Председатель
редколлегии серии
профессор
Г. Г. Малинецкий
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА С.Г.Абаимов
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Синергетика: от прошлого к будущему • № 57
С. Г. Абаимов
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
От фракталов
до скейлинг-поведения
URSS
МОСКВА

ББК 22.317 32.817
Абаимов Сергей Германович
Статистическая физика сложных систем: От фракталов
до скейлинг-поведения. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ»,
2012. — 392 с. (Синергетика: от прошлого к будущему. № 57)
Многообразие происходящих в природе явлений, на первый взгляд, не
подчиняется каким-то унифицированным принципам, и каждое явление требует введения своих
законов описания поведения. Однако данное утверждение, присущее классической
физике, все больше утрачивает свои позиции. Примерами могут служить попытки
создания единой теории материи или универсальность, вводимая с помощью ренорма-
лизационной группы. В последние десятилетия и в статистической физике возник ряд
многообещающих гипотез о том, что самые разнообразные явления, такие как перко-
ляция, землетрясения, разрушение материалов, полимеризация, ДНК, информационные
процессы и многие другие, могут описываться унифицированным формализмом
статистической физики; причем эта универсальность может распространяться как на
окрестности точек фазовых переходов, так и на явления без фазовых переходов. Подобные
системы стали называть сложными.
В настоящей книге подробно рассматриваются такие важные концепции, как
энтропия, потенциал свободной энергии, восприимчивость, ренормализационная группа,
и делаются попытки обобщения принципов их построения для самых различных типов
систем. Основой данного обобщения служит отображение вероятностных законов
поведения систем, в которых температура может отсутствовать как таковая, на уже
хорошо знакомые читателю тепловые флуктуации.
Книга предназначена для широкого круга физиков — научных работников,
преподавателей и студентов вузов.
Издательство «Книжный дом "ЛИБРОКОМ"»
117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56
Формат 60^90/16 Печ л. 24,5 Зак № ЖТ-48.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 11А, стр 11
ISBN 978-5-397-02299-6
> Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
URSS
E-mail- URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете'
http://URSS.ru
Тел /факс (многоканальный)
+ 7 (499) 724-25-^5
9957 ю 122075
9 ,,785397,,022996,,
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то
электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.

Содержание
От редакции 4
Предисловие 7
Глава 1. Фракталы 9
Глава 2. Модель Изинга 25
Глава 3. Перколяция 80
Глава 4. Механика разрушения 111
Глава 5. Корреляции, отклик и флуктуационно-диссипационная
теорема 134
Глава 6. Вероятность флуктуации 191
Глава 7. Общий формализм. Свободная энергия 201
Глава 8. Ренормализационная группа 288
Глава 9. Скейлинг-функции. Эффект конечного размера системы.
Кросс-овер эффекты 336

От редакции
Издательство URSS продолжает серию книг «Синергетика: от прошлого к
будущему».
Синергетика, или теория самоорганизации, сегодня представляется
одним из наиболее популярных и перспективных междисциплинарных
подходов. Термин «синергетика» в переводе с греческого означает
«совместное действие». Введя его, Герман Хакен вкладывал в него два
смысла. Первый - теория возникновения новых свойств у целого, состоящего
из взаимодействующих объектов. Второй - подход, требующий для своей
разработки сотрудничества специалистов из разных областей.
Но это привело и к замечательному обратному эффекту -
синергетика начала оказывать все большее влияние на разные сферы деятельности и
вызывать все больший интерес. Сейчас этим подходом интересуются
очень многие - от студентов до политиков, от менеджеров до активно
работающих исследователей.
Синергетика прошла большой путь. Тридцать лет назад на нее
смотрели как на забаву физиков-теоретиков, увидевших сходство в описании
многих нелинейных явлений. Двадцать лет назад благодаря ее
концепциям, методам, представлениям были экспериментально обнаружены
многие замечательные явления в физике, химии, биологии, гидродинамике.
Сейчас этот междисциплинарный подход все шире используется в
стратегическом планировании, при анализе исторических альтернатив, в поиске
путей решения глобальных проблем, вставших перед человечеством.
Название серии «Синергетика: от прошлого к будущему» тоже
содержательно. Как говорил один из создателей квантовой механики, при
рождении каждая область обычно богаче идеями, чем в период зрелости.
Видимо, не является исключением и синергетика. Поэтому мы
предполагаем переиздать часть «синергетической классики», сделав акцент на тех
возможностях и подходах, которые пока используются не в полной мере.
При этом мы надеемся познакомить читателя и с рядом интересных работ,
ранее не издававшихся на русском языке.
«Настоящее» - как важнейший элемент серии - тоже понятно. В эпоху
информационного шума и перманентного написания то заявок на гранты,
то отчетов по ним даже классики синергетики очень немного знают о
последних работах коллег и новых приложениях. Мы постараемся
восполнить этот пробел, представив в серии исследования, которые проводятся в
ведущих научных центрах страны.

От редакции
5
«Будущее...» - это самое важное. От того, насколько ясно мы его
представляем, зависят наши сегодняшние усилия и научная стратегия.
Прогнозы - дело неблагодарное, хотя и совершенно необходимое.
Поэтому ряд книг серии мы надеемся посвятить и им.
В редакционную коллегию нашей серии любезно согласились войти
многие ведущие специалисты в области синергетики и нелинейной
динамики. В них не следует видеть «свадебных генералов». В их задачу входит
анализ развития нелинейной динамики в целом и ее отдельных областей,
определение приоритетов нашей серии и подготовка предложений по
изданию конкретных работ. Поэтому мы указываем в книгах серии не
только организации, в которых работают эти исследователи, но и важнейшие
области их научных интересов.
И конечно, мы надеемся на диалог с читателями. При создании
междисциплинарных подходов он особенно важен. Итак, вперед - в будущее.
В нашей серии уже вышло более пятидесяти книг общим тиражом
свыше ста тысяч экземпляров. Серия начала издаваться на испанском
языке. Однако мы уверены, что и самые глубокие проблемы синергетики,
и самые интересные книги серии впереди.
Редакционная коллегия серии
«Синергетика: от прошлого к будущему»
Председатель редколлегии:
Г. Г. Малинеикий, Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша
РАН (сложность, хаос, прогноз).
Члены редколлегии:
Р. Г. Баранцев, Санкт-Петербургский государственный университет (асимп-
тотология, семиодинамика, философия естествознания).
А. В. Гусев, Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН
(вычислительная гидродинамика, технологии, медицина).
A. С. Дмитриев, Институт радиоэлектроники РАН (динамический хаос,
защита информации, телекоммуникации).
B. П. Дымников, Институт вычислительной математики РАН (физика
атмосферы и океана, аттракторы большой размерности).
C. А. Кащенко, Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
(асимптотический анализ нелинейных систем, образование, инновации).

6
От редакции
И. В. Кузнецов, Международный институт теории прогноза землетрясений
и математической геофизики РАН (анализ временных рядов,
вычислительная сейсмология, клеточные автоматы).
И. Г. Поспелов, Вычислительный центр им. А. А. Дородницина РАН
(развивающиеся системы, математическая экономика).
Ю. Д. Третьяков, Московский государственный университет им. М. В.
Ломоносова (наука о материалах и наноструктуры).
Д. И. Трубецков, Саратовский государственный университет им. Н. Г.
Чернышевского (теория колебаний и волн, электроника, преподавание
синергетики).
Д С. Чернавский, Физический институт им. П. Н. Лебедева РАН
(биофизика, экономика, информация).
Наш электронный адрес - synergy@keldysh.ru

Предисловие
Статистической физикой описывается широкий круг явлений и систем, силы
взаимодействия в которых могут иметь различную природу: механическую,
электромагнитную, сильную. Однако общим для всех этих моделей является
то, что их принадлежность к статистической физике означает непременное
наличие в них тепловых флуктуации. Между тем во второй половине
прошлого века был открыт ряд систем, получивших название «сложные», в
которых при отсутствии таких понятий, как температура или энергия,
реализуется поведение, очень похожее на тепловое. В частности, многие из этих
систем показывают наличие в них фазовых переходов, обладающих
свойствами критических или спинодальных явлений статистической физики.
Именно эта аналогия привела в последнее время к ряду попыток
обобщить формализм статистической физики и на нетепловые системы.
Осуществи мы этот замысел, и «мощный», хорошо проработанный аппарат
статистической физики сможет объяснить поведение таких сложных систем, как
землетрясения или разрушение материалов, нефтяные кластеры или клеточные
автоматы, полимеризация пластмассы или механизм работы ДНК,
информационные процессы или странные аттракторы. Однако ввиду того, что
статистическая физика была разработана для описания лишь тепловых флуктуации,
ее непосредственное применение к сложным системам оказывается
невозможным. Вместо этого между тепловым и нетепловым поведением должны
быть найдены аналогии, которые помогут нам отобразить нетепловое флук-
туационное поведение на хорошо уже известные нам тепловые явления.
Данная книга посвящена сравнительному описанию тепловых и
нетепловых систем. В качестве примера тепловой системы рассматривается
модель Изинга, тогда как примерами нетепловых систем являются
модели перколяции и разрушения. Шаг за шагом, от уравнения состояния к
вероятности флуктуации, от корреляций к восприимчивости, от
приближения среднего поля к ренормализационной группе, от вероятности к
свободной энергии, мы сравниваем эти системы и находим, что во
многом схожими являются не только закономерности их поведения, но, что
более важно, и методы получения решения. Мы увидим, что строя
восприимчивость или преобразование ренормализационной группы, мы,
конечно, отталкиваемся от формулировки модели данной конкретной
системы, однако в основе построения всегда лежат одни и те же принципы,
обеспечивающие применимость формализма статистической физики.
Данная книга является непохожей на традиционные учебники по
статистической физике. Вместо изучения поведения конкретных систем мы

8
Предисловие
исследуем методы получения решения для этих систем. Вместо
усложнения моделей для описания все более и более специализированных явлений
мы, наоборот, упрощаем модели, чтобы узнать, что же лежит в основе их
поведения. Вместо получения как можно большего количества
прикладных результатов мы фокусируем наше внимание на интуитивном
понимании лежащих в основе законов.
Данная книга написана на основе курса лекций, читаемых мною на
кафедре теоретической физики Московского физико-технического
института. В нее вошли результаты современных исследований сложных
систем, а также методический материал преподавания данной дисциплины в
ведущих мировых университетах. Одним из достоинств данной книги
является то, что она должна быть интересна и с точки зрения «обычных»,
тепловых систем, так как проведение сравнения теплового и нетеплового
поведения позволяет взглянуть с новой точки зрения на принципы
построения таких сложных и важных концепций, как восприимчивость,
свободная энергия, ренормализационная группа. Одновременно недостатком
данной книги может служить то, что в попытке угнаться за
современными, зачастую лишь интуитивными гипотезами в литературе в книгу могли
попасть слабо подтвержденные или спекулятивные результаты . Иногда
читатель увидит утверждения о том, что мы не можем дать полноценного
объяснения происходящих явлений, так как Новая Наука еще только
зарождается, и многие результаты все еще ждут своего открытия. В каждом
таком случае мы раскроем перед читателем все известные нам «за» и
«против», все интуитивные предпосылки о возможном направлении
дальнейших исследований. Нашей надеждой является то, что читатель сможет
продвинуться дальше нас в изучении такой сложной, но такой красивой
науки, как статистическая физика сложных систем.
Автор хотел бы выразить огромную благодарность профессору Ю.М. Бе-
лоусову, заведующему кафедрой теоретической физики МФТИ, за
неоценимую поддержку и помощь при создании данного курса и книги, а
также сотрудникам кафедры за плодотворные дискуссии. Также автор хотел
бы выразить благодарность за дружескую и методическую поддержку
К.А. Жидяеву, А.В. Усову, А.Д. Бородину, С.Г. Бондарчуку и, в
особенности, профессору, д.т.н. С.Ш. Дадунашвили.
Сергей Абаимов, B.S., M.S., Московский физико-технический институт,
PhD, Университет Калифорнии, Дэвис
Обо всех ошибках и неточностях в книге автор будет рад получить сообщение по
электронному адресу sgabaimov@gmail.com

Глава 1
Фракталы
При изучении курса нам в дальнейшем понадобится понимание
математического аппарата фракталов, как множеств нецелой размерности. К
сожалению, в большинстве университетов преподавание фракталов пока не
входит в набор базовых математических дисциплин. Поэтому курс мы
начнем именно с описания фрактальных множеств. Не претендуя на
математическую полноту, мы хотим, однако, дать читателю базовые,
интуитивные навыки, которые будут достаточны для дальнейшего изучения.
Хотя бурное развитие и применение науки о фракталах произошло во
второй половине двадцатого века, математические множества, которые
после стали именовать фракталами, были известны задолго до этого. Так,
пример фрактала - снежинка Коха - был придуман Гельгом фон Кохом в
1904г. Другой пример - ковер Серпинского - Вацлавом Серпинским в
1915г. А самый известный, ставший классическим фрактал Кантора был
описан Георгом Кантором еще в 1875г. Однако математики начала
двадцатого века рассматривали эти множества лишь как забавные
упражнения, и никто не подозревал, что спустя полвека фракталы найдут
широчайшее применение в различных областях не только математики, но в
первую очередь физики, химии, биологии и других наук.
Фракталы, собственно как фракталы, начали свое существование
после публикации Бенуа Мандельбротом его книги [Mandelbrot, 1982]. Это
был один из тех случаев, когда
публикация одной монографии или
статьи ведет к появлению новой науки
или целого сонма наук. Поэтому, не
смотря на то, что подобные
множества были известны задолго до этого,
создателем науки о фракталах
называют Мандельброта.
Следуя книге Мандельброта,
рассмотрим пример морской
береговой линии. Но, в противоположность
книгам, существовавшим до сих пор
и рассматривавшим береговые линии
либо Англии, либо Норвегии, мы вы-

10
Глава 1
берем береговую линию Черного
моря. Рассматривая какой-то
кусок карты и увеличивая его в
масштабе, мы видим кривую,
подобную исходной (рисунок 1).
Если мы снова увеличим
масштаб, то опять увидим
подобную кривую. Это свойство,
когда часть (ветвь) множества
оказывается подобна всему
множеству в целом, называется
самоподобием. Например, на
геологических факультетах
университетов учгт, что при
фотографировании геологического
объекта обязательно следует что-то
Рисуной 2
16
6
разместить рядом для сравнения
масштабов. Как правило для этих целей служат ручки, сигареты или
молоток. Рядом с большими глыбами размещают самих геологов (всегда
чему-то улыбающихся). Все это нужно для того, чтобы после, на
фотографии, оценить масштаб объекта. Иначе будет не понятно, была ли
сфотографирована глыба размером с гору или маленький камешек,
умещающийся в спичечном коробке.
Если мы измеряем линейкой длину обычной кривой, то результат
измерения не зависит от того, использовали ли мы линейку длиной один
метр или десять сантиметров. Однако ситуация драматически меняется,
если вместо классического геометрического объекта мы начинаем
рассматривать самоподобное множество. Посмотрим на рисунок 2. Для
исходной карты мы прикладываем линейку-эталон к береговой линии и
вычисляем длину кривой как произведение длины линейки е на число
раз, сколькими нужно было приложить линейку, чтобы покрыть всю
кривую. Мы уменьшаем линейку-эталон в четыре раза и снова проводим
измерения. Однако требуемое число новых эталонов не равно числу
старых, умноженному на четыре, но превышает это значение. Из-за чего
это произошло? Из-за того, что новые эталоны различают более мелкие
детали карты, которые старые эталоны просто не замечали. В результате
там, где старые эталоны «шли напрямик», через все изгибы, новые
должны «идти в обход», вдоль этих изгибов. Получается, что при
уменьшении эталона длина кривой, измеряемой отрезками, все время
увеличивается и при стремлении длины линейки к нулю стремится к
бесконечности.

Фракталы
11
Генератор: ■
л = 0
п= 1
п = 2
= 3
Построенное нами
множество являлось стохастическим
фракталом. Слово
«стохастический» означает, что более мелкие
детали образуются не
детерминистическим, а случайным
образом, следуя вероятностным
законам модели. Однако также легко
мы можем вообразить
детерминистический аналог береговой
линии, которым является триад-
ная кривая Коха (рисунок 3).
Построение любого фрактала
начинается с ветви нулевой итерации
п = О и генератора дочерних
ветвей. В случае кривой Коха
исходной ветвью является отрезок.
Генератор представляет собой
преобразование, разбивающее
Рисунок 3
исходную ветвь на три равные
части и заменяющее среднюю
часть на две такие же части под
углами 60°. Другими словами, исходная ветвь порождает К = 4 дочерние
ветви, каждая из которых отмасштабирована в г= 1/3 раза. Две дочерние
ветви занимают место по краям родительской, а две остальные дополняют
оставшийся пустым промежуток в середине до равнобедренного
треугольника. Так строится итерация п = 1. Чтобы построить итерацию п = 2,
нужно с помощью генератора аналогичным образом преобразовать
каждую из ветвей итерации п = 1 (рисунок 3). Многократно применяя
генератор можно получить итерацию любого порядка. Фракталом триадной
кривой Коха называется множество, образуемое в пределе п —► +оо. Часто мы
будем употреблять термин «развитый фрактал», подразумевая
бесконечную итерацию, тогда как термин «фрактал» можем иногда относить и к
конечной итерации. Однако это не должно вводить читателя в
заблуждение - строгое математическое определение термина «фрактал» всегда
подразумевает его полную «развитость» до бесконечной итерации.
Какова мера получившегося множества? В качестве размера эталона
удобнее всего выбрать длину ветвей фрактала какой-то конечной
итерации п: е = г". Далее мы покрываем развитый фрактал линейками
длины е. Очевидно, число эталонов равно N(e) = К". Это число совпадает с

12
Глава 1
числом ветвей итерации п. Действительно, каждый
эталон накрывает точно одну ветвь итерации п. Здесь
важно отметить, что мы накрывали развитый фрактал,
а получили такое число эталонов, как если бы мы
накрывали его конечную итерацию. Это правило как
правило всегда работает для фракталов, что
значительно упрощает вычисления. Однако к нему стоит
относиться скорее как к удобному совпадению, чем
как к панацее. Например, при более общих принципах
построения генератора фракталов, рассматриваемых
ниже и приводящих к возникновению само-аффин-
ных фракталов или мультифракталов, возникает
совершенно иное поведение. Там уже приближение
развитого фрактала его конечной итерацией приводит к
ошибочным результатам.
Итак, выбрав е = г", мы накрываем кривую Коха
N(s) = Кп эталонами. Следовательно, длина кривой
равна
Це) = К" г" =
и зависит от выбора е. В пределе е —► О (т.е. в пределе п —► +оо) мы
получаем бесконечную длину кривой. Почему изменение размера эталона
меняет результаты измерения?
Причина конечно же не в мере, причина в размерности. Как
определяется размерность множества в математике? Мы берем эталоны объема
вмещающего пространства и накрываем ими рассматриваемое множество
(рисунок 4). В трехмерном пространстве эталоном объема служит куб
линейного размера е и меры sd°, где d0 = 3 - размерность вмещающего
пространства. Далее мы будем ссылаться на эталоны как на «кубики» или
«кубы». Термин «кубики» звучит ненаучно, поэтому в научной литературе не
употребляется. Однако мы будем пользоваться обоими терминами, не делая
между ними различия. Мерой Хаусдорфа-Безиковича называется предел
* Мы будем рассматривать в качестве фрактальной размерности только размерность Мин-
ковского, как наиболее простую и интуитивно понятную физически. За сведениями о других
определениях размерностей мы отсылаем читателя к обширной математической литературе.

Фракталы
13
Md=limN(e)£d, (1.1)
где N(e) - число трехмерных кубиков размера е, накрывающих множество,
a d > О является произвольно введенной величиной. Рассмотрим
поведение построенной таким образом меры для классических множеств с целой
размерностью: точки, кривой, поверхности, объемной фигуры.
Только один кубик накрывает точку для любого выбранного размера
кубика. Поэтому для точки Md равна 1 для d = 0 и равна 0 для любых
d>0.
Для кривой число накрывающих ее кубиков в пределе малых
размеров кубиков равно длине кривой, деленной на е: N(e) = LI е
(рисунок 4). Поэтому для кривой Md равна +оо для d<\,L для d = 1 и 0 для
любых d > 1.
Для поверхности число накрывающих ее кубиков в пределе малых
размеров кубиков равно площади поверхности, деленной нае2:
N(e) = SI е2. Поэтому для поверхности Md равна +оо для d < 2, S для
d = 2 и 0 для любых d > 2.
Для объемной фигуры число накрывающих ее кубиков в пределе
малых размеров кубиков равно объему фигуры деленному нае3:
N(e) = VI е3. Поэтому для фигуры Md равна +<х> для d < 3 и равна V для
d=3.
Md ^ Итак, общей тенденцией поведения
Mr
Md в зависимости от d является наличие
"™У особой точки d = Д до которой мера рас-
I ходится, в этой точке конечна, а после
| становится равной нулю (рисунок 5).
. _ф Так, для точки D = 0, для кривой D = 1,
I для поверхности D = 2, а для объемной
J фигуры D = 3. Мы видим, что особая
[ точка D соответствует размерности
множеств в обычном определении этих
размерностей.
D
Рисунон 5
Для произвольного
математического множества особая точка D находится как точка, соответствующая
конечности меры. Что означает конечность меры? То, что мера является ка-

14
Глава 1
кой-то константой, не равной нулю или бесконечности. Поэтому для
нахождения D мы можем записать
ч const Л ,л -ч
N(e) -> —— при е -» О (1.2)
или, обращая это равенство,
^ \nN(e)-\n const ,л „ч
D = hm — (1.3)
1п(1/гг)
Но в пределе е —► О число кубиков расходится 7V(£) -> +оо , тогда как
\n(const) остается конечным. Поэтому последним можно пренебречь, и мы
получаем общее выражение для определения фрактальной размерности
множества методом подсчета кубиков
^ \nN(e) ,л ,ч
D = hm — (1.4)
В общем случае фрактал имеет К ветвей, уменьшающихся согласно
масштабному множителю г. За размер кубика можно выбрать размер
ветвей фрактала какой-то итерации п: е = гп. Тогда, очевидно, число
кубиков, накрывающих развитый фрактал, равно числу ветвей фрактала
итерации п: N(8) = К". Поэтому для произвольного фрактала мы получаем
_ \пК" \пК
D = hm = . (1.5)
«-*oin(i/r)« ln(l/r)
Для триадной кривой Коха
К=4 и г=-
3
и, согласно (1.5), D = 1п4 / 1пЗ. Как это можно было предположить из
рисунка 3, множество является более плотным, чем кривая, но менее
плотным, чем плоская фигура. Поэтому его размерность лежит между
единицей и двойкой. Теперь мы понимаем, почему длина береговой линии при
уменьшении эталона стремилась к бесконечности. Происходило это
потому, что создаваемое множество уже не было одномерным.

Фракталы
15
Задача 1.1
Найти размерность фракталов Кантора, представленных на рисунке 6.
Генератор:
-г}
Генератор:
-п>
в)
б)
Генератор: f |J^ОО
/ 71
г)
Рисунок 6
о о
Решение
Фрактал Кантора строится делением исходной ветви-отрезка на
части и отбрасыванием некоторых из них. Так, на рисунке 6(a)
представлено построение фрактала Кантора с двумя ветвями
К = 2 и масштабным коэффициентом г = 1/3. Другими словами,
исходная ветвь делится на три равные части, и средняя из них
отбрасывается. Размерность данного фрактала D = 1п2 / 1пЗ.
На рисунке 6(6) приведен фрактал Кантора с двумя ветвями
AT =2 и масштабным коэффициентом г= 1/2. Генератор этого
фрактала делит отрезок пополам, но не отбрасывает ни одну из
ветвей. Тем самым сумма ветвей любой итерации эквивалентна
исходной ветви. Как можно было ожидать, размерность данного
фрактала равна единице D = 1п2 / 1п2 = 1.

16
Глава 1
На рисунке 6(в) фрактал Кантора имеет только одну ветвь К = 1
и масштабный коэффициент г = 0.95. Т.е. исходная ветвь
уменьшается на пять процентов, не порождая больше
других ветвей. Для данного фрактала мы получаем размерность
D = lnl / 1п( 1/0.95) = 0 равную нулю, так как единственная ветвь
на бесконечной итерации стягивается в точку.
Рисунок 6(г) представляет также фрактал Кантора, только вместо
отрезка в качестве исходной ветви мы используем куб.
Генератор разбивает исходный куб на 27 кубов размером г — 1/3 и
оставляет из них только К = 2 ветви. Для данного фрактала мы
получаем размерность D = 1п2 / 1пЗ, совпадающую с размерностью,
вычисленной для рисунка 6(a). Мы видим, что размерность
фрактала не зависит от исходной размерности ветвей и
определяется только генератором модели.+
Задача 1.2
Найти размерность фракталов, представленных на рисунке 7.
Решение
Для квадратной кривой Коха на рисунке 7(a) генератор образует
аг = 8 ветвей с масштабным коэффициентом г- 1/4. Поэтому
размерность фрактала равна D = 1п8 / 1п4=3/2.
Для кривой Мандельброта-Гивена на рисунке 7(6) генератор
образует AT =8 ветвей с масштабным коэффициентом г - 1/3.
Поэтому размерность фрактала равна D = 1п8 / 1пЗ.
Для треугольной салфетки Серпинского на рисунке 7(в)
генератор образует К=3 ветви с масштабным коэффициентом г - 1/2.
Поэтому размерность фрактала равна D = 1пЗ / 1п2.
Для ковра Серпинского на рисунке 7(г) генератор образует К = 8
ветвей с масштабным коэффициентом г= 1/3. Поэтому
размерность фрактала равна £> = 1п8/1пЗ и равна размерности кривой
Мандельброта-Гивена.
+ Это не всегда справедливо. В частности, как мы увидим позже, это не выполняется для
фрактальных деревьев. Также следует помнить, что мы рассматриваем фрактальную
размерность только по определению Минковского.

Фракталы
17
Генератор: *=> Генератор: *=> -fl-
^ -в
а) б) т Т
Генератор: Jbk^J^L Генератор:
А
А
в) г)
Рисунок 7
Самоподобие как источник фрактальной размерности
До сих пор мы определяли размерность фракталов методом подсчета
кубов. Однако существует и иной метод определения размерности
непосредственно через скейлинг благодаря самоподобию фракталов. Так,
пусть весь развитый фрактал покрывается N(e) кубиками размера е (на
рисунке 8 для кривой Коха мы использовали N(e) = 4). Каждая ветвь
фрактала является его полным подобием, уменьшенным с масштабным
коэффициентом г. Поэтому, если мы уменьшим кубики с тем же масштабным
коэффициентом, то их число, накрывающее эту ветвь, будет тем же, что и
число исходных кубиков, накрывавших весь фрактал. Т.е. число кубиков
размера ег, накрывающих одну из К ветвей фрактала, равно числу кубиков
размера е, накрывающих весь фрактал: NBeTBb(er) = N(e). Но фрактал
состоит из К одинаковых ветвей. Поэтому полное число кубиков размера ег,
накрывающих весь фрактал, в К раз больше, чем число кубиков того же
размера, накрывающих только одну ветвь: N(er) = KNBCnb(er) (как пример,

18
Глава 1
на рисунке 8 полное число кубиков
размера е/4, накрывающих весь фрактал,
равно 16, т.е. равно произведению числа
ветвей 4 на число кубиков 4 размера е 14,
накрывающих одну ветвь). Таким
образом, мы приходим к соотношению
N(er) = KN{e)
(1.6)
Это равенство возможно, только если за- Рисунок 8
висимость N(e) ore подчиняется
степенному закону (1.2). Подставляя (1.2) в (1.6), мы получаем
const r, const ^
= К—— или D =
{erf
\пК
1п(1/г)
(1.7)
что повторяет соотношение (1.5).
Деревья фракталов (ветвящиеся фракталы)
Модификацией обычных фракталов являются ветвящиеся фракталы.
Пример такого фрактала показан на рисунке 9. Основное отличие
ветвящегося фрактала заключается в том, что родительские ветви не
отбрасываются при генерации новых итераций. Хотя как правило подразумевается
структура в виде дерева, однако для общего формализма это не является
обязательным. Так, все примеры обычных фракталов выше стали бы
ветвящимися фракталами, если бы рисунки изображали не последовательные
итерации, а одну последнюю. Например, на рисунке 6(a) четыре
одномерных множества мы понимали как четыре последовательные итерации.
Если же теперь мы будем рассматривать эти четыре множества как
составляющие общую итерацию п = 3, то
мы получим ветвящийся фрактал.
Генератор: |
п = 0
1 2
Рисунок 9
Найдем размерность ветвящегося
фрактала. Для итерации п будет
существовать Кп ветвей длиной г", К"'1
ветвей длиной г"~1, К ветвей
длиной г и 1 ветвь длиной 1. В качестве
размера кубиков выберем е = г".
Ветвь длиной гп накрывается одним

Фракталы
19
кубиком. Ветвь длиной г" 1 накрывается (\/r)d кубиками, где d есть
размерность исходной ветви. Так, на рисунке 6(а-в) исходные ветви одномерны
и, соответственно, d = 1, тогда как на рисунке 6(г) исходная ветвь трехмерна
и d= 3. Ветвь длиной 1 накрывается (\/r)nd кубиками. Тогда полное число
кубиков, накрывающих развитый фрактал (или его итерацию л), равно
N(s) = Kn+K
п-\
+ ... + К
+ 1
1
(1.8)
r
где мы применили формулу для суммы геометрической прогрессии. В
пределе е —► 0 (т.е. в пределе п —► +оо) результат суммирования в (1.8)
будет зависеть от соотношения К и \//. Так, для К>\1/ мы получаем
К"
К--
\пК
или D = > а ,
1п(1/г)
(1.9)
что совпадает с формулами (1.5) и (1.7), полученными ранее. Однако для
К<\1/ мы получаем совсем другой результат
г
или D = d.
(1.10)
Случай K = \lr требует отдельного рассмотрения. Формула для
геометрической прогрессии (1.8) становится неприменимой, и мы должны
производить суммирование непосредственно
N(£) = Kn+Kn+...+Kn+Kn =Кп(п + \) или D =
in а:
ln(l/r)
= d.
(1.11)
Таким образом, мы по-прежнему можем определять D по
формуле (1.5), но только в том случае, если эта размерность превышает
размерность исходной ветви d. Если же D становится меньше размерности
исходной ветви d, то общая размерность ветвящегося фрактала становится

20
Глава 1
равной размерности исходной ветви. Этот результат вполне очевиден -
размерность множества, каким бы поведением она ни определялась -
фрактальным или нет, не может стать меньше размерности одного из его
подмножеств
D =
\пК \пК
>d
ln(l/r)
Само-аффинные фракталы
Генератор: с) ™
Само-аффинные фракталы являются другой
модификацией обычных фракталов. Отличие
состоит в том, что по разным направлениям
действуют разные масштабные множители. Так, на
рисунке 10 генератор превращает
прямоугольник в К = 4 дочерние ветви с масштабным
множителем по горизонтали гх = 1/3 и масштабным
множителем по вертикали гу = 1/4.
. . . . Как уже было сказано выше, для подсчета
" " " " размерности само-аффинных фракталов мы уже
шш ят не можем приблизить развитый фрактал его ко-
■ ■ ■ ■ нечной итерацией п. Рассмотрим этот вопрос
Рисунок 10 более подробно. Пусть фрактал в трехмерном
пространстве имеет три масштабные множителя
rv, rv и гг, где без потери общности rx< ry< г2. Если мы выберем размер
кубика е равным наименьшему размеру ветви итерации л, е = гД то число
кубиков, покрывающих развитый фрактал, будет уже не равно числу
кубиков, покрывающих итерацию п. Действительно, ветвь итерации п
имеет объем (rxryr2)n и может быть покрыта {rxryrz)n IV кубиками размера
е = гхп. Однако развитие данной ветви уже будет покрываться меньшим
числом кубиков, так как при
дальнейшем фрактальном развитии возникнут
внутренние пустоты, которые
«маленькие» кубики е = гх" смогут
«почувствовать» (рисунок 11).
Рисунок 11
Сходные проблемы возникнут, если
за размер кубиков мы выберем не наи-

Фракталы
21
меньшую гх сторону ветви итерации л, а
наибольшую: е = гД Теперь уже каждая ветвь
покрывается только одним кубиком, и,
действительно, число кубиков, покрывающих
развитый фрактал, равно числу кубиков,
покрывающих итерацию л. Поэтому, казалось бы, мы
можем считать, что число кубиков,
покрывающих развитый фрактал, равно числу ветвей
итерации л. Однако это опять будет грубым
приближением. Теперь проблема состоит в том,
что «большой» кубик может захватить сразу
несколько ветвей, и число кубиков,
покрывающих развитый фрактал, будет меньше числа
ветвей итерации л (рисунок 12).
Рисунок 12
Как же тогда нам найти размерность само-аффинного множества?
Выберем какую-то итерацию л. Развитие каждой ветви этой итерации
является подобием всего фрактала в целом, уменьшенным с масштабными
коэффициентами гД г" и гД Поэтому эта ветвь будет иметь ту же
фрактальную размерность Д что и фрактал в целом. Выберем кубики
настолько малыми, чтобы их линейный размер е был много меньше наименьшего
размера ветвей данной итерации. Тогда данные кубики будут
«чувствовать» фрактальность развития данной ветви. По определению
фрактальной размерности, ветвь объемом rxnrynrzn может быть покрыта
iirxnrynr2n)m/e)D кубиками размерам. Число кубиков, покрывающих весь
фрактал, тогда равно
N(e) = K'
г г г
'* 'у 'г
(1.13)
Но по определению фрактальной размерности должно выполняться
соотношение (1.2). В пределе л —► +оо это возможно, только если выражение
К{ГяГуг1)т равно единице. Это условие и определяет фрактальную
размерность
D = -
(1.14)
In

22
Глава 1
Мультифранталы
Мультифракталы являются гораздо более сложными математическими
множествами, чем обычные фракталы. Для справки мы рассмотрим только
геометрическое основание мультифракталов, оставляя распределения меры на
этом геометрическом основании читателю для самостоятельного изучения.
бражено геометрическое основание мультифрактала Кантора с
масштабными множителями гх = 1/9, г2 = 2/9, г3 = 1/3. Как найти размерность
такого множества? Как и для само-аффинных фракталов мы не можем
приближать развитый фрактал его конечной итерацией. Если мы выберем
размер кубиков равным длине наименьшей ветви, такие «мелкие» кубики
будут «чувствовать» дальнейшее развитие больших ветвей той же
итерации. Если же мы выберем размер кубиков равным размеру наибольшей
ветви, такие кубики могут покрыть сразу несколько ветвей. Поэтому,
чтобы посчитать размерность, как и в случае само-аффинных фракталов мы
должны работать с развитием ветвей, а не с их конечными итерациями.
Выберем какую-то итерацию л. Такая итерация содержит л!/(£!...&!)
ветвей длиной ...г^* , где = л - путь образования данной
ветви. Т.е. данная ветвь была образована £\ раз через масштабный
множитель г и €к раз через масштабный множитель гк. Развитие этой
ветви является подобием мультифрактала в целом и имеет поэтому ту же
размерность D. Выберем размер кубиков е много меньшим размера
наименьшей ветви данной итерации. Тогда эти кубики будут настолько
мелкими, что будут «чувствовать» фрактальность дальнейшего развития
ветвей. Поэтому по определению фрактальной размерности ветвь длиной
rfl...r/K может быть покрыта (г/1 ...rK*K Iе)° кубиками размерам. Тогда
число кубиков, покрывающих весь мультифрактал равно
Генератор
Рисунок 13
: г)- —
Самый простой мультифрактал может
быть построен на базе множества Кантора.
Отличие мультифрактала от обычного
фрактала состоит в том, что каждая ветвь имеет
свой масштабный множитель. Пусть
генератор создает К ветвей, имеющих масштабные
множители ги...,гк. Так, на рисунке 13 изо-
(1.15)

Фракталы
23
По определению фрактальной размерности должно выполняться
соотношение (1.2). В пределе п —► +оо это возможно только в случае, если
г/Ч... + г/=1. (1.16)
Это и является уравнением определения фрактальной размерности
геометрического основания мультифрактала.
Мы употребляли термин «геометрическое основание», так как
построенные нами множества, по сути, не были еще мультифракталами. Для
построения мультифрактала как такового необходимо на геометрическом
основании ввести распределение меры. Тогда вся сложность поведения
будет проявляться в «перетягивании каната» между геометрическим
распределением длины ветвей и вероятностным распределением меры.
Однако при изложении данного курса знание мультифракталов нам не
понадобится. Поэтому, рассмотрев для справки геометрическое основание
мультифракталов, за дальнейшими построениями мы отсылаем читателя к
обширной математической литературе [Федер, 1991; Vicsek, 1992].
Мы рассмотрели различные модели фракталов и нашли их
фрактальные размерности. Для завершения экскурса по фракталам осталось только
обсудить, где мы можем встретить подобные математические образования.
Именно широкое распространение фрактальных структур в природе
вызвало такой бурный рост науки о фракталах во второй половине 20го века.
Например, распределение озер на земной поверхности фрактально. Также
фрактальны и реки, являющиеся ветвящимися фракталами. Фрактальны
горные породы и жилы руд ценных металлов. Фрактальны поверхности
трещин при разрушении материалов. Фрактальны статистические свойства
землетрясений. Временные процессы, как например цветные или белые
шумы, цветное или белое броуновское движение подчиняются законам
само-аффинных фракталов. Агрегация и рост поверхностей также
фрактальны, достаточно вспомнить сложную форму снежинок. Фрактальны перья
птиц и трахеи в легких человека. Фрактальны сгустки полимеров и
кластеры галактик. В нашем курсе мы будем изучать фрактальность кластеров
фаз вблизи особой точки фазового перехода.
Фрактальными является большинство структур, окружающих нас.
Например, покупая в магазине большую шоколадную плитку и откусывая от
нее кусочек, мы обнаруживаем, что, оказывается, шоколад пористый. Вме-

24
Глава 1
сто ожидавшегося монолитного бруска мы получили тонкие шоколадные
пленки, размазанные по стенкам воздушных фрактальных пузырей. И
шоколада мало, и в магазин не вернешь, так как фрактал уже надкушен.
ЛИТЕРАТУРА
Mandelbrot, В. (1982), The Fractal Geometry of Nature, 460 pp., Freeman, San Francisco.
Федер, E. (1991), Фракталы, 260 стр., Мир, Москва.
Vicsek, Т. (1992), Fractal Growth Phenomena, 2nd ed., World Scientific, Sin-gapore.

Глава 2
Модель Изинга
Существует много разных решеточных магнитных моделей, у которых
спины, закрепленные в узлах решетки, взаимодействуют друг с другом и
внешним полем. Например, модель Гейзенберга [Heisenberg, 1928]
рассматривает взаимодействие спиновых операторов в полном понимании
квантовой механики. X-Y модель [Matsubara and Matsuda, 1956]
запрещает спинам иметь проекции на одну из координатных осей, п-
компонентные модели [Stanley, 1969а; Ь] переходят от квантовых спинов к
классическим. Сферическая или гауссова модель [Berlin and Кас, 1952]
добавляет гауссову вероятность для проекций классических спинов.
Модель Изинга рассматривает проекции квантовых спинов только на ось
магнитного поля.
Все вышеприведенные модели являются иллюстрациями поведения
систем при фазовых переходах. Критические явления можно
демонстрировать как с помощью квантовых вычислений в модели Гейзенберга, так и с
помощью классических спинов «-компонентной модели. Однако
наибольшее распространение получила модель Изинга. Эта модель сохраняет
квантовую дискретность явлений, однако избегает сложности матричных
вычислений, рассматривая проекции спинов лишь на одну ось. Поэтому она
является наиболее простой и, вместе с тем, наиболее иллюстративной
моделью магнитных систем. Поскольку автор данного курса сам являлся в
прошлом студентом, он всегда был противником необоснованного
усложнения моделей, если существовал более простой и доступный способ
иллюстрации рассматриваемых явлений. Поэтому при изложении данного курса
мы всегда будем придерживаться правила «ренормализационной группы»,
заключающегося в том, чтобы отбросить «лишние степени свободы» и
минимизировать сложность системы настолько, насколько это возможно при
сохранении нужного нам поведения. В применении к данному случаю это
означает выбор нами наиболее простой модели - модели Изинга - в
качестве иллюстрации теории фазовых переходов в магнитных системах.
Модель Изинга была рассмотрена Ленцем [Lenz, 1920] и изучена его
студентом Изингом [Ising, 1925]. Изначальным ее предназначением
было приближенное описание явлений ферромагнетизма. Позже модель
приобрела широкую популярность из-за наглядности происходящего в
ней фазового перехода. В наше время именно последнее считается
основной заслугой модели. Поэтому она, подобно моделям идеального га-

26
Глава 2
за или газа Ван-дер-Ваальса, стала
канонической в том смысле, что ее
свойства зачастую исследуются как
таковые, уже без привязки их к
конкретным системам.
t t t t t
(a)
AAA^
y¥yy
I 7 I T
if
i\
t\
f \
t\
i'
a'
t'
Рассмотрим N магнитных
моментов или спинов, закрепленных в узлах
решетки. Бесконечный предел по
числу спинов N9 т.е. бесконечная система,
называется термодинамическим
пределом. Геометрическая форма
решетки, лежащая в ее основе, может быть
произвольной. Обычно
рассматриваются одномерная (рисунок 1(a)),
двумерные квадратная (рисунок 1(b)) и
треугольная (рисунок 1(д)), трехмерная кубическая (рисунок 1(6))
решетки и решетка Бете (рисунок 1(г)). Граничные условия обычно
предполагаются либо свободными, либо периодическими. В последнем случае
противоположные границы решетки «склеиваются» друг с другом, образуя в
случае одномерной решетки кольцо, а в случае двумерной - тор.
Спины d нумеруются узлами решетки /. Рассматриваются только
проекции спинов на ось магнитного поля, которые могут принимать
значения + 1 или -1. Два значения проекции спина на ось возникли из-за того,
что рассматриваемые спины изначально принадлежали электронам. Спин
электрона имеет две проекции: +1/2 и -1/2. Однако, для удобства,
множитель 1/2 внесли в константы взаимодействия и тем самым получили две
проекции спина +1 и -1.
Энергия спина а, во внешнем магнитном поле h равна -juha(, где ju -
значение магнитного момента спина. Если бы не было других
взаимодействий, из-за взаимодействия с внешним полем каждый спин мог бы
принимать лишь два фиксированных значения энергии -fjh и fjh , и все
спины образовывали бы двухуровневую систему. Однако помимо внешнего
поля для спинов обычно также вводится обменное взаимодействие
- ^dJ(fnfj)Gi(7j, где сумма ^ идет по всем парам спинов. Положи-
<ij> <ij>
тельный знак константы взаимодействия J отвечает случаю
ферромагнетика, когда взаимодействующие спины имеют меньшую энергию, если
они ориентированы одинаково. Отрицательный знак константы взаимо-

Модель Изинга
27
действия J отвечает антиферромагнетику, когда взаимодействующие
спины стремятся быть противоположно направленными. Зависимость J от
расстояния между взаимодействующими спинами может быть
произвольной, и часто априори вводят степенной или экспоненциальный спад
взаимодействия с расстоянием. Также часто рассматривают два предельных
случая. Первым является однородное взаимодействие -JT£d<ypj , не за-
<ij>
висящее от расстояния между спинами в паре. Вторым предельным
случаем -J ^CTjCTj является взаимодействие только ближайших соседей
<ij>, п
(nearest neighbors, далее n.n.). Т.е. для всех пар с минимально возможным
расстоянием между спинами взаимодействие принимается равным J, а для
остальных пар берется равным нулю.
Гамильтониан системы определяется как
Hw = ст, - £./(#;,#>,<гу. (2.1)
1 = 1 <lj>
Для модели Изинга объем и число частиц в системе предполагаются
сохраняющимися по умолчанию. Поэтому единственным параметром,
определяющим микросостояния, будет энергия системы. Отдельное
микросостояние {£} системы в целом задается, очевидно, конкретной
микроконфигурацией спинов {а}. Другими словами, задав для каждого спина
решетки какую-то определенную ориентацию, мы тем самым
сформировали одно из микросостояний системы. Заменив ориентацию одного из
спинов на обратную, мы создаем новое микросостояние и т.д. Поэтому
для модели Изинга задание микроконфигурации спинов {а}
взаимнооднозначно задает микросостояние системы. Для примера построим
модель из N=3 спинов. Возможными микроконфигурациями {а} системы
будут {rtt}, {m}, {nt}, {m}, {ш}, {m}, {ut} и {ш}. для
простоты рассмотрим модель без взаимодействия спинов: J = 0. Тогда эти
микроконфигурации будут отвечать микросостояниям с энергиями -3juh,
-fjh , -juh , -fjh , juh , fih , juh , 3juh, и обозначать эти микросостояния
мы будем {-3juh}, {-fJh}, {-/^}, {-fih}, {fjh}, {fjh}, {fjh}, {З/Л}.
Микроканоническому ансамблю отвечает статвес gE системы,
изолированной с заданной энергией Е. Поскольку все микросостояния равно-

28
Глава 2
вероятны, каждому из gE микросостояний будет отвечать вероятность
w[e\%N =^Se- Например, выше при У=0 для системы из трех спинов,
изолированной с энергией -juh , статвес равен gE = 3, что отвечает трем
микросостояниям {m}, {ит} и {т}. Вероятность каждой из этих
микроконфигураций в микроканоническом ансамбле, изолированном с
энергией -juh , равна w^'N = 1/3.
Для канонического ансамбля обозначим объединение всех
микросостояний {£} с заданной энергией £' как {{е*}} :
{{Р}}ш []{£}. (2.2)
Как мы увидим в главе 7, данное определение отвечает
макросостоянию {{£'}} в каноническом ансамбле. Например, для модели из N=3
спинов, взаимодействующих только с внешним полем,
макросостоянию {{Е = -juh}} будут соответствовать три микросостояния {тт4<},
{ит} и {т} , отвечающие данному значению энергии. Другими
словами, одинарными фигурными скобками мы всегда в дальнейшем будем
обозначать микросостояния, тогда как двойными - макросостояния.
Вместо двойных скобок {{е}} ниже в этой главе мы могли бы просто писать
£, подразумевая значение энергии. Однако мы хотим на простых
примерах заранее познакомить читателя со сложной структурой обозначений,
которые будут использоваться в дальнейшем.
В данной главе нам достаточно лишь помнить, что под {{е}} мы
просто понимаем все микросостояния системы с заданной энергией £. Число
таких микросостояний отвечает статвесу данной энергии g^ и
вероятность каждого из них в каноническом ансамбле
.a,t.v,n 1 -eit ,~ 0л
{£} =уе • (2.3)
Здесь Z есть статсумма канонического ансамбля
Z=-Z^=Z...I^'r = I%,r, (2-4)
{е) <7,=±1 <7„=±1 {{£}}

Модель Изинга
29
где во втором равенстве мы явно записали сумму по микросостояниям как
сумму по всем возможным микроконфигурациям спинов, а в последнем
равенстве мы заменили сумму по микросостояниям суммой по значениям
энергии.
Как найти вероятность системе иметь энергию £? Очевидно, нужно
просуммировать вероятности (2.3) всех микросостояний, отвечающих
данному значению энергии
{£}£=£'
(2.5)
В этом выражении g\\E>)) будет экспоненциально быстро растущей
функцией £, тогда как w^'" - экспоненциально быстро убывающей. Борьба
этих двух множителей приводит к появлению острого максимума,
фактически дельта-функции, у вероятности (2.5). Какое значение энергии Е0
отвечает максимуму этой вероятности? Для того чтобы найти £0» нужно
найти, когда производная от вероятности (2.5) или, поскольку логарифм
является монотонно растущей функцией, когда производная логарифма
этой вероятности обращается в ноль
Я И/7у,n
дЕ
= О или
дЕ
= 0, т.е.
(2.6а)
gWrfJ ,о ^ Мц^П =0
дЕ
е0
дЕ
(2.66)
Чему соответствует Е0 в термодинамическом пределе? Как мы
подробнее рассмотрим в главе 7, Е0 должно отвечать средней энергии
системы в каноническом ансамбле
\е) {{£}} {{£}}
\е)
(2.7)
зависят от числа
Действительно, в уравнении (2.7) g^ и w{E)
частиц N экспоненциально, тогда как Е лишь пропорциональна N.
Поэтому £ в подынтегральном выражении представляет собой функцию, мед-

30
Глава 2
ленно меняющуюся на фоне 5-функции, образуемой произведением
&{{e}}w\e\n ' Интеграл этой 5-функции, согласно условию нормировки
вероятностей, нормирован на единицу:
ю W) u " {{*}} " "
Поэтому в термодинамическом пределе N-±co средняя по ансамблю
энергия определяется пиком 5-функции
Но максимуму функции g^e}}™*/)'" по £, определяемому
уравнениями (2.6), отвечает значение энергии Е0. Поэтому в термодинамическом
пределе
<£>г,^**о, (2-9)
т.е. средняя по ансамблю энергия равна наиболее вероятному в ансамбле
значению энергии.
Тогда как внешнее поле, температура, объем и число спинов служат
полевыми параметрами, за параметр порядка в каноническом ансамбле
выбирают как правило либо энергию £, задаваемую для каждой
микроконфигурации гамильтонианом (2.1), либо удельную намагниченность
"м^ХЛ- (2-Ю)
также определенную для заданной микроконфигурации. Точнее, эти
параметры порядка обычно называют параметрами дальнего порядка, так
как они отвечают либо за взаимодействие системы в целом с внешними
условиями, либо за взаимодействие отдельных спинов системы со
средним, генерируемым всеми спинами в целом, общим полем. Помимо
параметров дальнего порядка, как мы увидим ниже, возможно также введение
параметров ближнего порядка.

Модель Изинга
31
Двухуровневая система без взаимодействия спинов
Рассмотрим в качестве примера модель Изинга в отсутствие
взаимодействия между спинами J = 0. Гамильтониан такой системы определяется как
и система представляет собой пример двухуровневой системы. Каждый
спин может принимать значения энергии -juh и fjh , когда он направлен
по полю и против поля соответственно.
Микроканоническому ансамблю отвечает система, изолированная с
энергией Е. Статвесом такой системы будет число микросостояний,
соответствующих данному значению энергии. Рассмотрим какую-то
конкретную микроконфигурацию {а} ориентации спинов на решетке,
отвечающую одному микросостоянию. Пусть есть число спинов данной
микроконфигурации, ориентированных по полю, а ^ - число спинов,
ориентированных против поля. Тогда данной микроконфигурации {<т} будет
отвечать энергия
Помимо данного равенства для величин Nt и N± мы имеем тривиальное
соотношение сохранения числа спинов
Отсюда следует, что задание энергии £, на которой система изолирована,
означает взаимно-однозначное задание величин Nf и
(2.11)
(2.12)
(2.13)
+
—1
(2.14)

32
Глава 2
Вводя удельную намагниченность микроконфигурации системы как
1
т
M-Wi-NJ/Na—Za,, (2.15)
^ 1=1
мы видим, что задание энергии также взаимно-однозначно задает
намагниченность
где числа спинов по полю и против поля можно выразить через
намагниченность согласно
N^N^.N^N^. (2.17)
Здесь следует обратить внимание на то, что эти соотношения
выполняются для каждой отдельной микроконфигурации. Возникают они еще до
применения к модели аппарата статистической физики и являются
следствием самого построения модели. Позже, обработанные механизмом
статфизики, они дадут аналогичные соотношения и для средних по
ансамблю величин. Однако читателю следует ясно различать связи,
наложенные на модель при ее построении, от связей, создаваемых аппаратом
статфизики. В противном случае, как мы увидим в главе 7, возможно
получение неверных результатов.
Статвес системы gE, т.е. число микросостояний, на которых система
изолирована в микроканоническом ансамбле, определяется перебором
всех возможных микроконфигураций {а}, отвечающих заданной энергии,
т.е. заданным Nt и N±. Нам необходимо распределить Nt спинов,
ориентированных по полю, и N± спинов, ориентированных против поля, по
N узлам решетки. Число таких комбинаций задается комбинаторной
формулой числа способов, которым Nt белых шаров и Ni черных шаров
можно распределить по N ящикам, причем в каждом ящике должен быть
один и только один шар

Модель Изинга
33
№ №
\-т
(2.18)
Применяя формулу Стирлинга М«1п
N
— | , мы получаем
8е *in
(2.19)
где здесь и ниже под обозначением '~|П' мы всегда будем понимать
пренебрежение всеми степенными зависимостями от числа степеней
свободы N по сравнению с экспоненциальными.
Так как все микросостояния в микроканоническом ансамбле
равновероятны, вероятность каждого из них равна
f1+ml
2
2
I 2 J
I 2 J
(2.20)
Рассмотрим теперь случай канонического ансамбля для той же
модели без взаимодействия спинов J=0. По-прежнему каждому значению
энергии Е отвечает полученное выше число микросостояний
1 + /И
2 (1-т
(2.21)
однако теперь вероятность каждого из них равна
{е\
= —е
Z
Z
(2.22)
Найдем статсумму канонического ансамбля. Для системы без
взаимодействия степеней свободы, какой и является наша двухуровневая
система, вычисления значительно упрощаются

34
Глава 2
Ее"""'" =
<7,=±l
<7„=±1
^<7V=±I j
■.(e*IT+e->*ITY, (2.23)
где мы фактически перешли от статсуммы всей системы в целом к стат-
сумме одного спина. Множитель 1/М, отвечающий за квантовую
тождественность частиц, здесь не использовался, так как спины привязаны к
узлам решетки.
Найдем статсумму более общим способом, который будет
использован в дальнейшем для более сложных систем. В формуле (2.4) нам уже
удалось перейти от суммирования по отдельным микросостояниям к
суммированию по значениям энергии. Причем статвес каждого значения
энергии нам также известен из уравнения (2.21). Поэтому нам остается
найти, каким образом мы можем вести суммирование по значениям
энергии.
Как из микроконфигурации спинов {а} получить микроконфигурацию
{<т'}, отвечающую соседнему значению энергии? Очевидно, эти две
микроконфигурации должны отличаться переворотом одного спина. Т.е. шаг
изменения значений энергии в спектре системы равен 2 fjh , где двойка
возникает из-за того, что спин с одной ориентацией исчезает, а взамен
появляется спин с противоположной ориентацией. Этому отвечает изменение
удельной намагниченности т на 21N . Каждому значению энергии
взаимно-однозначно отвечает свое значение намагниченности. Поэтому
вести суммирование можно как по значениям Е, так и по значениям т. Ввиду
малости шага изменения энергии сумму можно заменить интегралом
fjhN I ,
к8т \1ь^8т ={ш8^е ■ (2-24)
Аналитически подобные интегралы зачастую не берутся, однако их
можно вычислить приближенно с помощью метода перевала (метода сед-
ловой точки). Вычисления довольно сложны, однако они значительно
упрощаются, если, также как и в формуле Стирлинга, мы пренебрежем
всеми степенными зависимостями от N по сравнению с экспоненциальными
зависимостями. А именно, так как число спинов Л/, которое бесконечно в
термодинамическом пределе, стоит в интеграле (2.24) в экспоненциальной
зависимости (как собственно в экспоненте е~Е1Т = е^Ыт/т 9 так и в статвесе

Модель Изинга
35
£{{£}} )> весь интеграл сводится к подынтегральному выражению, взятому
в точке его максимума
Z*ln \8{{E}}e~E,TYff -*,т =\4E(m)}f^Nm'T\v .NmlT' С2'25)
Другими словами, мы приходим к известному результату, гласящему, что
статсумма должны быть равна своему наибольшему слагаемому с
логарифмической точностью -in, т.е. с точностью до степенных множителей.
Для нахождения максимума Е0 нам нужно найти, когда производная
подынтегрального выражения или его логарифма будет равна нулю
дЕ
dm
= 0. (2.26)
Решение Е0 = -/JiNm^ определяется уравнением
m0 = tanh^. (2.27)
Чему отвечает это решение? Если мы разделим уравнения (2.26) на
статсумму системы, то сразу вернемся к уравнениям (2.66). Поэтому
согласно уравнениям (2.6) и (2.9) значение энергии Е0 соответствует
средней энергии системы в каноническом ансамбле (£)г у .
Согласно (2.25) статсумма и равновесная энергия Гельмгольца
(свободная в каноническом ансамбле) соответственно равны
Z*,n Wis, ^ые^'Х и F = -rinZ. (2.28)
Система с взаимодействием спинов
Для модели, учитывающей взаимодействие спинов J Ф О, точное
аналитическое решение может быть получено только в исключительных случаях
некоторых решеток. В случае произвольной решетки для получения
решения необходимо использовать приближения. В главе 8 мы рассмотрим
приближение ренормализационной группы. Также существует другое
приближение - приближение среднего поля, которое существовало до от-

36
Глава 2
крытия метода ренормализации. Оно является менее точным, работает
лишь на определенной дистанции от критической точки. Однако это
приближение стало классическим благодаря своей уникальной способности,
хоть и грубо, но наглядно иллюстрировать свойства фазовых переходов.
Почему мы не можем решить систему точно для случая
произвольной решетки? Для системы без взаимодействия существует только
параметр дальнего (long) порядка
■■■ т
{<?)
(2.29)
задаваемый для каждой отдельной микроконфигурации. Здесь
означает усреднение не по ансамблю, а по пространству решетки одной
микроконфигурации. Для магнитных систем параметр дальнего порядка L
всегда выбирается равным удельной намагниченности т. Поэтому в этой
главе мы будем произвольно заменять в обозначениях L на т и обратно,
подразумевая, что обе величины идентичны по определению.
При появлении взаимодействия между спинами энергия конкретной
микроконфигурации начинает зависеть не только от средней по
микроконфигурации намагниченности (2.16), но и от взаимного расположения
ориентации спинов. Подсчет конфигураций сразу усложняется, и для
многих систем точные аналитические решения до сих пор не найдены. Виной
всему так называемый параметр ближнего (short) порядка. Проще всего
его проиллюстрировать для п.п. модели с взаимодействием ближайших
соседей
(2.30)
Усреднение взаимодействия сгсгу идет по парам п.п. спинов <i,j>„„
микроконфигурации {а}, общее число таких пар равно Nq 12. Здесь q -
координатное число решетки (число ближайших соседей у спина). Для
одномерной решетки q = 2, для квадратной решетки q = 4, для
треугольной решетки q = 6, для кубической решетки q = 6.
С помощью параметров ближнего и дальнего порядка гамильтониан
п.п. модели Изинга можно записать как

Модель Изинга
37
H{(7}=-vhNL{(T)-J^S{ar (2.31)
Приближение среднего поля
Приближение среднего поля вводится как пренебрежение точным
поведением параметра ближнего порядка. Допустим, что на основе
априорных предположений нам удалось приблизить зависимость 5{(Т} с
помощью какой-то функции от L{a). В этом случае весь гамильтониан
становится функцией лишь от L{(T) и полевых параметров
H{(7)*H(L[a)). (2.32)
Тогда, как и для системы без взаимодействия, возникает соответствие
между энергией и параметром дальнего порядка микроконфигурации.
Другими словами, пересчитав число микросостояний, отвечающих заданному L,
мы будем знать статвес для данной энергии в каноническом ансамбле
N1
т 4
l+L\2\-L
У 2 ) У 2 )
По определению статсуммы системы
(2.33)
]
Z = ^т\е'Е'Г = jji7;SmL))f'H(L)'r «ли (2.34а)
р}} _|^''v
1 dL
Z = jJ^e^L\rne (2.346)
(2.34в)
J - 1 2 J 2 { 2 ) NT
По-прежнему мы ищем интеграл (2.34) методом перевала. Решением
будет
Z*lne"/(M, (2.35)
где L0 является точкой максимума функции/по L

38
Глава 2
51n(j
dL
-h(l)/t
= 0 или
df(L)
dL
■0.
(2.36)
Если мы разделим первое уравнение на статсумму системы, то вернемся к
уравнениям (2.66). Поэтому Е0 в термодинамическом пределе по-
прежнему равно средней энергии систем в ансамбле (Ё)т у N , a L0
является средним по каноническому ансамблю параметром дальнего порядка
(^)г у n ' Подставляя функциональную зависимость / в уравнение (2.36) мы
получаем
f
L0 = tanh|
1 dH(L)
NT dL
(2.37)
Статсумма и свободная энергия Гельмгольца системы определяются
уравнением (2.35)
Z*In е*™9 F = -NTf(L0).
(2.38)
Очевидно, существует тесная взаимосвязь между свободной энергией
F и функцией/ Как мы увидим в главе 7, минус /является удельным
действием свободной энергии.
Чаще всего приближение (2.32) сводится к приближению среднего
поля, т.е. к замене взаимодействия между спинами на независимое
взаимодействие отдельных спинов с каким-то эффективным, создаваемым
всеми спинами в целом полем
H{<T)*-M(h + h*)Nm{(7)9
(2.39)
где эффективнее поле микроконфигурации является функцией удельной
намагниченности данной микроконфигурации A5f,(ffj((T)). Тогда
решение (2.37) будет задаваться уравнением
dheg
m0 = tanh
ГI dm
(2.40)

Модель Изинга
39
В общем случае можно предположить пропорциональность
эффективного поля и намагниченности микроконфигурации
(2.41)
Уравнение (2.40) при этом переходит в
т0 = tanh]
f{h + 2Cm0}
(2.42)
Решение проще всего искать графически как пересечение двух
кривых левой и правой частей уравнения (2.42). Рассмотрим сперва модель в
отсутствие внешнего поля h = 0. Как мы видим на рисунке 2, при решении
уравнения (2.42) возможны два различных случая. В первом случае
прямая левой части уравнения (2.42) идет выше касательной к
гиперболическому тангенсу в нуле. В этом случае возможно только одно решение
т0 = 0, отвечающее нулевой самонамагниченности (спонтанной
намагниченности). Забегая вперед, мы можем сказать, что данная ситуация
соответствует температуре выше критической.
В противоположном случае, когда прямая левой части
уравнения (2.42) идет ниже касательной к гиперболическому тангенсу в нуле,
возможны три решения, которые мы схематически обозначили
-т0,т0 =0,/и0. Как мы увидим в дальнейшем, этот случай отвечает
температуре ниже критической. Из трех решений -т0,т0 =0,/и0 только два
ненулевых решения являются устойчивыми, а решение с нулевой
намагниченностью представляет собой неустойчивое состояние системы.
Действительно, решение мы искали как точки (2.36) максимума функции /
Для этого мы нашли, когда производная этой функции обращается в ноль.
Однако обращение в ноль
производной функции возвращает как точки
максимумов, так и точки
минимумов. Для нашей модели при
температуре ниже критической точка
решения с нулевой намагниченностью
соответствует минимуму функции/
Поэтому истинных решений только
два, отвечающих ненулевой
самонамагниченности -т09т0. Каждое
из этих решений определяет свою
1-
т<тс
1 И1
\ /л
ш0=0
Рисунок 2

40
Глава 2
фазу при фазовом переходе. Одна фаза отвечает намагниченности против
оси поля, тогда как другая - намагниченности по этой оси.
Метод графического решения сразу же подсказывает нам, как найти
критическую температуру системы. Очевидно, нужно найти, когда
нулевое решение для самонамагниченности переходит в ненулевое. Т.е. когда
левая часть уравнения (2.42) превращается в касательную к
гиперболическому тангенсу в нуле
Другим важным фактом, который следует отметить, является то, что в
малой окрестности критической точки самонамагниченность будет мала, что
значительно упрощает вычисления.
Теория Ландау
Тс = 2С/л.
(2.43)
m
f ТТТТ
ТТТ1
♦
Вернемся к общему случаю ненулевого
внешнего поля. Будем предполагать
это поле малым. Поэтому также малой
будет и намагниченность вблизи
критической точки. Раскладывая
гиперболический тангенс в ряд Тейлора по
этим малым параметрам h и т0, а также
по малому относительному
отклонению температуры от критической
Рисунок 3
(2.44)
мы получаем
0 = -h + 2atm0 + 4bm03 +...,
(2.45а)
(2.456)
Здесь мы ввели коэффициенты а и Ь, смысл которых станет ясен в
дальнейшем. Пока же, снова приравнивая к нулю внешнее поле, для
самонамагниченности мы получаем (рисунок 3)

Модель Изинга
41
т0 = 0 и (2.46а)
^о=±л-ТГ. (2.466)
Для температуры выше критической Тс> Т существует только нулевое
решение, т.к. t > 0. Ненулевая самонамагниченность появляется лишь при
t < 0. При этом мы видим, что при уходе температуры от критической
самонамагниченность растет как
т0ос|/|", (2.47)
где приближение среднего поля дает нам критический индекс /3= 1/2.
Мы исследовали поведение системы непосредственно с помощью
уравнения состояния (2.45), получаемого для параметра порядка.
Получим теперь то же самое решение, исследуя свободную энергию системы
для неравновесных состояний. Уравнение (2.38) дает зависимость
равновесного значения свободной энергии от равновесного значения
намагниченности
F0=-NTf(m0). (2.48)
Для неравновесных состояний мы можем предположить сохранение
общей функциональной зависимости уравнения (2.48), только теперь вместо
равновесного значения намагниченности т0 мы должны подставить
неравновесную намагниченность т
РЫ\ = - = NT— ln[—J + NT— ,n[—^-J + H(m) • (2.49)
У читателя может возникнуть вопрос, на каком основании мы так
поступаем, обобщая равновесную зависимость на неравновесные состояния.
Подробнее мы изучим эту гипотезу в главе 7, сейчас же ограничимся
только высказанными выше интуитивными предпосылками.
При малом значении внешнего поля разложим зависимость (2.49)
вблизи критической точки по малым параметрам A, t, and m

42
Глава 2
F{{m}} = Nti(-2C\n2-hm + atm2 + bm4 +...).
(2.50)
Здесь -2Cln2 является постоянным сдвигом свободной энергии. Поэтому
в дальнейшем мы будем пренебрегать этим слагаемым, как не влияющим
на поведение системы.
Фактически мы построили для магнитной системы теорию Ландау,
которая представляет собой разложение свободной энергии
неравновесных состояний в ряд Тейлора вблизи критической точки. Константы а и 6,
введенные нами в (2.456), являются коэффициентами этого разложения.
Как мы знаем, для поиска равновесного состояния необходимо найти
минимум зависимости свободной энергии по неравновесным состояниям.
Дифференцируя зависимость (2.50) пот и приравнивая производную
нулю, мы возвращаемся к уравнению состояния системы (2.45). Таким
образом, полученное ранее уравнение (2.45) для поиска равновесного
состояния являлось ничем иным как уравнением поиска минимума потенциала
свободной энергии.
Выражение (2.50) наглядно иллюстрирует фазовые переходы
магнитных систем вблизи критической точки. Поскольку мы рассматриваем
сейчас случай ферромагнетика J > 0, в котором каждый спин стремится
выстроить соседние спины вдоль своего направления, константа С
связи (2.41) эффективного поля и намагниченности должна быть
положительной. Это приводит к тому, что оба коэффициента а и b также
положительны.
Рассмотрим сперва систему в отсутствие внешнего поля h = 0.
Качественная зависимость свободной энергии от неравновесных т
представлена на рисунке 4. При температурах
выше критической t > 0 в
выражении (2.50) и парабола, и зависимость
четвертой степени «смотрят рогами
вверх». Поэтому их сумма имеет
один минимум при т0 = 0. При
критической температуре t = 0
квадратичная зависимость исчезает, и
минимум становится более
«плоскодонным», следуя зависимости
четвертой степени. При температурах
ниже критической / < 0 зависимость
. . . F{{m)i
[ г=гс
/ /
,Т<ТС
m
°\ ! /
х 1 /
Рисунок 4

Модель Изинга
43
четвертой степени по-прежнему «смотрит рогами вверх», тогда как
парабола «разворачивается рогами вниз». При малых т зависимость
определяется квадратичным слагаемым, тогда как при уходе в бесконечность
«пересиливает» зависимость четвертой степени. Эта взаимная «борьба»
квадратичного слагаемого и слагаемого четвертой степени и приводит к
появлению двух минимумов при ненулевых значениях
самонамагниченности -т0,т0 (2.466) и максимума в ноле самонамагниченности (2.46а).
В том и заключается красота и гениальность теории Ландау, что она с
помощью двух слагаемых разложения ряда Тейлора наглядно
иллюстрирует теорию критических явлений. Однако этим результаты, даваемые
данной теорией, не исчерпываются. Помимо фазовых переходов второго
рода теория Ландау также иллюстрирует переходы первого рода. Для ее
применимости требуется лишь малость намагниченности, т.е. система по-
прежнему должна находиться в окрестности критической точки фазового
перехода второго рода. Однако кривые сосуществования и спинодаль
берут свое начало именно в критической точке. Поэтому в ее окрестности
также возможно рассмотрение и переходов первого рода.
Вернемся опять к случаю малого, но ненулевого внешнего поля, так
как наличие поля существенно для иллюстрации фазового перехода
первого рода. Рассмотрим какую-то температуру ниже критической. На
рисунке 5 мы сперва опять строим кривую для И = 0, аналогичную
приведенной на рисунке 4.
Увеличим слегка поле. За счет слагаемого -Ит в выражении (2.50)
для свободной энергии левый минимум становится локальным (менее
глубоким) минимумом по сравнению с правым, глобальным минимумом. Для
системы было бы
предпочтительнее перейти в
глобальный минимум. Однако,
если она попала в
локальный минимум, покинуть его
системе мешает
потенциальный барьер между
двумя минимумами. Поэтому
она оказывается в
квазиустойчивом, метастабильном
состоянии. За счет
флуктуации система стремится
выбраться из локального
минимума, однако за счет
Метастабильные
состояния
Стабильные
состояния
Рисунок 5

44
Глава 2
градиента свободной энергии на стенке минимума в течение многих
попыток «скатывается» обратно. Наконец, когда возникает большая
флуктуация с размером, равным размеру критического зародыша, система
оказывается на вершине потенциального барьера и через «взрывной», сугубо
неравновесный процесс «скатывается» на дно глобального, правого
минимума .
При дальнейшем увеличении поля левый минимум становится все
более мелким и при достижении точки спинодаль исчезает вообще.
Происходит это за счет слияния локального минимума и максимума
потенциального барьера. При переходе через точку спинодаль потенциальный
барьер обращается в ноль, размер критического зародыша становится
сравнимым с одной степенью свободы (с переворотом одного спина, со
столкновением двух молекул), и существование метастабильных
состояний становится невозможным. Теперь уже ничто не препятствует системе
сразу перейти в стабильное состояние из любой точки ее фазового
пространства.
До сих пор мы рассматривали только гомогенную систему, у которой
равновесная намагниченность обязана была быть однородной по
пространству. Что произойдет, если мы перейдем к гетерогенной системе?
Сразу же мы можем предположить, что потенциальный барьер,
разделявший локальный и глобальный минимумы, должен исчезнуть.
Действительно, этот барьер являлся следствием требования однородности по
пространству, наложенного на систему. В отсутствие этого требования
гетерогенная система может реализовать «смесь» любых состояний
гомогенной системы. Так, если график потенциала свободной энергии на
рисунке 5 имел максимум в точке потенциально барьера, то гетерогенная
система уже может «спрямить» этот максимум, реализовав для данного
диапазона намагниченности смесь гомогенных состояний.
Как это осуществляется на практике? На рисунке 6 мы рассматриваем
одну из изотерм гомогенной системы, находящейся ниже критической
точки при ненулевом внешнем поле. Вертикальная пунктирная линия,
пересекающая изотерму, представляет среднюю по объему
намагниченность, которую мы хотели бы получить в гетерогенной системе. Как нам
Однажды на лекции, когда я красочно описал, как трудно системе «вскарабкаться» за счет
флуктуации на вершину потенциального барьера и какое огромное число попыток это
подразумевает, один из студентов задал вопрос: «А что случится, если, оказавшись на вершине в
состоянии неустойчивого равновесия, система за счет флуктуации случайно качнется не
«вправо», а «влево» и скатится обратно в локальный минимум?» «В этом случае мы будет
называть ее неудачницей», - единственное, что я нашелся тогда ответить.

Модель Изинга
45
построить гетерогенную систему? Мы,
очевидно, можем разделить объем
системы на домены, в каждом из которых
намагниченность гомогенна. Пустые
кружки на изотерме представляют
смешиваемые состояния, тогда как
заполненные - результат смешивания.
Пунктирные линии, соединяющие пустые и
заполненные кружки являются
аналогами построения Максвелла в системах
жидкость-газ. Нас, очевидно,
интересует смесь с минимальной свободной
энергией. Таковым будет самый
нижний заполненный кружок, отвечающий построению Максвелла,
выполненному как касательная к гомогенной кривой сразу в двух точках. Далее
мы можем отбросить участок гомогенной кривой, лежащий выше этой
касательной, как имеющий большую свободную энергию.
\h>o F{{m)*
i
/ 171
1
ч »%\
Ч %Vk 1
ч v3 #
Рисунок 6
Окончательный результат нашего построения показан на рисунке 7.
Он представляет собой те смеси, которые для заданной средней по
объему намагниченности имеют наименьшую свободную энергию. Однако
пока свободная энергия не была еще минимизирована по самому
значению средней по объему намагниченности, которое все еще является
неравновесным.
Выполним построение Максвелла для всех гомогенных кривых
рисунка 5. Результат показан на рисунке 8. Напомним, что спрямляющий
участок построения Максвелла строится как линия, являющаяся
касательной к кривой сразу в двух точках. Для жидкости-газа построение
Максвелла означает смесь доменов пара и жидкости. Для магнитной системы
оно означает смесь доменов намагниченности по полю и против поля. Как
мы видим из рисунка 8, построение
Максвелла для любого значения поля
начинается и заканчивается при одних и
тех же значениях намагниченности. Мы
отметили границы этого диапазона
вертикальными пунктирными линиями.
Чему соответствуют крайние точки
этого диапазона намагниченностей? Они
соответствуют решениям гомогенной
системы в отсутствие поля (2.466).
Рисунок 7

46
Глава 2
Как и следовало ожидать,
введение построения
Максвелла для гетерогенной системы
делает невозможным
существование метастабильных
состояний. Как мы видим на
рисунке 8, гетерогенная система
в любом исходном состоянии
сразу «скатывается» в
глобальный минимум, а точки
метастабильных состояний
остаются далеко за границей
кривой гетерогенной свободной
энергии.
/7>0^,,ти4 Построение
т
Рисунок 8
Исключением является случай нулевого поля. В этом случае
потенциал свободной энергии становится вырожденным и вместо дискретной
точки минимума имеет непрерывный горизонтальный участок. Подобное
вырождение означает, что равновесными становятся любые состояния из
диапазона намагниченностей построения Максвелла (рисунок 9). Кривая,
ограничивающая область сосуществования фаз, называется кривой
сосуществования и отвечает гомогенной намагниченности ниже критической
точки. Точно так же, как и система жидкость-газ, находящаяся при
давлении фазового перехода, называемого давлением Клаузиуса-Клапейрона,
становится вырожденной и может содержать домены пара и жидкости в
любых пропорциях, так и магнитная система при нулевом поле может
содержать домены намагниченности по полю и против поля в любых
пропорциях. Введение отклонения давления в жидкости-газе от давления
фазового перехода (от давления Клаузиуса-Клапейрона для заданной
температуры) сразу переводит систему в одну из фаз. Также и введение поля
т
тт
сразу переводит магнитную систему в
одну из фаз. Это явление называется
спонтанным разрушением симметрии.
Введение ненулевого поля разрушает
симметрию модели по направлениям и
выбирает заданное направление для
средней намагниченности.
Рисунок 9
шт
Как же тогда с учетом
проведенного нами анализа поведения
свободной энергии будет выглядеть
уравнение состояния магнитной системы? За-

Модель Изинга
47
Метастабильные/ Спинодр
состояния/^^^
висимость
намагниченности системы от внешнего
поля показана на
рисунке 10 для разных значений
температуры (т.е.
представленные кривые
соответствуют изотермам
магнитной системы).
При нулевой
температуре намагниченность
равна либо +1, либо -1 в
зависимости от
направления поля, а в нулевом
поле возможно
произвольное разбиение гетерогенной системы на домены с самонамагниченностя-
ми +1 и -1. При ненулевой температуре ниже критической поле усиливает
самонамагниченность. В нулевом же поле опять возможен целый
диапазон равновесных самонамагниченностей гетерогенной системы.
Гомогенная же система показывает наличие кривых метастабильных состояний,
оканчивающихся точками спинодаль.
Стабильные
состояния
Рисунок 10
Точке спинодаль отвечает слияние минимума и максимума
свободной энергии на рисунке 5, а на рисунке 10 - бесконечная производная
намагниченности по полю. Этот результат легко понять интуитивно. При
переходе через точку спинодаль (рисунок 11) решение гомогенной
системы показывает для
заданной температуры
отрицательную производную
намагниченности по полю.
Такая ситуация является
неустойчивой, поэтому
бесконечность
производной намагниченности по
полю и означает точку
спинодаль, как точку,
разграничивающую
устойчивые и неустойчивые
состояния. Аналогичная
ситуация наблюдается в
Рисунок 11 жидкости-газе, где для
решения уравнения газа

48
Глава 2
Ван-дер-Ваальса точке спинодаль отвечает бесконечная производная
объема по давлению для заданной температуры.
При температуре выше критической самонамагниченность равна
нулю. Вместе с исчезновением самонамагниченности пропадает и
вырождение решения гетерогенной системы, и любым значениям полевых
параметров отвечает лишь одно
равновесное состояние.
«Следом» исчезающей
самонамагниченности (рисунок 10)
является бесконечная
производная намагниченности по
полю для системы при
критической температуре в
точке т = 0.
Чтобы более наглядно
представить себе уравнение
состояния системы, мы
перейдем от рисунка 10,
отображающего изотермы как
сечения трехмерной
поверхности, собственно к самой
трехмерной поверхности на
рисунке 12.
Поведение системы ниже и выше критической точки существенно
отличается. При температурах ниже критической поверхность стабильных
состояний состоит из боковых листов, отвечающих ненулевому полю, и
куска плоскости, заключенного внутри кривой сосуществования. Два
листа метастабильных состояний служат непрерывным продолжением
боковых поверхностей до кривой спинодаль. При температурах выше
критической точки вся поверхность однолистна и представляет собой
стабильные состояния.
Кривая сосуществования соответствует самонамагниченности
гомогенной системы (2.466). Как и для систем жидкость-газ, эта кривая
разграничивает однофазную и двухфазную области. Для нахождения кривой
спинодаль необходимо найти, когда минимум и максимум свободной
энергии на рисунке 5 взаимно уничтожаются. Т.е. нужно найти, когда
детерминант кубического уравнения (2.45а) обращается в ноль. Либо, взяв
частную производную от этого уравнения по намагниченности, найти, ко-

Модель Изинга
49
гда производная намагниченности по полю —- = оо обращается в беско-
Совсем недавно было обнаружено, что в окрестности точки спинодаль
физические величины подчиняются степенным законам, точно так же как
и в окрестности критической точки. Однако, если в уравнении (2.47) для
окрестности критической точки роль полевого параметра играла
температура, то в окрестности спинодаль полевым параметром становится
магнитное поле [Klein, 2005]. Разлагая слагаемые в уравнении (2.45) по
малому параметру отклонения намагниченности от ее значения в точке
спинодаль т0-гщ мы получаем
где спинодальный индекс параметра порядка /3S =1/2. Эта
параболическая зависимость очевидна из рисунка 11. В главе 5 мы рассмотрим
степенное поведение других величин в окрестности точки спинодаль.
Как для системы жидкость-газ, так и для магнитной системы наличие
метастабильных состояний гомогенной системы приводит к появлению
петли гистерезиса (рисунок 13). Однако мы здесь приходим к
противоречию. Любая реальная система является гетерогенной. Действительно, ни
для магнитных систем, ни для систем газ-жидкость не существует
природного фактора, который бы требовал однородности по всему объему
системы. Причем однородности, которая должна была бы поддерживаться
нечность
(2.51)
m0-ms *\h-hs \
(2.52)
h
не только на уровне равновесных
средних состояний, но и на уровне
микросостояний. Поэтому гомогенная система
является идеализацией, облегчающей
поиск решения. Реально же существую-
Рисунок 13
1 т щие системы гетерогенны. Но при
появлении гетерогенности исчезает
потенциальный барьер, разделяющий локальный
и глобальный минимумы свободной
энергии. Вместе с этим барьером
исчезает и возможность существования мета-

50
Глава 2
стабильных состояний и петли гистерезиса. Однако физические
эксперименты показывают наличие как тех, так и других явлений. Поэтому
существующие в природе системы все же имеют потенциальный барьер,
разделяющий метастабильные и стабильные состояния. Чем же
обуславливается наличие подобного барьера у гетерогенной системы?
Внутри области кривой сосуществования, при действии построения
Максвелла, возможна реализация любого значения намагниченности из
заданного диапазона. Происходит это потому, что гетерогенная система
представляет собой смесь различных гомогенных состояний. Фазы с
намагниченностью по полю и против поля разбиваются на домены, которые
в сумме и образуют смесь фаз. Также и в жидкости-газе вдоль построения
Максвелла система представляет собой смесь доменов жидкости и пара.
Построенная выше теория правильно учла свободную энергию каждого из
доменов в отдельности, однако упустила из виду взаимодействие доменов
на их границах. Действительно, на границе двух фаз соседние спины будут
иметь преимущественно противоположные ориентации. Это вводит
дополнительную свободную энергию, которую нужно затратить на
образование границы, т.е. привычную нам концепцию поверхностного натяжения.
Рассмотрим образование пузырька другой фазы в метастабильном
состоянии. Внутри объема пузырька система получает выгоду в
свободной энергии за счет того, что объемная свободная энергия другой фазы
ниже, так эта фаза отвечает глобальному минимуму. Однако для создания
пузырька необходимо также затратить энергию на образование его
поверхности. Борьба этих двух факторов и приводит к появлению нового
потенциального барьера, разделяющего локальный и глобальный
минимумы свободной энергии. Пиковому значению этого барьера
соответствует критический зародыш. За счет флуктуации система, находящаяся в
локальном, метастабильном минимуме, делает много попыток по
образованию зародышей. Однако общий градиент стенки минимума постоянно
подавляет эти попытки, уничтожает уже образовавшиеся зародыши, и
возвращает систему обратно на дно локального минимума. Наконец,
после долгого периода жизни метастабильного состояния система реализует
маловероятную флуктуацию, содержащую критический зародыш.
Другими словами, маловероятная флуктуация забрасывает систему на вершину
потенциального барьера. После этого следует быстрый, взрывной процесс
перехода в стабильное состояние глобального минимума. Система за счет
бурного кипения почти мгновенно переходит вся в другую фазу.
Термин «почти мгновенно» употреблен здесь по сравнению с долгим
временем жизни метастабильного состояния. Сравнение этих двух времен

Модель Изинга
51
может составлять многие порядки.
Для иллюстрации достаточно
представить себе бомбу, складированную
на одной из военных баз. Долгие
десятилетия эта бомба может
находиться в латентном состоянии, хотя
энергетически выгоднее было бы
расщепить сложное химическое соединение
на более простые составляющие.
Мешает ей потенциальный барьер
самовоспламенения. Наконец, за счет
Рисунок 14 многих попыток тепловые
флуктуации реализуют локальное повышение
температуры, равное размеру критического зародыша. Следствием является
взрыв, длительность которого пренебрежимо мала по сравнению с
предшествующим долгим сроком складирования.
В стабильных состояниях размер R критического зародыша является
большим. При заходе в метастабильную область размер критического
зародыша уменьшается и при достижении спинодали становится равным
нулю, что схематично показано на рисунке 14 в качестве эпюры. Т.е. в точке
спинодаль столкновение лишь пары молекул в газе уже может
соответствовать критическому зародышу перехода системы в жидкое состояние.
Аналогично для магнитной системы, переворот одного спина уже может
соответствовать переходу системы в другую фазу. Ввиду того, что такие
«малые» флуктуации имеют значительную вероятность,
экспериментальное исследование окрестности точки спинодаль представляет
значительные трудности, а сама эта точка как правило оказывается недостижимой в
эксперименте. Именно поэтому степенные законы в окрестности
спинодали были открыты много позже степенных законов критической точки.f
Описанные явления рождения критического зародыша изучаются теорией
нуклеации. Как правило данная теория требует сложного,
функционального (полевого) описания гетерогенных явлений, учитывающих форму
поверхности зарождающегося пузырька [Gunton and Droz, 1983; Rundle,
2007; Kashchiev, 2000]. За исключением отдельных моделей, решенных
Однако же существуют системы, как правило обладающие большими временами
релаксации, в которых вполне возможно наблюдать точку спинодаль и даже поведение в области
неустойчивых состояний. Классическим примером являются бинарные сплавы, которые при
температуре ниже критической стремятся разделиться на исходные компоненты. Времена
релаксации в таких системах могут составлять дни или месяцы, поэтому возможным
становится наблюдение поведения системы вблизи и в области неустойчивых состояний.

52
Глава 2
точно или приближенно, теория
нуклеации как наука,
охватывающая широкий спектр явлений,
еще не создана. Поэтому мы
вернемся к простому в описании
случаю системы без
поверхностного натяжения.
Выше на рисунках 4-8 мы
рассматривали зависимость
свободной энергии от
неравновесных значений т. Рискуя
окончательно запутать читателя,
рассмотрим свободную энергию
равновесных состояний. Другими словами, вернемся к классическому
пониманию равновесной свободной энергии как минус температура,
умноженная на логарифм статсуммы ансамбля (2.38). Детальные отличия
равновесной свободной энергии от неравновесной мы рассмотрим в главе 7.
Сейчас же нам необходимо лишь помнить, что теперь мы рассматриваем
не произвольные значения намагниченности т, а только подчиняющиеся
уравнению состояния рисунка 12. Теперь значения свободной энергии мы
ищем только для этих состояний. Иначе говоря, мы подставляем решение
уравнения (2.45) в функционал (2.50). Тем самым мы получим значения
свободной энергии (2.48) для всех точек графика 12.
Рисунок 15
На рисунке 15 схематично представлено поведение полученной
равновесной свободной энергии на одну молекулу как эпюра, покрывающая
кривую уравнения состояния. Свободная энергия растет в однофазной
области при уменьшении поля. При полном исчезновении поля
свободная энергия гетерогенной системы остается постоянной вдоль
построения Максвелла и равной своим значениям в крайних точках этого
построения. По сравнению с ней метастабильная свободная энергия
продолжает расти при заходе в область метастабильных состояний и
достигает своего максимума в точке спинодаль. Превышение свободной
энергии метастабильных состояний над энергией гетерогенной системы
является наследием общего принципа минимальности потенциала
свободной энергии в точке стабильного состояния. Однако теперь в качестве
неравновесных состояний мы рассматриваем лишь метастабильные
состояния и никакие другие.

Модель Изинга
53
На рисунке 16 эта зависимость
представлена как зависимость от
поля h для какого-то значения
температуры ниже критической.
Однофазные ветви уравнения
состояния отвечают нижним
ветвям свободной энергии.
Построение Максвелла на данном
графике вырождается в точку, где
эти ветви сходятся. От этой
точки вверх расходятся ветви
метастабильных состояний, которые
в точках спинодаль переходят в
ветвь неустойчивых состояний.
Спинодаль
Неустойчивые
состояния
Метаста-
бильные
состояния
Построение
Максвелла
Т<Тп
Стабильные
состояния
Рисунок 16
Рисунок 16 является изотермическим сечением поверхности в
трехмерном пространстве. Трехмерный вид этой поверхности представлен на
рисунке 17. Выше критической температуры поверхность однолистна.
При переходе через критическую точку появляются дополнительные
листы метастабильных и неустойчивых состояний, которые идут выше.
Двухфазная область построения Максвелла схлопывается в линию кривой
сосуществования фаз. Листы метастабильных состояний отделены от
листа неустойчивых состояний кривой спинодаль.
Читателю следует
ясно понимать отличие
графиков 16-17 для
равновесной свободной
энергии от рисунков 4-8 для
неравновесной свобод- Стабильные,
ной энергии. На рисун- состояния
ках4-8 мы искали
минимум свободной
энергии по всем
неравновесным значениям т. На
рисунках же 16-17 эта
минимизация
вырождается в «минимизацию по
вертикали», когда мы
выбираем лист, идущий
Кривая,
спинодаль
Метастабильные,
состояния
Кривая
сосущест
вования
FqIN
Рисунок 17

54
Глава 2
ниже. «По горизонтали» мы уже не имеем права минимизировать, так как
положение «по горизонтали» задается внешними граничными условиями
в виде магнитного поля и температуры.
Удивительно, как такое сложное и красивое поведение системы
может описываться лишь тремя первыми членами разложения ряда Тейлора!
Это и составляет сущность теории Ландау.
Методы приближенного решения модели
Задача 2.1
Построить приближение среднего поля п.п. модели Изинга
заменяя взаимодействие спинов общим полем (теорию
ферромагнетизма Вейсса). Найти статсумму, свободную энергию и
равновесное состояние модели.
Решение
Для решения задачи необходимо заменить взаимодействие
спинов -J ^jcricjj эффективным средним полем. Каждый спин
<''.>>• -
имеет q соседей, где q - координатное число решетки. Тогда, как
приближение, мы можем заменить взаимодействие спинов
влиянием на спин усредненной по решетке намагниченности
z 1=1 1=1
<>=^h*,=|S' (253б)
Я(„,=-ДА+ *,?,)£>,, (2.53в)
где под мы по-прежнему понимаем усреднение не по
ансамблю, а по решетке одного микросостояния. Множитель 1/2
возникает из-за того, что при суммировании по всем N спинам

Модель Изинга
55
мы учли каждую пару два раза. Подставляя (2.53) в (2.42) мы
получаем решение
т0 = tanh^y {fjh + Jqm0}j . (2.54)
Задача 2.2
Построить приближение среднего поля п.п. модели Изинга как
пренебрежение корреляциями (теорию ферромагнетизма Брэг-
га-Вилльямса). Найти статсумму, свободную энергию и
равновесное состояние модели.
& Решение
Построим функцию корреляции двух соседних спинов по
решетке какого-то микросостояния
(<*.-<*/>„Х*у.. -(ffy.->w))w-(^.->w-"w • <2-55>
Пренебрежем корреляциями соседних спинов
(^-«,X^..-K.>w))w-0. (2.56)
Но уравнение (2.56) фактически означает, что
К-пп).*^,2^ (2.57а)
т.е.
K-->W-^>WWW- <2-57б>
Каждый спин имеет q ближайших соседей. Поэтому всего на
решетке Nq/2 пар п.п. соседей. Множитель 1/2 возникает здесь
из-за того, что при суммировании q пар по каждому из N спинов
мы посчитали каждую пару два раза. Средняя по решетке
корреляция ближайших спинов определяется как

56
Глава 2
fCT> Nqll
(2.58)
тогда как средняя намагниченность по решетке равна
(2.59)
Подставляя оба эти выражения в (2.576), мы получаем
1 V Г1 V
> СТО", « — > О",
(2.60)
что вновь приводит нас к формуле эффективного поля (2.536) и
решению среднего поля (2.54).
Задача 2.3
Найти решение для п.п. модели Изинга с помощью
вариационного принципа Боголюбова. Найти статсумму, свободную
энергию и равновесное состояние модели.
& Решение
Пусть {<т) есть точный гамильтониан модели. Для случая
нашей п.п. модели Изинга точный гамильтониан задается
уравнением (2.31). Построим приближение данного точного гамильто-
ниана каким-то модельным гамильтонианом {<т}, зависящим от
каких-то параметров, по которым мы в будущем будем вести
подгонку результатов. Модельный гамильтониан должен быть
выбран таким образом, чтобы его решение можно было легко
найти. В случае нашей модели, очевидно, таким гамильтонианом
будет служить гамильтониан без взаимодействия спинов (2.11)
(2.61)

Модель Изинга
57
зависящий от эффективного поля heff, как от подгоночного
параметра.
Точная статсумма по определению равна
Проведем следующие тождественные преобразования
(2.62)
Z =
^е'и1']1Т
■hqt„jt
{0}
Г \
?е-"^1Т
)
= zc
Z0
(2.63)
где Z0 есть статсумма модельного гамильтониана
(2.64)
В выражении (2.63) последняя сумма представляет собой
усреднение по распределению вероятностей модельного гамильтониана
Z = Z°(e
/я0
(2.65)
Перепишем это выражение тождественно как
(2.66)
н°
Используя алгебраическое неравенство
е'х>\-х,
(2.67)

58
Глава 2
для точной статсуммы системы мы получаем
z^zOe-K,-^l)„o'^,_|
= Z0e'{""r"°")"°/T(l-((Ht,
_((Я{<г) -Я(°<г|)-(Я«г( ~Н\
= zoe-{»^-»l,)l/t
(2.68)
Поскольку логарифм является монотонно возрастающей
функцией, для свободной энергии системы также будет выполняться
неравенство
которое остается верным для произвольного модельного
гамильтониана.
Неравенство (2.69) напоминает принцип минимизации свободной
энергии, только теперь вместо минимизации по неравновесным
состояниям мы должны выполнить минимизацию по модельным
гамильтонианам. Рассматривая различные функциональные
зависимости и различные подгоночные параметры модельных
гамильтонианов Н°{а), мы ищем минимум функционала
в функциональном пространстве этих модельных
гамильтонианов. Найденный минимум и будет отвечать точной свободной
энергии нашей системы.
Поскольку минимизация функционала в функциональном
пространстве представляет собой трудную задачу, мы ограничимся
конкретной функциональной зависимостью (2.61), произвольно
варьируя, однако, эффективное поле heff как подгоночный
параметр. Такое ограничение лишь одной функциональной
зависимостью делает наше приближение заведомо грубым.
Статсумма модельного гамильтониана была найдена нами
ранее (2.23)
(2.69)
(2.70)

Модель Изинга
59
Z° =
2cosh "
T J
(2.71)
равновесное значение намагниченности определяется
уравнением (2.27)
m0 = tanh^-. (2.72)
Значение точного гамильтониана, усредненное по ансамблю
модельного гамильтониана . находится с помощью
пренебрежения корреляциями, как это было описано в задаче 2.2
("<ст>>„.=-/л£ы„0-./ х (<T,<7y)w0*
/=i <*j>„ „
*-tihNm0-^m02 (2.73)
где m0 зависит от heff согласно уравнению (2.72). Усреднение
модельного гамильтониана по модельному же гамильтониану
находится аналогично
«,/> =-#*Ър)* *-t*eirNmQ. (2.74)
/=1
Подставляя эти уравнения в выражение для функционала (2.70),
мы получаем зависимость этого функционала от heff. Для
нахождения приближения свободной энергии следует найти, когда
производная функционала (2.70) по эффективному полю, как по
подгоночному параметру, обращается в ноль. В качестве
решения мы опять получаем приближение среднего поля (2.54).

60
Глава 2
Задача 2.4
Найти решение для модели Изинга с взаимодействием, не
зависящим от расстояния между спинами. Найти статсумму,
свободную энергию и равновесное состояние модели.
& Решение
Каждый спин взаимодействует с каждым другим спином с
энергией -Jalaj, не зависящей от расстояния между спинами.
Гамильтониан модели определяется как
N N j N
i'=l <ij> /=1 i,j=\ i*j
где перед последней суммой множитель 1/2 был введен из-за того,
что при взятии суммы каждая пара спинов была посчитана дважды.
Вынесем особенность / Ф j из последней суммы в слагаемое:
/V j N j N
Hw =-/^Z°'.-т!^ +t5>.2 •
(2.76)
Так как ст, = 1, мы получаем
j.V J ST NJ
,=1 ^ /.y=1 Z
(2.77)
В последней сумме нам больше ничто не мешает разделить
суммы по / и по у, каждая по своим спинам
/V j f N у Л/
ЛУ
(2.78)
Как мы видим, взаимодействие, не зависящее от расстояния,
приводит опять к модели среднего поля
е J л
А + 27ЛЧ"
NJ
Nm.„. +
(2.79)

Модель Изинга
61
Зачастую создается такое впечатление, что модель среднего поля
является вездесущей и словно преследует нас. Какое бы приближение мы ни
делали, мы все время приходим к одной и той же функциональной
зависимости модельного гамильтониана. Другими словами, все рассмотренные
огрубления модели приводили к сходным результатам. С одной стороны, это
может радовать, так как результат является независимым от методики.
Однако, с другой стороны, потратив значительные усилия, например на
переход от гомогенной системы к гетерогенной и на построение модели в
функциональном пространстве, мы как правило видим, что для получения
решения нам необходимо сделать какие-то упрощения, которые опять приводят к
решению среднего поля. Последнее же является довольно грубым и, как мы
увидим в главе 5, перестает работать в непосредственной окрестности
критической точки. Но как бы мы ни улучшали методику решения, мы опять
возвращаемся к приближению среднего поля, словно к заколдованному.
Как мы увидим в дальнейшем, в главе 8, только преобразование
ренормализационной группы способно разорвать этот заколдованный круг и
вывести нас на новый уровень понимания. Именно поэтому появление
ренормализационной группы в статистической физике вызвало такой
бурный отклик в литературе конца прошлого века.
Антиферромагнетики
Задача 2.5
Показать, что п.п. антиферромагнетик и п.п. ферромагнетик на
квадратной решетке имеют одинаковую свободную энергию в
отсутствие поля.
<з Решение
До сих пор мы рассматривали только ферромагнетики, у
которых константа взаимодействия./ в гамильтониане (2.1)
положительна. За счет этого спин имеет меньшую энергию, если его
соседи смотрят в том же направлении. Таким образом, каждый
спин стремится ориентировать соседей в своем направлении. В
отсутствии внешнего поля при температуре ниже критической
система имеет две фазы, отличающиеся направлением
преимущественной ориентации спинов (рисунок 18(a), где цвет кружков
обозначает ориентацию спинов).
Для антиферромагнетика константа взаимодействия
отрицательна У<0, что означает, что каждый спин стремится направить

62
Глава 2
(а)
А
В
А
В
А
(б)
toootototo
оооооооооо
оооооооооо
oootoootoo
toto«oooto
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
своих соседей в противоположную
сторону. Особенно наглядными
являются случаи квадратной или
кубической решеток. Эти решетки
можно разбить на две подрешетки
А и В так, что соседями каждого
узла одной подрешетки будут
только узлы другой подрешетки
(рисунок 18(6)). Такие решетки
называются би-партитными (bipartite).
Тогда при температуре ниже
критической опять будут существовать
две фазы. Первой фазе будут
соответствовать спины решетки А
преимущественно в направлении+1 и
спины решетки В преимущественно
в направлении-1. Второй фазе
будет отвечать инверсия направлений
спинов - решетка А
преимущественно в направлении-1, решетка В
преимущественно в направлении +1
(рисунок 18(b)). Заметим, что поскольку каждая фаза содержит
спины в обоих направлениях, введение малого магнитного поля
не разрушает симметрию и сосуществование фаз в
антиферромагнетике.
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
оооооооооо
(в)
Рисунок 18
Гамильтониан как п.п. ферромагнетика, так и
антиферромагнетика в отсутствие поля определяется как
#(Л{сгАЫсГв}) = -^ £ ет.Ает.в ,
(2.80)
где мы явным образом показали, что на би-партитной решетке
спины взаимодействуют только со спинами другой подрешетки.
Для данной функциональной формы гамильтониана мы можем
записать тождество
H(-J, {аА },{°в}) = ф, {-<тА}, К}),
(2.81)
т.е. вместо замены знака J мы можем выполнить обращение
ориентации всех спинов одной из подрешеток. Тогда для статсуммы

Модель Изинга
63
антиферромагнетика, как системы с измененным знаком./, мы
получаем
Z(-y)= £5У"(-'л*аЫ*.»)/г = <£<£е-нШ-*м*ш))>т в (2>82)
Поскольку первое суммирование идет по всем возможным
ориентациям спинов, статсумма не зависит от обращения знака
спинов одной из подрешеток
Z(~J)= ^^e-H{j^l{^)/T =Z(y), (2.83)
и мы получаем требуемое доказательство того, что свободная
энергия антиферромагнетика в отсутствие поля равна свободной
энергии соответствующего ферромагнетика.
Задача 2.6
Построить приближение среднего поля для п.п.
антиферромагнетика на квадратной решетке в присутствии магнитного поля.
Решение
Пусть индекс /А нумерует спины решетки А, а индекс jB
нумерует спины решетки В. При наличии магнитного поля
гамильтониан системы определяется как
n/2 n/2
/а=1 Ув=1 </\ув>..
гдеУ< 0. Введем замену спиновых переменных
Уд = о-.д , 5 .в = -а .„. (2.85)
В новых переменных гамильтониан (2.84) запишется как
n12 n12

64
Глава 2
Теперь внешнее поле действует на подрешетки по-разному,
однако взаимодействие спинов превратилось во взаимодействие
обычного ферромагнетика.
Если для ферромагнетика роль параметра порядка играла
удельная намагниченность (2.10) всей решетки в целом, то для
антиферромагнетика необходимо введение двух параметров порядка,
отвечающих удельным намагниченностям каждой из подреше-
ток по отдельности
j n12 j n12
(2.87)
Очевидно, ввиду замены знаков спинов подрешетки В,
взаимодействие спинов стремится сделать знаки параметров порядка
m\sA} и m*sB\ одинаковыми.
Пренебрегая корреляциями соседних спинов, запишем
гамильтониан (2.86) как
, N А . N в .г.А^а в
(2.88)
Для статистического веса, по аналогии с (2.18) и (2.19), мы
получаем
8\к
(ТУ/2)! (N/2)1
N?\N£\Nf\N?\
(N/2)1
(N/2)1
N l + mA\(N l-mA\(N 1 + т
B^rNl-mB^
(2.89)
или, применяя формулу Стирлинга
N\«„
(NY

Модель Изинга
65
(\ + т
1 + т
В V 2 2
n 1+тЛ
'2 2 [\-т
А V
1-тА
2 2
\-т
n 1-ти
В V2 2
(2.90)
При подсчете статистической суммы мы теперь должны
интегрировать по каждому из параметров порядка
1 dmA г dm3
Z - [ с am ^
" J2/(iV/2)i2/(iV/2)g^AV^
-н(тА,тв)/т
(2.91а)
или
1 <ЛиЛ г <Лив тЯ-А.-в)
{2/(N/2) ix2l(NI2)
(2.916)
где
/(m\mB) =
1 + awa e Г 1 + /иМ l-mA
l + mE
•In
'l + mB^
-In
l-mB
, 1 — aw
In
In
\-m
в Л
Я(тА,тв)
(N/2)T
(2.92)
По-прежнему мы ищем интеграл (2.92) методом перевала.
Решением будет
(2.93)
где ntg и являются точкой максимума функции/
ff(mA,mB)
дтА .
= 0,
5/(mA,mB)
5mB
= 0.
(2.94)

66
Глава 2
Подставляя функциональную зависимость / в уравнения (2.94),
мы получаем
:0A=tanh^{+^+|y|^0B}j,
(2.95а)
0B = tanhj^{-///r+|J|(?mA}).
(2.956)
или
т0 = tanh
т0 = tanh
jL ф+ | J I q tanh^y {- jA+1 У | qm*}
Mh+\J\4 tanh^ {+ph+\J\ qm%
»)
(2.96a)
(2.966)
В отсутствие внешнего поля
atanh т,
(2.97а)
atanhwB=lZktanhL^..
о Т т
(2.976)
Если решать данные уравнения графически (рисунок 19), то
функции atanh и tanh всегда будут иметь пересечение в нуле,
соответствующее решению для
температуры выше критиче-
т<тс ской. При понижении темпе-
т=тс ратуры ненулевое решение
т>тс появляется впервые, когда
^ касательные левых и правых
частей уравнения совпадают
в нуле. Это соответствует
критической температуре в
отсутствие поля:
Рисунок 19

Модель Изинга
67
Tc=\J\q, (2.98)
совпадающей с критической температурой ферромагнетика в
приближении среднего поля.
Пусть для искомой переменной х мы имеем уравнение
х = tanh(axr), (2.99)
Умножим это уравнение на а и возьмем tanh от обеих частей
tanh(ccc) = tanh(a tanh(ccc)). (2.100)
Заменим левую часть уравнения (2.100) согласно
уравнению (2.99)
х = tanh(a tanh(ccc)). (2.101)
Мы получили уравнение (2.97), которое нам требуется решить.
Поэтому мы видим, что решаемые нами уравнения (2.97)
эквивалентны уравнению ферромагнетика
<=tanh|y|<7"*° , (2.102а)
в
ah0B=tanh|J|<7"*° , (2.1026)
решенному нами графически на рисунке 2. По этой причине
решение можно искать любым из способов, решая уравнения
(2.97) с помощью рисунка 19 или уравнения (2.102) с помощью
рисунка 2.
Вернемся теперь к случаю ненулевого внешнего поля и
уравнениям (2.95) и (2.96). В качестве ориентации поля выберем к > 0.
Рассмотрим сперва случай низких температур Т—» 0. В этом
пределе аргументы функций tanh становятся бесконечными,
превращая функции tanh в функции sign, возвращающие ±1 в зави-^
симости от знака аргумента и 0 в ноле

68
Глава 2
ю0А = sign(+ /Л+1 У I ?sign(- /Л+1 У I )). (2.103)
Поскольку mA =sign(...), то mA может принимать значения
лишь 0 и ±1. Отвлечемся от случая нулевой намагниченности,
являющейся неустойчивым решением.
Допустим сперва, что решением уравнения (2.103) является
/яА =+1. Для выполнения этого предположения внешняя
функция sign должна иметь положительный аргумент, и мы приходим
к неравенству
, Г +1, если - uh+1У i q > О)
[-1, если - /jh+| У | < 0J
или
[///*+1 У | # > 0, если \J\q> fjh
\fih-1У I q > 0, если > | У | q
(2.1046)
При выбранной ориентации поля И>0 неравенство (2.104)
выполняется. Поэтому т* = +1 действительно является решением
для любого положительного значения поля.
Выясним теперь, является ли решением аиа =-1. Для этого
необходимо найти, выполняется ли неравенство
l^i 7i J+ Uесли -1^ I^ > 0\
[-1, если - fjh-1 У | q < 0J
или (2.105а)
fjh<\J\q. (2.1056)
Мы получили, что решение - -1 существует только тогда,
когда поле мало настолько, что выполняется неравенство (2.1056).
При превышении полем значения \J\qlfi данное решение
перестает существовать.

Модель Изинга
69
Аналогично можно найти решение и для тв. Мы получим, что
= -1 является решением для любого положительного
значения поля, тогда как т* = +1 существует лишь при выполнении
неравенства (2.1056).
Для совместного решения т£ и , связанных
соотношениями (2.95), мы получаем либо тЛ = +1, т3 - +1 для одной фазы,
либо т* = -1, т* - -1 для другой фазы при
| Л |< Лс , где hc = \-^h- (2.106)
М
является критическим полем. Другими словами, при значении
поля ниже критического существуют две фазы, у которых одна
из подрешеток имеет все спины ориентированные в одном
направлении, а другая подрешетка - в противоположном. Эти фазы
различаются выбором, какая из подрешеток будет содержать
спины по полю.
При превышении полем критического значения решением
становится либо = +1, jtiq — -1 при h > 0, либо = -1, т3 - -1-1
при h < 0. В этом случае существует лишь одна фаза, имеющая
все спины обеих ее подрешеток ориентированными по полю.
Перейдем теперь к случаю конечных температур. Для любого
значения температуры Г, меньшего (2.98), будет существовать
критическое значение поля /^(Г), разрушающее
самоорганизацию спинов. И наоборот, для каждого значения поля /*,
меньшего (2.106) по модулю, будет существовать критическая
температура Tc(h), также разрушающая самоорганизацию спинов.
Поэтому вместо критической точки ферромагнетика в случае
антиферромагнетика мы имеем линию критических точек.
Эта линия будет ограничивать область, где могут
сосуществовать две фазы, отличающиеся лишь выбором, какая из
подрешеток будет иметь спины по полю, а какая против поля. Вне этой
области сильное магнитное поле и высокая температура разру-

70
Глава 2
Линия
критических
шают взаимодействие спинов и
выстраивают обе подрешетки спинов
преимущественно по полю
(рисунок 20). Как мы видим, коренным
отличием антиферромагнетика от
ферромагнетика является то, что
только сильное поле разрушает
самоорганизацию спинов в подрешет-
ках, а в слабом поле возможно
сосуществование обеих фаз. Происходит
это потому, что введение ненулевого
поля не делает ни одну из фаз
предпочтительной. На рисунке 5 для
свободной энергии в случае антиферромагнетика оба минимума по-
прежнему имели бы равную глубину при введении поля.
Поэтому, если в случае ферромагнетика можно сказать, что магнитное
поле переводит одну фазу в другую, как и давление в системе
жидкость-газ переводит пар в жидкость, то в случае
антиферромагнетика магнитное поле не выбирает ни одну из фаз, а
разрушает обе фазы сразу при достижении критического значения.
При этом происходит построение третьей фазы со спинами по
полю в обеих подрешетках.
Рисунок 20
Найдем линию критических точек для малых значений поля, т.е.
найдем зависимость ТС(И) вблизи точки Гс(0) (рисунок 20).
Нулевому полю h = 0 соответствует критическая температура
Гс(0), задаваемая уравнением (2.98). Как сместится критическая
температура, если мы введем малое, но ненулевое поле? Из
уравнений (2.96) мы видим, что при малом поле вблизи
температуры Гс(0) намагниченности и также малы. Поэтому,
как и для ферромагнетика выше, в окрестности этой точки мы
можем выполнить разложение в ряд Тейлора по малым парамет-
рам m0A, m0B иД
тп +
• + ...=
\J\q
тп +
/Л
(2.107а)
.в*
\J\q
.1*
Т
(2.1076)

Модель Изинга
71
Перейдем от параметров порядка m.A.Al, т3а., задаваемых урав-
нениями (2.87), к новым параметрам порядка
2 W
'#/2 n12 Л 1 n
(2.108а)
<P{s)
2 W
f л//
ia-i /=i J yv /=i
(2.1086)
где параметр m{S) соответствует уже хорошо известной нам
удельной намагниченности решетки в целом, отвечающей за
взаимодействие с внешним полем, а параметр <p{S) отвечает за
антиферромагнитное взаимодействие. Складывая и вычитая уравнения (2.107),
для новых параметров порядка мы получаем два уравнения
yh/T
\+\J\qlT
(2.109а)
1 + юп
Wlq +О(„02) = 0.
Т ] =х
(2.1096)
Выполненное разложение верно по обе стороны от линии
критических точек. По одну сторону от этой линии параметр щ
тождественно равен нулю, по другую сторону он имеет два ненулевых
решения. Уравнение (2.1096) может представлять такое
поведение только если коэффициент \ + mQ2- \ J \ qlT при линейной
степени по щ обращается в ноль при переходе через линию
критических точек. Если мы вспомним модель ферромагнетика, то
там мы наблюдали аналогичное поведение, когда коэффициент
при линейном по ш0 слагаемом в уравнении (2.45а) обращался в
ноль при переходе через критическую точку. Таким образом, для
линии критических точек мы получаем уравнение
1 +
( yh/Tc(h) V
l+\J\q'Tc(h))
\J\q
Tc(h)
= 0,
(2.110)
где мы подставили намагниченность из уравнения (2.109а).

72
Глава 2
Разлагая зависимость Tc(h) по h вблизи точки Гс(0) =| J \ q, мы
получаем
ТЛп) = Гс(0)- ^ . (2.111)
Таким образом, критическая температура вдоль линии
критических точек убывает по квадратичному закону.
Схематично фазовая диаграмма антиферромагнетика
представлена на рисунке 20. Внутри области сосуществования возможны
две различные фазы, тогда как при переходе через линию
критических точек сильное магнитное поле и высокая температура
разрушают подрешеточную самоорганизацию спинов и
выстраивают спины в направлении поля.
Как мы видим, антиферромагнетики, по сравнению с
ферромагнетиками, обладают более сложным, более богатым поведением,
проиллюстрированным здесь далеко не полностью. Однако,
поскольку целью данного курса является нахождение параллелей в
поведении сложных систем из различных областей знаний, мы в
качестве примера выбираем для подробного изучения
простейшие системы, в данном случае ферромагнетики, приводя случай
антиферромагнетиков лишь для иллюстрации методики
построения приближения среднего поля в различных системах.
Задача 2.7
Найти свободную энергию и равновесное состояние п.п.
антиферромагнетика на квадратной решетке в присутствии
магнитного поля с помощью вариационного метода Боголюбова.
& Решение
Точный гамильтониан модели задается уравнением (2.86).
Выберем модельный гамильтониан имеющим следующую
функциональную зависимость
n12 n12
<ы ,»=. (2П2)

Модель Изинга
73
от подгоночных параметров , h*ff. Статсумма модельного
гамильтониана задается выражением
V
J
2 cosh
(2.113)
равновесное значение намагниченностеи подрешеток
определяется уравнениями
w„ = tanh J , ш, = - tanh л
(2.114)
Значение точного гамильтониана, усредненное по ансамблю
модельного гамильтониана (н{5^ , находится с помощью
пренебрежения корреляциями, как это было описано в задаче 2.2
/ \ Nl21 \ Nl2i \ i \
e_^^wA +м£шв _£iZllw>B ( (2Л 15)
где /и^ зависят от /2^, h*ff согласно уравнениям (2.114).
Усреднение модельного гамильтониана по модельному же
гамильтониану находится аналогично
/ v Nl21 \ Nl2i V
* -//(А + А* )у < + //(А + Kff)-m» .
(2.116)
Подставляя эти уравнения в выражение для функционала (2.70),
мы получаем зависимость этого функционала от , hf^. Для
нахождения приближения свободной энергии следует найти,
когда производная функционала (2.70) по этим подгоночным
параметрам обращается в ноль. В качестве решения мы опять
получаем приближение среднего поля (2.96).

74
Глава 2
Задача 2.8
Качественно рассмотреть поведение п.п. антиферромагнетика
на треугольной решетке.
Ф Решение
В случае антиферромагнетика на треугольной решетке
(рисунок 1д) уже невозможно построить две би-партитные решетки
так, чтобы спин одной решетки был окружен только спинами
другой. Построение партитных подрешеток в этом случае
возможно лишь при разбиении решетки на три три-партитные
(tripartite) подрешетки, как показано на рисунке 21. Это приводит к
значительным отличиям в поведении антиферромагнетика на
треугольной решетке.
Так, при нулевом поле и нулевой температуре ферромагнетик в
своем основном состоянии минимизирует энергию
взаимодействия всех своих спинов, так как каждая п.п. пара спинов имеет
спины, ориентированные в одном направлении. Также и
антиферромагнетик на квадратной решетке в своем основном
состоянии минимизирует взаимодействие спинов, так как каждая п.п.
пара спинов имеет спины, ориентированные в противоположных
направлениях. Однако на треугольной решетке подобная
минимизация энергии взаимодействия невозможна. Действительно,
рассмотрим произвольную треугольную ячейку с тремя спинами
в узлах. Допустим, двум из трех спинов удалось минимизировать
энергию взаимодействия - они ориентированы по-разному.
Выбирая теперь ориентацию третьего спина произвольной, мы
видим, что по одной из своих связей он обязан иметь соседа,
ориентированного также, то есть максимальную энергию
взаимодействия данной связи. По этой причине антиферромагнетик на
треугольной решетке называется фрустрированным (frustrated).
В отсутствии внешнего поля основное состояние
ферромагнетика вырождено двукратно - все спины «вверх» или все спины
«вниз». Основное состояние антиферромагнетика также вырож-
А В С А В С
В С А В С А В
А В С А В С
В С А В С А В
Рисунок 21
дено двукратно - подрешетка А «вверх»,
подрешетка В «вниз» или наоборот.
Оценим теперь вырождение основного
состояния антиферромагнетика на
треугольной решетке. Пусть спины
подрешетки А ориентированы вверх, спины

Модель Изинга
75
подрешетки В вниз, а спины подрешетки С имеют произвольную
ориентацию. Это состояние является основным, так как два
спина в каждой ячейке минимизировали энергию своего
взаимодействия, и общая энергия не может стать меньше. Но мы выбрали
ориентацию спинов подрешетки С произвольной. Этому
отвечает вырождение 2N/3. Другими словами, вырождение основного
состояния антиферромагнетика экспоненциально зависит от N.
Минимум энергии системы соответствует состоянию, когда в
каждой ячейке один спин вверх, один вниз, а третий произволен.
Если он вверх, то ячейка имеет суммарную положительную
намагниченность, если он вниз - суммарную отрицательную.
Поэтому двумя различными фазами будут различные ориентации
спинов подрешетки С. Все спины подрешетки С,
ориентированные вверх, представляют фазу с положительной
намагниченностью, ориентированные вниз - фазу с отрицательной
намагниченностью. Поскольку две фазы имеют разную
намагниченность, введение слабого магнитного поля будет выбирать одну
из них и разрушать сосуществование фаз подобно случаю
ферромагнетика.
Гетерогенную систему отличает от гомогенной доменная
структура фаз по объему системы. При этом поверхностное
натяжение, как избыточная энергия на границах раздела фаз, стремится
уменьшить суммарную поверхность доменов. Это свойство
выполняется как для ферромагнетика, так и для
антиферромагнетика на квадратной решетке. Для ферромагнетика соседние
домены, один со спинами вверх, другой со спинами вниз, будут иметь
повышенную энергию взаимодействия спинов вдоль
поверхности, разграничивающей домены. Также и в случае
антиферромагнетика на квадратной решетке домены будут иметь
различную ориентацию подрешеток, и на границе между ними спины
будут ориентированы одинаково, что соответствует повышенной
энергии поверхности раздела.
Однако в случае антиферромагнетика на треугольной решетке
поверхностного натяжения вообще не существует. Пусть опять
спины подрешетки А ориентированы вверх, спины подрешетки
В вниз, а спины подрешетки С имеют произвольную
ориентацию. Если все спины подрешетки С ориентированы вверх, это
будет образовывать фазу с положительной намагниченностью.
Если все спины подрешетки С ориентированы вниз, это будет

76
Глава 2
образовывать фазу с отрицательной намагниченностью.
Разобьем теперь решетку на области, отличающиеся направлениями
спинов подрешетки С. Эти области будут соответствовать
доменам двух фаз. Из гомогенной системы мы образовали
гетерогенную, но ее энергия по-прежнему равна энергии основного
состояния! Затраты энергии на образование гетерогенной
структуры доменов отсутствовали как таковые. Объясняется это тем, что
в случае антиферромагнетика на треугольной решетке каждая
ячейка имеет уже «зашитую» в нее энергию «несгораемого»
взаимодействия, и образование поверхности доменов использует
эту «даровую» энергию, ничего в нее не добавляя. Поэтому
размер доменов фаз не ограничивается энергией поверхностного
натяжения и может быть как угодно мал, достигая размера одной
ячейки.
Задача 2.9
Найти свободную энергию и равновесное состояние смешанного
п.п. ферромагнетика-антиферромагнетика на квадратной
решетке в присутствии магнитного поля.
& Решение
Для смешанного п.п. ферромагнетика-антиферромагнетика
гамильтониан определяется как
где J > О, а переменные rjh rjj, определенные в узлах решетки,
могут принимать значения ±1. Эти значения известны заранее,
неизменны при эволюции модели, но случайным образом
разбросаны по решетке. Такой тип беспорядка называется
вмороженным (quenched disorder). Его наличие превращает решетку в
смесь ферромагнитных и антиферромагнитных связей.
Введем замену спиновых переменных согласно
(2.117)
/=i
(2.118)
Разобьем решетку на две подрешетки X и Y. Пусть
подрешетка X содержит только те узлы решетки, в которых rjl; = +1,

Модель Изинга
77
а подрешетка Y - только те узлы решетки, в которых rji = -1.
Тогда для новых спиновых переменных (2.118) мы можем
записать
5.x =<т.х, 5.v =-o-.v. (2.119)
Чему в новых переменных равно второе слагаемое
гамильтониана (2.117), отвечающее за взаимодействие спинов? Мы видим,
что это слагаемое переходит в обычное, ферромагнитное
взаимодействие
= +1.7,
= +UeX,yeX"
=-UeXJeY
=-щ
= +1,/ е YJ е X *
S,Sj,tl,
= -l,/eY,yeY
= S,Sj. (2.120)
Поэтому в новых переменных гамильтониан (2.117) запишется как
я<5,=-/^i>,* +/^i>,v -j zsisj > с2-121)
/х=1 Л=1 <ij>„„
где fiP nNY - число узлов в подрешетках X и Y соответственно.
Далее задача может быть решена подобно задаче 2.6 заменой
ближнего порядка дальним или задаче 2.7 вариационным методом
Боголюбова. Единственной особенностью является то, что
подрешетки X и Y уже не являются би-партитными, поэтому среднее
двух спинов п.п. пары уже не означает, что один из них
обязательно принадлежит подрешетке X, а другой - подрешетке Y
(2.122)
Вместо этого, ввиду случайности распределения вмороженного
беспорядка, следует усреднять по вероятностям п.п. паре спинов
иметь оба спина из подрешетки X: (nx IN)2, иметь оба спина из

78
Глава 2
подрешетки Y: [NY IN) , или иметь один спин из
подрешетки X, а другой из подрешетки Y: 2NXNY IN2
{s,-\s-r<;-(sr >„.,-<'i <2123а>
J^TlIsS .{"Lis.).**!/*,) Т.
(2.1236)
Заметим, что смешанный ферромагнетик-антиферромагнетик в
нулевом внешнем поле не является фрустрированным даже в
случае треугольной решетки. Действительно, рассмотрим
треугольную ячейку. При любом распределении переменных //, по
узлам ячейки возможно достижение минимума энергии всех
связей одновременно.
Однако даже квадратная решетка становится фрустрированной,
если мы будем приписывать переменные //, не к узлам решетки, а
к связям между узлами, т.е. к п.п. парам
'=1 <ij>„ я
Во фрустрированности легко убедиться, представив себе
квадратную ячейку, три ребра которой требуют сонаправления
спинов, тогда как четвертое - противоположной ориентации спинов.
ЛИТЕРАТУРА
Heisenberg, W. (1928), Z. Physik, 49, 619.
Matsubara, Т. and Н. Matsuda (1956), Prog. Theor. Phys. Japan, 16,416.

Модель Изинга
79
Stanley, Н. Е. (1969а), J. Phys. Soc. Japan, 26S, 102.
Stanley, H. E. (1969b), Phys. Rev, 179, 570.
Berlin, Т. H. and M. Kac (1952), Phys. Rev., 86, 821.
Lenz, W. (1920), Z. Physik, 21, 613.
Ising, E. (1925), Z. Physik, 31, 253.
Klein, W. (2005), Lecture Notes in Phase Transitions, Boston University, un-published.
Gunton, J. D. and M. Droz (1983), Lect. Notes Phys, 183, Introduction to the Theory of
Metastable and Unstable States, 140 pp., Springer-Verlag, Berlin.
Rundle, J. B. (2007), Lecture Notes in Nucleation, University of California, Davis,
unpublished.
Kashchiev, D. (2000), Nucleation: Basic Theory with Applications, 529 pp., Butterworth
Heinemann, Oxford.
Pathria, R. K. (1996), Statistical Mechanics, 2nd ed, 529 pp, Butterworth-Heinemann,
Oxford.
Goldenfeld, N. (1992), Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group,
394 pp, Addison Wesley, Reading, MA.
Cardy, J. (1996), Scaling and Renormalization in Statistical Physics, 238 pp,
Cambridge University Press, Cambridge.
Huang, K. (1987), Statistical Mechanics, 2nd ed, John Wiley & Sons, New York.
Ландау, Л. Д. и Е. М. Лифшиц (2001), Теоретическая физика, Том V,
Статистическая физика, Часть 1, Изд. пятое, Физматлит, Москва.

Глава 3
Перколяция
В предыдущей главе мы рассмотрели модель Изинга. Эта модель имеет
фазовый переход, поэтому ее поведение можно назвать «сложным». Что мы
понимаем под термином «сложный»? В литературе нет однозначного
ответа. Как ни странно, ситуация больше всего напоминает классификацию
млекопитающих в зоологии. Во время мезозойского периода
млекопитающие находились под экологическим гнетом динозавров. Их
палеонтологические остатки редки и не позволяют реконструировать дерево ранней
эволюции. Поэтому зоологи «сгрудили» все неподдающиеся классификации
виды в один отряд под названием насекомоядные, оставив детальный
разбор родственных связей на потом, в надежде на больший объем данных.
Точно также и в физике, во второй половине двадцатого века возник
ряд моделей, поведение которых очень напоминает законы
статистической механики, однако организация настолько разнообразна, что не
поддается строгой классификации. Помимо «тепловых» систем (пример -
модель Изинга), в которых поведение определяется тепловыми флуктуация-
ми в контакте с термостатом, появилось множество других моделей, где
понятие тепловой температуры отсутствует как таковое. Новые модели
охватывают самые разнообразные явления науки и, на первый взгляд, не
подпадают под какую-либо общую структуру описания. Примеры
включают протекание нефти через песок, разрушение материалов под
воздействием силовой нагрузки, землетрясения, осыпание песчаной кучи,
снежные лавины и селевые потоки, движение транспорта по городским улицам
в час пик, динамические системы с малым числом степеней свободы,
хаос, странные аттракторы, информационные процессы, самоорганизацию,
полимеры, ДНК и многое другое. Поэтому, беря пример с зоологов,
физики «сгрудили» все новые системы в общую науку о «сложных» системах.
Причем этот термин существует не только в литературе. В университетах
появились новые курсы обучения для студентов под названием «сложные
системы», на полках книжных магазинов можно найти много учебников с
мало что говорящим названием «теория сложных систем». Не видя
содержание такой книги, нельзя заранее предсказать, о чем в ней пойдет
речь, то ли о бурении скважин для выкачки кластеров нефти, то ли о
полимеризации пластмассы.
Однако со временем возникает все более и более четкое понимание,
что же мы собственно говоря относим к сложным системам. Судя по все-

Перколяция
81
му, одной из важнейших особенностей, называемой «сложной», стало
наличие у системы фазового перехода (или бифуркации, или катастрофы,
или неаналитичности, в зависимости от того, какую систему мы
рассматриваем). Под второй важной особенностью зачастую понимается
отсутствие у системы тепловых флуктуации. В этом смысле, рассмотренная выше
модель Изинга лишь наполовину является «сложной». Требуется же,
чтобы система вместо температуры и теплового обмена с термостатом
обладала какими-то другими механизмами, управляющими флуктуациями. От
этих флуктуации, которые не являются тепловыми по своей природе,
требуется, чтобы они приводили к подобию теплового поведения,
описываемого хорошо знакомыми нам законами статистической физики.
В качестве первого «настоящего» примера «сложной» системы мы
подробно рассмотрим перколяцию. Перколяцией называется протекание
жидкости через пористую среду с образованием кластера, соединяющего
противоположные границы системы. Своей популярностью модель
обязана нефтегазовой отрасли. Если нефть или газ находятся в среде с
кластерными пустотами вблизи порога перколяции, то выкачав центральный,
наибольший кластер, мы добываем объем нефти, пропорциональный LD,
где L - линейный размер поля добычи, a D - размерность фрактальных
пустот. Полный же объем нефти, содержащийся в порах, будет
пропорционален Ld9 где d - размерность вмещающего пространства, равная 3.
Поскольку D < 3, выкачанная доля нефти ничтожна по сравнению с
нефтью, оставшейся в породе.
(а)
Возникла модель в химии полимеров
как объясняющая возникающие связи между
молекулами. Позже и в других областях
науки были найдены системы, описываемые
данной моделью. Как уже было сказано
выше, наличие в геологической породе
перколирующего кластера из пор приводит к
возможности выкачивать большие объемы
нефти. Образование проводящего
перколирующего кластера приводит к пробою
диэлектрика. Перколирующий кластер
разрушенных связей означает разрушение двумерной
конструкции под нагрузкой. Наличие
перколирующего кластера в лесном массиве
приводит к тому, что при следующем пожаре выгорит значительная доля
леса. И так далее, примеры включают системы из различных наук.

82
Глава 3
Модель стала настолько популярной, что теперь вполне по праву
считается классической системой физики [Stauffer and Aharony, 1992; Фе-
дер, 1991]. Произошло это благодаря простоте построения модели,
иллюстрирующей, однако, сложное поведение. Аналогично тому, как мы в
главе 2 выбрали теорию Ландау, сводящуюся лишь к трем слагаемым ряда
Тейлора, но, однако, демонстрирующую сложность фазового перехода,
также и модель перколяции была выбрана в качестве одной из базовых,
иллюстрирующей поведение нетепловых систем.
Как и модель Изинга, перколяция является решеточной моделью.
Примерами решеток служат одномерная (рисунок 1(a)), квадратная
(рисунок 1(b)), треугольная (рисунок 1(д)), кубическая (рисунок 1(6)) и решетка
Бете (рисунок 1 (г)). Решетка состоит из узлов, соединенных связями.
Различают два типа перколяции: перколяцию узлов и перколяцию
связей. В обоих случаях вводят полевой параметр р как долю заполнения.
Для перколяции узлов р означает долю узлов решетки, которые являются
заполненными (занятыми). Остальные узлы являются пустыми
(свободными). Если N - полное число узлов на решетке, то занятыми будут Np
узлов, а свободными N(\-p) узлов. Аналогично для перколяции связей р
представляет долю занятых связей. Остальные связи являются
свободными. Если N - полное число связей на решетке, то занятыми будут Np
связей, а свободными N(\-p) связей. Для любой модели
0<р<1, (3.1)
где р = О отвечает полностью пустой решетке, а р = 1 - полностью
заполненной.
Занятые узлы или связи (в зависимо- / ~ ^ t о о о
ста от рассматриваемой модели) образу- ^ ^ Т ^
ют кластеры. Два узла объединяются в 11 11 f -
один кластер, если они являются бли- ° ° *
жайшими соседями (п.п.) и оба заняты.
Две связи объединяются в кластер, если
они соединены своими концами и обе яв- (а) (в)
ляются занятыми. Примеры построения Рисунок 2
кластеров на квадратной решетке
приведены на рисунке 2(a) для перколяции узлов и на рисунке 2(6) для перколяции
связей. Для перколяции узлов занятые узлы показаны заполненными
кружками, свободные - пустыми. Для перколяции связей занятые связи показаны
сплошными линиями, свободные - пунктирными.

Перколяция
83
Из рисунка 2 видно, что механизм образования кластеров при
перколяции связей существенно отличается от перколяции узлов.
Действительно, при перколяции связей кластеры могут отстоять друг от друга на
длину ребра одной ячейки, тогда как для перколяции узлов такая ситуация
является невозможной. Минимальной длиной, разделяющей кластеры в
перколяции узлов, будет диагональ ячейки. Из-за описанного отличия мы
ожидаем различное поведение этих двух типов перколяции.
Для модели перколяции существенно наличие внешних границ
системы. Для простоты рассмотрим квадратную решетку. Тогда у нас есть
верхняя, нижняя, левая и правая границы. Для системы априори
выбирается критерий перколяции. Как правило таким критерием служит
перколяция лево-право (либо верх-низ). Про систему говорят, что она
находится выше порога перколяции, если существует кластер, соединяющий
левую и правую границы. Этот кластер называется перколирующим. Если
такого кластера не существует, то про систему говорят, что она находится
ниже порога перколяции. Очевидно, при малых значениях р малое число
узлов/связей являются заполненными, поэтому перколирующий кластер
заведомо отсутствует. При значениях р в окрестности единицы почти все
узлы/связи заполнены. Поэтому перколирующий кластер присутствует.
Существует такое значение /?, при котором система проходит через порог
перколяции и появляется перколирующий кластер. Это значение р
называется критическим рс.
Хотя перколяция связей представляет не менее интересную задачу,
классической считается модель перколяции узлов. Поэтому мы вернемся
к перколяции связей, как к примеру, лишь в главе 8, однако за
исключением этого примера будем всегда рассматривать только перколяцию
узлов. Также следует отметить, что в дальнейшем мы будем
преимущественно рассматривать термодинамический предел N—>оо бесконечной
системы. Эффекты конечного размера системы мы рассмотрим в главе 9.
Каждому заданному значению р отвечает множество вариантов, с
помощью которых на решетке можно заполнить Np узлов и оставить
пустыми N(\ - р) узлов. Каждый такой вариант мы будем называть
микроконфигурацией {/?} системы. Все микроконфигурации системы,
отвечающие заданному /?, мы можем объединить в макроконфигурацию {{/?}}
(3.2)
\р\р=р'

84
Глава 3
Очевидно, макроконфигурации {{/?}}
отвечает
N1
(3.3)
(Np)\(N(\-p))\
микроконфигураций системы, получающиеся как комбинаторное число
способов, которым Np занятых узлов и N(1 - р) свободных узлов можно
распределить по N узлам системы.
Одномерная решетка
Задача 3.1
Для перколяции на одномерной решетке найти порог
перколяции ро вероятность существования перколирующего кластера,
вероятность образования кластера размера s и средний размер
кластеров.
& Решение
Для нахождения порога перколяции заметим, что если р < 1, то
на бесконечной решетке присутствует хотя бы один пустой узел,
и одномерного перколирующего кластера не существует.
Поэтому одномерная система перколирует только тогда, когда все ее
узлы заполнены
и для вероятности существования перколирующего кластера (для
вероятности системе перколировать), очевидно, выполняется
Ситуация аналогична одномерной модели Изинга с близкодейст-
вием. Почему одномерная п.п. модель Изинга имеет
критическую температуру равную нулю? Представим себе решетку
ферромагнитных спинов при температуре ниже критической. В
отсутствие поля спины за счет п.п. взаимодействия стремятся
развернуть соседей в своем направлении и тем самым создать
самонамагниченность. Этому препятствуют тепловые флуктуа-
Рс=1>
(3.4)
(3.5)

Перколяция
85
ции, которые стремятся направить спины хаотически. На
двумерной или трехмерной решетках спин удерживается в
направлении среднего поля несколькими своими п.п. соседями, число
которых равно координатному числу решетки q, и
термодинамическим флуктуациям тяжело развернуть его в противоположном
направлении. Если они все же добиваются этого, сонаправлен-
ные соседи опять разворачивают его обратно. Почему не
наоборот? Почему этот спин не может развернуть соседей теперь в
своем, новом направлении? Потому что для разворота соседей
требуется опять затрата энергии (рисунок 3(a)).
t t t t t t t t На одномерной же решетке у спина
+ ф + + Ti+ только два п.п. соседа, поэтому его легче
t t t t t t t t развернуть в противоположном направ-
~ " лении. Но главная разница заключается в
(а) ^' < ^2 том> что после того» как первый спин из-
_ _ менил ориентацию, для разворота его со-
+ Ф + + + + седа в новом направлении теперь уже не
_ F требуется новых затрат энергии! Сосед
(б) 1 ~ 2 оказывается противоположен более
Рисунок 3 дальнему соседу, зато становится сона-
правлен исходному спину, и суммарное
изменение энергии равно нулю (рисунок 3(6)). Получается, что
переворот одного спина может повлечь за собой переворот всей
цепляющейся за него цепочки! Однако в середине этой цепочки
другой спин опять изменит ориентацию и увлечет за собой своих
соседей. Поэтому при ненулевых температурах существование
одномерной самонамагниченности невозможно, так как
малейшие тепловые флуктуации, равные энергии переворота всего
лишь одного спина, полностью разрушают ее.
Самонамагниченность становится возможной лишь при нулевой температуре.
Также и в одномерной перколяции лишь один пустой узел
разрушает перколирующий кластер и сдвигает систему ниже порога
перколяции. Поэтому перколяция становится возможной только
когда все узлы строго заполнены (3.4).
Рассмотрим систему, находящуюся ниже порога перколяции
р< рс. Выберем какой-то узел решетки и найдем вероятность
п5(р) того, что от этого узла вправо идет цепочка из s
заполненных узлов, ограниченная по краям пустыми узлами. Т.е. что в

86
Глава 3
данном узле решетки начинается ^-кластер (кластер размерам).
Вероятность реализации s заполненных узлов в конкретных
узлах решетки равна р5, вероятность двум узлам по краям быть
пустыми равна (1 - р)2, и для кластера в целом мы получаем
-51П-
ns(p) = p*(\-p)2=(\-p)2e"'<' . (3.6)
Это вероятность реализации ^-кластера с началом в каком-то
конкретном месте решетки. Она часто называется
нормализованным кластерным числом, так как равна числу ^-кластеров на
всей решетке, деленному на полное число узлов N, т.е.
удельному числу ^-кластеров на всей решетке в расчете на один узел.
Вблизи порога перколяции р - рс -> -0 мы получаем
п,(р)асе"{1-р)=е-*р-*:*. (3.7)
Как мы увидим позже, точка порога перколяции является
критической точкой модели. Для произвольной решетки одним из
приближений является зависимость
пч(р) ос s-Te-{c{p)s)' , где с(р) сс\р-Рс |"*, (3.8)
где г и а - критические индексы. Для одномерной решетки мы
поэтому получаем г = 0, а = 1 и С = \.
Найдем теперь вероятность Ps(p) того, что произвольный узел
принадлежит ^-кластеру. Отличием от предыдущего случая
является то, что данный узел теперь необязательно должен быть в
начале цепочки из s заполненных узлов, а может находиться в
любом месте по длине кластера. Вероятности того, что данный
узел является первым, вторым,.., s-тым узлом кластера,
очевидно, все равны (3.6). Поэтому для нахождения Ps необходимо
просуммировать вероятность (3.6) по s возможным позициям
узла в кластере
P,(p) = sn,(p) = sp'(l-p)2.
(3.9)

Перколяция
87
Это вероятность того, что произвольный узел решетки,
заполненный или нет, принадлежит ^-кластеру. Если же про узел известно,
что он заполнен, данную вероятность следует поделить на р
Р\ (Р) = *п.iP)lp = */>"'0-Р)2. (ЗЛО)
Формулы (3.6-10) верны для системы, находящейся ниже порога
перколяции. Точно в точке порога кластеры конечного размера s
невозможны, так как на одномерной решетке существует лишь
один перколирующий кластер, занимающий всю решетку.
Поэтому для конечных s вероятности (3.6-10) при р = рс = 1
обращаются в ноль. Для вероятности узлу принадлежать
перколирующему кластеру S = со мы, очевидно, получаем
ГО, р < рг
рЛр) = р'Лр) = \ с. (з.и)
[1>Р = Рс
Вероятность того, что произвольный узел занят, равна/?. Если
узел занят, то он должен принадлежать какому-то кластеру.
Поэтому р должна быть равна сумме вероятностей этому узлу
принадлежать кластерам конечного размера плюс вероятность
принадлежать бесконечному перколирующему кластеру
P = Y,P.(P) + P~(P)- (3-12)
Это уравнение является уравнением сохранения вероятности.
Его формулировка подобна уравнению конденсации идеального
Бозе-газа. Функция нормализованного кластерного числа л5 не
справляется с ролью представления другой фазы s = +оо, которой
после точки конденсации соответствует число степеней свободы
сравнимое с N. Поэтому уравнение сохранения требует введения
дополнительного слагаемого, отвечающего конденсату.
В выполнении равенства (3.12) легко убедиться непосредственно.
Подставляя (3.9) и (3.11) в (3.12) мы получаем
p = f{sP4l-p)\p<Pc}JO,p<Pc
tt{ 0,p = pc J [\,р = Рс

88
Глава 3
Для р < рс сумму по s можно преобразовать как
% dp dp^{ dp\-p
Подставляя это выражение в (3.13) мы получаем тождество.
Средний размер кластеров на решетке можно определять по-
разному. Если на решетке из N узлов посчитать все кластеры
размера s, их число будет равно Nns (р). Тогда, усредняя размер
кластера по решетке в целом, мы будем иметь
Y,sNns(p) Y,sns(P)
S<<p)"Ч^ГТТ= V < ' (ЗЛ5)
Поступим теперь по-другому. Будем наугад тыкать в решетку, а
затем смотреть в какой кластер мы попали . Отберем эти
кластеры и проведем усреднение только по ним. Вероятность того, что
произвольный узел принадлежит ^-кластеру, задается
формулой (3.9). Поэтому, тыкая К раз в решетку, мы попадем в s-
кластеры Ksns(p) раз. Тогда для таким образом определенного
среднего мы получаем
2>&ii,(p) 5>Чо)
S'(P)Я W / ч = V / ч • (ЗЛ6)
2^Ksna(p) 2^sns(p)
Разницу между S и S* проще всего проиллюстрировать
следующим образом. Пусть на решетке присутствуют только тысяча 1-
кластеров и один 1 ООО-кластер. Тогда для средних значений
размеров кластеров мы получим S = (1 • 1 ООО -i-1 ООО) /1001 « 2 и
S* = (12 • 1 ООО +1 ООО2) /(1 • 1 ООО +1 ООО) » 500. Объяснить эту
разницу легко. 1-кластеров гораздо больше, поэтому, усредняя все
кластеры на решетке по первому способу, мы получаем средний
" Так фактически и получается при бурении нефтедобывающей скважины. И слава Богу, уж
лучше из одной скважины выкачать пятьсот баррелей нефти, чем только два.

Перколяция
89
размер близкий к размеру 1 -кластера. Однако, тыкая в решетку,
мы чаще всего будем попадать в 1 ООО-кластер, поэтому
усреднение по второму способу дает средний размер близкий к размеру
1 ООО-кластера.
Для одномерной перколяции ниже рс мы можем найти S и S*
непосредственно
S(p)= * ^т1-и (3.17а)
2> '(!-/») 1-Р
Р Р \ dp) ~ 1-
р
(3.176)
Как мы увидим в главе 5, более интересные физические
результаты дает второе усреднение. Также вблизи порога перколяции
для него определен специальный критический индекс у
S'*\p-Pcr. (3.18)
Поэтому мы будем исследовать более детально именно второй
способ усреднения. Для одномерной перколяции из (3.176)
следует, что у = 1.
Квадратная решетка
Рассмотрим теперь случай перколяции на двумерной квадратной решетке
(рисунки 1(в),2(а)). Вероятность реализации 1-кластера с началом в
заданном узле решетки задается тем, что данный узел должен быть
заполнен, а его четыре соседа - пусты (рисунок 4(a))
nt(p) = р(1 -р)\ (3.19)
Для реализации 2-кластера с началом в заданном месте решетки мы уже
должны учитывать, что возможными будут две различные ориентации
(рисунки 4(б,в)). Для реализации каждой из этих ориентации два узла
должны быть заполнены, а шесть - пусты

90
Глава 3
О
ото
о
(а)
оо о
оооо ото
оо
(б)
ООО
о
(в)
ООО о о о оо оо
ООООО ООО ООО ООО оооо оооо
ООО ООО ОООО ОООО ООО ООО
ООО оо оо о о
(г) (д? (е) (ё) (ж) (з)
оооо о
ОООООО ООО
ОООО ООО
ООО
ООО
(и)
о
оооо
ООООО
ООО
(о)
ООО
ООООО
ООО
о
(ф)
оо
оооо
оооо
оо
(ъ)
оо
оооо
ООО
ООО
о
(п)
о
ООО
оооо
ООО
о
(х)
о о
ОООО ООО
ООООО ООО
ООО
(к)
ООО
ООООО
оооо
о
(р)
оо
оооо
оооо
оо
(ц)
оооо
оо
(л)
о
ООО
ООО
оооо
оо
(с)
о
ООО
оооо
ООО
о
(ч)
ООО
ООООО
оооо
о
(м)
о
ООО
ООООО
ООО
(т)
оо
оооо
оооо
оо
(ш)
оо
оооо
ООО
ООО
о
(н)
о
ООО
оооо
ООО
о
(У)
о
ООО
оооо
ООО
о
(щ)
Рисунок 4
п2(р) = 2р\1-р)6. (3.20)
Для 3-кластера мы получаем уже две конфигурации с восемью пустыми
соседями по периметру (рисунки 4(г,д)) и четыре конфигурации с семью
пустыми соседями по периметру (рисунки 4(е-з))
и, (/>) = 2р3 (!-/»)•+V(l-P)7 •
(3.21)

Перколяция
91
Для 4-кластера возможны две конфигурации с десятью пустыми соседями
на периметре (рисунки 4(и,й)), восемь конфигураций с девятью пустыми
соседями на периметре (рисунки 4(к-с)) и девять конфигураций с восемью
пустыми соседями на периметре (рисунки 4(т-ъ))
п4 (р) = 2р4 (1 - рУ° + %р* (1 - р)9 + 9р4 (1 - р?. (3.22)
Различные конфигурации s-кластеров на решетке называются
«решеточными зверями». Суммирование по всем зверям дает нормализованное
кластерное число
",(/>) = IX/>'0-/>)'' , (3-23)
где суммирование идет по всем возможным значениям tx периметра
^-кластера со своими коэффициентами вырождения g, по решеточным зверям.
Мы видим, что при росте s число зверей, отвечающих данному
размеру кластера, быстро растет. Кроме того, разные звери имеют разное
число пустых узлов на периметре. Все это делает невозможным
аналитический подсчет ns для больших s, и задача двумерной перколяции на
квадратной решетке до сих пор не решена аналитически.
Главную трудность здесь представляет именно переменное число
пустых узлов на границе. Если бы можно было сделать длину периметра
зверей постоянной, это значительно упростило бы вычисления и
позволило бы получить аналитическое решение. Но как мы можем этого достичь?
На квадратной решетке звери имеют сложную форму из-за того, что
кластеры могут образовывать петли. Если бы мы построили решетку, где
петли кластеров были бы невозможны, это позволило бы нам значительно
упростить задачу.
Решетка Бете
Именно такой решеткой является решетка Бете (рисунок 1(г)). Эта
решетка строится по следующему принципу. Пусть есть затравочный узел
нулевого поколения. Выпустим из него Z связей и построим Z соседних узлов
первого поколения (Z =3 на рисунке 1(г)). Из каждого нового узла
первого поколения выпустим Z -1 связей и построим узлы второго
поколения. И так далее. В результате получится бесконечная симметричная
решетка, каждый узел которой будет иметь по Z соседей.

92
Глава 3
Поскольку связи строились непересекающимися, данная решетка по
определению построения не может содержать петель. Если построить
многомерные аналоги квадратной и кубической решеток, то отсутствие
петель на подобных решетках может быть достигнуто только в пределе,
когда размерность решетки стремится к бесконечности. Поэтому решетку
Бете иногда называют бесконечномерной решеткой.
Для решетки Бете посчитаем число узлов, находящихся в объеме на
расстоянии R от затравочного узла. Это число равно 1 для затравочного
узла плюс Z узлов первого поколения плюс Z(Z -1) узлов второго
поколения плюс ... плюс Z(Z-l)/?'1 узлов поколения R
F = l + Z + Z(Z-l) + ... + Z(Z-l)/M =1 + Z-^—^ * —^—(Z - 1)Л .(3.24)
V ' V (Z-l)-l Z-2V
На поверхности данного объема находится число узлов, равное
последнему слагаемому в сумме (3.24)
S = Z(Z-\)R~l. (3.25)
Поэтому для больших радиусов R отношение поверхности объема V к
самому объему стремится к постоянному пределу
i-> Z'Z-""' (3.26)
не зависящему от радиуса R. Другими словами, для бесконечномерной
решетки Бете поверхность объема сравнима с самим объемом.
Найдем порог перколяции рс для решетки Бете. При р = рс выберем
за исходный один из узлов перколирующего кластера. При достижении
порога перколяции от этого узла в бесконечность по одной из ветвей
должна вести цепочка заполненных узлов. Каждый узел на этой ветви
будет порождать Z -1 узлов следующего поколения, из которых по
определению полевого параметрар занятыми будут (Z-\)p узлов. Если это
число (Z-1)/? занятых узлов нового поколения меньше единицы, то
цепочка рано или поздно оборвется, и система окажется ниже порога перко-

Перколяция
93
ляции. Если это число больше единицы, то занятых узлов будет больше,
чем необходимо для организации перколирующего кластера, и система
будет выше порога перколяции. Критической точке порога перколяции
отвечает случай, когда число заполненных узлов нового поколения
(Z - \)р точно равно единице
(Z-l)/>c=l. (3.27)
Для порога перколяции это уравнение дает значение
/>C=1/(Z-1). (3.28)
Задача 3.,
Для решетки Бете разрешить следующее противоречие.
Рассмотрим ветвь перколирующего кластера, уходящую в бесконечность.
Согласно рассуждениям выше узел поколения п порождает
(Z-1) узлов поколения л + из которых заполнено (Z-\)p
узлов, и (Z-1)2 узлов поколения л+ 2, из которых заполнено
(Z-1)2р узлов. Следуя вышеприведенной логике в точке
порога перколяции число заполненных узлов поколений л + 1
и л + 2 должно быть точно равно единице. Второе утверждение
для порога перколяции дает значение рс=1/ (Z — I)2, что
противоречит полученному выше результату (3.28).
Ф Решение:
в постановке задачи присутствует логическая ошибка. Если
существуют один заполненный узел поколения п +1 и один
заполненный узел поколения п + 2, это еще не гарантирует наличие
ветви перколирующего кластера, уходящей в бесконечность.
Если из (Z -1) узлов поколения п +1 заполнен лишь
один узел, то заполненный узел поколения п + 2
может быть порожден не им, а каким-то другим,
пустым узлом поколения п +1. Это приведет к
разрыву ветви перколирующего кластера, и система
будет находиться ниже порога перколяции. Чтобы
Рисунок 5 исправить логику постановки задачи, для поколения
п + 2 необходимо требовать не только существова-

94
Глава 3
ния заполненного узла поколения п + 2 , но и того, чтобы
породивший его узел поколения п +1 также был заполнен. Другими
словами, нужно требовать, чтобы из (Z-1)2 возможных
цепочек, ведущих от узла поколения п к узлам поколения п + 2 ,
существовала одна и только одна с заполненными узлами
что приводит к предыдущему результату (3.28). Таким образом,
в поколении п + 2 из (Z-1)2 узлов будет занято (Z-1) узлов,
только один из которых сможет поддержать цепочку
перколирующего кластера, идущую в бесконечность (рисунок 5).
Найдем теперь для решетки Бете вероятность Р^(р) произвольному
узлу принадлежать перколирующему кластеру, которая играет роль
параметра порядка в моделях перколяции. Для этого выберем какой-то узел
решетки за исходный узел нулевого порядка п = О. Ввиду симметрии
бесконечной решетки за исходный может быть выбран произвольный узел. От
этого узла идут Z ветвей порядка п - О. Найдем сперва вероятность Q
того, что какая-то конкретная ветвь из этих Z ветвей не образует цепочку
занятых узлов, уходящую в бесконечность. То есть, что она не принадлежит
перколирующему кластеру. Эта ветвь ведет к соседнему узлу порядка
п = 1, от которого начинаются следующие (Z -1) ветвей порядка п = 1.
Если этот узел порядка п - 1 свободен, чему отвечает вероятность 1 - р ,
то исходная ветвь порядка п = О заведомо не ведет в бесконечность, каким
бы ни было ее дальнейшее заполнение. Если этот узел занят, чему отвечает
вероятность /?, то продолжения цепочки занятых узлов в бесконечность не
будет, если каждая из (Z -1) начинающихся от этого узла ветвей порядка
п = 1 также не ведет в бесконечность. Ввиду симметрии решетки и
произвольности выбора исходного узла вероятность не принадлежать
перколирующему кластеру одинакова для ветвей порядка п - 0 и порядка п = 1 и
равна Q. Таким образом, мы получаем уравнение для Q
Pc\z-\f=\,
(3.29)
Q = (l-p) + pQ
(3.30)
как вероятность того, что следующий узел либо пустой, либо его ветви
также не ведут в бесконечность. Так, для Z= 3 на рисунке 1(г) это
уравнение превращается в квадратное и имеет два решения

Перколяция
95
0 = 1 и q =
\-р
(3.31)
р
Вероятность того, что исходный узел занят и принадлежит
конечному кластеру равна произведению вероятностей того, что он занят и того,
что ни одна из его ветвей не ведет в бесконечность pQz . Согласно (3.10)
вероятность р того, что узел занят равна сумме вероятностей того что он
либо принадлежит конечному кластеру, либо принадлежит
перколирующему кластеру
Поэтому для вероятности узлу принадлежать перколирующему кластеру
мы получаем
где q следует искать из (3.30). Полученное решение проще всего понять
следующим образом. Вероятность Р^{р) того, что узел принадлежит
перколирующему кластеру, равна произведению вероятностей того, что узел
занят р и того, что одна или более его ветвей ведут в бесконечность.
Последняя вероятность есть единица минус вероятность qz того, что
никакая из ветвей этого узла не ведет в бесконечность.
Для Z=3 для q мы получили два решения (3.31). Первое решение
q = 1 отвечает случаю системы ниже порога перколяции, так как
согласно (3.33) не существует перколирующего кластера Р0О(/?) = 0. Второе
решение 0 = (1 - р)1р соответствует системе выше перколяции, когда
вероятность узлу принадлежать перколирующему кластеру становится равной
p = pqz+pap)-
(3.32)
pJp) = pQ-Qz),
(3.33)
рЛр) = р 1-
(3.34)
V р J
J
Вблизи порога перколяции
->/?с+0 = - + 0

96
Глава 3
это уравнение переходит в
РАР)*Р-Рс (3.35)
Вводя для параметра порядка Рп(р) в окрестности критической точки
свой критический индекс ft согласно
РЛр)*{р-рсУ, С3-36)
для решетки Бете мы получаем/?= 1.
Найдем теперь средний размер кластера S* ниже порога перколяции.
Пусть произвольная ветвь, выходящая из произвольного узла, несет в
среднем цепочку из Т заполненных, соединенных друг с другом узлов.
«Ткнем пальцем в решетку» и выберем произвольный узел решетки за
исходный узел порядка п = О. От этого узла идут Z ветвей порядка п - О .
Выберем одну из этих ветвей. В среднем на этой ветви «висит» Т
связанных заполненных узлов. Если узел порядка п = 1, к которому ведет эта
ветвь, пуст с вероятностью (1 - р), то эта ветвь несет ноль узлов. Если
этот узел порядка п = 1 заполнен с вероятностью р, то каждая исходящая
из этого узла ветвь из (Z -1) возможных ветвей несет в среднем опять Т
связанных заполненных узлов. Поэтому среднее число Т связанных
заполненных узлов, которое несет ветвь порядка п = О, есть ноль узлов с
вероятностью (1 - р) плюс 1 + (Z - \)Т узлов с вероятностью р
Т = 0 • (1 - р) + (1 + (Z - \)Т) р. (3.37)
Это уравнение имеет решение
Г = ^ . (3.38)
\-{Z-\)p
Тогда размер всего кластера, которому принадлежит исходный узел, равен
нолю, если исходный узел пуст с вероятностью (1 - р), и \ + ZT, если
этот узел заполнен с вероятностью р
S' (p) = 0(l-p) + (\ + ZT)p = Pf + Р) (3.39)

Перколяция
97
для р < рс. При р -> рс - 0 мы получаем
5* ос—L_, (3.40)
1Р-Рс I
что отвечает критическому индексу у = 1.
Найдем теперь вероятность реализации s-кластера в заданном месте
решетки. Для 1-кластера мы получаем
nl(p) = p(l-pf (3.41)
как вероятность узлу быть заполненным, а всем его соседям пустыми
(рисунок 6(a)). Для 2-кластера два узла будут заполнены, а каждый из их
оставшихся (Z -1) соседей должен быть пустым (рисунок 6(6))
n2(p) = g2P2(l-P)
2(Z-1)
(3.42)
АН
(а)
(в)
(б)
($+1)-кластер
5-кластер
Рисунок 6
где gi - число возможных ориентации 2-
кластера на решетке.
Найдем периметр для кластера
произвольного размера. Пусть известно, что s-кластер
имеет периметр ts (рисунок 6(b)). Добавим один
занятый узел к кластеру, превратив его в (5+1)-
кластер. Это увеличит периметр кластера на
(Z-1) новых пустых соседей нового узла и
уменьшит на занимаемый узел
/J+I =f,+(Z-l)-l.
(3.43)
Так как
/,=Z,/2=2(Z-1),
(3-44)
с помощью метода индукции мы получаем
ts=2 + s(Z-2).
(3.45)

98
Глава 3
Для решетки Бете периметр кластера зависит от его размера, но не
зависит от реализации конкретного «решеточного зверя». Поэтому для
вероятности обнаружения s-кластера в заданном месте решетки (3.23) мы уже
можем опустить суммирование по значениям периметра
n,(p) = g,p'Q-p)'- =g,p'<\-p)
2+s(z-2)
(3.46)
где gs - число решеточных зверей, отвечающих заданному размеру
кластера 5, которое нам по-прежнему неизвестно аналитически. Чтобы
избежать трудностей его нахождения, отнормируем вероятность (3.46) ее
значением в точке порога перколяции
п,(р) _ p'Q-p)
2+5(Z-2)
(3.47)
Для случая Z= 3, изображенного на рисунке 1(г), легко получить, что
"s(P)
\-рс
с(р) = -\п(\-4(р-рс)2).
(3.48а)
(3.486)
Зависимость ns от р представлена на рисунке 7 для разных s. С ростом р
число 5-кластеров растет за счет появления все новых занятых узлов,
достигает максимума вблизи рс, а затем спадает обратно до нуля за счет
поглощения значительной доли пространства перколирующим кластером.
В окрестности критической
точки р —> рс
с(р)сс(р-Рс)2
(3.49)
поэтому для индексов а и С
определенных согласно (3.8), мы
получаем а = 1/2 и С= 1 выше и
ниже критической точки. Про
критический индекс г мы пока
ничего не можем сказать, так
Рисунок 7

Перколяция
99
как нормировка вероятности (3.46) ее критическим значением исключает
этот индекс из зависимости.
Чтобы найти г мы должны вернуться к сделанному выше
предположению (3.8) о поведении статистики размеров кластеров. Строго в
критической точке экспоненциальный множитель превращается в единицу
л, (А:)* "7- (350а)
s
Из главы 1 мы помним, что степенные зависимости являются
индикатором присутствия в системе фракталов. Эксперименты подтверждают это -
строго в точке порога перколяции кластеры становятся фрактальными.
Это означает, что отвлекаясь от крайних пределов в виде постоянной
решетки с одной стороны и размера модели с другой, в системе не
существует характеристической длины и не существует характеристического
размера кластера. Единственной зависимостью л5, у которой отсутствует
характеристический размер, и является степенная зависимость (3.50а).
Критический индекс г служит здесь показателем убывания статистики
размеров и называется показателем Фишера. Заметим, что одновременно с
гипотезой (3.50а) о фрактальности статистики мы делаем предположение
о зависимости вырождения решеточных зверей от s
(3.506)
Поэтому, если пренебречь медленными степенными зависимостями, для
решетки Бете gv с ростом s растет как gs «In econst5.
Средний размер кластера S* мы определяли согласно (3.16). Как мы
уже знаем, S расходится в критической точке по степенному
закону (3.18). Эта расходимость обуславливается расходимостью числителя
^s2ns(p), так как знаменатель согласно уравнению (3.12) является ог-
s
раниченной величиной. Поэтому в окрестности критической точки
« +00
S*0>)«E*2B.(/>)«2>2-7e"(e<'),)' * \s2-'e-(c{")sYds ос
s s $ п

100
Глава 3
осс'-»Г
(3.51)
где Г(н > 0) = |х" 'е есть гамма-функция, не зависящая отр. Урав-
о
нение (3.51) означает расходимость
S\p)ccc'-\p)«\p-Pc Г3)/<т. (3.52)
Но средний размер кластеров имеет свой собственный критический
индекс у, определяемый согласно (3.18). Поэтому для связи критических
индексов мы получаем уравнение
Г = —, (3-53)
G
откуда мы можем найти критический индекс г = 5/2.
Все критические индексы, полученные нами для решетки Бете,
являются целыми числами или рациональными числами с малыми
числителями и знаменателями. Такие критические индексы являются
характерным «ярлыком» приближения среднего поля. Однако для решетки Бете
эти индексы были получены строго, и никакого приближения не
использовалось. Откуда же тогда возникает поведение аналогичное
приближению среднего поля? Дело в том, что сама решетка является
бесконечномерной и поэтому, как мы увидим в главе 5, должна подчиняться законам
среднего поля. Как для перколяционных, так и для магнитных систем
существует верхняя критическая размерность решетки, выше которой
точное решение системы совпадает с решением среднего поля.
Происходит это потому, что чем выше размерность системы, тем меньшее
влияние на ее поведение оказывают петли кластеров. К сожалению,
привычные для нас двухмерные и трехмерные системы как правило имеют
размерность ниже верхней критической, и поэтому их поведение можно
описать средним полем лишь приближенно. Наиболее важным
следствием этого является то, что, как мы увидим в главах 5 и 9, критические
индексы таких систем уже не будут целыми или простейшими
рациональными числами.

Перколяция
101
Произвольная решетка
Рассмотрим теперь случай произвольной решетки. Во-первых,
необходимо отметить, что при выводе уравнения (3.52) мы не использовали
конкретные свойства решетки Бете, только гипотезу о поведении статистики
размера кластеров (3.8). Поэтому уравнение (3.53) остается верным и в
случае произвольной решетки. Найдем, существуют ли другие уравнения,
связывающие критические индексы в произвольном случае.
В критической точке Рао(рс) = 0, и поэтому уравнение (3.12)
превращается в
-ню +00
Pc=TPs(Pc) = ^"s(Pc)- (3.54)
5=1 5=1
Выше мы гипотезировали, что в критической точке кластеры фрактальны
и их нормализованное число подчиняется уравнению (3.50а).
Подставляя (3.50а) в (3.54), мы получаем
+00 +со
const^sl~T « const jsl~Tds « рс . (3.55)
5=1 О
Этот интеграл сходится к константе рс только если г > 2. Тем самым мы
нашли первое неравенство, справедливое для показателя Фишера на
любой решетке.
Рассмотрим теперь систему выше порога перколяции р> рс. Из
уравнения (3.12) мы получаем
+00 +00
^о (Р) = Р- Л,™* (Р) = Р-РС+РС~ Y<Sns > (3'56)
5 = 1 5=1
или, используя равенство (3.54),
+00
P»iP) = P-Pc+'L4»s(Pc)- п, (/>)) • (3-57)

102
Глава 3
Воспользуемся для р —» рс + 0 статистикой размеров кластеров, которую
мы гипотезировали выражением (3.8)
PJP) = (Р~ Рс) + constf^s1-^ - e^p)s)i )*
* (Р ~ Рс) + const J^'_r(l - eAcipbY )ds. (3.58)
Интегрирование по частям дает
c((p)s2"*<
РЛР) *(Р-Рс) + const-^
= (р- рс) +const
г-2
cHp)s2"h
+ const^liPlls^e-^ds =
г-2 J
г-2
+ «MB/£^MI{2zI±I|. (3.59)
Здесь величина />„(/?) представляет собой вероятность и поэтому
ограничена нолем и единицей. Равенство (3.59) будет возможно, только если
второе слагаемое в правой части не будет иметь расходимости, т.е. при
г < 2 + £. Тем самым мы получаем второе неравенство для показателя
Фишера на произвольной решетке.
Для с(р) вблизи критической точки выполняется степенная
зависимость (3.8). Также и Р^{р) вблизи критической точки ведет себя согласно
степенному закону (3.36). Подставляя обе степенные зависимости в (3.59)
мы получаем, что
CTr_f • (3.60)
1,—>1
В дополнение к уравнению (3.53) это второе уравнение, связывающее
критические индексы в случае произвольной решетки. Критические индексы,
полученные нами выше для решетки Бете, удовлетворяют этому равенству.
В окрестности порога перколяции реалистичным поведением модели
является стремление параметра порядка к нолю Рл(р) -^+0 и расходи-

Перколяция
103
мость среднего размера кластеров S*(p) —» +00. Это поведение
реализуемо, только если /?>0 и у>0. Из полученных уравнений (3.53) и (3.60)
видно, что данные неравенства р > 0 и у > 0 эквивалентны неравенствам
для экспоненты Фишера 2<г<3. Как мы увидим позже, неравенство
г < 2 + £ является более сильным, чем г < 3, и поэтому неравенством г < 3
можно пренебречь.
Полученное решение (3.59) имеет важные физические следствия.
Фактически вероятность Рл (р) узлу принадлежать перколирующему
кластеру равна доле узлов, принадлежащих перколирующему кластеру в
сравнении с полным числом узлов на решетке N. Мы видим, что для
р> рс перколирующему кластеру принадлежит конечная доля решетки
МРЛр)** М(Р~РсУ • Поэтому выше порога перколяции перколирующий
кластер имеет размерность, равную размерности решетки d, и, очевидно,
не является фрактальным множеством с дробной размерностью. Однако
точно в точке порога перколяции мы получаем Рао(р) = 0\ При этом мы
должны помнить, что перколирующий кластер уже существует и
перколирует бесконечную систему. Поэтому ему принадлежит бесконечное
число заполненных узлов. Однако доля этих узлов по сравнению с
полным числом узлов в решетке равна нулю. Отсюда мы можем гипотезиро-
вать, что в точке порога перколяции перколирующий кластер
представляет собой фрактальное множество с какой-то размерностью D < d, меньшей
размерности вмещающего пространства с/. Общая зависимость «массы»
перколирующего кластера от р может быть схематично представлена как
где L есть линейный размер системы N = Ld . Точно в точке порога
перколяции выполняется
NPm(P)*\l<D
09р<рс
LD,p = рс ,
Ld,p> рс
(3.61)
d-d
PAPc)*LD-dKN " «1,
(3.62)
т.е. в термодинамическом пределе N -*+оо
(3.63)

104
Глава 3
Для случая произвольной решетки мы гипотезировали
нормализованное кластерное число ns зависимостью (3.8). Рассмотрим качественно
поведение этой зависимости. Для малых размеров кластеров экспонента
е-{с(рьУ имеех порядок единицы, и затухание статистики размеров
кластеров следует степенному закону
п5(р) s~T, где s « 1/с . (3.64)
Для больших размеров кластеров s » 1 / с возникает экспоненциальное
затухание, на фоне которого при s » 1 (в термодинамическом пределе по s)
степенным затуханием можно с логарифмической точностью пренебречь
п,(Р)~ъе<с1р),)< • (3-65)
Найдем экспоненту С, входящую в это соотношение. Поскольку нас
интересует быстрый экспоненциальный спад статистики, мы будем
рассматривать только большие кластеры s » 1 / с. Рассмотрим сперва предел
малых чисел заполнения р —> +0. При р -» +0 практически вся решетка
свободна, и вероятность образовать большой кластер имеет порядок
вероятности иметь s заполненных узлов. Другими словами, в пределе р -> +0
мы можем пренебречь влиянием узлов периметра, так как их множители
(1 - рУ' имеют порядок единицы. Таким образом, вероятность
образования s-кластера пропорциональна
п,(р)ссрг=е [ р], (3.66)
и мы возвращаемся к статистике (3.65) с экспонентой f = 1
ns(p)^e-c(p)s. (3.67)
Эксперименты показывают, что это экспоненциальное затухание
является хорошей аппроксимацией не только в пределе р -> +0, но и для
произвольного р ниже порога перколяции р< рс. Подобное затухание
мы уже наблюдали и в случае решетки Бете (3.48), и в одномерном
случае (3.6). Если бы наши результаты были однозначно применимы к
системам жидкость-газ или магнитным системам, формула (3.67) описывала бы
статистику зародышей кластеров фаз при температуре выше критической.

Перколяция
105
Перейдем теперь к системе выше порога перколяции р> рс. Сперва
рассмотрим предельный случай больших чисел заполнения р -> 1 - 0 .
При /7 —> 1 — 0 практически вся решетка занята заполненными узлами, и
вероятность образовать ^-кластер равна вероятности «отрезать» кусок
перколирующего кластера, образовав пустые узлы периметра. Так как мы
рассматриваем большие кластеры s » 1 / с , являющиеся «кусками»
перколирующего кластера (3.61), они, так же как и этот кластер, имеют
размерность вмещающего пространства с/. Их периметр, как поверхность
компактного множества, будет поэтому иметь размерность на единицу
меньше (d -1), чем размерность вмещающей решетки d, и вероятность
Здесь мы пренебрегли требованием для кластера иметь s
заполненных узлов и учли только узлы периметра, так как в пределе р -> 1 - 0
множители ps будут иметь порядок единицы. Конечно, возможно
существование и других кластеров, например имеющих периметр s и тем самым
вероятность ns (р) ос (1 - p)s. Однако чем больше периметр, тем менее
вероятными будут такие кластеры. Поэтому выражение (3.68) содержит
наименьший периметр, как отвечающий наиболее вероятным кластерам.
Формула (3.68) приводит нас к экспоненциальному затуханию с экс-
понентои Q - 1
Мы здесь впервые встречаем экспоненту С не равную единице. Подобное
распределение в статистике носит название распределения Вайбулла. Это
распределение происходит из механики разрушения материалов и
отвечает статистике прочности отдельных элементов конструкции, основанной
на гипотезе «слабого звена».
d-\
определяется как вероятность образовать s d пустых узлов
(3.68)
(3.69)
Из соотношения (3.61) мы видим, что перколирующий кластер
фракталей только в точке порога перколяции, а выше этого порога теряет свои
фрактальные свойства и приобретает размерность вмещающей его решет-

106
Глава 3
ки. То же, очевидно, должно быть справедливо и для больших кусков
этого кластера. Поэтому мы можем предположить соотношение (3.69)
выполняющимся не только в пределе р —> 1 -0, но и для любых р выше
порога перколяции р> рс.
Из соотношения (3.48) мы помним, однако, что закономерность (3.69)
не выполняется для решетки Бете, где и ниже, и выше порога перколяции
действует экспоненциальное затухание (3.67). Это легко объяснимо, так
как на решетке Бете поверхность компактного множества имеет порядок
объема этого множества. Т.е. чтобы отрезать от перколирующего
кластера, при /7 —> 1 — 0 заполняющего почти все пространство решетки, кусок
объема s, нужно образовать s пустых узлов. Это возвращает нас к
статистике (3.67)
Решетка Бете является аналогом бесконечномерных решеток d = -изо.
Поэтому к аналогичному результату будет стремиться и обычная решетка
при росте ее размерности, поскольку 1 - — -> 1 при d -> +оо, и статисти-
d
ка (3.67) является пределом статистики (3.69).
Подобно тому как мы нашли 5*, аналогичным образом можно найти
любые моменты распределения размера кластеров. Пусть к > г -1. Тогда
для момента порядка к мы получаем
Эта формула справедлива для любых к за исключением к = 0 и к = 1.
Случаи к = 0ик = \ являются исключительными потому, что при к<т-\
аргумент гамма-функции уже не будет положительным, и нам необходимо
приложить дополнительные усилия, чтобы посчитать моменты.
Продифференцируем Мк по с
(3.70)
(3.71)

Перколяция
107
.^Loc -*-Ysk-*e^ ос с'-'У sk-^e^ ос с^'Л/^ . (3.72)
ас dc , , *
При £ = 1
dMx
dc
осс^Л/^осс'"3. (3.73)
Поскольку 2 < г < 2 + ^ и, следовательно, & = 1 + ^ > г -1, в последнем
равенстве для мы использовали (3.71). Интегрируя уравнение (3.73)
по с, мы получаем
г-2
г-2
Мх - const\ - const2ст 2 = constх - const21 /? - рс | а ос const\. (3.74)
Другими словами, в малой окрестности критической точки момент М\
постоянен, т.е. имеет критический индекс, равный нулю. Этот результат
легко мог быть получен непосредственно из уравнения (3.12), так как
Мх{р)шУ£*п,{р) = р-Рт(р). (3.75)
Момент Л/о находится аналогично дифференцированием по с. Если
2^ > г -1, мы находим связь М0 с М$ согласно
-^осс^ !Л/, (3.76)
ас
и связь с согласно
dM
dc
(3.77)
Для Мц, ввиду выполнения 2^ > г -1, мы уже можем применить
формулу (3.71)
M1Q ос сг-2^ . (3.78)

108
Глава 3
Интегрируя последовательно (3.77) и (3.76), мы получаем
= const2 + constxcr~^~x и (3.79а)
М0 = const3 + const2c^ + constxcT~x. (3.796)
Если же 2£ < г -1, но 3^ > г -1, что вполне возможно в случае
двумерной системы, мы должны к уравнениям (3.76-77) добавить еще одно
dM
Х-ксс-1Мц9 (3.80)
dc
поскольку в этом случае мы не можем определять по формуле (3.71),
однако можем использовать эту формулу для
Мцосс*-3*-1. (3.81)
В этом случае интегрирование дает
М2(г = const2 + constxcr~2C~l, (3.82а)
Mf. = const} + const2c^ + constxcr~^"1 и (3.826)
M0 = const4 + const3c^ + const2c2* + constxcT~x. (3.82b)
Мы видим, что в окрестности критической точки А/0, определяемый
выражением (3.796) или выражением (З.82в), имеет порядок константы, то
есть критический индекс, равный нулю.
М0 ос const. (3.83)
В окрестности критической точки выполняется сос|р-рс >0,
поэтому последнее слагаемое в (3.796) и в (3.82в) имеет порядок
с'-Чр-РсГ". (3-84)
Вводя для этого слагаемого свой критический индекс а согласно
\Р-РсГХУ"«\Р-Рс I2-".
(3.85)

Перколяция
109
мы видим, что так введенный критический индекс удовлетворяет
неравенству
а + 2/? + / = 2 + 2
ст
1 , >1
G G
<2.
(3.86)
Какую связь этот индекс имеет со свободной энергией системы в случае
перколяции мы обсудим в главе 5.
Выше мы ввели две различные методики определения среднего
размера кластеров (3.15) и (3.16), из которых предпочтение отдали второй.
Сейчас мы уже можем ответить на вопрос, почему поведение S*
представляется нам более интересным, чем поведение S. Рассмотрим окрестность
критической точки. По определению
Tsns(p) м
S{p) = * = —1- сс const. (3.87)
S
Таким образом, S постоянен в точке порога перколяции в случае
произвольной решетки (это было не так в вырожденном одномерном случае!),
тогда как S* расходится по степенному закону в малой окрестности этой
точки. Именно поэтому поведение 5* рассматривается нами как более
интересное. Помимо этого, как мы увидим в главе 5, 5* представляет собой
одну из наиболее фундаментальных величин в теории перколяции.+
Для задачи перколяции мы построили ряд характеристик,
подчиняющихся степенным законам в окрестности порога перколяции, который мы
назвали критической точкой. Однако у читателя может и должно
возникнуть ощущение неполноты изложенного. И действительно, мы не провели
ни одной аналогии со статистической механикой, если не считать
вышеупомянутых степенных законов фазового перехода. В свое оправдание
скажем, что в текущей главе мы лишь познакомились с моделью
перколяции, а рассмотрение параллелей со статистической физикой оставим до
главы 5 и последующих глав.
И кроме того, средний размер кластера, в который они «ткнут» нефтяной скважиной,
гораздо интереснее нефтяникам нежели какой-то там абстрактный кластер, усредненный по
всей местности.

110
Глава 3
ЛИТЕРАТУРА
StaufFer, D. and A. Aharony (1992), Introduction to Percolation Theory, 2nd ed., 181
pp., Taylor&Francis.
Федер, E. (1991), Фракталы, 260 стр., Мир, Москва.

Глава 4
Механика разрушения
Система с перколяцией, рассмотренная нами в предыдущей главе, была
сложной системой. Она была нетепловой (не термодинамической), и
понятие температуры отсутствовало в ней как таковое. Построение модели
обеспечило наличие в ней флуктуации, приведших к появлению фазового
перехода и критической точки в модели. Мы видели много черт
поведения, подобных тепловым системам статистической физики, подробно
исследовали кластерность критического поведения, однако полная аналогия
отсутствовала. Мы ввели ряд характеристик, таких как параметр
порядка Ло, полевой параметр р и средний размер кластера S , но пока не
построили аналогии этих величин в тепловых системах. Подробнее мы
вернемся к этому вопросу в главе 5, где подобные аналогии будут
найдены. Сейчас же мы рассмотрим модель еще одной нетепловой, сложной
системы, отображение которой на тепловые системы статистической
физики будет более очевидным.
Рассматриваемая модель будет принадлежать механике разрушения.
Температура опять будет отсутствовать в ней как таковая, однако за счет
статистического распределения, являющегося входным параметром
модели, система будет обладать флуктуационным поведением, прекрасно
описываемым законами статистической механики. Благодаря этому, а также
простоте и иллюстративности модели она фактически может служить,
вместо систем жидкость-газ или магнитных систем, первой моделью, с
которой возможно начинать изложение курса статистической физики.
Механику разрушения, как и классическую механику, разделяют на
две фактически независимые поднауки, детерминистическую и
статистическую. Первая, fracture mechanics, является подобием теоретической
механики в том смысле, что она рассматривает детерминистический рост
малого числа дефектов. Вторая, damage mechanics, в системах с большим
количеством микродефектов подобно статистической механике заменяет
детерминистическое описание систем статистическим поведением
ансамбля систем.* Именно она является наиболее интересной для нас, как
являющаяся более полной аналогией.
В российских и советских учебниках не принято проводить подобное разграничение, и
книги по механике разрушения как правило являются неявным объединением сразу двух
поднаук. Однако в западных учебниках это разделение четко прослеживается

112
Глава 4
Damage mechanics является совсем
молодой наукой, возникшей с публикацией
Качановым его книги [Kachanov, 1986]. В
дальнейшем было выпущено еще два
специализированных учебника [Krajcinovic,
1996; Lemaitre and Chaboche, 1990]. Помимо
этого, уравнения, включающие переменную
разрушения, вошли как дополнительные
главы во многие книги по механике
сплошных сред [см. например Narasimhan, 1993].
В последней декаде прошлого века в
литературе возникла новая
многообещающая идея рассматривать процесс
разрушения как фазовый переход [Rundle and
Klein, 1989; Blumberg Selinger et aL9 1991;
Zapperi et al.9 1997]. Однако, хотя совпадение поведения фазовых
диаграмм было впечатляющим, отсутствовал механизм проведения
аналогий между механикой разрушения и классической статистической
физикой. Другими словами, поведение систем с разрушением внешне
напоминало критические и спинодальные явления, однако не существовало
понимания, каким образом новый рассматриваемый класс явлений
можно описывать законами статистической физики. Первые попытки
восполнить этот пробел возникли лишь совсем недавно [Abaimov, 2008;
2009]. Именно воспроизведением этих результатов мы и займемся в этой
главе.
Основной величиной в механике разрушения служит параметр
разрушения D. Его определение является противоречивым и не устоявшимся
в литературе. Поскольку мы рассматриваем одномерное приложение
внешнего нагружения, мы будем следовать наиболее популярному и с
нашей точки зрения наиболее простому и наглядному в этом случае
методу определения. Рассмотрим твердое тело с множеством микродефектов,
представляющих собой пустоты. Проведем секущую плоскость,
перпендикулярную оси приложения силы (рисунок 1) и подсчитаем долю
площади, приходящуюся на дефекты D = 5дефе|СТЫ /5полная. Это и будет нашим
определением параметра разрушения. Очевидно, когда дефекты
отсутствуют и вся площадь сечения несет приложенную нагрузку, должно быть
D = 0. Когда же дефекты слились друг с другом, заняли все сечение, и
твердое тело полностью разрушено, мы имеем D = 1. Для случая
частичного разрушения 0 < D < 1.

Механика разрушения
113
Проведем дальнейшее упрощение модели. Вместо сплошной среды
рассмотрим набор упругих волокон (или пружин) связывающих две
абсолютно жесткие пластины приложения нагрузки
(рисунок 2). Некоторые волокна, подобно
второму слева на рисунке 2, могут быть разрушены и
уже не нести нагружение. Построенная нами
модель в литературе называется моделью пучка
волокон (fiber bundle model).
Количество волокон в модели мы будем
считать бесконечным в термодинамическом пределе
N -> +оо. Каждое из волокон мы будем
рассматривать как идеально упругое вплоть до его
разрушения
ст, = Ее, ,
где ег, - напряжение в волокне /, £. - деформация волокна /, а Е - модуль
Юнга, не зависящий от нагружения и общий для всех волокон. Поскольку
волокна нагружаются абсолютно жесткими пластинами, все они имеют
одинаковую деформацию, совпадающую с деформацией модели в целом
е,ше. (4.2)
Волокно разрушается, когда напряжение в нем достигает предела
прочности данного волокна сг = st, где предел прочности st определен
для каждого волокна априори и не меняется при эволюции системы.
Выбирается он согласно статистическому распределению p(s), являющемуся
входным параметром модели. Вместо плотности вероятности p(s),
1
J p(s)ds = 1, мы как правило будем работать с интегральной функцией
о
распределения
P(cr) = ]p(s)ds. (4.3)
о
Фактически Р(ет) представляет собой вероятность волокну уже быть
разрушенным, если от него требуется нести напряжение а. Наоборот,
Рисунок 2

114
Глава 4
1 - Р(ст) представляет собой вероятность волокну оставаться целым, если
напряжение в нем равно а.
После разрушения волокно перераспределяет нагрузку, которую оно
несло, на другие волокна. Также как и в модели Изинга возможны случаи
близкодействующего и дальнодействующего взаимодействия, в данном
случае, перераспределения нагружения. Мы будем рассматривать самую
простую модель, в которой при разрушении волокна его нагружение,
подобно среднему полю, распределяется равномерно между волокнами,
остающимися целыми.
Параметр разрушения D в нашей модели мы, очевидно, можем ввести
как долю разрушившихся волокон. Тогда число целых и число
разрушенных волокон будут определяться как
^целые = N(\ - D), = ND . (4.4)
Назовем микросостоянием {D} конкретную микроконфигурацию
распределения целых и разрушенных волокон на решетке. Так, для модели с
N = 3 волокнами возможными микросостояниями будут |||, ||], |]|, ]||, |||, ]|],
]]| и I]], где символ | обозначает целое волокно, а символ | - разрушенное.
Объединим все микросостояния {D}, отвечающие заданному Д в
макросостояние {{d}}
{{и'}}* {J{D}. (4.5)
{d)d=d'
Например, для модели с N = 3 волокнами макросостоянию
{{D = l/3}}
будут отвечать три микросостояния |||, ||| и ]||. Опять же, пока мы не
перейдем к более подробному рассмотрению данного вопроса в главе 7, мы
можем понимать макросостояние {{d}} просто как систему, имеющую
заданное значение параметра разрушения D.
Рассмотрим сперва модель, находящуюся при граничном условии
постоянства деформации е = const. Как и для тепловых систем, мы можем

Механика разрушения
115
построить ансамбль подобных систем. Для заданного значения
деформации задано и значение напряжения в каждом волокне
сг, = Ее , (4.6)
одинаковое для всех целых волокон.
Вероятность произвольному волокну в ансамбле быть разрушенным
равна Р{Ее). Напротив, вероятность волокну оставаться целым равна
1 - Р{Ее). Поэтому для произвольного микросостояния {D}, число Мцслые
целых волокон которого и число Мразрушенные разрушенных волокон
которого задается формулами (4.4), вероятность наблюдаться в ансамбле равна
wr;;, =(P(Es)YD(l-P(Ee)Yil-D\ (4.7)
Здесь мы использовали надстрочный индекс е, Р, чтобы показать, что эта
вероятность задается ансамблем, определяемым условием е = const и
функциональной формой распределения Р. Точно так же в главе 2 мы
использовали индекс T9V9N для вероятности микросостояния в
каноническом ансамбле.
Все микросостояния {D}, отвечающие макросостоянию {{d}} (с
заданным значением D), имеют одинаковую вероятность (4.7), и их число
определяется комбинаторной формулой выбора Nncnblc целых волокон и
^разрушенные раЗруШвННЫХ волокон из общвГО ЧИСЛа волокон N
*«£>»= = --*ш D-ND(l-DyNil-D). (4.8)
разрушен» J*U.e! (ND)\(N(l - D))\
Какова вероятность наблюдать макросостояние {{d}} в ансамбле (т.е.
наблюдать систему с разрушением D)? Чтобы найти эту вероятность мы,
очевидно, должны просуммировать вероятности всех соответствующих
микросостояний
= *«!>}}<• (4-9)
Эта зависимость является фактически биноминальным распределением.

116
Глава 4
Точно так же, как и в статистической физике, вероятность (4.9)
наблюдать систему с параметром порядка D задается произведением двух
функций, имеющих степенную зависимость от N. Это обеспечивает
наличие острого максимума вероятности (4.9), отвечающего наиболее
вероятному состоянию D0. Для поиска наиболее вероятного состояния мы,
очевидно, должны найти когда производная вероятности (4.9) или, ввиду
монотонности логарифмической функции, когда производная ее логарифма
обращается в ноль
dD
= 0 или
dD
d0
= 0. (4.10)
d0
Подставляя выражение для вероятности (4.9) в (4.10), мы находим
уравнение состояния системы
D0=P(Ee). (4.11)
Как и следовало ожидать, доля разрушившихся волокон в равновесии с
граничными условиями ансамбля равна вероятности P(Es) разрушиться
каждому отдельному волокну.
Как и в главе 2, мы можем показать, что наиболее вероятное
состояние соответствует равновесному состоянию. Действительно, средний
(равновесный) по ансамблю параметр порядка D определяется как
(D)£^D< = J.D4d))<> (4-12)
\d) щ)
где мы перешли от суммирования по микросостояниям к суммированию
по макросостояниям. Используя равенство (4.9) мы получаем
(4.13)
Обе функции g{{D)) и w*£} содержат экспоненциальную зависимость от N,
тогда как D пропорционален N, т.е. содержит степенную зависимость
от N. Поэтому сумма в уравнении (4.13) будет определяться узким
максимумом вероятности (4.9), и мы можем записать

Механика разрушения
117
(°lr~~%4B^!bV (4-И)
Ввиду условия нормировки вероятности
К = Е*«оИ< = ЪЧо)}=1. (4^)
выполняющей роль 5-функции, следует, что
(D) *£Й ^D0. (4.16)
\ 1е,р Imax^ifiJ
Вернемся теперь к вероятности одного микросостояния (4.7).
Перепишем выражение для нее как
wU=(l-P(Ee))Ne '-«*>. (4.17)
Что нам напоминает эта формула? Мы призываем читателя закрыть
последующее изложение ладонью и постараться самостоятельно ответить на
этот вопрос.
Во-первых, в нашем ансамбле б - const, поэтому Р(Ее) также
представляет собой внешний полевой параметр, поддерживаемый
постоянным. Во-вторых, введем параметр Tff, определяемый как
r^hr1 l'p(Ee\ (4.18)
P(Es)
и параметр Z, определяемый как
Z = (l-/>(£*))"". (4.19)
Тогда вероятность (4.17) будет равна
W{D} = ~е , (4.20)

118
Глава 4
что является аналогом вероятности Гиббса канонического ансамбля.
Удельным параметром порядка является параметр разрушения d.
Введенный нами параметр Tff представляет собой эффективную температуру.
Таким образом, мы построили пример нетепловой системы, в которой
вместо тепловых флуктуации присутствуют флуктуации, задаваемые
распределением вероятностей (4.3). Для этой системы мы показали, что
вероятность микросостояния задается прежней формулой Гиббса, если мы
введем эффективную температуру согласно (4.18). Если е и Р(Ее)
являются полевыми параметрами, поддерживаемыми в нашем ансамбле
неизменными, то и эффективная температура является таким же полевым
параметром. Поэтому вместо граничного условия е = const для нашего
ансамбля мы бы могли использовать Teff = const и с полным на то правом
называть наш ансамбль эффективно-каноническим.
Величина Z была нами введена согласно равенству (4.19). Можно
непосредственно показать, что данная величина отвечает статистической
сумме модели. Действительно, по определению статсуммы
7 - V „-nditel1 V ~ -nditelt (л л ч
Z = 2^ = 1иНо\\е (4-21)
Суммируя по макросостояниям {{d}} мы фактически суммируем по
возможным значениям d. Параметр разрушения d меняется от ноля до
единицы с дискретным шагом 1 / N, отвечающим поломке одного волокна.
Поэтому подставляя (4.8) и (4.18) в (4.21) мы вновь возвращаемся к
выражению (4.19)
(N^0(ND)\(N(l-D))[K ' V
Ничего другого у нас, очевидно, получиться и не могло, так как статсумма
является нормировочным коэффициентом распределения вероятностей.
Может возникнуть вопрос, а зачем собственно нам необходимо
применение статистической механики в данной задаче? Другими словами,
чем хуже была комбинаторная, «инженерная» формула для вероятности
микросостояния (4.7) по сравнению с полученной нами «теорфизической»
вероятностью Гиббса (4.20)? Какая может быть разница, как мы
описываем наш ансамбль, если оба метода дают одинаковое аналитическое
решение? Ответ на эти вопросы мы получим в главах 5 и 6. Сейчас же лишь

Механика разрушения
119
заметим, что ограничиваясь только инженерными аспектами механики
разрушения (то есть данной главой), мы получаем лишь одностороннее
понимание происходящих в системе явлений. Применение аналогии со
статистической механикой дает существенно отличный взгляд на
поведение системы. Как мы увидим в главе 6, именно более глубокое понимание
процесса разрушения, как фазового перехода, позволяет нам
скорректировать некоторые аспекты, пропущенные механикой разрушения.
Построим теперь аналогию свободной энергии для нашей системы.
Для этого, как мы это делали в главе 2, перейдем при вычислении
статистической суммы (4.22) от дискретного суммирования к интегрированию. Шаг
изменения параметра D равен 1/N, что отвечает поломке одного волокна
Чш*™<=!швт,п'™ (4-23а)
f(D) = -D\x\D-(\-D) ln(l -D)-DITeff. (4.236)
Для нахождения интеграла мы опять используем метод перевала
Z**emD>\ (4.24)
где D0 определяется из условия максимума функцииуф)
К.
dD
= 0. (4.25)
Легко проверить, что этому условию по-прежнему отвечает
решение (4.11).
Свободную энергию равновесного состояния, очевидно, следует
определить как
F0=-Teff\nZ = -NTefff(D0), (4.26)
тогда как для свободной энергии неравновесных состояний, вновь
оставляя доказательство до главы 7, мы можем предположить
F{{D]} ш -NTeff f(D) = NTeffD In D + NTeff(\ - D) ln(l -D) + ND. (4.27)

120
Глава 4
Ни)
/ D
b 02
0.4
1
1
1
1
0.6
Об
1.0
Поведение удельной
неравновесной свободной энергии F^ IN
представлено на рисунке 3.
Свободная энергия имеет один
минимум, отвечающий
равновесному в ансамбле решению (4.11).
Мы рассмотрели ансамбль
е = const, в котором
деформация модели поддерживается
неизменной. Очевидно, что
внешняя сила, действующая на пластины, различна для разных систем в
ансамбле. Примем для простоты, что волокна плотно упакованы, и что
площадь пластин равна суммарной площади поперечного сечения волокон.
Разделив полную силу, действующую на пластину, на площадь пластины,
мы получим действующее в пластине напряжение а. Именно это
напряжение будет предполагать действующим в модели сторонний
наблюдатель, который видит систему как «черный ящик» и не знает, что внутри
есть разрушенные волокна. На самом деле напряжение в волокнах (4.6)
будет выше из-за того, что некоторые волокна разрушились и
перераспределили свою нагрузку между остальными
Рисунок 3
(4.28)
Мы видим, что внешняя сила, действующая на систему, зависит от того,
сколько волокон в системе разрушилось, и она может оказаться разной
для разных систем в нашем ансамбле е = const. Однако в среднем по
ансамблю большинству систем будет отвечать средняя внешняя сила
(cr) = Ee(\-D0).
(4.29)
Рассмотрим в качестве примера однородное распределение
прочности волокон в диапазоне от напряжения S\ до напряжения S2 (рисунок 4)
p(s)-
s2-Si
0,s < st
, sl < s < s2,
0,s2 <s
(4.30a)

Механика разрушения
121
0,s <«у,
s-s.
s2-sx
(4.306)
По-прежнему мы рассматриваем
внешнюю деформацию
поддерживаемой в равновесии
постоянной е = const. Будем квазиста-
тически увеличивать эту
деформацию от нуля. При Ее < sx все
волокна целы, и внешняя сила
увеличивается линейно с
деформацией. При Ee>sx у систем
ансамбля начинаются поломки
волокон, и зависимость средней
по ансамблю внешней силы от
деформации становится нелинейной. При Ее > s2 все волокна
разрушены, и внешняя сила равна нулю для всех систем в ансамбле
Рисунок 4
ее, ее < sx
м-
ee(s2 - ее)
(s2-sx)
, sx <ее<s2,
(4.31)
0,s2 < ее
где мы подставили (4.11) в выражение (4.29) и использовали
интегральную форму распределения (4.306).
Зависимость (4.31) показана на рисунке 5. Мы рассматриваем
невырожденный случай s2 > 2sx, при котором после поломки первых волокон
средняя сила по-прежнему продолжает расти с ростом деформации. Как
видно из рисунка 5, с ростом деформации средняя по ансамблю внешняя
сила (<т) растет сначала линейно, потом нелинейно. Затем она достигает
максимума и с дальнейшим ростом деформации уменьшается до нуля.

122
Глава 4
Рисунок 5
Согласно уравнению состояния
(4.11), используя интегральное
распределение (4.306), мы можем
выразить деформацию через равновесное
значение параметра разрушения D0
Ее = + D0 (s2 - s{) при
0 < D0 < 1.
(4.32)
Подставляя (4.32) в (4.31) мы
получаем
(а) = (1 -d0)(s{ + d0(s2 -5,)) при 0 < d0 < 1
(4.33)
»<сг>
Эта зависимость показана на
рисунке 6. При росте D0 от ноля до
единицы внешняя сила сначала
скачком изменяется до$1, затем
продолжает расти, достигает
максимума и спадает до нуля.
До сих пор мы
рассматривали ансамбль е - const. При этом
граничном условии любое
состояние на рисунках 5 и 6
является устойчивым и поэтому
легко может быть достигнуто
экспериментально. Однако ситуация существенно меняется, если вместо
постоянства внешней деформации при построении ансамбля мы потребуем
постоянства внешней силы а = const. Внешняя сила, действующая на
модель, поддерживается постоянной и одинаковой для всех систем ансамбля,
тогда как каждая из систем ансамбля имеет свою деформацию,
подчиняющуюся в среднем аналогу уравнения (4.29)
(4.34)
Вероятность отдельного микросостояния {D} становится равной
I, Ь-d)) { [l-d
n(\-d)
(4.35)

Механика разрушения
123
и уже, очевидно, не может быть сведена к функциональной форме
вероятности Гиббса (4.20). Каждому заданному значению d (каждому
макросостоянию {{d}}) отвечает прежний статвес (4.8), и вероятность системе
иметь разрушение d равна
(4.36)
Максимум этой вероятности
dWS
dD
= 0 или Ш
8D
= 0
(4.37)
отвечает уравнению состояния
d0=p\
' су л
1-Д
(4.38)
о J
Поскольку мы строили модель так, что сломанное волокно
перераспределяет свое нагружение между целыми волокнами равномерно, наша система
априори является системой среднего поля. Аналогом в главе 2 была модель
Изинга с взаимодействием, не зависящим от расстояния. В случае разрушения
перераспределение нагружения играет роль взаимодействия, а равномерное
перераспределение эквивалентно
общему для всех волокон среднему
полю. Поэтому уравнение состояния
(4.38) мы можем назвать аналогом
уравнения Ван-дер-Ваальса.
В отличие от предыдущего
ансамбля уравнение (4.38) для
заданного внешнего граничного условия а
имеет не одно, а два решения,
показанные на рисунке 7. Для одного из 00
них, Д>,1, выполняется dD01 dcr > 0 ,
для другого dD0 /dcr<0. При
увеличении внешней силы а оба решения приближаются друг к другу, а
производные dD01 dcr в этих точках сохраняют свои знаки, но расходятся
(рисунок 8).
0.4 0.6
Рисунок 7

124
Глава 4
0.4 0.6
Рисунок 8
Найдем дифференциал
уравнения (4.34)
da=(l-D0)d(E(s))-E(£)dD0,
(4.39)
разделим его на da и найдем
производную деформации по
напряжению
<Ш(е) _
da
(4.40)
1-А 1 х / </<т
Очевидно, что когда JD0 /</<т растет от конечного положительного
значения, проходит через бесконечность, меняя знак, и начинает
уменьшаться по модулю, dE(e)lda ведет себя подобным же образом. Поэтому
поведение обеих производных является совпадающим.
Что означает условие dD0 / da>0? В ответ на увеличение внешней
силы в системе происходят поломки волокон, отвечающие росту
параметра разрушения. Аналогично, dE(e) I da > 0 означает, что при росте
внешней силы деформация модели также растет. На память приходят
условия др01 дР > 0 для жидкости-газа и дт01 dh > 0 для магнитной
системы. Тогда, очевидно, случай dD0/da<0 (и соответственно dE(e)/da<0)
будет отвечать ветви неустойчивых решений.
Помимо ветви неустойчивых состояний существует другая аналогия
диаграммы уравнения состояния системы с разрушением с диаграммами
систем жидкость-газ и магнитных систем. Если система находится на
ветви с положительной производной dD01 dcr > 0 , внесение в систему
зародыша другой фазы, т.е. поломка значительного числа волокон внешними
силами может привести к разрушению системы, если размер зародыша
превышает критический. Поэтому ветвь dD01 da > 0 на самом деле
является ветвью не устойчивых, а метастабильных состояний. Это дополняет
аналогию, а точка S перехода метастабильной ветви в неустойчивую на
рисунке 8 превращается в точку спинодаль.

Механика разрушения
125
Метастабильные
состояния
Спинодаль
Неустойчивые
состояния
Метастабильные
состояния Неустойчивые
Спинодаль состояния
Построение
Максвелла
(б)
Неустойчивые
состояния
Построение
Максвелла
Рисунок 9
Рисунок 10
На рисунке 9 мы сравниваем
диаграммы уравнения состояния
(а) системы с разрушением, (б)
системы жидкость-газ и (в)
магнитной системы. Именно сходство
диаграмм фазовых переходов у
уравнений состояния различных
систем и подтолкнуло к
существованию гипотезу о том, что процесс
разрушения является на самом
деле фазовым переходом первого
рода. Одной фазой служит исходная
система с частично разрушенными
волокнами, но еще несущая
нагрузку. Другая фаза вырождается в
точку состояния полностью
разрушенной системы. Это
вырождение затрудняет наглядное
представление фазового перехода.
Вероятно, именно поэтому гипотеза о
применимости теории фазовых
переходов к механике разрушения
появилась так поздно, лишь около
двадцати лет назад.
На рисунке 10 схематично представлена эпюра критического
зародыша гетерогенной системы с разрушением и начало гистерезисной
петли. Однако, в дополнение к прочим отличиям, разрушение обладает еще
одной важной особенностью - необратимостью процесса разрушения. Эта
особенность зачастую накладывает свои, специфичные черты на
поведение системы. Так, петля гистерезиса на рисунке 10 не может быть
замкнута. Также недавние исследования по теории нуклеации систем с
разрушением показали, что необратимость существенным образом влияет на вре-

126
Глава 4
мя жизни метастабильного состояния, кардинально меняя статистическое
распределение [Abaimov et ai, 2009].
Из рисунка 8 мы видим, что зависимость разрушения от внешней
силы в окрестности точки спинодаль является параболической. Более строго
СТ — (Тс + -
da
dDn
(D0-Ds) + -
2dD2
(D-Ds)2+...
(4.41)
Очевидно, что по определению точки спинодаль
da\
dDn
= 0,
(4.42)
и линейное по
(Я„-/>8)
слагаемое в (4.41) равно нулю. Чтобы найти квадратичное слагаемое,
запишем дифференциал уравнения (4.38)
dD0 = F\
f da adD0
\-D0+(\-D0)\
Выразим отсюда F
(4.43)
F =
1 da
\-D0dD0 (l-D0)2)
Используя (4.42), для точки спинодаль получаем
(4.44)
(4.45)
Перепишем теперь уравнение (4.43) как
1 = Я_^£1+. "
l-D0dD0 (l-D0)2)
(4.46)

Механика разрушения
127
и продифференцируем его еще раз по D0
0 = Р"\
+ Р'\
1 da а
■ + -
\-D0dD0 (1-D0)2
1 d2a 2
da 2a
^"A,^2 (1-D0)2</D0 (1-D0)3J
Отсюда для точки спинодаль получаем
(4.47)
0 = Р"
d2a
О-А. Г
1 d2a
1-А <й>0а
(1-£>S)3
или
dDn
2<Jc
(4.48a)
(4.486)
В случае произвольного распределения прочности волокон выражение в
правой части уравнения (4.486) в общем случае не равно нулю. Поэтому
второй член разложения (4.41) также не равен нулю, и мы получаем
\D-DS |ос ,j\a-as
(4.49)
Если роль параметра порядка выполняет разрушение Z)0, а полевой
параметр - внешняя силасг, мы можем определить спинодальный
индекс /?5 как
|D-£>sM<r-o-slA.
(4.50)
где в случае нашей модели fis = 1 / 2. Однако, как мы увидим в главе 6,
этот выбор параметра порядка и полевого параметра не является
правильным. Поэтому и спинодальный индекс J3S =1/2 также определен неверно.
Последним в этой главе мы рассмотрим для системы с разрушением
явление так называемого спинодального замедления. О замедлении
процессов вблизи критической точки было известно уже давно, тогда как,
ввиду трудностей экспериментального исследования точки спинодаль,
подобное явление в ее окрестности было открыто лишь совсем недавно. В
этом смысле рассмотренная нами модель с разрушением является даже

128
Глава 4
Ms)
более наглядной, чем модель Изинга,
так как с легкостью позволяет
продемонстрировать явление замедления
процессов релаксации.
Рису нон 11
s
Выше на рисунке 4 мы
рассмотрели пример статистического
распределения прочности волокон, которое
было однородным в заданном
интервале напряжений. Однако подобная
однородность является идеализацией,
не существующей в природе. В
реальных системах, даже если их распределение прочности можно
аппроксимировать однородной зависимостью, всегда присутствуют шумы и
флуктуации, как отклонения от идеальной зависимости. Пренебрежение
данными отклонениями в модели разрушения, рассматривавшееся нами
ранее, ведет к потере такой важной черты поведения системы как лавины.
Рассмотрим однородное распределение пределов прочности волокон
рисунка4, однако с наложенными на него отклонениями (рисунок И).
Эти отклонения, как и само распределение, являются входными,
«вмороженными» параметрами модели и не меняются при ее эволюции.
Наличие шума в распределении прочности волокон существенным
образом сказывается на уравнении состояния системы. На графике этого
уравнения также появляются отклонения от идеальной формы
(рисунок 12). Важным здесь является то, что в результате отклонения локальная
производная dD01 dcr может измениться и даже стать отрицательной. Как
мы помним из вышеизложенного, это приводит к тому, что данные
состояния являются неустойчивыми и вызывают появление каскадного процесса
разрушения (стрелки на рисунке 12).
Рисунок 12
Таким образом, при
квазистатическом росте внешней силы система не
всегда отвечает квазистатическим
изменением роста параметра разрушения, но может
прийти в новое равновесное состояние
посредством существенно неравновесного
затухающего каскада разрушений
волокон, называемого лавиной. Поскольку
отклонения от идеальной формы
распределения прочности мы предполагаем малы-

Механика разрушения
129
ми, малыми также будут и лавины, за исключением последней,
приводящей к разрушению модели в целом.
Рассмотрим какой-то отдельный каскад разрушающихся волокон.
Если в данный момент времени t параметр разрушения равен D0yh сколько
волокон должно разрушиться на следующем шаге итерации каскада? При
заданной внешней силесг и при заданной доле разрушенных волокон в
системе D0,/ вероятность волокну разрушиться равна Р]
1-D,
. Этой
о,/
вероятностью, очевидно, и будет определяться значение параметра
разрушения на следующем шаге итерации
1-Д
(4.51)
Другими словами, мы используем уравнение (4.38) как итерационное для
организации затухания каскада разрушений в системе.
Пусть лавина находится вдалеке от точки спинодаль (точка А на
рисунке 12 является конечной точкой каскада разрушений). Используем в
этом случае линейную аппроксимацию распределения прочности волокон
на малом интервале разрушений лавины AD0, = (D0, - D0 А)
(4.52)
где D0,a - значение параметра разрушения в конечной точке лавины.
Используя (4.44), мы получаем
ДА>,,+, =
1 +
1-Яо.а da
°к dD0
v1
ДА,
(4.53а)
а У
или
1+ *А dD0
l-DM da
-АД., •
(4.536)

130
Глава 4
Перейдем в уравнении (4.536) от дискретного времени к непрерывному
AD,
0,1
1 + -
<7л dDn
1-А..А da
(4.54)
Решением этого дифференциального уравнения является
экспоненциальное затухание каскада разрушений
I ДА,,, I* е-'"*
(4.55)
где характеристическое время затухания
i dDn
Kef =!+•
1-А..А da
(4.56)
При приближении точки А к спинодаль (точка S на рисунке 12)
поведение лавин существенным образом меняется. Согласно (4.42), время
затухания каскадов расходится
/ , -» +оо при А —> S.
(4.57)
Это явление бесконечного замедления процессов релаксации возмущения
в окрестности точки спинодаль и называется спинодальный замедлением.
Оценим расходимость характеристического времени (4.56) нестрого.
Для этого, очевидно, необходимо оценить расходимость производной
dDn
■ в малой окрестности точки спинодаль
А
da
da
dDn
da
a-»s dd0
rj_da^
dD0 dD0 j
(A>,a-A>,s) =
d2a
dDn
(A>.a-Ao,s)- (4-58)
Как мы уже видели выше из (4.486), в общем случае произвольного рас-
d2a
пределения прочности волокон вторая производная
не имеет осо-

Механика разрушения
131
бенности в точке спинодаль. Поэтому согласно (4.49) расходимость
характеристического времени равна
t г ос-
1 1
■ ос •
A,a-A),sl Vl*A-*Si '
(4.59)
Более строго, в окрестности точки спинодаль линейной
аппроксимации (4.52) уже недостаточно, и необходимо использовать квадратичное
приближение
+l\P-1 —zL—+г I 2<т* \ad0; .
(4.60)
Используя (4.45) и (4.48), мы получаем
1-A,s d2a\
A£>0,tl = AD0J
2o-c dDn
AD,
0,1
(4.61a)
или
dAD,
0,1
l-£>o.s d2a
ADn
2o-s dD02
dt.
(4.616)
Решением уравнения (4.616) является
—
d2a
-
2crs
dD2
1
f - const
(4.62)
В пределе больших времен релаксации
* Фактически (4.62) является законом Омори затухания малых землетрясений в окрестности
большого. Если мы сравним малые землетрясения с поломкой отдельных волокон, а
большие - с лавиной, то сравнение закона Омори и уравнения (4.62) будет подтверждать тот
факт, что лавины больших землетрясений происходят в окрестности точки спинодаль, когда
внешняя сила тектонического нагружения достигает своего максимума.

132
Глава 4
|AD0, loci", где rs=l., (4.63)
t S
Таким образом, мы видим, что в окрестности спинодали
экспоненциальное затухание возмущений сменяется степенным. Этому степенному
затуханию отвечает свой временной спинодальный индекс rs = 1.
Основной целью создания механики разрушения как науки являлась
необходимость предсказания момента полного разрушения системы, будь
то геологический разлом, здание или самолет. Отображение явлений
разрушения на законы поведения систем в статистической физике открывает
для нас широкие перспективы в этом направлении исследований. Из
богатого экспериментального опыта систем с фазовыми переходами мы знаем,
что фазовый переход первого рода происходит при появлении критического
зародыша в метастабильном состоянии. Поэтому для предотвращения
катастрофических последствий разрушений нам необходимы
экспериментальные методы обнаружения уже имеющихся дефектов в системе. Именно
таким методом являются периодические инспекции конструкций машин, будь
то ультразвуковая диагностика целостности рельсов электропоездов или
визуальная инспекция наличия трещин в обшивке самолета. Обнаруженное
повреждение ремонтируется, и тем самым флуктуации в системе
подавляются до размера, меньшего размера критического зародыша.
Особо опасным для систем является приближение к точке спинодаль,
когда размер критического зародыша стремится к нулю. В этом случае
любые инспекции оказываются бесполезными, поскольку даже малейшие
дефекты могут вызвать каскад разрушений, ведущий к полному
разрушению конструкции. Поэтому в эксплуатации конструкций избегают
пиковых нагрузок, близких к спинодальным.
Наиболее сложной задачей является предсказание разрушения
конструкции, когда непосредственный контроль размеров зародышей в системе
является невозможным. Это происходит не только тогда, когда доступ к
системе для инспекции затруднен, как например в случае земных недр.
Кроме этого очевидного случая существует более сложная проблема, когда
накопление малых повреждений в системе подменяет собой возникновение
одного большого критического зародыша. Другими словами, критический
зародыш из гетерогенного становится «гомогенным». Это понижает
эффективную максимальную нагрузку, отвечающую спинодали, делая тем самым
катастрофическое разрушение возможным на гораздо более низких
нагрузках по сравнению с ожидаемыми. На помощь в этой опасной ситуации при-

Механика разрушения
133
ходит статистическая физика, способная обнаружить приближение системы
к спинодальной точке по аномальному поведению системы. Однако
подробное обсуждение данного вопроса выходит за рамки нашего курса.
ЛИТЕРАТУРА
Kachanov, L. М. (1986), Introduction to Continuum Damage Mechanics, Martinus
Nijhoff, Dordrecht.
Krajcinovic, D. (1996), Damage Mechanics, Elsevier, Amsterdam.
Lemaitre, J. and J.-L. Chaboche (1990), Mechanics of Solid Materials, Cambridge
University Press, Cambridge.
Narasimhan, M. N. L. (1993), Principles of Continuum Mechanics, 567 pp., John Wiley
& Sons, Inc., New York.
Rundle, J. B. and W. Klein (1989), Nonclassical nucleation and growth of cohesive
tensile cracks, Phys. Rev. Lett., 63(2), 171-174.
Blumberg Selinger, R. L., Z.-G. Wang, and W. M. Gelbart (1991), Statistical-
thermodynamic approach to fracture, Phys. Rev. A, 43(8), 4396-4400.
Zapperi, S., P. Ray, H. E. Stanley, and A. Vespignani (1997), First-order transition in
the breakdown of disordered media, Phys. Rev. Lett., 78(8), 1408-1411.
Abaimov, S. G. (2008), Applicability and non-applicability of equilibrium statistical
mechanics to non-thermal damage phenomena, J. Stat. Mech., P09005.
Abaimov, S. G. (2009), Applicability and non-applicability of equilibrium statistical
mechanics to non-thermal damage phenomena: II. Spinodal behavior, J. Stat. Mech., P03039.
Abaimov, S. G., A. Roy, and J. P. Cusumano (2009), Damage nucleation phenomena:
Statistics of times to failure, ArXiv, 0910.5179.

Глава 5
Корреляции, отклик
и флуктуационно-диссипационная теорема
В предыдущих главах мы рассмотрели примеры сложных систем. Для
каждой системы нас в первую очередь интересовало уравнение равновесного
состояния. Подобный интерес вполне оправдан - уравнение состояния
представляет усредненный отклик системы на внешние воздействия. Если
мы, например, знаем зависимость намагниченности системы от
температуры и магнитного поля, то зачастую подобного знания вполне достаточно
для практических применений. Уравнение состояния, являясь усредненным
по ансамблю законом поведения, не учитывает возможность флуктуации
системы относительно положения равновесия. Но в большинстве случаев
мы можем пренебречь флуктуациями, так как они пренебрежимо малы.
Ситуация, однако, кардинально меняется при достижении системой
критической точки фазового перехода второго рода. Флуктуации возрастают
настолько, что начинают доминировать поведение модели. Детали
микроскопического взаимодействия отдельных степеней свободы теряются на фоне
флуктуационного шума, законы поведения системы перестают зависеть от
того, что это за система, и становятся одинаковыми, универсальными для
совершенно различных систем. Рассматриваем ли мы магнитную систему,
перколяцию на решетке или разрушение материала, любая из этих систем вблизи
критической точки переходит со своих, специфических законов поведения, на
универсальные степенные зависимости. Происходит это потому, что
флуктуации становятся фрактальными, т.е., другими словами, поглощают все
возможные масштабы поведения системы, от постоянной решетки до размера
модели в целом. Фактически, флуктуации становятся макроскопическими.
Если вдалеке от критической точки большие отклонения системы от
равновесия настолько маловероятны, что их размер не превышает, например,
столкновения нескольких молекул в газе, то в критической точке ненулевую
вероятность приобретают флуктуации, которые мы можем наблюдать даже
невооруженным глазом. Так, критической опалесценцией называется явление,
при котором система жидкость-газ мутнеет при прохождении через
критическую точку. При этом объем системы разбивается на кластеры фаз, размер
которых становится сравнимым с размером самой системы, и проходящий
поток света преломляется,' или «опалесцирует», на границах кластеров.
Помимо приведенных выше доводов о необходимости описания
системы в критической точке изучение флуктуационного поведения важно

Корреляции, отклик и ФДТ
135
также и для систем вдалеке от областей фазовых переходов. Дело в том,
что знание механизма, посредством которого модель может отклониться
от положения ее равновесия, открывает новые, не рассмотренные до сих
пор законы статистической физики. Поэтому в этой главе мы переходим к
изучению флуктуации для уже известных нам моделей.
Магнитные системы, корреляции
Начнем мы наше исследование с рассмотрения корреляционных функций.
Пусть величина X(R) определена в ^/-мерном пространстве /?, и ее среднее
по ансамблю (х) и вариация 1^(Х -(х))2^ = (^2) ~(^У не зависят от/?.
Автоковариационной функцией в математике называется усреднение по
ансамблю
тогда как автокорреляционной функции отвечает автоковариационная
функция, нормированная значением вариации
Физики, как это иногда случается, не строго следуют математическим
определениям, поэтому корреляционной функцией обычно называется
функция (5.1), являющаяся на самом деле автоковариационной. Так, например,
для модели Изинга корреляционной функцией спинов называется величина
g(R) = ((x(R) - (Х)) (XW) - (X))) = (X(R)XW)) - (X)2,
(5.1)
G(R) =
((X{R)-(X))(X(R')-(X)) = (X(R)X(R'))-(X)2
((X{R)-(x)y) (x2)-(x)2
(5.2)
^,)-(^-(-))k-(-))) = (^>-<-)2-
(5.3)
Как мы видели ранее в главе 2, приближение среднего поля
(5.4)
фактически означает пренебрежение корреляциями
(5.5)

136
Глава 5
Однако, как это ни странно, именно приближение среднего поля можно
использовать для нахождения корреляционной функции. Рассмотрим
модель Изинга с взаимодействием спинов, зависящим от расстоя-
ния ./(*,>
= -/Л2>* - 1,4*и)<Г,Ъ ■ (5-6)
/=1 <ij>
Пусть внешнее магнитное поле равно нулю h = 0. Вспоминая
задачу 2.1 главы 2, найдем сперва приближение среднего поля гомогенной
системы для данного гамильтониана
(5-7)
где определяется как Ajf, =——^J(r) (5.8)
Тогда равновесное состояние задается уравнением
(
т0 = tanh|
• (5-9)
Критическая точка определяется из условия, что нулевое равновесное
решение переходит в ненулевое
?с =£./(*)• (5-Ю)
Очевидно, для п.п. модели эти формулы перейдут в решение задачи 2.1,
полученное в главе 2.
Перейдем теперь, собственно, к вычислению корреляционной функции.
По определению выполняется
(<Wr £е-0,и, - £ ... 2У^., • (5-П)
{а} а,=±1 сг„=±\

Корреляции, отклик и ФДТ
137
Раскроем сумму по значениям спина at явно
/ \ _о1=±\{а\\а, _ \а)\а,
(5.12)
Для произвольной микроконфигурации из {а} : <т, = +1 заменим все знаки
спинов, включая ai9 на противоположные. Тогда мы получим одну из
микроконфигураций {<т}:<т,=-1. Построим таким образом
взаимнооднозначное соответствие между всеми микроконфигурациями из
{ст}: cri = +1 и всеми микроконфигурациями из {а} \ стi =-\. Каждому
слагаемому (+\)ст .е~рн^а,ш* из первой суммы числителя соответствует
слагаемое (-1)(-<ту)е '~ои"°второй суммы числителя. Также каждому
слагаемому е 1 • из первой суммы знаменателя соответствует сла-
гаемое е 1 1 ' второй суммы знаменателя.
Если внешнее магнитное поле равно нулю h = 0, гамильтониан
системы (5.6) не зависит от замены всех знаков спинов на обратные
^{-сг} сг,=-1 = ^{<т}<т,=+1 •
В этом случае поставленные в соответствие слагаемые оказываются
равны друг другу
Ы)г- ^е-„,„.,... -ЬЦ. <»•»)
где в правой части равенства для знака усреднения вместо канонического
ансамбля ( ) мы использовали ансамбль также канонический, но плюс
еще содержащий влияние внешних сил на спин /: ( )Гст =+1 • Что же за
равенство мы получили? Величина ^сго^, представляющая корреляцион-

138
Глава 5
ную функцию (5.3), оказывается равной величине

соответствующей затуханию возбуждения. Действительно, пусть внешние силы
поддерживают спин а{ замороженным в положении +1. Из-за
взаимодействия спинов этот спин Gi выстроит своих соседей преимущественно в том
же направлении. Таким образом, вокруг спина а, появится
самонамагниченность, затухающая с расстоянием. Величина
т.е. полученное затухание самонамагниченности от внесенного внешнего
возмущения равно корреляционной функции системы. Это равенство
является первым, косвенным представителем флуктуационно-диссипационной
теоремы в нашей системе: затухание корреляций от узла / к узлу j в
каноническом ансамбле без дополнительных внешних воздействий на спин /
равно отклику системы в узле j на возмущение в узле /.
Для расчета величины (сг(/?. .)) мы, как и обещали выше, при-
меним приближение среднего поля. Следует подчеркнуть, что теперь мы
рассматриваем систему, у которой внешние силы навсегда заморозили
спин Gi в положении +1. Пусть этот спин находится в узле решетки R = О.
Запишем гамильтониан данной системы как
и представляет это затухание самонамагниченности.
Выше критической точки (а) = 0 , поэт<
выражение для корреляционной функции (5.3)
(а) = 0 , поэтому из (5.13) мы получаем
(5.14)
Я
(5.15)
R
где
(R) определяется согласно
(5.16)

Корреляции, отклик и ФДТ
139
и равновесное состояние задается уравнением
(ош)тм =tanh р X J(R-R')(ctr.)tm (5.17)
v r'r'*r
при R Ф О . При /? = 0 по определению
(<тм>,.+1=+1. (5-18)
В окрестности критической точки самонамагниченность мала, и
поэтому мы можем разложить tanh в ряд Тейлора
Wr/^ Z •'(*-*')<".•),„■ (5.19)
Это равенство верно вдалеке от спина а{. Вблизи спина а{ этот спин будет
действовать как источник возмущения
Mr.i=fi Z ^-^')(a,.)rtI+co«r-W. (5.20)
Фактически здесь мы учли разрывность решения (5.17-18). Предположим
взаимодействие дальнодействующим и заменим дискретную сумму интегралом
(^)r.+l=^lJ(R-R')MT^^ + const-S(R^ (5-21)
где мы отнормировали подынтегральное выражение на объем ячейки
решетки ad.
Построим преобразования Фурье для самонамагниченности и
взаимодействия
1 +00
R,,(*> " [е'кЯЫт,У* • (5.22а)
1 -к»

140
Глава 5
1 ■*»
J(k) = -^77 jeik*J(R)ddR, (5.22в)
i -ню
J(R) = \e-ik*J(k)ddk, (5.22r)
(2^)
Преобразование Фурье уравнения (5.21) дает
R,,(*> = 5^77Г f Л'ЛИЛ-Л')Ым^' + ««< • (5.23)
Разобьем экспоненту под интегралом на два множителя и сделаем
интегралы по J и (<з"л')г+1 независимыми
/? 1 (4430 ^
л- >
х
х
+ со/25/. (5.24)
Под скобками стоят преобразования Фурье (5.22а,в)
1«
поэтому для спектра намагниченности мы получаем
const
А1 '->">
(а)
Ч<"2У(Л)
(б)
к Теперь мы должны вспомнить некоторые свой-
_/ \__ ^ _/ \_ ства спектрального анализа. Преобразование дельта-
функции дает константу (рисунок 1(a)), преобразова-
ние константы дает дельта-функцию (рисунок 1(6)).
Рисунок 1 Константа и дельта функция являются двумя
экстремальными случаями представления волнового паке-

Корреляции, отклик и ФДТ
141
та. Колоколообразная функция шириной AR дает также колоколообразный
спектр шириной Mocl/М (рисунок 1(b)). Согласно этому строится
теория волнового пакета в акустике и радиофизике. Схожим явлением служит
также принцип неопределенности Гейзенберга в квантовой механике.
Взаимодействие спинов j(r) предполагается спадающим с
расстоянием. Тогда его преобразование Фурье j(k) также будет спадать с ростом
волнового вектора к. Аппроксимируем эту зависимость параболой
J{k) * J(k = 0)(l - AR2k2), (5.27)
где AR имеет порядок характеристической длины спада взаимодействия
j(R) с расстоянием.
Мы вывели уравнение (5.27) из интуитивных соображений. Получим
теперь его более строго. По определению
. +00
J(k) = -tjt \e'kRJ(R)ddR. (5.28)
Для малых к в длинноволновом приближении
eikR = \ + ikR + ^(ikR)2 +... (5.29)
Подставим это разложение в уравнение (5.28)
1 *?f 1 ^
•/(*)Я7ГТ77Г f 1 + ''М-т(**)2+- JWR. (5.30)
(2>г) _Д 1 )
Первое слагаемое в скобках дает J(k = 0)
-—J7Tjj(R)d''R^J(k = 0). (5.31)
Второе слагаемое равно нулю ввиду сферической симметрии
взаимодействия J(R) = J(\ R I)

142
Глава 5
1 ~
— jikRJ(R)ddR = 0. (5.32)
Для третьего слагаемого, опять же ввиду сферической симметрии J(\ R |),
выберем к направленным вдоль одной из координатных осей
Цттт {■L(kR)2J(R)ddR = jjt- \-k2R2J(R)ddR, (5.33)
где Rn - проекция R на эту ось. Поскольку это верно для любой
координатной оси, мы получаем
1 71, >R2
- j±k2-^-J(R)ddR. (5.34)
(2я-)"2 L2 d
Введем среднеквадратический радиус взаимодействия согласно
V R*0 V -00 ^
Тогда разложение (5.30) мы можем записать как
У(к)*У(к = 0)-
1 к2 а"
{2л:)"'2 2d
Д2 =У(к=0)
1
1 к1а" А2 ^
{2K)dl2 2d У(к = 0)
(5.36)
т.е. мы действительно приходим к уравнению (5.27).
Вспоминая уравнение (5.10), перейдем в выражении от интеграла по
взаимодействию к критической температуре
Дк = 0) " \J^ddR * 71^77 № = ТГ-ТТгТс . (5.37)
\2к) _ю (27Г) Rx0 (27Г)

Корреляции, отклик и ФДТ
143
Для спектра намагниченности мы получаем
/\ /1Ч const const ,^ „ЛЧ
(*) = „ / „ = Г• (5-38)
где в окрестности критической точки мы разложили температуру по
параметру малости
Т-Т
' = -^ (5-39)
и ввели параметр <f согласно £ = —=^=-^= . (5.40)
Как мы увидим в дальнейшем, данный параметр является корреляционной
длиной системы. Для корреляционной длины любой системы в
окрестности критической точки вводится свой критический индекс
£ос —. (5.41)
Отсюда мы сразу получаем критический индекс v= 1/2. Согласно
постановке задачи (5.14) спектр намагниченности (5.38) в присутствии
возмущения фактически является спектром корреляционной функции модели
Изинга без искусственно введенных возмущений
/f ч const ..ч
*(*) = г* <5-42)
Чтобы найти саму корреляционную функцию нам необходимо провести
обратное преобразование Фурье
• +00 +00
(2*) i i ^1

144
Глава 5
Этот интеграл выражается через модифицированную функцию Бесселя Kv
Модифицированная функция Бесселя является табулированной и
имеет асимптотики
е~х
Kv(x) ос —= при х » 1 и (5.45а)
К„(х)ос — прих« 1 и v>0. (5.456)
Поэтому корреляционная функция будет иметь следующие асимптотики
-r/4
И
R 2
g(R) х ^~7Т ПРИ ^ »<f и (5.46а)
g(R) ос —L- при R « £ и d > 2. (5.466)
Мы получили очень интересный результат. На масштабах, больших
корреляционной длины <f, корреляции затухают экспоненциально.
Экспоненциальный спад является очень быстрым, поэтому зачастую
используется грубая аппроксимация, что при превышении <f корреляции исчезают
вообще. Мы подтвердили здесь, что <f действительно является
корреляционной длиной, т.е. характеристической длиной, отвечающей
исчезновению корреляций.
Если же мы переходим на масштаб, меньший корреляционной длины,
мы неожиданно обнаруживаем степенную зависимость (5.466),
отвечающую медленному спаду корреляций. Как мы уже знаем из главы 1,
степенные зависимости зачастую являются косвенным признаком
присутствия фракталов. Именно так и происходит в данном случае. Если мы
взглянем на масштаб, меньший корреляционной длины, кластерность фаз
становится фрактальной. Фрактальность означает отсутствие характери-

Корреляции, отклик и ФДТ
145
стической длины и характеристического размера кластера. Другими
словами, присутствуют кластеры всех возможных размеров, ограниченные
лишь постоянной решетки с одной стороны и корреляционной длиной с
другой.
И не стоит забывать, что когда мы подходим к критической точке,
корреляционная длина расходится согласно (5.41). Это означает, что при
приближении к критической точке фрактальность зарождается сперва в
виде малых кластеров. Размер этих кластеров растет по мере
приближения и достигает под конец размера системы. Когда корреляционная
длина сравнивается с размером системы, весь объем модели становится
фракталей. При этом фрактальность захватывает все возможные
масштабы вплоть до размера системы - мы видим присутствие всех возможных
размеров кластеров, начиная от постоянной решетки и заканчивая
макроскопическим размером системы. Именно это означает возникновение
явления критической опалесценции как появления макроскопических
флуктуации.
При размерности решетки d = 2 уравнение (5.466) уже не
выполняется. Вместо него возникает зависимость
g(R) ос In при R «<f и d = 2. (5.46в)
R
Т.е. вместо степенного мы имеем логарифмический, еще более медленный
спад корреляций.
В случае трехмерного пространства d = 3 модифицированная
функция Бесселя находится точно в квадратурах
2
(5.47)
Для корреляционной функции мы получаем
e-R,i
А
(5.48)

146
Глава 5
Опять-таки на масштабах, больших корреляционной длины, корреляции
спадают экспоненциально быстро. На масштабах, меньших
корреляционной длины корреляции спадают медленно согласно степенному закону
g(i!) ос 1 при R « (5.49)
R
что совпадает с зависимостью (5.466).
Для корреляционной функции по определению вводится критический
индекс // согласно
SWcc^jL- приЛ«£ (5.50)
Для нашей модели мы получили rj = 0 при d > 2.
Задача 5.1
Найти корреляционную функцию п.п. модели Изинга с помощью
метода Ка да нова.
<=> Решение
Гамильтониан п.п. модели Изинга определяется согласно
' = 1 <'J>n я
Построим модельный гамильтониан, у которого внешнее
магнитное поле зависит от координат й.
Приближением среднего поля для данного модельного
гамильтониана будет гамильтониан
"W=-Mf,{hR+h*(R))<jR, (5.53)

Корреляции, отклик и ФДТ
147
где h'%}(R) определяется как h^}(R) = — ^crR,. (5.54)
2-М R'.n.n.R
Тогда равновесное состояние задается уравнением
(ая)т = tanhf/?<Le + J 2>,.)Л]. (5-55)
V I R'nnR ))
Выполним разложение (о>)г в ряд Тейлора вблизи точки R
Мт=Ыт +
(R'-R)—
R /
1
+ —
2
(R'-R)—
dR1
(5.56)
Mr
Это разложение верно, когда * " " является медленно
меняющейся функцией от R', т.е. в длинноволновом приближении.
Здесь мы будем удерживать члены разложения до квадратичного
включительно. Как мы увидим дальше, данное приближение
равносильно длинноволновому приближению (5.27), сделанному
нами выше.
Подставим разложение (5.56) в (5.55). Ввиду симметрии решетки
слагаемое первого порядка не дает вклада в сумму
(R'-R)-^-\
R У
dR
= 0. (5.57)
Для слагаемого второго порядка запишем
ч2
(R'-R)—
dR
^ R'nnR
2tit! 8R„8Rk
X (R\-Rn)(R\-Rk).
(5.58)

148
Глава 5
Здесь опять же ввиду симметрии решетки выражение под знаком
суммы не равно нулю только в случае п = к
is
(R'-R)—
dR
Mr =
2tT dR.-
Z (Л'„-Л„)2- (5-59)
VnnR
Для изотропной решетки сумма ^(R\-Rn)2 не зависит отп и
R' п п R
равна
Е(Л*л-Я„)2=Са2, (5.60)
R' п п R
где С - какая-то константа, определяемая строением решетки. В
итоге для слагаемого второго порядка мы получаем
(R'-R)
dR
Mr =
R /
Ca2fd2(aK)T
2 к dR2
Ca\l \
=—*MT>
(5.61)
где A = (w) - оператор Лапласа.
Таким образом, уравнение (5.55) переходит в
( [ Са2
Mr = tanh П^* +^(°'*)г +J—АЮг
(5.62)
где q - координатное число решетки. Для малого внешнего поля
в окрестности критической точки выполним разложение tanh в
ряд Тейлора

Корреляции, отклик и ФДТ
149
2^
+ PJq{aR)T+pj^A{aR)T -X-{pjq{oR)T)+...
J
(5.63)
Здесь в разложении мы сохранили лишь нулевые и первые
степени по полю и пренебрегли слагаемыми, содержащими квадрат
и куб поля. Также мы пренебрегли в длинноволновом
приближении слагаемыми, содержащими произведения
самонамагниченности и ее вторых производных.
Перейдем от температуры Г к ее относительному
отклонению (5.39) от значения в критической точке Тс = Jq
Фактически это выражение является уравнением (2.45) теории
Ландау, полученным нами в главе 2. Только теперь мы перешли
от гомогенной системы к системе с величинами, переменными
по пространству, и в уравнение добавилось слагаемое
отвечающее первому порядку приближения для гетерогенной
системы.
Найдем отклик слагаемых уравнения (5.64) на изменение
внешнего магнитного поля в каком-то узле решетки
Ь(°л)т+г(ал)т+±(ал)тг
J
(5.64)
dhR, ju{ 2q
dhR Jq [ Ca
2
(5.65)
Работая в дискретных переменных, мы фактически нашли
функциональную производную уравнения (5.64) по изменению
внешнего поля в точке. Величина d(crR)r Idh^ представляет собой

150
Глава 5
появление намагниченности в точке/? при появлении поля в
точке /?', то есть корреляционную функцию
g(R'-R)*
dhR.
(5.66)
Поэтому уравнение (5.65) превращается в
' Са2
2q
(5.67)
Теперь мы уже можем забыть, что мы рассматривали более
общую систему с переменным по пространству магнитным
полем (5.52) и вернуться обратно к однородному магнитному
полю (5.51) как к одному из подслучаев. Уравнение (5.67) остается
верным и для такой системы. При температуре выше
критической, если внешнее магнитное поле равно нулю h = 0, в
однородной системе без искусственно введенных внешних
возмущений самонамагниченность равна нулю (crR)T = 0
Са2
2q
A + t\g(R).
(5.68)
Домножим полученное уравнение на
суммирование по всем узлам
1 1 Л?*-. Mf Са2
<2*Г
ikR
-е и проведем
(2я) р R
У™ -
2q
A + t
l
(2*)- - ft
j +00
ll [eikR
d/2
1 Jql
Ca2 ) ,D.d"R
2q ) a {J a
(5.69)

Корреляции, отклик и ФДТ
151
-юо
Найдем jeM Ag(R)ddR =
-00
d +Jp +оо p2
= ^\ dRv..dRn .dR^.dR.e'^ ♦».-А-..*..Л.....«*А Г</д е*.К <LL =
J +00
+со
= -*2/^/?е"^(Д), (5.70)
где мы два раза проинтегрировали по частям и учли, что
корреляционная функция и ее производные исчезают в бесконечности.
В итоге мы получаем
1
(2тг)
d/2
ilia"'1 м ad )
\g(k)wmg(k) = (5.71)
Са2
Таким образом, мы возвращаемся к решению (5.42,44),
полученному выше.
Магнитные системы, ФДТ
Мы рассмотрели на примере магнитных систем как ведут себя корреляции
вблизи критической точки. Однако корреляции являются лишь одной
стороной явлений, описываемых флуктуационно-диссипационной теоремой.
Теперь мы переходим к изучению восприимчивостей.
В задаче 5.1 мы построили корреляционную функцию согласно урав-
d(aR)T
нению (5.66). Фактически величина представляет отклик систе-
dhR,
мы на внешнее воздействие. Рассмотрим опять п.п. модель Изинга с
однородным по пространству магнитным полем h. Равновесная
намагниченность системы определяется как
*о=^2>,)г. (5.72)
' V 7=1

152
Глава 5
Проварьируем это равенство по магнитному полю
^o=-I^)r=-i:i—• (5.73)
Для магнитных систем восприимчивость системы вводится согласно
(5-74)
on
как отклик равновесного параметра порядка системы пг0 на
квазистатическое изменение полевого параметра h. Мы видим, что согласно (5.73) вое-
приимчивость является усреднением величины — по решетке
dhR,
1
<5J5)
Вспоминая, что мы построили корреляционную функцию согласно (5.66),
мы получаем связь корреляций и отклика системы на внешнее
воздействие
N /=1 у=1
Поскольку мы рассматриваем однородную систему без выделенного
внешнего воздействия на один из узлов, т.е. поскольку существует
симметрия по узлам
X * I>(*o,,) = = ииг-8(* = °) • (5-77>
\dl2
7=1 R а
Другими словами, восприимчивость пропорциональна интегралу от
корреляционной функции по пространству. Это и составляет сущность флук-
туационно-диссипационной теоремы. Нам удалось связать корреляции в
системе с откликом равновесного состояния системы на квазистатическое
изменение внешних условий.

Корреляции, отклик и ФДТ
153
Величину (5.66) иногда называют не корреляционной функцией, а
локальной восприимчивостью - откликом системы в узле R на внешнее
воздействие в узле Rf. В таком случае флуктуационно-диссипационная
теорема из интегральной характеристики системы (5.77) превращается в
локальное выражение
а интеграл по пространству связывает локальную и интегральную
восприимчивости
Фактически, аналог выражения (5.78) мы уже получали ранее как
отклик (5.14) системы на внешнее возмущение в виде спина, удерживаемого
внешними силами в заданном направлении.
Поскольку в (5.66) мы построили корреляционную функцию
недостаточно строго обосновав соответствие этого равенства общему
определению (5.3), проверим выполнение флуктуационно-диссипационной
теоремы непосредственно в случае произвольной формулировки модели
Изинга. Пусть система имеет гамильтониан общего вида (5.6). Статистическая
сумма канонического ансамбля равна
так как перебор всех спиновых микроконфигураций системы означает
перебор всех микросостояний. Продифференцируем статсумму по
магнитному полю
XR.R.=g(R'-R),
(5.78)
N
(5.79)
(5.80)
5Z
dh
Zf3M(Nm)T,
т.е.
(5.81)
Второй раз продифференцируем статсумму по полю

154
Глава 5
d2Z
dh2
^teWmJV*''-' =ХФ^и)г<| =Z(№2((Nm)2)T,T.e
l a2z
(a)
((7Vm)2)r =
Z(/?/y)2 dA2 '
Восприимчивость по определению равна
1 d(Nm)T i a2inz
(5.82)
X =
N dh Npn dh2
(5.83)
Проведем дифференцирование логарифмической функции статсуммы,
чтобы мы могли вернуться к производным (5.81-82)
Х =
1
f 1 d2Z ( \ dZ
nj3m
Z dh2
Z dh
(5.84)
Как мы видим, восприимчивость представляет собой весьма
интересную величину. С одной стороны, она определяется откликом параметра
порядка системы на внешнее воздействие, а с другой - представляет
флуктуации параметра порядка. Помимо этого восприимчивость также
входит во флуктуационно-диссипационную теорему. Раскроем в
уравнении (5.84) намагниченность согласно
т
1 4-
N Ы1
Тогда равенство (5.84) переходит в
„.Ра
(5.85)
N
(1
( N \
(*
1\
\ /=1 )
У
2>, 2>,
;=1 / г \>=1
г )
-fftW-WrW,)-
/V z=l у=1
(5.86)

Корреляции, отклик и ФДТ
155
Под суммами стоит выражение (5.3), отвечающее корреляционной
функции
/?// N N
* = f !!>(*.,)• (5-87)
Ввиду симметрии по узлам
^ = ^g(JJ) = ^^pg(A=0), (5.88)
и мы получаем выражение, отличающееся от (5.77) лишь коэффициентом,
не имеющим особенности в критической точке. Таким образом, наше
предположение (5.66) в задаче 5.1 было верным с точностью до
постоянного множителя.
Магнитные системы, восприимчивость
Найдем поведение восприимчивости в критической точке и в точке
спинодаль. Для примера рассмотрим п.п. модель Изинга. Как мы уже
получили в главе 2, в окрестности критической точки выполняется
уравнение (2.45)
О = -h + 2atm0 + 4Ьт03, (5.89)
где в отсутствие поля решениями (2.46) выше и ниже критической точки
являются
т0 = 0 при t >0 и (5.90а)
т0 = ±^-^- при t < 0. (5.906)
Продифференцируем уравнение (5.89) по магнитному полю
Х=. ' (5.9D
2at +12bm0
откуда для восприимчивости выше и ниже критической точки мы получаем

156
Глава 5
Х = — при t >0 и (5.92а)
2at
Х=-г—х при г<0. (5.926)
Aa\t\
Для восприимчивости в окрестности критической точки вводится свой
критический индекс у согласно
X* — • (5.93)
|,|Г
Мы видим, что для нашей модели и выше и ниже критической точки у = 1.
Фактически, мы уже нашли этот индекс ранее. Для g(k = 0)
уравнение (5.42) дает
g(* = 0)*£2c*^p (5.94)
что приводит к тому же значению критического индекса у = 1.
Для положительного значения поля точка спинодаль задается
уравнениями (2.51)
В малой окрестности спинодаль т0 -ms выражение (5.91) переходит в
1
2ш + \2Ъ{щ2 +2щ{т,-щ))
1 ос ! (5.96)
24AJ-—(m0-ms)
Вспоминая, что намагниченность в окрестности спинодаль изменяется по
степенному закону (2.52)

Корреляции, отклик и ФДТ
157
m0-mscc\h-hs\]'\ (5.97)
для восприимчивости в окрестности точки спинодаль мы получаем
расходимость
(5.98)
|A-AS I*
где спинодальный индекс ys = 1/2 .
Магнитные системы, критерий Гинзбурга
На протяжении всей главы 2 мы использовали приближение среднего
поля, однако не вывели критерий, когда это приближение является
применимым, так как такой критерий требовал знания поведения корреляций.
Вернемся теперь к этому вопросу. Рассмотрим систему в отсутствии
магнитного поля при температуре ниже критической. Как мы видели
ранее (5.4-5), приближение среднего поля основано на пренебрежении
корреляциями
~Ыт)(<Гг-(<Гг)т)т «Юг- <5-")
Это неравенство называется критерием Гинзбурга. Как мы можем оценить
корреляционную функцию? Корреляции по порядку величины равны g в
объеме <f d, вне этого объема они равны нулю. Поэтому восприимчивость,
которая пропорциональна интегралу корреляций, равна
Xcc\g{R)ddRccg^. (5.100)
-00
Отсюда для корреляций мы получаем
-Ыт)(<г* -Ыт)т *8*у- (5-Ю1)
Какой порядок имеет средняя самонамагниченность Вблизи
критической точки, если возникает кластер другой фазы, внутри него
самонамагниченность имеет порядок

158
Глава 5
<<тД.ос|/|'. (5.102)
Подставляя в неравенство (5.99) степенные зависимости корреляционной
длины (5.41) и восприимчивости (5.93), мы получаем
\t\dv-y«\t\ip или \t\dv'2fi'r«\. (5.103)
Для нашей модели ft = 1/2, у = 1, v = 1/2. Это приводит к неравенству
</-4
\t\ 2 «1. (5.104)
При / —► 0 это неравенство выполняется только при d > 4.
Приближение среднего поля при этом действует и в критической точке, давая
правильные значения критических индексов (однако лишь приближенное
значение критической температуры). Для решеток меньшей размерности
d < 4 приближение среднего поля перестает действовать в
непосредственной окрестности критической точки. Размерность du = 4 называется
верхней критической размерностью.
В критической точке корреляции доминируют поведение, и при d < 4
составляют значительную часть {crR)T2
{(<?.-WT)(o*-Ыт)т«Ы2т- (5-105)
Это приводит к соотношению для критических индексов при d < 4
dv = ip + y, (5.106)
которое называется гипер-скейлинговым соотношением. Откуда возникло
это название легко понять. На масштабах меньших корреляционной
длины самонамагниченность определяется корреляциями (5.100-101), на
масштабах больших корреляционной длины самонамагниченность
определяется скейлингом возникающего параметра порядка (5.102)
бесконечного, «перколирующего» кластера. «Сшивка» двух различных типов
поведения на масштабе корреляционной длины, одного отвечающего
локальным фрактальным корреляциям, а другого - бесконечному кластеру,
и приводит к соотношению (5.106).

Корреляции, отклик и ФДТ
159
При d> 4 неравенство (5.99) остается верным вплоть до критической
точки, поэтому для решеток этих размерностей соотношение гиперскей-
линга не выполняется. Приближение среднего поля определяет при d > 4
критические индексы точно, и их явная связь (5.106) с размерностью
системы становится невозможной.
Как мы помним из определения корреляционной длины (5.40), £
пропорциональна среднеквадратическому расстоянию взаимодействия
спинов Д. Если мы учтем этот факт в неравенстве (5.103) явно
\t\dv'2fi'r«ii\ (5.107)
то это неравенство будет выполняться тем точнее, чем больше Д. Другими
словами, при переходе от близкодействия спинов к дальнодействию
система лучше описывается приближением среднего поля. Как мы уже знаем
из главы 2 из задачи 2.4, в предельном случае бесконечного радиуса
взаимодействия спинов решение среднего поля является точным.
Магнитные системы, теплоемкость
Последним для магнитной системы рассмотрим поведение теплоемкости.
Пусть внешнее поле равно нулю h = 0. Согласно (2.38,50) равновесная
свободная энергия п.п. модели Изинга в окрестности критической точки
равна
F0 = Nii{-2C\n2 + atm02 +bm0A +...). (5.108)
Для того чтобы найти теплоемкость, мы должны два раза
продифференцировать это выражение по температуре
С = -Т
дт
d'Fn) 0,Г>Гс
0 J с . (5.109)
3N/2J<TC
Мы видим, что теплоемкость имеет разрыв в критической точке. Для
теплоемкости вводят свой критический индекс а согласно
Для нашей модели а = 0.

160
Глава 5
Основываясь только на общих свойствах магнитных систем можно
получить неравенство, связывающее критические индексы а, Р и у
Мы видим, для рассмотренной модели Изинга данное неравенство
превращается в равенство
Теплоемкость в какой-то степени подобна восприимчивости. Во-
первых, если выбрать в качестве параметра порядка энергию системы, а в
качестве полевого параметра - температуру, то теплоемкость является
откликом системы на внешнее воздействие. Во-вторых, теплоемкость любой
термодинамической системы тесно связана с флуктуациями энергии.
Действительно, рассмотрим статистическую сумму произвольной системы
а+гр+у>г.
(5.111)
а + 2р + у = 2.
(5.112)
(5.113)
Найдем производную статсуммы по (-/?)
dZ
^}=Z(E)T
или
д(-/3)
(5.114)
Продифференцируем статсумму по (-/3) еще раз
d2Z
7 = 1("ю>2*-
=zX(tf(£1)X£l =
Z(E2)r
или
д(-Р)
(5.115)
Вспоминая аналогичную формулу (5.84), мы видим, что для того, чтобы
получить величину, отвечающую флуктуации энергии, необходимо найти
вторую производную логарифма статсуммы

Корреляции, отклик и ФДТ
161
aMnz 1 a2z
д(-/зу z d(-pf
r\ dz 42
z д(-р)
Очевидно, эта величина согласно (5.114) также будет служить откликом
равновесного параметра порядка системы на внешнее воздействие
a2inz= a dinz_d(£)r
д(-/3)2 ~ д(-р) 8(-р) ~ д(-р)
(5.117)
Чему отвечает эта величина? Подставим J3 = \/Т явно
d InZ _2 д г*,-* д л ^
- = Т —Т —InZ = Т
д(-(3)2 дТ дТ
rTd2T\nZ^
дТ2
= Т2С.
(5.118)
Таким образом, параметр, отвечающий флуктуациям энергии,
пропорционален теплоемкости с коэффициентом пропорциональности, не имеющим
особенностей в критической точке. Как мы видели выше, этот
коэффициент можно исключить, если для энергии в качестве параметра порядка
выбирать как полевой параметр не температуру, а отрицательную
обратную температуру (-/?).
Для магнитной системы можно строить две различные
восприимчивости с намагниченностью или энергией в качестве параметра порядка
X m,h
Хе,-р
5Н
dh
ИЛИ
(5.119а)
(5.1196)
Обе восприимчивости будут откликами параметра порядка системы на
внешнее полевое воздействие. Обоим восприимчивостям будут отвечать
вариации флуктуации параметра порядка. Однако лишь для
восприимчивости намагниченности мы доказали ее связь с корреляциями в системе.
Восприимчивость энергии является универсальной для всех
термодинамических систем, как содержащих корреляции, так и нет, и сложно
ожидать какой-то общей ее связи с корреляционным поведением систем. В
этом смысле поэтому только первую восприимчивость можно назвать

162
Глава 5
«истинной», соответствующей флуктуационно-диссипационной теореме
модели.
Следует ли в таком случае называть восприимчивость энергии
«ложной»? И почему она не является «истинной», если она все же
соответствует вариации физической величины? Ответы на эти вопросы легко
получить. Неявно мы уже сформулировали три критерия для физической
величины быть восприимчивостью:
1. Восприимчивость должна представлять отклик какого-то
параметра порядка <р на какое-то полевое воздействие я
дер
Восприимчивость энергии, очевидно, соответствует этому
критерию, если за параметр порядка мы выберем энергию, а за
полевой параметр - обратную температуру.
2. Восприимчивость должна соответствовать вариации параметра
порядка
Z,,=(<P2)T-(<P)T2={(?-(<P)TY)T- (5-121)
На первый взгляд данное требование казалось бы значительно
усложняет поиск подходящих физических величин, однако как
правило это не так. Следуя изложенному выше, мы видим, что в
обоих случаях восприимчивость определялась как вторая
производная логарифма статистической суммы по полевому параметру
^2 lnZ /с пл\
Х*ж =^1~- (5Л22)
дя
Произошло это потому, что полевой параметр входил в
экспоненты статистической суммы как слагаемое, пропорциональное
параметру порядка, умноженному на поле
z = £ec™*w(*> _ (5.123)

Корреляции, отклик и ФДТ
163
Поэтому если мы видим, что какой-то полевой параметр входит
в экспоненты линейно, умноженный на какую-то функцию
других параметров системы, мы выбираем эту функцию за параметр
порядка и получаем восприимчивость равной флуктуации
параметра порядка.
Так, для магнитных систем магнитное поле входило линейно в
слагаемое fi/JiNm, поэтому мы выбрали (J/jNm за параметр
порядка. Для произвольной системы в каноническом ансамбле
отрицательная обратная температура входила линейно в слагаемое
-J3E, поэтому мы выбрали Е за параметр порядка, что и дало
выполнение второго требования для восприимчивости энергии.
3. Наконец следует последнее требование, что восприимчивость
должна удовлетворять флуктуационно-диссипационной теореме.
Мы смогли доказать выполнение этого требования для
восприимчивости намагниченности, но не доказали его для общего
случая восприимчивости энергии.
На самом деле нас отделял лишь один шаг от желаемого.
Вспомним, как мы смогли доказать флуктуационно-диссипаци-
онную теорему для намагниченности. Мы использовали
формулу для вариации параметра порядка (5.84), в которую подставили
намагниченность как сумму спинов (5.85) и мгновенно получили
флуктуационно-диссипационную теорему (5.88). Почему мы не
можем сделать то же самое для энергии? Потому что в общем
случае для системы с взаимодействием степени свободы входят
в гамильтониан не аддитивно, и мы не можем рассыпать
энергию, как параметр порядка, на сумму по степеням свободы.
Однако для многих конкретных систем аддитивность энергии
вполне достижима. Рассмотрим, например, п.п. модель Изинга в
отсутствие магнитного поля. Гамильтониан, как энергия
микросостояния такой системы, будет равен
(5.124)
= -J 2>,.<ту .
(5.125)
<'J>* „

164
Глава 5
Мы по-прежнему не можем рассыпать его на сумму
энергий отдельных спинов, так как взаимодействие спинов не
позволяет этого сделать. Однако мы можем ввести переменные
для каждой п.п. пары спинов, отвечающие энергиям
взаимодействия. В новых переменных гамильтониан запишется как:
"... = 2>«.у>.. • <5-126)
<iJ>. *
Тогда используя выражение (5.116) для восприимчивости
энергии, равной вариации энергии, и подставляя в него (5.126), мы
получаем
= Е Z ^>..^..)г-(^>..>г(^..)г). (5-127)
Ввиду симметрии решетки по выбору пар
Хе-р =
= ¥■ I ((^.»..^'./>..)г-(^.>..>г<^./>..)г)' <5Л28>
где q - координатное число решетки, a Nq/2 - полное число
п.п. пар на решетке.
Мы получили флуктуационно-диссипационную теорему, но
только не для корреляций спинов, а для корреляций энергий
взаимодействия спиновых пар. Поэтому для данной модели
восприимчивость энергии является «полноправной» восприимчивостью,
необходимо лишь было понять, корреляциям каких величин она отвечает.

Корреляции, отклик и ФДТ
165
Перколяция, ФДТ
Рассмотрим теперь, как флуктуационно-диссипационное поведение
проявляет себя в случае перколирующих систем. Определим корреляционную
функцию G(R) как вероятность того, что если известно, что исходный
узел занят (и принадлежит тем самым какому-то кластеру), то узел на
расстоянии R также занят и принадлежит тому же кластеру. Поскольку для
R = 0 всегда G(0) = 1, мы видим, что в отличие от модели Изинга перко-
ляционная корреляционная функция всегда будет нормированной и тем
самым будет являться автокорреляционной функцией состояния
занятости узлов. Корреляционная длина £ по-прежнему определяется как
характеристическое расстояние экспоненциального спада корреляционной
функции с расстоянием. Вблизи порога перколяции корреляционной
длине опять поставим в соответствие критический индекс v
4<4р-РсГ- (5Л29)
Как мы увидим ниже, роль восприимчивости для задачи перколяции
играет средний размер кластера (3.16), определенный в главе 3 как
2>Ч(/>)
S\p)= * • (5.130)
Почему это именно так, мы рассмотрим позже, сейчас же будем
основываться лишь на интуитивных соображениях, что s отвечает флуктуацион-
ному поведению системы, и среднее его квадрата ^s2ns(p) представля-
5
ет среднее квадрата флуктуации. Как мы уже видели, в статистической
физике вариация флуктуации соответствует восприимчивости.
В критической точке средний размер кластера (5.130) расходится
согласно (3.18). Именно числитель (5.130) имеет расходимость в
критической точке, что легко видеть из того, что знаменатель является величиной,
ограниченной уравнением (3.12).
Задача перколяции является в некотором смысле уникальной сложной
системой, так как она дает наглядное представление кластерности в
модели. Фактически до сих пор мы неявно рассматривали две
характеристические длины. Одной из них, как мы уже упоминали выше, является
корреляционная длина, являющаяся характеристической длиной спада корре-

166
Глава 5
ляций. Если мы смотрим на систему сквозь
«окно» с линейным размером, меньшим
корреляционной длины, мы видим
коррелированное фрактальное поведение кластерности.
Это будет верно для любого размера окна от
постоянной решетки до корреляционной
длины. Если же мы переходим порог
корреляционной длины и смотрим на систему
через «слишком большое» окно, мы видим, что
кластерность перестает быть фрактальной. И
чем больше размер нашего окна превышает
Рисунок 2 размер корреляционной длины, тем больше
и больше фрактальности теряется.
Вторым характерным масштабом, возникающим в системе, является
средний размер кластера. Объемную характеристику этого масштаба
представляет средний размер кластера (5.130). Помимо объемной
характеристики числа узлов, в среднем принадлежащих кластеру, может быть
построена и линейная характеристика как средний пространственный размер
кластера. Очевидно, подобно корреляционной длине эта характеристика
также будет расходиться в критической точке. Как будет ее расходимость
связана с расходимостью корреляционной длины? Являются ли обе
характеристики совпадающими иди они имеют разные критические индексы?
Для случая задачи перколяции ответ напрашивается сам собой.
Корреляционная функция по определению представляет собой усреднение затухания
ветви кластера при уходе от его центра. Поэтому корреляционная длина
является характеристическим линейным размером кластеров. Более подробно мы
рассмотрим этот вопрос ниже, сейчас же лишь заметим, что это значительно
упрощает визуальное представление фрактальности корреляций в системе.
Пусть наша модель для простоты находится сперва ниже порога
перколяции. Если мы смотрим на систему сквозь окно с размером, меньшим
корреляционной длины, мы видим куски ветвей больших кластеров,
перколирующие окно, смешанные с малыми кластерами, полностью
помещающимися в окне. Схематично эта ситуация показана на рисунке 2 как два
наименьших квадрата, отвечающих окнам с размером, меньшим
корреляционной длины. И какой бы масштаб окна мы ни выбрали, от постоянной
решетки до корреляционной длины, мы будем видеть одну и ту же картину
фрактальности кластерности. Если же мы будем смотреть на систему сквозь
окно, превосходящее средний размер кластеров, мы по-прежнему будем
видеть кластеры, целиком помещающиеся в окне, однако уже не будет кусков
кластеров, перколирующих окно. Поведение кластерности изменилось и по-
»»****
* Nld I
****** «I* * «I* * «I
*
* * * *
*
* * * *
*
*
I* * *

Корреляции, отклик и ФДТ
167
теряло фрактальность. Сам термин
фрактальность относится к отсутствию
характеристической длины в системе. Здесь же у
нас появляется характеристическая длина,
равная размеру наибольших кластеров в
окне. И чем больше мы будем увеличивать
размер окна, тем больше и больше мы будем
отходить от законов фрактальности.
Выше порога перколяции
наблюдается аналогичная картина, только теперь
основное пространство системы будет занято Рисунок 3
бесконечным перколирующим кластером, тогда как корреляционная
длина определяет средний размер конечных кластеров, находящихся в
пустотах бесконечного. На малых масштабах внутри пустот мы видим куски
перколирующего кластера и малые кластеры всех размеров от
корреляционной длины до постоянной решетки. Поэтому картина опять фрактальна.
На масштабах, больших корреляционной длины, основную массу окна
начинает занимать J-мерная масса перколирующего кластера, где d -
размерность вмещающего пространства. Поэтому фрактальность опять
теряется (рисунок 3).
Для модели перколяции тот факт, что корреляционная длина
определяет средний линейный размер кластеров, является очевидным. Для
других систем это, однако, может оказаться не всегда так. Причиной,
вероятно, является то, что для модели перколяции корреляционная функция
непосредственно отражает свойства кластерности, тогда как для произвольной
сложной системы она определяет лишь затухание фрактальных корреляций,
но отнюдь не размер кластера. Как мы увидим ниже, в задаче перколяции
нам потребовалось свое определение корреляционной функции именно
потому, что обычное определение, используемое, например, в модели
Изинга, является неприменимым.
Задача 5.2
Найти корреляционную функцию, корреляционную длину и
критический индексу для случая одномерной перколяции.
Проверить выполнение флуктуационно-диссипационной теоремы.
Решение
Рассмотрим сперва систему ниже порога перколяции. Когда мы
определяем корреляционную функцию, про исходный узел известно,
что он занят. Вероятность G(l) того, что соседний узел принадле-

168
Глава 5
жит этому же кластеру, просто равна вероятности того, что этот
узел тоже занят: G(l) = р . Аналогично, G(R>0), как вероятность
того, что узел на расстоянии R принадлежит тому же кластеру,
равна вероятности того, что все узлы на расстояниях 1,2,..., R заняты
G(R) = pR =e-R,*ip\rjxe (5.131а)
£(/?) =-1/ln/?. (5.1316)
Для системы в точке р = рс = 1 очевидно
G(R) = \ и £(1) = +оо, (5.132)
что отвечает бесконечности корреляций в критической точке. В
окрестности критической точки р-> рс-0
£(/>)ocl/(l-/7), (5.133)
поэтому критический индекс равен v = 1.
Выражения (3.17а,б) для двух способов усреднения размеров
кластеров в одномерном случае были нами получены в главе 3
S(p)=-r—> (5.134а)
\-р
5'(Р) = 7±£. (5.1346)
\-р
В окрестности порога перколяции обе величины (5.134а)
и (5.1346) имеют порядок корреляционной длины (5.133).
Другими словами, в одномерном случае при приближении к
критической точке корреляционная длина представляет средний
объемный размер кластеров. Чем ближе мы к порогу перколяции,
тем кластеры больше. Вместе с ними растет и корреляционная
длина. При достижении критической точки корреляционная
длина расходится, что означает бесконечный размер кластеров,
сравнимый с размером системы.

Корреляции, отклик и ФДТ
169
Получим теперь аналог флуктуационно-диссипационной
теоремы для одномерной перколяции. Найдем интеграл
корреляционной функции по всем возможным расстояниям
+00 +00 +00 1 |
£<?(*) = G(0) + 2£С(Д) = 1 + 2£// = —Р- = S*. (5.135)
Таким образом, интеграл корреляционной функции равен
среднему размеру кластера S*. Это дает нам лишнее подтверждение
того, что средний размер кластеров S* действительно
соответствует восприимчивости.
Для общего случая произвольной решетки ниже порога перколяции
корреляционная функция G(R) есть по определению вероятность того,
что если узел заполнен, то узел на расстоянии R также заполнен и
принадлежит тому же кластеру. Пусть про узел в точке R = 0 известно, что он
заполнен. Вероятность того, что этот узел принадлежит s-кластеру
согласно (3.10) равна sns(p)lр . Следовательно, выбранный узел с вероятностью
пх(р)/р принадлежит 1-кластеру, с вероятностью 2п2(р)/р 2-кластеру
и так далее. Если узел принадлежит s-кластеру, он по определению связан
с (5-1) узлами. Поэтому в среднем по ансамблю исходный узел связан с
У* (5-1)—- узлами. Но по определению корреляционной функции
Т=? Р
этот узел должен быть связан с
= £ G(R) - G(0) = X G(R) -1
R*0 R R
узлами в среднем по ансамблю. Отсюда мы получаем флуктуационно-
диссипационную теорему для случая произвольной решетки ниже порога
перколяции
XW-1 = I(5-1)^^ = -^ 1 = S*-1 или
р 2>,о,)
9=1
Еад=5'. (5.136)

170
Глава 5
Для случая системы выше порога перколяции выкладки существенно
зависят от того, включаем ли мы перколирующий кластер s = +00 во все
суммы по s или нет. Также важно, учитываем ли мы перколирующий
кластер при определении вероятности соседним узлам быть занятыми при
подсчете корреляционной функции. Для ответа на эти вопросы мы должны
вернуться к магнитной системе. Модель Изинга при температуре выше
критической отвечает системе ниже порога перколяции, так как у обеих
систем при этих условиях параметры порядка равны нулю. При подходе к
критической точке корреляционная длина расходится, и спад
корреляционной функции становится степенным. При переходе через критическую
точку у обеих систем появляется ненулевой параметр порядка. У
магнитной системы он отвечает самонамагниченности, в перколяции - доли
узлов, принадлежащих перколирующему кластеру. У магнитной системы все
спины становятся выстроены преимущественно в одном направлении.
Означает ли это полную коррелированность системы по пространству? Если,
как мы это делали выше, мы внесем в систему возмущение -
противоположно-направленный спин - перевернет ли система все остальные спины в
его направлении? Если мы в жидкость, находящуюся в точке фазового
перехода первого рода, внесем газовый пузырек, вызовет ли это переход всей
жидкости в газ? Ответ - нет. Внешнее возмущение действительно
понижает энергию другой фазы и делает ее более предпочтительной, однако фазы
разделены потенциальным барьером. Для его преодоления нужен пузырек
критического размера, и изменение ориентации одного спина не сможет
перевести одну фазу в другую. Множество таких спинов с обратной
ориентацией обязаны уже существовать в системе, так как при Т > 0 фаза
определяет лишь преимущественную, но не обязательную ориентацию.
Поэтому внесенное возмущение не сможет перевести одну фазу в
другую. Что же произойдет? Вокруг нового спина возникнет область, где
соседние спины будут чувствовать его влияние. Однако размер этой
области будет определяться корреляционной длиной и будет существенно
меньше размеров кластеров в системе. Таким образом, и ниже
критической температуры мы получаем конечный размер корреляций. И чем
дальше мы удаляемся от критической точки, тем меньше становится
корреляционная длина, подавляя размер флуктуации в системе.
Таким образом, как выше критической точки, так и ниже ее
корреляции убывают по мере удаления от критической точки. Правильность
подобного представления легко проиллюстрировать. Переведем систему
через границу сосуществования из двухфазной области в однофазную. Мы
получаем либо магнитную систему в ненулевом поле, либо жидкость вне
зоны перехода первого рода. Флуктуациям в такой системе отвечает обра-

Корреляции, отклик и ФДТ
171
зование зародышей другой фазы. Каков бы ни был размер этих
зародышей, все они подавляются системой, и фазовый переход становится
невозможен. Реально возможные флуктуации, имеющие отличную от нуля
вероятность, имеют микроскопический размер. Также микроскопическим
будет и корреляционный отклик на микроскопическое внешнее
воздействие. Меж тем все спины в системе смотрят преимущественно в
направлении поля. Поэтому не следует путать общую со-ориентированность
спинов, имеющую размер системы, с их скоррелированностью, имеющей
размер корреляционной длины.
Таким образом, и для перколяции мы можем заключить, что выше
порога перколяции наличие бесконечного кластера отнюдь не означает
бесконечности корреляций. Корреляционной длине будет отвечать не
бесконечный размер перколирующего кластера, а средний размер конечных
кластеров. При уходе от критической точки перколирующий кластер
будет занимать все большую долю решетки, оставляя все меньше
возможности для существования конечным кластерам. Поэтому, как мы видели на
рисунке 7 в главе 3, средний размер конечных кластеров убывает, а
вместе с ним убывает и корреляционная длина. Таким образом, во всех
суммах по s мы не должны учитывать перколирующий кластер. Именно так
мы и поступали в главе 3, когда для расчета моментов Мк статистики
распределения использовали лишь выражение (3.8) для этой статистики,
верное для конечных кластеров, но не вводили в него дополнительное
слагаемое «конденсата», отвечающее перколирующему кластеру. Также и
при рассмотрении корреляционной функции, как вероятности узлам быть
связанными, мы опять же не должны учитывать перколирующий кластер.
При таком понимании величин все выкладки и результирующая
формула (5.136) остаются верными и выше порога перколяции.
Определением корреляционной длины служила характеристическая
длина экспоненциального спада корреляционной функции. Если
корреляционная функция спадала по степенному закону, мы видели, что этому отвечала
бесконечная корреляционная длина, так как степенная зависимость не имеет
характеристической длины. Но как быть в случае какого-то произвольного
спада корреляционной функции, не экспоненциального и не степенного?
Введем более общее определение корреляционной длины как среднеквадра-
тическое расстояние между узлами, принадлежащими одному кластеру
(5.137)

172
Глава 5
Здесь корреляционная функция играет роль распределения вероятностей в
ансамбле для различных расстояний. Это определение можно записать без
использования корреляционной функции
Z'
(5.138)
где означает сумму по всем парам узлов на решетке, которые
заняты и принадлежат одному и тому же кластеру, а ( ) означает усреднение
по всем микроконфигурациям ансамбля с заданной р. Введем радиус ги-
рации заданного s-кластера как среднеквадратичное расстояние между
узлами кластера
2Х
<i,j> е ^-кластер
<i,j> б ^-кластер
(5.139)
-s(s-l)
I <i,j> е j-кластер I
и среднеквадратический по ансамблю радиус гирации s-кластеров согласно
z*6
\<i,j> 6 я-кластер/
(5.140)
-ф-1)
Тогда корреляционная длина может быть записана как
4(р) =
S
\ </,./> 6 s-кластер/ ^
X n-s(s-l)Rl(p)
с ~
2>,-ф-1)
(5.141)

Корреляции, отклик и ФДТ
173
В пределе больших размеров кластеров s » 1
i
Z и, *Ч2о>)
Z n*s
(5.142)
Полученный результат легко интерпретировать. Вернемся опять к
формуле (5.137), когда про исходный узел известно, что он занят. Согласно (3.10)
произвольный занятый узел с вероятностью sns (/?) / р принадлежит s-
кластеру. Это означает, что этот узел будет образовывать (s -1) пар с
другими узлами этого кластера. Усредненный по ансамблю квадрат расстояния
этих пар равен Rs2(p), и для корреляционной длины мы можем записать
4(р)-
Z
i5«
(s-\)R2(p)
S
р
Z
(5.143)
что возвращает нас к формуле (5.141).
Что радиус гирации ^-кластера означает физически? Пусть центр
масс кластера расположен в точке R0
(5.144)
где сумма идет по узлам кластера. Тогда радиус гирации данного кластера:
Д.
Z(*.-*,)2
<ij> g s - кластер
Zi
<i,j> g 5-кластер
I
i Z((Jf,-*0)-(*y-*0))J
~ Z {(*, ~Ro)2 - 2(Л, -R0)(Rj -R0) + (Rj -R0?}
1
ф-1)

174
Глава 5
= j2^£(Ri-R0)2 , (5.145)
т.е. радиус гирации кластера есть среднеквадратический радиус кластера
I— УЧ^< -R0)2 , умноженный на л\2—^— .
Мы уже знаем, что на масштабах, меньших корреляционной длины,
кластеры фрактальны с размерностью D. Поэтому для ^-кластеров, если
их линейный размер Rs (р) меньше корреляционной длины, по
определению фрактальной размерности должно выполняться соотношение
socRsD или Rsocs]/D, (5.146)
связывающее меру и линейный размер фрактального множества.
Требование Rs < £ при этом переходит в
s<s4 =£D(p), (5.147)
где представляет собой объемный размер кластеров, чей радиус
гирации отвечает корреляционной длине.
Вернемся к выражению (5.142) для корреляционной длины.
Рассмотрим малую окрестность критической точки. В этой окрестности
корреляционная длина расходится согласно (5.129), и все кластеры, за
исключением самых больших, фрактальны. Будем поэтому использовать (5.146)
как аппроксимацию для всех кластеров. В выражении (5.142)
сингулярность корреляционной длины определяется согласно (5.129).
Сингулярность суммы ^ nss2 задается (3.18) как сингулярность S*. Сингуляр-
s
ность суммы ^ ns s2R2 ос ^ ns s2+2,D определяется сингулярно-
S S
стью (3.71) моментаМ* с & = 2 + 2/D
М 2(Р) ос|р-рс | - . (5.148)
2+-
D

Корреляции, отклик и ФДТ
175
Подставляя эти выражения в (5.142), для соотношения экспонент мы
получаем
т-Ъ-llD
-2v = ;k + (5.149)
или, с использованием (3.53),
avD = \. (5.150)
Что эта связь критических индексов и фрактальной размерности
малых кластеров означает физически? В главе 3 мы предположили, что
статистика размеров кластеров п5 подчиняется зависимости (3.8)
ns(p) ос s-Te-{c{p)sY , где с(р) ос\р-Рс |"* . (5.151)
Используем соотношения (5.150) и (5.129)
i 35 — и ns(p)«zs-Te-(s/s<Y . (5.152)
Таким образом, для кластеров, меньших корреляционной длины s < ,
влиянием экспоненты можно пренебречь, и статистика подчиняется
степенному закону п5{р) ос s~T. Этого можно было ожидать, поскольку все
кластеры на этих масштабах фрактальны. Для больших кластеров
экспоненциальный спад статистики становится преобладающим. Большие
кластеры s > существуют, но их мало, они не фрактальны, и их статистика
размеров также не фрактальна. Хотя куски этих больших кластеров,
вырезаемые окнами масштаба, меньшего корреляционной длины, будут также
фрактальны с той же размерностью D.
При приближении к критической точке корреляционная длина
расходится, все большие размеры кластеров становятся меньше
корреляционной длины, и фрактальность захватывает все большие масштабы. При
корреляционной длине, меньшей линейного размера системы
£ < L = N]/d, наибольшие кластеры в целом не фрактальны, хотя их
«внутренняя» структура фрактальна. При достижении корреляционной
длиной размера системы £ ос L наибольший кластер начинает перколиро-

176
Глава 5
вать. Его кусок, отрезаемый «окном» системы, имеет масштаб, меньший
корреляционной длины, и поэтому фракталей Перколирующий ос LD. По
определению параметра порядка рп(р) как доли узлов на решетке,
принадлежащей перколирующему кластеру выполняется р„ (р) = 5перк0Лиру1ОЩИЙ / Ld .
Подставляя одно выражение в другое, мы получаем
рлр)*1°~\ (5.153)
где
рлр)«\р-рс \ft и Ьк£«\р-рс р.
Отсюда мы получаем новое соотношение для критических индексов
d-D = £- или d = (l + 0a)D9 (5.154)
v
называемое гипер-скейлинговым. На масштабах меньших
корреляционной длины кластеры фрактальны. На масштабах больших корреляционной
длины перколирующий кластер перестает быть фрактальным и
приобретает размерность решетки. «Сшивая» эти два различных типа поведения
системы на масштабе корреляционной длины мы и получили
соотношение гипер-скейлинга.
Механизм «сшивания» масштабов легче всего понять для системы в
окрестности критической точки выше порога перколяции р —> рс + 0.
Поскольку система находится не точно в критической точке,
корреляционная длина велика, но конечна. Однако перколирующий кластер
существует и перколирует бесконечную систему. Будем рассматривать его
строение через «окна» размера L. При L < £ отрезаемый от кластера кусок
фракталей Перколирующий ^ LD . Однако столь малый масштаб L < £ не
является репрезентативным для бесконечного кластера, и соотношение
р^{р) ос| р- рс \fi на этом масштабе не выполняется, поскольку
критический индекс р определяется для бесконечной решетки. При L > £
отрезаемый кусок уже не фракталей, но для него теперь выполняется
^ (р) = Перколирующий 1 l* Xl р ~ pc ^ • ПРИ 1 = £ ДОЛЖНа ПРОИЗОЙТИ «СШИВ-
ка» этих двух законов поведения, что и ведет к соотношениям (5.153-154).

Корреляции, отклик и ФДТ
177
В главе 3 мы гипотезировали соотношение (3.61) для массы
перколирующего кластера, отрезаемого окном системы
Ниже порога перколяции перколирующего кластера не существует. В точке
порога перколяции этот кластер появляется, но он фракталей и имеет
размерность Д меньшую размерности решетки d. Поэтому, хотя он и
бесконечен, содержащаяся в нем доля узлов решетки пренебрежимо мала. Выше
порога перколяции перколирующему кластеру принадлежит уже конечная
доля узлов решетки, поэтому он имеет размерность вмещающей его решетки.
При этом мы должны помнить, что оценка (5.155) массы
перколирующего кластера была проведена для бесконечной системы, т.е. для
системы, размер которой много больше корреляционной длины L > %. Если
бы мы рассматривали перколирующий кластер у систем с размером,
меньшим корреляционной длины L < £, то его масса, как строго в точке
порога перколяции, так и выше порога перколяции, была бы фрактальна и
составляла ничтожную долю всех узлов решетки
Происходит это потому, что выше порога перколяции структура
перколирующего кластера имеет размерность D на масштабах, меньших
корреляционной длины, и размерность d на масштабах, больших
корреляционной длины. Если мы разобьем решетку системы на клетки окон с
размером корреляционной длины, то выше порога перколяции в каждом
окне перколирующий кластер будет иметь размерность Д тогда как
сумма всех окон имеет размерность d. Если читателю трудно представить
себе, как сумма эквивалентных объектов может иметь размерность,
отличную от размерности каждого объекта в отдельности, мы можем
предложить следующую иллюстрацию. Выше порога перколяции, при
размере системы, меньшем корреляционной длины L < %, перколирующему
кластеру принадлежит число узлов, задаваемое уравнением (5.156). При
размере системы, большем корреляционной длины L > £, выполним уже
упомянутое разбиение решетки системы на окна с размером, равным
корреляционной длине. Число узлов в каждом окне будет по-прежнему зада-
NPJp,L)cc\
0,р<рс
L°,p = рс ,
Ld,p> рс
(5.155)
NPJp,L)ccLD,p>pc,L<4.
(5.156)

178
Глава 5
ваться (5.156) с заменой L на £, т.е. будет равно %° . Всего таких окон
будет (Ы%У. Поэтому полное число узлов, принадлежащих
перколирующему кластеру, будет равно %D(LI %)d
NP„(p,L)ccl
L°,L<S
L
4)
при p>pc.
(5.157)
Мы видим, что размерность D при увеличении размера системы
действительно переходит в размерность d с коэффициентом пропорциональности
£D_</. Для бесконечной решетки L > % соотношение (5.157) дает
UJ
= при р > рс.
(5.158)
Но для бесконечной решетки для параметра порядка (/?,+<») определен
критический индекс Р согласно /^(ргК») °с| р - рс \fi> а Для
корреляционной длины - критический индекс v согласно £ ос| р - рс \~v. Подставляя
обе зависимости в (5.158), мы вновь возвращаемся к (5.154).
Функциональная зависимость (5.157) может быть записана в виде
скейлинг-функции
NP„(p)ccLD
U<<?
d-D
(5.159)
отвечающей за эффект конечного размера системы. Роль скейлинг-параметра
играет отношение корреляционной длины к размеру системы. Выбор
определенного значения этого параметра отвечает выбору соответствующего
поведения системы. Более подробно к скейлинг-функциям мы вернемся в главе 9.
Соотношение гипер-скейлинга (5.154) верно при d < 6 и неверно для
d > 6 и решетки Бете. Поэтому размерность d = 6 играет роль верхней
критической размерности в перколяции.

Корреляции, отклик и ФДТ
179
При выполнении
г-2
< 1 и d < 6 выполняется
т-к-1
= fi +
1-к
= p + vD(\-k) = vd-kvD.
(5.160)
G
поэтому для полученного в главе 3 выражения для момента Мк мы можем
записать
Это выражение иллюстрирует, что при увеличении к на единицу значение
логарифма момента возрастает на In s4 = D In £ .
Перколяция, отличие от систем статистической физики
Для решения задачи перколяции мы построили свой независимый ряд
величин п5, Л», S , G(R), £ которые отдаленно напоминают понятия
классической статистической физики, введенные нами для модели Изинга,
однако не обнаруживают с ними прямой связи. Так, корреляции, флуктуации и
отклик требовали своих определений и не были привязаны к
определениям статистической физики. Почему это произошло, и существует ли
какая-то связь между определениями?
Рассмотрение этого сложного вопроса, плохо описанного в
литературе, мы начнем с корреляционной функции. Введем для перколирующей
системы спиновые переменные о{. Для этого разместим в каждом узле
спин, который может принимать значения +1, если узел занят, и 0, если
узел свободен. Следуя определению (5.3), классическая корреляционная
функция для перколяционной системы запишется как
g(Ry) = ((<T-«Tt >p)(G-<Gj >,)) =<<7,<7у >p-<(Tj >/• (5.162)
Для заданного р спин принимает значение +1 с вероятностью р и значение
0 с вероятностью 1 - р . Поэтому
(5.161)
<<т, >р=1-р + 0-(1-р) = р и <<т/ >р=12-р + 02 (1-р) = р, (5.163)

180
Глава 5
и равенство (5.3) переходит в
g(*,y) = ((<r, -/>)(<т,-р))р =<aicjj >р -р2. (5.164)
Слагаемое < сг.сг; >р представляет собой усреднение по всем
микроконфигурациям заполнения решетки, отвечающим заданному р
<<Tiai>p^^r. (5.165)
\о\р
Как мы делали это для модели Изинга, разобьем суммы числителя и
знаменателя на две подсуммы, отвечающие различным состояниям
заполнения узла /
{а} р,<т,=+\ {о} р,<т,=0 {а} р,а,=+1 {а}:р,<т,=0
где суммирование ^ идет по всем микроконфигурациям, отвечаю-
щим заданному /?, у которых узел i заполнен, а суммирование
{а} р,а,«0
идет по всем микроконфигурациям, отвечающим заданному /?, у которых
узел / свободен.
Суммы в знаменателях равенств (5.165-166) легко получить
аналитически. Так, сумма ^Tl соответствует числу микроконфигураций, OTBe-
^Jp
чающих заданному р
1= : , (5.167)
{а}р (Мр)\(М(\-Р))Г
как число способов, которым можно разместить Np занятых узлов и
N(1 - р) пустых узлов на решетке с N узлами. Также можно посчитать

Корреляции, отклик и ФДТ
181
сумму ^Tl как число способов, которым можно разместить Np-\
\а) р,а, =+1
занятых узлов и N(\-р) пустых узлов на решетке с N-\ узлами (так
как нам известно априори, что узел / занят)
£1 = (Ы! . (5.168)
(Np-l)\(N(l-p))\
Аналогично
= и
1„7£-о (Л^)!(/У(1-р)-1)!
Поэтому сумма (5.167) пропорциональна сумме (5.168) с коэффициентом
пропорциональности 1/р
Л^(/Ур-1)!(/У(1-р))! p(Np-l)\(N(l-p))\ Рм%^
и мы можем записать уравнение (5.166) как
{a) p,at=+l
Мы получили, что среднее < охоj >р по всем возможным
микроконфигурациям, отвечающим заданному/?, пропорционально с коэффициентом
пропорциональности р среднему значению спиновой переменной в узлеу,
взятому при условии, что известно, что узел i на решетке искусственно
поддерживается внешними силами заполненным.
Среднее (а,Л также легко вычислить аналитически. Влияние
\ 11 р,<?,=+\
того факта, что узел / заполнен априори, сводится только к тому, что
теперь Np -1 заполненных узлов должны быть равномерно распределены
по N-1 узлам. Поэтому для вероятности узлуу быть заполненным мы
сразу получаем

182
Глава 5
\ J / р,(Т,=+\
Np-\
N-\
(5.172)
и равенство (5.171) переходит в
<°Pj >р=Р2-
(5.173)
Этот результат очевиден и мог быть получен много раньше.
Действительно, состояние заполнения узлов i и j практически независимо.
Зависимость (5.172) сводится лишь к тому, что заполнение одного узла понижает
вероятность другому узлу быть заполненным. Однако этой зависимостью
в термодинамическом пределе N ->оо можно пренебречь и узлы считать
полностью независимыми. Тогда мы сразу получаем
и корреляционная функция (5.164) равна нулю, как и должно быть для
независимых узлов.
Однако, как мы видели выше, перколяционная корреляционная
функция G(R) отнюдь не обращалась в ноль. Произошло это из-за того,
что построенная нами корреляционная функция G(R) требовала от узла на
расстоянии R не просто быть заполненным, но и принадлежать тому же
кластеру. Именно учет кластерности делает задачу перколяции не
похожей ни на одну из систем классической статистической механики. Сам
факт перколяции, то есть появления перколирующего кластера, означает
появление кластерности с размером, равным размеру системы.
Корреляционная же функция (5.164) модели Изинга не заботится о том,
принадлежат ли спины одному и тому же кластеру фазы, а лишь о том, как
быстро спадает воздействие одного спина на его соседей. Поэтому
классическое определение корреляционной функции (5.164) является
неприменимым к задачам перколяции.
А поскольку вариация
рм1>р«т) >„ =
(5.174)
' ((0-,-<<7, >„)')=< о",' >„
>р =
(5.175)
фактически есть корреляция, взятая при / = j, мы сразу видим, что
флуктуации, введенные согласно (5.175) также не будут описывать поведение

Корреляции, отклик и ФДТ
183
перколяции, так как не имеют особенностей в точке порога перколяции.
От флуктуации локальных переменных нам необходимо перейти к флук-
туациям кластерности.
Перколяция, ансамбль кластерности
Какой параметр порядка должны мы тогда выбрать? И в каком ансамбле
рассматривать нашу систему? Сразу ясно, что исходный
микроканонический ансамбль уже не будет приемлемым. Задавая р мы задаем долю
заполнения узлов и тем самым задаем микроканонический ансамбль для
различных микроконфигураций на решетке. Действительно, все
микроконфигурации мы рассматривали как равновероятные, лишь бы они
соответствовали заданному р. А это является постановкой задачи именно
микроканонического ансамбля. Однако ни корреляции (5.164), ни
флуктуации (5.175) этого ансамбля не характеризуют перколяцию. Почему это
произошло? Потому, что микроканонический ансамбль определяет лишь
долю заполненных узлов, но не заботится об их кластерности. Для такого
ансамбля не является важным, образовали ли заполненные узлы
множество мелких кластеров или один большой, перколирующий. Меж тем
именно кластерность определяет поведение задачи перколяции как задачи,
требующей касания перколирующим кластером обеих границ системы.
Поэтому от микроканонического ансамбля мы обязаны перейти к
ансамблю кластерности. Другими словами, для статистической суммы мы
должны перейти от суммы по ненормированным вероятностям
микросостояний к сумме по вероятностям кластеров. Определим статсумму задачи
перколяции согласно
Предполагая, что нормализованное кластерное число подчиняется
зависимости (5.151), будем для простоты рассматривать решетку Бете с £= 1
как выше, так и ниже порога перколяции. Продифференцируем статсумму
по полевому параметру (-с)
+00
(5.176)
(5.177)
где усреднение размера кластеров по ансамблю фактически равно
среднему размеру кластеров S

184
Глава 5
1 +оо
(s)P=^Hsns(P)sS- С5-178)
^ 5=1
Продифференцируем статсумму по (-с) еще раз
d2Z
= Zs2ns(p) = z(s2) , (5.179)
d(-cY t
где усреднение квадрата размера кластеров по ансамблю фактически
определяется средним размером кластеров S
I \ 1 +»
(A =-Ss2ns{p) = S-S'. (5.180)
Вторая производная от логарифма статсуммы будет равна вариации
размеров кластеров в ансамбле
d2
С другой стороны, эта производная равна отклику среднего размера
кластеров (s)p , как параметра порядка, на изменение полевого параметра (-с)
£J*4 = _L^. (5.182)
d(-c)2 d(-c)
Поэтому очевидным будет определить восприимчивость как
В окрестности порога перколяции величина S не имеет особенностей, тогда
как величина 5* расходится согласно (3.18). Поэтому поведение
восприимчивости в критической точке определяется именно расходимостью 5*
*,.-c*i—Цг- <5Л84>
\P-Pc Г

Корреляции, отклик и ФДТ
185
Определим равновесную свободную энергию для нашей системы как
минус логарифм статсуммы
F0 =-lnZ. (5.185)
Как мы помним из главы 3, статсумма является моментом нулевого
порядка М0 распределения размеров кластеров. Для момента нулевого
порядка мы получили выражения (3.79б,82в). Поэтому после разложения
логарифма в ряд Тейлора аналогичное выражение будет справедливо и для
свободной энергии (5.185)
F0 = constx + const2 \ р-Рс f/a +const3 \ р-Рс \2~а . (5.186)
Дифференцируя это выражение два раза по р и предполагая основную
расходимость возникающей в третьем слагаемом, мы получаем аналог
теплоемкости
d2F
С ос ± ос const | р - рс Г . (5.187)
dp
Однако подобный «кластерный» подход построения статистической
суммы (5.176) для задачи перколяции не выдерживает критики. Во-
первых, в статистической физике мы привыкли к тому, что вероятность
макросостояния или статсумма определяются борьбой двух множителей,
статвесом и вероятностью микросостояния, оба из которых содержат
экспоненциальную зависимость от N -> +оо. В статсумме (5.176), где
термодинамический предел степеней свободы N —> +оо заменяется
термодинамическим пределом «кластерности» s —> +оо, лишь один сомножитель
содержит экспоненциальную зависимость от s, тогда как второй является
степенным законом. Потеря экспоненциальной зависимости одним из
множителей приводит к тому, что максимум вероятности уже не является
острым и статсумма уже не равна своему наибольшему слагаемому.
Во-вторых, для восприимчивости (5.183) флуктуационно-диссипаци-
онная теорема (5.136) выполняется лишь в окрестности порога
перколяции, тогда как в общем случае «настоящей» восприимчивостью (5.136)
является S .
Кластерный подход построения статистической суммы в задаче
перколяции является до сих пор не созданным, и мы не знаем пути его созда-

186
Глава 5
ния. Что нам необходимо для решения проблемы? Нам нужны две
функции, экспоненциально зависящие от числа степеней свободы, борьба
которых привела бы к появлению острого максимума вероятности.
Однако что может послужить этими функциями? Одну из попыток,
наиболее успешную, мы только что проиллюстрировали. Кроме этого в
литературе существуют намеки о том, что к борьбе двух сомножителей
можно придти, если вернуться к точному описанию (3.23). Рассмотрим в
качестве примера решетку Бете, когда все решеточные звери, отвечающие
одному s, обладают одинаковым периметром ts. Также для решетки Бете
выполняется £ = 1. В этом случае (3.23) переходит в
Вырождение решеточных зверей gs является экспоненциально быстро
растущей функцией (3.506) от s, тогда как вероятность конкретной
конфигурации р*(\-рУ' - экспоненциально быстро убывающей функцией
от s. Мы видим борьбу двух экспоненциальных множителей, как и в
случае задач статистической физики.
Однако такой подход также не выдерживает критики, так как
результирующая статистика размеров кластеров лЛ вместо острого максимума
по s имеет монотонный спад (3.8). Так могло получиться, только если
gs = o(sa)econsVs. В этом случае две экспоненциальные зависимости, gs и
ps(\-p)1' = o(s^-{const+c(p))\
схлопываются в одну
л, =*,Р'0-/>)'' =0(sa^)e-cip)\
и максимум ns определяется «перетягиванием каната» не между
экспоненциальными множителями, а между одним экспоненциальным и одним
степенным множителем. Как мы увидим в главе 7, аппарат
статистической физики хорошо работает, только если «перетягивание каната»
происходит между экспоненциальными множителями. В этом случае можно
пренебречь степенными зависимостями, и формализм, описывающий
поведение, становится модельно независимым. Если же в «перетягивании
каната» учет степенных множителей, являющихся модельно зависимыми,

Корреляции, отклик и ФДТ
187
является существенным, это разрушает непосредственную применимость
описания поведения с помощью формализма статистической физики.
Поэтому из-за сокращения одной из экспоненциальных зависимостей задача
перколяции является вырожденной.
Нам так и не удалось найти правильный выбор противоборствующих
функций, сводящий задачу перколяции к формализму статистической
физики. В этом смысле построение аналогии оказывается не полным.
Решение этой проблемы мы оставляем читателю в качестве домашнего
упражнения.
Разрушение, ФДТ
Последним мы рассмотрим флуктуационно-диссипационное поведение
системы с разрушением. Для случая е = const восприимчивость
построить довольно легко. Рассмотрим статсумму системы (4.21)
^Е^ = ^ие-^,где (5.188)
{d} №}
Р'Я ее 1 / Teff ее In '-p(£g> . (5.189)
?{Es)
Следуя правилам, изложенным выше, очевидным здесь будет выбрать
величину (- /Зе/Г) в качестве полевого параметра, a ND в качестве параметра
порядка. Удельная восприимчивость тогда определяется как отклик
равновесного параметра порядка системы на изменение внешнего полевого
воздействия
х^яЛ^гу (5Л90)
Найдем первую и вторую производные статсуммы по полевому
параметру
82' = У NDe-**m = Z(ND) „, (5.191а)
—^— = y(NDfe-^m=z((ND)2) . (5.1916)

188
Глава 5
Для восприимчивости мы можем записать
52lnZ 1 d2Z 1 { dZ
N*m,-F* Q^pttf z d(-/3eff)2 Z2 [d(-fff))
= {(ND)2)cp-(ND)sp2 =((ND-(ND)J)ep. (5.192)
Таким образом, мы отчасти доказали флуктуационно-диссипационную
теорему - восприимчивость, определенная как отклик параметра порядка
на изменение полевого параметра, равна флуктуации параметра порядка.
Для полного доказательства теоремы нам необходимо построить
корреляционную функцию, чей интеграл должен быть равен восприимчивости.
Это, очевидно, также легко сделать. На решетке волокон построим
спиновые переменные сг,. Для этого каждое волокно заменим спином,
принимающим значение +1, если волокно цело, и 0, если волокно разрушено.
Параметр разрушения D в новых спиновых переменных равен
и для его вариации мы можем записать
'tt{^,)..r-^.A"l)J- <s-,94>
Ввиду симметрии решетки
((^)2Ь-(^>./-^Е^).,-<^>.>у>.Д <5195>
и для восприимчивости мы получаем
=tt^yL-<^).>y). X (5Л96)
у=1

Корреляции, отклик и ФДТ
189
что и требовалось доказать - восприимчивость равна интегралу от
корреляционной функции.
Найдем теперь восприимчивость непосредственно. Для этого
необходимо дважды продифференцировать статсумму (4.19) по полевому параметру
Xnd.-!* =Л>(1-Л>), (5.197)
где D0 определяется равенством (4.11).
Для ансамбля а = const механика становится не-Гиббсовской, и мы
уже не можем опираться на дифференцирование статсуммы по внешнему
полю для нахождения величины, отвечающей восприимчивости. Можно
было бы конечно предположить, что разумным выбором параметра
порядка будет по-прежнему параметр разрушения Дав качестве полевого
параметра обоснованным кажется выбор а
dDQ
Х*^< (5.198)
да
Именно такой выбор зачастую встречается в литературе. Тогда,
вспоминая для окрестности спинодаль параболическую зависимость напряжения
от разрушения (4.49), мы сразу получаем
X*- (5.199)
где спинодальный индекс у$ =1/2 совпадает со спинодальным индексом
магнитной системы (5.98). Однако мы сразу должны предупредить
читателя, что выбор величины (5.198) в качестве восприимчивости является
неверным, и тем самым неверным оказывается и спинодальный индекс
/$ = 1 / 2. Какие шаги должны быть предприняты в случае не-
Гиббсовской механики для поиска восприимчивости и какая величина
является на самом деле восприимчивостью для ансамбля а = const системы
с разрушением мы обсудим в следующей главе.
ЛИТЕРАТУРА
Ландау, Л. Д. и Е. М. Лифшиц (2001), Теоретическая физика, Том V,
Статистическая физика, Часть 1, Изд. пятое, Физматлит, Москва.

190
Глава 5
Квасников, И. А. (2002), Термодинамика и статистическая физика, Том 2, Ста-
тистическая физика: Теория равновесных систем, 429 стр., URSS, Москва.
Pathria, R. К. (1996), Statistical Mechanics, 2nd ed., 529 pp., Butterworth-Heinemann,
Oxford.
Goldenfeld, N. (1992), Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group,
394 pp., Addison Wesley, Reading, MA.
Stauffer, D. and A. Aharony (1992), Introduction to Percolation Theory, 2nd ed., 181
pp., Taylor&Francis.
Abaimov, S. G. (2009), Applicability and non-applicability of equilibrium statistical
mechanics to non-thermal damage phenomena: II. Spinodal behavior, J. Stat. Mech.,
P03039.

Глава 6
Вероятность флуктуации
В предыдущей главе мы рассмотрели корреляционное и флуктуационное
поведение сложных систем. Также мы нашли, что восприимчивость является
одной из «стержневых» величин статистической физики, связывающей
воедино корреляции и отклик системы на внешнее воздействие. Помимо этого
восприимчивость задавала вариацию параметра порядка. Однако для
описания флуктуационного поведения нам недостаточно знать только его
вариацию, важным является также само исходное распределение вероятностей.
Кроме того, существуют системы, например модель с разрушением при
постоянстве внешней силы, в которых статистическая сумма неизвестна или не
существует. В этом случае, как мы увидим ниже, только распределение
вероятностей способно ответить на вопрос, что является параметром порядка и
какую величину нам следует называть восприимчивостью. Поэтому в этой
главе мы переходим к изучению распределения вероятностей флуктуации.
Модель Изинга
Рассмотрим п.п. модель Изинга в приближении среднего поля (2.39, 41)
Как мы видели в главе 2, вероятность макросостояния \{т}} системы
(вероятность системе иметь флуктуацию с намагниченностью т) равна
2
(6.1)
(6.2а)
где
\ + т . 1 + т 1 - т . 1 - т
+ fijuhm + PfiCm2.
(6.26)
Максимум этой вероятности
(6.3)
8т

192
Глава 6
отвечает наиболее вероятному состоянию определяемому
уравнением (2.42)
т0 = tanh(>S/i(A + 2Ст0)).
(6.4)
В окрестности критической точки (2.43) Тс = 2Сц уравнение (6.4)
переходит в (2.45)
О = -й + 2atm0 + Abm02.
(6.5)
Выполним разложение логарифма вероятности (6.2) в ряд Тейлора по
малым флуктуациям m вблизи равновесного т0
ln^}l=ln^Lu+-
1 d2\nW<r{m
К}}'
2 8т2
(т-т0)2 +
6 дт> 4 24 дтА
(т-т0)*.
(6.6)
Для второй производной, выполняя разложение по малым параметрам f, h
и m, мы находим
1 d2lnWL
N dm2
-— -—— + 2PnC*~t-m2 = l- . (6.7)
2 1 + /w0 2 1-/и0 2C^
Здесь для восприимчивости Хытм мы использовали полученное в
предыдущей главе выражение (5.91), которое справедливо как при нулевом, так
и при ненулевом внешнем поле. Аналогично можно найти третью и
четвертую производные
1
N dm1
AT 3,л4
= -2m0,
= -2,
(6.8)
(6.9)

Вероятность флуктуации
193
Подставляя (6.7) в (6.6), для вероятности флуктуации мы получаем
распределение Гаусса,
где, как мы уже это знаем из главы 5, восприимчивость играет роль
вариации распределения и определяет размах относительных флуктуации
самонамагниченности
Подчеркнем, что мы до сих рассматривали лишь малость величин t, h и w,
однако не заменяли равновесное значение самонамагниченности т0 ее
значением в критической точке тс или спинодальной точке т$. Поэтому
полученное распределение вероятностей по неравновесным состояниям
вокруг равновесного т0 верно для любого значения m0i лишь бы только
оно находилось в окрестности критической точки.Рассмотрим сперва, что
происходит, когда т0 стремится к критической точке
При приближении к критической точке, как сверху, так и снизу,
восприимчивость расходится согласно (5.93). Это означает расходимость
флуктуации (6.11), и в самой критической точке флуктуации становятся
бесконечны. Более строго, вторая производная (6.7), а также третья
производная (6.8) становятся равными нулю, и распределение вероятностей
флуктуации перестает быть гауссовым по намагниченности. Вместо этого
возникает распределение, определяемое членом четвертой степени (6.9)
разложения (6.6)
(Nm-Nm^Y
4C(NXNmh)
(6.10)
(6.11)
тс = 0, Ас = 0 .
(6.12)
i2jv3
(6.13)
что дает для относительных флуктуации самонамагниченности
SNm 1
(6.14)

194
Глава 6
Рассмотрим теперь точку спинодаль (2.51)
6b
1 at
~6b
(6.15)
При приближении к точке спинодаль восприимчивость расходится
согласно (5.98), что опять означает расходимость флуктуации (6.11). В самой
точке спинодаль вторая производная (6.7) становится равной нулю, тогда
как третья производная (6.8) остается ненулевой. Локальный максимум
распределения вероятностей при этом исчезает, превращаясь в точку
перегиба, ведущую в глобальный максимум. Поэтому для системы,
находящейся строго в точке спинодаль, говорить о флуктуациях бессмысленно.
Модель с разрушением
Для системы с разрушением рассмотрим сперва ансамбль е = const.
Вероятность макросостояния {{/)}} (вероятность наблюдать флуктуацию,
имеющую разрушение D) равна (4.9)
f(D) = -D\nD-(\-D) ln(l -D)-DITeff.
(6.16a)
(6.166)
Максимум этой вероятности
dD
= 0
(6.17)
задается уравнением равновесного состояния (4.11)
D0 = P(Es).
(6.18)
Выполним разложение логарифма вероятности (6.16) в ряд Тейлора
по малым флуктуациям D вблизи равновесного D0
""2 BD2
(D-D0)2+...
(6.19)

Вероятность флуктуации
195
Вторая производная вероятности в точке равновесного состояния равна
1 d'biWtf-
N dD2
1 1 (6.20)
D0(l-D0) xm.-fi*
где xnd-f» ~ восприимчивость (5.197), найденная нами в главе 5. За
исключением тривиальных точек D0 = 0 и D0 = 1 восприимчивость всегда
конечна. Поэтому распределение вероятностей всегда является гауссовым
\{d}} г" '
Щ&)*е *Л*»-") (6.21)
Как это и должно было получиться, восприимчивость равна вариации
распределения вероятностей параметра порядка. Относительные
флуктуации параметра разрушения при этом равны
ND V N v '
В главе 5 мы требовали от восприимчивости быть вариацией
параметра порядка и находили величину, отвечающую восприимчивости, два
раза дифференцируя логарифм статистической суммы по полевому
параметру. Однако подобная методика априори не работает в случаях, когда
статистическая сумма неизвестна или не определима. С подобной
ситуацией мы столкнулись в модели разрушения при постоянстве внешней
силы а = const, когда не-Гиббсовская механика системы не позволила нам
построить статистическую сумму модели. Однако, очевидно, совершенно
необязательно знать статистическую сумму, чтобы определить, какие
величины будут служить параметром порядка и его восприимчивостью. Как
мы видели на примере магнитной системы в этой главе, ответить на эти
вопросы может распределение вероятностей.
Для модели с разрушением в случае ансамбля а = const вероятность
макросостояния {{d}} равна (4.36)
Щ$) = Чо}}< = • W (6.23а)
f(D) = -DlnD-(l-D) ln(l - D) +

196
Глава 6
(6.236)
Максимуму этой вероятности
r?f I
3D
= 0
(6.24)
соответствует уравнение состояния (4.38)
D0=P\
(6.25)
Разложим логарифм вероятности (6.23) в ряд Тейлора по малым
флуктуациям D вблизи равновесного Д>
In ffjjojj = In ff((n н + — "
2 dD2
(D-D0)2 +
+ 15МпЩ
6 dD'
, 1 d'lnWftf,
24 5D4
ф-£>0)4-
(6.26)
Вторая производная вероятности в точке равновесного состояния равна
1 д2ЫУ^
N dD2
1
D0(l-D0)
Z И
I Q-D0)2 lo°
(6.27a)
или, используя (4.44),
1 S2lnW^
N dD2
1
Л,(1-Д>)
l-D0 da
(6.276)
По аналогии с предыдущими системами логичным будет определить
восприимчивость для нашего ансамбля как вариацию флуктуации пара-

Вероятность флуктуации
197
метра порядка, т.е. как обратную вторую производную логарифма
вероятности
1 д21*Що})
N dD2
о0
Xnd,i
1-
— P'l
(1-D0)2
= D0(\-D0)
(6.28a)
'1+_^_^Т.(6.28б)
l-D0 dcr
Тогда распределение вероятностей будет гауссовым, и в качестве
удельного параметра порядка будет выступать параметр разрушения
(лго-лтд,)'
(6.29)
Относительные флуктуации параметра разрушения определяются
прежней формулой
SND \Xm.i
ND
N
(6.30)
В окрестности точки спинодаль восприимчивость (6.286) расходится
согласно асимптотике
V do
Вспоминая (4.49), мы получаем
1
(6.31)
Хтр.
(6.32)
где спинодальный индекс ys = 1.
Таким образом, отталкиваясь от распределения вероятностей как от
исходной точки, нам удалось показать, что для системы с разрушением в
ансамбле а = const параметр разрушения будет выступать в качестве па-

198
Глава б
раметра порядка, и его восприимчивостью будет служить
величина (6.286). Поэтому восприимчивость (5.198), определенная нами ранее в
главе 5, на самом деле не является восприимчивостью и соответствует
неверному значению спинодального индекса ys.
Для восприимчивости (6.286) нам необходимо также доказать, что
она подчиняется флуктуационно-диссипационной теореме. Поскольку мы
уже показали, что она отвечает вариации параметра разрушения,
доказательство является полностью аналогичным доказательству (5.194-196)
приведенному нами в главе 5 для ансамбля е = const.
Последним для восприимчивости (6.286) нам необходимо построить
ее соответствие отклику системы на внешнее воздействие. Здесь ситуация
остается неясной. В частности, неизвестно, что выступает в данном случае
в роли полевого параметра. Чтобы построить отклик системы на внешнее
воздействие, мы должны предположить, что восприимчивость (6.286)
является производной равновесного параметра разрушения £>0, как
параметра порядка, входящего в статистическое распределение (6.29), по какому-
то полевому параметру (?)
дР0
5?
(6.33)
Тогда неизвестный полевой параметр будет определяться
интегрированием
dD
\D{\-D)
1-
■т
dD
im-D)
I—
1 P-'(D)
l-D dP-\D)
dD
1 1
l-D d\nP-\D)
dD )
(6.34)
где D0 должно выражаться из уравнения состояния (6.25), оставляя
зависимость нового полевого параметра (?) лишь от внешней силы а. Однако,
к сожалению, интегрирование (6.34) не удается выполнить аналитически
для произвольной функции интегрального распределения Р.

Вероятность флуктуации
199
Расходимость восприимчивости (6.32) будет означать расходимость
флуктуации (6.30). Вторая производная (6.27-28) при этом становится
равной нулю. Чтобы ответить на вопрос, что происходит при этом с
распределением вероятностей, необходимо найти высшие производные.
Третья производная в точке спинодаль равна нулю
1 д3'п0%и
N dD3
(6.35)
тогда как четвертая производная оказывается ненулевой
1 dUnfV^
N dD4
Ds0-Ds)
\-Ds d2a
dD2
(6.36)
is У
и для распределения вероятностей мы получаем
(ND-ND,)4
{{d}\
ос е
(6.37)
То, что третья производная оказалась нулевой свидетельствует о том, что
в нашу модель (как и в уравнение Ван-дер-Ваальса) не был заложен
механизм определения устойчивости равновесных состояний, и для
равновесного состояния с отрицательной производной
ад
да
±<0
модель также дает максимум вероятности. У правильно построенной
модели третья производная не должна быть равна нулю, а наоборот, должна
давать перегиб, переводящий систему в глобальный максимум
вероятности, отвечающий полному разрушению системы.
Хотя это утверждение кажется верным ввиду «спинодальности»
фазового перехода разрушения, ряд ученых полагает, что равенство нулю
третьей производной означает переход не первого, а второго рода. Этот вопрос

200
Глава б
до сих пор остается открытым в литературе ввиду отсутствия убедительной
аргументации как в пользу спинодаль, так и в пользу критической точки.
ЛИТЕРАТУРА
Ландау, Л. Д. и Е. М. Лифшиц (2001), Теоретическая физика, Том V,
Статистическая физика, Часть 1, Изд. пятое, Физматлит, Москва.
Pathria, R. К. (1996), Statistical Mechanics, 2nd ed., 529 pp., Butterworth-Heinemann,
Oxford.
Abaimov, S. G. (2008), Applicability and non-applicability of equilibrium statistical
mechanics to non-thermal damage phenomena, J. Stat. Mech., P09005.
Abaimov, S. G. (2009), Applicability and non-applicability of equilibrium statistical
mechanics to non-thermal damage phenomena: II. Spinodal behavior, J. Stat. Mech.,
P03039.

Глава 7
Общий формализм. Свободная энергия
В предыдущих главах мы строили потенциалы свободной энергии для
магнитных систем и для систем с разрушением. Однако мы детально не
рассматривали, что является свободной энергией системы и почему
минимум именно этой величины соответствует равновесному состоянию. В
этой главе мы переходим к обсуждению данного важного вопроса.
Противоборство двух начал
Формализм статистической физики строится на противоборстве двух
начал. Одно из начал определяется термостатом. Именно термостат диктует
системе распределение вероятностей ее микросостояний
£'\К'*Х* _ 1 -О
О ^E,k.V,k,N,k
в микроканоническом ансамбле (далее МК-ансамбль), (7.1а)
в каноническом ансамбле (далее К-ансамбль), (7.16)
Е N
1 г Т* (-Т'к/»,к)
W{E,N) ~ ^rW* ^
в большом каноническом ансамбле (далее БК-ансамбль), (7.1 в)
<f* =77F^'^ в/>-Г-ансамбле, (7.1г)
<ЯС =-^е~^~^~^ вд-Р-Г-ансамбле (7.1д)
и так далее для самых различных ансамблей. Здесь для статистических
сумм ансамблей мы использовали определения
= ]ГеГ° в МК-ансамбле, (7.2а)
zrV*.**s£e гк вК-ансамбле, (7.26)

202
Глава 7
zrW я ' (-T^'k) в БК-ансамбле, (7.2в)
Е V
2т*.р*.ы* s т* - (i-/^) в Р.7-.ансамбле> (7.2г)
zr^v и ^е"^-^-^^л в^р.^-ансамбле. (7.2д)
Отметим тот важный факт, что в формулы (7.1-2) в качестве параметров
входят граничные условия ансамблей, диктуемые термостатом,
составляющим вместе с нашей рассматриваемой системой замкнутую систему
E(h,Vlh,N'h = const в МК-ансамбле,
T\V\Nth = const вк.ансамбле,
Tth, Vth, ц'н = const в БК-ансамбле,
Tth yPth ,Nth = const в Р-Г-ансамбле,
Г'Л,Р"\//Л = const в ^-Р-Г-ансамбле,
(7.3a)
(7.36)
(7.3в)
(7.3r)
(7.3д)
а отнюдь не переменные, относящиеся к нашей системе TyPji,... Если
наша система, находящаяся например в К-ансамбле, сильно неравновесна,
она может не обладать не только равновесной по объему температурой, но
даже и локально равновесной температурой. Ограничивать же формализм
только для «удобных» для нашего описания локально равновесных
флуктуации не представляет интереса. Гораздо более заманчивой задачей
является рассмотрение произвольных, даже сильно неравновесных
флуктуации нашей системы, которые могут вообще не обладать даже локально
равновесными характеристиками. Природа не разграничивает флуктуации
на «удобные» и «неудобные» для нас, и у системы в контакте с
термостатом происходят как те, так и другие. Именно поэтому термостат
определяет вероятности микросостояний системы исходя из своих правил, не
обращая внимания на текущее состояние системы.
Таким образом, одним из противоборствующих начал являются
правила поведения, предписываемые системе термостатом для каждого ее
микросостояния в отдельности. Эти правила игры являются
универсальными для всех систем, и термостат не обращает внимания на то, с какой
системой и в каком состоянии находящейся он имеет дело.

Общий формализм. Свободная энергия
203
Вторым противоборствующим началом служат свойства самой
системы, определяющие ее отклик на требования термостата.
Олицетворением этих свойств является концепция величины, называемой энтропией. В
качестве исходного мы будем использовать «микроскопическое»
определение энтропии
Данное определение вводит энтропию как среднее по распределению
вероятностей w{} от минус логарифма вероятности микросостояний
В качестве отправной точки мы используем данное определение в силу
его универсальности. Действительно, оно не является привязанным ни к
конкретному ансамблю, ни к конкретному состоянию системы.
Распределение вероятностей н>{}, служащее входным параметром, уже будем
своим для каждого ансамбля или состояния, однако функциональная
зависимость (7.4) является универсальной.
Впервые функциональная зависимость (7.4) появилась еще в работах
Гиббса, однако ее наиболее полная и глубокая интерпретация была дана
Шенноном [Shannon, 1948]. Шеннон ввел данное определение при
рассмотрении информационных процессов, поэтому в статистической физике
выражение (7.4) называется энтропией Гиббса, тогда как в теории информации за
ним закрепилось название информационной энтропии или энтропии
Шеннона. Впоследствии данное определение, в силу его универсальности, нашло
применение для широкого многообразия сложных систем, подчиняющихся
самым различным законам поведения. Поскольку данное определение
действует на уровне распределения вероятностей отдельных микросостояний,
мы будем также называть его «микроскопическим» определением.
Используя конкретные распределения вероятностей (7.1), для каждого
из ансамблей можно получить энтропию системы, находящейся в
равновесии с термостатом. Как мы подробно рассмотрим позже в данной главе, для
всех рассмотренных выше ансамблей (7.3) результат будет определяться
одной и той же функциональной зависимостью, найденной Больцманом
5a-Xwn lnvvu •
(7.4)
(7.5)
=lnr*w =,lnZ*w вМК-ансамбле,
(7.6a)

204
Глава 7
^т'ку,к,ы1к
= ХпГТ*У*,»*
в К-ансамбле,
= 1пГг'^м
в БК-ансамбле,
$Т'к,Р'к,Ы,к
= 1пГ^.""
в Р-Г-ансамбле,
£Т,к,Р*ф,к
= 1пГг,^Л
в //-Р-Г-ансамбле,
(7.66)
(7.6в)
(7.6г)
(7.6д)
где для всех ансамблей Г есть число микросостояний, на которых система
«обитает» с ненулевой вероятностью. Для МК-ансамбля
Y^y' я =zE у ,N есть статвес данного ансамбля, равный полному
числу микросостояний, доступных системе. Для остальных ансамблей Г есть
число микросостояний, находящихся под острым максимумом
вероятности системе иметь:
• заданную энергию в К-ансамбле,
• энергию и число частиц в БК-ансамбле,
• энергию и объем в Р-Г-ансамбле,
• энергию, объем и число частиц в/г-Р-Г-ансамбле.
Мы фактически пришли ко второму определению энтропии, данному
Больцманом. Ввиду его важности повторим его еще раз: энтропия
системы равна логарифму числа микросостояний в той области ее фазового
пространства, где система «обитает» с ненулевой вероятностью.
Используя это определение, мы легко можем предугадать значения,
принимаемые энтропией для произвольных, в том числе неравновесных
состояний системы, не ограничиваясь уже только равновесными (7.6) с
термостатом состояниями. Более доказательно мы рассмотрим этот вопрос
ниже, сейчас же приведем лишь интуитивно обоснованные результаты.
Для МК-ансамбля мы можем предположить, что неравновесная
флуктуация с ненулевой вероятностью будет обитать не на всех
доступных микросостояниях г^'*'"'* ^zE'ky'k,N'\ предоставляемых ей
ансамблем, а, ввиду ее неравновесности, лишь на части АГ из них. Энтропия
такой флуктуации равна
5ДГ =1пАГ, (7.7)
и как мы более подробно докажем ниже, для вероятности наблюдать
данную флуктуацию в ансамбле можно записать
wew\n'k = АГ дГнЛ^"м = ! <Аг П 8)
"ДГ " £'\K'\tf" 7E\V,k,N'k * ' К }

Общий формализм. Свободная энергия
205
Для К-ансамбля в качестве флуктуации мы можем рассмотреть
систему, имеющую энергию Е. Такая система обитает лишь на gE
микросостояниях, где gE есть статвес данного уровня энергии Е. Энтропия
флуктуации равна
5£=lng£, (7.9)
и для вероятности системе иметь энергию Е мы получаем
В БК-ансамбле рассмотрим флуктуацию с энергией Е и числом
частиц N. Такая система будет обитать на gEtN микросостояниях, где gEtN есть
статвес уровня энергии Е системы, имеющей число частиц N. Для
энтропии флуктуации мы имеем
Se.n =1п*£.д,. (7.11)
и вероятность флуктуации с энергией Е и числом частиц N оказывается
равной
1 s Е N
1
nE%N <bE,NW{E>N) 2^ул Ф* '
Для Р-Г-ансамбля в качестве флуктуации мы рассмотрим систему,
имеющую энергию Е и объем V. Такая система обитает на gE>v
микросостояниях, где gEyY есть статвес уровня энергии Е системы, имеющей
объем V. Энтропия подобной флуктуации будет равна
$еу =1п*£вкэ (7.13)
и для вероятности флуктуации мы можем записать
1 s Е у
0,7л/*\"* t\P*,n* = 1 " т* (г*//-*) (7и)
yy еу &еу™{еу) ^ти,,Рл,ыл '
В //-/^-ансамбле рассмотрим флуктуацию с энергией Еу объемом Ун
числом частиц N Такая система будет обитать на gEtvj* микросостояниях,

206
Глава 7
где gE,v,N есть статвес уровня энергии Е системы, имеющей объем Уи
число частиц N. Для энтропии флуктуации мы имеем
SE,V,N =Ш#£,К,ЛМ (7.15)
и вероятность флуктуации с энергией Е, объемом V и числом частиц N
оказывается равной
1 5., Е "
nE,V,N ~ &E,Y,NW{E,V,N) ~~ ^7"*,/>'*,//* * ^ ' '
Потенциал свободной энергии
Построим теперь свободную энергию для всех рассмотренных ансамблей.
Из второго начала термодинамики мы знаем, что для любых процессов,
как равновесных, так и нет, происходящих при постоянном объеме
Vth - const и числе частиц Nth - const, выполняется неравенство
dS>^- или dE = SQ^<T'hdS, (7.17а)
где dQ*~ обозначает поток тепла, приходящего в систему. Прирост
энтропии системы определяется как приходом тепла в систему, так и
затуханием неравновесных процессов в системе. Именно суперпозицию этих двух
различных моделей поведения и отражает неравенство (7.17а).
Мы опять должны обратить внимание читателя на то, что в
неравенстве (7.17а) стоит температура термостата Г/А, а отнюдь не температура
системы Т. Убедиться в этом легко вновь вспомнив, что в сильно
неравновесных состояниях система может не обладать даже локально
равновесным значением температуры, тогда как неравенство (7.17а) является
универсальным, применимым к любым процессам в системе, как
квазиравновесным, так и сильно неравновесным.
Если мы перейдем от процессов, происходящих при постоянном
объеме Vth = const к процессам при постоянном давлении Pth = const, мы
можем рассмотреть случаи неравновесия сил давления по обе стороны
границы системы. Яркими примерами являются расширение газа в
пустоту и падение груза на поршень. При любых подобных процессах локаль-

Общий формализм. Свободная энергия
207
ное давление Р в системе вблизи ее границы не равно давлению Pth
термостата, действующему с другой стороны на эту границу. При
перемещении границы совершаемая работа будет определяться наименьшим из
давлений тт(р,Р'н). Например, при расширении газа в пустоту работа
вообще не совершается, поскольку газу при расширении не
противодействует никакая сила. Наоборот, при падении груза на поршень работа
определяется давлением газа, тогда как сила давления груза в первые
мгновения значительно превышает эту величину.
Таким образом, мы можем заключить, что если локальное давление Р
газа у границы превышает давление Pth термостата Р > Pth, то газ будет
расширяться и совершать над термостатом работу 6W~* = PthdV .
Наоборот, при превышении давления термостата над давлением газа Р < Pth газ
будет сжиматься и термостат будет совершать работу
6W*~ = Р | dV \< Pth | dV I. При любом из этих процессов для работы 6W*~,
совершенной над газом, выполняется неравенство dW*~ < -PthdV . В этом
случае в неравенство (7.17а) для прироста энергии системы мы должны
добавить еще одно слагаемое
Аналогичные рассуждения в ансамбле с переменным числом частиц
приводят к неравенству <5П*~ < juthdN, где <5П*~ - прирост энергии за
счет обмена частицами при неравенстве локального химпотенциала /и
системы и химпотенциала juth термостата. В этом случае в
неравенство (7.176) необходимо добавить третье слагаемое
Мы вывели неравенство (7.17в), основываясь лишь на интуитивных
соображениях. Более строгий вывод будет дан ниже.
Для МК-ансамбля энергия, объем и число частиц системы
поддерживаются неизменными, поэтому неравенство (7.17в) превращается в
dE = 8£- + < TthdS - PthdV.
(7.176)
dE = 8£- + 6W*- +т*~< TthdS - PthdV + ^thdN.
(7.17в)
(-dS)<0
(7.18)

208
Глава 7
для любых процессов, происходящих в системе, как квазиравновесных,
так и нет.
Для К-ансамбля закон сохранения энергии принимает форму
dE = 8Q*~, (7.19)
поэтому при постоянных Tth9Vth,Nth = const неравенство (7.17в)
переходит в
d(E-TthS) = 8Q*- -TthdS<Q. (7.20)
Для БК-ансамбля законом сохранения энергии является
dE = SQ*~ +<ЯТ", (7.21)
и ввиду постоянства Tth, Vth, //А = const неравенство (7.17в) переходит в
d(E-TlhS-^lhN) =
= SQ*-+ <5ГГ - TAdS - MthdN < 0 . (7.22)
В /^-ансамбле закон сохранения энергии превращается в
dE = %)*-+SW*-, (7.23)
и ввиду постоянства Tth ,Pth ,Nth = const для неравенства (7.17в) мы
получаем
d{E - TthS + PthV) = SQ*~ + 5W*- - TthdS + PthdV < 0. (7.24)
Для //-Р-Г-ансамбля законом сохранения энергии является
dE = 5Q*~+ + ЯЛ*", (7.25)
и ввиду постоянства Tth ,Pth,//А - const неравенство (7.17в) переходит в

Общий формализм. Свободная энергия
209
d{E-T,hS + Pd'V-tfhN) = 6Qr+ 8W*~ + <5ГГ-TkdS+PkdV-//,dN < 0.
(7.26)
Для неравновесных флуктуации (7.7-16) определим в каждом из
ансамблей потенциал свободной энергии согласно
*дг = -^дг в МК-ансамбле, (7.27а)
ЧЕ = -TthSE +Е в К-ансамбле, (7.276)
4?EtN s -TthSEN +E-v'hN в БК-ансамбле, (7.27в)
4EV т-TthSEy + E + PthV вЛТ-ансамбле, (7.27г)
4*EVN = -TlhSEtyN +E + PthV-v'hN в^-Р-Г-ансамбле. (7.27д)
Из неравенств (7.18,20,22,24,26) мы видим, что определенная
подобным образом величина убывает при произвольных, как
квазиравновесных, так неравновесных, процессах, происходящих в системе
</¥<0, (7.28)
и тем самым достигает своего минимума при достижении равновесия.
Поэтому данная величина будет служить «потенциалом», минимум которого
отвечает равновесному состоянию. Это легко видеть, если записать
вероятности (7.8,10,12,14,16) наблюдения флуктуации в системе как
= ze\v\»* е'^г в МК-ансамбле, (7.29а)
~^ в К-ансамбле, (7.296)
Wtf^ = zT*\*,„* е ^ в БК-ансамбле, (7.29в)
W£f** = ziW в ^-ансамбле, (7.29г)
WtevK^ = ГЛ * *~ т* в^-Р-Г-ансамбле. (7.29д)
Именно эта связь с распределением вероятностей в системе и дает право
конкретной энергии носить титул «свободного потенциала», поскольку
рост вероятности при переходе от неравновесных к более равновесным со-

210
Глава 7
стояниям оказывается однозначно связанным с убыванием свободного
потенциала. Второе начало термодинамики (7.18), верное в случае
изолированной системы, для произвольного ансамбля переходит в
неравенство (7.28).
Очевидным является тот факт, что при определении потенциала ¥
в (7.27) мы должны были использовать 7*Л, Р/Л, // термостата вместо Г, р9
р. системы. Этого требовали неравенства (7.18,20,22,24,26) и
вероятности (7.8,10,12,14,16). В противном случае мы не смогли бы доказать, что
определенная величина является потенциалом свободной энергии. Каждая
из определенных нами величин (7.27) носит свое название:
• отрицательная энтропия (Х-потенциал) X = -S , (7.30а)
• энергия Гельмгольца F г -TlhS + Е, (7.306)
• Q-потенциал Q = -TthS + E-/ulhN, (7.30в)
Нужно понимать, что эти энергии определены каждая только в своем,
родном для нее ансамбле. Например, энергия Гиббса, определенная в р-т-
ансамбле с помощью (7.30г), не определяется этим выражением,
например, в К-ансамбле, так как в К-ансамбле давление р(н термостата не
определено. Конечно, при достижении системой в К-ансамбле равновесия у
нее появляется равновесное значение давления (P)T,h уЛ „л» и тем самым
определение энергии Гиббса становится возможным и в этом ансамбле с
заменой Pth на (P)T,h уЛ N,h. Однако мы должны помнить, что такое
определение будет «суррогатным», поскольку оно неявно использует
эквивалентность равновесных состояний К- и Р-Г-ансамблей. Другими словами,
мы предполагаем эквивалентность равновесного состояния К-ансамбля с
(р)т* уф ыл и Vth с равновесным состоянием Р-Г-ансамбля с (v)T* ^ и
Рл, если (Р)^^^ = Pth и (у)тЛр1ьы1ь = Vth. Тогда и для равновесной
системы К-ансамбля мы можем определить энергию Гиббса как энергию
Гиббса эквивалентного равновесного состояния Р-Г-ансамбля. Но
подчеркнем еще раз, что обоснование такой эквивалентности возможно
только для равновесных или локально равновесных состояний. Для сильно
неравновесных состояний энергия Гиббса становится неопределимой в К-
ансамбле. И кроме того мы всегда должны помнить, что только в своем,
энергия Гиббса Ф = -T'hS + Е + Р* V ,
Y-потенциал Y =-T'hS + Е + P'hV-//'*N .
(7.30г)
(7.30д)

Общий формализм. Свободная энергия
211
родном Р-Г-ансамбле убывание энергии Гиббса будет однозначно связано
формулой (7.29г) с приростом вероятности и только в Р-Г-ансамбле
энергия Гиббса будет иметь право носить титул «свободного потенциала».
Воспользуемся теперь микроскопическим определением
энтропии (7.4) для того, чтобы найти равновесную энтропию каждого из
ансамблей. Подставим (7.1) в логарифм вероятности в (7.4)
s = -2,Vn1 7ew\n* e f=2-w»lnZ =lnZ
в МК-ансамбле, (7.31 a)
= \nZT*y*-N* + в к-ансамбле, (7.316)
2^у ^
-е
= {Х jlnZ ' +-^г-^> =
= lnZr y + x x ^ в БК-ансамбле, (7.31в)
5 = - 2, *w> '"I -i*j*ji*e
Zi тт* p* n* E P'hV\
{e,y) [ 1 1
= lnZW + вр.г-ансамбле, (7.31r)
5iW я _£W{] U—l—i * - v*"*>-I =
V . ?Tr*it ^ E ^P V V Nl

212
Глава 7
rpth rpth ij^th
в //-Р-Г-ансамбле. (7.31д)
Чтобы получить равновесные значения свободной энергии в каждом из
ансамблей, подставим эти выражения в определения (7.27) потенциала *Р
=_lnZ£'W вмк-ансамбле, (7.32а)
Тг-Г'ж* = _рн ln zi-^^ в к.ансамбле( (7.32б)
vprv»t//* = _гм ,п 2г\к*,„» в Бк.ансамбле) (7.32в)
vpr\/".»* = _т,ь ,п zrv\»* в р.т-.ансамбле, (7.32г)
тг".р".^ = _г* ,п zi*.i*s в^.р.г.ансамбле. (7.32д)
Выразив отсюда статсуммы, для вероятностей флуктуации (7.29)
получаем
we»y\N* = ечГ "*-ча в мк.ансамбле( (7.33а)
wr\v*.N* =е т» в К-ансамбле, (7.336)
Щ/'" =е г" в БК-ансамбле, (7.33в)
wr\i»,N* = е г' в р.г-ансамбле, (7.33г)
.... ,у* „I*
У1 ' ^ -Чьун
wew^=е т* в/г-Р-Г-ансамбле. (7.33д)
Таким образом нормировка распределения вероятностей определяется
равновесным значением свободной энергии.
В равенствах (7.32-33) наблюдается явная асимметрия МК-ансамбля
по сравнению с другими ансамблями. Причиной этого кажется то, что
МК-ансамбль в своем построении не имеет понятия температуры и тем
самым является «белой вороной» среди остальных ансамблей. Однако на
самом деле, как мы увидим в конце этой главы, асимметрия возникает
вовсе по другой причине, и это другие ансамбли, а вовсе не МК-ансамбль,
кто теряет симметрию.

Общий формализм. Свободная энергия
213
Микроскопические определения потенциалов
До сих пор в изложении мы строго следовали понятиям статистической
физики, устоявшимся в учебниках и литературе. Как мы видим, формализм
строится на борьбе двух противоборствующих начал. Одно из них отвечает
«тираническому правлению» термостата, без разбора систем и состояний
диктующего любым микросостояниям заданные вероятности. Другим
началом служит строение системы, заключающееся в поведении логарифма ее
статвеса, т.е. энтропии, которое отвечает за отклик данной, конкретной
системы на требования термостата. Противостояние этих двух начал и приводит
к появлению распределения вероятности флуктуации (7.33). Это
распределение отражает универсальность формализма описания поведения в том, что
для любого ансамбля и для любой системы существует свой потенциал
свободной энергии приводящий к наличию универсальной зависимости
До сих пор определение (7.4) энтропии служило неким
«мистическим» началом, на основе которого мы строили все выкладки. Является ли
в этом смысле энтропия, как потенциал свободной энергии МКА, чем-то
выделенным среди всех других энергий? Ответить на этот вопрос проще
всего, рассмотрев определения (7.27) других потенциалов. Рассмотрим
средние по распределению вероятностей величины и подставим в
выражения (7.27) микроскопическое определение энтропии (7.4)
^ансамбль
флуктуация
= е
(7.34)
(7.35а)
(7.356)
(7.35в)
(ф) —:
T'"(S) +(е) +p,h(v) =
(7.35г)
■7*SwHtaw„+(£)n+^(F>4i-^(jV>4i.
(7.35д)

214
Глава 7
Заметим, что в этих выражениях мы не конкретизировали ни конкретный
выбор микросостояний {}, ни конкретное распределение вероятностей w{) .
Поэтому данные определения будут универсальными, справедливыми для
любого состояния и для любого ансамбля. Однако мы сразу замечаем
асимметрию, присутствующую в этих формулах. А именно, для логарифма
вероятности мы расписали среднее по состоянию в явном виде, тогда как
средние других величин оставили нераскрытыми. Исправим эту оплошность
{>
U
^^h»^+£irA,). (7-Збв)
{}
(ф1гХ^^^{)+Р-\), (7.36т)
11 {}
Мы получили более симметричные формулы. Однако мы получили
больше, чем это. На самом деле мы получили микроскопические
определения для всех термодинамических потенциалов
F„-r*lnw(,+£„,
Ф0шТ* Inwu+Ell+P*Va,
Yu»T*\nWl)+Eli+P*Vu-M*Nir
(7.37а)
(7.376)
(7.37в)
(7.37г)
(7.37д)
Мы видим, что энтропия вовсе не является какой-то выделенной
функцией. Микроскопические определения оказываются существующими
для всех потенциалов. Вместо выражения (7.4) для энтропии мы могли
стартовать от произвольной энергии и получить те же самые выражения
для вероятностей флуктуации (7.33).
В чем полезными оказываются для нас выражения (7.36-37)? Если мы
могли проделать все выкладки только на основе определения
информационной энтропии (7.4), зачем нам нужны микроскопические определения

Общий формализм. Свободная энергия
215
для других потенциалов? Дело в том, что данные определения помогают
нам глубже понять механизм работы формализма свободной энергии.
Принцип максимизации энтропии или принцип
минимизации свободной энергии?
В качестве примера рассмотрим то, что в литературе, с нашей точки
зрения некорректно, называется принципом максимизации энтропии. Как мы
получили выше, в случае МК-ансамбля энтропия неравновесного
состояния является монотонно возрастающей функцией (7.8) вероятности
флуктуации. Поэтому распределение вероятностей, соответствующее
равновесному состоянию, следует искать как отвечающее минимуму
функционала
в функциональном пространстве всех возможных распределений w{}. При
этом мы должны помнить, что на распределение наложено условие
нормировки
2>{|=1. (7.39)
{}
Поэтому нам следует модифицировать функционал (7.38) согласно
(7.40)
и искать его минимум методом неопределенных множителей Лагранжа.
Приравнивание к нолю производной функционала по вероятности
заданного микросостояния и>п дает уравнение
ЯШ
= In wn +1 + Я = 0 или wn = e~x~k , (7.41)
где вероятность w{.} получается не зависящей от энергии, объема или
числа частиц.

216
Глава 7
Приравнивание к нолю производной функционала (7.40) по X дает
условие нормировки (7.39). Подставляя в него (7.41), мы получаем
= 1 или w{} =
gE
(7.42)
что отвечает равновероятности всех микросостояний в МК-ансамбле.
Метод максимизации энтропии дает поэтому правильный, ожидаемый
результат.
Перейдем теперь к К-ансамблю. Покажем сперва все выкладки, как
они зачастую представлены в учебниках. Выполним опять минимизацию
отрицательной энтропии (7.38). Однако теперь, в К-ансамбле, мы должны
наложить на распределение вероятностей дополнительное условие
равенства средней энергии в ансамбле ее равновесному значению
]T£w{£} =Е0.
(7.43)
Модифицированный функционал при этом превращается в
\Е\ \{Е\ J \{Е}
(7.44)
и его производная по вероятности заданного микросостояния w{£,} дает
уравнение
— = lnw,£,} +1 + Я, +Я2£ = 0 или w{£,> =е-1~л^Е. (7.45)
В этом случае мы видим, что вероятность уже зависит от энергии.
Производные функционала (7.44) noAi иЯ2 дают условия (7.39) и (7.43).
Подставляя в них (7.45), мы убеждаемся, что для распределения
вероятностей мы получили правильный ответ - формулу Гиббса (7.16).
Что было некорректным в этом изложении? Во-первых, мы сразу
замечаем, что для К-ансамбля свободной энергией является энергия Гельм-
гольца, а отнюдь не отрицательная энтропия. Поэтому минимизировать
следовало именно энергию Гельмгольца. Однако же и при минимизации

Общий формализм. Свободная энергия
217
отрицательной энтропии ответ получился правильным! Почему же это
произошло?
Виной всему дополнительное условие (7.43), наложенное на систему.
Мы видели раньше ряд условий, которые вполне корректно налагались на
рассматриваемые нами системы. Например, в главе 2 мы определяли
намагниченность как среднее значение спина на решетке (2.10), Или,
например, в главе 4 у нас существовала связь (4.28) внешней силы,
деформации и разрушения в модели. Поэтому нет ничего необычного в
наложении на системы дополнительных условий или связей. Однако все эти
связи до сих пор являлись входными параметрами модели и действовали
поэтому лишь на уровне одного микросостояния. Условие же (7.43)
действует на уровне средних по ансамблю величин. Поэтому его наложение
является некорректным. На уровне отдельных микросостояний мы можем
налагать связи, как входные параметры модели, однако преступлением
является вторгаться в область средних по ансамблю величин, где уже
начинает работать механизм статфизики, который сам определяет эти
средние значения. Ломая работу формализма науки, мы уже не можем
ожидать от нее достоверных результатов.
Поэтому условие (7.43) является лишь «искусственным приемом»,
заставляющим минимизацию отрицательной энтропии, как некорректного
потенциала, все же давать правильный ответ. Попробуем исправить
ситуацию. Как мы должны модифицировать методику, чтобы механизм
статистической физики сам выдал нам правильный ответ без привлечения
ненужных «трюков». Во-первых, мы должны минимизировать
корректный функционал свободной энергии (7.366)
Во-вторых, мы должны избавиться от дополнительного условия (7.43),
оставляя лишь «настоящее», наложенное на систему условие (7.39).
Модифицированный функционал становится равен
(7.46)
(7.47)
J
и его производная по вероятности заданного микросостояния w{£.} дает
уравнение

218
Глава 7
тл+л
dw
= T'h + ГЛ Inw{£,} + £ + Л = 0 или w{£,} =е
(7.48)
{£'}
отвечающее вероятности Гиббса (7.16).
Мы получаем правильный ответ исходя из правильных предпосылок.
Однако, почему же и «неправильный» способ вел к тому же решению?
Будем вместо минимизации свободной энергии максимизировать
логарифм вероятности флуктуации. Согласно (7.33) одно эквивалентно
другому. Из (7.33) для логарифма вероятности флуктуации в К-ансамбле мы
получаем
ln we у = ~ гн Е в К-ансамбле. (7.49)
Максимизация этого выражения будет эквивалентна минимизации (7.46),
поскольку Шт у ,N и Tth являются постоянными величинами и не
участвуют в «игре». Перепишем (7.49) как
[r-T,kytk,Ntk ггЛсГ*Г*Х*\ (г* т'Ч 1
\nWT"'y"',N,h -/ b ]-{Ь-1 г>Е)^
Е rpth
4E-s^)+J.(Er^_Ey (7.50)
Максимизация последнего выражения должна отвечать
минимизации (7.44). Одним из отличий между (7.44) и (7.50) является наличие
слагаемого sT"'y"',N"', которое постоянно и не влияет на нахождение решения.
Вторым отличием является то, что вместо неопределенного множителя
Лагранжа Хг мы сразу использовали его требуемое значение \ITth.
Произошло это потому, что в (7.44) мы определяли влияние термостата
заданием средней энергии, предписываемой им системе, тогда как в (7.50)
влияние термостата сводится к заданию температуры Tth.
Оба метода приводят к одинаковым результатам, оба метода имеют
право на существование. Минимизация свободной энергии кажется нам
более корректной ввиду высказанных выше предпосылок. Однако в
литературе первый способ изложения встречается гораздо чаще, и термин
«максимизация энтропии», к сожалению, является устоявшимся в приме-

Общий формализм. Свободная энергия
219
нении к любому ансамблю. Пытаясь сломать эту традицию, мы поощряем
читателя использовать в будущем более корректный термин
«минимизация свободной энергии» либо «максимизация вероятности».
Более подробный анализ
Фактически, мы получили все выкладки, необходимые нам для
рассмотрения сложных систем. А именно, с помощью выражений (7.27) мы
обосновали проведенные нами ранее в главе 2 в выражении (2.49) и в главе 4 в
выражении (4.27) построения свободной энергии для неравновесных
флуктуации. Поэтому без ущерба для дальнейшего чтения можно
опустить остаток данной главы и перейти к главе 8. Однако для читателя, мало
знакомого с формализмом свободной энергии, мы хотим привести
подробный, более детальный разбор только что рассмотренных кратко
вопросов. Однако мы должны заранее предупредить читателя, что для
последующего изложения мы будем использовать аппарат макросостояний, как
наиболее удобный и привычный для нас. Построение формализма
макросостояний является неустоявшимся в литературе. Поэтому в
последующих выкладках мы можем отойти от общепринятого пути изложения
материала. В силу этого автор постарался сделать изложение настолько
подробным и настолько иллюстративным, насколько было возможно, чтобы
избежать малейшего непонимания.
Произвольной термодинамической системе отвечает какой-то
базисный набор ее квантовых микросостояний. Этот базис может быть выбран
произвольно, однако для упрощения и без того запутанного изложения мы
будем выбирать представление, в котором операторы параметров порядка
системы диагональны. Другими словами, в качестве микросостояний мы
выбираем собственные волновые функции {£, Г, jV,...} гамильтониана,
операторов объема и числа частиц системы, задаваемые энергией £,
объемом V, числом частиц N или какими-то другими параметрами порядка
системы. В основном мы будем рассматривать только МК- и К-ансамбли. Для
этих ансамблей единственной характеристикой микросостояний {Е}
остается только энергия £, поэтому мы сосредоточим наше внимание на
энергетическом спектре системы, поддерживаемой при постоянном объеме и
постоянном числе частиц. Этот спектр состоит из множества отдельных
микросостояний. Как наглядный пример рассмотрим одномерную модель
Изинга без взаимодействия спинов, содержащую N = 3 спина. Каждая
микроконфигурация ориентации спинов на решетке задает свое
микросостояние. Полным набором микросостояний системы будет {m},{m},
и
микросостоя-

220
Глава 7
8es Es
•Ses
Se, E4
Se, Ег
Se, E2
'Se,
Se, Et
•Se,
(6)
Рисунок 1
ние имеет энергию -3/uh, и
мы обозначили его как {-3/Ji}.
Следующие три микросостояния
{ГЦ, {tit} и {т} имеют
энергию -fih, и мы обозначили каждое
из них как {-juh}. И так далее.
Для упрощения изложения
будем считать спектр системы
дискретным. Поведение спектра мы
будем предполагать произвольным, требуя лишь, чтобы зависимость
плотности спектра от значений энергии, неважно возрастающая или убывающая,
была экспоненциальной по числу степеней свободы в системе N —> +оо .
Это выполняется для большинства систем. Более того, как мы увидим
ниже, только в этом случае и работает аппарат статистической физики.
Если система состоит из невзаимодействующих степеней свободы,
как например идеальный газ или магнитная система без взаимодействия
спинов, энергетический спектр системы представляет собой спектр
значений (уровней) энергии, каждое из которых многократно вырождено и
содержит много отдельных микросостояний {Е}. Это схематично
проиллюстрировано на рисунке 1(a). На этом рисунке микросостояния {Е}
объединены в группы, каждой из которых отвечает свое значение энергии Eh
Вырождение каждого значения энергии обозначено как gE .
Задача 7.1
Проиллюстрировать вырождение уровней энергии на примере
модели Изинга без взаимодействия спинов, состоящей из N = 3
спинов.
<*Решение
Спектр системы приведен на рисунке 2. Значению энергии
Е = -З/uh отвечает одно микросостояние {ТТТ}, которое мы
обозначили как {-3/uh}, и данный уровень энергии не вырожден
8-3fA = 1 • Значению энергии Е = -fjh отвечают три микрососто-
ния {ТП}, {tit} и {itt} , каждое из которых мы обозначили как

Общий формализм. Свободная энергия
221
E = -Mh —4 {-fJh} Vg.* =3
/ (/«!
Е = /Л —( WYg*=*
/ {-АЛ}1
N—H*>J
£ = _3//fc {"3//A}}g= 1
Рисунок 2
i-uh) ~ ~
, и данный уровень энергии вырожден трехкратно = 3.
Значению энергии ^ ~ ^ снова отвечают три микросостояния
{Ш}, {т} и И}
, каждое из которых мы обозначили как
, и данный уровень энергии вырожден трехкратно **** ~~ ^.
Значению энергии отвечает одно микросостояние
1^^}, которое мы обозначили как и данный уровень
энергии не вырожден ^3/Л ~ *.
Задача 7.2
Найти вырождение уровней энергии в модели Изинга без
взаимодействия с произвольным числом спинов N.
Решение
Как уже было сказано выше, отдельное микросостояние задается
микроконфигурацией ориентации спинов на решетке. Если
взаимодействие между спинами отсутствует, энергия микросостояния
определяется числом спинов по полю Nt и против поля N±
E = -M{Nt-Nx)h. (7.51)
Это выражение задает значения уровней энергии спектра.
Используя в качестве второго уравнения равенство сохранения
числа спинов N = Nt + Ni9 мы видим, что у системы без взаи-

222
Глава 7
модеиствия задание энергии взаимно-однозначно задает
значения чисел спинов по полю А/т и против поля Ni.
Насколько отличаются энергии двух соседних уровней?
Очевидно, что для того, чтобы перейти на соседний энергетический
уровень, мы должны перевернуть один из спинов. Этому будет
отвечать изменение энергии
I Л£ 1= 2juh ,
(7.52)
где двойка возникает из-за того, что спин с исходной
ориентацией исчезает, а вместо него появляется спин с противоположной
ориентацией.
Сколько микросостояний отвечает одному уровню энергии?
Вырождение уровня энергии будет равно числу способов, которым
Nt ориентированных вверх спинов и Ni ориентированных вниз
спинов можно расположить на решетке
N1
N
N
N
N.
N_
(7.53)
Здесь с помощью 0(Na) мы обозначили все множители,
зависящие степенным образом otN. Напомним, что символ '~|П'
означает логарифмическую точность, когда мы пренебрегаем
всеми степенными множителями от N по сравнению с
экспоненциальными зависимостями от N. Пока что мы не доказали, что
можем так поступать, но мы докажем это чуть позже.
В выражении (7.53) в экспонентах стоят величины Nt и Ni,
пропорциональные полному числу степеней свободы в
системе N, поэтому наше требование об экспоненциальной
зависимости плотности спектра от числа степеней свободы
выполняется для модели Изинга. Зависимость (7.53) является типичным
представителем вырождения уровней энергии. В подстеленных
выражениях стоят интенсивные величины NINT и NI Ni,
отвечающие обратным долям спинов по полю и против поля.
Поскольку и Nt, и Ni пропорциональны N, сингулярность термо-

Общий формализм. Свободная энергия
223
динамического предела N —> +оо отсутствует в этих
выражениях, и они представляют собой какие-то конечные величины.
Напротив, эта сингулярность является неотъемлемой частью
экспонент Nr и Ni9 приводящих в действие механизм
статистической механики.
Если степени свободы в системе взаимодействуют и это
взаимодействие с помощью замены переменных не может быть сведено опять к
совокупности невзаимодействующих степеней свободы, то энергетический
спектр системы будет иным. Из-за возникновения взаимодействия уровни
энергии «расплываются» по спектру, смешиваясь друг с другом и снимая
вырождение. Пример такого спектра показан на рисунке 1(6).
Как мы увидим позже, статистическая физика очень удачно
манипулирует вырождением уровней энергий для построения своего формализма.
Поэтому и для системы с взаимодействием, имеющей расплывшийся
спектр, нам хотелось бы вернуться к каким-то величинам, отвечающим
вырождению. Поступим в этом случае так же, как и в других учебниках по
статистической физике - объединим близколежащие (имеющие близкие
значения энергии) микросостояния в группы с общим значением
энергии Ej и числом микросостояний в группе gE . Это число
микросостояний gE по аналогии с предыдущим случаем хотелось бы называть
вырождением, однако оно не соответствует строгому вырождению в
смысле квантовой механики. Поэтому для него придумали специальный термин
«статистический вес». В будущем для нас не будет важным, является ли
вырождение групп микросостояний строгим, как для систем без
взаимодействия степеней свободы, или лишь приближенным, в смысле
определения статистического веса. Предполагая наиболее общий случай, мы будем
ссылаться на него всегда как на статвес данной группы микросостояний.
Студентов университетов, начинающих изучение статистической
физики после прохождения курсов по таким «строгим» дисциплинам как
теоретическая и квантовая механика, зачастую смущает произвольность
создания групп микросостояний. Почему мы не можем объединить
микросостояния в группы по-другому? Почему мы не можем включить в заданную
группу в два, три или десять раз больше микросостояний? Ответ на этот
вопрос мы получим чуть позже, сейчас лишь заметим, что формализм
статистической физики работает таким образом, что на самом деле неважно,
как мы объединяем микросостояния в группы, лишь бы мы
придерживались каких-то здравых ограничений. Более того, именно эта произволь-

224
Глава 7
ность, как мы увидим позднее, и составляет сущность формализма,
благодаря которому весь аппарат статистической физики приходит в действие.
Микроканонический ансамбль
Микроканоническим (МК) ансамблем называется изолированная система,
поддерживаемая при постоянном объеме
V = const. Изолированность означает, что
данная система не может обмениваться с
окружающей средой энергией Е - const или
степенями свободы N = const. «Строгая»
изоляция подразумевает изоляцию на одной
группе микросостояний, т.е. на одном
уровне энергии (рисунок 3). Но никакая система
в природе не может быть изолирована
строго. Всегда существует неопределенность
энергии АЕ, с точностью до которой
изоляция подразумевается. «Нестрогая» изоляция
означает, что доступными оказываются
несколько соседних групп микросостояний
(несколько соседних уровней энергии). Как
мы увидим в дальнейшем, именно благодаря
механизму статистической физики,
поведение системы не зависит от того, изолировали
ли мы систему на одной, двух или десяти
близколежащих группах микросостояний (на
одном или нескольких соседних уровнях
энергии).
Рисунок 3
Полное число микросостояний, на которых изолирована система,
называется статвесом МК-ансамбля ГЕ. В случае строгой изоляции на одном
уровне это число равно статвесу gE данной группы микросостояний
^E,hy,h,N,h
(7.54)
Если же нестрогая изоляция подразумевает изоляцию на к уровнях с
близкими значениями энергий, статвес ансамбля равен сумме статвесов этих
групп микросостояний
(7.55)

Общий формализм. Свободная энергия
225
Эволюция матрицы плотности системы wE*y*tN* в гейзенберговском
представлении подчиняется уравнению фон Неймана
{t) Л[н,^\()\, (7.56)
где коммутатор [a,b] = ab -ba . (7.57)
В равновесной статистической физике мы интересуемся только
стационарными состояниями
^ ^ = 0. (7.58)
dt
Поэтому для стационарных состояний матрица плотности должна
коммутировать с гамильтонианом и тем самым являться какой-то функцией от
гамильтониана.
В качестве микросостояний мы выбрали собственные волновые
функции {Е} гамильтониана. В этом представлении гамильтониан
диагоналей. Также диагональна будет и матрица плотности. Однако последнее
утверждение вызывает иногда возражения в некоторых учебниках.
Разберем поэтому этот вопрос более подробно.
Для большей иллюстративности перейдем в гейзенберговском
представлении от самой матрицы плотности к ее матричным элементам по
базису микросостояний
w&::E?={E'\^-»'\E"}. (7.59)
Найдем матричные элементы обеих частей уравнения (7.56)
^^ = i(£»-FV«U^^ (7-60)
Если два микросостояния имеют разные энергии £V£", критерий
стационарности

226
Глава 7
E,hy,ktN,k
{£'},{£")
= 0
(7.61)
dt
требует обязательной диагонализации матрицы плотности
'{£'}.{£-}
(7.62)
Однако если обе энергии равны £'=£", выражение (7.60) приводит к
выполнению требования (7.61) даже при недиагональной матрице
плотности. Другими словами, если в системе присутствует вырождение
энергетических уровней, требование стационарности (7.61) уже перестает быть
требованием диагональности матрицы плотности. Именно ввиду этого
обстоятельства ряд авторов выражал сомнение в диагональности матрицы
плотности, если мы рассматриваем элементы, образованные
микросостояниями, принадлежащими одному и тому же уровню энергии.
Следуя [Ландау и Лифшщ, 2001] докажем следующую теорему: два
коммутирующих друг с другом оператора обладают общим полным базисом
собственных волновых функций. Пусть операторы а и Ъ коммутируют
Запишем это равенство через матричные элементы этих операторов в
произвольном базисе
Если эти матрицы построены в базисе собственных функций оператора а ,
то матрица этого оператора диагональна
где я, - собственные значения оператора а . При этом равенство (7.64)
переходит в
ab -Ьа.
(7.63)
(7.64)
а = 8 а ,
и о 1
(7.65)
(7.66)

Общий формализм. Свободная энергия
227
Если все собственные значения я, оператора я различны, то
равенство (7.66) сразу доказывает диагональность оператора b в базисе
собственных функций оператора я . Если же среди собственных значений я,-
оператора я есть одинаковые значения, т.е. если присутствует вырождение
оператора а , то, вообще говоря, матрица оператора Ъ будет недиагональна.
В этом случае построим новый базис. Для каждого собственного
значения я, оператора я найдем все соответствующие этому значению
собственные функции и построим их линейные комбинации. Очевидно, эти
линейные комбинации также будут собственными функциями
оператора я, отвечающими тому же собственному значению я,. Выберем
коэффициенты этих линейных комбинаций таким образом, чтобы обратились в
нуль все недиагональные элементы оператора b , построенные в этом,
новом базисе. Тем самым мы достигнем одновременной диагональности
матриц операторов я и b и найдем базис волновых функций,
являющихся собственными функциями сразу обоих операторов я и b .
Возвращаясь к матрице плотности, мы можем сказать, что в
построенном нами ранее базисе микросостояний эта матрица действительно
может оказаться недиагональной. Однако мы всегда можем построить новый
базис микросостояний на основе линейных комбинаций исходных
микросостояний, отвечающих одному и тому же уровню энергии. В этом новом
базисе матрица плотности уже будет диагональной.
Будем теперь всегда полагать, что с помощью определенного выбора
базиса микросостояний {Е} мы добились диагонализации матрицы плотности
W\E')AE") =d{E'},\ElW{EW\ =д{ЕЪ\Е"\™>Е'\ • ('-°')
Все диагональные элементы должны быть положительны, а их сумма
всегда равна единице
Поэтому матрица плотности играет роль распределения вероятностей по
микросостояниям {Е} системы. Согласно гипотезе, поддерживаемой
теоремой Лиувилля, все микросостояния {Е} в МК-ансамбле предполагают-
(7.68)

228
Глава 7
ся равновероятными, поэтому вероятность наблюдать у системы какое-то
одно из них есть единица, деленная на полное число этих микросостояний
ЕлуЛ,ЫЛ
1
(7.69)
Здесь мы использовали надстрочный индекс Eth\Vth,Nth чтобы
подчеркнуть, что эта вероятность диктуется ансамблем. Т.е. система, «живущая»
согласно распределению вероятностей (7.69), находится в равновесии с
внешними граничными условиями формулировки ансамбля.
Задача 7.3
Для модели Изинга без взаимодействия спинов, состоящей из
N = 3 спинов, проиллюстрировать распределение вероятностей
МК-ансамбля для случая строгой изоляции с энергией Е = -juh .
Решение
Сохранение объема и числа частиц в модели Изинга
предполагаются выполняющимися по умолчанию. Строгая изоляция с
энергией Е = -/uh означает фиксированные числа спинов по
полю Nt = 2 и против поля Ni = 1. Статвес ансамбля в этом
случае равен g_Mh = 3 , и вероятность
E'h y'h ,N'h _
g.
проиллюстрирована на рисунке 4.
1 1
Е = -juh = const
g-uh = 3
8-Ф 3
Рисунок 4
Учебники по статистической физике много времени уделяют
«магическим» свойствам энтропии, зачастую вводя эту величину

Общий формализм. Свободная энергия
229
к=3<
(а)
(б)
Рисунок 5
сложным, обходным путем. Как мы увидим в дальнейшем, вся
«магия» заключается в механизме статистической физики,
который заставляет всю науку работать, а в самой энтропии как
логарифме статвеса макросостояния нет ничего магического.
Поэтому мы будем использовать в качестве отправной точки наиболее
универсальное определение энтропии (7.4), применимое к
любому состоянию с каким-то своим распределением вероятно-
стеи u микросостоянии
Другими словами, энтропия по определению представляет собой
среднее по распределению вероятностей от минус логарифма
вероятности микросостояния
Для МК-ансамбля, используя в качестве распределения
вероятностей (7.69), энтропия получается равной логарифму статвеса
ансамбля, т.е. логарифму числа микросостояний, на которых
система «обитает»
(7.70)
и
(7.71)
= -Г
.£'\к'\лг*
г
>E",,y",,N'i
(7.72)

230
Глава 7
Здесь мы подставили в формулу (7.70) значения
вероятностей (7.69) и, поскольку все слагаемые оказались одинаковыми,
заменили сумму значением статвеса ансамбля р£ ,K*,V*.
Равенство (7.72) называется энтропией Больцмана.Рассмотрим теперь,
почему же точность изоляции от внешнего мира не влияет на
свойства системы. С какой точностью мы реально можем
замкнуть систему? Для идеального газа можно предположить, что АЕ
соответствует энергии нескольких молекул. Для модели Изинга
- перевороту нескольких спинов. В этом случае система
изолирована нестрого и «обитает» на к соседних уровнях (рисунок 5).
Посмотрим, как точность изоляции влияет на энтропию (7.72).
Задача 7.4
Для модели Изинга без взаимодействия найти во сколько раз
отличаются друг от друга вырождения для к соседних уровней
энергии.
& Решение
Нестрогая изоляция сразу на к уровнях энергии означает, что 7VT
и, соответственно, Ni могут меняться, но незначительно, лишь
на конечное целое число к. Подставляя в (7.53) 7Vt + / вместо Nr
и, соответственно, Nt - i вместо Ni, где i = 0,...,/: -1, мы
находим, что gE меняется в число раз
j
(n]
-1
w
»
имеющее порядок конечного числа 0(1).
Предположим теперь, что и для произвольной системы, как и в
случае задачи 7.4, выполняется, что статвес ее уровней энергии при переходе
через к уровней меняется лишь на множитель 0(1). Подставляя этот
результат в (7.55), для энтропии ансамбля (7.72) мы получаем
sE'"r\N'" = in(jg£o(l)) = In gE + In * + In 0(1) .
(7.73)

Общий формализм. Свободная энергия
231
Статвес одной группы микросостояний gE содержит экспоненциальную
зависимость от N, поэтому его логарифм будет порядка N. Напротив,
к является константой, поэтому In к является пренебрежимо малой
величиной по сравнению с N. Также и In 0(1) является пренебрежимо малой
величиной. Поэтому мы приходим к следующему выражению для энтропии
se>\vW «lng£> (774)
Получается, что энтропия системы, изолированной нестрого, равна
энтропии строго изолированной системы. Другими словами, свойства нашей
системы (ее энтропия) фактически не зависят от строгости ее изоляции.
Даже если бы к содержало степенную зависимость от N, мы все равно
могли бы пренебречь слагаемым In к, поскольку это слагаемое имело бы
порядок In N. Именно это будет отвечать, как мы увидим ниже, ситуации
К-ансамбля, когда относительные флуктуации энергии имеют порядок
— ос—=, а абсолютные ж ос Предполагая шаг изменения
значено JN
ний энергии какой-то малой константой (для переворота одного спина
изменение энергии определялось выражением (7.52)), мы получаем, что К-
ансамбль «живет» на уровнях энергии. Однако и для него энтропия
будет равна логарифму статвеса лишь одной группы микросостояний,
лишь бы только этот статвес gE был с логарифмической точностью
одинаковым для всех уровней.
Теперь мы уже можем ответить на вопрос о точности изоляции
системы - свойства системы не будут зависеть от того, на скольких группах
микросостояний мы изолировали систему. Лишь бы число этих групп
было не более чем степенным от N и лишь бы их энергии были настолько
близко лежащими, что статвес этих групп был бы примерно одинаковым с
упомянутой логарифмической точностью до степенных множителей.
Кроме того, теперь мы можем ответить и на вопрос о произвольности
объединения микросостояний в группы - нам неважно, сколько на самом
деле микросостояний объединено в группу, лишь бы ее статвес менялся
при этом не более чем на степенной множитель otN. Объединив в
группу Е\ на рисунке 1(6) в десять раз больше микросостояний, а затем
изолировав систему на этой группе микросостояний, для энтропии
ансамбля мы получим лишь пренебрежимо малое отличие порядка In 10.

232
Глава 7
Поэтому теперь мы видим, что мы были правы, опустив с
логарифмической точностью все степенные множители в выражении (7.53). Если
бы это было не так, то статистическая физика скорее всего была бы
невозможна как наука. Дело в том, что степенные множители являются
специфическими для каждой конкретной системы, поэтому выкладки
перестали бы быть универсальными. Забегая вперед скажем, что для случая К-
ансамбля это привело бы например к тому, что для каждой конкретной
модели мы имели бы свои распределения вероятностей, уже не
подчиняющиеся распределению Гаусса вблизи равновесия. Наука потеряла бы
универсальность, а вместе с ней и «красоту», приведя к значительному
усложнению всех выкладок.
Именно с целью иллюстрации механизма пренебрежения
степенными множителями по N по сравнению с экспоненциальными мы ранее и
ввели обозначение «in, отвечающее «равенству с логарифмической
точностью». Как мы видим из этой главы, подобное обозначение делает
выкладки значительно нагляднее, поскольку оно является по своей сути
неотъемлемой частью формализма статистической физики.
Впредь, получая какое-то выражение, мы всегда будем пренебрегать
в нем степенными зависимостями от N по сравнению с
экспоненциальными. В этом и заключается механизм, благодаря которому весь формализм
статистической механики работает. Это дает острые максимумы
вероятностей, позволяющие говорить об уравнениях состояния, именно поэтому
статистическая сумма имеет порядок своего наибольшего слагаемого, и
именно из-за этого возникают «магические свойства» энтропии.
И именно поэтому статистическая физика оказывается применимой и
к сложным системам. Пренебрежение специфическими степенными
множителями стирает многие особенности системы, будь она тепловая или
нет, и делает систему в каком-то смысле универсальной, подпадающей
под общий формализм.
Несколько раз при выводе (7.74) мы подчеркнули, что предполагаем
статвес gE одинаковым с логарифмической точностью для всех к уровней,
на которых изолирована система. Например, в случае модели Изинга в
задаче 7.4 множителем 0(1) мы опять могли бы пренебречь на фоне
экспоненциальной зависимости otTV, поэтому все к соседних уровней имели
равные с логарифмической точностью значения статвесов. Произошло это
потому, что при переходе через к уровней энергия изменяется незначи-

Общий формализм. Свободная энергия
233
тельно, лишь на | АЕ |= Ikfjh , что практически (с логарифмической
точностью до степенных множителей) не сказывается на статвесе gE>
А что произойдет, если все же изменение энергии скажется и на
изменении статвеса? Перестанет ли описанный выше механизм работать?
Отнюдь нет, просто в этом случае мы должны будем несколько
переформулировать выражение (7.74). Посмотрим еще раз на выражение (7.55). Теперь
уже мы предполагаем, что все g, значительно отличаются друг от друга,
даже с логарифмической точностью. Найдем среди них максимальный статвес
gmax=maxg/. (7.75)
Подставляя (7.55) в выражение для энтропии (7.72), мы получим
sW etorW =ln(gf + )=l„fe-(A + (7.76)
где коэффициенты Д меняются от ноля до единицы, а один из них,
отвечающий максимальному статвесу, обязан быть равным единице.
Поскольку к является не более чем степенной зависимостью от N, мы приходим к
выражению
5eV\,y* = ln(gmaxO(^a))« tag™ , (7.77)
которое снова возвращает нас к равенству (7.74), только теперь под
логарифмом мы должны использовать максимальный из всех статвесов, на
которых изолирована система. Таким образом, мы можем даже не
заботиться о том, чтобы система была изолирована на группах уровней с примерно
одинаковым статвесом. Мы лишь должны теперь выбирать максимальный
статвес среди всех рассматриваемых к уровней. Его логарифм и будет
давать значение энтропии.
Теперь мы переходим к наиболее сложному и наиболее трудному для
интуитивного понимания вопросу данной главы - определению
неравновесных состояний как макросостояний. При изложении данного
материала на лекции именно этот вопрос встречает наибольшее непонимание, и
обычно именно с него студенты начинают терять нить изложения.
Поэтому мы должны обосновать введение макросостояний как неравновесных
распределений вероятности наиболее детально.

234
Глава 7
Как определяются неравновесные состояния в статистической
физике? Типичной наглядной иллюстрацией служит система жидкость-газ, в
которой плотность и скорость макродвижения предполагаются
меняющимися по объему системы. Другими словами, мы требуем от системы,
чтобы ее плотность и скорость макродвижения были заданными функциями в
координатном пространстве. Например, мы можем потребовать, чтобы
весь газ сосредоточился только в правой половине сосуда, тогда как в
левой плотность должна быть нулевой.
Для иллюстрации мы будем использовать однако не систему
жидкость-газ, а рассмотренную выше одномерную модель Изинга без
взаимодействия спинов, являющуюся более простой и наглядной. В качестве
примера, строго изолируем нашу систему с такой энергией £, когда
спинов по полю Nt в три раза больше, чем спинов против поля Nx
Мы вполне можем это сделать, так как энергию изоляции мы выбираем
сами, как входной параметр ансамбля. Использованные значения для Nt
и Ni не являются какими-то специальными и выбраны таковыми лишь
для большей наглядности. Поскольку спины Ni ориентированы «против»
поля, являющегося внешним регулятором системы, мы будем называть
такие спины «заговорщиками», тогда как спины по полю N^ мы будем
называть «законопослушными гражданами».
Поскольку наша система изолирована строго, статвес ансамбля будет
соответствовать статвесу заданного уровня энергии
Какие неравновесные состояния мы хотим рассмотреть? Наглядным
неравновесным состоянием для газа является газ, собравшийся в одной
половине сосуда. Поступим подобным же образом и в модели Изинга.
Разобьем одномерную цепочку из N спинов на две половины, левую и
правую, по N12 спинов в каждой. Будем обозначать долю заговорщиков,
собравшихся в правой половине, как р. Когда все Ni =N/4 спинов
собрала = 3N/4, N±=N/4.
(7.78)
(7.79)

Общий формализм. Свободная энергия
235
лись в левой половине, /7 = 0. Когда все Ni = N14 спинов собрались в
правой половине, р = 1. Ситуации, когда часть заговорщиков находится в
левой половине, а часть в правой, будет отвечать какое-то значение
0< р<\.
Определим теперь неравновесное состояние как состояние с
определенной долей заговорщиков в правой половине сосуда. Другими словами,
неравновесное состояние будет полностью заданным, если мы зададим
конкретное значение р. Это неравновесное состояние мы будем называть
макросостоянием {{р}}. Впредь мы всегда будем для макросостояний, в
отличие от микросостояний, использовать двойные скобки.
Из всех ГЕ у ,л/ микросостояний МК-ансамбля заданному
макросостоянию {{/?}} будет отвечать Гц^ микросостояний {р}. Это число Г^ц
мы будем называть статвесом данного макросостояния. Как мы можем его
найти? Очевидно, Г^ц будет равно числу способов, которым
pNi = pN 14 заговорщиков можно распределить среди законопослушных
спинов правой половины цепочки и одновременно (1- p)N± =(1- p)N 14
заговорщиков в левой половине цепочки
N.
(1 -p)N,| N (\-p)N\ £N,(N_pN
\(\-p)NI4
l-p)
4 / 4 1,2 4 )
^(\+p)N/4, \pNI4f ^ s^(2-p)NI4
l + P
2
l-p
(7.80a)
(7.806)
Поскольку все микросостояния в ансамбле равновероятны,
вероятность наблюдать р заговорщиков в правой половине (т.е.
макросостояние {{р}}) равна
= гы/г
(7.81)
Найдем максимум этой вероятности. Для этого мы должны
продифференцировать ее или ее логарифм по р и приравнять производную нулю

236
Глава 7
Ф
= 0 или
d\nW<
м
dp
(7.82)
Мы с легкостью находим, что наиболее вероятным р является р0 = 1 / 2,
когда заговорщики равномерно распределены среди законопослушного
населения. Это макросостояние {{р0 =1/2}} называется наиболее
вероятным макросостоянием. Подставляя р0=\/2 в (7.80), для статвеса
макросостояния {{р0 =1/2}} мы находим
\{Ро\) ~1п
(7.83)
Но точно такое же значение мы получали в (7.79) и для ставеса г£'*к'Ал/'*
всего ансамбля в целом! Получается, что число микросостояний,
отвечающих макросостоянию {{р0}Ь Равно полному числу всех
микросостояний ансамбля? Как такое может быть? А куда же пропали
микросостояния, отвечающие р * 1 / 2 ? Не сделали ли мы ошибки?
Оказывается, что ошибки мы не сделали и все полученные выкладки
верны. Просто мы забыли, что равенства (7.79) и (7.83) выполняются не
точно, но лишь с логарифмической точностью
MU))~mr
(7.84)
А равенство с логарифмической точностью подразумевает равенство с
точностью до степенного множителя. Другими словами, разница между
Гц^ц и г£',к',Л/* все-таки есть, и заключается она в потерянных нами
степенных множителях. Т.е. на самом деле Г£ к ,Л/ в Na раз больше
Г^ц, и именно в эту разницу и укладываются все остальные значения
/?*1/2
р=0
(7.85)

Общий формализм. Свободная энергия
237
Про это равенство говорят, что полное число микросостояний ансамбля
равно своему наибольшему слагаемому. Однако никогда нельзя забывать,
что это утверждение справедливо лишь с логарифмической точностью.
Поэтому хотя наиболее вероятное макросостояние {{р0}} и имеет долю
микросостояний, сравнимую с числом микросостояний в ансамбле в
целом, однако еще «много» микросостояний остается и на долю соседних
макросостояний.
В частности, всемр в окрестности р0=\/2 будут отвечать
макросостояния {{/?}} со значениями статвесов, сходными с Г^}}. Например,
рассмотрим ближайшее макросостояние
когда справа находится на два заговорщика больше, чем слева.
Используя (7.80а), мы видим, что статвес этого макросостояния будет равен
(7.86)
Чтобы показать разницу, мы должны были здесь использовать
формулу (7.80а) до пренебрежения степенными множителями. Мы видим, что
хотя абсолютная разница и огромна, относительная разница статвесов
равновесного макросостояния и ближайшего к нему, соседнего
макросостояния ничтожна даже с точки зрения обычной, не логарифмической алгебры.
Используем теперь формулы (7.806,81), чтобы найти распределение
вероятностей макросостояний {{/?}} вблизи равновесного {{р0}}- Как мы
уже знаем, в точке наиболее вероятного макросостояния первая
производная логарифма вероятности ^f^f*'^ должна обращаться в
ноль (7.82). Однако вторая производная остается ненулевой
(7.87)

238
Глава 7
Поэтому для разложения логарифма ^{ыГ*вблизи {{р0}} мы получаем
dp
(р-РоУ
ф2
(р-/>0)2 +... = \nWfj;-|л^(р-р0)2 +... или
г-'* I//* 1//*
2(Np-NpQf
3 W
(7.88)
Мы видим, что вблизи наиболее вероятного макросостояния {{р0}}
вероятности других макросостояний подчиняются распределению Гаусса.
Хотя абсолютная ширина этого максимума порядка
S{Np) ос ,
(7.89)
и тем самым велика, относительная ширина имеет порядок
8{Np)„ 1
ос
Np0 V^'
(7.90)
и тем самым мала.
Отличные от нуля вероятности имеют только макросостояния,
находящиеся на ширине максимума. Вне зоны максимума вероятности
макросостояний пренебрежимо малы. Сравним, например, во сколько раз
отличается статвес макросостояния {{/? = l}}, У которого все заговорщики
собрались в правой половине, от статвеса наиболее вероятного
макросостояния {{р0}}
■ {{Ро}}
И 'з
«1.
(7.91)
Мы видим, что в противоположность российской истории вероятность
наблюдать революционную ситуацию в модели, когда все заговорщики
собрались вместе, ничтожна мала.

Общий формализм. Свободная энергия
239
5x10
4x109;
3x109;
2x109
1х109;
00
0.2
0.4 Р0 0 6
Рисунок 6
0.8
Общий вид зависимости
Гц^ц приведен на рисунке 6
для сотни заговорщиков Nx =
= N / 4 = 100, прячущихся
среди 400 граждан N = 400.
Отдельные макросостояния
показаны вертикальными столбца-
Р ми под общей кривой. Мы
1.0 видим, что уже для числа
степеней свободы, измеряемых
сотнями, статвеса
макросостояний, близких к равновесным составляют величины порядка 109 .
Самих же макросостояний здесь всего сто одно, когда в правой части
находится 0,1,2,...,100 заговорщиков. Макросостояния, лежащие вне диапазона
0.4-0.6, имеют незначительные статвеса по сравнению с равновесным
статвесом
Г1ШГ5'
10v
Поэтому макросостояний, имеющих значительные статвеса (которые
находятся в диапазоне р = 0.4-0.6), всего около двух десятков. Все они по
порядку величин имеют схожие статвеса. Если мы сложим их все, то
получим полный статвес ансамбля Г£ . Который будет превышать статвес
равновесного макросостояния
in
этому, сравнивая логарифмы статвесов
,nr£W*=ln(10.5.1097)=227 и
всего лишь раз в десять! Можно по-
Г(Ш1
= 1п(5-1097)=225,
(7.92а)
(7.926)
не обращать внимания на их отличие. И это происходит уже только для
нескольких сотен спинов в модели! Когда же мы перейдем к
термодинамическому пределу бесконечного числа спинов, относительная разница
становится совершенно несущественной. Именно в этом смысле и
считается, что статвес ансамбля, как полная сумма (7.85) статвесов всех
макросостояний, равен с логарифмической точностью своему наибольшему ела-

240
Глава 7
гаемому, т.е. статвесу равновесного макросостояния. Хотя это отнюдь не
означает, что остальные слагаемые должны быть гораздо меньше. Мы
видим, что на рисунке 6 имеется по крайней мере два десятка
макросостояний, имеющих статвеса того же порядка.
Посмотрим теперь более внимательно на весь путь, который мы
проделали, чтобы определить неравновесное состояние {{/?}}. Система
является замкнутой и принадлежит МК-ансамблю. В этом ансамбле все
микросостояния являются равновероятными. Среди этих микросостояний
мы можем встретить самые различные случаи расположения ориентации
спинов.
Если мы рассматриваем МК-ансамбль, то согласно (7.69) системы
ансамбля с равной вероятностью будут «демонстрировать» нам все
возможные микросостояния, в том числе и те {р = 1}, когда все заговорщики
находятся в правой половине цепочки. Почему же мы не наблюдаем в
реальной жизни, чтобы, например, газ сам собой собирался в одной
половине сосуда? Да потому, что «нормальных», «без отклонений»,
микросостояний гораздо больше, и нам нужно перебрать подряд почти все
системы ансамбля, чтобы добраться до чего-то неординарного.
Рассматривая модель Изинга из N спинов, мы, согласно (7.91), должны будем
просмотреть (4/3)зл//4 различных микросостояний, чтобы найти
требуемое, у которого все заговорщики собрались в одной половине сосуда.
Число требуемых систем в термодинамическом пределе N —> +оо
бесконечно, а организации, выделяющие гранты, к сожалению, не соглашаются
финансировать бесконечное количество экспериментов.
Тут нам на помощь может придти эргодическая гипотеза. Мы можем
вспомнить, что вовсе не обязательно иметь бесконечно много систем.
Вместо этого мы можем ввести в систему слабое, пренебрежимо малое
взаимодействие с внешней средой, которое не будет влиять на изоляцию,
но сможет переводить микросостояния одно в другое. Тогда мы можем
наблюдать одну и ту же систему в течение долгого промежутка времени,
и она будет демонстрировать нам те же самые микросостояния ансамбля,
одно за другим. Другими словами, мы можем заменить ансамбль
одинаковых систем, реализующий распределение вероятностей микросостояний
в пространстве этих систем, на одну систему, где распределение
вероятностей микросостояний будет реализовываться при эволюции системы из
одного микросостояния в другое. Однако мы вновь натыкаемся на ту же
самую проблему. В термодинамическом пределе N -> +оо мы заменили
бесконечное число экспериментов с разными системами на бесконечное

Общий формализм. Свободная энергия
241
время наблюдений одной и той же системы. Бесконечно продолжающиеся
исследования, к сожалению, также никто не хочет финансировать.
Поэтому никто до сих пор и не стал очевидцем газа, который бы сам по себе
собрался в одной половине сосуда. Другими словами, термодинамические
системы, в противоположность новостным агентствам, прячут наиболее
яркие сюжеты за массой рутинных будней.
Чем является неравновесное состояние {{/?}}? Из всего многообразия
микросостояний ансамбля мы отобрали те, которые соответствовали
поставленному требованию /?, т.е. те, у которых в правой половине цепочки
было р заговорщиков. Совокупность этих микросостояний {р} и будет
отвечать определению неравновесного макросостояния
Как мы уже обсудили выше, микросостояния, отвечающие
макросостоянию {{/? = l}}, будут встречаться при эволюции равновесной с
ансамблем системы, только демонстрировать их нам она будет крайне
редко. Но, допустим, мы все-таки наблюдаем нашу систему в течение очень
долгого промежутка времени. Время от времени наша система,
равновесная с ансамблем, будет показывать нам какие-то из отобранных
микросостояний {1}. Про такие моменты времени мы будем говорить, что в
системе произошла флуктуация, отвечающая заданному неравновесному
состоянию {{l}}.
Что же получается? Наблюдая равновесную систему, которая
продолжает оставаться равновесной в течение всей своей эволюции, мы
пришли в неравновесное состояние? Как такое может быть и не
противоречим ли мы сами себе? Все дело в том, что под равновесием можно
понимать разные концепции.
Простейшей служит равновесное, наиболее вероятное в ансамбле
макросостояние {{/?0 = 1/2}}. Другими словами, равновесным в смысле
максимума вероятности является однородное распределение
заговорщиков среди мирного населения.
Но существует и другая концепция равновесия как равновесия с
ансамблем. МК-ансамбль предписывает равновероятность (7.69) всех его
микросостояний, и система, следующая в своей эволюции этому распре-
(7.93)
{ЕУ\р\

242
Глава 7
делению вероятностей, будет равновесна с ансамблем. Другими словами,
равновесная с ансамблем система, проходит в своей эволюции как
наиболее вероятные (равновесные) состояния {{р0 = 1/2}}, так и неравновесные
флуктуации {{р = l}}. Наблюдая газ, мы практически все время будем
видеть равномерную по пространству плотность, но изредка будем
наблюдать и ее гетерогенные флуктуации.
Таким образом, сперва мы поставили неравновесное состояние {{р}}
в соответствие его требованию р заговорщикам собраться в правой
половине. Потом нашли все микросостояния ансамбля {р}, отвечающие этому
требованию. А затем возникновение этих микросостояний в ансамбле
назвали флуктуацией, в которой реализуется данное неравновесное
состояние {{/?}}. Следующим логичным шагом будет спросить, а какова
вероятность реализации данной флуктуации в ансамбле? Очевидно, она будет
равна доле времени, в течение которого мы наблюдали требуемые
микросостояния {р}. А поскольку все микросостояния в ансамбле
равновероятны, эта доля времени будет равна доле этих микросостояний в
ансамбле (7.81).
На что же похоже наше неравновесное макросостояние {{/?}} и какова
его роль в ансамбле? Система проходила через череду своих
микросостояний, а мы фактически «надергали» какие-то из них, не связанные друг
с другом, лишь бы только они походили друг на друга тем, что отвечали
требованию р. Подобное определение (7.93), хоть и носит титул
«состояния», пока что мало на него похоже. Действительно, под
термодинамическим состоянием мы обычно понимаем систему, находящуюся в таком
состоянии, когда череда сменяющих друг друга микросостояний, пусть и в
течение короткого времени, но отвечает данному состоянию. Другими
словами, состояние должно существовать какое-то время, хоть и
короткое. Например, указанный выше газ, собравшийся в одной половине
сосуда, пусть лишь пока подобное неравновесное состояние не разрушилось,
но должен иметь энтропию. Наша же выборка отдельных микросостояний
из их общего числа пока не представляет собой чего-то целого,
обладающего таким коллективным свойством как энтропия. Построенное нами
понятие пока есть лишь совокупность «надерганных» из эволюции
системы разрозненных микросостояний, не связанных в единое целое.
Как нам сделать наше определение неравновесного состояния {{р}}
более «цельным»? Представим себе систему, у которой какие-то
«магические» внешние силы, реализующиеся например в виде пограничного кор-

Общий формализм. Свободная энергия
243
дона, не пропускают заговорщиков из одной половины цепочки в другую.
А если и выпускают шпионов из своей страны, то, как в известном
фильме, требуют, чтобы в ответ столько же разведчиков вернулось на родину.
Другими словами, пусть таинственные внешние силы надзора за
порядком поддерживают числа заговорщиков в каждой половине цепочки
неизменными. Система по-прежнему замкнута, т.е. находится в МК-
ансамбле, однако теперь к граничным условиям ансамбля добавились
дополнительные граничные условия. Их влияние приводит к тому, что
система по-прежнему равновероятно «бродит» по микросостояниям, но
доступными для нее стали лишь микросостояния {р}, отвечающие нашему
неравновесному состоянию {{/?}}, поскольку внешние силы запретили
системе посещать остальные микросостояния {Е} \ {р}.
В такой постановке вопроса мы уже с легкостью узнаем «настоящее»,
физическое макросостояние, а не просто выборку отдельных
микросостояний. У подобной модели Изинга с р = 1 мы экспериментально можем
подтвердить отсутствие заговорщиков в левой половине цепочки, а
система по-прежнему будет демонстрировать нам микросостояния {1}
неравновесного макросостояния {{l}}, сменяющие друг друга одно за другим.
Левая страна будет спокойно жить, отгородившись кордоном от
революционной ситуации в правой стране.
Что же от нас потребовалось сделать, чтобы превратить разрозненное
множество микросостояний в настоящее макросостояние? От нас
потребовалось наложить на ансамбль дополнительные граничные условия,
поддерживающие выполнение требования р неравновесного состояния.
Другими словами, мы наложили на систему дополнительную изоляцию,
отвечающую заданному требованию/? флуктуации. Рассматривая газ,
собравшийся в одной половине сосуда, на МК-ансамбль мы должны были
наложить дополнительное граничное условие равенства нулю плотности в
левой половине сосуда, поставив посредине объема дополнительную
стенку.
Все доступные микросостояния {р} у новой, модельной системы по-
прежнему равновероятны, однако ставшие недоступными
микросостояния {£} \ {р} имеют равную нулю вероятность
(7.94)

244
Глава 7
В этой формуле мы уже не использовали для вероятности надстрочный
индекс E,V,N, поскольку эта вероятность задается уже не исходным МК-
ансамблем, но модельным ансамблем, который неравновесен с исходным.
Энтропией нашего неравновесного состояния {{/?}}, очевидно, будет
%»aE-XHtotaHte =-%}}F^lnF- = ln%}}- (7-95)
(Здесь мы должны помнить, что ввиду слабости логарифмической
функции по сравнению со степенной нулевые вероятности не дадут вклада в
сумму.)
Оглянемся вновь на путь, проделанный нами для построения
концепции неравновесного состояния. Мы наконец видим, что же произошло.
Для исходной системы мы рассмотрели всё отвечающее ей множество
микросостояний. Вероятность этих микросостояний для системы в МК-
ансамбле диктовалась формулой (7.69). Другими словами, распределение
вероятностей (7.69) было равновесным с ансамблем. Чтобы построить
неравновесное состояние, мы ввели в пространстве этих микросостояний
новое распределение вероятностей (7.94), уже неравновесное с ансамблем.
Таким образом, задание неравновесного состояния было эквивалентно
заданию неравновесного распределения вероятностей (7.94).
Поэтому мы можем ввести правило, что для того чтобы определить
произвольное макросостояние, мы должны приписать ему свое,
неравновесное распределение вероятностей на пространстве всех доступных
микросостояний. Это распределение вероятностей и будет, собственно,
задавать неравновесное состояние как таковое, служа описанием всех его
характерных черт. Другими словами, вместо того, чтобы говорить, что
под неравновесным состоянием мы понимаем такую систему, которая в
течение конечного промежутка времени имеет нулевую плотность
заговорщиков в левой половине цепочки, мы будем говорить, что под
неравновесным состоянием мы понимаем систему, ведущую себя согласно
распределению вероятностей (7.94). Это распределение и будет задавать
все свойства макросостояния, которые нам уже нет необходимости
описывать явно.
Нашей основной задачей при исследовании неравновесных
состояний является поиск вероятности (7.81) для системы, равновесной с МК-
ансамблем, наблюдать аномальное поведение р, неравновесное с
ансамблем. Другими словами, рассматривая систему, ведущую себя согласно

Общий формализм. Свободная энергия
245
^УУУУУУУУУ
syyyyxyyyy
/УУУУУ&УУУ
распределению вероятностей (7.69),
мы ищем вероятность наблюдать у
данной системы аномальное
поведение, отвечающее распределению
вероятностей (7.94). Для системы,
равновероятно посещающей все {£}
микросостояний МК-ансамбля, мы ищем
вероятность обнаружить ее в
микросостояниях {р}. Именно эту
вероятность и отражает полученное нами
выражение (7.81).
,£■'* y'h fl'h
Рисунок 7
После того, как мы наглядно и детально проиллюстрировали, что мы
понимаем под макросостоянием, перефразируем теперь кратко
результаты, уже надеясь на понимание читателя. Сперва мы рассматривали лишь
системы, равновесные с МК-ансамблем, под действием которого они
находятся. Другими словами, мы всегда полагали, что системы в ансамбле
ведут себя согласно распределению вероятностей (7.69). Однако мы также
можем рассмотреть системы, не равновесные со своим ансамблем и
подчиняющиеся какому-то своему распределению вероятностей н>{£}. Здесь,
по сравнению с (7.69), мы опускаем надстрочный индекс ансамбля,
наглядно показывая, что данное распределение вероятностей не
соответствует (7.69), равновесному с ансамблем.
Какой пример неравновесной системы в МК-ансамбле мы можем
рассмотреть? Очевидно, простейшим случаем будет предположить, что
система, вопреки пожеланиям ансамбля <окить» в ,N микросостояниях,
реально обитает лишь в части из них Гц ^, и упорно «не хочет» переходить в
остальные г£'*'и'*,л/'* \Гц ц микросостояния (рисунок 7). В этом случае
распределением вероятностей системы, неравновесным с ансамблем, будет
(7.96)
Будем называть такую систему находящейся в макросостоянии {{ }},
которое, очевидно, неравновесно с ансамблем. Используя общую
формулу (7.70), для энтропии макросостояния {{ }} системы мы получаем

246
Глава 7
^hs-r{{)}-F-ln7rL- = lnr{{}}, (7.97)
т.е. логарифм числа микросостояний, на которых система «обитает» с
ненулевой вероятностью.
Свободная энергия МК-ансамбля
Построим теперь потенциал свободной энергии для МК-ансамбля. Из
термодинамики известно, что для любых процессов в замкнутой системе
выполняется
— >0, (7.98)
dt
что называется принципом максимизации энтропии. Из этого неравенства
мы можем ожидать, что потенциалом свободной энергии в МК-ансамбле
будет отрицательная энтропия
¥ = -S . (7.99)
Чему равна вероятность наблюдать макросостояние {{ }} в МК-
ансамбле? Другими словами, если система находится в МК-ансамбле,
какова будет вероятность наблюдать у нее такое поведение, как если бы
она была замкнута на Гц ц микросостояниях вместо г£'И,л/А ?
Очевидно, эта вероятность равна тому, что выбирая произвольное
микросостояние из Г£'ку",Ar* равновероятных, мы попадем в одно из Гц ц
микросостояний
Ввиду монотонности роста логарифмической функции мы видим, что
минус энтропия системы будет всегда уменьшаться, когда вероятность
увеличивается
(7.101)

Общий формализм. Свободная энергия
247
Величина (7.99) будет иметь минимум тогда, когда вероятность будет
максимальна, поэтому ее минимум будет отвечать равновесному
состоянию, и она действительно играет роль свободной энергии.
Минимизация свободной энергии выбирает равновесное (наиболее
вероятное) макросостояние {{о}} (если мы вернемся к предыдущему
примеру с заговорщиками, равновесным будет равномерное распределение
заговорщиков вдоль цепочки). Ввиду того, что это макросостояние должно
доминировать наблюдаемое поведение системы, его статвес должен быть с
логарифмической точностью равен статвесу всего ансамбля в целом
Г№И-„Г^, (7.102)
Очевидно, это равновесное макросостояние {{о}} отвечает максимуму
вероятности (7.100) и, тем самым, минимуму свободной энергии (7.99). Как
мы видим, нет ничего магического в законе возрастания энтропии как
минус свободной энергии. Этот закон отвечает лишь переходу от менее
вероятных и, тем самым, неравновесных макросостояний с малым статвесом
к более вероятным, и, тем самым, более равновесным макросостояниям с
большим статвесом.
Теперь мы можем переформулировать ответ на вопрос, почему, если
наша система детерминистична, как например идеальный газ, мы не
наблюдаем экзотических неравновесных состояний, когда например все молекулы
собираются в одной половине сосуда. Такому экзотическому
макросостоянию будет отвечать лишь малая доля микросостояний из общего статвеса ГЕ.
Эти микросостояния, как и все остальные, имеют вероятность (7.69) и
поэтому вполне достижимы. Однако их доля в общем числе равновероятных
микросостояний настолько ничтожна, что подобная флуктуация будет
наблюдаться лишь крайне редко. Все же остальное время жизни системы до-
минируется микросостояниями со средними характеристиками.
Мы рассматриваем детерминистические системы, однако, переходя
от отдельной системы к ансамблю систем, мы подменяем
детерминистические законы поведения отдельной системы стохастическими законами
усредненного по ансамблю поведения. Ансамбль следует стохастическим
законам поведения, не обращая внимания на детерминизм каждой из его
систем. Более того, проявления этого детерминизма старательно
«скрываются» от наблюдателя, которому на показ выставляются лишь те
системы, поведение которых отвечает поведению «большинства» и находится в
равновесии с ансамблем.

248
Глава 7
Переходя от последовательной череды равновероятных
микросостояний, сменяющих друг друга одно за одним в МК-ансамбле, к описанию
поведения на уровне макросостояний, мы переходим от детерминизма к
стохастическому описанию. Для детерминистической системы появление
флуктуации было возможным. Для стохастической системы оно так же
возможно, но маловероятно. Вероятностные законы диктуют нам, что
система должна переходить из менее вероятных состояний в более
вероятные, что будет отвечать смене неравновесных макросостояний более
равновесными. Флуктуации по-прежнему возможны, но они будут
нарушать законы роста вероятности, и поэтому будут маловероятными.
Энтропия же по своему определению (7.70) есть величина,
характеризующая статистическое распределение вероятностей состояния
системы. Поэтому, хотя каждая отдельная система и будет следовать своему
детерминистическому пути, ансамбль таких систем будет следовать
распределению вероятностей, переходя от менее вероятных к более
вероятным состояниям. А как мы только что видели, рост вероятности отвечает
росту энтропии. Именно при переходе от детерминистичной системы к
стохастическому ансамблю происходит разрушение симметрии оси
времени. Хотя каждая отдельная система и является обратимой в силу ее
детерминизма, ансамбль систем живет по законам необратимости ввиду
необратимости принципа роста вероятности при эволюции системы.
Поэтому принцип необратимости термодинамических процессов является
ничем иным, как маловероятностью перехода от более вероятных
состояний к менее вероятным.
Канонический ансамбль
Перейдем теперь к рассмотрению канонического (К) ансамбля. К-
ансамблем называется система, по-прежнему поддерживаемая при
постоянном объеме V = const и числе частиц N = const, однако
обменивающаяся с внешней средой - термостатом - энергией. Термостат
предполагается настолько большим, что флуктуации энергии в системе за счет
отбора энергии у термостата или возврата энергии термостату никак не
влияют на его температуру. Поэтому система считается поддерживаемой
при постоянной температуре термостата Tth = const.
В целом наша система плюс термостат составляют замкнутую
систему I, находящуюся в МК-ансамбле Е1 = const. Здесь, во избежание
сложностей, мы будем предполагать строгую изоляцию большой
системы I только на одном ее энергетическом уровне. Взаимодействие
термостата и нашей системы ограничивается лишь обменом теплом, по-

Общий формализм. Свободная энергия
249
этому энергетические спектры и термостата и системы определимы по
отдельности. Другими словами, микросостояния определимы не только для
системы I в целом, но и для нашей системы и термостата по отдельности.
Поэтому мы можем говорить о значениях энергий нашей системы и
термостата, пренебрегая энергией взаимодействия этих двух систем.
Чем больше энергии приходит в систему из термостата, тем меньше
его собственная энергия (рисунок 8)
Замкнутая в целом система I находится в МК-ансамбле, поэтому все
доступные ей микросостояния равновероятны. Что является
микросостоянием системы £? Поскольку микросостояния термостата и нашей системы
определимы по отдельности, очевидно, что микросостоянию системы I
будут отвечать наша система и термостат, находящиеся каждый в каком-
то своем микросостоянии. Другими словами, произвольное
микросостояние системы I может быть образовано объединением какого-то
микросостояния нашей системы и какого-то микросостояния термостата, лишь бы
только выполнялось равенство (7.103). Тогда полное число
микросостояний системы I в МК-ансамбле есть число всех возможных способов,
которыми можно образовать заданную энергию Е1 из микросостояния
нашей системы и микросостояния термостата
где в последнем равенстве мы перешли от суммирования по
микросостояниям к суммированию по значениям энергии нашей системы.
E + Elh =ЕТ =
const.
(7.103)
(7.104)
Ег =^Г ~Е+ЕТ=Е* ^2 = > g£„,
Ех
Рисунок 8

250
Глава 7
Все микросостояния системы I будут равновероятны
и£.,=4-. (7-105)
В этом случае вероятность нашей системе быть в каком-то
микросостоянии {Е} с энергией Е равна сумме вероятностей (7.105) по всем
соответствующим микросостояниям термостата с энергией Е1 -Е
н£Г^=4*. (7.Ю6)
а вероятность нашей системе иметь энергию Е равна произведению
слагаемого gEgEi_Ei отвечающего в (7.104) данному значению энергии, на
вероятность (7.105)
<W* =gE<f'N* =^f^. (7.107)
Максимум этой вероятности будет отвечать наиболее вероятному
(равновесному) значению энергии Е0.
Задача 7.5
Продемонстрировать выражения (7.104-107) на примере модели
Изинга без взаимодействия спинов с N = 3 спинами. Термостат
для наглядности можно также считать моделью Изинга без
взаимодействия, содержащей гораздо большее число спинов
Nlh » N.
& Решение
Рассмотрим все возможные значения энергии системы. Если про
систему известно, что она «отобрала» у термостата
энергию E = 3jjh, это означает, что она находится в
микросостоянии {444}, и статвес данного значения энергии равен единице
8з^и = 1 • Энергия термостата при этом равна Eth = Ег - З/Ji, и

Общий формализм. Свободная энергия
251
термостат находится в одном из своих g£i_3^ микросостояний,
отвечающих этой энергии. Кроме энергии Е = 3^h наша система
может также иметь энергию Е - цп , чему отвечают три {gMh - 3)
микросостояния {ш}, {т}, {т\ и статвес
термостата g£t_^. Еще одним значением энергии может быть E = -jjh ,
когда система находится в каком-то одном из своих g_ph = 3
микросостоянии {т}, {т} или {т}, а термостат - в одном
из своих g£r+^ микросостояний. И наконец, энергия может быть
равна Е = -3/Ji, чему отвечает одно (g_3//A = 1) микросостояние
и статвес термостата g г .
Тем самым мы можем перечислить все возможные
микросостояния системы Е. Во-первых, это будет комбинация
микросостояния [ill] системы и произвольного микросостояния термостата
из g£i_3M возможных. Во-вторых, комбинация одного из трех
{ru}, {m}, {ut} микросостоянии системы и какого
микросостояния термостата из g£i_^ возможных. И так далее для двух
оставшихся значений энергии. В сумме мы получаем аналог
формулы (7.104)
Е _ /Л , /Л , /Л , /А _
= + is'k* + + ■ <7108)
Система £ замкнута, поэтому все ее микросостояния равновероятны
=й +W* lw* + И • (?Л09)
Как мы можем найти вероятность нашей системе быть в каком-
то своем микросостоянии, например в Когда система
находится в этом микросостоянии, ее энергия равна Е = juh , а
энергия термостата Eth = Е1 - juh. Поэтому термостат при этом

252
Глава 7
может находиться в каком-то из своих gEz_^ микросостояний,
каждое из которых в совокупности с микросостоянием {Т>Ц}
системы будет образовывать gE\_^ микросостояний системы I.
Используя (7.109), для вероятности найти систему в
микросостоянии мы находим аналог формулы (7.106)
/Л
Чтобы найти вероятность системе иметь энергию Е = fjh , мы
должны сложить вероятности (7.110) для всех трех
соответствующих микросостоянии системы {Ш}, {ifi}, {UT} и
получить аналог формулы (7.107)
цт1**"-** = 3g£l-^ П 11П
В формулах (7.106-107) вероятность имеет надстрочный индекс
Tlh,У'Н,Nlh > поскольку система, подчиняющаяся распределению
вероятностей (7.106-107), диктуемому К-ансамблем, находится в равновесии с
этим ансамблем. Но помимо систем, равновесных с термостатом, мы
можем рассмотреть и неравновесные системы, подчиняющиеся каким-то
своим распределениям вероятностей w{E), отличным от (7.106-107).
Какой пример неравновесной системы мы можем рассмотреть в случае
К-ансамбля? Простейшим описанием неравновесности может служить
требование системе иметь заданное значение энергии Е\ вообще грворя
отличное от наиболее вероятного Е0. Мы опять рассматриваем эволюцию
системы, только теперь наша система обменивается теплом с термостатом, и
поэтому ее энергия постоянно флуктуирует. Все флуктуации, имеющие
заданное значение энергии £', мы будем относить к макросостоянию {{£'}}.
Более строго, определим макросостояние {{£'}} нашей системы как
объединение всех микросостояний {£}, отвечающих заданной
энергии Е% (рисунок 9):

Общий формализм. Свободная энергия
253
«£2
(а)
М- и<*>-
g«£,}|
g !{£■,)! K£<W|
(6)
Рисунок 9
(7.112)
Число микросостояний {£'}, отвечающих макросостоянию {{£'}}, равно
статвесу данного значения энергии
(7.113)
У рассмотренной выше модели Изинга с тремя спинами будет четыре
макросостояния. Макросостоянию {{З/i/i}} отвечает одно (gj^}} = 1)
микросостояние Макросостоянию {{{Ж}} отвечают три (g{{^}} = 3 )
микросостояния . МакросостоянЛо {{- juh}} опять отвечают
три (gji.^jj = 3) микросостояния {ГП}, {UT} и {iff} . И наконец, макро-
состоянию {{-3/Л}} отвечает одно (g^_3fih^ =1) микросостояние {ТТТ}.
Чтобы перейти от набора разрозненных микросостояний к
полноценному состоянию, мы должны наложить на К-ансамбль дополнительную
изоляцию. Таковой в данном случае является изоляция системы по энергии.
Другими словами, неравновесному макросостоянию {{£'}} отвечает
система, которая имеет энергию £*' и «отказывается» вообще обмениваться с
термостатом энергией. Поскольку система ведет себя как замкнутая, все
микросостояния {£'}, отвечающие энергии изоляции Е\ равновероятны;
все же остальные микросостояния с другими энергиями Еф Ех имеют
равную нулю вероятность

254
Глава 7
0,£*£"
(7.114)
Здесь мы опять не используем надстрочный индекс ансамбля, так как
данное распределение вероятностей относится к модельной системе и
является неравновесным в К-ансамбле.
Применяя общее определение (7.70), для энтропии макросостояния
мы получаем
ансамбле? Очевидно, этой вероятностью является вероятность (7.107)
наблюдать систему, имеющую энергию е. Как мы предположили выше,
статистический вес, как системы, так и термостата, является быстро
меняющейся функцией энергии, содержащей экспоненциальную зависимость
отМ Поэтому в формуле (7.107), если система отбирает у термостата
энергию, ее статвес резко возрастает, тогда как статвес термостата резко
падает. Борьба этих двух факторов приводит к появлению у
вероятности (7.107) острого максимума с шириной ^-сс—^= в точке наиболее
е0 4n
вероятного (равновесного) состояния е0. Чтобы найти этот максимум,
продифференцируем вероятность (7.107) (или, поскольку логарифм
является монотонно растущей функцией, логарифм этой вероятности) по е и
найдем, когда полученная производная обращается в ноль
(7.115)
Чему равна вероятность наблюдать макросостояние {{е}} в К-
= 0 или
dlnWc
дЕ
Г*,К'\лг'
= 0.
(7.116)
дЕ
В результате, поскольку является константой и от £ не зависит, мы
получаем
£«£}) dE
ф-4 dE *Й dE'" '
или
(7.117а)

Общий формализм. Свободная энергия
255
£J!iaaLe£l^£fci>I1IDI (7.117б)
dE dE'h
= (7.117b)
dE dE,h '
где есть энтропия макросостояния {{£'*}} термостата.
По определению, температура системы вводится как производная
энергии системы по энтропии
dE
Г = -^=—. (7.118)
dSm\
Равенство (7.117в) поэтому означает, что наиболее вероятное
состояние Е0 отвечает равенству температур системы и термостата
у = ^Г «ли/? = /?*, (7.119)
гдеР обычно обозначает обратную температуру /? = 1/Г .
Задача 7.6
Используя равенство температур в равновесии (7.119), найти
наиболее вероятное состояние для модели Изинга без
взаимодействия спинов.
& Решение
Для модели Изинга без взаимодействия спинов мы знаем
зависимость статвеса макросостояния (7.53) от энергии (7.51)
и тем самым зависимость энтропии макросостояния от его
энергии

256
Глава 7
2
(\ Е )
In
E Л
1
1-
I Nfih
( E Л
(
In
1 +
I Nfihj
1+
—]■
Nfih )
Продифференцируем это выражение по энергии
дЕ ~ 2fih Nfiih + E'
(7.121)
(7.122)
В точке наиболее вероятного состояния Е0 это выражение
должно быть равно обратной температуре термостата
dSi
1
Г* дЕ
£11
1 lnNt*-E0
2 fjh Nfjh + E0
(7.123)
откуда для наиболее вероятного состояния мы получаем
£0 = -tf/*tanh^L.
(7.124)
Вернемся теперь к вероятности микросостояния системы (7.106).
Поскольку является константой, формулу (7.106) можно записать как
т-/* .//A hrik О т
(7.125)
Система предполагается пренебрежимо малой по сравнению с
термостатом. Поэтому для энтропии термостата можно использовать разложение
Тейлора по малому параметру, равному энергии £, забранной системой у
термостата
T,k y,h Ц,М
w{E)- осе
(7.126)
Эта формула называется вероятностью Гиббса для микросостояния.
Статистическая сумма К-ансамбля

Общий формализм. Свободная энергия
257
Z = = 2^gHE))e (7.127)
{Е)
определяется как константа нормировки данного распределения
вероятностей
Заметим, что мы попутно фактически доказали неравенство (7.17в).
Действительно, рассмотрим замкнутую систему!, состоящую из нашей
системы и термостата. Для этой замкнутой системы, как это мы делали
в МК-ансамбле, определим макросостояние как какое-то подмножество
всех возможных микросостояний. Точнее, определим макросостояние
{{£, Е1 - £*}} системы I как объединение всех ее микросостояний, когда
наша система имеет энергию £, а термостат - энергию Е1 -Е. Статвесом
данного макросостояния будет
I _ а th _ th
£{{E,EZ-E}) -ЬЕВЕ1-Е - 8{{E}}&{{El-E}} '
Из этого равенства мы видим, что энтропия является аддитивной величиной
по этим подсистемам
о! _ о о/А
°{{£,£г-£}} ~ + {{£г-£}} *
Из неравенства (7.98) мы знаем, что энтропия замкнутой системы может
только возрастать
AS1 = AS + ASth > О.
Используя разложение энтропии термостата (7.126), для прироста энтропии
термостата мы находим
ASth =-AE/Tth.
Отсюда следует, что прирост энтропии системы подчиняется неравенству
AS>AEir\

258
Глава 7
что доказывает (7.17а). Неравенства (7.176) и (7.17в) могут быть доказаны
аналогично, только энтропию термостата нужно будет разлагать не только
по параметру порядка £, но и по параметрам порядка V и N.
С учетом (7.128) вероятность (7.107) наблюдать
макросостояние {{е}} в К-ансамбле равна
Ще}} =«{{£}}= zr*,K*V 6 ' (?Л29)
где нормировкой служит
*шТ"у1
Выше мы предположили, что вероятность (7.129) имеет острый
максимум. Докажем теперь это предположение. Для первой производной
логарифма вероятности (7.129) по энергии мы находим
рМ ylk уу/*
U 111 ^l(r-t) I I I
^- (7.131)
d\nW{{4<" J\*gm 1 = 1 1
В точке максимума^ согласно (7.116) эта производная равна нулю и,
следовательно, выполняется условие равновесия (7.119).
Для второй производной мы находим
421*КеТ^ d 1 1
№1 = —— = - —— (7.132)
dE2 dET Т2СУ
или в точке максимума
d2\nW,E
jlk ylk jylk
dE2
-Г-Т2 • (7.133)
И c„£
Разложим логарифм вероятности (7.129) в ряд Тейлора по малым
отклонениям энергии от е0

Общий формализм. Свободная энергия
259
2 1_ и/Т"У*,N*
(£-£0)2+... (7.134)
Для распределения вероятностей неравновесных состояний в
окрестности Е0 мы получаем распределение Гаусса
Jf||£}} ос е . (7.135)
Поскольку здесь энергия и теплоемкость О являются экстенсивными
величинами, это доказывает наше утверждение об относительных флуктуа-
циях энергии
— ac-L. (7.136)
В формуле для вероятности (7.129) является быстро растущей
функцией энергии, содержащей экспоненциальную зависимость otN, а
wJe)v*'n* является быстро спадающей функцией энергии, также
содержащей экспоненциальную зависимость от N. Именно борьба этих двух
сомножителей обеспечивает острый максимум (7.136) вероятности в точке
наиболее вероятного состояния (7.116).
Ввиду остроты максимума наиболее вероятное значение энергии Е0
представляет собой среднее значение энергии системы в ансамбле.
Докажем это утверждение. Среднее произвольной величины/ по любому
состоянию определяется согласно
</> = L/u»„- (7137)
Для энергии в К-ансамбле эта формула превращается в
ie) р}} (Mi

260
Глава 7
Здесь в последней сумме и w^f***** содержат экспоненциальную
зависимость от N, тогда как Е - лишь степенную. Поэтому произведение
функций g{{e)\w[e\v*%n* ~^Це}}*'ы* » имеющее очень острый максимум,
работает здесь как 8-функция в точке наиболее вероятного значения E0i
нормированная к тому же равенством (7.130) на единицу. Это доказывает
сделанное выше утверждение
(£>rw* s \dE' ES(E - Ео) = Ео • (7.139)
Здесь переход от уравнения (7.138) к уравнению (7.139), т.е. замена пика
вероятностей, имеющего конечную ширину, на бесконечно узкий пик 8-
функции был выполнен в предположении, что мы можем пренебречь
изменением медленной функции Е на реальной ширине максимума
вероятности ^e}]*,n* • Последнее утверждение доказывается равенством (7.136).
Задача 7.7
Проиллюстрировать формулы (7.138-139) с помощью модели
Изинга без взаимодействия спинов.
& Решение
Из равенств (7.135-136) мы знаем, что вероятность wfe^*%N*
имеет острый максимум в точке наиболее вероятного
макросостояния Е0. Рассмотрим в качестве примера модель, состоящую
из 100 спинов, для которой примем juh = \ и Т = \. На
рисунке 10 изображено как происходит «перетягивание каната» между
-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100
Рисунок 10

Общий формализм. Свободная энергия
261
функциями статвеса g{{E)) и вероятности микросостояния w\*Ef*'N*
в этой модели. Произведение этих зависимостей дает вероятность
макросостояния *,N* , имеющую максимум в точке Е0.
Читатель должен помнить, что на рисунке 10 мы применили
логарифмическую шкалу по оси ординат, поэтому зависимости
только кажутся медленными. Мы вынуждены были это сделать, так
как если бы мы построили этот рисунок в линейных осях, то
кривые принимали бы значения, отличающиеся друг от друга на
многие порядки, и невозможно было бы отобразить все три
кривые одновременно.
На рисунке 11 мы приводим зависимость вероятности
макросостояний W^*,N* от их энергии в линейных осях.
Макросостояния изображены отдельными столбцами под огибающей общей
зависимости, расстояние между макросостояниями (7.52)
отвечает перевороту одного спина АЕ = 2. Относительная ширина
максимума отвечает полученной нами ранее зависимости (7.136)
5Е 1 1
— ос-=ос —, тогда как абсолютная ширина максимума со-
Е0 Ю
_ NAE 1ЛА_
ставляет дЕ ос —ос \0АЕ , т.е. содержит порядка десятка
столбцов отдельных макросостояний.
Чтобы найти среднюю энергию (7.138), мы должны проводить
усреднение величины Е9 являющейся медленной зависимостью
-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 100
Рису нон 11

262
Глава 7
от£, с помощью распределения вероятностей ^{Q}"
щейся быстрой зависимостью. Как это видно из рисунка И,
отличную от нуля вероятность W^*tN* будут иметь лишь около
десятка макросостояний, лежащих на ширине максимума.
Именно по ним мы и должны проводить усреднение. В результате
усреднения (7.138) мы получим значение энергии, лежащее где-то
под кривой максимума
(E)T„r>N,t=E0±SE. (7.140)
Поскольку Е0 имеет порядок N, тогда как SE ос <J~NАЕ ос <J~N , в
термодинамическом пределе мы можем пренебречь вторым
слагаемым
(E)T„KN„*E0. (7.141)
Здесь мы опять используем тот факт, что относительная ошибка
пренебрежения SE/E0 ос МлЦй будет малой, хотя абсолютная
SE ос может быть значительной.
Суммируем теперь еще раз факты, благодаря которым мы
смогли доказать равенство (7.141). Функциональная зависимость Е,
являющаяся степенной от N, оказалась гораздо более медленно
меняющейся, чем пик распределения вероятностей W^**"*.
Произошло это потому, что этот пик был образован быстрыми
экспоненциальными зависимостями qtN. Поэтому на ширине
пика медленная зависимость Е менялась пренебрежимо мало, и
пик вероятностей работал фактически как 8-функция. Замена
пика конечной ширины с помощью 8-функции означает
пренебрежение изменением величины Е на ширине этого пика. Последнее
же условие SE / Е0«\ выполняется в термодинамическом
пределе в силу выражения (7.136).
Равенство (7.139) наглядно демонстрирует работу «механизма»
статистической физики. Получим еще одно важное следствие этого
формализма. Рассмотрим более подробно нормировку (7.130). От распределения
вероятностей требуется, чтобы его интеграл был равен единице. При этом

Общий формализм. Свободная энергия
263
это распределение является отличным от ноля лишь в узком диапазоне
энергий вблизи максимума SE/EQoc\/ Поэтому единицу интеграл
вероятности набирает именно на ширине максимума.
Найдем теперь, сколько различных значений энергии укладывается
на ширине максимума SE ос у[Й . Для идеального газа соседние значения
энергии отличаются переходом молекулы в соседнюю фазовую ячейку
2
А —— ос Ар ос . Для модели Изинга переворот (7.52) одного спина
2т L
АЕ ос 2fjh означает переход на соседнее значение энергии. Поэтому и в
общем случае мы можем предположить, что на ширине максимума
вероятности SE ос л[Й укладывается № различных значений энергии,
каждое имеющее статвес порядка gEo (здесь а какая-то степень,
например 1/2). Поэтому нормировку (7.130) мы можем аппроксимировать как
(7.142)
Из этого уравнения следует, что вероятность микросостояний в точке Е0
равна с логарифмической точностью обратному статвесу в этой точке
у!» 1//» к г I» 1
\еХ" • (7.143)
ЧеЛ
WiE0)
Фактически равенство (7.142) означает, что интеграл распределения
вероятностей набирает свое значение с логарифмической точностью лишь
на одном своем максимальном слагаемом. Здесь мы специально
подчеркнули, что это равенство «,п выполняется лишь с логарифмической
точностью, так как на самом деле произведение g{{Eo}}W^EJ 'N в № раз
меньше единицы.
Умножим равенство (7.142) на статсумму системы zr*
= ^g{[E0}f ' (7-144)

264
Глава 7
Первое равенство здесь является просто определением статсуммы (7.127),
второе же утверждает, что статсумма, также как и вероятность, с
логарифмической точностью задается своим максимальным слагаемым.
Задача 7,8
Проиллюстрировать выкладки (7.142-144) с помощью модели
рисунка 11, состоящей из 100 спинов.
Решение
Распределение вероятностей макросостояний W^*,N*
нормировано уравнением (7.130). Как мы видим из рисунка 11,
интеграл вероятности (7.130) набирает свое единичное значение на
ширине максимума Жсс/^ЛЕ, так как вне этого максимума
вероятности макросостояний равны нулю. Другими словами,
просуммировав вероятности W^^***** около десятка ^[N ос 10
макросостояний из диапазона от {{£ = -85}} до {{£ = -65}}, мы
получим единицу. Все эти макросостояния имеют сходные по
порядку величин вероятности, поэтому выполняется
1=MiP* * Е*йР* - МШГ. (7-145)
{{£}} {{£}}-85<£<-65
где в последнем равенстве мы сказали, что полный интеграл по
порядку величин будет в ос 10 раз больше
вероятности wfi^tN* макросостояния {{£0=-75}}, отвечающего
равновесному состоянию. Т.е. сумма всех столбцов отдельных
макросостояний на рисунке 11 будет в десять раз больше наиболее
высокого столбца. Таким образом, мы получаем
Ще0}} = 2{{£0}}"{£0} * ^ ' <7'И6)
Но обе зависимости g{{£o}} и wfEJ ,N зависят от N
экспоненциально. Поэтому с логарифмической точностью множитель
не будет влиять на функциональную взаимосвязь этих
двух величин, и мы возвращаемся к равенству (7.143). Если мы

Общий формализм. Свободная энергия
265
посмотрим на рисунок 10, то увидим лишнее подтверждение
этого факта, так как в точке Е0 значения величин g{{£o}} = 7 • 1015 и
w{£*} * =1.4 10" расположены симметрично относительно
единицы:
*м<Г**ъ-7!7' (7Л47)
На фоне пятнадцатого порядка (и это только для сотни спинов в
модели!) мы с логарифмической точностью всегда можем
пренебречь множителем 10.
Умножим теперь равенство (7.145) на статсумму Z74*^ ,N
ансамбля
Щ) {{E}}:-SS<E<-6S
(7.148)
Первое из этих равенств является определением статсум-
мы (7.127). Второе говорит нам о том, что статсумма набирает
свое основное значение на макросостояниях, находящихся под
максимумом вероятности W^*%N*, так как вклады остальных
макросостояний пренебрежимо малы. Под пиком максимума
находится порядка 4n ос 10 макросостояний. Поскольку все они
дают сходный по порядку величин вклад в статсумму, последнее
равенство аппроксимирует полный интеграл как величину в
ос 10 раз большую вклада макросостояния {{Е0 = -75}},
отвечающего равновесному состоянию (наиболее высокий столбец).
Но статсумма zT*y*%N* - 1 • 1049 содержит экспоненциальную
зависимость otN. Поэтому в равенстве (7.148) степенной по N
множитель <J~N ос 10 будет с логарифмической точностью оказывать
на нее пренебрежимо малое влияние, и мы можем записать
« ^8{ы]е-^ % ёше-^ . (7.149)

266
Глава 7
Таким образом, статсумма оказывается равной своему
наибольшему слагаемому, равному вкладу равновесного макросостояния.
«Наибольшим слагаемым» здесь считается наибольший вклад,
даваемый одним из макросостояний (наибольший столбец под
максимумом на рисунке 11), но, конечно, никак не вклад одного
микросостояния, который будет значительно (в £{{£о}} раз) меньше.
Задача 7.9
Проверить выполнение соотношений (7.142-144) для модели
Изинга без взаимодействия спинов.
Ф1 Решение
Вероятность макросостояния {{е}} (вероятность наблюдать
флуктуацию с энергией е) задается соотношением (7.129), где
для модели Изинга без взаимодействия статвес макросостояния
определяется равенством (7.120), а вероятность Гиббса
формулой (7.128). Найдем статсумму системы
В точке наиболее вероятного состояния (7.124) выполняется
(
(7.150)
f
(7.151а)
(7.1516)

Общий формализм. Свободная энергия
267
что демонстрирует выполнение соотношений (7.142-143).
Выражение (7.151а) можно переписать как
2" cosh"
T*J
= ЧЕЛ**
(7.152)
что приводит к подтверждению соотношения (7.144)
-EjVk
(7.153)
Равенство статсуммы своему наибольшему слагаемому можно
продемонстрировать еще более наглядно. В (7.150) мы фактори-
зовали статсумму как произведение статсумм
невзаимодействующих степеней свободы. Найдем теперь статсумму более
общим способом. В определении (7.127) перейдем от
суммирования к интегрированию
+ОС
jAy* N* утр -Е1Т,к ^ Г
dE
2«£
-EIT*
(7.154)
где мы использовали дискретный шаг изменения значений
энергий (7.52), отвечающий перевороту одного спина. Введем в
подынтегральном выражении функциюДЕ), отвечающую за
экспоненциальную зависимость от N
2i*у*.n* „ 7 dE
е"/(£\где
(7.155а)
1
г
Е Л
In
г
Е Л
1-
1-
2
1
т)
Nfjhj
1 +
—1
In
1+-
Njiih )
NT
th '
(7.1556)
Аналитически данный интеграл не берется, однако мы можем
применить метод перевала (седловой точки), заменяя интеграл с

268
Глава 7
помощью подынтегральной функции в точке ее максимума и
пренебрегая всеми степенными множителями
ZW*,n/№», (7.156)
где Е0 определяется из
дЕ
= 0. (7.157)
Равенство (7.157), как нетрудно убедиться, соответствует
определению (7.116) наиболее вероятного состояния (7.124). Поэтому
пренебрежение с логарифмической точностью в методе перевала
всеми степенными множителями является эквивалентным
утверждению, что статсумма с логарифмической точностью равна
своему наибольшему слагаемому.
Найдем теперь энтропию системы, равновесной с ансамблем
S = ~LWW lnWiE) - "2. lnvv>
<*> {\E}}
(7.158)
Здесь под знаком суммы мы опять видим быстро меняющуюся функцию
острого максимума вероятности ЩЕ\} ,N = g\\E\)W[E\y*'N<*» содержащую
экспоненциальную зависимость отМ, тогда как множитель In w^y*,N*
является гораздо более медленно меняющимся, так как содержит лишь
степенную зависимость от N. Мы можем заменить острый пик распределения
вероятностей на 8-функцию, если возможным будет пренебречь
изменением медленной функции In w^y*tN* на ширине этого пика 5Е . Другими
словами, мы должны доказать, что величина
4n<r^) -SEIT*
_i <£! 1 = ztll (7 HQ)
ln<f-"" -lnZw*-£0/7"' ( '
много меньше единицы. С использованием (7.136) мы получаем, что в
термодинамическом пределе данная величина имеет порядок \I-Jn и,

Общий формализм. Свободная энергия
269
тем самым, пренебрежимо мала. Поэтому в (7.158) мы действительно
можем заменить острый пик распределения вероятностей
TlM ylk wf* -plk ylk wl*
Ще)\ = 8{{e})w{eI ' "а 5-функцию
*W *-ldElnW^N*S(E-E0) = -lnw%r*lng(!a, (7.160)
где в последнем равенстве мы использовали (7.143). Поэтому мы видим,
что равновесная энтропия с точностью до малых по сравнению с N
поправок равна энтропии равновесного макросостояния
*%„))• (7-161)
Это соотношение представляет собой результат, известный как равенство
энтропии К- и МК-ансамблей.
В пространстве параметров порядка системы, представленных в К-
ансамбле энергией, отличную от нуля вероятность будут иметь только
макросостояния, находящиеся на ширине максимума функции W^^*'^ .
Назовем совокупное число микросостояний, составляющих эти
макросостояния, статвесом К-ансамбля р7"* я На ширине максимума
укладывается порядка различных макросостоянии,
каждое содержащее порядка g{{Eo}} микросостояний. Поэтому для статвеса
ансамбля мы имеем
rr'^VV^({a*lng({a, (7.162)
и равенство (7.161) переходит в
S^^lnr^*^. (7.163)
Мы видим, что энтропия К-ансамбля (7.163) равна логарифму числа
микросостояний, на которых система «реально обитает».
Однако, к сожалению, разработанный нами формализм К-ансамбля
оказывается применимым не ко всем сложным системам. В главе 5 мы
видели, что формализм статистической физики оказался неприменимым к

270
Глава 7
случаю перколяции, когда все казалось бы указывало на его возможную
применимость. Пример перколяции иллюстрирует, что иногда наличия
двух противоборствующих экспоненциальных множителей оказывается
недостаточно для работы формализма. Если мы в формуле (3.46) для
решетки Бете поставим вырождение решеточных зверей gs с заданным s в
соответствие статвесу g^=g4 макросостояния {{?}}, а
нормализованную вероятность существования конкретного ^-кластера
*|„^р—expj - s\n[p~] (\ - p)2~z )} в соответствие вероят-
s s
ности и>£* микросостояния {s}, мы можем построить статсумму системы
как Z^-Xexpf-sta0'",O-/')2"Zl=|jj«Mexp{-sIn0'",(1-/')2"Z)}=
= ^ns . Более того, мы можем ввести эффективную температуру как
T*ff = In-1 —-=-г , и наш ансамбль из ансамбля р = const переходит в
P(i-pf-2
эффективно-канонический ансамбль Teff = const. Статвес же решеточных
зверей зависит от s9 но не зависит от /?, и тем самым представляет
аналогию статвеса К-ансамбля, зависящего от Е, но не зависящего от Т. Такая
постановка задачи кажется описываемой разработанным выше
формализмом К-ансамбля, хотя на самом деле не является таковой.
Причина заключается в том, что зависимость статвеса от s
оказывается слишком простой. Численные эксперименты показывают, что
£{{*}} =0(sa)econsls. Это как если бы для термодинамической системы
статвес определялся бы выражением S{{e}} = 0(Ea)econstE. При
const < 1/7*, после подстановки в формулу (7.129) экспоненциальный
множитель ^const£ просто уничтожался бы экспонентой вероятности
микросостояний (7.128), и вероятность (7.129) определялась бы игрой уже не
двух экспоненциальных множителей, а одного экспоненциального
-[ -—const |£
е^т ) и одного степенного 0(Еа) множителей. Другими словами,
острый максимум (7.116) вероятности (7.129) сместился бы в £ = +0 и
определялся бы степенной зависимостью 0(Еа), не являющейся
универсальной, но специфической для каждой конкретной системы. В таком

Общий формализм. Свободная энергия
271
случае решение становится более сложным, а кроме того мы теряем
универсальность описания поведения с помощью формализма пренебрежения
степенными зависимостями на фоне экспоненциальных.
Поэтому будем в дальнейшем в этой главе рассматривать лишь такие
невырожденные системы, у которых острый максимум
вероятности (7.129) действительно определяется игрой двух экспоненциальных
множителей.
Свободная энергия К-ансамбля
Построим теперь потенциал свободной энергии для К-ансамбля. Из
термодинамики известно, что
dS>^, (7.164)
где SQ*~ обозначает поток тепла, приходящего в систему.
Неравенство (7.164) легко объяснить наглядно. Любое тепло, приходящее в систему,
увеличивает энергию системы. Следовательно, оно увеличивает статвес и
тем самым энтропию. Но энтропия растет согласно (7.98) даже в
отсутствие потока тепла за счет затухания неравновесных процессов в системе.
Например, взболтаем жидкость в стакане. Если стакан является замкнутой
системой, то энтропия в нем только растет за счет затухания
макродвижения и перехода его в тепловое. Если же стакан может обмениваться
энергией с окружающей средой, то его энтропия может как расти, так и
убывать в зависимости от количества пришедшего или ушедшего тепла.
Именно эту аддитивность процессов затухания и процессов теплообмена
и отражает неравенство (7.164).
Для любых состояний системы, как равновесных, так и
неравновесных, «феноменологическим» определением энергии Гельмгольца является
F = E-TlhS. (7.165)
К-ансамбль поддерживается при условии Tth = const, поэтому для любых
процессов выполняется
dF = dE-TthdS .
(7.166)

272
Глава 7
Из закона сохранения энергии следует, что
dE = 8Q*~. (7.167)
Подставляя (7.167) и (7.166) в (7.164), мы убеждаемся, что для любых
процессов в системе энергия Гельмгольца может лишь уменьшаться
dF<0. (7.168)
Это показывает, что энергия Гельмгольца является свободной в К-
ансамбле, так как процессы, ведущие систему к равновесию,
одновременно уменьшают эту энергию.
Вернемся к равновесной энтропии (7.158). Раскроем \nw^y*,N* с
помощью формулы (7.128)
.^{7-In2^+(£)w}, (7.169)
где в последнем равенстве мы использовали (7.130,138). Для равновесной
энергии Гельмгольца мы получаем
Frw s(£)rw _Г*<? W =_r* lnZrW . (7.170)
Это равенство иногда служит определением свободной энергии, однако
следует помнить, что при его выводе мы использовали лишь равновесные
значения энергии и энтропии. Поэтому полученное значение энергии
Гельмгольца также является равновесным. Для вероятности
Гиббса (7.128) мы теперь можем использовать нормировку равновесным
значением свободной энергии вместо нормировки статсуммой
<Г"*=е~~^. (7.171)
Мы нашли равновесную свободную энергию системы (7.170). Но как
нам найти неравновесную? Следуя общему определению (7.165), для не-

Общий формализм. Свободная энергия
273
равновесной энергии Гельмгольца макросостояния {{е}} мы можем
записать
FmmE-T*Sm. (7.172)
Подставим в это равенство определение энтропии макросостояния (7.115)
\Е)
или, используя нормировку ^w{E) = 1 ,
Fm = I,™{E}{E + Tthl™{E}}- (7Л74)
iE)
В выражении (7.174) распределением вероятностей служит распределение
вероятностей (7.114) макросостояния, неравновесное с ансамблем.
Мы получили фундаментальный результат, верный для любого
состояния и любого ансамбля. А именно, точно так же как для энтропии
произвольного состояния было введено общее «микроскопическое»
определение (7.70), мы можем ввести подобное общее «микроскопическое»
определение и для энергии Гельмгольца произвольного состояния
Фактически это определение эквивалентно феноменологическому
определению (7.165) и применимо как к равновесным, так и к неравновесным
состояниям произвольного ансамбля.
Найдем теперь связь энергии Гельмгольца с флуктуациями в К-
ансамбле. Рассмотрим для этого замкнутую систему £ как объединение
нашей системы и термостата. Как это мы делали в случае МК-ансамбля,
построим для этой замкнутой системы макросостояния {{Ag}} как
подмножества на всем множестве возможных микросостояний. Как мы
получали выше, для замкнутой системы вероятность флуктуации (7.100)
определяется отклонением энтропии от ее равновесного значения

274
Глава 7
^{fU** ■ (7Л76)
Выберем макросостояния {{Д#}} = {{£, Е1 - Zs}} как объединения всех
таких микросостояний, когда энергия нашей системы равна £, а энергия
термостата Е1 - Е. Статвес подобных макросостояний будет равен
8це ez-e}) = 8\{е>}^и££_£}}» и тем самым неравновесная энтропия системы Z
является аддитивной величиной по неравновесной энтропии нашей
системы и энтропии термостата
^И£,£Е-£}} =Si{e\) + s*ez-e))- (7.177)
Как мы это делали в (7.126), выполним разложение энтропии термостата
по энергии нашей системы как по малому параметру
s\{e*-e)) * 5{V>> ~ph • (7.178)
Тогда мы можем записать вероятность (7.176) как
<f осе^"»-*^ = «Г^»/Г\ (7Л79)
где мы перешли от вероятностей флуктуации системы Z к флуктуациям
нашей системы.
Поскольку по определению выполняется
e-^-W""-. (7.180)
легко получить нормировку распределения вероятностей (7.179)
<>Р"" --=и-е^»'Г = """] • (7-181)
Заметим, что к переходу в МК-ансамбль и использованию
вероятности (7.176) с последующим разложением энтропии термостата по
параметру порядка нашей системы мы прибегли лишь для иллюстративности.

Общий формализм. Свободная энергия
275
Именно таким способом зачастую выводится вероятность флуктуации.
Однако мы фактически проделали двойную работу, так как подобное
разложение энтропии термостата мы уже выполняли при получении
вероятности Гиббса (7.126). Поэтому вместо выкладок (7.176-179) мы могли
воспользоваться формулой (7.129) для вероятности флуктуации в К-
ансамбле. Подставляя в нее (7.128) и (7.115), мы сразу приходим к (7.181).
Таким образом, неравновесная энергия Гельмгольца в К-ансамбле
неразрывно связана с вероятностью флуктуации соотношением
Логарифм является монотонно растущей функцией, поэтому мы видим,
что рост вероятности флуктуации всегда отвечает убыванию энергии
Гельмгольца. Именно поэтому энергия Гельмгольца в К-ансамбле
достигает минимума в равновесном состоянии и потому является свободной.
Выражение (7.182) может служить еще одним, «вероятностным»
определением свободной энергии, эквивалентность которого двум другим
определениям, феноменологическому (7.165) и микроскопическому (7.174),
была нами доказана.
Вероятностное определение термина «свободная» энергия является
наиболее наглядным из всех трех определений. Свободной мы называем
такую энергию в ансамбле, которая для заданного построения
макросостояний является монотонно убывающей функцией вероятности этих
макросостояний. Другими словами, конкретная энергия, чтобы быть
свободной, должна убывать, когда вероятность макросостояний растет, и
наоборот, расти, когда вероятность макросостояний падает.
Чему равно выражение Z7*y*tN* W^$*%N* ? Определим частичную
статистическую сумму согласно
Другими словами, здесь мы суммируем экспоненты не по всем
микросостояниям {Е} К-ансамбля, а только по микросостояниям, отвечающим
заданной энергии Е\ Тогда выражение (7.182) для неравновесной
свободной энергии можно записать как
(7.182)
(7.183)
{£}£=£'

276
Глава 7
= -T,h\nZrE
т* у1*
(7.184)
Это равенство может служить четвертым определением энергии
Гельмгольца в К-ансамбле. Именно его мы использовали в главе 2 в
выражении (2.49) и в главе 4 в выражении (4.27) при построении свободной
энергии неравновесных флуктуации.
Мы видим, что неравновесная свободная энергия (7.184) отличается
от равновесной (7.170) только тем, что в одном случае используется
частичная статсумма, а в другом - полная статсумма ансамбля. Благодаря
тому, что полная статсумма с логарифмической точностью равна своему
наибольшему слагаемому, в наиболее вероятном состоянии Ео
неравновесная свободная энергия становится равной равновесной
Другие ансамбли
К-ансамбль является одним из наиболее простых и вместе с тем
иллюстративных ансамблей. Его формализм легко обобщается и на другие
ансамбли. Как пример мы будем рассматривать систему, поддерживаемую
при постоянной температуре Tth = const, постоянном давлении
Pth = const и постоянном химическом потенциале //л = const. В этом
случае термостат обменивается с системой не только энергией, но также
объемом и степенями свободы.
У подобной системы уже будет три параметра порядка: энергия Е,
объем V и число частиц N. Предположим, что мы вновь можем
идентифицировать микросостояния системы и термостата по отдельности,
пренебрегая их взаимодействием. В этом случае каждому значению объема и
числа частиц системы уже будет соответствовать свой энергетический
спектр, и микросостояния будут характеризоваться всеми тремя
параметрами порядка {E,V9N}. Макросостояния {{E\V\N*}} для нашей системы
мы будем определять как объединение всех микросостояний, отвечающих
заданным значениям энергии, объема и числа частиц
(7.185)
(7.186)
\e,¥,n\e=e:v=v,n=n'

Общий формализм. Свободная энергия
277
Неравновесное распределение вероятностей, отвечающее подобному
определению макросостояний, будет отвечать системе, замкнутой с
заданным значением энергии, заданным объемом и заданным числом частиц
1 -9E = E\V = V\N = N'
W{E,y,N) =)g{{E'y\N'\} ' (7.187)
QyE*E\V*V\N*N%
а энтропия макросостояния {{E\V\N'}} будет равна логарифму его
статвеса
S{{E\y\N'}} =~ ^W{E,y,N\ ^nW{Ey,N\ =
\E,y,N)
= 8{{E\y\N'}} * Ш " = Ш S[{E\y\N'}\ • (7.188)
Теперь, подробно изучив в прошлом К-ансамбль, попробуем
проследить происхождение свободной энергии на примере текущей, более
общей системы. Читатель, освоивший предыдущие выкладки, должен уже
догадываться, что почти все поведение системы определяется
термостатом и только им одним. Попробуем пояснить эту гипотезу.
При определении модели системы сразу бросается в глаза то, что
термостат диктует ансамблю, какие параметры порядка системы могут
флуктуировать: энергия, объем, число частиц. Гораздо менее очевидным
является то, что термостат диктует системе ее равновесное распределение
вероятностей, не обращая никакого внимания на то, с какой системой он
имеет дело. Откуда возникает вероятность Гиббса? Вспоминая
формулу (7.106) как аналог, вероятность Гиббса обнаружить систему в ее
микросостоянии {E,V,N} задается как число микросостояний термостата,
отвечающих его энергии Eth =EZ -Е , объему Vth = V1 -V и числу частиц
Nth = NL — N
VlE,y,N)
\{Ez-E,yz-y,Nz-N\
s'm
* £{{Ez-E,yz-y,Nz-N}} e
(7.189)
Разлагая в этом выражении энтропию макросостояния термостата по
малым параметрам Е, VwN9 мы и приходим к формуле Гиббса

278
Глава 7
./*,/>*,//' _ 1 г" (г*/я'*) (-г*///*)
где zT*,p*,M'k - статсумма нового ансамбля
(7.190)
(7.191)
Еще раз подчеркнем наше утверждение о всесилии термостата - свойства
системы, заключающиеся в строении статвеса g{[Ey^}) ее
макросостояний, влияют на вероятность ее микросостояний только посредством
константы нормализации ZT tP*ф . Само же распределение
вероятностей (7.190) полностью диктуется термостатом, который не обращает ни
малейшего внимания на то, с какой системой ему приходится иметь дело.
Влияние самой системы на ее же собственное поведение начинается
лишь тогда, когда мы начинаем рассматривать системно-зависимые,
специфичные для данной модели величины, такие как ее параметры порядка.
Статвес g^Ey%N^ макросостояний системы входит в выражение для
вероятности этих макросостояний уже как полноправный параметр
Именно тот факт, что конкретная модель системы никак не влияет на
равновесное с термостатом распределение (7.190) вероятностей ее
микросостояний и делает возможным существование такого фундаментального
понятия как потенциал свободной энергии. Если бы это было не так,
каждая система имела бы свою, специфичную только для нее свободную
энергию, и у нас отсутствовал бы универсальный для каждого ансамбля
механизм поиска равновесных состояний. А так, вне зависимости от того,
какую систему мы рассматриваем, ансамбль (термостат) диктует, какой
потенциал будет служить свободным, и у нас появляются универсальные
правила для любых систем.
Рассмотрим подробнее как это происходит на практике. Свободная
энергия потому и называется свободной, что она убывает вместе с ростом
вероятности макросостояний

Общий формализм. Свободная энергия
279
- -т* bl?wrr£fJti). -Г* InZ w, (7Л93)
где ZTEhyP'^,h - частичная статсумма макросостояния
{E,V,N}e\\Ey,N}}
Здесь за определение свободной энергии мы приняли ее неотъемлемую
связь с распределением вероятностей (7.193) как аналог
выражения (7.182). Будем опять называть это определение «вероятностным».
Пусть полная статсумма с логарифмической точностью равна своему
наибольшему слагаемому
^ - Z^J E,V,N ~ln lEy„Ey,N E0yQ,N0 • (/ . 17J)
Поделим это уравнение на значение полной статсуммы, чтобы получить
эквивалентное утверждение о том, что распределение вероятностей узкого
максимума макросостояний с логарифмической точностью набирает свое
единичное значение на своем максимальном слагаемом
1= 1« «,„ (7.196)
Ey,N L'Vt"
Это слагаемое отвечает наиболее вероятному состоянию
4W.*» " -Т'Н - -Т'"lnZW ■ С7-197)
Поэтому для равновесного значения свободной энергии мы получаем выраже-
ние, аналогичное (7.193), только с заменой частичной статсуммы на полную.
Подставим в выражение (7.193) вероятность Гиббса (7.190) в явном
виде
^{{Ey.N}}--1 ln\Z g{{Ey.N)}W\Ey.N) )~
= -TthS{{EtVtN}] + E + PthV- MthN . (7.198)

280
Глава 7
В результате мы приходим к «феноменологичекому» определению
потенциала свободной энергии, аналогом которого служило выражение (7.165)
vp = _T*S + Е + Р*кУ - nihN. (7.199)
Это выражение справедливо как для равновесных, так и для
неравновесных состояний. Также оно будет определять потенциал 4* в произвольном
ансамбле, мы лишь должны помнить что не в любом ансамбле данная
энергия будет свободной.
Последним нам осталось получить «микроскопическое» определение
свободной энергии. Другими словами, нам нужно записать потенциал ¥
как функционал от распределения вероятностей произвольного состояния.
Для этого нам следует раскрыть в (7.199) энтропию согласно (7.70), а
дальше воспользоваться нормировкой ^ и>{} =1
{}
Ч> = тлX w{} In w{} + Е + PthV -nthN =
{>
= 2>nfc> +pt\ +7,"lnw{}}. (7.200)
{}
Аналогом данного микроскопического определения ранее служило
выражение (7.175). Подставляя в это выражение равновесное с ансамблем
распределение вероятностей (7.190), для равновесной свободной энергии
ансамбля мы находим
yr-rv = £ wrW jg + р,ну _M*N + т» ,п WW }= _т* ,пгт*Ы
[E,y,N\
(7.201)
Тем самым мы получаем подтверждение, что равновесная свободная
энергия определяется по-прежнему выражением (7.193), только с заменой
частичной статсуммы полной. Также мы доказали, что равновесная
свободная энергия ансамбля равна значению свободной энергии наиболее
вероятного макросостояния
*W**((Wol|- (7-202)
Таким образом мы видим, что выбор свободной энергии в ансамбле
диктуется термостатом, поскольку термостат определяет распределение

Общий формализм. Свободная энергия
281
вероятностей микросостояний. Поэтому, рассматривая конкретную
модель, читатель всегда должен отталкиваться от распределения
вероятностей микросостояний в системе. Иногда нам приходится слышать, что в
главе 4 для системы с разрушением при постоянной деформации
е = const мы неправильно определяем свободную энергию (4.27).
Основанием для подобной критики служит то, что постоянство деформации
является фактически постоянством объема, а в таком ансамбле в
термодинамических системах свободной энергией служит энергия Гельмгольца. В
ответ мы во-первых должны сказать, что рассматривавшаяся в главе 4
система с разрушением была нетепловой, определенной в вероятностном
пространстве прочности волокон. Поэтому бездумное применение к ней
термодинамического К-ансамбля является неправильным. Однако
существует более интересное возражение, ради которого мы собственно и
привели здесь этот спор. А именно, распределение вероятностей
микросостояний (4.7) в главе 4 являлось входным параметром модели и роль
термостата выполняло распределение прочности волокон (4.3). Оглядываясь
на выкладки данной главы, читатель уже должен ясно представлять, что
свободная энергия в случае модели разрушения задавалась именно
распределением вероятностей микросостояний, и ссылки на постоянство
объема, как граничное условие ансамбля, уже не должны вводить
читателя в заблуждение.
Макросостояния не как физическое явление,
но как инструмент исследования
Фактически макросостояния являются не физическим явлением, но скорее
удобным инструментом для исследования ансамбля. Рассматривая пример
МК-ансамбля, мы вводили макросостояния как долю «заговорщиков» в
одной половине цепочки. Подобное построение отвечало нашей задаче
наглядной иллюстрации концепции макросостояний, поэтому на нем мы и
остановились. Однако вовсе не обязательно строить макросостояния именно
таким образом. Вместо разбиения объема газа на две половины мы могли
рассмотреть разбиение на множество малых ячеек и представлять
макросостояние как заданную плотность газа в этих ячейках. От дискретных ячеек
мы могли бы перейти к непрерывным функциональным зависимостям, и
величины, отвечающие макросостояниям, превратились бы в функционалы.
Вместо исследования плотности газа в отдельных ячейках мы могли бы
рассматривать энергии или скорости макродвижения ячеек. И так далее.
Суммируя сказанное, выбор конкретного метода построения
макросостояний зависит лишь от поставленной перед нами цели и каждый раз
определяется наиболее удобным способом проведения выкладок. Так, в К-

282
Глава 7
ансамбле мы строили макросостояния как флуктуации с заданной
энергией потому, что именно обмен теплом с термостатом и был предметом
нашего исследования. Однако на тех же основаниях мы могли бы задавать
макросостояния не только энергией системы, но, например, тем же
распределением плотности газа.
Фактически определение макросостояний является лишь выбором
определенного базиса в функциональном пространстве модельных,
неравновесных с ансамблем распределений вероятностей. Так, для К-
ансамбля подобным базисом служили распределения вероятностей
замкнутых систем. Вероятность наблюдать систему с энергией Е в К-ансамбле
была равна вероятности наблюдать поведение, аналогичное поведению
системы, замкнутой с этой энергией. Построение макросостояний
поэтому являлось ничем иным, как нахождением вероятностей наблюдать в
ансамбле модельные неравновесные распределения вероятностей.
Поскольку макросостояния являются лишь удобным инструментом
исследования поведения системы, но не фундаментальным явлением, их
выбор не является однозначным. Для каждой системы они выбираются
тем способом, который приводит к более простому формализму. Меняя
базис в функциональном пространстве распределений вероятностей, мы
меняем принцип построения макросостояний и, тем самым,
рассматриваем систему «под новым углом зрения».
Однако какой бы принцип построения
макросостояний мы не выбрали за основу,
концепция свободной энергии остается универсальной.
Для произвольного построения макросостояний
в ансамбле мы всегда ожидаем получить аналог
выражения (7.181)
W!
1
{{))
-*-т"»/?* = е^т~^»г\ (7.203)
t4^
Рисунок 12
являющегося фундаментальным результатом. Макросостояния представляют
собой флуктуации относительно равновесного состояния, свободная энергия
флуктуации и всегда выше свободной энергии наиболее вероятного
состояния ^Fjiqjj , поэтому вероятность (7.203) всегда будет являться
экспоненциально затухающей функцией от превышения свободной энергией
флуктуации ее равновесного значения (рисунок 12).

Общий формализм. Свободная энергия
283
Проиллюстрируем неоднозначность выбора макросостояний на
примере К-ансамбля. Будем в этот раз строить макросостояние как
включающее только одно микросостояние {е}, т.е. микросостояния и будут
являться макросостояниями. Поведение системы из К-ансамбля,
находящейся в микросостоянии {£'}, аналогично поведению системы,
замкнутой в этом микросостоянии
[1, {£} = {£'}
[О,
(7.204)
Статвес микросостояния равен единице g{E>) =1. (7.205)
Применяя общую формулу (7.70), для энтропии микросостояния, мы
получаем
S{E1 =-llnl = 0. (7.206)
Вероятность наблюдать такое микросостояние в К-ансамбле
{£'} = &{е'} {£'} =w{ej (7.207)
есть просто вероятность Гиббса.
Подставляя вероятность (7.204) в общее определение для свободной
энергии (7.174), мы получаем свободную энергию флуктуации
f{e,} = \\е<+Гн lnl}= £'= £'-ГЛ5{£,}. (7.208)
Введем частичную статсумму микросостояния
Z{F}=e-£7r, (7.209)
где мы «суммируем» экспоненту только этого микросостояния. Тогда для
свободной энергии мы получаем
Е(£, = Е'-Г" lnglE, = -Т,н 1п^1Пе-Е,'т") или (7.210а)
fte, = -7"»lnZm = -Т* ln(zrW (7.2106)

284
Глава 7
Для вероятности (7.207) последнее равенство дает аналог
выражения (7.181)
1
= w,
Г* у* ,N,h
1
(7.211)
Мы получили еще один замечательный результат. Вероятность Гиббса,
как распределение (7.128) по энергиям микросостояний, по определению
равна вероятности наблюдать макросостояние, состоящее лишь из одного
микросостояния. Но для произвольного выбора макросостояний мы
ожидаем от распределения вероятностей быть не по энергиям (7.128), но по
свободным энергиям (7.203), что мы и получаем в (7.211).
Другими словами, вероятность Гиббса (7.128), которую мы считали
распределением вероятностей для энергий, на самом деле оказывается
распределением вероятностей свободных энергий Гельмгольца. Только
благодаря тому факту, что энтропия (7.206) одного микросостояния равна
нулю, распределение вероятностей свободных энергий (7.203), ожидаемое
для произвольного выбора макросостояний, переходит в данном,
вырожденном случае выбора микросостояний в качестве макросостояний в
распределение по энергиям (7.128). Происходит это только из-за
вырожденности построения макросостояний с нулевой энтропией. Если энтропия
макросостояния не равна нулю, распределение вероятностей является
распределением свободных энергий (7.203). Поэтому и для формулы
Гиббса (7.128) мы сразу бы, в самом начале главы, получили бы
распределение свободных энергий, если бы только нулевая энтропия микросостояния
не маскировала данное явление.
Все выкладки данной главы, хотя они и были сделаны для тепловых
систем, легко обобщаются на системы с разрушением при постоянстве
внешней деформации е - const. Действительно, механика в этом случае
является Гиббсовской, поскольку распределение вероятностей
подчиняется формуле Гиббса (4.20). Поэтому нам достаточно во всех выкладках
лишь заменить Е наМ), чтобы применить их и к теории разрушения
[Abaimov, 2008].
Действие свободной энергии
Последним в этой главе мы рассмотрим действие свободной энергии. Для
более наглядного изложения мы должны перейти в ансамбль постоянства
полевых параметров температуры Tth = const, давления Fh = const и хи-

Общий формализм. Свободная энергия
285
мического потенциала juth = const, где переменными величинами,
отвечающими параметрам порядка в системе, будут энергия £, объем V и
число частиц системы N. Вероятность Гиббса отдельного микросостояния в
этом ансамбле переходит в
J*-*S 1 ~T*~y+/p*)-i-j*/S) (17\У\
Т* Р* ил
где Z % ф - статистическая сумма ансамбля
(7.213)
Вместо условия равновесия (7.119) мы тем же самым способом что и
выше получаем сразу три условия равновесия
1 1 Р Р'н и и'м
- = -i-, - = ^— и = (7.214)
Построим равновесную свободную энергию ансамбля стандартным
способом как минус произведение температуры и логарифма
статистической суммы
угм*^ --r^inZ^^ . (7.215)
Найдем теперь равновесную энтропию, используя распределение
вероятностей (7.212)
V.N)
{ЕУ.Щ
= " Z W\EytN)\-^<
{Ey,N} I
E V N
Tth (T»/pA) {-Tth I nth)
T,k (f*//>**) (-7**///*)

286
Глава 7
Выражая отсюда логарифм статсуммы и подставляя его в (7.215), мы
получаем связь равновесной свободной энергии с параметрами порядка
ансамбля
*W =(E)W +r,hWW-M'WW-T*S^\ (7.217)
Находя дифференциал этого выражения и вспоминая закон
квазистатического сохранения энергии
d(E)rW =T*dS"S-P,hd{v)T^ +M",d(N)T4^ , (7.218)
для дифференциала равновесной свободной энергии мы получаем
dVW = -ST^dT* +(v)wdP* • <7-219>
Рассмотрим теперь другой подход к построению свободной энергии.
Фактически уравнения (7.214) свидетельствовали о том, что в нашей
системе существует не одна, а три эффективные температуры
в,=7\02=-£,е,=--, (7.220)
Р ц
и условия равновесия (7.214) на самом деле являются равенствами
обратных эффективных температур
J_ = J 1_ 1 J 1_
0, в* ' 02 0* " 0, 0? ' ( }
Почему же тогда в определении равновесной свободной
энергии (7.215) мы выбрали одну из этих температур, первую, за основную, и
записали ее стоящей перед логарифмом статистической суммы? На самом
деле у нас не было никаких оснований так поступать. Более того,
выбрав (7.215) в качестве определения свободной энергии, мы внесли
существенную асимметрию в модель, что привело в итоге к
выражению (7.219), малопонятному интуитивно.
Что изменится, если мы уберем асимметрию из модели? Определим
равновесное действие свободной энергии как

Общий формализм. Свободная энергия
287
= -\nZ
(7.222)
Используя (7.216), мы получаем для него связь с параметрами порядка
системы
-S
Т,к,Р",,ц,к
(7.223)
Поэтому дифференциал равновесного действия свободной энергии будет
равен
df" = (E)w d[±\ + {V) *Ш + {N)w .
Vui У Vu2 У Vu3 )
(7.224)
Это выражение является, очевидно, более симметричным, чем (7.219).
Под дифференциалами остались только обратные температуры как
полевые параметры, а производные действия свободной энергии по обратным
полевым параметрам стали равны параметрам порядка системы.
ЛИТЕРАТУРА
Ландау, Л. Д. и Е. М. Лифшиц (2001), Теоретическая физика, Том V,
Статистическая физика, Часть 1, Изд. пятое, Физматлит, Москва.
Pathria, R. К. (1996), Statistical Mechanics, 2nd ed., 529 pp., Butterworth-Heinemann,
Oxford.
Реиф, Ф. Берклеевский курс физики, Том V, Статистическая физика, 351 стр.
Балеску, Р. (1978), Равновесная и неравновесная статистическая механика, Том
1, 405 стр., Мир, Москва.
Shannon, С. Е. (1948), A mathematical theory of communication, Bell Sys. Tech. J., 27,
379-423,623-656.
Abaimov, S. G. (2008), Applicability and non-applicability of equilibrium statistical
mechanics to non-thermal damage phenomena, J. Stat. Mech., P09005.

Глава 8
Ренормализационная группа
Как мы уже знаем, топологическое поведение кластеров существенно
зависит от масштаба, на котором мы его рассматриваем. Границей
разделения масштабов является корреляционная длина, которая, как
характеристическая длина, определяет затухание корреляций. При приближении к
критической точке корреляционная длина расходится по степенному
закону, и вместе с ней расходится размер возможных корреляций.
Если мы рассматриваем детали кластеров на масштабе, меньшем
корреляционной длины, т.е. на масштабе «флуктуационной пены», мы
видим фрактальное поведение с отсутствием характеристической длины.
Пример приведен на Рисунке 1. Мы смоделировали кластер вблизи порога
перколяции. На рисунке 1(a) мы рассматриваем самый мелкий масштаб с
линейным размером 1 = 31. При переходе к более крупному масштабу
L = 62 на рисунке 1 (б) мы видим, что хотя кусок кластера и стал в четыре
раза больше, фрактальность структуры осталась неизменной - если бы мы
видели только периметр кластера и не различали бы отдельные узлы, мы
визуально не смогли бы отличить один рисунок от другого. На
рисунке 1(в) мы снова увеличиваем масштаб до L = 125. Ничего не меняется во
фрактальной структуре «откусываемого» от кластера куска.
Первые изменения поведения мы начинаем замечать только на
рисунке 1(г) для масштаба L = 250, где мы вышли за размер
корреляционной длины. Эти изменения поведения становятся еще более заметны,
если мы переходим к масштабам L = 500 и Z, = 1000 на рисунках 1(д-е). Мы
вышли за размер корреляционной длины, где теряется фрактальность
структуры.
Таким образом, на масштабах от постоянной решетки до
корреляционной длины поведение системы фрактально и не зависит от масштаба.
Это дает нам уникальную возможность получать приближенные
результаты для тех систем, где точное аналитическое решение пока не найдено, а
приближение среднего поля уже не является достаточно точной
аппроксимацией. Действительно, если бы мы могли описать поведение более
грубого масштаба, основываясь только на законах мелкого, а затем
потребовать масштабную инвариантность полученного преобразования, мы
могли бы получить законы поведения системы, основываясь только на ее
скейл инг-характеристиках!

Ренормализационная группа
289
Рисунок 1

290
Глава 8
Такая техника вычислений существует и называется она огрублением.
Математическим аппаратом, лежащим в ее основе, является ренормализа-
ционная группа (РГ). Впервые РГ была разработана в теории квантовой
электродинамики, однако никто не подозревал тогда о ее применимости к
явлениям статистической физики. Первые постулаты теории огрубления
были предложены Кадановым в 1966г. [Kadanoff, 1966]. В 1971-74гг.
Вильсон и Когут смогли применить математический аппарат РГ для
критических явлений [Wilson, 1971а; b; Wilson and Kogut, 1974; Вильсон и Когут,
1975]. Преобразование РГ строилось в импульсном пространстве, и
трехмерный случай аппроксимировался как приближение фазовых переходов в
четырехмерном пространстве. Появление данного исследования вызвало
бурный отклик в литературе. РГ оказалась применимой не только в
импульсном, но и в координатном пространстве. Более того, РГ работала и
для таких систем, принадлежность которых к статистической физике
никогда не рассматривалась. Это вызвало к жизни надежду, что статистическая
физика может оказаться применимой не только к системам с тепловыми
флуктуациями, но и к системам, вообще лишенным температуры.
Как мы видели в предыдущих главах, для любой модели типичными
критическими индексами, возвращаемыми приближением среднего поля
являются 1, 2, 1/2, 3/2, 5/2 и т.д., т.е. небольшие целые числа или
рациональные числа с небольшими числителем и знаменателем. Более того,
такие значения стали «ярлыком» среднего поля настолько, что если для
своей произвольной задачи читатель обнаружит подобное решение, то скорее
всего его система находится выше верхней критической размерности и
управляется средним полем. Либо при получении решения были
допущены какие-то приближения, использующие первые члены разложения в ряд
Тейлора, и результат свелся опять же к решению среднего поля.
Однако, как мы видели в главе 5, для систем ниже верхней
критической размерности приближение среднего поля является слишком грубой
аппроксимацией, возвращающей некорректные значения критических
индексов. Как показывают эксперименты и точные решения, критические
размерности являются более сложными выражениями и на самом деле не
сводятся к целым числам или простейшим рациональным дробям.
РГ является единственным приближением, не подчиняющимся
среднему полю и возвращающим поэтому более реалистичные значения
критических индексов. Именно из-за этого ее появление вызвало такой
бурный отклик в литературе. Даже сами индексы, в отличие от уже
«наскучивших» экспонент среднего поля, стали именовать «аномальными»
размерностями.

Ренормализационная группа
291
В рамках данного курса мы ограничимся рассмотрением РГ только в
координатном пространстве. Именно такое построение преобразования
является наиболее простым и нашедшим применение для широкого круга
систем. Изложение мы начнем с примера, кажущегося нам наиболее
строгим.
Одномерные магнитные системы
Рассмотрим канонический ансамбль одномерной п.п. (взаимодействуют
только ближайшие соседи) модели Изинга с периодическими граничными
условиями (цепочка спинов замкнута в кольцо). Пусть число спинов N в
модели четно. Гамильтониан модели
/=1 /=1
может быть переписан как
н«а, =-*/'££Ч^-^>/*,..-, (8-2)
где <jn+] = <Tj, а /л - магнитный момент одного спина. Статистическая
сумма модели есть
- (8-3)
{о) \ 1=1 Z
и вероятность одного микросостояния системы в каноническом ансамбле
равна
Т 1 I
w ({о"})=7ехр1
V i=i 1 /=i )
Введем константы связи
Кх=Рпц12,К2=№ (8.5)
смысл которых станет ясен в дальнейшем. В терминах данных констант
вероятность микросостояния модели может быть записана как

292
Глава 8
fJL
\i=\
(8.6)
Построим теперь принцип огрубления нашей модели. Допустим, мы
хотим огрубить систему в Ъ = 2 раза. Другими словами, мы не хотим
видеть подробных деталей модели. Вместо этого мы хотим видеть только в
два раза более грубые детали. Для этого нам необходимо разбить
исходную модель на ячейки по Ъ = 2 спина в каждой. Далее мы строим новую
модель, в которой каждой ячейке старой модели соответствует только
один спин новой (рисунок 2). Т.е. новая модель будет содержать в два
раза меньше спинов: N'=N12 . Постоянная новой решетки будет в два
раза больше, и длина решетки, измеренная в единицах этой постоянной,
будет равна числу новых спинов N*, т.е. в два раза меньше исходной,
равной N.
При построении любого преобразования РГ вводится коэффициент
масштабного преобразования 6, равный числу раз, в которое возрастает
постоянная решетки. Одновременно этот коэффициент равен числу раз, с
которым линейный размер более грубой решетки будет меньше
линейного размера исходной, если мерить оба размера в соответствующих
постоянных решеток. Другими словами, Ъ есть число раз, в которое при
огрублении сокращается число узлов, лежащих на «ребре» решетки.
В каждой ячейке исходной модели у нас возможны четыре различные
конфигурации ориентации спинов: ft, ||, \\ и Ц. Перебор этих
конфигураций в ячейках формирует все множество возможных
микроконфигураций (микросостояний) исходной модели. Нам нужно каким-то образом
поставить микроконфигурации новой
модели в соответствие
микроконфигурациям старой.
Не существует никаких
однозначных правил построения данного
соответствия. Конечной целью является
создание такой новой модели, поведение
которой соответствовало бы поведению
исходной. Поэтому каждый раз, когда
исследователь строит РГ, он исходит из
каких-то своих субъективных
соображений о том, как построить
соответствие микроконфигураций. И чем ближе
РГ
РГ
РГ
РГ
*7
Рисунок 2

Ренормализационная группа
293
его догадка к истине, тем более точные результаты РГ будет давать.
Другими словами, субъективный выбор соответствия микроконфигураций
ведет к тому, что РГ возвращает только приближенные результаты.
В нашем построении мы каждой микроконфигурации исходной
модели поставим в соответствие микроконфигурацию конечной
модели таким образом, чтобы ориентации спинов в новой
микроконфигурации совпадали с ориентациями первых спинов в ячейках старой.
Другими словами, ячейки || и Ц, будут давать | в новой модели, а
ячейки if и Ц будут давать |. Так, например, микроконфигурация
Т? it ?! ii it ti ti ti tt исходной модели перейдет в
микроконфигурацию titiitttt конечной.
Когда мы каждой микроконфигурации исходной модели поставили в
соответствие микроконфигурацию новой, мы замечаем, что каждой новой
микроконфигурации соответствует много исходных, отличающихся
ориентациями вторых спинов в ячейках. Как нам добиться того, чтобы
поведение новой модели было идентично поведению старой? Очевидно,
вероятность в каноническом ансамбле наблюдать какую-то новую
микроконфигурацию должна быть равна сумме вероятностей наблюдать
соответствующие исходные
w,r ({сг', ,сг'2 ,...,сг'. ,...,сг'„/2}) = ]Г wr({cr, = ст\ ,ет2,еТ) = <т\ ,сг4,...,
=СГ'/»СГ2Р-..,СГ^-1 =^/2'^}) • (87)
Другими словами, для получения вероятностей конечной
микроконфигурации мы должны просуммировать вероятности соответствующих
исходных. Суммировались вероятности тех исходных микроконфигураций, у
которых спин a2/_i был равен заданному новому спину ет\ , а спин а2/ был
произволен, и по нему производилось суммирование.
Новая модель должна строиться на тех же принципах, что и старая,
поэтому и для нее справедлива формула (8.6) для вероятности
микроконфигурации. Наша основная цель - сохранить модель системы неизменной. Т.е.
ее поведение должно подчиняться тем же самым законам, иметь ту же
самую функциональную зависимость гамильтониана (8.1) и вероятности (8.6).
Однако, сохраняя при огрублении модель, мы не заботимся о полевых
параметрах - температуре и магнитном поле. Также, хотя новый
гамильтониан и имеет ту же модель (8.1) (ту же функциональную зависимость), однако
константы взаимодействия J и ц могут оказаться другими. С этой целью мы

294
Глава 8
и ввели константы связи К\ и К2, вобравшие в себя всё, что может
поменяться при огрублении - полевые параметры и константы взаимодействия.
Итак, w'{(T,} имеет ту же функциональную зависимость (8.6), однако
новые константы связи К\ и К\. Подставляя вероятности
микроконфигураций исходной и конечной моделей в (8.7) и производя суммирование,
мы получаем
1 N'2 (
= Z ТП^РГiK-lL + *2/) + ^2^2/-lL *2/ +
+ К, (а2, + о-2(Ч| 1^ ) + tfjO^aJ^ )=
=4ff 1ехр(^К+2ст2,. J + ^^K+a^ ))=
^ /=1 <т2,=±\
=1П 2 ехр(К, (а1,. +^,Ч1 ))ch(2AT1 + ЛГ2 (а1,. +<rV+l)). (8.8)
Это равенство должно выполняться для любых значений спинов новой
системы ст\ и ет\+]:
= +1=>
1 с2к\+к;
+ 2K2)
= -1=>
°\
= +1=>
<
= -!=>-
1 е-2к'<+к''
= —27=e"2JC|ch(2A:,
(8.9)
В системе уравнений (8.9) три независимых уравнения и три
независимых переменных К\ , К\ и Z'. Решением является
2 ' 1 4 ch(2Kt - 2К2)

Ренормализационная группа
295
^J'=K\=Unch(2Kl +2tf2) + ilnch(2A:i -2K2)~lnch(2Kt)9
In
r=\nZ-N\n[[2cW'\2Kx +2K2)cW'\2K,-2K2)cW'\2K,)). (8.10)
Первые два соотношения выражают новые полевые параметры и
константы взаимодействия через старые, третье соотношение является сдвигом
равновесного значения свободной энергии Гельмгольца.
Заметим, что при любых значениях исходных констант связи
логарифм статсуммы уменьшается как минимум на N In V2 . Происходит это
потому, что при огрублении мы редуцируем степени свободы системы, и
статсумма обязана уменьшаться. Минимальное ее сокращение, в 2N/2 раз,
происходит, когда обе константы связи равны нулю, т.е. при бесконечной
температуре. Этот результат легко понять. При большом значении
температуры экспоненты микросостояний ехр(-/?#{ст}), по которым
производится суммирование, становятся равны единице вне зависимости от
энергии системы, и их сумма переходит в полное число микросостояний
модели Изинга 2N. Сокращая в два раза количество степеней свободы, мы и
должны поделить статсумму на 2NI1.
Мы должны предупредить читателя, что не всегда преобразование РГ
строится так, как это делаем мы. В частности, в ряде учебников по
статистической физике вводится дополнительная константа связи К0 в вероят-
( *
ности(8.6) w ({сг}) = ехр
/ Z, отвечаю-
X{^0+^l(^+^+,) + ^2^/+l}
V /=1 J
щая сдвигу энергии всех спинов на одинаковое значение. Эта константа
вводится с целью сохранить статсумму модели неизменной Z' = Z .
Однако с нашей точки зрения подобный подход является нецелесообразным.
Во-первых, как мы только что это видели, ввиду сокращения числа
степеней свободы в системе статсумма должна предполагаться
уменьшающейся. Вводя К0, мы искусственным образом переводим изменение
статсуммы в изменение этой константы. Во-вторых, основное внимание в
будущем мы будем уделять поиску фиксированных точек преобразования РГ,
при котором константы связи переходят сами в себя. Очевидно, что
статсумма (8.10) никогда не может перейти сама в себя. Если же мы
введем Ко, также и эта константа связи не сможет перейти сама в себя.
Поэтому она будет являться «белой вороной» среди других констант связи и
требовать дополнительных оговорок.

296
Глава 8
Откуда взялась эта дополнительная константа связи К0 в литературе?
Она неизбежно должна появиться, если вместо равенства
вероятностей (8.7) для перехода поведения исходной модели в аналогичное
поведение конечной модели мы будем требовать равенства статсумм Z'=Z .
Для систем статистической физики оба метода построения РГ
равноправны, оба с точностью до замены переменных дают одинаковые результаты.
Все дело лишь в выборе методологии.
Однако если мы обратимся к сложным системам, таким как перколя-
ция или разрушение, то в этих системах статсумма зачастую отсутствует
как таковая. Преобразования РГ были построены и для этих моделей,
однако основывались они на принципах равенства вероятностей
соответствующих конфигураций, аналогичных (8.7). Здесь мы сталкиваемся именно
с тем случаем, когда применение статистической физики к сложным
системам за счет сравнительного анализа показывает, что является
несовершенным в самой статистической физике. Именно поэтому для
рассмотрения модели Изинга мы избрали методику равенства вероятностей вместо
методики равенства статсумм.
Мы построили преобразование РГ и перешли от исходной системы к
более грубой системе. Для новой системы мы опять можем выполнить
преобразование РГ как огрубление и получить третью систему с той же
моделью и поведением, но с другими константами связи. Выполняя опять
огрубление, мы получаем четвертую систему и так далее. Таким образом,
череда преобразований РГ нашей исходной системы порождает целый
класс систем с одинаковым поведением. Данное свойство называется
универсальностью, а системы, являющиеся преобразованием РГ друг друга,
называют принадлежащими к одному универсальному классу.
Можем ли мы продолжать преобразования РГ бесконечно? Очевидно,
что нет. Исходная система самоподобна только на масштабах, меньших
корреляционной длины £ На масштабах, сравнимых или больших
корреляционной длины, самоподобие исчезает. Посмотрим снова на рисунок 1.
Каждый раз выполняя огрубление, мы переводим «внутреннюю»,
самоподобную структуру кластера саму в себя. Тезис сохранения поведения
системы означает, что все длины в системе мы привязываем к расстоянию
между узлами, то есть измеряем в единицах постоянной решетки. При
этом на рисунке 1 размер кластера в целом при каждом преобразовании
РГ уменьшается в Ъ раз, где Ь - масштабный коэффициент огрубления.
Вместе с размером кластера в Ъ раз уменьшается и корреляционная длина:
(8.11)

Ренормализационная группа
297
Многократно выполняя преобразование РГ, мы когда-то достигаем
масштаба, при котором размер ячейки преобразования становится сравнимым
с корреляционной длиной. Дальнейшие преобразования, очевидно,
невозможны. Мы достигли максимально возможного огрубления. Другими
словами, мы сократили число степеней свободы системы до предельного
минимума. До этого предела мы могли моделировать то же поведение все
меньшим и меньшим числом степеней свободы. Однако на пределе
корреляционной длины дальнейшее сокращение вызовет искажения в
поведении системы и поэтому невозможно. Мы вышли на предел
минимального числа степеней свободы, при котором еще можно воссоздать
заданное поведение.
Огрубление само по себе является физическим процессом. Присущи
ли ему какие-то законы, которые выполнялись бы вне зависимости от
конкретной системы, которую мы рассматриваем? Другими словами,
исходя лишь из общих принципов построения огрубления, можно ли
вывести законы поведения модели? Как мы выяснили выше, при
выполнении преобразования РГ корреляционная длина уменьшается в Ь раз. Это
является общим свойством огрубления любой системы и имеет два
важных следствия. Во-первых, поскольку при преобразовании РГ
корреляционная длина всегда уменьшается, можно сделать вывод, что
преобразование уводит систему прочь от критической точки. Во-вторых, самой
критической точке отвечает бесконечная корреляционная длина.
Бесконечная корреляционная длина при преобразовании РГ перейдет,
очевидно, также в бесконечную корреляционную длину. Поэтому можно
сделать второй вывод о том, что критическая точка исходной модели
переходит также в критическую точку
конечной модели. Последнее означает,
что система, находящаяся при
критических температуре и поле перейдет в
систему, находящуюся опять же при
критических (но уже других)
температуре и поле. Общие тенденции
преобразования огрубления показаны на
рисунке 3(a).
Забегая вперед, мы однако должны
отметить, что не всегда существует
кривая перехода критических систем в
критические. Другими словами, на
рисунке 3(a) мы отобразили переход
критической точки исходной системы в
(б)
Рисунок 3

298
Глава 8
критическую точку конечной системы вдоль какой-то кривой в
пространстве констант связи. Однако для многих моделей эта кривая стягивается в
точку. В частности, это будет выполняться для примеров ниже, когда
преобразование РГ будет содержать лишь одну константу связи. В этом
случае критическая точка переходит сама в себя и является фиксированной
точкой РГ. Поскольку остальные траектории в ее окрестности стараются
увести систему прочь от критического состояния, такая точка обязана
быть репеллером (рисунок 3(6)). В этой ситуации система универсального
класса находится в критическом состоянии только если она находится в
фиксированной точке РГ.
В отсутствие внешнего магнитного поля /7 = 0 построить РГ
преобразование для одномерной п.п. модели Изинга с
периодическими граничными условиями для произвольного числа спинов
в ячейке РГ преобразования.
Решение
Гамильтониан модели определяется согласно
N
(8.12)
и статистическая сумма равна
(8.13)
Поэтому вероятность микросостояния модели можно записать как
(8.14)
Введем константу связи
а>д/.
(8.15)
В терминах данной константы вероятность микросостояния
модели перепишется как

Ренормализационная группа
299
1 ^
™Г ({&}) = — ехр 2^Ка,ам
£ \ /=i
(8.16)
Разобьем все множество спинов исходной модели на блоки
размера п (предполагается, что N делится на п без остатка).
Новую модель построим так, что ориентация первого спина в
ячейке исходной модели дает ориентацию результирующего спина
новой модели. Например, для л = 4 ячейки ТТТ?» ТТТ1» ?Т!Т>
TiTT» ?T!i> TiiT» Tiii перейдут в | в новой модели. Выбрав
аксиоматически данную модель преобразования, мы, как и ранее,
исчерпали всю аксиоматическую свободу и должны далее строго
следовать принципам построения РГ, одинаковым для всех
моделей. А именно, чтобы сохранить модель поведения системы
при огрублении неизменной, мы должны приравнять
вероятность конечной микроконфигурации новой модели сумме
вероятностей всех составляющих ее исходных микроконфигураций
старой
w'r ({<т\ ,..}) = ^/({(т, = ст\ ,о-2,с73,..,о-л,...}). (8.17)
Другими словами, зная ориентацию нового спина ет\ мы
суммируем такие исходные конфигурации, у которых остающийся
спин ain^n-\) равен ет\, а суммирование производится по всем
возможным ориентациям спинов ст^п-г^-^т, исчезающих при
огрублении:
Z 1=1
1 N/" (
Z 7Пехр( *<Wd|ct. «
+ ^-<л-2)^мп-з) +... +^..^ +KeTincTin+l\a, J. (8.18)
Замечая, что для любых значений спинов а/ = ±1, а7 = ±1
выполняется тождество
(l + cr,o-yth/:)ch^ = ^, (8.19)

300
Глава 8
мы можем переписать уравнение (8.18) как
^ff(l + <a'+1th =
=7П z fi+^-(»-.)L.^-<-.-2)th^)x
х (l + а^-г^ь-е-п * *)* - х 0 + °^а* th *)х
xtf + ff^J^th^jch-A:. (8.20)
При раскрытии скобок появляются слагаемые, содержащие
исчезающие при огрублении спины в нулевой, первой и второй
степенях. Суммирование по значениям исчезающих спинов приведет к
взаимному сокращению всех слагаемых, содержащих
исчезающие спины в первой степени. Поэтому останутся только
слагаемые с нулевыми и вторыми степенями исчезающих спинов. Если
исчезающий спин aj входит в какое-то слагаемое во второй
степени, то это слагаемое должно было образоваться как
произведение выражений а^а/йиК и ajOj+\ihK. Поэтому спины ay_i и о)+\
также входят в это слагаемое в ненулевой степени. Чтобы слагаемое
не сократилось, спины cry_i и aJ+{ должны входить во второй
степени. Поэтому при раскрытии произведения скобок вида
и сокращения слагаемых останутся только два слагаемых -
образованное только единицами из всех скобок (l + ар} th к) и
образованное только не единицами из всех скобок (l + atGj th к):
i Nln i Nln
^ПО + < <>ith= -U 1(1 x...x 1 +
+ ОГ/л-(л-1)|а. ^/ЛЧп-2)2^Мп-3)2---атЧ2^т2^ш+1|а.+1 А" К]сЪ" K =
1 Nlnl Л
=7n(1+«>1th"^)ch"(/:) I1
1 Nln( \
= Till1 + &i*m th"к}ch'Ч*)2,,-, . (8.21)

Ренормализационная группа
301
Решением, очевидно, будет
л-1
2 " ch К
thAT^th"*, lnZ'=lnZ-A4n hl/,^ ■ (8.22)
Задача 8.2
В отсутствии внешнего магнитного поля h = 0 построить РГ
преобразование для одномерной п.п. модели Изинга со спинами
о, = -1, 0,1 и периодическими граничными условиями.
Решение
Гамильтониан модели определяется согласно
^=-jJL^M (8.23)
и статистическая сумма равна
Z = Xexp[>a/Xa/a/+I ]. (8.24)
[<у\ \ /=1 )
Поэтому вероятность микросостояния модели можно записать
как
w''(И) = \^4^YftoM |• (8.25)
Введем константу связи
K = 0J. (8.26)
В терминах данной константы вероятность микросостояния
модели перепишется как
vvr({a}) = jexpJ£/^(<r,+1j. (8.27)

302
Глава 8
Разобьем все множество спинов исходной модели на блоки
размера 2 (N предполагается четным). Новую модель опять
построим так, что ориентация первого спина в ячейке исходной
модели дает ориентацию результирующего спина новой модели.
Чтобы сохранить модель поведения системы неизменной при
огрублении, мы должны приравнять вероятность конечной микро-
конфигурации новой модели сумме вероятностей всех
составляющих ее исходных микроконфигураций старой
w'r({^,,C7'2,...,aV ,...}) =
Z Wr({0r, =С7,1,ОГ2,ОГ3 =Ог'2,
а2,а4, ,а21, .-1.0.1 (8.28)
Другими словами, зная ориентацию нового спина а\ мы
суммируем такие исходные конфигурации, что остающийся спин
aliA равен ст\, а суммирование производится по всем
возможным ориентациям спина (т2/, исчезающего при огрублении:
Z 1=1
<72,<т4,. ,a2l, =-1.0,1 ^ i=l
1 N/2 1 N/2
=7П I ехр(^Д<+<+1))=-П{2сН(/:(<+(7'1>|))+1}.(8.29)
^ /=1 =-1,0,1 ^ /=1
Это равенство должно выполняться для любых значений спинов
новой системы ст\ и <т'/+1 :
м = +1
<
и = "1
=+1,<т'.
и = "1'
и = +1.
= 0,<7'1+1
= ±11
и-0
r«*'=^{2ch(2*)+1}
1 _jf • з
i i
{2ch(A:)+i},

Ренормализационная группа
303
о-' = 0,от',. = 0 => —!= = —т=- • (8.30)
В системе уравнений (8.30) четыре независимых уравнения и две
независимых переменных К' и Z'. Решения данной системы
уравнений не существует.
Нам впервые повстречался случай, когда РГ кажется
неприменимой для конкретной системы. Однако подобные
затруднения как правило легко устраняются. Что являлось причиной
отсутствия решения? То, что число констант связи было меньше
числа уравнений РГ. Другими словами, если бы мы ввели
дополнительные константы связи, то преобразование стало бы
возможным.
За что отвечают константы связи? Во всех предыдущих
гамильтонианах каждая константа связи отвечала за какой-то тип
взаимодействия - либо спинов с полем, либо спинов между
собой. Сам собой напрашивается вывод, что в нашей модели
пропущены какие-то важные взаимодействия, учет которых перевел
бы нашу модель в универсальный класс.
Действительно, рассмотрим вместо одной три константы
связи
К1=/и9К2 = 09Кг = 09 (8.31)
первая из которых как и прежде отвечает за взаимодействие
соседних спинов, вторая отвечает за взаимодействие квадратов
спинов с каким-то эффективным полем, а третья отвечает за
квадрат взаимодействия ближайших спинов
Z = E«pIe{Ki°W+i +*2(*;2 +стм2) + К,(*1стмА, (8.32)
wr({a}) = jexp(£k<^,4. + K2(a2 + *M2) +K^cr^,)2 jj .
Читатель может спросить, почему мы выбрали именно эти
взаимодействия, а не, скажем, триспиновое, квадроспиновое или
какие-то другие. На самом деле сам тип добавляемых
взаимодействий не очень важен, важно только, чтобы число независимых

304
Глава 8
уравнений стало в итоге равно числу переменных. Поэтому
дополнительные взаимодействия могут быть любыми, лишь бы мы
сумели в дальнейшем просуммировать исчезающие спины.
Опять разобьем все множество спинов исходной модели на
блоки размера 2. Новую модель строим так, что ориентация первого
спина в ячейке исходной модели дает ориентацию
результирующего спина новой модели. Чтобы сохранить модель
поведения системы при огрублении неизменной, мы приравниваем
вероятность конечной микроконфигурации новой модели сумме
вероятностей всех составляющих ее исходных
микроконфигураций старой
w*r({a\ ,<т'2 ,...,<,...})= (8.33)
2Н,Г^(Т1 =a\><J2>(J3 = сг'2 ,сг4,...,ог2/_, =сг\ ,сг2|.,...}) .
<т2 ,<т4 <х2/, ..=-1,0,1
Другими словами, зная ориентацию нового спина а\ мы
суммируем такие исходные конфигурации, что остающийся спин
аЪА равен <у\, а суммирование производится по всем
возможным ориентациям спина <72„ исчезающего при огрублении:
-Шехр^*, < <>'М+К,1 «2+<+.2 ) + К'з К *м )2)=
^ /=1
Z 7Пехр(^<т2,-,|ст.^,+^2(к-||а.)2+^(2)+
<х2,<т4. „а21, =-1,0,1 ^ /=1
+ ^k-,|ff.^/)2 +К1<ти<тм\в,м +K2((r2i2+(cT2M\a.J2)+
+ К,(а21<г2М1мУ)=
1 Nl2 I
= Til W^K^m ) + K2(<r'(2+2<72,.2 + a1,.,2) +
^ /«I <x2,«-l,0,l
+ *3<r2/V,2+<r'1+12))=
л N12 f ч
= -Пехр^К'+а^,2 ^chOw+oV, ))x
^ i-l
xexp(2/:2 +X,(<T',Vw2))+l). (8.34)

Ренормализационная группа
305
Это равенство должно выполняться для любых значений спинов
новой системы а\ и <т'/+1:
^ = H^., = +ll _1 = 1 егк,Ь<&{2К У**2К> +l},
o",. = -i,o"w = -ij ^ "^Z ^ J
=+1
= -1.^+1
= +l.<+1
■ = 0,а'<+1 =
=±ll
= o| =
■ = ±1.^.1
= 0,С7'+1 =
:0=>"
—7=- = —-7=- (2e 2 + 1 . (8.35)
В системе уравнений (8.35) четыре независимых уравнения и
четыре независимые переменные К\, К\, А"'3 и Z1. Решение
данной системы уравнений существует, но не приводится здесь
из-за громоздкости.
Итак, действительно, наша система оказалась принадлежащей к
универсальному классу систем с более сложным взаимодействием.
Для исходной системы это сложное взаимодействие не было
очевидно, так как оно маскировалось нулевыми константами связи.
Двумерные магнитные системы
Как было показано в главе 3, одномерные магнитные системы с близко-
действием не могут иметь фазового перехода при ненулевой температуре.
Поэтому мы перейдем от одномерной к двумерной п.п. модели Изинга на
квадратной решетке. Рассмотрим систему в отсутствии магнитного поля.
Гамильтониан такой системы запишем как
н<*> =~J Z^y (8-36>
где ]Г обозначает сумму по всем парам п.п. спинов. Статистическая
<'.у>. я
сумма модели есть

306
Глава 8
Z = £exp /И Y*°iGi <
\а\ \ <i,j>.. j
(8.37)
и вероятность одного микросостояния системы в каноническом ансамбле
равна
(8.38а)
Введем константу связи
А>д/.
Тогда вероятность микросостояния модели запишется как
wT({a})
z V</.y>. .
(8.39)
(8.386)
Если мы построим преобразование РГ для такого гамильтониана на
квадратной решетке, то число уравнений превысит число неизвестных (К
и Z), и система не будет иметь решений. Подобное затруднение мы уже
встречали в задаче 8.2. Как мы видели, нехватка переменных в уравнениях
означает, что не все необходимые константы связи были учтены в
исходной модели. Константы связи представляют различные взаимодействия,
поэтому логично предположить, что если наша система и принадлежит
какому-то универсальному классу, то это может быть только класс с более
сложными взаимодействиями, включающими взаимодействие исходной
системы как функциональное подмножество.
В частности, для гамильтониана (8.36) необходимо введение биспи-
новых n.n.n. взаимодействий и квадроспиновых взаимодействий ячеек,
обусловленных двумя новыми константами связи
(8.40а)
wr({o-})=yexp К, Y,aicrj+k2 Y,CTiCTJ+K^CTiCTJCTkCTi
(8.406)

Ренормализационная группа
307
Здесь 2^ по-прежнему представляет сумму
<м>-.
биспиновых взаимодействий по парам n.n.
(nearest neighbors, ближайшие соседи). Так, на
рисунке 4 для узла 5 эта сумма будет идти по парам
спинов 05с2, 0506, 0*50*8» 0*504- ]Г представляет
сумму биспиновых взаимодействий по парам
n.n.n. (next nearest neighbors, следующие
ближайшие соседи). Для узла 5 на рисунке 4 эта
сумма будет идти по парам спинов а5аи 0503, 0509, 0507. представляет
cells
сумму квадроспиновых взаимодействий по всем ячейкам. Для ячейки
спинов 1-2-5-4 на рисунке 4 эта сумма будет содержать слагаемое 01020504.
Исходная решетка представлена на рисунке 4 в виде кружков. Спины
02, 0*6, 04» 08» переходящие в новую решетку, представлены заполненными
кружками; исчезающие спины al9 03, 05, 07, 09 представлены пустыми
кружками. Так построенное преобразование РГ имеет масштабный
коэффициент огрубления b = V2 как отношение постоянной новой решетки,
равной диагонали исходных ячеек, к постоянной старой решетки, равной
ребру исходных ячеек. Вероятность новой микроконфигурации должна
быть равна сумме вероятностей тех исходных, у которых «заполненные»
спины имеют те же ориентации, а «пустые» спины произвольны, и по ним
ведется суммирование
-^ехр(... + К\ {а\ ст\+ст\ о"We °\+°\ °\ ) + к\ {°\ °\+°\ <*\} +
+ К'3 о\ <т'6 а\ ст\) =
]Г уехр(... +J^foo^+o^ с73 +а\ ет5+а5ет'6+ст1ет\ +
+ ст\ <т9 + ст1а\+ст\ <т7 + <т'2 <т5 + ст5ст\+стъст\+&ь сг9})х
хехр(... + £2{<т'2 <т\+а1ст5 +ст5ст9 + <т'4 <т\+о,\ а\+аъаь +<т5<т7 +<тб <T,g})x
х ехр(... + Къ {оха\ оъа\ +сг'2 аъа\ сг5 + сг'4 сг5сг'8 сг7 + сг5сг'6 сг9сг'8}). (8.41)
В равенстве (8.41) мы показали только те спины, которые пронумерованы
на рисунке 4. В данном случае нумерацию спинов старой и новой моделей
мы оставили совпадающей: о\ - <т2, <т'6 = <т6, о\ = ст4, <т\ = <т8.
Суммирование идет по всем исчезающим спинам аи сг3, 05, 07, а9. Однако, по-
о
•
О
•
о
1
2
3
•
о
•
о
•
4
5
6
о
•
О
•
о
7
8
9
•
О
•
О
•
о
•
О
•
О
Рисунок 4

308
Глава 8
скольку спины оь 03, 07, а9 входят в комбинации с другими спинами, не
пронумерованными на рисунке 4, в явном виде суммирование мы можем
показать только для центрального спина а$. Для наглядности в
равенстве (8.41) мы оставим только комбинации спинов, важные для
суммирования по пятому узлу
-^ехр(... + К\ {<т\ <т\+ст'6 ст\+ст\ <т\+<т\ а\ } + К\ {<т\ ст\+ст\ <т\} +
+ К\ <j\ <j\ <j\ сг'4) =
= -^ехр(... + К2 {ст\ ст'6+<т\ <т\+<т'2 <т\+<т\ <т\ })х
X ехр(... + К2 {0Г,СГ5 + (75(79 + <т3сг5 + сг5сг7 })х
хехр{... + А:з{с71с7,2с75с7,4 <т'6<79<7'8}). (8.42)
Видно, что для двумерной модели в отличие от одномерной нельзя
обособить сумму узла 5 так, чтобы в нее входили выражения только от спина
этого узла 0"5 и остающихся спинов <j\ , а\, о\, о\. Действительно,
третья константа связи отвечает за квадроспиновые взаимодействия,
содержащие другие исчезающие спины о\у 03, 0-7, 09. Поэтому для общего
случая аналитически провести суммирование невозможно. Однако мы
можем вспомнить, что наша исходная система не содержала биспинового
n.n.n. и квадроспинового взаимодействий: константы связи К2 и К$ для
исходной модели были равны нулю. Это существенно упростит
выполнение суммирования, однако мы должны теперь помнить, что построенное
преобразование РГ будет справедливым лишь для одного шага РГ из
исходной системы с нулевыми второй и третьей константами связи. Для
последующих шагов РГ данное преобразование уже перестанет быть
верным, так как у новой системы мы ожидаем вторую и третью константы
связи отличными от нуля. Подставляя К2 = 0 и Къ = 0 в равенство (8.42)
мы получаем
-~ехр(... + К\ {<7'2 (т'6+ст\ <т\+<т\ <т\+<т\ <т\ } + К\ {а\ <т\+<т\ сг\} +
+ К\ <j\ <j\ g\ <т\) =
= 7 Z в Y,QMKA^ACr5+^6+^2^5 +^\})' (8.43)
^ ...ai.aj.o^.o-,, =±1 о$=±1

Ренормализационная группа
309
В этом равенстве сумма по узлу 5 уже является обособленной от сумм по
другим исчезающим узлам, и суммирование приводит к
-^ехр(...+ К\ {а\ ст\+а\ <т\+<т\ <т\+<т\ ст\ } + К\ {<т\ <т\+ст\ ст\ } +
+ К'3 ст\ а\ ст\ сг'4) =
= 7 Z 2е -сЬ^^+^+^+ст',}). (8.44)
~ ,ах,а^,ап,а9, =±1
Выполнение суммирования по остальным исчезающим спинам приводит
к появлению подобных множителей
-^ехр(...+ К\ {ст\ ст\+ст\ ет\+ст\ ст\+ет\ <т\ } + К\ {<т\ ст\+ст\ <т\ } +
+ #'3 а\ а\ а\ <т'4) =
= ...2 ch(Ar1 {<т'9 +<т'2 +<т'4 })2 ch(A:i {ст\ +а\ +ст\ +<т'6})х
х 2 ch(Ar, {<т'4 +о-'6 +о-'2 н-o-'g} )2 сЬ(а:1 {<т'? +о-'8 +а\ +<т'?}) х
х2ch(A:,К+^+^+а' })..., (8.45)
где мы отметили спины, не пронумерованные на рисунке 4, знаком 4?\
Уравнение (8.45) будет выполняться для всей решетки в целом, если
оно выполняется в каждой отдельной ячейке. Для перехода от всей
решетки к одной ячейке замечаем, что множители констант связи Кх, К\ и
К\ привязаны каждый к конкретной ячейке новой модели, тогда как
множители константы связи К\ принадлежат сразу двум соседним
ячейкам, для которых соответствующие спины являются общим ребром ячеек.
Поэтому, приводя уравнение (8.45) к отдельной ячейке, мы должны взять
квадратный корень из всех множителей константы связи К\ :
1
ехр|
К' Л
{ет\ ет\+ст'6 <т\+сг\ ст\+а\ о\ } 1ехр(а:,2 {о\ о\ })х
х ехр^'з а\ а\ а\ а\) = -^=сЪ{К, {а\ +а\ +а\ +а\}). (8.46)

310
Глава 8
Здесь было использовано то, что число новых ячеек равно числу новых
спинов N'= Nib2 = N/2. Равенство (8.46) должно выполняться для всех
возможных ориентации спинов новой решетки о\, сг'6, а\, а\ . Если
все спины имеют одинаковые знаки
1 2*',+2гг+Г, = 2 ( )
"'j? N,lfz
Если знак одного из спинов противоположен трем остальным
—i^e"*"'=—T=ch(2tf,). (8.476)
"'41' N'4z
Если одно ребро ячейки имеет положительные спины, а противоположное
- отрицательные
_1 -„-..к; =2
Если одна из диагоналей ячейки имеет положительные спины, а вторая
отрицательные
1 =_2 (847г)
В системе уравнений (8.47) четыре независимых уравнения и четыре
независимых переменных К\, К\, АГ'3 и Z'. Поэтому решение может
быть легко найдено. Однако оно будет справедливо лишь для одного шага
РГ из исходной системы с К2 = 0 и Къ = 0.
Рассматривая выше строгое построение пространственной РГ для
модели Изинга, мы так и не добились желаемого результата. Для
одномерной модели с близко действием фазовый переход был невозможен при
ненулевой температуре, поэтому система была вырожденной. Для
квадратной решетки мы смогли построить только один, первый шаг РГ, но не
весь универсальный класс систем. Однако для исследования скейлинга
огрубления требуется нахождение констант связи всех систем
универсального класса.

Ренормализационная группа
311
Поэтому теперь мы обратимся к другим способам построения РГ
модели Изинга. Возможны ли другие способы? Ответ на подобный вопрос
обычно является утвердительным. Способ построения РГ не является
уникальным или предписываемым законами физики и как правило
определяется субъективным выбором исследователя. При этом точность РГ
преобразования оказывается тем выше, чем «искуснее» был
исследователь при данном выборе. В каком-то смысле РГ очень напоминает байэс-
сиан анализ - «искусность» субъективных априорных гипотез о
поведении модели определяет «разумность» получаемого результата.
Рассмотрим п.п. модель Изинга на треугольной решетке в отсутствие
поля. Гамильтониан, статсумма, вероятность микроконфигурации и
константа связи системы по-прежнему задаются уравнениями (8.36-39).
Разобьем решетку на треугольные ячейки (рисунок 5). Масштабный
коэффициент преобразования . Ранее мы выбирали какие-то спины, чтобы
оставить их в новой модели, а по остальным
спинам вели суммирование. Теперь же все
спины исходной модели будут
исчезающими, и по ним всем будет вестись
суммирование. Спины новой модели не будут
привязаны к позициям старых и будут вводиться по
центру ячеек. Так, спины сгь аъ оъ на
рисунке 5 являются исчезающими, приводя к
появлению в новой модели спина а\ .
I РГ Теперь нам необходимо ввести субъек-
\V тивное правило построения РГ. Другими
словами, нужно построить зависимость
ориентации новых спинов от ориентации
исходных. Ранее таким правилом было то, что
мы сохраняли ориентацию остающихся
спинов. Теперь же у нас вообще нет
остающихся спинов. Будем выбирать ориентацию
новых спинов так, чтобы сохранялся знак
намагниченности ячейки. Если два из трех
спинов или все три спина в узлах ячейки
Рисунок 5 ориентированы вверх, то такая ячейка будет
переходить также в спин, ориентированный
вверх. В противном случае ячейка будет переходить в спин,
ориентированный вниз, так как два из трех спинов или все три спина ориентированы

312
Глава 8
вниз. Так, если спины о\, а2> 0з на рисунке 5 имеют ориентации И |,
141 или 4||, то результирующий спин ет\ будет иметь ориентацию |.
Построив соответствие старых и новых микроконфигураций, мы
исчерпали всю субъективную свободу. Далее, как и для любой другой
модели, формализм построения РГ требует равенства вероятностей конечных
микроконфигураций и сумм вероятностей всех соответствующих им
исходных микроконфигураций.
^еХР1
к% Zav^v =— Z ехрк Haiaj
{о) \ст'}
\ <'.у>.
(8.48)
где ]Г обозначает сумму по таким ориентациям исходных спинов
{*) {<*')
01,.что они дадут заданные ориентации <j\ ,...,<j'n/3 конечных
спинов. Будем считать значения новых спинов ет\ ,...,ет\/3
зафиксированными. Это зафиксирует все допустимые конфигурации исходных спинов.
Как и прежде мы видим, что сумма по ориентациям спинов исходной
ячейки не может быть обособлена от соседних ячеек. Действительно,
каждый исходный спин взаимодействует с двумя спинами своей ячейки и с
четырьмя спинами трех соседних ячеек. Поэтому мы разобьем
гамильтониан (8.36) на два слагаемых
# = #о+К (8.49)
Первое слагаемое И0 будет отвечать за внутренние взаимодействия
спинов в ячейках. Спины сгь аъ оъ рисунка 5 войдут в как
-J(pxo2 + ого3 +сг3сг,). Второе слагаемое V будет отвечать за
взаимодействие ячеек между собой. Так, спин о2 войдет в V как
-J(a2a? + а2а? + а2а0 + а2а0), где ао обозначают непронумерованные
на рисунке 5 спины соседних ячеек, по одному спину для ячеек слева и
справа и два спина для ячейки сверху. Второе слагаемое мы будем
рассматривать настолько малым, что становится возможным применение
теории возмущений. При этом оба слагаемых мы рассматриваем для
модели с зафиксированными сг', ,...,er'N/3, т.е. для этого модельного
гамильтониана исходной модели фазовое пространство содержит только те
конфигурации исходных спинов, которые соответствуют а\ ,...,а\/3.

Ренормализационная группа
313
Средним произвольной величины А{а] по отношению к
невозмущенному гамильтониану //° будет
Z ^{а}еХР|
I А \ V А Т,Н° {0Ш>)
( но ^
Z ехр
(8.50)
Здесь опять среднее бралось только по конфигурациям {а}: {сг'}, на
которых описан модельный гамильтониан. Выбирая А{а) = ехр(- /г),
мы можем записать уравнение (8.48) как
iexp|
) 1
Z ехр
(
ехр
Г
Г/о Л
J"z
т J
\
т
J
т
\ 1 J
Z ехр|
( яо ^
(8.51)
Сумма
Z„0 = X ехр|
{<>) [<т'\
(8.52)
является статистической суммой модельного гамильтониана. Сумма здесь
идет по всем допустимым конфигурациям {сг}: {сг'}, в экспоненте стоит
сумма взаимодействий спинов внутри ячеек. Спины сгь а2, 0з рисунка 5
войдут в экспоненту только в виде множителя
ехр(ЛТ(сг,сг2 +а2а3-\-а3а]))
этой ячейки. Допустим, что а\ =Т . Тогда сумма ^ будет идти по ори-
ентациям |ti> Т!Т> itt спинов ох, a2i 03. В статсумме (8.52) это дает
множитель (езк + Ъе~к \ Если же а\ =4 , аналогичные рассуждения
приводят к тому же результату. Поэтому вне зависимости от ориентации а\

314
Глава 8
суммирование по спинам аи 02, 0з приводит к появлению в статсум-
ме (8.52) множителя (еък + Ъё~к). Выполняя суммирование спинов во всех
ячейках для статсуммы (8.52) получаем
Тогда уравнение (8.51) переходит в
(8.53)
—ехр
Нам осталось вычислить (ехр(- V{a) I г)^о. Предполагая возмущение
малым, мы разложим экспоненту в ряд Тейлора:
ехр
Г 2Г2
(8.55)
Логарифмируя это равенство
In/exp-^
2Г 2Г
(8.56)
а затем возводя обратно в экспоненту , мы получаем
ехр
( у \
:ехр
Г 2Г2
(8.57)
Возмущение V содержит взаимодействия соседних ячеек. Так, спин
02 на рисунке 5 войдет в V как -J(a2a? +ет2ет? + а2а7 + ет2ет0). Взятие
* Если у кого-то логарифмирование выражения с последующим возведением в экспоненту
вызывает улыбку, то это совершенно напрасно. С помощью таких «махинаций» мы смогли
внести среднее под знак экспоненты. Автор подозревает, что данный прием может также
вести к созданию единой теории материи.

Ренормализационная группа
315
среднего (^а})//о по модельному гамильтониану приведет к
появлению слагаемого
- j{(a2cj0) н0 +(а2с70)н0 +(а2с77)н0 +(ст2ст?) н0).
Поскольку гамильтониан И0 отвечает за взаимодействие внутри ячеек,
усреднение с этим гамильтонианом по спинам разных ячеек будет
независимым
-j((a2a,)H0 +(а2ао)н0 + (сг2сг?)//0 +(cj2cj?) „0) =
= -4(°2)н0(°о)н» + fa)„*(*•>)„* +(сг2)яо(сг?)//0 +(<т2)н.(а*)н')- (8'58>
Используем формулу (8.50) для нахождения среднего спина
£<т2 exp^cr.c^ + а2а3 + оъох))
Z а2ехр|
{<?) W)
S ехр
1<т| (<т')
Для а\ =Т (cr2)w. =
Для о-', =4 (<г2)н. =
( яо ^
еък +3е-к
.(8.59)
3/^ . <-» —к -к „3/w . „—к
е +2е —е е +е
eiK+3e-K
- в - 2в + е
е3* + 3е"*
(8.60)
(8.61)
Поэтому для общего случая мы можем написать
' езк+е~к л
(8.62)
(8.63)
В последнем равенстве было учтено, что две соседние ячейки всегда
имеют две связи.

316
Глава 8
Для уравнения (8.54) мы получаем
1
Z
xexpl
ехр!*' £>V *'} = -(eiK + Ъек)x
{ <i\j->.. ) 2
\е + 3* J <ЛУ>.
(8.64)
откуда следует искомая связь новых и старых констант связи
ч2
К'= 2К\
ък . -к
е +е
кеък +Ъе~к
z-z(^+3^)""3.
(8.65а)
(8.656)
Исследуем поведение полученного решения. Найдем, имеет ли наше
преобразование фиксированные точки К*=К
К* =2К*
еък +е~к
(8.66)
Тривиальными фиксированными точками являются К* = 0 и К* = +<х>.
Из определения константы связи (8.39) мы видим, что первая
фиксированная точка соответствует бесконечной температуре или нулевому
взаимодействию. Вторая, наоборот, нулевой температуре или бесконечному
взаимодействию. Обе эти точки являются аттракторами траекторий
преобразования РГ. Однако у данной модели существует и нетривиальная
фиксированная точка
К* =-1п(2л/2+1)*0.34,
4
(8.67)
являющаяся репеллером. Точное решение Онсагера для данной модели
показывает, что в действительности
К* = -1пЗ*0.27.
4

Ренормализационная группа
317
ШагРГ
Рисунок 6
Во-первых, мы видим, что наше огрубление дает не точные значения, а
приближенные. Во-вторых, приближение дает близкие к точным
значения, поэтому мы можем на него положиться для иллюстрации
качественного поведения системы.
Общая зависимость константы связи от итераций РГ показана на
рисунке 6. Мы видим, что решение уходит от фиксированной точки (8.67) и
стремится к другим фиксированным точкам, являющимся аттракторами.
Если модель, подобно нашей, содержит лишь одну константу связи, то
картину линий тока РГ иллюстрируют как правило на рисунке
графического решения уравнения (8.65а). Так на рисунке 7 построена зависимость
К* от К из уравнения (8.65а) и линейная зависимость К*=К. Для
построения линии тока РГ мы выбираем исходное значение К и строим
вертикальную стрелку для поиска К%. Затем мы отображаем К% обратно на
ось абсцисс для построения (К%)% и так далее. В итоге для исходного
К<К* мы удаляемся от К* вдоль линии тока в сторону меньших К. Для
исходного К > К* мы удаляемся от К* вдоль линии тока в сторону
больших К. Для исходного К = К* система находится в неустойчивом
равновесии РГ.
Вблизи фиксированной точки (8.67) преобразование РГ может быть
линеаризовано
= 1 + -(8 - 5л/2) ln(2V2 +1) * 1.62, (8.68)
к' 2
где мы ввели обозначение Хк, являющееся собственным значением
линеаризованного преобразования РГ. Индекс К здесь подчеркивает, что это
собственное значение относится к константе связи К.

318
Глава 8
Фиксированные точки
преобразования мы искали по
отношению к константе
связи. Очевидно, что по
отношению к преобразованию стат-
суммы (8.656)
фиксированных точек не существует -
каждое огрубление
редуцирует степени свободы и за счет
этого уменьшает статсумму.
Почему нас так
интересуют фиксированные точки
РГ? Потому что они
являются «концентраторами»
критического поведения
системы. Действительно, при
преобразовании РГ корреляционная длина должна уменьшиться в Ь раз.
Однако фиксированная точка переходит сама в себя (если не считать сдвига
свободной энергии системы). Это возможно только если корреляционная
длина в фиксированной точке бесконечна, и фиксированная точка
является критической точкой для одной из систем универсального класса. Но
тогда любая точка, приходящая в фиксированную или исходящая из нее,
также является критической. Другими словами, критическая точка
исходной модели после многократного огрубления обязательно пройдет
через фиксированную точку преобразования РГ. На рисунке 8(a) мы
схематично изобразили линии тока РГ. Каждая отдельная стрелка служит
шагом преобразования, череда жирных точек отражает сменяющие друг
друга критические точки систем универсального класса, а величина
пунктирных линий представляет отклонение констант связи от их
критических значений при смещении системы вдоль линии тока РГ.
При преобразовании РГ модель системы не меняется. Это означает,
что преобразование РГ сохраняет критические индексы. У исходной
системы в критической точке и у системы из универсального класса,
находящейся в фиксированной точке РГ, критические индексы должны быть
одинаковыми. Поэтому для того, чтобы найти критические индексы
исходной модели, достаточно лианеризовать РГ преобразование вблизи его
фиксированной точки и найти критические индексы системы в
фиксированной точке. Однако подробное исследование этого вопроса мы оставим
до следующей главы, где на основе линеаризации РГ мы построим теорию
скейлинг-функций.

Ренормализационная группа
319
Рассуждения были сделаны для произвольного преобразования РГ и
произвольного числа констант связи. В случае же нашей модели с одной
константой связи, как мы видели ранее на рисунках 3(6) и 7, поле тока РГ
вырождается, кривая критических точек стягивается в фиксированную
точку, и критическая точка исходной системы непосредственно является
фиксированной точкой РГ. Поэтому для нее совпадение критических
индексов тривиально. Критический индекс в фиксированной точке РГ
задается собственным значением лианеризованной РГ (8.68).
Когда существует линия критических точек преобразования РГ в
пространстве констант связи (рисунки 3(a) и 8(a)), а когда эта линия
стягивается в точку (рисунки 3(6) и 7)? Всегда ли первый случай
эквивалентен наличию нескольких
констант связи, тогда как
второй - наличию только
одной константы связи?
Возможна ли ситуация,
когда вся критика
универсального класса будет сосредо-
чена в одной точке при
наличии нескольких констант
связи (рисунок 8(6))?
Поведение линий тока
РГ зависит не от числа
констант связи, а от нашего
«субъективизма»,
внесенного в построение самого
преобразования. Мы всегда
требуем сохранения модели
системы при
преобразовании РГ, приводящего к
сохранению поведения. Но
всегда ли мы этого
достигаем? Во многих примерах
выше преобразование РГ
строилось таким образом,
что сохранялась
функциональная зависимость
гамильтониана системы, а
менялись лишь константы
связи, входящие в этот гамиль-
(а)
-А
к.
(б)
Рисунок 8

320
Глава 8
тониан. Например, на квадратной решетке мы рассматривали
гамильтониан (8.40а). При преобразовании РГ менялись лишь значения констант
связи Kt, тогда как функциональная зависимость (8.40а) оставалась
неизменной. Сохранение гамильтониана означало, что новая модель идентична
старой, только находится при других значениях полевых параметров и
параметров взаимодействий. Это в свою очередь приводит к очевидному
факту, что новая модель имеет критическую точку при тех же значениях
констант связи, что и исходная: К\с = KiC V/.
Действительно, если бы существовало точное решение системы с
гамильтонианом (8.40а), оно дало бы возможность найти критическую
точку системы, которой отвечали бы какие-то значения констант связи KiC.
Эти значения порождали бы зависимости, связывающие критические
значения полевых параметров с параметрами взаимодействия системы.
Например, для первой константы связи AT, = fiJ это означало бы, что
критическая температура связана с параметром парного п.п. взаимодействия
спинов уравнением Тс =J / К]С . В главе 2 таким уравнением являлась
зависимость (2.43).
Таким образом, критическому состоянию отвечают различные
наборы полевых параметров Гс,..., взаимосвязанные с соответствующими
наборами параметров взаимодействия У,..., однако только один
единственный набор констант связи KiC. Другими словами, в пространстве
констант связи вся критика модели сводится лишь к фиксированной точке РГ,
и любая система универсального класса критична, только если она
находится в фиксированной точке.
Будут ли тогда случаи, когда данная картина (рисунок 8(6))
нарушается и возникает линия критических точек в пространстве констант связи
(рисунок 8(a))? Такие ситуации будут иметь место тогда, когда мы не
можем обеспечить полного соответствия исходной и конечной моделей.
Другими словами, когда при выполнении цепочки преобразований РГ
меняется функциональная форма гамильтониана системы. С подобной
ситуацией мы столкнулись бы, если бы для системы с
гамильтонианом (8.40а) решили построить не только первый шаг, но и остальные шаги
РГ. Мы смогли найти преобразование констант связи только для первого
шага РГ, который переводил нулевые константы связи в ненулевые, а для
ненулевых мы не могли найти решение аналитически. Существовал ли
способ обойти это затруднение и продолжить цепочку преобразований
РГ? Такая возможность может быть и существовала, но для аналитическо-

Ренормализационная группа
321
го решения системы нам для каждого шага потребовалось бы, например,
введение своих, присущих только этому шагу, взаимодействий в
гамильтониане. В этом случае гамильтониан сохранялся бы на одном шаге, но не
сохранялся бы для всей цепочки преобразований РГ. Это привело бы к
цепочке неидентичных систем и появлению линии критических точек.
Другой возможностью возникновения подобной ситуации было бы, если
бы мы при преобразовании меняли бы форму решетки.
Задача 8.3
Аналогично тому, как мы строили на рисунке 5 преобразование РГ
для треугольной решетки, построить преобразование РГ для
двумерной модели Изинга на квадратной решетке в отсутствие поля.
& Решение
Особенностью данной задачи является выбор субъективного
критерия соответствия микроконфигураций. Если для
треугольной решетки выбор ориентации результирующего спина
определялся знаком среднего по узлам ячейки спина, то для квадратной
решетки данное правило перестает работать. Действительно,
если два спина в узлах решетки направлены вверх, а оставшиеся
два - вниз, то среднее будет равно нулю и его знак не определен.
Для этого в правило построения соответствия
микроконфигураций вводятся дополнительные условия. По-прежнему если
среднее спинов в узлах ячейки не равно нулю, то ориентация
результирующего спина задается знаком среднего. Для нулевого
среднего вводится следующее правило:
"t
1"
"t
T"
~l
t"
'I
I
t
i_
>
I
i_
=>i;
I
t
5
t
Другими словами, оставшиеся микроконфигурации с нулевой
намагниченностью «попростосту поделены пополам» между
двумя возможными ориентациями, «половину забирает» спин |,
«а половину» - спин j (как в мультфильме про осьминожек).
Перколяции
Перейдем теперь от магнитных систем к перколирующим. Рассмотрим
сначала одномерную Z1 перколяцию узлов. Разобьем исходную цепочку
узлов на ячейки по Ь узлов в каждой (рисунок 9(a), Ъ = 3). Каждая ячейка
исходной системы переходит в один узел новой системы.

322
Глава 8
гхгхп
CXHU
I П I' " i r-rr
(a)
Как нам ввести субъективное правило
построения соответствия микроконфигураций
таким образом, чтобы поведение системы
сохранялось? Как мы уже видели в главе 5,
бездумное применение методик магнитных систем к
перколяционным не дает желаемые результаты.
Так, например, если мы используем
применявшиеся до сих пор правила определять состояние
занятости нового узла либо состоянием
занятости первого узла исходной ячейки, либо
средним по исходной ячейке состоянием занятости
узлов, мы получим неверные результаты.
Причина этого та же, что не позволила нам
применить в главе 5 корреляционную функцию
магнитных систем к задаче перколяции. А именно, для перколяционных
систем важна кластерность, связь занятых узлов в кластеры. Сам порог
перколяции определяется как возникновение кластера с размером
системы. Для магнитных же систем важна поверхностная энергия кластеров,
как границ раздела фаз, однако же связность спинов в кластеры здесь не
имеет прямого влияния.
Рисунок 9
Поэтому и субъективное правило мы должны строить, сохраняя
кластерность поведения системы. Наиболее важным свойством системы для
нас является наличие перколирующего кластера. Чтобы сохранить
перколирующее поведение необходимо перколирующим конфигурациям
исходной ячейки поставить в соответствие перколирующий (занятый) узел
новой решетки, а не перколирующим - не перколирующий (пустой).
Исходная ячейка в одномерном случае перколирует только тогда, когда все
три ее узла заняты. Поэтому только такая микроконфигурация будет
переходить в занятый узел, а все другие - в свободный узел новой модели
(рисунок 9(6)).
Построив субъективное правило соответствия микроконфигураций,
мы теперь должны приравнять вероятности новой микроконфигурации
суммам соответствующих вероятностей исходных микроконфигураций
Р-Р
(8.69)
где /?' является вероятностью новому узлу быть занятым, а рь равна
вероятности всем Ъ исходным узлам быть занятыми. Правило равенства веро-

Ренормализационная группа
323
ятностеи для пустого нового узла даст, очевидно, тождественное
уравнение \-р*=\-рь. Роль константы связи здесь выполняет полевой
параметр /?, который вобрал в себя все особенности, меняющиеся при
преобразовании РГ.
Как уже обсуждалось выше, при преобразовании РГ корреляционная
длина уменьшается в b раз (уравнение (8.11)). Для перколирующей системы
£ ос ! и £'ос ! г. (8.70)
\P-Pc I С I
При преобразовании модель системы сохраняется. Другими словами,
новая решетка - это та же исходная решетка, подчиняющаяся тем же самым
правилам объединения занятых узлов в кластеры, только другого размера и
с другим полевым параметром. Поэтому обе системы имеют одинаковые
критические индексы: v'= v. Также одинаковы и пороги перколяции
(критические значения констант связи): р\ = рс. Поскольку критическая точка
исходной модели переходит в критическую точку новой рс -> р%с, порог
перколяции рс является фиксированной точкой РГ и переходит сам в себя.
Действительно, для нашей одномерной модели мы априори знаем, что
рс = 1 и р*с = 1. Это совпадает с решением уравнения для поиска
фиксированной точки РГ
P=(p'Y- (8-71)
Для случая произвольной модели требуется одновременное
выполнение уравнений (8.11) и (8.70). Это приводит к соотношению
1Р'~РС Г -Ь. (8.72)
\P-Pc
Из этого уравнения можно вычислить критический индекс v
In A In А
V = ■
\n\p-Pc \ -\п\р-рс
dp
Рс
(8.73)

324
Глава 8
при р стремящемся к рс. Для
одномерной модели
\пЬ
V~\n(\-pb)-\n(\-p)~* 9
(8.74)
что совпадает с точным
результатом, полученным в
главе 3.
Решение уравнения (8.71)
для поиска фиксированных
точек легче всего опять
представить графически
(рисунок 10). Фиксированными точками являются р = 0 и р* = 1. Точка
фазового перехода (перколяции) р* = 1 является неустойчивой, и кривая тока
РГ удаляется из ее окрестности в сторону притягивающей точки р = 0.
Поэтому РГ уводит до-критическую систему еще дальше от порога
перколяции.
Задача 8,4
Для одномерной перколяции узлов рассмотреть
преобразование РГ, когда заданные узлы переходят в новую конфигурацию
без изменения их состояния.
Ф Решение
Выше мы строили решение для одномерной перколяции, сохраняя
перколирующие свойства ячеек. Эта модель построения
преобразования РГ напоминала построение РГ для модели Изинга рисунка 5
тем, что все узлы были исчезающими, и состояние занятости нового
узла определялось по критерию сохранения свойств модели.
Отвлечемся в данной задаче от данного метода построения
преобразования РГ и будем строить РГ одномерной решетки
аналогично рисунку 2. Разобьем цепочку узлов на ячейки длины Ъ и
будем считать первый узел в этих ячейках переходящим в новую
модель с сохранением состояния его занятости. По исчезающим
узлам будем вести суммирование вероятностей

Ренормализационная группа
325
^iLf ?\„PMQ-P)b'l-k =Р(Р + 1-рГ=Р> (8.75)
где вероятность новому узлу быть занятым равна сумме
вероятностей тех микроконфигураций ячейки, у которых первый узел
занят, а состояние остальных произвольно. Мы видим, что
модель переходит сама в себя точно, константа связи сохраняется.
Также, поскольку и модель совпадает с исходной, и значения
констант связи остаются прежними, все величины и, в частности,
корреляционная длина не изменяются.
Построение является вырожденным и не дает нам информации о
системе. Более того, хотя мы ожидаем уменьшения
корреляционной длины в системе согласно (8.11), в данном случае мы
видим, что ни полевой параметр, ни корреляционная длина не
меняются. Нечто подобное мы уже видели в главе 5, когда не
смогли смоделировать перколяционную корреляционную функцию
корреляционной функцией магнитной системы. Произошло это
потому, что принципы построения магнитной системы не
заботятся о кластерности узлов в модели, тогда как сама постановка
задачи перколяции является задачей о кластерности.
Аналогичная ситуация возникла и в данной задаче. Мы
построили РГ, не заботясь о сохранении кластерности в системе и
поэтому и не получили сокращения корреляционной длины,
завязанной по определению на кластерность.
Для магнитной системы рисунка 2 мы не получали данного
вырождения, потому что между спинами (узлами) было
взаимодействие. Если мы уберем взаимодействие в магнитной системе
К2 = 0, то из уравнений (8.10) получим аналогичное вырождение
Построим преобразование РГ для перколяции узлов на треугольной
решетке. Разобьем систему на треугольные ячейки и каждой ячейке
поставим в соответствие узел новой решетки. Геометрия построения
полностью аналогична магнитной системе рисунка 5. Нам осталось лишь задать
критерий, как мы будем определять состояние узла на новой решетке.
Будем считать ячейку перколирующей (проводящей), если заняты по
крайней мере два из трех узлов. Такую ячейку будем заменять занятым узлом.
Остальные конфигурации будем заменять пустым узлом (рисунок 11).

326
Глава 8
ДА АД
Сохранение вероятностей
соответствующих микроконфигураций для занятого нового
узла записывается как
р*=ръ+Ър2{\-р), (8.76)
А
где мы просуммировали р3 как вероятность
ячейки с тремя занятыми узлами и р2(\ -р)
как вероятность двух занятых узлов и одного
свободного в трех различных комбинациях.
Если мы запишем сумму вероятностей для
нового пустого узла, то, как и ранее, получим
уравнение, тождественное уравнению (8.76). Рисунок 11
А
Решение для фиксированной
точки р'= р
по-прежнему легче всего искать
графически. На рисунке 12 показана
фиксированная точка и
расходимость цепочек преобразований из ее
окрестности. Для самой
фиксированной точки мы получаем р =1/2,
что совпадает с точным решением.
Треугольная перколирующая
решетка является одним из
уникальных случаев, когда для порога
перколяции РГ возвращает не
приближенный, а точный результат.
i.uh6-1^—I—I—н—I—г1—-—I—•—н
0.0 0.2 0.4 *0.6 0.8 1.0
Рисунок 12
р'1.0-
р =ръ +Ър\\-р) (8.77)
0.8-
В пределе р стремящегося к рс, используя уравнение (8.73), мы
находим
(8.78)

Ренормализационная группа
327
где для масштабного коэффициента преобразования РГ мы использовали
значение . Точное решение показывает v = 4/3 -1.333, что близко к
значению, даваемому преобразованием РГ.
Задача 8.5
Построить РГ преобразование для перколяции узлов на
квадратной решетке.
& Решение
Разобьем решетку на квадратные ячейки размера Ъ1
(рисунок 13(a)), Ь = 2. Как и всегда для РГ, основной особенностью
решения является построение субъективного критерия
соответствия микроконфигураций. Сперва будем считать
перколирующими (переходящими в заполненный узел) те ячейки, у которых
по крайней мере два соседних узла на каком-либо ребре ячейки
заполнены (рисунок 13(6)). Подобный выбор кажется разумным -
заполненные узлы на одном из ребер приводят к перколяции
ячейки вдоль этого ребра. Для связи вероятностей мы получаем
р* = р* + 4р3 (1 - р) + 4р2 (1 - р)2, (8.79)
где первое слагаемое в правой части отвечает
микроконфигурации с четырьмя заполненными узлами, второе - четырем
микроконфигурациям с тремя заполненными узлами, третье - четырем
микроконфигурациям с двумя заполненными узлами.
Фиксированная точка
(8.80)
плохо аппроксимирует истинный порог перколяции рс ~ 0.59.
Почему мы получили такую плохую аппроксимацию? Как мы
увидим ниже, существует стандартный способ повышения
точности результатов РГ. Однако в данном случае расхождение
настолько велико, что даже повышая стандартными методами
точность, мы вряд ли достигнем хорошего результата. В чем же
тогда дело? Главной точкой преткновения РГ как правило является
субъективный критерий построения соответствия конфигураций.
Если мы вернемся к рисунку 13(6), то для нижней строки ячеек

328
Глава 8
мы увидим, что перколирующими
(проводящими) мы посчитали все
четыре конфигурации с двумя
заполненными узлами. Исходной
предпосылкой для этого могло быть то, что
в качестве перколирующего кластера
мы принимаем как кластер,
соединяющий верхнюю и нижнюю
границы, так и кластер, соединяющий
левую и правую границы модели.
Однако то, что относится к
перколирующим кластерам в целом, не
применимо к отдельной ячейке.
Действительно, допустив для одной ячейки
перколяцию верх-низ, а для соседней
лево-право, мы не получим в
результате ни один из перколирующих
кластеров. Другими словами,
перколирующий кластер верх-низ требует от (в)
всех его ячеек быть
перколирующими верх-низ. А вместо этого мы
ввели смесь ячеек верх-низ и лево право. Поэтому мы существенно
ослабили критерий перколяции и получили результат (8.80)
заведомо ниже точного.
НЕТ END
<»)
□□□□□
-о-
□□□□□
н
Рисунок 13
Исправить ситуацию мы можем оставив из микроконфигураций
с двумя заполненными узлами в качестве перколирующих
только перколирующие в одном направлении, например лево-право
(рисунок 13(b)). Тогда для закона перехода вероятностей мы
получаем
р'=р<+Ар\\-р) + 2р\\-р)\
(8.81)
Фиксированная точка
p'=|(V5-l)*0.62
(8.82)
находится теперь гораздо ближе к истинному значению
/>с = 0.59.

Ренормализационная группа
329
Этот пример наглядно иллюстрирует, что точность
преобразования РГ напрямую зависит от «искусности» исследователя при
построении субъективного критерия соответствия
микроконфигураций.
Задача 8.6
Построить преобразование РГ для перколяции связей на
квадратной решетке.
Решение
ггЪ Г
(а)
ГГ
г- ГГ ГГ
|_Г
_Г Г!_ ГГ
L.
В этой задаче мы впервые
отвлечемся от перколяции узлов и
рассмотрим перколяцию связей. По-
прежнему разбиваем модель на
квадратные ячейки размера Ь2
(рисунок 14(a)), Ь = 2. Будем
рассматривать только перколяцию слева-
направо. В качестве критерия
соответствия микроконфигураций мы
выберем показанный на
рисунке 14(6). Здесь мы в качестве
перколирующих выбираем только
ячейки, перколирующие слева-
направо. Сплошными линиями
показаны связи, присутствие которых
требуется для выполнения критерия
перколяции ячейки. Отсутствие
линий означает отсутствие связей.
Пунктирными показаны связи,
которые могут быть как
заполненными, так и пустыми, и не влияют на критерий. Для уравнения
соответствия вероятностей мы получаем
(б)
Цл7
Рисунок 14
р'= р5 + 5p*(l -р) + Sp3(l - р)2 + 2р2 (1 - р)3,
(8.83)
и фиксированная точка
. 1
Р =2
(8.84)

330
Глава 8
совпадает с точным значением. Из уравнения (8.73) для
критического индекса в пределе р стремящегося к рс мы получаем
v^-^jj*1.43, (8.85)
In —
8
тогда как точный расчет дает близкое значение v = 4/3 = 1.333.
Разрушение
Последней мы изучим модель разрушения.
Рассмотрим одномерную последовательность
волокон, соединяющих две абсолютно жесткие
плоскости, передающие нагружение на модель
(рисунок 15). Пусть напряжение в волокнах а.
Пусть Р(о) есть вероятность волокну быть
разрушенным при заданном о. Если прочность
волокон подчиняется какому-то распределению
p(s), то P(s) есть интегральное
распределение (4.3) прочности волокон.
Разобьем цепочку волокон на ячейки по Ъ = 2 волокна. Каждую
ячейку старой модели поставим в соответствие одному волокну новой. Для
сохранения поведения модели нам нужно сохранить свойства разрушения.
Будем переводить в целые волокна те ячейки, у которых по крайней мере
одно волокно остается целым. Тогда для каждой ячейки будут возможны
четыре микроконфигурации:
• Одна микроконфигурация отвечает ситуации, когда оба волокна
целы. Вероятность данной микроконфигурации (1 -Р)2, и она
переходит в целое волокно.
• Две микроконфигурации отвечают ситуации, когда одно волокно
разрушено, а другое цело. Вероятность каждой из этих
микроконфигураций Р(\ - Р), и они обе переходят в целое волокно.
• Одна микроконфигурация отвечает ситуации, когда оба волокна
разрушены. Вероятность данной микроконфигурации Р2, и она
переходит в разрушенное волокно.
хххххххх
Рисунок 15

Ренормализационная группа
331
При таком построении модели вероятность новому волокну быть
разрушенным равна
Р(а') = Р2(<т)9 (8.86)
где мы предположили, что ради сохранения модели функциональная
форма зависимости интегрального распределения Р{а) остается неизменной
при преобразовании РГ, тогда как меняется полевой параметр напряжения
а -> сг', играющий роль константы связи.
Однако при данном построении РГ мы упустили из виду одно важное
свойство моделей разрушения, а именно перераспределение напряжения.
Будем считать, что когда одно волокно ломается, оно передает
напряжение своему соседу по ячейке, и напряжение на втором волокне становится
равным 2а. Поэтому становятся возможными следующие ситуации.
• Оба волокна остаются целыми. Этому отвечает вероятность
(1 - Р(ст))2, и ячейка переходит в целое волокно.
• Одно волокно разрушается, а второе остается целым. Первое
волокно разрушается при напряжении а с вероятностью Р(<т),
второе остается целым после перераспределения напряжения с
вероятностью (1-Р(2сг)). Этой ситуации отвечает вероятность
2Р(сг)(1 -Р(2сг)), где двойка перед выражением возникает из-за
того, что возможны две различные микроконфигурации, когда
разрушается левое волокно или правое волокно. Ячейка
переходит в целое волокно.
• Оба волокна разрушаются сразу. Этому отвечает вероятность
Р2(ст), и ячейка переходит в разрушенное волокно.
• Одно волокно разрушается сразу, а второе разрушается после
перераспределения напряжения. Первое волокно разрушается при
напряжении о с вероятностью Р(а). Второе волокно остается
целым при напряжении а, но разрушается при повышении
напряжения до 2(7 с вероятностью [Р(2ст) - Р(<т)]. Этой ситуации
отвечает вероятность 2Р(а)[Р(2а) - Р(сг)], где двойка перед выражением
возникает из-за того, что возможны две различные
микроконфигурации, когда разрушается левое волокно или правое волокно.
Ячейка переходит в разрушенное волокно.

332
Глава 8
Для вероятности новому волокну быть разрушенным мы получаем
Это уравнение связывает значение новой константы связи & с исходным
значением о. Заметим, что уравнение (8.87) задает вероятность новому
волокну сломаться самому по себе под действием напряжения сг1.
Помимо этого новое волокно может с вероятностью Р(2сг') сломаться под
действием напряжения 2сг', если сломан его сосед по ячейке. Однако это уже
следующий шаг РГ.
Отметим, что для модели разрушения в качестве константы связи мы
использовали только напряжение. Вместе с тем мы предполагали
функциональную форму распределения Р сохраняющейся неизменной. Однако
это служило нашим субъективным выбором, и, вообще говоря, РГ могла
быть построена по-другому. Так, подобно тому, как мы сохраняли ранее
функциональную форму гамильтониана для сохранения поведения, в
модели разрушения мы обязаны сохранить функциональную форму
интегрального распределения Р. Однако это распределение имеет параметры,
точно также как и гамильтониан имеет константы взаимодействия.
Поэтому мы могли бы варьировать эти параметры вместе с напряжением.
Например, для распределения Вайбулла
такими параметрами являются о0 и 0.
К сожалению, теория ренормализации явлений разрушения
находится еще в зачаточном состоянии, и многое остается неясным.
Почему РГ возвращает лишь приближенные результаты?
Для всех моделей мы видели, что РГ возвращает как правило не точные, а
приближенные результаты. Почему это происходит? Проще всего это
показать на примере перколяционных кластеров. На рисунке 16 мы строим
РГ для треугольной решетки по критерию рисунка 11. Малые окружности
соответствуют исходным узлам, большие окружности - конечным узлам.
Пунктирные линии соединяют заполненные узлы, образуя кластеры. На
рисунке 16(a) мы видим, как преобразование РГ объединяет два неза-
Р(а') = Р2 (а) + 2Р(а)[Р(2а) - Р(а)] = Р(а)[2Р(2а) - Р(а)].
(8.87)
(8.88)

Ренормализационная группа
333
висимых кластера в один. На рисунке 16(6)
мы, напротив, видим как преобразование РГ
разбивает исходный кластер на два
отдельных. Поэтому основным недостатком
построенного преобразования РГ служит
несохранение кластерного поведения модели.
Именно из-за этого РГ возвращает лишь
приближенные результаты. При построении
РГ мы требуем сохранения поведения
модели от отдельных ячеек, но при этом теряем
поведение в связях между ячейками.
Стандартным рецептом улучшения
точности РГ поэтому может служить
укрупнение размеров ячеек Ь при огрублении.
Чем большую ячейку мы рассматриваем,
тем меньшую долю поведения модели мы
будем терять на границах ячеек. Однако при
этом резко возрастает сложность аналитиче-
Рисунои 16 ских расчетов, так как построить критерий
для большой ячейки гораздо сложнее из-за
экспоненциально возрастающего числа комбинаций. Поэтому, как и для
любого приближения, как правило достигается компромисс между
необходимой точностью и порядком огрубления результатов.
Например, для модели перколяции мы считаем новый узел
заполненным, если исходная ячейка перколирует. Подобно тому, как мы это
делали в главе 3, мы можем записать это условие с помощью вероятности
Y\(PyL) системе размера L перколировать при заданном р
Р%=Щр,Ь),
(8.89)
только теперь размером системы служит размер ячейки L = 6, перколяци-
онные свойства которой мы оцениваем. Тогда для порога перколяции,
являющегося фиксированной точкой модели, мы получаем уравнение
Рс =Щрс,6).
(8.90)
Это равенство будет возвращать тем более точное решение, чем больше
размер ячейки L = Ъ. Как мы узнаем из следующей главы, порог
перколяции системы размера L отличается на величину порядка L~l/v от порога

334
Глава 8
перколяции бесконечной системы. Поэтому величина b ]/у и будет
точностью нашей РГ по определению порога перколяции.
Шаг за шагом увеличивая размер ячейки мы будем получать
последовательность чисел, все более и более точно аппроксимирующих точное
значение искомой величины, например рс. Иногда нам будем даже не
нужно переходить к слишком большим размерам ячеек. Зная зависимость
приближенного значения рс (Ь) от размера ячейки Ь, мы можем
спрогнозировать продолжение этой зависимости на большие размеры ячеек и
иногда даже найти само точное решение. Помогает нам в этом случае то,
что отклонение приближенного результата от точного по порядку
величины должно следовать b~]lv. Построим зависимость искомой
величины рс(х) от обратного размера ячейки jc = Mb . Тогда в окрестности нуля
эта зависимость должна вести себя как
PcWUo^^+const-y^. (8.91)
Если мы правильно угадаем точное значение величины /?™чное, а затем
построим зависимость 1п|/?с(дг)- /?™чное| от 1пдг, то мы должны будем
получить прямую линию. Поэтому поиск точного решения сводится к
перебору пробных /?™чное, лучшим из которых будет значение, спрямляющее
указанную зависимость.
ЛИТЕРАТУРА
Kadanoff, L. Р. (1966), Phys., 2,263.
Wilson, К. G. (1971а), Physical Review В, 4, 3174.
Wilson, К. G. (1971 b), Physical Review В, 4, 3184.
Wilson, К. G. and J. Kogut (1974), Phys. Rep. C, 12, 75.
Вильсон, К. и Д. Когут (1975), Ренормализационная группа и е-разложение, Мир,
Москва.
Pathria, R. К. (1996), Statistical Mechanics, 2nd ed., 529 pp., Butterworth-Heinemann,
Oxford.
Goldenfeld, N. (1992), Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group,
394 pp., Addison Wesley, Reading, MA.

Ренормализационная группа
335
Cardy, J. (1996), Scaling and Renormalization in Statistical Physics, 238 pp.,
Cambridge University Press, Cambridge.
Ma, S. K. (1976), Modern Theory of Critical Phenomena, Benjamin, Reading, MA.
Stauffer, D. and A. Aharony (1992), Introduction to Percolation Theory, 2nd ed., 181
pp., Taylor&Francis.
Smalley, R. F., D. L. Turcotte, and S. A. Solla (1985), A renormalization-group
approach to the stick-slip behavior of faults, J. Geophys. Res., 90(NB2), 1894-1900.

Глава 9
Скейлинг-функции. Эффект конечного размера
системы. Кросс-овер эффекты
В предыдущей главе мы рассмотрели различные способы построения РГ
системы. Поведение системы является масштабно-инвариантным в
заданных пределах, что дает нам возможность отобразить нашу модель на
другие системы универсального класса, порождая родственные связи между
казалось бы совершенно разными системами. Однако нашей целью в
предыдущей главе было научиться правильно строить формализм РГ, и мы не
обращали особого внимания на вытекающие из этого построения
следствия. Мы сумели отобразить законы масштабной инвариантности на связи
систем в универсальном классе, однако не получили никаких важных
физических результатов из этого отображения. В данной главе мы
восполняем этот пробел.
Перколяция
Рассмотрим сперва систему с перколяцией. В главе 3 для критического
индекса параметра порядка произвольной решетки мы получили
выражение (3.60). Рассматривая существование ненулевого параметра
порядка Рю(р) в системе мы автоматически предполагали систему находящейся
выше порога перколяции р> рс . Однако, если мы снова посмотрим на
выкладки (3.56-60), мы не найдем в них ничего, что противоречило бы их
использованию и при р < рс . А это, в свою очередь, означало бы наличие
ненулевого параметра порядка Рп(р) и ниже критической точки, что
является бессмысленным результатом.
Где мы могли сделать ошибку? Единственным предположением,
которое мы сделали для получения результата, была гипотеза о статистике
размеров кластеров (3.8)
ns{p)*\e-{c{p)s)\vjxe с{р)«\р-рс \v° при р-+рс. (9.1)
s
Посмотрим более внимательно на это выражение. Мы знаем, что
реальная статистика кластеров (3.23) определяется суммированием по всем
решеточным зверям, отвечающим заданному s

Скейлинг-поведение
337
«.(/О = 2>,./>,0-рУ- ,
(9.2)
где суммирование идет по всем возможным значениям ts периметра s-
кластера со своими коэффициентами вырождения g, по решеточным
зверям.
Зафиксируем пусть большое, но конечное значение s. В сумме (9.2)
большому, но конечному s отвечает большое, но конечное число каких-то
решеточных зверей. Поэтому эта сумма будет представлять собой
полином конечной степени по /?, и все ее производные
ны. Однако для статистики (9.1)
эрк J,
",(Р) = nAPc)e-{cip)sV , где с(р)*\р-рс Г при р->Рс,
будут конеч-
(9.3)
это не так. Действительно, производная
будет содержать
выражение
(дкс
дРк
7 ^1 Р - Рс \а » расходящееся для больших к при р -> /?с,
если только 1 /сг не является целым числом. Для большинства решеток,
не отвечающих приближению среднего поля, 1 / а не равно целому числу.
Поэтому для большинства решеток мы получаем дополнительное
доказательство того, что статистика (9.1) является слишком грубой гипотезой.
Что же неправильно в статистике (9.1)? Значение критического
индекса параметра порядка (3.60) мы получали, используя равенство (3.57)
К (р) = (Р ~ Рс) + Z s("s (Рс)" я, (Р)) •
(9.4)
гт г - 2 г - 2 , ч
При < 1, и тем самым р = , слагаемым {р- рс) можно
преет сг
небречь
(9.5)

338
Глава 9
Ввиду симметрии функции с(р) &\р- рс \]/а в окрестности критической
точки статистика (9.3) для фиксированного s имеет максимум по р точно
при р = рс. Поэтому выражение ns (рс )-ns (р) является положительным
как выше, так и ниже порога перколяции. Как мы увидим позже, именно
это ведет к существованию ненулевого параметра порядка и ниже
критической точки.
Запишем статистику(9.1) для больших размеров кластеров s»\
при р —> рс несколько иначе
ns(p)oc—e-(coMtip-pcrs)\ (9.6)
sT
Обобщая зависимость ^4const 0т параметра
z = sign(p-pc)\p-pc\l,<T s (9.7)
на произвольную функцию f(z), мы можем записать
ns(p)*^f{z) или (9.8а)
s
п,(Р) = "ЛРс)А*). (98б>
Подобное поведение называется скейлинг-поведением от одной
переменной, и функция f(z) называется скейлинг-функцией.
Это название обусловлено тем, что если для какой-то решетки
строить кривые (9.8) как зависимости от s для различных фиксированных
значений р> мы получим целый спектр графиков. Однако если перейти к
построению величин sTns(р) как функций от z = sign(/?-рс)\ р-рс \]/а s ,
все кривые «схлопываются» в одну графическую зависимость f(z).
Именно эта методика используется для доказательства существования
скейлинг-функции у экспериментально полученных результатов, а
качество «схлопывания» множества кривых в одну отвечает применимости
гипотезы скейлинга к описанию поведения модели. Конечно, каждой
конкретной решетке отвечает своя функциональная зависимость f(z).
Однако существуют черты поведения, являющиеся общими для всех решеток.

Скейлинг-поведение
339
Так, существуют два предела значений z, в которых поведение f(z)
можно предположить известным. При | z |< 1, что, как мы увидим ниже,
отвечает линейному размеру кластера меньшему корреляционной
длины (5.147), функция f(z) должна слабо зависеть otz, обеспечивая
степенной, фрактальный спад статистики
/(z)ocl при | z |< 1. (9.9)
При | z |> 1, т.е. при линейном размере кластера большем
корреляционной длины (5.147), спад статистики, и тем самым функции f(z) от \z\
должен быть экспоненциально быстрым.
Задача 9.1
Построить скейлинг-функцию статистики кластеров на
одномерной решетке.
Решение
Для одномерной решетки выражение для статистики размеров
кластеров (3.6) было получено нами в главе 3. Преобразуем его в
пределе р —> рс -О в подобие скейлинг-соотношения (9.8)
n,(p) = ps(l-p)2 -+elp-*h(p-Pc)2 (9-Ю)
при р —> рс - 0.
Вводя z как
z = (p-pc)s,o=l, (9.11)
для статистики размеров мы получаем
ns(p) = \f(z), (9.12)
s
где г = 2, и скейлинг-функция определена согласно
(9.13)

340
Глава 9
При | z |> 1 эта функция экспоненциально затухает с ростом | z |,
однако при | z |< 1 она отнюдь не ведет себя как f(z) ос 1, но,
напротив, стремится к нолю. Более подробно это отклонение от
стандартного поведения скейлинг-функций мы обсудим ниже.
Посмотрим теперь, какие соотношения критических индексов скей-
линг-статистика (9.8) будет давать в случае произвольной решетки.
Почти повторяя выкладки (3.51-53), для среднего размера кластеров мы
находим
s'(p)«IA(p)«p7(# =
* О
r-3 +oo-sign(/?-/7c)
= sign(p-pcy\p-pc\" \\z\2-'f{z)dz. (9.14)
Поскольку интеграл в правой части равенства является какой-то
константой, не зависящей от/?, для связи критических индексов
соотношение (9.14) дает прежнее равенство (3.53)
У = —. (9.15)
Вернемся теперь к параметру порядка. Аналогично выкладкам
(3.56-60)
+оо +00
^сс (Р) = Р - Z (Р) = Р - PC + PC - Z Sns 0>) > (9*16>
5=1 5=1
Используя равенство
+00 +00
/>c=Z^(/>c) = Z™,(/>c)- (9-17)
5 = 1 5=1
мы получаем
+00
РЛР) = Р-Рс+Ъ (Рс )-«,(/>))• (9-18)

Скейлинг-поведение
341
В пределе р —> рс для больших кластеров используем (9.8)
-ко
PJp) = (P-Pc) + constj^ s '"r (l - f(2)) *
V = l
■КС
* (p - Pc)+const J s '"r (l - f(zj)ds. (9.19)
0
Переходя от интегрирования по переменной s к интегрированию по z
г-2 -Kosign(/>-/>t)
^(/>) * (/> - Рс) + const-sign(/> -рс)-\р-рс\° J| z |'"r (1 -/(*))«& .
О
(9.20)
Отсюда мы получаем прежнее соотношение для критических
индексов (3.60)
* _? • (9-21)
1, >1
Допустим, что -—- < 1 и р = -—- . В этом случае мы можем
преет ст
небречь слагаемым (р- рс)
-Kosign(/>-/>c)
PJp) ос sign(/> -рсУ\р-рс \fi \\ z Г (ДО) - f{z))dz , (9.22)
причем это выражение должно быть справедливо как ниже, так и выше
порога перколяции. Однако при р < рс параметр порядка должен быть
тождественно равен нулю Рао(р) = 0. Это возможно, только если при
р < рс интеграл в (9.22) тождественно обращается в нуль
]\z\-^(f(z)-f(0))dz^0. (9.23)

342
Глава 9
О поведении функции f(z) нам
априори известно, что для | z |< 1 следует
f(z) ос 1, и что для | z |> 1 функция /(z)
спадает экспоненциально быстро с
ростом | z |, так что /(±оо) = 0 . Поэтому
интеграл (9.23) может быть равен нулю, Рисунок 1
только если разность (f(z)-f(O)),
равная -1 при z = -оо, при приближении к z = 0 проходит через ноль,
становится положительной, а затем снова уменьшается до нуля. Схематично
это поведение показано на рисунке 1.
Поэтому функция /(z) обязана иметь максимум при каком-то z0 < 0.
Вспоминая равенство (9.86), мы видим, что для фиксированного s сама
статистика размеров кластеров ns (р) должна иметь максимум по р в точке
Л=А:-1*оГ *'°<рс. (9.24)
Для каждого размера кластера s эта точка максимума р0 будет своя. При
s —> +оо точка максимума р0 стремится к рс. Но именно тот факт, что она
лишь стремится к рс, но не равна строго рс, и обеспечивает обнуление
параметра порядка Рж(р) ниже критической точки.
Если мы вспомним точный результат для решетки Бете (3.48)
п.(Р)
"ЛРс)
П-РЛ
J-Pc
2
е-*'*, где с(р) = -1п(\-4(р-Рс)2), (9.25)
то там этот уход максимума ns (р) от рс в область р < рс обеспечивался
наличием множителя (1 - р)2.
Мы уже доказали, что статистика (9.1) неправильна. Но насколько
ошибочной является эта статистика? Степенное затухание для малых
размеров кластеров s < кажется обоснованным фрактальностью поведения
на масштабах меньших корреляционной длины. Поэтому наличие ошибок
мы ожидаем в добавочном множителе экспоненциально быстрого
затухания для больших кластеров s > . Как сильно мы ошиблись, выбрав для

Скейлинг-поведение
343
статистики (9.1) этот закон как чисто экспоненциальную зависимость?
Как мы видим на примере решетки Бете, в окрестности критической
точки, где только и работает скейлинг, экспоненциальное затухание
статистики размеров больших кластеров s > , оказывается, не противоречит
остальным выкладкам. С логарифмической точностью предела s »1
статистика может затухать экспоненциально л5(/?)«1п e~^c(p)s^, лишь бы
перед экспоненциальным множителем стоял какой-то множитель, степенной
по s или, возможно, даже вообще не зависящий от s, но сдвигающий
максимум ниже порога перколяции. В случае решетки Бете таким
множителем являлся (I-/?)2, представляющий в термодинамическом пределе
s »1 бесконечно медленную зависимость по сравнению с
экспоненциальным спадом e'^cip)s^. Однако подобного множителя оказывается
обычно с одной стороны достаточно, чтобы примирить статистику (9.1) с
остальными выкладками, а с другой стороны его влияние настолько
ничтожно, что он теряется на фоне быстрого затухания экспоненты и может
оказаться не обнаружим экспериментально.
Вернемся теперь к определению скейлинг-поведения (9.8). Откуда в
этом определении появился критический индекс сг? Как мы помним
из (9.1), индекс а отвечал расходимости функции с{р) вблизи критической
точки. Однако, когда мы перешли от (9.1) к (9.8), мы перешли от
конкретной функции к общей скейлинг-зависимости, и тем самым с(р) выпало из
нашего формализма. Поэтому мы уже не можем сказать, что о отвечает
расходимости функции с(р).
Чему же тогда соответствует этот критический индекс? Очевидно, он
возникает из определения (9.7) нашего скейлинг-параметра z и для
фиксированного s отвечает степенному поведению z в окрестности критической
точки. Однако этим его важность не исчерпывается. Из главы 5 мы
помним соотношение (5.150), связывающее критические индексы с
фрактальной размерностью кластеров
Повторим его вывод, основываясь теперь уже на скейлинг-
поведении (9.8). Отличием от предыдущих выкладок будет то, что для
подсчета расходимости момента М 2 (р) мы уже не должны использо-
crvD = \.
(9.26)
вать статистику (9.1)

344
Глава 9
г-з-2
M2l(p) = Zs2+Dns(p)«
+ D s
+00 2 _ .... ^
x js^'Tf(z)dsccsign(p-pc)\p-pc\ « j \z\^" f(z)dz.
о 0
(9.27)
Это равенство доказывает соотношение (9.26) и для случая скейлинг-
статистики (9.8). Мы видим, что значение индекса <т, введенного
посредством определения (9.7), не является произвольным, но, наоборот,
задается требованием (9.26), чтобы этот индекс отвечал скейлинг-поведению
системы. Другими словами, предположив определением (9.7) наличие
скейлинга в системе, мы получаем, что если этот скейлинг и существует,
он обязан будет иметь индекс сг, предписываемый (9.26).
Подставим (9.26) в выражение (9.7) для z
\z\=\p-Pcr *=\Р-РсГ* = ^Ъ- = -, (9-28)
где мы использовали соотношения (5.129) и (5.147) из главы 5. Мы видим,
что скейлинг-параметр z является ничем иным, как отношением текущего
размера кластера к размеру, отвечающему корреляционной длине. Поэтому
когда выше мы исследовали асимптотики скейлинг-функции f(z), случай
| z |< 1 отвечал линейному размеру кластера меньшему корреляционной
длины (5.147), и соответственно s < , а случай | z |> 1 - линейному размеру
кластера большему корреляционной длины (5.147), и соответственно s > .
Не следует думать, что скейлинг-поведение у системы с перколяцией
присуще лишь статистике размеров кластеров. Как раз наоборот, как
правило какую бы величину мы не выбрали, мы увидим у нее те же черты
поведения. Например, для радиуса гирации кластеров Rs(p) выше порога
перколяции мы знаем, что на масштабах, меньших корреляционной длины
он фрактально зависит (5.146) от объема кластера s
Rs(p)*sUD, (9-29)
тогда как на больших масштабах кластеры становятся компактны и
приобретают размерность вмещающего пространства

Скейлинг-поведение
345
Я» ос*1". (9.30)
Поэтому и для радиуса гирации мы можем предположить существование
скейлинг-зависимости
R,(p)ccsl/DZR{s/st)9 (9.31)
где скейлинг-функция ER(z) имеет асимптотики
H^(z)ocl при |z|<l и (9.32а)
1 __!_
ER(z)oczd~D при |z|>l. (9.326)
Еще один пример скейлинг-поведения мы уже видели в главе 5.
Корреляционная функция G(R) фактически является сама по себе скейлинг-
функцией отношения R к корреляционной длине
С(Д) = ^г£с(Д/£), (9 33)
где функция Hc(z)ocl при |z|<l и экспоненциально быстро затухает
при | z |> 1.
До сих пор мы рассматривали системы в термодинамическом пределе
/V —> +оо . Что изменится, если мы рассмотрим перколирующую решетку
конечного размера L = Nud(? В действие вступают так называемые
эффекты конечного размера системы, которые значительным образом
меняют поведение всех величин. Впредь для величин, полученных ранее для
бесконечной решетки, мы будем использовать надстрочный индекс «оо»,
чтобы отличать их от величин, определенных на конечной решетке.
На бесконечной решетке при р < могут существовать кластеры
всех, сколь угодно больших размеров, хотя их доля на решетке будет
экспоненциально мала по сравнению с меньшими кластерами. Однако это
будет не так для конечной решетки. Вспомним из главы 3 определение
нормализованного кластерного числа ns(p) как вероятности, что в
данном узле решетки находится «начало» s-кластера. Поэтому
нормализованное кластерное число определяется как удельное число кластеров раз-

346
Глава 9
мераs на один узел решетки. Другими словами, чтобы получить п5(р),
мы должны пересчитать все s-кластеры на решетке, а затем разделить это
число на полное число узлов на решетке N = Ld .
Поскольку мы рассматриваем конечную решетку, размер кластеров
на ней будет ограничен сверху. Поэтому должно существовать такое s0,
для которого будет выполняться
n,Sp) = jj. (9.34)
Это равенство означает, что в среднем на конечной решетке будет
существовать только один 50-кластер. Для кластеров больших размеров п5 (р)
будет меньше 1 / if, и тем самым такие кластеры будут отсутствовать в
среднем на решетке. Поэтому s0 представляет наибольший в среднем
размер кластеров на решетке.
Для простоты рассмотрим вновь статистику размеров кластеров (9.1)
как грубое приближение. Для наибольшего кластера мы получаем
-c(p)s0
(9.35)
Размер нашей решетки конечен, однако пусть он все же много больше
корреляционной длины. Наибольший кластер, очевидно, должен быть
много больше среднего размера кластеров, и тем самым его линейный
размер также должен быть много больше корреляционной длины.
Поэтому для него основной зависимостью статистики кластеров является
экспоненциальное затухание, на фоне которого мы можем пренебречь
медленной степенной зависимостью
е-с(Р)*о к
1 In Г
—у ИЛИ 5П ОС
L* с(р)
(9.36)
Задано 9.2
Если задана вероятность р, то всего на решетке должно быть
pLd заполненных узлов. Представим себе для квадратной
решетки такое микросостояние, при котором pLd заполненных уз-

Скейлинг-поведение
347
лов вытянулись в одну линию
(рисунок 2). Тогда они образуют кластер
объемом s = pLd . Поскольку L » In L ,
очевидно, что размер этого кластера много
больше полученного нами ранее для
наибольшего кластера (9.36). Объяснить
противоречие.
Рисунок 2 & Решение
Какова вероятность произвольному узлу
служить началом кластера,
изображенного на рисунке 2? Этот кластер должен состоять из pLd
заполненных узлов в самом кластере и 2pLd +2 пустых узлов на
периметре
»pAp) = PpLdQ-p)2pLd+2- (9.37)
Такой кластер может иметь начало в любом узле решетки, а
также вместо горизонтального расположения он может быть
расположен вертикально. Полное число таких кластеров на решетке
2NnpLl (р) = IL'p* (1 - p)2pL'+2 *ln р* (1 - p)2pL' « 1 (9.38)
много меньше единицы и не наблюдаемо в ансамбле.
Поэтому, отвечая на вопрос задачи, мы можем сказать, что
соотношение (9.36) задает размер наибольшего кластера, средний по
ансамблю. Отдельные системы могут иметь и большие кластеры,
однако вероятности наблюдения таких микросостояний в
ансамбле будут малы.
Другим важным эффектом конечного размера системы являются ги-
перскейлинговые соотношения, найденные нами в главе 5. Для их
получения мы «сшивали» конечные системы с размером решетки большим и
меньшим корреляционной длины. Выше порога перколяции р> р™
объем бесконечного перколирующего кластера, «откусываемый» конечной
ооооооооооо
о«««•••••••«о
ооооооооооо

348
Глава 9
решеткой, ведет себя как ос LD, если размер решетки L меньше
корреляционной длины и как
если размер решетки L больше корреляционной длины . Объем
бесконечного перколирующего кластера, откусываемый конечной решеткой,
ведет себя поэтому согласно
[\P-Pc Г L ,L>$
< L ^°
(9.39)
где мы использовали гипер-скейлинговое соотношение (5.154) и
определение критического индекса корреляционной длины (5.129).
Выражение (9.39) может быть представлено как скейлинг-зависимость
sm(p,L)*:LDE,(L/C).
где скейлинг-функция H5(z) имеет асимптотики
Es (z) ос 1 при 0 < z < 1 и
Es(z)ос zd~D при z>l.
(9.40)
(9.41а)
(9.416)
Ранее мы определяли параметр порядка Р™(р) только для
бесконечной решетки как вероятность узлу принадлежать бесконечному
перколирующему кластеру. Однако это определение можно использовать и для
конечной решетки как вероятность узлу принадлежать кластеру,
перколирующему эту конечную решетку. Таким образом, мы получим параметр
порядка P(p9L) на решетке конечного размера L.
Будет ли LdP(p,L) равен объему бесконечного перколирующего
кластера, «откусываемого» решеткой и определяемого скейлинг-функ-
цией (9.40)? Очевидно, что нет, так как конечную решетку перколирует не
только бесконечный кластер, но и конечные кластеры с линейным
размером, большим размера решетки. Другими словами, когда мы уменьшаем

Скейлинг-поведение
349
Рисунок 3
и*
размер окна, сквозь которое мы смотрим на систему,
это окно по-прежнему будет перколироваться
бесконечным кластером. Однако теперь и конечные
кластеры, которые раньше целиком помещались в
большом окне, будут перколировать малое окно
(рисунок 3). Поэтому параметр порядка L?P(p,L)
может быть не равен объему бесконечного кластера,
откусываемому окном.
Это можно проиллюстрировать и по-другому.
Пусть конечная решетка перколируется куском
какого-то кластера. Если мы продолжим эту решетку
в бесконечность, нельзя ответить на вопрос, будет
ли этот кусок принадлежать конечному или
бесконечному кластеру (рисунок 4).
Задача 93
Рисунок 4 Для одномерной конечной решетки получить
точное решение для скейлинг-функции среднего размера
кластеров S для свободных граничных условий.
Решение
На бесконечной решетке мы определяли средний размер
кластеров S*00 согласно (3.16). Будем использовать аналогичное
определение и наконечной решетке
2>Ч(/>)
(9.42)
Для бесконечной одномерной решетки ниже порога перколяции
выполнялось
(9.43)
Подсчитаем теперь нормализованные кластерные числа для
конечной решетки со свободными граничными условиями
(рисунок 5(a)). Вдали от границ вероятность образовать ^-кластер

350
Глава 9
оооооооооооо
(а)
otttoooooooo
ootttooooooo
I
oooooootttoo
oooooooo»t«o
YL-s- 1
(в)
по-прежнему равна вероятности
ps(l~ P)2 иметь в заданном
месте решетки s заполненных узлов и
два пустых узла периметра.
Говоря «вдали от границ», мы
подразумеваем, что кластер не касается
ни левой, ни правой границы
(рисунок 5(6)). Подобным образом s-
кластер на решетке с L узлами
можно расположить (L-s-\)
различными способами. Остаются
еще две конфигурации, когда
кластер касается левой или правой
границы (рисунок 5(6)). Этому
должна отвечать вероятность ps(\ - р), так как только от
одного граничного узла необходимо требовать, чтобы он был пуст.
##•0000000001.
ОООООООООФ#Ф/^
(б)
Рисунок 5
Для перколирующего кластера s = L вероятность равна р
(рисунок 5(b)). Таким образом, для нормализованного
кластерного числа, как количества ^-кластеров на один узел решетки, мы
получаем
плр)=т
(L-s-\)ps(\-p)2 +2ps(\-p\s<L
pL,s = L
09s>L
(9.44)
Как это обсуждалось в главе 5, в суммах (9.42) мы не
должны учитывать слагаемое перколирующего кластера s = L
Ё*Ч(/>)
(9.45)
Однако, если равенство (9.43) в случае бесконечной решетки ниже
порога перколяции выполнялось точно, так как вероятность иметь
перколирующий кластер была равна нулю, то теперь мы должны
явным образом из р вычесть слагаемое, отвечающее /.-кластеру

Скейлинг-поведение
351
Z *»Лр) = ttj kL ~s ~ vp* V ~ p)2 + 2ps 0 " p)}=
0-p)
{(1-/>)(£-!)+ 2}
£-1
2>' =
(9-46)
Аналогично для суммы числителя (9.45) мы получаем
i>4(/>)=
{(1-/>)(£-!)+ 2}
1 +
2/7 1-//
^1 -0-р)\
-LpL.
' Al
1%J
5>' =
l-/>[ L 1-/7
Подставляя (9.46-47) в (9.45) находим
(9.47)
S\p,L) =
1 [, 2pl-pL\ . n
1 -/7 I L \-p
\-pL
(9.48)
Вдалеке от порога перколяции /?* = 1 это выражение не
подчиняется скейлинг-закономерностям. Однако, когда мы
приближаемся к критической точке р —> /?* - 0, выражение (9.48)
переходит в
7 ^^Л-е-^УЫ-р)^^
S\p,D-^- L(l~P) , _LJ • (9.49)
l-p
1-е
Здесь мы выполнили разложение по малому параметру (1 - р),
однако пока ничего не предполагали о свойствах
произведения L(\ - р).

352
Глава 9
Вспомним из главы 5, что в окрестности порога перколяции
корреляционная длина расходится согласно (5.133)
Г « , 1 (9.50)
\P-Pc I
Тогда мы можем переписать выражение (9.49) в виде скейлинг-
функции
S\p,L)-+- 2— 55(£/Г),гдеу=1и (9.51)
\P-Pc Г
1_1^_е-)_*е-
S5(z)^ z . .. 2 • (9.52)
При Z, > , и соответственно | z |> 1, скейлинг-функция (9.52)
имеет порядок единицы Es(z)ocl, что обеспечивает в случае
бесконечной системы расходимость восприимчивости (5.1346),
полученную нами ранее. Для L < , и соответственно | z |< 1,
разложение выражения (9.52) по малому параметру | z |
показывает, что скейлинг-функция (9.52) изменяется как Es(z)ocz/3,
что сокращает расходимость (5.1346).
Таким образом, для среднего размера кластеров (9.51) мы
получаем две асимптотики
S* (/?, L) ос -L— при L > Г и (9.53а)
\P-Pc Г
S* (/?, L) ос -у при Z, < ^ . (9.536)
Посмотрим теперь на полученный результат с другой точки
зрения. Пусть экспериментатор исследует перколирующую систему
большого, но конечного размера/,. Экспериментатора
интересуют критические индексы системы, поэтому он шаг за шагом
приближает р к /?* . Сначала, когда система находится далеко от
критической точки, он видит сложное, специфическое лишь для

Скейлинг-поведение
353
данной системы поведение (9.48). По мере дальнейшего
приближения к порогу перколяции корреляционная длина растет, и
это сложное поведение сменяется степенной
расходимостью (9.53а). Наилучший способ измерить критический индекс -
это отследить степенную расходимость (9.53а) на несколько
порядков величины S*. Поэтому экспериментатор еще ближе
подводит систему к критической точке. При этом корреляционная
длина расходится согласно (9.50) и достигает размера системы. В
этот момент степенная расходимость прекращается, и средний
размер кластеров выходит на константу (рисунок 6(a)).
На проведение эксперимента наверняка были затрачены немалые
средства и усилия, тем большие, чем точнее необходимо было
отслеживать отклонение полевого параметра р от его критического
значения. Эксперимент позволял исследовать величины на малых
\ р-Рс \ и вплотную подобраться к критической точке. Однако
скейлинг-зависимость (9.536) делает напрасными любые точные
измерения в малой окрестности порога перколяции, так как
эффект конечного размера системы маскирует степенные
зависимости.
Выход из сложившейся ситуации может
быть только в том, чтобы увеличивать
размер системы. Это схематично
представлено на рисунке 6(6). Чем больше
размер системы, тем дольше она следует
степенной зависимости, и тем позже
измеряемая величина выходит на
константу. Для численных расчетов увеличение
размера системы означает увеличение
требуемых компьютерных ресурсов и
времени расчета в разы. Но, к
сожалению, не существует способа избежать
этого. Именно поэтому с развитием
компьютерных ресурсов периодически
появляются публикации, обнаруживающие
новые результаты в «уже давно
исследованных» системах. В современных
компьютерных моделях сложных систем число
степеней свободы зачастую превышает
106- 109, которое уже трудно назвать
малым. В ближайшем будущем это число на-
(а)
(б)
Рисунок 6
J—±
1—*

354
Глава 9
верняка составит или даже превзойдет постоянную Авогадро 1023,
ассоциируемую с бесконечным числом частиц в термодинамиче
ском пределе.
Задача 9.4
Найти скейлинг-функцию в предыдущей задаче для случая
периодических граничных условий.
Решение
Для одномерной цепочки периодические граничные условия
означают замыкание в кольцо (рисунок 7(a)). Перколирующему
кластеру при этом по-прежнему отвечает кластер, занимающий
все узлы решетки.
0ооо О ООо0
°о0о о ооо°
(а)
рооо О ООо0
• ооо°
«ООО О ООоо
doot • #оо°
, о о О О О Оо0
о©
ООООО о0
- о
_ -
• • о о о о
> О (
о о
(б)
ж# • • о •
•••• • ••••
(в)
••• • •
(г)
Рисунок
Вероятность существования s-кла-
стера в заданном месте решетки
равна
р'<\-р)2.
и число возможных конфигураций
равно L (рисунок 7(6)).
Особенности статистики будут иметь (L -1) -
кластеры (рисунок 7(в)), число
конфигураций которых по-прежнему
равно L, однако вероятность
pl-\\-p)
требует наличия только одного
пустого узла. Для перколирующего
кластера по-прежнему вероятность
равна р1.
Таким образом, для
нормализованного кластерного числа мы
получаем:

Скейлинг-поведение
355
nxP)=-L
Lps{\-p)\s<L-\
LpL'\\-p)9s = L-\
pL,s = L
09s>L
(9.54)
При расчете среднего размера кластеров мы опять не должны
учитывать в суммах (9.45) перколирующий кластер. Для суммы
знаменателя мы получаем выражение
j>, (р) = 2>'(1 - р)2 +(L- \)pLA (l-p).
( Я V-2
= (1-/>)2
Для суммы числителя
Y,PS +{L-\)pL-\\-p) = p-pL.
(9.55)
fts2n,(p) = (l-Р)2(p-f \ ZV +(L-1)2PL-'(1~P) =
7=7 { dp) 1=7
= -P- {l + p + p " (1 - 2L) + pL (2L - 3)}.
l-p
(9.56)
Таким образом, для среднего размера кластеров мы получаем
1
S (P,D =
\-р
tjl + p + pL-1(l-3p-2L(l-p))}
1-PL
(9.57)
Вдалеке от порога перколяции это выражение не обладает скей-
линг-свойствами. При приближении к критической точке
выполним разложение по малому параметру (1 - р), пока ничего не
предполагая о свойствах произведения L(\ - р)
5(P'LMl-p I-*-"""
(9.58)

356
Глава 9
Мы снова получаем скейлинг-функцию
S'(p,Q-+
2
ss(i/r).
(9.59)
где у = 1 и
(9.60)
В пределе | z \> 1 эта скейлинг-функция имеет порядок единицы
Es (z) ос 1, тогда как в пределе | z |< 1 она имеет порядок
Es(z)ocz/2. Для среднего размера кластеров (9.59) это дает
асимптотики скейлинга
Мы видим, что так же, как и в задаче 9.3, степенная
расходимость при приближении к критической точке сменяется выходом
на постоянное значение, имеющее порядок размера решетки.
Как мы видели в задачах 9.3-4, эффект конечного размера системы
сглаживает сингулярности и выводит величины на постоянные значения.
Для среднего размера кластеров результат очевиден - при подходе к
критической точке фрактальность захватывает все большие масштабы, и
кластеры приобретают все большие размеры. Однако размер системы, как
прокрустово ложе, ограничивает размер кластеров и не дает им вырасти
до тех размеров, какие они имели бы в бесконечной системе.
Для случая произвольной системы мы можем предположить скей-
линг-зависимость
S*(P>L)*] ^7 при
\P-Pc Г
S\p9L)ocL при Z,<£°° .
при L > и
(9.616)
(9.61а)
S\p,L) ас
1
(9.62а)
\P~Pc Г
где
Es(z)ocl при |z|>l и E5(z) ос| z \Y'V при |z|<l,
(9.626)

Скейлинг-поведение
357
где последнее выражение для степенной зависимости | z \Ylv мы получили
из требования, чтобы в окрестности критической точки скейлинг-функция
гасила степенное поведение и выводила функцию S на постоянное
значение. Однако из самой скейлинг-зависимости (9.62) мы сразу можем
получить эту константу
S\PiL)ozLrlv при Z<<f°. (9.63)
Аналогичное поведение наблюдается и для других величин, даже для
самой корреляционной длины. До сих пор, ссылаясь на корреляционную
длину, мы использовали ее значение , полученное для заданной р в
бесконечной решетке. Однако, используя определение (5.138), мы можем
определить корреляционную длину ^(p9L) и для конечной решетки. Эта
корреляционная длина будет, очевидно, зависеть от размера системы L и
при приближении к критической точке также будет сменять степенную
расходимость на стремление к константе
S(p, L) сс - Ц—■ при L > Г и (9.64а)
\P-Pc I
4(р, L)*L при /,<£", (9.646)
или в терминах скейлинг-функции
ftp, L) ос —L—Hf (sign(/> - pZ)L IГ), (9.65а)
I Р Рс I
где
(z) ос 1 при | z |> 1 и Е^ (z) ос| z | при | z \< 1. (9.656)
Это поведение является очевидным. Пока размер системы велик
L > корреляционная длина конечной системы £(/?, L) «повторяет»
поведение ее аналога в бесконечной системе .* Однако
определение (5.138) не позволяет ^(p,L) превышать по порядку размер системы,
поэтому при малом размере системы L < корреляционная длина
£(/?, L) становится «зажатой» размером системы L, хотя в бесконечной
системе она могла бы вырасти до гораздо больших масштабов.

358
Глава 9
Мы рассматривали до сих пор, как эффект конечного размера
системы влияет на степенные расходимости. Но помимо расходящихся в
критической точке величин возможно также степенное поведение с
положительной степенью, например у параметра порядка
Как будет влиять эффект конечного размера системы на такое поведение?
Задача 9.5
Для одномерной конечной решетки найти зависимость
параметра порядка от р.
& Решение
Определим параметр порядка на конечной решетке как
вероятность узлу принадлежать перколирующему кластеру на этой
решетке
где для корреляционной длины бесконечной системы мы
использовали выражение (5.1316).
Мы видим, что на конечной решетке параметр порядка не
равен нулю и ниже порога перколяции. Также мы видим, что он
подчиняется скейлинг-функции
В случае произвольной решетки при переходе от Р* (р),
определяемого степенным законом (9.66) к параметру порядка конечной
решетки P(p9L) степенной закон (9.66) «размазывается», т.е. сглаживает
сингулярности вблизи критической точки, и появляется ненулевая
вероятность наблюдать перколирующий кластер и ниже порога перколяции
(рисунок 8). При этом параметр порядка P(p,L) ведет себя как скейлинг-
функция
р:(р)*\р-рс г-
(9.66)
(9.67)
/>,(/>,£) = ЕД1/Г),где EP(z) = e
-2
(9.68)

Скейлинг-поведение
359
P(p,L)=\p-p»\
ZF{siffi{p-pZ)UC)>
(9.69a)
где
HP(-oo) = 0, EP(z) ос 1 при z>l и 'ZP(z)oz\z\-plv при |z|<l. (9.696)
Последней рассмотрим вероятность системе перколировать. Для
бесконечной решетки вероятность системе перколировать является функцией
шага
поскольку порог перколяции бесконечной решетки определяется как
момент возникновения перколирующего кластера.
Для конечной решетки вероятность модели перколировать П(р,£)
«расплывается», сглаживая сингулярность из-за эффекта конечного
размера системы (рисунок 9). Если для бесконечной решетки порогом
перколяции /?с по определению служило значение р, при котором
функция (9.70) скачком менялась от ноля до единицы, то теперь существует
целый диапазон значений р, отвечающих этому переходу. Чтобы
выбрать рс для конечной решетки, необходимо априори договориться,
какое значение вероятности П(р,1) мы будем приписывать порогу
перколяции. Выберем в качестве такого значения Me (рисунок 9). Очевидно,
что рс не обязано быть равным р" .
(9.70)
X
Рс
Рс Рс
Рисунок 8
Рисунок 9

360
Глава 9
Задоча 9.6
Для одномерной перколяции найти порог перколяции рс на
конечной решетке.
& Решение
ероятность конечной решетке размера L перколировать равна
где для корреляционной длины бесконечной системы мы
использовали выражение (5.1316). Приравнивая выражение (9.71) к
выбранной константе 1 / е, находим
W"| или Рс (9.72)
]рс Рс-Рс 1
Мы видим, что с уменьшением размера системы порог
перколяции уменьшается на величину ML.
Фактически, конечная система должна перколировать раньше
бесконечной. Это легко понять, так как бесконечная система перколирует,
когда линейный размер кластеров, определяемый по порядку величины
корреляционной длиной, станет бесконечным
Конечная же система перколирует, когда размер кластеров в ней
достигает размера системы £ ос L, что происходит при меньшем значении р.
В случае произвольной решетки мы можем предположить, что
вероятность системе перколировать Щр9Ь) ведет себя как скейлинг-функция
(9.71)
=+оо.
(9.73а)
(9.736)
Sn(-oo) = 0 и Еп(-*») = !.

Скейлинг-поведение
361
Из этой скейлинг-зависимости мы сразу можем получить, насколько по
порядку величины изменяется порог перколяции. При построении скей-
линг-функции En(z) мы обезразмерили эту зависимость так, что она
меняется на величину порядка единицы в характеристическом диапазоне Az
также порядка единицы. Другими словами, Hn(z) меняется от ноля до
единицы на интервале Az ос 1, т.е. на интервале /?, определяемом
КГ)
ос 1 .
(9.74)
Используя расходимость корреляционной длины бесконечной
системы (5.129), для характерного диапазона изменения вероятности Y\(p,L)
мы получаем
A(L\p-pZ\")cc\,
что для порога перколяции по порядку величины дает
Модель Изинга
(9.75)
(9.76)
Перейдем теперь к рассмотрению магнитных систем. В главе 2 мы
получили выражение (2.50) для свободной энергии
FfW} = #//(- 2Cln 2 - hm + atm2 + bm4 +...),
минимизация которой давала нам уравнение состояния (2.45)
О = -h + 2atm0 + 4bm0 +....
(9.77)
(9.78)
Выразим из этого уравнения магнитное поле согласно
АН/
.3/2
2а\
( \
л/И
sign t + 4b
VUTJ
+...
(9.79)

362
Глава 9
Если мы рассмотрим модель при нулевом внешнем поле, то равенство (9.79)
переходит в уравнение для поиска равновесной самонамагниченности
2а\
sign*+ 46
Ш)
= 0.
(9.80)
Зависимость параметра порядка от отклонения температуры от
критической является степенным законом (2.47), содержащим критический
индекс р. В частном случае нашей модели этот индекс равен 1/2. Именно
поэтому намагниченность т0 входила в уравнение (9.80) в виде отношения к
д/jTj. Запишем уравнение состояния (9.79) зависящим от ft явным образом
h=\t\zfi \2а\
U'l
sign t + 4b
иг
(9.81)
Вдалеке от критической точки, когда разложение в ряд Тейлора
невозможно, магнитное поле будет зависеть от температуры и
намагниченности по каким-то своим, специфическим для данной системы законам.
Однако из (9.81) мы видим, что при приближении к критической точке
магнитное поле превращается в скейлинг-функцию
\t\P
(9.82)
от скеилинг-переменнои
z = —V, где
И'
(9.83)
EA(z) = 20zsignf + 4Z?z3 + ....
(9.84)
Исследуем асимптотики скейлинг-функции (9.84). Устремим
температуру системы к критической при ненулевом внешнем поле. Уравнение
состояния системы (9.78) превращается в уравнение критической изотермы
0 = -/z + 4bm03 + ...,
(9.85)

Скейлинг-поведение
363
изображенной на рисунке 10 главы 2. Для связи магнитного поля и
намагниченности на критической изотерме вводится свой критический
индекс д согласно
т0 ос h
(9.86)
Для рассмотренной модели Изинга мы получаем 3 = 3. Скейлинг-
функция (9.84) поэтому должна иметь асимптотику
HA(z) ос z при | z |> 1.
Подставим (9.87) в (9.82)
(9.87)
h=\t
( \5
т0
vim J
при 111-> 0.
(9.88)
Мы видим, что это дает требуемую степенную зависимость (9.86).
Однако помимо этого степенные зависимости от 111-> 0 должны сократить
друг друга. Поэтому мы можем заключить, что на самом деле в скейлинг-
зависимости (9.82) перед скейлинг-функцией стоит множитель 11 \Sfi
(9.89)
Исследуем теперь скейлинг-поведение равновесной свободной
энергии. Подставим в равенство (9.77) равновесное значение
намагниченности т0 и полученную нами скейлинг-зависимость для поля (9.89)
-2- = -2Cln2-\t\sp Е
тп +atmn2 +bmn4 + ...=
= -2С In 2-1Г f
0 ' """о т °""0
+ a\t\* sign(/)
+ b\t\2
1т„ ^
+ ...
vi ч у
(9.90)
Мы видим некое подобие скейлинг-зависимости, однако нам мешают
отличные друг от друга степенные индексы у 11 \ у разных слагаемых.
Второе слагаемое в этом выражении содержит множитель 11 \{S*l)fi, рав-

364
Глава 9
ный в случае данной конкретной модели 1112. Подобные множители 11 \2
мы видим и у третьего, и у четвертого слагаемых. Поэтому логичным
будет предположить, что все эти множители представляют одну и ту же
степенную зависимость | / \(S+l)/i
—й- = -2С1п2 +
(6+1)0
U'l
+ я sign(f)
+ b
m0
+...
(9.91)
Таким образом, мы получаем скейлинг-зависимость
-^- = -2Cln2+|f|(J+,)/? Ef
vim у
(9.92а)
где
ZF(z)=-zZh(z) + asign(t)z2 +bzA + ...
(9.926)
При нулевом внешнем магнитном поле равновесная намагниченность
равна нулю выше критической точки и пропорциональна | / f ниже
критической точки. Подставляя эти значения в (9.92), мы видим, что в
нулевом поле свободная энергия будет состоять из постоянной составляющей
и составляющей, зависящей от температуры по степенному зако-
ну 11 \{S+])P. Вспоминая о связи (5.109-110) температурной зависимости
свободной энергии с критическим индексом теплоемкости, мы получаем
соотношение для критических индексов
(<У + 1)£ = 2-а,
называемое равенством Гриффитса.
Обратим теперь скейлинг-зависимость (9.89)
(9.93)
(9.94)

Скейлинг-поведение
365
Вместо скейлинг-переменной (9.83) мы получаем новую скейлинг-
переменную
у = -
(9.95)
являющуюся более удобной, поскольку она содержит лишь полевые
параметры. Новая скейлинг-функция (9.94) будет, очевидно, иметь асимптотики
S*'1 (У) * У"5 при | у |> 1 и Н(у) ос 1 при | у |< 1.
(9.96)
Подставим скейлинг-функцию (9.94) в выражение для свободной
энергии (9.92). Тогда и для свободной энергии мы получаем скейлинг-
зависимость от новой переменной
-^- = -2Cln2+|r|(J+,)/? S,
(
—а
t\")
(9.97)
Продифференцируем намагниченность (9.94) по магнитному полю
^«1^4/Г"
(н.-Г
(9.98)
Мы получили скейлинг-зависимость восприимчивости. При нулевом
внешнем поле эта зависимость переходит в
(9.99)
Вспоминая, что восприимчивости отвечает свой критический индекс у, мы
получаем второе соотношение, связывающее критические индексы
fi(S-l) = r или а + 2/? + / = 2, (9.100)
называемое равенством Рашбрука.
Для корреляционной функции в главе 5 мы получили
выражение (5.46,50)

366
Глава 9
S(R)x—jt приД>£и (9.101a)
R~
npnR<£nd>2. (9.1016)
Эту зависимость можно также записать как скейлинг-функцию от двух
переменных
g(R,h,t)ac 1 ~
R'
-2*ч *
R h
Z \t\")
, где (9.102a)
Eg (x, ,0) oc const при 0 < xx < 1 (9.1026)
Согласно флуктуационно-диссипационной теореме (5.77)
ХяЛ ос jddRg(R,0,t)cc ldR-^Zg(R\trfi). (9.103)
-оо 0 ^
Перейдем от интегрирования по переменной R к интегрированию по
переменной х = R 111"
Хш> *l ' Г~2) jdx^Eg(xfi) ос| t Г'2), (9.104)
что дает связь критического индекса rj с другими индексами
/ = v(2-/7), (9.105)
называемую равенством Фишера.
Мы рассмотрели случай приближения среднего поля для п.п. модели
Изинга и получили различные скейлинг-зависимости. Те же самые
зависимости возникнут и в случае произвольной модели магнитной системы и
будут следовать из самых общих предпосылок.
В ненулевом внешнем поле система, имеющая размер L, будет иметь
две скейлинг-переменные

Скейлинг-поведение
367
4
x = — И Vi
L '
(9.106)
В термодинамическом пределе L —> +а> равновесная свободная энергия
на одну частицу является интенсивным параметром и должна поэтому
зависеть только от интенсивного скейлинг-параметра у
_0_ _ —
r h ^
1'П
или F0 = LdEF
r h Л
(9.107)
Другим возможным выбором была бы функция от интенсивной
комбинации обоих параметров (9.106), однако в данном случае такая комбинация,
очевидно, невозможна.
Во втором равенстве (9.107) перед скейлинг-функцией EF стоит
множитель L?. Он должен быть наследником скейлинг-параметра х, поэтому
мы можем предположить более общую зависимость
Г h \
|'|
(9.108)
Вспоминая, что в окрестности критической точки, где собственно только
и работает механизм скейлинг-функций, корреляционная длина
расходится согласно £ ос| t \~v, мы можем записать (9.108) как
F,*Ld\t\dvEF
f h Л
W)
(9.109)
Для случая нулевого магнитного поля h = 0 очевидно следует
предположить
HF(o)oc const.
(9.110)
Как мы помним, при нулевом поле свободная энергия в критической
точке зависит от температуры согласно F0 ос| t \2~а . Поэтому мы сразу
получаем гипер-скейлинговое соотношение для связи критических индексов с
размерностью вмещающего пространства

368
Глава 9
2-а = dv.
(9.111)
Конечно в (9.107-109) для свободной энергии мы учли только так
называемое «сингулярное» слагаемое, содержащее зависимость от
температуры, и пренебрегли постоянным слагаемым, отвечающим просто сдвигу
шкалы свободной энергии.
Найдем удельную намагниченность системы как минус производную
свободной энергии по полю
0 l? dh 1 1 F
r h ^
1'П
(9.112)
В нулевом внешнем поле
т0 cc\t\d
(9.113)
где мы предположили
3F'(o)oc const.
(9.114)
Поскольку для самонамагниченности вводится свой критический индекс
согласно т0 ос| t \fi, мы получаем второе соотношение для критических
индексов
J3 = dv-A.
(9.115)
Находя восприимчивость х х111 7 как вторую производную от
свободной энергии по полю
дп
(hЛ
(9.116)
и предполагая
EF"(o)oc const,
(9.117)

Скейлинг-поведение
369
мы получаем третье соотношение для критических индексов
у = 2A-dv = 2-а-2/3 или а + 2/? + / = 2.
(9.118)
К вышеприведенным рассуждениям о поведении скейлинг-функций
следует относиться не как к строгим, а скорее как к иллюстративным.
Более того, одни и те же предпосылки при построении скейлинга в одном
случае могут вести к правильному поведению, тогда как в остальных
будут давать ошибочные результаты. Например, скейлинг свободной
энергии (9.107) мы основывали на том, что экстенсивная величина должна
иметь степенную зависимость x~d от скейлинг-параметра х. Но полная,
не удельная намагниченность или восприимчивость системы также
являются экстенсивными величинами. Следовательно, это предположение
могло быть использовано и для них. Очевидно, это ведет к неверным
соотношениям для критических индексов. Другими словами, сделанные
предположения «работают» для свободной энергии и «не работают» для
других экстенсивных величин. Другим примером служит то, что мы
получили гипер-скейлинговое соотношение (9.111) для системы
произвольной размерности, как ниже, так и выше верхней критической
размерности, тогда как выше верхней критической размерности мы ожидали
определения значений критических индексов средним полем. Поэтому теория
скейлинга является зачастую скорее иллюстрацией уже полученных
другими способами результатов, чем самостоятельной методикой получения
решения.
На критической изотерме 111= 0 намагниченность связана с внешним
полем соотношением (9.86). Критическая изотерма соответствует | у |—> °о.
Предполагая, что скейлинг-функция Е/ в этом пределе ведет себя по
степенному закону
для намагниченности (9.112) на критической изотерме мы получаем
(9.119)
(9.120)
Поскольку эта намагниченность должна принимать какое-то конечное
значение, не равное нулю или бесконечности, и должно выполняться

370
Глава 9
оси
ms
для связи критических индексов мы получаем
A S
(9.121)
Таким образом, для произвольной магнитной системы, исходя только из
общих соображений, мы находим две асимптотики скейлинг-поведения
функции EF \ отвечающей намагниченности (9.112)
Н F1 (у) ос const при | у |< 1
(9.122а)
Hf'M*/'* приШ>1.
(9.1226)
Подставляя эту скейлинг-зависимость в намагниченность (9.112), мы
получаем
т0 cc\t\* при |Д|<|;|
(9.123а)
г h ^
= h]/s при |А|>|/|Л.
(9.1236)
Полученное скейлинг-поведение намагниченности называется
кроссовер эффектом и является важным при проведении экспериментальных
измерений. Допустим, наблюдатель хочет исследовать поведение
магнитной системы в окрестности критической точки при нулевом внешнем
поле. Основной задачей экспериментатора является измерение критического
индекса параметра порядка 0. С этой целью ученый изолирует систему от
внешних полей и шаг за шагом приближает температуру системы к
критической. Вдалеке от критической точки он наблюдает сложное
поведение, специфическое для данной, конкретной системы. При приближении к
критической точке начинают работать законы скейлинга, и параметр
порядка следует степенной зависимости (9.123а). Именно этого ученый и

Скейлинг-поведение
371
добивался. Чтобы найти критический
индекс Р ему теперь необходимо лишь
замерить /но в каком-то малом диапазоне
температур 111-> 0, а далее построить
зависимость In т0 от In 111. Наклон этой кривой
и даст искомый критический индекс.
Результат измерений будет тем
точнее, чем на большее количество порядков
величины In 111 экспериментатор сумеет
подобраться к критической точке. Поэтому, готовя эксперимент, ученый
использует чувствительную аппаратуру, способную проводить тончайшие
измерения в малой окрестности критической точки. Получит ли он
желаемый результат?
Как бы экспериментатор ни старался изолировать систему, в ней
всегда будет присутствовать малое, но ненулевое магнитное поле. Его
наличие приводит к существенному искажению поведения системы.
Посмотрим на рисунок 10. Малое внешнее поле представлено на нем пунктирной
стрелкой h0. Экспериментатор полагает, что приближая температуру к
критической, он движется по оси абсцисс h = 0 к критической точке. На
самом же деле система следует пунктирной линии h = h0 и приходит не в
критическую точку, а в точку, которой соответствует критическая
температура 111= 0, но не критическое поле h = h0 * hc =0 .
При I h0 \<\t\A, т.е. справа от кривой | / |л на рисунке 10,
намагниченность изменяется по степенному закону (9.123а). Однако, когда
экспериментатор уменьшает | /1 с целью ближе подобраться к критической
точке, он может пересечь кривую | / |д . Слева от этой кривой магнитное
поле разрушает степенную зависимость параметра порядка от
температуры, и эта зависимость сменяется плавным выходом на постоянное
значение намагниченности (9.1236). Поэтому при подготовке эксперимента
ученый, чтобы получить более точные результаты, должен заботиться не
только о чувствительности аппаратуры, но еще и об изоляции системы от
внешних воздействий.
Вышесказанное будет верно не только для намагниченности.
Например, свободная энергия, как минус интеграл от намагниченности по полю,
будет иметь следующие асимптотики

372
Глава 9
F0«z\t\2-a при|А|<тд
(9.124а)
и
F0 och 6 при |Л|>|; |\
(9.1246)
Таким образом, для скейлинг-функции Ер в равенстве (9.109) мы
получаем
Заблуждением будет думать, что кросс-овер эффект может
вызываться только магнитным полем. Другим характерным случаем являются
неучтенные взаимодействия в гамильтониане. Мы аппроксимируем
реальную систему какой-то математической идеализацией. Так, в п.п. модели
Изинга мы учитываем только взаимодействие ближайших соседей, тогда
как реальная система может содержать более сложные типы
взаимодействий: следующих соседей, трехспиновое, квадроспиновое и т.д. Эти
взаимодействия будут слабыми и не обнаружимыми экспериментально,
однако при приближении к критической точке их амплитуда^ может стать
сравнимой с кривой 11 |л', где А9 - соответствующая критическая
экспонента. В таком случае для величины А мы получим опять две асимптотики
скейлинг-поведения
Е F (у) ос const при | у \< 1
(9.125а)
и
З^М*/*' при М>1.
(9.1256)
А ос| t \Рл при | (р |< 11 |л" и
(9.126а)
при |р|>|;I
(9.1266)
Этой ситуации, очевидно, должна отвечать скейлинг-функция
( _ ^\
(9.127)

Скейлинг-поведение
373
имеющая асимптотики
ос const при
9
<р
<1 и
9
при
1 1Д
1 |Д
1и 9)
>1
(9.128а)
(9.1286)
Мы видим характерные черты любого кросс-овер эффекта. При
превышении амплитуды константы связи ср над отклонением температуры от
, ,д
критической, взятым в соответствующей степени 11\ *, возникает новый
скейлинг. Этот скейлинг содержит такой индекс fiA Iстепенной
зависимости от <pl 11 |л", чтобы погасить уже имеющуюся степенную
зависимость 11 f* по температуре и создать свою степенную зависимость по
константе связи (р.
Если рассматривать результирующий скейлинг кросс-овер эффекта
как функцию от | /1 при фиксированном значении (р, то мы увидим, что
при приближении температуры к критической степенная
зависимость 11 f4 разрушается и выходит на постоянное значение <р^4'Ар,
определяемое (р. Однако мы уже наблюдали подобное поведение выше, когда
рассматривали эффект конечного размера системы в перколяции. Там
превышение корреляционной длины над размером системы также
вызывало разрушение степенной зависимости, будь то расходимость или,
наоборот, стремление к нулю, и выводила эту зависимость на константу в
критической точке. Схожесть поведения подсказывает нам, что эффект
конечного размера системы также является кросс-овер эффектом.
Рассмотрим теперь этот эффект для магнитных систем. Сперва
рассмотрим случай «полностью» отсутствующего магнитного поля. Будем
рассматривать модель конечного линейного размера L = Nl,d . Для
системы конечного размера значительно меняется поведение всех величин,
поэтому будем для их аналогов, отвечающих бесконечной системе
добавлять надстрочный индекс 'оо', как это мы делали выше для перколяции.
В случае конечной системы величины в ней в окрестности
критической точки будут проявлять скейлинг-поведение по скейлинг-параметру х,
определенному нами равенством (9.106)

374
Глава 9
х = (9-129)
Как мы уже сказали выше, сперва мы рассмотрим систему в нулевом
магнитном поле. Поэтому скейлинг-переменная у = —будет тождествен-
и
но равной нулю и не будет участвовать в скейлинг-зависимостях.
Скейлинг-параметр (9.129) представляет собой полное подобие скей-
линг-параметра.у, рассмотренного нами в кросс-овер эффекте магнитного
поля. Действительно, мы помним, что в окрестности критической точки,
где собственно и возникает скейлинг, корреляционная длина бесконечной
системы расходится как ос| t \~v. Поэтому мы можем
переписать (9.129) как
х^^-, (9.130)
И"
что является полной аналогией параметра^ с заменой поля h на обратный
размер системы ML и заменой индекса А на v.
Рассмотрим в качестве примера поведение какой-то экстенсивной
величины Л, зависящей от температуры в окрестности критической точки
бесконечной системы по степенному закону
A"*Le\t\fi*. (9.131)
Также рассмотрим интенсивную величину а, которой в бесконечной
системе отвечает степенной закон
в"ос|г|А. (9.132)
Для конечной системы мы должны описывать эти величины с помощью
скейлинг-зависимостей
(9.133а)

Скейлинг-поведение
375
а ос/Г 3,
(9.1336)
где скейлинг-функции должны иметь асимптотики
ЕА ос const и Еа сс const при < Z, и
при > Z, .
и лл ос
(9.134а)
(9.1346)
Из рассмотрения предыдущих кросс-овер эффектов мы уже знаем,
как найти скейлинг-индексы ХА и Ха. А именно, эти степенные
зависимости должны быть таковыми, чтобы компенсировать степенные
зависимости по температуре с помощью расходимости корреляционной длины
ос| t |~" и породить новый скейлинг относительно переменной ML
Асе L \t
асеt
VI
ос | —
L
ML
\t\v
fijy
Этому будут отвечать индексы
(9.135а)
(9.1356)
(9.136)
Мы показали, что эффект конечного размера системы является
типичным представителем семейства кросс-овер эффектов. Суммируя, для
системы конечного размера! мы ожидаем существенного изменения ее
поведения по сравнению с бесконечной системой. Все расходящиеся
степенные зависимости по температуре при дальнейшем приближении
системы к критической точке должны выходить на постоянное значение,
определяемое равенствами (9.135). Это схематично было показано на
рисунке 6. Не расходящиеся степенные зависимости, обращающиеся в
критической точке бесконечной системы в ноль, предполагаются
«расплывающимися» в окрестности критической точки (рисунки 8-9), так что
в самой критической точке они также выходят на постоянное значение,

376
Глава 9
определяемое равенствами (9.135). Зона вокруг критического значения
температуры, в которой зависимости расплываются, имеет порядок
ч I / .,
1
I'M
Именно с этой точностью экспериментально будет найдена
сама критическая температура. Подобное выражение мы уже видели
выше для перколирующих систем (9.76).
Общей чертой поведения конечных систем является то, что вдалеке
от критической точки законы поведения оказываются специфическими,
своими для каждой системы, и не поддаются унификации. Скейлинг-
поведение также отсутствует. Однако при приближении к критической
точке поведение системы начинает терять специфику данной модели и
выходит на степенную зависимость, общую для всех систем этого
универсального класса. Это поведение является одной из асимптотик
возникающего скейлинга.
При дальнейшем приближении к критической точке, когда
корреляционная длина выходит за пределы размера системы, степенное
поведение маскируется эффектом конечного размера системы. Этот эффект
устраняет сингулярное поведение исследуемой величины, будь то степенная
расходимость или степенное стремление к нулю, и заменяет его выходом
на постоянное значение, определяемое размером системы. Это служит
второй асимптотикой скейлинга.
Выше при рассмотрении всех кросс-овер эффектов мы сравнивали
амплитуды их констант связи с малостью отклонения температуры от
критической точки. Однако не следует думать, что температура является
выделенной величиной, относительно которой следует рассматривать все
скейлинг-закономерности. Например, мы можем обратить скейлинг-
зависимость (9.126-128) как
А ос| ср
И
\t\
ос const при
\<р\ '
<1 и
1/1
\<р\ '
>1.
Aoz\cp\PJ^ при |?>ГЛ'>И и
(9.137а)
(9.1376)
(9.137в)
(9.137г)

Скейлинг-поведение
377
(
=\ф при|р|1,А*<|/|.
(9.137д)
J
В этом случае степенная зависимость по ср, приближающемуся к своему
критическому значению, разрушается новым, температурным скейлингом.
Скейлинг переводит степенную зависимость от ср в постоянное по ср
значение, зависящее от температуры.
Другими словами, в случае скейлинга (9.126-128) константа связи ср
поддерживалась постоянной, а температура устремлялась к критической.
Система промахивалась мимо критической точки и оказывалась при
критической температуре | /1= 0, но не при критическом значении (р. За счет
этого степенная зависимость по t и переходила в константу, зависящую
от <р, поддерживаемого постоянным. В случае же скейлинга (9.137)
постоянной поддерживается температура, а к своему критическому значению
устремляется параметр (р. Система опять промахивается мимо
критической точки, но в этот раз уже из-за отличия температуры от критической
| /1* 0. Поэтому степенная зависимость по <р при выходе этого параметра
на его критическое значение сменяется постоянным значением,
зависящим от температуры.
Таким образом, мы убрали асимметрию из наших выкладок и сделали
температуру равноправной с остальными параметрами. Поэтому
температура вообще может исчезнуть из скейлинга. Например, если мы будем
поддерживать систему точно при критической температуре 111= 0, то
температура будет меньше остальных параметров и не будет влиять на
скейлинг. Тогда мы можем рассмотреть, например, скейлинг-поведение
критической изотермы в ненулевом магнитном поле как функцию от
размера системы.
Для этого нам нужно будет знать критический индекс расходимости
корреляционной длины на критической изотерме при стремлении
магнитного поля к нулю. До сих пор мы рассматривали расходимость
корреляционной длины в нулевом магнитном поле
т.е. в магнитном поле, отвечающем своему критическому значению
hc - О . Однако, очевидно, корреляционная длина будет расходиться и по
(9.138)

378
Глава 9
другим «собственным векторам», ведущим к критической точке. Так, на
критической изотерме | /1= 0 корреляционная длина должна расходиться
по отклонению магнитного поля от его критического значения
Г *| h |
т /=о 1 1
(9.139)
Поведение системы на критической изотерме будет определяться
прежним скейлинг-параметром (9.129), который в данном случае будет
равен
х =
(9.140)
Для скейлинг-зависимостей произвольных экстенсивной и интенсивной
величин, расходящихся в бесконечной системе согласно
А" ос 1* I A |А и а" ос| A |А ,
(9.141)
для конечной системы мы можем предположить следующее скейлинг-
поведение
А ос If | А |А Е,
£-j и аос|Л|А Ес
(9.142)
где скейлинг-функции должны иметь асимптотики
ЕА ос const и Hfl ос сол5/ при < L и
и ля ос
(9.143а)
(9.1436)
Для нахождения ХА и Яв мы опять компенсируем степенные зависимости
перед скейлинг-функциями с помощью расходимости корреляционной
длины
А ос Iй | h
d i U \Рл
ML
h Г*
1
ос I — И
(9.144а)
L

Скейлинг-поведение
379
я ос A \Ра
«| —Г. (9.1446)
Этому отвечают критические индексы
— - (9.145)
Таким образом, мы получили скейлинг по полю и по размеру системы,
когда температура, ввиду малости ее отличия от критической, вообще не
участвовала в этом скейлинг-поведении.
Обобщенно-гомогенные функции
Математическим формализмом, лежащим в основе скейлинг-поведения,
являются обобщенно-гомогенные функции. Обобщенно-гомогенной
функцией порядкар от а? переменных х19х2,...,хп называется функция,
для которой выполняется
/(^jfI>^jf2,...f^-xll)=AV(^i^2v..^J (9.146)
для произвольного числа X. Предположим, что эта функция является
медленно меняющейся (постоянной) по тем своим аргументам, которые по
модулю меньше единицы
/(*,,х2>—>*,•>••..*„)const подс/при \ х{ |<1. (9.147)
Поставим в соответствие каждой переменной свою константу
связи. Тогда по определению обобщенно-гомогенной функции каждой
константе связи будет отвечать свой индекс qt. Для каждой константы связи х{
найдем ее значение, возведенное в степень \lqh а затем выберем из
полученных величин х}'4' наибольшую •X.mJ/</'m*x. Используем свойство
гомогенности (9.146) нашей функции, выбрав в качестве Я величину
Л = х .„

380
Глава 9
В этой формуле для всех /, не равных аргументы функции справа
являются величинами, меньшими единицы
—<i.
-тля
поэтому скейлинг-функция/ ведет себя по ним как константа (9.147).
При I, равном j'1™*, аргумент функции строго равен единице, поэтому он
также выпадает из скейлинг-зависимости. В итоге мы получаем, что
скейлинг-функция / ведет себя как степенная зависимость от наибольшей
среди величин х}'4'
/fo,x2,...,jO«^ (9.149)
при
Если в ходе эксперимента мы будем уменьшать константу связи х{ШХ,
поддерживая остальные константы связи неизменными, в какой-то
момент времени величина х.-,"*'"" перестанет быть наибольшей среди
величин хУ4' , и скейлинг-функция/выберет новую константу связи и
соответственно станет вести себя как степенная зависимость от этой новой
константы связи.
Заметим, что формализм обобщенно-гомогенных функций
предоставляет нам уникальные возможности для поиска связей между
критическими индексами. Рассмотрим в качестве примера намагниченность w0,
зависящую от трех скейлинг-параметров
хх s|/|, х2 Цп\9 хъ =1/1 при i™" =1. (9.150)
Другими словами, мы предполагаем, что изначально
|Й|<ИД* и 1/1<ИД|" ,где ДА =8fi и AVL =vt.
(9.151)

Скейлинг-поведение
381
В случае imax = 1 скейлинг-функция (9.148) превращается в
'|/|,|Л|,4-|=М"*~
\h\ ML
(9.152)
Из сравнения этой зависимости с (9.112) мы сразу получаем, что
Яг
4t
(9.153)
Если в ходе эксперимента мы настолько приблизим температуру к
критической, что начнет выполняться
| A |>| t |Л*, но по-прежнему ML <| t\Aut,
скейлинг (9.152) перейдет в степенную зависимость по А
«о(|'1.1Н-1=|АГ* 5,Г-Щ-,1, 1/1 1,
V L) y\h\4' h \h\qv,4h)
где
(9.154)
(9.155а)
(9.1556)
Представим теперь, что мы настолько приблизили температуру к
критической, что она вообще уходит из скейлинг-зависимости, оставляя
лишь скейлинг по полю и по размеру системы, рассмотренный нами в
выкладках (9.139-145)
|й|>|г|л\ 1/£>|/|
(9.156)
В этом случае скейлинг-поведение системы будет зависеть от величины
£00 ML
соотношения -у- = ^ ^ , и скейлинг-функция (9.155а) переходит в
m0\\tl\hlj
=\ h \р,ч> Ея
Л1 1/£
0,1, т— 1> гДе
|А|*"'* '
(9.157а)

382
Глава 9
(9.1576)
Из (9.1556) и (9.153) мы сразу получаем
(9.158)
Таким образом, формализм обобщенно-гомогенных функций позволил
нам связать критический индекс расходимости корреляционной длины по
магнитному полю с критическим индексом расходимости по температуре.
РГкак источник скейлинга
Что является источником скейлинг-поведения систем в окрестности
критической точки? Как мы уже видели, при преобразовании РГ бесконечная
корреляционная длина переходит в бесконечную корреляционную длину,
и поэтому критическая точка исходной системы переходит в критическую
точку конечной системы. Пусть исходная система находилась в
критической точке. Выполняя ряд преобразований РГ, мы пройдем через ряд
критических точек систем того же универсального класса и попадем в итоге в
фиксированную точку РГ.
Поскольку при преобразовании РГ мы сохраняем модель системы
неизменной, изменяя лишь константы связи, поведение конечных моделей
будет определяться теми же законами, что и поведение исходных.
Поэтому для системы, находящейся в окрестности фиксированной точки РГ,
степенные зависимости будут иметь те же критические индексы, что и у
исходной системы, и скейлинг-поведение будет подчиняться тем же
законам. Мы можем сделать вывод, что для того, чтобы найти критическое
поведение исходной системы, нам совсем не обязательно искать ее точное
решение. Вместо этого мы можем найти скейлинг-поведение системы из
окрестности фиксированной точки РГ, что как мы сейчас увидим,
является гораздо более простой задачей.
Пусть преобразование РГ К' = РГ(К) переводит вектор констант
связи К в константы связи К'. Фиксированной точкой в пространстве
констант связи служит вектор J£*, отвечающий условию
(9.159)

Скейлинг-поведение
383
В окрестности фиксированной точки перейдем от векторов А' к их
малым отклонениям от К*
К* +к'=РГ(К* +*).
Разложим это выражение в ряд Тейлора по малому к
(9.160)
j-i dKj
kj или *, =2,—
kJ9
(9.161)
где п - размерность пространства констант связи. Фактически мы
выполнили лианеризацию преобразования РГ в окрестности фиксированной
точки, сведя его к преобразованию вектора констант связи к с помощью
дК\\
матрицы
Для упрощения выкладок предположим, что эта матрица имеет п
независимых собственных векторов с„ которым отвечают собственные
значения А,
РГ(С() = А;С(.
(9.162)
Представим исходный к и конечный к9 вектора констант связи в
базисе собственных векторов лианеризованной РГ
(9.163)
Используя (9.162), мы сразу получаем уравнение для связи новых и
старых компонент
и\. = Л,и..
(9.164)
Очевидно, поведение лианеризованного преобразования РГ в
окрестности фиксированной точки будет существенным образом зависеть от
того, какие из собственных значений А, больше, а какие меньше единицы.
Если А, > 1, составляющая в к, отвечающая этому собственному век-

384
Глава 9
с
h
Рисунок 11
h
тору с„ при
преобразованиях РГ будет расти и
уводить систему прочь от
фиксированной точки.
Такое собственное значение
называется релевантным,
потому что оно влияет на
скейлинг-поведение
системы. Температура и
магнитное поле были
примерами релевантных констант связи в магнитных системах, поскольку, как
мы видели это много раз, преобразование РГ уводило систему прочь от
критических значений этих переменных (рисунок 11).
Наоборот, при Л, < 1 собственный вектор с, называется иррелевант-
ным, поскольку, как мы увидим ниже, он не влияет на скейлинг системы.
При преобразованиях РГ данная составляющая в векторе констант связи k
уменьшается и исчезает, поэтому как правило отсутствует необходимость
исследовать иррелевантное поведение подробно. Исключением являются
так называемые «опасные» переменные, которые, будучи иррелевантны-
ми, однако тем не менее существенным образом влияют на поведение
системы. Подробнее мы рассмотрим этот случай чуть ниже.
Как мы уже обсуждали ранее, при преобразовании РГ корреляционная
длина уменьшается согласно (8.11). Пусть первой компонентой вектора
констант связи оказалась температура м, = t, а второй - магнитное поле
и2 = h
Здесь мы использовали то, что при преобразовании РГ мы сохраняем
модель и поведение системы, меняя лишь константы связи. Поэтому
функциональная зависимость £(|г|,|А|) является одинаковой для исходной и
конечной систем.
Подставим в выражение (9.165) связь новых компонент со стары
ми (9.164)
А'|) = £(|/|,|А|)/6.
(9.165)
£(Л,|/|Л|А|) = £(И,|А|)/6.
(9.166)

Скейлинг-поведение
385
Пусть сперва внешнее магнитное поле строго равно нулю h = 0, а
температуру мы устремляем к критической | /1—► 0. Мы знаем, что в этом
случае корреляционная длина должна расходиться согласно £(| 11,0) ос| t \~v.
Использование этого выражения для обеих сторон равенства (9.166) дает
или, выражая отсюда v,
v -
(9.168)
Мы получили странный на первый взгляд результат - критический
индекс v оказался зависящим от размера ячейки Ь преобразования РГ. Но
преобразование РГ служит лишь инструментом исследования, поэтому
произвольно выбранный размер ячейки никак не должен влиять на
конечное поведение. Следовательно, мы должны предположить, что In Л,
является величиной, пропорциональной In Ъ .
Это требование подтверждается тем, что преобразование РГ должно
быть полугруппой*. Пусть было выполнено преобразование РГ^ с
размером ячейки Ь\, а затем преобразование РГ^ с размером ячейки Ь2. Мы
ожидаем, что результирующая система должна быть аналогична системе,
полученной при преобразовании РГЬ * с размером ячейки b2b\
Допустим, что собственные вектора с, не зависят от размера ячейки,
как оно и должно быть в идеале для ячеек больших размеров. Если бы это
было не так, преобразование РГ не было бы полугруппой, и это означало
бы, что мы его плохо построили. Выберем исходный вектор к равным
одному из этих собственных векторов, что после подстановки в (9.169),
приводит к равенству
(9.167)
(9.169)
* Преобразование РГ является полугруппой потому, что после редуцирования «излишних»
степеней свободы обратное преобразование, «восстанавливающее» эти степени свободы,
является невозможным

386
Глава 9
МЬ2)Л1(Ь1) = Л1(Ь2Ь1). (9.170)
Выполнение этого равенства для произвольных Ь2 и Ь\ будет возможным,
только если
Л((Ь) = Ь\ (9.171)
где у{ - какие-то индексы, отвечающие каждый своему собственному
значению Я,. Подставляя это выражение в (9.168), для критического индекса v
мы получаем
v= —, (9.172)
где зависимость от размера ячейки полностью исчезла из формулы.
Глядя на равенство (9.166), мы уже можем догадаться, что
преобразование РГ, как инструмент исследования критических явлений, может
служить иллюстрацией причин возникновения скейлинг-поведения в
моделях. Подставим полученную нами зависимость (9.171) в (9.166)
4(b*\t\,b*\h\) = Z(\t\,\h\)/b. (9.173)
После выполнения преобразования РГ п раз мы, очевидно, должны записать
4(Ъ* \t\,bn» \h\) = 4(\t\,\h\)/b". (9.174)
Выразим из этого равенства исходную корреляционную длину как
ЯI' М h I) = jT^""' 1' J"' I * \>b"yt IЛ lb (9-175)
где перед квадратными скобками мы в явном виде получили множитель
степенной расходимости корреляционной длины £(| /1,0) сс| / р" по температуре.
Размер ячейки Ь в выражении (9.175) является фактически
произвольной величиной. Если мы выберем его равным

Скейлинг-поведение
387
b=\t\-Uny>, (9.176)
выражение (9.175) перейдет в
£(m,i/H)=-i^i
\ i*i Л
(9.177)
что является уже известным нам скейлинг-соотношением для
корреляционной длины с критическим индексом А = yh I yt.
Почему на критическое скейлинг-поведение систем влияют только
релевантные переменные, а иррелевантные в нем не участвуют? Пусть ср
является такой иррелевантной константой связи, которой, как мы
предполагаем для простоты, отвечает свое собственное значение Хг Эта переменная
должна появиться в функциональных зависимостях равенства (9.175) как
4(\ 11,| А 1,1 <р|) = уу^гИ 11 \f"'I< I h 1Ь"У' \<РI) • (9Л78)
Выбирая опять размер ячейки согласно (9.176), мы получаем
1
£(И,|А|.1?1) = -
(9.179)
поэтому^ отрицательно. Отношение ^ двух бесконечно малых ве-
Эта зависимость показывает коренное отличие релевантных
переменных от иррелевантных. Для релевантной переменной h собственное
значение Ял больше единицы, и поэтому уи положительно. Наоборот, для
иррелевантной переменной <р собственное значение Х9 меньше единицы, и
личин / и h может принимать произвольные значения от ноля до
бесконечности, что и обеспечивает богатство проявлений скейлинг-поведения.
Напротив, отношение —— для опять же бесконечно малых величин t
и <р всегда является малым и поэтому уходит из всех скейлинг-за-
висимостей, так как скейлинг-функция как правило является медленно
меняющейся функцией (константой) малых значений скейлинг-переменных.

388
Глава 9
Исключением является случай иррелевантных переменных, когда при
стремлении скейлинг-переменной к нолю скейлинг функция ведет себя не
как константа, а как степенная зависимость
£(j z |< l)* const, £(j z |< l)oc| z \к . (9.180)
Подобные иррелевантные переменные называют опасными, и пример
такой переменной мы видели в задаче 9.1. Поскольку отношение ——
для иррелевантной переменной всегда является малой величиной,
зависимость (9.179) переходит в
и опасная переменная <р всегда будет влиять на скейлинг, вне зависимости
от ее величины.
ЛИТЕРАТУРА
Stauffer, D. and A. Aharony (1992), Introduction to Percolation Theory, 2nd ed., 181
pp., Taylor&Francis.
Goldenfeld, N. (1992), Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group,
394 pp., Addison Wesley, Reading, MA.
Pathria, R. K. (1996), Statistical Mechanics, 2nd ed., 529 pp., Butterworth-Heinemann,
Oxford.
Brankov, J. G. (1996), Leuven Notes in Mathematical and Theoretical Physics. Series A:
Mathematical Physics, Introduction to Finite-Size Scaling, 8, Leuven University Press,
Leuven.
\<P\
[\t\
1*1
\t\
(9.181)

URSS
Другие книги нашего издательства:
Учебники и задачники по физике
Иванов Б. Н. Законы физики.
Черняев А. П. Лекции по физике: Курс физики для медиков.
Воронов В. К, Подоплелов А. В. Современная физика.
Воронов В. К, Подоплелов А. В. Современная физика: Конденсированное состояние.
Воронов В. К., Подоплелов А. В., Сагдеев Р. 3. Физические основы нанотехнологий.
Кириллов В. М. и др. Решение задач по физике.
Жукарев А. С и др. Задачи повышенной сложности в курсе общей физики.
Колоколов И. В. и др. Задачи по математическим методам физики.
Вердеревская Н. Н., Егорова С. П. Сборник задач и вопросов по физике.
Кронин Дж., Гринберг Д., Телегди В. Теоретическая физика. Сб. задач с решениями.
Галицкий В. М., Карнаков Б. М., Коган В. И. Задачи по квантовой механике. Ч. 1, 2.
Шепелев А. В. Оптика. Готовимся к экзаменам, зачетам, коллоквиумам.
Лунин С. //., Ширяева Н. И. Задачи по общему курсу физики в вопросах и ответах.
Сирота Д. И. Физика твердого тела: Сборник задач с решениями.
Поляхова Е. Н. Сборник задач по аналитической механике.
Поляхова Е. И. Сборник задач по динамике точки в поле центральных сил.
Розенблат Г. М. Механика в задачах и решениях.
Розенблат Г. М., Паншина А. В., Козлова 3. П. Теоретическая механика в решениях
задач из сборника И. В. Мещерского. Кн. 1-3.
Чуркин В. М. Теоретическая механика в решениях задач из сборника И. В. Мещерского.
Рекач В. Г Руководство к решению задач по теории упругости.
Рекач В. Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости.
Сурдин В. Г. Астрономические задачи с решениями.
Николаев О. С. Физика и астрономия: Курс практических работ для средней школы.
Серия «НАУКУ — ВСЕМ! Шедевры научно-популярной литературы»
Гарднер М. Этот правый, левый мир.
Гарднер М. Теория относительности для миллионов.
Каганов М. И. Электроны, фононы, магноны.
Каганов М. И., Цукерник В. М. Природа магнетизма.
Тарасов Л. В., Тарасова А. И. Беседы о преломлении света.
Губанков В. И. Солитоны.
Гартман 3. Занимательная физика.
Точидловский И. Я. Что можно в школе сделать и показать по физике.
Перельман М. Е. А почему это так? Физика вокруг нас.
Перельман М. Е. А почему это так? Физика в гостях у других наук.
Фрова А. Почему происходит то, что происходит: Окружающий мир глазами ученого.
Ланге В. Н. Физические парадоксы, софизмы и занимательные задачи. Кн. 1,2.
Ланге В. Н. Физические опыты и наблюдения в домашней обстановке.
Спиридонов О. П. Биографии физических констант.
Чернин А. Д. Физика времени.
Владимиров Ю. С Пространство-время: явные и скрытые размерности.
Сазанов А. А. Четырехмерная модель мира по Минковскому.
Перельман Я. И. Занимательная астрономия.
Циолковский К Э. Т|)уды по воздухоплаванию.

Другие книги нашего издательства:
Проникая нтлнны
СКРЫШХ рЛ1ЧСрНОСНЧЧ
mi транс -л
URSS
щ
V1
Лиза Рэндалл
Закрученные пассажи
Проникая в тайны скрытых размерностей
пространства
Перевод с английского
Вселенная полна удивительных тайн. Возможно, она
скрывает от нас дополнительные измерения, разительно
отличающиеся от всего, что может себе представить наш здравый
смысл, взращенный в обычном трехмерном пространстве.
И хотя с каждым годом мы узнаем все больше и больше о
нашем мире, сегодня как никогда ранее мы осознаем, что
для понимания истинной природы Вселенной нам
необходимо сделать еще очень многое.
Лиза Рэндалл принадлежит к разряду тех ученых, которые сами, своими
собственными исследованиями совершают прорывы и раздвигают границы современной
науки, пытаясь найти ответы на фундаментальные вопросы, поставленные природой.
Л. Рэндалл проводит нас через потрясающий мир закрученных дополнительных
измерений, лежащих, возможно, в основе нашей Вселенной, и показывает путь,
следуя которому мы сможем убедиться в их существовании.
Книга «Закрученные пассажи» увлекает читателя в удивительное путешествие,
проводя его через цепочку открытий от начала двадцатого века до настоящих дней,
объясняя суть противоречий между теорией относительности, квантовой механикой
и гравитацией, описывая достижения физики элементарных частиц, проблему
иерархии, скейлинг, Великое объединение, суперсимметрию, дополнительные
измерения, параллельные миры, эволюцию струнных теорий и многое другое.
Бартон Цвибах
Начальный курс теории струн
Перевод с английского
«Начальный курс теории струн» Бартона Цвибаха уникален
по стилю и форме изложения. Он позволит начинающим
исследователям избежать чувства подавленности и
отчаяния, которые нередко сопутствуют штудированию
традиционных фолиантов, — ведь далеко не секрет, что теория
струн имеет репутацию невероятно сложной науки. На
каждой странице книги автор твердо следует поставленной
цели — сделать теорию струн доступной любому физику,
желающему расширить свои знания в этой области.
Книга охватывает практически весь спектр теории струн. Изложение ведется в
замкнутой форме, так что читателю для понимания достаточно лишь твердых знаний
основ механики и некоторых элементов квантовой теории. Автор стремится
развить у читателей интуицию, подкрепляя формальное изложение многочисленными
иллюстративными примерами.
Монография отражает современное состояние теории. С этой целью во второе
издание включены актуальные вопросы, такие как АдС/КПТ-соответствие, струны
на орбифолдах, стабилизация модулей, ландшафт теории струн и некоторые другие.

UHSSiru
IliSSIri
URSS,ru
URSS
Другие книги нашего издательства:
Серия «Синергетика: от прошлого к будущему»
Пенроуз Р. НОВЫЙ УМ КОРОЛЯ. О компьютерах, мышлении
и законах физики. Пер. с англ.
Майнцер К. Сложиосистемное мышление: Материя, разум,
человечество. Новый синтез. Пер. с англ.
Хакен Г. Информация и самоорганизация.
Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики.
Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия.
Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика.
Малинецкий Г. Г. (ред.) Нелинейность в современном естествознании.
Олемской А И. Синергетика сложных систем: Феноменология и статистическая теория.
Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой.
Анищенко В. С Сложные колебания в простых системах.
Климонтович Ю. Л. Турбулентное движение и структура хаоса.
Ланда П. С Нелинейные колебания и волны.
Неймарк Ю. И., Ланда П. С Стохастические и хаотические колебания.
ТрубецковД. И. Введение в синергетику. В 2 кн.: Колебания и волны; Хаос и структуры.
Быков В. И. Моделирование критических явлений в химической кинетике.
Быков В. //., Цыбенова С. Б. Нелинейные модели химической кинетики.
Безрунко Б. П. и др. Путь в синергетику. Экскурс в десяти лекциях.
Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение.
Арнольд В. И. Теория катастроф.
Алексеев Ю. К., Сухорукое А. П. Введение в теорию катастроф.
Тюкин И. Ю., Терехов В. А. Адаптация в нелинейных динамических системах.
Пригожий И. От существующего к возникающему.
Пригожий И., Стенгерс И. Время. Хаос. Квант. К решению парадокса времени.
Пригожий И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой.
Пригожий И., Николис Г. Познание сложного. Введение.
Пригожий И., Гленсдорф П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости
и флуктуации.
Суздалев И. П. Нанотехнология: физико-химия нанокластеров, наноструктур
и наноматериалов.
Тел./факс:
+7(499)724-25-45
(многоканальный)
E-mail:
URSS@URSS.ru
http://URSS.ru
Наши книги можно приобрести в магазинах:
«НАУКУ - ВСЕМ!» (И.Профсоюзная. Нахимовский пр-т, 56. Тел. (499) 724-2545)
«Библио-Глобус» (и. Лубянка, ул. Мясницкая, 6. Тел. (495) 625-2457)
«Московский дои книги» (и. Арбатская, ул. Новый Арбат, 8. Тел. (495) 203-8242)
«Молодая гвардия» (и. Полянка, ул. Б. Полянка, 28. Тел. (495) 238-5001,
780-3370)
«Дои научно-технической книги» (Ленинский пр-т, 40. Тел. (495) 137-6019)
«Дои книги на Ладожской» (и. Бауманская, ул. Ладожская, 8, стр.1.
Тел. 267-0302)
«СПб. дои книги» (Невский пр.. 28. Тел. (812) 448-2355)
«100000 книг» (г. Екатеринбург, ул. Тургенева. 13. Тел. (343) 22-12-979)
Сеть магазинов «Дом книги» (г. Екатеринбург, ул. Антона Валена. 12.
Тел. (343) 253-50-10)
URSS.ru
URSS.ru

URSS.ru "URSSm№
Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Наше издательство специализируется на выпуске научной и учебной
литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых
Российской академии наук, научно-исследовательских институтов и учебных
заведений. Мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных
экономических условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке
издания — от набора, редактирования и верстки до тиражирования
и распространения.
Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:
Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. В 4 т.
Квасников И. А. Молекулярная физика.
Квасников И. А. Квантовая статистика.
Квасников И. А. Введение в теорию электропроводности и сверхпроводимости.
Карт С, Клаузиус Р., Томсон В. и др. Второе начало термодинамики.
Кубо Р. Статистическая механика. Современный курс с задачами и решениями.
Власов А. А. Нелокальная статистическая механика.
Власов А. А. Теория многих частиц.
Власов А. А. Макроскопическая электродинамика.
Гухман А. А. Об основаниях термодинамики.
Гухман А. А. Введение в теорию подобия.
Гухман А. А. Применение теории подобия к исследованию процессов
тепло-массообмена.
Базаров И. Я. Заблуждения и ошибки в термодинамике.
Зайцев Р. О. Введение в современную статистическую физику. Курс лекций.
Зайцев Р. О. Введение в современную кинетическую теорию. Курс лекций.
Самойлович А. Г. Термоэлектрические и термомагнитные методы превращения энергии.
Поклонский Н. А., Вырко С. А., Поденок С. Л. Статистическая физика полупроводников.
Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики.
Варикаш В. Л/., Болсун А. И., Аксенов В. В. Сборник задач по статистической физике.
Бриллюэн Л. Квантовая статистика.
Хинчин А. Я. Математические основания квантовой статистики.
Хайтун С. Д. История парадокса Гиббса.
Беккер Р. Теория электричества. Электронная теория.
Дорфман Я. Г Магнитные свойства и строение вещества.
Планк М. Теория теплового излучения.
Планк М. Введение в теоретическую физику. Кн. 1-5: Общая механика; Механика
деформируемых тел; Теория электричества и магнетизма; Оптика; Теория теплоты.
Олемской А. И., Кацнельсон А. А. Синергетика конденсированной среды.
Гринченко В. Г., Мацыпура В. Г., Снарский А. А. Введение в нелинейную динамику.
Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике.
Эбелинг В., Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции.
Грин Б. Элегантная Вселенная. Суперструны и поиски окончательной теории.
Грин Б. Ткань космоса: Пространство, время и текстура реальности.
Грин Б. Скрытая реальность: Параллельные миры и глубинные законы Космоса.
ш2&
8
ш
щ
ш
шттй
Ш
^1
Я**
По всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
тел. +7 (499) 724-25-45 (многоканальный)
или электронной почтой URSS@URSS.ru
Полный каталог изданий представлен
в интернет-магазине: http://URSS.ru
Научная и учебная
литература
URSS.ru
URSSimi
URSS

117335, Москва, Jf
Нахимовский пр-т, 56
~ " s-7-1 7т
НАШИ НОВЫЕ
КООРДИНАТЫ
' ТЕЛЕФОН/ФАКС (многоканальный)
+7(499)724-25-45
УП.ДМ. Ульянова
®
Академическая
о.
о
ю
S
X
>
Нахимовский пр-т"
Остановка
9.
о
о
-&
о
О-
С
с
>
Рынок» <S £У"И*»»»
. Ьабушкина»
®
Оч
га
х
Г)
2
о
о
■8-
о
Q.
От м. Профсоюзная:
8 мин. пешком
или одна остановка
наземным транспортом:
автобусы № 67, 67к, 130;
троллейбус № 49
до остановки
«Ул. Ивана Бабушкина»
От м. Университет:
трамваи № 14, 39
до остановки
«Черемушкинский рынок»;
трамваи № 22, 26
до остановки
«Ул. Вавилова»;
автобусы № 67, 67г, 130;
троллейбус № 49
до остановки
«Ул. Ивана Бабушкина»

(Нельзя построить содержательную общую теорию нелинейных
систем, — считал "Ожон фон QieCLuaH.
"Великий лл\ателл.атик ошибался.
В этом, убеждают книги этой серии, посвященные синергети-
ческой парадигме нелинейной науке, бифуркациям,
фракталам хаосу и многим другим интересным вещал*
fСергей Германович АБАИМОВ
Кандидат физико-математических наук,
преподаватель кафедры теоретической
физики Московского физико-технического
института (государственного университета),
доктор философии (PhD)
(Университет Калифорнии).
Наше издательство предлагает следующие книги:
> в нашем интернет-магазине http://URSS.ru URSS http://URSS.ril
1НАШИ Н0ВЫЕ BSBSflaS 4-7(499)724-25-45
UrXVV КООРДИНАТЫ И7335, Москва, Нахимовский пр-т, 56