ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие ко второму изданию 7
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.
Глава XXIV. Работа и мощность 9
§ 106. Исторические указания 9
§ 107. Элементарная работа силы и работа силы на конечном пути 9
§ 108. Работа системы сил 13
§ 109. Мощность 18
§ ПО. Элементарная работа реакций идеальных связей 19
§ 111. Примеры 23
Глава XXV. Принцип возможных перемещений.
§ 112. Определение возможных перемещений 25
§ 113. Выяснение принципа возможных перемещений на простых
примерах 28
§ 114. Прямая и обратная теоремы Лагранжа 32
§ 115. Множители Лагранжа 38
§ 116. Свободные параметры Лагранжа. Определение реакций . . 43
§ 117. Примеры 52
ДИНАМИКА ТОЧКИ.
Глава XXVI. Законы Ньютона и основные задачи динамики ... 60
§ 118. Исторические указания 60
§ 119. Первый закон Ньютона. Закон инерции 61
§ 120. Второй закон Ньютона. Масса. Сила 64
§ 121. Третий закон Ньютона 73
§ 122. Определение движения материальной точки по заданной силе 74
§ 123. Определение силы по заданному движению материальной
точки 79
§ 124. Примеры 80
Глава XXVII. Интегралы дифференциальных уравнений
движения материальной точки 84
§ 125. Интеграл количества движения 84
§ 126. Интеграл момента количества движения; интеграл площадей 87
§ 127. Интеграл энергии 91
§ 128. Силовая и потенциальная функции 94
§ 129. Определение силовой функции для некоторых сил 97
§ 130. Примеры 100
Глава XXVIII. Свободное прямолинейное движение
материальной точки 107
§ 131. Постоянная сила 107
§ 132. Сила, зависящая от времени 108
1*

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие ко второму изданию 7
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.
Глава XXIV. Работа и мощность 9
§ 106. Исторические указания 9
§ 107. Элементарная работа силы и работа силы на конечном пути 9
§ 108. Работа системы сил 13
§ 109. Мощность 18
§ ПО. Элементарная работа реакций идеальных связей 19
§ 111. Примеры 23
Глава XXV. Принцип возможных перемещений.
§ 112. Определение возможных перемещений 25
§ 113. Выяснение принципа возможных перемещений на простых
примерах 28
§ 114. Прямая и обратная теоремы Лагранжа 32
§ 115. Множители Лагранжа 38
§ 116. Свободные параметры Лагранжа. Определение реакций . . 43
§ 117. Примеры 52
ДИНАМИКА ТОЧКИ.
Глава XXVI. Законы Ньютона и основные задачи динамики ... 60
§ 118. Исторические указания 60
§ 119. Первый закон Ньютона. Закон инерции 61
§ 120. Второй закон Ньютона. Масса. Сила 64
§ 121. Третий закон Ньютона 73
§ 122. Определение движения материальной точки по заданной силе 74
§ 123. Определение силы по заданному движению материальной
точки 79
§ 124. Примеры 80
Глава XXVII. Интегралы дифференциальных уравнений
движения материальной точки 84
§ 125. Интеграл количества движения 84
§ 126. Интеграл момента количества движения; интеграл площадей 87
§ 127. Интеграл энергии 91
§ 128. Силовая и потенциальная функции 94
§ 129. Определение силовой функции для некоторых сил 97
§ 130. Примеры 100
Глава XXVIII. Свободное прямолинейное движение
материальной точки 107
§ 131. Постоянная сила 107
§ 132. Сила, зависящая от времени 108
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 133. Сила, зависящая от координаты материальной точки .... 112
§ 134. Сила, зависящая от скорости материальной точки 114
§ 135. Примеры 115
Глава XXIX. Свободное прямолинейное движение тяжёлой точки 122
§ 136. Движение в пустоте 122
§ 137. Движение при сопротивлении, пропорциональном первой
степени скорости 124
§ 138. Движение при квадратичном законе сопротивления .... 130
§ 139. Падение тяжёлой точки в стандартной атмосфере при
квадратичном законе сопротивления 137
§ 140. Закон сопротивления Сиаччи 146
§ 141. Примеры 148
Глава XXX. Прямолинейное колебательное движение
материальной точки 154
§ 142. Гармоническое движение 154
§ 143. Колебания материальной точки с возмущениями 158
§ 144. Колебания материальной точки с затуханием 164
§ 145. Колебания материальной точки с затуханием и возмущениями 170
§ 146. Примеры · 174
Глава XXXI. Свободное движение материальной точки в
плоскости и в пространстве 181
§ 147. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
в прямоугольных и в полярных координатах; естественные
уравнения движения 181
§ 148. Движение тяжёлой точки в пустоте 183
§ 149. Движение тяжёлой точки при сопротивлении,
пропорциональном первой степени скорости 187
§ 150. Движение тяжёлой точки при квадратичном законе
сопротивления 191
§ 151. Движение тяжёлой точки в воде с запасом плову чести при
квадратичном законе сопротивления 196
§ 152. Применение закона Сиаччи 198
§ 153. Примеры 200
Глава XXXII. Несвободное движение материальной точки. . . . 210
§ 154. Уравнения движения материальной точки по поверхности
и по линии 210
§ 155. Теорема кинетической энергии для несвободного движения 216
§ 156. Круговой математический маятник 217
§ 157. Примеры 224
Глава ХХХШ. Относительное равновесие и относительное
движение 231
§ 158. Уравнения относительного равновесия 231
§ 159. Уравнения относительного движения 239
§ 160. Равновесие и движение материальной точки ил поверхности
Земли с учётом вращения Земли вокруг сё осп 243
§ 161. Примеры 249
Глава XXXIV. Уравнения Лагранжа 257
§ 162. Принцип Даламбера 257
§ 163. Силы инерции 258

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 164. Соединение принципа Даламбера с принципом возможных
перемещений 259
§ 165. Динамические уравнения Лагранжа в свободных параметрах 261
§ 166. Малые колебания материальной точки 267
§ 167. Примеры 271
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ.
Глава XXXV. Дифференциальные уравнения движения
материальной системы и их интегралы 277
§ 168. Исторические указания 277
§ 169. Внешние и внутренние силы 278
§ 170. Количество движения системы. Движение центра инерции
системы 279
§ 171. Движение материальной точки переменной массы 285
§ 172. Момент количеств движения системы 288
§ 173. Теорема кинетической энергии 297
- § 174. Момент количеств движения и кинетическая энергия
материальной системы в её относительном движении по
отношению к центру инерции 299
§ 175. Примеры 304
Глава XXXVI. Моменты инерции 311
§ 176. Физические основания введения моментов инерции.
Определение моментов инерции 311
§ 177. Моменты инерции относительно параллельных осей . . . . 314
§ 178. Момент инерции относительно оси произвольного
направления. Эллипсоид инерции -. 315
§ 179. Примеры 323
Глава XXXVII. Вращение абсолютно твёрдого тела вокруг
неподвижной оси г .... 333
§ 180. Уравнения движения 333
§ 181. Интегрирование уравнения движения абсолютно твёрдого
тела вокруг неподвижной оси 336
§ 182. Определение реакций. Свободная ось вращения 339
§ 183. Аналогия между прямолинейным поступательным
движением и вращением вокруг неподвижной оси 344
§ 184. Физический маятник 344
§ 185. Применения физического маятника 349
§ 186. Примеры 351
Глав а XXXVIII. Движение материальной плоской фигуры в её
плоскости 354
§ 187. Уравнения движения 354
§ 188. Теорема кинетической энергии 357
§ 189. Определение реакций 358
§ 190. Примеры 359
Глава XXXIX. Уравнения движения абсолютно твёрдого тела
вокруг неподвижной точки 369
§ 191. Углы Эйлера и зависимости проекций угловой скорости
абсолютно твёрдого тела от углов Эйлера 369
§ 192. Кинетическая энергия и момент количеств движения
абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную точку . . . 374

О ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 193. Динамические уравнения Эйлера 378
§ 194. Применение уравнений Эйлера 380
§ 195. Примеры 383
Глава XL. Случай Эйлера 388
§ 196. Уравнения движения абсолютно твёрдого тела в случае
Эйлера и их первые интегралы 388
§ 197. Интегрирование уравнений движения абсолютно твёрдого
тела в случае Эйлера. Метод Пуансо 390
§ 198. Примеры 400
Глава XLI. Случай Лагранжа 407
§ 199. Уравнения движения абсолютно твердого тела в случае
Лагранжа и их первые интегралы 407
§ 200. Интегрирование уравнений движения абсолютно твёрдого
тела в случае Лагранжа 410
§ 201. Гироскопическое давление 413
§ 202. Регулярная прецессия в случае Лагранжа 419
§ 203. Псевдорегулярная прецессия 419
§ 204. Практические применения гироскопов . 420
§ 205. Примеры 421
Глава XLII. Принцип Даламбера и уравнения Лагранжа .... 425
§ 206. Принцип Даламбера 425
§ 207. Общее уравнение Лагранжа динамики системы 428
§ 208. Уравнения Лагранжа в свободных параметрах, или
уравнения Лагранжа второго рода 431
§ 209. Интеграл энергии 437
§ 210. Теорема Лежен-Дирихле об устойчивости равновесия . . . 439
§ 211. Канонические уравнения 441
§ 212. Метод Якоби интегрирования канонических уравнений . . . 446
§ 213. Примеры 450
Глава XLIII. Малые колебания материальной системы около
положения равновесия 459
§ 214. Уравнения движения 459
§ 215. Интегрирование уравнений движения 463
§ 216. Теорема Рауса 469
§ 217. Примеры 471
Глава XLIV. Теория удара 478
§ 218. Общие положения 478
§ 219. Динамические уравнения удара 482
§ 220. Теоремы Карно 485
§ 221. Действие удара на тело, имеющее неподвижную ось
вращения 487
§ 222. Прямой удар упругих шаров 491
§ 223. Примеры 495
Предметный указатель 501

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.
Настоящее издание второго тома «Курса теоретической механики»
есть воспроизведение предыдущего издания со следующими
изменениями. В новом издании исправлены погрешности, имевшиеся в
предыдущем издании; заново переработано изложение законов Ньютона;
динамика в её основах более тесно связана с физикой; учение о
реактивном движении точки дано в раскрытом виде; все примеры
получили общую нумерацию, составляющую продолжение нумерации
примеров первого тома; наконец, в тексте даны разъяснения и дополнения,
облегчающие усвоение курса. Материал книги содержит не только
то, что обыкновенно является содержанием читаемых в высших
технических учебных заведениях лекций, но и включает ряд
дополнительных сведений, которые могут пригодиться при решении средствами
теоретической механики практических вопросов. Хотя канонические
уравнения находят в настоящее время много применений, особенно
в физике, в этом курсе дан только их вывод для простейшего
случая; для более основательного изучения их рекомендуется обратиться
к более подробным курсам теоретической механики.
При практических приложениях динамики приходится не только
применять квадратуры, но и обращаться к интегрированию
дифференциальных уравнений, а эти операции, как известно, далеко не всегда
можно выполнить аналитически в конечном виде; поэтому в отличие
от статики и кинематики, в которых операции интегрирования почти
не встречаются, может казаться, что область применения динамики
должна быть весьма ограничена со стороны математики вследствие
невозможности довести многие задачи до конца аналитически. Такой
взгляд был бы ошибочным, как это было уже указано в предисловии
к предыдущему изданию. Чтобы довести эти задачи до конца,
необходимо только отказаться от аналитического метода решения
дифференциальных уравнений и сведения задач к квадратурам и перейти

8 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
к численным методам. Эти методы находят в приложениях
теоретической механики к практике весьма широкое применение. Чтобы не
загромождать этот курс вычислениями, при выполнении численных
операций не будет преследоваться большая точность; так, при
механических квадратурах будет всегда применяться способ трапеций,
а при интегрировании дифференциальных уравнений — способ
приближённого интегрирования внутри малых интервалов с отбрасыванием
всех разностей, начиная со второго порядка. Читатель, желающий
подробнее ознакомиться с приёмами численного решения уравнений,
должен обратиться к специальным курсам, посвященным этому вопросу.

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ГЛАВА XXIV.
РАБОТА И МОЩНОСТЬ.
§ 106. Исторические указания. Принцип возможных
перемещений, на котором в отличие от элементарной статики, изложенной
в первом томе настоящего курса механики, основывается так
называемая * аналитическая статика, есть наиболее общий принцип
статики. Так как в принципе возможных перемещений в · его общем
случае следует рассматривать лишь бесконечно малые перемещения,
а всякое бесконечно малое перемещение равно скорости, умноженной
на дифференциал времени, то принципу возможных перемещений
можно дать наименование: принцип возможных скоростей; под таким
наименованием: principe des vitesses virtuelles, он и известен во
Франции. Принцип возможных перемещений в полной его общности был
впервые установлен Лагранжем. В применении к рычагу его впервые
заметил Гвидо Убальди (1545—1607). Галилей нашёл его в
применении к наклонной плоскости. Ученик Галилея Торричелли дал принцип,
носящий его имя (Статика, § 53) и представляющий частный случай
принципа возможных перемещений. Иван Бернулли (1667—1748) был
первым, кто понял чрезвычайно большую общность принципа
возможных перемещений и его значение для решения задач статики, что
видно из одного письма Ивана Бернулли к Вариньону, датированного
1717 г. Лагранж изложил принцип возможных перемещений в первом
томе своей «Аналитической механики», появившемся в 1788 г.
§ 107. Элементарная работа силы и работа силы на конечном
пути. Понятие работы силы применяется в следующих разделах тео^
ретической механики: в аналитической статике, основанной на
принципе возможных перемещений, в динамике точки, в динамике системы
и в теории потенциала, а в технической механике — в учении о работе
машин. Для принципа возможных перемещений понятие о работе силы
является основным понятием.
Понятие работы заимствовано из повседневной жизни: человек
совершает работу, когда, преодолевая какое-либо сопротивление,
перемещает тот или другой предмет, на который он воздействует силой,

10 РАБОТА И МОЩНОСТЬ (ГЛ. XXIV
развиваемой его мускулами. При этом величина совершённой работы
представляется пропорциональной величине развиваемого мускульного
усилия и длине пути, па котором преодолевается сопротивление.
Работа постоянной силы F на прямолинейном пути между
точками Мх и Мо измеряется скалярным произведением F · ΜλΜ^ где
МхМъ обозначает перемещение точки приложения силы.
Чтобы подойти к измерению работы переменной силы на
криволинейном пути, введём сначала понятие элементарной работы силы.
Элементарной работой переменной силы F называется работа
на элементарном перемещении постоянной силы, равной значению
рассматриваемой силы в данный момент
времени. Элементарная работа силы F,
приложенной в точке А, может быть выражена
скалярным произведением F · dr, где г есть
радиус-вектор точки А относительно какого-либо
Μ неподвижного полюса О (черт. 229). Из
кинематики известно соотношение
tfr _
где ν — скорость точки А. Отсюда
О'
Черт. 229. dr = vdt.
С другой стороны, в предположении, что дуга траектории отсчиты-
вается в сторону движения,
откуда
ν dt = ds.
Поэтому
\dr\~ ds.
Это значит, что элементарное перемещение dr имеет направление
касательной к траектории точки /1, а модуль его равен элементу дуги.
Поэтому элементарная работа силы F на перемещении dr может
быть выражена так:
F- dr = Fds cos (F^dr). (24.1)
Элементарная работа силы может быть положительной или
отрицательной в зависимости от того, будет ли угол между силой F и
элементом пути dr соответственно острым или тупым. Так как
количество dscos(F, dr) есть проекция элемента пути ιга направление
силы, а количество Fcos(F, dr) есть проекция силы на направление
элемента пути, то для значения элементарной работы мы также находим;

§ 107] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА СИЛЫ. 11
Элементарная работа силы равна произведению модуля силы
на проекцию элементарного перемещения на направление силы,
или равна произведению модуля элементарного перемещения на
проекцию силы на направление этого перемещения.
Так как проекция суммы векторов равна сумме проекций
составляющих, то из этого определения непосредственно следует, что
элементарная работа силы на сложном перемещении равна сумме
элементарных работ на составляющих перемещениях.
Так как будет:
F=iX+JY+kZ, dr = idx-\-jdy-\-kdz,
то по правилу скалярного умножения (т. I, § 18) мы из формулы
(24.1) получаем для элементарной работы ещё следующее выражение:
F-dr = Fds cos {F^dr) = Xdx+Ydy~\- Zdz. (24.2)
Выражение Xdx -j- Υ dy ~\- Ζ dz для элементарной работы встречается
наиболее часто.
Следует заметить, что введённое здесь понятие работы не всегда
эквивалентно тому, что понимают под работой с физиологической
точки зрения. Так, например, если человек несёт по горизонтальному
пути тяжёлый груз, то кажется, что с точки зрения механики
поддерживающая этот груз сила F, развиваемая человеком, не совершает
работы, так как эта сила F направлена вертикально вверх, путь же
горизонтален, и потому па любом элементе dr пути будет F· dr = 0;
но очевидно, что на самом деле человеком при этом совершается
весьма большая работа. Даже когда человек стоит на месте, держа
рукой тяжёлый груз, расходуется нервная энергия на поддержание
мускулов руки в напряжённом состоянии. Происходящее при этом
явление схематически можно себе представить так. В известный
момент времени напряжение мускулов ослабевает, сила тяжести груза
берёт верх, и груз несколько опускается; сейчас же человек
увеличивает мускульное усилие и снова приподнимает груз, затем следует
новое ослабление мускульного напряжения и т. д. Таким образом,
при кажущемся равновесии на самом деле центр тяжести груза
совершает чуть заметные колебания, и если просуммировать все пере?ле-
щения груза, направленные вверх, и помножить на среднее значение
мускульного усилия, то получится довольно значительная величина.
При ходьбе к этому присоединяется работа, которую человек
совершает из-за необходимости приподнимать свой центр тяжести, а вместе
с тем и центр тяжести груза при перестановке ноги.
Перейдём теперь к определению работы на конечном пути, для
чего рассмотрим какой-нибудь конечный путь ВС, пройденный
движущейся точкой (черт. 230). Впишем в дугу ВС ломаную, состоящую
из η звеньев Δ/·, подсчитаем работу F · Аг силы F на каждом таком
звене, сложим все полученные результаты и перейдем к пределу

12
РАБОТА И МОЩНОСТЬ
[ГЛ. XXIV
при п, неограниченно возрастающем; мы получим:
= f F-dr= f
(ВС)
(ВС)
Отсюда мы приходим к следующему определению работы А силы
F(x* У ι z) на конечном пути ВС:
Работой А силы F на конечном пути ВС называется предел
суммы элементарных работ силы F на этом пути.
Из этого определения следует, что работа А силы F
математически выражается криволинейным интегралом
s = j* (Xdx-\-Ydy~\-Z dz). (24.3)
(ВС)
Проекции силы F в общем случае могут зависеть от времени ύ, от
координат х, у, ζ движущейся точки и от проекций х\ у', zr
скорости этой точки; поэтому в общем случае интеграл в формуле (24.3)
можно вычислить только тогда, когда известны
уравнения x=.f^{t\ y—f2(t)y z=f^(t) движения точки.
В самом деле, тогда в силу уравнений движения
точки будет:
= Φ (t)dt,
А= [ F cos
(ВС)
и формула (24.3) приведётся к формуле
где t0 и tx суть моменты времени, в которые
движущаяся точка находилась в начальной В и конечной С
точках пути ВС.
Для случая силы, постоянной по величине и направлению, в
частности для силы тяжести, можно вычислить интеграл (24.3) и без
знания уравнений движения точки. Определим, например, работу силы
тяжести Р. Если ось Oz направлена вертикально вверх, то будет:
Х=0, Υ = 0, Ζ = — Ρ,
и мы получим:
А = — f Pdz = — P f dz = — P(zG — zB).
(ВС) (ВО)
Обозначим абсолютное значение разности zc — zn через h\ если точка
приложения силы Ρ опускается, то будет zc — zB = — h, а если она
поднимается, то будет zQ—zB = -\- h. Таким образом, при опускании

108]
РАБОТА СИСТЕМЫ СИЛ
13
на высоту h точки приложения силы Ρ мы получим:
А = + Ph.
(24.4)
Так как в технической системе единиц (т. I, § 74) за единицу
силы принимается один килограмм, а за единицу длины — один метр,
то в этой системе мы можем определить единицу работу силы
следующим образом:
В технической системе единиц единица работы силы есть
один килограммометр, т. е. работа силы в один килограмм на
пути в направлении силы длиной в один метр,
Определение единицы работы силы в физических ι β
еди- ицах будет дано ниже.
Чтобы представить величину килограммометра, \ β
проделаем следующий опыт. Будем равномерно
поднимать груз весом в один килограмм на высоту
одного метра вдоль вертикальной прямой. Отделим
участки С А и BD, на которых будет происходить
ускорение и соответственно замедление движения 1м
груза, от вертикального участка АВ длиной в один
метр, на котором мы будем поднимать груз
равномерно (черт. 231).
Так как на участке АВ движение груза будет
прямолинейным и равномерным, т. е. происходить
по инерции, то, как это известно из элементарной
физики, на этом участке на груз не должны дей- '///////£W/////,,
ствовать никакие силы; следовательно, вес груза
в один килограмм должен на этом участке уравнове- Черт. 231.
шиврться силой, которую мы развиваем рукой при
подъёме груза (мы предполагаем скорость подъёма груза настолько
малой, что можно пренебречь сопротивлением воздуха). Так как сила,
развиваемая на этом участке АВ нашей рукой, равна одному
килограмму и направлена вертикально вверх на пути АВ длиной в один
метр, то работа этой силы и будет в точности равна одному кил
οι раммометру.
Очевидно, что в соответствии с принятыми обозначениями (т. I,
§ 74) размерность работы в технической системе единиц равна FL.
§ 108. Работа системы сил. Дадим следующее определение
элементарней работы системы сил:
Элементарной работой системы сил называется
алгебраическая сумма элементарных работ сил, составляющих
рассматриваемую систему.
Из этого определения следует, что если систему составляют силы
Z7!, F2, />,, ... и если точки приложения этих сил переместились
соответственно на элементы пути drv dr2, dr%^ ..., то элементарная

14 РАБОТА И МОЩНОСТЬ [ГЛ. XXIV
работа этой системы сил равна:
2 Fn ' drn = 2 Fn dsn cos (Fnf drn) =
η η
= 2 (Xn dxn + Yn dyn + Zn dzn). (24.5)
η
Покажем, как, пользуясь изложенной в первом томе настоящего курса
теорией приведения сил, приложенных к твёрдому телу, иногда
можно упростить выражение (24.5) для элементарной работы системы
сил.
Прежде всего предположим, что требуется найти элементарную
работу сил, приложенных в одной точке твёрдого тела. Так как
в этом случае для всех сил Fv F2> F.d,... элементарное
перемещение dr будет одно и то же, то по свойству распределительности
скалярного умножения (т. I, § 18) мы получим:
η η η
где F=^Fn есть равнодействующая данной системы сил. Таким
η
образом, мы пришли к следующему предложению.
Элементарная работа системы сил, имеющих общую точку
приложения, равна элементарной работе их равнодействующей.
Далее, пусть силы Fl9 F%, Fd,..., действующие на твёрдое тело,
параллельны; обозначим соответственно через (xv yv zx), (x2, y2, xr2),
(л-а, уч]у z.d), . .. координаты их точек приложения. Если (£, η, С) суть
координаты центра этой системы параллельных сил, то мы знаем
(т. 1, § 23), что будет:
s~ Χ §1~" Υ » """
где проекции Χ, Υ, Ζ равнодействующей равны:
Переместим твёрдое тело, на которое действуют силы Flf F2, F.,,. . .,
оставляя силы параллельными и не меняя их модулей. Пусть при
этом точки приложения сил получат элементарные перемещения drly
dr2, dr:]i ..., так что координаты точек приложения сил сделаются
равными (лг1 -f- dxv уг -{- dylf гг -\~dz{), (дг2 -j- dx2, у* -\- dy^ z2 -\~ dz^\
(χ.ό + ^з> Л Η" dy& Z2 + ^з)» · · · ТогДа координаты (ξ, η, ζ) центра

§ 108] РАБОТА СИСТЕМЫ СИЛ 15
параллельных сил изменятся в (^-\~dl, η-ρ*/η, r-.-\-dQ, где будет:
А'
Вычитая почленно из этих равенств аналогичные предыдущие
равенства, мы будем иметь:
или
χ
Xn dxn = Xn dl, 2 Yn dyn = yd-Ч,
z
dzn =
Складывая почленно последние три равенства, мы получим:
dxn
n dzn) =
(24.7)
Отсюда, обращая внимание на формулу (24.5), мы заключаем, что
для параллельных сил, имеющих
равнодействующую, как и для сил с общей
точкой приложения, имеет место
предложение:
Элементарная работа системы
параллельных сил, имеющих
равнодействующую, равна элементарной
работе этой равнодействующей силы.
Если результирующая системы
параллельных сил равна нулю, но общий
момент этой системы сил отличен от Q
нуля, то мы знаем, что общий момент
такой системы сил будет постоянным
для всех точек пространства, и эту систему параллельных сил можно
привести к паре сил.
Найдём сначала элементарную работу пары сил, приложенной
к твёрдому телу, перемещающемуся параллельно плоскости пары.
Пусть будет дяна пара сил (Ζ7, —F) с плечом А В, где будет F±_AB
и —F_\_AB (черт. 232). Возьмём какой-нибудь неподвижный полюс О,
расположенный в плоскости пары, и соединим его с точками А
Черт. 232.

16 РАБОТА И МОЩНОСТЬ [ГЛ. XXIV
и В радиусами-векторами г и г'. Предполагая, что пара
перемещается бесконечно мало в своей плоскости, мы найдём, что
элементарная работа пары сил будет равна:
мы имеем выражение
где ω есть модуль угловой скорости твёрдого тела, к
где бесконечно малый вектор da лежит в плоскости пары.
Таким образом, для элементарной работы пары сил мы получим:
где dt есть дифференциал времени. Но мы знаем, что вследствие
постоянства модуля вектора а производная -тт- представляет
линейную скорость вращения точки В вокруг точки А (т. I, § 65); в
рассматриваемом случае вектор этой скорости лежит в плоскости пары,
перпендикулярен к вектору а = АВ и направлен в сторону вращения
точки В вокруг точки А. Для модуля 1—57-
da
dt
которому приложена пара. Поэтому мы будем иметь:
где знак плюс соответствует случаю, когда направление силы F
da
и направление линейной скорости-^- вращения точки В совпадают,
и знак минус соответствует случаю, когда оба эти направления
противоположны друг другу. Обозначая через db абсолютное значение
элементарного угла поворота плеча АВ, имеем dft = o)dt; далее, Fa
есть модуль Μ момента Μ пары (F, —F). Следовательно,
элементарная работа пары сил при перемещении в её плоскости равна ±Mdft,
где смысл знака только что выяснен.
Очевидно, что при всяком элементарном перемещении, при
котором точки А и В перемещаются перпендикулярно к плоскости пары,
элементарная работа пары сил равна нулю, так как при этом
элементарные работы силы F и силы —Z7 .равны нулю. Сообщим теперь
твёрдому телу, к которому приложена пара сил, элементарное вин*-
товое перемещение, ось которого перпендикулярна к плоскости пары.
Так как такое элементарное перемещение можно рассматривать как
результат сложения перемещения, при котором пара остается в её
плоскости, и перемещения, при котором точки приложения сил пары
перемещаются перпендикулярно к · плоскости пары, то мы получаем
отсюда следующее предложение:
Абсолютное значение элементарной работы пары сил при
элементарном перемещении, оставляющем плоскость пары парал-

§ 108] РАБОТА СИСТЕМЫ СИЛ 17
лельной её первоначальному положению, равно модулю момента
пары, умноженному на модуль бесконечно малого ^гла поворота
пары в её плоскости.
Рассмотрим ещё элементарную работу любой системы сил,
приложенных к абсолютно твёрдому телу, при произвольном бесконечно
малом перемещении этого тела. Из кинематики (т. I, § 99) мы знпем,
что вектор vn абсолютной скорости любой точки Ап абсолютно
твёрдого тела равен:
где v0 есть вектор абсолютной скорости какой-нибудь выбранной
точки О абсолютно твёрдого тела; мы примем рассматриваемое
мгновенное положение точки О за начало прямоугольной системы
неподвижных осей координат. Количество ω есть вектор мгновенной
угловой скорости вращения абсолютно твёрдого тела, и гп=ОАп.
Умножая обе части предыдущего равенства на dt, мы получим:
или, обозначая элементарные перемещения точек Ап и О через drn
и dr0, ещё несколько иначе:
Отсюда следует, что элементарная работа силы Fn, приложенной
в точке Ап с координатами хп, уп, zn, равна:
Fn - drn = Fn · dr0 + Fn · (ω Λ Χ rn).
Так как скалярное произведение вектора Fn на вектор ω dt χ rn
равно сумме парных произведений проекций этих векторов, то будет:
/V («ИХ rn) = Xn{<*ydtzn — <»zdtyn)-\-
+ У η К dt Xn — ω^ dt Zn) + Zn (ωχ dtyn — шу dt xn).
Перегруппировывая иначе выражение, стоящее в правой части
последнего равенства, мы найдём:
Fn-(f»dtxrn) =
(znXn — ΧηΖη) ωυ dt+ (xnYn —ynXn) ω5 dt.
Но рпзности, стоящие в скобках в прпвой части этого рчвенствл, суть
проекции Мпх, Мпу1 Mnz момента Мп силы Fn относительно точки О
на оси Ох, Оу, Oz; поэтому будет:
Fn -(fudtX rn) = Μηχωχ dt-\-Mnya>y dt-\-Mnz<*z dt =Mn-b) dt.
Следовательно, мы будем иметь:
Fn ■ drn = Fn.dr0 + Mn.» dt, (24.8)
2 Зак. 487. А. И. Некрасов.

18 РАБОТА И МОЩНОСТЬ [ГЛ. XXIV
или в координатной форме:
X» ах η + Υ η dyn + Zn dzn = Xn dx0 + Yn dy0 + Zn dz0 +
Λ dt.
Отсюда для элементарной работы системы сил, приложенных к
абсолютно твёрдому телу, мы получим:
2 рп ■ drn=dr0 ■ 2fn+ω dt. 2 мп.
2 n=dr0 ■ 2fn+ω dt. 2 мп. (24-9)
η η и
В координатной форме для рлссматриваемой работы системы сил,
приложенных к бесконечно мало перемещающемуся абсолютно
твёрдому телу, мы найдём:
п dxn + Yn dyn + Zn dzn) = dx0 2 Xn + 4Уо 2 F« +
2 *»+«« λ Σ (^„ζη - ^я
2 (г»^« — ynzn)+ω2 rf/2 ^»κ» — λΛ)· (24Л°)
Стоящие в правой части суммы представляют проекции на оси Ох,
Оу, Οζ результирующей силы и проекции общего момента
относительно точки О системы сил, приложенных к абсолютно твёрдому
телу.
§ 109. Мощность. В приведённое выше определение работы силы
не входило время, в течение которого работа силы совершается.
Будем теперь рассматривать работу, совершаемую силой в единицу
времени, причём мы ограничимся случаем положительной работы.
Введём следующее определение:
Мощностью называется работа силы, отнесённая к единице
времени.
Мы получим выражение мощности из выражения (24.2) для
элементарной работы, разделив последнее на дифференциал времени dt.
π - dr dx dy dz
Гак как будет — = v и --гт- = vx, -~ = vy9 ~тт = vz, где вектор ν
есть скорость точки, а количества vxy νψ ν2 суть проекции этой
скорости, то мы придём к следующим выражениям для мощности:
F-v = Fv cos (F^v) = Xvx+ Vvy-\-Zvz. (24.11)
В случае пары сил, приложенной к твёрдому телу в плоскости,
перпендикулярной к оси вращения, выражение для мощности имеет вид
Ж-^-=Жа>, (24.12)
т. е. мощность пары сил в этом случае равна модулю Μ момента
Μ это Л пары, умноженному на модуль ω угловой скорости ω твёр-

§ ПО] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА РЕАКЦИЙ ИДЕАЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ 19
дого тела, к которому приложена пара. Если при этом вращении
совершается η оборотов в минуту, то будет ω = -^- = -^ , и для
мощности пары сил мы будем иметь выражение МАттг.
В технической системе единиц единицей мощности служит
мощность, равная одному килограммометру в одну секунду. Однако
чаще берут более крупную величину, именно величину, в 75 раз
большую, которая называется лошадиной силой. Таким образом, мы
имеем:
Лошадиная сила равна 75 килограммометрам в секунду.
Очевидно, что в технической системе размерность мощности
равна FLT"1.
При работе машины часть мощности, получаемой машиной, не
тратится на полезную работу, а теряется на преодоление вредных
сопротивлений в самой машине; таким образом, машина отдаёт
меньшую мощность, чем получает.
Отношение отдаваемой машиной мощности ко всей мощности,
получаемой машиной, называется коэффициентом полезного
действия машины.
Коэффициент полезного действия часто обозначается через η;
очевидно, что всегда будет 1 > η > 0.
§ ПО. Элементарная работа реакций идеальных связей. В этом
параграфе мы рассмотрим элементарную работу реакций связей;
связям и их реакциям с точки зрения статики был посвящен § 16
главы III первого тома настоящего «Курса теоретической механики».
Если на покоящиеся или движущиеся под действием сил
материальную точку или тело наложены связи, то эта точка или тело будут
д.шить на тела, осуществляющие связи, и такими же по величине,
но противоположными по направлению силами тела, осуществляющие
связи, будут воздействовать на материальную точку или тело; эти
силы воздействия связей и ня:<ыв1ются силами связей, реакциями
связей или пассивными силами. Связь может быть неизменной, но
может и изменяться с течением времени; очевидно, что в проблемах
статики встречаются лишь связи, не изменяющиеся с течением
времени. Мы будем здесь рассматривать связи, осуществлённые без
трения и не изменяющиеся со временем, причём мы приведём
непосредственно ниже несколько примеров элементарной работы реакций
гаких связей.
1. Предположим, что материальная точка может скользить без
грения по некоторой поверхности или линии (черт. 233). Мы знаем,
по при отсутствии трения реакция /? должна быть направлена
нормально к поверхности или линии. Так как элементарное
перемещение dr точки должно лежать в касательной плоскости к поверхности
или, соответственно, быть направленным по касательной к линии, то
2*

20
РАБОТА И МОЩНОСТЬ
[ГЛ. XXIV
должно быть drJ_R; следовательно, мы получим R*dr=Oy т. е.
элементарная работа реакции связи в этом примере рявна нулю.
2. Рассмотрим плоскую задачу качения тела по поверхности
другого тела (черт. 234). Пусть будет А — точка соприкосновения
нормального сечения катящегося тела с поверхностью покоящегося тела.
Как известно, точка А должна быть мгновенным
центром вращения (т. I, §§ 81 и 82) этого
нормального сечения, т. е. ее скорость должна быть
равна нулю. Силп R связи, приложенная в точке А,
не может быть направлена по нормали η к
поверхности, по которой происходит качение, так как
сила R должна иметь слагающую, направленную
вдоль поверхности, препятствующую скольжению
точки А *). Однако и здесь скалярное
произведение R · dr равно нулю, но уже не по той причине, что в
предыдущем примере. В самом деле, обозначая через dt элемент времени,
мы имеем:
dr
dr
Черт. 233.
R. dr=
dt
dt.
~dt есть СК0Р0СТЬ точки Л, равная нулю, так как точка А
есть мгновенный центр вращения. Таким образом, и в этом примере
элементарная работа реакции связи равна нулю.
3. Пусть мы имеем абсолютно твёрдое тело с неподвижной
точкой О опоры; в этом случае сила R связи приложена в точке О.
Так как точка О неподвижна, то
будет dr = 0, т. е. будет R · dr=0;
следовательно, и в этом примере
элементарная работа реакции связи
равна нулю.
4. Рассмотрим случай абсолютно
твёрдого тела, могущего совершать
винтовое движение. Это зчачит, что
тело может поворачиваться вокруг
неподвижной оси и независимо от
этого скользить вдоль той же оси,
т. е. получать поступательное
перемещение, параллельное оси. В этом
случае мы имеем две реакции R" и /?', перпендикулярные к оси
скольжения-вращения, приложенные в точках О и О' тела, лежащих
на этой оси (т. I, § 49). Очевидно, что элементарные перемещения
Черт. 234.
!) Связь, допускающая качение тела и препятствующая скольжению,
вовсе не предполагает наличия трения. Можно себе представить, что
катящееся тело и поверхность, по которой оно катится, снабжены мельчайшими
зубцами, размепгчи которых с точки зрения кинематики можно пренебречь.

^ 110]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА РЕАКЦИЙ ИДЕАЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ
Черт. 235.
точек О и О', происходящие вдоль оси скольжения-вращения,
между собой равны; обозначим это общее перемещение через dr.
Так как будет R"\_dr и /?' J_dr, то должно быть /?" · dr = 0
и R/'dr=0i т. е. элементарная работа реакций связи в этом
примере равна нулю.
5. Основываясь на этих примерах, можно было бы ожидать, что
Б случае отсутствия трения элементарная работа каждой отдельной
реакции связи должна быть равна нулю; легко, однако, показать,
что τίΐкое заключение ошибочно. В самом
деле, рассмотрим, например, две
материальные точки А и В, принуждённые оставаться
на неизменном расстоянии друг от друга.
Так как действие равно по величине и
противоположно по направлению протикодей-
ствию, то реакции F и —F будут между
собой равны по величине и направлены в
противоположные стороны вдоль прямой АВ
(черт. 235). Предположим, что точки А и
В переместились вдоль прямой АВ в новые
положения А' и В\ так что будет ААГ = ВВ! = ds. Тогда
элементарная работа силы Z7, приложенной в точке Л, будет равна Fds,
а элементарная работа силы —F, приложенной в точке В, будет
равна —Fds. Мы видим, что элементарная работа каждой отдельной
силы реакции не равна нулю, но элементарная работа Fds — Fds
всей системы сил реакции
будет равна нулю.
6. Докажем, что такое
же заключение можно
сделать для каждых двух
материальных точек абсолютно
твёрдого тела,
перемещающегося произвольным
образом. Рассмотрим две
произвольные материальные точки
А и В абсолютно твёрдого
тела. Согласно законам
классической механики силы,
с которыми эти две материальные точки действуют друг на друга,
направлены вдоль прямой, их соединяющей, равны по модулю и
противоположны по направлению, т. е. эти две силы суть либо
силы притяжения, либо силы отталкивания. Например, пусть точка В
действует на точку А с силой F; тогда точка А должна действовать на
точку В с силой —F (черт. 236). При произвольном перемещении
абсолютно твёрдого тела элементарная работа силы F будет равна:
Черт. 236.
= Fdscos(F, dr),

22 РАБОТА И МОЩНОСТЬ [ГЛ. XXIV
а элементарная работа силы —F будет равна:
— F.dr' = F ds' cos (— F^dr'),
где dr и dr' суть бесконечно малые перемещения соответственно
точек А и В. Очевидно, что нет никаких оснований, чтобы
элементарная работа той или другой силы отдельно была равна нулю, так
как ни один из пяти множителей F, ds, ds', cos (Z77, dr), cos(—F, dr1)
нулю вообще не равен. Рассмотрим затем элементарную работу
системы этих двух сил F и —F, а именно:
F).drf=F^{dr — drr).
Мы можем представить это выражение ещё иначе в виде
или
F{vA-vB)dt,
где vA = —гг и όβ·=ι— суть скорости точек А и В. Из кинематики
известно (т. I, § 99), что будет:
Ό в = όα + ω Χ Я2Г.
Поэтому мы получим:
Так как сила F направлена по вектору АВ, а векторное
произведение ω Χ ΑΒ, представляющее линейную скорость вращения точки В
вокруг точки А, направлено перпендикулярно к вектору АВ, то
скалярное произведение F-{tuy^AB) должно быть равно нулю. Таким
образом, мы получаем:
т. е. в абсолютно твёрдом теле работа системы двух внутренних
сил F и —F при любом бесконечно малом перемещении этого тела
равна нулю. Если бы мы рассмотрели три точки А, В, С абсолютно
твёрдого тела, комбинируя их попарно (А, В), (В, С), (С, А) и
применяя к каждой из этих пар только что доказанное, мы нашли бы,
что сумма элементарных работ всех внутренних сил для тройки
(А, В, С) равна нулю. Очевидно, 4TQ это предложение можно
распространить на любое число материальных точек абсолютно твёрдого
тела. Отсюда мы приходим к следующему заключению:
При произвольном перемещении абсолютно твёрдого тела
сумма элементарных работ всех его внутренних сил, т. е. сил

§ 111] примеры 2«i
воздействия частиц абсолютно твёрдого тела друг на друга,
равна нулю.
Из этих примеров мы видим, что есть основание ожидать, что
сумма элементарных работ всех реакций любой связи,
осуществлённой без трения, равна нулю. Это предложение, хотя оно, как мы
только что видели, и оправдывается на ряде примеров, не может
быть, однако, доказано в общем случае. Поэтому мы рассмотрим
это предложение не как теорему, а как определение рода связей,
которые мы назовём идеальными связями. Именно, мы примем
следующее определение:
Связь называется идеальной, если сумма элементарных работ
всех реакций этой связи при любых перемещениях, согласных со
связью, равна нулю.
В принципе возможных перемещений мы будем иметь дело только
с идеальными связями.
§ 111. Примеры. 80. Найти элементарную работу силы F, приложенной
в точке А абсолютно твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси Δ. Примем ось Δ за ось Οζ, взяв на ней где-нибудь точку О, и построим
две другие неподвижные оси Ох и Оу прямоугольной системы осей
координат. Пусть будут Χ, Υ, Ζ проекции силы F на эти оси, а х, у, ζ —
координаты точки А в избранной системе координат. При вращении тела вокруг
оси Οζ, очевидно, координата ζ изменяться не будет. Обозначая через ω
угловую скорость тела, будем иметь (т. I, § 78):
dx dy . dz Л
или
dx — —yu> dt, dy = -\-x(adtt dz = 0.
Отсюда для элементарной работы силы F при вращении абсолютно твёрдого
тела вокруг оси Οζ мы получим:
Xdx+ Ydy + Zdz=(xY—yX)udt.
Так как χ Υ—уX есть момент Μζ силы F относительно оси Οζ, а
произведение i»dt равно дифференциалу db угла поворота тела вокруг оси Οζ, то
окончательно мы найдём:
Xdx+ Ydy + Zdz = (xY—yX) db = M2db. (24.13)
81. Найти элементарную работу силы F, приложенной в точке А
абсолютно твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О. Построим
неподвижную систему прямоугольных осей координат Oxyz с началом в
точке О. Пусть будут Χ, Υ, Ζ — проекции силы F на эти ~оси, а х, у, ζ —
координаты точки А относительно этих осей. Из формул Эйлера (т. I, § 87)
мы имеем:
dx dy dz
или
dx = (cuyZ — <йгу) dt, dy = (αλ^Λτ — ωχζ) dt, dz — (v>xy — oiyx) dt,
где (ΰΛ, ων, ωζ суть проекции на оси Oxyz угловой скорости о> вращения
твёрдого тела. Поэтому из выражения для элементарной работы силы мы

24 РАБОТА И МОЩНОСТЬ [ГЛ. XXIV
получим:
Xdx +
= (yZ — zY)t»xdt + (zX—xZ) ωυ dt + (xY—yX) ωζ dt.
Так как количества у Ζ — ζ Υ, ζΧ — χΖ, χ Υ—у Χ соответственно равны
проекциям Μχ, Му, М~ момента Μ силы F относительно точки О на оси
Ox, Oy, Oz, то будет:
Xdx + Ydy + Zdz = (Мх ωχ + Myt»y + Μ2ωζ) dt.
Обращая внимание на выражение для скалярного произведения двух
векторов (т. 1, § 18), отсюда мы будем иметь:
Xdx + Ydy + Ζ dz = Μ · ω dt = Μ cos (Μ^ω) ω dt. (24.14)
82. Найти зависимость скорости горизонтального равномерного полёта
самолета от мощиосш его мотора. При горизонтальном полёте самолёта
с постоянной скоростью ν м/сек он испытывает со стороны воздуха силу
сопротивления F кг, равную
где р есть плотность воздуха в технических единицах (около 1/й вблизи
поверхности земли), «S — площадь несущей поверхности в квадратных метрах,
а сх — отвлечённый аэродинамический коэффициент лобового сопротивления
самолёта. Очевидно, что для осуществления горизонтального равномерного
полёта на самолёт должна действовать сила F кг, равная и противоположная
вышеуказанной силе сопротивления. Отсюда по формуле (24.11) мы находим
потребную мощность в кг м сек-1 в виде
Fv = ^cxp Sv*.
Обозначая мощность в лошадиных силах на валу мотора через Е, а
коэффициент полезного действия винтовой установки самолёта через η, мы
найдём, что для осуществления горизонтального равномерного полёта должно
быть:
*/ 150 Ε η
У ? S c~
ρ
Из этой формулы видно, .что скорость горизонтального равномерного иолёта
самолёта пропорциональна кубическому корню из мощности, приходящейся
на единицу несущей площади, пропорциональна кубическому корню из
коэффициента полезного действия винтовой установки и обратно пропорциональна
кубическому корню из коэффициента лобового сопротивления самолёта.
Таким образом, если мощность мотора самолёта увеличится в восемь раз, то
скорость этого самолёта возрастёт лишь в два раза.

ГЛАВА XXV.
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.
§ 112. Определение возможных перемещений. Связь,
наложенная на материальную точку или тело, стесняет свободу их
перемещений; если материальная точка или тело при всех своих
перемещениях не могут покинуть связи, то связь называется
удерживающей, если же имеются такие перемещения, при которых материальная
точка или тело могут покинуть связь, то связь называется неудер-
живающей. Например, дверь в петлях находится при удерживающей
связи, а камень, лежащий на столе, — при неудерживающей, или
односторонней, связи, так как, поднимая камень с поверхности
столя, т. е. перемещая его в одну сторону от поверхности стола, мы
делаем камень абсолютно свободным.
В нястоящем «Курсе теоретической механики» принцип возможных
перемещений будет изложен только для случая удерживающих
идеальных связей. Хотя в статике, в которой изучается абсолютное
равновесие материальных точек и тел, налагаемые связи от времени
зависеть и не могут, мы, однако, в целях единства дадим здесь
общее определение возможных перемещений, пригодное и для
динамики, где связи могут зависеть от времени. Именно, введём
следующее определение:
Вся/сое перемещение материальной тонки или тела,
согласное со связями, имеющими место в данный момент времени,
называется возможным перемещением.
Например, предположим сначала, что материальная точка
принуждена оставаться на поверхности неподвижного шара с постоянным
радиусом; тогда всякое перемещение точки по поверхности этого
шара будет возможным, и очевидно, что действительное перемещение
точки должно совпасть с одним из возможных перемещений.
Предположим затем, что материальная точка принуждена оставаться на
поверхности шара, центр которого неподвижен, но радиус которого
непрерывно возрастает с течением времени; в этом случае связь
зависит от времени. Тогда возможным перемещением материальной
точки будет всякое перемещение по поверхности этого шара,
который в рассматриваемый момент времени перестал изменять свой
радиус; при действительном же перемещении материальной точки она

26
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
[ГЛ. XXV
Черт. 237.
будет перемещаться по поверхности шара, причём в то же время
будет увеличиваться и радиус этого шара. Черт. 237 представляет
бесконечно малое возможное перемещение АА' материальной точки
по отвердевшей в рассматриваемый момент времени поверхности 5
и реакцию /?, действующую по нормали η к поверхности S. Чертёж
238 представляет бесконечно малое
действительное перемещение АВ материальной точки, когда
при перемещении точки сама поверхность 5
изменяется в поверхность S'. Мы видим, что при
отсутствии трения реакция /? должна быть
нормальна к возможному перемещению АА',
расположенному на поверхности S, но реакция R не
будет нормальна к действительному
перемещению АВ материальной точки, во время
выполнения которого сама поверхность 5 изменяется
в поверхность S'.
Эти геометрические соображения можно
осветить и аналитически. Очевидно, что если связь
не зависит от времени, то уравнение, выражающее связь, не будет
содержать времени, как, например, уравнение f {х, у, ζ) = 0; если же
связь зависит от времени, то в уравнение, выражающее связь, время
войдёт явно, как, например, в уравнение /(лг, у, z,t) = 0. Для
обозначения бесконечно малого возможного перемещения мы будем
пользоваться буквой δ (дельта), сохранив букву d для бесконечно малых
действительных перемещений; таким
образом, олг, by, oz, or,. .. будут изображать
возможные перемещения, a dx, dy, dz,
dr,. .. —действительные перемещения.
Предположим, что на материальную
точку с координатами х, у, ζ наложена
удерживающая связь f(x,y, z) = 0, и что
эта точка получила возможное
перемещение, при котором её координаты
изменились в х-\-ох, у-\-оу, z-\-oz. Так как
новые координаты должны удовлетворять
уравнению связи, то будет f(x-\-bxy
у-\-Ьу, г -\-bz) = 0. Разлагая левую часть этого равенства в ряд
Тейлора, удерживая лишь члены первого порядка малости и обращая
внимание на уравнение f(x, у, ζ) = 0, мы получим:
Af fif P)f
J *·· ! J *~ —Л (25.1)
Черт. 238.
dy
-jt uz = 0.
dz
Такому уравнению должны удовлетворять проекции 8лг, оу, δζ
бесконечно малого возможного перемещения точки. Рассмлтривая
действительное перемещение точки, при котором её координаты х9 уу ζ
обратятся в x-\-dx, y-\-dy, z-\-dz, мы точно так же получим

<§ 112] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 27
уравнение:
дх п ду * ' дг
Отсюда, из сравнения этого равенства с равенством (25.1), следует,
что в этом случае действительное перемещение есть одно из
возможных перемещений.
Предположим теперь, что на точку наложена удерживающая
связь, выражаемая уравнением /(*, у, z, t) = 0, и что после
возможного перемещения точки её координаты л:, у, ζ изменились
в х-\-Ьх, у-\-Ъу, z~\-bz. Так как новые координаты точки по
определению возможного перемещения должны удовлетворять
уравнению отвердевшей в момент / связи, то будет:
+ + +
Таким образом,
при разыскании возможных перемещений следует
рассматривать время t как произвольный, но постоянный параметр.
Разлагая левую часть последнего равенства в ряд Тейлора,
удерживая лишь члены первого порядка малости и обращая внимание на
уравнение /(лг, у> z, t) = 0, мы получим:
Рассматривая же действительное перемещение точки, при котором её
координаты в х, у, ζ обратятся в x-\-dx, y-\-dyy z-j-dz, следует
учесть, что за время, в течение которого происходит действительное
перемещение точки, меняется и связь, так что будет:
, y + dy,
Разлагая левую часть этого равенства в ряд Тейлора, удерживая
лишь члены первого порядка малости и обращая внимание на
уравнение /(лг, у, zy t) = 0, мы получим:
1^ + |^ + |^ + |^ = 0. (25.2)
Отсюда видно, что в этом случае действительное перемещение
(dx9 dy, dz) точки должно быть отлично от любого из возможных
перемещений (олг, оу, L·).
Заметим, что символ δ употребляется также и в математике для
обозначения вариаций, так что, например, количество од: иногда
выражают словесно следующим образом: вариация от х.
Ни в одно предложение элементарной статики, изложенной в
первом томе настоящего «Курса теоретической механики», не входило
понятие времени. Между тем во «Введении» к первому тому имеется
фраза «вторая часть статики (т. е. принцип возможных
перемещений) требует знания кинематики», а последняя, как мы знаем, уже

28 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [ГЛ. XXV
требует введения понятия времени. Таким образом, кажется, что
между этими обеими частями статики существует глубокая
принципиальная разница, между тем это не так. Как мы увидим, нигде
в принципе возможных перемещений не указывается, что требуется
обращать внимание на длительность перемещений: перемещения могут
быть и медленными и очень быстрыми, и совершенно безразлично,
в какое время они осуществляются; кинематика же необходима для
того, чтобы дать геометрию этих перемещений. Для устранения из
принципа возможных перемещений понятия течения времени можно
представить себе возможное перемещение, как происходящее
мгновенно, без затраты какого бы то ни было времени. При таком
взгляде на возможное перемещение очевидно, что связь при
возможном перемещении измениться не может.
§ 113. Выяснение принципа возможных перемещений на
простых примерах. Мы рассмотрим в этом параграфе несколько
материальных систем с удерживающими идеальными
связями, находящихся в равновесии под действием
приложенных к ним сил. Мы насильственно дадим этим
материальным системам перемещения, согласные со
связями, и подсчитаем алгебраические суммы работ всех
приложенных сил, уравновешивавшихся на этих
системах. Таким путём возможно естественно подойти к
формулированию принципа возможных перемещений.
1. Предположим, что мы имеем неподвижный блок,
Q на котором уравновешены грузы Ρ и Q (черт. 239).
Мы знаем, что если пренебречь, как и в дальнейших
примерах, весом нити, то условие равновесия этих гру-
Черт. 239. зов будет Ρ = Q. Дадим системе грузов Ρ и Q
возможное перемещение, при котором, например, груз Ρ
опустится на высоту h\ очевидно, что при этом груз Q должен
подняться на такую же высоту h. Работы сил Ρ и Q при этих
перемещениях будут равны:
раб. (Р) = Phy раб. (Q) = — Qh — — Ph.
Составив сумму работ, будем иметь:
раб. (Я)-|^раб. (Q) = Ph — Qh = Ph — Ph = O.
Таким образом, сумма работ сил, уравновешивающихся на
неподвижном блоке, при возможных перемещениях точек их приложения
равна нулю.
2. Рассмотрим затем подвижной блок, на котором уравновешены
грузы Ρ и Q (черт. 240). Из элементарной физики известно, что
условие равновесия этих грузов будет Q = -—P. Дадим системе
грузов Ρ и Q возможное перемещение, при котором, например, груз Ρ

§ 113] ВЫЯСНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ НА ПРИМЕРАХ 29
опустится на высоту А; легко видеть что при этом груз Q должен
подняться на высоту 2/г. Работы сил Ρ и Q при этих перемещениях
будут таковы:
раб. (Р) = Ph, раб. (Q) = — Q . 2/г = — ±Р · 2/г = — Ph.
Составив сумму работ, будем иметь:
раб.
Следовательно, сумма работ сил, уравновешивающихся на подвижном
блоке, при возможных перемещениях точек их приложения равна
нулю.
3. Пусть мы имеем горизонтально расположенный рычаг первого
рода АСВ, на котором уравновешены грузы Ρ и Q (черт. 241). Мы
□ Q
Черт. 240.
Черт. 241.
СВ
* Ρ
знаем, что условие равновесия рычага первого рода будет ТУГМ
или Ρ · CA = Q · СВ. Дадим рычагу АСВ какое-нибудь возможное
перемещение вокруг точки опоры С; при этом рычаг АСВ займёт
положение А'СВ*', груз Ρ опустится на высоту DrA\ а груз Q
поднимется на высоту Е'В'. Так как треугольник СА'ЕУ подобен
треугольнику СВ'Е', то из подобия этих треугольников мы будем
D' Ar CAr CA
иметь р, = -г^7 = -ττβ. Из формулы (24.4) следует, что работы
сил Ρ и Q при возможных перемещениях их точек приложения
будут:
ряб. (Р) = + Ρ · D?A\ раб. (Q) = — Q - £'£'.
Составив сумму работ, будем иметь:
раб. (Р) -f- раб. (Q) = Ρ . DM7 — ρ · £'£'.

30 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Но из условия равновесия этого рычага мы имеем:
~Р=~СВ*
или в силу приведённой выше пропорции ещё иначе:
Q _ Р'А'
Ρ ~ Е'В''
т. е.
Таким образом, мы получаем:
раб.
[ГЛ. XXV
Следовательно, сумма работ двух параллельных сил,
уравновешивающихся на рычаге первого рода, при возможных перемещениях точек
приложения сил равна нулю.
4. Пусть мы имеем горизонтально расположенный рычаг второго
рода CAB, на котором уравновешены вертикальные силы Ρ и Q
(черт. 242). Мы знаем, что условие равновесия рычага второго рода
Ρ СВ
будет 7Т = ;гГ|> или P*CA = Q-CB. Дадим рычагу CAB какое-
нибудь возможное перемещение вокруг
точки опоры С\ при этом рычаг CAB
займёт положение САГВ\ точка
приложения силы Ρ поднимется на
высоту D'А\ а точка приложения силы Q
поднимется на высоту Е'В'. Из
подобия треугольников С А'Г/ и СВ'Е'
Р'А' СА' СА м
мы будем иметь Ί^=~τβ7—~τβ- Из
формулы (24.4) следует, что работы
силы Ρ и силы Q при возможных
перемещениях точек их приложения
будут:
раб. (Р) = — Р.£/А\
раб. (Q) = + Q · E'ff.
Составив сумму работ, будем иметь:
раб. (Р) -f- раб. (Q) = — Ρ · &А' + Q · Ε'В*.
Но из условия равновесия этого рычага мы имеем:
О__СА
Р~ СВ>
или в силу приведённой выше пропорции ещё иначе:
Q __ Р'А'
Τ ~~ L·'В''
Черт. 242.

ζ 113] ВЫЯСНЕНИЕ ПРИНЦИПА ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ НА ПРИМЕРАХ 31
Ρ · D'A' = Q · Е'&.
Таким образом, мы получаем:
раб. (Р) + раб. (Q) = 0.
Следовательно, сумма работ двух параллельных сил,
уравновешивающихся на рычаге второго рода, при возможных перемещениях точек
их приложения равна нулю.
5. Предположим, что мы имеем наклонную плоскость, на которой
уравновешены грузы Ρ и Q (черт. 243). Из элементарной статики
мы знаем, что для равновесия грузов Ρ
и Q на наклонной плоскости должно
иметь место равенство Ρ sin α = Q.
Дадим рассматриваемой системе грузов
возможное перемещение, при котором
груз Ρ переместится вниз вдоль
наклонной плоскости на расстояние d\
тогда груз Q переместится вертикально
вверх на то же расстояние d. Так как
при перемещении груза Ρ вниз вдоль наклонной плоскости на
расстояние d он опустится по вертикальному направлению на высоту
dsina, то, принимая во внимание формулу (24.4), для работ сил Ρ
и Q мы получим:
раб. (P) = Pd sin ее, раб. (Q) = — Qd.
Составляя сумму работ, будем иметь:
раб. (Ζ5)-}-раб. {Q)=Pds\na — Qd = d(Psin α — Q).
В силу условия равновесия Psina = Q эта сумма работ равна нулю:
раб.
Таким образом, сумма работ сил, уравновешивающихся на
наклонной плоскости, при возможных перемещениях точек их приложения
равна нулю.
Обратим особое внимание на то, что во всех разобранных
примерах мы имели дело лишь с активными силами, и нигде нам не
пришлось вводить сил пассивных, т. е. реакций связей; очевидно,
что введение реакций связей и не могло бы изменить полученных
результатов, так как согласно § 110 при всех возможных
перемещениях сумма работ реакций любой идеальной связи должна быть
равна нулю.
Во всех рассмотренных пяти примерах возможные перемещения
брались конечными, причём вычисление работ сил вдоль этих
конечных перемещений было простым, так как материальные системы были
такими, что при любых их возможных перемещениях формы связей.

32 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [ГЛ. XXV
наложенных на эти системы, не менялись, и модули сил и
направления сил оставались постоянными; поэтому, если суммы элементарных
работ активных сил были равны нулю при одних положениях
материальных систем, то они оказывались равными нулю и при других
положениях этих систем. Но случай, подобный предыдущим, именно
когда материальная система находится в равновесии при всех
положениях, есть лишь частный случай. В общем же случае при
согласных со связями перемещениях материальной системы будут меняться
как форма связей, так и модули и направления сил. Поэтому если
при одном положении материальной системы сумма элементарных
работ активных сил равна нулю, то при переводе, согласном со
связями материальной системы, в другое положение сумма
элементарных работ активных сил для этого другого положения равной нулю
уже может и не быть. Так как в принципе возможных перемещений
основную роль играет значение суммы работ активных сил, то из
изложенного следует, что в общем случае для определения положения
равновесия материальной системы с помощ! ю принципа возможных
перемещений следует вычислять для активных сил лишь их
элементарные работы, т. е. брать все перемещения материальной системы
бесконечно малыми. Это вместе с тем приносит и ту выгоду, что
в этом случае значительно упрощаются все выкладки, так как всякую
элементарную дугу δ$, по которой перемещается точка приложения силы,
мы можем отождествлять с бесконечно малым прямолинейным отрезком.
Из приведённых пяти примеров мы видим, что при равновесии
материальной системы с наложенными на неё удерживающими
идеальными связями сумма элементарных работ активных сил при
возможном перемещении системы равна нулю. Примеры подобного рода
можно было бы умножать. Поэтому мы имеем основание
предположить, что мы имеем здесь дело с общим законом.
§ 114. Прямая и обратная теоремы Лагранжа. Существует
несколько способов рассуждений, позволяющих убедиться в верности
принципа возможных перемещений. В настоящем курсе применён
следующий способ. Если принять определение идеальных связей,
данное в самом конце § 110, и условиться применять принцип
возможных перемещений лишь для случаев удерживающих идеальных связей,
то принцип возможных перемещений можно свести к двум
следующим теоремам, прямой и обратной, принадлежащим Лагранжу; в этом
параграфе приведены доказательства обеих теорем, на которых и
основывается аналитическая статика.
Прямая теорема Лагранжа:
Если материальная система с удерживающими идеальными
связями под действием активных сил находится в некотором
положении в равновесии, то сумма элементарных работ этих
активных сил при всех возможных перемещениях, выводящих
систему из этого положения, равна нулю.

§ 114] ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА 33
Пусть мы имеем какую-нибудь материальную систему. Мы можем
мысленно разбить эту систему на бесконечно малые материальные
частицы. Если вся система находится в равновесии, то должна
находиться в равновесии и каждая её элементарная материальная
частица. Обозначим равнодействующую всех сил, приложенных к
элементарной материальной частице с указателем /г, за исключением
реакций связей, через Fn, а равнодействующую всех приложенных
к той же материальной частице реакций связей — через Rn. Так как
рассматриваемая материальная частица находится в равновесии, то,
как известно из элементарной статики, должно быть Fn-\-Rn = 0.
Такие уравнения должны иметь место для всех элементарных
материальных частиц рассматриваемой материальной системы. Дадим
материальной системе вместе с действующими на неё силами
какое-нибудь бесконечно малое возможное перемещение; пусть при этом
частица с указателем η получит элементарное перемещение огп. Так
как должно быть Fn-\-Rn = Q, то, составляя элементарную работу
всех сил, действующих на частицу с указателем п, мы получим:
(Fn + Rn) · 8rw = Fn · 8гл + Rn · Ьгп = 0.
Составим такие уравнения для всех материальных частиц системы и
сложим их; мы будем иметь:
Но в самом конце § 110 мы приняли, что сумма элементарных работ
реакций идеальных связей при возможных перемещениях материальной
системы равна нулю; отсюда мы получаем, что должно быть
Поэтому предыдущее равенство можно представить в виде
Σ Fn ■ 3>"„ = Σ Fn cos (/ζ>«) Κ = 0 (25.3)
η η
или в виде
2 (Х„ 8*„ + Уп Ьуп + Ζη 8г„) = 0, (25.4)
где Хю Y7V Zn суть проекции активной силы Fn на оси
координат Ox, Oy, Oz. Таким образом, прямая теорема Лагранжа доказана.
Отсюда видно, что пять примеров предыдущего параграфа, если взять
в них возможные перемещения бесконечно малыми, представляют
иллюстрации этой прямой теоремы Лагранжа.
Заметим, что в уравнении
первая и вторая суммы распространены, вообще, на разные числа
слагаемых. Это легко понять, рассмотрев, например, случай равновесия

34 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [ГД. XXV
абсолютно твёрдого тела, могущего вращаться вокруг оси Δ, в
точках i4j, j42, Л3, Аа которого приложены уравновешивающиеся на
рассматриваемом абсолютно твёрдом теле силы Fly F^, F%, F4. Первая
сумма 2^Ή ' ^гп содержит только четыре слагаемых, соответствую-
п
щих силам /^, Fo, F$, F4 и точкам Аи А», Л8, Л4. Вторая же сумма
^Rn-orn содержит бесконечное множество слагаемых, соответствую-
п
щих всем материальным частицам, в том числе и частицам Аг, An,
AYj, А4 абсолютно твёрдого тела, так как в них приложены реакции,
представляющие воздействия на каждую материальную частицу
абсолютно твёрдого тела всех остальных его материальных частиц, а также
два слагаемых, соответствующих реакциям R' и /?", приложенным
в точках О' и О закрепления оси Δ. Но согласно § 110 должно быть
2 Rit * ьгп = 0, и получающиеся в результате суммы в уравнениях
η
(25.3) или (25.4) будут содержать в этой задаче только четыре
слагаемых, соответствующих значениям п=\, 2, 3, 4.
Докажем теперь обратную теорему Лагранжа, пользуясь которой
можно находить условия равновесия материальных систем под
действием активных сил, т. е. решать основную задачу статики.
Обратная теорема Лагранжа:
Если сумма элементарных работ активных сил, приложенных
к материальной системе с удерживающими идеальными связями,
при всех возможных перемещениях, выводящих систему из
некоторого положения, равна нулю, то материальная система в этом
положении находится в равновесии.
Обозначим, как выше, приложенные к материальной системе силы,
за исключением реакций связей, через Fn. Дано, что при всех
возможных перемещениях материальной системы будет:
Σ Fn ■ йг„ = Σ (*» а*„ + У η *Уп Η- ζη ten) = 0;
η η
требуется доказать, что материальная система, а следовательно, и
каждая элементарная материальная частица этой системы находятся
в равновесии. Так как по условию наложенные на рассматриваемую
систему связи суть идеальные связи, то, обозначая равнодействующую
всех реакций связей, приложенных к элементарной материальной
частице с указателем /г, через /?п, мы должны (§ 110) иметь:
Складывая это равенство с предыдущим равенством почленно, мы
получим:

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА
35
или
Нетрудно показать, что вследствие произвольности возможных
перемещений это одно равенство влечёт за собой систему равенств:
представляющих уравнения равновесия каждой элементарной частицы
системы, причём уравнения для тех частиц, к которым не приложены
активные силы, конечно, содержать слагаемых с F не будут; это
уже было разъяснено немного выше, немедленно после доказательства
прямой теоремы Лагранжа. Доказательство обратной теоремы основано
на том, что противоположное предположение приводит к
противоречию с данным равенством 2Fn · огп = О, или, что то же самое,
η
с вытекающим из него равенством 2(Fn-\-Rn) · Ьгп = 0. В самом
деле, предположим, что рассматриваемая система не будет находиться
в равновесии, т. е. по крайней мере хоть одно из предыдущих
уравнений равновесия элементарных материальных частиц не имеет места.
Допустим, что, например, сумма F1-\~R1 отлична от нуля, все же
остальные аналогичные суммы равны нулю. Если сумма F1--\-Rl
отлична от нуля, то материальная частица с указателем η = 1 должча
сдвинуться со своего места под влиянием силы F1-\-R1, причём эта
материальная частица должна начать двигаться как свободная, так
как стеснение, наложенное на неё
связями, уже учтено силой Rv Например,
если на точку, покоящуюся на
плоскости, подействует сила F (черт. 244), ! F4i
то, прибавляя к силе F реакцию R
плоскости, очевидно, равную и
противоположную силе — R давления точки
на плоскость, мы получим силу F-\-R,
направленную вдоль плоскости, так что Черт. 244.
плоскость исказить движение точки под
действием силы F-\-R уже не может, и точка под влиянием силы F-j-R
начнёт двигаться по направлению этой силы как абсолютно
свободная. Возвращаясь к рассматриваемой нами материальной системе,
Дадим ей возможное перемещение, геометрически совпадающее
с её действительным перемещением, т. е. примем, что для всех её
материальных частиц, кроме первой, будет 6г2 = ог3 = .. . = огп =
= ... = 0, и что для первой материальной частицы её возможное
перемещение Ъгг геометрически совпадает с начальным элементом
траектории этой частицы, т. е. по направлению совпадает с
направлением силы Fi-\-R1. Тогда в левой части полученного выше равенства
V////////,

36 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [ГЛ. XXV
все слагаемые, кроме первого, будут равны нулю, первое же
слагаемое будет положительным, так как направление элемента пути Ьгг
совпадает с направлением силы F1-\-R1; следовательно, предыдущее
равенство удовлетвориться не может, и мы приходим к противоречию
с заданным условием ^Fn>irn = 0. Точно так же легко доказать,
η
что такое же противоречие мы получим и в том случае, если
допустить, что сдвигаются две, три и т. д. элементарные материальные
частицы рассматриваемой материальной системы. Таким образом, из
равенства 2 ^п ' ^гп ~ О» или> чт0 то же самое, из равенства
следует, что ни одна из элементарных материальных частиц
рассматриваемой материальной системы сдвинуться не может, т. е.
материальная система находится в равновесии. Следовательно, обратная тео-
ремя Лагранжа доказана.
При доказательстве обратной теоремы Лагранжа мы брали
возможные перемещения совпадающими с действительными перемещениями
лишь геометрически, а не совпадающими с ними полностью,
т. е. геометрически и кинематически. Причина такого
выбора возможных перемещений лежит в следующем. Разделим в
исходном равенстве
Σ OF» +/?„)·«/·„ = О
η
левую часть на дифференциал времени δ^ и умножим на Ы. Замечая,
что ζί-~ есть вектор возможной скорости материальной частицы с
указателем /г, мы получим равенство:
Если возможные перемещения рассматриваемой материальной системы
мы совместим с действительными перемещениями не только
геометрически, но и кинематически, т. е. полностью, то все возможные
скорости с'-~L будут равны нулю, в том числе и возможная скорость ~
мчтериальной частицы с указателем п = 1, так что эта члстицп
начинает своё движение из состояния покоя, и потому в начальный
момент её действительная скорость равна нулю. Следовательно, в
противоречие с предыдущим равенством мы не впадём. Но если мы
совместим возможные перемещения с действительными не полностью,
а только геометрически, так что материальная частица с указателем
η = 1 начнёт описывать такую же траекторию, как в действительном

£ Ц4] ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА 37
движении, но её начальную скорость мы возьмём отличной от нуля и
совпадающей с направлением силы Fl-\-Rv то в сумме
все слагаемые, кроме первого, будут равны нулю, первое же
слагаемое будет положительным, т. е. мы впадём в противоречие с
исходным равенством
Единственная возможность избежать этого противоречия при
произвольных возможных перемещениях будет состоять в том, чтобы
положить /^ -}-/?!= О, т. е. материальная частица с указателем η = 1
также должна находиться в равновесии.
Из прямой и обратной теорем Лагранжа следует, что уравнение
Σ Рп · Srn = Σ Ζ7»cos (jQrJ bsn = 0, (25.5)
или
Σ {Xn ten + Уп Ьп + Zn Кг) = 0 (25.6)
выражает необходимое и достаточное условие равновесия
материальной системы с удерживающими идеальными связями.
Необходимость разных формулировок принципа возможных
перемещений для удерживающих и для неудерживающих связей мож ю
понять из следующего примера. Если материальная точка находится
на плоскости при удерживающей идеальной связи, то для равновесия
точки необходимо и достаточно, чтобы активная сила, приложенная
к точке, была нормальна к этой плоскости, причём безразлично,
в кмкую сторону нормали эта сил л направлена. Если же точка
находится на плоскости при неудерживающей (односторонней) идеальной
связи, так что материальная точка может перемещаться, например,
вверх от плоскости, то для равновесия точки хотя и необходимо,
чтобы активная сила, приложенная к точке, была нормальна к
плоскости, но это условие ещё не является достаточным, так как эта
активная сила не должна позволить точке перемещаться вверх от
плоскости, т. е. должна быть направлена вдоль нормали сверху вниз.
За распространением принципа возможных перемещений4 на неудержи-
вяющие связи отсылаем читателей к более подробным курсам
теоретической механики.
Мы видим, что в формулы (25.5) или (25.6) не входят реакции
связей; поэтому, если мы сможем применить уравнения (25.5) или
(25.6) к изучению равновесия материальных систем, то мы
сможем получить из них непосредственно условия равновесия любой

38 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [ГЛ. XXV
мятериальной системы, сколько бы удерживающих идеальных связей на
эту материальную систему ни было наложено. Таким образом,
применение к задачам статики принципа возможных перемещений даёт
могущественное средство для исключения реакций идеальных связей
и тем самым получения условий равновесия, тогда как приёмы эле-
меитарной статики приводят к уравнениям равновесия, вообще,
содержащим реакции, которые для получения условий равновесия
необходимо исключать из этих уравнений алгебраически (т. I, Статика, § 17).
Напомним, что, пользуясь для составления уравнений равновесия
приёмами элементарной статики, хотя также можно непосредственно
исключать из уравнений равновесия реакции связей, но, однако, только
некоторые, а именно, для этого при составлении уравнения проекций
следует бр-ть проекции сил на ось, перпендикулярную к выбранной
реакции, которую требуется исключить, или при состгвлении уравнения
моментов брать моменты сил относительно точки, в которой
пересекаются линии действия подлежащих исключению реакций, или
относительно точки, в которой приложена подлежащая исключению реакция
с неизвестным направлением. Ниже мы увидим, что, применяя к
задачам статики принцип возможных перемещений, можно также находить
реакции связей и притом такие, какие требуется найти.
В следующих параграфах будет показано, как практически
пользоваться уравнениями (25.5) и (25.6).
§ 115. Множители Лагранжа. Так как способ вывода уравнений
равновесия и условий равновесия, основанный на применении к
уравнениям (25.5) или (25.6) множителей Лягранжа, употребляется значи-
чельно реже, чем другой способ, который будет изложен в
следующем параграфе, то мы применим множители Лагранжа лишь для
случая равновесия материальной точки.
Для одной материальной точки уравнение (25.6) имеет вид
XZx+Yby-\-Zbz = O. (25.7)
Мы предположим сначала, что материальная точка абсолютно
свободна; в этом случае количества ох, by, L· произвольны и по вели-
чиние и по знаку. Легко видеть, что при произвольности количеств ох,
&у и Ьг единственно возможно удовлетворить уравнению (25.7), только
положив:
*=0, K=0, Z = 0. (25.8)
В самом деле,, если какие-нибудь проекции сил были бы отличны от
нуля, то, взяв знак вариации таким же, каков знак стоящей при этой
вариации проекции силы, мы получили бы для левой части
уравнения (25.7) положительное количество, т. е. не удовлетворили бы
уравнению (25.7). Полученные уравнения (25.8) суть известные (т. I, § 20)
уравнения равновесия абсолютно свободной точки, дающие здесь и
условия равновесия.

§ 115] МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА 39
Предположим затем, что на материальную точку с координатами лг,
у, ζ наложена удерживающая связь, выражаемая уравнением / (л:, у, z)=Q;
геометрическое значение этой связи состоит в том, что точка с
координатами х, у, ζ не может покинуть поверхности f(x, у> ζ) = 0:' Мы
знаем, что в этом случае вариации 8лг, δ^/, δζ не будут независимыми,
так как между ними должно существовать соотношение (25.1). Таким
образом, мы приходим к следующей системе уравнений:
(25.9)
ду s ' дг
Заметим, что если все члены левой части второго из уравнений
(25.9) имеют общий множитель, то целесообразно на этот общий
множитель второе из уравнений (25.9) не сокращать, чтобы
множителями при вариациях в этом уравнении были в точности
соответствующие частные производные от функции f(x, у, ζ). Лагранж дал
следующий симметричный приём решения уравнений (25.9). Умножим
второе из уравнений (25.9) на некоторый множитель λ и результат
сложим с первым уравнением; мы получим:
Количество λ и называется множителем Лагранжа. Будем считать,
что из трех вариаций ох, Ъу, ог, связанных между собой вторым из
уравнений (25.9), зависимой вариацией является, например,
вариация Ьг. Тогда определим неопределённый до сих пор множитель
Лагранжа λ так, чтобы коэффициент при зависимой вариации Ьг
обратился в нуль, т. е. чтобы было:
После этого предыдущее уравнение обратится в такое:
где вариации Ьх и Ьу будут уже независимыми. Рассуждая здесь
так же, как по отношению к уравнению (25.7) для свободной
материальной точки, мы получим отсюда:
Тпк!ш образом, мы приходим к системе четырёх уравнений:
^ ί£ (t,f(x,y,z) = Q, (25.10)
AfA^. = 0, Κ + λ Ο, Z{kO,
из которой мы сможем определить четыре неизвестных х, у, ζ, λ.

40 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [ГЛ. XXV
Обозначим через N нормальную реакцию поверхности f (χ, y,z) =
= 0, а через α, β, γ— углы, образуемые нормальной реакцией с осями
координат Ох, Оу, Οζ\ тогда, применяя приёмы элементарной
статики (т. I, глава IV), мы получим уравнения равновесия
материальной точки в следующем виде:
Ar4-/Vcosa = 0, K+/Vcosp = 0, Z-f iVcos γ = 0, f(x, у, ζ) = 0.
Сравнивая эти уравнения с уравнениями (25.10), мы заключаем, что
должно быть:
Возводя в квадрат эти равенства и складывая их почленно, мы
получим:
или
- (25.11)
дх) \ду) i\dz)
Таким образом, множитель Лагранжа λ связан со значением модуля
нормальной реакции N поверхности f(x, ν, ζ) = 0 соотношением
(25.11). ^ ' '
Предположим, наконец, что на материальную точку с
координатами х, у, ζ наложены две удерживающие связи, выражаемые
уравнениями Д (х, у, ζ) = 0 и /2 (х, у, ζ) = 0; геометрическое значение
этих двух связей состоит в том, что точка с координатами х, у, ζ
должна оставаться на поверхности fl (χ, у, ζ) = 0 и на поверхности
/2 (дг, у, ζ) = 0, τ. е. на линии пересечения этих двух поверхностей.
Мы знаем, что в этом случае вариации ох, оу, oz не будут
независимыми, так как между ними должны существовать два соотношения
вида (25.1), т. е. независимой будет лишь одна вариация, а дне
другие вариации линейно выряжаются через неё.
Таким образом, мы приходим к следующей системе уравнений:
Υ ονΑ- Ζ
Г25.12)
•f± ΟΧ ~\- /i ΟV -4" -41 ΟΖ = 0,
дх ' ду ^ ' dz y
—^ ox + -ρ- ο ν -4- 41 ог = 0.
Вводя множители Лагранжа \г и λ2, мы, как и в случае системы
(25.9), получим:

ζ 115] МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАИЖА 41
Приняв, например, вариации оу и οζ за зависимые вариации, мы
определим множители Лаграыжа λί и λ2 из условий, что коэффициенты
при зависимых вариациях оу и οζ равны нулю, т. е. из уравнений:
Тогда предыдущее уравнение примет вид:
откуда вследствие произвольности вариации ох мы получим:
Таким образом, мы приходим к системе пяти уравнений:
-0' I
Н25.13)
из которой мы и сможем определить пять неизвестных: х, у,
Обозначим через /Vj нормальную реакцию поверхности /г (х, у, z) =
«= 0 и через α2, β1? γ2 — углы, образуемые этой реакцией с осями
Ох, Оу, Οζ\ далее, обозначим через Νο нормальную реакцию
поверхности/2 (л:, у, ζ) = 0 и через а2, J32, γ2 — углы, образуемые ею
с осями Ох, Оу, Οζ. Тогда, применяя приёмы элементарной статики
(т. I, глава IV), мы получим уравнения равновесия материальной
точки в следующем виде:
V2 cos α, + /V2 cos a2 = О, К+ Λ^ cos βχ + Λ^2 cos β2 = 0,
Ζ -J- /Vj cos γ2 + ;V2 cos γ2 = 0, Д (л;, у, ζ) = 0, /2 (л:, ^, гг) = 0.
Сравнивая эти уравнения с уравнениями (25.13), мы заключаем, что
должно быть:
^cosa^X,^·, ^cosp^X,^, TV, cosTl = λ, g,
No cos a2 = λ2 γτ , Λ/2 cos (32 = λ2 ^-y-, /V2 cos γ2 = λ2 ^ ·
Возводя эти равенства в квадрат и складывая их почленно, мы будем
иметь:

42
или
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
[ГЛ. XXV
(25.14)
Таким образом, множители Лагранжа \t и λ2 связаны со значениями
модулей нормальных реакций ΝΊ и Ν2 поверхностей /2 (лг, у, ζ) = О
и Л (х> У у <?) = 0
соотношениями (25.14).
Мы видим, что, применяя
мчожители Лагранжа, мы
утрачиваем весьма важное
преимущество, которое имеется у
принципа возможных
перемещений; именно, реакции
идеальных связей, исключённые в
уравнениях (25.5) или (25.6),
вновь появляются в уравнениях
равновесия. По этой причине
способ множителей Лагранжа
применяется редко.
Чтобы закончить изложение
способа множителей Лагранжа,
мы рассмотрим следующий
простой пример. На окружности, определяемой уравнением х2~\-у2 = /?2,
находится тяжёлая материальная точка с весом Р, отталкиваемая от
вертикального диаметра Оу с силой, равной k2x; изучить равновесие
этой точки, применяя в принципе возможных перемещений множитель
Лагранжа (черт. 245). Очевидно, что этл задача есть плоская задача,
и мы имеем:
причём уравнение связи будет f(x, у) = х2-}~У2 — /?2 = 0. Отсюда
мы получим:
df-or df -2v
Следовательно, уравнения (25.9) будут иметь вид
где согласно указанию, сделанному по поводу второго из уравнений
(2^.9), второе из предыдущих уравнений не сокращено на 2. Вподя

§ 116] СВОБОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ЛАГРАНЖА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ 43
множитель Лагранжа λ, получим:
(k2x + 2λχ) δχ + (Ρ + 2\y) 6y = О,
и урлвнения (25.10) примут вид
Если из первого уравнения мы возьмём решение χ = 0, то из
последнего уравнения мы найдём у = zt R\ тогда из второго уравнения мы
получим P±2XR = 0. Так как будет:
=4
то из уравнения (25.11) мы будем иметь:
λ "" — 2R '
или
ΛΤ= ± 2λ/?.
Так как количество 2λ/? уже было определено, то мы найдём:
истолкование полученных двух решений задачи затруднений не
представляет. Если мы возьмём второе решение 2λ = — k2 первого
уравнения, то из второго уравнения мы получим Ρ — k2y = 0, или
ρ
у == —, Тогда из третьего уравнения мы будем иметь:
из последней формулы следует, что, для того чтобы существовпло
ρ
второе положение равновесия, должно быть k2 ^ -~-. Наконец, из
уравнения (25.11) мы имеем:
ИЛИ
реакция N направлена к центру окружности. Истолкование этих
решений также затруднений не представляет. Эта задача была уже
разобрана в т. I, § 22, пример 11.
§ 116. Свободные параметры Лагранжа. Определение реакций.
Способ свободных параметров Лагранжа будет изложен сначала для
случаев равновесия одной материальной точки; при этом будет легко

44 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [РЯ. XXV
сравнить этот способ со способом множителей Лагранжа. После
этого уже будет дано изложение способа свободных параметров
Лагрпнжа в применении к случаям равновесия любых материальных
систем.
Из принципа возможных перемещений для одной материальной
точки получается уравнение (25.7), а именно:
za* = o.
Если материальная точка абсолютно свободна, то все её три
элементарных возможных перемещения од:, су, οζ совершенно произвольны;
в этом случае говорят, что точка имеет три степени свободы. Если
на материальную точку наложена связь, выражаемая уравнением
f(x, у, z) = 0, то три элементарных возможных перемещения од:,
8j/, bz этой точки связаны между собой вторым из уравнений (25.9),
т. е. совершенно произвольными будут лишь два элементарных
возможных перемещения; в этом случае говорят, что точка имеет две
степени свободы. Наконец, если на материальную точку наложены
связи, выражаемые уравнениями f1 (χ, у, ζ) = 0 и Д (д:, у, ζ) — О,
то три элементарных возможных перемещения од:, by, bz этой точки
связаны между собой двумя последними из уравнений (25.12), т. е.
совершенно произвольным будет лишь одно элементарное возможное
перемещение; в этом случае говорят, что точка имеет одну степень
свободы.
В самом начале § 115 мы видели, что если* материальная точка
имеет три степени свободы, то непосредственным следствием
уравнения (25.7) будут три уравнения (25.8), которые вместе с тем дают
и условия равновесия, так как реакций связей в этом случае не
существует. Предположим затем, что материальная точка имеет две
степени свободы, так как её координаты х, у, ζ связаны уравнением
связи /(дг, у, ζ) = 0. В этом случае её координаты х, у, ζ можно
выразить в функции двух независимых параметров qx и q2
следующим образом:
(25.15)
Эти параметры дг и q% называются свободными параметрами Л а-
гранжа. В самом деле, взяв, например, функции ср и ψ
произвольными, мы из уравнения f(x, у, z) = 0 определим координату ζ как
функцию параметров q1 и q2, т. е. найдём функцию χ. Обратно, из
двух первых уравнений (25.15) мы можем определить параметры q1
и #2 как функции от χ и у; вставляя полученные выражения для
параметров qi и </д в третье из уравнений (25.15), мы придём
к соотношению между координатами х, у, ζ, τ. е. придём к урав-

§ 116] СВОБОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ЛАГРАНЖА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ 45
меняю вида f(x, у, ζ) = 0. Из уравнений (25.15) мы имеем:
дх а , дх
Вставляя эти выражения для вариаций Ьх, оу, Ъг в выражение
XЬх -f- Υьу -\- Ζοζ для элементарной работы, мы получим:
dg
где вариации bqx и δ#2 уже будут совершенно произвольными.
Положим для краткости обозначений:
тогда основное уравнение принципа возможных перемещений примет
вид
.Υδ.χΓ+ Κδ^-j- Zbz = Qx δ^ + Q2 δ^2 = 0. (25.17)
Удовлетворить этому уравнению при произвольных значениях количеств
ύηλ и о<72 возможно лишь, положив
Два уравнения (25.18) с двумя неизвестными ./j и ^2 и решают задачу
о рлв!{овесии материальной точки с двумя степенями свободы, так
как, найдя из уравнений (25.18) значения параметров ηλ и <72, мы
по формулам (25.15) определим координаты х, у, ζ рассматриваемой
точки. Предположим, наконец, что материальная точка имеет одну
степень свободы, т. е. что её координаты х, у, ζ связаны между
собой уравнениями связи Д (д·, у, г) = 0 и /2 (х, у, ζ) = 0. Легко
видеть, что если три координаты х, у^ ζ связаны между собой двумя
соотношениями Д (л;, у, ζ) = 0 и /2 (х, у, ζ) = 0, то эти координаты
можно выразить в функции одного независимого параметра q
следующим образом:
* = χ(?); (25.19)
этот нараметр q и есть свободный параметр Лагранжа. В самом
деле, взяв, например, функцию φ произвольной, мы из уравнений

46 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [ГЛ. XXV
Λ(χ> У у ζ) = 0 и АС*» у, ζ) = 0 определим координаты у и г как
функции параметра q, т. е. найдём функции φ и χ. Обратно, из
первого из уравнений (25.19) мы можем определить параметр q как
функцию от х\ вставляя это полученное выражение для параметра q
во второе и третье из уравнений (25.19), мы придём к двум
соотношениям между координатами х, у, ζ, которые можно
алгебраическими преобразованиями привести к уравнениям вида f(x, у, ~) = О
и АС*» У* z)== О· Из уравнений (25.19) мы имеем:
dq н dq ч'
Вставляя эти выражения для вариаций δ.ν, by, bz в выражение
A^Sjc —|— Υ by -\-Zoz для элементарной работы, мы получим:
где вариация δ# уже совершенно произвольна. Положим для
краткости обозначений:
+ γ%+z; (25·20)
тогда основное уравнение принципа возможных перемещений примет
вид
Xbx-\-Yby-{-Zbz = Qoq = 0. (25.21)
Удовлетворить этому уравнению при произвольном oq можно
только, если положить
Q(?) = 0. (25.22)
Уравнение (25.22) с одним неизвестным q и решает задачу о
равновесии материальной точки с одной степенью свободы, так как, найдя
из уравнения (25.22) значения для параметра q, мы по формулам
(25.19) определим координаты х, у, ζ рассматриваемой материальной
точки.
Мы видим, что, применяя свободные параметры Лагранжа, мы
сразу получаем уравнения (25.18) или (25.22), не содержащие
реакций, т. е. получаем условия равновесия. Мы видим также, что с
уменьшением числа степеней свободы материальной точки мы уменьшаем
число свободных параметров и число уравнений, необходимых для
определения положения равновесия точки, тогда как в элементарной
статике или в аналитической статике при способе множителей
Лагранжа число неизвестных и число уравнений с уменьшением числа

§ 116] СВОБОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ЛАГРАНЖА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ 47
степеней свободы точки возрастают. Последнее ясно видно из
следующей таблицы:
Число степеней
свободы точки
1
3
2
1
Число уравнений и число неизвестных
Принцип возможных
перемещений
при свободных
параметрах
3
2
1
при
множителях Лагранжа
3
4
5
Элементарная
статика
3
4
5
Из этой таблицы легко видеть, почему для нахождения положений
равновесия материальной точки при помощи принципа возможных
перемещений пользуются обыкновенно свободными параметрами
Лагранжа.
Что касается выбора свободных параметров, т. е. вида уравнений
(25.15) или (25.19), то для каждой связи здесь имеется большой
произвол, и удача выбора во многом зависит от опытности и
искусства исследователя. Мы всё же приведём некоторые наиболее часто
встречающиеся виды уравнений (25.15) и (25.19), которые, конечно,
для каждого вида связи не будут единстренными. Рассмотрим сначала
случай двух степеней свободы точки.
Если точка находится на поверхности шара:
то можно положить:
χτ= Rcosq]
у = R cos q} sin <72,
г = /?sin qv
Если точка находится на поверхности эллипсоида:
то можно положить:
х = a cos <7j cos q2,
у z=b cos qx sin q2,
ζ = с sin qv
Рассмотрим затем случаи точки с одной степенью свободы. Если
точка находится на окружности:

48 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [(ГЛ. XXV
то можно положить:
х = Rcosq, у = Rsinq.
Если точка находится на эллипсе:
х1 , у- .,
то можно положить:
a: = <7Cos<7, ^y = /?sin^.
Если точка находится на параболе:
то можно положить:
Если точка находится на гиперболе:
4 — 4=1,
то можно положить:
х = achq, y = bshq.
Если точка находится на прямой:
χ — Хр у —уо ζ— ζ0
/ т η '
то можно положить:
χ = χ0 -]- lq, у = у0 ·-]- /?г<7» £ = 2Ό -j- nq.
Перейдём теперь к общей задаче равновесия материальных систем.
Предположим, что материальная система состоит из N материальных
точек, между 3/V координатами которых имеется ρ соотношений
(р < 3iV). Очевидно, что из этих ρ соотношений мы можем вырязить
какие-нибудь ρ координат через 3/V—ρ оставшихся координат;
таким образом, мы будем иметь 3Λ/"—ρ независимых и ρ зависимых
координат. Точно так же из 3/V вариаций координат /=3/V — ρ
вариаций будут независимыми, остальные же ρ вариаций будут
определяться в зависимости от первых. Число / независимых вариаций
определяет собой число степгний свободы системы; таким образом:
Число степеней свободы материальной системы есть число
независимых бесконечно малых возможных перемещений системы.
Практически в большинстве случаев удобнее выражать не ρ
координат через 3iV—ρ остальных координат, а выражать все
координаты через выбранные специально 3/V—ρ независимых параметров.
Для выбора этих параметров никаких общих правил указать нельзя.
Выбор параметров определяется характером решаемой задачи; от
опытности и искусства исследователя зависит выбрать параметры так,
чтобы задача решалась возможно проще и быстрее. Эти параметры

§ 11 б] СВОБОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ЛАГРАНЖА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ 49
называются свободными параметрами Лагранжа. Выше мы уже
познакомились со свободными параметрами Лагранжа при изучении
равновесия одной материальной точки. Дифференцируя соотношения,
выражающие координаты точек материальной системы через 3N—ρ=ί
свободных параметров Лагранжа qv <72,..., q» мы найдём, что все
вфиации координат материальных точек системы вырпжаются линейно
через / независимых вариаций bqv δ^2,..., bqb. Каждая из вариаций
cqv δ<72,..., bqz соответствует бесконечно малому возможному перз-
мещению системы.
Выражая координаты материальных точек системы через свободные
параметры, мы придём к системе формул следующего вида:
Λ=Ψι(#ι» ft» ···» ft)» Уъ = $ъ(Ч\* ft» ···» ft).··· f (25.23)
*i = Zi (ft. ft» · · ·» ft)» Ч = Х2 (ft» ft» · · ·» ft)» · · · >
Дифференцируя эти формулы, мы получим:
-£·».+£·*+·■·+&·»■■
if,
-%*+%*+■■■+%**
4 Зак. 487. А. И. Некрасов

50 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [ГЛ. XXV
dxN , , . dx
N , , . dxN
dt\>
dzN Л
0
В сокращённых обозначениях эти уравнения можно представить в виде
(25.24)
где будет л=1, 2, 3,..., N.
Заметим, что иногда бывает возможно получить дифференциальные
соотношения (25.24) непосредственно, например, из соображений
кинематики, не дифференцируя выражений вида (25.23), которые могут
быть даже неизвестны. Например, полагая в примере 80 § 111
мы будем иметь:
так будут выражаться вариации координат всех точек абсолютно
твёрдого тела, могущего вращаться вокруг неподвижной оси, с
которой совпадает ось Ог. Так как здесь имеется одна независимая
вариация δ#, τ0 система будет с одной степенью свободы. Полагая
в примере 81 того же параграфа
ω*δ/ = δ<7ΐ> ω2/δ^=δ?2> ω3δ^=δ?3>
мы получим:
(25.25)
Таковы будут вариации координат всех точек абсолютно твёрдого
тел1, имеющего неподвижную точку, с которой совпадает начало О
прямоугольной системы осей координат. Так как здесь имеются три
независимые вариации oqlt oq2) δ#3, то система будет с тремя
степенями свободы.

§ 116] СВОБОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ЛАГРАНЖА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ 51
В § 114 мы имели уравнение (25.6), выражающее необходимое
π достаточное условие равновесия материальной системы с
удерживающими идеальными связями, а именно, уравнение:
Σ (Хп Ъ*п + У η Ьп + Ζη Ъгп) = 0.
η
Вставляя в это уравнение выражения (25.24) для вариаций координат,
мы получим:
т уп + cn\zn) δ?ι
* γη
η
Положим для краткости, как и в случае одной материальной точки:
Qi = 2 (ап1Хп + bnl Yn + c,nZn),
η
Qi = Σ (а,аХ„ + bnlYn + cnlZn).
Тогда основное уравнение принципа возможных перемещений примет
вид
Σ {Хп«*»
Вследствие полной произвольности вариаций bqv δ^2,..
нению (25.27) возможно удовлетворить, только положив:
=0. (25.27)
., bqt урав-
(25.28)
Уравнения (25.28) суть условия равновесия материальной системы;
определив из этих уравнений значения свободных параметров qx, q%,. ..
..., qh мы по формулам (25.23) сможем найти и соответствующие
этим значениям свободных параметров координаты точек материальной
системы.
Пользуясь приёмами элементарной статики или принципом
возможных перемещений с множителями Лагранжа, как это было
показано в § 115 для одной материальной точки, мы можем не только
получать условия равновесия, но и определять реакции связей; это
определение реакций иногда бывает очень важным. На первый взгляд
4*

52 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [ГЛ. XXV
кажется, что, пользуясь принципом возможных перемещений с
применением свободных параметров Лагранжа, мы лишаемся возможности
определить реакции связей, так как реакции при этом исключаются.
Однако последнее не мешает применению принципа возможных
перемещений к определению реакций. В самом деле, предположим, что
требуется определить какую-нибудь выбранную реакцию связи. Тогда
мы уничтожим эту связь, сохранив, однако, реакцию, которую эта
связь развивала, что не нарушит равновесия рассматриваемой
материальной системы, и дадим материальной системе такое бесконечно
малое перемещение, при котором все связи, кроме уничтоженной, будут
соблюдены, искомая же реакция уничтоженной связи будет работать.
Так как значения параметров Лагранжа, соответствующие
положению равновесия рассматриваемой материальной системы, уже были
определены через применение принципа возможных перемещений
к системе с полным числом связей, то, применяя вновь принцип
возможных перемещений к материальной системе, изменённой путём
отбрасывания одной связи, мы получим одно уравнение для
определения искомой неизвесткой реакции связи. Следовательно, принцип
возможных перемещений не только позволяет определять реакции
связей, но даже направлять решение задачи таким образом, чтобы
определить только ту реакцию, знать которую необходимо; в
следующем параграфе на примерах будет показано, как это практически
деляется.
Мы видели, что, вводя свободные параметры Лагранжа, можно
придать выражению элементарной работы следующий вид:
Отсюда следует, что каждое произведение Qmbqm должно иметь
размерность работы. Следовательно, если вариация bqm имеет
размерность длины, то количество Qm имеет рязмерность силы, если же
вариация bqm будет нулевого измерения (как, например, угол), то
количество Qm будет иметь размерность момента силы. Какова бы
ни была размерность количеств Qmi во всех случаях количества Qm
называются обобщёнными силами.
§ 117. Примеры. 83. В этом параграфе при рассмотрении примеров мы
будем пользоваться свободными параметрами Лагранжа.
Рассмотрим абсолютно твёрдый прямолинейный стержень АС В, имеющий
неподвижную точку С, вокруг которой стержень АСЕ может вращаться
(черт. 24G). В точках А и В к стержню приложены силы /^ и F.2, образующие
соответственно углы аире перпендикулярами к стержню АСВ,
проведёнными в точках А\\ В. Требуется найти условие равновесия рассматриваемого
стержня под действием приложенных к нему сил /^ и F2. Очевидно, что
рассматриваемая материальная система имеет одну степень свободы; за
свободный параметр Лагранжа мы примем угол Θ, образуемый стержнем АСВ
с каким-нибудь его начальным положением. Дадим материальной системе

117]
ПРИМЕРЫ
53
бесконечно малое возможное перемещение, повернув стержень АСВ вомруг
точки С на бесконечно малый угол δθ; тогда точка А опишет путь ААГ =
= С А · δθ, а точка В опишет путь ВВ' = СВ · δθ. Так как бесконечно малый
линейный элемент ААГ образует с силой F1 угол о, а бесконечно малый ли-
иейный элемент ~ВЬ' образует с силой F2 угол π — β, то для элементарных
работ этих сил мы имеем:
раб. (FJ = Fx · AAr cos α = Ft · С A cos α δθ,
раб. (/у = F2 · ВВ1 cos (π — β) = — F2. cos β δθ.
Согласно принципу возможных перемещений условием равновесия этой
материальной системы будет равенство
нулю суммы работ сил /^ и F2t τ. е.
должно быть:
раб. (FJ + раб. (F2) =
=(Ft · С A cos a — F2-CB cos β)δθ = 0.
Так как вариация δθ произвольна, то
отсюда мы получаем условие
равновесия в виде
Ft · С A cos α = F2 · СВ cos β.
Если силы Ζ7! и F2 будут
перпендикулярны к стержню АСВ, т. е. если Черт. 246.
углы аир будут равны нулю, то
отсюда мы приходим к условию равновесия рычага первого рода в обычном
виде.
84. Сохраним условия прежней задачи, но примем, что точка С лежит
за точками А и В, как показано на черт. 247, и силы Ft и F2 направлены
в разные стороны. Дадим стержню АСВ бесконечно малый поворот на угол δθ
и подсчитаем элементарные работы сил F\ и F2 при этом бесконечно малом
возможном перемещении. Мы будем иметь:
раб. (F{) = /=Ί · AAr cos a = F1-CA cos α δθ,
раб. (F2) = F2 · BBr cos (π — β) =
= —F2-CB cos $ЬЪ.
Условие равновесия стержня АСВ будет:
раб. (/^) +раб. (/?2) =
= (Ft · С A cos a — F2-CB cos β) δθ = 0.
Так как вариация δθ произвольна, то
отсюда мы получаем условие равновесия
в виде
F · С A cos α = F2 · СВ cos β.
Черт. 247.
Если углы α и β равны нулю, мы приходим к известному условию
равновесия рычага второго рода.
85. Изучить равновесие винта, на головку которого действует сила Р,
перпендикулярная к оси винта, вдоль же оси винта действует сила Q, как
показано на черт. 248. Пусть шаг винта равен h, а диаметр головки винта
равен 2/?. Дадим винту бесконечно малое возможное перемещение, повернув
его на бесконечно малый угол δθ. Так как конец А винта опускается на
расстояние h при повороте винта на угол, равный 2π, то при повороте винта

54
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
[ГЛ. XXV
на угол δθ точка А опустится на высоту -~— δθ, и работа силы Q будет равна
— Q -у— оО. При повороте винта на угол δθ точка В опишет бесконечно малый
элемент винтовой линии, проекция которого на направление силы Ρ совпадёт
с бесконечно малым элементом окружности с центром в точке О и с ради-
\сом, равным /?. Поэтому согласно § 107 элементарная работа силы Ρ будет
равна Ρ·/?δθ. Согласно принципу возможных
перемещений условие равновесия винта будет:
раб.
или
86. В предыдущих трёх примерах мы имели
дело с системами с одной степенью свободы,
находящимися в равновесии под действием двух сил.
Можно показать, что в этом случае имеет место
так называемое золотое правило механики,
установленное Галилеем. Пусть какая-либо
система с одной степенью свободы находится в
равновесии под действием двух сил Fx и F2\ обозначим
абсолютные значения проекций бесконечно
малых перемещений точек приложения сил /^ и F2
на направления самих сил через o/j и bf2. Из
изложенных выше задач можно заметить, что
алгебраические количества с абсолютными значениями δ/j и о/2 должны быть
разных знаков, так что на основании принципа возможных перемещений
условие равновесия в этом случае будет:
Черт. 248.
Отсюда имеем:
т. е.
■ = п.
1
η
_
_;
Следовательно, во сколько раз перемещение δ/j или скорость -ту- больше
δ/2
перемещения δ/2 или скорости —г—, во столько же раз сила /^ меньше силы
F2. Таким образом, мы пришли к золотому правилу механики:
Сколько выигрывается в силе, столько же теряется в скорости,
87. Вывести из принципа возможных перемещений принцип Торричелли
(т. I, § 53). Предположим, что мы ищем условие равновесия тяжёлой
материальной системы, т. е. такой материальной системы, на которую, помимо
реакций удерживающих идеальных связей, действуют лишь силы тяжести.
Направим ось Oz прямоугольной системы осей координат вертикально вверх;
югда по формуле (24.7) мы будем иметь:
Σ
{Хп Ьхп + Υη Ьуп + Ζη οζη) = Ζ δζ = - Ρ δζ = 0,

§ 117] примеры 55
■де Ρ = I Z\ = I 2 Zn | есть общий вес всей материальной системы. Отсюда
η
1Ы получаем условие равновесия тяжёлой материальной системы в виде
δζ = О,
·. е. вертикальная координата ζ центра тяжести материальной системы в по-
южении её равновесия должна иметь экстремум. Если будет ζ =/(α), то мы
юлучим δζ =ff (α) δα, и равенство δζ = 0 будет равносильно равенству
df df
у(а) = 0; если будет ζ=/(α, β), то равенство δζ = -г— δα + —Γδ3 = 0 будет
иа со
df df
>авносильно равенствам -^— =0 и -^т- = 0 и т. д.
г да др
88. Исходя из принципа возможных перемещений, вывести условия равно-
(есия абсолютно твёрдого тела для различных случаев. Мы будем исходить
[з равенства
2 (*„ ъх„ + у η Ьп + ζη ™п) = о.
η
:сли абсолютно твёрдое тело может иметь только поступательные переме-
цения, то для всех точек тела будет:
охп = ох0, Ьуп = 8у0, bzn = bz0,
де Ьх0, Ьу0, Ьг0 суть проекции общего для всех точек абсолютно твёрдого
ела бесконечно малого поступательного перемещения Ъг0. Поэтому
предыдущему равенству можно придать вид
)ткуда мы получим условия равновесия в виде
Ι этом случае абсолютно твёрдое тело имеет три степени свободы. Если
1бсолютно твёрдое тело может иметь только вращательное движение вокруг
1еподвижной оси, которую мы примем за ось Οζ, то из формулы (24.13) мы
>удем иметь:
2 (*» Ьхп + Уп Ьуп + Ζ» Ъгп) = δθ 2 {хпУп -Уп*п) = 0.
η η
Таким образом, условие равновесия будет:
3 этом случае абсолютно твёрдое тело имеет одну степень свободы. Если
1бсолютно твёрдое тело может иметь винтовое движение, то мы примем ось
:кольжсиия-вращения за ось Οζ и обозначим через о;?0 общее для всех точек
1бсолютно твёрдого тела бесконечно малое поступательное перемещение
цоль оси О ζ; тогда будет:
ι мы получим:
2 (χη Ъхп + Уп *Уп + Ζη **я) = δ0 2 (*пУп-УпХп) + °ζο 2 Ζη =

56 ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ [ГЛ. XXV
Отсюда, вследствие произвольности вариаций δθ и δζ0, мы придём к
следующим условиям равновесия:
2 (χη у η -УпХп)=0. 2 ζη=ο·
η η
В этом случае абсолютно твёрдое тело имеет две степени свободы. Если
абсолютно твёрдое тело имеет неподвижную точку, то, принимая эту точку
за начало О прямоугольной системы осей координат, мы, пользуясь
формулами (25.25), получим:
2 (Хп **п + У η ЬУп + Ζη Ъп) =
2 = 0.
η η η
Отсюда мы приходим к следующим условиям равновесия:
В этом случае абсолютно твёрдое тело имеет три степени свободы. Если
абсолютно твёрдое тело будет совершенно свободным, то, обозначая через
1х0, Ъу0, Ьг0 проекции его бесконечно малого поступательного перемещения
δΓ0, мы будем иметь:
охп = Ьх0 + ζη Ьд2 —уп hq3,
ozn = bz0 +yn bgi — xn
Отсюда мы получим [см. формулу (24.10)]:
2 (Хп **п + У η Ьу п + Ζη Ъ*п) =
η + »Уо 2 γη + δ^ο 2 ζη + *9ι 2 (Уп2„ - ζηΥη) +
П П П
+ 4ζ 2 <*ιΑ - *ηΖη) + 4ζ 2 (χηΥη -упхп) = ο.
η
Вследствие произвольности вариаций δ^0, Ьу0, οζ0, bq^ bq2, bq3 мы можем
удовлетворять этому равенству, только положив:
2*»=°· 2Г»=0· 2Z»=°-
2
η
2 ΟΆ - *пУп) = ο. 2 («Λ - *η-ζ·«) = ο> 2
2
η
В этом случае абсолютно твёрдое тело имеет шесть степеней свободы. Bee
эти условия уже были получены ранее методом элементарной статики в пер-
вом томе настоящего «Курса теоретической механики».
89. Решить задачу, разобранную в конце § 115, применяя свободные
параметры Лагранжа. Так как уравнение связи будет:

§ 117] примеры 57
то, полагая χ r= R cos q, у = R sin q, мы получим:
Ьх =—R sin qbqt by — R cos qbq.
Следовательно, уравнению равновесия можно придать вид
(— k2R2 sin q cos q + PR cos q) bq = 0,
или
cos q (P — &2Я sin ?) = 0.
Отсюда имеем:
cos q = 0, P — k2R sin ? = 0.
π
Из первого уравнения находим q = rt γ , т. е.
д: = 0, .у = ± /?.
Из Бтэргю уравнения находим:
Ρ
Чтобы найти реакцию Μ которая должна быть направлена по радиусу
окружности, уничтожим связь, осуществляемую окружностью, оставив силу N.
Тогда мы получим задачу на равновесие материальной точки, находящейся
под действием трёх сил: X = k2x, К=Я и силы N, направленной вдоль
радиуса уничтоженной окружности и образующей угол q с осью Ох (черт. 245)*
Чтобы проще определить силу Μ дадим материальной точке такое
перемещение, при котором будет меняться только радиус R; тогда мы будем иметь;
ол- = bR cos q, by = oR sin q,
и мы получим:
k2xoR cos q + PoR smq + NoR = 0,
иди
(№R cos2 q + Ρ sin q + N) oR = 0.
Отсюда будем иметь:
N=—Psinq — k2R cos2 q.
Обращаясь к выведенным выше условиям равновесия, мы заключаем, что
если будет q = rt -у, то мы получим Ν = ΐρ Р\ если будет Ρ = k2R sin2 qt
то мы получим:
N= — k2R sin2 q — k-R cos2 ? = — k2R.
Знак минус в формулах для N здесь объясняется тем, что W, в сущности,,
обозначает не модуль реакции, а её проекцию на ось, направленную по
радиусу окружности от центра наружу. Таким образом, мы приходим ко всем
ответам, уже найденным в § 115.
90. Рассмотрим ещё один пример, аналогичный примеру, уже
разобранному в § 42 первого тома настоящего «Курса теоретической механики».
Именно, предположим, что тяжёлая балка АВ опирается без трения своими
концами А и В соответственно на вертикальную стенку Оу и на
горизонтальную стенку Ох (черт. 249); в точке В к балке привязана нить ОВ. Найти
натяжение Τ нити и нормальные реакции R' и R" стенок Оу и Ох. Пусть длина
балки равна 2/, и балка образует угол α с осью Ох\ обозначим вес балки,
приложенный в её середине, через Р. Как мы знаем, в этой задаче все три

58
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
[ГЛ. XXV
уравнения равновесия будут содержать реакции R\ R" и Τ связей, так что
условий равновесия в этой задаче не будет, тем не менее и к этой задаче
можно применить принцип возможных перемещений, используя свободные
параметры Лагранжа.
Предположим, например, что мы хотим определить силу Г. Тогда согласно
указанию предыдущего параграфа разрушим связь, осуществляемую нитью,
введя при этом в качестве активной силу Т, которую развивала нить, и дадим
балке бесконечно малое перемещение, возможное при сохранении двух
других связей. Очевидно, что для этого достаточно заставить балку скользить
концами А и В по стенкам Ох и Оу. При этом работа силы R' и работа
силы R"^ будут равны нулю, так что в уравнении принципа возможных
перемещений останутся лишь работы сил Τ и Р, т. е. мы получим одно
уравнение с одним неизвес!ным Т. Указанное бесконечно малое перемещение балки
можно осуществить, вращая балку АВ вокруг мгновенного центра Ε (т. I,
§ 81). При этом бесконечно малом вращении балки АВ вокруг мгновенного
центра Ε на угол оО точка В опишет бесконечно малую дугу окружности
радиусом, равным ЕВ, а точка С опишет бесконечно малую дугу окружности
радиусом, равным ЕС, Применяя принцип возможных перемещений и
считая, "что бесконечно малый поворот вокруг
точки Ε на угол δθ происходит против
часовой стрелки, мы получим:
Р- ЕС cos (/ DCF) δθ — Г. ££δθ = 0.
Легко видеть, что будет:
ЕС = /, ЕВ = АО = 21 sin α,
Ρ
*> X
поэтому предыдущему равенству можно
придать вид
(Я/ Cos а — Т- 21 sin α) δθ = 0,
или
Я COS α — 2 Τ sin α = 0.
Отсюда мы будем иметь:
2
Чтобы определить силу Rr, нарушим связь,
осуществляемую стенкой Оу, вводя при этом
в качестве активной силу R', и дадим стержню АВ такое бесконечно малое
перемещение, при котором соблюдаются две другие связи, а следовательно,
элементарная работа сил R" и Τ равна нулю. Для этого достаточно дать
стержню АВ бесконечно малое вращение на угол δθ вокруг точки В. При
этом точка А опишет путь В Α δθ = 2/ δθ, образующий угол -^ — а с
силой Rr, а точка С опишет путь BCoQ = loQ, образующий угол π — а с
силой Р. Следовательно, основное уравнение принципа возможных
перемещений будет иметь вид
Черт. 249.
δθ cos (у — a) + ρι δ0 cos (π — °0 =
или
Отсюда мы получим:
(21R' sin a — IP COS α) δθ = 0.

§ И7]
ПРИМЕРЫ
59
Если сила Τ уже известна, то этот результат можно получить проще, давая
балке АВ бесконечно малое поступательное перемещение олг, параллельное
оси Ох. В этом случае работы сил Ρ и R" будут равны нулю, и мы придём
к уравнению:
R' Ьх — Гол: = (/?' — Т) Ъх = О,
■:. е.
Чтобы определить реакцию /?", нарушим связь, осуществляемую стенкою Охт
вводя силу /?", и дадим балке бесконечно малое перемещение, совместное
с двумя другими связями; тогда будут работать силы R" и Р, а элементарная
работа сил Τ и Rr будет равна нулю. Для этого достаточно переместить балку
поступательно в вертикальном направлении на отрезок оу, и мы будем иметь:
R" Ьу —
откуда получим:
= {R" — Р)Ъу = О,
R" = Р.
Таким образом, все три реакции отделены и определены. Полученные
результаты можно проверить, положив β = 0 в ответах, найденных для
аналогичного примера в § 42 первого тома этого курса.

ДИНАМИКА ТОЧКИ
ГЛАВА XXVI.
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ.
§ 118. Исторические указания. До Галилея рассматривали силы
и, в частности, силу тяжести лишь в применении к задачам статики.
В появившемся в 1638 г. сочинении Галилея «Discorsi e dimonstra-
zioni matematiche intorno a due nuove scienze» (Беседы и
математические доказательства, касающиеся двух новых областей знания)
Галилей первый рассмотрел вопрос о движении тел под действием
силы тяжести. Гюйгенс (1629—1695) дополнил исследования Галилея
изучением движения маятника и центробежной силы. В 1686 г.
появилась на латинском языке знаменитая книга Ньютона «Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica» (Математическиi начала натуральной
философии). Эта книга имеется на русском языке в переводе
академика Алексея Николаевича Крылова (1863—1945) (Собрание трудов
академика А. Н. Крылова, т. VII, 1936 г.). С момента появления
книги Ньютона динамика получила твёрдое основание для своего
развития. Изобретение дифференциального и интегрального исчислений
Ньютоном и Лейбницем (1646—1716) дало для динамики наиболее
удобный математический аппарат, хотя сам Ньютон и вёл свои
динамические исследования геометрическим методом. Первое
систематическое применение анализа к динамике и вообще к механике было
сделано Эйлером в его книге «Механика или учение о движении»
(Mechanica sive motus scientia), появившейся в 1736 г. Далам-
бер (1717—1783) в своей книге «Динамика» (Traite de Dynamique),
появившейся в 1743 г., дал общий приём составления уравнений
динамики для каждой задачи, связав динамику со статикой. Наконец,
Лагранж в своей «Аналитической механике» (Mecanique Analyiique),
зарегистрированной Парижской академией наук 27 февраля 1788 г.
(имеется русский перевод), дал чисто аналитическое изложение всей
механики как точки, так и системы. Построив всю статику на
принципе возможных перемещений и связав принцип возможных
перемещений с принципом Даламбера, он получил единообразный
метод вывода уравнений динамики. Дальнейшее развитие
динамики шло по путям, проложенным этими великими исследователями.
Таким образом, было создано то стройное здание, которое известно

§ 119] ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ЗАКОН ИНЕРЦИИ 61
в настоящее время под именем классической механики, или
ньютоновской механики.
В настоящем курсе классической теоретической механики мы
начнём изложение динамики с основных законов динамики,
установленных Ньютоном и названных им: «Аксиомы или законы движения»
(по-латыни Axiomata sive leges motus). Эти законы будут даны
в переводе академика А. Н. Крылова, причём вследствие важности
этих законов после русского перевода будет приведён и подлинный
лптинский текст.
Необходимо иметь в виду, что, излагая свои законы, Ньютон
пользуется словом «тело», подрпзумевая под этим некоторое
«количество материи». Однако лучше было бы вместо слова «тело»
употребить современный термин «мчтериальная точка», что внесло бы
полную точность в формулировку. Что же касается законов движения
тел, т. е. связанных систем материальных точек, то их можно
получить как следствия из законов движения материальных точек. В
настоящем «Курсе теоретической механики» сначала будет изложена
динамика одной материальной точки, а затем уже динамика
раздельной системы материальных точек и динамика ябсолютно твёрдых тел.
По поводу слова «пропорционально» второго закона полезно
привести пояснение академика А. Н. Крылова, данное им в его переводе
книги Ньютона, а именно:
«Необходимо также иметь в виду, что в то время при
установлении меры для какой-нибудь величины устанавливалась лишь её
пропорциональность другим величинам, от коих эта мера зависит. Тогда
не говорили, как теперь (когда деляется определённое предположение
о принятой единице меры), „площадь прямоугольника рпвна
произведению его основания на высоту", а говорили (предполагая единицу
меры произвольной) „площадь прямоугольника пропорциональна его
основанию и высоте"».
§ 119. Первый закон Ньютона. Закон инерции. Первый закон
Ньютона дан им в следующей формулировке:
Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии
покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и
поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять
это состояние.
Латинский текст закона тлков:
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi unifor-
miter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur sta-
tum suum mutare.
Пока не указана система отсчёта, относительно которой
определяется покой или движение теля, этот закон лишён определённого
содержания. Ньютон, постулировавший существование абсолютною
пространства, всегда одинакового и неподвижного, и абсолютного
движения относительно него, тем самым вводил некоторую абсолютную

62 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ [ГЛ. XXVi
систему отсчёта. Однако, известно, что в действительности
абсолютного пространства и абсолютного движения не существует. Поэтому
формулировки первого закона должна быть заменена следующей:
Существуют такие системы отсчёта, относительно которых
все материальные точки, не испытывающие действия сил,
находятся в состоянии равномерного прямолинейного движения или.
в частности, в покое.
Такое системы отсчёта называются инерциалъными системами,
и такое свойство материальных точек сохранять без действия сил
относительно инерциальных систем или покой, или равномерное
прямолинейное движение называется инерцией', поэтому первый закон
Ньютона получил название закона инерции. Инерциальные системы
можно определить следующим образом:
Инерциальной системой отсчёта называется такая система
отсчёта, относительно которой все материальные точки без
воздействия на них сил или находятся в состоянии равномерного
прямолинейного двиэюения или покоятся, т. е. ускорения этих
точек относительно инерциальной системы равны нулю.
Очевидно, что если мы имеем некоторую инерциальную систему S,
то всякая другая система Sr, находящаяся относительно системы 5
в равномерном прямолинейном поступательном движении, также будет
инерциальной системой. Поэтому, если ускорение какой-нибудь
материальной точки относительно инерциальиой системы 5 равно
нулю, то оно будет равным нулю и относительно всех других
инерциальных систем S'. Таким образом, среди инерциальных систем
нельзя указать одну, имеющую особое значение, которое позволяет
её выделить.
Чтобы пояснить изложенное примером, вообразим наблюдателя,
находящегося в закрытой со всех сторон комнате, так что для него
недоступно наблюдение внешнего мира. Предположим сначала, что
комната неподвижна, и наблюдатель бросил материальную частицу
из точки А у потолка комнаты к полу, причём материальная частица
ударилась в точку В пола. Предположим затем, что комната
находится в равномерном прямолинейном движении, и наблюдатель
совершенно так же бросил материальную частицу из точки А; тогда
эта материальная частица обязательно попадёт в то же время в ту же
точку В пола, так как по закону инерции эта материальная частица
должна во всё время своего падения на пол сохранять и ту
скорость, какую имеет комната, как по величине, так и по
направлению. Рассуждение, конечно, имеет общий характер, и мы заключаем,
что все движения, которые мы будем наблюдать в комнате, будут
происходить относительно комнаты совершенно одинаковым образом
как в том случае, когда комната неподвижна, так и в том случае,
когда комната будет двигаться равномерно и прямолинейно.
Таким образом, из закона инерции следует, что никакими мех а-
ни чески ми опытами наблюдатель никогда не сможет решить*

§ 119] ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ЗАКОН ИНЕРЦИИ 63
находится ли его комната в покое или в равномерном прямолинейном
движении. Отсюда далее следует, что если наблюдатель откроет
стрвии окон своей комнаты и, взглянув на внешний мир, определит,
что все внешние предметы перемещаются по отношению к нему
прямолинейно и равномерно, то никаким механическим опытом
он не сможет решить, какая из двух возможных для него гипотез
верна: или гипотеза о том, что его комната неподвижна, а
перемещаются равномерно и прямолинейно внешние предметы, или гипотеза
о том, что внешние предметы неподвижны, а перемещается
равномерно и прямолинейно его комната. Отсюда вытекает относительность
понятия движения, составляющая так называемый «галилеевский
принцип относительности», который можно сформулировать
следующим образом:
Никаким механическим опытом, произведённым β какой-нибудь
неизменяемой системе, нельзя решить, находится ли эта система
в покое или β равномерном прямолинейном движении.
Таким образом, термины «покой» и «ртвномерное прямолинейное
движение» не имеют абсолютного смысла. Заметим, что из принципа
относительности Галилея следует, что на всякое движение любой
системы тел мы всегда можем наложить любое равномерное
прямолинейное движение, не нарушая тем самым движения тел системы по
отношению друг к другу; этим последним положением иногда
приходится пользоваться в механике.
При изложении как элементарной, так и аналитической статики
мы пользовались инерциальными системами осей координат. Что
касается кинематики, то перемещение относительно инерциальной
системы осей координат (т. I, § 63) было названо абсолютным
движением, перемещение же относительно осей координат,
перемещающихся относительно взятой инерциальной системы осей, было названо
относительным движением. В § 104 т. I было показано, что в
большинстве случаев без заметной погрешности за ииерциальную систему
осей координат можно взять оси, неизменно связанные с
поверхностью земли.
В дальнейшем изложении мы всюду, где не сделано специального
vкaзaния, говоря о движении, будем подразумевать, что движение
отнесено к инерциальной системе отсчёта. Точно так же слова
«неподвижная точка», «неподвижная ось» и т. д. будут употребляться
для краткости вместо «точка, неизменно связанная с инерциальной
системой отсчёта» и соответственно «ось, закреплённая относительно
инерциальной системы отсчёта».
Так как никаким механическим опытом нельзя решить, находится
ли система отсчёта в покое или в равномерном прямолинейном
движении, то естественно попытаться решить этот вопрос с помощью
физического опыта. Однако все разнообразные и многочисленные
физические опыты, выполненные с величайшей тщательностью, показали,
что принцип относительности применим также и к физическим

64 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ [ГЛ. XXVI
явлениям, хотя применение галилеевского принципа
относительности к явлениям оптическим и электродинамическим теоретически и
должно было бы быть исключено. Таким образом, между теорией
и экспериментом возникло противоречие, которое было необходимо
устранить.
Для устранения этого противоречия были предложены разные
гипотезы и теории, которые, однако, не решали окончательно
вопроса. Полностью устранить это противоречие между теорией и
экспериментом удалось только Эйнштейну, которому пришлось для
этого пересмотреть основные представления о пространстве и времени.
Во «Введении» в т. I настоящего курса указано, что разница между
результатами применения ньютоновских (классических) и
эйнштейновских (релятивистских) понятий пространства и времени делается
ощутимой лишь при скоростях, составляющих заметную долю от
скорости света. Так возник специальный принцип относительности
(1905 г.), который можно сформулировать следующим образом:
При исследовании всех физических и, в частности,
механических явлений все инерциальные системы отсчёта эквивалентны
между собой.
В специальном принципе относительности устанавливается, что
никакая скорость не может превысить скорости света, которая
β пустоте не зависит от направления и равна приблизительно
3 · 105 кмIсек. Теоретическая механика, основанная на специальном
принципе относительности, называется релятивистской механикой.
Из изложенного следует, что результаты, полученные в
релятивистской механике, могут отличаться от результатов, полученных
в классической механике, лишь при громадных скоростях,
составляющих заметную долю от скорости света.
§ 120. Второй закон Ньютона. Масса. Сила. Из первого закона
Ньютона следует, что материальная точка получает ускорение
относительно инерциальной системы отсчёта только под действием силы,
так как сила указана в первом законе Ньютона как единственная
причина, которая изменяет состояние покоя или прямолинейного
равномерного движения точки относительно этой системы отсчёта. Однако
никакого определения понятия силы Ньютон не дал. Мы уже имели
дело с силами в статике (т. I, § 2), когда речь шла о действии сил
на покоящиеся материальные точки и тела; теперь мы видим, что
силы являются также и источниками ускорений. Такое расширение
понятия силы, при котором одна и та же сила, например, сила
тяжести, может пониматься и статически, и динамически, было
достигнуто в механике не сразу; оно ведёт своё начало от Галилея.
Как ни кажется в настоящее время для нас естественным объяснять,
например, постоянное по величине ускорение материального объекта
в его свободном падении на землю весом этого материального объекта,
однако до Галилея это сделано не было, и вес понимался лишь ста-

§ 120] ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. МАССА. СИЛА 65
тически. Лаграиж во второй части своей «Аналитической механики»
перед изложением динамики, сравнивая значение открытия Галилеем
спутников Юпитера, фаз Венеры, солнечных пятен с открытием
Галилеем законов падения на землю тяжёлых тел, пишет: «Открытие
спутников Юпитера, фаз Венеры, солнечных пятен и прочего требо-
ияло только телескопов и настойчивости, но необходим был
исключительный гений, чтобы раскрыть законы природы в явлениях, всегда
бывших перед глазами, но объяснение которых тем не менее всегда
ускользало от исследований философов».
Изучая опытным путём длины путей, проходимых свободно
падающим тяжёлым телом у поверхности земли, можно зпметить, что
эти длины не зависят от веса тела и пропорциональны кв^др^ту
времени падения тела, причём длина пути за первую секунду
движения равна приблизительно 4,9 м. Таким образом, обозначая длину
пути через s, а время падения через t, мы получаем формулу
падения тяжёлых тел в виде s — 4,9t2 м; мы предполагаем при этом тело
настолько тяжёлым, что сопротивление воздуха не может заметно
исказить его движение. Из предыдущей формулы мы находим для
d2s Λ о _о
ускорения w — 'tu~ постоянную величину 9,8 м сек *, или, несколько
точнее, для наших широт 981 см сек"2. Точные опыты покязывяют,
что в одном и том же месте земли в пустоте все теля, каков бы ни
был их вес, имеют одно и то же ускорение, но величина этого
ускорения меняется в зависимости от места на поверхности земли,
увеличиваясь, вообще, к полюсам и уменьшаясь к экватору; величина
ускорения уменьшается также с подъёмом вверх над поверхностью земли.
Таким образом, величина ускорения
свободного падения тел, рпвная 981 см сек"2,
должна рассматриваться как приближённая
для средних широт.
Рассмотрим зятем, как будет влиять
на величину ускорения изменение
величины силы. Для этого поместим
материальную частицу А с весом Ρ на наклонную
плоскость, закреплённую на поверхности
земли и образующую угол а с горизонтом (черт. 250). Р^злягая
силу Ρ на силу Q, перпендикулярную к наклонной плоскости, и на
силу Ри параллельную наклонной плоскости, мы заключаем, что
материальная частица А будет двигаться вдоль наклонной плоскости
под влиянием лишь силы Рг = Ρ sin α. Производя опыты при р°злич-
пых углах ос, мы найдём, что материяльная частица А всегдя и
будет двигаться с постоянным для каждого угла а ускорением,
которое будет рявно 981 sin а см сек"2. Конечно, мы идеализируем опыт,
пренебрегая-'трением и сопротивлением воздуха. Отсюда следует, что
силе Ρ sin α, где -^- > α > 0, соответствует ускорение 981 sin α, т. е.
5 Зак. 487. А. И. Нскрасоп

66
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
ГЛ. XXV3
ускорение пропорционально силе; сверх того, из этих опытов видно,
что векторы ускорения и силы с модулями соответственно 981 sin α
и Ρ sin ос расположены вдоль одной прямой и направлены в одну
и ту же сторону. Усматривая в этом частном опыте общий закон
природы, мы можем принять, что всегда вектор ускорения w
пропорционален вектору силы F и имеет одинаковое с ним
направление.
Отсюда следует, что вектор F и вектор w можно связать между
собой соотношением F—mw, где т есть скалярное количество.
Чтобы установить смысл количества т, рассмотрим
следующий опыт. Предположим, что мы имеем
машину Атвудп, состоящую из неподвижного блока
с перекинутой через него гибкой нитью,
закреплённую на поверхности земли (черт. 251). Мы опять
идеализируем опыт, считая пить абсолютно гибкой
и пренебрегая её весом и всякими
сопротивлениями. Привесим к обоим концам нити две
одинаковые по весу гири В и С; они будут находиться
в равновесии. Возьмём затем третью гирю А. Как мы
видели выше, под влиянием собственного веса гиря А
будет иметь ускорение, равное 981 см сек"2.
Привесим гирю А к гире В. Мы найдём из опыта, что
под влиянием веса гири А система трёх гирь Л, В, С
придёт в состояние ускоренного движения в
направлении, указанном на черт. 251 стрелкой;
ускорение будет постоянным, но его величина будет
меньше, чем 981 см сек~2 во столько раз, во
сколько вес трёх гирь Л, В, С больше веса одной
гири А. Отсюда мы заключаем, что одна и та же сила веса гири А
может давать рпзные ускорения в зависимости от того, к чему
эта силч приложена. Если бы вместо привешивания груза А мы
захотели привести систему двух грузов В и С, уравновешенных in
машине Атвуда, в движение рукой, то мы почувствовали бы, что
для получения одинаковых движений требуется развить рукой
разные усилия в зависимости от весов грузов В и С. Однако нетрудно
установить, что не веса грузов В и С, η какое-то другое их
свойство влияет на величину их ускорения. В самом деле, грузы В и С
были уравновешены на машине Атвуда; именно, их общий вес,
проходя через центр блока, уравновешивается с силой реакции держалки
оси блока, так что систему (В, С) можно рассматривать как
невесомую. Таким образом, скалярный множитель /и, показывая, в какой
мере данная материальная точка способна под влиянием данной силы
получать определённую величину ускорения, харяктеризует
механические свойства точки независимо от веса этой точки. Очевидно,
что чем больше будет количество т, тем при данном модуле силы F
будет меньше модуль ускорения w, и обратно. Это скалярное коли-

§ 120] второй закон ньютона, масса, сила 67
чество т называется массой. Массу т можно определить следующим
образом:
Масса материальной точки есть характеристика инертного
свойства этой точки, т. е. способности материальной точки
под влиянием заданной силы получать полное ускорение лишь
определённой величины.
Понятие массы, являющееся основным в динамике, введено
Ньютоном; до Ньютона в механике пользовались лишь понятием веса.
В классической механике масса считается постоянной.
Специальная теория относительности приводит к следующему выражению
для массы:
т = υ
где т0 есть масса материальной точки в покое, ν — скорость
этой материальной точки и с — скорость света. Таким образом,
масса т движущейся материальной точки будет больше массы т0
той же точки при покое, когда ν = 0. Однако разница в массах
покоящейся и движущейся точки будет заметной только при
скоростях, составляющих заметную долю от скорости света. Так, если
допустить, что материальная точка движется с большой космической
скоростью в 100 км/сек (скорость движения Земли вокруг Солнца
составляет в среднем 30 км/сек), то будет:
1 ' ^
1
(3-105)2 V 9-106
т. е. масса т точки в этом хотя и чрезвычайно быстром, но
далёком от скорости света движении ничтожно отличается от массы т0
той же· точки в покое.
В качестве одной из характеристик движущейся материальной
точки введём следующую векторную величину, которая имеет
важное значение в динамике.
Количеством движения материальной точки называется
произведение mv вектора скорости ν этой точки на её массу т.
Хотя наименование этой величины удерживается в механике уже
третье столетие, но необходимо признать его неудачным, так как
слово «количество» предполагает, что величина имеет скалярный
характер, тогда как величина mv есть вектор, имеющий не только
модуль, но и направление. Ниже в динамике точки мы познакомимся
с другим наименованием этой величины mv, свободным от выше
сделанного упрёка.
После изложенного уже делается ясным второй закон Ньютона.
Ньютон дал следующую формулировку этого закона:

68 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ [ГЛ. XXVI
Изменение количества движения пропорционально
приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой,
по которой эта сила действует,
По-л^тыни будет:
Mutaiionem motus proportionalem esse vi motrici impressae et
fieri secundum lineam rectam qua vis ilia imprimitur.
Второй закон Ньютона в аналитической форме имеет
следующий вид:
-jf(mv) = F. (26.1)
Формула (26.1) показывает, что сил π F, со свойствами которой мы
познакомились в статике, будучи приложена к свободной
материальной точке, изменяет количество движения mv этой точки так, что
производная по времени от количества движения материальной точки
равна силе, действующей на эту материяльную точку. Так как в
классической механике масса материальной точки рассматривается как
величина постоянная, то из формулы (26.1) мы получим:
m-£- = mw = F. (26.2)
Эта формула, с которой мы уже встретились перед определением
массы, может быть выряжена следующим образом:
Произведение массы и ускорения равно силе.
Немецкий физик Кирхгоф (1824—1887) переделал закон,
выражаемый формулой (26.2), в определение силы: сила равна массе,
умноженной на ускорение. С определением силы, данным
Кирхгофом, нельзя согласиться по следующим основаниям:
1) Это определение не охватывает случаев статики, когда сила
никакого ускорения не производит. Если камень лежит на столе, то
сила тяжести камня производит давление на стол; если же стол
убрять, то камень будет падать на землю с постоянным ускорением.
В обоих случаях на камень действовала одна и та же сила его
тяжести, но когда камень лежал на столе, никакого ускорения
у камня не было.
2) Это определение искажает мысли Ньютона. Ньютон был
слишком большим учёным и он не мог спутать понятие «определение»
с понятием «закон». Во втором законе Ньютон связывает динамику
со статикой именно тем, что сила, понимаемая обычно до Ньютона
только статически, получает у него определённое динамическое
значение; в определении VIII Ньютон указывает, что можно
статически измерять силу, стоящую в правой части динамической
формулы (26.1) или (26.2).
Хотя определение Кирхгофа, которое часто применяют, и не
является достаточным, однако, вследствие того что понятие силы
принадлежит к первоначальным понятиям механики, полного
исчерпывающего определения понятию силы дать нельзя, так что здесь

§ 120] ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. МАССА. СИЛА 69
можно только повторить о силах то, что указано в самом начале
«Введения» в томе 1. Заметим, что формула (26.2) есть основная
формула в классической динамике точки.
После введения понятия массы необходимо установить единицу
массы и способ измерения масс. Как и при измерении всяких
величин, единицу массы можно установить только условно, выбрав по
произволу массу какого-нибудь тела за единицу. За единицу массы
принимают массу гири, сделанной из платины и хранящейся в
Парижской палате мер и весов; эта единица ма~сы называется /сило-
граммом массы. Пользуясь формулой F=mw, можно измерять
массы динамически. В самом деле, прилагая одну и ту же силу F
к двум разным материальным частицам т и mlt мы получим:
mw = m{wv
или
пи=т — . (26.3)
Таким образом, зная количество т и определив из опытов модули w
и w1 ускорений, мы найдём массу тх. Если т есть единица массы,
то из формулы (26.3) мы непосредственно находим массу mv
выраженную в этих единицах. Одна тысячная килограмма массы
называется граммом массы. Масса, определяемая формулой (26.3) как
характеристика инертного свойства материальной точки, может быть
названа инертной массой. Но можно подойти к измерению масс
ещё иначе.
Ньютон открыл закон всемирного тяготения, согласно которому
любые две материальные частицы притягиваются друг к другу с
силой, прямо пропорциональной произведению особых характеристик
этих материальных частиц, которые Ньютон назвал также массами,
и обратно пропорциональной квадрату расстояния между частицами;
в математическом выражении этот закон имеет вид
F = k^, (26.4)
где k есть множитель пропорциональности, тг и т"— массы
материальных частиц, а г — расстояние между частицами. Ни откуда
заранее не следует, что массы, входящие в формулу (26.4). суть
те же инертные массы, которые определяются через ускорения по
формуле (26.3). Мы назовём массы, входящие в закон (26.4)
всемирного тяготения, тяготеющими массами.
Рассмотрим материальную частицу с тяготеющей массой т" вблизи
поверхности земли (черт. 252). Каждая материальная частица земли
с тяготеющей массой m'v т[уУ т'ъ, .. . по закону (26.4) Ньютона
будет притягивать к себе массу т". Очевидно, что
равнодействующая всех этих сил притяжения тяготеющей массы т" представит
некоторый вектор, модуль которого имеет множитель /гс", так как каждая
слагающая имела этот множитель т", Таким образом, модуль вектора

70 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ [ГЛ. XXVI
силы притяжения тяготеющей массы т" к земле можно представить в виде
m"gy где значение количества g не зависит от массы т", постоянно для
данного места на поверхности земли и равно численному значению
притяжения в случае, если тяготеющая масса т" равна единице.
Отсюда следует, что для силы притяжения F материальной частицы
глЦ с тяготеющей массой т" к земле, или веса этой
частицы, мы имеем F=m"g. С другой
стороны, так как вес является и причиной
свободного падения на землю тяжёлых тел, то,
рассматривая ту же материальную частицу и
обозначая её инертную массу через т, мы из
формулы (26.2) получаем F — mw, где вектор w
представляет ускорение в свободном падении.
Следовательно, должно быть:
mw — m" g.
Опыт показывает, что в одном и том же месте
Черт. 252. поверхности земли для всех тел модуль w
ускорения w и свободном падении один и
тот же; из формулы (26.4) следует, что в одном и том же месте
поверхности земли модуль g вектора g должен быть одним и тем же.
Отсюда мы заключаем, что для всех тел отношение —^ должно быть
постоянным, т. е. инертная масса и тяготеющая масса должны быть
пропорциональны друг другу. Мы можем выбрать единицы
измерения этих масс так, чтобы было т" = т. Отсюда следует, что
инертная масса и тяготеющая масса между собой, равны.
Таким образом, заменяя общее обозначение/7 силы на обозначение Ρ
для случая веса, мы получаем Ρ = mg\ следовательно, вес тела
пропорционален его инертной массе. Из равенства mw = m"g и т = т"
следует, что g = w, т. е. множитель g, стоящий в выражении для
веса /°, есть ускорение, производимое силой тяжести. Так как
приближённо w = 981 смсек~2, то и ^—981 смсе/с~2. Мы видим,
что вес Ρ должен меняться в зависимости от величины ускорения
свободного падения. Следовательно, вес и масса отличны друг от
друга, но вес всегда пропорционален массе, на что указ л л ещё
Ньютон. Если в одном и том же месте веса Ρί и Р2 двух материальных
частиц между собой ррвны, то должны быть между собой равны и
их массы. В самом деле, из выражений Ρλ = m^g и Р2 = m.,j> и
условия Р1 = Ро следует, что должно быть т1 = /я2. Отсюда
вытекает самый простой способ определять массы; это — известный способ
применения равноплечих весов. Читателю должно быть ясно, насколько
этот способ практически проще, чем любые способы, основанные на
формуле (26.3) и требующие определения величины ускорений.
По поводу закона всемирного тяготения следует указать, что
физическая природа всемирного тяготения до сего времени не выяснена.

§ 120] ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. МАССА. СИЛА 71
Именно, в науке не было объяснений тому, что 1) закон (26.4)
предполагает, что тяготение распространяется через пустоту без
всякого носителя этого тяготения — действие на расстояние; 2) от
тяготения нет никакой защищающей ширмы, так как, например, даже вся
масса планеты Юпитер, которая приблизительно в 320 раз больше
массы Земли, не может защитить спутника Юпитера от притяжения
Солнца, когда Юпитер закрывает свой спутник от Солнца; 3) сила
тяготения пропорциональна массе тяготеющего объекта, так что
ускорение этого объекта не зависит от его массы.
Для измерения масс мы приняли единицы: грамм и килограмм,
т. е. приняли те же наименования мер, какие применяются в технике
для измерения сил. Такое употребление слов грамм и килограмм
в двух смыслах сложилось исторически и, конечно, представляет
большое неудобство; так как им всё же продолжают пользоваться,
то необходимо всегда внимательно отмечать, берётся ли килограмм
зеса или килограмм массы. В технике за единицу силы принимают
вес тела с массой в один килограмм. Так как вес в различных
местах земли меняется в зависимости от значения g, то масса в один
килограмм будет иметь вес в один килограмм только в определённом
месте поверхности земли, в других же местах поверхности земли вес
мяссы в один килограмм будет отличаться от килограмма веса,
причём ошибка может достигать 0,2%, в чём можно убедиться,
например, при помощи пружинных весов. Этой ошибкой в механике
обыкновенно пренебрегают.
В § 2 т. I настоящего «Курса теоретической механики» был ука-
злн способ статического измерения величины силы при помощи
динамометра. Так как сила равна произведению мчссы на ускорение,
то отсюда можно получить динамический способ измерения силы.
При динамическом способе измерения сил за единицу силы следует
принять силу, которая единице массы даёт единицу ускорения. Взяв
за единицу длины сантиметр (С), за единицу массы — грамм (G),
за единицу времени — секунду (S), мы получаем физические единицы,
так называемые CGS-единицы. В CGvS-единицах единицей силы будет
дина, определяемая следующим образом:
Сила, дающая массе в один грамм ускорение в 1 смсек~2,
называется диной.
Так кпк грамм веса даёт грамму массы ускорение, равное gCM сек"2,
то дина, дающая этой массе ускорение в 1 смсек~2, должна быть
з £- = 981 раз меньше одного грамма веса. Мы видим, что дина
имеет малую величину. Поэтому в настоящее время предпочитают за
единицу массы брать килограмм, а за единицу длины — метр; при
таком выборе основных единиц для единицы силы получается боль-
шря величина. Это будет сила, которая массе в 1 кг сообщает
ускорение в 1 мсек~2. Эта единица называется ньютоном; легко
подсчитать, что один ньютон равен 105 дин, или, приблизительно, 0,102
килограмма силы.

72
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ [ГЛ. XXVI
В § 3 т. I настоящего курса механики было указано, что если
на точку покоящегося тела действуют несколько сил, то все эти силы
можно заменить одной равнодействующей, являющейся геометрической
суммой составляющих сил. Так как силы в динамике — те же силы,
какие рассматриваются в статике, то естественно, что и для
динамики должно иметь место равенство
вместе с законом независимости действия сил.
Прилагая силы F, Fx и F2 к одной и той же материальной точке
с массой т и обозначая соответствующие ускорения с;той точки
отдельно от каждой силы через w, w1 и w2, мы будем иметь:
F = mw, Fx = mw1, F2 = mw2.
Вставляя эти значения сил в предыдущее равенство и сокращая его
на т, получим: .
w = w1 -f- w.>.
Таким образом, если на материальную точку одновременно
воздействуют с силами Fx и F2 два материальных объекта, давая этой
точке ускорения w1 и w.2, то материальная точка получит
ускорение w, представляющее геометрическую сумму ускорений wx и w2.
Этим подтверждается положение, приведённое в § 70 т. I при
доказательстве, что ускорение есть вектор.
В заключение этого параграфа соберём в общую таблицу рязмер-
ности основных механических величин в технической системе единиц
(силт — F, длина — Z,, время — Т) и в физических системах единиц
(масса — Му длина — L, время — Т). Эта таблица такова:
Наименование
Длина
Время
Скорость
линейная
Скорость
угловая
Скорость
секторная ....
Ускорение . . .
Сила
Млсса
Момент силы . .
Работа
Мощность . . .
Физические системы
единица
(MKS)
1 м
1 сек
1 м сек~А
1 сек-1
1 м* сек-1
1 м сек-"1
1 кг сек-'1 =
= 1 я (ныо-
тон)
1 кг массы
1 н м
1 н м = 1 дж
(джоуль)
1 джсек~1 =
= 1 em (ватт)
единица
(CGS)
1 см
1 сек
1 см сек~{
1 сек"1
1 см2 сек-1
1 см сек~2
1 гсмсек~2=
= 1 дн (дина)
1 г массы
1 дн см
1 дн см =
= 1 э (эрг)
1 э сек~1

размерность
L
Τ
LT-1
Τ-1
m-1
LT-2
MLT-2
Μ
ML2'n
ML2 Τ-2
ML2T-'*
Техническая система
единица
1 м
1 сек
1 м сек-1
1 сек-1
1 м2 сек-1
1 м сек~2
1 кг силы
1 кг м-1 сек2
1 кг м
1 кг м
1 кг м сек~1

размерность
L
τ
LT-1
т-1
/2Т-1
LT-2
F
FL-П*
FL
FL
FLT-1

§ 121]
ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
73
§ 121. Третий закон Ньютона. Третий закон Ньютона дан им
в следующей формулировке:
Действию всегда есть равное и противоположное
противодействие, иначе: взаимодействия двух тел друг на друга между
собой равны и направлены в противоположные стороны.
Латинский текст закона следующий:
Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corpo-
rum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in paries
contrarias dirigi.
Как следует из пояснения, данного Ньютоном к этому закону,
третий закон касается случаев непосредственного механического
воздействия материальных точек друг на друга. Этот закон
распространяется также на силы тяготения и сил л электростатические. В законе
предполагается, что силы взаимодействия между материальными
точками распространяются
мгновенно. Но этот закон не касается
электродинамических сил, так как
эти силы направлены не по
прямой, соединяющей заряд с
источником магнитного поля, и
распространяются с конечной скоростью.
Таким образом, из третьего закона
следует, что механику Ньютона
на электромагнитные явления
распространить нельзя.
Рассмотрим два следующих
следствия, вытекающих из третьего
закона Ньютона. Пусть мы имеем
систему материальных частиц
А1, Ао, А<^ ... (черт. 253). Силы взаимодействия между отдельными
материальными частицами системы называются внутренними силами,
а все остальные силы — внешними. Согласно третьему закону Ньютона
каждые две силы, действующие между двумя любыми частицами
материальной системы, должны быть между собой по модулю равны и
направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, как,
например, силы F и —F, действующие между частицами А2 и Л3.
Следовательно, алгебраическая сумма проекций всех внутренних сил
материальной системы на какую-нибудь ось равна нулю, так как
сумма проекций каждых двух сил типа F и —F равна нулю. Вообще,,
если мы возьмём точку приведения О и перенесём в неё все
внутренние силы материальной системы, то результирующая их будет равна
нулю. Таким образом, мы приходим к положению:
Результирующая всех внутренних сил материальной системы
всегда равна нулю.
Найдём затем общий, или результирующий, момент всех
внутренних сил материальной системы. Для этого рассмотрим, например.
Черт. 253.

74 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ [ГЛ. XXVI
сумму моментов двух сил F и —F (черт. 253) материальной системы
относительно какой-нибудь точки О, а именно:
г, X F+ г2 X ( — /=·) = г, X F—га X F.
Но в статике мы видели, что момент силы не изменяется, если силу
перемещать вдоль прямой её действия (т. I, § 10). Поэтому должно
быть:
т. е.
Так как все впуфенние силы можно сгруппировать попарно по образцу
сил F и —Z7, то мы получаем:
Общий, или результирующий, момент всех внутренних сил
материальной системы всегда равен нулю.
Когда в элементарной статике мы рассматривали равновесие
абсолютно твёрдого тела, то мы обращали внимание лишь на внешние
силы, приложенные к абсолютно твёрдому телу, оставив без
рассмотрения внутренние силы взаимодействия между его материальными
частицами. Теперь ясно, что умолчание о внутренних силах было
вполне законно, так как уравнения равновесия абсолютно твёрдого
тела
F=0, M = 0,
имеющие место для результирующей внешних сил и для общего
момента внешних сил, ввиду только что изложенного не изменятся,
если учесть и все внутренние силы в абсолютно твёрдом теле.
Применяя принцип возможных перемещений к изучению р°внове-
сия абсолютно твёрдого тела, мы также исключали все внутренние
силы, так как мы видели (§ ПО), что элементарная работа всех
внутренних сил абсолютно твёрдого тела при произвольном
перемещении этого абсолютно твёрдого тела всегда равна нулю.
§ 122. Определение движения материальной точки по
заданной силе. Эта задача есть основная задача динамики точки. Так
как в классической механике, вообще, масса принимается за
постоянную, то в динамике точки и в динамике системы мы будем считать
массы постоянными. Однако и в классической механике бывают
случаи, когда приходится рассматривать переменные массы, например
при изучении реактивного движения. Такие случаи будут в курсе
специально отмечены, и им будет посвящен специальный раздел.
В соответствии с только что изложенным мы будем исходить из
уравнения (26.2), т. е.
m^=F. (26.5)

§ 122] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПО ЗАДАННОЙ СИЛЕ 75
Умножая обе части этого уравнения на dt, получим:
mdv = Fdt.
Возьмём от обеих частей этого равенства интеграл между
пределами /0 и t, причём примем, что при t=t0 будет v = v0) мы будем
иметь:
t
mv — mvo= I* Fdt. (26.6)
in
Интеграл от силы по времени, взятый за какой-нибудь промежуток
времени, измеряет механическую величину, которая называется
импульсом силы за этот промежуток времени. Импульс силы
характеризует действие силы на материальную точку за данный
промежуток времени. Поэтому формулу (26.6) можно истолковать
следующим образом:
Прирсщение количества движения материальной точки за
какой-либо промеэюуток времени равно действовавшему на точ/cv
импульсу силы за тот же промежуток времени.
Так как интеграл от векторной функции, стоящий в правой части
формулы (26.6), есть предел геометрической суммы бесконечного
множества бесконечно малых векторных слагаемых F Δ^, а модуль
суммы векторов должен быть меньше или самое большее равен
сумме модулей слагаемых (т. I, § б), то должно быть:
t
J Fdt
to
Если в промежутке от t0 до t будет F < TV, где N есть некоторое
постоянное число, то мы получим:
< I Fdt.
t
t t t
Fdt < f Fdt< JNdt=NJdt=N(t—to)i
t, i ίο t, t0
или
\mv — mvo\<N(t—to).
Следовательно, если t будет бесконечно близко к tOy то модуль
разности количеств движения материальной точки будет бесконечно
мал. Таким образом,
Конечная сила за бесконечно малое время может изменить
количество движения материальной точки лишь бесконечно мало.
Например, сила тяжести за бесконечно малое время изменяет
количество движения тяжёлой точки бесконечно мало. Сила, которая
за бесконечно малое время изменяет количество движения
материальной точки конечным образом, называется силой удара.

76 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ [ГЛ. XXV!
Так как v = — (т. I, § бб), то уравнению (26.5) можно придать вид
md^ = F. (26.7)
Если Ρ есть вес материальной точки, a g—ускорение свободного
ρ
падения, то т = — , и уравнение (26.7) можно представить в несколько
другом виде:
тХ=/Г; (26·8)
в технике формула (26.8) употребляется чаще предыдущей формулы.
Вводя прямоугольную систему Oxyz неподвижных осей координат,
будем иметь:
отсюда находим:
d2x у d2y у drz ~ ,~п Qv
или
!L*l£ = X9 £.*ξ£=Υ9 L^l^z. (26.10)
g dt- g dt- g dt- J
Если движение материальной точки будет плоским, то вместо трёх
уравнений будут иметь место лишь два уравнения, а если движение
материальной точки будет прямолинейным, то вместо трёх уравнений
мы будем иметь лишь одно уравнение. В случае свободной
материальной точки проекции Χ, Υ, Ζ силы суть функции от времени t>
от-координат х> у, ζ движущейся точки и от проекций -£-, -~, -^
at at at
её скорости; таким образом, в общем случая уравнения (26.9) имеют
вид:
-.<**■*_ v(*. „ .. ~. dx ЛУ d2'
d2y ,r(. dx dv dz
le=YV>x>y'z>-dt> -5F' -at
d-z ~ (. dx dv dz \
dt n (26Л1>
Следовательно, задача определения движения материальной точки
приводится математически к задаче интегрирования трёх совместных
уравнений (26.11) второго порядка. Из теории дифференциальных
уравнений известно, что общий интеграл системы трёх дифферен-

§ 1221
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ ПО ЗАДАННОЙ СИЛЕ
77
цияльных уравнений (26.11) должен содержать шесть произвольных
постоянных, т. е. иметь вид
у = /о(Ь С„ С2> С8, С4, С6, Сс),
Ζ = уд (/; C-j, С2, С^, С4, С^, Cgj,
(26.12)
где С1? С2, Со, С4, С5, С6 суть произвольные постоянные. Наличие
з интегралах шести произвольных постоянных можно объяснить и
опираясь на механику, а не обращаясь к математической теории
дифференциальных урявнений. В самом деле, во всякой задаче динамики
точки при разыскании движения материальной точки под действием
заданной силы мы можем выбирать произвольно начальное
положение и начальную скорость материальной точки, т. е. произвольно
задавать для начального момента t=tQ начальные координаты x^y^z^
и проекции \-тг) , (■^т) > \ϊϊ) начальной скорости материальной
точки; всё последующее движение материальной точки должно
определяться выбором этих шести начальных значений.
Из уравнений (26.12) и из тех уравнений, которые получим, взяв
производные по времени t от обеих частей формул (26.12), мы сможем
н?йти соответствующие данной частной задаче значения произвольных
постоянных. В самом деле, этим путём мы получаем для определения
шести произвольных постоянных Cj, C2, С3, С4, С5, Сб следующие
шесть уравнений:
/3 (А)» ^Ч»
V, Clf C2, Cs, С4, Сб, Со) = (^)о,
^0» Cv С2, С3, С4, Сб, C6) = ^-^-J
(26.13)
В шести уравнениях (26.13) прявые части известны; количество t0
также известно. Поэтому из этих шести уравнений и можно
определить шесть произвольных постоянных, причём во всякой правильно
поставленной и прявильно решённой механической задаче возможность,
хотя бы теоретическая, определения этих шести произвольных
постоянных из нести уравнений (26.13) будет обеспечена.
Конечно, в случае движения материяльной точки в плоскости,
когда три ур°внения (26.11) сводятся к двум, из шести
произвольных постоянных остаются только четыре; при движении материальной

78
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ [ГЛ. XXVI
точки по прямой линии, когда три уравнения (26.11) приводятся
к одному, число произвольных постоянных снижается до двух.
-~τ, -^-,
удовлетворяюВсякое уравнение между /, х, у, ζ,
щееся в силу уравнений (26.11), имеющее место при любых
начальных значениях времени t и содержащее произвольное постоянное,
называется первым интегралом системы дифференциальных
уравнений динамики точки. Решая первый интеграл относительно
произвольного постоянного, можно привести этот интеграл к виду
dt
dt
(26.14)
Заметим, что при решении уравнений (26.11) полезно определять
значение произвольного постоянного немедленно, как только получилось это
произвольное постоянное, если начальные значения переменных из
условий задачи известны, а не находить сначала интегралы в виде (26.12),
а затем определять произвольные постоянные из уравнений (26.13).
Идя первым путём, обыкновенно удаётся значительно облегчить
вычисления.
Уравнению (26.6) можно дать следующее геометрическое
истолкование. Из произвольной точки О пространства построил! вектор
mvQ = О А и вектор την = OB (черт. 254);
β тогда согласно формуле (26.6) будет:
I Fat
= АВ.
Так как для сил имеет место равенство
F=F1-\-F2, то и для импульсов сил за
любой один и тот же промежуток времени
будет иметь место равенство
t t t
[ Ft dt+ J F2dt= J Fdt\ (26.15)
Черт. 254. так как дЛЯ сил Имеет место закон
независимости действия сил, то и для
импульсов сил за любой промежуток времени также должен иметь
место закон независимости действия импульсов. Следовательно, импульс
силы за любой промежуток времени имеет величину, направление,
и к нему применимо правило геометрического сложения, т. е. этот
импульс есть вектор.
Будем теперь неограниченно приближать момент t к моменту /q>
увеличивая вместе с тем модуль силы F так, чтобы импульс силы

ξ 123] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ ПО ЗАДАННОМУ ДВИЖЕНИЮ ТОЧКИ 79
был конечным, т. е. чтобы было:
t
= /, (26.16)
где / конечно.
Бесконечно большая сала, имеющая за бесконечно малый
промежуток времени конечный импульс, называется силой удара.
Импульс / такой силы называется мгновенным импульсом или
чате просто импульсом. Формула (26.6), т. е.
mv— mvo = I, (26.17)
и здесь имеет место, только в этом случае в момент удара имеет
место разрыв значений скорости, так что v0 есть скорость
непосредственно перед моментом уд^ра, a ν есть скорость непосредственно
после момента удара. Если ν0 = О, то будет:
mv = I. (26.18)
Из этой формулы следует, что количество движения равно импульсу;
количество mv также называют часто импульсом, что
предпочтительнее названия «количество движения», так как при этом не
теряется векторный смысл этого количества.
Так как импульсы / суть векторы, то два импульса /а и /2,
приложенные к одной и той же материальной точке, можно заменить
импульсом /, где / = /х —[~ ^2· Обозначая скорости материальной точки
с массой т, получаемые ею отдельно от этих импульсов,
соответственно через ν, νλ и^2 в силу формулы (26.18) и формулы сложения
импульсов, получим:
mv = тъг-\-ту*,
или
Следовательно, если на материальную точку одновременно
подействуют двп импульса ϊλ и /2, дающих при раздельном действии этой
точке скорости νλ и ν^, то материальная точка получит при этом
скорость ν, представляющую геометрическую сумму скоростей *ох и щ
(т. I, § 66).
§ 123. Определение силы по заданному движению
материальной точки. Задача нахождения силы по заданному движению
материальной точки является очень простой; причина этого лежит в том,
что для решения её достаточно только выполнить дифференцирование.
В самом деле, пусть движение материальной точки задано урав-
нениями:

80 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ [ГЛ.
Вставляя эти выражения для переменных в левые части формул (26.9),
мы получим проекции Χ, Υ, Ζ той силы, которая производит данное
движение материальной точки, в виде
Очевидно, что, принимая во внимание заданные уравнения лг=/1(^))
y=/2(Y), 2-==/8(/), можно придать правым частям выражений для
проекций силы различный вид; можно, например, заменить в них
время t через координаты л:, у, ζ. Таким образом, задача
определения вида силы по данному движению не решается однозначно.
Иногда приходится иметь дело с задачей такого рода. На
материальную точку с массой т действует сила F' с проекциями Х\
Y'y Z'\ найти, какую силу F" {Χ", Υ", Ζ") следует присоединить
к силе F'\ чтобы материальная точка получила заданное движение:
x=f1(t), y=f^(t)1 2=/s(/)· Так как должно быть:
d^x vr ι vr/ d~y у*, ι τ*η d-z
то отсюда получаем:
Χ" = mfi (/) _ Χ', Υ" = mfl (t) - Г, Ζ" = mfl (ή - Ζ'.
Отметим следующий случай. Пусть материальная точка с массой
т движется вдоль прямой линии, которую мы примем за ось Ох,
причём координата χ точки определяется уравнением
, rj, ^ d2x
где а, 0, с суть постоянные. 1ак как будет — =д, то из
уравнения (26.9) мы получим:
Х=та, F = 0, Z = 0.
Следовательно, рассматриваемое движение происходит под действием
постоянной силы, направленной по оси Олг, с проекцией та на ось Ох.
§ 124. Примеры. 91. Составить дифференциальное уравнение
прямолинейного движения материальной точки под действием силы притяжения
к неподвижному центру, модуль кото-
П F т ν Р°" ПРЯМО пропорционален произведению
^ « . ι массы материальной точки на расстоя-
u X м ние этой точки от притягивающегося
центра, расположенного на прямолиней-
Чсот. 255. ной траектории точки. Обозначим не-
к ' ' подвижный центр через О и примем
прямую, вдоль которой движется
материальная точка, за ось Ох (черт. 255). Тогда для проекции силы притяжения,
действующей на точку с массой т, мы должны иметь Х = — mk2x. Если
абсцисса χ материальной точки будет положительной, как это изображено
на черп'же, то проекция А' силы будет отрицательной; если же абсцисса χ

ПРИМЕРЫ
81
материальной точки будет отрицательной, то проекция X силы притяжения
к центру О будет положительной. Таким образом, формула X = — mk-x для
проекции силы притяжения к центру О будет иметь место всегда, каков бы
ни был знак абсциссы х. Согласно таблице § 120 размерность силы в
физических единицах есть MLT-2; но размерность произведения тх есть ML,
поэтому размерность k2 есть Т~2, т. е. размерность множителя k есть Т~1.
Применяя первую из формул (26.9), мы
получим следующее дифференциальное урав- ,, *
нение движения материальной точки: " ^ |
или
= — rnk2x7
"По \ к л υ·
Черт. 256.
92. Составить дифференциальные
уравнения плоского движения материальной
точки под действием силы притяжения к
неподвижному центру, модуль которой прямо
пропорционален произведению массы
материальной точки на расстояние этой точки от притягивающего центра,
расположенного в плоскости движения материальной точки. Обозначим
неподвижный цонтр через О и примем его за начало неподвижной системы Оху
прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости движения материальной
точки (черт. 256). Если m есть масса материальной точки, г — расстояние от
точки О до этой точки и k2 — множитель пропорциональности, то модуль
силы притяжения будет равен mk2r. Для проектирования этой силы на оси Ох
и Оу достаточно спроектировать на эти оси радиус-вектор г материальной
точки, что приводит к количествам χ и у.
Таким образом, проекции силы
притяжения к центру О равны X = — mk2x и 2
Y= — mk2y. Отсюда из первых двух
уравнений (26.9) мы получим:
Ю-Т7Т =
или
= 0,
0.
93. Составить дифференциальные
уравнения движения материальной точки
с массой гп, притягивающейся по закону
всемирного тяготения к неподвижной
материальной точке с массой М.
Примем положение О неподвижной
материальной точки за начало системы Oxyz неподвижных прямоугольных осей
координат (черт. 257). Из формулы (26.4) для модуля силы притяжения мате-
Черт. 257.
риальной точки m и материальной точки Μ мы находим k ^j-, где
размерность множителя пропорциональности k можно найти из следующих
соображений. Так как размерность силы в физических единицах есть MLT~2, а
размерность количества —^- есть М2/.-2, то размерность множителя k есть
Т-*. Обозначая углы радиуса-вектора г материальной точки с осями
6 Зак. 4S7. А. И

82 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ [ГЛ. XXVI
координат через α, β, γ, имеем:
х η У ζ
cos а = — , cos S = — , cos γ = —.
Так как сила притяжения направлена противоположно радиусу-вектору г,
χ ν ζ
то косинусы ее углов с осями координат равны , — —, .
Поэтому проекции притяжения на оси координат будут:
Г2 Г ' ~~ /'- Г ' ~ Г2 Г '
Применяя уравнения (26.9), получим:
d2x __ тМ χ d2y __ ///Λ13/ d2z __ mAi 2
dt- r2 r dV- r2 r dt1 r- r
или
где
94. Найти силу, дающую материальной точке с массой т плоское
движение, определяемое формулами:
χ = a COS (Λ/ + ε), з/ = b sin (&/ + ε),
где a, b, k и ε суть постоянные. Известно, что траекторией этой точки будет
эллипс (т. I, § 64):
2^
Составляя вторые производные по времени t от координат л:, у движущейся
материальной точки и вставляя их в две первые из формул (26.9), получим:
X = — mk2a cos (kt + ε), Υ = — /я£2я sin (Arf + ε).
Но проекциям X и У силы можно дать и другое выражение, если
воспользоваться формулами для координат χ и у. В самом деле, легко видеть, что
мы имеем также:
X = — mk2x, У= — mk*y;
отсюда для модуля силы F находим:
F =
Для углов α и β силы F с осями координат мы получим:
Χ χ Υ у
COS а = — = , COS β = —- = ~ — ,
т. е. сила Ζ7 направлена к началу координат (см. пример 92).
95. Найти, под влиянием какой дополнительной силы тяжёлая
материальная точка с весом mg может двигаться вдоль оси Oz, направленной
вертикально вверх, по закону

с 124] примеры 83
где С и k суть постоянные. Обозначая проекцию дополнительной силы на
ось Oz через Z, мы из третьего уравнения (26.9) получим;
Составляя вторую производную от ζ по t, будем иметь:
dt~
следовательно, будет:
Ζ = mg — mge~kt = mg (1 — e~kt).
Легко видеть, что проекции Ζ дополнительной силы можно придать ещё
другой вид. Обозначая проекцию — скорости через ν, мы найдём:
отсюда получаем:
ge~kt._ h
Следовательно, для дополнительной силы Ζ мы находим:
Ζ = mg — mkv — mg = — mkv.
Таким образом, дополнительную силу можно взять пропорциональной первой
степени скорости, причём знак минус показывает, что эта сила должна быть
направлена противоположно скорости. По такому закону действует сила
сопротивления, например, воздуха при медленном падении в воздухе лёгких
маленьких частиц.
96. Определить, с какой постоянной скоростью тяжёлая точка с
весом Ρ может падать в воздухе, предполагая, что сопротивление воздуха
пропорционально квадрату скорости падающей тяжёлой точки. Обозначим
искомую постоянную скорость через ν^ тогда сопротивление воздуха при
постоянной скорости падения этой точки будет равно cv\ где с есть постоянный
для данной тяжёлой точки множитель пропорциональности. Возьмём начало
координат на прямолинейной траектории точки и направим ось Oz
вертикально вниз; тогда уравнение движения этой точки будет:
τ dz л d2z Λ
1ак как ~r::=vk есть постоянное, то должно быть -— = 0, и мы получим:
0 = P — cv%
т. е.
скорость v^ называется критической или предельной скоростью.

I'Л ABA XXVII.
ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
§ 125. Интеграл количества движения. При некоторых, хотя
и частных, но вяжных и часто встречающихся типах сил уравнения
(26.11) имеют первые интегралы. Знание первых интегралов имеет
большое значение при интегрировании дифференциальных уравнений
движения материальной точки, так как, заменяя дифференциальное
уравнение первым интегралом, мы тем самым понижаем порядок
системы дифференциальных уравнений.
В § 120 был определён вектор количества движения
материальной точки как произведение mv вектора скорости ν точки на её
массу т. Отнесём движение точки к неподвижной системе координат
Oxyz) так кпк
то проекции вектора mv количества движения материальной точки
на оси Oxyz будут:
dx dy dz
"ιΈ> mlt> mTf
Предположим, что сила, действующая на материальную точку, такова,
что проекция этой силы на какую-нибудь неподвижную прямую
всегда равна нулю. Примем эту прямую за ось Ох. В этом случае
первое из уравнений (26.11) принимает вид
»£-·■
Отсюда непосредственно получается:
/ю^ = const. (27.1)
Таким образом, мы приходим к предложению, носящему название
интеграла количества движения, а именно:
Если проекция силы на какую-нибудь неподвижную ось
постоянно равна нулю, то проекция количества движения мате-
риальной точки на эту ось постоянна.

ζ 1251 ИНТЕГРАЛ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 85
Предположим, далее, что сила остаётся постоянно параллельной
какой-нибудь неподвижной прямой; примем эту прямую за ось Οζ.
Тогда будет <Y=0, Y = 0> и уравнения движения материальной
точки будут иметь два интеграла количества движения:
dx „ dy ~
m C rn c
где Сх и С2—произвольные постоянные. Разделив второе уравнение
на первое и обозначив через k отношение С^:Сг произвольных
постоянных, получим:
dt
или
dy , dx
Отсюда, интегрируя, будем иметь:
у z= kx-\-b,
где b есть второе произвольное постоянное. Это есть уравнение
плоскости, параллельной оси Οζ; следом этой плоскости на плоскости
Оху служит прямая у = kx -(- b. Так как координаты движущейся
материальной точки удовлетворяют уравнению этой плоскости, то
траекторией точки является плоская линия, расположенная в
плоскости, параллельной силе. Отсюда следует, что траектория
материальной точки, находящейся под действием одной только силы
тяжести, всегда расположена в вертикальной плоскости.
Только что выведенное положение можно обобщить.
Предположим, что на материальную точку с массой т, кроме силы F,
постоянной по направлению, действует ещё сила сопротивления /?,
направление которой противоположно направлению скорости ν точки.
Возьмём систему неподвижных прямоугольных осей координат Oxyz
так, чтобы ось Οζ была параллельна силе F. Так как косинусы угло!
вектора скорости ν материальной точки с осями координат
соответственно равны:
vx I dx vy 1 dy vz 1 dz
ν ν dt' ν ν dty ν ' ν dt '
то два nbpEbix из трёх уравнений (26.11) будут иметь вил
т d2x d l dx ... а2У ρ 1 dy

86 ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ [ГЛ. χχνΐ,
Умножая второе из этих уравнений на -^-, первое — на гт и
вычитая почленно результаты, получим:
d2y dx d2x dv n
mdWdt~mW~dt—O>
или несколько иначе:
d2y dx d2x dy
Щ =0·
\dt)
Но это равенство можно представить в виде
dt\ dx ' *
\dt,
Интегрируя, будем иметь:
dy
dt , dy , dx
~d7=k> или Tt=klt>
dt
и далее:
где k и b — произвольные постоянные. Последнее урлвнение есть
уравнение плоскости, параллельной оси Oz и пересекающей
плоскость Оху по прямой y = kx-\-b. Так как χ и у суть координаты
движущейся материальной точки, то отсюда следует, что траектория
этой точки есть плоская кривая, плоскость которой параллельна
силе F. Ниже это положение будет использовано в случаях
движения тяжёлой точки при наличии сопротивления среды, в которой
тяжёлая точка движется.
Примем плоскость, в которой движется тяжёлая точка, за
плоскость Оху, где ось Ох направлена горизонтально, а ось Оу —
вертикально вверх. Так как сила тяжести этой материальной точки
всегда перпендикулярна к оси Ох, то мы имеем относительно этой
оси интеграл количества движения:
где С есть произвольное постоянное. Если начальная скорость
рассматриваемой точки Vq образует угол α с осью Ох, то для
начального момента будет:
fnv0 cos α = С;

§ 126] ИНТЕГРАЛ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 87
отсюда мы получим:
~dt
dx
7/7 = vo cos d.
Интегрируя и предполагая, что в момент t=0 движущаяся точка
выходит из начала координат, мы будем иметь:
х = v0 cos at.
Таким образом, проекция на горизонтальную ось движущейся
тяжёлой точки перемещается равномерным движением с постоянной
скоростью v0cosol.
§ 126. Интеграл момента количества движения; интеграл
площадей. Возьмём уравнение движения (26.5) материальной точки, а
именно:
dv «
mlt:==F'
умножая обе части этого уравнения спереди векторно на г, мы
получим:
В правой части последнего равенства находится момент Μ силы F
относительно начала координат, а левую часть последнего равенства
можно представить в несколько ином виде; в самом деле, мы имеем:
-jt (г χ mv) = ^Xmv-\-ryim-^ = vχmv-}-гXт~~.
Вследствие параллельности векторов ν и mv будет v>(rnv = 0} и
мы получим:
dv d ,
т. е. произведение г/\т~т: равно производной по времени от
момента количества движения материальной точки относительно начал)
координат. Таким образом, мы получаем:
^(rX mv) = r XF=M. (27/2)
Уравнение (27.2) можно выразить следующим образом:
Производная по времени от момента количества движения
материальной точки относительно неподвижного центра равнл
моменту относительно того же центра той силы} под влиянием
которой движется материальная точка,

88 ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ [ГЛ. XXVII
В координатном виде (т. I, § 13) момент количества движения
материальной точки будет равен:
г j k
.ν
dx dv dz
m It m It '" Tt
dz dy \ , . / dx dz , ,
dy
dx
Так как мы имеем:
\i J k
W = r X F = j χ у ζ
! Лг Υ Ζ
-ζΥ) -\-j(zX— χΖ) + k (xY —\*Χ),
то из уравнения (27.2) получим три следующих уравнения:
dx dz\
zTt~~x )
dy
T-y
d \
71 [т
(27.3)
Из урявнений (27.3) следует, что если, например, момент силы
относительно оси Ог равен нулю, т. е. если имеет место равенство
xY—уХ=0, то будет:
d \ f dv
[m[xtv
,27.4)
Этот первый интеграл называется интегралом момента количества
движения', словесно его можно выразить следующим образом:
Если момент силы, действующей на материальную точку,
относительно какой-либо неподвижной оси постоянно равен нулю,
то момент количества движения материальной точки
относительно ьтой оси постоянен.
Предположим, что на материальную точку действует
центральная сила, т. е. такая сила, линия действия которой всегда проходит
через одну и ту неподвижную точку; эта неподвижная точка
называется центром силы. Приняв центр силы за начаю координат, ми
иметь rxF=0, т. е. получим:
г X wv --- const, (27.5ν)

С 126) ИНТЕГРАЛ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 89
|\1К- как вектор, представляющий векторное произведение г χ mvf
перпендикулярен к плоскости, проходящей через векторы г и ν, и
постоянен в силу рявенства (27.5) по модулю и направлению, то
отсюда следует, что плоскость, проходящая через векторы гиг/,
занимает неподвижное положение в пространстве, т. е. иод
воздействием центрлльной силы материальная точка описывает плоскую
траекторию, плоскость которой проходит через центр силы. Сверх
только что изложенного геометрического доказательства это
предложение легко доказать и аналитически. В самом деле, если сила всегда
проходит через начало О координат, то моменты этой силы
относительно осей координат Ох, Оу и О ζ будут всегда равны нулю;
поэтому из уравнений (27.3) мы получим три интеграла моментов
количества движения относительно всех трёх осей:
dz
Tt-z
dx
Tt-x
dy dx
xT-y-
(27.6)
где Cv СБ, С6 — произвольные постоянные. Умножая первое из
уравнений (27.6) на х, второе — на у, третье — на г и складывая
результаты, получим:
т. с. координаты (л*, у, ζ) движущейся точки должны удовлетворять
уравнению плоскости, проходящей через начало координат. Таким
образом, и геометрически, и аналитически мы приходим к
следующему предложению:
Траектория материальной точки, движущейся под влиянием
центральной силы, есть плоская линия, расположенная в
плоскости, проходящей через центр силы.
Если сверх интегралов (27.6) имеются ещё три интеграла
количества движения:
dx >-, dy ,ο dz ГЛ
m It = ϊ' mlt==z 2' m ~di ~ 3'
то, выполняя умножения и сложения, легко найдём, что будет:
Следовательно, из шести постоянных Cv С2, С,, Ср С-, С6 ироим-
польными являются лишь пять постоянных, а шестое загшеит от этих
пяти постоянных, и из шести первых интегралом независимыми
являются лишь пять интегралов.
Предположим, что мы имеем материальную точку, движущуюся
пол действием центральной силы. Так как траектория точки должна

90 ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ [ГЛ.
быть плоской линией, то мы примем плоскость траектории за
плоскость Оху, поместив начало координат О в центре сил. Тогда из
трёх уравнений (27.6), так как всегда ζ = 0, остаётся лишь одно
третье:
Вводя полярные координаты движущейся материальной точки по
формулам „v = /*cosO, y = rs\nb, мы получим (т. I, § 68):
= const. (27.7)
тг
Отсюда следует:
т. е. секторная скорость (т. I, § 68) постоянна. Следовательно,
Материальная точка, движущаяся под действием
центральной силы, описывает плоскую траекторию таким образом, что
секторная скорость точки остаётся постоянной.
Так как секторная скорость связана с площадью, описываемой
радиусом-вектором (т. I, § 68), то интеграл момента количества
движения называется ещё интегралом площадей. Так как все планеты
движутся вокруг Солнца под действием силы, подчиняющейся закону
всемирного тяготения, т. е. под действием центральной силы, то всё
только что изложенное относится и к движению планет; закон
постоянства секторной скорости есть не что иное, как другая
формулировка закона Кеплера: радиус-вектор планеты в равные времена
описывает равные площади. Этот закон открыт Кеплером путём
длительного анализа наблюдений движения планет.
Предложение о постоянстве секторной скорости материальной
точки при движении под действием центральной силы можно
доказать ещё иначе. Ранее (т. I, § 71) мы видели, что в случае плоского
движения материальной точки проекция w§ её ускорения w на
перпендикуляр к радиусу-вектору равна:
1 d ( о d6s
Так как сила F, действующая на материальную точку, по
предположению, есть центральная сила, то её проекция F(i на перпендикуляр
к радиусу-вектору равна нулю. Следовательно, уравнение движения
материальной точки
F
приводится к уравнению
т d ( о db\

§ 127] ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ 91
т. е.
/~тг = const.
Таким образом, мы вновь получили интеграл секторной скорости, или
интеграл площадей.
§ 127. Интеграл энергии. Возьмём уравнение движения
материальной точки в виде (26.5), а именно:
умножая обе части этого равенства скалярно на г», мы получим:
Но мы имеем:
dv Id, ν 1 d , оч d (ν2
поэтому предыдущему равенству можно придать вид
_d_ / mv*\ _ F dr
dt \ 2 ) ~" dt ф
Выражение, стоящее в левой части последнего равенства в скобках,
измеряет величину, которая называется кинетической энергией
материальной точки и обыкновенно обозначается через Г, так что будет:
Τ=2ξ-. (27.8)
Кинетическая энергия материальной точки есть мера механического
движения материальной точки, характеризующая его способность
превращаться в эквивалентное количество другой формы движения.
Наряду с термином «кинетическая энергия» для обозначения того
же понятия также применяется термин «живая сила», введённый
и науку Лейбницем. Правда, Лейбниц живой силой называл
произведение тчР- без делителя 2. Такое определение живой силы встречается
и до сих пор у французских авторов, но его следует признать
неудачным, так как это определение влечёт за собой необходимость
при формулировании закона изменения кинетической энергии, или
живой силы, говорить о «половине живой силы».
Кинетическая энергия, или живая сила, материальной точки
измеряется половиной произведения массы точки на квадрат сё
скорости,

92 ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ. УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ [ГЛ. XXVII
Очевидно, что кинетическая энергия —~— есть скаляр, тогда как
количество движения mv — вектор. Так как будет:
Ρ dr у dx у dy . у dz_
~dt"~ It"~ϊ~ ~dt ' ~df'
то из полученного выше равенства имеем:
d ί mv1 ч у dx ^, ,, dy [_ у dz
пли
dT=Xdx±Ydy + Zdz. (27.9)
Выражение, стоящее в правой части формулы (27.9), представляет
элементарную работу силы; поэтому формулу (27.9) можно
истолковать следующим образом:
Дифференциал кинетической энергии материальной точки
равен элементарной работе равнодействующей приложенных к
материальной точке сил.
Предположим, что существует такая функция £/(лг, у, ζ) только
одних координат лг, у, ζ материальной точки, что будет:
такая функция U(x> у, ζ) называется силовой функцией. При
наличии силовой функции выражение для элементарной работы силы
принимает вид полного дифференциала:
и формулу (27.9) можно будет представить в виде
dT = dU.
Интегрируя это выр 1жение, получим:
T=U+h, (27.11)
где h есть произвольное постоянное. Вместо функции U часа о вводят
функцию V, отличающуюся от функции U знаком; тогда будет:
у dV у dV ? dV (i?7 19.
Функция V называется потенциальной функцией и измеряет так
называемую потенциальную энергию материальной точки. Так как
ρ случае применения потенциальной функции мы имеем:
X dx -γ Υ dy J^Zd2 = ~jf dx — ^ dy — -^dz=—d\,

^ 1271 интеграл энергии 93
то формулу (27.9) можно представить в виде
или
T+V=h% (27.13)
где h есть произвольное постоянное. Заметим, что по формулам (27.10)
и (27.12) силовая и потенциальная функции определены лишь с
точностью до произвольного постоянного. Интеграл (27.11), или, что
то же самое, интеграл (27.13), называется интегралом энергии.
Так как функция Τ измеряет кинетическую энергию материальной
точки, а функция V измеряет потенциальную энергию материальной
точки, то интеграл энергии можно истолковать следующим образом:
Если сила, действующая на материальную точку, имеет
потенциальную или силовую функцию, то во всё время движения
материальной точки сумма механических кинетической и
потенциальной энергий материальной точки остаётся постоянной.
Это есть закон сохранения энергии, выведенный математически
для рассматриваемого здесь частного случая. Силы, имеющие силовую
или потенциальную функцию, называются консервативными (от
латинского слова conservare, что значит сохранять), так как при них
полностью сохраняется механическая энергия точки.
Интеграл энергии перестаёт иметь место, если потенциальной
функции не существует; однако, мы знаем, что закон сохранения
энергии есть закон всеобщий и имеет место при всяких силах.
Кажущееся противоречие устраняется тем, что при неконсервативных силах
приходится принимать во внимание и другие виды энергии, кроме
механической, например тепловую, электрическую и т. п., а эти виды
энергии не рассматриваются в теоретической механике, но учитываются
в физике. Например, в случае качания маятника при отсутствии
толчков, поддерживающих его колебания, сумма механических
кинетической и потенциальной энергий маятника непрерывно убывает, и
маятник, наконец, останавливается; однако, с точки зрения физики, энергия
при этом не убывает, но переходит, главным образом, в тепловую
энергию, которая не может быть учтена в теоретической механике.
Таким образом, из вышеизложенного видно, что в учении об энергии
классическая теоретическая механика оказывается более узкой, чем
физика.
Следовательно, должно заключить, что классическая теоретическая
механика, которой посвящен этот курс, не есть прикладняя
математика, которая может прилагаться безразлично к разнообразному
характеру вопросов как чистая математика. Классическая
теоретическая механика есть наука о природе, есть ветвь естествознания, и
потому она имеет силу лишь в тех областях, для познания которых
она создана (т. Ϊ, Введение).

94 ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ [ГЛ. Ххуц
§ 128. Силовая и потенциальная функции. В теоретической
механике чаще пользуются силовой функцией, а в физике
преимущественно пользуются потенциальной функцией. Так как
потенциальная функция отличается от силовой функции только знаком, то ниже
все рассуждения будут приведены лишь для силовой функции с
повторением в случае необходимости соответствующих результатов и
для потенциальной функции.
Если проекции Χ, Υ, Ζ силы заданы, то, для того чтобы сила
была консервативной, эти проекции должны быть функциями только
координат х, у, ζ материальной точки, и выражение Xdx-\- Ydy -\-Zdz
должно быть полным дифференциалом. Тогда силовую функцию
U(x, у, ζ) мы определим, интегрируя равенство
dU = X(x, у, z)dx+Y(x, у, z)dy + Z(x,y, z)dz.
Для консервативной силы работа А силы на конечном пути
(§ 107) не зависит ни от вида траектории, ни от закона движения
материальной точки по ней. В самом деле, из формулы (24.3) мы
имеем:
A j* (Xdx+Ydy + Zdz) = J dU=UB — UA\
(АВ) {АВ)
при пользовании потенциальной функцией мы получим:
A=VA—VB.
Таким образом, для консервативных сил работа силы на
любом пути равна разности значений силовой функции в
конечной и начальной точках пути.
Мы знаем, что вектор F силы равен:
если сила консервативная, то будет:
^. + A—·
Стоящее в правой части последнего равенства выражение определяет
операцию, с помощью которой из скалярной функции U(x, у, ζ)
получается векторное выражение, называемое градиентом функции
U(x9 у, z)\ градиент обозначается символом
4£f£. (27.14)
Таким образом, мы имеем:
F = gradU или F= — grad ΙΛ (27.15)
Рассмотрим какую-нибудь произвольную линию L и возьмём на
ней какую-нибудь точку А. Построим в этой точке вектор F силы

§ l28j СИЛОВАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИИ 95
и единичный вектор τ°, имеющий направление касательной к линии L
и точке А. Если х, у, ζ суть координаты точки А и ds есть
линейный элемент линии L, то будет:
Тпк как проекции единичного вектора τ° на оси координат равны
косинусам углов, образуемых касательной в точке А к линии L
с осями координат. Очевидно, что скалярное произведение F · τ°
равно проекции Γτ силы на касательную в точке А к линии L. Но
мы имеем:
ds ' ds
поэтому для консервативной силы будет:
F — ди dx | d^ dy . а6/ ate
τ <?λγ flf^ "i~ ^ rf5 ' ^<г ί/5 *
Так как вдоль линии L можно рассматривать количества χ, ν, ζ как
функции от длины дуги этой линии, то будет:
Λ =-57 или ^ = —57· (27.16)
Таким образом, мы приходим к положению:
Проекция консервативной силы на какое-нибудь направление
равна производной от силовой функции по этому направлению.
Формулы (27.16) представляют собой обобщение формул (27.10)
и (27.12).
Приравняем силовую функцию U(x, у, ζ) какому-нибудь
произвольному постоянному:
U(x, у, г) = С;
мы получим поверхность уровня. Поверхность
V{x,y, г) = С
есть поверхность равного потенциала. Очевидно, что семейство
поверхностей уровня совпадает с семейством поверхностей равного
потенциала. Рассмотрим элементарное перемещение точки dr, лежащее
в касательной плоскости к поверхности уровня U(x, yy z) = C\ мы
имеем:
dr = idx -\-jdy-\-kdz.
Составим скалярное произведение F · dr:
„ , dU , , dU . , dU . .Г7
F · dr — -τ— dx + -3— dv + -3— dz = dU.
дх ' ду - ' dz

9ϋ ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СНИЖЕНИЯ ТОЧКИ (ГЛ. χχν,,
Так как при любом перемещении dr вдоль поверхности U(x, у, £) = £
должно быть dU = Q, то мы получаем F-dr = 0. Таким образом
мы приходим к положению:
Консервативная сила всегда направлена по нормали к поверх*
ности уровня, проходящей через точку приложения силы.
Очевидно, что такое же предложение имеет место и для
поверхностей равного потенциала V{x, у, z) = C, которые совпадают с
поверхностями уровня.
Применяя первую формулу (27.16) к нормали η к поверхности
уровня U(x, у, z) = C, мы получим:
Ρη = ψ-, (27.17)
on }
причём мы нидели, что сила F направлена по нормали к поверхности
уровня, так что количество Fn с точностью
£ до знака равно модулю F силы F.
Рассмотрим какую-нибудь поверхность
уровня Σ (черт. 258) и элемент нормали к ней,
идущий от точки / к точке 2. Мы имеем:
дп
Если будет (72>(71, то мы получим, что
Черт. 258. Fn > 0, т. е. приходим к следующему
предложению:
Консервативная сила всегда направлена по нормали к
поверхности уровня в сторону возрастания силовой функции.
Так как будет:
уЛ
an'
то мы заключаем, что та же самая сила направлена в сторону
убывания потенциальной функции.
Мы знаем, что уравнения равновесия материальной точки таковы:
т. е. в случае консервативной силы:
дх ~~Ό> ду ~~ ' ~дГ
или
дУ -0 дУ -0 дУ
Таким образом, в случае консервативной силы положения равновесия
материальной точки соответствуют экстремальным значениям силовой
и потенциальной функций. Предположим, что в точке Μ силовая

§ 129J ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛОВОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИЛ
97
Черт. 259.
функция U(x, у, ζ) имеет максимум (черт. 259); тогда материальная
точка в точке Μ будет находиться в положении устойчивого
равновесия. В самом деле, во всех соседних точках, достаточно близких
к точке М, значения функции U будут меньше значения этой
функции в точке М, где количество U имеет максимум, и потому
согласно вышеизложенному силы будут
направлены по нормалям к поверхностям уровня,
окружающим точку М, внутрь, т. е. к точке М.
Следовательно, если мы выведем материальную
точку из положения М, то сила будет
возвращать материальную точку в точку М. Отсюда
мы заключаем, что
Максимальные значения силовой функции
соответствуют положениям устойчивого
равновесия материальной точки.
Это предложение есть частный случай общей теоремы,
принадлежащей Лежен-Дирихле. Очевидно, что при пользовании
потенциальной функцией для положений устойчивого равновесия надлежит
разыскивать наименьшие значения потенциальной функции.
§ 129. Определение силовой функции для некоторых сил.
Хотя консервативные силы и составляют совершенно частный вид
сил, тем не менее они имеют важное значение, так как многие силы
природы суть консервативные силы. В этом параграфе будут
рассмотрены важнейшие из таких сил.
Построим такую систему Oxyz прямоугольных осей координат,
чтобы ось Oz была направлена вертикально вверх, а оси Ох и Оу
были расположены в горизонтальной плоскости. Тогда проекции веса
mg материальной точки с массой т на эти оси будут равны:
следовательно, выражение
Xdx+Ydy~{-Zdz = — mgdz
есть полный дифференциал, т. е. сила тяжести есть сила
консервативная. Отсюда для силовой функции U и потенциальной функции V
мы имеем:
dU = —mgdz, dV= -\-mgdz,
или
U = — mgz-\- const, v==Jr mgz-]-const. (27.18)
Рассмотрим две горизонтальные плоскости, определяемые уравнениями
ζ = ζΑπ ζ = ζΒ, где ζΒ >£л. Согласно указаниям § 128 работа А
силы тяжести вдоль любой кривой, соединяющей любую точку
7 Зак. 487. А. И. Некрасов

98 ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ [ГЛ. XXVII
одной плоскости z = zB с любой точкой другой плоскости z = zA,
будет равна:
А = UA — UB = — mgzA + mgzB = mg (zB — zA).
Обозначая через h расстояние между обеими плоскостями, получим
формулу А = mgh, согласную с формулой (24.4). Если бы ось Oz
была направлена вертикально вниз, то было бы:
U = mgz + const, V = — mgz + const.
Рассмотрим затем силу притяжения к неподвижному центру, прямо
пропорциональную произведению массы т притягиваемой точки на
расстояние г этой точки от притягивающего центра. Примем
положение притягивающего центра за начало О прямоугольной системы
Oxyz осей координат. Обозначая через k2 множитель
пропорциональности, как и в примере 92 § 124, мы найдём, что проекции
рассматриваемой силы притяжения будут:
ΛΓ= — ι
отсюда имеем:
X dx -j- Υ dy ·\· Ζ dz = —mk2 (x dx -\-y dy-\-z dz).
Мы видим, что правая часть есть полный дифференциал, т. е.
рассматриваемая сила есть сила консервативная. Для силовой функции U
и потенциальной функции V мы находим:
rft/= —
Отсюда получаем:
U = — -^-r2-f const, l/= + -^^ + const. (27.19)
Чтобы найти проекцию Fr этой силы на радиус-вектор, достаточно
обратиться к формуле (27.16), откуда будем иметь:
Мы видим, что проекция имеет знак минус, т. е. сила направлена
противоположно радиусу-вектору, как это и должно быть. Если

§ 129J ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛОВОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИЛ 99
движение точки т может совершаться только вдоль оси Ох, то
будет:
u^i ^ t. (27.20)
Примером таких сил является, например, сила упругости, которая
стремится вернуть точку т в её положение равновесия О и величина
которой определяется по закону Гука.
Рассмотрим ещё случай ньютоновского притяжения. Предположим,
что в начале координат находится неподвижная точка с массой Ж,
а в какой-нибудь точке с координатами (л:, у, ζ) — притягиваемая
точка с массой т\ как мы знаем, модуль силы F ньютоновского
притяжения точки т к точке Μ равен:
, тМ
*—·
В примере 93 в § 124 мы видели, что проекции этой силы на оси
координат равны:
У , тМ χ γ , тМ у „ , тМ ζ
г2 г ' г2 г ' ή г
Отсюда мы имеем:
Дифференцируя равенство г2 = x2-[-y2-\-z2, получим:
г dr ·= χ dx -\~ у dy -\- z dz\
следовательно,
Xdx-\-Ydy -\-Z dz = — kmM — ,
т. е. сила ньютоновского притяжения есть сила консервативная.
Отсюда для силовой функции U и для потенциальной функции V мы
получаем:
dr *т/ ι . и dr
или
U = + * i^L + const, l/= —&J^ + const. (27.21)
Для проекции Fr этой силы F на радиус-вектор мы, как и в
предыдущем примере, по формуле (27.16) будем иметь:
F — dU — и тМ -
знак минус показывает, что сила притяжения направлена
противоположно радиусу-вектору, как это и должно быть.
7*

100 ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ [ГЛ. XXVII
Так как в электростатике закон Кулона для сил взаимодействия
электрических зарядов имеет такое же выражение, как и закон для
силы ньютоновского притяжения, причём для отталкивательной силы
следует только знак при проекциях силы изменить на обратный, то
силы притяжения и отталкивания в электростатике тякже суть силы
консервативные. Для потенциала V этих сил притяжения и
отталкивания мы будем иметь:
ι/ QoQ
V ~ -+■ 4π/-ε '
где Qo есть заряд в начале координат, Q есть заряд в точке с
координатами (л:, у, г)у количество ε есть диэлектрическая проницаемость
среды, в которой действует электрическая сила; r=Yx2-\-y2-\-z2;
знак минус соответствует силе притяжения, а знак плюс — силе
отталкивания.
Так как силы трения зависят от скорости движущейся
материальной точки, то силы трения не будут консервативными силами.
§ 130. Примеры. 97. Тяжёлая точка с весом mg начинает своё движение
из состояния покоя с высоты Η над поверхностью земли; требуется составить
интеграл энергии для этого движения и изучить этот интеграл. Примем
прямую, вдоль которой движется тяжёлая точка, за ось Οζ, причём начало
координат О поместим у поверхности земли, и за положительное направление
оси Ог примем направление вверх. Тогда для кинетической энергии Г
тяжёлой точки и для потенциальной функции V (27.18) мы будем иметь:
Отсюда мы получим интеграл энергии
mv2
Обозначим скорость у поверхности земли при 2=0 через щ, так как дано,
что при г = Η будет ν = 0, то можно написать:
Из этих равенств видно, что сначала, при ζ = Я, вся энергия тяжёлой точки
приводится к одной потенциальной энергии; при падении точки её
потенциальная энергия уменьшается, за счёт чего увеличивается её кинетическая
энергия; наконец, у поверхности земли потенциальная энергия обращается
в нуль, а кинетическая энергия точки достигает наибольшего значения. Из
предыдущих равенств легко получим:
vo=Y 2gH, ν =
98. Найти движение материальной точки с массой т вдоль прямой линии
под влиянием притяжения к неподвижному центру, лежащему на этой прямой;
дано, что сила притяжения пропорциональна произведению массы точки на
её расстояние от неподвижного центра. Обозначим неподвижный центр
через О и примем прямую, вдоль которой движется материальная точка, зг

§ 130] примеры 101
ось Ох. Тогда для кинетической энергии Τ материальной точки и для её
потенциальной энергии V (27.20) мы будем иметь:
Г Kx2+ const.
Отсюда получаем интеграл энергии
2 ' 2 л -
Полагая, что при χ = а будет ν = 0, найдём:
или
Решая это уравнение относительно модуля ν скорости материальной точки,
находим:
Из этого равенства вицно, что наибольшее значение модуля скорости равно
ka при лг = О, а наименьшее — равно нулю при χ = а. Так как материальная
точка движется по оси Ох, то будет v2z=\~jtj > и мы получим:
или
Если с возрастанием времени t абсцисса χ материальной точки возрастает, то
в правой части следует взять знак плюс; для тех же этапов движения
материальной точки, когда с возрастанием времени t абсцисса χ убывает,
следует в правой части взять знак минус. Мы видим, что при движении
материальная точка не выходит за пределы отрезка (— а, + а), в середине
которого расположен притягивающий центр.
99. В вертикальной плоскости, в которой происходит движение тяжёлой
точки с весом mg, построена прямоугольная система координат Оху* причём
ось Ох горизонтальна, а ось Оу направлена вертикально вверх. Дано, что
в начальный момент I = 0 тяжёлая точка находится в начале координат О
и имеет скорость Vq, образующую угол α с осью Ох, где -у>а>0.
Составить интеграл энергии для этого движения и вывести, пользуясь им,
уравнения движения тяжёлой точки. Для кинетической энергии Τ этой точки и для
силовой функции U (27.18) мы имеем:
[Ы+№Л U n«y+con*.
Отсюда находим интеграл энергии
m

102 ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ [ГЛ. XXVII
Чтобы определить произвольное постоянное h, заметим, что при t = О,
когда у =» 0, будет ν = vOt следовательно,
Отсюда имеем:
Чтобы определить два переменных χ и у, одного этого уравнения
недостаточно. Так как сила тяжести постоянно остаётся перпендикулярной к оси Ох,
то в качестве второго уравнения возьмём интеграл проекции количества
движения на ось Ох (§ 125), т. е.
dx
т—гт- = const;
dt
отсюда находим (конец § 125):
dx
— = и0 cos α.
Таким образом, пользуясь первыми интегралами, вместо двух
дифференциальных уравнений второго порядка движения материальной точки мы привели
задачу к следующим двум дифференциальным уравнениям первого порядка:
dx
-— = vQ COS α,
т. е. понизили порядок системы дифференциальных уравнений, что находится
в согласии с общим указанием, данным в самом начале § 125.
Интегрирование полученной системы двух уравнении первого порядка
затруднений не представляет. Из первого уравнения с учётом, что при t = 0
будет χ — 0, имеем:
χ = vQ COS at.
Из второго уравнения получаем:
или
Так как ~ > α > 0, то при возрастании t от нуля, когда у = 0,
координата у должна возрастать, причём при t = 0 будет:
dv
-+- = + vQ sin α;
это возрастание координаты у будет происходить до тех пор, пока
выражение vlsin2a — 2gy не сделается равным нулю:
i/q sin2 α — 2gy = 0,
откуда
Vq Sin" α
У= 2g '

§ 130] примеры 103
Последнее выражение представляет наибольшее значение для координаты у;
после достижения его координата у будет убывать. Таким образом, должно
быть:
dy -ι/ о . о о
-^- = =tyi/5sin2a — 2gy ,
где знак плюс соответствует тому этапу движения, когда координата у
возрастает. Рассматривая движение тяжёлой точки на этом этапе движения,
получим:
. dy ■*
У vi sin2 a — 2gy
Умножая обе части этого равенства на —g, будем иметь:
-gdy = =
У ^ sin2 a — 2gy
или
d (lA/2sin2a-- 2gy) = rf (- gt).
Интегрируя, находим:
+ Vt^sin^a — 2gy = C — gt.
Чтобы определить произвольное постоянное С, заметим, что при / = 0 должно
быть у = 0, и мы получаем С — v0 sin α, т. е. будет:
У v'l sin2 a — 2gy = v0 sin a — gt.
Определяя отсюда у, найдём последовательно:
υ\ sin2 a — 2gy = v% sin2 a — 2gu0t sin a + ^2/2
Таким образом, координаты х, у тяжёлой точки в функциях от времени t
на первом этапе движения точки найдены. Можно показать, что на втором
этапе движения, когда с течением времени координата у убывает, эта
координата у выражается той же формулой.
100. Материальная точка с массой т движется в плоскости Оху под
^ ^т тт „
влиянием силы отталкивания от точки О; модуль силы равен —. Найти
силовую функцию для этой силы. Так как рассматриваемая сила есть
центральная сила, то она имеет направление радиуса-вектора притягиваемой
точки; поэтому проекция Fr этой отталкивательной силы на радиус-вектор
будет:
где r= VV- -f- r2 . Отсюда находим:
d U __ km
dr~~ r >
или
U = km In r + const.

104 ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ [ГЛ. XXVII
Проекции X и Υ этой силы на оси Ох и Оу будут равны:
_dU __km дг _km χ γ__ dU _ km dr __km у
~~ dx ~~ r dx ~~* r r ' ~~ ду ~~~ г ду ~~ г г '
в чём легко убедиться и непосредственно геометрически из данного
выражения для модуля силы.
101. Определить траекторию материальной точки с массой т,
притягивающейся по закону всемирного тяготения к неподвижной материальной точке
с массой М. Это есть так называемая «задача двух тел» небесной механики.
Решение этой задачи зависит от интегрирования трёх дифференциальных
уравнений второго порядка, приведённых в примере 93, § 124. Применяя
первые интегралы, можно значительно упростить решение рассматриваемой
задачи. Прежде всего, так как сила центральная, то движение должно быть
плоским; таким образом, вместо трёх уравнений второго порядка мы приходим
лишь к двум уравнениям того же порядка. Далее, при центральной силе
имеет место закон площадей; при силе ньютоновского притяжения имеет
место интеграл энергии, так как эта сила имеет силовую функцию (27.21).
Следовательно, задача приводится к интегрированию двух дифферендиальных
уравнений уже первого порядка; эти уравнения следующие:
ъ т^
г
-2'-dt=C'
где квадрат скорости ν2 представлен в полярных координатах (т. I, § 67) по
формуле
Из первого уравнения находим:
2Н
\~di)
а из второго уравнения получаем:
db___2C_ ( rf6_\2 _ 4C2
di ~~ ή ' \di) r4 #
Поэтому будет:
dt ) + г* г "*" т '
или
dr\*= 2h . 2kM 4C2
dt ) ~~ m "*" г г2 #
Прибавляя и вычитая в правой части последнего равенства количество ~ττ^,
будем иметь:
ч dt ) """ 4С3 ^ т \ 4С2
или
dt) ~" 4C3 '" т \2С

§ 130] примеры 105
Положим:
kM 2C
~2с"~~Г
тогда будет:
\dt ) \4σ ^ m
Взяв производную по времени t от соотношения, связывающего между собой
переменные гни, получим:
2С dr_ _ Г&М* 2h du_
г* dt V 4С2 + и Л '
т. е.
di "" 2C V 4C2 + m dt '
Следовательно, мы приходим к уравнению
Чтобы получить траекторию точки, следует исключить время / из этого
уравнения, что можно сделать на основании соотношения, опирающегося на
интеграл площадей, а именно:
du _du db = du 2C
dt dv dt dv r^
Таким образом, мы получаем:
Л*и\2_, 2
\db) -1 Ut
или
du
Интегрируя и обозначая через ε произвольное постоянное, находим:
arc cos и — θ + ε.
или
U — COS (θ + ε).
Заметим, что если бы мы взяли перед корнем знак плюс, то вместо косинуса
в правой части последнего равенства мы получили бы синус, который
вследствие произвольности количества ε легко приводится к косинусу. Обращаясь
к соотношению, связывающему между собой переменные гиц, будем иметь:
kM 2С ^Г&№ , 2Л
"2С- — = V ■4^ + -^
или
2С
С
г="ш -Гш* . 2Έ '
2C-V -4С^ + -^СО9(9 + £)

106 ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ [ГЛ.
2С
Умножая числитель и знаменатель на -гт-., найдём:
kM
\σ
kM
1 —
Достаточно в этом уравнении положить:
¥M^
чтобы получить известное уравнение
1 + е cos 0 '
представляющее общее полярное уравнение конических сечений относительно
фокуса, причём ρ есть параметр конического сечения, а е — его
эксцентриситет. Таким образом, мы нашли, что траекторией материальной точки с
массой т является коническое сечение, в одном из фокусов которого находится
масса М. Чтобы эта траектория была эллипсом, должно быть е<^ 1, т. е. должно
Ь2
быть h < 0. Так как параметр ρ эллипса равен —, то мы получаем:
Это соотношение и приведённая выше формула для е суть два соотношения,
связывающие для эллипса произвольное постоянное h интеграла энергии и
произвольное постоянное С интеграла площадей с большой полуосью а и
эксцентриситетом е эллиптической траектории движущейся материальной
точки. Очевидно, что полученные результаты имеют непосредственное
отношение к движению планет вокруг Солнца.

ГЛАВА XXVIII.
СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
§ 131. Постоянная сила. Чтобы траектория материальной точки
была прямой линией, необходимо, чтобы· сила, действующая на
материальную точку, всегда была направлена по одной и той же
прямой и чтобы начальная скорость материальной точки была направлена
по той же прямой. Примем прямую, по которой движется
материальная точка с массой т, за ось абсцисс, взяв на этой оси где-нибудь
начало координат О. В общем случае, когда действующая на
материальную точку сила зависит от времени, координаты и скорости
точки, приёмов интегрирования дифференциального урявнения
движения материальной точки указать нельзя, но если сила
зависит лишь от одного из указанных аргументов, то для каждого
типа силы можно указать соответствующий приём решения задачи
о прямолинейном движении материальной точки. Этим приёмам и
будет посвящена настоящая глава.
Предположим сначала, что проекция силы на ось Ох постоянна
и равна та, где а есть постоянное, так что будет Х=та\ тогда
уравнение движения материальной точки будет иметь вид
т -щ- = та,
или
Положим, что при t=t0 проекция -гг- скорости точки равна vo>
а координата χ точки равна х0. Первый интеграл
дифференциального уравнения движения материальной точки будет:
где Ct есть произвольное постоянное. Полагая в этом равенстве t
и -~ = v0, будем иметь:

108 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXVlII
откуда
C1=v0 — at0.
Следовательно, будет:
dx ,. ...
-af = a(t — to) + vo,
или
dx = α (ί—10) dt-\- v0 dt.
Интегрируя ещё ряз, получим интеграл дифференциального уравнения
движения материальной точки в виде
где С2 есть новое произвольное постоянное. Полагая t=t0 и лг = лг0,
получим:
т. е.
С2 = х0 —
Отсюда мы находим интеграл, удовлетворяющий всем начальным
условиям:
χ = 1Σα(έ-έο)* + νο(έ-ίο) + χο. (28.2)
Если будет /0 = 0, мы будем иметь:
Этот случай уже был рассмотрен в конце § 123. Изученное в этом
параграфе движение называется равноускоренным, так как ускорение
в нём равно постоянному. Рассмотрим какой-нибудь промежуток
времени /; пусть будут ν0 и v0 -j- at скорости материальной точки в
начале и в конце этого промежутка. Умножая среднее арифметическое
, 1
^+2"
из этих скоростей на промежуток времени t9 получим vot-^--^-afit
т. е. расстояние, пройденное материальной точкой, начиная от точки
χ = 0, за промежуток времени L
§ 132. Сила, зависящая от времени. Предположим, что сила
зависит от времени /, так что будет X=mf{t)\ тогда
дифференциальное уравнение движения материальной точки будет:
или
S (28.3)

§ 132] СИЛА, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ВРЕМЕНИ 109
Примем, что при t=t0 проекция —гг скорости точки равня v0, а
координата χ точки равна х0. Дифференциальное уравнение (28.3)
можно представить в виде
отсюда, интегрируя обе части между пределами t0 и t, будем иметь:
t
или
t
4*= \f(i)dt + v0. (28.4)
to
Чтобы определить координату χ материальной точки, умножим обе
части последнего равенства на dt; мы получим:
= dt[ f/ {f)dt\-\-vQdt.
Интегрируя обе части между пределами t0 и /, будем иметь:
tit \
* —*o = JrfM//(О* +*о('—«■
to \t0 I
или
tl t \
Формула (28.5) представляет интеграл дифференциального урявнения
движения материальной точки, удовлетворяющий всем начальным
условиям. Двойной интеграл в формуле (28.5) можно заменить
однократным интегралом, что во многих случаях облегчает вычисления.
В самом деле, покажем, что мы имеем:
)
Для этого возьмём производную по t от левой и правой частей
последнего равенства, учитывая, что переменное / является верхним
пределом правого интеграла, а также входит под знаком этого
интеграла как параметр; мы получим:
t t t

по
СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
[ГЛ.
т. е. мы получили тождество, что и подтверждает справедливость
предыдущего равенства, выражающего двукратный интеграл через
однократный. Таким образом, формулу (28.5) можно ещё представить
в виде
= /('—τ)/(τ
Может случиться, что функция f{t) такова, что интегралы от неё,
входящие в формулы (28.4) и (28.6), взять невозможно, или может
случиться, что функция f (έ) даже и не задана аналитически на
промежутке (έ0, t), а известны лишь численные значения её для отдела
ных значений переменного /, содержащихся в промежутке (/0, t)\
в этих случаях квадратуры, входящие в формулы (28.4) и (28.6),
придётся брать численно. Покажем, как
это сделать и как целесообразно
располагать вычисления, если пользоваться
способом трапеций. Рассмотрим, например,,
интеграл
t
^ входящий в формулу (28.4). Численное
Lt>t? t».3t*t Ь нахождение интегралов по способу
трапеций осуществляется наиболее удобно,
Черт. 260. когда значения интегрируемой функции
даны для значений аргумента, разделённых
равными интервалами, что мы всегда и будет предполагать.
Предположим, что значения функции f(t) известны для /ζ —{— 1 значений t0,
tl9 t2,.. ., tn_2, tn_v t аргумента, разделённых η промежутками,
равными (черт. 260). Проведя ординаты, соответствующие
абсциссам t0) tb t2i . .., £n_0, tn_v ty мы можем свести вычисление
интеграла I{t) приближённо к вычислению суммы площадей трапеций,
причём это приближённое вычисление даст тем более точный
результат, чем меньше будут промежутки
/ / / / / / / / * — fr>
Таким образом, приближённо мы получим:

СИЛА, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ВРЕМЕНИ
111
-τ [/(«+/(01·
§132)
или
Положим:
Мы видим, что количество Σ есть сумма всех заданных значений
интегрируемой функции, а количество Δ есть полусумма значений
этой функции для крайних значений аргумента. Таким образом, мы
имеем:
Все вычисления целесообразно располагать в следующую таблицу:
t
h
to
t
/(0
/Й)
/ih)
/w
V
/Co)
/(<o)+/('i)
f(t0) + ...+/ (t2)
Δ
■jl/(to)+/(to)]
yf/(io)+/(ii)l
■g-[/%)+/(«]
-g-I/W+ZW]
ν Λ
0
/«-
(Σ Λ)'"'»
/2
0
Отсюда видно, что в последнем столбце находятся приближённые
значения интегралов:
"n-l
Конечно, если интервалы ^ —10, t^ — tv ... не будут равны между
собой, то придётся вычислять площадь каждой трапеции отдельно.

112 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. ХХущ
§ 133. Сила, зависящая от координаты материальной точки.
Предположим, что сила зависит только от координаты движущейся
материальной точки, так что будет:
X=mf(x).
В этом случае дифференциальное уравнение движения материальной
точки имеет вид
или
"Ж =/(*)· (28.7)
Для интегрирования уравнения (28.7) можно воспользоваться
интегралом энергии. В самом деле, в этом случае мы имеем:
dU = Xdx = mf(x)dx;
отсюда получаем:
U(x) = m \ f{x)dx-\- const.
Зная силовую функцию U(x), мы будем иметь из интеграла энергии:
mv2
_
или
Ζ Г I / \ ι Ζ.ΪΙ
U (χ) Α
Q Ζ Г I / \ ι Ζ.ΪΙ
v2 = — U (χ) -Α .
m v ' ' m
вольное постоян
= х0 будет ν = ν0; тогда мы получим:
Чтобы определить произвольное постоянное —, примем, что при
Вычитая из первого уравнения последнее, будем иметь:
ИЛИ
Легко видеть, что будет:
U(x)-U(xo) = m \f(x)dx;

§ 133] СИЛА, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ КООРДИНАТЫ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 113
следовательно, предыдущей формуле можно придать вид
1)2 = (ж)' = ^о + 2 J / (х) dx. (28.8)
Конечно, формулу (28.8) можно получить из формулы (28.7) и
непосредственно. В самом деле, умножив обе части уравнения (28.7)
на 2 -тг у мы получим:
о dx d2x — 2f( \ —
или
Отсюда имеем:
Интегрируя между пределами х0 и л;, мы и придём к формуле (28.8),
а именно:
X
£)'-!« = 2 //(*)**.
Хо
Конечно, последний приём интегрирования уравнения движения
представляет собой не что иное, как повторение на частном случае
вывода интеграла энергии.
Из формулы (28.8) мы получаем скорость материальной точки
в функции её абсциссы. Извлекая из обеих частей формулы (28.8)
квадратный корень, будем иметь:
Хо
причём в правой части следует взять знак плюс или минус в
зависимости от того, возрастает ли с течением времени абсцисса
движущейся точки или убывает. Из последнего равенства находим:
Ύ ν1+2ί
^ f(x)dx
Χα
Зак. 487. А. И- Некрасов,

114 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXVIII
Предполагая, что абсцисса χ принимает значение х0 при t = tOi и
интегрируя последнее равенство, получим:
χ
dx
или
X
/» Αν
==. (28.9)
'f(x)dx
Xq
Из формулы (28.9) находим время движения материальной точки
в функции её абсциссы, причём при лг = лг0 будет t=t0. Если
интегралы в формулах (28.8) и (28.9) нельзя взять аналитически, то,
конечно, придется прибегнуть к их численному нахождению.
§ 134. Сила, зависящая от скорости материальной точки.
Предположим, что будет Х= mf (v), где количество ν есть проекция
скорости движущейся точки на ось Ох, т. е. г> = —. Тогда
дифференциальное уравнение движения материальной точки
будет иметь вид
~~%~ ~т~ ===/('σ)· (28.10)
Из уравнения (28.10) получим:
Предполагая, что при t=t0 будет v = vo> и интегрируя последнее
равенство, находим:
j. j. _
1
ИЛИ
' %· С28·11)
Из формулы (28.11) мы имеем время движения материальной точки
в функции её скорости. Чтобы найти абсциссу χ движущейся мате-

$ 133 f примеры 1 1<~
рияльной точки, будем исходить из равенства -^ = τ/, откуда имеем:
dx = v dt.
Заменяя в этом равенстве дифференциал времени dt приведённым выше
выражением, получим:
, ν dv
Отсюда, предполагая, что при ν = ν0 будет χ = xOi находим:
ν
С ν dv
χ-χ°- J WY
ИЛИ
ν
Х=Х°+5Ш' (28Л2)
«о
Формула (28.12) определяет абсциссу движущейся материальной
точки в функции её скорости. Здесь также, при невозможности взять
интегралы аналитически, придётся прибегать к их численному
нахождению.
§ 135. Примеры. 102. Определить движение материальной точки с мае-
171 k
сой т по оси Ох под действием силы X = о , ^, где k и а — постоянные;
дано, что при £=0 материальная точка находится в точке х0 и имеет
скорость vQ. Для решения этой задачи достаточно непосредственно применить
формулы (28.4) и (28.6). Из формулы (28.4) имеем:
dx
* Г dt -l. k Г w
о о 1+^-
отсюда находим:
dx_ ι
Применяя формулу (28.6), получим:
о
или
а I l+f-lV 2 Ι *+τ
Χ=Ζ~Γ \ 7ΤΤ7 — ~ο „2 ι Τ2 + υ^ "+" 'ν0·

116 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
Интегрируя, будем иметь:
[ГЛ.
Применяя же формулу (28.5), мы должны были бы вычислить интеграл
t
Jarctg (A)*,;
этот интеграл можно взять по частям. Решение задачи по формуле (28.6)
проще, так как при этом мы сразу приходим к интегралам, из которых
первый уже был вычислен ранее, а второй вычисляется почти
непосредственно.
103. На материальную точку весом в 4,9 кг действует вдоль прямой
сила F, определяемая в килограммах следующей таблицей:
t (сек)
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
F {кг)
0
25
45
55
64
67
t (сек)
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
F(kz)
66
62
52
38
0
Определить скорость материальной точки после прекращения действия на неё
силы Z7, если известно, что скорость точки равна нулю при / = 0. Проведём
ось Ох в направлении силы и возьмём начало координат О в начальном
положении материальной точки. Так как дифференциальное уравнение движения
материальной точки будет иметь вид
Ρ d*x
g dp" '
ίο из этого уравнения мы получим:
Так как сила F дана лишь таблично, то интеграл \ F dt придётся взять чи-
о
сленно. В соответствии с изложенным в § 132, замечая, что будет —■ = -^ = 2,
мы получим:

§ 135|
ПРИМЕРЫ
117
t(cetc)
0.00
0,05
0,10
0,15
0,20
0.25
0.30
0.35
0.40
0,45
Ο,όΟ
F(kz)
0
25
45
55
64
67
66
62
52
38
0
Σ (кг)
0
25
70
125
189
256
322
384
436
474
474
Δ (л?)
0,0
12,5
22,5
27,5
32,0
3<i,5
33,0
31,0
26.0
19.0
0,0
Σ — Δ (кг)
0,0
12,5
47,5
97,5
157,0
222,5
289,0
353,0
410,0
455,0
474,0
t
jfdt (кг/сек)
0
0,000
0,625
2,375
4,875
7,850
11,125
14,450
17,650
20.500
22,750
23,700
ν (м1 сек)
0,00
1,25
4.75
9,75
15.70
22.25
28,90
35,30
41,00
45,50
47,40
Последняя таблица показывает, как нарастает скорость материальной точки
вовремя действия силы F. После момента /= 0,5 сек материальная точка
будет двигаться по инерции равномерно со скоростью 47,4 м/сек.
104. На материальную точку с массой т действует всегда направленная
вдоль оси Ох сила, равная mk sin ί—J, где количества k и а постоянные;
очевидно, что размерность количества а должна равняться Ly а размерность
количества k должна равняться /,Г~2. Определить движение материальной
точки, если дано, что при χ = πα будет t = 0 и — = 2~[Лга. Применяли этой
задаче формулу (28.8), где будет:
мы получим:
т. е.
Так как при χ = πα мы получаем отсюда:
то для удовлетворения начальных условий следует положить v^ = 0. Таким
образом, мы находим:

118 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXVII]
Следовательно, должно быть:
Разделяя переменные, получим:
dx =2YTadt,
или, применяя формулу синуса двойного угла, ещё иначе:
sin (-f- ) cos (JL )
AaJ — \4a)
После тригонометрического преобразования в левой части этого уравнения
ему можно придать следующий вид:
d{~
,4а J \Aa)
т. е.
Интегрируя, получим:
где С есть произвольное постоянное. Потенцируя, будем имсчь:
·(£)■
Чтобы было t = 0 при χ = πα, должно быть С = 1. Таким образом, мы
имеем:
Отсюда легко видеть, что при движении материальной точки по оси_Олг от
х = па до дг=2иа скорость материальной точки изменяется от 2"\ika до
нуля, причём материальная точка затрачивает на прохождение отрезка
(па, 2па) бесконечно большое время.
105. Изучить движение по оси Ох материальной точки с массой т под
действием консервативных сил вблизи положения равновесия О. Пусть будет
U (х) выражение силовой функции, принимающей значение U (0) = Uo при
х = 0. Рассматривая только малые отклонения материальной точки от
положения равновесия χ = 0, разложим функцию U (х) в ряд Маклорена,
ограничиваясь лишь малыми второго порядка; мы получим:

§ 135] примеры 119
Так как в точке χ = О материальная точка находится в равновесии, то при
х = О должно быть — =^=0. Поэтому для проекции X силы,
действующей на материальную точку, мы будем иметь:
dU{x) fd*U\
Л = = -; - ЛГ4-, . .
Таким образом, дифференциальное уравнение движения материальной
точки приближённо может быть представлено так:
/d*U\
{d^lo *'
где в правой части отброшены все члены выше первого порядка малости.
Предположим, что будет (-7—7) >0; тогда положим:
\ах£ /х=о
и дифференциальное уравнение движения материальной точки примет вид
Нетрудно проверить непосредственной подстановкой в это уравнение, что
где Ci и С2 суть произвольные постоянные, есть интеграл рассматриваемого
дифференциального уравнения. Мы видим, что при неограниченном
возрастании времени t первый член этого интеграла неограниченно возрастает, т. е.
положение χ = 0 не может быть положением устойчивого равновесия
материальной точки.
Предположим затем, что будет (-т-тг) <0; тогда положим:
\αχΔ /xsro
и дифференциальное уравнение движения материальной ючки примет вид
Нетрудно проверить непосредственной подстановкой в то уравнение, что
χ = Сх sin kt + C2 cos kt,
где Cj и С2 суть произвольные постоянные, есть интеграл рассматриваемого
дифференциального уравнения. Так как значения функций sin kt и cos kt
заключены между —1 и +Ь то материальная точка не может
неограниченно удаляться от точки jc = O и будет всегда весьма близка к ней, если
постоянные С* и С2 достаточно малы; таким образом, положение χ = 0 будет
положением устойчивого равновесия. Так как мы имеем:

120 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXVIH
то при (-г-П >0 значение £/0 будет наименьшим значением силовой функ-
\ах*/х=о
ции U (х), а при (-т-т) <0 значение Uq будет наибольшим значением
силовой функции U (х). Таким образом, мы заключаем, что наименьшее
значение силовой функции соответствует положению неустойчивого равновесия
материальной точки, а наибольшее значение силовой функции соответствует
положению устойчивого равновесия материальной точки. Мы видим, что
в этом частном случае, когда материальная точка может перемещаться лишь
вдоль прямой линии, мы снова пришли к теореме Лежен-Дирихле,
приведённой в конце § 128 для более общего случая.
106. Изучить движение по оси Ох материальной точки с массой т под
действием силы величиной mae~hv, где количество ν есть скорость
материальной точки, а количества а и k суть положительные постоянные. Дано, что
при t = 0 должно быть ν = vQ и χ '■= х0. Так как будет /(ν) = ae~kvt то из
уравнения (28.10) мы имеем:
или
ekv dv = a dt
Интегрируя, находим:
къ
где С1 есть произвольное постоянное. Так как при t = 0 должно быть ν
то мы получим:
или
Логарифмируя, будем иметь:
Мы видим, что при неограниченном возрастании времени t скорость ν
материальной точки неограниченно возрастает. Таким образом, хотя модуль
силы mae~kv и убывает с возрастанием скорости, стремясь к нулю, но
убывание силы всё же не может помешать возрастанию до бесконечности
скорости материальной точки. Чтобы найти координату χ материальной точки,
* dx
заметим, что будет υ = -—; отсюда мы находим:
или
dx = v0 dt + -j- In (1 + e~ kv° hat) dt,
x = vot + -γ\ In (1 + e~kv° hat) dt + C2,
где С2 есть второе произвольное постоянное. Интеграл, стоящий в этой
формуле, можно представить в виде
1 Г -ъ e*v С
—- | In (I -f- ^ KV) kat) dt = -г— I in (1 +e~kv kat)d(\ 4~ e~kv° kaf),

§ 135] примеры 121
Интегрированием по частям легко найдём, что будет:
lnzdz = z\nz — z + const = z (In ζ — 1) + const.
/■
Поэтому мы имеем:
х = vot + -^ (1 + е~ку»Ш) [In (1 + e'kO* fcat) - 1] + Сг.
При t = О мы получим:
т. е.
Из этой формулы видно, что при неограниченном возрастании времени /
абсцисса движущейся точки неограниченно возрастает.
107. Определить скорость материальной точки с массой т в её падении
на Землю под действием ньютоновского притяжения, если начальная
скорость материальной точки равна нулю. Очевидно, что при заданных условиях
движение точки должно быть прямолинейным. Известно, что если Μ есть
масса Земли, то Земля притягивает к себе все материальные частицы
приблизительно как материальная точка с массой М, расположенная в центре О
Земли. Обозначим через г расстояние от точки О до притягиваемой точки;
тогда, обращая внимание на формулу (27.21), получаем интеграл энергии:
тх>4__ тМ
Чтобы определить произвольное постоянное Л, предположим, что
материальная точка начинает своё движение без начальной скорости при г = г0; тогда
будет:
την2 _ . тМ . тМ
или
Если г0 = оо, то, обозначая радиус Земли через R и замечая, что прибли-
kM
жённо будет -щ = g, мы получим для скорости у поверхности Земли
выражение

ГЛАВА XXIX.
СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ.
§ 136. Движение в пустоте. Общие результаты предыдущей
главы, полученные для прямолинейного движения свободной
материальной точки, будут применены и развиты в этой главе для случаев
движения вдоль прямой линии тяжёлой точки. Мы примем
вертикальную прямую, по которой движется тяжёлая точка, за ось Oz,
причём начало координат О возьмём у поверхности земли, а за
положительное направление оси Oz примем направление вверх. Во всей
этой главе мы будем рассматривать лишь настолько незначительные
расстояния тяжёлой точки от поверхности земли, при которых
изменениями силы тяжести с высотой можно пренебречь.
Рассмотрим сначала движение тяжёлой точки в пустоте. Если вес
тяжёлой точки равен Р, то её кинетическая энергия Τ и
потенциальная энергия V согласно формуле (27.18) будут равны:
Следовательно, интеграл энергии будет:
Пусть при ζ = 0 будет ν = ν0, а при ζ = И будет ν = 0; тогда
мы получим:
или
§ + *=■§; = ". (29.1)
Эти формула имеет место как для случая подъёма, так и для случая
падения тяжёлой точки. Рассмотрим затем оба эти случая в
отдельности. Так как при подъёме координата ζ точки возрастает с тече-
dz
нием времени, то будет — = -у, где ν есть модуль скорости ν тя-

§ 136] ДВИЖЕНИЕ В ПУСТОТЕ 123
жёлой точки. Дифференциальное уравнение движения тяжёлой точки
будет:
g
или
Если при t = 0 будет v = v0 и г = 0, то
v = ft=v0 — gt, z^vJ — Щ. (29.2)
Обозначая момент обращения в нуль скорости тяжёлой точки через tl9
получим:
или
Если Η есть наибольшая высота подъёма тяжёлой точки, то должно
быть:
что находится в согласии с формулой (29.1). При падении тяжёлой
точки её координата ζ с течением времени должна уменьшаться; по-
этому для модуля ν скорости ν точки мы будем иметь v = ——.
Предположим, что в момент ^ = 0 координата ζ тяжёлой точки
равна //, а модуль начальной скорости, направленной вертикально
вниз, равен ν1. Интегрируя уравнение ^j-= — g, получим:
■5 = -*i —**' ζ^Η-ν,ί-^-. (29.3)
Обозначая через t2 момент падения на эемлю тяжёлой точки, когда
будет z = 0, находим:
f
Внодя обозначение
dz
будем иметь по первой из формул (29.3):
^2 =
Поэтому будет:

124 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXIX
и
_ уг (Vt — Vj) ^ g{v<i — Vxf _ v\ — v\
g ' 2** — 2g ·
Отсюда мы получим:
v\
Положим:
где h есть высотя, с которой должна была бы падать тяжёляя точка
без начальной скорости, чтобы получить скорость vx\ высота h
называется присоединённой высотой. Тогда будет:
r% = 2g(H + h). (29.4)
Если начальная скорость v1 падения тяжёлой точки равна нулю, то
должно быть h = 0, и мы получим:
т. е. конечная скорость падения и начальная скорость подъёма, а также
время падения и время подъёма между собой равны.
В действительности движение тяжёлых тел по вертикали
происходит не в пустоте, а обыкновенно в воздухе или в воде. Но при
небольших скоростях, при которых сопротивление среды ещё будет
мало зяметным, влиянием среды для первого приближения можно
пренебречь и для оценки порядка некоторых величин можно
пользоваться формулами, выведенными в этом параграфе.
§ 137. Движение при сопротивлении, пропорциональном
первой степени скорости. Рассмотрим сначала движение тяжёлой точки
вверх, причём примем, что при t = О будет ζ = О и — = vQ. Так
at
как тяжёлая точка движется вверх, то модуль её скорости ν будет
ν = —■. При движении тяжёлой точки вверх сопротивление среды
должно быть направлено вниз; обозначим модуль сопротивления среды
по линейному закону через kv, где k есть множитель
пропорциональности, для каждого тела особый. Так как количество kv
представляет силу, а размерность силы в физических единицях равна
MLT'2, то размерность k в физических единицах равна МТ'1.
Уравнение движения тяжёлой точки будет:
Р_ <Pz___p у
или
Ρ dV r,

§ 137] ДВИЖЕНИЕ ПРИ СОПРОТИВЛЕНИИ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОМ СКОРОСТИ 125
Полагая
k = пР, (29.5)
получим:
d
Это уравнение можно представить в виде
ndv ,.
TT-. = -ngdt;
интегрируя, будем иметь:
In (I -f nv) = — ngt-\- Сг.
Из начальных условий при i = 0 находим:
т. е.
In (1 -\- ην) = In (I ~j- nv0) — ngt.
Потенцируя, получим:
1 ~j- ην = (1 -j- nvQ) e-no*,
или
(29.6)
η η v }
Время tx наибольшего подъёма тяжёлой точки определяется из
условия, что при ί = ίλ должно быть ν = 0; мы получим:
Так как ι; = — , то из формулы (29.6) мы найдём:
Интегрируя, будем иметь:
Π
Так как при t = 0 должно быть ζ = 0, то
1+zwq . с
или
Мы получим наибольшую высоту Η подъёма тяжёлой точки, заменяя
в формуле (29.7) переменное t его значением t19 т. е.

126 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ (ГЛ. XXIX
Заменяя в этой формуле количество 1г его выражением через vQy
получим:
^ __nv0 —\п(1 +
Обратно, заменяя количество v0 его выражением через tx, будем
иметь:
H
rilg
Если η мало, то, пользуясь известными разложениями, найдём:
2 2
In (1 +«*„) = от0—^+..., t 1
Отсюда, приближая количество η к нулю, получим в пределе:
11 9g ' — 2 ^ ι*
т. е. получаем формулы движения тяжёлой точки в пустоте.
Перейдём теперь к рассмотрению случая падения тяжёлой точки
вдоль оси Oz, причём предположим, что при έ=0 будет г = Н,
скорость же точки будет равна νλ и направлена вниз. В случае
падения для модуля ν скорости мы имеем ν = — —тт.
Так как при падении тяжёлой точки сила сопротивления
направлена вверх, то дифференциальное уравнение движения точки будет
иметь вид
τ ?=
или
Отсюда мы получим:
dv
или, полагая 1 — ην > 0:
— п dv ,,
= — η? dt.
1 — ην ь
Интегрируя, будем иметь:
In (1 — ην) = — ngt-\- Cv
ши, так как при /=0 будет v = vv
In (I — ην) = In (1 — nvx) —
ШИ

§ 137] ДВИЖЕНИЕ ПРИ СОПРОТИВЛЕНИИ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОМ СКОРОСТИ 127
Из этого равенства следует, что разности 1—ην и 1—ηνχ должны
быть одного знака; поэтому, если мы приняли, что разность 1—ην
положительна, то должна быть положительной и разность 1 — ηνν
решая последнее уравнение относительно количества ν, получим:
tf = I_Lz™La-n*. (29.8)
η η v J
Мы видим, что при неограниченном возрастании времени t скорость ν,
1 Ρ
возрастая, стремится к постоянному значению — = —, каково бы ни
τι к
было значение начальной скорости vu удовлетворяющее неравенству
1-—nvt > 0. Это значение vk скорости ^ 'называется критической
скоростью или предельной скоростью; мы имеем:
** = Т· (29·9)
Из первоначального дифференциального уравнения падения тяжёлой
точки видно и непосредственно, что это уравнение удовлетворяется
1 Ρ
предположением, что ν = — = -г-· Из формулы (29.8) мы имеем:
ΪΙ к
dz \—ηνΛ + 1
dt n
или
— ngt)— 1 dt.
Интегрируя, получим:
2 ^
nzg η '
Так как при £=0 будет г = Н, то
\—ηυι ,
n— n2g » Ч»
т. е.
Разлагая по степеням количества η правые части формул (29.8)
и (29.10) и приближая η к нулю, получим формулы падения тяжёлой
точки в пустоте:
Мы найдём из формулы (29.10) время t2 падения тяжёлой точки на
землю, полагая в ней ,г = 0; мы будем иметь:
t2 1—AZ7/-J л -ngt»\ lj
_ ί ι q ~\ == ft
*i nl rr \ J

128 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ΧχΙχ
Если ν1 = 0, то будет:
n2g
Нетрудно показать, что при ^ = 0 всегда будет £2>^. В самом
деле, из двух выражений для Η имеем:
Если будет /2 > tv T0 положим:
Отсюда находим:
Λ^/2 = α + β, ngtt=a — β.
Вставляя эти значения в предыдущее равенство, будем иметь:
или
2α = ^-Ρ — β-α-Ρ.
Следовательно, будет:
a,
или
ft sha
Легко найти по раскрытии неопределённости, что правая часть
стремится к единице, когда α стремится к нулю, и неограниченно
возрастает с возрастанием количества а; левая же часть равна единице
при β = 0 и неограниченно возрастает с возрастанием количества β.
Таким образом, это равенство противоречия в себе не содержит.
Если же мы предположим, что будет tx > t2i то мы можем положить:
Отсюда находим:
ЯЙ = « + Р. ngt2 = a — β.
Вставляя эти значения в рассматриваемое равенство, будем иметь:
£-«+Р_14-ос — β = *«-Ρ— Ι— α — β,
или
2α =^α+? — £-«+pt

§ 137] ДВИЖЕНИЕ ПРИ СОПРОТИВЛЕНИИ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОМ СКОРОСТИ 129
Следовательно, будет:
α =
или
Sh α
Это равенство существовать не может, за исключением случая, когда
будет α = β = Ο, так как его правая часть меньше единицы, а его
левая часть больше единицы. Следовательно, предположение, что
/j > /2, должно быть отброшено. Таким обрязом, если тяжёлая точка
брошена вертикально вверх в сопротивляющейся по линейному закону
среде, то время подъёма точки до наибольшей высоты над землёй
нсегда будет меньше времени падения тяжёлой точки с этой высоты
на землю. В § 136 мы видели, что для пустоты будет t.2 = tv
Если тяжёлая точка падает в пустоте на землю с высоты Η без
начальной скорости, то по прошествии времени t2 она будет иметь
скорость gt2; в рассматриваемой же сопротивляющейся среде при
i^j = 0 скорость v2 тяжёлой точки при падении на землю по
формуле (29.8) равна:
Но из
или
Таким
формулы
образом,
(29.10)
будет:
мы находим:
η ri*g
η ι^2
= £*2 —Α^- (29.11)
Мы видим, что выражение для конечной скорости падения тяжёлой
точки в сопротивляющейся по линейному закону среде будет
отличаться от выражения для скорости в пустоте вычитаемым -J^-.
Рассматриваемый здесь закон сопротивления имеет место при
движении в сопротивляющейся среде маленьких лёгких объектов с
небольшой скоростью, когда основная часть сопротивления среды
обусловлена трением. Таковы, например, случаи падения пылинок
в воздухе или ила и мелкого песка в воде. Английский учёный Стоке
теоретическим путём нашёл, что сила сопротивления, обусловливаемпя
вязкостью среды, в случае движения маленькой сферы равна 6-prv,
где г есть радиус сферы, ν — её скорость и ц— коэффициент
вязкости среды, причём в CGS-единицах будет μ = 0,0115 для воды
при 15° С и μ == 0,000189 для воздуха.
9 Зак. 487. А. И. Некрасов

130 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ΧΧ\χ
§ 138. Движение при квадратичном законе сопротивления.
При квадратичном законе сопротивления, т. е. когда сила
сопротивления среды пропорциональна квадрату скорости материальной точки,
эта сила сопротивления равна cv2, где для каждого материального
объекта коэффициент с, вообще, имеет собственное значение. Так как
в физической системе единиц размерность силы равна MLT~2, то
размерность коэффициента с будет равна ML"1. Такой закон
сопротивления имеет место в тех случаях, когда основная часть
сопротивления среды обусловлена инерцией среды, через которую
продвигается материальный объект.
Рассмотрим сначала движение тяжёлой точки вверх при условии,
что при t=0 будет z = 0 и — =:ΐ/0. Дифференциальное уравнение
движения тяжёлой точки вверх будет:
или, полагая
ещё иначе:
Отсюда мы будем иметь:
d(av)
а» ——
Интегрируя, получим:
где Cx есть произвольное постоянное. Так как при/=0 должно
быть ν = νω то
и мы будем иметь:
arctg (αν) = arctg (av0) — <*gt,
т. е.
αν = tg [arctg (av0) — agt].
Применяя формулу тангенса разности, получим:
q) «W ~ 1 + tg [arctg (av0)] tg (agt) 1 + av0 tg (agt) '
поэтому будет:

§ 138] ДВИЖЕНИЕ ПРИ КВАДРАТИЧНОМ ЗАКОНЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 131
Правую часть этого равенства можно представить в виде
*VQ — tg(*gt) _ gfp 1 aOptg (agt) + I— I _
1 + aV0 tg (agt) 1 + av0 tg (agt) av0 1 + av0 tg (agt)
= (av !_V—J L
\ ° olv0 J 1 + av0 tg (agt) av0 '
Следовательно, будет:
(29Л2)
Обозначая через tx момент, когда скорость рассматриваемой точки
сделается равной нулю, т. е. когда тяжёлая точка достигнет
наибольшей высоты //, мы получим из выражения для αν:
tg(«#i) = «*0. (29.13)
Предполагая, что количество α весьма мало, приближённо будем
иметь:
Таким образом, из формулы (29.12) мы получим:
Обращая количество α в нуль, в пределе найдём:
т. е. получаем скорость тяжёлой точки при её движении вверх
в пустоте.
Чтобы найти пройденный тяжёлой точкой путь, заметим, что при
движении вверх будет г; = —-. Поэтому из формулы (29.12) мы
имеем:
. _/ , _1_\dtdt
az — \*о "Г аЪJ ι
_ _
+ aVQtg (agt) a?v0 '
Займёмся сначала вычислением интеграла ■?—. -—,—тг-. Полагая
^Uj находим a^-/=arctgtt; следовательно, будет:
du nt 1 du
Таким образом, мы получим:
Г dt — 1 Г du
J I + wo tg (agt) *g J
(1 + *vou) (1 + «2) *

132 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ [ГЛ.
Разлагая подинтегральное выражение, мы должны иметь тождество
1А, В
(1 + avou) (1 + и2) 1 + ы2 ' 1 + olVqU '
Чтобы определить количество В, умножим обе части последнего
равенства на Ι-\-ανοιι и положим затем и β ; мы получим:
Таким образом, будет:
А 1
1 + и2 (1 + ао0и) (1 + и2) 1 + «2fо 1 + №0" '
или
А 1 + А,2. - а2»2 - o?Vy 1 _ Ot-Oa
1 + и2 (1 + «Ч2) (1 + и2) (1 + aV) (1 + аЧ) (J + и2) '
Следовательно, мы находим:
1 α4 1 { 1 1 — «vou
(I + αζ/οα) (1 + и2) 1 + <x2z/q I + WqU
Отсюда будем иметь:
du olVq d (1
,
2 1 + avou +
1 du ot/0
l+A2 l+и2 2(1+α2ί/2) l+й8 '
Таким образом, мы получим:
8 1 + AJ J l+^o« Vil+
du
или
f * =£o.—L_i
J l + a»otg(a«O ^ 1+a^
4 ,,l, ο , arctg и — -^ L-3- In (1 -(- a"1) -4- const.
ag(l+a^) ь 2g 1+o-V;' η y~

§ 188] ДВИЖЕНИЕ ПРИ КВАДРАТИЧНОМ ЗАКОНЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 133
Так как мы имели:
l+AJ at dt
d2 — _______ ... __ ι
<x2Po 1 + olVq tg (agt) c^z/fl '
то будет:
^-^In(1+^o«) + ^arctg«-^ln(l+«2)-^ + ^
или
t
arctg
1 + tgM^O
где С2 есть произвольное постоянное. После простых преобразований
из последней формулы получим:
Так как при t = 0 должно быть ζ = 0, то находим С2 = 0.
Следовательно, будет:
(29.14)
Если количество а мало, то мы будем иметь:
cos (agi) + a
поэтому мы найдём:
cos (agi) + av0 sin (a#) = 1 — у a
«а5*<9+ ] ^
т. е. в пределе при a = 0 мы получаем закон движения тяжёлой
точки в пустоте. Чтобы найти наибольшую высоту Η подъёма
тяжёлой точки, следует в формуле (29.14) положить έ = έχ) мы получим:
Так как из формулы (29.13) следует:
1
cos [agt^ = -
sin (ag^) = -
то будет:
Я —-J-ln
или
^4 (29.15)

134 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ΧΧΐχ
Таким образом, если тяжёлая точка при квадратичном законе
сопротивления брошена вертикально вверх со скоростью ν0, то за
промежуток времени tv определяемый формулой (29.13), эта точка
достигнет наибольшей высоты Я, которая определяется формулой (29.15).
Разлагая в формуле (29.15) логарифм в ряд, нетрудно показать, что
в пределе при а = 0 будет:
т. е. мы приходим к известному результату, имеющему место для
движения в пустоте.
Рассмотрим затем падение тяжёлой точки с высоты И при
квадратичном законе сопротивления, причём мы предположим, что
начальная скорость точки равна vx и направлена вертикально вниз. В этом
случае, как и в предыдущем параграфе, мы имеем v = -^-,
Уравнение падения тяжёлой точки будет:
или
Отсюда, вводя модуль скорости ν, будем иметь:
Мы видим, что это уравнение удовлетворяется постоянным значением
ν = — для скорости; таким образом, как в предыдущем параграфе,
мы получаем критическую скорость vki равную
Из
уравнения
Так как
то мы
или
получим:
движения
1
1 d(\+av)
2 1+еш
имеем:
dv
1 1
2 1 +
1
2
i
d(\
1-
σ dt
, 1
+ 2 1
— atr)
— at;
1
— αν
.μ αν Ι —αν ь

§ 138] ДВИЖЕНИЕ ПРИ КВАДРАТИЧНОМ ЗАКОНЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 135
Мы предполагаем, что 1—αν > 0, т. е. ΐ><—, или скорость точки
меньше критической скорости.
Интегрируя, находим:
In (I -j- αν) — In (1 — αν) = 2cigt -|~ In C2,
где С2 есть произвольное постоянное. Отсюда имеем:
4iS-<*·*.
Так как при t = 0 должно быть v = vv то будет:
\—ανί ~~4
т. е.
1 — at/ 1 — αι/j
ИЛИ
1 + αν 1 -f- avl
Из этого равенства следует, что разности 1 — αν и 1 — avi должны
быть одного знака; поэтому, если мы приняли, что разность 1 — αν
положительна, то должна быть положительной и разность 1—ανν
т. е. начальная скорость ν1 должна быть меньше критической
скорости. Из последней формулы следует, что при стремлении времени t
к бесконечности разность 1 — αν стремится к нулю, т. е. скорость ν,
возрастая, стремится к критической скорости, каково бы ни было
значение начальной скорости νχ, лишь бы только оно было меньше
критической скорости. Критическую скорость имеют парашютисты,
падающие с не очень большой высоты, когда на пути падения
парашютиста можно пренебречь изменением плотности воздуха. Хотя
теоретически критическая скорость и достигается спустя бесконечно
большое время, но практически скорость, очень близкая к
критической, получается весьма скоро.
Введём положительное число N, большее единицы, по формуле
N =уз1— ϊ
тогда будет:
т. е. скорость ν выражается в долях критической скорости ι;Λ = —
Полагая /V=e2·, получим:

136 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ΧΧΐχ
ИЛИ
т. е. окончательно:
ti==-i-th (agt + e) = *>* th (ocgtf + sj. (29.17)
Так как при t = oo гиперболический тангенс обращается в единицу,
то мы ещё риз получаем предложение, что тяжёлая точка достигает
критической скорости vk = — через бесконечно большое время.
Нетрудно показать, что при а, стремящемся к нулю, формула (29.17)
переходит в пределе в формулу для скорости падения тяжёлой точки
в пустоте. Так как будет ν = —-^-, то мы имеем:
или
, 1 sh (agt -f- ε) dt Id [ch (agt -f- *)
α ch (agt -(- ε) a*g ch (agt + ε)
Интегрируя, находим:
Полагая ^ = 0, будем иметь:
Следовательно, будет:
(29Л8)
Если vi = 0i то должно быть ε = 0; отсюда, обозначая через t2
время пядения тяжёлой точки на землю с высоты Η без начальной
скорости при квадратичном законе сопротивления, будем иметь:
H = ±ln[ch(agtj). (29.19)
При приближении количества α к нулю формулы (29.18) и (29.19)
переходят в пределе в формулы для движения тяжёлой точки в
пустоте.
Из формул (29.15) и (29.13) мы имеем:
a*gH = 1 In [ 1 + tg2 (a^)] = — In cos (agtx).

§ 139] ПАДЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ В СТАНДАРТНОЙ АТМОСФЕРЕ 137
Сравнивая эту формулу с формулой (29.19), находим:
In [ch (agtj] = — In [cos {agtx%
или
In [ch (agtjl + In [cos (a^)] = 0,
т. e.
ch(agt2)cos(agt1) = \. (29.20)
Эта формула связывает между собой время tY подъёма тяжёлой точки
на некоторую высоту со временем t2 падения той же тяжёлой точки
с этой высоты на землю при квадратичном законе сопротивления.
Мы видим, что значения tx = 0 и t2 = 0 суть решения этого
уравнения, как это и должно быть. Если мы положим agtfj =-Ξ-f т. е.
/1 = 2—» то по Ф°РмУле (29.13) найдём, что начальная скорость v0
будет бесконечно велика; при этом из предыдущего уравнения (29.20)
мы получим, что и значение /2 должно быть бесконечно велико. Так
как нячальная скорость v0 всегда ограничена, то время подъёма
тяжёлой точки на наибольшую высоту при квадратичном законе со-
π к Г~Р те
противления среды всегда меньше, чем ~—~9~~ г —==ζ~2^ν^-
§ 139. Падение тяжёлой точки в стандартной атмосфере при
квадратичном законе сопротивления. Результаты, изложенные в § 138,
могут быть применены к падению тяжёлой точки в воздухе лишь
в том случае, когда тяжёлая точка перемещается на небольшую
высоту, так как только в этом случае коэффициент с в выражении cv2
силы сопротивления можно считать постоянным. Но задача о падении
тяжёлых тел в воздухе с большой высоты, когда уже приходится
учитывать изменение плотности воздуха с высотой, также является
важной, так как существо этой задачи как основной элемент входит
в ряд важных практических задач, как, например, о пикировании
самолёта, о полёте авиационных бомб и т. п. Из аэродинамики
известно, что в приведённом в § 138 выражении cv2 для силы
сопротивления воздуха коэффициент с содержит множителем плотность ρ
воздуха. Так как плотность воздуха изменяется с высотой, то можно
положить:
где р0 есть плотность воздуха у поверхности земли, т. е. при ζ = 0,
так что должно быть /(0)=1. В соответствии с изложенным
выражение для модуля силы R сопротивления воздуха должно иметь
следующий вид:
где с0 есть значение коэффициента с при z = Q. Что касается
функции / (z)t то она, будучи равной единице при 2 = 0, должна

138 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ΧΧΐχ
убывать с возрастанием ординаты ζ. Для стандартной атмосферы для
функции f(z) принят следующий вид, имеющий место до
стратосферных высот:
/(*) = (1— β*)», (29.21)
где
β = 0,000022574, /1 = 4,256,
a z — высота, измеренная в метрах. Вид формулы (29.21) можно
обосновать и теоретически.
В § 138 мы имели следующее дифференциальное уравнение
падения тяжёлой точки в среде, сопротивляющейся по квадратичному
закону:
Р &Ζ
ΤΊν=
т. е. для стандартной атмосферы:
Но так как будет:
dv dv dz dv с
~df ~~dz ~dt ~dz V ~d
то мы получим:
и Ζ л
Введём обозначение:
тогда предыдущему дифференциальному уравнению падения тяжёлой
точки в воздухе можно будет придать вид
-~Г^ = — 2g-\-2gKj(z) v2. (29.22)
UZ
Из уравнения (29.22) видно, что здесь постоянной критической
скорости vk) удовлетворяющей уравнению (29.22), быть не может; тем
не менее можно разыскивать такое значение переменного z> для
которого производная —^—— обращается в нуль. Это значение
переменного ζ соответствует экстремальному значению для квадрата
скорости тяжёлой точки; докажем, что этот экстремум есть максимум.
В самом деле, взяв производную по ζ от обеих частей уравнения
(29.22) и учитывая, что для экстремума должно быть ^ ■ = 0, мы
получим:

§ 139] ПАДЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ В СТАНДАРТНОЙ АТМОСФЕРЕ 139
Так как производная f (z) есть существенно отрицательное
количество, то экстремум для ν2 есть максимум. Таким образом, при падении
тяжёлой точки в стандартной атмосфере её скорость возрастает до
максимума, а затем начинает убывать, если высота падения настолько
велика, что этот максимум находится над земной поверхностью.
Предположим, что в момент t=0 тяжёлая точка начинает
падение с высоты z = H, имея начальную скорость νλ1 направленную
вертикально вниз. Заменим в уравнении (29.22) переменные ν2 и ζ
переменными η и у по формулам:
где h есть присоединённая высота, определяемая по формуле v'^ = 2gh;
мы получим:
/(2
(1 - рг)« = [1 - β (Я+h) + β (Я+ h)y\» =
Следовательно, уравнению (29.22) можно будет придать вид
или
rfy-'
Вводя обозначения
мы можем представить это уравнение в виде
|^ = 1-λ(1 + ^)"η. (29·23)
Если бы тяжёлая точка падала в пустоте с начальной скоростью
νχ = Y2gh, то в конце пути квадрат скорости точки был бы равен
по формуле (29.4) количеству 2g{H-\-h)\ таким образом,
количество η измеряет ту долю квадрата скорости 2g (//-(- Л), которую
составляет Квадрат скорости ν2 тяжёлой точки на высоте ζ при
падении этой точки в стандартной атмосфере. Далее, количество 1 —у
измеряет ту долю высоты H-\-h, которой равна высота ζ тяжёлой

140 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXI*
точки. Положим:
Ζ =4 (i+А;,)»-и.
Переходя от переменного у к переменному ζ, мы получим для Ζ
выражение, не зависящее от начальной скорости νλ тяжёлой точки,
а именно:
Z = 2gb- (I — β*)»+ι = Ζ0(1 — β*)»**. (29.24)
Интегрирование уравнения (29.23) не представляет затруднений, так
как достаточно применить способ изменения произвольных
постоянных, чтобы привести интегрирование этого уравнения к квадратуре;
но вследствие сложности подинтегрального выражения эту
квадратуру можно выполнить или численно или путём разложения подин-
тегралыюй функции в ряд. Однако, вводя некоторую новую
трансцендентную функцию, можно избежать этой квадратуры и получить
выражение для квадрата скорости тяжёлой точки через введённую
трансцендентную функцию в конечном виде.
Именно, введём две функции Д (Ζ) и /2 (Ζ), удовлетворяющие
следующим дифференциальным уравнениям:
^=1-Д.
(29.25)
Простыми подстановками в уравнения (29.25) нетрудно убедиться,
что решения этих уравнений, обращающиеся в нуль при Ζ = 0, будут:
Ζ2
(29.26)
Ряд для функции Д (Ζ) сходится при любом значении переменного Ζ,
так как всегда для всякого значения Ζ найдётся такой член этого
ряда, начиная с которого отношение последующего члена к
предыдущему будет меньше единицы; следовательно, ряд для
трансцендентной функции Д (Ζ) по принятой терминологии есть целый ряд. Что
касается функции /2(Ζ), то она выражается через известную
показательную функцию; разлагая эту показательную функцию в ряд,
получим и для функции /2(Ζ) целый ряд. Покажем, что уравнение
(29.23) имеет частный интеграл вида

§ 139) ПАДЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ В СТАНДАРТНОЙ АТМОСФЕРЕ 141
Для этого подставим приведённое выражение для η в правую и в
левую части уравнения (29.23). Вычисляя сначала левую часть
уравнения (29.23), будем иметь:
Из выражения, определяющего количество Ζ, находим:
поэтому будет:
Отсюда, принимая во внимание уравнения (29.25), получим:
•g-l~/1(Z)
ИЛИ
Заменяя последнее слагаемое Ζ его выражением через переменное у,
будем иметь:
В таком виде можно представить левую часть уравнения (29.23).
Заменяя в правой части уравнения (29.23) количество η его
значением, найдём:
= 1 - λ (1 + ky)ny + 2Д (Ζ) - X(1+*-y)"/t (Z) =
= 1 + Ζ/, (Ζ) - λ (1 + Ay)»/a (Ζ) - λ (1 -j- ^)пд,.
Так как правая и левая части уравнения (29.23) после подстановки
в них приведённого значения для η оказались тождественно равными,
то отсюда следует, что приведённое выражение для количества η
есть действительчо частный интеграл уравнения (29.23).
Для получения общего интегряла уравнения (29.23), который
должен содержать произвольное постоянное, проинтегрируем
уравнение (29.23) без свободного члена, т. е. уравнение

142 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXIX
Мы будем иметь:
интегрируя, получим:
или
где С есть произвольное постоянное. Общий интеграл уравнения
(29.23) можно представить как сумму найденного выше частного
интеграла и только что полученного интеграла уравнения без
свободного члена, а именно, в виде
η =У [1 -Λ {Z)\ + j IU V) —U (Zn + Ce'tt. (29.27)
Разности, стоящие в квадратных скобках формулы (29.27), всегда
будут положительными, в чём можно убедиться, например, из
рассмотрения приведённых несколько ниже таблиц для функций ft (Ζ)
и f2(Z). Чтобы определить произвольное постоянное С, будем
исходить из сделанного предположения, что тяжёлая точка начинает
падение с высоты Я, имея начальную скорость vv направленную по
вертикали вниз; обозначим соответствующие этому предположению
значения для количества η, у и Ζ через ηχ, ун и ΖΗ. Мы будем
иметь:
ρ %Л h Ί^h
Άλ ~ 2g{H + h) ~ 2g(H + h) ~ H+h' Ун~1 H+h~
т. е. ^=j/H. Поэтому из интеграла (29.27) мы получим:
1 -^~
0 = -Ун/х (zh) + Τ I/* (Zh) —ft (£я)1 + Се "+1.
или, заменяя количества уR и А их значениями,
^ Wt Ун) - (1 - РД) Уг (Zb) -f(ZR)] %L
Р(Я+Л) e ·
Введём обозначение:
κι β^Λ {Ζн) - (1 - рЯ) f/2 (ZB) -Λ {ΖΗ)\
тогда интеграл уравнения (29.23), удовлетворяющий выставленным
начальным значениям, будет иметь вид
h H\l-f2(Z-ZH)}. (29.29)

§ 139] ПАДЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ В СТАНДАРТНОЙ АТМОСФЕРЕ
143
Следовательно, зная высоту ζ тяжёлой точки, можно по формуле
(29.24) определить значение переменного Ζ, а отсюда по формуле
(29.29) найти значение переменного η и, наконец, по формуле
ν = V2g{H-\-h)t\ (29.30)
определить скорость ν падающей тяжёлой точки на высоте ζ.
Все эти вычисления значительно облегчаются, если имеются
таблицы функций Д (Ζ) и /2 (Ζ), вычисленные для разных значений
аргумента Ζ. Такие таблицы были вычислены инженером Иваном Кази-
мировичем Боровским с точностью в пять знаков после запятой;
здесь приводятся выдержки из таблиц Боровского, причём все числа
проверены и исправлены.
Ζ
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,00159
0,00319
0,00478
0,00637
0,00796
0,00954
0,01112
0,01270
0,01427
0,01585
0,02367
0,03142
0,03911
0,04673
0,05428
0,06177
0,06919
0,07655
0,08385
0,09108
0,09825
0,10536
0,11241
0,11940
h(Z)
0,00188
0,00380
0,00570
0,00760
0,00946
0,01135
0,01322
0,01510
0,01702
0,01884
0,02858
0,03735
0,04646
0,05548
0,06485
0,07328
0,08205
0,09074
0,09936
0,10788
0,11632
0,12470
0,13298
0,14118
Ζ
0,85
0,90
0,95
1,00
1,50
2,00
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
/ι (Ζ)
0,12633
0,13319
0,14000
0,14675
0,21110
0,27022
0,32443
0,37420
0,41991
0,46185
0,50040
0,53584
0,59836
0,65128
0,69612
0,73419
0,76656
0,87438
0,91866
0,94344
0,95710
0,96472
0,96923
0,14932
0,15738
0,16536
0,17326
0,24827
0,31650
0,37852
0,43491
0,48619
0,53201
0,57521
0,61375
0,68068
0,73600
0,78174
0,81955
0,85082
0,94238
0,97774
0,99140
0,99668
0,99874
0,99950
Из приведённых таблиц видно, что обе функции /г (Ζ) и /2 (Ζ)
стремятся к единице, когда аргумент Ζ неограниченно возрастает, что
для одного и того же значения аргумента Ζ функция /2(Ζ) больше
функции /г (Ζ), и что чем больше значение аргумента Ζ, тем
медленнее возрастают обе функции.
Чтобы вывести формулу для определения времени падения
тяжёлой точки, будем исходить из уравнения (29.30); из него мы имеем:

144 свободное прямолинейное движение тяжёлой точки [гл.
Из формулы (29.29) после простых преобразований мы легко полу,
чим:
Так как из определения агрумента Ζ следует, что будет:
то мы будем иметь:
У'Н
Положим, учитывая значения для λ и для ky что
П + 1
/г
где будет:
и введём обозначение:
- = (l - Мне»») [ 1 - β (Я+ Α)] η+\/Ζ0 = а,
тогда мы найдём:
^ = "у Aw+{/Z|l —Д (Ζ)] [1 — αΦ2 (Ζ)).
Далее из формулы Ζ = Ζ0(1—β^)η+1 мы имеем:
Следовательно, будет:
P (я + 1) J/Z»

§ 139] ПАДЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ В СТАНДАРТНОЙ АТМОСФЕРЕ 145
Отсюда получим:
«ν*. dt
ΖΖ/^Ζ) /ΐ-«Φι(Ζ).
или
Χ Ζ2»+2 V 1 —Д (Ζ) /1 — αΦ.2 (Ζ).
Трким обрязом, мы пришли к такому уравнению, которое содержит
только переменные Ζ и /. Но будет:
χ ri -
Поэтому, полагая
2П + 1
мы будем иметь:
§ = (и + 1) /2^2ге+J/Zo Фх (Ζ) /ΐ-
Отсюда мы находим для времени падения тяжёлой точки с высоты Η
до высоты ζ выражение
ζ
i_ f
(η + 1) V 2^β "1+|/Ζο 2Я «Ι (Z)V\- αΦ, (Ζ)
Для времени U падения тяжёлой точки на землю с высоты ζ = //,
которой соответствует знячение Ζ# перемечиого Ζ, до высоты
ζ = 0, которой соответствует значение Ζο переменного Ζ, мы
получим:
ζ,,
L — ί dZ (29.31)
Ю Зак. 487. А. И. Некрасов

146 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ΧΧΐχ
Функции Фг (Ζ) и Ф2 (Ζ) суть известные функции, зависящие только
от аргумента Ζ. Имея таблицы функций Д (Ζ) и Д (Ζ), нетрудно
составить таблицы функций Фх (Ζ) и Ф2 (Ζ) или вообще знать их
значения для любого значения аргумента Ζ; таким образом, численное
нахождение интеграла, стоящего в формуле (29.31), затруднений
представить не может.
§ 140. Закон сопротивления Сиаччи. Квадратичный закон
сопротивления воздуха перестаёт иметь место, если скорость тела
подходит к скорости звука или превышает её. Итальянский
исследователь Сиаччи (1839 — 19Э7) на основании экспериментов дал
закон, позволяющий учитывать сопротивление воздуха для скоростей,
изменяющихся в очень больших пределах. В настоящее время при
артиллерийских расчётах часто пользуются законом Сиаччи.
Если тяжёлая точка летит вертикально вверх, то сила Ρ её
тяжести и сила R сопротивления воздуха обе стремятся уменьшить
скорость точки; поэтому уравнение движения тяжёлой точки будет:
или
dt % Ρ '
Если тяжёлая точка летит вертикально вниз, то сила Ρ её тяжести
стремится увеличить скорость точки, а сила R сопротивления
воздуха стремится уменьшить скорость точки; поэтому уравнение
движения тяжёлой точки будет:
ИЛИ
dt L P '
Очевидно, что количество ^- имеет размерность ускорения; Сиаччи
обозначает это количество через / и представляет его в следующем
виде:
I=cf(z)F{v). (29.32)
Здесь с есть так называемый баллистический коэффициент;
функция f (г) представляет изменение плотности с высотой, причём будет
^(0) = 1; функция F(v) есть функция Сиаччи, таблица которой
приведена ниже. Баллистический коэффициент имеет следующее
выражение:

§140]
ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ СИАЧЧИ
147
где Ρ есть вес снаряда в килограммах, d — диаметр снаряда в метрах,
/ — коэффициент формы снаряда, определяемый для каждого типа
снарядов экспериментально и для обычных артиллерийских снарядов,
вообще, близкий к единице. Таким образом, оба предыдущих
уравнения можно представить следующим образом:
' dt'
(29.33)
Интегрировать эту систему совместных уравнений можно лишь
численно, так как функция F(v) дана таблично. Эта таблицп,
заимствованная из книги Вентцель и Шапиро «Внешняя баллистика»
(ч. III, изд. 1939 г.), имеет следующий вид:
V
0 м/сек
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
ПО
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
F(v)
0,000
0,012
0,048
0,109
0,194
0,302
0,436
0,593
0,774
0,980
1,21
1,47
1,74
2,05
2,38
2,74
3,12
3,52
3,96
4,43
4,92
5,45
6,01
6,61
7,26
7,96
1 ·
260
270
280-
290
300
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
450
460
470
480
490
500
510
F(v)
8,78
9,73
10,97
12,80
15,45
18,73
22,32
26,00
29,72
33,44
37,12
40,77
44,39
47,97
51,53
55,08
58,62
62,15
65,69
69,24
72,79
76,36
79,92
83,50
87,09
90,68
ν
520
530
540
550
560
570
580
590
600
610
620
630
640
650
660
670
680
690
700
710
720
730
740
750
760
770
F(v)
94,28
97,88
101,5
105,1
108,7
112,4
116,0
119,6
123,2
126,9
130,5
134,1
137,8
141,4
145,0
148,7
152,3
156,0
159,6
163,3
166,9
170,6
174,2
177,8
181,5
185,1
ν
780
790
800
810
820
830
840
850
860
870
880
890
900
910
920
930
940
950
960
970
980
990
1000
F{v)
188,8
192,4
196,1
199,7
203,4
207,0
210,7
214,3
218,0
221,6
225.2
228,9
232,6
236,2
239,8
243,5
247,2
250,8
254,4
258,1
261,7
265,4
269,0
Если бы сопротивление воздуха подчинялось квадратичному за-
F(v)
кону, то отношение
было бы постоянным; однако на основании
закона Сиаччи это отношение представляется графиком, изображён-
10*

148 СВОБОДНОЕ ПРЯхМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ [ГЛ.
ным на черт. 261. Из этого грпфика видно, что, подчиняясь
приблизительно до скорости 200 м/се/с квядратичному закону, между 200
и 400 м\сек, т. е. в области скорости звука в воздухе,
сопротивление поздуха сравнительно с квадратичным законом возрастает весьма
/00 200 300 Ш 500 600 100 600 900 100 0 1100 /200м/сеЦ
Черт. 261.
быстро, после же 550 м\сек оно медленно убывает сравнительно
с сопротивлением по квадратичному закону. *
Конечно, если изменением плотности воздуха с высотой можно
пренебречь, причём движение тяжёлой точки происходит вблизи
земной поверхности, то можно положить f(z)=\9 и система (29.33)
дифференциальных уравнений движения тяжёлой точки приводится
к более простой системе:
ft = + g-cF(v), * = ±§. (29.34)
Очевидно, что в этом случае первое уравнение можно интегрировать
независимо от второго.
§ 141. Примеры. 1С8. Показать, что при свободном падении тяжёлой
точки в пустоте без начальной скорости проходимые точкой за одну секунчу
пути пропорциональны нечётным числам. В самом деле, обозначим через
,si+i путь, пройденный тяжёлой точкой за/+1 секунд, а через Sf — путь,
пройденный точкой за / секунд; мы имеем:
Отсюда для расстояния, проводимого тяжёлой точкой в одну секунду,
находим выражение:
**= f
т. е. предложение доказано.
109. Как следует изменять коэффициент при степени скорости тяжёлой
точки в выражении для силы сопротивления, чтобы при любом степенном

§ 141] примеры 149
законе сопротивления среды критическая скорость тяжёлой точки при
изменении веса этой точки оставалась неизменной. Пусть закон сопротивления
имеет вид cvv-, где μ. есть любое положительное число. Тогда
дифференциальное уравнение падения тяжёлой точки будет:
или
dv eg
Мы удовлетворим этому уравнению, взяв для скорости ν такое постоянное
значение, чтобы было Ρ — cvv- = 0; отсюда для критической скорости vk мы
находим:
Из этой формулы видно, что для постоянства критической скорости
необходимо коэффициент с изменять пропорционально весу Ρ тяжёлой точки. Так
как изменение коэффициента с зависит от аэродинамической или
гидродинамической картины обтекания тела, то не всякое изменение коэффициента с
будет реально достижимым.
ПО. Найти, как изменяется скорость падения тяжёлой точки при
линейном законе сопротивления, если вес точки увеличивается в два раза, а
коэффициент при скорости в выражении для сопротивления остаётся без
изменения; при этом дано, что начальная скорость тяжёлой точки равна нулю.
Полагая в формуле (29.8) ν1 = 0, имеем:
k
Так как η = —, то при увеличении веса тяжёлой точки в два раза
коэффициент η должен уменьшиться в два раза и сделаться равным -^. Таким
образом, обозначая через vr скорость тяжёлой точки с удвоенным весом,
имеем:
ngt _ngt
\ *~ 1-е ^~
= 2
z 2
η η
~2
Отсюда находим:
nyt ngt
ν \ e-nyt _VJE- „V^L not *
(\-e *)(\+e 2) \+e 2
Мы видим, что с возрастанием времени t отношение —увеличивается и
стремится к двум, что согласно с формулой (29.9), так как при неограниченном
возрастании времени t скорость тяжёлой точки стремится к критической
скорости.

150 СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ΧΧΐχ
111. Определить скорость у поверхности земли тяжёлой точки, падающей
с высоты Я =5000 м при начальной скорости v1 = 241 м\сек, если дано,
что Log Xj = 6,92497. Для решения этой задачи обратимся к формулам (29.28),
(29.29) и (29.30). Прежде всего мы находим:
h = 2960,3 м, k = 0,21905.
Следовательно, будет H + h = 7960,3 м. Далее мы получим:
Zo = 7,3125, Zfe = 3,8968
и отсюда будем иметь:
/, (Ζο) =/ι (7,312) = 0,66518; /2 (Zo) -/2 (7,312) = 0,75018;
/ι (ΖΗ) =Λ (3,897) = 0,45321; /2 (ΖΗ) =/2 (3,897) = 0,52221.
Вычисляя количество ΝΗ по формуле (29.28), получаем ΝΗ = — 0,14066. После
этого по формуле (29.29) без труда находим η = 0,59837. Отсюда будем
иметь:
ν2 = 305,7 м/сек.
Оставляя без изменения все остальные условия этого примера, примем только,
что начальная скорость ν1 равна нулю; Тогда будет:
h = 0, H+h = 5000 м, k = 0,12723.
Вычисляя количество NH, получим NH = —0,6681 и после этого найдём, что
η = 0,6i>386. Отсюда будем иметь:
v2 = 256,0 м/сек.
Таким образом, наличие начальной скорости в 241 м/сек на высоте 5000 м
увеличивает скорость тяжёлой точки у поверхности земли на 49,7 м\сек, т. е.
на 19,7% от 256,0 м\сек.
112. Тяжёлая точка направлена с земли вертикально вверх со скоростью
400 лг/сек, причём дано, что её баллистический коэффициент равен единице.
Найти, через сколько времени tr скорость этой тяжёлой точки сделается
равной 30U м\сек. Так как скорость в 400 лг/сек превосходит скорость звука
в воздухе, то для учёта силы сопротивления воздуха следует обратиться
к таблицам Сиаччи. Так как будет с = 1, то, пренебрегая изменением плэт-
ности воздуха с высотой, мы получим следующее уравнение движения
тяжёлой точки:
dv
g
где F (ν) есть функция Сиаччи, таблицы которой приведены в § 140. Отсюда
мы имеем:
, dv
9,81+/*»·
Интегрируя это равенство по t от 0 до V\ а по υ от 400 до 300, будем
иметь:
300 400
dv
dv
.! 9,81 -f F(v) . 9,81 -\-F(v) *
400 300

§ 141]
ПРИМЕРЫ
151
Для вычисления последнего интеграла, обращаясь к таблице значений
функции Сиаччи, получим:
1
9,81-f-У-
Σ — Δ
dv
300
9,81 +F (ν)
300 м\сек
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400 м\сек
1
25,26
1
28,54
1
32,13
1
35,18
1
39,53
1
43,25
1
46,93
1
"5058
1
о4,20
1
57,78
1
61,34
= 0,0396
= 0,0350
г 0,0311
= 0,0279
= 0,0253
: 0,0231
= 0,0213
: 0,0198
= 0,0184
= 0,0173
: 0,0163
0,0396
0,0746
0,1057
0,1336
0,1589
0,1820
0,2039
0,2231
0,2415
0,2588
0,2751
0,0396
0,0373
0,0353
0,0337
0,0324
0,0313
0,0304
0,0297
0,0292
0,0284
0,0279
0,0000
0,0373
0,0704
0,0999
0,1265
0,1507
0,1729
0,1934
0,2123
0,2304
0,2472
0,000 сек
0,373
0,704
0,999
1,265
1,507
1,729
1,934
2,123
2,304
2,472 сек
Таким образом, изменение скорости рассматриваемой тяжёлой точки
с 400 до 300 м/сек при её движении вертикально вверх в воздухе
произойдёт в течение f = 2,47 сек. При движении тяжёлой точки в пустоте такое
изменение её скорости произойдёт в течение = ^-г— = 10,19 сек, причём
& У,о I
в пустоте за этот промежуток времени тяжёлая точка переместится вверх на
расстояние
400+ 300 · 10,19 = 350 · 10,19 = 3566,5 м.
В воздухе перемещение точки должно быть значительно меньшим, так как
при тех же скоростях оно движется не 10,19 сек, а 2,47 сек. Пэрядок
перемещения тяжёлой точки в воздухе мы можем оценить, умножив среднее
арифметическое из её крайних скоростей на промежуток времени 2,47 се/с;
мы получим:
350 · 2,47 = 864,5 м.

152
СВОБОДНОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ΧΧΐχ
Отсюда следует, что мы не сделали большой ошибки, пренебрегая
изменением плотности воздуха с высотой. Пройденный тяжёлой точкой путь в
воздухе можно приближённо найти численным интегрированием второго из
уравнений (29.34), т. е. интегрированием равенства dz = vdt. Обозначая
через Δ^ промежуток времени, в течение которого скорость тяжёлой точки
изменяется на 10 м/сек, мы имеем:
V
V-10
dv
9,81
dv
9,81+F (ν) '
400 400
Очевидно, что это равенство можно ещё представить в изменённом виде:
400 ν 400
At:
/» Λ /»
ι civ I dv j
= J 9,81+ /·'(*) J 9,81-]-r'(^) "" J "^
300 400 300
dv
9,81
v-10
Γ
J
400
9,81
-;
300
г?-10
dv
9,81
_ Г dv_
J 9,81 +t
Следовательно, мы получим промежутки М времени, вычитая
последовательно друг из друга ччела последнего столбца предыдущей таблицы.
Применяя способ трапеций для определения изменения Аг высоты тяжёлой точки
в каждом промежутке, мы придём к следующей таблице:
ν (м/сек)
400
390
380
370
360
350
340
330
320
310
300
Δ*{сек)
0,168
0,181
0,189
0,205
0,222
0,242
0,266
0,295
0,331
0,373
Αζ(μ)
66,360
69,685
70.875
74,825
78.810
83,4£0
89,110
95,875
104,265
113,765
* (сек)
0,00
0,17
0,35
0,54
0,74
0,96
1,21
1,47
1,77
2.10
2,47
Ζ(Μ)
0,0
66,4
136,0
206,9
281,7
360,5
444,0
533,1
629,0
733,3
847,1
Полезно обратить внимание на то, что найденная оценка высоты в 864,5 м
достаточно близко подходит к полученной высоте в 847,1 м. Мы убеждаемся
из полученных результатов, что движение тяжёлой точки в возтухе при
рассмотренных скоростях весьма значительно отличается от движения её в
пустоте. В этом нет ничего удивительного, так как в пустоте скорость тяжёлой
точки изменяется вследствие наличия одного ускорения g = 9,81 м/сек2, в
воздухе же к этому ускорению присоединяется ускорение / от наличия
сопротивления воздуха, которое при скорости 300 лг/сек в 1,57 раза больше
ускорения g, а при скорости 400 м/сек уже в 5,25 раза больше ускорения g,
вызываемого силой тяжести.
113. Исходя из формулы (29.20), выразить явно время U падения тяжёлой
точки при квадратичном законе сопротивления через время t\ её подъёма.

§ 141] примеры 153»
Положим agt} = χ и agto—y; тогда уравнение (29.20) примет вид
chу cos χ = 1
или
2 ~ cos χ
Отсюда приходим к квадратичному уравнению
COS Χ
Решая его, получим:
COS X Г COS2JC COS Χ
Положим * = ίϊ—w> тогда первое решение примет вид
„ 1 + cos и л (и \ (т. х\
еУ = —ц _ ctg -_ = ctg( K)t
sin и S\2J s\4 2/'
а второе решение примет вид
υ 1 — cos и
Это второе решение должно быть отброшено. В самом деле, из него при
χ = 0 получаем у = 0; но при возрастании количества χ правая часть будет
меньше, чем единица, тогда как при положительных значениях количества ут
которые мы только и должны рассматривать, левая часть всегда будет больше
единицы. Рассматривая же первое решение
мы в такое противоречие впасть не можем. Отсюда будем иметь:
-Υ1.
1 ,Г /те
ag L \4
Мы видим, что при tx = ψ— мы получаем для U бесконечно большое
значение, что уже было найдено в самом конце § 138.

ГЛАВА XXX.
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
§ 142. Гармоническое движение. В этой главе будут рассмотрены
различные случаи прямолинейного колебательного движения
материальной точки около её положения равновесия. Изучение прямолинейного
колебательного движения материальной точки важно потому, что
с качественной стороны оно выясняет все основные особенности
колебательного движения даже самых общих материальных систем.
Колебательное же движение систем имеет для техники большое значение:
достаточно, например, указать на такие проблемы, как колебания
плпстинок, оболочек, колебания фундаментов под машинами,
колебания (вибрации) мостов, крыльев самолёта и т. п.
Примем прямую, вдоль которой осуществляет свои колебания
материальная точка, за ось абсцисс, а начало О координат возьмём
в том месте этой оси, где материальная точка находится в положении
равновесия. Будем считать, что основной силой, действующей на
материальную точку, является сила, пропорциональная первой степени
отклонения материальной точки от положения равновесия и
стремящаяся вернуть материальную точку в положение равновесия, т. е.
сила, действующая по закону упругой силы. Проекция X этой силы
на ось абсцисс будет Х =—Кх, где количество К положительно.
Вводя количество kr по формуле К= mk2, т.е. k=y — , получим
X — — mk-x. В § 129 мы видели, что если будет Х= — mk2x, то
согласно формулам (27.20) силовая функция U и потенциальная
функция V имеют выражения:
U = —
-*2 + const, V= -\-^x2 +const.
Отсюда мы будем иметь интеграл энергии в виде
mv2 . mk2 o
Пусть при v = 0 будет χ = а; тогда мы получим наибольшее
значение 1/тах потенциальной функции в виде Vmax = —γ- α2, так как ки-

§ 142] ГАРМОНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 155
нетическая энергия в этот момент будет равна нулю. Если же будет
равна нулю потенциальная энергия, то из интеграла энергии следует,
что в этот момент кинетическая энергия будет иметь наибольшее
значение Гтах. Находим также, что должно быть:
поэтому
или
Отсюда
мы получим
будем иметь
h
:
ι
:
Тт&х:
2 1
dx
dt ~~-
2
:fr5
+- (
max
k]/a2-
2
mk2
2
— x'1
-a*'
a2,
(30.1)
Рассматривая тот этап движения материальной точки, когда с
течением времени абсцисса этой точки возрастает, находим:
у а* — дг-
или
"(4)
= kdt.
Интегрируя и обозначая через ε произвольное постоянное, придём
к уравнению
arc sin (— J = kt -f- ε,
т. е.
x = as\n(kt + z). (30.2)
Мы видим, что материальная точка находится в гармоническом
колебательном движении. Как известно (т. I, § 64), величина а
называется амплитудой, а величина ε — начальной ф^зой, причём я и ε
суть постоянные интегрирования; величина k—y —есть круговая,
или циклическая, частота, период же § колебания материальной
точки равен:
^ /"|: (30.3)
Колебания материальной точки только под влиянием одной силы
Х= — mk2x, стремящейся вернуть точку в положение равновесия,
называются свободными колебаниями материальной точки. Это
движение материальной точки уже было рассмотрено в § 130, в примере 98.

156 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXX
Изложенное решение задачи о прямолинейных свободных колебаниях
точки является наиболее простым, так как для получения его пришлось
интегрировать уравнение лишь первого порядка, которое
непосредственно привелось в квадрптуре.
Но можно предложить и другие способы решения задачи о
прямолинейных свободных колебаниях точки без обращения к интегралу
энергии. Так как будет Х = — mk2x> то дифференциальное
уравнение движения материальной точки имеет вид
g = O. (30.4)
Согласно указаниям § 133 умножим обе части этого уравнения
на 2-37-; мы получим:
о dx ά1χ j <уъъх dx
или
Интегрируя, будем иметь:
(4^-)2 + ^2= const.
Если при х = а будет -—= 0, то находим:
т. е.
Этот приём, как уже было указано в § 133, представляет собой не
что иное, как повторение на чястном примере вывода интеграла
энергии. Дальнейшее интегрирование заканчивается так же, как было
указано выше в этом параграфе.
Наконец, к уравнению (30.4) можно применить и общую теорию
интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Именно, положим χ = еп, где г есть постоянное.
Вставляя это значение для χ в уравнение (30.4) и сокращая
результат подстановки на ert, получим:
это уравнение называется характеристическим уравнением. Корни
полученного характеристического уравнения будут:
г \ и ι/ Г ι и; г и ι/ ι ы

§ 142] ГАРМОНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 157
Следовательно, частные решения рассматриваемого дифференциального
уравнения (30.4) имеют вид
e + ikt e~ikt.
Сумма этих решений, умноженных на произвольные постоянные,
представит общее решение. Чтобы это общее решение было
действительным, возьмём за произвольные постоянные сопряжённые комплексные
количества, т. е. положим:
χ = ± (А — iB) e+ikt +1 (А + iB) е~ш9
где А и В суть действительные произвольные постоянные. Из
дифференциального исчисления известно, что будет:
e+ikt _ cos ы _j_ / sin ы9 e-ikt _ cos ы _ / sin ы%
Таким образом, выполняя умножения, мы получим:
χ = A cos Ы + В sin kt. (30.5)
Чтобы привести это равенство к виду (30.2), достаточно положить:
А == a sin ε, В = а cos ε.
Так как будет:
2 \dt ) ' 2 х '
то, пользуясь формулой (30.2), будем иметь:
= —γ- cos2 {kt + ε), V= ~2— sin2 (kt + ε),
или, возвращаясь к количеству /С,
Отсюда для средних значений кинетической и потенциальной
энергий за период найдём:
о
или
яг
="S1 Jcos2 (А/+ε> Λ· ^ = ?■ J

158 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXX
Но мы имеем:
J cos2 (kt+e)dt=Y j 2 cos2 (A/+ ε) dt =
о
4
f
1
0
J sin2(£/ + S)<# = l (
о
ч
о
Поэтому мы получим:
τ —Kcfi λ/ —№
1CP — 4 ' ρ — 4 '
Мы видим, что средняя кинетическая энергия за период колебания
материальной точки равна средней потенциальной энергии за тот же
период времени. Так как для полной энергии материальной точки
в силу полученных выражений для Τ и V мы имеем:
2
то средняя кинетическая энергия и средняя потенциальная энергия за
период колебания равны половинам полной энергии материальной
точки. Мы видим, что кинетическая энергия Г, потенциальная энергия V
и полная энергия Τ -\- V колеблющейся точки пропорциональны квад-
рсту амплитуды точки. Так как звук имеет своим источником
колебательное движение и сила звука зависит от энергии колебаний
тела, то тем самым делается понятным закон физики, по которому
сила звука пропорциональна квадрату амплитуды колебаний
звучащего тела.
§ 143. Колебания материальной точки с возмущениями.
Если на материальную точку действует сила, проекция которой на
ось Ох равна:
X = — Кх + Ρ s i n {pt -}- a),
где количества Ρ, ρ и α суть постоянные, то говорят, что
колеблющаяся материальная точка находится под дополнительным
воздействием возмущающей силы Ρ sin {pt -J- <*)> самые же колебания точки

§ 143] КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ С ВОЗМУЩЕНИЯМИ 159
называются колебаниями с возмущением. В этом случае
дифференциальное уравнение движения точки имеет вид
или
-777+—* = —si
Полагая, как выше, что—= k2, и обозначая частное —через Л, так
ЧТо Р==тА, имеем:
|^+ tfx = A sin (pt+а). (30.6)
Согласно общей теории интегрирования линейных дифференциальных
уравнений представим интеграл уравнения (30.6) в виде χ = χλ -f- x2f
где ΛΓο есть частный интеграл этого уравнения, не содержащий
произвольных постоянных, а х1 есть интеграл уравнения без правой части,
содержащий два произвольных постоянных, т. е. разобьём уравнение
на два уравнения:
Уравнение для хг тождественно с уравнением (30.4) и имеет
интеграл x1 = as\n(kt-\-e), где а и г суть произвольные постоянные.
Чтобы проинтегрировать уравнение для л:2, положим:
ос);
тогда получим:
^А _μ ft**2 = — р°-М sin (ρ/4- α) + k2M sin (P*+ α) =
= (fc2 — ρ2) Ж sin (pf+ α).
Вставляя это выражение в левую часть уравнения для лг2, будем иметь;
(£2_р2) ^ sin (pt-\-a) = A sin
или
Отсюда для постоянного Ж находим следующее выражение:

160 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. Χχχ
Таким образом, общий интеграл уравнения (30.6) будет иметь вид
х = а sin (kt + ε) + ^ sin (pt + ос), (30.7)
где первый член правой части формулы (30.7) представляет
свободное колебание материальной точки, а второй член правой части
представляет вынужденное колебание.
Если частота ρ возмущающей силы весьма мала сравнительно
2—
с частотой k свободных колебаний, т. е. период ^ = —— возмущаю-
щей силы очень велик сравнительно с периодом & = -^- свободных
колебаний, то для вынужденного колебания приближённо можно
положить:
Такое значение мы можем получить и непосредственно из уравнения
d-x Λ
движения точки, если положить в нем-^-=0, т. е. если пренебречь
ускорением материальной точки и, следовательно, определять
абсциссу χ статически, полагая, что в каждый момент времени будет
иметь место равенство
т. е.
χ = ^ sin (р/+ °0 = ηρ sin {pt~\- α).
Ρ Α
Поэтому выражение -^ sin(p^-f-a) = -^-sin(p/+a) называется
статическим отклонением материальной точки под действием
возмущающей силы. Обратно, если частота ρ возмущающей силы будет
весьма велика сравнительно с частотой k свободных колебаний, т. е.
период &Ί = —- возмущающей силы очень мал сравнительно с пе-
2τΐ
риодом §" = —jr свободных колебаний материальной точки, то для
вынужденного колебания приближённо можно положить:
дг2 = — — sin {pt -J- a) = — sin {pi + a -j- π).
Мы видим, что в этом случае вынужденное колебание —sin (ρί-\-α-\-π)
имеет фазу /7/ —|— ос —j— тс, тогда как возмущающая сила имеет фазу
pt-\-a, т. е. между вынужденным колебанием и силой существует
разность фаз, рпвн^я π. Из формулы (30.7) видно, что если
частота ρ возмущающей силы близка к частоте /е свободных колеба-

§ 143] КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ С ВОЗМУЩЕНИЯМИ 161
ний материальной точки, то амплитуда -т] τ вынужденного колеба-
к ρ
ния будет велика; она будет неограниченно возрастать, когда
частота ρ будет стремиться к частоте k. При ρ = k уравнение (30.7)
уже не будет иметь места, и чтобы найти вид вынужденного
колебания для этого частного случая, можно применить способ пределов,
т. е. рассмотреть решение при p = k как предел решений при
количестве р, отличном от k, но неограниченно приближающемся к k.
Так как в решении (30.7) количества а и г произвольны, то мы
можем придать им определённые частные значения; в этом случае
общее решение χ превратится в частное решение лг2, так как
содержать произвольных постоянных оно уже не будет. Именно, мы
положим:
А
тогда мы получим:
А
или
_ A s\n (pt+a) —sin (kt+a)
*2 ~~ p + k p — k
Полагая /; = k -f- Δ&, где приращение Δ& весьма мало, будем иметь:
A sin \(k + Ak) t + a] — sin {kt + a)
X2 —
2
Переходя к пределу, найдём:
А
Г
т. е.
x<> = -4;jk[s[n(kt+a)]> (30·δ)
или
Таким образом, уравнение
имеет частный интеграл вида
Непосредственной подстановкой полученного значения для лг2 в
уравнение (30.8) можно проверить, что лг2 есть действительно решение
И Зак. 487. А. И. Некрасов

162 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ.
уравнения (30.8). Следовательно, общий интеграл уравнения (30.8)
будет χ = х1-\-х2У где χλ есть общее решение однородного
уравнения, т. е. будет:
^( ^ (30.9)
где β и ε суть произвольные постоянные. Второй член правой части
формулы (30.9) представляет вынужденные колебания; мы видим, что
амплитуда вынужденных колебаний растёт пропорционально времени.
Это явление называется резонансом. Таким образом, мы приходим
к следующему определению:
Если период возмущающей силы равен периоду свободных
колебаний материальной точки, то получается явление резонанса)
при резонансе амплитуда вынужденного колебания материальной
точки растёт пропорционально времени, а фаза вынужденного
колебания материальной точки на -ψ больше фазы
возмущающей силы.
Мы видим, что даже если амплитуда Ρ*=ηιΑ возмущающей силы
мала, всё же амплитуда вынужденного колебания с течением времени
А Р
неограниченно растёт, так как она равна тгт-1 = κτ— t. Отсюда ясно,
какую большую опасность представляет для конструкций случай
резонанса, так как при нём даже небольшой возмущающей силой
можно вызвать в конструкции гибельные для неё колебания. На
принципе резонанса основаны известные из физики резонаторы Гельм-
гольца, предложенные последним для анализа звуков, усиливающие
из доходящей до них совокупности тонов лишь те тоны, периоды
колебаний которых равны их собственным периодам колебаний.
Если возмущающая сила разлагается в тригонометрический ряд
вида m^iAnsm(pnt-\-an)y то уравнение (30.6) принимает в этом
случае вид
+ *9* 2 Лп sin (pnt+ α J.
Повторяя прежние рассуждения, мы найдём, что общий интеграл
этого уравнения должен иметь вид
х = a sin (kt + ε) + V -^Ч- sin (pnt + αη).
»k~Pn
Предположим теперь, что проекция возмущающей силы на ось
Ох равна mv(t)> где φ(/) есть произвольная функция времени; тогда
уравнение (30.6) будет иметь вид

§ 143] КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ С ВОЗМУЩЕНИЯМИ 163
Применим для нахождения интеграла этого уравнения способ
изменения произвольных постоянных. Мы знаем, что уравнение (3J.10)
без правой части имеет интеграл вида (30.5); будем искать для уряв-
нения (30.10) интеграл того же вида, только вместо постоянных Л
и В возьмём некоторые функции времени С2 (t) и С2 (/), так что
интеграл уравнения (30.10) будем разыскивать в виде
х = Сх (t) cos kt -j- C2 (t) sin kt.
Отсюда будем иметь:
dx dC\ d Co
-п = -ТГ cos kt + -~ sin kt — kCx (t) sin kt -j- kC2 (t) cos kt.
Потребуем, чтобы производная — имела такой же вид, как если бы
С\ и С2 были постоянными, т. е. потребуем, чтобы было:
Тогда для второй производной мы получим:
,. out »ν* ι «ν ,. υυυ /ν*» ιν >^-1 \1) COO Kt
Вставляя найденное значение для второй производной -т^ и значение
количества χ в уравнение (30.10), найдём:
Таким образом, для определения двух функций Cx{t) и С2(/) мы
пришли к двум уравнениям:
Отсюда легко найдём:
Следовательно, будет:
t
C2(t) = η- Ι φ (τ) cos ^τ di -\- В,
И*

164 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. Χχχ
где ί0 есть произвольно взятое значение времени /, а Л и В—
произвольные постоянные. Заметим, что эти формулы но существу
содержат лишь два произвольных постоянных, так как мы не повлияем
на степень произвола, изменяя произвольные постоянные Л и В на
любые функции от произвольного количества /0. Отсюда будем иметь:
t
х = A cos kt -j- В sin kt -f- ^— Ι φ (τ) cos hi d-z —
cos kt f /
—£— | φ (τ)
t
) sin Ατέ/τ,
или
χ = Λ cos kt -\- В sin kt -f- -τ φ (τ) (sin kt cos kz — cos kt sin k~)dz,
to
T· &·
t
1 f
Из формулы (30.11) мы заключаем, что общее движение
материальной точки есть сумма собственного колебания материальной точки,
представляемого первым членом правой части, и вынужденного
колебания, представляемого вторым членом правой части формулы (30.11).
§ 144. Колебания материальной точки с затуханием.
Предположим, что на движущуюся вдоль оси Ох точку, кроме выше
рассмотренной силы с проекцией Кх, действует ещё сила, направленная
против движения точки и пропорциональная первой степени скорости
точки. Эта сила называется диссипативной (рассеивающей) силой,
так как при её действии на материальную точку происходит
рассеяние механической энергии движущейся точки. Проекцию
диссипативной силы на ось Ох можно представить в виде — G-rr , где
G > 0; знак минус при проекции стоит вследствие того, что эта
сила направлена в сторону, противоположную скорости. Следовательно,
дифференциальное уравнение движения материальной точки в
рассматриваемом случае будет иметь вид
— = ~Ar —G —
или
"d£l ' m dt * т

§ 144] КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ С ЗАТУХАНИЕМ 165
Введём, как выше, для отношения — обозначение k2 и положим
т
—- = 2[х, т. е. О = 2jxw, где будет у. > 0. Коэффициент jx называется
коэффициентом вязкости. Отсюда для уравнения движения точки
мы получим следующее дифференциальное уравнение:
Чтобы проинтегрировать это дифференциальное уравнение с
постоянными коэффициентами, положим, следуя общему приёму, x=erf.
Вставляя это выражение для χ в уравнение (30.12) и сокращая
результат на ert, придём к следующему характеристическому
уравнению:
Решая это уравнение, получим два следующих корня:
Предположим сначала, что \l < k\ это предположение представляет
наиболее часто встречающийся на практике случай. Тогда значение
корней характеристического уравнения можно будет представить
в виде
г = — \ι ± i Vk2 — \i?,
и частные интегралы уравнения (30.12) будут иметь вид
Чтобы общий интеграл этого уравнения был действительным, возьмём,
как выше, за произвольные постоянные сопряжённые комплексные
количества, т. е. положим:
χ = -L· (Л — IB) e-*t+iVk'-^ -f -γ (Α + IB) e-v*-
заменяя показательные функции через тригонометрические и
выполняя умножения, будем иметь:
х = Ae-v* cos iVW — ^t) -j- Be-** sin (/^2 — \i2t).
Отсюда, полагая, как выше, что A = asins и 5 = «coss, получим:
χ = ae-v* sin (Vk2 — |x2*-f ε), (30.13)
где α и ε суть произвольные постоянные.
Интегрирование уравнения (30.12) можно выполнить ещё иначе.
В самом деле, положим:
х = е~'М и,

166 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXX
где и есть искомая функция времени /. Тогда будет:
+ .-
Встявляя эти значения для χ и его первых производных в уравнение
(30.12), получим после приведений и сокращения результата на е~&
уравнение
Если k2 — |А9>0, то это уравнение имеет вид уравнения (30.4);
следовательно, будет:
и = asm(Vk* — \i2έ-\- г) и χ = ае~*-* sin (]/&2 —
т. е. мы приходим к решению (30.13).
Движение, определяемое уравнением (30.13), строго говоря, не
является периодическим, тем не менее, так как движущаяся точка
2т:
через равные промежутки времени §' = ^ проходит через
равновесное положение, двигаясь в одну определённую сторону,
а также через равные промежутки времени §' получает максимальное
отклонение в данную сторону от равновесного положения, то и в случае
затухающих колебаний можно условно говорить о периоде колебаний
—μ*
Сравнивая период затухающих колебаний с периодом
гармонических колебаний, которые имеют место при отсутствии диссипатив-
ной силы,
мы видим, что наличие диссипативной силы увеличивает период
колебаний. Разлагая выражение для периода сГ7 в ряд, имеем:
ι
Ψ — 2π Λ i*!\ ' _ 2r·
т. е. период колебаний возрастает на величину второго порядка
относительно коэффициента μ вязкости.
Назовём наибольшее отклонение движущейся материальной точки
в ту или другую сторону от равновесного положения размахом

§ 144] КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ С ЗАТУХАНИЕМ 167
колебания. Обозначая последовательные размахи через α'χ, #', а'^ ...
..., a'nV a'ih, ..., после несложных выкладок получим:
a..=
й»-,
а У К- -
k
а У №-
k
а Уk^-
а У k2-
a УЖ^
-μ2
-μ2
-μ2
-μ2
-μ2
где для сокращения через ^ обозначена величина
1
arctg
т. е. наименьшее значение времени t, при котором будет — = 0.
Отсюда видно, что все размахи удовлетворяют уравнению
Таким образом, размахи колебаний при наличии диссипативной силы
убывают по закону показательной функции, по аналогичному закону
убывает и скорость колебаний. Это значит, что движение
материальной точки стремится прекратиться, причём коэффициент вязкости <х
влияет на размахи колебаний в первой степени. Отсюда следует, что
механическая энергия движущейся точки должна превращаться в
другие формы энергии, уже не учитываемые теоретической механикой,
так как энергия исчезнуть не может. Находя отношение двух
последовательных размахов колебания, происходящих в одну и ту же
сторону, имеем:
' р-п\>.&
Следовательно, должно быть:
l(%i) (30.14)

168 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXX
Стоящий в правой части формулы (30.14) неперов логарифм
отношения двух последовательных размахов колебания в одну и ту же
сторону называется логарифмическим декрементом. Согласно
формуле (30.14) значение коэффициента μ вязкости можно определять
опытным путём, наблюдая размахи и период колебания материальной
точки.
Предположим затем, что будет μ = k; тогда характеристическое
уравнение примет вид
т. е. корень г = — k будет его двойным корнем.
Из теории дифференциальных уравнении известно, что в этом
случае уравнение (30.12) имеет два независимых решения:
е~ш% te-Jit;
в этом можно убедиться и непосредственно, подстявляя эти
решения вместо переменного χ в уравнение -^j- -f- 2k —r- -(- k2x = 0. Когда
переменное t неограниченно возрастает, второе решение te~kt
стремится к нулю. В самом деле, применяя способ раскрытия
неопределённостей, известный из дифференциального исчисления, мы должны
взять производную по t от числителя и знаменателя дроби -^-; мы
получим:
Ш (У) =0·
Общий интеграл уравнения (30.12) при \i = k будет:
-Mf (30.15)
где Ct и С2 суть произвольные постоянные. Мы видим, что при
неограниченном возрастании времени / абсцисса χ материальной точки
апериодически стремится к нулю, т. е. материальная точка
апериодически приближается к положению равновесия.
Предположим, наконец, что будет μ > k\ тогда общий интеграл
уравнения (30.12) будет иметь вид
х — С β-{*ίτ*ν-λ··'ί J_ с β-μ.*-νν-λ2ί (30 16^
где d и С2 суть произвольные постоянные. Так как будет:
то, представляя общий интеграл в виде
мы заключаем, что при неограниченном возрастании времени /
координата χ апериодически стремится к нулю. Таким образом, если

§144]
КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ С ЗАТУХАНИЕМ
169
μ < k, то мы получаем затухающие колебания материальной точки
около положения равновесия; если же будет μ = k или μ > k, то мы
получаем апериодическое приближение материальной точки к её
положению равновесия.
На практике иногда бывает, что коэффициент μ зависит от
некоторого параметра W и при изменении этого параметра может из
положительного делаться отрицательным, проходя через значение нуль;
в этом случае уравнение (30.12) имеет вид
2^£ _1_ 2μ (W) 4r + ^2х == 0. (30.17)
Предположим, что функция μ(Ι^) убывает с возрастанием параметра W
и обращается в нуль при W= WKV. Тогда будет μ > 0 при №< 1^кр;
«х ===== 0 при W=WK?; μ<0 при W>WRV. Обозначим отрицательное
значение коэффициента μ через —λ, так что при W> WKV будет
μ =» — λ, где λ > 0. Легко видеть, что в зависимости от значений
коэффициента μ уравнение (30.17) при β>|μ| будет иметь
следующие интегралы:
Kp: μ>0;
х =
sin
μ2 έ-\- ε),
т. е. затухающие колебания около точки χ = 0.
2) W=WR?; μ=0;
x = asin(kt-\-e)y
т. е. гармонические колебания около точки лг = О.
3)^>WV, μ<0; μ = — λ, гдеА>0;
χ = ae™ sin (Vk2 —14 -f ε),
т. е. колебания с неограниченно растущими размахами около точки
* = 0.
Мы видим, что значение Wnv параметра W является критическим
значением, так как при переходе через него мы из облясти
затухающих колебаний попадаем в область колебаний с неограниченно
растущими размахами. При сколько-нибудь заметном значении
коэффициента λ размахи здесь растут быстрее, чем при резонансе, как
это можно усмотреть из следующей таблицы:
t
0
1
2
3
4
5
Резонанс
at
0
а
2а
да
Аа
Ъа
ае°'и
а
1,105л
1,221 я
1,351а
1,492а
1,649а
а
1,649я
2,718а
4,482а
7,389а
12.183а
а
2,718а
7,389а
20,086а
54,598а
Ы8,413а

170 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXX
Такой случай имеет, например, место при колебаниях крыльев
самолёта, причём параметром W является скорость полёта. Пока
скорость W самолёта остаётся меньшей критической скорости WKp
полёта, колебания крыльев самолёта происходят по закону 1) и,
следовательно, будут безопасными для самолёта; если же скорость
самолёта превзойдёт критическую скорость WKp полёта, то колебания
крыльев будут происходить по закону 3), т. е. крылья самолёта
сломаются с чрезвычайной быстротой. Такое явление у самолёта
называется флаттером. Физическая причина флаттера лежит в том,
что при большой скорости полёта самолёта раскачивающие крыло
самолёта аэродинамические силы, которые возрастают
пропорционально квадрату скорости полёта самолёта, получают перевес над
силами, успокаивающими колебания крыла, к числу которых отно*
сктся и силы упругости, очевидно, не зависящие от скорости полёта
самолёта.
§ 145. Колебания материальной точки с затуханием и
возмущениями. Предположим, что на материальную точку, которая может
двигаться по оси Ох, действует сила, проекция X которой на ось Ох
равна:
т. е. сила с проекцией X состоит из силы, действующей по закону
Гука, диссипативной силы и возмущающей силы, действующей по
гармоническому закону. Тогда уравнение движения материальной
точки будет:
сРх „ r> dx
m _______ —— _____ Ιζ \* ____ ι » _____
CLt Ctt
ИЛИ
dt2 ' m dt * m m
G Κ Ρ
Положим, как выше:— = 2μ, — = k2, —=Л; тогда получим:
Согласно общей теории интегрирования линейных уравнений будем
искать решение уравнения (30.18) в виде χ = χλ-\-χ%, где хх есть
общее решение полного уравнения, не содержащее произвольных
постоянных, т. е. функции х^ и лг2 должны удовлетворять
уравнениям:

§ 145] КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ С ЗАТУХАНИЕМ И ВОЗМУЩЕНИЯМИ 171
Предполагая, что k > μ, из формулы (30.13) получим:
Χχ = ае~** sin (У& — \i4-\- г),
где айв суть произвольные постоянные. Будем искать частный
интеграл х2 в виде
лг2 = Ж sin (pt-\- α) -(- /Vcos (pt~\- α).
Дифференцируя это значение для лг2 дважды по времени /, получим:
—^- = рМ cos (pt-\-а) —pNsin(p/-|-a),
~^г = — р2М sin (pt-\-<x) — p*N cos (ρέ+<χ).
Вставляя значения переменного х2 и его двух первых производных
в уравнение для х2 и собирая коэффициенты при sin(p/-j-a)
и cos(p/-|-ос), будем иметь:
) sin
+ (—pW-j- 2[хрЖ + Ai2iV) cos (pt + a) = Л sin (pi + a).
Мы удовлетворим этому равенству тождественно, положив:
— р2Ж — 2ap/V-}- ^Ж = О,
— pW-\- 2\ιρΜ-\-№Ν = Л,
или
(£2 — р2)АГ — 2^рЛ^=Л,
2μρΛΤ + (Α2—ρ2) Л^ = 0.
Решение этой системы уравнений относительно Μ и N даёт:
Следовательно, мы получим:
(& -ρΨ + 4^2 sin (ρ/ + a) - {k2 _ρψ + 4μ2ρ2 cos (ρ/ + ос) j.
Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно представить ещё
иначе. В самом деле, так как дроби
меньше единицы каждая, а сумма их квадратов равна единице, то
можно положить:
= coso, г =sin Q>

172 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXX
т. е.
Отсюда будем иметь:
л
[cos δ sin
ИЛИ
лг2 = - А sin (p/+«—δ)·
Таким образом, общий интеграл уравнения (30.18) имеет вид
х = шГ'а' sin (Yk? — }>? t-\- ε) -f
Л sin (p/-f α — δ). (30.19)
3 ^ \ j
Мы видим, что возмущающей силе Ρ sin (pt-\-а) = тА sin(p/-j- α)
соответствует вынужденное колебание:
===- sin(p/-j~a — δ),
причём амплитуде Р = тА силы соответствует амплитуда
А ·
вынужденного колебания и фазе p/-j-a силы соответствует фаза
ρέ-\-α — δ вынужденного колебания. В случае p = k интеграл (30.19)
принимает вид
х = ае~**sin{VW+&ί + β) + -£ь sin(pt+ « -
т. е.
л: = ^"^ sin (Vk2 — μ2/+ ε) — -^L cos (p^+ a). (30.20)
Мы видим, что при наличии диссипативной силы при p = k
амплитуда вынужденных колебаний не содержит время множителем; поэтому
при наличии диссипативной силы амплитуда вынужденного
колебания неограниченно не возрастает. Однако, если диссипативная
сила очень мала, т. е. если коэффициент μ очень мал, то амплитуда
вынужденных колебаний вблизи значения ρ = k может быть весьма
большой, так как коэффициент \ι входит множителем в знаменатель
для выражения амплитуды вынужденного колебания. Поэтому и при
наличии диссипативной силы можно говорить о явлении резонанса
вблизи значения частоты возмущающей силы ρ = k. Однако при этом
надо иметь в виду, что максимум амплитуды не соответствует в точ-

§ 145] КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ С ЗАТУХАНИЕМ И ВОЗМУЩЕНИЯМИ 173
ности значению ρ = к. Так как при всякой реальной задаче дисси-
пативная сила существует всегда, то в случае резонанса во всякой
реальной задаче движение материальной точки совершается не но
формуле (30.9), а по формуле (30.20).
Предположим теперь, что проекция на ось Ох действующей на
материальную точку силы равна:
X = _ mk*x — 2ηι\ι ή£-
где φ(/) есть произвольная функция времени t; тогда
дифференциальное уравнение движения материальной точки будет:
Чтобы легче найти интеграл этого уравнения, сделаем подстановку
х — е'^и, где и есть некоторая функция от времени /. Выполняя
те же вычисления, как в § 144, мы получим:
~«* и = о (t),
или
Это уравнение имеет такой же вид, как уравнение (30.10), так как
достаточно заменить в последнем количества k2 и φ(/) на k2 — \ι-
и е*г o(t), чтобы получить рассматриваемое уравнение. Поэтому мы
получим интеграл рассматриваемого уравнения по формуле (30.11)
в виде
и = a sin (Vk2 — α2 ^+ ε) -f-
t
+ .-L_ f ^τ φ (τ) sin H/^qS (/~ τ)] Λ,
У^- —μ- J
U
где α и ε суть произвольные постоянные. Следовательно, общий
интеграл уравнения (30.21) имеет вид
х = ае** sin
in (|/"/е2 —μ.2 /+ ε) -f
4- / I ^> (τ) sin [|/^2 — μ2(t—τ)] άτ. (30.22)
У^ — μ2 J
Формула (30.22) соответствует формуле (30.11), выведенной для
случая отсутствия диссипативной силы.

174 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXX
§ 146. Примеры. 114. Найтк движение материальной точки по оси Ох,
если проекция на ось Ох действующей на точку силы равна:
X = — т№х +
Так как дифференциальное уравнение движения точки будет:
то интеграл этого уравнения мы найдём по формуле (30.11), полагая
φ (t) = Ае~^г'; этот интеграл имеет вид
t
.AL-v--
s\n k (t — τ) άτ.
Хотя вычисление интеграла в формуле для χ и несколько длинно, но мы его
выполним до конца, так как отсюда будет ясно, что нижний предел t0
определённого интеграла не представляет третьего независимого постоянного;
таким образом, интеграл рассматриваемого дифференциального уравнения
содержит только два произвольных постоянных, на что уже было указано
в § 143 при выводе формулы (30.11). Вычислить интеграл в выражении для χ
можно интегрированием по частям, но можно применить и следующий приём,
который несколько быстрее ведёт к цели. Именно, рассмотрим два интеграла:
t t
Ix = f e~^ cos k (t — τ) dx, /2 = f e~^ sin k(t — z) dv,
to to
интеграл /2 входит в формулу для х. Умножая второй интеграл на / и
прибавляя к первому, имеем:
t t
I1 -f- il2 = f e~*~ [cos k (t — i) + i sin (t — τ)] dz = Г е~*х eih u"t) dz,
U U
т. е.
Вычисляя последний интеграл, получим:
Выполняя умножение и освобождаясь от мнимости в знаменателе, после
простых преобразований будем иметь:
/ . и- fa —Ik)е~** с;ыс-^ (p — ik)(coskto—isinkt0)
1 μ2 -f- k" μ- -\- k2
Полагая для краткости:
-Ко (μ — ik) (cos kt0 — i sin kt0) __ ___ . v

§ 146] примеры 175
где постоянные Μ и N равны:
ал — „-fr*o Η» COS kto — ksin ktp KT ^y.fa k COS kt0 + μ Sin ktQ
1 2 + ** ' ™-e Ί& + & '
получим:
Отсюда находим:
-f Afcos «+ Nsin
+ '[ *л-ъ» + M sin kt — Ncos kt) ·
ν μ г* r~ /
Следовательно, количество /2 будет иметь вид
be
/2 = к а + Aisin А?/ — N cos A?/.
Вставляя найденное значение для /2 в формулу для х, получим:
Л * AM AN
х = а sin (kt + ε) + WA *е~*г + -^- sin /г/ — ^- cos Л/.
Л- ~у~ μ** К К
Раскрывая синус суммы (kt-{-e) и полагая
.AM AN
a cos ε -| — = #j cos 6lf a sin ε —- = a^ sin elr
находим окончательно:
Δ
χ = αλ sin (kt-\- 8j) +
где #j и ε} суть произвольные постоянные. Из этих вычислений видно, что
три постоянные α, ε и t0 на самом деле приводятся лишь к двум
произвольным постоянным tfj и Ej. Следовательно, не нарушая общности решения,
можно взять для ?0 какое-нибудь частное постоянное значение. Если мы
возьмём в этой задаче для количества t0 бесконечно большое значение, то
быстро придём к уже найденному ответу. В самом деле, так как будет:
' μ + ik C μ2 + k1
TO
A»5
и решение для л: получает вид
х = а sin
где й и ε суть произвольные постоянные. Из этого решения следует, что
с течением времени движение материальной точки асимптотически
приближается к чистому гармоническому колебанию.

176 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXX
Но гораздо проще получить решение дифференциального уравнения
движения материальной точки в этом примере следующим путём. Замечая,
что производные от функции e~vt содержат ту же функцию, будем искать
частный интеграл рассматриваемого дифференциального уравнения в виде
х2 = Се~^у где С есть некоторое постоянное. Вставляя это значение для х2
в "рассматриваемое дифференциальное уравнение, получим:
откуда
С- А
Следовательно, будет:
_/ А
Xi> — ~Г7>—;—
Присоединяя к частному интегралу х2 интеграл хх = a sin (kt -f- г)
однородного уравнения, получим общий интеграл:
χ = a sin А
что согласно с полученными выше решениями.
115. Предполагая, что Земля представляет однородный шар, и
пренебрегая вращением Земли и существованием у неё атмосферы, найти движение
материальной точки, опущенной без начальной скорости в цилиндрический
канал, пронизывающий насквозь всю Землю через её центр. Известно, что
однородный шар притягивает всякую материальную точку так, как если бы
вся масса этого шара была сжата в его геометрическом центре в одну точку,
и что притяжение однородным сферическим слоем всякой внутренней
материальной точки равно нулю. Из указанного следует, что притяжение к Земле
материальной точки, лежащей на поверхности Земли (§ 129), равно:
4
„л
где R есть радиус Земли, Μ — масса Земли, р — плотность Земли, k —
коэффициент пропорциональности в законе всемирного тяготения. Если
материальная точка находится внутри Земли на расстоянии χ от её центра, то эту
точку будет притягивать к себе лишь шар с радиусом х, и это притяжение
будет равно:
4 „
т -ς- ъхЧ Л .
k = — ккрхт = -j r.kpR -^m.
Так как точка с массой т, находящаяся на поверхности Земли, имеет вес mg,
то будет:
4
-^ izkpRm = mg,
или
_ nkpR = g;
отсюда следует, что притяжение к центру Земли точки, находящейся внутри
Земли на расстоянии л* от центра Земли, равно:
4
-3

§ 146] примеры 177
Возьмём начало О координат в центре Земли и проведём ось Ох по оси
пронизывающего Землю цилиндрического канала; тогда дифференциальное
уравнение движения материальной точки будет иметь вид:
d'2x e
m4F = -mWx·
ИЛИ
Это уравнение тождественно с уравнением (30.4), причём будет k — Λ/ ~-.
Следовательно, материальная точка будет внутри канала совершать
прямолинейное гармоническое движение с периодом |г, равным
Так как метр равен одной десятимиллионной четверти земного меридиана, то
■£#= 10 000 000 ж,
или
п 20-10002
R = м.
π
Таким образом, период колебания материальной точки будет равен:
т. е.
£Г = 2000 · 2,5308 сек.
Отсюда, выполняя умножение, найдём:
1Г = 5062 сек = 1 час 24 мин 22 сек.
Следовательно, если бы мы, стоя у отверстия вышеуказанного канала,
опустили в этот канал какую-нибудь гирю, то через 1 час 24 мин 22 сек мы
могли бы ожидать появления этой гири снова у нас. Найдём теперь
уравнение движения материальной точки в этом канале и её скорость. Из ф
мулы (30.2) мы получаем:
При t = 0 должно быть χ = R и -^- = 0; поэтому будет:
R = a sin ε, 0 = а у ~ cos ε,
т. е. ε = — и а = R. Следовательно, имеем:
12 Зак. 487. А. И. Некрасов

178 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXX
ΓΊ π
Мы видим, что при 1/ jr t = -у материальная точка будет находиться
в центре Земли, причём проекция на ось Ох её скорости будет равна — У gRt
т. е. модуль ν этой скорости будет равен ν = YgR. Определяя численное
значение скорости ν, получим:
ν = /farrow лфек _ то /WL м/сек.
Выполняя вычисления, найдём:
ν = 1000 · 7,9027 = 7903 лг/с*я.
Мы видим, что материальная точка, начиная движение в канале со скоростью
нуль у поверхности Земли, достигает в центре Земли громадной скорости,
почти 8 км/сек, что намного превосходит все достижимые в настоящее время
для человека скорости на поверхности Земли. На вращающейся и лишённой
воздуха Земле такое движение будет иметь место вдоль канала,
совпадающего с осью вращения Земли.
116. Найти движение материальной точки, движущейся вдоль прямой
линии Ох под влиянием притягательной силы, пропорциональной первой
степени произведения массы точки на её расстояние от неподвижного
центра О, и ещё постоянной силы сопротивления mf, направленной
противоположно скорости материальной точки; дано, что в момент / = 0 будет
лг = л;0>0 и -— = 0. После момента t = 0 материальная точка должна
двигаться по направлению к началу О координат, и дифференциальное
уравнение её движения будет:
т —τ— = — mk2x + tnf,
или
*·*-+/·
Чтобы точка могла двигаться к началу координат, должно быть — mk2x0 -f-
+ ////<0, т.е. m/<C.mk2XQt это неравенство очевидно, так как оно выражает,
что в начальный момент для движения точки сила притяжения должна быть
больше силы сопротивления. Мы представим общее решение
дифференциального уравнения движения материальной точки в виде χ = х±-{-х%, где будет
хх = asm (£/+ ε), а постоянное х2 удовлетворяет уравнению k2x2=f, т. е.
х2 = -~ . Следовательно, мы находим:
Для определения произвольных постоянных а и ε заметим, что при
будет χ = х0 и -£- = 0, т. е.
xQ = a sin ε -f- -^- 9 0 = ka cos t.

§ 146] примеры 179
Отсюда находим е=-у и а = х0— -^-, или
X = ЛГ0 COS kt + -ρ- (1 —- COS
После момента t = О скорость материальной точки обращается в нуль при
kt = π, когда будет:
Мы видим, что, тогда как первое наибольшее отклонение материальной точки
вправо от точки О равно х0, первое наибольшее отклонение материальной
2/
точки влево от точки О равно Xq -—. Между этими двумя крайними
отклонениями материальной точки вправо и влево материальная точка пройдёт
через начало О координат, когда будет:
xQ cos kt + -~ (1 — cos kt) == О,
т. е.
cos kt = —τ^Γ-ί-—-.
Если бы силы сопротивления не было, т. е. было бы /=0, то материальная
точка прошла бы через начало координат при kt=-^-\ мы видим, что при
наличии силы сопротивления материальная точка пройдёт через начало
координат при kt^-jr-. Рассмотрим теперь движение материальной точки вправо
от её положения χ = xlt когда уравнение движения материальной точки
будет:
Как выше, мы найдём общий интеграл этого уравнения в виде
Так как при t = 0 должно быть χ = χί и —ц- = 0, то
= — ίχ0 — -jL\ = а sin ε — -L· f ak COS ε = Q;
отсюда находим:
Таким образом, уравнение движения материальной точки будет иметь вид.
12*

180 ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XXX
а скорость её будет определяться формулой
После момента t = 0 материальная точка в этом втором этапе своего
движения будет иметь скорость нуль, когда будет kt = π; при этом абсцисса точки
будет равна:
/ ЗА / _ 4/
Мы видим, что при постоянной силе сопротивления период колебания
материальной точки остаётся равным -^ периоду свободных колебаний, но раз-
махи колебаний уменьшаются, так как после одного первого полного
колебания материальная точка не вернётся в положение χ = х0, а окажется
в положении х = х0 — -р-. Очевидно, что размахи колебаний точки не
могут сделаться меньшими, чем -~-, так как в этом случае сила притяжения
к центру О уже не могла бы преодолеть постоянной силы сопротивления т/.

ГЛАВА XXXI.
СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ.
§ 147. Дифференциальные уравнения движения материальной
точки в прямоугольных и в полярных координатах;
естественные уравнения движения. Пространственное движение материальной
точки определяется уравнениями (26.10). Так как для реальных сил
пространственное свободное движение материальной точки в
большинстве случаев приводится к движению материальной точки по
плоской траектории, плоскость которой расположена заданным
образом в пространстве, то в этой главе будут рассматриваться только
свободные движения материальной точки в плоскости, причём в
качестве определённых проблем мы рассмотрим лишь наиболее
важные случаи движения тяжёлой точки.
Из изложенного в § 122 мы знаем, что дифференциальные
уравнения плоского движения материальной точки в прямоугольных
координатах будут:
d2x „Λ dx dy
d-y v(. dx dy
'
Их общий интеграл имеет вид
*=/ι№ С„ С2, С8, С4), y=f2(t] С„ С2, С3, С4), (31.2)
где произвольные постоянные С19 С2, С3, С4 определяются
уравнен
ниями:
0» Д (0> 1> 2» 3> 4).Уо> )
— (dx\ fit- с с с c\ — (dy\ К31·3)
Всегда, если известен первый интеграл, бывает выгодно заменить
одно из уравнений (31.1) этим первым интегралом; таким образом,
мы понижаем порядок рассматриваемой системы дифференциальных
уравнений.

182
СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[ГЛ. XXXI
В кинематике (т. I, § 71) мы видели, что проекции wr и w^
ускорения w материальной точки на направление радиуса-вектора точки
и на направление перпендикуляра к радиусу-вектору в сторону
возрастания угла Ь (черт. 262)
Ρ будут:
Обозначая через Fr и FH проек-
Черт. 262. ции на те же оси силы F,
приложенной к движущейся точке А
с массой /я, мы получим следующее уравнение движения
материальной точки на плоскости в полярных координатах:
(31.4)
Интеграл этих уравнений будет иметь вид
r=fx(t; С1Э С2> С8, С4), 0=/9β CV C2, С8, С4). (31.5)
Если будет Fq = 0, то имеет место интеграл площадей, как это
показано в конце § 126. Если действующая на материальную точку
сила — центральная и зависит только от модуля радиуса-вектора, то
вместо уравнений второго порядка (31.4) можно
взять их первые интегралы:
1 9 db „ m\f
w)
где U (г) есть силовая функция, а С и h суть
произвольные постоянные; порядок системы
дифференциальных уравнений таким образом
понижается. Этот приём был применён в § 130
в примере 110.
Наконец, в § 72 кинематики (т. I) были
выведены проекции ускорения материальной
точки на рёбра основного трёхгранного угла.
Так как мы рассматриваем плоское движение, то основной
трёхгранный угол приводится к прямому углу, образуемому касательной
к траектории, проведённой в направлении движения материальной
точки, и нормалью к траектории, проведённой в сторону вогнутости
траектории, т. е. к центру кривизны (черт. 263). Для проекций wx
и wn ускорения w на касательную и нормаль мы вывели в кинема-
Черт. 263.

§ 148] ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧКИ В ПУСТОТЕ 183
тике следующие выражения:
dv v1
где ρ есть радиус кривизны траектории материальной точки. Если F.
и Fn суть проекции силы F на те же оси, то естественные или
внутренние уравнения движения материальной точки будут:
Умножая левую и правую части первого из уравнений (31.6) на ν,
получим:
или
d
Так как будет vdt=ds, где ds есть линейный элемент траектории
материальной точки, то будем иметь:
Но легко видеть, что будет:
т. е. мы приходим к теореме кинетической энергии (§ 127):
dT=Xdx-\-Ydy.
Уравнения (31.6) можно ещё преобразовать следующим образом.
Обозначая через da угол смежности, мы имеем:
_
ds
далее будет:
dv dv_ds_ dv_ __ ji_ (v2 \
dt ~ ds dt ~~V ds ~~~ ds{ 2 )'
Следовательно, мы получим:
i(T)-F, «ΊΐΙ-Ι-, (31.4
Ниже будет показано, как пользоваться этими уравнениями.
§ 148. Движение тяжёлой точки в пустоте. Предположим, что
тяжёлая точка с весом mg выбрасывается из точки О с начальной
скоростью vQ9 образующей угол <х0 с горизонтальной плоскостью.
Возьмём систему прямоугольных осей координат Оху, причём ось Оу

184 СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXI
направим вертикально вверх, а ось Ох — горизонтально в
вертикальной плоскости, проходящей через скорость v0. Мы знаем (§ 125),
что траектория рассматриваемой тяжёлой точки на всём своём
протяжении будет расположена в плоскости Оху и проекция количества
движения этой точки на ось Ох будет постоянна. Таким образом,
мы приходим к следующим дифференциальным уравнениям движения
точки:
т —7Т- = const, т -^г = — mg,
или
dx (Py
Отсюда, обращая внимание на начальные условия, находим:
х = v0 cos aot, —jr = v0 sin a0 — gt
и
x — v0 cos aot, y — vosmaot—-^-. (31.8)
Чтобы найти уравнение траектории тяжёлой точки в обычном виде,
следует из этих уравнений исключить время /. Определяя время t из
первого уравнения и вставляя полученное его значение во второе
уравнение, придём к следующему уравнению:
У = х tg α0 — f** 2 . (31.9)
2z>5 cos2a0
Если бы сила тяжести на материальную точку не действовала, т. е.
если бы было g*=0, то вместо уравнения (31.9) мы имели бы
уравнение y = xtga0, что находится в полном согласии с законом
инерции, по которому брошенная с любой скоростью материальная точка
должна двигаться прямолинейно и равномерно. Из уравнения
dt
— gt=O
мы найдём момент времени /0, когда проекция скорости точки на
вертикаль будет равна нулю, т. е. найдём момент достижения
точкой наивысшего положения; этот момент будет равен /0= v° °ц.
Абсцисса х0 и ордината у0 тяжёлой точки, соответствующие
моменту t0, будут равны:
Vq sin cc0 cos α0 ν\ sin 2α0
Xq = g = 2g '
vl sin\ vl sin2a0 v\ sin2o0

§148]
ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ТОЧКИ В ПУСТОТЕ
185
Обратимся к черт. 264, где построена другая система QXY
прямоугольных осей координат, начало Q которой находится в точке
(-vo> .Уо) и оси К0Т0Р0И
соответственно перпендикулярны к осям
системы Оху. Для какой-нибудь
точки Μ траектории тяжёлой
точки имеем:
т. е.
Щ sin α0 cos α0
g
^o sin2
—χ.
Вставляя эти выражения для χ
и у в уравнение (31.9), мы преобразуем уравнение траектории
тяжёлой точки к осям QXY и получим:
γ
Щ Sin ct0 COS α0 tg σ0
g
cos2
л sin" απ cos" αΛ
2v^ sin α0 cos <
ИЛИ
ζ;2 sin2 α0
т. e.
v- sin" a0
-Ytg*0-
2v\ cos2 a0
γ*,
(31.10)
Мы видим, что траектория тяжёлой точки есть парабола с па-
*2COS2a0
раметром р= .
о
Найдём дальность полёта, т. е. абсциссу той точки, в которой
траектория тяжёлой точки пересекает ось Ох. Полагая в уравнении
(31.9) у = 0, получим:

186 СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXI
Отсюда находим:
= 0.
Первое решение χ = 0 соответствует точке О вылета тяжёлой точки;
из второго уравнения имеем:
Ъ)\ COS2 a0 tg a0 v20 sin 2a0
χ ==-
g g
Обращая внимание на значение для лг0, заключаем, что дальность
полёта вдвое больше абсциссы, соответствующей наибольшей высоте
на траектории тяжёлой точки. Так как при ао = 45° количество
sin 2а0 достигает своего наибольшего значения — единицы, то мы
заключаем, что дальность полёта при любом угле а0
пропорциональна квадрату начальной скорости точки и наибольшая
дальность полёта достигается в том случае, если тяжёлая точка
брошена под углом а0 = 45° к горизонту.
Из предыдущего равенства выводим:
Конечно, это равенство может иметь место только в том случае,
если будет -^—<^1, т. е. дг<^ —; другими словами, если даль-
Щ g
ность χ полёта не превосходит максимальной дальности полёта, что
очевидно. Мы заключаем, что всякой дальности х, меньшей
максимальной дальности, соответствуют два решения 2а0 и 180°—2а0
предыдущего уравнения, т. е. два угла аоиу — а0 начальной
скорости v0 с горизонтальной осью Ох.
Найдём огибающую всех парабол, соответствующих различным
значениям угла ос0. Так как будет:
то уравнение (31.9) можно ещё представить в виде
полагая igα0 = k, получим:
ИЛИ

§ 149] ДВИЖЕНИЕ ПРИ СОПРОТИВЛЕНИИ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОМ СКОРОСТИ 187
Из дифференциального исчисления известно, что для получения
огибающей семейства линий F(x, у, k) = 0 следует исключить
параметр k из уравнений F = 0, -^г- = 0. Применяя этот приём к
рассматриваемому случаю, приходим к исключению
уравнений:
параметра к из
мы получим:
ν —— χΔ = (
(31.11)
Это есть уравнение параболы с параметром —, имеющей свою вер-
о
0, -ψ- J и простирающейся в сторону отрицательных
ординат. Так как все параболы траектории тяжёлой точки
расположены внутри этой огибающей параболы, то эта огибающая парабола
называется параболой безопасности. Попадание в точку, лежащую
вне параболы безопасности, если модуль начальной скорости
тяжёлой точки не превосходит значения ν0, невозможно. Конечно, все
эти исследования пригодны лишь для случая движения в пустоте.
§ 149. Движение тяжёлой точки при сопротивлении,
пропорциональном первой степени скорости. Рассмотрим движение
тяжёлой точки с массой т,
начальная скорость^ которой у1
образует угол а0 с
горизонтом; предположим, что в
своём движении материальная
точка испытывает
сопротивление среды,
пропорциональное первой степени скорости
точки. Так как эту задачу
всего проще решать в
прямоугольных координатах, то
отнесём движение тяжёлой Q
точки к прямоугольной си- цСрТ 265
стеме осей координат Оху,
начало О которой поместим в начальном положении движущейся точки,
ось Ох направим горизонтально в плоскости движения тяжёлой точки,
а ось Оу — вертикально вверх, как указано на черт. 265.
Обозначая угол вектора скорости ν тяжёлой точки с осью Ох через а и
-тки

188 СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXI
полагая модуль силы сопротивления движению точки равным mkv,
где произведение mk есть множитель пропорциональности, мы
получим следующие дифференциальные уравнения движения
рассматриваемой тяжёлой точки:
d-x , d2y ,
tn 3 = — mkv cos a, m —r~ = — mg— mkv sin a.
Так как будет <t>cosa = —— и ^sin a =--^-, то приходим после
сокращения на количество т к уравнениям:
Таким образом, переменные в дифференциальных уравнениях
движения тяжёлой точки оказались разделёнными, и задача привелась
к интегрированию двух линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Согласно общей теории интегрирования
линейных уравнений с постоянными коэффициентами, в первом
уравнении положим χ = ert; тогда мы придём к следующему
характеристическому уравнению /(г) = r2Jrkr== О, или r(r-j-&) = 0. Так
как корни этого характеристического уравнения равны гг = О,
/*2 = — к, то общий интеграл первого дифференциального уравнения
имеет вид
где Сх и С2 суть произвольные постоянные. Из начальных условий:
лг = О и -τ- = v0 cos a0 при t=Q, находим:
Cl + С2 = °> kC2 = V0 C0S a0>
т. е.
n Vp COS gp n Vq COS a0
Следовательно, первое дифференциальное уравнение имеет интеграл
х= щс°*а° (1—е-«). (31.13)
Чтобы проинтегрировать второе дифференциальное уравнение,
положим в нём У —У1~\-У2> гДе Λ есть решение однородного уравнения,
содержащее два произвольных постоянных, а у2 — частное решение.
Мы получим:
где

§ 149] ДВИЖЕНИЕ ПРИ СОПРОТИВЛЕНИИ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНОМ СКОРОСТИ 189
Мы найдём частный интеграл у2, если возьмём -^- = — ^-, откуда
будем иметь:
Что касается уравнения для у^ то согласно предыдущему его
интеграл, содержащий два произвольных постоянных, имеет вид
где С3 и С4 суть эти произвольные постоянные. Таким образом,
общее решение у =уг-^-у2 дифференциального уравнения для у
будет:
j, = q, + <v-«—f/.
Так как при £ = 0 должно быть у = 0 и -£■ = v0 sin α0, то отсюда
получим:
С3 + С4 = 0, —kC, — -| = vos\n*o,
т. е.
п __ g ι ^osinap r g_ v0 sin α0
Следовательно, дифференциальное уравнение для у имеет интеграл
Чтобы получить уравнение траектории тяжёлой точки в обычном
виде, следует исключить время / из выражений (31.13) и (31.14) для
координат χ и у этой точки. Мы последовательно получим:
kX л __!,,
V0 COS α0 k \ V0 COS a0 .
(31.15)
x + \n(i
« Λν0 cos a0 ' /г- V ν оcos ao
Максимальная высота тяжёлой точки будет достигнута в тот момент,
когда будет -jr = ®> τ· е·
Отсюда находим:
,-Ы
Vо Sin a0 '
k

190 СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXI
Вставляя эти значения в формулу (31.14), получим для наибольшего
значения у0 координаты у выражение
_ Vq sin α0 g f , kv0 sin ao
Уо
Найдём предельное значение для у0, когда количество k стремится
к нулю. Так как будет:
/
In ( 1 4
g
то получим в пределе
kv0 sin ao\ kv0 sin a0 1 ^t/2, sin2 aQ
% g ~ '
Уо = о-—
Эта формула совпадает с соответствующей формулой § 148, как это
и должно быть, так как при k = 0 мы получаем движение в пустоте.
Из формулы (31.13) для абсциссы χ следует, что при t = oo
будет χ = v° c^s a° , т. е. траектория тяжёлой точки вся
расположена в полосе, ограничиваемой вертикальными прямыми лг = О и
Vq COS a0 π
χ = ,——. Далее, так как мы имеем:
то будет:
(f
Следовательно, при t=oo мы получим -~=iga= — оо, т. е. для
бесконечно больших по модулю отрицательных ординат траектория
тяжёлой точки асимптотически приближается к прямой χ = v° c^s q° ,
чем этот случай отличается от случая движения тяжёлой точки
в пустоте, когда бесконечно большим по модулю отрицательным
ординатам соответствуют и бесконечно большие абсциссы
движущейся тяжёлой точки. Из формул для проекций скорости тяжёлой
точки следует, что при / = оо тяжёлая точка имеет параллельную
оси Оу скорость, модуль которой равен-|, и которая будет (§ 137)
критической или предельной скоростью движения тяжёлой точки.
σ ρ
Выражение -f- в точности совпадпет с выражением -г, приведённым
к к
в § 137, так как количество k настоящего параграфа в т раз
меньше количества k в § 137.

§ 150)
ДВИЖЕНИЕ ПРИ КВАДРАТИЧНОМ ЗАКОНЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
191
§ 150. Движение тяжёлой точки при квадратичном законе
сопротивления. Отнесём движение тяжёлой точки к прямоугольной
системе Оху осей координат, причём ось Ох напрчвим горизонтально
в сторону движения точки, ось Оу
направим вертикально вниз, а начало О q
координат поместим в начальное поло- |
жение движущейся тяжёлой точки
(черт. 266). Сила сопротивления имеет
выражение cv2, принятое в § 138.
Обозначим через α угол касательной
к траектории тяжёлой точки с осью Ох,
построенный для какого-нибудь
положения А этой точки, и воспользуемся
дифференциальными уравнениями (31.7)
движения. Так как будет:
Fx = mg sin α —cv29
Fn = mg cos α
Черт. 266.
и угол da, как это следует из черт. 266, есть угол смежности, то
уравнения движения тяжёлой точки будут:
о da
mv -τ- = mg cos α.
~нТ Г9- ="*£· since — cv*,
Полагая — = a, отсюда получим:
Введём обозначения:
тогда будет:
ν2 = ζ, sin a = η,
±
(31.16)
Составляя производную по s от второго из уравнений (31.16), будем
иметь:
Вставляя сюда выражение производной zr из первого из уравнений
(31.16), находим:
Ζ (η" — 2αη') = — igrirf, 2η' = 5(1—η2).
Отсюда, деля почленно оба полученных уравнения одно на другое,
будем иметь:
1" од - 4ί|η/

192 СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXI
ИЛИ
-^ (In η' - 2as) = А [2 In (1 - η*)].
Интегрируя, имеем:
In η' — 2as = In (1 — η2)2 + In С,
или
где С есть произвольное постоянное. Чтобы определить постоянное С,
предположим, что при 5 = 0 будет υ = ν0 и а = а0: тогда из
второго из уравнений (31.16) с учётом полученного интеграла мы
найдём:
т. е.
Таким образом, предыдущему интегралу можно придать вид
*Г= И, (1—
»5 cosw a
Разделяя переменные, получим:
(1-η2)2 ^cos2a0
Нетрудно проверить, что будет:
4 1,1,1,1
(ΐ-η2)- ~ (ΐ+η)2 ^ (ΐ-η)2 "τ ι + η "^ ι-η·
Отсюда находим:
Следовательно, интегрируя предыдущее уравнение, мы будем иметь:
где Сх есть произвольное постоянное. Так как при 5 = 0 должно
быть a = a0, т. е. η = η0 = sin a0, то
таким образом, полученному интегралу можно придать вид
) + (
In (1-±Ъ) + -—^- {fa, _ 1).
VI / «» C0S σ

§ 1501 ДВИЖЕНИЕ ПРИ КВАДРАТИЧНОМ ЗАКОНЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 193
Положим:
sina=^ = th-, 9 * =λι
2 aVq cos α0
тогда мы найдём:
l-.h chsh
^
Следовательно, полученный интеграл имеет вид
w 4- sh w = w0 4- sh w0 + λ (^2α8 — 1). (31.17)
Это уравнение аналогично известному уравнению Кеплера к — esinu = /
в движении планет, в котором £ заменено через —1, количество и —
через w и круговой синус — через гиперболический. Из второго из
уравнений (31.16) имеем:
£θ — η2) о о έ?-2α*
Ζ— η' — 4)t0S α0 1_η*>
т. е.
ρ —US ρ—US
ν = ν0 cos-a0 = =^0 cosa0 .' (31.18)
У 1 — η2 COS a
Уравнения (31.17) и (31.18) представляют уравнения годографа
скоростей. Так как будет:
dx dy . ds
—— = cosa, -f- = sina, -— = v,
ds ' ds ' dt '
то мы находим:
S 8 8
λγ= I cos ads, y= | sin a ds, t= —, (31.19)
ό ο ό
где количество ν определено формулой (31.18), а функции sin a и
cos α определены формулами:
sin a = th γ, cos a = ch-1-<2 .
Обратимся к исследованию уравнения (31.17). Если будет 5 = 0,
то будет w = wQ\ при неограниченном возрастании количества 5 ко-
личество w также неограниченно возрастает, т. е. th -9" = sin α
стремится к единице. Отсюда следует, что касательная к траектории в её
13 Зак. 487. А. И. Некрасов.

194 СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXI
бесконечно удалённой точке перпендикулярна к оси Ох. Далее, из
формулы (31.18) имеем:
%S) го _го
Ch^ , 'Л , * Τ
отсюда мы получим:
Из уравнения (31.17) мы находим:
т. е.
w , _1 1 w0 + sh w0 , , e2as λ
Увеличивая неограниченно количества s и w, в пределе будем иметь:
Таким образом, в пределе при s-> оо мы находим:
где Ρ есть вес тяжёлой точки. Следовательно, в пределе будет
/Я
— , т. е. мы приходим к критической скорости,
определяемой формулой (29.16).
Обратимся к первой из формул (31.19), которую для s —> со можно
представить в виде
оо *п оо «п
АГоо = Г cos a ds = Г cos a ds + Г cos ads= Г cos ads-j- I,
о о ;я о
где 5n — какое-нибудь конечное значение переменного s. Так как
функция cos а всегда конечна, то первый интеграл правой части
последнего равенства будет конечным, и чтобы доказать конечность
количества лгоо, необходимо доказать конечность интеграла /. Но мы
имеем:
-l·
ds
*« 2

§ 150] ДВИЖЕНИЕ ПРИ КВАДРАТИЧНОМ ЗАКОНЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ 195
очевидно, что должно быть:
Из предыдущего мы заключаем, что будет:
где количество ε стремится к нулю при s —> оо. Следовательно, мы
имеем:
__
е«> ~~ 2л '
т. е.
е -
Отсюда мы находим:
или
Мы видим, что количество / тлкже конечно, т. е. абсцисса х^
бесконечно удалённой точки траектории, в которой касательная к
траектории будет перпендикулярна к оси Ох, будет конечной. Таким
образом, вся траектория тяжёлой точки от s = 0 до s = со picno-
ложема в полосе конечной ширины, заключённой между ординатами
х =^0 и х = Хоо.
Если начальная скорость v0 тяжёлой точки направлена вверх над
горизонтальной плоскостью, то угол а0 отрицателе1!, отрицательно и
количество w0: положим w0 = — и0, где и0 положительно, и будем
искать ту точку s = sa траектории, в которой скорость тяжёлой точки
горизонтальна, т. е. а = 0и«1 = 0. Из уравнения (31.17) мы
получим :
0 = — и0 — sh и0 + λ (e2a* — 1)
и
g2*», = l + *° + sh"°. (31.20)
Из формулы (31.20) мы находим значение s = sly соответствующее
наивысшей точке траектории.
Из изложенного ясно, что решение задачи о плоском движении
тяжёлой точки при квадратичном законе сопротивления зависит от
13*

196
СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[ГЛ. XXXI
решения уравнения (31.17). Зная значения количества w для
различных значений дуги s, мы сможем найти скорость, координаты (х, v)
и время t для движущейся тяжёлой точки, причем инте1рирование
в формулах (31.19) придётся выполнять численно.
§ 151. Движение тяжёлой точки в воде с запасом пловучести
при квадратичном законе сопротивления. Предположим, что
тяжёлая точка с весом Ρ получила в точке О начальную скорость ν0
вниз под воду под углом сс0 к плоскости горизонта. Примем точку О
за начало прямоугол! ной системы Оху коордкнят, у которой ось Ох
н°правленп горизонтально в сторону движения тяжёлой точки, а ось
О ν— вертикально вниз (черт. 267). На тяжёлую точку А в воде
действует сила Архимеда Р'. Мы предположим, что будет Р' > Р;
О
Черт. 267.
тогда разность Рг — Ρ = mq называется запасом пловучести
тяжёлой точки. Помимо силы mq, направленной вертикально вверх, на
рассматриваемую точку действует ещё сила сопротивления, модуль
которой рявен R = со2 и которая направлена по касательной к
траектории против направления движения материальной точки. Мы
применим к задаче о таком движении материальной точки формулы (31.7).
Так как будет:
/ч = mq cos (-q--J- α) — R = — 1Щ sin α — cv2, Fn = mq cos ot,
то мы получим, принимая во внимание, что будет — <0, следующие
CIS
уравнения:
d ftnv-\ . о о
γ ί — j = — mq sin a — cv2, mvl
Odoi
— mvl -τ- = mq cos a ,
или
—-~- = — 2(7 sin a v2,
ds 1 m '
—

§ 151] ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЁЛОЙ ТОЧ И В ВОДЕ 197
Вводя такие же обозначения, как в предыдущем параграфе, а имение
— = #, v2 = z, sin α = η, мы будем иметь:
~' = — <7(1-η2). (31.2Γ»
Сравнивая между собой уравнения (31.21) и уравнения (31.16), мы
замечаем, что уравнения (31.16) переходят в уравнения (31.21) при
9 £7
простой замене ускорения g на —q\ при этом количество —., ~* .,— = λ
αυι cos-α0
изменится в количестве —-—-}—. Следовательно, пола1ая:
av-0 cos-a0
sin α = η = in —, λχ = —υ ο—,
2 (ZVq COS" α0
мы вместо уравнения (31.17) получим уравнение
Ό — ^(e2as— 1). (31.22)
Все заключения, сделанные в предыдущем параграфе для уравнения
(31.17), распространяются и на уравнение (31.22), только при neoipn-
ниченном возрастании длины дуги 5 количество w будет стремиться
не к +оо, а к —со, т. е. th γ и sin α будут стремиться к —1,
или угол α будет стремиться к —тр Выражения для скорости ν
будут иметь такой же вид
w
e-cis -as Ch~2~
(X == VQ COS aQ r, (31.23)
cos α еаь
q = T/0COS (X == VQ COS aQ
у 1 — η- cos α е
как в предыдущем параграфе, в чём можно легко убедиться,
повторяя соответствующие ρ хсуждения и выводы предыдущею п^р'чрпфа.
При ос = 0, т. е. при та = 0, материальная точка будет находиться
в самом низком месте своей траектории; обозначая через 51 значение
дуги 5, соответствующее этому положению материальной точки, мы
из уравнения (31.22) получим:
или
п°аа 1 ! ^0 + ShWo /01 с>л^
e-uai = ι —}— ■ . . (oi.z4y
Вдоль траектории скорость материальной точки, определяемая
формулой (31.23), начиная от точки О, непрерывно меняется, уменьшаясь;

198 СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXI
найдём место минимума этой скорости. Для этого составим
производную по s от скорости ν:
— —e '·
dslVl— η2 J
ds
_i -2
= t>0cosa0[ — ae~as{\ — η2) 2-f-e-°s(l—η2) 2
или
Изменяя g на —^, из формулы для η' предыдущего параграфа мы
получим:
поэтому будет:
d—=-v ее
ds °
— η2) 2 ί , д 2 η(1— η2)^2^ + α1.
L г/- cosJ απ J
Следовательно, уравнение -τ- = 0 равносильно уравнению
β^π COS2 σπ
(1β)ί|ϋο Ο
Это уравнение может иметь место только для восходящей части
траектории, где будет η < 0. Таким образом, минимум скорости
материальная точка получает после своего наибольшего погружения,
соответствующего значению s = sr Координаты х, у и время ί мы
определим по формулам, тождественным с формулами (31.19), а именно,
по формулам:
S S 8
(* ί* Г л
х=. cos ads, y= sin ads, t= —, (31.25)
ооб
где будет:
sina = th-7r, cos a = ch"1-7^-.
Таким образом, обе задачи, рассмотренные в предыдущем и в этом
параграфах, аналитически почти тождественны между собой.
§ 152. Применение закона Сиаччи. Если скорость материальной
точки, движущейся в воздухе, такова, что применение квядрятичного
закона делается невозможным, например, близка к скорости звука

§ 152)
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА СИАЧЧИ
199
в воздухе, то можно обратиться к закону Сиаччи. Для этого
возьмём уравнения (31.6) и воспользуемся равенствами:
тогда получим:
dv
mTt =
ds''
ds
* dt''
\_\da_
v I dt
mv
Выбирая оси координат так, как в § 150, мы будем иметь:
FT = mg sin α — /?, Fn = mg cos a,
где R есть сила сопротивления воздуха. Отсюда, вводя по формуле
(29.32) количество / = — = $—-, мы получим следующие уравнения
движения тяжёлой точки в воздухе:
dv
dt
= gsin a — cf (у) F(ν),
ν
К этим уравнениям в общем случае, когда приходится учитывать
изменение плотности воздуха с высотой, надлежит ещё добавить
уравнение
dy
-77 = ν sin α.
dt
Полагая sin α = η и принимая, что -^ > 0, получим:
dt
dt
S = ^· (31·26)
dt
Эти уравнения можно интегрировать лишь численно. Если движение
тяжёлой точки происходит вблизи земли, то можно положить f(y)= 1;
тогда вместо трёх совместных дифференциальных уравнений (31.26)
мы получим лишь два совместных дифференциальных уравнения:
dv _„,„, _<ίη _,, _^ (Ъ\.21)
Существует несколько способов численного интегрирования
дифференциальных уравнений; мы укажем на следующий, хотя и менее
точный, но простейший способ. Предположим, что при /=0 должно
быть ν = ν0 и η = 'η0. Тогда из уравнений (31.27) приближённо
получим:
dv di\ I — η5
df—S^o c \°o)> ~dt === & v0 '
Отсюда будем иметь:

200 СВОБОДНОЕ ДВИ)ЮШИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ХХЗИ
Взяв для t какое-нибудь значение t=tlt близкое к значению /=0,
найдём:
После этого обращаемся к уравнениям:
g^cF{v) g
из них подобно предыдущему получим:
i — cF (υ,)] /2, η2 = +
где to есть малый промежуток времени, протекший с конца
первого промежутка времени (0, ^). Продолжая такие же вычислений,
мы получим системы значений:
соответствующие моментам времени:
0, /1Э
Этот способ интегрирования будет дпвать тем более точные
результаты, чем меньше будут промежутки t19 /2, L, ... времени и чем
меньше будет общий промежуток времени έ1 -М2~Мз~1~ · · · ~Ww
§ 158. Примеры. 117. Найти траекторию материальной точки А с
.массой /и, притягивающейся к неподвижному центру О с силой, равной т№г,
где &2 есть постоянное и г = ОД причём в начальный момент t = 0
материальная точка Л находится в заданной точке С пространства и имеет скорость vQ.
Так как действующая на материальную точку сила есть сила центральная, то
траектория точки будет плоской кривой, плоскость которой проходит через
прямою ОС и содержит вектор v0. Построим в этой плоскости
прямоугольную систему Оху осей координат, где для симметрии выводов мы ни
оси Ох, *нп ось Оу не проведём через точку С. Из примера 92 § 124 мы
знаем, что проекции силы mk~r на оси Ох и Оу будут равны:
X = — mk-x, У = —
и дифференциальные уравнения движения материальной точки имеют вид
Их интегралы будут:
χ = Л sin (A* + s), _у = Б sin
где Д By ε, δ — произвольные постоянные. Пусть будут х0, у0 координаты
точки С и пусть вектор ν0 скорости образует с осью Ох угол о0. Тогда яз
предыдущих интегралов при t = 0 мы получим:
xQ = A sin ε, _у0 = В sin Ь,
Όο cos α0 = kA cos β, i/q sin a0 = kB cos δ.

§ 1531 примеры 201
Так как мы имеем:
х = A sin ε cos kt + A cos ε sin kt,
у = β sin ο cos kt + В cos δ sin Λ/,
, , . ί'ο COS α0
л: = л*0 cos kt -\- --—-—- sin kt,
то будет:
у = yQ COS kt -j — Sin kt.
Из этих формул следует, что все точки искомой траектории лежат на
конечном расстоянии от точки О. Для исключения времени из этих уравнений
решим их относительно cos kt и sin kt; мы получим:
χ sin α0— у cos σ0 . k x\'o— уд\,
COS kt = ; ' , Sill kt — = .
Хц sin a0 —y0 cos αυ νΌ xQ sin a0 —y0 cos a0
Возводя эти равенства в квадрат и складывая, будем иметь:
(х sin a0 —у cos σ0)2 -|—- (хуо —ухо)2 = ixo sin ao —У о cos αϋ)2>
или
ϊ ( sin2 с
д;2[ sin2a0H ~ )+^2( cos2a0 + -
(k2 \
sin a0 COS o0 xoyo \ =
^5 /
(k2 \
sin a0 COS o0 xoyo \ = (xQ sin a0 — y0 COS σ0)2.
5 /
Мы видим, что траектория есть кривая второго порядка, не имеющая
бесконечно удалённых точек, т. е. эллипс.
Если будет Хц sin a0—j'0cosaQ = 0, τ· е· У о = xo tg ao> то уравнение
траектории распадается на два:
χ sin a0 —у cos a0 = 0, ху0 —ух0 = 0,
которые в силу предыдущего равенства приводятся к одному уравнению:
y = xtg a0;
в этом случае эллипс приводится к прямолинейному отрезку, наклонённому
под углом αυ к оси абсцисс.
118. Материальная точка с массой т движется в плоскости Оху под
влиянием силы, имеющей силовую функцию:
U = — γ т*2 (*2 + 4у2),
где /е- есть постоянное. Найти траекторию точки, если при ^=0 будет χ = а,
У = 0, ~-= 0, -j- = v0. Уравнения движения материальной точки будут:
d-x dU ul) d*y dU t .„
m —- = -3— = — mk2x, m -777 = -r— = —4mk2yf
dt2· dx dt1 dy ·*'
или
w+fc2x=0 w

202 СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXI
Интегралы этих уравнений будут:
χ = A sin (kt -f- ε), у = Β sin (2kt + δ),
где А, Л, ε, δ — произвольные постоянные. При t — 0 мы имеем:
а = A sin ε, 0 = В sin δ,
0 = kA cos ε, ν0 = 2kB cos δ.
Отсюда находим:
ε = -^, Α=α, δ = 0, 2kB = ν0,
т. е. будет:
х = a cos fo, з' = 77Τ sin 2kt.
Нэ мы имеем:
у = ~ sin kt cos &ί = ϋ— sin kt,
k ak
или
cos kt = —, sin kt = .
a vQ χ
Следовательно, уравнение траектории имеет вид:
— Η τ, Τ) = 1»
или
Таким образом, траектория есть кривая четвёртого порядка: её уравнение
можно представить в виде
аЧ-у-= v'x-(а" — х-).
Отсюда следует, что должно быть:
— а < χ < + Д.
Разыскивая максимум правой части последнего уравнения, легко найдём, что
он имеет место при л:2= — и будет равен , т. е. должно быть:
В промежутке 0 ■< kt < -~- будет:
в промежутке -^ < kt <! π будет:
0>дг> — а и _-||

153]
ПРИМЕРЫ
203
3π
в промежутке π < kt < -^ будет:
0>лг>-я и
наконец, в промежутке γπ
будет:
Как показано на черт. 268, вся траектория имеет вид петли, расположенной
внутри прямоугольника, одна сторона которого равна 2а, а другая сторона
Черт. 268.
равна ~. Легко видеть, что движение материальной точки будет периоди-
ческим, причём период будет равен —г-.
119. Материальная точка, для которой даны (§ 151) а = 0,5418 и
λι= 0,001967, пущена под воду с начальной скоростью, модуль которой
^о == 62,7 м/сек и которая составляет угол в 27° с горизонтальной плоскостью;

204
СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
[ГЛ. XXXI
определить движение материальной точки. Прежде всего из формулы sina =
или ew (\—sin a) = 1-}-sin a;
= th -ψ находим:
Sin α =
отсюда получаем:
ew
1 + cos (90° — a)
1— cos (90° — α)
е"* = cig2 (45°— 13°30') = ctg'·2 31°3(K,
м 2Log(ctg31°300
Поэтому будет:
или
Таким образом, мы найдём:
w0 = 0,9794, sh w0 = 1,1437.
После этого из уравнения (31.24) мы получим ^ = 6,4462. Затем уже будет
возможно составить следующую таблицу для нисходящей части траектории
материальной точки:
S
-0,0000
1,0744
2,1488
3,2232
4,2976
5,3720
5,7301
6,0882
6,4462
М^'-1)
0,0000
0,0043
0,0182
0,0627
0,2052
0,6616
0,9989
1,2386
2,1233
wo + shwo — Xt(<ros — 1)
2,1231
2,1181
2,1049
2,0604
1,9179
1,4615
1,1242
0,8845
0,0000
При решении уравнения (31.22), которому можно придать вид
w + sh w = Μ
целесообразно применять следующий приём. Предположим, что каким-нибудь
образом мы нашли, что будет:
wr + sh чаУ = Ν',
где число Ν' близко к числу Ν; примем для определённости, что Ν' < N.
Будем искать решение рассматриваемого уравнения в виде wr + Аи*'» где
приращение Aw' должно быть мало, если число N' близко к числу N. Мы
должны иметь:
wf + kwr + sh (w' + Δα>') = Ν.
Разлагая гиперболический синус в ряд Тейлора и удерживая лишь два
первых члена разложения, получим:
wr _|_ kwr + sh w' + Δ«/' ch w' = Ν,
или

153]
Отсюда находим:
ПРИМЕРЫ
205
Ν—Ν'
1 + ch wr
Может случиться, что, вставляя w' -f- &w' вместо w в уравнение w -f- sh w = Ν,
мы увидим, что это уравнение ещё не удовлетворяется в желаемой степени;
тогда с приближённым решением w" = wf -+- Δα/ придётся повторить
изложенную операцию. Производя вычисления таким способом, мы придём к
следующей таблице:
S
0,0000
1,0744
2,1488
3,2232
4,2976
5,3720
5,7310
6,0882
6,4462
w
0,979
0,978
0,972
0,954
0,897
0,702
0,549
0,438
0,000
th — = η = Sin α
0,4540
0,4533
0,7511
0,4440
0,4208
0,3371
0,2526
0,2156
0,0000
α
27°00'
26°58'
26Ο49'
26°21'
24Ο53'
19Ο42'
15Ο31'
12ο27/
0°00'
COS α
0,8910 ч
0,8913
0,8925
0,8960
0,9072
0,9415
0,9635
0,9765
1,0000
После этого по формуле (31.23) мы определим скорость ν и количество
1
обратное скорости, что даст возможность применить последнюю из формул
(31.25).
Мы будем иметь:
s
ο,οοοο
1,0744
2,1488
3,2232
4,2976
υ (м\сек)
62,67
35,00
19,53
10,87
6,00
1
ν
0,0160
0,0286
0,0512
0,0920
0,1667
5,?720
5,7301
6,0882
6,4462
V (м/Ci'h)
3/23
2.60
2.J8
1.70
1
ν
0,3097
0,3848
0,4393
0,5886
Из формулы
6,4462
ds
мы найдём, что время tn погружения материальной точки до наибольшей
глубины будет равно t?l = 0,99 сек. Что касается наибольшей глубины уг
погружения материальной точки и абсциссы хх точки наибольшего
погружения, то из двух первых формул (31.25) мы будем иметь:
a-j = 5,88 лг, уг = 2,56 м.
Для изучения восходящей части траектории заметим, что в уравнении
w + sh w = wQ 4- sh w0 — Xj (e2a8 — 1)

206 СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ХХХ5
мы можем положить:
wo + shwo = l1(e2aSi— 1).
Тогда, полагая, что s — sx + As и w = — и, мы получим:
или в числах
и + sh и = 2,1251 (^·0836Δ8 — 1) = Q.
Решая это уравнение относительно и, мы можем составить следующую
таблицу:
As
0,00
0,5
КО
2,0
3,0
4,0
Q
0,000
1,528
4,155
16,435
52,785
159,974
и
0,000
0,731
1.657
3,309
4,571
4,732
_ th (ΞΛ = Sin 0
0,0000
— 0,3499
— 0,6796
— 0,9295
— 0,9Ь96
— 0,9935
0
0°00'
— 20°29'
— 42°49'
— 68ΰ21'
— 76°50г
— 83°29'
cos 0
1,0000
0,9368
0,7335
0,3689
0,2447
0.1135
Взяв для As значения 4 и 3, мы по формуле s = 6,4462 -f- As получим для
количества s значения 10,4462 и 9,4462 и будем иметь:
У10.Ш1 = - °·521. ^9,4462 = + °·460·
Отсюда по правилу пропорционального деления мы получим, что будет у = О
при 5· = 9,916. Вычисляя для этого значения s предыдущие количества, мы
найдём:
As
3,470
- th (-0 = sin 0
— 0,988
θ
—71Ο12/
cos 0
0,1528
После этого по первой из формул (31.25) мы получим для абсциссы х2 той
точки, в которой материальная точка пересечёт ось Ох, следующее
выражение:
9,916 9,916
х2 = Г cos α ds = 5,88 + Г cos α ds = 7,73 м,
0 6,416
Далее, по формуле (31.23) мы будем иметь:
As
0,0
0,5
1,0
3,0
3,47
V
1,700
1,383
1,347
1,366
1,696
1
V
0,5880
0,7065
0,7423
0,7320
0,5896

153]
ПРИМЕРЫ
207
Из этой таблицы видно, что наименьшей скоростью материальная точка будет
обладать в восходящей части траектории после s = ^, как это в § 151
было показано теоретически. Для времени /в всплывания материальной точки
мы найдём:
9,916
Ъ'-Ом
,5*6,4 ы
tB = — = 2,47 сек.
в J ν
6,446
Общая картина движения материальной точки представлена на черт. 269.
Мы видим, что траектория материальной точки не имеет вертикальной оси
симметрии, как в случае движения
материальной точки в пустоте.
Из этих вычислений можно
заключить, что по формулам (31.22) и
(31.23) мы получаем точные значения
для угла скорости с плоскостью
горизонта и для модуля скорости, т. е.
точно находим годограф скорости, но
координаты х, у движущейся точки
и время / её движения мы получаем Черт. 269.
приближённо, причём точность отве-
юв зависит от того, с какой точностью мы вычисляем квадратуры в
формулах (31.25). Трудоёмкость всех вычислений окупается тем, что мы получаем
полное численное представление рассматриваемого явления.
120. Вывести уравнения годографа скорости для случая движения тяжёлой
точки в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени
скорости точки. Обращаемся к уравнениям движения (31.6) и примем, что
траектория тяжёлой точки изображена на черт. 266. Если α есть угол
касательной к траектории с осью Ох, то будет:
dv „ о da
где
FT — mg sin α — mkv, Fn = mg cos a.
Поэтому уравнения движения тяжёлой точки имеют вид
dv , „ da
■—— = g sin a — kv, v1 — = g cos a.
cit as
Умнгжая обе части второго уравнения на cos α и полагая sin α = η и k = gn,
мы получим:
dv _., dr{
dv ., dr{
— = g-ri — gnv, v — = g(l— η2).
ds
ds
ак как ν = —τ-, то окончательно будет:
dv
dr\
(31.28)
Взяв производную по времени от обеих частей второго уравнения, будем
иметь:
dv dr\ d2r\ o df\
■ 4- V = — 2 £Ύ) -
dt dt^ dv ^ dt

208 СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXI
или, обращая внимание на первое уравнение, ещё иначе:
dri
Заменяя произведение ν—jj- его значением из второго уравнения (31.28),
получим:
5 §$
Разделив почленно полученное последнее уравнение на второе из уравнений
(31.28), найдём:
« dt\
3ri~dF
dt
или
4t (1π η0 = 4t [gnt + ΎΙπ (1 ""η2)] ·
Интегрируя, будем иметь:
1Π η' = gnt + ΙΠ [(1 - η*)5 J + 1П С,
т. е.
где С есть произвольное постоянное. Отсюда, обращаясь ко второму из
уравнений (31.28), находим:
пли
С VI — η*
Если при t = 0 будет ν = ν0 и α = α0, т. е. η = η0 = sin α0, то мы получим:
^ С cosa0'
т. е.
с==__ж__
ί/υ cos ay
Таким образом, мы имеем:
η7 = (1 — η2) 2 б^71*.
i^o cos αυ
Разделяя переменные, находим:
£ i»o cos α0
—η")8

§ 153] примеры 209
Так как η = sin а, то будет:
da ρ
cos^ α Vq cos α0
или
d(tga) =
nv0cosaQ
Интегрируя, будем иметь:
tg a = ! e9nt + Си
6 /ш0 cos α0 ~ *
где С\ есть произвольное постоянное. Так как при / = 0 будет α = α0, то мы
находим:
т. е.
' g"*l). (31.29)
Из формулы (31.29) мы получаем изменение угла скорости ν тяжёлой точки с
осью Ох в зависимости от времени. Обращаясь к выведенному выше выражению
для модуля скорости vf заменим в нём произвольное постоянное С его
найденным значением; мы получим:
e-gnt
г/==г/°СО5а°
Из формулы (31.29) имеем:
cos- a
_ = 1 -f tg2 a =
j а0
- I)2],
или
1 _ (е ϊ) π ι ^-~,Qs\naQ(egnt — \)-l + trvl(egnt—\)-2\.
Таким образом, будет:'
— I)"1 + /iV£ (^wi — I)"2· (31.30)
Формулы (31.29) и (31.30) дают уравнения годографа скорости рассматривав·
мой точки в параметрическом виде, причём параметром является время /.
Из уравнения (31.30) следует, как это уже было показано в § 149, что, когда
время t неограниченно возрастает, скорость ν точки стремится к значению — 9
равному значению критической скорости при вертикальном падении.
14 Зак. 487. А. И. Некрасов

ГЛАВА XXXII.
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
§ 154. Уравнения движения материальной точки по
поверхности и по линии. Предположим, что на движущуюся под влиянием
приложенных сил материальную точку наложены связи; тогда
материальная точка будет давить на тела, которые осуществляют связи,
а со стороны этих тел будут действовать на материальную точку
реакции. Присоединяя к данным, или активным, силам ещё реакции,
или пассивные силы, мы можем рассматривать материальную точку
как абсолютно свободную и составить обычным способом
дифференциальные уравнения движения этой точки. Так как реакции не
известны, то их придётся исключать из уравнений, чтобы получить
уравнения, определяющие движение материальной точки. Мы
предположим в этой главе, что связи не зависят от времени, хотя, конечно,
на движущуюся материальную точку можно наложить и связи,
изменяющиеся с течением времени; так как такие связи всего проще
учитывать при помощи динамических уравнений Лагранжа, то мы и
отложим их рассмотрение до главы XXXIV.
Предположим, что на материальную точку наложена связь,
выражаемая уравнением f(x, у, г) = 0; из этого уравнения следует, что
материальная точка во всё время своего движения остаётся на
неизменяемой, неподвижной поверхности. Так как мы предполагаем связи
идеальными, то реакция N поверхности должна быть нормальна к этой
поверхности. Следовательно, векторное уравнение движения
материальной точки будет:
d2r
m
к этому уравнению необходимо присоединить ещё уравнение заданной
поверхности. Обозначая через α, β, γ углы нормальной реакции
с осями координат, мы приходим к следующим уравнениям движения
материальной точки по заданной поверхности в координатной форме:
f(x,y, *) =

ζ 154] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПО ПОВЕРХНОСТИ И ПО ЛИНИИ 211
Полученным уравнениям движения можно придать вид уравнений
равновесия:
X —
если рассматривать количества X—т -^·, Υ—т~^г и Ζ — т -^
как проекции на оси координат активной силы, действующей m
материальную точку. Поэтому к уравнениям движения применимы все
те выводы, которые в § 115 сделаны для случая равновесия
материальной точки, в частности, можно положить:
где λ есть множитель Лагранжа, определяемый уравнением (25.11).
Следовательно, уравнения движения материальной точки по заданной
поверхности будут:
d*x
di~
f(x, у, г) = 0.
(32.1)
Эти уравнения содержат четыре неизвестных: х, у, ζ, λ. Умножая
первое уравнение на /, второе — на у, третье — на k и складывая
результаты, получим:
m-^ = /7+Xgrad/, f(x, v, z) = 0. (32.2)
Чтобы исключить из уравнений (32.1) множитель Лагранжа λ, следует
взять вторую производную по времени t от уравнения f{xi у, z)=0;
первая производная будет:
df dx , df dy | df dz _
dx dt * dy dt ' dz dt '
а вторая производная будет:
^z_ , __
df* "^ U'
dx dt* ' dy df- ' dz dt
где опущенные члены не содержат вторых производных по времени
от координат х, у, ζ*
14*

212 НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXII
Умножая последнее уравнение на количество т и пользуясь
первыми тремя уравнениями (32.1), будем иметь:
Xdf JL· vdf 4-7 df ΜλϊίдЛ2-Lidf\*Midf\2
— η-
отсюда мы сможем определить количество λ. Вставляя найденное
значение для λ в три первых уравнения (32.1), получим три совместных
дифференциальных уравнения второго порядка для определения
переменных л:, уу ζ, связанных между собой соотношением f(x, yt z) = 0\
множитель λ Лагранжа в эти уравнения уже входить не будет. Решая
эти уравнения, мы определим переменные х, у, ζ в функции от
времени t, а после этого по уравнениям (32.1) сможем -найти и
множитель λ, τ. е. по формуле (25.11) — нормальную реакцию поверхности.
Предположим затем, что на материальную точку наложены связи,
выражаемые уравнениями fl (χ, у, ζ) = О и /2 (х, у, ζ) = 0; из этих
уравнений следует, что материальная точка во время своего движения
остаётся на неизменяемой и неподвижной линии, представляющей
место пересечения поверхностей Д = 0 и /2 = 0. Так как мы
предполагаем связи идеальными, то реакция Л^ поверхности f1 (χ, у, ζ) = 0
должна быть направлена по нормали к поверхности Д = 0, а
реакция ЛГ2 поверхности /2 (лг, у, ζ) = 0 должна быть направлена по
нормали к поверхности /2 = 0. Следовательно, векторное уравнение
движения материальной точки будет:
m
к этому уравнению необходимо присоединить ещё два уравнения
заданной линии. Обозначая через αν β2, γχ углы реакции Νλ
поверхности /j = 0 с осями координат и через α2, β2, γ2 — углы реакции ЛГ2
поверхности /2 = 0 с осями координат, мы приходим к следующим
уравнениям движения материальной точки по заданной линии в
координатной форме:
т —j^r = X-\-Nx cos аг -\- N2 cos α2,
m -J- = Ζ + Λ/i cos Tl + N2 cos γ2,
Λ (*, .у, *) = 0, Д (*, .у, г) = 0.
Так как этим уравнениям можно придать вид уравнений равновесия,
то можно положить:
N, cos α, = λ, -g, ΛΤ,οοββ,-λ^, NlCosb = λχ JJ,
^ ^2cosP2 = X2-^, N2 cos γ2 = λ2 Щ,

§154]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПО ПОВЕРХНОСТИ И ПО ЛИНИИ
213
где Хг и К2 суть множители Лагранжа, определяемые уравнениями
(25.14). Следовательно, уравнения движения материальной точки по
заданной линии будут:
d2y
d~z
дх
ду
dz
/ι
У> г) =
дх
dz '
(32.3)
Эти уравнения содержат пять неизвестных: дг, _у, ^, λ1? λ2. Умножая
первое уравнение на /, второе — на j\ третье на k и складывая
результаты, получим:
т—ггг =
> \
fx(x, y, z) = 0, /2(*, у, *) = 0.
(32.4)
Чтобы исключить из уравнений (32.3) множители Лагранжа Xj и λ2,
следует взять вторые производные по времени t от уравнений
/ι (х> У, ζ) = 0 и /2 (д:, у у ζ) = 0; первые производные будут:
~яТ~ /// *~~~^Г Ht \ я? ~7fT==:^»
dt
а/2
UJ Ч ил, | UJ2 иУ [ UJ 2 и* л
ал: й?^ ' ау~ ί/ί *" а^г dt *
а вторые производные будут:
^x~4tr'^liy'~dtr'^~dz'4tr^r '"'
0,
a/2
ал-
где опущенные члены не содержат вторых производных по времени
от координат х, у, ζ. Умножая последние уравнения на количество m
и пользуясь первыми тремя уравнениями (32.3), будем иметь:
*%■
"Τ" 2 L йд: од: 1" ay ду ^ дг dz J
2 L йд: од: 1" ay ду ^ дг dz J
a/2 , , ra/, a/2 , a/t a/2 , a/, a/2]
"a7"rAiL"aT"aT"t"J д ~г-17"аТ]
... = 0,

214 НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXII
Таким образом, для определения множителей Лагранжа λ1 и λ2
необходимо решить два уравнения первой степени следующего вида:
где выражения Мх и М2 количеств кг и λ2 не содержат. Эти
уравнения относительно Aj и λ2 всегда можно решить, так как
знаменатель их решений равен:
\дх дх "^ ду ду^дг дг J *
т. е. согласно тождеству Лагранжа (т. I, § 19, пример 8) этот
знаменатель равен сумме трёх квадратов и потому в нуль обратиться
не может. Вставляя найденные значения для кг и λ2 в три первые
уравнения (32.3), получим три совместных дифференциальных
уравнения второго порядка для определения переменных х, у> ζ,
связанных между собой соотношениями /г (х, у, ζ) = 0 и /2 (дг, у, ζ) = 0;
множители Лагранжа кг и λ2 в эти уравнения уже входить не будут.
Решая эти уравнения, мы определим переменные х, уу ζ в функции
от времени t, а после этого из уравнений (32.3) сможем найти
множители Xj и λο, τ. е. по формулам (25.14) — нормальные реакции
обеих поверхностей.
Мы видим, что только что изложенные способы решения задач
о движении материальной точки по заданной поверхности и по
заданной линии требуют больших вычислений; поэтому эти способы
применяются очень редко.
Другой способ решения задач о движении материальной точки
по поверхности или по линии состоит в применении естественных
уравнений движения. Мы знаем (т. I, § 72), что проекции wx, wiv wb
вектора w ускорения материальной точки на касательную к
траектории в направлении движения точки, на главную нормаль в
направлении вогнутости траектории и на бинормаль равны:
dv ν2· Λ
где р есть радиус первой кривизны. Обозначим через 7%, Fn и Fb
проекции на те же направления действующей на материальную точку
активной силы F. Так как связи, наложенные на материальную точку,
идеальные, то реакция N будет нормальна к траектории точки и по-

§ 154] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПО ПОВЕРХНОСТИ И ПО ЛИНИИ 215
тому будет Л/1 = 0. Следовательно, уравнения движения материальной
точки будут:
mW = F« ^f = F» + "n, 0 = Fb + Nb. (32.5)
Мы видим, что из первого уравнения реакция исключена.
Предположим, что вследствие приданной ей скорости материальная
точка движется по заданной поверхности без действия активных сил,
т. е. /7=0; тогда уравнения (32.5) движения материальной точки
будут:
dv Л mvl ,т _ ._
т. е. материальная точка движется вдоль поверхности с постоянной
по модулю скоростью, а реакция N направлена по главной нормали
к траектории. Таким образом, будет:
С другой стороны, известно, что материальная точка при движении
по поверхности испытывает со стороны поверхности реакцию,
направленную по нормали к поверхности. Таким образом, одна и та же
сила направлена и по нормали к поверхности и по главной нормали
к траектории, т. е. главная нормаль к траектории материальной точки
должна совпадать с нормалью к поверхности. Если главные нормали к
линии, проведённой на поверхности, совпадают с нормалями к
поверхности, то такая линия называется геодезической линией этой
поверхности. Например, окружность большого круга есть для шара
геодезическая линия, а окружность параллели не будет для шара геодезической
линией. Из предыдущего следует, что
Материальная точка без действия активных сил движется
по заданной поверхности с постоянной по модулю скоростью и
имеет траекторией геодезическую линию этой поверхности.
Очевидно, что если материальная точка должна двигаться по
заданной поверхности под влиянием приложенных к этой точке
активных сил, то, хотя первое из уравнений (32.5) и не содержит
реакции, его одного будет ещё недостаточно, чтобы найти движение
этой материальной точки, так как вследствие неопределённости
траектории материальной точки на заданной поверхности не будет известно
направление касательной к траектории, на которую необходимо проек-'
тировать силу F. Если же материальная точка под влиянием
активных сил принуждена двигаться по заданной линии, то для разыскания
этого движения одного первого из уравнений (32.5) уже будет
достаточно, так как направление касательной будет известно, а положение
точки на заданной линии зависит только от одного параметра. В
частности, если за этот параметр мы возьмём длину 5 дуги траектории

216 НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXII
от какой-нибудь взятой постоянной точки траектории до движущейся
материальной точки, то будет:
ds _. , л ds
и уравнение движения материальной точки по заданной линии будет
иметь вид
2 ?Ί) (32·6)
Ниже мы познакомимся на конкретных примерах с этим способом
решения задач на движение материальной точки по заданной линии.
§ 155. Теорема кинетической энергии для несвободного
движения. Мы вывели в § 127, что дифференциал живой силы Т= -^—
движущейся материальной точки равен элементарной работе всех
действующих на точку сил. Так как мы рассматриваем связи
идеальные и притом не зависящие от времени, то, будет ли материальная
точка находиться на поверхности или на линии, элементарная работа
реакции N или реакций Nt и N2 будет равна нулю (§ ПО).
Следовательно, мы будем иметь:
dT=Xdx+Ydy + Zdz, (32.7)
где X, F, Ζ суть проекции действующей на материальную точку
активной силы. Это уравнение можно также представить в виде
dT __ у dx ι γ аУ ι γ dz /o9 Q\
Оба уравнения выражают теорему кинетической энергии.
Мы видим, что уравнение (32.7) или уравнение (32.8) не содержат
реакций. Таким образом, если мы изучаем движение материальной
точки по заданной линии, то одного уравнения (32.7) или одного
уравнения (32.8) будет достаточно для определения этого движения,
так как положение точки на заданной линии зависит только от одного
параметра. Обращаясь к первому из уравнений (32.5), умножая обе
части его на количество ν, мы, как и в § 147, получим то же
уравнение (32.7).
Предположим, что сила F есть консервативная сила; тогда, вводя
силовую функцию U(x, у у ζ) или потенциальную функцию V(x, у, ζ),
мы будем иметь:
y__dU____dV v—dU_ — — — ? — dU — дУ ·

§ 156] КРУГОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
поэтому мы получим:
217
dU
dU
6U
или
(32.9)
Таким образом, для рассматриваемых случаев движения несвободной:
точки мы пришли к интегралу энергии.
Если действующая на материальную точку активная сила есть-
сила консервативная, то при изучении движения материальной точки
по заданной линии целесообразно пользоваться уравнением (32.9),
так как в этом случае вместо одного дифференциального уравнения
второго порядка мы приходим к одному дифференциальному
уравнению первого порядка.
Предположим, что тяжёлая точка с массой т принуждена
двигаться под влиянием своего веса по некоторой заданной линии (С)
(черт. 270). Так как будет U = — mgy-\~ const, то из уравнения (32.9)
мы получим:
Если при у = у0 будет ν = 0, то мы
будем иметь h = rngy0, и мы приходим
к уравнению:
то
т. е.
(32.10)
Черт. 270.
Из формулы (32.10) можно найти скорость ν движущейся тяжёлой
точки в любом месте на заданной траектории этой точки.
§ 156. Круговой математический маятник. Введём следующее
определение:
Круговым математическим маятником называется тяжёлая
материальная точка, принуждённая двигаться по окружности^
расположенной в вертикальной плоскости.
Чтобы осуществить такое движение, можно, например, прикрепить
тяжёлую точку к абсолютно гибкой нерастяжимой нити, закреплённой
неподвижно одним концом, если тяжёлая точка эту нить постоянно
натягивает; если же связь требуется двухсторонняя, то тяжёлую точку
можно прикрепить к концу абсолютно твёрдого стержня,
закреплённого другим своим концом в неподвижной точке. Вес нити или стержня

218
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXII
при этом предполагается настолько малым, что им можно
пренебречь.
Отнесём движение кругового математического маятника к
прямоугольной системе координат Оху, причём ось Оу направим
горизонтально, а ось Ох — вертикально вниз (черт. 271). Будем предполагать,
что связь осуществляется при помощи нити. Обозначим длину ОА
маятника через /, а угол, образуемый прямой ОА с осью Од;, —через Θ.
На материальную точку А действует сила тяжести mgf параллельная
оси Ох, и реакция Т' нити, направленная от точки А к точке О.
Для составления дифференциального
уравнения движения маятника применим
сначала формулу (32.8). Так как
будет /y = ^7z;> т0 мы получим:
т__ mv* __ mP (db_\*
Черт. 271.
Далее будет:
X=mg, Y = 0,
Ζ = 0, χ =
поэтому имеем:
ydx . vdy , dz
. dft
Таким образом, дифференциальное уравнение (32.8) для движения
маятника принимает вид:
или, сокращая на ^-, окончательно:
(32.11)
Мы получим то же самое уравнение, если будем исходить из первой
формулы (32.5), т. е. из формулы m-^- = Fx. В самом деле, будет:
dv___
dt ~~
■и мы находим:
—
: — mg sin θ,
/-7— = — mgsm Θ,
т. е. приходим к уравнению (32.11).

§ 156] КРУГОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 219
Предположим, что колебания маятника настолько малы, что можно
заменить функцию sin 6 через угол Θ; тогда вместо уравнения (32.11)
мы получим:
g + f0 = O. (32.12)
Сравнивая уравнение (32.12) с уравнением (30.4), мы заключаем, что
они тождественны между собой, если положить k2 = ~. Таким
образом, если при движении маятника угол θ остаётся достаточно малым,
то можно считать, что маятник совершает гармоническое
колебательное движение, определяемое формулой (30.2), т. е.
θ = α sin (|/"-у ^Ч- ^), (32.13)
и период IT колебания маятника определяется формулой (30.3), т. е.
будет:
/Γ (32.14)
Мы видим, что для очень малых колебаний кругового математического
маятника период этих колебаний не зависит от их амплитуды. Введём
следующее определение:
Колебания называются изохронными *), если их период не
зависит от их амплитуды.
Из предыдущего следует, что очень малые колебания кругового
математического маятника будут изохронными; изохронность очень
малых колебаний кругового маятника была открыта Галилеем.
Перейдём теперь к изучению колебаний кругового математического
маятника с конечными амплитудами; для этого применим уравнение (32.9).
Так как мы имеем:
Y_№__mf\ ^ U — mgx-j- const =mgl cos 0 -j- const,
то будет:
Чтобы определить произвольное постоянное h, предположим, что при
Ь = ау где а < π, будет ν — 0; тогда мы получим:
0 = mgl cos a.-\-h,
и отсюда:
^ = Ц (cos 6 — cos a). (32.15)
*) С греческого: «исос» — равный, «хронос» — время.

220 НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXII
Следовательно, применяя интеграл энергии, мы вместо
дифференциального уравнения (32.11) второго порядка пришли для определения
движения маятника к дифференциальному уравнению (32.15) первого
порядка, что согласуется с указанием, сделанным в § 155. Конечно,
из уравнения (32.11) интегрированием можно получить уравнение (32.15).
Для этого, умножая уравнение (32.11) на 2-т-, получим:
или
Интегрируя, будем иметь:
ν~dt) / cos === cons*·
Чтобы определить произвольное постоянное, предположим, что при
β = α будет-^ = 0; отсюда найдём:
т. е. приходим к уравнению (32.14). Мы видим, что применение
интеграла энергии (32.9) сразу приводит к уравнению (32.15) первого
порядка, тогда как при других способах решения задачи мы хотя и
получим то же самое уравнение первого порядка, но лишь в
результате интегрирования дифференциального уравнения второго порядка.
Чтобы проинтегрировать уравнение (32.15), представим его в виде
■ = -у- [(1 — cos ос) — (1 — cos 0)],
или
Положим:
. α , . θ .α ,
Sin — = k, Sin -77 = Sin -о- U = kU\
тогда будет:
da
2)

§ 156] КРУГОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 221
и мы получим:
\2) k du k da
dt ~ cos - dt
После этого рассматриваемому уравнению можно придать вид
1 —Л-'й* \dtj
или
Отсюда находим, принимая, что переменное и возрастает вместе со
временем /, следующее равенство:
и
μ= Г ^ =_9 (32Лб)
Мы получим четверть периода § полного колебания кругового
математического маятника, изменяя угол θ от 0 до а, т. е. изменяя
переменное и от 0 до 1. Следовательно, мы будем иметь:
du (32.17)
Стоящие в формулах (32.16) и (32.17) интегралы, имеющие под
квадратным корнем многочлены четвёртой степени, называются
эллиптическими интегралами и их в конечном виде, пользуясь элементарными
функциями, взять нельзя. Чтобы взять интеграл, стоящий в фор-
1
муле (32.17), разложим количество (1—k2u2) 2 по формуле бинома,
пользуясь тем, что при α < π должно быть &< 1; мы будем иметь:
L· ι + -1.
Следовательно, будет:
_ ι ι ι
|Г = 41/"— Г Г du -L — &2 ί η2(ία 4- — f uidu Α-
ψ gl] γγ~ύϊ*2 J у1__аз"*"2.4 J yi__ttj '
о о о
1
1 о с Γ* β j Τ
ι 1 · о · 5 Ι #" д # ι

222 НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Полагая я = sin φ, получим:
[ГЛ. XXXII
1 π/2
du
du = Γ _ π
υ ο
1 r./2
4^'; Γ
== — J Sin φ φ,
/
С ив dn Г . R ,
=J Yr^=J 51Πφΰί?·
Интегрируя по частям, найдём:
π/2
π/2 π/2 ^ π/2
/2 = Γ sin2 odo = — Γ sin φ d (cos φ) = — sin φ cos φ -J- Γ cos2 φ dv9
о о
или
ic/2
/2 = Г (1 — sin2 φ) </φ = -^- — Г sin2 φ do = ^ — /2,
т. e.
Далее,
J2 2 о 2 2 *
/4 == Γ sin4 odoz= — Γ sin3 φ d (cos φ) = — sin3 φ COS φ
о о
π/2
+ 3 J sin2 φ cos2 о do,
или
π/2 π/2 π/2
/4 = 3 Γ sin2 φ do — 3 Γ sin4 φ cfo = 3 Γ sin2 φ do ~ 3/4,

§ 156]
т. е.
КРУГОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
π/2
г 3 f . о , 3 , 1-3 π
223*
Далее,
/G= j sin6 φ do =— Γ sin6 φ i/(coso) = — sin5 φ cos φ
о о
π/2
• Γ sin4 φ cos2 φ doy
или
т. е.
π/2 π/2 π/2
/6 = 5 Γ sin4 φ do — 5 Γ sin6 φ do = 5 Γ sin4 φ do — 5/6,
π/2
__ 5 Ρ . 4 , 5 / __ 1 ·3·5 π
Так как закон составления выражений всех интегралов /2, /4, /6, /8, .,
ясен, то мы окончательно получаем:
или
(32.18)
Из формулы (32.18) видно, как период колебаний кругового маятника
зависит от амплитуды а его колебаний; колебания будут
приблизительно изохронными только в том случае, если амплитуда α' будет
мала. Так как время перемещения без начальной скорости тяжёлой
точки по окружности из точки Ε в точку С (черт. 271) равно — |Г,
то мы видим, что если угол α достаточно мал, то приближённо можно
принять, что это время не зависит от положения точки Ε на
окружности; но если угол а значителен, то это время согласно формуле (32.18)
растёт вместе с возрастанием угла а.

224 НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXII
Чтобы определить натяжение V нити, обратимся ко второй из
формул (32.5), которая для кругового математического маятника
принимает вид
την1 __ ρ , т/
/ — г п\ L ·
Так как согласно формуле (32.15) и черт. 271 будет:
^ = ρ g?у = 2gl (cos θ — cos α), /^ = — mg cos θ,
•то мы получим:
T, = wjfi_pn = mg(3 cos θ _ 2 cos α) = 3P (cos θ — ycosa) . (32.19)
.Допустим, что будет α=γ, τ. е. что крайние положения нити О А
совпадают с осью Оу\ тогда будет 7v = 3Pcos6, т. е. натяжение
нити в точке С, где 6 = 0, будет в три раза превосходить вес груза,
тогда как при отсутствии колебаний натяжение нити в точке С будет
точно равно весу груза. Отсюда мы заключаем, что
Реакции связей при движении отличаются от реакций при
равновесии.
При определении реакций это обстоятельство всегда необходимо
иметь в виду.
о
Из формулы (32.19) следует, что будет V = 0 при cos θ = —cos a;
о
при дальнейшем увеличении угла 0 вследствие колебательного
движения груза натяжение Τ сделается отрицательным, т. е. нить должна
быть заменена твёрдым стержнем. В противном случае после момента,
когда будет Т' = 0, тяжёлая точка как свободная начнёт двигаться
по параболе, соприкасающейся в точке, где V = 0, с прежней
траекторией— окружностью, имея в этой точке на параболе ту скорость,
которую она имела в той же точке на окружности.
§ 157. Примеры. 121. Определить движение кругового математического
маятника, могущего описывать полную окружность. Рассмотрим сначала тот
случай, когда в формуле (32.15) будет α = π, т. е. когда маятник
останавливается, дойдя до самой верхней точки окружности. В этом случае из фор-
.мулы (32.15) мы получим:

§ 157] примеры 225
Отсюда будем иметь:
'(4) и , <¥)
\ 2 2/ \4 4/ \4 4/ s \<
= 2)/ fdt,
или
G
^ STβ ~ 1/ f dt.
Интегрируя, найдём:
т. е.
Пели при / = 0 будет 6 = 0, то мы получим С= 1, и будем иметь:
(32.20)
Мы видим, что тяжёлая точка апериодически приближается к самой верхней
точке окружности, достигая её лишь через бесконечно большое время.
Полагая в первой формуле этого примера 6 = 0, мы наймём угловую
скорость, какую следует придать в точке С тяжёлой точке, чтобы она
воспроизвела рассматриваемое движение; мы получим:
dt l V r
Полагая в формуле (32.19) о = г., получим:
Г = ЗЯ (cos 0 +-I
Мы видим, что при 6 = 0 будет V = 5Р, т. е. реакция в точке С в пять раз
больше веса тяжёлой точки. При cos 0 = — -g-, т. е. при 6 = 180°—48°11/23"=
*=\3\°48'37", будет 71/ = 0, и при дальнейшем возрастании угла 6
натяжение V изменит свой знак; поэтому мы сможем осуществить рассматриваемое
движение тяжёлой точки, лишь заменив нить абсолютно твёрдым стержнем.
Если тяжёлая точка должна описывать всю окружность и угловая скорость
должна иметь в самой верхней части этой окружности значение ω0, то из
формулы
m/2/rf6\2
—\έ) -
15 Зак. 487. А. И. Некрасов

226 НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ХХХП
предыдущего параграфа мы будем иметь:
т. е.
Отсюда находим:
dt
Полагая
получим:
θ
= /г2, sin -f- = u,
2
dii J_ / 1 4Jf~
-и2ПХ_к-Щ - 2 У »δ + τ Λ·
Обозначая через S" время обхода тяжёлой точкой всей окружности, будем
иметь:
ι
f dU Ύ ν»2+4-?
J y^ (l — и"-5) (1 — Λ-«2) 4 * L
т. е.
ι
du
/О -«W -^-)
Последний интеграл уже был вычислен при выводе формулы (32.18), и мы
получим:
·- ]· (32-21>
Применяя формулу V = —^ /^, мы найдём:
Τ = /λ/ ί — J + w^· cos θ = 3mg cos θ + 2m
Определим, какую угловую скорость ω0 следует иметь, чтобы всегда было
7ν>0, τ. е. чтобы было возможно ограничиться гибкой нитью без замены её

1571
ПРИМЕРЫ
227
на некотором этапе движения тяжёлой точки абсолютно жёстким стержнем.
Очевидно, что для этого должно быть:
— 3mg + 2т g + τηΐωΐ
т. е.
ωο>|
Π-
122. Определить весьма малые колебания кругового математического
маятника при силе сопротивления, пропорциональной угловой скорости этого
маятника. Мы обозначим силу сопротивления через —т^ ~Т^ т0ГДа уравне-
dv
нию движения /л — = -ττ можно
dv_
1 dt
будет придать вид
ml -rp=mg cos (у+Ч —
—m\>. — = — mg sin θ — m\). —,
или
dP ~*T~dt~r~TSm ~~ ' Черт. 272.
Для весьма малых колебаний это уравнение обращается в уравнение
Согласно результатам § 144 интеграл этого уравнения будет:
где β и ε суть произвольные постоянные. Следовательно, движение маятника
будет периодическим с затуханием.
123. Определить движение тяжёлой точки по циклоиде, представленной
на черт. 272. Уравнения циклоиды, отнесённой к изображённым на черт. 272
осям Оху, где ось Ох горизонтальна, а ось Оу вертикальна, будут:
л: = # (0-f sin Θ), у = /?(1 — cos6).
Если 6 = 0, то будет χ = 0, у = 0, т. е. мы получаем точку О; если будет
6 = π, то мы получим χ = π/?, у = 2/?, т. е. мы приходим в точку В. Мы
имеем:
dx = R (1 + cos 0) rfQ, dy = R sin θ ^θ;
отсюда находим:
2/?2 (1 + COS θ) ύ?θ2 =
е.
== 2/? cos γ
4/? sin у,
15*

228
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ΧΧΧΪΪ
причём принято, что при 6 = 0 будет s = 0. Уравнение движения тяжёлой
точки по рассматриваемой циклоиде имеет вид
т -^ = Fx = mg cos ίγ + aJ = — mg sin a.
Так как будет:
ds
-dJ.-
_t θ __
то дифференциальному уравнению движения тяжёлой точки по циклоиде
можно придать вид
dsS s
τη —тгг, = — mg-TFi,
или
F +
1 ΓΙ
Мы пришли в точности к уравнению вида (30.4), где k =* -^ 1/ -g-; следова-
тсльно, движение тяжёлой точки будет гармоническим движением:
где а и ε суть произвольные постоянные, причём период полного колебания
тяжёлой точки равен:
Мы видим, что колебания тяжёлой точки будут изохронными при всех
амплитудах и тяжёлая точка, пущенная без начальной скорости из любого
места циклоиды, придёт в точку О за один и
тот же промежуток времени
•/I
Тяжёлая
0
Черт. 273.
Пользуясь уравнением данной параболы, получим:
dy_^x_dx^
dt p dt'
Из интеграла энергии будем иметь:
Т~~7* \dt)
точка, движущаяся по циклоиде, изображённой на
черт. 272, называется циклоидальным
маятником. Приведённые здесь свойства циклоидального
маятника были найдены Гюйгенсом.
124. Найти движение тяжёлой точки по
параболе, представленной на черт. 273. Уравнение
такой параболы буцет х2 = 2ру, где ось О у
направлена вертикально вверх, а ось Ох горизон-
тальна. Мы имеем:

§ 157) примеры
229
Если при χ = х0 будет ν = О, то мы получим: h = -^- х\ , и предыдущее
уравнение примет вид:
Полагая
χ = χοζ, ρ = xQa,
найдём:
или, так как-^-<0, ещё иначе:
Полагая
Ζ = Sin φ,
получим:
Υ а* + sin2<f> ί/φ = — l/
или
Отсюда находим:
Полагая
мы будем иметь:
, . 1
у 0\а ~Г ) (1 — д2 C0S2 φ) 2 ,
ИЛИ
ψ
(
где промежуток IT времени обозначает период полного колебания тяжёлой
точки по параболе. Вставляя значение количества а в предыдущую формулу,
будем иметь:
«/2
/ χ
4|/ ^2+*ο (1 — λ2 cos2 φ)7 dy.
gp i
gp
По формуле бинома имеем:
(1 — λ2 COS2 <f )T =* 1 — 4 λ2 0Ο32φ ^ jX λ4 COS4 φ — ^-U^ λ6 C0S6 φ — .,,,

230 НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXII
следовательно, находим:
π/2 π/2 π/4
ρ2+χο Γι, ι ν, ί ο , ι .. ι
Ό Ό Ό
ι_ }{. Γ
π/2
cos*5
ο
Введём обозначения:
π/2 π/4 π/2
/2 = J COS2 φ ί/φ, /4 = J COS4 φ ί/φ, /β = J COS6 f ί/φ, . ..
0 0 0
Мы будем иметь:
π/2 π/2 π/2 π/2
/2 = I COS2 φ ί/φ = I COS φ fl? (Sin φ) = COS φ Sin φ -f- I sin2 φ ^φ,
0 0 0 0
ИЛИ
π/2 π/2
/2 = Sin2 φ flfcp = (1 — COS2 φ) ί/φ = -^ /2,
Ό Ό
т. е.
Далее будет:
π/2 π/2 π/2 π/2
/4 = ι costydy = Γ cos3 φ d (sin φ) = cos3 φ sin φ +3 1 cos2 φ sin2 φ ^φ,
οο οο
или
π/2 π/2
/4 = 3 Γ COS2 φ dy — 3 Γ COS2 φ «Τφ = 3/2 — 3/4,
0 0
т. е.
3 __ 1 · 3 π
Остальные интегралы вычисляются таким же приёмом, и мы получим:
1-3-5
22.42-62
1Γ 1-3 ?< 1-3-5 Ν
22Α 2242Λ 224262 "7'
или
^ Ρ2+-ν02 22.4^
1.3-5
Мы видим, что колебания тяжёлой точки по параболе не будут изохронными.
Тяжёлая точка, движущаяся по параболе, представляет параболический
маятник,

ГЛАВА XXXIII.
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ
ДВИЖЕНИЕ.
§ 158. Уравнения относительного равновесия. Рассмотрим инер-
циальную систему координат С^лг^у^; пусть будет Oxyz система
подвижных осей координат, движение которых относительно системы
O1x1y1z1 задано. Например, система Oxyz может быть наглухо
скреплена с каким-нибудь абсолютно твёрдым телом, находящимся в
определённом движении относительно взятой инерциальной системы
координат O1x1y1z1. Рассмотрим какую-нибудь материальную точку А,
на которую действуют заданные силы Fv F2, F%, ..., Fn, и которая
находится в равновесии под действием этих сил относительно
подвижной системы координат Oxyz, т. е. не меняет своего положения
относительно последней системы. Если бы, не замечая движения осей
координат Oxyz, мы захотели изучать наблюдаемое равновесие точки А,
η
составив для этого обычным способом уравнение равновесия ^j Fk= О,
fc l
то мы нашли бы, что сумма Fx -\- F2 + F% -{- ... -\-Fn будет отличной
от нуля, хотя материальная точка А и находится в равновесии
относительно системы координат Oxyz. Причина этого кажущегося
противоречия между наблюдением и теорией лежит в том, что на самом деле
материальная точка А не находится в равновесии, но движется вместе
с осями координат Oxyz, оставаясь неподвижной относительно этой
системы осей координат. Это движение точки А можно было бы
заметить, если бы мы определяли положение точки А не относительно
подвижных осей Oxyz, а относительно взятой инерциальной системы
осей OjATj^y^j. Поэтому сумма F^-]-F2-\-F%-\-...-\-Fn и не может
быть равна нулю, а должна быть равна массе материальной точки А,
умноженной на ускорение этой точки А, вычисленное в
предположении, что точка А наглухо скреплена с подвижными осями Oxyz.
Из кинематики известно, что это ускорение называется переносным
ускорением wnep (т. I, § 103). Таким образом, рассматриваемое дви<-
жение материальной точки А определяется уравнением
(33.1)

232 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XXXIII
Так как при таком движении материальная точка Л относительно
подвижных осей не перемещается, то говорят, что материальная точка Л
находится в относительном равновесии. Таким образом, мы приходим
к следующему определению.
Относительным равновесием материальной точки называется
отсутствие перемещения материальной точки относительно по-
двиэюной системы отсчёта.
Заметим, что если система отсчёта движется прямолинейно и
равномерно, то будет Допер = 0, и уравнение (33.1) примет вид ^jFk = 0$
к
т. е. уравнение равновесия будет одним и тем же для всех инер-
циальиых систем отсчёта, что находится в согласии с принципом
относительности Галилея.
Уравнение (33.1) можно представить в виде
очевидно, что произведение mwnc? имеет размерность силы, и,
полагая — mwIlQV = Ι7', получим:
2Fft + F' = 0. (33.2)
к
В координатной форме уравнение (33.2) представится следующим
образом:
2^+^ = о, 2к»+г' = о, 2ζλη-ζ' = ο. (зз.з)
к к к
Уравнение (33.2) и уравнения (33.3) имеют такой вид, как если бы
разыскивалось абсолютное равновесие материальной точки,
находящейся под действием системы данных сил 2^л и еи*ё дополнительной
к
силы Ζ7', зависящей от характера движения системы отсчёта Oxyz.
Таким образом, если бы наблюдатель, находящийся на системе
отсчёта Oxyz и не замечающий движения этой системы отсчёта и
потому думающий, что равновесие точки Л относительно системы
отсчёта Oxyz есть абсолютное равновесие, захотел составить
уравнение равновесия точки Л, то он убедился бы, что уравнение равновесия
будет описывать наблюдаемую действительность лишь в том случае,
если к силам Fk он прибавит ещё силу Fr. Таким образом,
Для составления уравнений относительного равновесия
материальной точки надлежит к данным силам прибавить силу
F1 = — mwUQV и приравнять нулю геометрическую сумму всех сил.
Из кинематики известно (т. 1, § 103), что будет:

§ 158) УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ 233
поэтому мы получим:
F' = —т ^f — m(tuXv0) — т (^ X г) — т (ω . г) ω + ты*г. (33.4)
В формуле (33.4) количество -— обозначает локальную производную
от скорости ν0 начала О подвижной системы координат Oxyz, вектор
ω — угловую скорость вращения этих осей координат, а вектор
г — радиус-вектор, соединяющий начало О подвижной системы
координат с точкой Л. Особенно примечательны два случая, когда
подвижная система Oxyz находится или только в поступательном
движении или только во вращательном движении с постоянной угловой
скоростью.
В первом случае мы имеем:
F' = -md-%. (33.5)
Предположим, что мы ищем равновесие тяжёлой точки с весом P = mg
относительно подвижной системы Oxyz осей координат, движущихся
только поступательно со скоростью v0. Тогда из уравнений (33.2)
и (33.5) мы получим:
ИЛИ
Отсюда следует, что вектор ■—-■ должен быть равен вектору g, т. е.
только по отношению к системе, движущейся с ускорением, равным
по модулю g и направленным вертикально вниз, тяжёлая точка может
быть в относительном равновесии. Таким образом, если на такой
системе будет помещён в любом положении математический маятник
без начальной относительной скорости, то колебаться математический
маятник не будет, так как он должен быть в равновесии относительно
этой системы отсчёта.
Во втором случае мы имеем vo = O и ω = const, т. е. будет:
F' = nrn-r — т (ω · г) ω. (33.6)
Проекции Χ', Υ'', Zr этой силы Fr будут равны:
X'= mafix — W(Oil.(a>a;A:4'
Г = т^у — пту (ωχχ -j- <ayy -f ω .г), (33.7)
Ζ! = m<a2z — т<аг (ωχχ -\- <ауу -j- ω2ζ). J
В кинематике было доказано (т. I, § 79), что ускорение w =»
= (ω · г) о) — (02r направлено перпендикулярно к оси вращения в сторону

234
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XXXIII
к этой оси и поэтому называется центростремительным ускорением;
так как сила Ff направлена противоположно этому ускорению, то она
получила название центробежной силы. Если ось вращения
совпадает с осью Oz, то будет ω^ = ω^ = 0, ωζ = ω, и мы получим для
центробежной силы следующие проекции:
Zr = 0; (33.8)
в этом случае модуль центробежной силы F' равен:
F' = mo)2 y*2~f3/2 = /mo2/\ (33.9)
Нетрудно показать, что центробежная сила имеет силовую функцию.
В самом деле, для этого должно быть:
^- = т<»*х — птх (ωχχ -f <oy
^у = mafly — т<ау
— = ηιω*ζ — ι»ω
но легко видеть, что эти равенства удовлетворятся, если для силовой
функции U' (л;, у у ζ) мы возьмём
выражение
а
О
К
\
\
в
Кг-
\
\
\
л
Ά
Ρ
4-const. (33.10)
Если ось вращения совпадает с осью Ozy
то будет:
1 const, (33.11)
что можно найти и из формул (33.8)
непосредственно.
Черт. 274. Введение силы F\ в частности
центробежной силы, облегчает
решение задач на относительное равновесие, в чём можно убедиться из
решения, например, следующей задачи. Рассмотрим прямоугольную
систему осей координат Oyz, у которых ось Ог направлена
вертикально вверх, а ось Оу — горизонтально (черт. 274). Если оси
координат Oyz неподвижны и к точке К на нити, длина которой равна /,
прикреплена тяжёлая точка А с весом P = mg, то при равновесии
точки А нить АК расположится вертикально, и реакция этой нити
будет равна по величине и противоположна по направлению весу Ρ
тяжёлой точки А. Но если координатная плоскость Oyz вместе с
тяжёлой точкой А будет вращаться вокруг оси Oz с постоянной угловой

§ 158]
УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
235
скоростью ω, причём точка А будет оставаться неподвижной на
вращающейся плоскости Oyz, то нить КА уже не останется вертикальной.
В самом деле, при вращении вокруг оси Oz точка А будет описывать
в равномерном движении окружность с радиусом С А = a-\-ls\no;
следовательно, точка А будет иметь центростремительное ускорение
(т. I, § 73), равное <u2(a-\-lsin<s>), τ. е. на точку А будет действовать
центростремительная сила, равная по модулю АВ = /7io>2(tf-f-/sin<p).
Но воздействие внешнего мира на материальную точку А
осуществляется только через её вес P=mg и через реакцию Т' нити КА;
поэтому только эти две силы и могут дать центростремительную
силу АВ. Чтобы это было возможно, реакция Т' нити должна быть
такова, чтобы при сложении с
весом Ρ получалась равнодействующая,
перпендикулярная к оси Oz, как это
изображено на черт. 274; тогда
Из треугольника ABD мы будем
иметь в этом случае
_ АВ о>2 (а + / sin φ)
= BD g '
или
Sin2 φ ω4 (α + I Sin φ)
1 — Sin2 φ £2 ·
Черт. 275.
Раскрывая скобки и освобождаясь
от знаменателей, мы придём для
определения угла φ к уравнению четвёртой степени относительно
неизвестного количества sin φ. Уравнение значительно упрощается,
если будет а = О, т. е. если точка К подвеса маятника лежит на
оси Ог. В этом случае основное уравнение примет вид
откуда получим:
0)2/
sin φ,
cos φ = ■
ая угол φ, мы определим натяжение V нити по формуле
г/2.
т. е.
V = m Vω* (а + / sin φ)2 -j- g*.
Вводя центробежную силу АВ' (черт. 275), где АВ'= mafiCA, мы
можем позабыть про вращательное движение точки А вместе с осями Oyz
и рассматривать точку А как неподвижную, находящуюся в равновесии
под действием трёх сил Р} Т' и Ρ = АВ\ где АВ' = /#o)2(a-|-/sin φ).

236 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XXXIII
Мы получим уравнения равновесия точки А, приравняв нулю суммы
проекций всех действующих на точку А сил на горизонтальное и
вертикальное направления; мы будем иметь:
— V sin φ -j- ^ω2 (# + /sin φ) = 0,
Τ cos φ — mg = 0,
или
V sin φ = m<o2 (a -J- /sin φ), Τ7 cos φ = mg.
Почленным делением друг на друга обоих уравнений мы найдём:
О)2(й + / Sin φ)
g.
Возводя оба уравнения в квадрат и складывая, получим:
V = т |/ш4(я-|-/sin φ)24-g>\
можно вычислить V ещё иначе, умножая первое уравнение на sin φι
второе — на cos φ и складывая результаты:
Т'= m [ω2 {a -J- /sin φ) sin cp-f-g'coscp].
Конечно, значение натяжения Г7 будет известно только тогда, когда
ранее определён по выше приведённой формуле угол ср. Легко видеть,
что оба приёма приводят к одному и тому же результату. Так как
случаи разыскания относительного равновесия материальной точки
при равномерном вращении системы отсчёта встречаются довольно
часто, то полезно повторить приведённое после формул (33.2) и (33.3)
общее правило специально применительно к этому частному случаю:
Для составления уравнений относительного равновесия
материальной точки относительно системы, находящейся в
равномерном вращении около неподвижной оси, достаточно к данным
силам, приложенным к материальной точке, прибавить
центробежную силу материальной точки и приравнять геометрическую
силу всех сил нулю.
Рассмотрим ещё следующий пример. Предположим, что
материальная точка Л, находящаяся на расстоянии г от неподвижного центра О,
соединена с ним динамометром, могущим показывать как величину силы
растяжения, так и величину силы сжатия. Материальная точка А
притягивается к центру О с силой, величина которой при О А = г
равна F, Предположим, что материальная точка А неподвижна. Так как
на материальную точку А действует сила притяжения Z7, то точка А
давит с, силой F на динамометр, и по закону равенства действия
и противодействия реакция N динамометра, приложенная к точке А,
равна — F. Таким образом, на точку А действуют силы F и —F,
равнодействующая которых равна нулю, что согласуется с
предположением о неподвижности точки А; динамометр же окажется сжатым
силой, равной Z7, что отметит на циферблате стрелка динамометра.

§ 158] УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ 237
Далее, предположим, что материальная точка А движется вокруг
центра О по окружности С, радиус которой равен г, с постоянной
скоростью vv В этом случае точка А будет иметь центростремитель-
9
ное ускорение —, и на точку А должна действовать в результате
только одна центростремительная сила = Fv где т есть масса
точки А. Мы примем, что будет Т7, < F. Мы видим, что часть /^
силы притяжения F пойдёт на образование центростремительной силы,
а оставшаяся часть F — Fx пойдёт на сжатие динамометра, сила
реакции N которого будет приложена к точке Л. Таким образом,
на точку А будут действовать сила притяжения F и реакция
д/'Е=(/7 — Fx) динамометра; равнодействующая этих двух сил равна/^,
Таким образом, точка А будет находиться под действием лишь одной
2
силы Fv а динамометр будет сжат с силой F — FX = F -, что
и отметит стрелка динамометра. Предположим затем, что
материальная точка А движется по окружности С с постоянной скоростью v2,
где ν2 > νΓ В этом случае точка А должна иметь центростремитель-
о
ное ускорение ~, и на точку А должна действовать в результате
9
только одна центростремительная сила = /\>. Мы примем, что
скорость v2 такова, что будет F2 = F. В этом случае вся центро-
о
стремительная сила—г^-=/72 будет образована силой притяжения F,
точка А не будет ни сдавливать, ни растягивать динамометр, и
стрелка динамометра будет стоять на нуле. Предположим, наконец,
что точка А описывает окружность С с постоянной скоростью t>3,
где будет vd > vo. В этом случае точка А будет иметь центростре-
мительиое ускорение —, и на точку А будет действовать в резуль-
2
тате одна центростремительная сила = /\j, где будет F% > F.
Часть F силы F% будет образована силой притяжения, а оставшаяся
часть (Fg — F) — силой тяги точки А со стороны динамометра.
Следовательно, материальная точка А будет в свою очередь растягивать
динамометр с силой Fs—F, что и отметит стрелка динамометра.
Все эти правильно описывающие сущность наблюдаемых явлений,
но достаточно длинные рассуждения можно заменить более коротким
рассуждением, вводя центробежную силу, действующую на
материальную точку Л. Эта центробежная сила вводится искусственно, без
неё, как мы только что убедились, можно полностью объяснить всё
явление; но если ввести центробежную силу, то задача приводится

238 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. ХХХШ
к простой задаче о равновесии точки Л под действием силы
притяжения F, реакции динамометра N и центробежной силы .
Проектируя все силы на направление АО и приравнивая нулю сумму
проекций, мы получим уравнение относительного равновесия точки Л
в виде
т. е.
Лг mv2 £.
N= г.
г
В этом уравнении содержатся все разобранные выше случаи;
например, если будет ^ = 0, то мы получим Л/"= — Т7, а если будет
mv2 с, ^ лг л
= г, то мы будем иметь /V=0.
Мы видели, что мы получаем силу F' искусственно, перенесением
члена из левой части уравнения в правую; поэтому возникает вопрос,
существует ли реально сила F', приложенная к точке Л,
относительное равновесие которой мы разыскиваем. Легко видеть,
что силы F;, приложенной к точке А, в действительности
нет, так что сила Fr есть сила фиктивная. В самом деле:
1. Каждая из реальных сил, приложенных к материальной точке Л,
есть результат воздействия на материальную точку внешних
материальных объектов по отношению к этой материальной точке. Между
тем сила Fr имеет своим источником не наличие внешних
материальных объектов, а лишь состояние движения самой точки А. Так,
например, центробежная сила точки А происходит не от того, что
вне точки А имеются материальные объекты, воздействующие на
точку Л, а лишь от того, что материальная точка А движется вокруг
некоторого центра.
2. Всякая реальная сила F даёт материальной точке ускорение w,
направленное вдоль силы F. Например, когда точка на нити движется
равномерно по окружности, то единственной силой, действующей на
точку, является реакция Τ нити, и единственное центростремительное
ускорение w точки направлено вдоль силы 7\ никакого же другого
ускорения, соответствующего центробежной силе F', точка не имеет.
3. Если геометрическая сумма реальных сил, приложенных
к точке Л, равна нулю, то точка Л по закону инерции или находится
в абсолютном покое или в прямолинейном и равномерном движении.
Если точка на нити движется равномерно по окружности, то, как мы
видели, уравнением относительно равновесия будет T-{-F' = Q, т. е.
по закону инерции материальная точка должна была бы быть или
в абсолютном покое или в прямолинейном равномерном движении,
а между тем точка движется по окружности, т. е. введённая
центробежная сила F' есть сила не реальная, а фиктивная.

§ 159] УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 239
Таким образом, приложенная к точке А сила F' не обладает
основными свойствами реальных сил, и потому она называется
фиктивной силой. Однако можно говорить и о реальной силе равной F\
но эта сила будет приложена не к точке А, а, например, к нити,
удерживающей точку А на окружности, т. е. это будет сила
воздействия материальной точки на тело, осуществляющее связь, и может
быть измерена динамометром.
§ 159. Уравнения относительного движения. В основном законе
динамики: сила равна произведению массы на ускорение, под
ускорением, как было указано в § 120, надлежит подразумевать
ускорение относительно инерциальной системы отсчёта, или абсолютное
ускорение. Поэтому, если мы будем изучать движение материальной точки
относительно какой-либо подвижной системы отсчёта и брать для
материальной точки вместо абсолютного ускорения лишь её
относительное ускорение, то мы уравнение движения этой точки составим
неверно. Чтобы иметь верное уравнение, следует взять абсолютное
ускорение материальной точки, хотя положение этой материальной
точки мы и будем отмечать относительно подвижной системы отсчёта.
В кинематике (т. I, § 103) мы видели, что абсолютное ускорение w
материальной точки, положение которой отмечается относительно
подвижной системы отсчёта, равно:
здесь будет:
di
wKop = 2ω χ 0ΟΤΗ.
Таким образом, обозначая массу материальной точки А через т,
мы получим верное уравнение движения материальной точки А
в виде
/и од,™ + /га Wnep + линкор = F\ (33.12)
этому уравнению можно придать вид
mwQrn = F-\-(— mwmv) -f- (— mwR(iV).
В предыдущем параграфе мы уже ввели обозначение FT = — tnwu^\
«ведём здесь ещё обозначение F" = —mwROV. Тогда будет:
mwOrE = F+F;-\-Fr/. (33.13)
Мы видим, что уравнение (33.13) имеет такой же вид, как если бы
мы разыскивали движение относительно неподвижной системы отсчёта
материальной точки Л, на которую, кроме заданной силы F, действуют

240 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. ХХХЩ
ещё две дополнительные силы F/ и F", зависящие от характера
движения системы отсчёта. Таким образом, если бы наблюдатель,
находящийся на системе отсчёта Oxyz и не замечающий движения этой
системы отсчёта, а потому думающий, что движение точки А
относительно системы отсчёта Oxyz есть абсолютное движение, захотел
составить уравнение движения точки Л, то он убедился бы, решая
это уравнение, что теория и наблюдение не согласуются между собой
и что уравнение движения будет описывать движение точки А
относительно системы отсчёта Oxyz верно лишь в том случае, если
к силе F он прибавит ещё две силы Fr и F". Сила F есть сила
реальная, так как она есть результат механического воздействия на
точку А материальных объектов внешнего мира, силы же Fr и F"
суть силы фиктивные, так как нет никаких материальных
объектов, воздействием которых на точку А эти силы можно было бы
объяснить. Силы F' и F" введены лишь для того, чтобы
дифференциальные уравнения относительного движения были верными по
существу, не отличаясь в то же время по внешнему виду от
дифференциальных уравнений абсолютного движения. Сила F" называется
силой Кориолиса или поворотной силой инерции. Таким образом,
мы приходим к следующему правилу:
Для составления уравнения относительного движения
материальной точки надлежит к данной силе F геометрически
прибавить силы FT и F" и приравнять полученную геометрическую
сумму сил произведению массы материальной точки на её
относительное ускорение.
В раскрытом виде уравнение (33.13) будет иметь вид
m^^F-YF' + F", (33.14)
где
— т (ω · г) ω -f-
Г —2/wX-J
(33.15)
Для" составления дифференциальных уравнений относительного
движения материальной точки в ряде случаев бывает проще составлять
эти уравнения последовательно через скорость, чем пользоваться
формулами (33.14) и (33.15). Именно, в кинематике (т. I, § 102 и 103)
мы имели формулы:

§ 159]
УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
241
Отсюда в координатной форме мы получим следующие формулы:
dx
-^г
(33.16)
(33.17)
Вставляя в формулы (33.17) значения проекций vx, vyy vz скорости
из формул (33.16) и умножая результаты на т, мы и будем иметь
дифференциальные уравнения движения точки Л относительно
подвижной системы осей координат. Очевидно, что при таком способе
составления дифференциальных уравнений движения материальной
точки можно избежать даже упоминания о фиктивных силах F1 и F".
Пусть, например, требуется составить дифференциальные урявне-
ния плоского движения материальной точки с массой т относительно
прямоугольных осей координат Оху, вращающихся в своей плоскости
вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ω. В этом случае
будет:
поэтому мы получим:
dx
Vy~~ dt
™~ = —гг- — ωτ>4
Отсюда для уравнений движения точки А мы будем иметь:
d2x o dy
т —гр 2//Z0) -g
т
dx
(33.18)
где X и Υ суть проекции действующей на точку А силы на
подвижные оси координат Оху. Чтобы привести эти уравнения в
соответствие с формулой (33.14), их можно представить в виде
τη —jzr===
16 Зак. 487. А. И. Некрасов,

242 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. ХХХЩ
dv
постоянной. Так как wOTR= отн , то в силу формулы (23.8) (т. I,
где Х' = т<о2х, Υ'= т®Ру суть проекции силы F\ а Х"=2г?т-~}
У'1 = — 2та> —7т- суть проекции силы Fn'.
dt
Предположим, что будет <vo = Q и угловая скорость ω будет
dt
§ 103) будет:
dv d /v" \
WOTH / ОТН \
v°™ ' ~dt~ =="аТ\2~')-
Поэтому, умножая уравнение (33.13) скалярно на ν0ΎΗ9 мы получим:
(mV<>™\ —Ρ.Ό _Ι_ Γ' . v _L p" . cry
ИЛИ
"2 χ
'r/. dr.
Так как сила F' при сделанных предположениях, как мы видели
в § 158, имеет силовую функцию U', то будет:
далее, по самому определению силы F" она перпендикулярна к век-
dr
dt
F" · dr = X"dx-\~ Y"dy-\-Z"dz = 0,
тору ^отн = —η-, и потому будет:
mvOTH
наконец, количество —^— есть кинетическая энергия Готн
материальной точки в её относительном движении. Следовательно, предыдущее
уравнение можно представить в виде
Предположим, что данная сила F есть сила консервативная, так что
будет:
F-dr = Xdx -\-Ydy + Zdz = dU\
тогда мы получим:
или, интегрируя, окончательно:
Готн = U +1 /яш2 (д;2 +^2 + г*) —

§ 160] РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ 243
Уравнение (33.19) представляет интеграл энергии в относительном
движении.
Если будет 2 = 0, ωα== 0)^ = 0, ω2 = ω, то уравнение (33.19)
обращается в уравнение
= U + ~ лю>а (х*
(33.20)
которое представляет интеграл уравнений (33.18): интеграл (33.20)
называется интегралом Якоби. Конечно, интеграл Якоби можно
вывести и непосредственно из уравнений (33.18); для этого достаточно
умножить первое уравнение на -^-, второе на -^-, сложить
результаты и взять интеграл от полученного выражения.
§ 160. Равновесие и движение материальной точки на
поверхности Земли с учётом вращения Земли вокруг её оси. Наблюдая
какие-либо механические явления, происходящие на поверхности
Земли, мы относим их к осям коор-
динат, движущимся вместе с Землёй.
Выше, в кинематике (т. I, § 104)
мы специально рассмотрели
применение осей координат, неизменно
связанных с Землёй. Мы показали там,
что в обычных условиях механических
опытов мы можем пренебречь
движением Земли вокруг Солнца, но
вращение Земли вокруг её оси в ряде
явлений уже должно сказываться.
В этом параграфе мы и рассмотрим
влияние вращения Земли вокруг её оси
на явления равновесия и на явления
движения на поверхности Земли.
Чтобы ближе описать
действительность, мы предположим, что
Черт. 276.
р
Земля есть шар, состоящий из концентрических сферических слоев,
плотность которых возрастает с уменьшением их радиусов; можно
доказать, что такой шар притягивает по закону всемирного тяготения
любую внешнюю точку с силой, направленной к центру этого шара.
Принимая, что Земля вращается вокруг своей оси с постоянной
угловой скоростью ω, изучим равновесие материальной точки А нч
поверхности Земли (черт. 276). На материальную точку А с массой т
действует сила притяжения та к центру Земли и реакция Тг нити,
на которой висит материальная точка А. Согласно § 158 для
получения уравнений относительного равновесия точки А к силям та и Т'
надлежит ещё прибавить фиктивную силу F', именно центробежную
силу, причём будет F' = m^R cos 0, где R есть радиус Земли,
16*

244 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XXXII!
а 0 есть геоцентрическая широта точки А. Это уравнение
относительного равновесия точки А в векторной форме будет иметь вид
та + F' 4- Г = 0. (33.21)
Мы можем измерить реакцию Т' нити, если заменим нить
динамометром; динамометр покажет силу, с которой материальная точка А
стремится к Земле, т. е. вес P=-*mg материальной точки А. Таким
образом, будет mg= — T', и из формулы (33.21) мы получим:
(33.22)
Из формулы (33.22) следует, что
Наблюдаемый на поверхности Земли вес материальной точки
есть геометрическая сумма силы всемирного тяготения
материальной точки к Земле и центробежной силы материальной
точки.
Из черт. 276 видно, что направление отвеса на поверхности Земли
образует с плоскостью экватора вследствие вращения Земли не угол Θ,
а угол λ; следовательно, устанавливаемая горизонтально по уровню
плоскость любого геодезического инструмента устанавливается
перпендикулярно не к земному радиусу АО, а к направлению силы mg.
Этот угол λ измеряет астрономическую широту места; мы видим,
что астрономическая широта равна геоцентрической широте лишь на
экваторе и на полюсах, в остальных же местах земной поверхности
она больше геоцентрической широты. Из наблюдений мы получаем
всегда астрономическую широту.
Представим векторное равенство (33.22) в координатной форме,
взяв за ось Оу ось вращения Земли, а за ось Ох— прямую,
расположенную в плоскости земного экватора; мы получим:
g sin λ = a sin θ,
g cos λ = a cos θ — ω2/? cos θ = {a — ω2/?) cos θ.
Отсюда будем иметь:
tgX= а J*to2/? tg6, g = У a2 sin2 β + (а — ω2/?2)2 cos2f),
или, вводя безразмерное количество μ = , окончательно:
tgb = YZT-, g= a Vl — 2[χ cos2 6 + μ2 cos2θ. (33.23)
На полюсе, где θ = 90°, будет g"90 = а\ таким образом, для
безразмерного числа р. мы находим выражение
(33.24)

§ 160] РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ 245
На экваторе, где 0 = 0, будет go —£θοΟ—Iх)» отсюда находим:
„ ^90— ffO
Из первой формулы (33.23) мы получаем:
ИЛИ
cosU
COS2 θ = :
Отсюда будем иметь:
=1- , %
1 —
(ΐ-μ)2
1 —2μ Sin2 λ + μ2 δίη2λ \
Следовательно, будет:
У1— 2μ^η2λ + μ2δ1η2λ .
ИЛИ
g= r g0 (33.25)
/l2μ8ίη2λ + μ2δΙη2λ V J
В § 156 мы вывели формулу (32.13), определяющую период £Г
малых колебаний математического маятника в зависимости от его
длины / и ускорения g свободного падения; мы нашли:
Определим опытным путём периоды $~х и ST2 колебаний одного и
того же математического маятника в двух местах земной поверхности
с астрономическими широтами λ2 и λ2. Так как будет:
то, обращаясь к формуле (33.25), мы найдём:
5ΓΪ /1—2
ИЛИ
1 — 2μ Sin2 λ, + μ2 Sin2 λ,

246 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. ХХХШ
Из этого соотношения можно определить безразмерное количество μ,
так как количества λν λ2, $~Ύ, <£Γ2 известны из наблюдений.
Оказалось, что μ мало и равно приблизительно ^од. Отсюда следует, что
формулу (33.25) приближённо можно представить в виде
или, разлагая бином в ряд и сохраняя два первых члена,
окончательно:
^ = ^ο(1+1Αδίπ2λ)· (33.26)
Отсюда видно, что вследствие вращения Земли ускорение g
свободного падения не будет постоянным на поверхности Земли, но
увеличивается от экватора к полюсам.
Так как согласно формуле (33.24) безразмерное количество μ
возрастает пропорционально квадрату ω2 угловой скорости вращения
Земли, то, если угловая скорость ω вращения Земли увеличится
в 17 раз, количество μ увеличится в 289 раз, т. е. сделается равным
единице, и по второй из формул (33 23) для 0 = 0, т. е. для
экватора, мы получим ^0 = 0; таким образом, в этом случае
материальная точка Л на экваторе будет лишена веса.
Из формулы ©Г = 2π 1/ — следует, что период полного колеба-
о
ния математического маятника обратно пропорционален квадратному
корню из ускорения g\ следовательно, в южных широтах, где
ускорение g меньи е, маятник должен колебаться медленнее, чем в
северных странах, где ускорение g больше. Впервые опытным путём это
открыл французский учёный Рише в 1682 г.; Рише нашёл, что
в Кяйенне под 5° северной широты его часы с маятником, правильно
шедн ие в Пяриже, отставали приблизительно на 4 мин в сутки.
Маятник часов не есть, конечно, математический маятник, но в
динамике системы мы увидим, как по маятнику часов можно определить
длину эквивалентного ему математического маятника.
Ряссмотрим теперь свободное падение мятерияльной точки Л
с мяссой т вблизи поверхности Земли. Для этого обратимся к
уравнению (33.14), которое будет иметь вид
m = m
Обращаясь к уравнениям (33.22) и (33.15), мы получим:
или
d2r Л чу dr /qo 07\
= £—2ω У —гг. (об. ζ ι)
dt2 b /N dt

ζ 160] РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ 247
рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz с осью Oz,
направленной противоположно направлению силы mg, т. е. в
направлении вертикали, определяемой отвесом, ось Оу направим к плоскости
меридиана к югу перпендикулярно к оси Oz и ось Ох — к западу по
касательной к параллели, т. е. в направлении суточного движения
небесного свода. Легко видеть, что проекции угловой скорости ω
на эти оси будут равны:
α>?/ = ω cos (π — λ) = — ω cos λ,
ωζ = ω cos ί-^- — λ) = ω sin λ;
поэтому будет
dr _
dt
i
0
dx
dt
j
— ω cos λ
dy
dt
k
ω sin λ
dz
dt
Таким образом, векторное уравнение (33.27) эквивалентно следующим
уравнениям в координатах:
d*x o
% = —
d2z _
dt'2 —'
( λ dz Λ
VC0S dt '
dx
2ω sin λ-^—,
g 2ω cos л
dx
dt
dv
(33.28)
Это — линейные уравнения с постоянными коэффициентами, которые
можно интегрировать обычным приёмом, составив характеристическое
уравнение. Однако гораздо проще вести интегрирование этих
уравнений при помощи рядов, следующим образом. Так как время
обращения Земли вокруг её оси равно 23 ч 56 м 04 с = 86164 сек
среднего времени, то угловая скорость ω вращения Земли равна
-gg—-== 7,292 · 10~5 сек-1, т. е. равна очень малой величине.
Поэтому можно искать разложения в ряды решения предыдущих
уравнений (33.28) по степеням ω в виде
= хо

248 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. ХХХ1Ц
Отсюда мы получаем:
■s?—*-^.
= — 2 cos i
Мы примем, что материальная точка Л начинает своё падение без
начальной скорости из точки /С, лежащей на оси Οζ с координатой
ζ·=.Η. Тогда начальные условия будут состоять в том, что при /=0
должно быть дг=у = О, ζ = Η. -£- = -£- = -^- = 0. Вследствие
у dt dt at
этого, интегрируя первые три дифференциальных уравнения, мы
получим:
Вставляя эти значения во вторую тройку дифференциальных
уравнений, мы будем иметь:
dt*
Интегралы этих уравнений, удовлетворяющие начальным условиям,
будут:
1
Вставляя эти значения в третью тройку дифференциальных
уравнений, найдём:
COS
интегрируя эти уравнения с соблюдением начальных условий,
получим:

§ 161] примеры 249
Следовательно, первые члены разложений интеграла уравнений (33.28)
имеют вид
χ = — у ω^ cos λ/8,
(33.29)
Из формул (33.29) видно, что вследствие вращения Земли падающая
без начальной скорости на поверхность Земли тяжёлая точка
отклоняется от вертикали и к востоку и к югу; наибольшее значение
отклонения к востоку будет на экваторе при λ = 0, а наибольшее
отклонение к югу будет на широте λ = 45°. Первым, кто теоретически
указал на это отклонение падающих на Землю тел, был Ньютон (см.
книгу С. И. Вавилова «Ньютон»). Первым, кто экспериментально
подтвердил указание Ньютона, был итальянец Тадини, действительно
наблюдавший в 1795 г. отклонение падающих тяжёлых тел к востоку
от вертикали. Заметим, что если рассматривать ω как малое первого
порядка, то отклонение падающих тел к югу будет в силу
формул (33.29) уже малым второго порядка, так что заметить его более
трудно, чем отклонение к востоку.
Во всех этих исследованиях мы принимали Землю за шар; на
самом деле, Земля несколько отличается от шара и больше похожа
на эллипсоид вращения, немного сплюснутый у полюсов.
Сплюснутость Земли слегка усиливает увеличение с широтой ускорения g
свободного падения.
§ 161. Примеры. 125. Вдоль прямой Δ, могущей вращаться в плоскости Π
вокруг своей точки О с постоянной угловой скоростью ω, может двигаться
без трения материальная точка А с массой /я. В начальный момент t = О
материальная точка А находится на расстоянии а от точки О и не имеетна-
чальной скорости. Предполагая, что никаких сил, кроме реакции прямой Δ,
на точку А не действует, определить движение точки А и величину реакции.
Рассмотрим на плоскости Π прямоугольную подвижную систему осей
координат, у которых ось Ох совпадает с прямой Δ. Тогда уравнения движения
любой материальной точки с массой т относительно такой системы
подвижных осей координат будут иметь вид уравнений (33.18). В рассматриваемом
случае координата у точки А постоянно равна нулю, и так как скольжение
точки А вдоль оси Ох по предположению осуществляется без трения, то
проекция X реакции равна нулю; поэтому уравнения движения точки А будут:
т ——— то>2х = О ,
dtl
dt
Из первого уравнения имеем:

250 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XXXIII
Полагая x=ert, получим характеристическое уравнение в виде /(г) = г2—
— ω2 = 0, корни которого равны г1 = -\-ы и г2 =— ω. Следовательно, общий
интеграл предыдущего уравнения будет:
где С\ и С2 суть произвольные постоянные. Чтобы определить эти
произвольные постоянные, заметим, что при / = О должно быть χ = а и -у- = 0;
отсюда находим:
+ С2 = я,
) — С2о> = О,
т. e. Ci= C2 = -n-. Таким образом, для координаты χ точки у4 мы получаем:
χ = α -ζ = a ch ω/.
Вставляя это значение для х во второе
дифференциальное уравнение, будем иметь:
Черт. 277.
Мы видим, что с неограниченным
возрастанием времени t неограниченно возрастает
как координата χ материальной точки А,
так и реакция К, причём реакция
пропорциональна квадрату угловой скорости
вращения прямой Δ.
126. Окружность (С)с радиусом R вра-
щается с постоянной угловой скоростью ω
вокруг своего диаметра Δ (черт 277). Найти
движение материальной точки А с массой т,
которая может скользить по окружности (С) без трения; никаких внешних
сил, кроме реакций, на точку А не действует. Чтобы материальная точка А
могла оставаться на окружности (С) при вращении этой окружности, на
точку А должны действовать реакция Ν, направленная по прямой АО, и
реакция X, параллельная оси Ох. Чтобы составить дифференциальные уравнения
движения материальной точки А, обратимся к формулам (33.14) и (33.15).
Мы имеем:
dx
/
0
^7/
J
0
ω
dz
dt
Поэтому уравнения движения точки А будут:
Μ —гпг = — I
dt*
R *

§ 161] примеры 251
Так как абсцисса л" материальной точки А равна нулю, то мы получим:
d2y
Таким образом, мы имеем четыре уравнения для определения четырёх
неизвестных: у, ζ, Ν и X. Так как по условию задачи требуется лишь найти
уравнение движения точки А не содержащее неизвестных реакций, то для этого
будет достаточно одного уравнения, из которого мы сможем определить
угол 0 между радиусом ОА и осью Оу в зависимости от времени t и тем
решить поставленную задачу. Чтобы получить это уравнение, исключим
реакцию N из второго и третьего уравнений; мы будем иметь:
или
d f dz ^ dy
dt \ dt dt
Но из черт. 277 мы имеем у = R cos θ, z = R sin θ; следовательно, будет:
и мы получим:
_^!i — _ ω2 Cos θ Sin θ.
dil
in
Чтобы проинтегрировать это уравнение, умножим обе его части на 2—j-\
мы найдём:
,--__«..„.-.
или
Интеграл этого уравнения будет:
dt J
Чтобы определить произвольное постоянное hf предположим, что при 0 =
будет —- = 0; тогда получим:
или, так как с возрастанием времени t угол 0 должен убывать, ещё иначе:
'— — — — Q) dt»
T^sin- θ.» — sin2 0

252 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. ХХХЩ
Положим:
sin θ0 = k, sin 0 = ku\
тогда будет:
.n kdu
αυ = — .
и мы будем иметь:
du
Υ (I— «2)(1—
— J следует, что угол θ всегда заключается в
промежутке (— θ0, -f- θ0), т. е. материальная точка А колеблется по окружности (С)
между своими крайними отклонениями от оси Оу, соответствующими
значениям — θ0 и + θ0 угла Θ. Обозначая через |г период полного колебания
точки А, мы получим:
8·= —
у(1_И2)(1_
О
Интеграл, стоящий в правой части этой последней формулы, уже был
вычислен в § 156 при выводе формулы (32.18). Применяя эту формулу, мы найдём:
Что касается связи между временем t и углом 6, то она определяется
эллиптическим интегралом
ι
ω J /(ΐ-«2)Ο-
где и = sin θ; зависимость угла θ от времени t не может быть выражена
элементарными функциями, а выражается через эллиптические функции.
127. Определить влияние вращения Земли на малые колебания
математического маятника. Рассмотрим прямоугольную систему Oxyz осей координат
такую, какая была взята в § 160 при изучении падения на Землю тяжёлой
точки, т. е. ось Ог мы направим вверх по отвесу, ось Оу — в плоскости
меридиана к югу, а ось Ох — по касательной к параллели к западу.
Предположим, что длина математического маятника равна / и он укреплён на
оси Oz в точке Kt координата которой ζ = /, так что в спокойном состоянии
маятник находится в точке О. Таким образом, маятник А должен во время
своего движения оставаться на поверхности шара, описанного из точки К
радиусом, равным /; уравнение этого шара будет:
Отсюда мы имеем:
~дх = 2х'
Применяя формулы (33.27) и (32.2), мы получим уравнение движения
маятника относительно рассматриваемой системы осей координат в виде
№г dr
т —г-£ — mg — 2mtu X —j— + \ grad/,

§ 161] примеры 253
где Xt есть множитель Лагранжа. Отсюда в координатной форме мы будем
иметь:
т £р = 2тш (cos λ -g- + sin λ -^)
/я -^ = - 2ma> sin λ — + 2Х1шу,
m-^~ = — mg — 2/τζω cos λ-^- + 2λχ (2 — /)·
Д1ы примем, что колебания маятника малы, т. е. координаты х, у точки А
всегда остаются малыми, и что длина / маятника достаточно велика, так что
колебания маятника будут медленными, т. е. производные —гг и —2- всегда
остаются также малыми; при этом малость всех этих четырёх количеств мы
предположим такой, что квадратами и произведениями их мы имеем право
пренебречь. Из уравнения f(x, у, ζ) = 0 мы получим:
а так как при малых отклонениях точки А координата ζ должна немного
возрастать от нуля, оставаясь близкой к нулю, то
2 —/=—/ 1
Раскрывая правую часть по формуле бинома, удерживая два первых члена
и выполняя в получающейся формуле сокращения, будем иметь:
г- 21 *
Отсюда видно, что ζ—количество второго порядка малости. Далее находим:
dt ^y dt )> dfl- i l\dt) +\dt) ^ dP ^y dt*
т. е. первая производная от ζ есть количество второго порядка малости и
вторая производная от ζ в силу уравнений движения точки А есть также
количество второго порядка малости. Поэтому, учитывая, что количеств:) ω
мало, мы из третьего уравнения движения, удерживая главные члены, получим:
0 = — mg — 2Xj/,
т. е.
После этого при точности до малых первого порядка включительно можно
Двум первым дифференциальным уравнениям движения точки А придать
следующий вид:
d2x о . . dy mg
т —г-т- = 2 т<о sin λ --£· f- χ,
at* dt ι
dx тир
— JLy,

254 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. ХХХЩ
ИЛИ
dt I —
Последние два уравнения суть не что иное, как уравнения движения проекции
точки Л на плоскость Оху. Хотя это — линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами, так что к ним применим общий
приём интегрирования этих уравнений через подстановки χ = C\ert, у = C2ert,
мы, однако, воспользуемся здесь искусственным приёмом
интегрирования, который проще и придаст решению наглядный характер. Именно,
прибавляя к правым и левым частям этих уравнений соответственно количества
— ш-91п2Хдг и —<t)2sin2Xj/, мы можем представить эти уравнения в виде
4г£ — 2ω Sin λ -Q- — ω2 Sin
dt2 dt
--(■
— Cf + ω
- — o>2sin2X_y = — (ψ
2ω Sin λ
Сравнивая эти уравнения с уравнениями (33.18), мы заключаем, что
полученные два дифференциальные уравнения представляют относительно подвижных
осей координат Оху, вращающихся в своей плоскости вокруг точки О с
постоянной угловой скоростью 0^ = 0) sin λ, движение некоторой материальной
точки В с массой, равной единице,
на которую действует притягательная
сила F к точке О, проекции Χ, Υ
которой на подвижные оси Оху равны:
X = — (j- + ω2 Sin2 λ\χ = — &
Υ=—(Μ- + ω2 sin2 l\y = — k*
\
т. е.
Черт. 278.
Легко уяснить, что вращение
подвижных осей Оху вокруг точки О
действительно должно происходить с угловой скоростью α^ = ω sin λ, так как
в § 160 было найдено, что проекция ω2 угловой скорости ω вращения Земли
на ось Οζ равна ω sin λ. Мы видим, что движение точки В представляет
движение проекции точки А на плоскость Оху. Отнесём движение точки В
к системе неподвижных осей координат Ох\У\, относительно которых оси Оху
вращаются с постоянной угловой скоростью ωί (черт. 278); тогда будет:
Отсюда имеем:
ахг
dt
dyx _
dt "
dx
—τ- COS о
4fsino3
χί
У1
ht-
= X COS ϋ
= χ sin о
dy s
--^- sin
- -fy- COS -
M— у
»\t+y
ωχί+ω
sin (Dj
COS ωί
>!■* sin
•χ X COS
f — (u^y COS 03j/,

§ 161] примеры 255
Мы предположим, что маятник А был отклонён в положение χ = а, у = О
и начал качаться, выходя в момент i = О из этого положения без начальной
скорости. Тогда при t = О будет:
Очевидно, что проекции силы Ζ7 на оси Ох\У\ будут равны:
и уравнения движения точки В относительно неподвижных осей
координат Ох\У\ должны иметь вид
_-^Х = — &хи —^- = — k2ylt
или
Интегралы этих уравнений будут:
хг = А sin (Л/ + а), ух = β sin
где А, В, а и β суть произвольные постоянные. Из условий при t = О
получаем:
A sin α = а, В sin β = 0,
kA cos α = 0, &θ cos β = ω^
отсюда находим:
Следовательно, будет:
atj = β cos /гг, y^ = α —ς- sin /гг.
Из этих уравнений мы находим, что точка В относительно неподвижных
осей координат Ох\У\ описывает эллипс Е, уравнение которого
Л -1.
ω2 sin2 λ
а
ω2 Sin2 λ + —
Λ
Так как будет:
ω2 sin2 λ
y

256 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. XXXIII
то большая ось эллипса лежит на оси Οχν по направлению которой
маятник имел первоначальное отклонение, а малая ось — на оси Оу^
Эксцентриситет е этого эллипса определяется равенством
е2 = —2 / д2 — я2
На полюсе, где λ = 90°, эллипс представляется уравнением
+ l
на экваторе, где λ = 0, эллипс вырождается в двойной прямолинейный
отрезок, расположенный вдоль оси Ох^ и соединяющий между собой точки
(— а, 0) и (+ а, 0). Так как оси Оху вращаются относительно осей Ox1yi
в положительном направлении, т. е. с запада на восток через юг, то для
наблюдателя, связанного с этими осями и не замечающего их вращения, будет
казаться, что эллипс Ε вращается вокруг своего центра с постоянной угловой
скоростью <!>! = ω sin λ в отрицательном направлении — с востока на запад
через юг, т. е. в направлении суточного движения Солнца на небесном своде.
Это вращение эллипса Ε равно нулю на экваторе, где эллипс сплющивается
в двойной прямолинейный отрезок, и будет наибольшим на полюсах, где
угловая скорость вращения эллипса Ε равна угловой скорости вращения
Земли. Первым, кто опытным путём проверил эти результаты и тем самым
опытным путём доказал вращение Земли вокруг её оси, был французский
физик Фуко, который в 1851 г. наблюдал качание маятника в Пантеоне
в Париже. Длина проволоки этого маятника была равна 67 м, и на её конце
был привешен груз, весивший 30 кг. Маятник описывал эллипс, причём этот
эллипс поворачивался с востока на запад через юг с угловой скорость ω sin λ,
где λ равно астрономической широте Парижа. С тех пор такой маятник,
служащий для доказательства вращения Земли вокруг её оси, получил
название маятника Фуко. Следует заметить, что маятник Фуко может иметь
значительно меньшие размеры, чем те, которые выбрал впервые сам Фуко;
укороченный и облегчённый маятник может всё же иметь настолько большой
период, что возможно будет отметить вращение эллипса Ε. Угловая скорость
вращения эллипса Ε в Москве равна 12°26', а на широте в 45° равна 10°38'
за средний час.

ГЛАВА XXXIV.
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАИЖА.
§ 162. Принцип Даламбера. Ещё в самом начале первого тома
(т. I, § 16) мы разделили все силы, реально действующие на
материальную точку, на силы активные и пассивные. Предположим, что
на материальную точку А с
массой т действует активная сила F,
причём эта точка А получила
ускорение w (черт. 279). Разложим силу F
на две силы Φ и R' так, чтобы было
φ = mw. Мы видим, что слагающая Φ
силы F даёт материальной точке А
ускорение w, т. е. определяет
движение материальной точки А, слагающая
же R' для движения точки А как
бы теряется. Даламбер назвал силу Φ
деятельной силой, а силу /?' — потерянной силой. Если действие
силы /?' для движения точки А теряется, то это может быть только
вследствие того, что на точку А действует ещё другая сила /?,
равная по модулю и противоположная по направлению силе /?''. Эта,
другая сила R есть не что иное, как реакция связей, так как без
наличия связей ускорение w материальной точки А имело бы
направление активной силы F. Таким образом, должно быть:
Потерянную силу R' можно получить из активной силы F
следующим образом. Отложим от точки А вектор — mw, равный по
величине и противоположный по направлению вектору Φ = mw} из
черт. 279 видно, что будет:
Вектор — mw называется силой инерции. Таким образом, мы при
ходим к следующему определению:
Силой инерции называется сила, равная произведению массы
точки на ускорение точки, взятое с обратным знаком, т. е%
в обратном направлении.
17 Зак. 487. А. И. Некрасов

258
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[ГЛ. XXXIV
Соединив между собой вместе два предыдущих равенства, мы
получим:
F+( — mw) + R = 0. (34.1)
Равенство (34.1) и составляет аналитическое выражение принципа
Даламбера; равенство (34.1) имеет вид уравнения равновесия
материальной точки. Словесно принцип Даламбера можно выразить
следующим образом:
Если в какой-нибудь момент времени мгновенно остановить
движение материальной точки и затем приложить к этой точке
силы активные, силу инерции и силы
п: ссивные, которые все имели место
непосредственно перед остановкой
точки, то материальная точка
останется в равновесии.
Применяя принцип Даламбера, можно
свести составление уравнений движения
материальной точки к составлению
уравнений равновесия. Рассмотрим,
например, следующую задачу. Найти
движение при отсутствии трения
тяжёлой точки А с массой т по
наклонной плоскости, если угол
наклонной плоскости с горизонтальной
плоскостью равен α (черт. 280). Вследствие отсутствия трения сила
реакции N наклонной плоскости BD направлена по нормали к BD>
сила инерции —mw направлена по направлению от D к В, и сила
веса mg тяжёлой точки направлена перпендикулярно к DC. Согласно
принципу Даламбера материальная точка А должна находиться в
равновесии под действием этих трёх сил: mg, —mw и Ν, т. е. мы
приходим к хорошо известной задаче статики. Проектируя все силы на
направления BD и N и приравнивая суммы проекций этих сил нулю,
мы получим:
— mw -\- mg sin ос = 0, N— mg cos α = 0,
или
w = g sin α, N= mg cos a.
Мы видим, что материальная точка А будет находиться на
наклонной плоскости BD в равноускоренном движении с ускорением
§ 163. Силы инерции. Нетрудно убедиться, что сила инерции
— mw есть фиктивная сил'1. В самом деле, если бы сила инерции
была реальной силой, то при наличии равенства (34.1) материальная
точка могла бы быть по закону инерции или в абсолютном покое
или в прямолинейном и равномерном движении, тогда как на самом
деле при наличии равенства (34.1) материальная точка может нахо-

§ 164] СОЕДИНЕНИЕ ПРИНЦИПОВ ДАЛАМБЕРА И ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 259
диться в любом неравномерном криволинейном движении,
определяемом силами F и /?. Нетрудно понять происхождение названия силы
инерции для силы —mw. Представим, например, материальную
точку А с массой т, которая движется прямолинейно равномерно
с некоторой скоростью v0. Вообразим, что мы схватили эту точку
рукой, и останавливаем её движение, уменьшая модуль скорости, но
не меняя направления скорости. Для этого мы должны дать
материальной точке ускорение w, направленное противоположно движению
точки Л, т. е. развить рукой силу mw, приложив её к точке Л. По
закону равенства действия и противодействия материальная точка Л
будет воздействовать на руку с силой, равной — mw, т. е. с силой,
равной силе инерции, и эту силу рука будет физически ощущать,
т. е. эта сила может быть измерена динамометром. Отсюда следует,
что сила —mw реально существует, но не как приложенная к
движущейся материальной точке Л, а как приложенная к внешним
объектам, которыми определяется ускорение точки Л, сила же — mw,
как приложенная к точке Л, есть фиктивная сила.
При рассмотрении в § 158 относительного равновесия мы вводили
силу Fr =— mwne?, а при рассмотрении в § 159 относительного
движения мы вводили силы Fr = — mwne? и F" = — mwR»v. Согласно
определению сил инерции, данному в § 162, силы Fr и F" суть
силы инерции и являются фиктивными силами; в § 158 и 159
объяснена целесообразность введения этих сил.
§ 164. Соединение принципа Даламбера с принципом
возможных перемещений. В предыдущем параграфе мы видели, что, вводя
силы инерции и применяя принцип Даламбера, мы можем любую
задачу динамики точки свести к задаче статики точки; основное
векторное уравнение, к которому мы при этом приходим, будет
уравнение (34.1). Это уравнение (34.1) содержит неизвестную реакцию /?,
и чтобы иметь условия равновесия, придётся реакцию исключить так,
как это делается в статике; так как получающиеся при этом
условия равновесия будут содержать лишь активные силы и силу
инерции, то эти условия равновесия и будут уравнениями движения мчте-
риальной точки. Но в § 114 мы видели, что для единообразного
исключения всех реакций идеальных связей из уравнений статики
можно воспользоваться принципом возможных перемещений;
естественно, что принцип возможных перемещений применим и к задачам
динамики, если его связать с принципом Даламбера. Обратимся вновь
к определению возможных перемещений, изложенному в § 112.
Очевидно, что если в статике связи не могли зависеть от времени, то
в динамике связи могут явно зависеть от времени. Как мы видели,
уравнение (34.1) означает, что если движение материальной точки
мгновенно остановить, а следовательно остановить и изменение связей
со временем, то будет иметь место равновесие между силами
активными, силами пассивными и силой инерции. Таким образом, если для
17*

260
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[ГЛ. XXXIV
изучения равновесия этих сил мы хотим воспользоваться принципом
возможных перемещений, т. е. применить понятие возможной
элементарной работы, то мы должны вычислять эту работу в
предположении, что все связи в данный момент отвердели, т. е. брать для
элементарных перемещений материальной точки возможные
перемещения, как они были определены в § 112. Предположим, что на
материальную точку наложены идеальные удерживающие связи, причём
эти связи могут зависеть явно от времени. Пусть будет or
возможное перемещение этой точки, как оно было определено в § 112.
Тогда согласно принципу возможных перемещений для равновесия
точки необходимо, чтобы была равна нулю сумма элементарных
возможных работ активных сил, силы инерции и сил пассивных, т. е.
должно быть:
F. 8г + (— mw) · or-j-β . £г = 0.
Но мы знаем, что элементарная возможная работа реакций идеальных
удерживающих связей равна нулю (§ 110), т. е. скалярное
произведение R · or равно нулю; поэтому будет F · or -\- (— mw) · or = 0,
или
(F—mw)-or = Q. (34.2)
Мы видим,
вает связь
что уравнение (34.2) реакций не содержит и
устанавлимежду ускорением w материальной точки и активными
силами, т. е. уравнение (34.2) есть
общее уравнение динамики точки.
Так как скалярное произведение двух
векторов равно сумме парных
произведений проекций этих
векторов на прямоугольные оси координат
(т. I, § 18), то уравнение (34.2)
в координатной форме можно
представить в виде
тд
Черт. 281, Уравнение (34.3) или (34.2) есть
л?лранжево общее уравнение
динамики точки. На основании вышеизложенного вариации 8лг, Ъу, bz
или or следует вычислять, рассматривая время t как произвольный,
но постоянный параметр.
Предположим, например, что тяжёлая точка А с весом mg
движется по окружности, расположенной в вертикальной плоскости
с радиусом, равным / (черт. 281); другими словами, предположим,
что мы имеем круговой математический маятник, длина которого
(ζ —/ιι^)δ* = 0. (34.3)

§ 165] ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 261
равна /. Чтобы получить дифференциальное уравнение движения этого
маятника, воспользуемся уравнением (34.3). Мы имеем:
г = 0, Z = 0, F=0, X=mg, χ = /cos 0, ^ = /sinO;
поэтому будет ох = —/sin 0 80, 8^ =/cos 0 80, и из уравнения (34.3)
мы получим:
— (mg— т η£\ I sin θ 80 — т ^ / cos θ 80 = О,
т. е.
При произвольности вариации 80 это равенство может иметь место
только в том случае, если будет:
или
d2y d^x
Но мы имеем:
поэтому мы получим:
-~ cos 0 — -T-r-sinb =/-
Таким образом, мы будем иметь:
или
Это уравнение в точности совпадает с уравнением (32.11) движения
кругового математического маятника, полученным выше другим
способом.
§ 165. Динамические уравнения Лагранжа в свободных
параметрах. Вместо того чтобы для каждой задачи преобразовывать
уравнение (34.3) так, как это было сделано в предыдущем параграфе
Для случая кругового математического маятника, Лагранж в общем
виде вывел из уравнения (34.3) уравнения движения в свободных

262
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[ГЛ. XXXIV
параметрах (§ 116). Предположим для определённости, что
координаты (ху у, ζ) материальной точки выражаются через два свободных
параметра ql и q2- Если связи зрвисят от времени, то уравнения,
связывающие координаты х, у, ζ с параметрами qY и q2, будут иметь
вид
* = <?(?!> 4ύ 0» ^ = Ψ(?ι. ?2'> 0» * = Ζ(?ι> ?25 О· (34·4)
Отсюда для вариаций од:,
мы получим:
ду *
5£8
ду
4
(34.5)
Вставляя эти выражения вариаций в уравнение (34.3), мы будем иметь:
Κν №х\дх , /v wrf23/\djr
При произвольности количеств о^1 и bq2 мы можем удовлетворить
этому уравнению, только приравняв нулю коэффициенты при
вариациях с^ и cq2) таким образом, должно быть:
/ ^л:\ дл: , /„ ^23,\ду ,(7 d*z\ dz
V dt*Jdq2 ' \ dt2jdq2 ' V dV-J dq2
Отсюда мы получим:
Л2 dqi
rf23/ ду
дх
б
Обратимся сначала к количествам, стоящим в правых частях этих
уравнений. Рассмотрим выражение элементарной возможной работы
активных сил:
Xox~\-Yoy~\-Zbz.
Заменяя здесь количества олг, оу, bz по формулам (34.5), будем иметь:
(
V
dq{~ dqx~ dqj
dq2~ dq2~ dqj

§ 165]
где положено
ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
A-Zdz —
263
(34.7)
Таким образом, Q1 и Q2 суть коэффициенты при δ^ и &q2 в
выражении элементарной работы. Если система сил, действующих на
материальную точку, будет консервативная, т. е. если будет:
г dU
то мы найдём:
dx ' dy '
дЦ дх
дх dq1
dU ду
dU dz
dz dqt
или
dx dq2 ' dy dq2 ' dz dq2 9
dU „ dU
(34.8)
Количества Q1 и Q2 суть обобщённые силы (§ 116).
Перейдём затем к преобразованию левых частей уравнений (34.6).
Будем обозначать полную производную по времени t штрихом,
стоящим справа сверху у буквы. Таким образом, будет:
dx
Отсюда мы получим:
dx^_ = dx_
dq[ дЯ1>
dx' dx
dx , dx
dz
dt
dq[
dy'm
,dy_(
dq{{
dz
dy
r^dx_ r
L ·" dq2 2'
+ dz f
dz' dz m
^ = ^;
d_z^=dz_
dq'2~dq2'
(34.9)
(34.10)
Рассмотрим первое из уравнений (34.6). Мы можем представить его
левую часть в виде
(d~x dx , d'2y dy , d2z dz\ fdx' dx
t- dq1 ' dt'~ dqx dt- dqj \ dt eq{
dt dq{
dt dq
d ( rdx
— [x -3
dy
dz\
r
L dt^dq
d (dy\ ,
dt\dq{ ~

264 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XXXIV
В силу соотношений (34.10) мы находим:
dt \ dq1 ^' dq. ^ dqj dl \ ^ ~* dq[ ^ dq'J
— mA Г д (x'2
~ dlYdq[\
2 )\ — d
Вводя кинетическую энергию материальной точки
мы будем иметь:
d (г дх , / дУ , / дг\ d (дТ
тп — [хг \-у' \-z' — 1=— —т ,.
Очевидно, что совершенно так же мы получим:
d (г дх ι / ду ι / ^^ d ( дТ\
тп —[хг \~у U ζ' — ) = — —^г).
dt ^ dq2 dq2 dqj di ^ dqj
Займёмся теперь преобразованием оставшихся членов левой части
первого из уравнений (34.6). Мы имеем:
d (dx\ d2x , d2x , , d2x ,
di \dq,J dtdq, dq\ dq,dq2
d / dy \ d2y d2y f d2y
di ^dq,' dtdq, dq\ dq,dq2
d ( dz\ d2z . d2z , , α2ζ
= 1 Τ Ял ~Ί
di \dq,J dtdq, dq^ dq,dq2
Но из формул (34.9) мы получим:
ох υ-χ ι с-д: , , σ-дг _/■
dq, ~ dqxdi ^ dq\ ?1 ^ dq.dq, ^
дУ ^ д2у д2у д2у f
dq, dq, di dq\ x dq2 dq, 2>
dzr _ d2z , дЧ r , d2z f
dq, dq, dt ' dq\ 1 ' dq2 dq, q*
г. е. мы будем иметь:
d / dx \ dx' d I dy \ dyr d / dz\ dzr
~4i\~dq~\)~~d(h' ~d* Yoqi == ^7' ~Ж \Jq^) ^ ~dq^'

§ 165] ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Поэтому мы находим:
265
га*' , ду dz'] д /χ*
L dq1~-y dq1 ~ dqt] dq1 \
/2+y/2 + z'2l __ j^T
2 J ~ dqt'
= J_ Г m(x/2+y/2
— ^i L 2
Таким же образом можно показать, что будет:
дх
ду
дг
дТ
(34.11)
Следовательно, уравнения (34.6) можно преобразовать к виду
di \dq[J dqx *
di \dq2) dq2 2
Уравнения (34.11) суть динамические уравнения Лагранжа в
свободных параметрах.
Если силы, действующие на материальную точку, — силы
консервативные, то уравнения (34.11) будут иметь вид
d /дТ\ дТ _ dU
di \ dq[) dqr dq± '
(34.12)
Вследствие формул (34.4) кинетическая энергия материальной точки
J_(dT_\_ дТ _ dU
di \dq2/ dq2 dq2
в общем случае будет состоять из однородного многочлена 72
второй степени относительно количеств q^ и q'2, из однородного
многочлена Т± первой степени относительно количеств q'x и q'o и из
многочлена Го, не содержащего количеств q[ и q'oi т. е. будет иметь вид
Т=Т2 + Тг + Т0. (34.13)
Если же связи от времени не зависят, т. е. если функции φ, ψ и γ
формул (34.4) не содержат явно времени /, то кинетическая энергия Τ
будет выряжаться однородным многочленом второй степени от q[ и
q2 и совпадёт с функцией 72.

266 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XXXIV
Рассмотрим, например, колебания кругового математического
маятника, применив к ним уравнения (34.12). За параметр q,
определяющий положение маятника, мы примем угол 0. Тогда будет:
Γ = -2- = -τ-0' , U= mgx + С = mgl cos 0 -f- С,
и первое из уравнений (34.12) примет вид
J_(dT\ dj___ dU
di \ д№) дЬ дЬ
Но мы имеем:
дТ _гоьг дТ Λ dU ι . η.
следовательно, уравнение движения будет:
ml2 ~^>= — mgl sin θ,
или
m ι ,^ 3in θ — О
Мы видим, насколько способ применения уравнений (34.11) или (34.12)
проще способа применения уравнения (34.3).
В главе XXXII при рассмотрении несвободного движения
материальной точки было предположено, что связи от времени не зависят,
и было указано, что случаи, когда связи от времени зависят, всего
проще рассматривать путём применения динамических уравнений Ла-
гранжа. Мы видим здесь, что если пользоваться динамическими
уравнениями Лагранжа в свободных параметрах, то зависимость связей
от времени никаких принципиальных затруднений при составлении
уравнений движения материальной точки представить не может.
Для определённости мы рассматривали случай, когда координаты
дг, у, ζ движущейся точки зависят от двух свободных параметров q1
и #2, но, конечно, могут быть случаи, когда координаты ху у, ζ
материальной точки зависят от одного свободного параметра q1 или
от трёх свободных параметров q1) q2 и q$.
Если связи не зависят явно от времени и действующие на
материальную точку силы — силы консервативные, то из уравнений (34.12)
можно получить интеграл энергии. Для этого умножим первое
уравнение на q'v второе — на q'o и сложим результаты; мы получим:
d /дТ\ . , d /дТ\ г дТ , дТ dU
—(ττ) + ?ό — Ι-τ-γ — q[-, Яо-т- = -т~
di \dq/ ш di \dq/ 1 dq * dq dq
dU
1 di \dq1/ ш di \dq2/ 1 dqt * dq2 dqx dq2 ~
и
( f дТ , , дТл f дТ „ , дТ „ дТ , , дТ л dU
\ λ dq1 Δ dq2 J \ dq1 dq2 * l dqt dq.a V di

§ 166] МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 267
Так как в рассматриваемом случае функция Τ совпадает с
функцией То, т. е. будет однородным многочленом второй степени, то
по теореме об однородных функциях будет:
ч
Поэтому, так как функция Τ зависит только от количеств qv q2,
q' q'2, то из предыдущего уравнения мы получим:
d(2T) dT dU
dt di ~ di '
или
dT _ dU
dt ~ di9
Интегрируя, будем иметь:
т. е. получаем интеграл энергии.
§ 166. Малые колебания материальной точки. Рассмотрим
свободное движение материальной точки А с массой m по оси Ох под
действием силы X(t, x>—jt)\ дифференциальное уравнение движения
точки А будет:
d'2X ( dx\ ГЪ А Л Л\
Предположим, что найден интеграл χ = φ(ύ) этого уравнения,
удовлетворяющий начальным условиям; этот интеграл представляет
определённое движение точки А. Пусть вследствие каких-либо причин
координата χ точки А получила малое изменение ζ, так что количе-
dx , ш. dx ι άς π
ства χ и -Т7 изменились в лг-^-ς и ~у7 + ~^т~· Если при
неограниченном возрастании времени / количества £ и -^т будут всё время
оставаться меньшими некоторых заданных границ, то движение лг = <
материальной точки А называется устойчивым] если же при
неограниченном возрастании времени t количества ξ и -—- оба, или одно из
них, неограниченно возрастают, то движение лг = о(/) точки А будет
неустойчивым. Чтобы решить вопрос об устойчивости движения
точки А, необходимо проинтегрировать уравнение
d2x _, „. d1- v /^ _ r t dx , d\
или

268 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XXXIV
в котором неизвестной функцией является £. Эту задачу аналитически
упрощают, разлагая правую часть в ряд и удерживая в нём члены
«ν
не выше первой степени относительно ί и у, т. е. берут:
вставляя это разложение в предыдущее уравнение и учитывая
уравнение (34.14), получим:
ИЛИ
m-g—N(f)§—M№ = 0- (34.15)
Уравнение (34.15) называется уравнением в вариациях. Мы видим,
что уравнение в вариациях есть линейное однородное уравнение
с переменными коэффициентами. Если решение уравнения (34.15)
с течением времени неограниченно возрастает, то можно ожидать, что
движение χ = ο(έ) не будет прочным; если же решение уравнения
(34.15) всё время остаётся меньшим некоторых заданных границ, то
можно ожидать, что движение x = v(t) будет прочным. Необходимо,
однако, заметить, что совершенно точное решение задачи о прочности
движения точки А можно получить, лишь исследуя не уравнение
в вариациях, а полное уравнение, из которого уравнение в вариациях
получено. Задача о прочности движения представляет громадные
математические трудности, так как большей частью даже уравнение в
вариациях проинтегрировать аналитически бывает невозможно. Конечно,
всё изложенное можно распространить и на движение материальной
точки в плоскости или в пространстве. Вопрос об устойчивости
движения исследовал академик Александр Михайлович Ляпунов (1857—1918)
в своей диссертации: «Общая задача об устойчивости движения»,
1892 г.; в 1935 г. замечательная работа А. М. Ляпунова была
переиздана. Это исследование является ведущим и в настоящее
время.
Гораздо более простой математически является задача о
колебаниях материальной точки не вблизи её состояния движения, а вблизи
её состояния равновесия. Рассмотрим снова на прямой Ох
материальную точку Л, на которую действует сила X(дг), где χ есть
координата точки А. Пусть при χ = х0 материальная точка будет в
равновесии, т. е. будет Х(хо) = О. Дадим точке А малое отклонение ξ и
рассмотрим её движение, которое определяется дифференциальным
уравнением

§ 166] МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 269
разлагая правую часть в ряд до членов первого порядка
включительно, будем иметь:
где к есть постоянное. Таким образом, уравнение в вариациях будет
иметь вид
или
Мы видим, что задача этого рода приводит к уравнению в вариациях
с постоянными коэффициентами, тогда как задача о прочности
движения приводит к уравнению в вариациях с переменными коэффициентами.
Из предыдущего уравнения следует, что если будет к > О, т. е.
если будет (-—) > 0, то равновесие будет неустойчивым, и что
можно ожидать устойчивого равновесия при к << 0. Но сила Х(х)
обязательно имеет силовую функцию U(x), так что будет Х=-—,
Следовательно, уравнение Х=0 равновесия приводится к уравнению
1—= 0 для определения экстремума функции U(x). Условие '— < О,
т. е. -т-2 < 0, устойчивости равновесия приводит к утверждению, что
устойчивому положению равновесия соответствует наибольшее
значение силовой функции U (х)\ этот факт был уже установлен в конце
§ 123, а также в примере 105 § 135.
К изучению малых колебаний точки вблизи положения её
равновесия удобно применить уравнения Лагранжа. Предположим, для
определённости, что положение материгльной точки А определяется двумя
свободными параметрами, причём при значениях α и β этих
параметров обобщённые силы Q1 и Qo равны нулю, т. е.
<?!(«, β) = 0, <?<>(«, β) = 0;
таким образом, значения απβ свободных параметров соответствуют
положению равновесия точки А. Дадим точке А малые отклонения qx
и <72 из положения её равновесия, так что значения её свободных
параметров сделаются равными a-f-^j и β-J-^o, и составим
уравнения в вариациях для движения точки Л; очевидно, что вариациями и
будут количества qx и q2. Прежде всего мы имеем с точностью до
малых первого порядка:
(34.16)

270 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖЛ [ГЛ. XXXIV
где коэффициенты bu, £12, b2l и £22 суть постоянные количества.
Выражение для кинетической энергии Τ материальной точки будет
иметь вид
T=\{anq[2 + 2avlq[q'2 + aT/l';) («12 = а21), (34.17)
где коэффициенты аи, я12 и #22 могут зависеть от параметров q1 и <72.
Разложим эти коэффициенты в ряды по степеням q1 и q%2 и удержим
лишь свободные члены этих разложений, чтобы выражение
кинетической энергии было не выше второго порядка относительно количеств
qv qo, q[ и q'l}\ другими словами, мы положим в этих
коэффициентах q1 = q2 = 0. При такой степени точности коэффициенты аи, а12
и tfoo в выражении (34.17) будут постоянными количествами.
Применим к рассматриваемой задаче уравнения Лагранжа в форме (34.11).
Так как будет:
дТ / , / дТ Λ
IL = a.,iq[ + a0,,q2, 4L = 0>
дд2 л ~ - dg2
то уравнения Лагранжа будут иметь вид
*ΐ2?2' Ι
[ (34.18)
2· )
Уравнения (34.18) и являются искомыми уравнениями в вариациях.
Чтобы проинтегрировать их, положим:
где г, Сг и Со суть постоянные. Вставляя эти значения параметров
qx и q2 в уравнения (34.18) и сокращая результаты на ert, получим:
Cxanr* + C2al2r°- = СгЬп + С2^12,
или
β22/-2 — £22) = 0.
К этой системе однородных уравнений относительно Сг и С2 можно
применить теорию определителей, но можно получить их решение
также следующим элементарным приёмом. Из этих уравнений имеем:

§ 167] примеры 271
следовательно, должно быть:
т. е.
/ (г) = (anr2-bn) (a^ro--b22)-(a^-d12) (a21r*-bn) = 0. (34.19)
решая характеристическое уравнение/(г) = 0, мы получим четыре
корня rv г2, /-3, гАУ при которых только и может иметь место
равенство двух значений вышеприведённого отношения -^-. Так как при
этом должно быть:
то, обозначая через OP, Cf\ Ci3) и Ci4) четыре произвольных
постоянных, мы будем иметь:
7
Г1 — ЬП
Следовательно, искомый интеграл уравнений (34.18) имеет вид
2 = С^г»* + Cfe^ + Cf^ + q^·',
(34.21)
где рпвенства (34.21) содержат лишь четыре произвольных
постоянных 0>\ Cf, d3) и dp, так как постоянные <$\ С?\ С^ и C[i]
связаны с постоянными 0}\ С^\ С® и С-Р соотношениями (34.20).
Мы можем определить эти произвольные постоянные, если значения
количеств qv qo, -~ и -^ в начальный момент времени будут даны.
Чтобы равновесие материальной точки А было устойчивым,
необходимо, чтобы действительные части четырёх корней г1У г2, /*3 и г4
не были положительными.
§ 167. Примеры. 128. Вывести из уравнений Лагранжа уравнения
движения материальной точки с массой т в полярных координатах [см.
формулы (31.4)]. Рассмотрим полярные координаты (г, 0) движущейся
материальной точки, полагая г = #ι и 0 = ^2; квадрат скорости ν1 этой материальной
точки в полярных координатах (т. I, § 67) выразится так:
Поэтому выражение кинетической энергии Τ материальной точки получит вид

272 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XXXIV
Так как
дТ , дТ п/2 дТ ор/ дТ Λ
w = mr>. ^ = mrV\ W = nirW; ^ = 0,
то уравнения движения Лагранжа будут:
где количества Qr и Qo суть коэффициенты при вариациях δ/· и δθ в
выражении элементарной работы активной силы. Обозначим через Fr проекцию
активной силы F на направление радиуса-вектора рассматриваемой точки,
а через F%— проекцию силы F на перпендикуляр к радиусу-вектору в
направлении возрастания угла 6; тогда выражение элементарной работы силы F
будет равно:
т. е. Qr = Fr и Οθ = г^ь- Отсюда для уравнений движения материальной точки
мы получим:
) F
129. Вывести из уравнений Лагранжа уравнения движения материальной
точки с массой m в пространстве в полярных координатах. Рассмотрим
полярные координаты (г, 0, φ) движущейся точки такие, что будет:
х = г cos 0 cos φ, у = г cos 0 sin φ, ζ = г sin θ.
Будем изменять только г\ тогда материальная точка переместится на элемент
пути ds1 = dr. Будем затем изменять только 0; тогда материальная точка
переместится вдоль меридиана шара с радиусом, равным г, на элемент пути
ds2 = r dft. Наконец, будем изменять только φ; тогда материальная точка
переместится вдоль параллели шара с радиусом, равным г, на широте φ на элемент
пути ds-j = г cos θ άφ. Так как элементы ds1} ds2, ds3 образуют прямой
трёхгранный угол, то будет:
ds2 = ds\ + ds\ -\- ds\ = dr1 + г db2 + r2 cos2 θ dy2.
Отсюда находим:
= Г'2 + rW2 + Г2 COS2 0φ'2.
Следовательно, кинетическая энергия Т материальной точки равна:
Τ = у (г'2 + rW2 + г2 cos2 О-/2).
Из этого выражения для кинетической энергии получаем:
dl=mr', ^L = mrW2 + mr cos2 θφ'2,
U = mrW, |f = - mr* cos 0 sin (y2,
= mr* cos

§ 167] примеры 273
Сбозначая через Fr, F§ и F^ проекции активной силы F на направления dslt
cfs-2 и ds%, мы находим для элементарной возможной работы силы F
следующее выражение:
Fr Ъг + /У δθ + F9r cos 0 δφ,
т. е.
Qr = ^V> Ρθ = /"/'β, Οφ = Г COS О/7,.
Следовательно, уравнения Лагранжа будут иметь вид
— (тгг) — /wrO/2 — mr cos2 0-У2 = Т7
iit
-rr (wr2O/) -f- wr2 cos θ sin θφ' = г/Ъ,
«г
— (W/"2 COS2 ϋφ') = Г COS θ/7
di φ
или
тлг-'
130. Вывести уравнение движения математического маятника, длина /
которого возрастает по закону / = /0(1 + ^)» гДе ^ и^ суть постоянные.
Направим ось Оу горизонтально, а ось Ох — вертикально вниз и обозначим
через 0 угол нити маятника с осью Ох; угол G будет свободным параметром
в этом примере. Тогда будет:
х = I cos 0 = /0 (1 + kt) cos θ, у = / sin θ = /0 (1 + kt) sin 0.
Отсюда находим:
^ = /οΛ cos 0 — /0 (1 + Л?0 sin 0 ^, ^ = /0Л sin θ + /0 (1 + Л/) cos θ ^-.
Следовательно, будет:
и кинетическая энергия Τ материальной точки будет равна;
mfik2 mil
1 ^
7*
Для элементарной работы силы тяжести мы получим:
mg ох = — mg!0 (1 + kt) sin 0 </θ.
Так как будет:
то уравнение Лагранжа должно иметь вид
—- [от/; (1 + Λ/)2 6'J = - mgi0 (l+ki) sin β,
18 Зак. 187. А. И. Некрасов

274
или
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
J* [(1 + */)* в'] + L· (1 + ki) sin θ = 0.
[ГЛ. XXXIV
Выполняя дифференцирование и сокращая результат на 1 +^> найдём:
Для случая весьма малых колебаний получим:
Оба полученных уравнения не интегрируются в элементарных функциях.
В этом примере мы имеем случай связи, явно зависящей от времени, так
как тяжёлая точка должна двигаться по окружности, радиус / которой
изменяется с течением времени.
131. Тяжёлая точка А вес которой равен mg, находится на вертикальной
абсолютно гладкой окружности и отталкивается от вертикального диаметра
этой окружности с силой,
равной ηΐω2γ (черт. 282); изучить
положения равновесия точки А. Проведя
ось Оу горизонтально, а ось Ох—
вертикально вниз, мы определим по
принципу возможных перемещений
положения равновесия точки А из
условия
XЪх -f Yby = mg Ьх + mufiy by = 0.
Так как будет x = /?cos θ, y = R sin θ,
где R есть радиус окружности, то
МЬ1 получим:
=mR(—gs\n\
пли
sin 0 cos θ) δΟ=0,
Черт. 282.
sin
θ (cos θ f-Λ = 0.
\ ω-RJ
Ограничиваясь нижней правой четвертью окружности, находим отсюда два
решения:
θ] = ο, cose2 = -^.
Чтобы изучить характер этих положений равновесия, дадим тяжёлой точке А
колебания вблизи положений равновесия. При движении точки А по
окружности кинетическая энергия Τ этой точки будет равна:
коэффициент при δθ в выражении элементарной возможной работы
активных сил будет равен:
( cos θ
sin θ.

§ 167] примеры 275
Так как будет -^ = т/?26', — = 0, то уравнение Лагранжа для движения
точки А вдоль окружности имеет вид
* ^ = /?/ω2/?2 (^cos 0 ξΛ sin θ,
at- \ ω-/?/
или
di
2Q / σ \
— = u>2 ( cos 0 f- sin θ.
Рассмотрим сначала положение равновесия Oj = 0 и положим θ = θ, где θ
мало. Так как будет приближённо:
cos θ = 1—у, sin» = d,
то уравнение в вариациях будет иметь вид
Мы видим, что положение равновесия ΘΑ = 0 будет устойчивым в том случае,
если будет:
т. е.
Чтобы изучить второе положение равновесия, положим θ = θ2 + θ, где θ мало;
тогда будем иметь приближённые равенства:
cos Θ = cos (Θ2 + θ) = cos 02 — sin Θ2θ = -^ — sin Θ2θ,
sin Θ = sin (Θ2 + θ) = sin Θ2 + cos θ2θ.
Следовательно, уравнение в вариациях будет:
w(Α -sin w - A)(sln θ2+cos
т. е.
- A)(sln θ2
Отсюда мы заключаем, что положение θ = θ2 будет всегда положением
устойчивого равновесия. Из изложенного в § 158 следует, что рассмотренный
пример есть в сущности задача об относительном равновесии тяжёлой точки
на вертикальной окружности, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω
вокруг своего вертикального диаметра. Мы видим, что положение
равновесии 0 = 0, т. е. положение на нижнем конце вертикального диаметра, будет
только тогда устойчивым, когда угловая скорость ω вращения окружности
удовлетворяет неравенству
ω<
V R'
положение же равновесия θ = θ2 будет всегда устойчивым. Таким образом,
при малых угловых скоростях вращения окружности реально можно иметь
18*

276 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XXXIV
два положения равновесия: 0 = 0 и θ = 02; при больших же скоростях
вращения реально только одно положение равновесия: 0 = 02, так как неустойчивое
равновесие разрушается весьма быстро от всяких даже очень малых
возмущающих воздействий.
132. Вывести путём применения уравнений Лагранжа уравнения движения
материальной точки с массой т в плоскости относительно прямоугольной
системы Оху осей координат, вращающихся в этой плоскости с постоянной
угловой скоростью ω. В рассматриваемом случае будет ωχ = ω7/ = 0, о>г = ω,
ζ = 0, νζ—0, и по формулам (33.16) для проекций ν'χ и vy абсолютной
скорости материальной точки мы будем иметь:
dx . . dy , , ,
Vx = -^ ~ coy' = Xr — coy, Vy =-jJ+ «Χ = у' + ωΛΤ;
выражение для элементарной работы будет Хох-\- Yhy. Так как кинетическая
энергия Τ точки равна:
то найдём:
-— = m (xr — со_у), — = + /τζω (ут + ω,ν),
дТ — ('Л- дГ — -г
д\!Г \У \ )> fly V У)·
Поэтому уравнения Лагранжа будут иметь вид
m ^7 {хг — coy) — mco (у' + ωχ) = Χ,
/7ZS7^' + ωχ)-f-//*ω (л: — (oj/, — ,
ИЛИ
τη -ггг — 2тоз ~ — nnu-x = X, m -fb + 2//2ω — maty = У.
i//2 di di" di -*
Таким образом, мы вновь приходим к уравнениям (33.18) даже без
упоминания при этом про центробежную силу и силу Кориолиса, как в § 159.

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
ГЛАВА XXXV.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
И ИХ ИНТЕГРАЛЫ.
§ 168. Исторические указания. Как уже было указчно в § 118,
твёрдые основания для динамики классической механики были
изложены в книге Ньютона «Математические начала нятурпльной
философии» (Philosophiae naturalis principia mathematica), 1686 г. Тям же
было дано и понятие массы, являющееся основным для динамики;
до Ньютона вместо массы пользовались понятием веса. Сам Ньютон
занимался как динамикой отдельной материальной точки, так и
динамикой материальных систем, но состоящих из отдельных
свободных материальных точек. Систематическое развитие динамики систем
материальных точек, подчинённых связям, могло начаться лишь после
работ Ньютона, хотя уже во второй половине XVIII века Гюйгенс
ввёл понятие центра качания физического маятника, т. е.
рассматривал частный случай движения системы жёстко связанных между
собой материальных точек. Весьма существенного продвижения в
области динамики абсолютно твёрдого тела, т. е. системы жёстко
связанных между собой материальных точек, достиг Эйлер, который
дал в законченном виде динамические уравнения движения абсолютно
твёрдого тела—такие, какие применяются и в настоящее время; эти
работы Эйлера опубликованы в 1746 г., когда он работал в
Петербургской Академии Наук.
В 1743 г. появилась книга Даламбера «Динамика» (Traite de Dy-
namique), в которой был изложен его принцип. Лагранж, соединив
принцип Даламбера с принципом возможных перемещений, вывел
Уравнения динамики в обобщённых координатах и тем самым дял
метод составления динамических уравнений движения как
материальной точки, так и материальной системы, таких, из которых
реакции идеальных связей исключены. Лагранж в своей
«Аналитической механике» упоминает также о другом общем принципе
Динамики, который установлен петербургским академиком
Германом в 1716 г. в связи с решением частной задачи о колебаниях

278 ДИФФЕРРНЦИАЛЬНЫЕ УГАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. ΧΧΧγ
физического маятника 2). Этот принцип известен в настоящее время
под именем «петербургского принципа». Он эквивалентен принципу
Даламбера, а по времени опубликования предшествует последнему.
В дальнейшем развитии классической динамики системы много
внимания было уделено выяснению и учёту действия различных
типов связей, теории дифференциальных уравнений динамики, прочности
движения и вариационным принципам динамики. Из наших учёных
особое влияние на развитие динамики системы имели: Эйлер,
Остроградский, Ковалевская, Ляпунов, Жуковский, Чаплыгин.
§ 169. Внешние и внутренние силы. Материальные системы,
которые мы будем рассматривать в этом разделе теоретической
механики, могут состоять или из раздельных материальных точек или
из неизменно связанных между собой материальных частиц,
образующих или абсолютно твёрдую материальную линию, или абсолютно
твёрдую материальную поверхность, или абсолютно твёрдое тело.
Количество и характер материальных объектов, которые соединяют
в материальную систему, зависят от характера решаемой задачи; так,
например, за материальную систему мы можем принять всю
солнечную систему или можем принять лишь Солнце, Землю и Луну и т. п.
Все силы, действующие на отдельные элементы материальной
системы, можно разбить на два класса: силы внешние и силы
внутренние. Внешней силой по отношению к рассматриваемой материальной
системе называется сила, зависящая от воздействия на
материальную систему материальных объектов, не принадлежащих к
рассматриваемой материальной системе. Внутренней силой по
отношению к рассматриваемой материальной системе называется сила,
действующая между отдельными частями этой рассматриваемой
системы. Например, если за материальную систему мы примем кусок
железа, то воздействие на этот кусок железа притяжения Земли,
т. е. сила тяжести куска, будет для него внешней силой, силы же
взаимодействия между отдельными частицами куска, т. е.
молекулярные силы, — внутренними силами.
В большинстве случаев внутренние силы материальной системы
бывают неизвестны, внешние же силы — известны. Так, например,
у летящего снаряда внешними силами являются вес снаряда и сила
сопротивления воздуха, которые нам известны, силы же взаимодей-
1) «В вышедшей в 1716 г. „Phoronomia" Эрмана (Herman) мы находим
ещё один метод разрешения той же задачи, основанной на другом
принципе, который заключается в следующем: движущие силы, под влиянием ко-
торьх должны находиться грузы, образующие маятник, чтобы иметь
возможность двигаться совместно, эквивалентны тем силам, которые получаются
под действием тяжести; таким образом, первые, если направить их в
противоположную сторону, должны находиться в равновесии с последними».
(Я а г ρ а н ж, Аналитическая механика, перев. с фр. т. I, изд. 2-е, Гостехиздат,
М. —Л., 1950, стр. 310.)

§ 170] КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ 279
ствия между элементарными частицами снаряда, т. е. молекулярные
силы, являющиеся внутренними силами системы, для нас неизвестны.
Всюду, когда придётся указывать характер силы, мы будем
обозначать внешнюю силу символом Fey а внутреннюю силу — символом /у,
очевидно, что в динамике точки такого различения делать не
приходилось.
Ко всем внутренним силам, которые мы будем рассматривать
в динамике системы, применим третий закон Ньютона (§ 121). Отсюда
вытекают два важных следствия, уже указанных в § 121, а именно:
Результирующая £/%· всех внутренних сил материальной системы
равна нулю.
Общий или результирующий момент Σ г X Fi относительно какой-
нибудь точки всех внутренних сил материальной системы равен нулю.
Равенства
ΣΓ< = ° · (35.1)
и \
2гХ^ = 0 (35.2)
будут иметь непосредственное приложение в нижеследующих
параграфах.
§ 170. Количество движения системы. Движение центра
инерции системы. Рассмотрим какую-нибудь материальную частицу
взятой материальной системы. Пусть масса этой материальной частицы
равна т и на эту частицу действуют силы Fe и Ft. Если г есть
радиус-вектор рассматриваемой элементарной частицы материальной
системы, отсчитываемый от какой-либо точки О инерциальной
системы отсчёта, то дифференциальное уравнение движения этой
частицы в векторной форме будет:
Составим такие уравнения для всех элементарных частиц
материальной системы и сложим все эти уравнения; мы получим:
или, обращая внимание на формулу (35.1), ещё иначе:
'=Ρ· ί35·8>
Уравнению (35.3) можно придать следующие другие виды. Выше
(т. I, § 28) было показано, что будет ^тг = Мру где М = ^т
есть вся масса материальной системы, а р есть радиус-вектор центра
инерции этой системы. Поэтому будет:
Σ&Γ d~ VI λ, d-p

280 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. XXXV
и из уравнения (35.3) мы получим:
Вводя координатные обозначения относительно какой-нибудь
прямоугольной системы осей координат Oxyz, неизменно связанной с икер-
циальной системой отсчёта, мы будем иметь:
(35.5)
следовательно, мы приходим к равенствам:
Уравнение (35.4) или уравнения (35.6) можно истолковать следующим
образом:
Центр инерции материальной системы движется таким
образом, как если бы вся масса материальной системы была
сжата в одну точку, совпадающую с центром инерции
материальной системы, и к этой материальной точке были приложены
все внешние силы, действующие на материальную систему.
Из этих уравнений (35.4) или (35.5) следует также, что одни
внутренние силы изменить движение центра инерции материальной
системы не могут, так как внутренние силы в правые части этих
уравнений даже и не входят. Поэтому, если бы, например, снаряд
летел в пустоте и взорвался под влиянием внутренних сил, то
отдельные части снаряда как при самом разрыве, так и после него
должны были бы двигаться таким образом, что центр инерции их
всех перемещался бы по той же траектории и с той же скоростью,
как если бы взрыва не было, и снаряд продолжал бы своё движение
как одно целое. Однако наличие воздуха существенно меняет явление,
так как сила сопротивления воздуха полёту целого снаряда и
результирующая сил сопротивления воздуха полёту отдельных кусков, на
которые снаряд разорвался, не будут между собой равны; вследствие
этого правая часть уравнения (35.4) после разрыва снаряда будет
отличаться от правой части этого уравнения, которая имела бы место
в том случае, если бы взрыва снаряда не было.
Отсюда делается ясной важность введённого в теоретическую
механику понятия материальной точки. Мы видим, что этим понятием
можно пользоваться не только тогда, когда размерами материального
объекта можно пренебречь, но и тогда, когда рассматривается лишь
движение центра инерции материального объекта, т. е. тем самым
рассматривается лишь поступательное движение этого объекта.
Таким образом, уравнения (35.4) или (35.5) можно назвать
дифференциальными уравнениями поступательного движения материальной
системы. При этом важно заметить следующее. Если правая часть
уравнения (35.4) или правые части уравнений (35.5) зависят лишь от

ζ 170] КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ 281
времени, координат центра инерции и их первых производных по
времени, но не зависят от количеств, определяющих поворот
материального объекта вокруг его центра инерции, то уравнений (35.4) или
(35.5) будет достаточно, чтобы определить движение центра инерции
материального объекта, причём задача определения движения этого
центра инерции будет не чем иным, как задачей динамики
материальной точки.
Уравнение (35.3) можно ещё представить следующим образом. Так
κ:ικ геометрическая производная — есть скорость ν материальной
частицы, определяемой радиусом-вектором г, то будет:
Δ~λ at* ^j dt *~i β 9
или
w) = F. (35.6)
Мы знаем, что произведение mv выражает количество движения
материальной частицы с массой т (§ 120), причём произведение mv
есть вектор. Если мы имеем систему материальных частиц, то мы
можем составить вектор
Q = 2 mv, (35.7)
геометрически сложив количества движения отдельных материальных
частиц.
Количеством движения материальной системы называется
геометрическая сумма количеств движения всех элементарных
масс, составляющих материальную систему.
Таким образом, вектор Q выражает количество движения
материальной системы.
Так как будет:
то из равенства (35.7) мы получим следующие выражения для
проекции количества движения материальной системы на оси Oxyz\
^ χι dx ~ V1 dv ^ \\ dz
Из уравнения (35.6) мы имеем:
4L
(35.9)
Уравнение (35.9) можно истолковать следующим образом:
Геометрическая производная по времени от количества
движения материальной системы равна геометрической сумме всех
действующих на материальную систему внешних сил.

282
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. XXXV
^Умножая обе части уравнения (35.9) на dt, мы будем иметь:
dQ = Fdt. (35.10)
Произведение Fdt=^Fedt называется элементарным
импульсом действующих на систему внешних сил; таким обррзом, мы
получаем:
Дифференциал количества движения материальной системы
равен элементарному импульсу действующих на систему
внешних сил.
Исходя из предыдущих определений, можно дать удобный способ
составления дифференциального уравнения поступательного движения
системы. Именно, вычислим количество движения Qt системы для
момента t, затем вычислим количество движения Qt+м той же
материальной системы для близкого момента έ-\-Δί; из второго
результата вычтем первый результат и разделим полученную разность на Δ/;
тогда, приравнивая предел полученного отношения результирующей
внешних сил, мы и получим уравнение (35.9) поступательного движения
материальной системы. В самом деле, мы будем иметь:
lim\Qt+j*-Qt']=dQBS.F.
I м \ dt
Совершенно таким же путём можно получить и любое из
уравнений (35.8), только вместо количества движения системы следует
брать проекцию количества движения на выбранную ось инерциальной
системы отсчёта, а вместо результирующей
внешних сил брать проекцию этой результирующей
на ту же ось.
Интегрируя равенство (35.10) между
пределами tx и έ2, мы будем иметь:
— Qi= (
(35.11)
Интеграл, стоящий в правой части равен-
Черт. 283. ства (35.11), представляет импульс внешних сил
за промежуток времени U — tv Откладывая от
какой-нибудь точки О вектор Qi = ОЛг и вектор Q2 = ОА2 (черт. 283),
соответствующие моментам времени ίλ и /2, мы из уравнения (35.11)
находим, что должно быть:
АгА2= | Fdt.

§ 1701 количество движения системы 283
Предположим теперь, что t2 будет весьма близко к tv так что будет
^r^/j-j-τ, где количество τ весьма мало; тогда мы получим:
Fdt.
*.
Пусть результирующая внешних сил будет за промежуток времени
[tv tx-\~-z) конечной, т. е. пусть существует такое положительное
число /V, что в течение рассматриваемого промежутка времени будет
/7<ЛГ; тогда, так как модуль суммы менее суммы модулей, мы
будем иметь:
fj+τ fj-И fj+τ ί,+τ
J Fdt < j Fdt<\ Ndt = NJ άί = Ντ.
ti t, tl tt
Следовательно, должно быть:
т. е. при приближении количества τ к нулю модуль вектора А^
также стремится к нулю. Таким образом, мы приходим к
следующему предложению:
Конечные силы за бесконечно малое время могут изменить
количество движения материальной системы лишь бесконечно мало.
Так как будет:
то из уравнений (35.9) и (35.8) мы получим:
Уравнения (35.12) можно истолковать следующим образом:
Производная по времени от проекции количества движения
материальной системы на какую-нибудь ось инерциальной системы
отсчёта равна сумме проекций на ту же ось действующих на
материальную систему внешних сил.
Предположим, что будет постоянно j£jXe = X=Q] тогда из
первого из уравнений (35.12) мы получим:
-^ = const. (35.13)
Уравнение (35.13) называется интегралом количества движения
материальной системы. Таком образом, мы приходим к
следующему положению:
Если сумма проекций на какую-нибудь ось инерциальной
системы отсчёта всех внешних сил, действующих на материальную

284 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. XXXV
систему, постоянно равна нулю, то проекция количества
движения материальной системы на mv же ось постоянна.
Предположим, что будет постоянно ^jXe = X = О и ^Ув= ^=0:
тогда из уравнений (35.5) мы получим:
HL — r dyi —г
di ϊ' di 2'
где Сг и С2 суть произвольные постоянные. Отсюда мы будем иметь:
dr^ # dz_ _Сз и dr\_ и &
di ' di ~~ Cx~ ' di ~~ di*
или
где k и b суть произвольные постоянные. Таким образом, центр
инерции материальной системы во всё время её движения должен
оставаться в плоскости, параллельной той плоскости, в которой
расположена результирующая действующих на материальную систему
внешних сил; аналогичное предложение уже было выведено в § 125
для случая движения материальной точки. Следовательно, например,
центр тяжести брошенного в пустоте тяжёлого тела должен двигаться
по плоской траектории, а именно по параболе. Заметим, что наличие
воздуха, изменяя траекторию центра тяжести, может дать и боковую
силу, выводящую центр тяжести тела из вертикальной плоскости; это,
например, имеет место при полёте в воздухе вращающихся
артиллерийских снарядов или при игре в теннис, когда удар шара ракеткой
производится таким образом, что, кроме поступательного движения,
шар получает и вращательное движение вокруг оси, не
расположенной в горизонтальной плоскости перпендикулярно к поступательной
скорости шара.
Предположим, наконец, что будет постоянно:
тогда из уравнений (35.5) мы получим:
d\ r dt] r di
~df-~4' ~Ж"—^ di
где Cj, С2, С3, ξ0, η0, ζ0 суть произвольные постоянные. Отсюда мы
выводим:
ξ — ξρ η —То С — Ср
с, — с2 с3 ·
Таким образом, если никакие внешние силы на материальную
систему не действуют или если внешние силы имеют
результирующую, равную нулю, то центр инерции этой материальной

ζ 171] ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ 285
системы должен относительно инерциальной системы отсчёта
двигаться прямолинейно и равномерно. Конечно, в частном случае
центр инерции материальной системы может относительно инерцилль-
ной системы отсчёта оставаться и в покое; это будет при Сг =
С С = 0
§ 171. Движение материальной точки переменной массы. Хотя
этот параграф и посвящен движению материальной точки, тем не
менее он отнесён к учению о движении материальных систем, так
как движущаяся материальная точка переменной массы испускает или
поглощяет элементарные массы, т. е. по существу задача приводится
к изучению движения системы масс. Механика тел переменной массы
начала развиваться лишь в XX столетии, причём наша страна
занимает первое место в создании этой новой отрасли механических
знаний. Особенно следует отметить работы И. В. Мещерскою (т. I,
Введение) и относящиеся к различным проблемам реактивного
движения работы К. Э. Циолковского (1857—1935). Подробные
исторические указания можно найти в статье А. А. Космодемьянского
«Механика тел переменной массы», помещённой в сборнике
«Механика в СССР за тридцать лет», 1950 г. В этом параграфе будет
рассмотрен лишь случай реактивного
движения тяжёлой мптериальной
точки, т. е. случай, когда материальная
точка, на которую действует только
её собственный вес, испускает эле-
ментарные массы. Конечно, реально
испускает массы не материальная
точка, а тело, но мы упрощаем
задачу, пренебрегая размерами тела и
тем самым пренебрегая влиянием на
движение самого тела движения
испускаемых масс внутри тела.
Предполагая, что траектория ре-
активного движения материальной
церт 284
точки есть плоская линия, мы примем за оси координат ось τ,
проведённую через мгновенное положение движущейся точки по касательной к её
траектории в сторону движения, и ось п, проведённую через ту же
точку по нормали к траектории в сторону вогнутости, т. е. составим
естественные уравнения реактивного движения материальной точки.
При выводе первого из естественных уравнений реяктквного
движения материальной точки мы будем пользоваться правилом,
указанным в § 170 перед выводом формулы (35.11). Пусть в момент t
материальная точка имеет массу т и скорость v\ тогда проекция
количества движения точки на касательную τ к траектории будет
равна mv (черт. 284), причём ось Oz направлена вертикально вверх.
Пусть в момент ί-\-Μ, где приращение Ы весьма мало, масса т точки

286 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. XXXV
благодаря истечению изменилась в т — Δ/я, скорость ν точки
изменилась в ν-\-Αν, истекшая же масса Am получила скорость —U-^v,
где скорость — U направлена противоположно скорости ν и
представляет относительную скорость истечения массы Am. Так как
направление касательной к траектории точки в момент t-\-At весьма
близко к направлению касательной τ к траектории в момент t, то
для проекции количества движения системы в момент t-\-At на
касательную τ с точностью до малых второго порядка можно взять
выражение
(т — Am) (v-}-Av)-\-( — U + v)Am =
= mv -f- m Αν — U Am — Am Av\
следовательно, приращение проекции количества движения за
промежуток времени Δ/ равно:
т Av — U Am — Am Αν.
Это приращение проекции количества движения должно быть равно
сумме проекций элементарного импульса за промежуток времени Δ*
силы тяжести mg cos (π — b)At =— mg cos Ь At и элементарного
импульса— R At силы сопротивления /?. Таким образом, мы получим:
т Αν — U Am — Am Av = — mg cos θ At — R At,
или, разделив иа Δ* и перейдя к пределу:
dv TT dm
m-jt U — =
Введём обозначение:
иЧГ = ?(έ)] (35Л4)
количество φ(/) есть реактивная сила , которую можно измерить,
зажимая реактивный аппарат в динамометре и измеряя давление на
динамометр, которое аппарат производит во время своего действия.
Отсюда для проекции на касательную τ к траектории мы будем
иметь:
т -τ:- = φ (t) — mg cos θ — R.
Уравнение в проекциях на нормаль η к траектории мы получим
согласно указаниям § 147. Именно, мы будем иметь:
= mgsm Ь.
Так как (черт. 284) с точностью до знака включительно будет:
1_ _ d® __ d&_ . ds __ ] db
Ρ ~~~ds~~~dF:~di~~~v~(U'

^ 171] ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
то мы получим:
287
Таким образом, два естественных уравнения реактивного движения
точки получают вид
^L^uit) — mgcosh — R, |
di
(35.15)
Гак как реактивная сила получается обычно за счёт выгорания
горючего, то масса т точки должна быть переменной и, как показывает
опыт, будет приближённо равна:
М), (35.16)
где Μ и λ суть постоянные. При / = 0
будет т = М, а при t = /2, когда всё
горючее выгорит, будет т2 = Μ (1 — λ*2).
Вводя веса Ρ = Mg и Р2 == /Λ2§·2,
получим для постоянного λ значение
Реактивная сила φ (t) обыкновенно даётся 0 ^^
графически; характер графика
реактивной силы виден из прилагаемого чер- Черт. 285.
тежа 285.
Что касается второго из уравнений (35.15), то его можно
представить иначе:
sine
2 sin — cos -у
или
dt
—
Интегрируя это уравнение от момента ^, когда точка покидает
направляющие её движение салазки, до текущего момента /, найдём:
04)-'Ч'^)=4£

288
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. XXXV
где Oj есть угол скорости точки с осью Oz в тот. момент, когда она
покидает напрявляющие салазки и делается свободной. Последнее
уравнение можно представить в виде
t
(35.17)
J ν
Так как будет:
TO
dx . (i dv (.
-τι- = V Sin 0, -—- = V COS b,
x = Γ ν sin 0 «7, у = Г ^ cos θ dt,
где место схода с направляющих салазок принято за начало
координат.
Из уравнений (35.15) следует, что второе уравнение для
реактивного движения будет таким же, как для точки постоянной массы;
что касается первого из уравнений (35.15), то оно отличается от
уравнения тяжёлой точки постоянной массы, движущейся в
сопротивляющейся среде, тем, что в правой части имеется дополнительно
реактивная сила φ(/), и тем, что масса т не будет постоянной,
а будет меняться со временем, например, по закону (35.16).
Уравнения (35.15) и (35.17) можно интегрировать лишь численно.
Рассмотрим какой-нибудь момент t', близкий к моменту tx схода
точки с салазок; тогда будет:
ν —vy =
—y-fn g cos 0 dt — I -^ dt,
ι
, С dt_
.1 ν
\ (35.18)
Вставляя в правые части этих уравнений значения ί/иО для начала t]
рассматриваемого промежутка (f — ^) времени, найдём значения vr и Ь'
для момента f и т. д. Очевидно, что этот способ будет давать
тем более точные результаты, чем меньше будут взятые промежутки
времени.
§ 172. Момент количеств движения системы. Рассмотрим какую-
нибудь элементарную частицу материальной системы; пусть будет
т масса этой частицы и г — радиус-вектор, соединяющий какую-
нибудь точку О инерциальной системы отсчёта с этой частицей т.

§ 172] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ 289
Тогда уравнение движения рассматриваемой материальной частицы,
как мы видели в § 170, будет:
Умножим обе части предыдущего уравнения спереди векторно на г:
Так как будет:
то мы приходим к уравнению
ж (г х/я 5)=г х ^+г х
или
Уравнение такого рода уже было выведено в § 126. Составив такие
уравнения для всех элементарных частиц рассматриваемой
материальной системы и сложив их, мы в силу равенства (35.2) будем иметь:
(35.19)
В Статике (т. I, § 10) мы ввели понятие общего момента системы
сил относительно точки. Понятие общего момента может быть
распространено на систему любых приложенных векторов. Очевидно,
что сумма L = 2 (г X m<v) есть общий момент относительно точки О
количеств движения всех материальных точек, входящих в состав
данной системы. Мы будем называть эту величину общим моментом
количеств движения материальной системы относительно точки О
или, короче, моментом количеств движения системы относительно
точки О.
Очевидно, что
есть общий момент всех внешних сил относительно точки О. Таким
образом, из предыдущего равенства, которое можно представить
в виде
%—М, (35.20)
следует, что
геометрическая производная по времени от момента
относительно какой-либо неподвижной точки *) количеств движения
1) Напомним, что здесь, как и всюду, мы под «неподвижной точкой»
понимаем точку, неизменно связанную с кнерциальной системой отсчёта.
19 Зак. 487. А. И. Некрасов

290
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. XXXV
материальной системы равна общему моменту относительно
той же точки всех внешних сил, действующих на материальную
систему.
Умножая обе части равенства (35.20) на dt, мы будем иметь:
= Mdt.
(35.21)
λ Mdt
Произведение Μdt = ^iry^Fedt есть общий момент элементарных
импульсов, действующих на материальную систему внешних сил.
Таким образом,, мы получаем:
Дифференциал момента относительно какой-либо
неподвижной точки количеств движения материальной системы равен
общему моменту элементарных импульсов,
действующих на материальную систему внешних
сил, взятому относительно той же точки.
Интегрируя равенство (35.21) между
пределами έλ и t2, мы будем иметь:
(35.22)
Интеграл, стоящий в правой части равенства (35.22),
представляет общий момент импульсов внешних
сил относительно взятой точки за промежуток
времени t2 — tv Откладывая от какой-нибудь точки О
вектор Lx = ОВ^ и вектор L2 = ОВ2 (черт. 286),
соответствующие моментам времени tx и t2, мы из уравнения (35.22)
находим, что должно быть:
~ЩП~2 = J Mdt.
Предположим, что t2 будет весьма близко к tv так что будет
t2==z t1-\-zi где количество τ весьма мало; тогда получим:
Черт. 286.
ί, +
ВгВ2 = j
Mdt.
Пусть общий момент Μ внешних сил будет за промежуток времени
(tx, *2~Γ~τ) конечным, т. е. пусть существует такое положительное
число Ν, что в течение рассматриваемого промежутка времени
будет Μ < Af; тогда, так как модуль суммы менее суммы модулей,
мы будем иметь:
Mdt
<J Mdt<j Ndt =

§ 172] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
Следовательно, должно быть:
291
т. е. при приближении количества τ к нулю модуль вектора ΒλΒ2
тлкже стремится к нулю. Таким образом, мы приходим к
следующему предложению:
Общий момент импульсов внешних сил конечного значения за
бесконечно малое время может изменить момент количеств
движения материальной системы лишь бесконечно мало.
Все полученные векторные выражения легко преобразовать к
координатным. В самом деле, мы имеем:
L = iLx -YJLy + kLz, Μ = iMx
поэтому уравнение (35.19) можно заменить тремя следующими:
Но мы имеем:
г X mv =
ι
χ
j
У
dx dy dz
mTt mTt mJt
dz с
dx
dy
поэтому будет:
Так как общий момент внешних сил может быть представлен в виде
Λ1 = Σ г X Fe = i Σ {У Ζ—ζ Ye) -j-j Σ {xX-xZe) -j- k Σ (x Уе-уХе)>
то мы получим:
(35.24)
19*

292 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. ХХХу
Уравнения (35.24) можно истолковать следующим образом:
Производная по времена от момента относительно какой-
либо неподвижной оси количеств движения материальной системы
равна общему моменту относительно той же оси всех
действующих на материальную систему внешних сил.
Предположим, что общий момент всех внешних сил, например,
относительно оси Ох постоянно равен нулю, т. е. Мх = 0; тогда из
первого из уравнений (35.24) мы получим:
или
Σ( dz dy \
ml у —τ — «з'-т-] = const. (35.25)
Таким образом, мы приходим к интегралу, который называется
интегралом момента количеств движения системы. Следовательно,
мы имеем следующее предложение:
Если общий момент всех внешних сил, действующих на
материальную систему, относительно какой-либо неподвижной оси
постоянно равен нулю, то момент относительно этой оси
количеств движения материальной системы постоянен.
Предположим, что будет постоянно Мх = 0, Му = 0 и М2 = 0,
т. е. М = 0; тогда из уравнения (35.20) будет следовать L = const,
т. е. этот вектор L не будет изменяться ни по модулю, ни по
направлению. Отсюда следует, что плоскость, проходящая через центр
моментов О перпендикулярно к вектору L, будет занимать относительно
инерциальной системы неизменное положение; эта плоскость получила
название неизменяемой плоскости. Если будет постоянно Мх^=0,
Μ =0 и Мг = 0, то из уравнений (35.24) мы получим интегралы:
dx
-dt
dy
Рассмотрим следующий частный случай движения материальной
системы. Именно, предположим, что все элементарные массы
материальной системы могут перемещаться лишь в параллельных между собой
плоскостях, перпендикулярных к некоторой неподвижной прямой Δ;
очевидно, что частным случаем такого движения материальной системы
является вращение абсолютно твёрдого тела вокруг оси Δ. Принимая
прямую Δ за ось Οζ, найдём момент количеств движения Ьг системы
относительно оси Οζ по последней из формул (35.23). Обозначая через г

§ 172] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ 293
расстояние элементарной массы т от оси Οζ, а через θ — угол радиуса-
вектора г с плоскостью Οχζ, мы будем иметь:
и, следовательно (см. § 126 или т. I, § 68):
х dt у dt r df
Таким образом, будет:
Если материальная система приводится к абсолютно твёрдому телу,
вращающемуся вокруг оси Οζ, то для всех элементарных масс произ-
водные -г. будут иметь одно и то же значение, равное угловой
скорости вращения абсолютно твёрдого тела, а каждый радиус г будет
оставаться постоянным для каждой элементарной частицы т; тогда
будет:
L2 = ω 2 тп = Jga, (35.27)
где количество
J2 = ^mn (35.28)
будет постоянным для рассматриваемого абсолютно твёрдого тела;
это количество называется моментом инерции абсолютно твёрдого
тела относительно оси Οζ.
Так как в формулу (35.20) или в формулы (35.24) внутренние
силы не входят, то момент количеств движения системы внутренними
силами изменён быть не может. Предположим, что общий момент
внешних сил, действующих на рассматриваемую материальную систему,
относительно оси Οζ постоянно равен нулю, и в начальный момент
времени материальная система находится в покое; тогда для этой
системы должен иметь место интеграл момента количеств движения
относительно оси Οζ
dy
Из этого интеграла следует, что одними внутренними силами привести
все элементарные массы рассматриваемой системы во вращательное
Движение вокруг оси Οζ в одну сторону нельзя, так как в этом
случае все производные -г. были бы одного знака, что привело бы
к противоречию с имеющим место интегралом. Но в то же время

294 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. ХХХу
очевидно, что одними внутренними силами можно получить такое
движение рассматриваемой материальной системы, при котором для одних
элементарных масс производные — были бы положительными, а для
других элементарных масс эти производные были бы отрицательными,
так чтобы сумма 2umr2~di ^ыла Равна нулю.
Предположим, что для материальной системы, вращающейся вокруг
оси Ог, имеет место интеграл момента количеств движения
Lz == ω 2 тг* = const.
Из этого интеграла следует, что при неизменности конфигурации
системы угловая скорость ω должна оставаться постоянной. Допустим
затем, что под влиянием внутренних сил, которые, как мы знаем,
не могут изменить момент количеств движения материальной системы,
элементарные массы т тела подтянулись ближе к оси вращения Ог,
так что их радиусы вращения г уменьшились; вследствие этого момент
инерции ^тг2 тела также уменьшится. Так как при существовании
интеграла момента количеств движения материальной системы величина
произведения ω 2 mr<l измениться не может, то
уменьшению момента инерции 2 mr<1 тела должно
соответствовать увеличение угловой скорости ω
вращения этого тела. Заметим, что изменить
свой момент инерции внутренними силами
могут, например, живые существа; так, человек,
поднимая руки и вытягивая их в горизонтальном
направлении, увеличивает свой момент инерции
относительно вертикальной оси.
Описанные явления можно проверить на
Черт. 287. скамейке С. С. Неждаиовского (1850—1940).
Эта скамейка состоит из устанавливаемой
горизонтально на полу доски, в которую вделан круглый
металлический желобок (черт. 287). Этот желобок заполняется стальными
шариками, и доска прикрывается сверху другой доской с таким
же круглым металлическим желобком, так что верхняя доска с
большой лёгкостью может вращаться на шариках относительно
нижней доски. Экспериментатор становится на верхнюю доску прибора.
Предположим, что в начальный момент времени экспериментатор
стоит на скамейке Неждаиовского совершенно неподвижно. Тогда,
направляя ось Οζ из центра О верхней доски вертикально вверх, для
материальной системы — экспериментатор и верхняя доска прибора—■
мы должны иметь интеграл

§ 172] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ 295
В самом деле, моменты относительно оси Ог всех внешних сил,
а именно, сил тяжести и реакций, если пренебречь трением,
которое незначительно, равны нулю, так как все эти силы вертикальны.
В начальный момент времени элементарные массы т материальной
системы движения не имеют. Пусть затем экспериментатор поднимет
руки в вертикальной плоскости, вытянув их горизонтально; очевидно,
что при таком движении ни один элемент т всей массы угловой
скорости -г вокруг оси Ог иметь не будет. Пусть далее
экспериментатор начнёт поворачивать руки, например, против часовой стрелки
н горизонтальной плоскости, т. е. вокруг оси Ог. Так как поворот
рук совершается внутренними силами материальной системы, то момент
относительно оси Ог количеств движения материальной системы
должен сохранить своё значение нуль, что будет достигнуто тем, что
верхняя доска скамейки Неждановсксго вместе с телом
экспериментатора начнёт поворачиваться в обратную сторону, т. е. по часовой
стрелке. Угловая скорость поворота рук будет больше угловой
скорости поворота тела, так как количество 2j mr<2 Для РУК будет
меньше количества 2/я/*2 Для тела вследствие значительно большей
массы тела экспериментатора сравнительно с массой его рук. Угловую
скорость вращения тела можно заметно усилить, если экспериментатор
будет двигать руками, держа в руках тяжёлые предметы, например
тяжёлые книги. Эффект поворота тела будет ещё более значительным,
если эксперименатор возьмёт в руки за середину длинный стержень
с гирями на концах, который он будет держать горизонтально и
поворачивать в горизонтальной плоскости.
Предположим далее, что экспериментатор встал на скамейку
Неждановского и поднял руки в вертикальной плоскости до
горизонтального положения, после чего наблюдатель, стоящий около
скамейки Неждановского, придал экспериментатору вращение вокруг
оси Ог, например, по часовой стрелке. Тогда вся материальная
система — экспериментатор и верхняя доска прибора — получит
некоторый момент количеств движения относительно оси Ог, который
в дальнейшем изменяться не может, так как, после того как
наблюдатель перестал вращать экспериментатора, никаких внешних сил
на материальную систему действовать не будет, кроме сил тяжести
и нормальных реакций, моменты которых относительно оси Ог равны
нулю (моментами сил трения вследствие их незначительности в первом
приближении можно пренебречь). Вследствие этого момент
относительно оси Ог количеств движения рассматриваемой системы должен
быть постоянным, т. е. мы будем иметь:
Если затем экспериментатор опустит руки в вертикальной
плоскости, прижав их к туловищу, то вследствие уменьшения момента

296 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. XXXV
инерции 2/пг2 угловая скорость ω вращения экспериментатора
увеличится; если экспериментатор будет держать в руках тяжёлые
предметы, то увеличение угловой скорости вращения от этого
усилится. Это явление можно наблюдать и не пользуясь
скамейкой Неждановского. Для этого достаточно, вытянув по бокам
горизонтально руки, начать вертеться на носке, например, левой
ноги; если во время этого вращения быстро прижать руки к
туловищу, то будет непосредственно заметно и ощутимо для самого
экспериментатора резкое увеличение его угловой скорости вращения.
Пользуясь скамейкой Неждановского, можно показать, что,
изменяя момент инерции тела, можно заставить тело как целое
повернуться под действием одних внутренних сил на любой конечный
угол. Для этого предположим, что экспериментатор встал на скамейку
Неждановского, имея руки опущенными и прижатыми к туловищу.
Далее, пусть экспериментатор поднимет руки в вертикальной
плоскости, доведя их до горизонтального положения, и затем повернёт
руки в этой горизонтальной плоскости, например, против часовой
Стрелки; тогда, как мы видели выше, туловище экспериментатора
вместе со скамейкой повернётся на некоторый угол в обратном
направлении, т. е. по часовой стрелке. После этого пусть
экспериментатор опустит руки, прижав их к туловищу таким образом, чтобы
при этом движении элементарные массы опускаемых рук по
возможности двигались в вертикальных плоскостях; при таком движении
рук туловище экспериментатора не будет или почти не будет
поворачиваться. Наконец, пусть, держа руки прижатыми к туловищу,
экспериментатор повернёт их по часовой стрелке так, чтобы они
приняли из закрученного положения своё прежнее нормальное
положение, при котором они будут протянутыми вниз вдоль боков
экспериментатора. При таком движении рук туловище экспериментатора
будет поворачиваться в обратном направлении, т. е. против часовой
стрелки, но угол поворота туловища против часовой стрелки будет
меньше прежнего угла поворота туловища по часовой стрелке, так
как первому * углу поворота туловища соответствует поворот рук,
вытянутых в горизонтальном направлении, а второму углу поворота
туловища соответствует поворот рук, прижатых к туловищу. Таким
образом, в результате выполнения всех указанных операций
экспериментатор окажется повёрнутым как целое вокруг вертикали на
некоторый угол по часовой стрелке. Выполняя эти операции необходимое
число раз, можно достигнуть поворота на любой заданный угол.
Следовательно, если одними внутренними силами нельзя дать никакого
перемещения центру инерции материальной системы, а, следовательно,
нельзя дать материальной система как целому поступательного
перемещения, то дать материальной системе как целому одними
внутренними силами вращательное перемещение возможно, если только
материальная система под действием одних внутренних сил может
изменять свой момент инерции, дать же одними внутренними силами

§ 173] ТЕОРЕМА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 297
всем точкам покоящейся материальной системы угловую скорость
в одну сторону нельзя.
§ 173. Теорема кинетической энергии. Рассмотрим какую-нибудь
элементарную массу т материальной системы, определяемую радиусом-
вектором г, отсчитываемым от какой-нибудь точки О инерциальной
системы отсчёта; пусть будут Ге-^Г{ силы, действующие на массу т.
Тогда, как мы уже видели в § 170 и 171, дифференциальное
уравнение движения массы будет:
w
Умножив скалярно обе части этого равенства на производную -^-,
мы получим:
cfr dr „ dr , „ dr'
В динамике точки (§ 127) мы видели, что будет:
d2r dr dv т d , <}\ d
поэтому мы будем иметь:
d_ (mtf\ F dr , p dr
dt\ 2 ) e * dt ' *' dt '
или
Очевидно, что это равенство выражает не что иное, как теорему
кинетической энергии для материальной частицы т. Составив такие
уравнения для всех элементарных частиц рассматриваемой
материальной системы и сложив между собой почленно все эти уравнения, мы
придём к равенству
Сумма 2α~γ выражает кинетическую энергию материальной
системы и обозначается обычно буквой Τι
?· (35·29)
Отсюда мы приходим к следующему определению:
Кинетической энергией материальной системы называется
сумма кинетических энергий всех элементарных масс9
составляющих материальную систему.
Таким образом, мы получаем:
dT = 2 Fe · dr + 2 Fi · dr. (35.30)

298 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. XXXV
Очевидно, что суммы, стоящие в правой части формулы (35.30),
представляют суммы элементарных работ (§ 108) всех действующих
на материальную систему внешних и внутренних сил. Отсюда мы
приходим к теореме кинетической энергии для материальной системы:
Дифференциал кинетической энергии материальной системы
равен сумме элементарных работ всех действующих на
материальную систему внешних и внутренних сил.
Заметим, что сумма элементарных работ всех внутренних сил,
действующих в материальной системе, вообще, не будет равна нулю.
В самом деле, пусть будут А и В две элементарные массы
материальной .системы, определяемые радиусами-векторами г' и г", и
пусть будут F и —F силы взаимодействия
между этими элементарными массами, т. е.
внутренние силы (черт. 288). Тогда сумма
элементарных работ этих двух внутренних сил
будет равна:
Fdr' — F- dr",
или, иначе:
F . (dr' — dr") = F-d(r' — r") = F-d(AB).
Мы видим, что если расстояние АВ между
Черт. 288. элементарными массами А и В может
изменяться, например уменьшаться, то эта
элементарная работа не будет равна нулю, равно и сумма таких
элементарных работ будет отлична от нуля. Но если материальная система
приводится к абсолютно твёрдому телу, то должно быть:
это равенство вытекает также из определения идеальных связей,
согласно которому сумма элементарных работ реакций таких связей
равна нулю (§ ПО).
В динамике точки (§ 128) мы познакомились с понятием
силовой функции; мы дадим здесь обобщение этого понятия, пригодное
и для системы. Именно:
Силовой функцией называется такая функция координат
или параметров, определяющих положение материальной системы
относительно инерциалъной системы отсчёта, полный
дифференциал которой, взятый по этим координатам или параметрам,
представляет элементарную работу сил, приложенных к
материальной системе, при её бесконечно малом перемещении
относительно инерциальной системы отсчёта.
Пусть для внешних и внутренних сил силовые функции будут
соответственно Ue и £/?·, т. е. будет:

§ 174] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ 299
тогда из уравнения (35.30) мы получим:
Отсюда мы будем иметь интеграл энергии материальной системы
в виде
T=Ue+Ui + h, (35.31)
где h есть произвольное постоянное. Очевидно, что для абсолютно
твёрдого тела можно положить U{ = 0. Вводя потенциальные
функции Ve и У{ по формулам:
ve=-ue, vt = -uit
мы из уравнения (35.31) будем иметь:
T+Ve+Vi = h. (35.32)
Уравнение (35.32) выражает, что для консервативных систем сумма
кинетической и потенциальной энергий материальной системы остаётся
постоянной.
Если материальная система приводится к абсолютно твёрдому телу,
вращающемуся вокруг оси Δ относительно инерциальной системы
отсчёта, то скорость ν каждой элементарной массы m этого тела будет
равна гсо, где г есть расстояние рассматриваемой элементарной массы m
от оси вращения Δ, а ω есть угловая скорость вращения тела.
Следовательно, для такого тела будет:
Т== Σ ~2~==ζ Σ ~2~" = ~2~ 2d ШГ ' (35.33)
где 2/я/*2 есть момент инерции абсолютно твёрдого тела
относительно оси вращения. Мы видим, что рассмотрение момента количеств
движения и кинетической энергии вращающегося вокруг оси
абсолютно твёрдого тела приводит к введению нового механического
понятия — момента инерции абсолютно твёрдого тела.
§ 174. Момент количеств движения и кинетическая энергия
материальной системы в её относительном движении по отношению
к центру инерции. Пусть будет С центр инерции материальной
системы, движение которой мы изучаем, и ρ — радиус-вектор этой
точки С относительно какой-нибудь точки О инерциальиой системы
отсчёта. Если г есть радиус-вектор относительно той же точки О
какой-нибудь элементарной массы m рассматриваемой материальной
системы и г' есть радиус-вектор той же элементарной массы m
относительно точки С, то будет:
Обратимся к уравнению (35.20), которое можно представить в виде

* 300 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. XXXV
Но мы имеем:
Легко видеть, что будет:
Далее, так как точка С есть центр инерции материальной системы,
то должно быть У\ тгг = 0 (т. I, § 28). Следовательно, должно
быть:
Таким образом, мы получаем для любого момента времени:
χΛί-3Γ. (35·3-4)
Равенство (35.34) можно выразить следующим образом:
Момент относительно какой-нибудь неподвижной точки О
количеств абсолютного движения материальной системы всегда
равен моменту относительно центра инерции С этой
материальной системы количеств относительного движения системы по
отношению к её центру инерции, сложенному с моментом
относительно точки О количества абсолютного движения
материальной точки, масса которой равна всей массе материальной
системы и которая находится в центре инерции материальной
системы.
Так как будет:
то из уравнения (35.19) мы получим:
1(Σ'"χ-^)+1(ρχΛί$
Обращая внимание на следующее равенство:
мы из предыдущего уравнения найдём:

§ 174] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ 301
Отсюда, учитывая уравнение (35.4), мы будем иметь:
Но-тт- есть скорость vr элементарной массы т в её относительном
движении по отношению к центру инерции материальной системы;
следовательно, предыдущее уравнение можно представить в виде
d / vi / у. т<г)'\ _ V1 гг \у ρ м' ^35 35Ϊ
Мы видим, что уравнение (35.35) вполне аналогично уравнению (35.19),
только вместо неподвижной точки О моменты берутся относительно
центра инерции С материальной системы и вместо абсолютного
движения материальной системы рассматривается относительное движение
этой материальной системы по отношению к её центру инерции.
Уравнение (35.35) можно истолковать следующим образом:
Геометрическая производная по времени от момента
относительно центра инерции материальной системы количеств
движения этой материальной системы по отношению к её центру
инерции равна общему моменту относительно этого центра
инерции всех внешних сил, действующих на материальную систему.
Очевидно, что любое движение материальной системы
кинематически можно мыслить как состоящее из поступательного движения,
характеризуемого движением центра инерции этой материальной
системы, и из относительного движения материальной системы по
отношению к её центру инерции. Например, движение брошенного камня
можно охарактеризовать движением центра тяжести камня и
вращением камня вокруг его центра тяжести. Из предыдущего в
применении к абсолютно твёрдому телу мы заключаем, что такое
разделение движения абсолютно твёрдого тела на поступательное дви- ,
жение вместе с центром инерции и на вращательное движение вокруг
центра инерции выполняется не только кинематически, но и
динамически. Именно, поступательное движение абсолютно твёрдого тела
определяется уравнением (35.4), а вращательное движение абсолютно
твёрдого тела около его центра инерции определяется уравнением
(35.35).
Выше (т. I, § 49) мы видели, что уравнения равновесия общей
системы сил, приложенных к абсолютно твёрдому телу, в векторной
форме имеют вид
причём внутренние силы из этих уравнений исключены. Но выше мы
Доказали, что будет:

302 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. XXXV
обозначая последнюю сумму через М' и замечая, что в силу первого
уравнения равновесия должно быть ^Fe = F= 0, мы получим:
таким образом, уравнениям равновесия абсолютно твёрдого тела можно
придать вид
/7=0, М' = 0,
что находится в полном согласии с указанным выше механическим
разделением поступательного и вращательного движений.
Проведя через центр инерции С прямоугольную систему осей
координат Cx'y'z', параллельных осям координат Oxyz инерциальной
системы отсчёта, мы из уравнения (35.35) получим:
(35.36)
Уравнения (35.36) аналогичны уравнениям (35.24).
Заметим ещё следующее. Пусть мы имеем неподвижное
относительно инерциальных осей абсолютно твёрдое тело. Приложим к этому
телу где-нибудь пару сил. Так как сумма сил пары равна нулю, то
центр инерции тела останется неподвижным и тело под действием
пары начнёт вращаться вокруг своего центра инерции. Предположим
затем, что к этому абсолютно твёрдому телу вместо пары сил мы
приложили только одну силу и притом так, что её линия действия
проходит через центр инерции тела. Так как момент этой силы
относительно центра инерции, т. е. правая часть уравнения (35.35), равен
нулю, и тело перед приложением этой силы не вращалось, то тело
вращаться вокруг центра инерции не будет, а придёт в
поступательное движение относительно взятых инерциальных осей и притом
такое, какое под действием приложенной силы должна получить
материальная точка, масса которой равна массе тела. Предположим,
наконец, что к рассматриваемому абсолютно твёрдому телу мы
приложили одну прежнюю силу, но так, что линия действия силы уже
не проходит через центр инерции тела. Так как момент этой силы,
т. е. правая часть уравнения (35.35), будет отличен от нуля, то тело
под влиянием приложенной силы получит не только прежнее
поступательное движение, но и начнёт вращаться вокруг своего центра
инерции по закону, определяемому уравнением (35.35).
Займёмся теперь преобразованием выражения для кинетической
энергии материальной системы, аналогичным преобразованию момента

§ 174] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ 303
количеств движения. Так как мы имели r = p-j-r', то отсюда мы
получаем:
dr dp , drr
~~dF~~~dt~r~W'
или
V = vc "Ь *>'»
где vc есть абсолютная скорость центра инерции материальной
системы. Следовательно, кинетическую энергию материальной системы
мы можем представить в виде
την2 ч^ч т (vc + ν')2
~~2~~
Но мы имеем:
1 VI 2 , \^ ' ' , 1 \Ί '3
-2 2utnVG^~2a mVcV + ~2 Σ*mv ·
3 2 ^ „, 2
c = vc 2j m = MvGy
V, VI drr d \У r Λ
у. /ni?c · ί? = z>c У /л -^7- = Ό с -ji 2j mr == ^>
поэтому будет:
Очевидно, что сумма V m*L представляет кинетическую энергию Тг
материальной системы в её относительном движении по отношению
к центру инерции; следовательно, мы получим:
АЛ 2
^ (35.37)
Равенство (35.37) можно истолковать следующим образом:
Кинетическая энергия материальной системы в её движении
относительно инерциалъной системы отсчёта равна кинетической
энергии этой материальной системы в её относительном движении
по отношению к её центру инерции, сложенной с кинетической
энергией материальной точки, масса которой равна всей массе
материальной системы и которая совпадает с центром инерции
этой материальной системы.
Отсюда видно, что при определении кинетической энергии
материальной системы, как и при определении момента количеств
движения, происходит отделение переносного поступательного движения
системы вместе с центром инерции от её движения относительно
её центра инерции. Так, например, кинетическая энергия
абсолютно твёрдого тела с массой Ж, центр инерции которого движется

304 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ.
со скоростью V и которое в то же время вращается с угловой
скоростью ω вокруг оси неизменного направления в пространстве,
проходящей через центр инерции тела, равна:
Т =
где / есть момент инерции тела относительно оси вращения; первое
слагаемое соответствует переносному поступательному движению тела,
а второе — вращательному.
§ 175. Примеры. 133. Вес орудия равен Р, а вес снаряда равен р; найти
начальную скорость отката орудия при выстреле, если горизонтальная
проекция начальной скорости снаряда равна ν. Так как орудие и снаряд можно
рассматривать как одну материальную систему, то отсюда следует, что силы
давления газов при выстреле будут внутренними силами, сила же тяжести
и реакции, приложенные к орудию, — внешними силами. Пренебрегая
горизонтальной слагающей реакции, мы заключаем, что все внешние силы будут
иметь вертикальное направление, т. е. рассматриваемая материальная система'
должна иметь интеграл проекции количества движения на горизонтальную
ось. Обозначая начальную скорость отката орудия через V, мы для проекции
на горизонтальную ось начального количества движения материальной системы
будем иметь:
g g
Так как непосредственно перед выстрелом скорости были равны нулю, то
искомый интеграл будет:
Ρ
g g
откуда находим:
134. На абсолютно гладкий горизонтальный пол положена
прямоугольная доска АВ с весом Ρ своей абсолютно гладкой стороной, так что между
доской и полом трения нет. Вдоль доски от конца А к концу В по
шероховатой стороне доски идёт человек, имеющий вес р; определить движение
доски, если в начальный момент времени доска и человек были неподвижны.
Если мы рассмотрим доску и человека как одну материальную систему, то
силы взаимодействия между ногами человека и доской будут внутренними
силами; так как внешние силы — сила тяжести и реакция пола — вертикальны,
то, направляя ось абсцисс вдоль длины доски и обозначая через ξ абсциссу
центра тяжести рассматриваемой материальной системы, мы должны иметь
согласно первому из уравнений (35.5)
Отсюда находим:
§= const,
где произвольное постоянное в правой части должно быть равно нулю, так
как в начальный момент в материальной системе движения нет.
Следовательно, должно быть:

175]
ПРИМЕРЫ
305
ι до ?υ есть постоянное, т. р. центр тяжести рассматриваемой материальной
системы «доска и человек» перемещаться по полу в горизонтальном напра-
влении не может. Пусть будет АВ какое-нибудь положение доски, центр
тяжести которой при этом находится в точке О, и пусть человек стоит на
1,оске в точке D (черт. 289). При-
о,
Δ 'D О
Ρ
В
ΰ
Черт. 289.
меняя указанный выше (т. I, § 23)
геометрический приём, определим
на доске АВ точку С, в которой
линия действия силы тяжести
системы «доска и человек»
пересекает прямую АВ. Для этого
отложим на перпендикулярах к
прямой АВ отрезок ОО1у длина
которого пропорциональна весу р, и
отрезок DDh длина которого
пропорциональна весу Р. Проведя
через точки Ογ и D\ прямую Δ, мы
получим искомую точку С в перс-
сечении прямых Δ и АВ. Так как
центр тяжести рассматриваемой материальной системы должен быть
неподвижным относительно пола, то будет неподвижной относительно пола и точка С;
отсюда мы приходим к следующему построению. В центре тяжести О
доски АВ восставим к ней перпендикуляр ОО\ и отложим на нём длину ΟΟι,
пропорциональную весу р. В точке О1 прикрепим к прямой ΟΟχ на шарнире
прямую Δ, которая должна постоянно проходить через неподвижную точку С;
очевидно, что при движении доски АВ вдоль оси Сх угол прямой Δ с
прямой АВ будет изменяться. Между прямыми С А и Δ поместим отрезок DD',
пропорциональный весу Ρ так, чтобы он был перпендикулярен к прямой СА
и упирался в обе прямые СА и Δ. Тогда положение точки D определит
положение человека на доске. Очевидно, что прямую АВ всегда можно
заставить скользить вдоль оси Сх так, чтобы точка D имела любое заданное
движение. Наибольшее перемещение прямой АВ соответствует перемещению
точки D из точки А в точку В.
135. Исходя из формул (35.18), определить движение материальной точки
во время действия на неё реактивной силы от момента tit когда точка
покидает направляющие салазки, до момента t2, когда действие реактивной силы
прекращается. Дано: Ρ = 23,5 кг, λ = 0,2688, R = cv2, -^ = α = 0,0001, vi =
= 28,07 м/сек, 6j = 80°; значения реактивной силы φ (t) представлены
следующей таблицей:
t (сек)
tx == 0,109
0,125
ОД 50
0,200
0,225
Δί (сек)
0,016
0,025
0,05
0,025
ι!
φ(0 (кг) jj / (сек)
II
1190,0
0,250
ί
1120,0
1257,1
1230,0
1160,0
0,350
0,450
L = 0,600
Μ (сек)
од
0,1
0,15
φ (0 (кг)
1105,8
642,7
309,1
0,0
Мы применим формулы (35.18) сначала для первого промежутка времени
от ii = 0,109 до 0,125 сек, а затем последовательно для остальных промс-
20 Зак. 487. Λ. II. Некрасов

306
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. XXXV
жутков, указанных предыдущей таблице]"!. Все интегралы, стоящие в правых
частях формул (35.18), будем вычислять приближённо следующим образом:
для количеств ν и Θ, стоящих под знаками интегралов, будем брать
постоянные значения, соответствующие начальному моменту рассматриваемого
промежутка времени, интегралы же от функций времени будем брать для каждого
промежутка по способу трапеций. Тогда после простых, но достаточно
утомительных вычислений мы получим следующую таблицу:
t (сек)
^ =0,109
0,125
0,150
0,200
0,225
0,250
0,350
0,450
t2 = 0,600
vt (м\ сек)
28,07
36,15
49,72
76,81
89,96
102,51
141,73
163,49
174,06
Ч
80W
80°19'
8(Г51'
81°24'
81°34'
81°44/
82°16/
82°40'
83°10'
Хотя решение поставленной задачи получено путём применения
простейших приближённых вычислений, мы тем не менее имеем ясный ответ на
вопрос о порядке числовых значений искомых количеств.
136. На абсолютно гладком горизонтальном столе лекит круглая доска,
могущая вращаться без трения вокруг вертикальной оси Oz, проходящей
через центр О этой доски и неподвижной
относительно стола. Радиус доски равен а, а её момент
инерции относительно оси Oz равен J. Вдоль края
доски против часовой стрелки равномерно ползёт
насекомое с массой т; как передвинется доска, когда
насекомое, начав своё движение из покоя, проползёт
вдоль всего края круглой доски и вернётся в своё
прежнее положение на ней (черт. 290). Если мы
рассмотрим насекомое и доску как одну материальную
систему, то внешними силами, действующими на эту
систему, будут сила тяжести и реакции, моменты
которых относительно оси Oz равны нулю; поэтому
для оси Oz будет иметь место интеграл момента
Черт. 290.
количеств движения рассматриваемой системы. Предположим, что в
начальный момент времени насекомое находится в точке пересечения оси Ох,
проведённой на столе, с окружностью круглой доски, а в момент t времени —
в точке В стола. Обозначим угол радиуса-вектора ОВ с осью Ох через вр
а угол поворота доски — через θ2, где углы 0j и θ2 отсчитываются в разные
стороны. Так как в начальный момент времени и доска и насекомое
находились в покое, то интеграл момента количеств движения рассматриваемой
системы должен иметь вид:
di
--l
Уа>2 = 0;
отсюда, так как при / = 0 будет ΰχ = θ2 = 0, интегрируя, получим:
///α'-Όχ — УОо = 0.

ПРИМЕРЫ
307
§ 175]
Так как точка А представляет начальное положение насекомого на доске,
ί0 относительно доски насекомое переместится на угол ΒΟΑ = 8j + θ2, а
угловая скорость движения насекомого относительно доски будет равна:
+ ω2,
и всю окружность насекомое обойдёт в
2π
секунд. Так как угловая ско-
ω1 -ήΓω2
рость вращения доски равна ω2, то за это время доска повернётся по
часовой стрелке на угол γ, равный
ω2
ω1 "Γ" ω2
Но из интеграла момента количеств движения рассматриваемой системы мы
имеем:
J
поэтому будет:
ИЛИ
та2
>-*"J + ma2'
137. На горизонтальном столе лежит доска, могущая без трения
вращаться на столе вокруг вертикальной оси Οζ. К доске наглухо прикреплена
абсолютно гладкая внутри горизонтальная трубка, ось которой пересекает
ось Οζ. Внутри трубки на
расстоянии а от оси Οζ по обеим
сторонам этой оси прикреплены
равные массы т. В начальный
момент времени доске с
трубкой дана угловая скорость ω0
вокруг оси Οζ, и затем скреп-
лгние одной из масс т с
трубкой разрушается, так что масса
начинает скользить внутри
трубки и притом без трения.
Определить скорость вдоль трубки
Ρ
р ру
этой массы т. Рассмотрим до-
ску, трубку и массы т как одну
материальную систему; тогда
внешними силами, действующими на систему, будут сила тяжести и реакции.
Так как моменты всех этих сил относительно оси Οζ постоянно равны нулю,
то мы имеем интеграл момента количеств движения относительно оси Οζ.
Если J есть момент инерции доски с трубкой относительно оси Οζ, то для
t = 0 момент количеств движения системы относительно этой оси равен:
сРшо = (/ -f- 2ma2) ω0.
Примем ось трубки за ось Ох (черт. 291). Когда масса т из своей
начальной точки А перейдёт в точку Аг, находящуюся на расстоянии χ от точки О,
угловая скорость вращения всей материальной системы сделается равной ω,
ц момент количеств движения материальной системы относительно оси Οζ
бУДет равен:
Л) + та2<л + тх2ш = (У -|~ та2 -f- тх2) ω.
20*

308 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. ΧΧχγ
Вследствие существования интеграла момента количеств движения системы
должно быть:
(У + та2 + тх2) ω = (У + 2та2) ω0,
откуда имеем:
У + 2т а2
ω = . . ij—ц 7> ωϋ·
Мы видим, что при неограниченном возрастании абсциссы χ массы т
угловая скорость ω стремится к нулю. Чтобы получить дифференциальное
уравнение движения массы т, обратимся к первому из уравнений (33.18),
выведенных в § 159. В применении к рассматриваемому случаю в этом уравнении
следует положить у = 0 и ^=0; тогда мы получим:
d2x o Λ
т —г-г — ffno-x = 0,
или
di2 "-" (У + та2 + тх2)2
Умножая это уравнение на 2 —, будем иметь:
о dx d2x ,. , ο о
2 * λ?-(J + 2та
2)2 х ~~ '
ИЛИ
rf \{ах\Ц
di\\dt j J
(У -j" то2 -
Отсюда найдём:
— = 0.
Интегрируя, получим:
и 1
\£) +
д2 + шд:-
-7 = COnSt .
Так как при t = 0 должно быть д: = л и -j- — 0, то будет:
т У + 2
ι. е.
- = const,
x2)'
J m \J + 2ma2
Следовательно, искомая скорость массы т относительно трубки будет равна:
dx У + 2та2 Г
dxУ + 2та2 Г т т
У + 2та-

§ 175| примеры 309
д1ы видим, что если абсцисса χ массы т неограниченно возрастает, то
скорость массы т относительно трубки стремится к предельному максимальному
значению
dx\ ,/
J+2ma~
т
Легко проверить, что правая часть этой последней формулы имеет
размерность скорости.
138. Тги материальные точки с массами ть пи и m:i притягиваются друг
к другу по закону всемирного тяготения. Вывести для системы этих трёх
материальных точек интеграл энергии. Если массы ть пи и т3 имеют
соответственно координаты (хь ylf z{), (x2, y2, z2) и {хл, у$, <г3), то квадраты
скоростей vb v2 и ν·ό этих трёх точек будут ра*вны:
Следовательно, кинетическая энергия Τ рассматриваемой материальной
системы будет равна:
т1 ν\ пи vi /я3 v%
τ=τ-+-γ:+-Γ--
Покажем, что рассматриваемая материальная система имеет силовую
функцию U, равную
.. кш^пи . km2m<£ . kni-^ni^
и = -j 1 1— ,
где k есть гравитационная постоянная, а г^ — расстояния между точками
с номерами / и kt т. е.
rik = У (хк — xi)'2 + (Ук —У[)2 + (zk — ζί)~·
Чтобы доказать, что функция U есть действительно силовая функция,
достаточно показать, что будет:
„, dU „ rd(J ,_ d(J лг dU ^ dU
где Хх есть проекция на ось Ох результирующей всех сил, действующих на
ючку ти и т. д. В самом деле, мы имеем:
X = —
или
Но будет:
r\i = (^2— χ\)2 + (У 2 —У if
rL = C*i — ^з f + (Уг ~^з)'

310 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ [ГЛ. ΧΧχγ
следовательно,
Отсюда находим:
= -j
—Χ·Λ
Множитель —~—- есть выражение силы ньютоновского притяжения массы тх
Г12
массой ть а косинус угла с осью Ох этой силы, приложенной к массе ть
равен — ^- (черт. 292). Далее, —2_1 есть выражение силы ньютониан-
ского притяжения массы
'31
/77.
массой /я3, а косинус угла с осью Ох этой
силы, приложенной к массе ти равен
_?. 1 = 1 з Следовательно,
количество Χλ действительно
представляет проекцию на ось Ох равнодействую-
пг щей сил притяжения, действующих на
массу гп\.
Совершенно аналогично
доказываются остальные равенства Х>==: з—» · · ·
dU
..., Ζ3 = "з—. Следовательно, искомый
<7ЛГ3
интеграл энергии имеет вид
Черт. 292.
г\2 Г23 Г31
где h есть произвольное постоянное.
Очевидно, что для двух материальных точек интеграл энергии будет
иметь вид
В этих формулах все движения материальных точек были отнесены к
инерциальнои системе осей координат. В небесной механике пользуются
обыкновенно подвижными осями координат, начало которых находится в
центре Солнца.

ГЛАВА XXXVI.
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ.
§ 176. Физические основания введения моментов инерции.
Определение моментов инерции. При рассмотрении учения о центре
тяжести материальных объектов (т. I, гл. VI) были рассмотрены
суммы У^тх) ^Щ1, ^tnZj где т — массы элементарных частиц
материального объекта, т. е. были рассмотрены суммы произведений
масс элементарных частиц на первые степени их координат. Эти
суммы называются иногда статическими моментами. В динамике
системы мы приходим к обобщению таких сумм, когда массы
элементарных частиц материального объекта умножаются на вторые степени
их координат или на произведения двух из этих координат. Эти
обобщения связаны с вращательным движением твёрдых тел. В самом
деле, если абсолютно твёрдое тело с массой Μ движется
поступательно со скоростью V, то количество движения Q и кинетическая
энергия Τ этого тела будут равны:
Если же движение абсолютно твёрдого тела приводится к вращению
вокруг оси Ог инерциальной системы осей координат Oxyz с
угловой скоростью ω, то момент количеств движения Lz относительно
оси Oz и кинетическая энергия определяются по формулам (35.23) и
(35.32) так:
Λ2
т. е. мы видим, что формулы, определяющие момент количеств
движения и кинетическую энергию вращающегося твёрдого тела,
соответственно аналогичны формулам, определяющим количество движения и
кинетическую энергию поступательно движущегося тела; чтобы
усмотреть эту аналогию, нужно только заменить поступательную скорость V
его угловой скоростью ω и массу Μ тела его моментом инерции Λ
относительно оси вращения. Таким образом, при вращательном
движении момент инерции играет такую же роль, как масса при
поступательном движении, т. е. введение моментов инерции
естественно и вызывается физическими причинами.

312 МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. XXXVi
Выше мы видели (§ 172), что момент инерции Л относительно
оси Oz равен Л = ^ ///г2, где г есть расстояние элементарной массы т
от оси Οζ, τ. е. г2 — х2-\-у2; следовательно, будет:
Совмещая с осью вращения абсолютно твёрдого тела последовательно
оси Ох, Оу и Oz, мы получим соответственно моменты инерции
/а., Jи и Л относительно осей Ох, Оу и Oz, равные
(36.1)
Заметим, что для этих моментов инерции часто употребляются ещё'
обозначения Л, В, С, определяемые формулами:
A = J,, B = J,n C = JS. (36.2)
Аналогично моментам инерции относительно осей координат вводятся
моменты инерции относительно плоскостей координат Oyz, Ozx и
Оху, равные соответственно
Ух = 2 ηιχ1> Уу — 2 тУ*> У ζ = 2 /;ί2<2· (36.3)
Далее применяется ещё момент инерции относительно точки;
принимая эту точку за начало О прямоугольной системы осей
координат и обозначая момент инерции относительно точки О через JQ,
мы будем иметь:
2
Наконец, пользуются ещё центробежными моментами инерции,
или, иначе, произведениями инерции; так называются суммы
произведений элементарных масс материального объекта па произведения двух
координат этих масс, а именно:
]™ = 2 mzx> J*v= 2
очевидно, что должно быть J,lz = Jzin Л.г = Л« и JxU = Jyx- -^ля
центробежных моментов инерции употребляются ещё обозначения:
D = Jyz, E = J=X, F = Jxy. (36.6)
Суммы вида У^тх*у ^У} mxyzf. . ., У] /ял;4,... в теоретической
механике не встречаются.
Из приведённых определений моментов инерции относительно точки,
оси и плоскости непосредственно вытекают следующие соотношения:
Ух+4+У = jf jx+h+J* -JJo\ \
U36.7)

§ 176I физические основания введения моментов инерции 313
Заметим, что три последних соотношения аналогичны известным
соотношениям, имеющим место для трёх сторон треугольника; поэтому
всегда можно построить треугольник, стороны которого
пропорциональны моментам инерции тела относительно трёх осей прямоугольной
системы координат.
Если материальный объект приводится к плоской фигуре, то мы
примем плоскость этой фигуры за плоскость Оху\ тогда будет ζ = О,
У^ —О, и мы будем иметь:
jv = у mv* j = у „не* Л = У т (х2 +У); (36'8)
отсюда находим:
=·>*. £=·/„. K.-J,- (36.9)
Очевидно, что размерность момента инерции в физической системе
единиц равна ML·2, а в технической системе равна FT^L·.
Вычисление моментов инерции приводится к взятию
определённых интегралов. Так, вводя плотность ρ материального объекта, мы
для элементарной массы dm будем иметь: для тела dm = p dV, для
поверхности dm=-pdo} для линии dm = ρ ds (т. I, § 27), где dV, do
и ds суть элементы объёма, площади и длины. Следовательно, будет
для тела:
fx = J (jpx2dV9 j'y= Г Г Г py2dV, j'z= Г [ \ pz2dV, (36.10)
где тройной интеграл берётся по всему объёму тела; для
материальной поверхности будет:
Jx = Г| px2dG, Jy— I I py2dz, Jz = J I pz2do, (36.11)
где двойной интеграл берётся по всей площади поверхности; наконец,
для материальной линии будет:
у^= Г py2ds, /z= Г pz2ds, (36.12)
где однократный интеграл берётся по всей длине линии. Моменты
инерции Jx1 Jjp Jz и JQ выражаются по формулам (36.7) через
моменты инерции Jxy /у и У~. Вычисление произведений инерции также
приводится к вычислению очевидных определённых интегралов.
Если плотность ρ постоянна, то её можно вывести за знак
интеграла; тогда сами интегралы будут представлять моменты инерции
геометрических объёмов, поверхностей и линий. Моменты инерции
поверхностей, а именно, моменты инерции плоских фигур, встречаются
в теории сопротивления материалов в отделе, посвященном учению об
изгибе.

314 МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. XXXVI
Очень часто материальный объект по своей форме и по
распределению массы в нём бывает настолько сложным, что вычисление
предыдущих интегралов для определения моментов инерции этого объекта
является невозможным. Тогда прибегают к приближённому определению
момента инерции, причём можно применить следующий приём. Весь
материальный объект, момент инерции которого разыскивается,
разбивается на такие части, веса которых (следовательно, и массы), и
центры тяжести известны. После этого каждую часть материального
объекта заменяют материальной точкой, помещённой в центре
тяжести части, с массой, равной массе этой части. Затем вместо момента
инерции материального объекта определяют момент инерции системы
получившихся материальных точек. Очевидно, что этот приём
приведёт к тем более точному результату, чем на большее число частей
будет разбит материальный объект.
Моменты инерции материального объекта можно определять также
и опытным путём. С одним из приёмов опытного определения
моментов инерции мы познакомимся ниже, в § 184, при изучении
движения физического маятника.
§ 177. Моменты инерции относительно параллельных осей.
Найдём, как связаны между собой моменты инерции материального
объекта относительно двух параллельных друг другу осей. Назовём
эти оси Oz и О' zf и рассмотрим две системы параллельных между
собой прямоугольных осей координат Oxyz и О'х'у'г?. Мы имеем:
Если а и b суть абсцисса и ордината точки Ог относительно
системы Oxyz, то будет:
и мы получим:
h = 2 т [{а + х')2 + (* + у')*] =
= 2да (а2 + Ь*) + 22 max' + 22 mby' + 2 т (χ'2 + /2),
Но a2 -j- b2 есть квадрат расстояния между осями Oz и О'ζ', сумма 2 т
представляет всю массу Μ материального объекта, и по предыдущему
(т. I, § 28) будет %тх' = М?, %му' = Щ'> где V и η' суть
абсцисса и ордината центра инерции материального объекта
относительно осей О'x'y'z'. Поэтому мы получаем равенство:
^ (36.13)
Особенно примечателен случай, когда начало О7 координат совпадает
с центром инерции материального объекта, т. е. когда ось О'ζ1 про-

178]
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ
315
ходит через центр инерции. В этом случае будет ξ7 = 0, η' = 0, и
мы приходим к формуле
(36.14)
которая выражает следующую теорему:
Момент инерции материального объекта относительно какой-
нибудь оси равен моменту инерции этого объекта относительно
параллельной оси, проходящей через центр инерции объекта,
сложенному с произведением массы материального объекта на квадрат
расстояния между осями.
Отсюда следует, что из всех параллельных между собой осей
момент инерции материального объекта будет наименьшим
относительно оси, проходящей через его центр инерции, и что
геометрическим местом параллельных между собой осей, относительно которых
момент инерции материального объекта имеет одно и то же значение,
является поверхность круглого цилиндра, ось которого проходит через
центр инерции этого материального объекта.
§ 178. Момент инерции относительно оси произвольного
направления. Эллипсоид инерции. В этом параграфе мы покажем, как,
вычислив для любого
рассматриваемого материального объекта в общем
случае шесть некоторых количеств,
можно определить момент инерции
этого материального объекта
относительно оси, имеющей любое
заданное положение в пространстве.
Рассмотрим какую-нибудь
прямоугольную систему осей координат Oxyz,
к которой отнесём рассматриваемый
материальный объект. Предположим,
что ось Δ, относительно которой
мы хотим найти момент инерции /д
материального объекта, образует
с рассматриваемыми осями Ох,
Оу и Oz координат соответственно
Черт. 293.
углы α, β и γ и проходит через начало О осей координат (черт. 293).
Пусть в точке А с координатами (лг, у, ζ) находится элементарная
масса материального объекта. Очевидно, что будет Л = 2т И^)2»
где сумма распространена на весь материальный объект. Отложим на
оси Δ единичный вектор Δ0; его проекции на оси координат будут
равны cos a, cos β, cos γ. Так как проекции на оси координат радиуса-
вектора ОА равны х, у, г, то по свойству скалярного произведения
мы будем иметь:
О В = ОА · Δ° = χ cos a -f- у cos β -j- z cos γ.

316 МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. XXXVJ
Следовательно, будет:
АВ2 = О А2 — ОВ2 = (х--\-у2 + ζ2) — (х cos α -\-у cos β + ζ cos γ)2,
или, так как cos2 α -j- cos2 β -j- cos2 γ = 1, ещё иначе:
AB* = (л:2 -f у2 + г2) (cos2 α + cos2 β -f- cos2 γ) —
— (χ cos α -j-^y cos β -j- г cos γ)2.
Выполняя действия, получим:
Л θ2 = cos2 α Ο2 4- -г2) + cos2 β (г2 + χ2) + cos2 γ (*2 + у2) —
— 2 cos β cos yyz — 2 cos γ cos α ζχ — 2 cos α cos β xy.
Так как координаты χ, у, ζ для каждой элементарной массы имеют
свои значения, а количества cos a, cos β, cosy для всех элементарных
масс т будут одними и теми же, то мы находим из формулы
2
Уд = COS2 «2/» (.У2 + Z2) -j- COS2 β 2 /Л (*2 +
4~ cos2 γ 2 т (χ2 ~гУ2) — 2 cos β cos γ 2 тУг —
— 2 cos^ cos а^тгх — 2 cos α cos β 2;я ХУ·
Вводя моменты инерции Л, В, С относительно осей координат Од:,
Оу, О ζ и произведения инерции Ζ), £, Т7 по формулам (36.1), (36.2),
(36.5), (36.6), мы будем иметь:
Л = A cos2 α 4" β cos2 P + c cos2 Τ — 2D cos β cos γ —
— 2E cos γ cos a — 2F cos at cos β. (36.15)
Формула (36.15) и приводит к решению поставленной задачи. В самом
деле, пусть для прямоугольной системы осей координат Oxyz, где О
есть центр инерции, определены шесть количеств Л, В, С, Z), E, F
материального объекта. Предположим, что требуется определить момент
инерции этого материального объекта относительно некоторой оси,
которая может и не проходить через точку О. Тогда через начало О
координат проведём ось Δ, параллельную рассматриваемой оси, и
определим относительно неё момент инерции рассматриваемого
материального объекта по формуле (36.15); после этого достаточно
применить теорему предыдущего параграфа, чтобы получить момент инерции
материального объекта относительно любой оси, параллельной оси Δ
и не проходящей через точку О.
Если материальный объект представляет собой плоскую фигуру и
мы будем искать его момент инерции относительно оси Δ, лежащей
в его плоскости, то будет ζ = 0 и γ = -^-. Следовательно, формула
(36.15) примет вид
/д = A cos2 у. 4- В cos2 γ — 2F cos α cos β. (36.16)

§ 178] МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ 317
Легко дать геометрический образ, из которого можно непосредственно
усмотреть, как изменяется момент инерции Уд относительно оси Δ,
когда ось Δ, проходя постоянно через точку О, изменяет своё
направление относительно неподвижных осей координат Oxyz. Прежде всего
заметим, что выражение (36.15), а тем самым и выражение (36.16)
не зависят от поворота прямоугольных осей координат вокруг точки О.
В самом деле, возьмём вместо прямоугольной системы осей
координат Oxyz другую прямоугольную систему осей координат Ox'y'z'
с тем же началом О; тогда количества А, В, С, D, Е, F изменятся
б количества А', В', С, D', Ef, F1 и косинусы cos a, cos β, cos γ
изменятся в cos о/, cosβ/, cos γ', но должно быть попрежнему:
Уд = A1 cos2 а' + В' cos2 β7 + С cos2 γ' — 2D' cos ψ cos γ' —
— 2Er cos Υ cos a' — 2F' cos a' cos β7,
т. е. мы должны получить то же самое численное значение Уд для
момента инерции материального объекта относительно той же самой
оси Δ. Это замечание непосредственно вытекает из того, что по самому
своему определению момент инерции материального объекта
относительно какой-нибудь оси Δ зависит исключительно от самого
материального объекта и от положения оси Δ относительно этого объекта,
но не может зависеть от того способа, при помощи которого
материальный объект определяется и этот момент инерции подсчитывается;
момент инерции Уд материального объекта относительно оси Δ есть
количество, имеющее определённый физико-механический смысл, и
поэтому оно должно являться инвариантом относительно преобразования
координат. Конечно, этот факт можно доказать и аналитически
непосредственным преобразованием осей координат Oxyz в оси Огхгу'zr
в формуле (36.15). Итак, определённой оси Δ всегда соответствует
определённый момент инерции Уд рассматриваемого материального
объекта. Отложим на каждой оси Δ в каких-нибудь условных единицах
отрезок ОК, равный ——=. Так как размерность количества
ι
равна Μ 2L~11 то, конечно, изобразить это количество отрезком
можно лишь условно. Обозначим проекции отрезка ОК на оси
координат Oxyz через Χ, Υ, Ζ, так что будет:

818 МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. XXXV!
Равделив обе части равенства (36.15) на /д, мы можем представить
эти равенства в виде
on cos β cos Τ of cos Τ COS α op cos α cos β -
ΥΆ Vja Yjl Yj, YhYT,
или
—2DYZ—2EZX—2FXY=\. (36.17)
Мы видим, что геометрическое место концов вектора ОК, т. е.
геометрическое место точек /С, есть поверхность (36.17) второго порядка.
Очевидно, что количество /д всегда отлично от нуля, положительно
и конечно, кроме случая, когда материальный объект приводится
к материальному отрезку, и ось Δ направлена вдоль этого отрезка,
когда будет /д = 0; отсюда мы заключаем, что радиус ОК этой
поверхности (36.17), равный количеству —γ=, за исключением указанного
случая, всегда конечен, т. е. поверхность (36.17) не имеет бесконечно
удалённых точек. Таким образом, поверхность (36.17) есть эллипсоид;
так как уравнение (36.17) не содержит первых степеней координат,
то, как известно из аналитической геометрии, это означает, что эллипсоид
отнесён к своему центру, т. е. точка О, для которой определяется
эллипсоид (36.17), всегда будет центром этого эллипсоида. Этот
эллипсоид называется эллипсоидом инерции. Из предыдущего следует, что
эллипсоид инерции всякого материального объекта для каждой точки О
имеет вполне определённые размеры, вид и расположение относительно
этого объекта вне зависимости от того, как повёрнуты оси
координат Oxyz. Всякий эллипсоид имеет три оси, взаимно перпендикулярные
друг к другу. В аналитической геометрии излагается, как, имея урав^
нение эллипсоида в виде (36.17), можно найти положение его трёх
осей относительно осей координат Oxyz. Три оси, совпадающие
с осями эллипсоида инерции, определённого для точки О, называются
главными осями инерции для точки О. Из аналитической геометрии
известно, что если за оси координат в точке О мы возьмём главные
оси инерции, т. е. оси эллипсоида инерции, то уравнение эллипсоида
инерции можно будет привести к виду
l. (36.18)
В этом случае вместо формулы (36.15) мы будем иметь следующую
более простую формулу:
/д = A cos2 a -f- В cos2 β + С cos2 γ. (36.19)
Мы видим, что если за оси координат Oxyz в рассматриваемой точке О
взяты главные оси инерции, то для нахождения момента инерции Уд

§ Ϊ?8Ϊ
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ
319
относительно любой оси Δ достаточно вместо шести количеств Л, В, С,
р9 Е, F знать только три количества А, В, С. Отсюда ясно,
насколько важно уметь заранее находить для взятой точки направления
главных осей инерции.
Из предыдущего следует, что главные оси инерции для точки О
характеризуются обращением в нуль произведений инерции D, Е, F,
т. е. для главных осей должны быть соблюдены условия
D = J^myz = Ot E = %mzx = 0, F = %mxy = 0. (36.20)
Предположим, что будет D = 0, £ = 0, но произведение инерции
Z7 — ^тху будет отлично от нуля. Нетрудно показать, что в этом
случае всегда можно повернуть оси
координат Oxyz вокруг оси Oz на такой
угол а, чтобы новые оси Ox'y'z* были
для точки О главными осями инерции,
(черт. 294). В самом деле, в новой системе
координат мы будем иметь:
D* = 2
Ег = 2 mzx",
t
—^-
У
Из аналитической геометрии известны
следующие формулы преобразования
координат:
х = xr cos а —yr sin α,
у = χ' sin α +/ cos α· ЧерТ* 294>
Решая эти уравнения относительно количеств х' и у\ мы найдём:
хг = χ cos α -j-^y sin ос, у =д/ cos α — л: sin ос.
Отсюда следует, что так как D = Е = 0, то должно быть:
^' = 2 му'г = cos α 2 туг — sin α 2 mxz — D cos α — Ε sin α = 0,
£7 = 2 w^*' = cos a 2 /я^лг-J- sin oc 2 лг-гу = £ cos α -j- D sin α = 0.
Мы видим, что равенства D' = Я7 = 0 при наличии равенств D = Ε = 0
имеют место при всяком значении угла а. Что же касается равенства
F' = 2 тх'у' = 0, то ему можно удовлетворить только при
определённом значении угла а. В самом деле, мы имеем:
2 тх'у' = sin α cos α 2 ^У2 — sin α cos α 2 ^^2 +
-j- (cos2 α — sin2 a) 2 wjt^,
И.1И
= ~~ 1 sin 2α (
mx- ·
cos 2oc

320
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
[гл.
Мы видим, что будет F' = 2 mxfy' = 0, если угол α удовлетворяет
уравнению
γ sin 2α Г V/я*2 — V туА = cos 2α V тху,
или
α =
*) - Σ
m
Таким образом, для определения угла α мы получим равенство
χ о 2F
— А '
(36.21)
Из изложенного следует, что если для точки О будет D = 2j тУг = О
и Ε = 2 тгл: = 0> то для точки О всегда можно найти направления
главных осей инерции, причём ось Ог
будет главной осью инерции.
Следовательно, чтобы ось Οζ была главной
осью инерции, должно быть D==0
В наличии равенств D = 0 и Ε = О
для некоторых точек материального
объекта можно убедиться из
рассмотрения, например, плоскостей симметрии
материального объекта; это весьма часто
бывает возможно для материальных
объектов, с которыми практически
приходится иметь дело. В самом деле, если
материальный объект имеет плоскость
симметрии, то, взяв точку О произвольно
в плоскости симметрии материального
объекта и приняв эту плоскость за
плоскость Оху, мы, очевидно, будем иметь ^myz = 0 и ^mxz = 0,
Черт. 295.
у у ^
причём мы видим, что точкою О может служить любая точка
плоскости симметрии. Во многих случаях можно определить направления
главных осей инерции даже без всяких вычислений из одних
соображений симметрии; так, например, у трёхосного однородного
эллипсоида главные оси инерции для его геометрического центра совпадают
с осями этого эллипсоида. Если материальный объект приводится
к однородной материальной плоской фигуре, имеющей ось симметрии,
то определение главных осей инерции для любой точки О, лежащей
на оси симметрии, получается почти непосредственно; в самом деле,
взяв ось симметрии за ось Ох, проведя через точку О этой оси
перпендикулярно к ней в плоскости фигуры ось Оу, а ось Οζ
—перпендикулярно к плоскости Оху, мы, очевидно, удовлетворим уравне-

§178]
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ
321
ниям (36.20), т. е. оси Oxyz будут главными осями инерции
плоской фигуры.
Если эллипсоид инерции построен для центра инерции
материального объекта, то такой эллипсоид называется центральным
эллипсоидом инерции, а его оси называются главными центральными
осями инерции. Практически большею частью приходится определять
центральный эллипсоид инерции. Предположим, что для какой-нибудь
точки О мы нашли главные оси инерции Oxyz\ если мы возьмём
другую точку О' и определим главные оси
инерции O'x'y'z* для этой точки О', то мы
найдём, что оси O'x'y'z' не будут, вообще,
параллельны осям Oxyz. В частности, если
точку О' мы возьмём, например, на оси Oz
на каком-нибудь расстоянии /г от точки О,
то ось Oz и ось OV, проходя через одну
точку О', будут в этой точке, вообще, друг
к другу наклонены (черт. 295). Но если
точка О есть центр инерции материального
объекта и оси Oxyz суть главные
центральные оси инерции, то мы найдём, что
главными осями инерции для точки О', лежащей
Черт. 296.
на оси Oz, будут оси О'x!y'zr, параллельные осям Oxyz. В самом
деле, если оси Oxyz (черт. 296) суть главные центральные оси
инерции, то должно быть:
2 myz = 0, 2 mzx == 0> 2 тхУ = 0;
2 тх = 0, 2 тУ = 0* 2 тг = 0.
Так как переход от осей Oxyz к осям O'x'y'z' совершается по
формулам:
то из предыдущих равенств мы найдём:
2 myz = 2 тУг (z' + А) = 2 my'z* + А 2 //гУ = О»
Jj/Я2глг = 2лт\г + Α).ν = Jj w-г л: -)-/г ^ ^-^ = О,
2 /7i.vy = 2 ^•^/3;/ = О,
2^ =2л^ = о,
2 ту ==2 я*/ = О,
и мы получим:
2 my'г' = 0, 2 mz'x' = °>
21 Зак. 487. А. И. Некрасов
= 0;

322 МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. XXXVI
следовательно, оси O'x'y'z1б)'дут главными осями инерции для точки О'.
Таким образом, мы получили следующее предложение:
Главные оси инерции для всех точек главных центральных
осей инерции параллельны этим главным центральным осям.
Имея эллипсоид инерции для какой-нибудь точки О, очень легко
непосредственно получить значение момента инерции относительно
любой оси, проходящей через точку О. В самом деле, из равенства
Ο/ν = Г мы находим:
т. е. момент инерции материального объекта относительно оси Δ,
проходящей через точку О, равен обратному значению квадрата длины
отрезка, отсекаемого, начиная от точки О на оси Δ, эллипсоидом
инерции, построенным для точки О; при этом, конечно, необходимо
знать условный масштаб, который был применён для построения
эллипсоида инерции. Легко видеть, что не всякий эллипсоид может
быть эллипсоидом инерции. В самом деле, если эллипсоид
-fL-L^-L — — 1
есть эллипсоид инерции
то должно быть:
А — 1 В-1 С- 1
Из последней из формул (36.7) следует, что даже если, например,
количество С больше каждого из количеств Л и В, всё же должно
быть Л+ £><?, т. е. должно быть:
Для плоской фигуры в силу формулы (36.9) будет А-\-В = С, т. е·
мы должны иметь:
±4-- = -
Совершенно аналогичное построение, применённое к случаям, для
которых имеет место формула (36.16), приводит к уравнению
АХ2-\-ВГ2 — 2FXY=\. (36.32)
Аналогично тому как это было сделано для уравнения (36.17), можно
показать, что уравнение (36.22) представляет кривую второго порядка,
не имеющую бесконечно удалённых точек, т. е. эллипс, отнесённый

§ 179] примеры 323
i; своему центру; этот эллипс называется эллипсом инерции. Если
за оси XOY координат мы возьмём оси этого эллипса, то его
уравнение примет вид
Эллипс инерции находит приложение в теории сопротивления
материалов.
Так как размерность моментов инерции равна ML·2, то моменты
пнорции можно представить выражением Mk2, где Μ есть масса
всего материального объекта, момент инерции которого определяется,
а количество k имеет размерность длины и называется гирационным
радиусом или радиусом инерции. Выражение Mk2 большею частью
применяется для изображения моментов инерции относительно оси;
радиус инерции k представляет то расстояние от оси, на котором
следует поместить материальную точку с массою, равною массе всего
материального объекта, чтобы момент инерции относительно оси этой
материальной точки был равен моменту инерции материального
объекта.
§ 179. Примеры. 139. Определить момент инерции прямолинейного
однородного материального отрезка, длина которого равна /, относительно
некоторой заданной прямой Δ. Пусть будет О середина рассматриваемого
материального отрезка; проведём через точку О прямую Δ', параллельную прямой Δ.
Тогда, если d есть расстояние между осями Δ и Δ', то по теореме § 177
должно быть Уд = Md1 -\-J^. Таким образом, задача приводится к
определению момента инерции материального отрезка относительно оси Δ'. Чтобы
решить эту последнюю задачу, построим прямоугольную систему координат
Oxyz с началом в середине отрезка, направив Ог по отрезку. Из формул
(ЗбЛ) и (36.5) мы будем иметь:
Λ =/ж = Σ W22, fi = yy = Ew^ С = У~ = 0, D = E = F = 0.
Поэтому, если прямая Δ' образует с осями Ох, Оу и Ог соответственно
углы а, 8 и γ, то по формуле (36.15) будет:
ja' = A cos2 а + В cos2 β = (cos2 а + cos2 β) Σ mz2.
Последнюю сумму легко вычислить. В самом деле, если ρ есть плотность
материального отрезка, то будет dm = ρ dz, и мы будем иметь:
7 /
V mz- = ρ dzz1 = ρ ) ζ- dz = -^- ρί'\
/2ГПЯ , ψΐ Ο
ο ο
Так как масса Μ всего отрезка равна ρ/, то мы получим γjnz* = -^-Ml\
Таким образом, мы имеем:
и, следовательно,
21*
= Md* + ~ МР (cos- a + cos2 β).

324 МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ I ГЛ. XXXVl
140. Определить моменты инерции однородной окружности с радиусом,
равным а. Возьмём начало О прямоугольной системы координат Oxyz
в центре этой окружности, ось Oz направим перпендикулярно к плоскости
окружности, а оси Ох и Оу— произвольно в плоскости окружности; оче-
видно, что оси Oxyz будут главными центральными осями инерции. Мы
имеем:
где суммы распространены на всю длину окружности. Вследствие симметрии
окружности будет:
Л = В = IС = 1
таким образом, мы получаем:
т. е. относительно осей Ох и Оу радиус инерции k равен ——, а
относительно оси Ог он равен а. Уравнение эллипсоида инерции для точки О
будет:
-i- МсР (Л? + К2) + ЛГа2^2 = 1.
141. Определить моменты инерции однородного прямоугольника, стороны
которого равны 2а и 2Ь. Возьмём начало прямоугольной системы координат
Oxyz в точке пересечения диагоналей прямоугольника; ось Oz направим
перпендикулярно к плоскости прямоугольника, а оси Ох и Оу — в плоскости
прямоугольника перпендикулярно к его сторонам. Очевидно, что эти оси
будут главными центральными осями инерции. Мы имеем:
_ _ D = E=F^--O.
Но будет:
Г Г 2№ № №
А= p2adyy2 = 2ap y2dy = 2ap—^- = 2a2bp-ir = M-T-,
-ъ -ъ
><=2bp x^dx = 2bp-^~-==2b2ap^-==M-j-.
—σ
Следовательно, будет:
о
Таким образом, уравнение центрального эллипсоида инерции имеет вид
142. Определить моменты инерции однородного круга, радиус которого
равен а. Возьмём начало прямоугольной системы координат Oxyz в цешре

§ 179] примеры 325
этого круга и ось Ог направим перпендикулярно к плоскости круга;
очевидно, что оси выбранной системы будут главными центральными осями
инерции. Мы имеем:
Вследствие симметрии круга должно быть:
Подсчитывая все массы, расположенные в бесконечно тонком круговом кольце
с центром в точке О и с радиусом г, равным г= Yx2+y2, мы легко
найдём, что должно быть:
dm = 2πΓ drp
и, следовательно, будет.
а а
1
С Г
2πΓ^ΓρΓ2=2πρ
J J
о о
С,
о
Отсюда получаем:
1 1
и уравнение центрального эллипсоида инерции имеет вид
-ί Μα2 (Χ* + У2) + i- Ai«2Z2 = 1.
ЛГ2 V2
143. Определить моменты инерции однородного эллипса —^- + -^- = 1.
Возьмём прямоугольную систему координат Одг^-г с началом О в центре
эллипса, ось Ог направим перпендикулярно к плоскости эллипса, а оси Ох
и Оу — по большой и малой осям эллипса. Очевидно, что эти оси координат
будут главными центральными осями инерции. Мы имеем:
тУ2== [ J Ρ dxdyy* = Ρ J$y2dxdy,
= Г J Pdxdyx*=p J J xtdxdy,
Положим χ == лл:7 и ,у = 6y7; тогда мы легко найдём, что, когда точка (х, у)
х2 у2
описывает эллипс —j + -^ = 1, точка (x't у') описывает круг λ/-'+^/3= Ι.
При этих преобразованиях мы получим:
А = ряб3 Г Г У2 d*7 fify, Β = р^ J J χ'2 dx' dy',
гДе интегралы распространены на площадь круга лг'-+У2= 1. Но интегралы:
ρ [\yndxf dy, p j j

326
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
[гл. χ
выражают моменты инерции относительно осей Охг и Оу' этого круга,
радиус которого равен единице, т. е. согласно примеру 142
ρ j Ι χ'* dxf dyr = j Mf 12 = -1 πρ,
где ΛΓ— масса круга. Следовательно, будет:
А = -т-
Л = —-
С=А+В:
Уравнение центрального эллипсоида инерции для однородного эллипса имеет
вид
144. Определить момент инерции однородного треугольника ABC
относительно оси Δ, проходящей в его плоскости через его вершину (черт. 297).
Рассмотрим сначала треугольник ABD, сторона AD которого
расположена на оси Δ. Возьмём в этом треугольнике бесконечно тонкую
прямоугольную полоску, прилегающую к отрезку MN,
параллельному основанию AD и отстоящему от
него на расстояние х. Обозначая высоту ВВХ
этого треугольника через hB, мы имеем:
т. е.
MN
MN=AD(l —
Μ
Следовательно, площадь бесконечно тонкой
полоски будет равна:
Черт. 297.
MNdx = AD[l
χ \ ,
;— dx.
Отсюда для момента инерции треугольника ABD относительно оси Δ мы
получаем выражение
hB hB

§ Г/9] примеры 327
Обозначая высоту CQ треугольника ACD через h0, совершенно таким же
образом для момента инерции этого треугольника ACD относитпьно оси Δ
мы получим:
Отсюда следует, что момент инерции JA треугольника ЛВС относительно
оси Δ будет равен разности
или
УЛ = ±. ρ · AD (hB-hc) (ti
Так как выражение -^ AD (hB — h0) = -у AD · hB —^- AD · hc представляет
площадь треугольника ABC, а площадь, умноженная на плотность, есть его
масса М, то мы находим:
JL = M
следовательно, радиус инерции k будет равен:
6
145. Определить моменты инерции однородного прямоугольного
параллелепипеда, рёбра которого равны 2а, 2Ь и 7с. Рассмотрим прямоугольную
систему координат Oxyz, начало О которой поместим в точку пересечения
диагоналей параллелепипеда, а оси направим перпендикулярно к граням
параллелепипеда. Очевидно, что оси Oxyz будут главными центральными
осями инерции. Поставленную задачу легче всего решить, вычисляя сначала
моменты инерции /г, /х, /у, относительно плоскостей координат по
формулам (36.3). Мы имеем:
/ = 5V*2 = p2a2bdzz~ = 4abp z*dz = Ш{> Ат~.
-с -с
Так как масса Μ параллелепипеда равна 8abcp, то будет:
Аналогично мы найдём:
Отсюда по формулам (36.7) мы получим:

328 МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. XXXV!
Так как должно быть D = Ε = F=0, то уравнение центрального эллипсоида
инерции для рассматриваемого прямоугольного параллелепипеда имеет вид
3 ' 3
1^6. Определить момент инерции однородного шара, радиус которого
равен а. Вледствие полной симметрии шара очевидно, что оси любой
прямоугольной системы координат Oxyz с началом в центре шара являются
главными центральными осями инерции. Следовательно, для такой системы
координат будет D — Ε — ir = О, и по второй из формул (36.7) мы будем иметь:
Jx— Jy — Jz~ 3 JO>
т. e.
Складывая все массы, лежащие в бесконечно тонком сферическом слое,
радиус которого равен г, мы получим dm — 4кг2 dr р. Таким образом, будет:
а
9 Г
Ο .ι
а а
Г 8π
ID
о о
4
Так как мы имеем Μ = —- π^ρ, то мы находим:
о
Очевидно, что центральный эллипсоид инерции в этом случае приводится
к шару:
о
147. Определить моменты инерции однородного эллипсоида:
χ2 ν2 ζ2
а2 ' Ъ» ] с2
Рассмотрим прямоугольную систему осей координат Oxyz, у которых
начало О находится в центре эллипсоида, а оси координат направлены по
ссям эллипсоида. Очевидно, что эти оси Oxyz будут главными центральными
осями инерции, т. е. для них будет D = E = t' = 0. Как и для
прямоугольного параллелепипеда, здесь целесообразно вычислить сначала моменты
инерции Js, fx, Jy относительно плоскостей координат:
/z= j I I pdxdydzz2=p Г I I z-dx dy dzt
/χ= С Г Г pdxdydzx2= ρ Г ( { χ* dx dy dz,
fy= j J j 9dxdydzy*=? J J J y^dxdydz.
Заменим переменные χ, у, ζ переменными xJ\ у', ζ' по формулам χ = х'а,
y=y'b, z=*z'l\ тогда, если точка (χ, у, ζ) будет описывать рассматриваемый

§ 1791 примеры 329
эллипсоид, точка (xf, yf, zr) будет описывать шар xr2-\-y'2-\-z'2=\. Эти
преобразования приводят к следующим выражениям для моментов инерции
относительно плоскостей координат:
f = pabcs I I I zri dxT dyT dz\
J J J
fx = 9a4c j j j x12 dxr dy' dz*,
fy = pab3c Г I I y/2 dxr dyr dz',
где тройные интегралы распространены на весь объём шара х/2-{-у/2 +
-\-z'2= 1. Но эти интегралы, умноженные на плотность, суть не что иное,
как моменты инерции шара х/2-\-у'~-{-ζ'2 = 1 относительно плоскостей
координат, причём по третьим из формул (36.7) мы найдём, что эти моменты
инерции будут равны половинам моментов инерции А = В = С. Но из
предыдущего примера для шара с радиусом, равным единице, мы имеем:
9 4 8
A=B=C=f-J*P = 1E*P;
следовательно, будет:
Ρ Г J J z'2dxr dyr dz> = ρ f j Γ x^dx' dyr dz* =*
= p / / J уП άχΤ ЛуГ dz'= Ίδ
Отсюда мы находим:
fz = — ЬЗ f &Ьс ^
4 4
Так как -^-izabc есть объём эллипсоида, а -z-щаЬс есть его масса М, то мы
о о
получаем:
Отсюда по третьим из формул (36.7) будем иметь:
А = 4" Μ (b2 + с2), В = 4- Μ (с2 + а2), С = ~ Μ {а2 + Ь2).
о о о
х2 у2
Центральный эллипсоид инерции для однородного эллипсоида —^ ~г "tj "
ζ2
Η—- = 1 представится уравнением
^М(Ь2 + с2)Х2 + ~М(с2 + а2) V2 + l-M(a2 + b2)Z2= 1;
0 0 0
мы видим, что полуоси центрального эллипсоида инерции равны:
а л/~~±т J" 5
MW+c*) ' V Μ (с* + а-) ' V М(а* + Ь*) '

330
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ
[гл. χχχνί
Предположим, что у материального эллипсоида полуось а будет самая
большая, а полуось с будет самая малая, так что будет:
тогда мы будем иметь:
а>Ь>с;
Μ (с*
Μ (α*
Таким образом, центральный эллипсоид инерции следит за формой
материального эллипсоида, т. е. большей полуоси материального эллипсоида
соответс!вует большая полуось эллипсоида
инерции.
148. Найти центральный эллипсоид инерции
для однородного прямого круглого конуса,
радиус основания которого равен R, а высота
которого равна Н. Известно, что центр инерции
однородного прямого круглого конуса лежит на
одной четверти его высоты, считая от основания.
Поместим в центр инерции конуса начало О
прямоугольной системы координат Oxyz, причём
ось Oz направим по высоте конуса к его
вершине, а оси Ох и Оу расположим произвольно
в плоскости, перпендикулярной к оси Oz (черт. 298).
Из соображений симметрии легко усмотреть, что
для этих осей должно быть:
туг = 0,
mzx =
тхУ =
Черт. 298.
так что оси Oxyz суть главные центральные
оси инерции. Очевидно, что будет OG = 8/4#
и ОК= 11\Н. Рассмотрим бесконечно тонкий
круговой слой, находящийся на расстоянии ζ от плоскости Оху и имеющий
радиус г; если мы обозначим через α угол между высотою и образующею
конуса, то будет 3/4//— 2 = г ctg α и dz = — ctg α dr. Масса этого бесконечно
тонкого кругового слоя будет равна:
кг2 dz ρ = — πρ ctg ar2 dr.
Из примера 142 видно, что момент инерции такого слоя относительно оси Oz
равен произведению половины его массы на квадрат его радиуса, т. е. равен:
^ πρ ctg ar2 dr r2 = ^- ρ ctg ar4 dr.
Отсюда для всего конуса мы находим:
о
inPctSa/?5·
Так как будет R ctg a = Η и Μ = -^ л/?2Яр, то мы получаем:
„ 3

§ 179J примеры 331
Подсчитаем затем момент инерции только что рассмотренного кругового слоя
относительно оси Ох. Для этого воспользуемся теоремой § 177, согласно
которой момент инерции такого слоя относительно оси Ох будет равен
моменту инерции слоя относительно оси, параллельной оси Ох и проходящей
через центр инерции этого слоя, сложенному с произведением массы слоя
на квадрат расстояния между осями. Но момент инерции бесконечно тонкого
кругового слоя относительно оси, проходящей в его плоскости через его
центр инерции, найден в примере 142; он равен четверти массы слоя,
умноженной на квадрат радиуса слоя, т. е.
2~ πρ ctg ar'-dr f1 = ~ ρ ctg ar4 dr.
Так как произведение массы слоя на квадрат расстояния между осями равно
— Η — г ctg а\ ,
то момент инерции этого бесконечно тонкого слоя относительно оси Ох
будет равен:
π /3 №
— "2" Ρ Ctg ar4 dr — πρ ctg ar2 dr { — Η— r ctg a j =
= j ρ ctg an dr — T^ πρΗ2 ctg ar- dr +
Q
+ упрЯ ctg2 ar'a dr — πρ ctg3 ar4 dr.
Отсюда для момента инерции А и равного ему момента инерции β прямого
круглого конуса мы получим:
— —pctga yg j
R Ε
ndr — yg
-f -ψ πρ# ctg2 a r3 dr — r.rj ctg* a | rl dr.
R
Выполняя интегрирования, будем иметь:
Л - θ = |j p Ctg α/?5 + ^πρ tf2ctg a/?3-_
о
— -g πρ# ctg2 a/?* + ~ ρ ctg3 a/?5.
Так как R ctg a = #, то последнюю формулу можно представить ещё
следующим образом:
А = В = J ρ Я/?4 + 1 π IJ

332 МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. XXXVI
Так как масса Μ конуса равна Μ = -^ π/?2#ρ, то мы находим:
о
А = В = 1 М& + jg М№ - -J М№ + j МЩ
или
Отсюда следует, что центральный эллипсоид инерции для однородного прямого
круглого конуса представляется следующим уравнением:
% Μ(ф +± №) (Х*+ У») +1ЛН?22?= 1.
Очевидно, что, имея центральный эллипсоид инерции, можно легко найти
моменты инерции однородного прямого круглого конуса относительно
любой оси.

R'
ГЛАВА XXXVII.
ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА
ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ.
§ 180. Уравнения движения. Напоминаем, что слова
«неподвижный объект» лишены содержания, если не указано относительно
какой системы отсчёта установлена неподвижность этого объекта.
Поэтому и выражение: «вращение вокруг неподвижной оси» следует
понимать условно; точная формулировка
будет следующая: «вращение вокруг оси,
которая закреплена неподвижно
относительно какой-нибудь инерциальной системы
отсчёта».
Пусть будет дана какая-нибудь инер-
циальная система отсчёта и ось Δ,
неизменно связанная с этой системой отсчёта.
Рассмотрим случай движения под влиянием
приложенных сил абсолютно твёрдого тела,
на которое наложены связи,
допускающие только врящение вокруг оси Δ. Для
неподвижности оси Δ относительно
инерциальной системы отсчёта необходимо,
чтобы какие-нибудь две точки О и О'
этой оси были прикреплены к .этой системе отсчёта. Так как к телу
приложены силы и тело движется, то оно должно давить на эти
точки О и О7 и, в свою очередь, в точках О и О' к телу будут
приложены рявные по величине и противоположные по направлению этим
давлениям силы R" и /?', которые, как мы знаем, называются реакциями
связей. Ни величины, ни напрчвления этих реакций R" и R' нам
неизвестны; мы знаем только, что эти силы приложены соответственно в
точках О и О'. Отнесём вращающееся тело к инерциальной прямоуюльной
системе координат (черт. 299), которую выберем так, чтобы начало этой
системы координат совпало с закреплённой точкой О, а ось Ог
прошла через другую закреплённую точку О'; если расстояние ОСУ
будет равно h, то координаты точки О' будут (0, 0, h). Чтобы
составить дифференциальные уравнения движения рассматриваемого
абсолютно твёрдого тела, мы воспользуемся уравнениями (35.5) и
Черт. 299.

334 ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ [ГЛ. XXXVII
(35.20), которые не содержат внутренних сил и для составления
которых к внешним силам F(i(X(,, Y(J, Zp) необходимо прибавить ещё
реакции R"(X", Υ", Ζ") и R'(X', V, Ζ'); мы имеем:
Μ ^h _ γ γ ι γ ι γη
Μ — — V Ζ -4- Ζ' -4- Ζ"·
Так как при рассматриваемом движении абсолютно твёрдого тела
все координаты ζ его материальных частиц будут оставаться
постоянными, то мы получим следующие более простые уравнения движения:
^=\ У -L-Y'-l-Y"
Мы видим, что из шести уравнений движения только одно шестое
уравнение не содержит реакций; следовательно, это шестое уравнение
и есть собственно уравнение движения. Все пять первых уравнений
содержат реакции; следовательно, они служат лишь для определения
этих реакций. Но реакции R' и R" приводят к шести неизвестным X',
У, Ζ', Χ", Κ", Ζ"\ так как из пяти полученных уравнений
определить все шесть этих неизвестных нельзя, а именно, сверх
неизвестных X', Yf, X'\ Y'' мы можем найти лишь сумму Z'-j-Z", то
отсюда следует, что определить отдельно Z' и отдельно Z" является
невозможным. Сравнивая эту задачу с соответствующей задачей статики
о равновесии абсолютно твёрдого тела, могущего вращаться вокруг
неподвижной оси (т. 1, § 49), мы заключаем, что рассматриваемая

ζ 180] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 335
задача динамики системы переходит непосредственно в упомянутую
задачу статики, если мы примем, что все координаты лг, у, ζ точек
абсолютно твёрдого тела постоянны; при этом уравнение движения
переходит в условие равновесия, а остальные пять уравнений динамики
переходят в уравнения статики, служащие для определения реакций,
причём, как и в динамике, сумма Zr -\- Z" будет неразделимой.
Так как задача о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной
оси есть задача на движение системы с одной степенью свободы
(§ 116), то одного последнего уравнения из шести предыдущих
уравнений будет достаточно для нахождения в функции от времени
одного параметра, определяющего вращение абсолютно твёрдого тела.
Очевидно, что за этот параметр наиболее естественно взять угол
поворота абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Для
этого рассмотрим какую-нибудь плоскость, неизменно связанную
с абсолютно твёрдым телом и проходящую через ось Οζ\ обозначим
через 6 угол этой плоскости с плоскостью Οχζ. Тогда, приняв угол О
за параметр, определяющий положение абсолютно твёрдого тела, мы
для алгебраической величины угловой скорости ω вращения тела
•о
будем иметь ω==—. В § 172 мы имели формулы (35.23) и (35.26),
согласно которым должно быть:
/ dy dx\ \Ί 9db
где Jz есть момент инерции тела относительно оси Οζ, τ. е.
относительно оси вращения.
Отсюда мы приходим к следующему уравнению движения:
или
Момент инерции Jz для абсолютно твёрдого тела есть постоянное
количество, но могут быть и такие случаи, когда приходится
рассматривать момент инерции системы тел, который будет переменным,
например будет зависеть от времени. В качестве примера можно
указать, что если по твёрдому телу, вращающемуся вокруг оси Δ,
ползёт перпендикулярно к оси Δ насекомое с массой т, то момент
инерции тела с насекомым будет равен J0-\~mr2, где Уо есть
постоянный момент инерции тела относительно оси Δ и тг2 есть момент
инерции насекомого относительно оси Δ, причём радиус г зависит
от времени и определяется законом, по которому насекомое
изменяет своё расстояние от оси Δ. Когда момент инерции Jz будет

336 ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ [ГЛ. XXXVII
постоянным, что является члетным случаем, уравнение (37.1)
принимает вид
Je~ = Ms. (37.2)
В дальнейшем, если не будет сделано специальных указаний, мы
будем рассматривать только вращения абсолютно твёрдых тел, т. е.
таких, у которых моменты инерции относительно осей вращения
будут постоянными, т. е. всегда будем пользоваться уравнением (37.2).
Отсюда мы приходим к следующему правилу:
Чтобы составить дифференциальное уравнение вращения
абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси, надлежит
произведение момента инерции тела относительно этой оси на
угловое ускорение приравнять общему моменту относительно
той же оси всех внешних сил.
Задача на вращение абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной
оси аналитически весьма похожа на задачу движения материальной
точки по прямой линии.
§ 181. Интегрирование уравнения движения абсолютно
твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Из формулы (35.32) мы знаем,
что кинетическая энергия Τ абсолютно твёрдого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси Ог с угловой скоростью ω, равна:
Преобразуем применительно к рассматриваемому случаю выражение
суммы элементарных работ, действующих на абсолютно твёрдое тело
внешних сил:
именно, положим:
x = rcosb9 у = г sin θ, ζ = const,
откуда
dx = — г sin θ db = — у έ/β, dy = r cos bdb=x db9 dz = 0.
Мы получим:
так как бесконечно малый угол поворота db для всех материальных
частиц абсолютно твёрдого тела будет одним и тем же. Отсюда
согласно теореме кинетической энергии (§ 172) мы приходим к
равенству
dT=Madb. (37.3)
Особенно примечателен случай, когда существует такая функция U (Ь)
только одного угла поворота абсолютно твердою тел.:, что для

§ 181] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 337
общего момента Мг будет:
^=ж· <37·4'
Если равенство (37.4) имеет место, то согласно данному в § 174
определению силовой функции функция U(b) есть силовая функция
для действующих на абсолютно твёрдое тело внешних сил. Тогда из
уравнения (37.3) мы получим:
dT=dU,
т. е. будем иметь интеграл энергии
Γ
или
где h есть произвольное постоянное. Конечно, этот интеграл можно
вывести и непосредственно из уравнения (37.2), умножая обе части
этого уравнения на -^- и интегрируя почленно. Вводя
потенциальную функцию V(8) по формуле 1/(θ) = — £/(6), мы из уравнения
(37.5) получим предложение о постоянстве в рассматриваемом случае
суммы кинетической и потенциальной энергии в виде
Рассмотрим затем ряд простейших случаев, для которых
уравнение (37.2) можно проинтегрировать до конца; эти случаи совершенно
аналогичны случаям, имеющим место при движении материальной
точки по прямой линии.
Во-первых, предположим, что момент Мя есть заданная функция
от времени t, т. е.
Λί.-/(/);
тогда уравнение (37.2) принимает вид
g (37.7)
Повторяя все выкладки, приведённые в § 132 динамики точки, мы
получим:
где Cj и С2 суть произвольные постоянные.
22 Зак. 487. А. И. Некрасов
\ \ (37.8)

338 ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА ПОКРУГ ОСИ [ГЛ. ХХХуц
Во-вторых, предположим, что момент Мг есть заданная функция
от угла поворота θ абсолютно твёрдого тела, т. е.
Λί,=/(6).
В этом случае из равенства (37.4) мы найдём:
где Cj есть произвольное постоянное. Тогда из интеграла энергии
(37.5) мы будем иметь:
ь
(37.9)
где произвольное постоянное Са включено в произвольное
постоянное h. Отсюда мы получим:
или
(37.10)
где С2 есть второе произвольное постоянное.
Из уравнения (37.10) мы находим зависимость угла θ от времени,
а из уравнения (37.9) мы имеем зависимость между угловой скоро-
стью ω и углом θ поворота абсолютно твёрдого тела.
Наконец, предположим, что момент Мг есть заданная функция от
угловой скорости ω == — абсолютно твёрдого тела, т. е.
Αί. = /(«).
Тогда из уравнения (37.2) мы будем иметь:
отсюда получим:
d *
/(») Л
Интегрируя, приходим к равенству:
(37.11)

$ 182]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ. СВОБОДНАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ
339
где Сх есть произвольное постоянное. Определяя из интеграла (37.11)
угловую скорость ω, найдём:
ω = <?(/, Сг),
т. в.
5" = тС, с,).
Вторичное интегрирование приведёт к установлению зависимости между
углом 0 и временем / вида
(37.12)
где С2 есть произвольное постоянное. Конечно, возможны и другие
более сложные виды уравнения (37.2), причём наиболее общий вид
уравнения (37.2) будет:
(37.13)
§ 182. Определение реакций. Свободная ось вращения. После
вывода уравнения движения абсолютно твёрдого тела вокруг
неподвижной оси перейдём к определению проекций Χ', Υ'9 Ζ', Χ", Yr\
Ζ" реакций R! и /?", которые приложены к абсолютно твёрдому
телу в точках О' и О. Из первых пяти уравнений, выведенных в § 180
для абсолютно твёрдого тела, мы имеем:
• — — - —
h di
(37.14)
г = м*£-УУ.-Г.
Из двух первых уравнений (37.14) мы находим проекции Х\ Yr\ из
двух последних уравнений (37.14), зная проекции X' и К', находим
проекции Х'\ Y"\ наконец, из третьего уравнения (37.14) находим
сумму проекций Zr -\- Z". Для абсолютно твёрдого тела, как в
статике, отделение проекции Z' от проекции Z" невозможно, так как
в таком теле, не изменяя его состояния покоя или движения, можно
приложить в точке О и в точке О' любые равные и прямо противоположно
направленные силы, вследствие чего величины сил Z7 и Z" делаются
неопределёнными. Рассматривая правые части уравнений (37.14), мы
видим, что они содержат координаты х> уу ξ, η, меняющиеся с
течением времени вследствие вращения абсолютно твёрдого тела вокруг
22*

340 ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ- ОСИ [ГЛ. XXXVII
оси Oz. Из формул Эйлера (т. I, § 78), полагая в них ш£С = ш2/ = 0
и <ог==о), имеем:
dx dy_
dl ==Г У' dl '
-§- = -ω-Ί. Ж = <
d2x άω_ о (Ру_ du>_ «
dP ~ dly *' dt*~ diX ω У'
Так как при вращении рассматриваемого тела вокруг оси Oz
координаты ζ его точек остаются постоянными, то будет:
таким образом, мы получим:
ж (Σ тг ж)β ж Σ ""* -ω2 Σ m^·
Вставляя полученные выражения в уравнения (37.14), мы найдём:
„. 1 ώ г <о3 νι
χ>«, _ _ ^ /иг^ F 2j mzx
_ _
Λ-" = - Μ -§■ η — Λίω2ξ — 2 Хе — Χ\
Υ" = Μ^ ξ — Λίω2η_2 Ке — Υ'.
Так как эти уравнения содержат производную -^-, определяемую
уравнением (37.2), то мы заменим в последних уравнениях произ-
day
водную -Т7 этим её значением и для сокращения формул введём,
как выше, обозначения:
ZjX6 = Х> ^Уе~У, j£j Ze = Ζ,

§ 182]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ. СВОБОДНАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ
341
Тогда предыдущим формулам можно будет придать следующий вид:
ν, ι мг ν1 ω2
1
*" ——
Λί,
— vPMl — X—X'y
мш
— ω*Λίη — Υ— Υ'.
• (37.15)
Из уравнений (37.15) можно найти проекции реакций на инерциальные
оси координат Oxyz, но эти уравнения представляют то неудобство, что
вследствие вращения абсолютно твёрдого тела вокруг оси Oz
количества ^mzXy ^mzy являются переменными, тяк как абсциссы
и ординаты материальных частиц абсолютно твёрдого тел ι
изменяются с течением времени. Поэтому при решении поставленной задачи
выгодно ввести еще вторую систему осей координят Oxxyxz, наглухо
скреплённых с абсолютно твёрдым телом и, следовательно,
вращающихся вместе с телом вокруг оси Oz. Тогда мы можем принять за
угол Ь тот угол, который образуют друг с другом плоскости Οκζ
и Οχλζ, τ. е. положить ^χθχλ=§. На основании формул
преобразования прямоугольных координат мы будем иметь:
х == χλ cos θ —уг sin θ,
5 = ^ cos θ — ηχ sin θ,
у = χλ sin θ -\-yx cos Θ,
η ==« \x sin θ -f- f\i cos Θ,
X =Л
У = *"cos6— Г" Sin θ,
Μβ = ЖЖ1 cos θ — МУх sin θ,
Из этих формул мы легко получим:
хг = х cos θ -\-у sin θ,
\λ = ξ cos 0-}-η sin θ,
Y'= X[
Υ[ cosb,
— x sin θ -j-y cos Θ,
— S sin 0 -\- η cos Θ,
x'(
MXl = Mx cos 6 + My sin 0,
— У sin β+ Г cos6,
— x" sine + r cose,
— Жж sin θ -f- My cos Θ

342
ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ [ГЛ. XXXVII
С помощью последних формул мы из уравнений (37.15) после
простых вычислений найдём:
1 AL
ω* νι 1 ал
1 Мг
X'[ = _
^£_ω·-'^ίη, — Υϊ — Υ[.
В этих формулах определяемые проекции (Α'ί, Υ[, Ζ[) и (Λ'ί7, Ff, z![)
реакций R' и Ζ?'7 отнесены уже к прямоугольным осям Охгугг,
вращающимся вместе с абсолютно твёрдым телом, причём величины
^mzxv *Σι?ηζγν ζχ и ηρ стоящие в этих формулах, будут
постоянными количествами. Обозначая для краткости согласно формулам
(36.5) и (36.6) произведения инерции ^lmzx1 и 2 ^ι через Е]
и Dl9 мы получим:
/r Jz
γ'— l M
h u\ ~r h
(37.16)
— oflM^ — K, — Y\.
Конечно, количество ω2 в этих формулах необходимо заменить его
значением, получаемым путём интегрирования уравнения (37.2). Из
формул (37.16) видно, что проекции реакций /?' и /?'' содержат части,
пропорциональные квадрату угловой скорости ω абсолютно твёрдого
тела; поэтому модули реакций /?' и R" быстро возрастают с
возрастанием этой угловой скорости. Если бы абсолютно твёрдое тело не
вращалось вокруг оси, т. е. если бы имело место условие
равновесия Мг = 0, и мы определяли бы реакции статически, то вместо
уравнений (37.16) мы имели бы уравнения:
Χ' =
\
Υ\
Υ'ί
ζ' + ζ" = —.
_= γ
(37.17)

§ 182] ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ. СВОБОДНАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ 343
таким образом, члены
—LMsn α2ρ ! m*f ω2η
— MfiJfi — aflMl, М\Л^ — аРМ-ц.
представляют добавки динамического происхождения к реакциям.
Предположим, что ось вращения абсолютно твёрдого тела
проходит через его центр инерции; тогда будет ξ2 = ηχ = 0. Далее,
предположим, что ось Οζ вращения есть главная ось инерции; тогда
будет D1=E1 = 0 (§ 178). Мы заключаем, что в этом случае хотя
абсолютно твёрдое тело и вращается вокруг оси, реакции на ось
можно рассчитывать статически; в этом случае вращающееся твёрдое
тело называется динамически уравновешенным. Таким образом, мы
приходим к положению:
Чтобы вращающееся вокруг неподвижной оси абсолютно
твёрдое тело было динамически уравновешенным, необходимо и
достаточно, чтобы ось вращения была одной из главных центральных
осей инерции этого тела.
Быстро вращающиеся части современных машин делаются всегда
динамически уравновешенными. В остальных случаях реакции R' и R"
будут зависеть от угловой скорости вращения тела и рассчитывать
их статически уже нельзя.
Предположим, что на вращающееся тело не действуют никакие
силы, и тело динамически уравновешено. Тогда из формул (37.17)
мы получим:
т. е. реакции /?' и R" будут равны нулю. Из уравнения (37.2)
следует, что абсолютно твёрдое тело будет в этом случае вращаться
с постоянной угловой скоростью. Так как реакций нет, то это
означает, что нет необходимости удерживать ось вращения неподвижной;
она останется неподвижной и без приложения к ней каких-либо сил.
Такая ось вращения называется свободной осью вращения. Таким
образом, мы приходим к следующему определению:
Свободной осью вращения абсолютно твёрдого тела называется
такая неподвижная ось, вокруг которой без действия сил тело
вращается по инерции с постоянной угловой скоростью, причём
для поддержания неподвижности оси вращения никаких сил к оси
прикладывать не требуется.
Так как свободная ось вращения должна быть главной
центральной осью инерции, то мы заключаем, что
Всякое абсолютно твёрдое тело имеет три свободные оси ера-
Щения, совпадающие с осями центрального эллипсоида инерции.

344
ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ [ГЛ. ХХХуц
Если центральный эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения
или шар, то число свободных осей вращения делается бесконечно
большим.
§ 183. Аналогия между прямолинейным поступательным
движением и вращением вокруг неподвижной оси. В предыдущих
параграфах мы видели, что задача о вращении абсолютно твёрдого
тела вокруг неподвижной оси аналитически очень похожа на задачу
о прямолинейном движении материальной точки или на задачу о
прямолинейном поступательном движении материального тела. В
самом деле, нетрудно усмотреть, что при переходе от этого
поступательного движения к вращательному движению надлежит выполнять
лишь следующее: линейный элемент cfs заменить угловым
элементом db, линейную скорость ν заменить угловой скоростью ω, силу F
в направлении прямой движения заменить моментом силы Μ
относительно оси вррщения, массу т заменить моментом инерции J
относительно оси вращения. С помощью такой замены нетрудно составить
следующую таблицу:
Поступательное движение
ds
линейная скорость ν = --гт
у dv d2s
линейное ускорение —тт = —гп
dv _
уравнение движения m —тт = F
количество движения mv
кинетическая энергия Г =
элементарная работа Fd*
мощность Fv
Вращательное движение
угловая скорость ω = —тт
угловое ускорение —тт = -^
уравнение движения J— = M
момент количеств движения Уо>
кинетическая энергия Τ=-ψ·
Л>=* дТ
элементарная работа fAdb
мощность М&
С помощью вышеуказанной замены и этой таблицы можно всякий
вопрос и всякую задачу из одной области переделать в
соответствующий вопрос или соответствующую задачу из другой области.
§ 184. Физический маятник. Физическим маятником называется
тяжёлое, абсолютно твёрдое тело, могущее вращаться вокруг
горизонтальной оси иод влиянием своего веса. Задача о движении
физического маятника была первой задачей на движение абсолютно твер-

§ 184]
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
345
R'
дого тела, которая привлекла к себе внимание учёных исследователей;
среди них прежде всего необходимо указать на Гюйгенса (XVIII в.).
рассмотрим инерциальную прямоугольную систему координат Охуг,
у которой ось Ог совместим с
горизонтальной осью вращения физического
маятника, ось Ох направим вертикально
вниз, а ось Оу горизонтально (черт. 300).
Пусть закреплённые точки оси
вращения маятника будут точки О' и О"
с координатами соответственно (0, 0, И)
и (0, 0, —А"), причем в точке О'
к маятнику приложена реакция /?',
а в точке О"— реакция R". Точку О на
оси вращения, а тем самым и
плоскость Оху, мы возьмём таким образом,
чтобы центр С тяжести маятника лежал
в этой плоскости; очевидно, что во всё
время движения физического маятника
точка С из вертикальной плоскости Оху
выйти не может и будет описывать в этой плоскости дугу
окружности с центром в точке О и с радиусом ОС=а. Точка О условно
называется точкой подвеса физического маятника. Помимо реакций
R' и /?" на маятник действует ещё сила тяжести, величина которой Mg,
которая параллельна оси Ох и приложена в точке С с координатами
i»=iacos6, η = α5ΐηθ, С = 0, где 6 есть угол прямой ОС с осью Ох,
которым мы будем определять положение физического маятника. Так
как будет Xe*=*Mg, Ke=0, Ze = 0, то мы легко найдём:
Применяя к этой задаче формулу (37.2), мы получим следующее
дифференциальное уравнение движения физического маятника:
или
(37.18)
Сравнивая эту формулу с формулой (Динамика точки, § 156)
колебаний математического маятника
мы заключаем, что физический маятник колеблется так же, как
математический, имеющий длину

346 ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ [ГЛ. XXXVII
Длина / называется приведённой длиной физического маятника.
Нетрудно показать, что должно быть />я. В самом деле, по теореме
§ 177 мы имеем:
где Jc есть момент инерции маятника относительно оси, проходящей
через центр тяжести С и параллельный оси Ог\ следовательно, будет:
Продолжим отрезок ОС на отрезок ΟΟλ = аг = --^; мы получим
точку Ον которая отстоит от точки подвеса О на расстояние, равное
приведённой длине физического маятника. Точка ОА называется
центром качаний физического маятника. Точка подвеса О и центр
качаний Ог обладают свойством взаимности. Именно, подвесим физический
маятник за горизонтальную ось OjZj, проходящую через центр
качаний Ох и параллельную оси OZ, проходящей через точку подвеса О.
Обозначая момент инерции маятника относительно горизонтальной
оси ΟχΖλ через JZx% мы по формуле (37.19) для этого перевёрнутого
маятника получим:
Так как будет Jti=Jc-\-Ma\, то мы будем иметь:
Но из равенства а1=-гр- мы выводим # = —£-, т. е. согласно
формуле (37.20) должно быть:
Таким образом, мы приходим к следующей теореме Гюйгенса:
Точка подвеса и центр качаний физического маятника
взаимно переместимы, т. е. будет ли горизонтальная ось вращения
физического маятника проходить через точку подвеса или через
центр качаний, период колебаний маятника от такого
перемещения не меняется. Расстояние между точкой подвеса и
центром качаний равно приведённой длине физического маятника.
Так как движение физического маятника тождественно с
движением эквивалентного ему математического маятника, длина которого
определена формулою (37.19), то из теории колебания математиче-

ФИЗИЧЕСКИМ МАЯТНИК 347
ского маятника (§ 156) для периода 3~ колебания физического маят-
нИка мы получим:
<37-21>
где а есть наибольшее значение угла 0, т. е. представляет
наибольшее отклонение маятника от вертикали. Если колебания маятника
малы, так что значение количества а мало, то вместо точной
формулы (37.21) можно пользоваться приближённой формулой:
соответствующей приближённому уравнению движения физического
маятника:
Из этого уравнения следует, что угол 0 изменяется по
гармоническому закону.
Для определения проекций (Х[, Y'v Zr) и (X", Г", Z") реакций /?'
и R" на оси подвижной системы Ox1y1z9 у которой ось Охх
совпадает с прямой ОС, можно обратиться к формулам (37.16). При этом
необходимо заметить, что сила тяжести маятника приложена в точке С
и перпендикулярна к оси Oz. Координаты точки С будут £2 = β,
η1==0, С = 0; проекции силы тяжести будут Хг = Mg cos θ, Κ, =
= — Mg sin 0, Ζ = 0; моменты силы тяжести будут Мх = 0, Му^ = 0,
Мг = — Mgasmb. Так как реакции /?' и R" приложены
соответственно в точках (0, 0, hr) и (0, 0, —h"), то моменты реакций R'
и R" относительно осей Oxv Оу1 и О ζ будут соответственно равны:
— h'Y'v -\-b!X'v 0 и +1г"Г{, —h"X"v 0. После этого из формул
Г37.16), учитывая, что в моменты Ма и Му этих формул следует
внести моменты реакции /?", мы получим:
р sin 6D, —
— ^ sin e£j
/Ид-cos θ,
τ-]

348 ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ [ГЛ.
В этих формулах квадрат угловой скорости ω2 следует определить
из интеграла энергии для физического маятника, который получим
умножая уравнение (37.18) на производную -г. ; мы будем иметь:
или
Ж
Интегрируя, находим:
или
Так как при θ = α должно быть ω = 0, то мы приходим к
равенству:
ω2 £j— cos θ = Ζ-— cos α,
т. е.
ω3 = ™?L· (cos θ _ cos a). (37 23)
Конечно, интеграл (37.23) можно вывести и непосредственно из
формулы (37.5), так как должно быть:
откуда находим:
U = Mga cos θ -j- const.
Если ось Oz вращения маятника есть главная ось инерции, что будет
всегда, когда плоскость Оххуг есть плоскость симметрии маятника,
то должно быть Ог*=*Ег = 0, и мы получим:
h'X[ —
— Mgcosb;
Из &тих формул легко найти проекции X'VY[, X" и Υ".
Предположим, что точки О' и О" закрепления оси вращения маятника распо-

с 185] ПРИМЕНЕНИЯ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 349
ложены симметрично относительно точки подвеса О; тогда будет
д" = /?', и из предыдущих формул мы будем иметь:
Ζ' + Ζ" = 0.
Заменяя количество ω2 его значением из формулы (37.23), найдём:
X = X и —γ-?- cos α jr- Mg~E-Z7 cos Θ.
Мы видим, что проекции Υ[ и Υ" обращаются в нуль, меняя знак,
при переходе маятника через вертикаль; проекции Χ'χ и Х^
обращаются в нуль при равенстве
а 2АТа* 2Af«2
cos θ = г ι όλα 2 cos α s== г ι ом 2 cos α·
/β + 2ΛΙ д2 Ус -f 3Αίд2
Случай маятника, симметричного относительно плоскости Охгу19
и является обыкновенным практическим случаем.
§ 185. Применения физического маятника. Из применений
физического маятника укажем на следующие.
1. Всем известно применение маятника к часам, но если
требуется, чтобы часы шли очень точно, то при применении
маятника к часам приходится прибегать к специальным
предосторожностям. Дело в том, что согласно формуле (37.21) период оГ
колебаний маятника зависит от момента инерции Jz и от расстояния а\ так
как при изменениях температуры маятник удлиняется или
сокращается, то при этом изменяются количества Jz и а, а следовательно,
изменяется и период ©Г колебаний маятника. Таким образом,
температура влияет на ход часов с маятником. Чтобы по возможности
уничтожить влияние температуры на период колебаний маятника, на
конце маятника к его стержню прикрепляется цилиндрический
стеклянный сосуд, в который наливается ртуть; так как, например,
при повышении температуры стержень маятника удлиняется, понижая
цилиндрический сосуд, а уровень ртути в сосуде вследствие
расширения ртути повышается, то можно подобрать такое количество
ртути, чтобы в определённых температурных границах период
колебаний маятника не менялся. В настоящее время такой компенсацией
хода часов уже не удовлетворяются и обыкновенно основные
астрономические часы, по которым выверяют остальные часы обсерватории,
устанавливают в подземном помещении, в котором поддерживается
постоянная температура. Так как колеблющийся в воздухе маятник
испытывает со стороны воздуха сопротивление, которое зависит от

350 ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ [ГЛ. ;
температуры и влажности воздуха, то для уменьшения этого пере-
менного с течением времени сопротивления астрономические часы
помещают внутри стеклянного колпака, из-под которого
значительная часть воздуха выкачивается.
2. Следующее применение физического маятника, на которое мы
укажем, состоит в определении ускорения g свободного падения из
наблюдения периода $~ колебаний маятника. В самом деле,
&Р из формулы (37.22) мы легко находим:
Трудность надёжного определения расстояния а и момента
инерции Jz привела к предложению применять при
нахождении ускорения g оборотный маятник. Оборотный
маятник (черт. 301) имеет две призмы, острые рёбра О
~, и О' которых обращены друг к другу. Маятник пооче-
j / рёдно заставляют колебаться на этих рёбрах, причём пере-
' Ρ мещением дополнительных грузов Ρ и Р' достигают того,
чтобы периоды колебаний маятника вокруг ребра О и во-
Черт. 301. КруГ ребра О' были между собою точно равны. Тогда
по теореме Гюйгенса расстояние ОО'У измерить которое
можно очень точно, и будет представлять длину / математического
маятника, эквивалентного физическому маятнику; отсюда будем иметь:
3. Наконец, заставляя какое-либо тело колебаться вокруг
горизонтальной оси и наблюдая период $~ колебания этого тела, можно
отсюда определить момент инерции тела относительно этой
горизонтальной оси по формуле
J*
Ненадёжность определения расстояния а привела к введению
следующего приёма. Возьмём какое-нибудь другое тело с массой М'у
которое поместим симметрично относительно оси вращения первого
тела Μ так, чтобы центр тяжести массы М! находился на оси
вращения тела М. Пусть будет / момент инерции массы М\ который
можно точно определить, так как за тело М! можно взять тело,
имеющее простую геометрическую форму. Например, за массу Μ
можно взять две равные цилиндрические гири, поместив их на
одинаковых расстояниях по разные стороны от осп вращения. Если а,
есть расстояние центра тяжести массы М-\-Мг от оси вращения
тела Λί, то (т. I, § 28) должно быть:
, М' -0 + Ма __ Ма
п = М + М' ~

§ 186] примеры 351
т. е.
(ΑΓ-f М')а' = Ма.
Предположим, что, прикрепив массу М' к телу Ж, мы нашли, что
период колебания массы М-\-М' будет равен $~'. Так как момент
инерции массы М-\-М/ равен Jg-\-Jg, то должно быть:
ИЛИ
Разделив почленно это равенство на предыдущее равенство,
определяющее количество Jz, будем иметь:
или
Отсюда мы легко получим:
J —
Эта формула удобна для применений, так как периоды $~ и оГ'
колебаний можно определить очень точно; что же касается
эталонной массы М\ то её момент инерции Уа тоже может быть всегда
точно найден.
§ 186. Примеры. 149. Определить малые колебания однородного
тяжёлого прямого круглого цилиндра, масса которого равна М, а радиус равен Rt
вокруг горизонтальной оси, совпадающей с образующей цилиндра. Так как
момент инерции прямого круглого цилиндра относительно его
геометрической оси равен -ψ MR2, то по теореме § 177 момент инерции этого
цилиндра относительно образующей будет равен -γ MR2 + MR2 = 3/2MR2.
Применяя формулу (37.22) и замечая, что в рассматриваемом случае будет а = R,
мы получим:
150. Составить уравнение движения физического маятника, масса
которого равна МУ момент инерции относительно оси вращения равен Jz,
расстояние центра тяжести от оси вращения равно а, если вдоль маятника,
начиная от оси вращения и перпендикулярно к ней, ползёт с постоянной

352 ВРАЩЕНИЕ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ [ГЛ. XXXVII
скоростью с насекомое, масса которого равна т и которое в момент ί = О
находилось на оси вращения. Так как расстояние насекомого от оси вращения
равно ci, то мсмент инерции насекомого относительно оси вращения равен
тсЧ-\ поэтому момент инерции всей системы — маятник и насекомое — будет
равен Jz + тсЧ\ Очевидно, что расстояние а! центра тяжести всей системы
от оси вращения равно:
7 __ Ma + met
п ~~ М + т '
Так как будет:
Мг = — (М + т) gar sin θ = — (Μα + met) g sin θ,
то из формулы (38.1) для уравнения движения рассматриваемой системы мы
получим:
^ [ ^\ = - {Ma + met) g sin θ,
или
(Jz + тсЩ ^ + 2тсЧ -^ + (Μα + met) g sin θ = 0.
Это уравнение можно интегрировать лишь приближённо, например,
численно.
151. Составить уравнение движения и определить период малых
крутильных колебаний тяжёлого тела, подвешенного на вертикальной нити, ось Ог
которой проходит через центр тяжести тела. Обозначим момент инерции
тела относительно вертикальной оси Οζ вращения через Jz. Так как
восстанавливающий момент закрученной нити в широких пределах прямо
пропорционален углу θ закручивания и обратно пропорционален длине нити, то
будет:
θ
где k есть множитель пропорциональности. Отсюда для уравнения
крутильных колебаний мы получаем:
т. е.
Мы видим, что угол θ изменяется по гармоническому закону, и период
крутильных колебаний будет равен:
Г ' 'Г. (37.24)
Зная момент инерции Jz и коэффициент k, мы можем по этой формуле
определить ф\
Крутильные колебания можно также использовать для определения
моментов инерции. Решая уравнение (37.24) относительно Ja, имеем:
». (37.25)

§ 186] примеры .353
Если известен коэффициент k и определён из наблютений период 7
колебаний, эта формула даёт возможность найти момент инерции Jz. Но обычно
коэффициент k бывает неизвестен, и его приходится находить из
наблюдений.
Чтобы определить коэффициент k, возьмём какое-нибудь другое тело,
момент инерции j'z которого известен, привесим его к той же нити и
определим его период 3"' колебаний. Подобно формуле (37.25) будем иметь:
У* = Ш*"К (37·26)
Деля почленно уравнение (37.25) на уравнение (37.26), получаем:
О1куда
23 Зак. 487. А. И. Некрасов

ГЛАВА XXXVIII.
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
В ЕЁ ПЛОСКОСТИ.
§ 187. Уравнения движения. Предположим, что плоская
абсолютно жёсткая материальная фигура движется в плоскости П,
неизменно связанной с какой-нибудь инерциальной системой, и все
силы, действующие на фигуру, расположены в той же плоскости II.
Если на фигуру наложены связи, то реакции этих связей также
расположены в плоскости П.
В статике была
рассмотрена плоская задача
статики (т. I, гл. IX);
в кинематике была
рассмотрена плоская задача
кинематики (т. I, гл. XIX).
Им соответствует в
динамике излагаемая в этой
главе плоская задача
динамики; практическое знпт
чение этой задачи будет
выяснено на примерах,
изложенных в последнем
параграфе этой главы.
Рассмотрим какую-
нибудь инициальную
прямоугольную систему ко-
Черт. 302. ординат Оху,
расположенную в плоскости II
движения плоской фигуры, и другую прямоугольную систему
координат Сх/у\ оси которой параллельны осям первой системы координат,
но движутся вместе с плоской фигурой, так как начало этой системы
находится в центре инерции С материальной плоской фигуры (черт 302).
Очевидно, что мы будем знать движение рассматриваемой абсолютно
жёсткой фшуры, если будем знать, как изменяются с течением
времени / координаты ζ, η её центра инерции С, взятые относительно
осей Оху, и как изменяется с течением времени t угол 0 = /_ КСх/

§ 187) УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 355
между осью Сх' и какой-нибудь прямой С/С, неизменно связанной
с плоской фигурой. Мы получим дифференциальные уравнения
движения материальной плоской фигуры из двух первых уравнений (35.5)
и из последнего уравнения (35.36), а именно:
где Μ есть масса плоской фигуры, Х—^Хе и Y = ^Ye суть-
суммы проекций всех внешних сил на оси Ох и Оу, а 2 (х'Уе—У'Х?*
есть сумма моментов всех внешних сил относительно оси Czr,
перпендикулярной к плоскости Сх'у'у или, что то же самое, сумма
моментов всех внешних сил относительно точки С; мы обозначим эту
сумму через М'. Вводя вместо прямоугольных координат х', у'
материальной частицы т её полярные координаты г\ 6' по формулам
х' = г* cos О', у' = г' sin θ', мы будем иметь:
dyr , dxr
У
так как значения производных -тг для всех материальных частиц m
абсолютно жёсткой фигуры одни и те же и могут быть взяты рав-
ными количеству—, то, обозначая через Jc = 2mr'2 момент
инерции плоской . фигуры относительно её центра инерции С, мы будем
иметь:
dt * dt 1~ c dt "
Таким образом, уравнения движения материальной абсолютно жёсткой
плоской фигуры будут:
Если на плоскую фигуру наложены связи, то к внешним силам
необходимо прибавить реакции внешних связей, а к уравнениям (38.1)
присоединить ещё уравнения связей.
Покажем, что дифференциальное уравнение момента количеств
движения относительно мгновенного центра вращения будет име.'ъ
вид последнего из уравнений (38.1), если при движении плоскоп
фигуры в её плоскости расстояние между мгновенным центром врл-
Щения плоской фигуры и центром инерции этой плоской фигуры
остаётся постоянным. В самом деле, пусть будет О положение
мгновенного центра вращения плоской фигуры на плоскости II в какой-
нибудь момент / времени; конечно, в бесконечно близкий момег
23·*

356 движение материальной плоской фигуры в её плоскости [гл. xxxvnt
времени мгновенный центр, вообще, перейдёт из точки О в другую
точку, причём это перемещение будет бесконечно мплым не ниже
второго порядка милости (т. I, § 82). Поэтому оказывается
возможным применить теорему момента количеств движения, которая была
нами выведена для неподвижной оси, также к оси г, проходящей
через точку О перпендикулярно к плоскости П. Приняв точку О
плоскости Π за начало координат, вычислим момент количеств
движения плоской фигуры относительно оси Ог, перпендикулярной
к плоскости II; для этого достаточно применить третью из
формул (35.20). Обозначая сумму ^(хУг—yXf) через /Ио, имеем:
dv ά
Так как угол поворота и угловая скорость вращения абсолютно
жёсткой плоской фигуры вокруг точки С и вокруг точки О одни
и те же (т. I, § 81), то мы получим:
где 2/w2 есть момент инерции ]0 плоской фигуры относительно
точки О. Но по теореме § 176 мы имеем:
где Jc есть постоянный момент инерции плоской фигуры относительно
её центра инерции С, а р есть расстояние между точками О и С.
Поэтому уравнение момента количеств движения относительно точки О
будет:
4
ИЛИ
Если же расстояние ρ между мгновенным центром О и центром С
инерции плоской фигуры остаётся постоянным, т. е. если ρ = const,
то будет:
или
/0|i = K (38.2)
т. е. мы получаем уравнение, вполне аналогичное последнему из
уравнений (38.1).

§ 188] ТЕОРЕМА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 357
§ 188. Теорема кинетической энергии. Согласно теореме § 173
кинетическая энергия Τ абсолютно жёсткой материальной плоской
фигуры, движущейся в её плоскости 11, будет равна:
Рассмотрим сумму элементарных работ всех внешних сил
Так как будет χ = ξ-\-χ\ у = г\-\-у\ то, выражая дифференциалы
dx и dy через dt, dr\ и db, получим:
Таким образом, из теоремы кинетической энергии для материальной
системы (§ 172) мы будем иметь:
Особенно примечателен случай, когда существует такая функция
(ξ, η, β), что будет:
х=~дГ9 ~W> M (384)
функция U (ξ, η, θ) в этом случае называется силовой функцией.
Тогда мы имеем:
и, интегрируя, приходим к интегралу энергии
(38.5)
где h есть произвольное постоянное. Функция V(S, η, θ), связанная
с функцией U(ξ, η, Ь) соотношением V = — U, называется
потенциальной функцией', интеграл энергии, выраженный через
потенциальную функцию, имеет вид
(38.6)
Этот интеграл выражает, что во всё время движения сумма
кинетической энергии и потенциальной энергии остаётся постоянной. Если
задача на движение в плоскости абсолютно жёсткой плоской фигуры
имеет интеграл энергии, то очно из уравнений движения выгодно
заменить этим интегралом. В самом деле, собственно уравнениями
Движения, из которых можно определить движение, служат такие
Уравнения, которые не содержат неизвестных реакций, а интеграл
энергии будет представлять именно такое уравнение, так как работа
реакций идеальных связей равня нулю, и потому реакции идеальных
связей в интеграл энергии войти не могут. Конечно, интеграл энергии

358 ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В ЕЁ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. XXXVIII
можно получить и непосредственно из уравнений (38.1), умножая эти
dl dr\ dO
уравнения соответственно на -ιτ-, —τ~ и —γ, складывая результаты
и интегрируя полученное выражение.
§ 189. Определение реакций. При решении задачи о движении
плоской фигуры в её плоскости под действием приложенных к ней
сил прежде всего необходимо составить уравнения (38.1), причём
любое из этих уравнений можно заменить уравнением (38.5); за
действующие на плоскую фигуру силы следует взять как все задавае-»
мые внешние силы, так и все реакции связей. К уравнениям (38.1)
Черт. 303.
необходимо присоединить ещё уравнения связей. Когда, таким обра-·
зом, все уравнения задачи будут составлены, следует исключить из
уравнений реакции связей и получить уравнения, не содержащие
реакций, т. е. собственно уравнения движения; число таких
уравнений должно быть равным числу степеней свободы рассматриваемой
плоской фигуры. Интегрируя уравнения движения, мы найдём
значения параметров, определяющих положение плоской фигуры в функции
от времени. После этого из основных дифференциальных уравнений
уже нетрудно определить реакции связей.
При этом могут иметь место следующие случаи. Может
случиться, что во всё время движения плоской фигуры определяемая
реакция в нуль не обращается и сохраняет свой знак; это будет
показывать, что принятая схема движения взята правильно и имеет
место во всё время движения. Но может случиться, что в некоторый
момент времени определяемая реакция обратится в нуль; это будет
показывать, что в рассматриваемый момент времени наложенная на
материальную систему связь, дающая определяемую реакцию, перг-

§ 190] примеры 359
стала иметь место и отпала или заменилась другою; поэтому ι\ύλ
определения дальнейшего движения плоской фигуры необходимо будет
составить новые уравнения движения уже без учёта действия той
сбязи, которая перестала иметь место. Такой случай в качестве
примера представлен на черт. 303. На левом чертеже показано, как
тяжёлая балка АВ соскальзывает в вертикальной плоскости, упираясь
своими концами Л и В в вертикальную и горизонтальную стенки,
которые развивают соответственно реакции ЛГ и Nrr\ очевидно,
что балка Αβ имеет в этом случае одну степень свободы, и за
параметр, определяющий положение балки, можно принять угол а или
угол 0. При движении балки реакция Ν' может обратиться в нуль;
дальнейшее движение балки изображено на правой части черт. 303,
причём балка будет представлять уже систему с двумя степенями
свободы, определяемую параметрами ζ и 0. Произвольные
постоянные интегралов новых дифференциальных
уравнений движения балки определятся по
тем значениям параметров ζ, θ и их
производных по времени, какие эти
параметры имели в самом конце первого этапа
движения, когда балка представляла
систему с одной степенью свободы.
Необходимо ещё заметить следующее.
Если плоская фигура скользит без трения
вдоль какой-нибудь линии, то реакция
нормальна к той линии, вдоль которой ЧеРт· 304·
происходит скольжение. Но если плоская
фигура скатывается по какой-нибудь линии, то точка
прикосновения плоской фигуры к этой линии должна быть мгновенным центром
вращения плоской фигуры, как это показано на черт. 304. В этом
случае, кроме нормальной реакции /V, должна существовать
тангенциальная реакция S, препятствующая скольжению точки Л,
являющейся мгновенным центром вращения плоской фигуры. Мы видим,
что если применение формулы (38.2) возможно, то сразу исключаются
обе реакции S и Ν, так как моменты этих сил относительно точки А
равны нулю; поэтому в случае качения применение формулы (38.2)
часто сразу приводит к собственно уравнению движения. После этого
любое из уравнений (38.1), как содержащее ту или другую
реакцию, может быть непосредственно применено для определения этой
реакции.
§ 190. Примеры. 152. Определить движение тяжёлой палки, брошенной
в вертикальной плоскости под некоторым углом к горизонту, причём в
начальный момент времени палке дано вращение с угловой скоростью ω0 в
вертикальной плоскости вокруг её центра тяжести. Отнесём поступательное
движение палки к прямоугольной системе осей координат Оху, у которых
ось Ох направлена горизонтально в сторону движения палки, а ось Оу —
вертикально вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха, мы найдём, чю на
палку действует лишь её вес, приложенный в центре тяжести С палки.

360 ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В ЕЁ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. XXXVIII
Следовательно, согласно уравнениям (38.1) мы получим:
т. е.
dt*
day
~dt
= 0.
Из двух первых уравнений следует (§ 148), что центр С тяжести палки
описывает параболу, а из третьего уравнения следует, что палка вращается вокруг
своего центра С тяжести с постоянной угловой скоростью oj, где будет
to = w0. Учитывая сопротивление воздуха вращению палки, предположим,
что это сопротивление приводится к паре сил с моментом, равным — /?ω.
Тогда вместо третьего уравнения мы получил! уравнение
J dm - ι
J ο. ~ΤΊ — '
J п.
откуда будет:
Интегрируя, найдём:
или
ω = Се Jc ,
где С есть произвольное постоянное. Так как при
то мы получаем ω0 = С и
= 0 должно быть ω = ω0,
Мы видим, что угловая скорость вращения палки затухает и стремится к нулю,
причём чем больше будет момент инерции Ус палки, тем медленнее происходит
затухание вращения палки вокруг её
центра тяжести.
153. Найти движение тяжёлого
однородного круга, вес которого равен Рг
а радиус равен R, скатывающегося с
наклонней плоскости, образующей угол а
с горизонтом. Мы предположим, что воз-
люжность скольж< ния круга устранена
тем, что по периферии круга и вдоль
наклонной плоскости нарезаны весьма
мелкие зубцы, которые, цепляясь друг
за друга, обеспечивают качение круга
по наклонной плоскости. В точке А
прикоснов( ния кр)га с наклонней
плоскостью будет находиться мгновенный центр вращения кр>га (черт. 305).
В точке А к кругу приложена нормальная реакция TV и ί«ηγ» нциальиая реакция 5,
а к центру О круга приложен его вес Р. Так как расстояние м< жду μιтш иным
центром вращения А круга и центром тяжести О круга во всё впемя движения
остаётся постоянным, равным радиусу /? круга, то при реш н и этой задачи
можно воспользоваться ураык нием (38.2), из которого неизв(С1Ные реакции N
и S будут исключены, так Как моменты их относительно точки А равны нулю.
Так как момент инерции однородного круга относительно его центра О

§ 190] примеры 361
равен Μ -у (§ 179), то по теореме § 177 момент инерции круга относительно
точки А будет равен Μ — + MR- = ^ MR'1. Так как момент силы Ρ
относительно точки А равен — PR sin α, то уравнение (38.2) момента количеств
движения относительно точки А имеет вид
4- MR* ~ = — PR sin a,
Ζ (Γι -
или
Это уравнение не содержит неизвестных реакций, и потому это — уравнение
движения. Полагая, что при t = 0 будет 0 = 0 и — = 0, получим следующий
интеграл:
следовательно, пространство ξ, пройденное центром О тяжести круга, будет
равно:
Чтобы найти реакции Ν η S, составим уравнения движения центра тяжести О
круга; эти уравнения будут:
Μ 41 = Ρ sin a — S, Μ ^ = N — Ρ COS a.
Так как должно быть ς = — /?0 и η = /?, то мы можем придать последним
уравнениям следующий вид:
/У20
MR -—, = Я sin a — S, 0 = Ν —Ρ cos a,
dt·2
откуда будем иметь:
у Ρ sin a, N = Pcos a.
В сл\чае скольжения круга по наклонной плоскости без вращения мы придём
к следующему дифференциальному уравнению его движения:
Μ -^ = Ρ sin a,
или
ξ = 1^ sin a/2.
Мы видим, что при скольжении смещение точки О будет происходить быстрее,
чем при качении круга.
Ксли бы мы применили к этой задаче уравнения (38.1), т. е. взяли бы
момещ количеств движения не относительно точки А, л относительно точки О,
то ypdBiii нне момента количеств чвиж< ния было бы:
2 di-

362 ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В ЕЁ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. ХХХУЩ
т. е. содержало бы неизвестную реакцию 5. Чтобы её исключить, к этому
уравнению пришлось бы присоединить выведенное выше уравнение:
М~ = Р sin a — S.
Умножая это уравнение на R и вычитая из него предыдущее, мы получили бы:
+ ***-«? sin..
Так как ς = — ^θ, то отсюда мы нашли бы:
т. е. пришли бы к прежнему уравнению движения, но не сразу, а путём
исключения из двух уравнений неизвестной реакции.
154. На окрзжность тяжёлого однородного круга с весом Рис ради-
усом JRj расположенного в вертикальной плоскости, намотана нить, один конец
которой укреплён в точке В потолка, а другой конец закреплён' наглухо
в точке окружности круга (черт. 306). Под влиянием своего веса круг
опускается, разматывая нить; найти скорость опускания круга. На круг действует
вес Я, приложенный в центре С круга, и касательная реакция S, приложенная
в точке А периферии круга. Так как точка А есть мгновенный центр вращения
круга и расстояние между точками А и С во всё время движения круга
постоянно, то здесь можно применить уравнение (38.2). Поэтому, составляя
уравнение момента количеств движения относительно точ-
п ки А, мы получим собственно уравнение движения круга
/// У////////,"'' в
или
~dfi = l>~R '
Интегрируя и полагая, что при t = 0 будет θ =* 0 и — = <
мы найдём:
Отсюда для расстояния ξ, на которое опустился круг, и для искомой
скорости ν опускания круга мы будем иметь:
Если бы круг падал без намотанной на него верёвки, то скорость его падения
была бы равна gt, т. е. он опускался бы быстрее. Чтобы найти силу 5,
составим дифференциальное уравнение движения центра тяжести круга; оно
будет:
/2
откуда получим:

190)
ПРИМЕРЫ
363
Если бы к этой задаче мы применили уравнения (38.1), то для уравнения
момента количеств движения относительно точки С мы нашли бы:
2 di~
Мы видим, что это уравнение содержит неизвестную реакцию S, которую
необходимо исключить. Для этого умножим на R обе части выведенного выше
уравнения для поступательного движения круга и сложим результат почленно
с последним уравнением; мы получим:
Так как будет ς =· /?θ, то мы найдём:
или
Ry
т. с. придём к уравнению, которое через прг-
менение уравнения (38.2) было получено
непосредственно.
155. Тяжёлая однородная балка АВ, вес
которой равен Я, опирается без трения
концом А на вертикальную стенку, а концом В
опирается также без трения на горизонтальный
пол. Найти движение в вертикальной плоскости
этой балки под действием её веса. Пусть будет С центр тяжести балки,
в котором приложен её вес Р\ пусть длина балки равна 2/ и пусть угол,
образуемый балкой с вертикальной стенкой, равен 0 (черт. 307). Так как угол б
определяет положение балки, то для решения задачи достаточно составить
одно дифференциальное уравнение движения с зависимыми переменными Θ.
Очевидно, что при соскальзывании балки угол 0 должен возрастать. Кроме
силы Ρ на балку в точках А и В действуют ещё реакции Nr и Nr>\ нормальные
к стенке и к иолу. Если оси Ох и Оу мы расположим соответственно вдоль
пола и вдоль вертикальной стенки, то координаты (ξ, η) центра тяжести
балки будут равны:
ς = / Sin θ, η = / COS 0.
Для составления уравнения движения балки можно предложить три способа.
Первый способ состоит в применении к балке теоремы кинетической
энергии, причём в получаемое уравнение реакции Nr и N" не войдут, так как
их работа равна нулю. Согласно уравнению (27.18) силовая функция U будет:
U =я — Mgri = — Mgl cos О,
а кинетическая энергия Τ согласно уравнению (38.3) будет:
Г:
1
t
! "2Ml2 Ы + е-ш Ы) = τ Μ
Ы

364 ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В ЕЁ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. XXXVIII
Поэтому по формуле (38.5) мы получим:
4 ш'1 f-4tY = ~ Mgl cos θ + h,
О \ lit J
или
Чтобы определить произвольное постоянное в правой части, предположим,
что при 0 = а будет \—гт) =0; тогда мы будем иметь
\ at у0=а
Второй способ получения уравнения движения состоит в следующем.
Согласно предыдущему (т. I, § 81) мгновенный центр вращения балки АВ
лежит в точке О\ пересечения линий действия сил Nr и N", т. е. расстояние
между точками О) и С постоянно и всегда равно Λ Поэтому к задаче можно
применить уравнение (38.2), и мы получим:
(Λ + Λί/2) 4|т = PI sin 0.
Так как Ус = — Μι2 и Ρ = Mg, то отсюда будем иметь:
Умножая обе части этого равенства на 2-т- и интегрируя, найдём:
= £- cos θ + const.
Определяя, как выше, произвольное постоянное правой части, придём к уже
полученному выше уравнению:
(!)'=¥<„·»>■
Отсюда видно, что этот второй способ несколько сложнее первого, так как
первый способ непосредственно приводит к дифференциальному уравнению
первого порядка, при пользовании же вторым способом мы сначала получаем
дифференциальное уравнение второго порядка.
Наконец, третий способ решения этой задачи состоит в применении
уравнений (38.1). Мы будем иметь:
M^ = N', M^r = N" — P} JG 4^ = Ν» Is i η θ — Ν' Ι с os θ.
at1 dt- at*
Так как будет:
dl

§ 190] примеры 365
то мы получим из двух первых дифференциальных уравнений
W = — Ml sin 0 f 4г Υ + Ml cos 0 4^-,
\ dt J dt-
N" = P — Ml cos 0 (~J — Ml sin 0 -^ .
Вставляя эти значения для реакций в третье дифференциальное уравнение
и замечая, что JG = -5- Ml2, мы придём к уравнению движения:
' ' о
d20 3%
которое уже было выше найдено. Мы видим, что при решении данной задачи
этот третий способ составления уравнения движения оказывается наиболее
длинным.
Заменяя в полученных выше формулах для реакций производные \—тг)
и —- ранее найденными значениями, мы будем иметь после простых
вычислений:
N' = -V Ρ sin θ (cos 0 —— cos ι
Ν" = -τ- Ρ + -τ Ρ cos 0 ί cos 0 — Ξ- cos α J.
2
Мы видим, что при cos 0 = — cos α реакция Ν' обратится в нуль, а реакция Nrr
сделается равной — Р. После этого первого этапа движения балки начнётся
второй этап её движения, когда конец А отойдёт от вертикальной стенки, и
балка сделается материальной системой с двумя степенями свободы. Чтобы
окончить рассмотрение первого этапа движения балки, необходимо
определить зависимость угла 0 от времени; для этого достаточно обратиться
к уравнению:
и повторить все выкладки, которые были выполнены для аналогичного
уравнения в теории колебаний с конечной амплитудой математического маятника
(§ 156). Именно, мы сделаем следующее преобразование:
cos а — cos 0 = (1 -f- cos α) — (1 + cos 0) = 2ί cos2 у —cos2
0 a
Полагая cos -- = cos -^-u = kuy получим:
1_ —НЪ — kd rfO — — ^kdu ^kdu
sin —
Следовательно, будет:
γϊ—k'u* dt ' 21

366 ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В ЕЁ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. Х>
ИЛИ
Отсюда для определения количества и через время / мы приходим к
соотношению
Так как прч t = О должно быть и = 1, то для определения зависимости
количества и от времени t мы получаем следующий эллиптический интеграл:
ι
-αη (1 — лдо) 2 * I
и
Здесь £<1, и значение количества и не может быть меньше того значения,
2
которое соответствует равенству cos θ = ~ cos α, когда Nr = 0. Из этого ра-
о
венства мы путём простого тригонометрического преобразования выводим:
ИЛИ
2£2И2_1== 2 (2/е2—1).
о
Решая это уравнение относительно количества и2, находим:
таким образом, предыдущий интеграл имеет место при значениях количества и,
) довлетворяющих неравенствам:
Переходя к рассмотрению второго этапа движения балки АВ, замечаем,
что, так как балка АВ уже не будет упираться своим концом А в
вертикальную стенку, реакции N' существовать больше не будет, и уравнения
движения (38.1) для второго этапа движения балки будут иметь вид:
Ж 4^ = 0, Μ^- = Ν" — Ρ, Jc^ = N"/sinb,
at- ώ- at-
где будет η = / cos θ. Из первого уравнения следует, что во втором этапе
движения балки горизонтальная слагающая скорости центра тяжести балки
постоянна и равна значению этой слагающей в конечный момент времени
первого этапа. Так как конец первого этапа движения характеризуется
условием cos 0 = -5- cos α, то в этот момент времени должно быть:
о
т. е.

§ 190] примеры 367
/71- /-/Π
Но мы имели —γ = /cos Ъ-—\ поэтому в конечный момент времени первого
ьгапа будет:
Следовательно, в течение всего второго этапа горизонтальная проекция
скорости её центра С тяжести будет равна:
cos a
Y'2gl cos a,
и параметр ζ будет возрастать пропорционально времени. Что касается
вертикальной слагающей скорости центра тяжести С балки в конечный момент
времени первого этапа движения, то, так как будет:
она будет равна:
Чтобы найти собственно уравнение движения балки во второй этан её
движения, можно исключить реакцию N" из второго и третьего
дифференциальных уравнений, но лучше воспользоваться интегралом эьергии, который
должен иметь место в течение всего второго этапа движения, так как работа
реакции N" равна нулю, сила же тяжести имеет силовую функцию U = —Mgri%
Таким образом, мы получим:
ТМ1Ы) +Ы) Г^
dt
Так как производная -^- постоянна, то, включая ее в произвольное
постоянное h, будем иметь:
или
1 (jc + № sin*-' θ) (^.)а = Λ - Mgl cos θ.
Чтобы определить произвольное постоянное h, заметим, что в начальный
момент времени второго этапа движения балки, который совпадает с
конечным моментом времени первого этапа, будет:
Jo + Ml* sin2 θ = Jc + Ml* — MP cos"·; θ = JA — -i /И/2 cos'·* a,
t2
2
Mgl cos θ s=s ~r Mgl cos a.

368 ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В ЕЁ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. ХХХущ
Таким образом, мы получим:
h = -jj- (jA — -ц- Ml- cos'2 cc j cos α -|- — Mgl cos a.
Следовательно, будет:
rfO /~2(Λ — /We/cos 0)
di r Jc -f- Ml·* sin- (J
где количество h уже известно, или
l/ —^'-^t У ί/0 = ^/.
г 2 (h. — Mgl cos 0)
Сделав замену переменного ζ = cos 0, получим:
sin 0 У 1 — sp
и, таким образом, будем иметь:
J л — Alfiz*
-4т-г^п ^ dz = di.
Мы видим, что интеграл от левой части не может быть выражен через
элементарные функции. Таким образом, во втором этапе движения балка является
материальной системой с двумя степенями свободы, положение которой
определяется двумя параметрами: ξ и 0, и только что было показано, как эти
параметры связаны со временем.

ГЛАВА XXXIX.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА
ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ.
§ 191. Углы Эйлера и зависимости проекций угловой скорости
абсолютно твёрдого тела от углов Эйлера. Предположим, что
абсолютно твёрдое тело движется таким образом, что одна точка тела
остаётся при этом движении неизменно связанной с какой-нибудь
инерциальной системой отсчёта; мы обозначим эту точку через О.
В дальнейшем для краткости мы будем называть такую точку
«неподвижной точкой». Конечно, это выражение условно, ибо, как мы
знаем, ничего абсолютно неподвижного в природе установить нельзя.
Заметим, что точка О может находиться как внутри абсолютно
твёрдого тела, так и быть вне этого тела; в последнем случае она должна
мыслиться неизменно связанной с движущимся телом посредством
каких-нибудь связей, например посредством воображаемых абсолютно
твёрдых, лишённых массы стержней. Построим какую-нибудь
прямоугольную систему координат Οχ^λζλ, неизменно связанную с
рассматриваемой инерциальной системой отсчёта и имеющую начало в точке О;
с другой стороны, вообразим вторую прямоугольную систему
координат Охуг с тем же началом О, неизменно связанную с движущимся
абсолютно твёрдым телом. Очевидно, что движение абсолютно твёрдого
тела будет известно, если мы будем знать движение системы
координат Oxyz относительно неподвижной системы Ox1y1zl. Введём девять
углов, которые оси системы Охуг образуют с осями системы Oxxyxzx\
пусть эти девять углов определяются следующей таблицей:
У\
• ζι
X
α'
о."
а'"
У
V
Ζ
f
Υ'
у/г
24 Зак. 487. А. И. Некрасов.

370 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ.
Из аналитической геометрии известно, что между девятью косинусами
этих углов должны иметь место шесть соотношений:
cos2 α7 -f-cos2β'
cos α7 cos a" -|- cos β7 cos β" -|- cos γ7 cos γ77 = 0,
cos2 a" + cos2 β" +cos2y"=1,
cos a" cos a'77 + cos β" cos β"' + cos γ" cos γ"' = 0,
cos2 a"' + cos2 β'" + cos2 f = 1,
cos a"' cos a7 + cos β777 cos β7 + cos f cos γ7 = 0,
или, иначе, следующие шесть соотношений:
cos2 a7 + cos2 a" + cos2 a!" = 1,
cos a7 cos β7 -f- cos a" cos β" + cos a!" cos β"7 = 0,
cos^7 + cos^'7 + cos^'" = l,
cos β7 cos γ7 + cos β" cos γ" + cos β"' cos γ777 = 0,
cos2 Υ + cos2 Υ + cos2 γ777 = 1,
cos γ7 cos a' -f- cos γ77 cos a77 -\- cos γ777 cos a777 = 0.
Если между девятью количествами имеется шесть соотношений, то
это означает, что не все девять количеств будут независимыми, а будут
независимыми лишь три количества, так как из шести имеющихся
соотношений можно шесть количеств выразить через три остальные
количества, принятые за независимые. Таким образом, абсолютно
твёрдое тело, одна точка которого соединена с инерциальной системой
отсчёта, т. е. по принятой условной терминологии неподвижна,
представляет систему с тремя степенями свободы. Было предложено
несколько различных видов трёх параметров, которыми возможно
определять движение абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной точки.
Из них первыми по времени и наиболее ясными по своему
геометрическому смыслу являются три параметра, введённых Эйлером; эти
параметры употребляются и по настоящее время наиболее часто.
Параметры Эйлера, или так называемые углы Эйлера ψ, Ο и φ,
определяются следующим образом. Рассмотрим упомянутую выше систему
координат Οχ^λζλ, неизменно связанную с инерциальной системой,
и систему координат Oxyz, неизменно связанную с абсолютно твёрдым
телом (черт. 308). За угол 0 принимается угол между положительным
направлением оси Oz и положительным направлением оси Οζλ\ угол θ
изменяется от 0 до тт. Рассмотрим прямую линию, по которой
плоскость Оху пересекает плоскость Ох^у^ эта прямая линия называется
линией узлов. За положительное направление линии узлов берётся
то её направление, в котором должен расположиться наблюдатель,
чтобы поворот от положительного направления оси Οζλ к положитель*

§191]
УГЛЫ ЭЙЛЕРА
371
ному направлению оси Oz ему казался выполнимым в положительном
направлении, т. е. против часовой стрелки; таков случай,
изображённый на черт 308, где направление ON линии узлов есть положительное
направление. За угол ψ принимается угол, на который должен
повернуться против часовой стрелки наблюдатель, расположившийся вдоль
положительного направления оси Οζλ, чтобы перейти взором от
положительного направления оси ΟχΎ к положительному направлению ON
линии узлов; угол ψ измеряется от 0 до 2π. Угол ψ называется углом
Черт. 308.
прецессии, а угол θ—углом нутации. Очевидно, что углы θ и ψ
определяют положение оси О ζ относительно системы Oxxyxzx, а тем
самым и положение плоскости Оху. Для установления положения
осей Ох и Оу в плоскости Оху Эйлером введён угол φ, на который
следует повернуть линию узлов против часовой стрелки вокруг
положительного направления оси Oz, чтобы привести её положительное
направление ON в совпадение с положительным направлением оси Ох\
угол φ изменяется от 0 до 2π. Мы видим, что тогда как углы ψ и О
определяют положение оси О ζ относительно системы координат Ox^y{zly
угол φ определяет поворот абсолютно твёрдого теля вокруг оси Oz.
Очевидно, что если положение абсолютно твёрдого тела задано, то
всегда можно найти значения углов ψ, Ο, φ Эйлера для этого
положения; обратно, если даны значения углов ψ, Ο, φ, то всегда можно
напти положение абсолютно твёрдого тела, соответствующее этим
значениям углов Эйлера.
Из черт 308 видно, что бесконечно малое вращение вокруг оси Οζί
изменяет угол ψ в угол ψ-f-flty, бесконечно малое вращение вокруг
оси ON изменяет угол 6 в угол Ь -\-db и бесконечно малое вращение
24*

372 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ΧΧΧΐχ
вокруг оси Oz изменяет угол φ в угол о-{-do; следовательно, угловые
скорости соответствующих вращений должны быть отложены вдоль
осей Ozv ON и Oz, причём мы видели, что ось ON перпендикулярна
к плоскости, определяемой осями Ozl и Oz, т. е. должно быть ON J_ Oz.
Обозначим векторы угловых скоростей врящения вокруг осей Ozly Ol\f
и Oz соответственно через ψ7, О7 и φ7. Из кинематики (т. I, § 86 и 87)
известно, что движение абсолютно твёрдого тела, имеющего
неподвижную точку, во всякий момент времени с точностью до малых первого
порядка включительно можно представить как вращение этого тела
вокруг некоторой мгновенной оси; пусть будет ω мгновенная угловая
скорость вращения вокруг этой оси. Движение твёрдого тела вокруг
неподвижной точки О можно представить как состоящее из трёх
движений: вращения вокруг оси Οζι, при котором меняется только
параметр ψ, вращение вокруг оси ON, при котором меняется только 6,
и вращение вокруг оси Oz, при котором меняется только ср. Поэтому ψ',
θ7 и φ7 суть слагающие мгновенной угловой скорости ω соответственно
по осям Οζλ, ON и Oz. Складывая по правилу параллелограмма
векторы ψ' и φ7, мы получим для квадрата модуля результирующего
вектора выражение
22
так как этот результирующий вектор перпендикулярен к вектору Θ',
то должно быть:
α^ = ψ'2 4- 0/2 + φ/2 + 2ψν cos θ. (39.1)
Очевидно, что приведённые выше девять косинусов cos с/, cos β7, ...
..., cos $'", cos γ777 можно выразить через эйлеровы углы; ниже будут
даны эти выражения для косинусов углов α777, β"7 и γ777.
Мы знаем, что мгновенную угловую скорость ω можно определить
тремя её проекциями о)ж = ρ, ωυ = q, ωζ = г на оси подвижной
прямоугольной системы координат Oxyz, так что будет:
о)2 = (о^ + 4 + ш^. (39.2)
Отсюда следует, что проекции ωχ, ыу, ωζ мгновенной угловой
скорости ω абсолютно твёрдого тела можно выразить через углы Эйлера
и их производные по времени. Чтобы решить эту задачу, будем
проектировать геометрическую сумму
последовательно на оси Ох, Оу и Oz. Так как будет Oz±_0x, то
вектор φ7 при проектировании на ось Ох даст нуль; вектор Θ7 при
проектировании на ось Ох даст -j-07 cos φ; вектор ψ7 при
проектировании на прямую OK ±_ ON даст ψ7 sin 0 и, следовательно, при
проектировании на ось Ох даст ψ7 sin 0 cos ί-^-—<pj = ψ' sin 0 sin φ; наконец,

§ 191] углы Эйлера 373
правая часть геометрического равенства ω при проектировании на
ось Ох даст ωχ. Таким образом, мы получим:
ψ sin 0 sin φ -f- О7 cos φ = шж.
Так как будет Οζ _]_ Оу, то вектор φ7 при проектировании на ось Оу
даст нуль; вектор О7 при проектировании на ось Оу даст О7 cos (~ |-φ)=
= — О7 sin φ; вектор ψ7 при проектировании на прямую О К J_ O/V
даст ψ7 sin 0 и, следовательно, при проектировании на ось Оу даст
<!/ sin 0 cos φ; наконец, геометрическая сумма ω при проектировании
на ось О у даст ω^. Таким образом, мы получим:
Υ sin О COS φ — О7 sin φ = ay
Вектор φ7 при проектировании па ось Οζ даст φ7; так как прямая O.V
перпендикулярна к прямой О^, то вектор О7 при проектировании на
ось Οζ даст нуль; вектор ψ7 при проектировании на ось Οζ даст
<!/cosO; наконец, вектор ω, стоящий в правой части равенства, при
проектировании на ось Οζ даст ω2. Таким образом, мы получим:
ψ7 cos 0 -|- φ7 = ωζ.
Следовательно, искомые выражения проекций угловой скорости ω на
оси координат будут таковы:
= Ρ = 7# sin J sin ? τ "^7 cos ?»
/ ^ ^ = 5^sin ° cos f*~~dt sin ?'
(39.3)
Если углы Эйлера ψ, θ, φ заданы в функции от времени t, то из
формул (39.3), выполняя дифференцирование, мы найдём в функции
от времени t проекции ωχ, юу, ωζ угловой скорости ω абсолютно
твёрдого тела. Обратно, если проекции ωχ, ω?/, <χ>2 угловой скорости ω
в функции от времени t заданы, то из формул (39.3) видно, что для
разыскания углов ψ, Ο, φ Эйлера в функции от времени t необходимо
выполнить интегрирование трёх совместных дифференциальных
уравнений (39.3). Эга обратная задача значительно труднее прямой задачи,
и мы выполним её лишь для некоторых простейших частных случаев
движения.
Возводя формулы (39.3) в квадрат и складывая результаты
почленно, будем иметь:
(-sinOcos?--sin?j

374 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ΧΧΧΐχ
или
Таким образом, мы пришли вновь к формуле (39.1), как это и
должно быть.
Мы видели, что угловая скорость ψ' откладывается по оси Οζν
Чтобы спроектировать эту угловую скорость на оси Оху О у и Ог,
следует согласно таблице, приведённой в начале этого параграфа,
умножить количество ψ' соответственно на cos α'", cos β'" и cos γ'".
С дгугой стороны, из формул (39.3) следует, что для составления
проекилй угловой скорости ψ' на оси Ох, Оу и Ог надлежит
количество ψ' умножить соответственно на sin θ sin φ, sin θ cos φ и cos θ;
таким образом, мы имеем:
cos а'" = sin 0 sin φ, cos β"' = sin 0 cos φ, cos γ'" = cos θ. (39.4)
Остальные косинусы находятся более сложным путём.
§ 192. Кинетическая энергия и момент количеств движения
абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную точку. Чтобы
составить выражение для кинетической энергии Τ абсолютно твёрдого
тела, имеющего неподвижную точку, примем во внимание, что в любой
момент времени скорости всех материальных частиц тела будут
такими, как если бы в этот момент абсолютно твёрдое тело вращалось
вокруг некоторой оси Δ, проходящей через неподвижную точку тела;
как мы знаем, ось Δ называется мгновенной осью вращения твёрдого
тела. Рассмотрим какую-нибудь материальную чястицу Л абсолютно
твёрдого тела, имеющую массу т, и пусть будет ЛВ расстояние
частицы Л от оси Δ. Если ω есть мгновенная угловая скорость
вращения абсолютно твёрдого тела вокруг оси Δ, то модуль скорости
частицы Л будет равен ΑΒω, и кинетическая энергия частицы А
будет равна -^ т (ΑΒ)-ω2. Мы получим кинетическую энергию Τ
твёрдого тела по формуле (35.28):
где сумма берётся по всем материальным частицам абсолютно
твёрдого тела. Вынося общие множители за знак суммы, мы будем иметь:
Но согласно определениям § 178 ^т(ЛВ)2 есть момент инерции 7Δ
твёрдого тела относительно оси Δ. Если ось Δ образует углы α, β, γ
с неизменно связанными с телом осями прямоугольной системы коор-

§ 192] КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 375
динат Oxyz, имеющей начало в неподвижной точке О, то по
формуле (36.15) будет:
+ С cos2 γ — 2D cos β cos γ — 2Ε cos γ cos α — 2F cos α cos β.
•Следовательно, мы получим:
= i (Лео2 cos2 α -|- £ω2 cos2 β -f Си2 cos2 γ — 2Do>2 cos β cos γ —
— 2Εω2 cos γ cos α — 2/чо2 cos a cos β).
Так как ось Δ есть ось вращения, на которой лежит вектор ω, то
мы имеем:
ω cos α = ωχ = /?, ω cos β = co/y = g, ω cos γ = ω. = г;
таким образом, мы приходим к следующей формуле для кинетической
энергии абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную точку:
Τ = у (Λω% + Во>1 + С*1 — 2Dayo, — 2£ωΛ — 2Fu>x<*y), (39.5)
или в других обозначениях:
1 (39.6)
Если система координат Ол:^, неизменно связанная с твёрдым телом,
взята таким образом, что её оси Ох, Оу и О ζ для неподвижной
точки О служат главными осями инерции этого тела, то должно быть
D = Ε = F = 0, и для кинетической энергии Τ абсолютно твёрдого
тела мы будем иметь следующее выражение:
Т = 1(Лс4 + В<4 + Со4 (39.7)
или в других обозначениях:
Г== 1.(^2 + ^+02). (39.8)
Эти две последние формулы для кинетической энергии употребляются
наиболее часто.
Определим теперь момент количеств движения абсолютно твёрдого
тела, имеющего неподвижную точку, относительно этой неподвижной
точки. Обозначая попрежнему неподвижную точку тела через О, мы
для вектора скорости ν (т. I, § 87) какой-нибудь входящей в состав
тела материальной частицы А с массой т будем иметь:
ν == ω χ г,

376 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXIX
где г есть радиус-вектор частицы Л, проведённый из неподвижной
точки О. Поэтому момент количества движения частицы А
относительно точки О будет равен:
г χ mv = г X т (ω X г) = т\г Χ (ω χ r)\.
Следовательно, по формуле (35.15) для момента L относительно
неподвижной точки О количеств движения абсолютно твёрдого тела
мы получим:
где сумма распространена на весь материальный объект. Чтобы
преобразовать векторное произведение г X (о>Хг), обратимся к
кинематике (т. I, § 79), где была выведена следующая формула:
ω Χ (ω χ г) = (ω · г) ω — ω2/·.
Заменяя в этой формуле векторы ω и г соответственно на векторы г
и ω, мы получим:
Так как будет г Χ ω = — (ω Χ г), то мы будем иметь:
г χ (ω χ г) = /-2ω — (г - ω) г.
Отсюда мы находим для искомого момента количеств движения L
абсолютно твёрдого тела следующее выражение:
ι* = 2 т/'2®—2 т (г ·ω) *%
или
L = ω 2 m (** +.у2 + г*) — 2 "г (*°· +УШ» + ^ Г'
Вводя проекции векторов Z,, (О и г по формулам:
£ = iLx + Яг, + А^, ω = /ω,, +./Ч,
мы приходим к следующим выражениям:
= ω/7 2 т (х*+у* 4" ^2) — Σ т (χωχ -^у^у 4- ζω.)у,
+S- + .
m(y°- + .
z ) — ju
Ζ2) — ω7/
ИЛИ
^ = O)a;2//I (У2 ~Ь Ζ<Σ) ω// 2 тХУ ω2 2 niZX)
L2 = — ωτ 2 ηιζχ— ωγ 2 ?nyz 4~ ω2 2 m

§ 192] КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ 377
Отсюда, обращаясь к формулам (36.1), (36.2), (36.5) и (36.6), мы
получим:
Lx = Aa>x — F^y — Εωζ> )
L, = — /4,+ £«>,, — £>«,,, } (39.9)
Lz=— 4-£% + Ca>£; J
б других обозначениях будет:
x = Ap — Fq — Er,
(39.10)
Lz = —Ер —
Если оси Qxyz для неподвижной точки О абсолютно твёрдого тела
суть главные оси инерции, то мы будем иметь более простые
формулы:
г =Αω^ L,. = B(ufn ЬР = С<й„ (39.11)
Я/ А>* у ι)' Ζ Ζ* \ /
или в других обозначениях:
Lx = Ap, Ly = Bq, Lg = Cr. (39.12)
Обращая внимание на выражение для кинетической энергии через
количества ω^, ω^, ω2 или через количества р, q, г, мы получаем:
L —^- L - дТ L- дГ Г39 13^
х~ д<»х> ьу — ~щ;> L*~~d^> (м-щ
или
^ = 4^. ^=ΐ- А, = 4^. (39.14)
х dp J У dq ' z дг v ;
Формулы (39.13) и (39.14) представляют обобщение формулы
dV dV\2
и формулы
дТ д ( 1
которые мы имели для поступательного движения тела и для
вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Так как по
свойству однородных функций должно быть:
х д(ох ' у όω7, ' * do.).,
то мы получим:
«αΛ* + ωΑ + ωΑ = 27; или /71в + ^ + г^ = 2Г.

378 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXIX
Заметим ещё следующее. Направляющие косинусы угловой скорости ω
тела равны:
ν*χ + ωΙ + ωί У^х + <4 + ω* V <4 + <4 + ω«
а направляющие косинусы вектора L момента количеств движения
тела равны:
Βωυ
Отсюда мы приходим к следующему заключению:
Направление угловой скорости вращения абсолютно твёрдого
тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, вообще, не
совпадает с направлением момента количеств двиэ/сения этого
тела.
Слово «вообще» употреблено вследствие того, что в частных
случаях направления этих векторов могут совпадать. Например, если
эллипсоид инерции тела приводится к шару, т. е. если будет
А = В = С, то направления векторов ω и L совпадают; если
движение абсолютно твёрдого тела имеет такой частный вид, когда
(Од, = ω = 0, τ е. ось вращения тела совпадает с одной из главных
осей инерции, то направления векторов ω и L также совпадают,
причём оба эти вектора располагаются вдоль оси Οζ, τ. е. вдоль
одной из главных осей инерции.
§ 193. Динамические уравнения Эйлера. В § 191 были
выведены уравнения (39.3), устанавливающие связь между углами ψ, θ, φ
Эйлера и проекциями ωτ, ω^, шг мгновенной угловой скорости ω
вращения абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную точку О,
на прямоугольные оси координат Охуг, неизменно связанные с телом.
Таким образом, чтобы найти движение тела под действием
приложенных к нему сил, т. е. чтобы найти углы Эйлера как функции
времени, достаточно установить дополнительно к уравнениям (39.3)
зависимости между проекциями ω^, ω?; и ω2 угловой скорости тела
и приложенными к телу силами. Эти зависимости выражаются
уравнениями, носящими название динамических уравнений Эйлера,
применяемых и до сих пор; Эйлером они были даны в 1758 г., т. е.
•около двухсот лет назад.
Чтобы вывести уравнения Эйлера, будем исходить из векторного
уравнения (35.17):

§193]
ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
379
где вектор L есть момент относительно неподвижной точки О
количеств движения материальной системы, т. е. рассматриваемого
абсолютно твёрдого тела, а вектор Μ есть общий момент относительно
той же точки О всех приложенных к телу внешних сил, кроме
реакции, приложенной к телу в неподвижной точке О, так как
момент этой реакции относительно точки О тождественно равен нулю.
Этому векторному уравнению можно дать следующее, почти
очевидное, истолкование. Обозначим через К конечную точку вектора L>
имеющего начало в неподвижной точке О. Так как производная —
представляет вектор скорости точки К, то предыдущее векторное
уравнение обозначает, что скорость точки К и по величине и по
направлению равна общему моменту относительно точки О всех внешних
сил. Если постоянно будет Μ = 0, то будет £ = const, т. е. вектор
момента количеств движения абсолютно твёрдого тела будет
постоянным и по величине и по направлению. Так как мы пользуемся
подвижной системой координат Охуг, то, вводя локальную
производную (т. I, § 102), мы будем иметь:
dL
dt
dL
Локальная производная в этой формуле представляет относительную
скорость точки /С, а векторное произведение — переносную скорость
точки К. Таким образом, мы получим:
(39.15)
Так как будет:
dL
dt
dLx
dt
dLb
dL,
dt ' '" dt
:iMx+jMy + kMZJ
i j k
то из уравнения (39.15) мы будем иметь:
J + L L
dt
(39.16)

380 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXIX
Если оси Oxyz суть главные оси инерции, как их обыкновенно
и выбирают, то, применяя формулы (39.11), мы из уравнений (39.16)
получим уравнения Эйлера в их обычном виде:
(39.17)
В других обозначениях будет:
?—B)qr = Mx,
(39.18)
Эти уравнения имеют тот смысл, что проекция сложной скорости,
т. е. суммы относительной и переносной скоростей, точки К на
какую-нибудь из подвижных осей Oxyz координат равна проекции
на ту же ось общего момента внешних сил. Если оси Oxyz не суть
главные оси, то вместо выражений (39.11) придётся пользоваться
выражениями (39.9), и уравнения Эйлера примут более сложный вид.
Для решения задачи о движении абсолютно твёрдого тела, имеющего
неподвижную точку, необходимо интегрировать уравнения (39.17),
или, что то же самое, уравнения (39.18) совместно с уравнениями (39.3).
Отсюда мы заключаем, что эта задача относительно углов Эйлера ψ,
θ, φ есть задача второго порядка, так как дифференциальные
уравнения задачи для переменных ψ, θ, φ будут содержать вторые
производные по времени от этих переменных.
§ 194. Применение уравнений Эйлера. Всякая проблема
динамики математически приводится к дифференциальным уравнениям
второго порядка. Так и задача о движении под действием
приложенных сил абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную точку,
приводится к трём дифференциальным уравнениям второго порядка
относительно трёх неизвестных углов ψ, Ο, φ. Применяя уравнения
(39.17) и (39.3), мы заменяем три уравнения второго порядка
относительно неизвестных ψ, 6, φ шестью уравнениями первого порядка
относительно неизвестных ψ, Ο, φ, ωχ, ω?/, ω2. Эта замена приносит
непосредственную выгоду для решения, если уравнения (39.17) можно
интегрировать независимо от уравнений (39.3); к сожалению, такое
разделение уравнений бывает редко возможным. Задача на движение
абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, есть трудная

§ 194] ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА 381
математическая задача; по настоящее время известно общее решение
этой задачи лишь в трёх отдельных случаях, т. е. три таких
решения, в которых можно произвольно задать начальные значения углов
Эйлера и начальные значения их первых производных по времени.
Эти случаи следующие.
Случай Эйлера. В этом случае предполагается, что все силы,
приложенные к абсолютно твёрдому телу, приводятся к одной
равнодействующей силе, линия действия которой проходит через
неподвижную точку. Таков, например, случай движения тяжёлого тела,
неподвижная точка которого находится в его центре тяжести.
Очевидно, что в этом случае твёрдое тело движется по инерции.
Приблизительно через сто лет после получения Эйлером его решения
французский учёный Пуансо (1777—1859) дал в 1851 г.
геометрическое истолкование этого решения, позволившее с полной ясностью
представить всю картину движения твёрдого тела в случае Эйлера.
Случай Лагранжа. В этом случае предполагается, что эллипсоид
инерции абсолютно твёрдого тела для неподвижной точки есть
эллипсоид вращения, твёрдое тело — тяжёлое и центр тяжести тела лежит
на геометрической оси вращения эллипсоида инерции. Если за
геометрическую ось вращения эллипсоида инерции мы примем ось Oz,
то должно быть Л = 5и центр тяжести тяжёлого тела должен лежать
на оси Oz на некотором расстоянии h от точки опоры О.
Случай Ковалевской, В этом случае эллипсоид инерции для
неподвижной точки есть эллипсоид вращения, твёрдое тело — тяжёлое,
А = В = 2С, центр тяжести тела лежит в экваториальной плоскости
эллипсоида инерции.
Открытие русским учёным Софьей Васильевной Ковалевской
случая, названного её именем, повлекло за собой ряд работ,
посвященных движению абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную
точку. Хотя эти работы и содержат отдельные решения и разъясняют
задачу, но все эти решения носят частный характер, а не являются
общими решениями, так как они предполагают наличие разных
ограничений, которым подчинены начальные данные. В этой области у нас
работали: Герман Германович Аппельрот (1866—1943), Дмитрий
Константинович Бобылёв (1842—1917), Дмитрий Николаевич Горячев
(1867—1949), Николай Егорович Жуковский (1847—1921), Гурий
Васильевич Колосов (1867—1936), Болеслав Корнелиевич Млодзеевский
(1858—1923), Павел Алексеевич Некрасов (1853—1924), Владимир
Андреевич Стеклов (1863—1926), Сергей Алексеевич Чаплыгин
(1869—1942).
Теория движения твёрдого тела, имеющего неподвижную точку,
особенно подробно развита в применении к гироскопам, которые,
как известно, находят многочисленные приложения в современной
технике.
Как и во всякой динамической задаче, вместо того чтобы
определять, какое движение имеет абсолютно твёрдое тело с неподвижной

382 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. XXXIX
точкой под действием приложенных к нему сил, можно разыскивать,
какие силы следует приложить к телу, чтобы получить желаемое
движение. Аналитически в общем виде эта задача может быть
сформулирована следующим образом. Абсолютно твёрдое тело, имеющее
неподвижную точку, движется под действием заданных сил; требуется
найти, какие добавочные силовые моменты следует присоединить
к данным моментам, чтобы движение твёрдого тела определялось
уравнениями ψ=/1(/), 0=/2(/), ©=/3(*), где Д,/2 и/3 суть
заранее заданные функции времени t. Обозначая через АЖЖ, кМу и
АМ2 эти дополнительные моменты, мы из уравнений (39.17) будем
иметь:
В ^Г + <Л - С) ω*ω* = Μν
где согласно формулам (39.3) должно быть:
(ож = f[ (t) sin/2 (t) sin/3 (/) +/£ (t) cos/3 (ή,
?/ = /; (t) sin/2 (/) cos/3 (0 — Д (0 sin/8 (О,
«« = /i(0cos/2(0+/i(0·
Следовательно, мы приходим к равенствам:
(39.19)
Так как дополнительные моменты ΔΜΧ, LMy и A7kf2, приложенные
к абсолютно твёрдому телу, чтобы вызвать заданное движение ψ =/j (t),
θ=/2(/), o = fs(t) этого тела, должны иметь своим источником
воздействие каких-то материальных объектов, находящихся вне тела,
то по закону равенства действия противодействию абсолютно твёрдое
тело будет оказывать давление на эти материальные объекты с
моментами, равными по модулю, но прямо противоположными по
направлениям моментам АЛ4г, uMy и ΔΛίζ. Таким образом, если моменты
давления абсолютно твёрдого тела на внешние объекты мы обозначим

§ 195] примеры 38S
через (ΔΜΧ), (АМу) и (АМг), то будем иметь:
(Шх) = МХ-А*^--{С-В) ω^ω,,
„) = Ж„ —B-^L—(Л —Ο)ω^, } (39.20)
где количества ω^, ω^, ωζ в функциях от времени t определены
формулами (39.19). Мы видим, что если будет шж = ω,, = ω2 = 0, то из.
формул (39.20) мы получим:
или
Шх + Мх = 0, Шу + Λί ?у = 0, ЬМЛ + Ж, = 0.
Эти три уравнения суть уравнения статики твёрдого тела,
выражающие, что для равновесия тела моменты Мх, Му, Μζ должны быть
уравновешены дополнительными моментами. Но если абсолютно
твёрдое тело будет вращаться вокруг неподвижной точки, то из правых
частей уравнений (39.20) видно, что к моментам Мх, Му, Μζ
прибавятся ещё моменты, зависящие от движения тела, которые могут
быть очень велики, если движение абсолютно твёрдого тела очень
быстрое. Здесь мы получаем подтверждение положения, приведённого
в конце § 156 для материальной точки, что реакции при
динамических явлениях отличаются от реакций при статических явлениях.
Например, если мы рукой заставим ось Οζ вращающегося твёрдого
тела вокруг неподвижной точки О перемещаться определённым
образом, то из формул (39.20) мы получим выражения для проекций
момента той пары сил, с которой тело будет давить на нашу руку;
если действие руки прекратится, то тело будет двигаться таким
образом, чтобы эти дополнительные моменты обратились в нуль.
§ 195. Примеры. 156. Дано: ψ = \ύ, θ = β0, φ = ni; где μ, θ0 и п суть
постоянные; найти проекции ωχ, &у, ωζ и изучить движение тела. Так как мы
имеем -~- = μ-, ~-rr = 0, ~- = п, то по формуле (39.1) модуль мгновенной
угловой скорости тела будет постоянным и будет равен ω = "/"μ2 -j- л2 -f- 2\lh cos 0o.
Из определения углов Эйлера следует, что ось Οζ наклонена под постоянным
углом θ0 к неподвижной оси Gz^ и вращается вокруг этой неподвижной
оси с постоянной угловой скоростью μ, само же твёрдое тело вращается
вокруг оси Οζ с постоянной угловой скоростью п. Применяя формулы (39.3),
мы получим:
Шд, = μ sin θ0 sin tit, изу = μ sin 0o cos ni, ωζ = μ cos 60 -f- n.
Так как модуль угловой скорости ω постоянен, а проекция ω2 этой скорости
на подвижную ось Οζ также постоянна, то мы заключаем, что вектор ω
описывает прямой круглый конус вокруг оси Οζν Мы имеем в этом случае
прецессионное движение, рассмотренное в кинематике (т. I, § 86).

384 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ΧΧΧΐχ
157. Дано:
ψ = μ£— α sin )i,
θ = 0o + β cos λ*,
φ = nt -f- γ sin It,
где μ, θ0, η, α, β, γ, λ суть постоянные, причём α, β, γ суть малые количества,
квадратами и произведениями которых можно пренебречь; найти проекции шж,
о>у, ωζ. Из данных выражений мы находим:
_5^_ = μ. _ αχ COS U = μ. Λ — α — COS λΛ ,
~-^- = η + γλ cos λ/ = л (1 + Τ—
cos
ли с точностью до малых первого порядка включительно:
sin θ = sin (θ0 + β cos λ^) = sin Go + β cos θ0 cos λέ
cos θ0 = cos (θ0 -f- β cos λ*) = cos θ0 — β sin θ0 cos \l =
= cos θ0 (1 — β tg θ0 cos λ/),
sin φ = sin (ni-\- γ sin It) = sin nt + γ cos ni sin \i =
= sin nt (1 + γ ctg ni sin It),
cos φ = cos (nt + γ sin λέ) = cos nt — γ sin nt sin \t =
= cos nt (1 — γ tg /г/ sin It).
'Поэтому, обращаясь к формулам (39.3), мы получим:
'•»х = V- {} — α — cos λ0 sin θο (1 + β ctg θ0 cos It) sin nt(\ + TCtg /lisln λ/) —
— βλ sin U cos nt (1 — γ tg лг sin λ/),
(ο^μΠ — α — cos λ/-J sin θ0 (1 + β ctg θ0 cos It) cos nt(\ — γ tg nt sin It) +
+ βλ sin It sin /г/ (1 + γ ctg /ΐί sin λ/),
. ωβ = μ (l — α — cos λΛ cos θ0 (1 — β tg θ0 cos It) + η (l + γ A- cos λΛ
Отсюда, удерживая лишь члены до первого порядка малости включительно,
мы найдём:
/^ = μ sin 0osin /z^ — αλ sin θ0 sin /z/ cos λ^ +
+ β (μ cos θ0 sin nt cos It — λ cos nt sin λ/) + γμ sin θ0 cos nt sin λ^
&y z= μ sin θ0 cos /г^ — αλ sin θ0 cos nt cos λ^ +
+ β (μ cos θ0 cos ni cos λ^ -|- λ sin nt sin \t) — γμ sin 00 sin ni sin \t;
u>z = μ cos θ0 -}- η — αλ cos 0o cos \t — βμ sin θ0 cos λ^ -f- γλ cos λ/.
Мы видим, что выражения для проекций угловой скорости тела содержат
части, соответствующие прецессии, и малые добавки к ним периодического
характера, так что мгновенная ось вращения тела, двигаясь, всё время
колеблется около тех положений, которые она должна была бы принимать при
чистой прецессии.

§ 195| примеры 385
158. Составить }равнения движения тяжелого однородного эллипсоида
вращения вокруг неподвижной точки, лежащей на геометрической оси
вращения эллипсоида выше центра тяжести этого эллипсоида и отстоящей от
центра тяжести на расстояние /. Дано, что масса эллипсоида равна М, полуось
вращения равна г, а радиус экватора равен а. Так как центр тяжести
однородного эллипсоида лежит в его геометрическом центре, то геометрические
оси эллипсоида будут его главными центральными осями инерции. Согласно
выведенным формулам примера 147 § 179 моменты инерции относительно
главных центральных осей инерции для рассматриваемого эллипсоида будут
р«1вны:
4-/И («- + £-), 2-Μ а-.
о о
Обозначая неподвижную точку через О, проведём ось Οζ в направлении
геометрической оси вращения эллипсоида; тогда оси Ох и Оу будут расио-
ложены параллельно плоскости экватора рассматриваемого эллипсоида и οί-
поягь от экватора на расстоянии /. Так как согласно § 178 эти оси Ох, Оу,
Οζ будут главными осями инерции, то для них мы будем иметь:
Л = В = ~М (я-* + с2) + Ml-, С = -=- Ma-, D = Ε = F = 0.
D о
По условию задачи на эллипсоид действует одна активная сила, а именно,
его вес, равный Mg, и реакция, приложенная в неподвижной точке О.
Реакция, как мы знаем, в уравнения Эйлера не входит. Если мы направим
неподвижную ось ΟζΛ вертикально вверх, то проекция на неё веса эллипсоида
будет равна —Mg. Следовательно, проекции веса эллипсоида на подвижные
оси Oxvz будут равны:
Хе = — Mg cos α"', Уе = — Mg cos ψ», Ze=—Mg cos γ"',
или согласно формулам (39.4) ещё иначе:
Хе = — Mg sin θ sin φ, YG = — Mg sin 6 cos φ, Ze = — Mg cos Θ.
Так как координаты центра тяжести эллипсоида относительно осей Oxvz
равны (0. 0, — /), то мы получим:
Lx = yZe — zYe == — Mgl sin 0 cos cp,
Ly = zXe — xZe — -f Mgl sin θ sin φ,
Lz = xYe-yZe = 0;
последнее равенство очевидно, так как сила Mg пересекает ось Οζ. После
этих вычислений уравнениям (39.17) Эйлера можно придать вид
\j Μ (α- — с*) —
Г-- Μ (с2 — а-
Из последнего уравнения следует, что должно быть <иг = k, где k есть
постоянное. Поэтому после сокращения на Μ можно представить два первых
уравнения в виде
25 Зак. 487. Α. П. Некрасов.
ή *%- + м (ii=£ + ρ) «χ = gi su, θ sm ,.

386 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ [ГЛ. ΧΧΧΐχ
Конечно, к этим уравнениям следует присоединить ещё уравнения (39.3) при
условии <ог = к. Мы видим, что в этой задаче дифференциальные уравнения
лвижения твёрдого тела уже не разделяются на тройку независимых
уравнений, содержащих только функции ωχ, ω^, тг, и на тройку уравнений (39.3).
1£9. Дано: ωχ = ωυ = О и to,. = к, где к есть постоянное; определить
\ глы Эйлера ψ, 6, φ. Ьз уравнений (39.3), а именно:
ωχ = — Sin 6 sin φ + — COS φ,
tay = ~~ Sin θ COS φ — — Sin φ,
5
мы выводим:
-— = ωχ COS φ — ω?/ Sin φ, -jr- Sin θ = ωχ Sin φ -f ω?/ COS φ.
Гак как ω^, = ω у = 0, то мы получим:
— = 0, ¥sme = 0,
ι. e. 0=0o и ψ=Ψο» где θ0 и ψ0 суть произвольные постоянные. Тогда из
d'$
1ретьего уравнения мы будем иметь —jj=k, т. е. <p = £/-f-?0. где φ0 есть
произвольное постоянное. Таким образом, ось вращения твёрдого тела имеет
неизменное направление в пространстве, определяемое углами ψ0 и Go Эйлера,
π твёрдое тело вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью,
равной к.
160. Вывести выражение для кинетической энергии 71 абсолютно твёрдого
тела, имеющего неподвижную точку О и моменты количеств движения этого
тела относительно связанных с телом осей прямоугольной системы координат
Oxyz, исходя из выражений проекций линейной скорости точек этого тела
на оси системы Охуг. Рассмотрим какую-нибудь материальную частицу А
с массою тп абсолютно твёрдого тела, имеющую в момент t координаты
(х, у, ζ); тогда, обозначая через ω вектор мгновенной угловой скорости тела,
для проекций линейной скорости (Кинематика, § 82) частицы А твёрдого тела
на оси системы Oxyz мы соответственно будем иметь:
WyZ — ω-Д', ωΣΧ — &χζ, ^хУ — <&jfX'
следовательно, кинетическая энергия материальной частицы А будет равна:
У ΜωΙ'ζ ~~ 0УгУУ2 + (°>гХ — ωχ?)'2 + (^хУ — ω?,Λ')2] =
Отсюда из формулы (35.24), вынося общие множители за знаки сумм, для
кинетической энергии Τ абсолютно твёрлого тела, имеющего неподвижную
ι очку, мы получим:
тг К 2 т(у~ + ζ'1} + °4 ^j т (z~+ х~) + °>12 +-
2
mzx ~~ 2ωπων 2

§ 195] примеры 387
Применяя к этой формуле обозначения (36.1), (36.2), (36.5) и (36.6), мы вновь
придём к формуле (39.5):
Τ = -1 (ΑωΙ + Ви>1 + О»: — 2Doyo. — 2£ω, ωχ — 21\с юу).
Так как моменты скорости частицы А относительно осей Ох, Оу и О ζ будут
соответственно равны:
у (пху — ωνχ) — ζ (о)гХ — ωχζ) = ωχ (у~ + Ζ2) — юуху — <огхг,
Ζ (ωνζ — о>гу) — Χ (ωχ)? — <оух) = — ω^νΧ + ω?/ (Ζ- + Χ2) — ω^'Ζ,
Χ (oi2X — ωχζ) — у (ω?/ζ — <огу) = — <*ΧΖΧ — ω,,Ζ}> + ω. (jf2 + y*)t
то проекции Аж, Z.?/, Lz момента количеств движения L абсолютно твёрдого
тела представятся согласно формулам (35.16) выражениями:
Lx = ω,ρ 2 ^ СУ' + ^2) — ω?/ 2 WA^ ~~ юг 2
^=—ω^ 2 mzx -"ω?/ 2/7г2^+ω2 2//г
или, принимая во внимание обозначения (36.1), (36.2), (36.5) и (36.6),
выражениями:
Таким образом, мы снова приходим к формулам (39.9).
25*

ГЛАВА XL.
СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА.
§ 196. Уравнения движения абсолютно твёрдого тела в
случае Эйлера и их первые интегралы. Случаем Эйлера движения
абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, называется
такой случай, когда на абсолютно твёрдое тело или совсем не
действуют внешние силы, или все внешние силы приводятся к одной
равнодействующей, линия действия которой проходит через
неподвижную точку. Так как реакция приложена к твёрдому телу в его
неподвижной точке, то в случае Эйлера общий момент Μ всех сил,
приложенных к твёрдому телу, относительно неподвижной точки О
равен нулю, т. е. Мх = 0, Му = 0у Мг = 0. Поэтому уравнения
движения абсолютно твёрдого тела в случае Эйлера имеют вид:
В
fc-f-(.4 —<?)«,«, = О, >
(40.1)
уравнениям Эйлера присоединяются уравнения:
d^i f t ί/θ
ω r = -τι- sin ό sin φ -f- -^τ- COS φ,
ων = ^f Sin 6 COS φ — ^- Sin φ,
— .
(40.2)
Мы видим, что система шести дифференциальных уравнений первого
порядка с шестью неизвестными функциями ω^, ω^, ω2, ψ, 0, φ
разделилась таким образом, что сначала можно интегрировать три
уравнения (40.1) независимо от уравнений (40.2), а затем интегрировать эти
три уравнения (40.2).
Уравнения (40.1) имеют два первых интеграла, которые можно
получить как из общих принципов, так и непосредственным
интегрированием самих уравнений (40.1); мы применим оба эти приёма.

§ 196] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА 3ϊ$
Прежде всего, из теоремы кинетической энергии мы знаем, что
дифференциал dT кинетической энергии твёрдого тела равен сумме
элементарных работ всех приложенных к телу сил (§ 172). Так как-
элементарная работа всех внутренних сил абсолютно твёрдого тела
равна нулю (§ 179), а работа сил, приложенных к точке О, равна
нулю вследствие неподвижности точки О, то будет dT=Of т. е.
Г = ~ (Ла>; -j- В<»1 + Саф = const,
или
Ао>1 + Яа>2 л- Cur = h, (40.3)
где h есть произвольное постоянное. Интеграл (40.3) есть интеграл
энергий в случае Эйлера. Чтобы вывести его непосредственно из
уравнений (40.1), умножим первое уравнение на шХУ второе — на <оу/,
третье — на ω2 и сложим результаты; мы получим:
или
~dt
т. е.
— (Ло)2 -j- Вт2у А- Ссор = const.
Чтобы получить следующий первый интеграл, заметим, что
уравнения (40.1) Эйлера выражают, что проекции полной скорости
конца К вектора L на оси Oxyz всегда равны нулю; отсюда
непосредственно получается интеграл именно £== const (§ 193), т. е.
вектор момента количеств движения абсолютно твёрдого тела в
случае Эйлера остаётся постоянным и по модулю и по направлению.
Так как модуль вектора L равен:
то должно быть:
Л2о>1 + B2*l + C-V. = Н\ (40.4)
где Η есть постоянное. Интеграл (40.4) есть также интеграл
момента количеств движения в случае Эйлера, но в этой форме
интеграл несколько уже векторного интеграла L = const, так как из
векторного интеграла следует, что момент количеств движения должен
быть постоянным и по модулю и по направлению, а интеграл (40.4)
показывает лишь, что момент количеств движения постоянен по
модулю, но остаётся ещё открытым вопрос, будет ли он постоянен
и по направлению. Интеграл (40.4) можно получить непосредственно

390 СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА [ГЛ. XL
из уравнений (40.1). Умножая первое уравнение на ΑωΛ, второе — на
βω и третье — на CV, мы получим:
откуда
Чтобы проинтегрировать уравнения (40.2), необходимо знать
проекции угловой скорости <ах, ω?/, ω2, но из двух интегралов (40.3) и
(40.4) определить три количества ωΓ, ω;/, ω3 нельзя; поэтому
необходимо получить ещё третий интеграл уравнений (40.1). В следующем
параграфе будет показано, как это можно сделать в разных случаях.
Составляя скалярное произведение ω · L, мы найдём:
ω . L = ω ν Αωχ -j- o);fB<uy -f- ω,Οω,,
или
ω · L = Ло)2 + θω'^ + Сш: = 2Γ.
Так как в случае Эйлера кинетическая энергия Τ абсолютно твёрдого
тела постоянна, то мы находим:
ω . L = ωΖ. cos (ω, Ζ,) = const. (40.5)
Так как в случае Эйлера модуль L вектора L постоянен, то мы
приходим к положению, что проекция ω cos (ω, L) угловой скорости
абсолютно твёрдого тела на вектор момента количеств движения тела
для случая Эйлера постоянна. Это положение напоминает свойство
второго инварианта системы сил, согласно которому проекция общего
момента системы сил на результирующую силу есть для данной
системы сил постоянное количество (т. I, § 49). Нахождение проекции
ω^, ω?/, ω: угловой скорости ω абсолютно твёрдого тела в случае
Эйлера удобно производить различными способами в зависимости от
г'.ида эллипсоида инерции тела, как это ясно будет видно из
дальнейшего изложения.
§ 197. Интегрирование уравнений движения абсолютно
твёрдого тела в случае Эйлера. Метод Пуансо. Мы рассмотрим три
случая: когда эллипсоид инерции абсолютно твёрдого тела для
неподвижной точки приводится к шару, когда эллипсоид инерции будет
эллипсоидом вращения и, наконец, общий случай, когда эллипсоид
инерции будет трёхосным эллипсоидом.
Эллипсоид инерции есть шар. В этом случае должно быть
Л = В = С, и интегралы (40.3) и (40.4) принимают вид
А К + "I + ω?) = Λ>
^ = h, А%£ = Н'2.

§ 197] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 391
Отсюда мы заключаем, что будет:
о>2 = const, № = Ah.
Так как в этом случае ось вращения совпадает с постоянным и по
неличине и по направлению вектором L момента количеств движения
тела (§ 192), то тело будет вращаться вокруг оси неизменного
направления с постоянной угловой скоростью: направление оси вращения
абсолютно твёрдого тела и значение угловой скорости будут такими,
какими они были в начальный момент, когда тело было приведено во
вращательное движение. Уравнения Эйлера в этом случае принимают вид
о О
откуда получим:
шг. = const, ω/7 = const, ок = const.
Таким образом, не только угловая скорость ω будет постоянной по
модулю и направлению, но будут постоянными и проекции угловой
скорости на оси координат Oxyz, неизменно связанные с телом, что,
очевидно, и должно быть, так как при найденном движении абсолютно
твёрдого тела каждая из трёх осей Ox, Oy, Oz будет описывать
прямой круглый конус вокруг вектора ω, постоянного по своему
модулю и направлению.
Эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения. Предположим, что
будет Л = £; тогда третье из уравнений (40.1) примет вид -—2 = 0,
и мы получим третий интеграл уравнений (40.1) в виде cos = &, где к
есть произвольное постоянное. Таким образом, для определения
проекций шж, ω?/, ω. угловой скорости ω мы получаем три уравнения:
>; = a, Α* (ω; +
Отсюда следует, что сумма ar.-f-°r должна быть постоянной и
модуль ω угловой скорости, для которого мы имеем:
ω? = 0)1 ~Г % ~Ь ω^
также будет постоянным. Два первых интеграла можно представит!,
в виде
ЛШ2 -f (С — А) <»1 = /г, Λ2ω2 -f- (С2 — А*) с^ = Н'2.
Умножая первое из этих равенств на С~{~А и вычитая из него nio-
рое, получим:
[А (С -\- А) — Л2] о>2 = // (С — А) — Я2,
или
AC«P
отсюда находим:
, ι С-{-Л
AC AC ·

392 СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА [ГЛ. XL
Таким образом, в случае Эйлера для всякого тела, у которого
эллипсоид ингрции есть эллипсоид вращения, угловая скорость по модулю
определена, если заданы постоянные интегралов энергии и момента
количеств движения.
Возьмём неизменно связанную с инерциальной системой ось Οζλ
в направлении постоянного по величине и направлению вектора L
момента количеств движения абсолютно твёрдого тела; тогда мы будем
иметь (§ 191):
Лсоа. = L cos α'" = L sin 0 sin φ,
Ao)y = L cos У" = L sin 0 cos φ,
Гак как ωζ = k ■= const и L= const, то будет:
cos θ == —j- = const,
или θ = θ0, где θ0 есть постоянное. Таким образом, при движении
абсолютно твёрдого тела в рассматриваемом случае ось Οζ,
неизменно связанная с твёрдым телом, будет описывать вокруг прямой Οζχ
неизменного направления в пространстве прямой круглый конус
с углом при вершине, равным 20о. Чтобы найти углы ψ и φ Эйлера,
обратимся к уравнениям (40.2), которым в рассматриваемом случае
можно придать вид
ω* = Iti Sin θ° Sin ?> ω^ = Ш Sin θο C0S ?' ω* = d~dt C0S °° + % ;
на основании предыдущего отсюда получим:
Α -γ- sin θ0 sin φ = L sin θ0 sin φ,
ebb
A —j7 sin 0o cos φ = L sin 0o cos φ,
Из первых двух уравнений будем иметь:
т. е.
clt ~ A
или
где ψ0 есть произвольное постоянное. Тогда из третьего уравнения мы
найдём:
C\l cos 0о -f- С -£г == L cos θ0 = A\l cos θ0,

§ 197] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 393
или
отсюда мы получаем:
где φ0 есть произвольное постоянное. Окончательно для углов Эйлера
мы приходим к следующим соотношениям:
ф = ji/+ фо, 6 = θ0, φ = tlt-\- φ0,
т. е. рассматриваемое движение есть прецессия. Заметим, что это
прецессионное движение с постоянной угловой скоростью, с
которым мы уже неоднократно встречались ранее в настоящем курсе
механики, называется регулярной или правильной прецессией в
отличие от другого, похожего на прецессию, движения, с которым мы
познакомимся ниже при рассмотрении случая Лагранжа движения
абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную точку. Так как
выше мы положили:
А—С и
—-— ц. cos % = η,
то будет:
Сп + (С — A) у, cos θ0 = 0. (40.6)
Уравнение (40.6) связывает постоянные μ, θ0 и η между собой и с
моментами инерции Л и С абсолютно твёрдого тела, так что из трёх
постоянных [χ, 0о и η независимыми являются лишь два. Таким
образом, мы получаем всего шесть произвольных постоянных: два,
определяющих направление вектора L\ два постоянных ф0 и φ0; два из
трёх постоянных jx, η и 0о.
В частности, если будет 0о = 0, то из равенства
Α —Ϊ- sin 0о = L sin θ0
уже нельзя сделать вывода, что должно быть A-~ = L\ напротив,
производная -ή- может иметь любое значение. В этом случае мы будем
d /φ л. <i)
иметь сос = 0, ω^ = 0, ω2 = —^—!——, где будет Сш. = L. Так как
в этом случае плоскость Оху, неизменно связанная с телом, будет
совпадать с плоскостью Охг)\ и вращаться вокруг точки О, то
значение угла ψ будет неопределённым, и мы можем положить ψ = 0;
тогда будет:
^φ __ L __
~dt~ ~С~~П'
и мы получим:
0, L — Сп = 0.

394
СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА
[ГЛ. XL
Это движение будет характеризоваться следующими значениями углов
Эйлера:
<!/ = 0, 0 = 0, φ
т. е. абсолютно твёрдое тело будет вращаться с постоянной угловой
скоростью вокруг главной оси инерции, совпадающей как с
геометрической осью вращения эллипсоида инерции, построенного для
неподвижной точки, так и с моментом количеств движения
абсолютно твёрдого тела. Это будет иметь место всегда, если
однородное тело врлщения приведено во вращательное движение вокруг своей
ι еометрической оси вращения.
Так как в этом случае ось вращения и главный момент количеств
движения тела совпадают между собою по направлению, то ось
вращения абсолютно твёрдого тела должна иметь неизменное
направление в пространстве. Например, если в самом начале вращательного
Черт. 309.
движения рассматриваемого твёрдого тела его ось вращения была
направлена на Полярную звезду, то она всегда будет показывать на
Полярную звезду, как бы ни поворачивали подставку вращающегося
твёрдого тела, если только тело закреплено на подставке таким
образом, что при поворотах удерживающей тело подставки ось вращения
тела может сохранять своё направление в пространстве. Такое
закрепление вращающегося тела осуществляется при помощи карданова
подвеса, изображённого схематически на черт. 309. Карданов подвес
состоит из внешнего кругового кольца с\ могущего вращаться вокруг
оси i41i45?, и из внутреннего кругового кольца с'\ могущего вращаться
вокруг оси ΒλΒ^ прикрепленной к внешнему кольцу сг и
перпендикулярной к оси /^А-,. Вращающееся тело Μ насажено на ось СгС29

§ 197] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 395
прикреплённую к внутреннему кольцу с" и перпендикулярную
к оси ВгВ2. Очевидно, что благодаря такой системе подвеса ось
вращения тела Μ может принимать любое направление в
пространстве, причём точка О, совпадающая с центром тяжести тела Λί,
при всех поворотах в пространстве оси С^С^ сохраняет одно и то
же положение. За тело Μ берётся обыкновенно тело вращения,
симметриччое относительно его экваториальной плоскости. С
помощью такого вращающегося на кардановом подвесе тела можно
убедиться во вращении Земли, как на это указал Фуко; с
применением для той же цели маятника Фуко мы уже познакомились выше,
в § 161. В самом деле, мы знаем, что ось СЛС<> вращения
рассматриваемого тела Μ совпадает с неизменным в пространстве его
моментом количеств движения; поэтому, если в самый начальный момент
вращения тела Μ его ось вращения была направлена на какую-
нибудь звезду, например Бегу, то мы увидим, что эта ось вращения
будет всё время следить за этою звездою, т. е. перемещаться
относительно земных предметов. Но из изложенного мы знаем, что на
самом деле ось вращения тела Μ будет неподвижною; следовательно,
перемещаться относительно оси должны окружающие тело Μ преп-
меты, что и доказывает вращение Земли, которая увлекает в своём
вращении все окружающие тело Μ предметы.
Эллипсоид инерции есть трёхосный эллипсоид. В этом случае
третий интеграл в добавление к двум первым интегралам (40 3), (40.4)
можно получить следующим образом. Представляя интегралы (40.3)
и (40.4) в виде
1 = h — Сс«4
-22, Л2 2 , ri W2 2
Α ωχ -j- В ωυ = Η — С ω2
и определяя из этих выражений количества ο/ν и ω*,, мы получим:
А(В — A)o>l = hB — Η'2 — С(В — С) ш*, I
В{В — А)<»1 = № — Ah + C(A — С)*\. f (4°*7j
Отсюда мы будем иметь:
АВ(В — Л)2ш|ш2==
= {/ιΒ — Η2 — С (В — С) о)2] [Я- — Ah + C(A — С) ω-].
Извлекая квадратный корень, найдём:
= -^YlhB — Н*~ С(В — С)*1\[Н* — М + С{А — С)ш;\.

396 СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА [ГЛ. XL
После этих вычислений, обращаясь к третьему из уравнений (40.1 )г
мы приведём его к виду
V\hB—Я*—С (В — СТ^ПЯ2—Ah + С (A -^Cj^j = 0,
^ 4 j==
или
dio~ dt
Y\hB — Н* — С{В — Ο)ωζ\[Η2 — Ah-\- С (А — С) ω*]
Отсюда, интегрируя, находим:
5 — H* — C{B — C)> -ζ\\Ηλ—Ah-\-C{A — C)<a\\
= const £=. (40.8)
Уравнения (40.3), (40.4) и (40.8) и являются тремя уравнениями для
определения трёх проекций ω^, ω;/, ωζ мгновенной угловой скорости ω
вращения абсолютно твёрдого тела. Мы видим, что из уравнения (40.8)
время t выражается через количество ω2 эллиптическим интегралом,
так как под знаком интеграла стоит квадратный корень из
многочлена четвёртой степени. Отсюда, обратно, количество <αζ выражается
через время t эллиптической функцией от t\ после этого, исходя
из формулы (40.7), можно представить количества со?у и шж как
эллиптические функции времени t. Зная проекции ωτ, со/у, ω,
угловой скорости, можно из уравнений (40.2) найти выражения
эйлеровых углов ψ, 6 и φ через время t. Все указанные вычисления
достаточно сложны, и хотя в результате их и получаются формулы, которые
позволяют находить значения трёх эйлеровых углов для любого момента
времени, тем не менее представить наглядно на основании этих формул
получающееся движение абсолютно твёрдого тела оказывается
невозможным.
Мы получили соотношение (40.8), связывающее со временем t
проекцию <о2 мгновенной угловой скорости ω абсолютно твёрдого тела;
но, конечно, определяя из интегралов (40.3) и (40.4) проекцию ω;/
или проекцию <оХУ мы можем совершенно таким же путём получить
аналогичное соотношение и для любой из этих двух проекций
угловой скорости тела.
Заметим, что уравнения (40.1) имеют следующий очень простой
частный интеграл; именно, мы удовлетворим уравнениям (40.1)
предположениями:
где ω0 есть произвольное постоянное. Тогда из соотношений
Αων = L sin 0 sin φ, #ω;/ = L sin θ cos φ, Сш,. = L cos θ

§ 197] интегрирование уравнений движения 397
мы, как в предыдущем рассмотренном случае, получим:
6 = 0, 0 = 0, φ = -£■*+?<> = nt+ φο·
Так как все три геометрические оси трёхосного эллипсоида инерции
совершенно равноправны, то за ось Ог мы можем взять любую из
его трёх геометрических осей, и мы приходим к следующему
предложению:
Если абсолютно твёрдое тело, имеющее неподвижную точку,
приведено во вращательное движение вокруг одней из его трёх
главных осей инерции для этой нсподвиоюной точки, то тело
будет продолжать вращаться вокруг этой оси с постоянной
угловой скоростью, сама же ось вращения будет иметь неизмен-
нос направление в пространстве.
Конечно, этот легко представимый случай содержится, как весьма
узкий частный случай, в только что описанном общем случае движения
абсолютно твёрдого тел;1, имеющего неподвижную точку, когда его
эллипсоид инерции есть трёхосный эллипсоид.
На основании изложенного понятно, какое громадное значение для
изучения движения абсолютно твёрдого тела в случае Эйлера получила
появившаяся в 1851 г. работа Пуансо, в которой было дано
изящное геометрическое представление движения абсолютно твёрдого тела
к случае Эйлера без всяких ограничений движения. Работа Пуансо
имеет настолько большое значение, что сам случай Эйлера
называется иногда случаем Эйлера-Пуансо. Представление движения
абсолютно твёрдого тела, предложенное Пуансо, опирается на следующие
полученные им простые предложения.
Пусть будет
отнесённое к главным осям уравнение эллипсоида инерции,
построенного для неподвижной точки О абсолютно твёрдого тела. Для
определённости предположим, что будет:
С>В>Л;
так как эллипсоид инерции можно представить уравнением
* г·.£?
\2 ~
/J_\2 ' ( x V
то отсюда следует, что наибольшая, средняя и наименьшая полуоси
эллипсоида будут равны соответственно , и
Назовём полюсом ту точку Я на поверхности эллипсоида инерции, в
которой мгновенная ось вращения Δ твёрдого тела пересекает эту

398 СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА [ГЛ. XL
поверхность; пусть будут Х1У Уг, Z1 координаты полюса Ρ
относительно связанных с твёрдым телом осей Oxyz. Так как отношения
■^-, —^- и -^- представляют косинусы углов, которые ось Δ
образует с осями координат Oxyz, то, обозначая через /?г расстояние
ОР = V Х{ -\- Υ{ -j- Ζί, мы для координат полюса Ρ получим:
Так как полюс Я лежит на поверхности эллипсоида инерции, то его
координаты должны удовлетворять уравнению эллипсоида инерции,
т. е. должно быть:
ИЛИ
Отсюда, принимая во внимание интеграл (40.3), будем иметь:
т. е.
ω = ΐ/"Λ/?1, Ri=^. (40.9)
Формулы (40.9) можно выразить следующим обрязом:
Мгновенная угловая скорость вращения абсолютно твёрдого
тела в случае Эйлера пропорциональна радиусу-вектору полюса.
Из формул (40.9) следует, что проекции шж, ω?/, ω5 угловой
скорости вращения твёрдого тела выражаются через координаты полюса Ρ
следующими формулами:
ω!/=]/ΊΥ1, ω2 = Υ]ΙΖί. (40.10)
Далее, из аналитической геометрии известно, что уравнение
касательной плоскости Π к эллипсоиду инерции в точке Р(Хг, Υν Ζλ)
должно иметь вид
ΑΧΧΊ + ΒΥΥτ + CZZ1 = 1.
Вставляя в это уравнение значения координат Xv Yu ΖΊ полюса из
формул (40.10), получим:
Αω^Χ -j- В<ау Υ + C<&ZZ = Yh.
Разделим левую и правую части этого уравнения на модуль момента
количеств движения абсолютно твёрдого тела:
L = 1/>ш* + B'^l + GW = Н\

§ 197] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 399
мы будем иметь:
Γχτ~γ+ — ζ==Ί
или
* ζ
где отношения, стоящие множителями при количествах Χ, Υ и Ζ,
суть косинусы углов, образуемых вектором Ζ, с осями координат.
Из аналитической геометрии известно, что уравнение
χ cos α -J-j/ cos β -J- г cos γ — /? = 0
есть нормальное уравнение плоскости, в котором ρ представляет
длину перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала
координат, а α, β, γ — углы, образуемые этим перпендикуляром с осями
координат. Сравнивая нормальное уравнение плоскости с полученным
выше уравнением касательной .плоскости Π к эллипсоиду инерции
твёрдого тела, проведённой в полюсе, мы заключаем, что эта
касательная плоскость Π должна быть перпендикулярна к неизменному
в пространстве вектору L и должна отстоять от точки опоры О тела
лПг
на постоянное расстояние . Так как наибольшая полуось эллип-
1
соида инерции равна , а наименьшая полуось эллипсоида инер-
У А
ими равна -т=, то должно быть:
Из изложенного следует, что
Касательная плоскость к эллипсоиду инерции в полюсе
перпендикулярна к неизменному в пространстве вектору момента
количеств движения тела и отстоит от точки опоры тела на
постоянное расстояние.
Таким образом, касательная плоскость Π не может перемещаться,
как бы ни двигалось тело, увлекая в своём движении эллипсоид
инерции; эта касательная плоскость Π определяется начальными
данными движения абсолютно твёрдого тела, а именно: направлением
в пространстве вектора L, значением И модуля этого вектора L и
значением h удвоенной кинетической энергии тела. Так как полюс Ρ
лежит на мгновенной оси Δ вращения абсолютно твёрдого тела, то
скорость точки Ρ должна быть равна нулю. Так как эллипсоид
инерции тела касается плоскости Π в точке Р, то отсюда следует, что
эллипсоид инерции не может скользить по плоскости П, но может
только катиться по этой плоскости. После этого уже нетрудно
сформулировать следующее принадлежащее Пуансо представление
движения твёрдого тела в случае Эйлера:

400 СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА [ГЛ. XL
В случае Эйлера абсолютно твёрдое тело движется вокруг
своей точки опоры таким образом, что эллипсоид инерции тела
катится без скольжения по некоторой неподвижной в
пространстве плоскости с угловой скоростью, пропорциональной расстоянию
от точки опоры тела до точки прикосновения эллипсоида
инерции к этой неподвижной плоскости.
Геометрическое место точек Ρ на поверхности эллипсоида
инерции есть некоторая линия, которая называется полодией)
геометрическое место точек Ρ на плоскости Π есть некоторая линия, которая
называется герполодией. Если вообразить, что плоскость Π
закрашена свежей краской, то следы краски на эллипсоиде инерции после
его катания по плоскости Ы представят полодию, а те места на
плоскости П, с которых сошла краска, представят герполодию. Если
эллипсоид инерции приводится к шару, то очевидно, что никакого
катания шара с неподвижным центром по плоскости 11 быть не
может; шар может только вертеться вокруг неподвижного в
пространстве диаметра, причём полодия и герполодия будут точками. Если
эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то расстояние от
неподвижной точки О до точки Ρ будет постоянным и эллипсоид
инерции будет кататься по плоскости II с постоянной угловой
скоростью, т. е. мы будем иметь регулярную прецессию; полодия и
герполодия будут окружностями. Наконец, если эллипсоид инерции
будет упираться в плоскость Π концом одного из своих диаметров,
то он будет вертеться вокруг этого диаметра, который будет
сохранять неподвижное положение в пространстве. Таким образом, все
рассмотренные выше аналитически случаи охватываются
геометрическим представлением Пуансо. В общем случае движения твёрдого
тела с трёхосным эллипсоидом инерции главная трудность построения
модели движения состоит в том, что угловая скорость качения
эллипсоида инерции по неподвижной плоскости II не будет постоянной.
Однако эту трудность удалось преодолеть и построить прибор,
который точно воспроизводит движение абсолютно твёрдого тела вокруг
неподвижной точки при трёхосном эллипсоиде инерции; этот прибор
получил название герполодографа.
§ 198. Примеры. 161. Показать, что если эллипсоид инерции для
неподвижной точки абсолютно твёрдого тела есть трёхосный эллипсоид, то
регулярная прецессия у такого тела без воздействия извне невозможна. Чтобы
регулярная прецессия имела место, должно быть дано:
где μ, η, ψο> ^о и Ъ суть постоянные. Отсюда по формулам (40.2) мы будем
иметь:
ωχ = μ Sill θ0 Sin φ, ω^ = μ Sin θ0 COS φ, ωζ = μ COS 0υ -}- η = k,
где k есть постоянное, и
flfj . η ί/ω7/ . dm? _
= μ η sin θ0 cos φ, —-}■'- = — μ/ζ sin 0o sin φ, —~ = 0.
Jr = μ η sin θ0 cos φ, } = μ/ζ sin 0o sin φ,

§ 198] примеры 401
Вставляя значения проекций угловой скорости и их производных в
уравнения (40.1), получим:
00 COS cp -f- k (С— Β) μ Sin 0o COS φ = 0,
— B\m sin 0o sin φ + k (A — C) μ sin 0o sin φ = 0,
(В — Α) μ2 Sin2 0o Sin φ COS φ = 0.
Мы предположим для определённости, что будет £>£>А Сокращая
предыдущие равенства на множители, которые быть равными нулю не могут, мы
придём к равенствам:
An + (С — В) k = 0, — Вп + (А — С) k = 0, μ2 sin2 o0 = 0.
Последнее равенство может иметь место только в том случае, если будет или
μ = 0 или 0о = 0, что противоречит принятым данным. Что касается первых
двух равенств, то, исключая из них количества η и k, получим:
пли
С (В — А) = £2 _ а* = (В — А) (В + А),
т. е.
С=В + А.
Последнее равенство может иметь место только для плоской материальной
фигуры; для тела же всегда должно быть В + А > С. Таким образом,
регулярная прецессия существовать у рассматриваемого типа тел не может.
162. Вывести уравнения полодии. Рассмотрим связанную с абсолютно
твёрдым телом прямоугольную систему координат Οχγζ, относительно которой
уравнение эллипсоида инерции тела для неподвижной точки О будет:
Обозначим через Χν Υν Ζλ координаты точек полодии, т. е. координаты
мест полюсов Р. Так как точки Ρ лежат на эллипсоиде инерции, то должно
быть
С другой стороны, мы знаем, что будет:
Заменяя здесь проекции угловой скорости тела их выражениями (40.10) через
координаты полюса, получим:
42^ + B2K;+c2.Zi) = /A
ИЛИ
Уравнения
и являются уравнениями полодии, так как обоим этим уравнениям
удовлетворяют координаты полюса, а два уравнения с тремя текущими координатами
26 Зак. 487. А. И. Некрасов

402 СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА [ГЛ. XL
суть уравнения линии в пространстве. В целях большей наглядности
представления мы заменим второе уравнение комбинацией обоих уравнений, для
чего умножим обе части первого уравнения на —г- и вычтем результат
из второго; мы будем иметь:
это есть уравнение конуса второго порядка. Таким образом, уравнениям
полодии можно придать вид
АХ\
т. е. полодия есть место пересечения некоторого конуса второго порядка
с эллипсоидом инерции, причём вершина этого конуса находится в центре
эллипсоида инерции. Сам конус называется подвижным аксоидом.
Из формулы (40.11) следует, что при условии С>Л>Л должно быть:
Я2
Полагая —j- = А, получим:
В (В — A) Y\
откуда находим Υί = Ζί = 0, т. е. полодия обращается в точки, а именно,
Г I 2
в концы наибольшей оси эллипсоида инерции. Полагая —г- = Ct получим:
А(А—С)}~
откуда находим ΛΊ = Kj = 0, т. е. полодия обращается в точки, а именно,
в концы наименьшей оси эллипсоида инерции. Если же мы положим
—г- = В, то получим:
ft
или
С (С — В) Z\ == А (В — A) X\t
отсюда будем иметь:
Га(В-А)
zi-±Y C{C-B) Xl'
т. е. подвижной аксоид распадается на две плоскости. Эти плоскости отделяют
полодии, окружающие концы наибольшей оси эллипсоида инерции, от полодий,
окружающих концы наименьшей оси эллипсоида инерции, как это
представлено на черт. 310. Из этого чертежа видно, что вращение абсолютно твёрдого
тела около наибольшей или наименьшей оси эллипсоида инерции будет
устойчивым, так как малое смещение заменит полодию-точку соседней полодией,
представляющей собою малую замкнутую кривую, окружающую полодию-
точку. При вращении же абсолклно твёрдого тела вокруг средней оси эллип-

§ 198]
примеры
403
соида инерции малое смещение приведёт к полодии, простирающейся почти
до диаметрально противоположной точки эллипсоида инерции; поэтому это
вращение будет неустойчивым.
163. Изучить устойчивость вращения по инерции тела, имеющего
неподвижную точку, вокруг осей его трёхосного эллипсоида инерции, построенного
для неподвижной точки, применив способ малых отклонений. Пусть эллипсоид
Черт. 310.
инерции абсолютно твёрдого тела, построенный для неподвижной точки,
представляется уравнением
где будет
ωχ = ω0,
ложим:
>> А Обращаясь к уравнениям (40.1), рассмотрим их решение
= ωζ = 0. Чтобы найти, будет ли это решение устойчивым,
по= ωο + & ω^ = о + η = η»
ο + ζ = ζ,
где ξ, η, ζ суть малые количества, квадратами и произведениями которых мы
пренебрежём. Мы получим:
или, удерживая лишь малые первого порядка,
άς Л dr\ С—А
w=0: -ш в ζ0
Из первого уравнения имеем ξ
<Ρη (С —А) (В —А) 2Ъ
несколько иначе:
В — А0
ξ0 = const, а из двух вторых получим:
.0 Ж {С-А)(В-А) »
26»

404 СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА [ГЛ. XL
Так как будет
(С — А)(В — А)
ВС
то эти два уравнения принадлежат к уравнениям типа
имеющим интегралы:
η = a sin (Kt + вг), ζ = ρ sin (It + ε2),
где α, β, гь ε2 суть произвольные постоянные. Мы видим, что, выбирая
произвольные постоянные ς0, а и β малыми, мы получим прибавки ζ, η и ζ малыми,
т. е. движение ωχ = ω0, ту = wz = 0 будет устойчивым. Совершенно так же
мы докажем, что будет устойчивым движение ωχ = ωυ = 0, ωζ = ωο.
Рассмотрим теперь случай ωχ = ω2 = 0, ω^ = ω0. Полагая
ωχ = ς, ω?/ = ω0 + η» &ζ = ζ,
получим с точностью до малых первого порядка включительно:
или
0 + ζ () +
Из первого уравнения имеем η = η0 = const, а два последних уравнения можно
привести к виду
d-\ (С-В) (В-А) 2е <« (С-Д)(Д-у<) 2
-лг 1с ω°'==0> rf^ лс ωοζ = α
Так как будет:
(С—Д)(Д —i4) 2^ft
AC ω»>0'
to два последних уравнения принадлежат к уравнениям типа
которые имеют интегралы:
где Cj, C2, C3 и С4 суть произвольные постоянные. Мы видим, что вследствие
наличия количества еи это вращение абсолютно твёрдого тела устойчивым
не будет. Таким образом, в случае Эйлера вращение абсолютно твёрдого тела
вокруг наибольшей и наименьшей осей эллипсота инерции будет устойчивым,
а вращение вокруг средней оси эллипсоида инерции будет неустойчивым, что
вполне согласуется с результатом, полученным в предыдущем примере
геометрическим путём.

§ 198] примеры 405
164. Применяя способ малых отклонений, изучить устойчивость вращения
по инерции абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную точку, вокруг
осей его эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки, если
эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения. Пусть будет
А (X* + У2) + CZ* = 1
уравнение эллипсоида инерции. В этом случае уравнениям (40.1) можно
придать вид
dt
Рассмотрим сначала решение
(D —— (О7/ -~~ 0, Ол —~ (On.
Полагая ωχ = ξ, т>у = η, ωζ = ω0 + С» получим:
d"a , С— Α Λ df\ С —А
Из последнего уравнения находим ζ = Со = const, а два первых уравнения
можно привести к уравнениям:
которые имеют интегралы:
—j-
, η = β Sin ^ ^— ωοί + ε2),
где α, β, εχ и ε2 суть произвольные постоянные. Мы видим, что, выбирая
произвольные постоянные ζ0, α и β малыми, мы получим прибавки ξ, η и С
малыми, откуда следует, что движение
<°х — ω?/ = 0> ωζ = ωο
будет устойчивым. Рассмотрим затем решение
<°х = ω0» (uy = u>z=zQ
уравнений движения и положим:
ωχ = ωο + £> ω^/ = η» ω2 = ζ
мы будем иметь:
или
Из двух первых уравнений находим:
ξ = ξ0 = const, ζ = ζ0 = const,

406 СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА [ГЛ. XL
а третьему уравнению можно будет придать вид
dr\ C — A
т. е.
С —А
η = —-^—
Таким образом, прибавка η неограниченно растёт или убывает с возрастанием
времени, и движение твёрдого тела не будет устойчивым. Следовательно,
если твёрдое тело, эллипсоид инерции которого есть эллипсоид вращения,
вращается по инерции вокруг геометрической оси вращения эллипсоида
инерции, то движение твёрдого тела будет устойчивым, а если твёрдое тело
вращается вокруг экваториального диаметра своего эллипсоида инерции, то
такое движение твёрдого тела будет неустойчивым.

ГЛАВА XLI.
СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА.
§ 199. Уравнения движения абсолютно твёрдого тела в случае
Лагранжа и их первые интегралы. При изучении случая Эйлера
движения абсолютно твёрдого тела мы брали оси инерциальной
системы координат Oxlylzl или произвольного направления, или
совмещали направление оси Οζλ с направлением неизменного вектора
момента количеств движения тела. При изучении случая Лагранжа
движения абсолютно твёрдого тела мы возьмём для оси Οζλ
инерциальной системы осей координат уже определённое направление.
Рассмотрим на поверхности Земли вертикальную прямую. Если
эта прямая будет взята на экваторе, то за 1 сек среднего времени
она вследствие вращения Земли повернётся на угол 15",04; если эта
прямая будет взята на полюсе, то вращение Земли на ней не
отзовётся; если же эта прямая будет взята, например, в Москве, то за
1 сек среднего времени она повернётся на угол 8",46. Мы видим,
что за малое время угловой поворот этой прямой очень мал. Так
как за малое время перемещение точки О можно считать
прямолинейным и равномерным, то можно рассматривать прямую Огг, как
перемещающуюся за малое время параллельно самой себе
равномерным и прямолинейным движением. Всеми прочими движениями Земли,
кроме её собственного вращения, как было указано выше (т. I, § 104),
можно пренебречь. Поэтому при изучении случая Лагранжа движения
абсолютно твёрдого тела за малое время мы примем за инерциальную
систему координат Охлу^гл такую, у которой ось Οζι направлена
вертикально вверх, а оси Οχλ и Оуг расположены в горизонтальной
плоскости. Конечно, при этом мы делаем ошибку, которая может
быть учтена в теории движения абсолютно твёрдого тела, но мы
здесь пренебрежём этой ошибкой вследствие её малости за малое
время и будем считать, что взятая нами система Oxlylzv неизменно
связанная с земной поверхностью, является инерциальной системой
координат.
Что касается связанной с твёрдым телом системы Oxyz
координат, то начало их мы возьмём в начале О инерциальной системы
Ох\У\г\у ось Oz направим по геометрической оси вращения
эллипсоида инерции, построенного для точки О, а прямой угол Оху

408 СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XU
поместим произвольно в плоскости экватора эллипсоида инерции
твёрдого тела.
Если Μ есть масса твёрдого тела, a g есть ускорение
свободного падения, то на тело действует сила тяжести Mg, приложенная
в некоторой точке Ρ на оси Οζ и направленная противоположно
оси Οζχ\ сверх этой силы на тело действует ещё реакция,
приложенная к телу в точке О. Мы положим ОР = а, так что координаты
центра тяжести Ρ тела в системе Oxyz будут равны χ = 0, у = 0,
ζ = α. Мы получим уравнения движения абсолютно твёрдого тела
для случая Лагранжа, применив уравнения (39.3) и (39.17). Для
составления уравнений (39.17) необходимо найти моменты МХУ Му, Мг
действующих на тело внешних сил относительно системы координат
Oxyz. Так как моменты реакции равны нулю, то остаётся
определить лишь моменты относительно осей координат веса Mg абсолютно
твердого тела по формулам:
где будет χ = 0, у = 0, ζ = α.
Так как проекция силы Mg на ось Ozx равна — Mg, а согласно
таблице, приведённой в начале § 190, ось Ozx образует с осями
Ох, О у и О ζ соответственно углы а'", $'" и γ'", то мы получим:
Xe = — Mg cos о.'", Ye = —Mg cos F", Ze = —Mg cos f.
Отсюда, обращаясь к формулам (39.4), будем иметь:
Хе = — Mg sin θ sin φ, Ye = — Mg sin 0 cos φ, ZG = — Mg cos 0.
Поэтому будет:
Mx = Mg a sin 6 cos φ, My==—Mgasm Osincp, M2 = 0.
Последнее равенство очевидно, так как сила Mg приложена в точке Ρ
оси Οζ и потому лежит с осью Οζ в одной плоскости. Таким
образом, взяв уравнение эллипсоида инерции в виде
мы приходим к следующим уравнениям движения абсолютно
твёрдого тела в случае Лагранжа:
A-^f- -\- (С—А)<ау(аг = Mgasin θ cos о,
А —г^- -\-{А — С) ω2ωχ = — Mg a sin θ sin φ,
C~dt==0'

§ 199] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА 409
ω_ = —f- sin 0 sin <э-\--7г cos о,
х dt ' ' dt
---sinOcos?-^-
—γ-
ω2/ = —JT sln У COS φ — —гг Sin φ,
(41.2)
Мы видим, что в случае Лагранжа уравнения (41.1) и (41.2)
движения абсолютно твёрдого тела уже не разделились на две
независимые друг от друга тройки, так как уравнения (41.1) сверх угловых
скоростей ω^, ω?/ и ω3 содержат ещё углы Эйлера. Полученная система
шести совместных дифференциальных уравнений имеет три первых
интеграла. В самом деле, прежде всего из последнего из
уравнений (41.1) следует, что будет:
ω, = £, (41.3)
где k есть произвольное постоянное. Далее, кинетическая энергия Τ
абсолютно твёрдого тела в случае Лагранжа равна:
*л 1л/2| 1
Τ = -^ Α (ωχ -f
Так как работа реакции равна нулю, то силовую функцию для
реакции можно взять равною нулю, силовая же функция для силы
тяжести будет равна —Mgzv где ζλ есть координата относительно
неподвижных осей Ox1yizi точки Р. Так как ось Oz образует
с осью Ozx угол 0, то будет ^1 = acos0, и для силовой функции
силы тяжести мы получим:
— Mga cos Ь.
Таким образом, интеграл энергии для уравнений движения абсолютно
твёрдого тела в случае Лагранжа имеет вид
1л(ш£+а£)+1са>2=А — Mga cost, (41.4)
где h есть произвольное постоянное. Наконец, так как реакция
приложена в точке О неподвижной оси Ozv а сила Mg параллельна
этой неподвижной оси Ozly то моменты этих обеих сил относительно
неподвижной оси Οζλ постоянно равны нулю. Но мы знаем, что если
моменты внешних сил, действующих на материальную систему,
относительно какой-нибудь неподвижной оси постоянно равны нулю, то
момент количеств движения материальной системы относительно этой
оси должен быть постоянен; следовательно, в случае Лагранжа
момент количеств движения абсолютно твёрдого тела относительно
вертикальной оси Οζ1 должен быть постоянен.
Зная, что проекции момента количеств движения абсолютно
твёрдого тела на оси Ох, Оу и Oz будут соответственно равны Λωχ>

410 с СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XLI
Леву и Сш2, найдём LZl — момент количеств движения тела
относительно оси Ozv Если мы обозначим единичный вектор оси Огг
через kl9 то 6
Но мы имеем:
L = iLx-\-JLy + kL2 = iA*
кг = i cos a'" -f-y cos β"' -f * cos γ"' = t sin θ sin φ -\-j sin θ cos φ + * cos 6,
следовательно, будет:
L2i = Ζ, · ftj = Лшд. sin 0 sin φ -j- Лшу sin θ cos φ -f- Сш2 cos Θ.
Таким образом, для искомого интеграла момента количеств
движения мы получим:
Αωχ sin θ sin о -(- Αω^ sin θ cos cp -j- Сш2 cos θ = Я, (41.5)
где количество // есть произвольное постоянное.
Мы получили интегралы (41.4) и (41.5), исходя из общих
принципов; конечно, можно было бы получить эти интегралы и путём
непосредственного интегрирования уравнений (41.1) и (41.2), однако
этот второй путь оказывается более сложным, чем тот путь, который
мы приняли в этом параграфе.
§ 200. Интегрирование уравнений движения абсолютно
твёрдого тела в случае Лагранжа. После того как "найдены первые
интегралы (41.3), (41.4) и (41.5) уравнений (41.1) и (41.2),
содержащие три произвольных постоянных, мы можем вести дальнейшее
интегрирование уравнений движения абсолютно твёрдого тела, исходя
из полученных трёх интегралов:
«« = *,
^Л(<4+<4) + 1са>~==/г — Mgacosb,
Αωχ sin 0 sin φ -\- Аа>у sin θ cos φ -{- Сш2 cos θ = Я,
которые можно представить в таком виде:
ω3 = &,
2.2, 2Mga n 2/z С ,«
С hi
sin θ (ωχ sin φ -{- ω^ cos φ) -f--r-&COS θ = -j-.
Заменив в двух последних уравнениях количества шх и &у их
выражениями из формул (41.2), мы получим:
£/6
. sin φ -J- ω^ cos φ = -~ sin θ,

§ 200] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 411
и потому будем иметь:
Умножая первое уравнение на sin2 θ, возводя второе уравнение в
квадрат и приравнивая между собою правые части полученных уравнений,
мы найдём:
Положим:
2Л С -2 2Λί^Λ Я
тогда будет:
sin2 θ (^-J = (аг — я2 cos θ) sin 2 θ — (α3 — ak cos θ)2.
Введём новое переменное:
tf = cos8; (41.7)
мы получим:
r)=^-a2u)(\-u^-(ab-aiaf=f{a); (41.8)
отсюда будем иметь:
f^, (41.9)
где Сг есть произвольное постоянное. Мы видим, что время t
выражается через переменное и эллиптическим интегралом; следовательно,
переменное и выражается через время / эллиптической функцией.
Из уравнения
*Lsin29 = ^_
мы найдём для производной по времени от угла ψ следующее
выражение:
dt 1-й*
из которого можно определить угол ψ в функции от времени t, так
как зависимость количества а от времени уже определена
формулой (41.9). Чтобы найти угол φ, обратимся к интегралу шг = /г^

412
СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА
[ГЛ. XU
заменяя количество ω2 его выражением через углы Эйлера по третьей
из формул (41.2), мы получим:
т. е.
dt
(41.11)
Таким образом, основная часть задачи разыскания движения
абсолютно твёрдого тела в случае Лагранжа лежит в исследовании
соотношения (41.9). Так как уравнение f(u) = 0 есть кубическое
уравнение, то оно имеет три корня; нетрудно показать, что эти корни
будут действительными. Для этого прежде всего заметим следующее:
так как во всякой реальной задаче время t должно быть
действительным и количество а = cos θ должно содержаться между — 1
и +1, то из формулы (41.9) мы заключаем, что должно быть такое
начальное значение и = и0, лежащее между —1 и +1, при
котором будет f(u0) > 0. После этого мы уже можем определить
перемены знаков функции f(a) при изменении количества « от —оо
до -|-оо, обращая внимание на то, что в зависимости от знака
количества а согласно второй из формул (41.6) может быть как я2 > 0,
так и я2<0. Мы имеем:
Случай я2 > 0
и
-оо
-1
Случай я2<0
и
— оо
— 1
к0
+ ОО
+
_>«8
Из этой таблицы видно, что в промежутке (—1, +1) всегда
существуют два действительных корня иг и #2> причём будет и2 > uv
третий же корень us по абсолютному значению больше единицы, т. е.
не имеет физического значения, так как косинус по абсолютному
значению всегда меньше единицы. Из приведённой таблицы видно
также, что в промежутке (и1У и2) функция f(u) будет
положительной, т. е. по формуле (41.9) в этом промежутке мы будем получать
для переменного t действительные значения. Опишем из точки О, как

§ 201] ГИРОСКОПИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ 413
из центра, сферу произвольным радиусом и назовём полюсами точки
пересечения этой сферы с вертикалью Ozv Уравнения cosb = u1 и
COs θ = и2 определяют на этой сфере две параллели. Из
предыдущего мы заключаем, что во всё время движения абсолютно твёрдого
тела в случае Лагранжа геометрическая ось вращения эллипсоида
инерции этого тела или её продолжение всегда пересекают
рассматриваемую сферу между параллелями cos 0 = иг и cos 0 = и2 и выйти
за эти параллели они не могут.
§ 201. Гироскопическое давление. Симметричное абсолютно
твёрдое тяжёлое тело вращения, вращающееся вокруг своей
геометрической оси вращения и имеющее на этой оси точку опоры,
называется волчком или гироскопом; очевидно, что случай Лагранжа
движения абсолютно твёрдого тела охватывает случай движения
гироскопов. Если гироскоп вращается вокруг своей оси весьма быстро,
то он имеет ряд свойств, которые он теряет, если его быстрое
вращение вокруг оси прекратится; эти свойства получили название
гироскопических свойств, причём некоторые из гироскопических
свойств представляются на первый взгляд весьма парадоксальными.
Элементарное изложение основ теории гироскопов с описанием ряда
типов гироскопов дано Η. Ε. Жуковским в его работе
«Элементарная теория гироскопов» (Η. Ε. Жуковский, Полное собрание
сочинений, т. I, Общая механика, 1948, стр. 210—221).
В этом параграфе мы рассмотрим, какие давления на тело,
направляющее ось гироскопа, например, на руку, будет оказывать
быстро вращающийся вокруг своей оси гироскоп, если мы будем
придавать оси вращения гироскопа произвольно задуманные
изменения её направления. Чтобы решить эт^ задачу, необходимо
обратиться к формулам (39.20) и (39.19), приведённым в § 194, где
количества (ΔΜΧ), {&Му) и (ΔΜ2) представляют проекции на оси
координат Oxyz, неизменно связанные с абсолютно твёрдым телом,
силового момента (АУИ), с которым гироскоп будет действовать,
например, на руку, изменяющую задуманным образом направление оси
вращения гироскопа.
В применении к случаю Лагранжа мы из уравнений (39.20)
получим:
I = Mga sin θ cos φ — A -^- — (C — Α) ω^α
dm у
■y) = — Mga sin θ sin φ — A —^- — (A — C)
а>г«>
ζ χ >
(41.12)
где количества шж, шу и ω2 определены формулами (39.19).
Предположим сначала, что твёрдое тело не вращается вокруг своей оси, так
что постоянно будет φ = 0, и твёрдое тело не имеет прецессионного

414
СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА
[ГЛ. XL1
движения, так что постоянно будет ψ = 0; тогда из формул (41.2)
мы будем иметь:
Очевидно, что в этом случае оси Охг, ON и Ох совпадают между
собой, как это показано на черт. 311. После этого из формул (41.12)
мы найдём:
(ΔΜΧ) = Mga sin θ — А -^, (ΔΛί^) = О, (ΔΜΖ) = 0.
Если угол θ мы изменяем со временем произвольно, то первая
формула даёт возможность определить момент пары сил, которая будет
действовать на руку. Если же
твёрдое тело вокруг оси ON
колеблется свободно, как физический
маятник, то, полагая θ = π — θ,
где 0 есть угол между прямой ОР
и направленной вниз вертикаль-
У но Οζ'ν мы получим:
(bMx) = Mga sin θ + А -^ =0,
где первое из этих трёх
уравнений есть не что иное, как
уравнение (37.18) колебаний физического
маятника. Таким образом, мы
приходим к выводу, что в этом
последнем случае никаких пар на руку
действовать не будет, что находится в полном согласии с
результатами, полученными в конце § 182 для случая, когда ось вращения
тела есть главная ось инерции этого тела. Полученные результаты
совершенно понятны. В самом деле, ось Οζ гироскопа движется
в плоскости, определяемой прямыми Οζ и Οζν Очевидно, что для
получения такого движения к гироскопу должна быть приложена
пара, момент которой вследствие симметричности гироскопа будет
перпендикулярен к плоскости Οζζν например расположен вдоль
оси Ох. Вес Mg гироскопа и даёт пару с таким направлением
момента; поэтому под влиянием веса Mg гироскоп будет двигаться, но
не с произвольным изменением угла Θ, а с изменением его по закону
маятника.
Но не так будет обстоять дело, если мы приведём тело во
вращательное движение вокруг его оси симметрии Οζ. Положим ψ = 0,
и если вращательное движение равномерное, то будет <о = т-\- <ро»
где η и φ0 суть постоянные. На черт. 312 показано расположение

§ 201]
ГИРОСКОПИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ
415
осей координат для этого случая. Так как ψ = 0, то линия узлов ON
совпадает с осью Οχλ\ угол между прямыми Οχλ и Ох равен φ;
прямая ОК, перпендикулярная к прямой ОМ, располагается в
плоскости, проходящей через прямые О ζ и Οζν в которой движется
Черт. 312.
ось гироскопа Oz. В этом случае по формулам (41.2) мы будем
иметь:
ω*=жcos ?> °v=~~atsin?' ω«=Λ;
следовательно, производные от угловых скоростей будут равны:
Вставляя полученные выражения для проекций угловой скорости и
для производных от них в формулы (41.12), мы будем иметь:
(ΔΛίх) = (Mga sin 0 — А -^ cos ? + Cn-^ sin φ,
у)= — (Mgasmb— Л ^-) sin φ + С/г-^-cos φ,
Из этих формул мы заключаем, что даже если абсолютно твёрдое
тело может свободно колебаться, как физический маятник, вокруг

416 СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XLI
неподвижной оси ON, всё же в случае вращения вокруг своей оси Οζ
твёрдое тело будет давить на руку, стремясь выйти из своей
плоскости колебаний. Проекции момента (AM) той пары, которой
рассматриваемое вращающееся тело в случае его колебаний по закону
маятника воздействует на руку, будут равны:
(АМХ) = Сп §- sin φ, (АМу) = Сп§- cos φ, (АМг) = О,
т. е. будет:
|g| (41.13)
Предположим, что количество η положительно, т. е. что тело
вращается вокруг положительного направления оси Οζ против часовой
стрелки; предположим также, что производная—положительна, т. е.
что ось Οζ поворачивается вокруг положительного направления линии
узлов ON против часовой стрелки. Тогда вектор (AM) будет
направлен в плоскости Оху вдоль линии O/C_LO/V, как это показано
на черт. 312. Иначе говоря, если бы пара сил с моментом (ΔΑ1)
была приложена к покоящемуся телу, то она поворачивала бы
тело таким образом, чтобы положительное направление оси
вращения Οζ тела стремилось совпасть с положительным направлением ON
второй оси, вращение вокруг которой изменяет значение угла 0, т. е.
изменяет направление оси Οζ. Если угол 0 изменяется не по закону
маятника, то количество Mga sin θ — А -^ будет отлично от куля, но
всё же, давая телу вокруг оси Οζ очень быстрое вращение, т. е.
давая количеству η очень большое значение, можно достигнуть того,
что количество Сп -тт- будет значительно больше количества Mga sin θ—
— Л —щ-, так что предыдущий вывод будет пригоден и для этого
случая. Если будет а = 0, т. е. если центр тяжести тела попадёт
в точку опоры О, то мы получим:
(AM J = - A ig- cos φ + ПС -g- Sin φ,
у) = А — Sin φ + ПС w COS φ,
(АМг) = 0.
Следовательно, если у быстро вращающегося вокруг оси Οζ тела,
у которою центр тяжести совпадает с точкой опоры, мы будем
поворачивать ось вращения Οζ, то рука, держащая тело, испытает
воздействие весьма ощутимой пары сил; это воздействие будет тем
больше, чем будет больше количество /ζ, τ. е. чем быстрее будет

§ 201] ГИРОСКОПИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ 417
вращаться тело и чем больше будет момент инерции С тела
относительно его оси вращения. Следующий опыт подтверждает это
замечание. Если гироскоп поместить внутри шара, закрепив ось
гироскопа относительно шара, то при поворотах этого шара рукой мы
не испытаем никаких воздействий, если гироскоп не будет вращаться,
и, напротив, испытаем заметные и своеобразные сопротивления,
если гироскоп внутри шара будет находиться в состоянии быстрого
вращения. Своеобразие этих сопротивлений будет состоять в том,
что при попытке повернуть шар вокруг какой-либо оси мы будем
ощущать рукой, что шар как бы хочет вырваться из наших рук,
чтобы повернуться вокруг оси, перпендикулярной к первой. Если
шар непрозрачен и гироскопа внутри шара не видно, то
экспериментатору будет казаться, что один и тот же шар может по-разному
реагировать на одно и то же воздействие на него. Объяснение этого
явления вытекает из предыдущего.
Предположим затем, что мы даём гироскопу прецессионное
движение:
такое, что быстрота вращения гироскопа вокруг оси Οζ весьма
велика, т. е. количество η весьма велико и значительно превосходит
количество μ.
На основании этих формул мы найдём:
ωχ = μ sin 0o sin cp, ω^ = μθ0 cos φ, ω5 = μ cos 0o -j- η = k,
где k есть постоянное, которое при очень большом значении
количества η сравнительно со значением количества μ можно считать
равным количеству п\ далее, мы получим:
—^- == μη sin θ0 cos φ, -—β- = — μ/ζ sin 0ο sin φ, —£- = 0 .
Применяя формулы (41.12), мы будем иметь:
(ΔΜΧ) = Mga sin θ0 cos φ — А\ш sin 0o cos φ — (С — A) k\i sin 0o cos φ,
(ΔΜυ) = — Mga sin 0o cos φ -{- Λ\ιη sin 0o sin φ — (A — C) k\i sin 0o sin φ,
(AMZ) = 0.
Заменяя k через количество η, т. е. полагая μ очень малым
сравнительно с количеством я, мы придём к следующим формулам:
(ΔΜΧ) = (Mga sin 0o — Cn\i sin 0o) cos φ,
(AMy) = — (Mga sin 0o — Cn\i sin 0o) sin φ,
(Шг) = 0.
2T Зак. 487. А. И. Некрасов.

418
СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА
[ГЛ. XL2
Если количество Спр очень велико сравнительно с количеством Mga9
то можно взять:
(АМХ) = — Cn\i sin 0o cos φ, (АМу) = Cn\i sin 0o sin φ, (ΑΜ2) = 0,
т. е. будет:
(ΔΛί) = Cn\i sin θ0.
(41.14)
Таким образом, воздействие гироскопа приводится к паре с моментом
(41.14), расположенным в плоскости Оху. Из черт. 313, где по-
прежнему прямая ОК расположена в плоскости Οζζχ и прямая ON
Черт. 313.
перпендикулярна к этой плоскости, видно, что этот момент (AM)
расположен по линии узлов в отрицательном направлении, т. е.
противоположно направлению ON. Мы видим, что пара с моментом (AM)
стремится уменьшить угол 6, т. е. приблизить положительное
направление Oz оси вращения гироскопа к положительному направлению Ozx
той оси, вокруг которой сама ось гироскопа получила вращение. Из
формулы (41.14) следует, что этот момент будет тем больше, чем
быстрее вращается гироскоп, чем быстрее поворачивается ось
гироскопа в своём прецессионном движении и чем больше момент инерции
гироскопа относительно его геометрической оси вращения;
наибольшего значения этот момент при прочих равных условиях достигает
в том случае, если угол между осью гироскопа и осью
дополнительного вращения будет прямой. Всё изложенное в этом параграфе можно
объединить в общем правиле, которое в следующей легко
запоминаемой форме было предложено Жуковским:
Если какое-нибудь тело вращения вращается вокруг своей оси
с угловой скоростью η и мы будем повёртывать ось этого тела

§ 203] ПСЕВДОРЕГУЛЯРНАЯ ПРЕЦЕССИЯ 419
вокруг некоторой оси, образующей с осью тела угол θ0, с
угловой скоростью μ, то явится пара с моментом, равным
произведению количества n\i sin Ьо на момент инерции тела,
стремящаяся повернуть ось тела к оси сообщаемого вращения так,
чтобы при совпадении осей эти вращения η и у* совершались
в одну сторону.
§ 202. Регулярная прецессия в случае Лагранжа. Для
изучения регулярной прецессии в случае Лагранжа движения абсолютно
твёрдого тела мы воспользуемся уравнениями (41.1) и (41.2), в
которых положим:
Отсюда мы будем иметь:
«Од. = μ sin 0о sin φ, ω^ = |х sin 0o cos φ, о>г = ιχ cos 0o -f- η = k
и
d<ax du>v d<£>z
—j~ = μη sin θ0 cos φ, —■— = — \in sin θ0 sin φ, —-rr- = 0»
Вставляя эти выражения в уравнения (41.1), мы получим:
A\in sin θ0 cos φ + (С — A) k\i sin θ0 cos φ = Mga sin Ьо cos φ,
— Αρη sin 0o sin φ -\- (A — C)k\i sin 0o sin φ = — Mga sin b0 sin o9
причём третье из уравнений (41.1) удовлетворяется тождественно.,
Из предыдущих двух уравнений мы заключаем, что они будут
обязательно удовлетворены, если будет:
Αρη + (С — A) k\i = Mga,
или
A\lh + (C —A) (\l cos Ъо +η) \ь = Mga. (41.15}
Уравнение (41.15) выражает условие того, чтобы в случае Лагранжа
имела место регулярная прецессия. Полагая а = 0, мы получим
равенство
An 4- (С—A) (jx cos θ0 4- η) = 0,
или
Сп -f- (С — Α) μ cos θ0 = 0,
совпадающее с равенством (40.6), как это и должно быть. В случае
Ла1ранжа регулярная прецессия соответствует частному интегралу
уравнений движения тела.
§ 203. Псевдорегулярная прецессия. Мы видели в § 200, что
ось Οζ, совпадающая в случае Лагранжа движения абсолютно
твёрдого тела с геометрической осью вращения эллипсоида инерции тела,
27*

420 СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XLI
движется таким образом, что она всегда остаётся заключённой между
двумя параллелями cos 0 = их и cos 0 = и2 сферы, построение
которой было указано в конце § 199. Может случиться, что обе эти
параллели будут весьма близки одна к другой, для чего необходимо,
чтобы корни их и щ уравнения /(/г) = 0 мало отличались один от
другого. Можно показать, это этот случай будет иметь место, если
вращение абсолютно твёрдого тела вокруг оси Oz будет весьма
быстрым. Математический анализ этого случая движения твёрдого
тела не представляет никаких специальных трудностей, но так как он
достаточно громоздок, то мы не будем его приводить, а ограничимся
лишь.описанием качественной стороны явления. Движение абсолютно
твёрдого тела в этом случае будет состоять в следующем: вокруг
неподвижной вертикальной оси Οζλ движется с постоянной угловой
скоростью прямая, наклонённая под постоянным углом к оси Οζλ,
а вокруг этой подвижной прямой всё время колеблется ось Oz
твёрдого тела, не выходя из узкой полосы, заключённой между
параллелями cos 0 = их и cos 0 == и2. Такое движение твёрдого тела
получило название псевдорегулярной прецессии или ложноправильной
прецессии. Это название дано рассматриваемому движению
вследствие того, что оно может быть очень похожим на регулярную
прецессию. В самом деле, если параллели cos Ь = их и cos 0 = и2 очень
близки между собою, то при простом рассматривании движения тела
колебания его оси будут незаметными, и наблюдателю будет казаться,
что он наблюдает регулярную прецессию, тогда как при
специальных точных наблюдениях можно будет установить, что ось вращения
твёрдого тела на самом деле испытывает чрезвычайно мелкие
колебания.
Прежде, когда ещё не был проведён строгий математический
анализ явления, наименование «псевдорегулярная прецессия» ещё не
было введено, и пользовались одним общим названием «прецессия»,
видя правильную прецессию там, где в действительности имело место
движение другого рода, именно была псевдорегулярная прецессия.
§ 204. Практические применения гироскопов. Практические
применения гироскопов вследствие их стремления поддерживать
направление оси вращения в современной технике чрезвычайно разнообразны;
мы здесь укажем лишь на очень немногие из них.
Фуко был первым, который в середине XIX века высказал мысль,
что с помощью гироскопа не только можно убедиться во вращении
Земли, о чём уже было упомянуто в § 197, но и показал, что
гироскоп может быть применён как компас и как указатель широты.
Фуко же принадлежит и самое слово «гироскоп», образованное им
из двух греческих слов, означающих «вращение» и «наблюдаю».
В настоящее время гирокомпасы нашли широкое применение во
флоте и в авиации. Имеются конструкции гиропилотов, которые ведут
самолёт по заданному курсу, так что лётчик может не прика-

§ 205] примеры 421
саться к органам управления самолётом. Гироскопы могут быть
применены для успокоения качки судов; в этой области известна
система Шлика. Применение гироскопических успокоителей качки
для небольших судов дало удовлетворительные результаты.
Пользуясь гироскопами, можно построить однорельсовую железную дорогу,
в которой устойчивость вагона будет поддерживаться вращающимся
гироскопом; такой дороги промышленного типа, однако, ещё не
построено.
Так как теория гироскопических приборов достаточно сложна,
то приходится в этом параграфе ограничиться лишь приведёнными
краткими указаниями на некоторые из таких приборов. Теорию и
способы применения гироскопических приборов можно найти в
специальных книгах, посвященных этим приборам.
§ 205. Примеры. 165. Вывести интеграл энергии непосредственно из
уравнений (41.1) и (41.2) для движения абсолютно твёрдого тела в случае
Лагранжа. Для этого умножим первое уравнение (41.1) на ωχ, второе — на и>уг
а третье — на ωζ и результаты сложим; мы получим:
Α(Οχ df + Aiuv dt "^ С(*г d
или
= Mga Sin δ C0S ^x """ Mga Sin ° Sin φω^
-^ [1 A («£ + ω*) + 1 С<»1 J = Mga Sin θ (ωβ COS φ - ωυ Sin φ).
Обращаясь к уравнениям (41.2), мы будем иметь:
ωχ COS φ — ωυ Sin φ = —.
Таким образом, мы находим:
или
~7γ\ύΑ (ω* +<4> + Τ €ωΐ] = — 4τ (Μ^α cos θ>·
L J
Интегрируя, мы приходим к выражению
1 9 9 1
т. е. к интегралу энергии в форме (41.4).
166. Вывести непосредственно из уравнений (41.1) и (41.2) для движения
абсолютно твёрдого тела в случае Лаграижа интеграл момента количеств
движения относительно вертикальной оси Οζχ. Для получения этого интеграла
полезно присоединить к уравнениям (41.1) и (41.2) ещё три уравнения.

422
СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА
[ГЛ. XLI
Рассмотрим единичный вектор kx неподвижной оси Oz\\ так как
подвижные оси к ^ординат Охуг образуют с неподвижною осью Ozx углы α'", ψη и
γ'", то будет:
kx = i cos а"' +/ cos ψ" + k cos γ"',
или согласно формулам (39.9; ещё иначе:
kx = i sin θ sin φ + / sin θ cos φ + k cos θ.
Введём для краткости следующие обозначения:
σί = sin θ sin φ, σ2 = sin 0 COS φ, σ3 = COS 0;
тогда мы будем иметь:
Так как вектор k} постоянен и по модулю и по направлению, то абсолютная
скорость его конечной точки должна быть равна нулю, т. е. должно быть:
Но мы имеем:
τ. е. мы получим:
dt " dt ' J dt ^ dt '
/ j k
σ1 σ2 σ3
dt ^WW
"^7" + ωχσ2 — ω//σ1 = (
(41.16)
Присоединяя уравнения (41.16) к уравнениям (41.1), мы приходим к системе
уравнений:
А —^- + (А — С)о>го>х = — Mgaalt -^- + тгр1 — ωχσ3 = 0.
Умножим первое уравнение первой тройки на σν второе — на σ2, третье —
на ο.ό, далее умножим первое уравнение второй тройки на Au>Xf второе —

§ 205] примеры 423
на Аюу, третье — на Сч>г и все эти произведения сложим между собою
почленно; мы будем иметь:
+ (С — Α) ω^ω^ + (A — С) ω
или
—
+ Αωζωχσ2 — С<1>2<йхс2 4- Αωχωυ
— Αωυωχσ<3 + Οω2ωχζ2 — Сшгш2/а1 = 0.
'Гак как все члены, стоящие после производной по времени, попарно взаимно
уничтожаются, то мы приходим к формуле
— (Αωχ sin θ sin φ + Auy sin 0 cos φ -f- Ctoz cos 6) = 0,
откуда получаем интеграл момента количеств движения относительно Ozx
в форме (41.5).
167. Летящий со скоростью 324 клг/час самолёт совершает поворот в
горизонтальной плоскости в левую сторону по окружности, радиус которой
равен 150 м. Момент инерции винта и связанных с ним вращающихся частей
относительно оси вращения равен 2,1 кг сек1 м, причём винт совершает
1800 оборотов в минуту по часовой стрелке для наблюдателя, смотрящего на
винт спереди самолёта. Определить момент пары гироскопических давлений.
Так как для наблюдателя, смотрящего спереди на винт, вращение винта
совершается по часовой стрелке, то положительное направление оси вращения
винта, т. е. оси Oz, направлено противоположно скорости самолёта. Для
поворота самолёта в горизонтальной плоскости влево следует повернуть
самолёт вокруг направленной вверх вертикали в положительном направлении,
т. е. против часовой стрелки. Согласно изложенному в § 200 правилу при
таком манёвре на самолёт будет действовать пара, стремящаяся приблизить
ось Oz к направленной вверх вертикали, т. е. стремящаяся опустить нос
самолёта. Очевидно, что при решении предложенной задачи следует
применить формулу (41.14), положив в ней θο = -^.
Мы будем иметь:
iM = 60π = 188,5 сек~\
η = 2π iM
324-1000 3 Λβ ,
^=ЬО7ЬОЛ5О==5-=О'6^ '
лоэтому будет;
(ΔΑί) = £μ/ζ = 2,1. 0,6. 188,5 = 237,5 кгм.
Следовательно, желая вести самолёт горизонтально, лётчик рулями должен
парализовать пару сил с моментом 237,5 кгм, стремящуюся заставить самолёт
пикировать.
168. Летящий самолёт совершает поворот в вертикальной плоскости
с угловою скоростью 20° в 1 сек. Винт самолёта совершает 1800 оборотов

424 СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА, [ГЛ. XL1
в 1 лгин, причём момент инерции винта и связанных с ним вращающихся
частей относительно оси вращения равен 2,1 кг сек1 м. Определить момент
пары гироскопических давлений. Мы имеем:
ί/6 2π·20 г.'
п = 188,5 сек-1;
С = 2,1 кг сек2 м.
Поэтому согласно формуле (41.13) будет:
(ΔΛΤ) = η С -—-=188,5.2,1.0,349= 138,16 кгм.
Оедовательно, желая вести самолёт прямолинейно, лётчик должен
парализовать эту пару органами управления самолётом.

ГЛАВА XLII.
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА.
§ 206. Принцип Даламбера. В § 162 динамики точки принцип
Даламбера был изложен применительно к одной материальной точке;
в этом параграфе будет рассмотрено применение принципа Даламбера
к материальным системам, где польза его применения особенно заметна.
Большею частью на материальные системы бывают наложены связи;
мы будем рассматривать лишь
такие случаи, когда эти связи
будут идеальными, т. е. сумма
элементарных работ реакций связей
равна нулю (§ 110).
Рассмотрим какую-нибудь ма- -mw д / ^*- F'--mw
териальную систему, и пусть
будет А какой-нибудь элемент этой
материальной системы; если эле- R
мент А есть материальная точка, то Черт. 314.
масса т этого элемента будет
конечной, если же элемент Л есть бесконечно малая частица материального
объекта, то масса т элемента А будет бесконечно малой (§ 169).
В общем случае на элемент А будут действовать как непосредственно
приложенные к нему, или активные, силы, так и реакции связей.
Обозначим через F равнодействующую всех сил, непосредственно
приложенных к элементу А\ пусть будет w полное ускорение
элемента А. Если мы построим вектор силы mw = F/ и вектор силы F,
то увидим, что, вообще, векторы F' и F не совпадают между собою
(черт. 314). Разложим активную силу F на силу Fr и силу F", так
что будет:
Отсюда мы заключаем, что лишь слагающая F/ силы F влияет на
движение элемента Л, вызывая его ускорение w, слагающая же Fn
силы F никакого влияния на изменение скорости элемента А не имеет
и как бы теряется для движения элемента А. Даламбер назвал силу FT
движущей силой, а силу F" — потерянной силой. Из
предыдущего следует, что сила F" есть геометрическая разность силы F к

426 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XLII
силы F*. При помощи следующего искусственного построения можно
представить потерянную силу F" не как разность, а как сумму двух
сил. Для этого рассмотрим силу — mw, равную по модулю, но прямо
противоположную по направлению движущей силе F', и назовём эту
силу силой инерции. Легко видеть, что потерянная сила Fr есть
геометрическая сумма силы F и силы — mw, т. е. будет:
F" = F+(— mw). (42.1)
Таким образом, мы получаем:
Для всякого элемента материальной системы потерянная сила
есть геометрическая сумма активной силы и силы инерции.
Силы F; и F" суть силы, имеющие физический смысл,
приложены к элементу А и являются слагающими силы F, реально
приложенной к этому элементу. Если сила F" никакого влияния на
ускорение элемента А не имеет, то это означает, что сила F" должна
уравновешиваться с какой-то другой силой, приложенной к тому же
элементу А\ очевидно, что этой другой силой может быть только
реакция /?, приложенная к элементу А, как это видно из черт. 314.
Поэтому, должно быть:
*' = О,
или, обращая внимание на равенство (42.1), ещё иначе:
R + F+ (— mw) = 0. (42.2)
Если равенство (42.2) представить в виде
то мы получим хорошо известное предложение, что масса элемента А,
умноженная на его ускорение, равна сумме всех сил, приложенных
к элементу А. Так как, с другой стороны, движущая сила Fr также
равна произведению mw, то мы заключаем, что движущая сила равна
сумме всех сил, приложенных к элементу А. Таким образом,
движущая сила F' — F-\-R есть реальная сила, которая приложена
к элементу А и вызывает ускорение w этого элемента А\ что же
касается силы —mw, т. е. силы инерции, то из предыдущего ясно,
что такой силы к элементу А не приложено. Напротив, сила —mw
есть та сила, с которой элемент А сам действует на материальные
объекты, определяющие его движение. Ит?к, сила инерции —
mw есть реальная сила, если её рассматривать как приложенную
к материальным объектам, определяющим движение элемента А с
ускорением w, но сила инерции — mw есть сила фиктивная, если
её рассматривать как силу, приложенную к элементу А; никакой силы
инзрции на элемент А не действует, и выражение «сила итрции
элемента А» есть выражение или условное, или ошибочное.
Равенство (42.2) можно истолковать следующим образом:

§ 206) ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА 427
Если в какой-нибудь момент времени остановить движение
материальной системы и к каждому элементу этой
материальной системы приложить имевшие место в момент остановки
движения материальной системы: активную силу, реакцию
и силу инерции, то материальная система останется в равно*
весии.
Сам Даламбер и исследователи, ближайшие к нему по времени,
не пользовались термином «сила инерции»; введение этого термина
относится к первой половине XIX столетия, и, так как при
применении его многие формулировки очень упрощаются и укорачиваются,
этот термин удержался до настоящего времени.
Чтобы уяснить выгоду применения термина «сила инерции»,
приведём следующий пример. Предположим, что мы имеем круглый
диск с радиусом, равным я, вращающийся равномерно с угловой
скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр О
перпендикулярно к его плоскости. Рассмотрим какую-нибудь материальную
частицу А диска, отстоящую на расстоянии г от оси вращения диска;
пусть будет т масса этой частицы А Так как частица А описывает
окружность с радиусом, равным /·, то на частицу А должна
действовать центростремительная сила, равная //ζω2/·. Если бы частица А
была привязана к нити, закреплённой в точке О, то сила //ζω2/· имела бы
своим физическим источником реакцию этой нити; в рассматриваемом
случае физическим источником происхождения силы //ζω2/* являются
молекулярные воздействия на частицу А остальных частиц
вращающегося диска. В свою очередь и частица А с такой же силой
действует на эти остальные частицы вращающегося диска. Таким
образом, состояние вещества в диске является напряжённым. Если
угловая скорость ω будет очень велика, то может случиться, что
неличина молекулярных сил будет недостаточною, чтобы развить
необходимую величину центростремительной силы для удержания
частицы А на окружности, и тогда диск разорвётся. При пользовании
силой инерции, т. е. в данном случае центробежной силой, равной
по величине центростремительной силе, но направленной
противоположно, мы можем позабыть про вращение диска и изучать
напряжённое состояние покоящегося круглого диска под действием
приложенной в каждой его частице центробежной силы,
пропорциональной расстоянию частицы от центра диска; так обыкновенно и
желается.
Чтобы показать способ непосредственного применения принципа
Даламбера, рассмотрим машину Атвуда, состоящую из лёгкого блока,
через который перекинута нить с не равными между собою грузами Рг
и Р2 на её концах (черт. 315); если будет Рх > Р2, то груз Рг будет
опускаться, а груз Я2 будет подниматься. Обозначим через gr общее
абсолютное значение ускорений грузов Рг и Р2; очевидно, что
ускорение груза Рг будет направлено вниз, а ускорение груза Р2 будет
направлено вверх. Если тх и т.2 суть массы грузов Ρλ и Р2 и блок

428
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[ГЛ. ХЩ
настолько лёгок, что его инерцией можно пренебречь, то легко
видеть, что на рассматриваемую материальную систему действуют
три действительные и две фиктивные силы с модулями, равными
где /? есть реакция, приложенная в точке О. Обозначая через а
радиус блока и считая, как обычно, моменты сил положительными,
если они стремятся дать вращение против часовой стрелки, мы для
моментов относительно точки О всех этих пяти сил
будем иметь:
+ //^£•0, —m2gay О, —т^а, —m2g'a.
Так как согласно принципу Даламбера все пять сил
во всякий момент времени должны уравновешиваться,
то во всякий момент времени сумма моментов
относительно центра О вращения машины Атвуда всех
этих пяти сил должна быть равна нулю, т. е. должно
быть:
mxga — m2ga — mxgra — m2gra = О,
или
(mi + т2) g'== (mi — Щ) £·
Отсюда находим:
αϊ Щ — Щ σ
ИЛИ
Черт. 315.
Таким образом, ускорение g' будет постоянным, и машиной Атвуда
можно пользоваться для изучения равноускоренного движения. Мы
видим, что если веса обоих грузов Рг и Я2 будут близки между
собою, то ускорение g' может быть настолько малым сравнительно
с ускорением g свободного падения, что все свойства
равноускоренного движения грузов Рг и Р2 будут легко доступны
непосредственному наблюдению.
§ 207. Общее уравнение Лагранжа динамики системы. Вместо
того чтобы применять принцип Даламбера непосредственно, как это
было сделано в конце предыдущего параграфа, удобнее соединить
принцип Даламбера с принципом возможных перемещений, что можно
сделать следующим образом. Мы знаем, что если на материальную
систему наложены идеальные связи, то сумма элементарных работ
реакций этих связей при возможных перемещениях должна быть
равна нулю (§ ПО); таким образом, если через δΓ мы обозначим
возможное бесконечно малое перемещение какого-нибудь элемента А

§ 207]
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ
429
материальной системы, а через /? — реакцию, приложенную к
элементу Л, то должно быть:
где сумма распространяется на все элементы рассматриваемой
материальной системы. Так как из уравнения (42.2) мы имеем:
/? = — (F— mw),
то будет:
2 (Z7— mw) · δ/· = 0. (42.3)
Уравнение (42.3) и представляет соединение принципа Даламбера
с принципом возможных перемещений. Если наложенные на
материальную систему связи зависят от времени,
то в уравнении (42.3), как являющемся в силу
сущности принципа Даламбера результатом
применения принципа статики, вариации £г
должны быть вычислены без изменения
времени t, т. е. в предположении, что время t
есть хотя и произвольный, но постоянный
параметр. Заменяя в формуле (42.3)
скалярное произведение его координатным
выражением (т. I, § 18), мы будем иметь:
(42.4)
χ
Уравнение (42.4) впервые было получено Ла-
гранжем в 1788 г.; оно носит название общего Черт. 316.
уравнения Лагранжа динамики системы.
Чтобы уяснить способ применения уравнения (42.4), рассмотрим
снова машину Атвуда, причём уже не будем пренебрегать массой
блока (черт. 316). Обозначив через 0 угол радиуса-вектора г какой-
нибудь частицы блока с осью Од:, мы имеем:
x = rcos$,
dx . ndb db
_=_rsin0_ = _-^
~dt)x%
ν —-
dy _
dt
rsin
Г COS
0
, f
1 \
}
STt
db
~ dt
dt) У%

430 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. ХЩ
Для груза Я, мы будем иметь:
Для груза Р2 мы получим:
где g7 есть общий модуль ускорений связанных между собою грузов Рг
и Р2. Следовательно, уравнению (42.4) можно будет придать вид
(mxg — т^) α δθ — (m2g + m2gr) α δθ —
где знак суммы распространён на все элементарные массы блока.
Так как будет:
то мы будем иметь:
Σί&χ
где J есть момент инерции блока относительно оси О. Очевидно,
что произведение радиуса а блока на угловое ускорение -^ блока
равно тангенциальному ускорению любой точки, взятой на периферии
блока, т. е. равно ускорению gf системы грузов, т. е. должно быть:
dt* ~ a ·
Следовательно, предыдущее уравнение можно представить в виде
ipixg — mxg') α δθ — (m2g + т^) α δθ — Ж δθ = 0,
или
tjS- — /я^7 — m2g — т^ — ^ g·') δθ = 0.
Так как возможное перемещение δθ отлично от нуля, то из этого
равенства следует, что должно быть:
или

§ 208] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В СВОБОДНЫХ ПАРАМЕТРАХ 431
Отсюда находим:
g' = m 2m+^gi
1 ' 2 а2
или
В этом примере угол θ является независимым параметром системы.
Вместо того чтобы выполнять преобразование уравнения (42.4)
отдельно для каждой задачи, Лагранж выполнил это преобразование
и общем виде и таким образом получил уравнения движения системы
и свободных параметрах, или уравнения второго рода. Заметим, что
уравнениями первого рода называются уравнения, составленные с
применением множителей Лагранжа (§ 115); мы не будем рассматривать
этих последних уравнений, так как практически они почти никогда
не применяются. Для одной материальной точки уравнения Лагранжа.
в свободных параметрах уже были даны в § 165.
§ 208. Уравнения Лагранжа в свободных параметрах, или
уравнения Лагранжа второго рода. Предположим, что
координаты (лг, у, ζ) элементов материальной системы могут быть
выражены в функции от времени t и от η независимых между собою
свободных параметров qly q2, q%, ... , qn. По определению вариаций
мы будем иметь:
(42.5)
Вставляя эти выражения вариаций 8лг, 8у, δζ в уравнение (42.4),.
мы получим:
Так как все вариации iq19 δ^2, ..., bqn независимы между собой и
свободны, то последнему уравнению можно удовлетворить, только

432
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[ГЛ. XLII
положив все суммы равными нулю; доказательство этого утверждения
такое же, как в принципе возможных перемещений (§ 116). Отсюда
мы будем иметь:
удх
дх л.а2У дУ л.d2z dz\
ΣίY^L^L· V^L^L· 7^L\-
\ dq2 ' dq2^ dq2) ~
dq2^ dq2)
dqj
dt* dq2 * dt* dq2 "*" dt* dq
d?x dx . d*y dy d*z dz\
dt* dq2 ~*~ dfi dqs ^ dt* dqj '
(42.6)
^Λ.ν^Σ.Λ-7^ΞΛ Ут^дг дх ι d2ydy ι d'2z d\
dqn ^ dqn ^ * dqj ~ L· Ш\ dt* dqn ^ dt* dqn "*" dt* dqj
Итак, для определения в функции от времени η независимых
параметров qv q2, %,..., qni через которые выражаются все
координаты (х, у, ζ) частиц материальной системы, т. е. через которые
определяется положение в пространстве движущейся материальной
системы, мы получили η дифференциальных уравнений, из которых
все реакции связей исключены. Таким образом, уравнения (42.6) суть
•собственно уравнения движения системы. Лагранж придал этим
уравнениям другой, более удобный для практического применения вид;
с этим видом уравнений мы уже познакомились в § 165. Рассмотрим
выражение элементарной работы:
системы сил, приложенных к рассматриваемой материальной системе.
Заменяя в этом выражении вариации ох, Ъу и οζ их значениями по
формулам (42.5), мы получим:
где будет:
dq3
dq3j'
dqn~ dqn
(42.8)
Таким образом, левые части уравнений (42.6) движения
материальной системы суть коэффициенты при вариациях независимых
параметров в выражении элементарной работы приложенных
сил на возможных перемещениях материальной системы. Остаётся

§ 208] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В СВОБОДНЫХ ПАРАМЕТРАХ 433
выполнить преобразование к простейшему виду правых частей
уравнений (42.6). Мы имеем:
dx г дх . дх ' . дх f , дх ' . · дх ' \
dy , ду , ду г , dv ' ι ду ' , , ду г \ ,ло m
* + 4+q + q
Так как будет:
1Ш ΈςΙ ""dt* dq{ ""^dV dqx ==*
= dt\X dq^y dq^Z dqj X dt [dqj У dt Щ[) 2Ж\д^)>
то мы получим:
άιχ дх
Σίάιχ дх \<Fydy_\d^i_д*\ _
Ш \ dt* dqt ~^ dP dqx "^ dP dqj ~
Из уравнений (42.9) мы находим:
oqx oqx oqx oq^ oqx oq±
поэтому будет:
Σ( , дх , r ду , dz\ \Ί / ,дх' . ,дут , rdzr\
m[x'-a h/r^+^ir- = /jm\x —/ +^ -^7 + z —?) =
\ oqi y oqi ' J d^y ^^ V fiq'^ l dq[ dqj
dq[ « 2 d#j'
где
есть выражение кинетической энергии рассматриваемой материальной
системы. Из формул (42.9) мы будем иметь:
дхг д2х , д2х г , д2х / , д2х г , , д2дг /
σ^ а^х а^ dq{ dqx dq2 dqx dq3 dqi dqn
dy' d2y , d2y f , d2y r , a2j/ / , , d2y
dzf d2z , d2z /, ^22: / . d22
28 Зак. 487. А. И. Некрасов.

434
ПРИНЦИП ДЛЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[гл. xui
С другой стороны, будет:
d ( дх\ д2х , д2х г . д2х
dy
dt dq1
д2у
dt dql
dq1dq.)
dt \dq_ J dtdq. dq: dq, dq
д2х
d2z
73+...+ , ; qn,
Отсюда мы заключаем, что должно быть:
_d_( дх\__дх' Α-(]!Σλ—$2ί d ( dz \ — dz'
Следовательно, мы получаем:
η Γ r d (дх\, , d f ду\, r d ( dz\\
Zimlx wvdjJ'T-y ~f{^)^z -\wj\-
Таким образом, будет:
Σ/dbc дх , d?y_ ду_4 drz dz_\ __ _d_ (_дТ_ \ _ дТ_
Ш V dt* ддг "^ ^2 ддг '" dt2 dqj ~ dt\ dg'J ^
Такие же преобразования можно выполнить сверх первого уравнения и
со всеми остальными уравнениями (42.6), и мы приходим к
следующей системе уравнений:
dt \ dqj dq2
1 (дТ) дТ — ,
(42.11)
)
Уравнения (42.11) называются динамическими уравнениями Лагран-
жа в свободных параметрах, или динамическими уравнениями
Лагранжа второго рода.
Чтобы выяснить, какой вид имеет выражение кинетической
энергии Τ системы через производные qu Q2i #3»...» Qn> обратимся

§ 208] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА Π СВОБОДНЫХ ПАРАМЕТРАХ 435
к формуле (42.10) и к формулам (42.9). Легко видеть, что будет:
, dv ду , dz dz
+ 1г^ + а7^;
u "l \έ af+w "gj + m af
, ду д
q- ju "l \έ af2+w "gj + m
» 2^m V a< dgn + aF a9u + а/ а^Г/+
1 /2 V [f dx\2 , f dy\* , f dz ΥΠ ,
ду \2 , /
дх дх ι д.у (З.у ι Дг <?г \ ι
^7 5^ "^ ^ "^Г "Г" а^ 5^J "+
дх οχ ι φ/ ί) ν 1^ ^2 ^ζ \ (^
^57a + 5^ ^+^ djj ■+■
дг
Эту формулу сокращённо можно представить в следующем виде:
2Т = 2Г0 + 2αί4[ + 2α^ + 2^ + ... + 2anq'n +
q[q'3
2*2|,7Х+...+2*я_1.я <_,< (42.12)
где будет:
2Г0 =2dm[\дГ) + Ы +
Очевидно, что все количества Го, alt #2, ..., αη, ση, #22, ...,дпп,
tf12, гг13, ..., an_h n не зависят от производных q'v q'2, q'3,...,q'n.
28*

436
ПРИНЦИП ДЛЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[ГЛ. Х1Л1
Формуле (42.12) можно придать следующий сокращённый вид:
7=70+7,-1-Го, (42.13)
где 70 будет нулевого измерения, Тг будет первого измерения и 72
будет второго измерения относительно производных q'v q2, q'3, ..., q'n.
Если связи явно от времени не зависят, то в формулах (42.9) все
производные ·—, -™ и ~ будут равны нулю; поэтому будет 70 = 0
и Тг = 0, и кинетическая энергия 7 будет равна одному количеству
72, т. е. кинетическая энергия будет выражаться однородным
многочленом второй степени относительно производных q'v #',
q'v. . ., q'n. Например, если положение материальной системы
определяется двумя параметрами q1 и <72, и связи не зависят явно от
времени, то кинетическая энергия 7 этой материальной системы будет
иметь вид
1 о
где коэффициенты аи, я12 и #22 суть функции параметров q1 и q*.
Из равенстьа (42.7) следует, что каждое произведение Qfiq^,
Qo^<72)«-4 Qnty?i кмеет размерность работы. Поэтому, если,
например, количество oql будет иметь размерность длины, то количество Qx
будет иметь размерность силы, а если количество bqx будет нулевого
измерения, то количество Qj будет иметь размерность момента силы.
Во всех случаях количества Qly Q2, Q3> ./., Qn называются обобщён-
ними силами. Может случиться, что существует такая функция
Чъ 4з> ···> Яп) параметров, что будет:
ди
ди
dU
dU
(42.14)
В этом случае функция U называется силовой функцией. При
наличии силовой функции уравнения Лагранжа будут иметь вид
_d_ /дТ\ дТ _ dU
dt \dq[ ) dqx ~ 6qx '
J_ (дТ_\ дТ =dU
dt \dq2 ) dq2 dq<2'
_d_ idT\ дТ __ dU
dt \dq'z) dq3 dq'
d ГдТ\ дТ ^ dU
(42.15)

§ 209] ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ 437
Перенесём правые части уравнений (42.15) в левую сторону и положим:
L=T+U·, (42.16)
функция L называется функцией Лагранжа. Так как функция U от
производных q'v qfOJ q'v. . ., q'n не зависит, то будет:
il^^L AL — ^L· AL — AL дТ — dL
^i fyi <^2 д?2 <^3 ^^з дЯп дЯп
и уравнениям (42.15) можно будет придать вид
dt\dq[) dqx * dt\dq!>/ dq2 *'"' dt\dq'J dqn~~ '
(42.17)
Если функция L не зависит от какого-либо из параметров, например
от параметра qlf то этот параметр называется циклическим) в этом
случае будет ^— = 0, и мы будем иметь интеграл
-Ц- = const. (42.18)
dqt
Таков, например, случай движения материальной точки под влиянием
центральной силы, зависящей только от расстояния неподвижной точки
от центра силы; в этом случае циклическим параметром, или
циклическою координатою, будет угол, образуемый радиусом-вектором
движущейся точки с каким-нибудь неподвижным направлением, и
интеграл (42.18) будет интегралом площадей.
§ 209. Интеграл энергии. Предположим, что связи, наложенные
на материальную систему, не зависят от времени; тогда кинетическая
энергия Τ материальной системы будет однородным многочленом
второй степени относительно производных q'v q'o, q's, ..., q'n,
коэффициенты которого не зависят явно от времени. Далее, предположим,
что на материальную систему действует система консервативных сил,
т. е. силы имеют силовую функцию U(qv q2, <73>···> Яп)' При этих
условиях дифференциальные уравнения движения материальной системы
имеют интеграл энергии. Чтобы вывести этот интеграл, обратимся
к уравнениям (42.15). Умножим первое из этих уравнений на q[i
второе — на #', третье — на q'z и т. д. и сложим между собою все
эти произведения; мы получим:
дТ , дТ , дТ , дТ , __
,dU..eu, , dU

438 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XLII
Очевидно, что будет:
dt dq\ * ' dq2 2 dq$ 3 *^ *" * *^ d^?i n%
Далее, мы имеем:
, d tdT\ , , d (дТ\., d (дТ\ , , , d I дТ
, d idT\ , . d [дТ\,, d (
d Ι ,дТ , ,дТ , ,аГ . , , дТ
dt \ dqx dq2 dq3 dqn
дТ „ дТ „ дТ η дТ „
дЯ± dq2 dq3 dqn n
Тяк как кинетическая энергия Τ выражается однородным
многочленом второй степени относительно производных q'v q[^ q!d, ..., q'n, то
по теореме об однородных функциях должно быть:
/ дТ , /дТ , / дТ , ι / дТ л^.
Следовательно, предыдущее уравнение можно будет представить
в виде
Так как кинетическая энергия Τ есть функция от q'v q'o,. . ., ^ и
от <7ι> ^2»···» ^п» то выражение, стоящее в скобках, есть полная
производная по времени от кинетической энергии 7, и мы получим:
d (9T dT dU
или
dT _ dU
dt ~ df
Интегрируя, приходим к интегралу энергии
t (42.19)
где h есть произвольное постоянное. Предположим, что
рассматриваемая материальная система в какой-нибудь момент времени имеет
определённые значения для свободных параметров и их производных
по времени, при которых кинетическая энергия материальной системы
будет ррвна Го, а силовая функция будет равна Uo) тогда из
интеграла (42.19) мы получим:

§ 210] ТЕОРЕМА ЛЕЖЕН-ДИРИХЛЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ 439
Вычитая из формулы (42.19) полученную формулу, будем иметь:
T=T0 + U—U0. (42.20)
Так как кинетическая энергия есть всегда существенно положительное
количество, то из равенства (42.20) следует, что должно быть:
το + υ—υο>ο, или υ>υο — το.
Если бы связи зависели от времени, то кинетическая энергия Τ
материальной системы имела бы вид, представленный формулой (42.13);
таким образом, по теореме об однородных функциях было бы:
, дТ , , дТ , . / дТ -
Далее, мы имети бы:
или
dQx dq2 dqn dqx dq2 dqn
__dj_ dT__ d(T0+ Tj+ T2) _ (УГ
~ dt dt ~ dt df
Следовательно, из основного уравнения мы получили бы:
или
±(Т -Т)4-^^
dt {I* 7oj+ dt ~ df
Мы видим, что левая часть не есть полная производная по времени,
и получение интеграла энергии невозможно. Однако в частном случае,
когда всегда будет -зт = 0> мы будем иметь:
Γ2-Γ0=ί7 + Λ.
Заметим, однако, что равенство -^ = 0 влечёт зп собою обыкновенно
равенство То = 0, так что мы будем иметь обычный интеграл энергии,
представленный формулой (42.19).
§ 210. Теорема Лежен-Дирихле об устойчивости равновесия.
Применяя принцип возможных перемещений к изучению равновесия
материальной системы, мы из формулы (42.7) найдём, что условия
равновесия материальной системы имеют вид

440 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XUI
Если силы имеют силовую функцию U(qv q2, #3, ..., qn), то эти
условия будут:
dgi °' dg2 ~U' dqz -ϋ- · " dq?l -υ· Ι4^1)
Из уравнений (42.21) следует, что положениями равновесия
материальной системы, на которую действуют консервативные силы, являются
те положения, при которых силовая функция принимает
экстремальные значения. Лежен-Дирихле принадлежит следующая теорема:
Если при равновесии материальной системы, на которую
действуют консервативные силы, силовая функция имеет максимум,
то равновесие материальной системы будет устойчивым.
В верности этой теоремы для случая равновесия одной
материальной точки мы убедились косвенным путём ещё ранее, в § 128. Здесь
эта теорема будет доказана непосредственно для любой материальной
системы, находящейся под действием консервативных сил. Для
удобства дальнейшего изложения сделаем следующее преобразование.
Предположим, что уравнения (42.21) имеют решение
тогда вместо переменных qv q%, #3»···> Qn введём новые
переменные oi1-\-qv α2 + <72>· · ·> так что положению равновесия
рассматриваемой материальной системы будут соответствовать значения qx = 0,
q2 = 0,... этих новых свободных параметров. Пусть силовая функция
в этих новых параметрах имеет вид U(qv q2, #3»···> #η)ί π0
условию доказываемой теоремы значение £/(0, 0, 0,..., 0) = £/0 силовой
функции в положении равновесия материальной системы принято
максимальным; другими словами, если один или несколько параметров qv
q2, <7з> · · ·» Qn перестанут быть нулями, то силовая функция примет
значение, меньшее Uo. Дадим материальной системе, находящейся
в положении равновесия, малые скорости, так что кинетическая
энергия системы сделается равною То; тогда из интеграла энергии мы
будем иметь:
Под влиянием полученных скоростей материальная система начнёт
двигаться, и через некоторое время её кинетическая энергия сделается
равной Ту ?l силовая функция равной U, так что будет:
Из этих равенств находим:
T=T0 — (U0 — U). (42.22)
Так как Uo есть максимальное значение силовой функции, то для
любого малого отклонения материальной системы из положения
равновесия будет LT0—£/>0. Обозначим через е какое-нибудь малое

§ 211] КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 441
положительное количество. Пусть N есть наименьшее из значений,
которые принимает разность Uo—U, когда какой-либо из свободных
параметров получает значение -f-s или —г, а остальные параметры
остаются внутри в границах (—г, -\-в)) таким образом, всегда будет
Uq — U > N. Если мы дадим материальной системе в её положении
равновесия такие малые скорости, чтобы было То < N, то из
равенства (42.22) следует, что ни один свободный параметр, определяющий
положение движущейся материальной системы, не может достигнуть
граничных значений -J-ε или —s, так как в этом случае
кинетическая энергия материальной системы сделалась бы отрицательною, что
невозможно. Таким образом, все свободные параметры материальной
системы должны всё время оставаться внутри границ (—ε, -(-β), т. е.
материальная система под влиянием полученных ею скоростей хотя
и может колебаться около положения своего равновесия, но далеко
от него отклониться не может; следовательно, равновесие будет
устойчивым, и высказанная теорема доказана.
§ 211. Канонические уравнения. Динамические уравнения Лат
грг.нжа (42.15) можно преобразовать к другому виду, получив из них
уравнения, которые называются каноническими уравнениями)
впервые канонические уравнения были получены около ста лет тому назад
английским математиком Гамильтоном (1805—1861). Канонические
уравнения находят большое приложение, особенно в теоретических
вопросах; современная физика постоянно пользуется этими
уравнениями. Идея преобразования уравнений Лагранжа (42.15) к
каноническому виду заключается в следующем. Так как кинетическая
энергия Τ материальной системы есть многочлен второй степени
относительно 'производных q'v а'г, q'^. . ., q1^ то уравнения (42.15) будут
линейными дифференциальными уравнениями второго порядка
относительно свободных параметров, т. е. вторые производные q"v q"%9
<7з',. . ., q"% войдут в эти уравнения в первой степени; очевидно, что,
вводя η новых зависимых переменных, можно из η уравнений (42.15)
второго порядка получить 2п уравнений первого порядка.
Предположим, что связи, наложенные на материальную систему, не зависят
явно от времени, так что кинетическая энергия Τ материальной
системы есть однородный многочлен второй степени относительно
производных q'v q'2, q'Q,. . ., q'n вида
Т = \ («и*? + **£ + · · · + «€ + **Ж + **Мг +
Аде киэфсрицие
параметров qly
дТ
dq[ '
нты
— Pi
«И» β22>
• ·» Яп-
дТ __
dq'2
• · ·> ^12» β13>· *
Положим:
дТ __
. суть
, ...,
ФУ*
дТ
К
-т-г = Рп\ (42.23)
dq

442 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. ХЩ
в раскрытом виде эти уравнения имеют вид
= л \ (42.24)
где положено aik = aki. Решая уравнения (42.24) относительно
производных от свободных параметров, мы получим:
М2
Ч'п = ΚιΡι + К2Р2 + PnsPs + · · · + Я
(42.25)
;
где коэффициенты βη> β]9,..., βηΜ суть функции свободных
параметров qv ^2,..., <7Я. Заметим, что решение уравнений (42.24)
всегда возможно, так как определитель Δ этой системы уравнений
всегда отличен от нуля. В самом деле, если бы этот определитель
был равен нулю, то это означало бы, что система однородных
уравнений
имеет решение, отличное от нуля; однако это невозможно, так как
мы имеем:
f дТ . , дТ
+4
, дТ
в силу чего кинетическая энергия Τ должна была бы обратиться
в нуль при значениях скоростей q'v q't),. . ., q'^ отличных от нуля,
тогда как кинетическая энергия Τ есть существенно положительная
функция, обрящнощпяся в нуль только в том случае, если все
скорости равны нулю. Заменяя в выражении кинетической энергии Τ

§ 211] КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 443
скорости qrv <7.'»···> я'п их значениями по формулам (42.25), мы
получим:
Τ = Τ («ηΡϊ + ^ + ■ ■ · + *ппР*п + 2*ι*ΡιΡ2 +
+ 2απΡιΡ*+ · · · +2αη-ι. npn-iPn)> (42.26)
где коэффициенты απ, <722,..., αη-ι, η суть функции свободных
параметров ^х, ^2, ..., qn. Рассмотрим затем функцию
Η^Σ/Μ—Τ—υ (42.27)
переменных qv q't и рг Вариация оН этой функции будет равна:
Отсюда, обращая внимание на формулы (42.23), мы будем иметь:
ИЛИ
Заменяя в выражении (42.27) переменные q'{ по формуле (42.25), мы
можем представить Η как функцию переменных qi и рг\ поэтому
будет:
г=1
Вставляя полученное выражение вариации ЬН в левую часть
предыдущей формулы и перенося все члены налево, мы будем иметь:
г=1 г=1
При произвольности вариаций δ^4· и ор{ это равенство может иметь
место только в том случае, если будет:
ди , зт , ас/ _ , ая_

444
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[гл. xui
т. е. в раскрытом виде,
дТ .
dqx '
дТ +
дТ
если
dU
dq1
dU
dq2
dU
dqn ~~
будет:
дН
~ an'
дН
dq2>
дН
dqn9
dq\
dt
dq2
dt
dqn
dt
дН
~~~ dPi '
дН
др29
дИ
~ дРп '
Вводя в уравнения (42.15) переменные р1э р2,..., рп по
формулам (42.23), мы получим:
дТ м dU
dU
dt
dpn _ дТ
dt ~ dqn
dqnm
-\ rp Ά Ύ* Ά Τ*
Так как производные ητ~, -^—, . . ., ^— в этих формулах и в
предыдущих формулах вычислялись в предположении, что функция Г
зависит от переменных q{ и qv то смысл этих производных в двух
системах формул один и тот же; следовательно, мы можем положить:
dp\ *дН dp2 дН dpn дН
dt &Я\* dt dq2y * * dt dpn'
Таким образом, мы приходим к системе 2п канонических уравнений:
dq\ дН dpi дН
dt
dq2
dt
др2 y
dt ~ dq{ '
dp2 _ дН
dt ~ dq2 '
dt
dH_ dpn
dpn' dt
дН
dqn*
(42.28)
где функция Н должна быть представлена как функция переменных
Яи ?2>···> Яп> Ρν Р2»···» Рп· Выражение (42.27) для функции Я
можно преобразовать к более простому. В самом деле, из формул
(42.23) следует, что должно быть:
отсюда по теореме об однородных функциях мы получим:
Н=2Т—Т—и,
Н=Т—и. (42.29)
т. в.

§ 211] КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 445
Таким образом, для составления канонических уравнений движения
материальной системы надлежит поступать следующим образом.
Прежде всего необходимо составить выражение для кинетической
энергии Τ материальной системы в свободных параметрах; затем по
формулам (42.23) определить все q\ через р{ и составить
выражение (42.26) для кинетической энергии Т\ после этого составить
функцию Ну после чего уже нетрудно получить уравнения (42.28).
Очевидно, что интегралы уравнений (42.28) будут иметь вид
C2W), рг = ?1 (*; С„ С2, ..., С2Я),
(Jnz=z fni^'y ^l> ^2> · · ·> ^*2n)» Ρητ==
(42.30)
где Clf C2,..., C2w суть произвольные постоянные. Так как по
начальным значениям для скоростей qv д'оУ..., ^ можно определить,
исходя из формул (42.24), начальные значения для переменных р1У
/?2,..., рп, то из интегралов (42.30) по этим начальным значениям
переменных ρ и q можно определить значения произвольных
постоянных Cj, Со,..., C2w.
При сделанных для вывода из уравнений Лагранжа канонических
уравнений предположениях уравнения Лагранжа имеют интеграл
энергии; этот интеграл нетрудно получить также и из системы
уравнений (42.28). В самом деле, мы имеем:
,dHdp2. xdHdpn%
~t~dp2-dt-r--~rdpn dt '
обращаясь к уравнениям (42.28), мы получим:
dH^^dH_ dH_ , аЯ^Я , , а// с)Я дНдН _
dt ~ dqx дрх ~т* dq2dp2'T " ' ^ dqn дрп dPl dql
_^Н_дН__ дИ дИ
fy>2 ?Я1 #' ' дРп dqn '
т. е.
Отсюда мы находим:
H=T—U = h, (42.31)
где /г есть произвольное постоянное, т. е. приходим к интегралу
энергии.

446 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. Хщ
§ 212. Метод Якоби интегрирования канонических уравнений.
Интегрирование системы канонических уравнений можно привести
к нахождению полного интеграла некоторого уравнения в частных
производных первого порядка. Этот приём, имеющий большое
теоретическое и практическое значение, был предложен математиком
Якоби (1804—1851).
Чтобы пе усложнять выкладок, мы рассмотрим только случай,
когда η = 2, т. е. когда мы имеем четыре канонических уравнения,
при этом мы предположим, что функция Η явно от времени t не
зависит, а является лишь функцией от qv q2, ρχ, р2.
Таким образом, мы рассмотрим следующую систему четырёх
канонических уравнений:
dt ~~" дрг'
dq±__dH_
dt ~ др2 '
dp\ _
dt
dp2
~dt~~*
дН
dq{ '
дН
dq2'
(42.32)
где Н есть функция от qv q2, px и /?2. Найдём такие замены
переменных, которые переводят каноническую систему уравнений
(43.32) также в каноническую и притом такие, чтобы функция Η
для преобразованной системы уравнений была той же функцией
^(<7ι> #2> Р\> Рг) Уравнений (43.32), в которой переменные qv q2,
plf p0 заменены их выражениями через новые переменные. Пусть эта
преобразованная система будет:
dt д$! ' dt даг
■ _ _ \ (42.33)
da2 дН d$2 дН |
~df ~~~~dfc ' "dt ~~~ЩУ J
причём все qly q*, pv p2 суть функции от а19 α2, β3, t3k2 и обратно.
Поэтому два первых уравнения системы (42.33) можно представить
в виде
dot] dq\ . daj dq2 ι ^α^ dp\ · ()α1 й?/72 ^// <^^^ ^, дН dq2 ■
■ d// ^/7t , дИ др2
ί(£ΐ_LЁ?ι ^1 _L ^L !^] _L^El 5^2 Л_Л1
dt *du2dt ' ^p! rf^ dp2 dt dq1do.l
дИдрх
dpi дах др

§ 212] МЕТОД ЯКОБИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 447
Обращаясь к уравнениям (42.32), отсюда получим:
да^дН , ?.ахдН д^дН дагдН _дН дд{ , dH dq2 ,
7~сп </>i ' dq2 όρ2 όρ} dqx dp2 dq2 ~ dqv dfa ·" dq2 dfa "^
, dH dpi ι d И dp2
^WWWW
£ϋ ^ __ ^ _ ^ = _ _ ± _ _
(kji όρ χ *~ aq2 dp2 dp ι aqt dp2 dq2 dqx dax dq2 dax
dH dpx dH dp2
dp ι dcti dp2 dax'
Перенося все члены в левую часть, будем иметь:
d_H_ ίθα^ , ддЛ d_H_ /da± , dq2 > ι дН_ (jh± dp{\ ι
dqA \dpi ~^ d'ii) dq2\dp2*drp1)~*dpl\dq1 dfaj*
, Ш fda^ _ dp£\ _ 0
·" dp2\dq2 dfo)
_dH_(dh_dq1\_dH_(d^L_dq1\ , df^id^ , ^,\ _^
dq\\dpi daj dq2\dp2 datj* dp1\dq1*daj '
. dHfdh , dp2\ = Q
Очевидно, что если мы возьмем нижнюю пару уравнений (42.33), то
мы получим такие же соотношения, только все количества αΎ и β^
будут заменены количествами а2 и β2. Таким образом, из нижней
пары уравнений (42.33) мы найдём:
дН (da2 , dqx \ dH ίда* \ dfa*) ι дН f da2 dpt\ ,
'dqi \др~1~^ д'р2) dq2 \dp2 "^ <^β2/ дР\ \^Я\ ~Щъ)
• dH ί da2 dp2\ ^
dp2 \dq2 dfaj
dH /dSo dq^\ dH /d30 d<7<>\ ι dH fd$<> ι д/?Л
~dQ\ \ Φι da2 / ^^2 \ ^2 ^α2 / ' др\ V ^^ι ^α2 /
~Ь "я—\"я^"~Ьх^ ) == ^*
Эти четыре соотношения можно рассматривать как четыре
однородных уравнения первой степени относительно производных от
функции Я. Так как эти соотношения должны иметь место при всякой

448
ПРИНЦИП ДЛЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[ГЛ. Х1Л1
функции Н, то они должны удовлетворяться тождественно, и
коэффициенты их должны быть равны нулю, т. е. должно быть:
οα\ ι oq\ q
dpi ' d'h
όαλ , dq2
~ до.] dpi ~ docj <?/?<>
' Я/7 ЯЯ.. ' Я/7 ЯЧ "~~~ '
d$i dq\ л d3j dq2 ~
5p7 "" ^7 "" ' ^2 "" ^αι ~" '
дао , dq^ ^ da..
dpi л д$] i^ ^p2
даг
dq2
c^^i n υ*2_ιυι^ n ^2 _4Li ι
= o,
ι/χ/ο
С>р2 <7<7ϊ q ^Ρ2 ^V? Q OV2. I ^Z7! _. Q °P2 I ^2 q
^Ζ7ι ^α.> ' ^/7o дои ' (^(7! *^ ^a2 ' dq<> ^^ ^a«>
Переставим для удобства эти равенства так, чтобы сначала шли
равенства с минусами, а затем равенства с плюсами; мы будем иметь:
dai
dp2
i/[jj j ^у\ r\ ^rl I l///2 (\ νι 2 | Чг7! /Л ^γ2 [ |У//2 л
u^i uctj ^^2 ио>1 dq\ d&2 dq2 д&<>
(42.34)
Легко убедиться, что эти четыре строчки равенств показывают, что
следующие четыре выражения суть полные дифференциалы, а именно:
ill ι ιГ2—'Δ ι τ ι "г ι ι тг"ги 1» (AS) Чc^^
/7о —Pi dq1 —р2 dq2 = dS%
В самом деле, например, из первого равенства заключаем, что S
должно быть функцией от β1? β2, q1 и q2; тогда будет:
~\ е> J3O до ^о
-ς. Со -q _| Со ,л 1^ σο , 1^ Со ,
Отсюда находим:
dS
dS
т. е. первая четвёрка выше полученных равенств удовлетворяется
тождественно. Нетрудно убедиться, что условия (42.35) не являются

§ 212] МЕТОД ЯКОБИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 449
независимыми; напротив, если первое из условий (42.35) будет
удовлетворено, то тем самым будут удовлетворены и остальные три
условия. В самом деле, легко видеть, что мы имеем:
Sl=S — (α1β1 + α2ι32 + ?1 Pl -f q2 ft),
Следовательно, если мы возьмём произвольную функцию 5 (β1? β2,
qv q2) и из четырёх уравнений:
dS dS dS dS ,лп о~ч
βιβ5ΡΓ· "» = Ж· Pl=<^' P2=^ (42·36)
определим переменные ^, #2, /71? ft в функции от а19 α2, βχ, β2, то,
преобразуя канонические уравнения (42.32) к переменным αν α2, βχ,
β2, мы получим каноническую систему уравнений (42.33).
Вместо того чтобы брать функцию 5(31? β2> 9Ί> (7ο)
произвольной, определим её следующим образом. Мы знаем, что уравнения
(42.32) имеют интеграл энергии
#(?ι> Я» Pv P2) = h>
где h есть произвольное постоянное. Воспользуемся соотношениями
(42.36) и заменим рг и /?2 их значениями; мы получим:
Относительно функции 5 это есть уравнение в частных производных
первого порядка. Найдём полный интеграл этого уравнения, т. е.
интеграл, содержащий два произвольных постоянных. Обозначая эти
произвольные постоянные через ^ и β2, мы получим для полного
интеграла уравнения (42.37) выражение »S(β,, β2, qv #2). Применяя
формулы (42.36), заменим в канонических уравнениях (42.32)
переменные qv <72> pv ро через переманные ар ог2, βχ, β2. Мы должны
получить также канонические уравнения (42.33). Легко установить,
какой вид должна иметь функция Н. Мы получим функцию //,
заменяя в выражении (42.37) функцию S её найденным значением, но
так как S (^, β2, qv q^) есть интеграл этого уравнения, то мы
получим постоянное количество, зависящее от постоянных βχ, β2, т. е.
будет /ί = Λ(β1, β2). Тогда уравнения (42.33) примут вид
da, аЯdhrfg1 п
dt — dfo = dfa "" n* dl
29 Зак. 487. А. И. Некрасов.

450 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XUJ
Таким образом, количеств! β2, j3o будут произвольными постоянными,
а для количеств а3 и ао мы получим:
σ.λ = nxt + εν α2 = n2t -f- s2,
где 6j и ε2 будут произвольными постоянными, количества же п} и
/г2 будут известными функциями от произвольных постоянных β1 и β2.
Отсюда мы получаем следующую теорему Якоби:
Если в интеграле энергии Н(д1У <72, pv p%) = h канонической
системы уравнений (42.32) мы заменим количества рг и р2 через
частные производные -^— и -^— и найдём полный интеграл
получившегося уравнения первого порядка в частных производных, то
интеграл канонической системы уравнений (42.32) будет:
dS . . dS dS dS ,.n QO\
ν+«=-^. /ί = ^· ^=^' ί42·38)
где Sj, ε2, βχ и β2 суть произволъны^е постоянные.
Так как уравнение (42.37) не содержит функции б1 без знака
производной, то этому уравнению удовлетворяет также решение
5-j- const, но учитывать это добавочное постоянное const не следует,
так как в силу формулы (42.37) оно в количество h не войдёт.
Если функция Η зависит ещё от времени, то, вводя добавочные
переменные, можно этот случяй привести к рассмотренному, чего,,
однако, мы делать здесь не будем.
Конечно, для составления уравнений в частных производных,
полные интегралы которых служат для решений канонических уравнений,
можно сверх функции S применять также функции »£,, S2 и 53;
общий ход рассуждений при этом остаётся одним и тем же.
§ 213. Примеры. 169. Вывести из уравнений Лагранжа уравнение
движения абсолютно твёрдого тела вокруг" неподвижной осн. Примем ось
вращения абсолютно твёрдого тела за ось Oz и обозначим через θ угол
поворота тела относительно плоскости Οχζ; мы примем угол θ за свободный
параметр. Мы знаем, что кинетическая энергия твёрдого тела равна -^-У6/2,
где J есть момент инерции тела относительно оси вращения. Так как для
точек тела будет ох = — νδθ, Ъу — хЪЬ, о.г = 0, то из выражения
элементарной работы мы получим":
Так как будет:
EL = w — = о
дЬ' ' дв
то из уравнений Лагранжа для уравнения движения абсолютно твёрдого тела
мы найдём:
Это—хорошо известное уравнение, выведенное в § 175.

§ 213] примеры 451
170. Вывести из уравнений Лагранжа уравнения движения плоской
материальной фигуры в её плоскости. За свободные параметры этой
материальной системы мы примем координаты ς, η центра инерции плоской фигуры
относительно неподвижной системы осей координат Оху и угол θ поворота
плоской фигуры вокруг её центра инерции, отсчитываемый от прямой,
параллельной неподвижной оси абсцисс Ох. Если Μ есть масса плоской фигуры,
a J—её момент инерции относительно центра инерции С, то для
кинетической энергии Τ плоской материальной фигуры по формуле (35.37) мы
получим:
Γ = ΐΛί(ζ + η)+Ι./β8.
Если мы проведём через центр инерции С плоской фигуры оси координат
Сх\ и Су it параллельные неподвижным осям координат, то легко видеть, что
для точек плоской фигуры мы будем иметь:
Ьх = δξ —j/,δθ, Ьу = δη + xt δθ, lz = 0;
таким образом, будет:
Из выражения для кинетической энергии мы имеем:
следовательно, уравнения Лагранжа движения плоской фигуры имеют вид,
Эти уравнения уже были получены выше, в § 182.
171. Вывести из уравнений Лагранжа третье (относительно угла φ)
уравнение Эйлера движения абсолютно твёрдого тела, имеющего неподвижную
точку. Примем за свободные параметры углы Эйлера ψ, θ и φ. Так как
кинетическая энергия Τ абсолютно твёрдого тела равна
причём по формулам (39.3) угловая скорость ω2 содержит производную φ', но
не содержит угла φ, а угловые скорости ωχ и и>у содержат угол φ, но не
содержат производной φΛ, то в соответствии с формулами (39.3) мы будем
иметь:
дТ = дТ δωζ ^Сш
дТ дТ дшх дТ д(оу д<ох дту
d'f Οωχ c/φ д(ау ^φ χ д<? ί !/ dy x J ν χ
= (Α — Β)ωχωΐΤ
Так как при вращении абсолютно твёрдого тела вокруг оси Οζ на угол δφ
элементарная работа приложенных к телу сил будет равна Μζ δφ, то из
уравнения Лагранжа мы приходим к следующему уравнению:
или
29*

452
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
[ГЛ. XLII
Мы получили третье из уравнений (39.18); получение через уравнения Ла-
гранжа двух первых уравнений Эйлера значительно более сложно.
172. Вывести из уравнений Лагранжа уравнение движения грузов на
машине Атвуда (§ 207). Направим ось абсцисс вертикально вниз и обозначим
радиус блока через я, а угол поворота блока — через 0. Пусть первый груз
весом Р< = т\% бучет тяжелее второго груза весом P2=m2g. Очевидно, что
кинетическая энергия Τ системы обоих грузов и блока будет равна:
Т=± *ΐ,α*02 + 1 ι*2β202 +1 У02,
где J есть момент инерции блока относительно его оси вращения. Из равенства:
имеем:
Т= -ί (тпга* + /7/ов2 + J) 0'2
&ъ + J) Θ', 4г = °-
Так как для груза Р} будет Ъх1 = аЪЬ, а для груза Р2 будет Ъх2 =— аЪЪ, то
мы получим:
2 (X ьх + У ty + Ζ Ъг) = mAga δθ — т^а ЬЬ = (т1 — т2) ga об.
Отсюда для искомого уравнения Лагранжа мы находим:
— = (mi — m2) ga.
Так как a -~ = gr, где gr есть ускорение
груза Ри то мы имеем:
(τη^ά1 -f- /?ζ2α2 ~h J) gr — (nti — ff?2) ga^*
т. e.
—*>
или
•g.
Таким образом, мы приходим к результату, уже
полученному в конце § 207.
17.°. Вывести из уравнений Лагранжа
уравнения движения двойного маятника, состоящего из
двух однородных стержней одинаковой длины /, скреплённых друг с другом
шарниром А и могущих колебаться под влиянием силы тяжести в
вертикальней плоскости около точки подвеса О, совпадающей с концом очного из
стержней (черт. 317). Отнесём материалы!)ю систему к прямоугольной системе
коортинат Оху, причём ось Ох направим вертикально вниз, а ось Оу —
горизонтально. Счевитно, что кинетическая энергия системы состоит из
кинетической энергии первого стержня ОА и кинетической энергии второго
стержня АВ. Так как момент инерции первого стержня относительно точки О
равен ιΙ2Μί2, где Μ есть масса стержня, то кинетическая энергия (§ 172)
первого стержня равна:

§ 213) примеры ' 453
где 6j есть угол первого стержня с осью Ох. Чтобы вывести кинетическую
энергию второго стержня, рассмотрим какую-нибудь его элементарную
частицу, находящуюся на расстоянии s от точки А. Для её координат мы имеем:
х = I cos Oj + s cos 02, у = I sin 0t + s sin 02,
где θ2 есть угол второго стержня АВ с вертикальною осью Олг, откуда мы
получ*им:
-^1 = — / sin ОХ — s sin 0202, -^ = / cos θχθί + s cos θ2 02.
Следовательно, квадрат скорости этой элементарной частицы равен:
г<2+sX~ +2ls cos (0^ - θι) θ&·
Чтобы получить кинетическую энергию всего стержня АВ, умножим
выражение квадрата скоросш элементарной частицы этого стержня на половину её
массы -jT- p ds, где ρ есть плотность стержня, и проинтегрируем полученное
выражение от 0 до /; мы будем иметь:
ι ι ι
— ЛО,2 ρ ds-\- -~- 69W ps ds-\-l cos (θ2 — θ.) Ο^ £S ds,
* .) * " J J
о о о
или, вводя массу Μ = ρ/ стержня, окончательно:
4- Λί/Χ2 + -ί Μ/2°22 + 4- Μ/2 cos (θ9 — θ.) θίθ'
2 1!6 2Ι2 ν2 ι^ΐ2
Следовательно, кинетическая энергия Т всей рассматриваемой материальной
системы будет равна:
или
iri* "ι ~r η ι i^ fj iri 2 ι^ ο
Τ = IMl%2 +1 Λί/2Θ22 + i- M/2 cos (02 - \) θ%
Так как абсцисса лгй точки Cj равна лга = -^- cos 0ь а абсцисса лг2 точки С2
равна д:2 = / cos 6j + -^- cos θ2, то будет:
2
2
Ъхг =—_sin 0j oGj, 5д:2 = — /sin OjfcGj — -у sin θ2δθ2.
Поэтому элементарная работа обеих сил Mg, приложенных в точках С1 и С2,
будет равна:
— -ψ Mgl sin 0j oOj — Mgl sin 0j BGj — i
или

454 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XLII
Из полученного выражения для кинетической энергии Τ рассматриваемой
материальной системы мы находим:
4£ = 4 Μί% +1 Ml1 cos (02 - 0х) С
ij.=|м2в;+1 ж/2 cos (β2 - θ,) ej.
Следовательно, уравнения Лагранжа для рассматриваемой материальной
системы будут:
τ Μβ *w+τ Μμ it [cos (θ2 -6i) θ^] ~ τ мг2 sin ^ - θι> θίθ^
= —Ι
τΜί2^-+τ Μί2 чг [cos (θ2 -θι) θί]+τ Μ/2 sin (θ2""θι) ^
Взяв указанные производные по времени, получим:
= —γMglsin Ъ2.
Отсюда, сокращая уравнения на Ml2 и делая приведение, придём к
следующей системе двух совместных уравнений, из которых и надлежит определить
углы 6j и θ2 в функциях от времени /:

§ 213] примеры 455
Эту систему дифференциальных уравнений можно интегрировать лишь
численно. Если мы ограничимся случаем весьма малых колебаний, то
предыдущую систему дифференциальных уравнений можно будет заменить
следующей приближённой системой уравнений, которые уже будут линейными:
1 d% 1 аЩ 1 g _
ΤΊ^Γ + τ-^ + γτ62-0·
Чтобы проинтегрировать эти уравнения, положим:
6j = Αι sin (Ы + ε), 02 = А2 sin (kt + ε),
где А^ А2 и ε суть произвольные постоянные. Вставляя эти выражения для
переменных Oj и θ2 в предыдущие уравнения и сокращая результаты на
отличный от нуля множитель sin(/tf + e), мы будем иметь:
Отсюда находим:
/Ίο 4 3 j^ 1
"3"^2"""2"Τ ~2k2
Следовательно, для определения количества k мы приходим к уравнению:
2 /ДЗ " 2 I
Выполняя действия, получим:
или
Отсюда находим:
или
£2=(3 it 2,2677)-^-.
Таким образом, мы получаем положительные решения:
у -£,
или
*! = 2,301/ ^г, *2 = 0,861/ 4·

456 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XLIJ
Положим:
^ι ^2 _ q
~2k2 "2"Τ~~ΊΓΛ2
тогда будет:
где С есть произвольное постоянное. Так как количество k имеет два
значения kx и &2' то мы обозначим через d и ej значения произвольных
постоянных, соответствующих значению kif и через С2 и ε2 — значения произвольных
постоянных, соответствующих значению k2. Тогда решениям рассматриваемых
дифференциальных уравнений можно будет придать вид
Θ1 = У CjAf Sin (γ + «!> + γ C2kl (ktt + e2),
или, заменяя количества &j и k2 их значениями, ещё иначе:
Ьх = + d 2,6398 |- sin ^2,30 j/" £ * + *ι) +
+ С2 0,3661 ·|- sin (θ,86 j/"^- / + ε2),
θ2 = - d 5,5236 ^ sin ^2,30 |/^■£ / + ει) +
+ C2 0,5236^ sin (θ,86 Ι/^-έ / + εΛ.
Мы видим, что полученное решение содержит четыре произвольных
постоянных: d» ^2» ει и ε2*> эти произвольные постоянные можно найти, если будут
заданы начальные значения количеств vlt σ2, —тг и -—■, например их
значения при t = 0. Конечно, эти значения должны быть малыми, чтобы можно
было применять упрощённые дифференциальные уравнения, которыми мы
пользовались для получения рассматриваемых решений. Заметим, что мы взяли
только положительные решения биквадратного уравнения относительно k
вследствие того, что отрицательные решения новых частных интегралов
не дадут. В самом деле, решению —kx будет соответствовать интеграл
В sin (— kxt -f- £), где В и β суть произвольные постоянные. Но этот
интеграл можно представить в виде —В sin (kxt — β), и достаточно положить
— В = А{ и — β = ε, чтобы получить уже взятую форму А1 sin (kxt -f- ε)
интеграла.
174. Вывести канонические уравнения для свободного движения тяжёлой
точки по вертикали. Примем направленную вверх вертикаль за ось Oq, взяв
начало координат О на поверхности земли. Тогда кинетическая энергия Τ
материальной точки и силовая функция U будут равны:

§ 213] примеры 457
Применяя формулы (42.23), получим mq'= р, т. е. q' = — ; отсюда для ки-
pi
нетической энергии мы найдём выражение Т=-~ . Следовательно, по
формуле (42.29) будет:
и канонические уравнения будут иметь вид:
dt m ' dt ~~ g'
175. Вывести канонические уравнения для свободного движения
материальной точки с массою m по прямой линии под действием притягательного
центра, расположенного на этой прямой; сила притяжения пропорциональна
массе точки и первой степени расстояния материальной точки от центра
притяжения. Примем прямолинейную траекторию материальной точки за ось Oqf
поместив начало О координат в центре притяжения. Тогда кинетическая
энергия Τ и силовая функция Η будут иметь вид
где k2 есть множитель пропорциональности в выражении силы. Вводя
переменное р, получим:
— AL·— г
т. е.
т
Отсюда будем иметь:
т-^~ н-
1-2т> П~
Следовательно, канонические уравнения имеют вид
lt=m* It
Интеграл энергии этих уравнений будет:
^ + -ί mk2q2 = h.
Из первого уравнения движения имеем:
= т Ϊ3- ·
вставляя это значение переменного ρ во второе уравнение движения,
получим:
или

458 ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА И УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА [ГЛ. XLII
Ъло — известное уравнение, определяющее гармоническое колебание
материальной точки.
Применим к этой задаче метод интегрирования Якоби. Так как интеграл
энергии H=h будет:
dS
то, заменяя ρ через -τ- , получим:
2т
или
Хотя в этом уравнении имеется только одно переменное q, но для сохранения
обозначений, применявшихся в общей теории, мы оставили здесь знак частной
производной. Из последнего уравнения следует, что должно быть 2h^?№\
Положим 2mh = m2k2$f, тогда будет:
fx — q*dq.
Чтобы получить интегралы по формуле (42.38), определим
«* «* Г М? .
^1 J /р2_?2
Полагая q = pjZ, где | ζ \ ^< 1, получим:
I —, =
J yl—z*
/w^gj. arc sin z + const.
Таким образом, искомые интегралы будут:
mkfa arc sin z + const = -^г / + ei —
или
arc sin (-~-
\P1
отсюда, вводя произвольное постоянное ε = —~- t будем иметь:
^ = β1 sin (to + ε), /? = ΛΐΛΐ/ρ; — ^2 = mkh cos
т. е. приходим к результатам, изложенным в § 193.

ГЛАВА XLII1.
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ.
§ 214. Уравнения движения. Предположим, что к материальной
системе, положение которой определяется η независимыми
параметрами qv q%, ...,<7W, приложена система консервативных сил с силовой
функцией U. Пусть будут αα, α2, ..., αη значения параметров,
соответствующие положению равновесия этой материальной системы; иначе,
пусть будут дг = сс1э q2 = а2> · · ·»Яп — ап решения системы уравнений:
dqx dq2 dqn
Как при доказательстве теоремы Лежен-Дирихле, заменим
независимые параметры qv q» ...,qn через аг -f- ?i, «2 + ?зэ · · ·, «η + ^η>
т. е. введём для независимых параметров другие начала отсчёта;
таким образом, новые переменные qv <72, ..·,#η представляют
отклонение материальной системы от её положения равновесия. Пусть будет
U(4\* ^>···»^η) выражение силовой функции в новых параметрах;
рассматривая только малые отклонения материальной системы от
положения равновесия, т. е. полагая, что все параметры qlf q^, ...,<7n
будут малыми, разложим функцию U(q19 q^ ..·ι<7η) в ряд Тейлора
по степеням параметров q19 q^ ..., qn, ограничиваясь членами не
выше второго порядка малости. Так как значения ql = 0,
<72 = 0, ..., qn = 0 соответствуют положению равновесия
материальной системы, то должно быть:
где знак 0 справа внизу у скобок обозначает, что все параметры
Я\у ^2»···>^η Β выражениях частных производных должны быть
заменены нулями. Следовательно, мы будем иметь:
0, ...,

460 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. XLIH
Полагая для краткости:
ϋ(ο·° «>-"- Q,-b (*3d~*-■-■
мы получим:
?2» · · · . Яп) = U0 + ]Т2 (*П
В формуле (43.1) все количества Uo, bn,...,bn_ln постоянные.
Если для функции U значение Uo есть максимум, то выражение,
стоящее в формуле (43.1) в скобках, должно быть существенно
отрицательным, т. е. оно должно быть отрицательным при всех
положительных или отрицательных значениях параметров qv q2, .. .,qn>
малых по абсолютным значениям.
Предполагая, что наложенные на материальную систему связи не
зависят явно от времени, мы получим для кинетической энергии Г, как
это было выяснено в § 206 предыдущей главы, однородный
многочлен второй степени относительно производных q'v q'2,...,qrn>
а именно:
где все коэффициенты ап, #22, ..., #n_lt n суть, вообще, функции
параметров q19 q<z,*..,qn- Разложим все эти коэффициенты в ряды
по степеням параметров q19 q%y ...,qn. Очевидно, что при сохранении
в выражении для кинетической энергии Τ лишь количеств второго
порядка малости следует удержать в разложениях этих
коэффициентов только свободные члены, т. е. положить в выражениях
коэффициентов ап, я22, ...,дп_]? п все параметры q19 q2, ...,qn равными
нулю. Таким образом, для кинетической энергии Τ материальной
системы мы будем иметь выражение вида
Ж +■·■+ ^п-г. η <-ι<)> (43·2)
где все коэффициенты ап, я22, ..., ап_1%п — постоянные количества.
Так как для рассматриваемой материальной системы мы нашли с
точностью до малых второго порядка исключительно выражения как для
кинетической энергии Г, так и для силовой функции £/, то мы можем

§ 214] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 461
применить для изучения движения этой материальной системы
уравнения (42.15) Лагранжа; мы получим:
ап<]" + *i2< + · · · + аы4"п = *i A + *i2^2 + · ·
«Я1?1 + ЙЯ2< + · · · + «„„< = *» А
где положено #77. = aki и ^ί7. = ^Λί. Полученные уравнения можно
представить в следующем виде:
К.?»-*1 А) = 0, )
«2и<7: — b2nqn) = 0,
< ~ *Я»О = 0.
(43.3)
Мы видим, что уравнения (43.3) суть линейные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами, не содержащие первых
производных. Уравнения (43.3) представляют распространен!"е на
материальную систему уравнения, выведенного в § 144 для одной
материальной точки. В самом деле, положим я=1; тогда мы будем иметь:
Т = 1 anq[2, U = 1 bnq\, aj^-b^ = 0.
Достаточно положить в этих уравнениях
ап = ту Ьп = — тк\ ηλ = χ,
чтобы получить известное уравнение х" -\- k2x = 0 гармонического
колебательного движения материальной точки. Мы видели в § 144,
что колебания материальной точки будут происходить с затуханием,
если сверх силы с силовой функцией U = ^ mk^x2 на
материальную точку будет действовать ещё сила m2\ix/1 которую можно
представить в виде —-л—Т (т\ьх/2). Этот случай можно распространить
на материальные системы, введя однородную квадратичную функцию
скоростей q'v q'2, ..., qrn вида

462
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
[гл.
и видоизменив уравнения (42.15) Лагранжа в уравнения:
Т\ дТ _ dU dF
>dq[) dqx dqi dq[ '
dq2
dF
Г43.5)
Функция F называется функцией рассеяния или диссипатпивной
функцией. Чтобы объяснить смысл названия, данного функции Fy
выполним с системой (43.5) такие операции, какие требуется
выполнить при выводе интеграла энергии (§ 209); именно, умножим
первое уравнение на q'v второе — на q'2, третье — на q'3 и т.д. и
результаты сложим. Мы знаем (§ 209), что после ряда преобразований мы
будем иметь:
dF , , dF ,
Вводя в это уравнение вместо силовой функции U потен-циальную
функцию V по формуле V=—U и замечая, что функция F есть
однородный многочлен второй степени относительно производных:
Я\, Чо, ·· ·» Чпл мы получим:
d(T+V)
di
= —2F,
т. е.
или
• 1
(7+ V)tl — (7+ V)to = — 2 J Fdt,
to
(7-f V)tx = (Г+ V)t — 2 j Fdt.
(43.6>
Из этого уравнения видно, что при /7 = 0 полная энергия T~\-V
материальной системы во всё время движения материальной системы
остаётся постоянной; если же будет F > 0, то полная энергия Т-\- V
материальной системы с течением времени убывает. Таким образом,
существенно положительная функция F представляет рассеивание
полной энергии материальной системы, чем и объясняется приведённое
выше название, данное функции F.
Коэффициенты сп, £22, ..., сп_1п формулы (43.4), вообще, суть
функции свободных параметров qv q^, .-·, qn. Совершенно так же,
как для функций Τ и U, мы можем положить в этих коэффициентах

§ 215]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
463
все параметры qv </o, ..., qn равными нулю, что равносильно
удержанию в функции F лишь членов второго порядка малости;
следовательно, при этих условиях все коэффициенты си, £22, ..., сп-\, η будут
постоянными. После этого, вставляя в уравнения (43.5) полученные
выражения для функций Т, U и F, мы будем иметь:
<7 — (с а'4-с я'4-...+с <7'^
где положено cifc = ifci. Полученные уравнения можно ещё представить
в следующем виде:
К, 41 Л- сп2 q'2 —
Мы видим, что уравнения (43.7) суть линейные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами,
содержащие и первые производные. Интегрирование уравнений (43.3) или
(43.7) выполняется единообразным приёмом.
§ 215. Интегрирование уравнений движения. Для
интегрирования уравнений (43.3) и (43.7) надлежит применить излагаемый в
интегральном исчислении способ интегрирования линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Обратимся
сначала к системе дифференциальных уравнений (43.3). Положим в ней:
ze",..., qn = Bne",
где В19 В*,
§
q, =
., Вп
^t, q2
и г суть постоянные; мы знаем (Динамика точки,
19
§ 142), что если количество г будет чисто мнимым, то свободные
параметры q]f #2, . . ., qn будут изменяться по закону гармонического
колебания с частотою, равною действительному множителю при / чисто

464
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
[ГЛ. ХЦЦ
мнимого количества г. После указанной подстановки и сокращения
результатов на ert мы получим:
Βλ {αηή - bn) -f Д, (я12г2 - Ью) + · · · + Вп («1Я ή - bln) = 0,
Bi {α^ή — b21) + B2 (a^r* — Z>22) + ...+£„ (a2l/* — b2n) = 0,
Β, (αΗίή — bnl) + B2 (an^ — bn,) + . ·. + Bn (annfi — bnn) = 0.
"Из этой системы п однородных уравнений первой степени
относительно количеств Βν В%, ..., Вп мы сможем найти для η
постоянных jBj, j52, ..., Вп решения, отличные от нуля, только в том
случае, если будет равен нулю определитель системы, т. е. если будет:
a1or·
^22
= 0. (43.8)
.Мы видим, что все элементы определителя Δ (г2) суть двухчлены.
Уравнение Δ (г2) = 0 называется характеристическим уравнением
или уравнением частот. Обозначим минор определителя Δ (г*2),
соответствующий элементу /-й строки и &-го столбца, через Iik. Тогда,
предполагая, что миноры, соответствующие, например, элементам
первой строки, не все равны нулю, мы будем иметь:
В, = С/п И, В2 = С/12 И, ..., Вп = С11п (г*),
где С есть произвольное постоянное. Уравнение Δ (г2) = 0 есть
уравнение степени η относительно г2, следовательно, оно будет иметь η
корней:
которым соответствуют 2я решений:
уравнения Δ {г2) = 0, рассматриваемого как уравнение относительно г.
Таким образом, мы получим следующий общий интеграл уравнений
движения (43.3) материальной системы:
я,=Asi
(43.9)
=Α
»

§ 215] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 465
где Cj, С", С>, С", ... , С'п и С^ суть 2п произвольных
постоянных. Если одноимённые миноры Iik первого порядка определителя
Δ (г2) при каком-нибудь корне г\ характеристического уравнения
Д(г2) = 0 обращаются в нуль, то, как доказывается в высшей алгебре,
характеристическое уравнение должно иметь количество rj кратным
корнем; мы оставляем без рассмотрения этот случай, отсылая
желающих ознакомиться с этим вопросом к специальным курсам теории
колебательных движений или к специальным главам анализа. Если
значение Uo силовой функции есть максимум, то из теоремы Лежен-
Дирихле следует, что положение равновесия ητ = О, q2 = 0, . .., qn = О
является положением устойчивого равновесия, т. е. отклонения
материальной системы из этого положения равновесия не могут
неограниченно возрастать. Можно доказать, что в этом случае все корни
rj, г*, ..., г2п уравнения Δ (г2) = 0 будут отрицательными, но можно
проверить и непосредственно, что в случае отрицательности корней
r~v ro, · · ·> г\ значения свободных параметров qv q2f .. ., qn не могут
возрастать неограниченно. В самом деле, положим, что будет:
где ^, β2, ..., βΛ суть положительные числа. Отсюда мы будем
иметь:
следовательно, например, интеграл С[ег^ -\- Сг[е-Г$ будет рав^н:
Так как количества С[ и С^ суть произвольные постоянные, то мы.
возьмём для них значения:
Тпким образом, вместо двух произвольных постоянных С^ и С^ мы
вводим для других произвольных постоянных Ех и гх. Тогда будет:
30 Зак. 487. А. И. Некрасов.

466 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. XLIII
Следовательно, в этом случае общий интеграл (43.9) уравнений
движения (43.3) материальной системы можно будет представить в виде
= 7ΐ2 ( - Ρ!) Eisin (Pi< + ει) + Аз ( - ?ί) Е2 sin
( —βη)£η sin (
A» ( — Pb *i sin (Pi* + si) + An (- $) Ez sin
A»
...+/lw( —pn)£nSin(Pn* + eJ,
(43.10)
где £j, E2, ..., £n, βχ, s2, . . ., en суть 2п произвольных постоянных.
Из формы (43.10) интеграла видно, что в рассматриваемом случае,
если начальные значения параметров qv ^2, ..., qn были малы, то
эти параметры останутся малыми и во всё время движения
материальной системы. Очевидно также, что если один из корней -\-г1У —rv
+ г2, —г2, ..., -\-гПУ—гп характеристического уравнения будет
равен какому-нибудь положительному числу а или комплексному
числу α -(-/β с положительной действительной частью а, то, так как
интеграл eat, или интеграл e(*+i№ = е°*е*№ = е** (cos $t-\-i sin $t), при
неограниченном возрастании времени t будет возрастать
неограниченно, рассматриваемое положение равновесия и рассматриваемое
движение вблизи него не могут быть устойчивыми.
Если материальная система имеет две степени свободы, т. е. если
будет η = 2, то в этом частном случае характеристическое
уравнение (43.8) будет иметь вид
т. е. будет биквадратным уравнением.
Обратимся затем к системе дифференциальных уравнений (43.7);
полагая в ней:
мы получим:
В1 (а21г
спг —
A (anlr* + cnlr—b
nl
Из этой системы η однородных уравнений первой степени
относительно Βν В21 ..., Вп мы сможем найти для η постоянных Βν В21..., Вп

§ 215] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 467
решения, отличные от нуля, только в том случае, если будет равен
нулю определитель системы, т. е. если будет:
Пг2 + СПГ — ЬП п1^ + 4 — *12 · - · Л1пГа + С1пГ — Ь1
Ь1п
= 0,
или сокращённо:
Δ(γ) = 0. (43.12)
Мы видим, что все элементы определителя А (г) — трёхчлены.
Уравнение Δ (г) = 0 относительно г есть характеристическое уравнение.
Обозначим минор определителя Δ (г), соответствующий элементу /-й
строки и β-го столбца, через IiJ{. Тогда, предполагая, что миноры,
соответствующие, например, элементам первой строки, не все равны
нулю, мы будем иметь:
В, = С1п (г), β2 = С/12 (г), ...,Вп = С11п (г),
где С есть произвольное постоянное. Уравнение Δ (г) = 0 есть
относительно г уравнение степени 2/2; следовательно, оно будет иметь
2п корней:
эти корни могут быть как действительными, так и чисто мнимыми
или комплексными; в случаях чисто мнимых или комплексных корней
эти корни должны быть попарно сопряжёнными. Как самый общий
случай предположим, что все корни будут комплексными, т. е. будут:
Г3 = а2 + г'?2> Г4 == σ2 $2»
Г2п-1 = ап + Φη» Γ2Λ = αη *?п·
Таким образом, мы получим следующий общий интеграл уравнений
движения (43.7) материальной системы:
Ь = CJn («ι + ih) β("·+<?')* + «Ун («ι — Φι) e(a'-ip')f +
+ C3/n (aa - /ps) e<«.+*W + C4/n (a8 - %) e(«^ W + ...
^W +C2n/n (α, _/βη)β(«η-^;ί)*,
Са/1в (a, — /βχ) eC-W * +
4/1O (a, — ιβ2) e(-.-^* + ...
/1Я (a2 + #„) eC.+OJi + C4/ln (a,
30i:

468
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
[ГЛ. XLIII
Здесь все Cv С2, С3, С4, ..., С211_1У С2п — произвольные постоянные.
Всем этим выражениям для свободных параметров q19 qOj . .., qn
можно придать другой вид, когда они будут все действительными.
Рассмотрим, например, следующую сумму:
Очевидно, что можно положить:
и такие же выражения имеют место для других комплексных корней
характеристического уравнения и других миноров. Вместо
произвольных постоянных Сх и С2 введём другие произвольные постоянные Ег
и гг по формулам:
η — F р*г1 Г ί F p~iei ·
1— 2i l y 2— 2/ l '
тогда будет:
2Γ
= E1Rn(a1,
где Ελ и 8j суть два введённых произвольных постоянных, а /?и(а,, β,)
и ^niotj, βι) — модуль и аргумент минора /ii(«i -f- ί?ι)- Проделав
такие же преобразования со всеми остальными парами интегралов,
соответствующими сопряжённым корням характеристического
уравнения, мы получим общий интеграл уравнений (43.7) в виде
?!=%(«!. Pi)e·'* sin [Ρ1ί+χαι(α1,Ρ1)
sin
A*
... + £,,#ηΚ, pj A*sin [pnf + χπ (αη, βJ + enl,
«=* sin
7.12 («1.
ίΐ2 (α2> Ps) + S2l + · · '
\ (43.13)
Ε^1η(αν β,) β«.* sinl
E2/?ln(a8, ,32) e^* sin (
ад„(«„, р„) e"»f sin
1η(α2, ps) + ε2
Из формул (43.13) видно, что если хотя бы одно из количеств
otj, a2, ..., а„ будет положительным, то отклонение материальной
системы от положения равновесия будет возрастать неограниченно и

§ 216] ТЕОРЕМА РАУСА 469
внесённое в эти исследования предположение о малости значений
параметров qly #2, ..., qn перестанет иметь место.
Здесь, как и выше, мы оставляем без рассмотрения случай, когда
характеристическое уравнение имеет кратные корни, т. е. когда
одноимённые миноры первого порядка определителя Δ (г) для этого корня
характеристического уравнения будут равны нулю.
В частности, если материальная система имеет две степени
свободы, т. е. если будет η = 2, характеристическое уравнение будет
иметь вид
V4V + V + V + 4 = C (43.14)
т. е. будет полным уравнением четвёртой степени.
§ 216. Теорема Рауса. Из изложенного в предыдущем параграфе
следует, что если в формулах (43.13) все количества αν α2,. ., ап
будут отрицательными, то с течением времени параметры qv q2i... qn,
колеблясь около нуля по своим значениям, будут неограниченно
приближаться к нулю. Оказывается, не решая характеристического
уравнения, можно из одного вида его коэффициентов выяснить, в каком
случае знаки действительных частей его корней будут отрицательными.
Для уравнений четвёртой и третьей степеней эти правила впервые были
найдены в 1877 г. Раусом (1831 —1907). Позднее были найдены
правила, пригодные для уравнений любой степени, но для уравнений
высоких степеней эти правила достаточно сложны. Мы ограничимся
здесь случаем уравнения четвёртой степени, тем более, что для
практики этот случай является важнейшим.
Пусть дано уравнение
V* + ν8 + ν2 + V + ло = о,
где всегда можно принять Л4 > 0; в противном случае для получения
неравенства АА > 0 было бы достаточно умножить обе части
уравнения на —1. Если rv r2, г3, г4 суть корни этого уравнения, то
должно быть:
Выполняя умножения в правой части, мы получим:
Чг - г,) (г - г2) (г - л3) (г - г4) = V4 - Л (гг + л, + г3 4- г4) ή +
+ A^r2 + rbr4 + (rx + г2) (г3 + r,)\n -
— Ajrfr (r3 + r4) + /y4 ('1 + г2)] г + Л4 rxr2r3rv
откуда будем иметь:
Ао =
31 Зак. 4S7. Л. И. Некрасов

470 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. ХЦц
Полагая
мы отсюда найдём:
Аъ = - 2Λ4(α, + а2), ^ = - 2А1[а1(а\ -f ?*) + «2(а* -f ©1,
Из последних формул видно, что если действительные части αχ и <*2
корней характеристического уравнения будут отрицательными, то все
коэффициенты Л3, А^ А19 Ао будут положительными; таким образом,
положительность этих коэффициентов есть необходимый признак
отрицательности количеств ocj и а2. Но может ещё быть, что, например,
количество ах будет отрицательным, а количество а2 будет
положительным, причём все коэффициенты Аъ, А^ Аг и Ао будут
положительными, так что положительность этих коэффициентов не есть ещё
достаточный признак отрицательности обоих количеств аг и а2. Чтобы
вывести и достаточный признак, предположим, что аг < 0, а
количество а2, изменяясь, переходит от отрицательных значений к
положительным, проходя через нуль. При а2 = 0 мы будем иметь:
Из первого и третьего равенств мы находим:
следовательно, из второго и четвёртого равенств мы получим:
Таким образом, будет:
или при а2 = 0 мы будем иметь:
D = Л/^з — Αμ4 — Л/2 = о. (43.15)
Количество D = ΑχΑ2Α3 — А*АА — \А\ называется дискриминантом
Рауса\ мы видим, что дискриминант Рауса равен нулю, если
действительная часть одного из комплексных корней характеристического
уравнения обращается в нуль. Чтобы найти, в каком направлении
изменяется дискриминант Рауса D, когда действительная часть сс2 корня
характеристического уравнения переходит от отрицательных значений

§ 217] примеры 471
к положительным, возьмем, например, α1 = —Ι, β1==1, α2 =— ε,
3=2, где ε есть малое положительное количество; мы получим
с точностью до малых первого порядка включительно:
Л3 = 2А4(1 + ε), А, = 2Ai (4 + 2ε) = 4Л4 (2 + β),
Л = А4(2 + 4 + 4s) = 2Л4(3 + 28), Ао = 8Л4.
Отсюда мы находим:
£> = 16Л;| (1 + ε) (2 + ε) (3 + 2ε) — 1 М4 (2 + ε)2 ~ 32ЛК1 + ε)2>
или
Выполняя умножения и удерживая лишь первые степени малого
количества ε, мы будем иметь:
D = 1 6Л* (6 — 4 — 2 + 4ε + 6ε + 3ε — 4ε — 4s) = 80 ^J ε.
Таким образом, когда действительная часть а2 = — ε комплексного
кормя уравнения четвёртой степени переходит от отрицательных
значений к положительным, дискриминант Рауса переходит от
положительных значений к отрицательным. Отсюда мы приходим к
следующему правилу, найденному Раусом:
Чтобы действительные части корней уравнения четвёртой
степени А±гА + Аъгд + А^г2 + ΑλΓ + Ао = 0 были отрицательными,
должны быть положительными все коэффициенты Л4, Л3, Л2, Аг, Ао
этого уравнения и должен быть положительным дискриминант
Рауса D = ΑχΑ2Α3—Лр44 — AQA^ коэффициентов этого уравнения.
Можно совершенно таким же путём доказать, что правило
сохраняет свою силу, если два сопряжённых комплексных корня с
отрицательной действительной частью заменить двумя разными
действительными отрицательными корнями.
Для кубического уравнения Α.όή + А2г2 + Axr + Ао = 0 имеет
место правило:
Л3>0, А2>0, Аг>0у Л0>0, АгА2 — Л0Л8 > 0.
Доказательство этого правила разобрано в примерах.
Правило Рауса имеет частое приложение в технических задачах,
в которых разыскивается устойчивость, т. е. отсутствие
неограниченного возрастания с течением времени амплитуд колебаний. Так, напри-
мер, дискриминант Рауса играет основную роль при разыскании
критической скорости флаттера крыла летящего самолёта.
§ 217. Примеры. 176. Определить движение материальной системы,
У которой кинетическая энергия Τ и силовая функция U представлены
выражениями:
Т = | Vq'l + б?! Я> + 5/;), U = - {q\ + q, q> + 2q\),

472 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. XLIII
если дано, что при ^ = 0 должно быть q\=—1, 02= + 1> Ч\= 0 и Я% = 0.
Чтобы получить уравнения Лагранжа движения рассматриваемой
материальной системы, вычислим производные:
dT
= — 2^j — 02,
dq2 ocli
Следовательно, уравнения Лагранжа будут:
?2 = —201 —02>
или
Полагая 0j = В^ ert и q2= B2 ert, получим:
Отсюда мы находим характеристическое уравнение в виде
Δ (г*) =
г2 + 2 3/-2 + 1
= 0,
и
Δ (/-2) = (2г2 + 2) (5г2 + 4) — (3/-2 + 1)2 = 0.
Выполняя умножения и приведения, будем иметь:
Δ (/-2) = И+12/-2 + 7 = 0.
Решая это биквадратное уравнение, найдём:
Г2 = _ 6=t Y29,
т. е.
rf = —11,3852, rf, = — 0,6148.
Следовательно для решения поставленной задачи надлежит применить
формулы (43.10), где будет:
pj= 11,3852, β| = 0,6148
/п(г2) = 5г2 + 4, /12 (/-2) = - (3/-2 + 1).
Отсюда мы находим:
Λΐ (Ί) = Ίΐ (- β?) = - 52·93. Ίΐ (Г2> = 711 ( - P2) = °·93·
'u (^i) = 7i2 (- β"ϊ)= + 33,16, /12 (i§ = /12 (- © = +0,84.
Извлекая квадратный корень, мы получим:
= γ\ 1,3852 = 3,37, β2 = У<Ш48 = 0,78.

§ 217] примеры 473
Таким образом, применяя формулы (43.10), мы будем иметь:
ql= — 52,93£j sin (3,37/ + е{) + 0,93£2 sin (0,78/ + ег)»
q2 = 33,16£, sin (3,37/ + вг) + 0,84£2 sin (0,78/ + ε2).
Чтобы определить произвольные постоянные Εν Е2, *j, ε2ι вычислим значения
количеств qv qv qv q'2 при / = 0. Так как будет:
д[ = — 52,93 · 3,37Е1 cos (3,37/ + ε,) + 0,93 · 0,78£2 cos (0,78/ + ε2),
q2 = 33,16- 3,37^ cos (3,37/ + st) + 0,84. 0,78£2 cos (0,78/ + e2),
то из условия обращения в нуль этих производных при / = 0 мы находим
π π _
ej = -jt и ε2== "?5" · Следовательно, мы имеем:
9Ί = — 52,93£Ί cos (3,37/) + 0,93£2 cos (0,78/),
q2 = 33,16£Ί cos (3,37/) + 0,84£2 cos (0,78/).
При / = 0 должно быть:
— 52,93£j + 0,93£2 = — 1, 33,16^ + 0,84£2 = + 1.
Решая эти уравнения, получим:
(0,93 · 33,16 + 0,84 · 52,93) Е2 == 52,93 — 33,16,
(52,93 · 0,84 + 33,16 · 0,93) Ех = 0,93 + 0,84,
или
75,30£2 = 19,77, 75,30^ = 1,77.
Отсюда мы находим:
Ех = 0,02, Е2 = 0,26.
Следовательно, удовлетворяющий начальным· условиям интеграл
рассматриваемых уравнений движения имеет вид
qx = —52,93 · 0,02 cos (3,37 /) + 0,93 .0,26 cos (0,78 /),
q2 = 33,16 · 0,02 cos (3,37 /) + 0,84 · 0,26 cos (0,78 /),
или
ft = — 1,06 cos (3,37 /) + 0,24 cos (0,78 /),
q2 = + 0,66 cos (3,37 /) + 0,22 cos (0,78 /).
2π
Мы видим, что первое колебание с периодом ■ играет главную роль, вто-
рое же колебание с более долгим периодом —^- играет меньшую роль
и,/о
в рассматриваемом движении материальной системы.
177. Дано, что у движущейся материальной системы кинетическая
энергия Т, силовая функция U и функция рассеяния F выражаются формулами:

474 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. XLII1
Не интегрируя дифференциальных уравнений движения, выяснить характер
движения материальной системы. Так как будет:
дТ о / , о , dU . dF , , ,
—- = 3qt + 2q2, —— = — 4ql — q2, —г = qi + q2,
dqx dqt dql
dT o / , o / dU dF r o /
—-7 = 2qx + 2q2, —- = — qt — q2, —j = qx + 2q2,
dq2 dq2 dq2
то уравнения движения материальной системы имеют вид
Zqx +2q2 =—4q1 — q2 — ql—q2t
или
Полагая qt= Bxerf и q2 = B2ert, получим:
r + 4) + B2(2r*+ r+ 1) = 0,
= 0,
4гЗ 4- 8г2 + 7г + 3 = 0.
Мы видим, что коэффициенты характеристического уравнения равны А\ = 2,
,43 = 4, А2=8, А1 = 7} Aq = 3. Составляя дискриминант Рауса D = А\А2А% —
—A^Ai —~A0Al, находим D = 7 · 8 · 4 — 72. 2 — 3. 42 = + 78. Так как все
коэффициенты характеристического уравнения и дискриминант Рауса положительны,
то корни характеристического уравнения не могут иметь положительных
действительных частей. В подтверждение заметим, что выражение для силовой
функции U никогда в нуль не обращается, кроме случая qx = q2 = 0,
вследствие отсутствия действительных корней у уравнения Azl -\- 2z + 1 = 0; поэтому
данное выражение для U будет существенно отрицательным, и положение
qx = 0, q2 = 0 при отсутствии рассеяния энергии согласно теореме Лежен-
Дирихле "должно быть для материальной системы положением устойчивого
равновесия. Следовательно, движение материальной системы будет состоять
из затухающих колебаний вблизи положения равновесия qx = q2 = 0, т. е.
представляется формулами (43.13), где все а будут отрицательными.
178. Вывести признак Рауса отрицательности действительных частей
корней кубического уравнения у43г3 -\- А2г2 + А^г + Ао = 0. Очевидно, что
всегда можно принять, что А^^-О, так как в противном случае было бы
достаточно умножить обе части уравнения на —1. Если гь г2, г2 суть корни
этого уравнения, то должно быть:
/V3 + А*г~ + Air + Ао = лз (г — а) (г ~ Г2> (г — >"з)·
Следовательно, характеристическое уравнение будет:
Зг2 + г + 4 2/-2 + г + 1

§ 217] примеры 475
Выполняя умножения в правой части, мы получим:
Аг (г — rv) (г — г2) (г — г3) = Α3ή — Л3 (гх + г2 + г3) /* +
откуда будем иметь:
Л3 = ^з» ^1 = Аз [гх (г2 + г3) + г2г3],
И2 = — Аг (rt + г2 + г3), Ло = — А
Так как один из трёх корней кубического уравнения должен быть
действительным, то мы положим:
Г± = «1, Г2 = «о + %» Г3 = а2 — %;
тогда будет:
Л Л( + 2)
Если количества аг и а2 будут отрицательными, то все коэффициенты AQ, Alt
Ао будут положительными. Из положительности коэффициентов Ло, ^, Α2
следует, что корень аг должен быть отрицательным, но действительная
часть σ2 ещё может быть при этом положительной. Предположим, что
количество а2, изменяясь от отрицательных значений к положительным, прошло
через значение нуль. При а2 = 0 мы имеем:
А2 = — Asav Αι = А А Ао = — ^за1?2»
откуда находим:
А А
Чтобы найти, в каком направлении изменяется количество АХА2 — AOAS, когда
действительная часть а2 корня характеристического уравнения переходит от
отрицательных значений к положительным, возьмём, например, ах = — 1,
а2 = — ε, 62=1, где ε есть малое положительное количество; мы получим
^точностью до малых первого порядка включительно:
А2 = А3 (1 + 2ε), At = А3 (1 + 2ε) Αο = А*
Следовательно, будет:
АХА2 — AOA.S = А* (1 + 2ε)2 — А\ = 4A2ds.
Таким образом, когда действительная часть α2 = —ε комплексного корня
кубического уравнения переходит от отрицательных значений к
положительным, выражение АгА2 — А0А3 переходит от положительных значений к
отрицательным. Отсюда следует, что для отрицательности всех действительных
частей корней кубического уравнения
Αζή + A2r2 + Axr
должно быть:
А>0, At>Q, A0>0 и
Это суть признаки необходимые и достаточные.

476
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
[ГЛ. XLIIJ
179. Найти такие преобразования, с помощью которых выражение
кинетической энергии
и силовой функции
4ι-ι, η Яп-1
i, η ίη-ι
где все a ia b — постоянные, можно привести к суммам квадратов
переменных. Если alt σ2, ...,ση суть новые параметры, то согласно условию задачи
должно быть:
где klt k2, ... , kn суть постоянные. Так как будет:
дТ
дТ
dU
dU
σ2' · · '»
то уравнения Лагранжа для движения материальной системы принимают вид
т. е. система дифференциальных уравнений заменяется в новых переменных
alf σ2, ...,ση совокупностью отдельных самостоятельных уравнений, каждое
с одним неизвестным. Параметры αν σ2, ... , ση называются нормальными
или главными координатами материальной системы. Движение материальной
системы, соответствующее только изменению какой-нибудь одной из
нормальных координат, называется нормальным колебанием. Чтобы решить
поставленную задачу, заметим, что интегралы предыдущих уравнений будут:
σ2 = С', п У n
Поэтому, обращаясь к формулам (43.9) или (43.10) и полагая:
Ях = Λι (ή) Ί + Λι (rl) σ·> + · · · + 7п (rn) ση'
Я-2 = 712 (Ι) σΐ + Ί2 (Г2) σ2 + · · · + 712 ('£) ση'
где /^ суть миноры определителя
Δ (Г2) =

§ 217] примеры 477
а г\, г\, ...,г^ суть корни уравнения Δ (г) = О, мы заключаем, что при
k1 = r\ k2 = г\У ..., kn = гп приведённое преобразование переменных qu
Я 2* · · ·» Яп в переменные clt σ2, ...,ση переведёт кинетическую энергию 71
материальной системы в форму ~
и силовую функцию ί/ в форму
Мы видим, что практически нахождение нормальных координат для
колеблющейся материальной системы почти равносильно решению задачи о
нахождении колебаний этой материальной системы, так как при этом
преобразовании остаётся основная трудность задачи о колебаниях — решение
характеристического уравнения. Обратим внимание на то, что одно и то же
преобразование переводит две квадратичные формы — и кинетическую
энергию и силовую функцию — в суммы квадратов.

ГЛАВА XLIV.
ТЕОРИЯ УДАРА.
§ 218. Общие положения. Случай в движении материального
объекта, когда векторы скоростей его точек резко изменяются за
весьма малый промежуток времени, называется ударом. Нетрудно
дать примеры явления удара. Так, удар имеет место, если два
движущихся тела сталкиваются между собою; если движущееся тело
сталкивается с неподвижным телом; если движущееся тело
сталкивается с неподвижной преградой, т. е. с неподвижным телом
бесконечно большой массы; если на движущееся тело чрезвычайно быстро
налагается новая связь, например одна точка тела делается
неподвижной, и т. п. Реально явление удара происходит хотя и в очень
короткий промежуток времени, но всё же в конечный промежуток
времени. Чтобы за весьма малый промежуток времени скорости точек
материального объекта могли резко измениться конечным образом,
силы, действующие на материальный объект за этот весьма малый
промежуток времени, должны быть очень велики. В самом деле,
рассмотрим, например, уравнение движения материальной точки
dv ~
m4t=F>
отсюда имеем·
mdv = d {mv) = F dty
т. e. мы приходим к известному равенству, выражающему, что
дифференциал количества движения материальной точки равен
элементарному импульсу. Интегрируя обе части этого равенства между
пределами t и t-\-z, мы получим:
t+τ
mv — mv =
где ν" есть скорость точки, соответствующая моменту /-j-τ, а я/
—скорость точки, соответствующая моменту t. Если сила F конечная, т. е.
если будет F < Λ/, где N есть некоторое положительное число, то

§ 218] общие положения 479
мы будем иметь:
t+i t+τ
IJ Fdt <J Ndt = Nx;
t t
таким образом, мы находим:
\mv" — mv'\<Nz.
Отсюда следует, что если промежуток времени τ очень мал и
стремится к нулю, то при конечности силы скорость ν материальной
точки изменяется лишь очень мало, и это изменение скорости точки
стремится к нулю вместе с промежутком времени τ, т. е. конечная
сила вызвать явление удара не может. Из предыдущего мы
заключаем, что при конечности силы будет:
lim Г J Fdt\ = 0, (44.1)
т. е. импульс конечной силы за бесконечно малый промежуток
времени в пределе равен нулю. Но не то будет, если модуль силы F
достаточно велик.
В течение весьма короткого промежутка времени удара, когда
происходит, например, соприкосновение друг с другом соударяющихся
тел, между телами действуют весьма большие силы упругости, так
что выяснить всё явление удара можно, лишь применяя теорию
упругости. Однако весьма часто не бывает необходимости знать состояние
материальной системы за весьма короткое время удара, а требуется
лишь определить изменение её скоростей, вызванное уже
совершившимся ударом. Для решения этой последней задачи идеализируют
явление удара, вводя следующее понятие:
Ударной силой называется бесконечно большая сила,
действующая бесконечно малое время и имеющая за это время
конечный импульс.
Таким образом, для ударной силы мы имеем равенство
lim
iff Fdt] =1, (44.2)
где количество / конечно, откуда получаем:
mv" — mv' = I. (44.3)
Следовательно, мы имеем в этом случае явление идеализированного
удара, так как здесь количество движения mvr материальной точки

480 ТЕОРИЯ УДАРА [ГЛ. XLIV
изменяется в количество движения mv" мгновенно. Связь между
векторами mv\ I и mv" ясна из черт. 318. Нетрудно показать, что за
время идеализированного удара положение
материальной точки не меняется. В самом деле, мы имеем:
dr__
mv' ' или
t + τ
lim Г Г ν dt\ = 0,
I·} Jx-»o
отсюда находим:
t+x
Черт. 318. r" — r' = f vdt.
t
Так как за время τ удара скорость материальной точки остаётся
конечной, изменяясь в границах от vr до ν", то должно быть:
t+x
Km Г
и мы получаем г" — г' = 0, т. е. положение материальной точки за
время ударя не меняется. Из изложенного следует, что вследствие
удара меняются лишь скорости материальных точек, геометрическое же
расположение этих точек остаётся неизменным, причём все
конечные силы на удар влияния не имеют, так как импульсы их за
бесконечно малый промежуток времени в пределе равны нулю.
Количество /, представляемое формулой (44.2), называется
ударным импульсом и играет в теории идеализированного удара роль,
аналогичную роли силы при обыкновенных движениях материальных
объектов.
Предположим, что два тела в некоторый момент времени пришли
в соприкосновение друг с другом; пусть будет О — точка
соприкосновения поверхностей 5} и S2 обоих тел. Очевидно, что в точке О
поверхность Sy и поверхность S2 будут иметь общую касательную
плоскость. Проведём в точке О перпендикуляр к этой касательной
плоскости, т. е. общую нормаль к поверхностям 6\ и S2. Эта
нормаль называется нормалью удара или прямой удара. Если центры
тяжести Сг и С2 обоих тел в момент удара лежат на прямой удара,
то удар тел называется центральным ударом] если же центр тяжести
хотя бы одного тела в момент удара не лежит на прямой удара, то
удар тел называется внецентренным ударом. Если скорости центров
тяжести Сг и С2 обоих тел непосредственно перед ударом
расположены вдоль прямой удара, то удар тел называется прямым ударом,
если же скорость центра тяжести хотя бы одного тела не
расположена вдоль прямой удара, то удар тел называется косым ударом»
При реальном ударе тел после момента t сопр жосновения
соударяющихся тел начинается смятие поверхностей Sx и S2 обоих тел,

§ 218] общие положения 481
которое продолжается до того момента ί-\-τλ, когда проекции
скорости центра тяжести Ολ первого тела и центра тяжести С2 второго
тела на прямую удара сделаются равными между собою, т. е. когда
проекция относительной скорости центров тяжестей тел на прямую
удара сделается равной нулю. После момента ^ —|— тх начинаются
нарастание модуля рассматриваемой проекции относительной скорости
центров тяжести тел и восстановление формы поверхностей Sx и 6Ό
тел до момента t ~\- τλ ~\- τ2 = t -f- τ, когда тела начнут отделяться
друг от друга. Таким образом, период τ реального удара можно
разбить на промежуток времени τ^ в течение которого происходит
смятие тел, и на промежуток времени т2, в течение которого происходит
восстановление формы тел.
Пусть будет и' числовое значение проекции на прямую удара
относительной скорости центров тяжести тел в момент t, а
и"—числовое значение проекции на прямую удара относительно скорости
центров тяжести тел в момент t-j-τ. Ньютон высказал предположение,
и"
что отношение —γ не зависит ни от формы, ни от размеров, ни от
скоростей тел, а зависит лишь от упругих свойств вещества тел; это
предположение Ньютона удерживается и по настоящее время. Отно-
и"
шение —т обозначается через £, и это число k называется
коэффициентом восстановления, так что будет:
и"
/г = -^-(1:^/2^:0). (44.4)
Коэффициент восстановления k легко определить экспериментально
следующим образом. Предположим, что с высоты Ιιλ падает шар и
ударяется нормально о неподвижную плоскость, сделанную, например,
из того же материала. Так как плоскость неподвижна, то очевидно,
что в рассматриваемом случае относительная скорость соударяющихся
тел равна скорости шара. Мы знаем (Динамика точки, § 136), что
должно быть и' — Y^2gh1. Ударившись о плоскость и отразившись
от неё, шар взлетит вверх по нормали к плоскости на высоту Л2;
для начальной скорости и" подъёма шара мы получим u"=Y2gh2
(§ 136). Следовательно, будет:
Из формулы (44.5) следует, что достаточно промерить обе высоты h2
и hv чтобы найти числовое значение коэффициента восстановления k\
8 1
для слоновой кости будет k = -^-y а для дерева будет k = -^-.
Рассмотрим косой удар шара о неподвижную плоскость,
изображённый на черт. 319. Предположим, что скорость центра С шара

482
ТЕОРИЯ УДАРА
[ГЛ. XLIV
в момент t непосредственно перед ударом о плоскость есть ν', а
скорость центра С шара в момент ί~\-τ непосредственно после удара
о плоскость есть <о"\ пусть векторы ν' и ν" образуют с нормалью η
к плоскости углы α и β. Из черт. 319 мы имеем:
Согласно формуле (44.5) будет v"n = kv'n, что касается слагающих v't
и v"t, то их принимают или равными между собой или полагают
г^' = 1^(1 — λ), так'что коэффициент λ определяет уменьшение
касательной скорости при ударе; мы
положим v" = v't. Отсюда мы получим:
Ч'
т. е. мы находим:
tgg
k
(44.6)
Следовательно, угол отражения в
силу формулы (44.6) всегда больше
Черт. 319. угла падения и будет ему равен
только при /5 = 1, т. е. в случае
удара абсолютно упругих тел. Если k = 0, т. е. если тела абсолютно
неупруги, то будет β = -^, т. е. после удара о плоскость шар от
неё не отражается, а начинает двигаться вдоль неё.
§ 219. Динамические уравнения удара. Чтобы получить дина-
мьческие уравнения удпра, достаточно умножить соответствующие
уравнения динамики на дифференциал dt, проинтегрировать
результаты между пределами t и t -f- τ и перейти к пределу, положив τ = 0;
мы знаем, что при этой операции мы можем считать все координаты
постоянными и пренебречь всеми конечными силами.
Применяя этот приём для материальной точки, мы получили фор-»
мулу (44.3); из неё мы будем иметь:
(mv — mv)
= / ·
Выполняя скалярное умножение в левой части, получим:
mv"2 mv'2 r ό' + v"
или
(44.7)

§219]
ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ УДАРА
483
отсюда следует, что приращение кинетической энергии материальной
точки равно средней мощности импульса за время удара.
В проекциях на оси координат из формулы (44.3) мы найдём:
vl — mv'x = Ix, mv"y — mvry = Iy, mv"z — mv'z = Igi (44.8)
гце будет:
Xdt
t
J
/=iimif Ydt\
t+X
t\
J
τ-> О
Zdt
(44.9)
при
Переходя к материальной системе, из формулы (35.11) мы будем
иметь:
где Q есть количество движения материальной системы. Полагая для
краткости, что
ί+τ t+τ
lim [ Г
мы получим:
Q" — Q' = i; (44.10)
из формул (35.12) мы выведем три формулы для проекций
количества движения материальной системы:
Ql — Qx = ix> Q"y — Q'y = iy, Q'1—Q'3=:Is. (44.100
Совершенно аналогично из формул (35.19) и (35.20) мы найдём:
L" — V = \ш\ Г Mdt] =H (44.11)
l" Ί ' — И
**х ^х — пх>
/ " / ' __ И
uy Uy — η у,
(44.12;

484
ТЕОРИЯ УДАРА
[ГЛ. XLIV
Переходя к случаю плоско-параллельного движения твёрдого тела
введём угловую скорость ω = — и проекции скорости vc центра
тяжести С тела (vc)x = -~-, (vc)y = -^j-·, из формул (38.1) мы получим
для этого случая:
t+x
Μ{vcfx — Μ{vc)'x= lim Γ Γ Xdt\,
t
t+x
Ydi
)■
— Λω'= lim Γ Γ Μ' dt\,
x->oL/ J
(44.13)
где М есть масса твёрдого тела, a Jc — момент инерции
относительно точки С.
Для случая движения абсолютно твёрдого тела вокруг
неподвижной точки, из уравнений (39.17) мы будем иметь:
t+-
" ' · Г Г 1
t+τ
+
Go/' — C<a'g=\im \j M9dt\.
(44.14)
Из уравнений (42.11) Лагранжа мы найдём:
t+x
или
t+τ
t+x

§ 220] теоремы карно 485
Из формул (44.15) видно, что количества рг, ро, ..., рп, входящие
как переменные в канонические уравнения (§ 211), суть обобщённые
количества движения материальной системы; их называют также
обобщёнными импульсами, так как согласно формулам (44.15) их при-
ррщения ргвны обобщённым импульсам сил.
Умножая уравнение (42.4) на дифференциал dt, интегрируя между
пределами t и tf-j-τ и переходя к пределу при τ, равном нулю, мы
получим преобразование общего уравнения Лагранжа динамики для
случая удара; именно, мы будем иметь:
2 { [Ix—m(v^— vx)} ox -j- \Iy — m (v"y — vy)\ by +
+ [Ιζ — ηι(νΐ — ν1Β)Ζζ]}=0, (44.16)
где Ix, Iy и Iz суть данные импульсы, приложенные к материальной
системе. В этом уравнении количества ох, 8у, ог представляют
возможные перемещения, согласные со всеми бывшими до удара и
возникшими при ударе связями, если во время удара на материальную
систему налагаются новые связи; если же с материальной системы во
время удара снимаются некоторые связи, то возможные перемещения
должны быть согласны со всеми связями, имевшими место до снятия
некоторых из них.
§ 220. Теоремы Карно. Чтобы получить теоремы Карно (1753—
1823), мы будем исходить из формулы (44.16) предыдущего
параграфа. Мы предположим, что явление удара в материальной системе
происходит только под влиянием внутренних сил и никаких внешних
импульсов к материальной системе не прилагается; тогда будет
/х = 0, /у = 0, 4 = 0, и уравнение (44.16) можно будет представить
в виде
2 [т « — <) δΛ: + т (ν"ν — v\) by + т « — v'z) bz] = 0. (44.17)
Предположим, что удар в материальной системе произошёл
вследствие наложения на материальную систему некоторых новых связей,
например, вследствие соударения между собою некоторых тел мате-
риальной системы. При этом мы принимаем, что материальная
система является абсолютно иеупругой, т. е. она не может
освободиться от наложенных на неё связей под влиянием упругости. В этом
случае действительные перемещения после удара принадлежат к числу
возможных перемещений, и мы можем положить:
= vnx U, оу = v"y о/, δ^ = v"z ot;
жения возможных перемещений в у\
тат на дифференциал времени ot, м
« - О < + « К - *'и) <; + т « - О <\ = 0. '
вставляя эти выражения возможных перемещений в уравнение (44.17)
и сокращая результат на дифференциал времени ot, мы получим:

486 ТЕОРИЯ УДАРА [ГЛ. XLIV
Так как будет:
то мы будем иметь:
ΣΜ , г/2 ι г/2 ι //2\ ^£4 tn / /2 ι /2 ι /2ч ■
Обозначим через Τ' кинетическую энергию материальной системы
непосредственно перед ударом, т. е. положим:
обозначим через Т" кинетическую энергию материальной системы
непосредственно после удара, т. е. положим:
обозначим через Тп кинетическую энергию потерянных скоростей,,
т. е.
Тогда предыдущее равенство можно будет представить в виде
•γit j·/ |_ ψ q
ИЛИ
Г—Т"=Тп. (44.18)
Равенство (44.18) и выражает первую теорему Карно, которую
можно формулировать следующим образом:
При наложении новых связей на движущуюся абсолютно
неупругую материальную систему потерянная при ударе
кинетическая энергия материальной системы равна кинетической
энергии потерянных скоростей.
Предположим затем, что с материальной системы снимаются
некоторые связи, что, например, имеет место, когда твёрдое тело под
влиянием внутренних сил распадается на части, как это бывает при
взрыве. В этом случае согласно указаниям, сделанным в конце § 219,
для возможных перемещений мы можем взять выражения:
δΛ: = νχ ot, by = v'u ot, oz = v'z ot;
вставляя эти выражения возможных перемещений qx, оу, bz в
уравнение (44.17) и сокращая результат на дифференциал времени о/, мьз

§ 221] ДЕЙСТВИЕ УДАРА НА ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ НЕПОДВИЖНУЮ ОСЬ 487
получим:
2 г™ К - О <+т К - О <Лт К - О <ι = °-
Так как будет:
г/ / /2 1 / 2 ι 1 //2 1 / г //\о
то мы будем иметь:
- Σ τ [κ -
κ
или
Отсюда мы находим:
Τ"—Τ' = Τη. (44.19)
Равенство (44.19) представляет вторую теорему Карт. Из
равенства (44.19) следует, что в рассматриваемом случае при ударе
кинетическая энергия материальной системы не теряется, а выигрывается.
Равенство (44.19) можно выразить следующим образом:
При снятии некоторых связей с движущейся материальной
системы приращение кинетической энергии материальной системы
равно кинетической энергии потерянных скоростей.
Заметим, что потеря скорости может быть как положительной,
так и отрицательной, кинетическая же энергия потерянных скоростей,
конечно, всегда положительна. Если материальная система абсолютно
упруга, то уменьшения её кинетической энергии при ударе не
происходит, а должно быть Т"—Т\ Это равенство можно принять, как
характеризующее абсолютно упругую материальную точку.
§ 221. Действие удара на тело, имеющее неподвижную ось
вращения. Чтобы решить эту задачу, обратимся к формулам (37.1)
и (37.15) главы XXXVIII, через которые определяется как движение
твёрдого тела вокруг неподвижной оси, так и проекции (Χ", Υ'\ Ζ")
и (Х\ Υ\ Ζ') реакций R" и /?', приложенных соответственно в
точках О и О7 неподвижной оси вращения Ог, где будет 00'= h.
Напомним, что при выводе формул для удара мы можем принять,
что в формулах (37.15) прямоугольные оси координат Oxyz
неизменно связаны с рассматриваемым твёрдым телом. Предполагая, что
удар обусловлен приложением в точке (дг0, yOi z^) твёрдого тела
импульса
/ = ШпГГ Fedi\ ,

488 ТЕОРИЯ УДАРА
где Fe = iXe-\-jYe-\-kZe9 мы имеем:
[ГЛ. XLIV
4=НтГГ Xedt\
χ -> OL»' J
t
t+τ
τ-^oLy
t + τ
.t+τ t+τ
J R"dt\ и Уг = НтГ| R'dt\
Обозначая через
импульсивные реакции, развившиеся при ударе соответственно в точках
О и О7, мы получим для проекций на оси координат Oxyz этих
импульсивных реакций следующие выражения:
t+τ
J x"dt\
t+τ
х -»о
х->о
χ -> о
J x'4
ί+τ
t+τ
Умножая правые и левые части уравнений (37.1) и (37.15) на
дифференциал dt, интегрируя результаты между пределами t и ύ-\-τ
и переходя к пределу при τ = 0, согласно указаниям, сделанным
в самом начале § 218, мы будем иметь:
h К — ω0 = Μ, — V*»
ΐ"χ = - Λίη (ω" — ω') — /ш — 4
(44ι20)

§ 221] ДЕЙСТВИЕ УДАРА НА ТЕЛО, ИМЕЮЩЕЕ НЕПОДВИЖНУЮ ОСЬ 489
Из первого уравнения (44.20) можно найти изменение ω" — α/
угловой скорости вращения твёрдого тела, вызванное ударом, а из
остальных уравнений (44.20) можно определить проекции импульсивных
реакций в точках О и О', причём проекции /г и fz разделены быть не
могут. В уравнениях (44.20) количество Μ обозначает массу твёрдого
тела, а ξ и η — абсциссу и ординату центра тяжести этого тела.
Найдём, в каких случаях реакции Г и /", приложенные к оси
твёрдого тела, будут равны нулю. Если будет ΐ'χ = ΐ'υ = /ζ = 0 и l"x =
= // = ιζ = 0, то из третьей формулы (44.20) мы находим 1г = 0.
Таким образом, мы приходим к первому условию того, чтобы ось
вращения твёрдого тела не испытывала реакции от действия на тело
удара.
Ударный импульс должен быть перпендикулярен к оси
вращения.
При равенстве нулю импульсивных реакций уравнениям (44.20)
можно придать вид /
-Σ *«—?/,■= ο,
— ω') — /y = 0.
Задача заключается в том, чтобы найти такую точку приложения
(лг0, yOi z0) и такое направление ударного импульса /, чтобы
удовлетворить последним четырём уравнениям; из первого же уравнения мы
сможем определить изменение от ударного импульса угловой скорости
вращения твёрдого тела, ось которого не испытывает ударных сил
реакции. Возьмём для осей координат Oxyz, неизменно связанных
с твёрдым телом, такое расположение, чтобы ось Оу была
параллельной ударному импульсу /; так как ударный импульс I
перпендикулярен к оси Oz, то для этого достаточно повернуть оси Oxyz на
некоторый угол вокруг оси Oz. Тогда будет 1Х = 0, 1у = /, 1г = 0,
и предыдущие уравнения можно будет представить в виде
/.К —ш')=*ь/.
(α/7 —ω7) 2 яму = 0,
ία," — ω7) 2 mzx — zol= 0,
Μη(ω77 —α/) = 0,
Отсюда прежде всего мы находим:
2 mzy = 0, η = 0.
32 Зак. 487. А. И. Некрасов

490 ТЕОРИЯ УДАРА [ГЛ. XLIV
Перенесём начало координат в точку О0 с координатой го\ тогда
будет: ζ = ζο-}~ζ', и мы получим:
= ζ0 2 Щ + 2 mz'y = z0Mf\ -j- 2 /w-г7^ = 2 /юя'.У»
0 = (ω" — ω') 2 ю** — V =
= (ω'7 — α/) 20 2 w# + (ω" — ω') 2 /юг'лг — zol =
" — ω7) 2 м/лг — ζο1 =
Таким образом, мы приходим к равенствам:
из которых получается следующее второе условие того, чтобы ось
вращения твёрдого тела не испытывала реакции от действия на тело
удара:
Ось вращения тела должна быть главной осью инерции для
точки пересечения оси вращения с перпендикулярной к ней
плоскостью, содержащей ударный импульс.
Наконец, из равенства η = 0 мы получаем следующее третье
условие:
Центр тяжести тела должен лежать в плоскости,
проходящей через ось вращения твёрдого тела и перпендикулярной
к ударному импульсу.
Так как количества х0 и ξ, как это видно из предыдущих
формул, должны быть одного знака, то как центр тяжести тела, так и
точка пересечения прямой действия импульса с плоскостью,
проходящей через ось вращения твёрдого тела и перпендикулярной к удар-
пому импульсу, должны лежать по одну сторону от оси вращения
твёрдого тела.
Из формул
Л К — <> = *(/ и Λίξ(ω" — ω') — /=0
мы находим:
° як 2 тх
Из формул
ЛК —а/) = *о/ и K-o)')
мы получаем:

§ 222} прямой удар упругих шаров 491
Таким образом, координаты (xOi z0) той точки С плоскости Oxz,
через которую должна пройти прямая действия ударного импульса /,
равны:
Ут(х2+У2) Ύηιζχ
% (44-21)
Если удар не оказывает давления на неподвижную ось, т. е. если
соблюдены все вышеуказанные условия, то точка С, определяемая
формулами (44.21), называется центром удара. Центр удара лежит
в плоскости Οχζ, τ. е. в плоскости, проходящей через ось вращения
и через центр __тяжести тела; ударный импульс / должен быть
перпендикулярен к этой плоскости Oxz. Если твёрдое тело приводится
к однородной пластине, толщиной которой можно пренебречь, и
ударный импульс направлен перпендикулярно к её плоскости, то за
плоскость Oxz можно принять плоскость этой пластины; тогда для
координат центра удара С из формул (44.21) мы получим:
{ [
xd\
Обращаясь к § 184, легко усмотреть, что первая из формул (44.21)
совпадает с формулой для приведённой длины физического маятника,
имеющего ось Oz линией подвеса.
§ 222. Прямой удар упругих шаров. Задача об ударе шаров
имеет то значение, что решение её приближённо, во всяком случае
с качественной стороны, описывает удар выпуклых тел произвольной
формы.
Предположим, что центры тяжести Сг и С2 двух шаров движутся
вдоль одной и той же прямой со скоростями νλ и t>2 и что масса
первого шара равна mv а масса второго шара равна т2. Если
второй шар находится впереди первого и ν1 > ν2, то первый шар
нагонит второй шар, и произойдёт явление удара, что мы и будем
предполагать. В течение промежутка времени τι с момента t первого
соприкосновения шаров будет происходить их смятие до момента t-\-zv
когда скорости обоих шаров сравняются между собой; пусть будет ν
их общая скорость. Так как для системы двух шаров внешних
импульсов нет, то в формуле (44.10) будет /=0, т. е. мы будем иметь
Q"=Q\ или
Отсюда находим:

492 ТЕОРИЯ УДАРА [ГЛ. XLIV
Кинетическая энергия Τ материальной системы обоих шаров
непосредственно перед ударом была равна:
V = у Ш] ν2 + т m2v\\
кинетическая энергия Τ этой материальной системы непосредственно
после окончания смятия шаров будет равна:
Так как в первом этапе удара, продолжающемся в течение
промежутка времени т1э шары можно рассматривать как абсолютно пеупру-
гие тела, то к ним применима первая теорема Карно, т. е. должно
быть:
1 С JL·
+
Ζ Δ ftl^ -J- //Ζ2
где Гп есть кинетическая энергия потерянных скоростей. Мы имеем:
1 1
или
___ j_ /
) ' 2 Ч 2 тх+т2 ) *
выполняя вычисления, получим:
1 miml(v1 — ν2)2 Ι ηί\ηι2{νχ — ν2)2
π 2 (#Zj 4~ ^г)2 2 (nil
Но будет:
/;г2) — (m1 v1 + m2 v2)2 1 тгт2 (vt — v2)2
2 w1 -f- m2
Таким образом, первая теорема Карно Τ — Т=Тп на этом частном
примере проверена. Определим импульсы, полученные первым шаром
и вторым шаром за период τα удара. Так как скорость второго шара
возросла от значения ν2 до значения ν, то количество движения,
приобретённое вторым шаром, равно:
ffi( Vi
т\ + т2
Количество движения, приобретённое первым шаром, будет:
1 ικ ν 1

§ 222]
прямой удар упругих шаров
493
Таким образом, для суммы ударных импульсов мы получим:
Л + /2 = о,
что и можно было предвидеть, так как сумма внутренних сил в
материальной системе всегда равна нулю.
Перейдём теперь ко второму периоду τ2 удара, когда происходит
восстановление формы шаров. Обозначим скорости первого и второго
шаров непосредственно после окончания удара, т. е. в момент Η
через ν" и ν>. Из формулы (44.10) мы будем иметь:
Чтобы найти второе уравнение, обратимся к гипотезе Ньютона,
изложенной в § 213. Так как после удара второй шар получит перевес
в скорости над первым шаром, то, обозначая через k коэффициент
восстановления, мы будем иметь:
Таким образом, мы пришли к системе двух уравнений:
г/ г/
-\- riloVo =
" ι " г.
из которых и надлежит определить скорости Vi и ν·>. Решая эти
уравнения, мы получим:
(44.23)
Отсюда для импульсов l\ и /о, полученных шарами за весь период
τ = τ1-|-τ2 удара, мы будем иметь:
/2 = m.i{v2 _ ^) = (
как и должно быть, мы находим:
(44.24)
В заключение определим кинетическую энергию Т" системы двух шаров
в момент f-j-τ, т. е. в самом конце удара. Мы имеем:

494 ТЕОРИЯ УДАРА [ГЛ. XLIV
Заменяя в этой формуле количества Vi и v> из формул (44.23),
получим:
Выполняя действия, будем иметь:
ИЛИ
r-r-i^1B*L-(t,I-ttf. (44.25)
Мы видим, что кинетическая энергия Т" двух шаров непосредственно
после удара будет меньше кинетической энергии V двух шаров
непосредственно перед ударом, и равенство V = Τ будет иметь место
только при &=1, т. е. для абсолютно упругих шаров. Так как
механическая энергия двух шаров при ударе уменьшилась, то с точки
зрения теоретической механики в этой задаче не имеет места закон
сохранения энергии. Но, переходя на более общую точку зрения и
обращаясь для этого к физике, мы видим, что закон сохранения
энергии имеет место и в этом случае, только вместо исчезнувшей части
механической энергии двух шаров появляется новая форма энергии,
например тепловая, которая учитывается физикой, но не может быть
учтена методами теоретической мехаж ки.
Формуле (44.25) можно придать несколько другой вид. В самом
деле, из формул (44.23) мы имеем:
Отсюда легко найдём:
r (ν"
m1 (v" — v{)2 trr (ν" — ν2)2 (1 +
2 +=
2=
или
τηλτη2 1 \m1(v[—v1Y mo (ν" — νο)
— νο)2 1
2 J·
Следовательно, будет:
l—k2 mAm2
2 т1 -\- т2 ^ г 2

§ 223] примеры 495
Отсюда, обращаясь к формуле (44.25) получим:
2 ' 2 J'
или
1 _ k Г т (ν — «Л2 /л (ν — ζΛ2 Ί
(44.26)
Формула (44.26) вполне аналогична формуле (44.18), выражающей
первую теорему Карно, отличаясь от неё только множителем i
стоящим при кинетической энергии потерянных скоростей.
§ 223. Примеры. 180. К однородному прямолинейному неподвижному
стержню, масса которого равна М, а длина которого равна /, приложен на
расстоянии а от центра стержня ударный импульс /, перпендикулярный к оси
стержня; требуется найти кинетическую энергию Τ стержня непосредственно
после удара. Направим ось абсцисс вдоль стержня, а ось ординат —
параллельно импульсу /. Если ν есть скорость центра стержня, а ω есть угловая
скорость вращения стержня непосредственно после удара, то из формул (44.13)
мы получим:
Μν = /, Jv> = la,
где J есть момент инерции стержня относительно его центра. По теореме
§ 173 будет:
г =1ллг2+ ■§-./<■>*,
или
TLJL - 1 /2а*
Отсюда, вводя радиус инерции k, мы находим:
181. Прямоугольная однородная пластина со сторонами а и b можс!
вращаться вокруг стороны а\ как должен быть направлен и в какой точке
должен быть приложен к этой пластине удар, чтобы ось вращения а не
испытала импульсивных реакций? Согласно § 221 удар должен быть направлен
перпендикулярно к плоскости пластины, причём центр удара должен лежать
на прямой, параллельной стороне b и делящей пластину пополам. Расстояние
центра удара от оси вращения определяется первой из формул (44.22),
а именно:
Я
=7
x^t
Так как будет da = a dx, то мы находим:
6
х- fa — а \ х2 dx = -ψ-

496
ТЕОРИЯ
da = а
= ~з~:
УДАРА
Ъ
χ dx -
ό
ab2
2
""3
ab*
b.
[ГЛ. XLIV
Отсюда получаем:
182. Однородная пластина в форме равнобедренного треугольника с
основанием а и высотою h может вращаться вокруг стороны а; как должен быть
направлен и в какой точке к этой пластине должен быть приложен удар,
чтобы ось вращения а не испытала импульсивных реакций? Согласно § 221
удар должен быть направлен перпендикулярно к плоскости пластины, причём
центр удара должен лежать на высоте треугольника на расстоянии х0 от
основания а, определяемом первою из формул (44.22). Легко видеть, что
будет:
поэтому мы получим:
( ( χΐ^ = ~ [ {h —
J J n J
0
h
h h
: = a x- dx — у л:3 dx = -ту а&
6 о
h h h
I* (* l* С (* 1
xda = ~ (h — x)xdx = a xdx — 4; x2dx=-rah*.
J J h J J h J ь
Следовательно, мы находим:
Λ3 :
x°= 12" λΛ3 :~6ah2==TH'
183. Вывести формулу для определения скорости t; пули путем измерения
угла α наибольшего отклонения баллистического маятника. Баллистическим
маятником называется наполненный песком
цилиндр, могущий качаться на призме, как физический
маятник (черт. 320); пуля, попадая со скоростью ν
в цилиндр, останавливается в песке цилиндра,
отклоняя баллистический маятник на угол а.
Рассмотрим баллистический маятник с массою Μ и
моментом инерции J относительно острия О
призмы и пулю с массой т как одну динамическую
систему. Так как на эту систему внешние
импульсы не действуют, то согласно формуле (44.11)
должно быть
L" = U,
Черт. 320.
Если / есть расстояние прямолинейной
траектории пули от точки О, то перед моментом удара
момент количества движения U рассматриваемой
системы равен mvl. Если ω0 есть полученная
баллистическим маятником угловая скорость
вращения, то момент количества движения L" рассматриваемой системы
непосредственно после удара равен:
Уш0 + nil2 ω0 = (У + ml2) ω0.

§ 223] примеры 497
Следовательно, должно быть:
mvl = (J + >я/2) ω0,
или
Если а есть расстояние от точки О до центра тяжести баллистического
маятника, то из теоремы кинетической энергии для физического маятника (§ 184)
мы имеем:
= h + Aig-я cos θ,
где ω есть угловая скорость маятника, θ — угол отклонения маятника от
вертикали и h — произвольное постоянное. Так как при θ = α должно быть
ω = 0, то мы получаем:
О = h + Mga cos α,
или
т/2)о>2
' = Λί£7Ζ (COS θ — COS α).
Так как при θ = 0 должно быть ω = ω0, то мы находим:
Ά Л /1 \ О Ά Λ 19
= Mga{\ — cosa) = 2Mgas\vfi у;
2
следовательно, будет:
т. е. мы находим связь между наибольшим углом а отклонения
баллистического маятника и его начальной угловой скоростью ω0. Отсюда мы
приходим к окончательной формуле:
Конечно, при опытах с баллистическим маятником всегда стараются добиться
того, чтобы ось маятника не испытывала импульсивных реакций.
184. Тяжёлое продолговатое тело, масса которого равна М, имеет ось
симметрии, расположенную вдоль его длины. К телу приделана плоская
державка, в средней плоскости которой, перпендикулярной к оси симметрии
тела, находится центр тяжести О тела. Тело приведено в такое положение,
что его ось симметрии наклонена к вертикали под углом а, причём само тело
повёрнуто вокруг своей оси симметрии настолько, что его державка выходит
наружу за вертикальную плоскость, параллельную оси симметрии и
касающуюся боковой грани тела. В начальный момент t = 0 тело получило
направленную вниз скорость ν0, параллельную его оси симметрии; тогда в
последующие моменты под влиянием начальной скорости Vq и веса Mg тела центр
тяжести О тела, опускаясь, будет описывать дугу параболы, расположенную
в вертикальной плоскости. Согласно условию задачи через малый промежуток
времени после приведения в движение тела последнее, опускаясь, ударяется
ребром своей державки о неподвижную стойку, параллельную вектору
доопределить значение получающегося при этом ударного импульса /.

498
ТЕОРИЯ УДАГА
[ГЛ. XLIV
Рассмотрим систему неподвижных прямоугольных осей координат Охуг
такую, чтобы ось Oz была направлена вдоль скорости v0, а ось Ох—
горизонтальна (черт. 321).
Тогда проекции на оси Oxyz скорости точек тела перед моментом t
удара будут соответственно равны: и' = 0, vr = g sin at, wr — vQ -f- g cos at.
Пусть ребро державки ударяется о край OV стойки, параллельной оси Oz\
тогда немедленно после удара тело начнёт поворачиваться с некоторой
угловой скоростью ω вокруг оси Отzr. Построив прямоугольную систему осей
Черт. 321.
координат O'x'y'z', параллельных осям Oxyz, мы для проекций на эти оси
O'x'y'z! скоростей точек тела непосредственно после удара будем иметь:
и" = — <j>yf, Vrr = ωΛΓ7,
Wrr
Wr = Vq + g COS at,
где предположено, что проекция скорости wr от удара не изменилась. Отсюда
для потерянных скоростей точек тела мы получим:
и' — и" = toy',
Составим по формулам:
-v" = g sin at — ωχ', wr — w" = 0,
(u"
"2
Σ
v' ~ v")<

§ 223] примеры 499
соответственно выражения для кинетической энергии всего тела
непосредственно до удара, непосредственно после удара и кинетической энергии
потерянных скоростей, где т есть масса одной из частиц тела; мы получим:
Г' = IЛЦ; +1 Mg2t2 + MvQg cos at,
f = _!_ /ω2 + * Mv2 + 1 Mg2 cos2a,2 + M CQS aU
Δ 2* Δ
Γπ = 77 J'iu2 + -7Г- Mg2 sin2 at2 — Mg Sin αξ W,
11 2 2
где J1 есть момент инерции тела относительно оси OV, а V есть абсцисса
центра тяжести О тела относительно осей O'x'y'z*. Применяя теорему Карно,
будем иметь:
-κΜν\ + тг Mg2t2 + Mvog cos а/--г-Уо)--т yWi/2 —
— 77 Μ^2 COS2 α/2 — MVng COS ОС/ =
Ζ
= — 77ω2 + 7j Λί^2 sin2 αί2 — Mg sin α^ω/,
или
О = /'ω2 — Л4£ Sin αξ'ω/.
Обозначая через У момент инерции тела относительно оси Οζ и через / —
расстояние 00', мы найдём из последнего уравнения:
Mg sin αξ^
Применим мтем к задаче формулы (44.10/); мы имеем·
y = 2 mv = уИ^ sin a/,
Qrz =
Qg = 2 mw" = ^^o + ^ cos at·
Следовательно, будет:
ρ=«?: - <?;)2+(Qi - <?;>+«?; - Q'f,
или
/2 = Λί2ω2 (ξ/2 + η/2) _|_ Mog2 sin2 a/2 __ 2уИ2^ sin αξ'ωί,
где^ η' есть ордината точки О относительно осей О'х'уrzr. Вводя гирацион-
ный радиус k, мы можем представить формулу для угловой скорости ω в виде
gslnai't
ω =
так как будет ξ/2 + η'2 = /2, то мы получим:
1= Μ Υ ω2/-' + g* sin2 a/^ — 2g

500
ТЕОРИЯ УДАРА
[ГЛ. XUV
Вставляя в последнюю формулу предыдущее выражение для угловой
скорости ω, мы будем иметь:
I=Mgtsinay χ__
->:/2
(£2.|./2)2
Последняя формула и даёт решение поставленной задачи. Произведение Mg
представляет вес Ρ двигающегося тела; все три слагаемые под квадратным
корнем имеют нулевые измерения; произведение Mgt = Pt имеет размерность
импульса силы и равно импульсу силы тяжести. Поэтому окончательно
последнюю формулу можно представить в виде
2ς'2 i
I £2 _[_ /2 ' (£2
Мы видим, что основная трудность задачи и заключалась в нахождении
безразмерного коэффициента, стоящего при выражении импульса силы тяжести
за время от начала падения тела до момента его удара о край стойки.

предметный указатель
Аксоид подвижной 402
Амплитуда колебания 155
Блок неподвижный 28
— подвижной 28
К 243, 395
— по инерции 343, 381. 397, 403, 405
Высота присоединённая 124
Герполодия 400
Герполодограф 400
Гироскоп 381, 413, 420
Градиент функции 94
Грамм массы 69
Дальность полёта 186
Движение в пустоте 122 и д., 183
— в воде с запасом пловучести 196
— гармоническое колебательное 154
и д.
— на поверхности земли 243
— несвободное 210
— неустойчивое 267
— относительное 231, 239
— плоской фигуры 354 ид.
— при квадратичном законе сопро-
тивления 130, 191
— при сопротивлении, пропорцио-
нальном квадрату скорости 130 и
Д., 191 и д.
, — первой степени
скорости 124 и д., 187 и д.
— равноускоренное 108
— тела вокруг неподвижной точки
369—424
, случай Ковалевской
381
— э _ Лагранжа 381, 407
ид.
$ _ Эйлера 381, 38δ
— устойчивое 267
— центра инерции 279
Декремент логарифмический 168
Дина 71
Дискриминант Рауса 470
Длина приведённая физического
маятника 346
Задача двух тел 104
__ н1ютона втооой 64 и л
_ - пе^й 61Р°„ д *
— — третий 73 и д
— Сиаччи 146 и д., 198
~ сопротивления среды квадратич-
ный 191, 196
линейный 187
— сохранения энергии 93
Запас пловучести 196
Золотое правило механики 54
Импульс силы 75
— мгновенный 79
— ударный 480
Инерция 62
Интеграл количества движения 84
и д., 283
— момента количества движения 87
и д., 292
— площадей 90
— энергии 91 и д., 217, 243, 299, 337,
389, 409, 437, 450
— Якоби 243
Килограмм массы 69
Килограммометр 13
Колебания вынужденные 160, 172
— затухающие 164, 169
— изохронные 219
— малые 267 и д., 459 и д.
— нормальные 476
— с возмущениями 158 π д.
— с затуханием 164, 169
— свободные 155
К
— свободные 155
Количество движения 67, 279 и
344
д.,

502
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Координаты главные 476
— нормальные 476
Коэффициент баллистический 146
— восстановления 481
— вязкости 165
— полезного действия 19
Линия геодезическая 215
— узлов 370
Лошадиная сила 19
Масса 67
— инертная 69 и д.
— переменная 285
— тяготеющая 69 и д.
Машина Атвуда 66, 427
Маятник баллистический 496
— круговой 217
— математический 217, 246
— оборотный 350
— параболический 230
— физический 344, 349, 414
— Фуко 256
— циклоидальный 228
Метод Якоби интегрирования
канонических уравнений 446
Механика классическая 60
— релятивистская 61
Множители Лагранжа 38 и д., 211
Момент количеств движения 87, 288,
299 и д., 374
— инерции относительно оси 293,
312
плоскости 312
точки 312
центробежный 312
— статический 311
Мощность 18
Ньютон (единица силы) 71
Нормаль удара 480
Ось вращения свободная 343
— инерции главная 318
центральная 321, 343
Отклонение статическое 160
Парабола безопасности 187
Параметры свободные Лагранжа 43
и д., 261 и д., 431
— циклические 437
Перемещение возможное 25
Период возмущающей силы 160, 162
— колебаний 155 и д.
маятника 219, 245, 347
Плоскость неизменяемая 292
Поверхность равного потенциала 95
— уровня 95
Полодия 400
Правило золотое механики 54
Прецессия 393
— псевдорегулярная 420
— правильная 393, 419
— регулярная 393, 419
Приближение апериодическое 169
Принцип возможных перемещений Q
25 и д., 259
скоростей 9
— Даламбера 60, 257 и д., 425 и д.
— относительности Галилея 63
специальный 64
— Торричелли 54
Произведение инерции 312
Производная локальная 379
Прочность движения 268
Прямая удара 480
Работа силы 9 и д., 92, 344
элементарная 10 и д., 92
— системы сил 13 и д.
Равновесие неустойчивое 269
— относительное 231 и д.
— точки на поверхности земли 243
и д.
— устойчивое 267
Радиус гирационный (инерции) 323
Реакция связи 210 и д.
при движении и при
равновесии 224
Резонанс 162, 172
Рычаг второго рода 29
— первого рода 28
Свойства гироскопические 413
Связь идеальная 19 и д.
— неудерживающая 25
— удерживающая 25
Сила 64, 68, 71
— активная 257
— внешняя 73, 278
— внутренняя 73, 278
— возмущающая 158
— движущая 425
— деятельная 257
— диссппатпвная 164, 172
— «живая» 81
—, зависящая от времени 108
—, — от координаты точки- 112 и д.
—, — от скорости точки 114
— инерции 257, 426
— консервативная 94 и д.
— Кориолиса 240
— «лошадиная» 19
— обобщённая 52
— пассивная 257

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
503
Сила постоянная 52, 107 и д.
— потерянная 257, 425
— рассеивающая 164
— реакции 210 и д.
— ударная 479
— центральная 88
— центробежная 234, 244
Система единиц техническая 13, 72
физическая 72
Скамейка Неждановского 294
Случай Ковалевской 381
— Лагранжа 381, 407 и д.
— Эйлера 381, 388 и д.
Сопротивление среды по закону
Сиаччи 146 и д.
f пропорциональное квадрату
скорости 130 и д., 191 и д.
, — первой степени скорости
124 и д., 187 и д.
Степени свободы 44
Тело динамически уравновешенное
343
Теорема Гюйгенса 346
— Карно вторая 487
первая 486
— кинетической энергии 216, 297,357
— Лагранжа прямая 32
обратная 34
— Лежен-Дирнхле 97, 439 и д.
— момента количеств движения 299
и д.
— Рауса 469
Тяготение всемирное 244
Углы Эйлера 369 и д.
Угол нутации 371
— прецессии 371
Удар 478
— внецентренный 480
— косой 480
— прямой 480, 491
Удар центральный 480
Уравнение в вариациях 268
— Лагранжа общее 260, 428
— характеристическое 156, 464
— частот 464
Уравнения движения естественные
(внутренние) 183
— канонические 441
— Лагранжа второго рода 261 и д.
— удара 482
— Эйлера динамические 378 и д.
Условия равновесия 37
Устойчивость равновесия 439
Фаза колебания начальная 155
Флаттер 170, 471
Функция диссипативная 462
— Лагранжа 437
— потенциальная 92, 94, 337, 357
— рассеяния 462
— Сиаччи 146
— силовая 94, 97, 298, 337, 357, 436
Центр инерции 280, 284
— качаний 346
— силы 88
— удара 491
Частота круговая (циклическая) 155
Число степеней свободы 48
Широта астрономическая 244
— геоцентрическая 249
Эллипс инерции 323
Эллипсоид инерции 315
центральный 321
Энергия кинетическая 91, 298, 303.
311, 344, 357, 409, 436, 483
для несвободного движения
216
— потенциальная 92

Редактор Д. В. }Карков.
Техн. редактор С. Я. Ахламов.
Корректор Е. А. Белицкая.
Подписано к печати 12/ViII I953 г.
Бумага 60х92/1в. 15,75 бум. л. 31,5 печ. л.
31,05 уч.-изд. л. 39465 тип. зн. в печ. л.
Т-05284. Тираж 25 000 экз. Заказ № 487.
Цена книги 9 р. ЗОк. Переплёт 1 руб.
4-я тип. им. Евг. Соколовой Союзполиграф-
прома Главиздата Министерства культуры
СССР. Ленинград, Измайловский пр., 29.