ISSN 1998-1643
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Научный журнал
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
ПЕТРОЗАВОДСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА
(продолжение журнала 1947-1975 гг.)
№8 (121). Декабрь, 2011
Серия: Естественные и технические науки
Главный редактор
А. В. Воронин, доктор технических наук, профессор
Зам. главного редактора
Н. В. Доршакова, доктор медицинских наук, профессор
Э. К. Зильбер, доктор медицинских наук, профессор
Э. В. Ивантер, доктор биологических наук, профессор,
член-корреспондент РАН
Ответственный секретарь журнала
Н. В. Ровенко, кандидат филологических наук
Перепечатка материалов, опубликованных
в журнале, без разрешения редакции запрещена.
Статьи журнала рецензируются.
Адрес редакции журнала
185910, Республика Карелия,
г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33. Каб. 272.
Тел. (8142) 76-97-11
E-mail: uchzap@mail.ru
uchzap.petrsu.ru
© ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный университет (ПетрГУ)», 2011
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ПЕТРОЗАВОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Декабрь,№ 8
Технические науки
2011
УДК 518.61
АНДРЕЙ МИХАЙЛОВИЧ КРУПКО
аспирант кафедры технологии и оборудования лесного
комплекса лесоинженерного факультета, Петрозаводский
государственный университет
andreykrupko@yandex. ги
ЕВГЕНИЙ КОНСТАНТИНОВИЧ БЕЛЫЙ
кандидат технических наук, доцент кафедры математи-
ческого моделирования систем управления математичес-
кого факультета, Петрозаводский государственный уни-
верситет
belyi@psu. karelia. ru
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ
МОЩНОСТЯМИ ЛЕСОТРАНСПОРТНОГО ПРЕДПРИЯТИЯ
В статье предлагается математическая модель управления производственными мощностями лесо-
транспортного предприятия с учетом сезонных факторов.
Ключевые слова: математическая модель, автопарк, производственная мощность
Функционирование лесотранспортных пред-
приятий требует учета природно-производст-
венных условий лесозаготовок, при которых
в течение небольшого временного интервала
нужны транспортные средства различных клас-
сов, в частности, при организации многоступен-
чатых перевозок, связанных с особенностями
производственного процесса и качеством авто-
мобильных дорог [3; 198]. Поэтому представляет
интерес задача оптимального использования
производственных мощностей и инвестиций как
во временной развертке, так и в плане структу-
ры автотранспортного предприятия.
Допустим, что лесопромышленное предпри-
ятие имеет на балансе парк лесовозных автомо-
билей одного типа и периода эксплуатации.
Перед руководством предприятия возникает
проблема инвестирования денежных средств
в парк лесовозных автомобилей, то есть вопрос
о том, в какой период времени и в каких коли-
чествах необходимо вкладывать денежные
средства для эффективной работы предпри-
ятия.
Для t = 0,1,..., Тположим Dt - прыбыль пред-
приятия за период /; - мощность парка машин
в период времени t в денежном выражении;
I- инвестиции в начале периода Z, то есть прира-
т
щение мощности парка, 7^ = Sir - суммарные
?=1
инвестиции за «большой период» Т, 1=0
Положим, что мощность парка w через один
период в результате амортизации принимает
значение wt • р, где р < 1 - коэффициент, постоян-
ный для данного парка машин. Тогда с учетом
инвестиций мощность парка в период t + 1 со-
ставит величину -wt+x = yvt- р + It+y Зависимость
дохода предприятия в период t от его мощности
зададим уравнением вида
Z)/(w/) = crz-w/-^ w?,	(1)
где at и р - некоторые вещественные положи-
тельные коэффициенты. Причем первый из них
зависит от периода t. Из (1) следует, что вначале
с ростом мощности прибыль от основной хо-
зяйственной деятельности растет, затем темпы
и	- at
роста снижаются. Наконец, при wt - при-
Z • р
быль достигнет максимального значения, и
дальнейшее увеличение мощности приведет
только к снижению прибыли (см. рисунок).
Последнее связано с действием известного эко-
номического закона убывающей доходности: по
мере увеличения затрат одного типа при фикси-
рованных всех остальных затратах в некоторый
момент будет достигнута точка, за которой пре-
дельный результат производства будет умень-
шаться [1; 140]. Следовательно, при фиксирован-
ных постоянных издержках прибыль с некото-
рых пор будет снижаться.
Зависимость дохода предприятия
от производственной мощности
Как было замечено выше, at зависит от t.
Таким образом, мы можем учесть в модели се-
зонный характер работ, когда эффективность
производственных мощностей зависит от вре-
менного периода. Учитывая амортизацию и ин-
вестиции It, проведем последовательность под-
становок в формулах w;+ j = ~wt • р + It+ r
© Крупко А. М., Белый Е. К., 2011
86
A. M. Хрупко, Е. К. Белый
W1 = Wo’P + 71
2
W2 = W0‘P +IrP + h
3	2
)W3 = WO’P + I\'P + II' P + 1з
R =
T Т-1	T-2
wt = WP +IiP	+ I2P	+  + It-
а матрица
( т-1 - .
Yplj
7=0
Т-2 - .
р- X р2'1
7=0
Т-2 - .
р- Z p2'J
7=0
Т-2 - .
Z P2j
7=0
To есть Wt - wo ’ P* + ZZ; • p1 '. Теперь мы мо-
Таким образом, элементы матрицы R опреде-
жем сформулировать задачу оптимального ис-
пользования инвестиций в виде:
т
z=o
т
£lt=lz.
t=]
ляются равенством
если j = t
Rj,t =
Мы не будем предъявлять требование неот-
рицательности инвестиций, поскольку отрица-
. T-t ~ .
> J  p 1, если] < t
i=0
i-t T~j 2-i
P • X p > если j > t
i=0
тельные инвестиции иногда можно трактовать
как продажу мощностей или сдачу их в аренду.
Найдем максимум функции
Матрица R при любом значении T обладает
следующими свойствами:
1. Определитель матрицы |/?| = 1.

где
Dt = at'
wo'P‘+ Xlf Р* 1 -Д-
i=l )
. t	У
wo-A+SZf// 1 ,
/•=1	;
2. Обратная матрица			
	[ 1 -Р	0	0
	-Р 1+р2	-Р •	0
R 1 =	0 -р	1 + р2 •	0
	< 0 0	0	 1+р2
2 - множитель Лагранжа. Здесь мы учли условие
< = о-
Тогда
= o где; =1,2,...,71	(4)
81 j
dPt =
81 i
at'P* 7-2-/?-fWo-p2' 7+Е/г'Р27 ' j\ecnuJ<t.
k	/=1	)
О , если j > t.
Таким образом, несмотря на довольно слож-
ное описание матрицы R, ее обратная матрица
имеет очень простой вид. Доказательство мы
опустим, не желая чрезмерно увеличивать объ-
ем статьи. Заметим только, что оно ведется по
индукции и опирается на свойства блочных мат-
риц [2; 55-56].
Умножим левую и правую части уравнения
(5) слева на R -1:
1=~Г1А-ПО'Г1'Р-~Л'1Г1'Е. (6)
Умножим матрицу R 1 на векторы А, Р и Е'.
Подставив значения частных производных
прибыли в уравнение (4), после ряда преобразо-
ваний получим систему уравнений
t=Ji=l	£ 'P t=j	t=j	1'P
для j = 1, 2, ..., T. Запишем систему в матричной
форме.
RI = — A-W.P—— ЛЕ. (5)
2-/3	0	1-р	7
Здесь
	ai			О-P)2
R Х'А =	ai~ Р-а\	1	0 ’R р=	И R Х-Е =	
				C-Р)2
	рст~ Рат-ь	loj		J-P + P2,
Просуммировав члены уравнения (6) по стро-
			(т	А	f т	A			
1 =	71^ /2	, А =	Ear Л1 t=i т	t-э ^atp	, Р =	Ир1^ t=\ ip2t~2	, Е =	т 1 •
	Jr)		t=2 < ат J		*=2 т I р J		л
кам, получим:
/2 = ™^^»
Zr-i
1т =
= ат-\~Р ат-2 ! (1-p)2
2/7	2-Р
ат~Р ат-\ j (1~Р + Р )
2-р	2-р
(7)
Математическая модель управления производственными мощностями лесотранспортного предприятия
87
Таким образом, мы нашли значения инвести-
ций в периоды t = 1,2,..Т, выраженные через Л.
Теперь просуммируем соответственно левые
и правые части равенств (7).
т-1
т	(i-Pr Hat + ат
Ylt = I-z = ~wo'P+---------------
Z=1	ZP
(8)
(T-l)-(i-p)2+l
----------------- Л ’
2 P
Отсюда
T-l
2-/?(Zs + wo’p)-(1-p)’ Eaz + ат
(T-1)(i—p)2 + l
Теперь, подставив значение -Л в (7), мы можем
найти оптимальные значения инвестиций I.
Пример. Пусть количество периодов Т = 10,
исходная мощность в денежном выражении
мд = 5, коэффициент в уравнении (1) Р = 0,01,
р = 0,95,1^ = 50. Значения коэффициента at для
различных периодов времени приведены ниже в
таблице. Также в таблице приведены соответс-
твующие расчетные значения инвестиций, про-
изводственных мощностей и дохода.
Пример расчета инвестиций
за 10 периодов времени
1	2	3	4	5	6
Период t	at	Р'	Инвестиции А	Мощность W,	Доход D,
1	0,2	0,950	4,944	9,694	0,999
2	0,2	0,903	0,485	9,694	0,999
3	0,2	0,857	0,485	9,694	0,999
4	0,4	0,815	10,485	19,694	3,999
5	0,5	0,774	5,985	24,694	6,249
6	0,5	0,735	1,235	24,694	6,249
7	0,7	0,698	11,235	34,694	12,249
8	0,8	0,663	6,735	33,694	15,999
9	0,9	0,630	6,985	44,694	20,249
10	1,0	0,599	1,428	43,888	24,626
Рассмотрим следующую задачу, в которой
автомобильный парк делится на Мклассов лесо-
возных автомобилей. В каждом классе представ-
лены машины одного типа и времени эксплуа-
тации.
Аналогично (4) найдем
SF мт dp)mt
= Z L	= гдеу= 1, 2, ..., Z
/и=1Г=0^ Im,j
Далее, повторив все выкладки предыдущего
пункта отдельно для каждого класса машин, по-
лучим систему уравнений, в которой значения
lmt аналогично (7) выражены через множитель
Лагранжа Л. Просуммируем соответственно ле-
вые и правые части (7). Тогда
м м
Iz = ~YGm+YHmt,	(9)
m=l m=l
где
( 1 Г“1
v~Pm' ^OCm,t + OCm.T
__________________t=l_________
'Jm~'Wmfi' Pm	2/?	’
Pm
2A,	'
M
ILGm
Отсюда Л = —M”l~1—.
^LHm
m=l
Подставив Л в уравнения (7), получим систе-
му уравнений, определяющих величины инвес-
тиций для всех классов машин m = 1, 2, ..., М
за все рассматриваемые периоды времени t = 1,
2,
(Xm,T Pm'O.mT-l |1 Рщ +Pm 1’2-
Im’T =	Up
rm
В приведенном выше примере все оптималь-
ные значения инвестиций положительны.
Однако при других исходных данных могут по-
лучаться и отрицательные значения I . Если
под Im t > 0 понимать любые привлечения мощ-
ностей в основную производственную деятель-
ность предприятия, а под Im t < 0 - любой способ
их изъятия, то такое решенйе может быть впол-
не адекватно исследуемому процессу.
Разумеется, адекватность модели зависит не
только от самой модели, но и от цели и объекта
исследования. Мы допустили ряд упрощений,
которые позволили получить выражения Imt в
общем виде. Такое представление результата
позволяет проводить дальнейшие исследования
аналитическими методами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Долан Эдвин Дж. Микроэкономика: Пер с англ. СПб.: Санкт-Петербург оркестр, 1994. 448 с.
2.	Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Неука, 1966. 576 с.
3.	Шегельман И. Р., Скрипник В. И., Кузнецов А. В., Пладов А. В. Вывозка леса автопоездами. Техника.
Технология. Организация. СПб.: Префикс, 2008. 304 с.