А. И. НЕКРАСОВ
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
ТОМ I
СТАТИКА И КИНЕМАТИКА
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено
Министерством высшего образования СССР
в качестве учебника
для высших технических учебных заведений
и государственных университетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
"ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКБ А 1956

12-5-2
А. Я. Некрасов. Курс теоретической механики, том I. Статика и кинематика.
Редактор Д. В. Жарков.
Техн. редактор С Н, Ахламов. Корректор А. С. Баку лова.
Подписано к печати с матриц 24/Х 1956 г. Бумага 60X92Wie. Фаз. печ. л. 24,25.
Условн. печ. л. 24,25. Уч.-изд. л. 22,75. Т-10521. Тираж 25 000 экз. Цена книги 7 руб. 80 коп»
Заказ № 1709.
Государственное издательство технико-теоретической литературы.
Москва, В-71, Б. Калужская ул., д. 15.
Набрано и отматрицировано в 4-й типографли им. Евг. Соколовой Главполиграфпрома
Министерства культуры СССР. Ленинград, Измайловский пр., 29.
Отпечатано с готовых матриц во 2-й типографии «Печатный Двор» им. А. М. Горького.
Ленинград, Гатчинская, 26.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие к четвёртому изданию 8
Предисловие к пятому изданию . . 8
Введение 9
СТАТИКА.
ГЛАВА I.
СИЛА КАК ВЕКТОР.
§ 1. Абсолютно твёрдое тело и материальная точка 17
§ 2. Направление и ведичина силы 19
§ 3. Параллелограмм и многоугольник сил 21
§ 4. Определение вектора и скаляра 25
§ 5. Проекция вектора на ось 27
§ 6. Сложение и вычитание векторов 30
§ 7. Векторные и координатные изображения сил 33
§ 8. Примеры 36
глава н.
МОМЕНТ СИЛЫ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
§ 9. Физические основания введения момента силы 38
§ 10. Момент силы относительно точки 40
§ 11. Момент силы относительно оси 42
§ 12. Векторное произведение • . . . 43
§ 13. Момент силы как векторное произведение 48
§ 14. Примеры 52
ГЛАВА III.
СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
§ 15. Разные типы сил 54
§ 16. Связи и их реакции 54
§ 17. Основная задача статики 58
§ 18. Скалярное произведение 59
§ 19. Примеры 61
ГЛАВА IV.
СХОДЯЩИЕСЯ СИЛЫ.
§ 20. Равнодействующая и равновесие системы сходящихся сил .... 63
§ 21. Теорема Вариньона 64
§ 22. Примеры ,.,... 66
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА V.
ПРИВЕДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ.
§ 23. Параллельные силы, направленные в одну сторону 72
§ 24. Общий случай параллельных сил 80
§ 25. Изменение общего момента параллельных сил. Момент пары . . 85
§ 26. Примеры 87
ГЛАВА VI.
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ.
§ 27. Общие определения 92
§ 28. Центр тяжести и центр инерции 94
§ 29. Практические приёмы нахождения координат центра инерции . . 98
§ 30. Простейшие случаи определения центра тяжести 100
§ 31. Теоремы Гюльдена * 105
§ 32. Примеры 107
ГЛАВА VII.
РАВНОВЕСИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ.
§ 33. Уравнения равновесия 113
§ 34. Примеры 114
ГЛАВА VIII.
ТЕОРИЯ ПАР.
§ 35. Эквивалентность пар 119
§ 36. Сложение пар 122
§ 37. Прибор Теплера 124
§ 38. Примеры 126
ГЛАВА IX.
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ.
§ 39. Приведение плоской системы сил к простейшей системе 128
§ 40. Равновесие плоской системы сил 132
§ 41. Момент устойчивости и опрокидывающий момент 134
§ 42. Примеры 134
ГЛАВА X.
ТРЕНИЕ.
§ 43. Трение первого рода 138
§ 44. Трение второго рода 141
§ 45. Трение верчения 143
§ 46. Примеры 144
ГЛАВА XI.
ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ.
§ 47. Геометрический метод приведения системы сил к простейшей
системе 148

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 48. Аналитический метод приведения системы сил к простейшей си-
системе . . . . 151
§ 49. Равновесие произвольной системы сил 155
§ 50. Примеры 159
ГЛАВА XII.
НЕКОТОРЫЕ ОТДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ.
§ 51. Определение внутренних сил 165
§ 52. Равновесие системы тел 167
§ 53. Принцип Торричелли 169
ГРАФОСТАТИКА.
ГЛАВА XIII.
ВЕРЁВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК.
§ 54. Значение графостатики. Верёвочный многоугольник 173
§ 55. Графическое изображение моментов 182
§ 56. Графическое определение момента инерции плоской фигуры ... 187
ГЛАВА XIV.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ МЕТОДОВ СТАТИКИ.
§ 57. Центр тяжести 189
§ 58. Балка на двух опорах 191
ГЛАВА XV.
ФЕРМЫ.
§ 59. Общие положения 201
§ 60. Способ Риттера 203
§ 61. Способ Кульмана 205
§ 62. Способ Кремона-Максвелла 207
КИНЕМАТИКА.
ГЛАВА XVI.
СКОРОСТЬ ТОЧКИ.
§ 63. Система отсчёта 214
§ 64. Уравнения движения и траектория точки 215
§ 65. Производная от вектора по скаляру 224
§ 66. Определение скорости точки 227
§ 67. Скорость точки в прямоугольных и в полярных координатах . . 232
§ 68. Секторная скорость 237
§ 69. Примеры 241
ГЛАВА XVII.
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ.
§ 70. Определение ускорения точки 248
§ 71. Ускорение точки в прямоугольных координатах и в полярных
координатах на плоскости 251

б ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 72. Проекции ускорения точки на рёбра основного трёхгранного
.угла 254
§ 73. Ускорение точки в круговом движении 258
§ 74. Размерности механических величин 259
§ 75. Примеры 263
ГЛАВА XVIII.
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА
И ЕГО ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ.
§ 76. Поступательное движение абсолютно твёрдого тела 267
§ 77. Угловая п линейная скорости точек абсолютно твёрдого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси 269
§ 78. Проекции линейных скоростей точек абсолютно твёрдого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси 273
§ 79. Ускорения точек абсолютно твёрдого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси 276
§ 80. Примеры 281
ГЛАВА XIX.
ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА.
§ 81. Геометрическое изучение перемещений абсолютно твёрдого тела
в плоско-параллельном движении 284
§ 82. Аналитическое изучение плоско-параллельного движения абсо-
абсолютно твёрдого тела. Скорость 294
§ 83. Аналитическое изучение плоско-параллельного движения абсо-
абсолютно твёрдого тела. Ускорение 303
§ 84. Некоторые приложения 307
§ 85. Примеры 313
ГЛАВА XX.
ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ.
§ 86. Геометрическое изучение вращения абсолютно твёрдого тела
вокруг неподвижной точки 322
§ 87. Аналитическое изучение вращения абсолютно твёрдого тела вокруг
неподвижной точки. Скорость . 327
§ 88. Аналитическое изучение вращения абсолютно твёрдого тела вокруг
неподвижной точки. Ускорение 331
§ 89. Примеры 333
ГЛАВА XXI.
СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ УГЛОВЫХ
И ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ К ПРОСТЕЙШЕЙ СИСТЕМЕ,
§ 90. Угловая скорость как скользящий вектор 335
§91. Сложение сходящихся угловых скоростей 336
§ 92. Сложение угловых скоростей около параллельных осей. Пара
угловых скоростей , 337

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 93. Замечания о конечных вращениях 341
§ 94. Приведение угловой скорости и перпендикулярной к ней посту-
поступательной скорости к одной угловой 343
§ 95. Приведение системы угловой скорости и поступательной ско-
скорости произвольного направления к простейшей системе .... 345
§ 96. Приведение системы произвольного числа произвольно напра-
направленных угловых и поступательных скоростей к простейшей
системе * • • 345
§ 97. Примеры 349
ГЛАВА XXII.
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА.
§ 98. Геометрическое изучение движения свободного абсолютно твёр-
твёрдого тела 353
§ 99. Аналитическое изучение движения свободного абсолютно твёр-
твёрдого тела 35S
§ 100. Примеры 360
ГЛАВА XXIII.
СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ.
ПОДВИЖНЫЕ ОСИ КООРДИНАТ.
§ 101. Общие замечания , . . 363
§ 102. Скорость точки в сложном движении 364
§ 103. Ускорение точки в сложном движении 366
§ 104. Применение осей координат, неизменно связанных с Землёй . . 372
§ 105. Примеры 377
Приложение 382
Предметный указатель • • • . . 386

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ.
Четвёртое издание «Курса теоретической механики» представляет
воспроизведение третьего издания, но со значительными изменениями.
Так, в четвёртом издании исправлены погрешности, имевшиеся в пре-
предыдущем издании; в это новое издание внесены многочисленные
уточнения, разъяснения и дополнения; увеличено число примеров,
которые набраны мелким шрифтом и для которых проведена общая
нумерация; курсу предпослано написанное для нового издания вве-
введение. При подготовке нового издания отечественные работы по
теоретической механике были использованы с особым вниманием.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ.
Пятое издание перепечатано с четвёртого издания без изменений,
за исключением исправления опечаток и уточнения некоторых форму-
формулировок.

ВВЕДЕНИЕ.
Механика есть наука о движениях и о силах. Оба понятия —
как движение, так и сила — требуют пояснений, которые здесь и
будут даны в той мере, в какой это необходимо в начале изучения
механики.
Среди разных форм движения материи механика имеет дело
с простейшей формой движения, которое состоит в изменении взаимного
положения тел или частей тела друг относительно друга с тече-
течением времени; движение такой формы называется механическим
движением.
Хотя понятие силы и представляется всем привычным, и слово «сила»
часто употребляется нами в обычной разговорной речи, однако устано-
установление точного смысла этого понятия не является простым делом.
Наблюдение и опыт показывают, что тела механически воздействуют
одно на другое, т. е. или изменяют движение тел, или производят
деформации этих тел. Мы очень часто не знаем, в чём физически
состоит существо этого механического воздействия тел друг на
друга, но, не касаясь физической сущности этого механического воз-
воздействия, мы даём ему название силы. Понятие силы- оказывается
очень полезным для механики, так как, научившись измерять силы,
мы имеем в силе и причину внешнего воздействия и меру внешнего
воздействия.
Из самого определения механического движения следует, что
можно говорить о движении рассматриваемого тела лишь по отно-
отношению к другому телу. Изучая движение тех или других материаль-
материальных объектов, мы относим их положение к какому-либо определён-
определённому телу, например к Земле или к предметам, неизменно связанным
с ней. Тело, относительно которого рассматривается изучаемое дви-
движение, называют системой отсчёта. Обычно с таким телом для удоб-
удобства определения положения движущегося материального объекта
неизменно связывают ту или другую систему координат, которую
также называют системой отсчёта.
Ньютон A642—1727), впервые сформулировавший так называемые
основные законы или аксиомы механики, предполагал существование
абсолютно неподвижного пространства, т. е. абсолютно неподвиж-
неподвижной системы отсчёта, и абсолютного времени, при помощи которых

10 ВВЕДЕНИЕ
оказывается возможным определять абсолютное движение, в примене-
применении к которому Ньютон и установил свои «законы движения».
Современная наука не признаёт абсолютно неподвижного про-
пространства. Говоря о движении, мы всякий раз должны указать ту
систему отсчёта, к которой отнесено движение, без чего понятие
движения и, в частности, покоя лишено содержания. Однако среди
всех возможных систем отсчёта мы можем выделить такие, для ко-
которых, хотя бы приближённо, доказываются справедливыми основные
законы Ньютона. Как устанавливаются такие так называемые «инер-
циальные» системы, будет указано во второй части настоящего
«Курса теоретической механики». Там же будет показано, что при
изучении очень многих механических явлении можно без ощутимой
погрешности принимать за инерциальную систему любую систему осей
координат, неизменно связанную с земной поверхностью.
Основные законы механики, установленные Ньютоном, безраздельно
господствовали в науке целые полтора столетия, пока в середине
прошлого века не выяснилось, что взаимодействие между магнитными
полями и электрическими зарядами приводит к силам, не подчиняю-
подчиняющимся законам Ньютона. Тогда была создана для изучения этого
рода взаимодействий новая наука,, получившая название «электро-
«электродинамики».
После этого до конца прошлого столетия уже не было сомне-
сомнений в том, что механика Ньютона, или «классическая механика», при-
применима к механическому движению любых материальных объектов,
хотя знали, что величина перемещения перигелия орбиты планеты
Меркурия, равная приблизительно трём четвертям минуты в столетие,
не поддаётся объяснению. К началу этого столетия накопился ряд
других фактов, которые не поддавались объяснению с помощью
классической механики.
Эти несогласия между теорией и наблюдением привели к созда-
созданию так называемой «специальной релятивистской механики», кото-
которая оказалась способной объяснить значительно больше фактов, чем
классическая механика. Однако сила всемирного тяготения продол-
продолжала оставаться такой же загадочной, какой она была и для учёных,
живших два столетия назад; правда, с течением времени привыкли
к тому, чтобы словами «действие на расстояние» заменять объ-
объяснение физической сущности этой силы. Для объяснения силы все-
всемирного тяготения была обобщена специальная релятивистская меха-
механика и создана «общая релятивистская механика», с помощью которой
и удалось объяснить сущность тяготения, а вместе с тем и указанное
выше движение перигелия орбиты Меркурия. Релятивистская механика
отказывается от ньютоновских понятий пространства и времени и за-
заменяет их другими, очень далёкими от обычных привычных нам по-
понятий. Однако эта замена делается заметной при очень больших ско-
скоростях тел; при обычных же скоростях тел, составляющих малую
долю от скорости света, разница между результатами применения

ВВЕДЕНИЕ 11
ньютоновских понятий пространства и времени и релятивистских по-
понятий пространства и времени на практике неощутима.
Изучение явлений радиоактивности привело к открытию того, что
атомы имеют сложную структуру, причём попытки применения клас-
классической механики к изучению движения частей, из которых состоят
атомы, например к изучению движения электронов, оказались безу-
безуспешными. Для объяснения этих движений была в ЗО-х годах настоя-
настоящего столетия создана новая наука «квантовая механика» или «вол-
«волновая механика», с помощью которой и оказалось возможным изучать
внутриатомные движения. Законы квантовой механики во многом
значительно отличаются от законов классической механики.
Мы видим, что вместо единой классической механики, претендо-
претендовавшей в XVIII веке на объяснение всех явлений, в средине XX века
мы имеем уже четыре механики: классическую, специальную реля-
релятивистскую, общую релятивистскую и квантовую. Но так как выводы
классической механики применимы вообще, а в условиях земного
опыта применимы всегда, ко всем случаям механического движения
макроскопических тел (вплоть до размеров молекул) со скоростями,
малыми по сравнению со скоростью света, то изучение классической
теоретической механики является существенно необходимым.
Однако никто не может утверждать, что в настоящее время мы
уже дошли до границ в области механики и что в будущем ни-
никогда не потребуется дальнейших расширений и установлений новых
точек зрения. В своей книге «Материализм и эмпириокритицизм»
(Сочинения, изд. 4, т. 14, стр. 248) В. И. Ленин писал:
«Но диалектический материализм настаивает на приблизительном,
относительном характере всякого научного положения о строении
материи и свойствах её, на отсутствии абсолютных граней в природе,
на превращении движущейся материи из одного состояния в другое,
повидимому, с нашей точки зрения, непримиримое с ним и т. д.
Как ни диковинно с точки зрения „здравого смысла" превращение
невесомого эфира в весомую материю и обратно, как ни „странно"
отсутствие у электрона всякой иной массы, кроме электромагнитной,
как ни необычно ограничение механических законов движения одной
только областью явлений природы и подчинение их более глубоким
законам электромагнитных явлений и т. д., — всё это только лишнее
подтверждение диалектического материализма».
Настоящий «Курс теоретической механики» есть курс классиче-
классической механики, которою мы только и будем заниматься.
Механику можно разбить на три части: кинематику, динамику
и статику.
Кинематика изучает движение материальных тел с геометрической
точки зрения, независимо от причин, его вызывающих или изменяющих.
Не прибегая к понятиям силы и массы и считая движение тел за-
заданным, кинематика рассматривает зависимость от времени коор-
координат точек тела, их скоростей и ускорений, а также вопрос об

12 ВВЕДЕНИЕ
изменении этих количеств при переходе от одной системы отсчёта
к другой.
Динамика изучает механическое движение тел в зависимости от
действующих на них сил.
Статика занимается частным случаем динамики: случаем равнове-
равновесия тел, т. е. случаем, когда результаты действия сил взаимно
уничтожаются.
Заметим, что такое разделение механики условно, так как нельзя
установить резкой грани между явлениями, относящимися к каждому
из этих разделов. Мы, однако, удержим это разделение, так как
оно облегчает усвоение механики. Настоящий «Курс теоретической
механики» разбит на три раздела: статику, кинематику и динамику;
такая последовательность разделов удобна по двум причинам.
Во-первых, благодаря этой последовательности оказывается воз-
возможным начинать изучение механики раньше, так как для овладения
статикой требуются, кроме элементарной математики, лишь некоторые
сведения из аналитической геометрии. Приступая к изучению кинема-
кинематики, учащийся должен быть знаком с элементами дифференциаль-
дифференциального исчисления, и лишь для усвоения динамики требуется знаком-
знакомство с интегральным исчислением и с интегрированием дифференци-
дифференциальных уравнений.
Второе соображение, заставляющее начинать курс механики
в высших технических учебных заведениях со статики, состоит в том,
что при таком порядке изложения является возможность раньше
перейти к прикладным наукам, опирающимся в значительной мере на
статику.
С принципиальной точки зрения было бы более правильно начи-
начинать изучение механики с кинематики, так как изложение при этом
выиграло бы в логической стройности. Так, например, при таком
порядке не пришлось бы разбивать статику на две части, вставляя
между ними кинематику, вследствие того, что вторая часть статики
требует знания кинематики. Однако вышеизложенные практические
соображения заставляют начинать курс теоретической механики со
статики в ущерб строгости изложения и логичности в расположении
материала.
Все тела природы известны нам в трёх агрегатных состояниях:
твёрдом, жидком и газообразном; сообразно с этим и механика раз-
разделяется на механику твёрдых тел, механику жидкостей, или гидро-
гидромеханику, механику газов, в частности воздуха, или аэромеханику.
Теоретическая механика, в целях построения приближённой теории
движения реальных тел, пользуется рядом абстрактных моделей,
отображающих те свойства реальных тел, которые играют решающую
роль в рассматриваемых явлениях. Так как деформации твёрдых тел
под влиянием сил во многих случаях бывают незначительными, то
представляется естественным рассматривать в механике абсолютно
твёрдые тела, т. е. такие, в которых действие сил не вызывает

ВВЕДЕНИЯ 13
никаких деформаций. Очень часто бывает также, что размерами тела,
рассматриваемого в каком-нибудь вопросе, можно пренебречь по
сравнению с другими входящими в задачу размерами; поэтому
естественно рассматривать в механике материальные точка, т. е.
тела, положение которых определяется одной геометрической точкой
и которые обладают вместе с тем некоторой массой. В гидромеханике
очень часто рассматривают жидкость как несжимаемую и лишённую
внутреннего трения, т. е. вязкости. Подобными абстрактными моделями
и пользуется теоретическая механика. Теоретическая механика стоит
во главе остальных механических дисциплин, так как в ней познаются
и исследуются в наиболее общем ц чистом виде законы механиче-
механического движения; поэтому прикладные механические науки, как-то:
сопротивление материалов, теория механизмов и машин и другие,
неизменно опираются на выводы и методы теоретической механики.
Механика исходит из ряда аксиом и принципов, т. е. положений,
которые получены в результате обобщения опыта всего человечества
за всё время его существования; достоверность этих аксиом и прин-
принципов подтверждается постоянно на практике в соответственных об-
областях реальных явлений. К этому необходимо прибавить ещё резуль-
результаты, получаемые для отдельных вопросов опытным путём; последнее
постоянно бывает необходимо для прикладных механических дисци-
дисциплин. На основе аксиом и принципов содержание теоретической меха-
механики развивается математическим путём. Но хотя теоретическая меха-
механика и использует в высокой степени математический метод исследо-
исследования, необходимо, однако, ясно понимать, что теоретическая механика
есть одна из наук о природе, что она является естественной наукой,
хотя и наиболее отвлечённой из всех естественных наук.
Достоверность теоретической механики зависит от достоверности
оснований, на которых она покоится, так как математические выводы
из этих оснований, если только они верны, внести ошибок не могут.
Поэтому, сравнивая результаты вычислений с результатами наблюде-
наблюдений, мы в случае разногласий между ними должны усомниться в вер-
верности оснований, принятых для теоретической механики.
Что касается математических методов изложения теоретической
механики, то в основу предлагаемого «Курса теоретической механики»
положено векторное изложение; причиною этого является следующее.
Целый ряд введённых в механику величин: сила, момент силы, момент
пары сил, линейная скорость, угловая скорость и т. д., являются
векторами. В сущности само учение о векторах возникло в результате
развития общих математических свойств вышеуказанных механических
величин; круг механических векторных образов был расширен доба-
добавлением целого ряда образов из учения об электричестве. Все основные
действия над векторами появились в результате анализа и обобщения
действий над соответственными механическими и электрическими вели-
величинами. Поэтому векторное изложение теоретической механики является
естественным, к тому же оно даёт возможность легче обнаружить

] 4 ВВЕДЕНИЕ
математическое единство в разнообразных механико-математияеских
данных и выводах разных разделов теоретической механики. Так,
например, достаточно человеку, хорошо знакомому с векторным про-
произведением, узнать, что те или другие величины теоретической ме-
механики суть векторные произведения, чтобы уже самому почти непо-
непосредственно усмотреть основные свойства этих механических величин
и получить основные относящиеся к ним предложения. Таким образом,
введение в теоретическую механику векторов облегчает запоминание
свойств вводимых механических понятий и закрепляет в памяти их
геометрические образы; даёт возможность легко усмотреть математи-
математическое единство в разнообразных фактах разных разделов теорети-
теоретической механики; облегчает и сокращает выводы; сокращает буквенные
выражения формул; облегчает запоминание формул и их произношение;
делает выводы независимыми от принятых осей координат.
Дошедшие до нас исторические памятники показывают, что истоки
механических знаний надо искать в глубокой древности. Накопление
отрывочных механических знаний в процессе хозяйственной и произ-
производственной деятельности человека началось задолго до появления
какой-либо теории.
Но уже в древности, помимо накопления наблюдений, стремились
освещать эти наблюдения теоретическими обоснованиями; так, Архи-
Архимеду принадлежит остроумное, не потерявшее интереса и в настоящее
время доказательство правила рычага. Возникшая таким образом ста-
статика рассматривалась как часть физики. Возникновение динамики
относится уже к началу нового времени, когда решение динамических
вопросов оказалось необходимым для практики, и вместе с тем сде-
сделалось понятным, что в исследовании природы нельзя довольствоваться
только отвлечёнными рассуждениями, как это обычно делали в древ-
древности, а необходимо обращение к систематическим наблюдениям и
экспериментам. Основателями динамики явились Галилей A564—1642)
и, главным образом, живший немною позднее Ньютон, создатель со-
современной классической, или ньютоновской, механики («Математические
начала натуральной философии», 1686). После Ньютона успех в раз-
развитии теоретической механики зависел главным образом от применения
в ней математики, особенно анализа.
В связи с этим в первую очередь следует привести имена Эйлера
A707—1788) («Механика или наука о движении, изложенная анали-
аналитически», 1736) и Лагранжа A736—1818). Труд Лагранжа, названный
им «Аналитическая механика» A788) и выдержанный в чисто аналити-
аналитическом характере, оказал влияние на всё развитие механики в XIX
столетии. После него физические основы теоретической механики были
как бы позабыты, и вся теоретическая механика была понимаема как
прикладная математика, причём на этом пути были получены очень
важные результаты. В нашей стране в университетах вместо наимено-
наименования «теоретическая механика» даже употреблялось тогда наимено-
наименование «прикладная математика». Но с первой четверти XX столетия

ВВЕДЕНИЕ 15
теоретическая механика опять приобретает значение науки о при*
роде; последнее сделалось особенно ясным после создания реляти-
релятивистской механики и квантовой механики. Таким образом, статика
возникла в древности, динамика возникла в последней четвер-
четверти XVII столетия; кинематика же как самостоятельная часть тео-
теоретической механики бформилась лишь в первой половине
XIX века, причём этому оформлению много содействовала воз-
возросшая потребность в ней для изучения движения механизмов
и машин.
Наша страна внесла ценные вклады в дело создания и развития
разных механических дисциплин, особенно в гидромеханику и аэро-
аэромеханику.
Первым по времени творцом теоретической механики являет-
является у нас Эйлер, проживший в Петербурге 31 год и там умер-
умерший. Упомянутая выше его книга «Механика или наука о движении,
изложенная аналитически» оказала большое влияние на развитие
теоретической механики по аналитическому пути; она имела влия-
влияние и на Лагранжа. Академику Михаилу Васильевичу Остроград-
Остроградскому A801 —1861) принадлежит ряд существенных результатов
в деле развития теоретической механики по аналитическому пути;
к школе Остроградского принадлежит много наших замечательных
учёных-механиков. Остроградский дал распространение принципа
Гамильтона на случай связей, зависящих от времени, и самое назва-
название принципа Гамильтона следует изменить на «принцип Гамиль-
Гамильтона — Остроградского».
Для развёртывания аналитической теории механизмов гро-
громадное значение имели работы академика Пафнутия Львовича
Чебышева A821 —1894). Из трёх известных случаев, когда дви-
движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки можно анали-
аналитически изучить до конца, один принадлежит Софье Васильевне
Ковалевской A850—1891). Работы Александра Михайловича Ляпу-
Ляпунова A857—1918), посвященные прочности движения («Общая за-
задача об устойчивости движения», 1892), до сих пор являются не-
непревзойдёнными.
Николай Егорович Жуковский A847—1921), «отец русской
авиации», создал себе мировую известность работами в .области
аэродинамики, лёгшей в основу расчёта самолёта. Многочисленные
работы Н. Е. Жуковского, относящиеся к самым разнообразным
отраслям механики, как теоретической, так и прикладной, вызваны
к жизни потребностями практики. Для Жуковского механика была
не разделом «прикладной математики», а подлинной наукой о при-
природе, хотя и пользующейся в широких масштабах всеми средствами
математики, но во всех стадиях своего развития опирающейся на
эксперимент. Академик Сергей Алексеевич Чаплыгин A869—1942),
много и плодотворно потрудившийся в области аэродинамики и
гидродинамики, в теоретической механике получил уравнения ди-

16 ВВЕДЕНИЕ
намики для систем с так называемыми неголономными связями.
Иван Всеволодович Мещерский A859—1935) первый дал уравне-
уравнение движения точки переменной массы, которое в настоящее
время имеет очень большое значение для теории реактивного
движения/
Много ценных и интересных сведений о развитии механики
в Советском Союзе можно найхй в книге «Механика в СССР за
тридцать лет» *); в книге приведены также и важнейшие факты из
истории механики в России до 1917 г.
1) Гостехиздат, М.—Л., 1950.

СТАТИКА
ГЛАВА I.
СИЛА КАК ВЕКТОР*
§ 1. Абсолютно твёрдое тело и материальная точка. Наиме-
Наименование статика происходит от греческого слова «стасис», что значит
стояние, неподвижность, спокойствие; таким образом, статика есть
наука о неподвижности материальных объектов под действием прило-
приложенных к ним сил. Относя положения материальных объектов к упо-
упомянутой во «Введении» инерциальной системе осей координат, мы
будем называть неподвижность материального объекта под действием
приложенных к нему сил относительно выбранной инерциальной си-
системы осей координат абсолютным равновесием.
Поэтому в дальнейшем, говоря; «неподвижная точка», «неподвиж-
«неподвижная ось» и т. п., мы будем всегда понимать под этими терминами
точку, неизменно связанную с инерциальной системой, ось, неизменно
связанную с инерциальной системой, и т. п.
Неподвижность материального объекта относительно всяких других
осей координат, не связанных наглухо с выбранной инерциальной
системой осей, называется относительным равновесием. В статике
мы будем иметь дело только с абсолютным равновесием материальных
объектов. Но заметим здесь пока без доказательств, что законы аб-
абсолютного равновесия можно, вообще, определённым образом распро-
распространить и на равновесие материальных объектов на поверхности
Земли; причина этого, равно как и всё учение об относительном
равновесии, может быть изложена лишь в динамике, что и будет
сделано в нашем курсе механики.
Всякое тело под действием приложенных к нему сил, будет ли
оно оставаться в покое или приходить в определённое движение,
изменяет свой вид, или, как говорят, деформируется. Деформации
могут быть значительными, и тогда их легко заметить непосредственно,
например растяжение резинового шнура, растяжение. пружины, изгиб
тонкого металлического бруса и т. д. Но деформации могут быть и
мало заметными, так что обнаружить их возможно лишь при помощи
измерения специальными инструментами, как, например, удлинение
рельса приложенными к его концам растягивающими силами и т. п.

18 СИЛА КАК ВЕКТОР [ГЛ. I
Изучение деформаций тел под действием приложенных к ним сил
производится в части механики, называемой теорией упругости, и
её прикладном отделе — сопротивлении материалов. В общем курсе
теоретической механики, как правило, пренебрегают деформациями
тел, вводя понятие абсолютно твёрдого тела, т. е. такого тела,
в котором действия сил не вызывают никаких деформаций, или у кото-
которого взаимные расстояния между всеми точками остаются неизмен-
неизменными. Возможность замены реальных тел абсолютно твёрдыми телами
объясняется тем, что во многих случаях деформациями тел можно
вследствие их малости пренебречь; где же этого сделать нельзя, резуль-
результаты, полученные в теоретической механике, могут быть пополнены
на основании теорий и методов сопротивления материалов или теории
упругости.
Помимо абсолютно твёрдого тела, в теоретической механике вво-
вводится ещё второй условный материальный объект. Именно, часто
случается, что размерами тела можно пренебречь или по сравнению
с его расстояниями до других тел, или по сравнению с размерами
других входящих в изучаемую проблему материальных объектов.
Таковы, например, случай нашей солнечной системы, где размеры
планет ничтожны сравнительно с их расстояниями от Солнца и друг
от друга, случай камня и Земли, где размеры камня ничтожны сравни-
сравнительно с размерами Земли, или случай весьма малой части тела по
сравнению со всем телом. Тогда воображают, что вся масса тела,
размерами которого можно пренебречь, сжимается в пределе в одну
точку, так что в пределе получается точка с некоторой массой, ко-
конечной или бесконечно малой; этот предельный объект называется
материальной точкой. В настоящем курсе теоретической механики
будет доказано, что всякое движение абсолютно твёрдого тела состоит
из поступательного движения и вращательного движения этого тела
вокруг его центра тяжести, причём поступательное движение опреде-
определяется движением его центра тяжести, которое происходит так, как если
бы вся масса тела была сжата в его центре тяжести, и все силы, приложен-
приложенные к телу, были перенесены параллельно самим себе в его центр тя-
тяжести; таким образом, центр тяжести абсолютно твёрдого тела можно
рассматривать как материальную точку с массою, равною массе тела.
Мы воспользовались здесь понятием массы и центра тяжести, предпо-
предполагая, что они Отчасти уже известны из курса элементарной физики.
Эти два условных материальных объекта: абсолютно твёрдое
тело и материальная точка, заменяют собою в теоретической меха-
механике реальные материальные объекты, что в высокой степени облег-
облегчает исследования, выполняемые в теоретической механике. Ответы,
получаемые при этом, бывают таковы, что они в существенной части,
вообще, описывают состояние покоя или движения реальных тел; в слу-
случае необходимости эти ответы можно уточнить рассмотрением дефор-
деформаций, причём эти уточнения лишь дополняют, но отнюдь не уничто-
уничтожают результатов, полученных в теоретической механике.

§ 21
НАПРАВЛЕНИЕ И ВЕЛИЧИНА СИЛЫ
19
§ 2. Направление и величина силы. Из повседневного опыта
человек заметил, что сила имеет направление, так как можно, напри-
например, тянуть любое тело в любом желаемом направлении, прикрепляя
верёвку, за которую тянут-, в любом месте этого тела. Обобщая и
вводя отвлечённые понятия, человек смог высказать утверждение, что
Черт. 1.
сила всегда приложена вдоль прямой, проходящей через какую-нибудь
определённую точку тела, и действует в определённую сторону вдоль
этой прямой. Таким образом, могли возникнуть понятия о направле-
направлении и о прямой действия силы.
Если две силы, действуя вдоль какой-нибудь одной прямой А
в противоположных направлениях на одну или на две точки абсолютно
твёрдого тела (черт. 1), не изме-
изменяют состояния покоя или движе-
движения этого тела, то мы будем гово-
говорить, что силы взаимно уравно-
уравновешиваются, а самые силы будем
называть равными между собою
по величине. Отсюда проистекает
возможность сравнения по вели-
величине сил между собою. Пусть
будет дана сила АВ, приложенная
в точке А абсолютно твёрдого тела, Черт. 2.
и пусть будет А — прямая дейст-
действия этой силы (черт. 2). В какой-нибудь точке С прямой А приложим
вдоль этой прямой две противоположные силы CD и СЕ, равные по
величине силе АВ\ мы имеем право это сделать потому, что, по опреде-
определению, силы CD и СЕ взаимно уравновешиваются. Но очевидно, что
можно также считать взаимно уравновешивающимися, по определению,
силы АВ и СЕ, и, таким образом, остаётся лишь одна сила CD = АВ%

20 СИЛА КАК ВЕКТОР [гл, f
приложенная в точке С абсолютно твёрдого тела, т. е. сила оказалась
перенесённою вдоль прямой её действия из точки Л в точку С. Отсюда
следует, что в абсолютно твёрдом теле точку приложения силы
можно переносить в любую точку прямой действия этой силы.
Если точка, в которую мы перенесли точку приложения силы вдоль
прямой её действия, окажется расположенною вне абсолютно твёрдого
тела, то следует предположить, что эта точка связана с телом какими-
нибудь воображаемыми абсолютшГтвёрдыми связями. Поэтому любое
предложение- о силах, приложенных к абсолютно твёрдому телу, не
должно находиться в противоречии с допустимостью перенесения в абсо-
абсолютно твёрдом теле точки приложения силы вдоль прямой её действия.
Но из положения, что в абсолютно твёрдом теле силу можно перено-
переносить вдоль прямой её действия, отнюдь не следует, что самое понятие
о точке приложения силы тем самым для абсолютно твёрдого тела
упраздняется. Напротив того, в каждом определённом случае сила,
конечно, имеет в абсолютно твёрдом теле, вообще, и определённую
точку приложения. Так, если вообразить, что два человека несут за
концы стержень с подвешенным к нему ведром с водою, то сверх
силы тяжести на этот стержень действуют ещё две силы тяги рук и
вес ведра с водою, причём первые две силы приложены в концах
стержня, где стержень держат руки, а вес ведра с водою приложен
там, где на стержне висит это ведро.
Простейшие наблюдения привели людей к заключению, что сила
имеет не только направление, но и величину. Так, например, без всякого
обращения к механике в самом обыкновенном разговоре употребляются
выражения: тянуть с большою силою, тянуть с малою силою и т. п.
Однако для научных и технических исследований необходимо уметь точно
измерять величину силы, установив для этого надлежащие единицы.
Сила тяжести есть та сила, с которую мы постоянно имеем дело.
Возьмём винтовую вертикальную пружину, закрепим её верхний конец,
к нижнему её концу подвесим груз и заметим растяжение пружины;
если мы снимем этот груз, то пружина сократится до своей перво-
первоначальной длины. Если затем при подвешивании к пружине второго
груза мы найдём, что пружина растянется настолько же, насколько
она растянулась от первого груза, то это будет обозначать, что веса
обоих грузов между собою равны, т. е. равны между собою вели-
величины сил, с которыми действует на пружину тот и другой груз.
Привешивая к пружине сразу оба этих груза, мы найдём, что растя-
растяжение пружины сделается в два раза ббльшим, чём оно было при
подвешивании к пружине только одного груза, и т. д.
Таким образом, можно установить пропорциональность в широких
пределах величины растяжения пружины величине подвешиваемого
груза. Отсюда возникает возможность построить прибор, при помощи
которого можно измерять величины весов разных грузов, а следова-
следовательно, и величины всяких других сил, которые мы заставим растя-
растягивать пружину прибора. Такой прибор называется пружинным ди-

§ 31 параллелограмм и многоугольник сил 21
намометром. Чтобы измерение сил было всегда и всюду единообраз-
единообразным, должна быть выбрана общая для всех сил система единиц.
Измерения на динамометре показали, что растяжение, которое получает
пружина от одного и того же груза, несколько уменьшается с при-
приближением от полюсов к экватору Земли, а также с удалением вверх
от поверхности Земли. Поэтому за практическую единицу сил прини-
принимают вес одного кубического дециметра чистой воды при 4° С на
уровне океана на широте 45°. Заметим, что изменение веса этого ко-
количества воды для других мест Земли настолько незначительно, что
в обыкновенных технических вопросах этим изменением пренебрегают.
Указанная единица силы есть техническая единица силы и назы-
называется килограммом веса. Установив единицу силы, можно построить
уже градуированный динамометр, который будет давать значение вели-
величины любой силы в килограммах веса.
Так как указанный здесь способ измерения сил основан на равно-
равновесии между приложенной силой и силой, развиваемой растянутой
пружиной динамометра, то этот способ измерения сил можно назвать
статическим. Заметим, что этот способ измерения сил основан не на
определении понятия силы, а лишь на некоторых приведённых выше
свойствах силы; в самом деле, самим определением силы мы даже и
не занимались, ограничившись рассмотрением лишь некоторых свойств
сил, проявляющихся при равновесии. Другой способ измерения сил и
зависимость движения от силы могут быть даны лишь в третьем раз-
разделе настоящего курса теоретической механики.
§ 3. Параллелограмм и многоугольник сил. Предположим, что
на материальную точку Л тела действуют две силы АВ и АС, как
показано на черт. 3. При этом
возникает вопрос, нельзя ли две
силы АВ и АС заменить одной
силой такою, чтобы результат её
действия на тело был тождествен
с результатом действия сил АВ и
АС. Благодаря трудам Стевина
A548—1620) и особенно Ва-
риньона A654—1722) и Ньютона
сделалось ясным, что эта задача
всегда разрешима и притом сле-
следующим образом: единственная сила, заменяющая собою две силы АВ и
ЛС, получается как диагональ AD параллелограмма, построенного на си-
силах АВ и АС. Это построение получило название параллелограмма сил.
Если угол между силами АВ и АС есть а, то угол при точке В
будет равен тг — а, и мы получим:
AD2 = АВ14- BD2 — 2АВ . BD cos (тс — а) =
- ЛС cos а. A.1)

22
СИЛА КАК ВЕКТОР
[ГЛ, I
Пользуясь формулою A.1), можно по данным силам АВ, АС и углу а
между ними определить величину силы AD. Далее, из треугольников
ABD и ACD мы имеем:
sin
BD
sin a9
CD
AD'
или
COS (тс — a) AD ' sin (тс — a)
sin a2 = -jjr sin a.
AC .
sin ocj = -jr- sin a,
A.2)
Пользуясь формулами A.2), можно по данным силам АВ, АС и
углу а между ними при посредстве формулы A.1) определить углы ах
и а2 силы AD с силами АВ и АС, Полезно отметить два частных
случая:
1) если <х = 0, то Л?>2 = Л?2 + ЛС2+2Л?. ЛС= (ЛБ-}-ЛСJ,
т. е. Л? = Л?-|-ЛС;
2) если a = тс, то ЛD2 = Л52 + ЛС2 — 2ЛБ . АС = {АВ — ACf,
т. е. AD=\AB — ЛС|, где вертикальные черты указывают, что сле-
следует взять абсолютное значение разности АВ — АС.
Очевидно также, что всегда должно быть:
AD> | АВ — АС\.
A.3)
Существует много чисто математических доказательств предложе-
предложения о параллелограмме сил, но во всех этих математических доказа-
доказательствах всё же всегда имеются некоторые части, принимаемые без
доказательств. Мы примем без
математического доказательства
само правило параллелограмма сил,
рассматривая его не как математи-
математическую теорему, а как факт есте-
естествознания, вытекающий из опыта.
На опыте его поверку можно
провести, например, следующим
образом. Через блоки В и С
(черт. 4) перекинута нить, на кон-
концах которой привешены грузы Р
и Q; к точке Л нити привешен
некоторый новый груз R такой,
что вся система уравновесилась.
Построив параллелограмм ADFE,
стороны которого в некотором мас-
Черт. 4.
штабе представляют веса грузов Р и Q, мы найдём, что его диагональ
AF направлена вертикально вверх противоположно направлению силы R
и в принятом масштабе изображает величину силы R. Так это и должно
быть; в самом деле, чтобы точка Л была в равновесии, тяга груза R
должна быть уравновешена тягами грузов Р и Q, т. е. две силы Р и Q

§ 31
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И МНОГОУГОЛЬНИК СИЛ
23
должны приводиться к одной силе, равной и противоположной силе R,
что и даёт диагональ AF. Мы пренебрегаем здесь весом нити.
Если на точку А действуют, например, три силы АВ, АС и AD,
то их можно заменить одной силой AF, заменяя сначала силы АВ
и АС одной силой АЕ, а затем заменяя силы АЕ и AD одной си-
силой AF (черт. 5). Тот же самый результат мы получим, взяв силы
АВ, АС и AD в другом порядке. На-
Например, если мы сначала возьмём силы
AD и АС, то диагональю параллело-
параллелограмма, на них построенного, будет
отрезок АС'\ построив затем парал-
параллелограмм на силах АС и АВ, мы при-
придём к той же силе AF. Различные по-
порядки, в которых можно брать эти три
силы, суть следующие:
(АВ, AC, AD); (АВ, AD, АС))
(АС, АВ, AD)\ (AC, AD, АВ)\
(AD, АВ, АС)\ (AD, АС, АВ)\
все эти шесть комбинаций приводят к
одной и той же силе AF. Таким образом,
к правилу получения из трёх сил АВ, АС и AD одной силы AF при-
применим переместительный закон. Точно так же из предыдущего можно
убедиться в применимости сочетательного закона, а именно:
(АВ, AC), AD\ АВ, (AC, AD)\ АС, (АВ, AD).
Применимость к силам этих обоих законов выражают сокращённо,
высказывая положение о независимости действия сил, т. е. об отсут-
отсутствии искажающего влияния каждой силы на величины и направления
действующих вместе с нею других сил. Так как оба указанных закона
при одинаковой размерности результата с размерностями данных коли-
количеств характеризуют действие сложения, то способ получения одной
силы AF по данным трём силам АВ, АС и AD, приложенным в общей
точке А, получил название геометрического сложения.
Из черт. 5 легко усмотреть, что сила AF является диагональю
параллелепипеда, построенного на трёх данных силах АВ, АС и AD\
поэтому этот приём получения силы AF из трёх данных сил назы-
называется иногда правилом параллелепипеда. Из этого же черт. 5 видно,
что вместо построения всего параллелепипеда достаточно построить,
например, ломаную линию ABEF, все колена которой соответственно
равны и параллельны данным силам, и замкнуть её прямолинейным
отрезком AF, который и представит результат геометрического сло-
сложения трёх данных сил, приложенных в точке А. Такой способ по-
построения силы AF называется правилом многоугольника сил. Геоме-
Геометрическое сложение, опирающееся на правило многоугольника сил,

24
СИЛА КАК ВЕКТОР
[ГЛ. I
естественно распространяется на случай любого числа сил, приложен-
приложенных в одной общей точке; его можно выразить следующим образом:
чтобы сложить геометрически несколько сил, приложенных в одной
точке, следует построить ломаную линию, колена которой должны
быть равны и параллельны данным силам) тогда отрезок, замы-*
кающий эту ломаную линию, и будет представлять геометриче-
геометрическую сумму всех взятых сил, или результирующую силу. Правило
геометрического сложения, частным случаем которого является правило
параллелограмма, и согласно которому /геометрическая сумма сил по
действию на материальной объект равносильна совокупности отдель-
отдельных сил, приложенных в одной точке, есть не математическая теорема,
а факт естествознания, заимствованный
из опыта.
В механике часто приходится решать
обратную задачу, а именно, разлагать
одну силу на несколько сил, приложен-
приложенных в той же точке^. Проще всего задача
решается применением многоугольника
сил, у которого разлагаемая сила будет
замыкающей стороной; но без дополни*
тельных условий каждая такая задача
будет неопределённой. Пусть, например, требуется силу F, приложен-
приложенную в точке А, разложить на две силы. Для решения этой задачи
строим ломаную линию ABC из двух колен, опирающуюся на силу F,
как показано на черт. 6; колена А В и ВС этой ломаной линии и пред-
представят искомые две силы Ft и F%. Так
как по одной данной стороне F можно
построить бесконечное множество
треугольников ABC, то поставленная
задача допускает бесконечное мно-
множество решений. Чтобы сделать задачу
определённою, необходимо поставить
дополнительные условия, при кото-
которых можно получить один и притом
только один треугольник ABC. Для
этого достаточно, например, задать,
кроме стороны AC = F, ещё длины
сторон АВ и ВС. Ещё более не-
неопределённою будет задача разложе-
разложения силы F на три силы, приложен-
приложенные в той же точке, так как при этом придётся построить ломаную
линию ABCD, которая может и не быть плоской (черт. 7). Задача
разложения силы F на три силы делается определённой, если, напри-
например, задать по величинам и направлениям силы /^ и F2, т. е. ко-
колена АВ и ВС ломаной линии ABCD\ задача будет также определён-
определённой, если задать направления трёх сил Fx, F2 и /%,, так как тогда
Черт. 7.

§ 4] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА И СКАЛЯРА 25
задача приводится к построению параллелепипеда по данной диагонали
при известных направлениях его рёбер.
Из изложенного следует, что силы суть количества, которые
характеризуются величинами и направлениями, причём к ним приме-
применимо правило геометрического сложения.
§ 4. Определение вектора и скаляра. В теоретической механике
кроме сил имеется много других количеств, которые характеризуются
величинами и направлениями и к которым применимо правило геоме-
геометрического сложения; таковы, например, следующие количества: момент
силы, момент пары сил, скорость, количество движения и т. д. Все
общие свойства их и относящиеся к ним общие предложения объеди-
объединяются в общем учении о векторах.
Введём следующее определение:
Количества, которые характеризуются своими величинами и
своими направлениями и к которым применимо правило геометри-
геометрического сложения, называются векторами.
Последнее условие необходимо, чтобы количество было вектором;
так, ниже, в § 93, мы увидим, что конечные вращения можно изо-
изображать отрезками, имеющими длины и направления. Однако эти от-
отрезки не суть векторы, так как при сложении конечных вращений их
сумма меняется от перемены порядка слагаемых, т. е. их сложение
не есть геометрическое сложение. Напротив, силы суть векторы, так
как в §§ 2 и 3 мы видели, что силы характеризуются своими вели-
величинами и своими направлениями и к ним применимо правило геометри-
геометрического сложения; ниже будет доказано, что момент силы, линейная
скорость, линейное ускорение, угловая скорость и т. п. являются
также векторами. Мы будем изображать векторы прямолинейными
отрезками со стрелками на соответствующих концах (черт. 8). Заме-
Заметим, что из данного выше определения вектора следует, что перене-
перенесение вектора параллельно самому себе из одной точки пространства
Черт. 8. Черт. 9.
в другую, вообще, не создаёт нового вектора; таким образом, отрезки,
изображённые на черт. 9, вообще, представляют один и тот же вектор.
Однако, существуют такие векторы, параллельное перенесение кото-
которых более или менее ограничено. Для того чтобы специально указать,

ГИЛА КАК ВЕКТОР
[ГЛ. 1
что рассматриваемый вектор можно без всяких ограничений переносить
параллельно самому себе в любую точку пространства, такой вектор на-
называется свободным вектором. Над векторами можно производить
алгебраические, дифференциальные и интегральные операции; соответ-
соответствующие им правила излагаются в векторном исчислении. В настоя-
настоящем курсе правила действий над векторами будут излагаться в тех
местах и в том объёме, в каком это необходимо для понимания дан-
данного места курса.
Всякие количества, характеризуемое только своими величинами,
называются скалярами, или скалярными величинами. Например,
скалярными будут температура, электрическое напряжение и т. п.
Мы будем обозначать векторы или одной жирной буквой a, F, g
и т. д., или двумя светлыми буквами с чертой сверху АВ, CD, ...,
отмечая начальные точки Л, С, ... и конечные точки б, ?>, .. .
векторов *).
Мы можем рассматривать только величину вектора без учёта напра-
направления этого вектора; выраженная в каких-нибудь единицах измере-
измерения, она представится арифметическим числом и будет скалярной
величиной; мы назовём величину вектора его модулем и будем обо-
обозначать модуль вектора тою же буквою, как и сам вектор, но изо-
Черт. 10.
бражённою обыкновенным шрифтом, или вертикальными чертами при
обозначении вектора. Таким образом, вектор а имеет модуль а или
\а\. Вектор, величина которого равна единице, мы будем называть
единичным вектором и обозначать его жирным шрифтом с ноликом
справа сверху буквы; так, например, единичный вектор, имеющий на-
направление вектора а, будет обозначаться через а0. Очевидно, что
всякий вектор может быть представлен как единичный вектор того же
направления, умноженный на модуль этого вектора F = F°F = FF°.
Рукописное обозначение вектора —буква с чертой наверху.

§ 5]
ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ
27
В курсе механики мы постоянно будем пользоваться также и осями
координат. Эти системы осей координат обыкновенно будут прямо-
прямоугольными осями координат такого расположения, как указано на
черт. 10. Если мы условимся за поло-
положительное направление вращения вокруг
положительного направления оси при-
принимать вращение против часовой стрел-
стрелки, то из правого черт. 10 мы видим,
что положительное вращение вокруг
оси Oz переводит ось Ох в ось Оу,
как указано на чертеже стрелкой,
и т. д. в круговом порядке; для плоской
системы осей координат, изображён-
изображённой на левом черт. 10, третья ось Oz
должна была бы быть проведена перпен-
перпендикулярно к плоскости чертежа в сто-
сторону читателя.
Черт. 11.
Единичные векторы, направления которых совпадают соответ-
соответственно с положительными направлениями осей координат Ох> Оу и
Oz, мы будем обозначать через /, у, k (черт. И).
§ 5. Проекция вектора на ось. Рассмотрим какой-нибудь век-
вектор а и бесконечную прямую Д; примем одно из двух направлений
этой прямой за положительное и будем называть прямую А осью.
Черт. 12.
Обратимся к черт. 12. Пусть будет а~АВ. Проведём через началь-
начальную и конечную точки А и В вектора АВ плоскости, перпендику-
перпендикулярные к оси А. Эти плоскости отсекут на оси А отрезок АХВ1% Если
направление от Ах к Вх совпадает с положительным направлением

28 СИЛА КАК ВЕКТОР [гл. х
оси Д, то мы будем считать отрезок А1В1 положительным; если же
направление от Ах к Вх противоположно положительному направле-
направлению оси Д, то мы будем считать отрезок А1В1 отрицательным/Таким
образом, длина отрезка АгВг при вышеуказанном условии всегда может
быть представлена алгебраическим числом. Очевидно, что можно
также получить отрезок AXBV опуская из начальной А и конечной В
точек вектора АВ перпендикуляры ААг и ВВг на ось Д. Длина этого
отрезка АгВг, рассматриваемая как алгебраическое число, называется
проекцией вектора АВ на ось Д. Таким образом мы приходим к сле-
следующему определению:
Проекцией вектора на какую-нибудь ось называется взятая со
знаком длина отрезка оси между перпендикулярами, опущенными
изначальной и конечной точек вектора на эту ось.
Нетрудно показать, как вычислить проекцию вектора на ось, Про-
Проведём через точку А прямую Д', параллельную оси Д (черт. 12); эта
прямая пересечёт плоскость, проходящую через точку В и перпенди-
перпендикулярную к оси Д, в некоторой точке С. По свойству параллельных
отрезков между параллельными плоскостями мы будем иметь:
АС = АгВг.
Заметим, что, конечно, нет необходимости, чтобы вектор АВ и ось Д
лежали в одной плоскости. Из прямоугольного треугольника АСВ при
прямом угле в точке С мы имеем AC ~AB cos ос, где для случая
черт. 12 угол а будет острым. Таким образом, мы получили проек-
проекцию АгВг, равную АВ cos а с точностью до знака включительно. Если
бы положительное направление оси Д было противоположным, то угол
между вектором АВ и положительным направлением оси Д был бы
равен а'; в этом случае проекция вектора АВ на ось Д была бы равна
— AXBV Но мы имеем:
АВ cos а' = — АВ cos а = — АС = — AXBV
Таким образом, мы приходим к следующему правилу:
Чтобы получить проекцию вектора на ось, следует модуль
вектора умножить на косинус угла между направлением вектора
и положительным направлением оси.
Это же правило можно выразить ещё иначе:
Чтобы получить проекцию вектора на ось, следует модуль
вектора умножить на косинус острого угла между вектором и
осью и взять произведение со знаком плюс, если направление век-
вектора образует острый угол с положительным направлением оси,
и взять произведение со знаком минус, если направление вектора
образует с положительным направлением оси тупой угол.
Особенно важен случай проекций вектора на прямоугольные оси
координат Oxyz. Мы будем обозначать проекции вектора а на оси Ох,

§5]
ПРОРКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ
29
Оу и Ог_соответственно через ах, ау, az. Рассмотрим какой-нибудь
вектор АВ = а. Проведём из точки А полупрямые в положительных
направлениях осей координат и обозначим через а, р, у углы век-
вектора АВ с этими полупрямыми; очевидно, что углы а, р, -у суть углы,
образуемые вектором АВ с осями Ох, Оу, Oz (черт. 13). Очевидно
также, что, будут ли какие-либо из углов а, р, ^ острые или тупые,
во всех случаях длины рёбер прямоугольного параллелепипеда ACKDBE
будут равны абсолютным значениям проекций вектора а на оси коор-
координат. Таким образом,
с точностью до знака z
включительно мы всегда \
будем иметь;
С.
ах = а cos a,
аг == a cos у,
а отсюда:
cosa=-^i,
cos T = -^--
A.4)
A.6)
a\l &.
к
Черт. 13.
Так как модуль а есть
арифметическая величина,
а проекции ах, ау, az суть алгебраические количества, то из фор-
формул A.5) мы получим косинусы углов вектора с осями координат
однозначно с точностью до знака включительно.
Но квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов трёх его измерений, и мы получаем:
или
e = Ve» + eJ + e», A.6)
где корень следует брать в арифметическом смысле. Таким образом,
мы находим:
Модуль вектора равен арифметическому значению квадратного
корня из суммы квадратов проекций вектора на прямоугольные
оси координат.
Из равенств A.5) с учётом равенства A.6) мы имеем:
cos2 a + cos2 p -f cos2 Т = U A.7)
т. е. сумма квадратов косинусов углов, образуемых вектором
с тремя взаимно перпендикулярными осями^ равна единице.

30
СИЛА КАК ВЕКТОР
[ГЛ. \
§ 6. Сложение и вычитание векторов. Согласно определению
векторов, данному в § 4, к векторам должно быть применимо правило
геометрического сложения, которое имеет место для сил. Поэтому,
заимствуя определение действия сложения векторов из определения
той же операции для сил (§ 3), мы приходим к следующему опре-
определению:
Если построить ломаную линию так, чтобы её первое колено
было равно по величине и параллельно первому вектору, её второе
колено имело начало в конце первого колена ломаной линии и было
равно по величине и параллельно второму вектору и т. д., то отре-
отрезок, имеющий начало в начале этой ломаной линии, а конец — в её
конце, есть геометрическая сумма данных векторов, самое же дей-
действие получения геометрической суммы называется геометрическим
сложением.
Черт. 14.
Выше, в § 3 настоящей главы, мы видели, что это действие
может быть названо сложением потому, что к нему применимы законы
сложения: переместительный и сочетательный, и потому, что оно при-
приводит в результате также к вектору, причём размерности величин
сохраняются.
Геометрическое сложение обозначается следующим образом;
п
Векторы ах, а2, я3, ... называются геометрическилш слагаемыми,
или составляющими векторами, а вектор а называется геометри-
геометрической суммой, или результирующим
вектором. На черт. 14 изображён слу-
случай геометрического сложения четырёх
векторов ах, а2, аь, а4. Если началь-
начальная и конечная точки ломаной линии
совместятся между собою, то будет
а = 0. Для трёх векторов av а2 и #3
равенство а = 0 возможно только в том
Черт. 15.
случае, если эти три вектора образуют треугольник (черт. 15). Так
как треугольник есть плоская фигура, то отсюда следует, что сумма
трёх векторов может быть равна нулю только в том случае, если
все три вектора или лежат в одной плоскости, или могут быть
перенесены параллельно самим себе в одну плоскость,

§ 6]
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОП
31
Очевидно, что правило параллелограмма есть частный случай
общего правила геометрического сложения векторов.
Так как прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками,
то очевидно, что должно быть:
причём знак равенства будет иметь место лишь в том случае, если
все векторы аи а2, а3, ... между собой параллельны и направлены
в одну сторону.
Следующее представление вектора через единичные векторы будет
встречаться постоянно во всех разделах настоящего курса механики.
Обратимся к черт. 13. Мы имеем:
Так как АС=^ах, AD = ay
торы I, j и k, мы получим:
= а8, то, вводя единичные век-
W Wj-4
а = ***+•/*,, + **,. A.9)
Составим геометрическую сум-
сумму, или результирующий вектор а,
например, четырёх векторов аиа%, Черт. 16.
а3 и av и спроектируем его на
какую-нибудь ось А (черт. 16). Так как проекция вектора а равна
ЛгЕ19 и мы имеем:
ад
—вд = А&+ад
то отсюда находим:
Проекция результирующего вектора на какую-либо ось равна
сумме проекций составляющих векторов на ту же ось.
Примем за ось А последовательно оси координат Ох, Оу, Ог
прямоугольной системы осей координат Oxyz\ тогда, исходя из ра-
равенства A.8), согласно предыдущему правилу получим:
A.10)

32 СИЛА КАК ВЕКТОР [ГЛ, I
Применяя формулу A.6), мы будем иметь:
а - КB О2+B «»/+B О*. а.п)
м п «
Формулы A.10) можно получить ещё иначе. В самом деле, мы
имеем:
поэтому
Так как векторы ialxf ia2x, ... между собой параллельны, то при
сложении они расположатся вдоль одной прямой, именно оси Ох;
поэтому проекции а1х, а2х, .., можно алгебраически складывать, и
мы будем иметь:
== ia2x
Следовательно, мы получим:
iax Л-fry + k<*z = / (alx + а2х
Отсюда, приравнивая между собой векторы одного направления,
мы приходим к формулам A.10).
Из черт. 13 мы на основании определения геометрической суммы
имеем:
Это значит, что если проекции вектора на оси рассматривать тоже
как векторы, то составляющие вектора по трём взаимно перпенди-
перпендикулярным осям совпадают с проекциями вектора на эти оси. Нетрудно
убедиться в том, что это совпадение имеет место только для прямо-
прямоугольной системы координат, вообще же проекция вектора на ось
и составляющая вектора по данной оса — количества различные.
В самом деле, пусть, например, в точке О приложены две соста-
составляющие силы Ft и Fg, образующие между собою угол а и имеющие
результирующую F. Чтобы найти эту результирующую, обе силы
Fx и F% следует сложить по правилу параллелограмма, диагональ
которого и представит результирующую /\ Если угол а—острый,
то очевидно, что проекции результирующей на направления составляю-
составляющих будут больше этих составляющих; если же угол а—тупой, то

§ 7] ВЕКТОРНЫЕ И КООРДИНАТНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ СИЛ §3
эти проекции будут меньше соответствующих составляющих, причём
может быть и такой случай, когда одна из проекций, хотя будет и
более составляющей, будет направлена в противоположную сторону
по сравнению с этой составляющей. Если же угол а будет прямой,
то проекции результирующей и по величинам и по направлениям сов-
совпадут с составляющими, что и подтверждает приведённое выше по-
положение.
Определив геометрическое сложение векторов, нетрудно опреде-
определить и геометрическое вычитание векторов как действие, обратное
сложению. Предположим, что требуется произвести вычитание векто-
векторов at— а2. Построим вектор 6, противоположный вектору а2, т. е.
вектор, имеющий тот же модуль, но противоположное направление;
а именно, если будет а2 = АС, то
мы возьмём b = АЕ, где АЕ = АС
(черт. 17). Покажем, что если
ах = АВ, то мы будем иметь:
т. е. вектор AD представляет иско- ^ср1'
мую разность вектбров ах и а2.
Чтобы доказать это, применим поверку вычитания, при которой раз-
разность и вычитаемое в сумме должны дать уменьшаемое, т. е. должно
быть:
но из черт. 17 видно, что последнее равенство на самом деле и имеет
место. Таким образом, вычитание сделано верно, и мы получаем спо-
способ изображать вектор, противоположный данному, при помощи изме-
изменения знака у данного вектора на обратный. Следовательно, если мы
имеем выражение вида
то его можно представить в виде
т. е. привести все операции только к сложению векторов путём за-
замены вычитаемых векторов а2, а4, аь противоположными векторами
— а2, —а4, — аь.
Легко видеть, что, пользуясь представлением векторов по фор-
формуле A.9), мы легко приведём вычитание векторов к вычитанию их
проекций*
§ 7. Векторные и координатные изображения сил. В § 4 мы
имели определение свободного вектора, согласно которому можно
2 Зак.17091 А. И. Некрасов

54 СИЛА КАК ВЕКТОР (гл. t
переносить вектор параллельно самому себе, помещая его начало в лю-
любую точку пространства. Что касается силы, то в § 2 мы видели,
что в абсолютно твёрдом теле силу также можно переносить, но лишь
по прямой её действия; ниже, из курса статики (§ 39), мы узнаем,
что перенесение силы параллельно самой себе, но в сторону от пря-
прямой её действия невозможно без присоединения дополнительных сил.
Все же остальные приведённые определения и предложения учения
о векторах могут быть перенесены на силы непосредственно. Поэтому
наряду со свободными векторами мы рассмотрим также и такие век-
векторы, параллельное перенесение которых стеснено; именно, мы рас-
рассмотрим векторы, которые могут лишь скользить вдоль прямых как
силы, приложенные к твёрдому телу. Такие векторы носят название
скользящих векторов. Отсюда мы приходим к следующему опреде-
определению:
Сила, приложенная к абсолютно твёрдому телу, есть сколь*
зящий вектор.
Так как в абсолютно твёрдом теле сила есть скользящий вектор,
а простейшим примером вектора является прямолинейный отрезок, то
мы и будем изображать, что уже начато в § 2, всякую силу, прило-
приложенную к абсолютно твёрдому телу, прямолинейным отрезком (со
стрелкой) такого направления, какое имеет сила; длину же этого от-
отрезка будем брать в каком-нибудь масштабе равной модулю вектора
изображаемой силы. Этот отрезок со стрелкой мы имеем право пере-
переносить вдоль прямой, совпадающей с направлением отрезка, в любое
место на этой прямой.
Всюду в этой книге мы будем обозначать вектор силы через F.
Если же мы будем иметь не одну силу, а несколько сил, то при
обозначении каждой силы мы будем снабжать буквы F указателем
номера, присвоенного рассматриваемой силе. Для изображения резуль-
результирующей нескольких сил мы будем пользоваться, как для одной
силы, буквою F без указателя. Так, например, если в точке А тела
приложено несколько сил Fv F2, F%, ..., то их результирующую мы
будем обозначать через У7, так что будет:
FB=^ + ^+Fe+...=S/?». A.12)
П
Так как силу нельзя переносить с прямой её действия, то для
полного определения силы необходимо, кроме вектора силы, указать
и прямую её действия, для чего достаточно указать какую-нибудь
точку, через которую эта прямая проходит. Введём новый вектор:
прямолинейное перемещение из одной точки в другую. Пусть будут
даны две точки А и В\ очевидно, что прямолинейное перемещение
АВ из точки А в точку В имеет модуль и направление. Нетрудно
также видеть, что к перемещениям по их существу применимо пра-
правило геометрического сложения, так как будет ЛС= АВ-{-ВС} т.е.

§ 7] ВЕКТОРНЫЕ И КООРДИНАТНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ СИЛ 35
перемещение вдоль ломаной линии ЛВС можно заменить прямолиней-
прямолинейным перемещением АС] очевидно, что все свойства геометрического
сложения, изложенные в § 3, применимы и к сложению прямолиней-
прямолинейных перемещений. Таким образом, прямолинейное перемещение дей-
действительно есть вектор. Зададим какую-нибудь точку О пространства
и будем отмечать положения остальных точек пространства прямо-
прямолинейными перемещениями, которые следует выполнить, чтобы пере-
переместиться из точки О в рассматриваемые точки. Следовательно, мы
приходим к новому типу векторов с заданною начальною точкою;
такие векторы называются приложенными векторами. Начало при-
приложенного вектора переносить в другую точку пространства уже
нельзя. В теоретической механике мы будем иметь дело со всеми
тремя типами векторов: с векторами свободными, скользящими и при-
приложенными. Чтоб:ы отметить прямую действия силы, возьмём на этой
прямой действия какую-нибудь точку А и соединим точку О с точ-
точкой А вектором О А = г. Зная векторы F и г, мы будем полностью
знать силу. Для нескольких сил Fv F2> F^ ... мы будем иметь
векторы г1Э г2, г3, ...
Рассмотрим теперь неподвижную прямоугольную систему осей
координат Oxyz с началом в какой-нибудь выбранной точке О про-
пространства. Мы будем обозначать проекции вектора силы F на оси
координат Oxyz через Х} Y, Z; тогда по формуле A.9) мы будем
иметь:
A.13)
В случае нескольких сил Fv /^, F& . .. мы по той же формуле
A.9) получим:
A.14)
Обозначая координаты точки А относительно осей Oxyz через х,
у и z, мы легко найдём:
z9 A.15)
и для нескольких векторов rv r2, г3, ... аналогично:
A.16)

36 СИЛА КАК ВЕКТОР
Из формул A.6) и A.5) мы будем иметь:
F *=
X
cos a = -p-»
~.
[ГЛ. I
A.17)
A.18)
Применяя к формуле A.12) формулы A.10), мы для проекций
результирующей силы найдём:
A.19)
Подставляя эти выражения в формулу A.17), мы получим:
Очевидно, что направляющие косинусы углов с осями координат
прямой действия силы F определены формулами A.18); поэтому, зная
координаты (лг, у, г) точки, через которую эта прямая проходит, по
правилам аналитической геометрии всегда можно составить уравнения
прямой действия силы F.
§ 8. Примеры. 1. Вектор а образует с тремя осями прямоугольной си-
системы координат равные между собой углы а; определить этот угол а. Так
как сумма квадратов косинусов углов вектора с осями координат равна
единице, то должно быть:
COS2 a + cos2 а + cos2 а = 3 cos2 о = 1,
т. е. cos а = zt —— . Отсюда находим а = 54°44'08" и а = 12В°15Г32Г\
/3
2. Три свободных вектора ах A, —2, 3); а2 (—4, 5, 8); а8(—2,1,0) заданы
своими проекциями на прямоугольные оси координат Oxyz. Найти четвёртый
вектор а4 такой, чтобы результирующая четырёх векторов была равна нулю.
Так как должно быть щ + а2 + % + #4 = 0, то отсюда находим:
1 — 4 —
следовательно, будет:
Таким образом, мы получаем;
1Ц ^
= —4,
^в— 11.
/162,
cos a = —-=, cos
У 1E2
.
/162
4L.
/162

§ 8] примеры 37
Выполняя вычисления, будем иметь:
я4 = 12,728,
а = 66°52'08", р = 108°19W, y = 149°47'46".
3. На одной горизонтальной прямой укреплены два зажима А и В на
расстоянии / между ними. В зажимах закреплены концы гибкой нити, длина
которой между зажимами А и В равна 21. По нити может перекатываться
без трения подвижной блок, к которому привешен груз; вес груза и блока
равен Р. Найти положение равновесия блока с грузом и натяжение нити
при этом равновесии. Вес нити настолько незначителен по сравнению с ве-
весом Р, что весом нити можно пренебречь. Подобное условие, состоящее
в том, что при решении средствами теоретической механики вопросов касаю-
касающихся какой-нибудь материальной системы, некоторые части этой системы
принимаются за невесомые, вводится довольно часто; благодаря такому усло-
условию могут получиться значительные упрощения с выделением наиболее
существенного в решении задач. Так, в только что изложенном примере на-
натяжение нити, конечно, зависит и от веса самой нити, ног расчёт части натя-
натяжения, зависящей от веса нити, достаточно сложен и даже недоступен для
читателя этой книги, так как теория равновесия нити в ней не излагается.
Однако без всякого расчёта ясно, что если вес Р значительно превосходит
вес нити, то главная часть натяжения нити зависит от веса Р, а не от веса
нити. Таким образом, не учитывая веса нити, мы не вносим в расчёт заметной
относительной ошибки, а в то же время в высокой степени упрощаем задачу.
В § 3 при изложении способа опытной поверки правила параллелограмма
мы уже сделали аналогичное упрощение; в дальнейшем изложении мы будем
иногда прибегать к подобным упрощениям.
Предположим, что размерами блока по сравнению с длиной нити можно
пренебречь; тогда, если мы обозначим через С центр колеса блока и будем
передвигать блок, оставляя нить натянутою, то геометрическим местом
точек С будет эллипс с фокусами в точках А и В. Очевидно, что самое
низкое положение точки С находится в конце малого диаметра эллипса,
когда будет С А = СВ = I. Под влиянием силы тяжести груз и блок, очевидно,
должны занять самое низкое положение, когда будет С А = СВ; в этом слу-
случае треугольник ABC сделается равносторонним с углами, равными 60°. Блок
без трения изменяет лишь направление натяжения, а не его величину; по-
поэтому на элемент верёвки в точке С будут действовать вдоль С А и СВ
одинаковые натяжения, неизвестную пока величину которых мы обозначим
через Г, Очевидно, что оба эти натяжения можно заменить по правилу парал-
параллелограмма, который в данном случае переходит в ромб, одною результи-
результирующею; эта результирующая будет направлена вдоль диагонали ромба
вертикально вверх, и ее квадрат будет равен Т2 + Я + 2 ТУ cos 60° = 3 74
Чтобы имело место равновесие, эта результирующая должна быть равна Р,
т. е. должно иметь место равенство Т "|/ = Р* откуда Т=——. Заметим,
что если мы спроектируем результирующую Р на направление СА или СВ,
то получим: Р cos 30° = —~— . Таким образом, у силы Р составляющие
Р УЗР
равны—-=• = о , а проекции силы Р на направления составляющих
УЗР
равны ^2—. Это лишний раз подтверждает, что проекции и составляющие
между собой вообще не равны (см. § 6).

/I
О
л
ГЛАВА II.
МОМЕНТ СИЛЫ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
§ 9. Физические основания введения момента силы. Из эле-
элементарной физики известно, что при разыскании условий равновесия
рычага важно не только обращать внимание на величины действующих
на рычаг сил, но и учитывать расстояния прямых действия этих сил
от точки опоры рычага. В самом деле, рассмотрим, например, рычаг
первого рода ЛОВ, состоящий из абсо-
абсолютно твёрдого стержня ЛОВ с точкой
4? опоры О, к концам А и В которого при-
приложены перпендикулярные к прямой АВ
силы Р и Q (черт. 18). Пусть будут Аг
и А2 прямые действия сил Р и Q. В точке О
рычаг имеет опору, т. е. рычаг может
вращаться около точки О, но сколь-
п зить вдоль опоры рычаг не может. На-
Напомним, что перпендикуляры ОА и ОВ,
опущенные из точки опоры О рычага на
прямые действия Aj и А2 сил Р и Q, на-
называются плечами рычага. Из элементар-
элементарной физики известно, что условие равно-
равновесия рассматриваемого рычага первого
Черт. 18. рода может быть выражено следующим
образом:
Чтобы рычаг первого рода был в равновесии, точка его опоры
должна делить расстояние между точками приложения сил
внутренним образом на части, обратно пропорциональные вели-
величинам сил.
Таким образом, должно быть:
OA^Q_
ОВ Р'
или
Если прямая действия Аг силы Р не перпендикулярна к прямой О А,
как это, например, представлено на черт. 19, то мы можем разло-

§ §] ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ВВЕДЕНИЯ МОМЕНТА СИЛЫ 39
жить силу Р на силу Р', перпендикулярную к прямой ОЛ, и на
силу Р", направленную вдоль ОЛ. Так как рычаг скользить вдоль
опоры не может, то сила Р" влияния на равновесие рычага иметь не
может-, уравновешиваясь с силою сопротивления точки опоры О, и
от силы Р остаётся лишь одна сила Р', приложенная в точке А и
перпендикулярная к прямой ОЛ. Таким образом, для этого случая
вместо произведения Р • ОЛ в левой
части последнего равенства следует взять f
произведение Рг • ОА\ но если а есть
угол между направлением АО и си-
силой Р, то легко видеть, что Р1 =
= Psina, и левую часть последнего
равенства можно заменить произведе-
произведением Р • О A sin ос. Так как О A sin a = ОС
равно длине перпендикуляра, опущен-
опущенного из точки О на прямую действия At
силы Р, или равно плечу, то мы за-
заключаем, что и в самом общем случае
для равновесия рычага первого рода
необходимо, чтобы произведения сил на
плечи для левой и для правой сил еРт#
были между собой равны. Нетрудно убедиться,, что совершенно то же
самое имеет место и для рычага второго рода. Таким образом, в усло-
условие равновесия рычагов входят не величины сил, а,величины произве-
произведений сил на плечи; мы не нарушим равновесия, например, уменьшая
силу, но при этом увеличивая плечо так, чтобы произведение силы
на плечо оставалось постоянным. Если же это произведение увели-
увеличится для какого-нибудь конца ры-
рычага, то этот конец рычага будет " d д ^
перевешивать другой, и сам рычаг I I
будет поворачиваться вокруг своей | I
точки опоры. /* V
Это условие равновесия рычага Черт 20
было известно ещё в глубокой древ-
древности. Приведём здесь рассуждение, принадлежащее Архимеду (III в,
до н. э.).
Можно считать очевидным из повседневного опыта, что две оди-
одинаковые силы Р, приложенные в концах А я В равноплечного ры-
рычага ЛОВ, оставляют рычаг в равновесии (черт. 20); этот опытный
факт можно объяснить тем, что две силы Р, приложенные в точках
А и В, приводятся к одной силе 2Р, приложенной в точке О, кото-
которая лишь прижимает рычаг к его точке опоры, но поворачивать ры-
рычаг не может. Возьмём АС = АО и заменим силу Р, приложенную
в точке Л, двумя силами, равными -^- и приложенными в точках О и С,
что возможно, так как согласно только что изложенному обе эти

40 МОМЕНТ СИЛЫ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ (гл. it
силы приводятся к одной силе Р, приложенной в точке А. Но сила
-~-, приложенная в точке О, лишь прижимает рычаг к точке опоры О и,
следовательно, на равновесие рычага не влияет. Таким образом,
р
остаются лишь силы: Р в точке В и -^ в точке С, под действием
которых рычаг должен быть в равновесии, причём очевидно, что
J^-.OC^P. OB.
Такой способ рассуждения можно продолжать и дальше.
§10. Момент силы относительно точки. Таким образом, из
учения о равновесии рычага вытекла необходимость наряду с силами
рассматривать ещё произведения величин сил на плечи. Несколько
обобщая изложенное, рассмотрим силу F и произвольную точку О
пространства; опустим из точки О перпендикуляр на прямую дей-
действия силы F, и пусть будет d длина этого перпендикуляра. Мы
условимся рассматривать произведения Fd, принимая их за модули
некоторых векторов. Чтобы выяснить возможность последнего, необ-
необходимо показать, что, во-первых, произведения Fd можно рассматри-
рассматривать как величины некоторых количеств, имеющих направления в про-
пространстве, и, во-вторых, что эти количества можно геометрически
складывать. Чтобы убедиться в первом, вернёмся снова к рычагу и
обратимся, например, к черт. 18. Так как сила Р стремится произ-
производить вращение вокруг точки О против часовой стрелки, а сила
Q—по часовой стрелке, то согласно условию, выраженному в конце
§ 4, для силы Р положительное направление оси вращения будет
итти перпендикулярно к плоскости чертежа к лицу читателя, а для
силы Q — от читателя. Условимся откладывать в положительном на-
направлении на оси вращения отрезок, символически изображающий
в каком-либо масштабе произведение Fd. Таким образом, мы будем
получать отрезки, символически изображающие по своей длине про-
произведения Fd и имеющие определённые направления в пространстве.
Чтобы убедиться, что эти отрезки суть векторы, остаётся показать,
что эти отрезки можно геометрически складывать. Для этого рассмот-
рассмотрим какую-нибудь точку О и ряд сил Fv F2, FQi . . ,, которые могут
и не лежать в одной плоскости. Построим для этих сил вышеука-
вышеуказанным приёмом отрезки с длинами Fxdv F2d%, Fbdd, ...; все эти
отрезки будут иметь общую начальную точку О. Так как все эти
построения — условные, то мы можем наложить на эти отрезки ещё
новое, условие, не содержащее в себе противоречия со всем преды-
предыдущим, а именно допустить, что эти отрезки можно геОхМетрически
складывать. Польза введения этого нового условия будет ясна из
дальнейшего. Так, ниже, при изложении теорем Вариньона (§§ 21, 23
и 24), момента пары сил (§ 25), сложения пар сил (§ 36), приведе-

§ Ю]
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ
41
ния общей системы сил к простейшей системе (§§ 47 и 48) и т. д.,
мы увидим, что геометрическая сумма этих условных отрезков имеет
механическое значение, и убедимся, что она в высокой степени упро-
упрощает изложение очень многих предложений не только одной статики,
но также и кинематики и динамики. Таким образом, полученные от-
отрезки имеют длины, направления и их можно геометрически склады-
складывать; следовательно, эти отрезки суть векторы. Эти векторы получили
название моментов сил относительно точки О; геометрическая
сумма моментов отдельных сил называется общим моментом системы
сил. Мы будем обозначать вектор — момент силы —через М. Всё
вышеизложенное можно свести вместе в следующем общем определе-
определении момента силы относительно точки:
Момент силы относительно точки есть вектор, имеющий
начало в данной точке) модуль этого вектора равен произведению
модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из данной
точки на силу; направлен момент силы перпендикулярно к пло-
плоскости , проходящей через силу и данную точку, в ту сторону,
чтобы наблюдатель, стоящий вдоль него, видел силу, направлен-
направленною против хода часовой стрелки.
Из этого определения следует, что момент силы есть вектор при-
приложенный.
Вводя понятие момента силы, можно дать простое геометрическое
выражение для условия равновесия рычага. Так как это условие
равновесия состоит в
том, что модуль мо-
момента силы Р от-
относительно точки О
(черт. 18) равен модулю
момента силы Q отно-
относительно той же точки
О, но сами векторы-
моменты имеют про-
противоположные направ-
направления, то иное, более
простое и короткое вы-
выражение условия рав-
равновесия рычага заклю-
заключается в том, что для
равновесия рычага об-
общий момент относительно точки опоры обеих приложенных к рычагу
сил должен быть равен нулю. На черт. 21 представлены: точка О,
сила F, плоскость П, проходящая через F и О, момент М) мы ви-
видим, что момент М направлен согласно приведённому в определении
условию. Для модуля М мы имеем М = Fd. Укажем ещё раз, что
такое представление момента отрезком является чисто символи-
символическим, так как при изображении силы прямолинейным отрезком
Черт. 21.

42
МОМЕНТ СИЛЫ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
[ГЛ. И
будет Fd == 2 пл. Д ОАВ, а длина М может изображать величину
площади Fd лишь символически, если мы условимся изображать еди-
единицу площади какой-либо единицей длины.
Треугольник ОАВ называется моментным треугольником. Оче-
Очевидно, что площадь этого треугольника не изменится, если мы будем
переносить силу вдоль прямой А её действия; таким образом, опре-
определение момента не находится в противоречии с данным выше опре-
определением силы, приложенной к абсолютно твёрдому телу, как вектора
скользящего. Очевидно также, что для всякой точки, лежащей на
прямой действия силы, момент силы будет равен нулю.
§ И. Момент силы относительно оси. Рассмотрим какую-нибудь
ось D и силу F (черт. 22). На оси D возьмём произвольно две
точки О и О' и построим моменты М и № силы F относительно этих
точек О и О'. Очевидно, что площади треугольников ОАВ и О'АВ,
вообще, не будут равны между собою, так что М ф М'. Спроектируем
момент М и момент Мг
на ось D; мы получим
отрезки Мо и Мо. До-
Докажем, что всегда бу-
дет Мо = Мо.
В самом деле, мы
имеем:
М0 = М cos (лСЬ),
Проведём через какую-
нибудь точку Ог пря-
прямой D плоскость П,
перпендикулярную к
ЧеРт- 22- прямой D. Так как
вектор М перпендику-
перпендикулярен к плоскости треугольника ОАВ, а вектор М! перпендикулярен
к плоскости треугольника ОгАВ, то углы между прямою D и век-
векторами М и Мг равны углам между плоскостью П и плоскостями
треугольников ОАВ и О АВ, и мы получим:
= 2 пл. Д ОАВ cos
= 2 пл. Д
==2 пл.
== 2
т. е. Мо = Мо, что и требовадось доказать. Таким образом, проекция
момента силы относительно какой-либо точки оси на эту ось не

§ 121
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
43
зависит от положения на оси взятой точки. Отсюда мы приходим
к следующему определению:
Моментом силы относительно оси называется проекция на эту
ось момента силы, вычисленного для какой-нибудь точки этой оси.
Полезно отметить следующий случай, часто встречающийся на
практике. Именно, если сила лежит в плоскости, перпендикулярной
к оси, то, взяв за точку оси для построения вектора-момента след
этой оси на данной плоскости, мы найдём, что моментный треуголь-
треугольник также будет лежать в рассматриваемой плоскости, момент силы
расположится по оси в её положительном или отрицательном напра-
направлении, и высота моментного треугольника будет совпадать с рассто-
расстоянием силы от оси. Таким образом, мы будем иметь:
Если сила лежит в плоскости, перпендикулярной к оси, то
модуль момента силы относительно оси равен произведению из
модуля силы на расстояние силы от оси.
Чтобы момент силы относительно оси был равен нулю, необхо-
необходимо, чтобы момент силы, взятый относительно какой-либо точки
оси, был перпендикулярен к этой оси. Очевидно, что для этого
необходимо, чтобы ось и моментный треугольник лежали в одной
плоскости, или несколько иначе:
Чтобы момент силы относительно оси был равен нулю, не-
необходимо, чтобы сила с осью лежали в одной плоскости.
В течение всего курса механики мы будем иметь дело с момен-
моментами силы относительно точки и оси, причём за точку мы весьма
часто будем брать начало О
координат, а за оси — оси Ох,
Оу, Oz прямоугольной системы
коррдинат Oxyz.
На практике обычно для
вычисления момента силы отно-
относительно оси пользуются тем,
что момент силы F относитель-
относительно оси (черт. 22) равен моменту
её проекции Fx на плоскость
П, перпендикулярную к оси.
§ 12. Векторное произве- ерт*
дение. Заменяя в определении
момента силы вектор силы каким-либо другим вектором, например
вектором количества движения, мы получим момент количества дви-
движения и т. д. Все эти моменты имеют целый ряд общих свойств,
которые оказалось возможным объединить в общее учение о вектор-
векторном произведении.
Пусть будут даны два свободных вектора а и Ъ. Перенесём эти
векторы в произвольную точку А пространства и построим на них
параллелограмм ABDC, как это показано на черт. 23. Из двух

44 МОМЕНТ СИЛЫ Й ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ (гЛ. tt
сторон плоскости параллелограмма будем считать положительной ту
сторону, на- которую следует встать, чтобы, переходя от первого
вектора а ко второму вектору Ь, перемещаться в положительном
направлении, т. е. против часовой стрелки. Вместо этого построения
можно применить ещё следующее. Через конец первого вектора а
проведём второй вектор Ь так, чтобы его начальная точка совпала
с концом первого, и дополним полученную ломаную линию ABD из
двух колен до параллелограмма ABDC. Будем считать положитель-
положительною ту сторону площади параллелограмма, которая останется с левой
руки, если будем обходить эту площадь, двигаясь сначала вдоль
первого вектора, а затем вдоль второго. Этот второй способ постро-
построения будет использован ниже, в § 13, при изображении момента силы
через векторное произведение. Если за первый вектор мы примем Ь,
а за второй вектор — вектор а, то положительной стороной сделается
другая сторона параллелограмма. Найдём площадь параллелограмма
ABDC и условимся изображать её символически отрезком с, взяв
для длины его столько каких-нибудь линейных единиц, сколько
в площади параллелограмма содержится квадратных единий, и
построив его с положительной стороны параллелограмма перпендику-
перпендикулярно к плоскости параллелограмма. Наложим на образованные выше-
вышеуказанным способом отрезки с ещё новое условие, что их можно
геометрически складывать; это новое условие в противоречии с оп-
определением отрезка с не находится, и ниже в этом же параграфе
смысл таких сложений будет выяснен. Вместе с тем будет также
выяснено, что действие получения отрезка с из векторов а и Ь обла-
обладает характерными свойствами умножения. Поэтому отрезок с будет
вектором, а самое получение вектора с из векторов а и b называется
векторным умножением; векторное умножение изображается косым
крестом:
. B.1)
Вектор с называется векторным произведением векторов а и Ь.
Итак, векторным произведением двух векторов называется
вектор, модуль которого равен значению площади параллело-
параллелограмма, построенного на этих векторах, и который направлен
перпендикулярно к плоскости этого параллелограмма с её поло-
положительной стороны.
Так как от перемены порядка векторов меняется положительная
сторона площади параллелограмма, то имеем:
&Хя = — <*ХЬ; B.2)
в самом деле, вектор Ъ X # по модулю равен вектору а)^Ь, но
направлен в противоположную сторону.
Из тригонометрии известно, что площадь параллелограмма равна
произведению его сторон, умноженному на синус угла между ними.

§ 12] ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 45
Поэтому, обозначая угол между векторами а и Ь через <р> мы будем
иметь:
г == |а X *I = «*sin<p (*><p>0). B.3)
Отсюда следует, что векторное произведение двух параллельных
векторов равно нулю, так как для них будет или ср = 0, если они
направлены в одну сторону, или ср = тг, если они направлены в про-
противоположные стороны. Обратно:
Если векторное произведение двух векторов равно нулю, то
эти векторы между собой параллельны.
Если модули а и b векторов а и b между собой равны, а сами
векторы взаимно перпендикулярны, то будет | а X Ь | = а2.
Применяя эти правила к единичным векторам /, у, А, мы получим
формулы:
*Х* = 0, УХУ = 0, *Х* = 0; B.4)
/ = —УХ* =*,
B.5)
Формулы B.5) получаются из того соображения, что модули ве-
векторов /, у, & равны единице; следовательно, например, произведе-
произведение /ХУ по модулю равно значению площади квадрата, построен-
построенного на единичных векторах / и у, т. е. равно единице, направлено
же оно по положительному направлению оси Oz.
Мы видим, что для векторного произведения переместительный
закон применим лишь с точностью до знака, так как при перемене
порядка множителей векторное произведение, не меняясь по модулю,
свой знак изменяет на противоположный.
Непосредственно ниже мы покажем, что распределительный закон
применим к векторному произведению полностью. При этом вектор-
векторные произведения будут геометрически складываться, чем подтвер-
подтверждается, что векторное произведение с есть действительно вектор.
Всё вышеизложенное оправдывает наименование векторного умно-
умножения^ которое дано действию получения вектора с из векторов а и
Ъ согласно формуле B.1).
Чтобы доказать применимость закона распределительного, рассмот-
рассмотрим три каких-нибудь вектора av a2 и Ь и покажем, что будет:
Введём для простоты обозначения
тогда предыдущее подлежащее доказательству равенство представится
в виде

МОМЕНТ СИЛЫ Й ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗПЁДКНИЁ
[гл. tt
Рассмотрим сначала тот случай, когда три вектора av а2 и b не
параллельны одной плоскости. Перенесём их в какую-нибудь точку А
пространства и построим на них параллелепипед ABCDAlB1ClD1
(черт. 24). Проведём плоскость, перпендикулярную к боковым рёбрам
этого параллелепипеда; в сечении с гра-
^ нями параллелепипеда она образует
перпендикулярное сечение LMNP, пред-
представляющее параллелограмм со сторо-
сторонами hx и h2 и диагональю Н. Повер-
Повернём этот параллелограмм в его плоскости
на прямой угол вокруг точки L в на-
# правлении к читателю; тогда отрезки
hv h2 и Н пойдут по направлениям
векторных произведений аг X Ь, а2 X b
и d X b. He изменяя направления сто-
сторон этого повёрнутого параллелограмма,
увеличим длину его сторон в b раз,
чтобы было LM1 = bhv LPX = bh2 и
LNX = ЬН. Так как модули векторов
Д
р
1*1
7"
'в
а.
cv ?2, с равны соответственно сх
ABB^ AD^
Черт. 24.
= пл..
= bh2, с = пл. АСС^ == ЬН, то мы
видим, что отрезки LM19 LPl и LNt и
по величине и по направлению представят векторы cv c2 и с; следова-
следовательно, предложение, что c==-cx-\-c2i доказано.
Предположим теперь,
одной плоскости; тогда,
С
что три вектора av a2 и b параллельны
снеся их в одну точку пространства, мы
увидим, что эти три вектора лежат
h в одной плоскости, и потому пре-
предыдущего параллелепипеда построить
уже нельзя. Однако нетрудно дока-
доказать, что и в этом случае закон
распределительный имеет место.
В самом деле, пусть три вектора а19
а% и b после перенесения их в одну
точку А расположатся, например,
так, как показано на черт. 25.
Построив векторы axy^bf a% X b и
d X Ь в точке Л, мы найдём, что все эти три вектора будут перпен-
перпендикулярны к плоскости чертежа, и, следовательно, доказательство
геометрического равенства в этом случае приводится к доказательству
арифметического равенства сг-J-с2 = с. Но мы имеем:
сг = axb sin cpj, c2 = аф sin cp2, c = db sin <p;
поэтому доказательство равенства с1 -\- с0
тельству равенства ^ sin ^ + ^ sin % Jd sin
Черт. 25.
с равносильно доказа-

§ 12] ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 47
Из черт. 25 видно, что
ССг = СК+Щ = DDt + ВВ[,
но
я! sin ^ = ВВ1 = АТС, д2 sin <р2 = #?>i = СХК, d sin cp = CClf
и теорема доказана. Нетрудно убедиться в верности предложения
и в тех случаях, когда вектор b лежит по другую сторону векторов
ах и а2 или между ними. Таким образом, во всех случаях мы имеем:
2X& = @i + OX&. B.6)
Меняя порядок сомножителей, мы получим:
— Ь X «1 — Ь X «2 = — Ь X («1 + Од),
или
6Х«1 + йХ«2 = 6(«1 + Од). B.7)
Повторяя тот же приём, который употребляется при выводе пра-
правила умножения многочлена на многочлен из правила умножения
многочлена на одночлен, мы будем иметь:
(a + b)X(c + d)~=aXc + aXd+bXc+bXd. B.8)
Очевидно, что сумма, стоящая в правой части формулы B.8), есть
геометрическая сумма.
Легко видеть, что если тип суть скаляры, то должно быть:
amXbn = (aXb)m • п. B.9)
Опираясь на.формулы B.8) и B.9), нетрудно получить выражение
векторного произведения двух векторов, когда эти векторы выражены
через единичные векторы /, у, k. В самом деле, пусть будет дано:
Применяя формулы B.8) и B.9), мы получим:
с = а X Ь = (lax+jay + kas) X (iba +jby + kbz) =
= (i X i) axbx + {I X /) «Л + (/ X *)«A +
+ U X *) e^o, + (J X /) а Д + (y X ft) a A +
+ (k X О «Л + (* X 7) «Л + (* X *) a A-
Отсюда на основании формул B.4) и B.5) мы будем иметь:
с = i (aybz — azby) +y {axbx — аж62) -j- k (axby — в А,). B.10)
Выражая вектор с через те же единичные векторы /, у, k по
формуле

48
МОМЕНТ СИЛЫ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
[ГЛ. XI
мы придём к формулам, представляющим проекции векторного про-
произведения двух векторов на оси координат через проекции на оси
координат обоих умножаемых векторов, а именно:
B.11)
Формулу B.10) можно представить ещё символически следующим
образом:
i j k
B.12)
Количество, стоящее в правой части формулы B.12) и изобра-
изображаемое символически таблицей, помещённой между двумя вертикаль-
вертикальными чертами, называется определителем, или детерминантом.
Количества, входящие в таблицу, называются элементами опреде-
определителя; элементы, стоящие в одном и том же горизонтальном ряду,
составляют строку, в. в одном и том же вертикальном ряду — столбец.
Вычёркивая какую-нибудь строку и столбец, например первую строку
и первый столбец, мы получаем определитель
а„ а,
который называется минором определителя B.12) относительно эле-
элемента /. Условимся определитель с двумя строками и столбцами вы-
вычислять по следующей формуле:
-ad — be. B.13)
После этого легко дать следующее правило вычисления определи-
определителя B.12), приводящее к формуле B.10):
Чтобы вычислить определитель B.12), следует первый элемент
первой строки умножить на его минор, отсюда вычесть произведение
второго элемента первой строки на его минор и к результату приба-
прибавить произведение третьего элемента первой строки на его минор.
(В правой части формулы B.10) второй член имеет знак плюс, так
как знак минус введён внутрь скобки.)
§13. Момент силы как векторное произведение. Момент силы
относительно точки, определение которого было дано в § 10, легко
истолковать как векторное произведение. В самом деле, пусть будет
дана сила F и требуется найти её момент относительно точки О. Для
этого построим моментный треугольник ОЛВ и назовём прямолинейное

§ 13]
МОМЕНТ СИЛЫ КАК ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
49
перемещение ОЛ, соединяющее данную точку О с началом А вектора
силы /% радиусом-вектором г точки А (черт. 26). Составляя по ука-
указанному в § 12 правилу векторное произведение гХ^> мы легко
увидим, что это векторное произведение и по величине и по направле-
направлению представляет момент М,
т. е.
М^гХ/7. B.14)
Формула B.14) не находится
в противоречии с определе- С*"""'"
нием силы как вектора сколь- ч^ч
зящего. В самом деле, пе- чч
ренесём точку приложения
силы по прямой её дейст-
действия в какую-нибудь другую
точку А и обозначим век-
вектор, соединяющий точку О
с точкой А', через г'. Так как гг = г -}- АА', то момент относитель-
относительно точки О силы F, перенесённой в точку А', будет равен
Черт. 26.
в силу того, что АА' y(F=Q. Заметим, что в механике приходится
находить не только моменты сил, но и моменты других векторов; все
эти моменты вычисляются по формуле B.14).
Обозначим проекции вектора М на оси координат через МХУ Му
и Mz\ тогда
M iM+JM+kM B.15)
Применяя формулы A.13), A.15) и B.12), мы получим для момента М
силы F относительно начала координат О следующее выражение:
к
z
X Y Z
I j
х у
B.16)
Обращаясь к формуле B.15) и раскрывая определитель формулы B.16)
по формуле B.10), мы найдём:
Формулы B.17) представляют проекции Мх, Му, Mz
на оси координат, т. е. на основании § 11 моменты силы
тельно осей Ох, Оу и Oz,
B.17)
момента М
F отноаь

50 МОМЕНТ СИЛЫ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ [ГЛ. II
Аналогично формулам A.17) и A.18) мы получим;
МХ = М cos a, My
B.18)
C0SC==,M,
M ' M
Из формул B.17) следует, что
B.19)
Равенство B.19) выражает, что равенства B.17) нельзя рассматривать
как три независимых уравнения относительно трёх неизвестных лг, у,
г у т. е. из трёх уравнений B.17) по данным силе F и её моменту М
нельзя определить единственную точку Л (х, у, z). В этом нет ничего
удивительного, так как сила F есть вектор скользящий, и уравне-
уравнения B.17) в сущности суть уравнения прямой действия силы F.
Точно так же мы имеем:
хМх+уМу-{-гМя = 0. B.20)
Отсюда следует, что из трёх уравнений B.17) нельзя определить
единственную силу F, когда даны момент М и точка Л (д;, у, z).
В самом деле, обозначая угол /JOAB (черт. 26) через <р, мы по-
получим:
М = Fr sin <p,
т. е.
F sin ф = —.
Таким образом, при данной правой части последнего равенства значе-
значение модуля силы F зависит от взятого угла о.
Иногда бывает необходимо определить момент силы не относи-
относительно начала координат О, а относительно какбй-нибудь точки СУ
с координатами (д/, у', г'). Обозначим момент силы F относительно
точки О' через М', а его проекции через Мх, My, m'S) так что будет:
М' = iMx + jMy + kM'a.
Положим:
тогда по формуле B.14) мы получим:
Соединяя точку О с точкой О' вектором d=OO' (черт. 27), мы
имеем:
d=i
далее будет:

§ 13]
МОМЕНТ СИЛЫ КАК ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
51
ИЛИ
= г—а.
Отсюда мы получаем:
Ж/ = (г — d)XF. B.21)
Применяя к правой части этого равенства формулу B.6) и обращая
внимание на формулу B.14),
мы будем иметь:
М ¦— АЛ - // N/ Р (О ООЛ
Таким образом:
Момент силы относитель-
относительно точки 0г равен моменту
силы относительно точки О
без момента относительно
точки О той же силы, но пе-
перенесённой параллельно самой
себе в точку 0\
Если будет d\\F, то из фор-
формулы B.22) мы получим, что
М' = М; следовательно, мо-
момент силы не меняется, если
перемещать точку, относительно которой вычисляется момент, вдоль
прямой, параллельной силе.
Дадим теперь координатные выражения полученным векторным
формулам. Так, из формулы B.21) мы будем иметь:
i J
Черт. 27.
х — х? У—У z — z'
X Y Z
т. е.
М^(х — x!)Y — {у— У)Х.
Обращаясь к формуле B.22), мы получим:
B.23)
B.24)
1
X
J
/
Y
k
г'
Z
или
Мгх = Мх — (y'Z — zf Y\
B.25)

52 МОМЕНТ СИЛЫ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ fnf. Ц
Из формул B.25) следует, что будет: Мх = Мх, Му = Му, Mz = М&9
т. е. М' = М, если
т. е. если
Это есть уравнение прямой, проходящей через точку О и параллель-
параллельной силе F. В самом деле, при перемещении точки О' по этой
прямой момент М относительно точки О' меняться не должен, так
как при перенесении вершины треугольника по прямой, параллельной
основанию, площадь треугольника не меняется, и треугольник остаётся
в той же плоскости.
Совершенно очевидно, что если сила лежит в плоскости Оху, и мы
ищем момент М силы относительно точки той же плоскости, напри-
например, относительно точки О, то вектор М будет параллелен оси Ог,
и мы получим:
М = ЬМЯ = k (xY—yX). B.26)
Для другой точки О' с координатами (л/, уг) мы будем иметь:
М! = Шг — Ь(х!У —у' X). B.27)
§ 14. Примеры. Задавая проекции силы F на оси Oxyz системы прямо-
прямоугольных координат, будем писать: F (X, Y, Z), а задавая координаты точки
приложения А силы, будем писать: А (х, j/, z).
4. Дана сила F B, 3, 4) с точкою приложения А(—1, —5, 6); найти мо-
момент М (Мх, Myt Mz) этой силы относительно начала координат. Мы имеем:
Мх = yZ — z Y =— 5 • 4 — 6 • 3 = — 38,
Му = zX — xZ = 6-2 + 1.4=16,
Me = xY—yX = — 1.3 + 5. 2 = 7.
Отсюда находим:
M = V382 + 16a + 72 == У1749,
—38 ,16
COSfl= r , ... COS^ = -~- , COS С =
У1749 /1749
Выполняя вычисления, получим:
М = 41,821, л == Хбб^УОг^, 6 = 67°30'23", с =
5. Найти общий момент относительно точки О! системы сил F1(lt 2 3)
F2 C, 4, 6), Fd F, 7, 8) с точками приложения Аг @, 0, 1), Л2 C,0, 0), Л3 C, 2, 1)!
Мы имеем:
0.3 — Ь2 = — 2, М1у = г^Х—х^** Ы— 0-3 = 1,
= 0 • 6 — 0 • 4 = 0, М2у = г2ЛГ—jf2Z2 = 0 • 3—3. 6=—18,
? =-Кз^з — «гз^з = 2 • 8 — 1 • 7 = 9, М% = z3X ~~ x3Z3== 1. 6—3. 8=—18;
Ми = Х!^— jf^ = 0.2 — 0.1=0,
Ж2г = x2Y2— у2Х2 = 3 • 4 — 0-3 = 12,
Л^аг = х^г—УгХ* -3.7 — 2.6 = 9.

141
Примеры
53
Так как первая сила F± проходит через точку Аь находящуюся на
оси Ozf то её момент Mls относительно оси Oz должен быть равен нулю;
так как вторая сила F2 проходит через точку Л2, находящуюся на оси Ох,
то её момент М2х относительно оси Ох должен быть равен нулю; равенство
нулю обоих этих моментов видно из предыдущей таблицы с вычислениями.
Отсюда для проекций общего момента мы находим:
, Л/Г ! ал i Л/Гя о -L П _L Q 7
—.— л.Ул.'Лпл I sVIOnr* Г /riO^t ¦ "* ¦ Air I V/ г С/ —— / ¦
Му = М1у +Л122/ + Мщ = 1 — 18— 18 = — 35,
Мг = М и + M2z + M3s = 0 + 12 + 9 = 21.
Следовательно, будет:
м
cos # = •
cos b =
--35
УШ5'
COS? :
21
1715
Выполняя вычисления, получим:
М = 41,413; а = 80°16'07"; Ь = 147°41/18^;
с = 59°31'47".
6. Косинусы углов двух свободных векторов а,\ и а2 с прямоугольными
осями Oxyz соответственно равны (аь $lt Yi) и (а2, р2» Тг)» найти синус угла у
между обоими векторами а^ и а2 (к %. ср %> 0). Перенесём векторы а± и а2
параллельно самим себе в какую-нибудь точку А пространства и отложим на
них единичные векторы а\ и а2; очевидно, что проекции векторов а\ и а\
на оси координат будут соответственно равны (аь р1; fi) и (а2, р2, f2). Составим
векторное произведение а^Хп^ оно будет равно
alXal-
Так как
: t (P1T2 ~
то отсюда и находим:
sin ф ==
| aj X ^21 = 1 • 1 • sin ср = sin <
2 + (№ - «47sI + («A -

ГЛАВА III.
СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
§ 15. Разные типы сил. В предыдущих параграфах при рас-
рассмотрении и описании свойств сил мы прибегали к представлениям
прикреплённой к телу в какой-нибудь его точке верёвки, за кото-
которую тянут, твёрдого стержня, концом которого тело толкают, и т. п.
Отсюда мы пришли к представлению силы как вектора, который
можно изобразить прямолинейным отрезком. Однако наблюдение над
различными явлениями природы и размышление убеждают нас в том,
что представление силы значительно сложнее; именно, силы можно
разбить на три типа: объёмные, поверхностные и сосредоточенные.
Объёмной силой называется сила, распределённая по всему объёму
тела, например сила тяжести. В самом деле, нет даже самой малей-
малейшей частицы тяжёлого тела, которая не весила бы и, следовательно,
к которой не была бы приложена сила тяжести. Поверхностной си-
силой называется сила, распределённая по поверхности тела, например,
сила трения. Наконец, сосредоточенной силой называется сила, при-
приложенная в точке тела. Так же как геометрические точки, линии и
поверхности, сосредоточенные и поверхностные силы суть чистые
отвлечения; реально существуют лишь объёмные силы. Однако изу-
изучение сосредоточенных и поверхностных сил так же целесообразно
в механике, как и изучение точек, линий и поверхностей в геомет-
геометрии. В сущности в курсе теоретической механики мы всюду будем
иметь дело с сосредоточенной силой и уже от неё, разбивая поверх-
поверхность или объём на бесконечно малые элементы, к каждому из кото-
которых приложена сосредоточенная сила, переходить способом пределов
к поверхностным или объёмным силам.
§ 16. Связи и их реакции. Если для материальной точки возможны
движения в любом направлении, а для тела возможны все движения,
поступательные и вращательные, то говорят, что материальная точка или
тело свободны. Если же для них возможны не всякие движения, то гово-
говорят, что на них наложены связи. Например, шарик с отверстием, наде-
надетый на проволоку, может перемещаться только вдоль проволоки; следова-
следовательно, на шарик наложена связь. Если, например, точка всегда должна
оставаться на поверхности, то на точку наложена связь, осуществляемая
этой поверхностью. Дверь, вращающаяся в петлях, ограничена в своих

§ 161 связи и их реакции 55
движениях связями, осуществлёнными закреплением двух точек двери
в петлях. Если тело или точка не могут покинуть связь, то связь
называется удерживающей) таков, например, случай шарика с отвер-
отверстием, надетого на проволоку, или случай двери, вращающейся
в петлях. Если же тело или точка при некоторых движениях могут
покинуть связь, то связь называется неудерживающей. Например,
камень, лежащий на столе, можно перемещать по столу, при этом
связь не нарушается; но можно и поднять камень, сняв его со
стола,—при таком движении связь нарушается. Следовательно, на
камень, лежащий на столе, наложена неудерживающая связь. Необ-
Необходимо отметить, что мы считаем связи физически неразрушимыми и
потому не считаем возможным, например, такое движение, при кото-
котором камень пробивает доску стола.
Рассмотрим стол, стоящий на горизонтальном полу. Вследствие
своего веса стол давит на пол через свои ножки, и с такими же по
величине силами, по закону равенства действия и противодействия,
пол давит на каждую ножку стола. Если бы стол был невесом, то он
не давил бы на пол и, следовательно, пол не давил бы на ножки
стола. Накладывая на стол какой-нибудь груз, мы изменим давление
ножек стола на пол и, следовательно, изменим и давление пола на
ножки стола. Отсюда мы заключаем, что если на покоящееся тело
или материальную точку, на которые наложены связи, действуют
силы, то тело или точка будут воздействовать на связи, и в свою
Очередь связи будут воздействовать на тело или точку. Эти силы
воздействия связей называются реакциями связей. Реакции суще-
существуют лишь тогда, когда под действием приложенных сил по-
покоящиеся тела или материальные точки воздействуют на связи;
как только действия сил на покоящиеся тела или материальные
точки прекращаются, одновременно прекращаются и действия ре-
реакций.
Силы, приложенные к материальному объекту, благодаря которым
материальный объект воздействует на связи, а связи развивают реак-
реакции, называются активными силами) реакции же связей называются
иначе пассивными силами^ так как их существование обусловлено
наличием активных сил, от которых и зависят, вообще, их величина
и направление.
В некоторых случаях возможно непосредственно найти реакции
связей и по величине и по направлению. Рассмотрим, например, тяжё-
тяжёлую материальную точку, лежащую на горизонтальной плоскости.
Очевидно, что с какой силой точка давит на плоскость, с такой же
по величине силой, но в прямо противоположном направлении пло-
плоскость давит на точку; таким образом, реакция плоскости по вели-
величине равна, а по направлению противоположна весу точки. Заметим,
что сила давления точки на плоскость и реакция плоскости, будучи
равными по величине и противоположными по направлению, прило-
приложены к разным телам; первая — к плоскости, вторая — к точке;

56
СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
[ГЛ. III
Д
Черт. 28.
(Я,
поэтому, рассматривая силы, приложенные к этой материальной точке,
нельзя устранить из рассмотрения реакцию плоскости, считая её урав-
уравновешенной силой давления точки на плоскость.
В большинстве случаев реакции бывают неизвестны как по своей
величине, так и по направлению. Однако можно указать несколько
простейших случаев, когда направле-
направление реакции можно определить вне
зависимости от активных сил.
Рассмотрим главнейшие из этих
случаев.
Если точка или тело могут -сколь-
-скользить по поверхности или по линии
без трения, то реакция направлена
нормально к поверхности или линии,
вдоль которых может происходить
скольжение.
В самом деле, предположим, что точка А находится на поверх-
поверхности S (черт. 28). Если трения нет, то нет никакой силы, направ-
направленной по касательной к поверхности, которая мешала бы передви-
передвижению точки А по поверхности S. Следовательно, реакция R должна
быть направлена по нормали к по-
поверхности.
Если поверхность или линия
могут скользить без трения по
неподвижной точке или телу,
то реакция направлена по нор-
нормали к этой поверхности или
линии.
Доказательство такое же, как
и в предыдущем случае. При-
Пример, представленный на черт. 29,
охватывает оба случая; тяжёлая
балка ABC весом Р может сколь-
скользить без трения своим концом А
по горизонтальной плоскости и своей поверхностью — по столбу DB\
сила реакции Rx в точке В направлена по .нормали к балке ABC,
а сила реакции /?2 в точке А направлена по нормали к горизон-
горизонтальной плоскости MN.
Хотя скольжения без трения на самом деле и не существует, но
если силы трения малы по сравнению с другими входящими в за-
задачу силами, то часто бывает допустимо силами трения пренебречь
и рассматривать условные объекты — связи без трения, — как это
только что было сделано. Связи без трения называются идеальными
связями] во втором томе настоящего курса в главе, посвященной
учению о работе и мощности, будет дано более общее определение
идеальных связей.

§ 16] СВЯЗИ Й ИХ РЕАКЦИЙ 57
Если связь осуществлена нитью, то реакция направлена вдоль
нити.
В самом деле, вообразим тяжёлую точку А с весом Р, подве-
подвешенную на нити АВ (черт. 30); очевидно, что реакцией является
сила Т вдоль нити, по величине равная весу Р точки А и ему про-
противоположная. Конечно, если, например, тяжёлая нить будет распо-
расположена не вертикально, а наклонно к горизонту, то под влиянием силы
тяжести нить примет криволинейную форму; тогда сила 7 в её
конце, будучи по величине равной силе, приложенной к этому концу,
а по направлению — ей противоположной, будет вместе с тем распо-
расположенной вдоль касательной к нити в её конце. Таков, например,
случай телеграфной * проволоки, натянутой между двумя столбами.
В настоящем курсе мы будем рассматривать нити лишь с таким не-
незначительным весом единицы их длины и с такими малыми длинами,
что всегда весом всей нити можно будет пренебречь; поэтому в даль-
дальнейшем натянутая нить всегда будет считаться прямолинейной, а реак-
реакция— направленною вдоль её длины.
Если связь осуществлена твёрдым стержнем, весом которого
пренебрегают и который имеет на концах шарниры, то реакция
направлена вдоль стержня.
В самом деле, вообразим стержень АВ, укреплённый на шарнире
в точке В, к которому подвешена тяжёлая точка А с весом Р\ мы
получим здесь тот же случай, какой
представлен на черт. 30. Если на
конец А стержня АВ, подвешенного ^%^^%^
на шарнире В, мы будем давить
с силой F, направленной вдоль
стержня АВ (черт. 31), то разовьётся
реакция Т, равная по модулю силе F
и направленная вдоль длины стерж-
стержня АВ в противоположную сторону
по сравнению с силой F.
Если величина силы F перейдёт
д
некоторый предел, то реальный ма- „ «q qeD 31
териальный стержень АВ изогнётся; Рт- •
изогнутая форма стержня в этом слу-
случае определяется в теории сопротивления материалов. В настоящем
курсе сила F будет всегда предполагаться меньшею этого предела,
так что стержень будет оставаться прямолинейным.
В только что разобранных случаях направление реакций опреде-
определялось независимо от активных сил самим характером связей.
Однако в общем случае реакции бывают неизвестны ни по
величине, ни по направлению. Рассмотрим, например, тяжёлую
дверь, висящую на двух петлях, за ручку которой мы тянем, стре-
стремясь сорвать дверь с петель. Очевидно, что дверь действует с
некоторыми силами на петли, и таковы же будут по величине, но

58 СЯЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ [ГЛ. III
противоположны по направлению реакции петель; но мы здесь не
знаем непосредственно ни величины этих реакций, ни направлений,
по которым они действуют.
§ 17. Основная задача статики. В предыдущем параграфе мы
видели, что механически все действия связей приводятся к развивае-
развиваемым ими реакциям. Поэтому вместе с силами, непосредственно при-
приложенными, на материальные точки и тела действуют в большин-
большинстве случаев ещё реакции связей, чем механически и ограничивается
воздействие связей на материальные точки и тела. Очевидно, что,
присоединяя к данным силам ещё реакции связей, можно рас-
рассматривать материальные точки и тела как"свободные.
Основная задача статики состоит в том, чтобы узнать, могут ли
под действием данных сил и реакций связей материальные точки и
тела оставаться в абсолютном равновесии.
Очевидно, для этого достаточно знать, в каких случаях все силы,
приложенные к свободному материальному объекту, взаимно, уравно-
уравновешиваются. Обычно в курсе статики эта задача не решается сразу
для общей системы сил; большей частью к общему случаю подходят
постепенно, рассматривая сначала сходящиеся силы, затем параллель-
параллельные силы, потом плоскую систему сил и, наконец, уже общую си-
систему сил.
Всякая задача на равновесие приводится к составленю и ре-
решению уравнений равновесия^ в которые входят все действующие
на материальный объект силы. При этом реакции являются, вообще,
неизвестными силами в задачах статики, и их приходится определять.
Найдя величины и направления реакций, мы можем, например, судить,
выдержат ли тела, осуществляющие связи, приложенную к ним на-
нагрузку или нет.
При рассмотрении уравнений равновесия могут иметь место три
случая. 1) Число уравнений равновесия может быть больше числа неиз-
неизвестных реакций; в этом случае, исключая из уравнений равновесия
реакции, мы получим уравнения, связывающие между собой данные
геометрические и механические характеристики материального объекта;
равновесие будет возможно лишь при удовлетворении этих уравнений.
Поэтому эти уравнения, не содержащие неизвестных реакций, назы-
называются условиями равновесия» 2) Если число уравнений равновесия
равно числу неизвестных реакций, так что из них все реакции можно
определить, то в этом случае условий равновесия не существует, и
из уравнений равновесия определяются лишь неизвестные реакции.
Случаи первый и второй объединяются в общем названии: стати-
статически определимые случаи. 3) Если из всех уравнений равновесия
все реакции определить нельзя, например, потому, что уравнений
меньше, чем неизвестных реакций, то такой случай называется ста-
статически неопределимым случаем. В статически неопределимых слу-
случаях теорем статики уже недостаточно, и приходится прибегать для

§ 181 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 59
определения всех реакций к рассмотрению упругих свойств тел; по*
этому учение о статически неопределимых случаях излагается в теории
сопротивления материалов, и в настоящем курсе теоретической меха-
механики мы им заниматься не будем.
§18. Скалярное произведение. Как мы увидим ниже, в механике
весьма часто приходится иметь дело с такими случаями, когда про-
произведение модулей двух векторов умножается на косинус угла между
ними. В частности, проекцию вектора на какую-нибудь ось численна
можно истолковать как произведение модуля проектируемого вектора
на модуль единичного вектора, взятого вдоль оси, умноженное на
косинус угла между этими векторами. Если а и Ь суть два вектора,
а <р— угол между ними, то мы рассматриваем здесь произведение
ab cos ср. C.1)
Так как к таким выражениям применимы, как мы увидим ниже,
законы переместительный и распределительный, то операция получе-
получения из двух векторов а и Ь скалярного выражения ab cos ср получила
название скалярного умножения. Скалярное умножение изображается
символом
а • Ь, C.2)
так что будет:
а • b = ab cos ср. C.3)
Следовательно:
Скалярным произведением двух векторов называется произве-
произведение их модулей, умноженное на косинус угла между векторами.
Очевидно, что скалярное произведение двух векторов можно опре-
определить ещё иначе как произведение модуля одного вектора на
проекцию на этот вектор второго вектора.
В зависимости от значения угла ср скалярное произведение, опре-
определяемое формулой C.3), может быть положительным (ср < ^-)>
/ ^ « \ .. / ^ \
отрицательным (ср > — J или нулем (ср = —j.
Если два вектора взаимно перпендикулярны^ то скалярное про-
произведение этих векторов равно нулю.
Из формулы C.3) следует, что к скалярному умножению применим
переместительный закон, так как будет:
а • b — ab cos ср = Ь • а.
Заметим, что в силу только что сказанного должно быть:
*.у=0, У-й = О, ft.* = 0. C.4)
Если b = а, то
а • Ь^» а ¦ а = аа cos 0 == а2?

60 СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ [ГЛ. III
т. е. скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату
модуля этого вектора. Отсюда следует, что должно быть:
/./=1, у.у=1, /ЬА = 1. C.5)
Покажем теперь, что к скалярному произведению применим закон
распределительный. Пусть будут даны три вектора av a2 и Ь\ тре-
требуется доказать, что
«! • &+я2 • Ь = {ах + а2) • 6,
Обозначим углы векторов а19 а2 и с = а1-^а% с вектором Ь через <Pi>
<р2 и ср. Так как согласно § 5 проекция результирующего вектора
равна сумме проекций составляющих векторов, то должно быть:
aicos ?i ~Ь а2 cos ?2= с cos ?>
или Ьаг cos cpj + #а2 cos ср2 == be cos cp,
т# е# аг . & + а2 • ft = (^ + 08) • &. C.6)
Отсюда, применяя переместительный закон, мы получим:
Ь . аг + b - а2 = 6 • (аг + а2). C.7)
Повторяя те же рассуждения, которые употребляются при выводе
правила умножения многочлена на многочлен из правила умножения
многочлена на одночлен, мы будем иметь:
(а +ft). (* +ф = а-с +в •«'+*•* + *•<'. C.8)
Опираясь на формулу C.8), нетрудно получить выражение ска-
скалярного произведения двух векторов для случая, когда эти векторы
выражены через единичные векторы /, у, k. В самом деле, пусть
будет дано:
а = lax +jay-{-kasy Ъ = ibx +jby + kbz.
Мы имеем по формуле C.8):
а • Ь = {iax +jay + kaz) • (ibx + jby + kbz) =
*)a A+
Отсюда, применяя формулы C.4) и C.5), мы получаем:
в • * = л А + а Д + а А. C.9)
Формулу C.9) можно выразить следующим образом:
Скалярное произведение двух векторов равно сумме парных
произведений одноимённых проекций этих векторов на три вза-
взаимно перпендикулярные оси.
Из формулы C,9) мы имеем:
ab cos ср == axbx -j- ayby -\~ агЬя1

§ 19] ПРИМЕРЫ 61
или
Отсюда, обозначая через (av pp fi ) и (аз» ?2> Тй) Углы» образуемые
векторами а и 6 с осями координат, и применяя формулы A.5), мы
получим:
cos <p = cos аг cos a2 -j- cos ^ cos р2 -f- cos -^ cos -f2. (ЗЛО)
Следовательно:
Косинус угла между двумя векторами равен сумме парных
произведений косинусов углов, образуемых этими векторами с осями
координат.
Выражения, которые не меняются при преобразовании прямоуголь-
прямоугольной системы координат в другую прямоугольную систему, называются
инвариантами. Так как величины, определяемые равенствами
= axbx + ayby + azbz,
не зависят ни от положения начала координат, ни от направления
осей координат, то будут инвариантами следующие выражения:
ахьх + ауьу + аА = ах'рХ' + ayby -f ая>Ья>,
где указатели х, у, z относятся к системе прямоугольных коорди-
координат Oxyz, а указатели х\ у', zf — к другой системе прямоугольных
координат O'xry'zr.
Мы знаем, что момент М силы F перпендикулярен к вектору F и- к
радиусу-вектору г начальной точки вектора силы; поэтому должно
быть:
Ж-/7=0, М-г = 0,
или в силу формулы C.9):
т. е. мы получаем формулы B.19) и B.20). Мы видим, насколько
быстро с помощью скалярного произведения получаются формулы
B.19) и B.20).
§ 19. Примеры. 7. Два вектора а и Ь определены своими проекциями
а B, 4, 6) и 6C, 7, 8) на оси прямоугольной системы координат Oxyz. Найти
проекцию второго вектора Ъ на направление первого вектора. Обозначая
через «р угол между векторами, имеем:
а • Ь = ab cos у;
отсюда получаем:
b + b
b cos ф = ^— =
а

62
СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Ггл. ш
Вставляя числа, находим:
2.3 + 4.7 + 6-8
6 cos 9 — ¦
82
у 22 + 42 + 62
41
Уы
= 10,958.
8. Пусть будут a, h, с п mf n, р шесть каких-либо количеств; проверить
тождество
(Я'2 + ^ + С2) (/И» +
= F/7 — cnf + (ли — apf + (л/2 — 6m)a.
Это тождество называется тождеством Лагранжа; из него следует, что
левая часть этого тождества всегда положительна или самое меньшее равна
нулю. Рассмотрим (а, 6, с) и (т, пу р) как проекции двух векторов на оси
прямоугольной системы координат Oxyz; тогда модули этих векторов будут
равны
Обозначая через (аь plr
с осями координат, имеем:
и (<х2, р2; ъ) косинусы углов этих векторов
ф + 62 + с*
b
а* + б2 + с*
с
- б2 + с2 у/7г2 + /г2 + р2
Разделив обе части подлежащего доказательству тождества на произведение
(ф + б2 + ??2)
ИЛИ
+ я2 + Л получим:
1 — cos2 <? = sin2 9,
Таким образом, тождество проверено.
9. Вычислить произведение а • (# X ?)•
a =
X ^ =
имеем:
к™ Ь„ b~
При вычислении искомого произведения необходимо миноры опре-
определителя, представляющего произведение b X ?> умножить соответ-
соответственно на ах1 ау и az, т. е. вместо /, j и k подставить ах, ау и а&\
таким образом, мы получим:
а
>Хс) =

ГЛАВА IV.
СХОДЯЩИЕСЯ СИЛЫ
§ 20. Равнодействующая и равновесие системы сходящихся
сил. Ниже всюду в статике, а также и'в других частях механики мы
будем иметь дело со случаями, когда к абсолютно твёрдому телу
приложена какая-нибудь система сил. Мы увидим, что сложную
систему сил по определённым правилам можно заменить простою
системою, действие которой на абсолютно твёрдое телоабудет таким же,
как и действие сложной системы. Эта замена сложной системы
простою системою называется приведением системы сил. Если система
сил приводится только к одной силе, то эта одна сила называется
равнодействующею системы сил, а приведение системы сил называется
в этом случае сложением сил. Более общо, если какая-либо меха-
механическая система элементов одного наименования может быть заменена
одним элементом того же наименования, то такая замена называется
в механике сложением по аналогии с арифметическим сложением, где
сумма имеет одинаковое наименование со слагаемыми. Таким образом,
понятие сложения уже понятия приведения, так как при приведении
механическая система элементов одного наименования заменяется си-
системою, которая может включать и элементы другого наименования.
Предположим, что к абсолютно твёрдому телу приложена система
сходящихся сил Fv F2, F%,..., т. е. таких сил, все прямые действия
которых пересекаются в одной точке. Эта общая точка пересечения
прямых действия сходящихся сил называется точкой схода. Обозначим
через А точку схода сил Fv F2, F%, ... и перенесём точки приложения
этих сил вдоль их прямых действия в эту точку Л, что возможно сделать
согласно § 2. Тогда по изложенному в § 3 все силы Fv F2, F3, ...
можно будет геометрически сложить, и мы получим в точке А резуль-
результирующую силу F, которая будет равнодействующей силой системы
сходящихся сил. По формулам A.12) и A.19) для равнодействующей F
и её проекций X, У и Z мы имеем:
п>
D.1)

64 СХОДЯЩИЕСЯ СИЛЫ [ГЛ. TV
Если равнодействующая системы сходящихся сил будет равна нулю,
то очевидно, что рассматриваемая система сходящихся сил не может
изменить ни состояния покоя, ни состояния движения материального
объекта; поэтому сходящиеся силы называются в этом случае взаимно
уравновешивающимися. Очевидно, что для этого необходимо и доста-
достаточно, чтобы многоугольник сил, составленный из сходящихся сил
Fv F2> Z^,..., был замкнутым. Таким образом, уравнение равнове-
равновесия в случае сходящихся сил в векторной форме имеет следующий
1 = 0. D.2)
В координатной форме уравнения равновесия будут:
D.3)
Так как за оси координат можно брать любые прямые, имеющие
одну общую точку, даже не перпендикулярные друг к другу (в по-
последнем случае мы будем иметь косоугольную систему координат),
то мы приходим к следующему правилу:
Чтобы система сходящихся сил была в равновесии, необходимо
и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на любые три не
параллельные друг другу и не параллельные одной плоскости на-
направления были равны нулю.
Если все сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то, конечно,
вместо трёх направлений для составления проекций сил достаточно
брать только два направления, лежащие в той же плоскости.
В случае трёх сходящихся сил многоугольник сил приводится
в случае равновесия к треугольнику; так как треугольник есть пло-
плоская фигура, то отсюда следует, что три сходящиеся силы могут
находиться в равновесии только в том случае, когда они лежат
в одной плоскости. При решении задач на равновесие системы сходя*
щихся сил уравнения D.2) и D.3) являются основными.
§ 21. Теорема Вариньона. Мы ввели в § 10 определение общего
момента системы сил; согласно этому определению общим моментом
системы сил относительно какой-нибудь точки называется геометри-
геометрическая сумма моментов отдельных сил этой системы относительно
той же точки. Поэтому, если rv r2, г3, ... суть радиусы-векторы,
проведённые из точки О в точки приложения Av A2i Л3, .., сил Fv
F2, Fg, ..., то общий момент М этой системы сил относительно
точки О есть сумма
+ M+yMyXf7 D.4)

§ 21J
ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА
65
Для случая системы сходящихся сил общий момент имеет простое
механическое истолкование, составляющее содержание теоремы Варинь-
она. Пусть будут Fv F%, /%j, ... —сходящиеся силы, имеющие точкою
схода точку Л) перенесём точки приложения этих сил вдоль их прямых
действия в точку схода Л, определяемую радиусом-вектором г = ОА.
Тогда будет:
Отсюда мы будем иметь:
или по формуле B.7):
Применяя к правой части этого равенства первую из формул D.1),
мы получим: м = мг + М2 + Мъ + ... = r XF. D.5)
Правая часть формулы D.5) представляет Момент равнодействующей
относительно точки О; таким образом, мы приходим к теореме
Варинъона для системы z
сходящихся сил:
Общий момент от-
относительно какой-либо
точка системы сходя-
щихся сил равен момен-
моменту относительно той
owe точки равнодейст-
равнодействующей.
Покажем, как, тюль- q
зуясь теоремой Вариньона,
можно получить формулы
B.17) для проекций МХУ
Му, Mz момента М
силы F. Пусть будет
г/
У
Черт. 32.
дана сила F; разложим её на три компоненты X, Y, Z, парал-
параллельные осям координат (черт. 32). По теореме Вариньона момент
относительно точки О равнодействующей силы F равен геометрической
сумме моментов относительно точки О составляющих сил X, Y и Z.
Но из формул D.4) и B.15) следует, что должно быть:
MV = MIV
¦•Ямпш,
= М
18
п
D.6)
мп
Формулы D.6) можно истолковать следующим образом г
3 Зак. 1709. А, И. Некрасов

66 сходящиеся силы (гя. iv
Момент относительно какой-либо оси равнодействующей схо*
дящихся сил равен сумме моментов относительно той же оси
составляющих сил.
Будем искать момент силы F, например, относительно оси Oz,
т. е. количество Mz. Из последней формулировки теоремы Вариньона
в применении к любой оси следует, что для определения количества М9
следует найти моменты относительно оси Oz сил X, К, Z и их ело- -
жить. Так как сила Z параллельна оси Oz, то её момент относительно
оси Oz равен нулю (§ 11); момент силы Y равен-j-xY, так как
расстояние силы Y от оси Oz равно х> и сила Y направлена отно-
относительно положительного направления оси Oz против часовой стрелки;
аналогично найдём, что момент силы X относительно оси Oz равен—уХ.
Таким образом, согласно третьей из формул D.6) будет:
Ж, = — yX + xY + Q = xY—yX%
т. е. мы приходим к последней из формул B.17).
§ 22. Примеры. 10. Тяжёлая точка с весом Р находится на абсолютно
гладкой наклонной плоскости, образующей угол у с горизонтом, под действием
силы Q, направленной вверх параллельно наклонной плоскости также под
углом <р к горизонту; требуется изу-
изучить равновесие точки,. Изобразив
силы Р и Q на черт. ЗЗ, переходим
к рассмотрению того,' имеются ли
связи. Очевидно, что на рассматри-
рассматриваемую материальную точку нало-
наложена связь, так как точка должна
оставаться на наклонной плоскости
ВС. Так как трения нет, то реак-
реакция R связи должна быть направлена
перпендикулярно к наклонной пло-
плоскости; отметим на чертеже силу /?.
Таким образом, мы пришли к разы-
еканию равновесия точки А под дей-
действием трёх сил: Р, Qf R.
Начнём с геометрического спосо-
способа решения задачи. Построим прежде
всего многоугольник сил, который для равновесия должен быть замкнутым, т. е.
для трёх сш P,QhR быть треугольником. Для этого проводим вектор, равный
и параллельный силе Р; из конца его проводим вектор, равный и параллель-
параллельный силе <?. Так как сила R перпендикулярна к силе Q, то, проведя на
черт. 34 из конца вектора Q прямую, перпендикулярную к вектору Q, мы
должны в случае равновесия увидеть, что проведённая прямая проходит
через начальную точку вектора Р; в этом и состоит геометрически выражен-
выраженное условие равновесия. Длина стороны R треугольника на черт. 34 опреде-
определяет модуль неизвестной по величине реакции /?. Из треугольника на
черт. 34 легко найти, что условие равновесия будет Q = Р sin 9, а реакция
определяется равенством /? = Р sin у, т. е. мы приходим к численному истол-
истолкованию полученных геометрически результатов.
Переходя к векторному способу решения задачи, начинаем с уравнения
равновесия в форме D.2), а именно:

§ 22]
ПРИМЕРЫ
67
Чтобы найти из этого уравнения модуль силы R, умножим уравнение
скалярно на единичный вектор R°\ так как будет Я° ± Q, то мы получим:
Так как угол между векторами Р и RQ равен те — 9? т0 отсюда находим:
— Р cos 9 + R = О,
т. е. приходим к прежней формуле для модуля силы R. Чтобы найти условие
равновесия, т. е. исключить силу R, умножаем уравнение равновесия ска-
скалярно на единичный вектор Q0; мы получим:
Так как угол между векторами Р и Q° равен -^ + <р, то мы находим:
т. е. приходим к условию равновесия в той форме, какая была получена
выше.
Наконец, решим ту же задачу аналитически. Для этого мы должны все
силы спроектировать на два непараллельных направления и суммы проекций
приравнять нулю. Выберем за эти направления направле-
направление СВ и направление силы /?. Проектируя все силы на
направление СВ, мы получим для проекций сил Р, Q, R соот-
соответственно:
поэтому первое уравнение будет:
— Р sin у + Q
y — ?) = — Psincp, Q, 0;
0.
R
Проектируя те же силы на направление силы R, мы будем
соответственно иметь:
— Р cos 9, 0, R;
поэтому в качестве второго уравнения мы получаем:
— Р cos <р + # = 0.
Черт. 34.
Необходимо остановиться на том, почему за направления
для составления проекций мы выбрали предыдущие направле-
направления. Чтобы выяснить выгоду именно этих направлений и полу-
получить правило, которого следует придерживаться, решим ту же задачу, взяв
за направления для составления проекций оси Ох и Оу (черт. 33). Составляя
проекции сил Р, Q, R на оси Ох и Оу, будем соответственно иметь:
Ох) 0, —-Qcos^p, /? cos f y — cp J = /? sin <p;
Oy) —P,
/?cos<p.
Составляя уравнения, мы получим:
— Q cos cp -f- R sin <p = 0, — P + Q sin cp + # cos <p = 0.
Мы видим, что величина /? реакции вошла в оба уравнения. Чтобы получить
условие равновесия, придётся количество R исключить. Для этого умножим
первое уравнение на —cos 9» второе на sin ср и сложим результаты; мы
полу чим:
Q cos2 ф — Р sin <p -J- у sin^ ср == 0#
3*

68
СХОДЯЩИЕСЯ СИЛЫ
[гл. iv
или
Q — Р sin <р = 0.
Чтобы найти значение силы R, умножим первое уравнение на sin ср, второе
на cos <р и результаты сложим; мы будем иметь:
или
/? sin2 <р —Pcos
R — Р cos <p
cos2 c
= 0.
Мы получили предыдущие уравнения, но лишь после алгебраических действий,
тогда как, взяв за направления для составления проекций направления СВ
и Rt мы получим эти уравнения
непосредственно. Нетрудно усмо-
усмотреть причину этого. Она заклю-
заключается в том, что прямая СВ пер-
перпендикулярна к R; поэтому при
составлении проекции силы R на
направление СВ мы получаем
нуль, при составлении же проек-
проекции силы R на направление R мы
получаем -J- /?, т. е. находим как
условие равновесия, так и модуль
реакции. Конечно, если бы на-
направление реакции не было из-
известно, то нельзя было бы выбрать
к ней перпендикулярного направ-
направления. Отсюда вытекает следующее
правило:
При составлении проекций
для исключения из уравнения
равновесия реакции, известной
по направлению, следует выби-
выбирать за направление, на которое проектируются силы, направление,
перпендикулярное к реакции.
11. Тяжёлая точка находится на окружности радиуса, равного а, и от-
отталкивается от вертикального диаметра Оу этой окружности с силой, равной
то>2х, где т есть масса точки, to2 — коэффициент пропорциональности и
х расстояние точки от прямой Оу. Изучить равновесие точки. Обозначим
угол, образуемый радиусом ОА, проведённым в рас-
рассматриваемую точку, с горизонтальною осью Ох через ср
(черт. 35). Так как и здесь точка несвободная, то к дей-
действующим силе тяжести mg, где g есть ускорение сво-
свободного падения, и силе то>2х следует присоединить
ещё реакцию связи R, которая пойдёт вдоль прямой АО.
Применяя геометрический приём, мы заключаем, что
силы mg, moJx и # должны образовать треугольник.
Начинаем построение с силы mg, известной по вели-
величине и направлению. Мы получим треугольник, изобра-
Черт. 35.
mute
Черт. 36.
р у ру, р
жённый на черт. 36, в котором сверх стороны mg, известной и по величине
и по направлению, известно только, что сторона та&х направлена горизон-
горизонтально. Из этого треугольника мы имеем:
т&2х = mg ctg ср.
Так как из черт. 35 видно, что будет х = a cos 9, то мы получим:
mw2a cos ff = mg ctg <?,

§ 22] примеры 69
или
cos ф ( то>2а г^—) = 0.
Y \ sin со У
sin ф/
Отсюда видно, что уравнение, выражающее условие равновесия, распадается
на два уравнения:
сг
cos ф = 0, sin ф = —~-.
Из того же треугольника мы находим для величины реакции R следующее
выражение:
* ~ sin ф '
в зависимости от значения угла ф величина реакции R имеет два значения:
R = mg, R = та>2а.
Прежде чем дать истолкование полученным результатам, решим ту же задачу
способом проекций.
Чтобы получить уравнение для определения величины силы R и условие
равновесия, достаточно за направления для проекций выбрать направления
АО и Лт, где Az идёт по касательной к окружности. Проектируя все силы
на эти направления, мы получим:
R — та>2х cos ф — mg sin ф = 0,
mg cos ф — то>2х sin ф = 0,
или
/? — тт2а cos2 ф — mg sin ф = 0,
mg cos ф — то>2а cos ф sin ф = 0.
Отсюда мы находим:
R = т (<*>2а cos2 ф + g s^n ф)>
cos ф (^ — аJл sin ф) =з 0.
Таким образом, мы приходим к тем же ответам, которые получили выше
геометрическим способом.
Из равенства sin ф = -~ следует, что должно быть ——— < 1, т. е.
0J^ Ж. в Следовательно, если о>2<; —, то возможно только одно положение
равновесия в точке 5, для которой будет cos ф = 0. Если же <о2 ;> —, то воз-
возможны два положения равновесия как в точке В, так и в той точке А, в ко-
которой равнодействующая сил та>2х и mg идёт по направлению радиуса ОА
и будет уравновешиваться нормальной реакцией R. Можно доказать, что
в этом последнем случае положение равновесия в точке А будет устойчивым,
а в точке В — неустойчивым.
J2. В точке А прикреплена нить, удерживающая тяжёлый груз Р{,
к концам нити, перекинутым через два блока В и С, прикреплены грузы Р2
и Р3> вся система трёх грузов находится в равновесии. Изучить равновесие
точки А. Так как все три силы Рь Р2 и Р3, действующие на точку А, даны,
то условия равновесия сводятся к соотношениям, определяющим углы а2 и а3

70
СХОДЯЩИЕСЯ СИЛЫ
[ГЛ. IV
(черт. 37). Начинаем построение треугольника сил с силы Р^ данной и ш>
величине и по направлению. Мы видим, что мы приходим к известной задаче
элементарной геометрии построения треугольника по данным длинам трёх
его сторон. Обозначим периметр треугольника сил через 2р, т. е. положим
Р\ + Ръ + ^з = 2/г, из тригона-
метрии известно, что будет:
rj?2 el/"(?zL?iI!
' 2 V In —
»-Pa)
•Р2)/> '
(p-P*)P *
Решение задачи возможно-
только в том случае, если будем
иметь: \Р2 — Ps |<Р4 < Р2 + Р8-
Для этой задачи мы ограничи-
ограничиваемся одним этим приёмом
решения, как наиболее просто
приводящим к цели.
13. В вершинах равносто-
равностороннего треугольника ОАВ
расположены соответственно
массы ть т2, тъ. Найти поло-
положение равновесия массы т,
притягивающейся к этим массам с силами, пропорциональными произведению
масс на первую степень расстояния между ними. Мы решим эту задачу спо-
способом проекций, который является для неё наиболее простым.
Возьмём начало координат в точке О и направим ось Ох по прямой О А
(черт. 38). Так как здесь должны уравновешиваться три силы, то они должны
лежать в одной плоскости (§ 20);
Черт. 37.
О
В
D Е
следовательно, положение равно-
равновесия точки С с массой т нахо-
находится в плоскости ОАВ. Обозна-
Обозначим координаты точки С . через
(дг, у), а длину стороны треуголь-
треугольника ОАВ — через а. Силы притя-
притяжения точки С к точкам О, А
и В будут соответственно равны:
Fx = kmm^CO,
F2 = kmm2~CA>
F3 ss kmm^CB,
Черт. 38.
^ ^ где & есть множитель пропорцио-
пропорциональности, и направлены от точки
С к точкам О, Л и В. При про-
проектировании сил Fit F2, F3 на оси
координат мы, очевидно, придём к проекции векторов ~СО, ~СА и ~СВ на
оси координат. Но легко видеть, что будет:
= ~ — xt

§ 221 примеры 71
где —7}— есть длина высоты BE треугольника ОАВ. Отсюда мы находим
для проекций сил следующие выражения:
X] = — kmmxx, Y1== — kmmxy,
Х2 = kmm2 (a — x)t У2 = — kmm2y,
Xz = kmmz [~ — х J, У3 == &mm3 ^-^i у J.
Уравнения равновесия будут:
или
Сокращая на km, получим:
та — mx + Щ -к
— щу — m2y + тд ^—^ тгу = 0.
2(a — л:) + ^тЩ[~2 х) — ^
— kmmxy — kmm2y + ^m/w3 f —^ j/) = 0.
k
— mix + тга — m2x + Щ -к Щх = 0,
Решая эти уравнения, мы найдём:
х==а 2т2 + тъ аЛГъ т3
х==
2 /И] + т2 ~h тз ' 2 т1-{' т2-\- тл
Эти формулы определяют координаты той точки С, в которой масса /я будет
в равновесии. В частном случае, если тх = #г2 = т3, то будет:
х -^, у 2 >
т. е. точка С находится в центре окружности, описанной вокруг треугольника
ОАВ, что очевидно и непосредственно. В этой задаче точка т есть абсолютно
свободная, и потому реакций нет.

ГЛАВА V.
ПРИВЕДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ.
§ 23. Параллельные силы, направленные в одну сторону.
Силы называются параллельными, если прямые их действия парал-
параллельны между собою. Если две параллельные силы имеют противо-
противоположные направления, то они иногда называются антипараллель-
антипараллельными.
Рассмотрим случай двух приложенных к абсолютно твёрдому телу
параллельных между собою сил Fv F2, направленных в одну сто-
сторону, отметив их точки при-
j) о д ложения Аг и Л2. Покажем,
что две параллельные силы,
направленные в одну сто-
сторону, всегда имеют равно-
равнодействующую. Обратимся к
черт. 39. Приложим в точ-
точках Лг и Л2 две равные
между собою по модулям,
действующие по прямой АгА2
в противоположные сторо-
стороны, силы р и q. Склады-
Складывая силы Fx и р и силы F2
и q, мы получим равно-
2 действующие A1D1 и Л2?>2,
которые можно перенести
в точку О их схода. Раз-
Разлагая их там вновь на преж-
прежние силы, мы получим две
силы /^ и F2, приложенные в точке О, и две силы р и qy также при-
приложенные в той же точке О. Силы Ft и F2 дают равнодействующую
F — ^1 4~ ^2> гДе будет F = F^ -(- F2, которую можно перенести
в точку С прямой АгА2, а силы р и q взаимно уравновешиваются.
Найдём положение точки С; для этого рассмотрим подобные тре-
треугольники:
Д A^D^ со Д АгОС и Д A2B2D2 со Д А2ОС.

§ 23]
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ, НАПРАВЛЕННЫЕ В ОДНУ СТОРОНУ
73
Из подобия первых двух треугольников получаем:
В1Р1
ОС xl t
из подобия второй пары треугольников находим:
СА9
F2 •
ОС ~ А2В2
Разделив одну пропорцию на другую, мы будем иметь:
L
СА2
E.1)
Таким образом, мы приходим к теореме:
Две параллельные силы, направленные в одну сторону, всегда
имеют равнодействующую, им параллельную и направленную в ту
же сторону; модуль равнодействующей равен сумме модулей со-
составляющих сил, а точка прило-
приложения её делит расстояние между
точками приложения составляю-
составляющих внутренним образом на части,
обратно пропорциональные состав-
составляющим силам.
Положение точки С легко полу-
получить простым геометрическим по-
построением. На прямых действия Аг
и А2 сил Fx и F2 отложим отрезки
Л1В1 и Л2В2, где отрезок ЛгВг = F2
и направлен против силы Ft, а от-
отрезок А%Щ = Fi и направлен по
силе F2 (черт. 40). Соединив пря-
прямой точки Вг и В%, найдём искомую
точку С как точку пересечения пря-
прямых ЛХЛ2 и ВгВ^, В самом деле, из
АВС ЛВ
Черт. 40.
Х2 г^
подобия треугольников АХВХС и Л^В^С мы непосредственно приходим
к пропорции E.1).
Если мы имеем несколько параллельных сил, направленных в одну
сторону, то мы получим равнодействующую, складывая сначала две
силы, полученную частичную равнодействующую складывая с третьей
силой, и т. д. Из предыдущего следует, что модуль равнодействую-
равнодействующей параллельных сил, направленных в одну сторону, равен сумме
модулей всех составляющих сил.
Между сложением двух параллельных сил, направленных в одну
сторону, и сложением по правилу параллелограмма двух сил, при-
приложенных к одной точке, есть разница по существу. Сложение двух
параллельных сил, направленных в одну сторону, представляет мате-
математическое предложение, которое на основе установленных свойств

74 ПРИВЕДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. V
сил, в том числе сложения сходящихся сил, доказывается строго ма-
математически; таким образом, возможность сложения двух параллель-
параллельных сил, направленных в одну сторону, есть факт математический и
вторичный. Между тем сложение двух сил, приложенных к одной
точке, как мы видели в § 3, математически доказать нельзя; таким
образом, возможность сложения двух сил, приложенных к одной точке,
не есть факт математический, а есть факт естествознания и факт
первичный.
На первый взгляд кажется, что содержание § 23, где отмечаются
точки приложения составляющих и равнодействующей параллельных
сил, находится в противоречии с § 2, в котором было указано, что
«любое предложение о силах, приложенных к абсолютно твёрдому
телу, не должно находиться в про-
противоречии с допустимостью перенесе-
перенесения в абсолютно твёрдом теле точки
приложения силы вдоль прямой её
действия». Чтобы устранить это про-
противоречие между § 2 и § 23, уточ-
уточним смысл, который должен быть
придан точкам приложения для слу-
случая параллельных сил. Для этого
будем вращать прямые действия Аг
и Д2 сил Z7! и /^ вокруг точек Ах
и Л2, оставляя эти прямые парал-
параллельными между собой (черт. 41). Из
предыдущего построения следует,
что тогда прямая А действия их равно-
равнодействующей F будет вращаться
вокруг точки С, оставаясь параллель-
параллельной двум первым прямым. Что же
касается самих сил F, Fx и F^ то
их можно произвольно перемещать по их прямым действия. Таким
образом, точки Ар Л2 и С суть в сущности центры вращения пря-
прямых действия рассматриваемых параллельных сил, а не закреплённые
точки приложения этих сил.
Легко видеть, что, разыскивая точку приложения равнодействую-
равнодействующей направленных в одну сторону параллельных сил по данным точ-
точкам приложения составляющих сил, или, точнее, разыскивая центр
вращения прямой действия равнодействующей по данным центрам вра-
вращения прямых действия составляющих сил, мы найдём, что центр
вращения прямой действия равнодействующей направленных в одну
сторону параллельных сил всегда лежит внутри выпуклого много-
многогранника, содержащего внутри себя или своих границах центры вра-
вращения прямых действия составляющих сил. Центр вращения прямой
действия равнодействующей параллельных сил называется центром
параллельных сил.
\ ;
\ /
\ 1
лЧ
К
i
i
t
{
\
\
V
V
\
V
\
\
\
V
1
-1 \
1
1
1
Л'
1
1
FI
г
Черт.
К
\
\ ,
\ 1
\/
V
f
щ
к
41.
1
\
1
1
1
1
\
\
\
л
\
\
\
\

§ 23]
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ, НАПРАВЛЕННЫЕ В ОДНУ СТОРОНУ
75
Очевидно, что положение центра С параллельных сил не зависит
от направления этих сил в пространстве; поэтому при повороте всех
сил на один и тот же угол положение центра С не меняется.
Таким образом, мы получаем следующие выражения для равно-
равнодействующей параллельных сил:
E-2)
Выражая силы через единичные векторы по формулам
F=*iX +JY +kZ, О
и вставляя эти выражения в первую из
формул E.2), мы будем иметь:
Х-.
E.3)
Мы видим, что
проекция равнодействующей параллельных сил на какую-либо
ось равна сумме проекций на ту же ось составляющих сил.
Заметим, что предложение о сложении двух параллельных сил
можно получить, избегая кажущегося искусственным прибавления
сил р и q и рассматривая параллельные силы как предельный слу-
случай сходящихся сил. В самом деле, пусть будут даны две сходя-
сходящиеся силы F1 и F^ приложенные в точках Аг и Л2 (черт. 42).
Перенося точки приложения этих сил в их точку схода О и складывая
силы по правилу параллелограмма, мы получим равнодействующую Ft
которую можно перенести в точку С Из треугольников АХОС и А2ОС
имеем:
CAt sin at CA2 sin a2
ОС ~ sin Аг ' ~Оё"~~ sinAj*
Деля эти пропорции одну на другую, мы найдём:
sin
sin A»
sin oc2 sin A± *

76
ПРИВЕДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
*[гл- V
Но из треугольников параллелограмма сил мы получаем:
sinat fj_
Sin a2 Ft *
т. е. будет:
?A F<i sin Л2
CA2 "~" 77 sin i4t"
Когда точка О неограниченно удаляется, угол Л2 стремится к значе-
значению тс— Av и отношение
sin
sin At
стремится к единице. Таким образом, в пределе мы получаем фор-
формулу E.1). Что касается величины F равнодействующей, то по фор-
формуле A.1) будет:
F* == Ft + Ft + 2FXF2 cos (/O2).
Когда точка О стремится в бесконечность, векторы Fx и /^ стре-
стремятся к параллельности друг с
р __^-т—— другом, и в пределе мы по-
«ь
лучим:
т. е.
Найдём теперь общий мо-
момент системы параллельных сил,
направленных в одну сторону. Рассмотрим сначала только две па-
параллельные силы Fx и /^ с равнодействующей F (черт. 43). Возьмём
какую-нибудь точку О в пространстве, относительно которой будем
определять моменты сил, и построим векторы ОА^^г^ ОА2 = г2У
ОС = р. Общий момент М сил Fx и F2 относительно точки О будет
по формуле D.4) равен
Из черт. 43 видно, что будет:
т. е. должно быть:
М = (р -f СА,) X Л + (р + С42) X Fv
ИЛИ

§ 23) ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ, НАПРАВЛЕННЫЕ В ОДНУ СТОРОНУ 77
Покажем, что сумма двух последних слагаемых равна нулю. В самом
деле, модули этих слагаемых равны следующим выражениям:
| СЛг X Рг I = CAt • /^ sin (CA^FJ = САг -
\CA2 X^al = CA ' /72sin(Ci^>2) = CA2 • ^a sin (тг —or) =
= CA2 • /^2 sin a.
С другой стороны, из пропорции E.1) мы получаем:
САг • Z7! = СА2 . ^j
таким образом, будет:
Но из черт. 43 легко усмотреть, что направления этих векторных
произведений противоположны, так что
должно быть:
поэтому мы приходим к равенству
Применяя к этому равенству формулу B.7),
мы получим:
т. е. общий момент двух параллельных сил,
направленных в одну сторону, равен моменту
их равнодействующей.
Покажем, что эту теорему можно рас-
распространить на любое число параллельных Черт. 44.
сил, направленных в одну сторону. Рассмо-
Рассмотрим, например, случай трёх параллельных сил, направленных в одну
сторону (черт. 44). Пусть будет Fr равнодействующая сил Ft и F2.
По только что доказанному для двух сил мы имеем:
где будет рг = ОС. Чтобы получить равнодействующую всех трёх
сил Fv F2 и Fb, остаётся сложить силы Fr и /у, мы получим;
и по только что доказанному для двух сил будет:
или, обращая внимание на предыдущее, ещё иначе:
'l X'Ч + Г2 X/=2 +'В X ^ = Р X ^.

78
ПРИВЕДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. V
Умея находить выражение для общего момента трёх сил, тем же
приёмом мы можем найти выражение для общего момента четырёх
параллельных сил, направленных в одну сторону, и т. д. Таким об-
образом, мы приходим к теореме Варанъона для системы направлен»
них в одну сторону параллельных сил*
Общий момент системы направленных в одну сторону парал-
параллельных сил равен моменту равнодействующей.
Исходя из теоремы Вариньона, нетрудно найти координаты центра
параллельных сил, направленных в одну сторону. Обозначим эти
координаты через (?, ij, С), а координаты точек Av Л2, Л3, ... при-
приложения сил Fx, F%, F%, •.. соответственно через {xv yv гг)} (x2i y& z^%
0*8» Уъ> %)> • • •
Отсюда мы будем имет^:
Повернём все силы Fv Fq9 Fg, ... вокруг точек А19 Л2, Л3, ... на
один и тот же угол гак, чтобы все силы сделались параллельными,
например, оси Ог\ мы знаем, что при этом центр параллельных сил
не переместится и, следовательно, его координаты (?, iq, С) останутся
неизменными. Применяя теорему Вариньона, имеем:
где /7=/71+/72"f"^3+ • • • Представляя векторные произведения
через определители по формуле B.12), мы получим:
i
5
X
j
Y
k
С
z
=
i
j
Уг
i Yi
k
z\
+
I
j
Уъ
I Y2
k
Z2
/
X
j
Уз
Y
3 3
k
Так как при повороте все силы сделались параллельными оси Oz%
то их проекции на оси Ох и Оу равны нулю, на ось же Ог они
проектируются в натуральную величину, т. е. будет:
2 = F, ZX = FV Zs = F» Z8 =
Поэтому предыдущее равенство принимает вид
/ j к
О О F
*i
0
j
Уг
0
k
Pi
+
i J
О О
"" * 3» •
i J
хз Уъ

§ 23]
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ, НАПРАВЛЕННЫЕ В ОДНУ СТОРОНУ
79
Раскрывая эти определители, мы найдём, что ряд произведений
обратится в нуль, и мы получим:
—fiF = iyxFx —jx^
или
Отсюда, сравнивая между собою коэффициенты при i и у, мы находим:
\F = Fj^j -j- /=*2 + ^Vs + • • •»
+ • • •
Повернув все силы так, чтобы они сделались параллельными, напри-
например, оси Олг, мы можем присоединить к этим двум равенствам ещё
следующее:
С/7 = /=>!
Определяя из этих равенств координаты E, т), С) центра параллель-
параллельных сил, направленных в одну сторону, мы будем иметь:
е _
2
к __ Z7^! -f- F2Z2 + F%z% + »«» ji
E.4)
Три формулы E.4) можно заменить одной векторной. Для этого
составим выражение р == /S—J—у^—|—АС; обращая внимание на выраже-
выражения для векторов rv r2, г8, . •. через единичные векторы, из фор-
формул E.4) мы легко получим:
Формула E.5) эквивалентна трём формулам E.4).
Из формул E.4) и E.5) следует, что координаты центра парал-
параллельных сил не зависят от абсолютных значений величин сил,
а только от их отношений; в самом деле, если все силы мы изме-
изменим в одно и то же число раз, то в то же число раз изменятся
числители и знаменатели формул E.4) и E.5), а потому сами дроби
останутся по величине неизменными.

80
ПРИВЕДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. V
Этим свойством можно воспользоваться, чтобы заменить в фор-
формулах E.4) и E.5) сами силы их проекциями. Обозначим через ос,
р, f углы общего направления всех сил F, Fv F2i F%,... с осями
координат. Тогда проекции этих сил на оси координат будут:
X^=F cos a, A'1 = /
Z2=
Умножая числитель и знаменатель правой части, например, первой
из формул E.4) последовательно на cos a, cosj3 и cos^, мы найдём:
t _
(g -
X
E.6)
Аналогичные формулы, конечно, имеют место и для остальных коор-
координат центра параллельных сил.
§ 24. Общий случай параллельных сил. Чтобы перейти к общему
случаю приложенных к абсолютно твёрдому телу параллельных сил,
когда одни силы могут быть направлены про-
противоположно другим силам, следует сначала
рассмотреть случай двух антипараллельных сил.
Предположим, что нам даны две антипа-
антипараллельные силы Ft и F2 с точками приложе-
\ V ния Аг и Л2 (черт. 45). Мы будем рассматри-
\ \ вать только тот случай, когда модули Ft и F%
р \ \ антипараллельных сил Ft и F% между собою не
равны; предположим, что, например, будет
Fx > F2. Разложим силу Ft на" две парал-
параллельные, направленные в одну сторону силы F
и f8 так, чтобы было F% = F2, и чтобы сила F%
была приложена в точке Л2; тогда силы /^
и F2 взаимно уравновесятся. Такое разложение
возможно только единственным образом. В самом деле, из равенства
р _|- ръ =3 F-y мы находим для модуля силы F единственное значе-
значение F= Ft — Fb = Fx — F2\ точка С её приложения определяется
также как единственная, так как из формулы E.1) мы имеем:
F Гг-

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
§ 24]
т. е.
Л Г* А А
/i^ — ^i^2
Из последней формулы мы выводим:
81
E.7)
или
Отсюда мы получим:
ИЛИ
CA1>F1==CA2
СА2 = 7г-
E.8)
Эта формула по внешнему виду тождественна с формулой E.1), но
мы видим, что в случае двух параллельных сил, направленных
в одну сторону, точка С делила отрезок АХА2 в отношении F2 : Fx
внутренним образом, тогда как в случае двух антипараллельных
сил точка С делит отрезок AtA2 в отношении F2 : Ft уже внешним
образом. Таким образом, мы получаем одну силу F, приложенную
в точке С, и приходим к следующей теореме:
Две не равные между собою по величине антипараллельные
силы всегда имеют равнодействующую, им параллельную и на-
направленную в сторону большей силы; модуль равнодействующей
равен разности модулей составляю-
составляющих сил, а точка приложения
-равнодействующей делит расстояние %
между точками приложения состав-
составляющих сил внешним образом на
части, обратно пропорциональные
составляющим силам.
Положение точки С легко получить
простым геометрическим построением.
На прямых действия А/ и А2 сил Ft
и F2 отложим отрезки Л1В1 и Л2/?2, где
^B F
отрезок
1 = F2 и направлен по
ЛВ
Черт. 46.
2АХ
и Л2В2С
р i1 2
силе Fv а отрезок Л2В2 = Fx и на-
направлен против силы F2 (черт. 46), Соединив прямой точки Вх и В2>
мы найдём искомую точку С как точку пересечения прямых ЛА
и В2Вг. В самом деле, из подобия треугольников A^fi
мы непосредственно приходим к пропорции E.8).
Очевидно, что и в случае антипараллельных сил точки приложе-
приложения С, Ах и А2 сил можно истолковать как центры вращения ана-
аналогично истолкованию, сделанному в § 23 для случая параллельных
сил, направленных в одну сторону.

82 ПРИВЕДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. V
Предположим теперь, что разность /г1 — F% стремится к нулю;
тогда модуль равнодействующей F= Fx — F2 будет стремиться к нулю,
а её точка приложения С согласно формуле E.7) будет стремиться
в бесконечность. Таким образом, две равные между собою анти-
антипараллельные силы имеют равнодействующую, модуль которой равен
нулю и которая приложена в бесконечно удалённой точке. Не вводя рав-
равных нулю бесконечно удалённых элементов, мы должны заключить, что
две равные между собою антипараллельные силы равнодействую-
равнодействующей не имеют] такая система двух сил называется парою сил, или
просто парою, и представляет наряду с силою первичный механи-
механический элемент. Изучению пар отведена глава VIII этого курса ме-
механики.
Очевидно, что и в случае антипараллельных сил равнодействую-
равнодействующая F равна геометрической сумме составляющих сил, т. е. будет
Имея любую систему параллельных сил и складывая силы после-
последовательно при помощи применения или теоремы о сложении двух
параллельных сил, направленных в одну сторону, или теоремы о сло-
сложении двух антипараллельных сил, мы вообще получим равнодей-
равнодействующую F, которая будет равна геометрической сумме составляю-
составляющих сил, т. е.
F=^ + F2 + F8+...=2Fn. E.9)
Однако в этом общем случае, так как не все векторы Fv F%,
F%> ... направлены в одну сторону, может случиться, что будет F=0.
Необходимо заметить, что это равенство ещё не даёт признака
равновесия параллельных сил, так как для пары сил также F=Q,
однако при наличии пары, стремящейся поворачивать тело, равно-
равновесия быть не ^может. Таким образом, уравнение /^=0 даёт необхо-
необходимый признак равновесия общей системы параллельных сил, но ещё
недостаточный.
Из формулы E.9) тем же приёмом, каким из первой формулы E.2)
были выведены формулы E.3), мы получим:
х = хх -~\- х% 4- -^з Н~ • • •
E.10)
Таким образом, и для общего случая параллельных сил проек-
проекция равнодействующей равна сумме проекций составляющих сил,
но в формулах E.10) под суммами подразумеваются алгебраические
суммы, так как проекции составляющих сил могут иметь разные

§ 24] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ 83
знаки, тогда как в формулах E.3) проекции составляющих на
какую-нибудь ось все были одного знака. Формулы E.2) и E.3)
можно распространить и на произвольную систему параллельных сил,
введя следующее условие. Именно, будем подразумевать под коли-
количествами Fv F%, F§i ... не арифметические количества, а алгебраи-
алгебраические, т. е. взятые со знаками плюс и минус. Для этого, выбрав
одно из двух противоположных направлений сил Fv F%> F^ ... за
положительное, а другое — за отрицательное, будем считать поло-
положительными значения тех сил, которые идут по положительному
направлению, и отрицательными — значения тех сил, которые идут
по отрицательному направлению. Тогда для общего случая парал-
параллельных сил будет иметь место равенство
р , „ р 1 р I р | ^ ^у* р (*\ \Х\
п
где сумма может быть и равной нулю, так как её слагаемые суть
алгебраические количества. Вводя это условие, мы можем при соста-
составлении проекций параллельных сил на оси координат под углами
(а, р, у) направления сил с осями
координат подразумевать углы
с осями координат того направле-
направления, которое принято за поло- -
жительное, и множителями при
косинусах этих углов брать не
модули Fn сил, а алгебраические
количества Fn, знаки которых
определяются вышеприведённым
условием.
Покажем, что теорема Варинь-
она имеет место и в общем случае
системы параллельных сил. Докажем её сначала для двух антипарал-
антипараллельных сил. Пусть будут даны две антипараллельные силы Fx
и F2 с равнодействующей F (черт. 47). Возьмём произвольную точку
пространства и проведём векторы OAx==rv OA2 = r2i OC=zp.
Вычислим общий момент М сил Fx и /^ по формуле
Из черт. 47 видно, что будет:
поэтому мы получим:
М = (р + САХ) X Fx + (р + Щ) X F9 =
г X

84 ПРИВЕДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. V
Как и в § 23, можно доказать, что сумма двух последних слагаемых
равна нулю. В самом деле, оба вектора СА^ X F\ и €А% X ^2» пРеД"
ставляя . моменты сил Fl и /^ относительно точки С, направлены
в противоположные стороны, модули же этих векторов между собою
равны, так как будет:
\СА1 X Z7! | = САХ • Fl sin аг = САг • Fx sin (тс — <х2) = СЛХ . Ft sin a2,
X F% | = СЛ2 • F2 sin а2>
и по формуле E.8) должно быть СА1 • /^ = СЛ2 • <Р2. Таким образом,
остаётся:
Тем же приёмом, как для случая параллельных сил, направленных
в одну сторону, эту формулу можно распространить на любое число
составляющих параллельных между собою сил, и мы будем, вообще,
иметь:
M = %rnXFn^?XF. E.12)
п
Таким образом, мы пришли к теореме Баритона для любой
системы параллельных сил, имеющей равнодействующую, отлич-
отличную от нуля,
В указанном случае момент равнодействующей равен общему
моменту данной системы сил.
Для проекций (Мх, Муу Mz) общего момента М из формулы E.12)
мы получим:
E.13)
= 2 (znXn - xnZn) = V(-
Если геометрическая сумма сил F общей системы параллельных
сил будет равна нулю, то из формул E.12) или E.13) ещё нельзя
сделать заключения, что должно быть М = 0, так как мы увидим,
что в этом случае, вообще, будет р = со, и теорема Вариньона при-
приводит к неопределённости. Чтобы не иметь дела с необходимостью
раскрытия этой неопределённости, проще в этом случае для вычисления
общего момента М теоремой Вариньона не пользоваться, а вычислять
общий момент непосредственно по формуле
Опираясь на теорему Вариньона, мы вывели выражения E.4) для
координат центра параллельных сил, направленных в одну сторону.

§ 25]
ИЗМЕНЕНИЕ ОБЩЕГО МОМЕНТА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
85
Очевидно, что тот же приём можно применить и в рассматриваемом
нами общем случае параллельных сил. Однако, когда мы будем
повёртывать силы вокруг их точек приложения, чтобы они сделались,
например, параллельными оси Oz, то в общем случае одни из сил
пойдут по направлению оси Oz, а другие — в противоположном
направлении, и проекции сил на ось Ог будут равны модулям сил,
взятым со знаками, т. е. алгебраическим числам. Очевидно, что для
сохранения вида формул E.4) и E.5) и в общем случае достаточно
под количествами Fv F2, Fb, .. .разуметь алгебраические количества
согласно тому условию, которое было сделано при выводе фор-
формулы E.11). Мы видим, что если будет:
to из формул E.4) мы получим ? = y] = ?== оо, а из формулы E.5),
что р = оо; мы уже имели это в частном случае пары сил. Но если
одновременно будет:
F=*%Fn=z0, 2/\A = 0, 2fj» = 0. S^n-O, E.14)
n n и n
то выражения для координат ?, r\, С принимают неопределённый вид;
при наличии равенств E.14) говорят, что имеет место астатическое
равновесие. Это означает, что система параллельных сил остаётся в
равновесии, как бы мы ни поворачивали силы около их точек прило-
приложения, сохраняя их параллельность и неизменность их алгебраических
величин.
§ 25. Изменение общего момента параллельных сил. Момент
пары. Пусть мы имеем произвольную систему параллельных сил Fv
F%, F§> ... Общий момент М этой системы
относительно какой-нибудь точки О про- \>5
странства по определению (см. § 18) равен
Вычислим общий момент М' относитель-
относительно какой-нибудь другой точки (У простран-
пространства (черт. 48). Проведём векторы
Мы имеем:
з, ... и вектор ОО'= d.
Применяя к правой части этого равенства формулу B.22), мы получим:

86 ПРИВЕДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ (ГЛ#. V
ИЛИ
-О-
Отсюда приходим к формуле
E.15)
Предположим теперь, что геометрическая сумма сил системы парал-
параллельных сил равна нулю, т. е. что /7==0; тогда формула E.15)
обращается в формулу
М' = М\ E.16)
таким образом, мы получаем следующее предложение:
Общий момент системы параллельных сил, для которой гео-
геометрическая сумма сил равна нулю, постоянен для всех точек
пространства.
Мы видим, что в этом случае общий момент системы параллель-
параллельных сил есть свободный вектор.
Простейший случай такой системы представляет пара сил. Отсюда
мы получаем теорему:
Общий момент пары сил постоянен для всех точек простран-
пространства.
Общий момент пары сил короче называется моментом пары;
следовательно, момент пары не зависит от того, для какой точки
пространства мы его вычисляем. Таким образом, момент силы от-
относительно точки представляет пример век-
тора приложенного, сама сила — пример век-
вектора скользящего, а момент пары — пример
О
вектора свободного.
Вычислим момент М пары. Предположим,
что нам дана пара, составленная силами Ft
и F%, имеющими общий модуль F\ примем
плоскость пары за плоскость чертежа и бу-
дем вычислять момент М, например, для
какой-нибудь точки О плоскости пары
Черт. 49. (черт. 49). Опустим перпендикуляры ОА
и ОВ соответственно на силы Fx и /^,
и пусть будут OA = d1 и OB = d2. Так как моменты Мг и М2
сил Fx и F% направлены оба вверх перпендикулярно к плоскости чер-
чертежа, то так же будет направлен момент М пары, равный
или
M = Fdx + Fd2 = F(dx
т. е,
M = Fd. E.17)
Расстояние d между прямыми действия сил F1 и /^ называется
плечом пары. Таким образом, мы получаем следующую теорему:

§ 2Б]
примеры
87
Черт. 50.
Момент пары равен по величине произведению модуля силы
на плечо, перпендикулярен к плоскости пары и направлен в ту
сторону, с которой должен поместиться на плоскости пары
между силами наблюдатель, чтобы видеть силы пары направлен-
направленными справа налево.
Полезно усвоить изображения пары и её момента, приведённые
на черт. 50. Так как момент пары относительно всех точек простран-
пространства один и тот же, то, чтобы по-
получить момент пары для всякой другой
точки Ог пространства, достаточно пе-
перенести из точки О вектор М парал-
параллельно самому себе в точку О'.
Заметим, что всего проще вычислять
момент пары для точки, лежащей на
прямой действия одной из сил, со-
составляющих пару. В самом деле, опре-
определим момент пары, например, для
точки Л, лежащей на прямой действия
силы F1 (черт. 49). Тогда момент силы Рг
относительно точки А будет равен
нулю, и нахождение момента пары сводится к нахождению момента
одной силы F2 относительно точки Л, т. е. мы непосредственно прихо-
приходим к формуле E.17).
§ 26. Примеры. 14. Два человека несут в руках за концы А\ и Л2 пря-
прямолинейный стержень, весом которого можно пренебречь; в точке С к стержню
прикреплён груз весом Р = 35 кг. Дано, что ДЛ2 =1 м и AtC = 40 см. Опре-
Определить давление стержня на руки каждого из несущих его людей. Обозначим
через Pj давление у конца А\ и через Р2 давление у конца А2. Так как
Л2С = 60 см, то мы имеем:
Pj + P2 = 35, Pi :P2 = 60:40 = 3:2.
Отсюда мы находим, что Рх = 21 кг и Р2 = 14 кг.
15. Как взвесить верно груз на неравноплечих весах? Предположим, что
плечи коромысла весов равны /j и /2. Обозначим через Р истинный вес груза.
Положим сначала груз Р на левую чашку весов при плече 1Х и уравновесим
весы, положив на правую чашку весов гири весом Р^ мы будем иметь со-
согласно формуле E.1), что
Переложим затем груз Р на правую чашку весов при плече /2 и уравнове-
уравновесим весы, положив на левую чашку весов гири весом Р2; вследствие неравно-
плечести весов будет:
Мы получим:
Р1 Р4
Перемножив почленно полученные равенства, мы найдём:
или

ПРИВЕДЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. V
Таким образом, верный вес равен среднему геометрическому из показаний
гирь. Если Р\ близко к P2f то вместо среднего геометрического *\fP\P% можно
Р —I— P
взять среднее арифметическое * Т"—-, которое будет хотя и несколько больше,
чем Р, но близко к нему.
16. Д е с яти чны е весы. При изложении теории десятичных весов
мы будем пренебрегать весом самих весов. Прямолинейный рычаг ACBD
первого рода имеет неподвижную точку опоры в точке С, причём АС — 10 ВС.
Платформа HGF имеет неподвижную точку опоры в точке Н; за точку F эта
платформа связана стержнем FD с рычагом ACBD, причём в точках D и F
стержень FD упирается в рычаг ACBD и платформу HGF остриями при-
прикреплённых к нему ножей. Вторая платформа EG'Tl упирается остриём
ножа G в платформу HGF; эта вторая платформа EG'E связана с рыча-
рычагом ACBD стержнем BE, причём в точках В и Е стержень BE упирается
в рычаг ACBD и платформу EGfU остриями прикреплённых к нему ножей
(черт. 51). На платформу /JG'II кладётся в каком-нибудь месте взвешиваемый
Черт. 51.
груз Q. По правилу сложения параллельных сил, направленных в одну сто-
сторону, силу Q можно разложить на две силы Qt и Q2, приложенные соответ-
соответственно в точках Е и G'; тем самым сила <?2 через нож G действует на
платформу HGF. Чтобы платформа HGF была уравновешена, сила Q2
в точке G должна быть уравновешена силою тяги Q2 в точке F, развиваемою
стержнем FG. Для этого по правилу сложения антипараллельных сил должно
быты
или
Очевидно, что. стержень FD должен тянуть рычаг ACBD с силою Q^
в точке D. Эту силу О>2 в точке D можно заменить некоторою силою Q^
в точке В; чтобы найти величину этой силы Q2t заметим, что приложенная

§ 26] примеры 89
в точке В сила— Q2, направленная вверх, должна уравновешивать направлен-
направленную вниз силу Q'2t т» е« должно быть:
или
О" - о' —
Вставляя в это равенство значение Q'2 из предыдущего равенства, будем
иметь:
Таким образом, силы, действующие на плечо CBD рычага ABCDf приво-
приводятся к силе, приложенной в точке В и равной по величине
Если
GH DC _1
FH ' ВС ~ '
т. е.
GH __ ВС
FH ~~ DC
то в точке В на рычаг будет действовать сила величины, равной Qx + Q2 — О*
т. е. вес всего взвешиваемого груза. Так как плечо АС в 10 раз больше
плеча ВС, то этот груз Q уравновешивается в точке А грузом Р = 0,1 Q,
почему весы и получили название десятичных.
Нетрудно показать, что положение груза Q не влияет на малые пере-
перемещения платформы EG/II, так как при малых перемещениях платформа ЕОгп
остаётся параллельною самой себе. В самом деле, предположим, что под
влиянием груза Q плечо CBD опустилось, повернувшись вокруг точки С на
весьма малый угол а. Тогда точка В, а вместе с нею и точка Е опустятся
на весьма малый отрезок СВ • а. При этом точка Д а вместе с нею и
точка F опустятся на весьма малый отрезок CD • а; так как точка И закре-
закреплена, то опускание точки G и вместе с нею и точки Gf, вызванное опуска-
опусканием точки F} будет равно:
Но выше мы имели равенство
GH ВС
FH DC '
откуда следует, что
CD™-СВ.
Таким образом, две точки Е и Gf платформы EG'Tl опускаются на один и
тот же малый отрезок СВ • а, т. е. платформа EGfU перемещается парал-
параллельно самой себе.
17. Даны четыре силы Fu F2, F% и FA с проекциями: /^ B, 2, 3), F2D, 4,6),
/^з (— 2, — 2, — 3), FA F, 6, 9), приложенные в точках Аь Л2, Л3 и Ai} с коор-
координатами:
Л, @, 0, 1), А2 A, 2, 1), А3 B, 1, 1), А, E, 2, 7);

90 приведение параллельных сил [гл. v
изучить эту систему сил и привести её к простейшей. Прежде всего из про-
пропорциональности проекций этих сил на соответствующие оси мы заключаем,
что силы параллельны между собою. Примем направление силы Ft за поло-
положительное; тогда количества Flf F2, FA будут положительными, а количество
F%— отрицательным. Именно, мы будем иметь:
F%=*+ /4*+ 4*+ 6* = + 2/Г?,
= — /2* + 22 + 32 = — /17, F4 = + /62 + 62 + 92 =+ 3/17.
Положительное направление, т. е, направление силы Fh образует с осями
координат углы а, р, ^, косинусы которых равны:
2 2 3
cosa = ——— cos В = ¦ - . cos 7 = г— ;
/17 /17' /17
a = р = бО^в^'7, т = 43°18/5(Х/.
Найдём равнодействующую ^(Х, У, Z) и координаты E, y], Q центра этих
параллельных сил. Мы будем иметь:
/Т7 + 2 /17— /Т7 + 3 /17 = + 5 /17 = 20,616;
2 + 6=10,
— 2 + 6=10,
3 + 9=15.
Чтобы определить координаты центра этих параллельных сил, обратимся
к первой формуле E.6) и ей аналогичным; из них мы имеем:
*— z
или в числах;
2.Q + 4-1— 2-2 + 6.5 Q
_ 2- Q + 4-2 — 2- 1 +6-2 __ 9
10 5
3-1+6-1—3-1+9-7 ^23
С~~ 15 5*
Таким образом, уравнение прямой действия Д равнодействующей F будет
— А __23
л: —3 __^ 5_ __^ 5__
~2 2 ~ 3 '
/17 /17 /17
или
д:—.3__ 5у—9 _5г — 23
2 "" 10 " 15

§ 26]
ПРИМЕРЫ
При вычислении общего момента M(MXf My> Mz) выгодно воспользоваться
теоремой Вариньона; мы будем иметь:
Мх = y)Z — СУ.= 4 .15 — ~. 10 = 27 — 46 = - 19,
о о
по
My = ZX — %Z = ~-10 — 3-15 = 46 — 45 = + 1,
=*5У — *|Х = 3.10 — 4- • Ю = 30 — 18 =
Л! = у 192 +Р+ 122 = у06 = 22,494.
Отсюда находим:
Углы a, b, cf образуемые моментом М с осями координат, определяются из
формул:
1Q
cos0 = ?==-, а = 147°38'05";
/506
cos Ь = +
1
87°27/05//;
У 506 '
-+- у 506 '
Если бы мы захотели вычислить общий момент системы непосредственно,
а не исходя из теоремы Вариньона, то пришлось бы вычислять моменты
отдельных сил, и мы имели бы следующую таблицу:
Ми.~0
М -2
М =2
• 3-1
-6-1
.(-3
• 9-7
-2
•4
)
• 6
= -2
= +8
(-2)=-1
--24
М2у~\
Miy=7
.2-0.
.4-1^.
.(-2)
• 6-5-
3
6
-2
9
= +2
= -2
-(-3)»+4
= -з
A/f ~ 1
М^=2
М4,=5
•2-0
•4-2
•(-2;
-6-2
.2
•4
-1
• 6
=0
= -4
(-2) = -2
- + 18
Мы видим, что мы пришли к прежним результатам, но только более
длинным путём.

Г Л А В А VI.
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ.
§ 27. Общие определения. Известно, что под действием силы
всемирного тяготения каждая материальная частица, находящаяся
у поверхности Земли, притягивается к Земле, причём сила тяжести
направлена приблизительно к центру Земли. Рассмотрим два напра-
направления силы тяжести, образующие между собою угол в 90° и соот-
соответствующие положениям притягивае-
притягиваемого тела на полюсе и на экваторе
(черт. 52). Чтобы перейти из Л в В,
следует переместиться на четверть зем-
земного меридиана, т. е. на 10 000 000 м.
Чтобы угол между двумя отвесными
прямыми был равен 1", следует пере-
переместиться на
10000000 qn 0
90-60- 60 — йи»у м-
Отсюда следует, что силы притяже-
притяжения отдельных частиц небольших пред-
Черт. 52. метов можно считать параллельными
друг другу.
Пусть нам дан какой-нибудь материальный объект. Рассмотрим
в этом материальном объекте бесконечно малые частицы. Каждая ча-
частица притягивается к Земле, причём согласно предыдущему силы
притяжения отдельных частиц можно считать параллельными друг
другу. Равнодействующая параллельных между собою сил притя-
притяжения к Земле всех отдельных частиц материального объекта
есть вес этого объекта^ а центр этих параллельных сил есть
центр тяжести материального объекта.
Мы будем разыскивать центры тяжести материальных линий,
поверхностей и тел, введя новые условные материальные объекты:
материальная линия и материальная поверхность.
Рассмотрим тело в виде стержня (черт. 53) и внутри него неко-
некоторую линию АВ. Неограниченно уплотняя тело так, чтобы количество
материи, заключающейся между любыми перпендикулярными к сред-

§ 27]
ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
93
ней линии сечениями, оставалось неизменным и сжималось к линии ABt
мы в пределе и получим материальную линию ЛВ. Пусть As будет
элемент длины материальной линии и Am — мас-
масса на этом элементе длины; тогда частное
Am ,д ..
называется средней плотностью материальной
линии в данном месте. Перейдя к пределу, по-
получим истинную плотность р материальной
линии в данной точке:
Точно так же рассмотрим тело в виде слоя
и некоторую поверхность ? внутри него
(черт. 54). Неограниченно уплотняя тело так, Черт. 53.
чтобы количество материи, заключающееся
в любой цилиндрической поверхности с образующими, перпенди-
перпендикулярными к рассматриваемой внутренней поверхности ?, оставалось
неизменным и сжималось к поверхности ?, мы в пределе и получим
материальную поверхность ?. Пусть
будет Да элемент площади материаль-
материальной поверхности ? и Am — масса на
этом элементе площади; тогда частное
Д/я
F.2)
называется средней плотностью ма-
материальной поверхности в данном
месте. Перейдя к пределу, получим
истинную плотность материальной поверхности в данной точке:
Черт. 54.
9
1- {кт\
Да-»оо
Наконец, пусть будет Д V элемент объёма тела и Am — масса этого
элемента. Тогда частное
Рср = ^ <6-3>
называется средней плотностью тела в данном месте, а предел этого
частного
называется истинной плотностью тела в данной точке.

94 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ [ГЛ. VI
Пользуясь обозначениями дифференциального исчисления, мы полу-
получим для истинной плотности материальных линии, поверхности и тела
соответственно выражения
dm dm dm ,n ,ч
P P P <64)
отсюда для дифференциалов массы линии, поверхности и тела мы
будем иметь:
dm = р ds, dm = р da, dm = pdV. F.5)
Истинная плотность р может быть различной в различных точках;
поэтому, вообще, р есть функция координат (л:, у, z) той точки, для
которой р определяется:
P=f(x,y,z). F.6)
Если во всех точках истинная плотность одна и та же, то мате-
материальный объект называется однородным.
Примечание. Очевидно, что предельные понятия материальной
поверхности или линии можно применять на практике во всех тех
случаях, когда можно пренебрегать соответственно или толщиной
материального объекта, или и толщиной и шириной и рассматривать
только его длину. Таковы, например, случаи большого, но тонкого
листа металла или длинного куска тонкой проволоки.
§ 28. Центр тяжести и центр инерции. Перейдём теперь к опре-
определению центра тяжести какого-нибудь материального объекта. Ра-
Разобьём его мысленно на бесконечно малые элементы. Обозначим через
тп массу какого-нибудь элемента; тогда его вес Fn будет равен^
рп =
п
где g есть модуль ускорения в свободном падении. Если р есть радиус-
вектор ОС, проведённый из начала координат в центр С параллельных
сил Fn, определённый в предположении, что данные силы действуют
на твёрдое тело, то по формуле E.5) мы получим:
М
где М = 2 wn есть масса материального объекта. Мы видим из фор-
п
мулы F.7), что центр С, определяемый радиусом-вектором р, суще-

§ 28] ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ И ЦЕНТР ИНЕРЦИИ 95
ствует и в том случае, если материальный объект находится вне
действия силы тяжести, так как обусловливаемое силой тяжести уско-
ускорение g не входит в окончательный результат. Таким образом, поло-
положение центра С зависит только от распределения массы в материальном
объекте, что даёт возможность подойти к определению точки С ещё
иначе, с более общей точки зрения. Введём следующее определение:
Центром инерции материальной системы называется точка
с радиусом-вектором р, определяемым формулой
t = —м—'
где тп суть массы элементарных частиц системы. гп — их ра~
диусы-векторы и М — масса всей системы.
Очевидно, что у всякой материальной системы, как неизменяемой,
так и изменяемой, во всякий момент есть определённый центр инер-
инерции независимо от того, весит система или нет. В частном случае
весомой абсолютно твёрдой системы центр тяжести совпадает с цен-
центром инерции, как это следует из вывода формулы F.7).
Чтобы перейти от векторных формул к координатным, положим:
Вставляя эти выражения в формулу F.7) и приравнивая между собой
коэффициенты при одинаковых единичных векторах в левой и правой
частях формулы F.7), мы будем иметь следующие формулы:
: mxxi + т2х2 + т3лг3 + ...
/ftj + Щ + тз + • • •
7J
Щ + Щ + Щ + • • •
F.8)
т\ + Щ + Щ + • • • М
Применим формулы F.8) отдельно к материальной линии, материаль-
материальной поверхности и телу.
Материальная линия. Пусть дана некоторая материальная линия,
длина которой равна /. Разобьём эту линию на элементы длины As

96
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
[ГЛ. V7
с массами Aw = p(jpAs. Применяя формулы F.8), опуская для простоты
обозначении указатель п и переходя к пределу, мы будем иметь:
lim У \ Am lim У xpnr, As
М
lim 2 У Ат
Pop
.As
lim2^cpAs
Л1
F.9)
Эти формулы упрощаются, если линия однородная, т. е. если плот-
плотность её р постоянна. В этом случае будет: рс = р, М = р/, и пре-
предыдущие формулы принимают вид
lim У* As \imy\yAs lim У г As
: =-— ^HL лп =—: =2 T —- ±™
F.10)
Мы видим, что в случае однородности линии положение её центра
инерции зависит исключительно от геометрического вида линии.
Материальная поверхность. Пусть дана некоторая материальная
поверхность, площадь которой равна а. Разобьём эту поверхность
на элементы с площадями Да и с массами Дш = рс ко. Применяя
формулы F.8), опуская для простоты обозначений указатель п и
переходя к пределу, мы будем иметь:
Ит
2 Pop
lim
М
М
F.П)
Эти формулы упрощаются, если- поверхность однородная, т. е. если
плотность её р постоянна. В этом случае будет: ро =р, М=ро,
и предыдущие формулы принимают вид
lim
2 У Аа
F.12)
Мы видим, что в случае однородности поверхности положение её
центра инерции зависит исключительно от геометрического вида
поверхности.

§ 28]
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ И ЦЕНТР ИНЕРЦИИ
97
Тело. Пусть дано некоторое тело, объём которого равен V.
Разобьём это тело на элементарные объёмы AV"c массами Am = popAV.
Применяя формулы F,8), опуская для простоты обозначений указа-
указатель п и переходя к пределу, мы будем иметь:
lim
м
lim
М
С = -
F.13)
Эти формулы упрощаются, если тело однородное, т. е. если плот-
плотность его р постоянна. В этом случае будет: рС}} = р, M = pV, и пре-
предыдущие формулы принимают вид:
lim ^y &V lim^y\z^V
71==- _ 9 <;_ _ . FJ4)
lim
Мы видим, что в случае однородности тела положение его центра
инерции зависит исключительно от геометрического вида тела.
Пределы сумм, стоящие в формулах для координат центра инер-
инерции линии, поверхности и тела, суть определённые интегралы, рас-
распределённые на длину линии, площадь поверхности и объём тела.
Поэтому, пользуясь обозначениями интегрального исчисления, мы можем
представить эти формулы в виде:
Неоднородная линия
Однородная линия
Г х ds
' I
Jyds
Неоднородная поверхность
J [л-р da
Однородная поверхность
t J J
— UulL
t==/Jji?!
4 Зак. Г/0:1 А. И. Некрасив

98 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ [ГЛ. VI
Неоднородное тело Однородное тело
n ilLL±
М ' С~~ V
_
r ..-HSgdV
~ v
*•— м # -~ v
§ 29. Практические приёмы нахождения координат центра
инерции. В предыдущем параграфе мы видели, что нахождение коор-
координат центра инерции, или, что то же, центра тяжести, приводится
к вычислению предела некоторых сумм, т. е. в сущности к вычисле-
вычислению определённых интегралов. Однако в простейших случаях центр
инерции можно разыскать элементарным путём, причём оказывается
полезным применение следующих приёмов.
Пользование плоскостями симметрии. Предположим, что рас-
рассматриваемый объект имеет, например, плоскость Оху плоскостью
симметрии, т. е. каждой массе, лежащей над плоскостью Оху, соот-
соответствует такая же масса, расположенная на таком же расстоянии
под плоскостью Оху. Тогда будет 2 тпгп = 0» и мы находим С=0.
п
Следовательно, если материальный объект имеет плоскость симме-
симметрии, то центр инерции лежит в этой плоскости. Если материальный
объект имеет две плоскости симметрии, то центр инерции лежит на
прямой пересечения этих плоскостей; если же у материального объекта
имеются три плоскости симметрии, то центр инерции лежит в их
общей точке, и мы, таким образом, находим его без всякого вычис-
вычисления. Например, центр инерции однородного трёхосного эллипсоида
лежит в его геометрическом центре. В случае плоской фигуры вместо
плоскостей симметрии мы будем иметь
прямые (оси) симметрии; например, центр
инерции однородного эллипса лежит в
точке пересечения его осей, т. е. в его
геометрическом центре.
Способ сложения^ или способ экви-
эквивалентных точек. Введём понятие экви-
эквивалентной точки. Мы будем называть же и-
Черт. 55. валентной точкой материальную точку,
которая совпадает с центром инерции
материального объекта и масса которой равна массе этого объекта.
Обращаясь к формулам F.8), мы заключаем, что ^Vn^^»
^МпУп — М'Ч* ^mnzn = ML Рассмотрим некоторое тело, которое
мы можем разбить, например, на три части, центры инерции которых
Citfi, *)i> Cj), С2($2, т|2, С2), С3(Е3, т]3, С8) и массы Mv M2i Мъ нам

§ 29] ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ НАХОЖДЕНИЯ ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ 99
известны (черт. 55). Применяя к телу формулы F.8), мы имеем:
е 4
М *
Разбивая сумму в числителе на три части, относящиеся к частям /,
// и /// тела, и заменяя эти три суммы на основании предыдущего
замечания соответственно их значениями Mxiv М<?% и М3Е3, мы будем
иметь:
и аналогично
F.15)
Мы видим отсюда, что нахождение центра инерции тела свелось
к нахождению центра инерции заменяющих его трёх эквивалентных
точек.
Этот способ называется ещё способом сложения, так как, при-
применяя его, мы мыслим всё тело сложенным из частей, центры инер-
инерции которых нам известны.
Способ вычитания, или способ отрицательных масс. Пусть нам
дано тело, в котором имеются, например, три полости (черт. 56).
Предположим, что если бы эти по-
полости были также заполнены веще-
веществом, то вес тела был бы равен Р1
и центр его тяжести находился бы
в точке С. Пусть будет Р действи-
действительный вес тела с полостями и
С—центр его тяжести. Тогда Р! есть
равнодействующая параллельных сил
Р, Pv P2, Р8, приложенных соответ-ч
ственно в точках С, Си С2, С3,
и точка С есть центр этих парал-
параллельных сил. Следовательно, сила Р
есть разность силы Р' и сил Pv
Р2, Рд. Мы можем заменить вычи-
вычитание сложением, рассматривая вместо
сил Pv P2, Ръ противоположные
силы — Pv — Р2, — Р3. Таким обра-
образом, задача приводится к нахождению центра параллельных сил
Р', — Pi> — Р%, — /V Обозначим массу всего тела, предполагая,
что полости заполнены веществом, через М\ координаты точки
С — через Б', yj', С, массу вещества, заполняющего первую

100
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
[ГЛ. VI
полость — через Мх, координаты точки Сх—через ?lf \, Сх и т. д.;
мы, очевидно, получим:
Y] =
~ Af! — Л12 —
С г ¦
— Л11 — М2 —
F.16)
Из формул F.16) видно, что задача приводится к нахождению центра
инерции положительной массы М' и отрицательных масс Mv М^у М^
§ 30. Простейшие случаи определения центра тяжести. Рас-
Рассмотрим простейшие случаи, когда центр тяжести можно определить
элементарным путём.
1. Центр тяжести однородного прямолинейного отрезка. Пусть
дан однородный прямолинейный отрезок АВ, средина которого есть
точка С. Так как точка С есть центр
симметрии, то центр тяжести находится
в точке С.
2. Центр тяжести однородной
правильной ломаной линии. Пусть
дана правильная ломаная линия
ABCDEF и О — центр вписанной в неё
окружности. Мы предположим, что ли-
линия ABCDEF охватывает не более по-
половины окружности (черт. 57). Про-
Проведя ось симметрии Ох, мы на осно-
основании рассуждений § 29 заключаем, что
центр тяжести должен лежать на этой
оси. Определим его координату S.
Заменим каждое колено (АВ, ...) ло-
ломаной линии соответствующей экви-
эквивалентной точкой (G, ...) и обозначим
через / длину колена ломаной линии,
через R — радиус вписанного круга, через п — число колен лома-
ломаной линии. Применяя метод эквивалентных точек и пользуясь форму-
формулами F.15), по сокращении их' на постоянную плотность мы будем
иметь:
АВ + ВС + ...
nl
где Е1Э S2, ... суть абсциссы центров тяжести колен АВ, ВС, .7.
Рассмотрим, например, колено АВ. Опуская из эквивалентной точки G
перпендикуляр GH на ось Ох, мы будем иметь ОН= (if, далее OG = R.
Проектируя колено АВ на ось Оу, перпендикулярную к Ох} в отре-

§ 30]
ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
101
зок А1В1 и проведя АА! перпендикулярно к ВВи из подобия тре-
треугольников АА!В и ООН найдём:
ОН OG
AN
или
AiB-
Аналогично получим:
АВ
А. =4' «1 =
Вставляя эти выражения в предыдущую формулу для координаты
мы будем иметь:
, __ АХВХ • R + ВхСг • R
U —-
—-
Обозначим длину AiF1 всей проекции ломаной линии на ось Оу
через d\ тогда из предыдущей формулы мы
найдём:
где L есть длина всей ломаной линии.
3. Центр тяжести однородной дуги круга.
Пусть дана дуга ABC круга, не большая полу-
полуокружности (черт. 58)/ Проведём ось сим-
симметрии Ох и обозначим через а половину
центрального угла АОС> соответствующего дуге Черт. 58.
ABC. Центр тяжести дуги ABC лежит на её
оси симметрии Ох, и, чтобы найти его, необходимо перейти к пре-
пределу в формуле F.17), рассмотрев дугу ABC как предел правильной
ломаной линии, когда число её колен неограниченно возрастает, при-
причём длина каждого колена стремится к нулю. В пределе будем иметь:
F.18)
и из формулы F.17) мы получим:
?_ о 2# sin a
sina
Применяя эту формулу к полуокружности, когда а = ~, мы будем
иметь:
тс
"

102
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
[ГЛ. VI
4 Центр тяжести однородного параллелограмма. Рассмотрим
параллелограмм ABCD (черт. 59). Разобьём его прямыми, параллель-
параллельными основанию АВ, на бесконечно узкие полосы. Так как центр
тяжести полосы лежит в её средине, то геометрическое место экви-
эквивалентных точек есть прямая EF. Таким об-
образом, мы привели задачу к нахождению
центра тяжести однородной прямой EF. Её
центр "тяжести лежит в точке О — месте
пересечения диагоналей АС и DB. Следо-
Следовательно, центр тяжести параллелограмма
лежит в точке пересечения диагоналей парал-
параллелограмма
Черт. 59.
Черт. 60.
5. Центр тяжести однородного треугольника. Рассмотрим тре-
треугольник ABC (черт. 60). Разбивая его прямыми, параллельными
основанию АВ, на бесконечно узкие полосы и заменяя каждую полосу
эквивалентной точкой, мы найдём, что геометрическое место экви-
эквивалентных точек есть прямая CD — ме-
медиана треугольника. Таким образом,
задача привелась к нахождению центра
тяжести неоднородной прямой, плот-
плотность которой возрастает при прибли-
приближении к точке D. Проведя другую
медиану АЕ, найдём также, что и она
есть место эквивалентных точек для
треугольника. Следовательно, центр
тяжести треугольника ABC лежит
в точке О пересечения медиан CD
и АЕ. Отсюда вытекает, что все три
медианы треугольника пересекаются
в одной точке. Соединим прямою точки D и Е, т. е. средины сторон В А
и ВС треугольника ABC; прямая DE как средняя линия треугольника
будет параллельна стороне АС и равна половине стороны АС. Так
как Д А ОС со Д DOE, то мы на-
ходим:
СО _АС_9
DO ~~ DE
Таким образом, центр тяжести тре-
угольника лежит на его медиане на
одной трети её длины, считая от
соответствующей стороны треуголь-
треугольника.
6. Центр тяжести однородной трапеции. Пусть дана трапе-
трапеция ABCD (черт. 61). Проведя диагональ Л С, мы разобьём трапецию
на треугольник ACD и треугольник АСВ. Если М и N суть средины
оснований трапеции, то центр тяжести первого треугольника лежит

§ 30] ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ 103
в точке ?, а второго — в точке F\ следовательно, центр тяжести
трапеции лежит на прямой EF, Проведя диагональ DB> мы разобьём
трапецию на треугольник DBC> центр тяжести которого лежит в точке G,
и треугольник DBA, центр тяжести которого лежит в точке Н\
следовательно, центр тяжести трапеции лежит также на прямой ОН.
Таким образом, центр тяжести трапеции лежит в точке О пересечения
прямых EF и GH.
7. Центр тяжести однородного кругового сектора. Пусть дан
круговой сектор ОАВСО, радиус которого равен R и половина цен-
центрального угла которого равна а (черт. 62).
Проведя радиусы, разобьём рассматриваемый
сектор на бесконечно узкие секторы, кото- /г
рые можно с точностью до малых высших
порядков отождествить с равнобедренными
треугольниками. Так как центр тяжести
каждого треугольника лежит на его медиане
на одной трети её длины, считая от основа-
основания, то геометрическим местом эквивалентных
точек будет дуга DEF, радиус которой
2
OD =^ R, Таким образом, мы привели за-
задачу к нахождению центра тяжести однородной круговой дуги DEF
2
с радиусом, равным -^ R. Её центр тяжести, который одновременно
о
является и центром тяжести сектора, лежит на оси Ох на расстоянии I
от точки О, равном согласно формуле F.18)
-|fl-^: F.19)
ос о ос
Применим эту формулу к нахождению центра тяжести полукруга
с радиусом, равным R\ так как в этом случае а = — , то мы получим:
8. Центр тяжести однородного кругового сегмента. Пусть дан
круговой сегмент ABCDA, радиус которого равен R и половина
центрального угла которого равна а (черт. 58). Этот сегмент есть
разность кругового сектора ОАВСО с площадью Sr и треуголь-
треугольника О АС с площадью Sv Обозначая абсциссу центра тяжести сектора
через ?', а треугольника — через Ех, мы по первой из формул F.16)
по сокращении дроби, стоящей в правой части, на плотность для
абсциссы ? центра тяжести сегмента получим следующее выражение:

104
Но мы имеем:
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
[ГЛ. VI
,,¦ 2 о sin a
3 а
Х =» | #2 sin 2а = /?2 sin a cos а, 5Х = | Я cos а.
Следовательно,
или
1
» —.
^ sin
а
— — /?2 sin а COS а.
а — R2 sin а COS а
п sin3 а
2
3
3 а — sin а COS а
F.20)
9. Центр тяжести однородного параллелепипеда. Пусть дан
однородный параллелепипед. Разбивая его плоскостями, параллельными
основанию, на бесконечное множество бесконечно тонких слоев и
заменяя каждый слой эквивалентной точкой, лежащей в его центре
тяжести, мы найдём, что геометрическое место
эквивалентных точек есть прямая, соединяю-
соединяющая центры тяжести обоих оснований. Та-
Таким образом, задача нривелась к нахождению
центра тяжести этой однородной прямой,
т. с. центр тяжести параллелепипеда лежит
в её середине, которая совпадает с точкой
пересечения диагоналей параллелепипеда.
10. Центр тяжести однородного те~
траэдра. Пусть дан тетраэдр SABC
(черт. 63). Проводя плоскости, параллель-
параллельные основанию ЛВС, разобьём тетраэдр на
бесконечно тонкие треугольные слои. Заме-
Заменим каждый слой эквивалентной точкой,
лежащей в его центре тяжести. Геометриче-
Геометрическое место этих эквивалентных точек есть
прямая S/7, соединяющая вершину S тетраэдра с центром тяжести F
основания ABC. Таким образом, мы привели задачу к нахождению
центра тяжести неоднородной прямой SF, плотность которой возрастает
с приближением к точке F. Соединяя другую вершину.Л тетраэдра
с центром тяжести Е основания BCS, мы получим другое место АЕ
эквивалентных точек. Следовательно, центр тяжести тетраэдра лежит
в точке пересечения О этих прямых SF и АЕ. Заметим, что прямые SF
и АЕ действительно пересекаются, так как они лежат в плоскости
треугольника ASD. Рассмотрим два треугольника ASD и FED; они
имеют по равному углу, заключённому между пропорциональными
Черт. 63.

§ 31]
ТЕОРЕМЫ ГЮЛЬДЕНА
105
сторонами, так как будет:
АР
FD
SD
ED
Поэтому эти треугольники подобны, и должно быть FE\\AS. Из
параллельности сторон FE и AS следует, что Д ASO со Д FEO,
откуда
Следовательно, центр тяжести однородного тетраэдра лежит на пря-
прямой, соединяющей вершину тетраэдра с центром тяжести его осно-
основания, на одной четверти её длины от основания.
Это предложение имеет место для любой однородной пирамиды
к однородного конуса.
§ 31. Теоремы Гюльдена. Следующие теоремы, принадлежащие
Гюльдену A577 — 1643), а также Паппу (III в. н. э.), дают возможность
определить площадь поверхности вращения и объём тела вращения,
если известны центр тяжести плоской
дуги и центр тяжести площади плоской
фигуры, образующих при своём враще- Дг
нии вокруг оси, лежащей в их плоскости,
эту поверхность и это тело.
Первая теорема Гюльдена.
Боковая поверхность тела вращения,
описанная дугою плоской кривой, вра-
вращающейся вокруг оси, лежащей в её пло-
плоскости и не пересекающей этой дуги,
В
Черт. 64.
равна длине дуги, умноженной на длину окружности, описанной
центром тяжести этой дуги.
Рассмотрим дугу АВ плоской кривой и ось х вращения, которую
мы примем за ось абсцисс (черт. 64). Как крайний случай, одна
из точек А и В или обе могут лежать на оси х. Направим ось у
(ординат) перпендикулярно к оси вращения. Опустим из точек А пВ
перпендикуляры ААг и ВВХ на ось вращения; пусть будет С центр
тяжести дуги АВ, a yj = ССХ — его ордината. Обозначим через As
элемент дуги АВ, а через / — длину всей дуги. С точностью до малых
высших порядков можно считать, что при вращении вокруг оси х
элемент As дуги АВ опишет боковую поверхность усечённого конуса,
образующая которого есть As, а средний радиус есть у. Так как
боковая поверхность усечённого конуса равна образующей, умноженной
на длину окружности, описанной средним радиусом, то мы будем
иметь для боковой поверхности рассматриваемого конуса выражение
2тгу As. Суммируя все элементы поверхности, мы в пределе получим

106
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
[ГЛ. VI
боковую поверхность о:
о = lim 2 2icy Д-s = 2п lim
Но из формул F.10) видно, что
= 2к \ у ds*
= \yds —
Следовательно, мы получаем:
а ¦== 2щ1,
F.21)
А
А|
Черт. 65.
что и доказывает теорему. Отсюда следует, что если мы будем пово-
поворачивать дугу АВ в её плоскости вокруг её центра тяжести С и затем
заставлять вращаться дугу АВ вокруг оси х в раз-
разных положениях этой дуги, то боковые поверхности
всех получающихся поверхностей вращения будут
между собою "равны, так как при этом количества i\
и, / изменяться не будут. Например, пусть мы имеем
прямолинейный отрезок АВ, вращающийся вокруг
оси х, лежащей с отрезком АВ в одной плоскости;
пусть С есть средина этого отрезка (черт. 65).
Будем поворачивать отрезок АВ вокруг точки С,
оставляя его в той же плоскости и придавая ему по-
положения АХВ1У А2В2, ...; тогда боковые поверх-
поверхности, образуемые вращением вокруг оси х от-
отрезков АВ, А1В1, А2В2, ..., все будут между собою
равны, в чём легко убедиться и из элементарной гео~
метрии.
Вторая теорема Гюльдена. Объём тела вращения, полу-
полученного от вращения плоской фигуры вокруг оси, лежащей в её
плоскости и не пересекающей этой фигуры, равен площади этой
фигуры, умноженной на длину окруж-
окружности, описанной центром тяжести
этой фигуры.
Примем ось вращения за ось абсцисс
прямоугольной системы осей координат.
Как крайний случай, ось вращения может
быть одной из сторон плоской фигуры.
Пусть С—центр тяжести плоской фи-
фигуры и Y] — его ордината (черт. 66). Ра-
Разобьём всю плоскую фигуру на беско-
нечно малые части прямыми, параллель-
параллельными осям координат. Пусть Е — центр
одного из получающихся при этом раз-
разбиении прямоугольников, а у = ЕЕХ — его
ордината. Объём кольца, образуемого вращением этого прямоуголь-
прямоугольника, можно получить как разность объёмов двух цилиндров с оди-
f, С,
Черт. 66.

§ 32]
ПРИМЕРЫ
107
исковой высотой Дл; и с радиусами у -\- -~ и у ^-; поэтому для
объёма кольца мы получим:
~)
— Ъ\У
") Длг ==
ДдсДу =
где До есть площадь рассматриваемого элементарного прямоуголь-
прямоугольника. Суммируя все эти объёмы, мы в пределе и будем иметь объём V
рассматриваемого тела вращения:
= 2тг Г J3>rfa.
Но из формул F.12) мы имеем:
= Г Гyda =
где о обозначает площадь фигуры. Таким образом, мы получаем:
V =27010, F.22)
что и доказывает теорему. Отсюда следует, что если мы будем пово-
поворачивать плоскую фигуру в её плоскости вокруг её центра тяжести С
и затем заставлять плоскую фигуру вращаться вокруг оси х в разных
её положениях, то объёмы всех получающихся
тел вращения будут между собою равны, так
как при этом количества ?) и о изменяться
не будут. Например, мы имеем эллипс с полу-
полуосями а и Ъ в двух положениях: в первом поло-
положении малая ось эллипса параллельна оси дг,
а во втором положении — большая ось эллипса
параллельна оси х. Центр эллипса в обоих слу-
случаях отстоит от оси вращения на расстояние,
равное d (черт. 67). Будем вращать эти эллипсы
вокруг оси х; тогда на основании изложенного
объёмы двух получающихся при этом эллип-
эллиптических колец будут между собою равны, а
именно, будут равны 2iz^abd,
Примечание. Ось вращения не должна
пересекать дуги или площади, потому что части,
лежащие под осью вращения (см. фиг. 66), дадут
вследствие отрицательных ординат отрицательные слагаемые в под-
подсчитываемых суммах, и мы получим в итоге разность площадей или
объёмов. Чтобы этого избежать, следует отдельно выполнять вычисле-
вычисление для частей, лежащих над осью и под осью вращения.
§ 32. Примеры. 18. Рассмотрим плоскую фигуру, изображённую на
черт. 68, состоящую из двух прямоугольников и полукруга, которые мы от-
отметим соответственно следующими цифрами: /, 2 и 3. Так как рассматривае-
рассматриваемая фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры должен лежать
Черт. 67.

108
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
[ГЛ. VI
на этой оси; принимая ось симметрии за ось абсцисс, мы приведём задачу
нахождения центра тяжести фигуры к нахождению лишь одной координаты ?.
Легко видеть, что части /, 2, 3 рассматриваемой фигуры мы можем заменить
эквивалентными точками и провести вычисление координаты S по фор-
формуле F.15). До сих пор начало ко-
координат выбрано не было. Выберем
его таким образом, чтобы одна из
абсцисс эквивалентных точек обрати-
обратилась в нуль; например, выберем его
в центре тяжести части 2. Так как
рассматриваемая плоская фигура од-
нородная, то мы можем сократить
дробь, стоящую в правой части фор-
формулы F.15), на плотность и, учиты-
учитывая, что ?2 — 0> мы получим:
У
20см
L
5см
2
'\3\
,. и ¦ \Л*
-f&CAf -
Черт. 68.
Обращаясь к указанным на чертеже размерам, мы будем иметь:
1 г.
<х1== 16-20, а2 = 10-24,
i = — A2 + 8) = — 20, е2 = 0, |3=^ + т'5'
sin тг
Следовательно, предыдущая формула принимает вид
(Ю<ш
О
\60см —
16.20 +:
или
_ — 16 «20-20 • 6 + 25C6тс + 20)
*"~ 16-20-6+ 10-24-6+ 25-те-3
Отсюда мы имеем:
, (9я — 379) 20
Черт. 69,
или
~ Eт1 + 224) 3 '
; = — 9,75 см.
19. Найти центр тяжести однородного прямоугольника, в углу которого
сделано круглое отверстие (черт. 69). Дано, что стороны прямоугольника
равны 60 и 40 см, радиус круглого отверстия равен 5 см и центр отверстия
отстоит от обеих сторон прямоугольника на 10 см. Применяя к этой задаче
способ вычитания, мы должны использовать выражения для обеих коорди-
координат ? и Y], так как оси симметрии в настоящей задаче нет. Взяв начало
координат в центре тяжести прямоугольника (чтобы исключить координаты ?',
if его центра тяжести) и сокращая правые части формул F,16) на плот-
плотность, мы получим:
Мы имеем:
t . _____ ui^i „ ^
^ = 40-60, ор,-= тс -
5, = 20, 4i = —

§ 32] ПРИМЕРЫ
Таким образом, мы находим:
тс . 52 • 20
109
t __.
. 52 ¦ 10
или
40 • 60 — тс • 5а f
20тс
40 • 60 — тс • 52
Ютс
*- 96 — тс» J 96 — тс'
Отсюда мы приходим к следующим числам:
5 = — 0,68 см, 1) = + 0,34 см.
20. Найти объём и поверхность круглого кольца, получающегося от вра-
вращения круга с радиусом, равным я, около оси А, лежа-
лежащей в плоскости этого круга и отстоящей от его центра
на расстояние R (черт. 70). Для вычисления объёма мы
применим формулу F.22); так как мы имеем:
то
а = па2,
V =
Чтобы вычислить площадь поверхности, мы применим
формулу F.21) к внешней и внутренней частям кольца.
Мы будем иметь:
а = 2тс (R + у тса + 2тс (#— ?0) па,
где &о есть расстояние центра тяжести полуокружности
от центра-круга; отсюда находим: ^еРт» 70.
а = 4тс2а/?. •
21. Рассмотрим неоднородную прямую ОА, длина которой равна /; на-
направим ось Ох вдоль этой прямой (черт. 71). Требуется найти положение
п д 15
Черт. 71.
центра тяжести этой прямой, если известно, что р = ро — kx^t где pq, kt
постоянные. По первой из формул F.9) мы имеем:
/
Г г
Ро (xdx— k
о
г
(
о
I
г
р0 J dx — k j x^ dx
о о
Вычисляя эти определённые интегралы, получим:
?:
или
Po-
Этой формулой можно пользоваться при нахождении центра тяжести дре-
древесного ствола,

110
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
[ГЛ. VI
22. Пусть мы имеем тело, состоящее из цилиндрической головки и соос-
ного с ней прикреплённого к ней цилиндра. И головка и цилиндр сделаны
из одного материала, имеющего плотность р. Высота головки равна 2я, ра-
радиус головки равен /?, радиус цилиндра равен г и длина цилиндра равна 2Ь
(черт. 72); Сг есть центр тяжести головки и О есть центр тяжести цилиндра.
С правой стороны в цилиндр влита соосная с ним цилиндрическая пробка
плотности р2(?2>р) с радиусом,
равным г2. Определить длину 2Л
этой цилиндрической пробки так,
чтобы центр тяжести всей системы
находился в точке С вправо от
точки О, где ?0 = ОС задано. Для
^ решения задачи мы рассмотрим
данную систему, как состоящую
из цилиндрической головки, сплош-
сплошного цилиндра и цилиндрической
-?д-
0 С
вставки с плотностью р2 — р, и
возьмём начало координат в точ-
точке О. Очевидно, что центр тяжести
системы должен лежать на оси симметрии Ох} проходящей через точки С1г
О, С и С2, где С2 есть центр тяжести влитой пробки. Мы имеем:
1=0;
Черт. 72.
(головка) М1 =
(цилиндр) М =2тсг26р,
(вставка) М2 = 2тсг|/г (р2 — р), $2 = 6 — h.
Применяя формулу F.15), мы получим:
или
^ Мj ^ Afj
Вставляя сюда приведённые выше значения масс и координат, будем иметь:
«0=
Положим для упрощения:
тогда
Отсюда мы получаем для h квадратное уравнение

§ 32] ПРИМЕРЫ 111
откуда находим:
п
Следовательно, длина цилиндрической пробки равна
Существование двух ответов можно легко истолковать.
В самом деле, вместо цилиндрической пробки с длиной 2h<^bt указан-
указанной на черт. 72, можно взять пробку, конец которой настолько же заходит
налево за точку С, насколько конец первой пробки не доходит до точки С.
Обозначим расстояние между точкой С и концом пробки через d; для слу-
случая черт. 72 мы будем иметь:
т. е.
Легко убедиться геометрически, что если конец пробки зайдёт налево за
точку С, то
Таким образом, необходимость существования двух ответов не только под-
подтверждена, но и дано физическое истолкование квадратному корню в полу-
полученном выше ответе для 2h, так как из обоих значений для величины 2fi мы
находим;
d =
Случай отсутствия решения мы разбирать не будем.
23. Дана парабола у1 = 2рх, отнесённая к прямоугольной системе Оху
осей координат. В точке С прямую Ох пересекает хорда АВ параболы,
перпендикулярная к оси Ох и отстоящая от вершины О на расстояние ОС = К
Найти центр тяжести сегмента ОАСВО параболы, предполагая его однород-
однородным. Так как искомый центр тяжести лежит на оси симметрии Ох пара-
параболы, то для ^нахождения его достаточно знать его абсциссу ?, определяе-
определяемую формулой
CJ '
приведённой в конце § 28. Представляя элемент площади dv параболы через
2ydx — 2 Y%pxdx = 2 Y~2px2dx, мы заменим двукратные интегралы одно-
однократными и получим:
» , _ 4
о = 2 V2p I x*dx = 2 /2p-o- = -o-
О О
О
h ? а
Г Г л: da = 2 У 2^ Г х2 dx = 2 /2^ -~- =
о
- 3 -^ А
4 -'— h\

112 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ [ГЛ. VI
Отсюда для координаты g находим:
-i Y2ph-h b
Если вершину О соединить с концами А и В хорды АВ прямыми ОА
и ОВ} то полученный равнобедренный треугольник ОАВ будет иметь свой
центр тяжести также на оси Ох на расстоянии -^ h от точки О. Следова-
о
тельно, центр тяжести сегмента параболы будет ближе к точке О, чем центр
тяжести рассматриваемого равнобедренного треугольника, как это и следо-
следовало ожидать, и расстояние между обоими центрами тяжести будет равно
2 , 3 , 1 ,

ГЛАВА VII.
РАВНОВЕСИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ.
§ 33. Уравнения равновесия. Если дана система параллельных
сил, приложенных к абсолютно твёрдому телу, то мы знаем, что,
применяя последовательно теорему сложения параллельных сил,
направленных в одну сторону, и теорему сложения антипараллель-
антипараллельных сил, мы приведём рассматриваемую систему сил или к одной
равнодействующей, или к одной паре, или к равновесию, когда не
будет ни пары, ни равнодействующей; таким образом, геометри-
геометрическое решение вопроса о том, какой из трёх случаев имеет место,
затруднений представить не может. Чтобы дать аналитическое решение
вопроса, сделаем предварительно несколько замечаний. Пусть дана
система параллельных сил Fv F%, Z^,..., общий момент которой
относительно какой-либо точки О пространства равен Ж. Предположим,
что согласно теоремам о сложении параллельных сил мы заменим
несколько сил данной системы их равнодействующей Ff\ пусть будет С
точка приложения силы F\ причём ОС = р'.
Нетрудно видеть, что от этой замены нескольких сил одной их
равнодействующей F1 общий момент М системы измениться не может,
так как согласно теореме Вариньона момент р' X F* силы F' равен
сумме моментов составляющих её сил, причём все эти моменты
составляющих входят в состав общего момента М как его геометри-
геометрические слагаемые. Отсюда следует, что если система параллельных
сил приводится к паре сил, то момент пары равен общему моменту
этой системы параллельных сил.
Перейдём теперь к составлению уравнений равновесия системы
параллельных сил. Прежде всего эта система сил не должна иметь
равнодействующей, т. е. должно быть 2 ^пz=z ^> где Fп СУТЬ алге-
п
браические величины. В.этом случае согласно формуле E.16) общий
момент системы должен быть постоянен для всех точек пространства,
т. е. система сил может быть приведена к паре сил с моментом, равным
общему моменту системы. Поэтому, чтобы пары сил не было, общий
момент М = ^Мп системы должен быть равен нулю. Таким образом,
п
уравнения равновесия системы параллельных сил имеют в векторной

114 РАВНОВЕСИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VII
форме следующий вид:
2/?„ = 0, 2М„ = О. G.1)
п п
Вследствие параллельности сил Fn все векторы Мп, приложенные
в общей точке О, расположатся в одной плоскости, проходящей
через точку О и перпендикулярной к направлению сил Fn. Чтобы
иметь уравнения равновесия в координатной форме, возьмём прямо-
прямоугольную систему осей координат Oxyz, у которых ось Oz парал-
параллельна силам Fn и направлена по однрму из двух направлений сил Fn,
принятому за положительное; так как проекции всех сцл на оси Ох
и Оу будут равны нулю, то из трёх уравнений проекций:
два первых обратятся в тождества, а третье уравнение будет иметь
вид 2/^ = 0. Из трёх уравнений моментов:
последнее обратится в тождество, так как все силы параллельны оси
Oz, а два первых:
Мх = 2 (ynZn - znYn) = 0, Му = 2 (*„*» - xnZn) = 0
п ' п
будут иметь вид
2д\Л=о, 2^Л = о.
п п
Таким образом, мы получаем следующие три уравнения равновесия
в координатной форме:
2^n = 0. HxnFn = 0> 2>'n^ = 0, G.2)
п п п
причём ось Oz совпадает с одним из двух направлений сил Fn\ при-
признаки, выражаемые уравнениями G.2), суть признаки необходимые и
достаточные. Так как уравнений равновесия только три, то всякая
задача на равновесие параллельных сил, содержащая более трёх
реакций, будет задачей статически неопределимой.
§ 34. Примеры. 24. Балка, вес которой равен Р, лежит без заделки на
двух опорах Лг и Л2; в точках А и В к балке приложены силы Pt и Р2;
определить реакции Ях и #2 ОПОР (черт. 73). Так как балка в опорах А± и А2
не заделана, то, пренебрегая трением, мы примем, что силы Иг и R2 нор-
нормальны к балке. Дано, что А^ = 2/, А±С = /, СА = а, АВ = Ь. Направим
ось z в направлении реакций опор, ось у — вдоль длины балки, а начало
координат для исключения из уравнения моментов момента силы R± поместим

§ 34] примеры
в точку А\. Из уравнений G.2) у нас остаются уравнения
115
п п
В применении к рассматриваемой задаче они принимают вид
Из второго уравнения имеем:
вставляя это значение для R2 в первое уравнение, получим:
ИЛИ
Способ решения можно сделать более симметричным, при котором все
уравнения равновесия будут содержать лишь по одной неизвестной реак-
ции. Для этого будем рассуждать следующим образом. Потребуем, чтобы
общий момент системы сил относительно точки А± был равен нулю;
это требование равносильно требованию отсутствия пары, но равнодействую-
равнодействующая, проходящая через точку А\, существовать ещё может, так как её
момент относительно точки At будет равен нулю. Потребуем затем, чтобы
общий момент рассматриваемой системы сил относительно точки А2 был
также равен нулю. Так как равнодействующая, которая должна быть перпен-
перпендикулярной к длине балки, проходить через точки А± и Л2 одновременно
не может, то эта равнодействующая должна быть равна нулю, и балка
находится в равновесии. Выражая изложенное уравнениями, получим:
— R22l + P/ + P1(/-
мы видим, что неизвестные количества Ri и R% полностью отделены. Опре-
Определяя отсюда величины Ri и /?2, приходим к прежде найденным значениям.

116
РАВНОВЕСИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. VII
25. Определить реакции Rh R2 и Rs на три*ножки тяжёлого стола,
покоящегося без трения на горизонтальном иолу (черт. 74). Возьмём прямо-
прямоугольную систему осей координат Qxyz} у которой плоскость Оху совпадает
с плоскостью пола, а ось Oz направлена вертикально вверх. Обозначим
координаты концов Аь А2, Л3 ножек стола соответственно через (хьугO
(хъ У%)> (-*з> Уз)> а координаты центра тяжести С, в котором приложен вес
стола Р, через (х, у, z).
Так как трения нет, то
мы заключаем, что реакции
Rh #2> #з Должны быть нор-
нормальны к плоскости пола,
т. е. параллельны оси Oz.
Применяя уравнения G.2),
получим:
или
Черт. 74.
Из этих трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными мы и опре-
определим значения этих неизвестных.
26. Определить реакции Rlf R2, R$ и R4 на четыре ножки прямоуголь-
рд
ного тяжёлого
покоящегося без
трения на горизонтальном полу
(черт. 75). Примем, что рас-
расстояния между ножками
стола равны соответственно
2а и 2Ь и вес стола, при-
приложенный к точке Ст ра-
равен Р. Возьмём оси коор-
координат, как указано на
черт. 75, т. е. ось Oz напра-
направим вертикально вверх, ось
Ох — параллельно ширине
стола, ось Оу — параллель-
параллельно длине стола, и начало
координат О возьмём в точке
пересечения прямых А\АЪ
и А^А^
Координаты концов но-
ножек стола будут: Ах (Ь, а);
А2(—Ь, а);
у_ .очки с через {xf у, z). Вслед ^*^*^д«иЛ
трения реакции Rp R^ R& R4 нормальны к полу, т. е. параллельны оси Oz.
Черт.
Обозначим координаты точки С через (xt /,*V)?Вследствие отсутствия
трения реакции Rlf Rb R3t R4 нормальны к полу т е O
Из уравнений G,2) мы имеем:
bRx — bR% — bJR9 + bRA — xP = 0,
aRx + aR% — aRz — aRt — yP = 0.

§ 34]
ПРИМЕРЫ
117
Как и следовало ожидать, согласно указанию в конце § 33 эта задача
будет статически неопределимой. Покажем, что, учитывая упругие дефор-
деформации, можно получить добавочное уравнение.
Именно, предположим, что ножки Аь А^ Л3, АА
стола прогибают пол, причём опускания ?1; ц, е3, ?4
их пропорциональны давлениям на пол, т. е.
в, = kRb
о
где мы предполагаем, что упругие свойства пола
под всеми ножками одинаковы. Сделаем предполо-
предположение, что после деформации пола точки Аь А2, Л3,
Л4 сместятся в положения Av A2, А%, Л4, причём
четыре точки А[, Л2, Л3> Л4 опять будут лежать в це ~~
одной плоскости.
Рассмотрим диагональ Л^Л3; после деформации она займёт положе-
положение А^А^ причём точка О сместится в положение О на расстояние ? = ОО\
где по свойству трапеции мы имеем:
2. *
Точно так же, исходя из трапеции Л2Л4Л4Л2, мы получим:
Отсюда мы будем иметь:
или
Собирая все уравнения вместе, получим:
—
Решая эти уравнения, найдём:

118
РАВНОВЕСИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
[ГЛ. VII
Мы видим, что, учитывая упругие свойства связей, мы смогли определить
все реакции, чем и подтверждается указание, сделанное в § 17 третьей
главы.
27. Показать, что система параллельных сил Fb F1} F§ находится
в астатическом равновесии, если будет:
р ___ р ___ d р == 2/^*
Л1 —— "~j l*f Ло —— ~*~~ CCf Д.о —— U,
У\ = 0, у2 = 0, уг = 0;
^ = 0, 22 = 0, ^з = ^
Этот случай представлен на черт. 76.
Применяя формулы E.14), мы видим, что они удовлетворяются, т. е.
данная система сил действительно находится в астатическом равновесии.
Очевидно, что силы /^ и F2 при сложении дают равнодействующую, прохо-
проходящую через точку О и уравновешивающуюся с силой F$.

ГЛАВА VIII.
ТЕОРИЯ ПАР.
§ 35. Эквивалентность пар. Рассмотрим какую-нибудь пару,
приложенную к абсолютно твёрдому телу, модуль сил которой равен F\
для краткости мы будем иногда изображать пару условным обозна-
обозначением (Т7, —F). Так как силы можно перемещать в абсолютно твёр-
твёрдом теле вдоль их прямых действий, то всегда можно достигнуть
того, чтобы силы пары были приложены к концам плеча АВ, как
это изображено на черт. 77. В дальнейшем в этой главе мы всегда
будем предполагать, что пара при-
приведена к этому виду. Докажем
ряд предложений.
Черт. 77.
л с
-F
0
ф
г
Ф
D 6
-Г
Черт. 78.
1. Можно произвольно изменять модуль сил пары, менян при
этом плечо так, чтобы момент пары остался неизменным. Пусть
дана пара (Z7, —F) с плечом АВ (черт. 78), и мы хотим модуль F
сил пары изменить в Ф; предположим для определённости, что Ф > F.
Разделим плечо А В пополам и приложим в его середине О две про-
противоположные силы Ff и —Ffу параллельные силе F, с модулем
F' ^ф — F. Выполняя сложение сил F и F\ а затем сил — F и —F\
мы получим пару (Ф, —Ф) с некоторым плечом CD. Из теоремы
о сложении параллельных сил, направленных в одну сторону, известно,
что должно быть:
OP __ F _ F
DB~~ F' ~~~ Ф — F*

120
Отсюда мы находим:
ТЕОРИЯ ПАР
[ГЛ. VIII
— F) = DB- F,
DB. F=
или
Умножая обе части этого равенства на 2, мы будем иметь:
ф . CD = F • АВ}
т. е. момент пары остался неизменным. Таким образом, предложение
доказано. Очевидно также, что можно задаваться новой длиной плеча
для пары, изменяя при этом модуль сил так, чтобы момент пары
остался неизменным.
2. Пару можно переносить параллельно самой себе. Пусть бу-
будет дана пара (Т7, —F), расположенная в плоскости П. Предположим,
что мы хотим перенести эту пару в плоскость П7, причём II' || П (черт. 79).
Проведём в плоскости II' прямую CD#AB и приложим в точках С
IF
F,
п
f
D
. • п'
IF
Черт. 79.
и D по две противоположные силы с модулем Z7, перпендикулярные
к CD. Так как CD#AB, то прямые ВС и AD как диагонали парал-
параллелограмма пересекаются и в своей точке Е пересечения делятся
пополам. Очевидно, что две параллельные силы Т7, приложенные в точ-
точках В и С, дадут в точке Е равнодействующую 2Z7, а две параллель-
параллельные силы — F> приложенные в точках А и ?), дадут в точке Е рав-
равнодействующую —2F. Обе эти равнодействующие -|- 2F и — 2F,
приложенные в общей точке Е, взаимно уравновешиваются, и остаётся
пара (/% —F), расположенная в плоскости П'. Очевидно, что момент
этой пары равен моменту прежней пары. Как частный случай пло-
плоскость П' может совпадать с плоскостью II, и мы будем иметь пере-
перемещение пары параллельно самой себе в своей плоскости.

§ 35]
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПАР
121
3. Пару можно повернуть на произвольный угол в её плоскости.
Пусть дана пара (F, —F). Рассмотрим сначала частный случай по-
поворота пары вокруг середины О плеча АВ (черт. 80). Проведём под
заданным углом поворота через точку О прямую CD = АВ, чтобы
было CO = DO. Приложим в точках С и D по две противоположные
и перпендикулярные к прямой CD силы с модулями F. Перенесём
силы, расположенные внутри угла BOD, в точку их схода Му а силы,
расположенные внутри угла АОС, — в точку их схода N. Соединим
прямыми точки М и N
с точкой О. Из равенств
/\0ВМ= &0DM,
/\OAN= ДОСЛГ
следует, что ОМ и ON
суть биссектрисы двух
вертикальных углов АОС
и BOD, и потому пря-
прямые ON и ОМ предста-
представляют продолжение одна
другой. Складывая силы,
приложенные в точках М
и 7V, по правилу паралле-
параллелограмма, мы получим
равные ромбы; равнодей-
Черт. 80.
ствующие пойдут по диагоналям этих ромбов, составляющим продол-
продолжения прямых ОМ и ON. Поэтому эти равнодействующие взаимно
уравновешиваются, и остаётся только пара сил (Fv — Ft) с плечом CD.
Соединяя поворот вокруг точки О с параллельным перенесением, мы
можем повернуть пару вокруг любой точки её плоскости. Очевидно,
что и здесь момент пары остаётся неизменным. Отсюда мы приходим
к следующему предложению:
Две пары с одинаковыми моментами эквивалентны, так как
могут быть переведены одна в другую с помощью вышерассмотрен-
ных трёх операций.
В самом деле, предположим, что даны две пары (F, —F) и (Fr, —F'),
приложенные к абсолютно твёрдому телу, и что моменты М и М/
этих пар между собою равны. Из равенства М==Л1' прежде всего
мы заключаем, что пары (/% —F) и (Ff, —Ff) расположены в парал-
параллельных плоскостях. Чтобы убедиться, что пару (F\ —F) можно
совместить с парою (F, —F), повернём пару (F7, —Ff) в её пло-
плоскости таким образом, чтобы плечо пары (Ff, —F) сделалось
параллельным плечу пары (/% —F). Затем изменим её силы с моду-
модулем F' в силы с модулем F\ тогда вследствие равенства ЛГ = AI
плечи обеих пар сделаются между собою равным^. После этого па-
параллельным перенесением можно одну пару привести в совпадение
с другой парой, чем и доказывается эквивалентность этих пар.

122 ТЕОРИЯ ПАР [ГЛ. VIII
Мы показали в § 25, что построение вектора-момента данной пары
для какой-нибудь заданной точки О есть задача вполне определённая;
в результате этого построения мы получаем один и только один
вектор М, приложенный в точке О. Обратно, пусть дан момент М
некоторой пары, приложенный в точке О, и требуется найти соответ-
соответствующую ему пару. Для этого можно провести любую плоскость П,
перпендикулярную к прямой, проходящей через момент Af, и в любом
месте этой плоскости П построить пару с любыми силами F и — F
и таким плечом АВ, чтобы имело место равенство F • АВ = М
и чтобы направление вращения пары (У7, —F) соответствовало дан-
данному направлению вектора М. Мы видим, что эта обратная задача
представляется как бы неопределённой, так как приводит к беско-
бесконечному множеству пар, но все эти пары между собою эквивалентны,
т. е. могут быть приведены к совпадению друг с другом применением
к ним вышеизложенных операций. Следовательно, это получающееся
бесконечное разнообразие пар есть только кажущееся, и по данному
моменту М мы в сущности получаем также одну пару. Таким обра-
образом, мы приходим к следующему заключению:
Пара сил вполне характеризуется её моментом.
Поэтому в механике пару сил всегда определяют её моментом, и
следует привыкнуть, что вместо реальной пары в механике всегда
будет браться её момент, т. е. вектор М, причём вектор М момента
пары есть вектор свободный, тогда как вектор F силы есть вектор
скользящий.
§ 36. Сложение пар. Пара, как и сила, есть первичный, непри-
неприводимый элемент. Подобно тому как в некоторых описанных выше
случаях мы имели возможность заменить несколько сил одной силой —
равнодействующей, так можно заменить и несколько пар одной парой.
Такое приведение системы пар к одной паре называется сложе-
сложением пар.
Сложение пар, лежащих в параллельных плоскостях. Пусть
даны, например, три пары (Fv —/71), (F2, —Р%), (F3, —Z^), лежа-
лежащие в параллельных плоскостях. Из изложенного в предыдущем па-
параграфе мы знаем, что мы можем перенести эти пары параллельно
самим себе в одну плоскость, параллельную плоскостям данных пар,
что мы и сделаем. Далее, согласно изложенному в предыдущем пара-
параграфе всегда можно достигнуть того, чтобы эти три пары имели
общее плечо; для этого достаточно надлежащим образом изменить
величины сил пар, повернуть пары и переместить их в их плоскости.
Таким образом, мы сможем привести три данные пары к парам (Fu —К),
(/4 —F*), ОК, —^з), изображённым на черт. 81, с общим плечом АВ.
Складывая силы:

A
-/г,
г;
3
Черт. 81.
§ 36] СЛОЖЕНИЕ ПАР 123
мы получим их равнодействующую F\ точно так же мы будем иметь:
Следовательно, вместо трёх пар (Fv —Ft), (F2, —F2), (F%, —F3)
мы получим одну пару (F, —F). Таким образом, возможность сло-
сложения пар, лежащих в одной плоскости, с,
доказана. Остаётся показать, что момент М
пары (F, —F) равен геометрической сумме
М1-\-М2-\-Мг моментов трёх данных пар,
или, что то же самое, пар (F'u —f{),
(F2, —Z^), (Fs, —F%). Но последнее оче-
очевидно. В самом деле, так как момент пары
относительно любой точки пространства
один и тот же, то мы возьмём мо-
моменты всех пар относительно точки А.
Тогда момент пары (/^, —F[) относительно точки А приведётся
к моменту силы F[ относительно точки Л, момент пары (/^, —F^) —
к моменту силы F2 относительно точки Л и т. д. Но по теореме
Вариньона для сходящихся сил момент М равнодействующей силы F
равен геометрической сумме моментов М1-\-М2-\-М.д сил Fu Fi, F3,
и теорема доказана. Очевидно, что при этом геометрическая сумма
моментов приводится к их
алгебраической сумме. Таким
образом, чтобы сложить пары,
расположенные в параллель-
параллельных плоскостях, достаточно
сложить алгебраически их мо-
моменты.
Общий случай сложения
пар. Чтобы придти к общему
случаю, остаётся рассмотреть
лишь случай, когда пары рас-
расположены в пересекающихся
плоскостях. Пусть даны две
пары (Flf— Fx) и (F2,—F2),
лежащие в пересекающихся
плоскостях II' и П" (черт. 82).
Продолжая эти плоскости до
их пересечения и изменяя силы пар так, чтобы их плечи сдела-
сделались между собою равными, мы можем переместить пары^ до совме-
совмещения их плеч АВ друг с другом на общем ребре пересечения плоско-
плоскостей П7 и П". Таким образом, мы получим пары (F/u—/4) и (F2, —/4).
Мы видим, что для получения единственной пары (Z7, —F)
Черт. 82.

124 ТЕОРИЯ ПАР [ГЛ. VHI
достаточно сложить геометрически силы:
приложенные в точках А и В\ следовательно, возможность сложения
пар, расположенных в пересекающихся плоскостях, доказана. Остаётся
показать, что момент М пары (/% — F) равен геометрической сумме
моментов Mj и М2 пар (р'и — F{) и (F2, — /4), или, что то же самое,
пар (/^ —Ft) и (Z^, — F2). Пользуясь тем, что момент пары отно-
относительно любой точки пространства один и тот же, возьмём моменты
всех пар относительно точки В (см. конец § 25). Тогда момент М
пары (Z7, —F) относительно точки В приведётся к моменту силы F
относительно точки В, момент Мх пары (F'u —F[) — к моменту силы F[
относительно точки В и момент М2 пары (F2i —F2) — к моменту
силы f'2 относительно точки В. Но по теореме Вариньона для сходя-
сходящихся сил момент М силы F равен
геометрической сумме моментов Мх
и М2, и теорема доказана.
Отсюда мы получаем пригодное
для всех случаев общее предло-
предложение:
Чтобы сложить пары, доста-
достаточно геометрически сложить их
моменты.
и по " Пусть, например, даны три пары
расположенные как угодно. Так как момент пары относительно любой
точки пространства один и тот же, возьмём произвольную точку О
пространства и построим в ней моменты М1У М2 и М3 рассматривае-
рассматриваемых пар (черт. 83). Складывая геометрически эти моменты,, мы полу-
получим момент М:
той единственной пары, которой можно заменить три данные пары.
§ 37. Прибор Теплера. Изложенное в этой и в предыдущих главах
можно проверить на приборе Теплера (черт. 84). Прибор состоит из
стола на трёх ножках, на котором на трёх подъёмных винтах уста-
установлен круглый диск с тщательно полированной верхней плоской по-
поверхностью. С помощью трёх подъёмных винтов верхнюю поверхность
диска можно установить горизонтально по уровню. На этот диск кла-
кладутся три стальных шарика диаметром около 1,5 см, на которые на-
накладывается плоской полированной поверхностью второй круглый диск,

§ 371
ПРИБОР ТЕПЛЕРА
125
который, следовательно, может весьма легко перемещаться на этих
шариках. На верхней наружной поверхности этого второго диска сде-
сделан ряд дырочек, в которые можно вставлять небольшие штифтики.
На эти штифтики надеваются петли нитей, перебрасываемых через
блоки, которые помощью зажимов можно прикреплять в любом месте
к первому диску, установленному на трёх винтах; к концам нитей
привешиваются гири. Пусть, например, требуется проверить опытным
путём правило параллелограмма. Вставим в какое-нибудь отверстие
верхнего диска штифтик;
наденем на него петли
трёх нитей, из которых
первые две проведём друг
к другу, например, под
углом в 90°, привесив
к ним грузы соответ-
соответственно весом в 300 г
и 400 г. Тогда равно-
равнодействующая этих сил
будет равна 500 г, так
как 3002+4002 = 5002,
и пойдёт по диагонали пря-
прямоугольника, построен-
построенного на силах в 300 г
и 400 г. Направив третью
нить в сторону, противо-
противоположную этой равнодей-
равнодействующей, и привесив
к этой нити груз в 500 г, Черт. 84.
мы увидим, что верхний
диск останется неподвижным. Чтобы во время подготовки опыта
верхний диск, покоящийся на шариках, оставался неподвижным, его
можно зажимать специальным зажимом.
Чтобы убедиться в эквивалентности пар с одинаковыми моментами,
вставим два штифтика Лг и Л2 и привесим к ним при помощи нитей,
перпендикулярных к прямой AtA2 и направленных в противоположные
стороны, два груза весом, например, по 400 г каждый. Мы получим
пару с моментом, модуль которого равен 400,4^2. Вставим затем два
других штифтика Вх и В2 так, чтобы, например, было В1В2=2А1А%,
и привесим к ним с помощью нитей, перпендикулярных к прямой ВХВ,2
и направленных в противоположные стороны, два груза весом по 200 г
каждый так, чтобы момент второй пары был по знаку противополо-
противоположен моменту первой пары; конечно, нет необходимости, чтобы ВХВ^
было параллельно АХА2. Мы увидим, что при этом верхний диск
останется неподвижным.
На этом приборе можно убедиться опытным путём и в верности
теоремы сложения пар. Для проверки опытным путём случая сложения

126 ТЕОРИЯ ПАР [ГЛ. VIII
пар, моменты которых идут под углом друг к другу, при приборе
имеется сделанный из металлических стержней прямоугольник, у кото-
которого стержень, изображающий диагональ, идёт вертикально вверх,
когда прибор прикреплён к центру подвижного диска. На двух
разных сторонах этого прямоугольника наглухо надеты перпенди-
перпендикулярные к ним металлические диски одинакового диаметра. Со-
Составляющие пары образованы грузами, подвешенными на нитях,
прикреплённых к бортам этих металлических дисков. Тогда моменты
этих составляющих пар пойдут вдоль сторон прямоугольника, на
которые надеты диски, и всегда грузы можно выбрать так, чтобы
модули этих моментов были пропорциональны сторонам прямоуголь-
прямоугольника.
В этом случае момент равнодействующей пары пойдёт по диаго-
диагонали прямоугольника, и его модуль будет пропорционален длине этой
диагонали. Достаточно к бортам горизонтального диска, прикреплён-
прикреплённого к диагонали и имеющего такой же диаметр, как диаметры на-
наклонных дисков, прикрепить две нити с грузами так, чтобы получи-
получилась пара с моментом, противоположным по направлению и равным
по модулю моменту равнодействующей пары, для того чтобы верхний
диск остался в равновесии.
При переносе пары параллельно самой себе может возникнуть
вопрос, как могут быть эквивалентны пары, расположенные в разных
местах. В динамике будет доказано, что при действии пар на тело,
где бы ни были расположены эти пары, центр тяжести тела остаётся
неподвижным, но тело начинает вращаться вокруг своего центра тя-
тяжести. Это можно проверить на приборе Теплера. Где бы на верх-
верхнем диске при помощи нитей с грузами мы ни образовали пару,
всегда останется неподвижным центр верхнего диска, самый же диск
начнёт вращаться вокруг своего центра тяжести, совпадающего с гео-
геометрическим центром, причём для всех пар с одинаковым моментом
вращение всегда будет начинаться из покоя с одинаковым нараста-
нарастанием скорости.
§ 38. Примеры. 28. Относительно прямоугольной системы координат Oxyz
определены положения двух точек At и А2 их координатами (xt = 10, у± = 6,
zx = 10) и (х2 = 4, у2 = 8, z2 =12). В этих точках приложены две силы /\
я F2 с проекциями на оси координат, равными соответственно (Х1 = 2,
Y\ = 3, Zx = — 4) и (Х2 = — 2, У2== — 3, Z2 = 4). Изучить систему этих двух
сил и найти её общий момент относительно какой-нибудь точки. Так как
проекции сил соответственно между собой равны по абсолютным значениям,
но противоположны по знакам, то данная система представляет собою или пару
сил или две равные ^ силы, действующие в противоположных направлениях
вдоль одной прямой; в обоих случаях общий момент этой системы сил
есть свободный вектор. Так как направляющие косинусы, например, силы /^
пропорциональны 2:3: — 4, а направляющие косинусы отрезка Л^ про-
пропорциональны разностям координат точек А2 и Л|, т. е. пропорциональны
6:2:2, то отсюда следует, что обе силы не расположены вдоль одной прямой,
а образуют пару. Чтобы найти момент этой пары, вычислим его для точки Аь
т." е. определим момент силы F2 относительно точки Л*. Применяя формулы.

§ 38] примеры 127
B-.24), получим:.
Мх = (8 — 6) 4 + A2 — 10) 3 = 14,
Му = — A2 — 10) 2 — D — 10L = 20,
Ме = — D— 10K + (8 — 6J = 22.
Отсюда для модуля момента М рассматриваемой пары находим:
М = у*142 + 202 + 222' п= УТ080 = 32,863.
Так как модуль каждой_силы пары равен У2 + З2 + 42 = У9, а модуль
момента пары равен У9*^,'где d есть плечо пары; то отсюда имеем:
У29.«? = УТ080,
= 6,103.
= у 1^9 = /37,241379
29. Дано пять сил, величины которых суть /^ = 4, /^ == 6, F3 = 2, .Р4 = 7,
/^5 = 3, расположенных в плоскости Оху, приложенных соответственно в точ-
точках 0, 1, 2, 3, 4 оси Оу, причём направление сил FL и F4 совпадает с поло-
положительным направлением оси Ох, а направление сил F2, F$ и F§ — с отри-
отрицательным направлением оси Ох, Изучить эту систему параллельных сил. Так
как алгебраическая сумма Ft + ^2 + ^3 + ^4 + ^6 = 4 — 6 — 2 + 7 — 3 = 0,
то система сил приводится или к паре или находится в равновесии. Так как
общий момент этой системы относительно точки О равен
6.1 + 2-2 — 7.3 + 3.4 = 1,
то система сил приводится к паре, модуль момента которой равен единице,
а сам момент параллелен положительному направлению оси Oz.
30. Даны три пары с моментами, направления которых совпадают с по-
положительными направлениями осей прямоугольной системы координат Oxyz,
а модули которых равны соответственно количествам 1, 2, 3. Найти четвёр-
четвёртую пару Л/4, такую, чтобы она уравновешивалась вместе с тремя данными
парами. Вводя единичные векторы, получим:
или
Af4 = —/• 1—У-2 — Л-3.
Отсюда находим:
Af 4 = YW+W^ = Уп = 3,742.
Момент четвёртой пары равен по модулю диагонали прямоугольного парал-
параллелепипеда, построенного при точке О на отрицательных частях осей Ох,
Оу и Ог со сторонами, равными соответственно 1, 2, 3, и имеет направление
диагонали, проходящей через точку О.

д
ГЛАВА IX.
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ.
§ 39. Приведение плоской системы сил к простейшей системе.
Плоской системой сил называется система сил, расположенных в од-
одной плоскости. Этот случай системы сил очень важен, так как большин-
большинство практических применений статики относится к плоской задаче.
Мы займёмся сначала приведением любой данной
плоской системы сил, приложенных к абсо-
абсолютно твёрдому телу, к простейшей системе,
для чего докажем предварительно следующую
общую лемму:
Точку приложения всякой силы можно
перенести в любую точку пространства^
прибавив при этом дополнительную паруу
момент которой равен моменту силы отно~
сительно этой точки.
Предположим, что мы имеем силу Z7, при-
приложенную в какой-либо точке А её прямой дей-
действия А (черт. 85). Рассмотрим какую-нибудь
точку О пространства и приложим к ней две противоположные силы,
параллельные силе F и но модулям равные силе F, что возможно, так
как приложенные в точке О силы взаимно уравновешиваются. Но,
с другой стороны, получившуюся систему трёх сил можно истолковать
следующим образом: сила F из точки А перенесена в точку О и к
ней присоединена ещё пара (/% — Z7), момент которой равен моменту
силы F относительно точки О. Если мы положим О А = г, то мо-
момент этой дополнительной пары будет равен векторному произведе-
произведению г X F\ очевидно, что момент дополнительной пары будет равен
нулю только в том случае, если точка О лежит на прямой А, что
и должно быть, так как в абсолютно твёрдом теле сила есть вектор
скользящий.
Рассмотрим теперь произвольную систему сил Fv F2, F2i...,
лежащих в одной плоскости и приложенных соответственно в точках
Av А%0 А,, .. . абсолютно твёрдого тела. Выберем какую-нибудь
точку О на этой плоскости и назовём её точной приведения (черт. 86).
Черт. 85.

§ 39] ПРИВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕЙ СИСТЕМЕ 129
Перенесём точки приложения всех сил Fv F2, F^... в точку О, при-
прибавив дополнительные пары с моментами М1 = гг X ^\> М2 = Г2 X ^2»
М$ = / X ^з> •••» все вектоРы Л*1» Л12, М3,... будут перпендику-
перпендикулярны к плоскости, в которой расположены силы Fv F2, /%j, ...Все
силы Fx, Fg, /^g,..., приложенные в точке О, можно сложить по. пра-
правилу многоугольника сил (§ 20), заменив их
одной результирующей силой F; N^/}
Согласно § 36 все дополнительные пары
также можно сложить, сложив геометрически
их моменты, причём геометрическое сложение
здесь приводится к алгебраическому, таким
образом, мы получим одну пару с момен-
моментом М:
Изменим силы пары так, чтобы величина еРт*
их сделалась равной F\ пусть при этом плечо
пары примет значение d0, так что будет М = Fd0. После этого повер-
повернём пару в её плоскости таким образом, чтобы плечо пары сделалось
перпендикулярным к силе F, приложенной в точке О, и передвинем
пару параллельно самой себе в её плоскости так, чтобы сила — F
пары оказалась приложенной в точке О (черт. 87); пусть при этом
точка приложения силы F пары попадёт в точку О0,
где будет ОО0 = dQ и dQ j_ F. Очевидно, что силы F
и —F, приложенные в точке О, взаимно уравнове-
уравновешиваются, и от всей системы сил остаётся лишь
одна равнодействующая сила F, приложенная в
точке О0, причём точку приложения этой силы F мы
можем перенести в любую точку О' её прямой дей-
действия А, проходящей через точку О0. Прямая А,
вдоль которой располагается равнодействующая F
системы сил, называется центральной осью этой
системы сил.
Положение центральной оси можно определить
также и векторно. В самом деле, пусть, взяв за точку
приведения какую-нибудь точку О, мы получили:
F = 2 Fn> M = 2 Мп] Черт. 87.
п п
если же мы возьмём за точку приведения другую точку О' плоскости
расположения сил, то мы получим:
5 Зак. 1709, А. И. Некрасов

130 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ [ГЛ. IX
Применяя формулу B.22), мы будем иметь:
где d=OOf. Отсюда мы находим:
ИЛИ
Если мы выберем вектор d таким образом, чтобы имело место ра-
равенство АГ = 0, то точка О' и будет точкой центральной оси. Сле-
Следовательно, вектор d определяется уравнением
dXF=M, (9.1)
решение которого приводится к делению, так как по данному век-
векторному произведению М и одному множителю F требуется найти
второй множитель d. В отличие от деления скаляров деление рас-
рассматриваемых векторов приводит к бесконечному множеству ответов.
В самом деле, пусть d0 будет одним ответом, который определяется,
например, условиями d0F = М и d0 ± F\ тогда будет пригоден и
ответ d — d0 -f~ с, где с есть произвольный вектор, параллельный F
(черт. 87). Чтобы убедиться в этом, сделаем поверку деления, умно-
умножив частное do-\~c на делитель F\ тогда вследствие параллельности
векторов с и F должно быть сХ^'==0) и мы получим:
Но, как видно из черт. 87, вектор d0 определяет точку О0, а вектор
d*=dQ-\-c — точку О', т. е. мы находим положение центральной оси.
Если, снеся все силы в какую-нибудь точку приведения, мы по-
получим:
то должно быть М' = М, и рассматриваемая система сил приводится
к одной паре. Наконец, если будет /7== 0 и М = 0, то не будет ни
равнодействующей, ни пары, т. е. рассматриваемая система сил нахо-
находится в равновесии. Таким образом:
Плоская система сил или равносильна одной равнодействующей,
расположенной вдоль центральной оси системы^ или одной паре,
или находится в равновесии.
Эти результаты, полученные векторно-геометрически, конечно,
можно представить и в координатной форме. Для этого в плоскости
расположения сил Fv F2, Fb> ... построим прямоугольную систему

§ 39] ПРИВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕЙ СИСТЕМЕ 131
координат Оху. Выберем сначала за точку приведения начало О
координат. Обозначим проекции всех сил на оси координат через
а координаты их точек приложения Av Л2, Л3,... соответственна
через
Л1 (*v Уг)> Л2 (*2> М Лъ (*з> У*)> • • •
Так как все силы расположены в плоскости Оху, то их моменты
относительно осей Ох и Оу тождественно равны нулю, и остаются
лишь моменты относительно оси Oz, т. е.
Обозначая через X, Y проекции равнодействующей F, а через Mz
проекцию на ось Oz общего момента М, мы для точки О получим:
*=2*»> У = ^Уп, Мг = ^Мпа=^{хп?п—УяХа). (9.2)
и п п п
Возьмём теперь за точку приведения какую-нибудь другую точку О'
с координатами (V, у'\ Для точки О' сила F останется прежней,
а общий момент М изменится в М\ причём по формулам B.25) будет:
или
т. е.
Выбирая точку О' под условием, чтобы в ней было Мг = 0, т. е.
Mz = 0, мы будем иметь:
x'Y—/X=Mz. (9.3)
Мы видим, что геометрическое место точек Ог есть прямая линия,
представляемая уравнением (9.3), что нам уже известно из предыду-
предыдущего векторно-геометрического исследования; таким образом, уравне-
уравнение (9.3), в котором х! и у* суть текущие координаты, есть уравне-
уравнение центральной оси системы. Количества X, Y и Mz в формуле (9.3)
определены формулами (9.2). Следовательно, при решении задачи
о приведении плоской системы сил координатным способом надлежит
сперва определить количества Ху Y и Mz по формулам (9.2), а затем
по формуле (9.3) составить уравнение центральной оси; равнодей-
равнодействующая, модуль которой равен F — YX2~\~ ^2> будет расположена
вдоль этой центральной оси. Если будет ЛГ=О, К = 0, Мг Ф О, то

132 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ ГГЛ. ГХ
равнодействующей нет, и система приводится к паре в плоскости Оху
с моментом относительно оси Oz, равным Ms. Если же будет Х = 09
Y = О и Мг = 0, то система сил находится в равновесии.
§ 40. Равновесие плоской системы сил. Из изложенного в пре-
предыдущем параграфе следует, что для равновесия плоской системы
сил, расположенной в какой-нибудь плоскости П, должны удовлетво-
удовлетворяться два векторных уравнения:
Р=2Ря*=0, Ж = 2Л1я=0, (9.4)
п . п
где вектор F лежит в плоскости П, а вектор М перпендикулярен
к плоскости П, так что М ±F. Эти два векторных уравнения можно
привести к следующим трём координатным, приняв плоскость П за
плоскость Оху:
(9.5)
Очевидно, что этот результат можно обобщить, взяв за точку при-
приведения не начало координат О, а любую точку плоскости Одгу, и за
направление проекций—любые непараллельные направления, лежащие
в этой плоскости.
Дадим теперь другие способы составления уравнений равновесия.
Так как согласно результатам предыдущего параграфа плоская система
сил приводится или к равнодействующей, или к паре, или уравнове-
уравновешивается, то если момент всех сил относительно какой-нибудь точки Ог
плоскости будет равен нулю:
пара невозможна, и система сил или уравновешивается, или приво-
приводится к равнодействующей, проходящей через точку Ог. Если общий
момент той же плоской системы сил относительно какой-нибудь дру-
другой точки О2 также равен нулю:
М% = 0,
то система сил или уравновешивается, или приводится к равнодей-
равнодействующей, проходящей через точку О2. Таким образом, при наличии
равенств Мо — 0, MQ = 0 все силы или приводятся к одной равно-
равнодействующей, проходящей через точки Ог и О2, или уравновеши-
уравновешиваются. Если сверх того сумма проекций всех сил на направление,
не перпендикулярное к прямой ОХО^ равна нулю, то очевидно, что
равнодействующей не существует, и система сил находится в равно-
равновесии. Наконец, предположим, что общий момент всех сил относи-

§ 40] РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ 133
тельно каких-либо трёх точек О1Э О2, О3 в плоскости сил, не лежа-
лежащих на одной прямой, равен нулю:
так как равнодействующая пройти через три точки, не лежащие на
одной прямой, не может, то равнодействующей не существует, и си-
система сил находится в равновесии. Таким образом, мы получаем три
способа составления уравнений равновесия плоской системы сил, при-
приложенных к абсолютно твёрдому телу. Именно, чтобы плоская система
сил была в равновесии, необходимо и достаточно, «чтобы:
1. Суммы проекций всех сил на два непараллельных направле-
направления и общий момент всех сил относительно какой-либо точки
плоскости были равны нулю.
2. Общие моменты всех сил относительно каких-нибудь двух
точек плоскости и сумма проекций всех сил на направление, не
перпендикулярное к прямой, соединяющей эти две точки, были
равны нулю.
3. Общие моменты всех сил относительно каких-нибудь трёх
точек плоскости, не лежащих на одной прямой, были равны нулю.
Если плоская система сил состоит из сил, параллельных между
собою, то задача составления уравнений равновесия делается более
простой, и мы легко получим, что для равновесия плоской системы
параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы:
1. Сумма проекций всех сил на направление, не перпендику-
перпендикулярное к направлению сил, и общий момент всех сил относи-
относительно какой-нибудь точки плоскости были равны нулю.
2. Общие моменты всех сил относительно двух точек пло*
скости, не лежащих на прямой, параллельной силам, были равны
нулю.
С последним предложением мы уже встречались при рассмотрении
примера 24.
Примечание. В примере 10 мы видели, что для исключения
из уравнения равновесия реакции, известной по направлению, доста-
достаточно приравнять нулю сумму проекций всех сил на ось, перпендику-
перпендикулярную к направлению реакции. Следует обратить внимание на то, что
вычисление моментов даёт более мощный приём для исключения реак-
реакций, чем проектирование сил на ось. В самом деле, если какая-нибудь
реакция R, приложенная к точке А, по направлению неизвестна, то,
взяв моменты сил относительно точки А, мы эту реакцию R исключим
из уравнения равновесия, тогда как вследствие неизвестности её напра-
направления способ проекций сил на ось здесь неприменим. Если в задаче
имеются две реакции Rx и /?2, имеющие точку схода А, то, взяв
моменты сил относительно точки А, мы эти реакции Rx и R2 исклю-
исключим, тогда как способ проекций здесь, очевидно, также непри-
неприменим.

134
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ. IX
§41. Момент устойчивости и опрокидывающий момент. Рассмо-
Рассмотрим тяжёлое абсолютно твёрдое тело с весом Р и предположим, что
на тело действует сила Q, стремящаяся повернуть тело вокруг ребра А
(черт. 88, а). Предположим также, что имеет место в большинстве
приложений, что силы Р и Q лежат в одной плоскости. Тогда силы
Р и Q будут сходящимися, и мы найдём их равнодействующую по
правилу параллелограмма. Если направление равнодействующей прой-
пройдёт слева от точки А, то тело будет в равновесии, и это
равновесие будет устойчивым. Если же направление равнодействующей
пройдёт справа от точки А, то равновесие невозможно (черт. 88, б).
Черт. 88.
Считая, как это принято всюду в настоящем курсе, момент сил, на-
направленных относительно точки А против часовой стрелки, положи-
положительным, мы заключаем, что в первом случае момент равнодействую-
равнодействующей будет положительным, а во втором — отрицательным. По теореме
Вариньона для сходящихся сил момент равнодействующей равен:
г, следовательно, для устойчивости равновесия должно быть:
или
— Qq-j-Pp>0,
Pp>Qq.
Произведение Рр называется моментом устойчивости, а произ-
произведение Qq — опрокидывающим моментом. Следовательно, для
устойчивости равновесия необходимо, чтобы момент устойчивости был
больше опрокидывающего момента.
§ 42. Примеры. 31. Тяжёлая однородная балка ЛВ с весом Р опирается
без трения своими концами А и В соответственно на горизонтальный пол
Ох и вертикальную стенку Оу (черт. 89). В точке D к балке привязана
нить OD. Дано: ?С = ЛС = /, Z В АО = a, /_AOD = §\ найти натяжение
нити Т. Так как на балку помимо нити наложены ещё другие связи, осущест-
осуществляемые полом Ох и стенкой Оу, которые не развивают трения, то следует
рассмотреть балку как свободную под действием четырёх сил: Р} Т, Rr и Rr/t
из которых сила тяжести Р есть сила данная, а реакции Г, R', R" известны
по направлению, но не известны по модулю. Чтобы определить реакцию Tt

§ 42]
ПРИМЕРЫ
136
приравняем нулю общий момент системы сил относительно точки Е, в кото-
которой сходятся силы Rf и /?", как это указано в примечании к § 40.
Обозначая через ЕК перпендикуляр, опущенный из точки Е на прямую
OD, мы получим:
MOMj? T = — T •
момЕР = + Р«
' = — Г-2/sin (а — [
г-= + />•/cos ос,
и уравнение равновесия будет:
— 71. 2/ sin (а — р) + Я/ cos а = 0,
отсюда найдём:
1
л = —~ Р
COS a
2 sin (я — р) "
Пока точка D лежит ниже С, мы
имеем а > р, и решение возможно. Если
точка D попадёт в точку С, то будет
Р = а, и мы получим Т бесконечно
большим; в этом случае при соскаль-
соскальзывании балки АВ по стенкам Ох и Оу
точка С будет описывать окружность
с центром в точке О, нить не будет
натягиваться и не сможет удерживать
балки, если только вдоль неё не будет
приложено к балке бесконечно большой силы как предела весьма больших
сил натяжения, имеющих место при р меньшем, но близком к а. Наконец,
если точка D будет лежать выше точки С, то будет а < р, и для Т мы по-
получим отрицательное значение. Это показывает, что сила будет направлена
не к точке О, а от точки О, и чтобы помешать соскальзыванию балки АВ,
следует заменить нить OD твёрдым стержнем. Чтобы определить реакции
Rr и R", можно воспользоваться уравнениями проекций на оси Ох и Оу, так
как сила Т уже определена, а силы Rr и R" соответственно перпендику-
перпендикулярны к осям Ох и Оу. Проектируя все силй на ось Ох, мы получим:
Черт.
или
— cosfi —у Sin (а — р) *
Составляя сумму проекций всех сил на ось Оу, мы будем иметь:
— Р—
или
Мы видим, что из трёх способов составления уравнения равновесия,
приведённых в предыдущем параграфе, мы воспользовались здесь первым
способом. Если бы требовалось определить только реакцию R', то доста-
достаточно было бы взять моменты относительно точки пересечения сил Т и
R"; для определения одной силы R" достаточно было бы взять моменты
относительно точки пересечения сил Т и Rr, Таким образом, применяя к этой
задаче третий способ и взяв за центры моментов сил точки пересечения
реакций Rf и R", Т и R", Т и R, мы разделим неизвестные реакции, однако
никаких существенных упрощений мы при этом не получаем, так как и при

136
плоская система сил
первом способе в том виде, как мы его здесь применили, реакции Т, R и Rrf
были в уравнениях равновесия разделены. В этой задаче условий равновесия
не было.
32. Однородная балка АВ, длина которой равна 2/, а вес равен Р, опи-
опирается без трения концом А на горизонтальный пол; на конец А действует
горизонтальная сила 7\ балка образует угол а с полом. За конец В балки
привязана идущая под углом р к горизонту нить, перекинутая через блок;
к концу нити привязан груз Q. Найти условия равновесия.
Так как конец А балки опирается на пол без трения, то сила реакции R
пола должна быть нормальна к полу (черт. 90). Применим к этой задаче
первый способ, взяв суммы проекций сил на горизонтальную и вертикальную
прямые и общий момент системы сил относительно точки Л; тогда мы полу-
получим два уравнения, не содержащих силы R, т. е. условия равновесия, и одно
уравнение, содержащее силу R, из которого мы и определим эту силу
реакции. Так как
момАР = — Р• /cos a,
= + Q.2/sin(p-a),
то мы будем иметь:
4ePT- 9a
— PI cos a + Q • 21 sin (p — a) = 0.
Отсюда находим условия равно-
равновесия:
2Q sin (P — a) — Р cos a = 0,
Qcosp— 7'=0
и реакцию
Qp
Этим, уравнениям можно придать несколько иной вид. Именно, из урав-
уравнения . > jr
мы находим:
а из предыдущей формулы для R:
Далее, из уравнений
мы получаем:
Q cos р = Т
Q sin (р — а) = (Р — #) cos ос — 7'sin а.
Поэтому первому из условий равновесия можно придать вид
2 (Р — /?) COS а — 2 Т Sin а — Р cos а = 0,
или
tgo = -
2Г
— 2P +
7

§ 42]
Отсюда находим:
ПРИМЕРЫ
137
т. е.
Р
2Т '
Следовательно, мы получаем для реакции выражение
и условия равновесия в виде
Мы видим, что всегда должно быть
и угол а стремится к углу р, возрастая,
когда или Р стремится к нулю, или Т стре-
стремится к бесконечности, или имеет место
и то и другое. ц gi
33. Определить вес Р фундамента F
крана, если вес самого крана равен Q,
а вес поднимаемого груза равен R. Мы упростим задачу, пренебрегая дав-
давлением грунта на боковые грани фундамента крана и ограничиваясь лишь
весами его отдельных частей (черт. 91). В этой задаче момент устойчивости
равен Ра, а опрокидывающий момент равен Qb-\~Rc.
Обыкновенно задаётся то число раз я, в которое момент устойчивости
должен быть больше опрокидывающего момента, чтобы был запас устойчи-
устойчивости. Таким образом, мы получим:
и отсюда найдём необходимый вес фундамента:

ГЛАВА X.
ТРЕНИЕ.
§ 43. Трение первого рода. Содержание этой главы по своему
характеру резко отличается от содержания остальных глав. Тогда
как материал всех частей теоретической механики представляет мате-
математическое развитие выводов из ряда основных аксиом, принципов
и положений и, таким образом, не нуждается ъ экспериментальных
обоснованиях, материал главы о трении весь опирается на результаты
разнообразных экспериментов, причём эти результаты являются раз-
различными для различных условий опытов, для различной материальной
природы трущихся объектов и для различных состояний их поверх-
поверхностей, самый же механизм явления трения остаётся даже невыяснен-
невыясненным. Таким образом, учение о трении по существу должно скорее
входить в состав какой-нибудь прикладной механической дисциплины,
чем в состав теоретической механики. Однако глава о трении чобычно
всегда вставляется в курс теоретической механики, так как во мно-
многих случаях применение теоретической механики к решению практи-
практических задач без учёта трения приводит к результатам, мало соот-
соответствующим действительности.
Чтобы между двумя материальными объектами имело место тре-
трение, необходимо, чтобы эти объекты соприкасались между собою.
Если действие трения состоит в том, что оно препятствует возникно-
возникновению движения одного материального объекта по другому, то такое
трение называется трением покоя или статическим трением^ или
ещё сцеплением] если же действие трения состоит в том, что оно
замедляет движение одного материального объекта по другому, то
трение называется трением движения.
Предположим, что какой-нибудь материальный объект лежит на
поверхности какого-нибудь тела. Если бы никаких сил сцепления не
существовало, то любая сила, приложенная к рассматриваемому мате-
материальному объекту параллельно касательной плоскости к телу, при-
привела бы материальный объект в движение по поверхности тела. Однако
опыт показывает, что этого не бывает.
Теперь рассмотрим следующий опыт. На горизонтальном столе
покоится тяжёлое тело, вес которого равен Р (черт. 92). Очевидно,
что нормальная реакция Rn стола будет по модулю равна РЛ именно

43]
Трение первого рода
139
Черт. 92.
Rn = Р. Привяжем к точке А, взятой ближе к основанию, чтобы
уменьшить опрокидывающий момент, нить и перекинем её через блок.
Если мы привесим к нити небольшой груз веса F, то может слу-
случиться, что тело на столе останется в равновесии и не будет сколь-
скользить по столу. Это показывает, что между частицами стола и тела
возникли некоторые силы, давшие равнодействующую Rt, направлен-
направленную вдоль стола против направления силы тяги груза F и уравнове-
уравновешивающую эту силу тяги. Сила Rt и есть сила сцепления или ста-
статическая сила трения, более точное название которой для рассматри-
рассматриваемого случая будет статическая сила трения первого рода или
статическая сила трения скольже-
скольжения. Мы видим, что при наличии
сцепления полная реакция имеет
нормальную слагающую Rn и танген-
тангенциальную слагающую Rt. Складывая
их по правилу геометрического сло-
сложения, мы получим полную реак-
реакцию, образующую с нормалью к по-
поверхности угол ф, называемый углом
трения. Очевидно,
Будем увеличивать вес F груза.
Сила сцепления также будет увели-
увеличиваться, но до некоторого *• предела. Предположим, что предельным
значением веса груза, а следовательно, и силы сцепления будет Rz,
т. е. дальнейшее увеличение веса F груза уже приведёт тело в сколь-
скольжение по столу. В этом случае мы получим:
Ят = Яп<8?т» О0-2)
где от есть предельный угол отклонения полной силы реакции от
нормали к поверхности. Сила Rx называется предельной силой сце-
сцепления для случая скольжения, а угол срт — предельным углом тре-
трения. Практически угол ут невелик; так, для трущихся сухих ме-
металлов он близок ^ к 10°. Сущность трения скольжения до сих пор
ещё полностью не раскрыта; во всяком случае, известно, что оно есть
очень сложное физико-механическое явление. Что касается законов
трения скольжения как при покое, так и при движении, то они уста-
устанавливаются эмпирически для каждой пары трущихся поверхностей и
условий трения. Но если не требуется большая точность, то можно
пользоваться приближёнными законами для предельной силы сцепления
в случае скольжения, установленными ещё в конце XVIII в. на основе
произведённых опытов с прибором, изображённым на черт. 92. Эти
законы суть следующие:
1. Предельная сила сцепления для случая скольжения пропор-
пропорциональна нормальной реакции.

140 трений \тп. t
2. Предельная сила сцепления для случая скольжения не зави-
зависит при данной величине нормальной реакции от размера тру-
трущихся поверхностей.
3. Предельная сила сцепления для случая скольжения зависит
от природы и обработки трущихся поверхностей.
Из первого закона следует, что если вес тела увеличится в п раз,
то и предельная сила сцепления также увеличится в п раз, так что
угол <рт останется неизменным. Второй закон имеет тот смысл, что
если, не изменяя ни веса тела, ни природы его трущейся поверх-
поверхности, мы изменим только её размеры, то от этого величина предель-
предельной силы сцепления не изменится. Наконец, всякое изменение при-
природы трущихся поверхностей, например, полирование, смазывание
и т. п., меняет предельную силу сцепления. Положим:
тогда
/?, = ц/?п, R. = \><mRn. (Ю.4)
В случае, когда сила Rt достигает своего предельного значения /?т,
коэффициент [х достигает своего предельного значения H-w = tgcpMl;
это предельное значение \ьт называется коэффициентом стати-
статического трения первого рода или коэффициентом статического
трения скольжения. Таким образом, всегда будет:
. (Ю.5)
Из самого определения коэффициентов ^ и \im, представляемого фор-
формулами A0.3), следует, что эти коэффициенты суть отвлечённые
числа, т. е. размерности их равны нулю.
В прилагаемой ниже таблице приведены значения коэффициентов
статического трения первого рода для некоторых пар трущихся мате-
материалов. (Эти значения коэффициентов трения взяты из Энциклопеди-
Энциклопедического справочника «Машиностроение», т. 2, 1948 г., из статьи
в нём: «Трение в машинах и механизмах»; в конце этой статьи при-
приложен обширный список литературы по трению.)
Пары
Дуб .по дубу
Коэффициент трения \кт
поперёк волокна 0,57
вдоль волокна 0,62
0,19
Найдём теперь, при каких условиях будет иметь место равновесие
при наличии сил сцепления. Предположим, что тело опирается одной

§ 44]
ТРЕНИЕ ВТОРОГО РОДА
141
точкой А на поверхность 5 другого тела, но которой оно может
скользить (черт. 93). Восставим в точке А нормаль ААи к поверх-
поверхности S и опишем вокруг этой нормали прямой круглый конус, обра-
образующие которого наклонены к его оси под углом трения <рт Из
предыдущего мы знаем, что полная реакция должна обязательно
лежать внутри этого конуса или на его поверх-
поверхности, так как она не может образовать с нор-
нормалью угла, большего, чем срт. Поэтому, чтобы
равновесие было возможно, силы, действующие
на тело, должны привестись к одной равнодей-
равнодействующей F, прямая действия которой прохо-
проходит через точку А и не выходит из конуса
трения, так как только в этом случае полная
сила реакции поверхности 5 может уравновесить
силы, приложенные к телу. Если коэффициент
трения имеет различные значения для разных
направлений вдоль поверхности 5, выходящих
из точки Л, то конус трения уже не будет
круглым; например, он может быть эллипти-
эллиптическим. Если тело имеет несколько точек
прикосновения, то те же рассуждения применимы
ко всем этим точкам. Наконец, в случае соприкосновения по конечным
площадкам система сил, действующих на тело, должна приводиться
к нескольким силам, пересекающим поверхность тела внутри этих
площадок, причём прямые действия этих сил должны в точках пере-
пересечения с площадками составлять углы с нормалями в этих точках,
меньшие предельных углов трения.
Хотя трение при движении по существу дела и не относится
к статике, тем не менее, чтобы не разбивать учения о трении, ниже
приведены и краткие сведения о трении первого рода при движении,
или ещё, иначе, о трении скольжения при движении. Как и для случая
покоя, сила трения Rt при движении выражается формулой Rt = \^Rn7
где Rn есть нормальная реакция, a ja есть коэффициент трения сколь-
скольжения при движении. Из опытов найдено, что коэффициент р. при
малой силе Rn с возрастанием от нуля скорости скольжения сначала
возрастает от значения \imi проходит через максимум, а затем убы-
убывает и делается меньшим коэффициента \ът статического трения. При
увеличении силы Rn максимум коэффициента трения имеет место при
меньшем значении скорости скольжения. Если же сила Rn велика,
то с возрастанием от нуля скорости скольжения коэффициент ^
начиная от значения \im коэффициента статического трения скольже-
скольжения, постоянно убывает.
§ 44. Трение второго рода. Предположим, что тяжёлый пря-
прямой круглый цилиндр лежит на горизонтальной плоскости, или,
в частности, тяжёлое круглое колесо находится на горизонтальном

142
ТРЕНИЕ
[гл. к
Р
рельсе; пусть С есть след соприкосновения образующей цилиндра с
плоскостью или колеса с рельсом (черт. 94). Если Р есть вес колеса,
то колесо давит в точке С на рельс с силой Рис такой жо силой
по модулю, но обратной по направлению, рельс давит в точке С
на колесо. Так как к колесу в точке О в направлении ОС прило-
приложена сила с модулем Р к к тому же колесу в точке С в направле-
направлении СО приложена сила с таким же модулем Р, то колесо будет
в равновесии. Предположим затем, что в точке О к колесу ещё при-
приложена параллельная рельсу сила F. Пе-
Перенесём силу F параллельно самой себе
в точку С, прибавив соответствующую
пару (F, —F) с плечом а, где а есть
радиус колеса. Если Rx есть величина
предельной силы сцепления колеса с рель-
рельсом для случая скольжения (§^43) и если
F < /?t, то приложенная в точке С сила F
уравновесится силою сцепления Rt, и колесо
скользить не будет. Но пара (Z7, —F)
должна вращать колесо вокруг его центра
тяжести О (см. конец § 37). Однако, опыт
показывает, что если сила F по модулю
мала, т. е. если момент Fa пары (/% — F)
не велик, то вращения не будет, и колесо
останется в равновесии. Объяснить это
равновесие можно только тем, что должна существовать вторая пара,
противоположная по направлению вращения nape (F, —F) и такая,
что её момент равен Fa. Точного объяснения происхождения этой пары
ещё нет, но во всяком -случае ясно, что реальные колесо и рельс сопри-
соприкасаются друг с другом не вдоль прямой со следом С, а вследствие их
взаимного смятия они соприкасаются друг с другом по некоторой об-
области, взаимодействие элементов которой, принадлежащих колесу и
рельсу, и создаёт пару, препятствующую вращению колеса. Из опы-
опытов найдено, что момент этой пары пропорционален весу Р колеса,
т. е. его можно представить в виде Pd, так что должно быть:
Fa = Pd\ A0.6)
очевидно, что количество d должно иметь размерность длины. Будем
увеличивать момент Fa вращающей пары (F, —F)\ тогда и момент Pd
также будет увеличиваться, но до некоторого предельного значения Pk.
Если момент Fa вращающей пары будет больше Pk, то колесо будет
вращаться. Таким образом, для равновесия колеса необходимо, чтобы
было:
- "-¦ A0.7)
Коэффициент k называется коэффициентом трения второго рода,
или коэффициентом трения качения^ а самое наличие пары, пре-

§ 45]
ТРЕНИЕ ВЕРЧЕНИЯ
143
лятствующей качению, и составляет явление трения второго рода
или трения качения. Принимают, что при качении колеса коэф-
коэффициент трения качения сохраняет то значение k, какое он имел при
переходе колеса от состояния равновесия к состоянию качения. Коли-
Количество k имеет размерность длины, как и количество d\ обыкновенно
количество k выражается в сантиметрах. Нижеследующая таблица,
заимствованная из того же источника, как и предыдущая таблица, даёт
значения коэффициента k в сантиметрах для нескольких пар:
Пара
Дерево по дереву
Мягкая сталь по мягкой стали . .
Дерево по стали
Шарик из закалённой стали по
стали
Коэффи-
Коэффициент трения
(в см)
0,05—0,06
0,005
0,03-0,04
0?001
Из формулы A0.7) следует, что для равновесия должно быть:
F^ — P. Так как будет: /?Х = ^ШР, то ещё должно быть: F<^\LmP.
Таким образом, чтобы колесо не катилось и не скользило, сила F
должна удовлетворять двум неравенствам:
A0.8)
k
k
Обычно дробь — меньше количества \im, как это можно усмотреть
из двух приложенных в этом параграфе таблиц; следовательно, основ-
основную роль играет первое из неравенств A0.8), и поэтому привести,
например, колесо в качение значительно легче, чем привести его
в скольжение. Отсюда вытекает польза катков для перемещения тя-
тяжестей.
§ 45. Трение верчения. Предположим, что на горизонтальной
плоскости лежит тяжёлый шар; обозначим центр шара через О, а точку
касания шара .с плоскостью через С. Вращение шара вокруг прямой СО
и называется верчением. Опыт показывает, что если момент пары,
которая должна привести шар в верчение, очень мал, то шар в вер-
верчение не придёт. Отсюда следует, что действие движущей пары па-
парализуется какой-то другой парой, от наличия которой и зависит
трение верчения. Объяснить появление этой другой пары можно сле-
следующим образом. Реальные. шар и плоскость при соприкосновении
сомнутся и будут касаться друг друга не в точке, а по некоторой

144
ТРЕНИЕ
[ГЛ. К
области. При осуществившемся верчении элементы этой области,
принадлежащие шару, будут скользить по элементам этой же области,
принадлежащим плоскости, т. е. трение верчения есть разновидность
трения скольжения. Благодаря скольжению элементов друг по другу
с трением и образуется пара, мешающая верчению. Из учения о тре-
трении скольжения можно заключить, что если момент движущей пары
меньше некоторого предела, то верчения не будет. Опыты показы-
показывают, что этот предельный момент можно представить в виде пР,
где Р есть вес шара, а п есть коэффициент трения верчения;
коэффициент п имеет размерность длины. Чтобы верчения не было,
момент движущей пары по модулю должен быть меньше количества пР.
Если же модуль момента движущей пары больше количества пР, то
верчение будет иметь место, причём верчение будет испытывать
сопротивление, представляемое парой с моментом пР. Коэффициент п
трения верчения очень мал; он в 5—10 раз меньше коэффициента к
трения качения.
§ 46. Примеры. 34. При решении задач на равновесие с трением, осо-
особенно с трением скольжения, можно применять как геометрический, так и
аналитический методы. Покажем это на нескольких примерах.
Найти условие равновесия тяжёлой точки с весом Р9 лежащей при на-
наличии сцепления на наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а.
Пусть на наклонной плоскости ВС мате-
материальная точка находится в точке А Дадим
сначала геометрический способ решения
задачи. Для этого проведём в точке А нор-
нормаль ААп к наклонной плоскости и построим
угол трения DAE} так как в случае плоской
задачи конус трения, конечно, должен заме-
заменяться углом трения. Если продолженное
направление силы Р проходит внутри угла
трения, как это имеет место на черт. 95, то
точка будет в равновесии. Если мы будем
увеличивать угол а, то прямая действия
силы Р будет приближаться к стороне АЕ,
Предельное значение угла а, при ко-
котором равновесие ещё возможно, будет
такое, когда прямая действия силы Р пойдёт
по стороне АЕ; из чертежа видно, что в этом
случае будет а = ут. Таким образом, равно-
равновесие будет возможно при всех значениях
„ др. угла а, удовлетворяющих неравенству
Дадим теперь аналитическое решение той же задачи. На точку А дей-
действуют сходящиеся силы, величины которых суть Р, Rn и \^Rn. Чтобы полу-
получить уравнения равновесия, спроектируем все силы на направления ААп и
АВ и суммы проекций приравняем нулю; мы получим:
— Р cos a + Rn = 0, Р sin а — pRn = 0;
отсюда мы находим:
Р sin a = jx Rn, P COS а = Rn

§ 46]
ПРИМЕРЫ
145
Разделив эти равенства для исключения силы Rn почленно одно на другое
и принимая во внимание первую формулу A0.3), будем иметь:
tg а = [х = tg <р,
или
Отсюда мы приходим к прежнему неравенству:
Очевидно, что, определяя опытным путём предельное значение угла а, мы
тем самым находим значение угла cpw и
значение коэффициента
85. Найти условие равновесия тяжё-
тяжёлого колеса, радиус которого равен а,
с весом Р, стоящего на наклонном рельсе,
образующем угол а с горизонтом. Так
как модуль катящей колесб силы F равен
F = Р sin а (черт. 96), то модуль вращаю-
вращающего момента будет равен М = Pa sin a,
а величина силы Ф давления колеса бу-
будет равна Р cos а. Следовательно, по
формуле A0.7) мы получим:
Pa sin a < P cos а • kf
или „ Черт. 96.
Отсюда можно определить коэффициент k по предельному углу аш наклона
рельса к горизонту; именно, мы найдём:
k = a tg ат.
36. Найти условия равновесия балки АВ, опирающейся своими концами
А и В на горизонтальный пол и вертикальную стенку с трением. Балка АВ
с действующими на неё силами изображена на черт. 97, Проведём в точках
А к В нормали к стенкам и построим углы трения KAL и LBM. Мы получим
часть I(LMN плоскости, заключённую внутри того и другого угла; она на
черт. 97 заштрихована. Предположим, что вес Р балки приложен в точке Cj.
Продолжая прямую действия этой силы Р, мы видим, что она пересечёт за-
заштрихованную часть. Возьмём какую-нибудь точку D на этом направлении
внутри заштрихованной части. Соединим точку D с точками А и В и пере-
перенесём силу Р в точку D, Разлагая силу Р на две силы по направлениям DA
и DB и перенося обе полученные составляющие в точки А и В, мы видим,
что эти составляющие могут уравновеситься с реакциями стенок, так как их
прямые действия проходят внутри углов трения. Следовательно, мы имеем
в этом случае равновесие. Предположим теперь, что сила Р проходит через
точку С, Продолжая прямую действия этой силы, мы не попадём в заштри-
заштрихованную часть. Следовательно, силу Р нельзя в этом случае разложить на
две составляющие, прямые действия которых не выводили бы из углов KAL
и LBM, и равновесие невозможно. Проведём через точку N вертикальную
прямую. Очевидно, что при всех положениях центра тяжести, находящихся
справа от этой прямой, будет иметь место равновесие; если же центр тяжести
лежит слева от этой прямой, то равновесие невозможно. Этим объясняется,
почему лестница, прислонённая к стене и не соскальзывающая, когда чело-
человек стоит на её нижних ступеньках, иногда начинает соскальзывать, если
человек поднимается на её верхние ступеньки. Очевидно, что с увеличением

146
ТРЕНИЕ
[ГЛ. X
угла а прямая АВ будет приближаться к прямой AM, и предельное положе-
положение точки С, когда равновесие возможно, будет повышаться.
Решим теперь ту же задачу аналитически. Предположим для простоты
рассуждений, что коэффициенты ^ имеют в точках А и В одинаковые зна-
значения, и центр тяжести балки лежит на средине балки АВ, длину которой
I обозначим через 2Л На балку действуют
/ пять сил, величины которых суть:
*** я:
jj
8
Составим уравнения равновесия, приравняв
нулю сумму проекций сил на оси Ох и Оу
и сумму их моментов относительно точки О.
Мы получим:
R'n • 21 cos a — P. /cos ос — R"n. 21 sin a = 0.
*х Из первого уравнения имеем:
вставляя это значение во второе уравнение, найдём;
„ 1
и следовательно, будет:
Вставим эти значения для Rn и Rn в последнее из уравнений равновесия,
сократив его предварительно на /; после простых преобразований мы по-
получим:
1 —
COS Of :
ъ sin a.
Отсюда будем иметь:
2(* '
Введём для количества [* его значение ^ = tg 9; тогда будет:
~~" ~~ ю ¦ ¦ ® — ¦ Ф- = ctg 2<р,
^,^Л ^, li? W ^ UAH Y V/V/ь» Y
и мы получим:
2 tg «р 2 sin 9 cos с
tg a = ctg 2cp » 1
т. е.

§ 46] примеры 147
Так как угол ср может изменяться от 0 до ут, то для значений угла а, при
которых равновесие возможно, мы получим неравенства
В верности полученного результата нетрудно убедиться геометрически. Если
а=-у, то балка АВ стоит вертикально вдоль стенки Оуг и равновесие воз-
возможно. Если а = — — 2ср,ш, то ? BAN = cpw, и точка N есть средина основа-
основания равнобедренного треугольника, боковыми сторонами которого служат АВ
и вертикаль в точке А. Поэтому прямая, проходящая через средину С пря-
прямой АВ и параллельная вертикали в точке Л, пройдёт через точку N, и мы
получаем предельное положение, при котором равновесие ещё возможно.
37. Найти условия равновесия тяжёлой балки АВ длиной 2/, вес которой
равен Р и которая опирается с трением концом А на горизонтальный пол,
образуя угол а с горизонтом; за конец В балки привязана идущая под
углом р к горизонту и перекинутая через блок нить, к концу которой при-
привязан груз Q. Обращаясь к черт. 90 и заменяя Т через ^/?, мы получим
следующие уравнения равновесия:
— v-R + Q cos р = 0,
— Р. / cos a + Q . 2/ sin (р — а) = 0,
или
yi? = Q cos p,
R = P— Qsinp,
2Q (sin p cos а — cos p sin а) = р cos а.
Из последнего уравнения найдём:
BQ sin р —- Р) cos a = 2Q cos p sin я,
или
р
to a = tс 8
g g p 2Q cos p'
Исключая силу /? из первого и второго уравнений, будем иметь:
Q cos р = jxP— |j.Q sin p,
или
Q (cos р + (д. sin р) == [J.P.
Заменяя коэффициент (х его значением по формуле A0.3), получим:
Q cos (Р — у) = /> sin f.

ГЛАВА XI.
ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ.
§ 47. Геометрический метод приведение системы сил к про-
простейшей системе. После рассмотрения систем с частным расположе-
расположением сил займёмся приведением систем сил, когда силы имеют про-
произвольное расположение в пространстве; мы предположим, что нам
дашл силы- Fv F2, F%,..., приложенные соответственно в точках
A1? А%, Л3,... абсолютно твёрдого тела, Приводя данную систему
сил к более простой, мы можем иметь для этой более простой системы
несколько видов.
Произвольную систему сил, вообще, можно привести к трём
силам, прямые действия которых проходят через три произвольно
выбранные точки пространства, не лежащие на одной прямой.
В самом деле, пусть будут Ov О2 и О3 эти три точки. Соединим
точку Ах с точками Ov 0%, Ов и построим параллелепипед, диаго-
диагональю которого была бы сила Fu а стороны которого пошли бы по
прямым А1О1, ЛХО2 и А}0^ Пользуясь правилом параллелепипеда (§ 3),
мы можем разложить силу на три составляющие, идущие по прямым
АгОи AtO% и ЛАО3, и затем перенести точки приложения этих соста-
составляющих вдоль их прямых действия в точки Ov О2 и О3. Такое же
разложение мы можем выполнить с силами F2, F$, ... Таким обра-
образом, мы получим три системы сходящихся сил с точками схода О19
О2 и О3. Заменяя эти сходящиеся силы равнодействующими, мы и
придём к трём силам, приложенным в заранее выбранных точках О1Э
О2 и О3 пространства.
Произвольную систему сил, вообще, можно привести к одной
силе, прямая действия которой проходит через произвольно
выбранную точку пространства, и к одной паре.
Выберем произвольно точку О пространства и назовём эту точку
точкой приведения; мы уже встречались с такой точкой в § 39.
Введём обозначения
ri = Ш19 г2 = ОА2, г3= О43, ...
Перенесём точки приложения всех сил Fly F%} Fbi ... в точку О,
прибавив дополнительно пары (§ 39) с моментами Mv М2, М3, .. .,

§ 47) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ СИЛ
где будет:
149
Сложив геометрически ^ все силы Fv F%, Fb, .,., приложенные
к точке О, мы получим в точке О результирующую силу F:
^=/ч+/?2+/г3+...=1Х (ил)
п
Сложив все пары, мы получим результирующую пару с моментом М:
Очевидно, что вектор М есть не что иное, как общий момент данной
системы сил, вычисленный для точки приведения. Таким образом,
система сил приведена к одной результирующей
силе в произвольно взятой точке пространства
и к одной паре.
Произвольную систему силь вообще^ можно
привести к двум силам, не лежащим в одной
плоскости, причём прямая действия, одной из
них проходит через произвольно выбранную
точку пространства.
В самом деле, предположим, что, выполнив
приведение сил, как было только что указано, мы
получили результирующую силу F, приложенную
в произвольно взятой точке О пространства,
и пару с моментом М. Проведём через точку О
плоскость П, перпендикулярную к моменту М,
и построим в ней пару (F', . — F') с момен-
моментом М так, чтобы одна из сил пары, напри-
например— F\ прошла через точку О. Тогда силы — Fr
и F можно будет сложить, заменив их одной
силой Ф, уже не лежащей в плоскости П, и,
таким образом, мы приведём данную систему сил
к двум силам Ф и F\ не лежащим в одной пло-
плоскости, из которых сила Ф приложена в заранее
выбранной точке.
Сверх этих трёх результатов укажем ещё
четвёртый, являющийся важнейшим. Предполо- Черт. 98.
жим опять, что, выполнив приведение данной
системы сил, мы получили результирующую F, приложенную в произ-
произвольно взятой точке О пространства, и пару с моментом М (черт. 98).
Разложим момент М на два: момент т, параллельный результирующей
силе F, и момент Мо, перпендикулярный к силе F. Проведём через
точку О плоскость П, перпендикулярную к вектору Мо; эта плоскость
будет содержать в себе силу F. Построим в плоскости П пару

150 произвольная система сил [гл. xi
с моментом Мо так, чтобы одна из сил пары была равна — F и была
приложена в точке О; тогда другая сила пары будет приложена
в некоторой точке О' такой, чтобы было F. 00' = Мо, откуда мы
находим: 00' = -—-. Силы F и —/% приложенные в точке О, взаимно
уравновешиваются, и мы приходим к силе F, приложенной в точке О',
и к паре с моментом т, направленным параллельно прямой действия
силы F, приложенной в точке О\ Так как момент т пары есть век-
вектор свободный, то его также можно перенести в точку О\ Заметим,
что если / (F, М) будет острым, то момент т будет направлен
в ту же сторону, как и сила F (случай черт. 98); если же / (F, М)
будет тупым, то момент т и сила F будут направлены в противо-
противоположные стороны. Система, состоящая из силы а пары, момент
которой направлен по прямой действия силы, называется динамиче-
динамическим винтом. Если одна точка (У, в которой имеет место динамический
винт, найдена, то можно найти и все остальные точки, для которых
данная система сил приводится к динамическому винту; все эти точки
лежат на прямой А действия силы F, так как сила F есть вектор сколь-
скользящий, вектор же т есть вектор свободный. Прямая Д называется
центральной осью системы. Мы получаем обобщение результата,
найденного в § 39 для случая сил, лежащих в одной плоскости, с тою
только разницей, что там момент т был равен нулю, и вдоль цен-
центральной оси была направлена одна равнодействующая F. Отношение
HL==zp называется параметром винта. Здесь т обозначает проек-
проекцию общего момента М на направление силы F\ поэтому параметр р
положителен, если F и т имеют одно направление, и отрицателен,
если направления F и т противоположны. Таким образом:
Произвольную систему сил, вообще, можно привести к ди-
динамическому винту, расположенному вдоль центральной оси
системы.
Две системы сил, имеющие одинаковые результирующие силы и
одинаковые общие моменты относительно одной и той же точки
пространства, называются эквивалентными между собой. Таким обра-
образом, приведение системы сил к простейшей системе сводится к разы-
разысканию для данной системы сил более простой эквивалентной системы.
В этом параграфе были указаны четыре вида эквивалентных систем
для произвольной системы сил.
Если, выполняя приведение сил к какой-нибудь точке О, мы най-
найдём, что F=Q, a M Ф 0, то это будет обозначать, что система сил
приводится к одной паре. Если, выполняя приведение к какой-нибудь
точке О, мы найдём, что F Ф 0 и М j_ F, то это будет обозначать,
что система сил приводится к одной равнодействующей, ибо в этом
случае, приводя систему сил к динамическому винту, мы получим
т = 0, и останется одна сила F, действующая вдоль центральной
оси системы. Наконец, если, выполняя приведение к какой-нибудь

§ 481
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ СИЛ
151
точке О, мы найдём, что F=0 и М = О, то это будет обозначать,
что нет ни равнодействующей, ни пары, т. е. система сил находится
в равновесии; такую систему сил называют иногда системой, эквива-
эквивалентной нулю. Нетрудно видеть, что если система сил будет экви-
эквивалентна нулю для какой-нибудь точки О, то она будет обладать
этим свойством и для всякой другой точки пространства. В самом
деле, из предыдущих построений следует, что результирующая F
не зависит от взятой точки приведения', поэтому, если для точки О
будет F=Q, то и во всякой другой точке пространства также будет
F=0. Но если F=0, то систему сил можно привести к паре, момент
которой М относительно всех точек пространства один и тот же;
поэтому, если в точке О будет М = 0, то будет М = 0 и во всех
других точках пространства. Отсюда следует, что
Для равновесия произвольной системы сил необходимо и до-
достаточно, чтобы было:
п ¦ п п
§ 48. Аналитический метод приведения системы сил к про-
простейшей системе. Пусть силы Fv F2, F%, ... заданы своими проек-
проекциями на оси координат Oxyz, соответственно равными (Xv Y1, Z1),
(Х2, F2, Z2), (Xn, F3, Z3), ...; пусть будут координаты точек Av
А2, А3, ... соответственно равны (хг, ух, 2^), (дг2, у%, z%), (хъ, уъ, ,г3),....
Обозначая, как всюду в этом курсе, проекции результирующей F
через (X, Y, Z), а проекции общего момента М через (Мх, Му, Мг)
и взяв начало координат за точку приведения, получим:
A1.4)
х = 2 мпх = 2 {ynzn—zjn\
п п
y = 2 мпу = 2 (znxn—xnzn),
п п
ms = 2 Mnz = 2 (*»у„—.у А)-
A1.5)
Углы ос, {3, •( результирующей Z7 с осями координат и её модуль опре-
определяются формулами A.18) и A.17), а именно:

152 ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ [ГЛ. XI
углы я, Ь, с общего момента М с осями координат и его модуль
определяются аналогичными формулами, а именно:
Мх Mv Mz -ш/—5 о 5"
cos а = -д^-, cos b = ~~ , cos с = -^ , Ж = V Мых + Ж^ -j- ^ •
Чтобы точка О лежала на центральной оси, должно быть:
cos a __ cos о cos с , ..
cos a cos p cos i '
причём знак плюс соответствует тому случаю, когда результирующая
и общий момент имеют одно направление, а знак минус — когда
направления результирующей и общего момента противоположны.
Заменяя в предыдущем равенстве косинусы их приведёнными выше
значениями, мы приходим к следующему аналитическому признаку
того, что точка О лежит на центральной оси:
Вообще эти равенства удовлетворяться не будут. Если мы возьмём
за точку приведения не точку О, а какую-нибудь другую точку О/,
то, как мы знаем, результирующая F от этого измениться не может,
общий же момент М при переходе к точке О' в качестве точки при-
приведения изменится и по модулю и по направлению. Поэтому можно
ставить задачу о таком выборе точки О7, чтобы новый момент М'
совпал с определённым выше моментом т\ для этого должно быть:
где р есть определённый выше параметр винта. Чтобы найти общий
момент М' относительно любой точки Ог пространства, воспользуемся
формулой B.22); мы будем иметь:
где d=OO'. Отсюда находим:
ИЛИ
м'=:М — ахъ (П.7)
в сущности мы повторяем вычисления, которыми мы уже пользовались
для частных систем сил. Если точка О' выбрана таким образом,
чтобы было М' = т, то из равенства tn = pF мы получим:
= pF. A1.8)

48]
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ СИЛ
153
Из уравнения A1.8) по данным векторам М и F можно определить
вектор d\ для этого значение М—pF векторного произведения dy^F
необходимо разделить на множитель F. В § 39 мы видели, что такое
деление не является однозначным; если один вектор d найден, то
все остальные векторы, представляющие частное, заключаются в фор-
формуле d-\-f, где /есть произвольный вектор, параллельный резуль-
результирующей F. Очевидно, что геометрическое место точек (У, когда
вектор / меняется по модулю, есть прямая линия, а именно — централь-
центральная ось системы сил. Чтобы От векторных обозначений перейти к коор-*
динатным, положим, что d=&ixf -\-j/ -\-kzf\ тогда из формулы A1.8)
мы получим:
i j k
X Y Z
или
— (x'Y—y'X)*=pZ.
Исключая количество р, будем иметь:
Мх-(y'Z-z'Y) _Му-(z'X-x'Z)
MZ- (x'Y-y'X)
A1.9)
Это есть уравнение центральной оси в координатной форме. В самом
деле, при известных значениях для X, У, 2, МХ9 Му, Mz, опреде-
определяемых данной системой сил, мы имеем два уравнения A1.9) первой
степени с тремя текущими координатами (xf, у', г'), которые, как
известно из аналитической геометрии в пространстве, и суть уравнения
прямой линии. Нетрудно найти уравнение этой прямой в канониче-
каноническом виде. Для этого дадим, например, переменному zr какое-нибудь
произвольное значение zf = г'0\ тогда из двух уравнений A1.9) уже
с двумя неизвестными / и / мы сможем найти их значения; пусть
будут х'о и y'Q эти значения. Таким образом, мы нашли одну из точек,
через которую проходит центральная ось системы сил. Так как цен-
центральная ось должна быть параллельна вектору F, то её угловые
коэффициенты должны быть пропорциональны проекциям X, У, Z,
т. е. уравнениям центральной оси можно придать следующий кано-
канонический вид:
X
Из самого построения результирующего вектора F следует, что он
не меняет своего модуля, где бы ни была взята точка приведения

154 ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ [ГЛ. XI
и как бы ни были повёрнуты прямоугольные оси координат; поэтому
величина F есть инвариант (§ 18). Чтобы избежать квадратного корня,
мы возьмём в качестве инварианта F2 == X2 -\- Y2 -J- Z2. Обратимся
к равенству A1.7); перемножим его почленно скалярно с равенством
F'=F. Так как вектор dy^F перпендикулярен к вектору F, то
согласно § 18 мы получим:
М' • F = М • F.
Так как направления осей координат не могут влиять на векторные
соотношения, то из предыдущего равенства следует, что произведе-
произведение М • F для данной системы сил есть также инвариант; по фор-
формуле C.9) мы имеем:
М . F = МХХ~\- MyY + MZZ.
Следовательно, всякая система сил имеет два инварианта, которые
имеют вид
*2+r2 + ^2=(:onst., л
MxX-\-MyY~\-MsZ= const. J (НЛО)
Мы знаем, что М • F=M • Fcos(M> F) согласно формуле C.3).
Из черт. 98 следует, что будет М cos (M, F) = т\ поэтому второму
инварианту можно придать вид М • F= Fm. Так как F есть инва-
инвариант, то должно быть инвариантом т, т. е. смысл второго инва-
инварианта следующий;
Проекция общего момента на результирующую есть величина
для данной системы сил постоянная.
Таким образом, когда при изменении точки приведения модуль
общего момента изменяется, то вектор этого общего момента должен
при этом изменить своё направление так, чтобы его проекция на
результирующую осталась неизменной.
Так как проекция всегда не больше проектируемого, то общий
момент системы сил будет наименьшим, если точка приведения взята
на центральной оси, когда вектор М совпадает с вектором т. По-
Поэтому момент т называется моментом минимум,
С помощью второго инварианта легко узнать характер простейшей
системы, к которой можно привести данную систему сил. Предпо-
Предположим, что Fm Ф 0; очевидно, что при этом ни F, ни т нулю
быть равны не могут, и система приводится к динамическому винту
или к двум силам, не лежащим в одной плоскости. Предположим
теперь, что будет Fm = 0. Если при этом F Ф 0, то должно быть
т = 0, и систему можно привести к одной равнодействующей, рас-
расположенной вдоль центральной оси. Напротив, если /7 = 0, а тфО,

§ 491
РАВНОВЕСИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
155
то общф момент для всех точек пространства постоянен и равен т\
поэтому система сил приводится к паре с моментом т. Наконец,
если и F=0 и /и = 0, то нет ни результирующей, ни пары, и си*
стема сил будет равносильна нулю. Все рассмотренные случаи можно
свести в следующую таблицу:
М .F=MxX + MyY+MzZ ф 0
Динамический винт или две
силы в разных плоскостях
Х2 + Y2 + Z* ф 0.
Одна равнодействующая вдоль
центральной оси
X2+F2 + Z2 = 0,
м2х + м^+м1фо.
Одна пара
Х'2 + Y* + zi = 0,
Система равносильна нулю
Таким образом, чтобы произвольная система сил была в равновесии,
т. е. силы взаимно уравновешивались, необходимо и достаточно,
чтобы было:
Ма = 0, Му = 0, Mz = 0. J О1-11)
§ 49, Равновесие произвольной системы сил. Из предыдущего
параграфа следует, что уравнения равновесия общей системы сил,
приложенных к абсолютно твёрдому телу, в векторной форме имеют
вид
F=0, Af = O. A1.12)
Эти два векторных уравнения равносильны следующим шести коор-
координатным уравнениям:
= 2 (ynZn — znYn) = 0, Му = 2 (гпХп—xnZn) = 0,
п
A1.13)

156
ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ. XI
Заметим, что за прямые, на которые проектируются силы и
моменты сил при составлении уравнений A1.13), нет необходимости
обязательно брать оси координат; можно для этого пользоваться лю-
любыми прямыми, лишь бы среди них не было параллельных и они не
были параллельны одной плоскости. Это замечание особенно полезно
при составлении уравнений моментов. Предположим, например, что
в некоторой данной задаче на равновесие имеется пять реакций,
причём можно провести такую прямую линию D, которая пересекает
прямые действия четырёх из этих пяти реакций. Составим тогда урав-
уравнение моментов, приравнивая нулю сумму моментов всех сил отно-
относительно оси D\ так как моменты относительно оси D четырёх
реакций, пересекающих ось D, будут равны нулю (§ 11), то урав-
уравнение равновесия приведётся к равенству нулю суммы моментов
относительно оси D всех данных сил и одной пятой реакции. Оче-
Очевидно, что из этого уравнения, содержащего неизвестную пятую
реакцию в первой степени, определить эту пятую реакцию не пред-
представляет особого труда. Далее, если, например, можно провести
прямую D, пересекающую прямые действия всех без исключения
реакций данной задачи, то уравнение моментов относительно этой
оси D, как не содержащее реакций, будет выражать условие рав-
равновесия.
Рассмотрим три случая равновесия абсолютно твёрдого тела, имею-
имеющие принципиальное значение.
1. Равновесие пгела, могущего вращаться вокруг оси. Чтобы
тело имело неподвижную ось, достаточно закрепить две точки этого
тела; тогда будет неподвижной вся прямая,
проходящая через эти две точки. Обозначим
точки закрепления через О и О', где будет
ОСУ = h. Так как на тело действуют силы,
то в точках О' и О развиваются реакции R'
и /?"; ни величина, ни направление этих реак-
реакций не известны. Из только что указанного
следует, что достаточно приравнять нулю
сумму моментов всех сил относительно пря-
прямой D, проходящей через точки О' и О,
чтобы получить условие равновесия. Введём
прямоугольную систему осей координат, на-
начало которой совместим с закреплённой
точкой 6, а ось Oz направим по прямой 00'
(черт* 99). При таком выборе осей коорди-
координат моменты силы R" относительно всех трёх осей будут равны
нулю, а для силы Rf будет равен нулю момент относительно оси Oz.
Обозначим проекции неизвестных сил Rr и R" на эти оси соответ-
соответственно через (X', Y\ Z') и (X", У", Z").
Обозначая проекции данных сил Fn через (Хп7 Yn, Zn), а коор-
координаты их точек приложения Ап через (хп, у,п, гп), мы из уравнений

§ 491 равновесие произвольной системы сил 157
A1.13) имеем;
(цЛ4)
0. A1.15)
п
В двух последних формулах A1.14) при вычислении моментов
силы R' относительно осей Ох и О у по формулам Mx—yZ— zY
и Мг, —zX—xZ мы должны были взять для координат точки (У
значения х = 0, у == 0, г = h, что и привело к членам — hYr и -|- /LY7.
Как и было выше указано, реакции в уравнение A1.15) моментов
относительно оси Oz войти не могли; поэтому это уравнение выра-
выражает условие равновесия. Таким образом, мы приходим к следующему
предложению:
Чтобы тело, могущее вращаться вокруг оси, была в равнове*
сии, сумма моментов всех данных сил, действующих на тело,
относительно этой оси должна быть равна нулю.
Пять уравнений A1.14) служат для определения шести проекций
(X', Yr, Zr) и (Xr\ Y;\ Z") сил реакции; следовательно, эта задача —
статически неопределимая. Из двух последних уравнений A1.14) мы
определим величины Х/ и Yr\ вставляя их в два первых уравнения,
найдём X" и У", третье же уравнение даёт сумму Zr -{- Z", причём
отделить слагаемые Z' и Z" нельзя. Последний результат непосред-
непосредственно очевиден, так как к величинам Zr и Z" всегда можно при-
прибавить по произвольной, равной по абсолютному значению величине
с противоположными знаками. В сумме Zr -f- Z" эти две прибавленные
величины дадут нуль, но каждая из них меняет проекции Zf и Z",
так что отдельно Zf и Z" для случая абсолютно твёрдого тела
остаются небпределёнными. Если же тело упругое, то без деформации
тела такого прибавления двух равных противоположных сил, напра*
вленных по оси Oz, сделать нельзя,
2. Равновесие тела, могущего перемещаться винтовым движе-
движением. Оставив обозначения предыдущей задачи, примем ось Oz за
ось вращения и скольжения (черт. 100).
В этом случае силы /?' и R" реакции будут нормальны к оси Oz,
так как скольжение происходит без трения; поэтому проекции сил
R' и R[ будут (Х\ Г, 0) и (Х'\ У", 0). Вставляя эти значения

158 ТТРОИЗПОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ
в уравнения A1.14) и A1.15), мы получим:
[ГЛ. XI
п
2
п
= О,
A1.16)
Мы видим, что третье и шестое из уравнений A1Л б) не содержат
проекций реакций; следовательно, это
zi суть условия равновесия:
Mz = Zi(xnYn—ynXn) = 0. A1Л 7)
п
Отсюда мы получаем:
Чтобы тело, могущее переме-
перемещаться винтовым движением, было
в равновесии, сумма проекций всех
данных сил на ось скольжения и враще*
ния и сумма моментов всех данных
сил относительно этой оси должны
быть равны нулю.
3. Равновесие тела, имеющего не*
подвижную точку. Примем неподвиж-
неподвижную точку О тела за начало прямоугольной системы координат
Охуг. В точке закрепления О развивается реакция R", не из-
известная ни по модулю, ни по направлению; обозначим проекции
силы R" через (X", У'1, Z"). Уравнения равновесия будут:
'я+К" = 0, 2Zn + z" = °; (ПЛ8)
Черт. 100.
n-ynXn) = 0. \

§ 50] примеры 159
У равнения A1.18) определяют проекции реакции R", а уравнения A1.19)
суть условия равновесия. Таким образом, мы получаем:
Чтобы тело, имеющее неподвижную точку, было в равновесии,
суммы моментов всех данных сил относительно трёх осей, про-
проходящих через неподвижную точку, должны быть равны нулю.
§ 50. Примеры. 38. Выполнить приведение к простейшей системе си-
системы четырёх сил: Fb F2i Fi3, F4, проекции которых соответственно равны:
X1==4 X2 = 4 Xs = 2 X4 = — 6
У1==5 У2 = 0 У8=1 П=1
Z1==6 Z2 = 2 Z3 = 7 Z4 = —2
и которые приложены в точках Alt A2, A3, Л4 с координатами:
А\ ^2 Аз А4
„1 vO AT П -W- ^
ЛГ| === х Л 2 :=: ^ **3 — 4 —
j/j = 2 j;2 = 3 3/3 == — 1 ^4 ==s 4
«, = 3 22=1 2:3 = 2 2:4 = -Ь
Прежде всего найдём проекции результирующей по формулам A1.4); мы
получим:
У = 5 + 0+1
Отсюда для модуля F результирующей мы будем иметь:
F = У42 + 72+132 = /234 = 15,297.
Косинусы углов, образуемых результирующей с осями координат, будут
равны:
4 7 13
4—у—-, cosp = 4—7=-, cos y = + г ¦ >
/234 "^234 /234
отсюда находим:
а = 74°5(У, р = 62°46/, т = 31°487,
причём мы знаем, что такие же углы с осями координат образует централь-
центральная ось системы. Будем теперь искать моменты сил относительно осей коор-
координат и проекции на оси координат общего момента ^системы по форму-
формулам A1.5); мы получим:
Mix = 2*6 — 3
М2х = 3-2—1
Мгх = — 1.7 -
Afto-4-(-2)
• 5
•0
-2-1
+ ы
о
= 4-6
= —9
__. 7
-13

160 ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ \ГП. Xt
Ж 1у = 3 • 4 — 1 • 6 = + 6
МЪу^ 1-4 — 2-2 = 0
^ = 2.2-0.7 = + 4
M4jy = — 1 • (— 6) — 5 • (— 2) = + 16
му =
ми =
1
2
0
5
• 5 —
• 0
. i-f.
I
2-
3.
1 •
4-
4
4
2
(-6)
= + 26
= — 3
= — 12
== + 2
= + 29
Л*,= ' = + 16
Составляя выражение A1.10) для второго инварианта, мы будем иметь:
т. е. будет:
Fm = 338.
Отсюда наводим:
т = -т=- = 22,096.
/234
Так как второй инвариант нулю не равен, то данная система четырёх сил
приводится к динамическому винту. Вдоль центральной оси, образующей
с осями координат углы а = 74°50', р = 62°46', f = 31О48', располагаются
в одном и том же направлении результирующая F*= 15,297 и момент пары
m =» 22,096. Заметим, что если бы для т получилось отрицательное значение,
то это показывало бы, что направление момента т противоположно напра-
направлению силы /% так как будет: т = Мcos {F• М). Для параметра/? или шага
винта мы имеем:
т 338 n/-Qo7 338 л ллл
р =з — = ,,^_, т у 234 = — =в 1,444.
F /234 234
Чтобы знать положение центральной оси, необходимо найти координаты
какой-нибудь её точки, например, точки её пересечения с плоскостью Оху:
Для этогё возьмём уравнение центральной оси в виде A1.9), т. е. в числах.
_ 13 — A3У г> 7?) 26 — (Ag — 13*0 ^6—Gл/ —4У)
4 "" 7 в 13
Полагая здесь zf = 0, получим два уравнения для определения координат хг
и уг:
— 13—13у' 26 + 13х> — 13—13У 16
4 я 7 4 в 13
или
y = —15,
— 185у' = 233.
Решая эти уравнения, найдём координаты х*\ уг следа центральной оси на
плоскости Оху, а именно:
#' = — 1,223; У = — 1,444с

§ 50] ПРИМЕРЫ 16l
Отсюда будем иметь уравнение центральной оси в каноническом виде
х+U23 _у -f 1Д44 __ г
4 ~ 7 "3 е
Таким образом, задача приведения данной системы четырёх сил вполне ре-
решена.
39. Разложить силу F по шести заданным прямым в пространстве. Пусть
будут (аь рх, Yi), («2» fe> b)f't (аб> Ре» Те) направления этих прямых
Ар А2у • • •» Дб и^1> ^2» • • •; ^6 — составляющие силы, величины которых требуется
определить. Очевидно, что система семи сил Fb F2} Fs, FAi F& F& — F должна
находиться в равновесии, т. е. для неё должны иметь место уравнения A1.13).
Так как будет:
Xn = Fncosan9 К„ =/>„ cos pn, Zn=*Fn cos чт
то мы получим:
S F^ <Уп cos Tn'— *» cos Pn) ~ (^ — ^K) = 0,
n
cos an — -^n cos Tn) — (^ — XZ) = 0,
n cos Pn — J'n cos an) — (^^—J'AT) = 0.
Из этих шести уравнений первой степени с шестью неизвестными
Fb F2r F&-Fi> F$i ^6 мы и получим одно и только одно решение для этой си-
системы неизвестных. Задача разрешима всякий раз, когда рассматриваемая
система шести линейных уравнений допускает единственное конечное реше-
решение. Из соображений, изложенных в начале предыдущего параграфа, сле-
следует, что случай, когда существует прямая D, пересекающая шесть прямых
Д1? Д2, ..., Дб действия сил Fb F2,..., FQ и не пересекающая прямой Д действия
данной силы F или обращенной силы — F, составляет исключение. В самом
деле, возьмём общий момент всей системы семи уравновешивающихся
сил F,..., Fq} —F относительно оси D; этот момент должен быть равен
нулю. Так как моменты первых шести сил относительно оси D равны нулю
тождественно (§ 11), то уравнение равновесия приводится к равенству нулю
момента относительно оси D силы F, откуда следует, что должно быть F == 0,
т. е. задача теряет смысл.
40. Выполнить указанное в предыдущей задаче разложение, когда пер-
первые три силы Fb F%, Fs лежат в одной плоскости, а остальные три силы F±t
/'б, Fq имеют точку схода А. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость
первых трёх сил; пусть будет О — точка пересечения этого перпендикуляра
с плоскостью сил. Примем точку О за начало прямоугольной системы коор-
координат, причём оси Ох и Оу проведём в плоскости первых трёх сил, а ось иг
проведём через точку А. Тогда будет:
Zx = Z2 == Z3 = 0, Yi = Ъ — Та = ~2 > г\ — z% ^ ^з = 0*
6 Зак. 1709. А. И. Некрасов

162 ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ [ГЛ. XI
поэтому уравнениям примера 39 можно придать вид:
2 2
2 ^ncospn+2 Л» cos ря = У,
w6
2 ^n cos Yn = ^,
4
w=6
— Л 2
n=4
«=6
Л 2
C0S % = <zX —- -
2 ^n (*w cos pn —jin cos ow) = дгК—уХ>
Из трёх уравнений первой степени: третьего, четвёртого и пятого, мы опре-
определим t\y Fr0, F& а затем из оставшихся трёх уравнений первой степени
с тремя неизвестными Ft, F% F% мы найдём и эти неизвестные. Таким обра-
образом, в этом случае задача решения шести уравнений с шестью неизвестными
распалась на последовательное решение двух систем трёх уравнений стремя
неизвестными. Для решения задачи можно предложить ещё следующий гео-
геометрический метод. Обозначим через Bs точку пересечения прямых Ад и А?,
через В1 — точку пересечения прямых Д2 и А^ через В2 — точку пересе-
пересечения прямых Д3 и Д1? где Ате есть прямая действия силы Fn. Проведём
прямую D3 через точку А и через точку ^3 и Для составления урав-
уравнения равновесия семи сил /^ F2, ..., F§, — F приравняем нулю общий
момент этих сил относительно прямой D%. Так как моменты всех сил,
кроме сил F3 и—F, относительно прямой ?K тождественно равны нулю,
то из этого уравнения мы определим F& Обозначая через D^ прямую,
проходящую через точки А и В2, а через D1 — прямую, проходящую через
точки А и Blt мы совершенно таким же приёмом сможем найти F% и F^,
Чтобы найти модули сил F^ Fbt F& заметим, что они должны иметь равно-
равнодействующую, проходящую через точку А; следовательно, силы Flt F%, F3
и —F должны приводиться также к одной равнодействующей, прямая дей-
действия которой проходит через точку А, направление противоположно на-
направлению первой равнодействующей, модули же обеих равнодействующих
равны между собой. Поэтому, сл©жив силы —Fb —F%, —Fs и F, мы полу-
получим равнодействующую сил F±, F$f F$, известных по направлению, но не
известных по модулю. Таким образом, задача приводится к построению па-
параллелепипеда по известной его диагонали и по известным направлениям
его рёбер, что всегда, вообще, возможно.
41. Определить веса Рь Р2} Р& Р± четырёх грузов, прикреплённых
к концам перекинутых через блеки нитей, другие концы которых закреплены
в четырёх вершинах А\} А2, Аг, А$ прямоугольной нагружённой доски с ве-
весом Р, под тем условием, чтобы sta доска А^А^Ад оставалась в равновесии
и была горизонтальною. Дано, что длина доски равна 2а, ширина равна 2Ь,
центр тяжести нагружённой доски лежит в точке С верхней плоскости
доски, нити расположены в вертикальных плоскостях, содержащих соответ-

§50]
ПРИМЕРЫ
163
ственно рёбра АгАъ и А±АХ доски, правые две нити образуют углы а с го-
горизонтальною плоскостью, а две левые — углы р (черт. 101). Поместим
в центре прямоугольника Аф^А^ на верхней поверхности доски начало О
прямоугольной системы координат
Oxyz, ось Ох направим параллельно
.ребру A2Ai, ось Оу параллельно
ребру АВА2, а ось Oz перпендику-
перпендикулярно к плоскости доски, т. е. верти-
вертикально вверх. Пусть будут (х, у)
координаты точки С. Очевидно, что
проекции всех сил на ось Ох равны
нулю; проекции всех сил на ось Оу
равны:
Р] cos a, Р2 cos а»
— Pgcosp, — P4cosp, 0,
а проекции всех сил на ось Oz будут:
Pt sin ос, Р2 sin ct, Р3 sin р,
Р4 sin р, —• P.
Применяя к задаче уравнения A1.13), мы получим следующую систему:
(Рг + р2) Cos а — (Р8 + Pa) cos р = 0,
а) sin а + (Р8 + РА) sin р - Р = 0,
л sin а — (Я8 + >°4) ^.si^ Р — ^ == °'
~ (Pt — Pdb sin а + 0Р3 — Р4) ^ sin Р + *Р = °^
(Рг — Р? Ь cos а + (Рг — Р^) Ь cos 3 = 0.
Из этих уравнений можно выделить две пары уравнений:
(Pj + Р2) COS а — (Р3 + Р4) COS Р = 0,
(Р, + Р2) sin а + (Р3 + ^4) sin р = Р,
(Рг — Р2) cos а + (Р8 — Р4) cos р = 0,
(^1 — ^2) sin а — (Р8 — Р4) sin р = Р j ,
которые дают возможность определить все модули сил Рь Р2, Р& Р4, тогда
как третье уравнение из пяти первоначальных уравнений равновесия будет
условием равновесия. Мы получим:
cos
COS а
cos а
COS а
b sin (a + p) '
sin (а + Р)
Отсюда мы находим:
COS
COS a
cos 8
COS a

164 ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ [ГЛ. XI
Вставляя найденные значения сумм Pt + ^2 и ^з+^4 в третье уравнение,
мы будем иметь:
Из этого условия равновесия мы видим, что при а>[3 должно быть у^> О,
а при а < р должно быть _у < 0. При а = р == ^ значения для модулей сил />1?
Р2, Р3, Р^ принимают неопределённый вид, как это и должно быть согласно
примеру 26 седьмой главы настоящего курса механики.

ГЛАВА XII.
НЕКОТОРЫЕ ОТДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ.
§ 51. Определение внутренних сил. В настоящей главе мы рас-
рассмотрим три следующих отдельных случая применения учения о рав-
равновесии. Именно, мы покажем, как можно определить внутренние
силы, действующие в твёрдом теле, к которому приложены уравно-
уравновешивающиеся заданные внешние силы, как можно изучать равно-
равновесие системы тел и, наконец, как для изучения
равновесия тяжёлых систем можно воспользоваться
принципом Торричелли.
Пусть мы имеем какое-нибудь твёрдое тело,
к которому приложены заданные внешние силы;
мы предположим, что под влиянием этих задан-
заданных сил это тело находится в равновесии. Про-
Проведём мысленно какое-нибудь сечение тела, раз-
разбивающее его на части / и // (черт. 102), и
рассмотрим отдельно часть /. Так как всё тело нахо-
находится в равновесии, то находится в равновесии
и каждая его часть, в том числе и часть /. Но на
часть / действуют приложенные к ней известные
внешние силы, а также силы воздействия части // на часть /,
которые неизвестны. Из общей теории приведения сил (§ 47) сле-
следует, что всё множество сил воздействия части // на часть / можно
заменить одной силой F\ приложенной в произвольной точке (У, ко-
которую мы возьмём на поверхности раздела J, и к одной паре с мо-
моментом М\ Силы воздействия части // на часть / и называются
внутренними силами; мы только что видели, что эти внутрен-
внутренние силы, действующие по сечению ?, вообще, можно привести
к результирующей силе F, приложенной в произвольно взятой
точке Ог сечения 2, и # паре с моментом М'.
Из физики известно, что действие равно противодействию; по-
поэтому воздействие части / на часть // приводится к результирую-
результирующей — Fr и к паре с моментом — М'. Очевидно, что силы воздей-
воздействия части / на часть // суть также внутренние силы. Определение

166 НЕКОТОРЫЕ ОТДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ [ГЛ. XII
результирующей F' и момента М' затруднений не представляет. Для
этого составим уравнения равновесия в векторной форме для части /;
взяв за точку приведения точку О', мы получим:
где все слагаемые, кроме Ff и М\ относятся к известным внешним
силам, действующим на часть /. Очевидно, что в координатной форме
мы получим шесть уравнений для определения трёх проекций Х\
У7, Z' силы Ff и трёх проекций MXi My> Mz момента м!'. Согласно
вышеизложенному мы получим такие же по величине результирую-
результирующую и момент, но с противоположными направлениями,
составляя уравнения равновесия части //, находящейся
под действием заданных внешних сил и сил воздействия
части / на часть //.
Таким образом, мы всегда можем определить вну-
внутренние силы, действующие по любому сечению, прове-
проведённому внутри какого-нибудь твёрдого тела, к кото-
которому приложены уравновешивающиеся заданные внеш-
внешние силы. Например, пусть мы имеем тяжёлую нить,
длина которой равна /, а вес единицы длины равен р\
нить привешена одним концом к потолку и под-
Черт. 103. держивает на другом конце груз весом Р (черт. 103);
требуется найти внутренние силы в любом сечении этой
нити. Предположим, что нить отвердела в её положении равнове-
равновесия. Возьмём начало О координат в точке привеса нити и на-
направим ось Ог вдоль нити; найдём внутренние силы, действующие
в сечении с координатой z. Рассмотрим равновесие части /, на кото-
которую действуют внешние силы: вес груза Р и вес p(l — z) части /
нити и внутренняя неизвестная сила с модулем F'. Проектируя все
силы на ось Ozy мы получим уравнение равновесия части / в виде:
откуда имеем:
Рассматривая равновесие части //, мы заключаем, что на неё дей-
действуют внешние силы: реакция в точке О, равная P-\-pl, вес pz
части У/ нити и внутренняя сила с модулем F\ направленная уже не
против направления оси Oz, а по этому направлению; поэтому урав-
уравнение равновесия части // будет:
или
F' = P + p(l—г),
т. е. мы получаем тот же самый результат для модуля равнодей-
равнодействующей внутренних сил.

§ 52] РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ 1б7
§ 52. Равновесие системы тел. Задача изучения равновесия си-
системы тел имеет много общего с только что рассмотренной задачей
определения внутренних сил, так как искомыми неизвестными в этой
задаче на равновесие системы будут главным образом внутренние
реакции, которые развиваются в местах соединения различных тел
системы.
Предположим, что система состоит, например, из трёх абсолютно
твёрдых тел. Сначала составим уравнения равновесия всей системы
как целого в предположении, что система отвердела. Мы получим
шесть уравнений в координатной форме, в которые внутренние реак-
реакции не войдут, так как они в отвердевшей системе взаимно уравно-
уравновешиваются; в самом деле, по закону равенства действия противодействию
силы действия первого тела на второе равны и прямо проти-
противоположны силам действия второго тела на первое и т. д. Выделим,
далее, одно первое тело. Чтобы оно осталось в равновесии, необхо-
необходимо приложить к нему сверх действующих на него внешних сил
ещё те силы, с которыми на него действовали второе и третье тело.
Таким образом, мы получим ещё шесть уравнений, в которые войдут
неизвестные внутренние реакции, именно, силы действия второго и
третьего тела на первое. Выделим затем одно второе тело. Чтобы
удержать его в равновесии, необходимо приложить к нему сверх дей-
действующих на него внешних сил ещё те силы, с которыми действо-
действовали на него первое и третье тело. Таким образом, мы получим ещё
шесть уравнений, в которые войдут неизвестные внутренние реакции,
именно, силы действия первого и третьего тела на второе, причём
очевидно, что силы действия второго тела на первое по модулю,
равны, но противоположны по направлению силам действия первого
тела на второе. Эту операцию мы применяем для всех тел системы.
Если число тел равно п, то общее число уравнений будет б -{- 6/г;
если задача плоская, то число уравнений будет равно 3-|-Зп.
Полученные 6-\-6п уравнений или 3-\~3п уравнений не будут все
независимыми, так как уравнения равновесия внешних сил, приложен-
приложенных к отвердевшей системе как к целому, будут следствиями осталь-
остальных уравнений равновесия. Число уравнений может быть и меньше,
если некоторые из них обращаются в тождества или являются след-
следствиями других. Если из полученных уравнений все реакции опреде-
определить можно, то задача будет статически определимой; в противном
случае задача — статически неопределимая. Мы видим, что этот ме-
метод в сущности тождествен с изложенным в предыдущем параграфе
методом определения внутренних сил, действующих в твёрдом теле.
Для пояснения изложенного рассмотрим следующий пример. На
вал с радиусом, равным а, насажены без трения две тяжёлые балки
АВ и АВХ с весами, равными Р, скреплённые в точке А шарниром;
длины балок равны 2/. Найдём угол при точке Л, при котором балки
останутся в равновесии, причём предполагается, что точка А и центр О
сечения вала лежат на одной вертикали (черт. 104). Пусть будут С

168
НЕКОТОРЫЕ ОТДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ
[гл. xii
и Сл центры тяжести балок А В и АВХ и /ОЛ/3 = ос. В точках D
и Вг развиваются внешние реакции, которые нормальны к бал-
балкам АВ и ABV и модули которых между собою равны; обозначим
эти модули через R. Рассматривая сначала систему двух балок как
целое, составим её уравнения
равновесия. Построим оси коор-
координат Оху так, как указано
на черт. 104. Проектируя все
силы на оси Ох, Оу и взяв
моменты этих сил относительно
точки О, получим:
R cos a — R cos a = 0,
2R sin а — 2Р = 0,
Р-О^ — Р- OtC=0.
Черт. 104. ^ы ВИДИМ> что первое и
третье уравнения обращаются
в тождества, и остаётся только второе уравнение, которое после
сокращения на 2 будет иметь вид:
/? sin ос —- Р = 0.
Отрежем теперь мысленно в точке А правую балку от левой и будем
искать равновесие одной правой балки АВ. Чтобы удержать балку АВ
в равновесии, мы должны в точке А приложить ту силу, с которой
левая балка действовала на правую; пусть будут — X и Y проекции
силы, причём из черт. 104 ясно, что X должно быть положительно.
Таким образом, на правую балку "действуют четыре силы с моду-
модулями Р} R, X} Y. Составляя уравнения равновесия, будем иметь:
X-r
sin a
Принимая во внимание предыдущее уравнение R sin а — Р = 0,
получим из второго уравнения, что К = 0; это можно вывести и не-
непосредственно из рассмотрения симметрии. Далее мы будем иметь:
sin a7
X = R cosa = P ctgct.

§ 53] ПРИНЦИП ТОРРИЧЕЛЛИ 169
Вставляя это значение для X в третье уравнение, найдём:
0
sin2 a
Отсюда по сокращении на Р мы получим:
sin3 a — у cos a = 0.
Разделив обе части этого уравнения на cos3 a, будем иметь:
tgsa __?_!_ _о;
& / cos'4 a
так как
cos2 a
то для определения угла а мы приходим к следующему кубическому
уравнению как условию равновесия:
±
A2.2)
Определив отсюда угол а и внося его значение в выражения для ко-
количеств R и X, мы найдём модули внешней и внутренней сил реак-
реакции. Из симметрии очевидно, что рассмотрение уравнений равновесия
левой балки никаких новых результатов не даёт.
§ 53. Принцип Торричелли. Для случая тяжё'лых систем можно
ещё применить следующий способ разыскания положений равновесия,
являющийся частным случаем общего принципа статики, установлен-
установленного Лагранжем, — принципа возможных перемещений. Если система —
тяжёлая, то очевидно, что она будет в положении устойчивого равно-
равновесия, если её центр тяжести занимает самое низкое положение, так
что при всех малых вынужденных отклонениях системы от этого по-
положения он может только подниматься. Если при всех малых откло-
отклонениях системы центр тяжести не поднимается и не опускается, то
рассматриваемое положение есть положение безразличного равновесия,
каков, например, случай однородного тяжёлого шара на горизонталь-
горизонтальной плоскости. Наконец, если центр тяжести занимает самое высокое
положение, так что при вынужденном выведении системы из этого
положения центр тяжести может только опускаться, то положение
равновесия хотя ещё и возможно, но оно будет неустойчивым, как
показывает пример прямого круглого конуса, поставленного верти-
вертикально на остриё. Обозначим через С вертикальную координату центра
тяжести системы. Положение безразличного равновесия характери-
характеризуется тем, что С = const. Положение устойчивого равновесия
характеризуется тем, что в этом положении будет С минимум, если

170
НЕКОТОРЫЕ ОТДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ
[ГЛ. XII
координата С отсчитывается вертикально вверх от некоторого уровня;
понятно, что при отсчёте от некоторого уровня вниз величина С должна
быть максимум. В случае неустойчивого равновесия, наоборот, С будет
максимум при отсчёте вверх и минимум — при отсчёте вниз. В этом
и состоит принцип Торричелли A608—1647). Предположим, что зна-
значение координаты С зависит от некоторого параметра а, так что
?=/(а). Из предыдущего следует, что для разыскания положений
устойчивого или неустойчивого равновесия системы следует найти
максимум или минимум, т. е. экстремум функции С =/(<х). Из
дифференциального исчисления известно, чт-о значения а, дающие
экстремум, удовлетворяют уравнению
ii ==/' (ос) = 0, или Л =/' (a) da = 0.
В случае безразличного равновесия С = const, мы опять имеем rfC = 0.
Если координата С есть функция не-
нескольких параметров, например С =
=/(а, р, -у), то для нахождения её
максимума или минимума необходимо
решать совместно уравнения
D
ШШ^^'
-Я. f = °> *-o-
Так как
Черт. 105.
то предыдущие условия равносильны
опять одному rfC = 0, и обратно. Таким
образом, чтобы найти положения равно-
равновесия тяжёлой системы, следует найти решения, вытекающие из
условия
<?? = 0. A2.3)
Чтобы показать, как применять этот приём практически, рас-
рассмотрим следующий пример. Тяжёлая балка, длина которой равна 2а,
опирается одним концом А на вертикальную стенку, а другим кон-
концом В — на некоторую кривую; найти эту кривую, исходя из усло-
условия, что балка остаётся в равновесии при всех положениях, т. е.
во всех положениях находится в состоянии безразличного равновесия.
Так как положение равновесия балки — безразличное, то должно быть
С == const., т. е. центр тяжести С балки должен перемещаться по го-
горизонтальной прямой. Примем эту прямую за ось Ох и вертикаль-
вертикальную прямую, по которой скользит конец Л, за ось Оу (черт. 105).
Таким образом, мы приходим к следующей задаче. Найти кривую,
описываемую концом В балки, средина С которой скользит по гори-
горизонтальной прямой Ох и конец Л — по вертикальной прямой Оу.

§ 53] ПРИНЦИП ТОРРИЧЕЛЛИ 17i
Обозначая угол балки с осью Ох через а, имеем для координат
точки В следующие выражения:
у = — DB = — a sin ос, х = OD = 2ОС = 2а cos а.
Отсюда получаем:
-^- = cos ос, ^-=—sin а.
Возводя в квадрат и складывая, будем иметь:
4а2 ' Ф ~ '
т. е. конец В балки должен опираться на эллипс с полуосями 2а и а.
Для лучшего пояснения изложенного в настоящем параграфе ме-
метода применим его ещё к примеру, разобранному в § 52 этого.курса.
Так как центр тяжести балки АВ (черт. 104) лежит в точке С, а
центр тяжести такой же балки АВХ лежит в точке Cv то центр тя-
тяжести системы этих балок лежит в точке Ог — средине отрезка СС1#
Найдём расстояние C = OOr Мы имеем:
но из /\АОгС получаем:
а из /\AOD находим:
а
sin a *
следовательно,
Sin a *
Мы видим, что в рассматриваемой задаче будет:
/ (а) = / cos а А-.
1 ч ' sin a
Уравнение равновесия
принимает вид:
откуда находим:
/ sin3 а — a cos а = 0.

172 НЕКОТОРЫЕ ОТДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ [ГЛ. XII
После выполнения указанного в предыдущем параграфе преобразования
мы получаем кубическое уравнение
tg3* — ytg2a— ± = 0,
т. е. приходим к результату A2.2).
Следует обратить внимание, что при применении этого способа
мы совершенно не должны были принимать во внимание реакции; в
этом заключается преимущество этого способа. Ниже, при изложе-
изложении принципа возможных перемещений Лагранжа, мы увидим общую
причину такого исключения реакций.

ГРАФОСТАТИКА
ГЛАВА XIII.
ВЕРЁВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК.
§ 54. Значение графостатики. Верёвочный многоугольник. При
решении многих задач статики можно применять графические приёмы.
Однако в настоящее время при широко развитой технике вычислений
с применением вычислительных машин, которые в ряде случаев делают
бесполезными даже логарифмические таблицы, при ограниченной по
необходимости точности графических приёмов, когда точность резуль-
результата зависит от точности построений и измерений на чертеже, является
естественным вопрос, целесообразно ли изучать графические приёмы
и заниматься ими или их следует считать уже отжившими своё время.
Но такой взгляд на графические приёмы решения задач статики
был бы ошибочным. Графические приёмы решения задач статики имеют
прежде всего то преимущество по сравнению с алгебраическими вычисле-
вычислениями, что они позволяют в одной картине сразу обнять всю задачу
и делают получаемые результаты наглядными, что, между прочим, даёт
возможность немедленно замечать вкравшиеся ошибки. Алгебраиче-
Алгебраические же вычисления этими свойствами не обладают; при пользовании
ими решение задачи развёртывается постепенно, без наглядности, и
каждый результат познаётся во времени лишь один после другого.
Далее, хотя точность алгебраических вычислений и может быть сделана
сколь угодно большой, однако в каждой практической задаче данные
бывают обыкновенно приближёнными; поэтому проводить алгебраиче-
алгебраические вычисления с очень большой точностью при неточных данных
часто является бесполезным, и точность графических приёмов часто
оказывается совершенно достаточною. Наконец, что касается быстроты
и лёгкости графических приёмов решения задач статики, то в ряде
случаев графические приёмы стоят даже на первом месте по сравнению
с алгебраическими расчётами. Поэтому графические приёмы оказы-
оказываются особенно полезными, когда приходится обследовать несколько
вариантов, чтобы выбрать из них наиболее подходящий, к которому
уже затем можно применить точные, но всегда достаточно трудоёмкие
способы расчёта. Все эти соображения не позволяют отвергать графи-
графические приёмы решения задач статики и в настоящее время.

174 ВЕРЕВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК (ГЛ. XIII
В средине XIX столетия разные существовавшие тогда графические
приёмы решения задачи статики были собраны и объединены вместе,
чем и было положено начало особой науке — графической статике,
или графостатике. Построения графической статики преимущественно
развиты для плоских систем сил. В настоящем курсе и будут вкратце
рассмотрены некоторые построения * только для плоских задач; гораздо
более подробное изложение этих вопросов можно найти в курсе
проф. В. Л. Кир'пичёва «Основания графической статики» A933 г.).
Что касается случаев пространствен-
пространственного расположения сил, то имеются
построения графостатики и для про-
пространственных систем сил, но эти
построения достаточно сложны и
вследствие этого они в настоящем
курсе рассматриваться не будут.
Желающие ознакомиться с ними
могут их найти в курсе проф.
Черт. 106. Б. Н. Горбунова и проф. А. А. Уман-
ского «Статика пространственных
систем» A932 г.). Основным приёмом пространственной графостатики
является условное изображение пространственных образов на плоском
чертеже.
Если мы имеем плоскую систему сил, то могут встретиться только
три случая: или система приводится к одной равнодействующей, или
к одной паре, или уравновешивается. Как и прежде, мы будем пред-
представлять силы прямолинейными отрезками — стрелками, отмечая эти
отрезки цифрами. Мы знаем, что если многоугольник сил, построенный
для данной плоской системы сил, — замкнутый, то система сил или
приводится к паре, или имеет место равновесие; в обоих этих случаях
направление стрелок, представляющих силы, устанавливает непрерыв-
непрерывное направление обхода периметра многоугольника. В случае трёх сил
мы получаем, таким образом, треугольник сил (черт. 106). Очевидно,
что если изменить направление обхода одной из сторон, то она
представит равнодействующую сил, представляемых другими
сторонами.
Рассмотрим плоскую систему сил, например четырёх сил /, 2, 3, 4,
изображённую на левой части черт. 107. Построим для этой системы
сил многоугольник сил abcde, изображённый на правой части черт. 107.
Если многоугольник сил будет замкнутым, то или будет иметь место
равновесие, или система будет приводиться к паре; таким образом,
замыкание многоугольника сил есть необходимое, но ещё не
достаточное условие равновесия. Если же многоугольник сил —
разомкнутый, то система сил приводится только к равнодействую-
равнодействующей, как это имеет место для случая черт. 107, где замыкающая ае
ломаной линии abcde даёт величину и направление равнодействующей;
конечно, стороны ab, Ы% cd и de этой ломаной линии должны быть

§ 54]
ЗНАЧЕНИЕ ГРАФОСТАТИКИ. ВЕРЁВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
175
Черт. 107.
проведены параллельно силам 1,2,3, 4, чтобы направление ае действи-
действительно представило направление равнодействующей F. Чтобы вполне
знать равнодействующую F, необходимо найти какую-нибудь одну
из точек, через квтерую прехедит прямая действия этой силы F. Для
решения этой последней задачи возьмём произвольную точку О пло-
плоскости, которую назовём полюсом. Соединим полюс О с вершинами
ломаной линии (/, 2, 3, 4).
Будем называть эти
прямые лучами, причём
первый и последний лучи
обозначим первой и по-
последней буквами а и а)
греческого алфавита, а
промежуточные лучи —
двумя цифрами тех сто-
сторон ломаной линии, в
точку пересечения кото-
рых проведён данный
луч. Таким образом, луч 12 проведён в точку пересечения сторон /
и 2; луч 23 проведён в точку пересечения сторон 2 и 3 и т. д. Как
и прежде, будем называть многоугольник A, 2, 3, 4) многоугольником
сил. Построим теперь второй многоугольник, представленный на левой
части черт. 107. Возьмём произвольную точку А плоскости и проведём
через неё прямую АВ, параллельную лучу а, до встречи в точке В
с силой /, как это п©кавано на левой' части черт. 107. Через точку В
проведём прямую ВС параллельно лучу /2 до встречи в точке С
с силой 2 и т. д. Наконец, через точку Е проведём прямую EF>
параллельную лучу со. Таким образом, мы получим многоугольную,
линию ABCDEF, стороны которой будем отмечать теми же обозна-
обозначениями, как параллельные им лучи. Эту многоугольную линию
(а, /2, 25, 34, со) мы назовём верёвочным многоугольником, шар-
шарнирным многоугольником или многоугольником Вариньона. Обратим
внимание на следующую связь между обеими фигурами, представлен-
представленными на черт. 107. Стороны обеих фигур соответственно параллельны;
каждому треугольнику одной фигуры соответствуют три пересекаю-
пересекающиеся в одной точке прямые другой фигуры, и обратно. В самом деле,
рассмотрим, например, треугольник, образованный прямыми /2, а, 1
в многоугольнике сил. В верёвочном многоугольнике соответствующие
прямые пересекаются в точке В. Треугольнику, образованному в верё-
верёвочном многоугольнике прямой /2 и продолжением отрезков / и 2,
в многоугольнике сил соответствуют прямые 1, 2, 12, пересекающиеся
в одной точке Ь. Такое соответствие двух фигур называется взаимным,
а самые фигуры — взаимными. Пользуясь построениями лучей в много-
многоугольнике сил, силу 1 можно разложить на две силы а и 12, рав-
равные и параллельные этим лучам. Сила а направлена к точке О,
сила 12 — от точки О. Перенеся силы /, а и 12 в точку В9 мы видим,

176 ВЕРЁВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК [ГЛ. XIII
что, в сущности, мы произвели таким образом разложение силы /
на две силы, параллельные лучам а и 12, по правилу параллелограмма
(черт. 108), причём вычерчивать этот параллелограмм нет никакой
необходимости, так как искомые силы а и 12 уже непосредственно
даны на чертеже при многоугольнике сил. Точно так же силу 2 можно
разложить на две силы 12 и 23, причём первая направлена к точке О,
а вторая — от точки О. Перенося
эти силы в верёвочный много-
многоугольник, мы видим, что вдоль
его стороны 12 расположатся
две силы, равные^ лучу 12, но
направленные в противоположные
стороны. Продолжая это построе-
построение, мы найдём, что данную си-
систему сил /, 2, 3, 4 можно заме-
заменить силами, идущими вдоль
сторон верёвочного многоуголь-
Черт. 108. ника. Вдоль каждой из промежу-
промежуточных сторон 12, 23, 34 напра-
направлены по две силы, прямо противоположные и равные соответственно
лучам 12, 23 и 34; следовательно, эти силы взаимно уравновешиваются.
Остаются неуравновешенными две силы, направленные вдоль сторон а
и со и равные соответственно лучам а и со. Сила а имеет направле-
направление аО, а сила со — направление Ое. Таким образом, данная система
сил 1, 2, 3, 4 приведена нами только к двум пересекающимся силам а
и со. Продолжая их прямые действия, мы получим точку К, через
которую должна пройти их равнодействующая F\ величина же и напра-
направление равнодействующей F известны из многоугольника сил. Проведя
через точку К прямую, параллельную отрезку ае, и отложив на ней
силу F, мы получим полное решение поставленной задачи.
Очевидно, что этот приём применим для любого числа сил, как бы
силы ни были расположены и в каком бы порядке мы их ни брали.
Следует только помнить, что сила, приложенная к абсолютно
твёрдому телу, есть вектор скользящий, и потому стороны верёвочного
многоугольника могут быть ограничены как самими силами, так и их
прямыми действия. На черт. 109 дано построение для другого располо-
расположения четырёх сил /, 2, 3, 4, отличного от случая черт. 107. И здесь
эти четыре силы можно заменить двумя силами а и со, идущими
в направлениях, указанных стрелками, силы же а и со можно заменить
равнодействующей /?, проходящей через точку пересечения сторон а
и со верёвочного многоугольника.
Предположим теперь, что многоугольник сил будет замкнутый.
В этом случае результирующая сила равна нулю, и система сил или
приводится к паре, или уравновешивается. Рассмотрим случай трёх
сил, изображённый на черт. ПО. Построив многоугольник сил, мы
видим, что он замкнутый. Возьмём в какой-нибудь точке полюс О и

§ 541
ЗНАЧЕНИЕ ГРАФОСТАТИКИ. ВЕРЁВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
177
проведём лучи ос, 12, 23, со. Так как начальная и конечная точки
многоугольника сил совпадают, то лучи а и со сливаются. Следовательно,
систему трёх сил /, 2, 3 можно привести к двум равным по величине
Черт. 109.
и противоположно направленным силам а и со. На верёвочном много-
многоугольнике стороны а и со будут параллельны друг другу, так как
они должны быть параллельны слившимся лучам а и со; сверх того,
Черт. ПО.
мы видим, что эти стороны не располагаются вдоль одной прямой.
Следовательно, данная система сил приводится к паре (а, ш), и
мы легко найдём момент этой пары, измерив в многоугольнике сил

178
ВЕРЁВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
[гл. хш
модуль а = о), а в верёвочном многоугольнике — расстояние d между
сторонами а и о, представляющее плечо пары.
Предположим, наконец, что не телько многоугольник сял, но и
верёвочный многоугольник будут замкнутыми, как это показано на
черт. 111; в этом случае равные силы а и а), к которым приводится
Черт. 111.
данная система сил, будут расположены в противоположных напра-
направлениях вдоль одной прямой и потому взаимно уравновешиваются.
Следовательно, данная система сил также находится в равновесии.
Таким образом, мы получаем следующее предложение:
Чтобы плоская система сил находилась в равновесии, необхо-
необходимо и достаточно^ чтобы многоугольник сил и верёвочный мно-
многоугольник оба были замкнутыми.
Черт. 112.
Рассмотрим две силы 1 и 2 (черт. 112). Построим для них много-
многоугольник сил и верёвочный многоугольник. Если мы вообразим,1 что
стороны верёвочного многоугольника осуществлены материально при
помощи стержней, скреплённых друг с другом шарнирами, то такой

§ 54] Значение графостатйКй. верёвочный многоугольник
179
шарнирный многоугольник под действием данных сил / и 2, прило-
приложенных в его узлах, будет в равновесии. В самом деле, силы / и 2
можно заменить усилиями а, /2, ш, действующими вдоль стержней.
Пренебрегая малыми изменениями длин стержней под действием этих
усилий, мы видим, что усилия уничтожаются противодействиями
стержней и двух мест закрепления. Для случая, представленного на
черт. 112, все усилия сводятся к растяжениям, как в этом нетрудно
убедиться, рассматривая направления сил а, 72, ш. Поэтому стержни
в этом случае можно заменить цепями или верёвками. Этого, конечно,
нельзя сделать, если усилия вдоль стержней приводятся к сжатиям.
Отсюда понятно, почему многоугольник, применяемый для графиче-
графического приведения сил, называется шарнирным многоугольником, или
верёвочным многоугольником.
Черт. 113.
Рассмотрим ещё случай шарнирного многоугольника, представленно-
представленного на черт. 113. В его узлах приложены равные и параллельные силы р.
Из многоугольника сил находим:
где h есть полюсное расстояние, или
Вообще, будем иметь для любого числа стержней:
tp-fi — Mi-Mi— —lib.
Щ Pi — 2 ~ 3 ~ п '
Что касается усилий в р стержнях, которые для симметрии обозна-
обозначений мы представим через Г, 7\, Г2,..., то из соответствующих
треугольников многоугольника сил будем иметь:
Т= Тг cosj^ = T2cos|32 = ... = Tncospn.
Мы видим, что здесь усилия также сводятся к растяжениям и воз-
возрастают при переходе от среднего сечения к крайним. Такое построе-
построение имеет место при расчёте цепных мостов.
Пусть будет дана какая-нибудь плоская система сил, напри-
например, трёх сил /, 2, 3 (черт. 114). Построим многоугольник сил и

180
ВЕРЁВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
[гл. xiii
верёвочный многоугольник для некоторого произвольно взятого полюса О.
Возьмём затем полюс в какой-нибудь другой точке О' и построим
верёвочный многоугольник для этого нового полюса. Докажем сле-
следующую теорему:
Стороны двух верёвочных многоугольников, построенных для
одной и той же системы сил при двух различных положениях
полюса., пересекаются соответственно на одной прямой, парал-
параллельной отрезку, соединяющему полюсы.
Рассмотрим два верёвочных многоугольника (а, 12, 23, со) и
(а', 12', 23Г, со'). Продолжим стороны а и а' до их пересечения
в точке А, стороны 12 и
а 12' до их пересечения в
точке L и соединим пря-
прямою точки А и L. Мы
получим четырёхугольник
ABB'L с двумя диагона-
диагоналями. На многоугольнике
сил ему будет соответ-
соответствовать четырёхугольник
аОО'Ь. Будем называть
стороны и диагонали
вообще сторонами. Мы
Черт. 114.
видим, что пять сторон первого четырёхугольника соответственно
.параллельны пяти сторонам второго; остаётся доказать, что
шестые стороны, именно AL и 00', будут параллельны между
собою. Заметим, что четырёхугольники ABB L и аОО'Ь не
будут подобными; в самом деле, они будут взаимными, так как тре-
треугольнику на одной фигуре будут соответствовать три сходящиеся
в одной точке стороны на другой, и обратно. Доказательство парал-
параллельности сторон AL и ООГ может быть выполнено как геометриче-
геометрически, так и на основании механических соображений; мы изберём
последний путь. Сила /, направленная вдоль В В1', может быть раз-
разложена на две силы а и 12, представленные на многоугольнике сил
векторами аО и Ob. Вдоль прямой действия силы / направим новую
силу, по модулю равную силе /, в противоположном направлении,
т. е. в направлении В'В\ эта новая сила / может быть разложена
на две силы 12' и а', представленные на многоугольнике сил векто-
векторами ЬО' и О'а. Четыре полученные силы а, 12, а', 12' взаимно
уравновешиваются, так как они равносильны двум силам,/, действую-
действующим в прямо противоположных направлениях ВВ' и В'В. Эти четыре
силы можно группировать попарно ещё иначе. Именно, рассмотрим
силы а', а и силы 12', 12. Из многоугольника сил мы заключаем,
что силы о! и а имеют равнодействующую, равную вектору О'О}
а силы 12' и 12 имеют равнодействующую, равную вектору 00', Из
верёвочного многоугольника видим, что равнодействующая сил а' и а

§ 54] ЗНАЧЕНИЕ ГРАФОСТАТИКИ. ВЕРЁВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК 181
должна пройти через точку А их схода, а равнодействующая сил 12'
и 12 должна пройти через точку L их схода. Так как равнодействую-
равнодействующие соответственно равны векторам О'О и 00', то отсюда заклю-
заключаем, что через точки А и L проходят две равные по величине па-
параллельные и противоположно направленные силы. Эти силы могут
образовать или пару, или взаимно уравновеситься; в последнем слу-
случае они должны быть расположены вдоль прямой AL, и следовательно,
прямая AL должна быть параллельна прямой OOf. Но здесь как раз
и имеет место последний случай, так как рассматриваемая нами си-
система сил находится в равновесии. Направляя вдоль СС и С С силы,
по модулям равные силе 2, мы таким же образом убедимся, что
прямая LM параллельна прямой 00' и т. д. Следовательно, линия
ALMN есть прямая, параллельная прямой 00', и теорема доказана.
Применим эту теорему к следующей задаче. Даны две силы / и
2; требуется построить для них верёвочный многоугольник, проходя-
проходящий через три данные точки А, В, С (черт. 115). Проведём произ-
вольно через точку А сторону а верёвочного многоугольника до
встречи её с силой 7, проведём далее через эту точку встречи и че-
через точку В сторону 12. Эти две стороны определят направление
лучей а и 12 на многоугольнике сил и тем самым полюс О. Соеди-
Соединяя точку с с точкой О, получим луч со; проводя сторону со на верё-
верёвочном многоугольнике, мы, вообще, найдём, что она не пройдёт через
третью данную точку С. Следовательно, верёвочный многоугольник
(а, 12, со) не представляет решения задачи, и необходимо искать дру-
другой многоугольник (а7, 12', а/), дающий решение задачи и соответ-
соответствующий изменённому положению полюса. Так как сторона of должна
пройти через точку А, г сторона 12' через точку В, то прямая А,
проходящая через эти точки А и В, есть прямая, на которой лежат
точки пересечения соответственных сторон верёвочных многоугольни-
многоугольников (а, 12, со) и (а', 12', а/). Следовательно, стороны со и со' должны
пересекаться также на ней. Продолжим сторону со до пересечения
с прямой А; проведя через полученную точку и третью данную
точку С прямую, заключаем, что эта прямая есть сторона со7 иско-
искомого верёвочного многоугольника. Проведя прямую через точку пере-
пересечения стороны со7 с силой 2 и через точку В, получим сторону 12Г

182
ВЕРЁВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
[ГЛ. YIII
и, наконец, проводя прямую через точку пересечения стороны 12'
с силой / и через точку А, получим сторону ос' искомого верёвоч-
верёвочного многоугольника, представляющего решение предложенной задачи.
§ 55. Графическое изображение моментов. Перейдём теперь
к графическому изображению моментов сил. Пусть будут, например,
даны три силы /, 2, 3. Требуется найти их моменты относительно
какой-нибудь точки К (черт. 116). Проведём через точку К прямые,
параллельные силам.
Расстояния Hv H9, Н%
этих прямых от сил /,
2, 3 представляют пле-
чи, и, умножая эти пле-
плечи соответственно на
силы /, 2, 3, получим
моменты этих сил. По-
Построим многоугольник
сил и верёвочный мно-
многоугольник для не-
некоторого полюса О.
Продолжим стороны ве-
верёвочного многоуголь-
многоугольника, пересекающиеся
на любой силе, до пересечения их с прямой, проходящей через
точку К параллельно этой силе. Мы получим треугольники АВВ1%
B2CCV C^DDX с высотами Hv Я2, /73. На многоугольнике сил им
будут соответствовать подобные по параллельности сторон треуголь-
треугольники аОЬ, ЬОс, cOd с высотами kv h2, hQ. Из подобия этих тре-
треугольников следует:
Черт. 116.
АВХ _ Нг
аЬ
л,
be
cd
или
ab - Нг = к
be • Я2 = моик B) =
cd • #3 = мом^ C) =
Мы видим, что предыдущим построением мы изменили плечи Hv H^
Н.д в hv h^y /г3, изменив соответственно отрезки /, 2, 5, предста-
представляющие силы, в отрезки ABV B^CV C%DV
При произвольном расположении сил такое преобразование ника-
никакой существенной выгоды не приносит; но не то будет, если данные
силы параллельны. Тогда все прямые, проходящие через точку Ку
сольются между собой, и все плечи kv h2, h% будут между собой
равны, т. е, мы приведём все моменты к одному плечу/

55]
ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
183
Рассмотрим какую-нибудь систему параллельных сил, например,
трёх сил /, 2, 3 (черт. 117). Выберем какое угодно плечо h и по-
построим многоугольник сил, приводящийся в этом случае к прямой,
с полюсом О, отстоящим от этой прямой на расстояние h. Построим,
далее, верёвочный многоугольник. Найдём момент каждой силы отно-
относительно точки Kv Мы будем иметь согласно предыдущему:
(/) = AlBl • /z,
B) = В^ . /г,
мом.
Так как у всех моментов плечо h — общее, то моменты будут про-
пропорциональны отрезкам A1BV BXCX и ClDv которые и можно при-
с.
о.
Черт. 117.
нять за графические изображения моментов. Относительно точки Кг
моменты всех сил отрицательны, и мы видим, что непосредственно
на чертеже мы получаем общий момент системы сил. Так, общий мо-
момент системы сил 1 и 2 изобразится отрезком АХС1 = А1В1-\-ВхС1\
общий момент системы сил G, 2, 3) изобразится отрезком A1D1 =
Если за начальную точку отрезка, изображающего момент, мы
примем точку пересечения прямой с предыдущим лучом, а за конеч-
конечную точку— точку пересечения с последующим лучом, то мы заключаем,
что отрицательные моменты изобразятся на чертежах отрезками, на-
направленными сверху вниз.
Найдём теперь моменты сил относительно точки /С2. Момент силы 1
будет положительным и изобразится отрезком Л2?2, направлен-
направленным снизу вверх; моменты сил 2 и 3 будут отрицательны и изобра-
изобразятся отрезками В2С2 и C2Dr Общий момент системы всех трёх сил

184 ВЕРЁВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК [ГЛ. XIII
изобразится отрезком А2О%9 направленным вниз, и, следовательно,
будет отрицательным.
Найдём, далее, момент сил относительно точки АГ3. Моменты сил
7 и 2 будут положительны и изобразятся отрезками АЪВ% и #3С3;
момент силы 3 будет отрицателен и изобразится отрезком C3D3; общий
момент системы изобразится отрезком Л3?K и будет положителен.
Наконец, для точки К4 все моменты будут положительны, и общий
момент изобразится отрезком Л4?>4. Мы видим, что при перемещении
точки К слева направо момент сначала от-
отрицателен, но уменьшается по абсолютному
значению, затем делается положительным и
возрастает. По закону непрерывности должно
быть такое положение точки /С, для которого
момент равен нулю. Нетрудно сообразить,
что в этом случае точка К лежит на прямой
действия равнодействующей. В самом деле,
из теоремы Вариньона мы знаем, что об-
общий момент системы параллельных сил равен
моменту равнодействующей; последний же,
очевидно, будет равен нулю, если равнодей-
Черт. 118. ствующая проходит через точку, для кото-
которой определяется момент.
Необходимо, однако, помнить, что при вычислении момента сле-
следует длину отрезка, представляющего момент, умножить на плечо h.
Геометрически это равносильно вычислению площади прямоугольника,
у которого одна сторона равна h, а другая равна длине отрезка, пред-
представляющего момент. Очевидно, что только вследствие одинаковости
сторон h сложение и вычитание моментов приводятся к алгебраиче-
алгебраическому сложению отрезков, изображающих моменты, как это видно
из черт. 118, представляющего в виде площадей моменты сил 1, 2
и 3 для точки Кл. Очевидно также, что, измеряя отрезки, изобража-
изображающие моменты, т. е. отрезки А1В11 Bfiv ..., масштабом сил, мы
должны плечо h измерять масштабом длин; можно сделать и обратное
условие, т. е. измерять плечо h масштабом сил, а отрезки A1Bif
В1С1, ...—масштабом длин.
Изложенный способ графического изображения моментов можно
применить для графического вычисления сумм, стоящих в числителях
формул F.12), для случая плоских фигур. Пусть будет дана плоская
фигура, площадь которой равна о, и какая-нибудь ось А, лежащая
в плоскости этой плоской фигуры. Рассмотрим выражение
где Да есть элемент площади рассматриваемой плоской фигуры и
Н — расстояние от центра тяжести этого элемента до оси А. Эта

§ 55]
ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ МОМЕНТОВ
185
величина называется статическим моментом площади данной пло-
плоской фигуры относительно данной оси. Очевидно, что если ось Д
совпадает с осью О у или Ол;, то мы получим:
lim 2 х Да, lim 2>' Аз»
т. е. придём к суммам, стоящим в формулах F.12). Разобьём пря-
прямыми, параллельными оси Д, рассматриваемую плоскую фигуру на
Черт. 119.
части, которые при небольших расстояниях прямых деления друг от
друга будут близки к трапециям, переходящим по двум краям плоской
фигуры в два треугольника (черт. 119). Согласно указаниям § 29 мы
можем найти положение центров тяжести отдельных частей, на кото-
которые разбита плоская фигура, и или с помощью предложений элемен-
элементарной геометрии, или непосредственно на чертеже планиметром опре-
определить площади Да1? Да2, До3,... этих частей. Далее представим
эти площади До1? Да2, Да3,... произведениями длин отрезков 7, 2,
3,..., приложенных в центрах тяжести этих частей и параллельных
оси Д, на длину произвольно взятого общего для всех площадей Да1?
До2, Даа, ... отрезка а. Таким образом, мы приведём вычисление суммы

186 ВЕРЕВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
Нх Да, -f Н>2 Дз2 -|~ Я3 До3, . • • к вычислению суммы
[гл-. xiii
т. е., в сущности, к вычислению общего момента Нг • 1-\-Н2 • 2 -f-
~j- Я3 • 3~\- ... отрезков /, 2, 5, ... относительно какой-нибудь
точки К1} лежащей на оси А. Эта задача была разрешена графически
в настоящем параграфе, причём мы видели, что, взяв произвольно
Черт. 120.
полюсное расстояние Л, построив верёвочный многоугольник и про-
продолжив его стороны до пересечения их с осью А, мы получим:
Н2- ko2^H2-a*2 = BC. ha,
Нъ • Ао3 = Я3 . а • 3 = CD . ha,
таким образом, мы найдём:
где AL есть отрезок оси А между сторонами а и со верёвочного
многоугольника, как это видно на черт. 119. Если число прямых
деления плоской фигуры будем увеличивать неограниченно, то вере-

§56] ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ 187
вочный многоугольник будет стремиться к некоторой кривой линии (С),
а направления его сторон а и со — к касательным в начальной и
конечной точках кривой (С), как это показано на черт. 120. Эти
касательные отсекут на оси А отрезок AXBV и для искомого предела
суммы мы получим:
Мы видели, что длины отрезков ' h и а можно взять произвольно,
но, конечно, от их величин зависит длина отрезка AtBt. Возьмём
длины h и а таким образом, чтобы было ha = o\ тогда будем иметь:
Л D
l l
§ 56. Графическое определение момента инерции плоской фи-
фигуры. Пусть будет дана плоская фигура, площадь которой равна а,
и какая-нибудь ось А, лежащая в плоскости этой плоской фигуры.
Введём следующее определение:
Моментом инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей
в её плоскости, называется предел суммы произведений из эле-
элементов площади этой плоской фигуры на квадраты расстояний
их центров тяжестей от рассматриваемой оси.
Следовательно, вводя для момента инерции относительно оси А
обозначение Уд, мы имеем:
/д = Нт2 Я2 До == J J^2 do,
где do есть элемент площади, а Н — расстояние его центра тяжести
от оси А. Если ось А совпадает с осью Оу и с осью Ох, то мы
соответственно получим:
= J /*2 da, Jx = lim 2 У1 До = J JV do.
Сложив две последние формулы, мы будем иметь:
jx + Jy = Iim2 {х2 +у2) Да = lim 2 г2 Да =
где г2 = л;2-}-^/2 есть квадрат расстояния центра тяжести элемента
do от наяала координат. Последнее выражение называется полярным
моментом инерции относительно начала координат) мы его обо-
обозначим через /0, так что будет:
h = lim2' До = J/ r2do.

188 ВЕРЁВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК [ГЛ. XIII
Моменты инерции плоских фигур встречаются в сопротивлении мате-
материалов. Рассмотрим сумму
её можно представить в виде:
Нг. Нх Д^ + Я, • Я2 До2 + Я3 • Я3До3 + .
но в конце § 55 мы видели, что
НхAoj = АВ • ha, Я2Да2 = ВС. ha, Я3До3 = CD*ha,
где отрезки АВ, ВС, CD, ... представлены на черт. 119. Таким
образом, мы будем иметь:
ВС-\-Нг . CD + • • •)**•
Из черт. 119 видно, что будет:
Нх 'АВ = 2 пл. /\АВА\
Н2.ВС=2 пл. /\ВСВ\
Я8 • CD = 2 пл. Д CDC, ...
Следовательно, мы получаем:
2я2До = 2/ш(пл. ДЛБЛ' + пл. ДБС5'+ пл. ДСОС^Ц-• • О»
или
2 Я2 До == 2ha • пл. АА'Ш,
где пл. AA'UL есть площадь фигуры, ограничиваемой лучом а, верё-
верёвочным многоугольником, лучом со и отрезком оси Д. При неограни-
неограниченном возрастании числа разбиений плоской фигуры на части мы
в пределе получим черт. 120 и будем иметь:
= /J Я2 Л =
где П есть площадь фигуры, ограничиваемой кривой (С), двумя ка-
касательными а и а) в конечных точках этой кривой и отрезком оси Д,
как это представлено на черт. 120. Конечно, всегда можно взять число
частей, на которые разбивается данная площадь, настолько большим,
чтобы пл. AA'UL как угодно близко подошла к площади П,

ГЛАВА XIV.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
СТАТИКИ.
§ 57. Центр тяжести. Займёмся теперь практическим примене-
применением вышеуказанных построений к некоторым задачам. Рассмотрим
прежде всего задачу графического определения центра тяжести пло-
плоских фигур.
Мы будем различать два случая, когда плоская фигура имеет ось
симметрии и когда этой оси симметрии нет. Предположим сначала,
Черт. 121.
что фигура имеет ось симметрии. Мы знаем, что центр тяжести дол-
должен лежать на этой оси. Допустим, что мы можем разбить фигуру
на отдельные части, центры тяжести которых и веса нам известны,
как это, например, имеет место для случая, представленного на черт. 121.
Если плоская фигура — однородная, то веса пропорциональны

190 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ МЕТОДОВ СТАТИКИ [ГЛ. XIV
площадям, и достаточно произвести измерение площадей отдельных час-
частей, например, планиметром, чтобы построить векторы, пропорциональ-
пропорциональные весам. Построим для полученной&истемы сил многоугольник сил и
верёвочный многоугольник. Крайние стороны а и а> верёвочного мно-
многоугольника пересекаются в точке. С. Проведя прямую С'С, парал-
параллельную силам, заключаем, что равнодействующая должна быть на-
-Черт. 122.
правлена вдоль этой прямой. Следовательно, точка С пересечения
равнодействующей с осью симметрии и есть центр тяжести.
Перейдём теперь к тем случаям, когда оси симметрии нет, как
это, например, имеет место для случая, представленного на черт. 122.
Разбив рассматриваемую фигуру на три прямоугольника, построим
многоугольник сил и верёвочный многоугольник для системы трёх
полученных сил /, 2, 5. Крайние стороны а и ш верёвочного много-
многоугольника пересекаются в точке Cv Проведя через эту точку пря-
прямую СХС, параллельную силам, заключаем, что равнодействующая
должна быть направлена вдоль этой прямой СХС и центр тяжести
должен лежать на этой прямой. Мы знаем (глава V), что центр па-
параллельных сил не изменится, если все силы повернуть на один и
тот же угол. Повернём силы /, 2, 3, например, на прямой угол и
построим для этого нового расположения сил верёвочный многоуголь-
многоугольник (а', 12'у 23', о'). Очевидно, что стороны нового верёвочного мно-
многоугольника будут соответственно перпендикулярны к сторонам пер-

feAJtKA НА ДВУХ ОПОРАХ
191
вого верёвочного многоугольника (а, 12, 23, со); поэтому построение
многоугольника (а', 12f, 23', а/) сводится к проведению через дан-
данные точки прямых, перпендикулярных к сторонам а, /2, 23, со. Про-
Проведя через точку пересечения С\ крайних сторон а' и а/ нового верё-
бочного многоугольника прямую CiC, перпендикулярную к прямой СХС,
мы заключаем, что центр тяжести должен лежать на этой прямой С\С;
следовательно, центр тяжести лежит в точке пересечения С обеих
прямых СХС и С[С.
§ 58. Балка на двух опорах. Предположим, что мы имеем балку,
покоящуюся на двух опорах, причём на балку действуют сосредото-
сосредоточенные силы 2, 3, 4, 5; мы пренебрежём пока весом балки (черт. 123).
Покажем прежде всего, как можно определить реакции / и 6 опор
гг
/¦
39 I
Черт. 123,
балки. Аналитическое определение этих реакций не представляет ни-
никаких затруднений. Так как балка находится в равновесии под дей-
действием всех шести сил, то сумма моментов этих сил относитель-
относительно любой точки должна быть равна нулю. Взяв сумму моментов
относительно каждой из точек опоры, мы получим два уравнения,
в каждое из которых войдёт по одной неизвестной реакции; из
этих уравнений легко определить искомые реакции. Но едва ли не
с большей лёгкостью эта задача решается графически. Так как все
шесть сил находятся в равновесии, то для них многоугольник сил и
верёвочный многоугольник оба должны быть замкнутыми. Строим

192 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ МЕТОДОВ СТАТИКИ [ГЛ. XIV
сначала многоугольник сил 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Силы 2, 3, 4, 5 рас-
расположатся по одной прямой в одном направлении; силы 6 и / рас-
расположатся вдоль той же прямой в противоположном направлении. Та-
Таким образом, многоугольник сил в этом случае приводится к отрезку,
по которому укладываются силы 2, 3, 4, 5 в одном направлении
и.силы 6 и 1— в противоположном. Построим лучи 12, 23, 34, 45,
56 и, пользуясь ими, — верёвочный многоугольник, который для удоб-
удобства чертежа мы расположили ниже под балкой. Так как верёвочный
многоугольник должен быть замкнутым, то направление луча 61 на
/,
г,
3,
>
-
JL~——
51
Черт. 124.
верёвочном многоугольнике тем самым определено. Проведя затем из
полюса О луч 61 в многоугольнике сил, мы определим силу 6, ко-
которая расположится между лучами 56 и 61, и силу /, располагаю-
располагающуюся между лучами 61 и 12. Таким образом, задача нахождения
реакций 7 и б решена.
Тем же построением легко решается задача об изгибающем мо-
моменте балки для любого её сечения. Изгибающим моментом балки
или односторонним моментом для какого-нибудь сечения назы-
называется общий момент относительно этого сечения сил, располо-
расположенных по одну сторону от этого сечения. Так как балка нахо-
находится в равновесии, то общий момент всех действующих на неё сил
относительно любого сечения равен нулю; поэтому общий момент
сил, расположенных по одну сторону сечения, равен по величине
и противоположен по знаку общему моменту сил, расположенных по
другую сторону сечения. Рассмотрим балку, на которую действуют
сосредоточенные силы 1, 2, 3 и силы реакции 4, 5. Определим момент
сил, расположенных, например, слева от сечения А (черт. 124). По-
Построим многоугольник сил, задавшись определённым полюсным^ рас-

581 палка на Jtnyx опорах 193
стоянием h, и верёвочный многоугольник. Пользуясь указанным выше
построением, определим реакции 4 и 5. Чтобы определить общий
момент сил 5, /, 2, 3 относительно сечения А, воспользуемся
графическим изображением моментов посредством отрезков. Проведём
через А прямую А, параллельную силам. Момент силы 5 отрицателен
и изображается отрезком, отсекаемым на А лучами 45 я 51. Момент
силы / положителен и изображается отрезком, отсекаемым на А лу-
лучами 51 и 12; следовательно, общий момент сил 5 я 1 изображается
отрезком, отсекаемым на А лучами 45 и 12. Продолжая те же рас-
рассуждения, нетрудно убедиться, что общий момент сил 5, 1,2,3
изобразится отрезком ab, отсекаемым на А лучами 45 и 34, т. е.
крайними лучами для рассматриваемой системы четырёх сил. Общий
момент сил, расположенных справа от сечения А, изобразится тем же
отрезком, но будет противоположен по знаку. Таким образом, изги-
изгибающий момент для какого-нибудь сечения изображается отрез-
отрезком, параллельным силам и расположенным внутри верёвочного
многоугольника под рассматриваемым сечением. Чтобы иметь самый
момент, следует не позабыть составить произведение ab на полюсное
расстояние h, причём один из этих отрезков должен быть измерен
масштабом сил, а другой — масштабом длин. Если взято А = 1, то
отрезки ab непосредственно дают самые моменты. Поэтому площадь,
заключённая внутри верёвочного многоугольника, называется иногда
площадью моментов. Мы видим, что изгибающий момент равен нулю
в точках опоры, резко изменяется под силами и может достигать
наибольшего значения только под силами. Поэтому опасное сечение,
в котором действует наибольший момент, можно искать только в ме-
местах приложения сил. Чтобы безошибочно определить знак момента,
достаточно проследить за его непрерывным изменением при переме-
перемещении вдоль балки от края до рассматриваемого сечения. В самом
деле, отойдём немного вправо от левого конца балки. Слева будет
расположена только сила 5, момент которой отрицателен и изобра-
изображается отрезком внутри верёвочного многоугольника. При дальнейшем
перемещении вправо этот отрезок нигде в нуль не обращается; сле-
следовательно, по закону непрерывности момент остаётся отрицательным,
и, таким образом, для сечения А общий момент сил, расположенных
слева от него, отрицателен. Отсюда следует на основании предыду-
предыдущего замечания, что общий момент сил, расположенных вправо от А,
положителен.
Рассмотрим ещё случай балки, представленный на черт. 125, когда
изгибающий момент при переходе от сечения к сечению меняет знак.
К концам балки приложены силы 1 и 3, к середине — сила 2; в точ-
точках опоры действуют реакции 4 и 5, которые определим указан-
указанным выше способом. В рассматриваемом случае стороны верёвоч-
верёвочного многоугольника 12, 45 и 23, 45 пересекаются, и для точек их
пересечения изгибающий момент равен нулю. Проследим за измене-
изменением изгибающего момента при перемещении сечения от левого конца
7 Зак. 1709. А. И. Некрасов

194 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ МЕТОДОВ СТАТИКИ [ГЛ. XIV
к правому. Если мы возьмём сечение достаточно близким к левому
концу балки, то слева от этого сечения будет расположена только
одна сила 7, момент которой относительно этого сечения положителен.
Под силой 5 положительный момент достигает своего наибольшего
значения, затем убывает и обращается в нуль для точки пересечения
сторон 72 и 45. Нетрудно понять, почему это может быть. Силы 1
и 5 имеют равнодействующую, параллельную силе 5, направленную
одинаково с силой 5 и лежащую справа от силы 5. Так как, по тео-
теореме Вариньона, общий момент сил / и 5 равен моменту их равно-
Черт. 125,
действующей, то очевидно, что общий момент будет равен нулю
в точке приложения равнодействующей. Отсюда следует, что, проведя
через точку пересечения сторон 12 и 45 прямую, параллельную силам,
до пересечения её с балкой, мы получим точку приложения равно-
равнодействующей сил 7 и 5. Перемещаясь ещё дальше вправо, мы будем
иметь уже отрицательные моменты. В самом деле, общий момент
сил 1 и 5 будет равен моменту их равнодействующей, который, оче-
очевидно, отрицателен. Этот момент будет возрастать по абсолютному
значению до сечения у силы 2, затем начнёт убывать по абсолютному
значению и обратится в нуль для сечения над точкой пересечения сто-
сторон 23 и 45. Проведя через точку пересечения сторон 23 и 45 прямую,
параллельную силам, до встречи её с балкой, мы, очевидно, получим
точку приложения равнодействующей сил 7, 5 и 2, При дальнейшем про-
продвижении вправо момент делается положительным, достигает наиболь-
наибольшего значения под силой 4 и обращается в нуль в правом конце балки.
Знаки, поставленные на черт. 125 в многоугольнике моментов, указывают
знак изгибающего момента. Мы видим, что и в этом более сложном
случае можно без труда определить знак одностороннего момента для

§ 58]
РАЛКА НА ДВУХ ОПОРАХ
195
любого сечения, следя за непрерывным изменением момента при пере-
перемещениях сечения от края балки.
До сих пор мы пренебрегали весом балки и рассматривали только
случай сосредоточенных сил, действующих на балку. Предположим
теперь, что балка весома и нагружена непрерывно вдоль всей своей
длины. Разобьём балку на отдельные участки и определим вес каждого
участка, слагающегося из веса взятой части балки и соответствующей
части груза. Предположим, например, что мы разбили балку на пять
участков с весами /, 2, 3, 4, 5 (черт. 126). Построив указанным
выше способом многоугольник сил и верёвочный многоугольник для
этих пяти сил /, 2, 5, 4, 5, мы определим как реакции 6 и 7,
«Г,
Черт. 126.
так и изгибающий момент для любого сечения балки. Очевидно, что
указанное построение будет давать тем более точное решение, чем на
большее число частей будет разбита балка. В пределе верёвочный
многоугольник обратится в дугу кривой с замыкающею её хордою,
причём направление лучей 7/, /2, 23 и т. д. даёт направление каса-
касательных к этой кривой.
Рассмотрим подробнее тот частный случай, когда балка однородна
и одинаково нагружена непрерывной нагрузкой вдоль всей своей длины.
Разбивая балку на весьма большое число весьма малых равных участ-
участков и определив их веса, мы, очевидно, будем иметь весьма большое
число равных сил, действующих на балку (черт. 127). Их сумма даёт
вес всей балки с её общей нагрузкой. Взяв полюс О и проведя лучи,
мы можем построить верёвочный многоугольник, в пределе обращаю-
обращающийся в дугу кривой. Замыкая её, найдём тот луч, который опреде-
определяет на многоугольнике сил реакции. Покажем, что в рассмо-
рассмотренном случае кривая есть парабола. Для этого обратимся к черт. 128.
Обозначим вес единицы длины балки с нагрузкою через q. Тогда вес
элемента длины dy будет равен qdy. Каждой касательной Т к кривой

196 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ МЕТОДОЙ СТАТИКИ [ГЛ. XIV
IjTiij i ш i fTfTfTTTTi mil
/ i 1 liliilll.
iX
11 i i
Черт. 127.

§ 58] БАЛКА НА ДВУХ ОПОРАХ 197
будет соответствовать параллельный ей луч ОА в многоугольнике сил,
и обратно. Направим ось Огу параллельно длине балки, а ось Охх—
через ту точку кривой, касательная в которой параллельна оси 0}у.
Рассмотрим какую-нибудь касательную Г, проведённую к кривой
в точке В и образующую с осью Охх угол ос. Если y=f(x) есть
уравнение искомой кривой, то, как известно, будет:
. dy , dx
tg а = ~~, ctg a =5 —.
ь dx9 s dfy
Обозначим полюсное расстояние СО в многоугольнике сил через ht
Так как ЛОЦГ, то ?jCAO = а, и мы имеем:
Переместимся теперь вдоль балки на элемент её длины dy. Мы полу-
получим новую касательную 7\ в точке В1 и новый луч ОАХ || Г^ обра-
образующий с осью О2лг угол ctj; следовательно, мы будем иметь:
Вычитая из первого равенства второе, получим:
AC— ^C^
или, переходя к дифференциалам,
Так как бесконечно малая часть d{AC) на многоугольнике сил даёт
вес бесконечно малого участка балки, то
и мы имеем:
j uj(d*\ i d fdx\ , dx*
qdy = hdl-r-}, или a = h -7- [-7- = h —r.
Отсюда находим:
d*x_q_
dy* ~~ h '
Следовательно, первая производная будет.равна:
^— q
где Cj — произвольное постоянное. Чтобы его определить, заметим,
что при у = 0 касательная к кривой должна быть согласно условию
параллельна оси Огу, т. е. должно быть: ос = -у, и

198 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ МЕТОДОВ СТАТИКИ [ГЛ. XIV
Поэтому, полагая в предыдущем равенстве у — 0, найдём, что Сх~0\
следовательно, мы будем иметь:
Отсюда получим:
Чтобы определить С2, обозначим абсциссу точки пересечения кривой
с осью Огх через а. Тогда при у = 0 должно быть:
и мы имеем:
2
или
>-%(*-*).
Таким образом, мы получили уравнение параболы с параметром р = —.
Если мы переместим ось Оху параллельно самой себе до соприкосно-
соприкосновения с параболой, то будет а = 0, и мы получим уравнение в виде:
2/г
5 ¦ лл
ч
Усложним только что рассмотренную задачу предположением, что на
Черт. 129.
балку действуют ещё сосредоточенные силы, например, две силы /
и 2 (черт. 129). Эти силы разобьют балку на три участка /, // и III.
Вес первого участка изобразится на многоугольнике сил прямолиней-
прямолинейным отрезком /; ему будет соответствовать бесконечное множество

§ 58] ВАЛКА НА ДВУХ ОПОРАХ 199
лучей. Верёвочный многоугольник для участка / обратится по только
что доказанному в дугу параболы, касательные* в крайних точках
которой будут параллельны крайним лучам, проведённым к отрезку У
в многоугольнике сил. Далее, в многоугольнике сил надлежит отло-
отложить силу У, а затем вес участка /У; отрезку II будет соответствовать
бесконечное множество лучей. Верёвочный многоугольник для участка II
обратится в дугу параболы, касательные в крайних точках которой
будут параллельны крайним лучам, проведённым к отрезку II на много-
многоугольнике сил. Наконец, отложим на многоугольнике сил силу 2 и
вес участка IIL Участку III также будет соответствовать дуга пара-
параболы, касательные в крайних точках которой параллельны крайним
лучам, проведённым к отрезку III на многоугольнике сил. Как и выше,
замыкающая хорда даст направление луча, определяющего реак-
реакции 3 и 4. Мы видим, что в рассмотренном случае многоугольник
моментов приводится к трём дугам парабол, образующим в точках
соединения угловые точки, и к замыкающей хорде. Касательные в ко-
конечных точках этих дуг парабол параллельны крайним лучам заштри-
заштрихованных областей на многоугольнике сил.
Вернёмся к черт. 124. Проведём в балке сечение через точку А
и отбросим правую часть балки. На левую часть действуют силы 5,
У, 2, 3. Выберем точку приведения на сечении А и перенесём туда
все силы <5, У, 2, 3. Если мы примем за положительное направление
силы <5, то получим результирующую R:
R = сила 5 — сила У — сила 2 — сила 3.
Эта результирующая R называется поперечной силой. Таким образом,
поперечная сала какого-нибудь сечения равна результирующей всех
сил, приложенных к балке слева от рассматриваемого сечения.
В многоугольнике сил сила R изобразится отрезком, располагающимся
между лучами 34 и 45] эти же обозначения имеют стороны верёвоч-
верёвочного многоугольника, пересекаемые прямой А. Отсюда получаем сле-
следующее правило:
Чтобы найти поперечную силу для какого-нибудь сечения^ сле-
следует взять на прямой сил отрезок между лучами, параллельными
тем сторонам многоугольника моментов^ которые пересекаются
прямою^ проведённою через данное сечение балки параллельно дей-
действующим на балку силам.
Помимо результирующей /?, мы получим ещё систему дополнитель-
дополнительных пар. Как мы знаем, все эти пары можно сложить, причём момент
результирующей пары будет равен общему моменту сил 5, У, 2 и 3
относительно сечения А, т. е. изгибающему моменту М = ab • h. Мы
видим, что одна левая часть балки без правой находится под действием
силы У?, приложенной в сечении Л, и пары, момент которой равен
изгибающему моменту М. Чтобы одна левая часть без правой осталась
в равновесии, необходимо в сечении А приложить к ней силу, равную

200 некоторые приложения графических методов статики [гл. xiv
по величине и противоположную по направлению поперечной силе, и
пару, момент которой равен по величине и противоположен по знаку
изгибающему моменту М. Так как при наличии правой части левая
часть остаётся в равновесии, то очевидно, что всё механическое воз-
воздействие правой части на левую и сводится к этим силе и паре. Отсюда
понятно, насколько важно знать поперечную силу и изгибающий момент
для всякого сечения балки; они характеризуют внутренние силы, дей-
действующие в балке.
За всеми дальнейшими подробностями, в частности за решением
вопросов о нахождении максимальных моментов, влиянии перемещения
груза и т. д., отсылаем читателя к специальным курсам графостатики
и строительной механики.

ГЛАВА XV.
ФЕРМЫ.
§ 59. Общие положения. Всякая покоящаяся на опорах конструк-
конструкция под действием приложенных к ней сил деформируется; развиваю-
развивающиеся при этом упругие силы уравновешивают систему внешних сил.
Деформации некоторых частей конструкции могут приводиться только
к сжатиям и растяжениям, тогда как другие части могут, например,
ещё изгибаться. Уравновешивание внешних сил при помощи изгиба не
является, вообще, выгодным, так как материал вследствие существования
нейтрального слоя не используется полностью, и его приходится брать
достаточно массивным; сверх того, расчёт внутренних сил не может
быть при этом произведён элементарным статическим путём, а требует
знания размеров частей и свойств материала, т. е. должен опираться
на учение о сопротивлении материалов. Поэтому очень часто стремятся,
по возможности, уничтожить изгиб, заменив его сжатием или растя-
растяжением. Например, при установке больших мачт для радиосвязи их
подтягивают ещё канатами, чтобы уравновесить давление ветра глав-
главным образом натяжением канатов, а не упругими силами изгиба самой
мачты. Балкон подпирают раскосами, упирающимися в стену здания,
чтобы уравновесить нагрузку балкона главным образом сжатием рас-
раскосов, а не упругими силами изгиба заделанных в стену балок, на
которых балкон покоится. Конструкции, состоящие из сочленённых между
собою стержней, работающих только на растяжение и сжатие, назы-
называются фермами. Вследствие указанных выше преимуществ уравно-
уравновешивания приложенных сил помощью только растяжений и сжатий
фермы являются одними из наиболее распространённых конструкций.
Чтобы отдельные стержни фермы работали только на растяжение
и сжатие, должны быть соблюдены следующие условия:
1. Стержни должны быть прямолинейными и соединены между
собою своими концами (узлы фермы).
2. Соединения должны быть шарнирными без трения.
3. Силы должны быть приложены только к узлам фермы.
В самом деле, предположим, что в узлах фермы приложены силы.
Под их действием ферма начнёт деформироваться; эта деформация пре-
прекратится тогда, когда упругие силы деформации возрастут настолько,

202 фермы [гл. xv
чтобы уравновесить внешние силы. Очевидно, что если в узлах тре-
трения нет, то при деформации всякий стержень займёт такое положение,
чтобы равнодействующие всех сил, приложенных к его концам, были
направлены вдоль его длины, т. е. приводились только или к силам
сжатия, или к силам растяжения. Заметим, что эти деформации фермы
бывают, вообще, всегда незначительными. Практически шарнирное со-
соединение стержней неудобно в конструктивном отношении и не дости-
достигает цели, так как вследствие появления ржавчины стержни в шарнирах
начинает заедать. Поэтому в настоящее время стержни скрепляют друг
с другом наглухо при помощи заклёпок. Вследствие этого в фермах
могут появляться напряжения, направленные не вдоль длины стержней.
Разложив такое напряжение по оси и перпендикулярно к оси стержня %
мы найдём, что составляющая, перпендикулярная к оси стержня и стре-
Черт. 130.
мящаяся изогнуть стержень, будет, вообще, невелика. Вследствие этого
изгибающими усилиями обыкновенно пренебрегают и ведут расчёт ферм
так, как если бы стержни фермы были соединены друг с другом иде-
идеальными шарнирами без трения.
Фермы могут быть как плоскими, так и пространственными. Мы
будем здесь заниматься только плцскими фермами, в плоскости кото-
которых действуют данные силы. Очевидно, что ферма должна предста-
представлять неизменяемую или, как говорят, жёсткую систему. Рассмотрим,
например, фермы, представленные на черт. 130. Система / не является
жёсткой. Чтобы сделать её жёсткой, достаточно соединить противо-
противоположные узлы стержнем по диагонали, как показано на черт, 130 (II),
Соединение вторым стержнем ещё двух других узлов [черт. 130 (III)]
является с точки зрения неизменяемости фермы уже излишним. Нетрудно
установить связь между числом стержней Т и числом узлов N жёсткой
фе^мы без лишних стержней. В самом деле, для определения трёх
первых узлов необходимы три стержня; каждый следующий из N—3
узлов определится как место пересечения двух стержней. Следовательно,
7 = 3 + (N — 3) 2 = 2А/ — 3.
Если Г<2А/Г—3, то ферма будет изменяемой и непригодна для
построек. Если Т > 2N— 3, то ферма имеет лишние стержни. Такие
фермы употребляются на практике, но расчёт напряжений в стержнях

§ 601 способ риттера 203
таких ферм приводит к статически неопределимой задаче и может
быть выполнен лишь с помощью учения о сопротивлении материалов.
Чтобы плоская система сил была в равновесии, должны удовле-
удовлетворяться три уравнения равновесия (§ 40); поэтому опоры фермы
должны быть таковы, чтобы их реакции приводили не более чем к трём
неизвестным. Далее, каждый узел фермы должен также быть в равно-
равновесии. Так как на узел действуют сходящиеся силы, то число урав-
уравнений равновесия узла будет равно двум; следовательно, для всех узлов
число уравнений равно 2Л/. Комбинациями этих уравнений будут три
уравнения равновесия всей фермы как целого, которые мы должны
использовать для определения реакций опор. Поэтому независимых
уравнений для определения внутренних сил напряжений в стержнях
остаётся 2N—3. Таким образом, чтобы ферма была статически опре-
определимою, число стержней Т должно равняться 2N—3:
Т=2М— 3,
т. е. жёсткая ферма без лишних стержней является вместе с тем
и статически определимою.
Совокупность стержней, ограничивающих ферму сверху и снизу,
называется верхним и нижним поясами) часть пояса межцу смежными
узлами называется панелью] наконец, стержни между поясами, образую-
образующие решётку фермы, называются промежуточными стержнями, стой-
стойками, раскосами, диагоналями и т. п.
Произвести расчёт фермы — это значит определить как опорные
реакции, так и усилия во всех стержнях фермы, находящейся под
действием данных сил. Из предложенных методов мы остановимся только
на трёх следующих.
§ 60. Способ Риттера. Способ Риттера применим к таким фермам,
разрезая которые поперечным разрезом на две части, мы встречаем не
более трёх стержней, напряжения которых неизвестны. Рассмотрим,
например, ферму, представленную на черт. 131, в узлах которой при-
приложены силы / и 2. Построив многоугольник сил с полюсным рас-
расстоянием h и верёвочный многоугольник, определим прежде всего, как
было указано выше (§ 58), реакции 3 и 4. Проведём поперечный
разрез, пересекающий стержни a, b к с. Напряжения в этих стержнях
обозначим теми же буквами а> b и с. Силы а, Ь} с суть те силы,
с которыми правая часть фермы действовала на левую. Очевидно, что
левая часть фермы должна находиться в равновесии под действием
пяти сил: 4, /, а, Ь, с. Так как направления сил а, Ь, с известны —
они совпадают с направлениями соответствующих стержней,—то из
трёх уравнений равновесия плоской системы пяти сил D, /, а, Ь, с)
мы сможем определить величины трёх неизвестных сил ау Ь, с одним
из указанных в § 40 способов. Конечно, выгоднее всего составлять
уравнения таким образом, чтобы в каждое из них вошло только по

204
ФЕРМЫ
(гл. xv
одной из неизвестных сил а, Ь, с; этого можно достигнуть, руковод-
руководствуясь указаниями примечания в конце § 40. Предположим, например,
что мы хотим определить силу с\ для этого приравняем нулю общий
момент всех пяти сил 4, 7, я, Ь, с относительно точки / пересечения
стержней а и Ь. Очевидно, что моменты сил а и b будут при этом
тождественно равны нулю, и мы получим одно уравнение с одной не-
неизвестной силой с. Если бы мы захотели найти силу а, то следовало бы
приравнять нулю общий момент сил 4, /, а, Ь, с относительно точки Я
пересечения стержней b и с\ отсюда мы получили бы одно уравнение
'23
Черт. 131.
для определения одного неизвестного #. Если бы стержни а и с не
были параллельны между собой, то, приравняв нулю момент тех же
пяти сил относительно точки пересечения продолжений а и с, мы по-
получили бы одно уравнение для определения одного неизвестного Ь.
В случае параллельности стержней а и с, как это имеет место на
черт. 131, этот способ определения силы b неприменим, так как точка
пересечения стержней а и с — бесконечно удалённая. Однако опреде-
определение силы b не представляет никаких затруднений; мы получим её,
например, приравнивая нулю сумму проекций всех сил 4, 1, а, Ь, с
на направление, перпендикулярное к стержням а и с. Применение изве-
известных нам результатов графической статики позволяет ещё более упро-
упростить задачу. Момент сил 4 и 1 относительно точки / есть односто-
односторонний момент; мы знаем, что он равен произведению отрезка тп,
лежащего внутри многоугольника моментов, на полюсное расстояние h
и для рассматриваемого случая "отрицателен (§ 58). Если мы обозна-
обозначим высоту фермы через //, то момент силы с должен быть положи-
положительным и будет равен ~\-Нс. Поэтому искомое уравнение равновесия

§ 611
СПОСОБ КУЛЬМАНА
205
принимает вид
~\~ Не — тп • h
= 0, или
: тп
И '
сила с должна быть направлена от разреза с по направлению
к силе 2, т. е. напряжение с есть растягивающее. Таким приёмом мы
последовательно сможем определить напряжение во всех стержнях
фермы.
§ 61. Способ Кульмана. Этот способ попрежнему применим
к таким фермам, в которых сечение встречает не более трёх стерж-
стержней с неизвестными напряжениями. Пусть будет дана ферма, в узлах
которой приложены силы 1 и 2 (черт. 132). Построив многоугольник
М
Черт. 132.
сил и верёвочный многоугольник, мы обычным путём определим реак-
реакции 3 и 4 опор. Проведём сечение, которое пересечёт стержни
фермы a, b и с. Найдем равнодействующую R сил 4 и /. Мы опре-
определим её величину из многоугольника сил и получим точку, через
которую она проходит, продолжив до их пересечения стороны 34
и 12 верёвочного многоугольника (чтобы* не усложнять чертежа, эти
построения на черт. 132 не приведены).
Перенесём силу R в точку К пересечения её прямой действия
с продолжением стержня с и соединим точку К с точкой пересечения
обоих остальных стержней а и Ь. Четыре силы a, b, cy R должны
быть в равновесии; но силы а и b имеют равнодействующую, про-
проходящую через точку пересечения стержней а и Ь. Поэтому сила R
должна быть в равновесии с этой равнодействующей и силой с, т. е.
эти три силы должны быть сходящимися, и равнодействующая сил а
и b должна пройти также и через точку К. Таким образом, мы
нашли направление равнодействующей сил а и Ь. Отсюда уже нетрудно
найти и эту равнодействующую и силу с из условия, что эти две

206 фермы [гл. xv
силы с силою R находятся в равновесии; для этого следует только
построить при R треугольник по данным направлениям искомых сил.
Это будет треугольник LNK. Так как LN есть равнодействующая
сил а и Ь, то мы их найдём, разложив LN по двум направлениям,
параллельным а и Ь. Для этого на LN следует построить треуголь-
треугольник LMN, стороны которого LM и MN были бы соответственно
параллельны стержням а и Ь. Таким образом, мы получили все три
искомые силы:
Направление сил а, &, с устанавливается обходом четырёхугольника
KLMNK в направлении, указываемом силой /?. Мы видим, что стер-
стержни а и Ь сжаты, а стержень с растянут.
Нетрудно заметить, что этот метод в сущности равносилен решению
следующей задачи: разложить данную силу R на три силы> имею*
щие данные прямые действия а, Ь, с. В самом деле, чтобы левая
часть фермы была в равновесии, искомые три слагающие силы R
должны быть уравновешены тремя найденными воздействиями (LM,
MN, NK) правой части фермы на левую, приложенными в точках
разреза стержней а, Ь, с. Поэтому три составляющие силы R по на-
направлениям стержней а, Ь, с должны быть равны и противоположны
силам LM, MNy NK, т. е, представятся теми же векторами, но
с обратными направлениями, а именно, векторами ML> ЛШ, /СМ Из
приведённого построения следует, что эта задача имеет одно и только
одно решение.
Исключение представляет случай, когда три прямые а, Ь> с про-
проходят через одну точку; тогда задача будет, очевидно, неопределённой.
Так как задача разложения силы на четыре и большее число сил,
имеющих данные прямые действия, есть задача неопределённая, то
метод Кульмана неприменим к таким фермам, в которых поперечный
разрез встречает более трёх стержней с неизвестными усилиями.
Мы видим, что оба метода не позволяют сразу, в одной картине,
представить усилия во всех стержнях; разыскание этих усилий должно
производиться последовательно отдельными построениями и вычисле-
вычислениями.
Примечание. Кажется, что метод Кульмана неприменим, если
сила 4 равна силе /, так как в этом случае /? = 0. Но тогда силы 4
и / образуют пару; поэтому сила с и равнодействующая сил а и b
также должны образовать пару с равным и противоположным момен-
моментом. Если расстояние узла пересечения стержней а и b от с равно Я,
- то должно быть:
с . Я=мом. пары DУ /);
отсюда найдём силу с, а затем и силы а и Ь. Если при этом стер-
стержни а и с параллельны, то очевидно, что ? = 0 и а = с.

§ 62]
СПОСОБ КРЕМОНА-МАКСВЕЛЛА
207
§ 62. Способ Кремона-Максвелла. В отличие от двух предыдущих
этот способ позволяет в одной компактной картине представить
напряжения всех стержней фермы. Теория его, основанная на учении
о взаимных фигурах, дана английским физиком Максвеллом A831 —
1879) и независимо от него другим путём итальянским математиком
Кремона.
Будем попрежнему называть все прямые плоской фигуры её сто-
сторонами. Дадим определе-
определение взаимных фигур.
Две фигуры называ-
называются взаимными, ес-
если: \) число сторон у
обеих фигур одно и то
же\ 2) стороны обеих
фигур соответственно
параллельны (или пер-
перпендикулярны, что при-
приводится к тому же))
3) сходящимся в одной
точке сторонам одной
фигуры соответствуют
в другой фигуре парал-
параллельные стороны, обра-
образующие замкнутый мно-
многоугольник, и обратно.
Мы видели пример
таких взаимных фигур Черт. 133.
на многоугольниках сил
и верёвочных многоугольниках, построенных для двух различных
полюсов (черт. 114). Дадим ещё другой пример. Рассмотрим шести-
шестиугольник, образуемый сторонами 1, 2, 3, 4, 5, 6 (черт. 133). Найдём
центры описанных окружностей для треугольников (/, 2, 3), (/, 5, 4),
E, 2, 6), F, 3, 4). Соединив эти четыре центра прямыми, получим
новый шестиугольник со сторонами V, 2г, Зг, 4Г, 5', 6;. Докажем,
что полученный шестиугольник будет взаимный с данным. Первое
условие, очевидно, удовлетворяется. Покажем теперь, что стороны /
и V, 2 и 2Г, 3 и 3' и т. д. взаимно перпендикулярны. В самом деле,
прямая V соединяет центры окружностей, описанных вокруг тре-
треугольников (/, 2, 3) и (/, 5, 4), у которых сторона / служит общей
хордой, а известно, что прямая, соединяющая центры двух пересе-
пересекающихся окружностей, перпендикулярна к их общей хорде и делит
её пополам. То же доказательство для остальных пар сторон. Таким
образом, второе условие также удовлетворяется. Перейдём, наконец,
к третьему условию. Стороны /, 2, 3 образуют треугольник; сто-
стороны 1', 2', Зг сходятся в одной точке. Стороны 1, 5, 2 сходятся
в одной точке; стороны V', 5\ 2' образуют треугольник и т. д.

208
ФЕРМЫ
Ггл. xv
Следовательно, третье условие также удовлетворено, и фигуры — вза-
взаимные. Обратим внимание на jo, что оба шестиугольника могут быть
рассматриваемы как проекции на плоскость чертежа двух тетраэдров,
причём граням одного тетраэдра соответствуют вершины другого, и
обратно, если соответствующими рёбрами мы будем считать те, проек-
проекции которых друг к другу перпендикулярны.
В дальнейших построениях мы будем называть сторонами фигур
как прямые, представляющие стержни фермы, так и прямые действия
данных сил и реакций опор. Мы будем обозначать эти стороны
цифрами; те же цифры
будут служить для изо-
изображения сил, действую-
действующих вдоль этих прямых.
Рассмотрим случай
треугольной фермы, в вер-
вершинах которой прило-
приложены силы 4, 5,6 (черт.
134). Стержни фермы обо-
обозначим цифрами 7, 2, 3.
Прежде всего данные
силы 4, 5, 6 должны
быть в равновесии; для
этого они должны быть
сходящимися, и много-
многоугольник сил для них
должен быть замкнутым,
т. е. быть треугольни-
треугольником. Этот треугольник
построен на черт. 134 (/).
Продолжая прямые дей-
действия сил 4, 5, 6 до точки их схода, мы можем рассматривать полу-
получившуюся фигуру как проекцию на плоскость чертежа тетраэдра
с боковыми рёбрами 4, 5, 6 и с основанием, образованным сторо-
сторонами /, 2, 3. Если вся ферма находится в равновесии, то каждый её
узел должен также быть в равновесии. Рассмотрим, например, узел,
в котором сходятся стороны 4у /, 3. Он должен быть в равновесии
под действием данной силы 4 и усилий в стержнях 1 и 3. Эти три
силы должны образовать треугольник, представленный на черт. 134 (//),
причём построение этого треугольника элементарно, так как даны одна
его сторона 4 и направления двух других сторон 3 и /; отсюда
определяем величину сил / и 3, направление же их вдоль их прямых
действия устанавливается данным направлением силы 4 в этом тре-
треугольнике. Перенося силы / и 3 к узлу, мы заключаем, что для
образования этих сил стержни / и 3 оба должны быть растянутыми.
Узел, в котором сходятся стороны /, 5, 2, также должен быть в равно-
равновесии; следовательно, силы 1> 5} 2 должны составлять треугольник,

§ 62] СПОСОБ КРЕМОНА-МАКСВЕЛЛА 209
изображённый на черт. 134 (///). Направление сил / и 2 определяется
данным направлением силы 5. Перенося силы / и 2 к узлу, заклю-
заключаем, что стержни 1 и 2 оба должны быть растянутыми. Следует
обратить внимание, что сила 1 встретилась нам дважды: в треуголь-
треугольнике Пив треугольнике ///; она имеет в этих треугольниках про-
противоположные направления. Это очевидно, так как растянутый стер-
стержень / стремится стянуть два своих концевых узла с равными по
величине, но противоположно направленными силами. Переходя к узлу,
образуемому сторонами 6, 3, 2, мы построим треугольник IV', из которого
сможем определить силы 2 и 3. Это построение является даже излишним,
так как силы 2 и 3 уже были нами найдены из треугольников III и //.
Конечно, силы 2 и 3 в треугольнике IV будут иметь направления,
противоположные направлениям сил 2 и 3 в треугольниках /// и //.
Причина этого была нами только что выяснена. Заметим, что при
построениях треугольников //, /// и IV данные силы 4, 5, 6 встре-
встречались по одному разу, а усилия в стержнях I, 2, 3 — по два раза.
Этот приём можно распространить и на более сложные фермы: сна-
сначала ищем равновесие данных сил и реакций опор, строя для них
многоугольник, а затем переходим к равновесиям отдельных узлов
фермы. Однако если ферма сложна, то число таких отдельных построе-
построений будет весьма значительным, причём стороны, представляющие
усилия в стержнях, придётся прочерчивать по два раза. Нетрудно
подметить, что построение может быть упрощено. Очевидно, что
треугольники //, III к IV можно вложить в треугольник /, как это
показано на черт. 134 (V). Фигура V в компактном построении даёт
сразу общую картину всех усилий и заменяет собою фигуры /, //,
/// и IV. Фигура V и фигура, представляющая ферму с приложенными
к ней силами, являются взаимными. В самом деле, число сторон
у обеих фигур одинаково; стороны попарно параллельны; наконец,
стороны одной фигуры, параллельные сходящимся сторонам другой
фигуры, образуют на первой фигуре треугольник, и обратно, как,
например, стороны 1,2,3. Таким образом, метод Максвелла-Кремона
сводится к построению фигуры, взаимной с данною, представляющей
ферму с приложенными к ней силами. Эти обе взаимные фигуры
называются взаимными диаграммами] отсюда самый метод назы-
называется ещё методом взаимных диаграмм. Построение взаимной диа-
диаграммы требует соблюдения некоторых правил, без чего построение
может не удаться без ряда ошибочных проб. Мы выясним эти правила
лишь для простейших случаев, когда силы, приложенные к ферме, и
реакции опор — сходящиеся или параллельные.
Рассмотрим ферму, представленную на черт. 135. На неё действует
сила 7, и в опорах развиваются реакции 7 и Р. Эти три силы /,
7, Р, как находящиеся в равновесии, должны быть сходящимися.
Продолжим их до их точки схода и перенумеруем все стороны полу-
получившейся фигуры. Мы можем рассматривать её как проекцию на
плоскость чертежа пятигранной пирамиды, у которой основанием

210
ФЕРМЫ
[ГЛ. XV
служит пятиугольник, образованный сторонами /, 2, 5, 8, 9, а боко-
боковыми рёбрами — стороны 3, 4, 6, 10, 7. Обозначим основание этой
пирамиды через F, а боковые грани через А, В, С, Z), Е. Задача
состоит в том, чтобы построить фигуру, взаимную с данной. Эта
взаимная фигура может быть рассматриваема также как проекция на
плоскость чертежа некоторого многогранника, вершинь* которого
будут соответствовать граням данного, и обратно. Другими словами,
например, грань А образуют стороны /, 3, 7; на взаимной фигуре
в вершине А должны сойтись параллельные им стороны 7, 5, 7.
Грань F образуют стороны 7, 2, 5, 8, 9\ на взаимной фигуре парал-
параллельные им стороны 7, 2, 5, 8, 9 должны сойтись в вершине F.
Таким образом, для построения диаграммы прежде всего следует
Черт. 135.
представить, проекцией какого многогранника на плоскость чер-
чертежа является данная фигура, и разметить его грани буквами.
Теми же буквами следует размечать вершины взаимной фигуры,
в которых сходятся стороны с теми же цифрами.
Далее следует построить многоугольник данных сил и реак-
реакций и разметить его вершины буквами, как только что указано,
обходя всю фигуру в определённом направлении, например, по стрелке
часов. Если мы будем обходить фигуру, представленную на левом
черт. 135, по стрелке часов, то после реакции 7 мы встретим
реакцию 9, а затем данную силу 7. Построим из этих сил тре-
треугольник. Чтобы обозначить буквами его вершины, заметим, что
стороны 7 и 9 ограничивают грань Е\ поэтому на взаимной фигуре
точка пересечения сторон 7 и 9 должна быть обозначена через Е.
На данной фигуре стороны 7 и 7 ограничивают грань Л; поэтому на
взаимной фигуре точка пересечения сторон 7 и 7 должна быть обо-
обозначена через А. Наконец, 9 и 7 ограничивают грань F) поэтому на
взаимной фигуре последняя вершина треугольника должна быть обо-
обозначена через F.

§ 62] СПОСОБ КРЕМОНА-МАКСВЕЛЛА 211
Затем переходам к тому узлу фермы, где сходится не более
двух стержней с неизвестными усилиями. Возьмём, например, узел,
образуемый сторонами 1,2,3. На взаимной фигуре эти три стороны
должны образовать треугольник. Одна сторона этого треугольника,
именно сторона /, известна; известны направления двух других сто-
сторон; следовательно, построить треугольник возможно. Чтобы знать,
какую сторону проводить через точку А, а какую через точку F,
заметим, что сторона 3 ограничивает грань А и сторона 2—-грани F
и В одновременно. Следовательно, через точку А пройдёт сторона 3
и через точку F пройдёт сторона 2, другой конец которой должен
быть обозначен буквою В. В самом деле, грань В ограничивают
стороны 2 и 5; следовательно, во взаимной фигуре точка пересечения
сторон 2 и 3 должна быть обозначена через В. Таким образом, мы
построили треугольник AFB во взаимной фигуре и получили новую
вершину В. Начнём исходить из неё. Грань В ограничивают стороны 2,
3 и 4) следовательно, во взаимной фигуре через точку В должна
пройти ещё сторона 4. Поэтому проведём через В прямую, парал-
параллельную стержню 4 фермы. Но сторона 4 ограничивает не только
грань В, но и грань С; поэтому во взаимной фигуре сторона 4 должна
проходить также и через вершину С, т. е. другой конец стороны 4
должен быть обозначен буквой С Чтобы определить эту точку С,
заметим, что грань С ограничена также и стороной 5, которая в то
же время является стороной многоугольника F. Поэтому во взаимной
фигуре сторона 5 должна проходить через F и С. Точку F мы уже
имеем; следовательно, проведя во взаимной диаграмме через точку F
прямую, параллельную стержню 5 фермы, до пересечения со сторо-
стороной 4, мы и получим точку С. Далее, совершенно таким же приёмом
через сторону 6 мы введём новую точку D, а затем придём к точке Е,
т. е. закончим всё построение, выполнив его в определённом круго-
круговом порядке. Таким образом, исходя из первой взятой вершины
в многоугольнике сил (в данном примере из вершины А), мы, обходя
ферму в определённом круговом порядке, строили дальнейшие
многоугольники сил.
Полученная взаимная диаграмма также представляет проекцию на
плоскость чертежа пирамиды с вершиной F и основанием ABCDE.
Величины усилий во всех стержнях фермы даны длинами сторон
этой диаграммы в том масштабе, который был взят для изображения
данной силы 7. Остаётся определить направления усилий. Для этого
начинаем с того узла фермы, к которому приложена известная сила,
например, сила /. Из треугольника AFB заключаем, что сила 2 имеет
направление от F к В, а сила 3 от В к А, т. е. стержень 2 толкает
узел, и потому он сжат, а стержень 3 тянет узел, и потому он
растянут. Чтобы определить направления сил 4 и 5, обратимся к узлу,
где сходятся стержни 2, 4, 5. Так как на этом своём конце стер-
стержень 2 давит на рассматриваемый узел с силою, равной, но противо-
противоположной его давлению на первый узел, то, изменяя в /\BCF

[ГЛ. XV
направление силы 2 на обратное, т. е. на направление от В к F у
определим направление силы 5 от F к С и силы 4 от С к В; сле-
следовательно, стержень 5 будет сжат, а стержень 4 растянут. Изменяя
направление силы 5 для треугольника CFD на обратное, т. е. на
направление от С к Ft мы получим направление силы 8 от F к D
и силы 6 от D к С, г, е. стержень 8 будет сжат, а стержень 6
растянут. Наконец, изменяя направление силы 8 для треугольника DFE
на обратное, т. е. на направление от D к F} получим направление
силы 9 от F к Е и силы 10 от Е к Л Следовательно, стержень /<?
будет растянут; что же касается направления силы 9, то оно нам уже
D 10 ?
В 3 й
Черт. 136.
известно, и полученный результат может служить поверкой выпол-
выполненных рассуждений; мы видим, что полученное направление для
силы 9 от F к Е не противоречит установленному ранее.
Случай, когда данные силы и реакции опор параллельны между
собой, не является принципиально отличным от предыдущего.
Следует только вообразить, что точка схода сил удалилась в беско-
бесконечность. Очевидно, что некоторые грани обратятся при этом в бес-
бесконечные полосы. Чтобы представить себе это,, деформируем преды-
предыдущую ферму в ферму, изображённую на черт. 136. Тогда грани А
и Е обратятся в бесконечные полосы; точно так же основание F сде-
сделается бесконечной полосою, ограниченною параллельными прямыми
/, 9 и отрезками 2, 5, <S. Построение ведётся совершенно так же,
как прежде, только треугольник сил превратится в прямолинейный
отрезок АЕ, и точка F попадёт на него между точками А и Е.
Полученную взаимную фигуру можно также рассматривать как

§ 62] СПОСОБ КРЁМОНА-МАКСВЁЛЛА 213
проекцию на плоскость чертежа пятиугольной пирамиды, у кото-
которой вершина находится в точке F, а основанием служит пятиуголь-
пятиугольник ABCDEA, причём боковая грань, представляющая /\FAE, перпен-
перпендикулярна к плоскости чертежа, так что она проектируется на неё
вдоль основания АЕ этого треугольника FAE.
Примечание. При этих построениях мы пользовались подме-
подмеченным нами свойством, что взаимные фигуры могут быть предста-
представлены как проекции на плоскость чертежа двух многогранников,
находящихся в таком отношении друг к другу, что граням одного
соответствуют вершины другого, и обратно; стороны проекций при
этом оказывались попарно параллельными. Как показал Максвелл,
это свойство является общим и может быть строго доказано. За
большими подробностями отсылаем к уже указанной книге проф.
В. Л. Кирпичёва «Основания графической статики»»
Предыдущими рассуждениями мы и ограничим изложение метода
взаимных диаграмм. Применение его к случаям, когда силы не будут
сходящимися или параллельными, и все дальнейшие подробности
можно найти в специальных курсах графостатики и строительной
механики.

кинематика
ГЛАВА XVI.
СКОРОСТЬ ТОЧКИ.
§ 63. Система отсчёта. Слово кинематика происходит от гре-
греческого слова «кинема», что значит движение. Всякое движение мы
воспринимаем лишь как относительное, отмечая положение рассматри-
рассматриваемого объекта относительно какого-либо другого абсолютно твёр-
твёрдого объекта,' который в этом случае называется системою отсчёта.
Движение изучается в кинематике без учёта сил и масс, за систему
же отсчёта можно брать любой абсолютно твёрдый объект, движе-
движение относительно которого мы хотим знать. Следовательно, два
наблюдателя, пользующиеся двумя разными системами отсчёта, будут
описывать любое движение одного и того же материального объекта,
вообще, по-разному, и с точки зрения только кинематики оба наблю-
наблюдателя будут одинаково правы. Таким образом, оставаясь в области
только кинематики, нельзя установить безусловную единую систему
отсчёта. Однако разыскание безусловной единой системы отсчёта
было предметом настойчивых научных исследований, но, конечно,
в силу указанного выходящих из области кинематики.
Инерциальная система осей координат, выбранная среди других
инерциальных систем, условно называется в классической механике
неподвижною) перемещение относительно этой системы осей коор-
координат называется абсолютным движением, а перемещение отно-
относительно всякой другой системы осей координат, не связанных
с выбранной инерциальной системой, называется относительным
движением. В настоящем «Курсе теоретической механики» мы будем
заниматься главным образом абсолютным движением. Возможность
получить таким образом пригодные для обычной земной практики
результаты объясняется тем, что, как мы увидим ниже, в большин-
большинстве случаев за неподвижную систему осей координат без сколько-
нибудь заметной погрешности можно принять систему осей координат,
неизменно связанных с поверхностью Земли; лишь в редких случаях
приходится учитывать вращение Земли вокруг оси, движение же Земли
вокруг Солнца для технических приложений теоретической механики
неощутимо.

§ 64] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ТРАЕКТОРИЯ ТОЧКИ 215
При изучении движения точки можно рассматривать как движе-
движение одной материальной точки, так и движение геометрической точки,
взятой в каком-нибудь абсолютно твёрдом теле. Так как описания
элементов движения той и другой точки во многих случаях будут
одинаковыми, то при изложении кинематики мы будем, вообще, упо-
употреблять слово «точка» без прибавления слов «материальная» или
«геометрическая», если только понятие «точка» по смыслу изложения
не будет требовать уточнения.
§ 64. Уравнения движения и траектория точки. Рассмотрим
какую-нибудь неподвижную точку О пространства и возьмём систему
неподвижных осей координат Oxyz с началом в этой точке О. Пусть
будет А — движущаяся точка, которая в своём движении описывает
некоторую линию (С); эта линия (С) называется траекторией точки.
В зависимости от вида линии (С) движение точки бывает прямоли-
прямолинейным или криволинейным. Соединим неподвижную точку О с дви-
движущейся точкой А радиусом-вектором г = ОА\ очевидно, что при
движении точки А радиус-вектор г будет, вообще, менять как свой
модуль, так и своё направление. Изменение направления радиуса-век-
радиуса-вектора г = О А будет известно, если мы будем знать изменения углов
радиуса-вектора г с осями Oxyz. Следовательно, радиус-вектор г
есть функция от времени /, т. е.
г =/(/). A6.1)
Равенство A6.1) называется уравнением движения точки в вектор-
векторной форме. Введём единичные векторы /, j и k\ тогда
Вставляя эти выражения для г и f(t) в уравнение A6.1), мы полу-
получим:
A6.2)
Если точка А при своём движении всё время остаётся в одной пло-
плоскости, то, приняв эту плоскость за плоскость Оху, мы вместо
уравнений A6.2) будем иметь:
Уравнения A6.2) и A6.3) называются уравнениями движения точки
q координатной форме) давая времени t разные значения, мы будем

216 СКОРОСТЬ ТОЧКИ [ГЛ. XVI
получать соответствующие значения координат движущейся точки,
вообще, различные, и таким образом сможем в любой момент вре-
времени знать положение движущейся точки и по точкам построить её
траекторию (С). Отсюда видно, что уравнения A6.2) и A6.3) можно
также рассматривать как уравнения траектории (С) точки Л в пара-
параметрической форме, причём параметром является время t.
Чтобы получить уравнения траектории в обычной, коорди-
координатной форме, достаточно исключить время t из уравнений A6.2)
или уравнений A6.3).
Заметим, что линия, по которой движется точка, и траектория
точки могут между собою различаться. Так, например, если точка
описывает один раз полную окружность или часть окружности, то
в этом случае траектория точки и кривая движения точки совпадают
между собою. Если же точка описывает одну и ту же окружность
несколько раз, то в этом случае окружность есть кривая движения
точки, траекторией же точки будет та же самая окружность, но
повторённая несколько раз.
Рассмотрим несколько примеров. Пусть движение точки вдоль
прямой линии, которую мы примем за ось абсцисс Ох, задано урав-
уравнением
> A6.4)
где a, k и е суть постоянные. Движение, определяемое уравнением
A6.4), называется гармоническим движением. Так как синус изме-
изменяется в границах от —1 до -\~ 1, то абсцисса х точки изменяется
в границах —а <^х -*С-\-а, т. е. точка в своём движении всё время
описывает прямолинейный отрезок с длиною, равною 2а, средина
которого находится в точке О. Величина а называется амплитудой
движения. Из A6.4) следует, что при t=Q абсцисса движущейся
точки будет равна a sin s; таким образом, величина е определяет
положение точки в момент ^=0. Эта величина е называется началь-
начальной фазой. Пусть Т—некоторый постоянный промежуток времени.
Рассмотрим моменты t и t-\- Т; моменту t будет по формуле A6.4)
соответствовать абсцисса точки, равная asm(kt-\-e), а моменту t-\-T
будет по формуле A6.4) соответствовать абсцисса точки, равная
a sin [k (t -{- Т) + е] = a sin (?*+ е -f- kT).
Предположим, что &Г=2тг; тогда вследствие периодичности функции
синуса абсцисса точки, соответствующая моменту t-\~T, будет равна
абсциссе точки, соответствующей моменту t, и через промежуток вре-
времени Т движение точки полностью повторяется. Поэтому гармони-
гармоническое движение есть периодическое движение, и промежуток вре-
времени Т называется периодом) из равенства &Г=2тс мы получаем:
7" = Х- <16'5)

§ 64]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ТРАЕКТОРИЯ ТОЧКИ
21?
Величина k называется частотою) из формулы A6.5) следует, что
частота к равна
Чем больше будет частота k, тем будет меньше период Г, т. е. тем
чаще движение будет повторяться. Заменяя частоту k её выражением
через период Г, мы можем представить формулу A6.4) в виде:
t ,
х = a sin 2тг
Заметим, что если в =
примут вид:
или
тр то формулы A6.4) и A6.4')
х = a sin kt = a sin Bтс -у ] (г = 0),
Гармоническое движение встречается в природе в весьма разнообраз-
разнообразных явлениях.
В гармоническом движении траекторией точки был прямолинейный
отрезок длиною 2а с центром в точке О. Рассмотрим теперь движе-
движение точки А в плоскости Оху,
заданное уравнениями
x = Rco$kt, у = 7?sinkt, A6.6)
Чтобы исключить время, возведём
оба уравнения A6.6) в квадрат и
сложим результаты; мы получим:
Таким образом, траекторией точ-
точки А является окружность (С),
описанная из начала координат
радиусом, равным R (черт. 137).
Из черт. 137 следует, что если
^ АОх — Ы, т. е. если угол АОх
будет возрастать пропорционально Черт. 137.
времени t9 то мы получим фор-
формулы A6.6), т. е. точки В и С будут находиться в гармонических дви-
движениях, определяемых формулами A6.6), соответственно вдоль оси Ох и
вдоль оси Оу, Очевидно, что движение точки А — периодическое,
и период Г, т. е. промежуток времени между двумя последователь-
последовательными прохождениями точки А через одну и ту же точку окруж-
окружности, равен

21.8 скорость точки (гл. xvi
Так как КА = Rkt> то движение точки А по окружности (С) будет
равномерным.
Заметим, что уравнения A6.2) и A6.3) дают не только траекто-
траекторию, но и предопределяют характер движения точки вдоль неё. В са-
самом деле, рассмотрим две системы уравнений:
x = R
x = Rcoskty ч К
у = R sin ft/;
(И)
Из обеих систем уравнений мы получим: л:2-]-^2=/?2, и при ^=0
для обоих движений будет x=sR, у = 0; но равенства х = 0, у = R
для первой системы уравнений будут иметь место при &/=— а для
второй — при /=оо. Таким образом, и в том и в другом движении
точка движется по окружности х2-\-у2 = R2, но в первом движении
точка проходит четверть окружности и переходит от оси Ох к оси Оу
в промежуток времени ~г, а во втором движении — в бесконечно
большой промежуток времени.
Рассмотрим ещё движение, заданное уравнениями:
x = acoskt, y = bsinkt. A6.7)
Чтобы исключить время /, разделим первое уравнение на а, а второе —
на by возведём в квадрат и сложим; мы получим:
л j У ___ 1
Мы видим, что траектория точки есть эллипс с полуосями а и Ь\
движение — периодическое с периодом, равным -т-.
Наконец, пусть будет движение точки в плоскости Оху задано
векторным уравнением
г = Сг sin kt-\- C2 cos kU A6.8)
Положим:
где av bv a^ b2 суть постоянные. Отсюда мы получим:
х = ах sin kt -j- a2 cos kt, y = b1 sin kt ~\~ b2 cos kL
Чтобы исключить время /, решим эти уравнения относительно sin kt
и coskt\ мы будем иметь:

§ 64] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ТРАЕКТОРИЯ ТОЧКИ 219
Возводя в квадрат и складывая, мы найдём:
Это есть уравнение кривой второго порядка, не имеющей бесконечно
удалённых точек, т. е. эллипса. Если axb2 — а2Ьг = 0, то предыдущее
вычисление неприменимо. Но при афъ^яФх — ® мы ™еем"
—L = Л = fe^ тв е. Ьх = kxav b2 = kxa2i
и мы получим:
у = Ьх sin kt -j- b2 cos kt = kx {ax sin kt -|- a2 cos ft/) = ftxAr,
т, е. траектория точки есть прямая у = kxx.
Рассмотрим теперь пространственные задачи. Пусть движение
точки будет задано векторным уравнением
A6.9)
Вводя единичные векторы /, j\ ft, мы имеем:
г = ix ~\-jy + ?г, ft: = // 4-У'» + kn>
вставляя эти выражения в формулу A6.9), мы
получим:
x = lt + xQ, y = mt+yQy z = nt + zQ\ A6.10)
отсюда мы будем иметь:
х -— лг0 __ у — у о _ ?—-?о '
Мы видим, что траектория точки есть прямая
линия, проходящая через точку (лг0, yOi z0), черт. 138.
с угловыми коэффициентами, пропорциональными
количествам (J, т, я). К этому же результату мы можем притти и
непосредственно из векторного уравнения A6.9). В самом деле, при
/=0 мы имеем г = г0; прибавляя к вектору г0 вектор kxt, постоян-
постоянный по направлению, но модуль которого изменяется' пропорционально
времени t, как это показано на черт. 138, мы и получим прямолиней-
прямолинейную траекторию точки А. Так как количество kxt возрастает про-
пропорционально времени t, то движение точки Л по её прямолинейной
траектории будет равномерным. Рассмотрим ещё движение точки,
рпределяемое уравнениями:
^ = 7? sin ft/, z = h^ A6.11)

220
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
[ГЛ. XVI
Чтобы найти траекторию точки, можно было бы определить / из
третьего уравнения, вставить его значение в два первых уравнения
и затем исследовать полученные два уравнения, однако проще посту-
поступать следующим образом. Возведём два первых уравнения в квадрат
и сложим результаты; мы получим:
Отсюда следует, что точка в своём движении остаётся всё время на
прямом круглом цилиндре с радиусом основания, равным /?, и с осью,
совпадающей с осью Ог
(черт. 139). При/ = 0 будет
x = R, у = 0, г = 0; т. е.
движущаяся точка находится
в точке Вх на плоскости Оху,
в месте пересечения цилин-
цилиндра с положительной сто-
стороной оси Ох. При воз-
возрастании времени t от нуля
координата х начнёт убы-
убывать, а координаты у, z нач-
начнут возрастать, т. е. дви-
движущаяся точка пойдёт по
поверхности цилиндра, как
показано на черт. 139 стрел-
стрелкою. При значении t= T,
при котором &Г=2ти, мы
получим х = Ry у = 0,
г = h, т. е. движущаяся
точка вернётся на прежнюю
образующую цилиндра, но
переместится от плоскости
Оху на расстояние h и по-
Черт. 139. падёт в точку Б2, причём
ВгВ2 = h. Мы видим, что
рассматриваемая точка будет двигаться по винтовой линии, проведён-
проведённой на прямом круглом цилиндре, причём после каждого промежутка
времени 71=2тг точка будет возвращаться на прежнюю образующую,
но в новое положение, отстоящее от прежнего положения на рас-
расстояние /г. Таким образом, траектория точки есть винтовая линия с
шагом /г.
Очевидно, что уравнения движения точки можно представлять не
только в прямоугольных, но и в любых других координатах. Мы рас-
рассмотрим здесь полярные координаты на плоскости и в пространстве,
причём начнём изложение с полярных координат на плоскости. Пред-
Предположим, что движущаяся точка перемещается в некоторой плоскости.
Возьмём на этой плоскости неподвижную точку О и проведём из неё

§ 641 уравнения движения и траектория точки 221
неподвижную полупрямую А; точка О называется полюсом. Мы будем
определять положение любой точки этой плоскости радиусом-векто-
радиусом-вектором г~ОА и углом 6, образуемым радиусом-вектором О А с пря-
прямою А; чтобы получить все точки плоско-
плоскости, достаточно количество г изменять от О
до со, а угол 8 — от 0 до 2тс. Заметим, что
хотя количество г = О А и называется ради-
}сом-вектором, но здесь количество г не есть
вектор /", а модуль вектора г. Чтобы уста-
установить связь полярных координат (г, 6)
с прямоугольными (х, у), примем точку О
за начало прямоугольной системы Оху осей
Т п Т
координат, у которой положительную часть
оси Ох совместим с полупрямою А (черт. 140). ^т'
Опустим из точки А перпендикуляр на ось Ох\ из треугольника
ОАВ мы имеем:
пО; A6.12)
отсюда мы легко получим:
г = -\- ]/#2 -j-у2, tg6 = —, 6 = arctgf—j. A6.13)
С помощью формул A6.12) можно преобразовать любое выражение*
в прямоугольных координатах в выражение в полярных координатах,
а с помощью формул A6.13) можно решить обратную задачу. Пред-
Предположим, например, что движение точки задано уравнениями
r = at, § = bt\ A6.14)
исключая время t, находим:
A6.15)
По уравнению A6.15) нетрудно построить траекторию движущейся
точки. В самом деле, давая углу 6 значения 0, а, 2<а, За, ..., мы
получим для г значения 0, ka, 2ka, 3ka, . . . Мы видим, что движе-
движение точки происходит по спирали, выходящей из начала координат;
эта спираль называется спиралью Архимеда. Легко убедиться, что
движение точки, определяемое уравнениями
= ает* 9 = -
A6.16)
где количества а, т и п суть постоянные, также происходит по спи-
спирали; эта спираль называется логарифмической спиралью.
Прямоугольные координаты не суть простейшие для всякой за-
задачи. Например, изучать движение A6.14) по спирали Архимела
проще в полярных координатах, чем в прямоугольных, так как по

222
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
[ГЛ. YVT
формулам A6.13) простые уравнения A6.14) и A6.15) преобразуются
для прямоугольных координат в более сложные уравнения:
х = at cos bt, у = at sin btf
Для рассмотрения полярных координат в пространстве возьмём прямо-
прямоугольную систему осей координат Охуг. Из какой-нибудь точки А
пространства опустим перпен-
перпендикуляр АВ на плоскость Оху,
проведём отрезок ОВ и из
точки В опустим перпендику-
перпендикуляры ВС и BD на оси Ох и Оу
(черт. 141). Полярными ко'ор-
динатами точки А называются
следующие количества:
г = ОА, в = / АОВ,
<р = / хОВ.
Чтобы получить все точки про-
пространства, достаточно радиус г
изменять от 0 до оо, угол 8 —
ТС Л 71
Черт. 141.
от 0 до -к- и от 0 до —y>
угол <р — от 0 до 2тг. Угол 6
аналогичен географической широте, а угол <р— географической дол-
долготе, причём плоскость Оху аналогична плоскости экватора, а полу-
полуплоскость Oxz, где х > 0, аналогична полуплоскости первого мери-
меридиана. Прямоугольные координаты точки А будут:
х = ОС = DB, y=zOD=. CB, zz=zOE = В А.
Так как O# = 0^cosO= rcosO, то мы получим:
ОС = О В cos <р. = г cos 9 cos <p, OD = 05 sin ? = г cos 0 sin <p,
т. е.
я = г cos 6 cos ср, у = г cos 8 sin о, <e = rsin6. A6,17)
С помощью формул A6.17) можно соотношение, выраженное в прямо-
прямоугольных координатах (л:, у, г), преобразовать в соотношение в по-
полярных координатах (г, 6, <р). Из формул A6.17) имеем:
— tg2 9,
т. е.
A6.18)

§ 64] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ТРАЕКТОРИЯ ТОЧКИ 223
Например, из уравнений A6.11) мы получим:
?2/2
Х2+у* = ф, x2±y2 + z2 = R2 + h2LL.
Поэтому
4тс2
ИЛИ
Мы видим, что преобразование уравнений движения A6.11) к поляр-
полярным координатам выгоды в этой задаче не представляет.
Если траектория точки известна, то мы будем знать характер дви-
движения точки по её траектории, если будем знать длину пройденного
точкою пути в функции от. времени t. Именно, пусть будет $ длина
пройденного точкой пути по её траектории, отсчитываемая от какой-
нибудь постоянной точки траектории; очевидно, что мы можем опре-
определить движение точки по её траектории формулой
s =/(/). A6.19)
Формулу A6.19) можно изобразить графически, откладывая время по
оси абсцисс, а пройденный путь s— по оси ординат, или наоборот.
Такого рода графиками часто пользуются на транспорте.
Пусть будет точка О неподвижною точкою пространства; примем
точку О за начало абсолютно неподвижной системы осей координат.
Рассмотрим точку Л, определяемую радиусом-вектором рА = ОА, при-
причём точка Л движется, так что радиус-вектор рА есть функция от
времени t
Примем точку Л за начало второй, подвижной системы координат,
оси которой во всё время своего движения остаются параллельными
неподвижным. Рассмотрим ещё точку С, определяемую радиусом-
вектором г = ЛС, где радиус-вектор г есть функция от времени t.
Обозначая радиус-вектор ОС через р, имеем:
р = р4 + г. A6.20)
Так как оси подвижной и неподвижной систем координат параллельны
между собой, то углы, образуемые радиусом-вектором г с подвиж-
подвижными осями координат, будут соответственно равны углам, образуемым
этим радиусом-вектором г с неподвижными осями координат.
Если, оставляя в равенстве A6.20) радиус-вектор г по модулю
и направлению постоянным, мы будем изменять только количество рА,
то точка С будет двигаться совершенно так же, как движется точ-
точка Л, причём траектория точки С получается из траектории точки Л

224
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
[гл.
перемещением этой последней как целого в сторону на расстояние г. Мы
видим, что в этом случае движение подвижной системы осей коорди-
координат с началом в точке А перемещает или переносит точку С, наглухо
скреплённую с подвижными осями координат. Поэтому такое движение
точки С называется переносным движением. Если же количество рА
будет постоянным, а будет меняться количество г, то ^подвижные оси
координат, параллельные неподвижным осям с началом в точке О,
сделаются сами неподвижными, и точка С будет перемещаться отно-
относительно этих осей координат. Поэтому такое движение точки С
называется относительным движением. Если же будут изменяться
оба количества рА и г, то согласно равенству A6.20) точка С будет
участвовать одновременно в обоих движениях, переносном и относи-
относительном; получающееся при этом движение точки С называется слож-
сложным движением или составным движением. Оба движения: перенос-
переносное и относительное, называются составляющими движениями. Нахо-
Нахождение по составляющим движениям составного движения называется
сложением движений.
§ 65. Производная от вектора по скаляру. Пусть дан вектор а,
модуль и направление которого зависят от некоторого скалярного
параметра t\ в этом случае вектор называется
функцией независимого переменного t.
Предположим, что при некотором значении t
параметра вектор а имеет значение а = АЗ
(черт. 142), при значении же t-\-At параметра
рассматриваемый вектор изменит свой модуль
и своё направление и получит значение ах == АС.
Так как будет АС = АВ -J~ ВС, то, полагая ВС=?
==Да, получим АС = a -j- Да: очевидно, что коли-
количество Да есть вектор. Вектор Аа называется
геометрическим приращением вектора а. Соста-
Составим отношение этого геометрического приращения
к приращению независимого переменного:
Черт. 142. -jj 5
чтобы вычислить это отношение, заметим, что мы имеем Да = /?С=>
С где (ВСH есть единичный вектор, имеющий направление
В
вектора ~ВС. Поэтому мы находим:
^ = (ВС)°^== (BC)°BD — BD.
Будем неограниченно уменьшать количество М\ тогда и _скаляр ВС
будет неограниченно уменьшаться, единичный же вектор (BCf будет,

§ 65] ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ВЕКТОРА ПО СКАЛЯРУ 225
вообще, менять своё направление в пространстве, причём отношение
—¦ = BD при этом может стремиться к некоторому пределу. Предел
отношения -дт, если он существует, называется геометрической
первой производной от вектора а по скалярному параметру t
и изображается символом -гг* Пусть будет -—- = Km (BD) =BE.
Из самого определения геометрической производной легко вывести,
что если будет # + & = ?, то должно быть: -7T-\-7—-jf> T« е-
к геометрическим производным, имеющим, как мы только что видели,
модули и направления, применимо также и правило геометрического
сложения. Таким образом, геометрическая производная от вектора
по скаляру есть вектор. Очевидно, что от геометрической первой
производной от вектора можно брать снова геометрическую производ-
производную, которая называется геометрической второй производной и изо-
изображается символом -—-, и т. д.
Пусть будет:
k
из определения производной следует, что должно быть:
da_d(iax) dUay) d{kaz)
dt~ dt "•¦ at + dt '
Так как единичные векторы, расположенные вдоль неподвижных осей
координат, постоянны по своим модулям и направлениям, то мы полу-
получаем:
Нетрудно показать, что геометрическая производная от скалярного-
или векторного произведения векторов вычисляется по такому же
закону, как обыкновенные производные от обыкновенных произведе-
произведений. В самом деле, пусть требуется определить производную от ска-
скалярного произведения ,—-; так как произведение а • b есть ска-
at
ляр, то эта производная от а • Ъ есть обыкновенная производная.
Применим те же рассуждения, как в дифференциальном исчислении.
Эта производная есть предел отношения
(а + Аа) • F + А6) — а.ь
Так как
(а + Да) • (Ь + Щ = а Ь + Да • * + а • Д& + Да • Д*,
8 Зак. 1709. А. И. Некрасов

226
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
[гл. xvt
то мы получим:
(а + Да)«(&
— ад Да
Д& , Да
Переходя к пределу, мы будем иметь:
d(a-b) da
или
db . da
Мы видим, что обыкновенная производная от скалярного произведения
, da db
а • 0 выражается при посредстве векторных производных -тт и -тг*
Совершенно так же выводится формула
d (аХЬ)
dt '
da
но, конечно, производная, стоящая в левой части этого равенства,
есть векторная производная, так как произведение а X Ь есть вектор.
Рассмотрим ещё вектор я, модуль а которого постоянен и кото-
который может лишь поворачиваться, т. е. изменять своё направление,
оставаясь всё время в одной и той же плоскости (черт. 143). Оче-
Очевидно, что конец В вектора а будет при этом
описывать окружность с радиусом, равным а,
и с центром в точке А, Производная от этого
0\ \ вектора а равна пределу отношения
ВС
В или пределу количества
ВС U
Но предел отношения хорды к дуге равен еди-
единице. Так как БС=лД6, где АО есть угол
поворота вектора а за промежуток времени Д?, то будет:
Черт. 143.
Единичный вектор (ВСH при переходе к пределу будет поворачиваться
и в пределе обратится в единичный вектор п°, перпендикулярный

§ 66] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ТОЧКИ 227
к радиусу ЛВ и направленный в сторону вращения этого радиуса.
Таким образом, мы находим:
ё = «°49. A6.22)
Следовательно, геометрическая производная по времени от век-
вектора с постоянным модулем, остающегося всё время в одной и
той же плоскости, равна по величине модулю этого вектора,
умноженному на производную по времени от угла поворота век-
вектора, и направлена перпендикулярно к этому вектору в сторону
его вращения. Конечно, для производной по времени от угла пово-
поворота в формуле A6.22) следует брать абсолютное значение, так как
направление рассматриваемой геометрической производной полностью
определяется направлением единичного вектора п°.
§ 66. Определение скорости точки. Понятие скорости при рав-
равномерном прямолинейном движении настолько вошло в повседневную
жизнь и настолько элементарно, что им пользуются в задачах уже
при начальном обучении арифметике. Всем известно, что для получе-
получения этой скорости надлежит число, выражающее длину пройденного
пути, разделить на число, выражающее величину промежутка времени,
затраченного на это движение. Поэтому скорость отлична от длины,
так как она зависит не только от длины пути, но и от времени;
именно, скорость прямо пропорциональна длине пути и обратно про-
пропорциональна времени. Предположим, например, что какая-нибудь
точка в равномерном прямолинейном движении в 5 секунд прошла 40 м\
тогда, чтобы с полной определённостью указать скорость этой точки,
эту скорость обозначают через 8 м/сек. Из этого обозначения видно,
что при определении скорости длины измерялись метрами, промежутки
времени-—секундами, и для нахождения значения скорости число,
выражающее длину, было разделено на число, выражающее промежу-
промежуток времени. Отсюда следует, что длина и скорость суть именован-
именованные количества, но разных наименований; поэтому скорость при рав-
равномерном прямолинейном движений подобно силам или моментам сил
можно представлять прямолинейным отрезком, т. е. длиною, лишь
условно, изображая для этой цели единицу скорости в каком-нибудь
принятом масштабе некоторой единицей длины; при этом скорость
представится прямолинейным отрезком, содержащим столько единиц
длины, сколько единиц скорости содержит изображаемая скорость;
отрезок этот откладывается вдоль прямолинейной траектории точки
в сторону движения этой точки.
Нетрудно распространить это понятие скорости при прямолиней-
прямолинейном и равномерном движении на любое криволинейное и неравномер-
неравномерное движение точки. Предположим для этого, что точка Л движется
по некоторой траектории (С), которая может быть и кривою двойной
кривизны, причём характер движения точки Л по её траектории (С)
8*

228
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
[ГЛ. XVI
произволен (черт. 144). Пусть в момент / движущаяся точка нахо-
находится в точке В траектории (С), а в момент t-\-At в точке С, где At
мало. Соединим между собою точки В и С хордой ВС и вообразим
вторую точку, которая движется равномерно по хорде ВС
так, что в момент / она находится в точке Вив мо-
момент t-\-At—в точке С. Таким образом, вместе с дей-
действительной точкой Л, проходящей в промежуток вре-
времени At в каком-нибудь движении дугу ВС, мы
рассматриваем ещё воображаемую точку, проходящую
в равномерном движении в тот же промежуток вре-
времени At хорду ВС; обе точки одновременно выходят
из точки В и одновременно приходят в точку С. Оче-
Y видно, что воображаемая точка тем ближе будет сле-
следовать за действительной точкой, чем промежуток вре-
времени At будет меньше; согласно предыдущему скорость
этой воображаемой точки при её равномерном движении
вдоль пути ВС будет равна -тр Как было указано
в этом параграфе, эта скорость может быть условно изображена
прямолинейным отрезком BD, так что имеет место условное равенство
(черт. 145) огл дс
Черт. 144.
Величина BD называется среднею скоростью действительной точки А
за промежуток времени At. Будем промежуток времени Д^ приближать
к нулю; тогда точка С будет приближаться к точке В.
Так как секущая переходит в пределе в касатель-
касательную, то в пределе будем иметь:
Отрезок BE располагается вдоль касательной к тра-
траектории в точке В и имеет определённую длину;
величина BE называется мгновенною скоростью
точки А в момент /, или чаще просто скоростью
точки А в момент t. Мы видим, что мгновенная
скорость характеризуется своей величиной и своим
направлением; чтобы доказать, что мгновенная ско-
скорость есть вектор, остаётся показать, что мгновен-
мгновенные скорости можно геометрически складывать. Но
уже в элементарной физике доказывается, что ско-
скорости равномерных прямолинейных движений склады-
складываются по правилу параллелограмма; нетрудно убедиться, что это пра-
правило сложения скоростей точки применимо к каким угодно движениям,
а не только к равномерным прямолинейным движениям.
Рассмотрим весьма малый промежуток времени At и предположим,
что движущаяся точка Л за этот промежуток времени переместится
Черт. 145.

§ 66] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ТОЧКИ 229
в произвольном движении по весьма малому пути ВС. Предположим
далее, что путь ВС также не остаётся неподвижным, но за тот же
промежуток А/ времени переместится в положение BXCV так что будет
В1С1 — ВС. Пусть дуга ВВХ представляет путь точки Л, остающейся
при движении пути ВС закреплённою в точке В этого пути. Очевидно,
что в сложном движении точка А перейдёт за промежуток времени А^
из точки В в точку Cv двигаясь по какому-то пути ВСг (черт. 146).
Проведём хорды ВС, BBV BXCX\ очевидно, что должно быть
_ 'с
в
Черт. 146.
ВХСХ = ВС\ далее построим параллелограмм ВСОВг и соединим
точку D с точкою Cv причём, конечно, плоскость треугольника BlDC1
может и не совпадать с плоскостью параллелограмма BCDBV Из
черт. 146 мы находим:
Так как ВгО = ВС, то будет BXD== B^; отрезок DCX можно
вследствие его малости считать близким к дуге DCX окружности, опи-
описанной из точки Вх радиусом, равным BXCV где
Так как оба множителя в правой части этого равенства суть малые
первого порядка, пропорциональные количеству А/, то дуга DCX бу-
будет малым второго порядка, пропорциональным количеству А^2. Раз-
Разделяя на А/ выражение для BCV получим:
ВС1 __~ВСЛ_Ш\ i РСХ

230 скорость точки [гл. xvi
или
73СЛ "ВС , #Z?i , ЪСл DCt
Отсюда мы находим:
Очевидно, что модуль множителя lim (-^т1 ) равен единице, а мно-
житель ^т[-тг) согласно рассмотренному равен нулю; таким обра-
образом, мы имеем:
f
Но очевидно, что количество limf-^-j есть относительная скорость
точки Л, количество hm{—~-j есть переносная скорость точки Л,
,. /вел л
количество же limf-^—J есть скорость сложного движения точки Л.
Таким образом, скорость сложного движения точки есть геометриче-
геометрическая сумма скоростей составляющих движений этой точки. Это есть
предложение математическое. Но к сложению скоростей можно подойти
ещё иначе. Именно, в динамике мы увидим, что точке можно придать
скорость мгновенно. Поэтому представим себе, что в некоторый мо«
мент времени под влиянием какой-то причины точка А мгновенно
должна получить скорость vv и в тот же самый момент та же самая
точка Л под влиянием другой причины того же рода должна полу-
получить другую скорость v2) требуется найти, какую скорость v полу-
получит точка Л, если на неё подействуют обе причины вместе. Кинема-
Кинематически решить этот физический вопрос нельзя; он получит решение
лишь в динамике. Первым, кто с полной определённостью поставил
этот вопрос, был Ньютон. Здесь мы укажем только, что и в этом
случае скорость v точки Л получается через геометрическое сложе-
сложение скоростей vl и v2. Таким образом, скорость точки есть вектор,
так как мы всегда имеем:
tF = ^ + ^2- A6.23)
В «Статике» было показано, что силы, моменты сил и радиусы-век-
радиусы-векторы суть векторы; после введения понятия скорости точки мы видим,
что скорость точки есть также вектор.
Сверх только что данного геометрического определения скорости
точки можно скорость точки определить и аналитически. В самом

66]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ТОЧКИ
231
деле, пусть будет О — неподвижная точка пространства, из которой мы
выводим радиусы-векторы г движущейся точки Л, и пусть будет
(С) — траектория точки Л (черт. 147); очевидно, что радиус-вектор г
точки А есть функция от времени t.
Предположим, что в момент t движущаяся точка А находится
в точке В, а в момент t~\-kt—в точке С своей траектории. Из
черт. 147 следует, что
по данному выше определению
скорость будет равна
г\ dr
г -f- Аг == ОС, Дг = ВС\
скорости точки А получаем, что эта
lim
dt
Так как геометрическая производная есть
вектор, то скорость точки есть вектор, и мы
имеем:
v = j. A6.24)
Таким образом, вектор скорости точки равен
геометрической первой производной от ра-
радиуса-вектора этой точки по времени.
Взяв производную по времени от обеих частей
формулы A6.20), мы получим:
dp dpA , dr
lt~~~~dF ' It'
или
Черт. 147.
это есть аналитический вывод правила параллелограмма скоростей
при тех условиях, при которых имеет место формула A6.20).
Так как будет Дг = (Дг)°| Дг|, где (Аг)° есть единичный вектор,
проведённый в направлении вектора Дг, и при переходе к пределу
единичный вектор (Дг)° превратится в единичный вектор х°, прове-
проведённый в сторону движения в направлении касательной к траектории
точки Л, то мы будем иметь:
Но будет:
At
| Аг-1
As At1
где As есть элемент дуги траектории точки Л; поэтому, учитывая,
что lim ( А J ) =1, мы получим:
_ds
} V~dt%
As /as-»о
A6.25)

232 скорость точки {гл. xvi
ds
В формулах A6.25) следует брать производную — в её абсолютном
значении, так как направление скорости полностью определено еди-
единичным вектором т°.
§ 67. Скорость точки в прямоугольных и в полярных коор-
координатах. Исходя из формулы A6.24), легко дать выражения скорости
в прямоугольных и в полярных координатах. Введём неподвижную
систему осей координат Охуг. Так как мы имеем:
то по формулам A6.21) и A6.24) получим:
Вводя проекции vx, vy, vz скорости v на оси координат Олг, Оу,
j мы будем иметь:
т. е.
dx dy dz
Таким образом, проекция скорости точки на любую из прямоуголь-
прямоугольных неподвижных осей координат равна первой производной от
соответствующей координаты движущейся точки по времени.
Из формул A6.26) для модуля v скорости мы находим:
где корень следует брать в его арифметическом значении. Так как
известно, что квадрат дифференциала дуги кривой равен
ds
то из формулы й=27 мы получаем снова формулу A6.27). Обозна-
Обозначим через <х, C, if углы, которые вектор скорости точки образует
с осями координат Олг, Оу, Oz\-мы знаем, что должно быть:
vv I dx о Vf, I dy vz 1 dz {ЛС, ЛОЧ
cosa = — = —-jt, cos3 = -^ = — -77, cosy =-2= — — , A6.28)
где количество ^ определено формулой A6.27). Так как координаты
х, у, z точки заданы формулами A6.2) или A6.3), то для элементов
vx, vy7 vzy cos a, cos^, cos-( движения точки мы получаем выраже-
выражения в функции от времени. Пользуясь формулами A6,2) или A6.3),
можно исключить время / из этих выражений, представив их как

§ 67] СКОРОСТЬ ТОЧКИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ И В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 233
функции от координат точки. Таким образом, мы можем решать за-
задачи двух родов: или находить приведённые выше элементы движе-
движения точки для данного момента времени, или находить эти элементы
для данной точки траектории; так как скорость направлена вдоль
касательной, то ясно, что кинематическая задача нахождения скорости
связана с геометрической задачей нахождения касательной в любой
точке траектории.
Рассмотрим гармоническое движение, определяемое формулой A6.4)
или A6.47); для этого движения мы будем иметь:
vx = -^j = ak cos (kt-f- s) = -~y cos f 2тт у + s) •
В зависимости от знака косинуса направление вектора скорости будет
совпадать с положительным направлением оси Ох или будет ему про-
противоположно. Из формулы A6.4) мы имеем:
a cos (kt-\- е) = zt j/> —
поэтому
оя = ж = + ьуа*-
В последней формуле следует взять знак плюс, если точка движется
в положительном направлении оси абсцисс, и знак минус, если точка
движется в обратном направлении.
Рассмотрим затем движение, ^
определяемое формулами A6.6).
Мы получаем:
dx
vy = -f kR cos kt,
cos a
^ = — sin kt%
v
V
COSS = ~ = COS ft/.
r v
Черт. 148.
v Черт. 148.
Исключая время t с помощью уравнений A6.6), мы найдём:
**¦=* —by, vy = kx, v^V^WJrf) = k^
cos<r= — ^-,
В верности последних формул легко убедиться непосредственно гео-
геометрически из черт. 148. В самом деле, мы имеем:
^ = a, kt=\

234 скорость точки [гл. xvi
т. е. должно быть!
cosa = — sin&/= — ~, cos^ = cos kt= тр
Рассмотрим, наконец, движение A6.11) по винтовой линии:
kt
x=Rcoskt, y^Rsinkt, z = h^.
Мы имеем последовательно:
Так как модуль г> скорости постоянен, то это движение точки по
винтовой линии будет равномерным. Найдём угол f, образуемый векто-
вектором скорости с осью Oz\ мы получим:
vz h
COSY =-^ =
V
Мы видим, что в рассматриваемом движении вектор скорости обра-
образует постоянный угол с осью О-г, а следовательно, и постоянный
угол с плоскостью Оху. Таким образом, касательная к винтовой линии,
представляющей траекторию точки,
образует с осью Oz постоянный
угол. Пользуясь этим свойством,
можно легко построить рассматри-
ваемую винтовую линию. В самом
деле, возьмём прямоугольный тре-
Черт. 149. угольник, у которого один катет бу-
будет равен h—шагу винта, а другой
равен 2тт/? — окружности основания цилиндра (черт. 149). Гипотенуза
этого треугольника будет равна "^/г2 -f- 4тт2/?2, косинус угла -у, обра-
образуемого гипотенузой с катетом k, будет равен
h
COS Y =
4
Мы видим, что достаточно навить этот треугольник на цилиндр,
чтобы его гипотенуза образовала рассматриваемую винтовую линию —
именно один её виток. Вернёмся к формулам A6.28), заменив в них
модуль скорости v его значением -jr. Сокращая на Л, мы получим:
dx о dy
^, cosp = ^,
dz

§ 67] скорость точки в прямоугольных и в полярных координатах 235
Таким образом, мы приходим к известным формулам дифференциаль-
дифференциальной геометрии, определяющим направляющие косинусы касательной
к кривой линии.
Дадим теперь выражение скорости в полярных координатах на
плоскости. Мы имеем:
dr
Введём единичный вектор г0, имеющий направление радиуса-вектора г.
Заметим, что хотя г° не меняется по модулю, но меняется по напра-
направлению, и следовательно,
вектор г° есть функция вре-
времени. Мы знаем, что .
г = г°г,
поэтому мы получим:
dr dr® л dr
Vz==z ~di~~dtr\r It"
Применяя к производной
-?г формулу A6.22), мы
будем иметь:
dr®
n
Черт. 150.
dt —"'dt'
где 6 есть угол радиуса-вектора г с каким-нибудь выбранным неиз-
неизменным направлением А на плоскости. Таким образом,
v = roiL+nor^, A6.29)
Мы видим, что вектор v есть сумма двух векторов: один r0 ~ напра-
направлен вдоль радиуса-вектора г, а другой п°г — перпендикулярен
к радиусу-вектору г. Обратимся к черт. 150. Пусть (С) — траектория
движущейся точки А, находящейся в момент t в точке В. Проведём
из неподвижной точки О радиус-вектор г в точку В и предположим,
что он образует с неизменным направлением А угол 6. Построим
в точке В прямоугольную систему координат следующим образом:
одну из осей (г) направим по радиусу-вектору г, а за другую ось F)
примем перпендикуляр в точке В к радиусу-вектору г, проведённый
в сторону возрастания углов 6. Обозначим проекции скорости на
оси (г) и F) соответственно через vr и г>е. Тогда из формулы A6.29)
мы будем иметь;
V'=W **вГШт A6*30)

236 СКОРОСТЬ ТОЧКИ [ГЛ. XVI
Здесь мы впервые встречаемся с подвижными осями координат.
В самом деле, оси (г) и F) имеют подвижное начало, совпадающее
с мгновенным положением В движущейся точки на её траектории, и
имеют переменное направление, так как направление радиуса-вектора г
меняется с течением времени. Заметим, что подвижными осями коор-
координат часто приходится пользоваться в механике.
Мы получим модуль v скорости по формуле
где корень берётся в арифметическом смысле. Нетрудно получить
эту формулу непосредственным переходом от прямоугольных коорди-
координат к полярным. В самом деле, мы имели:
Дифференцируя две последние формулы, найдём:
dx = dr cos б — г sin 8 rf6, dy ~ dr sin б -}- r cos
возводя в квадрат и складывая, будем иметь квадрат линейного эле-
элемента в полярных координатах на плоскости:
ds2
Отсюда находим:
т. е. приходим к формуле A6.31).
Применим формулу A6.31) к движению точки по окружности
с радиусом, равным R. Так как в этом случае будет r = /? = const.,
то vr = 0i и скорость v направлена по перпендикуляру к радиусу,
т. е. по касательной к окружности, как это и должно быть. Следо-
Следовательно, для модуля v скорости мы получаем:
di
где следует взять абсолютное значение производной ^-, так как
формула A6.31) даёт модуль скорости. Введём обозначение
¦§ = «, A6-32)
где со называется угловой скоростью. Следовательно, мы будем иметь:
0 = /?|а>|, A6.33)
т. е„ при движении точки по окружности модуль линейной ско~
росши равен радиусу, умноженному на модуль угловой скорости.

§ 68] СЕКТОРНАЯ СКОРОСТЬ 237
Найдём ещё скорость при движении точки по спирали Архимеда,
определяемом уравнениями A6.14). Мы имеем:
Заметим, что применённый здесь приём определения квадрата скорости
через нахождение квадрата линейного элемента есть приём, которым
в механике часто пользуются.
§ 68. Секторная скорость. Перейдём теперь к понятию сектор-
секторной скорости, ограничиваясь случаем плоского движения точки. Рас-
Рассмотрим движение точки А по некоторой плоской траектории (С).
Предположим, что в некоторый момент t движущаяся точка находится
в точке В её траектории и имеет скорость v = BE. Соединим какую-
нибудь выбранную неподвижную точку О плоскости движения рас-
рассматриваемой точки с точкой В радиусом-вектором г = ОБ (черт. 151).
Секторной скоростью движущейся точки В относительно непо-
неподвижной точки О называется векторное произведениег
Чтобы иметь модуль v скорости в полярных координатах в про-
пространстве, будем исходить из формул
Возводя в квадрат последние три формулы и складывая результаты,
мы найдём квадрат линейного элемента в полярных координатах
в пространстве:

238
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
[ГЛ. XVI
Обозначим вектор, изображающий векторное произведение г X ^>
через ?. Мы знаем (глава II, § 11), что
S = rv sin ср.
Дадим теперь другие выражения для секторной скорости как
в полярных, так и в прямоугольных координатах, которыми обыкно-
обыкновенно, как более удобными, всегда и пользуются. Чтобы получить
ЧС1
Черт. 151.
формулу для секторной скорости в полярных координатах, заменим
в выражении г X я радиус-вектор г его значением г = г°г, а вектор
скорости v — его значением но формуле A6.29); мы получим:
или
dt
В § 12 главы II мы видели, что должно быть:
r°xr° = 0, r*Xn° = k,
где единичный вектор k перпендикулярен к плоскости треугольника ОБЕ
(черт. 151) и направлен с её положительной стороны, т. е. так же,
как вектор 2. Таким образом, мы получим:
S=^2§. S = '2§-' A6.35)
Покажем, почему количеству S =
—
дано название секторной ско-
скорости. Рассмотрим точку Л, движущуюся по траектории (С). Пред-
Предположим, что в моменты /и ?-[-Д/ движущаяся точка находилась

§ 68]
СЕКТОРНАЯ СКОРОСТЬ
239
в точках В и С своей траектории (черт. 152). Проведём радиусы-
векторы ОБ и ОС и введём обозначения:
ОВ = г, ОС = г + Аг,
причём будет:
ОВ1 = ОБ, ОС1 = ОС,
ВХС = BCj = Дг.
Если в момент ? радиус-вектор ОБ образовал с осью Д неизменного
направления некоторый угол 0, то будет /тСОВ = ДО. Рассмотрим
\
С
площадь До сектора ОВС, ограничиваемого дугой ВС траектории
точки Л, и площади круговых секторов ОВВХ и OCfi. Из черт. 152
видно, что должно быть:
пл. ОСХС> До >пл. ОВВХ.
Так как площадь кругового сектора равна половине радиуса круга,
умноженной на длину дуги, то мы находим:
1(г + Дг)(г + Дг)Д6>До>1 /тД8э
или
т>(г+ДгJД0 >До>~г*Д0.
Разделив все части этого неравенства на Д/, мы получим:
^4 ^v 1 О Дв
отсюда, переходя к пределу, мы будем иметь:
% = ir*m- A6-36)
Когда точка В движется по своей траектории (С), то её радиус-век-
радиус-вектор г описывает некоторую площадь о (черт. 153); очевидно, что эта

240
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
[ГЛ. XVI
площадь о есть функция времени /. Из формулы A6.36) следует, что
производная по времени от площади сектора, описываемого радиусом-
1 A R
вектором г точки, равна "о-^2^7> т» е« равна половине значения сек-
секторной скорости. Отсюда мы заключаем, что
*—$
>$.
т. е. секторная скорость по модулю равна удвоенной производной
по времени от площади сектора, описываемого радиусом-вектором
точки. Таким образом, понятно, почему векторному произведению
2 = г X *о дано название секторной скорости.
Дадим теперь выражение секторной скорости в прямоугольных
координатах, начало которых возьмём в точке О, положительную сто-
сторону оси Ох направим вдоль полупрямой А, а ось О у — перпендику-
перпендикулярно к- оси А в плоскости траектории (С).
Согласно § 11 главы II мы вообще имеем:
х у г
dx dy dz
It It Jt
dz
Так как движение точки происходит в плоскости Оху, то z = т- =0,
и мы получим;
I j k
х у 0
It dt °
Раскрывая по обычному правилу, указанному в § И, этот опреде-
определитель, мы будем иметь:
Формулы A6.37) суть те же формулы A6.35), но преобразованные
к прямоугольным координатам. Чтобы в этом убедиться, обратимся
к формулам A6.12); из них мы находим:
ь dx dr о .a dQ
x = r cos 0, ~Л~1п cos ^ — r s л7 >
dy dr

§ 69] примеры 241
Отсюда мы будем иметь:
что и доказывает предыдущее утверждение.
Понятие секторной скорости впервые было введено Кеплером
A571—1630) через его второй закон движения планет вокруг Солнцд:
Радиусы-векторы планет в равные времена описывают равные
площади.
Из этого закона следует, что секторная скорость планеты должна
быть постоянной. В самом деле, из закона Кеплера следует, что
площадь а сектора возрастает пропорционально времени, т. е.
о = const . t\
отсюда находим:
d*
ш = const.
Следствием закона постоянства секторной скорости при , движении
планеты является то, что в перигелии, т. е. в части эллипса, более
близкой к тому фокусу, в котором нахо-
находится Солнце, планета должна двигаться
быстрее, чем в афелии, т. е. в более
отдалённой от Солнца части эллипса.
На черт. 154 предположено, что Солнце
находится в фокусе F\ чтобы площади
секторов AFB и CFD были между
собою равны, очевидно, необходимо,
чтобы дуга АВ была больше дуги CD, Черт. 154.
т. е. в одно и то же время планета
в перигелии должна пройти больший путь, чем в афелии. Наша
Земля находится в перигелии зимою около 1 января; следовательно,
зимой Земля движется вокруг Солнца несколько быстрее, чем летом,
но разница в скоростях незначительна вследствие незначительности
эксцентриситета земной орбиты.
§ 69. Примеры. 42. В соответствии с формулой A6.19) построить график
движения поезда и найти по нему скорость поезда, выразив её в километ-
километрах в час. Предположим, что при построении графика формулы S=f(t) мы
будем откладывать по оси абсцисс время t в часах, а по оси ординат —
путь 5 в километрах, изображая 1 час и 1 км одной и той же единицей
длины; тогда, так как в 1 час поезд проходит около 50 км, график полу-
получится очень узкий и очень высокий. Чтобы ширина и высота графика были
близкими друг к другу, будем одной и той же единицей длины изображать
на оси абсцисс 1 час, а на оси ординат 50 км\ при этом мы получим новый
график Sf =fi(t)t где 5 = 505'. Так как скорость равна производной —тт-,

242
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
[гл, xvi
10
_ dSr „
' == fi—* "Усть
dS _ dS „
~df' == fi—* "Усть точка О соответствует полдню и начальной стан-
станции. Из графика черт. 155 видно, что поезд покинул начальную станцию
в момент t\, в момент /2 он прибыл на станцию, отстоящую от начальной
станции на расстояние S2 = 50S'2 км, и стоял на ней до момента /3; в мо-
момент /3 он тронулся с этой станции и в момент ti прибыл на следующую
станцию, для которой будет «S4=
= 50S4, и т. д. Так как скорость
„ dS
равна производной -~тг~, а на гра-
графике будет ——- = tg а± при t = tx и
—— = tg «з при / = t3, то на участке
(О, 52) поезд шёл со скоростью
50 tg«j км1час} а на участке E2, 54)
поезд шёл со скоростью 50 tg a3 км/час,
большей, чем предыдущая скорость,
так как a^*>a'v Мы можем не из-
измерять углов а'± и ag, а вычислять
tg a± и tg a3 непосредственно по гра-
графику. Именно, мы будем иметь:
tga
1 ~~ / ¦— >
Черт. 155. ^азд ^3 " и т- д-
По графику можно определить положение поезда в любой момент времени
и решить обратную задачу; так, например, мы видим, что моменту t6 соот-
соответствует пройденный путь 5 = 505g км.
43. Определить скорость при движении точки, заданном уравнениями:
t — sin kt),
Мы имеем:
—-^kR A — cos kt) — kyt
dy
=kR sin kt =
Отсюда мы получим:
Следовательно, будет:
cos a = s

§ 69]
ПРИМЕРЫ
243
Траектория рассматриваемой точки называется циклоидой; если катить
окружность с радиусом, равным Rf по оси Ох, то каждая точка окружности
опишет циклоиду.
44. Зная, что сумма радиусов-векторов эллипса, проведённых в какую-
нибудь точку из двух его фокусов, равна его большой оси, вывести отсюда
кинематически построение касательной к эллипсу. Пусть будут F^ и F2 фокусы
эллипса (черт. 156). Соединяя любую точку А эллипса радиусами-векто-
радиусами-векторами rt и г2 с фокусами /^ и F2f мы имеем:
/*i -4- /*о = 2п. "*«•,.. 1 ^^~-"*i
Отсюда мы находим: ^Sw0 \ rt
drx , dr^_ __ .
т. е. по формулам A6.30) будет:
Черт. 156.
Из этой формулы следует, что проекции скорости
точки при движении её по эллипсу на его
радиусы-векторы равны между собою по вели-
величине, но противоположны по знаку. Таким
образом, если проекция vr скорости будет
положительной, т. е. направленной по радиусу, то проекция vr будет отри-
отрицательной, т. е. направленной против радиуса, но по величине "эти обе про-
проекции должны быть между собой равны (черт. 156).
Чтобы найти скорость v, следует построить при точке А два прямо-
прямоугольных треугольника с общей гипо-
гипотенузой; у каждого из этих треуголь-
треугольников один из катетов равен абсолют-
абсолютному значению рассматриваемой
проекции скорости, как показано на
черт. 156. Тогда скорость представится
общей гипотенузой этих треугольни-
треугольников, и вследствие их равенства будет
делить угол при точке А пополам.
Отсюда следует, что касательная к
эллипсу есть биссектриса угла между
одним радиусом-вектором и продол-
продолжением другого радиуса-вектора.
45. Зная, что разность радиусов-
векторов гиперболы, проведённых
в какую-нибудь её точку из двух её
фокусов, равна длине её веществен-
вещественной оси, вывести отсюда кинемати-
кинематически построение касательной к ги-
перболе. Пусть будут F\ и F2 — фо- Черт. 157.
кусы гиперболы (черт. 157). Соединяя
любую точку А гиперболы радиусами-векторами Г\ и г2 с фокусами
мы имеем:
rt — г 2 = 2а.
Отсюда мы находим:
dr{ dr2 __
~di Ж~~~ '
^т. е. по формулам A6.30) будет:

244
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
[ГЛ. XVI
Из последнего равенства следует, что при движении точки по гиперболе
проекции её скорости на её радиусы-векторы равны между собою и по ве-
величине и по знаку. Чтобы найти скорость v, следует построить при точке А
два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой, у каждого из ко-
которых один из катетов равен рассматриваемой проекции скорости, как по-
показано на черт. 157. Тогда скорость представится общей гипотенузой, и
вследствие равенства между собою полученных прямоугольных треугольни-
треугольников эта скорость будет делить угол при точке А пополам. Отсюда следует,
что касательная к гиперболе есть бис-
биссектриса угла между обоими радиусами-
векторами, проведёнными в точку при-
прикосновения.
46. Зная, что расстояние от какой-
нибудь точки параболы до директрисы
равно радиусу-вектору, проведённому
из фокуса параболы в рассматриваемую
точку параболы, вывести отсюда кинема-
кинематически построение касательной к пара-
параболе. Если р есть параметр параболы,
то фокус параболы лежит на её оси на
Р
расстоянии -х- от вершины, а директри-
директриса параболы есть прямая, перпендику-
перпендикулярная к оси и* отстоящая от вершины
параболы также на расстояние ^г, по
директриса расположена относительно
вершины параболы по другую сторону,
чем фокус. Таким образом, поместив
начало координат О в вершине пара-
параболы и расположив ось Ох вдоль оси
параболы (черт. 158), мы для всякой точки
Черт. 158.
параболы будем иметь: х-\~~ = Гш Взяв
производную по времени от обеих частей этого равенства, получим: — =-77»
&Е (It
или vx = vr. Следовательно, проекция скорости на ось Ох равна проекции
скорости на радиус-вектор. Рассмотрим какую-нибудь точку А параболы;
проведём через эту точку продолжение радиуса-вектора и прямую, парал-
параллельную оси абсцисс. Отложив на этих проведённых прямых соответственно
проекции vr и vx и построив для определения скорости v прямоугольные
треугольники с общей гипотенузой и катетами vr и vXi как для случая
эллипса и гиперболы, мы найдём, что скорость будет делить угол при точке А
пополам. Отсюда следует, что касательная к параболе есть биссектриса угла
между продолжением радиуса-вектора и прямой, проведённой через данную
точку параллельно оси параболы.
47. Найти скорость для^ движения A6.16) по логарифмической спирали.
Применяя формулы A6.30), мы получим:
dt
j = /• — = «a^ = wr.
Отсюда мы будем иметь:

§ 69] примеры 245
Из этих формул мы найдём*.
vr m '
т. е. скорость наклонена к радиусу-вектору под постоянным углом.
48. Найти скорость для движения, определяемого формулами:
kt
х = a sin ktf у = Ь cos kt, г =/z -^—.
Как в § 64, мы заключаем, что движение происходит по спирали, навитой на
эллиптический цилиндр, так как
Мы имеем:
¦~^= ka cos kt = k-2-cos kt = k-^y,
dy uu . & ^
-jj. = — kb sm kt = — k — a sin kt = — k — x,
dt a a f
dz _ k
Отсюда мы находим:
Й COS
COS a =
у a2 cos2 kt j^ ф sin2 ^ _^ ^i
n ^ sin kt
cos В = —
/hi
Ф cos2 kt + 62 sin2 kt + ~^
cos 7 = •
I/ a2 cos2 Л/ + 62 sin2
Исключая время tf получим:
~
у2 ж2
Так как —^ = 1 ^-, то эту формулу для скорости v можно ещё предста-
представить в виде:
v =1

246 скорость точки [гл. xvi
Из аналитической геометрии известно, что а1 — Ь2 = ?2, где с есть расстоя-
ние от центра эллипса до его фокуса, и что — = е, где е есть эксцентри-
эксцентриситет эллипса. Поэтому мы получим:
Отсюда мы будем иметь:
cos y = —- =
v Г hi
1/ rfi 4- — е2х2
Если будет е = О, то эллиптический цилиндр превратится в круговой, и мы
получим результат, найденный в § 67.
49. Дано, что при движении точки в плоскости имеет место закон по-
постоянства её секторной скорости относительно полюса О, взятого в некото-
некоторой неподвижной точке этой плоскости, и что квадрат скорости точки ра-
п2
вен —?-, где п есть некоторое постоянное, а г есть радиус-вектор, проведен-
проведенный в движущуюся точку из полюса О. Определить зависимость радиуса-
вектора г от времени t, если известно, что при t = 0 будет г = 0. Так как
секторная скорость постоянна, то должно быть:
r at ~L>
где С есть постоянное. Из формулы A6.31) мы имеем:
но так как
dQ _ С
dt ~" /-2
то поэтому мы получим:
--(#;+¦?•
л2
Так как по условию задачи должно быть t/2 = ——, то мы находим:
откуда следует, что должно быть /г2 > С2.
Отсюда мы выводим:
Извлекая квадратный корень, будем иметь:
dr k

§ 69] примеры 247
или
т. е.
Если дифференциалы между собой равны, то функции должны отличаться
на постоянное, а именно:
г2
— = it kt + const.
Так как при ? = 0 должно быть г = 0, то мы заключаем, что const = 0, и
из двух знаков следует взять знак плюс. Таким образом, мы иолучим;
—
или
г = Y~2kl

ГЛАВА XVII.
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ.
§ 70. Определение ускорения точки. Если материальная точка
движется прямолинейно и равномерно, то во всех местах её траекто-
траектории характер траектории будет один и тот же, направление движе-
движения будет одно и то же и скорость будет одна и та же; следова-
следовательно, при такого рода движении никакого изменения движения быть
не может. Чтобы имело место изменение движения, скорость точки
должна изменяться с течением времени. Изменение вектора скорости
может происходить или так, что направление скорости остаётся неизмен-
неизменным, а меняется лишь модуль вектора скорости, или так, что модуль
вектора скорости остаётся неизменным, а меняется лишь направление
скорости, или, наконец, так, что меняются одновременно и модуль и
направление вектора скорости. Чтобы сразу в одной картине предста-
представить изменение вектора скорости точки, применяют следующее построе-
построение. Пусть будет (С) — траектория точки А\ построим во всех точках
этой траектории векторы скорости v точки Л. Возьмём какую-нибудь
произвольную точку О пространства и перенесём в неё параллельно
самим себе все векторы скорости v точки А\ геометрическое место
концов векторов <о представит некоторую линию, которая называется
годографом скоростей. Так как согласно построению радиусы-векторы
годографа суть векторы скорости точки А, то непосредственно на
годографе мы можем не только увидеть, но и измерять изменения
направления и модуля вектора скорости точки А. Отнесём движение
точки А к прямоугольной системе Oxyz осей координат; пусть будут
уравнения движения точки А. Рассмотрим прямоугольную систему
осей кобрдинат O'XYZ, параллельных осям Oxyz) нетрудно показать,
каким образом можно составить уравнения годографа относительно
осей O'XYZ. Так как оси O'XYZ параллельны осям Oxyz и радиусы-
векторы годографа суть векторы скорости точки Л, то координаты
dx
(X, К, Z) точек годографа должны быть равны проекциям vx = ~,

§ 70] Определение ускорения точки
:н7> VaZ=zin СК0Р0СТИ v на оси Oxyz, т. е. будет:
\Г У /А у У (JL\ у ?Г A\ /17 14
dt
Чтобы получить отсюда уравнение годографа в координатной форме,
достаточно из уравнений A7.1) исключить время. Например, если дви-
движение точки задано уравнениями
х = a sin kt, y=zb cos kt,
то мы получим:
X= -f" kacoskt,
Отсюда мы будем иметь:
Y
X
-г— = cos kt,
ka
kb
— — sin kt
X*
или
Мы видим, что годограф есть эл-
эллипс, подобный эллипсу, по кото-
которому движется точка Л, причём отношение полуосей годографа к полу-
полуосям траектории точки Л равно k. Очевидно, что для прямолинейного
равномерного движения годограф приводится к точке, а для движения
прямолинейного, но неравномерного годограф будет прямой линией.
Пусть будет (Г) — годограф скорости точки А (черт. 159); пусть
моменту t соответствует радиус-вектор ОМ годографа, представляю-
представляющий вектор скорости v точки Л, а моменту t~\-kt соответствует
радиус-вектор О N годографа, представляющий вектор скорости v-\- Д^.
Тогда Az> = MN, и отношение ~ будет представлять среднюю скорость
точки на годографе, которая называется средним ускорением точки А.
Переходя к пределу, мы получим скорость точки на годографе в момент t,
измеряющую быстроту изменения вектора скорости точки А и равную
геометрической первой производной ~ от вектора скорости точки А
по времени; скорость точки годографа скорости в момент t назы~
вается ускорением точки А в момент t. Так как ускорение есть
геометрическая первая производная от вектора скорости V, то
по § 65 ускорение есть вектор, но последнее положение нуждается
в уточнении. Во-первых, в § 66 была выведена формула A6.23),
а именно, v = v1-\~v<^ которая выражает, что скорость сложного дви-
движения есть геометрическая сумма скоростей составляющих движений.

250 УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ {ГЛ. XVlt
Взяв от обеих частей этого равенства геометрические производные по
dv dVi i dv2 o dv
времени, получим: "^7 = "л/4~-^ • Здесь -^ есть ускорение в сложном
движении. Что же касается производных —^ и -~, то они предста-
представляют ускорение в первом составляющем движении и ускорение во
втором составляющем движении, но эти последние ускорения, вообще,
зависят не только от одних свойств первого движения в предположе-
предположении, что оно существует одно, и от одних свойств второго движения
в предположении, что оно существует одно, но также и от того, что
скорость второго движения, вообще, влияет на изменение скорости пер-
первого движения и скорость первого движения, вообще, влияет на изме-
изменение скорости второго движения; подробно этот вопрос будет рас-
рассмотрен в главе XXIII настоящего курса. Так как производные ~-±
dVo
и -~ имеют модули и направления, и к ним применимо геометрическое
сложение, то ускорения — и -~ суть векторы: это есть факт мате-
математический. Во-вторых, вопрос о сложении ускорений можно поставить
ещё иначе — с физической точки зрения, как это было сделано для
скорости. Именно, во втором томе настоящего курса мы увидим, что
механическое воздействие свободных материальных объектов друг на
друга сводится к тому, что материальные объекты дают друг другу
ускорения. Пусть мы имеем свободную материальную точку А, и пусть
под воздействием материальной точки В точка А получает некоторое
ускорение. Предположим затем, что точки В нет, а имеется где-то
в другом месте другая материальная точка С, под влиянием которой
точка А получает некоторое уже другое ускорение. Можно поставить
вопрос о том, какое ускорение будет у точки Л, если обе прежние
точки В и С на их прежних местах существуют одновременно. Разре-
Разрешить этот вопрос математически нельзя, но путём изучения явлений
природы было найдено, что при одновременном существовании мате-
материальных точек В к С материальная точка А получит ускорение, рав-
равное геометрической сумме прежних отдельных ускорений. Таким обра-
образом, рассматривая вопрос и с математической точки зрения и с физи-
физической, находим, что ускорения точки геометрически складываются;
вместе с тем они имеют определённые модули и направления. Следова-
Следовательно, ускорение точки есть вектор. Вектор ускорения точки при-
приложен к этой точке. Обозначая вектор ускорения точки через w,
мы имеем:
w = % A7.2)
Словесно формулу A7.2) можно выразить следующим образом:
Вектор ускорения точки есть геометрическая первая произ~
водная по времени от вектора скорости этой точки.

§ 71] УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 251
Подобно скорости, также и вектор ускорения можно условно
представлять прямолинейным отрезком, т. е. длиною, условившись
для этого изображать единицу ускорения в каком-нибудь принятом
масштабе некоторой единицей длины.
Обращаясь к формуле A6.24), мы из формулы A7.2) получим:
w = %. A7.3)
Эту формулу можно выразить следующим образом:
Вектор ускорения точки равен геометрической второй произ-
производной по времени от радиуса-вектора этой точки.
Применяя аналогичные рассуждения, можно было бы получить уско-
d3r d*r
рения высших порядков, выражающиеся производными -гщ , -щ , • . .
В курсе механики акад. О. И. Сомова A815—1876) помещены
его исследования по ускорениям различных порядков, а в «Записках
Академии наук» за 1865 г. помещена его статья «Об ускорении раз-
различных порядков в относительном движении». Все эти исследования
имеют значение для кинематики механизмов.
Однако законы природы таковы, что заниматься в общем курсе
теоретической механики ускорениями высших порядков, чем ускоре-
ускорение w, представляется излишним, как как действия материальных
объектов друг на друга, т. е. силы, являются источниками именно
ускорений w\ и обратно, зная ускорения w, можно найти силы, кото-
которыми эти ускорения вызваны. Применяя ряд Тейлора, мы будем иметь:
отсюда, обращая внимание на формулы A6.24) и A7.3), мы получим:
Из этой формулы, зная значения векторов г, v и w для момента t9
можно с точностью до малых второго порядка включительно найти
значение радиуса-вектора г для момента t-\-Lt.
§ 71. Ускорение точки в прямоугольных координатах и в по-
полярных координатах на плоскости. Исходя из формулы A7.3),
нетрудно получить проекции ускорения w на неподвижные прямоуголь-
прямоугольные оси координат. Для этого введём неподвижную систему коор-
координат Oxyz. Так как мы имеем:
то по формулам A6.21) и A7.3) получим:

252 УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XVII
Вводя проекции wx, wy) wz ускорения w на оси координат Ox, Оу, Oz,
мы будем иметь:
т. е.
x— df* ' v~df*9 z—dP* \il-V
Таким образом, проекция ускорения на любую из прямоугольных
неподвижных осей координат равна второй производной по ере-*
мени от соответствующей координаты движущейся точки.
Из формул A7.4) для модуля w ускорения мы находим:
где корень следует брать в его арифметическом значении. Обозначим
через а, #, с углы, которые вектор ускорения точки образует с осями
координат Ox, Oy, Oz; мы знаем, что должно быть:
wx I d2x
w w di1
w9, 1 d2y
= JLa—* \ A7.6)
w w dt*
w ' w dt* ''
где величина w определена формулой A7.5). Так как координаты х, у, г
точки заданы формулами A6.2) или A6.3), то для элементов wx, wyi wz,
cos a, cos^, cose движения точки мы получаем выражения в функции
от времени t. Пользуясь формулами A6.2) или A6.3), можно исключить
время / из этих выражений, представив их как функции от координат
точки. Таким образом, мы можем решать задачи двух родов: или
находить количества wxi wy, wzy cos«, cos^?, cose для данного мо-
момента времени, или находить их для данной точки траектории. Рас-
Рассмотрим, например, равномерно ускоренное движение, происходящее
под действием силы тяжести по закону х = ~~, где g есть ускоре-
ускорение свободного падения; мы получим для проекции ускорения на ось Ох
значение
т. е. приходим к подтверждению того, что в формуле х = ~~ коли-

§ 71] УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 253
чество g есть действительно ускорение. Очевидно, что в этом случае
ускорение совпадает со своей проекцией. Для движения по окруж-
окружности, определяемого уравнениями
r = R cos kt, y = R sin kt,
мы будем последовательно иметь:
y ^ nkt=* — k*y,
w = ]/V/?2 cos2 kt-\- /e4/?2 sin2 kt =
cos a = — cos ^ = — ^-,
cos й = — sin A/ = —=5-.
Мы видим, что в рассматриваемом движении модуль ускорения постоянен,
и вектор ускорения направлен по радиусу от окружности к её центру.
Найдём теперь выражение ускорения в полярных координатах для
случая движения точки в одной плоскости. Мы будем исходить для
этого из формулы A7.2). Пользуясь формулой A6.29), мы получим:
dt\r dt)^ dt\nr dt)\
или
W—~dFlt^r dt*^ dtr dt^n Tt\rliJ-
drQ dnP
Применяя к производным -тг и -~- формулу A6.22) и замечая, что
поворот на прямой угол вектора п° в сторону вращения радиуса-
вектора точки сделает его антипараллельным вектору г°, мы будем
иметь:
dt ~ dt> dt ~ df
Таким образом, мы получим:
Обозначая через wri wb проекции ускорения на подвижные оси коор-
координат, изображённые на черт. 150, и замечая, что
~ai~di~^"di\'dt)= lulttirW*~lTlH\'di)%

254
мы найдём:
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
[ГЛ. XVII
о Г d*r
Таким образом, мы приходим к следующим формулам:
A7-7)
Предположим, что движение точки таково, что секторная скорость
точки, определённая формулой A6.35), будет постоянной, т. е. будет:
r dt ~ с>
где С есть постоянное. Из второй из формул A7.7) мы видим, что
в этом случае должно быть t^9 = 0, т. е. ускорение располагается
по радиусу-вектору. Так как будет:
dt~~ г*'
то мы в этом случае получим:
wr-nw--
A7.8)
следовательно, для движения, в котором имеет место постоянство
секторной скорости, ускорение располагается по радиусу-вектору
точки и зависит от значений
радиуса-вектора и его второй
производной по времени.
§ 72. Проекции ускоре-
ускорения точки на рёбра основ-
основного трёхгранного угла. Чте-
Чтение этого параграфа требует
знакомства, с некоторыми гео-
геометрическими понятиями; чита-
читатель, не знакомый с ними,
найдёт соответствующие ука-
указания в приложении в конце
кинематики.
Рассмотрим траекторию (С)
точки А и предположим, что
движущаяся точка Л в момент / находится в точке В своей траектории
(черт. 160), причём движение точки Л происходит в направлении,
указанном на черт. 160 стрелками. Проведём в точке В касатель-
касательную Вх к траектории (С) в направлении движения точки А и построим
в точке В две нормали к линии (С) — главную нормаль, направив ее*
Черт. 160.

§ 72] ПРОЕКЦИИ УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ НА РЁБРА ТРЁХГРАННОГО УГЛА 255
в сторону вогнутости кривой (С), и бинормаль ВЬ, направив её так,
чтобы получающийся при этом трёхгранный угол Binb можно было
привести в совпадение с принятым всюду в этом курсе механики
координатным углом Охуг. Таким образом, мы видим, что касатель-
касательная Bz играет роль оси Ох, нормаль Вп — роль оси Оу и бинор-
бинормаль ВЬ — роль оси Oz. Полученный прямой трёхгранный угол
Bznb, называемый основным трёхгранным углом, мы и примем
за координатный угол, на рёбра которого мы будем проектировать
вектор w ускорения точки Л. Эта новая система прямоугольных осей
Координат будет подвижной системой осей, так как её начало В
перемещается вместе с движением материальной точки по траектории (С),
причём сами оси, вообще, поворачиваются. Эта система подвижных осей
координат применяется в механике весьма часто; так как она тесно
связана с характером как
траектории, так и движе-
движения точки по траектории, то
все уравнения, отнесённые
к этой системе осей коор-
координат, называются есте-
естественными или внутрен-
внутренними уравнениями. Что ка-
касается проекции вектора v
скорости точки на эти оси,
то очевидно, что они будут
равны:
Чтобы найти проекции уско-
ускорения w точки на оси Bxnb>
вернёмся к самому выводу
вектора w. Рассмотрим Черт. 161.
траекторию (С) точки Л.
Предположим, что в момент t движущаяся точка находилась в точке В,
а в момент t-\-M — в точке С. Построим векторы скорости v и v-\- kv
в точках В и С (черт. 161). Перенесём вектор v-\-kv в точку В;
тогда Az> = DE\ так как две смежные касательные в пределе лежат
в соприкасающейся плоскости, то в пределе вектор DF = --гт- также
будет лежать в соприкасающейся плоскости. Из черт. 161 следует,
что вектор DF всегда должен быть направлен в сторону вогнутости
траектории; следовательно, и предел вектора DF также направлен
в сторону вогнутости траектории. Так как предел вектора DF равен
геометрической первой производной от вектора скорости по вре-
времени, т. е. равен ускорению, то отсюда мы приходим к следующему
заключению:

256.
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
{гл. xvii
Вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости
траектории точки и направлен в сторону вогнутости траек-
траектории.
Из этого заключения прежде всего следует, что
Проекция ускорения точки на бинормаль равна нулю.
Таким образом, обозначая проекции ускорения w на оси Вт, Вп
и ВЬ соответственно через wxi wn, wb, мы имеем: wb == 0. Следова-
Следовательно, остаётся найти лишь
проекции wx и wn (черт. 162).
Для вывода этих двух проекций
проведём рассуждения, анало-
аналогичные сделанным при выводе
формулы A6.29) для выраже-
выражения скорости в полярных коор-
координатах. Обозначим единичный
вектор, отложенный на каса-
касательной Вх в направлении дви-
движения точки Л, через т°; тогда
будет:
A7.9)
где оба множителя в правой
части зависят, вообще, от вре-
Черт. 162. мени. Множитель v зависит от
времени потому, что модуль
вектора скорости с течением времени, вообще, меняется; вектор х°
зависит от времени потому, что, за исключением случая прямолинейного
движения, касательная Вх меняет своё направление. Так как вектор уско-
ускорения равен геометрической первой производной от вектора скорости
по времени, то мы имеем:
dv о dv 1 с№
It X ~dT~^~drV'
Применяя к производной —тг формулу A6.22), которая в § 65 была
выведена для вектора постоянного модуля, вращающегося в непо-
неподвижной плоскости, и которую, как легко видеть, можно распростра-
распространить на вектор х°, мы получим:
dz® л da
1Г^п It
da
где
dt
есть абсолютное значение угловой скорости поворота век-
вектора V в соприкасающейся плоскости, а п° есть единичный вектор,
проведённый в соприкасающейся плоскости перпендикулярно к век-
вектору *с° в сторону его вращения, т. е. проведённый по направлению
главной нормали в сторону вогнутости траектории. Обращаясь

§ 72] ПРОЕКЦИИ УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ НА РЙ1РА ТРЁХГРАННОГО УГЛА 257
к черт. 161, мы видим, что производная ~- шстъ предел отношения
угла Аа смежности к промежутку времени А/, когда А/ стремится
к нулю. Таким образом, мы получаем:
L
dt
Мы видим, что вектор w геометрически слагается из двух векторов:
одного, идущего по касательной, с проекцией на положительное на-
dv
правление касательной, равной —гг, и другого, идущего по главной
нормали в сторону вогнутости траектории, проекция которого на это
da
направление главной нормали равна v
производной
da
dt
dt
Чтобы раскрыть смысл
, представим её в следующем виде:
da_
dt
d<x
ds_
dt
da
ds
но
есть первая кривизна траектории, равная —, где р
есть
радиус первой кривизны; поэтому
~dt ^^
Вставляя это значение производной
чдля вектора w, мы получим:
w = *° -? 4- i
da
dt
в предыдущее выражение
A7.10)
Отсюда мы находим следующие формулы для проекции wxi wni wb
вектора ускорения w на касательную, главную нормаль и бинормаль:
Из этих формул прежде всего заключаем, что проекция ускорения
на главную нормаль может быть равна постоянно нулю лишь в том
случае, если во всех точках траектории р = оо, т. е. если траектория
точки есть прямая линия; в этом случае полное ускорение совпадает
с проекцией wx. Что касается проекции ускорения на касательную,
то она равна нулю, если модуль скорости постоянен. Если модуль
скорости с течением времени возрастает, то wx > 0, т. е. ускорение w
направлено в сторону движения точки, как показано на черт. 162;
если же модуль скорости с течением времени убывает, то wx < О,
и ускорение w направлено против направления движения, т, е. на
черт. 162 вектор w должен быть проведён по правую сторону от
главной нормали Вп. Из формулы A7.10) для модуля w ускорения
9 Зак, 1709, А. И, Некрасов

258
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
1гл.
получаем выражение /~77Г"\1 Т
w = y (-J-J +^г, A7.12)
где корень следует брать в его арифметическом смысле. Косинусы
углов вектора w ускорения с касательной и главной нормалью будут
wx Wn ~, л dv
соответственно равны —L и ——. Вектор wT = zи -тг называется иногда
r w w г х dt
)f = n° нормальным
тангенциальным ускорением, а вектор
ускорением.
§ 73. Ускорение точки в круговом движении. Применим преды-
предыдущие формулы к изучению ускорения в круговом движении. Пред-
Предполагая, что точка движется по окружности с радиусом, равным /?,
обозначим через со угловую скорость движущейся точки, где со в общем
случае будет функцией времени. Тогда согласно формуле A6.33)
модуль v линейной скорости v точки будет равен я> = /?|со|. Так
как радиус р кривизны для окружности равен её радиусу /?, то по
формулам A7.10) мы получим:
rf(#|q>|) __
wx-
dt
A7.13)
Если угловая скорость w зависит от времени, то обе проекции wx и wn
должны быть отличны от нуля. Предположим, что абсолютное зна-
значение | а) | угловой скорости с течением
1
пг
времени убывает; тогда количество
—
8
Черт. 163.
будет отрицательно, и проекция wx
будет направлена против направления
движения точки по окружности, так как
за положительное направление каса-
касательной принято направление в сторону
щ движения точки А. Этот случай пред-
представлен на черт. 163. Ускорение же wn
всегда направлено внутрь окружности
по главной нормали, т. е. по радиусу
окружности к её центру. Если абсолют-
абсолютное значение |ш| угловой скорости
с течением времени возрастает, то про-
проекция wx имеет направление, противо-
противоположное указанному на черт. 163.
Если угловая скорость о постоянна, т. е. точка находится в равномерном
движении по окружности, то будет wT = 0, и ускорение точки на-
направлено по радиусу к центру окружности. Следовательно:
При равномерном движений точки по окружности ускорение
направлено всегда к центру окружности^ постоянно по величине^

§ 74] РАЗМЕРНОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 259
равно <•?- ш #ш2 и называется центростремительным у&трёнаем.
В общем случае движения точки по окружности модуль уско-
ускорения w согласно формулам A7.12) и A7.13) будет равен
причём тангенс угла полного ускорения с радиусом окружности будет
wr I d I со I
равен —- = — ' ' »
§ 74. Размерности механических величин. Если численное зна-
значение величины зависит от принятых единиц измерения, то эта вели-
величина называется размерной или именованной. Если же численное
значение величины не зависит от принятых единиц измерения, то эта
величина называется безразмерной или отвлечённой. Так, например,
площадь, численное значение которой зависит от принятой единицы
длины, выражается именованным числом, а число те, равное отношению
окружности к диаметру, или неперово число е суть отвлечённые числа.
Если некоторые из именованных механических величин мы примем
за основные и установим для них единицы измерения, то остальные
именованные механические величины будут производными: единицы
измерения этих производных величин будут определённым образом
выражаться через единицы измерения основных величин. Выражение
единицы измерения какой-нибудь производной механической вели-
величины через единицы измерения основных механических величин
называется размерностью этой производной механической величины.
Размерности производных механических величин непосредственно полу-
получаются из самых определений этих производных величин. Для уста-
установления размерностей в механике применяются две системы единиц:
техническая и теоретическая. Техническая система единиц состоит из
трёх основных единиц: силы, длины и времени; за единицу силы
берётся килограмм силы, за единицу длины — метр, за единицу вре-
времени—секунда. Для этих основных единиц мы введём следующие
обозначения: сила К, длина L, время Т. Теоретическая система
единиц состоит из трёх основных единиц: массы, длины и времени;
за единицу массы берётся килограмм массы, за единицу длины —
метр, за единицу времени — секунда. Для этих основных единиц мы
введём следующие обозначения: масса Ж, длина L, время Т. При-
Принимая в теоретической системе единиц за единицу массы грамм массы,
за единицу длины — сантиметр и за единицу времени — секунду,
получим известную систему CGS-единиц. За метр длины' и килограмм
массы принимаются длина и масса эталонов, хранящихся в парижской
палате мер и весов; за одну секунду принимается 24«"бО«55 доля

260 УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XVII
средних еолмечных суток; т один килограмм васа принимается вы
эталона массы на уровне океана и на широте 45°. Очевидно, что в ки*
нематике мы будем иметь дело лишь с обозначениями L и Г, так как
ни масса, ни сила в кинематику не входят.
Найдём размерности линейной скорости, угловой скорости и
ускорения. Так как tf = --~, т. е. скорость равна длине, делённой на
время, то
размерность линейной скорости = --• A7.15)
Угловая скорость со определяется формулой ф=—¦. Так как угол
берётся в отвлечённой мере, то
размерность угловой скорости = -у. A7.16)
Так как <до=-—, т. е, ускорение равно длине, делённой на квадрат
времени, то
размерность ускорения = -^-. A7.17)
Нетрудно убедиться, что все выражения для скоростей и ускорений,
а также их проекций, приведённые выше, удовлетворяют этим фор-
формулам размерностей. Например, для ускорения w мы имели выраже-
выражение —^-; обращаясь к равенству A7.15), находим, что размерность
Clt
производной -тг будет: -у:Г=-^-, т. е. действительно получаем
размерность ускорения A7.17). Для модуля скорости при круговом
движении мы имели выражение v = Ro)\ обращаясь к равенству A7.16),
находим, что размерность произведения /?ш будет: L--^=-y-, т. е.
действительно получаем размерность скорости A7.15). Для проекции
ускорения на главную нормаль мы имели выражение — ; обращаясь
к равенству A7.15), находим, что размерность дроби — будет:
L2 L
-f^'L = -7j^, т. е. действительно получаем размерность ускорения
A7.17). Как и в физике вообще, в формулах механики размерности
каждого члена формулы, а также левой и правой частей каждого урав-
уравнения должны быть между собою равны. С помощью этого замечания
можно проверять формулы механики, а иногда даже и находить их
с точностью до безразмерных коэффициентов. Например, очевидно, что
время колебания математического маятника, т. е. тяжёлой точки, под-
подвешенной на невесомой нити, должно определяться через длину /

§ 74] РАЗМЕРНОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 261
нити и ускорение g свободного падения, так как в задачу входят
лишь два этих именованных количества. Мы знаем, что размерности
/ и g будут: L и -^-; поэтому произведение lmgn будет иметь раз-
размерность Lm+nT~2n. Чтобы это произведение имело размерность Г,
должно быть:
т-\-п = 0, —2я=1,
т. е.
п = — ~, т = -\~.
Таким образом, комбинация
есть единственная, имеющая размерность времени; следовательно, фор-
формула для времени колебания математического маятника должна иметь
вид:
где С есть безразмерный коэффициент, который из соображений раз-
размерности определить нельзя. В динамике мы увидим, как можно
найти коэффициент С, причём для весьма малых колебаний коли-
количество С равно отношению окружности к диаметру, т. е. С = тс.
Заметим, что несовпадение размерностей в правой и левой частях
какой-нибудь формулы механики даёт определённое указание на не-
неверность полученной формулы; совпадение же размерностей ещё не
даёт положительного ответа относительно верности формулы. Так,
например, в формуле t == — у — размерности правой и левой частей
между собой совпадают, однако мы знаем, что эта формула будет
неверной, а верная формула имеет вид /=тс|/ —. Поэтому при
проверке формул путём рассмотрения размерностей в случае совпаде-
совпадения размерностей правой и левой частей ещё нельзя сделать заключе-
заключения, что полученный результат верен, но при несовпадении размерно-
размерностей всегда можно утверждать, что при выводе результата вкралась
ошибка.
Необходимо ещё указать, что если некоторые из входящих
в формулы величин заданы численными значениями, то размерность
формул по внешнему виду нарушается. Предположим, например, что
точка, двигаясь прямолинейно и равномерно, прошла в t сек 5 м\
тогда скорость точки будет равна -т. Если позабыть, что 5 есть

262 ускорение точки [гл. xvii
именованное число, то кажется, что размерность дроби у будет Г-1,
т. е. дробь ~- представляет не линейную скорость, а угловую. Чтобы
восстановить размерность, достаточно числовую величину заменить
буквенным именованным обозначением, например, вместо 5 поста-
о
вить s м\ тогда из самой формулы j непосредственно можно увидеть
размерность рассматриваемого выражения. В случае сложной фор-
формулы иногда эту замену приходится сделать уже в самом начале при
выводе формулы.
Уравнение y=f(x) какой-нибудь линии (С) только тогда в вер-
верных пропорциях изображает эту линию (С), когда абсциссы и орди-
ординаты берутся в одинаковых масштабах. В механике при построении
графиков расстояний, скоростей и ускорений приходится иметь дело
с величинами разных наименований. Например, при построении гра-
графика расстояний по формуле s=/(/) на одной из осей придётся
откладывать длину, а на другой — время, причём время изображать
длиной можно лишь символически; при построении графика скоростей
по формуле v = f(t) на одной из осей придётся откладывать ско-
скорость, а на другой — время, причём и скорость и время можно изо-
изображать длинами лишь символически. Чтобы из непосредственного
измерения на чертеже мы могли получить верный ответ, мы должны
изображаемые количества измерять одним масштабом, т. е., например,
единицу пути и единицу времени изображать отрезками одинаковой
длины, единицу скорости и единицу времени изображать отрезками
одинаковой длины и т. д. Но на практике от этого приходится часто
отступать: так, с необходимостью применения разных масштабов мы
встретились в § 69, в примере 42. Если для построения графика
приняты разные масштабы, то для получения верных ответов всякое
измерение на графике должно быть соответственно подправлено. Чтобы
пояснить изложенное на примере, рассмотрим прямолинейное равно-
равномерное движение точки и предположим, что в 12 сек точка прошла
путь длиною в 60 м. Если мы возьмём одинаковые масштабы, т. е.,
например, будем изображать графически 1 сек времени отрезком дли-
длиною в 1 см и 1 м пути также отрезком в 1 см, то из чертежа будем
. 60 -
иметь: tga = — = 5, т. е. непосредственно из чертежа получим вер-
верную скорость в метрах в секунду. Если же мы возьмём разные
масштабы, например, примем, что отрезок в 1 см изображает 6 м
пути и 2 сек времени, то для tga' из нового чертежа получим выра-
выражение tg a' = — = ~g-, т. е. не будем иметь верного значения ско-
скорости в метрах в секунду. Так как при этих разных масштабах мы
уменьшили длины, изображающие пути, в шесть раз, а длины, изо-
изображающие промежутки времени, в два раза, то для восстановления

§ 75] примеры 263
истинного значения скорости vm**-r м\сек мы должны полученное
выражение для скорости умножить на -$• = 3, что и приведёт нас
к прежнему значению 5 м\сек. Вообще предположим, что при построении
графика s=f(t) мы отрезком определённой длины изображаем т
единиц пути и п единиц времени; переходя на эти масштабы, мы
вместо графика уравнения s=f(t) будем иметь график уравнения
s/z==zf1(t/)i где будет s = ms' и t=ntf. Из уравнения sf=fi(t/) мы
We'
будем иметь для скорости и тангенциального ускорения выражения -гр
d2s' ds'
и -тр?> причём производная -гр- представляет тангенс угла касатель-
касательной к графику уравнения $' z=f1(f)> Так как
то мы получим:
dsт ds' d2sm
V W
Отсюда мы видим, что выражения для скорости и тангенциального
ускорения, полученные из графика s/=f1(t/), должны быть под-
подправлены умножением их соответственно на — и —%. Поэтому при
пользовании графиками следует быть осторожным и всегда обращать
внимание на масштабы при переходе от измерений на графиках
к искомым величинам.
§ 75. Примеры. 50. Найти тонограф скорости для винтового движения,
определяемого формулами A6.11). В § 67 мы видели, что для этого движения
будет:
V(J0 = — kR sin kt, vy = + kR cos kt, v3=*h-2?,
Поэтому уравнения годографа будут:
Z h
2,%
Из двух первых уравнений находим:
следовательно, для уравнений годографа мы получим:
Мы видим, что годограф есть окружность, расположенная в плоскости, парал-
параллельной плоскости OXY и отстоящей от неё на расстоянии h тг—. Этот
результат можно получить и почти непосредственно из тех соображений,
что, как мы видели в § 67, модуль v скорости точки при этом движении

264 УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ (ГЛ. XVII
постоянен, равен -н— у я* + 4т:2/?2 и скорость наклонена к вертикали под
постоянным углом, для которого
h
cos 7 =
k
Так как v cos v = h -??— , то отсюда мы заключаем, что геометрическое место
концов векторов v есть окружность, параллельная плоскости OXY и отстоящая
от неё на расстоянии Л-р—, т. е. приходим к прежнему результату,
51. Найти ускорение точки в движении:
Мы имеем:
т. е. ускорение направлено по оси Ох в отрицательную сторону. Мы видим,
что выражение абсциссы х точки состоит из двух членов vQt и ~~\ первый
член указывает на возрастание абсциссы, пропорциональное времени, а второй
член указывает на убывание абсциссы, пропорциональное квадрату времени.
Скорость v в этом движении равна t/ = z/0 — gt. Скорость обратится в нуль
при Vq — gt = O, т. е. при t=x~; при этом абсцисса х точки достигнет
своего максимального значения:
и точка будет продолжать своё движение уже в обратном. направлении.
Таким образом, скорость точки меняет свой знак, обращаясь в нуль, ускоре-
ускорение же точки постоянно и направлено всегда против направления оси Ох.
Это есть случай движения тяжёлой точки, брошенной вертикально вверх
с начальной скоростью Vq.
52. Найти ускорение в гармоническом движении:
х = a sin (kt + s).
Мы имеем:
wx = -^ = — №а sin {kt + е) « — #дг.
Мы видим, что ускорение в гармоническом движении пропорционально абсциссе
точки и направлено в сторону, противоположную смещению точки относи-
относительно начала абсцисс.
5?. Найти ускорение в винтовом движении, рассмотренном в примере 50
настоящей главы. Мы имеем:
d2x
wx = -тт? = — №R cos kt=a — №xt
Wy^^L^^-k^R sin kt = — &y,
wz = 0,
w K Yk*R* cos- kt + fi№ sit^ Ш

§ 75] rrpHMFPbi 265
Углы a, b, с, образуемые ускорением с осями координат, определяются
формулами:
wx х wv у
cos a = = pr , cos b = —- = pr, cos с = О,
w R w R '
Таким образом, ускорение w направлено перпендикулярно к оси цилиндра,
на который навита винтовая линия, и пересекает эту ось, т. е. ускорение w
направлено по радиусу поперечного сечения цилиндра. Так как скорость
и ускорение всегда лежат в соприкасающейся плоскости, то для рассматри-
рассматриваемой винтовой линии соприкасающаяся плоскость определяется направле-
направлением касательной и радиусом, построенным для соответствующей точки.
54. Исходя из формул A7.7) и A7.12), определить радиус кривизны р для
каждой точки логарифмической спирали, заданной уравнениями A6.16), а
именно;
г = aemt, 9 = nt,
где а, тип суть постоянные. Определим прежде всего размерность этих
постоянных; так как произведения nt и mt должны быть отвлечёнными
числами, т. е. нулевого измерения, то мы заключаем, что размерности т, п
и а будут соответственно Т-\ Т~1 и L. Из формул A7.7) и A7.12) мы имеем:
Отсюда мы находим:
I -— I ____ ___, #• { _____ I I { I . ____ i »»2 _____
h pa -\dt* \dt) J +| r Tt\ dt
или
1 dfiMW2 (dv^
7~dtX ~di)\ ~\dt)
Из уравнений движения мы получаем:
dr
Далее будет:
или
Отсюда мы находим:
dv_
dt
Следовательно, мы будем иметь:
1 d , ,. 1 o dr o dr

266 УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ (ГЛ. XVII
Таким образом, мы получим;
или после сокращения на г2 ещё иначе:
(mi 4- Л2У2 Г2
Сокращая на w2 + n2, мы найдём:
Отсюда мы будем иметь:
т. е.
Нетрудно видеть, что размерности в этой формуле соблюдены. Вводя обо-
обозначение k e= -—, где k есть отвлечённое количество, мы получим:
г «= аекЦ, р as |Л +№г;
таковы будут уравнение логарифмической спирали в полярных координатах
и выражение для её радиуса кривизны.

ГЛАВА XVIII.
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА
И ЕГО ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ.
§ 76. Поступательное движение абсолютно твёрдого тела.
Чтобы упростить изложение учения о движении абсолютно твёрдого
тела в общем случае и чтобы придать ему надлежащую наглядность,
мы рассмотрим кинематику абсолютно твёрдого тела по частям,
начав с поступательного движения тела и вращательного движения
его вокруг неподвижной оси.
Займёмся прежде всего перемещениями абсолютно твёрдого тела.
Всякое перемещение абсолютно твёрдого тела, при котором
все проведённые в начальный момент времени в теле прямоли-
прямолинейные отрезки оказываются в конечный момент времени парал-
параллельными своим начальным положениям, называется поступа-
поступательным перемещением тела.
Таким образом, чтобы судить о том, будет ли перемещение
тела поступательным, достаточно рассмотреть начальное и конечное
положения тела, самый же характер перемещения тела из начального
положения в конечное может быть каким угодно. Так как три точки
абсолютно твёрдого тела, не лежащие на одной прямой, закрепляют
положение твёрдого тела в пространстве, то, чтобы убедиться, что
абсолютно твёрдое тело совершило поступательное перемещение, до-
достаточно убедиться в том, что треугольник, вершинами которого являются
эти три точки, после перемещения абсолютно твёрдого тела занял
положение, параллельное своему начальному положению.
Рассмотрим поступательное перемещение абсолютно твёрдого тела
из положения / в положение // за некоторый промежуток вре-
времени. Разобьём этот промежуток времени на бесконечно малые
элементы, и пусть в каждый бесконечно малый элемент времени
абсолютно твёрдое тело совершало поступательное перемещение;
такое движение тела называется поступательным движением. Таким
образом:
Если движение абсолютно твёрдого тела таково, что за
каждый элемент времени перемещение тела при этом движении

268 ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XVIII
будет поступите льны му то движение тела называется посту-
поступательным.
Рассмотрим в момент времени t какие-нибудь две точки А и В
абсолютно твёрдого тела, находящегося в поступательном движении;
пусть в момент времени t-\-kty где Lt весьма мало, эти точки зай-
займут положения A w В'. Тогда по определению поступательного
движения будет А'В'ХХАВ* Следовательно, должно быть АА'ВВ'
Черт. 164.
т. е. элементы путей точек Л и Б, описанные за одно и то же бес-
бесконечно малое время, будут между собою1* равны и параллельны.
Таким образом, при поступательном движении абсолютно твёрдого
тела все его точки за один и тот же промежуток времени описы-
описывают одинаковые траектории, которые можно привести в совпадение
друг с другом.
Очевидно, что в каждый момент времени вектор скорости у всех
точек абсолютно твёрдого тела, находящегося в поступательном дви-
движении, будет один и тот же; то же самое имеет место и для вектора
ускорения. Поэтому, чтобы знать поступательное движение абсолютно
твёрдого тела, достаточно знать элементы движения какой-нибудь
одной точки этого тела, т. е. мы приходим к задачам, уже изучен-

§ 77) угловая и линейная скорости точек врашающ. твёрдого тела 269
ным в двух предыдущих главах кинематики. Разница с предыдущим
будет заключаться лишь в том, что при рассмотрении движения
только одной точки скорость и ускорение были векторами приложен-
приложенными, при рассмотрении же движения абсолютно твёрдого тела эти
векторы будут свободными, так как они могут быть приложены
в любой точке твёрдого тела.
Следует отметить, что при поступательном движении точки твёр-
твёрдого тела могут также описывать и замкнутые пути.
Для разъяснения этого обратимся к черт. 164, на котором изобра-
изображён круговой сегмент, обходящий точку О. Рассмотрим сначала по-
положения /, //, ///, IV и / сегмента. При этом движении отрезок АВ
будет перемещаться, оставаясь параллельным самому себе, и очевидно,
что это движение сегмента будет движением поступательным. Рас-
Рассмотрим затем положения /', //', ///', IV' и /' сегмента. Мы видим,
что при этом движении, помимо обращения вокруг точки О, сегмент
ещё вращается, т. е. движение сегмента не будет чисто поступатель-
поступательным, и время его вращения равно времени обращения вокруг точки О.
При этом движении сегмент своей выпуклой частью всегда обращен
к точке О. Таков случай Луны, которая обращена к Земле всегда
своей одной половиной, так как и время обращения Луны вокруг
Земли и время вращения её вокруг оси приблизительно равны
27!/з суток.
Если при любом движении твёрдого тела в некоторый момент времени
скорости всех точек тела оказываются геометрически равными, то
в этом случае говорят, что твёр- /*
дое тело находится в состоянии
мгновенного поступательного
движения,
§ 77. Угловая и линейная
скорости точек абсолютно твёр-
твёрдого тела, вращающегося во-
вокруг неподвижной оси. Предпо-
Предположим, что мы имеем абсолютно
твёрдое тело, вращающееся вокруг
какой-нибудь неподвижной оси А
(черт. 165). Рассмотрим какую-ни-
какую-нибудь точку А твёрдого тела, нахо- qepT> 155.
дящуюся на расстоянии R от оси А.
При вращении твёрдого тела точка А будет описывать окружность с ра-
радиусом, равным /?, расположенную в плоскости II, перпендикулярной к
оси А и проходящей через начальное положение точки А. Пусть за элемент
времени А/ радиус, проведённый в точку Л, повернулся на некоторый
угол Ав. Очевидно, что за тот же элемент времени А/ всем остальным
точкам абсолютно твёрдого тела будет соответствовать тот же угол
поворота А9; таким образом, угол А в можно принять за меру угла

270 ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XVIIt
поворота абсолютно твёрдого тела в целом. Предел отношения угла пово-
поворота Дв абсолютно твёрдого тела к промежутку времени Lt называется
угловой скоростью со вращения абсолютно твёрдого тела.
Угол поворота 6 задаётся обыкновенно в функции времени t, и
мы имеем:
а> = -~-. A8.1)
Таким образом, угловой скоростью вращения абсолютно твёр-
твёрдого тела называется первая производная от угла поворота по
времени.
При вычислении производной -тт мы можем получить два знака:
at
плюс или минус, в зависимости от того, возрастает ли угол 6 с тече-
течением времени или убывает. Поэтому из формулы A8.1) мы получим
алгебраическое значение для угловой скорости со. Линейная скорость
точки А согласно формуле A6.31) будет по мо-
модулю равна
<0 = #|со|; A8.2)
модуль w полного ускорения
формуле A7.14) будет равен
точки А согласно
Введя некоторый новый вектор, можно дать
такой способ представления вектора скорости v
точек абсолютно твёрдого тела, вращающегося
вокруг оси, при котором весьма просто получаются
проекции этого вектора скорости v на оси координат,
каково бы ни было расположение оси вращения отно-
относительно осей координат. Для этого рассмотрим ось
вращения Д абсолютно твёрдого тела, и пусть будет
со=в— угловая скорость вращения тела вокруг этой оси Д. Будем
изображать количество | со | прямолинейным отрезком ВС, отложенным
где-либо на оси вращения Д, условившись для этого в том масштабе,
в котором мы будем изображать количество | со | длиною ВС. Так как
размерность угловой скорости есть Г, то очевидно, что изображе-
изображение количества | со | длиною ВС может быть только условным; с та-
такими условными изображениями мы уже встречались при изучении
сил, моментов и т. п. Приписав отрезку ВС длину, мы припишем ему
и определённое направление, именно такое, чтобы наблюдатель, рас-
расположившись вдоль ВС с hoi ами в Б и с головою в С, видел вра-
вращение точки А, а следовательно, и всего абсолютно твёрдого тела
происходящим в положительном направлении, т. е. против часовой
стрелки (черт. 166). Соединив точку А с началом В и концом С

§ 77] угловая и линЕйная скорости точек вращающ. твердого тела 271
отрезка ВС, мы найдём, что модуль v скорости v будет равен
2 пл. /\АВС, так как он равен произведению высоты R этого треуголь-
треугольника на его основание ВС ===== | со |; сам же вектор v будет направлен
перпендикулярно к плоскости треугольника ABC. Очевидно, что такой
способ нахождения скорости v точки применим не только к случаю,
когда ось вращения будет неподвижною в пространстве, но также и
к случаю, когда ось вращения уже не будет неподвижною, а будет
иметь в момент t лишь мгновенное положение А, что подробно изло-
изложено ниже, в §§ 86 и 87. При принятом способе изображения угло-
угловой скорости отрезком на оси вращения угловая скорость будет
Черт. 167.
характеризоваться своей величиной и своим направлением; чтобы угло-
угловая скорость была вектором (О, остаётся показать, что к угловым
скоростям применимо правило геометрического сложения. Чтобы дока-
доказать это, рассмотрим две пересекающиеся в точке О оси вращения Дх
и А2, на которых, начиная от точки О, отложим векторы угловых
скоростей (dj и <о2 (черт. 167). Такое движение тела можно получить,
если представить, что тело вращается вокруг оси Дх с угловою ско-
скоростью @Р а сама ось Aj вращается около оси Д2 с угловою ско-
скоростью to2.
Мы рассматриваем здесь мгновенное положение этих осей. По-
Построим на угловых скоростях о)х и щ параллелограмм OCDB и до-
докажем, что диагональ OD этого параллелограмма представляет угло-
угловую скорость, которою можно заменить угловые скорости ь>х и <о2.
Для этого, во-первых, необходимо показать, что прямая А, проходя-
проходящая вдоль ODy есть ось вращения, т. е. что скорости всех точек
этой прямой равны нулю, и, во-вторых, что линейная скорость любой
точки от наличия угловых скоростей t&1 и щ будет такая же, как
от наличия одной угловой скорости to = Об. Рассмотрим точки О
и D. Скорость точки О, как лежащей на осях вращения, равна нулю.
Скорость точки D от угловой скорости (о1 по модулю равна
2 пл. ДООС, а от угловой скорости <о2 по модулю равна 2 пл. /\DOB.
Так как /\DOC = f\DOB> то обе скорости точки D между собою

272 ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ЦВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XVIII
равны, но направлены они перпендикулярно к плоскости параллело-
параллелограмма ОСОБ в противоположные стороны; поэтому сложная скорость
точки D равна нулю. Так как на прямой А точки О и D имеют ско-
скорости,, равные нулю, то отсюда следует, что скорости всех точек
прямой А равны нулю, т. е. прямая А есть ось вращения. Заметим,
что отсюда, конечно, не следует, что прямая А неподвижна; из изло-
изложенного следует только то, что в рассматриваемый момент скорости
всех точек прямой А равны нулю. Чтобы доказать, что линейная
скорость любой точки при наличии угловых скоростей t&1 и toQ будет
такая же, как при наличии одной угловой скорости to = OD> рас-
рассмотрим, например, точку С. От наличия угловой скорости (Ох точка С
скорости не имеет, а от наличия угловой скорости о>2 точка С имеет
скорость, модуль которой равен 2 пл. /\СВО = пл. OCDB. От на-
наличия же угловой скорости to точка С должна иметь скорость, модуль
которой равен 2 пл. /\CDO = пл. OCDB, т. е. от наличия угловой
скорости (о точка С имеет скорость по модулю такую же, как от
наличия угловых скоростей tox и <о2. Так как и направления скоростей
точки С в обоих случаях, как это легко усмотреть из чертежа, будут
одинаковыми, то отсюда следует, что угловые скорости геометриче-
геометрически складываются. Таким образом, мы приходим к положению:
угловая скорость есть вектор.
Легко видеть, что угловая скорость есть вектор скользящий, так
как при передвижении вектора to вдоль оси А на другое место не
меняются ни площадь, ни плоскость /\АВС.
Таким образом, положение, что угловая скорость есть вектор,
представляет факт математический, тогда как положение, что сила
есть вектор, представляет факт естествознания.
После доказательства, что угловая скорость to есть вектор сколь-
скользящий, можно дать выражение вектора линейной скорости v точки А
в следующем виде (черт. 166):
^ = @X^1 A8.4)
В самом деле, модуль этого векторного произведения равен
2 пл. /\АВС, направлено же оно перпендикулярно к плоскости
/\АВС в ту сторону, в какую направлен вектор линейной скорости
точки А. Таким образом, на основании формулы A8.4) мы приходим
к следующему положению:
Линейная скорость точки абсолютно твёрдого тела, вращаю-
вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению
вектора угловой скорости и вектора, соединяющего начало век-*
тора угловой скорости с рассматриваемой точкой.
Очень часто прямоугольную систему Oxyz неподвижных осей
координат выбирают таким образом, чтобы начало О координат ле-
лежало на оси вращения А. Так как вектор to есть вектор скользящий,
то можно сдвинуть вектор to по оси А так, чтобы его начальная точка В

§ 78] проекции лисиных скоростей тачек вращающегося тела 273
попала в точку О; тогда вектор В А превратится в радиус-вектор
ОА = г, и мы получим формулу
и = о)Хл A8.5)
Из этой формулы следует, что
Вектор линейной скорости точки тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси, проходящей через начало координат, равен
векторному произведению вектора угловой скорости вращения на
радиус-вектор этой точки.
Обратимся снова к черт. 166 и к формуле A8.4). Так как
В А = — АВ, и мы имеем а) X (— АВ) = АВ X <*>, то приходим
к следующей формуле:
v=Jbx<u- A8.50
Но векторное произведение АВ X <*> есть не что иное, как мо-
момент (§13) вектора со относительно точки А\ следовательно:
Вектор линейной скорости какой-нибудь точки тела, вращаю-
вращающегося вокруг неподвижной оси, равен моменту вектора угловой
скорости относительно этой точки.
§ 78. Проекции линейных скоростей точек абсолютно твёр-
твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Из фор-
формулы A8.5) нетрудно получить проекции vx, vy, vz на оси Ох, Оу
и Ог неподвижной системы координат скорости v точки, принадле-
принадлежащей абсолютно твёрдому телу, вращающемуся с угловой ско-*
ростью (О вокруг оси А, проходящей через начало О координат.
Предположим, что мы ищем эти проекции для какого-нибудь мо-
момента t, и пусть для этого момента х, у, z будут значения координат
точки Л, а Шд,, <oyi ш3 — проекции вектора со на *оси Qxyz* Мы
имеем:
r^ix +jy
Согласно § 12 формулу A8.5) можно представить в виде:
/ j k
00 СО СО
х у z
Отсюда, раскрывая определитель указанным в § 12 способом, мы
получим:

274 ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XVIII
ИЛИ
| A8.6)
Эти формулы принадлежат Эйлеру и называются кинематическими
формулами Эйлера. Проекции вектора ш на оси координат обозна-
обозначаются также через р, q, г, так что будет: р = ыХУ q = oiy) г = юя.
В обозначениях (jp, q, r) формулы Эйлера имеют вид:
A8.7)
Предположим теперь, что ось вращения Д совпадает с осью Ог.
Тогда (Од, = (ау = 0, и мы получим, что со = k<az. Отсюда прежде всего
мы будем иметь: ve = 09 что и должно быть, так как при совпаде-
совпадении оси А с осью Oz точка А движется по окружности в плоскости,
перпендикулярной к оси Oz\ далее, из формул A8.6) мы получим:
Этот частный случай формул Эйлера можно получить и элементар-
элементарным путём. Так как при таком движении точка А всегда будет оста-
оставаться в плоскости, перпендикулярной к оси Oz, то для неё будет:
г = const, т. е. мы будем иметь: ?^ = —= 0. Далее, в этой пло-
плоскости точка А будет описывать окружность с радиусом, равным /?,
и с центром в точке пересечения этой плоскости с осью Oz. Вводя
полярные координаты точки А, мы получим:
Отсюда мы будем иметь:
Так как по формуле A8.1) будет ^- = <»> то мы находим:
т. е. приходим к формулам A8.1). Очевидно, что здесь количество со —
не модуль угловой скорости, а алгебраическое количество, как это
следует из формулы A8.1), т. е. здесь ш == ш^.

§ 781 ПРОЕКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА 275
Z
Предположим, что ось вращения А не проходит через начало коор-
координат О (черт. 168). Тогда возьмем на оси какую-нибудь точку О'
и передвинем вдоль оси А вектор со так, чтобы его начало попало
в точку О'. Пусть будет А точка, скорость v которой мы разыски-
разыскиваем. Соединим точку Ог с точкой А вектором г* = О'А\ тогда мы
будем иметь возможность при-
применить формулу A8.5) и по-
получим:
Соединим точку О с точкой А
вектором г — О А и точку О
с точкой Ог вектором d= 00'.
Из черт. 168 видно, что должно
быть:
т. е.
Отсюда будем иметь:
Ф = (оХ(г — <t). A8.9)
Черт. 168.
Если х'у у, г' суть координаты точки О' относительно систем**!
осей Охуг, то
и мы получим:
х-
i
xf
j
у—/
k
z
2
— /
Раскрывая определитель, как выше, мы будем иметь:
A8.10)
Если ось вращения А параллельна оси Oz и xr, yf суть координаты
следа этой оси на плоскости Оху, то, так как ^х=>0)^ = 0, фор-
формулы A8.10) примут вид
**=-«.(у —/), <V= +*,(* — *'). A8.11)
Формулы Эйлера дают проекции скорости любой точки тела, вращаю-
вращающегося вокруг неподвижной оси, и притом в любой момент времени.

276 ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XVIII
Для нахождения этих проекций необходимо знать только координаты
рассматриваемой точки в тот момент, для которого вычисляются про-
проекции скорости. Если модуль вектора угловой скорости со меняется
с течением времени, то проекции сож, со^, со3 будут функциями вре-
времени; однако они могут изменяться лишь все пропорционально, так
как мы рассматриваем случай, когда ось вращения остаётся непод-
неподвижной. Очевидно, что уравнения оси А, проходящей через точку
с координатами (л/, у\ z')} будут:
х — х' у—уг z— zr
' '"~—~———— ¦ ¦"*"""~"-"—" f
где х, у, z суть текущие координаты точек оси вращения. Коорди-
Координаты (х, у, г) каждой точки тела будут обязательно функциями вре-
времени, так как каждая точка движется по окружности вокруг оси
вращения и, следовательно, координаты (х9 у> z) точки тела непре-
непрерывно меняются.
§ 79. Ускорения точек абсолютно твёрдого тела, вращаю-
вращающегося вокруг неподвижной оси. При вращении абсолютно твёр-
твёрдого тела вокруг неподвижной оси А каждая точка тела описывает
окружность, ускорение же при движении точки по окружности было
подробно изучено в § 73. Новое, что вносит содержание этого пара-
параграфа, заключается в том, что в нём будет дано такое выражение
для вектора w ускорения любой точки абсолютно твёрдого тела, вра-
вращающегося вокруг неподвижной оси, исходя из которого при всяком
расположении оси вращения А можно легко находить проекции век-
вектора w на оси координат, и эти проекции вектора w будут в этом
параграфе найдены. Мы имели общую формулу A7.2)
Предполагая, что ось вращения А абсолютно твёрдого тела проходит
через начало О координат, мы из формулы A8.5j иолу нам;
следовательно (§ 65),
Но ппоизколная — есть вектор V скорости рассматриваемой точки
тела, поэтому мы имеем:

§ 79] УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА 277
Векторному произведению со X *0 можно придать другой, раскрытый
вид. Согласно § 12 будет:
I J
т. в.
(О уч v """"* t ((О ф ¦ ¦ о) TJ I —4— А (О) "О —— со <7\
/ > v 2/ « % У' \ J ^ z х х *
Заменим здесь проекции г>ж, ^, ^ вектора скорости рассматривае-
рассматриваемой точки (ху у у г) абсолютно твёрдого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси Д, их выражениями по формулам A8.6) Эйлера,
Например, для первой скобки мы будем иметь:
Прибавляя и вычитая из правой части по ш^лг, мы найдём:
^y°z — ®zVy = <»а, (®хх +
Но мы знаем, что (§ 18)
а)^ + а)^ + ш^==0J»
Поэтому мы будем иметь:
<V* — «evy = (Од. (со . г) — аЛ*:;
аналогично получим:
<М>а> — ШЛ = ^г/ (<0 • Г) — 0Jу;
^«^ — шг/^с» = «в (<о • О — <»2г.
Таким образом,
ш х v = (ю • г) (К +УЮ, + *шя) — ^ (ix +jy 4- fo),
или
йХФ = («'Г)« — со2/*.
Так как вектор <о равен со X г<> то мы получим!
<*>X(fc>Xr) == (о) • г) (о — (оV. A8.12)
Эта формула для вычисления сложного векторного произведения
будет встречаться и в дальнейшем. Таким образом, формула для
ускорения w принимает окончательный вид:
^ «аг. A8.13)

278 ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XV1H
Отсюда нетрудно получить проекции wx, wyi wz ускорения w на
оси координат Oxyz. Именно, обращая внимание при составлении про-
производной -?- на формулу A6.21), мы получим:
dt
iwx-{-jwy-\-kwz
i j
k
dt dt dt
х у z
Сравнивая между собою коэффициенты при /, j и k в правой и ле-
левой частях этой формулы, мы придём к искомым равенствам
dt'* dt
a>
A8.14)
Если ось вращения А совпадает с осью Oz, то будет: 0)^ = 0)^ = 0.
В этом случае формулам A8.14) можно будет придать вид:
d&z
'ЧГ
Составляя квадрат модуля чи; по формуле w2 =
A8.15)
w\> найдём:
Так как х*~\-у2 есть квадрат расстояния /? точки от оси Ozt то
будет:
т. е. мы приходим к формуле A8.3).
Из формулы A8.13) следует, что вектор w есть геометрическая
сумма двух векторов:
где
Если угловая скорость вращения твёрдого тела постоянна, то буттет:
— = 0 и, следовательно, будет: w' = 0, т. е. часть w' ускорения w
at
at

§79]
УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
279
зависит от неравномерности вращения. Если же вращение абсолютно
твёрдого тела будет равномерным, то, так как все точки тела будут
описывать окружности в равномерном движении, полные ускорения
всех точек тела должны быть направлены к центрам этих окружно-
окружностей, т. е. быть центростремительными ускорениями и по § 73 дол-
должны быть равны /?о>2, где R суть радиусы окружностей. Чтобы по-
получить из этого результата проекции w"x, w"y, w"z ускорения w", об-
обратимся к черт. 169 и рассмотрим движение какой-нибудь точки А
абсолютно твёрдого тела. Опуская перпендикуляр АР на ось враще-
вращения А, мы найдём, что вектор ускорения w будет равен шЗДР. Вы-
Вычислим проекцию этого век-
вектора, например, на ось Ох\ мы 2
будем иметь:
Но из Д АОР мы имеем:
т. е.
Следовательно, должно быть:
лр — по х
rlir х \Jr х А,.
Чтобы найти ОРХУ заметим,
что будет:
ОР=ОА cos (АОР).
О
Черт. 169.
Обозначим углы, образуемые осью вращения А с осями координат,
через а, р, -у и отложим на оси А единичный вектор А0, Тогда со-
согласно § 18 мы будем иметь:
О A cos (АОР) = ОА. Ы>;
так как проекции единичного вектора Д° на оси координат суть cos а,
cosp, cosf, то по тому же § 18 мы получим:
ОР «в О А • Д° = х cos a -J- у cos p -|- z cos -у.
Поэтому, так как вектор ОР расположен вдоль оси А,
ОРХ = (л: cos a -\-y cos [3 -J- г cos -f) cos а.
Таким образом, мы находим:
АРХ = ОРХ — х = (х cos a -\-y cos Р + z cos -f) cos а — x.
Обращая внимание на равенства
@^ = 0) COS a, (Up =a (О COS P, OXj = (О COS f,

280 ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И РРАТДАТЕЛЬНОР ДРИЖЕНИЯ ТЯЁРПОГО ТЕЛА [ГЛ» XVIII
из формулы ^ = соМ/)а, получим:
w"x = со2 (лг cos а -\-у cos р -\- z cos -\) cos а — ш2лг,
или
т. е. приходим к результату, определяемому первой из формул A8.14).
Выяснить смысл вектора w" можно также, исходя из формулы
<{$" = ^@ . г) (О — Ш2Г,
В самом деле, мы имеем:
со • г = шг cos (to, г) и со = cooH;
следовательно, будет:
W" e=s ш2/- COS ((D, Г)<!>° — 0>V = со2 [Г COS ((О, Г)@0 — Г],
или
w" = ш2 (ОР—'ОА) = шМР.
Таким образом, непосредственно из векторной формулы для w" вы-
выведено, что w" есть центростремительное уравнение.
В предыдущих исследованиях мы предположили, что ось враще-
вращения А абсолютно твёрдого тела проходит через начало О координат.
Конечно, так же, как и при выводе формул для скорости, мы можем
освободиться от этого ограничения. Мы выполним это преобразование
для случая, когда ось вращения А будет параллельной оси О-г, но не
будет с нею совпадать, а пересечёт плоскость Оху в какой-нибудь
точке с координатами E, г\). Очевидно, что в этом случае, опираясь
на формулы преобразования начала координат, мы получим следую-
следующие выражения для проекций wXi wy, wz ускорения w*
ws = 0.
Возводя их в квадрат и складывая, будем иметь:
A8.16)
^rf + <°4 J К* - 6)а + {у -
где попрежнему /? = ]/"(.*; — 6)v -|- (j> — т|J есть расстояние рассма-
рассматриваемой точки от оси вращения А.

80]
ПРИМЕРЫ
281
§ 80. Примеры. 55. Прямоугольная пластинка, перпендикулярная к пло-
плоскости чертежа, след которой на плоскости чертежа есть АВ, движется по-
поступательно с постоянной скоростью w, образующей угол р с направлением
АВ (черт. 170). Кроме того, пластинка колеблется поступательно с перемен-
переменной скоростью v (t) около своего среднего положения в направлении, пер-
перпендикулярном к скорости w. Найти угол а скорости сложного движения
Черт. 170.
с пластинкой. Так как пластинка находится в поступательном движении, то
скорости всех её точек будут между собой равны. Рассмотрим какую-нибудь
точку С пластинки, расположенную на следе А В, и предположим, что пла-
пластинка поднимается; тогда, как это видно из черт. 170, будет;
где tg ® = —^, Если бы пластинка опускалась, то было бы
Объединим обе эти формулы в одну:
а == р чг s.
Отсюда имеем:
IL tg ^ tg
ИЛИ
v
IF
V
W
Если максимальное значение скорости v (t) мало сравнительно с количе-
количеством wt то можно приближённо положить tg s = а, поэтому будет е = ¦ ,
и мы получим приближённую формулу
W
Предположим, что колебания пластинки со скоростью v (t) происходят по
гармоническому закону, причём v (t) =-^- cos Г2я-= \ где а есть амплитуда
колебаний, а Т—период колебаний; если отношение -у мало сравнительно

282 ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА ГГЛ. XVIII
со значением скорости w, то, применяя предыдущую формулу, мы получим;
где оба знака уже заключены в функции косинуса, так как при подъёме
косинус будет положительным, а при опускании — отрицательным. Такое
явление имеет место в авиации, когда угол атаки р крыла самолёта изме-
изменяется в угол атаки а при колебаниях крыла, перпендикулярных к скорости
самолёта (случай флаттера крыла самолёта).
56. Определить проекции скоростей точек абсолютно твёрдого тела для
случаев, когда твёрдое тело вращается вокруг оси Ох, оси Оу и оси Oz,
Применяя формулы A8.6) Эйлера, мы последовательно должны положить:
Соответственно получим:
Ох Оу Oz
57. Определить квадрат скорости любой точки абсолютно твёрдого тела,
вращающегося с угловой скоростью ш вокруг оси Д, проходящей через
начало О координат, и образующей с осями координат равные углы. Так как
(O/jsio cos а, <?>у = <о cos p, (?>z = to cos y»
причём cos2 а + cos2 p + cos2 y = 1, то при а = р = y получим:
«coJL -со— со =со —
00 ~~ у3~" у~~~ Уз*' *""" У*
Применяя формулы A8.6) Эйлера, мы будем иметь:
(О
Vл» sss "~—zz (Z —— у) Va -
у 3
Отсюда находим:
или
ф ж т[(лг2 +J^2+*2)"
58. Абсолютно твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси А, про-
проходящей через начало О координат и образующей с осями координат углы ос,
р, т. Найти квадрат скорости любой точки этого тела, если угловая скорость
вращения равна о>. Мы имеем:
<йх = (о COS а, Юу = ш COS P, (?>z = ш COS YJ
поэтому формулы Эйлера можно представить в виде
vx = а) (г cos р — j/ cos y), vy = ш (л: cos y — «г cos a), яг = a> (у cos a — x cos P).
Отсюда находим:
u>- [(г cos p —j/ cos yJ + (x cos y — z cos aJ + (y cos a — x cos

§ 80] примеры 283
или
»t гв оJ [(z* -f у*) cos2 ^ ^ (Х2 4- г^) cos2 р + (у2 + л:2) cos2 7 — 2*у cos p cos y —
— 2xz cos y cos а — 2удг cos a cos pj.
59. Найти проекции на оси координат момента J скорости любой точки
абсолютно твёрдого тела, вращающегося с угловой скоростью о> вокруг не-
неподвижной оси А, проходящей через начало О координат. Согласно §§11—13
мы имеем:
Применяя к выражению для Jx формулы A8.6) Эйлера, мы получим;
Jx = У (<»хУ — <»уХ) — * К* ~ о>х*)>
ИЛИ
Jx = ^хУ2 + <»xz2 + ®ухУ — »***•
Прибавляя и вычитая из правой части произведение <охх2, будем иметь:
2
Вводя радиус-вектор точки и обозначение скалярного произведения, мы на-
находим:
Jx = o>xr2 — (b>.r)x;
аналогично для количеств Jv и Jz получим:
Jy = w.vr2 — ^ * Г)У> Jz = ^г2 — (^ • г) z.
60. Найти проекции ускорения любой точки абсолютно твёрдого тела,
вращающегося с постоянной угловой скоростью со вокруг оси Д, прохоая-
щей через начало О координат и образующей равные углы с осями коор-
координат. Мы имеем:
о>х=ф COS a, (Dy = tQ COS р, ts>z = ш COS у, COS2 а + COS-р -J- COS^ т = !•
Так как а = р = у, то мы получим:
Поэтому из формул A8.14) находим:
®х = -у- С* + .У + «) —
ИЛИ
^ = -у- (* + .У — 2-^); Wy = -у- (* + * — 2у), «гг = -у. (лг + .у — 2?).
Отсюда для квадрата ускорения будем иметь:

ГЛАВА XIX.
ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ АБСОЛЮТНО
ТВЁРДОГО ТЕЛА.
§ 81. Геометрическое изучение перемещений абсолютно
твёрдого тела в плоско-параллельном движении. Плоской системе
сил в статике настоящего курса механики была посвящена отдельная
девятая глава. Отдельная глава отводится и в кинематике аналогичному
случаю движения твёрдого
тела, т. е. такому случаю,
изучение которого приводит
к рассмотрению систем пере-
перемещений, скоростей и уско-
ускорений, расположенных в
одной плоскости. Движение
такого рода можно опреде-
определить следующим образом:
Если при движении
абсолютно твёрдого тела
все его точки движутся
параллельно какой-нибудь
одной плоскости, то такое
(У)
Черт. 171.
движение твёрдого тела называется плоско-параллельным, или
плоским движением.
Этого рода движение твёрдого тела весьма важно, так как оно
имеет место в очень многих машинах и механизмах.
Предположим, что абсолютно твёрдое тело находится в плоско-
плоскопараллельном движении; пусть будет Ц плоскость, параллельно кото-
которой происходит движение всех точек этого тела (черт. 171). Про-
Проведём плоскость Р, параллельную плоскости II, так, чтобы она пере-
пересекала рассматриваемое тело; в сечении получится некоторая площадь,
ограничиваемая контуром (*f). Очевидно, что при перемещении рас-
рассматриваемого твёрдого тела плоская фигура, ограничиваемая конту-
контуром (^), будет перемещаться в плоскости Я. Таким образом: вместо
того чтобы изучать плоско-параллельное движение абсолютно
твёрдого тела, достаточно изучить движение этой плоской
фигуры в её плоскости.

§ 81]
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
285
Легко видеть, что какие-нибудь две точки этой плоской фигуры
вполне определяют её положение на плоскости Р, т. е. вместо того,
чтобы следить за движением плоской фигуры в её плоскости, доста-
достаточно проследить за движением двух каких-нибудь её
точек, например точек А и В, в этой плоскости
(черт. 172). Так как точки А и В вполне определяют
отрезок АВ, то мы отсюда заключаем, что изучение
движения плоской фигуры в её плоскости приводится
к изучению движения прямолинейного отрезка в этой
плоскости.
Предположим, что сначала плоская фигура занимала
положение /; затем, переместившись в своей плоскости,
она заняла положение // (черт. 173). Заметим, что при
этом нас не интересует закон, по которому происхо-
происходит перемещение плоской фигуры из положения / в по-
положение //; мы можем даже его не знать, мы рассматри-
рассматриваем только два положения / и // этой фигуры Покажем, что всегда
можно перевести плоскую фигуру из положения I в положение П
одним поступательным перемещением (§76) и одним вращатель-
вращательным* В самом деле, возьмём на рассматриваемой фигуре в её поло-
положении 1 какой-нибудь прямолинейный отрезок АВ. В положении //
Черт. 172.
Д
Черт. 173.
плоской фигуры этот отрезок перейдёт в положите ArBf Соединим
между собой точки А и А' прямою АА' и проведём отрезок ВВ" \%-АА*.
Мы видим, что перемещения отрезка из положения АВ в положение Л'в'
можно достигнуть одним поступательным перемещением ААГ, пере-
переводящим отрезок из положения АВ в положение А'В", и одним вра-
вращательным перемещением вокруг точки А на угол В 'А' В', переводя-
переводящим 01 резок из положения А'В" в положение А!В'. Таким образом,
предложение доказано.
Обратим внимание на то, что, тогда как поступательное переме-
перемещение будет, вообще, различно для различных точек плоской
фигуры, величина и направление угла поворота плоской фигуры
будут всегда одними и теми же, В самом деле, выполним такое ж$

ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (ГЛ. XIX
построение, как выше, для точки В\ именно, соединим прямою точку В
С точкой В' и проведём отрезок АА" ф): В В' Мы видим, что можно
перевести отрезок АВ в положение А'В' одним поступательным пере-
перемещением ВВ\ переводящим отрезок АВ в положение А"В\ и одним
вращением вокруг точки В' на угол А' В'А, переводящим отрезок
из положения А"В в положение АВ'. Но, тогда как поступательные
перемещения А А и ВВ1, вообще, различны, углы поворота В" А В'
и А'В'А между собою равны как внутренние накрест лежащие углы
при параллельных прямых, и оба вращения выполняются в одном
направлении, именно, для черт. 173 по часовой стрелке.
Покажем теперь, что оба эти перемещения, поступательное и вра-
вращательное, можно заменить одним вращательным движением, т. е.,
другими словами, докажем следующую теорему:
Плоскую фигуру всегда можно переместить в её плоскости
из одного положения в другое одним вращением вокруг некоторого
центра.
Возьмём на плоской фигуре какой-нибудь прямолинейный отре-
отрезок АВ и предположим, что вследствие перемещения плоской фигуры
отрезок АВ перешёл в положение А В' (черт. 174). Соединим прямыми
точку А с точкой А и точку В с В'. Если отрезок АВ можно пере-
перевести в положение А'В' вращением вокруг некоторого центра, то
точка А должна перейти в А по окружности и точка В должна перейти
в В' по концентрической окружности;
поэтому отрезки АА и ВВ' будут
хордами этих окружностей. Опи-
Опираясь на предложение элементарной
геометрии, в срединах L и М хорд
АА и ВВ' восставим перпенди-
перпендикуляры к этим хордам; восставлен-
восставленные перпендикуляры пересекутся
в некоторой точке С, которая и
должна быть центром вращения.
В самом деле, соединим точку С
с точками Л, В, А\ В'. Треуголь-
Треугольники ABC и ABC будут, между
собою равны йо трём сторонам;
в самом деле, мы имеем А'В'=АВ
и СА = СА\ СВ = СВ' как на-
наклонные, равноудалённые от перпендикуляров CL и СМ. Отсюда
следует, что, повернув треугольник ABC вокруг точки С в положи-
положительную сторону на угол АСА> мы приведём его в совпадение с тре-
треугольником АВ'Су т. е. переведём отрезок АВ в положение А В'
Одним вращением вокруг центра С на угол АСА. Очевидно, что отре-
отрезок АВ можно привести в совпадение с отрезком А В' вращением
Треугольника ABC вокруг точки С также и в отрицательную сторону,
т. е. по часовой стрелке, Для случая черт. 174 угол вращения в отри-
Черт. 174.

81]
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
287
цательном направлении будет больше угла вращения в положительном
направлении. Мы всегда будем выбирать, если не будет сделано спе-
специальных указаний, меньший по абсолютному значению из двух воз-
возможных углов поворота.
Имеется несколько особых случаев, для которых предыдущая
теорема непосредственно не даёт ответа. Именно, предположим, что
I
AB\\AfBf, как это показано на черт. 175. Выполняя предыдущее
построение, мы найдём, что перпендикуляры, восставленные в среди-
срединах L и М отрезков АА' и ВВ'> или будут параллельны между собою,
или сольются; но очевидно, что в этих обоих случаях центр вращения
находится в бесконечности, и перемещение
отрезка АВ сводится к поступательному
перемещению.
Предположим далее, что фигура АВВ'АГ
будет равнобедренной трапецией (черт. 176);
в этом случае перпендикуляры к АА! и В В'
в точках L и М также совпадут между
собой, но очевидно, что центром вращения
будет точка С, лежащая на пересечении про-
продолженных боковых сторон АВ и A!Bf тра-
трапеции.
До сих пор мы рассматривали только два
положения: / и // плоской фигуры, не ка-
касаясь вопроса о "том, каким образом на
самом деле в действительном перемеще-
перемещении плоская фигура переходит из положе-
положения / в положение /У, так что перевод плоской фигуры из положения /
во 11 одним вращением мог совсем не изображать действительного
перемещения плоской фигуры. Предположим теперь, что мы рассматри-
рассматриваем весьма малое действительное перемещение плоской фигуры,
при котором положение // будет весьма близким к положению /. При
этом .в действительном перемещении точка А перейдёт в весьма близкую
точку А', описав весьма малую дугу АА' некоторой линии, и точка В
перейдёт в весьма близкую точку В*', описав весьма малую дугу ВВГ
какой-то другой линии. Выполним теперь перемещение фигуры из
Черт. 176.

ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIX
положения 1 в положение 11 одним вращением, найдя для этого соот-
соответствующий центр С. Очевидно, что при этом вращательном движении
точка А опишет весьма малую дугу А А! окружности и точка В опишет
весьма малую дугу ВВ' окружности, причём эти дуги окружностей
будут весьма близки к тем весьма малым дугам каких-то кривых,
которые были описаны этими точками в действительном перемещении.
Таким образом, чем ближе будет положение 11 к положению /, тем
точнее вращение вокруг центра С будет представлять геометрически
действительное перемещение плоской фигуры. Если положение 11 будет
бесконечно близко к положению /, то в пределе мы получим точку,
вращение вокруг которой на бесконечно малый угол бесконечно близко
изображает геометрически действительное бесконечно малое перемеще-
перемещение плоской фигуры. Эта точка С называется центром скоростей,
мгновенным центром или мгновенным полюсом. Отсюда мы получаем
следующее определение:
Центром скоростей, мгновенным центром или мгновенным
полюсом называется предельное положение точки, вокруг которой
следует повернуть на бесконечно малый угол плоскую фигуру,
чтобы перевести её из одного положения в другое, бесконечно
близкое к первому.
В следующем параграфе будет дано другое определение мгновен-
мгновенного центра, более удобное для вычислений.
Рассмотрим теперь какое-нибудь конечное перемещение плоской
фигуры. Разобьём его на ряд бесконечно малых перемещений и по-
построим для каждого такого перемещения мгновенный центр. Мы можем
отмечать положения этих мгновенных центров на неподвижной пло-
плоскости, по которой перемещается плоская фигура; геометрическое
место мгновенных центров скоростей на неподвижной плоскости
называется неподвижной полодией *), или неподвижной центроидой.
Представим себе, что плоскость движущейся плоской фигуры
продолжена неограниченно, так что при перемещении плоской фигуры
связанная с нею подвижная плоскость скользит по неподвижной.
Мы можем также отмечать места мгновенных центров и на этой по-
подвижной плоскости; геометрическое место мгновенных центров на
подвижной плоскости называется подвижной полодией, или по-
подвижной центроидой.
Чтобы яснее представить себе вышеизложенное, можно выполнить
следующие построения. На листе бумаги следует начертить ряд близких
положений отрезка АВ, как показано на черт. 177. Затем выполнить
на этом листе бумаги построения: центра С1 для перехода из АВ
в А1В1, центра С2 для перехода из А1В1 в А2В%, центра С3 для пере-
перехода из А2В2 в Л3Я3 и т. д. Геометрическое место точек Сг, С2, С3, ...
в пределе будет неподвижной полодией. Далее, следует взять кусок
д) От греческого слова «одос» — путь; полодия означает; путь полюса*

§ 81]
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
289
прозрачной кальки и начертить на ней отрезок, равный отрезку АВ.
Затем следует наложить кальку на лист- бумаги так, чтобы отрезок
на кальке совпал с отрезком АВ на бумаге, воткнуть через кальку
булавку в точку Сх и повернуть кальку на булавке так, чтобы отрезок
на кальке, сойдя с АВ, совместился с отрезком АХВХ на бумаге; после
"этого следует вытащить булавку из точки Cv воткнуть эту булавку
через кальку в точку С2 и повернуть кальку на булавке так, чтобы
отрезок на кальке, сойдя
с AXBV совместился с отрез-
отрезком Л2Б2 на бумаге, причём
сделанная дырочка на кальке
сойдёт с точки Сх и т. д.
Тогда дырочки на кальке
представят места центров
вращения на подвижной
плоскости, которые в пре-
пределе дадут подвижную по-
полодию.
Покажем теперь, что, зная
место центров вращения на
неподвижной плоскости и
углы поворота около каждого
из них, можно найти место
центров вращения на по-
подвижной плоскости. Предпо-
Предположим, что нам даны места
центров вращения С, С1У
С2, С3, ... на неподвиж-
неподвижной плоскости и углы пово-
поворота А6, ДЙ1Э А62, Д63,...
около каждого из них
(черт. 178). Соединим точки
С, Cv C2, С3, ... прямыми;
мы получим ломаную линию, которая в пределе обратится в неподвиж-
неподвижную полодию. Мы предположим, что все повороты Д9, Д0р Д92, Д63, ...
выполняются в положительном направлении, т. е. против часовой
стрелки. Выполним следующее построение. Отложим от точки С отре-
отрезок ССх = СС1 под углом Д9 в сторону отрицательного вращения.
Затем проведём из точки Сх прямую CxAt так, чтобы было / СС[ах =
= / CCfi^. От прямой СхАг в сторону отрицательных вращений
отложим отрезок dC^^Cfi^ под углом ДО! к прямой C[AV Далее,
проведём из точки d2 прямую C^2 так, чтобы было / с[с'2А2 =
«= / СХС^СЪ. От прямой С2А2 в сторону отрицательных вращений
отложим отрезок СгСз = С%Сд под углом Д'J к прямой С%А2 и т. д.
10 Зак. 1709. А. И. Некрасов
Черт. 177.

290
ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIX
Полученные таким образом точки С, С\, С2, С3, ... будут местами
центров вращения на подвижной плоскости, и в пределе ломаная
линия ССхС^Ръ • • • будет подвижной полодией.
В самом деле, предположим, что ломаная линия СС1С2С3 ... по-
построена на подвижной плоскости, а ломаная линия CCjC2C3 ...—на
неподвижной согласно вышеуказанному. В положении, изображённом
на черт. 178, центром вращения служит точка С. Повернём подвижную
плоскость вокруг точки С в положительном направлении на угол А6.
Тогда согласно построению точка
С[ совпадёт с точкой Сх и пря-
прямая С1А1 пойдёт по прямой СХС^
Будем затем поворачивать подвиж-
подвижную плоскость вокруг точки С1э
с которой совпала точка С[у
в положительном направлении на
угол А61; тогда согласно по-
построению точка С2 совместится с
точкой С2 и прямая С2Л2 пойдёт
по прямой С2С% и т. д. Продолжая
эти рассуждения, мы увидим, что
все точки С], Сг, Сз, ... последо-
последовательно будут совпадать с точ-
точками С1э С2, С3, ..., т. е.
Черт. 178. точки (fu С2, Сз, ... представ-
представляют места центров вращения на
подвижной плоскости. С помощью листа бумаги и листа прозрачной
кальки все эти построения легко проверить на опыте.
Это построение приводит нас к весьма важному заключению.
Мы видим, что при последовательном совмещении центров Ci с Cv
С'% с С2, Сз с С8, ... и т. д. колена СС[, С[с'ъ С2С3, ... ломаной
линии СС1С2С3 ... последовательно совмещаются с коленами CCV C1C2i
С2С§, ... ломаной линии ССХС%С% ..., т. е. ломаная линия СС1С2С3 ...
катится без скольжения по ломаной линии СС^С^ ... Так как в пре-
пределе эти ломаные линии переходят в полодии, то мы заключаем, что
Всякое движение плоской фигуры в её плоскости можно осу-
осуществить качением без скольжения подвижной полодии, неизменно
связанной с этой фигурой, по неподвижной полодии.
Исключение представляет лишь поступательное движение, при
котором обе полодии обращаются в бесконечно удалённую точку
плоскости.
Мы видим также, что точка прикосновения подвижной полодии
к неподвижной есть для данного момента мгновенный центр*
Полодии находят применение в прикладной механике.

§ 81]
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
291
Черт. 179.
Необходимо отметить, что с помощью полодий при произвольной
скорости качения мы воспроизводим действительное движение лишь
геометрически; чтобы воспро-
воспроизвести действительное движение и
механически, следует подвижную
полодию катить по неподвижной так,
чтобы в каждый момент была осу-1
ществлена такая скорость этого каче-
качения, которая воспроизводит скорость
действительного движения.
Укажем следующий случай зада-
задания движения, когда легко опреде-
определить положение мгновенного центра.
Пусть движение плоской фигуры
задано таким образом, что некото-
некоторый отрезок Л1А2, неизменно связан-
связанный с этой фигурой, должен во всё
время движения скользить своими
концами по заданным линиям A\) и (Г2) (черт. 179). Предположим,
что отрезок АгА2 получил бесконечно малое перемещение, заняв новое
положение АХА2. Чтобы найти положение центра вращения, соединим
между^ собою прямыми точки Аг с А[ и А2 с A2i разделим хорды АгЖ
и А2А2 пополам и из средин их
восставим перпендикуляры; пе-
пересечение этих перпендикуля-
перпендикуляров и определит центр враще-
вращения С. Но продолженные в обе
стороны отрезки АХА± и А2А2
суть секущие, которые в пре-
пределе обращаются в касатель-
касательные, а проведённые перпенди-
перпендикуляры к ним — в нормали
к линиям A\) и (Г2). Таким об-
образом, мы получаем, что мгно-
мгновенный центр лежит в точке
пересечения нормалей к ли-
линиям A\) и (Г2) в концах
отрезка АгА%.
Применим этот вывод к следующей задаче. Пусть движение по-
подвижной плоскости задано'тем, что проведённый на ней отрезок АХА^
скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным пря-
прямым Ох и Оу, проведённым на неподвижной плоскости (черт. 180).
Согласно вышеуказанному проведём в точках Ах и Л2 нормали, т. е.
перпендикуляры к прямым Ох и Оу\ мы получим точку С\ которая
и будет мгновенным центром. Нетрудно найти для этого случая
У
10*

292
ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЙРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. XIX
неподвижную полодию. Так как ОС = АгА2, т. е. равно длине отрезка,
то точка С при всех положениях отрезка ЛХЛ2 должна находиться
на постоянном расстоянии от точки О, т. е. неподвижная полодия
есть окружность^ описанная из точки О радиусом, равным длине
отрезка. По отношению к подвижной плоскости точка С всегда будет
в вершине прямого угла AVCA^ опирающегося на отрезок АгА%.
Из геометрии известно, что геометрическое место вершин прямых
углов, опирающихся на отрезок, есть окружность, построенная на этом
отрезке, как на диаметре. Таким образом, подвижная полодия есть
окружность у у которой
^у данный отрезок является
диаметром. Следовательно,
радиус окружности, пред-
представляющей подвижную по-
полодию, вдвое меньше радиуса
окружности, представляю-
представляющей неподвижную полодию.
Неподвижную полодию
можно дополнить до целой
окружности, и следователь-
следовательно, рассматриваемое движе-
движение подвижной плоскости
можно осуществить качением
без скольжения по внутрен-
внутренней стороне окружности дру-
другой окружности вдвое мень-
меньшего радиуса. Покажем, что
в этом случае все точки
подвижной плоскости описы-
описывают или прямые, или эллипсы, или окружности. В самом деле, точка
К — центр малой окружности — описывает, как это очевидно, окруж-
окружность (черт. 181). Любые точки малой окружности описывают прямые.
Это очевидно для точек А1 и Л2, но то же самое будет иметь место и
для точек Вх и ?2, лежащих на конце другого диаметра ВгВ2 малой
окружности, которые будут описывать соответственно прямые Ох! и
Оу\ так как прямые Ох! и О/ играют такую же роль в этом движе-
движении, как и прямые Ох и Оу. Возьмём теперь какую-нибудь точку М
на отрезке АХА^\ координаты точки М будут:
х = ОМ1 = А2М cos а, у = ММХ = АХМ sin а.
Отсюда получаем:
Черт. 181.
возводя в квадрат и складывая,
дующий эллипс: х%
= cosa, -x^f = sincc;
что точка М описывает сле-
AtM
найдём,

§ 811
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
293
Возьмём, наконец, какую-нибудь точку N, лежащую вне отрезка АгА^у
но на той же прямой. Мы имеем для координат этой точки выражения:
х = — ON' = — A^Nzos а, у = NN' = AXNsin а;
отсюда попрежнему получаем:
л:2
¦ У2 _¦
т. е. точка Л/" описывает также эллипс. Таким образом, мы видим,
что если продолжить отрезок ЛаЛ2 бесконечно в обе стороны, то все
точки полученной прямой, лежащие вне этого отрезка, будут описы-
описывать эллипсы; точки Аг и Л2 этого отрезка, лежащие на внутренней
окружности, будут описывать прямолинейные отрезки; точки, лежащие
внутри этого отрезка, будут описывать эллипсы, кроме его средней
точки, которая будет описывать окружность. Так как то же самое
будет иметь место для точек любой прямой ВгВ2У проходящей через
центр малого круга, то отсюда мы заключаем, что все точки подвиж-
подвижной плоскости описывают эллипсы, вырождающиеся в прямолинейные
отрезки для точек малой окружности и в окружность — для центра
малой окружности.
Опираясь на свойства рассмотренного движения, нетрудно по-
построить прибор для вычерчивания эллипсов, называемый эллипсо-
эллипсографом." Для этого достаточно по двум взаимно перпендикулярным
стержням хОх и уОу, накладываемым на лист бумаги, заставить
Черт. 182.
скользить на ползунках третий стержень, скреплённый шарнирно с пол-
ползунками. Укрепляя в различных местах этого третьего стержня каран-
карандаш и заставляя этот стержень скользить на ползунках по стержням хОх
и уОу, мы видим согласно вышеизложенному, что карандаш на листе
бумаги должен вычерчивать эллипсы. Форма и размер каждого эллипса,
очевидно, зависят от положения карандаша на подвижном стержне и
от взятого расстояния между ползунками.
Рассмотрим ещё пример, когда неподвижной полодией является
прямая, а подвижной полодией — окружность (черт. 182); очевидно,

294 ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIX
что мгновенный центр находится в точке прикосновения окружности
к прямой. При этом движении точка А, лежащая на окружности, будет
описывать циклоиду) точка Z), лежащая внутри окружности, будет
описывать линию, называемую укороченной циклоидой, или трохои-
трохоидой; точка В, лежащая вне окружности, опишет линию, имеющую
изображённые на черт. 182 петли, называемую удлинённой циклоидой.
Оба разобранных случая можно рассматривать как частные того
случая, когда одна окружность катится без скольжения по другой,
причём радиусы окружностей, вообще, могут быть взяты произволь-
произвольными. Подвижная полодия при этом может касаться неподвижной из-
изнутри или извне. В последнем приведённом примере неподвижной поло-
полодией была прямая, т. е. окружность бесконечно большого радиуса.
Если поменять роль полодий, т. е. неподвижную полодию сделать
подвижной, а подвижную полодию сделать неподвижной, то такое
изменение роли полодий называется обращением движения.
Так как при обращении движений относительное движение точек
обеих плоскостей будет одним и тем же независимо от того, какая
из полодий будет принята за подвижную, а какая — за неподвижную,
то очевидно, что, закрепляя в какой-нибудь точке плоскости, скре-
скрепляемой с малым кругом, резец и принимая малый круг за неподвиж-
неподвижную полодию, мы найдём, что при движении плоскости, скреплённой
с большим кругом, резец прорежет её по эллипсу. На этом свойстве
основаны токарные станки для обтачивания материала по эллипсам.
Такой станок был предложен знаменитым художником и учёным Лео-
Леонардо да Винчи A452—1519).
Переходя от движения плоской фигуры к соответствующему плоско-
плоскопараллельному движению абсолютно твёрдого тела, мы, очевидно,
вместо центров вращения должны брать оси вращения, перпендикуляр-
перпендикулярные к плоскости фигуры и проходящие через центры вращения. При
этом мы получим цилиндрические поверхности, которые называются
аксоидами1). Таким образом, плоско-параллельное движение твёр-
твёрдого тела может быть получено качением без скольжения по-
подвижного цилиндрического аксоида по неподвижному.
Дальнейшие подробности этого способа геометрического исследо-
исследования плоско-параллельного движения абсолютно твёрдого тела можно
найти в специальных курсах кинематики механизмов.
§ 82. Аналитическое изучение плоско-параллельного движе-
движения абсолютно твёрдого тела. Скорость. После геометрического
изучения плоско-параллельного движения абсолютно твёрдого тела мы
перейдём к его аналитическому изучению, причём, как и в предыду-
предыдущем параграфе, будем рассматривать движение плоской фигуры в её
плоскости как изображающее плоско-параллельное движение абсолютно
твёрдого тела. Так как изучение движения плоской фигуры в её пло-
1) От греческого слова «аксон», что значит ось.

§ 82] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 295
С
Черт. 183.
скости приводится, в свою очередь, к изучению движения по плоскости
прямолинейного отрезка, взятого на этой фигуре, мы рассмотрим на
плоской фигуре какой-нибудь прямолинейный отрезок АВ (черт. 183).
Возьмём на неподвижной плоскости,
по которой перемещается плоская
фигура, какую-нибудь неподвижную
точку О и соединим точку О
с точками А и В векторами ОА=рл
и ОВ = р; обозначим через г век-
вектор АВ. Мы имеем:
A9Л)
При движении плоской фигуры
векторы р и рА будут изменяться,
вообще, и по модулю и по направле-
направлению, вектор же г будет изменяться
только по направлению, так как его
модуль равен, постоянному расстоянию
между точками А и В. Взяв производную по времени от обеих частей
равенства A9.1), мы получим:
d? _ d?A , dr
dt~ dt ""+" df
dp _ dpA
Но -г? есть вектор v скорости точки В\ —гт- есть вектор vA ско-
скорости точки А\ что же касается производной —, то она в силу
неизменности модуля вектора г равна линейной скорости вращения
точки В вокруг точки Л, и потому-согласно формуле A8.5) мы полу-
получаем ^ = (оХЛ где о) есть вектор угловой скорости. Таким обра-
образом, предыдущему равенству можно придать вид:
« = *л + юХг; A9.2)
это есть частный вид формулы A6.23), когда #2 = (оХ^- Мы видим,
что линейная скорость точки геометрически складывается из двух
скоростей: первой—такой же, как скорость точки А, и второй — по-
получающейся от наличия угловой скорости to вращения вокруг точки А.
Если бы угловая скорость <о равнялась нулю, то было бы v = vA,
и движение плоской фигуры привелось бы к одному поступательному
движению. Заметим, что при выборе за точку А другой точки пло-
плоской фигуры мы получим, очевидно, вообще другой вектор vA, но
вектор (О останется тем же, где бы точка А ни была взята на пло-
плоской фигуре, и, таким образом, (о представляет угловую скорость

296 ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIX
вращения плоской фигуры; в самом деле, в предыдущем параграфе мы
видели, что угол поворота плоской фигуры не зависит от выбора точки А.
Очевидно также, что вектор v скорости точки В останется одним и
тем же, где бы ни была взята точка А на плоской фигуре, причём
постоянство скорости v точки В при изменении положения точки А
достигается соответственными изменениями первого и второго слагае-
слагаемого формулы A9.2).
Найдём теперь такую точку С на подвижной плоскости, неизменно
связанной с плоской фигурой, чтобы скорость Vq точки С в данный
момент была равна нулю.
Обозначая вектор АС через г', мы получим:
или, так как ^=0, то
0 = *д + »Хг'. A9.3)
Это равенство можно представить ещё в виде:
Мы видим, что для нахождения вектора гг по данным векторам vA
и о) приходится выполнить деление. В статике мы видели, что такое
деление не будет однозначным; в самом деле, если один вектор гг
найден, то все остальные векторы содержатся в формуле г' -\-d%
где d есть произвольный вектор, параллельный вектору <о, т. е.
перпендикулярный к плоскости движения фигуры, так как вследствие
параллельности векторов d и со должно быть:
Так как в рассматриваемом случае мы имеем дело с плоской
задачей, то, найдя вектор л*', лежащий в плоскости движения фигуры,
мы можем положить ?/=0, т. е. точка С определится однозначно.
Вычтем почленно из равенства A9.2) равенство A9.3); мы получим:
* = »Хг —»Хг' = юХ(г —/О- A9.4)
Как легко видеть на черт. 183, будет г — гг = АВ — АС=СВ\
поэтому мы находим:
v = ®X'CB> A9.5)
т. е. линейная скорость точки В в данный момент такая же, какая
она была бы, если бы точка В вращалась с угловой скоростью (о
вокруг неподвижной точки С. Таким образом, мы приходим аналити-
аналитически к определению центра скоростей или мгновенного центра,
а именно:
Центром скоростей, мгновенным центром или мгновенным
полюсом называется такая точка подвижной плоскости, скорость
которой в данный момент равна нулю.

§ 821 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 297
Перейдём в формулах A9.2), A9.3) и A9.4) от векторных обо-
обозначений к координатам, причём мы воспользуемся двумя системами
прямоугольных осей координат, как это всегда будет делаться при
изучении теории движения абсолютно твёрдого тела: именно, одну
систему осей координат с началом в точке О мы возьмём неподвиж-
неподвижной, расположенной в неподвижной плоскости, по которой движется
плоская фигура, а другую систему осей координат с началом в точке А
мы возьмём подвижной, неизменно связанной с движущейся плоской фи-
фигурой. Неподвижную систему осей координат мы обозначим через Оххух,
а подвижную систему осей координат — через Аху. Обозначим еди-
единичные векторы, определяющие неподвижные оси координат, через iL
и jv а единичные векторы, определяющие подвижные оси координат,
через i и j. Очевидно, что количества ii и j\ суть абсолютные по-
постоянные, количества же / и j постоянны по модулю, но меняются
по направлению, так как они поворачиваются вместе с подвижными
осями Аху. Если бы были построены третьи оси координат Ozl и Аг,
то эти оси, будучи перпендикулярными к плоскости движения плоской
фигуры, были бы параллельны между собою, и мы имели бы k1 = k.
Следовательно, <о = /Цсо и @ = &<о, где ш есть проекция вектора (о
на ось Oz или на ось Аг. Обозначим проекции скоростей vA и v на
оси Оххух и Аху соответственно через
KW (*Л,; &а)х> КУ V V *х> V
Далее, обозначим через (а, Ь) и (xv уг) координаты точек А и В
относительно осей Охгуг; через (х, у)—координаты точки В отно-
относительно осей Аху\ через {x'v y[) и через (х\ у') — координаты
мгновенного центра С соответственно относительно осей Оххух и Аху.
Мы имеем:
*А = '.Ki, +Л (ОД,- V = 1>Ж[ +Л
Далее, из черт. 183 видно, что
г = h (хг — а) +Л СУ, - Ь) = ix -\-jy,
г' = t, (х[ - а)+у, (у[ — b) = ix' +7/,

298
ПЛОСКО ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIX
Переходя от векторных формул A9.2), A9.3) и A9.4) к координат-
координатным, в неподвижной системе координат Ох1у1 мы будем иметь:
=
К &а\+Л
h
0
)y-\r
)^ +
К
О)
x1
x[
h
0
h
0
—
a
a
J\
0
yx — b
h
0
y[-b
0
k
@
0
о
Приравнивая между собой коэффициенты при одинаковых еди-
единичных векторах в правых и левых частях этих формул, мы из первой
формулы получим:
из второй получим:
наконец, из третьей формулы найдём:
% =—«(л—ХМ
( J
A9.8)
Формулы A9.7) определяют координаты (x'v y[) мгновенного центра С
относительно неподвижных осей координат Ол:1^1; из этих формул
получаем:
A9.9)
Так как при движении плоской фигуры количества л, b> (vA)x, (va\^
о) суть функции времени t, которые должны быть известны, если
известно движение плоской фигуры, то из формул A9.9) мы будем
иметь:

§ 82] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 299
Из этих формул можно видеть, как изменяются координаты мгно-
мгновенного центра С со временем t на неподвижной плоскости. Исклю-
Исключая из них время t9 мы получим уравнение неподвижной полодии
в виде:
Обращаясь к формулам A9.8), мы получим из них модуль вектора
скорости точки В, возводя их в квадрат и складывая, а именно:
f-^H-i
ИЛИ
Но выражение, стоящее под знаком квадратного корня, есть
квадрат расстояния от точки В до мгновенного центра С, т. е.
длина СВ. Поэтому будет:
*=|ш|СЯ. A9.10)
Мы видим ещё раз подтверждение формулы A9.5), причём фор-
формулу A9.10) можно выразить следующим образом: модуль скорости
точки В равен произведению модуля угловой скорости вращения
плоской фигуры на расстояние точки В от мгновенного центра.
Из сравнения формул A9.8) с формулами A8.11) следует, что вектор
скорости точки В таков, как если бы плоская фигура в рас-
рассматриваемый момент вращалась с угловой скоростью ш вокруг
точки Су принятой за неподвижную, что уже было указано по
поводу формулы A9.5). Чтобы избежать всякого недоразумения,
заметим, что точка С на самом деле не является неподвижной; мы
можем только утверждать, что в данный момент её скорость равна
нулю, но ниже мы увидим, что ускорение точки С, вообще, не равно
нулю. Поэтому, если в данный момент точка С является мгновенным
центром, то за бесконечно малое время её перемещение будет беско-
бесконечно малым, по крайней мере второго порядка, тогда как переме-
перемещения всех остальных точек плоской фигуры будут бесконечно
малыми первого порядка.
В качестве пояснения рассмотрим бесконечно малое перемещение
точки, движущейся по прямой линии. Предположим, что точка дви-
движется по прямой Ох по закону x=f(t) и в момент t0 имеет коор-
координату х0, так что будет: xQ = f(t0). Найдём координату х точки
через бесконечно малый промежуток h времени, т. е. в момент
t~to-\-h\ мы будем иметь: x=f(to-\- h). Разлагая правую часть
в ряд Тейлора, получим:
' Со) + iV ^ +

300
плоско-параллельное движение твёрдого тела
[ГЛ. XIX
или
х = х0
w0
г %)+...,
где vo=f (t0) и w0 = /"(/0) суть скорость и ускорение точки
в момент t=t0. Если скорость точки в момент t0 не равна нулю,
то перемещение х = х0 точки есть бесконечно малое первого порядка,
если же т/0=:0, то перемещение х — х0 точки при т0Ф0 есть
бесконечно малое второго порядка. Если же и ускорение wQ в мо-
момент t0 также равно нулю, то перемещение точки за бесконечно
малый промежуток h времени будет, вообще, бесконечно малым
третьего порядка и т. д.
Переходя от векторных формул A9.2), A9.3) и A9.4) к коор-
координатным в подвижной системе координат Аху, мы будем иметь:
i
0
j
о
х — хг у—
/
0
X
j
0
У
k
О)
0
i J k
О 0 се
х! У 0
к
со
Приравнивая между собой коэффициенты при одинаковых еди-
единичных векторах в правых и левых частях этих формул, мы из пер-
первой формулы получим:
из второй получим:
A9.11)
A9.12)
наконец, из третьей формулы найдём:
A9.13)

§ 821 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 301
Формулы A9.12) определяют^координаты мгновенного центра С отно-
относительно подвижных осей координат Аху\ из этих формул получаем:
/¦=
A9.14)
Так как при движении плоской фигуры количества {va)x> (vA)y и ш
суть функции времени t, то, следовательно, из формул A9.14) будем
иметь:
Из этих формул можно видеть, как изменяются со временем коорди-
координаты мгновенного центра С на подвижной плоскости. Исключая из
них время ty мы получим уравнение подвижной полодии в виде:
Обращаясь к формулам A9.13), мы получим из них модуль вектора
скорости точки В, возводя их в квадрат и складывая, а именно:
У
т. е. приходим к формуле A9.10).
В качестве примера на аналитическое нахождение полодий рас-
рассмотрим следующую задачу. Предположим, что твёрдый стержень АВ
движется по неподвиж-
неподвижной плоскости, касаясь
всё время неподвижной
окружности (С) с ра-
радиусом, равным а, и опи-
опираясь своим концом А
на неподвижную прямую
Oxv проходящую через
центр О этой окружности
(черт. 184). Согласно
вышеизложенному, чтобы
найти положение мгно-
. венного центра С, про-
проведём нормали в точ-
точках А и Е к линиям (С)
и Ох\ эти нормали пересе-
пересекутся в некоторой точке С,
которая и будет мгновенным центром. Построим неподвижную систему
координат Охгуг и подвижную систему координат Аху, как показано
на черт. 184. Найдём координаты (х^) и (л/, у') точки С соответ-
соответственно относительно осей Ох1у1 и Аху, выраженные через угол а

302 ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ГгЛ. XIX
наклона прямой АВ к прямой Охх, Мы имеем:
х[=*ОА9 у[=АС.
Из Д ОЕА и Д О АС получаем:
Из этих уравнений находим:
а У±
sina = —7, ctga
Так как
Ug sin* a sin^a '
то, заменяя в этом равенстве sin a и ctga их значениями, получим:
^ f
/2 а2
Освобождаясь от знаменателя, будем иметь:
Это — уравнение кривой четвёртого порядка: таким образом, непо-
неподвижной полодией будет кривая четвёртого порядка. Предыдущему
уравнению удовлетворяют значения х[ = а, у[ = 0; следовательно,
неподвижная полодия проходит через точку пересечения окружности (С)
с осью Oxv Чтобы найти направление касательной к этой кривой
в бесконечно удалённой точке, определим из предыдущего уравнения
dy[
производную —7; мы получим последовательно:
dxi
ау[ = х[ ух'* — а2
и
йхл
Из обоих уравнений мы заключаем, что всегда должно быть: xf
и что при х[, стремящемся к бесконечности, стремятся к бесконеч-
бесконечности также и количества у'х и ¦—7. Отсюда следует, что непо-

§ 83] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 303
движная полодия, удаляясь неограниченно вверх и вправо от точки D,
стремится к направлению, параллельному оси Oyv Заметим, что зна-
значения jd1=y[=O также удовлетворяют уравнению полодии, но эта
точка О есть уединённая точка кривой.
Чтобы найти уравнение подвижной полодии, обратимся к треуголь-
треугольнику АЕС\ мы имеем:
х? = ЕС, у' = АЕ.
Так как будет:
АЕ = a ctg a,
ЕС = АЕ ctg а = a ctg2 а,
то мы получим:
xr = a ctg2 а, У = a ctg а,
т, е.
Следовательно, уравнение
представляет подвижную полодию, которая будет параболой с пара-
параметром, равным -х, имеющей своей осью прямую Ах'. Отсюда сле-
следует, что движение подвижной плоскости, скреплённой с прямой АВ,
может быть получено качением без скольжения параболы у'2 = ах!
по кривой четвёртого порядка:
§ 83. Аналитическое изучение плоско-параллельного движения
абсолютно твёрдого тела. Ускорение. Чтобы получить ускорение
точек плоской фигуры, достаточно взять производную по времени от
обеих частей равенства A9.2); мы будем иметь;
d v dv a
ИЛИ
dv a dm dr
Так как
dr
то мы получим:
Применяя к последнему равенству формулу A8.12), мы будем иметь:

304 ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIX
Так как (O_Lr, то мы находим (§ 18):
следовательно, будет:
w=wA+%lXr — **r. A9.15)
Эта формула даёт возможность вычислить ускорение любой точки
абсолютно твёрдого тела, находящегося в плоско-параллельном дви-
dvA
жении, по известному ускорению Wa = —гг какой-нибудь выбранной
его точки А, угловой скорости вращения со и угловому ускорению
-^. Если будет: со = 0 и -~ = 0, то мы получим: w = Wa> т. е. уско-
ускорения всех точек плоской фигуры будут между собою равны, что оче-
очевидно, так как в этом случае абсолютно твёрдое тело находится в посту-
поступательном движении. Если будет: w = const., то должно быть:
-^У(г = О} и ускорение w есть геометрическая сумма ускорения
dvA
Wa = —гг и центростремительного ускорения — ш2г от вращения
точки В вокруг точки А (§ 79).
Введём те же системы подвижных и неподвижных осей коорди-
координат и те же обозначения, как в предыдущем параграфе, и положим:
Переходя от векторной формулы A9.15) к координатной в неподвиж-
неподвижной системе координат, будем иметь:
h Л *
о о ?
хх — а ух — b 0
— оJ [it (хх — а) +Л Oi — b)\.
Отсюда, приравнивая между собой коэффициенты при 1Х и jv по-
получим:
, V .¦?/ ч S L A9лб)
Найдём такую точку Е, у которой в данный момент ускорение равно
нулю. Обозначая координаты этой точки Е относительно неподвижных

§ 83] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 305
осей координат через ^ и r\v будем иметь из формул A9.16) следую-
следующие соотношения:
О = i
A9.17)
Решая эти уравнения относительно разностей ^ — а и г\х — Ь, получим:
day
Из этих формул легко найти координаты ^ и ^ точки if, ускорение
которой в данный момент равно нулю; точка Е называется центром
ускорений. Сравнивая значения координат ?х и т|а точки ? со значе-
значениями координат #1 и ^i A9.9) центра скоростей С, мы видим, что
центр скоростей С и центр ускорений Е суть, вообще, различные
точки, т. е. в точке С, представляющей в данный момент центр ско-
скоростей, скорость в этот момент будет равна нулю, ускорение же
будет отлично от нуля (§ 82). Вычтем почленно из формул A9.16)
формулы A9.17); мы будем иметь:
A9.18)
Чтобы найти модуль w ускорения w, возведём в квадрат формулы
A9.18), сложим результаты и извлечём квадратный корень из обеих
частей полученного уравнения; мы получим:
Так как сумма (хг — ^Ч-О^ — yjO2 представляет квадрат расстоя-
расстояния от точки В до точки Е, т. е. равна BE2, то из последней фор-
формулы мы находим:
Сравнивая эту формулу с формулой A8.17) и формулы A9.18) с фор-
формулами A8.16), мы заключаем, что ускорение точки В получается

306
ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА
Ггл. xix
таким, каким оно было бы, если бы точка Е была неподвижной и
точка В вращалась вокруг точки Е с угловой скоростью (о. Этим
объясняется название центра ускорений, которое даё'тся точке Е.
Переходя от векторной формы A9.15) к координатной в подвиж-
подвижной системе координат, будем иметь:
i j k
t'Wx'+'JWy=t(WA)x
dt
x у О
Отсюда, приравнивая между собой коэффициенты при / и у, получим:
О О
w,.=
dm
A9.19)
Обозначая координаты центра ускорений Е относительно подвижных
осей координат через ? и г\, будем иметь из формул A9.19) следую-
следующие соотношения:
A9.20)
Вычитая почленно из формул A9.19) формулы A9.20), найдём:
A9.21)
Отсюда, как выше, получим:
«J [(лг - w + Су -
be /(g
Из формул A9.20) можно определить координаты (?, yj) центра уско-
ускорений ?" на подвижной плоскости относительно подвижной системы
осей координат; решая эти уравнения, мы получим:
•4 = -

§ 841
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
307
Сравнивая эти формулы с формулами A9.14) для координат (х\ /)
мгновенного центра С относительно подвижной системы осей коор-
координат, мы ещё раз заключаем, что точки С и Е — мгновенный центр
и центр ускорений — между собой не совпадают.
Обратим внимание на то, что для скорости и для ускорения фор-
формулы в подвижной системе координат и формулы в неподвижной
системе имели своим источником одни и те же векторные формулы.
В этом заключается одна из причин выгоды векторных обозначений,
так как в координатных обозначениях пришлось бы отдельно выво-
выводить с самого начала формулы в неподвижной системе координат и
формулы в подвижной системе, т. е. для каждой системы осей коор-
координат делать все вычисления с самого начала.
§ 84. Некоторые приложения. Из изложенного в предыдущих
параграфах следует, что если известны положение мгновенного центра
и угловая скорость в какой-нибудь момент времени, то мы можем
найти для этого момента скорости всех
точек плоской фигуры. Предположим,
что С есть мгновенный центр, и тре-
требуется найти скорости точек А и В.
Мы знаем, что va = СА • со и vb —
= СВ • со, где СА и СВ суть прямые,
проведённые из мгновенного центра С
в точки А и В, Проведя в точках А
и В перпендикуляры к прямым СА
и СВ в направлении вращения плоской
фигуры и отложив на них отрезки
СА • ш и ВС • о, мы и найдём векторы
скоростей va и Vb-
Рассмотрим несколько примеров.
1. Предположим, что отрезок А
скользит своими концами по двум вза-
взаимно перпендикулярным прямым Ох
и Оу (черт. 185); требуется найти
скорость точки К этого отрезка.
Соединяя мгновенный центр С с точкой К и откладывая на перпен-
перпендикуляре к прямой КС в точке К отрезок длиной СК • со, мы и най-
найдём вектор Vk скорости точки К. Так как вектор dr бесконечно
малого перемещения равен вектору скорости, умноженному на диф-
дифференциал времени, т. е. dr = v dt, то вместе с тем мы находим и
бесконечно малое перемещение dr точки К, как показано на черт. 185.
Заметим, что такой способ определения весьма малых перемещений
точек плоской фигуры довольно часто применяется на практике.
2. Пусть дана система стержней АВ, EG, F^A, FFV ЕЕг,
у которых в точках Л, В, Fv Ev F, Е имеются шарниры, стержень
же АВ на своём конце имеет ползунок D, скользящий по неподвижному
О
Черт. 185.

308
ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ.
стержню EG (черт. 186). Требуется найти центр скоростей С
стержня АВ. Так как точки Рг и Ег стержня FXE^A должны описы-
описывать дуги окружностей с центрами соответственно в точках F и ?",
Черт. 186.
то центр скоростей FXEXA лежит в точке О; поэтому скорость точки А
должна быть перпендикулярна к прямой ОА и центр скоростей
Стержня А В должен лежать на прямой О А. Отсюда заключаем, что
центр скоростей лежит в точке пересечения
прямой ВВГ, перпендикулярной к прямой EG,
у Я с прямой АО, т. е. в точке С. Следовательно,
бесконечно малое перемещение dr какой-нибудь
точки К стержня АВ должно быть направлено
перпендикулярно к прямой С К в сторону, ука-
указанную на черт. 186, если угловая скорость со
положительна, и противоположно этому на-
направлению, если количество а> отрицательно.
3. Предположим, что нам известны век-
векторы va и Vb скоростей двух каких-нибудь
точек А и В плоской фигуры (черт. 187).
Очевидно, что векторы va и vb не могут
быть произвольными, так как точки А и В
принадлежат одной и той же плоской фигуре.
Проведя прямые ACLva и BCA-Vb* мы найдём мгновенный центр
в точке пересечения С этих прямых ЛС и ВС. Отложим в некотором
одном и том же масштабе скорости va и vb на прямых СА и СВ
в виде отрезков Са и СЬ. Соединяя между собою точки а и b пря-
прямой, мы получим треугольник Cab, который называется планом ско-
скоростей. Предположим, что мы хотим найти скорость какой-нибудь

§ 841 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 309
точки D плоской фигуры. Соединим точку D с точкой С, точку А
с точкой D и проведём ad\\AD. Тогда отрезок Cd представит ско-
скорость точки D в том же масштабе, какой был принят для изображе-
изображения скоростей va и Юв отрезками Са и СЬ. В самом деле, обозначим
масштаб через \ъ, так что va = ^СА\ с другой стороны, из подобия
/\CAD и /\Cad имеем:
С A CD САчл CD-со
= -777-, ИЛИ
Са Cd* """ Са ~ Cd ш
Отсюда получаем:
Са Cd *
vA vn
Так как мы имеем:-т^ = |х, то, следовательно, будет: — = ji, т е.
*oD = jxCd, что и требовалось доказать. Мы видим, что, зная тре-
треугольник Cab, мы можем найти скорость любой точки плоской фи-
фигуры; этим объясняется название плана скоростей, которое дано тре-
треугольнику Cab.
4. Совокупность двух тел — такая, что первое тело ограничивает
движение второго тела, и второе тело ограничивает движение первого
тела, называется кинематической парой\ тела, составляющие кине-
кинематическую пару, называются звеньями пары. Чтобы ограничение
взаимного движения звеньев могло иметь место, необходимо, чтобы
звенья касались друг друга; геометрические образы, по которым про-
происходит это соприкосновение, называются элементами кинематиче-
кинематической пары. Кинематические пары называются низшими, если их эле-
элементы суть поверхности, и называются высшими, если их элементы
суть линии или точки. Такая низшая кинематическая пара, у которой
звено имеет относительно другого звена только одно поступательное
движение, называется поступательной парой; такая низшая кинема-
кинематическая пара, у которой звено имеет относительно другого звена
только одно вращательное движение, называется вращательной парой;
такая низшая кинематическая пара, у которой звено имеет относительно
другого звена только одно винтовое движение, называется винтовой
парой. Первую пару можно себе представить в виде призмы, по ко-
которой скользит тело с прорезом по призматической поверхности. Вторая
пара может быть представлена в виде круглого цилиндрического
стержня, на который насажено тело с цилиндрическим прорезом, могу-
могущее только вращаться, но не могущее двигаться поступательно вдоль
цилиндрического стержня. Наконец, третью пару изображает гайка
с винтовой нарезкой, насаженная на винт. Очевидно, что эти пары
дают возможность обращать движение, т. е. оставлять, например,
неподвижным тело и перемещать проходящую через него призму.
Если несколько кинематических пар связано между собою так,
что каждое звено входит не больше, чем в две кинематические пары,

310 ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIX
то такая система кинематических пар называется простой кинема-
кинематической цепью. Если каждое из всех звеньев простой кинематической
цепи входит в две кинематические пары, то такая простая кинематиче-
кинематическая цепь называется замкнутой; если же у простой кинематической
цепи имеются звенья, которые входят только в одну кинематическую
пару, то такая простая кинематическая цепь называется незамкнутой.
Если при заданном движении одного или нескольких звеньев все
остальные звенья имеют вполне определённые движения, то такая
кинематическая цепь называется механизмом. Учение о кинематиче-
кинематических цепях и механизмах можно найти, например, в книге И. И. Арто-
Артоболевского «Теория механизмов и машин», 1953 г.
Математическая теория механизмов весьма многим обязана знаме-
знаменитому математику, акад. Пафнутию Львовичу Чебышеву A821—1894),
который, занимаясь сначала чисто теоретическими математическими
проблемами, затем часто сознательно ставил и решал математические
проблемы, исходя из вопросов практики.
Рассмотрим плоскую замкнутую кинематическую цепь, все звенья
которой суть стержни, имеющие в своих концах цилиндрические
шарниры; таким образом, рассматриваемая плоская кинематическая
цепь состоит только из вращательных пар. Очевидно, что число
звеньев должно быть больше трёх, так как три звена, образуя тре-
треугольник, не предоставляют возможности
для относительного движения звеньев.
Поэтому простейшая замкнутая кинема-
кинематическая цепь должна состоять из четы-
четырёх звеньев, как показано на черт. 188.
Если в этой кинематической цепи мы
закрепим, например, звено АВ, то, так
как движения остальных звеньев ВС,
Черт. 188. CD и DA будут вполне определены, мы
получим механизм; этот механизм назы-
называется шарнирным четырёхзвенником. Звено с носит название шатуна;
звенья bud называются кривошипами, если они могут совершать
полный оборот вокруг точек А и В, и коромыслами — в противном
случае.
Нетрудно найти достаточное условие того, чтобы звено b или d
было кривошипом. Предположим, что будет d <а. Если d есть криво-
кривошип, то возможны два его положения, которые обеспечивают его
полный оборот вокруг точки А; эти положения изображены на черт. 189
(/) и (//). Пусть будет с > Ь. Тогда из черт. (/) по свойству сторон
треугольника мы имеем:
а — d^,c — b\
из черт. (II) получаем: a-\-d<?c-\-b.
Вычитая из второго неравенства первое, находим 2d < 2b, т. е. криво-
кривошипом должно быть меньшее из звеньев dub. Так как мы пред-

§ 84]
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
311
положили, что я > d, с > by и нашли, что b > d, то отсюда следует,
что кривошипом будет наименьшее из четырёх звеньев. Предыдущие
два неравенства можно представить ещё в следующем виде:
Будет ли звено а больше или меньше звена с, оба эти неравенства
будут удовлетворены при условии, что сумма наибольшего и наимень-
Черт. 189.
шего звеньев меньше или равна сумме двух остальных звеньев. Пред-
Предположение с < b приводит к аналогичному выводу. Таким образом
мы приходим к следующему предложению:
Чтобы звено четырёхзвенного механизма было кривошипом,
достаточно, чтобы оно было наименьшим из четырёх звеньев, и
сумма наибольшего и наименьшего звеньев была меньше или равна
сумме двух остальных звеньев. g
Из рассмотренных нами треуголь-
треугольников можно вывести также и не-
неравенства
а — d^CbA-c, aA-d^c— b.
Мы не пользовались этими неравен-
неравенствами, так как они приводят ?к
к всегда удовлетворяющимся оче-
очевидным неравенствам
Рассмотрим движение шатуна CD Черт. 190.
(черт. 190). Точки С и D, при-
принадлежащие коромыслам ВС и AD и являющиеся одновременно кон-
концами шатуна CD, описывают при своём движении дуги окружностей
с радиусами, равными b и d, с центрами в точках В и А. Следова-
Следовательно, по § 81 мгновенный центр О скоростей шатуна CD лежит
в точке пересечения нормалей к этим окружностям, проведённым

312 ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIX
в точках С и D, т. е. в точке пересечения продолжений коромысел ВС
и AD. Возьмём какую-нибудь точку К шатуна CD и найдём её ско-
скорость <Ок. Согласно предыдущему модуль этой скорости равен Q • ОК,
где Q есть абсолютная величина угловой скорости вращения шатуна,
направление же скорости точки К будет перпендикулярно к пря-
прямой ОК, т. е.
где п° есть единичный вектор, перпендикулярный к прямой ОК.
Чтобы определить угловую скорость Q, применим предыдущую фор-
формулу к одному из концов шатуна, например к точке D\ мы получим
для модуля vd вектора скорости точки D выражение
vD = 2 • OD.
С другой стороны, для модуля vd скорости точки D мы имеем:
Vd = <*>d 5= со • AD,
причём угловая скорость со всегда известна, так как она задаётся
режимом движения механизма. Из этих двух равенств получаем:
Q • OD = со • AD-,
или
Q = (o —
Следовательно, будет:
Таким образом, скорость произвольной точки К шатуна определяется
через простое соотношение длин стержней механизма.
При выполнении этого построения может случиться, что точка О
лежит так далеко, что она не помещается в пределах чертежа. Оче-
Очевидно, что это будет тогда, когда положения коромысел ВС и AD
близки к параллельным друг другу. Для определения скорости точки К
шатуна в этом случае проведём АЕ\\ВС и продолжим шатун CD до
пересечения его в точке Е с прямой АЕ. Мы получим треугольник
AED, который будет подобен треугольнику OCD вследствие попар-
попарной параллельности их сторон.
Возьмём на прямой ED такую точку L, чтобы было:
EL __ СК
LD~KD'
Отсюда имеем:
EL . - __СК .
или
ЕР _СР
LD ~ KD'

§ 85] примеры 313
т. е.
ЕР =LD
CD KD*
Из подобия треугольников AED и OCD находим:
ЕР _ЛР
W~~OP*
На основании предыдущей пропорции будем иметь:
АР _LP
ОР~ КР'
или
АР __ОР
LP ~КРт
Отсюда мы заключаем, что треугольники ALD и OKDy как имеющие
по равному углу с вершиной в точке D, заключённому между про-
порциональными сторонами, будут подобны между собою. Следова-
Следовательно, должно быть:
ОК__КР _ОР
AL ~ LP ~~* АР '
Отсюда будем иметь:
OK-AL.%
Вставляя это значение в предыдущее выражение для вектора Vr ско-
скорости точки /С, мы получим:
*ок = п°а> • AL.
Мы видим, что для определения скорости Юк достаточно измерить
отрезок AL, что всегда возможно, так как треугольник ADE всегда
уместится в пределах чертежа.
Заметим, что вследствие подобия треугольников OKD и ADL
всегда будет: AL\\OKt так что вектор п° будет перпендикулярен и
к прямой AL. Очевидно, что треугольник ADE представляет план
скоростей для шатуна СД так как, совмещая точку К с точками С
и /3, мы найдём, что vq = <о • АЕ и tij> = со • AD, т. е. отрезки АЕ
и AD пропорциональны скоростям точек С и D.
§ 85. Примеры. 61. В каком месте следует установить шип у ломбержь
карточного стола, чтобы верхнюю доску стола можно было повернуть на
прямой угол и раскрыть стол обычным способом? В закрытом виде доска
ломберного стола представляет собой прямоугольник, у которого длина
АВ=21 в два раза больше ширины АР = 1 (черт. 191). Верхняя доска АВСР
стола может быть повёрнута вокруг шипа на 90° в положение А'В'С'Р', и
затем стол может быть раскрыт, так что его верхняя доска примет
форму квадрата, сторона которого равна 2/. Согласно указаниям § 81
разделим отрезки СО и ВВ/ пополам и в их срединах G и К восставим

314
ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. XIX
перпендикуляры; точка О пересечения этих перпендикуляров и будет центром
вращения верхней доски, т. е. тем местом, где следует установить шип. Так как
D'C=BC = i5", то мы получим, что СС/ = -^-; отсюда мы найдём, что
= JT-> BG
/
4 2
Далее, прямоугольные треугольники OKF и ВВГС будут подобны по^ равен-
D
в1
О F
(, ству углов; следовательно, должно быть:
OF ВС
D
С или
FK
ВС
' В'С
В'
с *
1
1 
2 /
Таким образом, находим:
/ 3/
Зная, что BG=z-r, ОС = -Г , мы тем
Чрпт 191
F ' # самым знаем место, где следует установить
шип.
62. Вывести уравнения неподвижной и подвижной полодий для шатуна АВ
паровой машины (черт. 192). Для составления уравнения неподвижной поло-
полодии мы возьмём систему неподвижных прямоугольных осей координат Ох^уь
а для составления уравнения подвижной полодии мы возьмём систему по-
подвижных прямоугольных осей координат Аху. Очевидно, что звено ОВ есть
Черт. 192.
кривошип, так как точка В совершает полный оборот вокруг точки О. Легко
видеть, что мгновенным центром шатуна АВ будет точка С пересечения
продолжения ОВ с перпендикуляром в точке А к прямой Ох^ обозначим
координаты точки С через (х[, jt), где

§ 85] примеры 315
Введём обозначения ОВ = а, АВ = b, /.BOA = а, ?ВАО = р. Сделав чертёж
для различных значений угла а, легко убедиться, что при значениях угла а,
лежащих в первой и третьей четвертях, будетз^>0, а при значениях
угла а, лежащих во второй и в четвёртой четвертях, будет у[ < 0. Для зна-
значений угла а, лежащих в первой четверти, мы из черт. 192 получим:
х\ = О А = a cos a + Ь cos р, a sin а = Ь sin р, >у1 = ^ tg а.
Из первых двух уравнений находим:
Ь cos р = х[ — a cos а, Ь sin р = # sin а;
возводя их в квадрат и складывая результаты, будем иметь:
Ь2 = х[ -\-с? — 2ах[ cos a.
Отсюда имеем:
COS a = , cos2 a = •
2ax[
Так как
то мы найдём:
cos2 a = -
Приравнивая между собой оба полученных эыражения для количества
cos2 а, мы и придём к уравнению неподвижной полодии в прямоугольных
координатах следующего вида:
Введём полярные координаты (г[, у[) по формулам
Мы получим:
х[ = ri cos ср^, у( = г[ sin с
4й2г( cos2 ^
Освобождаясь от знаменателя и извлекая квадратный корень, будем иметь:
rf cos2 у[ — (b2 — а2) = J 2 ^
Так как при а = 0 должно быть:

316 ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ, XIX
то мы заключаем, что в правой части следует взять знак плюс. Таким обра-
образом, будет:
r'l cos2 ?! - (b2 — a2) = + 2ar[ cos2 <?
или
Так как при ср± = 0 должно быть: г± = я + Ъ} то отсюда следует, что при
корне надлежит взять знак плюс, и для промежутка ~2">^>0 мы получим
уравнение неподвижной полодии в полярных координатах в следующем
окончательном виде:
cos ф, =
Перейдём теперь к выводу уравнения подвижной полодии, обозначив
через (х'у yf) координаты мгновенного центра С относительно подвижной
системы прямоугольных осей координат Аху. Мы имеем:
хт = AC cos р, у' = AC sin р, AC=OA- tg a;
следовательно,
*' = СМ. tg a cos р, y = O-4.tgosinp.
Введём полярные координаты (г7, q/) точки С по формулам
хг = г7 cos Y? Уг = ^ sin ?'•
Мы видим, что должно быть:
Из второго и первого уравнений мы получим:
г7 = (a cos а + Ъ cos Р) tg а = a sin a + b cos ф7 tg а.
Из равенства a sin а = b sin р = b sin ф7 мы будем иметь:
a sin а = Ь sin ф7, а cos а = У а2 — b2 sin2 ф7,
^ sin ф7
tga = —¦¦¦. ¦¦'¦ t
уа2 — b* sin3 ф7
Следовательно,
г7 = & sin ф7 + # cos ф7
т. е.
Так как всегда имеет место неравенство т-<1» то мы можем положить
-т- = sin e; тогда мы найдём:
у) — sin2 97 = (sin s + sin ф7) (sin e — sin ф7) =
cos ^—y^ 2 sin ^-^ cos ^-y^ ^ Sin (e + ^ Sin (s ""

§ 85]
ПРИМЕРЫ
317
Таким образом, мы приходим к следующему уравнению неподвижной поло-
полодии в полярных координатах:
г' = Ь sin
+
COS <р
V"sin (s
а—1.
sin (s — <p') J
Заметим, что если будет а = —, т. е. будет ОВ±ОХ, то точка С уйдёт
в бесконечность, и мы будем иметь:
Г} = г = оо, л^ = К & — а\ Ti = у, <Р = ?.
Мы не будем воспроизводить выкладки, не представляющие затрудне-
затруднений, для значений угла а в остальных четвертях.
63. Воспользоваться планом скоростей для нахождения скоростей точек
шатуна паровой машины.
Механизм паровой машины получается через деформацию шарнирного
механизма (черт. 188) с четырьмя звеньями, когда звено ВС является коро-
коромыслом, звено AD — кривоши-
кривошипом и точка В удаляется ?
в бесконечность. Мы будем
иметь в этом случае черт. 193.
Так как точка В будет беско-
бесконечно удалённой точкой, то пря-
прямые АВ и СВ, пересекаю-
пересекающиеся в бесконечно удалённой
точке,сделаются параллельным и
между собою. В четырёхзвен-
ном механизме точка С описы-
описывает дугу окружности с радиу-
радиусом, равным ВС; так как точка
В — бесконечно удалённая, то
эта окружность превращается
в прямую (Г), по которой
должна скользить точка С.
Мы знаем, что для получе-
Черт. 193.
ния мгновенного центра О шатуна CD следует продолжить прямую AD до
пересечения её с продолжением ВС1 т. е. до пересечения продолжения пря-
прямой AD с перпендикуляром к прямой (Г), восставленным в точке С. Если
точка О на чертеже не помещается, то мы мажем обратиться к построению
плана скоростей, как было указано выше. Для этого проведём через
точку А прямую АЕ || ВС, т. е. перпендикулярную к прямой (Г), и продолжим
шатун CD до встречи в точке Е с прямой АЕ. Пусть требуется определить
скорость какой-нибудь точки К шатуна CD. Тогда на прямой DE берём
точку L так, чтобы было
EL _ СК
LD~~ KD%
Соединим точку L с точкой А прямой AL; по предыдущему скорость vK
точки К будет равна
<ок = п°и> • AL,
где (о есть угловая скорость кривошипа AD, an0 есть единичный вектор,
перпендикулярный к прямой AL% Этот пример ясно показывает всю пользу
применения плана скоростей.

318
ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА
Ггл. xix
64. Тело, ограниченное заданной поверхностью вращения S, может пере-
перемещаться винтовым движением вдоль некоторой фиксированной оси. В по-
поверхность S тела с нажимом упирается прямолинейный штифт так, что ось
штифта всегда остаётся перпендикулярной к оси рассматриваемого тела, сам
же штифт может перемещаться поступательно параллельно своей оси. Если
бы штифт кончался остриём, то положение штифта во всякий момент опре-
определяло бы радиус заданного тела вращения, т. е. длину перпендикуляра,
опущенного из точки прикосновения штифта к поверхности S на ось рас-
рассматриваемого тела. Однако окантовать штифт остриём практически непри-
неприемлемо, так как остриё будет царапать и тем самым портить поверхность S;
поэтому штифт заканчивается полушарием, диаметр которого равен диа-
диаметру штифта. Отсюда проистекает ошибка, ясная из черт. 194; именно,
если бы штифт кончился остриём, то он показал бы радиус С А тела, тогда
как он покажет радиус СВ. Требуется найти такую поверхность, прикасаясь
Черт. 194.
Черт. 195.
к которой штифт, кончающийся полушарием, давал бы точные радиусы тела.
Эту задачу можно решить чисто графически. Пусть будет L — линия пере-
пересечения поверхности S с плоскостью чертежа. Если мы наложим сечение
штифта так, чтобы конец А оказался на линии L, как это показано на
черт. 195, то часть полукруга попадёт налево от линии Ц мы вычертим эту
часть. Выполнив такое построение для многих точек линии L и найдя оги-
огибающую U выступающих частей полуокружностей, мы и найдём тем самым
линию U пересечения искомой поверхности с плоскостью чертежа. Так как
искомая поверхность должна быть поверхностью вращения, то она получается
от вращения линии U вокруг оси А.
65. Решить задачу 64 аналитически, если дано, что р =/(а) есть уравнение
линии L, где а суть абсциссы, а g — ординаты её точек. Если радиус
полусферы конца штифта есть /?, то уравнение окружности, имеющей центр
в некоторой точке 01(ol + R} p) и проходящей через точку А линии L,
будет:
(X - а - #J + [у -/(а)]2 = tfa,
ИЛИ
F (а) = {X - ос - /?)> + [у —/(а)]* - /?2 = 0.
Мы найдём огибающую этих окружностей, исключая количество а из
уравнений F (а) = 0 и F' (а) = 0; мы получим:
Так как /' (а) = tg у, где <р есть угол касательной к линии L в точке А
с осью Ох, а в уравнении F(a) =0 мы можем положить:
X — а—R = R cos со, у—/(а) = /?sin ш,

§ 85]
ПРИМЕРЫ
319
где to есть угол радиуса R окружности с осью Ох, то из уравнения
р1 (а) = 0 мы будем иметь:
или
COS со + Sill @ tg у = О,
1 + tg о) tg <р = 0.
Из этого уравнения следует, что радиус /?, проведённый в точку прикосно-
прикосновения окружности с кривой L, перпендикулярен к касательной, проведённой
в точке А к кривой L, т. е. должно быть: 03 = -^- + ^ (черт. 196). Обозна-
Обозначим угол радиуса /?, проведённого в точку прикосновения окружности с кри-
кривой L, с направлением О^А через 0; тогда будет о> = к — 0, и мы
получим:
Таким образом, мы будем иметь:
Отсюда следует, что для построения
кривой L следует измерить угол — — у,
Черт. 196.
Черт. 197.
который касательная с кривой L в точке А образует с осью Оу, и
под этим углом провести радиус О^К = R, как показано на черт. 196; тогда
точка К и будет точкой линии U. Выполнив такие построения для различ-
различных значений ординаты р, мы получим систему точек линии Z/.
66. Прямолинейный стержень DB, могущий вращаться в плоскости П
вокруг точки D, имеет у своего конца В прикреплённую к нему плоскую
фигуру S, расположенную в плоскости и ограничиваемую кривой (С), как
это изображено на черт. 197. Четырёхколенный стержень AQPMM, который
может вращаться в той же плоскости П вокруг точки Д прижимается своим
концом к граничной кривой (С) фигуры S. Стержень DB образует угол \
с прямой AD, а стержень AQ — угол р. Найти такую форму кривой (С),
при которой между углами р и у будет иметь место заданная функцио-
функциональная зависимость, т. е. каждому значению угла f будет соответствовать

320
ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА [гл. XIX
определённое заданное значение угла В, и наоборот. Дано: AD = L PN —• п
AQ = п2, PQ — NM = Ъ, DE = lt. ' ~ г
Соединим прямой AM точку А с точкой М и положим AM = Л; далее
пусть будет ?MAD = $' и /AL4Q = ф. Очевидно, что мы будем знать кри-
кривую (С), если будем знать длину р перпендикуляра MR, опущенного из
точки М на прямую DB, и длину х отрезка ER3
представляющего расстояние от начальной
точки Е прикрепления фигуры 5к стержню DB
до основания R перпендикуляра MR. Обра-
Обратимся к черт. 198, у которого точки, общие
с черт. 197, обозначены теми же буквами.
Опустим перпендикуляр МИ на прямую AD. Из
треугольника АМН мы имеем:
МН = V sin p9 АН =/'cosp',
DH = AD — А И = L — /' cos 0'.
Поэтому
«(Z — Z'cospOtgT.
Таким образом, мы находим:
MG = MH—GK = V sin р' — (L — /' cos р') tg y,
Н или
., sin В' cos y + cos Ьг sin y
= lr - ! — L tg y =
_?
cos y
Так как р7 = p + ф, как это видно из черт. 197,
то мы получим:
MG = i
cos
ИЛИ
Черт. 198.
sin
^ cos Ф+cos
sin
cos
обращаясь к черт. 197 и замечая из черт. 198, что будет:
р = MR = MG cos y»
мы найдём:
р = (nt + щ) sin (p + y) + & cos (p + y) — L sin •
Для определения длины х заметим, что
Из треугольника DMR мы имеем:
Так как
tg ш ""
l'-Г tg со — tg T •
МН U sin p'
, — /' cos

§ 85] примеру 821
то мы получим:
1 -t- tg <о tg у ? —l* cos V + V sin B' tg y __
tg Ш — tg y ~" /' sin p' — (Z, — Л cos p') tg y ~
___ A cos Y — ^ (cos p' cos y — sin p' sin y)
~" Lr (sin p' cos Y + cos $' sin y) — L sin y '
т. е. мы приходим к формуле
1 + tg ш tg y __ ? cos y --^ cos (p' + j) _ I cos y — lr cos (P 4- y + Ф)
tg (o _ tg y ~" ^ sin (p7 + y) — L sin Y "" ^ sin (p + y + Ф) — ^ sin Y
Отсюда мы будем иметь:
1 + tg со tg у _, ^ cos y — [cos (p + y) V cos ф — sin (P + y) ^ sin ф] _
tg ш — tg y sin (p + y) lr cos ф + cos (p + y) ^ sin ф — Z. sin y ~"
__ L cos y — fa + n2) cos (p + y) + Ь sin (p + y)
{щ + n%) sin (p + y) +b cos (P + y) — L sin Y * .
Обращая внимание на формулу для величины р, найдём:
1 ^ tg u) tg y _ ^ cos y — («i + я2) CQS (P + T) + Ь sin (p + y)
tgco — tgY P
Таким образом, будет:
DR = L cos y — (пг + п2) cos (P + y) + * sin (p + T),
и мы получим:
a: = L cos y + Ь sin (P + y) — fa + «2) cos (P + y) — 'i-
Из полученных для величин р и х формул можно определить координаты
(х, р) точек кривой (С) в зависимости от пар значений углов (р, y) и от
значений конструктивных параметров L, Ь, пь пь /2.
11 Зак. 1709. А. И. Некрасов

ГЛАВА XX.
ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА
ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ,
§ 86. Геометрическое изучение вращения абсолютно твёрдого
тела вокруг неподвижной точки. В этой главе мы рассмотрим сна-
сначала геометрически, а затем аналитически вращение абсолютно твёр-
твёрдого тела вокруг неподвижной точки.
Если абсолютно твёрдое тело движется таким образом, что
какая-нибудь точка, неизменно связанная с телом, остаётся не-
неподвижной, то такое движение называется вращением твёрдого
тела вокруг неподвижной точки.
Неподвижная точка О может или принадлежать телу, или нахо-
находиться вне тела, но тогда следует представлять, что она каким-нибудь
образом неизменно связана с телом, например при помощи стержня.
Примером твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, может слу-
служить волчок, конец оси вращения которого упирается в гнездо, сде-
сделанное в подставке, так что этот конец оси при вращении волчка
остаётся неподвижным.
Предположим, что абсолютно твёрдое тело вращается вокруг не-
неподвижной точки О. Опишем вокруг точки О сферу таким радиусом,
чтобы эта сфера пересекла тело; тогда сечение тела сферою будет
некоторой сферической фигурой, расположенной на поверхности сферы
и ограниченной некоторым контуром (f). Зная, как перемещается
сферическая фигура по поверхности сферы, мы будем знать, как переме-
перемещается тело вокруг точки О. Таким образом, мы привели изучение движе-
движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки к изучению движения
сферической фигуры по поверхности сферы. Мы видим, что пришли
к задаче, вполне аналогичной той задаче, к которой сводилось изуче-
изучение плоско-параллельного движения абсолютно твёрдого тела, с той
только разницей, что вместо рассмотрения движения плоской фигуры в ее
плоскости мы в настоящем случае должны рассматривать движение
сферической фигуры по поверхности сферы. Поэтому все выводы,
приведённые в § 81, без существенных изменений повторяются и здесь.
Прежде всего вместо того, чтобы следить за перемещением какой-
нибудь сферической фигуры, ограничиваемой контуром (-f), по поверх-
поверхности сферы, мы можем, как в § 81, проследить за перемещением

§ 86]
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
323
двух каких-нибудь точек А и В этой фигуры или, что то же самое,
дуги АВ большого круга, соединяющей эти две точки (черт. 199).
Предположим, что сначала при положении / тела эта дуга большого
круга занимала положение АВ, а затем, после перемещения твёрдого
тела в положение //, она заняла положение А'В\ Соединим точки А
и А', затем точки В к В' дугами АА! и ВВГ больших кругов, раз-
разделим эти дуги в точках L и М пополам и проведём через точки L
и М дуги больших кругов, перпендикулярные к дугам AAf и ВВ\
Эти дуги пересекутся в некоторой точке С, лежащей на полушарии,
обращенном к читателю, а также
в диаметрально противоположной точке
С, лежащей в другом полушарии. Со-
Соединим точку С дугами больших кругов
^СА, СВ, СА',СВ' с точками Л, В, А',
Вг\ мы получим равные между собою
сферические треугольники CAB и СА'В'.
Мы видим, что достаточно повернуть
сферический треугольник CAB вокруг
его вершины С на угол АСА'\ чтобы
привести дугу АВ в совпадение с ду-
дугой А!ВГ. Отсюда следует, что мы
можем перевести твёрдое тело из поло-
положения / в положение //, закрепив в теле *
сверх точки О ещё точку С и, следо-
следовательно, вращая тело вокруг оси ОС. Таким образом, мы приходим
к* теореме Даламбера:
Всякое тело, имеющее неподвижную точку, можно перевести
из одного положения в другое одним вращением вокруг оси, про-
проходящей через неподвижную точку.
Условимся называть эту ось осью эквивалентного вращения.
Заметим, что мы могли бы привести треугольник CAB в совпаде-
совпадение с треугольником СА!ВГ также и вращением вокруг точки С в об-
обратном направлении; мы будем всегда выбирать наименьший угол по-
поворота, так как в дальнейшем нам придётся иметь дело лишь с бес-
бесконечно малыми углами поворота. Что касается знака направления
вращения, то, выбрав на оси вращения одно из двух направлений ОС
или ОСУ за положительное, мы будем считать вращение положитель-
положительным, если оно происходит для наблюдателя, расположившегося вдоль
положительного направления оси, против стрелки часов, и отрицатель-
отрицательным— в противоположном случае.
Очевидно, что такой перевод твёрдого тела из положения 1 в по-
положение // одним вращением вокруг некоторой оси, вообще, никоим
образом не представляет действительного перемещения тела, но, как
Черт. 199.
и*

324 ВРАЩЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ Г™. XX
и в случае плоской задачи, мы тем ближе опишем действительное переме-
перемещение, чем ближе будет положение II тела к положению У. Если поло-
положение // абсолютно твёрдого тела будет бесконечно близко к положе-
положению /, так что тело переходит из положения / в положение // за
бесконечно малое время, то в пределе мы получим ось, вращение
вокруг которой абсолютно твёрдого тела на бесконечно малый угол
бесконечно близко опишет действительное бесконечно малое пере-
перемещение тела. Эта ось называется мгновенной осью вращения. От-
Отсюда мы приходим к следующему определению:
Мгновенной осью вращения для данного момента времени на-
называется предельное положение оси вращения, эквивалентного
перемещению тела за следующий за данным моментом времени
бесконечно малый промежуток времени. .
Из этого определения мгновенной оси вращения, принимая во вни-
внимание свойства определённого выше мгновенного центра вращения
(§§ 81 и 82), мы заключаем, что точки самой мгновенной оси вра-
вращения скоростей иметь не могут. Поэтому можно дать ещё следую-
следующее определение мгновенной оси вращения: *
Мгновенной осью вращения абсолютно твёрдого тела называется
проходящая через неподвижную точку тела прямая, скорости
точек которой в рассматриваемый момент равны нулю.
Рассмотрим теперь какое-нибудь конечное перемещение абсолютно
твёрдого тела, имеющего неподвижную точку. Разобьём это переме-
перемещение на ряд бесконечно малых перемещений и построим для каждого
такого перемещения мгновенную ось вращения. Геометрическое место
мгновенных осей вращения в пространстве представит некоторую
коническую поверхность, которая называется неподвижным аксои-
дом. Эта коническая поверхность имеет вершину в неподвижной точке
тела и пересекает вышеуказанную неподвижную сферу по некоторой
сферической линии (Г).
Представим себе, что мы отмечаем место мгновенных осей враще-
вращения также и в теле. Чтобы лучше представить себе, как это проис-
происходит, прибегнем к следующему наглядному образу. Именно, пусть
будет ОС мгновенная ось вращения абсолютно твёрдого тела, опре-
определённая для первого бесконечно малого перемещения тела. Проткнём
тело бесконечно тонким прямолинейным стержнем вдоль этой оси ОС
и повернём вокруг этого стержня тело на бесконечно малый угол так,
чтобы тело заняло следующее второе рассматриваемое положение,
бесконечно близкое к первому начальному положению тела; затем вы-
вынем из тела этот бесконечно тонкий стержень, в результате чего
в теле останется бесконечно тонкий канал, проходящий через непо-
неподвижную точку О. Далее, мы должны поворачивать абсолютно твёрдое
тело вокруг другого бесконечно близкого положения ОСХ мгновенной
оси вращения; поэтому проткнём тело стержнем вдоль OCt и повер-
повернём тело вокруг этого стержня на бесконечно малый угол так, чтобы
тело заняло третье рассматриваемое положение, бесконечно близкое

§ 86] ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА 325
ко второму положению. Очевидно, что при этом втором вращении
канал в теле, образованный осью ОС, отойдёт от неподвижной пря-
прямой ОС в пространстве, представляющей первое положение оси вра-
вращения в пространстве. Вынем затем из тела этот бесконечно тонкий
стержень, в результате чего в теле останется второй бесконечно тон-
тонкий канал, также проходящий через неподвижную точку О. Далее
мы должны поворачивать абсолютно твёрдое тело вокруг следующего
бесконечно близкого положения мгновенной оси вращения; поэтому
проткнём тело вдоль ОС2 стержнем и повернём тело вокруг этого
стержня на бесконечно малый угол так, чтобы тело заняло четвёртое
рассматриваемое положение, бесконечно близкое к третьему положе-
положению. Очевидно, что при этом третьем вращении канал в теле, обра-
образованный осью OCV отойдёт от неподвижной прямой ОСХ в прост-
пространстве, представляющей второе положение оси вращения в пространстве;^
при этом первый канал в теле ещё дальше отойдёт от йеподвижной
в пространстве прямой ОС. Вынем затем из тела этот бесконечно
тонкий стержень, в результате чего в теле останется третий бесконечно
тонкий канал, проходящий через неподвижную точку О, и т. д. Если
размеры тела таковы, что мгновенные оси не пересекают тела, то
всегда можно вообразить размеры тела настолько увеличенными, что-
чтобы оси прошли через тело. Продолжая эти рассуждения, мы видим,
что геометрическое место каналов внутри тела, представляющее гео-
меарическое место мгновенных осей вращения в теле, также пред-
представляет коническую поверхность, имеющую вершину в неподвижной
точке О тела. Следовательно, геометрическое место мгновенных
осей вращения в теле представляет некоторую коническую поверх*
ность, которая называется подвижным аксоидом.
Вообразим, что вышеуказанную неподвижную сферу, на которой
имеется сферическая линия (Г), обволакивает подвижная сфера, на-
наглухо скреплённая с подвижной сферической фигурой, ограничиваемой
контуром (-(); очевидно, что эта подвижная сфера будет наглухо
скреплена и с телом, и её скольжение по неподвижной сфере вполне
¦ определяет движение абсолютно твёрдого тела. Эта подвижная сфера,
обволакивающая неподвижную сферу и по ней скользящая, вполне
аналогична подвижной плоскости, скользящей по неподвижной плоскости
(§ 81). Геометрическое место мгновенных осей вращения в теле, т. е.
подвижной аксоид, пересекает эту подвижную сферу по некоторой
сферической линии (Г'). Эти сферические линии (Г) и (Г') вполне
аналогичны неподвижной и подвижной полодиям плоской задачи.
Нетрудно показать, что, зная линию (Г), т. е. следы мгновен-
мгновенных осей вращения на поверхности неподвижной сферы и беско-
бесконечно малые углы поворота абсолютно твёрдого тела, можно
найти следы мгновенных осей вращения на подвижной сфере, т. е.
линию (ГО. Мы не будем проводить здесь этого рассуждения, так
как для этого достаточно полностью повторить все рассуждения § 81
применительно к черт-, 178, с той только разницей, что.всюду вместо

326
ВРАЩЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XX
прямых придётся брать дуги больших кругов. Как и в §81, из этого
рассуждения будет следовать, что при вращении абсолютно твёрдого
тела вокруг неподвижной точки линия (Г') будет катиться без сколь-
скольжения по линии (Г). Так как эти линии суть следы подвижного и
неподвижного аксоидов, имеющих общую вершину в неподвижной
точке тела, то отсюда мы приходим к следующей теореме:
Движение твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, можно
представить как качение без скольжения подвижного аксоида по
неподвижному. Образующая, по которой в данный момент со-
соприкасаются оба аксоида, есть для данного момента мгновенная
ось вращения твёрдого тела.
Как и для плоского движения, отметим, что с помощью аксоидов
при произвольной скорости качения подвижного аксоида по неподвиж-
неподвижному мы воспроизводим действительное движение абсолютно твёрдого
тела лишь геометрически; чтобы
воспроизвести действительное движение
и механически, надлежит подвиж-
)М ной аксоид катить по неподвижному
так, чтобы в каждый момент была
осуществлена такая скорость этого
качения, которая воспроизводит ско-
скорость действительного движения.
Если оба аксоида суть прямые круг-
круглые конусы, то в этом случае движе-
движение твёрдого тела называется прецес-\
тонным движением, или прецессией.
На черт. 200 представлены аксоиды
такого движения. Конус К есть непо-
неподвижный аксоид, конус К — подвижной
аксоид, М — абсолютно твёрдое тело.
На черт. 200 представлен случай, когда
неподвижная точка О лежит не внутри, а вне тела Ж. Мгновенная
ось вращения идёт по общей образующей ОС Конус К есть гео-
метрическое место мгновенных осей в пространстве, а конус К! есть
геометрическое место мгновенных осей вращения в теле. Чтобы получить
вышеуказанные неподвижную сферу и подвижную обволакивающую
её сферу, достаточно описать вокруг точки О сферическую поверх-
поверхность таким радиусом, чтобы она пересекла абсолютно твёрдое тело М;
в сечении этой сферической поверхности с телом мы и получим
сферическую фигуру, ограничиваемую контуром (^). Так как прямые
круглые конусы с вершинами в центре шара пересекают поверхности
сфер по окружностям, то линии (Г) и (Г') в рассматриваемом случае
суть окружности. Нетрудно представить движение тела М в этом
случае; тело М будет вращаться вокруг оси OD конуса К!\ сама же
ось OD будет вращаться вокруг оси ОЕ конуса /С, описывая прямой
круглый конус с углом при вершине, равным удвоенному углу DOE.
Черт. 200.

§ 87j АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА 327
Такого рода движение имеет наша Земля, если отвлечься от её дви-
движения вокруг Солнца; именно Земля вращается вокруг своей оси
в звёздные сутки, ось же Земли описывает конус приблизительно
в 26 000 лет. Это явление было открыто греческим астрономом Гип-
пархом около 2080 лет тому назад; следствием его является предва-
предварение равноденствий, или прецессия; поэтому такое движение твёр-
твёрдого тела и получило название вообще прецессионного.
§ 87. Аналитическое изучение вращения абсолютно твёрдого
тела вокруг неподвижной точки. Скорость. Аналитическое изучение
вращения абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной точки не
представляет никаких затруднений и всецело опирается на выводы,
сделанные в §§ 77—79. Пусть будет дано абсолютно твёрдое тело,
имеющее неподвижную точку О. Рассмотрим неподвижную систему
осей координат Oxxyxzv имеющих начало в неподвижной точке О, и
подвижную систему осей" координат Охуг, имеющих начало также
в неподвижной точке О, неизменно связанную с движущимся
телом. Как и в §§ 77—79, вместо того чтобы отдельно самостоятельно
выводить проекции скорости и ускорения точек абсолютно твёрдого
тела сначала на неподвижные оси координат, а затем — на подвижные
оси координат, мы выведем прежде всего векторные выражения для
скорости и ускорения точек твёрдого тела, из которых уже просто
единообразным путём можно получить проекции скорости или уско-
ускорения на любые прямоугольные оси координат. В этом параграфе мы
займёмся определением скоростей точек абсолютно твёрдого тела,
имеющего неподвижную точку.
Рассмотрим два весьма близких между собою положения абсолютно
твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, соответствующие мо-
моментам t и t~\-kt, и пусть будет D прямая, вокруг которой следует
повернуть тело на весьма малый угол А6, чтобы перевести это тело
из положения, соответствующего моменту t, в положение, соответст-
д п
вующее моменту t-\-kt\ тогда отношение -^ представит среднюю
угловую скорость тела в этом повороте. Будем приближать промежу-
промежуток времени А/ к нулю; тогда угол поворота будет также прибли-
приближаться к нулю, а прямая D будет стремиться к предельному поло-
положению, представляющему мгновенную ось вращения тела в момент /.
Предельное значение отношения -^ называется мгновенною угловою
скоростью или чаще просто угловою скоростью ш абсолютно твёрдого
тела, имеющего неподвижную точку, в момент t, так что будет:
B0.1)
Необходимо иметь в виду, что формула B0.1), по существу, отли-
отличается от формулы A8.1). В самом деле, тогда как вследствие

328 ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО" ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ХЯ
неподвижности оси вращения существует конечный угол 6 поворота
тела, являющийся функцией времени t, так что в формуле A8.1)
количество d§ есть дифференциал этой функции, в формуле B0.1)
количество АО обозначает не приращение функции 6, которой вслед-
вследствие непрерывного изменения положения оси вращения даже и не
существует, а обозначает малый угол поворота тела вокруг указанной
выше прямой D за малый промежуток времени А/. Хотя правую часть
«о
формулы B0.1) иногда и изображают через —, но при этом следует
помнить, что -тг не есть знак производной, и dft изображает не диф-
дифференциал функции, а бесконечно малый угол поворота, подобно тому
как в термодинамике dQ обозначает бесконечно малое количество
тепла, а не дифференциал от функции Q, которой не существует.
Будем изображать угловую скорость тела, имеющего неподвижную
точку, вектором со, как было указано в § 77. Пусть будет Л — какая-
нибудь точка абсолютно твёрдого тела. Обозначим радиус-вектор О А
точки А через г, единичные векторы по неподвижным осям Ox1y1z1
координат — через (/1Э j\, fex), единичные векторы по подвижным
осям Oxyz координат — через (/, j, k)\ координаты точки А отно-
относительно неподвижных осей координат — через (хи ух, zx) и коор-
координаты точки А относительно подвижных осей координат — через
(х, у, г). Так как модуль г вектора г постоянен, то всё движение
точки А определяется лишь изменением направления вектора г. Если
в рассматриваемый момент t времени прямая А есть мгновенная ось
вращения тела и и) — вектор угловой скорости, то очевидно, что
линейную скорость v точки А можно вычислять на основании рассу-
. ждений § 77; таким образом, и здесь мы можем применить формулу
A8.5) и получим для скорости # = — точки А выражение
v = &Xr- B0.2)
Разница между формулами B0.2) и A8.5) будет состоять лишь
в том, что в формуле A8.5) мог меняться со временем лишь модуль
вектора (О, направление же вектора со оставалось неизменным, тогда
как в формуле B0.2) вектор (О может изменяться и по величине и
по направлению. Так же, как в § 77, из формулы B0.2) следует, что
Вектор линейной скорости точки, происходящей от мгновенной
угловой скорости, начало которого совпадает с началом координат,
равен векторному произведению вектора мгновенной угловой ско-
скорости вращения на радиус-вектор этой точки.
Отсюда, как и в § 77, можно получить, что
Вектор линейной скорости точки, происходящей от мгновенной
угловой скорости, равен моменту вектора угловой скорости отно»
сителъно этой точки.

§ 87] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА 329
Нетрудно перейти от векторной формулы B0.2) к координатным
формулам и притом единообразным путём как для неподвижной, так
и для подвижной систем осей координат. Для этого положим:
vx
=lx +Jy
Необходимо отметить здесь следующее. Единичные векторы iv ju ku
откладываемые по неподвижным осям координат, будут постоянными
по модулю и направлению, и потому их производные по времени
будут равны нулю. Но не так будет обстоять дело с единичными
векторами /, у, ft; модули этих векторов постоянны и равны единице,
но направления этих векторов меняются, так как они отложены вдоль
подвижных осей Ox, Оу, Oz координат, движущихся вместе с абсо-
абсолютно твёрдым телом; поэтому производные от этих векторов /, у, ft
по времени не будут равны нулю. Далее, координаты (л^, yv гг)
точки Л будут функциями времени, так как при движении тела
точка А перемещается относительно неподвижных осей Ох1у1г1 коор-
координат; координаты же (х, у, z) точки А будут постоянными, так
как подвижные оси координат Oxyz перемещаются вместе с абсолютно
твёрдым телом, точка А принадлежит твёрдому телу, и потому поло-
положение точки А по отношению к подвижным осям Oxyz координат
меняться не будет. Из формулы B0.2) мы имеем:
h h A
г у, zx
сравнивая между собою коэффициенты при iv j\ и k\ в правой и
левой частях этого равенства, мы придём к формулам Эйлера:
B0.3)
Найдём в теле такую точку, скорость которой в данный момент
была бы равна нулю; координаты (лг1э yv zx) этой точки должны
удовлетворять уравнениям B0.3), в которых левые части равны нулю,
т. е. уравнениям
0 = ШуЛ _ щу19 0 = ш^ — vXizv 0 = <оХ1уг — (oyix'v
Эти три уравнения равносильны только двум:
^" = ^=Т- B0-4)
Следовательно, все точки, имеющие скорость нуль, лежат на прямой,

330 ВРАЩЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XX
представляемой уравнениями B0.4), проходящей через неподвижную
точку О. Согласно данному в предыдущем параграфе определению
эта прямая есть мгновенная ось вращения; таким образом, уравнения
B0.4) суть уравнения мгновенной оси вращения относительно непо-
неподвижных осей координат. Уравнения B0.4) можно ещё представить
в следующем виде:
Так как вектор ы меняется с течением времени и по модулю и по
направлению, то правые части двух последних равенств будут неко-
некоторыми функциями времени, т. е.
Исключая время ty получим уравнение в виде:
Из аналитической геометрии известно, что уравнение такого вида
есть уравнение конической поверхности; таким образом, мы получили
уравнение конической поверхности, представляющей место мгновенных
осей вращения в пространстве, т. е. уравнение неподвижного аксоида.
Переходя от векторной формулы B0.2) к координатным соотно-
соотношениям для подвижной системы осей координат, мы получим подобно
предыдущему:
B0.6)
Уравнение мгновенной оси вращения относительно подвижных осей
координат будет аналогично предыдущему иметь следующий вид:
JL=JL = ^.m B0.7)
Отсюда будем иметь:
У
и, исключая время t} получим уравнение подвижного аксоида в виде:
Заметим, что для мгновенной оси вращения имеют место те же сообра-
соображения относительно её перемещения, как и для мгновенного центра.
Хотя скорости точек мгновенной оси в рассматриваемый момент и

§ 88] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА 331
равны нулю, но отсюда нельзя сделать заключения, что эта ось не-
неподвижна; можно только утверждать, что её перемещение за беско-
бесконечно малый промежуток времени есть бесконечно малое высшего
порядка по сравнению с перемещениями остальных прямых тела,
проходящих через неподвижную точку.
§ 88. Аналитическое изучение вращения абсолютно твёрдого
тела вокруг неподвижной точки. Ускорение. Чтобы найти вектор w
ускорения точек абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную
точку, достаточно взять производную по времени от обеих частей
формулы B0.2); мы будем иметь:
dv йы w . ч, dr
Так как производная -тг представляет вектор v скорости точки Л,
определяемый формулой B0.2), то мы получим:
отсюда, обращая внимание на формулу A8.12), найдём:
Формула B0.9) отличается от формулы A8.13) лишь тем, что в фор-
формуле A8.13) вектор (О может меняться только по модулю, тогда
как в формуле B0.9) вектор (О может изменяться и по модулю и
по направлению.
Чтобы перейти от векторной формы B0.9) выражения для уско-
ускорения w к координатным выражениям относительно неподвижной
системы осей координат Qxxyxzx, достаточно проделать все выводы,
которые были выполнены в § 79 для перехода от формулы A8.13)
к формулам A8.14); поэтому мы непосредственно получаем:
B0.10)
dt
При преобразовании векторной формулы B0.9) в координатные
для подвижной системы осей координат Oxyz следует обратить вни-
мание на вычисление векторного произведения -т- X /*. В § 83 мы
имели дело также с подвижной системой осей координат Аху, но
таких, что ось Az этой подвижной системы осей координат оста-
оставалась параллельной оси Ozx неподвижной системы осей координат.

332 ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XX
Так как вектор (о в случае, рассматривавшемся в § 83, был всегда
параллелен оси Az, а следовательно, и оси Ozv то должно было
быть: и) = ftjO) и to = km, причём вектор k, будучи равен вектору kv
оставался постоянным и по модулю и по направлению, т. е. было:
dk n *
— ==0, и, таким образом, мы имели:
dtd ъ dm dtd - dm '
dt =Ri!f> 1F~n~dtm
Следовательно, в § 83 мы имели случай, когда производная по вре-
времени от вектора (о имела одно и то же выражение как для осей Ах у,
так и для осей Ох1у1. Но в случае, рассматривающемся в настоящем
параграфе, все три оси системы подвижных осей координат Oxyz
изменяют своё направление в пространстве; и все три единичных
вектора /, j, k, взятых вдоль этих подвижных осей, будут функциями
времени. Поэтому, исходя из равенства
мы получим:
*z di dj dk
+ + +
di dj dk o
Вычислим производные -^-, —- и -^-. Эти производные представляют
скорости концов единичных векторов /, у, k, отложенных соответ-
соответственно по осям Ox, Oy, Oz и участвующих в общем движении
тела. Следовательно, для вычисления этих производных можно при-
применить формулу B0.2), полагая в ней последовательно /• = /, г=/
и r = k\ мы будем иметь:
7Й—»Х', -§ = <»Х/, § = «Х*. B0.11)
Отсюда мы находим:
но по свойству векторного произведения правую часть этого равен-
равенства можно представить в виде:
Так как faa+/a>0 + fta>8==», то мы получаем:
S--+W-» + S-b«X —0.
Таким образом, формула для производной -тг для подвижных осей,
увлекаемых телом, принимает в общем случае такой же вид, как для

I 89]
ПРИМЕРЫ
333
неподвижных осей, а именно:
dm do*
B0.12)
Таким образом, коэффициенты при единичных векторах /, ] и k
в производной -^ определены, и мы для проекций ускорения w на
подвижные оси Охуг координат подобно предыдущему легко получим:
B0.13)
| 89. Примеры. 67. Найти угол между осью вращения абсолютно твёр-
твёрдого тела, находящегося в прецессионном движении, и мгновенной осью, если
дано, что период прецессии в п раз больше периода обращения тела вокруг
своей оси и прецессионный угол, т. е. угол DOE (черт. 201), равен а. По-
Построим указанные в § 86 прямые круглые конусы К и К', и пусть будет ОС
их общая образующая, являющаяся для рассматриваемого момента мгновен-
мгновенной осью вращения. Так как согласно условию мы имеем, что длина окруж-
окружности (Г) с радиусом, равным /?2, конуса К должна быть в п раз больше
длины окружности (Г7) с радиусом, равным Rb конуса Kf, то мы имеем
R2z=znRb Далее будет:
sin а2 =
ОС*
С
L,
т. е.
sin a2 = n s^n a\-
Так как дано, что Z. DOE = 04 + oc2 = а, то
a2 = a — 04; отсюда находим:
sin (a — ax) = n sin aj,
или
sin a cos otj — cos a sin 04 = /z sin 04.
Определяя из этого уравнения угол аь после-
последовательно будем иметь:
sin a cos at = (п + cos a) sin alf
sin a
" П + COS a '
Так как Земля совершает оборот вокруг своей оси в звёздные сутки, а период
её прецессии равен 26 000 лет, то в круглых числах будет:
п = 365,4. 26 000 = 9 500 000.
Так как угол а равен 23°30/, то мы получим:
t sin23°30/ ,
gai 9 500 000 + cos 23°20' '
или ctj^Q^Ol, т» e. мгновенная ось вращение почт совпадав! с осью OLJ
Земли,
Черт. 201.

334 ВРАЩЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. *Х
68. Найти выражение квадрата скорости точки абсолютно твёрдого тела,
вращающегося вокруг неподвижной точки О, через координаты в системе,
неизменно связанной с телом. Возьмём систему прямоугольных осей коор-
координат Oxyz; по формулам B0.6) мы получим:
Vx = <OyZ — югу, Vy = <»&Х — UXZ, Vx = юху — WyX.
Отсюда мы найдём:
v* =* vl + v\ + v\ = («у? — о)^J + (<огх — mxzJ + (о^у — (о^дгJ,
или
Полагая а>х = /7, ®у = д, <оё = г, будем иметь ещё иначе:
t,2 в р2 C,2 + ^2) 4- ^2 BГ2 + д-2) _|_
69. Вращающееся вокруг неподвижной точки абсолютно твёрдое тело
отнесено к системе подвижных осей координат Oxyz, неизменно связанных
с телом. Найти зависимости между моментами скорости точки тела относи-
относительно этих осей координат и квадратом скорости его точки. Обозначим
моменты скорости точки тела относительно осей Ох} Оу} Oz соответственно
через Qx, Qyt Qz; мы имеем (§ 13):
Qx = У*г — «ty Qy = я>а> — xvш* Qz =* xvу —yvx.
Обращая внимание на формулы B0.6), получим:
Qx = У (<»хУ — <»ух) — * (<»gx — <*xz) =*
= <»х (У2 + ^2) — <*уХУ — ^^ == <»хг2 — •*" (w • *•)•
Отсюда, пользуясь выражением для t>2 предыдущей задачи, мы будем иметь:
В обозначениях р, q, r будет:
д(*
о -Ajl

ГЛАВА XXI.
СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ
УГЛОВЫХ И ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ
СКОРОСТЕЙ К ПРОСТЕЙШЕЙ СИСТЕМЕ.
§ 90. Угловая скорость как скользящий вектор. В § 77 было
доказано, что угловая скорость есть скользящий вектор; отсюда сле-
следует, что на угловые скорости можно распространить целый ряд
предложений, имеющих место для сил, так как сила есть также
скользящий вектор. В § 66 мы видели, что линейная скорость со-
составного движения равна геометрической сумме линейных скоростей
двух его составляющих движений. Очевидно, что, так же как это
было сделано для сил (§ 3), формулу A6.23) можно распространить
на любое число составляющих скоростей, и мы получим:
* = *1 + *а + *в + ••• =2*п- B1Л)
п
Пусть мы имеем систему произвольно расположенных угловых ско-
скоростей. Так как согласно § 87 линейная скорость точки, происходя-
происходящая от каждой мгновенной угловой скорости, равна моменту угловой
скорости относительно этой точки, а согласно формуле B1.1) для
получения составной скорости следует все эти линейные скорости
геометрически сложить, т. е. геометрически сложить моменты всех
угловых скоростей, то отсюда мы заключаем, что составная линейная
скорость точки равна общему моменту угловых скоростей относи-
относительно этой точки. Если, кроме угловых скоростей, имеются ещё
поступательные скорости, то для получения составной линейной ско-
скорости точки следует геометрически сложить моменты угловых ско-
скоростей и векторы поступательных скоростей. Таким образом, на
основании изложенного всегда можно найти линейную скорость слож-
сложного движения точки, каковы бы ни были скорости составляющих
движений. Однако во многих случаях получение скорости сложного
движения может быть осуществлено проще, и можно иметь общие
заключения о характере скорости сложного движения даже в самых
общих случаях систем скоростей. Эти результаты можно иметь, пере-
перенося на системы угловых скоростей теорию их приведения к простейшим

336 СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ [ГЛ. XXI
совершенно такую же, какая была в статике развита для сил.
Таким образом, мы будем иметь предложения о приведении: сходящихся
угловых скоростей, параллельных угловых скоростей, антипараллельных
угловых скоростей, пар угловых скоростей и т. д. Эти предложения
можно было бы даже подробно не развивать, а ссылаться на выводы
и результаты, полученные для сил. Однако в целях наглядности мы
остановимся на этих предложениях, причём дадим описание приборов,
на которых можно проверять результаты теории.
§ 91. Сложение сходящихся угловых скоростей. Если мгно-
мгновенные оси вращений имеют общую точку О, то мгновенные угловые
скорости вращений вокруг этих осей называются сходящимися,
а точка О — точкою схода.
Так как угловые скорости суть векторы скользящие, то их можно
перенести так, чтобы их общее начало оказалось в точке О, и затем
геометрически сложить; таким образом, мы имеем формулу
(о = <|I + <о2 + аK + ... ==2«V B1.2)
Теперь мы можем дать не только формальное геометрическое, но
и механическое истолкование проекциям ш^, а>у, оK угловой скоро-
скорости tt) на оси координат. Рассмотрим эти проекции как компоненты
вектора о), так что будет:
Таким образом, вместо того чтобы вычислять линейную скорость
точки от угловой скорости (О, мы можем вычислить линейную ско-
скорость точки, обусловленную системой трёх сходящихся угловых скоро-
скоростей (Од., ыуу to/, повторяя те же рассуждения, которые мы провели
в § 21 при выводе выражений для проекций момента силы из тео-
теоремы Вариньона, можем получить таким путём снова кинематические
формулы Эйлера.
Нетрудно представить себе прибор, который осуществлял бы дви-
движение точки, обусловленное двумя угловыми скоростями, сходящимися
в одной точке. Вообразим стержень ОБ, могущий вращаться вокруг
своей оси с угловой скоростью (^ (черт. 202). К этому стержню
прикреплён другой стержень ОСУ вокруг которого может вращаться
диск с угловой скоростью w2; на диске находится точка Л. Если мы
будем вращать только стержень ОБ вокруг его оси с угловой ско-
скоростью (!>!, то точка А получит линейную скорость только от враще-
вращения вокруг этого стержня с угловой скоростью b>v Если мы будем
вращать только диск вокруг оси ОС с угловой скоростью ео2, то линей-
линейная скорость точки Л будет скоростью вращения вокруг оси ОС с угло-
угловой скоростью оJ. Будем затем вращать одновременно и стержень ОБ
с угловой скоростью ыг и диск с угловой скоростью оJ. Тогда
точка А получит согласно вышеизложенному линейную скорость, как
бы проистекающую от вращения точки А вокруг оси OD с угловой

§ 92]
СЛОЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ
337
скоростью <о = tOj-f-Wg. Заметим, что 0D есть мгновенная ось вра-
вращения, так как, если, например, в начальный момент параллело-
параллелограмм OCDB был расположен «в плоскости чертежа, то в следующий
момент он выйдет из плоскости чертежа, удаляясь своей стороной ОС
Черт. 202.
от наблюдателя. Очевидно, что геометрическое место мгновенных
осей вращения OD (при условии постоянства отношения -2^Л еСть
прямой круглый конус, описан-
описанный около ОВ, как около оси;
мы имеем здесь случай прецес-
прецессионного движения, рассмотрен-
рассмотренный в § 86.
А В
§ 92. Сложение угловых
скоростей около параллель-
параллельных осей. Пара угловых ско-
скоростей. Чтобы вывести правило
сложения угловых скоростей
вращения около параллельных
осей, мы воспользуемся уже
установленным положением, что Черт. 203.
угловая скорость есть сколь-
скользящий вектор. Пусть мы имеем две параллельные угловые скорости 1дг
и щ с начальными точками Вх и В2 (черт. 203), и требуется найти
обусловленную этими угловыми скоростями линейную скорость v
точки Л. Положим:
= AB
== АВ2.

338 СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ [ГЛ. XXI
Так как линейная скорость точки А равна моменту относительно
точки А угловой скорости (§§ 77, 87), то
где v1 и v2 суть составляющие скорости точки А\ следовательно,
скорость v сложного движения точки А будет равна
Так как правая часть есть сумма моментов параллельных векторов о)х
и оJ относительно точки Л, то к ней можно применить теорему Ва-
риньона (§ 23), и мы получим:
*> = рХ*>,
где to = ыг -f- <*>2 и р = ¦ 1@1 2<°2; вектор р направлен в точку В,
определяемую соотношением
ВгВ <о2'
В2В V
Если будет дано не две, а любое число параллельных или антипарал-
антипараллельных угловых скоростей со1э <о2, оK, ..., то скорость я> точки А
будет равна
v = r1Xw1 + r2X(d2+/'3x»3+ ..: ==2^nXwn.
n
Применим теорему Вариньона к этому общему случаю (§ 24); мы
получим:
* = Р X ».
где
B1.3)
Полагая:
р =
будем иметь:
B1.4)
Очевидно, что точка с координатами E, т], С) вполне аналогична
центру параллельных сил, рассмотренному в § 24.
Нетрудно представить себе прибор, который осуществлял бы
движение точки, обусловленное двумя параллельными угловыми ско-
скоростями. Предположим, что мы имеем стержень B1DV могущий вра-
вращаться вокруг своей оси с угловой скоростью (!>!. К нему приделан
стержень ВХВ^ а к последнему — стержень В2?>2, параллельный
стержню BXDV На стержне B%D2 находится диск, могущий вращаться

92]
СЛОЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ
339
вокруг стержня B2D2 с угловой скоростью со2; на диске находится
точка Л (черт. 204). Предположим, что мы сначала вращаем только
один стержень B1D1 вокруг его оси с угловой скоростью ыг) тогда
точка Л получит скорость вращения вокруг стержня B1Dl от угловой
скорости (ог Предположим затем, что мы вращаем только один диск
с угловой скоростью <о2; тогда точка Л получит скорость вращения
вокруг стержня B2D2 от угловой скорости <о2. Предположим, наконец,
Черт. 204.
что мы вращаем и стержень BXDX и диск соответственно с угловыми
скоростями и>1 и ео2; тогда, по доказанному выше, точка А получит
такую линейную скорость, как если бы она вращалась вокруг оси BD
с угловой скоростью (О = ь>1 + w2, причём будет:
Заметим, что ось BD есть мгновенная ось вращения. Если, например,
в начальный момент все три оси BXDV BD, B2D2 лежат в плоскости
чертежа, то в следующий момент ось BD выйдет из плоскости чер-
чертежа, удаляясь от наблюдателя. Очевидно, что ось BD (при условии
постоянства отношения — j опишет прямой круглый цилиндр, имею-
имеющий прямую B1D1 своей геометрической осью.
Формулы B1.3) и B1.4) перестают быть применимыми, если
так как в этом случае уже нельзя применить теорему Вариньона.
В этом случае придётся отдельно вычислять составляющие скорости
*i = ri X <*>р v2 = г2 X <*>2> ^ = гзХ% • • •

340
СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ
[ГЛ. XXI
и складывать их геометрически. Из изложенного в § 23 мы заклю-
заключаем, что при условии со == 2 wn ^ ° скорость v сложного движения
п
точки, равная общему моменту параллельных векторов tox, со2, со3, .. .
относительно этой точки, должна быть постоянной для всех точек
пространства, т. е. мы получаем мгновенное поступательное дви-
движение (§ 76). Простейший случай этого представляют две равные
по величине антипараллельные угловые скорости (О*и —со (черт. 205).
Введём следующее определение:
Система двух равных по величине антипараллельных угловых
скоростей называется парой угловых скоростей.
Черт. 205.
Черт. 206.
Убедимся элементарными рассуждениями, что в этом случае мы
действительно имеем дело с мгновенным поступательным движением.
Предположим, что вендоры угловых скоростей w и —<о перпендику-
перпендикулярны к плоскости чертежа; пусть будут О1 и О2 соответственно
следы этих угловых скоростей на плоскости чертежа (черт. 206). За
весьма малое время Д? углы поворота вокруг этих осей Ох и О2 бу-
будут соответственно равны АВ = ш А/, — А6 = — ш А/. Вследствие ма-
малости углов АО можно отождествить смещения Ofi\ и О2О2 точек OL
и О2 с дугами ОгО'х и 020'9, описанными соответственно из точек 0'2
и Ог радиусами, равными ОХО2, причём будет: Ofl^ — O^O'^. Поэтому
перемещение прямой ОгО2 будет поступательным и будет равно
Д5 = огО[ = Ор'2 = Ор2 • Д6.
Чтобы найти величину скорости движения прямой ОХО^ разделим
обе части последнего равенства на А/ и перейдём к пределу; мы
получим: ds d8
dt * ^ dt " 12 • v^'^v
Но ОгО2 • со есть модуль момента пары (о), — со). Таким образом,
мы видим, что пара угловых скоростей действительно приводит к ско-
скорости поступательного движения; модуль скорости этого поступатель-
поступательного движения равен модулю момента пары угловых скоростей,
а направление поступательной скорости, как это видно из черт. 205
и 206, совпадает с направлением момента пары. Отсюда мы приходим
к следующему предложению:
Пара угловых скоростей даёт поступательную скорость, век-*
тор которой равен вектору момента этой пары,

§ 93]
ЗАМЕЧАНИЯ О КОНЕЧНЫХ ВРАЩЕНИЯХ
341
Читатель легко может изобразить это движение, поворачиваясь на
один и тот же малый угол, но в противоположные стороны последо-
последовательно на правой ноге и на левой ноге.
§ 93. Замечания о конечных вращениях. Все предыдущие вы*
воды касались угловых скоростей. Так как <о=:— и, следовательно,
db = со dt) то они могут быть применимы и к бесконечно малым
вращениям; но было бы ошибочно думать, что эти выводы можно
применять к конечным вращениям. Следующие примеры иллюстри-
иллюстрируют это положение.
А
о /
ш
/х
z
Ш
Черт. 207.
Рассмотрим прямой трёхгранный угол Oxyz (черт. 207). Повора-
Поворачивая его в положительном направлении на два прямых угла вокруг
оси Ох, мы переведём его из положения / в положение //; далее,
поворачивая его в положительном направлении на два прямых угла
вокруг оси Оу, мы переведём его из положения // в положение ///.
Но легко видеть, что угол Oxyz можно сразу перевести из положе-
положения / в положение /// вращением в отрицательном направлении на
два прямых угла вокруг оси Oz. Таким образом, два конечных вра-
вращения, именно каждое на два прямых угла в положительных напра-
направлениях вокруг оси Ох и вокруг оси Оуу равносильны одному конеч-
конечному вращению в отрицательном направлении на два прямых угла
вокруг оси Ozy т. е. два конечных вращения около пересекающихся
осей оказалось возможным заменить одним конечным вращением, но
мы видим, что правило параллелограмма при этом места не имеет.
Далее, предположим, что мы имеем две параллельные оси, сле-
следами которых на плоскости чертежа будут точки Ох и О2 (черт. 208).
Пусть вокруг этих осей выполняются повороты на конечные углы Ьх
и 02, причём сначала выполняется поворот вокруг оси Ох на угол bv
а затем вокруг оси О2 на угол 62. После первого поворота мы пере-
переведём прямую ОХО% в положение ОгО2, а после второго поворота

342
СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ
[ГЛ. XXI
переведём прямую OiO2 в положение О[О2\ таким образом, в резуль-
результате этих двух поворотов отрезок ОгО2 займёт положение OiO2. Так
как движение отрезка ОгО2 совершается в одной плоскости, то мы
можем сразу перевести отрезок ОХО2 в положение О\О2 вращением
вокруг некоторого центра (§ 81). Чтобы найти точку С, следует,
как известно, соединить прямой точки О± и О'и соединить прямой
точки О2 и О2, разделить отрез-
отрезки ОХО[ и О2О2 пополам и в се-
>0t рединах L и М этих отрезков вос-
ставить перпендикуляры LC и МС\
Черт. 208.
Черт. 209.
точка пересечения С этих перпендикуляров и будет искомым центром
вращения. Соединяя прямыми точку С с точками О1Э О2, О2 и за-
замечая, что СО% = СО2, мы заключаем, что Д СОХО2 = Д COft^. Но
прямая ОСМ делит угол Ьг пополам, а прямая O'2CL делит угол 62
пополам. Из равенства же треугольников СОХО2 и 00^0% следует,
что /_СО<рх~ /СО2О1 = ^-. Таким образом, мы получаем сле-
следующее правило нахождения точки С: следует от первой оси вра-
вращения Ох провести прямую ОгС под углом -*?- в сторону враще-
вращения Oj, а от второй оси вращения О2 провести прямую 0%С под
углом -^- в сторону, противоположную вращению 62; точка пересече-
пересечения прямых ОгС и О2С определяет искомый центр вращения (черт. ?09).
Предположим затем, что первым вращением является вращение вокруг
оси О2, а вторым вращением — вращение вокруг осц Ох\ в этом слу-
случае следует угол -&- откладывать в сторону вращения 62 и угол -^—-
в сторону, противоположную вращению 6р причём мы получим уже
другую точку С, симметричную с точкой С относительно прямой ОгО2.
Мы видим, что в отличие от сложения угловых скоростей и беско-
бесконечно малых вращений, где порядок вращений не играл роли, при
конечных вращениях порядок выполнения вращений уже играет
роль. Очевидно, что при неограниченном уменьшении углов пово-
поворота 61 и 62 точки С п С сближаются между собой и в пределе

§ 94] ПРИВЕДЕНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОЙ СКОРОСТИ 343
сольются между собой на прямой ОгО2, так что при сложении беско-
бесконечно малых вращений db1 и rf62 и, следовательно, угловых скоро-
скоростей ыг и to2 порядок выполнения вращений уже не будет играть
никакой роли.
§ 94. Приведение угловой скорости и перпендикулярной к ней
поступательной скорости к одной угловой. Предположим, что мы
имеем абсолютно твёрдое тело, вращающееся вокруг некоторой оси
с угловой скоростью to и в то же время находящееся в поступатель-
поступательном движении со скоростью vy причём вектор v поступательной ско-
скорости перпендикулярен к вектору to
угловой скорости. Пусть пло- « *™ у
скость чертежа будет перпенди-
перпендикулярна к оси вращения А, пересе-
пересекающей плоскость чертежа в неко-
торой точке О (черт. 210). Проведём
в плоскости чертежа через точку О
прямую, перпендикулярную к ско-
скорости v, и рассмотрим ту часть
этой прямой, где линейная ско-
скорость, происходящая от угловой Черт. 210,
скорости to, будет направлена про-
противоположно скорости v. Линейная скорость, происходящая от
угловой скорости to, для точки Ог будет равна по модулю произве-
произведению со • ООХ и направлена перпендикулярно к прямой ООХ\ очевидно,
что можно всегда выбрать точку Ох так, чтобы было со • ООг = vy
т. е. OO,=z-^-. Следовательно, такая точка О, в данный момент
скорости иметь не будет, и потому прямая А1Э проходящая через
точку Ог и перпендикулярная к плоскости чертежа, будет мгновен-
мгновенной осью вращения. Найдём модуль угловой скорости tot вокруг
мгновенной оси вращения А. Для этого рассмотрим точку О. С одной
стороны, точка О лежит на оси вращения А и потому от угловой
скорости (д линейной скорости не имеет; следовательно, полная ско-
скорость точки О зависит только от поступательной скорости и равна v.
С другой стороны, угловая скорость to и поступательная скорость v
могут быть, как мы только что видели, заменены одной угловой ско-
скоростью tox вокруг оси Ах; следовательно, модуль скорости точки О
можно представить также в виде а>х • ОгО. Приравнивая между собою
оба выражения модуля скорости точки О, мы получим:
v = »l-O1O;.
отсюда будем иметь:

344
СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ
[ГЛ. XXI
Но из предыдущего выражения для расстояния ООг мы имеем:
v
Следовательно, мы получим:
причём очевидно, что направление вращения wx совпадает с напра-
направлением вращения со. Таким образом, мы приходим к следующему
предложению:
Совокупность взаимно перпендикулярных линейной и угловой
скоростей приводится к одной угловой скорости с таким owe мо-
модулем и направлением вращения, как данная угловая скорость,
причём мгновенной осью
вращения будет прямая,
параллельная данной оси
вращения.
Нетрудно представить
себе прибор, изображаю-
изображающий такое движение.
Вообразим тележку,
которая катится по рель-
рельсам с линейной ско-
скоростью v (черт. 211). На
этой тележке укреплён
стержень А, вокруг кото-
которого может вращаться
диск 5 с угловой ско-
скоростью to. Если диск
ТТ
Черт. 211.
не вращается, а катится тележка, то точка Л, находящаяся на
диске S, будет иметь скорость V, Если тележка неподвижна, но вра-
вращается диск 5 с угловой скоростью @, то точка А будет принимать
участие во вращательном движении с угловой скоростью о) вокруг
оси А. Если же будет иметь место и то и другое движение, то
в данный момент скорость точки А будет такой, как если бы диск S,
которому принадлежит точка А, вращался с угловой скоростью о>
вокруг мгновенной оси Ах, параллельной оси А, причём будет ООг = -^-
и ООг J_ v. Возможность замены в этом случае поступательной и
угловой скоростей одной угловой скоростью находится в полном со-
согласии с результатами, изложенными в § 81. В самом деле, от двух
скоростей v и (д движение диска 5 и всякого связанного с ним тела
будет плоско-параллельным, а мы видели, что плоско-параллельное
движение во всякий момент может быть представлено как вращение
вокруг мгновенной оси вращения. Нетрудно усмотреть, что геометри-
геометрическим местом мгновенных осей вращения Ах (при условии постоянства
отношения —) будет плоскость, параллельная вектору v скорости.

§ 96] ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ УГЛОВЫХ И ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ 345
§ 95. Приведение системы угловой скорости и поступатель-
поступательной скорости произвольного направления к простейшей системе.
Предположим, что мы имеем угловую скорость to и поступательную
скорость v, направление которой произвольно. Так как вектор v по-
поступательной скорости есть свободный вектор, то для удобства пред-
представления совместим его начальную точку с начальной точкой век-
вектора (о. Разложим вектор v скорости на два вектора v' и v" таких,
чтобы вектор <ог был перпендикулярен к вектору to, а вектор v" был
расположен вдоль вектора to. Согласно изложенному в предыдущем
параграфе совокупность скоростей vr и to приводится к одной угло-
вой скорости (О, проходящей через точку Ох такую, что ООг = —,
причём должно быть ООХ1 vf. Так как вектор *о" поступательной
скорости есть свободный вектор, то его можно перенести в точку Ох
и, таким образом, мы получаем в точке Ох угловую скорость to и
поступательную скорость v", направленную вдоль угловой скорости,
т. е. скорость винтового движения. Введём следующее определение;
Совокупность угловой скорости и поступательной скорости, па-
параллельной угловой, называется кинематическим винтом*
Следовательно, мы приходим к предложению:
Совокупность произвольно направленных поступательной и
угловой скоростей приводится, вообще, к кинематическому винту*
Слово «вообще» применено вследствие того, что при v -L to кинема*
тического винта не будет, а будет иметь место лишь одна угловая
скорость.
§ 96. Приведение системы произвольного числа произвольно
направленных угловых и поступательных скоростей к простей-
простейшей системе. Рассуждения и результаты, которые будут получены
в этом параграфе, вполне аналогичны рас-
рассуждениям и результатам, которые мы полу-
получили в §§ 47 и 48 при рассмотрении общего
случая приведения сил.
Докажем прежде всего следующую лемму:
Вектор угловой скорости всегда можно
перенести параллельно самому себе в любую
точку пространства, прибавив при этом
вектор поступательной скорости, равный
моменту угловой скорости относительно ЧеРт- 212.
взятой точки.
В самом деле, предположим, что нам дан вектор угловой ско-
скорости to с началом в какой-нибудь точке Л; требуется перенести его
в какую-нибудь точку О пространства (черт. 212). Построим в точке О
два вектора to и —со. Вектор —w в точке О и вектор to в точке А
образуют пару угловых скоростей, и мы видели в § 92, что пара
угловых скоростей даёт поступательную скорость, вектор которой

346 Сложение угловых скоростей [гл. xxi
равен вектору момента этой пары. Соединим точку О с точкой А
вектором г; тогда момент рассматриваемой пары (ю, —со) будет
равен векторному приведению гХ<°. Таким образом, мы видим,
что в результате получается вектор угловой скорости со, имеющий
начало в точке О, и вектор v поступательной скорости, где ф = /*Хй).
Как и в случае приведения произвольной системы сил, приве-
приведение произвольного числа произвольно направленных угловых и по-
поступательных скоростей можно выполнят*» геометрически и аналити-
аналитически. Мы начнём с изложений геометрического способа.
Пусть будет дана система угловых скоростей (ор <02> со3, ...,
имеющих начала соответственно в точках Av A2, Л3, ..., и система
поступательных скоростей uv я2, я3, ...
Нетрудно представить движение, обусловленное системой угловых
скоростей (о1? <о2, со3, ... В самом деле, рассмотрим какую-нибудь
точку Л, которая вращается вокруг оси Др проходящей через точку Av
с угловой скоростью (ог Далее, сама ось Ах вращается вокруг оси А2,
проходящей через точку Л2, с угловою скоростью (О2. Затем ось А2
вращается вокруг оси А3, проходящей через точку Л3, с угловой
скоростью @3 и т. д. Мы рассматриваем здесь какое-нибудь мгно-
мгновенное положение всех осей вращения и соответствующее мгновенное
значение всех угловых скоростей. Возьмём произвольную точку О
пространства и назовём её точкой приведения. Перенесём все век-
векторы (Op w2, <о3 ... в точку О; тогда по § 91 все* векторы <ох,
Щу <*>3, • • • > имеющие точку схода в точке О, можно заменить одним
вектором ф, являющимся геометрической суммой предыдущих векторов:
..=2<ow. B1.6)
п
При переносе векторов <ор ео2, @3, ... в точку О мы получили
согласно изложенной в начале этого параграфа лемме дополнительные
поступательные скорости:
*>1 == Г\ X »!• ^2 = /*2 X <*>2> *>8 = ГЪ X «8» • • м B1-7)
где ^^ ^_ ^_
гх = OAV г2 = ОЛ2, г3 = ОАЬ, ...
Все поступательные скорости как векторы свободные можно пере-
перенести в точку О и геометрически сложить; мы получим результи-
результирующую поступательную скорость v, где
Таким образом, в точке О мы будем иметь угловую скорость ы и
поступательную скорость v, но согласно изложенному в § 95 такая
система двух скоростей <о и v может быть приведена к кинемати-
кинематическому винту.

§ 96] ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ УГЛОВЫХ И ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ 347
Таким образом, мы можем выразить полученный результат сле-
следующим образом:
Произвольное число произвольно направленных поступательных
и угловых скоростей можно, вообще, привести к кинематическому
винту.
Очевидно, что здесь имеют место такие же частные случаи, как
при сложении произвольной системы сил; именно как частные случаи
мы можем получить или одну угловую скорость, или одну поступав
тельную скорость, или система скоростей будет равносильна нулю.
Так как угловая скорость есть скользящий вектор, а поступатель-
поступательная— свободный, то, найдя кинематический винт для одной точки
пространства, мы будем иметь его для всех точек прямой, на кото-
которой лежит вектор угловой скорости. Эта прямая, как и в случае при-
приведения сил, носит название центральной оси С1$ртемы скоростей.
Нетрудно, повторяя выводы § 48, дать аналитический способ при-
приведения системы поступательных и угловых скоростей. Для этого
возьмём какую-нибудь точку О пространства за точку приведения и
построим в ней систему прямоугольных осей координат Oxyz. Тогда,
пользуясь проекциями угловых скоростей на взятые оси координат Oxyz,
мы из формулы B1.6) будем иметь:
«ш = W» + К)» + К)» +•..
у = Ыу + К)?/ + К)у +
n
n
B1.9)
Далее, применяя проекции, мы из формулы B1.8) с учётом формул
B1.7) получим:
«V = 2 [
п
Vz = 2
п К). — *п
Ыу — Уп К) J
у 4" • • •»
B1.10)
Из рассуждений, изложенных в § 48, следует, что для того чтобы
в точке О имел место кинематический винт, должно быть:
Как общее правило, эти соотношения для точки О удовлетворяться
не будут; поэтому мы возьмём за точку приведения другую точку О',
такую, чтобы в ней имел место кинематический винт, чего можно
ожидать, так как от изменения точки приведения количества <ах, ш ,
<> не меняются количесва
не меняются, количества же г>да, *> ,
vg изменяться должны.

348
СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ
ГЛ. XXI
В самом деле, пусть будут (л/, yf, zr) координаты точки (У;
тогда вместо формул B1.7) мы будем иметь:
= П X »1Э V2 = П X <*>2, ^з =
B1.11)
где будет:
г[ =
= О'А2, Гз =
Из черт. 213 мы получим:
где d =
Черт. 213.
Поэтому формулы B1.11) можно представить в виде
*i = (ri — rf) X «>! = ^i X »i — rf X »i = v1 — (/ X »!,
«4 = (Га — d) X <*>2 = Г2 X «2 — d X »2 = ^2 — d X <*>2>
Следовательно, мы будем иметь:
,.)=»

§ 971 примеры 349
1аким образом, мы найдём:
V =
Отсюда мы получим уравнение центральной оси в виде:
или
vx — {y<uz — ztby = *у — д?шд xuz ^v± х*?—yj^^ B1.12)
где х', У, zr суть текущие координаты. Так же как и в § 48, это
уравнение центральной оси можно привести к каноническому виду.
Мы и здесь имеем два инварианта:
(to = const.), o4-f-o4 + o)^ = const.; \
i i j.i l л 1 • 10)
(О • V = ^apx + О)wt>v + W2^ = COnst. J y
Минимальная поступательная скорость ^min будет иметь место вдоль
центральной оси (§ 48) и её алгебраическая величина будет равна
Ч) . = X) COS ((О, V)»
Введём отношение
величина р называется параметром кинематического винта; очевидно,
что /?, как и ^min, есть алгебраическое количество.
§ 97. Примеры. 70. Дана неподвижная прямоугольная система коорди-
координат Oxyz. Вокруг оси Ох равномерно вращается некоторая система отсчёта /,
совершая полный оборот в 2 сек. Относительно системы / другая система //
вращается равномерно вокруг оси, совпадающей в данный момент с осью у,
совершая один оборот в 4 сек. Наконец, относительно системы // вращается
равномерно некоторая материальная система вокруг оси А, которая в дан-
данный момент времени образует с осью Oz угол в 45° и наклонена к осям Ох
и Оу под равными углами; в этом последнем движении материальная система
совершает полный оборот в -^ сек. Найти величину со мгновенной угловой
скорости материальной системы относительно неподвижной системы Оху,
а также положение мгновенной оси вращения.
Найдём прежде всего угловые скорости вращения вокруг осей Охг Оу} А;
эти угловые скорости будут соответственно равны:

350 СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ [ГЛ. XXI
Угловая скорость 4л в проекциях на ось Oz и на плоскость Оху приведёт
к выражению 4% ¦ - _^ = 2У2л; поэтому проекции этой угловой скорости на
оси Ох и Оу будут равны 2Уя—т= = 2тс. Таким образом, мы имеем:
~ тс, (о^ =з
Отсюда мы получим:
я сек.-i.
Обозначая через а, р, у углы мгновенной оси вращения с осями Ox, Oyf Oz
координат, будем иметь:
COS а = Зтс: J-—- тт: = —~г
2 /93
71. Дана система десяти параллельных между собой осей вращения,
угловые скорости вокруг которых равны, о/, 2&', 3tdr, ..., 10а/; все эти оси
пересекают одну и ту же прямую, причём расстояние между точками пере-
пересечения равно а. Найти мгновенную угловую скорость ю и положение мгно-
мгновенной оси вращения, равносильного данной системе угловых скоростей. Для
решения этой задачи применим формулы B1.4) и B1.5); мы получим;
со = оO -|- 2о/ -\~ За/ + ... + Юо/ = -х— ,
т. е.
«о = 55о/.
Взяв прямую, которую пересекают все оси вращения, за ось Ох и поместив
начало О в точке пересечения оси абсцисс с той осью, угловая скорость во-
вокруг которой равна о/, мы по первой формуле B1.4) будем иметь:
О.«/ -L д. 2ф' + 2а»За/ + Зд > Аи/ + ... + 9а - Юа/
5 ~~ 55а/
или
е 1.2 + 2-3 + 3-4+...+9-10
е_ gg a.
Выполняя вычисления, найдём:
2 + 6+12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 + 90
6= ^^ я,
т. е.
6 = 6л.
Таким образом, мгновенная ось вращения пересечёт ось Ох на расстоя-
расстоянии 6а от начала координат и будет параллельна остальным осям, а мгновен-
мгновенная угловая скорость вращения вокруг неё будет равна 55«Д

§ 97] примеры 351
72. Даны три угловые скорости ыь (о2, w,j и линейная скорость и. При-
Привести эту систему скоростей к простейшей, если при единицах измерений
метр и секунда проекции угловых скоростей на прямоугольные оси коорди-
координат Oxyz будут: ^D, 6, 7), »2B> 4, 5), to3(—5, -—6, —7); начальные точки
Аь Аь As векторов ш1} о>2, t*s имеют координаты Ах B, 3, 8), А2 A,—2,—3),
А$ B, 2, 1) и проекции скорости а равны их = 8, «^ = 7, «^ = 6. Применяя
формулы B1.9), мы получим:
Отсюда будем иметь:
У" = /42.
Далее, применим формулы B1.10); мы найдём:
vx = 3 • 7—8 • 6 + (—2) • 5—(—3) • 4 + 2 . (—7)—1. (—6) + 8= — 33 + 8== — 25,
Vy «=8-4 — 2-7 + (—3) .2—1.5+Ь (—5) — 2. (— 7) + 7= + 16 + 7= + 23,
^==2.6 —3.4+1.4 —(—2). 2+ 2. (—6) —2* (—5)+ 6 = 6+6=+ 12.
После этого уже можно составить уравнения центральной оси по формулам
B1.12):
—25 —EУ —4*0 23 — (У — 5*0 _ 12 — Dл/ —у)
1 = 4 ~ 5
Чтобы привести эти уравнения центральной оси к каноническому виду, най-
найдём координаты точки пересечения центральной оси с плоскостью Oyzf для
чего положим в них л:/ = 0. Мы получим:
—25 — E/ — 4*0 _ 23 — zr _ 12 + у*
Г 4 ."" 5 '
откуда будем иметь:
4у + 5У = 67,
—20j' + \lz! = 123.
Решая эти уравнения, найдём:
, 131 ,229
У " 42 ' z ~ 21 *
Следовательно, уравнения центральной оси можно привести к следующему
каноническому виду;
, 131 , 229
хг __ у 42 _ * 21
1 ~ 4 ~-"-~5 '
или
42л:' 42у' — 131 42^ — 458
1 4 ~ 5
Для второго инварианта w-я = &х.^ + со^.t/^ + <oe.vz мы имеем:
w. v - 1. (__25) + 4.23 + 5.12 = 127.

352 СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ [ГЛ. ttt
Отсюда для параметра р кинематического винта по формуле B1.14) найдём:
127
Так как из формулы B1.14) следует, что должно быть #mia =/?«>, то будет:
127 ч/— 127
: 42
Таким образом, рассматриваемая система скоростей приводится к кинемати-
127
ческому винту, линейная скорость которого равна —= м/сек, а угловая ско-
оость равна У 42 сек.-1; центральная ось. вдоль которой расположен винт,
„ 131 229
пересекает плоскость Oyz в точке с координатами у = ~тг , z == -кг и обра-
образует с осями координат углы а, §, y, косинусы которых равны
cos a = -? = -т=, cosp = -^ = --F=, cosT = -^- = -—:
w у 42 <° "^42 ш

ГЛАВА XXII.
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО АБСОЛЮТНО
ТВЁРДОГО ТЕЛА.
§ 98. Геометрическое изучение движения свободного абсо-
абсолютно твёрдого тела. После изложенного в предыдущих главах мы
уже можем перейти к изучению общего случая движения свободного
абсолютно твёрдого тела. Пусть будет дано какое-нибудь свободное
абсолютно твёрдое тело. Рассмотрим в нём какие-нибудь три точки Л,
Ву С, не лежащие на одной прямой. Соединив эти три точки между
собой прямыми, мы получим треугольник ABC. Очевидно, что мы
будем знать положение твёрдого п> л g »
тела, если будем знать положение Г\~
Предположим, что при пере- ° \~Г~
треугольника ABC. D
D
ходе твёрдого тела из положения /
в положение II треугольник ABC ^
переместится в положение ATBfCr Черт. 214.
(черт. 214). Возьмём какую-нибудь
одну из точек А\ В\ С, напри-
например точку О у и соединим её прямой с точкой С; мы получим прямо-
прямолинейный отрезок СС. Проведём прямолинейные отрезки В'ВХ и А!Ах
так, чтобы было: ВГВ1#СС и ArAt #CC, и соединим между собою
прямыми точки А1у Въ С; мы получим треугольник CAtBly равный
треугольнику СА'ВГ и лежащий в плоскости, параллельной плоско-
плоскости треугольника OAfBr. Мы видим, что можно перевести треуголь-
треугольник CAB в положение OAfBry сначала переведя треугольник CAB
в положение СА1В1у а затем переведя треугольник CAxBi в положе-
положение СА!В\
При переводе треугольника CAB в положение СА1В1 мы будем
иметь случай перемещения абсолютно твёрдого тела, имеющего не-
неподвижную точку С; по теореме Даламбера (§ 86) это перемещение
можно получить одним вращением абсолютно твёрдого тела вокруг
некоторой оси А, проходящей через точку С. Перевод же треуголь-
треугольника САХВХ в положение CrArBr равносилен поступательному переме-
перемещению СО абсолютно твёрдого тела. Таким образом, мы доказали
следующее предложение:
V^ Зак. 170Э. А. И. Некрасов

354 общий случай движения свободного твёрдого тела [гл.
Всякое перемещение абсолютно твёрдого тела можно получить
одним вращательным и одним поступательным перемещением.
Заметим, что, как и выше в аналогичных случаях, мы здесь не
описываем этими вращательным и поступательным перемещениями
действительного перемещения твёрдого тела; нас интересует только-
начальное положение / абсолютно твёрдого тела и его конечное поло-
положение //, действительный же переход тела из положения / в положе-
положение //может быть весьма отличен от рассмотренных нами вращательного»
и поступательного перемещений. Очевидно также, что последователь-
последовательность, в которой выполняются эти два перемещения, безразлична;
можно сначала придать телу поступательное перемещение СО, а затем
повернуть тело около оси, проходящей через точку С, так, чтобы
р ассматриваемый треугольник совпал с треугольником ОАГВТ; можно
также выполнять оба перемещения одновременно и перемещать тело
поступательно и в то же время посте-
постепенно его поворачивать вокруг оси,
проходящей через точку С. Докажем
теперь следующую теорему, принадле-
принадлежащую Шалю:
Любое перемещение свободного
абсолютно твёрдого тела из одного
положения в другое можно получить
одним винтовым перемещением.
В самом деле, предположим, что мы
перевели свободное абсолютно твёрдое
тело из положения/в положение//одним
поступательным перемещением СО и
одним вращательным вокруг некоторой
Черт. 215.
оси А, проходящей через точку С. Для удобства чертежа предположим,
что мы провели плоскость чертежа через вектор СО поступательного
перемещения и через ось А вращательного перемещения (черт. 215).
Разложим вектор СС на два вектора СЕ и CF таких, что вектор СЕ
будет расположен на оси А, а вектор CF будет перпендикулярен к
оси А. Таким образом, мы можем заменить поступательное перемеще-
перемещение СО поступательным перемещением CF и поступательным пере-
перемещением СЕ. Но вращение абсолютно твёрдого тела вокруг оси А
и поступательное перемещение С/7 дают телу перемещение, параллель-
параллельное плоскости П, перпендикулярной к оси А, а мы знаем, что непо-
непоступательное плоско-параллельное перемещение абсолютно твёрдого
тела всегда может быть осуществлено одним вращательным переме-
перемещением этого тела вокруг некоторой оси А', перпендикулярной к пло-
плоскости П (§ 81). Таким образом, мы привели перемещение свободного
абсолютно твёрдого тела к одному вращению вокруг некоторой оси
А', перпендикулярной к плоскости П, и к одному поступательному

§99]
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
355
перемещению СЕ, также перпендикулярному к плоскости П. Очевидно,
что оба эти перемещения составляют винтовое перемещение, и сле-
следовательно, теорема доказана. Отсюда следует, что всегда можно
вообразить такой винт и такую гайку, прикрепив к которой твёрдое
тело, можно движением гайки по винту перевести тело из одного поло-
положения в другое.
Это винтовое перемещение, конечно, не будет описывать действи-
действительного перемещения абсолютно твёрдого тела. Разобьём действи-
действительное перемещение абсолютно твёрдого тела на ряд весьма малых
перемещений и построим для каждого из них соответствующее винто-
винтовое перемещение. Очевидно, что мы тем ближе опишем совокупностью
этих винтовых перемещений действительное перемещение тела, чем
ближе друг к другу будут рассмотренные последовательные положения
абсолютно твёрдого тела в его действительном перемещении. Если
эти последовательные положения абсолютно твёрдого тела будут бес-
бесконечно близки друг к другу, то и бесконечно малые винтовые
перемещения будут бесконечно близко описывать действительное пере-
перемещение этого тела. Заметим, что таким образом мы воспроизводим
лишь действительное перемещение тела, т. е. его движение с гео-
геометрической стороны; чтобы воспроизвести действительное движение
и механически, необходимо, чтобы были подобраны надлежащим обра-
образом скорости всех составляющих бесконечно малых винтовых переме-
перемещений. Из изложенного следует, что
Во всякий момент времени движение свободного абсолютно
твёрдого тела может быть представлено Нак бесконечно малое
винтовое движение.
Центральная ось
этого бесконечно ма-
малого винтового движе-
движения называется мгно-
мгновенной осью скольже-
скольжения-вращения.
§ 99. Аналитиче-
Аналитическое изучение движе-
движения свободного абсо-
абсолютно твёрдого тела.
Нетрудно на основании
изложенного в пре-
предыдущих параграфах
изучить аналитически
распределение скоростей и ускорений точек свободного абсолютно
твёрдого тела. Рассмотрим свободное абсолютно твёрдое тело М,
и пусть будет А какая-нибудь выбранная точка тела М; пусть будет В
любая другая точка этого тела (черт. 216). Возьмём какую-нибудь
неподвижную систему осей координат О^у^^ и построим другую
7*11 •
Черт. 216.

356 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XXII
систему осей координат Axyz, неизменно связанных с телом М
и имеющих начало в выбранной точке Л рассматриваемого абсолютно
твёрдого тела. Соединим между собой прямыми точки Оь А} В, и
введём обозначения:
введём обозначения:
Мы получаем основное равенство
которым мы уже неоднократно пользовались A6.20). Чтобы иметь
вектор v скорости точки В, следует взять геометрическую производ-
производную по времени t от вектора р; мы получим:
dt dt ' dt'
dpA
Но производная -т- равна вектору скорости точки Л, который мы
обозначим через vA. Что касается производной -?, то, так как модуль
вектора г постоянен, эта производная представляет скорость враща-
вращательного движения точки В относительно точки Л, т. е. она равна
«)Хл где со есть вектор мгновенной угловой скорости, отложенной
на мгновенной оси вращения, проходящей через точку Л. Таким
образом, мы получаем уже известную A9.2) по внешнему виду фор-
формулу
v = vA + ^Xn B2.1)
формула A9.2) отличается от формулы B2.1) тем, что в формуле A9.2)
вектор о) перпендикулярен к плоскости, в которой происходит дви-
движение плоской фигуры, тогда как в формуле B2.1) вектор со может
иметь произвольное направление в пространстве.
Чтобы найти ускорение W, возьмём геометрическую производную
по времени от обеих частей равенства B2.1); мы будем иметь:
dv dvA , dw . ,,dr
dvA
или, обозначая производную —т— через wA и обращая внимание на
формулу A8.12), ещё иначе:
w = WA + ^Xr+(<o.r)<o — coV. B2.2)
Нетрудно от векторных формул B2.1) и B2.2) перейти к коорди-
координатным выражениям для неподвижной и подвижной систем осей коор-

§ 99]
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
S57
динаг. Обозначим координаты точек А я В относительно осей О1хху1г1
через (а, Ь, с) и (xv yv г^; мы будем иметь:
Р = hx\
¦ ha
где i,, /j, ki суть единичные векторы, отложенные на осях непо-
дьижной системы осей координат С^лг^у^. Отсюда мы имеем:
далее, вводя проекции векторов
координат, получим:
, "о и w на оси
После этого мы можем представить формулу B2.1) в виде:
i («Л
О) Ш О)
а?, у, z
или
B2.3)
Из формулы B2.2) мы будем иметь:
*i ^k+Л (^U+*i
ll ^i
dt
-а ух — b zx — с
!i -f дсйу, 4- *x<o3,) —
- «9 Ul (^ —
12 Зак. 170J. А. И Некрасов

358 общий случай движения свободного твердого тела Ггл. ххи
отсюда мы получим следующие формулы для проекций ускорения на
неподвижные оси координат:
w
хх
К, (*i — а) + «V, Oi —
— (в2^! — а),
с).
B2.4)
Переходя к подвижным осям координат Ахуг, обозначим через
(х, у, г) координаты точки В и через /, j, k единичные векторы,
отложенные по подвижным осям координат. Так как
то из формулы B2.1) мы получим:
или
j *
ш со
У г
х у г
Ш О)
х у
B2.5)
При вычислении проекций ускорения да.на подвижные оси координат
необходимо иметь в виду, что

§ 991
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
359
хотя единичные векторы /, j, k и будут функциями времени; это было
доказано в § 88 при выводе формулы B0.12). Принимая это во вни-
внимание, мы получим:
i j k
iwx+Jwy
dt dt dt
x у г
или
dt
dt
B2.6)
Примечание. При выводе ряда формул в этом параграфе и
в предыдущих параграфах мы находили проекции одного и того же
вектора на оси двух систем координат — неподвижной и подвижной.
Нетрудно показать, как, зная проекции какого-нибудь вектора, напри-
например на неподвижные оси координат O1x1y1zu можно найти проекции
этого вектора на подвижные оси координат Axyz через косинусы
углов между осями координат. Обозначим через а, C, f, a', ^, f\
а", C", -у" девять косинусов углов между осями координат согласно
известной из аналитической геометрии таблице:
Ax
Ay
Az
У
Откладывая единичные векторы /, у, к по осям Лх, Л^;, Л^, мы
легко найдём, что проекции их на неподвижные оси О1х1у1г1 равны
этим девяти косинусам, так что будет:
B2.7)

360 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА [Гл. ХХИ
Отсюда для проекции вектора v на оси Axyz будем иметь последо-
последовательно:
vx = v cos (v, Ax) = v cos (v, i) = v • / =
B2.8)
= v cos (z>, Лу) = v cos (г>, У) = v • у =
== t> cos (г>, Az) = # cos (s>, k) = v • ? =
Совершенно так же найдём для проекций вектора w на оси
следующие выражения:
wa
B2.9)
Мы видим, что могли бы, зная, например, проекции wXl, wVl} wZx
из формул B2.4), получить проекции wa, wy и wz не тем путём^
каким мы их получили, а применением формул B2.9), однако послед-
последний путь был бы значительно более длинным.
Тем не менее таким способом в большинстве случаев придётся
поступать при вычислении проекций скорости и ускорения точки А
на подвижные оси координат Axyz при пользовании формулами B2.5)
и B2.6). В самом деле, в неподвижных осях координат O1x)y^zx
эти проекции получаются непосредственно дифференцированием,
а именно:
da , . db , v dc
dt dt dt
d*a
Отсюда уже по формулам B2.8) и B2.9) мы получим проекции (vA)x,
(vA)y9 {va)Zi iwA)x> (wA)y, (wa)z> которые и вставим в формулы B2.5)
и B2.6).
§ 100. Примеры. 7В. Абсолютно твёрдое тело находится в двух мгновен-
мгновенных движениях, представляемых кинематическими винтами. Ось скольжения-
вращения первого движения совпадает в рассматриваемый момент с непо-
неподвижной осью OiXb а ось скольжения-вращения второго движения совпадает
в тот же момент с неподвижной оськх О^у±. Первое движение имеет угловую
скорость €ой и параметр рь а второе движение имеет угловую скорость <о2
и параметр р%. Найти результирующий кинематический винт.

§ ЮО] примеры 351
Обозначая скорости поступательных движений в первом и во втором
кинематических винтах через v± и v2, мы будем иметь:
Составим уравнения центральной оси системы по формулам B1.10). Так как
мы имеем:
то; следовательно, уравнения центральной оси будут иметь вид;
coj О) 2 0
Отсюда находим:
/ Щ !
Мы видим, что результирующий кинематический винт имеет ось скольжения-
вращения, параллельную плоскости О^х^уу отстоящую от неё на расстояние z{
и расположенную в плоскости у1 = —=-х1. Мгновенная угловая скорость
равна
Что касается мгновенной поступательной скорости, то величина её опреде-
определяется формулой
или
v2~v\ + v\ + г* {ф\
Отсюда будем иметь:
2 2
t;2 = ^ + у\ + (/?а — рхJ ¦ '
со +0)
т. е.
74. Найти в проекциях на неподвижные оси и на подвижные оси коорди-
координат скорости и ускорения точек абсолютно твёрддго тела, находящегося
в винтовом движении с осью скольжения-вращения, совпадающей с непо-
. движной осью O\zv Рассмотрим неподвижную систему осей координат 0\Х^ухг\
и подвижную систему осей координат Axyz, у которых точка Л остаётся на
оси OiZ\. Пусть будут @, 0, с) координаты точки А. Мы имеем:
= <0* = ">•

362 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XXI!
Обозначив координаты какой-нибудь точки В абсолютно твёрдого тела отно-
относительно оеей OiXrfiZ} через (хь yh z{), мы из формул B2.3) будем иметь:
а из формул B2.4) получим:
Следовательно, квадрат скорости точки В будет равен:
<?+**(** +у*),
а квадрат ускорения точки В будет равен:
Применяя формулы B2.5) и B2.6), найдём:
dan o d
Для квадрата скорости и квадрата ускорения точки В в рассматриваемых
подвижных осях координат будем иметь:
Очевидно, что
dc

ГЛАВА XXIII.
СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ.
ПОДВИЖНЫЕ ОСИ КООРДИНАТ,
§ 101. Общие замечания. Выше мы неоднократно рассматривали
случаи, когда точка движется относительно подвижной системы отсчёта,
движущейся относительно неподвижной системы отсчёта. В первый
раз мы встретились с этим случаем в конце § 64; затем мы зани-
занимались им в §§ 66, 70, 90 и др. И геометрически и аналитически
мы доказали правило параллелограмма скоростей, из которого следо-
следовало, что скорость сложного, или составного, движения есть геоме-
тр^еская сумма скоростей составляющих движений. В этой главе мы
несколько углубим вопрос о получении скорости сложного движения
и подробно рассмотрим вопрос о получении ускорения сложного дви-
движения; этот последний вопрос представляет некоторую особенность,
характер которой уже был указан в § 70. Хотя число составляющих
движений и может быть каким угодно, однако очевидно, что доста-
достаточно изучить сложное движение, состоящее из двух составляющих
движений, чтобы отсюда уже иметь возможность решать задачи
с любым числом составляющих движений. Поэтому в этой главе мы
рассмотрим лишь случай двух составляющих движений, причём в этом
случае одно из составляющих движений будет относительным, а дру-
другое— переносным движением. Например, если точка В движется
в системе S, а сама система S также находится в движении, то дви-
движение системы 5 будет переносным, а движение точки В относительно
системы 5 будет относительным движением.
В предыдущих главах кинематики мы изучали скорости и ускоре-
ускорения как изолированных точек, так и точек абсолютно твёрдого тела,
и находили проекции этих скоростей и ускорений на неподвижные
оси координат, а также и на подвижные оси координат, но эти по-
подвижные оси координат не имели произвольных движений. Так, в слу-
случае полярных осей координат (§§ 67, 71) и осей координат, пред-
представляемых основным трёхгранным углом (§ 72), поступательное
движение этих подвижных осей координат и их вращательное движе-
движение полностью определялись хдрактером траектории точки и движе-
движением точки по этой траектории, причём движущаяся точка всегда

364
СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. XXIII
находилась в начале координат. В случае рассмотрения движений
точек абсолютно твёрдого тела оси координат были неизменно связаны
с движущимся твёрдым телом, и потому точки абсолютно твёрдого
тела по отношению к этим осям имели постоянные координаты. Однако
приходится иметь дело и с такими подвижными осями координат,
относительно которых точки перемещаются сами, т. е. имеют относи-
относительно этих осей скорости и ускорения. В этом случае движение
точки можно рассматривать, как сложное, состоящее из переносного
движения, которое точка будет иметь, если её наглухо скрепить с по-
подвижными осями координат, и относительного движения, которое точка
имеет относительно подвижных осей, принятых за неподвижные. Таким
образом, задача введения подвижных осей координат есть не что иное,
как задача о сложном движении точки; по этой причине настоящая
глава и имеет двойное название.
§ 102. Скорость точки в сложном движении. Пусть будут даны
система O1x1yiz1 неподвижных осей координат и система Oxyz по-
подвижных осей координат. Движение осей Oxyz в каждый момент
времени определяется скоростью v0 их начала О и их угловой ско-
скоростью (о вокруг мгновенной оси А, проходящей через точку О. Рас-
Рассмотрим какую-нибудь точку В, имеющую произвольное движение;
проведём радиусы-векто-
радиусы-векторы (черт. 217):
Мы имеем:
Чтобы найти скорость точ-
точки Б, возьмём геометри-
геометрические производные по
времени от обеих частей
этого равенства; мы по-
получим:
Черт. 217. _^Р_ ___ _^ , f?
dt ~ dt "+4 dt*
Но производная •— представляет скорость v точки В в сложном дви-
движении, производная -^- представляет скорость v0 начала О коорди-
нат Oxyz) поэтому мы будем иметь:

§ 102] скорость точки в сложном движении 365
Чтобы раскрыть смысл производной —?=, введём координаты (лг, у, z)
точки В относительно подвижных осей Oxyz. Так как
где г, у, k суть единичные векторы по подвижным осям координат,
то мы будем иметь:
Применяя формулу B2.1), получим:
или
т. е.
dr . dx
Введём обозначение
dr . rf
Вектор -~ называется локальной производной от вектора г. Тогда
будет:
^ = f + «Xr. B3.2)
Таким образом, мы окончательно получим:
v = vo + <*Xr + ^' B3.3)
Нетрудно истолковать это выражение. Первые два слагаемых тожде-
тождественны с формулой B2.1), т. е. они представляют скорость точки В
в предположении, что точка В наглухо скреплена с подвижными
осями координат; таким образом, эти два слагаемых представляют
переносную скорость ^пер точки В. Последнее слагаемое формулы B3.3)
представляет скорость точки В относительно осей Oxyz, которые
рассматриваются как неподвижные, т. е. это слагаемое представляет
относительную скорость #отн точки В. Таким образом, мы имеем:
¦?• ¦ {23<4)

366
СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. XXII?
Чтобы найти проекции скорости v на подвижные оси координат Oxyz,
введём единичные векторы /, у, k\ мы получим из формулы B3.3)
следующее выражение:
О) (О (О
х у z
Приравнивая между собою коэффициенты при одинаковых единичных
векторах в правой и левой частях последнего выражения, мы и при-
придём к искомым формулам:
vx = (vO)x
, dx
B3.5)
Согласно указанному в предыдущем параграфе эти формулы B3.5),
решая задачу о проекциях скорости сложного движения точки, тем
самым решают и задачу о нахождении проекций скорости точки на
подвижные оси координат.
§ 103. Ускорение точки в сложном движении. Чтобы получить
ускорение w точки в сложном движении, составим геометрические
производные по времени от обеих частей последней из формул B3.4);
мы получим:
dv dvW9 dvm \
dt
При вычислении производных - , ¦¦¦ и --¦ . - мы встретимся с той
особенностью, о которой говорилось в § 70; именно вследствие того,
что скорость относительного движения влияет на изменение переносной
скорости точки и скорость переносного движения влияет на измене-
изменение относительной скорости точки, сумма геометрических производ-
производных от переносной и от относительной скоростей будет равна не
только сумме ускорений одного переносного движения и одного отно-
относительного движения, но к этой сумме двух ускорений вообще должно
быть прибавлено третье, дополнительное ускорение, которое называется
поворотным ускорением или ускорением Кориолиса A792—1843).
Чтобы придать этому вопросу геометрическую ясность, мы найдём
с полной подробностью ускорение точки сначала для следующего
частного очень простого случая её сложного движения.

§ ЮЗ]
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ
367
Пусть в плоскости П имеется полупрямая Д, выходящяя из не-
неподвижной точки О этой плоскости П, причём эта полупрямая Д
вращается в плоскости II вокруг точки О с постоянной угловой
скоростью со. На полупрямой Д находится материальная точка В,
движущаяся ускоренно вдоль полупрямой Д в сторону от точки О.
Обозначим через г расстояние
точки В от точки О. Если
точку В закрепить на полу-
полупрямой Д, то точка В будет
описывать в равномерном дви*
жении окружность с радиусом,
равным г, и с центром в точке О;
это есть переносное движение
точки В. Во всякий момент
времени Сточка В будет в этом
переносном движении иметь ско-
скорость г>пер == гсо и ускорение
wnev = гш2, направленное к точ-
точке О(§ 73). Если остановить
вращение полупрямой Д и пре- О
доставить точке В двигаться Черт. 218.
вдоль этой полупрямой, то
точка В будет совершать относительное движение; во всякий момент
времени t в этом относительном движении точка В будет иметь
dv
скорость vOTR
dv
и ускорение wolR = ~, направленное вдоль Д
в сторону от точки О. Если
же одновременно полупря-
полупрямая Д будет вращаться, а
точка В двигаться вдоль Д,
то точка В будет участво-
участвовать в сложном движении,
и в этом случае, кроме уско-
~
"пер
к
б)
Черт. 219.
реНИЙ ЯУдер = № И ШОТН=
точка В будет иметь ещё
ускорение Кориолиса. В самом деле, пусть в момент t точка В
находится в Bv а в момент t-\-M точка В находится в В2У как
показано на черт. 218. Чтобы найти приращение относительной ско-
скорости в сложном движении, перенесём векторы относительной ско-
скорости *>отн и «/тн, соответствующие моментам / и t-\-M, в общую
точку /С Из черт. 219, а видно, что вектор v' получается из
вектора г>0Тн через два геометрических приращения г; ДО и Дг;. Раз-
Разделив эти приращения на А/ и перейдя к пределу, получим два вектора:
rf6 dv
v~dt~v® и Г» причём вектор van направлен перпендикулярно

368 СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. XXIII
d%)
к полупрямой Д, а вектор -тг вдоль этой полупрямой; очевидно, что ко-
количество -^г есть относительное ускорение wQ^ точки В, Чтобы найти
приращение переносной скорости в сложном движении, перенесём
векторы переносной скорости vmv и t/ , соответствующие моментам t
и t-\-kt, в общую точку К. Из черт. 219, б видно, что вектор v'ne
получается из вектора t>nep через два геометрических приращения
гсо Д8 и Дгсо. Разделив эти приращения на Д/ и перейдя к пределу,
d§ o dr .. о
получим два вектора: гсо — = гсо^ и — cD = tKo, причём вектор md
ut Ctt
направлен вдоль Д к точке О, а вектор v& направлен перпендику-
перпендикулярно к полупрямой Д; очевидно, что количество гсо2 есть переносное
ускорение. Таким образом, в рассматриваемом случае сложного дви-
движения точка В, помимо ускорений ^пер = /*со2 и wQTR = -rr1 имеет
ещё два равных между собою по величине и направлению прибавка cot;
к скоростям относительной и переносной, которые в сумме дают доба-
добавочное ускорение 2согг, это и есть ускорение Кориолиса. Следовательно,
ускорение w рассматриваемой точки есть геометрическая сумма трёх
ускорений: переносного, относительного и Кориолиса, т. е.
Первое ускорение направлено вдоль Д к точке О, второе ускорение
направлено вдоль Д в сторону от точки О, третье ускорение напра-
направлено перпендикулярно к Д в сторону вращения этой полупрямой.
После рассмотренного частного примера перейдём к выводу общей
формулы для ускорения точки в сложном движении. В начале этого
параграфа мы вывели формулу
вычислим обе производные правой части, опираясь на две первые
формулы B3.4) и на формулу B3.2). Повторяя вывод формулы B3.2),
мы легко получим:
dt dt
dt
B3.6)
Так как согласно первой из формул B3.4) будет vUQV = Vo + ь> X
то мы будем иметь:

§ 103] УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ 369
Но или из формулы B0.12), или из формулы B3.2), где положено
г = to, следует, что локальная производная от вектора (о угловой
скорости равна полной производной; поэтому, применяя ещё формулу
A8.12), мы получим:
-« V.
dv0
Сумма —тг -f- со X Vo есть не что иное, как раскрытое выражение
dv0
полной производной ~77-, представляющей ускорение Wq точки О;
(XI
dr
локальная производная -тг представляет относительную скорость #()тн
точки В. Следовательно, предыдущее равенство можно ещё предста-
представить в виде:
dt u ' dt ^
Сравнивая эту формулу с формулой B2.2), мы заключаем, что пер-
первые четыре члена последней формулы представляют ускорение точки В
в предположении, что точка В наглухо скреплена с подвижными
осями Oxyz, т. е. эти четыре члена представляют переносное уско-
ускорение -годер точки В\ таким образом, имеем:
d*o
пер ^ I v / (с\ о '7^
Формула B3.7) подтверждает сделанное выше указание, что на
изменение переносной скорости точки, вообще, влияет также и ско-
скорость относительного движения.
Обращаясь ко второй формуле B3.6) и замечая, что согласно
второй из формул B3.4) будет ^Отн= -тт, мы получим:
dvnrpTT d2r t dr d2r .
Так как локальная вторая производная представляет относитель-
относительное ускорение гоОтн точки В, то мы находим:
^ = Woth+wX*oth. B3.8)
Формула B3.8) подтверждает, что, как указано выше, на измене-
изменение относительной скорости точки, вообще, влияет также и переносное

370 СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. XXII!
движение, именно, его угловая скорость. Из формул B3.7) и B3.8)
найдём:
dv dv
пер i отн | | су i>
Таким образом, мы приходим к окончательной формуле
W = -Шдер + ^отн + *е>кор, B3.9)
где
кор = 2@ X «W
B3.10)
Мы знаем, что полная скорость v сложного движения точки равна
геометрической сумме переносной и относительной скоростей, т. е.
<о = ^пер -|- ^отн. Мы видим, что аналогичный закон, вообще, не имеет
места для ускорений, так как, сверх геометрической суммы двух сла-
слагаемых -Шдер + ^отн, правая часть формулы B3.9) имеет ещё третье
слагаемое яуКоР = 2<*> X *W Этот дополнительный член называется
поворотным ускорением^ или ускорением Кориолиса. Таким обра-
образом, мы находим:
Поворотное ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному
произведению угловой скорости и относительной скорости точки.
Отсюда для модуля ускорения Кориолиса мы получаем:
^кор = 2шг>отн sin (to, ротн), B3.11)
Чтобы знать величину и направление ускорения Кориолиса, следует
снести в одну точку векторы угловой скорости (о и относительной
скорости Фотн! построить их векторное произведение и удвоить его;
полученный вектор и представит ускорение Кориолиса. Легко видеть,
что имеет место следующее положение:
Ускорение Кориолиса всегда направлено в ту сторону, куда
движется конец вектора vQTR под влиянием угловой скорости о>.
Очевидно, что ускорение Кориолиса будет равно нулю, если бу-
будет: или угловая скорость равна нулю, или относительная скорость
точки равна нулю, или вектор относительной скорости точки парал-
параллелен вектору угловой скорости.
Таким образом, если точка участвует в двух движениях: пере-
переносном и относительном, то её скорость геометрически слагается из
двух скоростей: переносной и относительной, но её ускорение гео-
геометрически слагается, вообще, из трёх ускорений: переносного, относи-
относительного и поворотного, или ускорения Кориолиса.

§ ЮЗ]
УСКОРЕНИИ ТОПКИ Я СЛОЖНОМ ЯРИЖЕНИИ
371
Переходя от векторной формулы B3.9) к координатным относи-
относительно подвижных осей координат Охуг, мы получим:
B3.12)
Согласно указанному в конце § 101 формулы B3.12), решая задачу
о проекциях ускорения сложного движения точки, тем самым решают
и задачу о нахождении проекций ускорения точки на подвижные оси
координат.
Координатные формулы B3.12) можно получить ещё следующим
dv
путём. Мы имеем: ге> = —; раскрывая смысл производной правой
части в случае пользования подвижными осями координат по фор-
формуле B3.2), мы получим:
dv
B3 Л 3)
Так как
w = iwx
то будет:
wy
wg, v = iv
@ =
dvy
dVz г
B3.14)
Достаточно вставить в формулы B3.14) значения проекций скорости
из формул B3.5), чтобы непосредственно придти к формулам B3,12),
В случае простых задач этот путь очень лёгок и иногда приводит
к результату проще, чем применение общих формул B3.12),

372 СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. ХХШ
§ 104. Применение осей координат, неизменно связанных
с Землёй. Земля приблизительно в 365,25 суток описывает вокруг
Солнца замкнутый путь, близкий к окружности с радиусом, равным
150 000 000 км\ так как это движение Земли близко к равномерному,
то в 1 сек времени Земля проходит около 30 км. Таким образом,
можно считать, что скорость Земли при её движении вокруг Солнца
приблизительно равномерна и равна около 30 км/сек. Если в концах
дуги окружности, которую Земля в своём движении вокруг Солнца опи-
описывает в 1 сек времени, провести касательные, то угол между этими
касательными будет равен 0",041, т. е. путь Земли вокруг Солнца
за 1 сек времени можно считать почти прямолинейным. Следовательно,
за небольшой промежуток времени движение Земли, происходящее от
её^ обращения вокруг Солнца, можно считать совершающимся прямо-
прямолинейно и равномерно. Но из физики, из закона инерции, известно,
что на всякое движение всегда можно наложить равномерное прямо-
прямолинейное движение без нарушения первоначального движения. Таким
образом, всякое движение, происходящее на Земле в течение неболь-
небольшого промежутка времени, происходит так же, как если бы Земля
вокруг Солнца не двигалась, Следовательно, во всякой технической
задаче при механическом изучении равновесия и движения материаль-
материальных объектов мы можем пренебречь движением Земли вокруг Солнца.
Тем более можно пренебречь движением самого Солнца, так как
астрономические исследования не дают даже малейших указаний на
кривизну траектории Солнца в пространстве или на неравномерность
движения Солнца. Таким образом, нам остаётся учесть вращение Земли
вокруг оси и рассмотреть, как выражаются абсолютные скорости и
ускорения точек относительно осей координат, неизменно связанных
с Землёй, вращающейся вокруг своей оси,
Пренебрегая сплюснутостью Земли, мы примем её за шар, радиус
которого R = б 366 000 м% Так как Земля поворачивается вокруг
своей оси в звёздные сутки, то угловая скорость со вращения Земли
Отг
равна со = -gg-jgz — 0,00007292 сек~х\ вращение Земли вокруг оси
лроисходит с запада на восток. Скорость точки, покоящейся на по-
поверхности Земли, вследствие вращения Земяи вокруг оси изменит
своё направление за 1 сек среднего времени на 15",04, тогда как вслед-
вследствие движения Земли вокруг Солнца изменение направления скорости
за 1 сек среднего времени, как мы видели, равно лишь 0",041; таким
образом, можно ожидать, что, наблюдая движения материальных объ-
объектов на поверхности Земли, в некоторых случаях будет возможно
подметить влияние на это движение вращения Земли вокруг оси, что
на самом деле и имеет место.
Расположим оси координат Oxyz на поверхности Земли следую-
следующим образом. Возьмём начало О координат на земной параллели, со-
соответствующей какой-нибудь широте У. Ось Oz направим вертикально
вверх; ось Оу направим но меридиану к югу, а ось Ох направим на

§ 104]
ПРИМЕНЕНИЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ, СВЯЗАННЫХ С ЗЕМЛЁЙ
373
запад по касательной к параллели (черт. 220). Точка О имеет ско-
скорость, равную по модулю со • СХО, где СгО есть радиус параллели,
и направленную вдоль оси Ох
в сторону отрицательных абсцисс.
Из черт. 220 мы имеем:
Следовательно, мы получим:
(vo)x = — со/? cos 6,
Далее, так как оси координат Oxyz
вращаются вместе с Землёй, то
мы получим их мгновенную ось
вращения, проведя через точку О
прямую, параллельную оси враще-
ния Земли; на этой мгновенной оси ^т*
следует отложить вектор w вверх, что соответствует вращению Земли
справа налево. Из черт. 220 мы видим, что вектор ы образует
с осью Oz угол, равный -~ — б, с осью Оу —угол, равный тс— б,
а с осью Ох — угол, равный-^-. Следовательно, ми будем иметь:
wx = со cos —• = 0,
ту = со cos (тс — 6) = — ш cos б,
со^ = ш cos (~ — Ь] = a)sin 6.
B3.15)
Обращаясь к формулам B3.5), мы получим:
dx
vx = — со/? cos 6 — со cos bz — со sin by -|- -—,
sin
CO COS
+
dt
~dt
dz
dt
B3.16)
Чтобы иметь проекции ускорения, обратимся к формулам B3,14),
которым, учитывая формулы B3.15), можно придать следующий вид:
wx = —-jj- со cos §vz — со sin Ьх>у,
w,
dv~

374
СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. XXIII
Вставляя в эти три равенства выражения B3.16) для проекций ско-
скорости и выполняя приведение, мы найдем:
B3.17)
sin 8^— со2/?sin0 cos6—со2sin6(у sin 6+гcos6),
wz = ^+2a) c°s Q 2? — ш2/? cos2e — ^c089 (-V sin 6 + ^cos6)-
Предполагая, что точка наглухо скреплена с осями координат Oxyz,
мы должны считать координаты л:, у, z точки постоянными; тогда из
формул B3.17) мы получим проекции переносного ускорения. Пред-
Предполагая, что оси коорди-
координат неподвижны, мы
должны положить в фор-
формулах B3.17) со = 0; тогда
из этих формул мы полу-
получим проекции относитель-
относительного ускорения. Остав-
Оставшиеся части в формулах
B3.17), содержащие мно-
.gf жителем число 2, будут
проекциями ускорения Ко-
риолиса.
Рассмотрим ещё сле-
следующую задачу о движе-
движении точки по поверхности
Земли. Предположим, что
точка А движется равно-
равномерно к полюсу вдоль
меридиана ВАР* Построим
неподвижную систему осей
координат O1x1ylzv как показано на черт. 221. Введём полярные
координаты точки А, которые будут: R — радиус Земли, 8 — широта
точки А и <р — долгота точки А. Так как точка А движется вдоль ме-
меридиана равномерно, то 0 = ]xt\ так как Земля вращается вокруг своей
оси равномерно, то будет <р = Ыу где со есть угловая скорость вра-
вращения Земли. Если бы точка А не двигалась вдоль меридиана, то
она имела бы одно переносное движение, в котором точка А описы-
описывала бы параллель с радиусом, равным АЕ = /?cos6. Следовательно,
переносное ускорение точки А равно <о2/? cos 6 и направлено по радиусу
параллели к её центру. Если бы Земля не вращалась вокруг своей
оси, но точка А двигалась бы вдоль меридиана, то точка А имела бы
одно относительное ускорение, равное [а2/? и направленное вдоль
радиуса Земли к ее' центру. Если точка А участвует в обоих дви-
Черт. 221.

§ 104]
ПРИМЕНЕНИЕ ОСЕЙ КООРДИНАТ, СВЯЗАННЫХ С ЗЕМЛЕЙ
375
жениях, то она будет иметь ещё третье ускорение, а именно, ускоре-
ускорение Кориолиса. Из черт. 222 видно, что угол между вектором отно-
относительной скорости точки Л и вектором (о угловой скорости равен
широте точки Л; следовательно, модуль ускорения Кориолиса будет
равен 2aof0THsm 8 = 2coja/? sin 8. Это ускорение направлено в ту сто-
сторону, куда движется под влиянием угло-
угловой скорости (о конечная точка вектора г>Отн>
т. е. для черт. 222 — перпендикулярно
к плоскости чертежа в сторону читателя.
Эти же результаты можно получить и не-
непосредственным взятием вторых производ-
производных по времени от координат xv yv zx
точки А относительно неподвижной систе-
системы осей координат O1x1y1zv Мы имеем:
х1 = R cos 8 cos cp = R cos y.t cos со/,
yl==z R cos 8 sin cp = R cos j^/sin со/,
zY = R sin 8 = R sin [i/.
Поэтому будет: Черт. 222.
wXi = —~ = — \fiR cos 8 cos cp — со2/? cos 8 cos cp -|- 2{xco/? sin 8 sin cp,
==-^1 = — |x2/? cos6 sin<p — c«2/?cose sin cp-j-2|i.o>/?sin6cos9,
Мы видим, что ускорение w есть геометрическая сумма трёх уско-
ускорений, образующих с осями координат Olx1y1z1 углы, косинусы
которых равны:
ускорение
со2/? cos 8
21Ш-Я sin 8
— cos 8coscp
— coscp
-]-sincp
— cos 8 sin cp
— sin cp
— coscp
- sin ^
0
0
Первое ускорение есть ускорение относительное, направленное к центру
Земли вдоль её радиуса; второе ускорение есть ускорение перенос-
переносное, расположенное в плоскости параллели и направленное по радиусу
параллели к её центру; третье ускорение есть ускорение Кориолиса,
расположенное в плоскости параллели вдоль касательной к параллели
в направлении, обратном направлению вращения Земли.
Мы видим, что ускорение Кориолиса зависит от широты места;
его модуль равен нулю на экваторе, где будет 8 = 0, и достигает

876
СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТбЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. XXIII
максимального значения 2\hx>R на полюсе, где будет 6 = у. Графи-
Графически зависимость этого ускорения изображается синусоидой, пред-
представленной на черт. 223, на котором РАВР1 представляет длину мери-
меридиана точки А. В южном полушарии широта 6 отрицательна, и потому
ускорение wK0V направлено в противоположную сторону. Предполо-
Предположим, например, что вода течёт в реке в северном полушарии с юга
на север; при этом частицы воды, как мы знаем, должны получить
ускорение гокор, направленное справа налево (черт. 223). Это ускоре-
ускорение частицам воды даёт берег реки, который толкает влево подходя-
подходящие к нему частицы воды. Следовательно, правый берег реки должен
подмываться водой, которая при этом отступает от левого берега.
Таким образом, правый берег реки должен оказаться гористым,
а левый — луговым. Если река течёт с севера на юг, то угловая ско-
скорость [х будет отрицательной, и направление ускорения Кориолиса
должно измениться в прямо противоположное, как это видно на
черт. 224. В этом случае опять в реке в северном полушарии будет
подмываться правый берег реки, который окажется гористым, а ле-
левый—луговым. В южном полушарии явление имеет обратный характер.
Это свойство рек, выясненное русским академиком Карлом Максимо-
Максимовичем Бэром A792—1876), носит название закона Бэра. Наличием
ускорения Кориолиса объясняется также отклонение от меридианного
направления ветров: пассатов и муссонов.
Рассмотрим формулы B3.16). Если точка А находится на неболь-
небольшом расстоянии от начала О системы подвижных осей координат,
изображённых на черт. 220, то её координаты (х^ у, г) суть неболь-
небольшие количества; поэтому, если не требуется специальной точности,
произведениями координат точки А на угловую скорость о> вращения
Земли можно пренебречь. Что касается произведения ш/? cos <p, то,
кроме местностей, близких к полюсам Земли, для которых количество

§ 105] примеры 37?
coscp весьма близко к нулю, этим произведением вследствие значи-
значительности земного радиуса R пренебречь нельзя, и мы приходим
к упрощённым формулам
<ох = — о/? cos ср -]—-—, *о = —=¦—, vz = —,
т. е. получаем такие же формулы, как если бы оси Oxyz не вра-
вращались, а лишь имели постоянную по величине поступательную ско-
скорость с модулем со/?coscp, направленную в сторону вращения Земли.
Далее, если изучаемое движение совершается в течение небольшого
промежутка времени, то дугу земной параллели, которую за этот про-
промежуток времени проходит начало координат О, можно отождествить
с прямолинейным отрезком. Таким образом, в небольшом простран-
пространстве над поверхностью Земли и за небольшой промежуток времени
в первом приближении можно считать оси Oxyz, изображённые на
черт. 220, за движущиеся прямолинейно и равномерно или за непо-
неподвижные, что в большинстве практических случаев всегда и делается.
Однако, если движения точки совершаются в течение значительного
промежутка времени или если координаты (лг, yt z) точки нельзя счи-
считать очень малыми, то предыдущие упрощения не будут описывать
движения точки, и потому их делать нельзя; таковы, например, слу-
случаи маятника Фуко или свободного падения тяжёлой точки с большой
высоты.
§ 105. Примеры. 75. Найти ускорение точки в плоском движении отно-
относительно осей координат Оху, равномерно вращающихся в этой плоскости
с угловой скоростью ш вокруг точки О. Полагая в формулах B3.5), что
(vo)x = (v0)у = 0, о)д, = о>у = 0, <oz = (о, мы будем иметь:
dx __ dy
х dt } У dt *
При этих условиях формулам B3.14) можно придать вид
— ^?__ __ dvv
Таким образом, мы получим:
__d?x___ <У_ &У_ 2 —^!?__9 5^__ 2
d*y , dx , dx ... dP-v , ft dx
76. Точка движется вдоль окружности с постоянной угловой скоростью (х,
тогда как сама окружность вращается вокруг своего центра в ту же
сторону с постоянной угловой скоростью о; радиус окружности равен R.
Найти ускорение точки. Если бы точка не двигалась по окружности, то она
имела бы одно переносное движение с ускорением ш2/?, направленным к центру
окружности. Если бы не двигалась окружность, но точка двигалась бы вдоль
окружности, то точка имела бы одно относительное ускорение, равное ^2<#.

378 СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. XXIII
и направленное к центру окружности. Если имеет место и то и другое дви-
движение одновременно, то точка получит ещё одно ускорение Кориолиса. Так
как относительная скорость точки, равная pR, расположена в плоскости дви-
движения точки, а вектор «и перпендикулярен к этой плоскости, то ускорение
Кориолиса будет равно 2^u>R и будет направлено по радиусу к центру
окружности. Следовательно, полное ускорение точки будет направлено по
радиусу к центру окружности и буде-i равно
К этому же результату мы придём, рассматривая неподвижные координаты xlf
yi взятой точки (черт. 225). Мы имеем:
Xj = OB = R cos (a) + p.) t,
у 1 = В А = R sin (со + (x) t.
Отсюда мы находим:
Wx = —~r = — (о) + P-J R COS (
Таким образом, модуль ускорения будет равен
^ и w , ускорение направлено
причём, как видно из значений проекций
по радиусу окружности к её центру.
77. Вдоль прямой Д, наклонённой к плоскости Ox1yi под постоянным
углом а и проходящей через начало координат, точка А соскальзывает по
Черт. 225.
Черт. 226.
закону -^- к точке О. Прямая Д вращается вокруг оси Oz1 с постоянной
угловой скоростью <о (черт. 226). Найти ускорение точки А. Переносное
ускорение точки А будет равно <о2АВ и направлено вдоль АВ от точки А

§ 105] примеры 379
к точке Л. Если в момент t = 0 точка Л находилась в точке К, где будет
OK=*Sq, to мы получим:
*2
АВ = ОА cos a «* s0cosa —
Таким образом, переносное ускорение точки Л будет равно (o
a cos а .Д _ _ .
• ^— * )ш • Относительное ускорение точки Л равно я и направлено от А
к О. Относительная скорость точки Л равна at и направлена от Л к О;
поэтому ускорение Кориолиса будет равно
2at sin fi + <Л = 2а/ cos a
*
)-
и будет направлено перпендикулярно к плоскости треугольника ОАВ в сто-
сторону переносного вращения.
78. Найти полное ускорение материальной точки Л, движущейся произ-
произвольным образом вдоль прямой Д, проходящей через неподвижную точку О
и вращающейся в плоскости П с произвольной угловой скоростью а>. Оче-
Очевидно, что ускорение w точки Л будет состоять из относительного ускорения,,
переносного ускорения и ускорения Кориолиса. Обозначим через г расстоя-
расстояние ОА; тогда относительное ускорение деотн будет направлено вдоль ОА и
будет равно
d4
где г0 есть единичный вектор, направленный вдоль ОА. Чтобы получить
переносное ускорение, предположим, что точка Л наглухо закреплена на
прямой Д; тогда по § 73 переносное ускорение wnep будет равно -
w = — оРгг® 4- — га0.
где п° есть единичный вектор, перпендикулярный к прямой Д и направлен-
направленный в сторону возрастания угла 8 этой прямой с каким-нибудь постоянным
направлением. Так как вектор о» угловой скорости перпендикулярен к пло-
плоскости П, а вектор яотн относительной скорости расположен вдоль прямой А,
то ускорение Кориолиса будет иметь направление вектора п°, и мы получим:
Следовательно, полное ускорение w точки Л будет равно:
, о dr
r + 2
w = zoOTH + wnep + wK0V = {ш ^rj r + [^ r + 2ш
rf6
Так как будет ш = —, то мы нолучим:
w ¦¦
-L^~ \di)lr +[ ~Ш + 2TtTt\n>

380 СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ [ГЛ. XXIII
или
<г. e. приходим к формулам A7.7) для проекций ускорения на оси полярных
координат на плоскости.
79. Вывести формулы B3.14) без применения векторного исчисления.
Для этого рассмотрим систему подвижных осей координат Oxyz, имеющих
неподвижное начало О, и пусть будет А неподвижная полупрямая, выходя-
выходящая из точки О, с которой в рассматриваемый момент t оси Ох, Оу и Oz
образуют соответственно углы a, [J и у. Точка О должна быть неподвижной,
так как из § 70 мы знаем, что для нахождения годографа скоростей и
ускорения надлежит все векторы скорости движущейся точки снести парал-
параллельно самим себе в одну и ту же неподвижную точку пространства. Если
СМ = а есть вектор, вообще, с переменным модулем и направлением, и ах, ау1
az суть проекции этого вектора в момент t на оси Oxyz, то косинусы углов,
образуемых вектором а с осями координат Oxyz в момент t, будут равны
ах ау az _
—, у —• Отсюда следует, что косинус угла между вектором а и полу-
полупрямою А равен:
CLX Cly CLZ
— cos а 4- — cos В А cos y.
а ' а 1 ' а
Следовательно, проекция яд переменного вектора а на неподвижную полу-
полупрямую А для момента t будет равна:
аА = ах cos a + ay cosp + аг cos у.
Таким образом, аА есть проекция вектора а на неподвижную полупрямую А,
тогда как, например, количество ах есть проекция того же вектора а на
переменное направление Ох. Поэтому приращения А (аА) и А (а ) имеют
разный смысл; приращение А (аА) зависит лишь от изменения вектора а,
приращение же А (ах) зависит не только от изменения вектора а, но зави-
зависит ещё от поворота оси Ох и будет существовать и в том случае, когда
вектор а изменяться не будет. Отсюда следует, что для получения проекций
действительной скорости точки А мы должны исходить из формулы
Если вектор а есть вектор скорости v} то предыдущая формула обра-
обращается в формулу
dvx dvy
==__cosa + ^.cosp +

§ 105] примеры 381
Так как левая часть последней формулы зависит только от изменения век-
вектора скорости v, то левая часть представляет проекцию ускорения точки А
на прямую А, т. е.
dvx dvlf
^д = -j? cos а + ~- cos р +
Предположим, что в момент t полупрямая А совпадает с мгновенным поло-
положением оси Ох; тогда мы будем иметь:
и мы получим:
dvx d$ dy
Но легко видеть, что при совмещении Ас Ох производная -— будет равна
d^i
угловой скорости a>z, а производная ~-~ равна угловой скорости Фу, взятой
со знаком минус, так как увеличению угла f соответствует вращение вокруг
оси Оу в отрицательном направлении или по часовой стрелке. Таким обра-
образом, мы приходим к первой из формул B3.14):
Остальные две формулы B3.14) получаются тем же^ путём при совмещении
в момент t полупрямой А с мгновенными положениями остальных двух осей
координат.

ПРИЛОЖЕНИЕ.
При изучении ускорения точки в § 72 мы пользовались некото-
некоторыми геометрическими понятиями, с которыми мы вкратце познако-
познакомим читателя в настоящем приложении, отсылая за подробностями
к курсам анализа, именно к тем их отделам, в которых излагаются
приложения дифференциального исчисле-
исчисления к геометрии.
Рассмотрим какую-нибудь окруж-
окружность с радиусом р и возьмём на ней
дугу s, соответствующую центральному
углу а (черт. 227). Мы знаем, что
т. е.
—г
Из этого равенства следует, что при
одной и той же длине s угол а будет
тем меньше, т. е. кривизна дуги окруж-
окружности будет тем меньше, чем больше
будет радиус р окружности. Отсюда сле-
следует, что за меру кривизны дуги окруж-
Черт. 227. 1
ности мы можем принять количество —.
Р
Рассмотрим дугу АВ = s окружности и проведём в концах А и В дуги
АВ касательные ААХ и ВВХ\ угол между касательными в концах дуги
называется углом смежности. Мы видим, что вследствие того, что
АА\ А-ОА и ВВХ±_ ОВ, угол смежности равен центральному углу АОВ.
Таким образом, если мы имеем дугу окружности, то мы найдём ра-
радиус этой окружности, разделив длину дуги на значение угла смеж-
смежности.
Предположим, что мы имеем не окружность, а какую-нибудь
плоскую кривую (С). Выделим на этой кривой весьма малую дугу АВ\
эта дуга тем ближе будет подходить к дуге окружности, чем меньше
будет её длина As. Поэтому при малом As мы приближённо можем
считать дугу АВ за дугу окружности. Найдём радиус этой окруж-

ПРИЛОЖЕНИЕ
383
ности. Для этого согласно предыдущему построим касательные АХА
и ВХВ в концах А и В дуги АВ (черт. 228). Эти касательные обра-
образуют между собой угол смежности Да; из черт. 228 мы видим, что
величина Да есть приращение угла а касательной к кривой (С)
с осью Ох при переходе от точки А
к точке В. Мы получим радиус искомой у
окружности, разделив is на Да. Так
как замена дуги АВ кривой (С) дугою
окружности будет тем точнее, чем
меньше будет длина дуги As, то в пре-
пределе мы получим точную формулу,
дающую радиус р окружности, называе-
называемой окружностью кривизны, или кру-
кругом кривизны] радиус р называется
радиусом кривизны. Мы имеем:
da ' Черт. 228.
Нетрудно дать выражение для радиуса кривизны р, удобное для вы-
вычислений. В самом деле, мы имеем:
f I + (%
Далее, известно, что
т. е.
отсюда находим:
rfs = lA+/*<*•*•
а = arctg/;
da =
у" dx
Следовательно, радиус кривизны р будет равен
ds Y
у" dx
или
р = -
Заметим, что так как радиус есть количество по существу арифме-
арифметическое, то для правой части последнего равенства следует брать её
абсолютное значение. Очевидно также, что в каждой точке кривой
радиус кривизны будет иметь, вообще, своё собственное значение.

384 ПРИЛОЖЕНИЕ
В качестве примера найдём радиус кривизны р параболы у2 = 2рх.
Мы последовательно получим:
2 х *
Поэтому будем иметь, удержав знак плюс для правой части, следую-
следующее выражение для радиуса кривизны:
или
Р =
В вершине параболы, где х = О, радиус кривизны будет наименьшим
и будет равен параметру р параболы.
Зная радиус кривизны р, мы в каждой точке кривой можем по-
построить соответствующий круг кривизны. Очевидно, что для этого
следует провести в данной точке нормаль к к/ривой в сторону её
вогнутости и отложить на этой нормали от рассматриваемой точки
отрезок, равный радиусу кривизны; мы получим, таким образом,
центр кривизны. Зная центр кривизны и радиус кривизны, мы непо-
непосредственно построим и круг кривизны. Круг кривизны можно опре-
определить ещё иначе. Рассмотрим на кривой три весьма близкие между
собою точки. Мы знаем, что через три точки вообще можно провести
одну и только одну окружность. Поэтому проведём окружность через
взятые три точки и будем неограниченно приближать эти три точки
друг к другу; в пределе мы получим окружность, проходящую через
три слившиеся между собою точки, которая, очевидно, и совпадёт
с найденной выше окружностью кривизны.
Рассмотрим теперь какую-нибудь кривую двойной кривизны, т. е.
кривую, точки которой не лежат в одной плоскости. Примером такой
кривой может служить винтовая линия. Возьмём три весьма близкие
между собою точки на этой кривой. Так как через три точки можно
провести вообще одну и только одну плоскость, то мы проведём
через рассмотренные три точки плоскость и будем неограниченно
приближать эти три точки друг к другу. В пределе мы получим
плоскость, проходящую через три слившиеся между собою точки
кривой; эта предельная плоскость называется соприкасающейся
плоскостью. Очевидно, что мы можем приближённо считать дугу
кривой двойной кривизны, проходящую через три бесконечно близкие
между собою точки, за дугу плоской кривой, лежащую в пределе
в соприкасающейся плоскости. Таким образом, мы можем построить

ПРИЛОЖЕНИЕ 385
в соприкасающейся плоскости круг кривизны и найти радиус кри-
кривизны, как для плоской кривой; этот радиус кривизны называется
радиусом первой кривизны кривой двойной кривизны.
При переходе вдоль кривой двойной кривизны соприкасающаяся
плоскость будет поворачиваться; быстрота поворота соприкасающейся
плоскости определит кручение кривой, или её вторую кривизну. Так
как касательная проходит через две слившиеся точки, а соприкасаю-
соприкасающаяся плоскость — через три слившиеся точки, то касательная в каждой
точке кривой двойной кривизны лежит в соприкасающейся плоскости,
построенной для этой точки. Нормаль к кривой, проведённая в сопри-
соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью, а нормаль
к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется
бинормалью.
Соприкасающуюся плоскость можно определить ещё иначе. Рас-
Рассмотрим на кривой три весьма близкие между собою точки А, В, С.
Через касательную в точке А можно провести плоскость, парал-
параллельную касательной в смежной точке В. Так как касательная в точке В
есть предельное положение секущей, проходящей через точки В и С,
то соприкасающуюся плоскость можно рассматривать как предельное
положение плоскости, проходящей через данную точку кривой А
параллельно касательной в смежной точке В, когда точка В стре-
стремится к совпадению с точкой А.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксоид 294
— неподвижный 324
— подвижной 325
Амплитуда гармонического колебания 216
Архимеда спираль 221
Балка на двух опорах 114, 191 и д.
Бинормаль 385
Бэра закон 376
Вариньона многоугольник 175
— теорема 65, 78, 84
Вектор 25 и д.
— единичный 26
— приложенный 35
— результирующий 30
— свободный 26
— скользящий 34
Величина силы 20
Вес материального объекта 92
Весы десятичные 88
;— неравноплечие 87
Винт динамический 150
— кинематический 346 и д.
Вращение конечное 342
— твёрдого тела 322 и д.
Вычитание векторов 33
Годограф скоростей 248
Графостатика 173
Гюльдена теорема вторая 106
— — первая 105
Даламбера теорема 323
Движение абсолютное 214
— абсолютно твёрдого тела 267, 353
— бесконечно малое винтовое 355
— гармоническое 216
— мгновенное поступательное 269
— относительное 214, 224, 363
— переносное 224, 363
— периодическое 216
— планет 241
— плоско-параллельное 284
— поступательное 268
— прецессионное 326, 327
— сложное (составное) 224, 364
Детерминант 48
Деформация 17
Диаграммы взаимные 209
Динамика 12
Динамометр пружинный 20
Единица силы техническая 21
Закон Бэра 376
Звенья пары 309
Измерение силы статическое 21
Инварианты 61, 349
Кеплера закон 241
Килограмм веса 21
Кинематика 11, 214
Конус трения 141
Кориолиса ускорение 366 и д., 370
Коромысло 310
Коэффициент статического трения скольжений
(трения первого рода) 140
— трения верчения 144
качения (трения второго рода) 142, 143
Кремона-Максвелла способ 207
Кривизна вторая 386
— первая 383, 386
Кривошип 310
Круг кривизны 383
Кручение кривой 385
Кульмана способ 205, 206
Лагранжа принцип возможных перемещений
Масса отрицательная 99
Метод взаимных диаграмм 209
— приведения сил геометрический 148
Механизм 310
— четырехзвенный 311
Минор определителя 48
Многоугольник верёвочный (шарнирный, Ва-
Вариньона) 173 и д.
— сил 23, 64, 175, 178, 179
Модуль вектора 26, 29
Момент изгибающий балки 192, 193
— инерции плоской фигуры 187
— — полярный 187
— минимум 154
— опрокидывающий 134
— пары 86, 87, 119
— силы относительно оси 42
точки 38, 51
— статический 185
— устойчивости 134
Направление силы 19
Независимость действия сил 23
Нормаль главная 385
Обращение движения 294, 309
Объект материальный однородный 94
Окружность, кривизны 383
Определитель 48
Оси координат неподвижные 214
— — подвижные 236
Ось мгновенная вращения 324
скольжения-вращения 355

Предметный указатель
38?
Ось центральная Системы сил 128
скоростей 347
— эквивалентного вращения 323
Пара кинематическая 309
винтовая 309
— .— вращательная 309
высшая 309
низшая 309
¦ поступательная 309
— сил 119 и д.
— угловых скоростей 337 и д.
Параллелограмм сил 21
Параметр винта динамического 150
¦ кинематического 349
Перемещение тела поступательное 267
Период 216
План скоростей 308
Плечо пары 86
Плоскость соприкасающаяся 384
Плотность линии 93
— поверхности 93
— тела 93
Полодия неподвижная 288 и д.
— подвижная 288 и д.
Полюс мгновенный 288, 296
Правило многоугольника сил 23—24
— параллелепипеда сил 23
Предварение равнодействий 327
Прецессия 326, 327
Прибор Тендера 124
Приведение системы сил 63, 128, 148, 151
Принцип Торричелли 165, 169
Проекция вектора на ось 28, 32
Произведение векторное 44
— скалярное 59
Производная геометрическая 225
— — локальная 365
Прямая действия силы 19
Равновесие абсолютное 17
— астатическое 85
— относительное 17
—¦параллельных сил 1J3
— плоской системы сил 132<—133
— произвольной системы сил 151, 155 и д.
— системы тел 167
—, статически неопределимые случаи 58—59
—, статически определимые случаи 58
— тела, имеющего неподвижную точку 158
— —, могуще! о вращаться вокруг оси 156
, могущего перемещаться винтовым дви-
движением 156
Равнодействующая 63
Радиус кривизны 383, 385
Разложение силы 24
Размерность механической величины 259 и д.
Реакция связи 55 и д.
Риттера способ 203
Рычаг 38—39
Связь идеальная 56
— неудерживающая 55
— удерживающая 55
Сила 9, 19
— активная 55
— внутренняя 165
— объёмная 54
— пассивная 55
— поперечная 199
— поверхностная 54
— равнодействующая 33
— реакции 55
— результирующая 24
— сосредоточенная 44
Сила сцепления предельная 139 но
— тяжести 20 '
Силы антипараллельные 72, 81
— параллельные 72 и д., 113 и д
— равные по величине 19
— сходящиеся 63
— уравновешивающиеся 19
Система единиц, теоретическая 259
— — техническая 259
— жёсткая 202
— отсчёта 10, 214
инерциальная 214
— сил плоская 128 и д., 178
произвольная 148
— — эквивалентная нулю 151
— статически неопределимая 58
определимая 58
Системы сил эквивалентные 150
Скаляр 26
Скорость 227 и д.
— линейная 272
— мгновенная 228
— секторная 237
— средняя 228
— угловая 236, 270, 272, 335, 336 и д.
Сложение векторов 23, 30
— движений 224
— пар 122
Соответствие взаимное 175
Сопротивление материалов 18
Спираль Архимеда 221
— логарифмическая 221
Способ измерения сил статический 21
— отрицательных масс 99
Статика 12, 17
— графическая 174
Сумма геометрическая 30
Сцепление 138, 139
Тело абсолютно твёрдое 13, 18
Теорема Вариньона 65, 78, 84
— Гюльдена вторая 106
первая 105
— Шаля 355
Теория пар 119 и д.
— упругости 18
Теплера прибор 124
Торричелли принцип 165, ^69
Течка материальная 13, 18
— приведения 128
— приложения силы 20
— схода 336
— эквивалентная 98
Траектория криволинейная 215
— прямолинейная 215
Трение верчения 143
— движения 138
— качения (второго рода) 140, 142
— скольжения 139
— статическое (покоя) 138
Треугольник моментный 42
Трохоида 294
Угол основной трёхгранный 255
— смежности 382
— трения предельный 139
Умножение векторное 44
— скалярное 59
Уравнения движения точки 215
Ускорение 248 и д., 303, 331
— нормальное 258
— поворотное (Кориолиса) 366, 370
— тангенциальное 258
— центростремительное 259
Условия равновесия 58

388
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ферма 301 и д.
Фигуры взаимные 175, 207
Формулы Эйлера кинематические 274
Центр инерции 95 и д.
— кривизны 384
— мгновенный (центр скоростей) 288, 291, 296
— параллельных сил 74, 92
— тяжести 92, 94, 189
- дуги круга 101
кругового сегмента 103
сектора 103
ломаной линии 100
— ~ отрезка 100
параллелограмма 102
параллелепипеда 104
— — тетраэдра 104
трапеции 102
Центр тяжести треугольника 102
— ускорений 305
Центроида неподвижная 288 и д.
— подвижная 288 и д.
Цепь кинематическая простая 310
замкнутая 310
незамкнутая 310
Циклоида 243, 294
Частота 217
Шаля теорема 355
Шатун 310, 317
Эйлера кинематические формулы 274
Эквивалентность пар 119
Эллипсограф 293