ISSN 1«OS 1613
Федеральное агентство по образаванню
Научный журнал
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
ПЕТРОЗАВОДСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО
УНИВЕРСИТЕТА
(прозотаеиие журнала 1947-1975 тт)
N? 4 (96) Декабрь, 2608
Серия: Естественные и технические науки
to ba
Главный редактор
.4 В Воронин доктор техничестих наук профессор
Зам главного редактора
Доршаюва. доктор медицинетих наук, профессор
Ивантер. доктор баологическихнаут. профессор,
член корреспондент ?АН
Н. В Ровенко. кандидат ф апагогических шут.
оттетствеяный секретарь журнала
Перепечатал материалов, огублнковаиных
в журнале без разрешение редакция тзпрешена
Статьи журнала репеишруются.
Адрес редакция журнаха
185910, Республика Карелия
г. Пегромвсасх ср Лепила. 33. Каб. 272.
Тел (8142) 76-97-11
E-mail, uchzap^imilni
uchzap.petrsu.rn
с озрЕевы жюгрзфадз зсрсти а офссмсенае обл>жш журааз И4 -1975 тт
® ГОТ ВПО <'Петр«зааод<кйй государльен-сы! унмаерозгез (ПетрГУ) 2001
З'ЧЕНЫГ ЧАЛПСКП ПЕТРОЗАВОДСКОГО ГОС УЛАРСТЛЕННОГО ТНПВЕРС ТГГЕТА
Декабрь. .V 4
Технвчесме яаукл
2008
УДК 518.61
ЕВГЕНИИ КОНС ТАНТПНОВПЧ БЕЛЫЙ
кандидат технитеаж: наук лэцеат кзфыры хатемзппе
стого аюдедирозания систем управтенкя математкческсго
овутьтетт ПетрГУ
betyPpu. iartlB.ni
ГАЙ НАСИ.ГЫВЩЧ ПОФФЕ
врач радиолог высшей татеторип Реап'Слитансхсй оохь
шщы Ммнис:ер.1ъа цравоохраиемма Республики Kape.uu
liibpia№litiii. тгЛапЛаЛ!
ЗШХЛПЛ СЕРГЕЕВИЧ IГУЛКО
ведг»1спп гз1лен;р Ресцузэ.тхкдвсхсп бс.тютппд \(и»пч~тгр
стад зду ааосухразеаЕЖ Рсепаб.тяхх Кфеш
bap& iJ&m dcxinc.ka'-cia./v
ЦИРКУЛЯЦИОННАЯМОДЕЛЬ ТРАНСПОРТА РАДИОФАРМАЦЕВТИЧЕСКОГО ПРЕПАРАТА
В ОРГАНИЗМЕ ЧЕЛОВЕКА
В статье предлагается мзтеизтноеская модель транспорта в зрганкзие человека знттрнвенио введенного ра-
диофариадевтичеоксто препарата Модель монет быть обобщена и на более пиротнв класс фармацевтических
препаратов
Ключевые слова рзпяонуктктяи липиитя» блрмпгев-яческий третщтт тягву-лпвонюимспе-ь
В клинической практике обычно находят приме
ненке наиболее простые модели исследуемых
процессов. Эю связано с тем. что доступная ин
формация не позволяет качественно идентнфи
пировать параметры  сложной • модели, деталь-
но описываксцен процесс. Однако построение
и исследование -сложных- моделей не менее
важно. поскольку позволяем ве сольдо получать
" Простые  модели после введения тех или зшых
упрС'Щетптй по п пт-"чатт условия адсыатпосгп
простых- моделей поставлеппым задачам.
В данной статье мы предлагаем модель, опнсы
ввюшую наиболее общие принципы транспорта
радиофармацевтического препарата (РфП) в ор-
ганизме человека
Будем считать что радиофармацевтический
препарат в течение исследования не вступает
в химические реакции с другими веществами
и со временем выводится из организма С танин
ситуацией можно встретиться, например в ме-
дицинской радиологии при исследовании функ-
ций почек, когда в качестве индикатора исполь-
зуют гиппуран-йод-131 |1], |2]. который являет-
ся продуктом жизнедеятельности человека и вы
ведши из его организма через почки. Таким
образом, нас будет интересовать:
•	транспорт РФП по кровенс сныи сосудам
•	транспорт РФП между сосудом и прилегаю
щим к иему внесэсудистым пространством
•	транспорт РФП ез организма
Дм определенности рассмотрим случай, ко-
гда РФП является ирод,ютом жизнедеятельности
|ПЖ) и гыгс'дптсл из организма через точки. За
сутки сердце взрсслого челооеха переютпззает
около 7000 пптрсь крота, около 1500 тптрот
проходит через почти. Процесс выведения ГТК
нз организма определяется не только эффектив-
ностью функций почек но также в значительной
мере и спепнфиксй его транспорта вне печек
При этом процессы образования и выведения
ПЖ протекают параллельно в течение всей жиз-
ни человека. Будем считать, что:
•	во время исследования указанные выше про-
цессы иадодятся в состоянии равновесия,
то есть ьсе потоки ПЖ внутри организма ста-
ционарны.
•	ПЖ выводится нз организма только через
дочки
©Бем Е К. Неффе Г. Н.. Крупхо И. С_. 2008
78
Е К. Бедьш. ГБ Иоффе. М. С . Крушю
• масса введенного внутривенно РФП. го есть
продукта жизнедеятельности. меченною ра-
диоактивным изотопом, достаточно мала и не
нарушает установившегося равновесна.
1.	ПРОПЕСС ТРАНСПОРТА РФП
ПО КРОВЕНОСНОМУ С0СТЛ5*
В процессе движения РФП по кровеносным
сосудам пре исходит переход препарата из сосу-
дистого пространства (СИ) во виесосудастбе
пространство (ВП) н обратно. Среднее время
движения крови по бстьшомс круге примерно
раите 1.5 минуты при этом частица всего не
оидшо секунд движется в больших сосудах,
а все оставшееся время приходится на микрбпнр
куляпню. то естт на движение по микроскопиче-
ским сосудам. Б одном кубическом сантиметре
натренированной мыпеты может быть псряди
50® таких сосудов. Вполне естественно считал,
что практически весь обмен РФП между СП и ВП
происходит на уровне микроциркуляции. где СП
в БП пространственно пракгнчески неотделимы.
Тогда движением по большим сосудам можно
пренебречь. Представим систему аровеносных
сосудов, по которым проходит элементарный
ссьем Д\' крови вместе с РФП в виде трубки 1см.
рисунок). Концентрацию препарата вн.три сосу-
да. то есть его массу прихсдшг/кся на единицу
объема крови обозначим как f (|,т). ЗД* t ~ время
попадаинт элементарнсго объема на вход трубки
(на рисунке - точка A), t - время прохождения
препарата от А до В. Арггменг т. таким образом,
можно раасматривтп как координату точки сосу-
да. тс есть как длину пути АБ. В процессе пере
мешагия РФП с элементарным объемом крови
AV вдссп сосуда происходит также движение
препарата между сосудом и ЕП Введем вспомо-
гательную функцию
предел С'тиешеипл массы препарата Мд-. пахе
даздегосл вс ЕП непосредственно прилегающем
к участку сосуда |т,теДт], к объект.- Vn этого
участка прп Де —> 0 .
ABC
fit,9 I
1 I г =
--> W) MftT-Ar)
Учзстск сосущ, по юзтерему проходит
эгемехтзоннй обтек цова
При прэосожденнн хтемекгаряым объемом
AV у'чсстха ВС масса РФП нзэ.»нится в нем на
величину Af ДУ - (f (t, т + Дт) — f (t, т))  AV. Со-
ответственно, масса препарата в прилегающем
к участку [т.т-гДт Bit изменится на величину
Ду-Д¥ = (уО + Дт.т) -v(1.t))-AV.
f(t,x -е Дт) - Г(t,t) =	Т) Дт -t-o(Ai), о»
СТ
у It + Ат.т) — ip(t.r) = Ат+°(Ат).	(2)
ct
где lliiicl^-1 =0.
а—и дт
Сопоставив формулы 11) н (2) п учитывая
условие баланса ДТ ДУ + Ду AV— 0 при
Дт —+ 0, получим уравнение непрерывности
^М.сУ(.т)=о	(3)
St
Так как потеки ГЫ в организме мы считаем
установившимися, количество препарата, ухо-
дящего в единицу времени из элементарного
объема крови ДУ во ВП. пропорционально его
конпентршин f(t.x). а количество препарата, пе-
реходящего в единицу времени из ВП в объем
AV. пропорционально у ft. т). Отсюда
cf(t т)
———=—<цГ(г,т) 3"Ру(г.т).
<7Т
(4)
где а и 3 - некоторые коэффициенты которые мы
будем считать в .побей мемент времени на любом
участке сосуда посго-гнными величинами.
Взяв производную по t от левой и правей
частей сравнения (4). получим
Э*Г(Гл)	?/Ut)
dtSx	dt	H St
Подстановка (3) в (5) дает
а2/~(г,т) Sf(t.T) аго.т)
агат + аг + ат
Обсзвпчнм вэнцппряцню препарата выоесда
щего с вровыо кз сердца через F(t) н учтем, что
обменом РФП между СП и ВП пун движении по
большим сосудам мы пренебрегаем. Изменение
хонпенорадин прспарггта прв двпжешш по сосудам
подчиняется уразненпю (5). Посьюльку до момек
та t - 0 активность ве вводилась в ерганизм. для
LtaivmnsoHsai маель тин аорта разиофтрматиз'пгаскэгс аешггтз з организм» чета era
П
урякнрния датгньт кыпгпняткя ятчатъные угло-
вая Юл) = 0. f(tD) = F(t). Полагаем функцию F(t)
непрерывно дифференцируемой Тогда тж как
знгнеине flt.x) известно на дата пересекакшвхся
прямых. параллельных ьэсэднндтным осям урав-
нение имеет единственное репенне [3: 63-651.
Решив уравнение (G). придем г равенству
/</л) - е-Г« -	(7)
где Ji - функция Бесселя.
Выражение под знаком интеграла не опреде-
лено при l - 0. Однако зта пеопределеннсстъ
легко устраняете*. так как отношение
J,(2VaPTZ.I
•Л
прп Z —> 0 имеет конечный предел.
2 ТРАНСПОРТ ПРЕПАРАТА В С ПС ТЕЗ IE
КРОВООБРАЩЕНИЯ
Пскнтг-е сердце некоторая часть РФП скова
в? ЗЕ р ат лете.с в сердце, а часть, в соответствии
с условиями кашей исцели покидает систему
навсегда Пусть р(т) -di - доля РФП которая,
покинув сердце вернется в сердце через время т
Таким образом р(т1 - плпгеость распределения
дали выходящего не сердил лрелэрггл по траек-
ториям рапЕчноЕ длины т. Топа
S = | p(Tldr <1 .
О
Величина 1—3 указывает какая часть трепа
ртга навсегда покидает систему п таким образом
в нашем случае характеризует суммарную фунт
пню почек по ечншепнк: крозп от препарата или.
в общем случае, транс порт РФП из организма.
Масса РФП. покидающего сердце в момент t,
складывается из маеты препарата введенного
в этот момент в систему извне I внутривенно>
и интегральной суммы по массам препарата по-
ступившего из различных сосудов Сказанное
выпе справедливо и для массы препарата со-
держащегося в единичном объеме крови поки-
дающей в данный момент сердце то есть для
концентрации ъ-рови Тогда указанную законо-
мерность можно выразить равенством:
F(i) = ?(i) + f p(t)f(t -1 л)<Ь .
о
где о(1) - ьгнленгригая привнесенная ia счет
внутривенного введения препарата. р(т’ плот-
ность распределения массы вышедшею из сердца
препарата по ленеям тога различной длины т.
f(t.Ti - заданна! ’-равнением (J) функция. отра-
жаюпта! закон изменения юЕпентрапнн препарата
в элементарном объеме кропи в процессе двиаг-
нн! по сосудам. F(t) - вднпеитраши препарата
в сердце Величина cp(i) обычно будет отлична
от згупл плыло в начале исотедованпх
Тмлм образом прспесс транспорта ьесдсн
доге* внутривенно РФП при пзлеикезшых гъи-ir
додушспЕлх меюте описать системой уравнений.
F(t) = p(t)-Jp(T)f(t-tTjdx,
О
ще S- f p(r|dx <1.
о
,__f pjapt.i)
ffci] - e Я»)- e	—-e Fk-Mz.
n
В рассмотренном нами случяе мы моглн бы
вывести также уравнения, списывающие транс-
порт прегар.тга зл'свячениото нефронами почек
Тогда в результате гпрспзенни нашей модели
можно получить более простые инцестные моде-
ли например линейную камерную
Полученные ретгльтсты можно обебшнть
и аа случаи транспорта произвольного фарма-
цевтического препарата учтя прспессы разру
тения препарата или его накопления в тех или
нных органах.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
]. Белый Е К Пдехтвфквллк! ujpajeerpva ждгемлгипеслол жол-лк с »агадэьигисшхз> аргузкктов гуажспортг пш
пурзшя вал I'1! а оргаютма чет за era 'I Трузы Пвтроивоюгоге •утппаргБгтвТ! Т7рикт1лкяя магямятжхз я гябориотя
кя Внп 4 1ЭДГ. С ЯК 47
2.	Белин Е. К Менделеев И. М. Иоффе Г В н др Аетомэтизшея реногрфаческах нс следований
с доносы© мдкро ЭВМ Медипанскав радволэгия 19В6. № 5. С. 33-ЗБ.
3.	С о б о ле ь С. Л Уравнения шгемыичесхоА ф&шкм М.. На)ка 1966 4*14 с.