия в каждой своей точке имеет с сопри-
касающейся плоскостью касание не ниже третьего
порядка, то эта линия плоская. Доказать.
735.	Пусть линия L имеет с поверхностью S в точке УИо
касание порядка п. Показать, что проекция L' ли-
нии L на S параллельно некоторому направлению,
не лежащему в касательной плоскости к S в точке
7И0, имеет с линией L в точке Мо касание порядка п.
§ 15. Семейство поверхностей. Огибающая
Пусть
F(х, у, z, С) =0 —	(1)
уравнение однопараметрического семейства по-
верхностей. Множество всех точек, удовлетворяю-
щих системе уравнений
I!) СЕМЕЙСТВО ПОВЕРХНОСТЕЙ. ОГИБАЮЩАЯ
101
F(x, у, z, С)=0, Fc(x, у, z, С)=0,	(2)
называют дискриминантной поверхностью семей-
ства (1). Заметим, что это множество может не
удовлетворять определению поверхности, данному
во введении (см., например, задачи 739, 740).
Если Fx, Fy, Fz в точках дискриминантной поверх-
ности не обращаются одновременно в нуль, то дис-
криминантная поверхность совпадает с огибающей
семейства (1), т. е. с такой поверхностью, которая
в каждой своей точке касается некоторой поверх-
ности семейства. В противном случае дискрими-
нантная поверхность может не быть огибающей,
этот случай требует дополнительного исследова-
ния.
Если огибающая семейства (1) существует, она
касается поверхности семейства (1) вдоль линии,
которая называется характеристикой и задается
системой (2) при фиксированном значении С.
Множество точек, удовлетворяющих системе урав-
нений
F(x, у, z, С) =0, Fc (х, у, z, С) =0,
Fcc(x, у, z, С)=0,
называют ребром возврата огибающей. Если се-
мейство характеристик имеет огибающую, то эта
огибающая принадлежит ребру возврата.
736— Найти огибающую семейства поверхностей:
738.
(/36) х24-//2+(^—С)2~1=0;
(z37) x+C?y+z—2С=0;
(/ 38) (х—Су+ (у—Су+ (z—С)2—С2=0.
/39. Привести пример семейства поверхностей, дискри-
минантная поверхность которого вырождается
в линию.
/И). Привести пример семейства поверхностей, дискри-
минантная поверхность которого вырождается
в точку.
102 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
741.	Н айти огибающую, характеристики и ребро воз-
врата семейства сфер
(%— C)2-H2+z2— 1=0-
742.	Fla хордах эллипса
параллельных одной из осей симметрии, как на
диаметрах, строятся сферы. Найти огибающую
этих сфер. Та же задача для гиперболы.
743.	Найти ребро возврата огибающей семейства плос-
костей
х sin а—у cos сс+<г=^а,
где k= const, а — параметр.
744.	Найти огибающую семейства плоскостей, каждая
из которых образует с координатными плоскостями
тетраэдр заданного объема V.
745.	Составить уравнение семейства сфер, для которого
огибающей поверхностью является конус
x2-\-y2=a2z2.
746.	Найти огибающую семейства сфер постоянного ра-
диуса, центры которых расположены на данной
линии p = p(s) (трубчатая поверхность).
747.	Найти огибающую, характеристики и ребро воз-
врата семейства сфер радиуса а, центры которых
расположены на окружности
xZ-\-y2 = b2, z = 0.
748.	Найти огибающую, характеристики и ребро воз-
врата семейства поверхностей
[ (Х-С)2+ (!/-/?)2+г2_7?2] [ (Х-С)2 +
+ (y+R)2+z2-R2]=0.
749.	Найти огибающую соприкасающихся плоскостей
пространственной линии, ее характеристики и реб-
ро возврата.
1.(1 МГПСТВО ПОВЕРХНОСТЕЙ ОГИБАЮЩАЯ
103
/•>0. Найти огибающую нормальных плоскостей про-
сI ранственной линии, ее характеристики и ребро
возврата.
731.	Найти огибающую спрямляющих плоскостей про-
странственной линии, ее характеристики и ребро
возврата.
732.	11айти огибающую семейства одинаковых круговых
конусов (с углом осевого сечения, равным 2а),
имеющих вершину в начале координат и касаю-
щихся плоскости г=0.
733.	Доказать, что развертывающиеся поверхности и
только они являются огибающими однопараметри-
ческого семейства плоскостей.
734.	Развертывающаяся поверхность о пересечена се-
мейством параллельных плоскостей. Доказать, что
эволюты сечений лежат тоже на развертывающей-
ся поверхности.
733. При каком условии уравнение
F(x, у, z)=0
задает развертывающуюся поверхность?
73(>— Найти условия, при которых следующие семейства
73S. поверхностей допускают огибающую (аир незави-
симые параметры):
( / .)(')) F(%, у, z, а, р) =0;
1 z.>7) r=r(u, v, а);
( z.)S) r=r(u, v, а, Р).
7.>9. Найти огибающую семейства сфер постоянного
радиуса а, имеющих центры в плоскости г=0.
/ (И). Если все касательные плоскости некоторой поверх-
ности касаются ее по линиям, то эти линии прямые.
Доказать.
/Ы. Найти огибающую семейства плоскостей, для кото-
рых сумма расстояний до п фиксированных точек
постоянна.
104 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
§ 16. Первая квадратичная форма
Квадрат дифференциала
г
dr=rudu-\-rvdv,
т. е.
Ф1 = dr2=ds2=r2udu2-[-2rurv dudv-\-r2^dу2,
называется первой квадратичной формой поверх-
ности. Коэффициенты этой формы обозначают со-
ответственно
E=r2 , F=rurv, G = r2.
и v
Если ф— угол между двумя линиями на поверх-
ности, то
EdiUd2a-{-F (diUd2v-\-diVd 2^) + Gdivd2v
cos <p=--------------zzz—zzz--------------
У hi У h2
где hi = EdiU2 + 2FdiUdiV + Gd2v2, h2 = Ed2u2 +
+ 2Fd2ud2v + Gd2v2, diU, div — дифференциалы
функций и и v, взятые из уравнений u = Ui(t),
v = Vi(t) первой линии, a d2u, d2v — дифференци-
алы от и и v, взятые из уравнений u = u2(f),
v = v2(f) второй линии.
Площадь замкнутой области D на поверхности
вычисляется по формуле
S = J j' y£G—Р dudv.
D
762— Найти первую квадратичную форму следующих
772. поверхностей вращения:
(762)	x=f(u)cosv, y=f(u)sinu, 2=ф(и) —
поверхность вращения с осью вращения Ог;
(763)	x=R cos и cos v, y=R cos a sin v, z=R sin и —
сфера;
(764)	x=acosucosv, y = a cos и sin v, z=c sin и —
эллипсоид вращения;
К. ПЬРВЛЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
105
1	.и— VI!	.. ,	—. ,	,	-- .	---- - —---
(765)	x=achucost>, r/=achusint\ z=cshu —
однополостный гиперболоид вращения;
(766)	x=ashucost\ у—a sh и sin v, z—cchu —
двуполостный гиперболоид вращения;
(767)	% = ucost>, y = usint\ z=u2—
параболоид вращения;
(768)	x=/?cosy, y=R sin v, z=u—
круговой цилиндр;
(769)	x = ucosv, y=usint>, z = ku —
круговой конус;
(770)	x= (a-\-b cos u)cos v, y— (a-[-b cos w)sin v,
z=b sin и —
тор;
, и	, и
(/71) x=ach — cos v, y = ach—sint\ z=u —
'	a	a
катеноид;
(/72) x—a sin и cos v, y=a sin и sin v,
/ и	\
z=a ( In tg — +cos и j —
&
псевдосфера.
773. Найти первую квадратичную форму прямого гели-
коида
%=ucosy, y=wsiny, z=av.
П\. Найти первую квадратичную форму геликоида об-
щего вида
x=ucost>, //=wsin у, z=f(tT)-[-av.
7 75. Найти первую квадратичную форму поверхностей,
образованных касательными, главными нормалями
и бинормалями линии
7=7(и),
где и — натуральный параметр.
106 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
776.	Найти первую- квадратичную форму поверхности
z=z(x, у).
777.	Указать, какая из приведенных квадратичных
форм может служить первой квадратичной формой
некоторой поверхности:
a)	ds2=du2-\-4dudv-}-dv2\
б)	ds2 = du2-\-4dudv-\-4dv2;
в)	ds2 = du2—4dadv-\-6dv2\
г)	ds2=du2-\-4dudv—2dv2.
778.	Дать формулы преобразования коэффициентов
первой квадратичной формы и выражения
Н = ^ EG-F2
при переходе к новой криволинейной системе ко-
ординат.
779.	Показать, что при соответствующем выборе криво-
линейных координат на поверхности вращения ее
первая квадратичная форма может быть приве-
дена к виду
ds2 = du2-\-G (u)dv2.
780.	Сеть координатных линий на поверхности назы-
вается чебышевской, если отрезки координатных
линий одного семейства, заключенные между двумя
линиями другого семейства, имеют равные длины.
Доказать, что сеть координатных линий на поверх-
ности является чебышевской тогда и только тогда,
когда £^=0, Gu = 0.
781.	Первая квадратичная форма поверхности имеет
вид
ds2=du2-\-2Fdudv-\-dv2.
Что можно сказать о криволинейных координатах
в этом случае?
782.	Привести первую квадратичную форму псевдо-
сферы
к. Ill 1’ВЛЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
107
ds2 = a2 ctg2 udu2-[-a2 sin2 udv2
к виду
ds2=du2-[-G (u)dv2.
7*3. Представить первую квадратичную форму псевдо-
сферы в виде
ds2 =
a2(dx2A~dy2)
У2
7*4. Найти угол, под которым пересекаются прямо-
линейные образующие гиперболического парабо-
лоида
z = axy.
7*5. Показать, что площади областей на параболоидах
а 7
г=^~ (х2+У2) и z=axy,
проектирующиеся на одну и ту же область плос-
кости хОу, равны.
7*9. Найти уравнения линий, пересекающих меридианы
поверхности вращения под постоянным углом а
(локсодромы).
»7*7. Найти уравнение локсодром на поверхности
сферы.
7**. Если семейство линий на поверхности задано диф-
ференциальным уравнением
Adu-\-Bdv = 0,
то уравнение ортогональных траекторий, т. е. ли-
ний, пересекающих заданные линии под прямым
углом, имеет вид
(BE—AF)du+ (BF—A G) dv = 0.
Доказать.
7*9. Найти ортогональные траектории прямолинейных
образующих конической поверхности.
108 ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ
790.	Составить дифференциальное уравнение линий,
пересекающих прямолинейные образующие развер-
тывающейся поверхности, образованной касатель-
ными к пространственной линии, под постоянным
углом а.
791.	Найти ортогональные траектории прямолинейных
образующих поверхности, образованной касатель-
ными к некоторой линии.
792.	• Составить дифференциальное уравнение ортого-
нальных траекторий семейства линий
ф(и, v) =const
на поверхности.
793.	Найти ортогональные траектории семейства линий
u-|-y = const,
лежащих на сфере
x=R cos и cos v, y=R cos и sin v, z=R sin и.
794.	Найти ортогональные траектории семейства линий
и = Cev,
лежащих на косом геликоиде
x=wcost>, y=usiny, z=u-\-v.
795.	На круговом конусе
x=ucosy, £/=usin у, z=u
рассматривается семейство линий
где а — параметр. Найти семейство их ортогональ-
ных траекторий.
796.	Записать уравнения косого геликоида
x=ucost>, y = usint>, z=u-\-v,
приняв линии y = const й их ортогональные траек-
тории за координатные линии.
1b ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
109
797.	Вывести условие ортогональности двух семейств
линий на поверхности, определяемых дифференци-
альным уравнением
Р(и, v)du2-\-Q(u, v)dudv-\-R(u, v)dv2=0.
v 798. Доказать, что на прямом геликоиде
х = ucosv, у —и sin v, z—av
дифференциальное уравнение
du2— (u2-\-a2')dv2=^
определяет ортогональную сеть.
799.	На поверхности
z=axy
найти ортогональные траектории ее прямолиней-
ных образующих.
800.	Доказать, что линии, которые в каждой своей точ-
ке делят пополам углы между координатными ли-
ниями, задаются дифференциальными уравнениями
]/ Е du±^ G dv = 0.
801.	Найти уравнения линий на прямом геликоиде
x = ucost/, у = и sin v, z=av,
делящих пополам углы между координатными ли-
ниями.
> 802. Найти уравнения линий на сфере
х = а cos и sin и, у = а sin и sin v, z=acoso,
делящих углы между параллелями и меридианами
пополам.
803. Найти уравнения линий, делящих пополам углы
между прямолинейными образующими в каждой
точке поверхности
z = axy.
801.	Дана поверхность
НО ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
x = u2-[-v2, y=u2—v2, Z = UV.
1.	Найти первую квадратичную форму.
2.	Вычислить дифференциал длины дуги для линий
и = 2, l»=1, v = au.
3.	Вычислить длину дуги линии v = au между точ-
ками ее пересечения с линиями и=1, и —2.
805.	Найти, под каким углом пересекаются линии
и4"^ = 0, и—^ = 0
на прямом геликоиде
x=ucosf, у = и sin v, z = av.
806.	Найти периметр и внутренние углы криволинейного
треугольника
и = ±	av2, l»=1,
расположенного на поверхности, у которой
ds2=du2-\- (u2-\-a2)dv2.
807.	На поверхности с первой квадратичной формой
ds2=du2+sh2udv2
найти длину дуги линии u = v между точками
£ц) и М2(^2, Уг).
808.	Найти угол между линиями
v = 2u и v =—2u
на поверхности, имеющей первую квадратичнук
форму
ds2—du2-}-dv2.
809.	Найти угол между линиями
-----= и v = 3—u
на поверхности	•
x = ucost>, у = и sin v, z—u2.
II. Ill 1’ВЛЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
111
МО. Па прямом геликоиде
х — u cos у, у=и sin v, z=av
заданы линии
v = In (u+У и2-\-а2) Д-С.
Вычислить длины дуг этих линий между двумя
точками
(ui, и M2(u2, v2).
ML
Па псевдосфере
%—a sin и cos v, и~а sin и sin v,
заданы два семейства линий:
v =	In tg-^-+C.
Вычислить длину дуги линии каждого семейства
между двумя точками
У1) и М2(и2, у2).
Доказать, что длины дуг всех линий одного семей-
ства между двумя фиксированными линиями вто-
рого семейства одинаковы.
si 2. Па поверхности сферы задан прямоугольный тре-
угольник, сторонами которого являются дуги боль-
ших кругов сферы. Найти: а) соотношение между
сторонами треугольника; б) его площадь.
М3. Найти площадь четырехугольника на прямом гели-
коиде
v = //cosv, у —и sin v, z=av,
ограниченного линиями
iz = 0, и —а, ^ = 0, ^=1.
112 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
814.	Найти площадь криволинейного треугольника
u = ±av, у = 1,
расположенного на поверхности с первой квадра-
тичной формой
ds2—du2-\- (u2-}-a2)dv2.
815.	Найти площадь выпуклой сферической области,
ограниченной петлей линии Вивиани.
816.	Сферическим двуугольником называется фигура,
образованная двумя большими полуокружностями,
имеющими общие концы. Найти площадь S сфери-
ческого двуугольника с углом фо при вершине.
§ 17. Вторая квадратичная форма
Второй квадратичной формой поверхности назы-
вают дифференциальную форму
фа= md2r = —dr dm = Ldu2-\-2Mdudv+Ndv2,
где
C — mru'n — murи -—-	'
|/ EG—F2
яд	’ ~	‘	и?
M — /7?Г uv —	v — ШуГ и —	'
1 EG—F2
,r '	' “	(f* vv? vf v)
j\/ xx. mr-p2? '***’”' mvr,
iEG-F2
m — единичный вектор нормали к поверхности.
Нормальной кривизной kn линии на поверхности
называют величину проекции вектора кривизны kn
на нормаль к поверхности. Нормальные кривизны
всех линий, идущих через заданную точку в задан-
ном направлении, равны.
1. И ЮРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
ИЗ
Имеет место формула
kn=k cos(n, т) = —
Ф1
(1)
Сечение поверхности плоскостью, проходящей че-
рез нормаль к поверхности и касательную к линии
(нормальное сечение), в заданной точке имеет
кривизну, равную |&п|. Если направление вектора
т выбрать так, чтобы угол (n, т) был острым,
то формулу (1) можно записать в виде
A? = 7?ocos0,	(2)
где 7?=—, Rq=  Формула (2) называется
/V	I /V72 I
формулой Менье.
Если нормальные кривизны всевозможных линий,
проведенных через данную точку М поверхности,
равны, то точка М называется точкой округления
(или омбилической). Для того чтобы точка на по-
верхности была точкой округления, необходимо и
достаточно, чтобы в ней
L _ Л4 _ N
Е~ F~~G'
Частным случаем точки округления является точка
уплощения, которая характеризуется тем, что в ней
кривизна нормального сечения равна нулю во всех
направлениях.
Главными направлениями в заданной точке поверх-
ности называются направления, которые опреде-
ляются дифференциалами, удовлетворяющими
уравнению
Ldu-\-Mdv Mdu-\-Ndv
Edu-[-Fdv Fdu-\-Gdv
Кривизны нормальных сечений, соответствующих
главным направлениям, имеют экстремальные
। >	' > /6
114 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
значения и называются главными кривизнами.
Их находят из уравнения
(JEG—F2)k2—(EN+LG—2FM)k+LN—M2 = 0.
Если точка не является точкой округления, то в ней
существуют два взаимно перпендикулярных глав-
ных направления. Соответствующие главные кри-
визны ki и kz связаны с кривизной произвольного
нормального сечения формулой Эйлера
kn — ki cos2 <р+kz sin2 ср,
где ср — угол между направлениями, соответствую-
щими нормальным кривизнам ki и kn.
В точке округления любое направление является
главным.
Главные направления характеризуются тем, что
при смещении по поверхности вдоль них верна фор-
мула Родрига
dm=—kdr,
где k — кривизна соответствующего нормального
течения.
/Если от некоторой точки М поверхности отложить
I на касательной к каждому нормальному сечению
j отрезок, равный корню квадратному из радиуса
1 кривизны этого сечения, то получится линия, кото-
\рая называется индикатрисой Дюпена.
Полная (или гауссова) кривизна К поверхности
в точке определяется формулой
Л N—M*
средняя кривизна Н поверхности — формулой
н_ ki+kz _ EN-\-LG—2FM
2	—	2(EG-E2) ‘
Если /С>0, то точка* поверхности называется
эллиптической, если /(<0 — гиперболической, если
К=0 — параболической.
I/ В ЮРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
115
SI7 - Найти вторую квадратичную форму следующих
*27. поверхностей вращения:
(S17) x=f (u)cos v, y=f(u)sin v, z=q(u)—
поверхность вращения с осью вращения Ог;
(SIS) x = R cos и cos v, y = R cos и sin v, z=Rs\nu—
сфера;
(*I9) x= a cos и cos v, y = a cos и sin v, z=c sin и—
эллипсоид вращения;
(*20) x = achucosf, y = a ch и sin v, z=cshu—
однополостный гиперболоид вращения;
(*2I) x = ashwcost), r/ = ashusint\ z=cchw —
двуполостный гиперболоид вращения;
(*22) x = ucos"d, y=usinf, z=u2 —
параболоид вращения;
(.423) x= cos f, y=R sin v, z=u—
круговой цилиндр;
(S2-1) x= u cos	y = u sin v9 z=ku —
круговой конус;
ix= (a-}-b cos u)cos v, y= (a-\-b cos u)sin v,
z = b sin и —
гор;
i u
। %2(>) x = ach — cos
a
y = a ch
— sin v9
a
катеноид;
x = a sin и cos v9 y = a sin и sin v9
псевдосфера.
‘<2.s Найти вторую квадратичную форму прямого гели-
коида
л — ucosv, y~u sin v, z—av.
116 ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ
829.	Показать, чтб при любом выборе криволинейных
координат на плоскости вторая квадратичная фор-
ма тождественно равна нулю.
830.	Если вторая квадратичная форма поверхности
Z=f(x, у)
тождественно равна нулю, то поверхность является
плоскостью или ее частью.
831.	Показать, что уравнения катеноида (задача 637)
можно представить в виде:
х=]/ и2-[-а2 cos v,
у = У u24-a2 sin v,
z=a ln[u+V u2-j-a2].
Найти вторую квадратичную форму катеноида при
указанной параметризации и подсчитать нормаль-
ную кривизну координатных линий.
832.	Найти главные кривизны развертывающейся по-
верхности, образованной касательными к простран-
ственной линии.
833.	Вычислить главные кривизны в вершинах двупо-
лостного гиперболоида
х2	у2	z2
---------------1=0.
а2	Ъ2	с2
834.	Найти главные направления и главные кривизны
прямого геликоида
x=ucost\ y = usint>, z=av.
835.	Доказать, что главные направления прямого гели-
коида делят пополам углы между направлениями
образующей и винтовой линии.
836.	Вычислить главные кривизны поверхности
z=xy
в точке Л4 (1, 1, 1).
837.	Вычислить главные кривизны поверхности
'i 17 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
117
I
838.
в точке М (0, 0, 0).
Показать, что в любой точке поверхности
x=acostf, y = usint\ z=%u
839.
одно из главных нормальных сечении есть прямая.
Найти кривизны нормальных сечений поверхности
У= — *1 2:
а)	в произвольной точке;
б)	в точках линий, получающихся в сечениях по-
верхности Плоскостями z=k, и в направлениях,
идущих по касательным к этим линиям;
в)	в точке М (2, 2, 4) в направлении касательной
к линии
840.
у= — X2, z=x2.
На поверхности
х=u2-\-v2, у—и2—V2, z=uv
Ml.
дана точка
Р(и=1, у=1).
1.	Вычислить главные кривизны поверхности
в точке Р.
2.	Найти уравнения касательных Р7\, РТ2 к глав-
ным нормалщтым сечениям в указанной точке.
3.	Вычислить кривизну нормального сечения, про-
ходящего через касательную к линии и —и2.
Дана поверхность
г = 2х2+	у2.
Л*
1. Найти в начале координат уравнение индикатри-
сы Дюпена.
118 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
842.
2. Вычислить-в начале координат радиус кривизны
нормального сечения, касательная к которому со-
ставляет угол в 45° с осью Ох.
В касательной плоскости точки М поверхности
проведено п прямых, образующих между собой
л
п
равные углы
. Показать, что
843.
844.
845.
846.
847.
848.
849.
где-----нормальные кривизны линий на поверх-
Г г
ности, касающихся данных прямых.
Через вершину М эллипсоида вращения проводят-
ся по нему всевозможные линии. Найти геометри-
ческое место центров кривизны этих линий в точ-
ке М.
Показать, что развертывающиеся поверхности
характеризуются тем, что их полная кривизна во
всех точках равна нулю.
Найти поверхности, для которых вторая квадра-
тичная форма есть полный квадрат.
Показать, что один из главных радиусов кривизны
поверхности вращения равен отрезку нормали,
заключенному между поверхностью и осью вра-
щения.
Найти полную кривизну поверхностей, указанных
в задачах 628—638, как произведение главных
кривизн (не вычисляя квадратичных форм).
Если вращать параболу вокруг директрисы, то по-
лучится поверхность, у которой
где Ri и — главные радиусы кривизны. Доказать.
Найти выражение полной кривизны поверхности,
отнесенной к изотермическим координатам, т. е.
к таким, в которых первая квадратичная форма
имеет вид	е
ds2 = 'k2(du2+dv2').
1. Г. ЮРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
119
n:>(). Найти выражение полной кривизны поверхности,
отнесенной к полугеодезическим координатам, т. е.
к таким, в которых первая квадратичная форма
имеет вид
ds2=du2-\-G (и, v)dv2.
Ь‘>1. Найти полную кривизну поверхности, первая квад-
ратичная форма которой имеет вид
ds2 = du2-\-e2udv2.
к.‘>2. Найти полную кривизну параболоида
N’>3. Показать, что если первая квадратичная форма
поверхности имеет вид
ds2 = du2-\-2 cos со dudv-}-dv2,
го ее полная кривизна вычисляется по формуле
К=
<T>UV
sin (D
Найти полную кривизну поверхности, заданной
уравнением
Г(Х, у, z)=0.
• >. Доказать, что полная кривизна поверхности с пер-
вой квадратичной формой
2_ dx2+dy2
' S ~ (х2+у2+с)2
постоянна.
*'Найти полную кривизну поверхности, образован-
ной главными нормалями пространственной линии.
4• / Найти полную кривизну поверхности, образован-
ной бинормалями пространственной линии.
* Найти полную и среднюю кривизну прямого гели-
коида
120 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
x=ucosv, p=usint>, z=av.
На каких линиях полная кривизна постоянна?
859.	Найти полную и среднюю кривизну поверхности
z=f(x, у).
860.	Найти полную и среднюю кривизну поверхности
вращения
z=f(p),
где р=у х2+у2.
861.	Вычислить среднюю кривизну кругового конуса,
используя формулу Менье.
862.	Найти среднюю кривизну круглого цилиндра, ра-
диус которого равен а.
863.	Пусть поверхность получена от вращения вокруг
оси I линии L, не имеющей точек с нулевой кри-
визной. Если линия L обращена вогнутостью к оси
Z, то поверхность состоит из эллиптических точек,
если выпуклостью — из гиперболических точек.
Доказать.
864.	Найти эллиптические, гиперболические и парабо-
лические точки на торе.
865—	Исследовать характер точек на поверхностях, по-
869. лученных вращением следующих линий:
(865)	синусоида
r/=sin х
вращается вокруг оси Ох;
(866)	синусоида
y = sin х
вращается вокруг оси Оу;
(867)	линия
у=1п х
вращается вокруг оси Ох;
(868)	линия
у=1пх	6
вращается вокруг оси Оу;
S !< 111(М‘ЛЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
121
(КЬЧ) ветвь гиперболы
1, х>0,
вращается вокруг прямой
Лх-\-Ву=0.
Н70 - Исследовать характер точек на следующих поверх-
H7N. ностях второго порядка:
(к /0) эллипсоид;
(Н71) однополостный гиперболоид;
(Н/2) двуполостный гиперболоид;
(МУЗ) эллиптический параболоид;
(Н74) гиперболический параболоид;
(К75) эллиптический цилиндр;
(м/6) параболический цилиндр;
(‘и’/) гиперболический цилиндр;
(H/м) конус.
*79. Определить характер точек поверхности
где и=У х2—у2.
нмо. Найти геометрическое место параболических точек
на поверхности
х = u-[-v, y=uv, z=u3-[-v3.
нм. Показать, что все точки поверхности
x-\-y = z3
параболические.
Доказать, что единственной поверхностью с не-
нулевой полной кривизной, состоящей целиком из
точек округления, является сфера или часть сферы.
Для того чтобы поверхность была сферой, необхо-
димо и достаточно, чтобы вторая квадратичная
форма была пропорциональна первой. Доказать.
122 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
884.	Для того чтобы точка поверхности была точкой
округления, необходимо и достаточно, чтобы корни
уравнения, определяющего главные кривизны,
были равны. Доказать.
885.	Указать геометрический способ построения точек
округления поверхности вращения.
886.	Синусоида
у = sin х
вращается вокруг оси Ох. Найти на поверхности
вращения точки округления.
887—	Найти точки округления следующих поверхностей:
891.
(887)	эллипсоида вращения;
(888)	параболоида вращения;
(889)	эллиптического параболоида;
(890)	трехосного эллипсоида;
(891)	двуполостного гиперболоида.
892.	Показать, что точки округления поверхности
z=uv
находятся на линиях
u = v, u4-l>+1=0.
893.	Доказать, что точки округления характеризуются
равенством Н2=К.
894.	Привести пример поверхности с единственной точ-
кой уплощения.
895.	Привести пример поверхности, на которой точки
уплощения образуют линию.
896.	Доказать, что единственной поверхностью, состоя-
щей целиком из точек уплощения, является плос-
кость или часть плоскости.
и (ОПРЯЖГПНЫЕ СЕТИ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
123
§ 18. Сопряженные сети и асимптотические линии
Одпопараметрическое семейство линий на поверх-
ности, заданное уравнением
v, С)=0,
называется правильным, если через каждую точку
рассматриваемой области проходит одна и только
одна линия семейства. Сетью линий на поверхности
называется совокупность двух правильных се-
мейств, линии которых, пересекаясь, не касаются
друг друга.
Два направления касательных векторов поверхно-
сти в точке М, определяемые дифференциалами
dp' = rudiU-\-rvdiV, d2r = rud2u-\-rvd2v,
называют сопряженными, если удовлетворяется
соотношение
Ld\ud2u-\-M (diUd2v-}-d2udiv) -\-Ndivd2v = 0,
где L, М и N вычислены в данной точке. Два семей-
ства линий, удовлетворяющих этому уравнению
при переменных и и v, образуют сеть, которая на-
зывается сопряженной.
Самосопряженное направление, т. е. направление,
удовлетворяющее в данной точке соотношению
Ldu2+2Mdudv-\- Ndv2—0,	(1)
называется асимптотическим. Асимптотическое на-
правление характеризуется тем, что кривизна нор-
мального сечения в этом направлении равна нулю.
.Пиния па поверхности, удовлетворяющая диффе-
ренциальному уравнению (1), называется асимпто-
шческой. На поверхности, состоящей из эллипти-
ческих точек, ^хш^птотичвски^^титшй^нет^На по-
верхности, состоящей из ДД4пеР&оческих точек,
через каждую точку проходят две асимптотические
. нпшиД^Га^поверхности, состоящей из параболиче-
ских точек, не являющихся точками уплощения,
через каждую точку проходит_одна_дсимптотиче-
ская линия,
124 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
897.	Составить дифференциальные уравнения семейст-
ва линий на поверхности, образующих сопряжен-
ную сеть с семейством координатных линий
u = const. Решить аналогичную задачу для линий
y=const.
898.	Вывести условие сопряженности двух семейств
линий на поверхности, определяемых дифференци-
альным уравнением
Р(и, v)du2+Q(u, v)dudv-\-R(ut v)dv2=Q.
899.	Линии
v2du2—u2dv2=0,
лежащие на геликоиде
x=wcost\ y = usiny, z=av,
образуют сопряженную сеть. Доказать.
900.	Составить дифференциальное уравнение семейства
линий на поверхности, образующих сопряженную
сеть с семейством линий
<р(и, у) =С.
901.	Показать, что координатные линии поверхности
переноса
r=ri(w)+r2(z>)
образуют сопряженную сеть.
902.	Эллиптический параболоид
а b
пересечен плоскостями
х-|-^=С,
где С — произвольная постоянная.
Найти семейство линии, образующих с этими сече-
ниями сопряженную сеть.
IH СОПРЯЖЕННЫЕ СЕТИ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
125
НОЗ. В точке М (1, 1, 1) поверхности
x«/z=l,
найти направление, сопряженное направлению
«(1,-2, 1).
Однопараметрическое семейство линий на поверх-
ности задано дифференциальным уравнением
Л (u, v)du-}-B(u, v)dv = Q.
Найти дифференциальное уравнение семейства
линий, сопряженных с данными.
М)5. На развертывающейся поверхности семейство пря-
молинейных образующих сопряжено с любым одно-
параметрическим семейством линий. Доказать.
Я06. Найти линии, сопряженные семейству линий
х / u-\-v==C,
на косом геликоиде
I x=wcosy, r/ = usiny, z=u-\-v.
1ИГ/. Доказать, что линия на поверхности является
асимптотической тогда и только тогда, когда она
удовлетворяет одному из следующих условий:
а) в каждой ее точке касательная имеет асимпто-
тическое направление;
б)	в каждой точке нормальная кривизна линии
равна нулю;
в)	линия является прямой или в каждой ее точке
соприкасающаяся плоскость совпадает с касатель-
ной плоскостью к поверхности.
Ms Для того чтобы координатные линии на поверхно-
сти были асимптотическими линиями, необходимо
и достаточно, чтобы N—L = Q. Доказать.
инч Найти асимптотические линии псевдосферы. Дока-
зать, что они образуют чебышевскую сеть.
ЬН) Пусть I — асимптотическая линия на поверхно-
сти Ф. Доказать, что характеристики однопарамет-
рическогр семейства касательных плоскостей к цо-
126 ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ
верхности Ф* вдоль линии I совпадают с касатель-
ными к линии /.
911.	Составить дифференциальное уравнение асимпто-
тических линий поверхности вращения.
912.	Найти асимптотические линии катеноида
x=chucosL’, у=ch и sin v, z=u.
913.	Исследовать асимптотические линии тора.
914.	Найти асимптотические линии прямого геликоида.
915.	Найти асимптотические линии однополостного
гиперболоида.
916.	Прямая перемещается параллельно плоскости хОу,
пересекая ось Oz и линию
x = у = и2, z=u3.
Найти асимптотические линии поверхности, описы-
ваемой этой прямой.
917.	Показать, что линия
2	2
2=/
является асимптотической линией поверхности
_ J______1
X2 у2'
918.	На поверхности, образованной главными нормаля-
ми пространственной линии, эта линия является
асимптотической. Доказать.
919.	Повер хность называется минимальной, если ее
средняя кривизна тождественно равна нулю.
Показать, что на минимальной поверхности сеть
асимптотических линий ортогональна, т. е. во всех
точках линии одного семейства ортогональны ли-
ниям другого.
920.	Если в некоторой точке поверхности средняя кри-
визна равна нулю, то асимптотические направле-
ния индикатрисы Дюпена взаимно перпендику-
лярны. Доказать.
। . и 11 mu кривизны
127
м? I. Показать, что на плоскости любая линия является
асимптотической, и, обратно, поверхность, на
которой любая линия является асимптотической,
есть плоскость, либо часть плоскости.
Показать, что на поверхности, параллельной дан-
ной, линии, соответствующие асимптотическим
линиям данной поверхности, будут асимптотиче-
скими тогда и только тогда, когда данная поверх-
ность развертывающаяся.
§ 19.	Линии кривизны
Линия на поверхности, удовлетворяющая диффе-
ренциальному уравнению
Ldu-\-Mdv Mdu-\-Ndv
Edu-\-Fdv Fdu -\-Gdv
называется линией кривизны. Через каждую точку
поверхности, не являющуюся точкой округления,
проходят две взаимно перпендикулярные линии
кривизны.
N’A’L Доказать, что линия на поверхности является ли-
нией кривизны тогда и только тогда, когда выпол-
няется одно из следующих условий:
а)	линия в каждой своей точке идет по главному
направлению;
б)	нормальная кривизна в каждой ее точке равна
одной из главных кривизн;
в)	нормали к поверхности вдоль линии образуют
развертывающуюся поверхность.
Найти линии кривизны следующих поверхностей:
ч U
• ’’I) произвольной цилиндрической поверхности;
। ’ 1 о произвольной конической поверхности;
> •’о) произвольной поверхности вращения;
। » ’ ) поверхности
\ -rz24-L»2, у = и2—v2, z=v;
1 произвольной развертывающейся поверхности;
128 ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ
(929)	поверхности, образованной касательными про-
странственной линии;
(930)	прямого геликоида;
(931)	эллиптического параболоида.
932.	На плоскости и сфере любая линия является ли-
нией кривизны. Доказать.
933.	Доказать, что координатные линии поверхности
являются линиями кривизны тогда и только тогда,
когда F=M = 0.
934.	Показать, что координатные линии поверхности
x=3u—u3-|-3uy2, г/=у3—Зи2у—Зу, z=3(u2—и2)
являются линиями кривизны.
935.	Доказать, что прямолинейная образующая косой
линейчатой поверхности не может быть линией
кривизны.
936.	Найти огибающую семейства нормалей поверхно-
сти, проведенных в точках линии кривизны.
937.	Доказать, что в области гиперболических точек
поверхности линии кривизны в каждой точке делят^
пополам углы между асимптотическими линиями.
938.	Показать, что линиям кривизны поверхности S на
параллельной ей поверхности также соответствуют
линии кривизны.
939.	Выяснить, при каких условиях ортогональной сети
на данной поверхности будет соответствовать орто-
гональная сеть на параллельной ей поверхности.
940.	При каком условии система круговых, сечений
эллипсоида является системой линий кривизны?
941.	На любой поверхности существует единственная
сопряженная ортогональная сеть, совпадающая
с линиями кривизны поверхности. Доказать.
942.	Для того чтобы линия кривизны некоторой поверх-
ности, по которой она пересекает другую поверх-
ность, была линией кривизны и этой последней,
необходимо и достаточно, чтобы эти поверхности
пересекались под постоянным углом. Доказать.
'•> I I ОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
129
§ 20. Геодезические линии
Геодезической линией на поверхности называют
линию, в каждой точке которой.нормаль к поверх-
ности является главной нормалью линии.
Если координатная сеть ортогональна, то диффе-
ренциальные уравнения геодезических линий име-
ют вид
Считая, что dv=^=0, эту систему можно заменить
одним уравнением
Будут ли при этом линии L» = const геодезическими,
следует проверить, исходя из системы (1).
Через каждую точку поверхности в заданном на-
правлении проходит единственная геодезическая
линия.
Геодезической кривизной линии на поверхности
в данной точке называется длина проекции вектора
кривизны линии kn на касательную плоскость
к поверхности в этой точке.
Геодезическим кручением, соответствующим дан-
ному направлению, называется кручение геодези-
ческой линии, проходящей по этому направлению.
Если на поверхности криволинейные координаты
выбраны так, что одно семейство координатных
линий состоит из геодезических, а второе — из их
ортогональных траекторий, причем одна из криво-
линейных координат совпадает с длиной дуги ко-
ординатных линий первого семейства, то система
130 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
координат является полугеодезической. В такой
системе координат первая квадратичная форма
имеет вид
ds2=du2-\-G (w, v)dv2.
943.	Доказать, что геодезическая линия на поверхности
вполне характеризуется одним из следующих
свойств:
а)	в каждой точке линии нормаль к поверхности
является главной нормалью линии;
б)	в каждой точке линии нормаль к поверхности
лежит в соприкасающейся плоскости линии;
в)	в каждой точке линии ее геодезическая кривиз-
на равна нулю;
г)	в каждой точке линии ее кривизна равна абсо-
лютной величине нормальной кривизны;
д)	в каждой точке линии ее спрямляющая плос-
кость совпадает с касательной плоскостью к по-
верхности.
944.	Доказать, что всякая прямая на поверхности
является геодезической линией.
945.	Две поверхности касаются по линии I. Доказать,
что если I — геодезическая линия на одной поверх-
ности, то она должна быть геодезической и на дру-
гой поверхности.
946.	Показать, что дифференциальное уравнение гео-
дезических линий поверхности
г = г(и) у)
можно представить в виде
(Nd7d27) =0,
где N — вектор нормали поверхности.
947.	Доказать, что геодезическими линиями плоскости
являются прямые, и только они.
948.	Доказать, что геодезическими линиями цилиндри-
ческой поверхности являются прямолинейные об-
разующие и обобщенные винтовые линии, и только
они.
’() 1 ЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
131
949.	Доказать, что меридианы поверхности вращения
являются геодезическими линиями.
950.	Доказать, что параллель поверхности вращения
будет геодезической тогда и только тогда, когда
касательная к меридиану в ее точках параллельна
оси вращения.
951.	Найти геодезические линии на сфере.
952.	Доказать, что геодезическая линия является асим-
птотической тогда и только тогда, когда она
прямая.
953.	Доказать, что геодезическая линия является лини-
ей кривизны тогда и только тогда, когда она
плоская.
951. Огибающая спрямляющих плоскостей геодезичес-
кой линии на развертывающейся поверхности есть
данная поверхность. Доказать.
955.	Вектор Дарбу геодезической линии на разверты-
вающейся поверхности направлен по образующей
в данной точке. Доказать.
956.	На поверхности, огибающей спрямляющие плоско-
сти пространственной линии, она является геоде-
зической. Доказать.
957.	Доказать, что геодезическая кривизна линии на
поверхности может быть вычислена по формуле
kg=\ (mrr) |,
где т — единичный вектор нормали к поверхности.
95S. Доказать, что геодезическая кривизна равна кри-
визне проекции линии на плоскость, касающуюся
поверхности в данной точке линии.
959— Найти геодезическую кривизну:
’Mil.
окружности радиуса г, лежащей на сфере ради-
уса /?;
|'М)0) винтовых линий u = const, лежащих на прямом
/ геликоиде
x=ucos^, у = и sin v, z—av\
।' Hi I) линий u = const и f = const на поверхности
x — u cos у, r/=usin и,
132 ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ
962. Показать, что. геодезическая кривизна в точках
асимптотической линии равна ее кривизне.
963. Доказать, что геодезическое кручение линии на
поверхности может быть вычислено по формуле
(r/nm),
где т — единичный вектор нормали к поверхности.
964. Для того чтобы линия на поверхности была ли*
нией кривизны, необходимо и достаточно, чтобы
в каждой ее точке геодезическое кручение равня-
лось нулю. Доказать.
965. Показать, что геодезическое кручение в точках
асимптотической линии равно кручению асимпто-
тической линии.
966, Н айти геодезические линии:
967.
(966) прямого геликоида;
(967) псевдосферы.
968. Поверхностью Лиувилля называется поверхность,
первая квадратичная форма которой может быть
приведена к виду
ds2= (J (u) +(p(t’)) (du24-dL»2).
Показать, что геодезические линии поверхности
Лиувилля задаются уравнениями
f du	f dv
J /tz 4  ' = ± J 	.	+ 6>
T<p(v)—a
где а и b — произвольные постоянные.
969. Доказать, что на поверхности вращения вдоль
любой геодезической линии выполняется соотно-
шение
р cos ц=с,
где р — расстояние точки геодезической от оси
вращения, р — угол между геодезической и парал-
лелью, с — постоянное для данной геодезической
число (теорема Клеро).
< •ЮЬРЛЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
133
Верна ли обратная теорема, т. е. следует ли из
выполнения указанного соотношения вдоль неко-
торой линии на поверхности вращения утвержде-
ние о том, что эта линия геодезическая?
*В‘О Пользуясь теоремой Клеро, исследовать поведение
м/2. геодезических линий следующих поверхностей:
('по) эллипсоида вращения;
I’Ll) однополостного гиперболоида вращения;
i'L‘2) тора.
’L’3. Если через точку Л1о поверхности по всевозможным
направлениям провести геодезические линии и от-
ложить на них, начиная от точки Л1о, дуги равной
длины, то геометрическое место концов этих
дуг есть ортогональная-траектория геодезических.
Доказать.
21. Отображения поверхностей
Пусть S — некоторая поверхность. Если отклады-
вать единичные векторы пг нормали к поверхности,
соответствующие всем ее точкам, от фиксирован-
ной точки О, концы их заполнят некоторое множе-
ство S' на единичной сфере с центром в точке О.
Отображение поверхности S на множество S' на-
зывается сферическим отображением поверхно-
сти S.
Взаимно однозначное отображение поверхности S
на поверхность S' называют изометрическим, если
длина любой линии на поверхности S равна длине
соответствующей линии на поверхности S'. О таких
двух поверхностях говорят, что они наложимы друг
на друга. Для того чтобы поверхности были нало-
жимы, необходимо и достаточно, чтобы их первые
квадратичные формы в соответствующих системах
криволинейных координат совпадали.
Отображение поверхности S на поверхность S'
называют конформным, если угол между любыми
двумя линиями на поверхности S равен углу между
соответствующими линиями на поверхности S'.
134 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
Для существования конформного отображения
одной поверхности на другую необходимо и доста-
точно, чтобы коэффициенты первых квадратичных
форм этих поверхностей в соответствующих систе-
мах криволинейных координат были пропорцио-
нальными.
974-- Найти множества точек на сфере, в которые ото-
987. бражаются указанные ниже поверхности при их
сферическом отображении:
(974)	сфера;
(975)	эллипсоид;
(976)	эллиптический параболоид;
(977)	однополостный гиперболоид вращения;
(978)	двуполостный гиперболоид вращения;
(979)	эллиптический цилиндр;
(980)	параболический цилиндр;
(981)	гиперболический цилиндр;
(982)	круговой конус;
(983)	катеноид;
(984)	псевдосфера;
(985)	тор;
(986)	цилиндр у=х3;
(987)	прямой геликоид.
988.	Доказать, что при сферическом отображении толь-
ко развертывающиеся поверхности отображаются
в линию.
989.	Доказать, что линия / поверхности и ее сферичес-
кое отображение I' имеют в соответствующих точ-
ках перпендикулярные касательные тогда и только
тогда, когда I есть асимптотическая линия.
990.	Доказать, что сферическое отображение плоской
линии кривизны поверхности есть окружность.
991.	Доказать, что при сферическом отображении по-
верхности линия I на поверхности и ее образ /'
будут иметь параллельные касательные в соответ-
ствующих точках тогда и только тогда, когда I —
линия кривизны.
I ОЮЬРАЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
135
'>’>2. Доказать^ что любая цилиндрическая поверхность
наложима на плоскость
993.	Доказать, что любая коническая поверхность на-
ложима на плоскость.
994.	Доказать, что поверхность, образованная каса-
тельными к пространственной линии Z, наложима
на плоскость.
995.	Доказать, что только развертывающиеся поверх-
ности наложимы на плоскость.
996.	Что можно сказать о поверхности, у которой пер-
вая квадратичная форма имеет вид
ds2=E (u)du2-}-G (y)dv2?
997.	У каких поверхностей коэффициенты первой квад-
ратичной формы могут быть преобразованы в по-
стоянные?
99(4. Доказать, что при наложении поверхностей геоде-
зические линии переходят в геодезические.
999. Если на поверхности существуют два семейства
геодезических линий, таких, что геодезические ли-
нии одного семейства пересекают под постоянным
углом геодезические другого семейства, то поверх-
ность есть развертывающаяся. Обратно, у любой
развертывающейся поверхности существуют се-
мейства геодезических линий, обладающие указан-
ным свойством. Доказать.
Нию. Доказать, что соприкасающиеся плоскости геоде-
зической линии на конической поверхности одина-
ково удалены от вершины конической поверхности.
Обратно, линии на конической поверхности, обла-
дающие указанным свойством, являются геодези-
ческими.
НИН. Доказать, что две поверхности одинаковой посто-
янной полной кривизны наложимы друг на друга.
1992. Доказать, что всякая поверхность постоянной по-
ложительной полной кривизны наложима на сферу.
Доказать, что всякая поверхность постоянной от-
рицательной полной кривизны наложима на псев-
досферу.
1001. Доказать, что прямой геликоид наложим на кате-
ноид.
136 ГЛАВА 4 ПОВЕРХНОСТИ
1005.	Доказать, что при наложении геликоида на кате-
ноид линии кривизны одной поверхности переходят
в асимптотические линии другой и наоборот.
1006.	Доказать, что поверхности, наложимые на поверх-
ности вращения, являются поверхностями Лиу-
вилля.
1007.	Доказать, что любую поверхность вращения можно
конформно отобразить на плоскость.
1008.	Отображение одной поверхности на другую назы-
вается эквиареалъным, если соответствующие при
этом отображении области имеют одинаковые пло-
щади.
Доказать, что если отображение одной поверхности
на другую конформно и эквиареально, то оно изо-
метрическое.
§	22. Метод подвижного репера в теории поверхностей
Будем записывать уравнение поверхности (Л) от-
носительно фиксированного ортонормированного
репера в виде
Л=Л(и1, и2),
где и1, и2 — криволинейные координаты, А — ра-
диус-вектор текущей точки А поверхности (Л).
Пусть (Л, et, е2, е3) — подвижный ортонормирован-
ный репер с началом в точке Л.
Дифференциал функции Л (и1, и2) будем записы-
вать в виде
- дА
dA= ——
ди'
дА , о дА .
——- аи2= -— аиа,
ди2 диа
дА
а разложение векторов
ди1'
дА
—- по базисным век-
ow2
торам подвижного репера в виде
дА
ди'
= а\ 614-а2 е2+аз е3=а* eif
ЛI I ОД ПОДВИЖНОГО РЕПЕРА В ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
137
дА
ди2
^а1ех+а2е2-+-а3 е3=а\вг,
Ci	ц	и	и
где а\, а\ — функции от и1 и и2.
Всюду в дальнейшем мы будем считать, что индек-
сы /, /, k принимают значения 1, 2, 3, а индексы
а, р — значения 1, 2, и подразумевать суммирова^
пне во всяком выражении, содержащем два одина-
ковых индекса, если один из них находится вверху,
а другой внизу тех букв, при которых они постав-
лены.
Перепишем формулы (1) в виде
г/71 = со^г,	(2)
где
= dua. )
а
Вели в каждой точке А поверхности (Л) выбран
определенный репер (Л, е1} е2, е3), то
ct = et(u\ и2)
и
(1а = ^е^	(3)
V
где ed. =ai dua (ai — функции от и1 и u2).
Уравнения (2) и (3) называют уравнениями диф-
ференциальных перемещений репера (Л, е^ е2, е$)
по поверхности (Л).
Условимся
1 и цы:
записывать их в виде следующей таб-
ei е2 е3
(ГА	(О1	(D2	(О3
dc\	со1-	со2	со3
111
со1	со2	со3
и	и	L
de-\	(О*	(D2	(О3
3	3	3
(4)
138 ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ
Вектором на поверхности называют вектор, задан-
ный в какой-нибудь точке поверхности и лежащий
в касательной плоскости к поверхности в этой
точке. Его можно представить в виде
а = ааеа.
Если вектор а задан в каждой точке поверхности,
то
аа=~-аа(и1, и2),
и используя формулы (4), получим
=	еа+а^^е3.	(5)
Абсолютным дифференциалом Da вектора а при
переходе из точки А в бесконечно близкую точку А'
поверхности называется ортогональная проекция
вектора da на касательную плоскость к поверхно-
сти в точке А, т. с.
Da-=^	(6)
Вектор а называется параллельно переносимым по
поверхности вдоль линии
ua=ua(Z),
если вдоль этой линии Da = Q.
1009.	Доказать, что матрица (ой)—кососимметриче-
ская.
1010.	Если в каждой точке А поверхности (Л) коорди-
натная плоскость Aeiе2 совпадает с касательной
плоскостью к поверхности, то в уравнениях (4)
со3 = 0. Доказать.
1011.	Каким условиям будут удовлетворять со*, со*
в уравнениях (4), если в каждой точке А поверх^
ности (Л) координатные оси Леь Ае2 направлены’
по касательным к линиям кривизны?
1012.	Если векторы е^ и е2 в каждой точке касаются ко-
х\Г ГОД ПОДВИЖНОГО РЕПЕРА В ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 139
ординатных линий, то со1 и со2 можно представить
в виде
(о1 = ]/ g-ц (и1, и2) du1, |
^(w1, u2)du2. J
НИЗ. Показать, что систему уравнений (4) относительно
ортонормированного репера (Л,	е2, ез), оси ко-
торого Aei и Ле2 в каждой точке А поверхности (Л)
направлены по касательным к линиям кривизны,
принятым за координатные линии, можно написать
в виде	1
62
dA	l/gudul	ig22du2	0	(8)
d?\	0	qilgudu' + q^gttdu2 p^gudu1
de> —qiigndui—q2yg22du2	0	P2^g22du2
de3 —piigudu1	—P2^g22du2	0
1014. Показать, что уравнения (8) равносильны сле-
дующей системе уравнений
АЛ АД t
де' /----------, /--------
==qi
= Яг Уй'ггбг,
де2 :-----------
= —Р2 ^§22.22-
СТ
де3
ди1
= —Р\
НИЗ. Система дифференциальных уравнений вида
140 ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ
называется вполне интегрируемой, если выполнены
условия
д2Ь< _ d2bj
диади$ ди$диа *
Она характеризуется существованием единствен-
ного решения при задании начальных условий
bi(u\, и2) = 6°.
v о ’ о7 i
Показать, что условия полной интегрируемости
системы (9) имеют вид
д Vp’h -------------- д т/р’??	------
~^77	h<7i Vg'iig'22=0, —л	- =qz '\'gngz2,
1'1'	[/С
dqt ign dq2 ]g->2	,-----
du2 du1 —PlP2^Sug22,
dpiigu ,	.----- n dpz^gzz ,-------------------
----------VP^qil/gllg22 = 0, -----r—----= Plp2)lgMg22-
(10)
Выяснить геометрический смысл начальных усло-
вий.
1016.	Если уравнения дифференциальных перемещений
репера (Л, е^ е2, е3) по поверхности (Л) имеют
вид (8), то первая квадратичная форма поверхно-
сти будет
dA2=giidu^A-g^du22.
Доказать.
1017.	Если уравнения дифференциальных перемещений,
репера (Л,	е2, в3) по поверхности (Л) имеют
вид (8), то вторая квадратичная форма поверено-!,
сти будет	*
Ф2=e3d2A = р ig iYd и12+p2g22d и22.	«
Доказать.	*
1018.	Показать, что pi и р2 в уравнениях (8) есть глав*
ные кривизны поверхности (Л) в точке Л.
1
‘j 22 МЕТОД ПОДВИЖНОГО РЕПЕРА В ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
141
1019.	Показать, что линейчатая поверхность, состоящая
из касательных к линиям кривизны и1, в точках
линии кривизны и2 — развертывающаяся, и ее реб-
ро возврата касается оси Aei в точках с радиус-
Г	1 - А
вектором А-----et. Аналогично поверхность каса-
Q2
тельных к линиям и2 в точках линии и1 — развер-
тывающаяся, и ее ребро возврата касается оси Ае2
-г ,1 -
в точке с радиус-вектором Л-|---е2.
Qi
1020.	Доказать формулу Эйлера
kn = pi cos2 ф+/?2 sin2 ср.
1021.	Показать, что уравнение индикатрисы Дюпена
можно представить в виде
Р1Х2+Р2У2=±\.
1022.	Показать, что полная кривизна поверхности зави-
сит только от коэффициентов первой квадратичной
формы и может быть выражена формулой
1	| д / 1 dj/gn \ __
~]/gug22 1 ди2 Х	ди2
д / 1 д yg22 \ 1
ди1	ди1
1023.	Доказать, что квадрат кручения асимптотической
линии поверхности в каждой ее точке равен полной
кривизне поверхности в этой точке, взятой с обрат-
ным знаком (теорема Бельтрами — Эннепера).
1024.	Показать, что геодезическая кривизна линий кри-
визны в точке А выражается по формулам:
kg I du,=0=4u kg | du,=o=— q2.
1025.	Показать, что уравнение геодезических линий на
поверхности имеет вид
gjWco2—co2d(o14~ (^ico^^co2) ((ot2+(o22) — 0,	(ll)
142 ГЛАВА 4. ПОВЕРХНОСТИ
где
СО1 = УйЪ^1, «2 = ]/g22<^2.
1026.	Доказать, что при параллельном перенесении век-
торов по поверхности длины векторов и углы меж-
ду ними сохраняются.
1027.	Для того чтобы линия на поверхности была геоде-
зической, необходимо и достаточно, чтобы ее еди-
ничный касательный вектор был параллельно пере-
носимым вдоль этой линии. Доказать.
1028.	Если единичный вектор на поверхности
а=ааеа
параллельно переносится по поверхности (Л) вдоль
некоторой линии, причем
a ei = cos ср,
то
—б/ф=со2 =71	l/gzzdu2.	(12)
Доказать.
1029.	Угол поворота вектора на поверхности при парал-
лельном обнесении его по границе L односвязной
области D на поверхности равен интегральной кри-
визне этой области, т. е.
Дф= JJ/(dcF.
D
Доказать.
1030.	Интегральная кривизна односвязной области D
поверхности, ограниченной гладким контуром L,
и интегральная геодезическая кривизна этого кон-
тура связаны соотношением
JJ Kdo-\- $ Kgds = 2n. в
D	L
Доказать.
§ 23 РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
143
1031.	Пусть D — односвязная область на поверхности,
ограниченная криволинейным многоугольником L.
Тогда
п
JJ Kdo+ $ kgds +	аг = 2л,
D	L	г=1
где ai, аг, .. . , ап -L внешние углы многоуголь-
ника L (теорема Гаусса — Бонне). Доказать.
1032.	Если область D на поверхности ограничена геоде-
зическим треугольником ABC <jBC, <jCA—
геодезические) и его внутренние углы соответст-
венно а, р, у, то
а+Р+у=лН- JJ Kdo.
D
Доказать.
1033.	На поверхностях, во всех точках которых полная
кривизна не положительна, не может быть замкну-
той геодезической линии.
§ 23. Разные задачи
1034.	Все точки поверхности
2х24-3//24~4г2—2х//—4x4-18//—162=0
ортогонально проектируются на координатные пло-
скости. Какие области заполнят проекции?
1035.	Если поверхность касается плоскости вдоль неко-
торой линии, то каждая точка этой линии является
параболической точкой поверхности. Доказать.
1036.	Показать, что если нормали к поверхности вдоль
линии I параллельны, то все точки линии I являют-
ся параболическими точками поверхности.
1037.	Если при сферическом отображении поверхности S
каждая асимптотическая линия одного семейства
изображается большой окружностью, то S — косая
линейчатая поверхность. Доказать.
1038.	Доказать, что плоскость и катеноид являются един-
144 ГЛАВА 4- ПОВЕРХНОСТИ
ственными минимальными поверхностями враще-
ния.	,
1039.	Доказать, что среди линейчатых поверхностей
единственной минимальной поверхностью (отлич-
ной от плоскости) является прямой геликоид.
1040.	Н айти все минимальные поверхности, которые мо-
гут быть заданы уравнением вида
Z —
1041.	Пусть
г = г(и, у) —
уравнение поверхности S, а
г* = г-[-ат —
уравнение параллельной ей поверхности S*. Выра-
зить полную и среднюю кривизну поверхности S*
через полную и среднюю кривизну поверхности S.
1042. Дана поверхность постоянной средней кривизны 7/,
отличной от нуля. На всех ее нормалях отложены
отрезки 1:2//. Доказать, что полная кривизна по-
строенной таким образом параллельной поверхно-
сти постоянна.
1043.	Доказать, что для средней кривизны поверхности S
имеет место формула
тг	ds—ds*
/7=lim———,
а->о 2ads
где ds и ds* — соответствующие элементы площади
параллельных поверхностей S и S*.
1044.	Доказать, что площадь любого куска минимальной
поверхности не может быть меньше соответствую-
щего куска параллельной поверхности.
1045.	Доказать, что предел отношения площади сфери-
ческого изображения поверхности S к площади
соответствующей области поверхности S по вели-
чине и знаку равен полной кривизне поверхности.
i L4 РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
145
1046.	Доказать, что если один из главных радиусов кри-
визны поверхности постоянный, то поверхность
есть огибающая семейства сфер постоянного ра-
дйуса, центры которых лежат на некоторой линии.
1047.	Д^на система прямых
/3
x=tz+p, y=pz+ —
О I
где t и р — переменные параметры. При какой за-
висимости между р и t эти прямые образуют раз-
вертывающуюся поверхность?
Найти геометрическое место ребер возврата таких
поверхностей. Найти линии пересечения этих по-
верхностей с плоскостью хОу.
1048.	Круговой цилиндр пересечен плоскостью, не парал-
лельной его оси. В какую линию перейдет линия
пересечения при наложении цилиндра на плос-
кость?
1049.	Даны сфера и прямая d. Найти ортогональные
траектории сечений, образованных на сфере плос-
костями, проходящими через прямую d.
1050.	Если на материальную точку, принужденную дви-
гаться по некоторой поверхности, не действуют
внешние силы, то она будет двигаться по геодези-
ческой. Доказать.
1051.	Подэрой поверхности по отношению к данной точке
называется геометрическое место оснований пер-
пендикуляров, опущенных из данной точки на каса-
тельные плоскости поверхности.
Найти подэру поверхности
F(x, у, г)=0
по отношению к началу координат.
1052—	Найти подэры следующих поверхностей по отно-
1054. шению к началу координат:
(1052) —4-8-^-+8'—=1, 8, е'=±1;
а2 о2 с2
(1053)----|-4-=2г;	(1054) xy=az.
а о
Глава
I
Метрические, аффинные и проективные:
свойства линий и поверхностей
Свойства линий и поверхностей в евклидовом про-
странстве, а также связанные с ними понятия
можно подразделить на метрические, аффинные
и проективные, т. е. такие, которые сохраняются
соответственно при ортогональных, аффинных или
проективных преобразованиях.
Уточним сказанное. Аффинные преобразования
пространства в аффинном репере
{ О, 6f, 62, 63 }
задаются формулами
det(<z\) =7^=0, f, /=1, 2, 3,
(О
(2)
где х1, х2, х3 — координаты произвольной точки М,
т. е. коэффициенты в разложении
ОМ=хге^
а х1, х2, х3 — координаты точки Л4, являющейся
образом точки М при рассматриваемом аффин-
ном преобразовании.
Если репер (1) ортонормирован, а матрица (агД
ортогональна, то формулы (2) задают ортогональ;
ные преобразования (движения в комбинации
с зеркальными отражениями).
Аналогично задаются аффинные и ортогональные
преобразования плоскости.
Пополнив евклидово пространство несобственны-
ми элементами, мы получим проективное прост-
ранство. Для изучения проективного пространства
его удобно представлять следующим образом.
Пусть	,
х°, х1, х2, Xs —	(3)
 I\1>А 5. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
147
вещественные числа, не равные одновременно
йулю. Рассмотрим множество (класс) всех упоря-
доченных четверок вещественных чисел, пропор-
циональных четверке (3)
(х0:*1:*2:*3).
Каждый такой класс будем называть геометриче-
ской тЬчкой и обозначать А1(а?), а любого пред-
ставителя этого класса — аналитической точкой
М(х*).
Множество всех геометрических точек является
моделью трехмерного вещественного проективно-
го пространства. Множество всех аналитических
точек, дополненное нулевой точкой (0, 0, 0, 0), об-
разует четырехмерное вещественное векторное
пространство с обычными операциями сложения
аналитических точек и умножения их на веще-
ственные числа:
м (х*)	(t/9 =£ f
аМ(х^) = /<(ахг)-
Прямая в проективном пространстве, проходящая
через точки Л (а*) и В(6*), задается уравнением
X = аА-(- рВ,
где X— текущая точка прямой, а параметры а
и р принимают всевозможные вещественные зна-
чения, не равные одновременно нулю.
Плоскость, проходящая через точки Л(<г),
и С (с1), задается уравнением
X = <%А +рВ -[~уС,
или
Х° X1 X2 X3
а0 а1 а2 а3
Ь° bi Ь2 Ь3
с° с1 с2 с3
148 ГЛАВА 5. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
-----------------------------------------------/------
/
или, короче,	'
|ХЛ ВС\=0.
Проективные преобразования задаются форму-
лами:
х* = xi
det (ссг’.) 0, i, / = 0, 1, 2, 3.
Аналогичным образом вводятся соответствующие
понятия на проективной плоскости.
Линию в проективном пространстве или на проек-
тивной плоскости можно задать соответственно
уравнениями
i—о, 1, 2, 3,
х*=х*(С),	1=0, 1, 2,
или, короче,
а поверхность — уравнениями
х*=х*(и, у), i = 0, 1, 2, 3,
или
М—М (и, у).
1055. Показать, что уравнение касательной к линии
М=М(/)
в произвольной ее точке можно задать в виде
X = аМ-рр
dM
dt ’
1056. Показать, что уравнение касательной плоскости
к поверхности	е
М = М (и, v)
ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ 149
ГЛА^А 5
----\--
(
в произвольной ее точке можно задать в виде
IXMMuMvl=0,
где Ми =
дМ
ди ’
Mv=
дМ
dv
1057.
1058.
1059.
1060.
1061.
1062.
1063.
1064—
1082.
(1064)
(1065)
(1066)
(1067)
(1068)
(1069)
Показать, что понятие касательной плоскости к
поверхности — проективное, т. е. касательная пло-
скость к поверхности при проективном преобра-
зовании переходит в касательную плоскость к пре-
образованной поверхности.
Показать, что понятие касательной к линии —
проективное.
Если однопараметрическое семейство линий на
плоскости или поверхностей в пространстве имеет
огибающую, то семейство, получающееся в ре-
зультате проективного преобразования, также
имеет огибающую, которая является образом оги-
бающей исходного семейства. Доказать.
Показать, что понятие линейчатой поверхности —
проективное.
Доказать, что развертывающаяся поверхность
при проективном преобразовании переходит в раз-
вертывающуюся поверхность, причем ребро воз-
врата исходной поверхности переходит в ребро
возврата преобразованной поверхности.
Доказать, что косая линейчатая поверхность при
проективном преобразовании переходит в косую
линейчатую поверхность.
Показать, что понятие соприкасающейся плоско-
сти линии — проективное.
Выяснить, будут ли указанные понятия метриче-
скими, аффинными или проективными:
плоская линия;
кривизна линии;
эволюта плоской линии;
кручение линии;
нормаль линии;
бинормаль линии;
150 ГЛАВА 5. ГРУППОВЫЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
(1070)	нормальная плоскость линии;
(1071)	спрямляющая плоскость линии;
(1072)	сопряженные и асимптотические направления
в данной точке поверхности;
(1073)	асимптотические линии на поверхности;
(1074)	линии кривизны на поверхности;
(1075)	геодезические линии на поверхности;
(1076)	полная кривизна поверхности;
(1077)	средняя кривизна поверхности;
(1078)	поверхность нулевой полной кривизны;
(1079)	поверхность нулевой средней кривизны (мини-
мальная поверхность);
(1080)	эллиптические, гиперболические и параболичес-
кие точки поверхности;
(1081)	точки округления поверхности;
(1082)	точки уплощения поверхности.
1083.	Найти огибающую семейства прямых, соединяю-
щих концы пар сопряженных диаметров эллипса.
1084.	Найти уравнение огибающей семейства прямых,
проходящих через пары точек эллипса
а2 1 Ь2
таких, что вместе с центром эллипса они опре-
деляют эллиптические секторы постоянной пло-
щади S.
1085.	Найти уравнение огибающей семейства прямых,
отсекающих от двух пересекающихся под углом
2а прямых треугольники постоянной площади S.
1086.	Найти огибающую семейства прямых, отсекаю-
щих от данной параболы у=ах2 сегменты по-
стоянной площади S.
1087.	Доказать, что геометрическое место касательных
к асимптотическим линиям косой линейчатой по-
верхности вдоль одной образующей поверхности
есть однополостный гиперболоид или гиперболи-
ческий параболоид.
Глава
6
Элементы теории поля
§ 24. Скалярное поле
Скалярное поле определяется скалярной функ-
цией
J
и = и(Р)=и(х, у, z)=ti(r'),
где Р(х, у, z) —точка пространства и
r=xi-[-yj-[-zk —
ее радиус-вектор.
Поле и=и(Р') называется плоским, если суще-
ствует такая система координат, что функция и
фактически не зависит от z, т. е.
u=u(x, у).
Такое поле принимает одинаковые значения на
каждой прямой, параллельной оси Oz, поэтому
его обычно рассматривают только в плоскости
хОу.
Поверхности
«(*, У, z)=C,
где С=const, называются поверхностями уровня
скалярного поля,
В случае плоского поля поверхности уровня
и(х,у)—С	(1)
являются цилиндрическими поверхностями с об-
разующими, параллельными оси Oz.
Если плоское поле рассматривать только на плос-
кости хОу, то уравнение (1) определяет совокуп-
ность его линий уровня.
Если функция
и(г)=ы(х, у, г),
определяющая скалярное поле, непрерывно диф-
152 ГЛАВА 6 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
ференцируема, то градиентом этого поля назы-
вается вектор
ди — ди —
"V- /4" тт-
ду dz
Градиент поля и в данной точке Р(х, у, г) направ-
лен по нормали к поверхности уровня
у, г)=С,
проходящей через точку Р. Этот вектор для каж-
дой точки поля по величине
и // ди \2	/ ди \2 / ди \2
' ду ' + ' dz '
и направлению дает наибольшую скорость изме-
нения функции и.
Градиент скалярного поля обозначают также сим-
волом Vu, где знак V читается «набла». Таким
образом
V	можно рассматривать как дифференциальный
оператор (оператор Гамильтона)
—	— д — д — д
V	= I — |-/ ~ \~k —",
дх ду dz
который будучи применен к скаляру и, дает
grad и. Этот оператор удобно рассматривать как
символический вектор и применять к нему обыч-
ные правила векторной алгебры. Например,
— д д д
гУ=х — -\-у — +z
дх ду dz
Производная скалярного поля и(Р) по направле-
нию /, заданному вектором
a = axi+ayj-\-azk,
§ ?4 СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
153
вычисляется по формуле
ди
~д1
ди	ди
— cos 64- — cos у
ду	dz
где
6ZX	Uy	a2
cos a= —=—, cos p= —=—, cos y — —z—,
|a|	|a|	|a|
I al a2 4-a2 4-a2.
11	1 X 1 у * z
Производная по направлению связана с градиен-
том скалярного поля формулой
ди —
— =е grad и,
С_/ I/
где е — единичный вектор заданного направле-
ния.
Точка, в которой производная скалярного поля
в любом направлении равна нулю, называется
стационарной точкой этого поля.
1088—
1092.
(1088)
(1090)
(1092)
1093—
1096.
(1093)
(1095)
(1096)
Найти линии уровня плоских полей (рассматри-
ваемых только на плоскости хОу)\
и=х2+у2\
(1089) и=х2—у2-
(1091)
2х
и= —------—;
х2+г/2
и =
Найти поверхности уровня следующих скалярных
полей:
u=x-\-y-\-Z}	(1094) u = f x2+y2-\-z2\
u = x2Jry2—z2;
u=-|/ %2+//2+ O+8)2+ yx2+y2+(z-8)2.
154 ГЛАВА 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
1097.	Найти производную скалярного поля
и=х3—2х2у-\-ху2-[-1
в точке 7И(1, 2) в направлении вектора, соединя-
ющего эту точку с точкой W(4, 6).
1098.	Найти производную скалярного поля
U = xy2-[-Z3—xyz
в точке А1(1, 1, 2) в направлении, образующем
с осями координат углы а=60°, 0=45°, у=60°.
1099,	Найти стационарные точки следующих скалярных
1100. полей:
(1099) и=х3-\-у3—Зху\
(1100) u = 2y2-[-z2—xy—yz-[-2x.
1101— Найти градиенты следующих скалярных полей:
1104.
(1101) u=x2-\-2y2-[-3z2—xz-[-yz—xy;
(1102) u=x3-[-y3-\-z3—3axyz\
(1103) u=xyzex+v+z;
,	x-\-y-[-z—xyz
(1104) u=arc tg-~------------.
1—	xy—yz—xz
1105.	Найти градиент скалярного поля
и=х3-\-у3—Зху
в точке М(2, 1).
1106.	Найти величину и направление градиента скаляр-
ного поля
U = X2-\-y2-\-Z2
в точке Л4(2, —2, 1).
1107.	Найти величину и направление градиента скаляр-
ного поля
u=x2-\-2y2-\-3z2-\-xy-\-3x—2y—3z
в точках 0(0, 0, 0), А (.2, 0, 1). В какой точке гра-
диент равен нулю?
§ 24 СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
155
1108,
1109.
(1108)
(1109)
1110.
1111.
1112.
1113.
1114.
Найти угол между градиентами указанных ска-
лярных полей в данных точках:
u=ln-^, А (*□-), В(1, 1).
x2A~y2A~z2
А (1, 2, 2), В (-3, 1, 0).
Найти угол между градиентами полей
х
u=x24-y2—z2, v = arc sin —:—
*+у
в точке М (1, 1, у 7).
Установить характер роста скалярного поля
и = Ъх2уг—7xy2z-\-5xyz2
в направлении вектора
a=8i~ 4/+8£
в точке М (1, 1, 1);
найти величину скорости изменения данного поля.
Найти точки, в которых градиент функции
u=ln \y-\-
равен — — i+/.
10
Найти производную поля
х2 у2 z2
в точке М (х, у, z) в направлении ее радиус-век-
тора г. В каком случае эта производная будет
равна величине градиента?
Найти производную скалярного поля
и=и(х, у, z'j
156 ГЛАВА 6 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
в направлении градиента поля
v = v(x, у, Z).
В каком случае она будет равна нулю?
1115— Доказать справедливость следующих формул:
1121.
(1115)	gradc = 0, с — const;
(1116)	grad(^+y) = grad w+grad v;
(1117)	grad(rw) =v grad u-\-u grad v\
(1118)	grad(cu) =c grad u, c — const;
,	.	, / и \ v grad u—-u grad v
(1Н9) grad ( —) =—-------------------
(1120)	grad f(u) =f'(u)grad
(1121)	grad un = nun~i grad u.
1122—	Найти градиент скалярного поля, зависящего
1129. от г— |г|, в каждом из следующих случаев:
(1122) grad г;
(1123)	gradf(r);
(1124)	grad п — натуральное число;
(1125)	grad—;
(1126)	grad In г;
(1127)	grad (с г), с — const;
(1128)	grad(ar:fer), a, b — const;
(1129)	grad [сг]2, с — const.
1 BO-
ll 32.
(ИЗО)
Доказать справедливость следующих формул:
grad f (u, v, w) =
.	А
+	grad w;
dw
е
'") ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
157
(1131) (rV)rn = /irn;	(1132) (uV)r=y.
1133.	Найти формулу для вычисления градиента ска-
лярного поля f(u, v, w), заданного функцией от
трех криволинейных ортогональных координат.
1134.	Найти формулу для вычисления градиента ска-
лярного поля в цилиндрических координатах.
1135—	Найти градиенты следующих скалярных полей
1139. в цилиндрических координатах:
(1135) и==г+рф;	(1136) u—zpy\
(1137) u = z sin ф+р; (1138) и = гсозф+р2;
(	1139) u = z sin2(p4-p3.
1140.	Найти формулу для вычисления градиента ска-
лярного поля в сферических координатах.
1141—	Найти градиенты следующих скалярных полей
1145. в сферических координатах:
(1141) и=рф;
(1143) н = р0ф;
(1145) ц = 0созф4-р.
(1142) н = р0;
(1144) w=(psin0+p;
§ 25. Векторное поле
Векторное поле определяется векторной функцией
точки
а=а(Р) =а(г') =ах(х, у, z)i+ay(x, у, z)j+
+az(x, у, z)k,
где Р(х, у, г) —точка пространства и
г — xi-\-yj-\-zk —
ее радиус-вектор.
Векторной линией поля называется такая линия,
в каждой точке которой касательная имеет на-
правление вектора а(Р).
Векторные линии (силовые линии, линии тока}
158 ГЛАВА 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
векторноговполя находятся из системы дифферен-
циальных уравнений
dx	dy	dz
Ux	dy	az
Дивергенцией (расходимостью) векторного поля
а(Р) =axi+ayj-\-azk
называется скаляр
div а =
Ротацией (вихрем) векторного поля а(Р} назы-
вается вектор
-	/ daz	дау \ - / дах	daz \ -
rota = l-z-----— h-f- I—--------—I /+
x ду dz ' x dz dx 1
, / day dax \ -
+ I -------— J k
' dx dy '
или в символическом виде
[Va] =
i j k
d d d
дх dy dz
ax ay az
Потоком векторного поля a(P) через поверхность
S в сторону, определяемую единичным вектором
нормали
п { cos a, cos р, cos у }
к поверхности S, называется интеграл
S	S е D
-}-ау cos р-Нaz cos y)rfS,
,г> ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
159
где ап — величина проекции вектора а на направ-
ление вектора п.
Если S— замкнутая поверхность, ограничиваю-
щая объем V, а п — единичный вектор внешней
нормали к ней, то справедлива формула Остро-
градского.
JJ (ах cos cos P4-az cos у) dS
s
или в векторном виде

andS.
s
Линейный интеграл от вектора а по линии L опре-
деляется формулой
J adr= J asds=. J axdx-\-aydy-\-azdz,
L	L	L
где as — проекция вектора а на касательную к L.
Линейный интеграл выражает работу векторного
поля а вдоль линии L.
Если линия L — замкнутая, то линейный интеграл
называется циркуляцией векторного поля а вдоль
контура L.
Если замкнутая линия L ограничивает двусторон-
нюю поверхность S, то справедлива формула
Стокса
где п — вектор нормали к поверхности S, направ-
ление которого должно быть выбрано так, чтобы
160 ГЛАВА 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
наблюдатель, перемещающийся вдоль контура L
вместе с вектором п, видел непосредственно при-
легающую к нему часть поверхности слева от
себя.
Векторное поле а (г) называется потенциальным,
если
a==grad и,
где u = w(r)—скалярная функция (потенциал
векторного поля а).
Для потенциальности векторного поля а, задан-
ного в односвязной области, необходимо и доста-
точно, чтобы
rot а=0.
В этом случае потенциал и определяется из урав-
нения
du = axdx-\-aydy-\-azdz.
Если потенциал и определяется однозначно, то
J adr=u(B')— гг(Л),
АВ
в частности, циркуляция векторного поля а вдоль
любого замкнутого контура равна нулю.
Векторное поле а (г) называется соленоидальным,
если в каждой его точке
div а=0;
в этом случае поток вектора через любую замкну-
тую поверхность равен нулю.
Если поле является одновременно потенциальным
и соленоидальным, то
div(gradu)=O *
и потенциальная функция и является гармониче-
'5 ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
161
ск,ой, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа
д2и
dz2
или
Ди = 0,
где
— д2 д2 д2
д=У2=----------к ----1-------
дх2 ду2 dz2
оператор Лапласа.
1146— Найти векторные линии следующих векторных
1150. полей:
(1146)	а = — cyi-\-cxj, с — const;
(1147)	a=xi-\-yj-\-2zk;
(1148)	a = x2i+y2j+z2k;
(1149)	a = yt-\-xj;
(1150)	a=xi-\-yj-\-zk.
1151, Найти дивергенцию следующих векторных полей:
1152.
(1151)	г=хг/<гг+(2х+Зг/+г)/4-(х24-г2)й;
(1152)	г = (6x2t/2—г3+(/г—5) г’+ (4x3v+^+2) /+
(xy—3xz2—3') k.
1153—	Доказать справедливость следующих формул:
1157.
(1153)	divc = 0, с — const;
(1154)	div(«+&) = div a4~div b\
(1155)	div(ca) =c div a, c — const;
(1156)	div(ua) = u div a-\-a grad u;
(1157)	div(wc) — c grad и, c — const.
6 Зак 214
162 ГЛАВА 6 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
1158— Найти дивергенцию векторного поля в следующих
1165.	случаях:
(1158)	div г;	(1159)	div(f(r)r);
(1160)	div-^-;	(1161)	div(rv);
(1162)	div(grad f(r));	(1163)	div(gradu);
(1164)	div (u grad	u);	(1165)	div(w grad	v).
1166— Считая, что с и Ci — постоянные векторы, найти
1171. дивергенцию векторного поля в следующих слу-
чаях:
(1166) div(rc);
(1168) div (f(r)c);
(1170) div(c(rci));
(1167) div(r2c);
(1169) div[rcj;
(1171) div(r(rc)).
1172, Считая e постоянным единичным вектором, вы-
1173. числить:
(1172) div (г (er));	(1173) div[e[re]].
1174. Найти
x+y+z-
div-------г.
xyz
1175, Найти функции f(r), удовлетворяющие следую-
1176.	щим уравнениям:
(1175)	div(grad f (г)) =0;
(1176)	2r div(grad f (г)) =div-y-.
1177.	Найти формулу для дивергенции вектора а в орто-
гональных криволинейных координатах u, v, w,
если его прямоугольные декартовы координаты
х, у, z выражаются формулами:
©
x=f(u, v, ay), y=g(u, v, w), z=ty(u, v, ay).
§ 25 ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
163
1178.	Найти выражение для div а в цилиндрических
координатах.
1179.	Найти выражение для div а в сферических коор-
динатах.
1180,	Найти ротацию следующих векторных полей:
1181.
(1180)	a=y2zi-\-z2xj-\-x2yk;
(1181)	а=xyzi-\- (2%+Зг/—z)/+ (x2-\-z2)k.
1182—	Доказать справедливость следующих формул:
1184.
(1182)	rot(a+&) =rot a-J-rot b\
(1183)	rot(ua) = u rot a-\- [grad u, a]\
(1184)	div[a 6] =b rot a—a rot b.
1185—	Считая, что с и Ci — постоянные векторы, найти
1192. ротацию векторного поля в следующих случаях:
(1185) rote;	(1186) rot 7;
(1187) rot[rc];
(1189) rot (с (г Ci));
(1191) rot(f(r)7);
(1188) rot(г(г с));
(1190) rot[[c r]ci];
(1192) rot(f(r)c).
1193— Доказать справедливость следующих формул:
1196.
(1193)	rot (grad и) =0;
(1194)	div (rot a) =0;
(1195)	div (grad и) =Ли;
(1196)	rot rot a=grad div а—Да,
где
Да=Дах/+Д ayj+Aazk.
6*
164 ГЛАВА 6 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
1197.
1198.
1199.
1200.
1201.
1202.
Пользуясь формулой Остроградского, доказать,
что поток векторного поля а = г через замкнутую
поверхность, ограничивающую произвольный объ-
ем V, равен 3V.
Вычислить поток векторного поля
а = х у2 i+х2 у j-\-zk
через замкнутую поверхность, образованную ко-
ординатными плоскостями
х = 0, у = 0, г=0
и частью поверхности параболоида
ч
4—2=х2+у2,
лежащей в первом октанте.
Вычислить поток векторного поля
a=x3i-\-y3j-\-z3k
через поверхность сферы
x2+y2-\-z2 = R2.
Вычислить поток поля напряженности
г3
точечного заряда q через сферу радиуса а с цент-
ром в точке заряда.
Вычислить поток поля напряженности
г3
точечного заряда q через замкнутую поверхность
S, не содержащую внутри себя заряда q.
Вычислить поток векторного поля
a=xyi-}- (y-\-z)k
через часть плоскости
§ 25 ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
165
2х4-г/4-^=2,
лежащую в первом октанте.
1203.	Вычислить поток вектора
a=x3i-\-y3j-\-z3k
а)	через боковую поверхность конуса
*4-у2 Z2
б)	через полную поверхность указанного конуса.
1204. Если S — замкнутая поверхность, ограничиваю-
щая объем V, а а и b постоянные векторы, то
JJ (а r)bndS= (a b) V.
s
Доказать.
1205.	Вычислить линейный интеграл вектора
a=x3i—y3j
вдоль первой четверти окружности
r=7? cos t i-\-R sin t j.
1206.	Вычислить линейный интеграл вектора г вдоль
одного витка винтовой линии
х = а cos ср, У = а sin ф, z = &ф
от ф=0 до ф=2л.
1207.	Вычислить циркуляцию векторного поля
a = yi—х]
вдоль замкнутой линии L, образованной осями
координат и первой четвертью астроиды
r=R cos31 i-\-R sin31 j.
166 ГЛАВА 6 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
1208.	Вычислить циркуляцию векторного поля
а = уЧ
по замкнутой линии, составленной из правой поло-
вины эллипса
г—Ь cos t i-\-c sin t j
и отрезка оси Оу.
1209.	Вычислить циркуляцию векторного поля
a=yi
по контуру окружности
r=b cos t /4- (b-\-b sin f)j.
1210.	Вычислить циркуляцию векторного поля
d == yi+xj
где с=const:
а)	вдоль окружности
х2+^2=15 г=0;	;
б)	вдоль окружности
(х-2)2+//2=1, г=0.
1211.	С помощью формулы Стокса вычислить циркуля-
цию векторного поля
a = x2y3i-[-j-}-zk
ВДХ)ЛЪ окружности
x2+y2 = R2, z=0,
приняв в качестве поверхности, ограниченной дан-
ной окружностью, полусферу
z=у R2—х2—у2.
е
1212—	Выяснить, имеет ли данное векторное поле потен-
1214, циал и, и найти щ если он существует:
§ 25. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
167
(1212) а= (5х2у—4xy)i-\- (Зх2—2y)j;
(1213) a=(y+z)i+(x+z)j+(x+y)k;
(1214	) ci = yz (2x —у —z) i —\~xz (x—[~2y—p^) /
~\~xy (x-\-y —[-2г) k.
1215.	Будет ли соленоидальным векторное поле
а = г[с г],
где с — постоянный вектор?
1216.	Доказать, что векторное поле
a=f(r)r
будет соленоидальным только при
где & = const.
Ответы
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
2 г г'.
2 г'г".
\рё"\.
(г'г"/(4)).
[ [77']74)].
г г': *|/ г2.
РЙ [/V]: 1/[7<р.
д —	-- д -	-- д2 —	-2-
— (r2)=2rru,	(r2)=2rr„, — (r2)=2r„+2r11„,
ди	ov	ди2-
д2 —-----------— д2 —	-2	—
—	(^2) === 2/"г/ f	I'uvy	=== 2^v~i~2f‘ Г®».
dudv	dv2
24.
d------	— —	----
“	v] ==	v w] >
du
d2
dudv
UU^ “1“ V1IV
d2-
dv2
d--------	— —	-----
---(rrurv) = (r ruurv) + (r rurvu)y
du
d-------	------ ----------
--- (r rurv) = (r ruvrv) + (f rurvv),
dv
d
du2
e
и и и
uu^ vu ) + (r rurvuu
о I ВЕТЫ
169
52_________ —	-	_______ ____________ ___________
—— (г rurv) = (г ruuvrv) + (r ruurvv) + (rvrurvlL) + (r rurvuv),
duov
52--------- ------------- ------------ ------------ ---------—
~	и? v) ==z	Г uvvf' v) |_2(г Г uv? v v) “}“ (^ nJ' vv) “{“	f uX vvv) -
dv2
26. а) Нет, например, r= { cos /, sin t}; б) да, из равенства r2 = r2
получается требуемое соотношение.
27. Указание. Продифференцировать соотношение г2 — г2.
28. Обозначим
r1==FiM, rz — FzM
(рис. 4). Тогда
1'l = F iF 2-{-г 2.
Дифференцируя это равенство, получим
dri — drz.	(*)
По определению эллипса
/'1+^2=2а.
Дифференцируем
J/'i+Jr2==0.
В силу предыдущей задачи
г° </г1+г° б/г2==О,	({|)
где
—	ri —	г2
г 0 - -- г 0 - ---
1	О ’	2	/'2
170 ОТВЕТЫ
Из равенств (*) и (**)
(r~Q +7°)d7 = 0.	(***)
4 1	2
_ ____ ______________________________________________>
Вектор rQ +/'° идет по биссектрисе угла между прямыми F\M
и F2M Но в силу ('ГЛ1) вектор drL перпендикулярен вектору
го и> следовательно, идет по второй биссектрисе указанного
угла.
30.
dr
du
направляющий вектор касательной.
31, Да.
33.
35. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Пусть
7'(0=<р(0Т(0.	(Ч
Положим
7(0=ф(0ё(/),	(*н
где |е(0 | = 1.
Дифференцируя равенство (!!) и используя (’), получим
(р'^+сре' — (рфе.
Умножив это равенство скалярно па е', пандем
(р(е')2 = 0.
Так как (р =# 0, то (ел)2==0 и е — const.
39.	Обозначим через а единичный вектор, перпендикулярный трем
компланарным векторам г', г", г'". Тогда
аг' = 0, аг" = 0, аг"' — 0,
откуда
a'r'~Fa r" = Q или а'г' = 0,
и
а'г"-^а r'" = Q или a'r" = Q,
значит, и а'_]_г"\ т е. а || а' и, следовательно, а — const.
Теперь из соотношения аг' = {) находим (tz/')' = O, т. е.
ar = const; следовательно, ли?<ия расположена в плоскости
(перпендикулярной вектору а).
О 1вгтЫ
171
Замечание. Вектор-функция a(t) имеет производную, так
как
7=[7'7"]:|[77"]|,
а по условию Вектор-функция r(t) имеет производные до тре-
тьего порядка включительно. Обратное положение имеет место.
40.	См. задачу 35.
41.	Согласно задаче 35
г'(/) =ф(/)ц? a = const.
Отсюда
r(t)= J a-\-b,	(')
Если t меняется на сегменте |7i, /2], то уравнение (!) задает
отрезок прямой.
42.	Возьмем начало системы координат в точке с радиус-вектором
/'о, а векторы п и г2 примем за базисные векторы осей Ох и Оу
(система координат, вообтце говоря, не прямоугольная). Тогда*
параметрические уравнения линии будут
x — i, y = t2.
Следовательно, у = х2. Это уравнение параболы. В случае кол-
линеарности векторов Г1 и г2 годографом будет полупрямая.
43.	Отрезок прямой.
45.	Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Обозначив
через А, В, С координаты некоторого постоянного вектора,
перпендикулярного заданной плоскости, получим.
Ахи -\-Вуи -]-Czu = 0,	(**)
Axv-\-By v-]-Czv = 0.	(
Интегрируя соотношение ('), находим
AxA-ByA-Cz — q^v).
Дифференцируя это равенство по v и сравнивая с (’ ), будем
иметь
AxA~ByA~Cz~\~D = 0.
46.	Параболический цилиндр.
47.	Эллиптический цилиндр.
48.	Гиперболический цилиндр.
49.	Эллиптический параболоид.
50.	Умножая данное уравнение скалярпо па о и на /, получим
г' о) = 0, г' г = 0,
172 ОТВЕТЫ
Ьгкуда
Г (О = const
(плоскости, перпендикулярные вектору со),
г2 — const
(сферы с центром в начале радиус-векторов). Линии, опреде-
ляемые уравнением
г'== [со г] —
окружности, центры которых расположены на прямой, прохо-
дящей через начало радиус-векторов, коллинеарно вектору со,
а плоскости этих окружностей перпендикулярны указанной
прямой.
51.	Введем декартову систему координат, располагая ось Oz кол-
линеарно вектору е. Тогда
[e[r е]] =xi+yj,
и указанное дифференциальное уравнение даст
х'=х, у'=у, z' — 0,
откуда
х==С!е1, у = с2е1, z = c3.
Искомые линии — прямые, по которым пересекаются плоскости,
перпендикулярные вектору е, с плоскостями, проходящими через
прямую, проведенную через полюс О, коллинеарно вектору е
52.	Пусть /'1(0 и /'г(0 —законы движения точек. По условию
(/'1—/*2)2 = const,
откуда
2(/'i—гг) (/'—г') — 0, аг' = аг' ,
12	1	2
где а = Г1—г2.
53.	Если траектория r = r(t) материальной точки массы tn описы-
вается под действием центральной силы F, то
F = mr" — ar ,
где a — a(t)—некоторая скалярная функция. Остается пока-
зать, что если г некоторой движущейся точки удовлетворяет
условию
тг"—аг,	е	('•)
то траектория движения — плоская линия.
) Iвггы
173
Дифференцируем равенство (*) по t
—	— — а' —	— v
mr"r — a'r-^-ar' — tn — /	,
а
т. е. в каждый данный момент векторы г',	г'" компланарны
Если г' и г" неколлинеарны, то траектория будет плоской в силу
задачи 39. Если же г' и г" коллинеарны, то в силу задачи 41
траектория прямолинейна.
54.	Выберем в качестве оси Ох прямую, проходящую через точки
Рис 5
Fi, Е2 и имеющую направление о г точки Fi к точке Г2 За нача-
ло координат возьмем середину отрезка F[F2 Тогда ЕД —b, 0),
Е2(6, 0). Рассмотрим произвольную точку М(х, у) искомого
геометрического места точек. Для нее
FiM = y(x-}-b)2-\-y2, F2M = y (x-b)2-]-y2.
По условию задачи
^(x+by+y2 ^(х-Ь)2+у2 = а2.	(’)
Это и есть уравнение искомого геометрического места точек
Освободимся от иррациональности. Возведем обе части урав-
нения в квадрат
[(x+b)2+y2] [(x-b)2+y2]=a\
Очевидно, что уравнения (?) и (*4) равносильны Раскрывая
скобки и приводя подобные члены, получим
(х2+у2)2-2Ь2(х2-у2) = cF—lF
уравнение овалов Кассини (рис. 5).
174 ОТВЕТЫ
Подставляя сюда выражения декартовых прямоугольных ко-
ординат
x = rcoscp, у —г sin ср
через полярные, получим
уравнение искомого геометрического места в полярных коор-
динатах.
При а = Ь линия называется лемнискатой Бернулли (рис. 6).
Ее уравнения
(X2 + f/2)2==2iZ2(X2-I/2),
г2 = 2я2 соз 2ср.
2а sin2 ср
55.	х3 — у2 (2а—х);	г —------------- 1 (рис. 7). Параметрические
cos ср
уравнения можно привести к виду
sin31
х = 2а sin2/, у = 2а---------
cos t
или
а	а
х =-------у =------------.
/2+1	ФЧ-1)
а3
56.	у—---------; x = tfctg/, r/ = tzsin2/ (рис. 8).
х2+а2
57.	r = tzcp (рис. 9).
58.	г — гцек\ где ср = со/ (рис. 10).
(х2+//2)3—4cz2x2//2==0; /' = «sin 2ср (рис. 11).
1э0.	(х2-}-у2—2ах)2 = ^а2(х2-\-у2)\ г = 2cz(cos ср±1) (рис. 12).
61.	г —2а cos ср±2&; (х2+г/2—2ях)2 = 462(х2+//2) (рис. 13).
При а = Ь получаем кардиоиду (см. рис. 12).
а(1 ±sin ср)	х(х—a)2	2at2	at(t2—\)
62.	Г— --------------; у2 =------------ Х=----------; у—------------
coscp	2а—х	1+/2	Ж2
(рис. 14).
* Выбор системы координат указан на рисунках к задачам.
Рис 7
Рис. 8
Рис 9
L
Рис 10
I и
Рис 11
Рис 14
178 ОТВЕТЫ
CL
63.	г—-------±/; (*2+*/2) (у—а)2—12у2 — $ (рис. 15).
sin (р
64.	x = tfcos3/; r/ = asin31\ х2/з-[-у2Ь — а2/з (рис. 16).
65.	x = a(cos t+t sin t); y = a(sin t—t cos t).
Эта линия называется также эвольвентой окружности (см. за-
дачу 439).
Указание. До сматывания конец нити находился в точке А
(рис. 17). При сматывании натянутая нить совпадает с каса-
тельной к окружности, причем длина касательной
BM = ^BA = at.
66.	Примем указанную прямую за ось Ох и будем считать, что
в начальном положении точка М совпадает с началом коорди-
нат (рис. 18). Рассмотрим произвольное положение точки
М(х, у). Пусть центр окружности в рассматриваемый момент
находится в точке С, a t — угол, который образует радиус СМ
с перпендикуляром СР, опущенным из точки С на ось Ох.
Пусть S— проекция точки М на ось Ox, a N — на СР. Тогда
x = OS — OP—SP=MP—SP — at—a sin t = a(t—sin t).
Аналогично,
y = SM — PN — PC—NC — a—a cos t — #(1—cos /).
67.	x — at—d sin t; y — a—dcost (рис. 19).
68.	Поместим начало координат в центр неподвижного круга.
Будем считать, что в исходном положении точка М совпадает
с точкой А, в которой катящийся круг касается неподвижного,
и ось абсцисс направим через точку А (рис. 20).
Обозначим через t — ZJWOiN, m—r:R. Так как
AN = MN или R Z_NOA — rt, то
Рис. 15
I У
Рис. 19
182 ОТВЕТЫ
Из чертежа получаем
% — 6P — OD-\-DP==OD-[-EM== (R+r)cos mt+r sin Z_MOi£,
g — MP = O\D—OiE— (R+r)sin mt—r cos Z_MOiE>
Так как
Г	/ л	\ “
sin /_MOiE — s\n(t—Z_00iD) =sin t— I----mt )	=
L	\ 2	/J
= —cos(/4-m/), cos Z_M0iE = sin(/4-m/), r=mR}
TO
x— (R+mR)cos mt—mR cos(/+m/),
y= (R+mR) sin mt—mR sin(t+mt).
Исключая m, получим
r	R+r
x = (R+r) cos — t—r cos-1,
R	r
r	R+r
r/=(R+r)sin — t—r sin------1 (рис. 21).
R	r
При r = R получаем кардиоиду (рис. 22).
69.* x(R—mR) cos mt+mR cos (t—mt),
r
у — (R—mR) sin mt—mR sin(t—mt), m= —
При R — 4r получаем астроиду, При R — 2r — отрезок прямой
(рис. 23).
I У
Рис 20
у т4
Рис. 21
Рис 22
Рис 23
О I ВЕТЫ
185
70.	Точки М и N лежат на линии, точка Р не лежит. Линия пере-
секает ось Ох в точке 0(0, 0), ось Оу — в точках 0(0, 0) и
/1(0, —2). Линия имеет минимальную ординату в точке
Л(0, -2).
Неявное уравнение
//3+2г/2—х2 = 0.
2а	2ak
71.	а) X —------, у —-------;
1+62	1+62
б)	х = а-|-а cos ф, i/ = asin(p.
72.	Парабола.
73.	Часть прямой
х—у—2 = 0,
где х^2.
74.	Отрезок прямой
заключенный между осями.
75.	Полуокружность.
76.	Ветвь гиперболы.
Т7. Прямая
%+2z/~l =0.
X	X
а / —--------\
78.	z/=—aJ —линия называется цепной линией
(рис. 24).
79.	Окружность
(х—а)2+(г/—b)2 = R2.
186 ОТВЕТЫ
80.	Z = ch(p±sh(p (рис. 25).
82.	Эллипс
х2 у2
—+ —=1;
а2 о2
Рис 24
переход от одного представления к другому получим, полагая
0
Z=tg-— (рис. 26).
83.	Окружность
х2-[-у2—\§.
84.	Часть прямой у — ]/3%, где х^О.
85.	Окружность	*
(х—а)2+у2 — а2.
ОТВЕТЫ
187
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
Прямая х — а.
Прямая у — Ь.
Эллипс
X2 у2
— + — ==1.
25	16
Гипербола
х2 у2
--------=1.
9	16
Парабола
у2 — 4х.
Гипербола
%2—у2~а2.
Окружность
х2+у2—Ьу — 0.
Парабола
у2 = — 4%+4.
Парабола
1/2—=4x4-4.
фп
Указание. Принять за параметр угловой коэффициент пря-
мой y — tx, проходящей через начало координат и точку л ин шт.
96.
97.
98.
99.
2а
,
1-Н2
3at
к=-------,
1+Р
(рис. 27).
2at
Ц-/2
Sat2
Ж3
Линия называется декартовым листом
2at2	2at3
х—--------, У —--------— циссоида Диоклеса.
1+/2	1+/2
x=a(l-|-cos ф)cos ф, г/ = <2(14-cos ф)з1п ф.
Полагая
188 ОТВЕТЫ
получим
2«(1—/2)	bat
х== “77—7777"» У=——7
100.
101.
102.
103.
104.
105.
уравнения кардиоиды.
rz(/2-l)	«/(/2-1)
х=———j—, у————j— — строфоида. Указанные урав-
нения получаются из уравнений задачи 62 преобразованием
х=х'-{-а, у=у'.
ф
Указание. Положить tg—=/ и перепти к декартовым
координатам.
В точке А касательная
2х—//4-2 = 0,
нормаль
хА~2уА~ 1 —0;
в точке В касательная
4х—//4-3 = 0,
нормаль
х+^У- 12 = 0;
в точке С касательная
6х—у 4-2 = 0,
нормаль
х 4-6//—49 = 0.
В точке А касательная // = 0, нормаль х = 0; в точке В каса-
тельная
Зх—у—2 = 0,
нормаль
*+3//—4 = 0.
В точке А касательная у—х, нормаль // = — х; в точке В ка-
л
сательная //=1, нормаль х— —; в точке С касательная
х-\-у—л = 0, нормаль х—//—л = 0.
В точке А касательная у — х, нормаль // =—х; в точке В каса-
тельная
е
2х—//4-1----- =0,
ОТВЕТЫ
189
нормаль
л
%+2т/—2----— =0.
106.	Касательная
2Х-//+4-0,
нормаль
x-j-2y—3 —- 0.
107.	Касательная
2х sin t+2y cos t—a sin 2/ = 0,
нормаль
x cos t—у sin t—a cos 2/ = 0.
108.	При /=(2&+1)л, где k — любое целое число, касательная
у —2а, нормали
х— (2&+1 )ял.
Во всех остальных точках касательная
нормаль
t	t
х tg — +y—at tg — = 0.
&	£4
109.	Касательная x—y = Q, нормаль x-[-y — Q.
110.	Касательная
p = { a(cos t—X sin /), 6(sin /4-Х cos t) }
или
b cos t X-[-a sin t Y—ab — 0,
нормаль
p= {(a-|-6X)cos/, (6+aX)sin/}
или
a X sin t—b Y cos /+ (b2—a2) sin t cos t — 0.
111.	Касательная
190 ОТВЕТЫ
ИЛИ
нормаль
112.	Касательная
х-\-у—За = 0,
нормаль
х—у = 0.
113.	Касательная
4х—2у—а = 0,
нормаль
2х+4//—За = 0.
114.	Касательная
х(х2+у2-а2) (Х-х)-{-у(х2-{-у2-\-а2) (Y-y) = 0,
нормаль
У(х2+у2+а2) (Х-х)-х(х2+г/2-а2) (Y—y) =0.
115. Касательная
Хх Yy
а2 b2
нормаль
(Х-х)а2	(Y-y)b2 _Q
х	у
116.	Касательная	>
Хх Yy
---------=1,
а2 Ь2
нормаль
(X—х)а2	(Y—y)b2 л *
х
У
) I Bl гы
191
117.	Касательная
У(/=р(ЛЧ-х),
нормаль
у(Х—х)+р(У—</)=0.
118.	Касательная
(sin ф+ф cos ф)х—(cos ф—ф sin ф)у—шр2 = 0,
нормаль
(cos ф—ф sin ф)*+ (sin ф+ф cos ф)у—аф = 0.
119.	Касательная у—а — $, нормаль х—я = 0.
121. Нет.
123.	z/ = 4%—4.
121.	/1(2, -3).
(25.	6 = -1, с = -1.
126.	а = 2, 6 = 0,	6=1.
127.	Касательная
9х—у—6 = 0,
нормаль
x-J~9i/—28=0.
128.	г/=1, л'+2г/—2 = 0.
/2	4 \	/2	8 \
129.	МЛ —, — и МЛ —, -------------- .
\ 3	9 /	\ 3 27 /
49
131.	// = 2%+3, г/ = 2х-{--.
27
1	1
132.	у+1 = — (х+7), z/+l= — (х+7).
/	о
134. (х+//) У 2 = ±а.
л	3
138. Mi(0, 0), М2(4, 4);	ф1=-----, ф2 = агс1£ —
2	4
л
139. Мх(0, 3), М2(0, -3);	ф1 = ф2=----.
4
НО. Mj(l, 2), М2(1, -2);	ф1 = ф2= —.
111.	2), М2(2, —2);	ф i = ср2 =-arc tg 3.
192 ОТВЕТЫ
/ 8
142. ЛЬ —
' 5
л
16
М3(0, 0),
ф1 = ф2= -, фз —--.
4	2
143.
число.
фь —arc tg 2 У 2, где k — любое целое
147.	tgф —2У2.
150. Из Д М1М2Л получаем (рис. 28):
Ф	1
|Л1=— (см. задачу 149), Ц2 =— (ф+л),
л
Д	— Ц2—1Т1 =
159. Полагая в уравнении касательной Y—y—-y'(X—x)
У—0, Х = хт,
получим
У
у'
Следовательно, РТ —
У
у'
получаются аналогичным образом.
(рис. 29). Остальные формулы
160.
МТ=
МА —у 5, PN = 2.
(ехА-е~х}2	ех4-е~х
161.	МГ — —---------—, РГ —--------------•.
2(ех—е~х)	ех-~е~х
1	1
МА— — (ех+е~х)2, PN= — (е2х —е~2х).
4	4
162.	у2 = ±2&%+C, где С — произвольная постоянная.
х	®
163.	у — Се h, где С — произвольная постоянная.
7 Зак 214
194 ОТВЕТЫ
/ Z \
165. х — я I In tg — 4»cos t ) 4-C, y = a sin t, где t — угол, образуе-
мый касательной с положительным направлением оси абсцисс.
Это — семейство конгруэнтных линий, называемых трактрисами.
На рис. 30 изображена трактриса, соответствующая С = 0.
Рис 31
да2
166. S=----------
2
167.
Из прямоугольного треугольника МОТ (рис. 31) имеем
ОТ — ОМ tg |Л. Учитывая, что tg |Л =
(задача 148),
г2
получим ОТ —---------. Остальные формулы получаются ана-
I I
логичным образом.
с
168.	г—— (рис. 32). Такие линии называются гиперболическими
Ф
спиралями.
169.	Спирали Архимеда.
170.	r = ±k sin((p—(ро)—окружности (см. задачу 92).
184. Соприкосновение второго порядка.
185. Соприкосновение первого порядка.
187. Третий.
() I вг/гы
195
188.
189.
190.
/	3
Mi(3, 0), М2(-------
3
3
191.
192.
v2-|-4%//4-4//2—20%+14//+19 = 0 — соприкосновение третьего по-
рядка.
(Z/+3)2
193.
194.
195.
196.
197.
198.
199.
X2
— = 1 — соприкосновение пятого порядка.
9	3
Если f(x) имеет при х = 0 производные до /i-го порядка вклю-
чительно, то задача имеет решение
X2	Xп
W(0)+m*+r(0) — + ’ ' -И(п)(°) —'
2!	п\
В противном случае задача решения не имеет.
(х-л/?)2	(y+b-2R)2
а)----------1------------- ]—соприкосновение пятого
12/?2	9/?2
рядка,
(x-jtR)2	(y—b—2R)2
0)--------- 4-----------=---= 1 — соприкосновение пятого
— 12А?2 ‘Ж
рядка,
в) (х—л/?)2 = — 8R(y—2R) — соприкосновение третьего
рядка.
х = 3.
ПО-
ПО-
по-
у=о.
у==х—4,
У=х-2, х=-
196 ОТВЕТЫ
200.	х = 0.
1	1
201.	х = 3, //==—4, y = —x--------.
4	4
1	3
202.	x = 0, y—------, y = 2x------.
2	2
203.	x — 0, %+i/+2 = 0
204.	x=4z2, у = -4-3.
205.	x = ±2, y — ±x.
206.	y — ^a.
207.	y = a.
208.	x = 2a.
210.	Перейдем к однородным координатам по формулам:
Xi	х2
х =—, У =—•
%з	Хз
Тогда уравнение липни примет вид
х3 -4-х3 — ЗбгХ1Х2х3 = 0.
1	2
Ее несобственная точка (действительная) Л4(1 : —1 : 0). Урав-
нение касательной в этой точке есть
Х1+%2+ах3 = 0.
Следовательно, уравнение асимптоты
х-{-г/+а = 0.
211.	Асимптот нет.
212.	х—2я = 0.
214.	х = 0, у = 0, х—у = 0, х-\-у — $ (см. задачу 213).
215,	0(0, 0)—точка самопересечения.
216.
217,	0(0, 0) —изолированная точка.
218.
219.	А(3, 0)—точка самопересечения
220.	А(0, 2) —точка самопересечения.
221.	0(0, 0)—изолированная точка
222.	0(0, 0) —точка самоприкосновения.
223.	0(0, 0) —точка возврата первого рода Касательная у — 0.
224.	0(0, 0). При 1~>а — точка самопересечения с касательными
ах
У — ± ~
1/12—а2
При l<Z.a—изолированная точ1<а. При 1 = а — точка возврата
первого рода с касательной х = 0 (см. рис. 15).
о ГВЕТЫ
197
225.	А(а, 0)—точка самопересечения. Касательные у — ±:(х—а).
226.	0(0, 0)—точка самопересечения. Касательные г/ = ±х.
227.	А (а, 0)—точка возврата первого рода. Касательная y — Q.
228.	/11, г(±а, 0) —точки возврата первого рода с касательной г/ = 0,
/1з, 4(0, ±а) —точки возврата первого рода с касательной х = 0.
229.
230.
231.
Д/<(2ля/г, 0)—точки возврата первого рода с
x — 2nak (& —0, ±1, ±2, ...).
Существуют. Касательная у = ®, нормаль х=\.
Не существуют (см. рис. 33).
касательными
232.	Не существуют. Существуют предельные положения секущей
в точке 0(0, 0) слева (х—у — 0) и справа (// —0) (см. рис. 34).
233.	Не существуют (см. рис. 35).
234.	Не существуют. Точка 0(0, 0)—изолированная.
235.	Не существуют. Точка /1(2, 0)—изолированная.
239. гг—2г2~г2 = 0.
198 ОТВЕТЫ
240.
Функция определена для всех значений х, кроме х — ±1.
Особых точек нет. В начале координат линия касается оси Ох.
Асимптоты х = ±1, г/==1. Линия симметрична относительно
оси Оу (рис. 36).
241.
Функция не определена лишь при х = ±УЗ.
9	9 '
Г/max — У( 3) =	, Г/min — У (3) — ~—~
242.
0(0, 0) —точка перегиба. Асимптоты х = ± У 3, у = х (рис. 37).
Функция не определена лишь при х = —1. В начале координат —
/	27 \
точка перегиба с касательной у — 0.
В точке М
243.
касательная также параллельна оси
х—2г/—2 = 0 (рис. 38).
Функция не определена при х = ±2;
Асимптоты х = ±2, г/ = 0 (рис. 39).
Ох. Асимптоты %+1=0,
0(0, 0) —точка перегиба.
* Здесь и в дальнейшем имеютоя в виду локальные максималь-
ные и минимальные значения функции.
Рис 38
Зоо ОТВЕТЫ
244. Область определения (0,5]. Л1
5 \
— I — точка перегиба.
Асимптота х = 0 (рис. 40).
е2
245. Функция определена при х>0; у max —у (е) —
Рис. 40
Рис. 41
< ) Iвгты
201
Функция определена и положительна при всех %; i/max^
/	1	1 \	/1	1 \
= £/(()) = 1; Ml-----------, —— I, М2——,	— ) — точки
'	У 2	]/е 7	ХУ2	|'е 7
перегиба. Асимптота у — 0 (рис. 42).
Рис 42
217.
2 IS.
Функция определена при всех значениях %, кроме % —0
Асимптоты х = 0 и у—1 (рис. 43).
Линия симметрична относительно биссектрисы первого и тре-
тьего координатных углов. Асимптота х-\-у-\-а = ®. 0(0, 0) —•
точка самопересечения с касательными х = 0 и у = ® (рис. 27).
Рис 43
Линия замкнутая, особых точек нет. Точки пересечения с ося-
/ 1 \
мн 0(0, 0) и Mi I —, О I. В точках
M2(t = -1+]/ 2) и M3(t — —1-]/ 2)
202 ОТВЕТЫ
касательные параллельны оси Ох. В точках
О(/=0) и М4(/ = ±оо)
касательные параллельны оси Оу. Записав уравнение линии
в неявном виде, легко доказать, что это эллипс (рис. 44).
250.
251.
Линия симметрична относительно оси Ох и расположена в по-
лосе 0^х<1. Асимптота %—1. 0(0, 0)—точка возврата пер-
вого рода (рис. 45).
Линия симметрична относительно оси Ох и вся расположена
в полосе	Асимптота х=1. Линия пересекает оси
/ 1 \
координат в точках 0(0, 0) и Mi 0J . Через точку Mi
линия проходит дважды (при / = ±1); угловые коэффициенты
касательных в ней & = ±2. Особых точек нет. Касательная
к линии параллельна оси Оу в начале координат, оси Ох —
в точках М2 и М3, соответствующих значениям параметра
и / =
(рис. 46).
< ) I !И ГЫ
203
При t — 0 касательная в точке 0(0, 0) совпадает с осью Оу.
В точках
/	4 \	/	4 \
Mi ( 1, — ) и М2 1,---------I
\	з /	\	3 /
(при / = ±1) касательные параллельны оси Ох. Через точку
М3(3, 0), получаемую при t — ±]/3, линия проходит дважды.

Рис 45
Рис 46
Касательные в точке М3 имеют угловые коэффициенты
/^ — -4-
уз
Асимптот нет (рис 47).
’ >3. Асимптоты
Оси координат линия пересекает только в начале координат.
0(0, 0)—точка возврата первого рода. Касательная парал-
204 ОТВЕТЫ
лельна оси Ох в точке О и в точках Mi, г(1 — ±]/ 3). Касатель-
ная параллельна оси Оу в точке М3(/ = 2) (рис. 48).
254. Линия симметрична относительно оси Ох. Асимптоты
1 1
х = —1, у = х — у = — х+—.
Первая асимптота не пересекает линию, вторая и третья пере-
секают в точках
/	1 \	/	1
Mi I t —------I и М2 I t— —
\	2 /	\	2
0(0, 0)—точка возврата первого рода. Касательные парал-
лельны оси Ох в точках М3,	—	3) (рис. 49).
Рис 47
255.
Линия симметрична относительно оси Ох. Асимптот и особых
точек нет. Точки
V зв
получаемые при t = ±.... -, являются точками перегиба.
В начале координат линия касается оси Оу (рис. 50).
Рис 48
Рис 49
Рис 50
206 ОТВЕТЫ
256.	Асимптот пет. СДО, 0)—точка возврата второго рода с каса-
тельной в вен х = 0 Линия пересекает ось Ох в точках О и
Mi(l, 0).	(/= (—0,8)’/з)—точка перегиба. В точке M3(J —
— (0, 4)7з) —касательная параллельна оси Ох (рис. 51)
Рис 52
257.	Асимптота у=1 0(0, 0)—точка перегиба, касательная в ко-
торой совпадает с осью Оу. Касательная параллельна оси Оу
I	5 \
в точке М I t— — J (рис 52).
\	4 /	е
258.	Асимптоты % —0, x-{-f/±2 = 0. 0(0, 0)—точка перегиба с ка-
сательной х—у = 0 (рис. 53).
। > I В! ГЫ
207
Начало координат является
точки пересечения с осями
(рис. 54).
точкой возврата второго рода,
координат — 0(0, 0) п Л4(1, 0)
Линия симметрична относительно прямой х — у Начало коор-
динат— точка возврата первого рода (при / = 0) с касатель
ной Ох. Кроме того, линия входит в начало координат, касаясь
оси Оу, при Z=±oo (рис 55).
Асимптоты 2х-{-9 = 0, 2х—9 — 0, х—у—6 = 0. М i (4, —4) —
точка возврата первого рода с касательной х-\-у = 6. Ось Ох
/ 16	\
касается линии в точке	0у, ось Оу—в точке
/	16 \
М3 ( 0,-----I (рис. 56).
\	3 /
Линия симметрична относительно оси Оу Асимптоты у= ±х—-1.
0(0, 0) —тройная особая точка с касательными в ней х = 0 и
з
у — 0. Точки перегиба ЛК,2(±2-34, 2У 3) (рис. 57).
Рис 56
Рис 57
О I ВЕТЫ
2Э9
263.
Линия симметрична относительно оси Оу. Mi(2, 0) и
М2(—2, 0)—точки возврата первого рода с касательными
2 = 0. В точках ЛЬ I 0,
и М4(0, 2) касательные
параллельны оси
(рис. 58).
Ox. Ms, 61 zb
2 — 2 \
— ]/5, —) —точки перегиба
3	3 •
264.	Ох — ось симметрии. Асимптот и особых точек нет. Линия
пересекает ось Ох в точке МД — 1, 0), ось Оу — в точках
М2> з(0, ±1). Касательные к линии параллельны оси Ох в точ-
ках ЛЬ, з, оси Оу—в точке Mi. Точки ЛЬ, з являются точками
перегиба (рис. 59).
265.	Линия симметрична относительно оси Ох. Асимптоты х=1,
у —±2. Линия касается осн Оу в начале координат. В полосе
плоскости, определенной неравенствами	не существует
точек, удовлетворяющих заданному уравнению (рис. 60).
266.	Линия симметрична относительно оси Ох. Асимптота х=1
Вертикальная касательная х = 0. Линия существует только для
значений х в интервале 0^х<1, что видно из представления
х(х2+1)
уравнения липни в виде у2 —--------- (рис. 61).
1— х
267.	Линия	симметрична	относительно	оси	Ох.	Асимптота	х = 0.
/	5	\ /	1	\
В точках Mi I-------, 0 1 и М21 —, 0 I касательные парал-
'	2	'	2	*
лельны оси ординат. Есть две точки перегиба (рис. 62).
268.	Линия целиком располагается внутри квадрата с центром
в начале координат и со сторонами, равными 2а и параллель-
ными осям координат. Линия симметрична относительно осей
координат и биссектрис координатных углов (рис. 63).
269.	Линия похожа на гиперболу. Асимптоты 2у — ±х. Для х2<6
не существует точек, удовлетворяющих заданному уравнению,
кроме точки 0(0, 0), которая является изолированной (рис. 64).
270.	Асимптоты = Касательные параллельны осн Оу в точках
i—
0(0, 0), Mi (У 2, 0). Есть две точки перегиба М2 и М3 (рис. 65).
Рис 58
Рис 59
Рис 60
Рис 61
Рис 62
Рис 63
Рис 64
Рис 65
212 ОТВЕТЫ
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
Асимптоты у — ^х. Касательные параллельны осям в точках
/	1	3 \	/3	1 \
МЦ-----— ——z ) и М2 ( —-, — -^2- 1 (рис. 66).
Х У 32 У 32 7 Х У 32 У 32 7
Асимптоты % —0, у = 0, у — х. 0(0, 0) —точка перегиба с ка-
сательной у——х. Касательные параллельны оси Ох в точках
Mi, 2 (а, (У 2+1)о), М3,4(—о, су(У 2—1)); а=±1 (рис. 67).
Асимптоты х = 0, у — 0. Касательная параллельна оси Ох в точ-
ке М(0, 1) (рис. 68).
Прямая х—1 и изолированная точка 0(0, 0).
Асимптоты х==±1, г/ = ±1; 0(0, 0)—изолированная точка
(рис. 69).
Асимптоты у==±х. 0(0, 0)—изолированная точка. Линия
пересекает ось Оу в точках Mt) 2(0, ± У 2), в которых каса-
тельные параллельны оси Ох (рис. 70).
Линия симметрична относительно оси Ох. Асимптоты х=\,
// = %+!, у — —х—1. Асимптоты # = ±(%+1) пересекают линию
в точке Mi(— 1, 0). 0(0, 0) —изолированная точка. Кроме точ-
ки О, других точек в полосе —	нет. Касательная
к линии параллельна оси Оу в точке Mi, оси Ох — в точках М2
1+У5
и М3 с абсциссой х—------- (рис. 71).
а	а
Асимптоты у—х±——- =0, //+%±—— =0; начало коорди-
У2	У 2
нат—изолированная точка. Карательная параллельна оси Ох
в точках Mi, 2(0, ±aj, оси Оу — в точках М3,4(±а, 0) (рис. 72).
Рис 67
Рис. 66
Рис. 70
Рис 71
Рис 72
ОТВЕТЫ
215
279.	Линия симметрична относительно оси Ох. Точка М0(2, 0) —
изолированная. В точках All, г(—2, ±У 2) касательная парал-
лельна оси Ох. Имеются две точки перегиба М3,4 и асимптота
х= 0 (рис. 73).
280.	Асимптоты = 0, 3х±3 3 f/—8 = 0. 0(0, 0) — изолирован-
ная точка. В точке Mi (4, 0) линия пересекается с осью Ох;
касательная в этой точке х — 4 (рис. 74).
281.	Линия целиком располагается внутри квадрата с центром в на-
чале координат и сторонами, равными У 2+]/ 8 и параллель-
ными осям координат Линия симметрична относительно осей
координат и биссектрис координатных углов. Начало коорди-
нат— изолированная точка. Касательные параллельны оси Ох
в точках
/	1 у 2-4-У 8
Ml( 2(0, ±1), Мз-6 ( ± --------, ±------------
' У 2	2
Касательные параллельны оси Оу в точках
/	У2+У8	1 \
М7, s(zbl, 0), M9-121 zb-----, zb — у-— I (рис. 75).
'	2	12 '
282.	Линия симметрична относительно оси Ох и вся лежит в полосе
— 1^х<1. Асимптота х=1 В начале координат — точка само-
пересечения с угловыми коэффициентами касательных & = ±1.
Касательная параллельна оси Оу в точке МД— 1, 0). Касатель-
ные параллельны оси Ох в точках М2, 3 с абсциссой
(рис. 76).
283.	Линия симметрична относительно координатных осей. Точки
пересечения с осями координат — 0(0, 0), МД0, 1), Мг(0, —1).
Касательные параллельны оси Ох в точках Mi, 2(0, zbl) и оси
Оу — в точках
0(0, 0)—точка самопересечения с касательными у = ±х
(рис. 77).
У
Рис 74
ОТВЕТЫ
217
284.	Линия симметрична относительно оси Ох. М(1, 0)—точка
самопересечения с касательными y = zL(x—\). Асимптота х = 0
(рис. 78).
Рис 77	Рис 78
285.	Линия симметрична относительно биссектрис координатных
углов. 0(0, 0)—точка самопересечения с касательными х = 0,
218 ОТВЕТЫ
y — Q. Других точек пересечения с осями координат нет. Каса-
тельные к линии параллельны оси Ох в точках
и оси Оу — в точках
Асимптот нет (рис. 79).
1
Рис 79
286.	Линия симметрична относительно осей координат и располо-
жена внутри прямоугольника, ограниченного прямыми х = ±1,
1
(/==+—. 0(0, 0)—точка самопересечения с касательными
у — ±х. Касательные параллельны оси Оу в точках 2(±1, 0)
и оси Ох — в точках Л4з-б
' (рис. 80).
287.	Линия симметрична относительно оси Ох. Асимптоты у — ±А,
х— — 1, х = — 2. 0(0, 0)—точка самопересечения с касатель-
ными г/У2 = ±х (рис. 81).
288.	Mi(l, 0) — точка самопересечения с касательными r/ = ±(x—1).
Касательные параллельны оси Ох в точках
Касательная параллельна оси Оу в точке 0(0, 0) (рис. 82)
ОТВЕТЫ
219
289.	Линия симметрична относительно биссектрис координатных
углов. 0(0, 0) —точка самопересечения с касательными % —0,
у —0, Касательные параллельны оси Ох в точках
, 2(о ]/ 3, о ]/27)
и оси Оу — в точках
ЛЬ, 4(аУ27, оУЗ),
где 4о==±1 (рис. 83).
Рис 81
Рис 82
1
290.	Асимптота у—-х-\---------пересекается с линией в точке
220 ОТВЕТЫ
0(0, 0)—точка, возврата первого рода с касательной х = 0.
В точке М2(1, 0) касательная параллельна осн Оу и в точке
/2	1 з— \
М31—, —У 4)— оси Ох (рис. 84).
Рис 83
291.
Асимптот нет. 0(0, 0)—точка возврата первого рода с каса-
тельной у=х. Линия та^же пересекает ось Ох в точке
Alt(27, 0). Касательная параллельна оси Ох в точке Л4г(12, 4)
(рис. 85).
ОТВЕТЫ
221
292.	Линия симметрична относительно оси Ох. 0(0, 0) —точка воз-
врата первого рода с касательной у = 0. Асимптоты х = а,
а
ХтЬу — ----. В полосе плоскости 0<Zx<Za нет точек, удовле-
2
творяющих уравнению линии (рис. 86).
222 ОТВЕТЫ
293.	0(0, 0)—точка* возврата второго рода с касательной t/ = 0;
Mi (0,28; 0,02) — точка перегиба. В точке М2(0,64; 0,4) каса-
тельная параллельна оси Ох. В точке М3(1, 0) линия пересе-
кает ось Ох (рис. 87).
294.	Линия симметрична относительно оси Оу. 0(0, 0)—особая
точка, через которую проходят три дуги. Касательные в ней
г/ = 0, х±// = 0. Точек перегиба и асимптот нет. Точки, в кото-
рых касательные параллельны осям координат,
/ V 2	1 \	/	2]/3 2 \	_
^^2	j ,	М3, Ц ± —~j (рис. 88).
295.	Линия симметрична относительно оси Оу 0(0, 0) —точка само-
прикосновения с касательной у = §- Касательные параллельны
оси Ох в точках М4,2(±6, 12) и оси Оу — в точках
М3,4(±6У2, 8) Есть две точки перегиба Ms, 6 (рис. 89).
296.	Линия симметрична относительно оси Ох. 0(0, 0)—тройная
особая точка с касательными х — Ъ и // — 0. Касательные парал-
лельны оси Ох в точках Mi, 2(|12±]/ 6 У 12), оси Оу—в точках
М3,4 (4, zb 4) (рис. 90).
297.	Линия симметрична относительно осей координат. 0(0, 0) —
точка самоприкосновения с касательной у = 0. Линия пересе-
кает ось Ох в точках Mi, 2(±1, 0), в которых касательные
параллельны оси Оу. В точках
касательные параллельны оси Ox. М7-ю— точки перегиба
(рис. 91)
298.	Асимптоты у = ±х. 0(0, 0)—точка самопересечения с каса-
тельными х = 0 и у~0. Есть пять точек перегиба (рис. 92).
299.	Линия целиком располагается внутри квадрата с центром В на'
чале координат и сторонами, равными 4 и параллельными осям
координат Линия симметрична относительно осей координат й
биссектрис координатных углов. 0(0, 0)—четырехкратная
особая точка с касательными х = 0 и у = 0 Касательные парал-
лельны осн Ох в точках Mj_i(+V2, ±2), оси Оу — в точках
Мз-з(±2, +J 2) (рис. 93).
Ф
300.	Поскольку функция tg — периодична с периодом 2л, то доста-
точно рассмотреть значения ф в пределах 0^ф^2л. Так как
Рис ^7	Рис. 88
Рис 89	Рис. 90
Рис. 91
224 ОТВЕТЫ
точка (2л~ф, —г) тождественна с точкой (л—ср, г), а точки
л
(ф, г) и (л—ф, г) симметричны относительно прямо"
то эта прямая является осью симметрии линии.
Ф
При изменении полярного угла в пределах О^ф^л r = tg—
2
будет положителен, поэтому при указанных значениях ф линия
будет лежать выше полярной оси.
Рис 93
Рис 91
л
В силу симметрии относительно прямой ф ~ вся линия бу-
дет располагаться выше полярной оси.
/л \
Линия имеет точку самопересечения I—, 1 I. Есть асимптота,
'2
параллельная полярной оси и удаленная от нее на две единицы
। ) I ВЕТЫ
225
Г
масштаба. По формуле tg ц==— (см. задачу 148) получим
г'
tgp,=sinq>.	(*)
Следовательно, линия касается радиус-вектора точки касания
только для ф=0. В точке самопересечения касательные пере-
секают ось симметрии под углом в 45°. Так как касательная
к линии параллельна полярной оси, если ц+ф = ^л, то в этих
точках
tg ц = —tg<p.
Сопоставляя это с равенством (*), получим ф = £л, следова-
тельно, искомой касательной служит полярная ось.
Так как касательная перпендикулярна к полярной оси, если
р,+ф = &гг+ —
то
tg |-1 = ctg ф,
а в силу (*)
ctg ф = зт ф,
откуда
V~5—1
COS ф = -----
Рис. 95
, ф	1
a tg— » —
2	2
Вводя декартовы координаты по формулам
Л' = ГСО5ф, у —г sin ф,
получим две точки, в которых касательные перпендикулярны
полярной оси
yt ^0,4 и	0,3, t/2 ~ 0,4
(рис. 94).
301.	(Рис. 95). В полюсе спираль имеет точку перегиба. По мере
удаления от полюса расстояние между витками неограниченно
убывает.
8 Зак. 214
226 ОТВЕТЫ
302.	(Рис. 96). Линия состоит из двух ветвей, каждая из которых
асимптотически приближается к полюсу. Полярная ось служит
асимптотой. Имеются две точки перегиба
Рис. 97
Рис. 96
303.	(Рис. 97). Полюс является точкой возврата первого рода.
Полярная ось в этой точке является касательной.
304.	Пусть я>0. При ф—>0 линия асимптотически подходит к пря-
мой, параллельной полярной оси и отстоящей от нее на рас-
стоянии /. Когда ф неограниченно возрастает, линия делает
бесчисленное множество оборотов вокруг полюса, асимптотиче-
ски приближаясь к окружности г —а (рис. 98).
При а = 0 получается гиперболическая спираль (см. задачу 168,
рис. 32).
305.	Линия симметрична относительно осей декартовой системы
координат, ось Ох которой совпадает с полярной осью. Линия
пересекает ось Ох в точках А (—а, 0), В (а, 0), 0(0, 0), причем
точка 0(0, 0) является точкой самоприкосновения с касатель-
ной у — Ь. Линия имеет две точки самопересечения
/ а \	/	а \
С I 0, --- ) и D ( 0,--------) (рис. 99).
'	]/2 '	'	]/2 '
306.	(Рис. 100).
307.	При С =7^=0 получаем семейство эллипсов, одна из осей которых
расположена па оси Ох. Все эллипсы касаются оси Оу в на-
чале координат. Огибающая t/ = ±l (рис. 101). При С = 0
получаем ось Ох, при С = ±оо — ось Оу.
308.	При С = 0—пара прямых х = 0, х—2у — 0. При С=#0—подобные
гиперболы, асимптоты которых параллельны указанным пря-
мым. Центры гипербол О’^с, с) заполняют биссектрису
\ \k 0	' L Рис 98
M <р—+0
, У с Л	х Л| Рис 99 1 У к \ 1 °Лк	У м Л"*\ j^T) о7\ Рис 100 /7 J х
Рис. 101
228 ОТВЕТЫ
я—-т/ = 0. Одна* из ветвей гипербол касается оси Ох в начале
кеординат. При С = ±о® получаем прямую у — 0. Огибающей
нет (рис. 102).
Рис. 103
е
309. а) Семейство софокусньдх эллипсов; б) семейство софокусных
гипербол (рис. 103).
ОТВЕТЫ
229
312. Окружности с центрами в центре пучка (рис. 104).
Рис. 104
313.	(х-с)*+у* = с* (рис. 105).
230 ОТВЕТЫ
У2
314. х2+ — —с (рис. 106).
2
Рис 107
ОТВЕТЫ
231
315. Семейство непересекающихся окружностей, линия центров
которых направлена по общей хорде заданного семейства.
Поместив начало координат в середине общей хорды и напра-
вив ось Ох по данной хорде, получим уравнение (х—с)2-\-у2~
= с2—а2 (рис. 107).
Рис. 109
316.- у = ±д (рис. 108).
317. х=0, у —0 (рис. 109).
„ \\0

ОТВЕТЫ
233
320.
321.
Огибающая у=0 одновременно является геометрическим мес-
том особых точек семейства линий (рис. 112).
Огибающей нет. Дискриминантная линия г/ = 0 есть геометри-
ческое место особых точек линий семейства (рис. 113).
322.
323.
Дискриминантная линия распадается на пару прямых х = у
2
и х—у----— = 0. Первая является местом особых точек, вто-
рая— огибающей (рис. 114).
Окружность
/	а \2	а2
( X----) +г/2= —
\	2 /	4
(рис. 115).
у
Рис 114
Рис. 115
Рис 117
236 ОТВЕТЫ
324.
325.
326.
327.
328.
Парабола
г/2+4я(х—а) =0
(рис. 116).
Гиперболы
S
Л' у = ~4~-
2
(рис. 117).
(А24-В2)/?2 = С2
Астроида
Х2/з-[-у2/з — (fh
(рис. 118).
а) Парабола
у2 —
(рис. 119).
Рис 118
У к азание. Примем фиксированную прямую за ось Оу,
а ось Ох направим через точку F. Пусть F(a, 0). Записав урав-
нение пучка прямых, проходящих через точку F в виде
у = с(х—а), мы получим, что прямые указанного в задаче
семейства проходят через точки оси Оу с координатами
е	1
(0, — со), имея угловые коэффициенты k~----;
с
ОТВЕТЫ
23?
б) Если F (а, 0), а окружность x2+//2 = r2, то при г>а получим
эллипс
а при г<а— гиперболу
v2	ij2
-------(рис. 120).
• г2	а2—г2
238 ОТВЕТЫ
329.
Циклоида (рис. 121).
330.	+	х2 + у2
6
(7?+г)2 (рис. 122а, 1226 и 122в).
Рис 1226
Рис 122в
240 ОТВЕТЫ
331. Касательная в вершине данной параболы (рис. 123).
332. Огибающая состоит из окружности
и директрисы параболы
Р
-----
2
(рис. 124).
333.	Запишем уравнения эллипса в параметрической форме
x=acosq), i/ = asin(p, 0^ф<2л.
Рассмотрим случай, когда хорды параллельны оси Оу. Коорди-
наты центра окружности семейства Xo = acoscp, уо — 0, радиус
/? = 6sinq), О^ф^л. Уравнение семейства
(х—а cos q>)2-[-y2 — b2 sin2 ф.
Дискриминантная линия определяется уравнениями:
(х—а cos q>)2-\-y2 = b2 sin2 ф,е |
а (х—a cos ф) = b2 cos ф.	)
ОТВЕТЫ
241
Так как из первого уравнения следует
|х—a cos ф| sin (р,
то из второго уравнения находим
b
62|cos ф| ^ab sin ф или | tg ф |	,
а
Рис. 124
т. е. дискриминантная линия определена лишь для тех окруж-
ностей, для которых
b
Itg <р| >—,
а
Исключим параметр ф:
ах	а2х2
cos ф —-----; sin2 ф — 1----------.
а2+Ь2	(а2+&2)2
Уравнение семейства примет вид
/ а2х \2	/ а2х2 \
( х-------) +у2 — Ь2( 1—----------) ,
\	а2+&2'/	\	(а2+Ь2)2 /
откуда
b^x2+y2(a2+b2)2-b2(a2+b2)2+a2b2x2=-0
или
X2	у2
—— = 11
a2+b2	Ь2
242 ОТВЕТЫ
Легко проверить/что при указанных значениях параметра ср
дискриминантная линия будет огибающей (рис. 125а).
Если хорды параллельны оси Ох (рис. 1256), то аналогичными
рассуждениями найдем:
х2
а2
У2
а2+Ь2
b
Itg <р| < --
а
Рис. 1256
У
334.	Указание. Задача решается так же, как и предыдущая.
Параметрические уравнения гиперболы нужно взять в виде
х — a ch ф, у = b sh ф.
Рис 1266
Рис 126в
Рис 126г
ОТВЕТЫ
245
Если хорды параллельны оси Оу, то огибающая существует
только, если b<Za. Ее уравнение
х2	у2
--------— =1.
а2—Ь2---Ь2
Она огибает лишь те окружности, для которых
Ъ
|th<p|< —
а
(рис. 126а). Если хорды параллельны оси Ох, то огибающая
существует при любых значениях а и Ь. При Ь=/=а она задается
уравнением
х2 у2
а2 "I" а2—Ь2
причем при Ъ>а она огибает все окружности (рис. 1266),
а при b<Za лишь те, для которых
b
|thq>|< —
а
(рис. 126в). При Ь = а огибающая не существует (рис. 126г).
335.	Парабола
Она является огибающей окружностей семейства, для ко-
Р
торых ------ (рис. 127).
336. г/2 = 2(р+<7)х (рис. 128).
У
Рис 127
Рис 128
е
ОТВЕТЫ
247
337.
Точки огибающей должны удовлетворять системе уравнений
D(F, ф)
F(x, у, а, ₽)=0, <р(а, 0)=О, ——— =0.
£>(а, Р)
338.
Четыре прямые
х±у—± 1
(рис. 129).
т	т	т
339. хт+1-\-ут+г— am+i при т — 2— астроида; при т=1— пара-
бола (х—у)2—а(2х+2у—а) =0; при т — — 2 — окружность
х2-\-у2 — а2.
340. Выберем в заданной вертикальной плоскости систему коорди-
нат хОу, поместив начало координат в заданную точку и на-
правив ось Оу вертикально вверх. Тогда параметрические урав-
нения линий семейства будут
а/2
х — с0/cos a, r/ = c0/sina-------,
2
где а — параметр семейства.
Имеем:
дх	ду
— — Со cos a, — = Со sin a—gt,
dt	dt
dx	dy
— —— vot sin a, —= co/cos a.
да	da
D(x, у)
a) :
Приравнивая пулю якобиан
получим
c2 t—gt2 Co sin a = 0,
co
откуда t=------------ и параметрические уравнения дискрими-
g sin a
наптпой липин
2	2	2
Co	Co	Co
x— — ctg a, y—------------------------
g	g 2g sin2a
248 ОТВЕТЫ
Исключив а, получим
2
V о	gx2
У =-------------
2g	2v2
о
Рис. 130
Итак, дискриминантной линией является парабола, ось которой
направлена вертикально вниз по оси Оу, параметр равен
2	2
^0	/	^0 \
—, а вершина находится в точке Л4о I 0, — ) . Дискриминант-
g	*	\ 2g!
ная линия является огибающей, так как линии семейства не
имеют особых точек (рис. 130).
ОТВЕТЫ
249
341.
Уравнения семейства (рис. 131)
х — a cos v cos и, у = a sin v sin и.
Приравнивая нулю якобиан
Р(х, у)
D(u, v)
ft
получим
sin2 v cos2 и—cos2 v sin2 и — О,
sin(u+^)sin(w—у) =0
или
V — — W, V — Tt—U, V — tl, V —
Дискриминантная линия состоит из четырех отрезков прямых:
x = acos2w, у — —a sin2 и\ x = acos2w, t/ = asin2 и;
х — — acos2w, r/ = asin2w; x== — a cos2 w, y — — asin2w.
Это четыре стороны квадрата, вершинами которого служат
точки пересечения диаметров окружности, лежащих на осях
координат, с самой окружностью. Каждая из сторон квадрата
является огибающей, так как линии семейства не имеют особых
точек (рис. 132).
з	з
342.
343.
1
s= —
27
1
s= —
2
[(4-Ь9х2) 2 — (4+9X1) 2 ].
(х2 У 1 +4*2 —Xi У 1 +4х2 ) +
1	2х2+У 1+4х22
— ]п------_____
4	2X14-V 1+4х?
250 ОТВЕТЫ
Рис. 132
346.
347.
s = x2—xi+У 1+е2*2—]/ 1Ч-е2ж14-1п
1-|-У 1-}"£2Х2
s = ln
еж2—е~ х2
exi—e~xi
348, 8==Л.^_^у
2
349.	$ = а(1п sin t2—In sin G),
л	л
где 0<7i,	— или —/2<л.
2	2
350.	s = lntg75°.	е
351.	s = 2]/'3.
ОТВЕТЫ
251
352.
353.
354.
355.
356.
357.
358.
359.
360.
361.
362.
363.
364.
365.
367.
371.
372.
373.
374.
375.
15
s= — +ln 2.
4
5л	л
s = ln tg----In tg---.
12	12
1
s= — (ch 4—ch 0).
s = 48<2.
22
s = 24 —.
27
s — 2a []/^4-ln(^~2+l)].
s — 8a.
s = 6a.
5 Г 1	- 1
<s=== I 2+	In (2+ |/ 3) I a.
2 L уз J
s==8a.
16
s= — a.
3
3
s= —ла.
2
s= — [2л]/ 1-}-4л2+1п(2л+ ]/ 1+4л2)].
2
Цепная лппия. Точка А является вершиной.
s	$
x = /?cos—, y = R sin—.
R	R
s	-------
x = arcsh—, у=У a2H-s2.
a
I sin x |
k =!---------------.
3
(1+cos2 x) 2
a
k — —.
У2
, V p	p2
k —----------------------------
3
(P+2X) 2
3
((/2+p2) 2
252 ОТВЕТЫ
376. /г =
6
/(4+9/2) 2
ab
377. k=------------------------------.
з
(a2 sin2 t-\-b2 cos2 t) 2
ab
378. k=------------------------------.
з
(a2 sfo2 /_|_^2 ^2
379.	£ = —
4a
1
t
sin —
2
380.
4am (m+1)
2
381. k =-------------------
3a | sin 2t |
1
382. k=---------.
at
383. k =
2+<p2
t
sin —
2
я(1+<p2) 2
1
384. k =.
r ]/ 1+Л2
3
385. k =----------------
4a cos —
2
386.
3r 3 cos2
k== — —-----------
a2 r
•* xy * X
P yy Fy
Fy о
387.
3
e
ОТВЕТЫ
253
388,
389.
390.
391.
392.
аЧэ^	ab
k—------------------ =-------------, где e — эксцентриситет.
(bW+a^y/2	(а2—&2х2у!г
3(2a—x)
x {^a—Zxyh
£ = 0.
(p2_|_Q2)3/2
| [/ A s, A r] |
394. Указание, h—--------------------.
A s
400. 7? = actg/.
404. Центр кривизны эллипса
x — a cos /, у — a sin t
/ c2	\	/	л \
в вершине A (/ = 0) есть D I —, 0 I, а в вершине В I / =— I—
\ a	/	\	2 '
/	c2 \
E I 0,-----), где c2 — a2—b2. D и E находятся на пересечении
\	b '
перпендикуляра, опущенного из точки С (а, Ь) на ЛВ, с осями
координат (рис. 133).
405.
/	л
406. I х---------
\	2
407.	(х-2)2+(г/-2)2 = 2, (х+2)2+(г/+2)2 = 2.
/	1	1 \
408.--------In 2,----).
'	2	]/2 '
409. Точки, в которых кривизна минимальная ((2«+1)ал, aA-d),
точки, в которых кривизна максимальная (2пал, a—d)
(п — любое натуральное число).
(а а \
—, — Г
4	4	/
411.
254 ОТВЕТЫ
412. Квадрат хорды, соединяющей точки М и ЛГ, равен
Если вместо произвольного параметра t взять длину дуги s,
то x'24-r/'2= 1. Дифференцируем это соотношение дважды по s:
х'х"+у'у" = о, х'х"'+у'у'"+х,,2+у"2 = 0.
Учитывая, что
= -J-,
Г2
получим
(ММЭ2=(Д5)2--^(Дя)Ч-... ,
12г2
откуда

Так как ММ' = As, то
о	1	(As)3
ММ'-ММ' =--------—-
24 г2
414. Пусть линия задана своим векторным уравнением r = /'i(s),
где s — длина дуги этой линии, отсчитываемой от точки М, а за
начало отсчета радиус-векторов взята точка М. Запишем урав-
нения линии /1 относительно репера Френе, взятого в точке М.
Подставляя в разложение n(s)=ris-)----s2+ ... выражения
kyii, получим
е
ki
ОТВЕТЫ
255
Аналогично, для линии Z2
kz
x = s+ ... ,	у =----s2+ ...	(**)
2
Пусть Р точка на касательной Z, близкая к точке М, и перпен-
дикуляр к Z, проведенный в точке Р, пересекает линии Zi, Z2
в точках Mi, М2. Тогда из уравнений ('*'), (**) соответственно
получим
1	1
РМ1 = £i%2+ ... , РМ2 = — kzX2«
2	2
Так как ki<k2, то PMi<.PM2 (г/2+р2)’А	, 31/2 417. г=	, хо-р+	, р2	2р третьего порядка в вершине 0(0, 0) параболы. X2	лх	тс2 421.	у==	+ — +1	. 2	2	8 /	8 \2	2'/ 7	\ 422.	1 у	) 		I	х ). \	5 /	5	\	5	/	. /	1 \2	16	/	11	\ 423.	| х	) —	(	у ). \	5	/	5	\	5	/ 424.	Точка — центр окружности. а2—Ь2	Ь2—а2 425.	X—	cos3/,	У—	 а	Ь	(рис. 134). У3 Уо=	. Соприкосновение р2 1 У \ / х Рис. 135 sin3/ (рис. 135).
256 ОТВЕТЫ
426.
a2+b2
—— ch3t,
а
----sh3/ (рис. 136).
b
427.
Х = -4х3,
4-Зл'2 (рис. 137).
428.
-----[(2/г-2)х—
2А-1
l+2k(4/i-l)xll‘-z
----------------- (рис. 138).
2k(2k—l)x2i>-2
429.
— ((2й— 1 )х— (2А+1)	,
1 + (2й+1)(4й+1)х‘'‘
-------------------- (рис. 13$
2А(2А+1)х2*-*
430.
У=1пх—х2— 1 (рис. 140).
431.
sin х
2 cos2 х
—-------- (рис.
sin X
432.
е
cos2 х sin 2х
У
Рис. 138
() Зак. 214
258 ОТВЕТЫ
l+cos4x	Л	Л
---——• --г- <х<— (Рис- 142)-
sin 2х	2	2
а
434.	—- (cos ф—cos 2 <р+2),
Y = — sin ф (1 —cos ф).
Это кардиоида (рис. 144). Для доказательства достаточно
произвести замену параметра ф = л—t и преобразование коор-
динат по формулам:
435.	Рис. 145.
436.	Рис. 146.
437.	Рис. 147.
л
438.	In а = а2.
439.	Х = а [cos /+(/—С) sin /], Y—a [sin t— (t—C)cos /], где C —
параметр семейства эвольвент (рис. 148).
/ t \
440.	X’ = allntg — Н-cos/), Y — as\nt—трактриса (см. рис. 143).
t 2	-----
441.	Х =— +.... ГС—ln(Z+У/2+4) ],
2 у /г+4
t	----
Y= -3333- [С—1п(/+ У <2+4) ].
У <2+4
442.	s — ба. Указание. Воспользоваться следующим свойством
эволюты: если радиус кривизны линии меняется монотонно, то
длина дуги эволюты между двумя ее точками равна разности
значений радиуса кривизны исходной линии в этих точках.
443, s — 8a,
444.
г 36№ 13
445.	(27s+8)2= 44-9
(27.S+8)2
Рис. 143
Рис 148
ОТВЕТЫ
261
446.	s —sec a+ln tg& = sinacos2a, i7ietga=x.
447.	R2 — 2as.
2s
448.	R2+a2 = a2e~~ .
449.	s2-{-9/?2= 16a2.
1
450.	Окружность радпуса —, если a=?^0, и прямая, если a=0.
а
451.	Логарифмическая спираль.
452.	Полагаем s = tga. Тогда
a	14-sina	а
х= — In ------;--, у=---------;
2	1— sin a	cos a
отсюда
X	X
a / —-------\	x
u= — I e a 4-е a I—fl ch — --
2 '	/	a
цепная линия.
453.	x = a(2/+sin 2/),	y = a(2—cos 21) — циклоида.
at
454.	s = asin/, R — bcost, a=—.
b
Параметрические уравнения линии
а г b	/ a+b \	b	I a—b
x=- — ------sin I----t I +----sin I --t
2 L a+b	\ b '	a—b	\ b
Это эпициклоида.
456. Натуральное уравнение логарифмической спирали есть
/? = $1пя Искомая линия есть полупрямая, исходящая из на-
чала координат и наклоненная к оси Ох под углом, тангенс
которого равен In а.
а
460. х =--------------,	у — — a etg a — парабола.
2 sin2 a
461.
462.
x =—e (cos a+sin a),
2
мическая спираль.
x — a (a sin a + cos a),
окружности.
a a
y=—e (cos a—sin a)—логариф-
i/ = a(sin a — a cos a) — эвольвента
262 ОТВЕТЫ
/ л	*а \	а
463.	x = alntgl—Н-------), у=---------— цепная линия.
\ 4	2 /	cos а
а	а
464.	х~------(1—cos 2а), у =-------(2а—sin 2а)—циклоида.
4	4
465.	R = r—[(г—го, г'):г,2]г'.
466.	Спираль Архимеда	/
467.	Четырехлепестковая роза
а2
(х2-{-у2)3 — — (х2-у2).
4
468.	Циссоида Диоклеса
х3
469.	Лемниската
а2х2+Ь2у2= (х2+у2)2.
470.	Кардиоида
(х2-\-у2—ах)2=--а2(х2-{-у2).
471.	2 (2р+%)3 == 27 р (х2+у2).
472.	Эпициклоида
а	а
х — — (3 cos t—cos 3/),	z/ = — (3 sin /—sin 3/),
4	4
a
которая получается при качении окружности радиуса — по
4
окружности
473.	Улитка Паскаля
4я2 /	16ах \
(х2+у2—2ах)2+	^х2+у2----— ) — 0.
474.	54ру2 — х(2х—9р)2.
475.	Луч, вершина которого лежит на данной прямой и который
л
наклонен к ней под углом а==------ц, где ц — угол между
2
касательной и радиус-вектором, проведенным в точку касания.
476. Цепная линия
р 2х	*
-у=—ch—,
ОТВЕТЫ
263

477.
Если оси координат выбрать так, как указано на рис. 149, то
параметрические уравнения нужной нам циклоиды запишутся
в виде
x — a(t—sin /),	у = а(\— cos t).
Рис 149
Скорость падающего тела определяется по формуле u = ]/2^/z.
В нашей задаче
h = y—yo — a(cos /о—cos /),
где /о и t соответствуют точкам Мо и М. Поэтому
и=У 2ga(cos to—cos t).
Но скорость v есть производная пути s по времени Т:
ds
v == —.
dT
Замечая, что для циклоиды
t
ds = 2a sin — dt,
2
получаем
мен и Т:
dT
дифференциальное уравнение для определения вре-
t
2а sin —
2
]/ 2ga(cos to—cos t)
Интегрируя его, находим время Т, затрачиваемое материальной
точкой на перемещение из Л4о в Л,
л
С 2а sin — dt
2
d У 2ga(cos to—cos t)
to
264 ОТВЕТЫ
что и требовалось доказать.
478.	Диаметр равен радиусу кривизны для топ точки логарифмиче-
ской спирали, радиус-вектор которой равен АО.
а3—Ь3
479.	s = 4------.
ab
dp
480.	R = p—, s = p.
do
481.	Натуральное уравнение эволюты
4о3 = а(4о2+р2);
натуральное уравнение эвольвенты
2(У1
я2+р2 — С е а —
трактриса.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 480.
482.
k* =
x+ci	. r
483.	е а =sin--------, где Ci и С2 — произвольные постоянные.
а
484.	x=zzcos/, у = а sin /, z — bt (рис. 150). Проекции:
z	z
1)	х2+//2 = а2;	2) z/ = asin—;	3) x = acos—.
b	b
485.	x = tfcos(p, у —asm <p, z =
486.	Выбирая соответствующим образом систему координат, урав-
нения линии Вивианп (рис. 151) запишем в виде
х2+г/2+г2==/?2
x2-[-y2—Rx—Q.
Рис 151
266 ОТВЕТЫ
Принимая за параметр и долготу точки М на сфере, из тре-
угольников АОР, ЪРМ и OPQ находим
x = /?cos2u, y — R cos и sin и, г —zb^sinw.
Введя новый параметр и', можно получить
x = /?cos2w', y = R cos и' sin и', z = /?sinw'.
Возможны и другие параметрические уравнения. В частности,
переписывая уравнение	/
Рх — 0
в виде
и полагая
R	R	R
х------= — cos t, у= — sin t,
2	2	2
получим
R	R	t
x —— (1-f-cos/), y——sin/, z — R sin—.
2	2	2
487.	1) Введя полярную систему координат, положение точки М
определим ее расстоянием г от точки О, шпротой — Z- POL
л
и долготой cp = Z.%OP (рис. 152). По условию ф =------X, где
2
dr
\ = Z_zOL, а ср = со/. Определяя г из условия — =тг и под-
dt
ставляя найденное значение г — rQemi в уравнения
x — r cos ф cos ср,
у —г cos ф sin ср,
z — г sin ф,
получим
а — ае cos (р, у = ас sin ср, z = b е ,
т
где k=—, a = ro sin X, 6 = rocosX;
со
2)	x = atcost, y~ai sin t, z — bt.
488.	x24-z2 = 02, 1
^+г2 = 62. J
x — a cos t,
y~±:^b2—a2s\n2t,
z — a sin t.	л
При a — b получаем два эллипса (рис. 153).
ОТВЕТЫ
267
489.	Указание Исключить параметр t.
490.	у — х2, г = 0,	z~x3, у — 0;	z2 = y\ х = 0.
Z	Z
491.	х2—у2 = а\ z —0; х — я ch—, // = 0;	у == a sh—, %—0.
с	с
Рис 152	Рис 153
492.	х2—у2—х—у+\ = 0, z = 0.
Указание. Исключить z из данных уравнений.
493. y2-\-z2 —2r/+4z—4 = 0, х = 0
495. а = 2, Ь = У~2.
496.	x2+z2+xz+2x+2z+l=0, у = 0.
497.	z2+y2 = b2, х = 0;	у2 (а2+х2) = а2Ь2, г —0;
z2 (а2-}-х2) — Ь2х2, у — 0
498.	На плоскость yOz
на плоскость xOz
po^r-(r /)/,
на плоскость хОу
рз = г— (/' k)k.
500. Например,
у = х2, z=^ex.
268 ОТВЕТЫ
501. Уравнения искомы* цилиндров
504.	R = —.
2
506.
507.
508.
509.
510.
511.
Прямые
х=у, z—1; х = —у, 2=1;	х = у, z = — 1;
х~—у, г —— 1.
ал
г
%—е	у—е~1	z—1
е —е~1	2
х = у-\-\ = z.
1	л
х = у=—— z; <р= —
2	4
Mi(-2, 12, 14),	М2(-4, 3, -4)
512.
#+2z —0.
х— 1	у—\	2—1
513.		==------=--------; x-\-2y-\-3z—-.5 — 0. В пересечении каса
12	3
3
тельных с плоскостью хОу получается парабола у — —х2.
4
514.	х2+у2 — 2а2.
X—a ch t	У—a sh t	Z—ct
515.		=----------------=-------.
a sh t a ch t	c
X—x У—у	Z—z
517.		—---------- —-----; 2yzX+z(a~ 2x) У—ai/Z~Q
2yz	z(a~2x)	—ay
518.	Запишем уравнения линии Вивпанп (см. задачу 486) в виде
х —a cos2 и, у — a cos и sin и, z=asinu.
Очевидно,
dx\dy\dz=—sin 2ц:cos 2w:cos и.
Искомый угол определится формулой
cos2 и	*
cos2 V— --------.
1+cos2 и
ОТВЕТЫ
269
Наименьшее абсолютное значение угла у соответствует наи-
cos2 и
большему значению дроби ----------•, т. е. наименьшему значе-
1-f-cos2 и
нию величины
l+cos2w 1
cos2 и cos2 и
Оно достигается при cos2w = l, т. е. при и —0 и п = 180°.
В обоих случаях получается одна и та же точка /1(0, 0. 0),
через которую линия Впвианп проходит дважды (см. рис. 151)
1
При w = 0 имеем cosy =——, откуда у = 45°; при //=180°
У 2
1
cosy =-----откуда у ——45°.
У 2
519.	Окружность
а2 ' b
Х2_|_^2_ -----------? г— --------
а2+&2 у а2+Ь2
(уравнения винтовой линии взяты в виде
x = acos/, у = а sm t, z — bi).
521. Пусть
x=x(0, y = y(t), z—z(t) —
параметрические уравнения линии. Справедливы тождества:
F{x(t), y(t), z(^)}=0,
Ф{Х(О, y(t), z(0}^0,
откуда получаем
dF	dF	dF
—	dx-\- — dy-\- — dz — 0,
dx	dy	dz
dC&	дф	дф
—	dx-\- — dy-\- — dz~0,
dx	dy	dz
Эти соотношения определяют отношения дифференциалов
в виде
	dx	dy				dz		
dF	dF		dF	dF		dF	dF	«
дУ	dz		dz	dx		dx	dy	
d®	d(D		дф	dф		дф	dф	
dy	dz		dz	dx		dx	dy	
270 ОТВЕТЫ
Таким образом, уравнения касательной принимают вид
Х-х
	IF dF			dF	dF		dF dF	3
	ду dz			dz	dx		дх dy	
c	дф			dф	dф		дф дф	
	ду dz			dz	dx		дх ду	
а уравнение нормальной плоскости-								
dF dF					dF	dF		
с	ду dz ?ф дф	(А		х) +	dz dф	dx дф	(У-у)+	
ду dz					dz	dx		
—j—	dF di дх ду дф да дх' ду			?-г)	= 0			
или
Х-х	у-у	Z-z
dF	dF	dF
дх	ду	dz
дф	дф	дф
дх	ду	dz
Х-х	У-у	Z
= 0.
Ьх
ау
—z
522.
523.
524.
528.
530.
531.
532.
533.
534.
ХУ
(Х—х) ау+ (Y—y) bx+ (Z—z) xy = Q.
z(X—x) -}-x(Z—z) — 0.
X	Y	Z
--------+ — =1.
x	У	z
3xH-3z/H-2r+1 —0, 3x—3//+?—1 =0, 108y—18//4-г-216=Ь.
4 (X cos t— Y sin t) — 3Z — cos 2t.
—aX+Z = Q.
bX-^-aY-^-abZ — ^ab.
[X sin(/— a)— Y cos (/—a)] sin a-f-Z —/ sin a+cos a.
4.V—z/4-2—9 — 0.
ОТВЕТЫ
271
536.
X	у	z— 1
1	”	—4	“	-1 ~~
уравнения главной нормали,
X	у	z—1
2	~	1	~	—2
уравнения бинормали.
х—1 у— 1 z— 1
11 “ 8 ~ -9 ~
главная нормаль,
х— 1	у— 1	z—1
3	~	-3	“	1
бинормаль.
х—1	у— 1	Z— 1
31	“	26	“	-22
главная нормаль,
х—1	у— 1	z—1
6	~	-8	~	-1 ~
бинормаль.
х—1	у—1	Z—1
539. ------=------=------—
3	3	4
главная нормаль,
х—1	у—1	z—1
2	—	2	~	—3
бинормаль.
541. Л(1, In 2, -4).
г Т+^ - 2i-j+k - i+i-k
543. /==——, п =  ------2---• b —-----Z—’•
У 2	У 6	У 3
_	_ з	„з	4 _ _	.	__
544.	t = — i — cost-}-i — sin t--/г, n = i sin t-}-j cos t,
5	5	5
- —4	- 4	13 -
b = i — cos t—i — sin t----k.
5	5	5
_	1 /— t - t — \	— — t — t
545.	t =----I i sin —• 4-/ cos---/г |	n = i cos-----j sin —
y-2 \	2	2	/	2	2
-	1 /- t - t -\
b =-----1 fsin — +/cos — +&| .
y-2\	2	2	/
ОТВЕТЫ
-	1 - - -
546.	/= _ p(cos/—sin/)+/(sin/+cos/)+&],
уз
1
n= —— [—/(sin /+cos t) 4:/(cos /—sin t) ],
V2
-	1 - - -
b = ——- [/($in /—cos /) —J (sin /+cos /) +2&].
У6
—	i 2a2x2 -4- / 2x4—kcft
547	/ -------------------
2x4+a4
—	/(tt4—2x4) + (j-{-k)2a2x2 - i 2a2x2—ja^-^-k 2x4
n=	--------------------, b =-------------------
2x4H-a4	2x4+a4
549. Касательная
X—a cost	Y—a sin t	Z—bt
 . ................... ......,
—a sin/ a cos/	b
нормальная плоскость
a sin / X—a cos / Y—b Z+&2/ = 0;
бинормаль
X—a cos /	Y— a sin /	Z—bt
b sin /	—b cos / a
соприкасающаяся плоскость
b sin / X—b cos / Y-\-aZ—abt — Q\
главная нормаль
X—a cost	Y—a sin /
----------=-------------, Z = 6/;
cos /	sin /
спрямляющая плоскость
X cos t-{-Y sin /—a=0.
1 _____
/ =----(—a sin / cos t j-\-bk), ii — —cos / /—sin
У a2+b2
1 - -
^_= ——	(J, sjn f i—fr cos f jy
У a2-]-b2
550.
Записывая параметрические уравнения линии в виде
а	а е	/
х= — (l+cos/)t у——sin/, z = asin —
ОТВЕТЫ
273
(см. задачу 486), находим: касательная
а
a	t
— sin/ Z—a sin —
—sin t
cos t
cos
нормальная плоскость
X sin t—Y sin t—Z cos
= 0;
бинормаль
a
X-----(1+cos t)
a
— sin t
Z—a sin —
2
sin—(2+cos/) cos—(1+cos/)
соприкасающаяся плоскость
sin — (2+cos t)X—cos
+2Z------sin — (5+cos /) =0;
главная нормаль
a	a
X------(1+cos/)	Y-----sin/
2	2
cos* 2 — (1+cos /) —2 cos i----sin /(6+cos /)
/
Z—a sin —
2
—sin —
2
спрямляющая плоскость
—cos2 — (1 +cos /) —2 cos / X----sin / (6+cos /) Y—
t	a
—sin — Z+ — (3+cos /)2 = 0,
2	4
274 ОТВЕТЫ
—	t —
—sin t t’+cos t /+cos — k
_	2 г /	-	'	- -I
b— |/	,—"t sin — (2+cos t)i—cos — (1+cos t)j+2k J ,
Рис. 155
/2 =
—cos2
VQ
sin /(6+cos t)
/—sin
2
—cos2
— sin2 /(6-f-cos /)2+sin2
4
551.
552.
554.
— — r k . — — г /г ..	— — r k . ..
pi = r----~----r, ()2 = r----------r, ()3 = f--------Z"Zr~[frl-
r k	r k	(k r r)
s — ]/ a2+&21.
s	s	bs
X = a cos-----------, Y — a sin-----------, Z =-------------.
yb2 + &2	]/2Z2 + &2	fn2 + 62
555.
556.
558.
s' = 8a У 2.
s —9a.	*
s = a]/2sh t.
ОТВЕТЫ
275
559.	s = 9, 9с.
560.	ds2 = dr*+r2dq2+dz2.
Указание. Цилиндрические координаты г, (р, z связаны
с декартовыми прямоугольными координатами %, г/, г форму-
лами
x = /'cos(p, i/ = /*sin <р, z — z (рис. 154).
561.	ds2 —dp2+p2d02+p2 sin2 0 dq>2.
Указание. Сферические координаты р, 0, ср связаны с де-
картовыми прямоугольными координатами х, у, z формулами
х — р sin 0 cos (р, у — р sin 0 sin ср, z = pcos0
(рис. 155).
562.	Указание. Применяя формулы Френе
t — kn. n — —kt-\-yb, b — —yn
и принимая во внимание, что r — t, находим
r = kn, r — i — (kn) =—k2t-\-k^b-[-kfi.
(A2	h b	\__
----As2-----As3+ ...)/+
2	2	/
276 ОТВЕТЫ
Указание. В выражения
- As dt	As2 d2t	As3	dH
\t =---------+-------------h------------
1 ds	2	ds2	6	ds3
— As dn As2 d2n As3 d3n
/\n —--------4------- -----+------'----
1	ds	2	ds2	6	ds3
-	As	d'b	As2	d2~b	As3	d3b
\b—------------1-----------+------------
1	ds	2	ds2	6	ds3
подставить производные векторов t, n, b, вычислив их с по-
мощью формул Френе.
564. Записывая искомый вектор в виде
(ti = at-[-bn-\-cb
и используя условие задачи, найдем
to = yt+kb.
Вектор со есть вектор мгновенной угловой скорости репера
Френе при движении точки по линии со скоростью, равной
единице.
я2+&2’	а2+Ь2'
2
572. k =---------.
14-а2
1
573. k = y =---------------•.
2а ch21
3	4
576.	k =-------------------------------------- .
25 sin t cos t	25 sin t cos t
577.	Указание. Написать параметрические уравнения, приняв у
за параметр,
2 У 1Ч-36г/44-64г/6	* -12у
k= -----------------•, у =----------------•
y(l+4i/2+lGt/4)3	1 +36t/4+G4i/6
ОТВЕТЫ
277
1	1	х / %2	а2 \2
578.		= — = —-------------1------) .
k	%	2 ' а2	2х2 /
579.	а = Ь.
580.	Точки, соответствующие значениям параметра
t— — +&л (Ze = O, ±1, ±2, ...).
4
581.	Точки, соответствующие значениям параметра
/ = 2^л (£ = 0, ±1, ±2, ...).
583. х—4//-2г+3 = 0.
584,
585.
х—Ci	у—с2
ал	а2
bi	b2
X У
586.	—~ + —— =0,
]/ а У b
Z — Сз
а3
Ьз
587. f (/) = С1+С2 sin /+с3 cos t.
588. а) Пусть а — единичный вектор фиксированного направления.
Тогда
a/ = cosu (у — const).	(к)
Дифференцируем равенство (*) по s
а / = 0.
Следовательно, k а п = 0. Исключая случай, когда 6 = 0 (пря-
мые), получим
а п — 0.	(**)
Следовательно, главные нормали перпендикулярны фиксиро-
ванному направлению.
Обратно, если вектор п в текущей точке перпендикулярен фик-
сированному направлению, то верно равенство (*).
б) Предполагая	и учитывая третью формулу Френе,
получим из (**)
а 6 = 0,
откуда
a b — const.
•ffs ’J'
Обратно, дифференцируя (***), получим (**).
278 ОТВЕТЫ
в) Дифференцируя *( ’*)> получим
k a t = х а Ь,
откуда
k — — —
— = a b ; a t = const.
X
Обратно, из первой и третьей формулы Френе следует
i	b
— + — =0,
k	X
откуда
= 0,	t-\-b — const — р.
k	k
Умножая скалярно на п, получим (р/г)=О. Следовательно,
выполняется условие (*и)«
589. Указание.
( rr'ri'-'i )=/г5 (—)
' k /
и далее воспользоваться задачей 588.
592. Пусть {1, и, v}—фиксированное направление. Угол его с ка-
сательной к линии будет
а+2&/ц-{-Зс/2ц
cos (р=-----------------------------.
]/ l+w2+n2-y а2+462/2+9с2/4
Условие независимости ср от t состоит в том, что дробь
(3cy/2+26w/+a)2
9с2/4+4Ь2/2+а2 ~
9c2u2/44-126cny/3+2(262zi2+3izc'ti) t2-}-4abut-\-a2
не зависит от t. Для этого достаточно, чтобы
9с2у2	2(2b2u2+3acv)	а2
4abn--=-0, \2bcuv = 0, -----—------------------— —
9с2	4b2	а2
откуда
/г = 0, и2=1, 2б2 = ±3лс
е
593. Указание. В этом случае е/ = 0. Продифференцировать это
соотношение и воспользоваться формулами Френе.
ОТВЕТЫ
279
595. Пусть г — r(s)—уравнение одной из линий. Тогда уравнение
другой р = г+Х&. Находим
р' = /Ч-М—
Так как бинормаль линии p = p(s) имеет также направление
вектора Ь, то b _1_ р' и, значит, bp' — 0, откуда
%=const, [У— t—tyn.
Находцм
р" — kn—lyji—Zx(—kt+yb).
Так как р"_1_6, то р"Ь — 0, откуда Х%2 = 0, т. е. / — О (^=/=0, ибо
в противном случае линии r = r(s) и p = p(s) совпадали бы).
597. Уравнения линий можно записать в виде
r = r(s),	р = г+кп.	(Ч
Из условия р'_1_/г находим, что Z = const, из условия компла-
нарности векторов р', р", п получаем
х+Мх—£х)==о-
Разделим последнее равенство па х2-
/ 1 \ ’ / \ *
-----+Ч~ =0,	(**)
\ z /	\ х /
1	k
+%	=—ц,
X	X
откуда
Wpx=i.	С**)
Обратно. Из ("и) следует (**). Подставляя значение X из (**)
в (*), получим уравнение искомой линии.
601. По условию
Дифференцируя это равенство по s, получим
— ds* —
k*n?------— kn.
ds
Ио так как пя то
ds^
----=k.	(*)
ds
280 ОТВЕТЫ
Далее, дифференцируя по s равенство b* = b, получим
_ ds* —
-х*'*т —— =-№
ds
откуда
ds*
Х*~Т“ =Х-

Наконец, сравнивая (*) и (**), находим искомые соотношения
k*	ds	%*'
k	ds*	%
V £2+x2	x2	i k \	£
602. k* — --------->, X1=='------------I---)• Если —= const,
1^1	sk(k2+x2) ' x '	X
to x'=0.
у	(y'z"—y"z') г	y"z"'—y"'z"
A =------------------------, у =------------------------->
(1+j,«+z«)3/2	л	i/"2+z"2+(i/'z"—1/"z'}'2
-	i+y'i+z'k	-	(y'z"—y"z’)i—z"j+y”k
/ =	—,	n =	......,
У \+y,2+z’2	У y"2+zm+(y'z"-y"z')2
(-z'z"-y'y") t+ [y"-z'(y'z"-y"z') ] /+ [y' (y'z"-y"z') +z"] k
y'(z'z"+y'y") 2+ [y"-z' (y'z"-y"z') ] 2+ [z"+y' (y'z"-z'y") p
605.
606.
k	k	X
х  --------cos ф	у _--------sin ф,	z —  ------ф.
^2+х2 т ^+х2	£2+х2
Кривизна и кручение винтовой липин постоянны, следователь-
но, существует бесконечное число пар значений X и ц, при кото-
рых Х&+цх=Е Им соответствуют винтовые липин, лежащие
на цилиндрах, коаксиальных данному.
Обратно. Пусть липин Бертрана С соответствуют две линии,
имеющие с данной общие главные нормали. Тогда
М4-ц.1Х=1, |
Хг^рЦгХ”!. J
Xi
где Х1=#Хг и, следовательно, p,i#qx2. Не может быть —
Hi
Ц2 ’
ибо тогда из (+) следовало бы Л1 = Лг, |ii = |i2. Следовательно,
Xi
Хг Р-2
e
=И=0 и из соотношений (’) мы получим определенные
ОТВЕТЫ
281
значения k и % (постоянные), т. е. линия является винтовой
линией.
607.
2a2-}-s2
с У 2
608. k = V =--------;
4 с2+s2
610.	Необходимым и достаточным условием соприкосновения вто-
рого порядка является совпадение кривизн и сопровождающих
трехгранников линий в их общей точке.
611.	Обратное не верно, так как в выражение вектора г входит %.
612.	Так как расстояние между двумя точками линии эквива-
лентно длине дуги As между ними, то задача сводится к опре-
делению кратчайшего расстояния между прямыми
p=r(s)+/(s)X,
р = г (s+As) 4-/(s+As) X,
где /(s) последовательно равен t, п, b.
Кратчайшее расстояние определяется по формуле
(r(s+As)—r(s), e(s), e(s+As))
j/ [e(s), e(s+As)]2
При e=t
di =------------------------
У [/(s), /(s+As)p У [/, A/]2
\r=t As+ —— kn As24- — %kb As3+ ...
\t — kn As+ ... ,
откуда
di третьего порядка малости, если	Аналогично найдем,
что dz и d3 первого порядка малости.
614. Если шаг винта равен длине окружности цилиндра.
282 ОТВЕТЫ
1
616.	Rq=-------.
2
617.	7?=(e‘+e-')2l/-i- + (e‘+e-<)2.
618.	/?=зу2е».
621. Винтовая линия, шаг которой равен шагу исходной винтовой
Ь2
линии, лежащая на круговом цилиндре с осью Oz	.
а
623. Пусть
х=х(С),	</=t/(C), z=z(C)	(*)
параметрические уравнения огибающей. Из определения огиба-
ющей следуют равенства
х'	у'	г'
G) “ D(P, G) “ Ъ(Г, G) ‘
D (у, z)	D(z, х) D(x, у)
Отсюда и из тождеств
l'x----------|-fw ---------+Fz ----------=0,
£)((/, z)	D(z, x)	D(x, y)
D(F, G)	D(F, G)	D(F, G)
Gx 	’ 4-Ga ..__L.2...............L =0
D(y, z)	D(z, x) D(x, y)
имеем
Fxx'-}-F yy' -}-F Zzr = 0, 1
i	(**)
G xXrРуУ'+ Gzz' = 0. J
С другой стороны, координаты точек М, заданных уравнения-'
ми (*), удовлетворяют тождественно системе F = 0, G = 0.
Дифференцируя по С, получим
F x^r-\-F yyf-\-F Zzr-\-F с = 0,	***
Gxxf-\- G у yrGzz'-[- G c === 0.
Из (“) и (***) следует
Fc = 0, Gc = 0.
Таким образом, текущие координаты точек огибающей линий
F(x, г/, z, С)=0, О(х, у, г, С)=0
удовлетворяют системе уравнений е
F(x, у, г, С) =0,
G(x, yt z, С)=0,
ОТВЕТЫ
283
624.
625.
Fc(x, у, z, С) =0,
Gc(x, у, z, С) = 0.
=	С),	[rirc]=0.
r = /'o(C)+/а(С),	(Vafl')=0.
Iz
Рис 156
X
627.
626.
Z — z—zr
xx'-\-yy'+zz'
%'2+//'2+г'2
/ ьч
x== a I cos /4---sin t
\	a?+b*
„	, xx’+yy'+zz'
Y=y—y'  --------------,
Y Г2-1_ //'2_L-7'2
628.
yz=a ( sin i—
ЪЧ
------cos t
сР+Ь*
x = f («)cos у, , y—f(u)sin v,
ba2t
z—---------.
a24~62
z — y(u} - (рис. 156).
284 ОТВЕТЫ
629.	x=R cos u cos у, y=*R cos и sin у, z = /?sinw (рис. 157).
630.	x=a cos и cos v, y — a cos и sin v, z — csmti (рис. 158).
Рис 157
Pnc 158
631.	x = achwcosv, r/=a ch rz sin u, l = cshw (рис. 159).
632.	x = ashucosv, y — a sh и sin v, z = c ch и (рис. 160).
ОТВЕТЫ
285
633.	x=wcosv, у = и sin v, z~u2 (рис. 161).
634.	x = /?cosu, r/ = /?siny, z — ti (рис. 162).
635.	x = «cosy, y — usin v, z — ku (puc. 163).
Рис. 159
Рис 160
Рис. 161
Рис. 162

636.	х= (a-f-& cos w)cos v, y^= (a-[-b cos w)sin v, z — bsinu
(рис. 164).
ZB у	У"£$‘^1Я	* CZlzK^^^	— **•	1	Лр - чУгЖЖ1	_	/-^	Г	Т	I .. *^**Ч|НЬ- ^»*уД-^д^В* п	I р			l-о— -тт#-’_ч,^<^И		I I | I 1 * ZEMtfgl5ffi£.r.>| п— 1 —	",	«5>	1 V	/ q^Qk&LVT—J i о	У ' А** .«а^З^ДйВЙЙати».*^'йс*8И	co	1 A--—/	^^Й»лчЛ f —f y@w®V^£aS^ /	^*жС/ Wy^*^	vW X^/	/	L v^^zt^w X# >& i>^-.  .s.^4,;^ -. X Рис 164 z Jot 1 V£a / 7l" TT ;’V\ yC/ / 1 \ <X ^SswXIp Y	y V f Рис 166
е
ОТВЕТЫ
287
U	U
637.	х = а ch — cosy, z/ = ach— sin и, z = w (рис. 165).
a	a
/ a
638.	x = a sin a cos v, y = a sin a sin y, z = allntg — +cos a
(рис. 166).
639.	Указание. Трехосный эллипсоид
X2	z/2	z2
— + —+ — = 1
a2	b2	c2
можно получить из сферы
х2+/;2+г2 = /?2
с помощью аффинного преобразования
а	b	с
„ ________.
Используя параметрические уравнения сферы (см. задачу 629),
получим искомые уравнения эллипсоида
х = а cos и cos у, y = b cos и sin v, z=csinu.
640.	х — а ch и cos у, y — b ch и sin v, z — cshu.
641.	x — a sh и cos v, y — bshus\wv, z = c ch ti.
642.	x — au cos у, z/ = Zmsiny, z — u2.
643.	x==zzcosy, z/ = 6siny, z=u (рис. 167).
644.	x —au cos v, y — bu sin y, z = cu.
645.	Написав уравнения двух семейств прямолинейных образующих
и выразив из них %, у, z, получим
x — a\u-\-v), y — b(v—и), z — 2uv (рис. 168).
Параметрические уравнения поверхности z—xy:
х—и, у —v, Z — UV.
646.	x—f(u)y z/ = (p(zz), z — u.
647.	х = a ch w, у = b sh w, z = v —
гиперболический цилиндр (рис. 169).
х — и, у —и2, z = u—
параболический цилиндр (рис. 170).
648.	r = p(w)4-ye.
649.	х~и-{-и, z/=w24-2y, z=w3+3y.
650.	Параметрические уравнения есть
X — COSU--V, i/ = sin zz+Зу, z — — 2у,
288 ОТВЕТЫ
откуда
Рис. 170
Рис. 169
651.	Указание. Если направляющая линия задана уравнениями
Х=Х(О, г=У(0, Z=Z(O,
ОТВЕТЫ
289
то параметрические уравнения цилиндрической поверхности
будут
Х = Х(/)-|~/Х, У = Y(/) -|“Z72?v, Z = Z (/)
Исключая отсюда % и /, получим уравнение вида
f(nx—lz> ny—mz)—0.
652.	(пх—/z)2+ (пу—mz) 2 = an(ny—mz).
653.	б) Например,
x = u24-l, y — v2—1, z — 2v;
x—16 y—12	z—4
в) -----= -------=-------.
3	2-1
654.	x—a — v [f(u)—a], y—b — v[q(u)—b], z—c — v [ф(ц) — с].
Исключая параметры и и v из этих уравнений, получим урав-
нение вида
(х—а у—Ь\
----, ---- =0.
Z—С	Z — C /
655.	(bz— cy)2 = 2p(z—с) (az—ex).
656.	(x+l)2 = 2y2+z2.
657.	А принадлежит, В не принадлежит.
658.	Эллиптический цилиндр.
(х-х0)2	(у-уо)2 , (z-z0)2
659.	к-------------------------------- 1 — эллипсоид.
а2	Ь2	с2
660.	Параболоид вращения
z = x2+y2.
661.	и — расстояние точки от вершины конической поверхности,
v — длина дуги линии, все точки которой удалены от вершины
на расстояние 1.
662.	Два семейства параллельных прямых (рис. 171).
663.	Лучи, выходящие из начала координат, и семейство концентри-
ческих окружностей с центром в начале координат (рис. 172).
664.	Линии v = const — семейство софокусных эллипсов и отрезок
[—1, 1] оси Ох; линии и = const — семейство софокусных ги-
пербол и отрезки ( — оо, —1] и [1, оо) оси Ох (рис. 173).
’/210 Зак. 214
Рис. 173
ОТВЕТЫ
291
665.	Прямолинейные образующие.
666.	а) х — а cos(wH-y), У = а sin(«4-y), z =
б) х — а cos и, у —a sin и, z — bu+v;
в) х — a cos(«H-y), y = as\n(u+v), z-b(u-v).
€67. r=p(w)+up'(w). Линии u = Uq — прямолинейные образующие.
В случае, когда и — длина дуги линии р(и), координатные
линии v = vQ получаются, если на касательных от точек каса-
ния отложить равные отрезки.
*668. Уравнения поверхности:
x = a(cos и—v sin и), i/=a(sin u-\-v cos и), z = b(u-\-v).
Поверхность пересекает плоскость z = 0 по линии
x = a(cos и-\-и sin и), y — a(sin и—и cos и)
(эвольвента окружности).
069. x = u-\-v, y — u2-{-2tiv, г — и3+3и2и;
4(у—х2) (xz—y2) — (xy—z2)2 = 0.
670. Если за ось вращения принять ось Oz, то уравнения поверх-
ности будут иметь вид
x = wcosy, // = wsiny, z = f(«)+nu,
где и — расстояние МК точки М геликоида до оси; v — угол
поворота плоскости профиля, отсчитываемый от плоскости xOz;
а — постоянная величина — отношение скорости поступатель-
ного движения к угловой скорости (рис. 174).
%
*671. x = wcosy, у —и sin у, z = av —
прямой геликоид (рис. 175);
x=wcosy, */ = «sin v, z~mu-}-av —
косой геликоид (рис. 176).
672.	х = й( 1 — и)cos у, у — а(\— w)sin v, z = bv —
прямой геликоид.
673.	x = wcos^, z/ = wsinv, z—f(v).
а/2Ю*
Рис 174
Рис. 175
ОТВЕТЫ
293
В частности, если
f(v) =av+b,
получается прямой геликоид.
674.	-г(х2+г/2) =2аху.
а
675.	x — ucosv, у — и sin v, z =------.
cos v
676.	r = p(s)+al—cosa+—ZZTZ—-sina),
Гр I I[p pl I
где a — угол между главной нормалью линии и радиусом
окружности, идущим в произвольную точку поверхности.
679. Введем вместо и и v новые переменные ф и ф по формулам:
ф+ф	ф—ф	л
и =-----, v = с cos----, О ф—ф С —
2	2	2
I
и подставим эти значения в векторное уравнение геликоида
r — u(i cos и+/ sin у) -[-avk.
Полагая
р(/) = c(i cos /+/ sin t) +akt,
получим уравнение геликоида в виде
1 - 1 -
”= — р(<р) + — Р(ф).
680.	Уравнения параболоидов
X2 у2
---± — = 2z
Р Я
10 Зак 214
294 ОТВЕТЫ
можно представить в виде
— /	-	и2 —\	/	- v2 —\
r = (	— k | +	(	^/± — £ I	•
\	2р !	\	2q f
681.	Пусть Afo(*o, Т/о, Zo)—некоторая точка поверхности второго
Рис 176
порядка f(x, у, г)=0. Произвольная прямая, проходящая
через точку ТИо,
х—хо	у—уо	Z—Zq
- _ - -  -   —— . -    ©
и	V	1
ОТВЕТЫ
295
пересекает эту поверхность в точке Af, аппликата которой z
определяется из уравнения второй степени
f(xQ+u(z—г0), yo+v(z—г0), г)=0.
Это уравнение имеет по предположению корень г0, откуда
следует, что второй корень, который есть аппликата точки Af,
будет выражаться рациональной функцией и и v, что и дока-
зывает утверждение.
683. а) Касательные прямые
х— 1	у	z—K
У = 0, z — \ и -----=------=------;
1	1 Л
нормальные плоскости
Х-1 =0, (х-1)+г/+Л(г-Л) =0;
1
б) cos а =---------.
У 2+V
685. 18x4-3*/—4г—41 =0.
х—1	у—3 г—4
687.	6x4-3*/—2г—7 = 0;	-= ----=------.
6	3-2
688.	х4-//—]/2г = 0;
нормаль
х— У 2	*/—У 2 г—2
касательная к линии и = 2
х— У 2 у— У 2
----— =------__ г==2.
— У 2 У 2
X-1 1J—?--------О
689.	3x4-12*/—г—18 = 0; ---= —- =--------.
3	12	-1
х—3	//—4	г—12
690.	3x4-41/4- 12г-169=0; ----=------=-------.
3	4	12
х—3	//—1	г-Н
691.	Зх-2у 4-Зг-4 = 0; ----=------=------.
3	2	3
ю*
296 ОТВЕТЫ
xQx	уоу	ZoZ
692.	----+ -^-4---------=1,
a2 b2	с2
/	t \	I	t \	/	t \
X = Xq I 1+	— j , у —У О I 1+ —~ I , Z — Zq I 1+ I .
\	а2 /	\	Ь2 /	\	с2 /
и
693.	a cos и cos v-\-y cos и sin v—z sin u-[-a In tg — sin w = 0.
2
694.	xa sin v—ya cos v-[-zu—aiw = 0,
x—и cos v	y—usinv	z—av
a sin v	—a cos v и
Вдоль линии u — Uo нормали сохраняют постоянный угол с
осью Oz. Вдоль линии v — v9 нормали параллельны постоянной
плоскости.
695.	12%+9у+20г—140 —0.
696.	x-f-y-f-z—3 — 0.
700. Криволинейные координаты точек определяются уравнениями
С	В
tg и = ±--------,	tg 0= —.
УД2+В2	А
708. (tf-F(s), ?(s), r(s))=0.
Касательная плоскость неизменна вдоль образующей s = so;
она совпадает с соприкасающейся плоскостью линии r = r(s)
при S = Sq.
713. Уравнение касательной плоскости можно представить в виде
(с) (х sin с—у cos с) —и[ах cos с-^-ау sin c—z+f(c) ] = 0,
откуда следует, что все плоскости проходят через прямую
y = xtgc, ах cos c-j-ay sin c—z+f (с)—0.
714. Возьмем точку пересечения нормалей за начало отсчета ра-
диус-векторов. Тогда
rru = 0, rrv = 0,
откуда следует г2 = const.
716. Если а — направляющий вектор заданной прямой и начало
радиус-векторов взято на этой прямой, то векторы г, а и [ги
лежат в одной плоскости и
о
r[a[ru rv]] =0.
ОТВЕТЫ
297
По правилу двойного векторного произведения получаем
(rru)(arv)-(rrv) (arv) =0.
Но это можно записать в виде равенства нулю функциональ-
ного определителя
д(г2) д(аг) д(г2) д(аг)
ди dv dv ди
Отсюда следует, что между величинами г2 и а г существует
функциональная зависимость
г2 — f(a
Выбирая ось Oz вдоль вектора а, получим
K2+*/2 = f(z) -
поверхность вращения.
720.	Пусть
R — r(s)-\-ut(s) —
уравнение поверхности, причем r(s) ребро возврата. Имеем:
Rs ==T+uk\ Ru=T.
Вектор нормали к поверхности
N= [/?s/?u] =uk[n /]
направлен по бинормали к линии r(s), что и требовалось до-
казать.
721.	Указание. Чтобы найти линию на поверхности г (ut v)r
надо установить зависимость между параметрами и и v на дан-
ной линии. Эта зависимость определяется из условия х~и-\-
+^ = 0 (см. ответ задачи 669). Ответ: х = 0, г2 — — 4у3.
722.	См. задачи 720, 721. Если начало координат поместить в точке
ребра возврата, где производится сечение, то уравнение нор-
мальной плоскости
Rto — O.
Уравнение сечения
— — Г tQ -
R=r(s)-----
110
Разложим r(s) по формуле Тейлора (с точностью до 4-й сте-
пени s) и примем векторы /0, «о, Ьо за орты осей х, у, z. Тогда
298 ОТВЕТЫ
уравнения сечения (с точностью до s4) будут иметь вид
&о$2	k0 xos3
х = 0, у =-----------, z —----------
2	3
723.	Уравнение линии пересечения
— — г Ьо —
R = r(s)--------t(s).
t bo
Пользуясь формулой Тейлора для r(s), найдем
2 — —	-	1	-
R' = —10, R"=Ato+ — korio.
0	3	0	3
Поэтому
| [Rof Яо"] |	3 t
724.	Решается аналогично двум предыдущим задачам.
725.	Необходимость. Пусть а—вектор, перпендикулярный направ-
ляющей плоскости. Тогда е а = 0. Отсюда е'а=0, е" а = Ъ.
Следовательно, (ее' еЛ,)=0. Если бы е" равнялось 0, то е' был
бы постоянным вектором. Но ее' — ^ и е а = 0. Тогда е постоя-
нен и поверхность вырождается в цилиндр.
Достаточность. Пусть (ee'e")—Q, е"=^=0. Тогда вектор
с= [ее']: |е'| постоянный, так как с' = 0. Вектор е перпенди-
кулярен постоянному вектору с, т. е. параллелен постоянной
плоскости.
726.	Ось геликоида.
727.	Наименьшая параллель поверхности.
728.	Исходная линия.
— — k —
729.	R = г-|--------п.
£2+х2
730.	Примем за направляющую косой поверхности
R — r(s')-\-ue(s)
горловую линию. Тогда te' — Q. Вектор нормали вдоль фикси-
рованной образующей есть [?о ео]+«р' £о], поэтому уравнение
поверхности, образованной нормалями исходной поверхности,
может быть записано в виде
— ___	_ ________ _	е
/? = ro-|-weo+t/([/o ео] +и [е' е0]).
ОТВЕТЫ
299
Векторы во, [/о е0], [в' е0] взаимно перпендикулярны. Выберем
прямоугольную систему координат так, чтобы начало ее на-
ходилось в точке го, а направления осей координат совпадали
с указанными векторами. Тогда уравнения полученной поверх-
ности будут:
х = и, у = аи, z — buv
или
z — abxy.
Это — гиперболический параболоид. Его вершина — точка г0,
т. е. лежит на горловой линии.
731.	Записывая уравнения линии в параметрическом виде
t	1
получим
Величина Ф(/) имеет третий порядок малости относительно t.
732. 6.
734. Пусть линия задана уравнениями
x=x(t).	y=y(t),	Z — Z(t).
	x(t)—x(to	)	У(*) — y((o)	Z(/)— z(to)
Ф(0 =	x'(t0)	y'(to)	z'(to)
	x"(tQ)	y"(to)	Z"(to)
Представляя разности
x(t)—x(t0), г/(/)-г/(/0), z(t)—z(t0)
по формуле Тейлора и приравнивая в выражении Ф(/) коэф-
фициент при (/—/о)3 к нулю, получим
x'(t0)	У'"(io) y'(io)	ч 4 о	= 0.
x"(t0)	y"(to)		
Следовательно, кручение линии равно нулю.
736.	х2-{-у2=1— круговой цилиндр.
737.	xy-\-yz—l — гиперболический цилиндр.
738.	x2+y2+z2—2ху—2xz—2yz = 0 — конус
739.	Например,
(х—с)2-\-у2 — с2.
300 ОТВЕТЫ
740.	Например,
(%—с) 2+*/2+z2 = с2.
741.	Огибающая — цилиндр
</2+г2 = 1,
характеристики — окружности
г/2_|_22 = 1, х—с—0,
ребра возврата не существует.
742.	Для сфер, построенных на хордах, параллельных оси Оу,
X2	y2+z2
_|_ ,	—_ 1'
a2+b2 Ь2
b
Эллипсоид огибает сферы, для которых |tg ср |	—, где ф—
а
параметр эллипса в уравнениях
х = асо8ф, y — b sin ф.
Для сфер, построенных па хордах, параллельных осп Оу,
у2	x2+z2	b
-7777 Н-----Г-^1 1*8 ф1^—•
а2-[-Ь2 а2	а
Для гиперболы
х = асНф, у — b sh (р
получим:
а)	если хорды параллельны оси Оу, то при Ь^а огибающей
нет, при Ь<а огибающая задается уравнением
х2	y2~}~z2
a2—b2 Ь2 ~
b
Она огибает сферы, для которых |tg ф| ;
а
б)	если хорды параллельны оси Ох, то уравнение огибающей
при 6=# а
х2+г2 у2
а2	а2—Ь2
Если bZ>a, она огибает все сферы, при b<Za сферы, для кото-
b
рых |tg(p|^-----. Если b — а, огибающей является плоскость
а
у = ® (сравнить с задачами 333, 334).
743.	Винтовая линия	е
A'=&cosa, i/ = &sina, z = ka.
ОТВЕТЫ
301
2
744.	xyz —	V.
cfic2
745.	х2+//2+(г-с)2 =
а2+1
Указание. Сферы образованы вращением окружностей,
взятых в плоскости xOz, которые касаются прямых x = и
имеют центры на оси Oz.
746.	Уравнение семейства
(tf-p(s))2==a2.
Дифференцируя по s, получим
(R-^F==Q,
откуда
p = Z&+|i/i, Z2+p2 = tf2.
Полагая
X = a cos а, р = a sin а,
получим уравнение огибающей в виде
/? = р+я(6 cos а+/г sin а).
747.	Уравнение семейства
(x—b cos <р)2+ (y—b sin ф) 2+г2—а2 = 0.
Уравнение огибающей
(Х2+^2 + г2 + ^2_а2)2_ 4&2(x2-4-t/2) =0,
Ребро возврата в случае сС>Ь сводится к двум точкам
(0, 0, ± У а2—Ь2) или к одной точке (0, 0, 0), если а~Ь.
748.	Огибающая
[G/-tf)2+z2-#2] [(*/+^)2+z2-Я2] =0
представляет собой два цилиндра, «склеенных» вдоль оси Ох.
Ребра возврата нет (рис. 177).
749.	Огибающая задается уравнениями
(/?—г($))&($)=0,	|
(/?—r(s)) n(s) =0.	J
Характеристиками являются касательные к заданной линии,
ребром возврата — сама линия.
302 ОТВЕТЫ
750.	Огибающая задается‘уравнениями
(R-~(s)y(s)=O,
(R—r(s)yi(s)k(s) —1=0.
Характеристики параллельны бинормалям и проходят через
центры кривизны линии. Ребро возврата
-	-	1 -	1 / 1 V-
/? = г+ — /?-1--I — I b
k X \ k /
состоит из центров соприкасающихся сфер линии.
Рис 177
751.	Огибающая задается уравнениями
(R—r(s))n(s) =0,
*
(R-Rs) ) (x(s)Rs)-*(s)T(s)) = 0.
Характеристики направлены по векторам Дарбу (см. зада-
чу 564). Ребро возврата
*х'~Х^'	ki'-lfi'
752. Уравнение конуса с осью Ох
—х2 tg2 a+*/2+z2 = 0.
ОТВЕТЫ
303
Сделаем поворот вокруг оси Оу
— (х cos a+z sin a)2 tg2 a+( — x sin a+z cos a)2+r/2 = 0
или
у2 cos2 a+z2 cos 2a—xz sin 2a = 0.
Повернем этот конус вокруг оси Oz на угол Р (р — параметр
семейства)
(—х sin р+// cos р)2 cos2 a+z2 cos 2a—
—z(x cos p+# sin p)sin 2a = 0.	(*)
Дифференцируя равенство (*) по p, получим
(— x sin р+i/ cos p) (x cos a cos p+// cos a sin p+z sin a) =0.
Плоскость
x cos a cos P+// cos a sin p+z sin a = 0
перпендикулярна оси конуса и имеет с ним лишь одну общую
точку. Исключая р из уравнения
—х sin р+// cos р = 0
и уравнения семейства (9, получим уравнение огибающей
z(z cos 2a— У x2+t/2 sin 2a) =0.
Таким образом, плоскость z = 0 и конус
х2+г/2—z2 ctg2 2a = 0
образуют огибающую поверхность.
754. Рассмотрим одну из прямолинейных образующих I данной
поверхности о. Во всех ее точках касательная плоскость л к о
будет одна и та же. Построим касательные ко всем линиям
сечения о параллельными плоскостями в точках, лежащих на
образующей /. Очевидно, все эти касательные будут парал-
лельны друг другу. Но тогда и нормали к этим плоским сече-
ниям во всех точках образующей / будут друг другу парал-
лельны, а значит будут лежать все в одной плоскости л*.
Следовательно, поверхность, на которой лежат эволюты плос-
ких сечений, есть огибающая плоскостей л*, т. е. она тоже
развертывающаяся.
755. Пусть х, у, z зависят от двух параметров и, v, причем
и — const соответствует прямолинейным образующим. Уравне-
ние касательной плоскости будет
dF	dF	dF
(X-x)— + (Y-y)—- + (Z-z)—=Q.	(’)
dx	dy	dz
Так как поверхность F(x, у, z)=0 развертывающаяся, то урав-
нение касательной плоскости зависит только от и и не зависит
от v. Характеристики будут определяться уравнениями (*) и
304 ОТВЕТЫ
756.
дх	ду	dz
А	~|~С? — = о,
ди	ди	ди
где для сокращения положено
А = (Х—х)
В= (Х—х)
С=(Х—х)
d2F	d2F	d2F dF
-— + (Y-y)---------[-(Z—z)-----------,
dx2	dxdy	dxdz	dx
d2F	d2F	d2F	dF
— + (Y—y) — + (Z-z) —------------—,
дхду	dy2	dydz	dy
d2F	d2F	d2F	dF
dxdz	dydz	dz2	dz
Аналогично
A
dx	dy	dz
— +B — +C—=0.
dv	dv	dv
Сравнивая (**), (****) с уравнениями
dF	dx	dF	dy	dF	dz
dx	du	dy	du	dz	du
dF	dx	dF	dy	dF	dz
-	_|_	.—— _|--------- —— Q,
dx	dv	dy	dv	dz	dv
***
получаем
dF	dF	dF
A—k —— =0, B-X-----------= 0, C-X-------=0,
dx	dy	dz
где X — коэффициент пропорциональности. Исключая (Х—х)
(Y~y), (Z—z) из (*), (***), находим искомое условие
d2F	d2F	d2F	dF	
дх2	дхду	dxdz	dx	
d2F	d2F	d2F	dF	
дхду	ду2	dydz	dy	
d2F	d2F	d2F	dF	=0.
dxdz	dydz	dz2	dz	
dF	dF	dF	n	
дх	dy	dz	и	
F(x, у, z, а, Р) =0, Fa(x, у, г, а, 0) =0,
F$(x, У, z, а, Р) =0.
ОТВЕТЫ
305
757.	(ru rv rr/)=0.
758.	(rM rv ra)=0, (rw rv rp)=0.
759.	z = a, z ——a.
760.	Возьмем на поверхности произвольную линию Г и построим
в каждой ее точке касательную плоскость. Тогда поверхность
можно рассматривать как огибающую этих плоскостей, так
как по условию каждая из них касается данной поверхности
по линии. С другой стороны, эти касательные плоскости обра-
зуют семейство с одним параметром (дуга s линии Г). Следо-
вательно, огибающей может быть только развертывающаяся
поверхность, т. е. линии касания суть прямые.
761.	Пусть Mi(xi, yiy z^), i=l, 2, ... , п— данные точки.
Возьмем уравнение плоскости в нормальном виде
х cos а-J-i/ cos p-J-z cos у—p==0.
Расстояния от точки Mi до плоскости
di — xi cos a+r/i cos cos y—p.
Из условия задачи
cos a
i=l
Запишем это
n
i=l
cos a-------{-cos p----
n	n
соотношение
n
Уг
i=l
zi—np = k = const
i=l
в виде
n
£ zi
i=l	k
-{-cos у-------p = —.
n	n
Это условие выражает тот факт, что точка с координатами
п	п	п
Xi	Уi	Zi
i=l	г=1	г=1
П	П	П
находится на одном и том же расстоянии от всех плоскостей
семейства, следовательно, огибающая есть сфера с центром
в этой точке.
762. ds2— (J'2-\-q>'2)du2-[-f2dv2.
763.	ds2 — R2(dti2-[-cos2udv2).
764.	ds2 — (a2 sin2 u-[-c2 cos2 u)du2-[-a2 cos2 и dv2.
765.	ds2= (a2 sh2 u-\-c2 ch2 u)du2-[-a2 ch2 и dv2.
766.	ds2 — (a2 ch2 u-[-c2 sh2 u)du2-[-a2 sh2 и dv2.
306 ОТВЕТЫ
767.	ds2 — (l+4«2)dw2+wW\
768.	ds2 = du2+R2dv2.
769.	ds2=(l+k2)du2+u2dv2.
770.	ds2 — b2du2-[- (a-[-b cos w) 2dv2.
и	и
771.	ds2 = ch2 — du2-[-a2 ch2 — dv2.
a	a
772.	ds2 = a2 ctg2 и du2+a? sin2 a dv2.
773.	ds2 = du2+(u2+a2jdv2.
774. ds2 = [l+/'(w)2] du2+2af'(u)dudv+ (a2+u2)dv2.
775. Для поверхности R = r(u)-[-vt(u), образованной касательными
к линии r=r(w),
ds2 = (\+k2v2)du2+2dudv-{-dv2,
где k — кривизна исходной линии.
Для поверхности, образованной главными нормалями
/? = r(w) -\-vn(u),
ds2<= [(1—^у)2+х2^2] du2-}-dv2,
для поверхности, образованной бинормалями R — r(u) +и6(п),
ds2 — (\+y?v2)du2-{-dv2>
X— кручение линии г —г (и).
776. ds2 = (1+р2) dx2-\-2pq dxdy+ (1+q2) dy2,
где p=zx, q=zy. 777. Только в случае «в». 1 г / dv' \2 778. Е'=— 5(	) — ‘ /2 L \ dv ' 1г / du' \2 G' = — £(	I - I2 L \ ди f 1 г	duf dv F'== — —E	 I2 L	dv	dv / du' dv'	du' +F (	+	 ' du	dv	dv H H' =	 |/| где	dv'	dv'	/	dv'	\21 2F	+G{		)	, du	dv	\	dv	f j du'	du'	/	du'	\21 2F	+G{	)	, du	dv	'	du	/ J t dv' \	du' dv' “I 	)-G	, du I	du	du J
D(u', v')
e
ОТВЕТЫ
307
781. Криволинейные координаты выражают длины дуг координат-
ных линий, координатная сеть чебышевская.
782. Например, преобразованием криволинейных координат
~и =—a In sin u,
приведем ds2 к виду
2 и
ds2 = du2-\-e а dv2,
а преобразованием
- и	и
sin и=е~° ch—,	u==eoth — —
а	а
к виду
— и
ds2 = rfu2+ch2 — dv2.
а
2 и	— 2и 2 и
783. ds2 — du2-}-e а dv2 = e а ( е а dti2-\-dv2) .
Полагая х — v, у — аеа, получим
У2
а2ху
784. cos ср —--------------------.
У 14-а2х2 у 1+а2у2
786. Возьмем первую квадратичную форму поверхности в виде
ds2 — du2+G(u)dv2.
Тогда
du
cos а =---------------,
У du2-{-G(u)dv2
откуда
и
Г du
uctga=± I ----------.
«0 VG(«)
787. Взяв первую квадратичную форму сферы в виде
ds2 — R2(du2-\-cos2 и dv2),
308 ОТВЕТЫ
получим
789. Записывая уравнение конической поверхности в виде r = y/(w),
| 1(и) | = 1, получим
tg а In и— J | e'(z/) | du-^-C.
790. Записывая первую квадратичную форму развертывающейся
Поверхности в виде
ds2= (\-\-k2v2)du2-}-2dudv-{-dv2y
получим
(sin2 a—k2v2 cos2 a)d«2+2 sin2 a d//du-{-sin2 a dt/2 = 0.
791. Если уравнение поверхности взять в виде, указанном в зада-
че 775, получим /z+и —const.
/	dtp	дф \	/	дф	дф \ 792.	\Е— —Г — )du+ [F — -G--) '	dv	ди /	\	dv	ди / 793.	v—tg и — const. 794.	w24-^+l =	(ci = const). 1 795.	v —	kk 2u2 U-V	U-V 796.	A=	cos V,	Y—	sin V, 2	2 где U—2u-[-vy V = v. 797.	E/?-FQ+GP = 0. 799. (\+a2x2)y2 = Ciy (l+a2y2)x2==c2. 801. ln(»+У w24-tz2)±u = const. V 802. r/±lntg —const. 2 eno J at/+V l+fl2</2 = c(ax+y 1+а2х2), I z~axy и ( an+i i+a2z/2— 	 1	У l-f-a2x2-l-ax *	dv = 0. Z =
z — axy.
ОТВЕТЫ
309
804. a) ds2= {^u2-{-v2)du2-[-2uvdudv-\-(fiv2-\-u2)dv2\
б) ds = 2 ]/ 2f2+ltZy, ds = (8w2+l)dw, ds —2 V 2ak-\-a2-\-2udu.
в) s = 3 У 2а4+я2+2.
805.
806.
807.
808.
, 809.
810.
811.
1—a2
cos a = ±-----.
l+a2
10
p=—a\ cosa=l,
3
s= | sh U2—sh th ].
3
cos a —-----.
5
2
cos a = —.
3
2	2
cos 6=—, cosy——.
3	3
s = y 2 |«2—th ].
du2	o,2du2
ds2 —a2 ctg2 и du2-[-a2 sin2 и-------—----------,
sin2 и	sin2 и
s = a
U2
f du
J sin и
U]
= a (In tg U2—In tg Ui | — | V2—0i|.
Рассмотрим семейство
i' = a In tg
2
Точка	uj) лежит на линии
и
v = —a In tg — 4-Ci,
а точка	0г) —на линии
и
и ——a In tg — +С2,
2
т. е.
и1==—alntg — +Ci,	Vi — a In tg — +Ct
U2	U2
v2 = — a In tg---h^2,	02 = 0 In tg — +£»
2	2
значит,
310 ОТВЕТЫ
поэтому
,	, IG-C.I
S=|t»2-V1|= --------,
&
т. е. не зависит от С.
812.
Рис 178
а) Возьмем уравнения сферы в виде
х— R cos и cos v, // = /? cos w sin у, z = /?sin«.
Расположим один из катетов на линии « = 0, второй — на ли-
нии и==а, одну из вершин в точке В (и — 0, и = 0), вторую —
в точке А (и = р, и —а) (рис. 178). Тогда длины катетов равны
соответственно а = /?а; b = R$. Для вычисления с надо найти
длину дуги линии
Ay+Bz—Q
(на поверхности сферы) между указанными точками.
Уравнение гипотенузы в криволинейных координатах
A cos и sin sin 0.
ОТВЕТЫ
311
Так как она проходит через точку и — v = то
sin v = k tg и,
sin а
где k — ------.
tg р
₽
-------С cos и du
c = s = R ]/1 +^2 I ..............  -	=
о У 1 — (14-Л2) sin2 и
— R arc sin (У 1+^2 sin р) = R arc sin У 1— cos2 a cos2 р,
отсюда
c	a
cos — = cos a cos P — cos — cos
a ft®)
cos и dudv = R2
cos и du
о о
где
sin v
f(y)=arctg——
k
а
sin v
a
Г sin v dv
k
= R21 arc sin
о У(1+^2)-cos2u
cos a \
—arc sin--------1.
Отсюда
о
sin —
R2
У sin2 a+£2~cos a
sin a sin p
sin
sin —
a
Пользуясь соотношением
tg a
cos B —----,
получим
512 ОТВЕТЫ
sin В
sin В =------,
sin у
cosfd+B) = —
sin a sin (3
1+cos у
(л \ sin а sin В
Л+В-----I =-----------
2 1 1+cos у
Сравнивая с предыдущим, находим
(я‘ \
Л+В---I.
2 /
813. 5= — (У2+1п(1+]/2)].
2
[2 V2	_ 1
--------+1п(1+У2) .
3	3	-1
815. 5 = 2а2.
818. S = 2(pe/?2, где R — радиус сферы.
1
817.	ф2= ——— [(/'ф"-ф7")^2+/?ф'^2Ь
V/'2+<p'2
818.	ф2 = /?(4/м2+со52 и dv2}.
819.	ф2= 1——....—	•  — (da2+cos2 и dv2}.
У a2 sin2 а+с2 cos2 и
ас
820.	ф2 =	- • 	.— (Ja2+ch2 и dv2}.
У a2 sh2 и-\-с2 ch2 и
ас' '
821. ф2= —--- ............  (dw2+sh2	adv2).
У a2 ch2 и+с2 sh2 и
2
822.	ф2 ----------(du2+u2dv2}.
У 1+4а2
823.	ty^=Rdv2.
ku
824.	Ф2=--------dv2.
yi+^2	.
825.	ф2=Ми2+соз u(a-[-b cos u)dv2.
ОТВЕТЫ
313
1
826.	ф = adv2------du2,
а
827.	ф2 = а(—ctg и rfw2+sin и cos и dv2).
2adudv
828.	ф2 —-------------
У и2-{-а2
оо„	fxxdx2+2fxydxdy+fvydy2
830.	<р„ =...........................
УИ-/2+Р
X у
Из условия задачи
d2f	d2f	d2f
-----=0,	-------—0, '-------=
дх2	дхду	ду2
Общее решение этой системы
f — ax+by-\-c.
831.	ф = (------------) du2-}-adv2.
2	\	W2_|_02 /
а	а
^п/v=сOnst	— kп/и__сonst 9	9 •
?/2-|-а2	и2-[-а2
832.	Если уравнение поверхности взять в виде, указанном в зада-
че 667, то
^ = 0, /г
vk
где k и % — кривизна и кручение заданной линии.
а	а
833.	^1=—,	/г2 =---.
Ь2	с2
du ----------- а
834.	——±^и2-\-а2,	ki — — /?2 =-----•
dv	и2+а2
УЗ	]3
836. ki =-------—,	/г2 =-----.
9	3
837. &! = 2р,	kz = 2q.
—du2
839.	a) k=-----------------------------;
У 1-Н2 [(\ + u2)du2+dv2]
-1 -1
б)	k=--------------; в) k=-----------.
(1+«2)3/2	21 У 5
11 Зак 214
314 ОТВЕТЫ
1
840.	a) ki=------, /?2=0;
2]/~5
б)	х—2 = 0, г—1=0;	- — =	г/ = 0;
2
в) k—-----—.
49 ]/5
х2 у2	2
841.	а) ----+----= 1; б) Я =------.
11	13
4	9
842.	Указание. Записать формулу Эйлера в виде
1 Ri-\-Rz Ri R2 Г i 1 1
г. 2R1R2	2R1R2 i n J
1	1
где-----, ---— главные кривизны, 1=1, 2, ... , п.
Ri	R2
843.	Сфера.
845. Развертывающиеся поверхности.
847.	1) Для поверхности, полученной при вращении линии
*=/(«), // = 0, г = ф(«)
вокруг оси Oz,
Ф/(Лф//~Г/ф/) .
Ш'2+ф'2)2 ’
1
2)	для сферы К= —;
3)	для эллипсоида вращения
(a2 cos2 и-\-с2 sin2 и)2
4)	для однополостного гиперболоида вращения
с2
К=-----------•---------;
(a2 sh2 u-j-c2 ch2 и)2
5)	для двуполостного гиперболоида вращения
с2
К__.	е
(a2 ch2 w+c2 sh2 и)2
ОТВЕТЫ
315
6)	для параболоида вращения
4
;
(1 +4«2)2
7)	для кругового цилиндра К=0;
8)	для кругового конуса /<=0;
9)	для тора
cos и
к=---------------;
b(a+b cos и)
10)	для катеноида
1
К=-----------
и
a2 ch4 —
а
И) для псевдосферы
1
К=-----.
а2
848.	Один из главных радиусов кривизны поверхности равен ра-
диусу кривизны параболы у2 = 2рх:
2	/	2х\3
=р2 Ц- —	.
\ Р /
Второй главный радиус кривизны равен отрезку нормали па-
раболы до директрисы:
2 р2 /	2х \3
R2 = —( 1 + —) .
4 \	р /
Таким образом, |/?11 = 21Т?21.
1 / a2 In Z d2 In Z \
849.	К=-------I----------И •-----I .
V ' ди2 dv2 /
Gau
850.	К =----------.
G
851.	К=-1.
316 ОТВЕТЫ
855.	^=4c.
856.	Если поверхность задана уравнением
p = r(s)+vn(s),
то
---------,
[(1 — и^)2+и2%2]2
где k и % — кривизна и кручение линии r — r(s).
857.	Если поверхность задана уравнением
p=r(s)+^(s),
ТО
у 2
К =-------Ъ------>
(l+f2X2)2
где % — кручение линии r — r(s)
858.
а2
полная кривизна постоянна на впнто-
вых линиях.
859.
rt—S2
где p = zx, q = Zy,
trt/f
r = zxx,
S — Zxy, t — Zyy-
fff
860.
Pd+Г)2 ’
4р I+P
861. Если 0 — угол между образующей конуса и его осью, a v —
cos 0
расстояние точки от оси конуса, то Н—--------------.
2у
1
862. Я =-------
2а
864.	Если ось тора вертикальна, то самая верхняя и самая нижняя
параллели тора состоят из параболических точек; эти паралле-
ли отделяют внешнюю часть тора, состоящую из эллиптиче-
ских точек, от внутренней части с гиперболическими точками.
865.	Все точки поверхности эллиптические, в пересечении с осью
вращения — особые точки поверхности (рис. 179).
866.	Вершины синусоиды описывают линии, состоящие из парабо-
лических точек; точки перегиба синусоиды описывают линии,
состоящие из особых точек поверхности Оба указанных сорта
линий разбивают всю поверхность па пояса с одинаковой по
ОТВЕТЫ
317
знаку полной кривизной, два соседних пояса имеют разные
по знаку кривизны (рис. 180)
867.
Точка х=1 является особой и разбивает поверхность на две
части, для \ точки поверхности эллиптические и для —
гиперболические (рис. 181).
868.
869.
Все точки поверхности гиперболические (рис. 182).
Если произведение ДВ^О, то все точки поверхности гипербо-
870.
871.
872,
873.
874.
Рис 180
лические (рис. 183а); если ДВ<0, на
точки всех трех типов (рис 1836).
Эллиптические.
Гиперболические.
Эллиптические.
Гиперболические
поверхности могут быть
Рис 181
Рис 182е
У
Рис. 183а
Рис 1836
320 ОТВЕТЫ
875— Параболические.
878.
879. Если	— точки эллиптические, если	— точки ги-
перболические, если f'f" = 0 — точки параболические.
880. х — 2и, у —и2, z — 2u3.
882.	Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Пусть
L =	M = hF, N = hG.
Подставляем значения коэффициентов квадратичных форм:
—tnuru = hr2 ,	—murv = hrurv
и
ИЛИ
(mu-\-hru)ru = 0,	(/пи+%гм)/ч = 0.
Присоединяя сюда равенство
получим
/П и “J" и === 0.
Аналогично доказывается равенство пулю вектора mv-{-Vv.
Итак,
ти— — Кг и,	mv^=—Xrv.	(*)
Дифференцируя первое уравнение по и и второе по и, получим
и V ~~ hvf и hl UV-,	-- huT V hl V и ,
откуда
hvl U hyT V === 0.
Если хотя бы одна из величин hu, hv была отлична от нуля,
векторы ги и rv были бы коллинеарны, что невозможно.
Исключая этот случай, получим h — const. Интегрируем урав-
нения (*)
— tn —	_ _	1
г =------}-го или (г—Го)2— 
h	h2
(сфера).
885.	Строим эволюту какого-либо меридиана и находим точки
Рг, ... встречи ее с осью вращения. Пусть Mi, М2 ... — соот-
ветствующие им точки эвольвенты (меридиана). Тогда парал-
лели, проходящие через эти точки, состоят из точек округ-
ления.
886.	Параллели, описываемые вершинавми синусоиды, и только они
(см. задачи 885 и 431).
ОТВЕТЫ
321
887.	Две точки — точки встречи эллипсоида с осью вращения.
888. Вершина параболоида.
889.	У параболоида
X2 у2
----]	=22,-р>7>0,
р q
имеются две точки округления
/----------------	 pz—qt \
Л, 2 О, ±У p*~q\ —— •
\	2q /
890.	У эллипсоида
есть четыре точки округления
891.	У двуполостного гиперболоида
х2	у2	г2
— +-----------=-1
а2	Ь2	с2
имеются четыре точки округления
Л 1 _ 4
894. Например, поверхность, полученная от вращения параболы
у — х^ вокруг оси Оу.
895. Например, на цилиндре y = x!t ось Oz состоит из точек упло-
щения.
896. Воспользоваться задачей 830.
897. Mdu-[-Ndv = 0; Ldu-[-Mdv = Q.
898. ZJ?-MQ+WP = 0.
(дф	дф \	/ дф	дф \
L — -М — Idu^-Ml — —N— ) dv — 0.
dv	ди '	' dv	ди '
х	у
902.---------=СХ.
а	b
903.	F(l, 0, -1).
904.	(LB —МА )du+(MB—NA)dv = Q.
906. v = arc tg иА~ О.
322 ОТВЕТЫ
909. Взяв уравнения псевдосферы в виде
и
х — a sin и cos v, у = а sin и sin у, z~a In tg — 4-^cosw,
2
получим
и
In tg —— ±u=C.,
Если ввести новые параметры
и
w'=ln tg-----
2
и
l/ = ln tg --v,
то координатная сеть будет асимптотической и коэффициенты
первой квадратичной формы будут удовлетворять требованиям
задачи 780.
911.	Если исходить из уравнений
x=f(u)cosv, у=f(u)sin v, z = <p(u)
поверхности вращения, то получим
(Гф"—du2+fq/dv2 = 0.
912.	u±v — const.
913.	Если взять уравнение тора в виде
х— (a-{-b cos w)cos у, y—(a-}-b cos и)sin v, z—b sin и,
то дифференциальное уравнение асимптотических линий будет
b J«2+cos u(a-[-b cos u)dv2 = 0.
Оно имеет общее решение
С У b du
v+С = ± I ..............  —
]/—cos u(a-[-b cos и)
л	3 л
при — <Ц< —.
2	2
л Зя
Линии и—и— очевидно, также являются решениями
дифференциального уравнения (его особые решения). Они
огибают семейства асимптотических линий, расположенных на
внутренней части поверхности тора (рис. 184).
е
914.	Прямолинейные образующие и их ортогональные траектории,
т. е. винтовые линии
ОТВЕТЫ
323
915.	Прямолинейные образующие.
916.	Уравнение поверхносш имеет вид
x3z—у3 = 0.
Дифференциальное уравнение асимптотических линий —
2y2dx2—Зху dx dy-\-x2dy2 = 3
или
(xdy—ydx) (2ydx—xdy) = 0.
Рис 18!
Следовательно, существуют два семейства асимптотических ли-
ний.
1)	У = С1Х,	z = c3 ;
1
2)	У — СгХ2,	z = c3 х3
2
919. Если ^1+/г2 = 0, то из формулы Эйлера следует, что
cos2 ф—sin2 ф = 0,
где ф — угол, образованный асимптотическим и главным иа-
л
правлениями. Отсюда следует, что ф = ±—, т. е. между
4
л
асимптотическими направлениями угол равеп —.
922. Примем сеть асимптотических линий данной поверхности за
координатную сеть. Тогда Л = 0, N = 0. Для того чтобы соот-
ветствующая сеть на параллельной поверхности также состояла
из асимптотических линий, должно выполняться условие
Л* = 0, ЛГТ = О. Так как
L* = аКЕ+(1— 2аН)Ц
N' —aKG-[-(\ -~2аН) N,
324 ОТВЕТЫ
то при К#20 коэффициенты Л', № не равны нулю, что и дока-
зывает требуемое в задаче.
924.
925.
926.
928.
931.
933.
934.
936.
939.
Прямолинейные образующие и их ортогональные траектории,
которые являются плоскими сечениями.
Прямолинейные образующие и линии пересечения сфер произ-
вольного радиуса с центром в вершине конической поверхно-
сти с конической поверхностью
Параллели и меридианы.
Координатные линии.
Прямолинейные образующие и их ортогональные траектории.
Если поверхность задана уравнением
R = r(s)+ut(s),
то линии кривизны имеют уравнения
iz-|-s = Ci, s = C2,
где Ci, С2— произвольные постоянные.
Если уравнение геликоида взять в виде
x = wcos^, у = и sin v, z = av,
то дифференциальное уравнение линий кривизны есть
(a2-}-u2)dv2—du2 = 0,
откуда
v = ±1п(«+ У и2-}-а2)-{-с.
935.
х2	у2
Р	q
X2	у2
р	qc
=%z,
_ q—p
~ i+c
(С¥=0),
а также сечения эллиптического параболоида плоскостями
х = Ъ и // —0.
- - - 1
R = r(s)4-7?im(s), где ki= —главная кривизна вдоль
Ri
данной линии Таким образом, огибающая нормалей поверх-
ности вдоль линии кривизны является геометрическим местом
центров главной кривизны. Ее соприкасающаяся плоскость со-
впадает с плоскостью нормального сечения линии кривизны
в соответствующей точке.
Примем ортогональную сеть на данной поверхности за коор-
динатную сеть. Тогда Е = 0. Для Соответствующей ортогональ-
ной сети на параллельной поверхности должно быть F1' — 0.
ОТВЕТЫ
325
Возьмем уравнения рассматриваемых поверхностей в виде
г—г (и, v) и г = /*(м, v)-[-atn(u, v).
Тогда
F* = 2а(аН—1)М,
откуда следует, что 7?1' = 0 в двух случаях, а) М==0, и тогда
ортогональная сеть на данной поверхности состоит из линии
1
кривизны; б) а— —. Тогда данная поверхность имеет по-
Н
стоянную среднюю кривизну, и любой ортогональной сети на
ней будет соответствовать также ортогональная сеть.
940. Это возможно только для эллипсоида вращения.
948. Предположим, что прямолинейные образующие параллельны
оси Ог. Тогда уравнение поверхности можно взять в виде
r=f(u)i+<f(u)j+vk,
где и будем считать натуральным параметром направляющей
линии. Будем искать уравнение геодезической в виде
U = v(u).	(*)
Тогда
№—[rn гг] =фТ—f'j, dr — (f't’+q)'j+v'k)du,
d^i — (f"t-]-q)"j-\-v"k)du2
и уравнение для определения геодезических линий будет
или
(ф'2+/'2) у"- (q/q/'+n") у' = 0.
Но
Ф'=+Л2=1,
следовательно,
ф'ф"+Н"= -Т (ф'2+И'=о.
Таким образом, у" = 0, следовательно, v = CiU-\-cz.
Векторное уравнение семейства геодезических будет
r = f(w)i+(p(«)/+(ciif+c2)^,
326 ОТВЕТЫ
откуда
cos0 = cos(ru, Oz) =
dr —
— k
du
Cl
Ci
du
i
Следовательно, найденные геодезические являются обобщен-
ными винтовыми линиями.
Кроме того, геодезическими являются прямолинейные обра-
зующие. Они выпали из общего решения, так как их уравнения
нельзя представить в виде (*).
Так как через каждую точку цилиндрической поверхности
в любом направлении проходит или обобщенная винтовая ли-
ния или прямолинейная образующая, то каждая из этих линий
является геодезической.
951.
955.
959.
960.
961.
966.
Большие окружности сферы.
См. задачи 564, 751, 954.
| и\
kg 1  =	•———•	kg I   = 0.
© I X4 с . о i Г 9 / \ ’	6 I V C
M2 + /,2(y)
Возьмем уравнения прямого геликоида в виде
%=wcosy, y — usin v, z — av.
Прежде всего заметим, что геодезическими линиями являются
прямолинейные образующие, т е. линии v — const. Считая
теперь, что	получим дифференциальное уравнение гео-
дезических линий
d2u 2и / du \2
-------------I----|
dv2 а2+и2 \ dv f
Для решения уравнения введем новые переменные, полагая
du
и — независимой переменной, а р = ——функцией от и. Тогда
dv
уравнение примет вид
dp 2и
р-----------р2—и = 0.	*
du а2+и2
ОТВЕТЫ
327
Полагая z = p2, получим
dz Au
----------z—2u = 0.
du a2+u2
Общее решение этого уравнения есть
откуда
du
967.	Возьмем первую квадратичную форму псевдосферы в виде
dx24-dy2
ds2 =---
У2
(см. задачу 783).
Тогда дифференциальные уравнения геодезических будут:
d2y 1 / dy \2	1 / dx \ 2
——— — —— I I _|_ I 1 —— Q,
ds2 у \ ds f у ' ds '
d2x	2 dy dx
-------------•— =0.
ds2	у ds ds
Этой системе удовлетворяют линии х — const.
Если же хфconst, то систему можно заменить уравнением
d2y	1 / dy \2	1
F (	)	=== 0,
dx2	у \ dx /	у
общее решение которого
(x-C2)2+y2 = Ci.
968.	Указание. Рассматривая вдоль геодезической v как функ-
цию ц, получим дифференциальное уравнение геодезических
линий поверхности Лиувилля
d2v	df / dv \3	dtp / dv \ 2 df dv	dq>
2 (f-Еф)	' ——-----I I I I	H----
du2	du \ du /	dv \ du '	du du	dv
или
(f-{-(p)dw2d(6/u2) — (du2-[-dv2') (dq>du2—dfdv2),
328 ОТВЕТЫ
откуда
/ ydu2—fdv2 \
\ du2-[-dv2	/
Интегрируя это соотношение, получим искомые уравнения.
969.	Указание. Проверить сначала, что
р cos |Л= (е г t),
где е — единичный вектор, направленный по оси вращения;
г — радиус-вектор текущей точки геодезической, отсчитывае-
мый от начала О, выбранного на оси вращения; t — единичный
касательный вектор геодезической. Проверить затем, что диф-
ференциал полученного смешанного произведения равен нулю.
Обратная теорема неверна, так как вдоль любой параллели
указанное соотношение выполняется, однако не всякая парал-
лель является геодезической.
970.	Пусть го — радиус самой широкой параллели L эллипсоида
вращения, а Мо — точка на этой параллели.
Рассмотрим геодезическую, проходящую через точку Мо под
углом цо = О к параллели L. По теореме Клеро вдоль этой
геодезической
р cos ц == Го,
отсюда следует, что
р==г0, a cos ц — 1.
Следовательно, (ы = 0 и геодезическая совпадает с парал-
лелью L.
Возьмем теперь геодезическую, пересекающую параллель под
л
прямым углом, т. е. Qo=—. По теореме Клеро pcosp = 0,
2
л
следовательно, ц— -у н геодезическая совпадает с мериди-
аном.
л
Пусть теперь 0<Цо<—. Обозначив г0 cos цо = Со, получим,
2
что вдоль геодезической pcosp = C0. Отсюда следует, что она
пересекает все параллели эллипсоида с радиусами р<С0 под
ненулевым углом и далее, касаясь параллели с радиусом р = Со,
снова уходит в сторону параллели L (рис. 185).
971.	Пусть го — радиус самой узкой параллели Lo однополостного
гиперболоида вращения, a Mi — точка, лежащая на параллели
£i, отличной от Lq.
Очевидно, что для геодезических, проходящих через точку Afi,
постоянная С в теореме Клеро может принимать значения
в пределах 0^С^гь где /ч— радиус параллели Ль
ОТВЕТЫ
329
Если С<Уо, то геодезическая пересекает все параллели поверх-
ности под ненулевым углом.
При С>г0 вся геодезическая будет располагаться в той части
поверхности, которая ограничена параллелью L радиуса С и
содержит точку All, и пересекать все параллели этой части
поверхности, кроме параллели L. Если С>го, геодезическая
Рис 185
Рис 186
касается параллели L, если же С — го, то геодезическая неогра-
ниченно приближается к параллели L, делая при этом неогра-
ниченное число витков на поверхности (рис. 186).
972.	Пусть го и /д— радиусы самой узкой и самой широкой парал-
лелей. Постоянная С в теореме Клеро может принимать зна-
чения в пределах O^C^ri. Геодезическими тора являются все
меридианы (при С = 0), самая узкая параллель (при С — г0) и
самая широкая параллель (при С = /д). Если С не равно ука-
занным значениям, геодезическая колеблется между двумя па-
раллелями радиуса С, подобно синусоиде Наконец, на торе
существуют геодезические (при С = ;'о), которые навиваются на
тор, неограниченно приближаясь к самой узкой параллели
с обеих сторон и делая неограниченное число оборотов
(рис. 187).
330 ОТВЕТЫ
973.	Указание. Воспользоваться полугеодезической системой
координат.
Рис 187
974, Сфера.
975.
976.	Полусфера без границы.
977.	Шаровой пояс без границы (рис. 188).
Рис 188
978.	Два шаровых сегмента без границ (рис. 189).
979.	Большая окружность.	е
980.	Половина большой окружности без концов.
981.	Две симметричные дуги большого круга.
ОТВЕТЫ
331
982.	Две параллели (если нормаль направлять вне конуса).
983.	Сфера без двух диаметрально противоположных точек.
984.	Сфера с исключенной большой окружностью.
985.	Дважды взягая сфера; если ось тора представлять вертикаль-
ной, то самая верхняя и самая нижняя параллели тора отобра-
жаются в полюсы сферы.
Рис 189
986.	Дважды взятая четверть большой окружности без одного
конца.
987.	Полусфера без полюса, взятая бесконечное число раз.
993.	Указание. Взять уравнение конической поверхности в виде
r = ve(u),
где |e(w) | = 1, и сравнить се первую квадратичную форму
с первой квадратичной формой плоскости в полярных коорди-
натах.
994.	Как показано в задаче 775, первая квадратичная форма такой
поверхности может быть записана в виде
ds2 = [l-|-i>2&2(w)] du2+%dudv+dv2,
где k(u)—кривизна линии I.
Будем деформировать линию I без растяжения так, чтобы
в каждой ее точке сохранялась кривизна. Так как в выражение
ds2 не входит кручение линии, то соответствующая деформация
поверхности, образованной касательными к линии /, будет на-
ложением исходной поверхности на деформированную. Превра-
332 ОТВЕТЫ
тив линию I в плоскою, мы наложим тем самым поверхность
касательных на плоскость.
996. Поверхность развертывающаяся
997. Только у развертывающихся.
999.	Примем одно из заданных семейств геодезических за коорди-
натные линии и полугеодезической системы координат. Тогда
ds2 — du2+G(u, v)dv2.
Если (р — угол между координатными линиями и и геодезиче-
скими линиями второго семейства, то
du
cos (р = ••
У du2+Gdv2
Из условия постоянства угла ср получим
du —
— =а^(3,
dv
где a — const.
Подставляя это в дифференциальное уравнение геодезических
линий, получим Gu=6, следовательно, G — G(v), и первая
квадратичная форма приводится к виду
ds2 = dx2-}-dy2.
Обратно, пусть S — развертывающаяся поверхность. Так как
она наложима на плоскость, а при наложении геодезические
линии переходят в геодезические и углы между линиями со-
храняются, то достаточно отметить, что па плоскости указан-
ные семейства геодезических существуют.
1000.	Образующая конической поверхности, на которой находится
точка геодезической линии, лежит в спрямляющей плоскости
этой линии. Поэтому перпендикуляр, опущенный из вершины
конуса на соприкасающуюся плоскость, пересекает касатель-
ную. Длина его
d — p sin а,
где р — отрезок образующей, а — угол между последней и
касательной. При наложении конической поверхности на плос-
кость геодезическая линия превращается в прямую, и расстоя-
ние d вдоль нее постоянно. Но величины р и а имеют то же
самое значение, что и на конусе, поэтому и на конусе р sin a — d
также постоянно.
Чтобы доказать обратную теорему, достаточно установить, что
линии с указанным свойством при наложении конуса на плос-
кость превращаются в прямые.
1001.	Возьмем на поверхности полугеодезическую систему координат.
Тогда	е
ds2 = du2+G(u, v)dv2.
ОТВЕТЫ
333
На линии и —0 |и = 0 = 1. Из уравнения геодезических ли-
d/G
ний получим, кроме того, ----- = 0. В полугеодезической
ди м=о
системе координат
1 д2 fG
К =-----------
yG <9Ы2
(см. задачу 850).
1.	Если К = то
д2 У 77
-----=0
ди2
и решением этого уравнения, удовлетворяющим указанным
выше начальным условиям, будет У G = l. Поэтому для всех
поверхностей пулевой полной кривизны первая квадратичная
форма приводится к виду
ds2 — du2+dv2y
и, следовательно, все они наложимы друг на друга.
1
2.	Если К— — (я = const), то
а2
— и	и
у G = cos— и ds2 — dw2-|--cos2 — dv2.
а	а
1
3.	Если К=----------(a = const), то
а2
и
ds2 — du2-\-ch2 — dv2.
а
1004. Первая квадратичная форма прямого геликоида
% = wcosy, z/==wsin v, z — av
имеет вид
ds2 = du2+ (u2+a2)dv2.	(•)
Пусть катеноид получен вращением цепной линии
z
х = <2 ch—, // = 0
а
вокруг оси Oz. Параметрические уравнения цепной линии мож-
но представить в виде
------	У и2+а2
х = ']/ и2+а2, */ = 0, 2 = a In-------
а
334 ОТВЕТЫ
-- - — ....— - - .'  —  .... ... ... - ,   - - ----- -  —	. . . . . - - - - . .. - .- -
в чем можно убедиться непосредственной проверкой. Тогда
параметрические уравнения катеноида будут
х = У «2-}-а2 cos v,
у = ^ и2-}-а2 sin и,
«+ У w24-tz2
z — а 1 п------------.
а
Вычислив теперь первую квадратичную форму катеноида,
получим (ц).
1005. Как видно из предыдущей задачи, асимптотические линии
геликоида, т. е. его прямолинейные образующие и винтовые
линии, переходят в линии кривизны катеноида (параллели и
меридианы). Так как обе поверхности минимальны, то в каж-
дой точке линии кривизны делят пополам углы между асимпто
тическими линиями. Отсюда и следует утверждение задачи.
1009. Дифференцируя условия ортонормированпости репера
(Л, 61, е2, <?з)
в г в j = б г j
и пользуясь формулами (3) § 22, получим:
detej-\-eidej = 0,	= 0,
г	3
(oft6/£j+(i)fe6?jt = 0, cP+(£р =0.
г	j	г 3
1011.	Обозначим через (F) развертывающуюся поверхность, обра-
зованную нормалями к поверхности (А) вдоль линии кривизны.
Тогда радиус-вектор произвольной точки F поверхности (F)
представляется в виде Е = А-4-Лез. Найдем дифференциал этого
вектора при условии, что координатная плоскость Ае^е^ совпа-
дает с касательной плоскостью к поверхности в этой точке
dF —	(w2+Z(o2) Сг-Н^^з.	(+)
м	3
Если ось Aei касается одной из линий кривизны, то при сме-
щении точки А по этой линии
diA = (Ji)iei, со2 —0.
Если F — точка ребра возврата поверхности (Е), то векторы
dF и е3 коллинеарны и из соотношения (я) получим
=0,	#= 0, си2 = 0.
з	з
Аналогично, если ось Авг касается линии кривизны второго
семейства, то
(02 + А,2(02 —0, Аг =7^0, G)1 =0.
з	з
ОТВЕТЫ
335
Замечание Мы исключаем из рассмотрения точки округ-
ления поверхности.
1012.	Имеем
dA = cD1ei-J-cD2e2,
где
= (и1, и2)йи1-[-а^ (и1, u2)du2,
(о2 = #2 (и1, u2)dtd+a2 (и1, u2)du2.
Сместимся вдоль первой координатной линии. Тогда du2 — Q,
и так как dA коллинеарно то a2 (щ, и2)=0. Аналогично,
1
аЦм1, и2)— 0. За счет изменения направления отсчета коорди-
2
нат и1 и и2 всегда можно добиться того, чтобы функции
а* (и1, и2) и a22(tA, и2) были положительными. Полагая
а1 (и1, ц2) =у£и(ц1, и2), а2 (и1, и2)	g22(ul, и2),
1	2
получим искомые выражения для со1 и со2.
1013.	Это следует из двух предыдущих задач, если ввести обозна-
чения
2	2
1	1	#11	#12
Р1==—",	^2= ------.
Лг Vigil VgT22
1015. Рассмотрим некоторый ортонормированпый репер
(То, 7» , <	)
с началом в точке А. Если система (9) § 22 вполне интегри-
руема, то существует единственное решение
А = А(и1, и2),	ei — eifu1, и2),
удовлетворяющее начальным условиям
А(и1, и2) —До, еП#1, и2)—е°.
0	0	0	0 г
Геометрически это означает существование поверхности,
с каждой точкой которой связан ортонормированный репер
(A, ei, е2, бз).
1018.	Рассмотрим формулу для нормальной кривизны линии на по-
верхности
е3б/2А	/ du1 \2	/ du2 \2
kn= ----Z- =P1S'11 I —— I +p2g22 —----- I .
iM*	' dS '	' dS '
336 ОТВЕТЫ
Так как первая главная кривизна равна нормальной кривизне
первой координатной линии, то, полагая du2 —О, получим
2
gadu1
= .
ds2
Из первой квадратичной формы поверхности
ds2 — dA2 = g 11 d и12 + g2 2 du2 2
следует, что при du2 = $
2
ds2 — guda1 .
Таким образом, k{ — pi. Аналогично, kz — Pz-
1019.	Смещение точки с радиус-вектором F = A+%ei, принадлежа-
щей прямой Аег.
d(A+Xet) = (^g1idu1+d^)ei-l-[}/g22du2A-^(QiygiidulA-
A-q^g22du2) ] е2+Р Alg i idu{e3
Когда точка А смещается по первой координатной линии, т. е.
diA = ^g22du2e2, du^O,
точка F смещается по ребру возврата, т. е. вектор d{ (A-f-Xei)
коллинеарен вектору откуда
(•А"{“Хв1) == rfXei,	1 “рА/б/г == 0.
Аналогично, получим 1— Xr/i = O.
1020.	Рассмотрим в некоторой точке поверхности единичный вектор
dA
— касательной к какой-либо линии, проходящей через эту
ds
точку. Если обозначить через (р угол этого вектора с векто-
ром 61, то
dA -	-
--- —COS (p6i + sin (рб2
ds
С другой стороны, из формул ч (8) § 22
dA — du] —	— du2 —
— ^1+Уёг22 —— е2.
ds	ds	ds
Следовательно,
— du1	— du2 e
cos (p=Vgn ——,	sin ф = У£22——.
ds	ds
ОТВЕТЫ
337
Сопоставляя это с формулой для нормальной кривизны линии
на поверхности
/ du1 \2	/ du2
kn=Plgll I ——	+ ^2^22 I ——
\ ds f	\ ds
получим
kn — pi cos2 cp+p2 sin2 ф.
1021.	Выберем в касательной плоскости к поверхности (Л) в неко
торой ее точке А декартову прямоугольную систему координат
(Л, в1, е2), и координаты произвольной точки в этой системе
будем обозначать х и у. Если ф — угол между первой коорди-
натной линией и произвольным нормальным сечением, то из
определения индикатрисы Дюпена следует
cos (р	sin (р
* = —	у — -♦
У IM	У \kn\
Тогда из формулы Эйлера
kn —pt cos2 ср+р2 sin2 ф
получим
Р1Х2+Р2У2 = ±\.
1022.	Указание. Формула следует из первых трех уравнений си-
стемы (10) § 22.
1023.	При смещении по асимптотической линии
e3d2A —pigiidul2-}-P2g22du22=0.
Поэтому из уравнений (8) § 22 и формулы K = pip2 следует
Ж42+</ё2 =0,
з
откуда
Так как вдоль асимптотической линии вектор бинормали b
совпадает с вектором е3, то
de3 —
~~~т~ =-№
ds
Следовательно,
я+х2=о.
338 ОТВЕТЫ
1024. Указанные выражения'получаются из формул (8) § 22 и
- dA d2A
е3----------
ds ds2
1025.	Указанное уравнение геодезических получим, заменяя в урав-
нении
(е3 dA d2A)~0
dA и dM, по формулам (8) § 22.
1026.	Рассмотрим на поверхности векторы а — ааеа, Ь — Ьлеа.
При их параллельном перенесении по поверхности, согласно
формулам (5) и (6) § 22, имеем
da = a^^e3,	db==b^^e3,
d(ab) =da b-}-adb = (a^^e3)ba ea(^^tope3) •
Так как e3ea —0, то d(ab)—0, и, следовательно, скалярное
произведение векторов при их параллельном перенесении со-
храняется. А поэтому сохраняются также длины векторов и
углы между ними.
1027.	Из уравнений (4) § 22 с учетом того, что со3 = 0, получим
dA со» ёа
ds ~ (аРЧ-о)22)1/2'
Продифференцируем это выражение
dA (	(0^(0^-{“(1)2(/(1)2	—
d —— = 4---------------------------------«а I е л-
ds I (o>12H-(d22)72	(cd12+(o22)3/2 J a
3	—	3
(OP(Dp — dA	(i)P (Dp	—
_|-----------— e3 = D-------1---------------e3.
((D^+o22)1^	ds (co12+(d22)'/2
dA
Выражение для D--------можно представить в виде
ds
dA	(о^со2—(o^o^+toi (со12+(о22)
ds ~	(g)12+(d22)3/2
((jAe2—(o2ei).
dA
Обращение в нуль абсолютного дифференциала D------ равно-
ds
сильно равенству
ОТВЕТЫ
339
(j/rfo)2 — ClTCW + q)2 (co12+g)22) =0,
которое совпадает с уравнением геодезических линий (11) § 22.
•1028. Дифференцируя соотношение а — cos ср, находим
-------	з---------------
—sin cpdcp — da-e\^-ade\ — a^ae3ei-[-adei — adei.
Если вместо вектора а брать другие параллельно переносимые
вдоль данной линии векторы, то углы ср, образуемые ими с век-
тором а, будут отличаться друг от друга па постоянную вели-
чину, так как углы между векторами при их параллельном
перенесении сохраняются Следовательно, dtp при любом выборе
параллельно переносимого вектора будет иметь одно и то же
значение. Выбирая в качестве вектора а вектор в2, получим
—d(p = e2dei=:(o2 =qi ^giidu'+qz ^g22du2,
i
1029.
Из формулы (12) § 22
По формуле
L	D
используя (10) § 22, найдем
Дф = JJ О g^gw dtddu2.
D
Так как
K = PiP2,	do = y gng22 du{du2,
то
1030.
Пусть —— — единичный векгор касательной к контуру L
в точке Л; s —длина дуги линии L; а — единичный вектор
340 ОТВЕТЫ
на поверхности, параллельно обносимый по контуру L. В этом
случае
— dA — з—
costh — а----, йа — ааыез.
ds
Отсюда
— d2A
—sin фг/ф — a----ds.
ds2
Пусть в некоторой точке Ао контура L
л — г dA —
ф = —, а = ---------е3
2 L ds J
Тогда
dA d2A \
---------I ds
ds ds2 f
или
t/ф — kgds.
После полного обхода точки А по границе L из начального
dA
положения Л о вектор ---- повернется на угол 2л; угол пово-
ds
dA
рота вектора а относительно вектора
ds
L
Следовательно,
Дср+Дф = 2л.
1033. Из формулы
JJ К do-}- ф kgds — 2n
D	L
при kg = 0 следует
JJ Kdo — 2n.
D
А это равенство не может иметь места, если во всех точках
поверхности	е
1034. На плоскости хОу — внутреннюю область эллипса
2г2+3г/2—2хг/—4%+ 18г/—16 = 0, 2 = 0;
ОТВЕТЫ
341
на плоскости yOz — внутреннюю область эллипса
5г/2+8г2+32р—32г—4 = 0, х = 0;
на плоскости xOz — внутреннюю область эллипса
23х2+54г2+18х—216г—324 = 0, у = 0.
1037.	Покажем, что каждая из рассматриваемых асимптотических
линий / — прямая. Положим противное. Нормали к поверхно-
сти вдоль линии I параллельны фиксированной плоскости, по-
этому те = 0, где е — постоянный вектор. Так как на асимпто-
тической вектор бинормали Ь — ±т, то be — 0. Дифференцируя
это равенство, получим
х(ц е) =0.
Но х=+0, ибо в противном случае Ь = т — постоянный вектор,
и сферическим изображением асимптотической линии будет
точка.
Итак,
b е — п е — 0,
следовательно, t = ±e, откуда
dt —
— = kn — 0 и k — 0,
ds
вопреки предположению. Итак, поверхность S — линейчатая.
Она не может быть развертывающейся, так как в этом случае
сферическим изображением асимптотической линии является
точка.
1038.	Если записать уравнение поверхности вращения в виде
x = cp(w)cos v, f/ = cp(fz)sin ц, z—u,	(*)
то обращение в нуль средней кривизны дает
1+ф'2—Фф" = 0.
Произведем замену переменных, взяв за новую функцию
ду
р— — и за новую независимую переменную ф. Тогда
ди
dp	dm	1
1+р2—ФР—=0 или ----------= •—d (ln(l+p2)) ,
Jcp	ф	2	v	7
откуда
с2Ф2= 1+p2.
Переходя к прежним переменным, получим
dm
— 	— — du.
]/ С2ф2—1
342 ОТВЕТЫ
Интегрируя, найдем
U-\-Cz
ср = С1 ch------.
Таким образом, получается цепная линия, а поверхность (*)
есть катеноид. Кроме того, минимальной поверхностью враще-
ния является плоскость Из нашего исследования этот случай
выпал, так как плоскость, перпендикулярная оси Ог, не может
быть задана уравнениями (*).
1039.	Средняя кривизна прямого геликоида равна нулю, поэтому он
является минимальной поверхностью.
Обратно, предположим, что поверхность S — минимальная.
На такой поверхности сеть асимптотических линий ортого-
нальна. Так как прямолинейные образующие — асимптотичес-
кие линии, то другое семейство представляет семейство их орто-
гональных траекторий.
Соприкасающаяся плоскость в точке асимптотической линии
является касательной плоскостью к поверхности. Опа содержит
прямолинейную образующую, проходящую через эту точку,
следовательно, эта прямолинейная образующая является глав-
ной нормалью рассматриваемой асимптотической линии.
Итак, прямолинейные образующие поверхности S есть главные
нормали их ортогональных траекторий, следовательно, каждая
из ортогональных траекторий есть линия Бертрана.
Так как этих линий бесконечное множество, то они являются
винтовыми (см. задачу 606).
Значит, поверхность S образована главными нормалями вин-
товой линии. Это — прямой геликоид (см. задачу 672).
1040.	Полагаем
у = их, x=v.
Тогда уравнения искомой поверхности в параметрическом виде
будут
X—V, y==UV, z — f(u).
Находим
E = v2+f'2, F — uv, G=l+«2,
vf"	f'
---------------, M =---------------, N = 0.
У2+ ( 1 + и2) f'2	v2+ (1+u2) f'2
Подставляя эти выражения в уравнение
EN-2FM+GL = 0,
характеризующее минимальные поверхности, получим
2«Г(«) + (1+и2)Г(«)=0,
f"(u) 2и
—------]------=0, ln(l+«2)+ln f'(u) — In a (a=const),
ОТВЕТЫ
343
а
(\-\-u2)f'(и)—a,	=
1+w2
Интегрируя это уравнение, получим
f(u) +b = z-^b — a arc tg и.
Следовательно,
z-\-b
u = tg----,
a
У
z+b
a
Это неявное уравнение прямого геликоида
x=wcosy, t/ = 4zsin v, z — av—b.
1041.	Коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхно-
стей S и S* связаны соотношениями
Е* = (1-а2К)Е+2а(а//-1)£,
Г* = (1 — а2 К) F+2a (аН— 1) М,
G* = (1 — а2К) G+2a (аН— 1) N,
L* = aKE+(l-2aH)L,
М* = rzKF+ (1 — 2аН) М,
Ni- = aKG+(\—2aH)N.
Отсюда получаем искомые выражения
1— 2аН+а2К’
1—2аН-\-а2К
1042.	Подставляя а=1:2Н в формулу
1—2аН—а2К ’
получим
K* = 4//2 = const
1043.	Пусть на поверхности S координатные линии совпадают с ли-
ниями кривизны. Используя формулу Родрига, получим
г* = (1— aki)ru,	г* =(l—akz)rv.
и	V
Следовательно, коэффициенты первых квадратичных форм
поверхностей S и связаны соотношениями
Е*=(1 — akl)2E, G'- — ([—ak2)G, F* = F = 0.
344 ОТВЕТЫ
Отсюда
dS — EG, dS* = (\-ak\_) (\—akz)dS
и
dS—dS*	/ ^14*^2	1	\	k\~\~kz
lim --------= lim I---------p — akjtz I ====----=H
a->0 2adS a_>0'	2	2/2
1044.	Пусть S— минимальная поверхность, a S'1—параллельная ей
поверхность, причем расстояние между ними по нормали рав-
но а. Как следует из задачи 1043, соответствующие элементы
площадей поверхностей 51, и S связаны соотношением
dS*=(\+a2K)dS,
где К — полная кривизна поверхности S. Следовательно,
D	D	D
Так как па минимальной поверхности К^О, то
л -
D	D
1047.	Для того чтобы прямые имели огибающую (т. е. образовали
развертывающуюся поверхность), нужно положить
/2
р =	—,	c = const.
Геометрическое место ребер возврата определяется уравнением
9 (хг—у)2—4г6 = 0.
Уравнения ребер возврата
t2	t* _
Х — с-\---; и —-------z — A-t.
“2	6
Линия пересечения с плоскостью хОу
8(х—с)3—9z/2 = 0.
1048.	Примем ось цилиндра за ось Oz, а ось Ох расположим в секу-
щей плоскости. Тогда уравнение цилиндра будет иметь вид
х — a cost, y = asint, z — u,
а уравнение секущей плоскости —
z=4t/.
Разрежем цилиндр по образующей, пересекающей ось Ох, и
наложим его на плоскость xOz. Так как после наложения роль
абсциссы будет играть длина дуги перпендикулярного сечения
цилиндра s = at, то уравнение искомой линии будет
ОТВЕТЫ
345
s
z — aA sin —
a
Синусоида.
1049.	Пусть плоскость d, проходящая через прямую d, пересекает
сферу по окружности у. Рассмотрим круговой конус, касаю-
щийся сферы вдоль у. Его образующие касаются ортогональных
траекторий окружности. Но вершины всех таких конусов лежат
на прямой d', полярной d. Следовательно, ортогональными
траекториями будут окружности, образованные пересечением
сферы с пучком плоскостей, проходящих через d'.
1050.	Общее уравнение движения точки по поверхности имеет вид
d2r —	—	—
т —— ^F+Rm—ц | R11,
И к
где F—внешняя сила, R — нормальная реакция поверхности,
|ы — коэффициент трения, t — единичный вектор касательной
к траектории и т — единичный вектор нормали к поверхности
Так как
d2r d2s — / ds \2 dt
—_	/-{- I I
dt2 dt2 \ dt / ds
то при F = 0 уравнение движения примет вид
d2s — / ds \2
( )
dt2 \ dt f
dt
=Rm-
Умножая его скалярно на [tm], получим
/— dt \	/ dr — d2r \
I t ni —) = I — tn----------) — 0.
' ds f	\ ds ds2 /
т. e. точка движется по геодезической линии (см. задачу 946).
1051.	Х = ЕхФ, У —ЕУФ, 7 = ЕгФ,
где
xFx-\-yPy-\~^Pz
Ф =-----------------
F2 +/72 +/72
X у Z
а точка М. (х, у, z) удовлетворяет
уравнению
F(x, у, z) = 0.
1052. (х2+У2+^)2 = ^2х2+^2у2+^с2г2.
1053. 2z(x2+i/2+z2) — ах2А~Ьу2.
1054. г(х2+//2+г2) -[-аху = ®.
12 Зак 214
346 ОТВЕТЫ
1055. Точка
М(Н-Д/)— M(t)
лежащая на прямой, соединяющей точки М(/) и
dM
в пределе при Л/->-0 переходит в точку -----, лежащую на
dt
касательной к линии М = М(/) в точке Л4(/).
1057. Запишем уравнение касательной плоскости к поверхности
xi=xi(u, v)
в виде
а?	X1	X2	X3	
	X1	X2	X3	
	X1	X2	X3	=0.	(*)
и	и	и	и	
	X1	X2	X3	
V	V	V	V	
Пусть проективное преобразование задается формулами
Х{ = ${ X*,
з
det (Рг‘ ) =^=0,
j
где xi — координаты произвольной точки пространства, a х> —
координаты ее образа при рассматриваемом проективном пре-
образовании. Вставляя выражения из формул (**) в урав-
нение (*), получим уравнение образа плоскости (4)
р°х^
з
р° jd
3
6° jd
3 U
В0 jd
j V
Р1^’
3
Р1
3
Р1^
j и
Р1
3 v
Его можно переписать в виде
\Х М MUM„ I det(₽f)=O
3
или
| X М Ми Mv I =0.
ОТВЕТЫ
347
Но это уравнение задает касательную плоскость к преобра-
зованной поверхности.
1058. Первый способ. Если представить линию как пересечение двух
поверхностей, то касательная к линии в некоторой ее точке
будет пересечением касательных плоскостей к указанным по-
верхностям в рассматриваемой точке. Теперь решение следует
из предыдущей задачи.
Второй способ. При проективном преобразовании
хг’ = 0г det (В* ) ¥=0
з	з
линия
(*)
переходит в линию
причем
^(0=0* Хф).
з
Касательная к линии ( ! )
dx1
Х> = ах;+р—-
at
переходит в прямую, координаты точек которой Х> задаются
уравнениями
—	dxl
0г =	.	(**)
В силу невырожденности матрицы (0*) уравнения (**) можно
представить в виде
dxi
X з = axi+0---.
dt
Но это есть уравнения касательной к преобразованной линии.
1063.	Указание. Неплоская линия является ребром возврата
огибающей семейства ее соприкасающихся плоскостей.
1064.	Проективное.
1065.	Метрическое, так как, например, окружность с помощью аффин-
ного преобразования можно перевести в эллипс.
1066—	Метрическое.
1071.
12*
348 ОТВЕТЫ
1072.	Проективное, так как направление, сопряженное данному,
определяется характеристикой семейства касательных плоско-
стей вдоль линии, идущей в данном направлении
1073.	Пр оективное.
1074—	Метрическое.
1077.
1078.	Проективное.
1079.	Метрическое, так как, например, при аффинном преобразовании
х = х, У —У, z = kz
катеноида
и	и
x—ach — cos и, !/ = 6zch — sin v, z = u
a	a
одно из главных нормальных сечений (окружность в плоско-
сти хОу) не меняет своей кривизны, а второе сечение (мери-
диан катеноида) — меняет. В результате средняя кривизна
изменится.
1080.	Проективное, так как тины точек различаются количеством
асимптотических направлений в данной точке поверхности.
1081.	Метрическое.
1082.	Проективное.
1083.	Воспользуемся аффинным характером задачи. Переведем дан-
ный эллипс в окружность
х'2-\-у'2 = 1
аффинным преобразованием
1	1
х'=—х, у'=.——у,
а	Ъ
Тогда сопряженные диаметры перейдут во взаимно перпенди-
кулярные диаметры окружности, а окружность
1
Х'2-\-у'2 — —
2
будет огибающей образов хорд эллипса Поэтому искомой оги-
бающей будет эллипс
х2 у2 1
а2 + Ь2 ~ 2
(рис. 190).
1084.	Воспользуемся аффинным характером задачи. Переведем дан-
ный эллипс в окружность	*
%,2 ! о,2__ J
ОТВЕТЫ
349
аффинным преобразованием
п воспользуемся известной формулой S' = SA, где А — опре-
1
делитель аффинного преобразования. В нашем случае Л — —
ab
S
и $' = —. Огибающей образов данных прямых будет окруж-
ab
ность радиуса 7?' = cosS', т. е.
*'2+*/'2 — R'2.
Следовательно, искомое уравнение будет
х2	у2	S
---4-----= cos2----.
a2	b2	ab
Это эллипс, подобный данному с коэффициентами подобия
350 ОТВЕТЫ
1085.	Примем заданные прямые за оси аффинной системы коорди-
нат, а за масштабные векторы на них — векторы единичной
длины (рис. 191). Возьмем прямую АВ семейства, перпенди-
кулярную одной из биссектрис координатных углов. Рассмот-
рим гиперболу, имеющую асимптотами координатные оси и
Рис. 191
касающуюся прямой АВ в точке М(а, а). Ее уравнение имеет
вид ху — с. Выразим с через S
ОА — ОВ — ^а, S = 2tz2sin2a.
Так как точка М принадлежит гиперболе, то а2 —с, и мы по-
лучим
S
с —--------.
2 sin 2а
Следовательно, уравнение гиперболы будет
S
-------------. (*)
2 sin 2а
Совершим теперь гиперболический поворот, переводящий ги-
перболу (*) в себя, а точку М ве какую-либо точку М. Как
известно, при этом хорда АВ перейдет в касательную к гипер-
боле в точке М, отсекающую от координатного угла треуголь-
ОТВЕТЫ
351
ник той же площади S, т. е. в произвольную прямую заданного
семейства.
Таким образом, гипербола (*) является огибающей семейства
прямых, отсекающих треугольники площади S от первого и
третьего координатных углов Аналогично, сопряженная гипер-
бола
S
ху —-------------
2 sin 2а
является огибающей семейства прямых, отсекающих треуголь-
ники площади S от второго и четвертого координатных углов.
1086. Рассмотрим прямую LN семейства, перпендикулярную оси Оу
и пересекающую ее в точке М(0, Ь). Выразим b через S:
уз
S = 2j ax2dx,
о
откуда
1
/ 9я£2 \ 3
b = (------I .
4
352 ОТВЕТЫ
Построим параболу, получающуюся из данной сдвигом на b
вдоль оси Оу (рис. 192). Ее уравнение
у = ах2-[-
9aS2 \ 3
Совершпм теперь параболический поворот, переводящий пара-
болу (*) в себя, а точку М в какую-либо точку М. При этом
парабола у = ах? также перейдет в себя, а хорда LN — в ка-
сательную к параболе (') в точке М, т. е. в произвольную пря-
мую заданного семейства. Таким образом, парабола (*) являет-
ся искомой огибающей.
1087. Пусть
p=r(u) + ve(u) —
уравнение косой линейчатой поверхности. Ее вторая квадра-
тичная форма имеет вид
ф2~Ldu2-{-2M du dv,
где
v2(e' е е") -фи [(е7 е г") -ф (г' е е") ] -ф (г' е г")
L =
ijEG-F2
М=-------------.
^EG—F2
Из условия
Ldu2-\-2M du dv — 0
найдем, что асимптотическое направление, отличное от направ-
ления прямолинейной образующей, характеризуется вектором
_	_ dv —	— L -
(?Иф=0 по условию задачи).
Уравнение поверхности, образованной касательными к асимпто-
тическим линиям вдоль образующей, соответствующей u — Uq,
имеет вид
— — —	/— —•	Lo —
/? = г04-^во-фш ( г' A-ve'---е0
\ 0	0	2М0
Выберем аффинную систему координат с началом в точке Ло,
ОТВЕТЫ
353
1088.
с радиус-вектором г0 и с масштабными векторами координат-
ных осей г', е0, ег. Введем обозначения
о о
(<?(/ ео е</')
-----—-------- = а.
(/‘o' во в(/)
(го' <?о го")
--------------—С
(rd е0 ed)
(ed ео r0',) + (/V е0 ed')
----------_____----------------
(п/ ео ed)
(а, Ь, с — постоянные). Тогда уравнения поверхности (*) мож-
но записать в виде
Xi = W,
w
X2 = v---— (avz-\-bv -(-с), ►
Xi — vw.	’
Отсюда
a b	c
X1X2 —Xi------X2-------XyXi------x2.
Преобразуя координаты по формулам

с	b
Хг= Xi-j-X2-j- х3,
2	2
X3 = Xi,
получим
Xi Х2 +
а
— х2 — Хз —0.
2 3
Если а 0, получим однополостный гиперболоид, если а — 0 —
гиперболический параболоид (условие а —0 означает, что
исходная поверхность состоит из прямых, параллельных неко-
торой плоскости).
х2-[-у2 = С — концентрические окружности и точка 0(0, 0).
354 ОТВЕТЫ
1089.	x2-|-i/2 = C — соасимятотические гиперболы и их асимптоты
(рис. 193).
1090.	у = Сх2— параболы и прямая у = 0.
1091.	С(х2+у2) = 2х— окружности и прямая х = 0 (рис. 194).
Рис 193
Рис. 194
1092.	Сх2 = 2х—у+]. — параболы с ocsywn, параллельными оси Оу,
проходящие через точку (0, 1) и касающиеся в этой точке
прямой 2х—г/+1=0, и сама эта прямая (рис. 195).
ОТВЕТЫ
355
1093.
1094.
x-\-y-\-z — C параллельные плоскости
х24-//24-2’2 = С2 — концентрические сферы
Рис 196
1
1095.
д;2_|_^2—<г2=_(7 — однополостные и двуполостные гиперболоиды
с общим асимптотическим конусом и сам этот конус (рис. 196).
356 ОТВЕТЫ
1096.	—4С2 (х2+у2) +4 (256—С2) z2 = С2 (256-С2)	(С0).
При С = 0 получается плоскость хОу, при 0<С< 16 — двупо-
лостные гиперболоиды вращения с осью вращения Oz
Рис 197
(рис. 197), при С— 16 — ось Oz, при С> 16 — эллипсоиды вра-
щения с осью вращения Oz (рис 198).
1097.	1.
1098.	5.
1099.	0(0, 0),	М(1, 1).
1100.	У (7, 2, 1).
1101.	(2г—z—y) £*+ (4г/+г—%) /+(6г--Я-|-//)/?.
1102.	3(х2—ayz) i-]-3(y2—axz) j-p3(z2~axy)k.
ОТВЕТЫ
?>5/
1103.	e*+y+z [(l+z/z) i+( 1+xz) ]-]-([+xy)ki
1 - 1 - 1 -
1104.		i+----------/+---------k.
l+%2	l+i/2	1+z2
1105.	97—ЗА
2	2	1
1106.	| grad w|=6, cos ci =—, cos|3 =-------------, cosy =—
Рис. 198
1107.	grad u(O) =3 i—2 /—6k, | grad u(O) | =7, cos a= —,
2	6
cos [3 =---, cosy=-------; grad«(/4)~7 i; |grad «(Л) | = 7,
cosa=l, cosp = 0, 008 7 = 0; grad u — Q
в точке Af(—2, 1, 1).
358 ОТВЕТЫ
3
1108. cos ср — —33—
у 10
4
1109. COS Ф=-----------
405
1110.
1111.
1112.
1113.
1114.
1122.
л
2 '
Возрастает. 12.
2и	------------
—, где г = у x2+*/24-z2; если а = Ь — с.
г
grad w-grad v
---------------; если grad и J_ grad v.
| grad v |
Так как
r=i x2+y2+z2,
TO
1123.	.
r
1124.	nrn~2r.
1125.	C
r2
1126.	Д
r2
1127.	Пусть
c = ci t’+c2 j+сз k.
Тогда
u = c г —
откуда
ди	ди	ди
——Ci,	——	=С2,	~~	~Сз.
дх	ди	dz
ОТВЕТЫ
359
Поэтому
grad w = grad (с г) =Ci i+c2 j+c3 k — c.
a(b r) —b(a r)
1128.	——.
(&02
1129.	2 r(c c) — 2 c(c r) — 2 [c [r c] ] .
1133. Пусть eu, ev, ew — орты подвижного репера. Векторы еи, е»
лежат в плоскости, касательной к координатной поверхности
w — const, поэтому вектор еш ортогонален этой плоскости и,
следовательно, он ортогонален к координатной поверхности
w — const. Поэтому этот вектор коллинеарен градиенту скаля-
ра w, т. е.
ew = k3 grad w,	(*)
где k3 — некоторый множитель.
Рассмотрим линию
u — u(s), и — v(s), w — w(s).
Дифференцируя радиус-вектор
r = ,'[U(s),	V(s), W(S)J
ее произвольной точки, получим
dr	— du — dv — dw
—— / U	} V	? w	.
ds ds ds ds
Умножим это равенство скалярно на grad w
dw	dw —
	=	rw grad w,
ds-------ds
откуда
rw grad w — 1
Заметив, что
W === I f W I ?w,
и умножив равенство (*) скалярно на получим | rw | —h3.
Из того же равенства (А) находим
1 —k3 | grad w |.
Применяя аналогичные рассуждения к координатным поверх-
ностям и — const и V — const, получим в итоге
еи df ev df ew df
grad/(w, v, w) =— — +------------[------,
/?i du k?j dv k3 dw
360 ОТВЕТЫ
где
1 1
= | Г и | = “	- k2 = | rv | = -	—-
|grad u\	|grad v
1
k3=\rw\ = ~------—.
I grad
du —	1 du — du —
1134. grad u——en+----em+— ez
й dp p p dip ф dz
1135. <рер+еф+ег.
1136. г(рер+2еф+р<ре2.
— Z COS ф —	—
1137. ep-|_-----------e +sin(pez.
P
— z sin cp —	—
1138. 2pen--------------e +cos cpez
— z sin 2ф —	—
1139. 3p2e +-----e 4-sin2 ф<?г.
P
du— 1 du —
1140. gradw=—en+— —
S	dp p p de 0
1
p sin e
du —
^ф'
дф
1141.
1 -
*₽ep+	e<₽-
sin 0
1142.	Qer+eQ.
-	-	0 —
1143.	0фв +<Peo+ : — %-
sin 0
— ф cos 0 —	1 —
1144.	e H----------e0+ e .
P	P
— COS Ф —	1 —
1145.	6q	<?(p.
r	r
П46. x2+y2 = C2e	z = C2
1147.	у = Схх,	z = C2x2.
1148.	y—x — CiXy, z—x~C2xz.
1149.	x2—y2 = Cu z = C2.
1150.	x~Ciy, x — C2z.
1151.	г/г+3+2г.
ОТВЕТЫ
361
12x//2+4x3—6xz.
3.
1152.
1158.
1159.
div(f(r)r) ==f(r)div r-\-r grad f(r).
Так как
divr = 3, grad f (г) =f'(r)
то
div (f (r) r) =3f (r)+rf'(r).
1160.
1161.
1162.
div (grad f (r)) — div
div r-(-r grad
r
- r grad f' (r) ~f' (r) grad r
r2
r2
r2
1163.
1164.
1165.
1166.
1167.
1168.
1169.
1170.
1171.
d2u
\u—------
dx2
и A^+ (grad u)2.
0.
d2u	d2u
du2	dz2.
c t
362 ОТВЕТЫ
1172.
1173.
1174.
1175.
1176.
1.
2.
х+у+?
xyz
div (grad f (г))=/"(/-)+— f'(r) =o.
Общее решение этого уравнения есть
С2
И'')=с1н--.
Г
Так как
Г 1	_ _	13-7	2
div — = — div г-]- г grad — —-г--— —
г г	г г г3 г
и
div (grad f (г)) =f"(r)+ — f'(r),
1177.
то по условию
2гГ(г)+4Г(г)=—,
г
откуда
Cl
f(r) =ln r-{- — +c2r
r
—	1 г d	d	d
diva= —— (MNau) + — (NLa„)+ —-—(LMam)
LMN L du	dv	dw
где au, av, aw — проекции вектора а на касательные ^соответ-
ствующим координатным линиям,
Величины L, М, N называются коэффициентами Ламэ.
ОТВЕТЫ
363
1178.
1179.
1180. (%2—2zx) i+(y2—2xy) j-\-(z2—2yz)k.
1181. i-}-(xy—2x) j+(2—xz)k.
1185, 0.
1186.
1187. 2 c.
1188. [cr].
1189, [^7].
1190.
1191. 0.
Л(<) --
1192. —— [re].
1198.	Для вычисления потока воспользуемся формулой Остроград-
ского
JJJdivarfV
S	V
Так как
div ^ = //2+л:2+1,
4—х2—
(x2-j-y2-}-l)dxdy dz —
J J (x2+i/2+l) (4—x2—y2)dxdy.
D
Перейдем к полярным координатам:
364 ответь!
л
2	2
Г	f	14л
J Jcp J (—r5+3r3+4/)t/r =-----
3
о о
1199.	div a = 3(x1 2+//2+z2). По формуле Остроградского
1
где Vi — объем част» шара, заключенной в первом октанте
Перейдем к сферическим координатам
x = p cos ф sin 0, у — р sin ф sin 0, z — pcosO;
dV = p2 sin QdpdqdQ, *2+*/2+<z2 = p2,
JJJ P4 s*n —
л	л
R	2	~2
= 24 J рМр J sin Od0 J t/ф = 2, 4л/?5.
0	0	о
1200.	4лд.
1201.	0.
1
1202.	3—.
3
1
1203. а) — л/?2//(3/?2+2//2);
б)
3
10
л/?2Я(/?2+2/72).
1205.	На окружности
a = R3 cos31 i--R3 sin31 j,
dr — —R sin t dt i-\-R cos t dt j.
Следовательно,
---- 1
adr =-------/?4 sin 2tdt.
2
При движении по дуге окружности L в направлении, противо-
положном вращению часовой стрелки, параметр t изменяется
ОТВЕТЫ
Збй
я
в пределах от 0 до Поэтому линейный интеграл вдоль L
будет равен
л
2
f--	f	1	1
A — I adr — — I —/?4sin2/d/ =-------/?4.
J	J	2	2
L	О
1206.	2л262.
1207.	Л иния L состоит из двух отрезков ВО (па оси Оу), О А (на
оси Ох) и дуги АВ астроиды Обход по L нужно совершать
против часовой стрелки. Поэтому циркуляция вектора будет
равна
adr-}- J adr-}- J adr.
L	AB BO	OA
Вычислим каждый из интегралов правой части отдельно.
На астроиде
a—R sin31 i—R cos31 j,
dr— SR cos21 sin tdt i-}-3R sin21 cos tdt j
Поэтому
3
adr —------R2 sin2 2tdt.
4
При движении по дуге АВ в направлении от А к В параметр t
л
изменяется в пределах от 0 до Будем иметь
л
Т
3	Г	3
acir =-----R2 I sin2 2tdt —-----л/?2.
4	J	16
АВ	0
На отрезке ОА
a~—xj, dr = dxi и adr — Q.
Поэтому
J adr — 0.
о А
Аналогично,
J adt = 0.
во
366 ОТВЕТЫ
Следовательно, искомая циркуляция равна----------л/?2.
16
1208.
1209.
1210.
1211.
0.
—Tib2.
а) 2л, б) 2л.
л/?6
1212.
Не имеет.
1213.
rot я = 0, поэтому поле а потенциальное, и его потенциал и
определяется из уравнения
du = (y-}-z)dx+ (x+z)dy+ (x-±-y)dz.
Это уравнение равносильно системе уравнении в частных про-
изводных
ди
— = !/+*,
ох
ди
— =x+z,
ду
ди
Oz
Из первого уравнения системы следует, что
u=(y+z)x+tp(y, Z).
Подставляя во второе уравнение, получим
----;---
ду
откуда
<р(*Л z)=zy+q>(z).
Подставляя это в третье уравнение, получим, что
-ф(г) = С—const.
Таким образом,
w=Xi/+i/z+zx+C.
1214.	u=xyz(x-[-y+z) +С.
1215.	Да.
ЛИТЕРАТУРА
Н о р д е н А. П. Краткий курс дифференциальной
геометрии. М., 1958.
Погорелов А. В. Лекции по дифференциальной
геометрии. Харьков, 1961.
Рашевский П. К. Курс дифференциальной
геометрии. М., 1956.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ *
Асимптота 35, 209, 213
Астроида 64, 69О, 107, 134, 178,
180, 228, 327О, 364, 381, 436,
442, 457, 467
Бинормаль 68, 76, 595, 1069
Бицилиндрика 488
Вектор Дарбу 564, 955
— кривизны 112
— на поверхности 138
—, параллельно переносимый
по поверхности 138, 1026—
1029
Вектор-функция 10, 31—37
Вполне интегрируемая система
дифференциальных уравнений
1015
Геликоид косой 671, 794, 796,
906
— общего вида 670, 774
— прямой 671, 672О, 673О, 679,
694, 726, 773, 798, 801, 805,
806, 810, 813, 814, 828, 835,
858, 899, 914, 930, 960, 966,
987, 1004, 1005, 1039
Гипербола 29, 44, 80, 81, 91,
111, 116, 135, 325О, 378, 389,
426
Гиперболоид вращения двупо-
лостный 632, 766, 821, 847О,
978
-----однополостный 631, 727,
765, 820, 847О, 971, 977
— двуполостный 641, 833, 872,
891
— однополостный 640, 665, 871,
915
Гипоциклоида 69, 359, 380
Годограф вектор-функции 11,
13, 39—49
Градиент скалярного поля 152,
1101 — 1112, 1115—1145, 1156,
1157, 1162—1165, 1175, 1176,
1183, 1193, 1195, 1196
Декартов лист 97О, 210, 248
Дивергенция векторного поля
158, 1151 — 1179, 1184, 1194—
1196
Дифференциал вектора, абсо-
лютный 138
— вектор-функции 11, 12, 27
Длина дуги 48, 69, 560, 561
— касательной 159, 165
— нормали 159, 164
— подкасательной 159, 163
— поднормали 159, 162
— полярной касательной 167
— — нормали 167, 170
— — подкасательной 167, 168
-----поднормали 167, 169
Жезл 302
Индикатриса Дюпена 114, 841,
920, 1021
— линии, сферическая 519
Кардиоида 60, 610, 68О, 100о,
149, 150, 157, 228, 362, 385,
397, 434, 444, 449
* В предметном указателе цифрами светлого шрифта обозначены
номера страниц, цифрами полужирного* шрифта — номера задач
Индекс «о» означает ссылку на ответ к соответствующей задаче.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
369
Касание линии с поверхностью
93, 731—735
Касательная к линии 12, 24, 67,
76, 148, 521, 1055
— плоскость поверхности 92,
682, 702, 1056, 1057
Катакаустика линии 472
Катеноид 637, 771, 826, 831,
847О, 912, 983, 1004, 1005, 1038
Квадратичная форма поверхно-
сти, вторая 112, 829, 830, 1017
--------, первая 104, 776—781,
1016
Коноид прямой 673—675
Конус 644, 878
— круговой 635, 688, 769, 795,
824, 838, 847О, 861, 982
Конхоида Никомеда 63, 207, 224
Координаты изотермические 849
— криволинейные 7
— полугсодезические 850
— сферические 5610
— цилиндрические 560о
Коэффициенты Ламэ 1177О
Кривая — см. линия
Кривизна геодезическая 129,
957—962, 1024
— главная 114, 1018
— интегральная 1029—1032
-----, геодезическая 1030, 1031
— линии 49, 76, 77, 387, 393,
394, 396, 418, 566, 568, 603,
1065
-----, нормальная 112, 842
— поверхности, гауссова — см.
кривизна поверхности, полная
-----, полная 114, 844, 849—
851, 853—855, 859, 860, 1001 —
1003, 1022, 1033, 1076, 1078
-----, средняя 114, 842, 859,
860, 919, 920, 1042, 1043, 1077,
1079
Круг кривизны 49, 418—420
Кручение геодезическое 129,
963—965
— линии 76, 77, 567, 603, 1067
Лемниската Бернулли 54О, 154,
179, 226, 386, 390, 403
Линейный интеграл векторного
поля 159, 1205, 1206
Линия 6
— асимптотическая 123, 907,
908, 910, 918—920, 922, 952,
962, 965, 989, 1023, 1037, 1073,
1087
— Бертрана 597—600, 606
— Вивиани 486, 517, 518, 550
— винтовая 484, 519, 533, 542,
549, 552—554, 571, 604—606,
614, 621, 627
-----, коническая 487, 505, 531,
572
— —, обобщенная 588—592, 602
— геодезическая 129, 943—946,
952, 953, 956, 969, 973, 998,
999, 1025, 1027, 1032, 1033,
1050, 1075
— горловая 93, 726—729
— дискриминантная 44
—	изохронная 477
— кривизны 127, 923, 933, 935,
941, 942, 953, 964, 990, 991,
1011, 1013, 1074
— параллельная 181, 395
— плоская 6, 527, 567, 593—595,
1064
— поля, векторная 157, 1146—
1150
— поля, силовая — см. линия
поля, векторная
—	простая 6
— стрикционпая — см. линия
горловая
— сферическая 520, 620
— тока — см. линия поля, век-
торная
— уникурсальная 95—101, 237
— уровня 151, 1088—1092
— цепная 78О, 174—177, 345,
367О, 368—370, 372, 374, 402,
433О, 440, 452О, 459, 463О, 481
—	элементарная 5
Локон Аньези 56, 197
Локсодрома 786, 787
Множества гомеоморфные 5
Множество открытое 5
—	связное 5
Наложимость поверхностей —
см. отображение поверхно-
стей, изометрическое
370 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Направление асимптотическое
123, 920, 1072
Направления главные 113
— сопряженные 123, 903, 1072
Непрерывность вектор-функции
10, 6—10
Нормаль главная 68, 76
— к линии 24, 1068
----- поверхности 92, 714—716
Образ множества 5
Овалы Кассини 54, 114
Огибающая семейства линий 44,
337, 623, 624, 1059
-----поверхностей 101, 756—
758, 1059
Окрестность точки 5, 6
Окружность 71, 79, 85, 92, 137,
153, 170о, 371, 424, 439, 450о
— соприкасающаяся 49, 76, 415,
416, 613
Оператор Гамильтона 152
Ортогональные траектории 788,
789, 791—799
Отображение множества в про-
странство 5
—---------взаимно однознач-
ное 5
---------- локально топологи-
ческое 5
----------непрерывное 5
---------- обратное 5
---------- топологическое 5
— поверхностей изометрическое
133,	992—998,	1001—1006,
1008, 1048
-----конформное 133,	1007,
1008
----сферическое 133, 974—
991, 1037, 1045
---- эквиареальное 1008
Парабола 42, 117, 171, 343, 375,
398, 417, 427, 441, 468, 476
— безопасности 340
Параболоид вращения 633, 660о,
767, 822, 847О, 888
— гиперболический 645, 680,
686, 784, 799, 803, 836, 874
— эллиптический 49, 642, 680,
837, 841, 852, 873, 889, 902,
931, 976
Параметр натуральный — см.
длина дуги
Плоскость 662—664, 829, 830,
896, 921, 947, 1038
— нормальная 68, 520, 521, 593,
1070
— соприкасающаяся 68, 526,
527, 594, 622, 734, 1063
— спрямляющая 69, 1071
Площадь поверхности 104
Поверхности уровня 151, 1093—
1096
Поверхность 7
— вращения 628, 715, 716, 762,
779, 786, 817, 846, 847О, 863,
885, 911, 926, 949, 950, 969,
1006, 1007, 1038
— дискриминантная 100, 739,
740
— касательных к линии 667,
708, 719, 775, 791, 832, 929,
994
-------—, винтовой 668, 684
— Каталана 725
— коническая 654, 661, 698, 719,
789, 925, 993, 1000
— линейчатая 92, 717, 1019,
1060
----, косая 93, 730, 935, 1037,
1062, 1087
— Лиувилля 968, 1006
— минимальная 919,	1038—
1040, 1044, 1079
— общая — см. поверхность
— параллельная 707, 718, 922,
938, 939, 1041, 1042, 1044
— переноса 677—680, 706, 901
—	простая 7
—	развертывающаяся 93, 717—
720, 722—724, 753—755, 844,
905, 922, 928, 954, 955, 988,
989, 995, 996О, 997О, 999, 1061
— трубчатая 676, 704, 746
— цилиндрическая 646, 648, 651,
719, 924, 948, 992
—	элементарная 7
Подэра линии 465, 626
—	поверхности 1051—1054
Поле векторное 157
-----потенциальное 160, 1212—
1214
ПРЕДМЕТНЫЙ указатель
371
— — соленоидальное 160, 1215,
1216
— скалярное 151
-----, плоское 151
Поток векторного поля 158,
1197—1203
Правильное семейство линий
на поверхности 123
Предел вектор-функции 10,
1—5
Преобразования аффинные 146
— проективные 148
Производная вектор-функции
И, 11—15, 26, 31, 33
— скалярного поля по направ-
лению 152, 1097, 1098, 1113,
1114
Производные вектор-функции,
частные 12, 32, 34, 36
Профиль геликоида 670
Прямая 450о, 566
Псевдосфера 638, 693, 772, 782,
783, 811, 827, 847О, 909, 967,
984, 1003
Работа векторного поля 159
Радиус кривизны 49, 77, 416,
419, 420
Развертка окружности 65, 136,
348, 382, 439, 447, 462О, 466
— эволюты линии 455
Расходимость векторного по-
ля — см. дивергенция век-
торного поля
Ребро возврата 101, 1061
----- поверхности касательных
719, 720, 1061
Роза трехлепестковая 306
— четырехлепестковая 59, 99
Ротация векторного поля 158,
1180—1196
Свойства линий и поверхностей
аффинные 146
----- ---- метрические 146
--------— проективные 146
Сеть линий 123
----- ортогональная 939, 941,
973
-----сопряженная 123, 897—
902, 904—907, 941
-----чебышевская 780, 781, 909
Соприкосновение линий 25,
182—194, 412—416, 610—613,
619
Спираль Архимеда 57, 118, 151,
169О, 365, 383
— Галилея 303
— гиперболическая 168О, 304С)
— коническая 487, 509, 516, 546,
582, 618
— логарифмическая 58,	152,
153, 366, 384, 399, 437, 438,
4510, 456, 461 о, 475, 478
— Ферма 301
Строфоида 62, 99О, 212, 225
Сфера 629, 714, 763, 787, 793,
802, 812, 818, 847О, 882, 883,
932, 951, 974, 1002
— соприкасающаяся 615—622
Сферический двуугольник 816
Теорема Бельтрами—Эннспера
1023
— Гаусса — Бонне 1031
— Клеро 969—972
Тор 636, 695, 700, 770, 825, 847О,
864, 913, 972, 985
Точка гиперболическая 114, 937,
1080
— линии, возврата второго ро-
да 36
—------первого рода 36
----- изолированная 37
-----обыкновенная 36, 37
— — особая 36, 37, 236, 237
-------, двойная 37
-----перегиба 36, 238, 239
— — самопересечения 37
— округления 113, 882, 884—
893, 1081
— омбилическая — см. точка
округления
— параболическая 114, 1035,
1036, 1080
— стационарная скалярного
поля 153, 1099, 1100
— уплощения 113, 894—896,
1082
— эллиптическая 114, 1080
Трактриса 165О, 166, 349, 400о,
433, 448
372 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Формула Родрига 114
— Менье 113, 861
— Остроградского 159, 1197
— Стокса 159, 1211
— Тейлора 11, 13
— Эйлера 114, 1020
Формулы Фрейе 49, 76, 562—
565
Функция векторная круговая
38
Характеристика семейства 101
Улитка Паскаля 61
Уравнение Лапласа 161
—	линии неявное 9
—	поверхности неявное 9
Уравнения дифференциальных
перемещений репера 137
— линии неявные 9
-----натуральные 59, 78, 609
----- параметрические 6
— поверхности параметриче-
ские 7
Центр кривизны 49, 77
Циклоида 66, 108, 173, 229, 329О,
358, 379, 401, 435, 443, 453О,
458, 464О, 477
— удлиненная 67, 409
— укороченная 67, 409
Цилиндр гиперболический 48,
647, 877, 981
— круговой 634, 666, 768, 823,
847О, 862, 1048
— параболический 46, 647, 839,
876, 980
— эллиптический 47, 643, 658О,
875, 979
Циркуляция векторного поля
159, 1207—1211
Циссоида Диоклеса 55, 98О, 208,
223
Эвольвента 57, 480, 602
— окружности — см развертка
окружности
Эволюта 57, 442О, 1066
Эллипс 28, 43, 82О, ПО, 115, 377,
388, 425, 469, 479
Эллипсоид 639, 659О, 692, 870,
890, 940, 975
— вращения 630, 764, 819, 843,
847О, 887, 970
Эпициклоида 68, 359, 380, 454О
е
Оглавление
Предисловие ......................................... 3
Введение ............................................ 5
ИЗ С
Глава 1. Вектор-функция скалярных аргументов	10
Глава 2. Плоские линии ....	.	.	19
§ 1.	Уравнения линии............................19
§ 2	Касательная и нормаль .	24
§ 3.	Асимптоты. Особые точки. Исследование и по-
строение линий ....	.	35
§ 4.	Семейство линий Огибающая	...	44
§ 5	Длина дуги Кривизна. Формулы Френе	48
§ 6	Эволюты и эвольвенты	.....	57
§ 7	Натуральные уравнения .	.	.	.	59
§ 8.	Разные задачи .	.	.	.61
Глава 3. Пространственные линии .	.	64
§ 9	Уравнения линии............................64
§ 10.	Сопровождающий трехгранник Длина дуги 67
§11.	Формулы Френе. Кривизна и кручение Нату-
ральные уравнения линии ....	76
§ 12.	Разные задачи.............................83
Глава 4. Поверхности...............................  86
§ 13.	Уравнения поверхности....................86
§ 14.	Касательная плоскость и нормаль к поверх-
ности. Линейчатые поверхности. Касание
линии с поверхностью .	....	92
§ 15.	Семейство поверхностей. Огибающая .	100
§ 16.	Первая квадратичная форма	.	.	.	104
§ 17.	Вторая квадратичная форма	.	'.	. JJ2
§ 18	Сопряженные сети и	асимптотические	линии	123
§ 19	Линии кривизны.........................127
§ 20	Геодезические линии....................129
§ 21	Отображения поверхностей	.	.	.	.133
§ 22	Метод подвижного репера в теории поверх-
ностей .......................................136
§ 23.	Разные задачи.........................143
374 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Метрические, аффинные и проективные свойства
линий и поверхностей	.	.146
Глава 6. Элементы теории поля	.151
§ 24.	Скалярное поле .	.	.151
§ 25.	Векторное поле	...	.	.	157
Ответы .	.	.	.	.	.	.	.168
Литература...................................367
Предметный указатель.........................368
I

е
Воднев Владимир Трофимович, Гусак Алексей Адамович,
Нахимовская Анна Натановна, Рябушко Антон Петрович,
Тутаев Леонид $ондратьевич, Феденко Анатолий Семенович
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Редактор Т Майборода
Оформление художника А. Шеверова
Худож. редактор В. Валентович
JexH. редактор П. Фрайман
Корректоры С. Надежкина, Л. Рутковская
АТ 00975 Сдано в набор 13/XI-1969 г. Подписано к печати 17/IV-1970 г.
Бумага 84X108732 типогр № 1 Печ. л 11,75 (19,74) Уч-изд л 19,97.
Авт. л 15,11. Изд № 68-94 Тип. зак 214. Тираж 10 000 экз Цена 91 коп.
Издательство «Вышэйшая школа» Государственного комитета Совета
Министров БССР по печати Редакция физико-математической литера-
туры. Минск, ул Кирова, 24.
Отпечатано на Минском полиграфическом комбинате им. Я Коласа
Государственного комитета Совета Министров БССР по печати (Минск,
ул. Красная, 23) с набора типографии издательства ЦК КПБ (Минск,
Ленинский пр , 79)
С23 Сборник задач и упражнений по дифферен-
циальной геометрии. Под общ. ред. В. Т. Вод-
нева. Минск, «Вышэйш. школа», 1970.
376 с.
Учебное пособие для математических и физических спе-
циальностей университетов и педагогических институтов по
курсу «Дифференциальная геометрия с элементами теории
поля»
Сборник содержит задачи по всей программе курса.
*	е
2-2-3
29-70	517.4